Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. M._, geboren 1947 und von 1969 bis zur Kündigung auf Ende Dezember 2001 für die Firma L._ AG arbeitend, erlitt im September 2000 eine spontane Strecksehnenruptur am rechten Daumen, welche am 20. September 2000 operativ versorgt wurde. Er meldete sich am 11. Mai 2001 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an, worauf die IV-Stelle Luzern je einen Bericht des Dr. med. A._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH, vom 5. Juni 2001 (mit Vorakten) sowie des Dr. med. G._, FMH Innere Medizin, vom 3. März 2002 (unter anderem mit Bericht des Dr. med. B._, FMH Innere Medizin und Rheumatologie, vom 23. Januar 2002) einholte. Nachdem eine berufliche Massnahme (Einarbeitung) im Januar 2002 gescheitert war, zog die Verwaltung einen Bericht der Abteilung Hand- und Plastische Chirurgie des Spitals X._ vom 21. März 2002 bei und veranlasste eine Abklärung in der Beruflichen Abklärungsstelle (BEFAS) (Bericht vom 12. Februar 2003). Mit Verfügung vom 16. Mai 2003 lehnte die IV-Stelle den Rentenanspruch ab, da leichte bis mittelschwere Tätigkeiten ganztags möglich seien und ein Invaliditätsgrad von bloss 26% vorliege. Dies wurde durch Einspracheentscheid vom 10. Dezember 2003 bestätigt; zudem wurde der Anspruch auf rechtliche Verbeiständung verneint.
A. M._, geboren 1947 und von 1969 bis zur Kündigung auf Ende Dezember 2001 für die Firma L._ AG arbeitend, erlitt im September 2000 eine spontane Strecksehnenruptur am rechten Daumen, welche am 20. September 2000 operativ versorgt wurde. Er meldete sich am 11. Mai 2001 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an, worauf die IV-Stelle Luzern je einen Bericht des Dr. med. A._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH, vom 5. Juni 2001 (mit Vorakten) sowie des Dr. med. G._, FMH Innere Medizin, vom 3. März 2002 (unter anderem mit Bericht des Dr. med. B._, FMH Innere Medizin und Rheumatologie, vom 23. Januar 2002) einholte. Nachdem eine berufliche Massnahme (Einarbeitung) im Januar 2002 gescheitert war, zog die Verwaltung einen Bericht der Abteilung Hand- und Plastische Chirurgie des Spitals X._ vom 21. März 2002 bei und veranlasste eine Abklärung in der Beruflichen Abklärungsstelle (BEFAS) (Bericht vom 12. Februar 2003). Mit Verfügung vom 16. Mai 2003 lehnte die IV-Stelle den Rentenanspruch ab, da leichte bis mittelschwere Tätigkeiten ganztags möglich seien und ein Invaliditätsgrad von bloss 26% vorliege. Dies wurde durch Einspracheentscheid vom 10. Dezember 2003 bestätigt; zudem wurde der Anspruch auf rechtliche Verbeiständung verneint.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 5. April 2004 insoweit teilweise gut, als es für das Einspracheverfahren den Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung bejahte und die Sache in diesem Umfang an die Verwaltung zurückwies; im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen. Im kantonalen Verfahren wurde ein Bericht des PD Dr. med. F._, Spezialarzt FMH für Physikalische Medizin und Rehabilitation, speziell Rheumaerkrankungen, vom 2. Februar 2004 zu den Akten genommen.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 5. April 2004 insoweit teilweise gut, als es für das Einspracheverfahren den Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung bejahte und die Sache in diesem Umfang an die Verwaltung zurückwies; im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen. Im kantonalen Verfahren wurde ein Bericht des PD Dr. med. F._, Spezialarzt FMH für Physikalische Medizin und Rehabilitation, speziell Rheumaerkrankungen, vom 2. Februar 2004 zu den Akten genommen.
C. M._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit den Anträgen, unter teilweiser Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und unter Aufhebung des Einspracheentscheides sei die Sache zur weiteren Abklärung und zu neuer Verfügung an die IV-Stelle zurückzuweisen, eventualiter sei ihm eine ganze Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Ferner lässt er die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung beantragen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D. Am 9. März 2005 führte das Eidgenössische Versicherungsgericht eine parteiöffentliche Beratung durch.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Am 1. Januar 2004 ist die 4. IVG-Revision in Kraft getreten. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Einspracheentscheides (10. Dezember 2003) eingetretenen Sachverhalt abstellt (RKUV 2001 Nr. U 419 S. 101), sind im vorliegenden Fall die bis zum 31. Dezember 2003 geltenden Bestimmungen anwendbar.
1.2 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen über den Begriff der Invalidität (<ref-law>, <ref-law>), die Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit (Art. 6 und 7 ATSG) sowie den Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 28 Abs. 1 und 1bis IVG in der bis Ende 2003 gültig gewesenen Fassung) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass bei erwerbstätigen Versicherten der Invaliditätsgrad auf Grund eines Einkommensvergleichs bestimmt wird. Dazu wird das Erwerbseinkommen, das der Versicherte nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihm zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte, in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das er erzielen könnte, wenn er nicht invalid geworden wäre (<ref-law>). Der Einkommensvergleich hat in der Regel in der Weise zu erfolgen, dass die beiden hypothetischen Erwerbseinkommen ziffernmässig möglichst genau ermittelt und einander gegenübergestellt werden, worauf sich aus der Einkommensdifferenz der Invaliditätsgrad bestimmen lässt (allgemeine Methode des Einkommensvergleichs; <ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweis).
Der Beschwerdeführer hat sich bereits im Jahr 2001 bei der Invalidenversicherung angemeldet; damit ist teilweise ein rechtserheblicher Sachverhalt zu beurteilen, der sich vor dem In-Kraft-Treten des ATSG am 1. Januar 2003 verwirklicht hat. Nach <ref-ruling> kann in intertemporalrechtlicher Hinsicht aus <ref-law> nicht etwa der Umkehrschluss gezogen werden, dass für die Anwendbarkeit materiellrechtlicher Bestimmungen des neuen Gesetzes bezüglich im Zeitpunkt seines In-Kraft-Tretens noch nicht festgesetzter Leistungen einzig der Verfügungszeitpunkt ausschlaggebend sei. Vielmehr sind - von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen - die übergangsrechtlichen Grundsätze massgebend, welche für den Fall einer Änderung der gesetzlichen Grundlagen die Ordnung anwendbar erklären, welche zur Zeit galt, als sich der zu Rechtsfolgen führende Sachverhalt verwirklicht hat. Im vorliegenden Fall ist daher bei der Bestimmung des streitigen Rentenanspruchs (zumindest für den Zeitraum bis 31. Dezember 2002) auf die damals geltenden Bestimmungen des IVG abzustellen; dies betrifft namentlich - bezüglich des Invaliditätsbegriffs - <ref-law> (in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung) und - bezüglich des Umfangs eines allfälligen Rentenanspruchs - Art. 28 Abs. 1 und 1bis IVG (aufgehoben per 1. Januar 2004) sowie - bezüglich der Invaliditätsbemessung nach der Einkommensvergleichsmethode - <ref-law> (in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung; <ref-ruling>). Für den Verfahrensausgang ist dies indessen insofern von untergeordneter Bedeutung, als die im ATSG enthaltenen Umschreibungen der Arbeitsunfähigkeit (<ref-law>), der Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), der Invalidität (<ref-law>) sowie des Einkommensvergleichs (<ref-law>) den bisherigen von der Rechtsprechung im Invalidenversicherungsbereich entwickelten Begriffen und Grundsätzen entsprechen und daher mit dem In-Kraft-Treten des ATSG keine substanzielle Änderung der früheren Rechtslage verbunden war (<ref-ruling>).
Der Beschwerdeführer hat sich bereits im Jahr 2001 bei der Invalidenversicherung angemeldet; damit ist teilweise ein rechtserheblicher Sachverhalt zu beurteilen, der sich vor dem In-Kraft-Treten des ATSG am 1. Januar 2003 verwirklicht hat. Nach <ref-ruling> kann in intertemporalrechtlicher Hinsicht aus <ref-law> nicht etwa der Umkehrschluss gezogen werden, dass für die Anwendbarkeit materiellrechtlicher Bestimmungen des neuen Gesetzes bezüglich im Zeitpunkt seines In-Kraft-Tretens noch nicht festgesetzter Leistungen einzig der Verfügungszeitpunkt ausschlaggebend sei. Vielmehr sind - von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen - die übergangsrechtlichen Grundsätze massgebend, welche für den Fall einer Änderung der gesetzlichen Grundlagen die Ordnung anwendbar erklären, welche zur Zeit galt, als sich der zu Rechtsfolgen führende Sachverhalt verwirklicht hat. Im vorliegenden Fall ist daher bei der Bestimmung des streitigen Rentenanspruchs (zumindest für den Zeitraum bis 31. Dezember 2002) auf die damals geltenden Bestimmungen des IVG abzustellen; dies betrifft namentlich - bezüglich des Invaliditätsbegriffs - <ref-law> (in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung) und - bezüglich des Umfangs eines allfälligen Rentenanspruchs - Art. 28 Abs. 1 und 1bis IVG (aufgehoben per 1. Januar 2004) sowie - bezüglich der Invaliditätsbemessung nach der Einkommensvergleichsmethode - <ref-law> (in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung; <ref-ruling>). Für den Verfahrensausgang ist dies indessen insofern von untergeordneter Bedeutung, als die im ATSG enthaltenen Umschreibungen der Arbeitsunfähigkeit (<ref-law>), der Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), der Invalidität (<ref-law>) sowie des Einkommensvergleichs (<ref-law>) den bisherigen von der Rechtsprechung im Invalidenversicherungsbereich entwickelten Begriffen und Grundsätzen entsprechen und daher mit dem In-Kraft-Treten des ATSG keine substanzielle Änderung der früheren Rechtslage verbunden war (<ref-ruling>).
2. Streitig ist der Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung und in diesem Zusammenhang allein die Frage der Arbeitsfähigkeit.
2.1 Aufgrund der vom 18. November bis zum 13. Dezember 2002 dauernden Abklärung kam die BEFAS in ihrem Bericht vom 12. Februar 2003 zum Schluss, der Beschwerdeführer könne auch aus medizinischer Sicht ganztags eine körperlich leichte bis mittelschwere Arbeit ausführen, wobei die rechte obere Extremität vermindert belastbar sei (keine repetitiv kraftfordernden Belastungen, keine hämmernden, werfenden und schleudernden Bewegungen, keine repetitiv kraftfordernden Arbeiten mit Faustschluss rechts). Weiter empfahl die BEFAS eine Untersuchung in Richtung Periarthritis humeroscapularis rechts, bemerkte jedoch ausdrücklich, dass aufgrund der klinischen Befunde und der Beobachtung daraus keine zusätzliche Arbeitsunfähigkeit resultieren könne; dies scheint der Versicherte zu übersehen, wenn er davon ausgeht, seine Arbeitsfähigkeit sei in dieser Hinsicht stark eingeschränkt. Schliesslich hielt die BEFAS fest, dass sich die Selbstlimitierung einschränkend auf die Eingliederung auswirken könne. Dies ist jedoch - entgegen der Auffassung in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde - nicht dahin zu verstehen, dass die BEFAS eine Algodystrophie ausschliesst und dem Versicherten mangelnden Willen vorwirft, sondern zielt offensichtlich auf die Lebenseinstellung des Beschwerdeführers ab, welche darin besteht zu warten, bis man ihm sagt, was er tun soll. Dies wird dadurch bestätigt, dass der Versicherte während der Abklärung zum vermehrten Einsatz der linken Hand aufgefordert werden musste und jeweils "überrascht" resp. "erstaunt" reagierte, wenn er feststellte, mit dieser Hand mehr als erwartet leisten zu können. Diese aufgrund einer konkreten Abklärung und unter medizinischer Begleitung zustande gekommene Einschätzung ist für die streitigen Belange umfassend, beruht auf allseitigen Untersuchungen, berücksichtigt die geklagten Beschwerden und ist in Kenntnis der Vorakten (d.h. des Dossiers der Invalidenversicherung) abgegeben worden; soweit medizinische Zusammenhänge sowie die medizinischen Situation beurteilt werden, ist der Bericht einleuchtend und enthält begründete Schlussfolgerungen (vgl. <ref-ruling> Erw. 3a für reine Arztberichte). Der Auffassung der BEFAS, dass eine vollständige leidensangepasste Tätigkeit möglich sei, widerspricht einzig der Hausarzt Dr. med. G._, während sich sowohl die Abteilung für Hand- und Plastische Chirurgie des Spitals X._ im Bericht vom 21. März 2002 wie auch Dr. med. B._ im Bericht vom 23. Januar 2002 nicht zur Arbeitsfähigkeit äussern. Dr. med. G._ geht im Bericht vom 3. März 2002 von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit aus, welche er mit einer Algodystrophie begründet, die aufgrund der positiven Szintigraphie nachgewiesen sei. Der Rheumatologe Dr. med. B._, der die Szintigraphien veranlasst hatte, fand im Januar 2002 jedoch keine "Hinweise für ein entzündliches, arthropathisches oder spondarthropathisches rheumatologisches Leiden" und hielt explizit fest, dass die Trophik intakt sei und sich keine Hinweise für eine Reflexdystrophie fänden. Damit spricht die Auffassung des Hausarztes Dr. med. G._ nicht gegen die Zuverlässigkeit der Einschätzung der BEFAS, welche überdies auf einer praktischen Abklärung beruht (vgl. <ref-ruling> Erw. 3b/bb).
2.2 Im vorinstanzlichen Verfahren hat der Versicherte einen Bericht des PD Dr. med. F._ vom 2. Februar 2004 eingereicht, in welchem der Arzt davon ausgeht, dass an der rechten Hand Residuen einer Algodystrophie bestünden und diese funktionell nicht zu gebrauchen sei; weiter liege eine Periarthropathie der rechten Schulter sowie ein Zervikovertebralsyndrom vor. Obwohl die Untersuchung durch PD Dr. med. F._ am 19. Januar 2004 und damit gut einen Monat nach Erlass des Einspracheentscheides stattgefunden hat, ist der Bericht im vorliegenden Fall zu beachten: Da keinerlei Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sich die medizinische Situation seit Mitte Dezember 2003 stark verändert hätte, ist davon auszugehen, dass der Sachverhalt Mitte Januar 2004 höchstens unwesentlich vom für das vorliegende Verfahren massgebenden Sachverhalt (RKUV 2001 Nr. U 419 S. 101) bis Mitte Dezember 2003 abweicht.
PD Dr. med. F._ verfügte jedoch über keinerlei Vorakten (insbesondere nicht über den Bericht der BEFAS); so geht der Arzt z.B. davon aus, dass dem Versicherten nie Miacalcic verordnet worden ist, obwohl Dr. med. G._ (welcher den Beschwerdeführer an PD Dr. med. F._ überwiesen hatte) dieses Medikament bereits verschrieben hatte. Damit musste sich der Arzt allein auf die (naturgemäss medizinisch nicht fundierten und/oder ungenauen) Aussagen des Beschwerdeführers abstützen und konnte sich seine Meinung nicht anhand der Krankengeschichte bilden. Weiter legt PD Dr. med. F._ seiner Einschätzung die Annahme zugrunde, der Versicherte könne - da er jahrzehntelang die gleiche Arbeit verrichtet habe - nur körperlich schwerere Arbeiten durchführen, was offensichtlich eine Berücksichtigung invaliditätsfremder Gesichtspunkte darstellt und letztlich zu einer Beurteilung der Erwerbsfähigkeit führt, was aber Aufgabe der Verwaltung resp. im Streitfall des Gerichtes ist und nicht in die Kompetenz des Arztes fällt (<ref-ruling> Erw. 4). Weil die Schlussfolgerungen und Einschätzungen auf keiner sicheren Basis beruhen und zudem invaliditätsfremde Gesichtspunkte berücksichtigen, kann der Bericht des PD Dr. med. F._ die volle Beweiskraft des Abklärungsberichtes der BEFAS von Februar 2003 nicht in Frage stellen (vgl. <ref-ruling> Erw. 3b/bb). In dieser Hinsicht ist sodann zu berücksichtigen, dass sich die Meinung der BEFAS nebst vollständiger Aktenkenntnis auf einen zwanzigtägigen Abklärungs- resp. Beobachtungsaufenthalt stützt (anlässlich dessen der Versicherte z.B. an der Gravurmaschine unter Einsatz beider Hände gute Leistungen erbrachte), und dass die BEFAS auch konkrete Tätigkeiten nennen konnte, welche dem Beschwerdeführer aus medizinischer Hinsicht zumutbar sind.
Damit ist für die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit auf den Bericht der BEFAS vom 12. Februar 2003 abzustellen und von einer vollständigen Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit auszugehen.
2.3 Nicht zu beanstanden ist, dass die Vorinstanz das Einkommen ohne Invalidität (Valideneinkommen) anhand des im angestammten Beruf erzielten Lohnes festgesetzt hat. Zu Recht ist im Weiteren das Einkommen nach Eintritt des Gesundheitsschadens (Invalideneinkommen) anhand der (der Lohnentwicklung angepassten) Tabellenlöhne der vom Bundesamt für Statistik herausgegebenen Schweizerischen Lohnstrukturerhebung bestimmt worden. Diese Einkommen sind denn auch nicht bestritten. Auch unter Berücksichtigung des maximal zulässigen behinderungsbedingten Abzuges von 25% (<ref-ruling> Erw. 5b/cc) resultiert somit ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad von 34%, so dass die effektive Höhe des behinderungsbedingten Abzuges letztlich offen bleiben kann.
2.3 Nicht zu beanstanden ist, dass die Vorinstanz das Einkommen ohne Invalidität (Valideneinkommen) anhand des im angestammten Beruf erzielten Lohnes festgesetzt hat. Zu Recht ist im Weiteren das Einkommen nach Eintritt des Gesundheitsschadens (Invalideneinkommen) anhand der (der Lohnentwicklung angepassten) Tabellenlöhne der vom Bundesamt für Statistik herausgegebenen Schweizerischen Lohnstrukturerhebung bestimmt worden. Diese Einkommen sind denn auch nicht bestritten. Auch unter Berücksichtigung des maximal zulässigen behinderungsbedingten Abzuges von 25% (<ref-ruling> Erw. 5b/cc) resultiert somit ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad von 34%, so dass die effektive Höhe des behinderungsbedingten Abzuges letztlich offen bleiben kann.
3. Da es um Versicherungsleistungen geht, sind gemäss Art. 134 OG keine Gerichtskosten zu erheben. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten ist deshalb gegenstandslos.
Die unentgeltliche Verbeiständung kann gewährt werden (Art. 152 OG in Verbindung mit Art. 135 OG), da die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung gebot war (<ref-ruling> Erw. 4a und 372 Erw. 5b, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 152 Abs. 3 OG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Rechtsanwalt Eric Schuler, Luzern, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Rechtsanwalt Eric Schuler, Luzern, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, der Ausgleichskasse Baumeister, Zürich, und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 9. März 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: