Fatti:
A. Il 29 febbraio 2008 C._ e B._ hanno presentato al Municipio di Brione s/Minusio una domanda di costruzione per una casa di abitazione unifamiliare sul fondo part. n. 152, ubicato su un terreno in pendio inserito nella zona residenziale semi-estensiva, all'intersezione tra una strada pubblica ed una strada privata che serve una decina di abitazioni. Il progetto prevede l'edificazione di una casa a forma triangolare con un piano interrato destinato ad autorimessa e cantina e due piani abitabili fuori terra.
A._, proprietaria di un fondo confinante (part. n. 675), si è opposta alla domanda. Acquisito il preavviso favorevole dell'autorità cantonale, il 15 maggio 2008 il Municipio ha rilasciato la licenza edilizia, respingendo nel contempo l'opposizione della vicina. Questa decisione è stata confermata il 19 agosto 2008 dal Consiglio di Stato del Cantone Ticino su ricorso dell'opponente.
B. Con sentenza del 3 novembre 2008 il Tribunale cantonale amministrativo ha respinto un ricorso dell'opponente contro la risoluzione governativa. Ha in particolare ritenuto il progetto conforme alle norme comunali per quanto concerne le distanze dalle strade. Riguardo alla distanza dal muro di sostegno della strada privata eretto verso monte, ha ritenuto che, trattandosi di un terreno in pendio, secondo la giurisprudenza si poteva prescindere, in relazione a tale manufatto, dal rispetto della distanza minima tra gli edifici. La Corte cantonale ha infine rilevato che, in base al diritto comunale, anche la superficie del fondo occupata dalla strada privata poteva essere presa in considerazione quale superficie edificabile ai fini del calcolo degli indici di occupazione e di sfruttamento.
C. A._ impugna questa sentenza con un ricorso in materia di diritto pubblico e un ricorso sussidiario in materia costituzionale al Tribunale federale, chiedendo di annullarla. Postula in via subordinata che la causa sia rinviata alla precedente istanza per un nuovo giudizio. La ricorrente fa valere la violazione degli art. 6, 10 e 19 delle norme di attuazione del piano regolatore (NAPR), degli art. 38 e 39 della legge edilizia cantonale, del 13 marzo 1991 (LE), dell'art. 10 del regolamento di applicazione della LE, del 9 dicembre 1992 (RLE), oltre la violazione degli art. 5, 9 e 29 Cost.
D. La Corte cantonale e il Municipio di Brione s/Minusio si riconfermano nelle loro decisioni. Il Consiglio di Stato si rimette al giudizio del Tribunale federale, mentre gli istanti in licenza chiedono in via principale di dichiarare inammissibili i ricorsi e in via subordinata di respingerli.
E. Con decreto presidenziale del 20 gennaio 2009 al gravame è stato conferito l'effetto sospensivo.

Diritto:
1. Secondo l'<ref-law>, il procedimento si svolge di regola nella lingua ufficiale della decisione impugnata, che nella fattispecie è quella italiana. Non vi sono motivi per scostarsi da questa regola, né la ricorrente lo chiede espressamente. Nonostante il gravame sia steso in tedesco, questo giudizio è quindi redatto in italiano.
2. 2.1 Presentato tempestivamente contro una decisione finale dell'ultima istanza cantonale in ambito edilizio, il ricorso in materia di diritto pubblico è di massima ammissibile sotto il profilo degli art. 82 segg. LTF. Nessuna delle eccezioni previste dall'<ref-law> è infatti realizzata e l'art. 34 cpv. 1 LPT, nella versione in vigore dal 1° gennaio 2007, stabilisce che i rimedi giuridici proponibili dinanzi alle autorità federali sono retti dalle disposizioni generali sull'amministrazione della giustizia federale (cfr. <ref-ruling> consid. 2, 409 consid. 1.1). I requisiti degli art. 86 cpv. 1 lett. d, 90 e 100 cpv. 1 LTF sono adempiuti. Il ricorso sussidiario in materia costituzionale (art. 113 segg. LTF), semplicemente indicato nel titolo del gravame, è di conseguenza inammissibile.
2.2 La ricorrente ha partecipato al procedimento in sede cantonale e, quale proprietaria del fondo part. n. 675, confinante con quello dedotto in edificazione, è particolarmente toccata dalla decisione impugnata ed ha un interesse degno di protezione al suo annullamento o alla sua modifica. La sua legittimazione a ricorrere giusta l'<ref-law> non presta il fianco a critiche (cfr. <ref-ruling> consid. 1.3.3).
2.3 Riservati i casi disciplinati dall'art. 95 lett. c-e LTF, la violazione del diritto cantonale o comunale non costituisce di per sé un motivo di ricorso, ma può costituire una violazione del diritto federale ai sensi dell'<ref-law>, segnatamente qualora disattenda il divieto dell'arbitrio ai sensi dell'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3). Da questo profilo, la legge sul Tribunale federale non comporta alcuna modifica del potere cognitivo del Tribunale federale rispetto alla situazione previgente sotto l'egida della legge federale sull'organizzazione giudiziaria (<ref-ruling> consid. 1.2.1). Chiamata a vagliare l'applicazione di una norma del diritto cantonale o comunale sotto l'angolo dell'arbitrio, questa Corte si scosta quindi dalla soluzione adottata dall'ultima istanza cantonale solo se appaia manifestamente insostenibile, in palese contraddizione con la situazione effettiva, non sorretta da ragione oggettiva e lesiva di un diritto certo. Non basta inoltre che la decisione impugnata sia insostenibile nella motivazione, occorrendo che lo sia anche nel suo risultato (<ref-ruling> consid. 4.1, 133 II 257 consid. 5.1), ciò che spetta alla ricorrente dimostrare in virtù dell'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.2).
Il giudizio impugnato è essenzialmente fondato sulle norme comunali di attuazione del piano regolatore. Nella misura in cui la ricorrente non si confronta con le argomentazioni contenute in tale giudizio, spiegando per quali ragioni il diritto comunale sarebbe stato applicato in modo manifestamente insostenibile, il gravame è inammissibile. La ricorrente si limita infatti ad esporre una sua interpretazione delle disposizioni applicate, senza sostanziare l'eventuale arbitrio della soluzione adottata dai giudici cantonali. Il ricorso è parimenti inammissibile laddove la ricorrente accenna semplicemente all'<ref-law> senza dimostrare l'applicazione arbitraria del diritto cantonale e comunale. Il principio della legalità sancito da questa norma non costituisce un diritto costituzionale con portata propria, ma un principio costituzionale (cfr. <ref-ruling> consid. 4 e rinvii). Esso non può in ogni caso condurre il Tribunale federale ad esaminare liberamente il diritto cantonale applicato nella fattispecie (cfr. sentenza 2C_212/2007 dell'11 dicembre 2007, consid. 3.1).
3. 3.1 La ricorrente lamenta la violazione del diritto di essere sentito perché la Corte cantonale si sarebbe rifiutata di eseguire un sopralluogo, il quale avrebbe consentito di accertare come il muro di sostegno della strada privata sarebbe alto più di 5 m e come un'edificazione della particella n. 152 sarebbe possibile anche rispettando una distanza di 6 m dallo stesso.
3.2 Il diritto di essere sentito, sancito esplicitamente dall'<ref-law>, comprende il diritto per l'interessato di consultare l'incarto, di offrire mezzi di prova su punti rilevanti e di esigerne l'assunzione, di partecipare alla stessa e di potersi esprimere sulle relative risultanze nella misura in cui possano influire sulla decisione (<ref-ruling> consid. 2a/aa). Tale diritto non impedisce tuttavia all'autorità di procedere a un apprezzamento anticipato delle prove richieste, se è convinta che non potrebbero condurla a modificare la sua opinione (<ref-ruling> consid. 2.1 e rinvii). Nell'ambito di questa valutazione, all'autorità compete un vasto margine di apprezzamento e il Tribunale federale interviene solo in caso di arbitrio (<ref-ruling> consid. 4a; sentenza 1C_151/2007 dell'11 ottobre 2007, consid. 2.2, in: RtiD I-2008, n. 6, pag. 559 segg.).
3.3 La Corte cantonale ha ritenuto, spiegandone le ragioni, che la costruzione non doveva rispettare la distanza minima tra gli edifici di 6 m e poteva quindi sorgere, come in concreto, a 1-2 m dal muro di sostegno. In tale circostanza, era quindi superfluo accertare se il fondo potesse essere edificato in modo razionale anche rispettando una distanza di 6 m dal muro. Tale manufatto è peraltro già esistente e la sua conformità alle NAPR non è oggetto della presente procedura edilizia. Determinante ai fini della fattispecie è essenzialmente la questione di sapere se debba essere rispettata la distanza minima dagli edifici per il fatto che la sua altezza è incontestabilmente superiore a 2,50 m (cfr. art. 10 cpv. 1 lett. a NAPR). Si tratta tuttavia di un quesito di diritto, che non presuppone una visita dei luoghi per potere essere risolto. La situazione e le caratteristiche del progetto risultano infatti con sufficiente chiarezza dagli atti della domanda di costruzione, sicché la Corte cantonale, rinunciando ad eseguire un sopralluogo o ad assumere ulteriori prove, non ha violato né il diritto di essere sentito né il divieto dell'arbitrio.
4. 4.1 La ricorrente critica la mancata applicazione della distanza minima tra gli edifici per rapporto al muro di sostegno esistente. Lamenta l'assenza di una base legale per permettere un'eccezione in tal senso e sostiene che una prassi illegale al riguardo non sarebbe stata invocata dalle parti né sarebbe stata dimostrata, tanto più che le NAPR sarebbero in vigore soltanto da pochi anni.
4.2 In virtù dell'art. 10 cpv. 1 lett. a NAPR, i muri di controriva alti, come in concreto, più di 2,50 m devono rispettare le distanze minime previste per gli edifici. La Corte cantonale ha tuttavia rilevato che per prassi costante e generalizzata anche in altri Comuni, in assenza di specifiche normative, si prescinde dall'imporre agli edifici costruiti su terreni in pendio di rispettare la distanza minima tra edifici per rapporto ai muri di sostegno o di controriva eretti verso monte. Contrariamente all'opinione della ricorrente, i giudici cantonali hanno sufficientemente addotto l'esistenza di tale giurisprudenza, richiamando al riguardo due loro sentenze, del 20 marzo 2003 e del 23 aprile 2001. A quest'ultima sentenza ha peraltro fatto riferimento anche il Consiglio di Stato nella sua decisione del 19 agosto 2008.
La Corte cantonale ha inoltre addotto che una diversa conclusione renderebbe eccessivamente difficoltosa l'edificazione di questo genere di terreni o porterebbe i costruttori ad addossare gli edifici ai muri retrostanti, sopprimendo qualsiasi trincea, come potrebbe verificarsi in concreto se si volesse rendere l'intervento conforme al diritto. La precedente istanza ha ritenuto che nemmeno si giustificava di subordinare la licenza edilizia alla condizione di colmare la trincea prevista tra la facciata nord della casa (priva di aperture) e il citato muro, siccome tale operazione sarebbe inutile sotto il profilo sia dell'interesse generale sia di quello delle parti. Ha ritenuto prevalente l'interesse degli istanti alla parità di trattamento sulla base della citata giurisprudenza rispetto all'interesse della ricorrente all'attuazione del diritto oggettivo. La ricorrente non si confronta puntualmente con queste considerazioni, mettendone in dubbio la fondatezza. Richiamando in generale gli scopi delle distanze tra gli edifici, non adduce la presenza di prevalenti interessi pubblici o privati di terzi che imporrebbero un'applicazione del diritto conformemente alla legge e che osterebbero in concreto alla parità di trattamento nell'illegalità (cfr. <ref-ruling> consid. 3c). In tali circostanze, non si può ritenere che la Corte cantonale abbia disatteso la Costituzione rinunciando ad applicare per rapporto al muro litigioso la distanza minima tra gli edifici.
5. 5.1 La ricorrente rileva che la strada privata è gravata con un diritto di passo pubblico a favore del Comune di Brione s/Minusio e costituirebbe quindi una via pubblica, dalla quale la costruzione progettata dovrebbe distare almeno 3 m conformemente all'art. 6 cpv. 2 lett. b NAPR. Lamenta inoltre la mancata indicazione della distanza effettiva sui piani della domanda di costruzione.
5.2 L'art. 6 cpv. 2 lett. b NAPR, dal titolo marginale "distanze dall'area pubblica", prescrive verso strade, percorsi pedonali, piazze e posteggi una distanza di almeno 3 m per le costruzioni principali. Visto il tenore della norma, che disciplina unicamente le distanze dall'area pubblica, è in modo sostenibile che la Corte cantonale non l'ha ritenuta applicabile alla strada litigiosa, siccome di proprietà privata. Il fatto che il tracciato possa essere percorso da una cerchia indeterminata di persone non tocca di per sé i rapporti di proprietà e non basta per ritenere arbitraria la decisione della Corte cantonale. L'arbitrio non è infatti ravvisabile nella semplice circostanza che anche la soluzione di applicare per analogia la distanza minima di 3 m alle strade private potrebbe essere sostenibile (<ref-ruling> consid. 4.1 e rinvii).
5.3 Per il resto, l'art. 10 RLE citato dalla ricorrente non impone esplicitamente di indicare nel piano di situazione la distanza delle costruzioni dalle strade private. Tale distanza è comunque in concreto facilmente determinabile ed è incontestato ch'essa è inferiore ai 3 m, variando da 1 m a 2 m in corrispondenza della facciata nord dell'abitazione. Dalla mancata indicazione di questa distanza sul piano, la ricorrente non ha comunque subito alcun pregiudizio, sicché la questione non deve essere esaminata ulteriormente.
6. La ricorrente rimprovera alla Corte cantonale di essere incorsa nell'arbitrio anche per non avere accertato che la costruzione non rispetta la distanza di 3 m nemmeno dalla strada pubblica, ritenuto che il garage e la cantina sorgerebbero a confine con la stessa. Omette tuttavia di considerare che la precedente istanza ha accertato che il corpo dell'autorimessa è interrato e, in applicazione dell'art. 6 cpv. 4 NAPR, non soggiace alle distanze dalle strade. Ora, la ricorrente non sostiene che la presenza della costruzione sotterranea sarebbe stata accertata in contrasto con gli atti, né invoca un'applicazione arbitraria della disposizione comunale. La censura non deve quindi essere vagliata oltre.
7. La ricorrente ritiene che l'indice di occupazione previsto per la zona interessata non sarebbe rispettato siccome, violando l'art. 38 cpv. 2 LE, è stata computata nella superficie edificabile anche la parte del fondo occupata dalla strada privata. Disattende tuttavia che la Corte cantonale non ha in concreto applicato l'art. 38 cpv. 2 LE, bensì l'art. 16 lett. b NAPR, secondo cui la superficie delle strade private fa parte integrante delle zone edificabili e può pertanto essere presa in considerazione nel computo degli indici di occupazione e di sfruttamento. La ricorrente non fa valere che quest'ultima disposizione sarebbe stata applicata in maniera arbitraria, né sostiene esplicitamente ch'essa sarebbe inapplicabile alla fattispecie. La censura è sostanzialmente priva di motivazione e non deve quindi essere ulteriormente esaminata.
8. Ne segue che il ricorso in materia di diritto pubblico deve essere respinto nella misura della sua ammissibilità, mentre il ricorso sussidiario in materia costituzionale deve essere dichiarato inammissibile. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico della ricorrente (<ref-law>), che è tenuta a versare alle controparti private un'indennità per ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso in materia di diritto pubblico è respinto.
2. Il ricorso sussidiario in materia costituzionale è inammissibile.
3. Le spese giudiziarie di complessivi fr. 2'000.-- sono poste a carico della ricorrente, che rifonderà a B._ e C._ un'indennità complessiva di fr. 2'000.-- a titolo di ripetibili della sede federale.
4. Comunicazione ai patrocinatori delle parti, al Municipio di Brione s/Minusio, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.