Sachverhalt:
A. Mit Eingabe vom 13. Januar 2007 erhob C._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen einen Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 28. Dezember 2006, mit welchem seine Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der IV-Stelle Schaffhausen vom 19. Oktober 2006 (betreffend Verfügung vom 4. Oktober 2005 über Leistungen der Invalidenversicherung) abgewiesen worden war.
Mit Verfügung vom 24. Januar 2007 wurde der Versicherte aufgefordert, innert 14 Tagen nach Erhalt des Verfügungsschreibens einen Kostenvorschuss von Fr. 500.- zu bezahlen; bei Nichtleistung des Vorschusses innert Frist werde aus diesem Grunde auf die Rechtsvorkehr nicht eingetreten. Daraufhin ersuchte C._ am 31. Januar 2007 sinngemäss um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Am 27. Februar 2007 reichte er dem Gericht auf entsprechende Aufforderung hin ein diesbezügliches Formular ein.
B. Mit Entscheid vom 11. April 2007 wurde das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen. Gleichzeitig wurde zur Bezahlung des gemäss Verfügung vom 24. Januar 2007 eingeforderten Kostenvorschusses von Fr. 500.- eine 14tägige Frist angesetzt, welche mit der Zustellung des gefällten Entscheides zu laufen begann, und angedroht, dass bei Nichtleistung des Vorschusses innert Frist aus diesem Grunde auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht eingetreten werde.
C. Der Entscheid vom 11. April 2007 wurde dem Beschwerdeführer am 16. April 2007 durch die Post ausgehändigt. Den Kostenvorschuss leistete er in der Folge nicht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Mit diesem Gesetz ist die bisherige organisatorische Selbständigkeit des Eidgenössischen Versicherungsgerichts aufgehoben und dieses mit dem Bundesgericht fusioniert worden (Seiler, in: Seiler/von Werdt/ Güngerich, Kommentar zum BGG, Art. 1 N 4 und Art. 132 N 15). Das vorliegende Urteil wird daher - wie bereits der Entscheid vom 11. April 2007 - durch das Bundesgericht gefällt. Weil der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen jedoch vor dem 1. Januar 2007 ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach dem bis zum 31. Dezember 2006 in Kraft gewesenen Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) (Art. 131 Abs. 1 und Art. 132 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. 2.1 Nach Art. 150 Abs. 1 OG kann die Partei, die das Bundesgericht anruft, zur Sicherstellung der mutmasslichen Gerichtskosten angehalten werden. Bei fruchtlosem Ablauf der für die Sicherstellung gesetzten Frist wird gemäss Art. 150 Abs. 4 OG auf die Rechtsvorkehr nicht eingetreten.
2.2 Der Beschwerdeführer hat den Kostenvorschuss von Fr. 500.- innert der mit Entscheid des Bundesgerichts vom 11. April 2007 gesetzten Frist nicht geleistet. Androhungsgemäss ist deshalb auf seine Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 13. Januar 2007 aus diesem Grunde nicht einzutreten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 30. Mai 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: