Sachverhalt:
A. A.a Die türkische Staatsangehörige X._ (geb. 1982) ehelichte am 6. November 2000 in der Türkei den in der Schweiz niederlassungsberechtigten V._. Dieser beantragte am 15. Januar 2001 die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung für X._ im Rahmen des Familiennachzugs.
Am 12. März 2001 ging beim damaligen Amt für Ausländerfragen (heute: Amt für öffentliche Sicherheit, Abteilung Migration und Schweizer Ausweise) des Kantons Solothurn ein am 28. Juni 2000 datiertes Schreiben von Q._ ein, in welchem dieser angab, X._ sei "eigentlich" die Frau des Bruders von V._, W._. V._ habe X._ nur geheiratet, damit diese in die Schweiz kommen und nach der Scheidung von V._ ihren tatsächlichen Mann in die Schweiz nachziehen lassen könne. Anlässlich einer Befragung am 17. April 2001 bestritt V._ diese Anschuldigungen, worauf X._ am 21. Juni 2001 die Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Sie reiste am 27. Juli 2001 in die Schweiz ein.
Am 22. August 2001 reichte Q._ ein weiteres, diesmal handschriftlich verfasstes Schreiben beim damaligen Amt für Ausländerfragen ein und wiederholte seine Anschuldigungen vom 28. Juni 2000. Ferner ging dort ein am 4. September 2001 datiertes, teilweise handschriftlich verfasstes, jedoch in Blockschrift unterzeichnetes Schreiben eines U._ (ohne Adressangabe) mit dem gleichen Inhalt ein.
X._ hielt sich im August und September 2001 ferienhalber in der Türkei auf. Am 26. Mai 2002 wurde die Tochter Y._ in der Schweiz geboren und als Tochter von X._ und V._ im Zivilstandsregister eingetragen.
X._ erhielt am 30. Juni 2006 die Niederlassungsbewilligung. Die Ehe mit V._ wurde am 17. September 2007 in der Türkei geschieden.
A.b Am 10. Juli 2009 heirateten X._ und W._.
In Beantwortung eines Fragenkatalogs des damaligen Amts für Ausländerfragen vom 4. November 2009 gab X._ am 10. Februar 2010 an, sie sei vor der Eheschliessung mit V._ nie mit dessen Bruder W._ verheiratet gewesen, weder zivilrechtlich noch religiös. Sie habe auch keine Kinder mit ihm. Sie und W._ hätten einander näher kennengelernt, nachdem die Ehe mit V._ zu Ende gegangen sei.
In der Folge traf das Amt für öffentliche Sicherheit Vorbereitungen für die Durchführung eines DNA-Tests bei W._, um dessen Vaterschaft in Bezug auf Y._ festzustellen bzw. auszuschliessen. W._ erklärte sich jedoch am 7. Juni 2010 mit der Entnahme einer DNA-Probe nicht einverstanden.
A.c Am 14. April 2011 teilte das Amt für öffentliche Sicherheit X._ mit, es beabsichtige die Niederlassungsbewilligung zu widerrufen und auf das Familiennachzugsgesuch zugunsten von W._ nicht einzutreten.
Mit Stellungnahme vom 19. Mai 2011 machte X._ geltend, sie sei die Ehe mit V._ nicht zum Schein eingegangen. Die Meinungsverschiedenheiten, welche bereits wenige Monate nach ihrer Einreise in die Schweiz aufgetreten seien, seien nicht unüberwindlich gewesen, weshalb sie und V._ bis Mitte 2002 im gleichen Haushalt gelebt hätten. Entscheidend für ihren Scheidungswillen sei der Umstand gewesen, dass V._ nicht der biologische Vater von Y._ sei, sondern dessen Bruder W._, mit dem sie während ihres Ferienaufenthalts im August 2001 eine aussereheliche Affäre gehabt habe.
Auf Ersuchen von X._ fand am 1. Juni 2011 eine Besprechung im Amt für öffentliche Sicherheit statt. Dabei gab X._ an, weder V._ noch W._ wüssten, dass V._ nicht Y._s leiblicher Vater sei. Ihre Beziehung zu W._ habe acht Monate nach der Heirat mit V._ begonnen. Sie habe den Brauch gebrochen, indem sie während der Ehe ein Kind mit einem anderen Mann gezeugt habe. Sollte die Familie davon erfahren, müsste sie dafür getötet werden. Sie habe Angst vor ihrer eigenen Familie und der Familie ihres Ehemannes.
Am 17. Februar 2012 widerrief das Departement des Innern des Kantons Solothurn (nachfolgend: Departement) die Niederlassungsbewilligungen von X._ und Y._ und wies sie aus der Schweiz weg. Ferner ordnete es an, infolge Widerrufs der Niederlassungsbewilligung werde auf das Familiennachzugsgesuch für W._ nicht eingetreten.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn (nachfolgend: Verwaltungsgericht) wies die von X._ und Y._ erhobene Beschwerde mit Urteil vom 31. Juli 2012 ab.
C. X._ und Y._ erheben am 28. August 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und beantragen, das angefochtene Urteil aufzuheben, die Streitsache zur Durchführung einer mündlichen Verhandlung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen, festzustellen, es liege ein Härtefall gemäss Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG (SR 142.20) vor, und den Familiennachzug für W._ zu bewilligen.
Das Verwaltungsgericht und das Departement beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Migration schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 4. September 2012 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist der letztinstanzliche, verfahrensabschliessende Entscheid eines kantonalen Gerichts auf dem Gebiet des öffentlichen Rechts, welcher grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG, Art. 90 BGG, Art. 82 lit. a BGG). Gegen Entscheide über den Widerruf einer Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, weil grundsätzlich ein Anspruch auf das Fortbestehen dieser Bewilligung gegeben ist (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4). Ob der Anspruch auf Weiterbestehen der Niederlassungsbewilligung im konkreten Fall zu bejahen ist, betrifft nicht die Eintretensfrage, sondern die materielle Behandlung der Beschwerde (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig, soweit sie sich auf den Widerruf der Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerinnen bezieht.
Der Antrag, der Familiennachzug sei zu bewilligen, ist hingegen unzulässig, weil die Vorinstanz lediglich den Nichteintretensentscheid des Departements hinsichtlich des Gesuchs um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung für den Ehemann der Beschwerdeführerin 1 geschützt hat.
Soweit die Beschwerdeführerinnen sinngemäss geltend machen, ihnen sei gestützt auf Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG eine Härtefallbewilligung zu erteilen, ist darauf nicht einzutreten. Diese Bewilligung stellt eine Ermessensbewilligung dar (<ref-ruling> E. 3.2.1), auf die von Bundesrechts wegen kein Anspruch besteht. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Nichterteilung einer Bewilligung gestützt auf Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG ist gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ausgeschlossen.
Streitgegenstand bildet demnach der vorinstanzliche Entscheid, den Widerruf der Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerinnen und den Nichteintretensentscheid betreffend Familiennachzug von W._ zu bestätigen. Der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung vor der Vorinstanz ist als Begründung für den Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils zu verstehen.
1.2 Die Beschwerdeführerinnen sind gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG zur Erhebung der Beschwerde legitimiert.
1.3 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt, so dass auf die Beschwerde - mit den erwähnten Einschränkungen - einzutreten ist.
1.4 Soweit sich die Beschwerdeführerinnen gegen die ihnen auferlegte Ausreiseverpflichtung zur Wehr setzen, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten, da Entscheide betreffend die Wegweisung gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG davon ausgeschlossen sind. Diesbezüglich stünde den Beschwerdeführerinnen - unter gewissen Voraussetzungen (vgl. <ref-ruling>) - die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen, in deren Rahmen eine Verletzung des Rechts auf Leben und auf persönliche Freiheit gemäss Art. 10 Abs. 1 und 2 BV gerügt werden könnte. Die Verfassungsrüge muss indessen rechtsgenüglich begründet sein (vgl. Art. 116 BGG in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG); auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8 S. 494). Es prüft die Verletzung von Grundrechten nur insoweit, als diese klar, sachbezogen und falls möglich belegt dargetan werden (<ref-ruling> E. 3.3 S. 310). Die Äusserungen in der Beschwerdeschrift, wonach der Wegweisungsentscheid für die Beschwerdeführerin 1 lebensbedrohende Konsequenzen haben könne, genügen diesen Anforderungen nicht. Auf die (sinngemäss erhobene) subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist daher nicht einzutreten.
2. 2.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur beanstandet bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
3. Die Beschwerdeführerinnen beanstanden, dass die Vorinstanz es unterlassen habe, eine mündliche Verhandlung durchzuführen. Darin liege eine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Sinn von Art. 29 Abs. 2 BV und allenfalls des Anspruchs auf ein faires Verfahren gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
3.1 Die Beschwerdeführerinnen verkennen, dass aus Art. 29 Abs. 2 BV kein Recht auf mündliche Anhörung fliesst (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148). Sie hatten im Rahmen des Schriftenwechsels vor der Vorinstanz Gelegenheit, ihren Standpunkt darzulegen. Der Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinn von Art. 29 Abs. 2 BV ist somit gewahrt.
3.2 Art. 6 Ziff. 1 EMRK garantiert die Öffentlichkeit von gerichtlichen Verfahren, in denen über "zivilrechtliche Ansprüche" befunden wird. Entscheide über die Einreise, den Aufenthalt und die Entfernung ausländischer Personen betreffen keine zivilrechtlichen Ansprüche im Sinn von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (Nichtzulassungsentscheid des EGMR Ilic gegen Kroatien vom 19. September 2000 [Nr. 42389/98 ]). Die Bestimmung kommt daher im Verfahren betreffend den Widerruf der Niederlassungsbewilligung nicht zur Anwendung.
4. Die Beschwerdeführerinnen rügen sodann eine willkürliche Beweiswürdigung durch die Vorinstanz. Die durch Q._ und U._ geäusserten Vorbringen seien haltlos; ohne Überprüfung hätte den entsprechenden Schreiben keine Beweiskraft zuerkannt werden dürfen.
4.1 Die Vorinstanz qualifiziert die Ehe der Beschwerdeführerin 1 mit V._ gestützt auf die Schreiben von Q._ vom 28. Juni 2000 und vom 22. August 2001 sowie auf jenes von U._ vom 4. September 2001 als Scheinehe. In einer Eventualbegründung hält sie sodann fest, selbst ohne die Annahme einer Scheinehe sei die Niederlassungsbewilligung zu widerrufen, weil die Beschwerdeführerin 1 diese auf rechtsmissbräuchliche Weise erlangt habe. Die Rüge der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung ist zulässig, weil das Abstellen auf die genannten Schreiben den Schluss einer Scheinehe nahelegt und eine andere Sachverhaltswürdigung somit den Ausgang des Verfahrens beeinflussen kann (vgl. E. 2.2).
4.2 Die Beschwerdeführerinnen hatten im Verfahren vor der Vorinstanz geltend gemacht, die beiden Schreiben von August und September 2001 seien vermutlich von der gleichen Person verfasst worden und könnten deshalb nicht als glaubwürdig gelten. Die Urheberschaft dieser Schreiben sei zwingend zu klären.
Die Vorinstanz wies diesen Beweisantrag im angefochtenen Urteil sinngemäss ab und erwog, es sei nicht weiter beachtlich, ob das Schreiben von U._ vom 4. September 2001 eine Fälschung darstelle. Zumindest eine Person habe zuvor gewusst, dass sich die Beschwerdeführerin 1 nach Erhalt der Niederlassungsbewilligung von V._ scheiden lassen und W._ in die Schweiz nachzuziehen versuchen würde. In ihrer Vernehmlassung vom 24. September 2012 hält die Vorinstanz dafür, aufgrund des voraussagenden Charakters hätten diese Schreiben so grosse Beweiskraft, dass eine Befragung dieser Personen vor Gericht nicht notwendig erschienen sei.
Bereits eine oberflächliche Betrachtung der beiden Schreiben vom 22. August 2001 (Absender: Q._) und vom 4. September 2001 (Absender: U._) zeigt, dass die beiden Handschriften grosse Ähnlichkeit aufweisen. Dessen ungeachtet geht die Vorinstanz von zwei Personen als Urheber aus und stellt auf die entsprechenden Aussagen ab. In den Akten finden sich keine Hinweise darauf, dass die Vorinstanz die Identität der beiden Personen geklärt hätte. Dies wäre - sofern die Schreiben als Beweismittel dienen sollten - aufgrund der Ähnlichkeit der Handschrift und der Tatsache, dass das Schreiben von U._ keine individuelle Unterschrift enthält, notwendig gewesen. Infolge der ungeklärten Urheberschaft des Schreibens von U._ ist die Glaubwürdigkeit von Q._ in Frage gestellt. Die erwähnten Schreiben taugen daher für sich genommen nicht als Beweismittel für die Annahme, es habe sich bei der Ehe zwischen der Beschwerdeführerin 1 und V._ um eine Scheinehe gehandelt.
4.3 Ob die Vorinstanz zu Recht angenommen hat, der Sachverhalt der Scheinehe sei dadurch erstellt, dass die Ereignisse sich so zugetragen haben, wie "zumindest eine Person" im voraus vermutet habe, kann letztlich offen bleiben. Auch ohne Nachweis einer Scheinehe durften die Niederlassungsbewilligungen der Beschwerdeführerinnen widerrufen werden, wie nachfolgend darzulegen ist.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin 1 macht geltend, sie habe die Migrationsbehörde zu keinem Zeitpunkt über rechtsrelevante Umstände täuschen wollen. Bis kurz vor der Scheidung habe sie geglaubt, die Ehe mit V._ retten zu können.
Im erstinstanzlichen Verfahren gab die Beschwerdeführerin 1 zu, die Haushaltsgemeinschaft mit V._ bereits Mitte 2002 aufgelöst zu haben. Ihr vor Bundesgericht geäussertes Vorbringen, sie habe noch im Jahr 2007 - fünf Jahre später und ohne dass in der Zwischenzeit die Ehegemeinschaft wieder aufgenommen worden wäre - an der Ehe festhalten wollen, erscheint nicht glaubhaft. Im Übrigen ist für die Führung einer Ehegemeinschaft im ausländerrechtlichen Sinn der Ehewille beider Gatten erforderlich; das alleinige Festhalten eines Ehegatten an der Ehe hindert deren definitives Scheitern nicht. Aufgrund der massgeblichen Sach- und Rechtslage ist aber diese Frage hier nicht weiter von Belang (vgl. E. 5.2).
5.2 Die Niederlassungsbewilligung war der Beschwerdeführerin 1 gestützt auf Art. 17 Abs. 2 zweiter Satz des (per 1. Januar 2008 aufgehobenen) Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) erteilt worden; die Beschwerdeführerin 2 hatte die Niederlassungsbewilligung gestützt auf Art. 17 Abs. 2 dritter Satz ANAG erhalten. Die in der Schweiz gelebte Ehegemeinschaft der Beschwerdeführerin 1 mit V._ hatte am 27. Juli 2001 begonnen und Mitte 2002 geendet; sie dauerte somit weniger als ein Jahr. Die Voraussetzung des in jenem Zeitpunkt anwendbaren Art. 17 Abs. 2 ANAG, wonach der (ausländische) Ehegatte einer aufenthaltsberechtigten ausländischen Person Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung hat, solange die Ehegatten zusammen wohnen, war somit nach Auflösung der ehelichen Gemeinschaft Mitte 2002 nicht mehr erfüllt; zur Erteilung einer Niederlassungsbewilligung wäre es nie gekommen. Da der Bewilligungswiderruf nach Inkrafttreten des AuG am 1. Januar 2008 erfolgte, sind dafür die entsprechenden gesetzlichen Bestimmungen heranzuziehen. Die ehemals in Art. 17 Abs. 2 ANAG geregelten Ansprüche auf Familiennachzug sind in Art. 43 Abs. 2 und 3 AuG niedergelegt. Gemäss Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG erlöschen diese Ansprüche, wenn Widerrufsgründe nach Art. 62 AuG vorliegen. Die Niederlassungsbewilligung kann gestützt auf Art. 63 Abs. 1 lit. a AuG in Verbindung mit Art. 62 lit. a AuG widerrufen werden, wenn die ausländische Person im Bewilligungsverfahren falsche Angaben macht oder wesentliche Tatsachen verschwiegen hat. Nach Art. 90 lit. a AuG müssen die ausländischen Personen an der Feststellung des massgebenden Sachverhalts mitwirken und dabei insbesondere zutreffende und vollständige Angaben über die für die Regelung des Aufenthalts wesentlichen Tatsachen machen. Die ausländische Person ist somit verpflichtet, den Behörden wahrheitsgetreu über alles Auskunft zu geben, was für den Bewilligungsentscheid massgebend sein kann. Nach der Rechtsprechung sind dabei nicht nur Umstände wesentlich, nach denen die Migrationsbehörde ausdrücklich fragt, sondern auch solche, von denen die ausländische Person wissen muss, dass sie für den Bewilligungsentscheid massgeblich sein können. Insbesondere muss die ausländische Person der Migrationsbehörde Mitteilung machen, wenn die eheliche Gemeinschaft nicht mehr gelebt wird (Urteil 2C_15/2011 vom 31. Mai 2011 E. 4.2.1).
5.3 In den Gesuchen um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vom 31. Mai 2002, 12. Mai 2003, 13. Mai 2004 und 18. Mai 2005 gab die Beschwerdeführerin 1 jeweils an, sie wohne mit ihrem Ehemann im gleichen Haushalt. Nach ihrer eigenen Aussage traf dies jedoch ab Mitte 2002 nicht mehr zu. Aus der expliziten Fragestellung in den Gesuchsformularen geht ohne Weiteres hervor, dass die Angaben zu den aktuellen Wohn-, Lebens- und Erwerbsverhältnissen für die Bearbeitung des Gesuchs von Bedeutung sind. Der Beschwerdeführerin 1 musste klar sein, dass sie mit ihren fortgesetzten unwahren Angaben betreffend ihre Ehesituation die Behörde täuschte.
Auch im Gesuch um Erteilung einer Niederlassungsbewilligung vom 23. Mai 2006 gab die Beschwerdeführerin 1 an, sie lebe mit V._ zusammen. Anlässlich der Erteilung der Niederlassungsbewilligung am 30. Juni 2006 wurde der Beschwerdeführerin 1 ein Informationsschreiben ausgehändigt, in dem explizit darauf hingewiesen wurde, die Niederlassungsbewilligung könne wieder entzogen werden, wenn sie durch falsche Angaben oder wissentliches Verschweigen wesentlicher Tatsachen erschlichen worden sei.
5.4 Unter diesen Umständen musste die Tatsache, dass die Beschwerdeführerin 1 die Migrationsbehörde jahrelang nicht über die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts informierte, zum Widerruf der Niederlassungsbewilligung führen. Es ist evident, dass die Beschwerdeführerin 1 die Niederlassungsbewilligung durch falsche Angaben betreffend die Führung einer Ehegemeinschaft erschlichen hat. Ihr Einwand, sie habe dies nicht gewollt, kann insbesondere mit Blick auf das Informationsschreiben vom 30. Mai 2006 nicht gehört werden. Der Widerrufsgrund von Art. 63 Abs. 1 lit. a AuG in Verbindung mit Art. 62 lit. a AuG ist somit erfüllt.
6. Die Beschwerdeführerinnen machen geltend, der Widerruf der Niederlassungsbewilligungen sei unverhältnismässig. Zudem sei Art. 8 Ziff. 1 EMRK verletzt, wenn die Tochter Y._ von ihrem gesetzlichen Vater V._ getrennt werde.
6.1 Zu Gunsten der Beschwerdeführerin 1 fällt ins Gewicht, dass sie beruflich integriert und finanziell unabhängig ist. Auch strafrechtlich ist sie nicht in Erscheinung getreten. Ihr Vorbringen, sie habe sich tadellos verhalten, trifft jedoch nicht zu, nachdem sie die Migrationsbehörde jahrelang getäuscht und damit eine Niederlassungsbewilligung erschlichen hat. Vor diesem Hintergrund spielt die Dauer ihres Aufenthalts in der Schweiz von ungefähr zehn Jahren eine untergeordnete Rolle. Im Übrigen ist nicht ersichtlich, dass die Beschwerdeführerin 1 besonders gut integriert wäre, spricht sie doch nach dieser relativ langen Zeit kaum Deutsch und ist mit einem in der Türkei lebenden Mann verheiratet. Unter diesen Umständen erscheint eine Rückkehr dorthin für die noch junge Beschwerdeführerin 1 durchaus zumutbar.
6.2 Die im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils zehnjährige Beschwerdeführerin 2 ist in der Schweiz geboren. Es mag zutreffen, dass sie sich ausgezeichnet integriert hat. Sie befindet sich jedoch noch in einem anpassungsfähigen Alter. Nachdem die Beschwerdeführerin 1 kaum Deutsch spricht, ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin 2 die türkische Sprache zumindest mündlich beherrscht. Allfällige Schwierigkeiten sprachlicher und kultureller Art, welche mit dem Wechsel der Umgebung verbunden sein könnten, sind nicht unüberwindlich. Es ist der Beschwerdeführerin 2 daher zumutbar, ihrer Mutter in die Türkei zu folgen.
Daran ändert auch die Beziehung zu ihrem gesetzlichen Vater nichts: V._ ist nicht sorgeberechtigt und kann die familiäre Beziehung zu seinem Kind aus zivilrechtlichen Gründen ohnehin nur eingeschränkt, durch Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts, leben (Urteile 2C_336/2012 vom 3. August 2012 E. 3.2; 2C_578/2011 vom 1. Dezember 2011 E. 3.4.3 mit Hinweisen). Praxisgemäss erscheint die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des nicht obhutsberechtigten ausländischen Elternteils nur geboten, wenn dieser mit dem Kind eine wirtschaftlich und affektiv besonders enge Beziehung pflegt (<ref-ruling> E. 3c S. 5), die wegen der Distanz zum Herkunftsland praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte (<ref-ruling> E. 4a S. 24 f.; Urteil des EGMR Rodrigues da Silva und Hoogkamer gegen Niederlande vom 31. Januar 2006 [Nr. 50435/99], § 42). Diese Rechtsprechung muss auch im umgekehrten Fall gelten, wenn - wie hier - das Aufenthaltsrecht des ausländischen Kindes in Frage steht. In der Beschwerde wird nicht dargetan, wie der Kontakt zwischen Y._ und V._, welche seit Mitte 2002 nicht mehr zusammen leben, gepflegt wird. Die Berufung auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK erschöpft sich in der Behauptung, der Kontakt könnte nicht enger sein. Auch in wirtschaftlicher Hinsicht ist keine Abhängigkeit erkennbar. Art. 8 Ziff. 1 EMRK ist daher nicht verletzt, wenn die Tochter Y._ ihrer Mutter in die Türkei folgen muss. Der Kontakt zwischen ihr und V._ kann besuchsweise oder über elektronische Medien gepflegt werden. Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 1, welcher die Ausreiseverpflichtung der Tochter Y._ zur Folge hat (vgl. E. 7), erweist sich auch unter diesem Blickwinkel nicht als unverhältnismässig.
7. Die Vorinstanz hat erwogen, die Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 hätte nicht widerrufen werden dürfen, weil der Widerruf nicht auf Art. 63 Abs. 1 lit. a AuG in Verbindung mit Art. 62 lit. a AuG gestützt werden könne. Minderjährige Kinder würden aber grundsätzlich den Aufenthaltsort des sorgeberechtigten Elternteils (hier der Mutter) teilen, so dass die Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 mit der Abmeldung ins Ausland bzw. (falls keine Abmeldung erfolgt) nach sechs Monaten Aufenthalt im Ausland erlösche. Dennoch hat die Vorinstanz den Widerruf der Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 geschützt.
Die Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 besteht grundsätzlich unabhängig von der Bewilligung der Beschwerdeführerin 1 und kann nur widerrufen werden, wenn (auch) bei ihr ein Widerrufsgrund vorliegt (ANDREAS ZÜND/LADINA ARQUINT HILL, Beendigung der Anwesenheit, Entfernung und Fernhaltung, in: Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, S. 311 ff., Rz. 8.23). Jedoch hat sich die unmündige Beschwerdeführerin 2, welche durch die Beschwerdeführerin 1 vertreten wird, deren täuschendes Verhalten anrechnen zu lassen (Urteile 2C_40/2007 vom 27. Juni 2007 E. 5.4; 2A.326/2006 vom 25. August 2006 E. 2.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 3d S. 476 f.). Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 ist daher im Ergebnis nicht zu beanstanden.
8. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz den Widerruf der Niederlassungsbewilligungen zu Recht bestätigt hat.
Nachdem der Widerruf der Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 1 rechtmässig ist, erweist sich auch der Nichteintretensentscheid des Departements betreffend das Gesuch um Familiennachzug für W._ als korrekt. Das angefochtene Urteil ist in diesem Punkt ebenfalls zu bestätigen.
9. Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf einzutreten ist.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend haben die Beschwerdeführerinnen die Kosten zu tragen (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG), wobei die Beschwerdeführerin 1 für die Kosten der minderjährigen Beschwerdeführerin 2 aufzukommen hat. Ausgangsgemäss ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner