Faits:
A.
Depuis le 5 juillet 2012, le Ministère public de la Confédération (MPC) instruit une enquête pour blanchiment d'argent et faux dans les titres à l'encontre de quatre ressortissants ouzbeks, dont B._, "director" de la société A._, et C._, "finance manager" de cette entreprise.
Le 10 août 2012, une perquisition de différents coffres a eu lieu auprès de la banque X._, à Genève, notamment le "safe" xxx, rattaché au compte bancaire n o yyy de A._, et des documents ont été saisis. Le 14 août 2012, le MPC a procédé, en présence de C._ et de ses deux mandataires, à l'ouverture des pièces mises en sûreté à la suite de la perquisition. Au cours de cet examen, le MPC a mis sous scellés des documents - sous le n o _81 - qui pouvaient appartenir et/ou concerner D._, fille du Président de la République d'Ouzbékistan et alors représentante de la mission permanente de ce pays auprès de l'Organisation des Nations Unies (ONU).
Par requête du 3 septembre 2012, le MPC a déposé devant le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Berne (Tmc) une demande de levée des scellés. A._ s'est déterminée le 2 octobre 2012, puis le 18 octobre 2012 à la suite de la réplique du MPC. La qualité de partie lui ayant été refusée dans cette procédure, la République d'Ouzbékistan a recouru au Tribunal fédéral, qui a admis cette requête par arrêt du 10 janvier 2013 (cause 1B_588/2012). Dès le 25 janvier 2013, le premier juge a donc ordonné de nouveaux échanges d'écritures entre les parties. La République d'Ouzbékistan et A._ se sont notamment déterminées sur les informations - reçues par le MPC du Département fédéral des affaires étrangères (DFAE) - relatives à la fin de l'activité diplomatique de D._ le 9 juillet 2013 (cf. le courrier du DFAE du 10 juillet 2013), ainsi que sur celles adressées par le DFAE directement à l'autorité précédente (cf. le courrier du DFAE du 23 juillet 2013).
Par ordonnance du 21 août 2013, le Tmc a admis la requête de levée des scellés.
B.
Par acte du 18 septembre 2013, A._ forme un recours en matière pénale contre cette décision, concluant à son annulation, au rejet de la demande de levée des scellés, à la levée immédiate du séquestre concernant l'ensemble des objets, documents et valeurs patrimoniales, à la restitution immédiate, par l'intermédiaire de son conseil, des objets, documents ou valeurs patrimoniales séquestrés et à la mise à l'écart du dossier pénal de tous les documents ou objets recueillis en exécution de l'avis de perquisition. Elle requiert, subsidiairement, le renvoi de la cause à l'autorité précédente ou à toute autre autorité pour nouvelle décision au sens des considérants. La recourante sollicite également l'octroi de l'effet suspensif au recours.
Le MPC et le Tmc ont conclu au rejet du recours; le premier a en particulier produit une copie du courrier du Bureau de communication en matière de blanchiment d'argent du 3 juillet 2012. Quant à la République d'Ouzbékistan, elle a appuyé le recours. Le 31 octobre 2013, la recourante a persisté dans ses conclusions.
Par ordonnance du 10 octobre 2013, l'effet suspensif a été accordé.

Considérant en droit:
1.
Conformément à l'<ref-law> (RS 312.0), le Tmc statue définitivement sur la demande de levée des scellés. Le recours en matière pénale au Tribunal fédéral est ainsi directement ouvert (<ref-law>).
1.1. Selon l'<ref-law>, quiconque, qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire et (let. a) a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b), a qualité pour former un recours en matière pénale. Cette disposition donne une définition générale de la qualité pour recourir. La liste figurant sous la let. b énumère les cas ordinaires où la condition de l'intérêt juridique à recourir est en principe réalisée. Elle n'est toutefois pas exhaustive (<ref-ruling> consid. 9.1 p. 48). La condition d'un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée impose au recourant qu'il justifie d'un intérêt à porter devant le Tribunal fédéral une décision ou une partie d'une décision qui lui est défavorable, afin d'obtenir une amélioration de sa situation juridique (<ref-ruling> consid. 1b p. 36; arrêts 6B_53/2011 du 11 juillet 2011 consid. 1.2; 6B_131/2011 du 26 avril 2011 consid. 3.2.1). Elle est ainsi remplie lorsque l'intéressé soulève une critique susceptible de conduire à une nouvelle décision plus favorable pour lui (<ref-ruling> consid. 1 p. 107). Dans le cadre d'une procédure de levée de scellés, a notamment qualité pour agir le détenteur des documents saisis, dans la mesure où l'accès à ceux-ci et leur production dans le dossier pénal est susceptible de porter par exemple atteinte au secret professionnel dont le détenteur se prévaut (arrêt 1B_171/2009 du 7 septembre 2009 consid. 1.1). Il incombe au recourant d'alléguer les faits qu'il considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 359).
En l'occurrence, la recourante est une société dont le siège est à Gibraltar. Elle ne dispose donc d'aucun statut diplomatique. Dès lors que seuls l'Etat accréditant et/ou ses agents diplomatiques sont titulaires des privilèges et immunités découlant de la Convention de Vienne du 18 avril 1961 sur les relations diplomatiques (Convention de Vienne, CVRD; RS 0.191.01; arrêt 1B_588/2013 du 10 janvier 2013 consid. 2.2; Robert Zimmermann, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 3e éd. 2009, no 693, p. 645; Daillier/Forteau/Pellet, Droit international public, 8e éd. 2009, no 289, p. 497; Pierre-Marie Dupuy, Droit international public, 7e éd. 2004, no 118, p. 124; Amadeo Perez, Le système des privilèges et immunités applicable aux organisations internationales en Suisse et aux délégations permanentes étrangères à Genève, 1997, p. 25, 33, 34 et 4), la recourante ne peut pas s'en prévaloir pour s'opposer à la levée des scellés, que ce soit par ailleurs avant ou après la fin du statut diplomatique de la représentante ouzbek le 9 juillet 2013 (art. 39 al. 2 CVRD). Elle ne fait en outre valoir aucun autre motif ou secret qui lui serait propre pour justifier du maintien des scellés.
Cependant, la recourante est locataire du coffre dans lequel les documents ont été saisis, étant ainsi en principe leur détentrice. En invoquant la tardiveté de la requête du Ministère public (<ref-law>), ainsi que l'illicéité de la perquisition (<ref-law>), la recourante pourrait donc obtenir, cas échéant, la restitution des pièces mises sous scellés. La qualité pour recourir doit par conséquent lui être reconnue dans cette mesure.
1.2. Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables (<ref-law>). La procédure relative à des demandes de levée des scellés ne saurait être assimilée à une procédure de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> et la recourante n'est donc pas limitée dans ses griefs, qui peuvent se rapporter au droit fédéral, constitutionnel et/ou international (art. 95 let. a et b LTF).
2.
La recourante reproche à l'autorité précédente une violation de l'<ref-law>. Selon elle, le premier juge aurait retenu à tort que le délai de vingt jours imparti au Ministère public pour déposer sa requête de levée des scellés commencerait au moment du prononcé de la mise sous scellés (le 14 août 2012) et non à la date de la perquisition (le 10 août 2012).
2.1. Selon l'<ref-law>, si l'autorité pénale ne demande pas la levée des scellés dans les vingt jours, les documents et les autres objets mis sous scellés sont restitués à l'ayant droit.
Indépendamment de la nature du délai posé par cette disposition (question laissée ouverte in <ref-ruling> consid. 3.3 p. 250) et avant tout examen des éventuelles conséquences d'un dépôt tardif de la requête de levée des scellés, il s'agit de déterminer quand débutent les vingt jours impartis au ministère public pour agir. En vertu de l'<ref-law>, les délais fixés en jours commencent à courir le jour qui suit leur notification ou l'événement qui les déclenche. En ce qui concerne une mise sous scellés, il s'agit de la demande tendant à cette mesure. La requête de mise sous scellés, après que l'ayant droit a été informé de cette possibilité, doit être formulée immédiatement, soit en relation temporelle directe avec la mesure coercitive. Elle coïncide donc en principe avec l'exécution de la perquisition (<ref-ruling> consid. 4c/aa p. 156; arrêts 1B_477/2012 du 13 février 2013 consid. 3.2; 1B_516/2012 du 9 janvier 2013 consid. 2; 1B_320/2012 du 14 décembre 2012 consid. 4.1 publié in SJ 2013 I 333; Jo Pitteloud, Code de procédure pénale suisse, 2012, no 568; Catherine Chirazi, in Commentaire Romand CPP, 2011, no 6 ad <ref-law>; Thormann/ Brechbühl, in Basler Kommentar StPO, 2011, no 18 ad <ref-law>). Cependant, afin de garantir une protection effective des droits de l'intéressé, celui-ci doit pouvoir se faire conseiller par un avocat et ainsi, l'opposition à un séquestre devrait pouvoir encore être déposée quelques heures après que la mesure a été mise en oeuvre ( ANDREAS J. KELLER, in Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung (StPO), 2010, n o 11 ad <ref-law>).
2.2. En l'espèce, il est incontesté que personne n'a requis de mise sous scellés, notamment le jour même de la perquisition, et que c'est à l'initiative du Ministère public que ceux-ci ont été apposés le mardi 14 août 2012 sur les documents découverts dans le coffre n o xxx le vendredi 10 août 2012 (cf. le procès-verbal de l'ouverture des pièces séquestrées).
Ce faisant, le MPC a manifestement sauvegardé les droits de la recourante ou de tout autre ayant droit, anticipant même une requête dans ce sens du "finance manager" de la recourante pourtant présent au moment de l'ouverture des documents. Le Procureur a ainsi notamment tenu compte du fait que la recourante - dont aucun des représentants n'a pris part à la perquisition - ou tout autre ayant droit n'avait peut-être pas eu connaissance de celle-ci et donc de la possibilité de s'exprimer sur le contenu des pièces saisies (<ref-law>), respectivement de s'opposer au séquestre (<ref-law>). En conséquence, le but de la procédure de scellés a été garanti.
La démarche du Procureur s'apparente donc en l'espèce à une demande de mise sous scellés qu'aurait pu former un ayant droit au moment de l'ouverture des pièces, faute d'avoir pu procéder dans ce sens antérieurement. Partant, le délai de l'<ref-law> débute le lendemain du prononcé de mise sous scellés (<ref-law>), soit le mercredi 15 août 2012. Le Tmc a donc considéré avec raison que la demande de levée des scellés déposées le 3 septembre 2012 par le MPC était recevable. Le grief d'irrecevabilité de cette requête doit par conséquent être écarté.
3.
Invoquant une violation des <ref-law>, la recourante soutient que les soupçons de commission d'une infraction nécessaires pour autoriser la perquisition seraient insuffisants. Il n'y aurait en outre, selon elle, pas de lien de connexité entre les infractions reprochées et les documents séquestrés.
3.1. Selon l'<ref-law>, les documents écrits peuvent être soumis à perquisition lorsqu'il y a lieu de présumer qu'ils contiennent des informations susceptibles d'être séquestrées.
Contrairement au juge du fond, l'autorité appelée à statuer sur les mesures de contrainte ne doit pas procéder à une pesée minutieuse des circonstances à charge ou à décharge, ni procéder à une évaluation complète des différents moyens de preuve disponibles. Il lui incombe uniquement d'examiner si, sur la base des actes d'instruction disponibles, l'autorité pouvait admettre l'existence d'indices suffisants et concrets de la commission d'une infraction (arrêt 1B_487/2012 du 18 février 2013 consid. 3.5 et les arrêts cités). Si le séquestre - mesure conservatoire provisoire - est fondé sur la vraisemblance (cf. <ref-law>), il en est à plus forte raison de même dans le cas d'une requête de levée des scellés. En effet, saisi d'une telle demande, le Tmc doit examiner, d'une part, s'il existe des soupçons suffisants de l'existence d'une infraction justifiant une perquisition et, d'autre part, si les documents mis sous scellés présentent apparemment une pertinence pour l'instruction en cours (cf. art. 197 al. 1 let. b à d CPP). Or ces questions ne peuvent être résolues dans le détail, puisque le contenu même des documents mis sous scellés n'est pas encore connu. L'autorité de levée des scellés doit s'en tenir, à ce stade, au principe de l'"utilité potentielle" des pièces saisies (arrêt 1B_300/2012 du 14 mars 2013 consid. 3.2).
3.2. En l'espèce, contrairement à ce que soutient la recourante, le premier juge n'a pas motivé la perquisition en se référant aux documents mis sous scellés. Ses constatations se fondent principalement sur les informations du Bureau de la communication en matière de blanchiment d'argent ressortant notamment des requêtes du MPC, ainsi que sur des documents bancaires, notamment ceux en lien avec le compte n o yyy (cf. en particulier consid. 3.1. du jugement entrepris). Le Tmc n'a ainsi pas autorisé de "fishing expedition" comme le prétend la recourante puisque les pièces figurant au dossier suffisaient pour établir au degré de la vraisemblance l'existence de soupçons de la commission d'infractions.
L'autorité précédente a donc retenu qu'entre le 26 et le 28 juin 2012, B._ avait fait modifier l'ayant droit économique de la relation bancaire susmentionnée en sa faveur, alléguant que le formulaire A remis en 2009 serait erroné. Selon ce document, cosigné par ailleurs par B._ et par C._, le bénéficiaire était l'un des quatre autres prévenus dans la procédure pénale, qui serait sous mandat d'arrêt par les autorités judiciaires ouzbeks pour des actes de gestion déloyale. Ces considérations ne sont pas remises en cause par la recourante. L'autorité précédente a ensuite conclu que la qualité de titre du formulaire A (<ref-ruling> consid. 9.9.2 p. 443), ainsi que le comportement adopté par la représentante de la requérante en vue de faire modifier la titularité de l'ayant droit permettaient de retenir, à ce stade de l'instruction, l'existence de soupçons de commission d'infractions de blanchiment d'argent et/ou de faux dans les titres, raisonnement qui ne prête pas le flanc à la critique.
3.3. Dans un deuxième temps, le Tmc a examiné la pertinence des documents mis sous scellés par rapport à l'instruction pénale en cours. Il a ainsi constaté que la saisie était intervenue dans le coffre xxx lié au compte bancaire n o yyy ouvert au nom de la recourante, pour lequel B._ et C._ bénéficiaient d'une signature individuelle. S'agissant des pièces saisies, l'instance précédente a également retenu sur la base des informations reçues des parties à la procédure (cf. notamment le courrier du 30 avril 2013 de la République d'Ouzbékistan) qu'elles concernaient l'ancienne représentante diplomatique ouzbek à titre privé, respectivement financier ou commercial, ou avaient trait aux activités commerciales de la recourante (cf. consid. 5.1 de l'ordonnance attaquée), appréciations que cette dernière ne conteste pas. Dès lors, la juridiction précédente pouvait retenir avec raison que ce type de pièces peut s'avérer pertinent dans le cadre d'une instruction pénale pour blanchiment d'argent où il sied en particulier d'examiner la traçabilité, respectivement la justification, de certains mouvements bancaires.
En conséquence, le Tmc n'a pas violé le droit fédéral en constatant que la perquisition effectuée le 10 août 2012 était justifiée et que les pièces mises sous scellés pouvaient être en lien avec l'enquête pénale en cours. Ce grief doit donc être écarté.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La recourante qui succombe supporte les frais de procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à la République d'Ouzbékistan, au Ministère public de la Confédération et au Tribunal des mesures de contrainte du canton de Berne.
Lausanne, le 20 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf