Sachverhalt:
A. Mit Strafverfügung vom 4. Dezember 2007 verurteilte die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn X._ wegen diversen Widerhandlungen gegen das SVG (begangen 5. Juli 2007) zu gemeinnütziger Arbeit von 100 Stunden (zuzüglich gemeinnützige Arbeit von 16 Stunden bei Nichtleistung der separat ausgefällten Busse von Fr. 200.--).
B. Am 3. April 2008 teilte die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn dem Lenker mit, dass wegen des Vorfalls vom 5. Juli 2007 ein Administrativmassnahmenverfahren gegen ihn eingeleitet worden sei und sie in Aussicht nehme, dafür einen Warnungsentzug des Führerausweises (gestützt auf <ref-law>) gegen ihn zu verfügen.
C. Am 21. April 2008 deponierte der Lenker bei der Kantonspolizei in Liestal (BL) auf Anraten seines Hausarztes freiwillig und auf unbestimmte Zeit den Führerausweis. Mit Schreiben vom 2. Mai 2008 bestätigte die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn dem Lenker die freiwillige Hinterlegung des Führerausweises. Gleichzeitig wies sie ihn darauf hin, dass die Ausweisabgabe die Wirkung eines Entzuges habe und ihm das Führen von Motorfahrzeugen vorläufig untersagt sei.
D. Am 3. Februar 2009 stellte der Lenker bei der kantonalen Motorfahrzeugkontrolle ein Gesuch um Rückgabe des Führerausweises. Am 28. Mai 2009 verfügte diese Behörde eine verkehrsmedizinische Fahreignungsabklärung des Lenkers. Eine von diesem dagegen erhobene Beschwerde wies das Departement des Innern des Kantons Solothurn mit (rechtskräftigem) Entscheid vom 7. August 2009 ab.
E. Nachdem sich der Lenker (am 29. September bzw. 5. Oktober 2009) der rechtskräftig verfügten verkehrsmedizinischen Fahreignungsabklärung unterzogen hatte, wurde er mit Verfügung des Departements des Innern des Kantons Solothurn vom 6. Januar "2009" (recte: 2010) unter Auflagen wieder zum Strassenverkehr zugelassen.
F. Die vom kantonalen Departement am 6. Januar 2010 verfügten Auflagen sehen vor, dass der Lenker während der Dauer von zwei Jahren regelmässig (mindestens monatlich) eine geeignete Beratungs- oder Therapiestelle aufzusuchen und die erfolgten Beratungsgespräche zu dokumentieren habe. Ausserdem habe er sich (zwischen April 2010 und August 2011) insgesamt vier Haarproben-Kontrolluntersuchungen (auf Alkohol- und Drogenspuren) zu unterziehen und (bis im Juni 2010) eine neuropsychologische/neurologische medizinische Abklärung (betreffend "Synkopen") durchführen zu lassen. Eine Missachtung der Auflagen habe den sofortigen vorsorglichen Entzug des am 6. Januar 2010 wiedererteilten Führerausweises zur Folge.
G. Eine vom Lenker gegen die Verfügung vom 6. Januar 2010 des kantonalen Departementes erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 1. April 2010 ab. Im Dispositiv (Ziffern 2-3) seines Entscheides präzisierte das Verwaltungsgericht die verfügten Auflagen (angesichts des erfolgten Zeitablaufs) dahingehend, dass die erste Haarproben-Kontrolluntersuchung im Juni 2010 durchzuführen sei; für die drei weiteren Haaranalysen seien die Untersuchungen im November 2010 bzw. im Mai und November 2011 anzumelden.
H. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichtes vom 1. April 2010 gelangte X._ mit Beschwerde vom 9. Mai 2010 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, eine "deutliche Milderung" der verfügten Auflagen und die Rückweisung der Streitsache an das Verwaltungsgericht.
Das Verwaltungsgericht und das kantonale Departement des Innern beantragen je die Abweisung der Beschwerde, während von der kantonalen Motorfahrzeugkontrolle keine Stellungnahme eingegangen ist. Das Bundesamt für Strassen beantragt mit Vernehmlassung vom 6. Juli 2010 die teilweise Gutheissung der Beschwerde und die zeitliche Beschränkung der Auflagen auf ein Jahr. Die kantonalen Behörden haben auf eine Stellungnahme zur Vernehmlassung des Bundesamtes verzichtet. Der Beschwerdeführer replizierte am 23. August 2010.

Erwägungen:
1. Die Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> sind erfüllt. Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>).
1.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1-2 BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2. Im angefochtenen Entscheid stützt die Vorinstanz die verfügten Auflagen auf Art. 17 Abs. 3 i.V.m. Art. 16d Abs. 1 lit. a-b SVG. Der Beschwerdeführer rügt, die Auflagen für die Wiedererteilung des Führerausweises seien unverhältnismässig. Der Sachverhalt sei von der Vorinstanz willkürlich gewürdigt worden. Es sei ihm (im April 2008) ein blosser Warnungsentzug des Führerausweises in Aussicht gestellt worden, und er habe mit drei Monaten Entzugsdauer rechnen dürfen. Von einem Sicherungsentzug sei nie die Rede gewesen. Bei der Anlasstat vom Juli 2007 sei kein Kokain "im Spiel" gewesen. Im Februar 2008 habe er nacheinander diverse Arbeitsunfälle erlitten. Den Führerausweis habe er (im April 2008) wegen ärztlich verordneten Schmerzmitteln (und auf den Rat seines Arztes hin, vorläufig nicht zu fahren) "freiwillig" abgegeben. Die erfolgte psychiatrische Behandlung und angebliche Süchte würden die verfügten Auflagen über die Dauer von zwei Jahren nicht rechtfertigen. Eine Alkoholsucht sei bei ihm nie diagnostiziert worden. Deshalb gälten in seinem Fall auch die verkehrsmedizinischen Richtlinien bezüglich der üblichen Dauer von Abstinenznachweisen nicht. Möglichen Konsum und Strassenverkehr vermöge er ausreichend zu trennen. Die verfügten monatlichen Beratungsgespräche "brächten" seiner Ansicht nach "nichts" und seien unnötig. Analoges gelte für die Haaranalysen, die keinen Zusammenhang zum Strassenverkehr erkennen liessen. Zwar habe er den Führerausweis wieder zurückbekommen. Die hohen Kosten der angeordneten Beratungen und Haaranalysen (von angeblich monatlich Fr. 475.--) verunmöglichten ihm jedoch finanziell das Autofahren.
Der Beschwerdeführer beantragt eine "deutliche Milderung" der Auflagen. Das Bundesamt für Strassen hält ihre zeitliche Reduktion auf ein Jahr für angemessen.
2.1 Führerausweise sind zu entziehen, wenn festgestellt wird, dass die gesetzlichen Voraussetzungen zur Erteilung nicht oder nicht mehr bestehen (<ref-law>). Nach einer schweren Widerhandlung gegen das SVG ist (als Administrativmassnahme) ein Warnungsentzug des Führerausweises für mindestens drei Monate zu verfügen (<ref-law>). Ein Sicherungsentzug auf unbestimmte Zeit erfolgt insbesondere, wenn der Lenker an einer Sucht leidet, welche seine Fahreignung ausschliesst (<ref-law>). Der Führerausweis kann (bereits vor dem Abschluss eines Administrativverfahrens betreffend Sicherungsentzug) vorsorglich entzogen werden, wenn ernsthafte Bedenken an der Fahreignung bestehen (<ref-law> [SR 741.51]). Wird der Führerausweis der Bewilligungsbehörde freiwillig zurückgegeben, so hat dies die Wirkung eines Entzuges; die Behörde hat die Rückgabe schriftlich zu bestätigen (<ref-law>).
Der für mindestens ein Jahr (gestützt auf einen Warnungsentzug) entzogene Führerausweis kann bedingt und unter Auflagen wiedererteilt werden, wenn das Verhalten der betroffenen Person zeigt, dass die Administrativmassnahme ihren Zweck erfüllt hat; die Mindestentzugsdauer und zwei Drittel der verfügten Entzugsdauer müssen jedoch abgelaufen sein (<ref-law>). Der gestützt auf eine Fahreignungsabklärung (im Sinne von <ref-law>) auf unbestimmte Zeit entzogene Führerausweis kann bedingt und unter Auflagen wiedererteilt werden, wenn eine allfällige gesetzliche oder verfügte Sperrfrist abgelaufen ist und die betroffene Person die Behebung des Mangels nachweist, der die Fahreignung ausgeschlossen hat (<ref-law>). Missachtet die betroffene Person die Auflagen oder missbraucht sie in anderer Weise das in sie gesetzte Vertrauen, so ist der Ausweis wieder zu entziehen (<ref-law>).
2.2 Staatliche Eingriffe in die persönliche Freiheit müssen auf gesetzlicher Grundlage beruhen und verhältnismässig sein (Art. 10 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Nach der Praxis des Bundesgerichtes kann die Wiedererteilung des Führerausweises im Sinne von <ref-law> (nach einem Sicherungsentzug wegen Alkohol- oder Drogensucht bzw. einer entsprechenden Fahreignungsabklärung) insbesondere an die Auflage einer befristeten und ärztlich kontrollierten Suchtabstinenzkontrolle geknüpft werden. In der Regel hat die medizinische Nachkontrolle (nach Ablauf einer Sperrfrist bzw. Probezeit) mindestens ein Jahr zu dauern. Die Auflage, während der betreffenden Zeit abstinent zu leben und dies ärztlich kontrollieren zu lassen, steht in diesen Fällen in unmittelbarem Zusammenhang mit der Überwindung einer Suchtkrankheit, welche die Fahreignung des Betroffenen beeinträchtigt. Der damit verbundene Eingriff in die Persönlichkeitsrechte erscheint im Interesse der Verkehrssicherheit gerechtfertigt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 28 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 84). Der Umfang bzw. die Dauer der verkehrsmedizinischen Abklärungen und Nachkontrollen richten sich nach den Umständen des Einzelfalls und liegen im pflichtgemässen Ermessen der Entzugsbehörde (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 84; <ref-ruling> E. 2b S. 292; vgl. auch <ref-ruling> E. 6 S. 251 f.).
2.3 Gemäss den vorliegenden Akten war der Führerausweis des Beschwerdeführers für die Dauer von ca. 20 Monaten (21. April 2008 bis 6. Januar 2010) deponiert. Die Hinterlegung erfolgte auf Anraten seines Hausarztes und hatte die Wirkung eines Führerausweisentzuges auf unbestimmte Zeit (vgl. <ref-law>). Dem Beschwerdeführer war das Lenken eines Motorfahrzeuges (gemäss Schreiben der kantonalen Motorfahrzeugkontrolle vom 2. Mai 2008) bis auf Weiteres ausdrücklich untersagt. Die kantonale Motorfahrzeugkontrolle ordnete zudem (mir rechtskräftiger Verfügung vom 28. Mai 2009) eine verkehrsmedizinische Fahreignungsabklärung an (vgl. Art. 16d Abs. 1 lit. a-b SVG i.V.m. <ref-law>).
2.4 Am 6. Januar 2010 erfolgte (gestützt auf <ref-law> i.V.m. <ref-law>) die Wiedererteilung des Führerausweises gegen Auflagen. Gemäss diesen Auflagen hatte sich der Beschwerdeführer zwischen Juni 2010 und November/Dezember 2010 zwei Haarprobenanalysen (auf Alkohol- und Drogenabstinenz) sowie einer medizinischen Untersuchung (betreffend "Synkopen") zu unterziehen. Streitig bleibt, ob der Beschwerdeführer auch noch die zwei restlichen (auf Mai/Juni 2011 sowie November/Dezember 2011 angesetzten) Nachkontrollen sowie die monatlichen Beratungsgespräche (bis Januar 2012) weiter als Auflagen für die wiedererteilte Fahrerlaubnis absolvieren muss. Zu prüfen ist, ob die Auflagen sachlich geboten sind bzw. verhältnismässig erscheinen.
2.5 Wie sich aus den Akten ergibt, musste dem Beschwerdeführer bereits am 4. Juli 2002 der Führerausweis für die Dauer von zwei Monaten entzogen werden wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand mit Unfallfolge. Am 29. September 2006 verfügte die kantonale Motorfahrzeugkontrolle gegen ihn eine Administrativverwarnung wegen Nichteinhaltens eines ausreichenden Abstands beim Hintereinanderfahren mit Unfallfolge. Nach den Anlasstaten vom 5. Juli 2007 (und weiteren Vorfällen im Februar 2008, die schliesslich zur Hinterlegung des Führerausweises führten) wurde eine Fahreignungsabklärung (im Sinne von Art. 16d Abs. 1 lit. a-b) angeordnet.
2.6 Laut dem verkehrsmedizinischen Gutachten vom 4. Dezember 2009 wurde beim Beschwerdeführer aufgrund einer Haaranalyse vom 5. Oktober 2009 (für den Messzeitraum Anfang Juni bis Anfang Oktober 2009) sowohl Kokainkonsum nachgewiesen, als auch Alkoholmissbrauch. Die Konzentration an Ethylglucuronid (EtG) betrug 94 pg (pro Milligramm Haarprobe). Zwar ergeben sich daraus nach Ansicht des Gutachters noch keine eindeutigen Hinweise auf eine Abhängigkeitserkrankung. Die Gefahr, dass sich auf Basis des bisherigen Konsummusters eine Abhängigkeitserkrankung entwickelt, sei jedoch "stark erhöht".
2.7 Gemäss der Publikation "Bestimmung von Ethylglucuronid (EtG) in Haarproben" der Schweizerischen Gesellschaft für Rechtsmedizin (SGRM), Arbeitsgruppe Haaranalytik, Version 12/2009 (zur Publikation freigegeben am 27. Januar 2010) werden EtG-Analyseergebnisse von bis zu 30 pg/mg als moderater Alkoholkonsum ("social-drinking, low-risk-drinking") bezeichnet, Ergebnisse über 30 pg/mg als risikoreicher Alkoholkonsum ("high-risk-drinking" bzw. "starker bis chronisch-exzessiver Alkoholkonsum"). Der beim Beschwerdeführer festgestellte hohe EtG-Wert von 94 pg/mg begründet nach der Praxis des Bundesgerichtes ein schwerwiegendes Indiz für einen verkehrsrelevanten Alkoholmissbrauch mit Suchtgefährdung im Sinne von <ref-law> (vgl. Urteil 1C_150/2010 vom 25. November 2010 E. 5.2-5.3). Hinzu kommt der bei ihm auch noch nachgewiesene Kokainkonsum.
2.8 Im verkehrsmedizinischen Gutachten wird sodann (gestützt auf chirurgische bzw. psychiatrische Arztberichte vom 3. April bzw. 21. Juli 2008) darauf hingewiesen, dass der Beschwerdeführer (namentlich Anfang Februar 2008) unter Alkoholeinfluss bzw. ohne erkennbare Ursache mehrmals schwer gestürzt sei und sich verletzt habe (Riss-Quetschwunde unterhalb des rechten Knies, Fraktur der linken Schulter). Am 16. Februar 2008 sei er als Autolenker aus unklaren Gründen auf die Gegenfahrbahn geraten und frontal mit einem entgegenkommenden Fahrzeug kollidiert. Dabei habe er eine Fraktur des Brustbeins erlitten; die behandelnden Ärzte hätten in ihrem Bericht den Verdacht eines chronischen Alkoholmissbrauchs geäussert. Der Beschwerdeführer sei deswegen (vom 1.-3. April 2008) im Kantonsspital Laufen chirurgisch behandelt worden. Unmittelbar anschliessend (nämlich zwischen 3. April und 6. Juni 2008) sei er in der Psychiatrischen Klinik Liestal hospitalisiert gewesen. Die Ärzte hätten bei ihm Alkoholmissbrauch, eine mittelschwere Depression und den Verdacht einer "narzisstischen Persönlichkeitsstörung" diagnostiziert. Der Beschwerdeführer sei (insbesondere wegen der Stürze) mit Neuroleptika und Antiepileptika behandelt worden.
2.9 Zusammenfassend empfahl der Gutachter den kantonalen Behörden eine Wiedererteilung des Führerausweises nur gegen Auflagen. Der Beschwerdeführer habe sich "über einen Zeitraum von mindestens zwei Jahren" über eine alkohol- und drogenabstinente Lebensführung auszuweisen.
2.10 Bei Würdigung sämtlicher Umstände des vorliegenden Administrativmassnahmenfalles (erheblicher Alkoholmissbrauch, Kokainkonsum, medizinisch-psychiatrische Befunde, stark belasteter fahrerischer Leumund, schwerwiegende Anlasstaten) drängten sich für die erfolgte Wiedererteilung des Führerausweises am 6. Januar 2010 die verfügten Auflagen sachlich geradezu auf. Es besteht kein Anlass, von der ausführlich begründeten fachlichen Einschätzung des verkehrsmedizinischen Experten und den entsprechenden Auflagen der kantonalen Instanzen abzuweichen. Diese beruhen auf einer gesetzlichen Grundlage und bilden im vorliegenden Fall ein zweckangemessenes und notwendiges Mittel zur Gewährleistung der Verkehrssicherheit. Eine Ermessensüberschreitung oder ein Ermessensmissbrauch des Verwaltungsgerichtes ist nicht ersichtlich. Auch die dem Beschwerdeführer durch die Auflagen entstehenden Kosten (nach Angaben der kantonalen Behörden von ca. Fr. 200.-- monatlich) lassen den angefochtenen Entscheid nicht als bundesrechtswidrig erscheinen; er hält insbesondere vor dem Verhältnismässigkeitsgebot stand. Willkürliche Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz sind nicht ersichtlich.
3. Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt erscheinen (und insbesondere die finanzielle Bedürftigkeit des Gesuchstellers sich aus den Akten ergibt), ist dem Ersuchen stattzugeben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird gutgeheissen, und es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster