Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene S._ arbeitete als Primarlehrerin im Bereich der integrativen Förderung, als sie am 3. Oktober 2001 mit dem Fahrrad stürzte (Streifkollision mit einem nach rechts abbiegenden Personenwagen) und mit der linken Kopfseite auf dem Asphalt aufschlug. Noch am selben Tag wurde sie im Kantonsspital ambulant behandelt. Ihr Hausarzt, Dr. med. B._, stellte im ärztlichen Zwischenbericht UVG vom 29. Oktober 2001 zu Handen des obligatorischen Unfallversicherers der Verunfallten, die Elvia Versicherungen (heute: Allianz Suisse Versicherungen [nachfolgend: Allianz Suisse]) die Diagnose einer Schädelkontusion mit posttraumatischem Cervicalsyndrom. Er attestierte eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bis 17. Oktober 2001. Danach arbeitete S._ wieder im normalen zeitlichen Umfang. Am 10. Oktober 2001 hatte sie mit einer ambulanten kinesiologischen Behandlung begonnen. Dazu kamen Physiotherapie und Akupunktur. Am 18. März 2002 teilte Dr. med. B._ den Abschluss der schulmedizinischen Behandlung seit 15. Februar 2002 mit. Am 8. Mai 2002 wurde S._ von Prof. Dr. med. E._ untersucht. Dieser attestierte wegen der weichteilrheumatischen und psychischen Beschwerden sowie aufgrund der neuropsychologischen Defizite eine Arbeitsunfähigkeit von 40 %. Er empfahl u.a. eine ambulante psychotherapeutische Behandlung, welche im Zeitraum Juni bis Dezember 2002 durchgeführt wurde. Ab 3. September 2003 unterzog sich S._ erneut einer Psychotherapie. Mit Verfügung vom 20. November 2002 hatte die Allianz Suisse die Versicherungsleistungen mangels adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Sturz vom 3. Oktober 2001 und den anhaltenden Beschwerden zum 31. Juli 2002 eingestellt. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 16. März 2004 fest.
Am 6. Mai 2004 wurde S._ von Dr. phil. O._ neuropsychologisch untersucht sowie am 7. und 22. April 2004 im Auftrag des Haftpflichtversicherers durch Dr. med. H._ psychiatrisch begutachtet.
Am 6. Mai 2004 wurde S._ von Dr. phil. O._ neuropsychologisch untersucht sowie am 7. und 22. April 2004 im Auftrag des Haftpflichtversicherers durch Dr. med. H._ psychiatrisch begutachtet.
B. Die Beschwerde der S._ gegen den Einspracheentscheid vom 16. März 2004 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern materiell und auch in Bezug auf den Antrag, die Allianz Suisse habe ihre Leistungen auch während des Verfahrens auszurichten, mit Entscheid vom 8. Juli 2005 ab.
B. Die Beschwerde der S._ gegen den Einspracheentscheid vom 16. März 2004 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern materiell und auch in Bezug auf den Antrag, die Allianz Suisse habe ihre Leistungen auch während des Verfahrens auszurichten, mit Entscheid vom 8. Juli 2005 ab.
C. S._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und zur Hauptsache beantragen, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben und es seien ihr «sämtliche möglichen gesetzlichen Leistungen ab dem frühest möglichen Zeitpunkt zuzusprechen».
Kantonales Gericht und Allianz Suisse beantragen je die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Kantonales Gericht und Allianz Suisse beantragen je die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Nach Abschluss des Schriftenwechsels hat der Rechtsvertreter von S._ ein Schreiben der Schulpflege B._ vom 20. September 2005 betreffend die Auflösung des Arbeitsverhältnisses infolge dauernder Arbeitsunfähigkeit auf Ende Januar 2006 eingereicht.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Das kantonale Gericht hat den Antrag in der Beschwerde, die Allianz Suisse habe ihre Leistungen auch während des Verfahrens zu erbringen, abgewiesen. Dies ist unangefochten geblieben. Ebenfalls ist für das letztinstanzliche Verfahren kein solches Begehren gestellt worden. Es besteht kein Grund, der Verwaltungsgerichtsbeschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen (Art. 111 Abs. 2 OG).
1. Das kantonale Gericht hat den Antrag in der Beschwerde, die Allianz Suisse habe ihre Leistungen auch während des Verfahrens zu erbringen, abgewiesen. Dies ist unangefochten geblieben. Ebenfalls ist für das letztinstanzliche Verfahren kein solches Begehren gestellt worden. Es besteht kein Grund, der Verwaltungsgerichtsbeschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen (Art. 111 Abs. 2 OG).
2. Die Vorinstanz hat die Einstellung der Versicherungsleistungen (Heilbehandlung, Taggeld) zum 31. Juli 2002 durch die Allianz Suisse bestätigt, weil spätestens in diesem Zeitpunkt der Sturz mit dem Fahrrad vom 3. Oktober 2001 nicht mehr adäquate Ursache der geklagten Beschwerden (Kopf-, Nacken- und Schulterschmerzen, Schwindel, neuropsychologische Funktionsausfälle und psychische Störungen) gewesen sei. Den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall, diesen Beschwerden und der dadurch bedingten Arbeitsunfähigkeit hat die Vorinstanz zumindest im Sinne einer Teilursache bejaht.
Mit dem Unfallversicherer davon ausgehend, dass die Versicherte eine schleudertraumaähnliche Verletzung erlitt, hat das kantonale Gericht die Adäquanz nach Massgabe von <ref-ruling> ff. Erw. 6a und b geprüft. Auf Grund des augenfälligen Geschehensablaufs und der erlittenen Verletzungen hat es den Sturz mit dem Fahrrad nach einer Streifkollision mit einem Personenwagen als mittelschweres Ereignis im Grenzbereich zu den leichten Unfällen qualifiziert. Es hat dem Vorfall eine gewisse Eindrücklichkeit nicht abgesprochen. Eine besondere Eindrücklichkeit hat es jedoch ebenso wie besonders dramatische Begleitumstände verneint. Im Unfallzeitpunkt habe Kolonnenverkehr geherrscht und es habe keine Gefahr bestanden, dass die Versicherte durch andere Verkehrsteilnehmer besonders gefährdet worden sei. Von den weiteren Beurteilungskriterien hat die Vorinstanz einzig «Dauerbeschwerden» sowie «Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit» bejaht. Insgesamt hat das kantonale Gericht die massgeblichen Kriterien weder in gehäufter Weise noch einzelne von ihnen in besonders ausgeprägter Weise als gegeben erachtet.
Mit dem Unfallversicherer davon ausgehend, dass die Versicherte eine schleudertraumaähnliche Verletzung erlitt, hat das kantonale Gericht die Adäquanz nach Massgabe von <ref-ruling> ff. Erw. 6a und b geprüft. Auf Grund des augenfälligen Geschehensablaufs und der erlittenen Verletzungen hat es den Sturz mit dem Fahrrad nach einer Streifkollision mit einem Personenwagen als mittelschweres Ereignis im Grenzbereich zu den leichten Unfällen qualifiziert. Es hat dem Vorfall eine gewisse Eindrücklichkeit nicht abgesprochen. Eine besondere Eindrücklichkeit hat es jedoch ebenso wie besonders dramatische Begleitumstände verneint. Im Unfallzeitpunkt habe Kolonnenverkehr geherrscht und es habe keine Gefahr bestanden, dass die Versicherte durch andere Verkehrsteilnehmer besonders gefährdet worden sei. Von den weiteren Beurteilungskriterien hat die Vorinstanz einzig «Dauerbeschwerden» sowie «Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit» bejaht. Insgesamt hat das kantonale Gericht die massgeblichen Kriterien weder in gehäufter Weise noch einzelne von ihnen in besonders ausgeprägter Weise als gegeben erachtet.
3. 3.1 Weder der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Sturz mit dem Fahrrad vom 3. Oktober 2001 und den geklagten Beschwerden, noch dass die Versicherte eine schleudertraumaähnliche Verletzung erlitt, sind bestritten. Es besteht kein Anlass, auf diese Punkte näher einzugehen (<ref-ruling> Erw. 1b und 417 oben).
3.2 Gegen die vorinstanzliche Adäquanzbeurteilung wird in erster Linie vorgebracht, die Versicherte leide heute noch an anhaltenden Kopf-, Nacken- und Schulterschmerzen rechts sowie an Rückenschmerzen und Schwindelbeschwerden. Ebenfalls bestünden Konzentrations- und Gedächtnisstörungen sowie rasche Ermüdbarkeit. Diese Beschwerden seien nicht psychischer Natur. Nach der Schleudertraumapraxis gemäss <ref-ruling> sei somit der adäquate Kausalzusammenhang zum Unfall vom 3. Oktober 2001 zu bejahen. Im Übrigen hätten Vorinstanz und Unfallversicherer im Rahmen der Adäquanzbeurteilung eine allfällige Teilkausalität prüfen müssen. Es könne nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und der allgemeinen Lebenserfahrung schlicht nicht sein, dass bei einer Person ohne vorbestandene gesundheitliche Probleme ein Verkehrsunfall nicht zumindest teilweise für die danach aufgetretenen Probleme verantwortlich sei.
Die angegebenen Beschwerden sind in dem Sinne nicht objektivierbar, dass erklärende pathologische Befunde nicht nachgewiesen werden konnten. Es fehlt insbesondere für das Cervicalsyndrom ein organisches Substrat. Mit Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs kann somit nicht auch die Adäquanz als gegeben betrachtet werden (<ref-ruling> Erw. 5d/bb und RKUV 2004 Nr. U 505 S. 246 [U 116/03]). Nichts anderes ergibt sich aus den in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde erwähnten Präjudizien. Ist im Besonderen ein dem Schleudertrauma der Halswirbelsäule äquivalenter Verletzungsmechanismus gegeben (vgl. RKUV 2000 Nr. U 395 [U 160/98] S. 317 Erw. 3), können die einzelnen Symptome und Funktionsausfälle des dazugehörigen typischen Beschwerdebildes grundsätzlich nicht isoliert betrachtet und die Prüfung, ob der Unfall eine adäquate Ursache hiefür ist, jeweils in Anwendung der allgemeinen Adäquanzformel (<ref-ruling> Erw. 3.2 mit Hinweis) vorgenommen werden. Etwas anderes lässt sich jedenfalls nicht auf dem Weg der Analogie daraus ableiten, dass beim natürlichen Kausalzusammenhang genügt, wenn der Unfall zumindest eine Teilursache der geklagten Beschwerden bildet (<ref-ruling> Erw. 1 in fine mit Hinweis). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin gibt es bei der Beurteilung der Adäquanz - anders als bei der natürlichen Kausalität (<ref-ruling> Erw. 1) - keine Teilkausalität: Die adäquate Kausalität ist entweder zu bejahen oder zu verneinen (Thomas Ackermann, Adäquanz und Vorhersehbarkeitsregel, Bern 2002, S. 57 mit Hinweisen). Abgesehen davon lassen sich vorliegend die verschiedenen Beschwerden nicht hinreichend klar voneinander trennen. Insbesondere stehen die neuropsychologischen Defizite nicht derart klar im Vordergrund, dass die Frage des natürlichen und des adäquaten Kausalzusammenhanges zum Unfall vom 3. Oktober 2001 losgelöst von den übrigen Beschwerden zu beurteilen wäre (vgl. Urteil A. vom 19. Juni 2001 [U 69/00] Erw. 4b).
3.3 Im Weitern ist der Beschwerdeführerin darin beizupflichten, dass die Adäquanzprüfung eine umfassende Gesamtbeurteilung der Situation darstellt. Es sind grundsätzlich alle Umstände von Bedeutung, die einen Bezug zum schädigenden Ereignis haben und die objektiv nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und der allgemeinen Lebenserfahrung geeignet sind, allein oder im Zusammenwirken die bei schleudertraumaähnlichen Verletzungen typischen Beschwerden hervorzurufen (vgl. Urteil K. vom 17. Dezember 2003 [U 54/03] Erw. 6.1 und <ref-ruling> Erw. 6c/aa). Ist der Unfall, wie vorliegend der Sturz mit dem Fahrrad vom 3. Oktober 2001, den leichteren Fällen im mittleren Bereich zuzuordnen, müssen die nach der Rechtsprechung heranzuziehenden Beurteilungskriterien in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein, damit die Adäquanz bejaht werden kann (<ref-ruling> Erw. 6b).
3.3.1 Mit Bezug auf das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls ist nachvollziehbar, dass die Beschwerdeführerin Angst gehabt hatte, vom dem auf der Parallelspur verkehrenden Linienbus oder anderen Fahrzeugen überrollt zu werden. Damit diesem Zustand eine über den bei einem Unfall üblicherweise auftretenden Schrecken (<ref-ruling> Erw. 7b) hinausgehende Bedeutung zukommt, muss indessen die Gefahr, an- oder sogar überfahren zu werden, eine konkrete sein. Dies kann aufgrund der Akten nicht gesagt werden. Daran ändert nichts, dass offenbar reger Verkehr herrschte. Es wird denn auch nicht vorgebracht, das die Streifkollision verursachende Fahrzeug oder die anderen Verkehrsteilnehmer seien mit den Verhältnissen nicht angepasster Geschwindigkeit unterwegs gewesen. Unklar ist auch, wie nahe oder weit entfernt der Linienbus im Unfallzeitpunkt war. Von weiteren Abklärungen sind keine neuen Erkenntnisse zu erwarten, weshalb davon abzusehen ist.
3.3.2 Auf Grund der Akten ist zu Recht nicht mehr umstritten, dass die Beschwerdeführerin beim Sturz mit dem Fahrrad nicht schwere oder in ihrer Art besondere Verletzungen erlitt. Ebenfalls kann nicht von einem schwierigen Heilungsverlauf und erheblichen Komplikationen gesprochen werden. Sodann kann mit dem kantonalen Gericht in einer allenfalls zu frühen Wiederaufnahme der vollen Erwerbstätigkeit auf Grund eines entsprechenden ärztlichen Attests nicht eine die Unfallfolgen verschlimmernde ärztliche Fehlbehandlung erblickt werden. Es wird denn auch nicht näher dargelegt, inwiefern dadurch der Heilungsverlauf wesentlich beeinträchtigt wurde.
3.3.3 Dass das Kriterium der «Dauerbeschwerden» gegeben ist, steht ausser Frage. Immerhin weist der Unfallversicherer in seiner Vernehmlassung zu Recht darauf hin, dass auf Grund der medizinischen Akten die Beschwerden von wechselnder Intensität waren und mit der Zeit die psychischen und die neuropsychologischen Störungen in den Vordergrund traten. Selbst wenn die in erster Linie ein Gefühl der Überforderung und Minderwertigkeit vermittelnden neuropsychologischen Defizite als Dauerbeschwerden im adäquanzrechtlichen Sinne verstanden werden, kann dieses Kriterium jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise als gegeben bezeichnet werden. In gleicher Weise kann nicht von einer ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung gesprochen werden. Die kinesiologische und psychotherapeutische Behandlung dauern zwar offenbar heute noch an. Auch kann diesen Therapien nicht ohne weiteres die Qualität einer regelmässigen, zielgerichteten Behandlung abgesprochen werden. Anderseits ist auf Grund der aktenkundigen zeitlichen Verteilung der therapeutischen Massnahmen von einer eher geringen Intensität auszugehen, so dass das Kriterium insofern nicht als besonders ausgeprägt gelten kann.
3.3.4 Das Kriterium «Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit» ist mit der Vorinstanz zu bejahen. Allerdings handelt es sich dabei mit Blick auf die Gerichtspraxis (vgl. RKUV 2001 Nr. U 442 S. 544 ff. [U 56/00]) um eine eher wohlwollende Beurteilung, wie der Unfallversicherer sinngemäss zu Recht einwendet. Aufgrund der Akten bestand nach dem Unfall vom 3. Oktober 2001 während zwei Wochen eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit. Im Zeitraum Oktober 2001 bis Mai 2002 und März 2003 bis April 2004 arbeitete die Beschwerdeführerin im normalen zeitlichen Umfang. Laut dem in diesem Verfahren eingereichten Schreiben der Schulpflege B._ vom 20. September 2005 war sie vom 27. Mai 2002 bis 28. Februar 2003 zwischen 65 % und 40 % sowie seit 26. April 2004 zu rund 30 % bis 60 % arbeitsunfähig. Die Auflösung des Arbeitsverhältnisses infolge dauernder Arbeitsunfähigkeit von mindestens 35 % seit 26. April 2004 auf Ende Januar 2006 ändert nichts daran, dass das Kriterium Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit nicht in besonders ausgeprägter Weise als gegeben bezeichnet werden kann.
Der die Einstellung der Versicherungsleistungen nach UVG zum 31. Juli 2002 mangels Adäquanz bestätigende vorinstanzliche Entscheid ist somit rechtens.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 16. Dezember 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: