Sachverhalt:
A.
Das Obergericht des Kantons Zürich verpflichtete A._ (Gesuchsteller) und C._ (Gesuchsgegner 2) mit Urteil vom 24. Juni 2013, B._ (Gesuchsgegnerin 1) wegen Schlechterfüllung eines Vermögensverwaltungsvertrags Fr. 639'892.-- nebst Zins zu bezahlen, unter solidarischer Haftbarkeit. Ferner verpflichtete es C._, B._ Fr. 41'771.-- nebst Zins zu entrichten. Sodann verpflichtete es A._, B._ Fr. 9'993.-- nebst Zins zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage von B._ ab.
Gegen dieses Urteil erhoben alle Parteien Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Dieses eröffnete daraufhin die folgenden drei Verfahren:
- 4A_364/2013 i.S. C._ c. B._ und A._,
- 4A_394/2013 i.S. B._ c. C._ und A._,
- 4A_396/2013 i.S. A._ c. B._ und C._.
Mit Urteil vom 5. März 2014 vereinigte das Bundesgericht die drei Verfahren und beurteilte die drei Beschwerden in einem einzigen Entscheid. Im Rahmen desselben wies es u.a. die Beschwerde von B._ (4A_394/2013) ab, soweit es darauf eintrat (Ziffer 2 des Urteilsdispositivs) und auferlegte die Gerichtskosten des betreffenden Verfahrens 4A_394/2013 B._ (Ziffer 4 Abs. 2 des Urteilsdispositivs). Weiter sprach es C._ für das betreffende Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 10'000.-- zu. Hingegen verweigerte es A._ eine Parteientschädigung mit der Begründung, dieser habe seine Beschwerdeantwort im betreffenden Verfahren verspätet eingereicht und könne daher - auch mangels rechtzeitig gestelltem Antrag - keine Entschädigung beanspruchen (Urteil E. 17.2). Es hielt dazu fest, A._ habe am 30. Oktober 2013 eine Vernehmlassung eingereicht (Urteil E. C.b), allerdings erst nach Ablauf der dafür angesetzten und antragsgemäss bis am 22. Oktober 2013 erstreckten Frist. Sie könne daher wegen Verspätung nicht berücksichtigt werden (Urteil E. 1).
B.
A._ stellte mit Eingabe vom 4. Juni 2014 ein Revisionsgesuch mit dem Antrag, Dispositiv-Ziffer 5 des Urteils 4A_394/2013 vom 5. März 2014 sei in dem Sinne zu ergänzen, als B._ zu verpflichten sei, ihm eine Parteientschädigung von Fr. 10'000.-- zu bezahlen.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zum Gesuch wurde vorliegend verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann nur aus einem der im Gesetz abschliessend genannten Gründe verlangt werden (Art. 121-123 BGG). Das Gesuch muss einen solchen anrufen oder zumindest Tatsachen nennen, die von einem gesetzlichen Revisionsgrund erfasst sind. Ob tatsächlich ein Grund zur Revision vorliegt, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Immerhin gelten auch für das Revisionsgesuch die in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genannten Anforderungen, wonach die gestellten Begehren zu begründen sind (Urteil 4F_20/2013 vom 11. Februar 2014 E. 2.1 mit Hinweisen). Diesen Anforderungen wird das vorliegende Revisionsgesuch, mit dem die Revisionsgründe nach Art. 121 lit. c und d BGG angerufen werden, gerecht.
Das bundesgerichtliche Urteil 4A_394/2013 vom 5. März 2014 ist dem Gesuchsteller in vollständiger Ausfertigung am 5. Mai 2014 eröffnet worden. Das Revisionsgesuch vom 4. Juni 2014 erging somit rechtzeitig innerhalb der 30-tägigen Frist nach <ref-law>.
2.
Der Revisionsgrund von <ref-law> liegt nur vor, wenn das Gericht eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen hat, nicht wenn die Tatsache oder das Aktenstück in der äusseren Erscheinung richtig wahrgenommen wurde und allenfalls bloss eine unzutreffende beweismässige oder rechtliche Würdigung vorgenommen worden ist. Der entsprechende Revisionsgrund kann zudem nur angerufen werden, wenn "erhebliche Tatsachen" unberücksichtigt geblieben sind, d.h. solche, die zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung hätten führen müssen, wären sie berücksichtigt worden. Die Revision dient nicht dazu, um angebliche Rechtsfehler des Bundesgerichts zu korrigieren (<ref-ruling> E. 3; Urteile 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 2.1; 5F_7/2012 vom 7. September 2012 E. 2.3).
Der Gesuchsteller macht geltend, das Bundesgericht habe im Sinne von <ref-law> die in den Akten liegende erhebliche Tatsache aus Versehen nicht berücksichtigt, dass es ihm die Frist zur Beschwerdeantwort bis zum 31. Oktober 2013 erstreckt habe und dass er seine Vernehmlassung somit am 30. Oktober 2013 fristgerecht eingereicht habe.
2.1. Aus den Akten lässt sich dazu folgendes entnehmen:
Dem Gesuchsteller wurde im Verfahren 4A_394/2013 mit Verfügung vom 11. September 2013eine Frist bis zum 2. Oktober 2013 zur Einreichung der Vernehmlassung zur Beschwerde von B._ angesetzt. Bereits am 10. September 2013 war ihm sowie B._ im Verfahren 4A_364/2013 eine Frist bis zum 1. Oktober 2013 zur Beantwortung der Beschwerde von C._ angesetzt worden;
Mit zwei identischen Eingaben im Original vom 1. Oktober 2013 ersuchte der Gesuchsteller unter der Verfahrensnummer "4A_364/2013" "in Sachen B._ gegen RA A._ und Dr. C._" unter Bezugnahme auf die bundesgerichtliche Verfügung vom 11. September 2013 um Erstreckung der Antwortfrist bis zum 22. Oktober 2013. Dazu ist zu bemerken, dass es sich beim Verfahren 4A_364/2013 um das Verfahren i.S. C._ c. B._ und A._ handelt, und nicht um das Verfahren i.S. B._ c. C._ und A._. Auch erging im Verfahren 4A_364/2013 am 11. September 2013 keine Verfügung des Bundesgerichts. Das Bundesgericht erstreckte dem Gesuchsteller in der Folge die Antwortfrist in beiden Verfahren 4A_364/2013 und 4A_394/2013 bis zum 22. Oktober 2013 (Verfügungen vom 2. und vom 3. Oktober 2013).
Mit Eingabe vom 16. Oktober 2013 ersuchte der Gesuchsteller unter der Verfahrensnummer "4A_364/2013" "In Sachen B._ gegen A._ und Dr. C._" (beim Verfahren 4A_364/2013 lauten die Parteien C._ c. B._ und A._) um eine ausnahmsweise weitere Fristerstreckung zur Einreichung der Vernehmlassung bis und mit 31. Oktober 2013. Das Bundesgericht gewährte ihm in der Folge mit Verfügung vom 17. Oktober 2013 unter der Verfahrensnummer 4A_364/2013 "C._ gegen B._ und A._"eine Erstreckung der Frist zur Einreichung der Vernehmlassung bis zum 31. Oktober 2013.
2.2. Es trifft demnach nicht zu, dass das Bundesgericht dem Gesuchsteller im Verfahren 4A_394/2013 i.S. B._ c. C._ und A._ die Frist zur Einreichung der Vernehmlassung bis zum 31. Oktober 2013 erstreckt hat, wie dieser behauptet. Die Erstreckung erfolgte vielmehr im Verfahren 4A_364/2013. Dies war für den Gesuchsteller aufgrund des Wortlauts der Verfügung vom 17. Oktober 2013 ohne weiteres ersichtlich. Wenn die Verfügung nicht seinen Erwartungen aufgrund seines (unter falschem Aktenzeichen gestellten) Fristerstreckungsgesuchs vom 16. Oktober 2013 entsprach, wäre es an ihm gewesen, beim Bundesgericht dagegen vorstellig zu werden, zumal in der Eingangsanzeige (act. 8) vermerkt wurde, dass alle Eingaben "in dieser Sache" unter Angabe der Geschäftsnummer an das Bundesgericht zu adressieren sind, und somit klar war, dass besonderes Augenmerk auf die richtige Geschäftsnummer zu legen ist. Dem Bundesgericht lässt sich nach dem Wortlaut der Verfügung vom 17. Oktober 2013 jedenfalls nicht vorwerfen, es habe im Sinne von <ref-law> übersehen, dass es dem Gesuchsteller im Verfahren 4A_394/2013 die Antwortfrist bis zum 31. Oktober 2013 erstreckt hätte und daher seine Vernehmlassung (sowie seinen darin enthaltenen Antrag auf Ausrichtung einer Parteientschädigung) zu Unrecht als verspätet betrachtet hätte.
Das Revisionsgesuch erweist sich damit insoweit als unbegründet.
3.
Das Revisionsgesuch erweist sich auch ohne weiteres als unbegründet, soweit sich der Gesuchsteller auf den Revisionsgrund von <ref-law> beruft, weil das Bundesgericht den rechtzeitig gestellten Antrag auf eine angemessene Parteientschädigung nicht behandelt habe. Das Bundesgericht hat den Antrag nach dem Ausgeführten sehr wohl behandelt, indessen als verspätet beurteilt bzw. den Anspruch auf Parteientschädigung verneint, weil die Vernehmlassung infolge Verspätung nicht zu berücksichtigen war.
4.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Gesuchsteller kostenpflichtig (<ref-law>). Den Gesuchsgegnern sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen, da ihnen im Zusammenhang mit dem Revisionsverfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer