Sachverhalt:
A. A.a Im Rahmen eines Verfahrens betreffend Haftung vormundschaftlicher Organe wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 12. Juni 2007 die Klage von X._ (Beschwerdeführer) gegen S._, T._, U._, V._ und W._ (Beschwerdegegner) ab und regelte die Kosten und die Entschädigung der kantonalen Verfahren. Der Beschwerdeführer gelangte gegen dieses Urteil mit kantonaler Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich, welches die Beschwerde mit Zirkulationsbeschluss vom 30. Juni 2008 abwies, soweit es darauf eintrat.
A.b Der Beschwerdeführer gelangte mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht mit den Begehren, den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 12. Juni 2007 und den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 30. Juni 2008 aufzuheben und die Beschwerdegegner zu verpflichten, ihm Fr. 115'231.75 nebst Zins zu 5% von Fr. 108'140.55 und von Fr. 7'091.20 seit 17. April 2003 zu bezahlen. Mit Urteil vom 2. Dezember 2008 hob das Bundesgericht in Gutheissung der Beschwerde sowohl den obergerichtlichen Beschluss als auch den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts auf und wies die Sache zu neuer Beurteilung im Sinn der Erwägungen an das Obergericht zurück (5A_594/2008 [Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 12. Juni 2007 und Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 30. Juni 2008]).
B. Mit Nachtragsbeschluss vom 2. Juni 2009 schrieb das Kassationsgericht des Kantons Zürich das vor ihm hängige Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab (Ziff. 1), setzte die Gerichtsgebühr für das Kassationsverfahren auf Fr. 4'500.-- fest (Ziff. 2), auferlegte die Kosten des Kassationsverfahrens dem Beschwerdeführer (Ziff. 3) und verpflichtete diesen, den Beschwerdegegnern für das Kassationsverfahren je eine Prozessentschädigung von Fr. 1'300.-- zu entrichten (Ziff. 4).
C. Der Beschwerdeführer gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. Juli 2009 an das Bundesgericht. Er beantragt, den Nachtragsbeschluss aufzuheben, eventuell dessen Ziffern 3 und 4 aufzuheben und die Kosten des Kassationsverfahrens den Beschwerdegegnern aufzuerlegen und diese zu verpflichten, ihm für das Kassationsverfahren eine Prozessentschädigung von je Fr. 1'300.-- zu bezahlen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher (<ref-law>) Nachtragsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich im Zusammenhang mit der Haftung vormundschaftlicher Organe, mit welchem das Kassationsverfahren als gegenstandslos abgeschrieben und die Kosten dieses Verfahrens neu geregelt worden sind. Dabei handelt es sich um eine Zivilsache im Sinn von <ref-law>. Das Kassationsgericht beziffert den Streitwert aufgrund des seinerzeitigen obergerichtlichen Verfahrens auf rund Fr. 115'000.--, womit auch das Streitwerterfordernis gemäss <ref-law> erfüllt ist. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist somit einzutreten.
1.2 Die Beschwerde hat einen Antrag zu enthalten, wobei neue Begehren unzulässig sind (<ref-law>). Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie vom Kassationsgericht verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749; 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Verfassungsverletzungen werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287; <ref-ruling> E. 3.2. S. 88 mit Hinweisen). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein. In der Beschwerde in Zivilsachen dürfen überdies keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (<ref-law>). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395).
2. Das Kassationsgericht hält im angefochtenen Nachtragsbeschluss dafür, nachdem das Bundesgericht mit Urteil vom 2. Dezember 2008 den Beschluss des Obergerichts vom 12. Juni 2007 und den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 30. Juni 2008 aufgehoben habe, sei das Kassationsverfahren als zufolge nachträglich eingetretener Gegenstandslosigkeit erledigt abzuschreiben. Bei Gegenstandslosigkeit des Verfahrens würden die Nebenfolgen entweder nach Massgabe der Veranlassung der Gegenstandslosigkeit, nach dem vermutlichen Obsiegen oder nach der Veranlassung des gegenstandslos gewordenen Verfahrens geregelt. Das Kassationsgericht sei im nunmehr aufgehobenen Beschluss vom 30. Juni 2008 zur Auffassung gelangt, der Beschwerdeführer habe keinen Nichtigkeitsgrund nachgewiesen, an welcher Feststellung auch das Urteil des Bundesgerichts nichts geändert habe, zumal darin nur beiläufig auf den kassationsgerichtlichen Zirkulationsbeschluss vom 30. Juni 2008 Bezug genommen und insbesondere nicht gesagt worden sei, inwiefern das Kassationsgericht Bundesrecht verletzt habe. Mit Bezug auf die Frage der Kosten verweist das Kassationsgericht auf <ref-law>/ZH bzw. auf die einschlägige Zitatstelle bei FRANK/STRÄULI/MESSMER (Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 1 zu <ref-law>).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer macht zusammengefasst geltend, obwohl der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 30. Juni 2008 durch das bundesgerichtliche Urteil vom 2. Dezember 2008 aufgehoben worden sei, habe das Kassationsgericht das abgeschlossene Kassationsverfahren weitergeführt und ihm (dem Beschwerdeführer) ohne neue Erkenntnis oder Tatsachen die Kosten und Entschädigung des Verfahrens auferlegt. Er rügt in diesem Zusammenhang in erster Linie eine Verletzung von Bundesrecht, nämlich von Art. 46 und 188 BV sowie von Art. 1, 61, 62, 66, 67 und 107 BGG.
3.2 Artikel 46 BV handelt von der Umsetzung des Bundesrechts und <ref-law> von der Stellung des Bundesgerichts. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern vorliegend diese Bestimmungen verletzt worden sein könnten, und der Beschwerdeführer zeigt dies auch nicht nachvollziehbar auf (E. 1.2). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Keinen konkreten Bezug stellt der Beschwerdeführer ferner zu Art. 1, 62, 66 BGG her. Artikel 1 BGG handelt von der Stellung des Bundesgerichts, während <ref-law> den Gerichtskostenvorschuss im bundesgerichtlichen Verfahren und <ref-law> die Verlegung der Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens regelt. Im vorliegenden Fall geht es indes um die Frage, wie das Kassationsverfahren zu erledigen und wie die Kosten des kantonalen Kassationsverfahrens zu regeln waren; ein Bezug zu den vorgenannten Bestimmungen des Bundesgerichtsgesetzes ist nicht erkennbar und wird in der Beschwerde auch nicht den Anforderungen entsprechend erörtert. Nicht auszumachen ist schliesslich eine Verletzung von <ref-law>, betrifft diese Bestimmungen doch ebenfalls das bundesgerichtliche und nicht das kantonale Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde. Es ist daher nicht ersichtlich, inwiefern das Kassationsgericht diese Bestimmung verletzt haben soll. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.2 Artikel 46 BV handelt von der Umsetzung des Bundesrechts und <ref-law> von der Stellung des Bundesgerichts. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern vorliegend diese Bestimmungen verletzt worden sein könnten, und der Beschwerdeführer zeigt dies auch nicht nachvollziehbar auf (E. 1.2). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Keinen konkreten Bezug stellt der Beschwerdeführer ferner zu Art. 1, 62, 66 BGG her. Artikel 1 BGG handelt von der Stellung des Bundesgerichts, während <ref-law> den Gerichtskostenvorschuss im bundesgerichtlichen Verfahren und <ref-law> die Verlegung der Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens regelt. Im vorliegenden Fall geht es indes um die Frage, wie das Kassationsverfahren zu erledigen und wie die Kosten des kantonalen Kassationsverfahrens zu regeln waren; ein Bezug zu den vorgenannten Bestimmungen des Bundesgerichtsgesetzes ist nicht erkennbar und wird in der Beschwerde auch nicht den Anforderungen entsprechend erörtert. Nicht auszumachen ist schliesslich eine Verletzung von <ref-law>, betrifft diese Bestimmungen doch ebenfalls das bundesgerichtliche und nicht das kantonale Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde. Es ist daher nicht ersichtlich, inwiefern das Kassationsgericht diese Bestimmung verletzt haben soll. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.3 3.3.1 Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwirft, sich gegen einen formell und materiell rechtskräftigen Entscheid gerichtet und damit <ref-law> verletzt zu haben, kann seiner Beschwerde kein Erfolg beschieden sein.
3.3.2 Das Bundesgericht hat den Entscheid des Kassationsgerichts vom 30. Juni 2008 ohne materielle Prüfung der gegen diesen Beschluss erhobenen Rügen aufgehoben. Was die hier beanstandete Verlegung der kantonalen Kosten und Entschädigungen anbelangt, so hat sich das Bundesgericht in seinem Urteil vom 2. Dezember 2008 zu dieser Frage nicht geäussert.
Mit der Aufhebung des kassationsgerichtlichen Beschlusses vom 30. Juni 2008 durch das Bundesgericht wurde das Kassationsverfahren somit nicht rechtskräftig abgeschlossen, wie der Beschwerdeführer meint, sondern vielmehr in den Stand zurückversetzt, in dem es sich vor dem besagten Beschluss befand. Daran ändert nichts, dass auch der obergerichtliche Beschluss vom 12. Juni 2007 aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückgewiesen worden ist.
4. Der Beschwerdeführer rügt alsdann verschiedene Bestimmungen des kantonalen Rechts als verletzt.
4.1 In Art. 95 lit. c bis lit. e BGG sind in Bezug auf das kantonale Recht gewisse Teilbereiche aufgeführt, in denen das Bundesgericht kantonales Recht frei prüft. Ausserhalb dieser Teilbereiche bleibt die bundesgerichtliche Überprüfungsbefugnis unverändert. Es kann nur geltend gemacht werden, die Anwendung kantonalen Rechts verletze Bundesrecht (z.B. das Willkürverbot, <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 203; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 252).
4.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, nach § 69a GVG beurteile das Kassationsgericht Nichtigkeitsbeschwerden gegen Urteile des Obergerichts. Im vorliegenden Fall sei das Kassationsgericht im Nachgang zum bundesgerichtlichen Entscheid vom 2. Dezember 2008 von sich aus tätig geworden, ohne in der Sache zuständig zu sein.
4.2.1 Bevor die Rüge zur Sache behandelt wird, gilt es das Verhältnis zwischen der Nichtigkeitsbeschwerde gemäss <ref-law>/ZH und der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) aufzuzeigen:
Beide Rechtsmittel haben ein gemeinsames Anfechtungsobjekt, hier nämlich den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 12. Juni 2007 (vgl. <ref-law>/ZH; <ref-law>). Mit der Nichtigkeitsbeschwerde kann gemäss <ref-law>/ZH geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid beruhe zum Nachteil des Nichtigkeitsklägers auf einer Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes (Ziff. 1), auf einer aktenwidrigen oder willkürlichen tatsächlichen Annahme (Ziff. 2) oder auf einer Verletzung klaren materiellen Rechts (Ziff. 3). Ausgeschlossen ist die Nichtigkeitsbeschwerde hingegen, wenn das Bundesgericht einen Mangel frei überprüfen kann (<ref-law>/ZH; FRANK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. Zürich 2000, N. 6 zu <ref-law>). Im konkreten Fall konnte der Beschwerdeführer mit der Nichtigkeitsbeschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts vom 12. Juni 2007 nur die in <ref-law>/ZH erwähnten Rügen vortragen. Die Rüge einer Verletzung von Bestimmungen des Zivilgesetzbuches war ihm dagegen aufgrund von <ref-law> untersagt, da das Bundesgericht im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen gegen den obergerichtlichen Beschluss entsprechende Rügen frei prüft (<ref-law>). Wird der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts mit einem Rechtsmittel, das nicht alle Rügen nach den Art. 95-98 BGG zulässt (hier Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht), bei einer zusätzlichen kantonalen Gerichtsinstanz angefochten, so beginnt die Beschwerdefrist erst mit der Eröffnung des Entscheides dieser Instanz (<ref-law>). Wegen des verschobenen Beginns der Rechtsmittelfrist gegen den obergerichtlichen Beschluss konnte der Beschwerdeführer mit der Beschwerde in Zivilsachen sowohl den Beschluss des Obergerichts vom 12. Juni 2007 wie auch denjenigen des Kassationsgerichts vom 30. Juni 2008 anfechten (vgl. dazu: Urteil 5A_440/2008 vom 19. März 2009). Das ändert aber nichts daran, dass dem Bundesgericht zwei verschiedene Beschlüsse unterbreitet wurden, welche in voneinander verschiedenen Verfahren mit unterschiedlicher Kognition ergangen sind.
4.2.2 Im vorliegenden Fall hat das Bundesgericht mit Urteil vom 2. Dezember 2008 den Beschluss des Obergerichts vom 12. Juni 2007 wegen Verletzung von Bestimmungen des Zivilgesetzbuches aufgehoben. Das Urteil äussert sich aber nicht materiell zum Beschluss des Kassationsgerichts, was sich denn auch erübrigte, nachdem das gemeinsame Anfechtungsobjekt infolge Gutheissung der Beschwerde in Zivilsachen gegen den Beschluss des Obergerichts vom 12. Juni 2007 aufgehoben worden war. Dass mit dem bundesgerichtlichen Urteil der Beschluss des Obergerichts vom 12. Juni 2007 aufgehoben worden ist, bedeutet nicht, dass die Nichtigkeitsbeschwerde mit Bezug auf die Kosten des kantonalen Kassationsverfahrens definitiv beurteilt war. Mit seiner Auffassung lässt der Beschwerdeführer unbeachtet, dass zwei verschiedene Entscheide aus je verschiedenen Verfahren mit der gleichen Beschwerde in Zivilsachen angefochten worden sind. Eine definitive Beurteilung der Nichtigkeitsbeschwerde wäre nur erfolgt, wenn das Bundesgericht im Rahmen der Beurteilung der Beschwerde in Zivilsachen die gegen den Beschluss des Kassationsgerichts erhobenen Rügen geprüft, die Rügen als begründet angesehen, deswegen die gegen den Beschluss des Kassationsgerichts erhobene Beschwerde in Zivilsachen gutgeheissen und die Kosten und die Entschädigungen des kantonalen Verfahrens geregelt hätte (<ref-law>). Mit der blossen Aufhebung des Beschlusses des Kassationsgerichts vom 30. Juni 2008 wurde das Kassationsverfahren somit nicht abgeschlossen, wie der Beschwerdeführer meint, sondern in den Stand zurückversetzt, in dem es sich vor dem aufgehobenen Beschluss befand. Nunmehr war zu entscheiden, wie das Verfahren nach der ebenfalls erfolgten Aufhebung des Beschlusses des Obergerichts vom 12. Juni 2007 abzuschliessen sei. Da der aufgehobene Beschluss (vom 30. Juni 2008) vom Kassationsgericht gefällt worden war, kann auch ohne Willkür angenommen werden, das Kassationsgericht sei für den Abschluss des Verfahrens und die Regelung der Kosten des Kassationsverfahrens zuständig gewesen. Die Rüge der willkürlichen Anwendung von § 69a GVG erweist sich als unbegründet.
4.3 Der Beschwerdeführer wirft schliesslich dem Kassationsgericht eine willkürliche (nicht) Anwendung von § 64 Abs. 2 und Art. 68 Abs. 1 ZPO/ZH vor, indem es die Kosten und Entschädigungen des kantonalen Verfahrens zulasten der obsiegenden Partei regle. Die besagten Bestimmungen sehen vor, dass die Kosten und Entschädigungen der unterliegenden Partei aufzuerlegen sind.
Das Kassationsgericht hat dem Umstand Rechnung getragen, dass das Anfechtungsobjekt (der Beschluss des Obergerichts vom 12. Juni 2007) durch das bundesgerichtliche Urteil dahingefallen ist und somit über die Nichtigkeitsbeschwerde gegen den obergerichtlichen Beschluss vom 12. Juni 2008 nicht mehr in einem Sachurteil entschieden werden kann. Es hat deshalb in Anwendung von <ref-law>/ZH das Verfahren als gegenstandslos abgeschrieben und die Kosten und Entschädigungen aufgrund der fehlenden Erfolgsaussicht der Nichtigkeitsbeschwerde dem Beschwerdeführer auferlegt. Das Vorgehen des Kassationsgerichts entspricht <ref-law>/ZH und ist demzufolge nicht willkürlich. Inwiefern diese Bestimmung im konkreten Fall willkürlich angewendet werden sein soll, wird nicht erörtert. Eine Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen nach § 64 Abs. 2 und § 68 Abs. 1 ZPO/ZH, wonach die Gerichts- und Parteikosten grundsätzlich der unterliegenden Partei aufzuerlegen sind, wäre im zu beurteilenden Fall nur infrage gekommen, wenn das Bundesgericht die gegen den Beschluss des Kassationsgerichts erhobenen Rügen als begründet erachtet, den kassationsgerichtlichen Beschluss deswegen aufgehoben und die Sache zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen des kantonalen Kassationsverfahrens in Anwendung von <ref-law> an das Kassationsgericht zurückgewiesen oder aber die kantonalen Kosten und Entschädigungen in Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts selbst neu verlegt hätte, was - wie dargelegt - nicht erfolgt ist. Die Rüge erweist sich damit als unbegründet. Stehen gegen ein kantonales Urteil zwei Rechtsmittel mit unterschiedlicher Kognition der Rechtsmittelinstanz zur Verfügung (wie hier gegen den obergerichtlichen Beschluss die Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht und die Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht), liegt es im Ermessen des Beschwerdeführers, ob er zur Behandlung seiner eigenen Rügen beide Rechtsmittel ergreift. Tut er dies und führt bereits die Anfechtung des obergerichtlichen Urteils beim Bundesgericht zum Erfolg, hat er das mit beschränkter Kognition der Rechtsmittelinstanz ausgestattete ausserordentliche kantonale Rechtsmittel (Nichtigkeitsbeschwerde) umsonst ergriffen. Der Beschwerdeführer übernimmt mit anderen Worten das Risiko, dass dieses kantonale Rechtsmittel überflüssig wird und unter Kostenfolge zu seinen Lasten abgeschrieben werden muss.
5. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden