Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Bischofszell führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen versuchter Tötung, schwerer Körperverletzung und Gefährdung des Lebens. Mit Verfügungen vom 10. bzw. 11. April 2013 genehmigte das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Thurgau die Verwendung von Zufallsfunden (aus zwei Telefonüberwachungen im Rahmen einer separaten Strafuntersuchung) im Verfahren gegen den Beschuldigten. Eine vom Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 30. Mai 2013 gut. Es hob die Verfügungen vom 10. bzw. 11. April 2013 auf und wies die Sache zur Neubeurteilung zurück an das Zwangsmassnahmengericht.
B.
Gegen den Entscheid des Obergerichtes vom 30. Mai 2013 gelangte die Staatsanwaltschaft mit Beschwerde vom 8. Juli 2013 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Sache (zur Neubeurteilung) an das Obergericht.
Das Obergericht und der Beschuldigte beantragen mit Stellungnahmen vom 23. Juli bzw. 20. August 2013 je die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf (unter dem Gesichtspunkt des nicht wieder gutzumachenden Nachteils) überhaupt eingetreten werden kann. Das Zwangsmassnahmengericht verzichtete auf eine Vernehmlassung. Die Staatsanwaltschaft reichte am 29. August 2013 (unaufgefordert) weitere Akten ein.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Rückweisungsentscheid der kantonalen Beschwerdeinstanz, mit dem strafprozessuale Zwischenverfügungen (betreffend Verwendung von Zufallsfunden) aufgehoben und zur Neubeurteilung an das Zwangsmassnahmengericht zurückgewiesen werden. Zu prüfen ist, ob die Eintretensvoraussetzungen (von Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) erfüllt sind.
1.1. Als oberste rechtsprechende Behörde des Bundes soll sich das Bundesgericht in der Regel nur einmal mit der gleichen Streitsache befassen müssen. Nach ständiger Praxis zu <ref-law> ist ein strafprozessualer Zwischenentscheid daher nur ausnahmsweise mit Beschwerde in Strafsachen anfechtbar, sofern ein konkreter rechtlicher Nachteil droht, der auch durch einen (für die rechtsuchende Partei günstigen) Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 1 S. 115 mit Hinweis). Blosse Rückweisungsentscheide begründen nur ausnahmsweise einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f., E. 5.2 S. 483 ff., mit Hinweisen). Sofern die Sachurteilsvoraussetzungen nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich werden, obliegt es grundsätzlich der beschwerdeführenden Partei darzulegen, inwiefern sie erfüllt sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356).
1.2. Der beschwerdeführenden Staatsanwaltschaft ist zwar darin zuzustimmen, dass die Frage der Verwendbarkeit von Zufallsfunden aus Telefonüberwachungen noch im Untersuchungsverfahren abschliessend zu klären ist und nicht erst im Rechtsmittelverfahren gegen den Endentscheid bzw. gegen das letztinstanzliche Strafurteil (vgl. zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 1B_175/2013 vom 13. November 2013 E. 1.1). Sie verkennt jedoch, dass hier kein letztinstanzlicher kantonaler Zwischenentscheid betreffend Beweisverwertung angefochten ist, sondern ein blosser Rückweisungsentscheid.
1.3. Im angefochtenen Entscheid erwägt das Obergericht, es sei (aufgrund der ihm vorgelegten Unterlagen) nicht ersichtlich, wer auf welche Weise die Auswertungsprotokolle der Telefonüberwachungen (aus dem Verfahren gegen einen anderen Beschuldigten) erstellt und übersetzt habe und ob die notwendigen behördlichen Instruktionen (insbesondere betreffend die Straffolgen einer bewusst falschen Übersetzung) erfolgt waren. Die Protokolle der aufgezeichneten Gespräche seien (nötigenfalls) nochmals gesetzeskonform zu transkribieren und zu übersetzen, bevor sie als Zufallsfunde im vorliegenden Untersuchungsverfahren verwendet werden könnten. Ausserdem genüge die erstinstanzliche Begründung den Anforderungen des rechtlichen Gehörs nicht. Die Sache wurde in diesem Sinne zur neuen Prüfung an das Zwangsmassnahmengericht zurückgewiesen.
1.4. Der Staatsanwaltschaft bleibt es unbenommen, gegen den ausstehenden (kantonal letztinstanzlichen) materiellen Zwischenentscheid - nötigenfalls - Beschwerde an das Bundesgericht zu erheben. Sie legt nicht dar, weshalb in einer blossen Neubeurteilung durch das Zwangsmassnahmengericht ein nicht wieder gutzumachender Rechtsnachteil läge. Zwar macht sie geltend, bei einer "frühzeitigen Bekanntgabe" des für die Übersetzung der fraglichen Protokolle herangezogenen Dolmetschers drohe dessen Beeinflussung, bei einer zu späten Bekanntgabe die Unverwertbarkeit der Zufallsfunde. Sie substanziiert jedoch nicht, inwiefern im hängigen kantonalen Verfahren zwangsläufig eine unsachgemässe (zu frühe oder zu späte) Bekanntgabe des Dolmetschers drohen würde. Darüber hinaus ist weder dargetan, noch ersichtlich, weshalb die Staatsanwaltschaft im hängigen kantonalen Verfahren nicht geeignete Rechtsbegehren bzw. Anträge zum vorläufigen Rechtsschutz (Art. 387-388 i.V.m. <ref-law>) stellen könnte, um einem allfälligen Beweisverlust oder drohenden Kollusionshandlungen vorzubeugen.
2.
Auf die Beschwerde gegen den angefochtenen Rückweisungsentscheid ist nicht einzutreten.
Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Thurgau hat dem privaten Beschwerdegegner für das Verfahren vor dem Bundesgericht antragsgemäss eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>). Das betreffende Honorar wird dem amtlichen Verteidiger persönlich zugesprochen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Thurgau (Kasse der Staatsanwaltschaft Bischofszell) hat für das Verfahren vor Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- (pauschal, inkl. MWST) an Rechtsanwalt Dean Kradolfer zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster