Sachverhalt:
A. Die 1969 geborene A._ meldete sich im November 2002 wegen eines Rückenleidens bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärung der medizinischen und erwerblichen Verhältnisse verneinte die IV-Stelle des Kantons Aargau bei einem ermittelten Invaliditätsgrad von 11 % den Anspruch auf eine Rente und auf berufliche Massnahmen (Verfügung vom 10. März 2004, bestätigt mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Einspracheentscheid vom 30. Juli 2004).
Als sich die Versicherte im September 2005 unter Hinweis auf seit September 1999 bestehende Rückenprobleme erneut zum Leistungsbezug anmeldete, teilte ihr die IV-Stelle am 6. Oktober 2005 mit, dass gemäss Verfügung vom 10. März 2004 weder Anspruch auf eine Rente noch auf berufliche Massnahmen der Invalidenversicherung bestehe; eine Neuanmeldung werde nur geprüft, wenn die versicherte Person glaubhaft machen könne, dass sich der Grad der Invalidität seit der rechtskräftigen Verfügung in einer für den Anspruch erheblichen Weise geändert habe. Dementsprechend könne auf ihr Gesuch nicht eingetreten werden, wenn sie nicht innerhalb von 14 Tagen mit entsprechenden Unterlagen den Nachweis erbringen könne, dass eine wesentliche Änderung eingetreten sei. Mit Schreiben vom 14. Oktober 2005 teilte die Hausärztin der Versicherten, Dr. med. G._, Allgemeine Medizin FMH, der IV-Stelle mit, dass sie zum Gesundheitszustand im Frühjahr 2004 keine Angaben machen könne, da die Versicherte damals nicht bei ihr in Behandlung gewesen sei. Sie könne lediglich bestätigen, dass die Versicherte an einem chronischen Schmerzsyndrom leide, welches invalidisierenden Charakter habe und die Arbeitsfähigkeit teilweise beeinträchtige; dies gehe auch aus dem beiliegenden Bericht der Rehaklinik X._ vom 19. September 2005 hervor. Mit Verfügung vom 31. Januar 2006, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 8. Mai 2006, trat die IV-Stelle auf das Leistungsbegehren nicht ein mit der Begründung, im Gesuch sei keine erhebliche Verschlechterung des Gesundheitszustandes glaubhaft gemacht worden.
B. Beschwerdeweise liess A._ beantragen, die IV-Stelle sei zu verpflichten, auf das Begehren einzutreten. Mit Entscheid vom 1. November 2006 wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau das Rechtsmittel ab, unter Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung.
C. A._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und sinngemäss das Rechtsbegehren stellen, der angefochtene und der Einspracheentscheid seien aufzuheben und die IV-Stelle sei anzuweisen, auf die Neuanmeldung einzutreten. Des Weitern ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung).
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
1.2 Der angefochtene Entscheid betrifft Leistungen der Invalidenversicherung. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist nach dem 1. Juli 2006 anhängig gemacht worden, weshalb sich die Kognition nach Art. 132 OG in der vom 1. Juli bis 31. Dezember 2006 geltenden Fassung bestimmt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 395). Das Bundesgericht prüft somit nur, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzte, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt wurde.
2. Wurde eine Rente wegen eines zu geringen Invaliditätsgrades verweigert, so wird eine neue Anmeldung nach <ref-law> nur geprüft, wenn die Voraussetzungen des Abs. 3 derselben Bestimmung erfüllt sind. Danach ist im Gesuch glaubhaft zu machen, dass sich der Grad der Invalidität in anspruchserheblicher Weise geändert hat (vgl. dazu auch nicht publ. E. 4 von <ref-ruling>, I 489/05; <ref-ruling>). Praxisgemäss gelten diese Grundsätze analog für Eingliederungsmassnahmen (<ref-ruling> E. 3a S. 122).
3. 3.1 Gemäss der im angefochtenen Entscheid vertretenen Auffassung verhält sich die Rechtslage unter dem Geltungsbereich dieser Bestimmung wie folgt: Wird in der Neuanmeldung ein Eintretenstatbestand nicht glaubhaft gemacht, sondern bloss auf ergänzende, noch beizubringende oder von der Verwaltung beizuziehende Beweismittel (namentlich Arztberichte) hingewiesen, ist der versicherten Person eine angemessene Frist zur Einreichung der Beweismittel anzusetzen. Wird demgegenüber eine Neuanmeldung ohne Hinweis auf ergänzende Beweismittel eingereicht, hat die Verwaltung ohne Weiterungen über das Eintreten aufgrund des Gesuchs (einschliesslich allfälliger Beilagen) zu befinden. Für diese Rechtsauffassung stützt sich die Vorinstanz einerseits auf E. 2.2.1 des Urteils I 734/05 vom 8. März 2006 und anderseits auf den Wortlaut des <ref-law>, gemäss welchem die versicherte Person der Beweisführungslast bereits in der Neuanmeldung zu genügen habe, weshalb ein Nachreichen von Beweismitteln bis zum Zeitpunkt des Einspracheentscheides unzulässig sei.
3.2 Es trifft zu, dass in E. 2.2.1 des erwähnten Urteils ausgeführt wurde, dass die Verwaltung über das Eintreten auf ein ohne Hinweis auf ergänzende Beweismittel eingereichtes Revisionsgesuch oder eine Neuanmeldung ohne Weiterungen zu befinden habe. Damit ist vor allem gesagt, dass die Verwaltung nicht verpflichtet ist, auf ein solches Gesuch einzutreten. Dass sie nicht berechtigt wäre, eine Nachfrist zur Beibringung von Unterlagen anzusetzen, wurde bisher vom Bundesgericht nicht gesagt. Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben: Räumt die Verwaltung der versicherten Person eine Nachfrist ein, wäre es jedenfalls gegen Treu und Glauben, wenn sie die innert Frist eingereichten Unterlagen nicht berücksichtigen würde (vgl. auch Urteil I 619/04 vom 10. Februar 2005, E. 2.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 4 S. 104 f.).
3.3 Da die Beschwerdeführerin einzig vor Erlass der Verfügung vom 31. Januar 2006 medizinische Akten (Schreiben der Dr. med. G._ vom 14. Oktober 2005; Bericht der Rehaklinik X._ vom 19. September 2005) nachgereicht hat, braucht - wie bereits im Urteil I 734/05 vom 8. März 2006, E. 2.2.2 - nicht entschieden zu werden, wie es sich mit im Einspracheverfahren neu beigebrachten Unterlagen verhalten würde. Demgegenüber steht aufgrund der Rechtsprechung fest, dass im gerichtlichen Verfahren eingereichte Akten (wie das Zeugnis der Dr. med. G._ vom 23. Dezember 2006 und der Bericht des Psychiatrischen Dienstes Y._ vom 8. November 2005, welche der Beschwerde ans Bundesgericht beilagen) nicht zu berücksichtigen sind (Urteil I 734/05 vom 8. März 2006, E. 3.2).
3.4 Aufgrund ihrer Rechtsauffassung gelangte die Vorinstanz zum Ergebnis, dass die IV-Stelle ohne Weiterungen, namentlich ohne Nachfristansetzung, auf die Neuanmeldung nicht hätte eintreten sollen. Sie erwog, das unzulässige Ansetzen einer Nachfrist sei im konkreten Fall ohne praktische Relevanz geblieben, weil die IV-Stelle auf das Gesuch zu Recht nicht eingetreten sei. Da es sich nach dieser vorinstanzlichen Betrachtungsweise erübrigte zu prüfen, ob eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes glaubhaft gemacht ist, enthält der angefochtene Entscheid diesbezüglich keine Sachverhaltsfeststellung, an welche das Bundesgericht gebunden wäre (vgl. E. 1.2 hiervor; zur Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Zusammenhang mit der Neuanmeldung: Urteil I 692/06 vom 19. Dezember 2006, E. 3.1).
3.5 Bei dieser Sachlage ist im letztinstanzlichen Verfahren frei zu prüfen, ob eine anspruchserhebliche Verschlechterung des Gesundheitszustandes der Beschwerdeführerin glaubhaft dargetan ist.
3.5.1 Als die IV-Stelle mit Verfügung vom 10. März 2004, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 30. Juli 2004, einen Leistungsanspruch verneinte, stützte sie sich in medizinischer Sicht im Wesentlichen auf den Bericht des Dr. med. P._, Facharzt FMH für Innere Medizin und Rheumatologie, Manuelle Medizin SAMM, vom 17. Dezember 2003. Dr. med. P._ diagnostizierte bei der Versicherten ein lumboradikuläres Syndrom L5 rechts bei mediolateraler Diskushernie L4/5 und gab an, dass ihr jede Tätigkeit, welche den Rücken nicht übermässig beanspruche, zumutbar sei, wobei das Heben und Tragen von schweren Lasten über 5 kg ungünstig sei. Medizinisch-theoretisch sei ein ganztägiger Einsatz möglich, bei Berücksichtigung der psychosozialen Umstände (die Versicherte sei Hausfrau und Mutter von drei [zwischen 1988 und 1998 geborenen] Kindern) erachte er aus nichtmedizinischen Gründen ein reduziertes ausserhäusliches Pensum von 60 % als sinnvoll. In diesem zeitlichen Rahmen bestehe für den Rücken nicht übermässig belastende Tätigkeiten keine verminderte Leistungsfähigkeit (vgl. auch Schreiben des Dr. med. P._ vom 23. Juli 2004).
3.5.2 Für die geltend gemachte Verschlechterung des Gesundheitszustandes stützt sich die Versicherte auf den (vor Erlass der Verfügung nachgereichten) Austrittsbericht der Rehaklinik X._ vom 19. September 2005 (Hospitalisaton vom 16. August bis 13. September 2005). Darin diagnostizierten die Ärzte ein chronisches Schmerzsyndrom bei ausgeprägter lumbospondylogener Schmerzsymptomatik, zunehmender generalisierter myofaszialer Schmerzausbreitung und lumbosacraler Übergangsanomalie, Chondrose L4/5 (CT 1999) und ermittelten eine Arbeitsfähigkeit von 100 % während des Klinikaufenthaltes und von 50 % ab 19. September 2005 für eine leichte berufliche Tätigkeit ohne schweres Heben und Tragen. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ergibt sich aus dieser ärztlichen Einschätzung keine Verschlechterung des Gesundheitszustandes. Vielmehr deckt sich die im Bericht der Rehaklinik X._ vom 19. September 2005 enthaltene Diagnose im Wesentlichen mit dem im Bericht des Dr. med. P._ vom 17. Dezember 2003 angegebenen Beschwerdebild. Sodann vermag die Arbeitsfähigkeitsschätzung der Rehaklinik X._ schon deshalb nicht zu überzeugen, weil sie auf den subjektiven Schmerzangaben der Versicherten beruht, welche nicht durch korrelierende, fachärztlich schlüssig feststellbare Befunde hinreichend erklärbar sind (vgl. <ref-ruling> E. 5.3.2 S. 399). Es fällt denn auch auf, dass gemäss Austrittsbericht vom 19. September 2005 objektiv eine gewisse Verbesserung des Gesundheitszustandes (Steigerung von Kraft und Beweglichkeit) erreicht werden konnte, subjektiv beim Klinikaustritt aber ein nahezu unverändertes Beschwerdebild bestand.
Soweit sich die Beschwerdeführerin zur Stützung ihres Standpunktes des Weitern auf das Zeugnis der Dr. med. G._ vom 23. Dezember 2006 und den Bericht des Psychiatrischen Dienstes Y._ vom 8. November 2005 beruft, kann darauf nicht abgestellt werden, weil es sich um erst im gerichtlichen Verfahren eingereichte und aus diesem Grunde bei der Beurteilung ausser Betracht fallende Unterlagen (vgl. E. 3.3 hiervor) handelt.
3.5.3 Bei dieser Sachlage muss es bei der Feststellung sein Bewenden haben, dass eine anspruchserhebliche Veränderung des Gesundheitszustandes seit der rechtskräftigen Leistungsverweigerung im Jahre 2004 aufgrund der zu berücksichtigenden ärztlichen Berichte nicht dargetan ist. Aus diesem Grunde ist nicht zu beanstanden, dass die IV-Stelle auf die Neuanmeldung nicht eingetreten ist.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 Satz 2 OG in der vom 1. Juli bis 31. Dezember 2006 gültig gewesenen Fassung). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) kann gewährt werden (Art. 152 Abs. 1 und 2 in Verbindung mit Art. 135 OG), da die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde insoweit nicht als aussichtslos zu bezeichnen war, als die Versicherte erst im letztinstanzlichen Verfahren eine gerichtliche materielle Beurteilung erhalten hat, und die Vertretung geboten war (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 152 Abs. 3 OG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwältin Petra Oehmke Schiess, Affoltern am Albis, wird als unentgeltliche Anwältin der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2000.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, der Ausgleichskasse des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 26. November 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann