Faits:
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A. A.a Le 30 novembre 1995, A._ (la demanderesse), psychologue diplômée FSP (Fédération suisse des psychologues), a été engagée par B._ (le défendeur), qui est spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Le contrat, conclu oralement, prévoyait que la demanderesse exerce de la "psychothérapie déléguée" avec les patients du défendeur sous la responsabilité de ce dernier. La demanderesse devait en outre consacrer plusieurs heures par semaine à des séances de "supervision" avec B._, au cours desquelles elle lui faisait part de l'évolution des patients qu'elle suivait par délégation. Il est établi que A._ a accompli pour le défendeur certaines tâches administratives et qu'elle s'est occupée à l'occasion du contentieux.
Le salaire horaire net de la demanderesse au début de son engagement se montait à 51 fr., ce qui représentait le 56 % des honoraires bruts perçus par le défendeur pour les heures passées avec des patients (heures cliniques). Le 1er janvier 1996, le tarif horaire net de la demanderesse a passé à 60 fr., puis, le 1er avril 1996, à 65 fr., le calcul se faisant désormais sur le 61 % des honoraires bruts encaissés par B._. Il a été retenu que la demanderesse a reçu du défendeur les acomptes de salaire suivants: 312 fr. le 31 janvier 1996, 867 fr. le 9 février 1996, 204 fr. et 1248 fr. le 4 mars 1996, 3500 fr. le 28 mars 1996, 2000 fr. le 11 avril 1996, 6300 fr. le 30 avril 1996, 5500 fr. le 30 mai 1996, 5500 fr. le 3 juillet 1996, 6500 fr. le 29 juillet 1996, 10 000 fr. le 26 août 1996, 8000 fr. le 25 septembre 1996 et 6500 fr. le 25 octobre 1996. Les acomptes reçus ne mentionnaient pas de déductions pour les assurances sociales.
A._ n'a perçu aucune indemnité à titre de vacances.
A.b Le 4 octobre 1996, A._ a annoncé oralement à B._ qu'elle entendait cesser de travailler pour lui à partir du 31 octobre 1996, au motif qu'il n'était pas reconnu comme superviseur par la FSP.
Le 5 octobre 1996, le défendeur a adressé par téléfax un projet de convention de durée indéterminée intitulé "Contrat de délégation d'une activité de psychothérapie déléguée", daté du 4 octobre 1996. A._ n'a jamais signé ce projet.
Le 9 octobre 1996, les parties sont tombées d'accord pour repousser le terme de leur collaboration au 23 décembre 1996, cela afin que les patients soient préparés au départ de la demanderesse, que les dossiers de ces derniers soient mis à jour et que le remplaçant de A._ soit trouvé. En contrepartie, le défendeur a accepté que la demanderesse réduise son horaire de travail dès le 1er novembre 1996 jusqu'à la fin des relations contractuelles: à partir de la date précitée, A._ devait ainsi travailler trois jours par semaine, représentant un total de 26,5 heures hebdomadaires et non de 28 à 30 heures comme le voulait la demanderesse. Cet horaire réduit devait permettre à celle-ci de débuter une activité salariée à temps partiel auprès d'un nouvel employeur, le Docteur D._. Le défendeur a été dûment informé de cet état de choses par la demanderesse.
Le 27 octobre 1996 est parue dans le quotidien "X._" une annonce informant les lecteurs que la demanderesse allait collaborer avec le Dr D._ dès le 1er novembre 1996. A la suite de cette parution, le défendeur, apparemment irrité, a prié A._, par lettre du 28 octobre 1996, "de jouer désormais franc jeu avec (ses) patients" et de les informer de son prochain départ du cabinet du défendeur; ce dernier a encore prié l'intéressée de mettre à jour les dossiers des malades en y insérant les notes (dites "notes de suite") qu'elle avait prises lors de chaque séance de psychothérapie déléguée. Il est établi que la demanderesse a averti ses patients de la fin de sa collaboration avec B._.
Le 1er novembre 1996, A._, par l'entremise de son conseil, a écrit à B._ que, "vu l'ambiance actuelle", elle proposait, "par gain de paix", qu'il soit mis fin aux rapports de travail à la fin novembre 1996 déjà; dans ce pli, elle prenait notamment acte que le défendeur exigeait de sa part la restitution des dossiers de chaque patient avec les notes de suite lisibles y afférentes.
Le dimanche 3 novembre 1996, le défendeur a téléphoné à la demanderesse pour l'informer qu'il voulait qu'elle cesse toute activité pour son cabinet à partir du soir du 7 novembre 1996.
Le 3 novembre 1996, B._, prenant position sur l'écriture précitée du 1er novembre 1996, a écrit une longue lettre à la demanderesse pour lui faire part, sur un ton peu amène, des nombreux motifs qui le décidaient à mettre un terme à partir du 7 novembre 1996 au contrat de travail qui les liait. Tout d'abord, la demanderesse, avant l'annonce parue dans la presse concernant son engagement par le Dr D._, aurait tu son départ aux patients, puis leur aurait dit qu'ils pouvaient poursuivre leur traitement dans le nouveau cabinet où elle allait s'installer; A._ n'aurait rédigé aucune note de suite relative à ses heures passées avec les patients, ce qui constituerait un "sabotage" du travail de transfert des patients à leurs prochains thérapeutes; la demanderesse aurait créé une atmosphère malsaine au sein du cabinet du défendeur et proféré des allégations mensongères à l'encontre de son employeur; enfin, la demanderesse aurait souhaité travailler, jusqu'au 23 décembre 1996, 30 heures par semaine réparties sur 3 jours, ce qui n'était pas acceptable pour un thérapeute débutant, dès l'instant où des journées de 10 heures d'affilée de travail conduisent à l'"usure de la relation thérapeutique", la journée normale d'un psychothérapeute efficace ne pouvant "se composer de plus de 8 heures de thérapie individuelle".
La demanderesse a immédiatement informé les patients dont elle avait la charge de la résiliation de son contrat au 7 novembre 1996. Contestant la validité du congé immédiat, elle a offert ses services au défendeur le lundi 11 novembre 1996.
A.c Le 4 septembre 1997, la demanderesse a remis au défendeur, après les avoir dactylographiées, toutes les notes personnelles qu'elle avait rédigées durant son engagement chez ce dernier.
A.c Le 4 septembre 1997, la demanderesse a remis au défendeur, après les avoir dactylographiées, toutes les notes personnelles qu'elle avait rédigées durant son engagement chez ce dernier.
B. B.a Le 16 avril 1997, A._ a ouvert action devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois contre B._, à qui elle a réclamé paiement de 66 025 fr.95 plus intérêts à 5 % sur 55 608 fr.85 dès le 20 janvier 1997 et sur 10 417 fr.10 dès la date de la demande, le défendeur devant en outre relever la demanderesse des paiements en capital, intérêts et frais auxquels cette dernière serait tenue envers les assurances sociales sur la base du salaire dont B._ est le débiteur.
Le défendeur s'est opposé à la demande. Il a formé une reconvention, concluant à ce que la demanderesse soit déclarée sa débitrice de 105 000 fr. plus intérêts à 5 % dès le 1er janvier 1997. En dernier lieu, il a réduit ses conclusions reconventionnelles au montant de 85 000 fr., avec les mêmes accessoires.
La demanderesse a conclu au rejet des conclusions reconventionnelles.
En cours d'instance, une expertise a été confiée à E._, expert-comptable diplômé. Selon le rapport de ce dernier, déposé le 7 mai 1999, ce n'est que dès le mois d'août 1996 que la demanderesse a travaillé à plein temps pour le défendeur, accomplissant 40 "heures cliniques" par semaine. Pour la période du 1er décembre 1995 au 7 novembre 1996, le salaire brut dû à la demanderesse se monte à 85 169 fr.75, "avant heures supplémentaires". La somme totale des acomptes versés par le défendeur à A._ atteint le montant de 66 009 fr.15; celle-ci a encore touché, à titre d'acomptes de salaire, 7777 fr. résultant de l'encaissement direct de la participation de 7 fr. par séance payée par les patients, ainsi que 1801 fr.15 représentant l'encaissement direct de la participation de 10 % à charge de ces derniers. L'expert a encore déclaré que si la demanderesse avait pu effectuer au profit du défendeur un horaire de 28 à 30 heures par semaine pour la période du 11 novembre au 23 décembre 1996, elle aurait pu obtenir une rémunération de 11 700 fr.
Une seconde expertise, portant sur les professions de psychiatre et de psychothérapeute délégué, a été confiée au Dr C._, médecin psychiatre à Lausanne. Il résulte de son rapport, déposé le 25 janvier 1999, que les "notes de suite" constituent une part essentielle du dossier des patients; ces notes, qui sont en général manuscrites - la demanderesse en prenait de telles lors de chaque séance avec des patients -, doivent être remises au psychiatre responsable, lorsqu'il y a un changement de thérapeute, sous une forme qui en permette la lecture et en assure la compréhension. A suivre l'expert C._, A._ aurait dû annoncer aux patients le plus tôt possible son intention de quitter le cabinet du défendeur, cela afin qu'un suivi soit assuré par B._, qui, pendant sa formation, avait souvent été confronté à cette situation. L'expert a constaté que, jusqu'au 7 novembre 1996, la demanderesse avait traité environ 50 patients, dont 36 venaient toujours consulter à cette date. Le Dr C._ a exprimé l'opinion que la proposition de la demanderesse, consistant à effectuer 28 à 30 heures de thérapie par semaine sur 3 jours dès le 1er novembre 1996, n'aurait pas laissé à celle-ci le temps nécessaire à des échanges avec le psychiatre. L'expert a enfin affirmé que le fait pour le défendeur d'avoir cessé toute collaboration avec la demanderesse à partir du 7 novembre 1996 "ne pouvait être que salutaire pour les patients".
Une nouvelle expertise a été confiée à E._ à propos du revenu obtenu par A._ auprès du Dr D._. Il ressort du rapport de l'expert-comptable, daté du 15 octobre 2001, que la demanderesse a travaillé à plein temps dans le cabinet du Dr D._ en novembre et décembre 1996 et qu'elle a perçu un revenu total net de 17 353 fr.20 pour ces deux mois.
B.b Par jugement du 8 octobre 2002, dont les considérants ont été notifiés le 21 mai 2003, la Cour civile a prononcé que le défendeur devait payer à la demanderesse, d'une part, 85 852 fr.25, sous déduction des cotisations légales et conventionnelles et sous imputation de la somme de 75 587 fr.30, plus intérêts à 5 % dès le 9 novembre 1996, d'autre part 7151 fr.50, sous déduction des cotisations légales et conventionnelles, avec intérêts à 5 % dès le 20 mai 1996. La cour cantonale a également condamné la demanderesse à payer au défendeur le montant de 9981 fr.60, plus intérêts à 5 % dès le 24 juillet 1997. Les juges cantonaux, considérant qu'aucune des parties n'avait obtenu entièrement gain de cause, ont enfin compensé les dépens.
L'autorité cantonale a retenu, en substance, que les parties étaient liées par un contrat de travail. Elle a considéré que la résiliation immédiate adressée par le défendeur à la demanderesse par lettre du 3 novembre 1996, avec effet au soir du 7 novembre 1996, était nécessaire pour le bien des patients et donc justifiée au sens de l'<ref-law>. La rémunération contractuelle due à la demanderesse pour la période du 1er décembre 1995 au 7 novembre 1996 ascendant, selon l'expertise comptable, à 85 169 fr.75, la Cour civile y a ajouté 682 fr.50, représentant les heures considérées comme supplémentaires par l'expert, puis en a déduit un total de 75 587 fr.30, correspondant aux montants que la salariée avait reçus du défendeur, par 66 009 fr.15, auxquels s'ajoutaient ceux qu'elle avait encaissés directement auprès des patients. Les magistrats vaudois ont encore alloué à la demanderesse 7151 fr.50 à titre d'indemnité de vacances. Passant à l'examen des conclusions reconventionnelles du défendeur, l'autorité cantonale a jugé que la demanderesse avait violé ses obligations contractuelles en refusant de transmettre à l'employeur ses "notes de suite", de sorte que celui-ci avait droit à des dommages-intérêts en vertu de l'<ref-law>, qu'elle a considéré équitable d'arrêter à 9981 fr.60, montant représentant les heures de travail consacrées à reconstituer les dossiers des patients et correspondant à la moitié du préjudice évalué par l'expert psychiatre. Pour finir, la cour cantonale a rejeté les prétentions en réparation du tort moral élevées par les deux parties.
L'autorité cantonale a retenu, en substance, que les parties étaient liées par un contrat de travail. Elle a considéré que la résiliation immédiate adressée par le défendeur à la demanderesse par lettre du 3 novembre 1996, avec effet au soir du 7 novembre 1996, était nécessaire pour le bien des patients et donc justifiée au sens de l'<ref-law>. La rémunération contractuelle due à la demanderesse pour la période du 1er décembre 1995 au 7 novembre 1996 ascendant, selon l'expertise comptable, à 85 169 fr.75, la Cour civile y a ajouté 682 fr.50, représentant les heures considérées comme supplémentaires par l'expert, puis en a déduit un total de 75 587 fr.30, correspondant aux montants que la salariée avait reçus du défendeur, par 66 009 fr.15, auxquels s'ajoutaient ceux qu'elle avait encaissés directement auprès des patients. Les magistrats vaudois ont encore alloué à la demanderesse 7151 fr.50 à titre d'indemnité de vacances. Passant à l'examen des conclusions reconventionnelles du défendeur, l'autorité cantonale a jugé que la demanderesse avait violé ses obligations contractuelles en refusant de transmettre à l'employeur ses "notes de suite", de sorte que celui-ci avait droit à des dommages-intérêts en vertu de l'<ref-law>, qu'elle a considéré équitable d'arrêter à 9981 fr.60, montant représentant les heures de travail consacrées à reconstituer les dossiers des patients et correspondant à la moitié du préjudice évalué par l'expert psychiatre. Pour finir, la cour cantonale a rejeté les prétentions en réparation du tort moral élevées par les deux parties.
C. Parallèlement à un recours en réforme, B._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral contre le jugement précité. Invoquant une appréciation arbitraire des preuves (art. 9 Cst.), il conclut à l'annulation du jugement de la Cour civile, le dossier de la cause étant retourné à cette autorité pour nouvelle instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'intimée conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.
L'autorité intimée renonce à se déterminer.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. 1.1 Conformément à la règle générale de l'art. 57 al. 5 OJ, il y a lieu de statuer d'abord sur le recours de droit public.
1.2 Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1, 185 consid. 1; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2.1, 415 consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1).
1.2 Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1, 185 consid. 1; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2.1, 415 consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1).
2. Dans la partie "Recevabilité" de son mémoire de recours, le recourant prétend que l'<ref-ruling>, dans lequel le Tribunal fédéral a posé qu'en procédure civile vaudoise, la voie du recours en nullité cantonal est ouverte pour se plaindre d'une appréciation arbitraire des preuves, ne serait pas une jurisprudence topique et applicable à l'espèce. La juridiction fédérale aurait été un peu vite en besogne en affirmant que la jurisprudence cantonale avait été fixée sur ce point par un arrêt du 4 février 1998, publié au JdT 1999 III 89 consid. 1a. A en croire le recourant, la situation procédurale serait toujours confuse en terre vaudoise. Il en veut pour preuve que l'arrêt cantonal, sur lequel s'est fondé le Tribunal fédéral pour estimer que la situation était éclaircie, a rejeté le recours en nullité interjeté. Le recourant se dit dès lors convaincu que l'arbitraire dans l'appréciation des preuves "n'aurait jamais été admis comme moyen de nullité exceptionnel de l'article 444, alinéa premier, chiffre 3 CPC du canton de Vaud", si bien que le présent recours est recevable.
2. Dans la partie "Recevabilité" de son mémoire de recours, le recourant prétend que l'<ref-ruling>, dans lequel le Tribunal fédéral a posé qu'en procédure civile vaudoise, la voie du recours en nullité cantonal est ouverte pour se plaindre d'une appréciation arbitraire des preuves, ne serait pas une jurisprudence topique et applicable à l'espèce. La juridiction fédérale aurait été un peu vite en besogne en affirmant que la jurisprudence cantonale avait été fixée sur ce point par un arrêt du 4 février 1998, publié au JdT 1999 III 89 consid. 1a. A en croire le recourant, la situation procédurale serait toujours confuse en terre vaudoise. Il en veut pour preuve que l'arrêt cantonal, sur lequel s'est fondé le Tribunal fédéral pour estimer que la situation était éclaircie, a rejeté le recours en nullité interjeté. Le recourant se dit dès lors convaincu que l'arbitraire dans l'appréciation des preuves "n'aurait jamais été admis comme moyen de nullité exceptionnel de l'article 444, alinéa premier, chiffre 3 CPC du canton de Vaud", si bien que le présent recours est recevable.
3. A teneur de l'art. 86 al. 1 OJ, le recours de droit public n'est recevable qu'à l'encontre des décisions prises en dernière instance cantonale. Cette disposition signifie que les griefs soulevés devant le Tribunal fédéral ne doivent pas pouvoir être soumis à une autorité cantonale par la voie d'un recours ordinaire et extraordinaire (<ref-ruling> consid. 1a; <ref-ruling> consid. 2b).
Dans l'<ref-ruling> précité, consid. 1b, le Tribunal fédéral, après avoir analysé l'évolution de la jurisprudence rendue par la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois à propos des voies de droit permettant de se plaindre d'arbitraire dans les constatations de fait, a jugé qu'en procédure civile vaudoise le grief tiré de l'appréciation arbitraire des preuves pouvait désormais faire l'objet du recours en nullité pour violation des règles essentielles de la procédure, instauré par l'<ref-law> vaud. Ce précédent a été immédiatement accueilli favorablement par Denis Tappy, in: JdT 2000 III p. 78. Et les commentateurs du Code de procédure civile du canton de Vaud n'ont élevé aucune critique à son encontre (cf. Jean-François Poudret/Jacques Haldy/Denis Tappy, Procédure civile vaudoise, 3e éd., n. 15 ad <ref-law> vaud. , p. 657).
On ne voit donc pas pourquoi il y aurait lieu de modifier la jurisprudence en question, qui a posé un principe très clair, à savoir que, dans le canton de Vaud, le recours en nullité cantonal est ouvert pour appréciation arbitraire des preuves, celle-ci constituant une violation d'une règle essentielle de la procédure civile de ce canton. Quant à la circonstance que la Chambre des recours, dans l'arrêt publié au JdT 1999 III 89 sur lequel le Tribunal fédéral s'est appuyé dans l'<ref-ruling>, a rejeté le moyen de nullité pris de l'appréciation arbitraire des preuves, elle démontre avec éclat que la cour cantonale était bien entrée en matière sur le grief, qu'elle avait estimé recevable.
Il appert ainsi que le recourant aurait dû soumettre ses griefs d'arbitraire dans l'appréciation des preuves à la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois. Faute de l'avoir fait, il a violé la règle de l'épuisement préalable des instances cantonales, ancrée à l'art. 86 al. 1 OJ, de sorte que son recours est irrecevable dans toute son étendue.
Il appert ainsi que le recourant aurait dû soumettre ses griefs d'arbitraire dans l'appréciation des preuves à la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois. Faute de l'avoir fait, il a violé la règle de l'épuisement préalable des instances cantonales, ancrée à l'art. 86 al. 1 OJ, de sorte que son recours est irrecevable dans toute son étendue.
4. Vu l'issue du litige, le recourant, qui succombe, paiera donc l'émolument de justice et versera des dépens à l'intimée (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
1. Le recours est irrecevable.
2. Un émolument judiciaire de 2000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 2000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2500 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 27 octobre 2003
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: