Sachverhalt:
A. A.a Die X._ AG wurde im Jahr 2003 gegründet und hat ihren Sitz in J._ (Kanton Aargau). Sie bezweckt die Herstellung, den Handel und die Erbringung von Dienstleistungen mit Bauelementen jeglicher Art, insbesondere mit Zaun- und Toranlagen aus Aluminium im gesamten schweizerischen Markt.
A.b Am 7. März 2012 wurde die Löschung von A._ als Mitglied des Verwaltungsrats der X._ AG im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB) publiziert. Die Gesellschaft verfügte in der Folge nur noch über einen Verwaltungsrat mit Wohnsitz in Österreich und einen kollektivzeichnungsberechtigten Direktor mit Wohnsitz in der Schweiz.
A.c Mit öffentlicher Bekanntmachung im SHAB vom 5. April 2012 wies das Handelsregisteramt des Kantons Aargau die X._ AG darauf hin, dass die Gesellschaft die gesetzlich zwingend vorgeschriebene Organisation nicht aufweise, und forderte sie gestützt auf <ref-law> auf, innert 30 Tagen den rechtmässigen Zustand wiederherzustellen und die entsprechende Eintragung anzumelden.
Die angesetzte Frist lief unbenützt ab.
B. B.a Mit Gesuch vom 23. Mai 2012 stellte das Handelsregisteramt dem Handelsgericht des Kantons Aargau gestützt auf <ref-law> den Antrag, es seien aufgrund von Mängeln in der gesetzlich vorgeschriebenen Organisation der X._ AG die erforderlichen Massnahmen im Sinne von <ref-law> zu ergreifen.
B.b Die Bestätigung des Handelsgerichts vom 30. Mai 2012 über den Eingang des Gesuchs konnte der Gesuchsgegnerin an der im Register eingetragenen Domiziladresse sowie den zur Anmeldung verpflichteten Personen nicht zugestellt werden.
Mittels öffentlicher Bekanntmachung im SHAB vom 8. Juni 2012 bestätigte das Handelsgericht den Parteien den Eingang des Gesuchs und setzte der Gesuchsgegnerin eine Frist von 20 Tagen zur Erstattung einer schriftlichen Antwort.
Die Gesuchsgegnerin liess sich nicht innert Frist vernehmen.
Mittels öffentlicher Bekanntmachung vom 16. Juli 2012 setzte das Handelsgericht der Gesuchsgegnerin eine letzte Frist von 10 Tagen zur Beseitigung des Organisationsmangels unter Androhung der Auflösung der Gesellschaft und deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs.
Die Gesuchsgegnerin liess die Frist ungenutzt verstreichen.
B.c Mit Entscheid vom 20. August 2012 (veröffentlicht im SHAB vom 22. August 2012) löste das Handelsgericht die Gesuchsgegnerin auf, ordnete deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs an (Dispositiv-Ziffern 1-4) und auferlegte die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- der Gesuchsgegnerin (Dispositiv-Ziffer 5).
Das Handelsgericht kam zum Schluss, dass die Gesellschaft nicht durch eine Person vertreten werden könne, die Wohnsitz in der Schweiz hat (<ref-law>). Die Gesuchsgegnerin weise damit einen Organisationsmangel i.S. von <ref-law> auf und sei aufzulösen.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Gesuchsgegnerin dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Handelsgerichts des Kantons Aargau vom 20. August 2012 aufzuheben und das Organisationsmängelverfahren infolge Gegenstandslosigkeit abzuschreiben. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Abschreibung infolge Gegenstandslosigkeit zurückzuweisen. Weiter sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Gesuchsgegnerin macht im Wesentlichen geltend, dass die Gesellschaft mit Beschluss der Generalversammlung vom 16. Juli 2012 aufgelöst worden und B._ mit Wohnsitz in K._ als Liquidator mit Einzelunterschrift eingesetzt worden sei. Diese Tatsachen seien am 17. August 2012 in das Tagebuch des Handelsregisters eingetragen worden, womit im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids der Organisationsmangel wirksam behoben gewesen sei. Der Grund, weshalb die Beschwerdeführerin auf die Aufforderungen der Vorinstanz nicht reagiert habe, liege darin, dass sie ihre Geschäftstätigkeit zwischenzeitlich aufgegeben und über keinen Briefkasten an ihrem Domizil mehr verfügt habe.
Das Handelsregisteramt beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz beantragt in ihrer Vernehmlassung demgegenüber die Gutheissung der Beschwerde im Eventualpunkt, da der massgebliche Organisationsmangel, d.h. das Fehlen eines zeichnungsberechtigten Vertreters mit Sitz in der Schweiz gemäss <ref-law>, im Urteilszeitpunkt nicht mehr bestanden habe.
D. Mit Präsidialverfügung vom 22. Oktober 2012 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) in einer Zivilsache (<ref-law>), der von einem oberen kantonalen Gericht erging, das als Fachgericht für handelsrechtliche Streitigkeiten und einzige kantonale Instanz eingesetzt ist (<ref-law>). Da auch die weiteren Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung vor. Die Vorinstanz sei davon ausgegangen, dass die Gesellschaft im Urteilszeitpunkt über keinen Vertreter mit Wohnsitz in der Schweiz verfügt habe. Dies sei offensichtlich unrichtig, da die Generalversammlung der Beschwerdeführerin am 16. Juli 2012 die Auflösung der Gesellschaft beschlossen und B._ mit Wohnsitz in K._ als Liquidator mit Einzelunterschrift eingesetzt habe. Diese Tatsachen seien am 17. August 2012 in das Tagebuch des Handelsregisters eingetragen worden, womit die Feststellung der Vorinstanz, dass die Beschwerdeführerin im Urteilszeitpunkt über keinen Vertreter mit Wohnsitz in der Schweiz verfügt habe, offensichtlich unrichtig sei.
2.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Soweit die Beschwerdeführerin den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2). Überdies ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2).
2.2 Bei rechtskonform publizierten Handelsregistereinträgen handelt es sich um Tatsachen, die jedermann zugänglich sind und deren Kenntnis fingiert wird. Prozessual handelt es sich um offenkundige bzw. notorische Tatsachen (Urteil 4A_412/2011 vom 4. Mai 2012 E. 2.2, nicht publiziert in <ref-ruling>; Urteil 5A_62/2009 vom 2. Juli 2009 E. 2.1, in: Praxis 99/2010 Nr. 17 S. 120; Urteil 2C_952/2010 vom 29. März 2011 E. 2.3). Als solche müssen Handelsregistereinträge im kantonalen Verfahren weder behauptet noch bewiesen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 89; <ref-ruling> E. 3.4 S. 121) und können im Verfahren vor Bundesgericht von Amtes wegen berücksichtigt werden (<ref-law>; Urteil 4A_412/2011 vom 4. Mai 2012 E. 2.2, nicht publiziert in <ref-ruling>).
2.3 Gemäss dem am 22. August 2012 im SHAB publizierten, am 17. August 2012 in das Tagebuch aufgenommenen Eintrag Nr. 8553 wurde die Beschwerdeführerin mit Beschluss der Generalversammlung vom 16. Juli 2012 aufgelöst und es wurde B._ als Liquidator mit Einzelunterschrift eingesetzt. Gemäss <ref-law> ist für die Bestimmung des Zeitpunkts der Eintragung in das Handelsregister die Einschreibung der Anmeldung in das Tagebuch massgebend. Damit war für die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids ein einzelzeichnungsberechtigtes Organ mit Wohnsitz in der Schweiz rechtsgültig bestellt. Die entgegengesetzte Feststellung im angefochtenen Entscheid ist damit offensichtlich unrichtig, worauf auch die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung an das Bundesgericht hinweist. Die Sachverhaltsrüge der Beschwerdeführerin, welche eine entscheidwesentliche Tatsache betrifft (<ref-law>), erweist sich damit als begründet.
2.4 Daran ändert auch der Einwand des Beschwerdegegners nichts, dass der entsprechende Handelsregistereintrag erst am 22. August 2012 im SHAB publiziert wurde und gegenüber Dritten insoweit erst am darauf folgenden Tag Publizitätswirkungen entfaltet hat (vgl. <ref-law>). Das Handelsregisteramt ist gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> sowohl befugt als auch verpflichtet, dem Gericht bei Entdeckung von Organisationsmängeln in einer Gesellschaft den Antrag zu stellen, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen. Es steht ihm mithin nicht frei, ob es ein gerichtliches Organisationsmängelverfahren einleiten will oder nicht. Das Handelsregisteramt hat für die Durchsetzung zwingender organisatorischer Bestimmungen des Gesellschaftsrechts von Amtes wegen zu sorgen. Sobald das Handelsregisteramt im Rahmen seiner Tätigkeit aber feststellt, dass der Organisationsmangel behoben ist, enden sowohl seine Pflicht als auch seine Befugnis zur Antragstellung an das Gericht. Das Handelsregisteramt ist also verantwortlich dafür, dass das Gericht nur solange in Anspruch genommen wird, als tatsächlich ein Organisationsmangel besteht. Daraus folgt, dass das Handelsregisteramt dem Gericht die sachverhaltlichen Grundlagen des behaupteten Organisationsmangels von Amtes wegen vollständig vorzutragen und diese nötigenfalls im Laufe des Verfahrens zu ergänzen hat. Anmeldungen in das Tagesbuch, aus welchen sich die Beseitigung des angezeigten Organisationsmangels ergibt und welche für den Zeitpunkt der Eintragungswirkungen objektiv massgebend sind (<ref-law>; MARTIN K. ECKERT, in: Basler Kommentar, 4. Aufl. 2012, N. 7 zu <ref-law>), hat das Handelsregisteramt dem mit dem Organisationsmängelverfahren befassten Gericht umgehend mitzuteilen. Denn mit der Beseitigung des Organisationsmangels endet seine Befugnis zur Antragstellung gemäss <ref-law> und besteht ohne umgehende Mitteilung an das Gericht die Gefahr, dass dieses seinen Organisationsmängelentscheid auf unvollständiger sachverhaltlicher Grundlage fällt. Im vorliegenden Fall hat es das Handelsregisteramt in Verletzung dieser Grundsätze unterlassen, dem Handelsgericht die Beseitigung des Organisationsmangels anzuzeigen, was zur Folge hatte, dass die Vorinstanz ihren Entscheid auf einen unrichtigen bzw. unvollständigen Sachverhalt stützte. Dieser ist insofern nicht nur offensichtlich unrichtig (oben E. 2.3), sondern beruht auch auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>) und ist somit im bundesgerichtlichen Verfahren zu korrigieren.
2.5 Zutreffend und hiermit in Anwendung von <ref-law> festzustellen ist, dass die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils über einen Liquidator mit Einzelunterschrift verfügte.
3. Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich, die Vorinstanz habe die Gesellschaft zu Unrecht aufgelöst. Das Organisationsmängelverfahren sei aufgrund der Beseitigung des Organisationsmangels als gegenstandslos abzuschreiben.
3.1 Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen verfügte die Beschwerdeführerin im Moment der Einreichung des Organisationsmängelgesuchs durch den Beschwerdegegner am 23. Mai 2012 über kein Organ mit Wohnsitz in der Schweiz, welches die Gesellschaft vertreten konnte. Die Beschwerdeführerin wies damit im Moment der Einleitung des vorinstanzlichen Verfahrens einen Organisationsmangel i.S. von Art. 718 Abs. 4 i.V.m. <ref-law> auf. Diesen Mangel behob die Beschwerdeführerin indessen in der Folge während des hängigen vorinstanzlichen Verfahrens durch die Einsetzung eines einzelzeichnungsberechtigten Liquidators. Das Organisationsmängelverfahren ist damit aufgrund der nachträglichen Beseitigung des Organisationsmangels gegenstandslos geworden (zur Gegenstandslosigkeit bei Erfüllung des eingeklagten Anspruchs während hängigen Verfahrens vgl. Urteil 4A_604/2010 vom 11. April 2011 E. 1.2). Die Beschwerde ist insoweit gutzuheissen, die Dispositiv-Ziffern 1-4 des angefochtenen Entscheids sind aufzuheben und das Organisationsmängelverfahren ist in Anwendung von <ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law> abzuschreiben.
3.2 Nicht aufzuheben ist demgegenüber die Auferlegung der vorinstanzlichen Gerichtskosten an die Beschwerdeführerin (Dispositiv-Ziffer 5 des angefochtenen Entscheids). Denn nach <ref-law> kann das Gericht vom Unterliegerprinzip abweichen, wenn das Verfahren als gegenstandslos abgeschrieben wird. Weiter gilt nach <ref-law>, dass unnötige Kosten zu bezahlen hat, wer sie verursacht hat. Die Beschwerdeführerin hat durch die Herbeiführung des Organisationsmangels und ihr Untätigbleiben auf die Aufforderungen des Beschwerdegegners hin das vorinstanzliche Verfahren überhaupt erst veranlasst. Sie hat damit auch die vorinstanzlichen Gerichtskosten zu tragen.
4. Gemäss <ref-law> werden die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt. Dem Beschwerdegegner können freilich keine Gerichtskosten auferlegt werden (<ref-law>). Demgegenüber wäre der Beschwerdegegner als unterliegende Partei grundsätzlich entschädigungspflichtig (<ref-law>). Da das vorliegende Beschwerdeverfahren jedoch hätte vermieden werden können, wenn die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren nicht säumig geblieben wäre, handelt es sich bei den Parteikosten der Beschwerdeführerin um unnötige Kosten i.S. von Art. 68 Abs. 4 i.V.m. <ref-law>, welche diese nach dem Verursacherprinzip selbst zu tragen hat.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Dispositiv-Ziffern 1-4 des angefochtenen Entscheids des Handelsgerichts des Kantons Aargau vom 20. August 2012 werden aufgehoben.
Das Organisationsmängelverfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2. Es werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten erhoben. Die Bundesgerichtskasse erstattet der Beschwerdeführerin den Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zurück.
3. Es wird keine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. März 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni