gesetzmässige Besetzung des Gerichts, hat sich ergeben:
A.- A._ stellte am 21. März 2000 in der Betreibung gegen X._ das Begehren um definitive Rechtsöffnung für Fr. 2'800.-- nebst Zins und Betreibungskosten.
Mit Verfügung vom 6. September 2000 entsprach der Einzelrichter im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Bülach dem Begehren im verlangten Umfang. Gegen diese Verfügung reichte X._ Nichtigkeitsbeschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Er machte ausschliesslich geltend, die Rechtsöffnungsverfügung sei nicht in richtiger Besetzung gefällt worden, da der Einzelrichter ohne Mitwirkung eines juristischen Sekretärs entschieden habe. Mit Beschluss vom 9. Januar 2001 wies das Obergericht die Nichtigkeitsbeschwerde ab.
B.- Gegen diesen Entscheid erhob X._ mit Eingabe vom 26. Februar 2001 staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt, der angefochtene Beschluss des Zürcher Obergerichts vom 9. Januar 2001 "und demnach auch die Verfügung des Einzelrichters im summarischen Verfahren des Bezirkes Bülach vom 6. September 2000" seien aufzuheben.
C.- Die Beschwerdegegnerin A._, der Einzelrichter im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Bülach und das Obergericht des Kantons Zürich verzichteten auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Beim angefochtenen Beschluss des Zürcher Obergerichts über die Gewährung der definitiven Rechtsöffnung handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (<ref-ruling> E. 1 S. 9; <ref-ruling> E. 1 S. 355).
Er betrifft ausschliesslich die Frage der richtigen Besetzung der ersten Instanz bei der Beurteilung des Rechtsöffnungsbegehrens.
Nach Art. 87 Abs. 1 OG ist die staatsrechtliche Beschwerde gegen einen Endentscheid insoweit unzulässig, als sie sich gegen die Zusammensetzung der urteilenden Behörde richtet, sofern vorgängig darüber ein gesonderter Zwischenentscheid ergangen ist (<ref-ruling> E. 1 S. 204 ff., 207 E. 1b S. 209 f.). Im vorliegenden Fall wurde die Frage der richtigen Besetzung der ersten Instanz nicht in einem Zwischenentscheid, sondern erst im angefochtenen Beschluss des Zürcher Obergerichts behandelt. Sie kann daher dem Bundesgericht mit staatsrechtlicher Beschwerde im Anschluss an den kantonalen Endentscheid unterbreitet werden.
b) Der Beschwerdeführer beantragt nicht nur die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts vom 9. Januar 2001, sondern ausserdem die Aufhebung der Verfügung des Einzelrichters vom 6. September 2000. Die staatsrechtliche Beschwerde ist - abgesehen von hier nicht gegebenen Ausnahmen - nur gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide zulässig (Art. 86 Abs. 1 OG; <ref-ruling> E. 1a/aa S. 493 f.
mit Hinweisen). Auf die vorliegende Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten, soweit mit ihr die Aufhebung der Rechtsöffnungsverfügung des Einzelrichters verlangt wird.
2.- Der Beschwerdeführer macht geltend, der in <ref-law> gewährleistete Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts sei verletzt worden, weil der Einzelrichter im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Bülach die Rechtsöffnungsverfügung ohne Mitwirkung eines juristischen Sekretärs gefällt und damit in Missachtung von § 134 des zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetzes vom 13. Juni 1976 (GVG) auf die beratende Stimme eines Kanzleibeamten verzichtet habe.
a) Nach <ref-law> hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Diese Vorschrift, die den Gehalt des Art. 58 Abs. 1 aBV übernommen hat, garantiert unter anderem den Anspruch auf richtige Zusammensetzung des Gerichts. Die Frage der richtigen Besetzung des Gerichts beurteilt sich im vorliegenden Fall nach dem zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz. Wird mit staatsrechtlicher Beschwerde eine Verletzung von <ref-law> gerügt, so prüft das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung des kantonalen Gesetzesrechts nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots. Mit freier Kognition beurteilt es indessen, ob die als vertretbar erkannte Auslegung des kantonalen Rechts mit den Garantien von <ref-law> vereinbar ist (<ref-ruling> E. 3b S. 73; <ref-ruling> E. 2b S. 51, je mit Hinweisen).
b) § 134 GVG, dessen Auslegung im vorliegenden Fall umstritten ist, lautet:
"An den Verhandlungen und Beratungen nimmt ein Kanzleibeamter
teil. Er hat beratende Stimme.
Die Durchführung von Vergleichsverhandlungen kann ihm
übertragen werden.
Auf den Beizug eines Kanzleibeamten zu Verhandlungen
kann verzichtet werden, wenn seine Mitwirkung für die
Protokollführung nicht erforderlich ist.. "
aa) Das Obergericht führte im angefochtenen Entscheid zunächst aus, das Bundesgericht habe den Wortlaut dieser Vorschrift in einem unveröffentlichten Urteil vom 22. Januar 1999 für unzweideutig befunden. Dem sei zumindest auf den ersten Blick beizupflichten: Während Absatz 1 generell die Teilnahme des Kanzleibeamten an allen Verhandlungen und Beratungen des Gerichts vorsehe und festhalte, dass ihm beratende Stimme zukomme, regle Absatz 3 die Ausnahmen. Solche würden sich im Kontext zu Absatz 1 nur im Hinblick auf Verhandlungen, nicht jedoch für Beratungen des Gerichts als zulässig erweisen; mit anderen Worten könne gemäss einer engen Auslegung des Gesetzestexts auf die beratende Stimme des Kanzleibeamten nie verzichtet werden, selbst wenn er an der Verhandlung nicht mitgewirkt habe.
bb) Sodann befasste sich das Obergericht eingehend mit der Entstehungsgeschichte der geltenden Fassung von § 134 GVG. Den betreffenden Ausführungen ist zu entnehmen, dass sich aus den Gesetzesmaterialien nicht klar ergibt, wie diese Vorschrift wirklich zu verstehen ist.
cc) Im Weiteren erklärte das Obergericht, das Bundesgericht habe im erwähnten Urteil vom 22. Januar 1999 in einem obiter dictum festgehalten, es könnte sich im summarischen Verfahren hinsichtlich der Mitwirkung des Kanzleibeamten am Erlass einer Verfügung allenfalls aus § 23 Abs. 2 GVG eine Ausnahme ergeben. Nach dieser Vorschrift sei es zulässig, dass im summarischen Verfahren bei Verhinderung des Einzelrichters der Gerichtsschreiber allein dringliche Verfügungen erlasse. Dementsprechend sei möglicherweise der Umkehrschluss zu ziehen, dass auch der Richter allein verfügen dürfe.
Das Obergericht legte in der Folge dar, aus welchen Gründen dieser Umkehrschluss sinnvoll erscheine. Es hielt als Ergebnis fest: Eine zeitgemässe Auslegung der einschlägigen Bestimmungen über das summarische Verfahren könne nach Sinn und Zweck nicht mit dem vermeintlich klaren Wortlaut von § 134 GVG in Einklang gebracht werden. Massgebend sei aus heutiger Sicht, dass ein Festhalten an der beratenden Stimme des Kanzleibeamten im summarischen Verfahren verschiedenen anderen prozessualen Vorschriften dieser Verfahrensart, insbesondere den einschlägigen Protokollierungsvorschriften, zuwiderlaufen würde. Die in § 141 Abs. 2 in Verbindung mit § 142 Abs. 3 GVG vorgesehene Möglichkeit, ein Handprotokoll von einem Auditor führen zu lassen, entspreche einer langjährigen Praxis verschiedener zürcherischer Gerichte, und da sich ein summarischer Prozess durch besondere Raschheit auszuzeichnen habe, rechtfertige es sich, besagte Protokollierungsbestimmungen stärker zu gewichten als das Festhalten an der Mitwirkung des Kanzleibeamten bei der Beratung.
Gestützt auf diese Überlegungen könne § 134 Abs. 3 GVG aus heutiger Sicht nur so verstanden werden, dass im summarischen Verfahren nicht nur auf den Beizug eines Kanzleibeamten zu Verhandlungen, sondern auch zu Beratungen verzichtet werden dürfe.
c) In der staatsrechtlichen Beschwerde wird eingewendet, diese Auffassung sei unhaltbar. Sie widerspreche nicht nur dem klaren Wortlaut des § 134 GVG und der Entstehungsgeschichte dieser Bestimmung, sondern auch der Vorschrift des § 157 GVG, der klar festhalte, dass ein Entscheid in Zivilsachen die Bezeichnung des Gerichts sowie die Namen der mitwirkenden Richter und des Kanzleibeamten zu enthalten habe. Der vom Obergericht gezogene Umkehrschluss aus § 23 Abs. 2 GVG sei unzulässig. Das Gesetz wolle grundsätzlich, dass ein Kanzleibeamter mit beratender Stimme am Entscheid des Einzelrichters im summarischen Verfahren mitwirke.
d) Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, d.h. nach Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen ausgelegt werden (<ref-ruling> E. 4a S. 5, 88 E. 1d S. 92; <ref-ruling> E. 4a S. 208; <ref-ruling> E. 3a S. 262). Ist der Wortlaut einer Vorschrift klar und unzweideutig, so ist die rechtsanwendende Behörde daran gebunden, sofern nicht triftige Gründe zur Annahme bestehen, dass er nicht den wahren Sinn der Bestimmung wiedergibt (<ref-ruling> E. 3a S. 268; <ref-ruling> E. 5a S. 191; <ref-ruling> E. 3c S. 14, 437 E. 3 S. 444). Weicht sie vom klaren Wortlaut ab, ohne dass solche Gründe vorliegen, handelt sie willkürlich (<ref-ruling> E. 2d S. 123; <ref-ruling> E. 3c S. 14).
Ist der Wortlaut einer Gesetzesvorschrift nicht klar und eindeutig, so ist deren Sinn aufgrund aller relevanten Kriterien zu ermitteln. Massgebend ist dabei vor allem der Sinn einer Bestimmung, wie er sich aus dem Zusammenhang mit anderen einschlägigen Vorschriften ergibt (<ref-ruling> E. 4a S. 5; <ref-ruling> E. 7a S. 248 mit Hinweisen). Die Gesetzesmaterialien können bei unklaren Bestimmungen eine Auslegungshilfe sein, sofern sie eine klare Antwort geben. Sie sind aber umso weniger zu beachten, je weiter die Gesetzesentstehung zeitlich zurückliegt (<ref-ruling> E. 2c S. 290 mit Hinweisen).
e) Das Bundesgericht hatte im erwähnten Urteil vom 22. Januar 1999 darüber zu befinden, ob es mit Art. 58 Abs. 1 aBV vereinbar sei, wenn der Haftrichter eines zürcherischen Bezirksgerichts über ein Haftentlassungsgesuch ohne Mitwirkung eines Gerichtsschreibers entscheide. Es verneinte die Frage, da nach § 20 in Verbindung mit den §§ 24a und 134 GVG die Mitwirkung eines Gerichtsschreibers beim Haftentscheid zwingend vorgeschrieben sei. Gemäss § 20 GVG amtet ein Kanzleibeamter des Bezirksgerichts als Gerichtsschreiber des Einzelrichters. Dieser ist unter anderem für Haftsachen zuständig (§ 24a GVG). In der Beschwerde, welche das Bundesgericht im genannten Urteil zu behandeln hatte, war geltend gemacht worden, nach dem klaren Wortlaut von § 134 Abs. 1 GVG sei die Mitwirkung des Kanzleibeamten bei Beratungen und Verhandlungen zwingend vorgeschrieben, wobei Abs. 3 für die Verhandlungen gewisse Ausnahmen zulasse. Für die Mitwirkung des Kanzleibeamten an der Beratung des Gerichts sehe das GVG dagegen keine Ausnahme vor. Das Bundesgericht hielt in den Erwägungen seines Urteils fest, diese Regelung erscheine "in der Tat unzweideutig". Aus § 20 in Verbindung mit § 24a GVG ergebe sich, dass dem Haftrichter ein Kanzleibeamter beigegeben sei. Eine Ausnahme ergebe sich allenfalls für das summarische Verfahren aus § 23 Abs. 2 GVG, wonach in dringenden Fällen unter Umständen sogar der Gerichtsschreiber allein verfügen könne. Daraus könnte "möglicherweise der Umkehrschluss zulässig sein", dass dies auch der Richter könne.
Diesen Erwägungen ist zu entnehmen, dass das Bundesgericht den Wortlaut des § 134 GVG nicht als klar und eindeutig erachtete, soweit es um die im vorliegenden Fall zu beurteilende Frage der obligatorischen Mitwirkung des Kanzleibeamten am Entscheid des Einzelrichters im summarischen Verfahren geht. Es wies darauf hin, aus der Vorschrift von § 23 Abs. 2 GVG könnte im Sinne eines Umkehrschlusses abgeleitet werden, dass im summarischen Verfahren auch der Einzelrichter allein entscheiden könne. Das würde bedeuten, dass die Mitwirkung des Kanzleibeamten am Entscheid des Einzelrichters im summarischen Verfahren nicht zwingend erforderlich wäre.
Das Obergericht war der Auffassung, wenn § 134 GVG im Zusammenhang mit den einschlägigen Bestimmungen über das summarische Verfahren ausgelegt werde, erscheine dieser Umkehrschluss als sinnvoll und § 134 Abs. 3 GVG sei daher so zu verstehen, dass im summarischen Verfahren nicht nur auf den Beizug eines Kanzleibeamten zu Verhandlungen, sondern auch zu Beratungen verzichtet werden dürfe. Der Beschwerdeführer bezeichnet diese Ansicht als willkürlich. Willkür liegt jedoch nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn ein Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 2a S. 168, je mit Hinweisen).
f) Die Vorschrift von § 134 GVG steht im Abschnitt über die "Bestimmungen für das Verfahren" unter Lit. "B. Gerichtssitzungen" und trägt den Randtitel "Kanzleibeamter".
Sie regelt dessen Mitwirkung bei den Sitzungen des Gerichts, welches entweder aus einem Kollegium von Richtern oder aus einem Einzelrichter bestehen kann. § 134 Abs. 1 GVG sieht vor, dass an den Verhandlungen und Beratungen (des Gerichts) ein Kanzleibeamter teilnehme und dass dieser beratende Stimme habe. Nach § 134 Abs. 3 GVG kann auf den Beizug eines Kanzleibeamten zu Verhandlungen verzichtet werden, wenn seine Mitwirkung für die Protokollführung nicht erforderlich ist. Wie sich aus den unter Lit. "C. Protokoll" stehenden Bestimmungen ergibt, ist im summarischen Verfahren die Mitwirkung eines Kanzleibeamten für die Protokollführung nicht erforderlich. Gemäss § 141 Abs. 2 GVG wird im summarischen Verfahren ein Handprotokoll geführt, das nur auszufertigen ist, wenn ein Rechtsmittel ergriffen, der Prozess ins ordentliche Verfahren verwiesen oder ein Beweisverfahren durchgeführt wird. Zudem kann nach § 142 Abs. 3 GVG der Richter im summarischen Verfahren das Protokoll selbst führen oder unter seiner Aufsicht durch eine Hilfsperson führen lassen.
aa) Das Obergericht führte im angefochtenen Entscheid aus, wenn in diesen Fällen gemäss § 134 Abs. 3 GVG an der beratenden Stimme des Kanzleibeamten festgehalten würde, so hätte das zur Folge, dass dieser "ohne einen eigenen Eindruck an der Verhandlung gewonnen zu haben, gestützt auf ein fremdes Handprotokoll eine Entscheidhilfe bieten müsste". § 141 Abs. 2 GVG, der die obligatorische Ausfertigung des Handprotokolls vorsehe, wenn ein Rechtsmittel ergriffen werde, lasse aber mehr als deutlich auf die Überlegung des Gesetzgebers schliessen, dass ein Handprotokoll nicht geeignet sei, Dritten - nämlich der Rechtsmittelinstanz - ausreichende Entscheidgrundlagen zu liefern.
Es sei indes nicht ersichtlich, weshalb ein fremdes Handprotokoll einem Kanzleibeamten der ersten Instanz eine bessere Informationsmöglichkeit bieten sollte als der Rechtsmittelbehörde.
Eine fruchtbare Mitwirkung des Kanzleibeamten ohne Vorliegen eines ausgefertigten Protokolls sei daher gar nicht denkbar.
Diese Überlegungen des Obergerichts lassen sich mit guten Gründen vertreten. Nähme man entsprechend der Meinung des Beschwerdeführers an, gemäss § 134 Abs. 3 GVG sei die Teilnahme des Kanzleibeamten bei der Beratung im summarischen Verfahren obligatorisch, so würde das in einem gewissen Widerspruch zu den einschlägigen Bestimmungen über die Protokollierung stehen. Wie mit Grund angenommen werden kann, ist es im Verfahren die wesentliche Aufgabe des Kanzleibeamten, das Protokoll zu führen. Nach § 141 Abs. 2 GVG wird im summarischen Verfahren kein eigentliches Protokoll, sondern nur ein sog. Handprotokoll geführt, und daraus lässt sich ohne Willkür schliessen, es müsse in diesem Verfahren kein Kanzleibeamter beigezogen werden. Bei dieser Betrachtung erscheint § 141 Abs. 2 GVG hinsichtlich der Teilnahme eines Kanzleibeamten als Spezialnorm für das summarische Verfahren, die der allgemeinen Regel des § 134 GVG vorgeht.
In diese Richtung weist auch § 23 Abs. 2 GVG, nach welcher Vorschrift im summarischen Verfahren der Gerichtsschreiber in dringenden Fällen allein entscheiden kann. Das Bundesgericht hat bereits in seinem Urteil vom 22. Januar 1999 mit Recht bemerkt, daraus könne möglicherweise der Umkehrschluss gezogen werden, dass in diesem Verfahren auch der Richter allein - ohne Beizug des Kanzleibeamten - verfügen dürfe.
bb) Sodann verwies das Obergericht in diesem Zusammenhang auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 4 aBV. Es erklärte, der Anspruch auf Gewährung des rechtlichen Gehörs werde verletzt, wenn im Entscheidverfahren eines Kollegialgerichts ein Richter neu mitwirke, der sich den Prozessstoff durch Aktenstudium nicht genügend habe zugänglich machen können (<ref-ruling>). Das Bundesgericht habe einen Verstoss gegen Art. 4aBV darin erblickt, dass nicht alle urteilenden Richter einer ausschliesslich mündlichen, in keinem Protokoll festgehaltenen Beweisabnahme beigewohnt hätten (<ref-ruling>). Ein Verzicht auf die Anwesenheit des Kanzleibeamten bei Verhandlungen und auf Ausfertigung des Handprotokolls verunmögliche - wie das Obergericht im Weiteren erwog - die nachträgliche umfassende Orientierung des Kanzleibeamten über den Prozessstoff. Damit der Kanzleibeamte seine beratende Stimme ausüben könne, müsse er die gleichen Kenntnisse über das betreffende Verfahren haben wie ein Richter, der an einem von einem Kollegialgericht zu fällenden Urteil mitgewirkt habe. Das Obergericht gelangte aufgrund dieser Überlegungen zum sachlich vertretbaren Schluss, dass die Mitwirkung eines Kanzleibeamten an einem Entscheid, der in einem summarischen Verfahren unter Ausschöpfung der gelockerten Protokollierungsvorschriften gefällt worden sei, einen Verstoss gegen den verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör bedeuten würde.
cc) Die Gesetzesmaterialien sind für die Auslegung der Vorschrift von § 134 GVG nicht massgebend, da sie - wie erwähnt (E. 2b/bb) - keine klare Antwort auf die Frage geben, wie diese Norm wirklich zu verstehen ist.
dd) Der Beschwerdeführer macht geltend, die vom Obergericht vorgenommene Auslegung widerspreche § 157 lit. a Ziff. 1 GVG, wonach die Entscheide in Zivilsachen die Bezeichnung des Gerichts, die Namen der mitwirkenden Richter und des Kanzleibeamten zu enthalten habe. Bei dieser unter Lit. "D. Form der Entscheide" stehenden Vorschrift geht es nicht um das Zustandekommen der Entscheide, sondern nur um die Form bzw. den Inhalt (vgl. das mehrfach zitierte Urteil des Bundesgerichts vom 22. Januar 1999). Aus § 157 lit. a Ziff. 1 GVG lässt sich nicht ableiten, der Kanzleibeamte müsse gemäss § 134 Abs. 3 GVG zwingend bei der Beratung im summarischen Verfahren mitwirken.
Unbehelflich ist auch der Einwand des Beschwerdeführers, die vom Obergericht vorgenommene Auslegung des § 134 GVG würde darauf hinauslaufen, dass im summarischen Verfahren vor dem Einzelrichter im Kanton Zürich generell die beratende Mitwirkung eines Kanzleibeamten dahinfallen würde. Wie ausgeführt, ist die Auffassung mit sachlichen Gründen vertretbar, im summarischen Verfahren müsse kein Kanzleibeamter mitwirken.
g) Nach dem Gesagten verletzte das Obergericht das Willkürverbot nicht, wenn es zum Schluss gelangte, § 134 Abs. 3 GVG sei so zu verstehen, dass im summarischen Verfahren nicht nur auf den Beizug eines Kanzleibeamten zu Verhandlungen, sondern auch zu Beratungen verzichtet werden dürfe.
Eine solche Auslegung verstösst nicht gegen <ref-law>. Nach dieser Vorschrift hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts. Ist es nach den einschlägigen Bestimmungen des kantonalen Rechts vertretbar, dass im summarischen Verfahren auf die Mitwirkung eines Kanzleibeamten verzichtet werden kann, so liegt darin auch keine Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs auf richtige Besetzung des Gerichts.
Zusammenfassend ergibt sich, dass es mit <ref-law> vereinbar ist, wenn die Vorschrift von § 134 Abs. 3 GVG dahin ausgelegt wird, dass im summarischen Verfahren nicht nur auf den Beizug eines Kanzleibeamten bzw.
Gerichtsschreibers zu Verhandlungen, sondern auch zu Beratungen verzichtet werden kann. Die staatsrechtliche Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.- Entsprechend dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Der Beschwerdegegnerin A._ ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da sie auf die Stellung eines Antrags und auf Gegenbemerkungen zur Beschwerde verzichtet hat.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Bülach, Einzelrichter im summarischen Verfahren, sowie dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 5. Oktober 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: