Sachverhalt:
A.
Am 18. Juni 2013 reichte A._ (Kläger; Beschwerdeführer) beim Kantonsgericht von Graubünden gegen die B._ AG (Beklagte; Beschwerdegegnerin) eine Klage wegen Urheberrechtsverletzung und unlauterem Wettbewerb ein.
Mit Verfügungen vom 20. Juni 2013 setzte der Vorsitzende der II. Zivilkammer des Kantonsgerichts dem Kläger Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses und der Beklagten zur Klageantwort.
In der Folge wurde das Verfahren mit Blick auf Vergleichsgespräche sistiert, womit sowohl die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses als auch zur Klageantwort entfiel. Am 7. Oktober 2013 teilte der Vertreter der Beklagten dem Gericht das Scheitern der Vergleichsverhandlungen mit.
Mit Verfügungen vom 9. Oktober 2013 hob der Vorsitzende der II. Zivilkammer die Verfahrenssistierung auf, forderte den Kläger zur Leistung eines Kostenvorschusses auf und setzte der Beklagten Frist von 30 Tagen zur Einreichung der schriftlichen Klageantwort.
Mit Verfügung vom 4. November 2013 wurde dem Kläger eine Nachfrist bis 11. November 2013 zur Bezahlung des Kostenvorschusses gesetzt. Der Kläger leistete den Kostenvorschuss auch innert der Nachfrist nicht. Die Beklagte reichte dem Gericht am 15. November 2013 den Entwurf der Klageantwort und eine Honorarnote ein.
Mit Entscheid vom 20. November 2013 trat das Kantonsgericht auf die Klage nicht ein. Es auferlegte dem Kläger die ordentlichen Kosten von Fr. 1'000.-- sowie eine Parteientschädigung von Fr. 6'587.30 für die Aufwendungen des beklagtischen Rechtsvertreters für den Entwurf der Klageantwort.
B.
Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, der Kostenentscheid des Beschlusses des Kantonsgerichts vom 20. November 2013 sei betreffend die Parteientschädigung vollumfänglich aufzuheben. Es sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer keine Parteientschädigung zu leisten habe. Eventualiter sei die Vorinstanz zu verpflichten, für die Parteientschädigung aufzukommen. Subeventualiter sei die Prozessentschädigung nach Ermessen des Gerichts herabzusetzen. Subsubeventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Die Vorinstanz entschied als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law>. Gegen solche Entscheide ist die Beschwerde an das Bundesgericht gemäss <ref-law> streitwertunabhängig gegeben. Damit erweist sich die vorliegende, einzig gegen den Kostenentscheid (Auferlegung einer Parteientschädigung) gerichtete Beschwerde ohne weiteres als zulässig. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer moniert, dass die Vorinstanz die Klage der Beschwerdegegnerin umgehend zur Antwort zugestellt hat, anstatt zu warten, bis der Kostenvorschuss eingegangen, mithin die Prozessvoraussetzung nach <ref-law> erfüllt sei. Durch diesen Verfahrensfehler habe sie unnötige Parteikosten verursacht, die sie nach <ref-law> selber zu tragen habe und nicht dem Beschwerdeführer hätte auferlegen dürfen. Verletzt seien der Art. 59 Abs. 2 lit. f sowie die Art. 98, 105, 108 und 222 ZPO.
Zudem habe die Vorinstanz mit ihrem Vorgehen die Dispositionsmaxime (<ref-law>) missachtet, da die Beschwerdegegnerin keinen Antrag auf Ausrichtung einer Parteientschädigung gestellt habe.
Schliesslich habe die Vorinstanz auch den Gehörsanspruch (<ref-law>) verletzt, indem sie dem Beschwerdeführer den Entwurf der Klageantwort und die Honorarnote, welche die Beschwerdegegnerin am 15. November 2013 dem Gericht eingereicht habe, nicht zur Kenntnisnahme zugestellt habe, damit er dazu hätte Stellung nehmen können.
3.
Die Parteien haben Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Dieser Anspruch ist auch grundrechtlich gewährleistet (<ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Er umfasst namentlich das Recht, von allen bei Gericht eingereichten Eingaben der Gegenpartei Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können, unabhängig davon, ob diese neue und/oder wesentliche Vorbringen enthalten. Nach der Praxis des Bundesgerichtes ist den Parteien daher von allen bei Gericht eingereichten Eingaben Kenntnis zu geben, und es ist ihnen ausreichend Gelegenheit einzuräumen, sich dazu zu äussern (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.3.2/2.3.3, 484 E. 2.1-2.4 S. 485 ff.; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197, je mit Hinweisen).
3.1. Vorliegend ist unbestritten, dass die Vorinstanz den von der Beschwerdegegnerin "zwecks Tätigkeitsnachweises" eingereichten Entwurf für eine Klageantwort sowie deren Honorarnote dem Beschwerdeführer nicht zur Kenntnis brachte, bevor sie den angefochtenen Entscheid fällte. Bei ihrem Entscheid, der Beschwerdegegnerin eine Prozessentschädigung von Fr. 6'587.30 zulasten des Beschwerdeführers zuzusprechen, stellte sie überdies massgeblich auf diese Eingaben ab. Dadurch verletzte sie den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers offensichtlich, schnitt sie ihm durch ihr Vorgehen doch die Möglichkeit ab, zu den Eingaben Stellung zu nehmen.
Was die Beschwerdegegnerin gegen die gerügte Gehörsverletzung vorbringt, ist haltlos. Entgegen ihrer Auffassung war die Vorinstanz nicht von der Pflicht entbunden, dem Beschwerdeführer die Eingaben der Beschwerdegegnerin zur Kenntnis zuzustellen, weil Kostenentscheide von Verfassungs wegen grundsätzlich nicht besonders begründet werden müssen (vgl. <ref-ruling> f.). Ebensowenig ist der Einwand nachvollziehbar, der Beschwerdeführer habe das Recht zur Stellungnahme verwirkt, indem er den Gerichtskostenvorschuss nicht bezahlt und damit zum Ausdruck gebracht habe, er sei nicht mehr daran interessiert, das eingeleitete Verfahren weiter zu verfolgen. Ein Interesse an der Stellungnahme zu den Kostenfolgen des Verfahrens besteht unabhängig von demjenigen auf Fortführung des Verfahrens.
3.2. Eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs kann ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Rechtsmittelinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie auch die Rechtslage frei überprüfen kann. Unter dieser Voraussetzung ist darüber hinaus - im Sinne einer Heilung des Mangels - selbst bei einer schwerwiegenden Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz abzusehen, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (vgl. zum Ganzen: BGE <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2.2.2 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 204 f.).
Im vorliegenden Fall verletzte die Vorinstanz den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers in schwerer Weise, indem sie bei ihrem Kostenentscheid auf die Eingaben der Beschwerdegegnerin abstellte, ohne dem Beschwerdeführer von diesen Kenntnis zu geben. Schon aus diesem Grund fällt eine Heilung des Verfahrensmangels durch das Bundesgericht ausser Betracht. Eine Rückweisung mit dem Zweck, dass sich der Beschwerdeführer zum Entwurf einer Beschwerdeantwort als Tätigkeitsnachweis in Verbindung mit der eingereichten Kostennote äussern kann, erscheint nicht als blosser formalistischer Leerlauf.
3.3. Die Beschwerde ist demnach wegen Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (vgl. zu dessen formeller Natur: BGE <ref-ruling> E. 2.2) gutzuheissen und das angefochtene Urteil in Dispositiv-Ziffer 2 aufzuheben, soweit darin der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu Lasten des Beschwerdeführers zugesprochen wurde.
4.
Aus prozessökonomischen Gründen rechtfertigt es sich dennoch, dass sich das Bundesgericht vorliegend zur Frage äussert, ob die Vorinstanz Bestimmungen der ZPO verletzte, indem sie der Beschwerdegegnerin die Klage bereits vor Bezahlung des Kostenvorschusses zur Beantwortung zustellte und ihr nach der Nichtleistung des Kostenvorschusses mit Nichteintretensfolge eine Parteientschädigung zu Lasten des Beschwerdeführers zusprach. Die Parteien konnten sich zu dieser Frage im bundesgerichtlichen Verfahren eingehend - auch unter Berücksichtigung der Eingaben der Beschwerdegegnerin vom 15. November 2013 - äussern und es stellen sich einzig Rechtsfragen, die das Bundesgericht im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen mit voller Kognition beurteilen kann (Art. 95 und Art. 106 Abs. 1 BGG).
4.1. Gemäss <ref-law> wird das ordentliche Verfahren mit Einreichung der schriftlichen Klage eingeleitet. Das Gericht kann von der klagenden Partei einen Vorschuss bis zur Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten verlangen (<ref-law>). Nach Eingang der Klage setzt das Gericht Frist zur Leistung des Vorschusses (und allenfalls der Sicherheit) (<ref-law>). Wird der Vorschuss auch nicht innert einer Nachfrist geleistet, so tritt das Gericht auf die Klage nicht ein (<ref-law>). Die fristgerechte Leistung des Kostenvorschusses bildet eine Prozessvoraussetzung (<ref-law>), die von Amtes wegen zu prüfen ist (<ref-law>).
Das Gericht stellt die Klage der beklagten Partei zu und setzt ihr gleichzeitig eine Frist zur schriftlichen Klageantwort (<ref-law>). Verschiedene Autoren vertreten die Auffassung, dass dies erst nach dem fristgerechten Eingang des Kostenvorschusses erfolgen soll. Da bei nicht rechtzeitiger Leistung des Kostenvorschusses auf die Klage nicht eingetreten wird, soll das Gericht nach dieser Auffassung die Klage der beklagten Partei erst dann zur Antwort zustellen bzw. dieser Frist zur schriftlichen Klageantwort ansetzen, wenn der Kostenvorschuss fristgerecht geleistet wurde. Begründet wird dies damit, dass der beklagten Partei unnötige Parteikosten erwachsen könnten, wenn sie bereits eine Klageantwort ausarbeiten würde, dann aber wegen Nichtleistung des Kostenvorschusses auf die Klage nicht eingetreten würde (Leuenberger, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 1 zu <ref-law>; Killias, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 3 zu <ref-law>; Willisegger, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 25 zu <ref-law>; Rüegg, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 1 zu <ref-law>; Hofmann/Lüscher, Le Code de procédure civile, 2009, S. 138 und 143; Leuenberger/Uffer-Tobler, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2010, S. 318 Rz. 11.75; s. auch Tappy, in: Code de procédure civile commenté, Bohnet und andere [Hrsg.], 2011, N. 5 zu <ref-law>).
4.2. Das Gesetz präzisiert allerdings nicht, in welchem Zeitpunkt die Klage der Gegenpartei zugestellt und ihr Frist zu deren Beantwortung angesetzt werden soll. Nach <ref-law> leitet das Gericht den Prozess und erlässt die notwendigen prozessleitenden Verfügungen zur zügigen Vorbereitung und Durchführung des Verfahrens. Die Art der Verfahrensleitung liegt weitgehend im Ermessen des Gerichts, aber es wird immerhin gesetzlich vorgeschrieben, dass sie "zügig" (franz. "rapide", ital. "speditamente") zu erfolgen hat (vgl. Frei, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 5 zu <ref-law>; Gschwend/Bornatico, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 3 zu <ref-law>; Staehelin, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 9 zu <ref-law>).
Zur Verfahrensleitung gehört die Erhebung des Kostenvorschusses. Die Bestimmung von <ref-law>, die ausdrücklich als Kann-Vorschrift konzipiert ist, schreibt die Vorschusspflicht nicht zwingend vor, sondern legt sie ins pflichtgemässe Ermessen des Gerichts, wobei die Erhebung des vollen Vorschusses die Regel und die Verfügung eines geringeren oder gar keines Kostenvorschusses die Ausnahme ist (Rüegg, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>; Suter/von Holzen, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 10 zu <ref-law>; Schmid, in: ZPO, Oberhammer [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 8 zu <ref-law>; Urwyler, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner und andere [Hrsg.], 2011, N. 8 zu <ref-law>; Kuster, in: Schweizerische Zivilprozessordnung, Baker & Mc Kenzie [Hrsg.], 2010, N. 6 zu <ref-law>). Das Gericht kann beispielsweise zur Verfahrensbeschleunigung im Einzelfall auf eine Vorschusserhebung verzichten. Wird dagegen ein Vorschuss erhoben, besteht keine bundesrechtliche Verpflichtung des Gerichts, mit der Fortsetzung des Verfahrens bzw. der Zustellung der Klage zur fristgebundenen Beantwortung bis nach Eingang des Kostenvorschusses zuzuwarten, sondern steht es im Ermessen des Gerichts zur Verfahrensbeschleunigung Frist zur Klageantwort anzusetzen, wobei es auch berücksichtigen darf, dass Fälle der Nichtbezahlung von Kostenvorschüssen - jedenfalls bei anwaltlich vertretenen Parteien - relativ rar sind (Tappy, a.a.O., N. 30 zu <ref-law>; derselbe, in SZZP 2014, S. 121 ff., 123) :
4.2.1. Eine bundesrechtliche Verpflichtung zum Zuwarten kann zunächst weder aus einer "logischen zeitlichen Abfolge" (s. Tappy, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>) noch aus einer Verpflichtung des Gerichts hergeleitet werden, dem Kläger unnötige Kosten zu ersparen. Das Gericht ist nicht verpflichtet, darüber zu wachen, dass der Partei Kosten erspart werden, die sich wegen ihres eigenen Verhaltens in der Folge als unnütz erweisen könnten. Wer eine Klage einreicht, leitet damit ein gerichtliches Verfahren ein. Er muss wissen, dass er daraufhin in der Regel einen Kostenvorschuss leisten und allenfalls die Gegenpartei für deren Aufwendungen entschädigen muss. Dass mit der Ansetzung der Antwortfrist in der Regel - und damit eben nicht ausnahmslos - bis zur Leistung des Kostenvorschusses zugewartet wird, gehört zu der - dem Fall angemessenen - Verfahrensleitung, in die nicht ohne Not eingegriffen werden soll.
Wird eine Antwortfrist angesetzt und ist sich der Kläger nicht darüber im Klaren, ob er den Kostenvorschuss leisten kann bzw. will, ist es an ihm, beim Gericht zu intervenieren und um Abnahme der Frist zu ersuchen. Der Beschwerdeführer behauptet vorliegend zu Recht nicht, er sei über die Fristansetzung zur Klageantwort nicht informiert gewesen, ergibt sich doch aus den Beschwerdebeilagen, dass dies der Fall war, indem er vom Gericht mit einer Kopie der Fristansetzung bedient wurde. Wenn er keine Abnahme der Frist beantragte, hat er sich dies selber zuzuschreiben und kann er sich nicht darüber beklagen, die gerichtliche Verfahrensleitung hätte seine finanziellen Interessen nicht gewahrt. Noch viel weniger ist es Sache der beklagten Partei, zur Wahrung der Vermögensinteressen des Klägers gegen die Fristansetzung zur Antwort zu intervenieren, um keinen Aufwand betreiben zu müssen, der später allenfalls vom Kläger zu tragen sein könnte.
4.2.2. Die Zustellung der Klage bewirkt, dass deren Rückzug ohne Zustimmung der Gegenpartei grundsätzlich nicht mehr ohne materielle Rechtskraftwirkung möglich ist, mithin zum Verlust des eingeklagten Anspruchs führt (sog. Fortführungslast; <ref-law>; Sutter-Somm/ Hediger, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 13 f. zu <ref-law>; Berti, in: ZPO, Oberhammer [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 1 zu <ref-law>; Naegeli/Richers, in: ZPO, Oberhammer [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 1 zu <ref-law>). Auch aus dieser Fortführungslast kann keine Verpflichtung des Gerichts abgeleitet werden, mit der Zustellung der Klage und der gleichzeitigen Fristansetzung zur Antwort gemäss <ref-law> zuzuwarten, sondern den Klageeingang dem Beklagten bloss im Sinne von <ref-law> anzuzeigen:
Wird der Gerichtskostenvorschuss nicht bzw. nicht fristgerecht geleistet, tritt das Gericht auf die Klage nicht ein (<ref-law>). Dieser Nichteintretensentscheid führt nicht zum Verlust des eingeklagten Anspruchs ( Zürcher, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 29 zu <ref-law>; Suter/von Holzen, a.a.O., N. 15 zu <ref-law>; Schmid, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>; Zingg, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 3 zu <ref-law>; Tappy, a.a.O., N. 33 zu <ref-law>; vgl. auch Sutter-Somm/Hediger, a.a.O., N. 15 zu <ref-law>). Angesichts des Umstands, dass es - wenn von Fällen der Bedürftigkeit abgesehen wird - im Belieben des Klägers steht, den verfügten Kostenvorschuss zu leisten oder nicht, könnte es sich immerhin fragen, ob die Nichtbezahlung des Kostenvorschusses als Klagerückzug zu behandeln ist. Stellt das Gericht die Klage allerdings von sich aus vorab zur Antwort zu - und nur in diesem Fall stellt sich die Frage überhaupt - rechtfertigt sich indessen eine Behandlung der Nichtleistung des Kostenvorschusses als Rückzug mit materieller Rechtskraftwirkung nicht.
4.2.3. Ein Verbot, das Verfahren fortzuführen, bevor der Kostenvorschuss geleistet ist, kann auch nicht aus <ref-law> abgeleitet werden, der bestimmt, dass das Gericht vorsorgliche Massnahmen schon vor der Leistung der Sicherheit anordnen kann, woraus sich e contrario ergibt, dass das Verfahren im Übrigen bis zur Leistung der Sicherheit zu ruhen hat (s. dazu Tappy, a.a.O., N. 26 zu <ref-law>). Denn die Bestimmung bezieht sich - jedenfalls insoweit - ausdrücklich nur auf die Sicherheitsleistung für Parteikosten (s. im Übrigen: Tappy, a.a.O., N. 29 zu <ref-law>; Urwyler, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>).
4.2.4. Dass der geforderte Vorschuss und die Sicherheit für die Prozesskosten geleistet worden sind, ist eine Prozessvoraussetzung (<ref-law>). Ob die Prozessvoraussetzungen erfüllt sind, prüft das Gericht von Amtes wegen (<ref-law>). Sie müssen - von gewissen Ausnahmen abgesehen - im Zeitpunkt der Fällung des Sachurteils gegeben sein (Zürcher, a.a.O., N. 10 f. zu <ref-law>; Gehri, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 9 zu <ref-law>; Bohnet, in: Code de procédure civile commenté, Bohnet und andere [Hrsg.], 2011, N. 13 zu <ref-law>). Steht endgültig fest, dass es an einer Prozessvoraussetzung fehlt, darf nicht zur Sache verhandelt werden und ergeht ein Nichteintretensentscheid (vgl. Gehri, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>). Auch wenn daher die Prüfung hinsichtlich jeder Prozessvoraussetzung sobald als möglich und vor der materiellen Behandlung der Klage erfolgen soll (Gehri, a.a.O., N. 4 ff. zu <ref-law>; Zingg, a.a.O., N. 33 zu <ref-law>; Zürcher, a.a.O., N. 13 zu Art. 60), besteht von wenigen Ausnahmen abgesehen (s. Zürcher, a.a.O., N. 13 f. zu <ref-law>) keine gesetzliche Regelung, wann sie stattzufinden hat (Bohnet, a.a.O., N. 2 f. zu <ref-law>; Zürcher, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>). Es besteht damit auch keine zeitliche oder verfahrensmässige Vorgabe in <ref-law>, aus der abgeleitet werden könnte, das Verfahren dürfe nicht fortgesetzt werden, bis sämtliche in diesem Stadium bzw. nach einem Zuwarten abklärbaren Prozessvoraussetzungen vorliegen. Angesichts der Möglichkeit, einen Mangel zu verbessern, wäre eine solche Regel auch nicht praktikabel.
4.3. Nach dem Dargelegten besteht keine ausdrückliche Vorschrift, den Prozess bis zur Leistung des Vorschusses für die Gerichtskosten nicht weiterzuführen, und eine entsprechende Pflicht ergibt sich auch nicht aus den vom Beschwerdeführer angerufenen oder vorstehend berücksichtigten Bestimmungen der ZPO. Ein Zuwarten sollte zwar die Regel sein, aber das Vorgehen bildet Teil der Verfahrensleitung, die weitgehend - und auch in dieser Frage - ins Ermessen des Gerichts gestellt ist. Dass die Vorinstanz ihr Ermessen mit Bezug auf den vorliegenden Fall rechtsfehlerhaft ausgeübt hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist nicht ersichtlich. Der Vorinstanz ist in diesem Zusammenhang kein Verfahrensfehler und keine Bundesrechtsverletzung vorzuwerfen. Der Beschwerdeführer wurde mit einer Kopie der Fristansetzung zur Klageantwort bedient. Es wäre in der Folge an ihm gewesen, zu intervenieren, wenn er sich nicht darüber im Klaren war, ob er den Kostenvorschuss leisten konnte bzw. wollte. Wenn unnötige Kosten entstanden sind, hat er sich dies selber zuzuschreiben. Es besteht damit auch kein Grund für eine "angemessene Herabsetzung" der zugesprochenen Parteientschädigung.
4.4. Offensichtlich unbegründet ist schliesslich der Vorwurf des Beschwerdeführers an die Vorinstanz, mit der Zusprechung einer Parteientschädigung die Dispositionsmaxime (<ref-law>) verletzt zu haben (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.3). Die Vorinstanz sah in der Einreichung des Entwurfs zu einer Klageantwort als Tätigkeitsnachweis und einer Honorarnote zu Recht einen zumindest impliziten (und sogar bezifferten) Antrag auf Zusprechung einer Parteientschädigung. Auch eine Verletzung der Vorschrift von <ref-law>, in der kein bezifferter Antrag verlangt und nur festgehalten wird, dass die Partei eine Kostennote einreichen kann, fällt damit von vornherein ausser Betracht.
Geradezu kühn ist die Behauptung, es sei nie ein prozessual korrekter Antrag auf Parteientschädigung gestellt worden, da die Vorinstanz am 12. November 2013, einen Tag nach Ablauf der Nachfrist zur Bezahlung des Gerichtskostenvorschusses, den Nichteintretensentscheid hätte fällen können und bis zu diesem Datum kein Antrag auf eine Parteientschädigung gestellt worden sei. Es ist verfehlt, wenn der Beschwerdeführer der Vorinstanz in diesem Zusammenhang vorwirft, die Beschwerdegegnerin über die Nichtbezahlung des Kostenvorschusses informiert zu haben, so dass diese am 15. November 2013 einen Entwurf der Klageantwort einreichen konnte. Nachdem eine Frist zur Klageantwort angesetzt wurde, war bzw. wäre es (nach den Vorbringen der Beschwerdegegnerin erkundigte sie sich selber beim Gericht über den Eingang der Kostenvorschusszahlung) zur Wahrung des Gehörsanspruchs durchaus angebracht gewesen, dass die Vorinstanz der Beschwerdegegnerin Gelegenheit eingeräumt hätte, sich zu den Kostenfolgen des Prozesses zu äussern, bevor sie einen verfahrenserledigenden Entscheid fällte.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde wegen Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehörs gutzuheissen und der angefochtene Entscheid in Ziffer 2 des Dispositivs aufzuheben, soweit darin der Beschwerdegegnerin zu Lasten des Beschwerdeführers eine Parteientschädigung zugesprochen wurde. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, die dem Beschwerdeführer Gelegenheit einzuräumen hat, zu den Eingaben der Beschwerdegegnerin vom 15. November 2013 Stellung zu nehmen. Nachfolgend wird sie erneut über die Parteientschädigung zu entscheiden haben.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die unterliegende Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids des Kantonsgerichts von Graubünden vom 20. November 2013 soweit aufgehoben, als der Beschwerdeführer darin verpflichtet wurde, die Beschwerdegegnerin für das Klageverfahren ausseramtlich mit Fr. 6'587.30 (inkl. MWST) zu entschädigen.
Die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Mai 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer