Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. A._, die an einer psychischen Erkrankung leidet, ist seit vielen Jahren bei den CSS Versicherungen (nachfolgend: CSS) krankenversichert. Bis Ende 1996 war sie in der KUVG-Zusatzversicherung "Kombinierte Spitalversicherung" (Allgemeine Versicherungsbedingungen; AVB 01.1995), Leistungsgruppe 2: Halbprivate Abteilung (Zweibettzimmer mit anerkannter Tarifbindung), versichert. Mit Einführung des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) und der Unterstellung der Zusatzversicherungen unter das Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag (Versicherungsvertragsgesetz, VVG; SR 221.229.1) erfolgte auf den 1. Januar 1997 bei der CSS die Überführung der "Kombinierten Spitalversicherung Halbprivate Abteilung" in die Standardversicherung (AVB 01.1997). A._ (geboren 1930) schloss im Oktober 2004 mit der CSS einen neuen (modifizierten) Krankenversicherungsvertrag "Spitalversicherung halbprivat, Heilungskostenversicherung" (AVB 01.1997) ab. Die neue Police ersetzte alle bisherigen Versionen und erlangte Gültigkeit ab dem 1. Januar 2005. Neben der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (OKP) umfasst die Police unter anderem auch eine Spitalversicherung halbprivat (nach VVG) mit Tarifbindung.
A. A._, die an einer psychischen Erkrankung leidet, ist seit vielen Jahren bei den CSS Versicherungen (nachfolgend: CSS) krankenversichert. Bis Ende 1996 war sie in der KUVG-Zusatzversicherung "Kombinierte Spitalversicherung" (Allgemeine Versicherungsbedingungen; AVB 01.1995), Leistungsgruppe 2: Halbprivate Abteilung (Zweibettzimmer mit anerkannter Tarifbindung), versichert. Mit Einführung des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) und der Unterstellung der Zusatzversicherungen unter das Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag (Versicherungsvertragsgesetz, VVG; SR 221.229.1) erfolgte auf den 1. Januar 1997 bei der CSS die Überführung der "Kombinierten Spitalversicherung Halbprivate Abteilung" in die Standardversicherung (AVB 01.1997). A._ (geboren 1930) schloss im Oktober 2004 mit der CSS einen neuen (modifizierten) Krankenversicherungsvertrag "Spitalversicherung halbprivat, Heilungskostenversicherung" (AVB 01.1997) ab. Die neue Police ersetzte alle bisherigen Versionen und erlangte Gültigkeit ab dem 1. Januar 2005. Neben der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (OKP) umfasst die Police unter anderem auch eine Spitalversicherung halbprivat (nach VVG) mit Tarifbindung.
B. Die Frauenklinik am Meissenberg, psychiatrisch-psychotherapeutische Spezialklinik für Frauen in Zug, ersuchte im Auftrag von A._ die CSS am 29. April 2005 um Kostengutsprache ab demselben Datum für die stationäre Behandlung von A._. Die Spitalbedürftigkeit der Patientin war unbestritten. Am 11. Mai 2005 lehnte die CSS das Gesuch unter folgendem Hinweis ab: "Vertragsloser Zustand/Versicherungsleistungen auf dem Rückerstattungsweg". Weiter bemerkte sie, dass gemäss den Empfehlungen ihres Vertrauensarztes eine 90-tägige Hospitalisation der Patientin zwar indiziert sei, da jedoch ein vertragsloser Zustand bestehe, werde sie lediglich die der Versicherten zustehende Leistung aus der OKP in der Höhe von Fr. 214.-- pro Tag vom 29. April bis zum 27. Juli 2005 rückerstatten. Mit Schreiben vom 12. Mai 2005 teilte die CSS A._ mit, dass die sie behandelnde Klinik auf der sogenannten "Liste der Spitäler ohne allgemeine und/oder halbprivate Abteilung" stehe, weil kein Tarifvertrag für die allgemeine und halbprivate Abteilung bestehe. Des Weiteren führte sie aus, dass sie aufgrund der ungenügenden Versicherungsdeckung (lediglich) die durch die OKP versicherten Kosten für die Aufnahme in die allgemeine Abteilung des zuständigen öffentlichen Spitals des Wohnkantons der Versicherten zu einem Ansatz von Fr. 214.-- pro Tag garantiere. Aus der "Spitalversicherung halbprivat" bestehe demgegenüber kein Leistungsanspruch, weshalb weitergehende Kosten zu Lasten der Versicherten gingen. Eine Kopie dieses Schreibens ging an die Klinik am Meissenberg. Auf Ersuchen von A._ lehnte die CSS eine Kostengutsprache am 24. Mai 2005 erneut ab mit dem Hinweis auf ein Schreiben ihrer Rechtsabteilung vom 19. April 2005 an die Klinik, das auch im vorliegenden Falle Gültigkeit habe. Die Versicherte hielt sich vom 29. April bis zum 7. Juni 2005 in der Klinik auf der Privatabteilung Zweibettzimmer auf.
B. Die Frauenklinik am Meissenberg, psychiatrisch-psychotherapeutische Spezialklinik für Frauen in Zug, ersuchte im Auftrag von A._ die CSS am 29. April 2005 um Kostengutsprache ab demselben Datum für die stationäre Behandlung von A._. Die Spitalbedürftigkeit der Patientin war unbestritten. Am 11. Mai 2005 lehnte die CSS das Gesuch unter folgendem Hinweis ab: "Vertragsloser Zustand/Versicherungsleistungen auf dem Rückerstattungsweg". Weiter bemerkte sie, dass gemäss den Empfehlungen ihres Vertrauensarztes eine 90-tägige Hospitalisation der Patientin zwar indiziert sei, da jedoch ein vertragsloser Zustand bestehe, werde sie lediglich die der Versicherten zustehende Leistung aus der OKP in der Höhe von Fr. 214.-- pro Tag vom 29. April bis zum 27. Juli 2005 rückerstatten. Mit Schreiben vom 12. Mai 2005 teilte die CSS A._ mit, dass die sie behandelnde Klinik auf der sogenannten "Liste der Spitäler ohne allgemeine und/oder halbprivate Abteilung" stehe, weil kein Tarifvertrag für die allgemeine und halbprivate Abteilung bestehe. Des Weiteren führte sie aus, dass sie aufgrund der ungenügenden Versicherungsdeckung (lediglich) die durch die OKP versicherten Kosten für die Aufnahme in die allgemeine Abteilung des zuständigen öffentlichen Spitals des Wohnkantons der Versicherten zu einem Ansatz von Fr. 214.-- pro Tag garantiere. Aus der "Spitalversicherung halbprivat" bestehe demgegenüber kein Leistungsanspruch, weshalb weitergehende Kosten zu Lasten der Versicherten gingen. Eine Kopie dieses Schreibens ging an die Klinik am Meissenberg. Auf Ersuchen von A._ lehnte die CSS eine Kostengutsprache am 24. Mai 2005 erneut ab mit dem Hinweis auf ein Schreiben ihrer Rechtsabteilung vom 19. April 2005 an die Klinik, das auch im vorliegenden Falle Gültigkeit habe. Die Versicherte hielt sich vom 29. April bis zum 7. Juni 2005 in der Klinik auf der Privatabteilung Zweibettzimmer auf.
C. Am 5. Oktober 2005 reichte A._ Klage beim Amtsgericht Luzern-Stadt gegen die CSS ein und forderte von dieser aus (Kranken-) Zusatzversicherung die Differenz zwischen 75 % des Gesamtrechnungsbetrages für den Klinikaufenthalt und der von der CSS garantierten OKP-Pauschale, ausmachend Fr. 37'612.85 samt Zinsen. In teilweiser Gutheissung der Klage verurteilte das Amtsgericht die CSS zur Bezahlung von Fr. 28'209.60 samt Zinsen.
C. Am 5. Oktober 2005 reichte A._ Klage beim Amtsgericht Luzern-Stadt gegen die CSS ein und forderte von dieser aus (Kranken-) Zusatzversicherung die Differenz zwischen 75 % des Gesamtrechnungsbetrages für den Klinikaufenthalt und der von der CSS garantierten OKP-Pauschale, ausmachend Fr. 37'612.85 samt Zinsen. In teilweiser Gutheissung der Klage verurteilte das Amtsgericht die CSS zur Bezahlung von Fr. 28'209.60 samt Zinsen.
D. Die dagegen von der CSS erhobene Appellation hiess das Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer, mit Urteil vom 30. November 2006 gut und wies die Klage vollumfänglich ab. Die von A._ erhobene Anschlussappellation wurde damit gegenstandslos.
D. Die dagegen von der CSS erhobene Appellation hiess das Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer, mit Urteil vom 30. November 2006 gut und wies die Klage vollumfänglich ab. Die von A._ erhobene Anschlussappellation wurde damit gegenstandslos.
E. A._ (fortan: Beschwerdeführerin) führt mit Eingabe vom 22. Januar 2007 staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung der Art. 9 und 29 Abs. 2 BV und beantragt dem Bundesgericht in der Sache, den obergerichtlichen Entscheid vom 30. November 2006 aufzuheben. Die CSS (fortan: Beschwerdegegnerin; Versicherer) sowie das Obergericht schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde unter Kosten- (und Entschädigungs-) Folge zu Lasten der Beschwerdeführerin. In der gleichen Sache hat A._ beim Bundesgericht auch eidgenössische Berufung erhoben (Verfahren 5C.20/2007).

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist vorher ergangen, so dass noch die Bestimmungen des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege (Bundesrechtspflegegesetz, OG; SR 173.110) anzuwenden sind (vgl. <ref-law>).
1.2 Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob und in welchem Umfang auf eine staatsrechtliche Beschwerde einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1 S. 156; <ref-ruling> E. 2 S. 250). Wird in der gleichen Sache sowohl Berufung als auch staatsrechtliche Beschwerde erhoben, so ist in der Regel zuerst über die staatsrechtliche Beschwerde zu befinden und der Entscheid über die Berufung auszusetzen, da bei Gutheissung der staatsrechtlichen Beschwerde das angefochtene Urteil aufgehoben und die Berufung gegenstandslos wird (Art. 57 Abs. 5 OG; <ref-ruling> E. 1b S. 240; <ref-ruling> E. 1 S. 82). Im vorliegenden Fall besteht kein Anlass, von dieser Regel abzuweichen.
1.3 Nach Art. 86 Abs. 1 OG ist eine staatsrechtliche Beschwerde nur gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide zulässig. Das Urteil des Luzerner Obergerichts stellt einen solchen dar. Soweit die Beschwerdeführerin die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügt, ist die Berufung an das Bundesgericht nicht gegeben (Art. 43 Abs. 1 OG) und somit nur die staatsrechtliche Beschwerde möglich (Art. 84 Abs. 2 OG).
1.4 Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG hat sich eine Beschwerdeführerin mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinander zu setzen und im Einzelnen darzustellen, worin die Verletzung der angerufenen Verfassungsrechte bestehen soll. Im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert (und damit rechtsgenüglich) erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 315; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen). Neue Vorbringen und Belege sowie Ausführungen zum Sachverhalt, welche nicht mit einer konkreten (Willkür-) Rüge verbunden sind, werden im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren nicht berücksichtigt. Der von der Beschwerdeführerin mit staatsrechtlicher Beschwerde vorgebrachte Beweismittelantrag, die Akten der kantonalen Verfahren beizuziehen, gilt nicht als neu und wird vom Bundesgericht somit im Rahmen des Verfassungsbeschwerdeverfahrens von Amtes wegen berücksichtigt (<ref-ruling> E. 3 S. 57). Schliesslich tritt das Bundesgericht auf ungenügend begründete Vorbringen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid, wie sie allenfalls im Rahmen eines Berufungsverfahrens zulässig ist, nicht ein (<ref-ruling> E. 2a S. 3; <ref-ruling> E. 1b S. 495; <ref-ruling> E. 1.5 S. 297).
Wirft die Beschwerdeführerin - wie vorliegend - der kantonalen Instanz zur Hauptsache Willkür vor, so hat sie aufzuzeigen, inwiefern deren Entscheid offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletze oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufe. Das Bundesgericht greift im Übrigen nur ein, wenn nicht bloss die Begründung des Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 261; <ref-ruling> E. 5.1 S. 17 mit Hinweisen). Vermag die Beschwerdeführerin jedoch Willkür nicht auch im Ergebnis nachzuweisen, so ist auf die Beschwerde gar nicht erst einzutreten (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 219; <ref-ruling> E. 5 S. 250).
Diesen Vorgaben wird die Beschwerdeführerin, die in ihrer Beschwerdeschrift Art. 9 sowie <ref-law> rügt, auf weiten Strecken nicht gerecht, was im Zusammenhang mit den einzelnen Rügen aufzuzeigen ist.
Diesen Vorgaben wird die Beschwerdeführerin, die in ihrer Beschwerdeschrift Art. 9 sowie <ref-law> rügt, auf weiten Strecken nicht gerecht, was im Zusammenhang mit den einzelnen Rügen aufzuzeigen ist.
2. Die Beschwerdeführerin rügt am Ende ihrer Eingabe eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, indem das Obergericht einerseits - von Amtes wegen - die Statuten, AVB und Reglemente der Beschwerdegegnerin (Ausgabe Januar 1995) zu den Akten genommen habe, ohne dass der Beschwerdeführerin Gelegenheit gegeben worden sei, sich zu diesen Akten zu äussern (dazu unten E. 2.2) und andererseits die von der Beschwerdeführerin in der Klagedenkschrift vom 5. Oktober 2005 gestellten Eventualanträge nicht behandelt habe (dazu unten E. 2.3).
2.1 Da der verfassungsmässige Gehörsanspruch (<ref-law>) gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung als ein solcher formeller Natur gilt, ist er hier vorweg zu behandeln, da seine Verletzung ungeachtet der Erfolgsaussichten des Rechtsmittels in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides führte (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 390). Der Grundsatz des rechtlichen Gehörs als persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht umfasst unter anderem das Recht auf Stellungnahme zum Beweisergebnis. Dabei hat das neue und entscheidende Akten beiziehende Gericht den Betroffenen darüber zu orientieren. Der Anspruch einer Partei, im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu replizieren, bildet einen Teilgehalt des verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör und gewährleistet, dass die Partei nicht nur vom Gericht über den Eingang neuer Akten orientiert werden muss, sondern ausserdem die Möglichkeit zur Replik erhält (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 46; <ref-ruling> E. 2b S. 137). Die Beschwerdeführerin sieht auch die (Entscheid-) Begründungspflicht verletzt, welche verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt, was indessen nicht bedeutet, dass sich diese ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 2b S. 109 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540). Die Begründungspflicht ist Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör und begründet gemäss ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung keine über dieses Verfassungsrecht hinausgehenden Garantien, weshalb auf sie - insofern von der Beschwerdeführerin in anderem Zusammenhang als verletzt gerügt - nicht mehr gesondert eingegangen wird (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2b S. 102).
2.2 Bei den von der Beschwerdegegnerin auf Ersuchen des Obergerichts edierten Unterlagen handelt es sich um dieselben, die von der Beschwerdeführerin anlässlich des Appellationsverfahrens eingereicht worden sind. Es kann somit festgehalten werden, dass der Beschwerdeführerin diese Akten bekannt gewesen sind. Dass unter diesen Umständen ein Gericht auf einen den Parteien bekannten Beleg Bezug nimmt, muss diesen nicht noch einmal gesondert in Aussicht gestellt werden. Deren rechtliches Gehör wird durch dieses Vorgehen des Gerichts demnach nicht verletzt.
2.3 Soweit die Rüge der nicht behandelten Eventualanträge überhaupt in einer tauglichen, den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügenden Weise vorgetragen wird (vgl. oben E. 1.4), dringt sie nicht durch. Der Begründung des Obergerichts in seiner Vernehmlassung, dass durch die Gutheissung der Appellation - und mit der Abweisung der Klage - die Beurteilung des (Eventual-) Feststellungsbegehrens hinfällig geworden sei, kann ohne Weiteres gefolgt werden. Aufgrund der Offensichtlichkeit der Rechtslage ist der Gehörsanspruch der Beschwerdeführerin nicht verletzt.
2.4 Die von der Beschwerdeführerin im Übrigen geltend gemachte einseitige Beweiswürdigung zu ihren Ungunsten kann nur eine materielle Rechtsverweigerung bedeuten; soweit daher die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe weiterhin die Verletzung von <ref-law> (Anspruch auf rechtliches Gehör und Entscheidbegründung) rügt, ist ihre Rüge allein unter dem Blickwinkel des Willkürverbotes zu prüfen, worauf im Sachzusammenhang zurückzukommen sein wird.
2.4 Die von der Beschwerdeführerin im Übrigen geltend gemachte einseitige Beweiswürdigung zu ihren Ungunsten kann nur eine materielle Rechtsverweigerung bedeuten; soweit daher die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe weiterhin die Verletzung von <ref-law> (Anspruch auf rechtliches Gehör und Entscheidbegründung) rügt, ist ihre Rüge allein unter dem Blickwinkel des Willkürverbotes zu prüfen, worauf im Sachzusammenhang zurückzukommen sein wird.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, das Obergericht habe fälschlicherweise angenommen, der zwischen ihr und dem Versicherer bestehende (Krankenzusatzversicherungs-) Vertrag sei erstmals per 1. Januar 2005 abgeschlossen worden. Diese Sachverhaltsfeststellung betreffend den Beginn des Vertragsverhältnisses rügt die Beschwerdeführerin als willkürlich und das rechtliche Gehör verletzend, welche Rüge sich jedoch in ersterer erschöpft (vgl. oben E. 2.4).
3.2 Wohl trifft es zu, dass die Beschwerdeführerin nicht erst seit dem 1. Januar 2005 bei der Beschwerdegegnerin zusatzversichert ist. Diese räumt dies in ihrer Vernehmlassung zur staatsrechtlichen Beschwerde sogar selbst ein: "Vielmehr ist die Beschwerdeführerin unbestrittenermassen seit vielen Jahren bei der Beschwerdegegnerin bzw. bei ihrer Rechtsvorgängerin versichert, gemäss den Unterlagen der Beschwerdegegnerin seit dem 1. Mai 1956."
Das Datum des Vertragsschlusses, dessen Bestimmung eine im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren überprüfbare Tatfrage darstellt, ist im angefochtenen Urteil offensichtlich falsch wiedergegeben worden. Jedoch hat das Obergericht in diesem Zusammenhang vom zuletzt geschlossenen Versicherungsvertrag gesprochen, was unter Hinweis auf den Klägerbeleg Nr. 5 (Versicherungspolice für die Beschwerdeführerin) eindeutig darauf schliessen lässt, dass der Versicherer eine neue Police ausgestellt und die Versicherungsprämien neu festgelegt hat, was wiederum ausschliesst, dass die Beschwerdeführerin erstmals bei der Beschwerdegegnerin versichert gewesen ist.
Da der von der Beschwerdeführerin als verletzt gerügten Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör vorliegend keine eigenständige Bedeutung zukommt (vgl. oben E. 2.1), sind die von ihr vorgetragenen Rügen einzig unter dem Blickwinkel des Willkürverbotes zu prüfen. Nach dem Gesagten kann jedoch gefolgert werden, dass die Beschwerdeführerin mit ihren Rügen im Ergebnis keine Willkür darzutun vermochte (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 219; vgl. oben E. 1.4). Das Nichterfüllen dieser formellen Begründungsvoraussetzung sowie die Tatsache, dass sich der Streit nur noch um die (Entscheid-) Begründung drehte, was jedoch zur Annahme eines rechtsgenüglichen Rechtsschutzinteresses nicht ausreicht, führen somit in diesem Punkt zum Nichteintreten auf die staatsrechtliche Beschwerde.
Da der von der Beschwerdeführerin als verletzt gerügten Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör vorliegend keine eigenständige Bedeutung zukommt (vgl. oben E. 2.1), sind die von ihr vorgetragenen Rügen einzig unter dem Blickwinkel des Willkürverbotes zu prüfen. Nach dem Gesagten kann jedoch gefolgert werden, dass die Beschwerdeführerin mit ihren Rügen im Ergebnis keine Willkür darzutun vermochte (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 219; vgl. oben E. 1.4). Das Nichterfüllen dieser formellen Begründungsvoraussetzung sowie die Tatsache, dass sich der Streit nur noch um die (Entscheid-) Begründung drehte, was jedoch zur Annahme eines rechtsgenüglichen Rechtsschutzinteresses nicht ausreicht, führen somit in diesem Punkt zum Nichteintreten auf die staatsrechtliche Beschwerde.
4. 4.1 Sodann hält die Beschwerdeführerin dafür, die obergerichtliche Sachverhaltsfeststellung betreffend das Versicherungsverhältnis sei willkürlich und verletze das rechtliche Gehör. Namentlich sei dies dadurch geschehen, dass das Obergericht verschiedene Tatsachen wie unter anderem die Leistungserbringung durch die Klinik am Meissenberg gemäss kantonaler Spitalliste sowie die Tarifanerkennung seitens der Beschwerdegegnerin ausser Acht gelassen habe.
4.2 Die Vorbringen der Beschwerdeführerin sind in diesem Zusammenhang darauf ausgerichtet, eine Verletzung der Untersuchungsmaxime aufzuzeigen. Art. 85 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 17. Dezember 2004 betreffend die Aufsicht über Versicherungsunternehmen (Versicherungsaufsichtsgesetz, VAG; SR 961.01) verpflichtet die kantonalen Gerichte, für Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen. Da die Untersuchungsmaxime im Bereich der Krankenzusatzversicherung Bundesrecht beschlägt (Art. 85 Abs. 2 VAG) und der vorliegende Fall berufungsfähig ist, hat die Beschwerdeführerin die diesbezüglichen Rügen mit Berufung vorzubringen (Art. 84 Abs. 2 OG), womit sich ihre Willkürrüge als unzulässig erweist. Was die Gehörsverletzung betrifft, kann der Beschwerdeführerin, die in diesem Zusammenhang rein appellatorische Kritik übt, nicht gefolgt werden (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; vgl. oben E. 1.4 und 2.1). Auf die Beschwerde ist deshalb auch in diesem Punkt nicht einzutreten.
4.2 Die Vorbringen der Beschwerdeführerin sind in diesem Zusammenhang darauf ausgerichtet, eine Verletzung der Untersuchungsmaxime aufzuzeigen. Art. 85 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 17. Dezember 2004 betreffend die Aufsicht über Versicherungsunternehmen (Versicherungsaufsichtsgesetz, VAG; SR 961.01) verpflichtet die kantonalen Gerichte, für Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen. Da die Untersuchungsmaxime im Bereich der Krankenzusatzversicherung Bundesrecht beschlägt (Art. 85 Abs. 2 VAG) und der vorliegende Fall berufungsfähig ist, hat die Beschwerdeführerin die diesbezüglichen Rügen mit Berufung vorzubringen (Art. 84 Abs. 2 OG), womit sich ihre Willkürrüge als unzulässig erweist. Was die Gehörsverletzung betrifft, kann der Beschwerdeführerin, die in diesem Zusammenhang rein appellatorische Kritik übt, nicht gefolgt werden (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; vgl. oben E. 1.4 und 2.1). Auf die Beschwerde ist deshalb auch in diesem Punkt nicht einzutreten.
5. 5.1 Weiter rügt die Beschwerdeführerin eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung betreffend das CSS-Magazin (Ausgabe Mai 2005). Nach ihrem Dafürhalten stünden die obergerichtlichen tatsächlichen Feststellungen mit den im Recht liegenden Akten (d. h. dem CSS-Magazin) in klarem Widerspruch. Einher gehe mit dieser willkürlichen Tatsachenfeststellung auch eine willkürliche Beweiswürdigung.
5.2 Soweit es um die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Entscheides geht, greift das Bundesgericht auf staatsrechtliche Beschwerde hin nur ein, wenn die Feststellungen den Akten klar widersprechen; im Bereich der Beweiswürdigung, bei welcher dem Richter ein weiter Ermessensspielraum zukommt, schreitet es nur ein, wenn diese offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.1 S. 178 mit Hinweisen; vgl. oben E. 1.4). Dabei ist Aktenwidrigkeit nicht mit Beweiswürdigung gleichzusetzen, sondern liegt nur vor, wenn der Richter bei der Beweiswürdigung von unrichtigen tatsächlichen Prämissen ausgeht (vgl. Messmer/Imboden, Die eidgenössischen Rechtsmittel in Zivilsachen, Nr. 149 Fn. 42, S. 213).
Das Bundesgericht überprüft die in diesem Zusammenhang geltend gemachte allfällig willkürliche Tatsachenfeststellung oder Beweiswürdigung nicht, da es die objektivierte Auslegung von Willenserklärungen - wozu auch das CSS-Magazin als der erklärte Wille der Beschwerdegegnerin gehört - nach dem Vertrauensprinzip ausschliesslich im Verfahren der eidgenössischen Berufung als Rechtsfrage frei prüft (<ref-ruling> E. 3a S. 168; vgl. auch Münch, in: Geiser/Münch, Prozessieren vor Bundesgericht, 2. Aufl., N 4.49 S. 137). Daher ist auf die Beschwerde diesbezüglich nicht einzutreten.
Das Bundesgericht überprüft die in diesem Zusammenhang geltend gemachte allfällig willkürliche Tatsachenfeststellung oder Beweiswürdigung nicht, da es die objektivierte Auslegung von Willenserklärungen - wozu auch das CSS-Magazin als der erklärte Wille der Beschwerdegegnerin gehört - nach dem Vertrauensprinzip ausschliesslich im Verfahren der eidgenössischen Berufung als Rechtsfrage frei prüft (<ref-ruling> E. 3a S. 168; vgl. auch Münch, in: Geiser/Münch, Prozessieren vor Bundesgericht, 2. Aufl., N 4.49 S. 137). Daher ist auf die Beschwerde diesbezüglich nicht einzutreten.
6. 6.1 Darin, dass das Obergericht auf den von der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren eingereichten Auszug aus der Internetseite der Beschwerdegegnerin - in welchem diese eine für das gesamte Gebiet der Schweiz geltende Kostenübernahme bezüglich der Spitalversicherung halbprivat anpreise - nicht eingegangen ist, erblickt jene schliesslich eine Verletzung des Willkürverbotes.
6.2 Der von der Beschwerdeführerin offerierte Internetauszug datiert vom 5. September 2006, währenddem sie selbst sich vom 29. April bis zum 7. Juni 2005 in der Klinik aufhielt. Schon aufgrund dieser Tatsache ist nicht ersichtlich, weshalb das Obergericht auf dieses Vorbringen hätte eingehen müssen. Ein Gericht kann sich im Rahmen der Beweiswürdigung auf die entscheidwesentlichen Fakten beschränken und muss sich nicht mit all denjenigen von den Parteien anerbotenen Beweismitteln auseinandersetzen, die keinen Einfluss auf den Entscheid auszuüben vermögen (vgl. dazu oben E. 2.1).
-:-
Die Beschwerdeführerin verkennt hierbei die Tragweite des verfassungsmässig geschützten Willkürverbotes, mit dem ihr Vorbringen in keinem Zusammenhang steht.
Die Beschwerdeführerin verkennt hierbei die Tragweite des verfassungsmässig geschützten Willkürverbotes, mit dem ihr Vorbringen in keinem Zusammenhang steht.
7. Aufgrund des Dargelegten muss die staatsrechtliche Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist die Gerichtsgebühr der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Der Beschwerdegegnerin, die sich vernehmen liess, wäre sodann eine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 159 Abs. 2 OG), wovon im vorliegenden Fall jedoch praxisgemäss abgesehen werden kann, da der Beschwerdegegnerin, die durch ihre Organe und nicht durch einen Anwalt vertreten war, kein ausserordentlicher Aufwand entstanden ist, der eine solche zu rechtfertigen vermöchte (<ref-ruling> E. 6b S. 357 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 5b S. 519).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'500.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'500.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. August 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: