Faits:
A. G._ a commencé une activité de dessinateur B auxiliaire auprès du Service des routes et des autoroutes du Canton de Vaud le 1er septembre 1995. Il travaillait au bureau technique de X._ pour la division des routes nationales. A partir du 1er novembre 1996, il a été engagé sur la base d'un contrat de droit privé pour une durée indéterminée. Par la suite, il a été promu au poste de dessinateur A, sur la base d'un contrat de droit public. Son taux d'activité a été de 80 pour cent depuis le 1er février 2002.
A la suite de la réforme de la péréquation financière et de la répartition des tâches entre la Confédération et les cantons (RPT), les activités d'entretien des routes nationales, qui relevaient auparavant des autorités cantonales, ont été reprises par la Confédération dès le 1er janvier 2008. Au cours d'un entretien du 8 décembre 2006, G._ a été informé que son poste serait supprimé en raison de ce transfert au plus tôt le 31 décembre 2007. Par lettre du 29 mars 2007, le Service des routes du canton de Vaud l'a informé que si aucune possibilité de transfert n'était trouvée jusqu'au 30 juin 2007, les rapports de travail seraient résiliés avec un délai de préavis de six mois. Dans un courrier du 28 juin 2007, qui faisait suite à un entretien de la veille avec l'intéressé, le Service des routes lui a confirmé qu'il pourrait poursuivre son activité dans ledit service. Dès le 1er août 2007, il serait transféré en qualité de dessinateur A (classe 15-17) avec un taux d'activité inchangé de 80 pour cent auprès de l'arrondissement Y._ des routes cantonales, à S._. Le salaire resterait sans changement.
Des discussions ont eu lieu entre les parties sur les modalités de cette nouvelle affectation. Le Service des routes a accepté de rembourser à l'employé ses frais de déplacement entre son domicile, à X._, et S._ pour une durée d'une année, éventuellement prolongeable de six mois au maximum (lettre du 23 juillet 2007). Par la suite, l'employeur a accepté un aménagement du temps de travail de l'intéressé (journées de 9 heures le lundi et le mardi et de 5 heures le mercredi, jeudi et vendredi). Il lui a proposé une indemnité de déménagement de 2'555 fr. pour tenir compte de la situation difficile du marché du logement à S._ et dans les environs. Il a invité l'intéressé à lui faire part de ses intentions jusqu'au 31 août 2007, en précisant qu'en cas de refus du transfert aux conditions proposées, il procéderait à la résiliation du contrat moyennant un préavis de six mois; aucune indemnité ne serait alors versée. Par courriel du 31 août 2007, G._ a refusé la proposition de transfert. Par lettre du 3 septembre 2007, le chef du Département des infrastructures a dès lors résilié le contrat de travail de l'employé pour le 31 mars 2008.
B. G._ a ouvert action devant le Tribunal de Prud'hommes de l'administration cantonale vaudoise en concluant à sa réintégration au sein du personnel de l'Etat de Vaud ou au paiement de la somme de 44'497 fr. Il a été débouté de ses conclusions par jugement du 12 décembre 2007.
C. G._ a déféré ce jugement à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud en concluant, principalement, à sa réforme en ce sens que l'Etat de Vaud est son débiteur d'une indemnité de 44'497 fr. plus intérêt à 5 % l'an dès le 20 septembre 2007, subsidiairement à son annulation. La Chambre des recours a rejeté ses conclusions par jugement du 22 avril 2009.
D. G._ forme un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant principalement au paiement par l'Etat de Vaud d'une indemnité de 44'497 fr. (avec intérêts). Subsidiairement, il demande que la cause soit renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle instruction et nouveau jugement.
L'Etat de Vaud conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Le recourant a agi par la voie du recours en matière civile. La décision attaquée concerne cependant des rapports de travail de droit public et n'a pas été rendue en matière civile au sens de l'art. 72 LTF. Contrairement à ce qu'indique l'arrêt attaqué, la voie du recours en matière civile n'est dès lors pas ouverte en l'espèce. Cependant, à lui seul, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur si les conditions d'une conversion en la voie de droit adéquate sont réunies (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 296; <ref-ruling> consid. 1b p. 509 et les arrêts cités). La voie du recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF est en principe ouverte pour contester les décisions concernant les rapports de travail de droit public. La contestation étant de nature pécuniaire, le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. Dans la mesure où le recourant conclut au paiement d'une indemnité de 44'497 fr., la valeur litigieuse dépasse le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public dans ce domaine (art. 85 al. 1 let. b LTF). Par ailleurs, la première Cour de droit social est compétente pour connaître du litige (art. 34 let. h RTF).
2. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF) c'est-à-dire arbitraire, ce qui lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3. Par ailleurs, sauf dans les cas prévus par l'art. 95 let. c à e LTF, qui n'entrent pas en considération en l'espèce, le Tribunal fédéral n'examine la mauvaise application du droit cantonal que si elle constitue une violation du droit fédéral (cf. art. 95 LTF) parce qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 4; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466; <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 251).
4. Au chapitre « Fin des rapports de travail » et sous le titre « Suppression de poste », l'art. 62 de la loi sur le personnel de l'Etat de Vaud du 12 novembre 2001 (LPers/VD; RS/VD 172.31) prévoit ceci:
1 Lorsqu'un poste est supprimé ou qu'une modification structurelle est intervenue au point que le collaborateur ne peut plus remplir son cahier des charges, il est transféré dans la mesure des places disponibles dans une fonction correspondant à sa formation et à ses capacités. Si nécessaire, une formation est organisée aux frais de l'Etat.
2 Si les mesures prévues à l'alinéa premier ne sont pas réalisables, le chef de département résilie le contrat moyennant un préavis de six mois. L'article 60, alinéa 2 est applicable, à moins que le collaborateur ait refusé le transfert à un poste convenable, selon la définition de la loi sur le chômage.
L'art. 60 al. 2 LPers/VD, auquel il est renvoyé, traite de la résiliation abusive ou non fondée sur un des motifs de l'art. 59. Il prévoit le versement d'une indemnité dont le montant est échelonné en fonction de la durée des rapports de service.
5. Les premiers juges interprètent les dispositions précitées du droit cantonal en ce sens que l'Etat doit en premier lieu chercher un poste équivalent pour le collaborateur dont le poste est supprimé. Ce collaborateur peut prétendre une indemnité si l'Etat n'est pas en mesure de lui proposer un poste équivalent convenable, le caractère convenable du poste équivalent devant être examiné selon l'art. 16 al. 2 LACI. Cette interprétation n'est pas contestée par le recourant. Celui-ci soutient, en revanche, que le nouveau poste qui lui a été proposé ne correspondait ni à son profil ni à sa formation et que la nouvelle activité n'était pas convenable au sens de la législation sur l'assurance-chômage. Il se plaint d'arbitraire tant dans l'appréciation des faits par l'autorité précédente que dans l'application par celle-ci de la législation cantonale et estime avoir droit à une indemnité en application des art. 60 al. 2 et 62 al. 2 LPers/VD.
5.1 En premier lieu, le recourant fait valoir que, selon le nouveau cahier des charges qui lui a été présenté, il devait consacrer 10 pour cent de son temps en moyenne à se tenir à disposition à tout moment de la journée ou de la nuit pour intervenir dans le cadre du service hivernal ou d'événements majeurs (accident, pollution, inondation, glissement de terrain, avalanche, etc). En outre, à raison de 10 pour cent de son temps en moyenne également, il devait « assumer des tâches particulières sur ordre de la région ou du service ». Ces deux activités, qui eussent représenté 20 pour cent au total de son temps de travail ne correspondaient ni à son profil ni à sa formation mais relevaient de tâches d'ordinaire assignées à un cantonnier. Selon lui, demeurer de piquet, de jour ou de nuit, ne relevait pas de l'activité typique d'un dessinateur. En outre, toujours selon le recourant, on ignorait tout des « tâches particulières » qui devaient lui être confiées sur ordre de la région ou du service.
5.2 Il ressort du jugement attaqué et des constatations de l'autorité cantonale inférieure, sur lesquelles le Tribunal fédéral peut également se fonder dans la mesure où la Cour cantonale a repris l'état de fait du Tribunal de Prud'hommes (cf. BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, Berne 2009, n. 22 ad art. 105), que le cahier des charges du poste proposé était globalement similaire à celui du poste supprimé. Selon les témoignages recueillis par le Tribunal de Prud'hommes, auxquels se sont référés les juges précédents, le service de piquet mentionné dans le nouveau cahier des charges n'était qu'exceptionnel, ce qui avait d'ailleurs été précisé à l'intéressé à l'occasion d'une séance. Le nouveau poste était bien un emploi de dessinateur avec un horaire de bureau et non un poste de cantonnier occupé à l'entretien des routes et appelé pour cela à exécuter des services de piquet. Aussi bien les premiers juges retiennent-ils que l'emploi proposé correspondait bien au profil et à la formation de l'intéressé. Le recours ne contient aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait de la décision attaquée, de sorte qu'il n'y a pas lieu de prendre en considération d'autres faits que ceux retenus dans ladite décision. En accordant un point décisif aux déclarations des témoins - dont rien ne permet de mettre en doute la crédibilité - les premiers juges se sont fondés sur des éléments pertinents et n'ont pas procédé à une appréciation arbitraire des preuves. Dans ces conditions, les juges précédents ne sont pas tombés dans l'arbitraire en retenant que le poste offert au recourant était équivalent au poste supprimé au sens de l'art. 62 al. 2 LPers/VD.
5.3 Dans un deuxième moyen, le recourant soutient que le poste de remplacement n'était pas convenable au sens de l'art. 16 LACI, auquel renvoie l'art 62 al. 2 LPers/VD. L'autorité cantonale n'aurait pas tenu compte de sa situation personnelle. Elle n'aurait pas examiné différents éléments, notamment le point de savoir si les deux enfants du recourant allaient devoir être gardés par des tiers, avec les frais y afférents. Elle ne s'est pas demandé si l'activité était de nature à compromettre son retour dans sa profession. Le recourant soutient par ailleurs que, compte tenu de son salaire mensuel (4'300 fr.) et de ses charges de famille (son épouse n'exerce pas d'activité professionnelle), il lui était impossible d'assumer les frais de déplacement entre X._ et S._ à partir du moment où l'employeur ne les prendrait plus en charge. Son minimum vital n'aurait plus été assuré.
5.4 L'art. 16 al. 2 LACI, qui est une règle de droit fédéral, s'applique ici à titre de droit cantonal supplétif, que le Tribunal fédéral ne revoit que sous l'angle d'une violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 5 p. 371 s.)
D'après cette disposition de la LACI, n'est pas réputé convenable, notamment, tout travail qui ne convient pas à l'âge, à la situation personnelle ou à l'état de santé de l'assuré (let. c), compromet dans une notable mesure le retour de l'assuré dans sa profession, pour autant qu'une telle perspective existe dans un délai raisonnable (let. d), nécessite un déplacement de plus de deux heures pour l'aller et de plus de deux heures pour le retour et qui n'offre pas de possibilité de logement approprié au lieu de travail, ou qui, si l'assuré bénéficie d'une telle possibilité, ne lui permet de remplir ses devoirs envers ses proches qu'avec de notables difficultés (let. f) ou procure à l'assuré une rémunération qui est inférieure à 70 % du gain assuré, sauf si l'assuré touche des indemnités compensatoires conformément à l'art. 24 LACI (gain intermédiaire) (let. i).
En l'espèce, il n'est pas contesté que le temps de déplacement qui aurait été imposé au recourant par la prise d'un emploi à S._ est nettement inférieur à deux heures (environ quarante minutes au moyen des transports publics). Sous l'angle de l'art. 16 al. 2 let. f LACI, le travail était donc indiscutablement réputé convenable. S'agissant de la situation personnelle au sens de l'art. 16 al. 2 let. c LACI, il faut prendre en compte avant tout les répercussions que l'emploi concerné pourrait avoir sur la situation familiale de l'intéressé, par exemple le fait d'être empêché de s'occuper d'enfants à charge (arrêt C 75/00 du 19 janvier 2001; BORIS RUBIN, Assurance-chômage, 2e éd., 2006, p. 414; THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in : Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, no 297). Le recourant n'invoque toutefois aucune circonstance précise de ce genre. Comme le relève l'intimé, l'employeur a tenu compte de la situation personnelle du recourant en acceptant l'aménagement des horaires de travail qu'il demandait. Il lui a en outre proposé de payer ses frais de déplacement pendant douze mois au moins et de lui verser une indemnité de déménagement, ce qui lui aurait laissé du temps pour trouver éventuellement un appartement à proximité de son nouveau lieu de travail. Au reste, même si l'assuré n'avait pas souhaité déménager, les frais de déplacement à sa charge ne réduisaient certainement pas son salaire dans une mesure inférieure à la limite de 70 pour cent selon l'art. 16 al. 2 let. i LACI. Quant à la perspective d'un retour de l'intéressé à sa profession, c'est une question qui ne se pose pas du moment que l'on doit admettre, comme on l'a vu, que le nouveau poste n'était guère différent du précédent sous l'angle des qualifications professionnelles. L'application par les premiers juges de l'art. 62 al. 2 LPers, en corrélation avec l'art. 16 al. 2 LACI, n'apparaît dans ces conditions d'aucune manière insoutenable.
6. De ce qui précède, il résulte que le recours est ainsi mal fondé.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lucerne, le 1er avril 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd