Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Der am 8. August 1987 geborene X._ verfügt über das Bürgerrecht des Kantons Appenzell Innerrhoden. Er lebte bis zum April 2002 in Gossau im Kanton St. Gallen bei seiner Mutter, die damals die elterliche Sorge innehatte. Im Frühjahr 2002 zog er zu seinem in Speicher im Kanton Appenzell Ausserrhoden ansässigen Vater. Mit Beschluss vom 4. Juli 2002 übertrug die Vormundschaftsbehörde Gossau die alleinige elterliche Sorge dem Vater. In der Folge traten zwischen Vater und Sohn Beziehungsprobleme auf. Am 20. Januar 2003 erteilte die Fürsorge- und Vormundschaftskommission Speicher die Kostengutsprache für eine Fremdplatzierung von X._ im Lehrlingsheim Varnbüel in St. Gallen unter gleichzeitiger Integration in die berufliche Ausbildung im Rahmen des so genannten Projekts "Die Chance". Am 30. Mai 2003 brach X._ seinen Aufenthalt im Lehrlingsheim Varnbüel bereits wieder ab, woraufhin er zeitweilig als verschwunden galt. Am 12. Juni 2003 wurde sein Austritt aus dem Heim beschlossen. Seit dem 17. Juni 2003 wohnte er wieder bei seinem Vater.
A. Der am 8. August 1987 geborene X._ verfügt über das Bürgerrecht des Kantons Appenzell Innerrhoden. Er lebte bis zum April 2002 in Gossau im Kanton St. Gallen bei seiner Mutter, die damals die elterliche Sorge innehatte. Im Frühjahr 2002 zog er zu seinem in Speicher im Kanton Appenzell Ausserrhoden ansässigen Vater. Mit Beschluss vom 4. Juli 2002 übertrug die Vormundschaftsbehörde Gossau die alleinige elterliche Sorge dem Vater. In der Folge traten zwischen Vater und Sohn Beziehungsprobleme auf. Am 20. Januar 2003 erteilte die Fürsorge- und Vormundschaftskommission Speicher die Kostengutsprache für eine Fremdplatzierung von X._ im Lehrlingsheim Varnbüel in St. Gallen unter gleichzeitiger Integration in die berufliche Ausbildung im Rahmen des so genannten Projekts "Die Chance". Am 30. Mai 2003 brach X._ seinen Aufenthalt im Lehrlingsheim Varnbüel bereits wieder ab, woraufhin er zeitweilig als verschwunden galt. Am 12. Juni 2003 wurde sein Austritt aus dem Heim beschlossen. Seit dem 17. Juni 2003 wohnte er wieder bei seinem Vater.
B. Mit Unterstützungsanzeige vom 3./21. Februar 2003 machte die Direktion des Innern des Kantons Appenzell Ausserrhoden beim Heimatkanton Appenzell Innerrhoden die Erstattung der vorderhand auf ein Jahr befristeten Unterstützung von X._ sowie der damit verbundenen Aufwendungen des Projekts "Die Chance" geltend. Am 24. Mai 2004 wies die Direktion des Innern des Kantons Appenzell Ausserrhoden eine dagegen erhobene Einsprache des Kantons Appenzell Innerrhoden ab. Mit Entscheid vom 3. Februar 2006 wies in der Folge auch das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement eine dagegen vom Kanton Appenzell Innerrhoden eingereichte Beschwerde ab.
B. Mit Unterstützungsanzeige vom 3./21. Februar 2003 machte die Direktion des Innern des Kantons Appenzell Ausserrhoden beim Heimatkanton Appenzell Innerrhoden die Erstattung der vorderhand auf ein Jahr befristeten Unterstützung von X._ sowie der damit verbundenen Aufwendungen des Projekts "Die Chance" geltend. Am 24. Mai 2004 wies die Direktion des Innern des Kantons Appenzell Ausserrhoden eine dagegen erhobene Einsprache des Kantons Appenzell Innerrhoden ab. Mit Entscheid vom 3. Februar 2006 wies in der Folge auch das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement eine dagegen vom Kanton Appenzell Innerrhoden eingereichte Beschwerde ab.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 6. März 2006 an das Bundesgericht beantragt der Kanton Appenzell Innerrhoden, den Entscheid des Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartements vom 3. Februar 2006 aufzuheben und zu erkennen, dass der Heimatkanton Appenzell Innerrhoden in der Unterstützungsangelegenheit von X._ gegenüber dem Wohnkanton Appenzell Ausserrhoden nicht kostenersatzpflichtig sei.
Der Kanton Appenzell Ausserrhoden sowie das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Nach Art. 34 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1) unterliegt der angefochtene Beschwerdeentscheid des Departements der Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht. Die betroffenen Kantone sind unter den allgemeinen Voraussetzungen zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert (vgl. Art. 103 OG sowie das Urteil des Bundesgerichts 2A.253/2003 vom 23. September 2003, E. 1.1). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde des im Verfahren vor dem Departement unterlegenen Kantons Appenzell Innerrhoden ist deshalb einzutreten.
1.2 Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet die Kostenersatzpflicht des Heimatkantons Appenzell Innerrhoden für die Kosten des Aufenthalts von X._ im Lehrlingsheim Varnbüel in St. Gallen vom 5. Februar 2003 bis zum 12. Juni 2003. Es geht somit einzig darum, festzustellen, ob der Kanton Appenzell Innerrhoden für die entsprechenden Kosten aufzukommen hat.
1.3 Der beschwerdeführende Kanton kann mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eine Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, sowie die unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts rügen (Art. 104 lit. a und b OG). Im vorliegenden Fall kann das Bundesgericht, da als Vorinstanz nicht eine richterliche Behörde entschieden hat, auch die Feststellung des Sachverhalts von Amtes wegen überprüfen (Art. 105 OG).
1.3 Der beschwerdeführende Kanton kann mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eine Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, sowie die unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts rügen (Art. 104 lit. a und b OG). Im vorliegenden Fall kann das Bundesgericht, da als Vorinstanz nicht eine richterliche Behörde entschieden hat, auch die Feststellung des Sachverhalts von Amtes wegen überprüfen (Art. 105 OG).
2. 2.1 Bedürftige werden von ihrem Wohnkanton unterstützt (Art. 115 erster Satz BV). Der Bund regelt die Ausnahmen und Zuständigkeiten (Art. 115 zweiter Satz BV). Dabei kann er insbesondere den Rückgriff auf einen früheren Wohnkanton oder den Heimatkanton regeln (so noch ausdrücklich Art. 48 Abs. 2 aBV).
Das Zuständigkeitsgesetz präzisiert in dem durch die Verfassung vorgegebenen Rahmen, welcher Kanton für die Fürsorge zuständig ist, und es regelt den Ersatz von Unterstützungskosten unter den Kantonen (vgl. Art. 1 Abs. 1 und 2 ZUG). Danach obliegt die Unterstützung eines Schweizer Bürgers grundsätzlich dem Wohnkanton (<ref-law>). Der Wohnkanton unterliegt gegenüber dem Aufenthaltskanton einer gewissen Ersatzpflicht (vgl. <ref-law>). Bei bestimmten Ausnahmetatbeständen besteht sodann eine Ersatzpflicht des Heimatkantons gegenüber dem Wohnkanton. So erstattet der Heimatkanton insbesondere dem Wohnkanton die Kosten der Unterstützung, wenn der Unterstützte noch nicht zwei Jahre lang ununterbrochen in einem anderen Kanton Wohnsitz hat (<ref-law>). Die Begriffe des Aufenthalts-, Wohn- und Heimatkantons sind solche des Bundesrechts (Urteil des Bundesgerichts 2A.253/2003 vom 23. September 2003, E. 2.1).
2.2 Das unmündige Kind teilt, unabhängig von seinem Aufenthaltsort, den Unterstützungswohnsitz der Eltern oder jenes Elternteils, unter dessen Gewalt es steht (<ref-law>). Wenn die Eltern keinen gemeinsamen zivilrechtlichen Wohnsitz haben, teilt es den Unterstützungswohnsitz jenes Elternteils, bei dem es wohnt (<ref-law>). Es hat in Ausnahmefällen einen eigenen Unterstützungswohnsitz, so namentlich wenn es dauernd nicht bei den Eltern oder einem Elternteil wohnt (Art. 7 Abs. 3 lit. a und c ZUG).
2.2 Das unmündige Kind teilt, unabhängig von seinem Aufenthaltsort, den Unterstützungswohnsitz der Eltern oder jenes Elternteils, unter dessen Gewalt es steht (<ref-law>). Wenn die Eltern keinen gemeinsamen zivilrechtlichen Wohnsitz haben, teilt es den Unterstützungswohnsitz jenes Elternteils, bei dem es wohnt (<ref-law>). Es hat in Ausnahmefällen einen eigenen Unterstützungswohnsitz, so namentlich wenn es dauernd nicht bei den Eltern oder einem Elternteil wohnt (Art. 7 Abs. 3 lit. a und c ZUG).
3. 3.1 Der beschwerdeführende Kanton trägt vor Bundesgericht erstmals vor, beim Lehrlingsheim Varnbüel in St. Gallen handle es sich um eine stationäre Einrichtung für die sozialpädagogische Betreuung von Jugendlichen im Sinne der interkantonalen Heimvereinbarung (Interkantonale Vereinbarung vom 2. Februar 1984 über Vergütungen an Betriebsdefizite und die Zusammenarbeit zugunsten von Kinder- und Jugendheimen sowie von Behinderteneinrichtungen; IHV). Das fragliche Heim sei im hier massgeblichen Zeitraum auch auf der entsprechenden Heimliste aufgeführt gewesen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung haben entsprechende Beiträge Subventionscharakter, weshalb sie nicht als Unterstützungen im Sinne des Zuständigkeitsgesetzes gelten (vgl. <ref-law> sowie das Urteil des Bundesgerichts 1P.481/1998 vom 11. März 1999, E. 2). Art. 3 Abs. 3 IHV sieht denn auch vor, dass die Vereinbarungskantone im Rahmen der Anwendbarkeit des Konkordats darauf verzichten, die bei der Unterbringung von Kantonseinwohnern in einer ausserkantonalen Institution zu vergütenden Heimdefizite nach dem Zuständigkeitsgesetz zurückzufordern. Für solche Heimdefizitbeiträge sind damit die Kantone des zivilrechtlichen Wohnsitzes der untergebrachten Person - und nicht des Unterstützungswohnsitzes - zuständig. Im vorliegenden Zusammenhang befindet sich der zivilrechtliche Wohnsitz unabhängig vom tatsächlichen Aufenthaltsort des Kindes am zivilrechtlichen Wohnsitz des alleinigen Inhabers der elterlichen Sorge, also des Vaters, d.h. im Kanton Appenzell Ausserrhoden.
3.2 Der Kanton Appenzell Ausserrhoden wendet dagegen ein, die Anwendung der Heimvereinbarung sei nie zur Diskussion gestanden und diese sei im vorliegenden Fall auch nicht massgeblich. Das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement schliesst die Anwendbarkeit der Heimvereinbarung in seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht demgegenüber nicht aus. Es hält jedoch fest, erfasst würden davon lediglich die Heimdefizitbeiträge, nicht aber das Kostgeld und die anfallenden Nebenkosten. Dafür bleibe die Kostenersatzpflicht des Kantons Appenzell Innerrhoden bestehen. Nachdem der Betrag der Erstattungspflicht noch nicht festgelegt worden sei, ändere sich am Ergebnis des vorliegenden Streitfalles grundsätzlich nichts.
3.3 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann die Anwendbarkeit der Heimvereinbarung in einem Verfahren nach dem Zuständigkeitsgesetz vorfrageweise geprüft werden (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 2A.504/1999 vom 9. März 2000, E. 1e und f). Obwohl die Argumentation des Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartements grundsätzlich zutrifft, ist nicht zu übersehen, dass die Heimdefizitbeiträge einen erheblichen, wenn nicht sogar den hauptsächlichen Teil der strittigen Kosten ausmachen dürften. Die Frage der Anwendbarkeit der Heimvereinbarung spielt daher im vorliegenden Streitfall eine massgebliche Rolle sowohl im Hinblick auf die Grundlage als auch die Bemessung der Erstattungspflicht. Selbst wenn eine Ersatzpflicht nach dem Zuständigkeitsgesetz vorläge, würde es sich daher nicht rechtfertigen, den Gesichtspunkt der Anwendbarkeit der Heimvereinbarung auszuklammern und auf das allfällige spätere Verfahrensstadium der betragsmässigen Festsetzung der zu erstattenden Summe zu verweisen, wie die Vorinstanz anregt. Überdies verneint der Kanton Appenzell Ausserrhoden die Anwendbarkeit der Heimvereinbarung ausdrücklich.
3.4 Da es sich bei der Vorinstanz nicht um ein Gericht handelt, ist das neue Vorbringen des beschwerdeführenden Kantons im bundesgerichtlichen Verfahren an sich zulässig (vgl. Art. 105 OG). Die Frage der Anwendbarkeit der Heimvereinbarung bzw. der Abgrenzung derselben vom Zuständigkeitsgesetz erscheint im vorliegenden Verfahren jedoch nur dann wesentlich, wenn überhaupt eine Rückerstattungspflicht aufgrund des Zuständigkeitsgesetzes besteht. Trifft dies nicht zu, entfallen eine Ersatzpflicht des beschwerdeführenden Heimatkantons und damit auch die Frage der Abgrenzung von Heimvereinbarung und Zuständigkeitsgesetz vollständig. Über die grundsätzliche Ersatzpflicht des beschwerdeführenden Heimatkantons nach dem Zuständigkeitsgesetz ist daher vorweg zu entscheiden.
3.4 Da es sich bei der Vorinstanz nicht um ein Gericht handelt, ist das neue Vorbringen des beschwerdeführenden Kantons im bundesgerichtlichen Verfahren an sich zulässig (vgl. Art. 105 OG). Die Frage der Anwendbarkeit der Heimvereinbarung bzw. der Abgrenzung derselben vom Zuständigkeitsgesetz erscheint im vorliegenden Verfahren jedoch nur dann wesentlich, wenn überhaupt eine Rückerstattungspflicht aufgrund des Zuständigkeitsgesetzes besteht. Trifft dies nicht zu, entfallen eine Ersatzpflicht des beschwerdeführenden Heimatkantons und damit auch die Frage der Abgrenzung von Heimvereinbarung und Zuständigkeitsgesetz vollständig. Über die grundsätzliche Ersatzpflicht des beschwerdeführenden Heimatkantons nach dem Zuständigkeitsgesetz ist daher vorweg zu entscheiden.
4. 4.1 Der Unterstützungswohnsitz nach dem Zuständigkeitsgesetz ist nicht zwingend identisch mit dem zivilrechtlichen Wohnsitz (BBl 1976 III 1204). Vorliegend ist allerdings unbestritten, dass mit der Übertragung der alleinigen elterlichen Sorge betreffend X._ an dessen Vater auch der abgeleitete Unterstützungswohnsitz des Kindes gemäss <ref-law> an den Kanton Appenzell Ausserrhoden überging und jedenfalls bis zum Eintritt ins Lehrlingsheim dort verblieb. Nachdem X._ am 12. Juni 2003 aus dem Lehrlingsheim Varnbüel ausgetreten und am 17. Juni 2003 wieder zu seinem Vater gezogen war, lebte der abgeleitete Unterstützungswohnsitz wieder auf, falls er vorher untergegangen sein sollte, oder bestand weiter, so er nie aufgehoben worden wäre. Die Frage, welche Auswirkung der Eintritt in das Lehrlingsheim in St. Gallen auf die Unterstützungspflicht zeitigte bzw. welche Unterstützungsregelung während des Heimaufenthalts vom 5. Februar 2003 bis zum 12. Juni 2003 galt, ist jedoch unter den Verfahrensbeteiligten strittig.
4.2 Da der Aufenthalt in einem Heim oder in einer ähnlichen Anstalt gemäss <ref-law> keinen Unterstützungswohnsitz begründet, steht eine Kostenpflicht des Kantons St. Gallen als tatsächlichem Aufenthaltskanton von vornherein nicht zur Diskussion. Etwas anderes wird denn auch von keiner Seite geltend gemacht. Der Streit besteht zwischen dem Appenzell Innerrhoden als Heimatkanton von X._ und Appenzell Ausserrhoden als Aufenthaltskanton des Vaters von X._.
4.3 Massgeblich für den Entscheid über die Kostentragungspflicht ist, ob der Heimeintritt von X._ dazu geführt hat, dass dieser im Sinne von <ref-law> einen eigenen Unterstützungswohnsitz erworben hat, weil er dauernd nicht bei seinem sorgeberechtigten Vater wohnte. Ist dieser Ausnahmetatbestand gegeben, dann unterliegt der beschwerdeführende Heimatkanton Appenzell Innerrhoden grundsätzlich der Ersatzpflicht. Sind die Voraussetzungen von <ref-law> hingegen nicht erfüllt, bleibt der abgeleitete Unterstützungswohnsitz nach <ref-law> bestehen. Diesfalls wäre für die Frage, ob der Kanton Appenzell Ausserrhoden als Wohnkanton des Vaters von X._ die Unterstützungskosten zu tragen hätte oder ob er insoweit auf den Heimatkanton zurückgreifen könnte, wesentlich, welche Bedeutung der Zweijahresfrist nach <ref-law> zukäme. Vorweg ist aber das Vorliegen des Ausnahmetatbestands von <ref-law> zu prüfen.
4.3.1 Von dieser Bestimmung werden freiwillige oder behördliche Fremdplatzierungen von unmündigen, unter elterlicher Sorge stehenden und wirtschaftlich unselbständigen Kindern ohne Entzug der elterlichen Sorge erfasst (vgl. Werner Thomet, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl., Zürich 1994, Rz. 125). Als lediglich vorübergehend gelten Fremdaufenthalte in auswärtigen Institutionen, die entweder nur von kurzer Dauer sind oder bei denen ein enger Kontakt zwischen Kindern und Eltern aufrecht erhalten wird und die Absicht besteht, dass die Kinder nach einer bestimmten Zeit wieder zu den Eltern ziehen. Kümmern sich die Eltern hingegen nicht ernstlich um ihre Kinder bzw. nehmen sie ihre elterliche Sorge nicht wahr und erfolgt die Fremdplatzierung auf unbestimmte Zeit oder für mehr als sechs Monate, spricht dies in der Regel für die Dauerhaftigkeit des Fremdaufenthaltes (vgl. Thomet, a.a.O., Rz. 132). Ob dabei die elterliche Sorge entzogen wird oder entsprechende Bestrebungen bestehen, ist nicht massgeblich. Genauso wenig kommt es auf die tatsächliche Dauer des Fremdaufenthaltes an. Entscheidend ist einzig, ob bei Beginn der Fremdplatzierung von Dauerhaftigkeit auszugehen war oder lediglich eine vorübergehende Lösung angestrebt wurde. Andernfalls könnte immer erst nach einer bestimmten Dauer des Fremdaufenthalts darüber entschieden werden, welcher Kanton letztlich die Kosten zu tragen hat, was nicht dem Sinn des Gesetzes entsprechen kann, will dieses doch gerade für klare Verhältnisse bei der interkantonalen Zuständigkeitsausscheidung sorgen (vgl. <ref-law> und BBl 1976 III 1201).
4.3.2 Ab dem Winter 2002/2003 sah sich der Vater von X._ mit seinen Erziehungsaufgaben überfordert. Als Alternative zum Eintritt ins Lehrlingsheim Varnbüel prüften die Behörden denn auch die Platzierung des Kindes in einer Pflegefamilie. In der Unterstützungsanzeige vom 3./21. Februar 2003 wurde die Kostengutsprache für den Heimaufenthalt und die damit verbundene Ausbildung vorerst für ein Jahr beantragt. Aus diesen aktenkundigen und grundsätzlich nicht bestrittenen Umständen lässt sich folgern, dass die Unterbringung von X._ im Lehrlingsheim Varnbüel ursprünglich auf längere Dauer, im Idealfall bis zum Abschluss der Ausbildung, ausgerichtet war. Dass der Aufenthalt in der Folge nicht sechs Monate dauerte, ändert daran nichts. Nicht belegt ist sodann, dass der Kontakt zwischen dem Kind und dem Vater während des Heimaufenthalts weiter bestand und gepflegt wurde. Selbst nachdem X._ das Lehrlingsheim verlassen hatte, kehrte er nicht unmittelbar, sondern erst nach und nach zu seinem Vater zurück. Auch am formellen Austrittsentscheid war der Vater offenbar nicht direkt beteiligt. Mit der Vorinstanz lässt sich daher schliessen, dass klare Indizien für eine Fremdplatzierung auf unbestimmte Zeit vorliegen. Daraus ist zu folgern, X._ habe im hier massgeblichen Zeitraum einen eigenen Unterstützungswohnsitz nach <ref-law> gehabt.
4.4 Nach <ref-law> erlischt die Ersatzpflicht des Heimatkantons allerdings nach zweijährigem Wohnsitz der unterstützten Person in einem anderen Kanton.
4.4.1 Gemäss <ref-law> wird einem unmündigen Kind, das einen eigenen Unterstützungswohnsitz erhält, die bisherige Wohnsitzdauer angerechnet, wenn es den Wohnkanton nicht verlässt (vgl. dazu Thomet, a.a.O., Rz. 138 ff.). Nicht erforderlich ist, dass bei einem Kantonswechsel ein eigener Unterstützungswohnsitz im neuen Kanton erworben wird. Bei ausserkantonalen Fremdplatzierungen nach <ref-law> wäre dies ohnehin nicht möglich, da sich der eigene Unterstützungswohnsitz des Kindes am letzten von den Eltern bzw. vom sorgeberechtigten Elternteil abgeleiteten Ort befindet. Verweilt das Kind dabei weiterhin tatsächlich im Kantonsgebiet, ist ihm die vorherige Wohnsitzdauer anzurechnen. Verlässt es jedoch den bisherigen Kanton, ist eine solche Anrechnung auch dann ausgeschlossen, wenn der eigene Unterstützungswohnsitz - wie in der vorliegenden Konstellation - beim früheren Wohnkanton verbleibt.
4.4.2 X._ verliess beim Eintritt ins Lehrlingsheim Varnbüel den Kanton Appenzell Ausserrhoden und lebte, solange er über einen eigenen Unterstützungswohnsitz verfügte, ausserhalb dieses Kantons. Da während dieser Dauer kein abgeleiteter Unterstützungswohnsitz bestand und er den (früheren) Wohnkanton auf Dauer tatsächlich verlassen hatte, ist der Tatbestand von <ref-law> nicht erfüllt und ist ihm die vorherige Wohnsitzdauer im Kanton Appenzell Ausserrhoden nicht anzurechnen. Weil mit dem Eintritt ins Lehrlingsheim ein Kantonswechsel und die Begründung eines eigenen Unterstützungswohnsitzes verbunden war, entstand die Ersatzpflicht des Heimatkantons. Diese blieb bis zur Rückkehr des Kindes zum Vater und der damit verbundenen Wiederentstehung eines abgeleiteten Unterstützungswohnsitzes bestehen.
4.5 Der Kanton Appenzell Innerrhoden unterliegt somit gegenüber dem Kanton Appenzell Ausserrhoden einer Ersatzpflicht, soweit das Zuständigkeitsgesetz anwendbar ist.
4.5 Der Kanton Appenzell Innerrhoden unterliegt somit gegenüber dem Kanton Appenzell Ausserrhoden einer Ersatzpflicht, soweit das Zuständigkeitsgesetz anwendbar ist.
5. 5.1 Damit bleiben die Frage der Tragweite der Ersatzpflicht bzw. diejenige der ergänzenden Anwendbarkeit der Heimvereinbarung wesentlich (vgl. E. 3). Das Lehrlingsheim Varnbüel steht offenbar heute auf der entsprechenden Liste. Es ist indessen nicht belegt, dass das Heim auch bereits im massgebenden Zeitpunkt der Heimvereinbarung unterstand. Zwar könnte das Bundesgericht den Sachverhalt entsprechend ergänzen (vgl. Art. 105 Abs. 1 OG und E. 1.3). Ein solches Vorgehen rechtfertigt sich vorliegend jedoch nicht. Das Departement verfügt über einen direkteren Zugang zu den erforderlichen Informationen als das Bundesgericht. Es wird daher Sache der Vorinstanz sein (vgl. Art. 114 Abs. 2 OG), unter Einbezug der Parteien und insbesondere unter Gewährung der entsprechenden Verfahrensrechte die notwendigen Abklärungen vorzunehmen und den angefochtenen Entscheid entsprechend zu ergänzen. Dabei wird das Departement zwar noch nicht zwingend bereits den Umfang einer allfälligen Ersatzpflicht bzw. den zu erstattenden Betrag festzusetzen haben. Es wird aber zu entscheiden sein, wieweit im vorliegenden Fall die Heimvereinbarung anwendbar ist bzw. welcher Anwendungsbereich dem Zuständigkeitsgesetz verbleibt.
Demnach ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde teilweise gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Im Übrigen muss die Beschwerde abgewiesen werden.
5.2 Im vorliegenden Fall geht es um Vermögensinteressen der beteiligten Kantone, weshalb die Auferlegung von Gerichtskosten nicht ausgeschlossen ist (Art. 156 Abs. 2 OG). Dass die Vorinstanz die Frage der Anwendbarkeit der Heimvereinbarung nicht geprüft hat und die Beschwerde nunmehr aus diesem Grunde teilweise gutzuheissen ist, hat der beschwerdeführende und in der Sache insoweit obsiegende Kanton Appenzell Innerrhoden selbst zu verantworten, hat er doch erst vor Bundesgericht geltend gemacht, es liege ein Anwendungsfall der Heimvereinbarung vor. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens trotz des teilweisen Obsiegens vollständig dem Kanton Appenzell Innerrhoden aufzuerlegen (vgl. Art. 156 Abs. 1, 3 und 6 sowie Art. 153 und 153a OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird teilweise gutgeheissen, und der Entscheid des Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartements vom 3. Februar 2006 wird aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Im Übrigen wird die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird teilweise gutgeheissen, und der Entscheid des Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartements vom 3. Februar 2006 wird aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Im Übrigen wird die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem beschwerdeführenden Kanton Appenzell Innerrhoden auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem beschwerdeführenden Kanton Appenzell Innerrhoden auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Kantonen Appenzell Innerrhoden und Ausserrhoden sowie dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2006
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: