Erwägungen:
1. X._ (geb. 1987) reiste am 1. Oktober 2007 illegal in die Schweiz ein. Er gab an, aus Guinea zu stammen, und stellte am folgenden Tag ein Asylgesuch. Das Bundesamt für Migration trat am 6. November 2007 auf dieses Gesuch nicht ein und forderte X._ unter Androhung von Zwangsmassnahmen auf, die Schweiz zu verlassen. Mit dem Vollzug der Wegweisung wurde der Kanton Solothurn beauftragt. Nach der Zustellung dieses inzwischen rechtskräftig gewordenen Entscheides tauchte X._ unter. Am 18. März 2008 wurde er aufgrund einer Ausschreibung im Fahndungssystem Ripol in Genf angehalten, dem Amt für öffentliche Sicherheit in Solothurn zugeführt und von diesem in Ausschaffungshaft genommen. Am 20. März 2008 prüfte und genehmigte das Haftgericht des Kantons Solothurn die Haft bis zum 17. Juni 2008.
Inzwischen waren mit X._ zwei Herkunftsgespräche geführt worden. Die Herkunftsanalyse ergab, dass er mit grosser Wahrscheinlichkeit aus dem Senegal stammt. Dies wurde von ihm am 13. Juni 2008 denn auch ausdrücklich anerkannt; eine Kontaktaufnahme mit der entsprechenden diplomatischen Vertretung verweigerte er allerdings.
Am 13. Juni 2008 verfügte das Amt für öffentliche Sicherheit die Verlängerung der Ausschaffungshaft um drei Monate. Mit Urteil vom 16. Juni 2008 prüfte das Haftgericht diese Verlängerung und genehmigte sie bis zum 16. September 2008.
2. Am 14. Juli 2008 wandte sich X._ mit zwei Schreiben in französischer Sprache an das Haftgericht des Kantons Solothurn und ersuchte um seine Haftentlassung. Das Haftgericht leitete diese Eingabe zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiter.
3. Die Eingabe ist - soweit sich der Beschwerdeführer darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt (vgl. <ref-law>) - offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
3.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden. Daraufhin verschwand er ohne Adressangabe und wurde schliesslich in Genf aufgegriffen. Darüber hinaus hat er zu seiner Herkunft widersprüchliche Angaben gemacht und offensichtlich erst unter dem Druck der vorgenommenen Abklärungen zugegeben, aus dem Senegal zu stammen. Er weigert sich jedoch nach wie vor, bei der Beschaffung von Reisepapieren mitzuwirken. Gestützt auf dieses Verhalten besteht bei ihm "Untertauchensgefahr" im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.).
3.2 Daran ändert nichts, dass er in der Beschwerde nun nähere Angaben zu seinem Herkunftsort in Senegal macht. Soweit er sich über die Verhältnisse in seiner Heimat beklagt und damit seine Wegweisung in Frage stellen will, verkennt er, dass hierüber im Asylverfahren rechtskräftig entschieden wurde und er diese Frage im Haftprüfungsverfahren nicht mehr aufwerfen kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff; <ref-ruling> E. 2 S. 220). Hinsichtlich seines Einwandes, man möge ihm eine letzte Chance geben ("de me donner une dernière chance pour mon avenir"), was ihm u.a. erlauben werde, das Land zu verlassen, ist nicht ersichtlich, wie er dies ohne gültige Reisepapiere rechtmässig tun könnte; nur sein Heimatstaat ist verpflichtet, ihn gegebenenfalls auch ohne solche zurückzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2). Der Beschwerdeführer kann die Dauer seiner ausländerrechtlich begründeten Festhaltung verkürzen, indem er bei der Organisation seiner Heimkehr mit den Behörden zusammenarbeitet. Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>).
4. Aufgrund der Umstände rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>). Das Amt für öffentliche Sicherheit des Kantons Solothurn wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird; für ein Abweichen von der Regel, wonach das Verfahren vor Bundesgericht in der Sprache des angefochtenen Entscheides geführt wird (<ref-law>), bestand vorliegend kein Anlass.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Hungerbühler Klopfenstein