Sachverhalt:
A. Die argentinischen Strafverfolgungsbehörden führen gegen X._ ein Strafverfahren wegen des Verdachts der ungetreuen Amtsführung. Die Anstalt Y._, deren Präsident X._ gewesen sei, soll mit ihrer deutschen Lieferantin Z._ GmbH Überfakturierungen von 40 bis 50 Prozent der effektiven Kosten vereinbart haben. Daraus habe unter anderem X._ Zuwendungen erhalten.
Mit Rechtshilfeersuchen vom 5. September 2007 sowie vom 7. Mai und 15./17. Dezember 2008 baten die argentinischen Behörden die schweizerischen um Bankermittlungen.
Mit Schlussverfügung vom 8. Mai 2009 ordnete die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) die Herausgabe von Bankunterlagen an den ersuchenden Staat an.
Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesstrafgericht (II. Beschwerdekammer) am 7. Januar 2010 gut, soweit X._ mit der Schlussverfügung Kosten auferlegt wurden. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
B. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der Entscheid des Bundesstrafgerichts sei aufzuheben, soweit dieses seine Beschwerde abgewiesen und ihm Kosten auferlegt habe; ebenso sei die Schlussverfügung aufzuheben.
Eventualiter sei die Behandlung des Rechtshilfeersuchens bzw. der Rechtshilfeersuchen auszusetzen und habe das Bundesamt für Justiz die ersuchenden Behörden in Anwendung von Art. 80o IRSG (SR 315.1) um ergänzende Informationen zu ersuchen.
Subeventualiter seien lediglich im Einzelnen genannte Bankunterlagen an die ersuchende Behörde herauszugeben.
X._ beantragt ausserdem, es sei ihm in Anwendung von Art. 43 BGG Frist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung anzusetzen. Der bundesgerichtliche Entscheid und jener der Vorinstanz seien sodann weder in elektronischer noch gedruckter Form zu publizieren.
C. Das Bundesstrafgericht und die Staatsanwaltschaft haben auf Gegenbemerkungen verzichtet.
Das Bundesamt für Justiz hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Es hält dafür, es fehle an der Eintretensvoraussetzung des besonders bedeutenden Falles nach Art. 84 BGG.
D. X._ hat eine Replik eingereicht. Er hält an den in der Beschwerde gestellten Anträgen fest.

Erwägungen:
1. Gemäss Art. 84 BGG ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn er unter anderem eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
Der Begriff des schweren Mangels des ausländischen Verfahrens ist restriktiv auszulegen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 274 mit Hinweis).
Art. 84 BGG bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweisen).
Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis).
Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach Artikel 84 vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist.
Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen als unzulässig, so fällt es gemäss Art. 107 Abs. 3 BGG den Nichteintretensentscheid innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels.
Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
2. Zwar geht es hier um die Übermittlung von Informationen aus dem Ge-heimbereich und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach Art. 84 Abs. 1 BGG insoweit möglich ist. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers handelt es sich jedoch um keinen besonders bedeutenden Fall.
Was der Beschwerdeführer vorbringt, ist nicht geeignet, einen solchen Fall darzutun. Ein Rechtshilfehindernis ist nicht ersichtlich. Die Vorinstanz hat sich mit den wesentlichen Einwänden des Beschwerdeführers auseinandergesetzt. Sie beurteilt insbesondere die Rüge der Verletzung des Spezialitätsprinzips als unbegründet (S. 15 f. E. 7) und verneint einen schweren Mangel des ausländischen Verfahrens (S. 16 f. E. 8). Ihre Ausführungen hierzu wie auch alle ihre weiteren Erwägungen, worauf verwiesen werden kann, lassen keine Bundesrechtsverletzung erkennen. Es geht um den Vorwurf passiver Bestechung eines in der hiesigen Bevölkerung unbekannten ausländischen Amtsträgers, was nicht selten Gegenstand von Rechtshilfeersuchen darstellt. Dem Fall kommt keine aussergewöhnliche Tragweite zu. Für das Bundesgericht besteht deshalb kein Anlass, die Sache an die Hand zu nehmen.
Auf die Beschwerde wird daher nicht eingetreten.
3. Da die Beschwerde unzulässig ist, fällt die Ansetzung einer Nachfrist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung gemäss Art. 43 lit. a BGG ausser Betracht.
Der Beschwerdeführer hatte bereits vor Vorinstanz beantragt, den Entscheid weder in elektronischer noch gedruckter Form zu veröffentlichen. Die Vorinstanz hat den Antrag abgewiesen (S. 17 ff. E. 9). Dem entsprechenden Antrag ist auch hier nicht stattzugeben. Dem berechtigten Interesse des Beschwerdeführers am Persönlichkeits- und Datenschutz wird mit der Anonymisierung des Urteils Rechnung getragen. Zwar werden Personen, die mit der Sache vertraut sind, erkennen können, um wen es geht. So verhält es sich jedoch bei nahezu allen Urteilen, welche das Bundesgericht der Öffentlichkeit zugänglich macht. Dies allein stellt keinen zureichenden Grund für einen Verzicht auf die Veröffentlichung dar. Andernfalls wäre eine transparente Rechtsprechung, der erhebliche Bedeutung zukommt, unmöglich (<ref-ruling> E. 8.3 S. 108 f.). Das vorliegende Urteil wird deshalb praxisgemäss in anonymisierter Form im Internet veröffentlicht.
Da der Beschwerdeführer unterliegt, trägt er die Kosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich sowie dem Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri