Erwägungen:
1.
Am 28. November 2014 reichte A._ (geb. 1956) beim Bezirksgericht Zürich eine Staatshaftungsklage über rund 3 Mio. Franken im Zusammenhang mit einer rechtskräftigen Verurteilung wegen Betrugs (Bezug von Sozialhilfegeldern trotz Ausbezahlung des BVG-Guthabens von rund Fr. 245'000.--) ein. Am 23. Januar 2015 wies das Bezirksgericht Zürich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab und setzte A._ Frist an, um einen Kostenvorschuss von Fr. 55'250.-- zu leisten. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 20. Mai 2015 ab. A._ ist hiergegen mit verschiedenen Anträgen (Feststellung, dass keine Zweckentfremdung des BVG-Guthabens; Löschung von Registereinträgen; Wiederherstellung seines BVG-Guthabens; Schadenersatz; Genugtuung usw.) an das Bundesgericht gelangt.
2.
2.1. Nach <ref-law> (SR 173.110) ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht vielmehr eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt den Beschwerdeführenden, sachbezogen darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt.
2.2. Das Obergericht des Kantons Zürich hat in seinem Urteil die Auffassung geschützt, dass der von A._ angestrebte Staatshaftungsprozess als aussichtslos zu gelten habe, da im Haftungsverfahren der rechtskräftige Strafentscheid nicht überprüft werden könne; das Bezirksgericht Zürich habe deshalb zu Recht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen. Mit der entsprechenden Begründung setzt sich der Beschwerdeführer nicht sachbezogen auseinander; seine Ausführungen erschöpfen sich darin, verschiedene Kritiken an behördlichem Verhalten seit 2011 zu wiederholen, ohne darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid des Obergerichts über die unentgeltliche Rechtspflege Bundes (verfassungs) recht verletzen würde. Die vorliegende Eingabe genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen damit nicht. Es ist durch den Präsidenten als Instruktionsrichter darauf ohne Weiterungen im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.
Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar