Haftpflicht des Tierhalters, hat sich ergeben:
A.- Während der Sommerferien 1992 überliess C._, Eigentümer der Freibergerstute "Nora", das Pferd samt Fohlen für mehrere Wochen der damals 15-jährigen A._ (Beklagte).
Diese brachte Stute und Fohlen bei sich zuhause in einem Nachbargebäude unter. Am 24. Juli 1992, ca. 21.00 Uhr, begleitete die damals 21-jährige B._ (Klägerin) zu Fuss die auf "Nora" sitzende Beklagte auf einen Ausritt. Das Fohlen wurde im Stall zurückgelassen. Nach kurzer Reitstrecke bestieg die Klägerin anstelle der Beklagten das Pferd, wobei das Pferd von der Beklagten am Halfter geführt wurde.
Die Beklagte liess das Halfter des Pferdes los. Kurze Zeit darauf brach die Stute plötzlich aus und galoppierte entlang eines Natursträsschens in Richtung Stall, wo ihr Fohlen untergebracht war. Die verängstigte Klägerin liess sich vom Pferd fallen. Beim Sturz zog sie sich am Knöchel des linken Fusses eine Malleolustrümmerfraktur mit Invaliditätsfolge zu.
B.- Am 20. Juni 1997 beantragte die Klägerin beim Amtsgericht Luzern-Land, die Beklagte habe ihr den ungedeckten Erwerbsschaden in der Höhe von Fr. 40'147. 20 nebst Zins zu 5 % zu bezahlen. Später reduzierte sie die Klageforderung auf Fr. 28'351. 45 ohne Zins. Mit Urteil vom 25. September 1998 wies das Amtsgericht die Klage ab. Es kam zum Schluss, dass die Beklagte Halterin des Pferdes "Nora" sei, dass sämtliche Voraussetzungen der Tierhalterhaftung (Schaden, Widerrechtlichkeit und adäquater Kausalzusammenhang) gegeben seien, dass die Beklagte aber den Entlastungsbeweis erbracht habe. Gegen diesen Entscheid appellierte die Klägerin.
C.- Mit Entscheid vom 24. August 1999 hob das Obergericht das Amtsgerichsurteil vom 25. September 1998 auf, weil es den Entlastungsbeweis für nicht erbracht hielt und wies die Sache zur Neubeurteilung und zur Festsetzung des Schadens und zur Schadenersatzbemessung zurück.
Mit Urteil vom 25. Januar 2000 hiess das Amtsgericht die Klage teilweise gut und verpflichtete die Beklagte, der Klägerin für die Zeit der Umschulung vom 1. Juni 1994 bis zum 31. August 1996 den ungedeckten Erwerbsschaden in der Höhe von Fr. 18'900. 95 zu bezahlen. Gegen dieses Zwischenurteil appellierten beide Parteien.
In seinem Entscheid vom 14. Mai 2001 bestätigte das Obergericht das Urteil des Amtsgerichts, korrigierte indes den angewandten Berechnungsmodus für den Schadenersatz und sprach der Klägerin Ersatz für den ungedeckten Erwerbsschaden in der Höhe von Fr. 28'351. 45 zu.
D.- Gegen das Urteil des Obergerichts vom 14. Mai 2001 reichte die Beklagte beim Bundesgericht Berufung ein. Darin beantragt sie Aufhebung der obergerichtlichen Urteile vom 24. August 1999 und vom 14. Mai 2001 und die Abweisung der Klage. Die Klägerin schliesst auf Abweisung der Berufung und auf Bestätigung der angefochtenen Entscheide.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die Berufung ist - von hier nicht gegebenen Ausnahmen abgesehen - erst gegen Endentscheide der oberen kantonalen Gerichte zulässig (Art. 48 Abs. 1 OG). Nach Art. 48 Abs. 3 OG bezieht sich die Berufung gegen den Endentscheid auch auf die ihm vorausgegangenen Entscheide, soweit diese nicht gemäss Art. 49 OG schon früher weiterziehbar waren oder nach Art. 50 OG weitergezogen und beurteilt worden sind (<ref-ruling> E. 1a S. 352). Ein berufungsfähiger Endentscheid liegt vor, wenn das kantonale Gericht materiell in der Sache entscheidet; ein solcher Entscheid verbietet endgültig, dass der gleiche Anspruch zwischen den Parteien nochmals geltend gemacht wird (<ref-ruling> E. 2a S. 94).
Mit der teilweisen Gutheissung der Klage hat die Vorinstanz als letzte kantonale Instanz einen Endentscheid gefällt, gegen den die Berufung zulässig ist. Da der Zwischenentscheid vom 24. August 1999 nicht angefochten wurde, steht einem Eintreten auf die Berufung auch insoweit nichts entgegen, als sie sich gegen diesen Zwischenentscheid richtet.
2.- a)Die Beklagte rügt als Verletzung von Bundesrecht allein, die Vorinstanz habe sie zu Unrecht als Tierhalterin qualifiziert und sie habe eventuell den Entlastungsbeweis zu Unrecht nicht als erbracht angesehen.
b) Für den von einem Tier angerichteten Schaden haftet, wer dieses hält (<ref-law>). Tierhalter ist danach, wer die tatsächliche Herrschaft über ein Tier ausübt (<ref-ruling> E. 2c S. 245, <ref-ruling> E. 2a S. 23), auch wenn er die Beaufsichtigung des Tieres zeitweilig einer Hilfsperson anvertraut hat (<ref-ruling> E. 1 S. 138). Dabei ist das dauerhafte wirtschaftliche Interesse oder der Nutzen (auch ideeller Art) von entscheidender Bedeutung, um die Tierhalterin von der Hilfsperson abzugrenzen (BGE 67 II 119 E. 2 S. 122, Brehm, Berner Kommentar N 15 zu <ref-law>, Oftinger/Stark. Schweizerisches Haftpflichtrecht Bd. II/1, S. 372 § 21 N 38/44). Eine Mehrzahl von Haltern ist denkbar, wenn sämtliche Personen die Herrschaft über das Tier ausüben und ein dauerhaftes Interesse daran haben (Brehm, a.a.O. N 28 zu <ref-law>).
c) Nach den Feststellungen der Vorinstanz übte die Beklagte die tatsächliche Herrschaft über das Pferd "Nora" und dessen Fohlen während ihrer Sommerferien von fünfwöchiger Dauer aus. Die Beklagte nahm das Pferd in Obhut, entschied selbständig über die Art der Unterbringung und war während der Ferien allein für dessen Betreuung und Pflege verantwortlich. Die Beklagte hatte den Nutzen am Pferd "Nora", weil sie dieses jederzeit ausreiten konnte. Nach den Feststellungen der kantonalen Instanzen erteilten die Eigentümer des Pferdes der Beklagten keinerlei Weisungen, da die Beklagte im Umgang mit Pferden geübt war. Daraus ist zu schliessen, dass die Beklagte trotz ihres jugendlichen Alters von 15 Jahren über ausreichende Erfahrung im Umgang mit Pferden verfügte und daher in der Lage war, die von einem Tierhalter geforderte Sorgfalt anzuwenden und insbesondere auch in Sicherheitsfragen entscheiden zu können. Der Beklagten kann nicht gefolgt werden, wenn sie ihre Tierhaltereigenschaft in Frage stellt.
3.- a) Nach <ref-law> wird der Halter von seiner Haftung befreit, wenn er beweist, dass er die nach den Umständen gebotene Sorgfalt in der Verwahrung und Beaufsichtigung des Tieres beobachtet hat, oder dass der Schaden auch bei Anwendung dieser Sorgfalt eingetreten wäre. An den Entlastungsbeweis sind strenge Anforderungen zu stellen (<ref-ruling> E. 2a S. 139, 102 II 232 E. 1 S. 1 S. 235 mit Hinweisen, Oftinger/Stark, a.a.O. S. 396, Brehm, a.a.O. 52 ff zu <ref-law>). Die konkreten Sorgfaltspflichten richten sich in erster Linie nach geltenden Sicherheits- und Unfallverhütungsvorschriften; fehlen gesetzliche oder reglementarische Vorschriften und haben auch private Verbände keine allgemein anerkannten Vorschriften erlassen, so ist zu prüfen, welche Sorgfalt nach der Gesamtheit der konkreten Umstände geboten ist (<ref-ruling> E. 1b S. 16, 102 II 232 E. 1a S. 236).
b) Das Führen eines Pferdes am Zügel ermöglicht im Allgemeinen dem Begleiter eines Reitanfängers die direkte Kontrolle über das Tier und ersetzt die fehlende Kontrolle des Anfängers über das Pferd. Die Vorinstanz hat bundesrechtskonform erkannt, dass die Beklagte unberechenbare Reaktionen und insbesondere Ausreissversuche des Pferdes hätte verhindern können, wenn sie das Pferd am Zügel geführt hätte. Mit dieser Massnahme hätte die Beklagte das richtige Mass zwischen Bewegungsfreiheit der Reiterin im Rahmen einer Anfänger-Lektion und ihrer Kontrolle über das Pferd gewährleisten können, ohne massgebliche Nachteile in Kauf nehmen zu müssen. Die Vorsichtsmassnahme wäre der Beklagten umso eher zumutbar gewesen, als sie trotz des gutmütigen Charakters der Stute mit einer schreckhaften Reaktion des Pferdes und dessen Stalldrang rechnen musste, zumal sie wusste, dass das Fohlen im nahegelegenen Stall untergebracht war. Die Vorinstanz hat keine Bundesrechtsnormen verletzt, wenn sie erkannte, dass die Beklagte die nach den Umständen gebotene Sorgfalt unbeachtet liess, indem sie die Zügel losliess und damit die Klägerin einer erhöhten Unfallgefahr aussetzte.
4.-Die Berufung ist als unbegründet abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beklagte kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern (I. Kammer) vom 14. Mai 2001 bestätigt.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beklagten auferlegt.
3.- Die Beklagte hat die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern (I. Kammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 8. Oktober 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: