Sachverhalt:
A. Das Bezirksgericht Zürich verurteilte X._ am 9. Juni 2006 wegen mehrfacher Veruntreuung, mehrfachen Betrugs, ungetreuer Geschäftsbesorgung, mehrfacher Urkundenfälschung, mehrfachen Pfändungsbetrugs, mehrfacher Verfügung über mit Beschlag belegte Vermögenswerte, Bruchs amtlicher Beschlagnahme und Unterlassung der Buchführung zu einer Gefängnisstrafe von zwölf Monaten, als Zusatzstrafe zum Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 3. Juli 2001.
B. Am 14. Januar 2008 wurde der Strafantritt in einer Vollzugsvereinbarung zwischen X._ und der Abteilung Halbgefangenschaft Winterthur auf den 15. Oktober 2008 festgelegt. Nachdem X._ am 2. Oktober 2008 um eine Verschiebung des Strafantritts um ein Jahr, eventualiter um zwei Jahre, ersucht hatte, setzte das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich "im Sinne einer einmaligen Ausnahme" den Strafantrittstermin auf den 17. März 2009 fest. Am 3. März 2009 beantragte X._, der Strafantritt sei um ein Jahr zu verschieben. Das Amt für Justizvollzug wies dieses Gesuch am 13. März 2009 ab, entzog X._ die Zulassung zur Strafverbüssung in der Vollzugsform der Halbgefangenschaft und bestimmte den 29. April 2009 als Termin für den Strafantritt. Den gegen diesen Entscheid erhobenen Rekurs wies die Direktion der Justiz und des Innern am 19. Juni 2009 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde ab und wies die Vollzugsbehörde an, so bald als möglich einen neuen Strafantrittstermin zu bestimmen. Das Amt für Justizvollzug lud X._ am 8. Oktober 2009 auf den 18. Januar 2010 in den Strafvollzug in der Justizvollzugsanstalt Realta vor und wies darauf hin, er könne seine Strafe in der Halbgefangenschaft Winterthur antreten, wenn er bis zum 15. Januar 2010 den Nachweis erbringe, dass er seiner bisherigen Arbeit im Umfang von mindestens 50 % nachgehen könne. Am 8. Januar 2010 ersuchte X._ das Amt für Justizvollzug um Verschiebung des Strafantritts um drei Monate. Dieses Gesuch wurde vom Amt für Justizvollzug am 14. Januar 2010 abgewiesen. X._ rekurrierte am 25. Januar 2010 gegen diesen Entscheid und beantragte der Justizdirektion, der Termin für den Strafantritt sei auf den 25. April 2010 zu verschieben, und die Strafe sei im Regime der Halbgefangenschaft zu vollziehen. Die Justizdirektion wies den Rekurs am 29. Januar 2010 ab und entzog dem Lauf der Beschwerdefrist sowie der Einreichung einer Beschwerde ans Verwaltungsgericht die aufschiebende Wirkung. Mit Präsidialverfügung vom 18. Februar 2010 hiess das Verwaltungsgericht ein Gesuch von X._ um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung gut.
C. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, wies am 20. April 2010 die Anträge von X._ vom 1. März 2010 auf Aufhebung des Rekursentscheids, Festsetzung des Termins für den Strafantritt auf den 1. Juni 2010 sowie Erteilung der Möglichkeit, die Strafe in Halbgefangenschaft zu verbüssen, ab. Es lud X._ auf den 10. Mai 2010 in den Strafvollzug vor.
D. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, (1) der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzusprechen, (2) der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. April 2010 sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, (3) die Vorinstanz sei anzuweisen, ein amtsärztliches bzw. behördliches Gutachten über seine Hafterstehungsfähigkeit erstellen zu lassen, (4) unter Kosten und Entschädigungsfolgen zulasten des Amts für Justizvollzug des Kantons Zürich.
E. Mit Verfügung des Bundesgerichts vom 5. Mai 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung superprovisorisch zuerkannt.
Das Verwaltungsgericht und das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich beantragen, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung nicht zu erteilen.
F. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen die Bejahung der Hafterstehungsfähigkeit. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Rechts auf persönliche Freiheit, da er trotz Hafterstehungsunfähigkeit den Strafvollzug antreten müsse, sowie eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung und eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Er bringt vor, es sei grundlos von der Einschätzung seines Arztes Dr. med. A._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, abgewichen bzw. dessen Diagnose ignoriert worden, und zwar ohne die für diesen Fall beantragte amtliche Begutachtung vorzunehmen, was im Übrigen nicht begründet worden sei. Weiter rügt er eine Verletzung der Vollzugsgrundsätze nach <ref-law> (Beschwerde S. 4).
1.2 Die Kantone vollziehen die von ihren Strafgerichten auf Grund des Strafgesetzbuchs ausgefällten Urteile (<ref-law>).
Nach Art. 48 Abs. 3 der Justizvollzugsverordnung des Kantons Zürich (JVV/ZH; OS 331.1) kann das Amt auf Gesuch der verurteilten Person den Strafantritt auf einen späteren Termin verschieben, wenn dadurch (a) erhebliche Gesundheitsrisiken oder andere erhebliche, nicht wiedergutzumachende Nachteile vermieden werden und (b) weder der Vollzug der Strafe in Frage gestellt wird, noch erhöhte Risiken für Dritte entstehen.
1.3 Die Vorinstanz erwägt, dass dem Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich bei Entscheiden, ob ein Aufschub des Strafantritts zu gewähren sei, ein grosser Ermessensspielraum zustehe. Es sei unbestritten, dass der Beschwerdeführer an psychischen Problemen leide. Am 4. Januar 2010 sei es zu einem Suizidversuch gekommen. Der Beschwerdeführer gehe davon aus, dass er bis mindestens am 1. Juni 2010 nicht hafterstehungsfähig sein werde. Er stütze sich diesbezüglich auf einen Bericht seines Arztes, Dr. med. A._, vom 1. März 2010. Dieser sei zum Schluss gekommen, die Hafterstehungsfähigkeit des Beschwerdeführers sei nicht gegeben, und an dieser Situation werde sich in den folgenden drei Monaten nichts ändern. Die Vorinstanz führt weiter aus, es sei nicht ersichtlich, dass der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers sich am 1. Juni 2010 wesentlich besser präsentieren werde. Der ärztliche Bericht äussere sich nicht dazu, ob er zu jenem Zeitpunkt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit hafterstehungsfähig sein werde. Das bisherige Vorgehen des Beschwerdeführers und die Ungewissheit betreffend seinen künftigen Gesundheitszustand würden dazu führen, dass mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit mit einem weiteren Gesuch um Verschiebung des Strafantritts vor dem 1. Juni 2010 zu rechnen sei. Unter den gegebenen Umständen sei das auf den 1. Juni 2010 befristete Verschiebungsgesuch wie ein Ersuchen um einen Strafaufschub auf unbestimmte Zeit zu behandeln. Die Vorinstanz erwägt im Weiteren, die Justizvollzugsanstalt Realta befinde sich in unmittelbarer Nähe der Psychiatrischen Klinik Beverin, was die erforderliche Betreuung des Beschwerdeführers bzw. einen angepassten Strafvollzug ermögliche. Sein Vorbringen, dass durch den Strafvollzug dennoch mit Sicherheit seine Gesundheit geschädigt werde, überzeuge nicht. Der ärztliche Bericht setze sich kaum mit der Möglichkeit des angepassten Vollzugs auseinander. Es sei nicht mit beträchtlicher Wahrscheinlichkeit damit zu rechnen, der Strafvollzug gefährde das Leben oder die Gesundheit des Beschwerdeführers. Zudem würde durch ein erneutes Verschieben des Antritts des Strafvollzugs im Juli 2011 der Eintritt der Vollstreckungsverjährung drohen. In der Zeit, in welcher der Strafantritt verschoben worden sei, habe der Beschwerdeführer erneut delinquiert. Die Verweigerung einer erneuten Verschiebung des Strafantritts stelle keine Rechtsverletzung dar (angefochtenes Urteil S. 7 ff.).
2. 2.1 Das öffentliche Interesse am Vollzug rechtskräftig verhängter Strafen und der Gleichheitssatz schränken den Ermessensspielraum der Vollzugsbehörde hinsichtlich einer Verschiebung des Strafvollzugs auf unbestimmte Zeit erheblich ein. Der Strafvollzug bedeutet für den Betroffenen immer ein Übel, das vom einen besser, vom andern weniger gut ertragen wird. Die blosse Möglichkeit, dass Leben oder Gesundheit des Verurteilten gefährdet sein könnten, genügt somit offensichtlich nicht für einen Strafaufschub auf unbestimmte Zeit. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kommt eine Verschiebung des Vollzugs einer rechtskräftigen Strafe auf unbestimmte Zeit nur ausnahmsweise in Frage. Dafür wird verlangt, dass mit beträchtlicher Wahrscheinlichkeit damit zu rechnen ist, der Strafvollzug gefährde das Leben oder die Gesundheit des Verurteilten. Selbst in diesen Fällen ist eine Interessenabwägung vorzunehmen, wobei neben den medizinischen Gesichtspunkten die Art und Schwere der begangenen Straftat und die Dauer der Strafe mitzuberücksichtigen sind. Je schwerer Tat und Strafe sind, umso stärker fällt - im Vergleich zur Gefahr des Verlustes der körperlichen Integrität - der staatliche Strafanspruch ins Gewicht. Die vorstehenden Überlegungen gelten dem Grundsatz nach auch für den Fall der Suizidgefahr. Die Beweisschwierigkeiten sind insoweit allerdings besonders gross. Die Rechtssicherheit verlangt hier eine nochmals erhöhte Zurückhaltung. Es darf nicht dazu kommen, dass die Selbstgefährdung zu einem gängigen letzten Verteidigungsmittel wird, das von rechtskräftig Verurteilten in Fällen eingesetzt wird, in denen ein Begnadigungsgesuch keine Erfolgsaussichten hat. Ausserdem ist ein Strafaufschub so lange nicht in Betracht zu ziehen, als die Gefahr der Selbsttötung durch geeignete Massnahmen im Vollzug erheblich reduziert werden kann (<ref-ruling> E. 2c und 2d S. 72 mit Hinweisen). Die Tatsache, dass eine Suizidgefahr vorliegt, hat im Allgemeinen nicht ein derart grosses, absolut wirkendes Gewicht, dass sie von vornherein jedem Haftzweck vorginge. Die Untersuchungshaft kranker Personen greift beispielsweise grundsätzlich nicht derart stark in die persönliche Freiheit ein, dass diese völlig unterdrückt oder ihres Gehaltes als Institution der Rechtsordnung entleert würde (<ref-ruling> E. 3b S. 423 mit Hinweis).
2.2 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweis). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweis).
2.3 Dass und inwiefern die Vorinstanz Bestimmungen des kantonalen Prozessrechts willkürlich anwendet, macht der Beschwerdeführer nicht geltend, weshalb dies nicht zu prüfen ist. Insbesondere bringt er auch nicht vor, dass und inwiefern kantonale Vorschriften hinsichtlich einer Pflicht zum Beizug eines amtlichen Sachverständigen willkürlich angewandt worden seien. Er setzt sich ferner nicht in rechtsgenüglicher Weise mit dem von der Vorinstanz mitberücksichtigten Umstand auseinander, dass im Falle eines erneuten Verschiebens des Strafantritts im Juli 2011 der Eintritt der Vollstreckungsverjährung drohen würde.
2.4 Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers zweifelt die Vorinstanz nicht an seiner Hafterstehungsfähigkeit bzw. geht sie nicht von seiner Hafterstehungsunfähigkeit aus. Sie erwägt vielmehr (vgl. oben E. 1.3), dass unter Berücksichtigung der unmittelbaren Nähe der Justizvollzugsanstalt Realta zur Psychiatrischen Klinik Beverin die erforderliche Betreuung des Beschwerdeführers bzw. ein angepasster Strafvollzug möglich sei, und geht somit im Ergebnis von seiner Hafterstehungsfähigkeit unter den gegebenen konkreten Umständen aus. Der Beschwerdeführer führt nicht näher aus, weshalb die Schlussfolgerung der Vorinstanz, er sei im Rahmen des angepassten Vollzugs bzw. mit der erforderlichen Betreuung hafterstehungsfähig, willkürlich sein soll. Auch eine Verletzung des Rechts der persönlichen Freiheit durch die Anordnung des Strafantritts per 10. Mai 2010 ist weder dargetan noch ersichtlich. Der Beschwerdeführer führt zudem nicht in rechtsgenüglicher Weise aus, welche "Vollzugsgrundsätze nach <ref-law>" inwiefern verletzt sein sollen. Auf seine diesbezüglichen Vorbringen ist somit nicht einzutreten.
2.5 Die Vorinstanz setzt sich entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers durchaus mit dem Bericht von Dr. med. A._ auseinander. Sie erachtet gewisse Aspekte des ärztlichen Berichts aber als nicht überzeugend. Zutreffend weist sie darauf hin, dass sich der Bericht mit der Möglichkeit eines angepassten Vollzugs kaum auseinandersetzt. Die Vorinstanz kommt nach Würdigung der Argumente und Beweise zum Schluss, die erforderliche Betreuung des Beschwerdeführers im Rahmen der Justizvollzugsanstalt Realta - und deren Nähe zur Psychiatrischen Klinik Beverin - sei gewährleistet. Dies ist nicht zu beanstanden. Der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers steht dem Vollzug der Freiheitsstrafe nicht entgegen, solange die medizinische Betreuung zweckentsprechend aufrechterhalten bzw. die Gefahr der Selbsttötung durch geeignete Massnahmen erheblich reduziert werden kann.
2.6 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör, indem sie ohne Anordnung eines amtlichen Gutachtens von der Einschätzung seines Arztes Dr. med. A._ abweiche. Er habe stets anerboten, sich einer behördlichen Begutachtung zu unterziehen, und er habe eine solche für den Fall eines negativen Entscheids der Vorinstanz beantragt (Beschwerde S. 11 f.).
Nach konstanter Rechtsprechung des Bundesgerichts ist Parteigutachten nicht die Qualität von Beweismitteln, sondern von blossen Parteibehauptungen beizumessen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 667 mit Hinweisen). Bei einem Privatgutachter kann vom Anschein einer Befangenheit ausgegangen werden, weil er vom Angeschuldigten nach dessen Kriterien ausgewählt worden ist, zu diesem in einem Vertrags- und Treueverhältnis steht und von ihm bezahlt wird (<ref-ruling> E. 3 f/bb S. 82 mit Hinweis). Die Vorinstanz durfte den Bericht von Dr. med. A._ als Bestandteil der Parteivorbringen mit Zurückhaltung würdigen. Auch wenn sich im angefochtenen Urteil keine Ausführungen zur Frage eines amtlichen Gutachtens finden, ergibt sich aus den Erwägungen im Gesamtzusammenhang implizit, weshalb die Vorinstanz ein solches nicht als erforderlich erachtet. Es liegt keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör vor. Inwiefern die Vorgehensweise der Vorinstanz - auch im Ergebnis - willkürlich sein soll, ist weder dargetan noch ersichtlich.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).
Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Mai 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Häne