Sachverhalt:
A.
S._, geboren 1917, war bis zu seinem Eintritt in das Altersheim X._, Zürich, am 1. Juni 2000, in Unterengstringen wohnhaft. Nach Inkrafttreten des in Umsetzung der Neuordnung der Pflegefinanzierung erlassenen kantonalen Pflegegesetzes (vom 27. September 2010; LS 855.1) am 1. Januar 2011 entstand zwischen den Gemeinden Unterengstringen und Zürich eine Kontroverse um die Frage, wer für die Restfinanzierung der Pflege zuständig sei. Mit Verfügung vom 26. Mai 2011 und Einspracheentscheid vom 4. Juli 2011 verneinte die Gemeinde Unterengstringen ihre Kostentragungspflicht, da sich S._ am 2. Juni 2000 in ihrer Gemeinde abgemeldet und seither seinen Wohnsitz in der Stadt Zürich habe, welche für die Restfinanzierung zuständig sei. In der Rechtsmittelbelehrung wurde angegeben, gegen den Einspracheentscheid könne innert 30 Tagen von der Zustellung an beim Bezirksrat Dietikon Rekurs erhoben werden.
B.
Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich erhob am 25. Juli 2011 gegen den Einspracheentscheid Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und rekurrierte gegen denselben Entscheid zusätzlich am 27. Juli 2011 beim Bezirksrat Dietikon. Das Sozialversicherungsgericht trat mit Beschluss vom 23. Februar 2012 auf die Beschwerde nicht ein. Der Bezirksrat Dietikon, welcher das Verfahren bis zum Entscheid des Sozialversicherungsgerichts sistiert hatte (Präsidialverfügung vom 16. August 2011), beschloss am 6. Februar 2013, auf den Rekurs nicht einzutreten.
Eine hiegegen erhobene Beschwerde des Amtes für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 23. Oktober 2013 im Sinne der Erwägungen ab. Auf eine Überweisung des seine Zuständigkeit verneinenden kantonalen Sozialversicherungsgerichts verzichtete es.
C.
Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und stellt den Antrag, die Frage der Zuständigkeit sei höchstrichterlich zu beantworten, und die Angelegenheit zur materiellen Beurteilung der Streitsache an die zuständige Instanz zu überweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unter anderem zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>). Der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid kann als Endentscheid im Sinne von <ref-law> (Urteil 9C_740/2008 vom 10. Oktober 2008 E. 1) oder als - selbstständig eröffneter - Vor- oder Zwischenentscheid über die Zuständigkeit nach <ref-law> betrachtet werden. Die dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig (<ref-ruling> E. 1 S. 126).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannte Quellen kantonalen Rechts werden vom Bundesgericht inhaltlich nur daraufhin überprüft, ob deren Anwendung zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Vordergrund steht dabei eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 1 S. 203 mit Hinweisen).
2.
Streitigkeiten nach Eintritt eines Leistungsfalles fallen in die Zuständigkeit der II. sozialrechtlichen Abteilung, wenn - allenfalls auch nur im Hintergrund - sozialversicherungsrechtliche Leistungen umstritten sind. Die kantonale Restfinanzierung der Pflegekosten gehört zu den sozialversicherungsrechtlichen Leistungen. Entsprechende Streitigkeiten fallen somit in die Zuständigkeit der II. sozialrechtlichen Abteilung, wenn, wie hier, ein Leistungsfall bereits eingetreten ist. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 379).
3.
Streitig ist die innerkantonale Zuständigkeit für die Beurteilung von strittiger Restfinanzierung der Pflegekosten gemäss <ref-law>.
Die Beschwerdeführerin macht einen negativen Kompetenzkonflikt geltend, nachdem weder das Sozialversicherungs- noch das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich auf die von ihr erhobenen Rechtsmittel eingetreten seien. Damit rügt sie - implizit - eine formelle Rechtsverweigerung und demzufolge eine Verletzung der bundesrechtlichen Rechtsweggarantie (<ref-law>). Dabei kann es ihr nicht schaden, dass sie lediglich beantragt, es sei der zur Diskussion stehende negative Kompetenzkonflikt zu entscheiden, ohne darzulegen, welche von beiden in Frage kommenden Vorinstanzen ihrer Auffassung nach sachlich zuständig ist zum Entscheid über die strittige Pflegefinanzierung (vgl. Urteil 9C_293/2013 vom 12. August 2013 E. 1). Denn sie kann eine <ref-law> verletzende formelle Rechtsverweigerung allein durch den negativen Kompetenzkonflikt der beiden kantonalen Behörden dartun, ohne begründen zu müssen, weshalb eine von ihnen sich geradezu willkürlich oder sonstwie bundesrechtswidrig als unzuständig betrachtete (vgl. Urteil 2P.18/1988 vom 2. März 1989 E. 3b).
4.
Das Bundesgericht hat im zur Publikation vorgesehenen, ebenfalls den Kanton Zürich betreffenden Urteil 9C_582/2013 vom 18. März 2013 entschieden, dass das Verfahren gemäss ATSG auf Streitigkeiten über die Restfinanzierung von Pflegeleistungen nicht nur Anwendung findet, wenn ein kantonaler Gesetzgeber keine oder keine von der Bundesgesetzgebung abweichende Regelung getroffen hat, sondern auch dann, wenn - wie dies im Kanton Zürich der Fall ist - weder den kantonalen Materialien noch den kantonalrechtlichen Normen ein Hinweis auf das anwendbare Verfahrensrecht entnommen werden kann. Das Verfahren betreffend die Pflegefinanzierung zwischen der versicherten Person und dem Kanton gemäss <ref-law> richtet sich daher - auch - im Kanton Zürich nach dem in <ref-law> vorgezeichneten Rechtsweg und es ist das kantonale Sozialversicherungsgericht zuständig für die Beurteilung von Streitigkeiten über die Restfinanzierung von Pflegekosten.
5.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich ist nach dem Gesagten zu Recht auf die Beschwerde nicht eingetreten. In diesem Sinne ist die Beschwerde abzuweisen. Die Sache ist an das zuständige Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zu überweisen, damit es materiell entscheidet. Der von diesem gefällte Nichteintretensentscheid vom 23. Februar 2012 konnte vor der letztinstanzlichen Klärung des Rechtsweges nicht rechtskräftig werden. Dass er unangefochten blieb, ändert daran nichts, weil andernfalls keine Instanz nach <ref-law> zur Verfügung stünde (vgl. Urteile 9C_34/2013 vom 17. Juni 2013 E. 1.1, in: SVR BVG Nr. 48 S. 203 sowie 9C_41/2012 vom 12. März 2012 E. 2.2 mit Hinweisen, in: SZS 2012 S. 346; <ref-ruling> E. 4 S. 32).
6.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird mit Blick auf die besonderen Umstände (negativer Kompetenzkonflikt) verzichtet (<ref-law>; Urteil 9C_293/2013 vom 12. August 2013 E. 5 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2.
Die Akten werden an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zum materiellen Entscheid überwiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, S._, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Mai 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Bollinger Hammerle