Sachverhalt:
A. X._ und Z._ sind geschieden. Sie haben zwei Kinder, S._ (geb. xxxx 1992) und T._ (geb. xxxx 1994). In der mit Scheidungsurteil vom 22. November 2005 genehmigten Konvention hatte sich X._ verpflichtet, an den Unterhalt seiner Kinder ab Dezember 2005 bis zum Abschluss einer angemessenen Ausbildung (auch über die Mündigkeit hinaus) monatliche Unterhaltsbeiträge von je Fr. 1'000.-- zu bezahlen. Die monatlichen Frauenalimente wurden wie folgt festgesetzt: Fr. 975.-- ab Dezember 2005 bis September 2007, Fr. 600.-- von Oktober 2007 bis September 2010 und Fr. 300.-- von Oktober 2010 bis September 2013; die in der letzten Periode geschuldeten Unterhaltsbeiträge wurden unter dem Titel "Aufbau einer angemessenen Altersvorsorge" vereinbart. Grundlage für die Unterhaltsberechnung bildete auf Seiten von X._ ein Erwerbseinkommen von Fr. 6'280.-- (inkl. 13. Monatslohn, zzgl. Kinderzulagen), bei Z._ zum Zeitpunkt der Scheidung ein solches von netto Fr. 1'000.--, ab Oktober 2007 von netto Fr. 2'500.-- und ab Oktober 2010 von netto Fr. 4'000.-- oder mehr.
B. Ein erster, von X._ eingeleiteter Abänderungsprozess wurde mit Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 26. September 2007 durch gerichtliche Genehmigung einer Vereinbarung vom 7. September 2007 erledigt. Die Parteien beliessen den Ehegattenunterhaltsbeitrag von Fr. 300.-- für die Periode ab Oktober 2010 bis September 2013 unverändert; neu gingen sie auf Seiten X._s von einem monalichen Nettoeinkommen von Fr. 6'100.-- (inkl. 13. Monatslohn, zzgl. Kinderzulagen) aus. Die Kinderunterhaltsbeiträge blieben unverändert.
C. Am 4. April 2011 klagte X._ vor dem Bezirksgericht Dietikon erneut auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 22. November 2005 (s. Bst. A). Er verlangte, die Kinderunterhaltsbeiträge bis Ende 2011 zu sistieren und ab 1. Januar 2012 auf Fr. 350.-- je Kind herabzusetzen. Die Unterhaltspflicht gegenüber Z._ sei aufzuheben und die Schulden beim Jugendsekretariat des Bezirks Bülach und bei Z._ seien zu löschen. Letztere beantragte widerklageweise, X._ zur Bezahlung eines hälftigen Beitrages von Fr. 8'500.-- an ausserordentliche Ausbildungskosten der Tochter S._ zu bezahlen. Das Bezirksgericht wies Klage und Widerklage ab (Urteil vom 9. März 2012).
D. In seiner Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich stellte X._ den Antrag, sowohl seine Unterhaltspflicht gegenüber Z._ gemäss dem Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 26. September 2007 als auch diejenige gegenüber dem gemeinsamen Sohn T._ gemäss dem Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 22. November 2005 seien "mit Wirkung ab 4. April 2011 vollumfänglich aufzuheben"; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht Dietikon zurückzuweisen. Das Obergericht wies die Klage kostenfällig ab.
E. Mit Eingabe vom 14. September 2012 lässt X._ Beschwerde in Zivilsachen führen. In der Sache wiederholt der Beschwerdeführer die bereits vor dem Obergericht gestellten Anträge. Überdies ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Am 10. Januar 2013 sandte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht ein weiteres Schreiben samt Schriftstücken.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist binnen Frist (<ref-law>) der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) über die Abänderung eines Scheidungsurteils. Streitig ist in dieser Zivilsache (<ref-law>) die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers. Das ist eine Frage vermögensrechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 2 S. 395). Die gesetzliche Streitwertgrenze (<ref-law>) ist erreicht. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) an sich mit freier Kognition. Allerdings ist der Richter - wie bei der Unterhaltsfestsetzung selbst (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 141) - auch bei deren Abänderung in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 8 S. 32; aus der neueren Rechtsprechung: Urteil 5A_581/2009 vom 18. November 2009 E. 5 mit Hinweisen). Bei der Überprüfung solcher Entscheide übt das Bundesgericht eine gewisse Zurückhaltung. Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 1 S. 99).
3. An verschiedenen Stellen wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, es setze sich mit seinen Ausführungen nicht auseinander und lasse seine Argumente ausser Acht. Dies sei eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Aus dem Gehörsanspruch (<ref-law>) folgt indes nicht, dass sich die Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen des Beschwerdeführers widerlegen muss. Vielmehr kann sie sich auf diejenigen Gesichtspunkte beschränken, die für den Entscheid wesentlich sind und es dem Rechtsunterworfenen ermöglichen, sich über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft zu geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterzuziehen. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Inwiefern der angefochtene Entscheid diesen Minimalanforderungen nicht genügen würde, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist auch nicht ersichtlich. Das Obergericht äussert sich sehr wohl dazu, weshalb dem Beschwerdeführer vom Zeitpunkt der Anhängigmachung der Abänderungsklage an ein hypothetisches Einkommen anzurechnen sei und warum eine Verbesserung der Verhältnisse seitens der unterhaltsberechtigten Personen für das Abänderungsverfahren unberücksichtigt bleiben müsse. Wie es sich damit verhält, ist keine Frage der Verletzung des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der richtigen Anwendung des materiellen Rechts.
4. Der Beschwerdeführer wehrt sich dagegen, dass das Obergericht ihm ab April 2011, dem Zeitpunkt der Anhängigmachung der Abänderungsklage, ein hypothetisches Einkommen von brutto Fr. 5'500.-- bzw. netto Fr. 4'800.-- anrechnet.
4.1 Gemäss dem angefochtenen Entscheid hat der Beschwerdeführer seine Stelle als Hauswart der Sekundarschule A._ per Ende März 2009 aufgegeben. Zwischen August 2008 und Februar 2009, noch während der Kündigungsfrist, habe er sich an diversen Orten erfolglos als Hauswart beworben und in der Folge eine Autogarage eröffnet. Diese habe er im Zeitpunkt der Anhängigmachung der Abänderungsklage seit zwei Jahren geführt. Seinen Angaben zufolge seien die Geschäfte im Jahr 2011 mit der Wirtschaftskrise völlig zusammengebrochen. Das Obergericht hält fest, dass der Beschwerdeführer das unternehmerische Risiko bei einem risikoreichen Gang in die Selbständigkeit selbst zu tragen habe, dass es unbillig wäre, die Einkommensreduktion einfach auf die geschiedene Frau und die Kinder abzuwälzen, und dass er die Folgen seines Entscheides, eine Garage zu eröffnen und dadurch möglicherweise weniger Einkommen zur Verfügung zu haben, selbst tragen müsse. Mit Blick auf die Last seiner Unterhaltspflicht habe der Beschwerdeführer die Einkommensverschlechterung aus objektiv nicht nachvollziehbaren Gründen herbeigeführt. Für den Zeitraum zwischen März 2009 bis Dezember 2011 lägen keine Bewerbungen vor; für die Zeit zwischen Dezember 2011 und März 2012 seien nur sechs Bewerbungen belegt. Diese Suchbemühungen würden nicht ausreichen als Nachweis dafür, dass er gar keine andere Wahl gehabt hätte, als die Garage zu eröffnen. Vielmehr wäre es ihm zuzumuten gewesen, über einen längeren Zeitraum als nur drei Monate eine Stelle im Bereich Gebäudebetreuung zu suchen und sich gleichzeitig (notgedrungen) bei der Arbeitslosenversicherung anzumelden. Dass der Beschwerdeführer trotz langjähriger Berufserfahrung als Hausabwart bis heute noch keine neue Vollzeitstelle gefunden habe, spreche nicht gegen die Annahme eines hypothetischen Einkommens. Im Ergebnis habe er nicht rechtsgenügend dargetan, alles Zumutbare unternommen zu haben, um eine neue Anstellung als Hauswart zu finden. Daher sei ihm vom Zeitpunkt der Anhängigmachung der Abänderungsklage im April 2011 ein hypothetisches Einkommen anzurechnen.
4.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, die zitierten vorinstanzlichen Ausführungen stünden im Widerspruch zur Aussage des Obergerichts, wonach ihm nicht zum Vorwurf gemacht werden könne, dass er sich selbständig gemacht habe. Die Bedenken des Beschwerdeführers sind unbegründet. Dass einer Person ein von ihr gefasster Entscheid als solcher nicht vorzuwerfen ist, schliesst keineswegs aus, dass diese Person für die Konsequenzen ihres Entscheids geradestehen muss. Diese Erkenntnis kommt auch im angefochtenen Entscheid zum Ausdruck, hält das Obergericht doch fest, der Gang in die Selbständigkeit könne dem Beschwerdeführer zwar nicht "im vornherein" vorgeworfen werden, er müsse jedoch die "Folgen seines Entscheids" tragen.
4.3 Weiter wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, indem es ihm "rückwirkend ab April 2011" ein hypothetisches Einkommen anrechne, verstosse es gegen die klare und langjährige Rechtsprechung des Bundesgerichts. Der Beschwerdeführer beteuert, er könne rückwirkend gar kein hypothetisches Einkommen erzielen; sofern ihm ein solches angerechnet werden könne, müsste ihm jedenfalls eine angemessene Übergangsfrist von mindestens einem Jahr eingeräumt werden. Der Beschwerdeführer bezieht sich offenbar auf die Rechtsprechung, wonach eine Einkommenssteigerung ausser Betracht bleiben muss, wo die reale Möglichkeit einer solchen fehlt (<ref-ruling> E. 4a S. 5 mit Hinweisen). Diese Rechtsprechung gilt für Sachverhalte, in denen der Richter die Pflicht zur Aufnahme oder Ausweitung der Erwerbstätigkeit bejaht und von der betreffenden Partei durch die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens eine Umstellung ihrer Lebensverhältnisse verlangt. In diesen Fällen ist der verpflichteten Partei hinreichend Zeit zu lassen, die rechtlichen Vorgaben in die Tat umzusetzen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 421; <ref-ruling> E. 5 S. 17). Anders verhält es sich, wenn der Unterhaltsschuldner schon bis anhin einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit nachgegangen ist und seine vorbestehende Unterhaltspflicht erfüllt hat. Denn in diesem Fall bedarf der Schuldner keiner Übergangs- oder Anpassungsfrist, um eine Erwerbstätigkeit aufnehmen oder ausweiten und hierzu seine Lebensverhältnisse umstellen zu können. Vielmehr muss der Alimentenschuldner alles in seiner Macht Stehende tun und insbesondere seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit voll ausschöpfen, um seiner Unterhaltspflicht nachzukommen. Begnügt sich der Unterhaltspflichtige selbst bei einem unfreiwilligen Stellenwechsel wissentlich mit einer nur ungenügend einträglichen Erwerbstätigkeit, so hat er sich anrechnen zu lassen, was er unter den gegebenen Umständen zu erwirtschaften vermöchte (Urteil 5A_341/2011 vom 20. September 2011 E. 2.5.1). Dass er bis im April 2011 nicht vollzeitlich erwerbstätig gewesen wäre und um seine vorbestehende Unterhaltspflicht nicht gewusst hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Daher kann er grundsätzlich keine Übergangsfrist für sich in Anspruch nehmen. Auch der Vorwurf der rückwirkenden Anrechnung erweist sich somit als unbegründet.
4.4 Ob dem Beschwerdeführer ab April 2011 ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden kann, hängt nach dem Ausgeführten (E. 4.3) davon ab, ob er im fraglichen Zeitraum seit April 2011 in zumutbarer Weise so weit leistungsfähig blieb, dass er seinen Unterhaltsverpflichtungen weiterhin nachkommen konnte, wie sich das Obergericht zutreffend ausdrückt. In diesem Zusammenhang verwahrt sich der Beschwerdeführer gegen den Vorwurf, er hätte, anstatt sich selbständig zu machen, weiter eine neue Stelle suchen und Arbeitslosentaggelder beziehen müssen. Er argumentiert, sein Einkommen hätte sich "sofort" um 20 % reduziert, wenn er sich im April 2009 nicht selbständig gemacht, sondern ab diesem Zeitpunkt Arbeitslosentaggelder bezogen hätte.
Zwar hat es das Bundesgericht sogar unter Willkürgesichtspunkten als "nicht über jeden Zweifel erhaben" angesehen, wenn einem Unterhaltsschuldner vorgeworfen wird, er habe voreilig das erste Arbeitsangebot aus dem Ausland angenommen und verschuldetermassen auf die Einkünfte aus der Arbeitslosenversicherung verzichtet, anstatt zunächst in der Schweiz eine Arbeitsstelle zu suchen und währenddessen Arbeitslosenentschädigung zu beziehen (Urteil 5A_341/2011 vom 20. September 2011 E. 2.3.2). Anders als im zitierten Fall hat die Vorinstanz das hypothetische Einkommen des Unterhaltsschuldners hier aber nicht einfach nach der Höhe der versäumten mutmasslichen Arbeitslosentaggelder festgesetzt, sondern gestützt auf Abklärungen über den einschlägigen Arbeitsmarkt konkret ermittelt. Insofern kann nicht gesagt werden, das Obergericht werfe dem Beschwerdeführer den Nichtbezug von Arbeitslosentaggeldern als solchen vor. Sein Vorwurf betrifft vielmehr - wie bereits erwähnt (E. 4.2) - die Folgen des Gangs in die Selbständigkeit: Obwohl die Geschäfte eingebrochen, die Pensionskassengelder aufgebraucht und die Unterhaltsbeiträge seit Anfang 2011 nicht mehr gestundet gewesen seien, habe der Beschwerdeführer nicht umgehend reagiert, sondern mit seinen Bemühungen um eine Vollzeitstelle als Hauswart bis Ende 2011/Anfang 2012 zugewartet. Damit habe er nicht alles in seiner Macht Stehende getan, um rechtzeitig eine neue Anstellung als Hauswart zu finden und seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit voll auszuschöpfen. Dem hat der Beschwerdeführer nichts Substantielles entgegenzusetzen. Dass das Obergericht, indem es für die Frage nach der Anrechnung eines hypothetischen Einkommens auf die Zeit seit Anhängigmachung der Klage abstellte, von anerkannten Grundsätzen abgewichen wäre oder einen irrelevanten Gesichtspunkt berücksichtigt hätte, kann angesichts der vorigen Erwägungen (E. 4.3) auch nicht gesagt werden.
4.5 Unbehelflich ist schliesslich, was der Beschwerdeführer gegen den angefochtenen Entscheid hinsichtlich der Höhe des hypothetischen Einkommens einwendet. Wenn er vor Bundesgericht erneut auf die Einkünfte verweist, die er in den vergangenen Jahren tatsächlich erzielt haben will, übersieht er, dass auch das Obergericht eine erhebliche Einkommensverringerung feststellt, das tatsächliche Ausmass dieser Einbussen aber, wie schon vom Obergericht zutreffend erwähnt, gerade offenbleiben kann, wenn es um die Festsetzung eines hypothetischen Einkommens geht. Von vornherein unberücksichtigt bleiben muss das Vorbringen, er arbeite seit Juni 2012 im Vollpensum als technischer Angestellter und erziele ein Monatseinkommen von netto Fr. 3'870.--. Hierbei handelt es sich um eine neue Tatsache, die vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden dürfte, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Dies gilt auch dann, wenn das Bundesrecht für einen bestimmten Streitgegenstand die Offizialmaxime vorschreibt (Urteil 5A_170/2007 vom 27. Juni 2007 E. 2.2). Inwiefern die erwähnte Voraussetzung erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395), tut der Beschwerdeführer nicht dar. Unbeachtlich ist vor Bundesgericht auch die mit Schreiben vom 10. Januar 2013 vorgetragene neue Tatsache, dass der gegenwärtige Arbeitgeber des Beschwerdeführers das Arbeitsverhältnis auf den 31. Januar 2013 gekündigt habe. Die Kündigung erfolgte am 21. Dezember 2012, ist also nach dem angefochtenen Entscheid ergangen. Damit ist bereits begrifflich ausgeschlossen, dass erst der vorinstanzliche Entscheid zu diesem neuen Vorbringen hat Anlass geben können. Das Gesagte gilt sinngemäss für die neu aufgelegte Mitteilung des Jugendsekretariats Bezirke Bülach und Dielsdorf vom 11. Dezember 2012, wonach die monatliche Unterhaltsschuld des Beschwerdeführers sich infolge der Anpassung an den neuen Index ab 1. Januar 2013 auf insgesamt Fr. 2'636.-- belaufe.
4.6 Im Ergebnis bleibt es also dabei, dass dem Beschwerdeführer ab April 2011 ein hypothetisches Einkommen von brutto Fr. 5'500.-- bzw. netto Fr. 4'800.-- anzurechnen ist.
5. Gemäss dem angefochtenen Entscheid beläuft sich das Existenzminimum des Beschwerdeführers auf monatlich Fr. 2'681.--. Diesen Betrag beanstandet der Beschwerdeführer nicht. Mit Bezug auf die Berechnung seines monatlichen Bedarfs macht er einzig geltend, dass ihm gemäss dem Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 26. September 2007 (s. Sachverhalt Bst. B) in der Zeit ab Oktober 2010 zusätzlich zu seinem Existenzminimum pro Monat Fr. 600.-- verblieben seien. "Entsprechend" habe er auch bei Reduktion seines Erwerbseinkommens Anspruch darauf, nicht auf dem Existenzminimum leben zu müssen. Um seinen Antrag auf Aufhebung der Unterhaltspflicht zu untermauern, zieht der Beschwerdeführer den von ihm beanspruchten "Freibetrag" von Fr. 600.-- in der Folge von den monatlichen Nettoeinkünften ab, die er seit April 2011 tatsächlich erzielt haben will. Diese Vorgehensweise ist schon deshalb verfehlt, weil nach dem Gesagten (E. 4) für die fragliche Zeit nicht von den tatsächlichen Einkünften, sondern von einem hypothetischen Nettoeinkommen von Fr. 4'800.-- auszugehen ist. Auf der Grundlage dieses Betrages kommt das Obergericht zum Schluss, auch wenn sich das Einkommen des Beschwerdeführers erheblich, dauerhaft und nicht vorhersehbar verringert habe, führe dies nicht zu einer Aufhebung, Reduktion oder Sistierung der Unterhaltsbeiträge, weil unter Berücksichtigung seines Existenzminimums von neu Fr. 2'680.-- und den Unterhaltsverpflichtungen von Fr. 1'300.-- immer noch ein frei verfügbarer Betrag von Fr. 820.-- resultiere. Ein Abänderungsgrund im Sinne von <ref-law> sei daher nicht gegeben. Die Art und Weise, wie das Obergericht zu diesem Ergebnis kommt, zieht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht in Zweifel.
6. Anlass zum Streit geben schliesslich die Einkommensverhältnisse auf Seiten der Beschwerdegegnerin und des Sohnes T._.
6.1 Was die Beschwerdegegnerin angeht, bestreitet der Beschwerdeführer, dass der Beitrag von Fr. 300.-- für die Periode von Oktober 2010 bis September 2013 (s. Sachverhalt Bst. B) dazu gedient haben soll, die während der Ehe erlittene Einbusse der Beschwerdegegnerin in der Altersvorsorge auszugleichen. Der Ausgleich der Altersvorsorgeguthaben sei im Zeitpunkt der Scheidung mit der Teilung der 2. Säule erfolgt. Jedenfalls ab Oktober 2010 habe die Beschwerdegegnerin mit dem erwarteten Einkommen zwar ihr eigenes Existenzminimum, nicht aber die Vorsorgelücke decken können. Deshalb habe er sich verpflichtet, auch für die Zeit ab Oktober 2010 monatlich Fr. 300.-- an die Beschwerdegegnerin zu bezahlen. "Entsprechend" sei die vorinstanzliche Annahme, die Einkommenssituation der Beschwerdegegnerin spiele für das Abänderungsverfahren keine Rolle, "offensichtlich unzutreffend". Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, die Beschwerdegegnerin habe im Jahr 2009 ein eigenes monatliches Nettoeinkommen von Fr. 4'329.-- erzielt; in den Folgejahren hätten sich ihre Erwebseinkünfte auf Fr. 4'462.-- (2010), "mindestens" Fr. 3'834.-- (2011) bzw. "rund" Fr. 3'800.-- (2012) belaufen. Durch die Untervermietung eines Zimmers habe sie ausserdem Fr. 500.-- bis Fr. 1'000.-- pro Monat dazuverdient. Zu berücksichtigen seien auch T._s Einkünfte von Fr. 560.-- (ab August 2011), Fr. 740.-- (ab August 2012), Fr. 980.-- (ab August 2013) bzw. Fr. 1'200.-- (ab August 2014). Allein mit diesen Vorbringen vermag der Beschwerdeführer nichts auszurichten. Denn auch wenn der besagte Beitrag von Fr. 300.-- nicht als Ausgleich für eine während der Ehe erlittene Vorsorgeeinbusse gedacht gewesen sein sollte, folgt aus dieser Erkenntnis keineswegs, dass diese Alimente nach dem übereinstimmenden Willen der Parteien nur unter der Bedingung geschuldet sind, dass das Einkommen der Beschwerdegegnerin den der Vereinbarung vom 7. September 2007 zugrunde liegenden Betrag von Fr. 3'200.-- nicht überschreitet, wie der Beschwerdeführer dies unterstellt. Das Obergericht stellt fest, die Parteien hätten in der gerichtlich genehmigten Vereinbarung vom 7. September 2007 (s. Sachverhalt Bst. B) zwar die Berechnungsgrundlagen für den Ehegattenunterhalt angepasst und seien neu von einem Einkommen der Beschwerdegegnerin von Fr. 3'200.-- ausgegangen, die Rentenhöhe für die Periode von Oktober 2010 bis September 2013 von Fr. 300.-- hätten sie aber unverändert gelassen, und zwar mit der Präzisierung, der in dieser Periode geschuldete Unterhaltsbeitrag sei "unter dem Titel Aufbau einer angemessenen Altersvorsorge geschuldet". Gerade Letzteres stellt der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht nicht in Frage. Haben die Parteien die Frauenalimente für den fraglichen Zeitabschnitt aber diesem besonderen Zweck unterstellt, so kann dem Obergericht kein Verstoss gegen die einschlägigen Auslegungsregeln (dazu Urteil 5C.197/2003 vom 30. April 2004 E. 2.2) vorgeworfen werden, wenn es aus diesem Umstand den Schluss zieht, dass diese Alimente gerade nicht zur Deckung des normalen Lebensunterhalts der Beschwerdegegnerin beitragen sollten und der "Vorsorgeunterhalt" unabhängig davon geschuldet sei, wie sich das Einkommen der Beschwerdegegnerin verändert. Dafür spricht auch der vom Obergericht angeführte Umstand, dass die Parteien in der Konvention vom 7. September 2007 für den fraglichen Zeitabschnitt von einem im Vergleich zur Scheidungskonvention vom 22. November 2005 geringeren Einkommen der Beschwerdegegnerin ausgingen, die Rentenhöhe für die Periode von Oktober 2010 bis September 2013 aber unverändert liessen.
6.2 Mit Bezug auf T._s Unterhaltsbeitrag hält das Obergericht fest, dessen Festlegung basiere auf der Scheidungskonvention vom 22. November 2005; darin seien die Parteien für die Phase ab Oktober 2010 bei der Beschwerdegegnerin "von einem monatlichen Nettoeinkommen von Fr. 4'000.-- oder mehr" ausgegangen. "In Auslegung der Konvention" sei davon auszugehen, dass der vereinbarte Kinderunterhaltsbeitrag von Fr. 1'000.-- auch geschuldet sei, falls die Beschwerdegegnerin - wie vom Beschwerdeführer geltend gemacht - durch Erwerbseinkommen, Mieteinnahmen oder Lehrlingslohn von T._s monatliche Einkünfte von mehr als Fr. 4'000.-- erzielen würde. Das Mehreinkommen wäre diesfalls nämlich nicht unvorhersehbar. Auch auf dieses Auslegungsergebnis geht der Beschwerdeführer nicht näher ein. Insbesondere setzt er sich auch nicht mit der vorinstanzlichen Erkenntnis auseinander, wonach die Berücksichtigung eines allfälligen Mehreinkommens seitens der Beschwerdegegnerin und des Sohnes schon an der fehlenden Unvorhersehbarkeit der zusätzlichen Einkünfte scheitere. Lässt er diese Erkenntnis aber unangefochten stehen, so laufen seine Hinweise auf die verschiedenen Bedarfspositionen der Beschwerdegegnerin und des Sohnes T._ ebenso ins Leere wie seine Behauptung, angesichts deren Einkommens- und Bedarfssituation sei die Unterhaltspflicht rückwirkend ab April 2011 vollumfänglich aufzuheben.
7. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn