Sachverhalt:
A. Der Stadtrat von Luzern erteilte am 19. Februar 2003 E._ die Bewilligung zum Bau eines Zweifamilienhauses auf ihrem am Vierwaldstättersee gelegenen Grundstück Nr. 3351, Grundbuch Luzern. Gleichzeitig wies er die gegen das Bauvorhaben eingereichten Einsprachen ab. A._ und B._ erhoben gegen die Baubewilligung Beschwerde. Da bezüglich der massgeblichen Gewässergrenze Unsicherheiten bestanden, sistierte das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern diese Verfahren und forderte das (damals zuständige) Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement auf, einen entsprechenden Feststellungsentscheid zu erlassen.
Die erste Verfügung der Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation (rawi) vom 14. September 2004, welche die Festlegung des Verlaufs der Böschungsoberkante betraf, hob das Verwaltungsgericht auf Beschwerde von A._ und B._ wegen Missachtung des rechtlichen Gehörs auf und wies die Sache an die Dienststelle rawi zurück.
A._ und B._ fochten auch den zweiten Entscheid der Dienststelle rawi vom 23. September 2005, welcher unter anderem eine Ausnahmebewilligung zur Unterschreitung des gesetzlichen Gewässerabstands zum Vierwaldstättersee enthielt, an. Mit Urteil vom 27. Juli 2006 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerden insofern teilweise gut, als bei den Profilen 34 und 37 die Unterschreitung des ordentlichen Gewässersabstands bewilligt worden war. Im Übrigen wies es die Beschwerden ab.
In demselben Urteil vom 27. Juli 2006 hiess das Verwaltungsgericht die bis dahin sistierten Verwaltungsgerichtsbeschwerden von A._ und B._ gegen die Erteilung der Baubewilligung gut, hob die Baubewilligung vom 19. Februar 2003 auf und wies die Sache an den Stadtrat zurück, damit dieser im Sinne der Erwägungen entscheide. Grund für die Aufhebung der Baubewilligung bildete die Unterschreitung des gesetzlich vorgeschriebenen Mindestabstands zum See bei den Profilen 34 und 37. Im Urteil wurde Folgendes festgehalten:
"Angesichts der langen Dauer des Baubewilligungsverfahrens und aufgrund der Tatsache, dass das vorliegende Bauprojekt einzig den Gewässerabstand nicht einhält, kann der Stadtrat Luzern ein neues Baugesuch - unter Einbezug der beteiligten Parteien - prüfen, ohne neuerliche öffentliche Auflage, wenn die Bauherrschaft innerhalb eines halben Jahres ein neues Projekt vorlegt. Dieses Vorgehen ist jedoch nur dann statthaft, wenn einzig eine Reduktion des Gebäudes zur Einhaltung des Gewässerabstands vorgenommen wird. Sollten wesentliche weitere Projektänderungen erfolgen, wäre eine neue öffentliche Auflage unumgänglich."
In der Folge reichte E._ revidierte Pläne ein. Die Änderungen betrafen lediglich die Verkleinerung des Gebäudes im Bereich der Profile 34 und 37, um den Gewässerabstand von 10m gegenüber dem See einzuhalten, sowie die damit zusammenhängenden notwendigen Anpassungen. Am 9. Mai 2007 erteilte der Stadtrat Luzern die Bewilligung für das Bauprojekt. Gleichzeitig wies er die Einsprachen von A._ und B._ ab, soweit er darauf eintrat. Auf die Einsprache der Stockwerkeigentümergemeinschaft M., bestehend aus B._, A._, C._ und D._, trat er nicht ein.
Dagegen beschwerte sich die Stockwerkeigentümergemeinschaft beim Verwaltungsgericht und stellte folgende Anträge:
1. Der Entscheid des Stadtrates Luzern, Baudirektion vom 9. Mai 2007 (StB 425) betr. Erteilung der Baubewilligung für ein Zweifamilienhaus mit Einstellhalle, M., Grundstück Nr. 3351, Grundbuch Luzern, linkes Ufer, sei aufzuheben.
2. Es sei festzustellen, dass das Baugrundstück nicht erschlossen ist und die Baubewilligung nicht erteilt werden kann.
3. Es sei festzustellen, dass der Beschwerdeführerin in den vorinstanzlichen Verfahren das rechtliche Gehör verweigert worden ist.
4. Es sei festzustellen, dass die Vorinstanz zu Unrecht auf die Einsprache der Beschwerdeführerin vom 17. Januar 2007 nicht eingetreten ist.
5. Eventualiter sei die Vorinstanz zu verpflichten, das Bauvorhaben in Bezug auf die Beschwerdeführerin neu aufzulegen.
6. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin.
Mit Urteil vom 27. Mai 2008 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte es Folgendes aus: Die ordentliche öffentliche Auflage des Baugesuchs habe vom 3. bis zum 22. Oktober 2002 stattgefunden. Innert dieser Frist habe die Stockwerkeigentümergemeinschaft keine Einsprache erhoben, weshalb sie in den nachfolgenden Verfahren auch nicht Partei gewesen sei. Bei der Auflage vom 8. bis zum 17. Januar 2007, welche Grundlage des vorliegenden Verfahrens bilde, handle es sich nicht um eine öffentliche Auflage gemäss § 193 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes (PBG/LU), sondern um die vom Verwaltungsgericht mit Urteil vom 27. Juli 2006 angeordnete Auflage des bezüglich des Gewässerabstands verbesserten Projekts. Die Stockwerkeigentümergemeinschaft habe sich im ordentlichen Planauflageverfahren nicht mit einer Einsprache gemeldet. Zudem erhebe sie keine Rügen bezüglich der Einhaltung des Gewässerabstands. Es sei demzufolge nicht zu beanstanden, dass der Stadtrat auf ihre Einsprache im zweiten Planauflageverfahren nicht eingetreten sei.
Das Verwaltungsgericht erwog weiter, dass, soweit die Beschwerde als solche der einzelnen Stockwerkeigentümer entgegen genommen werde, bezüglich C._ und D._ resp. allfälliger Rechtsvorgänger auf das zur Beschwerde der Stockwerkeigentümergemeinschaft Ausgeführte zu verweisen sei. Hingegen sei die Beschwerdelegitimation von A._ und von B._ dem Grundsatz nach zu bejahen. Zu beachten sei aber, dass mit der zweiten Einsprache gegen das verbesserte Bauprojekt nur Beanstandungen bezüglich des Gewässerabstands hätten vorgebracht werden können, da der Rückweisungsentscheid des Verwaltungsgerichts einzig diesen Punkt betroffen und die Beschwerdegegnerin keine darüber hinausgehenden Änderungen am Bauprojekt vorgenommen habe. A._ und B._ würden indessen nicht den Gewässerabstand, sondern die Erschliessung des Grundstücks rügen. Es sei nicht zulässig, das vorliegende Verfahren auf die Frage der Erschliessung auszudehnen. Deshalb sei auf die Beschwerde von A._ und von B._ in diesem Punkt nicht einzutreten. Mit der Rüge, der Stockwerkeigentümergemeinschaft und den Miteigentümern C._ und D._ sei das rechtliche Gehör verweigert worden, würden A._ und B._ Drittinteressen geltend machen, wozu sie nicht befugt seien. Auch in diesem Punkt sei demnach auf die Beschwerde nicht einzutreten.
B. Die Stockwerkeigentümergemeinschaft M., bestehend aus A._, B._, C._ und D._, sowie C._ und D._ haben gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 27. Mai 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie stellen folgende Anträge:
1. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, verwaltungsrechtliche Abteilung, vom 27. Mai 2008 sei aufzuheben.
2. Es sei festzustellen, dass der Beschluss des Stadtrates von Luzern vom 9. Mai 2007 (StB 425), mit welchem der Beschwerdegegnerin die Baubewilligung für ein Zweifamilienhaus mit Einstellhalle, M., Grundstück Nr. 3351, Grundbuch Luzern, linkes Ufer, erteilt wird, gegen formelles und materielles Recht verstösst. Der Beschluss sei aufzuheben und die Baubewilligung zu verweigern.
Insbesondere sei festzustellen, dass sowohl das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, verwaltungsrechtliche Abteilung, als auch der Beschluss des Stadtrates von Luzern vom 9. Mai 2007 (StB 425) den Beschwerdeführern das rechtliche Gehör verweigert. Ebenso sei festzustellen, dass die besagten Entscheide im Sinne von Art. 9 BV willkürlich sind.
3. Eventualiter sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhaltes und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. Vorliegender Beschwerde sei auf Antrag der Beschwerdeführer die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin.
C. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, verzichtet aber auf Vernehmlassung. Die Stadt Luzern sowie E._ schliessen ebenfalls auf Beschwerdeabweisung.
D. Mit Verfügung vom 6. Oktober 2008 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Beschwerdewirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts, ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG), betrifft eine Bausache und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinn von Art. 82 lit. a BGG. Die Stockwerkeigentümergemeinschaft gilt als beschwerdefähig (BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 1 zu Art. 89 BGG). Sowohl diese als auch jeder einzelne Stockwerkeigentümer haben sich am verwaltungsgerichtlichen Verfahren, in dem über die Behandlung ihrer Baueinsprachen durch den Stadtrat entschieden wurde, beteiligt und sind demnach beschwerdelegitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde ist damit - unter Vorbehalt genügend begründeter Rügen - zulässig.
1.2 Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Anwendungsbereich dieser Bestimmung ist die Praxis zum Rügeprinzip bei der staatsrechtlichen Beschwerde weiterzuführen (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
Die Beschwerdeführer beanstanden die mangelhafte Erschliessung des Baugrundstücks. Sie setzen sich aber mit den Erwägungen des angefochtenen Urteils nicht rechtsgenüglich auseinander, sondern beschränken sich im Wesentlichen auf Wiederholungen der Vorbringen im kantonalen Verfahren. Da die Beschwerdeführer in diesem Punkt die Rügepflicht nicht erfüllen, ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten. Ihr in diesem Zusammenhang gestellter Antrag der Abnahme eines Augenscheins ist damit gegenstandslos.
1.3 In Ergänzung zu den Rügen, die sich auf Art. 95 f. BGG stützen, können unter den engen Voraussetzungen von Art. 97 Abs. 1 BGG die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Urteils beanstandet werden. Ein solches Vorbringen kann nach der letztgenannten Bestimmung aber nur erhoben werden, wenn die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (vgl. die Botschaft, BBl 2001 S. 4338). Der Willkürvorwurf ist detailliert und präzise zu begründen (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
2. 2.1 Die Beschwerdeführer machen geltend, nicht alle Stockwerkeigentümer hätten vor Eröffnung des ordentlichen, vom 3. bis zum 22. Oktober 2002 dauernden Planauflageverfahrens eine Bauanzeige erhalten. Gemäss § 193 Abs. 3 PBG/LU seien die Behörden aber verpflichtet, den Anstössern die öffentliche Auflage des Baugesuchs mit eingeschriebenem Brief und dem Hinweis auf die Einsprachemöglichkeit während der Auflagefrist bekannt zu geben. Die Beschwerdeführer rügen, das Verwaltungsgericht habe den Sachverhalt bezüglich der Frage, ob alle Anstösser eine Bauanzeige erhalten hätten, nicht genügend abgeklärt und dadurch § 193 Abs. 3 PBG/LU willkürlich angewendet sowie den Anspruch auf rechtliches Gehör der nicht benachrichtigten Stockwerkeigentümer (Beschwerdeführer 2 und 3) sowie der Stockwerkeigentümergemeinschaft verletzt, welche in der Folge vom weiteren Verfahren ausgeschlossen worden seien.
2.2 Dem bei den Akten liegenden Bauentscheid des Stadtrats Luzern vom 19. Februar 2003 kann entnommen werden, dass während der Auflagefrist vom 3. bis zum 22. Oktober 2002 vier Einsprachen erhoben wurden. Zwei der Einsprecher sind Stockwerkeigentümer der Stockwerkeigentümergemeinschaft M. Das Verwaltungsgericht verstösst nicht gegen das Willkürverbot bei der Sachverhaltsermittlung, wenn es aufgrund der gegebenen Sachlage annimmt, dass auch die übrigen Stockwerkeigentümer vor dem ersten Planauflageverfahren eine Bauanzeige erhielten.
Damit ist gleichzeitig gesagt, dass das Verwaltungsgericht weder § 193 Abs. 3 PBG/LU willkürlich anwendete noch den Gehörsanspruch der Beschwerdeführer verletzte, indem es den Nichteintretensentscheid des Stadtrats im zweiten, vom 8. bis zum 17. Januar 2007 dauernden Planauflageverfahren mit der Begründung schützte, die Beschwerdeführer hätten sich im ordentlichen Planauflageverfahren nicht mit einer Einsprache gemeldet und würden keine Rügen im Zusammenhang mit der Projektverbesserung (Gewässerabstand) erheben.
Daran ändert auch der zwischenzeitlich erfolgte Wechsel des Eigentümers eines der betroffenen Stockwerke nichts. Der Beschwerdeführer 3 wurde gemäss seinen Angaben erst im Jahr 2004 Stockwerkeigentümer. Er muss sich die unterlassenen Rechtshandlungen seines Rechtsvorgängers anrechnen lassen.
Die Beschwerde ist in diesem Punkt abzuweisen.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen und die private Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadt Luzern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder