Sachverhalt:
A.
A._ (Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) wurde am 28. August 1995 beim Überqueren des Fussgängerstreifens in L._ von einem Motorrad erfasst. Dessen Halter ist bei der Zürich-Versicherungs-Gesellschaft AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin) haftpflichtversichert.
B.
B.a. Die Gesuchstellerin reichte am 4. Juli 2013 ein Begehren um vorsorgliche Beweisführung beim Einzelgericht Audienz am Bezirksgericht Zürich ein. Sie stellte die Anträge, es sei ein gerichtliches Gutachten zur Frage der medizinischen Dauerfolgen ihres Unfalls vom 28. August 1995 erheben zu lassen (Ziffer 1), unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Gesuchsgegnerin (Ziffer 2) und es sei der Gesuchstellerin die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen und ihr in der Person des unterzeichnenden Anwalts ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen (Ziffer 3).
Mit Entscheid vom 31. Juli 2013 wies das Bezirksgericht Zürich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sowie das Gesuch um vorsorgliche Beweisführung ab.
B.b. Die Gesuchstellerin gelangte mit Rechtsmitteln vom 15. August 2013 an das Obergericht des Kantons Zürich. Gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege erhob sie Beschwerde. Gegen die Abweisung ihres Begehrens um vorsorgliche Beweisführung erhob sie Berufung.
Das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Beschluss und Urteil vom 17. Oktober 2013 (Geschäftsnummer PF 130038-O/U) die Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Gesuch um vorsorgliche Beweisführung ab und verweigerte der Gesuchstellerin auch für das Beschwerdeverfahren vor Obergericht die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung.
Mit Beschluss und Urteil vom gleichen Tag (Geschäftsnummer LF 130054-O/U) wies das Obergericht sodann die Berufung ab und bestätigte das Urteil des Einzelgerichts Audienz des Bezirksgerichts Zürich vom 31. Juli 2013. Auch für dieses Verfahren wurde das Gesuch der Berufungsklägerin um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen.
C.
Mit zwei Beschwerden vom 25. November 2013 (Postaufgabe) stellt die Gesuchstellerin den Antrag, es sei Ziffer 1 des obergerichtlichen Urteils vom 17. Oktober 2013 (LF 130054-O/U) aufzuheben und das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des erlittenen Unfalls vom 4. Juli 2013 zu bewilligen und die unabhängige medizinische Gutachtensstelle Zürich mit einer Begutachtung zu beauftragen, eventuell sei das Audienzrichteramt des Bezirksgerichts des Kantons Zürich anzuweisen, das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des erlittenen Unfalls vom 29. August 1995 wieder anhand zu nehmen und eine dem Bezirksgericht gut scheinende Gutachterstelle mit der Erstellung eines Gutachtens zu beauftragen. Ausserdem beantragt sie Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses zu ihrem Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung und begehrt, ihr Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung sei sowohl für das kantonale erstinstanzliche Verfahren wie für das obergerichtliche Verfahren gutzuheissen. Ausserdem stellt sie Anträge zur Verlegung der Gerichtskosten und beantragt Parteientschädigung.
Schliesslich ersucht die Beschwerdeführerin auch für die Verfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Der von der Beschwerdeführerin verlangte Kostenvorschuss ging fristgerecht ein.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
D.
Mit Verfügung vom 16. Januar 2014 wurden die Beschwerden vereinigt und die Gesuche um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin wendet sich zunächst gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für ihr Gesuch um vorsorgliche Beweisführung.
1.1. <ref-law> und dementsprechend <ref-law> dienen dem Zugang zum Gericht. Mit dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> soll eine nicht über genügend finanzielle Mittel verfügende Partei in den Stand versetzt werden, zur Durchsetzung ihrer Rechte einen Prozess zu führen, und es soll ihr, gleich wie einer vermögenden Partei, der Zugang zum Gericht ungeachtet ihrer Bedürftigkeit möglich sein. Die Aufgabe des Staates beschränkt sich darauf, den Einzelnen dann zu unterstützen, wenn er ohne diese Unterstützung eines Rechts verlustig ginge oder sich gegen einen als unzulässig erachteten Eingriff nicht wehren könnte. Der Anspruch besteht deshalb in der Regel nicht in einem Verfahren der abstrakten Normenkontrolle, weil derartige Nachteile in der Regel nicht bereits dann unmittelbar drohen, wenn eine Norm erlassen wird; erst die Anwendung einer Norm im Einzelfall führt zu einem massgeblichen Eingriff in Rechte, und es genügt, wenn einer betroffenen bedürftigen Partei die unentgeltliche Prozessführung in jenem Zeitpunkt bewilligt wird (<ref-ruling> E. 4.2 mit Verweisen).
1.2. Das Bundesgericht hat in der Verfügung vom 16. Januar 2014 erkannt, dass im Verfahren um vorsorgliche Beweisführung nach Art. 158 Abs. 1 lit. b 2. Variante ZPO kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege bestehe. Denn beim Verfahren zur Abklärung der Prozess- bzw. Beweisaussichten stehen keine materiellrechtlichen Rechte oder Pflichten der Parteien zur Beurteilung; es geht ausschliesslich darum, das Vorhandensein gewisser Tatsachen beweismässig zu klären. Der Gesuchstellerin droht kein Rechtsverlust, wenn ihr die Abnahme des anbegehrten Beweises verweigert wird. Deshalb ist ihr im Verfahren um vorsorgliche Beweisführung keine unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, beschränkt sich doch die Aufgabe des Staates darauf, den Einzelnen dann zu unterstützen, wenn er ohne diese Unterstützung eines Rechts verlustig ginge (<ref-ruling> E. 3.3 f.). Die Beschwerde ist deshalb zum Vornherein unbegründet, soweit sie sich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch die Vorinstanz richtet.
1.3. Abgesehen davon vermöchte die Beschwerdeführerin auch ihre Bedürftigkeit nicht nachzuweisen. Entgegen ihrer Auffassung sind für die Bestimmung der Bedürftigkeit nicht nur die Einkommens- und Vermögensverhältnisse der Gesuchstellerin in Betracht zu ziehen (<ref-ruling> E. 3b S. 98 mit Hinweisen), sondern es sind auch die Mittel der ihr gegenüber unterstützungspflichtigen Personen (z.B. Ehegatte) massgeblich. Die Pflicht des Staates, der bedürftigen Partei für einen nicht aussichtslosen Prozess die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, geht der Beistands- und Beitragspflicht aus Familienrecht nach (<ref-ruling> E. 3b S. 205; <ref-ruling> E. 3a S. 11, 134 E. 4 S. 135; <ref-ruling> E. 3 S. 4).
Gemäss den eingereichten Belegen verfügt die Beschwerdeführerin zusammen mit ihrem Ehemann über ein monatliches Einkommen von Fr. 7'776.65. Gemäss Steuererklärung werden "private Krankenversicherungsprämien " von monatlich Fr. 1'209.25 bezahlt. Die Prämien für andere Versicherungen betragen Fr. 178.25 monatlich. Zinsen für ein Hypothekardarlehen werden mit Fr. 736.60 monatlich angegeben. Keine Belege sind bezüglich der Steuern eingereicht worden. Es ergibt sich somit ein monatlicher Überschuss von Fr. 5'652.55. Wird ein Grundbetrag von Fr. 2'500.-- abgezogen, verbleiben Fr. 3'152.55.
Gemäss der Steuererklärung wohnt das Ehepaar X._ sodann in einer Liegenschaft mit einem Steuerwert von Fr. 652'846.--. In den Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird zwar behauptet, "das Haus " sei "bereits bis an die Obergrenze mit Krediten belastet ". Diese Behauptung wird aber nicht belegt. Aus der Steuererklärung geht lediglich eine Hypothekarschuld von Fr. 435'000.-- hervor.
Die Bedürftigkeit ist somit sowohl unter dem Gesichtspunkt des verfügbaren monatlichen Einkommens des Ehepaares X._ wie auch unter dem Gesichtspunkt des verfügbaren Vermögens zu verneinen.
2.
Soweit sich die Beschwerdeführerin sodann gegen die Verweigerung der vorsorglichen Beweisführung wendet, wirft sie der Vorinstanz eine willkürliche Anwendung von <ref-law> sowie diverse Verletzungen von <ref-law> sowie Art. 6 EMRK vor.
2.1. Beim vorliegend angefochtenen Entscheid über vorsorgliche Beweisführung handelt es sich um einen Entscheid i.S. von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 S. 46; <ref-ruling> E. 2 S. 639). Dagegen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden.
Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444 f.; je mit Hinweisen).
2.2. Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Praxis nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211; je mit Hinweisen).
2.3. <ref-law> regelt die vorsorgliche Beweisführung. Nach Abs. 1 lit. b nimmt das Gericht jederzeit Beweis ab, wenn die gesuchstellende Partei eine Gefährdung der Beweismittel oder ein schutzwürdiges Interesse glaubhaft macht.
2.3.1. Gemäss der bundesrätlichen Botschaft wird mit dem Begriff des schutzwürdigen Interesses in <ref-law> auf die Möglichkeit Bezug genommen, eine vorsorgliche Beweisführung auch zur Abklärung der Beweis- und Prozessaussichten durchzuführen. Diese Möglichkeit soll dazu beitragen, aussichtslose Prozesse zu vermeiden (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7221, S. 7315; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 19; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81).
2.3.2. Zur Glaubhaftmachung eines schutzwürdigen Interesses an einer vorsorglichen Beweisführung genügt die blosse Behauptung eines Bedürfnisses, Beweis- und Prozessaussichten abzuklären, freilich nicht. Eine vorsorgliche Beweisführung kann nur mit Blick auf einen konkreten materiellrechtlichen Anspruch verlangt werden, hängt doch das Interesse an einer Beweisabnahme vom Interesse an der Durchsetzung eines damit zu beweisenden Anspruchs ab. Die Gesuchstellerin, die sich auf <ref-law> stützt, muss daher glaubhaft machen, dass ein Sachverhalt vorliegt, gestützt auf den ihr das materielle Recht einen Anspruch gegen die Gesuchsgegnerin gewährt, und zu dessen Beweis das abzunehmende Beweismittel dienen kann (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 19; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81). Lediglich für Tatsachen, die mit dem vorsorglich abzunehmenden Beweismittel bewiesen werden sollen, kann keine eigentliche Glaubhaftmachung verlangt werden, denn sonst würde der Zweck von <ref-law>, die vorprozessuale Abklärung von Beweisaussichten zu ermöglichen, vereitelt. Stellt das abzunehmende Beweismittel das einzige dar, mit dem die Gesuchstellerin ihren Anspruch beweisen kann, muss es genügen, dass sie das Vorliegen der anspruchsbegründenden Tatsachen lediglich substanziiert behauptet (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 19; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 82).
Die Anforderungen an die Glaubhaftmachung dürfen freilich nicht überspannt werden, geht es doch beim Verfahren der vorsorglichen Beweisabnahme noch nicht um die Prüfung der Begründetheit des Hauptanspruchs (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 20). Abgesehen von der Glaubhaftmachung eines Hauptsacheanspruchs bzw. der schlüssigen und substanziierten Behauptung der anspruchsbegründenden Tatsachen, die durch das vorsorglich beantragte Beweismittel bewiesen werden sollen, sind an das Bestehen eines schutzwürdigen Interesses keine hohen Anforderungen zu stellen. Ein solches wäre namentlich etwa dann zu verneinen, wenn das beantragte Beweismittel untauglich ist, muss doch das vorsorglich abgenommene Beweismittel in einem allfälligen Hauptprozess verwertet werden können. Ebenfalls kein Interesse an einer vorsorglichen Beweisführung besteht sodann, wenn es der gesuchstellenden Partei lediglich darum geht, ein bereits vorliegendes, beweistaugliches Gutachten mit einem weiteren Gutachten in Frage zu stellen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 20).
2.3.3. Die Vorinstanz verwies auf die Erwägungen der ersten Instanz. Danach verfüge die Beschwerdeführerin aus einem sozialversicherungsrechtlichen Verfahren bereits über nicht weniger als neun Gutachten verschiedener Ärzte und Institutionen. Diese vorhandenen Unterlagen würden zwar kein einheitliches Bild abgeben. Mit einem neuen Gutachten wäre aber nach Auffassung der ersten Instanz für die Beurteilung des Prozessrisikos auch nichts gewonnen. Da die Grundlagen für die Abschätzung des Prozessrisikos schon derart erstellt seien, rechtfertige es sich nicht, sie im Rahmen der vorsorglichen Beweisführung, noch zu erweitern. Die durch einen spezialisierten Anwalt vertretene Beschwerdeführerin habe die Chancen und Risiken vielmehr gestützt auf die vorliegenden Unterlagen vorzunehmen. Entsprechend fehle es ihr an einem schutzwürdigen Interesse für eine vorsorgliche Beweisführung. Diesen Schluss teilte die Vorinstanz.
2.4. Dagegen bringt die Beschwerdeführerin vor, die Gutachten aus dem sozialversicherungsrechtlichen Verfahren seien im Interesse des Sozialversicherers erstellt worden; sie können daher nach Auffassung der Beschwerdeführerin nicht mit gerichtlichen Gutachten verglichen werden. Zudem bestehe nicht einmal über die Diagnosen Klarheit. Dem Gutachten der D._ würden die Gutachter Dr. E._, Dr. F._ und die Gutachterstelle G._ widersprechen. Diesen Erkenntnissen widersetze sich sodann H._ und Dr. I._ mit jeweils anderer Begründung, denen wiederum der Privatgutachter und Neurologe Dr. J._ widerspreche. Es bestehe weder über die genaue Diagnose noch über das Ausmass der Arbeitsunfähigkeit Klarheit. Eine verlässliche Grundlage, die es erlauben würde, die Prozesschancen abzuschätzen, liege daher nicht vor.
2.5. Die Rüge geht fehl. Das Bundesgericht hat in einem kürzlich ergangenen Leitentscheid erkannt, dass die Partei, die um die vorsorgliche Erstellung eines Gutachtens ersucht, kein schutzwürdiges Interesse hat, wenn bereits ein Gutachten vorliegt, das in einem anderen Verfahren erstellt wurde (<ref-ruling> E. 3.3.1.3 S. 27). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin darf der Zivilrichter ein Gutachten, das von einer anderen Behörde in Auftrag gegeben und in einem anderen Verfahren erstattet wurde (z.B. ein im Strafverfahren eingeholtes verkehrstechnisches Gutachten oder eine von einem Sozialversicherungsträger veranlasste medizinische Expertise), als gerichtliches Gutachten beiziehen. Die Beweistauglichkeit solcher Fremdgutachten wird dadurch nicht in Frage gestellt, dass den Parteien diesbezüglich im Hauptprozess das rechtliche Gehör zu gewähren ist, wozu ausser einer Stellungnahme zum Inhalt des Fremdgutachtens (<ref-law>) auch die Möglichkeit gehört, sich nachträglich noch zur Person des Gutachters (<ref-law>) zu äussern und Ergänzungsfragen (<ref-law>) zu stellen. Fremdgutachten sind mithin ebenso beweistauglich wie die vom Zivilrichter selbst eingeholten Gutachten, wobei sich ihre Beweiskraft selbstverständlich nach dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung (<ref-law>) richtet und ein neues Gutachten zu denselben Gutachterfragen angeordnet werden kann, wenn die Feststellungen und Schlussfolgerungen eines Fremdgutachtens einer kritischen Würdigung nicht standhalten (<ref-ruling> E. 3.3.1.3 S. 27).
Die Beschwerdeführerin wendet gegen die bestehenden Gutachten zwar ein, dass diese im Interesse der Sozialversicherer erstellt worden seien; sie macht aber nicht geltend, dass die Gutachter im Sinne von Art. 183 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> befangen gewesen wären. Dass sich die Gutachten widersprechen, begründet sodann kein schutzwürdiges Interesse an der vorsorglichen Einholung eines weiteren Gutachtens. Ein weiteres Gutachten vermöchte die Tatsache, dass bereits widersprüchliche Diagnosen vorliegen, denn auch nicht zu beseitigen. Die Vorinstanz ist damit willkürfrei zur Auffassung gelangt, dass bereits beweistaugliche Gutachten vorliegen und die Beschwerdeführerin folglich kein schutzwürdiges Interesse an der vorsorglichen Erstellung eines weiteren Gutachtens hat. Da es sich hierbei um eine entscheidtragende Begründung handelt, braucht auf die weiteren Alternativbegründungen der Vorinstanz und die dagegen vorgetragenen Rügen nicht weiter eingegangen zu werden.
3.
Soweit sich die Beschwerdeführerin sodann gegen die vorinstanzliche Kostenregelung wendet, ist ihre Rüge ebenfalls unbegründet. Das Bundesgericht hat im kürzlich ergangenen Leitentscheid <ref-ruling> E. 3.5 S. 34 f. mit ausführlicher Begründung erkannt, dass unabhängig vom Ausgang des Verfahrens um vorsorgliche Beweisführung und unabhängig vom Antrag der Gesuchsgegnerschaft stets die gesuchstellende Partei sowohl die Gerichts- als auch die Parteikosten zu tragen hat. Die Auferlegung der vorinstanzlichen Gerichtskosten auf die Beschwerdeführerin ist damit nicht zu beanstanden.
4.
Die Beschwerden sind unbegründet.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerden werden abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. April 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni