Faits:
A. A.a B._ travaille au service de la commune de X._ depuis le 24 septembre 2001. A ce titre, elle est assurée contre les accidents par La Vaudoise générale, compagnie d'assurances SA (ci-après : la Vaudoise).
A.b Le 14 décembre 2004, la prénommée s'est blessée alors qu'elle faisait de la course à pied. En repartant après une pause, elle a ressenti un craquement et des douleurs dans le genou droit. Le lendemain, elle a consulté le docteur P._, au Centre médical Y._, qui a notamment constaté un épanchement et posé le diagnostic d' « entorse du genou droit sur LCI » (dossier médical de Y._ concernant l'assurée).
Le 27 décembre 2004, le docteur L._ a réalisé une imagerie par résonance magnétique et constaté une déchirure oblique dans la corne antérieure du ménisque interne, une lésion mucoïde de grade I dans la corne postérieure du ménisque interne et du ménisque externe, une chondropathie de grade I du compartiment interne et du compartiment externe, une chondropathie rotulienne de grade II (plica synoviale), et des signes de déchirure partielle du ligament croisé antérieur à son site d'insertion tibial (rapport du 27 décembre 2004 du docteur L._).
Le docteur P._ a attesté une incapacité de travail totale jusqu'au 10 janvier 2005 et prescrit un traitement fonctionnel. Dès le 11 janvier 2005, le docteur E._ a repris le suivi médical de B._, jusqu'à ce que celle-ci l'interrompe dans le courant du mois d'août 2005. Cette dernière a annoncé le cas à son assurance-maladie, Intras-Caisse maladie, qui a pris en charge les frais de traitement.
A.c Le 6 janvier 2006, B._ a fait une chute en glissant sur une plaque de glace. Elle a consulté le docteur E._ le 30 janvier 2006, en raison d'une gêne et de douleurs persistantes dans le genou droit si elle restait assise longtemps ou si elle conduisait. Une imagerie par résonance magnétique, réalisée le 6 février 2006 par les docteurs D._ et R._, a mis en évidence un remaniement post-traumatique du versant antérieur de l'épiphyse et de la métaphyse tibiale, un remaniement du corps méniscal externe avec suspicion de déchirure, une légère chondropathie tri-compartimentale et une déchirure peut-être incomplète du ligament croisé antérieur.
L'employeur de l'assurée a annoncé l'événement à la Caisse vaudoise, qui a pris en charge le traitement médical. Le 28 février 2006, en réponse à une demande de renseignements de l'assurance-accidents, le docteur E._ a fait état d'une contusion osseuse du tibia droit. Par la suite, B._ a notamment consulté le docteur A._, qui a prescrit une physiothérapie en raison d'un status post rupture du ligament croisé antérieur du genou droit et d'un syndrome rotulien douloureux (prescription de physiothérapie du 29 mai 2006). Le 17 août 2006, la doctoresse O._, médecin-adjoint au service d'orthopédie et de traumatologie de l'appareil moteur du Centre hospitalier Z._ a exposé que B._ l'avait consultée le 19 juin 2006 en raison d'une contusion du genou sur gonarthrose droite débutante.
Le 20 octobre 2006, le docteur M._ a réalisé une nouvelle imagerie par résonance magnétique. Il a fait état d'une déchirure de la corne antérieure du ménisque externe, dont l'aspect était fortement dégénéré, avec probable extension au corps du ménisque externe, ainsi que de lésions de grade II des cornes postérieures du ménisque interne et du ménisque externe, chondropathie fémoro-tibiale externe modérée, chondropathie patellaire de stade I et probable ancienne rupture du ligament croisé antérieur. Le 1er décembre suivant, le docteur S._ a posé le diagnostic de gonalgies persistantes à droite, en précisant qu'une circonstance sans rapport avec l'accident jouait un rôle dans l'évolution du cas, à savoir une rupture du ligament croisé antérieur droit en 2005 (recte : 2004). Un dommage permanent, sous forme de gonalgies persistantes, était à craindre.
Le 15 décembre 2006, le docteur G._ a pratiqué une arthroscopie diagnostique du genou droit, méniscectomie interne et section d'une plica du récessus externe. Lors de cette intervention, il a constaté une lésion dégénérative longitudinale de la corne postérieure du ménisque interne (cartilages indemnes), et une déchirure partielle du ligament croisé antérieur, avec une bonne résistance à la traction des fibres résiduelles. Contrairement au diagnostic précédemment posé sur la base d'imageries par résonance magnétique, il n'a pas constaté de déchirure méniscale externe (rapport du 18 décembre 2006 du docteur G._). La suite du traitement a consisté en séances de physiothérapie, qui ont pris fin en février 2007.
Le 30 mai 2007, le docteur T._, médecin-conseil de la Vaudoise, a examiné l'assurée. Celle-ci lui a fait part de douleurs occasionnelles, supportables, à la marche à plat ou à la montée, parfois même à la descente. Ces douleurs étaient de localisation antérieure, avec des craquements occasionnels en forçant l'extension ou la flexion. L'accroupissement, l'agenouillement étaient possibles, mais pas le saut. Les douleurs survenaient occasionnellement lorsque l'assurée se relevait d'une position assise prolongée. Le docteur T._ a considéré que l'accident du 6 janvier 2006 avait provoqué une contusion proximale et antérieure du tibia, probablement une déchirure partielle du ligament croisé antérieur. Une lésion méniscale postéro-interne avait été traitée par arthroscopie le 15 décembre 2006. Les autres pathologies - chondropathie fémoro-tibiale interne, fémoro-tibiale externe et, surtout, rotulienne - étaient d'origine dégénérative. Ces lésions dégénératives expliquaient les douleurs dont se plaignait encore l'assurée, de même que les constatations cliniques (palpation douloureuses des interlignes articulaires antérieurement, limitation de 10° de la flexion et atrophie musculaire de la cuisse droite). Pour le docteur T._, la responsabilité de l'assurance-accidents s'étendait jusqu'au deux mois qui suivaient l'intervention arthroscopique du 15 décembre 2006 (rapport du 5 juin 2007).
Par décision du 19 juin 2007 et décision sur opposition du 8 février 2008, la Vaudoise a refusé d'allouer des prestations pour la période postérieure au 28 février 2007.
B. B._ a déféré la cause au Tribunal des assurances du canton de Vaud, qui a rejeté le recours par jugement du 21 novembre 2008.
C. L'assurée interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. En substance, elle en demande la réforme en ce sens que l'intimée soit condamnée à allouer des prestations pour la période postérieure au 28 février 2007, sous suite de dépens.
L'intimée et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer sur le recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 Les premiers juges ont laissé ouverte la question de savoir si l'événement du 14 décembre 2004 devait être qualifié d'accidentel, ou encore si l'assurée avait ce jour-là subi une lésion assimilée à un accident. Sans mettre en doute, par ailleurs, le caractère accidentel de l'événement du 6 janvier 2006, ils ont considéré que les douleurs dont se plaignait l'assurée postérieurement au 28 février 2007 n'étaient plus les séquelles d'un traumatisme, mais étaient dues à des atteintes dégénératives. Sur ce point, ils se sont référés pour l'essentiel au rapport du docteur T._ du 5 juin 2007.
1.2 La recourante fait grief à la juridiction cantonale d'avoir violé l'art. 61 let. c LPGA, qui lui imposait d'établir les faits pertinents avec la collaboration des parties, d'administrer les preuves nécessaires et de les apprécier librement. Elle soutient qu'elle a subi, le 14 décembre 2004, une déchirure partielle du ligament croisé antérieur et une déchirure méniscale. Selon elle, ces lésions doivent être assimilées à un accident, quand bien même, à l'époque, l'événement n'avait pas été annoncé à l'intimée. La recourante ajoute qu'elle a été victime d'un accident, le 6 janvier 2006, qui a entraîné une déchirure incomplète du ligament croisé antérieur et une déchirure méniscale. L'avis du docteur T._ concernant l'origine dégénérative des douleurs, pour la période postérieure au 28 février 2007, serait en contradiction avec les autres rapports médicaux figurant au dossier. Les premiers juges ne pouvaient donc pas statuer sans autre mesure d'instruction sur le litige, en se référant essentiellement aux constatations du docteur T._.
2. 2.1 Selon l'<ref-law>, si la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, le recours peut porter sur toute constatation incomplète ou erronée des faits. L'<ref-law> prévoit, dans le même sens, que le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire.
Si le litige porte sur des prestations en nature de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est en revanche défini par les art. 97 al. 1, 105 al. 1 et 105 al. 2 LTF, d'après lesquels le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait des premiers juges et ne peut s'en écarter qu'en cas de constatation des faits manifestement inexacte ou effectuée en violation du droit au sens de l'<ref-law>.
2.2 La recourante conclut à l'octroi de prestations de l'assurance-accidents pour la période postérieure au 28 février 2007, sans préciser si elle entend obtenir des prestations en espèces ou uniquement un traitement médical. Au regard de son argumentation, elle semble partir du principe que le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est défini, dans la présente procédure, par les art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF, et qu'il porte sur l'examen des constatations de fait des premiers juges. Toutefois, dans la mesure où elle ne conclut pas expressément à l'octroi de prestations en espèces, on peut se demander si le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral n'est pas défini plus restrictivement. Il n'y a pas lieu de trancher la question. En effet, même si l'on considère que des prestations en espèces sont litigieuses et si l'on applique, par conséquent, le pouvoir d'examen défini par les art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF, le recours est mal fondé.
3. 3.1 L'assurance-accidents est en principe tenue d'allouer ses prestations en cas d'accident professionnel ou non professionnel (<ref-law>). Par accident, on entend toute atteinte dommageable, soudaine et involontaire, portée au corps humain par une cause extérieure extraordinaire qui compromet la santé physique, mentale ou psychique ou qui entraîne la mort (<ref-law>). Par ailleurs, le Conseil fédéral peut inclure dans l'assurance des lésions corporelles qui sont semblables aux conséquences d'un accident (<ref-law>). En vertu de cette délégation de compétence, le Conseil fédéral a édicté l'<ref-law>, qui prévoit notamment que les déchirures du ménisque et les lésions de ligaments sont assimilées à un accident, même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire, pour autant qu'elles ne soient pas manifestement imputables à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs (let. c et g).
La jurisprudence (<ref-ruling>) a précisé les conditions d'octroi des prestations en cas de lésion corporelle assimilée à un accident. Il a précisé qu'à l'exception du caractère «extraordinaire» de la cause extérieure, toutes les autres conditions constitutives de la notion d'accident doivent être réalisées (cf. <ref-law>). En particulier, en l'absence d'une cause extérieure - soit d'un événement similaire à un accident, externe au corps humain, susceptible d'être constaté de manière objective et qui présente une certaine importance -, fût-ce comme simple facteur déclenchant des lésions corporelles énumérées à l'<ref-law>, les troubles constatés sont à la charge de l'assurance-maladie.
3.2 Un rapport de causalité naturelle (et adéquate) est nécessaire entre l'atteinte à la santé et l'événement accidentel. La condition du rapport de causalité naturelle est remplie lorsque sans l'événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout ou ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte : il suffit qu'associé éventuellement à d'autres facteurs, il ait provoqué l'atteinte à la santé, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de cette atteinte. Savoir s'il existe un lien de causalité naturelle est une question de fait, généralement d'ordre médical, qui doit être résolue selon la règle du degré de vraisemblance prépondérante. Il ne suffit pas que l'existence d'un rapport de cause à effet soit simplement possible; elle doit pouvoir être qualifiée de probable dans le cas particulier (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; FRÉSARD/MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire, in : Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Vol. XIV, 2ème éd., no 79 p. 865). En cas d'état maladif antérieur, si l'accident n'a fait que déclencher un processus qui serait de toute façon survenu sans cet événement, le lien de causalité naturelle entre les symptômes présentés par l'assuré et l'accident doit être nié lorsque l'état maladif antérieur est revenu au stade où il se trouvait avant l'accident (statu quo ante) ou s'il est parvenu au stade d'évolution qu'il aurait atteint sans l'accident (statu quo sine; arrêt U 61/91 du 18 décembre 1991 [RAMA 1992 no U 142 p. 75 consid. 4b]; FRÉSARD/MOSER-SZELESS, op. cit., no 80 p. 865).
