Sachverhalt:
A.
B._ und D._ sind die geschiedenen Eltern von E._ (geb. 1997). Anlässlich der Scheidung im Jahr 2008 entzog ihnen das Gericht die elterliche Sorge und bestellte dem Kind einen Vormund. E._ war zunächst in verschiedenen Institutionen untergebracht. Mit Entscheid vom 12. November 2012 platzierte der Vormund nach Rücksprache mit der damaligen Vormundschaftsbehörde F._ das Kind vorübergehend beim Vater. Zudem sollte E._ die in der Nähe gelegene Schule G._ besuchen. B._ legte Beschwerde gegen die Platzierung ein. Ab 1. Januar 2013 lag die Zuständigkeit für das Beschwerdeverfahren bei der Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz des Obergerichts des Kantons Aargau.
B.
B.a. Am 21. Februar 2013 bestellte der Präsident des Obergerichts Fürsprecherin A._ zur Kindesvertreterin von E._ im Beschwerdeverfahren. Mit Eingabe vom 6. März 2013 reichte die Kindesvertreterin beim Obergericht erste Anträge in der Sache ein. Mit Stellungnahme vom 26. März 2013 äusserte sie sich zu den Eingaben der Eltern vom 24. Januar 2013 bzw. 12. Februar 2013. Schon am 20. März 2013 hatte D._ erklärt, er unterstütze die Anträge der Kindesvertreterin und halte im Übrigen an seinen Begehren fest.
B.b. Das Obergericht holte verschiedene Berichte über E._ ein. Am 21. März 2013 erstattete die Schule einen kurzen Bericht. Am 28. März 2013 erfolgte der Zustandsbericht der Vormundin von E._, zu dem sich B._ äusserte. Am 21. Mai 2013 erfolgte schliesslich der Bericht der Psychiatrie H._. Die Kindesvertreterin schloss sich in ihrer Stellungnahme vom 13. Juni 2013 den Schlussfolgerungen im zuletzt genannten Bericht an. In ihrer Eingabe vom 21. Juni 2013 änderte B._ ihre Rechtsbegehren geringfügig ab.
B.c. Mit Entscheid vom 22. August 2013 wies das Obergericht die Beschwerde der Mutter ab, soweit es darauf eintrat. Die Entschädigung von Fürsprecherin A._ bestimmte es auf Fr. 1'000.-- (inkl. Auslagen und MWSt).
C.
Fürsprecherin A._ wehrte sich gegen die Festsetzung ihrer Entschädigung vor Bundesgericht. Dieses hiess die Beschwerde gut, hob die entsprechenden Ziffern des obergerichtlichen Urteils auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurück (Urteil 5A_701/2013 vom 3. Dezember 2013).
D.
Am 14. Januar 2014 reichte Fürsprecherin A._ die Kostennote ein, die das Obergericht von ihr auf Geheiss des Bundesgerichts einverlangt hatte und die sich auf Fr. 5'242.-- (inkl. Auslagen von Fr. 197.10 und MWSt von Fr. 388.30) beläuft. Nachdem die Mutter Stellung genommen hatte, setzte das Obergericht die Entschädigung für Fürsprecherin A._ mit Entscheid vom 4. März 2014 neu auf Fr. 3'020.90 (inkl. Auslagen und MWSt) fest, unter Anrechnung der bereits ausbezahlten Fr. 1'000.-- (s. Bst. B.c ).
E.
E.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. April 2014 wendet sich Fürsprecherin A._ (Beschwerdeführerin) erneut an das Bundesgericht. Sie verlangt, die Festsetzung der Entschädigung wieder aufzuheben und die Sache zur Neufestsetzung an das Obergericht zurückzuweisen; dabei sei die Vorinstanz anzuweisen, ihr Honorar für die Vertretung von E._ im Beschwerdeverfahren vor dem Obergericht aufgrund der aufgewendeten Zeit von 21.16 Stunden festzulegen und entsprechend auszuzahlen.
E.b. Das Bundesgericht hat die Beteiligten eingeladen, sich zum Ausgang des Verfahrens zu äussern. B._ (Beschwerdegegnerin) stellt in ihrer Vernehmlassung vom 4. September 2014 das Begehren, die Beschwerde gutzuheissen. Das Obergericht hat mit Schreiben vom 18. August 2014 auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin wehrt sich gegen die Festsetzung ihrer Entschädigung als Kindesvertreterin im kantonalen Beschwerdeverfahren. Die Entschädigung der Kindesvertreterin zählt zu den Gerichtskosten des Hauptsacheverfahrens. Die Gerichtskosten sind Teil des Endentscheides (<ref-law>). Sie können ungeachtet ihrer Höhe mit dem Rechtsmittel angefochten werden, das in der Sache zulässig war (Urteil 5A_168/2012 vom 26. Juni 2012 E. 1 mit Hinweisen). Dass die angefochtene Festsetzung auf einen Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts hin erfolgte (Sachverhalt Bst. C und D), ändert daran nichts. In der Hauptsache ging es um die vorübergehende Platzierung des Kindes beim Vater, also um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Das ist eine Streitsache ohne Vermögenswert, weshalb das Erfordernis eines bestimmten Streitwerts entfällt. Entsprechend kann mit diesem Rechtsmittel auch der Entscheid über die Gerichtskosten an das Bundesgericht gezogen werden. Auf die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt, das Obergericht habe seinen Rückweisungsentscheid nur ungenügend und teilweise widersprüchlich begründet und damit ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Der Vorwurf ist unbegründet. Um dem verfassungsmässigen Gehörsanspruch (<ref-law>) Genüge zu tun, muss die Behörde ihren Entscheid dergestalt abfassen, dass sich der Betroffene über seine Tragweite Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Zu begründen ist das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung des Betroffenen berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). Eingedenk dessen ist der angefochtene Entscheid unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> nicht zu beanstanden. Die vorinstanzlichen Erwägungen lassen hinreichend erkennen, wie das Obergericht zum Ergebnis seines Entscheids, das heisst zu einer Entschädigung in der Höhe von Fr. 3'020.90 (inkl. Auslagen und MWSt) gelangt. Was es mit der Vorgehensweise des Obergerichts auf sich hat, ist nicht eine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der Rechtsanwendung.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin hält die Festsetzung ihrer Entschädigung nach wie vor für willkürlich. Sie wirft dem Obergericht im Wesentlichen vor, ihre Entschädigung erneut ohne korrekte Berücksichtigung des angemessenen Zeitaufwandes festgesetzt zu haben. Wie im ersten, vom Bundesgericht aufgehobenen Kostenentscheid lege das Obergericht seinem Entscheid eine Grundentschädigung zugrunde. Anstatt Fr. 1'200.-- halte es neu eine Pauschale von Fr. 2'000.-- für angemessen, was einem durchschnittlichen Aufwand von neun Stunden entspreche. Obwohl das Obergericht den Fall als in tatsächlicher Hinsicht komplex einstufe und der kantonale Kostenrahmen das Kriterium der Schwierigkeit des Falles nicht auf die rechtlichen Aspekte beschränke, werde die Grundpauschale im angefochtenen Entscheid im untersten Segment des kantonalen Tarifrahmens von Fr. 1'210.-- bis Fr. 14'740.-- angesiedelt. Damit verstricke sich das Obergericht in Widersprüche und wende den Kostenrahmen willkürlich an. Weiter erwähne der angefochtene Entscheid, dass das Kind eine bewegte Vorgeschichte habe und unter einer eingeschränkten Persönlichkeitsentwicklung leide, was die Instruktion und den Kontakt erschwert und den Kontakt mit anderen involvierten Personen erfordert habe. Ebenso verweise es auf das zeitintensive Aktenstudium und auf den Wechsel in der Person des Vormunds als erschwerende Elemente. All diese Aspekte würden bei der Festsetzung der Entschädigung aber weder adäquat noch entsprechend den rechtlichen Vorgaben gewichtet. Die Beschwerdeführerin verwahrt sich auch dagegen, dass sie sich zu wenig auf die Instruktion der jugendlichen Klientin abgestützt und unnötige weitergehende Abklärungen getroffen habe. Unter den gegebenen Umständen, namentlich angesichts der eingeschränkten Persönlichkeitsentwicklung des Kindes, habe eine sorgfältige Mandatsführung eigene Abklärungen der Kindesvertreterin darüber erfordert, ob die streitige Platzierung von E._ bei ihrem Vater mit dem Kindeswohl vereinbar ist. Es gehöre zu den Aufgaben der Kindesvertretung, allfällige Gefährdungen zu benennen und sie nicht unter den Tisch zu wischen oder infolge oberflächlicher Abklärungen zu übersehen.
Die Beschwerdeführerin reklamiert, unter Berücksichtigung der gewährten Zuschläge zur Pauschale gelte die Entschädigung im Ergebnis einen Zeitaufwand von 11.82 Stunden ab. Obwohl ihm die einzelnen Positionen ihrer Kostennote schon aufgrund ihrer ersten Beschwerde an das Bundesgericht im Detail bekannt waren, spreche ihr das Obergericht für die übrigen geltend gemachten 9.34 Aufwandstunden ein Entgelt ab, ohne aber näher zu spezifizieren, warum diese Arbeiten unnötig gewesen sein sollen. So bleibe unerfindlich, wie es ihr im konkreten Fall möglich sein sollte, in gut 11 Stunden 400 Seiten Akten zu lesen, eine jugendliche Klientin mit den erwähnten Einschränkungen kennenzulernen und sich von ihr instruieren zu lassen, das Umfeld (Vormundin, Eltern, Schule, Psychiater) angemessen zu kontaktieren, ein Gutachten zu lesen und einzuordnen, drei Eingaben zu verfassen und die übrigen mit einem solchen Mandat einhergehenden Tätigkeiten zu erledigen.
3.2. Wohl hat das Bundesgericht in einem früheren Urteil festgehalten, dass die vom Kanton Aargau praktizierte Honorarbemessung nach Pauschale mit allfälligen prozentualen Zuschlägen der Forderung nach einer sachgerechten und effizienten Vertretung der Interessen des Kindes nicht gerecht wird, weil sie eine grundsätzliche Berücksichtigung des angemessenen Zeitaufwandes ausschliesst und lediglich allgemeine Kostenfestsetzungskriterien wie die Schwere und Bedeutung des Falles zulässt (Urteil 5A_168/2012 vom 26. Juni 2012 E. 4.2; vgl. auch Urteil 5A_701/2013 vom 3. Dezember 2013 E. 4). Aus dieser Rechtsprechung folgt jedoch nicht, dass das Bundesgericht von den Aargauer Behörden verlangt, den Kindesvertreter allein nach der in Rechnung gestellten Arbeitszeit zu entschädigen, ohne dass die Möglichkeit bestünde, am geltend gemachten Aufwand irgendwelche Kürzungen vorzunehmen. Die bundesgerichtliche Erkenntnis, wonach es nicht in das Belieben des Vertreters gestellt werden kann, durch das Aufschreiben einer übermässigen Anzahl Stunden auf die Festsetzung des Grundhonorars Einfluss zu nehmen, gilt nicht nur für Parteivertreter (Urteil 5D_78/2008 vom 16. Januar 2009 E. 4.2), sondern auch für Kindesvertreter. In einem neueren Urteil hat das Bundesgericht denn auch erkannt, dass das Vorgehen des aargauischen Versicherungsgerichts, die Entschädigung auf der Grundlage einer durch den unentgeltlichen Vertreter eingereichten Kostennote gemessen an pauschalierten Ansätzen festzulegen, keine willkürliche Handhabe des kantonalen Rechts darstelle (Urteil 8C_63/2014 vom 12. Mai 2014 E. 5.3).
Muss sich die im konkreten Fall geschuldete Entschädigung an einem Pauschalbetrag messen, so steht mit dieser Pauschale auch fest, welchen Aufwand die zuständige Behörde für Fälle der betreffenden Art üblicherweise als geboten und damit als entschädigungspflichtig erachtet. Diesfalls obliegt es dem Prozess- bzw. hier dem Kindesvertreter aufzuzeigen, weshalb das von ihm übernommene Mandat kein Standardfall ist und inwiefern zur gehörigen Erledigung mehr Aufwand erforderlich war, als die Pauschale abdeckt. Das blosse Einreichen einer Honorarnote genügt hierzu nicht. Denn es ist nicht Aufgabe der Behörde, in ihrem Festsetzungsentscheid aus eigenem Antrieb Rechenschaft darüber abzulegen, weshalb sie von der eingereichten Honorarnote abweicht. Eine dergestalt substantiierte Begründung des Honoraranspruchs kann vom Kindesvertreter freilich nur dann gefordert werden, wenn er spätestens bei der Übernahme seines Auftrags weiss oder zumindest in Erfahrung bringen kann, auf welchen Pauschalbetrag die zuständige Behörde in durchschnittlichen Verfahren die Grundentschädigung praxisgemäss festsetzt, ansonst er ja nicht abschätzen kann, für welchen Aufwand er mit einer Entschädigung rechnen kann. Im zitierten Urteil betreffend ein aargauisches IV-Verfahren ergaben sich Angaben über die Entschädigungspraxis in IV-Rentenfällen aus einem Schreiben des Versicherungsgerichts an den aargauischen Anwaltsverband (Urteil 8C_63/2014 vom 12. Mai 2014 E. 5.2).
3.3. Was die hier streitige Entschädigung einer Kindesvertreterin in einem Beschwerdeverfahren betreffend Kindesschutz angeht, erscheint ungewiss, ob das Obergericht des Kantons Aargau bezüglich der anwendbaren Pauschalentschädigungen eine einschlägige Praxis entwickelt hat. Während es in seinem Entscheid vom 22. August 2013 (Sachverhalt Bst. B.c) auf die summarische Natur des Verfahrens verweist und gestützt darauf eine Grundentschädigung von Fr. 1'200.-- als angemessen erachtet, orientiert es sich im angefochtenen Entscheid an Eheschutz- und Präliminarverfahren, in denen sich Obhuts- und Platzierungsfragen "in gleicher oder ähnlicher Weise" stellen, und kommt so zu einer Grundpauschale von Fr. 2'000.--. Ob die Beschwerdeführerin unter diesen Umständen wusste bzw. hätte wissen können, mit welcher Grundentschädigung sie rechnen durfte, erscheint fraglich, kann aber dahingestellt bleiben. Denn die Besonderheit des vorliegenden Falles liegt darin, dass das Bundesgericht schon in einer ersten Runde zum Schluss gekommen ist, dass das Obergericht die Entschädigung der Beschwerdeführerin willkürlich zu tief festgesetzt hat:
In Erwägung 4 seines Urteils 5A_701/2013 vom 3. Dezember 2013 hält das Bundesgericht ausdrücklich fest, dass das Obergericht dem konkreten Fall keine Rechnung trägt, indem es zum einen sämtliche von der Kindesvertreterin getätigten Vorkehren für erheblich erachtet, zum andern aber keinerlei Hinweise dafür liefert, inwiefern das Vorgehen der Kindesvertreterin nicht angemessen gewesen wäre. In Erwägung 5 des erwähnten Urteils weist das Bundesgericht das Obergericht ausdrücklich an, die Entschädigung unter Berücksichtigung der Kostennote der Beschwerdeführerin neu festzusetzen. Diesen klaren Vorgaben wird der neuerliche Entscheid indessen nicht gerecht. Zwar betont das Obergericht im angefochtenen Entscheid, dass lediglich der für eine sachgerechte und effiziente Vertretung des Kindes angemessene Aufwand zu entschädigen sei und die mit der Vertretung betraute Person ihren Zeiteinsatz deshalb zu planen habe. Weiter führt die Vorinstanz aus, der Kontakt mit anderen involvierten Personen habe sich "im Rahmen einer straffen Mandatsführung auf das Notwendigste zu beschränken, zumal die Rolle der Kindesvertreterin vorrangig in der Übermittlung des sorgfältig und umfassend abgeklärten subjektiven Willens des Kindes" bestehe und sich die Kindesvertreterin bei einem 15 1/2-jährigen Kind "bei der Sachverhaltsabklärung stärker an die Instruktionen der Jugendlichen zu halten" habe. Diese Ausführungen sind allerdings bloss allgemeiner Natur. Wie auch die Beschwerdegegnerin richtig erkannt hat, nimmt das Obergericht in keiner Weise Bezug auf die detailliert aufgelisteten Aufwandpositionen, deren Entschädigung die Beschwerdeführerin in ihrer Kostennote (s. Sachverhalt Bst. D) verlangt hat. Mithin lässt auch der neuerliche Entscheid nicht erkennen, inwiefern der geltend gemachte Aufwand (oder einzelne Teile davon) im konkreten Fall nicht gerechtfertigt gewesen wären, weshalb also mit den 11.82 Stunden nur rund die Hälfte des geltend gemachten Zeitaufwands von 20.16 Stunden entschädigt werden können.
3.4. Weil das Obergericht der beschriebenen Pflicht auch in seinem zweiten Entscheid vom 4. März 2014 nicht nachkommt, erweist sich auch die neu auf Fr. 3'020.90 bestimmte Entschädigung als willkürlich. Der angefochtene Entscheid ist deshalb aufzuheben. Mangels entsprechender Feststellungen kann das Bundesgericht nicht selbst beurteilen, ob die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Aufwandpositionen gerechtfertigt sind. Die Sache ist deshalb zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese sich mit der eingereichten Kostennote auseinandersetzt und die Entschädigung der Beschwerdeführerin im Sinne der Erwägungen neu festsetzt.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten- und Entschädigungsfolgen gleich wie im Urteil 5A_701/2013 vom 3. Dezember 2013 zu regeln (s. dort Erwägung 6) : Die Gerichtskosten sind nicht der Beschwerdegegnerin, sondern dem Kanton Aargau aufzuerlegen (<ref-law>). Der Kanton hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>). Er hat auch der Beschwerdegegnerin, die mit ihrem Antrag erneut obsiegt, die entstandenen Kosten zu ersetzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, vom 4. März 2014 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Kanton Aargau auferlegt.
3.
Der Kanton Aargau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Der Kanton Aargau hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, den beiden Verfahrensbeteiligten, der Beiständin des Kindes sowie dem Bezirksgericht Rheinfelden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn