Faits:
A.
X._, maître-boucher indépendant, a exploité, sous la forme d'une raison individuelle, la Boucherie X._, à .... Celle-ci a été transformée en société à responsabilité limitée en juin 2006.
A partir du 1er janvier 1990, X._ a mandaté Z._ SA, succursale de ... (ci-après: la fiduciaire), pour qu'elle s'occupe de la comptabilité et de l'établissement de ses déclarations d'impôt. Depuis 1999, l'activité de la fiduciaire a consisté à entreprendre le bouclement annuel et à établir la déclaration fiscale.
Les 5 et 6 avril 2005, l'Office d'impôt du District de Vevey a procédé à un contrôle fiscal périodique dans les locaux professionnels de X._, vérifiant à cette occasion ses bilans et ses comptes d'exploitation.
Le 17 mai 2005, cet office a informé X._ que plusieurs irrégularités avaient été constatées dans la comptabilité.
Le 30 juin 2005, l'Administration cantonale des impôts (ci-après: l'ACI) a adressé au contribuable, avec copie à la fiduciaire, un avis d'ouverture d'une procédure pour soustraction d'impôt portant sur la déclaration d'impôt 2003 et celles des années antérieures.
Par courrier du 26 mai 2006, l'ACI a informé X._ - avec copie à sa fiduciaire - que ses investigations avaient permis d'établir qu'il n'avait pas comptabilisé l'intégralité de ses recettes et qu'il avait grevé son compte de résultat de charges non admises par l'usage commercial ou apparaissant contraires au droit fiscal. Elle lui a alors soumis une proposition de rectification de taxation par procédure simplifiée portant sur les déclarations d'impôts 2001, 2002 et 2003. Outre les modifications des déclarations d'impôt résultant de la reprise fiscale, ce courrier précisait ce qui suit:
" (...) Nous attirons votre attention sur le fait que la présente proposition comprend une majoration des éléments rectifiés en lieu et place des amendes qui devraient être formellement prononcées. Si vous l'acceptez, la procédure d'enquête pour soustraction d'impôt sera clôturée par la présente décision de majoration laquelle vaut décision de sanction.
Pour la bonne règle, vous voudrez bien, en cas d'accord, nous retourner le double des présentes, ci-joint, dûment daté et signé (...). "
A la suite de cette proposition, la fiduciaire a interpellé l'ACI le 19 juin 2006, lui demandant de réintégrer un montant pour débiteurs plus important que celui apparaissant dans les comptes de X._.
En réponse, l'ACI a adressé à ce dernier le 15 décembre 2006, une nouvelle proposition de rectification de taxation par procédure simplifiée tenant compte de l'erreur commise dans son précédent courrier. Le total général des compléments d'impôts cantonaux et fédéraux 2001-2003, y compris la majoration, dû par X._ a ainsi été arrêté à 271'112 fr. 30. Il ressort par ailleurs des décomptes détaillés de reprise joints à cette proposition que la majoration prononcée en lieu et place d'une amende a été fixée à 0,5 fois les éléments soustraits.
X._ a accepté cette proposition de règlement et, le 5 mars 2007, il a adressé un courrier de réclamation à sa fiduciaire, lui réclamant le montant de 271'112 fr. 30, la tenant pour seule responsable de la soustraction d'impôt.
La fiduciaire a transmis la réclamation à son assurance responsabilité civile qui, le 21 mai 2007, a indiqué à X._ qu'elle refusait d'entrer en matière sur la demande d'indemnisation aux motifs qu'il ne subissait aucun préjudice puisqu'il devait finalement s'acquitter d'un impôt dû et que son assurée n'avait commis aucune faute dans le cadre de son activité.
Un échange de correspondance s'en est suivi entre le conseil de X._ et celui de la fiduciaire, sans qu'aucune solution transactionnelle ne puisse être trouvée.
X._ a mandaté la société A._ SA pour déterminer le montant des majorations effectuées par l'ACI en lieu et place du prononcé d'une amende. Selon les calculs effectués par cette société, le total des majorations s'élève à 74'230 fr. 60.
Suite aux renseignements fournis par l'autorité fiscale, la Caisse AVS de la Fédération patronale vaudoise (ci-après: la caisse AVS) a entrepris un réajustement de la cotisation personnelle de X._ et réclamé à celui-ci un montant de 5'261 fr. 80 à titre d'intérêts moratoires.
Diverses factures établies par la fiduciaire n'ont pas été acquittées par X._.
B.
