Faits:
Faits:
A. A._, née en 1958, a déposé une demande tendant à l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité. Elle alléguait souffrir de dépression et d'anxiété.
Par décision du 12 mars 2001, l'Office AI pour le canton de Vaud (ci-après : l'office AI) a nié le droit de l'assurée à des prestations, motif pris que celle-ci ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante, entraînant une diminution de sa capacité de travail.
Par décision du 12 mars 2001, l'Office AI pour le canton de Vaud (ci-après : l'office AI) a nié le droit de l'assurée à des prestations, motif pris que celle-ci ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante, entraînant une diminution de sa capacité de travail.
B. Saisi d'un recours de l'assurée qui concluait à l'octroi de prestations, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a confié une expertise au docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 7 juillet 2003, ce médecin a diagnostiqué une personnalité émotionnellement labile, type borderline (F 60.31), un syndrome de dépendance à l'alcool, « actuellement abstinente » (F 10.20) et un trouble anxieux et dépressif mixte (F 41.2). Il a attesté que A._ souffre d'un trouble de la personnalité qui peut être assimilé à une maladie psychique et qui la rend incapable de supporter les contraintes d'un emploi, étant donné les exigences actuelles du monde économique. L'expert a fait état d'une capacité résiduelle de travail de 20 % à 25 %, voire 30 %, dans son activité habituelle de secrétaire et il a indiqué que cette limitation de rendement était apparue en 1994.
Se fondant sur cette expertise, la juridiction cantonale a admis le recours et annulé la décision attaquée, la cause étant renvoyée à l'office AI pour qu'il calcule la rente due à l'assurée et fixe le moment de la naissance de ce droit (jugement du 5 novembre 2003).
Se fondant sur cette expertise, la juridiction cantonale a admis le recours et annulé la décision attaquée, la cause étant renvoyée à l'office AI pour qu'il calcule la rente due à l'assurée et fixe le moment de la naissance de ce droit (jugement du 5 novembre 2003).
C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle mette en oeuvre une nouvelle expertise.
L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de dépens. En outre, elle requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire et la désignation d'un avocat d'office.
L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) propose l'admission du recours.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-invalidité. Cependant, le cas d'espèce reste régi par les dispositions de la LAI en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (<ref-ruling> consid. 1). En outre, le Tribunal fédéral des assurances apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (<ref-ruling> consid. 1b).
Pour les mêmes motifs, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852) ne sont pas non plus applicables.
Pour les mêmes motifs, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852) ne sont pas non plus applicables.
2. Le litige porte sur le droit de l'intimée à des prestations de l'assurance-invalidité, en particulier une rente.
Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales applicables au présent cas. Il suffit donc d'y renvoyer.
Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales applicables au présent cas. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. 3.1 Se fondant sur les conclusions de l'expertise judiciaire effectuée par le docteur C._, la juridiction cantonale a considéré que l'intimée souffrait d'un grave trouble de la personnalité assimilable à une maladie psychique, qui entraînait une incapacité de travail de 70 % au moins. En conséquence, elle a admis le droit de l'intéressée à une rente entière. Considérant toutefois que le dossier n'était pas suffisamment instruit pour permettre de fixer le début du droit à cette prestation, les juges cantonaux sont d'avis que ce droit a pris naissance au mois de février 1999 au plus tard, et ils ont renvoyé le dossier à l'office AI pour qu'il fixe ce point plus précisément.
3.2 De son côté, l'office recourant conteste la valeur probante de l'expertise judiciaire du docteur C._, auquel il reproche un manque d'objectivité, dans la mesure où l'expert aurait déprécié dans une remarque finale l'instruction effectuée par l'office AI. Par ailleurs, celui-ci fait valoir que les conclusions du docteur C._ reposent essentiellement sur des éléments subjectifs et que leur justification procède uniquement des déclarations de l'assurée, sans motivation objective.
3.2 De son côté, l'office recourant conteste la valeur probante de l'expertise judiciaire du docteur C._, auquel il reproche un manque d'objectivité, dans la mesure où l'expert aurait déprécié dans une remarque finale l'instruction effectuée par l'office AI. Par ailleurs, celui-ci fait valoir que les conclusions du docteur C._ reposent essentiellement sur des éléments subjectifs et que leur justification procède uniquement des déclarations de l'assurée, sans motivation objective.
3.2 De son côté, l'office recourant conteste la valeur probante de l'expertise judiciaire du docteur C._, auquel il reproche un manque d'objectivité, dans la mesure où l'expert aurait déprécié dans une remarque finale l'instruction effectuée par l'office AI. Par ailleurs, celui-ci fait valoir que les conclusions du docteur C._ reposent essentiellement sur des éléments subjectifs et que leur justification procède uniquement des déclarations de l'assurée, sans motivation objective.
4.1 En principe, le juge ne s'écarte pas sans motifs impératifs des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Selon la jurisprudence, peut constituer une raison de s'écarter d'une expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (<ref-ruling> consid. 3b/aa et les références). En ce qui concerne, par ailleurs, la valeur probante d'un rapport médical, ce qui est déterminant c'est que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées. Au demeurant, l'élément déterminant pour la valeur probante n'est ni l'origine du moyen de preuve ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bel et bien son contenu (<ref-ruling> consid. 3a, 122 V 160 consid. 1c et les références).
4.2 L'expert médical appelé à se prononcer sur le caractère invalidant de troubles psychiques doit poser un diagnostic relevant d'une classification reconnue et se déterminer sur le degré de gravité de l'affection. Dans l'éventualité où des troubles psychiques ayant valeur de maladie sont finalement admis, il y a alors lieu d'évaluer le caractère exigible de la reprise d'une activité lucrative par l'assuré, au besoin moyennant un traitement thérapeutique. A cet effet, il faut examiner quelle est l'activité que l'on peut raisonnablement exiger de lui. Pour admettre l'existence d'une incapacité de gain causée par une atteinte à la santé mentale, il n'est donc pas décisif que l'assuré exerce une activité lucrative insuffisante; il faut bien plutôt se demander s'il y a lieu d'admettre que la mise à profit de sa capacité de travail ne peut, pratiquement, plus être raisonnablement exigée de lui, ou qu'elle serait même insupportable pour la société (<ref-ruling>; VSI 2001 p. 224 consid. 2b et les références; cf. aussi <ref-ruling> consid. 4c in fine). Ces principes sont valables, selon la jurisprudence, pour les psychopathies, les altérations du développement psychique (psychische Fehlentwicklungen), l'alcoolisme, la pharmacomanie, la toxicomanie et pour les névroses (RCC 1992 p. 182 consid. 2a et les références).
4.3 En l'espèce, le docteur C._ fonde ses conclusions sur deux entretiens avec l'assurée, un entretien téléphonique avec la doctoresse G._, spécialiste en médecine interne et médecin traitant de l'intéressée, ainsi que sur le dossier. Sur ces bases, il diagnostique une personnalité émotionnellement labile, type Borderline (F 60.31), un syndrome de dépendance à l'alcool, « actuellement abstinente » (F 10.20) et un trouble anxieux et dépressif mixte (F 41.2). Au sujet de la capacité de travail, il relève que toute situation nouvelle est source d'angoisse pour la recourante. Selon l'expert, « il est vraisemblable que cette expertisée, si elle devait reprendre une activité professionnelle, présenterait très rapidement une décompensation sur un mode anxieux et dépressif avec une symptomatologie anxieuse massive, des troubles de l'attention et de la concentration et de la mémoire, et une humeur triste ». Le docteur C._ en déduit que l'assurée subit une incapacité de travail depuis 1994 et qu'elle est toujours incapable d'exercer une activité dans le monde économique en raison de sa très faible capacité à surmonter ses angoisses et à résister aux tensions qu'induit tout travail par ses exigences de rendement et de qualité. En dépit de ce constat, l'expert atteste, sans explication, une capacité résiduelle de travail de 20 % à 30 % dans une activité de secrétaire et réserve une évaluation en milieu spécialisé pour déterminer de manière précise la capacité résiduelle de travail. En ce qui concerne l'alcoolisme, il relève que A._ ne consomme plus d'alcool de manière abusive et qu'il n'existe pas de séquelles notables de cette période d'alcoolisme sur les plans somatique, psychique ou cognitif.
4.4 L'avis de l'expert n'emporte pas la conviction. Tout d'abord, il considère que les conséquences négatives d'une reprise du travail par l'intimée sont seulement vraisemblables, ce qui ne suffit pas à établir un fait dans un procès en matière d'assurances sociales (<ref-ruling> consid. 5b, 125 V 195 consid. 2 et les références). En outre, en ce qui concerne la capacité résiduelle de travail, l'expert n'indique pas les éléments sur lesquels il se fonde pour la fixer entre 20 % et 30 %. Or, si l'on admet les conséquences que l'expert attache à la reprise de l'activité professionnelle par l'intimée, on devrait conclure à l'existence d'une incapacité entière de travail. En outre, sur ce point, l'expert ne paraît pas sûr de son estimation puisqu'il propose une évaluation en milieu spécialisé. Enfin, il n'a pas examiné la possibilité d'un traitement thérapeutique et/ou d'une activité en milieu protégé ainsi que leurs conséquences éventuelles sur la capacité de gain de l'intimée. Les mêmes manques apparaissent en ce qui concerne l'évaluation des activités ménagères.
Ces considérations mettent en cause la valeur probante de l'expertise dans son ensemble. Il n'est dès lors pas possible de demander un complément d'expertise au docteur C._, ce d'autant plus que sa remarque finale peut être interprétée comme un préjugé négatif à l'égard de l'office recourant.
Cela étant, il y a lieu d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause au tribunal cantonal pour qu'il ordonne une nouvelle expertise.
Cela étant, il y a lieu d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause au tribunal cantonal pour qu'il ordonne une nouvelle expertise.
5. Le litige ayant pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, la procédure est gratuite (art. 134 OJ).
L'intimée, qui succombe, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 159 al. 1 en liaison avec l'art. 135 OJ). Elle sollicite pour la présente instance l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite. En l'état du dossier, on peut admettre qu'elle en remplit les conditions (art. 152 al. 1 et 2 en corrélation avec l'art. 135 OJ; <ref-ruling> consid. 4a, 372 consid. 5b et les références). L'attention de l'intimée est cependant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle devient ultérieurement en mesure de le faire (art. 152 al. 3 OJ; SVR 1999 IV no 6 p. 15).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 5 novembre 2003 est annulé, la cause étant renvoyée audit tribunal pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement.
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 5 novembre 2003 est annulé, la cause étant renvoyée audit tribunal pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) de Me Hervé Crausaz sont fixés à 1'500 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du Tribunal.
3. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) de Me Hervé Crausaz sont fixés à 1'500 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du Tribunal.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 novembre 2004
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IVe Chambre: Le Greffier: