Faits:
A. Par jugement du 3 novembre 2008, le Tribunal pénal économique du canton de Neuchâtel a condamné A._ à une peine privative de liberté de neuf ans et demi - sous déduction de 1'046 jours de détention avant jugement - pour de nombreux recels, recel par métier, deux brigandages en bande, des tentatives d'extorsion par brigandage, une tentative d'escroquerie assortie d'une instigation à incendie, une tentative de fabrication de fausse monnaie et des vols par effraction. Le même jour, le Tribunal pénal économique a ordonné l'arrestation immédiate de A._, qui avait comparu libre à l'audience de jugement. A ce jour, le prénommé a donc subi plus de trois ans et demi de détention.
Le 15 décembre 2008, A._ s'est pourvu en cassation auprès de la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: la Cour de cassation pénale). Le 9 avril 2009, il a présenté une requête d'effet suspensif au sens de l'art. 246 du code de procédure pénale neuchâtelois (CPP/NE; RSN 322.0), en demandant implicitement sa mise en liberté.
Par décision du 17 mars 2009, la Juge présidant la Cour de cassation pénale a rejeté la requête d'effet suspensif. Elle a considéré en substance qu'il existait un risque de fuite, au motif que l'intéressé, de nationalité italienne, possédait une maison en France et parce qu'il lui restait près de trois ans de détention à effectuer avant sa libération conditionnelle.
B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler cette décision et d'accorder l'effet suspensif au pourvoi en cassation interjeté le 15 décembre 2008, subsidiairement de renvoyer la cause à la Cour de cassation pénale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il requiert en outre l'assistance judiciaire. Le Procureur général du canton de Neuchâtel conclut au rejet du recours, sans présenter d'observations. La Cour de cassation pénale se réfère à la décision attaquée. Le recourant n'a pas présenté d'observations complémentaires dans le délai imparti.

Considérant en droit:
1. Les décisions relatives au maintien en détention avant jugement sont des décisions en matière pénale au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 273; Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4111). Formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision prise en dernière instance cantonale (<ref-law>) et qui touche le recourant dans ses intérêts juridiquement protégés (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF), le recours est recevable.
2. La détention ordonnée après le prononcé d'une peine en première instance mais avant la décision de l'autorité cantonale de recours sur cette condamnation (détention de sûreté) constitue une restriction à la liberté personnelle garantie par les art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH. Une telle restriction n'est admissible que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et 36 al. 1 Cst.). En procédure pénale neuchâteloise, le pourvoi en cassation ne suspend l'exécution de la décision attaquée que si le Président de la Cour de cassation pénale l'ordonne (<ref-law>/NE). Les règles régissant l'arrestation et la mise en liberté du prévenu (<ref-law>/NE) sont applicables par analogie, en tenant compte du fait que le requérant est un condamné et non plus un prévenu (RJN 1980 p. 132; ALAIN BAUER/PIERRE CORNU, Code de procédure pénale neuchâtelois annoté, 2003, n. 4 ad <ref-law>/NE).
La mesure de détention doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 2c p. 270). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (cf. <ref-law>/NE). La gravité de l'infraction - et l'importance de la peine encourue - n'est, à elle seule, pas suffisante (<ref-ruling> consid. 3a p. 62; <ref-ruling> consid. 4a). Préalablement à ces conditions, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes (art. 5 par. 1 let. c CEDH; <ref-ruling> consid. 3; art. 117 al. 1 in initio CPP/NE). S'agissant d'une restriction grave à la liberté personnelle, le Tribunal fédéral examine librement ces questions, sous réserve toutefois de l'appréciation des preuves, revue sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 186; <ref-ruling> consid. 2d p. 271).
3. Le recourant ne remet pas en cause l'existence de charges suffisantes, mais il conteste l'existence d'un risque de fuite.
3.1 Le risque de fuite doit s'analyser en fonction d'un ensemble de critères tels que le caractère de l'intéressé, sa moralité, ses ressources, ses liens avec l'Etat qui le poursuit ainsi que ses contacts à l'étranger, qui font apparaître le risque de fuite non seulement possible, mais également probable (<ref-ruling> consid. 4a p. 70 et la jurisprudence citée). La gravité de l'infraction ne peut pas, à elle seule, justifier la prolongation de la détention, même si elle permet souvent de présumer un danger de fuite en raison de l'importance de la peine dont le prévenu est menacé (<ref-ruling> consid. 3a p. 62; <ref-ruling> consid. 4a p. 70, 108 Ia 64 consid. 3 p. 67).
3.2 En l'occurrence, la décision attaquée fonde l'existence d'un risque de fuite sur le fait que le recourant devrait encore purger près de trois ans de détention avant sa libération conditionnelle. Elle relève également que l'intéressé est un ressortissant italien ayant passé son enfance en France, où il possède une maison. Il est vrai que l'importance de la peine privative de liberté prononcée en première instance justifie une certaine prudence dans l'appréciation du risque de fuite. Selon la jurisprudence, cet élément ne peut cependant pas à lui seul justifier le maintien en détention, de sorte qu'il convient d'examiner s'il existe d'autres indices d'un éventuel risque de fuite.
3.3 La nationalité italienne du recourant ne constitue pas à elle seule un tel indice, dès lors que, selon le jugement du Tribunal pénal économique, l'intéressé a quitté l'Italie à l'âge de cinq ans. Quant à la résidence secondaire qu'il possède en France, elle n'est pas en soi déterminante. La décision attaquée ne dit au demeurant pas si le recourant a d'autres liens avec l'étranger, en particulier s'il a conservé des attaches en Italie et s'il a des contacts en France qui feraient redouter un risque de fuite dans ce pays. Les informations sur la situation personnelle de l'intéressé en Suisse sont également lacunaires; on ignore par exemple si ses enfants y vivent. Les éléments précités étaient pourtant nécessaires pour apprécier le risque de fuite.
Le fait que le Président la Cour de cassation pénale neuchâteloise statue sur une demande dite d'effet suspensif ne le dispense pas d'exposer les éléments nécessaires à l'examen de ce qui est matériellement une demande de mise en liberté, comme le ferait le juge de la détention. En l'occurrence, les exigences de motivation étaient d'autant plus grandes que l'atteinte à la liberté personnelle est particulièrement longue (plus de trois ans et demi de détention préventive et de sûreté, interrompue pendant deux ans). Pour le surplus, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de rechercher dans le dossier les renseignements qui permettraient de justifier le maintien en détention.
En définitive, les éléments indispensables pour apprécier le risque de fuite font défaut, de sorte que le Tribunal fédéral n'est pas en mesure de statuer. Il y a dès lors lieu de constater que la décision attaquée ne contient pas "les motifs déterminants de fait et de droit" requis par l'<ref-law>, si bien qu'elle doit être annulée et que la cause doit être renvoyée à l'autorité cantonale en application de l'<ref-law>.
4. Il s'ensuit que le recours doit être partiellement admis. La décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à l'instance précédente pour qu'elle rende, à brève échéance, une décision qui réponde aux réquisits de l'<ref-law>. Il n'y a pas lieu de percevoir des frais judiciaires (<ref-law>). Le recourant, assisté d'un avocat, a droit à des dépens, à la charge de l'Etat de Neuchâtel (<ref-law>). Dans ces conditions, sa demande d'assistance judiciaire est sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis partiellement. La décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à la Juge présidant la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Une indemnité de 1'500 fr. est allouée à A._ à titre de dépens, à la charge de l'Etat de Neuchâtel.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, ainsi qu'au Procureur général et à la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 29 juin 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener