Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann nur so weit eingetreten werden, als die Schadenersatzforderung kraft Bundesrechts streitig ist. Im vorliegenden Verfahren ist deshalb auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde in dem Umfang nicht einzutreten, als sie sich gegen die Schadenersatzforderung für entgangene Beiträge an die kantonale Familienausgleichskasse richtet (vgl. <ref-ruling> Erw. 1b, 118 V 69 Erw. 1b mit Hinweis).
b) Da es sich bei der angefochtenen Verfügung nicht um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen handelt, hat das Eidgenössische Versicherungsgericht nur zu prüfen, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzt hat, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
2.- Das kantonale Obergericht hat unter Hinweis auf Gesetz (<ref-law>) und Rechtsprechung (vgl. statt vieler <ref-ruling> Erw. 5b) die Voraussetzungen zutreffend dargelegt, unter welchen Organe juristischer Personen den der Ausgleichskasse wegen Verletzung der Vorschriften über die Beitragsabrechnung und -zahlung (<ref-law>; <ref-law>) qualifiziert schuldhaft verursachten Schaden zu ersetzen haben. Darauf wird verwiesen.
3.- a) Ausstehend sind Nachforderungen auf im Jahr 1997 ausgerichteten Löhnen sowie die Beiträge auf den dem Beschwerdeführer selbst gutgeschriebenen Entgelten für Januar und Februar 1999. Der Versicherte bestreitet die Ausstände an sich nicht, sondern beruft sich auf angebliche Zusagen des zweiten Geschäftsführers B._. Solche entbinden den Beschwerdeführer angesichts seiner Funktion als Geschäftsführer mit Einzelunterschrift jedoch nicht von der Verantwortung, für die korrekte Bezahlung aller seit dem Stellenantritt fälligen und während der Anstellungsdauer hinzugekommenen Sozialversicherungsbeiträge zu sorgen (ZAK 1992 S. 254 Erw. 7b). Dass er solches getan hätte, weist er nicht nach. Indessen braucht die Frage, ob der Beschwerdeführer sich grobfahrlässig verhalten hat, nicht abschliessend geprüft zu werden.
b) Der kantonale Entscheid verletzt aus einem andern Grund Bundesrecht. Er lässt unberücksichtigt, dass der Beschwerdeführer von seiner Arbeitgeberfirma auf den 28. Februar 1999 entlassen worden ist. Am 26. Februar 1999 ersuchte er selbst das zuständige Handelsregisteramt um Löschung seines Eintrags. Wohl erfolgte diese erst im April 1999, doch deutet nichts darauf hin, dass der Beschwerdeführer die Verzögerung zu verantworten hätte. Vielmehr ist davon auszugehen, dass er Ende Februar 1999 definitiv aus der Firma ausgeschieden ist und nach diesem Datum keine Möglichkeiten mehr hatte, Einfluss auf den Geschäftsgang zu nehmen. Diesbezüglich ist der massgebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt worden (vgl. Erw. 1 lit. b). Unter solchen Umständen kann der Beschwerdeführer aber nicht für ausstehende Sozialversicherungsbeiträge haftbar gemacht werden, welche erst nach dem 28. Februar 1999 zur Zahlung fällig geworden sind.
aa) Für die fehlenden Beiträge des Jahres 1997 hat der Beschwerdeführer sich bei der Ausgleichskasse um eine Zahlungsvereinbarung bemüht. Mit Verfügung vom 22. Februar 1999 hat die Kasse einer solchen zugestimmt und die Firma verpflichtet, die betreffenden Ausstände im Totalbetrag von Fr. 8071. 50 in insgesamt 13 Raten zu tilgen, von welchen die erste im Betrag von Fr. 2000.- im März 1999 zu leisten gewesen wäre. Zwar wird das Verschulden eines Organs auch bei Vorliegen eines mit der Ausgleichskasse vereinbarten Zahlungsaufschubs nach den Umständen beurteilt, die zum Zahlungsrückstand geführt haben. Eine Zahlungsvereinbarung ist jedoch soweit mit zu berücksichtigen, als den Beitragspflichtigen darin ein Abweichen von den ordentlichen Zahlungsterminen zugestanden wird (<ref-ruling> Erw. 3b). Die erwähnte Verfügung vom 22. Februar 1999 gestattete der Firma ein solches Abweichen von den ordentlichen Terminen. Die erste Rate musste erst im März 1999 beglichen werden, somit zu einem Zeitpunkt, in welchem der Beschwerdeführer keinen Einfluss auf die Geschäftstätigkeit mehr hatte. Er kann daher für die von der Zahlungsvereinbarung erfassten Ausstände nicht belangt werden.
bb) Die restlichen Ausstände betreffen die Beiträge auf dem Lohn des Beschwerdeführers im Januar und Februar 1999. Die in Konkurs gefallene Firma entrichtete ihre Beiträge normalerweise vierteljährlich. Die Abgaben für die zwei genannten Monate stellte die Kasse am 12. März 1999 in Rechnung, wobei sie eine Zahlungsfrist bis 12. April 1999 einräumte. Somit wurden auch die Beiträge für Januar und Februar 1999 erst nach dem Ausscheiden des Beschwerdeführers aus der Firma fällig. Im Ergebnis hat dieser daher, soweit bundesrechtliche Beiträge betreffend, keinen Schadenersatz zu leisten.
4.- Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Die Ausgleichskasse als unterliegende Partei hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, soweit
darauf einzutreten ist, wird der Entscheid des
Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 6. April
2001 aufgehoben, und es wird die Schadenersatzklage
der Ausgleichskasse des Kantons Schaffhausen vom 25. Januar 2001 abgewiesen, soweit sie sich auf
Bundesrecht stützt.
II.Die Gerichtskosten von total Fr. 1000.- werden der Ausgleichskasse des Kantons Schaffhausen auferlegt.
III. Der Gerichtskostenvorschuss von Fr. 1000.- wird dem
Beschwerdeführer zurückerstattet.
IV.Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 25. Februar 2002
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: