Sachverhalt:
A. K._ (Ehemann), Jahrgang 1960, und B._ (Ehefrau), Jahrgang 1961, heirateten am xxxx 1985. Sie sind Eltern von Zwillingen, geboren am xxxx 1986. Ihre Ehe wurde mit Urteil vom 23. März 1994 wegen tiefer Zerrüttung rechtskräftig geschieden. In der gerichtlich genehmigten Vereinbarung über die Nebenfolgen der Scheidung verpflichtete sich der Ehemann zur Zahlung von monatlichen Unterhaltsbeiträgen für die Kinder von je Fr. 900.-- und ab 1. Dezember 1998 von je Fr. 1'000.-- und für seine Ehefrau gestützt auf [a]<ref-law> von Fr. 1'900.-- und ab 1. Dezember 1998 bis 31. Dezember 2002 von Fr. 1'300.--. In einer sog. Konkubinatsklausel war vorgesehen, dass nach einer Konkubinatsdauer von zwei Jahren die Unterhaltsbeiträge an die Ehefrau entfallen würden. Im März 1999 unterzeichneten die geschiedenen Ehegatten eine Vereinbarung, mit der sie die Unterhaltsbeiträge an die Kinder vorübergehend herabsetzten. Im April 2000 stellte K._ die Zahlung der seiner geschiedenen Ehefrau zuerkannten Unterhaltsbeiträge ein.
B. B._ leitete im Februar 2002 für die Forderung von Fr. 29'911.--, ausmachend die Unterhaltsbeiträge seit April 2000 nebst Zins, die Betreibung ein und erlangte die definitive Rechtsöffnung. K._ erhob daraufhin Klage mit den Begehren, es sei gerichtlich festzustellen, dass seine Schuld bei der Beklagten B._ im Betrag von Fr. 29'911.-- nicht bestehe, und es seien die Betreibung und die Lohnpfändung aufzuheben. Das Kantonsgericht und - auf Appellation des Klägers hin - das Obergericht des Kantons Nidwalden wiesen die Begehren ab. Sie gelangten zum Ergebnis, dass der Kläger weder einen Verzicht der Beklagten auf Unterhaltsbeiträge noch ein Konkubinat der Beklagten nachgewiesen habe (Urteile vom 5. Mai 2004 und vom 29. September 2005).
C. Mit eidgenössischer Berufung erneuert der Kläger seine bereits im kantonalen Verfahren gestellten Begehren und beantragt zusätzlich, seine Nichtschuld im Betrag von Fr. 14'627.70 gemäss einer weiteren Betreibung festzustellen. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet und auf sein Urteil verwiesen. Eine Berufungsantwort ist nicht eingeholt worden. Mit Urteil vom heutigen Tag hat die II. Zivilabteilung des Bundesgerichts die gleichzeitig gegen das nämliche Urteil erhobene staatsrechtliche Beschwerde des Klägers abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte (5P.289/2006).

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Kläger erstreckt seine Feststellungsklage vor Bundesgericht auf eine weitere Betreibungsforderung von Fr. 14'627.70, hat ein entsprechendes Begehren vor den kantonalen Gerichten aber nach eigenen Angaben (S. 5 der Berufungsschrift) förmlich nicht gestellt. Sein Berufungsantrag ist damit als neu anzusehen und unzulässig (Art. 55 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 1 S. 315; <ref-ruling> E. 3d S. 169). Mit diesem Vorbehalt kann auf die Berufung eingetreten werden, wobei formelle Einzelfragen im Sachzusammenhang zu erörtern sein werden.
2. Mit Beschluss vom 28. April 2005 hat das Obergericht den Beweisantrag des Klägers abgelehnt, die Kinder der Parteien als Zeugen einzuvernehmen. Der Beweisbeschluss gilt als selbstständiger Zwischenentscheid im Sinne von Art. 50 OG (<ref-ruling> Nr. 59) und kann mit der Berufung gegen den Endentscheid angefochten werden (Art. 48 Abs. 3 OG; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 89 f.). In der Ablehnung seines Beweisantrags erblickt der Kläger eine Verletzung seines aus <ref-law> abgeleiteten Beweisführungsanspruchs (S. 15 Ziff. 19 und S. 20 Ziff. 5 der Berufungsschrift). Dem angefochtenen Urteil lässt sich für die Ablehnung des Beweisantrags keine Begründung entnehmen. Darin liegt grundsätzlich ein Mangel im Sinne von Art. 51 Abs. 1 lit. c OG mit der Folge, dass das Bundesgericht gestützt auf Art. 52 OG den Entscheid von Amtes wegen aufhebt und die Sache an die kantonale Instanz zurückweist, damit sie die fehlende schriftliche Begründung nachholt (<ref-ruling> E. 2b S. 292). Gemäss den unangefochtenen Feststellungen zum Verfahrensablauf steht hier indessen fest, dass der Beweisbeschluss mündlich eröffnet und begründet worden ist und dass die Parteien auf die schriftliche Ausfertigung des Beweisbeschlusses verzichtet haben (vgl. E. 2.2 des Beschwerdeurteils). Da der streitige Anspruch auf Unterhalt gemäss a<ref-law> der freien Verfügungsbefugnis der Parteien unterliegt (<ref-ruling> E. 4 S. 115), ist der Verzicht auf die schriftliche Begründung zulässig und für das Bundesgericht beachtlich, selbst wenn damit auch ein Verzicht auf das Vorbringen einzelner Berufungsgründe verbunden ist (vgl. zum zulässigen Vorausverzicht auf die Berufung insgesamt: BGE 79 II 234 E. 3 S. 236 ff.; <ref-ruling> E. 3b S. 30 f.). Auf den Einwand des Klägers, sein Beweisführungsanspruch sei verletzt, kann bei dieser Verfahrenslage nicht eingetreten werden.
3. Als Hauptberufungsgrund nennt der Kläger die "unrichtige rechtliche Beurteilung einer Tatsache" (Art. 43 Abs. 4 OG). Er listet die einzelnen Zeugenaussagen und Indizien auf, die das Obergericht je als "Tatsache" bundesrechtswidrig beurteilt haben soll (S. 6 ff. Ziff. 1-22 und S. 20 Ziff. 4 der Berufungsschrift). Der genannte Berufungsgrund gestattet indessen keine Überprüfung der kantonalen Beweiswürdigung (<ref-ruling> Nr. 18; <ref-ruling> E. 3 S. 620). Zur im Berufungsverfahren unüberprüfbaren und auf Bundesebene einzig mit staatsrechtlicher Beschwerde anfechtbaren Beweiswürdigung gehören die Fragen, ob eine bestimmte Zeugenaussage den in Frage stehenden Beweis zu erbringen vermag (<ref-ruling> E. 2b S. 292; <ref-ruling> E. 2b S. 554) oder welche Feststellungen auf Grund von Indizien getroffen werden können (<ref-ruling> Nr. 72; <ref-ruling> E. 5 S. 243). Die gesamten Vorbringen des Klägers unter Hinweis auf Art. 43 Abs. 4 OG entpuppen sich insoweit als unzulässige Kritik an der obergerichtlichen Beweiswürdigung. Darauf kann nicht eingetreten werden. Da der Kläger die Beweiswürdigung erfolglos mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten hat und im vorliegenden Verfahren keine ausnahmsweise zulässigen Sachverhaltsrügen erhebt (Art. 63 Abs. 2 und Art. 64 OG), ist das Bundesgericht an das Ergebnis der obergerichtlichen Beweiswürdigung gebunden und hat in der Beurteilung der geltend gemachten Bundesrechtsverletzungen darauf abzustellen (Art. 43 Abs. 2 OG; vgl. S. 17 ff. Ziff. 1-3 der Berufungsschrift).
4. Die Vereinbarung der Parteien über die Nebenfolgen der Scheidung ist unter Herrschaft des ZGB von 1907/12 gerichtlich genehmigt worden, so dass sich auch die Abänderbarkeit der auf a<ref-law> gestützten Unterhaltsbeiträge an die geschiedene Ehefrau nach dem bisherigen Recht beurteilt (vgl. Art. 7a Abs. 3 SchlTZGB). Demgemäss konnte das rechtskräftige Scheidungsurteil betreffend Ehegattenunterhalt durch Parteiabrede aufgehoben oder abgeändert werden (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 12; Lüchinger/Geiser, Basler Kommentar, 1996, N. 26 zu aArt. 158 ZGB; Deschenaux/Tercier/Werro, Le mariage et le divorce, 4.A. Bern 1995, N. 804 S. 160).
Die Aufhebung des Unterhaltsbeitrags an die geschiedene Ehefrau durch Vereinbarung folgt den allgemeinen Regeln (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Wille zur Aufhebung einer Forderung ist nicht zu vermuten und muss klar zum Ausdruck gelangen. Die Aufhebung kann auch stillschweigend, insbesondere konkludent erfolgen, d.h. durch ein Verhalten, das nicht bloss passiv ist, sondern eindeutig und zweifelsfrei den Aufhebungswillen zeigt (BGE 52 II 215 E. 5 S. 220 ff.; D. Piotet, Commentaire romand, 2003, N. 22, und Gonzenbach, Basler Kommentar, 2003, N. 12, je zu <ref-law>, je mit Hinweisen; seither, z.B. <ref-ruling> E. 1.4 S. 478; <ref-ruling> E. 2.6 S. 413 und 460 E. 4.5 S. 469). Für die Aufhebung von rechtskräftig zuerkannten Unterhaltsbeiträgen an den geschiedenen Ehegatten hat das Bundesgericht in seiner nicht veröffentlichten Rechtsprechung mit aller Strenge daran festgehalten, dass eine rein passive Haltung des Unterhaltsgläubigers auch dann keinen endgültigen Verzicht darstellt, wenn sie während langer Zeit eingenommen wird (Bühler/Spühler, Berner Kommentar, Ergänzungsband, 1991, N. 169 zu aArt. 158 ZGB, mit Hinweis; seither, z.B. Urteile 5C.46/1997 vom 24. April 1997, E. 3, und 5C.184/1997 vom 16. Dezember 1997, E. 3).
In tatsächlicher Hinsicht steht für das Bundesgericht verbindlich fest, dass eine unmissverständliche und eindeutige Äusserung der Beklagten, sie wolle auf die ihr gemäss rechtskräftigem Scheidungsurteil zustehenden Unterhaltsbeiträge endgültig verzichten, nicht nachgewiesen werden konnte (vgl. E. 4.5 des Beschwerdeurteils). Dass das Obergericht gestützt auf dieses Beweisergebnis einen Schulderlass im Sinne von <ref-law> verneint hat, ist deshalb nicht zu beanstanden. Aus dem rein passiven Verhalten der Beklagten in der Zeit ab April 2000 bis Ende November 2001 kann nach dem Gesagten ebenso wenig auf einen Verzicht geschlossen werden. Die Einwände des Klägers (S. 9 Ziff. 8.2 und 8.3 und S. 17 f. Ziff. 1 der Berufungsschrift) erweisen sich somit als unbegründet. Für eine Beurteilung der in diesem Zusammenhang als verletzt gerügten <ref-law> und <ref-law> fehlen obergerichtliche Tatsachenfeststellungen, ohne dass der Kläger diesbezüglich ausnahmsweise zulässige Sachverhaltsrügen erhebt (vgl. S. 9 f. Ziff. 9 und S. 18 Ziff. 2 der Berufungsschrift). Davon abgesehen, soll sich der Kläger damals in einer schwierigen Lage befunden haben (vgl. E. 4.3 des Beschwerdeurteils), so dass das Verhalten der Beklagten, ausstehende Unterhaltsbeiträge vorderhand nicht einzutreiben, im Nachhinein wohl kaum als rechtsmissbräuchlich gewertet werden könnte. Die - in tatsächlicher Hinsicht unbelegte - Darstellung des Klägers, die Beklagte sei zur Deckung ihrer Lebenshaltungskosten nicht auf die geschuldeten Beiträge angewiesen und werde durch deren Zwangsvollstreckung ungerechtfertigt bereichert, überzeugt rechtlich bereits deshalb nicht, weil die Scheidungsrente gemäss aArt. 151 Abs. 1 ZGB nicht ausschliesslich die laufenden Bedürfnisse befriedigen will, sondern auch einen Anteil enthalten kann, der den scheidungsbedingten Verlust von sozialversicherungsrechtlichen Ansprüchen auszugleichen bezweckt (<ref-ruling> Nr. 19). Unter keinem der angerufenen Gesichtspunkte erscheint das angefochtene Urteil insgesamt als bundesrechtswidrig.
5. Die gerichtlich genehmigte Vereinbarung über die Nebenfolgen der Scheidung enthält eine sog. Konkubinatsklausel, wonach die Unterhaltsbeiträge an die Ehefrau nach einer allfälligen Konkubinatsdauer von zwei Jahren entfallen würden. Der Kläger behauptet - wie schon im kantonalen Verfahren - ein Konkubinat der Beklagten ab spätestens Dezember 1998.
5.1 Der Begriff des Konkubinats wird in der Scheidungsvereinbarung nicht bestimmt. Im Lichte der damaligen Rechtsprechung ist unter einem Konkubinat eine auf längere Zeit, wenn nicht auf Dauer angelegte umfassende Lebensgemeinschaft von zwei Personen unterschiedlichen Geschlechts mit grundsätzlich Ausschliesslichkeitscharakter zu verstehen, die sowohl eine geistig-seelische, als auch eine körperliche und eine wirtschaftliche Komponente aufweist. Nicht allen drei Komponenten kommt dabei dieselbe Bedeutung zu. Fehlt die Geschlechtsgemeinschaft oder die wirtschaftliche Komponente, leben die Partner aber trotzdem in einer festen und ausschliesslichen Zweierbeziehung, halten sich gegenseitig die Treue und leisten sich umfassenden Beistand, so ist eine eheähnliche Gemeinschaft zu bejahen (<ref-ruling> E. 3b S. 238).
5.2 Die Beweislast für das Bestehen einer eheähnlichen Gemeinschaft liegt beim Unterhaltsschuldner, der das Erlöschen der Unterhaltspflicht behauptet (<ref-law>). Der Beweis dafür, dass sich die Konkubinatspartner die Treue halten und sich Beistand leisten wie Eheleute, ist schwierig zu erbringen. Das Bundesgericht hat deshalb eine Tatsachenvermutung in dem Sinne aufgestellt, dass bei einem Konkubinat, das im Zeitpunkt der Einleitung der Abänderungsklage bereits fünf Jahre gedauert hat, grundsätzlich davon auszugehen ist, es handle sich um eine Schicksalsgemeinschaft ähnlich einer Ehe (<ref-ruling> E. 3a S. 237). Der Kläger hat für die Vermutungsbasis den vollen Beweis zu leisten. Das Bundesgericht hat es ausdrücklich abgelehnt, neben der Beweiserleichterung durch die angeführte Tatsachenvermutung zusätzlich das Regelbeweismass herabzusetzen und sich mit einem blossen Anscheinsbeweis oder - genauer gesagt - dem Beweis einer überwiegenden Wahrscheinlichkeit für das Bestehen eines rechtserheblichen Konkubinats zu begnügen (<ref-ruling> E. 3c S. 238 ff.). Entgegen der Ansicht des Klägers (S. 15 f. Ziff. 19 und 21 und S. 19 Ziff. 3 der Berufungsschrift) liegt keine Beweisnot darin begründet, dass sich der Partner der Beklagten nach kantonalem Recht auf sein Zeugnisverweigerungsrecht berufen konnte, was Fragen nach der Geschlechtsgemeinschaft anbetrifft. Blosse Beweisschwierigkeiten im konkreten Einzelfall können nicht zu einer Beweiserleichterung führen (allgemein: <ref-ruling> E. 3.2 S. 324). Die Berufung muss in diesem Punkt abgewiesen werden. Die kantonalen Gerichte sind vom zutreffenden Beweismass ausgegangen. Im Übrigen dürften sie in Anbetracht des festgestellten Sachverhalts (E. 5.3 sogleich) aber auch nicht ernsthaft am Vorliegen einer Geschlechtsgemeinschaft gezweifelt haben.
5.3 In tatsächlicher Hinsicht steht für das Bundesgericht verbindlich fest, dass trotz vierjähriger Bekanntschaftszeit (1994-1998) zwischen der Beklagten und I._ kein Konkubinatsverhältnis im Rechtssinne nachgewiesen ist. Weiter steht fest, dass die Beklagte Ende 1998 X._ kennengelernt hat und mit ihm eine Beziehung eingegangen ist, bis Ende November 2000 aber nicht mit X._ zusammengelebt hat und von ihm finanziell unabhängig gewesen ist; für eine geistig-seelische Zusammengehörigkeit haben keine besonderen Hinweise bestanden. Erstellt ist hingegen, dass X._ die Beklagte an ihrem Wohnort in E._ regelmässig besucht und mit ihr teilweise die Freizeit und die Ferien verbracht hat. Im Oktober 1999 hat X._ in F._ eine Bauparzelle gekauft, darauf ein Haus gebaut und der Beklagten die Hälfte der Liegenschaft geschenkt. Im Dezember 2000 haben X._ und die Beklagte dort einen gemeinsamen Haushalt begründet (vgl. E. 5.5 des Beschwerdeurteils).
Auf Grund der verbindlichen Feststellungen kann nicht bereits ab Dezember 1998 von einer eheähnlichen Gemeinschaft der Beklagten ausgegangen werden, zumal die tatsächlichen Voraussetzungen eines rechtserheblichen Konkubinats mit I._ nicht nachgewiesen werden konnten und die Beziehung zu X._ in jenem Zeitpunkt erst begonnen hat. Die Behauptung des Klägers, die Beklagte habe "in nahtlos ineinanderübergehenden Konkubinaten" gelebt (S. 14 Ziff. 17 der Berufungsschrift), entbehrt der tatsächlichen Grundlage. Mit Blick auf ihr Verhalten muss gegenteils angenommen werden, die Beklagte habe nach ihrer gescheiterten Ehe ein partnerschaftliches Zusammenwohnen und -leben vorerst auf längere Sicht nicht mehr aufnehmen wollen und erst ab Dezember 2000 mit X._ wieder aufgenommen, mit dem sie seither zugegebenermassen in einer eheähnlichen Gemeinschaft lebt.
Gegen das Bestehen eines Konkubinats im Rechtssinne vor diesem Zeitpunkt sprechen die Tatsachen, dass die Beklagte und X._ bis im Dezember 2000 getrennte Haushalte geführt haben, finanziell voneinander unabhängig gewesen sind und keine Hinweise auf eine besondere Zusammengehörigkeit der Partner festgestellt werden konnten. Es fehlt somit für die Zeit zwischen Dezember 1998 und Ende 2000 am Nachweis der wirtschaftlichen und der geistig-seelischen Komponente. Die Tatsache, dass X._ die Beklagte ab Dezember 1998 regelmässig besucht und mit ihr teilweise die Freizeit und die Ferien verbracht hat, mag als Beleg für eine gute Beziehung anzusehen sein, sagt aber nichts zur Frage, ob sich die beiden Partner damals schon die Treue gehalten und umfassenden Beistand geleistet haben, wie es auch in einer Ehe ihre Pflicht gewesen wäre. Das Angebot ihres Partners und die Annahme seines Geschenkes, mit ihren Kindern im Dezember 2000 in ein gemeinsames Haus umzuziehen, durfte unter diesen Umständen als der Beginn der eheähnlichen Lebensgemeinschaft der Beklagten mit X._ angesehen werden. Die daherige Beurteilung beider kantonalen Gerichte verletzt kein Bundesrecht.
6. Aus den dargelegte Gründen muss die Berufung abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Der Kläger wird damit kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'500.-- wird dem Kläger auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Nidwalden, Zivilabteilung Grosse Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2006
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: