Erwägungen:
1.
A._ (geb. 1980) will aus den Vereinigten Staaten von Amerika stammen. Er ersuchte am 10. September 2014 hier erfolglos um Asyl. Ab März 2015 galt er als verschwunden; am 23. September 2015 wurde er im Rahmen des Dublin-Abkommens von den Niederlanden in die Schweiz zurücküberstellt, wo ihn das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern am 24. September 2015 in Ausschaffungshaft nahm. Das kantonale Zwangsmassnahmengericht prüfte diese tags darauf und genehmigte sie bis zum 22. Dezember 2015. Die Einzelrichterin am Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die vom Betroffenen hiergegen gerichtete Beschwerde am 6. Oktober 2015 ab. Mit Eingabe vom 10. Oktober 2015 (Posteingang: 15. Oktober 2015) beantragt A._ sinngemäss, er sei aus der Haft zu entlassen und es sei davon abzusehen, ihn in die Vereinigten Staaten von Amerika auszuschaffen.
2.
2.1. Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten; dabei ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz einzugehen (<ref-ruling> E. 2.1 - 2.3).
2.2. Der Beschwerdeführer kritisiert unter Hinweis auf verschiedene Artikel der EMRK, der in der Schweiz nicht anwendbaren unionsrechtlichen Qualifikationsrichtline (RL 2004/83/EU bzw. heute RL 2011/95/EU) sowie verschiedene Bestimmungen der Zivilprozessordnung (SR 273) und der Bundesverfassung (SR 101) nur den Wegweisungsentscheid, ohne darzulegen, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzen würde. Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht bildet - von hier nicht anwendbaren Ausnahmen abgesehen - ausschliesslich die Rechtmässigkeit der angeordneten Ausschaffungshaft zur Sicherung des Vollzugs der Wegweisungsverfügung (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220; <ref-ruling> E. 2b). Mit deren von den kantonalen Behörden bejahten Voraussetzungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Er verkennt, dass es sich bei seiner Festhaltung nicht um eine Strafe handelt, sondern um eine Verwaltungsmassnahme, welche den Vollzug seiner Wegweisung sichern soll, nachdem dieser wegen seines bisherigen Verhaltens (Untertauchen in den Niederlanden, statt der von ihm versprochenen freiwilligen Rückreise in seinen Heimatstaat) konkret gefährdet erscheint. Ergänzend kann darauf hingewiesen werden, dass die Einzelrichterin am Verwaltungsgericht die Gesetzesordnung und die bundesgerichtliche Rechtsprechung dazu zutreffend wiedergegeben und die Situation des Beschwerdeführers bundesrechtskonform unter diese subsumiert hat.
2.3. Da die vorliegende Eingabe sich nicht sachbezogen mit dem Verfahrensgegenstand auseinandersetzt und nicht darlegt wird bzw. ersichtlich ist, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid die bundesgerichtliche Praxis (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2) missachten und die einschlägigen ausländerrechtlichen Bestimmungen (vgl. Art. 76 i.V.m. 79 AuG) verletzen könnte, ist darauf ohne Weiterungen nicht einzutreten. Dies kann durch den Präsidenten im Verfahren nach <ref-law> geschehen.
3.
Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG) und keine Entschädigungen zuzusprechen (<ref-law>). Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern wird eingeladen, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichterin, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar