Faits:
A. Anciennement domiciliée dans le canton de Neuchâtel, A._ a fait l'objet de plusieurs avertissements et retraits de permis pour excès de vitesse entre 1994 et 2005. En 2006, dans le cadre d'une instruction visant trois infractions commises au moyen d'un véhicule appartenant à l'une de ses sociétés, la prénommée a nié être la conductrice dudit véhicule et indiqué être domiciliée à Ibiza. Les procédures ouvertes pour ces dernières infractions ont été classées. Lors d'une nouvelle infraction commise en 2007 - sanctionnée d'un retrait de permis pour une durée d'un mois - A._ a signalé qu'elle avait perdu son permis. Un duplicata lui a alors été remis, remplacé ensuite par un nouveau permis de conduire.
Le 9 mars 2009, A._ a signalé au Service cantonal des automobiles et de la navigation du canton de Neuchâtel (ci-après: le SCAN) qu'elle s'était fait voler son permis de conduire et elle a sollicité la délivrance d'un nouveau permis. Par courrier du 7 avril 2009, le SCAN lui a répondu qu'il ne pouvait pas accéder à cette requête, dès lors qu'il avait constaté qu'elle n'avait plus de domicile en Suisse depuis le 31 août 2001. Le fichier des habitants du canton de Neuchâtel mentionnait en effet un départ pour une "commune hors de Suisse", en Espagne, à partir de cette date. Il ne pouvait dès lors lui être délivré qu'une attestation de détention d'un permis de conduire suisse, ce qui avait été fait. Après plusieurs échanges de correspondances infructueux, A._ a formellement requis la délivrance d'un duplicata de permis de conduire, en alléguant notamment qu'elle ne s'était pas créé de nouveau domicile depuis 2001, ni en Suisse ni à l'étranger. Par décision du 9 juin 2009, la commission administrative du SCAN a rejeté cette requête.
B. A._ a recouru contre cette décision auprès du Département cantonal de la gestion du territoire, qui a rejeté le recours par décision du 18 août 2009. L'intéressée a contesté cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif), qui a rejeté le recours par arrêt du 24 septembre 2010. En substance, cette autorité a considéré que A._ ne remplissait aucune des conditions posées par l'art. 5a de l'ordonnance fédérale réglant l'admission des personnes et des véhicules à la circulation routière (OAC; RS 741.51), qui prévoit que le permis n'est délivré qu'aux personnes qui résident en Suisse, y séjournent ou qui désirent conduire à titre professionnel des véhicules immatriculés en Suisse. De plus, les autorités cantonales n'étaient pas compétentes pour délivrer un nouveau permis de conduire ou un duplicata, tant au regard de la loi fédérale sur la circulation routière (LCR; RS 741.01) que de la Convention internationale sur la circulation routière du 8 novembre 1968 (dite convention de Vienne). Enfin, dans la mesure où ni le canton de Neuchâtel ni la Suisse ne sont les lieux où A._ séjourne le plus fréquemment, seule une attestation au sens de l'<ref-law> pouvait lui être délivrée.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, de dire qu'elle a "le droit d'obtenir un nouveau permis de conduire, à défaut un duplicatum de celui-ci, et dire que l'autorité cantonale compétente doit le lui délivrer", et, subsidiairement, de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Elle se plaint d'un établissement inexact des faits au sens de l'<ref-law> et elle invoque l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) ainsi que la violation de l'<ref-law> et des art. 5a et 24f OAC. Le Tribunal administratif, le Département cantonal de la gestion du territoire et l'Office fédéral des routes ont renoncé à présenter des observations, en concluant néanmoins au rejet du recours. Au terme de ses observations, le SCAN conclut également au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) statuant sur une demande relative au permis de conduire (<ref-law>), le recours est recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions mentionnées à l'<ref-law> n'étant réalisée. La recourante est particulièrement touchée par la décision attaquée, qui confirme le rejet de sa demande tendant à la délivrance d'un nouveau permis de conduire ou d'un duplicata; elle a donc un intérêt digne de protection à obtenir son annulation, si bien qu'elle a la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Les autres conditions de recevabilité sont réunies, de sorte qu'il convient d'entrer en matière.
2. Au début de son écriture, la recourante annonce qu'elle entend se plaindre d'un établissement inexact des faits au sens de l'<ref-law>, mais elle ne présente pas de véritable grief à cet égard. Elle allègue en outre de nombreux faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué, perdant ainsi de vue que, conformément à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente. L'<ref-law> lui permet cependant de rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>. Cette disposition vise en particulier la violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135). Il appartient au recourant de démontrer cette violation, par une argumentation répondant aux exigences de motivation de l'<ref-law>. Une telle démonstration fait défaut en l'espèce. La recourante se borne en effet à énumérer les conditions qu'elle prétend remplir pour l'octroi d'un nouveau permis de conduire, sans démontrer toutes ses affirmations et sans expliquer pour quelles raisons le Tribunal administratif aurait omis arbitrairement de constater ces faits. Dans ces conditions, il n'y a pas lieu de s'écarter des faits retenus dans l'arrêt querellé.
3. Il apparaît en outre que certains éléments allégués par la recourante sont des faits nouveaux, qui n'avaient pas été soumis à l'instance précédente. Il en va ainsi des allégués selon lesquels elle "séjourne fréquemment dans le canton de Neuchâtel", où se trouverait l'essentiel de sa fortune et de ses revenus et où elle est "taxée [...] en tant que résidente". Devant le Tribunal administratif elle prétendait seulement être "globe-trotter" et vivre entre l'Italie, la France, la Russie, l'Espagne et la Suisse, sans préciser qu'elle séjournait souvent dans le canton de Neuchâtel, ni donner d'indications quant à sa fortune et ses revenus dans ce canton. Il en va de même de l'allégué selon lequel "elle doit pouvoir conduire à titre professionnel" les véhicules d'une société dont elle est administratrice et dont le siège se trouve dans le canton de Neuchâtel. Dans son recours devant la dernière instance cantonale, elle mentionnait certes sa qualité d'administratrice d'une société suisse, mais sans en dire davantage sur une conduite "à titre professionnel" des véhicules de ladite société. A l'appui de son écriture, la recourante dépose encore des pièces nouvelles, qu'elle n'avait pas produites devant le Tribunal administratif. Il s'agit d'un extrait du registre du commerce relatif à la société qu'elle administre dans le canton de Neuchâtel et d'une décision d'assujettissement rendue le 17 février 2010 par le service des contributions du canton de Neuchâtel. Ce dernier document est certes postérieur au recours formé devant le Tribunal administratif, mais la recourante aurait eu l'occasion de le produire avant que l'arrêt attaqué ne soit rendu, étant précisé qu'elle a encore écrit à ce tribunal les 7 mai, 18 août et 30 août 2010.
Aux termes de l'<ref-law>, les faits ou moyens de preuve nouveaux ne sont recevables que s'ils résultent de la décision de l'autorité précédente. Cette exception doit permettre d'alléguer des faits qui ne sont devenus pertinents qu'en raison de l'argumentation inattendue de l'autorité précédente (arrêt 4A_269/2010 du 23 août 2010 consid. 1.3, in SJ 2011 I p. 58 et les références citées). Le recourant qui entend se prévaloir de cette exception doit démontrer que les conditions en sont remplies (<ref-ruling> consid. 3 p. 395; BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2009, n. 19 ad <ref-law>). Une telle démonstration fait manifestement défaut en l'espèce et on ne voit pas d'emblée en quoi l'arrêt querellé, qui confirme pour l'essentiel les décisions des instances inférieures sans se fonder sur une argumentation inattendue, permettrait de présenter les moyens en question pour la première fois devant la Cour de céans. En définitive, dans la mesure où les éléments qui précèdent sont des moyens nouveaux au sens de l'<ref-law>, il n'en sera pas tenu compte dans la présente procédure.
4. La recourante se plaint d'une violation de l'<ref-law> et des art. 5a et 24f OAC. Elle soutient en substance que ces dispositions lui permettent d'obtenir le remplacement de son permis de permis de conduire volé par un nouveau permis ou un duplicata.
4.1 Selon l'<ref-law>, la compétence pour délivrer les permis de conduire appartient à l'autorité administrative du canton de domicile pour les permis de conduire. A teneur de l'<ref-law>, lorsqu'un conducteur n'est pas domicilié en Suisse, la compétence se détermine d'après le lieu où il se trouve le plus fréquemment; dans le doute, le canton compétent est celui qui s'est saisi le premier du cas.
Parmi les conditions requises pour la délivrance d'un permis de conduire, on trouve l'exigence d'un "domicile suisse" au sens de l'<ref-law>. Cette disposition a la teneur suivante:
1Les permis d'élève conducteur et les permis de conduire ainsi que les autorisations de transporter des personnes à titre professionnel ne sont délivrés qu'aux personnes qui résident en Suisse, y séjournent ou qui désirent conduire à titre professionnel des véhicules automobiles immatriculés en Suisse.
2Est réputé domicile du résident à la semaine le domicile de sa famille s'il y retourne régulièrement deux fois par mois en moyenne.
Quant à l'<ref-law>, il règle l'établissement d'un nouveau permis de conduire en cas de perte de ce document. L'alinéa 2 est rédigé comme suit:
2En cas de perte d'un permis, un nouveau permis d'élève conducteur ou un nouveau permis de conduire ne peut être délivré que si la perte est confirmée par écrit. Si le permis qui a été remplacé est retrouvé, il doit être remis à l'autorité dans un délai de quatorze jours. Les personnes se trouvant à l'étranger ne reçoivent en principe qu'une attestation des autorisations de conduire enregistrées en Suisse.
4.2 Le Tribunal administratif a considéré que la recourante ne remplissait manifestement aucune des conditions de l'<ref-law>, que les autorités neuchâteloises n'étaient pas compétentes pour lui délivrer un permis sur la base de l'<ref-law> et que seule une attestation des autorisations de conduire enregistrées en Suisse au sens de l'<ref-law> pouvait lui être délivrée.
La recourante ne remet pas en cause cette appréciation de manière convaincante. Selon ses allégués recevables, elle se prévaut de sa nationalité suisse, de la délivrance d'un permis de conduire par les autorités neuchâteloises en 1976, de la possession de divers biens immobiliers dans le canton de Neuchâtel et de sa qualité d'administratrice d'une société suisse. Elle insiste en outre sur le fait qu'elle ne s'est pas constitué de nouveau domicile à l'étranger, mais qu'elle réside toujours en divers endroits, notamment en Suisse. Ces éléments n'apparaissaient pas suffisants pour retenir que la condition d'un "domicile suisse" au sens de l'<ref-law> est réalisée. Le Tribunal administratif n'a donc pas violé cette disposition en retenant que ce n'était pas le cas, ce d'autant moins que la recourante alléguait devant lui qu'elle avait "annoncé son départ pour l'Espagne, n'étant donc plus domiciliée en Suisse à compter du 31 août 2001", qu'elle déclarait résider "toujours, durant de courtes périodes, en divers endroits", entre l'Italie, la France, la Russie, l'Espagne et la Suisse, et qu'elle se prévalait de son statut de "globe-trotter" en affirmant qu'elle n'avait plus de domicile dans le canton de Neuchâtel ou ailleurs. Elle est donc malvenue de reprocher à l'instance précédente d'avoir omis de constater l'existence d'un domicile suisse au sens de l'<ref-law>. Par ailleurs, c'est également cette absence de domicile dans le canton de Neuchâtel qui a empêché les autorités cantonales de se déclarer compétentes sur la base de l'<ref-law>, étant précisé que la recourante est loin d'avoir démontré que ce canton est "le lieu où [elle] se trouve le plus fréquemment" au sens de l'<ref-law>. Elle n'a pas non plus établi qu'elle ne faisait pas partie des "personnes se trouvant à l'étranger", pour lesquelles l'<ref-law> ne prévoit qu'une attestation des autorisations de conduire enregistrées en Suisse.
En définitive, le Tribunal administratif n'a pas violé les dispositions invoquées, à tout le moins sur la base des informations fournies par la recourante. C'est également à juste titre qu'il a relevé qu'il ne lui appartenait pas de déterminer quel était le domicile effectif de l'intéressée ou de se prononcer sur les raisons pour lesquelles elle ne se constituait pas de nouveau domicile.
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service cantonal des automobiles et de la navigation, au Département de la gestion du territoire et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, ainsi qu'à l'Office fédéral des routes.
Lausanne, le 29 avril 2011
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Fonjallaz Rittener