Erwägungen:
1. X._, 1984 geborener Staatsangehöriger Brasiliens, reiste im Mai 2006 in die Schweiz ein. Am 18. Januar 2007 heiratete er eine Schweizer Bürgerin, mit welcher zusammen er eine am 24. Februar 2007 geborene Tochter hat. Gestützt auf die Ehe erhielt X._ eine Aufenthaltsbewilligung. Die eheliche Gemeinschaft wurde am 5. November 2009 aufgegeben und nicht wieder aufgenommen; die Ehe ist 2012 geschieden worden.
Mit Verfügung vom 30. Mai 2012 lehnte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und verfügte zugleich die Wegweisung. Eine Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern blieb erfolglos; mit Urteil vom 23. April 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen deren Beschwerdeentscheid erhobene Beschwerde ab, wobei es die Ausreisefrist neu auf den 6. Juni 2013 ansetzte.
Am 9. Mai 2013 teilte die ehemalige Ehefrau von X._ dem Bundesgericht mit, dass die Situation seit dem letzten Entscheid stark geändert habe; die Tochter besuche ihren Vater alle zwei Wochenenden und übernachte auch gern bei ihm; dieser habe eine Ausbildung begonnen und bezahle auch die Alimente regelmässig; sie bittet darum, die Wegweisung nochmals zu überprüfen und ihrem Kind die Chance zu geben, mit ihrem Vater aufwachsen zu können. X._ selber hat am 23. Mai 2013 (Datum der Rechtsschrift 22. Mai 2013) Beschwerde gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil erhoben. Auch er führt aus, dass er eine Ausbildung absolviere und dass die Beziehung zu seiner Tochter sich intensiviert habe. Am 29. Mai 2013 hat er rechtzeitig das angefochtene Urteil nachgereicht.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2. 2.1 Die ehemalige Ehefrau des Beschwerdeführers hat am vorinstanzlichen Verfahren nicht teilgenommen; soweit sie ihre Eingabe vom 9. Mai 2013 als eigenständige Beschwerde verstanden haben sollte, könnte darauf - schon - angesichts von Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG nicht eingetreten werden.
2.2 Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzutun, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei muss sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtene Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen. Deren Sachverhaltsfeststellung ist für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG), soweit sie nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG); entsprechende Rügen bedürfen spezifischer Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG, s. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen). Neue Tatsachenvorbringen sind vor Bundesgericht in der Regel unzulässig (Art. 99 BGG).
2.3 Das Verwaltungsgericht erläutert, dass und warum der Beschwerdeführer die Bewilligungsverlängerung nicht gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG beanspruchen könne; zu den entsprechenden Erwägungen (E. 2) äussert sich die Beschwerde nicht. Sodann legt das Verwaltungsgericht dar, unter welchen Voraussetzungen die Bewilligung nach Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG in Verbindung mit Art. 8 EMRK im Zusammenhang mit einer Besuchsrechtsbeziehung zu verlängern wäre (E. 3.1). Dazu stellt es fest, dass bei nur teilweiser Erfüllung der Alimentenverpflichtung (E. 3.4) und vor allem bei Besuchen im Ausmass von zunächst bloss zwei bis drei Stunden pro Woche - dass es, wie in der Scheidungskonvention vorgesehen, nach vier Monaten zu einer Intensivierung der Besuche gekommen sei, werde nicht behauptet oder gar dargetan - keine enge Beziehung in affektiver Hinsicht vorliege (E. 3.3); auch von einem klaglosen Verhalten könne nicht ausgegangen werden (E. 3.5). Die Beschwerde lässt eine gezielte Auseinandersetzung mit dieser Argumentation vermissen. Der Beschwerdeführer beschreibt bloss, wie die Sachlage sich heute präsentiere. Mit diesen neuen tatsächlichen Vorbringen ist er von vornherein nicht zu hören; der Hinweis auf angebliche Versäumnisse seines Anwalts ist nicht geeignet, eine Ausnahme vom Novenverbot nach Art. 99 Abs. 1 zweiter Satzteil BGG zu begründen.
2.4 Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
2.5 Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Mai 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller