Sachverhalt:
A. Der 1950 geborene J._ ist bei der Intras Krankenkasse obligatorisch krankenpflegeversichert. Am 20. Dezember 2001 wurde ihm wegen einer morbiden Adipositas im Spital X._ ein Magen-Bypass eingesetzt, wofür die Intras vorgängig, am 22. Juni 2000, Kostengutsprache erteilt hatte.
Als der Versicherte, nachdem er postoperativ vorerst abgenommen hatte, erneut zunahm, ersuchte Dr. med. A._, Facharzt FMH für Chirurgie spez. Viszeralchirurgie, die Intras mit Schreiben vom 24. Februar 2005 um Erteilung einer Kostengutsprache für eine Reoperation, welche am 11. April 2005 im Spital X._ durchgeführt wurde (laparaskopische und offene Adhäsiolyse, biliopankreatische Diversion; stationärer Aufenthalt vom 11. bis 15. April 2005).
Mit Schreiben vom 9. Mai 2005 teilte die Intras Dr. med. A._ mit, die Voraussetzungen für eine Kostenübernahme seien nicht erfüllt. An diesem Standpunkt hielt sie im Verlaufe der weiteren Korrespondenz fest.
Mit Verfügung vom 6. Januar 2006 lehnte die Intras eine Übernahme der Kosten der Operation vom 11. April 2005 ab. Dagegen erhob der Versicherte Einsprache. In Gutheissung der von J._ eingereichten Beschwerde wegen Rechtsverzögerung/Rechtsverweige-rung wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Intras an, über die Einsprache ohne Verzug einen Entscheid zu erlassen (Entscheid vom 2. September 2008). Mit Entscheid vom 1. September 2009 trat die Intras auf die Einsprache nicht ein (Ziffer 1), eventualiter wies sie sie ab (Ziffer 2).
B. Der Versicherte liess hiegegen Beschwerde erheben mit dem Rechtsbegehren, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und die Intras sei zu verpflichten, sämtliche Kosten im Zusammenhang mit dem Eingriff und der Behandlung vom 11. bis 15. April 2005 zu übernehmen und auf den geschuldeten Leistungen Verzugszins zu entrichten sowie den weiteren Verzugsschaden zu ersetzen. Mit Entscheid vom 2. Juli 2010 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde teilweise gut und hob Ziffer 1 des Einspracheentscheides auf. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C. J._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei zur weiteren Abklärung und zu neuem Entscheid an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Die Intras schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit (BAG) lässt sich vernehmen, ohne einen formellen Antrag zu stellen.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2).
2. 2.1 Die obligatorische Krankenpflegeversicherung übernimmt die Kosten für die Leistungen gemäss Art. 25-31 nach Massgabe der in Art. 32-34 KVG festgelegten Voraussetzungen (<ref-law>). Sie übernimmt die Kosten für die Leistungen, die der Diagnose oder Behandlung einer Krankheit und ihrer Folgen dienen (<ref-law>).
2.2 Gestützt auf <ref-law> kann der Bundesrat die von Ärzten und Ärztinnen erbrachten Leistungen bezeichnen, deren Kosten von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung nicht oder nur unter bestimmten Bedingungen übernommen werden. Das Eidgenössische Departement des Innern (EDI), an welches der Bundesrat diese Aufgabe übertragen hat (vgl. <ref-law> in Verbindung mit Art. 33 lit. a und c KVV), hat gemäss Art. 1 der Verordnung vom 29. September 1995 über Leistungen in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (Krankenpflege-Leistungsverordnung, KLV; SR 832.112.31) im Anhang 1 zur KLV die ärztlichen Leistungen aufgeführt, welche vorbehaltlos, unter gewissen Voraussetzungen oder überhaupt nicht zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung gehen. Operative Adipositas-Behandlungen (Gastric Roux-Y Bypass, Gastric Banding, Vertical Banded Gastroplasty) stellen lediglich unter gewissen Voraussetzungen, welche in Ziffer 1.1 des Anhangs 1 zur KLV (in den im Zeitpunkt der Operation und der Reoperation gültig gewesenen Fassungen) aufgelistet sind (lit. a-g), Pflichtleistungen zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung dar. Vorausgesetzt ist dabei unter anderem, dass der Patient oder die Patientin einen Body-Mass-Index (BMI) von mehr als 40 hat (lit. c) und dass eine zweijährige adäquate Therapie zur Gewichtsreduktion erfolglos war (lit. d).
2.3 Die Krankenversicherer haben bei Pflichtleistungen auch dann eine Kostenvergütung zu leisten, wenn eine therapeutische Massnahme den angestrebten Erfolg (zunächst) nicht erreicht, eine Komplikation auftritt und deswegen eine Reoperation erforderlich wird (RKUV 2003 Nr. KV 251 S. 226, K_79/02 E. 3.1). Das Ziel der ärztlichen Behandlung ist nach dem Konzept des KVG letztlich die möglichst vollständige Beseitigung der körperlichen oder psychischen Beeinträchtigung (<ref-ruling> E. 2.2 S. 535 f.; <ref-ruling> E. 4b S. 295; <ref-ruling> E. 5b S. 305 f.; Gebhard Eugster, Bundesgesetz über die Krankenversicherung, 2010, N. 2 zu <ref-law>).
3. 3.1 Es ist unbestritten, dass die Indikationen für eine operative Adipositas-Behandlung beim Beschwerdeführer im Jahre 2001 vorgelegen haben; die Beschwerdegegnerin hat denn auch die Kosten der am 20. Dezember 2001 durchgeführten Magen-Bypass-Operation übernommen. Ebenso steht aufgrund der Akten fest, dass der Beschwerdeführer nach der Operation zuerst von 134 kg (BMI 43.4 kg/m2) auf 101 kg, mithin 33 kg, abgenommen (nach seinen eigenen Angaben sogar 39 kg), bereits sechs Monate nach der Operation indessen wieder an Gewicht zugenommen und im Februar 2005 wieder 120.9 kg (BMI 39.93 kg/m2 [bei einer Körpergrösse von 1.74 m] oder 40.6 kg/m2 [bei einer Körpergrösse von 1.73 m]) gewogen hat.
3.2 Mit der operativen Adipositas-Behandlung wird je nach Operationsverfahren eine Verminderung der Menge der konsumierten Nahrung (Restriktion), eine Verminderung der Menge der tatsächlich aufgenommenen Nahrung (Malabsorption) oder eine Kombination von beidem herbeigeführt, wodurch es zu einer Gewichtsreduktion kommt (Müller/Wildli/Weber, Morbide Adipositas - Magenband und Magenbypass, Therapeutische Umschau 2005, S. 101 ff., 102). Bei der beim Beschwerdeführer am 20. Dezember 2001 vorgenommenen Bypass-Operation wurde ein restriktives Verfahren mit malabsorptiven Nebenwirkungen gewählt. Dabei ist aufgrund der Akten erstellt und wird von keiner Seite bestritten, dass die im Rahmen des ersten Eingriffs erzielte Restriktion erhalten ist, d.h. dass der Beschwerdeführer über eine genügend kleine (die Nahrungsaufnahme einschränkende) Magentasche verfügt (Bericht des Dr. med. A._ vom 24. Februar 2005).
3.3 Uneinigkeit besteht unter den Parteien in der Frage, weshalb der Beschwerdeführer nach der Operation von 2001 wieder an Gewicht zugenommen hat. Der Beschwerdeführer stützt sich auf die Auffassung des behandelnden Arztes Dr. med. A._, welcher einen zu langen Dünndarm beziehungsweise dessen Fähigkeit, die Mucosa anzupassen (insbesondere Bericht des Dr. med. A._ vom 24. Februar 2005), dafür verantwortlich macht. Demgegenüber hält die Beschwerdegegnerin mit Dr. med. B._, Vertrauensarzt der Intras, eine mangelhafte Diätdisziplin für die Ursache (insbesondere Bericht des Dr. med. B._ vom 1. Juli 2005).
3.4 Nach einlässlicher Würdigung der medizinischen Akten gelangte die Vorinstanz zum Ergebnis, es sei mit Dr. med. B._ davon auszugehen, dass die Gewichtszunahme mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf eine mangelhafte Diätdisziplin oder einen Diätwechsel zurückzuführen sei. Zwar sei gemäss Dr. med. B._ eine Umgehung der Bypass-Wirkung durch eine übertriebene Nahrungsaufnahme wegen der damit einhergehenden Beschwerden (Unwohlsein, Durchfall, Dumping) selten. Doch entspreche es einer medizinischen Erfahrungstatsache (die Vorinstanz berief sich hierfür auf die Angaben der Swiss Study Group for Morbid Obesity [SMOB], www.smob.ch), dass der restriktive Wirkungsmechanismus durch eine Änderung der Nahrungsaufnahme - etwa Umstellung auf vorwiegend flüssige oder pürierte Kost - kalorienmässig umgangen werden könne. Der zu lange Dünndarm allein vermöge die Gewichtszunahme vor der zweiten Operation nicht zu erklären. Hinweise auf andere (medizinische) Ursachen fänden sich in den Akten nicht und würden namentlich vom behandelnden Arzt, Dr. med. A._, auch nicht geltend gemacht. Der Annahme eines Diätwechsels als Ursache stehe nicht entgegen, dass sich der Beschwerdeführer den von der SMOB empfohlenen regelmässigen Kontrollen nach Magen-Bypass-Operation unterzogen habe, zumal nur während drei Wochen ein kontrollierter Ernährungsaufbau stattfinde und anschliessend anlässlich halbjährlicher Kontrollen nur noch Blut- und Gewichtskontrollen durchgeführt würden. Bei dieser Sachlage erübrigten sich bezüglich der Diätdisziplin weitere Abklärungen beim Hausarzt oder der Hausärztin. Nichts ableiten lasse sich auch aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer nach der Reoperation vom 11. April 2005 sein Gewicht wieder auf 95 kg habe reduzieren können, betreffe dies doch nicht seine Kooperation in dem hier interessierenden Zeitraum vor der Reoperation. Da die Gewichtszunahme nach der Magen-Bypass-Operation überwiegend wahrscheinlich (auch) durch eine Änderung der Nahrungsaufnahme oder einen Diätwechsel bedingt sei, stelle sie keine Komplikation dar und handle es sich beim Eingriff vom 11. April 2005 damit nicht um eine Folgeoperation, für welche der Krankenversicherer leistungspflichtig wäre. Bei einem Diätwechsel als Ursache seien vor der zweiten Operation auch die Voraussetzungen nach Ziff. 1.1 des Anhangs 1 der KLV nicht erfüllt gewesen, dies mangels Durchführung einer adäquaten zweijährigen Adipositastherapie (lit. d). Schliesslich könne der Beschwerdeführer auch aus dem Grundsatz von Treu und Glauben nichts zu seinen Gunsten ableiten, nachdem kein Verhalten der Beschwerdegegnerin erkennbar sei, welches geeignet gewesen wäre, bei ihm ein schützenswertes berechtigtes Vertrauen zu schaffen.
3.5 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe die vorhandenen Beweise willkürlich gewürdigt, insbesondere ungleiche Ellen angelegt für die Beurteilung der Glaubwürdigkeit der medizinischen Angaben des Vertrauensarztes Dr. med. B._ einerseits und des operierenden Arztes Dr. med. A._ andererseits. Sie übernehme die von Dr. med. B._ am 1. Juli 2005 vertretene Auffassung, obwohl diese in einem offenkundigen Widerspruch zu seiner Stellungnahme vom 3. Mai 2005 stehe, mit welchem sie sich denn auch nicht auseinandergesetzt habe. Demgegenüber unterstelle die Vorinstanz Dr. med. A._, seine Angaben seien zufolge seiner "advokatorischen Funktion" als Vorstandsmitglied der SMOB "von nachträglichen Überlegungen versicherungsrechtlicher Art beein-flusst", weshalb darauf nicht abgestellt werden könne. Des Weitern habe die Vorinstanz willkürliche medizinische Schlussfolgerungen bei ungenügenden medizinischen Unterlagen gezogen und weitere bean-tragte Abklärungen, insbesondere die Einholung einer unabhängigen fachmedizinischen Expertise, willkürlich abgelehnt.
3.6 In seiner Stellungnahme vom 3. Mai 2005 hatte Dr. med. B._ angegeben, der Bypass sei in der heutigen Art nur teilweise funktionstüchtig und der Fehler könne nur durch die von Dr. med. A._ vorgeschlagene Distalisierung der Y-Roux Fusspunktanastomose korrigiert werden. Demgegenüber stellte er sich in derjenigen vom 1. Juli 2005 auf den Standpunkt, der Bypass sei vollkommen funktionsfähig gewesen, da der Versicherte in der ersten Zeit mehr als 30 kg abgenommen habe, und die Gewichtszunahme sei mangels Disziplin, sich an den Diätplan zu halten, entstanden. Dabei fällt auf, dass Dr. med. B._ bereits im Mai 2005 vom anfänglichen postoperativen Gewichtsverlust wusste, diese Tatsache ihn jedoch nicht daran hinderte, ein teilweises Versagen des Bypasses für die Gewichtszunahme zumindest mitverantwortlich zu machen, hielt er doch unmissverständlich fest, dass eine Gewichtszunahme auch nach einem Diätwechsel nur möglich sei, wenn der Bypass - im zu beurteilenden Fall, in welchem die restriktive Komponente erhalten sei, die malabsorptive Komponente - teilweise versage. Weshalb Dr. med. B._ aus denselben Tatsachen das eine Mal (am 3. Mai 2005) auf nur teilweise und das andere Mal (am 1. Juli 2005) auf volle Funktionstüchtigkeit des Bypasses schliesst, ohne Begründung seiner geänderten Auffassung, namentlich ohne Hinweis, weshalb er ohne neue Untersuchungen oder anderweitige neue Erkenntnisse zum gegenteiligen Ergebnis gelangt, kann nicht nachvollzogen werden. Angesichts dieses unauflösbaren Widerspruchs scheint seine dem kantonalen Entscheid zugrunde gelegte Beurteilung vom 1. Juli 2005 nicht schlüssig. Ebenso wenig kann indessen unbesehen auf die Angaben des operierenden Arztes Dr. med. A._ abgestellt werden, weil nicht ersichtlich ist, weshalb die von ihm für den fehlenden Erfolg verantwortlich gemachten Faktoren (ein überlanger Dünndarm und die allgemeine Anpassungsfähigkeit der Dünndarm-Mucosa) - wie die Vorinstanz insoweit zu Recht ausführt - ihn nicht bereits im Dezember 2001 veranlasst haben, eine biliopankreatische Diversion (wie mit dem Eingriff vom 11. April 2005 erfolgt) vorzunehmen; insoweit wirft auch seine Argumentation Fragen auf. Indem die Vorinstanz bei dieser Aktenlage auf beweismässige Weiterungen zu den Gründen des nur vorübergehenden Erfolges der Magen-Bypass-Operation verzichtet hat und der offenkundig mit Ungereimtheiten behafteten Stellungnahme des Dr. med. B._ vom 1. Juli 2005 ausschlaggebenden Beweiswert beigemessen hat, hat sie den Sachverhalt auf unvollständiger Beweisgrundlage, mithin rechtsfehlerhaft, festgestellt (<ref-law>). Die Sache ist deshalb an das kantonale Gericht zurück-zuweisen, damit es ein medizinisches Gutachten zu den Ursachen der postoperativen Gewichtszunahme einhole und anschliessend gestützt auf die gewonnenen Erkenntnisse über die streitige Kostenbeteiligung neu entscheide.
4. Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu weiterer Abklärung und neuem Entscheid (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten und der Zusprechung einer Parteientschädigung als Obsiegen der Beschwerde führenden Partei gemäss Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 1 des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 2. Juli 2010 wird, soweit das Verwaltungsgericht die Beschwerde abwies, aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Januar 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann