Faits :
A.
A._ (ci-après: l'assuré) exerce l'activité de vigneron indépendant en Valais. En 1998, il a conclu une assurance-maladie collective d'indemnités journalières avec X._ SA. Le contrat a été repris par B._ SA (ci-après: B._ ou l'assureur), lorsque celle-ci a fusionné avec X._ en 2004.
L'assuré a annoncé à l'assureur avoir été victime d'un accident en date du 21 septembre 2009. Sur la base du contrat précité, B._ lui a versé des indemnités journalières jusqu'au 30 septembre 2010. En automne 2010, l'assuré a fait l'objet d'une surveillance de la part de l'assureur. A l'issue de discussions avec des représentants de B._, l'assuré a signé une reconnaissance de dette à hauteur de 49'845 fr. en date du 17 novembre 2010; par courrier du même jour, l'assureur a confirmé à l'assuré qu'il exigeait le remboursement de la somme précitée.
Par lettre du 28 février 2011, B._ a annoncé à l'assuré que le contrat d'assurance était annulé avec effet au 17 novembre 2010.
B.
Le 11 février 2013, A._ a ouvert action devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais. Il concluait à ce qu'il soit constaté que la résiliation du contrat d'assurance était nulle et à ce que B._ soit condamnée à lui payer 12'098 fr. à titre d'indemnités journalières pour la période du 1er octobre 2010 au 7 mars 2011, sous déduction des primes dues.
Par jugement du 18 mars 2015, la Cour des assurances sociales a déclaré la demande irrecevable, faute de compétence rationae materiae. Elle a jugé que le droit cantonal l'a instituée pour connaître en instance unique des litiges portant sur des assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale exclusivement dans les cas où l'assureur est une caisse-maladie reconnue au sens de l'<ref-law>, mais non lorsque, comme en l'espèce, l'assureur est une compagnie d'assurances privée.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public. Invoquant une application arbitraire de l'<ref-law>, l'excès du pouvoir d'appréciation et la violation du principe de la bonne foi, il conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la Cour des assurances sociales pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
B._ conclut "préalablement" à l'irrecevabilité du recours en matière de droit public, puis "principalement" au rejet du recours.
Invitée à se déterminer, la cour cantonale a déposé une prise de position circonstanciée et proposé le rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1).
1.1. Les litiges en matière d'assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale sont de nature civile (art. 12 al. 2 et 3 LAMal; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 441 s.). La voie de droit qui entre en considération en l'occurrence n'est dès lors pas le recours en matière de droit public, option choisie par le recourant, mais le recours en matière civile (<ref-law>) ou, à défaut, le recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>). La désignation erronée de la voie de droit ne nuit toutefois pas au recourant si son mémoire remplit les exigences légales du recours qui lui est ouvert (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 370; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 302 s.).
Le recourant a porté le différend le divisant d'avec l'intimée devant l'autorité qu'il estime compétente pour en connaître comme instance cantonale unique (<ref-law>). Par conséquent, le recours en matière civile est ouvert, indépendamment de la valeur litigieuse, pour contester le jugement par lequel cette autorité, tribunal supérieur d'un canton, a nié sa compétence (art. 74 al. 2 let. b et art. 75 al. 2 let. a LTF; cf. <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 4 s., 799 consid. 1.1).
1.2. Au surplus, le recours est exercé par la partie qui n'a pas obtenu gain de cause et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>). Il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. a et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
2.
En vertu de l'<ref-law>, les cantons peuvent instituer un tribunal qui statue en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale selon la LAMal. Le canton du Valais a fait usage de cette possibilité. Selon l'art. 5 al. 1 let. a de la loi d'application du code de procédure civile suisse (LACPC/VS; RS/VS 270.1), le Tribunal cantonal valaisan connaît en instance cantonale unique des affaires civiles relevant des art. 5, 7 ou 8 CPC. L'art. 2 de l'ordonnance désignant les autorités et les procédures en matière d'assurance maladie (RS/VS 832.100), modifié par l'art. 10 ch. 14 LACPC/VS, précise, sous le titre "assurances complémentaires", que le Tribunal cantonal connaît en tant qu'instance cantonale unique les litiges relatifs aux assurances complémentaires au sens de l'<ref-law> (al. 1) et que le CPC est applicable (al. 2).
2.1. En l'espèce, est litigieux le point de savoir si l'<ref-law> permet aux cantons de ne soumettre à la connaissance d'une instance judiciaire unique qu'une partie des contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale. Il s'agit là d'une question de droit fédéral que le recourant ne soulève pas explicitement, mais qui se pose nécessairement à titre préalable; la cour de céans peut donc l'examiner d'office et librement (art. 42 al. 2 et art. 106 al. 1 LTF; cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 88 s., 115 consid. 2 p. 116).
La formulation de l'<ref-law> correspond à celle de l'<ref-law>, lequel permet aux cantons d'instituer un tribunal de commerce statuant en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges commerciaux. Le Tribunal fédéral a jugé que lorsqu'un canton fait usage de la possibilité d'instituer un tribunal de commerce, l'<ref-law> règle de manière exhaustive la compétence matérielle pour les litiges répondant à la définition de l'<ref-law>. (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 157 s.).
Aucun motif ne justifie de retenir une solution différente en matière d'assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale. En particulier, le texte clair de l'<ref-law> ne prévoit aucune possibilité d'un transfert partiel de compétences à l'instance unique désignée par le droit cantonal. On ne discerne d'ailleurs pas l'intérêt qu'il y aurait à instaurer deux régimes de compétence matérielle pour les litiges civils relatifs aux assurances complémentaires, notamment selon que l'assureur est ou n'est pas une caisse-maladie au sens de l'<ref-law>. L'<ref-law> n'offre ainsi aux cantons qu'une alternative: soit instituer une autorité judiciaire statuant en instance unique et lui soumettre tous les litiges mentionnés dans cette disposition, soit renoncer à une telle juridiction spéciale et en rester au régime ordinaire avec deux instances cantonales.
Le canton du Valais a clairement opté pour une juridiction statuant en instance cantonale unique (art. 5 al. 1 let. a LACPC/VS). Il en découle que, de par le droit fédéral, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal est compétente pour connaître de la présente cause.
2.2. Sur le vu de ce qui précède, la cour de céans n'a pas à examiner si la cour cantonale a appliqué de manière arbitraire l'art. 2 de l'ordonnance valaisanne désignant les autorités et les procédures en matière d'assurance maladie. Il est à relever toutefois que l'art. 5 al. 1 let. a LACPC/VS, qui est une loi et non une simple ordonnance, n'opère pas la distinction retenue par l'autorité précédente.
2.3. Comme la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal s'est déclarée à tort incompétente pour traiter la demande du recourant, le recours doit être admis et le jugement du 18 mars 2015 sera annulé.
Contrairement à l'avis de l'intimée, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de statuer en première instance sur l'exception liée à une prétendue litispendance préexistante, qu'elle a soulevée dans la procédure cantonale. La cause sera donc renvoyée en l'état à la Cour des assurances sociales.
3.
Pour le cas où le recours serait admis, l'intimée demande que le canton du Valais soit condamné à prendre en charge tous les frais et dépens liés à la procédure fédérale, y compris une participation équitable aux honoraires de son avocat.
Dans ses déterminations au Tribunal fédéral, l'intimée a conclu expressément au rejet du recours et à la confirmation du jugement cantonal déclarant irrecevable la demande du recourant faute de compétence ratione materiae de la cour cantonale saisie. Dans ces conditions, l'intimée est manifestement la partie qui succombe; conformément à la règle générale de l'art. 66 al. 1 et de l'art. 68 al. 1 et 2 LTF, les frais judiciaires et une indemnité de dépens en faveur du recourant seront mis à la charge de l'intimée, aucune circonstance particulière ne justifiant en l'espèce une autre répartition.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et le jugement attaqué est annulé.
La cause est renvoyée pour traitement à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
L'intimée versera au recourant une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 20 octobre 2015
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann