Erwägungen:
1.
X._ erstattete Strafanzeige gegen einen Beamten des Strassenverkehrsamts Zürich. Die Strafanzeige steht im Zusammenhang mit einem vorsorglichen Entzug des Führerausweises. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich überwies die Strafanzeige an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich, um über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu entscheiden. Mit Verfügung vom 14. Januar 2013 setzte der Präsident der III. Strafkammer, Oberrichter Y._, X._ eine Frist, um sich zur Frage zu äussern, ob der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zu erteilen sei. X._ reichte in der Folge keine Stellungnahme zu dieser Frage ein, sondern stellte ein Ausstandsbegehren gegen Oberrichter Y._. Mit Verfügung vom 15. Februar 2013 überwies die III. Strafkammer das Ausstandsbegehren an die I. Strafkammer, welche es mit Beschluss vom 28. März 2013 abwies. Die I. Strafkammer führte zusammenfassend aus, es seien keine Anzeichen ersichtlich, dass der abgelehnte Oberrichter wegen der geltend gemachten Strafanzeigen nicht mehr als unvoreingenommen betrachtet werden könnte. Der geltend gemachte Ausstandsgrund der Feindschaft sei nicht gegeben und ein anderer Befangenheitsgrund sei nicht auszumachen.
2.
X._ führt mit Eingabe vom 10. Mai 2013 Beschwerde gegen den Beschluss der I. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Der Beschwerdeführer, der sich mit der Begründung des angefochtenen Beschlusses nicht auseinandersetzt, legt mit seiner appellatorischen Kritik nicht dar, inwiefern die Begründung der I. Strafkammer bzw. deren Beschluss selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Die vorliegende Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. September 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli