Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. B._ war bis Ende November/Anfangs Dezember 1987 bei der Bank X._ (Klägerin und Widerbeklagte, im Folgenden Klägerin) als Bereichsleiter der Abteilung Wertschriften/Anlagen im Range eines Vizedirektors tätig. Ab Herbst 1982 nahm B._ zu Lasten diverser Kunden der Klägerin spekulative Investitionen in Goldminenprojekte in Mexiko und Kanada vor. Unter anderem investierte er Kundengelder von insgesamt US$ 3'346'000.-- in Partizipationsscheine (PS) der Y._ SA, die auf diesem Weg in ein Minenprojekt in Mexiko flossen. B._ wurde mit Urteil des Kantonsgerichts Schaffhausen vom 2. März 1994 wegen mehrfacher qualifizierter Veruntreuung etc. zu einer bedingt vollstreckbaren Gefängnisstrafe verurteilt.
A.a Am 27. August 1986 eröffnete A._ (Beklagter und Widerkläger im kantonalen Verfahren, verstorben am 1. September 2002) bei der Klägerin ein offenes Depot. (im Folgenden "Konto von A._ "). Unter demselben Datum erteilte er D._, einem ehemaligen Dienstkollegen von B._, darüber Vollmacht. Vom 28. August 1986 bis zum 10. Oktober 1986 lieferte B._ in das Depot von A._ Y._ SA-PS bzw. Bestätigungen zur Zeichnung dieser Papiere im Nominalwert von US$ 2'271'000.-- (entsprechend einem Wert von SFr. 4'028'111.90) ein. Die entsprechenden Papiere hatten zuvor auf die Klägerin gelautet.
A.b In der Zeit vom 28. August 1986 bis zum 29. Dezember 1986 verkaufte B._ aus dem Depot von A._ Y._ SA-PS im Betrag von nominal US$ 1'736'000.-- zum Preis von insgesamt Fr. 3'169'957.60 wieder an die Klägerin und schrieb diesen Betrag dem Konto von A._ gut. Die verbliebenen Y._ SA-PS im Nominalwert von US$ 535'000.-- stornierte die Klägerin am 10. Dezember 1987 und schrieb dem Konto von A._ dafür Fr. 858'154.30 gut. Nach ihrer Darstellung wollte sie damit gegenüber A._ wie gegenüber andern Kunden eine Schadenersatzpflicht erfüllen, nachdem sie festgestellt hatte, dass B._ nicht existierende Y._ SA-PS verkauft hatte. Insgesamt wurden dem Konto von A._ durch Verkauf bzw. Stornierung von Y._ SA-PS Fr. 4'028'111.90 gutgeschrieben.
A.c Vom 4. September 1986 bis zum 21. Oktober 1986 führte die Klägerin auf Anweisung des Bevollmächtigten D._ zu Lasten des Kontos von A._ Zahlungen über insgesamt Fr. 2'050'000.-- an die Z._ AG aus, die als Überbrückungskredit für eine Mine in Mexiko bestimmt waren. Am 19. Februar 1987 überwies die Klägerin ohne schriftliche Anweisung ab dem Konto von A._ Fr. 234'575.-- (bzw. Can$ 200'000.--) an die E._ Co. in Kanada. Auf persönliche Anweisung von A._ wurden schliesslich am 24. Februar 1987 zu Lasten seines Kontos weitere Fr. 430'000.-- an die Z._ AG überwiesen. Insgesamt wurden dem Konto von A._ aus diesen Überweisungen Fr. 2'714'575.-- belastet.
A.c Vom 4. September 1986 bis zum 21. Oktober 1986 führte die Klägerin auf Anweisung des Bevollmächtigten D._ zu Lasten des Kontos von A._ Zahlungen über insgesamt Fr. 2'050'000.-- an die Z._ AG aus, die als Überbrückungskredit für eine Mine in Mexiko bestimmt waren. Am 19. Februar 1987 überwies die Klägerin ohne schriftliche Anweisung ab dem Konto von A._ Fr. 234'575.-- (bzw. Can$ 200'000.--) an die E._ Co. in Kanada. Auf persönliche Anweisung von A._ wurden schliesslich am 24. Februar 1987 zu Lasten seines Kontos weitere Fr. 430'000.-- an die Z._ AG überwiesen. Insgesamt wurden dem Konto von A._ aus diesen Überweisungen Fr. 2'714'575.-- belastet.
B. Am 23. August 1990 gelangte die Klägerin an das Kantonsgericht Schaffhausen mit dem Begehren, A._ sei zu verpflichten, ihr Fr. 4'028'111.90 nebst Zins zu bezahlen. Sie machte im Wesentlichen geltend, der Beklagte sei in den Jahren 1984/85 noch gar nicht ihr Kunde gewesen, weshalb er entgegen seiner Behauptung keine Bareinlagen ohne Quittungen im Umfang von rund Fr. 4'000'000.-- getätigt habe. Sie stellte sich unter anderem insbesondere auf den Standpunkt, die Gutschriften über insgesamt Fr. 4'028'111.90 auf dem Konto von A._ seien grundlos erfolgt.
A._ reichte am 8. April 1993 seinerseits Klage beim Kantonsgericht Schaffhausen ein. Er beantragte, die Klägerin sei zu verpflichten, ihm Fr. 2'714'575.-- nebst Zins zu bezahlen. Zur Begründung machte er im Wesentlichen geltend, entsprechende Überweisungen ab seinem Konto seien sorgfaltswidrig erfolgt.
Das Kantonsgericht vereinigte die Verfahren und behandelte die Klage von A._ als Widerklage. Am 25. September 2000 wies es nach einem umfangreichen Beweisverfahren sowohl Klage wie Widerklage ab.
Gegen dieses Urteil gelangten sowohl die Klägerin als auch A._ mit kantonaler Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Dieses wies am 7. Juni 2002 beide Rechtsmittel ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil mit Abweisung von Klage (Dispositivziffer 1) und Widerklage (Dispositivziffer 2). Das Gericht kam in Würdigung der Beweise insbesondere zum Schluss, es sei weder der Klägerin noch dem Beklagten gelungen nachzuweisen, dass A._ der Klägerin über deren Organ B._ vor Kontoeröffnung rund Fr. 4'000'000.-- in bar übergeben habe bzw. nicht übergeben habe.
Gegen dieses Urteil gelangten sowohl die Klägerin als auch A._ mit kantonaler Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Dieses wies am 7. Juni 2002 beide Rechtsmittel ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil mit Abweisung von Klage (Dispositivziffer 1) und Widerklage (Dispositivziffer 2). Das Gericht kam in Würdigung der Beweise insbesondere zum Schluss, es sei weder der Klägerin noch dem Beklagten gelungen nachzuweisen, dass A._ der Klägerin über deren Organ B._ vor Kontoeröffnung rund Fr. 4'000'000.-- in bar übergeben habe bzw. nicht übergeben habe.
C. Mit eidgenössischer Berufung vom 6. September 2002 stellen die Töchter und gesetzlichen Erbinnen von A._ (im Folgenden: Beklagte), die Anträge, Ziffer 2 des Dispositivs des obergerichtlichen Urteils vom 7. Juni 2002 sei aufzuheben und die Klägerin sei zu verpflichten, den Beklagten SFr. 2'714'575.-- nebst Zins zu 5% auf Teilbeträgen mit unterschiedlichen Fälligkeiten zu bezahlen. Sie rügen die Verletzung bundesrechtlicher Beweisvorschriften, insbesondere von <ref-law> durch unrichtige Verteilung der Beweislast und unhaltbare Beweiswürdigung. Überdies machen sie geltend, aus der allgemeinen Lebens- und Bankerfahrung sowie dem Strafurteil gegen B._ hätten andere Schlüsse gezogen werden müssen als dies die Vorinstanz im angefochtenen Urteil getan habe.
Die Klägerin schliesst auf Abweisung der Berufung und beantragt mit Anschlussberufung, Ziffer 1 des Dispositivs des Urteils des Obergerichts aufzuheben und die Beklagten zu verpflichten, der Klägerin Fr. 4'028'111.90 nebst 5% Zins auf verschiedenen Fälligkeiten zu bezahlen. Sie rügt die Verletzung der Art. 8 und 2 ZGB.
Die Beklagten beantragen in der Antwort, die Anschlussberufung sei abzuweisen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgericht hat seiner Entscheidung im Berufungsverfahren die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz als wahr und vollständig zugrunde zu legen, es sei denn, sie beruhten auf einem offensichtlichen Versehen, seien unter Verletzung bundesrechtlicher Beweisvorschriften zustande gekommen oder bedürften der Ergänzung, weil das Sachgericht in fehlerhafter Rechtsanwendung einen gesetzlichen Tatbestand nicht oder nicht hinreichend klärte, obgleich ihm entscheidwesentliche Behauptungen und Beweisanerbieten dazu prozesskonform unterbreitet worden waren (Art. 63 und 64 OG; <ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 1e S. 205, 368 E. 3 S. 372; <ref-ruling> E. 2a). Eine blosse Kritik an der Beweiswürdigung des Sachrichters ist, soweit nicht Vorschriften des Bundesrechts in Frage stehen, von der Berufung ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 6a S. 81; <ref-ruling> E. 2b S. 12; <ref-ruling> E. 2b S. 99; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2a S. 486 mit Hinweisen).
1. Das Bundesgericht hat seiner Entscheidung im Berufungsverfahren die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz als wahr und vollständig zugrunde zu legen, es sei denn, sie beruhten auf einem offensichtlichen Versehen, seien unter Verletzung bundesrechtlicher Beweisvorschriften zustande gekommen oder bedürften der Ergänzung, weil das Sachgericht in fehlerhafter Rechtsanwendung einen gesetzlichen Tatbestand nicht oder nicht hinreichend klärte, obgleich ihm entscheidwesentliche Behauptungen und Beweisanerbieten dazu prozesskonform unterbreitet worden waren (Art. 63 und 64 OG; <ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 1e S. 205, 368 E. 3 S. 372; <ref-ruling> E. 2a). Eine blosse Kritik an der Beweiswürdigung des Sachrichters ist, soweit nicht Vorschriften des Bundesrechts in Frage stehen, von der Berufung ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 6a S. 81; <ref-ruling> E. 2b S. 12; <ref-ruling> E. 2b S. 99; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2a S. 486 mit Hinweisen).
2. Die Vorinstanz ist im angefochtenen Urteil von Beweislosigkeit ausgegangen, soweit es um die - sowohl für Klage wie Widerklage erhebliche - Behauptung geht, der Klägerin seien von A._ vor dessen Kontoeröffnung im August 1986 in mehreren Tranchen Bareinzahlungen in der Höhe von insgesamt rund Fr. 4'000'000.-- ohne Quittung übergeben worden. Als für die behaupteten Einzahlungen sprechende Umstände hat die Vorinstanz angeführt, dass die entsprechenden Buchungen von B._ namens der Klägerin tatsächlich in das Depot bzw. auf das Konto von A._ vorgenommen wurden. Sodann habe B._ ausgesagt, er habe die umstrittenen Beträge tatsächlich bar erhalten sowie auf dem Sammelkonto "Pro Diverse" der Klägerin gutgeschrieben. Ferner liessen Indizien darauf schliessen, dass dieses Konto von der Klägerin im Prozess nicht vollständig dokumentiert worden sei. Gegen die behaupteten Bareinzahlungen hat die Vorinstanz berücksichtigt, dass die Darstellung von A._ in Bezug auf Zeit, Ort und Umfang der einzelnen Geldübergaben zu wenig detailliert sei, um als glaubwürdig zu gelten, und dass sich A._ nach eigener Darstellung bis im Sommer 1986 nicht darüber orientiert haben wolle, wie seine angeblich ab 1983 im Hinblick auf ein künftiges Projekt in Paris investierten Gelder inzwischen angelegt worden seien. Gegen die Richtigkeit seiner Behauptungen spreche auch, dass er unverständlicherweise nicht plausibel und detailliert erklärt habe, aus welchen Quellen die angeblich einbezahlten Beträge stammten.
2.1 Die Beklagten rügen sinngemäss, das Obergericht habe <ref-law> verletzt, indem es ihre Widerklage mit der Begründung abwies, sie hätten den Beweis für die umstrittenen Bareinzahlungen an die Klägerin nicht erbracht. Sie vertreten die Ansicht, die erfolgte Bareinzahlung hätte für ihre Widerklage ohne weiteres vorausgesetzt werden müssen, nachdem die Hauptklage abgewiesen worden sei, die ihrerseits die Einzahlung der umstrittenen Beträge voraussetze. Die Beklagten anerkennen dabei, dass ihr Rechtsvorgänger bei der Klägerin über keinerlei zusätzliche Mittel verfügt habe. Daraus leiten sie zutreffend ab, dass ihre Widerklage aus sorgfaltswidriger Auftragserfüllung ohne weiteres hätte abgewiesen werden müssen, wenn der Klägerin der Beweis für ihre Behauptung gelungen wäre, dass ihr von A._ vor dessen Kontoeröffnung keine Barzahlungen zugeflossen seien und daher ein Auftragsverhältnis gar nicht zustande gekommen sei. Sie verkennen jedoch, dass die Vorinstanz die Tatsachenbehauptung der Klägerin, wonach A._ keine Barzahlungen geleistet habe, weder als bewiesen noch als widerlegt angesehen hat. Die Vorinstanz hat insoweit Beweislosigkeit festgestellt und deren Folgen gemäss <ref-law> verteilt. Die Beklagten leiten in ihrer Widerklage Rechtsfolgen aus der Tatsache ab, dass sie bzw. ihr Rechtsvorgänger der Klägerin durch Barzahlungen insgesamt rund Fr. 4'000'000.-- habe zukommen lassen. Sie tragen daher nach <ref-law> die Beweislast für die entsprechende Behauptung, wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat und von den Beklagten nicht begründet bestritten wird (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG).
Soweit die Beklagten die Meinung vertreten, es ergebe sich aus dem Strafurteil gegen B._, dass ihr Rechtsvorgänger diesem rund Fr. 4'000'000.-- in Tranchen bar und ohne Quittung übergeben habe, rügen sie keine Verletzung von Bundesrechtsnormen (<ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 3). Sie beanstanden damit vielmehr in unzulässiger Weise die Würdigung der Beweise durch die Vorinstanz, worauf nicht einzutreten ist (Erwägung 1 vorne).
Die Vorinstanz hat ohne Verletzung von <ref-law> festgestellt, dass dem Rechtsvorgänger der Beklagten der Beweis für die behaupteten Barzahlungen an die Klägerin bzw. deren Organ B._ nicht gelungen ist. Ist aber von dieser verbindlichen Feststellung auszugehen, so ist kein Auftragsverhältnis zwischen dem Rechtsvorgänger der Beklagten und der Klägerin zustande gekommen. Damit entbehrt die aus der behaupteten sorgfaltswidrigen Erfüllung dieses angeblichen Auftrags abgeleitete Forderung der Beklagten von vornherein der Grundlage. Die Berufung der Beklagten ist unbegründet und abzuweisen, ohne dass die übrigen Rügen geprüft werden müssten, welche die Sorgfaltswidrigkeit der umstrittenen Transaktionen betreffen.
2.2 Die Klägerin rügt in ihrer Anschlussberufung ebenfalls die Verletzung der bundesrechtlichen Beweisnorm von <ref-law>. Sie hält dafür, die Vorinstanz habe zu hohe Anforderungen an den von ihr zu erbringenden negativen Beweis gestellt, dass der Rechtsvorgänger der Beklagten ihr keine Fr. 4'000'000.-- anvertraut habe. Die Vorinstanz habe fälschlicherweise geschlossen, der Rechtsvorgänger der Beklagten sei in diesem Zusammenhang seiner Mitwirkungspflicht am Beweisverfahren genügend nachgekommen. Schliesslich habe sie zu Unrecht die Umkehr der Beweislast verweigert.
Was die Rüge der zu hohen Beweisanforderungen anbelangt, geht die Klägerin mit der Vorinstanz darin einig, dass eine Einzahlung der umstrittenen Bareinlagen über andere Kanäle als das Konto "Pro Diverse" ausgeschlossen ist und eine Verbuchung auf diesem Konto nicht habe eruiert werden können. Die Klägerin ist der Ansicht, dass sie damit genügend Zweifel an der gegnerischen Darstellung hinsichtlich der anvertrauten Beträge geweckt habe und an den negativen Beweis keine höheren Anforderungen hätten gestellt werden dürfen. Die Vorinstanz habe ihr zu Unrecht darüber hinaus den Beweis für die Vollständigkeit des Kontos "Pro Diverse" auferlegt.
Dem kann nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz hat nicht ausgeschlossen, dass Einzahlungen von A._ auf das Konto "Pro Diverse" verbucht worden seien, weil dieses möglicherweise nicht vollständig dokumentiert war. Sie schloss daraus, dass die Klägerin den Beweis der angeblich nicht getätigten Einzahlungen nicht zur vollen Überzeugung erbracht habe. Indem sie ihre volle Überzeugung als erforderlich erachtete, hat sie das bundesrechtlich vorgeschriebene Beweismass entgegen der Ansicht der Klägerin nicht verkannt. Die Schwierigkeiten, den geforderten vollen negativen Beweis zu erbringen, werden - wie die Vorinstanz zutreffend erwog - durch die Mitwirkungspflicht des Prozessgegners im Beweisverfahren gemildert (vgl. <ref-ruling> E. 2b/aa; <ref-ruling> E. 3 S. 306; <ref-ruling> E. 3c; <ref-ruling> E. 5 S. 243; vgl. Kummer, Berner Kommentar, N. 194 zu <ref-law>; Schmid, Basler Kommentar, N. 17 zu <ref-law>; Hohl, Le degré de la preuve dans les procès au fond, in: Christoph Leuenberger (Hrsg.), Der Beweis im Zivilprozess, Bern 2000, S. 129 ff., 132; Guldener, Beweiswürdigung und Beweislast, Zürich 1955, S. 54). In Bezug auf die Rüge, die Beklagten hätten ihre Mitwirkungspflicht im Beweisverfahren nicht genügend erfüllt, erwähnt die Klägerin unter Hinweis auf BGE <ref-ruling> selbst, dass die aus Treu und Glauben fliessende Mitwirkungspflicht der Gegenpartei prozessrechtlicher Natur ist. Es besteht kein Grund, dieses Präjudiz in Frage zu stellen. Die Überprüfung der Frage ist daher im Berufungsverfahren ausgeschlossen (Art. 43 OG).
Schliesslich besteht entgegen der Ansicht der Klägerin vorliegend auch kein Grund zur Umkehr der Beweislast, weil die Beklagten einen aussergewöhnlichen Sachverhalt behauptet hätten. Die Frage der Beweislastumkehr würde sich nur dann stellen, wenn die Gegenpartei den Beweis der negativen Tatsache durch ihr Verhalten geradezu vereitelt hätte (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 3 S. 257; Kummer, a.a.O., N. 191 zu <ref-law>; Schmid, <ref-law>: Überblick und Beweislast, in Christoph Leuenberger (Hrsg.), Der Beweis im Zivilprozess, Bern 2000, S. 27 f.; derselbe, in: Basler Kommentar, N. 71 zu <ref-law>). Davon kann hier jedoch keine Rede sein: Die Vorinstanz hat Umstände für und gegen die Sachdarstellung beider Parteien gegeneinander abgewogen und ist auf dieser Grundlage zum Schluss gelangt, es sprächen für die Behauptungen beider Seiten gewichtige Gründe und Beweise, so dass sie mit der erforderlichen Überzeugung keiner Seite folgen könne. Dieser Schluss ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden.
Schliesslich besteht entgegen der Ansicht der Klägerin vorliegend auch kein Grund zur Umkehr der Beweislast, weil die Beklagten einen aussergewöhnlichen Sachverhalt behauptet hätten. Die Frage der Beweislastumkehr würde sich nur dann stellen, wenn die Gegenpartei den Beweis der negativen Tatsache durch ihr Verhalten geradezu vereitelt hätte (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 3 S. 257; Kummer, a.a.O., N. 191 zu <ref-law>; Schmid, <ref-law>: Überblick und Beweislast, in Christoph Leuenberger (Hrsg.), Der Beweis im Zivilprozess, Bern 2000, S. 27 f.; derselbe, in: Basler Kommentar, N. 71 zu <ref-law>). Davon kann hier jedoch keine Rede sein: Die Vorinstanz hat Umstände für und gegen die Sachdarstellung beider Parteien gegeneinander abgewogen und ist auf dieser Grundlage zum Schluss gelangt, es sprächen für die Behauptungen beider Seiten gewichtige Gründe und Beweise, so dass sie mit der erforderlichen Überzeugung keiner Seite folgen könne. Dieser Schluss ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden.
3. Berufung und Anschlussberufung erweisen sich damit als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Kosten den Parteien je im Masse ihres Unterliegens mit ihrem Rechtsmittel zu auferlegen (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG). Die Gerichtsgebühr und die Parteientschädigung für die Berufung gegen den Entscheid betreffend die Widerklage ist von den Beklagten (solidarisch, intern je zur Hälfte) zu tragen, die Kosten für die Berufung gegen den Entscheid betreffend die Hauptklage von der Klägerin. Gebühr und Entschädigung bemessen sich je nach dem Streitwert.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Berufung und Anschlussberufung werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Berufung und Anschlussberufung werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von insgesamt Fr. 37'000.-- wird der Klägerin im Umfang von Fr. 22'000.-- und den Beklagten unter solidarischer Haftbarkeit im Umfang von Fr. 15'000.-- auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von insgesamt Fr. 37'000.-- wird der Klägerin im Umfang von Fr. 22'000.-- und den Beklagten unter solidarischer Haftbarkeit im Umfang von Fr. 15'000.-- auferlegt.
3. Die Klägerin hat den Beklagten eine reduzierte Parteientschädigung von insgesamt Fr. 7'000.-- zu bezahlen.
3. Die Klägerin hat den Beklagten eine reduzierte Parteientschädigung von insgesamt Fr. 7'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2003
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: