Sachverhalt:
A. X._ wird beschuldigt, er sei am 11. Oktober 2008 um ca. 22.20 Uhr bei einer Fahrspurverengung nach rechts gefahren, wobei er den Vortritt des auf dem Busstreifen in gleicher Richtung fahrenden Gelenkbusses missachtet habe. Dieser habe relativ stark bremsen müssen, so dass ein Fahrgast vom Sitz gefallen sei und sich verletzt habe.
Am 21. Januar 2009 bestrafte die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug gestützt auf §§ 36 ff. StPO/ZG X._ wegen fahrlässiger einfacher Körperverletzung und einfacher Verletzung von Verkehrsregeln mit einer Geldstrafe von 10 Tagessätzen zu Fr. 160.-- und einer Busse von Fr. 600.--. Sie schob den Vollzug der Geldstrafe mit einer Probezeit von 2 Jahren auf.
Die Rechtsmittelbelehrung in Ziff. 7 des Dispositivs lautete: "Gegen diesen Strafbefehl kann innert 10 Tagen bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Zug Einsprache erhoben werden, welche schriftlich zu erfolgen und eine Begründung zu enthalten hat. Der Strafbefehl wird zu einem rechtskräftigen Urteil, wenn nicht dagegen Einsprache erhoben wird (§ 36ter Abs. 1 und 2 StPO)."
B. Am 22. Januar 2009 nahm X._ den Strafbefehl in Empfang. Am 23. Januar 2009 erhob seine Rechtsschutzversicherung Einsprache.
Am 3. Februar 2009 (und eingegangen bei der Staatsanwaltschaft am 4. Februar 2009) reichte der Strafverteidiger von X._ eine "Einsprache" ein. In der Begründung hielt er fest, der angefochtene Strafbefehl datiere vom 21. Januar 2009. Gemäss Mitteilung der Staatsanwaltschaft vom 28. Januar 2009 an die Rechtsschutzversicherung müsse "die Einsprache bzw. Begründung der Einsprache" bis 5. Februar 2009 mitgeteilt werden. Mit der heutigen Einreichung der Einsprache werde diese Frist in jedem Fall gewahrt.
Der Verteidiger legte dieser Einsprache einen "Übermittlungszettel" der Staatsanwaltschaft Zug vom 28. Januar 2009 an die Rechtsschutzversicherung mit dem folgenden Vermerk bei: "Wir machen Sie darauf aufmerksam, dass eine Begründung der Einsprache nachzureichen ist (Poststempel Donnerstag, 05.02.2009). Dies haben wir Ihnen heute telefonisch mitgeteilt."
Das Strafgericht des Kantons Zug (Einzelrichter in Strafsachen) sprach X._ am 10. September 2010 von der Beschuldigung der fahrlässigen einfachen Körperverletzung (Art. 125 Abs. 1 SVG) und der Verletzung von Verkehrsregeln frei (Art. 90 Ziff. 1 in Verbindung mit Art. 34 Abs. 3 und Art. 44 Abs. 1 SVG).
Das Obergericht des Kantons Zug hiess am 5. Juli 2011 eine Berufung der Staatsanwaltschaft teilweise gut, hob das Urteil des Strafgerichts vom 10. September 2010 auf und stellte fest, der gegen X._ erlassene Strafbefehl vom 21. Januar 2009 sei in Rechtskraft erwachsen.
C. X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, die Beschwerde gutzuheissen, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und festzustellen, dass die Einsprache gegen den Strafbefehl vom 21. Januar 2009 gültig erfolgt sei.
In der Vernehmlassung beantragt das Obergericht unter Hinweis auf das angefochtene Urteil die Abweisung der Beschwerde.
Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf Anträge, weil das angefochtene Urteil im Ergebnis ihren Anträgen entspreche. Sie führt aus, sie habe stets eine minimale Einsprachebegründung des Beschuldigten gelten lassen (z.B.: "Ich bin mit dem Strafbefehl nicht einverstanden."). Sei der Einsprache überhaupt keine Begründung zu entnehmen gewesen, sei der Einsprecher kontaktiert und dazu angehalten worden, eine Begründung innert der 10-tägigen (bereits laufenden) Einsprachefrist nachzureichen. Es sei mithin dafür keine Nachfrist gewährt worden. Hingegen sei es öfters vorgekommen, dass sich die Verteidigung nach einer summarischen ersten Begründung eine zusätzliche oder ergänzende schriftliche Begründung vorbehalten habe. Diese sei unter dem kantonalen Prozessrecht ohne Weiteres zugelassen und zu den Akten genommen worden.

Erwägungen:
1. Die Schweizerische Strafprozessordnung (StPO) ist am 1. Januar 2011 in Kraft getreten. Ist ein Entscheid vor Inkrafttreten der StPO gefällt worden, so werden Rechtsmittel dagegen nach bisherigem Recht beurteilt (Art. 453 Abs. 1 StPO). Das kantonale Strafverfahren richtet sich somit vollumfänglich nach der StPO/ZG. Soweit sich der Beschwerdeführer auf die StPO beruft, ist darauf nicht einzutreten.
2. Gemäss § 36ter Abs. 1 StPO/ZG ist gegen Strafbefehle nur die Einsprache zulässig. Diese ist innert 10 Tagen bei der Staatsanwaltschaft schriftlich und begründet zu erklären. Gemäss Abs. 2 wird der Strafbefehl zu einem rechtskräftigen Strafurteil, wenn nicht dagegen Einsprache erhoben wird.
2.1 Der Beschwerdeführer nahm den Strafbefehl am 22. Januar 2009 in Empfang. Die 10-tägige Einsprachefrist lief am Sonntag, dem 1. Februar 2009, ab und verlängerte sich bis Montag, 2. Februar 2009. Gegen den Strafbefehl erhob die Rechtsschutzversicherung mit Eingabe vom 23. Januar 2009 bei der Staatsanwaltschaft "ohne Begründung Einsprache" (angefochtenes Urteil S. 4, Ziff. 2.2). Die begründete Einsprache des Verteidigers wurde am 3. Februar 2009 zur Post gebracht (angefochtenes Urteil S. 4).
Diese Feststellungen werden vom Beschwerdeführer nicht angefochten (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.2). Das Bundesgericht stellt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG).
2.2 Die Anwendung des kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht auf Willkür (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.4 [zum Willkürbegriff]).
Die Vorinstanz urteilt im Berufungsverfahren mit voller Kognition (§ 75 Abs. 2 StPO/ZG) und prüft die Prozessvoraussetzungen von Amtes wegen frei. Sie gewährte den Parteien zur Frage einer frist- und formgerechten Einsprache das rechtliche Gehör. Sie kommt zum Ergebnis, dass eine unbegründete Einsprache dem Gültigkeitserfordernis von § 36ter Abs. 1 StPO/ZG nicht genügt. Die begründete Einsprache sei nach Ablauf der 10-tägigen Frist am 3. Februar 2009 zur Post gegeben worden und daher verspätet. Die gesetzliche Frist könne nicht erstreckt werden.
Diese wortlautgetreue Auslegung des kantonalen Rechts ist nicht willkürlich. Vom klaren, das heisst eindeutigen und unmissverständlichen Wortlaut darf nur ausnahmsweise abgewichen werden, wenn triftige Gründe dafür vorliegen, dass der Wortlaut nicht den wahren Sinn der Bestimmung wiedergibt (<ref-ruling> E. 6.4). Solche Gründe liegen nicht vor. Dass gesetzliche Fristen, insbesondere die Rechtsmittelfristen, unabänderlich sind und nicht erstreckt werden können (es sei denn, das Gesetz sehe dies ausdrücklich anders vor), ist ein allgemein gültiger Rechtssatz auch des eidgenössischen Prozessrechts (vgl. Art. 89 Abs. 1 StPO oder Art. 47 Abs. 1 BGG).
2.3 Eine formelle Rechtsverweigerung liegt insbesondere vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber befinden müsste. Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung ist gegeben, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt. Dies prüft das Bundesgericht frei (<ref-ruling> E. 2.1).
Die angefochtene Entscheidung erweist sich nicht als unverhältnismässig und überspitzt formalistisch. Zum einen werden an die Begründung der Einsprache keine strengen Anforderungen gestellt, und zum andern sind Rechtsmittelfristen nicht erstreckbar. Zehntägige und kürzere Fristen kommen in Prozessordnungen häufig vor (vgl. Art. 100 BGG). Rechtsmittel müssen frist- und formgemäss eingereicht werden. Die Einhaltung der gesetzlichen Formstrenge kann nicht als überspitzter Formalismus gerügt werden (vgl. BGE 5A_663/2011 vom 8. Dezember 2011 E. 6 betreffend mangelhafte Rechtsbegehren).
2.4 Unter dem Gesichtspunkt des Vertrauensschutzes (Art. 9 BV) führt die Vorinstanz zunächst aus, die Staatsanwaltschaft habe die Rechtsschutzversicherung darauf hingewiesen, dass bis zum 5. Februar 2009 eine begründete Einsprache nachzureichen sei. Diese Auskunft sei unzutreffend gewesen. Der Entscheid, ob eine Einsprache formell gültig sei, falle aber nicht in die Zuständigkeit der Staatsanwaltschaft. Dieser Entscheid sei dem Gericht vorbehalten. Der Verteidiger hätte die fehlerhafte Auskunft bei gehöriger Sorgfalt erkennen können (angefochtenes Urteil Ziff. 2.5 und 2.7.1).
Aus der Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft ergibt sich, dass diese entgegen der Beschwerde keine Nachfristen zu gewähren pflegte und somit auch keine Fristerstreckung. Sie machte innert laufender Frist darauf aufmerksam, "dass eine Begründung der Einsprache nachzureichen ist" (oben Bst. B). Sie wies damit auf die fehlende Begründung hin. Dies verkennt der Beschwerdeführer, wenn er argumentiert, es sei nicht nur im Kanton Zug üblich, dass "ausführliche Einsprachebegründungen nachgeliefert werden können" (Beschwerde S. 8). Zu beurteilen ist nicht die Frage des Nachreichens einer ausführlichen Begründung. Vielmehr handelt es sich darum, dass die Einsprache der Rechtsschutzversicherung vom 23. Januar 2009 ohne Begründung war (oben E. 2.1). Auch lässt sich nicht kurzerhand behaupten, es sei eine "Fristerstreckung" gewährt worden (Beschwerde S. 5). Im "Übermittlungszettel" (oben Bst. B) ist von einer "Fristerstreckung" nirgends die Rede, auch nicht davon, dass diese beantragt worden wäre. Es ist lediglich ein falsches Datum eingetragen, sofern dieses nicht praxisgemäss als Termin für eine ergänzende Begründung, sondern für eine begründete Einsprache gelten sollte. Im zweiten Fall handelte es sich schlicht um ein Versehen und damit um einen Fehler der Staatsanwaltschaft. Denn diese gewährte nach ihren eigenen Angaben gesetzeskonform keine Nachfristen für Einsprachen (oben Bst. C). Die gegenteilige Darstellung des Beschwerdeführers blieb im kantonalen Verfahren "unbelegt" (angefochtenes Urteil Ziff. 2.7.1).
Der Übermittlungszettel war zumindest interpretationsbedürftig. Er bot umso mehr Anlass für eine Abklärung, als sich die Staatsanwaltschaft darin nicht auf ein Telefonat mit dem Verteidiger, sondern mit einer Drittperson (der Rechtsschutzversicherung) bezog. Der Verteidiger konnte sich über die Hintergründe und den Sinn des Vermerks im Übermittlungszettel nicht im Klaren sein und nicht leichthin darauf abstellen.
2.5 Die Vorinstanz führt weiter aus, der Verteidiger sei im Besitze der Akten gewesen. Aus der Empfangsbestätigung sei die Empfangnahme am 22. Januar 2009 ohne Weiteres ersichtlich und damit klar gewesen, dass die Einsprachefrist am 2. Februar 2009 endete. Dem Verteidiger sei aufgrund der Rechtsmittelbelehrung und des Wortlauts von § 36ter Abs. 1 StPO/ZG der Fristenlauf bekannt gewesen. Er könne sich nicht auf den Vertrauensschutz berufen.
Dazu verweist die Vorinstanz zutreffend auf <ref-ruling>. Nach diesem Entscheid hatte sich die rechtsunkundige und nicht rechtskundig vertretene Partei aufgrund der konkreten Umstände auf die falsche Fristangabe in der Rechtsmittelbelehrung zur bundesrechtlichen Beschwerde verlassen können (a.a.O., E. 1.2.2.2). Ein solcher Sachverhalt liegt nicht vor. Weder enthielt die Rechtsmittelbelehrung eine unrichtige Frist- oder Formangabe noch war der Beschwerdeführer nicht rechtskundig vertreten. Da der Vertrauensschutz versagt, wenn der Mangel in der Rechtsmittelbelehrung für den Rechtsvertreter allein schon durch Konsultierung der massgebenden Verfahrensbestimmung ersichtlich ist (<ref-ruling> E. 1.2.2.1), versagt er umso mehr, wenn die Rechtsmittelbelehrung korrekt ist. Ein interpretationsbedürftiger Übermittlungszettel der Staatsanwaltschaft an Dritte (die Rechtsschutzversicherung) betreffend das Nachreichen einer Begründung vermag keinen Vertrauensschutz des rechtskundigen Strafverteidigers auf einen Gesetz und Rechtsmittelbelehrung widersprechenden Fristenlauf zu begründen. Der Strafverteidiger ist in seinem Vertrauen, die Staatsanwaltschaft könne die gesetzliche Einsprachefrist erstrecken, nicht geschützt.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer hat die Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, Strafrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2012
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Briw