Sachverhalt:
A.
Nachdem der 1953 geborene M._ vom 1. August 1992 bis 31. Juli 1994 eine ganze Invalidenrente bezogen hatte, sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügungen vom 24. April 2001 erneut eine ganze Rente ab 1. Juli 1998 bei einem Invaliditätsgrad von 75 % zu. Mit Mitteilungen vom 7. Januar 2004 und 4. Januar 2007 bestätigte sie einen unveränderten Rentenanspruch. Im Januar 2010 leitete die Verwaltung erneut ein Revisionsverfahren ein. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob sie die Rente mit Verfügung vom 26. September 2011 auf das Ende des der Zustellung folgenden Monats auf. Am 26. Oktober 2011 zog sie die rentenaufhebende Verfügung in Wiedererwägung, weil ihr keine Prüfung von Eingliederungsmassnahmen vorangegangen war. Im Rahmen der Eingliederungsberatung fand am 21. Dezember 2011 ein Gespräch mit dem Versicherten statt. Ohne vorgängige Durchführung eines weiteren Vorbescheidverfahrens bestätigte die IV-Stelle mit Verfügung vom 22. Dezember 2011 die Einstellung der Invalidenrente.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 23. April 2013 ab.
C.
M._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 23. April 2013 und der Verfügung vom 22. Dezember 2011 sei die Sache zur Durchführung eines korrekten Vorbescheidverfahrens, ergänzenden medizinischen Abklärungen und anschliessendem neuen Entscheid über den Leistungsanspruch an die IV-Stelle zurückzuweisen, und diese sei zu verpflichten, während der Dauer der Abklärungen eine ganze Invalidenrente auszurichten. Ausgehend von einem 40 % übersteigenden Invaliditätsgrad sei ihm weiterhin eine Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung des Rechtsmittels. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
In formeller Hinsicht hat das kantonale Gericht im Umstand, dass die IV-Stelle vor Erlass der Verfügung vom 22. Dezember 2012 kein erneutes Vorbescheidverfahren durchgeführt hatte, eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör erblickt. Diese hat es indessen als geheilt betrachtet, weil die Rückweisung der Sache zu unnötigen Verzögerungen und formalistischem Leerlauf führe. Was die materiellen Aspekte betrifft, so hat die Vorinstanz gestützt auf das Gutachten des medizinischen Abklärungsinstitutes X._ vom 17. November 2010 einen verbesserten Gesundheitszustand sowie eine 80-prozentige, "vollschichtige" Arbeitsfähigkeit für körperlich leichte, leidensangepasste Tätigkeiten ab Oktober 2010 festgestellt. Für den Einkommensvergleich hat sie das Valideneinkommen auf Fr. 68'868.- und das Invalideneinkommen auf Fr. 44'479.- festgesetzt, woraus ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad von 35 % resultiert. Weiter hat das kantonale Gericht festgestellt, der Versicherte sei bei Erlass der rentenaufhebenden Verfügung vom 22. Dezember 2011 fast 59-jährig gewesen und habe während rund 13,5 Jahren eine ganze Invalidenrente bezogen. Dennoch ist es der Auffassung, objektiv stehe einer Selbsteingliederung des Versicherten nichts entgegen, weshalb die Verwaltung von einer weiteren Prüfung der Verwertbarkeit der wiedergewonnenen Arbeitsfähigkeit habe absehen dürfen. Folglich hat es die Rentenaufhebung auf Ende Januar 2012 bestätigt.
3.
3.1. Es ist nicht ersichtlich und wird auch nicht (substanziiert) geltend gemacht, dass die vorinstanzliche Würdigung der medizinischen Unterlagen sowie die darauf beruhenden Feststellungen betreffend den Gesundheitszustand und die Arbeitsfähigkeit (vgl. Urteil 9C_128/2013 vom 4. November 2013 E. 3.2 mit Hinweisen) offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollten. Somit bleiben sie für das Bundesgericht verbindlich (E. 1) und besteht auch kein Anlass zur beantragten Rückweisung zwecks weiterer medizinischer Abklärungen.
Was die Festsetzung des Invalideneinkommens anbelangt, so hat die Vorinstanz einen Tabellenlohn der Lohnstrukturerhebung des Bundesamtes für Statistik (LSE) herangezogen und unter anderem einen Leidensabzug von 10 % berücksichtigt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 301; <ref-ruling> E. 5b/aa-cc S. 80). Dessen Höhe betrifft eine typische Ermessensfrage, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur mehr dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 in fine S. 399; Urteil 9C_973/2008 vom 19. Januar 2009 E. 3). Inwiefern dies angesichts der - plausiblen - vorinstanzlichen Begründung des Abzugs resp. dessen Höhe zutreffen soll, ist nicht erkennbar und wird ebenfalls nicht nachvollziehbar dargelegt. Die übrigen Faktoren der Invaliditätsbemessung werden nicht beanstandet, weshalb weiterhin grundsätzlich von einem Invaliditätsgrad von 35 % auszugehen ist.
3.2.
3.2.1. Eine Invaliditätsbemessung nach Art. 16 ATSG setzt auch im Revisionsfall (Art. 17 ATSG) voraus, dass angezeigte Eingliederungsmassnahmen durchgeführt worden sind. In der Regel zieht der anspruchserhebliche Zugewinn an Leistungsfähigkeit kaum zusätzlichen Eingliederungsbedarf nach sich (SVR 2011 IV Nr. 30 S. 86, 9C_163/2009 E. 4.1 und 4.2.2; SZS 2011 S. 71, 9C_768/2009 E. 4.1, je mit zahlreichen Hinweisen; Urteil 9C_675/2010 E. 5.1 und 5.2). Hingegen ist der Ausnahmetatbestand der Notwendigkeit (vorgängiger) befähigender beruflicher Massnahmen als erfüllt zu betrachten, wenn die Herabsetzung oder Aufhebung der Invalidenrente eine versicherte Person betrifft, die das 55. Altersjahr zurückgelegt oder die Rente seit mehr als 15 Jahren bezogen hat (SVR 2011 IV Nr. 73 S. 220, 9C_228/2010 E. 3.3-3.5; Urteil 9C_128/2013 vom 4. November 2013 E. 4.1).
3.2.2. Entzieht oder widersetzt sich eine versicherte Person einer zumutbaren Behandlung oder Eingliederung ins Erwerbsleben, die eine wesentliche Verbesserung der Erwerbsfähigkeit oder eine neue Erwerbsmöglichkeit verspricht, oder trägt sie nicht aus eigenem Antrieb das ihr Zumutbare dazu bei, so können ihr die Leistungen vorübergehend oder dauernd gekürzt oder verweigert werden. Sie muss vorher schriftlich gemahnt und auf die Rechtsfolgen hingewiesen werden; ihr ist eine angemessene Bedenkzeit einzuräumen (Art. 21 Abs. 4 ATSG [SR 830.1]).
3.3. Mit Blick auf die verbindlichen (E. 1) vorinstanzlichen Feststellungen betreffend das Alter und den Rentenbezug des Versicherten (E. 2) ist diesem - entgegen der vorinstanzlichen Auffassung - objektiv betrachtet eine Selbsteingliederung grundsätzlich nicht zumutbar (E. 3.2.1; vgl. auch Urteil 9C_128/2013 vom 4. November 2013 E. 4.3).
Zwar hat das kantonale Gericht - ebenfalls verbindlich (E. 1) - festgestellt, das Eingliederungsgespräch habe darin geendet, dass der Versicherte sich nicht in der Lage gesehen habe, irgendeiner Erwerbstätigkeit nachzugehen und den Eindruck hinterlassen habe, kaum die Motivation für Reintegrationsbemühungen aufzubringen. Die fehlende Berufserfahrung werde bei der Einstufung in das Niveau Hilfsarbeiten im Rahmen der Festsetzung des Invalideneinkommens berücksichtigt. Zudem verfüge der Versicherte über relativ gute Deutschkenntnisse. Diese Umstände sind indessen nicht solcherart, dass sie auf die Zumutbarkeit der Selbsteingliederung schliessen lassen (vgl. etwa Urteil 9C_68/2011 vom 16. Mai 2011 E. 3.3 in fine). Es ist ihnen daher auch nicht mit einer direkten Rentenaufhebung, sondern mit der Durchführung des Mahn- und Bedenkzeitverfahrens (E. 3.2.2) zu begegnen (Urteile 9C_128/2013 vom 4. November 2013 E. 4.3; 9C_368/2012 vom 28. Dezember 2012 E. 3.3; 8C_338/2012 vom 28. August 2012 E. 4.2.2), wie der Beschwerdeführer zu Recht geltend macht. Ein solches ist nicht aktenkundig, weshalb die IV-Stelle die entsprechenden Vorkehren zu treffen hat. Anschliessend wird sie - nach allfälliger Durchführung angezeigter Eingliederungsmassnahmen und unter Berücksichtigung des ausgeglichenen Arbeitsmarktes (vgl. Art. 7 Abs. 1 ATSG) - über den Rentenanspruch neu verfügen.
3.4. Bei diesem Ergebnis braucht die Frage, ob die Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör im Zusammenhang mit der Unterlassung des Vorbescheidverfahrens (vgl. Art. 57a Abs. 1 IVG) als geheilt betrachtet werden kann, nicht beantwortet zu werden (vgl. immerhin <ref-ruling> E. 2.9.2 S. 108 und Urteil 9C_617/2009 vom 15. Januar 2010 E. 4.2.4).
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG; Urteil 9C_768/2009 vom 10. September 2010 E. 5). Der obsiegende Beschwerdeführer hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. April 2013 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 22. Dezember 2011 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle des Kantons Zürich zurückgewiesen, damit sie über den Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Invalidenrente im Sinne der Erwägungen neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. November 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann