Sachverhalt:
A.
Der 1958 geborene H._ bezog gestützt auf die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 12. Juni 2001 aufgrund eines psychischen Leidens ab Februar 1999 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Invalidenrente (nebst Zusatz- und Kinderrenten) der Invalidenversicherung. Im Rahmen eines im Juli 2009 eingeleiteten Revisionsverfahrens holte die IV-Stelle ein medizinisches Gutachten des ärztlichen Abklärungszentrums X._ vom 26. April 2010 ein. Mit Schreiben vom 20. Mai 2010 teilte die Verwaltung H._ mit, sie beabsichtige die weitere Ausrichtung einer ganzen Rente. Der Versicherte werde aber im Rahmen seiner Schadenminderungspflicht aufgefordert, sich zur Verbesserung der Arbeitsfähigkeit einer - von den Experten des ärztlichen Abklärungszentrums X._ empfohlenen - intensiven, engmaschigen, psychiatrischen Behandlung mit Anbindung an eine Tagesklinik oder eine vollstationäre Behandlung zu unterziehen. Sollte er dies nicht tun, was mit amtlicher Revision per 2011 überprüft werde, werde der Rentenanspruch so beurteilt, wie wenn die Behandlung stattgefunden hätte. Das könnte zur Einstellung oder Kürzung der Rente nach <ref-law> führen. Am 24. Mai 2010 teilte die IV-Stelle H._ mit, die bisherige Rente werde weiter ausgerichtet. Im Jahr 2011 leitete die Verwaltung ein Revisionsverfahren ein und traf Abklärungen insbesondere auch dazu, ob die angewiesene Behandlung stattgefunden habe. Sie gelangte zum Ergebnis, dies treffe nicht zu. Der Rentenanspruch sei demnach wie angekündigt neu zu beurteilen. Bei dem resultierenden Invaliditätsgrad von nurmehr 55 % bestehe noch Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Die bisherige ganze Rente werde per 1. März 2012 entsprechend herabgesetzt (Verfügung vom 26. Januar 2012).
B.
Die von H._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 26. November 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt H._ beantragen, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle sei anzuweisen, ab 1. März 2012 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % weiterhin ganze Invalidenrenten zuzusprechen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Nach <ref-law> ist in der Begründung der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, das Grund (Art. 95 f. BGG) einer Beschwerde beim Bundesgericht bilden kann (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53). Die Vorbringen müssen sachbezogen sein, damit aus der Beschwerdeschrift ersichtlich ist, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird. Pauschale Verweisungen auf Rechtsschriften in anderen Verfahren vermögen den Begründungsanforderungen nicht zu genügen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 306 mit Hinweisen). Auf die vorliegende Beschwerdebegründung ist daher nur insoweit einzugehen, als sie sich mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt, nicht aber, soweit sie sich auf pauschale Behauptungen und auf Verweise auf Eingaben im vorinstanzlichen Verfahren beschränkt.
3.
In der Verwaltungsverfügung vom 26. Januar 2012 und im vorinstanzlichen Entscheid sind die namentlich interessierenden Bestimmungen zu den Begriffen Invalidität (<ref-law>) und Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), zum Umfang und zu den Voraussetzungen des nach dem Invaliditätsgrad abgestuften Anspruchs auf eine Invalidenrente (mit den vorausgesetzten Mindestinvaliditätsgraden von 40 % für eine Viertelsrente, 50 % für eine halbe Rente, 60 % für eine Dreiviertelsrente und 70 % für eine ganze Rente; <ref-law>), zur Invaliditätsbemessung mittels Einkommensvergleich (<ref-law>), zur Pflicht der versicherten Person, sich zur Schadenminderung einer zumutbaren medizinischen Behandlung zu unterziehen, welche eine wesentliche Verbesserung der Erwerbsfähigkeit verspricht, zum Mahn- und Bedenkzeitverfahren und zur Aufhebung oder Kürzung einer laufenden Rente bei Nichtbefolgung der Schadenminderungspflicht (Art. 7, Art. 7a, Art. 7b IVG; <ref-law>; vgl. auch Art. 43 Abs. 2 und 3 ATSG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die dazu ergangene Rechtsprechung. Darauf wird verwiesen.
4.
Die Verwaltung hat in der Verfügung vom 26. Januar 2012 ausgeführt, ihre medizinischen Abklärungen im Jahr 2010 hätten ergeben, dass die Arbeitsfähigkeit des Versicherten durch medizinisch zumutbare therapeutische Massnahmen verbessert werden könne. Sie habe dem Beschwerdeführer deshalb mit Schreiben vom 20. Mai 2010 als Schadenminderungspflicht eine solche Therapie auferlegt. Im Rahmen der aktuellen Rentenrevision habe sich ergeben, dass er sich weiter nicht in psychiatrischer Behandlung befinde und somit die Schadenminderungspflicht nicht wahrgenommen habe. Die Invalidität sei daher, wie am 20. Mai 2010 angekündigt, nach Massgabe der von der Behandlung zu erwartenden Besserung zu bemessen. Aus versicherungspsychiatrischer Sicht hätte sich die Arbeitsfähigkeit bei Wahrnehmung der Schadenminderungspflicht ab dem 26. April 2011, ein Jahr nach dem Gutachten des ärztlichen Abklärungszentrums X._ vom 26. April 2010, um 50 % signifikant verbessert. Der davon ausgehende, auf Tabellenlöhne gestützte Einkommensvergleich ergebe einen Invaliditätsgrad von nurmehr 55 %. Die bisherige ganze Rente werde daher in Anwendung von <ref-law> auf eine halbe Rente herabgesetzt.
Das kantonale Gericht hat diese Beurteilung in allen Teilen bestätigt.
5.
Der Versicherte macht wie bereits im kantonalen Verfahren geltend, er habe Inhalt und Bedeutung des Schreibens vom 20. Mai 2010 nicht richtig verstanden.
Der Einwand ist offensichtlich unbegründet. Im Schreiben vom 20. Mai 2010 wurde in auch für Laien einfach verständlicher Weise klar und unmissverständlich dargelegt, welcher Behandlung sich der Versicherte zur Schadenminderung zu unterziehen habe und was er bei Nichtbefolgung gewärtigen müsse.
Was der Beschwerdeführer vorbringt, führt zu keinem anderen Ergebnis. Das Schreiben vom 20. Mai 2010 kam per eingeschriebener Post, was seine Wichtigkeit betonte. Es konnte und durfte schon deswegen nicht übersehen oder als unbedeutsam betrachtet werden. In der Familie gibt es sodann mehrere Personen, welche ohne Weiteres deutsch verstehen und bei Verständnisfragen mithelfen können. Der Beschwerdeführer hatte denn offensichtlich auch die früheren Zustellungen, worunter Aufgebote zu medizinischen Untersuchungen, verstanden. Dass er das Schreiben vom 20. Mai 2010 ebenfalls verstanden hat, zeigt sich zudem daran, dass er danach seinen Hausarzt aufsuchte und sich von diesem für ein Erstgespräch an die Sprechstunde für affektive Störungen an die Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie des Spitals Y._ überweisen liess. Gemäss Bericht des Spitals Y._ vom 7. März 2010 (recte wohl: 2011) wurde bei diesem Gespräch vom 5. Oktober 2010 eine stationäre psychiatrische Behandlung als indiziert erachtet, indessen vom Versicherten abgelehnt. In seiner Stellungnahme zum - der Verfügung vom 26. Januar 2012 vorangegangenen - Vorbescheid erklärte der Versicherte überdies, er habe darauf vertrauen können, dass er durch die psychiatrische Betreuung des Hausarztes und die damit verbundene medikamentöse Behandlung der auferlegten Schadenminderungspflicht nachkomme. Wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat, zeigt auch dies, dass der Versicherte das Schreiben vom 20. Mai 2010 richtig verstanden hat. Dass die Stellungnahme zum Vorbescheid vom Rechtsvertreter verfasst wurde, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Auch der weiter geltend gemachte Umstand, der Versicherte habe nach Erhalt des Schreibens vom 20. Mai 2010 nicht seinen Rechtsschutzversicherer kontaktiert, führt zu keinem anderen Schluss. Gleiches gilt für das Vorbringen, der Beschwerdeführer habe nach mehr als zehnjähriger Rentendauer nicht mit einer solchen Auflage rechnen müssen. Jeder Rentenbezüger wird darauf aufmerksam gemacht und ist sich dessen bewusst, dass sein Leistungsanspruch regelmässig revisionsweise überprüft wird. Dem Versicherten musste dies erst recht bekannt sein, hatte er doch schon mehrere Rentenrevisionen durchlaufen. Abgesehen davon ist es - stete und allseits bekannte - Pflicht der versicherten Personen, das ihnen Zumutbare zur Schadenminderung zu unternehmen. Damit kann auch offenbleiben, ob der Versicherte anlässlich des Erstgesprächs am Spital Y._ vom 5. Oktober 2010, wie von der Vorinstanz erwogen, die von der Verwaltung auferlegte Behandlung oder aber, wie er geltend macht, eine frühere Abklärung erwähnt hat. Denn auch wenn er Letzteres gemeint hätte, vermöchte dies seine Behauptung, er habe das Schreiben vom 20. Mai 2010 nicht verstanden, nicht verlässlich zu stützen. Dass der Versicherte Inhalt und Bedeutung dieses Schreibens nicht verstanden hätte, liesse sich sodann weder durch eine Parteibefragung mit ihm noch durch Zeugenbefragungen mit seinen Familienangehörigen verlässlich erhärten. Solche Beweismassnahmen vermöchten daher keinen entscheidrelevanten Aufschluss zu bringen, weshalb die Vorinstanz zu Recht davon abgesehen hat. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör stellt dies entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht dar.
6.
Das kantonale Gericht hat erkannt, der Beschwerdeführer habe sich der angewiesenen Behandlung, welche als zumutbar zu betrachten sei, nicht unterzogen. Diese Beurteilung wird nicht in Frage gestellt und gibt keinen Anlass zu Bemerkungen.
Umstritten ist, ob diese Behandlung eine wesentliche Verbesserung der Erwerbsfähigkeit gebracht hätte. Verwaltung und Vorinstanz haben das bejaht. Der Beschwerdeführer vertritt demgegenüber die Auffassung, es sei nicht genügend erstellt, dass es zu einer solchen Verbesserung gekommen wäre.
6.1. Gemäss den zutreffenden Erwägungen im gefochtenen Entscheid genügt es für eine Leistungskürzung oder -verweigerung im Sinne von <ref-law>, wenn die zur Diskussion stehende medizinische Massnahme mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zu einer erheblichen Verbesserung der Erwerbsfähigkeit geführt hätte. Der erforderliche Grad an Wahrscheinlichkeit ist unter Berücksichtigung der Schwere des mit der Massnahme verbundenen Eingriffs in Persönlichkeitsrechte zu beurteilen: Bei therapeutischen Massnahmen, welche mit einem nur geringen Eingriff verbunden sind, dürfen an die Wahrscheinlichkeit der zu erwartenden Besserung keine hohen Anforderungen gestellt werden. Ist der Eingriff erheblich (beispielsweise bei einer wirbelsäulenorthopädischen Operation), wird eine höhere Wahrscheinlichkeit, aber nicht ein sicherer Erfolg verlangt. Zu beachten ist sodann, dass die Anforderungen an die Schadenminderungspflicht dort strenger sind, wo eine erhöhte Inanspruchnahme der Invalidenversicherung in Frage steht, namentlich wenn der Verzicht auf schadenmindernde Vorkehren Rentenleistungen auslöst (vgl. SVR 2008 IV Nr. 7 S. 19, I 824/06 E. 3.1.1 und 3.2.1; Urteil 9C_82/2013 vom 20. März 2013 E. 3). Ist eine versicherte Person bezüglich einer psychischen Problematik nicht einsichtig und lehnt eine entsprechende Therapie ab, gereicht ihr dies unter Umständen dann nicht zum Verschulden, wenn die fehlende Krankheitseinsicht gerade Teil des Leidens selbst ist (Urteil 9C_82/2013 E. 3).
6.2. Eine fehlende Krankheitseinsicht im Sinne des soeben Ausgeführten hat die Vorinstanz verneint. Das ist nicht umstritten.
Das kantonale Gericht hat weiter erwogen, die angewiesene Behandlung sei nicht als erheblicher Eingriff zu qualifizieren. Dem stehe eine erhebliche Beanspruchung der Invalidenversicherung gegenüber, da bei gleichbleibendem Invaliditätsgrad weiterhin eine ganze Invalidenrente auszurichten wäre. Diese Beurteilung ist rechtmässig. Sie führt, wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat, im Lichte der vorstehenden grundsätzlichen Erwägungen dazu, dass an die erforderliche Wahrscheinlichkeit der durch die angewiesene Behandlung zu erwartenden Besserung keine hohen Anforderungen zu stellen sind.
6.3. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die angewiesene Behandlung hätte mit der erforderlichen Wahrscheinlichkeit zu einer gesundheitlichen Verbesserung und damit verbunden zu einer Arbeitsunfähigkeit von nurmehr 50 % geführt.
Diese Beweiswürdigung beruht auf einer sorgfältigen Auseinandersetzung mit den medizinischen Akten. Die Vorinstanz hat einlässlich dargelegt, weshalb sie zu diesem Ergebnis gelangt ist. Sie stützt sich hiebei namentlich auf das Gutachten des ärztlichen Abklärungszentrums X._ vom 26. April 2010 und auf die Stellungnahme des Dr. med. O._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) vom 26. September 2011.
6.3.1. Der Beschwerdeführer wendet im Wesentlichen ein, das kantonale Gericht habe in aktenwidriger und willkürlicher Weise erkannt, die Experten des ärztlichen Abklärungszentrums X._ seien zum Schluss gekommen, die Arbeitsfähigkeit liesse sich durch die in der Folge von der Verwaltung angewiesene Behandlung verbessern. Der RAD-Arzt begründe nicht, wie er auf die Einschätzung einer 50%igen Arbeitsfähigkeit bei Durchführung der angewiesenen Behandlung gekommen sei. Sodann habe die Vorinstanz in willkürlicher Weise darauf geschlossen, diese Beurteilung der Arbeitsfähigkeit werde auch durch den Bericht des medizinischen Zentrums Z._ vom 28. März 2013 gestützt.
Im Gutachten des ärztlichen Abklärungszentrums X._ vom 26. April 2010 wurde die Frage, ob sich die Arbeitsfähigkeit durch medizinisch zumutbare therapeutische Massnahmen verbessern lasse, unzweideutig bejaht. Die medizinischen Experten empfahlen hiefür die Einleitung einer engmaschigen und intensiven psychiatrischen Behandlung mit Anbindung an eine Tagesklinik oder gar mit vollstationärer Behandlung, um den Versicherten zu befähigen, auf früher vorhanden gewesene Ressourcen zurückzugreifen und diese wieder aufzubauen. Der diesbezügliche Einwand ist somit unbegründet.
Der Umfang des von einer medizinischen Behandlung zu erwartenden Besserungspotentials ist bei einer derartigen hypothetischen Beurteilung zwangsläufig schwierig abzuschätzen. Die RAD-Stellungnahme vom 26. September 2011 mag kurz sein. Sie ist aber unzweideutig verfasst und stammt von einem psychiatrischen Facharzt, welcher bereits zuvor mit dem Fall befasst war und auch das Gutachten des ärztlichen Abklärungszentrums X._ vom 26. April 2010 analysiert hat. Sie widerspricht entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch keiner Prognose gemäss der Expertise des ärztlichen Abklärungszentrums X._. Sodann hat die Vorinstanz zutreffend erkannt, dass gemäss Bericht des medizinischen Zentrums Z._ vom 28. März 2013 bereits eine mit 8 Wochen relativ kurze tagesklinische Behandlung in der Zeit vom 10. Dezember 2012 bis 6. Februar 2013 zu einer leichten gesundheitlichen Besserung, wenn auch bei weiterhin bestätigter voller Arbeitsunfähigkeit, geführt hat. Dass die Vorinstanz gestützt auf die RAD-ärztliche Stellungnahme und den Bericht des medizinischen Zentrums Z._ geschlossen hat, die angewiesene Behandlung hätte mit der erforderlichen, nicht hohen Wahrscheinlichkeit eine 50%ige Arbeitsfähigkeit bewirkt, ist daher jedenfalls nicht offensichtlich unrichtig und auch nicht in anderer Weise rechtswidrig.
6.3.2. Was der Versicherte weiter vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Aus den von ihm herausgegriffenen Passagen des angefochtenen Entscheids lässt sich nicht der Schluss ziehen, das kantonale Gericht sei bei der Beurteilung der von der Behandlung zu erwartenden Besserung von einem falschen Verständnis des erforderlichen Wahrscheinlichkeitsgrades ausgegangen. Sodann kann der - vom Beschwerdeführer ohnehin lediglich "der Vollständigkeit" halber aufgelegte und erwähnte - Arztbericht vom 16. Januar 2014 als unzulässiges neues Beweismittel nicht berücksichtigt werden, da nicht erst der angefochtene Entscheid Anlass für seine Einreichung gegeben hat (<ref-law>).
7.
Wenn das kantonale Gericht im Sinne von <ref-law> auf eine Verletzung der Schadenminderungspflicht und auf die Annahme einer nunmehr hälftigen Arbeitsfähigkeit geschlossen hat, ist dies nach dem Gesagten nicht zu beanstanden. Der hievon ausgehende Einkommensvergleich mit dem Ergebnis eines Invaliditätsgrades von 55 % ist nicht umstritten und gibt keinen Anlass zu Weiterungen. Die Rentenkürzung erfolgte mithin zu Recht. Das führt zur Abweisung der Beschwerde.
Festzuhalten bleibt, dass die Kürzung nur solange aufrechtzuerhalten ist, als zwischen der beanstandeten Verhaltensweise und dem Schaden ein Kausalzusammenhang besteht (vgl. Urteil 8C_830/2012 vom 13. März 2013 E. 5.1; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 98 zu <ref-law>; siehe auch <ref-ruling>). Absolviert der Beschwerdeführer die angewiesene Behandlung und erweist sich dies als erfolglos, besteht daher unter Umständen kein Anlass mehr für eine Rentenkürzung.
8.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse Swissmem und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. April 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz