Sachverhalt:
A. Der 1952 geborene Z._ zog sich bei seiner Arbeit als Zimmermann-Polier Überlastungsschäden am rechten Arm sowie im Schulter-/Rücken-Bereich zu. Der zuständige Regionale Ärztliche Dienst der Invalidenversicherung (RAD) hielt in einem interdisziplinären Abklärungsbericht vom 4. September 2007 fest, der Versicherte könne seine bisherige Arbeit nicht mehr weiter ausüben; in leidensangepassten Tätigkeiten sei er aber weiterhin vollständig arbeitsfähig. Am 8. Mai 2008 sprach die IV-Stelle des Kantons Thurgau Z._ berufliche Massnahmen (Umschulung, Berufsberatung, Abklärung der beruflichen Eingliederungsmöglichkeiten) zu. Später beendete die Verwaltung die Eingliederungsbemühungen mit der Begründung, der Versicherte sei bei seinem bisherigen Arbeitgeber ideal eingegliedert; hier verrichte er jetzt körperlich weniger belastende Arbeiten mit einem Pensum von 50 Prozent. Es sei ihm zuzumuten, eine weitere 50 Prozent-Stelle anzunehmen (Vorbescheid vom 14. August 2009). Mit Verfügung vom 17. August 2009 lehnte die IV-Stelle den Antrag auf eine Invalidenrente unter Annahme eines Invaliditätsgrades von 19 Prozent ab.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies die dagegen eingereichte Beschwerde ab (Entscheid vom 24. März 2010).
C. Z._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es seien der angefochtene Entscheid und die strittige Verfügung aufzuheben und ihm die gesetzlichen Leistungen, insbesondere mit Wirkung ab April 2007 eine ganze Invalidenrente, zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling>).
1.2 Die Vorinstanz hat die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen und die dazu ergangene Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
1.3 Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau stellt zunächst fest, Gegenstand des Verfahrens sei allein die Rentenfrage, zumal die IV-Stelle über berufliche Massnahmen noch nicht abschliessend entschieden habe; jedenfalls liege keine auf den Vorbescheid vom 14. August 2009 folgende Verfügung vor. Sei die versicherte Person in der Lage, unabhängig von beruflichen Massnahmen ein rentenausschliessendes Invalideneinkommen zu erzielen, könne auch vor einem diesbezüglichen Entscheid über den Rentenanspruch verfügt werden. Mit Hinweis auf die prioritäre Selbsteingliederung erwog die Vorinstanz weiter, eine angepasste Tätigkeit sei dem Beschwerdeführer uneingeschränkt möglich. Auf den Untersuchungsbericht des RAD vom 4. September 2007 abstellend ging das kantonale Gericht davon aus, zumutbar seien Tätigkeiten mit "leichte[r] Wechselbelastung bis 10 kg in ergonomischen Körperpositionen unter Vermeidung von Überkopfarbeiten, Kälte-, Nässe- und Vibrationsexpositionen sowie Lärm und höheren Ansprüchen an das Sehvermögen". Diesen Anforderungen entsprächen "beispielsweise die in Industrie und Gewerbe an Bedeutung gewonnenen, körperlich weniger belastenden Bedienungs- und Überwachungsfunktionen, die auch ohne spezielle berufliche Ausbildung ausübbar" seien. Ein entsprechender Berufswechsel sei auch unter dem Aspekt, dass der Versicherte im Zeitpunkt der strittigen Verfügung 57-jährig gewesen sei, objektiv und subjektiv zumutbar. Eine Gegenüberstellung von Valideneinkommen (hypothetisches Einkommen ohne Gesundheitsschaden) und Invalideneinkommen (<ref-law>) ergebe keinen rentenbegründenden Invaliditätsgrad (vgl. <ref-law>).
2. 2.1 In der Beschwerdeschrift wird geltend gemacht, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie angenommen habe, die weiterhin offene Frage nach beruflichen Massnahmen im Hinblick auf einen Arbeitsplatzerhalt sei für die Invaliditätsbemessung nicht massgebend. Der Beschwerdeführer beanstandet weiter, dass das kantonale Gericht körperlich wenig belastende Bedienungs- und Überwachungsarbeiten in Industrie und Gewerbe als leidensangepasste Verweisungstätigkeiten anerkannte; derartige Arbeitsgelegenheiten hätten - entgegen der unbelegten vorinstanzlichen Äusserung - an Bedeutung verloren und seien überdies vom Anforderungsprofil her kaum mit den gesundheitlichen Beeinträchtigungen des Beschwerdeführers (chronisches Überlastungssyndrom der Halswirbelsäule, des Schultergürtels sowie der Lendenwirbelsäule, Durchblutungsstörung [Hypothenar-Hammersyndrom] der rechten Hand mit Sensibilitätsstörung sowie Kraftverminderung; vgl. dazu den RAD-Abklärungsbericht vom 4. September 2007) vereinbar. Im allgemeinen Arbeitsmarkt fänden sich keine Stellen, die dem ärztlich definierten Zumutbarkeitsprofil entsprächen. Bereits die körperlichen Einschränkungen stünden einer Hilfsarbeitertätigkeit und (wegen des eingeschränkten Sehvermögens) auch einer feinmechanischen Arbeit grundsätzlich entgegen. Erst recht gelte dies mit Blick auf das vorgerückte Alter des Beschwerdeführers. Ausserdem habe die Vorinstanz die aktenmässig ausgewiesenen gesundheitlichen Einschränkungen nur unvollständig erfasst.
2.2 Zunächst ist nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz den anspruchserheblichen Sachverhalt unvollständig festgestellt hätte. Insbesondere hat sie nicht dadurch einen Teil der Gesundheitsschädigungen übersehen, indem sie sich auf die Befunde und Schlussfolgerungen des RAD konzentriert hat. Die vom Versicherten zitierten aktenkundigen Befunde behandelnder Ärzte und deren funktionelle Folgen, namentlich die Bewegungseinschränkung im Schulter/Arm-Bereich ("Impingement Schulter rechts bei Bursitis subacromialis" resp. "Schulter-Armschmerzen beidseits rechtsbetont unklarer Genese") halten sich allesamt im Rahmen der oben zitierten Diagnosen im RAD-Abklärungsbericht vom 4. September 2007; es sind also keine weiteren, bisher unberücksichtigten Körperschäden ersichtlich, welche die Stellensuche zusätzlich erschweren könnten.
2.3 Der Beschwerdeführer bestreitet - mit Blick auf die Natur des Gesundheitsschadens sowie auf sein Alter - die Zumutbarkeit eines Berufswechsels sowie (gegebenenfalls) das Vorhandensein rechtserheblicher Aussichten, eine dem Leiden angepasste Arbeitsstelle zu finden.
Entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts steht ein Berufswechsel nicht im Vordergrund, da der Beschwerdeführer beim bisherigen Arbeitgeber im Rahmen eines halben Pensums Arbeiten zugeteilt erhält, bei welchen die etwa im Bericht des Allgemeinmediziners Dr. A._ vom 22. Januar 2007 angesprochene Gefahr der körperlichen Überforderung nicht mehr besteht; gemäss "Case Report"-Einträgen der Beschwerdegegnerin vom 25. November 2008 und vom 4. Februar 2009 hat der Versicherte im angestammten Betrieb die Möglichkeit, "leichtere Zimmermannvorbereitungs-, Aufsichts- und Organisationsarbeiten zu übernehmen". Ist im bisherigen Betrieb nicht genügend geeignete Arbeit vorhanden, um den Beschwerdeführer im Rahmen seines Leistungsvermögens auszulasten, so kann ihm, wie im Vorbescheid vom 14. August 2009 vorgesehen, zugemutet werden, eine weitere 50 Prozent-Stelle anzunehmen. Aus den Akten geht zwar hervor, dass sich der tatsächlich erbrachte Leistungsumfang von 50 Prozent auf ein hälftiges Rendement bei ganztägiger Anwesenheit bezieht ("Leistungslohn-Abklärung" vom 20. Juli 2009). Die erwähnten schonenden Verrichtungen sollten allerdings auch ohne wesentlichen zeitlichen Zusatzaufwand ausübbar sein, zumal die psychiatrische Teilabklärung durch den RAD vom 8. August 2007 keine Diagnose mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit zutage gefördert hat. Die Frage, ob der Erhalt einer zweiten gleichartigen Stelle realistisch sei, ist allerdings insofern unerheblich, als dem Beschwerdeführer ein geeignetes Angebot für eine Vollzeitstelle (Teamleiter im Bereich Balkenproduktion) unterbreitet worden ist ("Case Report"-Eintrag vom 12. Juni 2009).
Angesichts der bestehenden (Teil-)Beschäftigung stellt sich die Frage eines Berufswechsels stricto sensu nicht. Somit braucht auch nicht geprüft zu werden, wie es sich mit der in diesem Zusammenhang erhobenen Rüge verhält, die von der Beschwerdegegnerin beigezogenen SUVA-Akten seien unvollständig.
2.4 Zu prüfen bleibt die Rechtsfrage (vgl. Urteil 8C_776/2008 vom 18. Juni 2009 E. 5.2; oben E. 1.1), ob der Beschwerdeführer angesichts seines Alters von (im Zeitpunkt der strittigen Verfügung; <ref-ruling> E. 1.2 S. 4) 57 Jahren nach allgemeiner Lebenserfahrung in einem als ausgeglichen unterstellten Arbeitsmarkt (vgl. Art. 7 Abs. 1 und <ref-law>) noch als vermittelbar gelten kann, sei es für eine Zweitstelle oder eine vollständig neue Anstellung.
2.4.1 Das fortgeschrittene Alter wird, obgleich an sich invaliditätsfremder Faktor, in der Rechtsprechung als Kriterium anerkannt, welches zusammen mit weiteren persönlichen und beruflichen Gegebenheiten dazu führen kann, dass die einer versicherten Person verbliebene Resterwerbsfähigkeit auch in einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nicht mehr nachgefragt würde. Der Einfluss des Lebensalters auf die Möglichkeit, das verbliebene Leistungsvermögen zu verwerten, lässt sich nicht nach einer allgemeinen Regel bemessen, sondern hängt von den konkreten Umständen ab. Zu denken ist zunächst an die Art und Beschaffenheit des Gesundheitsschadens und seiner Folgen, angesichts der beschränkten verbleibenden Aktivitätsdauer sodann namentlich an den absehbaren Umstellungs- und Einarbeitungsaufwand und in diesem Zusammenhang auch an die Persönlichkeitsstruktur, an vorhandene Begabungen und Fertigkeiten, die Ausbildung, den beruflichen Werdegang oder an die Möglichkeit, Berufserfahrung anzuwenden (Urteile 9C_918/2008 vom 28. Mai 2009 E. 4.2.2 und I 831/05 vom 21. August 2006 E. 4.1.1, je mit Hinweisen).
2.4.2 Das Bundesgericht hat einen 60-jährigen Versicherten, welcher mehrheitlich als Wirker in der Textilindustrie tätig gewesen war, als zwar nicht leicht vermittelbar erachtet. Es sah aber mit Bezug auf den hypothetischen ausgeglichenen Arbeitsmarkt gleichwohl Betätigungsmöglichkeiten, da der Versicherte zwar sachlich eingeschränkt (weiterhin zumutbar waren leichte und mittelschwere Arbeiten im Gehen, Stehen und Sitzen in geschlossenen Räumen), aber immer noch im Rahmen eines Vollpensums arbeitsfähig war (Urteil I 376/05 vom 5. August 2005 E. 4.2). Unter anderem mit Blick auf eine Aktivitätsdauer von immerhin noch sieben Jahren war eine erwerbliche Umsetzung der Leistungsfähigkeit auch einem 58-jährigen, kaufmännisch ausgebildeten Versicherten möglich und zumutbar, der aufgrund hochgradiger Innenohrschwerhörigkeit auf einen besonderen Anforderungen genügenden Arbeitsplatz angewiesen war (Urteil I 819/04 vom 27. Mai 2005 E. 2.2). Als arbeitsmarkttauglich angesehen wurde auch die Restarbeitsfähigkeit eines 60-jährigen Versicherten mit einer unter anderem wegen rheumatologischer und kardialer Probleme um 30 Prozent eingeschränkten Leistungsfähigkeit (Urteil I 304/06 vom 22. Januar 2007 E. 4.2), gleichviel wie diejenige eines gleichaltrigen Versicherten, dem trotz verschiedener Rückenschäden ein vergleichsweise weites Spektrum zumutbarer Hilfstätigkeiten offenstand (erwähntes Urteil 9C_918/2008 E. 4.3).
Verneint hat das Bundesgericht demgegenüber die Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit eines über 61-jährigen Versicherten, der über keine Berufsausbildung verfügte, bezüglich der aus medizinischer Sicht im Umfang von 50 Prozent zumutbaren feinmotorischen Tätigkeiten keinerlei Vorkenntnisse besass, dessen Teilarbeitsfähigkeit weiteren krankheitsbedingten Einschränkungen unterlag und dem von den Fachleuten der Berufsberatung die für einen Berufswechsel erforderliche Anpassungsfähigkeit abgesprochen wurde (Urteil I 392/02 vom 23. Oktober 2003 E. 3). Als unverwertbar erachtet wurde auch die 50-prozentige, durch verschiedene Auflagen zusätzlich limitierte Arbeitsfähigkeit eines knapp 64-jährigen Versicherten mit multiplen, die Arbeitsfähigkeit einschränkenden Beschwerden (Urteil I 401/01 vom 4. April 2002 E. 4c und d). Ebenso fiel die Beurteilung aus bei einem 64 1/2-jährigen Magaziner, der einen Berufswechsel vollziehen müsste, um die noch zumutbaren leichten und wechselbelastenden Verweisungstätigkeiten ausüben zu können (Urteil 9C_979/2009 vom 10. Februar 2010 E. 4 und 5), sowie angesichts der 50-prozentigen Arbeitsfähigkeit einer im Verfügungszeitpunkt 61 Jahre alten Versicherten, die bezüglich der für sie in Frage kommenden Tätigkeiten einer Umschulung bedurft hätte (SVR 2009 IV Nr. 35 S. 97 E. 4.3, 9C_437/2008; vgl. auch die Kasuistik im erwähnten Urteil 9C_918/2008 E. 4.2.2).
2.5 Im Lichte der dargelegten Grundsätze und der relativ hohen Hürden für die Annahme einer unverwertbaren Restarbeitsfähigkeit älterer Menschen ist zum einen festzuhalten, dass die gesundheitlichen Beeinträchtigungen des im Verfügungszeitpunkt 57-jährigen Beschwerdeführers nicht derart beschaffen oder gehäuft auftretend sind, dass sich der Schluss gerechtfertigt hätte, eine Anstellung sei nicht mehr realistisch. Zum andern zeigt der Hergang der bisherigen Eingliederungsbemühungen, dass der Versicherte sein angestammtes Betätigungsfeld nicht zwingend verlassen muss; der Umstand, dass er bei einer leidensangepassten Tätigkeit weiterhin an eine langjährige Berufserfahrung anknüpfen kann, begünstigt seine Eingliederungsaussichten. Die Anstellungschancen im von Gesetzes wegen als ausgeglichen zu betrachtenden Arbeitsmarkt waren insgesamt noch intakt.
2.6 Der Schluss, trotz seines relativ fortgeschrittenen Alters sei der Beschwerdeführer in einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt vermittelbar, ist mithin nicht rechtsfehlerhaft. Da ferner keine Anhaltspunkte für eine anderweitig rechtswidrige Bemessung des - nicht rentenbegründenden - Invaliditätsgrades ins Auge springen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; <ref-ruling> E. 4a S. 53), besteht der angefochtene Entscheid zu Recht. Zu Weiterungen in dem vom Beschwerdeführer beantragten Sinne besteht kein Anlass.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Juli 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub