Erwägungen:
1.
Mit Beschluss vom 17. Februar 2014 wies das Obergericht des Kantons Zürich den Antrag der Klägerin, A._, betreffend unentgeltliche Prozessführung im Berufungsverfahren ab und setzte ihr eine Frist von 10 Tagen ab Zustellung dieses Beschlusses zur Leistung eines Vorschusses von Fr. 2'500.--. Mit Verfügung vom 6. März 2014 wurde ihr zudem eine einmalige Nachfrist von 5 Tagen ab Zustellung zur Leistung dieses Vorschusses angesetzt.
1.1. Mit Eingabe, die am 17. März 2014 beim Bundesgericht eingegangen ist, erhebt Z._ im Namen von A._ Beschwerde gegen die Entscheide des Obergerichts des Kantons Zürich vom 17. Februar und 6. März 2014 mit dem sinngemässen Antrag, es sei ihr in Aufhebung des Beschlusses vom 17. Februar 2014 die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren vor Obergericht zu gewähren. Ausserdem wird die Gewährung der aufschiebenden Wirkung beantragt.
1.2. Eine Kopie der Beschwerdeschrift ging beim Bundesgericht am 18. März 2014 ein. Sie ist "iV" unterzeichnet von Y._, dessen Wohnadresse als Zustellungsdomizil in der Schweiz bezeichnet ist.
2.
Nach Art. 117 ZPO hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, besteht darüber hinaus ein Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand (Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO). Mit Art. 117 ff. ZPO wird der als verfassungsrechtliche Minimalgarantie in Art. 29 Abs. 3 BV verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auf Gesetzesstufe geregelt. Im Anwendungsbereich der Zivilprozessordnung sind damit seit dem 1. Januar 2011 die Art. 117 ff. ZPO massgebend (<ref-ruling> E. 2.2). Dabei ist die vom Bundesgericht entwickelte Praxis zu Art. 29 Abs. 3 BV sowohl für die Bedürftigkeit wie für die Aussichtslosigkeit massgebend.
2.1. Als bedürftig im Sinne von Art. 29 Abs. 3 BV gilt eine Person dann, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, die für die Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen ihrer Familie erforderlich sind (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 232 mit Hinweisen). In Betracht zu ziehen sind dabei nicht nur die Einkommens-, sondern auch die Vermögensverhältnisse (<ref-ruling> E. 3b S. 98 mit Hinweisen). Soweit das Vermögen einen angemessenen "Notgroschen" übersteigt, ist dem Gesuchsteller unbesehen der Art der Vermögensanlage zumutbar, dieses zur Finanzierung des Prozesses zu verwenden, bevor dafür öffentliche Mittel bereitzustellen sind (Urteil 4D_41/2009 vom 14. Mai 2009, E. 3). Grundsätzlich obliegt es dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen. Dabei dürfen umso höhere Anforderungen an eine umfassende und klare Darstellung der finanziellen Situation gestellt werden, je komplexer die finanziellen Verhältnisse sind (<ref-ruling> E. 3a). Aus den eingereichten Belegen muss auf jeden Fall der aktuelle Grundbedarf des Gesuchstellers hervorgehen. Die Belege haben zudem über sämtliche finanziellen Verpflichtungen des Gesuchstellers sowie über seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse Aufschluss zu geben. Wenn der Gesuchsteller seinen Obliegenheiten nicht nachkommt, ist das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (<ref-ruling> E. 4a S. 164).
2.2. Als aussichtslos sind Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 2.2.4 mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz hat in ihrem Beschluss vom 17. Februar 2014 die Bedürftigkeit der Klägerin verneint mit der Begründung, diese gebe zwar in ihrem erneuten Gesuch ergänzende Angaben zu ihrer Situation, die aber immer noch ungenügend seien. Die Höhe der Rente der "Ärzteversorgung" sei mit EUR 1'279.32 belegt. Völlig unbekannt seien aber die Kosten der Lebenshaltung und wie diese gedeckt würden. Dass die Gesuchstellerin keine Steuererklärung eingereicht habe, weil sie kein Einkommen hatte, deute auf bewusstes Verschleiern hin - die Pflicht zum Einreichen einer Steuererklärung sei nicht davon abhängig, ob jemand tatsächlich etwas zu versteuern habe. Was in der Beschwerde dagegen vorgebracht wird, dringt offensichtlich nicht durch: Es ist entgegen der geäusserten Ansicht für die Bedürftigkeit keineswegs unbeachtlich, wie die Klägerin "mit ihren kärglichen Mitteln" ihr Leben führt, wo und wie sie und ihre Tochter in Bulgarien wohnen, und es ist keineswegs "abwegig und unangebracht verdächtigend", aus der Nichteinreichung einer Steuererklärung auf bewusste Verschleierung der finanziellen Lage zu schliessen. Die Vorinstanz hat vielmehr zutreffend die blosse Behauptung - und sei sie eidesstattlich - nicht als genügend erachtet und die Unterlagen und Belege verlangt, welche nach der Praxis erforderlich sind, um die Behauptung der Bedürftigkeit so weit wie möglich und zumutbar zu belegen. Dass die Bedürftigkeit ohne diese Belege verneint wird, entspricht der Rechtsprechung (oben E. 2.1) und ist entgegen der in der Beschwerde geäusserten Ansicht nicht als Schikane zu verstehen.
2.4. Die Vorinstanz hat im Beschluss vom 17. Februar 2014 überdies verneint, dass die Erfolgsaussicht des Rechtsmittels der Klägerin als ernsthaft zu bezeichnen sei. Die Klägerin hatte danach im Rechtsstreit um eine Schadenersatzforderung von Fr. 20'000.-- wegen unsorgfältiger Verwahrung von Möbeln einen gerichtlichen Vergleich erst nach Ablauf der Widerrufsfrist widerrufen. Denn der Fax mit dem Widerruf ist nach feststehender Praxis zur Fristwahrung nicht genügend und die Sendung wurde zwar der deutschen, nicht aber der allein massgebenden schweizerischen Post rechtzeitig übergeben. Auch in dieser Hinsicht vermögen die in der Beschwerde geäusserten Einwände keine abweichende Beurteilung zu begründen. Der Rechtsstreit wurde vor einem schweizerischen Gericht geführt und vor diesem Gericht wurde der Vergleich geschlossen. Damit ist naheliegend, dass die schweizerischen Verfahrensregeln massgebend sind. Dass die Richterin und die Beklagte wussten, dass sowohl die Klägerin wie auch ihr Vertreter im Ausland "weilten", ändert nichts daran, dass die Streitsache in der Schweiz nach schweizerischem Prozessrecht verhandelt wurde. Danach steht aber fest, dass Fax-Eingaben nicht anerkannt werden und die Postaufgabe nur fristwahrend ist, wenn sie an die schweizerische Post erfolgt.
3.
Die in der Beschwerde erhobenen Einwände gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege sind offensichtlich unbegründet. Es braucht daher nicht geprüft zu werden, ob die Rechtsschriften, die im Namen der Beschwerdeführerin eingereicht wurden, allenfalls an einem verbesserlichen Mangel leiden oder ob auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann. Die Beschwerde ist als offensichtlich unbegründet abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Angesichts der Umstände kann auf die Erhebung von Kosten für das Verfahren vor Bundesgericht verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Huguenin