Diritto :
1.- Oggetto della lite è il tema di sapere se l'evento annunciato dall'interessato costituisca un infortunio ai sensi della legge sull'assicurazione contro gli infortuni e se, di conseguenza, la Basilese sia tenuta ad assumere il caso e a versare le prestazioni di legge.
2.- Nei considerandi del querelato giudizio è stato compiutamente esposto che, ai sensi dell'<ref-law>, per infortunio giusta l'<ref-law> si intende l'azione repentina, involontaria e lesiva che colpisce il corpo umano, dovuta a un fattore esterno straordinario. A questa esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione.
3.- a) In primo luogo, l'assicuratore infortuni censura la pronunzia cantonale rilevando che essa sarebbe stata resa disattendendo il principio della priorità della dichiarazione della prima ora - secondo il quale, in presenza di versioni contraddittorie di un assicurato, deve essere accordata la preferenza alle affermazioni fatte subito dopo l'evento, quando ancora l'interessato ne ignorava le conseguenze giuridiche (<ref-ruling> consid. 2a). La Basilese ritiene infatti che l'evento in questione non possa essere qualificato come infortunio. Osserva come lo stesso opponente, nel descrivere inizialmente l'episodio, non abbia segnalato alcuna circostanza particolare che lasciasse concludere in tal senso e che solo in sede di opposizione alla decisione dell'assicuratore infortuni avrebbe accennato alla rottura dei guanti quale causa del congelamento delle dita, rendendo così una versione contraddittoria e poco attendibile. Per il citato principio, l'assicuratore infortuni pretende che la valutazione del caso debba fondarsi sulla prima dichiarazione dell'8 aprile 1999, dalla quale peraltro non emergerebbe alcun elemento suscettibile di fare pensare alla sopravvenienza di un fattore estraneo straordinario. Sennonché tale interpretazione non può trovare accoglimento.
b) Come pertinentemente rilevato dalla Corte cantonale, l'invocato principio della priorità della dichiarazione della prima ora non può trovare applicazione nel caso in esame.
Occorre innanzitutto osservare che tale massima non assume valore assoluto, bensì costituisce solo un ausilio interpretativo di giudizio nel caso in cui l'assicurato rende dichiarazioni contraddittorie in relazione alla descrizione dell'evento per il quale avanza pretese. Esso non dispensa il giudice dal disporre ulteriori misure di accertamento dei fatti. Inoltre, il Tribunale federale delle assicurazioni ha già avuto modo di osservare come il principio non sia applicabile se dall'istruzione della causa siano da attendersi nuovi elementi cognitivi (sentenza del 3 gennaio 2000 in re S., U 236/98, e riferimenti). Nulla impedisce pertanto di attenersi a una mutata versione dei fatti se essa risulta maggiormente convincente e corroborata da altri elementi probatori che il richiedente è riuscito a dimostrare con l'alto grado di verosimiglianza richiesto dalla giurisprudenza (<ref-ruling> consid. 2a, 208 consid. 6b).
Nell'evenienza concreta, difficilmente comunque le dichiarazioni dell'assicurato possono essere ritenute contraddittorie. Il fatto che C._ in un primo momento non abbia riferito nulla di particolare in relazione all'episodio in parola non può costituire motivo di pregiudizio per la sua posizione. Va infatti notato che, per le sue stesse asserzioni, in occasione dell'escursione in discussione egli non aveva lamentato un senso di freddo più intenso rispetto ad altre volte. A ciò si aggiunge che, in occasione dell'annuncio d'infortunio, lo sfilacciamento dei guanti di lana - menzionato dall'interessato in un secondo tempo -, poteva anche non apparire di capitale rilevanza ai suoi occhi, avendo egli infilato un secondo paio sotto quelli consumati e potendo pertanto ritenere di aver posto rimedio al contrattempo. Allo stesso modo, non risulta che C._ avesse motivo di ritenere che proprio l'utilizzo dei secondi guanti infradito si sarebbe rivelato fatale per l'effetto di compressione da loro sviluppato, come ha in seguito attestato il sanitario interpellato. Donde la spiegazione del "silenzio" iniziale dell'interessato.
Ad ogni modo, le concordi e attendibili deposizioni dei testi uditi in sede cantonale, che hanno confermato il deterioramento dei guanti di lana - di per sé idonei per l'attività alpinistica - durante l'ascesa della parete, come pure le dichiarazioni del medico curante in merito alle cause del congelamento, sono tali da rendere altamente verosimile la precisazione resa da C._. Si deve infatti ritenere che assai difficilmente l'opponente avrebbe riportato la lesione in questione qualora i guanti protettivi non si fossero lacerati.
4.- In secondo luogo la ricorrente contesta che siano adempiuti i requisiti legali della straordinarietà e della repentinità dell'evento. Ma anche queste censure non sono pertinenti.
a) Per essere qualificato come conseguenza di un incidente, il danno alla salute deve, tra l'altro, scaturire dall'azione di un fattore esterno straordinario. L'evento è straordinario quando eccede il quadro di ciò che - oggettivamente - deve essere ritenuto come quotidiano o usuale (<ref-ruling> consid. 1, 121 V 38 consid. 1a con riferimenti). Il legislatore non ha definito oltre il concetto, ma ha lasciato al giudice un margine di apprezzamento nel singolo caso (<ref-ruling> consid. 1 e riferimenti).
Nell'evenienza concreta, accertato che il congelamento è stato causato dall'azione del freddo susseguente alla rottura dei guanti di scalata e dall'effetto compressivo prodotto da quelli infradito che hanno impedito la microcircolazione nella zona lesa, l'opinione dei giudici cantonali, che hanno ritenuto questa circostanza come imprevedibile ed esulante dal quadro di ciò che ragionevolmente può essere qualificato come usuale nell'attività alpinistica, deve essere confermata. Come rettamente rilevato, la presente fattispecie può essere paragonata ai casi evocati da dottrina e giurisprudenza in cui gli effetti lesivi del freddo - come pure del caldo -, che di per sé non sono suscettibili di configurare un siffatto elemento, si producono in seguito alla sopravvenienza di ulteriori agenti eccezionali (RAMI 1987 n. U 25 pag. 375 consid. 3a). In tali circostanze, l'azione del freddo può essere qualificata quale fattore straordinario.
Ritenuto che la lesione lamentata da C._ non è ascrivibile ai soli effetti climatici, bensì all'imprevista lacerazione degli appropriati guanti di lana, e considerato che in condizioni normali, ossia in assenza di questo elemento imprevedibile, il danno alla salute non si sarebbe prodotto, si impone di ammettere la straordinarietà dell'evento.
b) L'assicuratore infortuni sostiene altresì che nella fattispecie non sarebbe adempiuto il presupposto della repentinità dell'azione. Anche in questo caso, tuttavia, come hanno rettamente concluso i primi giudici, le allegazioni ricorsuali non possono essere condivise.
Il fatto che la lesione debba essere repentina non significa che essa debba prodursi in un istante. Occorre invece che essa si realizzi in un lasso di tempo relativamente breve, senza però che sia possibile stabilire una durata minima. Con il requisito dell'azione repentina si vuole escludere dall'assicurazione infortuni quei danni alla salute che sono da ascrivere a micro-traumi che si verificano ripetutamente nella vita di tutti i giorni e che provocano lesioni localizzate e sporadiche (<ref-ruling> consid. 2c e 114 V 301 consid. 3c).
Dottrina e giurisprudenza hanno già avuto modo di rilevare che un colpo di sole, così come pure altre lesioni dovute al calore atmosferico, possono originare un incidente ai sensi della legislazione in materia - adempiendo quindi tutti i suoi requisiti - se si verificano in circostanze eccezionali (<ref-ruling>). Parimenti, questo principio trova applicazione nel contesto di lesioni causate dall'azione del freddo (RAMI 1987 n. U 25 pag. 375 consid. 3a; Frésard, L'assurance-accidents obligatoire, in SBVR, n. 20).
Nel caso in esame, già si è detto che il congelamento delle dita è insorto in circostanze eccezionali, essendosi prodotto in seguito alla rottura dei guanti di lana e all'utilizzo di un secondo paio di filato stretto, che - come attestato dal dott. F._ - hanno pregiudicato in modo brusco e rapido la microcircolazione innescando un processo di ipotermia che, nello spazio di poche decine di minuti, ha causato i noti effetti. Ne consegue che l'azione lesiva deve essere ritenuta repentina.
5.- In esito alle suesposte considerazioni, il ricorso dell'istituto assicuratore si appalesa infondato, mentre merita di essere confermata la pronunzia cantonale che ha riconosciuto l'esistenza di un infortunio giusta l'<ref-law>.
6.- Vincente in causa, C._, patrocinato da un legale, ha diritto a ripetibili (art. 159 e 135 OG).

Per questi motivi, il Tribunale federale delle assicurazioni
pronuncia :
I.Il ricorso di diritto amministrativo è respinto.
II.Non si percepiscono spese giudiziarie.
III. La Basilese Assicurazioni verserà all'opponente la
somma di fr. 2500.- a titolo di indennità di parte per
la procedura federale.
IV.La presente sentenza sarà intimata alle parti,
al Tribunale cantonale delle assicurazioni, Lugano, e
all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.