Sachverhalt:
A. Die einfache Gesellschaft F._ (bestehend aus G._ und H._) reichte am 2. Dezember 2009 ein Baugesuch für die Erstellung eines Mehrfamilienhauses mit Autoeinstellhalle auf der Parzelle Nr. 2'199 in der 2-geschossigen Wohnzone W2B in Engelberg ein.
Gegen dieses Bauvorhaben gingen verschiedene Einsprachen ein. Mit Beschlüssen vom 31. März 2010 wies der Einwohnergemeinderat Engelberg die Einsprachen ab und erteilte der Gesuchstellerin die Baubewilligung unter Auflagen.
Am 12. Mai 2010 reichten die Einsprecher A._, B._, C._, die einfache Gesellschaft D._ (bestehend aus X. und Y.D._), E._ sowie eine weitere Person Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Obwalden ein mit den Anträgen auf Aufhebung der Beschlüsse des Einwohnergemeinderats Engelberg vom 31. März 2010 und auf Verweigerung der Baubewilligung. Der Regierungsrat führte am 13. September 2010 einen Augenschein durch. Mit Beschluss vom 25. Januar 2011 wies er die Beschwerde ab.
Diesen Beschluss fochten A._, B._, C._, die einfache Gesellschaft D._ und E._ mit Beschwerde vom 4. März 2011 beim Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden an. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 4. Juli 2012 ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 5. September 2012 beantragen A._, B._, C._, die einfache Gesellschaft D._ und E._, der Entscheid des Verwaltungsgerichts und die Beschlüsse des Einwohnergemeinderats Engelberg seien aufzuheben, und die Baubewilligung sei zu verweigern. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 4. Oktober 2012 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.
Die Einwohnergemeinde Engelberg, der Regierungsrat, das Verwaltungsgericht und die Beschwerdegegnerin beantragen in ihren Vernehmlassungen die Beschwerdeabweisung. Die Eingaben wurden den Beschwerdeführern zugestellt. Diese haben innert Frist nicht repliziert.

Erwägungen:
1. 1.1 Dem angefochtenen Entscheid liegt ein Beschwerdeverfahren über eine baurechtliche Bewilligung zugrunde. Nach Art. 34 Abs. 1 RPG (SR 700) gelten für die Rechtsmittel an die Bundesbehörden die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 lit. a BGG steht auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält keinen Ausschlussgrund (Art. 83 BGG). Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, welcher das Verfahren abschliesst (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, sind als Eigentümer benachbarter Liegenschaften durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2 Unzulässig ist der Antrag der Beschwerdeführer, auch die Beschlüsse des Einwohnergemeinderats Engelberg vom 31. März 2010 aufzuheben. Diese sind durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gelten als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
1.3 Die Beschwerdeführer reichen als neues Beweismittel eine E-Mail des Leiters Bauamt und Liegenschaftsunterhalt der Einwohnergemeinde Engelberg vom 13. Dezember 2011 ein, woraus hervorgehe, dass nachträgliche Geländekorrekturen bis 0,8 m Höhe bewilligungsfrei vorgenommen werden könnten.
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (Art. 99 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226 mit Hinweis). Neue rechtliche Vorbringen sind im Rahmen des Streitgegenstands grundsätzlich zulässig. Dies gilt jedoch nicht für neue rechtliche Vorbringen, welche neue tatsächliche Behauptungen voraussetzen, die im vorinstanzlichen Verfahren nicht erhoben worden sind (vgl. ULRICH MEYER/JOHANNA DORMANN, Basler Kommentar BGG, 2. Aufl. 2011, N. 27 zu Art. 99 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 8b S. 32).
Die Beschwerdeführer machen geltend, die Voraussetzungen von Art. 99 Abs. 1 BGG seien erfüllt, und das neue Beweismittel sei zuzulassen. Sie zeigen jedoch nicht auf und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern erst der angefochtene Entscheid vom 4. Juli 2012 Anlass gegeben hat, die E-Mail vom 13. Dezember 2011 einzureichen. Das Beweismittel erweist sich damit als unzulässig.
2. Streitgegenstand bildet die korrekte Messung der Höhe der Südfassade des geplanten Mehrfamilienhauses. Das Messergebnis ist entscheidend für die Qualifikation des untersten, teilweise sichtbaren Geschosses als Untergeschoss oder als anrechenbares Vollgeschoss.
2.1 Auszugehen ist von der folgenden, nicht umstrittenen Ausgangslage:
Nach Art. 45 Abs. 7 des Baugesetzes des Kantons Obwalden vom 12. Juni 1994 (BauG/OW; GDB 710.1) gilt ein Geschoss als Untergeschoss, wenn es zu mehr als der Hälfte seiner Aussenflächen unter dem gewachsenen oder tiefer gelegten neuen Terrain liegt. Beim untersten Geschoss befinden sich drei der vier Aussenfassaden beinahe vollständig unter dem Terrain. Selbst wenn angenommen würde, die gesamte Südfassade liege über dem Terrain, verbliebe somit mehr als die Hälfte der Aussenflächen des Geschosses unter dem Terrain. Das strittige Geschoss gilt deshalb als Untergeschoss im Sinne von Art. 45 Abs. 7 BauG/OW.
Gemäss Art. 52 Abs. 1 des Baureglements der Einwohnergemeinde Engelberg vom 6. Juli 2004 (BauR/Engelberg) dürfen Untergeschosse auf keiner Fassadenseite, gemessen bis zur Oberkante Rohdecke, um mehr als 1,2 m über den gewachsenen Boden oder das zum Ausgleich natürlicher Geländeunebenheiten geringfügig aufgeschüttete Terrain herausragen. In Hanglagen genügt, dass das Mass in der Mitte der Fassade eingehalten ist, wenn die über 1,2 m in Erscheinung tretenden Teile des Untergeschosses durch Terrainaufschüttungen abgedeckt werden.
Das geplante Gebäude befindet sich in einer Hanglage, weshalb Art. 52 Abs. 1 Satz 2 BauR/Engelberg Anwendung findet. Auf der Südseite ist ein dem Gebäude vorgelagerter, rund 1 m hoher, künstlich geschaffener Erdwall vorgesehen. Ist - wie die Einwohnergemeinde Engelberg unter Berufung auf ihre langjährige Praxis geltend macht - die über dem aufgeschütteten Terrain liegende Höhe der Südfassade von der Oberkante des Erdwalls aus zu messen, so ist die kommunale Vorschrift eingehalten, da die Fassadenhöhe 1,2 m beträgt. Ist hingegen - wie die Beschwerdeführer argumentieren - der Messpunkt direkt an der Fassade anzusetzen, ist die Limite von 1,2 m deutlich überschritten, da die Terrainaufschüttung der Fassade vorgelagert ist. Im ersten Fall ist das Geschoss als Untergeschoss im Sinne von Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg zu qualifizieren. Im zweiten Fall gilt es als anrechenbares Vollgeschoss mit der Konsequenz, dass mit dem Bauprojekt die zulässige Geschosszahl überschritten würde und die Baubewilligung so nicht hätte erteilt werden dürfen.
Umstritten ist mithin der Messpunkt für die Bestimmung der Fassadenhöhe.
2.2 Die Vorinstanz hat erwogen, in Art. 45 Abs. 7 BauG/OW und Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg würden unterschiedliche Messweisen angewendet, um ein Geschoss als Unter- oder Vollgeschoss zu qualifizieren. Das kantonale Baugesetz bestimme die Einordnung durch den Anteil der unter dem Terrain liegenden Fassadenfläche. Dass diese Fläche direkt an der Fassade, und nicht dieser vorgelagert, gemessen werden müsse, ergebe sich daher von selbst. Das kommunale Baureglement hingegen treffe die Einordnung nicht anhand der Fassadenfläche, sondern anhand der Fassadenhöhe. Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg schreibe den Messpunkt nicht ausdrücklich vor, und da Art. 45 Abs. 7 BauG/OW auf einer anderen Messmethode basiere, werde auch hierdurch der Messpunkt für die Bestimmung der Fassadenhöhe nicht festgelegt. Den Gemeindebehörden stehe es daher offen, den Messpunkt durch Auslegung zu bestimmen, solange sie sich nicht in Widerspruch zu kantonalen Vorschriften setzten.
Mit Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg werde bezweckt, dass Untergeschosse optisch auf keiner Fassadenseite wie Vollgeschosse in Erscheinung treten würden. Ob der Erdwall direkt an der Fassade oder nach der Praxis der Einwohnergemeinde Engelberg maximal 3 m vorgelagert aufgeschüttet werde, habe auf das Erscheinungsbild des Gebäudes nur einen geringen Einfluss, da in beiden Fällen in Hanglagen die Sicht auf die Fassade teilweise eingeschränkt werde. Ausgehend hiervon sei die Praxis des Einwohnergemeinderats Engelberg, die Messung der Fassadenhöhe von der Oberkante der vorgelagerten Terrainaufschüttung aus vorzunehmen, vertretbar. Verstösse gegen Art. 45 Abs. 7 BauG/OW und Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg lägen nicht vor, wobei es zu begrüssen wäre, wenn die Einwohnergemeinde Engelberg im Hinblick auf die Transparenz ihrer Baurechtspraxis und deren Verständlichkeit ihr Baureglement entsprechend präzisieren würde.
2.3 Die Beschwerdeführer rügen eine willkürliche Auslegung und Anwendung kantonalen und kommunalen Rechts.
Sie bringen vor, das kantonale Baurecht räume den Gemeinden nur die Befugnis ein, eine strengere Messmethode - Fassadenhöhe statt Fassadenfläche - zu wählen. Der Messpunkt hingegen werde durch Art. 45 Abs. 7 BauG/OW verbindlich vorgegeben, indem bestimmt werde, dass die Messung an der Fassade erfolgen müsse. Den Gemeinden komme kein Spielraum zu, den Messpunkt abweichend hiervon festzulegen. Die Auffassung der Vorinstanz, wonach es zulässig sei, Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg so auszulegen, dass die Messung von der vorgelagerten Terrainaufschüttung aus vorzunehmen sei, sei nicht haltbar. Diese Auslegung führe zu einer Milderung von Art. 45 Abs. 7 BauG/OW, was gegen Art. 17 Abs. 3 BauG/OW verstosse.
2.4 Das Bundesgericht überprüft die Auslegung und Anwendung kantonalen und kommunalen Rechts nur auf Willkür hin. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 1.2 S. 177; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f.; je mit Hinweisen).
2.5 Die von der Vorinstanz getroffene Unterscheidung zwischen Messungen der Fassadenfläche und Messungen der Fassadenhöhe ist nicht zu beanstanden, zumal auch die Beschwerdeführer von unterschiedlichen Messmethoden ausgehen, wenn sie vorbringen, auf die Fassadenhöhe statt auf die Fassadenfläche abzustellen, bedeute, eine strengere Messmethode zu wählen. Liegen aber verschiedene Messmethoden vor, ist die Auffassung der Vorinstanz, das kantonale Recht lege den Punkt für die Bemessung der Fassadenhöhe nicht fest, vertretbar. Da der Messpunkt (auch) in Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg nicht explizit geregelt wird, was keine Verletzung des Legalitätsprinzips darstellt, weil nicht sämtliche Einzelheiten zwingend normiert werden müssen, ist dieser Punkt durch Auslegung zu ermitteln. Dass es insoweit naheliegender erscheinen mag, in Analogie zu Art. 45 Abs. 7 BauG/OW (auch) die Fassadenhöhe an der Fassade zu messen, bedeutet nicht, dass die Messung von der Oberkante der Terrainaufschüttung aus willkürlich wäre. Die Auslegung, wonach mit Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg bezweckt werde, dass Untergeschosse optisch auf keiner Fassadenseite wie Vollgeschosse in Erscheinung treten, erscheint plausibel. Nicht unhaltbar ist auch der Schluss der Vorinstanz, an einer Hanglage könne dieses Ziel mit einer vorgelagerten Terrainaufschüttung erreicht werden. Ferner ist die Möglichkeit, Terrainaufschüttungen vorzunehmen, in Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg ausdrücklich vorgesehen. Vor diesem Hintergrund ist es sachlich vertretbar, den Messpunkt bei der Oberkante der Terrainaufschüttung anzusetzen.
Die Beschwerdeführer können auch aus ihrem Hinweis auf Art. 17 Abs. 3 BauG/OW nichts zu ihren Gunsten ableiten. Nach dieser Vorschrift dürfen die materiellen Bestimmungen des kantonalen Baurechts, wie vorliegend Art. 45 Abs. 7 BauG/OW, durch kommunale Baureglemente nicht gemildert werden. Mit dem geplanten Geschoss werden die Vorgaben von Art. 45 Abs. 7 BauG/OW, wie dargelegt, eingehalten, da drei der vier Aussenfassaden beinahe vollständig unter dem Terrain liegen. In Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg werden über die Bestimmung von Art. 45 Abs. 7 BauG/OW hinausgehende Anforderungen normiert, welche Geschosse zu erfüllen haben, um auch auf dem Gemeindegebiet von Engelberg als Untergeschosse zu gelten. So ist durch Art. 45 Abs. 7 BauG/OW nicht gewährleistet, dass ein Untergeschoss nicht auf einer oder allenfalls sogar zwei Fassadenseiten optisch wie ein Vollgeschoss in Erscheinung tritt. Dies soll durch Art. 52 Abs. 1 BauR/Engelberg verhindert werden, indem vorgeschrieben wird, dass Untergeschosse auf keiner Fassadenseite um mehr als 1,2 m über den gewachsenen Boden oder die Terrainaufschüttung herausragen dürfen. Von einer Milderung des kantonalen Rechts, wie die Beschwerdeführer behaupten, kann damit zusammenfassend nicht gesprochen werden.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind den unterliegenden Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin unter solidarischer Haftbarkeit zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 BGG). Die kommunalen und kantonalen Behörden haben keinen Anspruch auf eine Entschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit mit insgesamt Fr. 500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Einwohnergemeinderat Engelberg, dem Regierungsrat des Kantons Obwalden und dem Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. März 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Stohner