Faits:
A.
Z._ est obligatoirement assuré contre le risque d'accidents auprès de la Compagnie d'Assurances Vaudoise Générale SA (ci-après : la Vaudoise).
Le 1er juillet 2008, le véhicule conduit par Z._ a été percuté à l'arrière par un autre véhicule alors que le prénommé s'était arrêté à un passage piétons pour laisser traverser une écolière. Il a ressenti des douleurs au dos et aux poignets. Quelques jours plus tard, il est parti à l'étranger durant un mois. De retour en Suisse, en raison de la persistance de douleurs aux poignets, il a consulté le 24 septembre 2008 le docteur C._, qui a diagnostiqué une rhizarthrose bilatérale. Interrogé par la Vaudoise sur les circonstances de l'accident, l'assuré a indiqué qu'il s'était fortement cramponné au volant avec ses deux mains en voyant arriver la voiture derrière lui.
Le 10 janvier 2009, Z._ a chuté sur le sol gelé et s'est réceptionné sur ses coudes et poignets. Dans un rapport établi à l'intention de la Vaudoise (du 23 février 2009), le docteur D._, spécialiste en chirurgie de la main, a fait état de contusions aux deux mains. Il a déclaré que l'assuré présentait une arthrose scaphotrapézo-trapé-zodïenne qui avait été décompensée à l'occasion de l'accident du 1er juillet 2008 et que l'évolution, dans un premier temps favorable grâce à des infiltrations de cortisone, s'était à nouveau aggravée, selon les dires de son patient, à la suite du second événement. Il n'y avait pas d'incapacité de travail. Consulté pour un deuxième avis, le docteur E._ a confirmé le diagnostic et répondu, en ce qui concerne la question de la causalité, que les deux accidents étaient probablement le facteur déclenchant d'une arthrose préexistante.
Le 20 juillet 2009, l'assuré a subi une intervention chirurgicale sur son poignet droit pratiquée par le docteur E._.
Le médecin-conseil de la Vaudoise, le docteur P._, a estimé que la responsabilité de l'assureur n'allait pas au-delà d'une période de deux mois après chacun des deux traumatismes, ceux-ci ayant seulement provoqué une décompensation passagère de la rhizarthrose. La Vaudoise a limité sa prise en charge du cas sur cette base (décision du 14 octobre 2009). Saisie d'une opposition, elle l'a écartée dans une nouvelle décision du 30 août 2011.
B.
Par jugement du 7 juin 2012, la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition du 30 août 2011.
C.
Z._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il requiert l'annulation. Sous suite de frais et dépens, il conclut, principalement, à ce que la Vaudoise soit condamnée à prendre en charge ses frais de traitement dès le 1er juillet 2008 ainsi que l'opération qu'il a subie le 20 juillet 2009 et ses suites; à titre subsidiaire, à ce que le dossier soit retourné aux premiers juges ou à l'assureur-accidents pour la mise en oeuvre d'une expertise médicale.
La Vaudoise conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le Tribunal fédéral est lié par les faits constatés par les premiers juges (<ref-law>), à moins qu'ils aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>. Si la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance-militaire, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente et le recours peut porter sur toute constatation incomplète ou erronée des faits (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
1.2. Le dossier ne contient aucune pièce médicale qui attesterait une incapacité de travail. Le recourant a cependant subi une opération le 20 juillet 2009 dont il demande la prise en charge par l'intimée, de même que les suites éventuelles de celle-ci. On peut penser que cette intervention a entraîné un arrêt de travail pouvant donner lieu à l'allocation d'indemnités journalières (<ref-law>). Dans la mesure où d'autres prestations (en espèces) que le traitement médical (prestation en nature) sont susceptibles d'entrer en ligne de compte dans le cadre du présent litige, le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen étendu en ce qui concerne les faits communs aux deux types de prestations (voir arrêt 8C_584/2009 du 2 juillet 2010 consid. 4).
2.
En vertu de l'<ref-law>, les prestations pour soins, les remboursements de frais ainsi que les indemnités journalières et les allocations pour impotent ne sont pas réduits lorsque l'atteinte à la santé n'est que partiellement imputable à l'accident. Lorsqu'un état maladif préexistant est aggravé ou, de manière générale, apparaît consécutivement à un accident, le devoir de l'assurance-accidents d'allouer des prestations cesse si l'accident ne constitue pas la cause naturelle (et adéquate) du dommage, soit lorsque ce dernier résulte exclusivement de causes étrangères à l'accident. Tel est le cas lorsque l'état de santé de l'intéressé est similaire à celui qui existait immédiatement avant l'accident (statu quo ante) ou à celui qui serait survenu même sans l'accident par suite d'un développement ordinaire (statu quo sine) (cf. RAMA 1994 n° U 206 p. 326 consid. 3b, 1992 n° U 142 p. 75; arrêt 8C_552/2007 du 19 février 2008 consid. 2). A contrario, aussi longtemps que le statu quo sine vel ante n'est pas rétabli, l'assureur-accidents doit prendre à sa charge le traitement de l'état maladif préexistant, dans la mesure où il a été causé ou aggravé par l'accident.
3.
3.1. Les premiers juges ont constaté que l'ensemble des médecins consultés étaient unanimes pour admettre que la rhizarthrose était préexistante aux accidents assurés. Ils ont également retenu que les avis exprimés par le médecin-conseil de la Vaudoise, le docteur P._, en date des 9 juin et 28 août 2008, ne répondaient pas aux critères fixés par la jurisprudence en matière de valeur probante d'un rapport médical (ces avis étaient trop succincts et contenaient des erreurs dans l'anamnèse). Ils ont toutefois considéré que malgré les défauts dont ils étaient entachés, il n'y avait pas lieu de remettre en cause l'existence d'un statu quo sine atteint deux mois après la survenance de chacun des événement accidentels. Aux yeux des premiers juges, en effet, les autres praticiens rejoignaient implicitement l'opinion du médecin-conseil de l'assureur-accidents puisqu'ils avaient conclu à l'absence de lien de causalité entre ces événements et la rhizarthrose. Aussi, ont-ils confirmé la limitation de la prise en charge décidée par la Vaudoise.
3.2. Pour l'essentiel, le recourant reproche à la juridiction cantonale de s'être fondée sur les conclusions du médecin-conseil de l'intimée dont elle avait pourtant reconnu le caractère non probant et d'avoir interprété les autres documents médicaux au dossier de façon totalement inadéquate.
4.
Sur le vu des pièces médicales au dossier, il est incontestable que les événements des 1er juillet 2008 et 10 janvier 2009 ont déclenché chez l'assuré une symptomatologie douloureuse aux poignets. Ce dernier présentait certes un état préexistant sous la forme d'une arthrose, mais celui-ci était auparavant asymptomatique. Il s'ensuit qu'un lien de causalité doit être admis entre les troubles douloureux et les accidents en cause, et que l'intimée ne peut, comme on l'a rappelé (voir consid. 2 supra), cesser de verser ses prestations pour les suites de ces troubles aussi longtemps qu'il n'est pas établi, au degré de la vraisemblance prépondérante, que le recourant se serait trouvé dans le même état sans les accidents subis (rétablissement du statu quo sine).
En l'occurrence, le seul médecin à s'être prononcé à ce sujet est le docteur P._, avis que les juges cantonaux ont à juste titre estimé critiquable en raison de son caractère lacunaire tant sur le plan formel que matériel (sur les exigences posées par la jurisprudence en matière de valeur probante d'un rapport médical voir <ref-ruling> consid. 3a p. 352). Quant aux autres médecins, ils ont seulement souligné le fait que l'arthrose n'avait pas été causée mais seulement été "décompensée" par les accidents. Comme le fait remarquer à raison le recourant, cette constatation fonde l'obligation de prester de l'intimée mais ne répond pas à la question de savoir quand cette obligation prend fin, singulièrement quand le statu quo sine peut être considéré comme atteint. Or, sur ce point, aucun des médecins consultés par l'assuré ne s'est exprimé. Ils n'avaient d'ailleurs pas à le faire puisque la question ne leur a pas été posée dans ces termes.
Il y a par conséquent lieu de constater que l'instruction médicale du cas est insuffisante pour confirmer la fin des prestations après deux périodes successives de deux mois. Le jugement entrepris sera par conséquent annulé et la cause renvoyée à la Vaudoise pour qu'elle ordonne une expertise au sens de l'<ref-law>. Après quoi, elle rendra une nouvelle décision sur l'étendue du droit aux prestations de l'assuré. Dans cette mesure, le recours se révèle bien fondé.
5.
Vu le sort du litige, les frais de justice seront mis à la charge de l'intimée, qui succombe (<ref-law>). Par ailleurs, le recourant a droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis. La décision du 7 juin 2012 de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel ainsi que la décision sur opposition du 30 août 2011 de la Vaudoise sont annulés. La cause est renvoyée à l'assureur-accidents pour qu'il procède conformément aux considérants. Pour le surplus, le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
Une indemnité de dépens de 2'800 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) est allouée au recourant à la charge de l'intimée pour la procédure fédérale.
4.
La cause est renvoyée à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 26 juin 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Ursprung
La Greffière: von Zwehl