Faits:
A.
J._ (né en 1963) travaillait comme sommelier au service de la Brasserie X._ à L._. En tant que tel, il était assuré au titre de la prévoyance professionnelle auprès de GastroSocial Caisse de pension.
Le 15 mai 2009, J._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité (après avoir retiré une première demande le 5 mars 2007), indiquant être incapable de travailler depuis le 19 juin 2008. Après avoir recueilli différents avis médicaux, dont ceux du médecin traitant de l'intéressé, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a soumis J._ à un examen auprès de son Service médical AI (SMR). Cet examen a été effectué par le docteur C._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, qui a conclu à une incapacité totale de travailler de l'assuré, tant dans son activité habituelle que dans une activité adaptée, en raison d'un trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère avec symptômes psychotiques (rapport du 15 novembre 2011). Fort de ces conclusions, l'office AI a alloué à J._ une rente entière d'invalidité à partir du 1 er novembre 2009, par décisions du 25 mai 2012, dont un exemplaire a été adressé à l'institution de prévoyance.
B.
GastroSocial Caisse de pension a déféré ces décisions au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public. A l'appui de ses conclusions, elle a produit un rapport établi le 10 mai 2012 par le docteur S._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, selon lequel l'assuré, atteint d'un trouble dépressif récurrent, épisode actuel léger, disposait d'une capacité de travail notamment de deux fois quatre heures (avec une baisse de rendement d'environ 20 %) dans l'activité de serveur. Statuant le 22 mars 2013, le Tribunal cantonal neuchâtelois a rejeté le recours.
C.
L'institution de prévoyance interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont elle demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut en substance au renvoi de la cause à la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois pour instruction complémentaire notamment sous la forme d'une expertise psychiatrique judiciaire.

Considérant en droit:
1.
L'évaluation de l'invalidité effectuée par les organes de l'assurance-invalidité est de nature à toucher (directement), au sens de l'<ref-law>, l'obligation de prester de l'institution de prévoyance fondée sur le droit de la prévoyance professionnelle (obligatoire), sous l'angle de son principe même ou du montant ou de la durée de l'obligation (cf. <ref-law>). Aussi, les organes de la prévoyance professionnelle ont-ils la qualité pour recourir contre la décision de l'office AI sur le droit à la rente d'invalidité; de même, l'institution de prévoyance a la qualité pour interjeter un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre une décision d'un tribunal cantonal des assurances en la matière (<ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 5; cf. <ref-law>). Le recours de GastroSocial Caisse de pension est dès lors recevable.
2.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
3.
Le jugement entrepris, auquel on peut renvoyer sur ce point, expose de manière complète les règles légales et la jurisprudence applicables au litige - qui porte sur le droit de l'assuré à une rente entière de l'assurance-invalidité -, notamment celles sur le principe de la libre appréciation des preuves. On ajoutera que dans une procédure portant sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurances sociales, lorsqu'une décision administrative s'appuie exclusivement sur l'appréciation d'un médecin interne à l'assureur social et que l'avis d'un médecin traitant ou d'un expert privé auquel on peut également attribuer un caractère probant laisse subsister des doutes même faibles quant à la fiabilité et la pertinence de cette appréciation, la cause ne saurait être tranchée en se fondant sur l'un ou sur l'autre de ces avis et il y a lieu de mettre en oeuvre une expertise par un médecin indépendant selon la procédure de l'<ref-law> ou une expertise judiciaire (<ref-ruling> consid. 4.6 p. 471; arrêt 8C_456/2010 du 19 avril 2011 consid. 3).
4.
4.1. Par un premier moyen de nature formelle, la recourante invoque une violation de son droit d'être entendue par la juridiction cantonale à qui elle reproche de n'avoir pas mis en oeuvre une expertise médicale compte tenu des moyens de preuves qu'elle avait produits, ni répondu à l'ensemble de ses griefs.
4.2. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour le justiciable d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, ainsi que le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Le droit d'être entendu ne s'oppose cependant pas à ce que l'autorité mette un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui permettent de se forger une conviction et que, procédant d'une façon non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient plus l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 236; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148). Par ailleurs, pour répondre aux exigences de motivation, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision; elle n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 2b p. 102 s.).
En l'occurrence, le jugement attaqué indique de manière suffisamment claire les motifs retenus, même s'il ne prend pas position sur tous les arguments invoqués dans le recours. Sous l'angle de l'obligation de motivation, le grief de violation du droit d'être entendu se révèle ainsi mal fondé. Par ailleurs, en reprochant à la juridiction cantonale d'avoir écarté le rapport du docteur S._ pour privilégier celui du docteur C._, sans donner suite à sa requête en expertise, la recourante soulève un grief qui se confond avec un moyen concernant la libre appréciation des preuves par le Tribunal cantonal des assurances (<ref-law>). Il convient donc de l'examiner avec le fond du litige.
5.
Comme le fait valoir à juste titre la recourante, l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale pour constater que l'assuré présentait une incapacité totale de travail relève d'une violation du principe de la libre appréciation des preuves.
Exposant les raisons qui les conduisaient à suivre les conclusions du docteur C._ et non celles du docteur S._, les premiers juges ont indiqué que la divergence entre les deux psychiatres portait "uniquement" sur l'appréciation du degré de gravité du trouble dépressif récurrent présenté par l'assuré, ainsi que sur la capacité résiduelle de travail, l'évaluation médicale complète du médecin du SMR ne pouvant être remise en cause par la seule opinion du docteur S._. Dès lors toutefois que la juridiction cantonale se voyait confrontée à deux appréciations médicales opposées - dont elle admettait pleinement la valeur probante - sur des éléments aussi déterminants pour l'évaluation de l'invalidité que la gravité de l'atteinte à la santé de l'assuré et les répercussions de celle-ci sur sa capacité de travail, elle ne pouvait faire l'économie d'une nouvelle mesure d'instruction médicale.
A la lecture des rapports en cause, on constate que les premiers juges se trouvaient précisément dans la situation dans laquelle l'avis de l'expert privé mandaté par la recourante (le docteur S._) laissait subsister des doutes suffisants quant à la fiabilité et la pertinence de l'appréciation du médecin interne à l'assureur social (le docteur C._). Comme son confrère, l'expert privé a fait état de phénomènes psychotiques (hallucinations) relatés par l'assuré, mais les a mis en relation avec des dérivés de morphine que l'intimé avait consommés pendant un certain temps. Outre qu'il n'a retenu aucune limitation cognitive, ni trouble de la mémoire ou d'anxiété, le docteur S._ a par ailleurs indiqué que l'assuré ne se rendait pas au suivi psychiatrique ou seulement de façon sporadique; il ne pouvait pas se prononcer sur la prise de médicaments par l'intéressé, qui affirmait faire huit à dix injections de Y._® par jour. En tout état de cause, le médecin préconisait un traitement de désintoxication, l'injection constante d'antimigraineux limitant la capacité de l'assuré et induisant une fixation sur les douleurs.
Compte tenu de ces constatations, qui n'étaient pas superposables à celles du docteur C._, de même que des divergences en résultant quant à la sévérité du diagnostic posé et ses effets sur la capacité de travail de l'assuré entre les deux appréciations médicales, l'autorité cantonale de recours ne pouvait trancher la cause en se fondant sur l'un ou l'autre de ces avis, mais était tenue de mettre en oeuvre une expertise judiciaire pour les départager.
6.
Il convient, en conséquence de ce qui précède, d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle complète l'instruction sur le plan médical, avant de se prononcer à nouveau.
7.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires seront mis à la charge de l'office intimé (<ref-law>). Comme la recourante, organisation chargée de tâches publiques, obtient gain de cause dans l'exercice de ses attributions officielles, elle ne peut prétendre des dépens (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5b p. 133).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et la décision du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, du 22 mars 2013 annulée. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à J._, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 septembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless