Sachverhalt:
A.
Der 1966 geborene J._ war als Polier der X._ AG bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er am 4. Oktober 2005 ausrutschte und sich am linken Fuss verletzte. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Da der Versicherte wieder voll arbeitsfähig war, konnten die Taggeld-Zahlungen im Jahre 2009 eingestellt werden.
Am 7. März 2012 wandte sich J._ an die SUVA und beantragte, die Taggeldzahlungen ab 19. März 2012 wieder aufzunehmen. Mit Verfügung 13. März 2012 und Einspracheentscheid vom 13. April 2012 bestätigte die SUVA den Heilbehandlungsanspruch des Versicherten, lehnte es jedoch ab, ein Taggeld auszubezahlen, da er bereits aufgrund einer unfallfremden psychischen Erkrankung zu 100 % arbeitsunfähig sei.
B.
Die von J._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 28. Mai 2013 gut, hob den angefochtenen Entscheid auf und wies die Sache an die SUVA zurück, damit sie nach erfolgten Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Leistungsanspruch des Beschwerdeführers neu befinde. Gemäss den vorinstanzlichen Erwägungen steht es nicht fest, dass die psychische Erkrankung nicht zumindest teilweise natürlich kausal durch das Unfallereignis vom 4. Oktober 2005 mitverursacht wurde. Zudem habe die SUVA auch bei einem fehlenden Kausalzusammenhang zwischen dem Ereignis und den psychischen Beschwerden ein Taggeld zu erbringen.
C.
Mit Beschwerde beantragt die SUVA, der kantonale Gerichtsentscheid sei insoweit aufzuheben, als darin dem Versicherten unabhängig von der Kausalität der psychischen Beschwerden ein Taggeld zugesprochen werde.
Während J._ auf Nichteintreten auf die Beschwerde, eventuell auf deren Abweisung schliesst und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das BGG unterscheidet in Art. 90 bis 93 zwischen End-, Teil- sowie Vor- und Zwischenentscheiden und schafft damit eine für alle Verfahren einheitliche Terminologie. Ein Endentscheid ist ein Entscheid, der das Verfahren prozessual abschliesst (<ref-law>), sei dies mit einem materiellen Entscheid oder Nichteintreten, z.B. mangels Zuständigkeit. Der Teilentscheid ist eine Variante des Endentscheids. Mit ihm wird über eines oder einige von mehreren Rechtsbegehren (objektive und subjektive Klagehäufung) abschliessend befunden. Es handelt sich dabei nicht um verschiedene materiellrechtliche Teilfragen eines Rechtsbegehrens, sondern um verschiedene Rechtsbegehren. Vor- und Zwischenentscheide sind alle Entscheide, die das Verfahren nicht abschliessen und daher weder End- noch Teilentscheid sind; sie können formell- und materiellrechtlicher Natur sein. Voraussetzung für die selbstständige Anfechtbarkeit materiellrechtlicher Zwischenentscheide ist gemäss <ref-law> zunächst, dass sie selbstständig eröffnet worden sind. Erforderlich ist sodann alternativ, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
2.
Beim kantonalen Entscheid vom 28. Mai 2013 handelt es sich um einen Zwischenentscheid: Die Vorinstanz hob den Einspracheentscheid der SUVA vom 13. April 2012 auf und wies die Sache an diese zurück, damit sie nach erfolgten Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Leistungsanspruch des Versicherten neu befinde. Gemäss den vorinstanzlichen Erwägungen steht es nicht fest, dass die psychische Erkrankung nicht zumindest teilweise natürlich kausal durch das Unfallereignis vom 4. Oktober 2005 mitverursacht wurde. Zudem habe die SUVA auch bei einem fehlenden Kausalzusammenhang zwischen dem Ereignis und den psychischen Beschwerden ein Taggeld für die somatische Einschränkung in der Arbeitsfähigkeit zu erbringen. Die SUVA macht geltend, durch diesen Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu erleiden: Könne sie diesen Entscheid nicht vor Bundesgericht anfechten, so habe dies zur Folge, dass sie gezwungen wäre, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Diese könne sie in der Folge nicht selber anfechten; da die Gegenpartei kein Interesse haben werde, den allenfalls zu ihren Gunsten rechtswidrigen Endentscheid anzufechten, könne der kantonale Vorentscheid nicht mehr korrigiert werden und würde zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil für die Verwaltung führen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.). Sie erblickt die rechtswidrige Anordnung darin, dass sie durch den kantonalen Entscheid gezwungen werde, unabhängig von der Kausalität der psychischen Beschwerden ein Taggeld für eine volle Arbeitsunfähigkeit zu erbringen.
3.
Eine Anordnung im kantonalen Entscheid kann nur dann einen Nachteil für die Verwaltung bewirken, wenn sie für die erstinstanzliche Behörde verbindlich ist. Unnötige rechtliche Ausführungen in einem Entscheid, sog. "obiter dicta", entfalten für die Vorinstanz keine bindende Wirkung (vgl. Urteil 8C_609/2012 vom 8. November 2012 E. 3 mit weiteren Hinweisen). Im vorliegenden Fall können die Erwägungen des kantonalen Gerichts, wonach ein Taggeldanspruch unabhängig von der Kausalität der psychischen Beschwerden besteht, zudem bereits aus dem Grunde nicht verbindlich sein, als das kantonale Gericht die Sache zur Klärung dieser Kausalität an die SUVA zurückgewiesen hat. Eine Rückweisung zur Abklärung der Kausalität der psychischen Beschwerden ist aber zum Vorneherein nur dann sinnvoll, wenn das Ergebnis dieser Abklärungen einen Einfluss auf den materiellen Entscheid haben kann. Wären die umstrittenen Anordnungen für die SUVA verbindlich, so wäre das Ergebnis der Abklärungen für den zu fällenden Entscheid unerheblich. Insofern ist der kantonale Entscheid, die Sache zu weiteren Abklärungen an die SUVA zurückzuweisen und gleichzeitig den Taggeldanspruch unabhängig vom Ergebnis der Abklärungen zu bejahen, in sich widersprüchlich. In sich widersprüchliche oder unsinnige Anordnungen können aber für die unteren Instanzen nicht verbindlich sein (vgl. Urteil 8C_609/2012 vom 8. November 2012 E. 3 mit Hinweis auf das Urteil 8C_154/2010 vom 16. August 2010 E. 7.1).
4.
Entfalten somit die Erwägungen des kantonalen Gerichts, wonach ein Taggeldanspruch unabhängig von der Kausalität der psychischen Beschwerden besteht, für die SUVA keine bindende Wirkung, so droht der Verwaltung durch den angefochtenen Entscheid kein nicht wieder gutzumachender Nachteil. Somit ist die Eintretensvoraussetzung gemäss <ref-law> nicht erfüllt. Da eine Gutheissung der Beschwerde keinen sofortigen Endentscheid herbeiführen würde, ist auch die Eintretensalternative von <ref-law> nicht gegeben. Auf die Beschwerde der SUVA gegen den kantonalen Entscheid vom 28. Mai 2013 ist somit nicht einzutreten.
5.
Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der SUVA aufzuerlegen (<ref-law>). Diese hat dem Beschwerdegegner überdies eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Rechtsvertreter des Beschwerdegegners für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. November 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Nabold