Faits:
A. Par arrêté du 6 avril 2005, publié dans la Feuille officielle du 8 avril 2005, le Conseil d'Etat de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Conseil d'Etat) a convoqué les électeurs neuchâtelois en vue des votations fédérales et cantonales du 5 juin 2005 portant, entre autres objets, sur la loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal (EHM) adoptée par le Grand Conseil neuchâtelois le 30 novembre 2004 par 90 voix contre 13. L'art. 8 de cet arrêté indiquait que les textes soumis à la votation seraient à la disposition des électeurs à la Chancellerie d'Etat et publiés dans la Feuille officielle ainsi que sur le site Internet de l'Etat; il précisait également qu'un fascicule d'explications serait envoyé à chaque électeur.
La loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal a paru dans la Feuille officielle du 11 mai 2005. Elle comporte 59 articles. Le matériel de vote a été remis aux électeurs entre les 9 et 13 mai 2005, avec un message explicatif qui reproduisait dans les grandes lignes les principales modalités de la loi et reprenait l'argumentaire du comité référendaire ainsi que la prise de position des autorités.
Le 27 mai 2005, Thierry Clément a saisi la Chancellerie d'Etat de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: la Chancellerie d'Etat) d'une réclamation et d'un recours pour violation des droits politiques. Il se plaignait en premier lieu du fait que le matériel de vote envoyé aux électeurs ne comprenait pas le projet de loi sur l'Etablissement hospitalier multisite. Il dénonçait en outre le manque d'objectivité de l'information donnée par le Conseil d'Etat dans le message officiel adressé aux électeurs. Il voyait enfin une intervention inadmissible de l'autorité dans la campagne précédant le scrutin dans le fait, révélé par un article paru dans le journal "Le Courrier" du 21 mai 2005, que la Conseillère d'Etat en charge du Département cantonal de la justice, de la santé et de la sécurité avait accordé une somme de 10'000 fr. au comité interpartis qui soutenait le projet de loi.
Les mesures d'instruction administrées devant la Chancellerie d'Etat ont permis d'établir que l'octroi d'un tel financement au comité "Oui à l'EHM" avait fait l'objet d'une décision du Conseil d'Etat non protocolée, mais formalisée par une demande de crédit supplémentaire établie le 12 mai 2005.
Par décision du 3 juin 2005, la Chancellerie d'Etat a rejeté la réclamation de Thierry Clément dans la mesure où celle-ci s'en prenait au contenu du matériel de vote et à l'objectivité de l'information donnée aux électrices et aux électeurs. Elle l'a déclarée irrecevable en tant qu'elle avait trait au soutien financier apporté par le Conseil d'Etat au comité "Oui à l'EHM".
Le 5 juin 2005, les électeurs neuchâtelois ont accepté, par 47'837 voix contre 16'201, la loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal.
B. Thierry Clément a recouru en date du 16 juin 2005 auprès du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif) contre la décision de la Chancellerie d'Etat du 3 juin 2005 rejetant sa réclamation, en concluant à son annulation, à l'invalidation du résultat de la votation du 5 juin 2005 relative à la loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal et à l'organisation d'un nouveau scrutin.
Par acte du 20 juin 2005, il a formé un recours de droit public pour violation des droits politiques contre la décision du Conseil d'Etat de soutenir financièrement le comité interpartis "Oui à l'EHM". Il demande au Tribunal fédéral d'annuler la votation du 5 juin 2005, en tant qu'elle concerne la loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal, et d'ordonner une nouvelle votation portant sur cet objet. Il dénonce une violation des art. 34 Cst. et 45 de la Constitution neuchâteloise (Cst. neuch.).
Le recours a été enregistré sous la référence 1P.376/2005. Le Conseil d'Etat conclut à son rejet.