4. 4.1 En l'espèce, il est établi que la recourante a subi une rupture partielle du ligament croisé antérieur du genou droit ainsi qu'une déchirure du ménisque interne de ce même genou en décembre 2004. Les rapports médicaux au dossier ne sont en revanche pas très clairs sur le point de savoir si la recourante a subi une nouvelle déchirure ligamentaire et méniscale le 6 janvier 2006 : plusieurs médecins ont constaté ces lésions postérieurement à cette date, sans préciser clairement si elles étaient anciennes où si elles découlaient de l'accident subi le 6 janvier 2006; certains semblent être partis de l'idée qu'il s'agissait de lésions anciennes, antérieures à 2006 (rapport du docteur S._ du 1er décembre 2006, qui tient la rupture ligamentaire pour un événement sans rapport avec l'accident du 6 janvier 2006). La question n'est pas déterminante pour l'issue du litige et peut rester ouverte. De même, le point de savoir si le craquement et les douleurs ressentis le 14 décembre 2004 ont été provoqués par un facteur extérieur - même non extraordinaire - et si les lésions constatées par la suite doivent être assimilées à un accident, peut demeurer indécis. En effet, même si l'on assimile à un accident la rupture partielle du ligament antérieur droit et la déchirure du ménisque interne constatées en décembre 2004, ou si l'on admet, par hypothèse, que l'accident du 6 janvier 2006 a provoqué de nouvelles lésions ligamentaires et méniscales, les conclusions de la recourante sont mal fondées.
4.2 Dans son rapport du 5 juin 2007, le docteur T._ a précisé que l'accident du 6 janvier 2006 avait provoqué une contusion proximale et antérieure du tibia, probablement une déchirure partielle du ligament croisé antérieur. Il a également précisé que l'arthroscopie pratiquée le 15 décembre 2006 par le docteur G._ avait confirmé l'existence d'une lésion méniscale postéro-interne, réséquée lors de cette intervention. Le docteur T._ a toutefois précisé que la déchirure partielle du ligament croisé antérieur était « sans répercussion fonctionnelle actuellement, sans instabilité aussi bien subjective qu'objective du genou ». Il a constaté d'autres pathologies, qu'il a attribuées à des facteurs non-accidentels, mais dégénératifs (chondropathie fémoro-tibiale interne, fémoro-tibiale externe et surtout rotulienne). Ces lésions expliquaient d'après lui les plaintes de l'assurée ainsi que les constatations cliniques postérieurement au 28 février 2007.
4.2 Dans son rapport du 5 juin 2007, le docteur T._ a précisé que l'accident du 6 janvier 2006 avait provoqué une contusion proximale et antérieure du tibia, probablement une déchirure partielle du ligament croisé antérieur. Il a également précisé que l'arthroscopie pratiquée le 15 décembre 2006 par le docteur G._ avait confirmé l'existence d'une lésion méniscale postéro-interne, réséquée lors de cette intervention. Le docteur T._ a toutefois précisé que la déchirure partielle du ligament croisé antérieur était « sans répercussion fonctionnelle actuellement, sans instabilité aussi bien subjective qu'objective du genou ». Il a constaté d'autres pathologies, qu'il a attribuées à des facteurs non-accidentels, mais dégénératifs (chondropathie fémoro-tibiale interne, fémoro-tibiale externe et surtout rotulienne). Ces lésions expliquaient d'après lui les plaintes de l'assurée ainsi que les constatations cliniques postérieurement au 28 février 2007.
4.3 4.3.1 La recourante soutient que ces constatations sont contredites par les autres rapports médicaux figurant au dossier. Elle se réfère d'abord au rapport du docteur N._ du 4 avril 2006, qui conclut à une rupture du ligament croisé exclusivement due à l'accident du 6 janvier 2006. Cette constatation ne signifie toutefois pas que la rupture ligamentaire en question soit encore à l'origine des symptômes présentés par l'assurée en mars 2007, plutôt que des atteintes dégénératives. Dans ce contexte, on rappellera que le docteur T._ a lui aussi tenu pour probable que l'accident du 6 janvier 2006 avait causé une déchirure du ligament croisé antérieur.
4.3.2 La recourante se réfère ensuite aux rapports du docteur S._, du 5 avril 2006, et de la doctoresse K._, du 21 avril 2006, qui ont considéré que les paresthésies dont elle se plaignait dans le membre inférieur droit principalement (mais également dans le membre inférieur gauche), étaient dues à l'accident du 6 janvier 2006. On observera toutefois que le docteur S._ a fait état de « possibles » paresthésies traumatiques dans le territoire du nerf péronier superficiel des deux côtés, en précisant qu'elles étaient probablement dues à l'accident. Pour sa part, la doctoresse K._, neurologue, à précisé que les paresthésies étaient probablement secondaires à la diffusion des hématomes. Il paraît pour le moins douteux qu'elle aurait émis le même avis près d'une année plus tard. Quoi qu'il en soit, la doctoresse K._ n'a proposé aucun traitement particulier et la recourante ne rend pas vraisemblable que les paresthésies, si tant est qu'elles aient persisté, justifieraient l'octroi de prestations de l'assurance-accidents. En particulier, rien n'indique qu'elles seraient d'une telle intensité qu'elles entraînerait une atteinte à l'intégrité pouvant faire l'objet d'une indemnisation.
4.3.3 Dans un rapport du 6 juin 2006, le docteur A._ a mentionné l'existence d'un instabilité antérieure et rotatoire du genou droit, en rapport avec la rupture du ligament croisé. Pour sa part, le docteur S._, dans un rapport du 1er décembre 2006, a constaté la persistance de gonalgies dues à une rupture du ligament croisé antérieur droit. Ces rapports semblent effectivement contredire les constatations du docteur T._ du 5 juin 2007. Ils sont toutefois l'un et l'autre particulièrement brefs - quelques mots -, sans anamnèse ni autre explication ou motivation des constatations effectuées; ils revêtent par conséquent une valeur probante insuffisante pour mettre sérieusement en doute les constatations du docteur T._. Au demeurant, l'absence d'instabilité de l'articulation du genou droit, décrite par le docteur T._, a également fait l'objet de constatations des docteurs E._ et G._. Le premier a précisé, dans une lettre du 5 novembre 2006 à l'assurance de protection juridique de la recourante, qu'il n'avait pas constaté d'instabilité du genou droit lors d'examens pratiqués les 10 février et 25 avril 2006; le second a également mentionné l'absence de laxité interne ou externe de l'articulation du genou droit, dans un rapport du 8 janvier 2007, ainsi que l'absence d'instabilité de cette articulation, dans un rapport du 6 juin 2008.
4.3.4 La recourante souligne, enfin, que dans un rapport du 15 avril 2008, le docteur L._ a décrit un status après résection partielle de la corne postérieure du ménisque interne et un status sur ancienne déchirure du ligament croisé. Toutefois, ce médecin s'est abstenu de toute constatation relative au lien de causalité entre les symptômes pour lesquels l'assurée l'avait consulté et la lésion du ligament ou la déchirure méniscale traitée par arthroscopie en décembre 2006. Il a par ailleurs également constaté l'existence de lésions dégénératives (chondropathie fémoro-tibiale de grade II du compartiement interne et du compartiment externe, lésion mucoïde de grade III de la corne antérieure du ménisque externe et chondropathie fémoro-patellaire de wgrade II). Enfin, le docteur L._ a décrit une déchirure horizontale de la corne antérieure du ménisque externe, sans que l'on puisse attribuer cette lésion à l'un des événements des 14 décembre 2004 et 6 janvier 2006, le docteur G._ ayant exclu une telle atteinte à la santé en décembre 2006.
5. Compte tenu de ce qui précède, les rapports médicaux auxquels se réfère la recourante sont insuffisamment probants pour mettre sérieusement en doute les constatations du docteur T._ ou, pour la plupart, ne font pas état de constatations divergentes de celles de ce médecin. Les griefs soulevés par la recourante contre l'appréciation des preuves par les premiers juges et le refus de compléter l'instruction de la cause sont donc infondés.
La recourante, qui voit ses conclusions rejetées, ne peut prétendre de dépens à la charge de l'intimée (<ref-law>). Elle supportera par ailleurs les frais de justice (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal vaudois, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 19 octobre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Métral