Sachverhalt:
A. Das Schweizer Fernsehen strahlte am 6. Februar 2007 in der Sendung "Kassensturz" einen Beitrag über Schönheitschirurgen aus. Dieser sollte - gleich wie ein früherer Beitrag vom 19. Dezember 2006 und ein späterer vom 13. Februar 2007 - die Zuschauer auf fragwürdige Praktiken aufmerksam machen. Insbesondere sollte belegt werden, dass der bekannte Schönheitschirurg Dr. med. R._ bereit sei, selbst bei einer Frau mit perfekten Körpermassen eine Brustvergrösserung vorzunehmen. Um dies nachzuweisen, suchte die 19-jährige M._, damals Miss Z._, zusammen mit einer Fernsehjournalistin die Praxis von R._ auf. Letztere filmte in der Arztpraxis mit versteckter Kamera. In der Sendung vom 6. Februar 2007 wurden Ausschnitte der dabei aufgenommenen Bilder ausgestrahlt. Diese zeigten unter anderem den nicht anonymisierten Arzt bei der Untersuchung von M._ und bei einem Gespräch mit ihr.
B. A._ beanstandete die erwähnte Sendung bei der zuständigen Ombudsstelle. Nachdem diese am 4. April 2007 einen Schlussbericht ausgefertigt hatte, erhob A._ am 2. Mai 2007 Beschwerde bei der Unabhängigen Beschwerdeinstanz für Radio und Fernsehen (UBI). Er kritisierte, dass der Beitrag vom 6. Februar 2007 durch illegale Filmaufnahmen und unzureichende Recherchierarbeit zustande gekommen sei.
Die UBI hiess die Beschwerde am 31. August 2007 gut und stellte fest, dass der erwähnte Beitrag die Programmbestimmungen verletze. Weiter forderte sie die Schweizerische Radio- und Fernsehgesellschaft auf, sie innert 60 Tagen über die getroffenen Vorkehrungen zu unterrichten, um den Mangel zu beheben und in Zukunft gleiche oder ähnliche Rechtsverletzungen zu vermeiden.
C. Die Schweizerische Radio- und Fernsehgesellschaft (SRG) beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 30. Januar 2008, den Entscheid der UBI vom 31. August 2007 aufzuheben und festzustellen, dass der Beitrag vom 6. Februar 2007 in der Sendung "Kassensturz" über Schönheitschirurgen die Programmrechtsbestimmungen nicht verletze.
D. A._ und die UBI stellen den Antrag, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1. Das Bundesgesetz vom 24. März 2006 über Radio und Fernsehen (RTVG; SR 784.40) ist am 1. April 2007 in Kraft getreten. Noch vor diesem Datum wurde der beanstandete Beitrag ausgestrahlt und das aufsichtsrechtliche Verfahren bei der Ombudsstelle eingeleitet, so dass sich die materielle Beurteilung gemäss Art. 113 Abs. 2 RTVG nach den Vorschriften des alten gleichnamigen Bundesgesetzes vom 21. Juni 1991 (aRTVG; AS 1992 601) richtet. Hingegen ist bereits das neue Verfahrensrecht anzuwenden, da das Verfahren am 1. April 2007 noch hängig war (Art. 113 Abs. 1 RTVG).
2. Entscheide der UBI über den Inhalt redaktioneller Sendungen können unmittelbar mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht angefochten werden (Art. 99 RTVG, Art. 86 Abs. 1 lit. c BGG). Die SRG als Veranstalterin des beanstandeten Fernsehbeitrags ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 255). Die Eingabe erfüllt auch die Frist- und Formerfordernisse (Art. 42 und 100 BGG), so dass auf sie einzutreten ist.
3. Die UBI hat geprüft, ob der streitige Beitrag das Sachgerechtigkeitsgebot (dazu allgemein <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 6 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 256 mit Hinweisen) verletzt. Sie verneint dies. Aufgrund der vermittelten Informationen habe sich das Publikum ein eigenes Bild über die Relevanz der gegen R._ erhobenen Vorwürfe machen können.
Hingegen ist die UBI der Auffassung, die SRG habe in gravierender Weise in die Privatsphäre des Schönheitschirurgen eingegriffen. Da keine sachliche Notwendigkeit bzw. keine Rechtfertigung bestanden habe, die mit versteckter Kamera aufgenommenen und nicht anonymisierten Bilder ohne Einwilligung des Chirurgen auszustrahlen, verletze die beanstandete Sendung den "rundfunkrechtlichen Persönlichkeitsschutz". Deshalb hat die UBI die Beschwerde von A._ gutgeheissen.
4. Das Bundesgericht wendet das Recht - unter Vorbehalt von Art. 106 Abs. 2 BGG - von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist weder an die in der Beschwerde vorgetragene Begründung der Rechtsbegehren noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 152).
5. Ob und inwieweit der Veranstalter einer Radio- oder Fernsehsendung auch die Grundrechte als Programmrechtsbestimmungen beachten muss, ist eine Frage der materiellen Beurteilung, die gemäss Art. 113 RTVG nach altem Recht vorzunehmen ist (siehe E. 1 hievor). Die UBI ist in ihrem Entscheid denn auch davon ausgegangen, dass sich ihre Prüfungsbefugnis noch nach dem Bundesgesetz vom 21. Juni 1991 über Radio und Fernsehen richtet.
6. 6.1 Nach Art. 58 Abs. 2 aRTVG beurteilt die UBI Beschwerden gegen ausgestrahlte Radio- und Fernsehsendungen schweizerischer Veranstalter. Gemäss Art. 62 Abs. 2 aRTVG muss die Beschwerde mit kurzer Begründung angeben, wodurch Programmbestimmungen des Bundesgesetzes über Radio und Fernsehen, seiner Ausführungsbestimmungen oder der Konzession verletzt worden sind. Die UBI stellt anschliessend fest, ob eine Verletzung der erwähnten Programmbestimmungen oder derjenigen einschlägiger internationaler Übereinkommen gegeben ist (Art. 65 Abs. 1 aRTVG).
6.2 Gemäss ständiger Rechtsprechung bildet Gegenstand dieses Aufsichtsverfahrens ausschliesslich die Einhaltung rundfunkrechtlicher Regeln. Für angebliche Verletzungen anderer Normen (z.B. Strafrecht, Persönlichkeitsrecht, unlauterer Wettbewerb usw.) bleiben die ordentlichen (Zivil- und Straf-)Gerichte zuständig. Die Programmaufsicht dient dem Schutz der unverfälschten Willens- und Meinungsbildung der Öffentlichkeit und nicht in erster Linie der Durchsetzung privater Anliegen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 296 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 475 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 362 f., je mit Hinweisen). Die Veranstalter haben zwar auch die Grundrechte und namentlich die Menschenwürde zu beachten (vgl. Botschaft vom 18. Dezember 2002 zur Totalrevision des Bundesgesetzes über Radio und Fernsehen, in BBl 2003 S. 1668 Ziff. 2.1.2.1.2; Art. 4 Abs. 1 RTVG sowie nachfolgende E. 6.6). Diese gehören aber nur insoweit zu den rundfunkrechtlichen Regeln, deren Einhaltung von der UBI überprüft werden kann, als es sich um programmrelevante, objektive Schutzziele handelt, wie zum Beispiel der Religionsfrieden, die Vermeidung von Rassenhass, der Jugendschutz; dementsprechend sind gemäss Art. 6 Abs. 1 aRTVG etwa Sendungen unzulässig, welche die öffentliche Sittlichkeit gefährden oder in denen Gewalt verharmlost oder verherrlicht wird.
6.3 In dieser Richtung hatte sich im Wesentlichen bereits der Bundesrat in seiner Botschaft vom 28. September 1987 zum Bundesgesetz über Radio und Fernsehen geäussert. Demnach war das Verfahren vor der UBI nicht als Rechtsschutz für Einzelne gedacht, sondern zur Überprüfung von Sendungen im Interesse der Öffentlichkeit und ihrer ungehinderten Willensbildung als wichtiges Element der Demokratie (BBl 1987 III 689, insbes. S. 708 Ziff. 126).
Dies wollte das Parlament verdeutlichen, als es dem Gesetzesentwurf des Bundesrates auf Vorschlag von Ständerat Rhinow unter anderem die Regelung des Art. 64 Abs. 3 aRTVG hinzufügte (vgl. im neuen Recht die entsprechende Regelung in Art. 96 Abs. 3 RTVG). Dieser Bestimmung zufolge kann die UBI die Behandlung einer Beschwerde ablehnen oder sistieren, soweit zivil- oder strafrechtliche Rechtsbehelfe offenstehen oder unbenützt geblieben sind. Die Kann-Formulierung dieser Bestimmung ist nicht im Sinne einer Kompetenzerweiterung der UBI zu verstehen. Sie wurde vielmehr nur gewählt, weil es Fälle geben kann, in denen verschiedene Aspekte derart nahe beieinander liegen, dass eine Kompetenzattraktion nötig wird; das soll aber die Ausnahme bleiben. Die UBI soll demnach keine umfassende Rechtspflegeinstanz sein, die alle möglichen Rügen und Rechtsverletzungen prüft. Wenn es in erster Linie um Persönlichkeitsverletzungen geht, soll sie nicht entscheiden. Eine Doppelspurigkeit verschiedener Instanzen in Bezug auf gleiche Rügen ist zu vermeiden (vgl. Begründung des Antrags des Ständerats Rhinow in AB 1990 S 615 und 616).
Auch im Zusammenhang mit anderen Bestimmungen hat das Parlament erklärt, dass das Tätigkeitsfeld der UBI einzugrenzen sei und diese demnach im Kompetenzbereich der Straf- und Zivilgerichte keine Entscheide treffen solle (vgl. Voten der Nationalräte David, Zölch, Uchtenhagen, Frey und von Bundesrat Ogi in AB 1989 N 1676 f.).
6.4 Ein Bedürfnis zu einer Ausweitung der Zuständigkeit der UBI auf den individualrechtlichen Persönlichkeitsschutz besteht nicht, da dieser durch die Zivil- und Strafinstanzen genügend gewährleistet wird (ähnlich Peter Nobel/Rolf H. Weber, Medienrecht, 3. Aufl. 2007, N. 184 zum 8. Kapitel, S. 458). Eine derartige Kompetenzerweiterung der UBI stünde zudem im Widerspruch zum eigentlichen Sinn und Zweck der rundfunkrechtlichen Aufsicht, welche in erster Linie im Interesse der Allgemeinheit ausgeübt wird.
6.5 Diese Lösung steht auch im Einklang mit Art. 93 Abs. 5 BV, wonach "Programmbeschwerden" einer unabhängigen Beschwerdeinstanz vorgelegt werden können. Diese Verfassungsbestimmung verlangt nicht, dass der Individualrechtsschutz im Zusammenhang mit Radio- und Fernsehsendungen von einer solchen Instanz gewährleistet wird (vgl. Jean-François Aubert, in: Aubert/Mahon [Hrsg.], Petit commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse, 2003, N. 23 zu Art. 93).
6.6 Etwas anderes ergibt sich auch nicht aus dem für die Schweiz seit dem 1. Mai 1993 verbindlichen Europäischen Übereinkommen vom 5. Mai 1989 über das grenzüberschreitende Fernsehen (EÜGF; SR 0.784.405). Zwar müssen nach Art. 7 Ziff. 1 EÜGF alle - grenzüberschreitend ausgestrahlten - Sendungen eines Programms im Hinblick auf ihre Aufmachung und ihren Inhalt "die Menschenwürde und die Grundrechte anderer" achten; insbesondere dürfen sie nicht unsittlich sein und namentlich keine Pornographie enthalten (lit. a) sowie Gewalt nicht unangemessen herausstellen und nicht geeignet sein, zum Rassenhass aufzustacheln (lit. b). Das schliesst aber nicht aus, dass individuelle Persönlichkeitsverletzungen nur vor den ordentlichen Gerichten geltend gemacht werden können. Das Abkommen verlangt hiefür kein spezielles Verfahren vor der UBI oder einer vergleichbaren Instanz.
6.7 Im Übrigen handelt es sich beim hier angerufenen Persönlichkeitsrecht des Arztes, das zumindest zivilrechtlich auch das berufliche und gesellschaftliche Ansehen mitumfasst, um höchstpersönliche Rechte, die nicht übertragbar sind (vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 5; Urteil 5A_78/2007 vom 24. August 2007, E. 4, publ. in: sic! 2007 S. 895). Bereits dies schliesst aus, dass Dritte diese Rechte anrufen und gestützt darauf Massnahmen verlangen können. Demzufolge scheint es auch nicht angezeigt, dass sich die UBI auf Beschwerde eines Dritten hin damit befasst, ob eine Persönlichkeitsverletzung des Arztes gegeben ist.
7. Wie ausgeführt, betrachtet die UBI im vorliegenden Fall das Sachgerechtigkeitsgebot als eingehalten; das Publikum werde nicht der Gefahr einer verfälschten Willens- oder Meinungsbildung ausgesetzt. Die diesbezüglichen Erwägungen der UBI sind nicht zu beanstanden. Nach dem Gesagten überschreitet diese aber mit ihrer Feststellung, die Persönlichkeit des Schönheitschirurgen R._ sei verletzt worden, die ihr nach dem Bundesgesetz vom 21. Juni 1991 über Radio und Fernsehen (aRTVG) eingeräumte Prüfungskompetenz bzw. Zuständigkeit. Die Beschwerde der SRG erweist sich demnach als begründet und ist gutzuheissen; der angefochtene Entscheid der UBI ist aufzuheben. Damit ist nicht gesagt, dass keine Persönlichkeitsverletzung vorliegt. Darüber werden aber die zuständigen Stellen, die der direkt Betroffene angerufen hat, befinden müssen.
8. Gemäss Art. 66 Abs. 4 BGG sind für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten zu erheben. Der unterliegende Popularbeschwerdeführer A._, dem vor Bundesgericht keine Parteistellung zukommt, ist als weiterer Beteiligter praxisgemäss nicht kostenpflichtig (unveröffentlichte E. 4 von <ref-ruling>, mit Hinweisen). Der im Programmbereich mit öffentlichen Aufgaben betrauten Beschwerdeführerin (SRG) ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG; unveröffentlichte E. 7b/bb von <ref-ruling>; vgl. auch unveröffentlichte E. 5 von <ref-ruling>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, und der Entscheid der Unabhängigen Beschwerdeinstanz für Radio und Fernsehen vom 31. August 2007 wird aufgehoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Unabhängigen Beschwerdeinstanz für Radio und Fernsehen sowie A._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Merz