Erwägungen:
1. Die Parteien haben im Anschluss an den Augenschein einer Delegation des Bundesgerichts mit Instruktionsverhandlung vom 27. Januar 2010 einen Vergleich geschlossen.
Der Vergleich lautet:
"1. Die Gemeinde Messen (Rechtsnachfolgerin der Einwohnergemeinde Brunnenthal) hat dem jeweiligen Grundeigentümer (heute X._) für die im Vergleich im Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 20. August 2007 vereinbarte irreguläre Dienstbarkeit für ein Parkplatzbenutzungsrecht auf GB Brunnenthal Nr. 2 (inkl. Befestigung und Bekiesung) eine jährlich wiederkehrende Entschädigung von CHF 3'000.-- zu bezahlen.
Auf die Einforderung einer höheren Entschädigung gemäss Dispositiv-Ziffer 1b des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 12. Mai 2009 wird verzichtet.
Die jährliche Entschädigung ist jeweilen Mitte Jahr, d.h. am 1. Juli zur Zahlung fällig. Sie ist nicht indexiert.
2. Die irreguläre Dienstbarkeit für ein Parkplatzbenutzungsrecht wird für 50 Jahre, d.h. für die Jahre 2010 bis und mit 2059 eingeräumt.
3. Für die Jahre der Rechtshängigkeit der vorliegenden Angelegenheit (bis und mit 2009) bezahlt die Gemeinde Messen X._ eine pauschale Entschädigung für die Parkplatzbenutzung von CHF 12'000.--.
Die pauschale Entschädigung ist innert zehn Tagen nach Unterzeichnung des Vergleichs zur Zahlung fällig.
4. Da die irreguläre Dienstbarkeit ein Parkplatznutzungsrecht zu Gunsten der Gemeinde Messen jeweils für die Zeit vom 1. Mai bis 30. September vorsieht, stehen die Flächen dem Grundeigentümer während der übrigen Zeit zur Verfügung.
5. Die Gemeinde Messen räumt dem Eigentümer der Liegenschaft "Gasthof Ischbad", Hauptstrasse 109, Messen (heute: X._), das Recht ein, jeweils auch vom 1. Mai bis 30. September die von der irregulären Dienstbarkeit für ein Parkplatzbenutzungsrecht erfassten Flächen als Kundenparkplätze für den Gasthof mitzubenutzen.
6. Bezüglich des Unterhalts der Parkplatzflächen gilt die Regelung im Vergleich gemäss Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 20. August 2007.
7. Die Parteien sorgen einvernehmlich für die Eintragung der irregulären Dienstbarkeit für ein Parkplatzbenutzungsrecht im Grundbuch. Die Kosten des Grundbuchamts bezahlt die Gemeinde Messen.
8. Die Gerichtsgebühr von CHF 2'000.-- gemäss Urteil des Verwaltungsgerichts vom 12. Mai 2009 tragen die Parteien je zur Hälfte.
9. Die Parteikosten des kantonalen und des bundesgerichtlichen Verfahrens werden wettgeschlagen.
10. Die Parteien beantragen mit der gegenseitigen Zustimmung zur vorliegenden Vereinbarung dem Bundesgericht, das Verfahren 1C_261/2009 als durch Vergleich erledigt abzuschreiben (<ref-law>). Sie beantragen zudem, auf Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu verzichten."
2. Aufgrund des vorliegenden Vergleichs kann die Streitsache vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben werden (<ref-law>). Unter Berücksichtigung der Umstände der Angelegenheit ist es gerechtfertigt, auf die Erhebung von Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu verzichten (<ref-law>).

Demnach verfügt der Instruktionsrichter:
1. Das bundesgerichtliche Verfahren 1C_261/2009 wird als durch Vergleich erledigt vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3. Diese Verfügung wird den Parteien sowie der Schätzungskommission und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Instruktionsrichter: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Haag