Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ (Beklagte, Beschwerdeführer) waren Verwaltungsräte der D.D._ AG - heute D._ in Nachlassliquidation - (im Folgenden "D._"), deren Zweck die Entwicklung, Produktion und der Verkauf von Produkten der mechanischen und elektronischen Industrie, insbesondere Präzisionswaagen, sowie der Handel mit solchen Produkten bildete.
Die E.E._ Ldt. - neu E._ AG - (im Folgenden "E._") bezweckt die Entwicklung im Bereich Mikroelektronik, Chip-Design etc., die Entwicklung und das Design von Software, Produktearchitekur, Projektmanagement von Entwicklungsprojekten bis zur Serienreife, das Halten und Vermarkten von Lizenzen und Patenten, der Erwerb von Liegenschaften und Wertschriften sowie die Abwicklung von Treuhandgesellschaften; sie kann sich an anderen Firmen beteiligen.
Die F._ SA (im Folgenden "F._") bezweckt den Erwerb und die Verwaltung von industriellen Beteiligungen.
Die Beklagten sind die einzigen Verwaltungsräte der F._. Sie sind wirtschaftlich - direkt oder indirekt - zu 100 % an dieser Gesellschaft berechtigt. Die Beklagten waren zudem Verwaltungsräte der E._ und - direkt oder indirekt über weitere Gesellschaften - Mehrheitsaktionäre sowohl der D._ als auch der E._.
A.b. Am 5. November 2007 genehmigte der Präsident III des Amtsgerichts Luzern-Stadt den Nachlassvertrag mit Vermögensabtretung der D._. Die Bank C._ AG (Kägerin, Beschwerdegegnerin) war Hauptgläubigerin und wurde mit einer Forderung im Betrag von Fr. 22'318'673.40 in der dritten Klasse zugelassen. Sie liess sich die Rechtsansprüche der Masse gemäss <ref-law> im Nachlass der D._ abtreten.
B.
B.a. Am 12. Juni 2012 gelangte die Klägerin an das Handelsgericht des Kantons Zürich und stellte die Rechtsbegehren, die Beklagten seien zu verurteilen, ihr unter solidarischer Haftbarkeit Fr. 4'344'153.07 als Teilschadensbetrag nebst Zins zu 5 % seit 5. November 2007 zu bezahlen, unter Vorbehalt des Nachklagerechts. In der Replik erhöhte sie ihre Forderung auf Fr. 5'317'843.17.
Sie machte gestützt auf <ref-law> Verantwortlichkeitsansprüche gegen die ehemaligen Verwaltungsräte der D._ geltend. Zur Begründung brachte sie vor, die Beklagten hätten unter Verletzung ihrer Treuepflicht in den Jahren 2002 bis 2006 dafür gesorgt, dass die D._ ohne Gegenleistung sämtliche Aufwendungen der E._ für das von dieser verfolgte Entwicklungsprojekt "E1._" im Betrag von Fr. 4'344'153.07 bezahlt habe. Ausserdem hätten sie Zahlungen der D._ an die F._ zu verantworten, welche diese in den Jahren 2000 bis 2004 als "Management-Fees" ohne Gegenleistung geleistet habe.
B.b. Das Handelsgericht des Kantons Zürich hiess die Klage mit Urteil vom 20. Oktober 2014 teilweise gut und verurteilte die Beklagten, der Klägerin unter solidarischer Haftbarkeit Fr. 3'908'537.31 zuzüglich Zins von 5 % seit dem 5. November 2007 zu bezahlen. Im Mehrbetrag wurde die Klage abgewiesen.
Das Gericht kam zum Schluss, die Beklagten hätten ihre organschaftlichen Pflichten verletzt, indem sie veranlassten, dass die D._ ohne Gegenleistung einerseits Kosten bezahlte, die der E._ entstanden waren, und andererseits der F._ sog. Management-Fees bezahlte. Die Höhe der Kosten, welche von der E._ in den Jahren 2002 bis 2006 zu bezahlen gewesen wären und die unter der Verantwortung der Beklagten von der D._ übernommen wurden, bemass das Gericht mit Fr. 3'036'308.91. Zusammen mit den Management-Fees, welche die D._ der F._ in den Jahren 2000 bis 2004 überwies, verringerte sich das Vermögen der D._ nach den Feststellungen im angefochtenen Entscheid um Fr. 4'009'999.01. Das Handelsgericht bejahte auch Kausalität und Verschulden, brachte jedoch eine verrechnete Forderung von Fr. 101'461.70 in Abzug, so dass der Klägerin Fr. 3'908'537.31 zuzusprechen waren.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragen die Beklagten dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 20. Oktober 2014 aufzuheben und die Klage sei abzuweisen, eventualiter sei die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Antwort, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Die Beschwerdeführer haben unaufgefordert eine Replik eingereicht.
D.
Mit Verfügung vom 18. Februar 2015 wurde das Gesuch der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gutgeheissen. Die Beschwerdegegnerin hat mit Eingabe vom 23. Februar 2015 um Wiedererwägung ersucht. Die Beschwerdeführer haben sich dazu unaufgefordert geäussert.
E. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Wiedererwägungsgesuch gegenstandslos.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Handelsgerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) in einer Zivilsache (<ref-law>). Gegen Entscheide der als einzige kantonale Instanzen im Sinne von <ref-law> urteilenden Handelsgerichte (<ref-law>) ist die Beschwerde an das Bundesgericht statthaft. Das Erreichen eines Streitwerts bildet keine Zulässigkeitsvoraussetzung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerde ist innert der Frist gemäss <ref-law> von den mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Parteien (<ref-law>) eingereicht worden. Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt, weshalb - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (<ref-law> und <ref-law>) - auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
Die Beschwerdeführer rügen zunächst eine Verletzung von <ref-law>; sie behaupten, die Vorinstanz habe nicht sämtliche Haftungsvoraussetzungen geprüft.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen). Die Beschwerde ist dabei hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten.
Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen, und der blosse Verweis auf Ausführungen in andern Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 400). Die gleichen Begründungsanforderungen gelten auch für die Beschwerdeantwort (<ref-ruling> E. 2 mit Verweisen).
2.2. Die Beschwerdeführer bringen zutreffend vor, dass ihre Haftung nach <ref-law> eine schuldhafte Pflichtverletzung, einen Schaden und einen adäquaten Kausalzusammenhang zwischen Pflichtverletzung und Schaden voraussetzt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 349). Sie stellen zu Recht nicht grundsätzlich in Frage, dass ihre Verantwortlichkeit gegeben ist, wenn sie zu Lasten der nunmehr konkursiten bzw. im Nachlass mit Vermögensabtretung befindlichen Gesellschaft ohne Gegenleistung Zahlungen ausgerichtet haben für Leistungen, die anderen Konzerngesellschaften zugute gekommen sind. Sie vertreten jedoch die Ansicht, die Vorinstanz hätte bei jeder Transaktion noch gesondert prüfen müssen, ob sie ihre Pflichten verletzt hatten. Es ist nicht ersichtlich, was sie damit vorbringen wollen: Soweit Aufwendungen (ausschliesslich) zu Lasten der D._ verbucht wurden, die - mindestens auch - zugunsten der E._ erfolgten, haben die Beschwerdeführer ihre Pflichten verletzt, wenn sie diese Aufwendungen nicht mindestens entsprechend dem konkreten Interesse daran auf die Gesellschaften aufteilten. Denn die Pflicht zur korrekten Buchführung - deren Verletzung die Verantwortlichkeit des Verwaltungsrates begründet (vgl. <ref-ruling> E. 7.2 S. 457) - umfasst stets auch das Gebot der Vollständigkeit und Klarheit, so dass die Vermögenslage der Gesellschaft möglichst zuverlässig beurteilt werden kann (Art. 662 und 662a aOR; vgl. dazu MEIER-HAYOZ/FORSTMOSER, Schweizerisches Gesellschaftsrecht, 11. Aufl. 2012, S. 223, PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4. Aufl. 2009, S. 895). Soweit die Beschwerdeführer die E._ nicht entsprechend ihrem Interesse mit den umstrittenen Aufwendungen belasteten, ist die Vorinstanz jedenfalls zu Recht davon ausgegangen, dass sie mit der Verbuchung der entsprechenden Aufwendungen zu Lasten der D._ ihre Pflichten verletzt haben. <ref-law> ist nicht verletzt.
3.
Die Beschwerdeführer rügen sodann, die Vorinstanz habe die Beweise willkürlich gewürdigt.
3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
3.2. Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts und damit die Beweiswürdigung nur gerügt werden, wenn die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann. Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich (<ref-law>), wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 mit Verweisen). Wird eine Ergänzung des Sachverhalts verlangt, ist zudem mit Aktenhinweisen zu belegen, dass entsprechende Anträge schon vor der Vorinstanz gestellt worden sind (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 196).
3.3. Die Beschwerdeführer beanstanden zunächst einzelne Grundsätze, nach denen die Vorinstanz die Beweise gewürdigt hat. Entgegen ihrer Ansicht durfte die Vorinstanz indessen in sachlich vertretbarer Weise annehmen, dass nachgewiesene Fehlverbuchungen zu Lasten der D._ grundsätzlich in vollem Umfang als Schaden zu betrachten sind; denn es wäre den Beschwerdeführern oblegen, eine korrekte Verbuchung und allfällige Aufteilung der Aufwendungen nach den beteiligten Interessen im massgebenden Zeitpunkt vorzunehmen. Aus der Fehlverbuchung zu Lasten der - schliesslich überschuldeten - D._ darf ohne Willkür geschlossen werden, dass diese keine konkrete Gegenleistung erhielt. Soweit die Beschwerdeführer beanstanden, dass die Vorinstanz die Abnahme von Beweisen als unerheblich abgelehnt hat, anerkennen sie selbst, dass die antizipierte Würdigung der von ihnen beantragten Zeugeneinvernahme zulässig gewesen sei, und behaupten, sie hätten Editionsanträge gestellt, die ebenfalls abgewiesen worden seien. Abgesehen davon, dass sie dafür keine Aktenhinweise anführen und auch nicht darlegen, inwiefern die Unterlagen erheblich sein sollten, hat die Vorinstanz an der angegebenen Stelle (S. 48 E. 4.5.3.1 a/cc) primär Editionsbegehren der Beschwerdegegnerin abgewiesen. Dass schliesslich im Grundsatz willkürlich sein könnte, vertraglich von der E._ zu zahlende Leistungen auch dieser zuzurechnen, ist weder dargetan noch verständlich. Schliesslich vermag auch die appellatorische Kritik der Beschwerdeführer an der Schadensberechnung in Bezug auf die der F._ ausgerichteten Management-Fees keine im Grundsatz nicht vertretbare Beweiswürdigung der Vorinstanz auszuweisen.
3.4. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil für jedes Jahr - 2002 bis 2006 - die einzelnen von der Beschwerdegegnerin beanstandeten Transaktionen untersucht und je für die einzelnen, von der D._ ausgerichteten Zahlungen geprüft, ob sie tatsächlich von dieser zu bezahlen waren oder ob sie eigentlich der E._ zu belasten gewesen wären. Die Beschwerdeführer bringen zutreffend vor, dass die Vorinstanz wesentlich darauf abstellte, welche der beiden Gesellschaften - D._ oder E._ - vertraglich zu den entsprechenden Zahlungen verpflichtet war und dass sie eine Schädigung der D._ annahm, soweit Zahlungen zu Lasten der D._ ausgeführt wurden, zu denen die E._ gegenüber Dritten verpflichtet war. Dies betrifft neben direkten Projektkosten (vgl. z.B. S. 51, 67 ff.) insbesondere auch die Löhne von drei Angestellten der E._ (S. 53). Andererseits berücksichtigte die Vorinstanz auch, dass die E._ bereits vor dem Abschluss des Lizenz- und Zusammenarbeitsvertrags zwischen D._ und E._ vom 16. Mai 2002 an einer Messe in San Diego das E1._-Projet vertrat, das die D._ (mit Einschluss des Messeauftritts) finanzierte (S. 49/50). Inwiefern willkürlich sein sollte anzunehmen, die D._ habe auf Veranlassung der Beschwerdeführer zu Unrecht Zahlungen ausgeführt, wenn die E._ dazu vertraglich gegenüber Dritten verpflichtet war, ist weder dargetan noch ersichtlich. Insbesondere ist vertretbar und damit nicht willkürlich, für die nachgewiesenen Fehlverbuchungen den Umstand grundsätzlich unberücksichtigt zu lassen, dass die Aufwendungen auch im Interesse der D._ erfolgt sein könnten. Denn es wäre den Beschwerdeführern oblegen, rechtzeitig eine Ausscheidung vorzunehmen; soweit sie dies nach dem Scheitern des Projekts bzw. der Zahlungsunfähigkeit der D._ - welcher die Unkosten dafür belastet wurden - überhaupt noch nachholen könnten, wären jedenfalls überzeugende Kriterien für entsprechende Teilbelastungen der D._ zu verlangen. Dass die Vorinstanz die blosse Behauptung - und sei sie als solche beweisbar - nicht genügen liess, entsprechende zu Unrecht von der D._ bezahlte Leistungen seien auch in deren Interesse gelegen, verletzt <ref-law> nicht.
3.5. Soweit die Beschwerdeführer im Übrigen die einzelnen Zahlungen aus ihrer Sicht abweichend würdigen, erschöpfen sich ihre Vorbringen weitgehend in appellatorischer Kritik, die nicht zu hören ist. Dies gilt namentlich auch insoweit, als sie behaupten, die umstrittenen Zahlungen der D._ seien ausschliesslich in deren Interesse erfolgt bzw. hätten in deren Interesse erfolgt sein können. Den Anforderungen an die Rüge willkürlicher Beweiswürdigung (oben E. 3.2) genügt nicht etwa vorzubringen, die Beschwerdeführer hätten Beweise für ihre Behauptung beantragt, dass möglicherweise (Reise-) Spesen der Angestellten der E._ oder von diesen generierte Rechnungen, Rechnungen für Patentanwaltskosten oder für Diverses ausschliesslich im Interesse des E1._-Projekts im Waagenbereich gelegen haben könnten. Da nach eigener Darstellung der Beschwerdeführer das E1._-Projekt der Grundentwicklung diente, die nicht nur den Waagenbereich erfassen kann, konnte die Vorinstanz schon die entsprechende Behauptung willkürfrei als nicht hinreichend konkret qualifizieren. Dies gilt entsprechend z.B. für die Behauptung, die Vorinstanz habe Zahlungen für Rechnungen mit Liefer- und Rechnungsadresse E._ nicht ohne weiteres dieser zurechnen dürfen. Die Beschwerdeführer vermögen mit ihren Ausführungen keine Willkür auszuweisen.
3.6. Die Argumentation der Beschwerdeführer beruht auf der unzutreffenden Auffassung, die Vorinstanz hätte aufgrund ihrer blossen Behauptung, wonach die zu Unrecht der D._ belasteten Zahlungen auch - oder möglicherweise ausschliesslich - in deren Interesse erfolgt seien, Beweise erheben und allenfalls eine Ausscheidung der Kosten vornehmen müssen; sie verkennen damit, dass sie selbst als Organe sowohl der D._ wie der E._ diese Ausscheidung im Zeitpunkt hätten vornehmen müssen, als die Kosten für das Projekt E1._ anfielen, von dem sie behaupten, es sei (für den Waage-Bereich) auch im Interesse der D._ finanziert worden. Die Vorinstanz hat weder <ref-law> verletzt noch die Beweise willkürlich gewürdigt, wenn sie die Zahlungen, welche die D._ zu Unrecht für die E._ ausführte, vollumfänglich als Schaden aufrechnete. Dass die Vorinstanz dabei auf die vertraglichen Verhältnisse und die Adressierung von Lieferung und Rechnung abstellte, ist offensichtlich nicht willkürlich. Die Vorinstanz hat eingehend und sorgfältig jede Position darauf hin untersucht, ob sie eigentlich die E._ hätte bezahlen müssen - sie hat, wie die Beschwerdeführer selbst darstellen, einzelne Positionen denn auch der D._ und nicht der E._ zugeordnet. Die Kritik der Beschwerdeführer vermag weder Willkür aufzuzeigen noch auf eine Bundesrechtsverletzung hinzuweisen.
3.7. Soweit die Beschwerdeführer schliesslich beanstanden, dass die Vorinstanz die Management-Fees als ungerechtfertigt bzw. ohne Gegenleistung erbracht qualifizierte, welche die D._ der F._ pauschal im Umfang von 1.3 % des jährlich erzielten Umsatzes bezahlte, ist ihrer Rüge wiederum nicht zu entnehmen, inwiefern die Würdigung der Vorinstanz schlechterdings nicht vertretbar sein sollte. Diese konnte ohne Willkür berücksichtigen, dass nicht nachvollziehbar ist, wie die F._ mit ihren geringen Mitteln für die D._ Dienstleistungen in Höhe der bezahlten Management-Fees zwischen rund Fr. 180'000.-- und rund Fr. 220'000.-- pro Jahr hätte erbringen können, zumal sie noch andere Beteiligungen hielt; daran ändert auch ein allfälliger Einsatz der Beschwerdeführer selbst nichts, zumal diese nach der Feststellung im angefochtenen Urteil aus Arbeitsvertrag Lohn bezogen.
4.
Die Vorinstanz hat in sorgfältiger und eingehender Würdigung der vorhandenen Belege willkürfrei geschlossen, dass die heute überschuldete D._ auf Veranlassung der Beschwerdeführer Rechnungen bezahlt hat, welche die - ebenfalls von den Beschwerdeführern beherrschte - E._ hätte bezahlen müssen, und dass sie der F._ ohne Gegenleistung sog. Management-Fees ausgerichtet hat. Die Vorinstanz hat damit in Würdigung der Beweise die umstrittene Tatsache als erwiesen angesehen, womit die Beweislastverteilung nach <ref-law> gegenstandslos wird (<ref-ruling> E. 2b/22 S. 277).
5.
Die Vorinstanz hat bundesrechtskonform geschlossen, dass der D._ im festgestellten Umfang ein Schaden entstanden ist, für den die Beschwerdeführer gemäss <ref-law> haften. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Die - nach dem Streitwert zu bemessenden - Gerichtskosten sind bei diesem Verfahrensausgang den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Diese haben ausserdem der Beschwerdegegnerin deren Parteikosten für das bundesgerichtliche Verfahren - praxisgemäss pauschal - zu ersetzen (Art. 68 Abs. 2 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 20'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt (unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen).
3.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 23'000.-- zu entschädigen (unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen).
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni