Faits:
A. X._, ressortissant tunisien né en 1971, a épousé le 12 avril 2008 en Tunisie Y._, ressortissante suisse. Le 12 juillet 2008, il est entré en Suisse au bénéfice d'un visa.
Le 21 novembre 2008, le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a ratifié une convention de mesures protectrices de l'union conjugale autorisant les conjoints à vivre séparés jusqu'à fin novembre 2009, étant précisé qu'ils vivaient séparés depuis le 5 octobre 2008. Aucun enfant n'est issu de cette union.
Le 19 janvier 2009, le Service de la population du canton de Vaud a délivré à X._ une autorisation de séjour au titre du regroupement familial.
Sur réquisition du Service de la population, X._ et son épouse ont été entendus respectivement le 19 et le 21 août 2009 par la Police municipale d'Epalinges. Il ressort du procès-verbal d'audition que si X._ aspirait à reprendre la vie conjugale et était persuadé qu'il en allait de même de son épouse, celle-ci pour sa part ne désirait plus vivre avec l'intéressé ni même entrer en contact avec lui; elle avait du reste changé de domicile, s'établissant dans une autre ville, à l'insu de son époux. Elle a affirmé que si elle n'avait pas encore entrepris de procédure de divorce, elle en avait néanmoins la ferme intention, précisant qu'elle déposerait sa demande en divorce au plus tard à l'occasion de la prochaine audience, prévue en novembre 2009, au Tribunal d'arrondissement précité dans le cadre de la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale. Elle exposait également avoir requis la séparation après avoir compris, à la suite de plusieurs événements, que l'intéressé ne l'aimait pas.
Par courriers des 22 septembre et 5 octobre 2009, le Service de la population a informé X._ de son intention de refuser le renouvellement de son autorisation de séjour et de lui impartir un délai pour quitter la Suisse. Le prénommé s'est déterminé le 2 novembre 2009.
Par décision du 24 novembre 2009, le Service de la population a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de X._ et lui a imparti un délai d'un mois pour quitter la Suisse.
B. Contre cette décision, X._ a recouru à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal ou l'autorité précédente), qui l'a débouté par arrêt du 1er mars 2011. Les juges cantonaux ont considéré que le prénommé ne pouvait se prévaloir de son mariage pour en déduire un droit à une autorisation de séjour en vertu des art. 42 et 49 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), ainsi que de l'art. 8 CEDH. Il ne pouvait non plus bénéficier de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, selon lequel un tel droit subsiste après la dissolution de la famille, lorsque des raisons personnelles majeures imposent la poursuite du séjour en Suisse. A cet égard, le Tribunal cantonal a notamment retenu que X._ avait toute sa famille en Tunisie, à l'exception d'un frère et de l'épouse de celui-ci qui vivent en Suisse. Il ne pouvait se prévaloir d'attaches particulièrement étroites avec la Suisse, alors que sa réintégration en Tunisie ne semblait guère poser de problème. X._ faisait en outre valoir que la poursuite de son séjour en Suisse s'imposait pour des raisons médicales, en raison notamment du diabète de type 1 dont il souffrait. En se prévalant d'un "contact avec un médecin sur place", il prétendait en effet qu'il n'existait pas en Tunisie de traitement adapté à son type de diabète. X._ n'apportait toutefois pas la preuve de ses dires et il semblait peu probable qu'il ne puisse bénéficier d'un traitement adapté en Tunisie.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, de réformer l'arrêt du 1er mars 2011 en ce sens que son autorisation de séjour est renouvelée; à titre subsidiaire, il demande que l'arrêt en question soit annulé et le dossier renvoyé à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. A titre préalable, il requiert que son recours soit doté de l'effet suspensif.
Le Service de la population renonce à se déterminer sur le recours. L'autorité précédente se réfère aux considérants et au dispositif de son arrêt. L'Office fédéral des migrations propose de rejeter le recours.
Par ordonnance présidentielle du 8 avril 2011, la requête d'effet suspensif a été admise.
Par courrier du 28 avril 2011, X._ a produit une pièce supplémentaire.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recourant a formé, en un seul acte (cf. <ref-law>), un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. La recevabilité du premier excluant celle du second (cf. <ref-law>), il convient d'examiner en priorité si la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
1.2 D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions dans le domaine du droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 179, 497 consid. 3.3 p. 500 s.).
En l'occurrence, le recourant invoque notamment l'art. 50 al. 1 let. b LEtr. Du moment que cette disposition est potentiellement de nature à lui conférer un droit à une autorisation de séjour, son recours échappe au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. Partant, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
1.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que les faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). D'une manière générale, la correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF). Au demeurant, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. 2.1 D'après l'art. 42 al. 1 LEtr, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui. L'art. 49 LEtr prévoit une exception à l'exigence du ménage commun lorsque la communauté familiale (ou conjugale) est maintenue et que des raisons majeures justifiant l'existence de domiciles séparés peuvent être invoquées. Selon l'art. 76 de l'ordonnance fédérale du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201), une exception à l'exigence du ménage commun peut résulter de raisons majeures dues, notamment, à des obligations professionnelles ou à une séparation provisoire en raison de problèmes familiaux importants. Il ressort de la formulation des art. 49 LEtr ("raisons majeures") et 76 OASA ("problèmes familiaux importants") que ces dispositions visent des situations exceptionnelles (arrêt 2C_273/2010 du 14 février 2011 consid. 4.1). De manière générale, il appartient à l'étranger d'établir l'existence de raisons majeures au sens de l'art. 49 LEtr, ainsi que le maintien de la communauté familiale en dépit des domiciles séparés. Cela vaut d'autant plus que cette situation a duré plus longtemps, car une séparation d'une certaine durée fait présumer que la communauté familiale a cessé d'exister (arrêt 2C_575/2009 du 1er juin 2010 consid. 3.5, où la séparation avait duré plus d'une année).
2.2 En l'occurrence, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir exclu la reprise de la vie commune en se fondant sur les seules déclarations de son épouse, remontant au mois d'août 2009. En se plaignant de ce que les faits auraient été établis de manière inexacte et en violation du droit, il fait valoir que les premiers juges auraient dû compléter l'instruction sur ce point, ce d'autant que son épouse n'aurait à ce jour pas introduit de procédure de divorce, comme elle avait l'intention de le faire.
En argumentant de la sorte, le recourant n'allègue ni l'existence de raisons majeures justifiant des domiciles séparés, ni le maintien de la communauté conjugale en dépit de cette séparation, qui sont les deux conditions cumulatives posées par l'art. 49 LEtr pour que le conjoint étranger d'un ressortissant suisse ait droit à une autorisation de séjour, alors que les époux ne font pas ménage commun. En particulier, le seul fait que le mariage n'a pas été dissout et que les époux n'ont pas entrepris de démarches à cette fin ne suffit pas à établir le maintien de la communauté conjugale (arrêt 2C_647/2010 du 10 février 2011 consid. 3.1 et les références). Quant aux allégations selon lesquelles une reprise de la vie commune ne serait pas exclue, cette question n'est pas déterminante sous l'angle des art. 42 et 49 LEtr (cf. arrêt 2C_635/2009 du 26 mars 2010 consid. 4.3 à la fin et 4.4). Dès lors que les faits concernés ne sont pas de nature à influer sur le sort du litige, le grief relatif à leur établissement est irrecevable (cf. consid. 1.3 ci-dessus).
Le recourant ne saurait par ailleurs valablement invoquer l'art. 8 CEDH, du moment que la protection de la vie familiale garantie par cette disposition suppose une relation étroite et effective (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 145; <ref-ruling> consid. 5 p. 269; <ref-ruling> consid. 5.3.1 p. 211), condition qui n'est à l'évidence pas réalisée en l'espèce.
Dans la mesure où le recourant se prévaut de son mariage, le recours est ainsi mal fondé en tant qu'il est recevable.
3. 3.1 Selon l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, après dissolution de la famille, le conjoint étranger peut obtenir la prolongation de son autorisation de séjour si la poursuite de son séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures. Il convient de déterminer sur la base de l'ensemble des circonstances de l'espèce si l'on est en présence d'un cas de rigueur, soit de "raisons personnelles majeures" qui "imposent" la prolongation du séjour en Suisse. A ce propos, c'est la situation personnelle de l'intéressé qui est décisive, notamment le degré d'intégration, le respect de l'ordre juridique suisse, la situation familiale, la situation financière, la durée du séjour en Suisse et l'état de santé de l'étranger (cf. art. 31 al. 1 OASA). L'admission d'un cas de rigueur personnel survenant après la dissolution de la communauté conjugale suppose que les conséquences pour la vie privée et familiale de la personne étrangère liées à ses conditions de vie après la perte du droit de séjour découlant de la communauté conjugale soient d'une intensité considérable. Tel n'est en général pas le cas si l'intéressé n'a séjourné en Suisse que durant une période relativement brève, n'y a pas noué de liens étroits et que par ailleurs sa réintégration dans son pays de provenance ne pose pas de problème (arrêt 2C_784/2010 du 26 mai 2011 destiné à la publication, consid. 3.2.3).
S'agissant de l'état de santé, les directives de l'Office fédéral des migrations relatives à la pratique concernant la réglementation du séjour des étrangers dans les cas personnels d'extrême gravité (état au 1er juillet 2009) précisent ce qui suit (I. Domaine des étrangers, ch. 5.6.4.6):
" Etat de santé (art. 31, al. 1, let. f, OASA)
Les maladies chroniques ou graves dont souffre l'étranger concerné ou un membre de sa famille et dont le traitement adéquat n'est pas disponible dans le pays d'origine doivent être prises en compte dans l'examen de la gravité d'une situation de rigueur (maladie chronique, risque de suicide avéré, traumatisme consécutif à la guerre, accident grave, etc.)".
3.2 En l'occurrence, le recourant fait valoir, sous l'angle des raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, que l'autorité précédente ne pouvait se contenter d'admettre qu'il n'avait pas apporté la preuve de l'inexistence d'un traitement adapté à son type de diabète en Tunisie. Afin de respecter son droit d'être entendu (compte tenu du fait qu'il n'était pas assisté d'un mandataire professionnel sur le plan cantonal), elle devait selon lui l'interpeller sur ce point. Il a joint à son recours au Tribunal de céans une attestation du service de pharmacie d'un hôpital tunisien. Par courrier du 28 avril 2011, il a en outre produit un certificat médical établi par un médecin du même hôpital.
Dans le mémoire de recours adressé à l'autorité précédente, le recourant a fait valoir, en joignant un certificat établi par un médecin d'Yverdon-les-Bains, qu'il souffrait de diabète et avait besoin d'un traitement à l'insuline et de contrôles réguliers, par exemple tous les trois mois. Il a en outre affirmé: "[...] l'insuline qui m'est prescrite n'est pas disponible en Tunisie, selon un contact avec un médecin sur place" (p. 5, sous lettre G), sans toutefois apporter de preuve de ses dires. Dans sa détermination du 15 février 2010, le Service de la population a relevé qu'il n'était pas démontré que le traitement à l'insuline du recourant nécessitait impérativement sa présence en Suisse (p. 4, sous ch. 23). Le recourant a répondu à cette écriture dans un courrier daté du 18 mars 2010. Il a soulevé la question de savoir s'il lui serait possible de venir en Suisse tous les trois mois pour faire soigner son diabète, car dans son pays "il n'existe pas d'insuline adaptée à son type de diabète" (p. 2, sous ch. 4); il n'a toutefois pas davantage apporté de preuve de cette affirmation.
Dans ces conditions, le recourant a eu tout loisir d'apporter la preuve de ce que le traitement de son diabète ne serait pas disponible en Tunisie et l'autorité précédente n'était nullement tenue, au titre du respect de son droit d'être entendu, de l'interpeller sur ce point. Elle pouvait au contraire considérer que le recourant n'avait pas apporté la preuve du fait en question.
Au vu de ce qui précède, il n'y a pas lieu en l'espèce de faire d'exception à la règle de l'<ref-law> selon laquelle aucune preuve nouvelle ne peut être présentée devant le Tribunal fédéral. Partant, les pièces nouvelles que le recourant produit devant le Tribunal de céans sont irrecevables. Elles ne seraient de toute manière pas de nature à conduire à l'admission du recours, compte tenu du fait qu'il apparaît fort peu probable que le recourant ne puisse se faire soigner de manière adéquate en Tunisie (cf. aussi consid. 4.2 ci-après). Au vu de ce qui figure ci-dessus (consid. 3.1, voir not. arrêt 2C_784/2010 consid. 3.2.3), le recours est mal fondé dans la mesure où il est recevable.
4. Le recourant dénonce encore une violation de l'art. 3 CEDH.
4.1 L'art. 3 CEDH prohibe notamment les traitements inhumains ou dégradants. Pour tomber sous le coup de cette disposition, un mauvais traitement doit atteindre un minimum de gravité. L'appréciation de ce minimum dépend de l'ensemble des données de la cause (<ref-ruling> consid. 3.2.1). Selon la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme concernant le défaut de traitement médical approprié dans le pays de renvoi, ce n'est que dans des situations exceptionnelles, en raison de "considérations humanitaires impérieuses", que la mise à exécution d'une décision d'éloignement d'un étranger peut emporter violation de l'article 3 CEDH (arrêt CourEDH Emre contre Suisse du 22 mai 2008 § 88). Les étrangers qui sont sous le coup d'un arrêté d'expulsion ne peuvent en principe revendiquer le droit de rester sur le territoire d'un État contractant afin de continuer à y bénéficier de l'assistance médicale. Ainsi, le fait que la situation d'une personne dans son pays d'origine serait moins favorable que celle dont elle jouit dans le pays d'accueil n'est pas déterminant du point de vue de l'article 3 CEDH (arrêt Emre § 91). Il faut des motifs sérieux et avérés de croire que l'intéressé, si on l'expulse vers le pays de destination, y courra un risque réel d'être soumis à un traitement contraire à l'art. 3 CEDH (arrêt CourEDH N. contre Royaume-Uni du 27 mai 2008 § 30). La Cour européenne des droits de l'homme exige un seuil de gravité élevé pour que l'état de santé d'une personne lui permette de s'opposer à son expulsion (arrêt Emre § 92; arrêt N. c/ Royaume-Uni § 42 ainsi que § 32 ss énumérant la jurisprudence de la Cour relative à l'art. 3 et à l'expulsion de personnes gravement malades).
4.2 En l'espèce, le recourant souffre d'un diabète de type 1 qui requiert un traitement à l'insuline et des contrôles réguliers. Quoi qu'il en dise, rien n'indique qu'il ne puisse se faire soigner de manière adéquate en Tunisie, compte tenu notamment du fait qu'il s'agit d'une maladie chronique dont il est notoire qu'elle atteint un nombre croissant de personnes dans le monde entier. Le cas d'espèce ne représente ainsi à l'évidence pas une situation exceptionnelle entraînant une violation de l'art. 3 CEDH, en tant que cette disposition assimile la privation de soins médicaux à un traitement inhumain.
5. Au vu de ce qui précède, le recours en matière de droit public doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (cf. <ref-law>) et n'a pas droit à des dépens (cf. <ref-law> a contrario).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 14 novembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Vianin