Sachverhalt:
A. Die Emissionszentrale der Schweizer Gemeinden mit Sitz in Bern (Klägerin und Beschwerdegegnerin) ist eine Genossenschaft gemäss <ref-law>. Sie wurde am 15. Oktober 1971 als Selbsthilfeorganisation der Schweizer Gemeinden gegründet und bezweckt die Beschaffung von Geldern für ihre Mitglieder, insbesondere durch Ausgabe von Obligationenanleihen in eigenem Namen, aber im Auftrag und auf Rechnung der Mitglieder.
Die Munizipalgemeinde Fiesch (Beklagte und Beschwerdeführerin) ist Genossenschafterin der Beschwerdegegnerin. Sie beteiligte sich mit Fr. 2'000'000.-- an einer Obligationenanleihe Serie 63/1993 vom April 1993, deren Gesamtsumme Fr. 232'400'000.-- betrug. Nach Ziffer 5 des Vertrags vom 19./22. April 1993 über die Ausgabe der Obligationenanleihe zwischen der Beschwerdegegnerin und verschiedenen Gemeinden (im Folgenden: Anleihensvertrag) haften die einzelnen Gemeinden für den Ausfall einer anderen Gemeinde nicht solidarisch, sondern im Verhältnis zu den Quoten, mit denen sie sich an der Anleihe beteiligen.
Die Munizipalgemeinde Leukerbad war mit Fr. 10'000'000.-- an der Anleihe Serie 63/1993 beteiligt. Ihre Zahlungsunfähigkeit führte zu einem Ausfall von Fr. 12'538'611.-- (Fr. 10'000'000.-- plus Zins bis zur Endfälligkeit). Nach Abzug eines Solidaritätsbeitrags der an der Anleihe beteiligten Gemeinden von insgesamt Fr. 760'000.-- (wovon der Beschwerdeführerin Fr. 65'000.-- angerechnet wurden) sowie einer Zahlung der Munizipalgemeinde Leukerbad von Fr. 2'359'652.75 beträgt der Ausfall noch Fr. 9'418'958.25. Die Beschwerdegegnerin stellte der Beschwerdeführerin für den quotenmässigen Betrag dieses Ausfalls Rechnung in Höhe von Fr. 20'954.20 (Fr. 84'702.85 zuzüglich Zins von Fr. 1'251.35 abzüglich Solidaritätsbeitrag von Fr. 65'000.--). Nach erfolgloser Mahnung leitete die Beschwerdegegnerin die Betreibung ein, worauf die Beschwerdeführerin Recht vorschlug.
Mit Schreiben vom 10. November 2004 leitete die Beschwerdegegnerin gestützt auf die Schiedsklausel in Ziffer 10 des Anleihensvertrags das Schiedsverfahren ein. Sie stellte das Begehren, die Beschwerdeführerin sei zu verurteilen, ihr einen Betrag von Fr. 20'954.20 nebst Zins zu 7 % seit dem 9. Februar 2004 sowie einen Betrag von Fr. 1'250.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 2. September 2004 (Ersatz für Inkasso-Auslagen) zu bezahlen. In ihrer Klageantwort beantragte die Beschwerdeführerin, die Klage sei abzuweisen (Ziffer 1) und es sei festzustellen, dass die Munizipalgemeinden Fiesch, Ernen, Oberwald, Raron, Steg, Täsch und Wiler der Beschwerdegegnerin aus der Quotenbürgschaft für die Gemeinde Leukerbad in den Emissionsanleihen 63/1993 und 73/1996 nichts schulden (Ziffer 2).
B. Mit Urteil vom 12. Januar 2006 verpflichtete das Schiedsgericht die Beschwerdeführerin in Gutheissung der Klage, der Beschwerdegegnerin den Betrag von Fr. 20'954.20 nebst Zins zu 7 % seit dem 9. Februar 2004 sowie einen Betrag von Fr. 1'250.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 7. September 2004 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 1). Auf das beklagtische Rechtsbegehren 2 der Klageantwort wurde weiterhin nicht eingetreten (Dispositiv-Ziffer 2). Die Schiedsgerichtskosten wurden separat abgerechnet (Dispositiv-Ziffer 3); sie betrugen schliesslich Fr. 141'600.--. Die Kosten wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt (Dispositiv-Ziffer 4). Zur Begründung führte das Schiedsgericht aus, die Voraussetzungen für das Feststellungsbegehren in der Klageantwort der Beschwerdeführerin fehlten, weshalb darauf nicht einzutreten sei. Den Anspruch auf Sicherstellung der Beschwerdegegnerin gegenüber der Beschwerdeführerin nach dem Anleihensvertrag qualifizierte das Schiedsgericht als Garantie, nachdem es den Parteien mit Beschluss vom 13. Juli 2006 diese rechtliche Beurteilung in Aussicht gestellt und sie dazu angehört hatte. Das Schiedsgericht hielt fest, dass Einreden und Einwendungen aus dem Hauptverhältnis gegenüber der selbständigen Garantie unzulässig seien und lehnte die Verrechnung mit Verantwortlichkeitsansprüchen gegen die Organe der Beschwerdegegnerin mangels Gegenseitigkeit ab.
C. Das Obergericht des Kantons Bern wies mit Entscheid vom 16. Mai 2007 eine Nichtigkeitsbeschwerde der Beschwerdeführerin gegen das Schiedsurteil vom 12. Januar 2006 ab, soweit es darauf eintrat. Das Gericht verwarf insbesondere die Rüge gemäss Art. 36 lit. c KSG, das Schiedsgericht habe rechtswidrig von sich aus die Frage einer Garantie aufgeworfen. Das Gericht folgte sodann der Beschwerdeführerin nicht in der Ansicht, Art. 25 KSG sei durch die Verweigerung jeglicher Beweisaufnahme verletzt worden (Art. 36 lit. d KSG). Die Verletzung des Willkürverbotes im Sinne von Art. 36 lit. f KSG verneinte das Gericht in der Erwägung, die Parteistandpunkte seien entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin keineswegs identisch gewesen und ihren Ausführungen sei nicht zu entnehmen, welche Rechtsnormen willkürlich angewandt worden sein sollten. Das Obergericht verwarf schliesslich die Rüge, die Gerichtskosten von Fr. 141'000.-- (insbesondere diejenigen für die Gerichtsschreiberin in Höhe von Fr. 96'000.--) seien offensichtlich übersetzt im Sinn von Art. 36 lit. i KSG.
D. Mit Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) und mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) vom 22. Juni 2007 stellt die Beschwerdeführerin die Rechtsbegehren, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 16. Mai 2007 sei aufzuheben (Ziffer 1), das Schiedsurteil vom 12. Januar 2007 sei aufzuheben und die Schiedsklage der Emissionszentrale der Schweizer Gemeinden vom 22. Februar 2005 sei abzuweisen (Ziffer 2). Sie rügt die Verletzung von Art. 9 und 29 Abs. 2 BV in Bezug auf die Beurteilung ihrer Rüge der Verletzung von Art. 25 Abs. 1 lit. a KSG (Art. 36 lit. d KSG), die Verletzung von <ref-law> in Bezug auf ihre Rüge, der Schiedsspruch beruhe auf offensichtlich aktenwidrigen tatsächlichen Feststellungen (Art. 36 lit. f KSG), sowie die Verletzung von <ref-law> in Bezug auf die Anwendung von <ref-law> BE.
E. Die Beschwerdegegnerin stellt in der Antwort den Antrag, die Beschwerde in Zivilsachen und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde seien abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Obergericht des Kantons Bern verzichtet mit Hinweis auf den angefochtenen Entscheid auf eine Stellungnahme.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der angefochtene Entscheid ist nach Inkrafttreten des BGG am 1. Januar 2007 ergangen. Gemäss <ref-law> ist dieses Gesetz auf das vorliegende Verfahren anwendbar.
2. Gegenstand des Verfahrens bildet eine Zivilrechtsstreitigkeit, die einem Schiedsgericht gemäss dem Konkordat über die Schiedsgerichtsbarkeit vom 27. März/27. August 1967 (KSG) zum Entscheid unterbreitet wurde. Es handelt sich um eine Zivilsache im Sinne von <ref-law> und die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig, wenn die übrigen Voraussetzungen für dieses Rechtsmittel vorliegen.
2.1 Das Obergericht des Kantons Bern hat als oberes ordentliches Zivilgericht des Sitzkantons im Sinne von Art. 3 lit. f KSG die Nichtigkeitsbeschwerde gegen das Schiedsurteil abgewiesen. Die Beschwerde richtet sich gegen diesen verfahrensabschliessenden Entscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Die Beschwerdeführerin ist mit ihren Anträgen unterlegen und als Hauptpartei gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Sie hat die Rechtsschrift der schweizerischen Post innert der 30-tägigen Frist übergeben (<ref-law>).
2.2 Nach <ref-law> ist die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich nur zulässig, wenn der Streitwert Fr. 30'000.-- beträgt. Der Streitwert bestimmt sich bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren (<ref-law>); Gerichtskosten fallen bei der Bestimmung des Streitwerts nicht in Betracht, sofern sie als Nebenrechte geltend gemacht werden (<ref-law>).
Vor der Vorinstanz war das Nichteintreten auf das Feststellungsbegehren nicht mehr streitig. Die Beschwerdeführerin hat vor der Vorinstanz das Schiedsurteil angefochten, in dem sie zur Zahlung von Fr. 22'204.20 nebst Zins verurteilt wurde. Damit wäre an sich der erforderliche Streitwert nicht erreicht. Art. 36 lit. i KSG sieht jedoch ausdrücklich die Möglichkeit vor, im Rahmen der Nichtigkeitsbeschwerde geltend zu machen, dass die vom Schiedsgericht festgesetzten Entschädigungen der Schiedsrichter offensichtlich übersetzt seien. Gestützt darauf hat die Beschwerdeführerin die Höhe der ihr zur Hälfte auferlegten Schiedsgerichtskosten im Gesamtbetrag von Fr. 141'600.-- als offensichtlich übersetzt gerügt. Sie rügte insbesondere die ihr im Umfang von Fr. 48'000.-- auferlegten Kosten für die Gerichtsschreiberin als zu hoch. Auch wenn sich aus dem angefochtenen Urteil nicht ergibt, in welchem Umfang die Beschwerdeführerin diese Kosten für nicht gerechtfertigt erachtete, kann davon ausgegangen werden, dass unter diesem Titel Vermögensinteressen von mindestens weiteren Fr. 8'000.-- vor Vorinstanz streitig geblieben sind. Der erforderliche Streitwert ist damit erreicht.
2.3 Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig. Gemäss <ref-law> kann daher insbesondere die Verletzung von Bundesrecht (lit. a), das auch die Grundrechte umfasst, und von interkantonalem Recht (lit. e) gerügt werden (vgl. Denis Tappy, Le recours en matière civile, in: Portmann [Hrsg.], La nouvelle loi sur le Tribunal fédéral, CEDIDAC 71, S. 112). Allerdings ist zu berücksichtigen, dass die Rüge der Verweigerung des rechtlichen Gehörs im Kanton Bern mit Nichtigkeitsklage geltend gemacht werden kann (<ref-law> BE; vgl. auch Berger/Kellerhals, Internationale und interne Schiedsgerichtsbarkeit in der Schweiz, S. 597). Nicht eingetreten werden kann insofern auf die Rüge, das Obergericht habe der Beschwerdeführerin das rechtliche Gehör verweigert mit der Behauptung, ihren Ausführungen sei nicht zu entnehmen, welche Norm oder welche klaren Rechtsgrundsätze durch das Schiedsurteil offensichtlich verletzt worden sein sollten, und es habe aus diesem Grund ihre Rechtsansicht zu Unrecht ungeprüft gelassen, wonach ein rechtsgültiger Beschluss der Gemeinde fehle und der Vertrag wegen Grundlagenirrtums unverbindlich sei.
2.4 Grundsätzlich zulässig sind die Rügen der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe die von ihr gerügte Verweigerung des rechtlichen Gehörs durch das Schiedsgericht zu Unrecht verneint und damit Art. 25 KSG in Verbindung mit Art. 36 lit. d KSG verletzt sowie offensichtlich aktenwidrige tatsächliche Feststellungen des Schiedsgerichts geschützt (<ref-ruling> E. 3.6 S. 49) und kantonales Prozessrecht willkürlich angewendet. Immerhin ist zu beachten, dass das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten und von interkantonalem Recht nur insofern prüft, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Die Rüge der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe <ref-law> in Verbindung mit Art. 202 Abs. 2 der kantonalen Zivilprozessordnung verletzt, genügt den Anforderungen an die Begründung nicht. Der Beschwerde ist weder zu entnehmen, inwiefern die Vorinstanz Art. 36 lit. c KSG falsch angewendet haben soll noch inwiefern <ref-law> BE im angefochtenen Entscheid willkürlich ausgelegt worden sein soll. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin beschränken sich im Wesentlichen auf die Rüge, die Vorinstanz sei auf ihre Vorbringen nicht wirklich eingegangen und habe die gerügte "Verletzung der Untersuchungsmaxime im Zivilprozess" nicht behandelt. Soweit die Beschwerdeführerin damit sinngemäss eine Verweigerung des rechtlichen Gehörs rügen wollte, ist ihre Rüge ebenfalls unzulässig (E. 2.3).
3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe die von ihr gerügte Verweigerung des rechtlichen Gehörs durch das Schiedsgericht zu Unrecht verneint und damit Art. 25 KSG in Verbindung mit Art. 36 lit. d KSG verletzt. Sie beanstandet insbesondere, dass das Obergericht keine Verweigerung ihres rechtlichen Gehörs darin gesehen hat, dass das Schiedsgericht kein Beweisverfahren durchführte.
3.1 Die Vorinstanz hat die Rüge der Verletzung von Art. 36 lit. d KSG im angefochtenen Entscheid mit der Begründung abgewiesen, die Beschwerdeführerin habe auf der Durchführung des Beweisverfahrens nicht bestanden und den für sie erkennbaren Verzicht des Schiedsgerichts nicht gerügt, obwohl sie dazu ausreichend Gelegenheit gehabt hätte, weshalb die Rüge verwirkt sei. Das Obergericht stellte insofern insbesondere fest, die Beschwerdeführerin habe nach der Vereinbarung des schriftlichen Verfahrens anlässlich der Tagfahrt vom 17. Juni 2005 in der Duplik vom 16. Januar 2006 insbesondere ihren Antrag auf Durchführung von Parteiverhören bzw. Zeugeneinvernahmen wiederholt, sie habe sich jedoch in ihrer Stellungnahme vom 11. September 2006 zum Beschluss des Schiedsgerichts vom 13. Juli 2006 und namentlich in ihrer Stellungnahme vom 29. September 2006 zu ihren Beweisanträgen nicht mehr geäussert. Da sich die Beschwerdeführerin mit der schriftlichen Durchführung des Verfahrens einverstanden erklärt und gestützt auf den Beschluss vom 13. Juli 2006 ihre Kostennote eingereicht hatte, musste sie nach den Erwägungen der Vorinstanz damit rechnen, dass der Entscheid aufgrund der eingereichten Unterlagen gefällt und auf die Durchführung eines Beweisverfahrens mit Partei- und Zeugeneinvernahmen verzichtet würde. In einer Eventualerwägung führte das Obergericht zudem aus, es sei höchst fraglich, ob eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorläge, denn die eingereichten Unterlagen seien berücksichtigt und das Urteil ausführlich begründet worden. Es sei dem Schiedsgericht schliesslich unbenommen, in antizipierter Beweiswürdigung auf weitere Beweismassnahmen zu verzichten.
3.2 Die Beschwerdeführerin rügt als aktenwidrige Feststellung und willkürlich, dass das Obergericht behaupte, sie habe sich mit der Einlassung auf die schriftliche Fortführung des Verfahrens ihrer Beweismittel begeben bzw. auf die entsprechende Hauptverhandlung verzichtet. Sie verkennt mit dieser Rüge die Erwägung der Vorinstanz; daraus ergibt sich allein, dass die Beschwerdeführerin mit der Fortsetzung des Verfahrens durch Schriftenwechsel einverstanden war. Den Verzicht auf die ursprünglich beantragten Beweise hat das Obergericht daraus abgeleitet, dass die Beschwerdeführerin ihre Kostennote eingereicht und im Anschluss an den Beschluss des Schiedsgerichts vom 13. Juli 2006 auf der Durchführung eines Beweisverfahrens nicht bestanden hat. Insofern ist die Würdigung der Vorinstanz entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht zu beanstanden. Aus dem Gebot des Handelns nach Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs ergibt sich nach konstanter Rechtsprechung, dass Einwendungen in formellen Fragen sofort anzubringen sind (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 75 mit Verweisen). Anhand der von der Beschwerdeführerin wiedergegebenen Verfügung des Schiedsgerichts vom 13. Juli 2006 musste die Beschwerdeführerin jedoch erkennen, dass das Schiedsgericht aufgrund seiner Rechtsauffassung auf die Abnahme der beantragten Beweise verzichten werde. Die Vorinstanz ist keineswegs in Willkür verfallen und hat auch Art. 25 in Verbindung mit Art. 36 lit. d KSG nicht verletzt mit der Annahme, die Beschwerdeführerin hätte auf ihren Beweisanträgen bestehen müssen, wenn sie der Auffassung war, dass die Parteien tatsächlich übereinstimmend einen von der in Aussicht gestellten Interpretation des Schiedsgerichts abweichenden Vertragsinhalt vereinbart hatten. Die Rüge der Verletzung von Art. 25 KSG in Verbindung mit Art. 36 lit. d KSG durch die Vorinstanz ist unbegründet.
4. Die Beschwerdeführerin rügt als Verletzung von <ref-law>, der angefochtene Entscheid beruhe auf offensichtlich aktenwidrigen tatsächlichen Feststellungen (Art. 36 lit. f KSG). Sie bringt vor, die Feststellung der Vorinstanz sei offensichtlich unrichtig, dass die Parteiauffassungen über Natur und Inhalt des Vertrages auseinander gegangen seien.
4.1 Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil ausgeführt, unter dem Blickwinkel der offensichtlich aktenwidrigen tatsächlichen Feststellungen sei Willkür gegeben, wenn sich das Schiedsgericht infolge eines Versehens, eines "blanken Irrtums" mit den Akten in Widerspruch gesetzt habe. Die Rüge dürfe jedoch nicht mit der willkürlichen Beweiswürdigung gleichgesetzt werden. Das Obergericht hielt fest, dass die Auffassungen der Parteien nicht, wie von der Beschwerdeführerin behauptet, identisch gewesen seien. Vielmehr habe die Beschwerdegegnerin insbesondere die rechtliche Qualifikation offen gelassen, und dies nicht erst seit dem Beschluss des Schiedsgerichts vom 13. Juli 2006. Das angefochtene Urteil enthalte keine aktenwidrigen tatsächlichen Feststellungen.
4.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, es hätte festgestellt werden müssen, dass die Parteiauffassungen über den Vertrag bis zum Beschluss des Schiedsgerichts vom 13. Juli 2006 gleich gewesen seien. Sie beruft sich auf Aussagen der Beschwerdegegnerin in den Rechtsschriften, in denen sich diese für ihre rechtliche Auffassung auf Normen des Auftragsrechts stützte. Sie kritisiert die Art und Weise, wie das Obergericht die vertragliche Beziehung auslegte, und behauptet, die Annahme eines Garantievertrags laufe dem tatsächlichen übereinstimmenden Parteiwillen entgegen. Sie beruft sich dabei nicht auf tatsächliche Feststellungen im angefochtenen Entscheid, sondern vertritt die Ansicht, der wirkliche Parteiwille sei "nötigenfalls nach Vertrauensprinzip zu ermitteln".
4.3 Die Rüge der Beschwerdeführerin beruht auf einem unzutreffenden Verständnis der Vertragsauslegung. Für das Zustandekommen und den Inhalt eines Vertrages ist zunächst festzustellen, was die Parteien tatsächlich übereinstimmend gewollt haben (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 274, 626 E. 3.1 S. 632; <ref-ruling> E. 4.1 S. 611; <ref-ruling> E. 2b S. 39). Kann eine tatsächliche Übereinstimmung nicht festgestellt werden, sind die Erklärungen und das Verhalten der Parteien danach zu beurteilen, ob die jeweilige Gegenpartei nach Treu und Glauben aufgrund der gesamten Umstände auf einen bestimmten Willen schliessen durfte und musste. Diese Vertragsinterpretation ist eine Rechtsfrage, während der übereinstimmende wirkliche Wille der Parteien als tatsächliche Feststellung aufgrund der Würdigung der Beweise zu ermitteln ist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 67 mit Verweisen). Die Beschwerdeführerin verkennt dies, wenn sie die Ansicht vertritt, der wirkliche Parteiwille sei mit der Interpretation nach dem Vertrauensprinzip zu ermitteln. Die Vertragsauslegung nach dem Vertrauensprinzip und erst recht die Vertragsqualifikation können nicht als offensichtlich aktenwidrige Tatsachenfeststellungen gerügt werden. Sofern sich die Ausführungen in der Beschwerdeschrift gegen die Annahme der Vorinstanz richten sollten, es bestehe kein tatsächlicher Konsens, kann auf die Rüge schon deshalb nicht eingetreten werden, weil sich die Beschwerdeführerin darauf beschränkt, den Vertrag rechtlich zu qualifizieren, statt aufzuzeigen, mit Bezug auf welchen Vertragsinhalt überhaupt eine tatsächliche Willensübereinstimmung vorliegen soll.
5. Die Beschwerde in Zivilsachen ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Da die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist, bleibt für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde kein Raum. Es ist darauf nicht einzutreten. Die Gerichts- und Anwaltskosten sind dem Verfahrensausgang entsprechend zu verlegen (Art. 66 und 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 8'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. September 2007
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: