Sachverhalt:
A. A.a X._ und Z._ heirateten im August 2002. Seit mindestens 2008 leben die Ehegatten getrennt. Ein Scheidungsverfahren ist seit September 2010 hängig. Am 22. Juni 2011 gebar X._ die Tochter Y._.
A.b Am 15. August 2011 erhob Z._ eine Klage an das Kreisgericht St. Gallen auf Anfechtung der Vermutung der Vaterschaft. X._ widersetzte sich in ihrer Klageantwort vom 11. November 2011 der Anfechtungsklage nicht; gleichzeitig ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege (nicht aber um unentgeltliche Verbeiständung). Mit Schreiben vom 6. Dezember 2011 gewährte das Kreisgericht X._ für das Anfechtungsklageverfahren die unentgeltliche Rechtspflege im beantragten Umfang.
Mit Entscheid vom 21. Dezember 2011 hob das Kreisgericht das Kindsverhältnis zwischen Y._ und Z._ rückwirkend auf den Zeitpunkt der Geburt des Kindes auf (Ziff. 1 des Dispositivs). Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- auferlegte es X._, wobei diese Kosten aufgrund der gewährten unentgeltlichen Rechtspflege vorläufig vom Staat zu tragen waren (Ziff. 2 des Dispositivs). Schliesslich verpflichtete das Kantonsgericht X._ zu einer Parteientschädigung an Z._ von Fr. 1'404.-- (Ziff. 3 des Dispositivs).
A.c Gegen den Kostenentscheid (Ziff. 2 und 3 des kreisgerichtlichen Entscheids vom 21. Dezember 2011) erhob X._ am 13. Februar 2012 Beschwerde an das Kantonsgericht St. Gallen.
B. In der Beschwerde vom 13. Februar 2012 stellte X._ ebenfalls ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das kantonsgerichtliche Beschwerdeverfahren.
Mit Entscheid vom 9. März 2012 wies das Kantonsgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren ab (Ziff. 1 des Dispositivs). Es erhob keine Gerichtskosten (Ziff. 2 des Dispositivs) und setzte X._ eine Frist von 10 Tagen, um einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu bezahlen (Ziff. 3 des Dispositivs).
C. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde in Zivilsachen und eventualiter erhobenen subsidiären Verfassungsbeschwerde vom 7. April 2012, die Ziff. 1 und 3 des kantonsgerichtlichen Entscheids vom 9. März 2012 seien aufzuheben und es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das kantonale Beschwerdeverfahren zu gewähren.
Weiter ersucht die Beschwerdeführerin auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bundesgericht hat die Vorakten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist der Entscheid des Kantonsgerichts, das kantonal letztinstanzlich das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das kantonale Beschwerdeverfahren abgewiesen hat (<ref-law>; zum Erfordernis der double instance vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 426).
1.2 Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). In der Hauptsache geht es um eine Beschwerde gegen die Regelung der Gerichts- und Parteikosten, die im Endentscheid über die Anfechtungsklage gemäss <ref-law> festgesetzt wurden (zum Rechtsmittel gegen die Kosten- und Entschädigungsregelung vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 95; <ref-ruling> E. 1.1 S. 160), womit insoweit die Beschwerde in Zivilsachen ohne Streitwerterfordernis offen stünde. Die Beschwerde in Zivilsachen kann folglich auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid ergriffen werden. Die von der Beschwerdeführerin in der gleichen Rechtsschrift eventualiter erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird damit hinfällig (<ref-law>).
1.3 Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Es ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht, da das Bundesgericht nicht gehalten ist, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584; <ref-ruling> E. 3.3 S. 60).
2. 2.1 Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, besteht darüber hinaus ein Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand (<ref-law>).
2.2 Strittig ist vorliegend die Voraussetzung der Aussichtslosigkeit (<ref-law>).
Die vom Bundesgericht zum Begriff der Aussichtslosigkeit gemäss <ref-law> entwickelte Praxis ist auch für die Auslegung von <ref-law> zu berücksichtigen (vgl. zur Veröffentlichung bestimmtes Urteil 5A_842/2011 vom 24. Februar 2012 E. 2.2.4).
Als aussichtslos sind demnach Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen).
2.3 Geht es wie hier um die Beurteilung der Erfolgsaussichten eines Rechtsmittels, ist zu beachten, dass ein erstinstanzliches Urteil vorliegt, das mit den gestellten Rechtsmittelanträgen verglichen werden kann. Der Rechtsmittelinstanz wird dadurch die summarische Prüfung der Erfolgsaussichten erleichtert. Nur wenn die Rechtsmittelklägerin dem erstinstanzlichen Entscheid nichts Wesentliches entgegensetzen kann, läuft sie Gefahr, dass ein Rechtsmittel als aussichtslos eingestuft wird, namentlich wenn eine eingeschränkte Kognition oder Rügepflicht gilt (vgl. Urteil 5A_107/2010 vom 30. April 2010 E. 2.3 mit Hinweisen).
2.4 Die Beschwerde an das Kantonsgericht betrifft die kreisgerichtliche Kostenverlegung. Nach <ref-law> (Marginalie "Verteilungsgrundsätze") werden die Prozesskosten der unterliegenden Partei auferlegt. Nach <ref-law> kann das Gericht unter anderem in familienrechtlichen Verfahren (lit. c) oder wenn andere besondere Umstände vorliegen, die eine Verteilung nach dem Ausgang des Verfahrens als unbillig erscheinen lassen (lit. f), von den Verteilungsgrundsätzen abweichen und die Prozesskosten nach Ermessen verteilen.
3.1 3.1.1 Im Verfahren vor dem Kreisgericht hat sich die Beschwerdeführerin der Anfechtungsklage von Z._ nicht widersetzt und in ihrer Klageantwort beantragt, das Kindsverhältnis zwischen Z._ und ihrer Tochter sei aufzulösen. Der Beistand des Kindes verzichtete auf eine Klageantwort.
Das Kreisgericht hat die Anfechtungsklage von Z._ gutgeheissen und das Kindsverhältnis aufgehoben (vgl. Lit. A.b oben). Es erachtete die Beschwerdeführerin als unterliegend und auferlegte ihr in Anwendung von <ref-law> die Prozesskosten (Gerichtskosten von Fr. 800.--, unter Vorbehalt der ihr gewährten unentgeltlichen Rechtspflege, und Parteientschädigung von Fr. 1'404.-- an Z._), zumal dem Kind keine Kosten auferlegt werden könnten. Eine anderweitige ermessensweise Verteilung der Prozesskosten in Anwendung von <ref-law> sei nicht angezeigt.
3.1.2 In ihrer Kostenbeschwerde vom 13. Februar 2012 an das Kantonsgericht verlangte die Beschwerdeführerin, die Gerichtskosten des Anfechtungsklageverfahrens seien ihr und Z._ je zur Hälfte aufzuerlegen (und ihr Teil vorläufig vom Staat zu übernehmen) und die diesbezüglichen Parteikosten wettzuschlagen. Sie machte geltend, das Kantonsgericht hätte die Kosten für das Anfechtungsklageverfahren nicht nach <ref-law>, sondern nach <ref-law> verlegen müssen.
3.2 Das Kantonsgericht ist im angefochtenen Entscheid zum Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren zum Schluss gekommen, die Beschwerdeführerin sei ohne weiteres bedürftig, ihre Begehren erwiesen sich aber als aussichtslos.
Zur Begründung der Aussichtslosigkeit der Kostenbeschwerde hat das Kantonsgericht ausgeführt, bei Gutheissung der Anfechtungsklage nach <ref-law> gelte grundsätzlich die Kindsmutter als unterliegend und seien ihr in Anwendung der Grundsatznorm von <ref-law> die Prozesskosten aufzuerlegen, zumal die Beschwerdeführerin nicht infrage stelle, dass dem Kind keine Kosten auferlegt werden könnten.
Eine vom Grundsatz von <ref-law> abweichende ermessensweise Kostenverlegung nach <ref-law> sei nur zurückhaltend und bei Vorliegen besonderer Umstände vorzunehmen. Zwar nenne <ref-law> auch die familienrechtlichen Verfahren, wobei Eheschutz- und Scheidungsverfahren im Vordergrund stünden, wo oft nicht von einem Obsiegen oder Unterliegen gesprochen werden könne. Im Verfahren nach <ref-law> könne aber immer von einer obsiegenden und unterliegenden Partei gesprochen werden. Soweit sich die Beschwerdeführerin sodann auf ein wirtschaftliches Ungleichgewicht berufe, rechtfertige ein solches für sich noch nicht, von der ordentlichen Kostenverlegung abzusehen. Schliesslich sei bei der gegebenen Rechtslage auch davon auszugehen, dass gerade die Beschwerdeführerin durch ihr Verhalten das Unterliegen "verursacht" habe.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin macht vor Bundesgericht eine Verletzung von <ref-law> geltend.
4.2 4.2.1 Einerseits begründet sie dies damit, dass in Statussachen, wie vorliegend bei der Anfechtung der Vaterschaftsvermutung nach <ref-law>, von vornherein nicht von der Aussichtslosigkeit der Begehren gesprochen werden könne. Dies gelte auch, wenn sich die Beschwerde nicht gegen die Statussache an sich, sondern nur gegen den Kostenentscheid richte, da dieser ebenfalls Bestandteil des Statusprozesses sei.
4.2.2 Kann ein Rechtsstreit weder aussergerichtlich noch durch Anerkennung oder Vergleich vor Gericht erledigt werden, wie in Ehe- und Statussachen, kann das Gesuch der beklagten Partei nicht wegen Aussichtslosigkeit der Verteidigung abgelehnt werden (Urteil 5A_814/2009 vom 31. März 2010 E. 3.4.1.5; 5P.182/1996 vom 14. Juni 1996 E. 2c; RIES, Die unentgeltliche Rechtspflege nach der aargauischen Zivilprozessordnung, 1990, S. 112).
Es kann offengelassen werden, ob dieser Grundsatz - wie es die Beschwerdeführerin vorauszusetzen scheint - einerseits ausnahmslos gilt (vgl. dazu beispielsweise MEICHSSNER, Das Grundrecht auf unentgeltliche Rechtspflege, 2008, S. 111 mit Hinweisen) und andererseits auch ohne weiteres für das Rechtsmittelverfahren (in dem die Beschwerdeführerin vorliegend zudem als Rechtsmittelklägerin auftritt) Anwendung findet (HAEFLIGER, Alle Schweizer sind vor dem Gesetze gleich, 1985, S. 168).
Die Einwände der Beschwerdeführerin gehen nämlich an der Sache vorbei: Wie sie selbst darlegt, ist vorliegend nicht die Aussichtslosigkeit der Begehren in einem Statusprozess (oder einem Rechtsmittel in einer Statussache), sondern einzig und allein für eine Beschwerde gegen einen Kostenentscheid zu beurteilen. Inwiefern bei einer Beschwerde allein gegen einen Kostenentscheid die Voraussetzung der Aussichtslosigkeit von vornherein "nicht zum Tragen kommen soll", legt die Beschwerdeführerin aber nicht dar.
Die Einwände der Beschwerdeführerin gehen nämlich an der Sache vorbei: Wie sie selbst darlegt, ist vorliegend nicht die Aussichtslosigkeit der Begehren in einem Statusprozess (oder einem Rechtsmittel in einer Statussache), sondern einzig und allein für eine Beschwerde gegen einen Kostenentscheid zu beurteilen. Inwiefern bei einer Beschwerde allein gegen einen Kostenentscheid die Voraussetzung der Aussichtslosigkeit von vornherein "nicht zum Tragen kommen soll", legt die Beschwerdeführerin aber nicht dar.
4.3 4.3.1 Andererseits macht sie geltend, ihre Begehren in der Kostenbeschwerde seien nicht aussichtslos. Das Kreisgericht habe die Kostenverlegung zu Unrecht nach <ref-law> und nicht nach <ref-law> vorgenommen, obwohl <ref-law> in familienrechtlichen Angelegenheiten gerade die Verteilung der Prozesskosten nach Ermessen vorsehe. Das vorliegende Verfahren, in dem sie sich den Anträgen des Anfechtungsklägers nicht widersetzt habe, sei mit einer Scheidung auf gemeinsames Begehren vergleichbar. In einer solchen Konstellation erscheine eine Kostenverlegung nach <ref-law> geradezu als geboten. Jedenfalls könne nicht gesagt werden, es sei aussichtslos, sich für die vorliegend in Frage stehende Kostenverlegung auf <ref-law> zu stützen und diese Norm in einer Kostenbeschwerde als verletzt zu rügen. Gerade weil es bei <ref-law> um eine Ermessensfrage gehe, könne nicht von einem klaren Fall von Aussichtslosigkeit gesprochen werden.
4.3.2 Soweit die Beschwerdeführerin auf das Ermessen verweist, dass dem Gericht bei der Frage der Anwendbarkeit von <ref-law> zusteht, kann sie daraus für die Beurteilung der Aussichtslosigkeit ihres Gesuchs nichts ableiten. Vielmehr ist Gegenteiliges der Fall: Zwar kann mit der Beschwerde gemäss Art. 110 i.V.m. <ref-law> - wie bei der Berufung (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur ZPO, BBl 2006 7377 Ziff. 5.23.2 zu Art. 317 E-ZPO) - die unrichtige Rechtsanwendung geltend gemacht werden (<ref-law>). Handelt es sich aber wie vorliegend um einen Ermessensentscheid, dürfte sich die Rechtsmittelinstanz bei der Überprüfung eine gewisse Zurückhaltung auferlegen (JEANDIN, in: Code de procédure civile commenté, 2011, N. 5 zu <ref-law>; GASSER/RICKLI, Schweizerische Zivilprozessordnung - Kurzkommentar, 2010, N. 3 zu <ref-law>), was auch bei der Beurteilung der Aussichtslosigkeit der Beschwerdebegehren zu berücksichtigen ist (vgl. E. 2.3 oben).
Das Kantonsgericht hat im Übrigen ausführlich dargelegt, warum es die Beschwerde (und insbesondere die Rüge der Verletzung von <ref-law>) als aussichtslos erachtet. Mit diesen Erwägungen (vgl. E. 3.2 oben) setzt sich die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht nicht auseinander. Vielmehr begnügt sie sich mit allgemeinen Ausführungen, ohne aber auf die Begründung im angefochtenen Entscheid einzugehen (<ref-law>; vgl. E. 1.3 oben).
5. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Das Kantonsgericht wird der Beschwerdeführerin eine neue Frist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen haben (vgl. auch zur Veröffentlichung bestimmtes Urteil 5A_818/2011 vom 29. Februar 2012 E. 4.2).
Die Beschwerdeführerin wird kostenpflichtig (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, zeigen doch die vorstehenden Erwägungen auf, dass die Beschwerde von Beginn weg keinen Erfolg haben konnte (<ref-law>). Jedoch ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr ihrer finanziellen Lage Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Mai 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bettler