Sachverhalt:
A.
Die 1962 geborene A._, von 1. November 2002 bis 31. Juli 2005 (letzter effektiver Arbeitstag: 27. April 2005) im Pflegeheim E._ als Pflegehelferin SRK und hauswirtschaftliche Mitarbeiterin in einem 50 %-Pensum angestellt und dadurch bei der Pensionskasse H._ (nachfolgend: Pensionskasse) berufsvorsorgerechtlich versichert, meldete sich am 4. August 2005 bei der Invalidenversicherung (IV) zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen (nachfolgend: IV-Stelle) nahm erwerbliche und medizinische Abklärungen vor, u.a. holte sie Berichte des Rheuma- und Rehabilitationszentrums Klinik B._ vom 9. und 29. August 2005 ein und verneinte mit Verfügung vom 17. Januar 2006 den Anspruch auf berufliche Massnahmen.
Am 19. Juni 2007 meldete sich A._ unter Hinweis auf unfallbedingte Beschwerden erneut zum Leistungsbezug an. Daraufhin veranlasste die IV-Stelle u.a. eine Untersuchung durch die Klinik F._ (Bericht vom 18. April 2008), eine polydisziplinäre Begutachtung durch die Medizinische Abklärungsstelle (fortan: MEDAS; Expertise vom 23. Januar 2009) sowie eine Haushaltabklärung (Bericht vom 10. November 2009). In der Folge wurde der IV-Stelle ein vom Unfallversicherer in Auftrag gegebenes bidisziplinäres Gutachten der MEDAS vom 24. September 2009 zu den Akten gereicht. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens und Rücksprache mit dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD; Bericht der Dr. med. C._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 3. Dezember 2010) sprach die IV-Stelle A._ mit Verfügung vom 16. Dezember 2010 eine ganze Rente mit Wirkung ab 1. April 2009 zu.
B.
Auf Beschwerde der A._ hin lud das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Pensionskasse zum Verfahren bei, edierte die Akten des zuständigen Unfallversicherers und liess den behandelnden Psychologen lic. phil. G._ zur Frage der Arbeitsfähigkeit Stellung nehmen (Eingabe vom 26. September 2013).
Mit Entscheid vom 19. Dezember 2013 hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die angefochtene Verfügung auf und sprach A._ eine ganze Invalidenrente mit Wirkung ab 1. Juni 2006 zu. Sodann wies es die Angelegenheit zur Festsetzung der Rentenbeträge an die IV-Stelle zurück.
C.
Die Pensionskasse lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung der IV-Stelle vom 16. Dezember 2010 zu bestätigen. Eventualiter sei A._ ab 1. September 2007 eine ganze Rente zuzusprechen, subeventualiter sei die Angelegenheit zur Vornahme zusätzlicher Abklärungen zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Bestätigung des kantonalen Entscheids und reicht einen Bericht des lic. phil. G._ vom 22. Juli 2009 zu den Akten. IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil 8C_670/2011 vom 10. Februar 2012 E. 3.2 mit Hinweis).
2.
2.1. Die Invaliditätsbemessung der Invalidenversicherung ist geeignet, die Leistungspflicht aus (obligatorischer) beruflicher Vorsorge in grundsätzlicher, zeitlicher und masslicher Hinsicht im Sinne von <ref-law> (unmittelbar) zu berühren (vgl. Art. 23 ff. BVG). Die Organe der beruflichen Vorsorge sind daher zur Beschwerde gegen die Verfügung der IV-Stelle über den Rentenanspruch als solchen oder den Invaliditätsgrad berechtigt; ebenso ist der BVG-Versicherer grundsätzlich (vgl. E. 2.2 hiernach) befugt, Beschwerde an das Bundesgericht gegen Entscheide kantonaler Gerichte in Streitigkeiten um eine Rente der Invalidenversicherung zu führen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 5; Urteil 9C_987/2009 vom 27. Januar 2010).
2.2. Nebst der Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren (<ref-law>) bedarf es zur Beschwerdelegitimation eines besonderen Berührtseins und eines schutzwürdigen Interesses an der Aufhebung/Änderung des angefochtenen Entscheids (Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG). Diese Erfordernisse können sich aus den Feststellungen im IV-Verfahren ergeben, welche für die Organe der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge bindende Wirkung haben. Bindungswirkung kommt lediglich jenen Feststellungen zu, welche im IV-Verfahren für die Festlegung des Anspruchs auf eine Rente der Invalidenversicherung entscheidend waren. In zeitlicher Hinsicht beschlägt dies hier - aufgrund der Anmeldung vom 19. Juni 2007, welche von der Vorinstanz als verspätet im Sinne von aArt. 48 Abs. 2 IVG (in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2007; vgl. E. 3 hiernach) qualifiziert wurde, - den Zeitraum beginnend zwei Jahre vor dem Zeitpunkt der IV-Anmeldung (Urteil 9C_414/2007 vom 25. Juli 2008 E. 2; zum geltenden Recht Urteil 9C_620/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 2.4, in: SVR 2013 BVG Nr. 17 S. 67). Gemäss den Feststellungen des kantonalen Gerichts bestand im Juni 2005 bereits eine 70 %ige Arbeitsunfähigkeit für sämtliche Tätigkeiten (E. 1.3 i.f. des angefochtenen Entscheids). Weil die Beschwerdegegnerin dazumal bei der Beschwerdeführerin berufsvorsorgerechtlich versichert war und die Festlegung des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit somit eine präjudizierende Wirkung mit Bezug auf den vorsorgerechtlichen Leistungsanspruch hat, ist das besondere Berührtsein sowie das schutzwürdige Interesse zu bejahen. Die Rechtsmittelbefugnis der Beschwerdeführerin ist gegeben.
2.3. Auf den erst vor Bundesgericht eingereichten Bericht des lic. phil. G._ vom 22. Juli 2009 ist nicht weiter einzugehen; er ist ein unzulässiges Novum (<ref-law>).
3.
Das kantonale Gericht hat die für den Anspruch auf eine Invalidenrente massgebenden Rechtsgrundlagen unter Berücksichtigung der intertemporalrechtlichen Fragen, die sich aufgrund der am 1. Januar 2008 im Rahmen der 5. IV-Revision erfolgten Rechtsänderungen stellen (<ref-ruling>), zutreffend wiedergegeben. Darauf wird verwiesen. Zu wiederholen ist, dass gemäss aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG (in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2007) der Rentenanspruch frühestens in dem Zeitpunkt entsteht, in dem der Versicherte während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 Prozent arbeitsunfähig (<ref-law>) gewesen war. Erfolgt die Anmeldung mehr als zwölf Monate nach Entstehen des Rentenanspruchs, werden die Leistungen lediglich für die zwölf der Anmeldung vorangehenden Monate ausgerichtet (aArt. 48 Abs. 2 Satz 1 IVG).
4.
Die Vorinstanz erwog, die zwei MEDAS-Gutachten seien nachvollziehbar und schlüssig, so dass darauf abgestellt werden könne. Indes hätten die Gutachter den Beginn der psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit auf "spätestens April 2008" und damit ungenau festgelegt, dies mangels Indizien für eine vor diesem Zeitpunkt vorhandene Arbeitsunfähigkeit. Solche Indizien liessen sich den nunmehr vorliegenden Akten entnehmen. Massgebende Bedeutung komme dabei dem Bericht des lic. phil. G._ vom 24. Juli 2007 zu, wonach bereits bei Behandlungsbeginn im September 2006 eine erhebliche psychische Problematik vorgelegen habe. Es bestehe mit Blick auf die übrigen Arztberichte kein Anlass, eine solche Problematik zu bezweifeln. Der psychiatrische Konsiliarius der MEDAS habe überzeugend dargelegt, die psychische Problematik habe sich schleichend entwickelt. Er habe vom aktenmässig dokumentierten Zittern in quantitativer Hinsicht auf die von ihm attestierte (70 %ige) Einschränkung der Arbeitsfähigkeit geschlossen. Dabei habe er übersehen, dass das Zittern bereits im September 2006 aufgefallen sei. Gesamthaft sei zu folgern, dass die Arbeitsfähigkeit bereits vor April 2008 bzw. September 2006 erheblich beeinträchtigt gewesen sei. Entgegen den MEDAS-Gutachtern, welche eine schleichende Entwicklung der psychischen Beeinträchtigung postuliert hätten, vertrete lic. phil. G._ die Ansicht, die erhebliche Beeinträchtigung sei im Zusammenhang mit dem zweiten Unfall im April 2005 eingetreten. Weil er die Beschwerdegegnerin mehr als zwei Jahre vor der MEDAS-Begutachtung erstmals untersucht habe und seine Beurteilung zeitnaher ausgefallen sei, sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass seine (zeitlichen) Angaben zutreffend seien. Hingegen sei betreffend die Einschätzung der quantitativen Einschränkung auf das MEDAS-Gutachten abzustellen. Folglich sei die Beschwerdegegnerin überwiegend wahrscheinlich seit dem 2. April 2005 aus psychischen Gründen zu 70 % arbeitsunfähig.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung sowie eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes und macht geltend, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie von den MEDAS-Gutachten abgewichen und ohne echtzeitliche ärztliche Aussage - allein gestützt auf die Angaben des behandelnden Psychologen - den Beginn der Arbeitsunfähigkeit auf April 2005 hin festgelegt habe.
5.2. Dem kantonalen Gericht ist insoweit beizupflichten, als die Einschätzung der MEDAS hinsichtlich des Zeitpunkts, ab welchem die 70 %ige Einschränkung der Arbeitsfähigkeit vorgelegen habe, im Kontext der einschlägigen Akten nicht überzeugt. Tatsächlich wurde das Zittern der Beschwerdegegnerin - von welchem der psychiatrische Experte auf das Vorhandensein des zum Untersuchungszeitpunkt festgestellten Ausmasses der psychischen Problematik schloss - nicht erst im April 2008, sondern bereits im September 2006 dokumentiert, als die erste ambulante Untersuchung in der Klinik F._ stattfand (Gutachten vom 27. März 2007: nervös agitierte, motorisch unruhige Explorandin, die zum Teil wegen der Schmerzen am gesamten Körper gezittert habe; S. 6 Ziff. 3.1). Allenfalls ist diese Symptomatik - indes nicht als Zittern beschrieben - sogar schon früher aufgefallen, zumal der Internist Dr. med. D._ am 29. Mai 2006 eine "grosse motorische Unruhe" sowie eine "dauernde Bewegung" beobachtet hatte (Bericht vom 30. Mai 2006). Ob dies ebenfalls als Ausdruck der schweren depressiven Symptomatik zu werten ist, kann hier nicht beantwortet werden. Der offenkundige Widerspruch zwischen der Aktenlage und dem durch den Gutachter festgelegten Zeitpunkt des ersten dokumentierten Zitterns hätte, da die Expertisen der MEDAS gemäss Vorinstanz nicht aus anderen Gründen ohnehin als beweisuntauglich eingestuft wurden, zu einer Rückfrage an die Sachverständigen führen müssen (<ref-ruling> E. 6.2.2 S. 269). Indem die Vorinstanz stattdessen die Einschätzung des behandelnden lic. phil. G._ vom 26. September 2013 (weitestgehend) übernahm, hat sie die Beweiswürdigungsregeln verletzt. Der behandelnde Psychologe schätzte nicht nur die Arbeitsunfähigkeit quantitativ abweichend von der MEDAS ein, sondern er beurteilte den Eintritt bzw. den Verlauf der Störung sowie der Arbeitsunfähigkeit völlig anders als der psychiatrische Experte. Statt von einer langsamen, nach dem Unfall über Jahre dauernden Entwicklung der psychischen Symptomatik, welche sich schliesslich im Zittern bzw. im Ganzkörpertremor manifestiert habe (Gutachten S. 22), ging der Psychologe von einer seit dem Unfall vom 2. April 2005 voll ausgeprägten Symptomatik und einer 80 %igen Arbeitsunfähigkeit aus.
Nach der Rechtsprechung kann das Sozialversicherungsgericht eine fachärztliche Beurteilung zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit - hier jene der MEDAS - nur gestützt auf eine ebenfalls fachärztliche abweichende Beurteilung entkräften (Urteil 9C_942/2008 vom 16. März 2009 E. 5.3). Über eine (fach) ärztliche Qualifikation (<ref-ruling> E. 3.3.2 i.f. S. 246; vgl. auch SUSANNE BOLLINGER, Der Beweiswert psychiatrischer Gutachten in der Invalidenversicherung, Jusletter vom 31. Januar 2011, Rz. 10 und 16 mit Hinweisen) verfügt lic. phil. G._ indes nicht. Des Weiteren ist seine Einschätzung mit Blick auf die Verschiedenheit von Expertise und Therapie ohnehin mit Vorbehalt zu würdigen (Urteil 9C_799/2012 vom 16. Mai 2013 E. 2.3, Zusammenfassung in: SZS 2013 S. 487). Auch kann keine Rede davon sein, die Einschätzung des Psychologen sei "zeitnaher" als diejenige der MEDAS, da er sich erstmals am 26. September 2013 zuhanden der Vorinstanz zur Arbeitsfähigkeit äusserte. Abgesehen davon stünde - wie die Beschwerdeführerin zutreffend bemerkt - eine seit April 2005 bestehende 70 %ige Arbeitsunfähigkeit aus psychischen Gründen im unaufgelösten Widerspruch u.a. zu den Berichten der Klinik B._ betreffend den stationären Aufenthalt vom 14. Juni bis 14. Juli 2005. So ist davon auszugehen, dass eine derart schwerwiegende depressive Symptomatik, welche die Arbeitsfähigkeit in jeglicher Tätigkeit zu 70 % verunmöglicht, den behandelnden Ärzten der Klinik aufgefallen wäre. Diese berichteten jedoch über keinerlei psychische Auffälligkeiten. Gegenteils attestierten sie der Beschwerdegegnerin eine grosse Motivation und gute Belastungsbereitschaft und postulierten eine volle Arbeitsfähigkeit in einer adaptierten Tätigkeit. Ein Abstellen (allein) auf die Einschätzung des behandelnden lic. phil. G._ fällt nach dem Gesagten ausser Betracht. Ebenso wenig kann die 70 %ige Arbeitsunfähigkeit auf September 2006 hin festgelegt werden, da eine fachärztliche Stellungnahme zur Frage fehlt, ob bereits die von Dr. med. D._ beschriebene grosse motorische Unruhe und dauernde Bewegung auf die gutachterlich attestierte Einschränkung der Arbeitsunfähigkeit schliessen lässt. Damit sind die Akten nicht liquid.
Zusammenfassend ist der psychiatrische Aspekt, was den Verlauf bzw. Eintritt der Arbeitsunfähigkeit betrifft, unvollständig abgeklärt. Mit dem Verzicht auf weitere medizinisch-psychiatrische Abklärungen hat das kantonale Gericht den Untersuchungsgrundsatz verletzt. Dies führt zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Die Sache ist zur Einholung einer ergänzenden Stellungnahme der MEDAS und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. In diesem Sinne ist die Beschwerde gutzuheissen.
6.
Die unterliegende Beschwerdegegnerin trägt die Verfahrenskosten (<ref-law>). Der obsiegenden Beschwerdeführerin steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; Urteil 9C_920/2008 vom 16. April 2009 E. 7 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 BVG Nr. 30 S. 109).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 19. Dezember 2013 aufgehoben. Die Sache wird zum weiteren Vorgehen im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Oktober 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Furrer