Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Die Amtsstatthalterin von Thal-Gäu verurteilte den Beschwerdeführer am 5. März 2013 wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln zu einer Geldstrafe von zehn Tagessätzen zu Fr. 60.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren, sowie einer Busse von Fr. 600.-- bzw. einer Ersatzfreiheitsstrafe von zehn Tagen.
Nachdem der Beschwerdeführer die Berufung rechtzeitig angemeldet hatte, wurde ihm das begründete Urteil am 18. April 2013 zugestellt. Die Frist für die Berufungserklärung lief bis zum 8. Mai 2013.
Am 8. Mai 2013, um 17.37 Uhr, faxte der Beschwerdeführer die Berufungserklärung dem Obergericht des Kantons Solothurn. Er vermerkte abschliessend, das Gericht werde die gedruckte Version am Montag, 13. Mai 2013, erhalten. Heute, am 8. Mai 2013, bekomme es nur eine Fax-Eingabe ohne Beilagen, weil er aufgrund starker Migräneanfälle ab 11.00 Uhr Schmerz- und sedierende Medikamente habe einnehmen müssen, die seine Handlungs- bzw. Urteilsfähigkeit soweit eingeschränkt hätten, dass er nicht zur Post habe gehen können. Im Hotel, in dem er nächtige, könne er wenigstens faxen.
Am 16. Mai 2013 teilte das Obergericht dem Beschwerdeführer mit, dass die Fax-Eingabe vom 8. Mai 2013 nicht gültig und die Postaufgabe am 9. Mai 2013 verspätet seien, weshalb in Aussicht genommen werde, nicht auf die Berufung einzutreten. Ausserdem wurde der Beschwerdeführer darauf aufmerksam gemacht, dass er ein Wiederherstellungsgesuch gemäss <ref-law> einreichen könne.
Am 7. Juni 2013 stellte der Beschwerdeführer ein solches Gesuch. Neben dem bereits im Fax vom 8. Mai 2013 Vorgebrachten machte er geltend, er sei an jenem Tag bei einem Bekannten gewesen, wo er ab 08.00 Uhr seine Berufungserklärung korrigiert habe. Aufgrund des plötzlichen und unerwarteten Migräneanfalls sei er von 10.00 bis 17.00 Uhr vollkommen handlungsunfähig gewesen. Als sein Bekannter um 17.00 Uhr zurückgekommen sei, habe dieser ihn zu einem Hotel gebracht, wo er wegen der starken Medikamente übernachtet habe.
Das Obergericht des Kantons Solothurn wies das Wiederherstellungsgesuch am 12. Juli 2013 ab. Auf die Berufung trat es nicht ein.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, der Beschluss vom 12. Juli 2013 sei aufzuheben.
2.
Vor Bundesgericht dürfen neue Tatsachen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer behauptet, er sei mit seinem Bekannten zunächst mit der Berufungserklärung zur Post gefahren, wo er um 17.15 Uhr schockiert erfahren habe, dass die Stelle bereits um 17.00 Uhr geschlossen worden sei (Beschwerde S. 2).
Vor der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer nicht auf diese angebliche Fahrt zur Post hingewiesen (vgl. Beschluss S. 3 E. 4, KA act. 49-51). Das Vorbringen ist neu. Der Beschwerdeführer hätte indessen Anlass gehabt, bereits im Gesuch um Wiederherstellung der Frist auf den vergeblichen Zustellungsversuch bei der Post aufmerksam zu machen. Er hat dies unterlassen. Das Novum ist vor Bundesgericht unzulässig.
Anzumerken ist, dass das neue Vorbringen auch nicht glaubhaft ist. In der Fax-Eingabe vom 8. Mai 2013 hatte der Beschwerdeführer nämlich noch ganz klar festgestellt, seine Handlungs- und Urteilsfähigkeit sei derart eingeschränkt gewesen, dass er "nicht mehr zur Post gehen konnte" (KA act. 6).
3.
3.1.
In Anwendung von <ref-law> kann auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden. Sie kommt zum Schluss, nachdem der Beschwerdeführer nach 17.00 Uhr in der Lage war, in Begleitung seines Bekannten von dessen Domizil zu einem Hotel zu fahren und die Berufungserklärung dort per Fax dem Gericht einzureichen, sei nicht nachvollziehbar, warum es nicht möglich gewesen sein sollte, die Berufungserklärung - sei es durch den Beschwerdeführer selber oder durch seinen Bekannten - einer Schweizerischen Poststelle zu übergeben (vgl. Beschluss S. 4 E. 4).
Der Beschwerdeführer rügt, diese Feststellung sei willkürlich, weil die in der Nähe des von ihm bewohnten Hotels gelegene Poststelle am fraglichen Tag bereits um 17.00 Uhr geschlossen worden sei (Beschwerde S. 2 Ziff. 2 und S. 3 Ziff. 3d). Das Vorbringen geht an der Sache vorbei, weil die Vorinstanz nicht nur diese, sondern alle Poststellen im Auge hat, die für den Beschwerdeführer oder seinen Bekannten erreichbar gewesen wären. Dass alle Poststellen bereits um 17.00 Uhr geschlossen und insbesondere nirgends ein Notschalter offen gewesen wären, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Dazu kommt, dass der Brief auch versehen mit einer Bestätigung unabhängiger Zeugen (z.B. aus dem Hotel) hätte in den Briefkasten der nahe gelegenen oder einer anderen Poststelle geworfen werden können. Angesichts der konkreten Umstände ist die Schlussfolgerung der Vorinstanz nicht zu beanstanden.
3.2. In rechtlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer geltend, die aus dem Hotel per Fax übermittelte Berufungserklärung sei für die Fristwahrung ausreichend (Beschwerde S. 3/4 Ziff. 6). Dies trifft nicht zu. Schriftliche Eingaben sind zu unterzeichnen (<ref-law>). Die Unterschrift muss eigenhändig auf dem Schriftdokument angebracht werden. Eine photokopierte oder faksimilierte Unterschrift genügt nach der Rechtsprechung den Formerfordernissen nicht (Urteil 1B_304/2013 vom 27. September 2013 E. 2.2).
3.3. Da sich die Haupterwägung der Vorinstanz als bundesrechtskonform erweist, kann offen bleiben, wie es sich mit der Eventualerwägung verhält, wonach der Beschwerdeführer mit einem schweren Migräneanfall rechnen musste und deshalb mit der Endfassung der Berufungserklärung nicht bis zum letzten Tag der Frist zuwarten durfte (Beschluss S. 4 und Beschwerde S. 4 Ziff. 4).
4.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn