Sachverhalt:
A. A._ (geboren am 6. Dezember 1912) trat am 12. Oktober 2004 in das Alters- und Pflegeheim X._ AG ein. Am 14. Oktober 2004 wurde sie auf dem Verbundsandsteinboden an der Südfassade des zum Heim gehörenden Hauses B._ tot aufgefunden. Die Abklärungen ergaben, dass A._, die im 3. (beziehungsweise gartenseitig 2.) Stockwerk des Hauses B._ untergebracht war, aus dem Fenster eines leerstehenden Doppelzimmers auf derselben Etage gestiegen und in der Folge ca. 6,2 Meter in die Tiefe gestürzt war.
Die Angehörigen von A._ erstatteten mit Eingabe vom 17. November 2004 gegen Unbekannt beziehungsweise zu ermittelnde Organe und Angestellte der X._ AG Strafanzeige wegen fahrlässiger Tötung.
B. Das Bezirksamt Steckborn stellte mit Verfügung vom 20. März 2006 die Strafuntersuchung ein. Die Einstellungsverfügung wurde am 23. März 2006 von der Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau genehmigt.
Mit Eingabe vom 17. April 2006 erhob die Tochter der Verstorbenen, C._, Beschwerde bei der Anklagekammer des Kantons Thurgau, worin sie sinngemäss die Aufhebung der Einstellungsverfügung verlangte.
Die Anklagekammer des Kantons Thurgau wies die Beschwerde am 31. Oktober 2006 ab. Der Beschwerdeentscheid wurde der Beschwerdeführerin am 4. Juni 2007 zugestellt.
C. C._ erhebt mit Eingabe vom 5. Juli 2007 beim Bundesgericht "Beschwerde/Nichtigkeitsbeschwerde/staatsrechtliche Beschwerde" mit den Rechtsbegehren, der Entscheid der Anklagekammer des Kantons Thurgau vom 31. Oktober 2006 respektive die Einstellungsverfügung des Bezirksamtes Steckborn vom 20. März 2006 betreffend fahrlässige Tötung seien aufzuheben und die Strafuntersuchung gegen Organe und Mitarbeiter der X._ AG weiterzuführen; eventuell seien Organe und Mitarbeiter der X._ AG wegen fahrlässiger Tötung zu verurteilen und zu bestrafen.
D. Die Anklagekammer des Kantons Thurgau beantragt, auf die staatsrechtliche Beschwerde sei nicht einzutreten und die Nichtigkeitsbeschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau beantragt unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid, die Beschwerden seien abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten sei.
Die X._ AG stellt in ihrer Vernehmlassung die Anträge, auf die Beschwerden sei nicht einzutreten, eventuell seien sie abzuweisen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der angefochtene Entscheid ist vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.110) am 1. Januar 2007 ergangen. Auf die dagegen erhobenen Rechtsmittel ist deshalb noch das bisherige Verfahrensrecht anwendbar (Art. 132 Abs. 1 BGG, e contrario), hier somit dasjenige der staatsrechtlichen Beschwerde (Art. 84 ff. OG) und der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde (Art. 268 ff. BStP).
2. 2.1 Der angefochtene Entscheid ist ein letztinstanzlicher kantonaler Einstellungsbeschluss. Dagegen ist nach dem hier massgebenden alten Verfahrensrecht sowohl die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte der Bürger (Art. 84 Abs. 1 lit. a, Art. 86 Abs. 1 OG), etwa wegen willkürlicher Beweiswürdigung (Art. 9 BV), als auch die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wegen Verletzung eidgenössischen Rechts (Art. 268 Ziff. 2, Art. 269 Abs. 1 BStP) zulässig. Die Beschwerdeführerin ist die Tochter der durch die angezeigte Straftat verletzten Person und daher unter anderem in Bezug auf die Geltendmachung von Verfahrensrechten dem Opfer gleichgestellt (Art. 2 Abs. 2 lit. b OHG). Sie ist deshalb unter den in den massgebenden Bestimmungen genannten Voraussetzungen, die vorliegend erfüllt sind, sowohl zur staatsrechtlichen Beschwerde als auch zur eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde legitimiert (Art. 8 Abs. 1 lit. c OHG, Art. 270 lit. e Ziff. 1 BStP).
2.2 Die Beschwerdeführerin ist im bundesgerichtlichen Verfahren, wie schon im kantonalen Beschwerdeverfahren, nicht mehr anwaltlich vertreten. Ihre Beschwerdeschrift ist indessen allem Anschein nach von einer Person abgefasst worden, die über Rechtskenntnisse verfügt. Die Beschwerdeführerin bezeichnet ihre Eingabe vom 5. Juli 2007 einleitend als "Beschwerde gg. Einstellungsverfügung des Bezirksamtes Steckborn" und in der Folge als "Beschwerde/Nichtigkeitsbeschwerde/staatsrechtliche Beschwerde". Sie erhebt Beschwerde "wegen Verletzung von Bundesrecht, Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes, unrichtiger bzw. willkürlicher Beweiswürdigung".
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist es zulässig, die staatsrechtliche Beschwerde und die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde in ein und derselben Eingabe zu erheben. Voraussetzung ist allerdings, dass aus der Eingabe die Begründung der Rechtsmittel ausreichend klar ersichtlich ist (siehe <ref-ruling> E. 2). Diese Voraussetzung ist vorliegend gerade noch knapp erfüllt.
2.3 Gemäss § 137 Abs. 1 StPO/TG ist die Untersuchung einzustellen, wenn zureichende Gründe für eine weitere Strafverfolgung fehlen. Die kantonalen Instanzen haben im vorliegenden Fall die Untersuchung eingestellt, weil das Verhalten der Mitarbeitenden des Heims nicht fahrlässig gewesen sei.
Die Untersuchungsbehörde soll nicht allzu rasch und gestützt auf eigene Bedenken zu einer Einstellung des Verfahrens schreiten. In Zweifelsfällen beweismässiger und vor allem rechtlicher Art soll Anklage erhoben werden (Niklaus Schmid, Strafprozessrecht, 4. Aufl. 2004, N 797; Robert Hauser/Erhard Schweri/Karl Hartmann, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl. 2005, § 58 N 9). Der Grundsatz "in dubio pro reo" gilt hier nicht (Urteil 1P.440/1996 vom 12. November 1996, E. 4b, in: Pra 1997 Nr. 59 S. 313). Die Beurteilung der Prozessaussichten steht im pflichtgemässen Ermessen der Untersuchungsbehörde. Im Zweifelsfall soll es dem Gericht überlassen bleiben, einen Entscheid zu fällen (Urteil 6S.464/2001 vom 25. September 2001, E. 2). Es geht nicht an, dass der Untersuchungsrichter bei Vorliegen eines gewissen, hinreichenden Verdachts das Verfahren einstellt, indem er in subtilen Erwägungen erkennt, dass es voraussichtlich nicht zu einer Verurteilung kommen würde (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 111). Die Untersuchung soll in solchen Fällen nur eingestellt werden, wenn ein Tatbestandsmerkmal, etwa die Fahrlässigkeit, klar nicht gegeben ist (siehe Thomas Zweidler, Die Praxis zur thurgauischen Strafprozessordnung, 2005, § 137 StPO N 4).
Daher hat das Bundesgericht im vorliegenden Verfahren nicht zu prüfen, ob sich Mitarbeiter des Heims der fahrlässigen Tötung schuldig gemacht haben. Zu prüfen ist allein, ob insoweit ein hinreichender Verdacht besteht. Gegebenenfalls ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit im kantonalen Verfahren eine Anklage wegen fahrlässiger Tötung erhoben wird, über welche in der Folge die zuständigen kantonalen Gerichte zu entscheiden haben.
3. 3.1 Die Mutter der Beschwerdeführerin litt nach dem Tod ihres Gatten am 18. April 2004 zunehmend unter Demenz. Infolge eines akuten Deliriums wurde sie am 30. Juli 2004 in eine Psychiatrische Klinik eingewiesen, wo der Verdacht auf eine Alzheimererkrankung diagnostiziert wurde. Der Beschwerdeführerin wurde erklärt, dass sie in Zukunft nicht mehr in der Lage sein werde, ihre Mutter zu betreuen, da diese eine Pflege rund um die Uhr benötige. Am 12. Oktober 2004 wurde die Mutter der Beschwerdeführerin von der Psychiatrischen Klinik in das Haus B._ der X._ AG verbracht.
Am 14. Oktober 2004, um ca. 08.30 Uhr, wurde die Mutter der Beschwerdeführerin draussen im Garten des Pflegeheims am Zaun aufgefunden. Sie hatte versucht, sich aus dem Heim zu entfernen und nach Hause zu gehen. Durch zwei Pflegende wurde sie wieder ins Gebäude geführt. Sie war sehr unruhig und wollte unbedingt nach Hause. Man verbrachte sie auf ihr Zimmer im 3. Stock und verabreichte ihr nach Rücksprache mit dem Arzt ein Beruhigungsmittel. In der Folge liess man sie allein auf ihrem Zimmer. Die Mutter der Beschwerdeführerin wurde letztmals um 09.20 Uhr gesehen. Das gesamte Pflegepersonal hielt sich ab ca. 09.30 Uhr in der gemeinsamen Kaffeepause im Parterre auf. Die Mitarbeitenden des Hausdienstes, die während den Pausen des Pflegepersonals stellvertretend gewisse Überwachungsfunktionen wahrnahmen, hatten in diesem Zeitraum, wie regelmässig am Donnerstagvormittag, Rapport. Daher befand sich ab ca. 09.30 Uhr keine Betreuungsperson in den oberen Stockwerken des Gebäudes.
Um diese Zeit verliess die Mutter der Beschwerdeführerin ihr Zimmer. Sie ging durch den Flur ans andere Ende des Stockwerks und gelangte in ein offenes Zimmer, das nicht besetzt war. Die Mutter der Beschwerdeführerin, die zwar körperlich agil, aber stark sehbehindert war, glaubte dem Anschein nach offenbar, dass sie sich im Parterre befinde. Sie öffnete ein Fenster und stieg auf einen Stuhl und anschliessend auf einen am Fenster stehenden Tisch, um über die Fensterbrüstung ins Freie zu gelangen. Dabei stürzte sie rund 6,2 Meter in die Tiefe. Als sie um ca. 09.55 Uhr aufgefunden wurde, konnte nur noch ihr Tod festgestellt werden.
Um diese Zeit verliess die Mutter der Beschwerdeführerin ihr Zimmer. Sie ging durch den Flur ans andere Ende des Stockwerks und gelangte in ein offenes Zimmer, das nicht besetzt war. Die Mutter der Beschwerdeführerin, die zwar körperlich agil, aber stark sehbehindert war, glaubte dem Anschein nach offenbar, dass sie sich im Parterre befinde. Sie öffnete ein Fenster und stieg auf einen Stuhl und anschliessend auf einen am Fenster stehenden Tisch, um über die Fensterbrüstung ins Freie zu gelangen. Dabei stürzte sie rund 6,2 Meter in die Tiefe. Als sie um ca. 09.55 Uhr aufgefunden wurde, konnte nur noch ihr Tod festgestellt werden.
3.2 3.2.1 Mit Eingabe vom 17. November 2004 erstatteten zwei Angehörige (eine Tochter und eine Enkelin) der tödlich Verunfallten Strafanzeige wegen fahrlässiger Tötung (Art. 117 StGB) gegen Unbekannt, nämlich gegen die durch die Untersuchung zu ermittelnden verantwortlichen Organe beziehungsweise Angestellten der X._ AG.
Im polizeilichen Erhebungsbericht vom 14. Dezember 2004 werden unter Hinweis auf - nicht protokollierte - Befragungen von Pflegedienstangestellten die Ereignisse kurz zusammengefasst wiedergegeben (kant. Akten p. 40 ff., 45).
In der Folge wurden am 7. Februar 2005 der Geschäftsführer des Unternehmens und am 11. Februar 2005 die Leiterin des Pflegedienstes von der Polizei protokollarisch einvernommen (p. 78 ff.).
Mit Eingabe vom 27. April 2005 nahmen die Verzeigerinnen zum bisherigen Ermittlungsergebnis Stellung. Sie beantragten die Eröffnung einer formellen Strafuntersuchung wegen fahrlässiger Tötung (p. 108 ff.).
Am 20. Juni 2005 wurde eine Mitarbeiterin des Hausdienstes von der Polizei protokollarisch befragt (p. 89 ff.).
Mit Schreiben vom 21. Juli 2005 erteilte das Bezirksamt Steckborn dem Chefarzt des Stadtärztlichen Dienstes der Stadt Zürich den Auftrag zur Erstellung eines fachspezifischen Gutachtens unter anderem "betreffend Situation, welche zum Unfall führte (nicht verschliessbare Fenster, während der Pause abwesendes Pflegepersonal etc.)", sowie zur Frage, "ob noch weitere Vorschriften oder Empfehlungen bezüglich dem Betreiben von Alters- und Pflegeheimen, respektive der Beaufsichtigung in solchen Heimen, bekannt sind" (p. 97). Der Experte erstattete sein Gutachten am 27. Juli 2005 (p. 98 ff.). Die Verzeigerinnen nahmen dazu mit Eingabe vom 29. September 2005 kritisch Stellung und beantragten ein Zusatz- beziehungsweise Obergutachten (p. 115.3 ff.). Am 16. Dezember 2005 erstattete der Experte sein Ergänzungsgutachten, das auch zu den Einwänden und Fragen in der Eingabe der Anzeigerinnen vom 29. September 2005 Stellung nimmt (p. 103.1 ff.).
3.2.2 Der Experte weist in seinem Gutachten vom 27. Juli 2005 unter anderem darauf hin, dass sich in den Akten weder Resultate der Befragung der auf der Etage anwesenden hauswirtschaftlichen Person fänden, welche während der Kaffeepause des Pflegepersonals gewisse Aufsichtsfunktionen auszuüben hatte, noch Aussagen über den Inhalt der Konversation, die mit der Patientin nach deren Rückführung auf das Zimmer geführt worden sei. Insbesondere werde nicht berichtet, in welcher Stimmung die Patientin gewesen sei, als sich das Pflegepersonal in die Kaffeepause begeben habe, ob sie einfach ruhig im Sinne von beruhigt oder ob sie ruhig im Sinne von resigniert, traurig gewesen sei (p. 99).
Die Annahme des Experten, dass im massgebenden Zeitraum immerhin eine Mitarbeiterin des Hausdienstes auf der Etage anwesend war, beruhte auf einem Irrtum, der offenbar darauf zurückzuführen war, dass das Protokoll der polizeilichen Befragung dieser Mitarbeiterin vom 20. Juni 2005 (p. 89 ff.) entweder nicht in den Akten enthalten oder vom Experten übersehen worden war. In Tat und Wahrheit befand sich im massgebenden Zeitraum auch keine Mitarbeiterin des Hausdienstes auf der Etage, da der Hausdienst zur fraglichen Zeit, wie jeden Donnerstagvormittag, Rapport hatte. Im Ergänzungsgutachten ging der Experte zutreffend von diesem Sachverhalt aus (p. 103.1).
Der Experte erachtete es offenkundig als wesentlich, in welchem Zustand sich die Mutter der Beschwerdeführerin befand, nachdem ihr ein Medikament verabreicht worden war und sie in der Folge allein in ihrem Zimmer gelassen wurde. Im polizeilichen Erhebungsbericht vom 14. Dezember 2004 (p. 40 ff.) wird unter Hinweis auf - nicht protokollierte - "Befragungen der Pflegedienstangestellten" ausgeführt, die Mutter der Beschwerdeführerin habe sich "nach Einnahme der Tablette" (Seroquel) "wieder sehr ruhig verhalten", so dass für eine spezielle Überwachung keine Veranlassung mehr bestanden habe, da man keinen Grund zur Besorgnis gehabt habe, dass etwas Aussergewöhnliches passieren könnte (p. 45). Daraus ergibt sich nicht, ob die Mutter der Beschwerdeführerin ruhig im Sinne von beruhigt oder aber ruhig im Sinne von resigniert, traurig war, was offenbar nach der vom Experten im Gutachten vertretenen Auffassung von einer gewissen Bedeutung sein könnte. Im Ergänzungsgutachten vom 16. Dezember 2005 scheint der Experte allerdings nicht mehr auf diese Differenzierung abzustellen. Gemäss dem Ergänzungsgutachten ist offenbar entscheidend, ob die Mutter der Beschwerdeführerin im Zeitpunkt, als sie allein gelassen wurde, tatsächlich nicht mehr agitiert reagiert hat, sondern beruhigt war, oder ob sie noch erregt war. Ohne eine konkrete Befragung zum konkreten Verhalten der Mutter der Beschwerdeführerin in den zehn Minuten vor dem Beginn der Kaffeepause kann nach der Einschätzung des Gutachters dieser Sachverhalt nicht beurteilt werden. Könnte durch Befragungen zweifelsfrei belegt werden, dass in den Minuten unmittelbar vor der Kaffeepause die Mutter der Beschwerdeführerin sich tatsächlich agitiert verhalten habe, müsste gemäss dem Ergänzungsgutachten von einem Betreuungsfehler ausgegangen werden (p. 103.2).
3.2.3 In der Folge wurden am 30. und 31. Januar 2006 insgesamt fünf Mitarbeiterinnen von der Polizei protokollarisch befragt. Zwei Mitarbeiterinnen konnten zum Zustand und Verhalten der Mutter der Beschwerdeführerin nach deren Rückführung auf das Zimmer und nach der Verabreichung des Medikaments keine Angaben machen. Drei Mitarbeiterinnen sagten im Wesentlichen aus, dass die zuvor sehr unruhige Patientin nach der Verabreichung des Medikaments sich beruhigt habe und im Zeitpunkt, als sie allein gelassen worden sei, ruhig gewesen sei (p. 103.12, 103.21, 103.25).
3.2.3 In der Folge wurden am 30. und 31. Januar 2006 insgesamt fünf Mitarbeiterinnen von der Polizei protokollarisch befragt. Zwei Mitarbeiterinnen konnten zum Zustand und Verhalten der Mutter der Beschwerdeführerin nach deren Rückführung auf das Zimmer und nach der Verabreichung des Medikaments keine Angaben machen. Drei Mitarbeiterinnen sagten im Wesentlichen aus, dass die zuvor sehr unruhige Patientin nach der Verabreichung des Medikaments sich beruhigt habe und im Zeitpunkt, als sie allein gelassen worden sei, ruhig gewesen sei (p. 103.12, 103.21, 103.25).
3.3 3.3.1 Das Bezirksamt Steckborn stellte mit Verfügung vom 20. März 2006 die Strafuntersuchung ein. Ein Suizid sei höchst unwahrscheinlich, und ein Verbrechen sei auszuschliessen. In Anbetracht der demenziellen Erkrankung der Verstorbenen, ihrer Äusserungen, sie wolle nach Hause, und insbesondere ihrer starken Sehschwäche sei davon auszugehen, sie sei der irrigen Meinung gewesen, sie steige im Parterre aus dem Fenster. Es handle sich somit um einen tragischen Unfall. Die polizeilichen Ermittlungen sowie die medizinischen Gutachten hätten den Verdacht, dass die Leitung oder Angestellte des Heims für den Tod verantwortlich sein könnten, nicht erhärtet. Da somit ausreichende Gründe für eine Strafverfolgung fehlten, sei die Strafuntersuchung einzustellen. Zur Begründung wird nach einer zusammenfassenden Wiedergabe des Gutachtens und des Ergänzungsgutachtens unter anderem zum ethischen Dilemma "Freiheit versus Sicherheit" im Wesentlichen festgehalten, dass sich die Mutter der Beschwerdeführerin nach Verabreichung einer "Spritze" rasch beruhigt und daher, auch gemäss den Ausführungen des Gutachters, kein Anlass bestanden habe, die übliche Kaffeepause nicht einzulegen und die Mutter der Beschwerdeführerin nicht für eine Weile allein zu lassen (erstinstanzliche Einstellungsverfügung S. 4/5).
3.3.2 Die Vorinstanz wies die dagegen erhobene Beschwerde ab. Zur Begründung wird im angefochtenen Entscheid ausgeführt, es treffe zwar zu, dass die Mutter der Beschwerdeführerin am Vormittag des 14. Oktober 2004 das Heim habe verlassen wollen. Sie sei aber im Garten angehalten und in ihr Zimmer zurückgebracht worden. Dies zeige, dass sichergestellt gewesen sei, dass eine das Haus verlassende Person beobachtet und im Bedarfsfall auch wieder ins Heim zurückgebracht werden konnte. In der Folge sei der Gesundheitszustand der Mutter der Beschwerdeführerin beurteilt worden, was dazu geführt habe, dass ihr ein Beruhigungsmedikament verabreicht worden sei. Die mit der Betreuung befassten Angestellten hätten nicht voraussehen können, dass die Mutter der Beschwerdeführerin nach dem ersten Versuch, das grundsätzlich offene Heim über den normalen Ausgang zu verlassen, einen zweiten Versuch auf einem gänzlich anderen und völlig ungewöhnlichen Weg unternehmen könnte, nämlich - wie geschehen - dadurch, dass sie im 2. Stock ein Fenster öffne und über die Fensterbrüstung klettere. Konkret erkennbare Anzeichen dafür, dass die Mutter der Beschwerdeführerin statt eines neuerlichen Ausreissversuchs über den Haupteingang einen solchen über eine Fensterbrüstung im 2. Stock unternehmen könnte, hätten nach menschlichem Ermessen ganz klar nicht bestanden. Anders verhielte es sich, wenn die Mutter der Beschwerdeführerin bereits beim ersten Versuch im Parterre über eine Fensterbrüstung geklettert wäre, um ins Freie zu gelangen. Für das Pflegepersonal habe sich daher die Lage selbst nach dem ersten Versuch der Patientin, das Heim über den normalen Ausgang zu verlassen, und trotz einer in der Folge feststellbaren Erregtheit, welcher immerhin durch Medikamentenabgabe begegnet worden sei, nicht in einem erhöhten Masse gefährdet präsentiert. Somit sei es für die involvierten Pflegepersonen nicht voraussehbar gewesen, dass die Mutter der Beschwerdeführerin einen zweiten Fluchtversuch über die Fensterbrüstung im 2. Stock unternehmen könnte. Demnach könne den Pflegepersonen nicht Fahrlässigkeit vorgeworfen werden (angefochtener Entscheid S. 10 f.).
Die Vorinstanz hält im Weiteren fest, das folgenschwere Übersteigen der Fensterbrüstung hätte nur verhindert werden können, wenn die Mutter der Beschwerdeführerin, nachdem sie in ihr Zimmer zurückgebracht worden sei, lückenlos von mindestens einer Person überwacht worden wäre. Für eine solche letztlich rigorose Massnahme, welche zwangsläufig auch mit einer Beeinträchtigung der persönlichen Freiheit verbunden gewesen wäre, habe keine sachgerechte Veranlassung bestanden. Vor diesem Hintergrund sei es auch nicht angezeigt, darüber zu befinden, ob zu verlangen gewesen wäre, dass sämtliche Fenster und Ausgänge hätten verschlossen beziehungsweise gesichert sein müssen (angefochtener Entscheid S. 11 f.).
Abschliessend weist die Vorinstanz darauf hin, dass gemäss der eigenen Darstellung der Beschwerdeführerin das fragliche Heim von den Fachleuten der Psychiatrischen Klinik in Kenntnis des Gesundheitszustands der Mutter der Beschwerdeführerin ausdrücklich empfohlen worden sei. Offenbar hätten selbst diese Fachleute keine Anzeichen für ein selbstgefährdendes Verhalten der Mutter der Beschwerdeführerin erkennen können, da sie andernfalls wohl kaum das fragliche Heim empfohlen hätten (angefochtener Entscheid S. 12).
3.4 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Aussagen der Pflegenden mehr als ein Jahr nach dem Vorfall stünden im Widerspruch zu den Aussagen unmittelbar nach dem Ereignis und seien zum Teil als Schutzbehauptungen zu qualifizieren (Beschwerde S. 6). Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass die Pflegerin, welche die Patientin im Garten angetroffen habe, trotz des Antrags ihres damaligen Verteidigers vom 17. Februar 2006 bis heute nicht befragt worden sei (S. 6). Es gehe im vorliegenden Fall weniger um die - auch vom Experten erörterte - Frage der Sicherheitsvorkehrungen baulicher Art, etwa der Fenstersicherungen. Bestritten werde vielmehr die Erfüllung der gebotenen Sorgfalt im konkret vorliegenden Fall (S. 7).
Die Beschwerdeführerin macht im Weiteren geltend, es sei nicht nachvollziehbar, weshalb die Pflegenden trotz der offenkundig grossen Aufregung der Patientin sich kurz nach Verabreichung des Medikaments nicht mehr um diese gekümmert, sondern sie allein auf ihrem Zimmer im 2. Stock zurückgelassen hätten, im Wissen darum, dass der Hausdienst zur fraglichen Zeit Rapport hatte und dass die Fenster und Balkontüren mangels einer Sicherung ohne weiteres geöffnet werden konnten. Richtig wäre nach der Meinung der Beschwerdeführerin gewesen, entweder jemanden zur Beobachtung auf der Etage zu belassen oder die Patientin mit in den Gemeinschaftsraum hinunter zu nehmen und zu den andern Heimbewohnern zu setzen, in welchem Fall man trotz der Kaffeepause ein Auge auf sie hätte werfen können und übrigens selbst bei einem neuerlichen Fluchtversuch kaum eine Gefährdung bestanden hätte. Stattdessen sei die Patientin ihrem Schicksal überlassen worden. Entgegen den späteren Aussagen mehrerer Pflegerinnen könne davon ausgegangen werden, dass die Verstorbene keineswegs beruhigt gewesen sei, sondern die nächste Gelegenheit ergriffen und wieder einen Ausgang gesucht hätte. Ein solches Verhalten sei weder generell noch im speziellen Fall völlig unvorhersehbar gewesen, zumal bekannt sei, dass Demenzkranke zirkulieren, in verschiedene Zimmer gehen und auch Fluchtversuche unternehmen. Im konkreten Fall habe die Patientin denn auch permanent den Wunsch geäussert, das Heim zu verlassen, und kurz vor dem hier zu beurteilenden Vorfall schon einen Fluchtversuch unternommen. Wohl könnten Unfälle nicht immer mit letzter Sicherheit vermieden werden und sei die persönliche Freiheit von Demenzkranken gegenüber einer absoluten Sicherheit in der Regel höher zu gewichten. Der Vorfall habe sich aber nicht aus heiterem Himmel und ohne Vorwarnung ereignet, sondern er habe sich im Gegenteil angekündigt. Seit ihrem Eintritt in das Heim zwei Tage zuvor habe die Verstorbene immer wieder geäussert, dass sie dringend nach Hause müsse, und sie habe am Morgen bereits einen Fluchtversuch unternommen, sei aufgeregt gewesen und in der Abteilung hin und her gelaufen. Daher seien vorliegend nicht allgemeine Abwägungen zwischen persönlicher Freiheit und Sicherheit der Patientin anzustellen, sondern die im konkreten Fall gebotene Sorgfalt zu prüfen. Das Verhalten der Patientin in Krisen, die Wirksamkeit von verabreichten Medikamenten und die funktionellen Fähigkeiten seien dem Personal offensichtlich noch nicht vertraut gewesen. Gerade zu Beginn sei daher eine intensive Betreuung vorzusehen. Aufgrund des Verhaltens und der Äusserungen der Patientin in der kurzen Zeit seit ihrem Eintritt in das Heim und namentlich auch des ersten Fluchtversuchs am fraglichen Morgen sei für die Pflegenden sehr wohl vorhersehbar (und mangels längerer Kenntnis der Patientin eher zu befürchten, denn auszuschliessen) gewesen, dass die Patientin sich nicht ohne weiteres beruhigen und einfach in ihrem Zimmer sitzen bleiben würde, zumal sie nach Verabreichung des Medikaments nicht weiter betreut oder wenigstens in die Gesellschaft anderer Patienten verbracht, sondern allein gelassen worden sei. Die Pflegenden hätten sich offenbar darauf verlassen, dass das verabreichte Medikament schon irgendwann wirken und die Patientin damit ruhig gestellt sein würde. Die gegenteiligen Behauptungen der Mitarbeiterinnen über die angeblich beruhigte Patientin anlässlich der über ein Jahr nach dem Ereignis durchgeführten Befragungen seien in sich widersprüchlich. Sie stünden auch im Widerspruch zu den ersten Aussagen und seien insbesondere in Kenntnis des ergänzenden Gutachtens erfolgt, worin sich der Experte zum gebotenen Verhalten kurz vor Antritt der Kaffeepause geäussert habe (S. 8 ff.).
Abschliessend macht die Beschwerdeführerin zusammenfassend geltend, die Vorinstanzen hätten diverse Abklärungen leider erst nach längerer Zeit und unzureichend vorgenommen. Sie hätten die dabei gewonnenen Erkenntnisse unrichtig gewürdigt und zu Unrecht darauf geschlossen, dass vorliegend keine Anhaltspunkte für eine fahrlässige Tötung durch Unterlassung bestünden. Das Verfahren sei daher zu Unrecht eingestellt worden (S. 11).
3.5 Die Beschwerdegegnerin macht geltend, die Eingabe der Beschwerdeführerin enthalte verschiedene neue Tatsachenbehauptungen, was unzulässig sei. Die Rügen seien nicht rechtsgenüglich substantiiert und bloss appellatorischer Natur, weshalb sie den Begründungsanforderungen nicht genügten. In den 25 Jahren seit Bestehen des Heims sei es nie zu einem nennenswerten Unfall gekommen (Vernehmlassung S. 7). Der Haupteingang des Heims sei stets verschlossen und könne lediglich vom Personal mit einem Schlüssel geöffnet werden. Hingegen seien die Hintereingänge zum Garten, der seinerseits gesichert sei, bei guter Witterung offen, was dem Konzept des Hauses entspreche (S. 7). Drei Mitarbeiterinnen des Heims hätten übereinstimmend und aus eigener Beobachtung ausgesagt, dass die zuvor unruhige Mutter der Beschwerdeführerin sich nach der Einnahme des vom Arzt verordneten Medikaments beruhigt habe und vor dem Beginn der Kaffeepause um ca. 09.30 Uhr ruhig gewesen sei. Dass die Patientin vor der Rückführung auf ihr Zimmer, etwa in der Zeit von ca. 08.00 bis 08.30 Uhr, unbeobachtet geblieben sei, sei daher rechtlich nicht relevant (S. 11). Die Untersuchung habe ergeben, dass die Patientin letztmals um ca. 09.20 Uhr, vermutlich sogar unmittelbar vor der auf 09.30 Uhr angesetzten Kaffeepause, durch die Mitarbeiterinnen kontrolliert worden sei (S. 14). Das Personal hätte die Patientin nicht allein im Zimmer gelassen, wenn auch nur der geringste Zweifel an der nachhaltigen Beruhigung und der Wirkung des verabreichten Medikaments bestanden hätten (S. 15). Die Behauptung der Beschwerdeführerin, ihre Mutter habe sich kurz vor dem Beginn der Kaffeepause mit hoher Wahrscheinlichkeit nach wie vor in Agitation befunden, sei klar aktenwidrig und durch die Untersuchung widerlegt (S. 15). Dass die Mutter der Beschwerdeführerin am fraglichen Vormittag in den zum geschlossenen Sicherheitsbereich gehörenden Garten habe gelangen können, sei nichts Aussergewöhnliches und gehöre zum Konzept des Hauses (S. 17). Die Behauptung der Beschwerdeführerin, die beteiligten Mitarbeiterinnen hätten sich darauf verlassen, "dass das verabreichte Medikament schon irgendwann wirken und die Patientin damit ruhig gestellt sein würde", sei neu, bösartig und unzutreffend (S. 21). Das Medikament sei ca. 1/2 bis 3/4 Stunden vor 09.30 Uhr verabreicht worden, und infolge der Wirkungen dieses Medikaments sei die Patientin vor dem Beginn der Kaffeepause um 09.30 Uhr ruhig gewesen (S. 18). Neu und falsch sei die Behauptung, das Pflegepersonal sei im Wissen darum, dass der Hausdienst zur fraglichen Zeit seinen Rapport durchführe, in die Kaffeepause gegangen. Dies sei erst im Rahmen der Strafuntersuchung festgestellt und als organisatorischer Mangel sofort korrigiert worden (S. 18). Wohl wäre der tragische Sturz vermeidbar gewesen, wenn die Patientin während der Kaffeepause ohne Unterbruch betreut worden wäre und alle Fenster verriegelt gewesen wären. Dies sei aber für die Frage des Verschuldens nicht relevant. Massgebend sei vielmehr, dass die Patientin vor dem Beginn der Kaffeepause nach dem Eindruck des Pflegepersonals beruhigt und ruhig gewesen sei. Daher habe das fragliche Geschehen nicht vorhergesehen werden können (S. 17, 19, 20). Die Strafuntersuchung sei deshalb zu Recht eingestellt worden (S. 22).
Staatsrechtliche Beschwerde
4. 4.1 Der Beschwerdeführerin ist darin zuzustimmen, dass die Untersuchung nicht frei von Mängeln ist. Insbesondere wäre es wünschbar gewesen, wenn die polizeilichen Befragungen der Mitarbeiterinnen relativ kurze Zeit nach dem Ereignis protokollarisch festgehalten worden wären. Stattdessen wurden lediglich die Ergebnisse dieser Befragungen im polizeilichen Erhebungsbericht vom 14. Dezember 2004 (p. 40 ff.) kurz zusammengefasst wiedergegeben (p. 45). Erst die offenbar aufgrund von Ausführungen des Experten im Ergänzungsgutachten vom 16. Dezember 2005 (p. 103.1 ff., 103.2) angeordneten neuerlichen polizeilichen Befragungen mehr als ein Jahr nach dem Vorfall wurden protokolliert (p. 103.9 ff.). Diese Mängel der Untersuchung führen jedoch nicht zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids, da sie die Klärung der letztlich entscheidenden Tatfrage nicht wesentlich beeinflusst beziehungsweise beeinträchtigt haben.
4.2 Die kantonalen Instanzen durften aufgrund der Aussagen von drei Pflegedienstangestellten ohne Willkür davon ausgehen, dass die Mutter der Beschwerdeführerin sich nach der Verabreichung eines Medikaments beruhigte und im Zeitpunkt, als sie allein in ihrem Zimmer gelassen wurde, ruhig war. Die diesbezüglichen Aussagen von drei Mitarbeiterinnen in den protokollierten polizeilichen Befragungen vom 30. Januar 2006 (p. 103.12, 103.21, 103.25) sind entgegen den nicht näher begründeten Behauptungen der Beschwerdeführerin weder in sich widersprüchlich noch stehen sie im Widerspruch zu den - nicht protokollierten - Aussagen von Angestellten kurze Zeit nach dem Ereignis, die im polizeilichen Erhebungsbericht vom 14. Dezember 2004 dahingehend zusammengefasst werden, dass sich die Patientin nach Einnahme der vom Arzt verordneten Tablette Seroquel wieder sehr ruhig verhalten habe (p. 45). Daher ist auch der Einwand der Beschwerdeführerin unbegründet, die Aussagen der Pflegerinnen vom 30. Januar 2006 seien als Schutzbehauptungen zu qualifizieren, weil sie in Kenntnis des Ergänzungsgutachtens vom 16. Dezember 2005 gemacht worden seien, wonach es für die Beurteilung des Verhaltens des Pflegepersonals wesentlich darauf ankomme, in welcher Stimmung sich die Patientin in den letzten zehn Minuten vor der Kaffeepause befunden habe. Unbegründet ist auch die Behauptung der Beschwerdeführerin, die Pflegerinnen hätten sich "kurz" nach der Verabreichung des Medikaments nicht mehr um die Patientin gekümmert und sich offenbar darauf verlassen, dass das verabreichte Medikament "schon irgendwann wirken und die Patientin damit ruhig gestellt sein würde". Zwar ist nicht bekannt, wann genau das Medikament verabreicht wurde. Aus den Aussagen der Pflegerinnen ergibt sich aber immerhin, dass zwischen der Verabreichung des Medikaments und dem Beginn der Kaffeepause zirka 1/2 bis 3/4 Stunden verstrichen. Die Pflegerinnen haben die Patientin nicht bloss in der Erwartung, dass sie sich schon beruhigen werde, sondern in der Überzeugung, dass sie sich - unter anderem aufgrund der einsetzenden Wirkung des Medikaments - beruhigt habe, allein in ihrem Zimmer gelassen.
4.3 Die staatsrechtliche Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Nichtigkeitsbeschwerde
5. 5.1 Fahrlässig begeht ein Verbrechen oder ein Vergehen, wer die Folge seines Verhaltens aus pflichtwidriger Unvorsichtigkeit nicht bedacht oder darauf nicht Rücksicht genommen hat. Pflichtwidrig ist die Unvorsichtigkeit, wenn der Täter die Vorsicht nicht beachtet, zu der er nach den Umständen und nach seinen persönlichen Verhältnissen verpflichtet ist (Art. 18 Abs. 3 StGB). Ein Schuldspruch wegen fahrlässiger Tötung (Art. 117 StGB) setzt somit voraus, dass der Täter den Erfolg durch Verletzung einer Sorgfaltspflicht verursacht hat. Sorgfaltswidrig ist ein Verhalten, wenn der Täter zum Zeitpunkt der Tat aufgrund der Umstände sowie seiner Kenntnisse und Fähigkeiten die damit bewirkte Gefährdung der Rechtsgüter des Opfers hätte erkennen können und müssen und wenn er zugleich die Grenzen des erlaubten Risikos überschritten hat. Wo besondere Normen ein bestimmtes Verhalten gebieten, bestimmt sich das Mass der zu beachtenden Sorgfalt in erster Linie nach diesen Vorschriften. Das schliesst nicht aus, dass der Vorwurf der Fahrlässigkeit auch auf allgemeine Rechtsgrundsätze wie etwa den allgemeinen Gefahrensatz gestützt werden kann. Denn einerseits begründet nicht jeder Verstoss gegen eine gesetzliche oder für bestimmte Tätigkeiten allgemein anerkannte Verhaltensnorm den Vorwurf der Fahrlässigkeit, und andererseits kann ein Verhalten sorgfaltswidrig sein, auch wenn nicht gegen eine bestimmte Verhaltensnorm verstossen wurde. Die Vorsicht, zu der ein Täter verpflichtet ist, wird letztlich durch die konkreten Umstände und seine persönlichen Verhältnisse bestimmt, weil naturgemäss nicht alle tatsächlichen Gegebenheiten in Vorschriften gefasst werden können (zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2d; Urteil 6S.8/2007 vom 24. April 2007, E. 6.1.1).
Grundvoraussetzung für das Bestehen einer Sorgfaltspflichtverletzung und mithin für die Fahrlässigkeitshaftung bildet die Vorhersehbarkeit des Erfolgs. Die zum Erfolg führenden Geschehensabläufe müssen für den konkreten Täter mindestens in seinen wesentlichen Zügen voraussehbar sein. Zunächst ist daher zu fragen, ob der Täter eine Gefährdung der Rechtsgüter des Opfers hätte voraussehen beziehungsweise erkennen können und müssen. Für die Beantwortung dieser Frage gilt der Massstab der Adäquanz. Danach muss das Verhalten geeignet sein, nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und den Erfahrungen des Lebens einen Erfolg wie den eingetretenen herbeizuführen oder mindestens zu begünstigen. Die Adäquanz ist nur zu verneinen, wenn ganz aussergewöhnliche Umstände, wie das Mitverschulden des Opfers beziehungsweise eines Dritten oder Material- oder Konstruktionsfehler, als Mitursache hinzutreten, mit denen schlechthin nicht gerechnet werden musste und die derart schwer wiegen, dass sie als wahrscheinlichste und unmittelbarste Ursache des Erfolgs erscheinen und so alle anderen mitverursachenden Faktoren - namentlich das Verhalten des Angeschuldigten - in den Hintergrund drängen (<ref-ruling> E. 5.1 und E. 5.2; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2d, je mit Hinweisen).
Damit der Eintritt des Erfolgs auf das pflichtwidrige Verhalten des Täters zurückzuführen ist, genügt allerdings seine Voraussehbarkeit nicht. Weitere Voraussetzung ist vielmehr, dass der Erfolg auch vermeidbar war. Dabei wird ein hypothetischer Kausalverlauf untersucht und geprüft, ob der Erfolg bei pflichtgemässem Verhalten des Täters ausgeblieben wäre. Dabei genügt es für die Zurechnung des Erfolgs, wenn das Verhalten des Täters mindestens mit einem hohen Grad an Wahrscheinlichkeit die Ursache des Erfolgs bildete (BGE <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2a, je mit Hinweisen).
Diese Grundsätze gelten auch für das unechte Unterlassungsdelikt. Steht ein solches zur Diskussion, ist anhand eines hypothetischen Kausalzusammenhangs zu prüfen, ob bei Vornahme der gebotenen Handlung der Erfolg mit einem hohen Grad an Wahrscheinlichkeit ausgeblieben wäre und ob deren Nichtvornahme für den eingetretenen Erfolg adäquat kausal war (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 4; Urteil 6S.41/2005 vom 17. März 2006, E. 3).
5.2 Fahrlässigkeit kann im vorliegenden Fall entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht mit der Begründung verneint werden, die Pflegerinnen hätten nicht voraussehen können, dass die Mutter der Beschwerdeführerin einen allfälligen weiteren Fluchtversuch nicht wiederum "über den normalen Ein- bzw. Ausgang", sondern stattdessen "unter Zuhilfenahme eines Stuhls über eine normale Fensterbrüstung im 2. Stock" unternehmen könnte (angefochtener Entscheid S. 11). Diese Begründung überzeugt unter anderem deshalb nicht, weil sie ausser Acht lässt, dass die zwei Tage zuvor ins Heim eingetretene Mutter der Beschwerdeführerin erstens stark sehbehindert war und zweitens an einer demenziellen Erkrankung litt, was den Pflegenden bekannt war.
Ob den Pflegenden ein allenfalls den Vorwurf der Fahrlässigkeit begründender Fehler angelastet werden kann, hängt vielmehr wesentlich davon ab, in welchem Zustand sich die Mutter der Beschwerdeführerin befand, als sie allein gelassen wurde. Dies ist auch gemäss dem Gutachten und dem Ergänzungsgutachten von Bedeutung. Die erste Instanz hat denn auch die Untersuchung unter anderem mit der Begründung eingestellt, dass sich die Patientin beruhigt habe (erstinstanzliche Verfügung S. 4/5). Diesem Umstand scheint auch die Vorinstanz eine gewisse Bedeutung beizumessen. Denn sie weist daraufhin, dass der "Erregtheit" der Patientin "immerhin durch Medikamentenabgabe begegnet" worden sei (angefochtener Entscheid S. 11), und sie hält abschliessend fest, dass sich der erstinstanzliche Entscheid "in allen Belangen als richtig" erweise (angefochtener Entscheid S. 12).
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5.3 5.3.1 Der Beschwerdeführerin ist darin zuzustimmen, dass der neu ins Heim eingetretenen, demenzkranken Patientin eine vergleichsweise erhöhte Aufmerksamkeit zu schenken war. Denn einerseits war für die Patientin die neue Umgebung völlig fremd, und andererseits war für das Personal die Patientin noch eine fremde. Hinzu kommt, dass die Patientin in der kurzen Zeit ihres Aufenthalts mehrfach geäussert hatte, sie müsse nach Hause, dass sie sehr unruhig war und am fraglichen Morgen bereits einen Versuch unternommen hatte, das Heim zu verlassen. Zudem war die Patientin einerseits stark sehbehindert und anderseits körperlich relativ agil sowie eine resolute Person. Ferner waren die Fenster und Balkontüren auch in den oberen Stockwerken nicht gesichert. In Anbetracht dieser Umstände war gegenüber der Mutter der Beschwerdeführerin eine vergleichsweise erhöhte Aufmerksamkeit von Seiten des Personals geboten.
5.3.2 Auch unter Berücksichtigung der genannten Umstände kann indessen den Pflegenden keine pflichtwidrige Unvorsichtigkeit im Sinne von Art. 18 Abs. 3 StGB vorgeworfen werden. Die Patientin wurde nach Verabreichung des Medikaments ruhiger, und sie war ruhig, als sie allein in ihrem Zimmer gelassen wurde. Dies ist entscheidend. Die Pflegenden handelten nicht pflichtwidrig unvorsichtig, indem sie in Anbetracht der nach der Verabreichung des Medikaments eingetretenen Beruhigung nicht die Möglichkeit bedachten, dass die Patientin gleichwohl innerhalb der nächsten Stunde das Heim von ihrem Zimmer im 2. Stock aus auf irgendeinem Wege unbemerkt verlassen könnte. Ein solches Risiko war für die Pflegenden nicht erkennbar, zumal die Patientin bei ihrem ersten Versuch rund eine Stunde vorher sich noch in einem Zustand der Unruhe befunden hatte.
5.4 Die Vorinstanz hat somit Fahrlässigkeit und einen diesbezüglichen hinreichenden Verdacht im Ergebnis zu Recht verneint. Die Nichtigkeitsbeschwerde ist demnach abzuweisen.
6. Da die Beschwerdeführerin unterliegt, hat sie die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG, Art. 278 Abs. 1 BStP). Sie hat der obsiegenden Beschwerdegegnerin im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde eine Parteientschädigung zu zahlen (Art. 159 Abs. 2 OG). Im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde ist der obsiegenden Beschwerdegegnerin eine Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse zuzusprechen (Art. 278 Abs. 3 Satz 1 BStP). Es ist davon abzusehen, die unterliegende Partei gemäss Art. 278 Abs. 3 Satz 3 BStP zu verpflichten, der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Nichtigkeitsbeschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 3'000.-- für beide Verfahren werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Beschwerdeführerin wird verpflichtet, der Beschwerdegegnerin im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde eine Entschädigung von Fr. 1'000.-- zu zahlen.
5. Der Beschwerdegegnerin wird im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2008
Im Namen des Kassationshofes
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Näf