Sachverhalt:
A.
Die Eheleute X._ (geb. 1977; Ehefrau) und Y._ (geb. 1980; Ehemann) sind die gemeinsamen Eltern der Kinder A._ (geb. 2005) und B._ (geb. 2008). Am 23. April 2013 beantragte der Ehemann beim Amtsgerichtspräsidenten von Bucheggberg-Wasseramt Eheschutzmassnahmen; diesem Begehren entsprach das angerufene Gericht mit Urteil vom 10. Juli 2013; es stellte fest, dass die Parteien zum Getrenntleben berechtigt sind und seit dem 12. Februar 2013 getrennt leben. Der Ehemann wurde verpflichtet, der Ehefrau an den Unterhalt der Kinder mit Wirkung ab Mitte Februar 2013 monatlich vorauszahlbare Unterhaltsbeiträge von je Fr. 985.-- zuzüglich allfälliger Kinder- und Familienzulagen (5) sowie an den Unterhalt der Ehefrau persönlich ab Mitte Februar 2013 bis Ende Mai 2013 Fr. 305.-- und ab 1. Juni 2013 Fr. 870.-- pro Monat zu bezahlen (6). Im Weiteren stellte die erste Instanz fest, dass in der Berechnung der Unterhaltsbeiträge für die Ehefrau die gemeinsamen Steuerschulden für das Jahr 2011 in der Bedarfsrechnung des Ehemannes enthalten sind und im Rahmen einer späteren güterrechtlichen Auseinandersetzung nicht mehr berücksichtigt werden können (7).
B.
Mit Urteil vom 22. Oktober 2013 wies das Obergericht des Kantons Solothurn die vom Ehemann erhobene Berufung ab. In teilweiser Gutheissung der Berufung der Ehefrau hob es die Ziffern 5 und 6 des erstinstanzlichen Urteils auf und verpflichtete den Ehemann, an den Unterhalt der Kinder ab Mitte Februar 2013 monatlich vorauszahlbare Unterhaltsbeiträge von je Fr. 995.--, zuzüglich allfälliger Kinder- und Familienzulagen zu bezahlen und an den Unterhalt der Ehefrau monatlich und im Voraus ab Mitte Februar 2013 bis Ende Mai 2013 mit Fr. 360.-- und ab 1. Juni 2013 mit Fr. 1'015.-- beizutragen.
C.
Die Ehefrau (Beschwerdeführerin) hat am 25. November 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen das Urteil des Obergerichts Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolge, das angefochtene Urteil aufzuheben und den Ehemann (Beschwerdegegner) zu verpflichten, ihr persönlich mit Wirkung ab 1. Juni 2013 und für die weitere Dauer des Verfahrens monatlich und zum Voraus Fr. 1'738.50 zu bezahlen. Ferner sei der Beschwerdegegner zu sämtlichen Gerichtskosten (der kantonalen Verfahren) zu verurteilen. Schliesslich ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Der Beschwerdegegner beantragt in seiner Vernehmlassung vom 12. März 2014 (Postaufgabe), die Beschwerde abzuweisen und im Fall ihrer Gutheissung die Ziff. 7 des Urteils des Gerichtspräsidenten von Bucheggberg-Wasseramt aufzuheben und ersatzlos zu streichen. Auch er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Beschwerdeführerin hat auf Replik verzichtet.
D.
Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 22. Mai 2014 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht in seiner Eigenschaft als Rechtsmittelinstanz über eine vermögensrechtliche Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, 75 Abs. 1 und 90 BGG). Der Streitwert übersteigt Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig. Die Beschwerdeführerin ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. Die Beschwerdeführerin verlangt ausdrücklich nur eine Abänderung ihres persönlichen Unterhaltsbeitrages ab 1. Juni 2013. Auf diesem klaren Antrag ist sie zu behaften.
1.3. Das Einkommen des Beschwerdegegners ist nicht Gegenstand der Beschwerde. Soweit der Beschwerdeführer einen Lohnausweis betreffend den Nebenerwerb einreicht, ist dieses Dokument unbeachtlich. Gleiches gilt mit Bezug auf das im Kanton gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
1.4. Das Obergericht hat die Berufung des Beschwerdegegners abgewiesen und dieser hat den obergerichtlichen Entscheid nicht mit selbständiger Beschwerde beim Bundesgericht angefochten. Soweit er nunmehr vor Bundesgericht im Rahmen der Vernehmlassung zur Beschwerde seiner Ehefrau darum ersucht, im Fall der Gutheissung Ziff. 7 des erstinstanzlichen Entscheids ersatzlos zu streichen, ist darauf nicht einzutreten.
1.5. Vorliegend geht es um eine vorsorgliche Massnahme nach Art. 98 BGG. Somit kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 98 BGG). Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von Art. 98 BGG nur auf Willkür (Art. 9 BV) (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 628; Urteil 5A_261/2009 vom 1. September 2009 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; zum Willkürbegriff vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 133). Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Will der Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbots geltend machen, reicht es sodann nicht aus, wenn er die Lage aus seiner eigenen Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Anwendung von Art. 163 bzw. Art. 176 ZGB. Es geht um die Berücksichtigung der laufenden Steuern und der vollen Leasingraten im Bedarf des Ehemannes.
3.
3.1. Mit Bezug auf die Berücksichtigung der Steuern erachtet die Beschwerdeführerin einmal die Feststellung der Vorinstanz als willkürlich, sie habe einer Berücksichtigung sowohl der verfallenen Steuern für das Jahr 2011 als auch der laufenden Steuern im Bedarf des Beschwerdegegners zugestimmt. Vielmehr sei ihre Zustimmung allein auf die verfallenen Steuern 2011 beschränkt worden, wie sich dies ausdrücklich namentlich aus dem Protokoll der Verhandlung vor dem Gerichtspräsidenten vom 1. Juli 2013 ergebe. Der Beschwerdegegner verweist auf die Ausführungen der Beschwerdeführerin in ihrer Berufung an das Obergericht und behauptet, sie habe einer Berücksichtigung der laufenden Steuern zugestimmt.
3.2. Die Vorinstanz hat dazu erwogen, dem Protokoll der Verhandlung vom 1. Juli 2013 sei zu entnehmen, dass sich die Beschwerdeführerin mit der Berücksichtigung der aufgelaufenen Steuern für das Jahr 2011 in der Höhe von Fr. 530.-- pro Monat einverstanden erklärt habe. Die laufenden Steuern seien in die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums nach Art. 93 SchKG aufzunehmen, sofern sie regelmässig bezahlt würden. Wie sich aus den Ausführungen des Obergerichts ergibt, hat die Vorinstanz gerade nicht festgestellt, die Beschwerdeführerin habe einer Berücksichtigung der laufenden Steuern zugestimmt; aus dem ersten Satz der Erwägung 3.2 ergibt sich vielmehr ohne Zweifel, dass das Obergericht die Zustimmung der Beschwerdeführerin allein auf die verfallenen Steuern des Jahres 2011 bezogen hat. Eine Berücksichtigung der laufenden Steuern im Bedarf des Beschwerdegegners erfolgte allein gestützt auf die solothurnischen Richtlinien zur Berechnung des Existenzminimums nach Art. 93 SchKG. Soweit der Beschwerdegegner unter Hinweis auf die Berufung der Beschwerdeführerin etwas anderes behauptet, ist darauf nicht einzutreten, zumal er persönlich den obergerichtlichen Entscheid nicht angefochten und keine willkürliche Feststellung des Sachverhalts gerügt hat. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin kann von Willkür in der Sachverhaltsfeststellung keine Rede sein.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht des Weiteren geltend, im Lichte der knappen finanziellen Verhältnisse widerspreche eine Berücksichtigung der laufenden Steuern nebst den aufgelaufenen Steuerschulden für 2011 der Rechtsprechung der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer 7B.234/2000 vom 3. November 2000 E. 6c/aa. Der Beschwerdegegner bestreitet im Wesentlichen knappe Verhältnisse, die eine Berücksichtigung der laufenden Steuern verbieten würden.
4.2.
4.2.1. Haben die Ehegatten den gemeinsamen Haushalt aufgehoben, sind die Folgen des Getrenntlebens zu regeln. Selbst wenn mit einer Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushaltes nicht mehr ernsthaft gerechnet werden kann, bleibt Art. 163 ZGB die Rechtsgrundlage der gegenseitigen Unterhaltspflicht der Ehegatten im Rahmen gerichtlicher Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft. Im Stadium des Eheschutzverfahrens geht es ausschliesslich um Verbrauchsunterhalt. Ausgangspunkt für die Ermittlung des Beitrages an den Unterhalt des fordernden Ehegatten ist der während des gemeinsamen Haushaltes zuletzt gelebte Standard, auf dessen Fortführung bei genügenden Mitteln beide Teile Anspruch haben (<ref-ruling> E. 4b/aa S. 318). Der Kinderunterhaltsbeitrag soll den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen (<ref-ruling> E. 4.2.1). Die derart ermittelten Beiträge stellen gleichzeitig die Obergrenze des Unterhaltsanspruchs dar. Reichen die vorhandenen Mittel nicht aus, um diesen Standard aufrecht zu erhalten, haben Kinder und Ehegatten Anspruch auf den gleichen Lebensstandard (<ref-ruling> E. 4.2).
4.2.2. Das Gesetz schreibt keine bestimmten Berechnungsmethoden vor. Dem Grundsatze nach stehen die einstufig konkrete oder die zweistufige Methode zur Verfügung. Die zweistufige Methode eignet sich für alle finanziellen Verhältnisse, in denen die Ehegatten - gegebenenfalls trotz guter finanzieller Verhältnisse - nichts angespart haben oder aber die bisherige Sparquote durch die scheidungsbedingten Mehrkosten aufgebraucht wird (<ref-ruling> E. 4.2.1.1 S. 106 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 578; Urteil 5A_908/2011 vom 8. März 2012 E. 4.2). Zweistufig bedeutet, dass zuerst der konkrete Bedarf (aller Personen) dem Gesamteinkommen gegenübergestellt und alsdann der rechnerische Überschuss auf die unterhaltsberechtigten Kinder und die Ehegatten verteilt wird (<ref-ruling> E. 4.2.3).
4.2.3. Basis für die Bedarfsberechnung sind die Positionen, wie sie auch für die betreibungsrechtliche Existenzminimumberechnung verwendet werden. Indes sind die von den Betreibungsämtern für die Ermittlung des pfändbaren Einkommens verwendeten Zahlen nicht direkt massgebend. Vielmehr müssen die eingesetzten Beträge im Zusammenhang mit den wirtschaftlichen Verhältnissen der Parteien stehen. In guten finanziellen Verhältnissen ist es beispielsweise ohne Weiteres zulässig, unter der Position Krankenversicherungsprämien diejenigen der überobligatorischen Versicherung zu berücksichtigen. Ebenso ist bei günstigen Verhältnissen zulässig bzw. vorgeschrieben, effektiv bezahlte Steuerschulden, einschliesslich rechtskräftig veranlagter Steuern aus vorausgegangenen Steuerperioden in die Bedarfsberechnung einzurechnen (Urteil 5A_592/2011 vom 31. Januar 2012, E. 4.2; 5A_302/2011 vom 30. September 2011 E. 6.3.1 mit Hinweisen, in: Fampra.ch 2012 S. 160). Indes, je knapper die finanziellen Verhältnisse, desto enger müssen sich die Gerichte für die Ermittlung des Bedarfs an die in Anwendung des Art. 93 SchKG entwickelten Grundsätze über die Pfändbarkeit des schuldnerischen Einkommens anlehnen.
4.3. Nach der mit den <ref-ruling>, 121 III 301 und 123 III 1 begründeten und in den <ref-ruling> E. 1a/aa S. 356, 127 III 68 E. 2c S. 70, 133 III 57 E. 3 und 135 III 66 E. 2 S. 67, 137 III 59 E. 4.2.1 S. 62 (und in zahlreichen weiteren Urteilen) bestätigten Rechtsprechung des Bundesgerichts ist dem Unterhaltsverpflichteten für alle familienrechtlichen Unterhaltskategorien und in Abweichung zum Gleichbehandlungsgrundsatz stets das betreibungsrechtliche Existenzminimum zu belassen, mit der Folge, dass die Unterhaltsberechtigten das ganze Manko zu tragen haben. Daraus folgt aber auch, dass dem Unterhaltsschuldner nicht mehr zu belassen ist als das betreibungsrechtliche Existenzminimum, solange die betreibungsrechtlichen Existenzminima der unterhaltsberechtigten Personen nicht gedeckt sind. Wenn die Mittel sehr eingeschränkt sind, ist mithin zunächst das betreibungsrechtliche Existenzminimum des Unterhaltsschuldners, in zweiter Linie dasjenige der Kinder und zuletzt dasjenige des unterhaltsberechtigten Ehegatten zu ermitteln und zu decken. Erst wenn das betreibungsrechtliche Existenzminimum aller Betroffenen gedeckt ist, kann es darum gehen, einen allfälligen Überschuss in eine erweiterte Bedarfsrechnung aufzunehmen oder auf die Betroffenen zu verteilen.
4.4.
4.4.1. Im vorliegenden Fall liegen nach der Feststellung der Vorinstanz knappe Verhältnisse vor, ergibt sich doch für die hier massgebende Periode (ab Juni 2013) eine Unterdeckung von Fr. 898.--. Daher kann der Beschwerdeführer (recte: Beschwerdegegner) lediglich den Schutz seines betreibungsrechtlichen Existenzminimums beanspruchen. Nach der amtlich publizierten Rechtsprechung sind die laufenden und verfallenen Steuern nicht als Zuschlag zum Grundbetrag in das Existenzminimum gemäss Art. 93 SchKG des Schuldners aufzunehmen (<ref-ruling> E. 3b und c; <ref-ruling> E. 1a/aa S. 356; <ref-ruling> E. 2a/bb S. 292; <ref-ruling> E. 4.3 S. 41). Diese Rechtsprechung wird von einem bedeutenden Teil der Lehre als massgebend bezeichnet (so namentlich: GEORGES VONDER MÜHLL, Basler Kommentar, Schuldbetreibung und Konkurs I, 2. Aufl. 2010, N. 23 zu Art. 93 SchKG; MICHEL OCHSNER, Commentaire Romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 150 zu Art. 93 SchKG, PIERRE-ROBERT GILLIÉRON, Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 5. Aufl. 2012, S. 254, Rz. 998). Ihr ist indes auch Kritik erwachsen: So bemängelt THOMAS M. KULL ( JAEGER/WALDER/KULL, Das Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs SchKG, 5. Aufl. 2006, N. 26 f. zu Art. 93 SchKG) den Ausschluss der Steuern vom Existenzminimum, weil es sich dabei um eine Verpflichtung handelt, auf die der Schuldner keinen Einfluss nehmen kann. MICHEL OCHSNER (a.a.O., N. 151 zu Art. 93 SchKG und derselbe, Le minimum vital [art. 93 al. 1 LP], in: SJ 2012 II 119 ff., 145), wendet dagegen ein, die Nichtberücksichtigung der Steuern habe unweigerlich neue Betreibungen zur Folge, die dem Schuldner letztlich nur den Ausweg der Insolvenzerklärung offenliessen. Im gleichen Sinn äussert sich JOLANTA KREN KOSTKIEWICZ ( Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 52 zu Art. 93 SchKG). Für weitere kritische Äusserungen wird auf das Urteil 5P.119/2002 vom 1. Juli 2002 E. 2b sowie auf Pichonnaz/Rumo-Jungo (La protection du minimum vital du débirentier en droit de divorce: évolution récente, SJZ 100/2004, S. 81, 87 ff.) verwiesen.
4.4.2. Die Richtlinien der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz vom 1. Juli 2009 für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums (Notbedarf) nach Art. 93 SchKG vom 1. Juli 2009 (BlSchK 2009 S. 193 ff.) sowie die Praxis der meisten Kantone, soweit sie eigene Richtlinien erlassen haben, folgen der bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Als Ausnahmen sind die Kantone Solothurn und St. Gallen zu erwähnen, die in ihren kantonalen Richtlinien eine Berücksichtigung der Steuern im Existenzminimum ausdrücklich vorsehen. Dies hat das Bundesgericht in einem den Kanton Solothurn betreffenden Fall unter Willkürgesichtspunkten als verfassungskonform bewertet (Urteil 5P.119/2002 vom 1. Juli 2002 E. 2). Die Praxis der Kantone St. Gallen und Solothurn ist indes im Urteil der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts 7B.221/2003 vom 17. November 2003 E. 3.1 als mit Art. 93 SchKG nicht vereinbar bezeichnet worden. In einem späteren Entscheid 5A_764/2007 vom 23. Januar 2008 E. 2.1 hat das Bundesgericht zwar die Solothurner Richtlinien gelten lassen, ohne allerdings auf die anderslautende publizierte Rechtsprechung Bezug zu nehmen und diese zu relativieren oder zu hinterfragen. In einem knapp zwei Jahre später ergangenen Entscheid hat es die Praxis des Kantons Solothurn erneut ausdrücklich als bundesrechtswidrig bezeichnet (Urteil 5A_757/2009 vom 15. Dezember 2009 E. 4.1). Schliesslich wurde die bisherige publizierte Rechtsprechung des Bundesgerichts in weiteren Entscheiden bestätigt (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 224; Urteile 5A_27/2010 vom 15. April 2010 E. 3.3.1; 5A_187/2011 vom 13. Mai 2011 E. 6; 5A_222/2013 vom 12. Juni 2013 E. 2.3 a.E.).
4.4.3. Zusammenfassend liegt somit eine konstante bundesgerichtliche Rechtsprechung vor, wonach laufendeoderaufgelaufeneSteuern im betreibungsrechtlichen Existenzminimum nicht zu berücksichtigen sind.
4.5. Willkür liegt nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre; willkürlich ist ein Entscheid, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt erst vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.3 S. 319 mit Hinweis). Eine Abweichung von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist nicht willkürlich, sofern sie sich auf sachlich haltbare Gründe stützen lässt (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 7c S. 83; seither namentlich das Urteil 5A_661/2012 vom 17. Januar 2013 E. 5.2.3 mit Hinweisen).
4.6. Im vorliegenden Fall begnügt sich das Obergericht mit einem Hinweis auf die kantonalen Richtlinien zu Art. 93 SchKG, welche, wie aufgezeigt, mit der gefestigten Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 93 SchKG (vgl. E. 4.3-4.5) in Widerspruch stehen. Die Berücksichtigung der Steuern erweist sich im konkreten Fall als unhaltbar und damit willkürlich (Art. 9 BV).
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin beanstandet im Weiteren die Berücksichtigung des ganzen Leasingbetrages von Fr. 306.-- im Existenzminimum des Beschwerdegegners als willkürlich, da ein gewisser Anteil dieses Betrages als Amortisation zu werten sei, die bei den Fahrzeugkosten nach der herrschenden Rechtsprechung nicht berücksichtigt werden dürfe. Im vorliegenden Fall betrage dieser Amortisationsanteil Fr. 76.50 und sei daher nur ein Leasingbetrag von Fr. 229.50 (statt Fr. 306.--) aufzunehmen.
5.2. Gemäss den Richtlinien der schweizerischen Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten vom 1. Juli 2009 (in: BlSchK 2009 S. 193 ff.) sind bei einem Automobil mit Kompetenzqualität die festen und veränderlichen Kosten ohne Amortisation zu berechnen. Im vorliegenden Fall ist der Beschwerdegegner indes nicht Eigentümer eines Fahrzeuges mit Kompetenzcharakter, hat er doch sein Fahrzeug geleast. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts, die sich auf die Richtlinien der Konferenz stützt, sind Leasingraten für ein Auto mit Kompetenzcharakter sowohl beim betreibungsrechtlichen Existenzminimum als auch in der prozessualen Bedarfsberechnung zu berücksichtigen (Urteil 5A_27/2010 vom 15. April 2010 E. 3.2.2 mit zahlreichen Hinweisen). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin geht es dabei nicht um eine teilweise Aufnahme von Amortisationskosten. Vielmehr handelt es sich bei den Leasingraten für ein Kompetenzgut wirtschaftlich gesehen um zeitlich gestaffelte Anschaffungskosten von nicht pfändbarem Vermögen im Sinne von Art. 92 Abs. 1 oder Art. 93 Abs. 1 SchKG. Dies ist der Grund, weshalb die Raten (grundsätzlich in vollem Umfang) zu berücksichtigen sind (vgl. Urteil 5A_27/2010 vom 15. April 2010 E. 3.2.2; siehe auch die dortigen Ausführungen betreffend "zu teure" Leasingfahrzeuge). Da dem geleasten Fahrzeug im konkreten Fall unbestrittenermassen Kompetenzcharakter zukommt und auch nicht behauptet und belegt worden ist, dass ein zu teures Fahrzeug geleast worden ist, hat das Obergericht die Kosten von Fr. 306.-- zu Recht in vollem Umfang berücksichtigt. Von willkürlicher Rechtsanwendung kann keine Rede sein.
6.
Ausgehend von der Berechnung des Obergerichts reduziert sich der Notbedarf des Beschwerdegegners um den monatlichen Betrag der laufenden Steuern von Fr. 647.-- und beträgt demzufolge noch Fr. 3'712.-- (Fr. 4'359.-- ./. Fr. 647.--) -. Werden vom Einkommen des Beschwerdegegners von Fr. 7'822.-- der korrigierte Bedarf von Fr. 3'712.--, die Kinderzulagen von Fr. 460.-- und die vom Obergericht korrigierten Kinderunterhaltsbeiträge von nunmehr Fr. 1'990.-- (Fr. 995.-- X 2) abgezogen, verbleiben dem Beschwerdegegner noch Fr. 1'660.--. Der Unterhaltsbeitrag für die Beschwerdeführerin ab Juni 2013 ist daher auf diesen Betrag festzusetzen.
7.
Damit ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und der angefochtene Entscheid entsprechend zu korrigieren. Die Beschwerdeführerin hat einen Unterhaltsbeitrag für sich persönlich von Fr. 1'738.50 verlangt und erhält nunmehr Fr. 1'660.-- zugesprochen. Sie obsiegt damit praktisch ganz, sodass es sich rechtfertigt, die vollen Kosten des Verfahrens dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Überdies hat der Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren voll zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
8.
Die Gesuche der Parteien um unentgeltliche Rechtspflege sind gutzuheissen, zumal sich die Beschwerde und der in der Vernehmlassung eingenommene Standpunkt nicht von vornherein als aussichtslos erwiesen haben und beide Parteien als bedürftig angesehen werden können (Art. 64 Abs. 1 BGG). Ihnen ist je ein amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen (Art. 64 Abs. 2 BGG). Da sich die der Beschwerdeführerin zugesprochene Parteientschädigung infolge der Bedürftigkeit des Beschwerdegegners als uneinbringlich erweisen dürfte, ist beiden amtlichen Beiständen für ihre Bemühungen ein reduziertes Honorar aus der Bundesgerichtskasse zu entrichten (Art. 64 Abs. 2 BGG). Überdies werden die Gerichtskosten einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
9.
Zur Neuverlegung der Gerichtskosten der kantonalen Verfahren (Ziff. 4 der Anträge) ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 67 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das angefochtene Urteil wird mit Bezug auf den persönlichen Unterhaltsbeitrag der Beschwerdeführerin ab 1. Juni 2013 und die Regelung der Gerichtskosten für die kantonalen Verfahren aufgehoben. Der Beschwerdegegner wird verpflichtet, der Beschwerdeführerin ab 1. Juni 2013 für die weitere Dauer des Getrenntlebens monatlich und im Voraus Fr. 1'660.-- zu bezahlen.
2.
Die Gesuche der Parteien um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren werden gutgeheissen; der Beschwerdeführerin wird Rechtsanwältin Dr. Marion Jakob, Postfach 148, 4501 Solothurn, dem Beschwerdegegner Rechtsanwältin Dr. Franziska Ryser-Zwygart, Niklaus Konrad-Strasse 12, 4500 Solothurn, je als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, einstweilen aber auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Den amtlichen Rechtsbeiständen wird je ein reduziertes Honorar von Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
5.
Die Sache wird zu Neuregelung der Gerichtskosten für die kantonalen Verfahren an die Vorinstanz zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Mai 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden