Sachverhalt:
A. Mit Einspracheentscheid vom 19. Dezember 2008 sprach die IV-Stelle des Kantons Thurgau dem 1953 geborenen L._ für die Zeit vom 1. Juni bis 31. Oktober 2007 eine ganze Invalidenrente zu. Mit Entscheid vom 29. April 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht die hiegegen erhobene Beschwerde nach Durchführung einer mündlichen öffentlichen Verhandlung ab. Mit Urteil 9C_511/2009 vom 30. November 2009 hob das Bundesgericht, II. sozialrechtliche Abteilung, Gerichtsentscheid und Einspracheentscheid auf. Es stellte fest, dass L._ ab 1. Dezember 2001 bis 31. Mai 2007 Anspruch auf eine Viertelsrente und für die Monate Juni bis Oktober 2007 Anspruch auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung habe; für die Zeit danach werde die IV-Stelle nach ergänzenden Abklärungen im Sinne der Erwägungen neu verfügen (Dispositiv-Ziffer 1). Das kantonale Versicherungsgericht wurde angewiesen, die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen (Dispositiv-Ziffer 4).
B. Mit Entscheid vom 23. Dezember 2009 verpflichtete das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht die IV-Stelle, eine Verfahrensgebühr von Fr. 900.- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 1) und den Versicherten für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren mit Fr. 2'529.30 (inkl. Reisespesen) zuzüglich MWSt zu entschädigen (Dispositiv-Ziffer 2).
C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, Ziffer 2 des Entscheids vom 23. Dezember 2009 sei aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihn für das kantonale Beschwerdeverfahren mit Fr. 6'130.65 (Fr. 5'704.70 zuzüglich MWSt von 7,6 % auf Fr. 5'604.70) zu entschädigen, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.
Das kantonale Versicherungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die angefochtene Dispositiv-Ziffer2 des vorinstanzlichen Entscheids setzt die Parteientschädigung für das Verfahren VV.2009.452/E vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht fest, in welchem der Beschwerdeführer auf Grund des Urteils 9C_511/2009 vom 30. November 2009 als obsiegende Partei gilt. Es handelt sich um einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG.
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht sowie von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a und c BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an. Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 1 und 2 BGG). Heisst das Bundesgericht die Beschwerde gut, so entscheidet es in der Sache selbst oder weist diese zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurück (Art. 107 Abs. 2 erster Satz BGG).
3.1 3.1.1 Gemäss Art. 61 lit. g ATSG hat die obsiegende Beschwerde führende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten; diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen. Der (tatsächliche und notwendige) zeitliche Aufwand der Rechtsvertretung wird zwar nicht ausdrücklich als Bemessungskriterium aufgeführt, ist aber ebenfalls zu berücksichtigen, soweit er, was regelmässig der Fall ist, von der Schwierigkeit des Prozesses mitbestimmt wird (Urteil 9C_791/2007 vom 22. Januar 2008 E. 3.2 und 3.3 mit Hinweisen).
3.1.2 Im Übrigen ist die Bemessung der Parteientschädigung für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren in Sozialversicherungsangelegenheiten dem kantonalen Recht überlassen (Art. 61 Ingress ATSG). Vorliegend massgebend ist die bis Ende September 2009 in Kraft gestandene Verordnung des Verwaltungsgerichtes vom 14. August 1991 über den Anwaltstarif für Streitigkeiten vor dem Verwaltungsgericht (ATVG; Thurgauer Rechtsbuch Nr. 176.6). Gemäss § 2 ATVG beträgt die Grundgebühr in Beschwerdeverfahren 800 bis 6000 Franken. Innerhalb dieses Rahmens bemisst sich die Gebühr nach dem Zeitaufwand, der Bedeutung und der Schwierigkeit der Sache sowie nach dem Streitwert, soweit dieser bestimmbar ist (Abs. 1). Stehen Aufwand oder Interesse der Parteien in einem erheblichen Missverhältnis zur Grundgebühr einschliesslich allfälliger Zuschläge gemäss den §§ 3 und 4, können die Minimal- oder Maximalansätze unterschritten oder überschritten werden (Abs. 2). Nach § 4 ATVG können zur Grundgebühr in folgenden Fällen Zuschläge von je 10 bis 40 Prozent in Rechnung gestellt werden: a. für jede Verhandlung oder [...]; b. in Verfahren mit unverhältnismässig umfangreichen Akten oder bei besonderer Weitläufigkeit, ohne dass die Voraussetzungen von § 2 Absatz 2 gegeben sind (Abs. 1). Wird der Anwalt erst vor Verwaltungsgericht zugezogen, ist ein Zuschlag zur Grundgebühr bis zu einem Drittel zulässig (Abs. 2).
3.2 Das Bundesgericht prüft frei, ob die vorinstanzliche Festsetzung der Parteientschädigung den in Art. 61 lit. g ATSG statuierten bundesrechtlichen Anforderungen genügt. Soweit darüber hinaus kantonales Recht zum Zuge kommt, prüft es nur, ob die Höhe der Parteientschädigung vor dem Willkürverbot standhält. Dies gilt insbesondere mit Bezug auf den vom kantonalen Versicherungsgericht angewendeten Tarif (Urteil 9C_791/2007 vom 22. Januar 2008 E. 3.3). Eine Entschädigung ist dann willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 1.2 S. 177; SVR 2007 UV Nr. 33 S. 111, U 571/06, E. 5.2). Zudem muss nicht nur die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar sein (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148; <ref-ruling> E. 5.1 S. 17).
Das Bundesgericht hebt die Festsetzung eines Anwaltshonorars nur auf, wenn sie ausserhalb jedes vernünftigen Verhältnisses zu den mit Blick auf den konkreten Fall notwendigen anwaltlichen Bemühungen steht und in krasser Weise gegen das Gerechtigkeitsgefühl verstösst (SVR 2010 IV Nr. 27, 9C_688/2009, E. 3.1.3 mit Hinweisen).
4. 4.1 Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers reichte vor Vorinstanz seine Honorarnote für die Zeit vom 22. Dezember 2008 (Eröffnung des Einspracheentscheids) bis 8. April 2009 (mündliche öffentliche Verhandlung vor dem kantonalen Versicherungsgericht) in der Höhe von Fr. 6'130.65 ein. Der Betrag setzte sich zusammen aus dem Honorar (Fr. 5'322.50 [21.29 Stunden à Fr. 250.-]), den Barauslagen (Fr. 382.20 [Reisespesen: Fr. 69.30, Rechnung Arztbericht Dr. med. G._ vom 30. März 2009: Fr. 100.-, Unkostenpauschale (Tel., Porti, Kopien): Fr. 212.90 (= 4 % vom Honorar)]) und 7.6 % MWSt auf Fr. 5'604.70.
4.2 Die Vorinstanz hat die zu entschädigenden anwaltlichen Bemühungen auf pauschal Fr. 2'460.- (ohne MWSt) festgesetzt. Sie hat erwogen, in Vergleich mit ähnlichen Fällen sei von einem maximalen zeitlichen Aufwand für einen einfachen Schriftenwechsel (inkl. Korrespondenz sowie Besprechung des Entscheids) von sechs Stunden auszugehen, nachdem der Rechtsvertreter seinen Klienten seit März 2003 vertrete und somit mit dem Fall bestens vertraut gewesen sei. Hinzu kämen die 6,3 Stunden für die mündliche Verhandlung. Die Barauslagen von Fr. 212.90 seien nicht belegt und eine Unkostenpauschale sei gesetzlich nicht vorgesehen. Die Rechnung des Arztberichts vom 30. März 2009 könne schliesslich nicht der IV-Stelle belastet werden, weil er für die Entscheidfindung ein keiner Weise relevant gewesen sei.
4.3 Der Beschwerdeführer rügt, die vorinstanzliche Festsetzung der Parteientschädigung beruhe auf einer willkürlichen Anwendung der einschlägigen kantonalen Bestimmungen zur Bemessung der Parteientschädigung im Verfahren vor dem Versicherungsgericht. Ebenfalls habe die Vorinstanz der Schwierigkeit des Prozesses keine Rechnung getragen, was Art. 61 lit. g ATSG verletze.
4.3.1 Die Vorinstanz hat vom geltend gemachten zeitlichen Aufwand von 21,29 Stunden insgesamt 12,3 Stunden zum praxisgemässen Ansatz von Fr. 200.- als notwendig anerkannt. Der Zeitaufwand von 6,3 Stunden für die mündliche Verhandlung, welcher in der Grundgebühr nicht enthalten ist (vorne E. 3.1.2), und die damit zusammenhängenden Reisespesen Fr. 69.30 sind unbestritten. Die darüber hinaus von der Vorinstanz als notwendig anerkannten 6 Stunden entsprechen somit 40 %, unter Berücksichtigung des Stundenansatzes des Rechtsvertreters des Beschwerdeführers von Fr. 250.- gegenüber lediglich Fr. 200.- der Vorinstanz sogar weniger als 33 1/3 % des tatsächlichen Aufwandes von 14,99 Stunden. Die vom kantonalen Gericht vorgenommene Kürzung ist massiv, was allein zwar nicht schon Willkür bedeutet, jedoch einer näheren Begründung ruft (Urteil 9C_791/2007 vom 22. Januar 2008 E. 4.2).
4.3.2 Die Vorinstanz hat die Parteientschädigung nach der Schwierigkeit des Prozesses und der Bedeutung der Streitsache "in Vergleich mit ähnlichen Fällen" unter Berücksichtigung des seit 2003 bestehenden Vertretungsverhältnisses in dieser Sache bemessen (E. 4.2).
4.3.2.1
4.3.2.1.1 Es trifft zu, dass der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers seit März 2003 dessen Interessen wahrgenommen hatte und somit mit den Worten der Vorinstanz "mit dem Fall bestens vertraut war". Dies kann indessen nicht bedeuten, dass er praktisch in jedem beliebigen Zeitpunkt alle wesentlichen Akten gleichsam abrufbereit im Kopf hatte und darauf zugreifen konnte, zumal er als Rechtsanwalt noch zahlreiche andere Mandate zu betreuen hatte. Die (gewisse) Vertrautheit mit dem Fall entband sodann den Rechtsvertreter ebensowenig wie der Untersuchungsgrundsatz (Art. 61 lit. c ATSG) nicht davon, im Rahmen pflichtgemässer Mandatsausübung vor der Erhebung von Beschwerde die Akten sorgfältig zu studieren, was schon deshalb erforderlich war, um überhaupt beurteilen zu können, ob ein Weiterzug der Sache Aussicht auf Erfolg haben konnte (<ref-ruling> E. 5.1 in fine S. 168). Es kommt dazu, dass mit Blick auf die verengte Kognition in tatsächlicher Hinsicht und das Novenverbot im letztinstanzlichen Verfahren vor Bundesgericht (Art. 97 Abs. 1, 99 Abs. 1, 105 Abs. 1 und 2 BGG) vor dem kantonalen Versicherungsgericht alle wesentlichen Tatsachen behauptet und die notwendigen Beweise erbracht oder deren Abnahme beantragt werden mussten, wie in der Beschwerde zu Recht vorgebracht wird.
4.3.2.1.2 Der Beschwerdeführer weist sodann richtig darauf hin, dass laut § 4 Abs. 2 ATVG ein Zuschlag zur Grundgebühr bis zu einem Drittel zulässig ist, wenn der Anwalt erst vor Verwaltungsgericht zugezogen wird. Nach seiner Auffassung geht das Gesetz somit davon aus, dass im Regelfall die Beschwerde führende Partei bereits im nichtstreitigen Verwaltungsverfahren (durch denselben Anwalt) vertreten war. Die Vorinstanz hat dieser aufgrund des Verordnungswortlautes naheliegenden Betrachtungsweise in ihrer Vernehmlassung nicht widersprochen. Unbestritten fallen vor Einleitung des Verfahrens vor dem kantonalen Versicherungsgericht unternommene Bemühungen bei der Festsetzung der Parteientschädigung ausser Betracht (<ref-ruling> E. 4d S. 87; <ref-ruling> E. 3c S. 365; Urteil 9C_791/2007 vom 22. Januar 2008 E. 3.3 in fine).
Weder die Dauer des Vertretungsverhältnisses noch die (gewisse) Vertrautheit des Rechtsvertreters des Beschwerdeführers mit dem Fall können somit als durch die Grundgebühr abgegolten betrachtet und insoweit nicht als Grund für die Reduktion des tatsächlichen Aufwandes angeführt werden.
4.3.2.2
4.3.2.2.1 Das verbleibende "in Vergleich mit ähnlichen Fällen" stellt kein taugliches Bemessungskriterium dar, weil unklar ist, was unter ähnlichen Fällen zu verstehen ist. Ohne eine solche Umschreibung ist der konkrete Fall der einzige zu sich selber ähnliche Fall, was offensichtlich nicht weiter hilft. Davon ausgehend lässt sich jedenfalls nicht einigermassen nachvollziehbar begründen, weshalb der geltend gemachte zeitliche Aufwand nicht angemessen ist, resp. lässt sich jeder gewünschte zeitliche Aufwand begründen. Was unter ähnlichen im Sinne von grundsätzlich gleich zu entschädigenden Fällen zu verstehen ist, muss auch deshalb klar sein, weil das Gesetz einen Gebührenrahmen vorsieht, dessen Minimal- oder Maximalansätze bei einem erheblichen Missverhältnis zwischen Aufwand und Grundgebühr einschliesslich allfälliger Zuschläge u.a. von bis zu 40 Prozent in Verfahren mit unverhältnismässig umfangreichen Akten unter- oder überschritten werden können (§ 2 Abs. 2 und § 4 Abs. 1 lit. b ATVG; vorne E. 3.1.2). Es rechtfertigt sich, durchschnittlich aufwändige IV-Rentenfälle als Referenzgrösse zu nehmen (vgl. Urteil 9C_791/2007 vom 22. Januar 2008 E. 4.1.1).
4.3.2.2.2 Der konkret zu beurteilende Fall muss aufgrund der Komplexität der Fragestellung und auch des Umfangs des Dossiers als schwierig bezeichnet werden. Insbesondere sind die Akten umfangreich, wie der Beschwerdeführer richtig festhält, was bei der Länge des Verfahrens nicht weiter erstaunt. Nach der Neuanmeldung zum Leistungsbezug im April 2001 sprach die IV-Stelle dem Versicherten zunächst für die Zeit vom 1. Dezember 2001 bis 30. April 2003 eine halbe Härtefallrente und ab 1. Juni 2003 eine Viertelsrente, auf Einsprache hin für die Zeit ab 1. Dezember 2001 eine Viertelsrente und nach nochmaliger Einsprache für die Zeit vom 1. Juni bis 31. Oktober 2007 eine ganze Rente zu. Letztinstanzlich bejahte das Bundesgericht mit Urteil 9C_511/2009 vom 30. November 2009 für die Zeit vom 1. Dezember 2001 bis 31. Mai 2007 den Anspruch auf eine ganze Rente und bezeichnete die Sache für die Zeit danach nicht als spruchreif. Sodann kann nicht von einem einfachen Fall gesprochen werden. Es ging um gesundheitliche Beeinträchtigungen rheumatologischer und psychischer Natur, wobei sich in somatischer Hinsicht zwei sich widersprechende Gutachten gegenüberstanden. Bei der anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) sodann ging es um die häufig heikle und nicht leicht zu beantwortende Frage des invalidisierenden Charakters dieses Leidens (vgl. <ref-ruling> und spätere Urteile). Ebenfalls stellte die Beweiswürdigung hohe Anforderungen.
Insgesamt rechtfertigen die von der Vorinstanz angeführten Gründe somit keine Kürzung des vom Rechtsvertreter des Beschwerdeführers geltend gemachten zeitlichen Aufwandes.
4.3.3 Die vorinstanzlich zugesprochenen Fr. 2'460.- (ohne MWSt; vorne E. 4.2) entsprechen bei einem zeitlichen Aufwand von 21,29 Stunden einem Stundenansatz von Fr. 115.55, was willkürlich ist. Nach der Rechtsprechung kann die Parteientschädigung für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht willkürfrei innerhalb einer Bandbreite von Fr. 180.- bis Fr. 320.- in der Stunde festgelegt werden (<ref-ruling> E. 8 S. 213 ff.; <ref-ruling> E. 7 S. 159; Urteil 9C_331/2008 vom 4. September 2008 E. 3.3).
4.3.4 Die Vorinstanz hat es abgelehnt, eine Entschädigung unter dem Titel Barauslagen zuzusprechen unter anderem weil eine Unkostenpauschale (von 4 % des Honorars) nicht vorgesehen sei. In ihrer Vernehmlassung hat sie ihren Standpunkt näher begründet. Mit seinen Vorbringen vermag des Beschwerdeführer nicht darzutun, inwiefern die Vorinstanz damit in Willkür verfallen ist.
4.4 Bei einem zeitlichen Aufwand von 21,29 Stunden und einem als willkürfrei zulässigen Stundenansatz von Fr. 180.- ergibt sich unter Berücksichtigung der Reisespesen von Fr. 69.30 eine Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren von Fr. 3'901.50 zuzüglich MWSt von Fr. 296.50 (7,6 % von Fr. 3'901.50). Die Beschwerde ist teilweise begründet.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer grundsätzlich die Hälfte der Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann indessen entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Die IV-Stelle hat dem Beschwerdeführer nach Massgabe seines Obsiegens eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht vom 23. Dezember 2009 dahingehend abgeändert, dass die Parteientschädigung (inkl. MWSt) für das Verfahren VV.2009.452/E auf Fr. 4'198.- festgesetzt wird.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden den Parteien je hälftig auferlegt; der auf den Beschwerdeführer entfallende Anteil wird indes einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
3. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Rechtsanwalt Michael B. Graf, St. Gallen, für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- aus der Gerichtskasse entschädigt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 12. Mai 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Borella Fessler