Sachverhalt:
A. A.a Der 1946 geborene L._ meldete sich am 9. März 1999 zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Nach beruflichen Abklärungen und Beizug namentlich des Austrittsberichtes der Rehaklinik X._ vom 3. Mai 1999 ermittelte die IV-Stelle für Versicherte im Ausland einen Invaliditätsgrad von 29 %, weswegen sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente verneinte (Verfügung vom 20. Juni 2000). Im Weiteren lehnte sie berufliche Massnahmen ab. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess die Eidgenössische Rekurskommission der Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung für die im Ausland wohnenden Personen mit Entscheid vom 29. Juli 2002 gut und wies die Sache zu ergänzender Sachverhaltsklärung im Hinblick auf berufliche Massnahmen und einen allfälligen Rentenanspruch an die Verwaltung zurück.
A.b Gestützt auf das Gutachten des Dr. med. I._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie, vom 16. Juni 2003 sprach die IV-Stelle für Versicherte im Ausland mit Verfügung vom 25. August 2004 eine halbe Rente der Invalidenversicherung rückwirkend ab 1. Juni 1999 zu (Invaliditätsgrad von 53 %). Auf Einsprache hin erliess die IV-Stelle des Kantons Thurgau unter Anordnung zusätzlicher Abklärungen am 13. Oktober 2004 einen gutheissenden Einspracheentscheid.
A.c Nach Begutachtung bei Dr. med. B._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin (Expertise vom 14. Dezember 2004), sowie einer in der Beruflichen Abklärungsstelle (BEFAS) vom 5. bis 20. Dezember 2005 stattgefundenen beruflichen Abklärung verfügte die IV-Stelle für Versicherte im Ausland die Abweisung des "Erhöhungsgesuches" (Verfügung vom 5. Dezember 2006; Invaliditätsgrad: 59 %).
B. L._ führte Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht, während deren Hängigkeit er am 17. Dezember 2008 verstarb. Seine Erben traten in das Verfahren ein. Mit Entscheid vom 15. Dezember 2009 hiess das Gericht die Beschwerde in dem Sinne teilweise gut, als es für die Zeit von Juni 1999 bis Mai 2006 eine halbe Rente und Juni 2006 bis Dezember 2006 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zusprach.
C. Die Erben des L._ lassen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben und beantragen, von Juni 1999 bis Dezember 2000 sei eine halbe und von Januar 2001 bis Dezember 2001 eine Dreiviertelsrente zu gewähren, welche ab Januar 2002 bis Dezember 2006 auf eine ganze Invalidenrente anzuheben sei. Sodann beantragen sie Verzugszinsen von 5 % ab Juni 1999 und für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 7'000.-. Die unentgeltliche Prozessführung sei auch im Verfahren vor Bundesgericht zu gewähren.
Die IV-Stelle des Kantons Thurgau und jene für Versicherte im Ausland schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) enthält sich der Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Im Verfahren vor Bundesgericht dürfen gemäss <ref-law> neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Werden Tatsachen etwa erst durch den vorinstanzlichen Entscheid rechtswesentlich, so sind die im letztinstanzlichen Verfahren neu dazu eingereichten Belege als zulässige Noven im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren (Urteil 8C_184/2009 vom 25. August 2009 E. 4.3.1 NICOLAS VON WERDT, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 6 zu <ref-law>).
2. 2.1 Gemäss <ref-law> ist zur Entgegennahme und Prüfung der Anmeldung diejenige IV-Stelle zuständig, in deren Tätigkeitsgebiet die Versicherten ihren Wohnsitz haben (lit. a); für im Ausland wohnende Versicherte ist unter Vorbehalt von Abs. 2 von <ref-law> die IV-Stelle für Versicherte im Ausland zuständig (lit. b). <ref-law> regelt die Zuständigkeit bei Grenzgängern in der Weise, dass zur Entgegennahme und Prüfung der Anmeldungen die IV-Stelle zuständig ist, in deren Tätigkeitsgebiet der Grenzgänger eine Erwerbstätigkeit ausübt. Dies gilt auch für ehemalige Grenzgänger, sofern sie bei der Anmeldung ihren ordentlichen Wohnsitz noch in der benachbarten Grenzzone haben und der Gesundheitsschaden auf die Zeit ihrer Tätigkeit als Grenzgänger zurückgeht. Die Verfügungen werden von der IV-Stelle für Versicherte im Ausland erlassen. Die einmal begründete Zuständigkeit der IV-Stelle bleibt im Verlaufe des Verfahrens erhalten (<ref-law>).
2.2 Der Versicherte wohnte im Zeitpunkt der Leistungsanmeldung in Deutschland und arbeitete zuletzt im Kanton Thurgau, weshalb die Zuständigkeit zur Entgegennahme und Prüfung des Gesuches bei der IV-Stelle des Kantons Thurgau lag. Es war hingegen Sache der IV-Stelle für Versicherte im Ausland, in der gegen die Verfügung vom 25. August 2004 u.a. mit dem Antrag der Rentenerhöhung erhobenen Einsprache den Entscheid zu erlassen (<ref-law>). Vor diesem Hintergrund kann der Einspracheentscheid der IV-Stelle des Kantons Thurgau vom 13. Oktober 2004 nur als Antrag für den von der IV-Stelle für Versicherte im Ausland zu fällenden Einspracheentscheid verstanden werden. Denn erst mit Verfügung vom 5. Dezember 2006 hat die örtlich zuständige IV-Stelle für Versicherte im Ausland das "Erhöhungsgesuch" abgewiesen. Demzufolge ist Gegenstand der Verfügung vom 5. Dezember 2006 entgegen deren scheinbarem Wortlaut nicht eine Rentenrevision, sondern die Bestätigung der Rentenverfügung vom 25. August 2004, weshalb - wie die Vorinstanz richtig erkannt hat und im Übrigen unbestritten ist - die erstmalige Rentenfestsetzung streitig und zu prüfen ist.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen über den Begriff der Invalidität (<ref-law>) sowie den Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law> in der bis zum 31. Dezember 2007 gültigen Fassung) und die Bemessung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law> [in der bis zum 31. Dezember 2007 gültigen Fassung] in Verbindung mit <ref-law>) richtig wiedergegeben. Korrekt sind sodann die Ausführungen zur Aufgabe des Arztes und zum Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 4 S. 261, 125 V 351 E. 3a S. 352). Darauf wird verwiesen. In prozessrechtlicher Hinsicht ist zu ergänzen, dass es sich bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage handelt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Die konkrete Beweiswürdigung stellt gleichermassen eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil 9C_270/2008 vom 12. August 2008 E. 2.2).
3.2 Zutreffend hat das vorinstanzliche Gericht sodann erwogen, dass der massgebliche Prüfungszeitpunkt des vorliegenden Beschwerdeverfahrens die Zeit zwischen März 1998 und 5. Dezember 2006, dem Zeitpunkt der angefochtenen Verfügung, ist. Soweit die Beschwerdeführerin eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes des verstorbenen Versicherten nach Dezember 2006 geltend macht, fehlt es an einem Streitgegenstand, und es kann darauf nicht eingetreten werden.
4. 4.1 Das Bundesverwaltungsgericht erwog, aufgrund der Aktenlage und mit Blick auf die vielfältigen gesundheitlichen Beeinträchtigungen hätte die Verwaltung zur Einschätzung der Leistungsfähigkeit ein polydisziplinäres Gutachten erstellen müssen. Da ein solches fehle, sei der Sachverhalt nicht hinreichend abgeklärt. Eine Begutachtung könne heute nicht mehr durchgeführt werden, weil der Versicherte verstorben sei. Dem halten die Beschwerdeführer entgegen, die Vorinstanz sei nicht davon entbunden, aufgrund der Akten zu entscheiden, ob und allenfalls in welchem Ausmass ab Juni 1999 eine psychische Beeinträchtigung vorgelegen habe. Indem sie dies unterlasse, verletze sie den Untersuchungsgrundsatz und folglich Bundesrecht. Weil eine Begutachtung ausser Betracht falle, könne nur mehr eine antizipierte Beweiswürdigung aufgrund der Akten stattfinden.
4. 4.1 Das Bundesverwaltungsgericht erwog, aufgrund der Aktenlage und mit Blick auf die vielfältigen gesundheitlichen Beeinträchtigungen hätte die Verwaltung zur Einschätzung der Leistungsfähigkeit ein polydisziplinäres Gutachten erstellen müssen. Da ein solches fehle, sei der Sachverhalt nicht hinreichend abgeklärt. Eine Begutachtung könne heute nicht mehr durchgeführt werden, weil der Versicherte verstorben sei. Dem halten die Beschwerdeführer entgegen, die Vorinstanz sei nicht davon entbunden, aufgrund der Akten zu entscheiden, ob und allenfalls in welchem Ausmass ab Juni 1999 eine psychische Beeinträchtigung vorgelegen habe. Indem sie dies unterlasse, verletze sie den Untersuchungsgrundsatz und folglich Bundesrecht. Weil eine Begutachtung ausser Betracht falle, könne nur mehr eine antizipierte Beweiswürdigung aufgrund der Akten stattfinden.
4.2 4.2.1 Gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> fällt es der IV-Stelle zu, nach Eingang der Anmeldung zum Leistungsbezug die Verhältnisse abzuklären. Werden die versicherungsmässigen Voraussetzungen bejaht, beschafft sie die erforderlichen Unterlagen, insbesondere über den Gesundheitszustand, die Tätigkeit, die Arbeits- und Eingliederungsfähigkeit der versicherten Person sowie die Zweckmässigkeit bestimmter Eingliederungsmassnahmen. Zu diesem Zweck können Berichte und Auskünfte verlangt, Gutachten eingeholt, Abklärungen an Ort und Stelle vorgenommen sowie Spezialisten der öffentlichen oder privaten Invalidenhilfe beigezogen werden (<ref-law>). Welche konkreten Abklärungsmassnahmen in gesundheitlicher und beruflich-erwerblicher Hinsicht im Hinblick auf eine rechtsgenügliche Sachverhaltsermittlung geboten sind, lässt sich mit Blick auf die Besonderheiten des Einzelfalles nicht allgemein sagen (Urteil I 281/06 vom 24. Juli 2006 E. 3.2.1, Urteil I 457/04 vom 26. Oktober 2004 E. 4.2, publ. in: SVR 2006 IV Nr. 10 S. 38).
4.2.2 Führen die von Amtes wegen vorzunehmenden Abklärungen die Verwaltung oder das Gericht bei pflichtgemässer Beweiswürdigung zur Überzeugung, ein bestimmter Sachverhalt sei als überwiegend wahrscheinlich zu betrachten, und es könnten weitere Beweismassnahmen an diesem feststehenden Ergebnis nichts mehr ändern, ist auf die Abnahme weiterer Beweise zu verzichten (antizipierte Beweiswürdigung; KIESER, Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, S. 212, N. 450; KÖLZ/HÄNER, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 1998, S. 39, N. 111 und S. 117, N. 320; GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 1983, S. 274; vgl. auch <ref-ruling> E. 4a S. 469, 122 III 219 E. 3c S. 223, 120 Ib 224 E. 2b S. 229, 119 V 335 E. 3c S. 343 mit Hinweis). In einem solchen Vorgehen liegt kein Verstoss gegen das rechtliche Gehör gemäss <ref-law> (SVR 2001 IV Nr. 10 S. 28 E. 4b; zu Art. 4 Abs. 1 aBV ergangene, weiterhin geltende Rechtsprechung: <ref-ruling> E. 4b S. 94, 122 V 157 E. 1d S. 162 mit Hinweis).
4.2.3 Der Sozialversicherungsprozess ist vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht. Danach hat das Gericht von Amtes wegen für die richtige und vollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhaltes zu sorgen. Dieser Grundsatz gilt indessen nicht uneingeschränkt; er findet sein Korrelat in den Mitwirkungspflichten der Parteien (<ref-ruling> E. 2 S. 195, 122 V 157 E. 1a S. 158, je mit Hinweisen). Der Untersuchungsgrundsatz schliesst die Beweislast im Sinne einer Beweisführungslast begriffsnotwendig aus. Im Sozialversicherungsprozess tragen mithin die Parteien in der Regel eine Beweislast nur insofern, als im Falle der Beweislosigkeit der Entscheid zu Ungunsten jener Partei ausfällt, die aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte. Diese Beweisregel greift allerdings erst Platz, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes auf Grund einer Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (<ref-ruling> E. 3b S. 263 mit Hinweisen).
4.3 Der Verzicht auf zusätzliche Beweise ist mit Blick auf den Untersuchungsgrundsatz nur zulässig, falls im Rahmen einer antizipierten Beweiswürdigung der Sachverhalt als überwiegend wahrscheinlich erstellt gilt und weitere Abklärungen an diesem Ergebnis nichts mehr ändern (E. 4.2.2). Andernfalls ist zu prüfen, ob auf andere Beweismittel als eine Expertise zurückzugreifen ist. Kommt das Gericht zum Schluss, der Beweis sei weder durch weitere Beweismassnahmen noch durch eine antizipierte Beweiswürdigung zu erbringen, liegt Beweislosigkeit vor. Der Vorinstanz ist daher nicht beizupflichten, wenn sie von weiteren Abklärungen schon deshalb absieht, weil eine Begutachtung zufolge des Todes des Versicherten ausgeschlossen ist, ohne der Frage nachzugehen, ob der Beweis anders erhoben werden kann. Vielmehr wäre vorinstanzlich zu prüfen gewesen, ob beispielsweise mit einem Aktengutachten der Sachverhalt ergänzt werden kann (<ref-law>).
Allerdings beantragen die Beschwerdeführer vor Bundesgericht keine zusätzlichen Beweismassnahmen; namentlich kein Aktengutachten (vgl. E. 1.2 hievor), weshalb offen bleiben kann, ob einem solchen Folge zu geben wäre. Die Erben verlangen hingegen, es sei im Rahmen einer antizipierten Beweiswürdigung aufgrund der Akten zu entscheiden, andernfalls die Annahme der Beweislosigkeit das von der Verwaltung mangelhaft geführte Abklärungsverfahren sanktioniere. Richtig ist, dass der Leistungsanspruch in jedem Fall gestützt auf die Akten zu prüfen ist, was die Vorinstanz getan hat. Hingegen liegt die rechtliche Bedeutung der antizipierten Beweiswürdigung darin, nach der Notwendigkeit weiterer Beweismassnahmen zu fragen, ohne dass sich am Beweismass etwas ändert. Weil die Beschwerdeführer keine zusätzlichen Abklärungen beantragen, greift sie hier nicht, und es stellt sich allein die Frage, welchen Sachverhalt die Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig als mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ausgewiesen feststellen durfte (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 BGG).
5. 5.1 Die Vorinstanz stellte fest, dass ab Juni 1999 in der angestammten Tätigkeit des Schreiners eine vollständige Arbeitsunfähigkeit vorlag, was nicht im Streite liegt. In einer dem Leiden angepassten Verweistätigkeit schloss das Gericht ab Juni 1999 bis Februar 2006 auf eine Einbusse von 40 %, welche vom März 2006 an bis zum Verfügungszeitpunkt vom 5. Dezember 2006 auf 50 % angestiegen sei. Hiebei stützte es sich auf die Stellungnahme des RAD-Arztes Dr. med. T._ vom 2. Oktober 2006, das Gutachten des Dr. med. B._ vom 14. Dezember 2004 und den Austrittsbericht der BEFAS vom 23. März 2006. Die Beschwerdeführer rügen ein offensichtlich unrichtig ermitteltes Leistungsvermögen in einer angepassten Beschäftigung, wobei sie die Einschätzung einer 60%igen Arbeitsfähigkeit bis Februar 2006 mit Blick auf die Schwerhörigkeit, das Nierenleiden, die kardiologischen und psychischen Beschwerden bestreiten. Dabei berufen sie sich vorab auf die Beurteilung vom 2. April 2003 der Frau Dr. med. U._, Fachärztin für Allgemeinmedizin. Im Weiteren erwähnen sie Berichte der Dres. med. D._, Facharzt für Innere Medizin, A._, Facharzt für Innere Medizin und Kardiologie, R._, Spezialarzt für HNO, sowie E._, Facharzt für Psychiatrie und Neurologie.
5.2 Der Beurteilung von Frau Dr. med. U._ hat das vorinstanzliche Gericht wegen der ungenügenden Begründung rechtsfehlerfrei keinen Beweiswert zugesprochen. Die Ärztin schloss die Ausübung jeder Beschäftigung im Wesentlichen deshalb vollständig aus, weil der Versicherte angesichts der Gesamtpersönlichkeit und der Leiden keinen Arbeitgeber mehr von seiner Leistungsfähigkeit überzeugen könne, wobei sie von den subjektiven Schmerzangaben ausging, ohne darzulegen, inwiefern diese organisch begründet sind. Keine Auseinandersetzung enthält der angefochtene Entscheid jedoch mit den Einschätzungen des behandelnden Arztes Dr. med. D._. Dessen Kurzatteste entfalten von vornherein keine beweisrechtliche Bedeutung, begründen sie doch die festgehaltene Arbeitsunfähigkeit nicht, und Dr. med. D._ bezieht keine Stellung zur Leistungsfähigkeit in einer Verweistätigkeit. Sodann beriefen sich die Beschwerdeführer bereits im vorinstanzlichen Verfahren und erneut vor Bundesgericht auf die Atteste der Dres. med. A._ vom 4. September 2006 sowie R._ vom 29. August 2006, wozu sich das Bundesverwaltungsgericht nicht äusserte. Allerdings gilt das über die Zeugnisse des Dr. med. D._ Gesagte auch hier und ein Beweiswert ist den Stellungnahmen nicht zuzugestehen, zumal Dr. med. A._ allein die Arbeitsfähigkeit im angestammten Beruf schätzte und Dr. med. R._ sich der Beurteilung zur Leistungsfähigkeit gänzlich enthielt. Die Beschwerdeführer lassen zudem ausser Acht, dass die Hörstörung der Korrektur zugänglich war. Nicht abgestellt werden kann auf die Beurteilung des Dr. med. E._ vom 9. Januar 2003 mit der Diagnose einer mittelgradigen depressiven Episode (ICD-10: F.33.1). Der Bericht enthält keine Leistungseinschätzung, sondern nur die Beurteilung des Dr. med. E._, wonach eine Wiedereingliederung des Versicherten ins Erwerbsleben unrealistisch erscheine. Andere psychiatrische Berichte, welche auf eine Leistungseinschränkung schliessen liessen, liegen nicht vor, weshalb in dieser Hinsicht ein Leistungsanspruch nicht begründet werden kann (E. 4.2.3 hievor). Offen bleiben kann daher, ob es sich bei der Rüge einer durch psychiatrische Beschwerden eingeschränkten Leistungsfähigkeit um ein Novum im Sinne von <ref-law> handelt (E. 1.2 hievor).
6. 6.1 Die Dres. med. T._ und B._ schätzten die Leistungseinbusse namentlich aus organischer Sicht, was ebenso für den Austrittsbericht der BEFAS vom 23. März 2006 gilt. Allerdings bezog Dr. med. B._ in massgeblicher Weise somatoforme Schmerzbefunde in die Leistungseinschätzung ein, und im Austrittsbericht der BEFAS wird die Arbeitsfähigkeit anhand der subjektiv gezeigten Leistung festgelegt. Der vorinstanzliche Entscheid berücksichtigte demzufolge auch Einbussen mit somatoformem Hintergrund. Weil das Bundesverwaltungsgericht den Sachverhalt in psychiatrischer Hinsicht für nicht genügend abgeklärt hielt und deswegen eine Expertise zwar für ausgewiesen erachtete, jedoch wegen des Todes des Versicherten ausschloss, hätte die Leistungsfähigkeit unter Ausserachtlassung der nicht rechtsgenüglich bewiesenen somatoformen Beschwerden auf der Basis der organischen Befunde festgestellt werden müssen. Denn aus einem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt können keine Rechte abgeleitet werden (E. 4.2.3 hievor). Da das Bundesgericht indes nicht über die Anträge der Parteien hinausgehen darf, muss es hiemit sein Bewenden haben (<ref-law>). Jedenfalls steht fest, dass sich keine mit überwiegender Wahrscheinlichkeit höhere Leistungseinschränkung als von der Vorinstanz festgestellt nachweisen lässt.
6.2 Nicht zu hören sind die Beschwerdeführer mit der appellatorischen Rüge, es sei ein leidensbedingter Abzug vom Invalideneinkommen von 25 % anstelle der verfügten 20 % einzubeziehen (Urteil 9C_569/2008 vom 1. Oktober 2008 E. 1.2).
7. 7.1 Gemäss Art. 65 Abs. 1 und 2 VwVG, welcher auf das Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht Anwendung findet (Art. 37 VGG), wird einer bedürftigen Partei, deren Begehren nicht aussichtslos erscheint, nebst der Befreiung von der Bezahlung der Verfahrenskosten seitens der Beschwerdeinstanz ein Anwalt bestellt, "wenn es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist". Letzteres ist der Fall, wenn die Geltendmachung des Standpunktes der betreffenden Partei besondere Rechtskenntnisse erfordert, über die ein Rechtsunkundiger nicht verfügt, und zugleich erhebliche Interessen der Partei auf dem Spiele stehen. Laut <ref-law> kann die Beschwerdeinstanz der ganz oder teilweise obsiegenden Partei von Amtes wegen oder auf Begehren eine Entschädigung für ihr erwachsene notwendige und verhältnismässig hohe Kosten zusprechen. Gemäss <ref-law> haben die Parteien, die Anspruch auf Parteientschädigung erheben, und die amtlich bestellten Anwälte und Anwältinnen dem Gericht vor dem Entscheid eine detaillierte Kostennote einzureichen (Abs. 1). Das Gericht setzt die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtlich bestellten Anwälte und Anwältinnen auf Grund der Kostennote fest. Wird keine Kostennote eingereicht, so setzt das Gericht die Entschädigung aufgrund der Akten fest (Abs. 2).
7.2 Der vom Gesetzgeber in <ref-law> verwendete Begriff der "notwendigen und verhältnismässig hohen Kosten" gewährt der urteilenden Instanz einen erheblichen Beurteilungsspielraum (Urteil 2A.468/2005 vom 7. April 2006 E. 3.2). Sie hat ausgehend von den konkreten Umständen des Einzelfalles und der jeweiligen Prozesslage frei zu würdigen, ob und in welcher Höhe eine Parteientschädigung geschuldet ist. Handelt es sich um die Konkretisierung unbestimmter Rechtsbegriffe, auferlegt sich das Bundesgericht bei der Überprüfung Zurückhaltung (Urteil 2D_87/2008 vom 10. November 2009 E. 2, Urteil 2A.112/2007 vom 30. Juli 2007 E. 3.2). Soweit es um die Bemessung einer Parteientschädigung geht, hat das Bundesverwaltungsgericht auch Ermessen auszuüben, was das Bundesgericht nicht überprüft (Hansjörg Seiler, Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 49 zu <ref-law>). Als Rechtsverletzung unterliegt allein der Ermessensmissbrauch, die Ermessensüberschreitung und die Ermessensunterschreitung der Überprüfung (<ref-law>; Urteil 9C_404/2007 vom 11. April 2008 E. 1.3, publ. in: SVR 2008 IV Nr. 49; Ulrich Meyer, Basler-Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 35 zu <ref-law>). Ermessen ist namentlich im Spiel, wenn - wie hier - die Entschädigung gestützt auf <ref-law> vom Gericht aufgrund der Akten festzusetzen ist, weil die Partei keine Kostennote eingereicht hat.
7.3 Die Beschwerdeführer rügen die vom Bundesverwaltungsgericht zugesprochene Parteientschädigung von Fr. 3'100.- insbesondere deshalb als zu niedrig, weil die durch den Tod des Versicherten nötig gewordene Beschaffung der Erbenbescheinigung und die Abklärungen zur Weiterführung des Beschwerdeverfahrens als Mehraufwand unberücksichtigt geblieben seien. Die von der Vorinstanz getroffene gegenteilige Feststellung eines hiedurch entstandenen geringen Mehraufwands erscheint jedoch schon deshalb als nachvollziehbar, weil die Erben einen Vertreter bestellt haben, der offenkundig für die Rechtsvertreterin die notwendigen Unterlagen und Erklärungen beschafft hat; zusätzlicher Aufwand wird nicht substanziiert. Sodann ist auf die appellatorische Rüge nicht einzugehen, die Entschädigung werde der Komplexität der Sache und dem grossen Umfang der Akten nicht gerecht. Unbeachtet bleibt dabei, dass die Rechtsvertreterin seit Jahren in die Sache involviert ist. Das Bundesverwaltungsgericht hat die Parteientschädigung ohne Ermessensfehler festgesetzt.
8. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist stattzugeben, da der Prozess nicht aussichtslos war, die Parteien bedürftig sind und die anwaltliche Verbeiständung geboten ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach die Parteien der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben, wenn sie später dazu in der Lage sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Den Beschwerdeführern wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden den Beschwerdeführern auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwältin Dr. Barbara Wyler wird als unentgeltliche Anwältin der Beschwerdeführer bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der IV-Stelle des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Juni 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Borella Ettlin