Par demande du 2 mai 2008 (dont les conclusions ont été amplifiées le 17 novembre 2008) adressée au Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte, X._ a conclu à ce que la fiduciaire soit condamnée à lui payer la somme de 90'261 fr.80 correspondant au montant de 85'000 fr. (comprenant 74'230 fr.60 dus à titre de majoration fiscale, ainsi que d'autres postes secondaires qui ne sont plus discutés dans la procédure fédérale), plus 5'261 fr.80 (intérêts moratoires dus à la caisse AVS).
La défenderesse a conclu au rejet de la demande et, reconventionnellement, à ce que X._ soit condamné à lui verser divers montants correspondants à des factures encore ouvertes.
L'expert mandaté en cours d'instance a relevé que, selon les règles de l'art, diverses réserves n'auraient pas dû être constituées et que le risque de reprise fiscale en présence de telles réserves était élevé. L'expert a indiqué ne pas être en mesure de déterminer si l'attention de X._ avait été suffisamment attirée sur les conséquences et les risques inhérents à l'existence des réserves latentes et si c'était à la suite d'un conseil de sa fiduciaire qu'il avait accepté la procédure simplifiée de l'ACI.
Des témoins ont été entendus lors de l'instruction.
Par jugement du 3 février 2012, le Tribunal civil a condamné la défenderesse à verser au demandeur la somme de 74'230 fr. 60, plus la somme de 5'261 fr. 80 (ch. I du dispositif), sous déduction de deux montants (6'777 fr.60 et 1'335 fr.60) correspondant aux honoraires de la fiduciaire.
La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 10 juin 2013, a admis l'appel formé par la fiduciaire et, réformant le jugement de première instance (ch. I de son dispositif), rejeté la demande de X._. En substance, la cour cantonale a retenu que la majoration fiscale affligée au contribuable valait explicitement décision de sanction et qu'elle présupposait une faute de sa part, à tout le moins sous la forme d'une négligence. Elle en a conclu qu'en raison du caractère strictement personnel de l'amende prononcée, toute indemnisation (versée par un tiers) au contribuable était exclue.
C.
X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 10 juin 2013. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à son admission et à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que la fiduciaire lui doit le montant de 74'230 fr. 60, plus la somme de 5'261 fr. 80, sous déduction des montants correspondant aux honoraires de la fiduciaire, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente.
L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens.

Considérant en droit:
1.
1.1. Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement (<ref-law>) et dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse dépasse le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc également être formé pour violation d'un droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 317 s.; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400).
Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
En l'espèce, la cour cantonale a réformé le jugement de première instance (ch. I du dispositif) en ce sens qu'il a prononcé le rejet de la demande (cf. supra let. B). Dans les conclusions prises devant la Cour de céans, le recourant requiert le paiement de 74'230 fr.60, ainsi que la somme de 5'261 fr.80, déduction faite des montants obtenus reconventionnellement par l'intimée (6'777 fr.60 et 1'335 fr.60). Si le recourant fournit une motivation respectant l'exigence de l'<ref-law> en rapport avec la majoration fiscale, tel n'est pas le cas s'agissant du montant de 5'261 fr.80. Bien qu'il mentionne celui-ci, il ne fournit aucune motivation permettant de comprendre en quoi l'arrêt attaqué violerait le droit en lien avec cette somme. La partie de la conclusion du recourant y relative est dès lors irrecevable.
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
Le recourant, dans le deuxième chapitre de son mémoire (p. 3 à 9), fournit une présentation des faits, sans toutefois prétendre qu'un point de fait aurait été établi de manière arbitraire par la cour cantonale. Il n'y a donc pas lieu de s'écarter de l'état de fait dressé par la cour cantonale.
2.
2.1. Le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., plus précisément de son droit d'obtenir une décision motivée. Vu la nature formelle du droit d'être entendu, dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (<ref-ruling> consid. 3d/aa p. 437), il convient d'examiner en priorité (<ref-ruling> consid. 1 p. 50) et avec une libre cognition (<ref-ruling> consid. 2a p. 57) le moyen relatif à ce droit.
La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu consacré par l'art. 29 al. 2 Cst. l'obligation pour le juge de motiver ses décisions. L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais elle peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, lui paraissent pertinents (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 88). Savoir si la motivation présentée est convaincante est une question distincte de celle du droit à une décision motivée. Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision du juge, le droit à une décision motivée est respecté (cf. <ref-ruling> consid. 2c p. 103).
En l'espèce, la cour cantonale a pris position sur l'argumentation du recourant en expliquant que l'amende fiscale, qui trouve son fondement dans la faute commise par le contribuable, revêt un caractère strictement personnel et que celui-ci ne peut être indemnisé par un tiers à cet égard. Elle a également laissé entendre que les exceptions à ce principe, envisagées par certains auteurs et mentionnées dans l'<ref-ruling> à titre d' obiter dictum, n'entrent pas en ligne de compte en l'espèce, rappelant en particulier que l'amende fiscale " causale " (c'est-à-dire sans faute de l'auteur) a été exclue par le Tribunal fédéral.
Certes succincte, la motivation de la décision attaquée permet néanmoins de comprendre pour quelle raison la cour cantonale ne s'est pas écartée de la jurisprudence du Tribunal fédéral et il ne saurait être question de violation du droit d'être entendu, autre étant la question de savoir si la motivation présentée est erronée (cf. infra consid. 2.2 à 2.4).
2.2. L'amende prononcée en cas de soustraction consommée (<ref-law>, <ref-law>, art. 242 de la loi vaudoise du 4 juillet 2000 sur les impôts directs cantonaux [LI/VD; RSV 642.11]) est, comme chaque peine, de nature strictement personnelle (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 64; <ref-ruling> consid. 2e p. 317). Il en découle qu'un contrat par lequel un tiers s'engagerait à payer tout ou partie de l'amende serait illicite au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4 p. 76 ss).
Il n'est pas non plus compatible avec le caractère strictement personnel de l'amende que le condamné obtienne, pour la diminution du patrimoine qu'il subit, des dommages-intérêts d'un tiers pour cause de violation du contrat (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 65; <ref-ruling> consid. 3b p. 75).
2.3. En l'occurrence, le recourant tente précisément d'obtenir des dommages-intérêts d'un tiers (sa fiduciaire), pour compenser la diminution de son patrimoine résultant du paiement de la somme de 74'230 fr.60. Il ne remet cependant pas en cause la jurisprudence du Tribunal fédéral, mais considère qu'elle ne lui est pas applicable, le montant mis à sa charge n'étant, selon lui, pas une amende mais une " simple " majoration fiscale. Celle-ci, contrairement à l'amende, ne revêtirait pas de caractère strictement personnel. Il en veut pour preuve que la majoration passerait, en cas de décès, à ses héritiers.
L'argumentation ne convainc pas. En l'espèce, la discussion ne porte pas sur la procédure de rappel d'impôts dont le recourant a également fait l'objet (cf. <ref-law>, <ref-law>, art. 207 LI/VD; sur la notion: HUGO CASANOVA, in Commentaire romand, Impôt fédéral direct, 2008, no 1 ad <ref-law>), mais sur la procédure pour soustraction d'impôt menée contre lui par l'ACI (<ref-law>, <ref-law>, art. 242 LI/VD).
Dans ce contexte, l'ACI a fait parvenir au contribuable une proposition comprenant une majoration des éléments rectifiés (soit du montant soustrait à l'impôt) " en lieu et place des amendes qui devraient être formellement prononcées ", précisant que si la proposition est acceptée, la " procédure d'enquête pour soustraction d'impôt sera clôturée par la [...] décision de majoration laquelle vaut décision de sanction ".
Il n'est ainsi pas douteux que la majoration n'a pas une " simple " fonction compensatoire (sur cette notion: DIANE MONTI, Les contraventions fiscales en droit fiscal harmonisé, thèse Lausanne 2001, p. 5 ss et 16). Calculée conformément aux règles fixant la quotité de l'amende pour soustraction d'impôt (<ref-law>, <ref-law>, art. 242 al. 2 LI/VD), la majoration consiste en une véritable peine réprimant l'infraction réalisée et elle équivaut à l'amende (cf. arrêt 2P.215/2002 du 7 avril 2003 let. C).
Il n'importe à cet égard que la majoration ait été fixée dans le cadre d'une " procédure simplifiée ". Celle-ci vise seulement à tenir compte de la bonne collaboration du contribuable et elle lui permet d'éviter une procédure formelle plus lourde et coûteuse; elle ne saurait changer quoi que ce soit à la responsabilité civile du tiers. A l'égard de la procédure simplifiée, le recourant ne tente pas de soutenir qu'elle ne lui aurait pas permis de bénéficier des garanties prévues par l'art. 6 CEDH qui s'appliquent à la procédure pour soustraction d'impôt (ATF <ref-ruling> consid. 2f p. 317 s.). Il n'y a donc pas lieu d'examiner cette question (cf. supra consid. 1.2).
La majoration fiscale prononcée par l'ACI équivalant à une amende, son sort ne peut être différent, en cas de décès de l'auteur de l'infraction. Les héritiers d'un contribuable ne répondent pas de l'amende (majoration) résultant d'une faute commise par le contribuable (cf. art. 1 et 2 de la loi fédérale du 8 octobre 2004 sur la suppression de la responsabilité des héritiers pour les amendes fiscales [RO 2005 1051]). Partant, l'argument que tente de fournir la recourante à cet égard tombe à faux.
2.4. Revenant sur les exceptions envisagées par certains auteurs (que le Tribunal fédéral, dans l'<ref-ruling> ne fait qu'exposer à titre d' obiter dictum ), le recourant tente ensuite de démontrer, dans une première hypothèse, que son conseiller fiscal, par son comportement fautif, l'a privé de la faculté de se dénoncer spontanément et d'obtenir une réduction de l'amende. Dans une deuxième hypothèse, il soutient qu'il a commis un délit fiscal, sans aucune faute personnelle, parce qu'il n'a pas été correctement informé par son conseiller. Dans les deux cas de figure, il estime qu'il peut ainsi obtenir une indemnisation auprès de l'intimée.
2.4.1. Le recourant se borne à évoquer la première hypothèse (recours p. 15), sans toutefois soutenir que celle-ci devrait être envisagée en l'espèce.
Savoir qu'elle a été le comportement de l'intimée et si celui-ci a eu pour effet de priver le contribuable de la faculté de se dénoncer spontanément est une question de fait, et non de droit. Il appartenait au recourant d'apporter les preuves que, s'il avait bénéficié d'une information correcte, il aurait utilisé la possibilité de la dénonciation spontanée ( BENZ/HUG, Steuerbussen sind höchstpersönlicher Natur und stellen keinen zivilrechtlich ersatzfähigen Schaden dar, Zeitschrift für Schweizerisches und Internationales Steuerrecht, Best Case no 3, 2008, chap. 3.2). Ce point de fait n'a pas été établi par la cour précédente (cf. arrêt entrepris consid. 3c p. 16). Le recourant ne prétend pas avoir - en temps utile et selon les règles du droit cantonal de procédure - allégué et offert les preuves correspondantes. Il n'est donc pas possible d'entrer en matière sur un argument, énoncé de façon théorique par la recourante, qui repose sur un point de fait dont on ne trouve aucune trace dans les constatations cantonales qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>).
2.4.2. S'agissant de la deuxième hypothèse évoquée par le recourant, elle ne peut être suivie, la prémisse sur laquelle celui-ci se fonde (absence de faute du contribuable) devant être écartée.
Il est aujourd'hui de jurisprudence que les amendes fiscales sont de véritables peines (cf. supra consid. 2.2). Il en résulte que l'exigence d'une faute personnelle vaut aussi pour les peines fiscales (<ref-ruling> consid. 2.3.5 p. 66; cf. ROMAN SIEBER, in Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht I/2b, Zweifel/Athanas [éd.], 2000, nos 39 s. ad <ref-law>). En l'espèce, dans la mesure où une sanction pénale ne peut être infligée qu'en présence d'une faute (personnelle) du contribuable, conformément aux <ref-law> et 55 ss LHID (cf. BENZ/HUG, op. cit., ch. 3.3), la cour cantonale a admis a juste titre que le recourant a bien commis une faute, à tout le moins sous la forme d'une négligence. L'autorité fiscale a d'ailleurs tenu compte de la légèreté de cette faute puisqu'elle a réduit de moitié le montant de l'amende par rapport à celui qui doit " en règle générale " être fixé en vertu des règles fiscales applicables (<ref-law>, <ref-law>, art. 242 al. 2 LI/VD).
La règle prévue à l'<ref-law>, selon laquelle le juge civil, pour se prononcer sur l'appréciation de la faute et la fixation du dommage, n'est pas lié par un jugement pénal intervenu auparavant, se réfère aux conditions de la responsabilité (cf. <ref-law>), mais elle n'englobe pas les sanctions (pénales) de nature strictement personnelle déjà prononcées par le juge pénal (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 67). Autrement dit, il n'incombe pas au droit privé d'examiner à nouveau l'existence d'une faute personnelle du contribuable et, le cas échéant, de " corriger " le résultat auquel est parvenue l'autorité fiscale au terme de la procédure pénale pour soustraction d'impôt (cf. THOMAS KOLLER, Strafsteuern, Bussen und Geldstrafen als Privatrechtlich nicht ersatzfähiger Schaden, commentaire de l'<ref-ruling>, PJA 10/2008 p. 1305).
La cour cantonale n'a dès lors pas violé le droit fédéral en considérant qu'en l'état de la jurisprudence le mandant (recourant) ne peut obtenir réparation, auprès de son mandataire (intimée), pour la diminution de son patrimoine consécutive au paiement d'une amende fiscale.
3.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours en matière civile doit être rejeté, sans qu'il y ait lieu d'examiner les conditions de la responsabilité (<ref-law>) découlant du contrat de mandat conclu entre les parties (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 67).
Les frais et les dépens sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 CO).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 6 février 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Piaget