C. Par arrêt du 19 août 2005, le Tribunal administratif a rejeté le recours dont Thierry Clément l'avait saisi. Il a estimé que l'information donnée aux électeurs dans le message du Conseil d'Etat concernant la loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal soumise à la votation du 5 juin 2005 était exacte et objective. De même, il a considéré qu'elle ne dénaturait pas les arguments des référendaires, non sans relever que même si tel avait été le cas, il n'y avait aucun indice permettant de conclure que le résultat du vote en aurait été influencé de manière significative.
Agissant par la voie du recours de droit public pour violation du droit de vote, Thierry Clément demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt ainsi que le résultat de la votation du 5 juin 2005 concernant le projet de loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal et d'ordonner une nouvelle votation portant sur le même objet. Il voit une violation des droits politiques garantis à l'art. 34 Cst. dans le manque d'objectivité du message explicatif et dans l'absence du projet de loi soumis au vote dans le matériel de vote remis aux électeurs.
Le recours a été enregistré sous la référence 1P.614/2005. Le Tribunal administratif et la Chancellerie d'Etat concluent à son rejet.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Les deux recours émanent de la même personne; ils sont dirigés contre des décisions portant sur le même objet et présentant un lien de connexité suffisant entre elles pour prononcer la jonction des causes et statuer sur leurs mérites respectifs dans un seul et même arrêt (<ref-law> et 40 OJ).
2. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours dont il est saisi (<ref-ruling> consid. 1 p. 156 et les arrêts cités).
2.1 En vertu de l'art. 85 let. a OJ, le Tribunal fédéral connaît des recours de droit public concernant le droit de vote des citoyens et de ceux qui ont trait aux élections et aux votations cantonales, quelles que soient les dispositions de la constitution cantonale et du droit fédéral régissant la matière. Le recours de droit public pour violation du droit de vote permet de se plaindre de toutes les interventions étatiques qui sont susceptibles de porter une atteinte directe aux droits politiques des citoyens (cf. Andreas Auer, La juridiction constitutionnelle en Suisse, Bâle 1993, ch. 431, p. 223; Auer/Malinverni/Hottelier, Droit constitutionnel suisse, vol. I, Berne 2000, ch. 2001, p. 720).
2.2 Citoyen actif dans le canton de Neuchâtel, le recourant a qualité pour agir au sens de l'art. 85 let. a OJ en invoquant une violation des droits politiques garantis aux art. 34 Cst. et 45 Cst. neuch., sans qu'il ait à justifier d'un intérêt particulier à l'admission de son recours (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 293 et les arrêts cités).
2.3 Le recours enregistré sous la référence 1P.376/2005 est dirigé contre une décision du Conseil d'Etat octroyant une aide financière de 10'000 fr. au comité interpartis "Oui à l'EHM". La Chancellerie d'Etat a estimé que cette décision n'était pas susceptible de faire l'objet d'une réclamation ou d'un recours auprès d'elle en vertu de l'art. 134 al. 1 de la loi neuchâteloise sur les droits politiques (LDP neuch.) et elle a déclaré irrecevable sur ce point la réclamation dont Thierry Clément l'avait saisie. Celui-ci n'a pas contesté le prononcé d'irrecevabilité de la Chancellerie d'Etat auprès du Tribunal administratif en invoquant un déni de justice ou une application erronée du droit de procédure cantonal. Cette omission ne porte toutefois pas à conséquence quant à la recevabilité du recours. En effet, Thierry Clément n'a pas à pâtir d'une interprétation peut-être inexacte du droit cantonal de procédure mais il pouvait se borner à prendre acte de l'irrecevabilité de sa réclamation en tant qu'elle concernait la question d'un éventuel financement illicite du comité interpartis "Oui à l'EHM". Il a adopté un comportement cohérent et conforme à la bonne foi en déposant directement auprès du Tribunal fédéral un recours de droit public pour violation du droit de vote contre la décision du Conseil d'Etat accordant un tel financement dans les trente jours suivant la date à laquelle il en a eu connaissance (cf. <ref-ruling> consid. 1d p. 274 et les arrêts cités). Le recours est donc recevable au regard des art. 86 al. 1 et 89 al. 1 OJ. Il en va de même s'agissant du recours formé contre l'arrêt du Tribunal administratif du 19 août 2005.
2.4 Lorsqu'une votation communale ou cantonale a fait l'objet d'un recours à une autorité cantonale, le Tribunal fédéral peut, s'il admet le recours fondé sur l'art. 85 let. a OJ, annuler non seulement la décision de l'autorité cantonale de recours, mais aussi la votation entachée d'une violation du droit de vote (<ref-ruling> consid. 1c p. 50; arrêt 1P.517/1994 du 22 novembre 1994 consid. 1d publié in ZBl 96/1995 p. 570). La conclusion prise dans chacun des recours tendant à l'annulation de la votation du 5 juin 2005, en tant qu'elle concerne la loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal, et à l'organisation d'un nouveau scrutin portant sur cet objet est donc recevable.
2.5 Les autres conditions de recevabilité du recours de droit public sont réunies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
3. Thierry Clément voit une atteinte inadmissible au droit de vote des citoyens dans le fait que le projet de loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal soumis à la votation du 5 juin 2005 n'a pas été remis aux électeurs avec le matériel de vote. Il s'agirait d'un élément essentiel à la formation d'une opinion libre et complète des électeurs, qui ne saurait dépendre d'une requête de ceux-ci. Il dénonce sur ce point une violation des art. 34 al. 2 et 35 al. 1 Cst.
3.1 L'art. 34 al. 1 Cst. garantit de manière générale et abstraite les droits politiques, tant sur le plan fédéral que sur le plan cantonal ou communal. Selon l'art. 34 al. 2 Cst., qui codifie la jurisprudence du Tribunal fédéral établie sous l'empire de la Constitution fédérale du 29 mai 1874 (Message du Conseil fédéral du 20 novembre 1996 relatif à une nouvelle Constitution fédérale, in FF 1997 I 191; <ref-ruling> consid. 2a p. 57; <ref-ruling> consid. 3 p. 141, 187 consid. 3a p. 190), cette garantie protège la libre formation de l'opinion des citoyens et des citoyennes et l'expression fidèle et sûre de leur volonté. Une formation et expression libres de la volonté des électeurs supposent que les objets soumis au vote soient portés à temps et de façon adéquate à leur connaissance (<ref-ruling> consid. 2c p. 239, 360 consid. 3a p. 363; <ref-ruling> consid. 9 p. 610; arrêt 1P.120/1996 du 12 septembre 1996, consid. 5b, publié in ZBl 98/1997 p. 362; Peter Tschannen, Stimmrecht und politische Verständigung, Bâle et Francfort 1995, p. 425; Pascal Mahon, L'information par les autorités, RDS 118/1999 II p. 199, ch. 25, p. 232; Michel Besson, Behördliche Informationen vor Volksabstimmungen, thèse Berne 2003, p. 164 et 230). La manière dont l'information des citoyens doit intervenir découle avant tout du droit cantonal. Les dispositions de ce droit qui règlent le devoir d'information des autorités ne sont pas de simples prescriptions d'ordre (ATF <ref-ruling> consid. 9 p. 610; arrêt 1P.120/1996 du 12 septembre 1996, consid. 5b, publié in ZBl 98/1997 p. 362; Michel Besson, op. cit., note 15, p. 231).
3.2 Les questions relatives à l'organisation du vote populaire sur les actes soumis au référendum et aux mesures de publicité sont traitées sur le plan cantonal aux art. 125 et 126 LDP/NE. La première de ces dispositions prévoit qu'en cas d'aboutissement de la demande de référendum, le Conseil d'Etat soumet l'acte contesté au vote populaire dans les six mois qui suivent l'expiration du délai référendaire. Aux termes de l'art. 126 LDP/NE, il assure à l'acte soumis au vote populaire une publicité objective suffisante. L'avis du comité référendaire doit être exposé (al. 1). Des exemplaires de l'acte soumis au vote populaire sont mis à la disposition des électeurs à la Chancellerie d'Etat et dans les communes huit jours avant celui fixé pour la votation (al. 2).
La loi cantonale sur les droits politiques n'impose donc pas que le texte des lois soumises à votation soit remis aux électeurs avec le matériel de vote. L'art. 126 al. 2 LDP/NE exige uniquement que des exemplaires de l'acte soumis au vote populaire soient mis à la disposition des électeurs à la Chancellerie d'Etat et dans les communes huit jours au moins avant celui fixé pour la votation. Un amendement déposé au cours des débats par le groupe libéral du Grand Conseil, visant à ce que le texte soumis au vote soit remis aux électeurs dix jours au moins avant la votation avec de brèves explications, a été refusé par une majorité du parlement neuchâtelois (Bulletin officiel des délibérations du Grand Conseil, séance du 17 octobre 1984, p. 1184/1185). La Chancellerie d'Etat s'est donc conformée à la loi et à la volonté du législateur en ne communiquant pas le texte du projet de loi soumis à la votation du 5 juin 2005 avec le matériel de vote remis aux électeurs, mais en résumant celui-ci dans le message explicatif. Cela ne signifie pas encore que, ce faisant, elle ait satisfait à l'obligation qui lui incombe en vertu des art. 45 Cst./NE et 34 al. 2 Cst. de fournir aux citoyens une information complète et objective concernant tous les objets sur lesquels ils sont appelés à se prononcer (cf. <ref-ruling> consid. 1d/dd p. 68). La communication intégrale du texte soumis à votation peut en effet se révéler nécessaire pour garantir une information suffisante des citoyens suivant les circonstances, telles que la complexité de l'objet de la votation, l'enjeu qu'il représente pour la population ou encore les arguments défendus de part et d'autre.
En l'occurrence, le projet de loi soumis au vote concernait la refonte du système hospitalier neuchâtelois avec la mise en réseau des principaux établissements hospitaliers du canton dans une structure juridique de droit public nouvelle jouissant d'une plus grande autonomie de décision et de gestion. La réforme portait également sur le statut juridique du personnel hospitalier qui devait être unifié et soumis à un régime de droit privé. L'objet de la votation litigieuse était donc particulièrement complexe, politiquement sensible et présentait un intérêt crucial pour l'ensemble de la population neuchâteloise. La compréhension des diverses implications de la nouvelle loi nécessitait une réflexion approfondie de la part des citoyens. Par ailleurs, ces derniers ont reçu avec le matériel de vote un message explicatif dans lequel les arguments des référendaires étaient vivement contestés et qualifiés de fallacieux par les autorités dans leur prise de position. Dans ces circonstances, il était impératif que le texte du projet de loi soit communiqué aux citoyens, de manière à ce qu'ils puissent se faire une opinion libre et adéquate sur la valeur des arguments exprimés en faveur et en défaveur du projet. La Chancellerie d'Etat n'était pas dispensée d'agir en ce sens en raison des possibilités offertes pour accéder au projet de loi. La mise à disposition du texte soumis au vote sur le site Internet de l'Etat n'est pas suffisante, car tous les citoyens ne disposent pas d'un accès effectif à ce moyen d'information (cf. en ce sens, Michel Besson, op. cit., p. 325). il en va de même et pour les mêmes raisons de la publication du projet de loi dans la Feuille officielle. Enfin, la possibilité de se procurer un exemplaire du projet de loi auprès de la Chancellerie d'Etat ou des communes n'est pas non plus déterminante. En effet, même si cette démarche ne présente en principe pas de difficultés majeures, il est à craindre que certains électeurs s'abstiennent de l'entreprendre et s'en remettent aux explications et prises de position contenues dans le message explicatif remis avec le matériel de vote, parce qu'ils ont entamé leur réflexion trop tardivement ou que cette démarche ne fait pas partie de leurs habitudes civiques.
Cela étant, on doit admettre que l'information donnée aux électeurs en relation avec le projet de loi sur l'EHM était insuffisante. Cette irrégularité ne conduit pas pour autant à l'annulation de la votation relative à cet objet.
3.3 Selon la jurisprudence, lorsque le Tribunal fédéral constate que des fautes de procédure ont été commises, il n'annule la votation que si celles-ci sont importantes et ont pu avoir une influence sur le résultat du vote. Il examine en principe librement cette question sur la base d'une appréciation des circonstances. Il tient compte notamment de l'écart de voix, de la gravité des vices de procédure et de leur portée sur le vote dans son ensemble. Si la possibilité d'un résultat différent au cas où la procédure n'avait pas été viciée apparaît à ce point minime qu'elle ne puisse pas entrer sérieusement en considération, il y a lieu de renoncer à l'annulation du vote; dans le cas contraire, il faut considérer le vice comme important et annuler la votation. Lorsque, comme en l'espèce, la différence de voix est très nette, seules de graves irrégularités sont de nature à remettre en cause la validité du résultat du vote (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 296; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 204; <ref-ruling> consid. 7a p. 59, 291 consid. 4 p. 302/303).
En l'occurrence, le message explicatif adressé par la Chancellerie d'Etat aux citoyens contenait une présentation du projet de loi dont le recourant ne conteste pas l'objectivité; il reprenait les arguments des référendaires dans leur intégralité ainsi que la position des autorités à cet égard, permettant ainsi aux électeurs de se faire une idée de l'enjeu de la contestation et des opinions des différents intervenants. Cela étant, le déficit d'information lié à l'absence du texte intégral du projet de loi apparaît de faible importance et on doit admettre que les personnes qui ne disposaient pas de ce texte n'étaient pas à ce point insuffisamment renseignées que le résultat du vote, particulièrement net (la loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal a été adoptée par 74,7% des votants contre 25,3%, soit à une majorité de deux contre un), ait pu en être bouleversé en cas de communication généralisée par les autorités des nouvelles normes en discussion. Le vice allégué n'a ainsi pas eu une influence décisive sur l'issue du scrutin et ne saurait justifier son annulation, ce d'autant que l'autorité n'a pas agi à dessein, mais s'en est tenue à la lettre de la loi et à la volonté clairement manifestée du législateur, en ne communiquant pas le texte du projet de loi.
4. Le recourant s'en prend également au contenu du message explicatif remis aux électeurs avec le matériel de vote en vue de la votation du 5 juin 2005. Les autorités auraient manqué à leur devoir d'objectivité et influencé de manière illicite la libre formation de la volonté du corps électoral en réduisant abusivement la contestation du projet de loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal au seul aspect juridique lié au statut du personnel hospitalier et en suggérant qu'il pourrait être résolu par d'autres voies. Il dénonce à ce propos une violation des art. 34 Cst. et 45 Cst./NE, lequel prévoit qu'avant les votes populaires, les autorités donnent une information suffisante et objective sur les objets qui y sont soumis. Le recourant ne prétend pas que cette dernière disposition lui offrirait davantage de garanties que celles découlant du droit constitutionnel fédéral. Dans ces conditions, c'est exclusivement au regard de la jurisprudence rendue en application de l'art. 34 Cst. qu'il convient d'examiner ses griefs.
4.1 Il incombe au gouvernement d'un canton, de même qu'à l'organe exécutif d'une commune, de diriger la collectivité. Le gouvernement ne peut accomplir cette mission qu'en soutenant activement ses propres projets et objectifs, et en indiquant sans équivoque ce qu'il considère comme nécessaire ou favorable à l'intérêt général. Le dialogue entre le gouvernement et l'opinion publique, qui se produit par exemple dans le cadre des débats parlementaires, par le biais des communiqués du gouvernement ou à l'occasion de prises de position publiques des magistrats, est au surplus un élément indispensable de la démocratie. On doit donc reconnaître au gouvernement le droit - et même le devoir - d'intervenir dans le débat politique en dehors des périodes précédant les votations (<ref-ruling> consid. 2 p. 256 et les références citées).
En revanche, les votations doivent être organisées de telle manière que la volonté des électeurs puisse s'exercer le plus librement possible (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 294; <ref-ruling> consid. 5 p. 192; <ref-ruling> consid. 3 p. 141 et les références citées). Le droit à la libre formation de l'opinion exclut en principe toute intervention directe des autorités qui serait de nature à fausser la formation de la volonté des citoyens lors de la campagne précédant les votations (<ref-ruling> consid. 4a p. 432). Il est néanmoins admis que l'autorité recommande aux citoyens d'accepter le projet soumis à votation et leur adresse un message explicatif, pourvu qu'elle respecte son devoir d'information objective et ne donne pas d'indications fallacieuses sur le but et la portée du projet. Un tel message officiel peut en outre contenir un avis relatif à des questions d'appréciation, car il appartient en définitive à l'électeur de se faire lui-même sa propre opinion sur de telles questions (<ref-ruling> consid. 2 p. 255/256; <ref-ruling> consid. 3b p. 273; <ref-ruling> consid. 3b p. 455/456; <ref-ruling> consid. 3b p. 295; <ref-ruling> consid. 3a p. 394). L'Etat doit notamment être en mesure de contrebalancer, dans une certaine mesure, les prises de position souvent unilatérales des groupes de pressions influents de la société civile (Pascal Mahon, op. cit., ch. 35, p. 243/244, qui défend un droit d'intervention plus large de l'autorité). Au demeurant, une intervention de l'autorité dans la campagne précédant une votation qui la concerne allant au-delà de la remise d'un message explicatif aux électeurs ne se justifie qu'en présence de motifs pertinents (<ref-ruling> consid. 2 p. 256; <ref-ruling> consid. 3b p. 273; <ref-ruling> consid. 4a p. 469; <ref-ruling> consid. 3b p. 296; <ref-ruling> consid. 4d p. 336; <ref-ruling> consid. 3b p. 158 et les références citées).
4.2 Thierry Clément ne conteste pas l'objectivité de la présentation faite du projet de loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal dans le message explicatif remis aux citoyens. Il s'en prend à la prise de position du Conseil d'Etat et du Grand Conseil exprimée au sujet des arguments des opposants.
Les autorités cantonales relèvent que "les référendaires s'en prennent à un projet global patiemment élaboré avec les hôpitaux et largement accepté par tous les bords politiques, alors même qu'ils n'en contestent qu'un aspect juridique pouvant être résolu par d'autres voies". Elles qualifient en outre les arguments des référendaires de "fallacieux" au motif que, "contrairement à ce que ces derniers laissent entendre, l'Etablissement hospitalier multisite ne constitue nullement une privatisation du système hospitalier, ni un abandon du système hospitalier par l'Etat, ni un piège pour le personnel hospitalier, ni une détérioration des conditions de travail de ce personnel; il représente en revanche l'assurance de pouvoir offrir un accès à des soins de qualité à des coûts supportables, l'assurance du maintien des hôpitaux actuels, la préservation de l'emploi dans le domaine hospitalier". Elles concluent en espérant vivement que les citoyens sauront faire preuve de clairvoyance et de bon sens et en les invitant à voter massivement en faveur de la loi.
4.2.1 Le recourant soutient que la prise de position des autorités ne serait pas objective en tant qu'elle laisse entendre que la contestation du projet de loi se limiterait à un aspect juridique, à savoir le statut de droit public des employés de l'Etablissement hospitalier multisite cantonal.
Il ressort de l'argumentation des référendaires que ces derniers remettaient également en cause l'indépendance de la nouvelle structure par rapport à l'Etat et, plus particulièrement, la perte d'influence du législateur cantonal dans la gestion de l'établissement et du personnel. Ils soutenaient ainsi l'idée d'un Etablissement hospitalier multisite dans le canton, mais directement soumis au service cantonal de la santé, afin que les intérêts de la population soient véritablement pris en considération. La prise de position des autorités est par conséquent effectivement réductrice si l'on s'en tient au seul passage mis en évidence par le recourant. Une lecture attentive des arguments des référendaires suffisait néanmoins pour se rendre compte que le litige ne se résumait pas à la question du statut juridique du personnel hospitalier, mais qu'il concernait plus largement l'indépendance du futur établissement de droit public vis-à-vis de l'Etat et la perte d'influence du parlement cantonal dans la gestion hospitalière. Une comparaison des arguments respectifs des partisans et des opposants au projet était d'autant plus aisée que la position des autorités figurait en parallèle à l'argumentation des référendaires. A supposer que le message explicatif traduise un manque d'objectivité répréhensible de la part des autorités, le vice allégué était aisément reconnaissable pour qui prenait la peine de lire l'ensemble du message et non pas uniquement la prise de position des autorités. Aussi, le Tribunal administratif pouvait admettre que ce vice n'avait pas pu induire les électeurs en erreur et exercer une influence décisive sur l'issue du vote.
4.2.2 De l'avis du recourant, la prise de position des autorités ne serait pas non plus objective en tant qu'elle suggère que l'aspect juridique controversé pourrait être résolu par d'autres voies. Thierry Clément n'a pas soulevé ce grief devant le Tribunal administratif; il ne prétend pas que ce dernier aurait dû examiner d'office la compatibilité du message explicatif avec les exigences d'objectivité et de neutralité requises des autorités en matière de votation. Le recours est dès lors irrecevable sur ce point au regard de la règle de l'épuisement des instances cantonales exprimée à l'art. 86 al. 1 OJ (cf. <ref-ruling> consid. 4.6 p. 80; <ref-ruling> consid. 2b p. 89).
4.2.3 Quant au terme de "fallacieux" employé pour qualifier les arguments des référendaires, il n'a en principe pas sa place dans un message officiel, fût-ce dans la prise de position des autorités, dans la mesure où il tend à faire accroire une intention délibérée de tromper ou d'égarer le corps électoral de la part de citoyens exerçant leurs droits démocratiques. Cela est d'autant plus vrai en l'occurrence qu'il a trait non à des affirmations des opposants mais à des appréciations supposées de ceux-ci. Il suffisait aux autorités d'indiquer les raisons pour lesquelles elles tenaient tel argument pour erroné, ce qu'elles ont d'ailleurs fait aussi, à charge pour les citoyens de se faire une idée sur la valeur respective des opinions émises.
4.3 En définitive, si la prise de position des autorités n'échappe pas à toute critique au regard des exigences d'objectivité ou de neutralité que celles-ci doivent observer dans la rédaction d'un message explicatif, les manquements constatés sont d'une importance mineure et, en tout cas, largement insuffisante au sens de la jurisprudence citée au considérant 3.3 pour avoir été de nature à influer d'une manière décisive sur le débat et l'issue claire du vote. Le recours doit donc être rejeté sur ce point également.
5. Thierry Clément voit enfin une intervention irrégulière de l'autorité dans la campagne précédant la votation cantonale du 5 juin 2005 dans l'octroi par le Conseil d'Etat d'une somme de 10'000 fr. au comité interpartis en faveur du projet de loi soumis au vote.
5.1 Selon la jurisprudence, le droit à la libre formation de l'opinion exclut en principe toute intervention directe des autorités qui serait de nature à fausser la formation de la volonté des citoyens lors de la campagne précédant les votations sauf motifs pertinents, la communication d'un message officiel avec des recommandations de vote étant cependant admise (<ref-ruling> consid. 4a précité). En ce qui concerne l'intervention financière de l'Etat en vue d'une votation populaire, le Tribunal fédéral a jugé en principe inadmissible la propagande indirecte financée par des fonds publics accordés à un comité d'action privé dans lequel l'autorité n'est pas représentée, car celle-ci ne peut pas exercer un contrôle suffisant de l'utilisation des deniers publics accordés et du respect de l'objectivité et de la réserve nécessaires (ATF <ref-ruling> consid. 4d p. 470; <ref-ruling> consid. 6a p. 443 et les références citées). Pareille intervention est d'autant plus répréhensible qu'elle s'accomplit de façon occulte ou que les fonds dépensés sont disproportionnés ou engagés irrégulièrement (<ref-ruling> consid. 2 p. 256; <ref-ruling> consid. 7b p. 281; <ref-ruling> consid. 6d p. 475; <ref-ruling> consid. 6b p. 444).
5.2 En l'occurrence, le Conseil d'Etat déclare avoir décidé de soutenir financièrement le comité interpartis "Oui à l'EHM" pour défendre le système hospitalier neuchâtelois mis en place de longue date et intéressant l'ensemble de la population. Les autorités cantonales ont cependant exprimé leur opinion et pris position sur les arguments des référendaires dans le message explicatif remis aux électeurs avec le matériel de vote. Une intervention supplémentaire sous la forme d'une aide financière à un comité privé soutenant leur point de vue ne se justifiait pas du seul fait que les opposants disposaient de moyens financiers légèrement plus importants pour défendre leurs arguments. Sous l'angle de l'exigence d'un motif pertinent, il est dès lors douteux que le soutien financier octroyé au comité interpartis en faveur du projet de loi sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal soit admissible.
Quoi qu'il en soit, la décision du Conseil d'Etat d'octroyer une somme de 10'000 fr. au comité interpartis "Oui à l'EHM" n'a pas été publiée et n'a fait l'objet d'aucune communication officielle dans les média. Elle n'a été révélée au public qu'à la faveur d'une déclaration de la Conseillère d'Etat en charge du Département cantonal de la justice, de la santé et de la sécurité, reproduite dans un article de presse paru quinze jours avant le scrutin. Une telle manière de faire n'est pas conforme aux exigences de transparence auxquelles doit répondre toute intervention étatique durant la période qui précède une votation, indépendamment de l'importance du montant alloué. Dans ces conditions, le recourant se plaint à juste titre d'une violation de l'art. 34 Cst.
5.3 Cela ne conduit toutefois pas à l'admission du recours et à l'annulation de la votation cantonale à raison de la jurisprudence citée au considérant 3.3. En l'espèce, le montant alloué au comité interpartis "Oui à l'EHM" est modeste s'agissant d'une votation cantonale (cf. ATF <ref-ruling> consid. 6d p. 475). De plus, la somme dont ce comité disposait pour sa campagne était inférieure d'un peu plus de 10'000 fr. à celle dont bénéficiait le comité référendaire, selon les chiffres dont ce dernier s'est fait lui-même l'écho dans un article de presse figurant au dossier, de sorte que l'aide financière allouée permettait de rétablir une certaine égalité des armes entre les opposants et les partisans au projet de loi. Enfin, le résultat de la votation est particulièrement net. Dans ces circonstances, on ne saurait sérieusement admettre que le soutien financier illicite, mais réduit, accordé au comité interpartis "Oui à l'EHM" ait pu influencer de manière significative l'issue de la votation sur le projet de loi litigieux.
6. Le résultat n'est pas différent si l'on prend en considération ensemble et non isolément les irrégularités constatées (cf. <ref-ruling> consid. 6 p. 306; arrêt 1P.116/2000 du 5 mai 2000, consid. 2d, publié in ZBl 102/2001 p. 152). L'écart séparant les partisans et les opposants du projet de loi est en effet tel que les vices énumérés précédemment, même si celui relatif au financement d'un comité privé survenu en violation des règles de transparence est crasse, n'ont à l'évidence pas eu un impact électoral global susceptible de remettre en cause le résultat de la votation.
7. Les recours doivent par conséquent être rejetés, dans la mesure où ils sont recevables. Conformément à la pratique qui prévaut en matière de recours de droit public pour violation des droits politiques, il n'est pas perçu de frais de justice. Les autorités ne sauraient prétendre à des dépens (art. 159 al. 2 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 1P.376/2005 et 614/2005 sont jointes.
2. Les recours sont rejetés, dans la mesure où ils sont recevables.
3. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie au recourant, ainsi qu'à la Chancellerie d'Etat, au Conseil d'Etat et au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 8 mars 2006
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: