A.- Der 1958 geborene S._ war ab 1. Februar 1993 bei der Firma M._ AG angestellt und bei der "Elvia" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Am 14. Februar 1996 war er als Lenker eines Personenwagens von einer Auffahrkollision betroffen. Dr. med. H._, Allgemeine Medizin FMH, den der Versicherte erstmals am 16. Februar 1996 konsultiert hatte, diagnostizierte in Berichten vom 8. und 21. März 1996 ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS). Die Elvia holte weitere Auskünfte des Dr. med. H._ vom 10. Juni und 29. August 1996, des Zentrums Y._ vom 27. März 1996 sowie der Medizinischen Klinik des Spitals X._ vom 23. August 1996 ein. Nachdem Dr. med. H._ in einem Schreiben vom 7. Oktober 1996 eine vertrauensärztliche Untersuchung angeregt hatte, gab die Elvia bei Dr. med. B._, Chirurgie FMH, ein Gutachten in Auftrag, welches am 5. Dezember 1996 erstattet wurde. Anschliessend stellte sie - wie bereits in einem Schreiben vom 19. September 1996 angekündigt - mit Verfügung vom 8. April 1997 ihre Leistungen per 31. Juli 1996 ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 7. August 1997 fest. Auf Beschwerde hin hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern den Einspracheentscheid auf mit der Begründung, im Zusammenhang mit der Erstellung und Verwertung des Gutachtens des Dr. med. B._ seien die Gehörs- und Mitwirkungsrechte des Versicherten verletzt worden (Entscheid vom 12. März 1998).
Die Elvia holte - nachdem der Versicherte eine Stellungnahme der Rehaklinik vom 6. März 1998 hatte einreichen lassen - bei Dr. med. S._, Neurologie FMH, ein Gutachten ein, welches am 9. Juni 1999 erstattet wurde. Der Gutachter hatte seinerseits einen Bericht der Klinik X._, vom 10. November 1998 (Magnetresonanztomographie der LWS) und ein Gutachten des Neuropsychologischen Instituts Z._ vom 12. Januar 1999 beigezogen. In der Folge einigten sich die Parteien vergleichsweise auf eine Integritätsentschädigung auf Grund einer Integritätseinbusse von 15 %.
Am 22. September 1999 liess der Versicherte - unter Beilage eines Zeugnisses des Dr. med. E._, Allgemeine Medizin FMH, vom 11. September 1999 - einen Rückfall melden und die Zusprechung weiterer Leistungen beantragen. Die Elvia lehnte das Gesuch mit Verfügung vom 18. Januar 2000 ab, weil der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen sei. Diesen Standpunkt bestätigte sie mit Einspracheentscheid vom 5. April 2000.
B.- Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Elvia zurückwies, damit diese über ihre gesetzliche Leistungspflicht neu verfüge (Entscheid vom 13. September 2001). Im Verlauf des Verfahrens hatte der Versicherte unter anderem Stellungnahmen des PD Dr. med. W._, Augenarzt FMH vom 14. Mai 2000 und des Dr. med. M._, Otorhinolaryngologie, Hals- und Gesichtschirurgie FMH, vom 24. August 2000 einreichen lassen. Das kantonale Gericht hatte seinerseits einen Bericht des Dr. med. E._ vom 27. Juli 2001 (Krankengeschichte, mit Beilagen) eingeholt.
C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Elvia die Aufhebung des kantonalen Entscheids.
S._ lässt das Rechtsbegehren stellen, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Das kantonale Gericht hat die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang (<ref-ruling> Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Entsprechendes gilt für die von der Judikatur entwickelten Grundsätze zum Erfordernis des adäquaten Kausalzusammenhanges im Allgemeinen (<ref-ruling> Erw. 5a mit Hinweisen) sowie insbesondere bei den Folgen eines Unfalles mit Schleudertrauma der HWS oder äquivalenten Verletzungen ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle (<ref-ruling> ff.), mit Einschluss als leicht zu qualifizierender Unfallereignisse (RKUV 1998 Nr. U 297 S. 243 ff.). Darauf wird verwiesen.
2.- Auf Grund der medizinischen Akten ist erstellt, dass der Versicherte anlässlich des Unfalls vom 14. Februar 1996 ein HWS-Distorsionstrauma und damit eine einem Schleudertrauma der HWS äquivalente Verletzung (vgl. SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 Erw. 2) erlitten hat. Zudem ist hinreichend dokumentiert und unbestritten, dass in der Folge eine Reihe der zum typischen Beschwerdebild eines solchen gehörenden Symptome aufgetreten ist, die in einem natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfallereignis stehen.
3.- Streitig ist die Adäquanz des Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis vom 14. Februar 1996 und den vom Versicherten geklagten Beschwerden und im Rahmen dieser Prüfung die Qualifikation des Unfallereignisses.
a) Die Vorinstanz nahm einen Unfall im mittleren Bereich an. Sie bejahte aber den adäquaten Kausalzusammenhang selbst bei Annahme eines leichten Unfalls, weil die massgebenden unfallbezogenen Kriterien in gehäufter Weise erfüllt seien. Die Beschwerdeführerin geht demgegenüber von einem leichten Unfall aus und verneint für den Fall, dass die unfallbezogenen Kriterien trotzdem beigezogen werden müssten, deren Vorliegen in erforderlichem Masse.
b) aa) Gemäss der Darstellung in der Vernehmlassung des Versicherten zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde verlief der Unfall vom 14. Februar 1996 wie folgt: Der Beschwerdegegner musste sein Fahrzeug vor einem Rotlichtsignal anhalten. Er stieg aus dem Wagen, um ein Laubblatt zu entfernen, welches sich unter dem Scheibenwischerblatt verklemmt hatte. Anschliessend stieg er zurück in sein Auto, gurtete sich an und stellte die Füsse auf Bremse und Kupplung. In diesem Moment wurde das Fahrzeug von hinten von einem anderen Personenwagen gerammt. Der Beschwerdegegner hatte dabei den Kopf leicht nach vorne geneigt, da er seine Aufmerksamkeit immer noch dem verschmutzten Scheibenwischer widmete.
bb) Für die Qualifikation eines Unfalls als schwer, mittelschwer oder leicht ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen (<ref-ruling> Erw. 6a). Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat Auffahrkollisionen vor einem Fussgängerstreifen oder einem Lichtsignal regelmässig als mittelschwer im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingestuft (nicht veröffentlichte Urteile E. vom 21. Juni 1999, U 128/98, K. vom 20. März 1998, U 262/97 und D. vom 6. Juni 1997, U 187/95). Entgegen der Auffassung der Vorinstanz ist das Ereignis vom 14. Februar 1996 entweder ebenso zu beurteilen oder - angesichts des durch die Beschwerdeführerin eingeholten interdisziplinären Gutachtens des Ingenieurbüros I._, in welchem eine kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung (Delta-v) von lediglich 3 bis 6 km/h angegeben wird - sogar den leichten Unfällen zuzuordnen. Dies kann letztlich offen bleiben, da die Adäquanzfrage - als Ausnahme von der Regel - auch bei leichten Unfällen zu prüfen ist, wenn ein als leicht zu qualifizierender Unfall unmittelbare Folgen zeitigt, die sich nicht offensichtlich als unfallunabhängig erweisen (RKUV 1998 Nr. U 297 S. 243 ff.). Diese Voraussetzung ist vorliegend erfüllt, wie die Vorinstanz mit zutreffender Begründung dargelegt hat. Die Adäquanz des Kausalzusammenhangs ist daher nach den Kriterien zu prüfen, wie sie für dem mittleren Bereich (im Grenzbereich zu den leichten) zuzuordnende Unfälle gelten. Sie ist zu bejahen, falls ein einzelnes der unfallbezogenen Kriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzung; ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung; Dauerbeschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erheblicher Grad und lange Dauer der Arbeitsunfähigkeit) in besonders ausgeprägter Weise gegeben ist oder die zu berücksichtigenden Kriterien insgesamt in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sind (<ref-ruling> f.).
c) aa) Der Unfall vom 14. Februar 1996 ereignete sich weder unter besonders dramatischen Begleitumständen noch war er von besonderer Eindrücklichkeit.
bb) Dr. med. H._ konnte die Behandlung grundsätzlich bereits per 29. März 1996 abschliessen. Anschliessend veranlasste er die Durchführung einer Physiotherapie sowie eine Untersuchung auf der Neurologischen Station des Spitals X._ vom 13. August 1996 und schliesslich die vertrauensärztliche Untersuchung durch Dr. med. B._. Der durch die Vorinstanz bei Dr. med. E._ eingeholten Krankengeschichte vom 27. Juli 2001 sowie den entsprechenden Beilagen ist zu entnehmen, dass die erste Konsultation bei diesem Arzt am 31. Oktober 1997 stattfand. In der Folge wurden bis zum Einspracheentscheid vom 5. April 2000, welcher die zeitliche Grenze der gerichtlichen Überprüfung festlegt (<ref-ruling> Erw. 1a), eine Reihe von Berichten eingeholt und Untersuchungen veranlasst. Daneben wurde die Physiotherapie weitergeführt. Von einer ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung kann bei dieser Sachlage nicht gesprochen werden. Insbesondere kommt weder den verschiedenen Abklärungsmassnahmen noch den sporadischen Konsultationen des Hausarztes die Qualität einer regelmässigen, zielgerichteten Behandlung zu.
cc) Es bestehen keinerlei Anzeichen für eine ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen verschlimmert hätte. Auch von einem schwierigen Heilungsverlauf und erheblichen Komplikationen kann nicht gesprochen werden.
dd) Das Vorliegen rezidivierender Kopfschmerzen, welche seit dem Unfall regelmässig auftraten, ist hinreichend dokumentiert (Zwischenbericht des Dr. med. H._ vom 21. März 1996; Gutachten des Dr. med. S._ vom 9. Juni 1999). Das Kriterium der Dauerbeschwerden ist daher erfüllt.
ee) im Bezug auf das Kriterium der besonderen Art der erlittenen Verletzung führt die Beschwerdeführerin unter Berufung auf das Urteil D. vom 16. August 2001 (U 21/01) aus, eine HWS-Distorsion, durch welche das typische Beschwerdebild hervorgerufen werde, gelte nicht a Prior und ohne weiteres als Verletzung besonderer Art. Diese Aussage ist in dem Sinne zu präzisieren, dass sich die Frage, ob eine Verletzung besonderer Art vorliegt, nicht allgemein beantworten lässt, sondern im Einzelfall zu prüfen ist. Von der Rechtsprechung bejaht wurde sie bei einer Häufung verschiedener, für ein HWS-Schleudertrauma oder eine einem solchen äquivalente Verletzung typischer Beschwerden mit schwerwiegenden Auswirkungen. Dass der Beschwerdegegner an einer Reihe der zum typischen Beschwerdebild zählenden Symptome leidet, ist erstellt. Da diese durchaus schwerwiegende Auswirkungen zeitigten, ist das Kriterium der besonderen Art der Verletzung erfüllt, obwohl auf Grund der Akten nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad feststeht, dass der Beschwerdegegner die behauptete vorgezeigte Körperhaltung eingenommen hätte.
ff) Der Beschwerdegegner war nach dem Unfall zunächst zu 100 % arbeitsunfähig, nahm die Arbeit jedoch bereits nach kurzer Zeit wieder auf. Anschliessend arbeitete er bis November 1999 ununterbrochen mit einem vollen Pensum. Von ärztlicher Seite wurde ihm für die Zeit ab 1. Juni 1999 eine teilweise Arbeitsunfähigkeit (25 %) attestiert (Unfallschein UVG mit Eintragungen des Dr. med. E._ vom 17. Mai bis 17. Oktober 2001; vgl. Gutachten des Dr. med. S._ vom 9. Juni 1999). Die mit der Vernehmlassung zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingereichte Bestätigung der Arbeitgeberin vom 23. November 2001 enthält dieselbe Aussage. Dass die Arbeitsunfähigkeit bereits zu einem früheren Zeitpunkt im erforderlichen Ausmass reduziert gewesen wäre, ist auf Grund der Akten nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad nachgewiesen. Wie die Beschwerdeführerin zu Recht ausführt, kann unter diesen Umständen das Kriterium des erheblichen Grades und der langen Dauer der Arbeitsunfähigkeit nicht als erfüllt angesehen werden, ist doch gerade die Leistungspflicht für die ab Juni 1999 bescheinigte teilweise Arbeitsunfähigkeit streitig.
gg) Da nur zwei und damit nicht mehrere der unfallbezogenen Kriterien erfüllt sind, kommt dem Unfallereignis vom 14. Februar 1996 keine rechtlich massgebende Bedeutung für die ab Mai 1999 bestehenden Beschwerden und die damit verbundene Arbeitsunfähigkeit zu, weshalb der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen ist.
4.- Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Der obsiegenden Beschwerdeführerin steht keine Parteientschädigung zu (Art. 159 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 135 OG; <ref-ruling> Erw. 10 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird
der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons
Luzern vom 13. September 2001 aufgehoben.
II. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
IV. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht
des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche
Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherung
zugestellt.
Luzern, 8. April 2002
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der IV. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: