Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die Bezirksanwaltschaft Zürich erhob am 31. Oktober 2002 gegen X._ Anklage wegen Drohung und Hausfriedensbruchs. Sie führte in der Anklageschrift aus, X._ habe am 10. April 2002, ca. 20.00 Uhr, im Treppenhaus der Liegenschaft Z._ in Zürich an der Wohnungstüre seiner Nachbarin Y._ geläutet, um sich über Lärmbelästigung durch Türeschlagen zu beschweren. Als Frau Y._ die Türe etwas geöffnet habe, habe der Angeklagte sofort versucht, in ihre Wohnung einzudringen, und er habe seinen Fuss zwischen Türe und Türschwelle in die Wohnung von Frau Y._ gesetzt. Diese habe indessen die Türe wieder zuschlagen können, und der Angeklagte habe seinen Fuss wieder zurücknehmen müssen. Er habe dann Y._ durch die unterdessen von ihr verschlossene Türe heftig angeschrieen, so dass sie durch das Vorgehen des Angeklagten (Versuch, in ihre Wohnung einzudringen, und anschliessendes heftiges Anschreien) stark geängstigt worden sei. Die Einzelrichterin in Strafsachen am Bezirksgericht Zürich sprach X._ am 28. Januar 2003 der Drohung und des Hausfriedensbruchs schuldig und bestrafte ihn mit zehn Tagen Gefängnis, unter Gewährung des bedingten Strafvollzuges. Der Angeklagte legte Berufung ein. Das Obergericht des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 25. April 2003 auf die Anklage betreffend Drohung nicht ein. Mit Urteil vom gleichen Datum sprach es X._ des Hausfriedensbruchs schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 800.--. Gegen dieses Urteil erhob X._ eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich trat mit Zirkulationsbeschluss vom 27. November 2003 auf die Beschwerde nicht ein.
A. Die Bezirksanwaltschaft Zürich erhob am 31. Oktober 2002 gegen X._ Anklage wegen Drohung und Hausfriedensbruchs. Sie führte in der Anklageschrift aus, X._ habe am 10. April 2002, ca. 20.00 Uhr, im Treppenhaus der Liegenschaft Z._ in Zürich an der Wohnungstüre seiner Nachbarin Y._ geläutet, um sich über Lärmbelästigung durch Türeschlagen zu beschweren. Als Frau Y._ die Türe etwas geöffnet habe, habe der Angeklagte sofort versucht, in ihre Wohnung einzudringen, und er habe seinen Fuss zwischen Türe und Türschwelle in die Wohnung von Frau Y._ gesetzt. Diese habe indessen die Türe wieder zuschlagen können, und der Angeklagte habe seinen Fuss wieder zurücknehmen müssen. Er habe dann Y._ durch die unterdessen von ihr verschlossene Türe heftig angeschrieen, so dass sie durch das Vorgehen des Angeklagten (Versuch, in ihre Wohnung einzudringen, und anschliessendes heftiges Anschreien) stark geängstigt worden sei. Die Einzelrichterin in Strafsachen am Bezirksgericht Zürich sprach X._ am 28. Januar 2003 der Drohung und des Hausfriedensbruchs schuldig und bestrafte ihn mit zehn Tagen Gefängnis, unter Gewährung des bedingten Strafvollzuges. Der Angeklagte legte Berufung ein. Das Obergericht des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 25. April 2003 auf die Anklage betreffend Drohung nicht ein. Mit Urteil vom gleichen Datum sprach es X._ des Hausfriedensbruchs schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 800.--. Gegen dieses Urteil erhob X._ eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich trat mit Zirkulationsbeschluss vom 27. November 2003 auf die Beschwerde nicht ein.
B. X._ reichte mit Eingabe vom 14. Januar 2004 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts und den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts ein.
B. X._ reichte mit Eingabe vom 14. Januar 2004 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts und den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts ein.
C. Das Obergericht und das Kassationsgericht des Kantons Zürich verzichteten auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin Y._ äusserte sich in einer von ihr selber verfassten Eingabe vom 20. Januar 2004 zu bestimmten Behauptungen des Beschwerdeführers, ohne einen Antrag zu stellen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob und inwieweit es auf die bei ihm eingereichte staatsrechtliche Beschwerde eintreten kann (<ref-ruling> E. 1 S. 174 mit Hinweisen).
1.1 Mit der vorliegenden staatsrechtlichen Beschwerde kann nur der letztinstanzliche kantonale Entscheid, mithin der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 27. November 2003, angefochten werden (Art. 86 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege, OG). Soweit der Beschwerdeführer das Obergerichtsurteil vom 25. April 2003, den Entscheid der Einzelrichterin des Bezirksgerichts Zürich vom 28. Januar 2003 sowie das Vorgehen der Bezirksanwaltschaft kritisiert und in diesem Zusammenhang eine Verletzung der Art. 8, 9, 10 (Abs. 3), 29 (Abs. 2) und 30 (Abs. 1) BV rügt, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
1.2 Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht gegebenen Ausnahmen abgesehen, rein kassatorischer Natur, d.h. sie kann nur zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führen (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 131 f., 173 E. 1.5 S. 176, je mit Hinweisen). Auf die vorliegende Beschwerde ist daher nicht einzutreten, soweit mit ihr mehr oder anderes als die Aufhebung des Beschlusses des Kassationsgerichts vom 27. November 2003 beantragt wird. Es betrifft dies die Anträge des Beschwerdeführers, das Obergerichtsurteil sei aufzuheben, er sei freizusprechen und es sei ihm zulasten des Kantons Zürich eine Entschädigung von total Fr. 35'600.-- sowie eine angemessene Genugtuung zuzusprechen.
1.2 Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht gegebenen Ausnahmen abgesehen, rein kassatorischer Natur, d.h. sie kann nur zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führen (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 131 f., 173 E. 1.5 S. 176, je mit Hinweisen). Auf die vorliegende Beschwerde ist daher nicht einzutreten, soweit mit ihr mehr oder anderes als die Aufhebung des Beschlusses des Kassationsgerichts vom 27. November 2003 beantragt wird. Es betrifft dies die Anträge des Beschwerdeführers, das Obergerichtsurteil sei aufzuheben, er sei freizusprechen und es sei ihm zulasten des Kantons Zürich eine Entschädigung von total Fr. 35'600.-- sowie eine angemessene Genugtuung zuzusprechen.
2. In der staatsrechtlichen Beschwerde wird geltend gemacht, es bestehe "der Verdacht der Befangenheit des Kassationsgerichtes", weil dieses die Meinung der Vorinstanz zur Nichtigkeitsbeschwerde eingeholt habe. Falls damit eine Verletzung des Anspruchs auf ein unbefangenes Gericht nach Art. 30 Abs. 1 BV gerügt wird, geht die Rüge offensichtlich fehl. Es entspricht einem allgemeinen Grundsatz, dass die Rechtsmittelinstanz der unteren Instanz, welche die angefochtene Entscheidung gefällt hat, Gelegenheit gibt, zum Rechtsmittel Stellung zu nehmen. Es kann keine Rede davon sein, dass die Rechtsmittelinstanz deswegen nicht mehr in der Lage wäre, unbefangen zu entscheiden.
2. In der staatsrechtlichen Beschwerde wird geltend gemacht, es bestehe "der Verdacht der Befangenheit des Kassationsgerichtes", weil dieses die Meinung der Vorinstanz zur Nichtigkeitsbeschwerde eingeholt habe. Falls damit eine Verletzung des Anspruchs auf ein unbefangenes Gericht nach Art. 30 Abs. 1 BV gerügt wird, geht die Rüge offensichtlich fehl. Es entspricht einem allgemeinen Grundsatz, dass die Rechtsmittelinstanz der unteren Instanz, welche die angefochtene Entscheidung gefällt hat, Gelegenheit gibt, zum Rechtsmittel Stellung zu nehmen. Es kann keine Rede davon sein, dass die Rechtsmittelinstanz deswegen nicht mehr in der Lage wäre, unbefangen zu entscheiden.
3. Der Beschwerdeführer beklagt sich über eine Verletzung des in Art. 29 Abs. 2 BV gewährleisteten Anspruchs auf rechtliches Gehör, weil das Kassationsgericht auf die Nichtigkeitsbeschwerde nicht eintrat.
3.1 Gemäss § 430 Abs. 2 der Strafprozessordnung des Kantons Zürich (StPO) ist in der Beschwerdeschrift jeder Nichtigkeitsgrund genau zu bezeichnen. Das Kassationsgericht hielt fest, aus der Natur des Beschwerdeverfahrens, das keine Fortsetzung des Verfahrens vor dem Sachrichter darstelle, folge, dass sich der Nichtigkeitskläger konkret mit dem angefochtenen Entscheid auseinander setzen und den behaupteten Nichtigkeitsgrund in der Beschwerdeschrift selbst nachweisen müsse. In der Beschwerdebegründung seien insbesondere die angefochtenen Stellen des vorinstanzlichen Entscheides zu bezeichnen und diejenigen Aktenstellen, aus denen sich ein Nichtigkeitsgrund ergeben solle, im Einzelnen anzugeben. Das Kassationsgericht vertrat die Ansicht, diesen Anforderungen genüge die vom Beschwerdeführer gegen das Obergerichtsurteil erhobene Nichtigkeitsbeschwerde nicht. Es führte aus, in dieser Beschwerde werde nicht eine Stelle im obergerichtlichen Entscheid genannt oder bezeichnet, die einen Nichtigkeitsgrund enthalten solle. Ein solcher Nachweis wäre allenfalls im Zusammenhang mit den Rügen der Verletzung des Anklagegrundsatzes und der Verletzung des Ermittlungsgrundsatzes entbehrlich. Wie bei den übrigen Rügen setze sich der Beschwerdeführer jedoch auch bei diesen beiden nicht hinreichend mit dem angefochtenen Entscheid auseinander, sondern erschöpfe sich in pauschalen und unsubstanziierten Vorwürfen. Demzufolge sei auf die Nichtigkeitsbeschwerde nicht einzutreten.
Sodann führte das Kassationsgericht weitere Gründe an, aus denen auf die Eingabe des Beschwerdeführers nicht eingetreten werden könne. Es hielt fest, das Verfahren vor Kassationsgericht sei auf die Prüfung von Nichtigkeitsgründen im Sinne von § 430 StPO beschränkt. Auf Vorbringen des Beschwerdeführers, die darüber hinausgingen, sei daher nicht einzutreten. Soweit aufgrund von Rügen zu prüfen wäre, ob ein Tatbestand erfüllt sei oder ob Vorsatz vorliege, würde es sich um Fragen des materiellen Bundesrechts handeln, die vor Bundesgericht zu erheben wären. Diesbezüglich würde dem Kassationsgericht die Kognitionsbefugnis fehlen, weshalb auch aus diesem Grund in den entsprechenden Punkten auf die Beschwerde nicht einzutreten wäre.
3.2 In der staatsrechtlichen Beschwerde wird nichts vorgebracht, was geeignet wäre, die erwähnten (E. 3.1 Abs. 1) Überlegungen der kantonalen Instanz zur Frage der hinreichenden Begründung der Nichtigkeitsbeschwerde als unhaltbar erscheinen zu lassen. Die Auffassung des Kassationsgerichts, wonach die Rechtsschrift des Beschwerdeführers den Anforderungen von § 430 Abs. 2 StPO nicht zu genügen vermöge, ist sachlich vertretbar. Ein Verstoss gegen das Willkürverbot liegt nicht vor. Auch die weiteren, oben (E. 3.1 Abs. 2) angeführten Erwägungen der kantonalen Instanz sind entgegen der Meinung des Beschwerdeführers nicht zu beanstanden. Verhält es sich so, dann verletzte das Kassationsgericht den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör nicht, wenn es auf die Nichtigkeitsbeschwerde nicht eintrat.
Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet. Sie ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet. Sie ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4. Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege setzt voraus, dass der Gesuchsteller bedürftig ist und sein Rechtsbegehren nicht als aussichtslos erscheint (Art. 152 Abs. 1 OG). Da die vorliegende Beschwerde keine Aussicht auf Erfolg hatte, ist das Gesuch des Beschwerdeführers abzuweisen. Entsprechend dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens hat er die Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG). Die Beschwerdegegnerin Y._ ist nicht durch einen Anwalt vertreten und stellte in ihrer Beschwerdeantwort keinen Antrag. Sie hat unter diesen Umständen keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (vgl. <ref-ruling> ff.).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft, dem Obergericht, II. Strafkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2004
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: