Faits:
A.
Par décision du 5 juillet 2013, l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité a mis A._ au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1er mars 2010, fondée sur un degré d'invalidité de 55 %. Il a en revanche refusé de lui allouer une telle prestation pour la période antérieure, courant du mois d'octobre 2005 au mois de février 2010; la perte de gain subie par l'assurée avant une péjoration de son état de santé en janvier 2010 n'était que de 31 %, ce qui était insuffisant pour ouvrir le droit à une rente. Pour calculer ces taux, l'administration n'a pas effectué d'abattement sur le revenu d'invalide.
B.
Statuant le 21 janvier 2014 sur le recours formé par l'assurée contre cette décision, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, l'a admis et annulé la décision du 5 juillet 2013. Compte tenu d'un abattement sur le revenu d'invalide de 15 %, elle a reconnu le droit de l'intéressée à un quart de rente d'invalidité, fondé sur un taux d'invalidité de 41 % (40,53 %) du 1er octobre 2005 au 31 mars 2010, puis à un trois quarts de rente d'invalidité, fondé sur un taux d'invalidité de 62 % (61,98 %) à partir du 1er avril 2010.
C.
L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation.
A._ conclut à la confirmation du jugement cantonal, soit implicitement au rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.).
2.
Au regard des motifs et des conclusions du recours (cf. art. 107 al. 1 LTF), le litige porte sur le droit de l'intimée à un quart de rente d'invalidité du 1er octobre 2005 au 31 mars 2010 et à une rente supérieure à une demi-rente pour la période postérieure à cette date. Il s'agit singulièrement d'examiner si un abattement doit être appliqué dans le cas particulier et, le cas échéant, à quel taux. À cet égard, le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales et la jurisprudence sur l'évaluation de l'invalidité, la méthode de la comparaison des revenus et l'abattement sur le revenu d'invalide. Il suffit d'y renvoyer.
3.
3.1. En ce qui concerne le taux d'abattement, on rappellera que la mesure dans laquelle les salaires ressortant des statistiques doivent être réduits dépend de l'ensemble des circonstances personnelles et professionnelles du cas particulier (limitations liées au handicap, âge, années de service, nationalité/catégorie d'autorisation de séjour et taux d'occupation). Une déduction globale maximale de 25 % sur le salaire statistique permet de tenir compte des différents éléments qui peuvent influencer le revenu d'une activité lucrative (cf. <ref-ruling> consid. 5b/aa-cc p. 79 s.).
3.2. Le point de savoir s'il y a lieu de procéder à un abattement sur le salaire statistique en raison de circonstances particulières (liées au handicap de la personne ou d'autres facteurs) est une question de droit qui peut être examinée librement par le Tribunal fédéral; en revanche, l'étendue de l'abattement du salaire statistique dans un cas concret constitue une question typique relevant du pouvoir d'appréciation, qui est soumise à l'examen du juge de dernière instance uniquement si la juridiction cantonale a exercé son pouvoir d'appréciation de manière contraire au droit, soit a commis un excès positif ("Ermessensüberschreitung") ou négatif ("Ermessensunterschreitung") de son pouvoir d'appréciation ou a abusé ("Ermessensmissbrauch") de celui-ci (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 72; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 399), notamment en retenant des critères inappropriés, en ne tenant pas compte de circonstances pertinentes, en ne procédant pas à un examen complet des circonstances pertinentes ou en n'usant pas de critères objectifs (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 180).
Contrairement au pouvoir d'examen du Tribunal fédéral, celui de l'autorité judiciaire de première instance n'est en revanche pas limité dans ce contexte à la violation du droit (y compris l'excès ou l'abus du pouvoir d'appréciation), mais s'étend également à l'opportunité de la décision administrative ("Angemessenheitskontrolle"). En ce qui concerne l'opportunité de la décision en cause, l'examen porte sur le point de savoir si une autre solution que celle que l'autorité, dans un cas concret, a adoptée dans le cadre de son pouvoir d'appréciation et en respectant les principes généraux du droit, n'aurait pas été plus judicieuse quant à son résultat. A cet égard, le juge des assurances sociales ne peut, sans motif pertinent, substituer sa propre appréciation à celle de l'administration; il doit s'appuyer sur des circonstances de nature à faire apparaître sa propre appréciation comme la mieux appropriée (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 73; <ref-ruling> consid. 6 p. 81).
4.
4.1. En l'espèce, la juridiction cantonale a considéré qu'il convenait de procéder à un abattement sur le revenu d'invalide, plusieurs critères y relatifs étant réunis. L'intimée présentait tout d'abord un certain nombre de limitations fonctionnelles d'ordre somatique et psychique dans l'exercice d'une activité adaptée, dont la reprise était exigible à 60 % d'octobre 2005 à décembre 2009 et à 40 % à partir de janvier 2010. Ces limitations consistaient à éviter la position assise statique prolongée, la position debout en porte-à-faux et les mouvements de flexion-extension ou de rotation répétée de la colonne cervicale; pas de travail à la chaîne ni sur machine vibrante; pas de port de charges supérieur à 10 kg de manière répétée (port de charge limité entre 3 à 5 kg de façon répétitive); possibilité de changer de position deux fois par heure; présence d'un ralentissement psychomoteur, d'attaques de panique, d'un émoussement affectif et d'une diminution des ressources adaptatives. Selon les premiers juges, dans la mesure où la capacité de travail exigible avait été fixée par les médecins sans tenir compte d'une diminution de rendement, les limitations somatiques et psychiques devaient être prises en compte dans le cadre de l'abattement; celles-ci étaient de nature à rendre plus difficile l'engagement de l'assurée, qui devait se contenter d'un travail à temps partiel proportionnellement moins bien rémunéré qu'un travail à plein temps. Il convenait par ailleurs de prendre en considération l'âge de l'intimée (46 ans en 2010), qui, même s'il était éloigné de celui de la retraite, constituait un facteur pénalisant pour une assurée recherchant une activité manuelle exercée pour la première fois à cet âge-là, à temps partiel et avec les limitations décrites. En plus du passage à un taux d'occupation partiel, le critère des années de service devait encore être retenu, soit le fait que l'intimée avait travaillé en dernier lieu pour le même employeur durant pratiquement dix ans et avait exercé une seule et même activité de femme de chambre. En conséquence, l'autorité cantonale de recours a fixé à 15 % le taux d'abattement à appliquer au revenu d'invalide.
4.2. Le recourant conteste l'abattement de 15 % en reprochant aux premiers juges une appréciation arbitraire des preuves et un abus de leur pouvoir d'appréciation. En premier lieu, ils auraient arbitrairement pris en considération les limitations somatiques de l'intimée comme critère d'abattement. Celles-ci avaient déjà été prises en compte par les médecins lors de la détermination de l'étendue de la capacité de travail dans une activité adaptée. Elles étaient par ailleurs sensiblement identiques aux mesures classiques d'épargne du rachis et ne présentaient pas de spécificités telles qu'elles justifiaient une déduction du salaire d'invalide. De même, la capacité de travail résiduelle de l'assurée avait été évaluée par les médecins au regard des limitations fonctionnelles psychiques retenues par la juridiction cantonale, de sorte qu'elles n'avaient pas à être prises en considération pour l'abattement. Selon le recourant, les premiers juges ont ensuite abusé de leur pouvoir d'appréciation en retenant à titre de critère de déduction que l'assurée avait un rendement de travail réduit, alors que les médecins n'avaient pas mentionné une telle limitation. Il en allait de même en rapport avec l'âge de l'assurée, puisque 46 ans ne constituaient pas un âge déterminant comme facteur de déduction supplémentaire. Le recourant en conclut qu'en s'écartant de sa propre appréciation (taux d'abattement de 0 %), l'autorité judiciaire de première instance a substitué de manière arbitraire sa propre appréciation à la sienne, sans faire preuve de la retenue préconisée par la jurisprudence.
5.
5.1. Comme le fait valoir à juste titre le recourant, l'administration ou le juge ne saurait introduire, par le biais de la déduction sur le salaire d'invalide, une diminution de rendement de l'assuré dans le cadre de la capacité résiduelle de travail, alors que les médecins appelés à se prononcer sur celle-ci n'ont pas fait état d'une limitation du rendement de travail. À cet égard, on relèvera que les limitations d'ordre somatique dont ont fait état les premiers juges pour admettre un abattement ont justifié la limitation de la capacité de travail retenue du point de vue médical à partir du mois d'octobre 2005. Dans leur rapport du 24 février 2009, les médecins du Service médical régional AI ont indiqué que la capacité de travail pouvait être estimée à 60 %, "la diminution étant due aux difficultés des mouvements et la nécessité de changer souvent de position", le taux ainsi retenu ayant été confirmé par les médecins de la Clinique B._ (rapport du 3 mai 2011, p. 20). Pour la période courant à partir de l'année 2010, ceux-ci ont conclu à une limitation de la capacité de travail plus importante (à 40 %) en raison de l'aggravation de l'état de santé psychique survenue postérieurement au rapport du SMR, cette aggravation ayant été constatée au regard du ralentissement psychomoteur, d'un émoussement affectif et de la fixation sur les douleurs (rapport du 3 mai 2011, p. 20 sv.).
Par conséquent, en retenant que les limitations somatiques et psychiques présentées par l'intimée devaient être prises en considération dans le cadre de l'abattement, parce que les médecins n'avaient pas tenu compte d'une diminution de rendement, la juridiction cantonale a usé d'un critère inapproprié et excédé son pouvoir d'appréciation. En outre, en reprenant dans le cadre de l'abattement pour désavantage salarial les limitations constatées par les médecins et justifiant la diminution de la capacité de travail, les premiers juges n'ont pas mis en évidence d'empêchements supplémentaires qui restreindraient l'intimée dans l'exercice d'une activité adaptée et devraient, de ce fait, être pris en considération pour la déduction sur le revenu d'invalide.
5.2. En ce qui concerne ensuite le critère de l'âge retenu par l'autorité cantonale de recours pour motiver la déduction sur le revenu d'invalide, l'âge de 46 ans - en 2010 - ne peut pas être considéré comme un facteur qui obligeait l'intimée à mettre en valeur sa capacité de travail résiduelle sur le marché du travail à des conditions économiques plus défavorables que la moyenne, soit entraînait un désavantage salarial. Comme le reconnaît la juridiction cantonale, l'âge de 46 ans ne correspond de loin pas à celui ouvrant le droit à une rente de l'assurance-vieillesse et survivants, de sorte qu'on ne saurait parler d'un âge avancé déterminant. La simple affirmation que l'âge de 46 ans constitue un facteur pénalisant pour une assurée cherchant une activité manuelle pour la première fois à cet âge-là ne suffit pas à démontrer qu'il entraîne une baisse de salaire dans la catégorie d'activités visées. S'ajoute à cela le fait que les premiers juges ont retenu le critère en cause tant pour opérer une déduction sur le revenu d'invalide à partir de 2010, que pour procéder à celle-ci dès l'année 2005, où l'assurée avait 41 ans.
5.3. Dans ces circonstances, on constate que la juridiction cantonale a fixé l'abattement de 15 % en se fondant en partie sur des éléments qui ne sont pas pertinents, en l'espèce, au regard des règles de droit applicables. Dans une telle situation, dans laquelle l'autorité judiciaire inférieure a exercé son pouvoir d'appréciation de manière contraire au droit, le Tribunal fédéral doit procéder à sa propre évaluation globale d'une éventuelle déduction; il n'a pas à reprendre le taux d'abattement retenu par les premiers juges, en l'augmentant ou en le réduisant (cf. arrêt 9C_728/2009 du 21 septembre 2010 consid. 4.1.2, in SVR IV 2011 n° 31 p. 90).
À l'inverse de ce qu'a retenu la juridiction cantonale, le critère du taux partiel d'activité ne constitue pas un élément pertinent dans le cas d'espèce: dans à peu près tous les cas de figure distingués en fonction du degré d'occupation et du niveau de qualifications, les femmes exerçant une activité à temps partiel ne gagnent souvent pas, d'après les statistiques, un revenu moins élevé que les personnes travaillant à plein temps (cf. arrêt 8C_379/201 du 26 août 2011 consid. 4.2, in SVR 2012 IV n° 17 p. 78 et résumé dans RSAS 2012 p. 71). Il reste alors le critère des années de service, qui justifie tout au plus une déduction de 5 % au regard de la durée restante du parcours professionnel de l'assurée jusqu'à l'âge de la retraite, qui lui permettra d'acquérir au fil du temps une certaine expérience dans le nouveau domaine d'activités adaptées.
5.4. Pour déterminer le taux d'invalidité pour les deux périodes considérées, il convient de se fonder sur les revenus sans invalidité et d'invalide (avant l'abattement) retenus par la juridiction cantonale, qui ne sont pas contestés par les parties. Selon le jugement entrepris, le revenu d'invalide (avant l'abattement) est de 29'543 fr. en 2005 et de 21'091 fr. 20 en 2010; le revenu sans invalidité est de 42'900 fr. pour 2005 et de 47'162 fr. 50 pour 2010.
En procédant à un abattement de 5 % sur le revenu d'invalide, on obtient un taux d'invalidité de 35 % en 2005 ([42'900 - 28'065,85] x 100 / 42'900). Celui-ci est de 58 % en 2010 ([47'162,50 - 20'036,65] x 100 / 47'162,50). Il en résulte que seul le droit à une demi-rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er avril 2010 peut être reconnu à l'intimée.
En conséquence, le recours est bien fondé et le jugement entrepris doit, partant, être annulé.
6.
Vu l'issue de la procédure, l'intimée doit supporter les frais judiciaires y afférents. Même s'il obtient gain de cause, le recourant ne peut prétendre une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. La décision de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 21 janvier 2014 est annulée et la décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité du 5 juillet 2013 confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales pour nouvelle décision sur les frais de la procédure antérieure.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 juin 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : La Greffière :
Kernen Moser-Szeless