Erwägungen:
1. Im Rahmen der gegen X._ laufenden Strafuntersuchung wegen sexuellen Handlungen mit Kindern, evtl. wegen sexueller Nötigung, stellte dessen Verteidiger mit Eingabe vom 22. Februar 2010 den Beweisantrag, es sei mit Bezug auf die beiden angeblich geschädigten Kinder ein Glaubwürdigkeitsgutachten einzuholen.
Der zuständige Untersuchungsrichter wies den Antrag mit Verfügung vom 25. Februar 2010 ab. Hiergegen rekurrierte der Angeschuldigte an das Obergericht des Kantons Bern. Dessen Anklagekammer hat den Rekurs mit Beschluss vom 1. April 2010 abgewiesen.
2. X._ führt mit Eingabe vom 10. Mai 2010 Beschwerde in Strafsachen mit dem Hauptantrag, der Beschluss vom 1. April 2010 sei aufzuheben.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Der angefochtene Beschluss betrifft eine Frage des Beweisverfahrens. Es handelt sich bei ihm um einen Zwischenentscheid, der das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht abschliesst.
3.1 Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu <ref-law>), ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss <ref-law> zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
3.2 Im Verfahren der Beschwerde in Strafsachen muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> nicht bloss tatsächlicher, sondern rechtlicher Natur sein (<ref-ruling> E. 4 S. 141). Der Beschwerdeführer hat dabei die Eintretens-voraussetzungen von <ref-law> darzulegen. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, von Amtes wegen Nachforschungen anzustellen, inwiefern ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> gegeben sein sollte (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.3.1).
Der Beschwerdeführer legt nicht ansatzweise dar und es ist denn auch nicht ersichtlich, inwiefern der angefochtene Beschluss einen solchen Nachteil gemäss <ref-law> bewirken könnte.
Somit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Da diese offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält, kann über sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden.
4. Da die Beschwerde nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos ist, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (<ref-law>). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Den Beschwerdegegnern ist durch das vorliegende Verfahren kein Aufwand entstanden, so dass ihnen keine Parteientschädigung zuzusprechen ist.

Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland, der Staatsanwaltschaft III Bern-Mittelland und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp