Sachverhalt:
A.
Mit Vertrag vom 20. März 2009 mietete die - mittlerweile in Liquidation befindliche - Stiftung A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) von der B._ AG (Vermieterin, Beschwerdegegnerin) das sogenannte Haus C._ in U._. Der Jahresmietzins betrug gemäss dem Vertrag für das erste Jahr Fr. 1'000'000.-- und ab dem zweiten Jahr Fr. 1'380'000.--.
B.
Am 12. Juni 2009 stellte die Mieterin bei der Schlichtungsbehörde für Mietverhältnisse des Bezirks Prättigau/Davos ein Begehren um Herabsetzung des Anfangsmietzinses im Sinne von <ref-law>. Die Parteien wurden zur Schlichtungsverhandlung auf den 16. Oktober 2009 eingeladen. Mit Entscheid von diesem Datum schrieb die Schlichtungsbehörde das Schlichtungsverfahren "aufgrund des Rückzugs des Begehrens durch Nichterscheinen der Gesuchstellerin zur Verhandlung" ab. Zur Begründung führte sie aus, der für die Mieterin allein zur Schlichtungsverhandlung erschienene D._ verfüge lediglich über die Vertretungsbefugnis durch Kollektivunterschrift zu zweien. Ein Gesuch um Dispens für die Verhandlung habe die Mieterin nicht gestellt. Der Schlichtungsbehörde sei auch keine Vollmacht vorgelegt worden. Die Mieterin gelte daher als unentschuldigt nicht erschienen und ihr Gesuch als zurückgezogen.
Mit Eingabe vom 13. November 2009 klagte die Mieterin beim Bezirksgericht Prättigau/Davos auf Herabsetzung des Jahresmietzinses auf Fr. 605'000.--, unter Vorbehalt einer weitergehenden Reduktion. Das Bezirksgericht trat - nach einem Zwischenverfahren wegen Eröffnung des Konkurses über die Mieterin - am 18. März 2010 auf die Klage nicht ein, im Wesentlichen mit der Begründung, der Abschreibungsentscheid der Mietschlichtungsbehörde sei unangefochten geblieben und in Rechtskraft erwachsen.
Die Mieterin focht diesen Entscheid des Bezirksgerichts beim Kantonsgericht von Graubünden an, welches die kantonale Beschwerde mit Urteil vom 22. September 2011 abwies, soweit es darauf eintrat. Hiergegen gelangte die Mieterin an das Bundesgericht, das seinerseits die Beschwerde in Zivilsachen abwies, soweit es darauf eintrat (Urteil 4A_653/2011 vom 16. April 2012).
C.
Mit Eingabe vom 15. Juni 2012 unterbreitete die Mieterin der Schlichtungsbehörde für Mietsachen des Bezirks Prättigau/Davos erneut ein Begehren um Herabsetzung des Anfangsmietzinses auf Fr. 605'000.--. Die Schlichtungsbehörde stellte am 31. August 2012 die Klagebewilligung aus, unter Feststellung, dass sich die Parteien nicht geeinigt hätten.
Die Mieterin erhob sodann am 3. Oktober 2012 beim Bezirksgericht Prättigau/Davos Klage, mit der sie die im Schlichtungsverfahren gestellten Rechtsbegehren wiederholte. Mit Entscheid vom 4. Juli 2013 trat das Bezirksgericht auf die Klage nicht ein, in der Erwägung, bei Einreichung des Schlichtungsgesuchs vom 15. Juni 2012 sei die Frist zur Anfechtung des Anfangsmietzinses gemäss <ref-law> abgelaufen gewesen. Auf die hiergegen erhobene Berufung der Mieterin trat das Kantonsgericht von Graubünden mit Entscheid vom 31. März 2014 nicht ein.
D.
Die Mieterin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Kantonsgerichts vom 31. März 2014 sei aufzuheben. Das Kantonsgericht sei "zu verpflichten, auf die Berufung vom 16. September 2013 der Beschwerdeführerin in der Sache einzutreten".
Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Kantonsgerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG. Sodann übersteigt der Streitwert die gemäss <ref-law> in mietrechtlichen Fällen geltende Grenze von Fr. 15'000.-- (vgl. <ref-ruling> E. 1.1).
Der von der Beschwerdeführerin dem Sinn nach gestellte Antrag um Rückweisung der Sache an das Kantonsgericht zu neuer Beurteilung ist unter den vorliegenden Umständen, die dem Bundesgericht im Falle der Gutheissung nicht erlauben würden, in der Sache selbst zu entscheiden, einzig angebracht und ausreichend (vgl. Art. 42 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> sowie <ref-ruling> E. 3.1).
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (siehe Erwägung 2) - grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Soweit sich der vorinstanzliche Entscheid auf kantonales Recht stützt, kommt als Beschwerdegrund die Verletzung von Bundesrecht in Frage (vgl. <ref-law>). Die Anwendung des kantonalen Rechts als solchen bildet nicht Beschwerdegrund. Überprüft werden kann insoweit nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung sonst wie gegen übergeordnetes Recht verstösst (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2, 467 E. 3.1).
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 3 S. 352).
3.
Das Kantonsgericht begründete das Nichteintreten auf die Berufung der Beschwerdeführerin damit, es fehle "an einer hinreichenden Berufungsbegründung als Prozessvoraussetzung". Die Berufung erschöpfe sich in einer unsubstanziierten "Rüge der Gehörsverletzung, rein appellatorischer Kritik und blossen Wiederholungen von bereits im erstinstanzlichen Verfahren Vorgetragenem". Sie sei somit offensichtlich unzulässig. Dabei liess es das Kantonsgericht indessen nicht bewenden. Vielmehr prüfte und verneinte es auch die Begründetheit der Berufung. Es erwog zusammengefasst, die 30-tägige Anfechtungsfrist (gemäss <ref-law>) sei (nach eigener Auffassung der Beschwerdeführerin) am 12. Juni 2009 abgelaufen. Der von der Beschwerdeführerin angerufene <ref-law> sei unter den vorliegenden Umständen nicht anwendbar und die Einreichung des zweiten Schlichtungsgesuchs vom 15. Juni 2012 damit verspätet erfolgt, wie das Bezirksgericht zutreffend erkannt habe. Damit erweise sich die Berufung als offensichtlich unbegründet, wenn auch das Bezirksgericht die Klage richtigerweise mittels Sachentscheid hätte abweisen müssen, statt nicht darauf einzutreten.
Die Beschwerdeführerin setzt sich zu Recht mit beiden Begründungen der Vorinstanz auseinander (vgl. <ref-ruling> E. 6.3).
So wendet sie sich gegen die Annahme der Vorinstanz, die Berufung sei ungenügend begründet. Sie hält es für widersprüchlich, dass die Vorinstanz ihr einerseits vorwerfe, aus der Berufung gehe nicht hervor, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzen oder eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung enthalten solle, andererseits aber offenbar in der Lage gewesen sei, zu entscheiden, dass die Berufung offensichtlich unbegründet wäre, wenn auf sie eingetreten werden könnte.
Ob sich die formelle Begründung des Kantonsgerichts vor <ref-law> halten lässt, nachdem im Berufungsverfahren - wenn auch knapp, dann doch immerhin erkennbar - im streitentscheidenden Punkt eine unzutreffende prozessuale Rechtsauffassung der Vorinstanz beanstandet wurde, braucht vorliegend indessen nicht beurteilt zu werden (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 375). Denn wie nachfolgend aufzuzeigen sein wird, ist die Beschwerde jedenfalls insoweit unbegründet, als sie sich gegen die eventuelle Abweisung der Berufung richtet.
4.
In der Sache rügt die Beschwerdeführerin die Verletzung von <ref-law>. Sie meint, sie habe ihr (zweites) Schlichtungsgesuch vom 15. Juni 2012 innert Monatsfrist seit dem Urteil des Bundesgerichts vom 16. April 2012 gestellt und damit die Frist im Sinne nach <ref-law> gewahrt.
4.1. Gemäss <ref-law> kann der Mieter den Anfangsmietzins innert 30 Tagen nach Übernahme der Sache bei der Schlichtungsbehörde als missbräuchlich im Sinne der Artikel 269 und 269a anfechten.
Wird eine Eingabe, die mangels Zuständigkeit zurückgezogen oder auf die nicht eingetreten wurde, innert eines Monates seit dem Rückzug oder dem Nichteintretensentscheid bei der zuständigen Schlichtungsbehörde oder beim zuständigen Gericht neu eingereicht, so gilt als Zeitpunkt der Rechtshängigkeit das Datum der ersten Einreichung (<ref-law>). Gleiches gilt, wenn eine Klage nicht im richtigen Verfahren eingereicht wurde (<ref-law>). Art. 34 Abs. 2 des mit Inkrafttreten der ZPO am 1. Januar 2011 aufgehobenen Bundesgesetzes über den Gerichtsstand in Zivilsachen vom 24. März 2000 (AS 2000 2355) lautete wie folgt: "Wird eine mangels örtlicher Zuständigkeit zurückgezogene oder zurückgewiesene Klage binnen 30 Tagen beim zuständigen Gericht neu angebracht, so gilt als Zeitpunkt der Klageanhebung das Datum der ersten Einreichung." Der ebenfalls aufgehobene aArt. 139 OR hielt fest: "Ist die Klage oder die Einrede wegen Unzuständigkeit des angesprochenen Richters oder wegen eines verbesserlichen Fehlers angebrachtermassen oder als vorzeitig zurückgewiesen worden, so beginnt, falls die Verjährungsfrist unterdessen abgelaufen ist, eine neue Frist von 60 Tagen zur Geltendmachung des Anspruches."
4.2. Die Beschwerdeführerin focht den Anfangsmietzins mit ihrer (ersten) Eingabe an die Schlichtungsbehörde vom 12. Juni 2009 an, womit sie die 30-tägige Frist nach Übernahme der Sache im Sinne von <ref-law> gewahrt haben will. Im kantonalen Gerichtsverfahren vertrat sie sodann die Auffassung, das Resultat der Schlichtungsverhandlung vom 16. Oktober 2009 sei als Nichtzustandekommen einer Einigung zu lesen, was ihr nach aArt. 274f Abs. 1 OR innert 30 Tagen den Rechtsweg an das Gericht eröffne. Diese Auffassung verwarf indessen das Kantonsgericht. Es nahm an, der Abschreibungsbeschluss der Schlichtungsbehörde vom 16. Oktober 2009 sei nicht nach den kantonalen Prozessbestimmungen innert 20 Tagen beim Kantonsgerichtsausschuss angefochten worden, und auch die Klage (an das Bezirksgericht) enthalte keine Anfechtung. Damit sei der Abschreibungsbeschluss in Rechtskraft erwachsen. Ohnehin hätte das Bezirksgericht gemäss dem Kantonsgericht aber nicht auf die Klage eintreten dürfen, weil ihm kein Schlichtungsprotokoll betreffend das Nichtzustandekommen der Einigung im Sinne eines Leitscheins vorgelegen habe. Das Bundesgericht hielt seinerseits im Urteil vom 16. April 2012 fest, am 16. Oktober 2009 habe in der Sache keine Schlichtungsverhandlung stattgefunden, weil diese vor ihrem eigentlichen Beginn aus formalen Gründen abgebrochen worden sei. Dass sich die Beschwerdeführerin danach darum bemüht hätte, die Durchführung einer Schlichtungsverhandlung zu erwirken, sei nicht festgestellt und werde nicht geltend gemacht. Somit habe die Vorinstanz im Ergebnis kein Bundesrecht verletzt, wenn sie dafürgehalten habe, das Bezirksgericht hätte bereits mangels einer durchgeführten Schlichtungsverhandlung ohnehin nicht auf die Klage eintreten dürfen.
4.3. Unter den damit gegebenen Umständen konnte sich die Beschwerdeführerin nicht auf <ref-law> respektive auf Art. 34 Abs. 2 GestG oder aArt. 139 OR berufen, wenn sie nach dem Urteil des Bundesgerichts vom 16. April 2012 erneut ein Schlichtungsverfahren einleitete und in der Folge die Klagebewilligung vom 31. August 2012 dem Bezirksgericht einreichte:
Nach der verbindlichen Feststellung der Vorinstanz (vgl. <ref-law>) hat die Beschwerdeführerin ihre Eingabe an die Schlichtungsbehörde vom 12. Juni 2009 weder mangels Zuständigkeit zurückgezogen, noch trat die Schlichtungsbehörde aus diesem Grund darauf nicht ein. Vielmehr schrieb die Schlichtungsbehörde mit Entscheid vom 16. Oktober 2009 das Schlichtungsverfahren wegen Klagerückzugs infolge nicht gültiger Vertretung der Beschwerdeführerin ab. Ohnehin leitete die Beschwerdeführerin aber nicht fristgerecht nach dem Abschreibungsbeschluss ein neues Schlichtungsverfahren ein. Den Entscheid der Schlichtungsbehörde focht sie nicht auf dem Rechtsmittelweg an, wie sie es gemäss dem Kantonsgericht unter dem kantonalen Verfahrensrecht hätte tun können, und auch ihre Klage beim Bezirksgericht enthielt keine Anfechtung. Zudem ist nicht festgestellt, dass sich die Beschwerdeführerin nach dem 16. Oktober 2009 darum bemüht hätte, die Durchführung der Schlichtungsverhandlung zu erwirken. Bei dieser Sachlage kann die Beschwerdeführerin nicht gestützt auf die genannten Bestimmungen verlangen, dass das Datum der ersten Einreichung des Schlichtungsbegehrens als Zeitpunkt der Rechtshängigkeit der vorliegenden Mietzinsanfechtungsklage gilt.
Selbst wenn aber unter dem Titel des falschen Verfahrens nach <ref-law> angenommen würde, die Beschwerdeführerin habe am 13. November 2009 direkt beim Bezirksgericht Klage erhoben, statt vorgängig das gesetzlich erforderliche Schlichtungsverfahren (gültig) zu durchlaufen, bestünde für eine Fristwahrung im Sinne von <ref-law> respektive aArt. 139 OR kein Raum. Denn zum Zeitpunkt der Eingabe an das Bezirksgericht war die Anfechtungsfrist nach <ref-law> bereits abgelaufen. Wie die Vorinstanz zutreffend bemerkte, ergibt sich insofern auch aus dem Urteil des Bundesgerichts vom 16. April 2012 nichts Abweichendes.
Nicht entscheiderheblich ist demnach, ob die Monatsfrist zur neuen Einreichung gemäss <ref-law> gegebenenfalls bereits während des Rechtsmittelverfahrens gegen den Entscheid des Bezirksgerichts vom 18. März 2010 zu laufen begonnen hätte, was die Vorinstanz jedenfalls für das Beschwerdeverfahren vor dem Bundesgericht annahm, die Beschwerdeführerin dagegen verneint.
4.4. Zusammengefasst ist festzuhalten, dass die Frist nach <ref-law> bereits abgelaufen war, als die Beschwerdeführerin am 15. Juni 2012 ein zweites Schlichtungsgesuch stellte. Dies hat die Vorinstanz zutreffend erkannt. Dass sie es beim erstinstanzlichen Nichteintretensentscheid bewenden liess, obschon sie der Auffassung war, die Klage hätte richtigerweise abgewiesen werden müssen, wird von der Beschwerdeführerin im bundesgerichtlichen Verfahren nicht beanstandet und entzieht sich der Überprüfung durch das Bundesgericht.
4.5. Nachdem somit die Eventualbegründung des angefochtenen Entscheids in der Sache trägt, kann die Rüge der Beschwerdeführerin, wonach die Vorinstanz auf die Berufung hätte eintreten müssen, da diese eine hinreichende Begründung enthalten habe, unbeurteilt bleiben. Denn es ist nicht erkennbar, inwiefern die Beschwerdeführerin ein Interesse an einer Abweisung ihrer Berufung hätte, zumal es für sie im Ergebnis beim erstinstanzlichen Nichteintretensentscheid bliebe (vgl. <ref-law>).
5.
Schliesslich leitet die Beschwerdeführerin aus ihren materiellen Ausführungen in der Beschwerde ab, ihre Berufung gegen den Entscheid des Bezirksgerichts vom 4. Juli 2013 sei von der Vorinstanz zu Unrecht in einzelrichterlicher Kompetenz beurteilt worden. Richtigerweise - so die Beschwerdeführerin - hätte in Dreierbesetzung entschieden werden müssen. Der Einzelrichter am Kantonsgericht dürfe nämlich gemäss dem kantonalen Gerichtsorganisationsrecht bloss über offensichtlich unzulässige oder offensichtlich begründete oder unbegründete Rechtsmittelentscheiden. Die dahingehende Qualifikation ihrer Berufung durch die Vorinstanz sei willkürlich. Überdies sieht die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang <ref-law> verletzt.
Auch dieser Rüge ist kein Erfolg beschieden: Die Organisation der Gerichte und der Schlichtungsbehörden ist Sache der Kantone, soweit das Gesetz nichts anderes bestimmt (<ref-law>). Gemäss Art. 18 Abs. 3 des Gerichtsorganisationsgesetzes des Kantons Graubünden vom 16. Juni 2010 entscheidet die oder der zuständige Vorsitzende in einzelrichterlicher Kompetenz, wenn ein Rechtsmittel offensichtlich unzulässig oder offensichtlich begründet oder unbegründet ist. Hinsichtlich der Anwendung kantonalen Rechts ist die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts beschränkt (Erwägung 2). Die Beschwerdeführerin verkennt die mit Bezug auf derartige Rügen geltenden Begründungsanforderungen, wenn sie die massgebliche kantonalrechtliche Bestimmung zitiert und deren Anwendung durch die Vorinstanz ohne weitere Erläuterung als willkürlich bezeichnet. Dass die Vorinstanz das kantonale Gerichtsorganisationsrecht in geradezu verfassungswidriger Weise missachtet hätte, wenn sie die Berufung für offensichtlich unzulässig sowie offensichtlich unbegründet befand und der Kompetenz des Einzelrichters zuwies, tut die Beschwerdeführerin nicht hinreichend dar. Eine willkürliche Anwendung der wiedergegebenen Bestimmung ist auch nicht erkennbar, zumal sich der angefochtene Entscheid auch in dieser Hinsicht auf eine Doppelbegründung stützte. Die von der Beschwerdeführerin geforderte Dreierbesetzung war jedenfalls von Bundesverfassung wegen nicht erforderlich.
6.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Mangels Einholung einer Beschwerdeantwort erwuchs der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren kein Aufwand, weshalb ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. September 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz