Sachverhalt:
A.
X._ ist der Vater der Kinder Y._ (geb. 1989) und Z._ (geb. 1992). Seit der Trennung der Eltern wohnen beide Kinder bei ihrer Mutter. Am 18. Dezember 2003 wurde die Ehe der Eltern geschieden. Die damals noch minderjährigen Kinder Y._ und Z._ wurden unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt und X._ wurde verpflichtet, an deren Unterhalt bis zum 18. Altersjahr abgestufte und indexierte Unterhaltsbeiträge zu bezahlen. X._ ist seit 9. April 2004 wieder verheiratet. Ende Sommer 2005 gab er seine Erwerbstätigkeit auf.
B.
B.a. Am 25. April 2011 klagten die nunmehr volljährigen Kinder Y._ und Z._ beim Kantonsgericht von Appenzell Ausserrhoden gegen X._ auf Zahlung von Unterhalt. Mit Urteil vom 14. März 2012 gab die angerufene Instanz der Klage statt.
B.b. In teilweiser Gutheissung seiner Berufung verpflichtete der Einzelrichter des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden mit Entscheid vom 8. Juli 2013 X._ dazu, an den Unterhalt von Z._ monatlich und monatlich im Voraus bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Erstausbildung vom 1. März 2010 bis 12. August 2012 Fr. 700.-- (vom 13. August 2012 bis 30. August 2013 Fr. 0.--) und ab 1. September 2013 Fr. 700.-- zu bezahlen (1). Im weiteren verpflichtete das Gericht X._ in teilweiser Gutheissung der Berufung, an den Unterhalt von Y._ monatlich und monatlich im Voraus bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Erstausbildung vom 5. Januar 2010 bis 31. Dezember 2011 Fr. 600.--, vom 1. Januar 2012 bis 31. Januar 2013 Fr. 350.-- und ab dem 1. Januar 2013 (recte wohl 1. Februar 2013) Fr. 450.-- zu bezahlen (2). Sodann regelte der Einzelrichter die Indexierung der Beiträge (3), bestätigte die erstinstanzliche Verlegung der Kosten und der Parteientschädigung (4) und auferlegte die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 2'000.-- X._ unter Anrechnung des geleisteten Kostenvorschusses von Fr. 1'500.-- (5).
C.
X._ (Beschwerdeführer) hat am 6. September 2013 (Postaufgabe) gegen den vorgenannten Entscheid beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Er beantragt, die Ziffern 1 bis und mit 5 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid (Festlegung der Übergangsfrist) an die Vorinstanz zurückzuweisen. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 3. Oktober 2013 wurde dem Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung nach Anhörung der Betroffenen teilweise entsprochen und der Beschwerde für die bis und mit September 2013 (Monat der Beschwerdeeinreichung) geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts in seiner Eigenschaft als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-law>) über die Festsetzung des Kindesunterhalts über die Volljährigkeit hinaus (<ref-law>). Dabei handelt es sich um eine Zivilsache im Sinn von <ref-law> vermögensrechtlicher Natur, deren Streitwert den Betrag von Fr. 30'000.-- übersteigt (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_808/2012 vom 29. August 2013 E. 1). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
1.2.
1.2.1. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls auf sie nicht eingetreten wird. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Dazu ist in der Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids konkret einzugehen und im Einzelnen aufzuzeigen, worin eine Rechtsverletzung besteht (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
1.2.2. Das Bundesgericht ist an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, er sei offensichtlich unrichtig d.h. willkürlich festgestellt worden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398), oder beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>). In der Beschwerde muss zudem aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 255). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Soweit die Ausführungen den vorgenannten Begründungsanforderungen nicht entsprechen, ist darauf nicht einzutreten. Dies trifft insbesondere auf die Ausführungen unter dem Titel II. Materielle Vorbemerkungen zu.
2.
2.1. Mangels anderer Anordnung des Scheidungsgerichts (<ref-law>) dauert die Unterhaltspflicht der Eltern bis zur Volljährigkeit des Kindes (<ref-law>). Hat es dann noch keine angemessene Ausbildung, so haben die Eltern, soweit es ihnen nach den gesamten Umständen zugemutet werden darf, für seinen Unterhalt aufzukommen, bis eine entsprechende Ausbildung ordentlicherweise abgeschlossen werden kann (<ref-law>). Unter dem Gesichtspunkt der Zumutbarkeit sind einerseits die wirtschaftlichen Verhältnisse der Eltern (und des Kindes), und andererseits die persönliche Beziehung zwischen ihnen und ihrem Kind zu beachten (BGE 129III 375 E. 3).
2.2. Bei der Beurteilung der Frage, ob es den Eltern nach den gesamten Umständen zugemutet werden darf, für den Unterhalt des mündigen Kindes aufzukommen, steht dem Sachgericht ein weites Ermessen zu (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2a S. 411). Das Bundesgericht übt bei der Überprüfung solcher Entscheide Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen. Ausserdem greift das Bundesgericht in Ermessensentscheide ein, falls sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 305; <ref-ruling> E. 1 S. 99).
3.
3.1. Die Vorinstanz ist mit einer doppelten Begründung davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer finanziell leistungsfähig sei: So sei von vornherein nicht erstellt, dass der Beschwerdeführer seine Erwerbstätigkeit überhaupt jemals aufgegeben habe. Zum Einen werde er in einem Artikel des Blick als Reiseleiter aufgeführt. Zum Anderen sei der Beschwerdeführer in mehreren Firmen mit einem Gesamtaktienkapital von rund 1.1 Mio. Franken als Mitglied des Verwaltungsrates mit Einzelunterschrift eingetragen. Er könne sich daher ohne Weiteres gegen Entgelt bei diesen Firmen anstellen lassen, soweit dies nicht bereits geschehen sei; zumindest könne er eine Entschädigung für seine Tätigkeit als Verwaltungsratsmitglied in Anspruch nehmen, was angesichts des offensichtlich guten Geschäftsganges der erwähnten Firmen ein erhebliches Einkommen generieren könnte. Betrachte man die Zahlen genauer, so stelle sich die Frage, ob er nicht einfach inoffiziell bei den genannten Firmen arbeite, den Lohn aber indirekt über seine Ehefrau beziehe, um der Unterhaltspflicht gegenüber seinen Kindern nicht nachzukommen. Schliesslich könne sich der Beschwerdeführer auch für seine Tätigkeit als Hausmann durch seine vermögende Ehefrau entschädigen lassen und im Umfang einem Nebenerwerb nachgehen, der ihm die Zahlung der Unterhaltsbeiträge ermögliche. So oder anders könne der Beschwerdeführer als Lehrer Fr. 7'200.-- pro Monat verdienen, zumal in der Schweiz ein Mangel an männlichen Lehrpersonen herrsche. Ausserdem sei er mit seiner Ausbildung in der Lage, selbständige und qualifizierte Arbeiten auszuführen, womit er gemäss Lohnstrukturerhebungen im Sektor Dienstleistungen einen Bruttolohn von Fr. 8'753.-- erzielen könne. Aus diesen Gründen sei (auch) von einem hypothetischen Einkommen von Fr. 7'200.-- pro Monat auszugehen.
3.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, er habe 2008 seine Stelle als Lehrer aus gesundheitlichen Gründen aufgegeben und gehe seither keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Dieser Schritt stehe nicht im Zusammenhang mit der Unterhaltspflicht und sei auch nicht aus bösem Willen bzw. in der Absicht geschehen, sich der Unterhaltspflicht zu entledigen. Das mündige Kind habe zu akzeptieren, dass ein Elternteil, der dem Grundsatz nach in die Pflicht genommen werden könne, keiner Erwerbstätigkeit (mehr) nachgeht. Es gehe daher nicht an, ihm ein hypothetisches Einkommen anzurechnen. Er wirft dem Obergericht zudem vor, es sei auf den hier vorgetragenen, bereits vor Obergericht erhobenen Einwand nicht eingegangen und habe damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt (<ref-law>).
3.3. Die Vorinstanz hat im konkreten Fall zum einen die Unterhaltspflicht für unmündige Kinder ausdrücklich bejaht und zum andern darauf hingewiesen, bei der Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen könne statt vom tatsächlichen Einkommen, das Bemessungsgrundlage der Beitragspflicht bilde, abgewichen und statt dessen ein hypothetisches Einkommen angenommen werden. Mit diesen Ausführungen hat sie den Einwand des Beschwerdeführers, er könne nicht zur Wiederaufnahme einer Erwerbstätigkeit angehalten werden, zumindest implizit verworfen. Im Übrigen hat die Vorinstanz ausdrücklich begründet, dass ihm die Wiederaufnahme einer Erwerbstätigkeit angesichts der konkreten Umstände zuzumuten sei, soweit er sie überhaupt je aufgegeben habe (E. 3.1). Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich klar, von welchen Grundsätzen die Vorinstanz sich hat leiten lassen. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist nicht ersichtlich (zum Begriff des rechtlichen Gehörs: BGE vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540; <ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2b S. 102 f.; je mit Hinweisen).
3.4. Im vorliegenden Fall gilt es nicht aus den Augen zu verlieren, dass das Scheidungsgericht den Unterhalt für die Kinder entgegen der ihm durch <ref-law> eingeräumten Möglichkeit nicht über ihre Volljährigkeit hinaus festgesetzt hat. Anders als der Beschwerdeführer zu verstehen scheint, haben volljährige Kinder bei Vorliegen der Voraussetzungen von <ref-law> grundsätzlich Anspruch auf Unterhaltsleistungen der Eltern, solange sie noch keine angemessene (Erst-) Ausbildung haben. Die Eltern stehen diesbezüglich in der Pflicht. Sie sind nicht völlig frei, ihr Leben zu gestalten. Vielmehr müssen sie sich grundsätzlich derart einrichten, dass sie ihren finanziellen Verpflichtungen nachzukommen vermögen. Der Beschwerdeführer macht nicht substanziiert geltend, die Leistung von Unterhalt über die Mündigkeit hinaus sei ihm nicht zumutbar und bestreitet auch nicht substanziiert, das von den kantonalen Instanzen angenommene Einkommen erzielen zu können.
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Kinder hätten es an ernsthaften Bemühungen eines persönlichen Kontaktes zu ihrem Vater fehlen lassen; auch deshalb sei eine Unterhaltspflicht nicht zumutbar.
4.1. Bricht das Kind die persönlichen Beziehungen zu seinen Eltern bewusst ab oder entzieht es sich dem Kontakt, kann sich die Zahlung von Volljährigenunterhalt als unzumutbar im Sinne von <ref-law> erweisen, selbst wenn die Eltern dazu wirtschaftlich in der Lage wären. Vorausgesetzt ist allerdings, dass das volljährige Kind schuldhaft seinen Pflichten der Familie gegenüber nicht nachkommt, dass es mithin ohne Grund aus eigenem Willen die persönlichen Beziehungen zu den Eltern abbricht oder sich grundlos dem persönlichen Verkehr mit ihnen entzieht. Das Kind muss die Verantwortung dafür tragen, dass das Eltern-Kind-Verhältnis erheblich gestört oder gar zerstört ist, und diese Verantwortung muss ihm subjektiv zum Vorwurf gereichen (<ref-ruling> E. 3c S. 179 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 376 f.; Urteile 5A_563/2008 vom 4. Dezember 2008 E. 5.1, in: FamPra.ch 2009 S. 520; 5C.231/2005 vom 27. Januar 2006 E. 2, auszugsweise in: FamPra.ch 2006 S. 488). Hat es mit seinem Verhalten zwar dazu beigetragen, dass zwischen ihm und seinem Vater bzw. seiner Mutter nie eine Beziehung aufgebaut werden konnte, ohne aber allein dafür verantwortlich zu sein, erweist sich die Leistung des Volljährigenunterhalts als zumutbar (Urteil 5A_503/2012 vom 4. Dezember 2012 E. 3 u. 4, in: Fampra.ch 2/2013 S. 525).
4.2. Aus den kantonalen Akten kann folgender Sachverhalt als erstellt gelten (<ref-law>) : Nach der Trennung der Eltern im Jahre 1996 hatten Vater und Kinder noch regelmässigen Kontakt und pflegten eine gute Beziehung miteinander. 1999 trübten sich die Verhältnisse, bis es zum Abbruch jeglicher Kontakte kam. In zwei Schreiben vom 2. Dezember 1999 und 29. Februar 2000 wies der Beschwerdeführer seine - damals acht- bzw. zehnjährigen - Kinder auf seine neue Lebenssituation hin und verbot ihnen Besuche bei ihm; auch Tagesunterbrüche mit ihnen würden die feine Beziehung zu seiner jetzigen (zweiten) Ehefrau stören. Später haben die Beschwerdegegner an einer Mediation teilgenommen und den Kontakt zu ihrem Vater gesucht. In einem Schreiben vom 1. August 2008 teilte der Beschwerdeführer seiner Tochter Y._ mit, er habe alles geschrieben, was es zu sagen gebe, und er sehe keinen Grund, sich mit ihr zu treffen. Noch im Oktober 2010 schlug der Anwalt des Beschwerdeführers eine von den Beschwerdegegnern vorgeschlagene Mediation aus.
Soweit der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde von anderen tatsächlichen Gegebenheiten ausgeht, ohne allerdings Willkür in der Sachverhaltsfeststellung bzw. eine Verletzung des rechtlichen Gehörs zu rügen, ist darauf nicht einzutreten.
Bleibt es mithin beim soeben dargestellten Sachverhalt, hält die Schlussfolgerung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe den Kontaktabbruch allein zu verantworten, weshalb sich der Volljährigenunterhalt im Lichte des Erfordernisses einer bemühten persönlichen Beziehung als zumutbar erweise, vor Bundesrecht stand.
5.
Der Einzelrichter des Obergerichts hat dem Beschwerdeführer keine Übergangs- bzw. Anpassungsfrist eingeräumt, um sich den neuen Gegebenheiten anzupassen, sondern hat die gesprochenen Unterhaltsbeiträge rückwirkend ab 1. März 2010 (Beschwerdegegner) bzw. ab 5. Januar 2010 (Beschwerdegegnerin) festgesetzt. Der Beschwerdeführer erblickt darin eine Bundesrechtsverletzung, zumal für das Vorgehen des Einzelrichters keine schützenswerten Gründe bestünden.
5.1. Bejaht das Gericht die Pflicht zur Aufnahme oder Ausweitung der Erwerbstätigkeit und wird von der betreffenden Partei durch die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens eine Umstellung der Lebensverhältnisse verlangt, ist der verpflichteten Partei hinreichend Zeit zu lassen, die rechtlichen Vorgaben in die Tat umzusetzen, und ihr eine angemessene Übergangsfrist einzuräumen. Die Dauer der Übergangsfrist bestimmt sich nach den konkreten Umständen des Einzelfalles (<ref-ruling> E. 2.2 S. 421; <ref-ruling> E. 5 S. 17). Ein von dieser Regel abweichender Entscheid braucht indes nicht zwangsläufig bundesrechtswidrig zu sein. Massgebend sind die Umstände des konkreten Einzelfalles. Von Bedeutung ist etwa, ob die geforderte Umstellung für die betroffene Person voraussehbar war (vgl. Urteil 5P.388/2003 vom 7. Januar 2004 E. 1.2, abgedruckt in: Pra 2004 Nr. 96 S. 556 und FamPra.ch 2004 S. 409; 5P.469/2006 vom 4. Juli 2007 E. 3.2.4, in FamPra.ch 2008 S. 373).
5.2. Nach den Ausführungen im angefochtenen Entscheid wurde die erste Ehe des Beschwerdeführers am 18. Dezember 2003 geschieden und der Beschwerdeführer verpflichtet, an den Unterhalt der Beschwerdegegner monatliche Unterhaltsbeiträge bis zu deren 18. Altersjahr zu bezahlen. Auch wenn die Unterhaltsbeiträge vom Scheidungsrichter nicht über die Mündigkeit hinaus festgesetzt worden sind, musste der Beschwerdeführer laut den Feststellungen des angefochtenen Entscheids damit rechnen, dass die Kinder aufgrund der Schulausbildung (Kantonsschule) und der Lebensplanung ein Studium in Angriff nehmen werden. Es war für ihn somit ohne Weiteres voraussehbar, dass er zu Unterhaltszahlungen über die Volljährigkeit hinaus angehalten werden könnte. Angesichts dieser evidenten Sachlage erübrigte sich eine Anpassungs- und Übergangsfrist. Eine Bundesrechtsverletzung liegt nicht vor.
6.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat die Gegenpartei jedoch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu entschädigen, da seinem Gesuch um aufschiebende Wirkung teilweise entsprochen und im Übrigen in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden