Erwägungen:
1. X._, geb. 1953, Staatsangehöriger von Rwanda, reiste 1994 in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Das Gesuch wurde am 10. Februar 1997 abgewiesen, unter gleichzeitiger Anordnung der Wegweisung; diese wurde indessen nicht vollstreckt, und X._ wurde vorläufig aufgenommen. Am 28. Februar 2006 ersuchte er das Amt für Migration des Kantons Luzern, ihm gestützt auf Art. 13 lit. b der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (BVO; SR 823.21) eine ordentliche Jahresaufenthaltsbewilligung zu erteilen. Das Amt für Migration lehnte das Gesuch mit Verfügung vom 29. Oktober 2007 ab. Hiergegen erhob X._ am 20. November 2007 Beschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern. Dieses forderte ihn am 26. November 2007 auf, bis spätestens zum 11. Dezember 2007 einen Vorschuss von Fr. 1'200.-- zur Sicherstellung der amtlichen Kosten zu leisten oder ein belegtes und begründetes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege einzureichen, unter Hinweis darauf, dass andernfalls auf die Beschwerde nicht eingetreten würde. Am 20. Dezember 2007 trat das Departement auf die Beschwerde nicht ein, weil innert Frist weder der verlangte Kostenvorschuss bezahlt noch ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingereicht worden war.
Mit einer als "Mémoire de plainte pour violation des droits fondamentaux" bezeichneten Rechtsschrift vom 18. Januar 2008 beschwert sich X._ beim Bundesgericht über das Verhalten der Behörden des Kantons Luzern und des Bundes. Er nimmt Bezug auf den Entscheid vom 20. Dezember 2007, sodass die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen jenen Entscheid zu betrachten ist; ein anderes denkbares Anfechtungsobjekt liegt nicht vor.
2. Rechtsschriften haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden, weshalb in der Begründung spezifisch aufzuzeigen ist, inwiefern der angefochtene Entscheid solche Rechte verletzte (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Die Begründung hat sachbezogen zu sein; wird ein Nichteintretensentscheid angefochten, muss sich der Beschwerdeführer mit den Erwägungen auseinandersetzen, welche die Vorinstanz zum Nichteintreten bewogen haben. Der Eingabe vom 18. Januar 2008 lässt sich nichts entnehmen, was Bezug zum vom Justiz- und Sicherheitsdepartement geltend gemachten Nichteintretensgrund (Nichtleisten des Kostenvorschusses innert Frist) hätte. Die Beschwerde enthält mithin offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>), weshalb darauf im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
Ergänzend ist darauf hinzuweisen, dass die Beschwerde, könnte darauf eingetreten werden, keine Erfolgsaussichten hätte: Inwiefern das Departement (verfassungsmässige) Rechte verletzt haben könnte, indem es nach unbenutztem Ablauf der Zahlungsfrist und ohne dass ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt und begründet worden wäre, auf die Beschwerde nicht eintrat, bleibt angesichts von § 195 Abs. 2 des Luzerner Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG) unerfindlich. Auch ein Rechtsanwalt vermöchte eine Mangelhaftigkeit des Entscheids vom 20. Dezember 2007 nicht aufzuzeigen. Damit ist auch gesagt, dass das Gesuch des Beschwerdeführers um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsanwalts wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1, Abs. 2 und Abs. 3 Satz 2 BGG).
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Januar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller