Sachverhalt:
A.
A._ (Arbeitnehmer, Kläger, Beschwerdeführer) arbeitete seit dem 1. Mai 2005 im Bergrestaurant C._ als Koch. Da die damaligen Pächter einen anderen Betrieb übernahmen, wurde ihm am 19. Januar 2011 per 15. April 2011 gekündigt. Die B._ AG (Arbeitgeberin, Beklagte, Beschwerdegegnerin) als neue Betreiberin des Bergrestaurants C._ schloss mit dem Arbeitnehmer am 4. März 2011 einen neuen Arbeitsvertrag mit Arbeitsbeginn am 19. April 2011.
Am 17. September 2011 erlitt der Arbeitnehmer einen Arbeitsunfall, woraufhin er vom 30. September 2011 bis zum 5. Oktober 2011 und ab dem 24. Oktober 2011 zumindest teilweise vom Hausarzt arbeitsunfähig geschrieben wurde. Mit Schreiben vom 25. Oktober 2011 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis per 30. November 2011. Am 10. November 2011 liess der Arbeitnehmer mitteilen, dass die Kündigung aufgrund seiner Arbeitsunfähigkeit nichtig sei. Daraufhin kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis am 28. November 2011 nochmals per 31. Dezember 2011, das Arbeitsverhältnis wurde danach noch bis zum 31. Januar 2012 verlängert.
B.
B.a. Mit Klage vom 25. Mai 2012 gelangte der Arbeitnehmer an das Kantonsgericht Obwalden und beantragte, die Arbeitgeberin sei zu verpflichten, ihm Fr. 24'102.-- nebst Zins und Sozialversicherungsbeiträge zu bezahlen. Der Kantonsgerichtspräsident II wies die Klage mit Entscheid vom 10. April 2013 ab. Zur Begründung gab er an, es sei zwar von einem Betriebsübergang nach <ref-law> auszugehen, jedoch sei der Arbeitsvertrag des Klägers nicht übernommen worden. Daher sei von einem einjährigen Arbeitsverhältnis auszugehen, welches eine lediglich einmonatige Sperrfrist für Kündigungen im Krankheitsfall nach sich ziehe. Das Arbeitsverhältnis sei daher gültig auf den 31. Dezember 2011 bzw. 31. Januar 2012 gekündigt worden.
B.b. Gegen dieses Urteil erhob der Kläger Berufung an das Obergericht des Kantons Obwalden, welches die Berufung mit Entscheid vom 3. Dezember 2014 abwies und den Entscheid des Kantonsgerichtspräsidenten II vom 10. April 2013 bestätigte.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht, der Entscheid des Kantonsgerichtspräsidenten II vom 10. April 2013 und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Obwalden vom 3. Dezember 2014 seien aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin habe dem Beschwerdeführer den Betrag von Fr. 19'216.50 nebst verschiedenen Zinsbetreffnissen zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin sowie die Vorinstanz beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 417 mit Hinweisen).
Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid des Kantonsgerichtspräsidenten II des Kantons Obwalden vom 10. April 2013 sowie gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Obwalden vom 3. Dezember 2014. Soweit sich die Beschwerde gegen das erstinstanzliche Urteil richtet, kann darauf mangels Letztinstanzlichkeit nicht eingetreten werden (<ref-law>).
Der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Obwalden ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Die Beschwerde wurde innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) von der mit ihren Rechtsbegehren unterliegenden Partei (<ref-law>) eingereicht. Bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>), und zwar um eine arbeitsrechtliche Angelegenheit, bei welcher der Streitwert nach zutreffender Angabe der Vorinstanz die Mindestgrenze von Fr. 15'000.-- (<ref-law>) übersteigt. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. E. 2 nachfolgend) - einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Gemäss <ref-law> hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>), andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Von diesen tatsächlichen Feststellungen kann es nur dann abweichen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 2.4 S. 313 f.; je mit Hinweisen).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 511 f.; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351, 393 E. 7.1 S. 398, 462 E. 2.4 S. 466). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, namentlich auf rein appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.3. Der Beschwerdeführer missachtet diese Grundsätze, wenn er dem Bundesgericht frei gehaltene tatsächliche Ausführungen präsentiert, die den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt ergänzen bzw. über diesen hinausgehen und mit dem in Streit liegenden Verfahren nicht in Zusammenhang stehen. Auf die entsprechenden Vorbringen des Beschwerdeführers ist daher nicht näher einzugehen.
3.
Umstritten ist, ob die durch die Beschwerdegegnerin am 25. Oktober 2011 ausgesprochene Kündigung während der Sperrfrist gemäss <ref-law> erfolgt ist. Danach ist eine Kündigung nichtig, wenn der Arbeitgeber sie ausspricht, während der Arbeitnehmer ohne eigenes Verschulden durch Krankheit oder Unfall ganz oder teilweise an der Arbeitsleistung verhindert ist, und zwar im ersten Dienstjahr während 30 Tagen, ab dem zweiten bis und mit dem fünften Dienstjahr während 90 Tagen und ab dem sechsten Dienstjahr während 180 Tagen.
In diesem Zusammenhang macht der Beschwerdeführer nach wie vor geltend, sein Arbeitsverhältnis mit den vormaligen Pächtern des Bergrestaurants C._ sei im Rahmen von <ref-law> auf die Beschwerdegegnerin übergegangen, womit für die Berechnung der Sperrfrist der Arbeitsvertrag vom 12. Februar 2005 massgebend sei. Entsprechend habe die Sperrfrist 180 Tage betragen, womit eine Kündigung erst per 30. Juni 2012 gültig habe erfolgen können.
3.1. <ref-law> bestimmt, dass, wenn der Arbeitgeber den Betrieb oder einen Betriebsteil auf einen Dritten überträgt, das Arbeitsverhältnis mit allen Rechten und Pflichten mit dem Tage der Betriebsnachfolge auf den Erwerber übergeht, sofern der Arbeitnehmer den Übergang nicht ablehnt.
3.2. Eine Betriebsübertragung im Sinne von <ref-law> von den ehemaligen Pächtern auf die Beschwerdegegnerin wurde von beiden Vorinstanzen bejaht. Sie nahmen an, der Betrieb des Bergrestaurants C._ sei, wenn auch mit einer kurzen Betriebspause, in vergleichbarem Umfang in derselben Lokalität fortgeführt worden. Der Umstand, dass zwischen den beiden Restaurantbetreibern keine rechtliche Verbindung bestanden habe, hindere die Annahme einer Betriebsübernahme nicht.
Ob vorliegend tatsächlich von einem Betriebsübergang im Sinne von <ref-law> auszugehen ist, was von der Beschwerdegegnerin in Frage gestellt wird, kann letztlich offen gelassen werden. Denn wie sich zeigen wird, ist die Rüge des Beschwerdeführers ohnehin unbegründet. Bei der Kündigung vom 19. Januar 2011 handelt es sich um eine gültige Kündigung, die nicht in Umgehung von <ref-law> ausgesprochen wurde:
3.3. Gemäss ständiger Rechtsprechung gehen nur im Zeitpunkt des Betriebsübergangs bestehende Arbeitsverhältnisse auf den Erwerber über. Der Erwerber muss folglich beim Übergang nicht mehr bestehende Arbeitsverträge nicht übernehmen und es können sich nur diejenigen Arbeitnehmer, deren Arbeitsverhältnis im Zeitpunkt des Betriebsübergangs noch andauert, auf <ref-law> berufen; eine Berufung auf <ref-law> ist demnach nach wie vor möglich, wenn ein Arbeitsverhältnis auf einen Zeitpunkt nach dem Übergang gekündigt wird, nicht dagegen, wenn die Kündigung auf einen Zeitpunkt vor dem Betriebsübergang ausgesprochen wird (<ref-ruling> E. 3.1 S. 556 mit Hinweis; vgl. auch Urteil 4A_399/2013 vom 17. Februar 2014 E. 3.1).
Erfolgt eine Kündigung jedoch im Rahmen einer Betriebsübertragung, stellt sich die Frage, ob damit <ref-law> umgangen wurde: Mit dieser in der Lehre umstrittenen Frage, hat sich das Bundesgericht im zitierten <ref-ruling> befasst. Dabei hat es unter Bezugnahme auf das europäische Recht festgehalten, dass eine betriebsübergangsbedingte Kündigung bzw. eine Kündigung, die auf einen vor der Übernahme des Betriebes liegenden Termin oder auf denselben erfolgt, grundsätzlich zulässig ist und nicht in jedem Fall eine Umgehung von <ref-law> darstellt. Eine unzulässige Gesetzesumgehung liegt dann vor, wenn die Kündigung einzig den Zweck hat, den Übergang des Arbeitsverhältnisses oder seine Folgen zu verhindern. Der Veräusserer kann somit nicht die Verträge aller oder eines Teils seiner Angestellten kündigen, damit diese dann mit dem Erwerber neue Verträge schliessen und so die sich aus der Dauer der ursprünglichen Verträge ergebenden Vorteile verlieren. Ebenso wenig ist es zulässig, dass der Veräusserer eine oder bestimmte Personen entlässt, einzig weil der Übernehmer sie nicht haben will. Hingegen verstösst eine Kündigung nicht gegen <ref-law>, wenn diese durch wirtschaftliche, technische oder organisatorische Gründe gerechtfertigt ist (<ref-ruling> E. 3.3 S. 558 f.; bestätigt in <ref-ruling> E. 4.5.2 S. 495).
3.4. Die Vorinstanz kam zum Schluss, die am 19. Januar 2011 erfolgte Kündigung verstosse nicht gegen <ref-law>. Sie hielt fest, indem der Arbeitsvertrag mit der Beschwerdegegnerin erst rund sechs Wochen nach der Kündigung durch die vormalige Arbeitgeberin geschlossen wurde, sei davon auszugehen, dass zum Zeitpunkt der Kündigung (19. Januar 2011) der weitere Betrieb des Restaurants nicht geregelt gewesen sei. Unter diesen Umständen könne von vornherein nicht von einer Kündigung zur Umgehung der Vorschriften in <ref-law> ausgegangen werden, zumal auch sonst keine Anhaltspunkte für eine derartige verpönte Absicht vorliegen würden. Damit habe die theoretische Möglichkeit bestanden, dass das Bergrestaurant C._ nicht oder zumindest nicht unmittelbar weitergeführt werde. Damit sei die am 19. Januar 2011 ausgesprochene Kündigung aus organisatorischen Gründen und damit gültig erfolgt.
Damit sei der am 4. März 2011 mit der Beschwerdegegnerin geschlossene Arbeitsvertrag als neuer Arbeitsvertrag anzusehen, welcher seine Wirkungen unabhängig vom vorhergehenden Arbeitsverhältnis entfalte. Somit sei auch die Dauer des Arbeitsverhältnisses nicht ab dem 1. Mai 2005 (Arbeitsbeginn gemäss Arbeitsvertrag vom 12. Februar 2005) zu zählen, sondern ab dem 19. April 2011 (Arbeitsbeginn gemäss Arbeitsvertrag vom 4. März 2011). Daher habe sich der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der (ersten) Kündigung durch die Beschwerdegegnerin am 25. Oktober 2011 im ersten Dienstjahr befunden, womit eine Sperrfrist von 30 Tagen gelte.
3.5. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nur ungenügend auseinander, wobei sich seine Vorbringen weitgehend in unzulässiger appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid erschöpfen (vgl. E. 2 hiervor). Er macht lediglich geltend, entgegen der Auffassung der Vorinstanz sei für die Beschwerdegegnerin bereits am 19. Januar 2011 klar gewesen, dass sie oder ein allfälliger neuer Pächter das Bergrestaurant C._ weiterführen werde, weshalb die Vorinstanz den Sachverhalt falsch festgestellt habe. Dabei bezieht er sich auf einen Abschnitt der erstinstanzlichen Duplik der Beschwerdegegnerin, wobei er geltend macht, dieser hätte von der Vorinstanz von Amtes wegen berücksichtigt werden sollen, ohne dass er in seiner Berufung speziell darauf hinweisen hätte müssen. Ganz abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer damit die Feststellung der Vorinstanz nicht als willkürlich auszuweisen vermag, verkennt er, dass die soziale Untersuchungsmaxime die Parteien nicht von der aktiven Mitwirkung im Prozess entbindet. Die Parteien sind verpflichtet, die wesentlichen anspruchsbegründenden Behauptungen dem Gericht zu unterbreiten und die relevanten Fakten vorzubringen. Dies hat der Beschwerdeführer nach eigenen Angaben nicht getan. Damit steht fest, dass im Zeitpunkt der Kündigung noch nicht bekannt war - oder jedenfalls nur die theoretische Möglichkeit bestanden hat - ob das Bergrestaurant C._ von der Beschwerdegegnerin oder von jemand anderem weitergeführt wird. Entsprechend ist die Kündigung nicht deshalb ausgesprochen worden, weil damit der Übergang des Arbeitsverhältnisses des Beschwerdeführers auf die Beschwerdegegnerin hätte umgangen werden sollen (vgl. E. 3.3 hiervor). Die Vorinstanz hat damit ohne Verletzung von Bundesrecht erkannt, dass die Kündigung nicht in Umgehung von <ref-law> erfolgt ist, sondern aus organisatorischen Gründen gerechtfertigt war.
3.6. Folglich ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass die Parteien am 4. März 2011 einen neuen Arbeitsvertrag geschlossen haben, womit sich der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Kündigung seines Arbeitsverhältnisses durch die Beschwerdegegnerin, am 25. Oktober 2011, im ersten Dienstjahr befunden hat. Das Arbeitsverhältnis wurde somit durch die von der Beschwerdegegnerin angebotene Verlängerung per 31. Januar 2012 rechtsgültig aufgelöst.
4.
Ein Lohnanspruch seitens des Beschwerdeführers hat somit bis Ende Januar 2012 bestanden. Soweit der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde die Auffassung vertritt, es sei ihm bis Ende Juni 2012 der Lohn nachzuzahlen, ist seine Rüge demzufolge von vornherein unbegründet, womit sich weitere Ausführungen diesbezüglich erübrigen. Mit den Erwägungen der Vorinstanz, wonach nicht zu beanstanden sei, dass die Beschwerdegegnerin ihm für die Monate Dezember 2011 und Januar 2012 den Lohn lediglich im Umfang von 80 % ausbezahlt habe, setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, weshalb mangels Rüge auch darauf nicht weiter einzugehen ist.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Mit Blick auf den Streitwert und die Natur der Streitigkeit kommen reduzierte Kosten in Ansatz (<ref-law>). Dagegen ist die volle Parteientschädigung geschuldet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Obwalden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Reitze-Page