A.- V._ a travaillé en qualité d'agent d'assurances au service de l'Union Suisse Assurances, actuellement Generali Assurances Générales (ci-après : Generali). A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de cette compagnie.
Le 28 septembre 1991, il a été victime d'un accident, dont les suites ont été prises en charge par l'assureur.
Par décision du 23 octobre 1996, confirmée sur opposition le 6 décembre suivant, l'assureur a refusé l'octroi d'une rente à l'intéressé.
Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal cantonal du canton du Jura l'a rejeté par jugement du 12 novembre 1999.
B.- Par lettre du 4 janvier 2000, l'assuré a demandé à Generali de rendre une décision sur son droit à une rente d'invalidité pour la période postérieure à la décision du 6 décembre 1996. A l'appui de sa demande, il invoquait une décision du 6 juillet 1999, par laquelle l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura lui avait accordé une demi-rente pour la période du 1er mars au 31 mai 1997 et une rente entière à partir du 1er juin suivant.
Par courrier du 16 février 2000, Generali a refusé d'entrer en matière sur la demande, motif pris que le jugement cantonal du 12 novembre 1999 avait autorité de chose jugée. L'assuré ayant sommé l'assureur de rendre une décision formelle (lettre du 9 août 2000), celui-ci a refusé d'y donner suite en se référant à sa prise de position du 16 février 2000 (lettre du 6 septembre 2000).
C.- Par mémoire du 12 septembre 2000, V._ a saisi la juridiction cantonale d'une action de droit administratif contre ce refus de statuer. Il concluait à l'octroi, dès le 1er janvier 1997, d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 25 %.
Considérant cette demande comme un recours contre un refus de statuer, la juridiction cantonale, par économie de procédure, est entrée en matière sur la conclusion au fond, laquelle a été rejetée par jugement du 6 mars 2001.
D.- V._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il requiert l'annulation, en reprenant, sous suite de dépens, sa conclusion déposée en instance cantonale.
Generali conclut, sous suite de dépens, au rejet du recours, ce que propose également la juridiction cantonale.
L'Office fédéral des assurances sociales n'a pas présenté de détermination.

Considérant en droit :
1.- Selon l'<ref-law>, un recours peut être formé devant le tribunal cantonal des assurances compétent (<ref-law>) lorsque l'assureur n'a pas rendu de décision ni de décision sur opposition en dépit de la demande de l'intéressé.
L'<ref-law> vise un déni de justice formel qualifié, comme le Tribunal fédéral des assurances l'a jugé à réitérées reprises à propos de l'ancien art. 30 al. 3 LAMA, selon lequel le recours auprès du tribunal cantonal des assurances pouvait aussi être formé lorsque la caisse n'avait pas pris de décision dans le délai de trente jours (<ref-ruling> consid. 1; RAMA 1989 no K 803, p. 152 s. consid. 3b). L'intérêt juridiquement protégé, dans ce cas, est celui d'obtenir une décision qui puisse être déférée à une autorité judiciaire de recours, indépendamment du point de savoir si, sur le fond, le recourant obtiendra gain de cause (<ref-ruling> consid. 2b).
Lorsque le recours contre un retard injustifié ou un refus de statuer se révèle bien fondé, la juridiction saisie doit l'admettre et ordonner à l'autorité concernée de rendre une décision sujette à recours (Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2ème éd., p. 226). L'objet du litige qui doit être examiné par le juge saisi d'un recours au sens de l'<ref-law> est uniquement le grief de retard injustifié ou de refus de statuer. Aussi, le juge ne peut-il pas, dans ce cas, se prononcer matériellement sur le droit à des prestations d'assurance. Une telle manière de procéder méconnaîtrait l'objet du litige d'un tel recours, lequel est limité à l'examen du refus de statuer de l'autorité inférieure (RAMA 2000 no KV 131 p. 246 consid. 2c).
2.- En l'espèce, la juridiction cantonale a considéré avec raison que le recours contre le refus de statuer de l'assureur était bien fondé. Toutefois, invoquant le principe d'économie de procédure et se référant à une ancienne jurisprudence concernant l'assurance-maladie (<ref-ruling> consid. 3) qui n'a plus cours actuellement sous l'empire de la LAMal (RAMA 2000 no KV 131, p. 243), elle a examiné l'affaire au fond au lieu de renvoyer la cause à l'assureur pour qu'il rende une décision, sujette à recours, sur le droit éventuel de l'assuré à une rente d'invalidité. Sur le vu des principes jurisprudentiels ci-dessus exposés, le jugement entrepris doit dès lors être annulé dans la mesure où il règle le litige au fond, et la cause renvoyée à l'intimé pour qu'il statue par une décision sujette à recours sur la demande de prestations formée par le recourant.
3.- Celui-ci, qui obtient gain de cause, a droit à une indemnité de dépens (art. 159 al. 1 OJ). Le jugement attaqué ne violant pas de manière qualifiée des règles d'application de la justice, il n'y a pas lieu de mettre l'indemnité de dépens à la charge du canton, mais de l'intimé (arrêt W. du 7 avril 1998, résumé in AJP 1998 1098, consid. 5a et b non reproduit aux <ref-ruling>; arrêt non publié H. du 19 octobre 1998 [U 305/97]).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances
prononce :
I. Le recours est admis en ce sens que le jugement du
Tribunal cantonal de la République et canton du Jura
du 6 mars 2001 est annulé dans la mesure où il règle
l'affaire au fond. La cause est renvoyée à l'assureur
intimé pour qu'il statue, par une décision sujette à
recours, sur la demande de prestations formée par le
recourant.
II. Il n'est pas perçu de frais de justice.
III. L'intimé versera au recourant la somme de 2000 fr. à
titre de dépens (y compris la taxe sur la valeur
ajoutée) pour l'ensemble de la procédure.
IV. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au
Tribunal cantonal de la République et canton du Jura,
Chambre des assurances, et à l'Office fédéral des
assurances sociales.
Lucerne, le 27 décembre 2001
Au nom du
Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre :
Le Greffier :