Sachverhalt:
A.
Z._ und S._ bewarben sich um die Wiederwahl als Mitglieder der Verwaltungskommission der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: VK SVA) für die Amtsdauer vom 1. Juni 2012 bis 31. Mai 2016. Im Amtsblatt Nr. 26 vom 25. Juni 2012 gab die Regierung des Kantons St. Gallen die von ihr gewählten Mitglieder bekannt. Z._ und S._ zählten nicht dazu.
B.
Z._ und S._ reichten beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen je Beschwerde ein. Sie beantragten, der publizierte Beschluss des Regierungsrates sei aufzuheben und es sei anzuordnen, dass Z._ und S._ für die Amtsdauer 2012-2016 als Mitglieder der VK SVA wiedergewählt würden; eventuell sei festzustellen, dass Z._ und S._ zu Unrecht nicht wiedergewählt worden seien; subeventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Regierung zurückzuweisen. Zur Begründung wurde geltend gemacht, der Anspruch von Z._ und S._ auf rechtliches Gehör sei verletzt worden und es fehle an zureichenden Gründen für die Nichtwiederwahl. Verfahrensrechtlich wurde die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung verlangt. Das Verwaltungsgericht vereinigte die beiden Verfahren und trat auf die Beschwerden nicht ein (Entscheid vom 12. März 2013).
C.
Z._ und S._ lassen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, evtl. subsidiäre Verfassungsbeschwerde, führen mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei zur weiteren Abklärung und zur materiellen Beurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen; evtl. sei anzuordnen, dass Z._ und S._ für die Amtsdauer 2012-2016 als Mitglieder der VK SVA wiedergewählt würden; subeventuell sei festzustellen, dass Z._ und S._ zu Unrecht nicht wiedergewählt worden seien. Überdies wird beantragt, es sei eine öffentliche mündliche Verhandlung durchzuführen.
Die Regierung des Kantons St. Gallen schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 44 mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Nichteintretensentscheid und damit gegen einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.2 S. 172 mit Hinweis). Der Entscheid wurde von einer letzten kantonalen Instanz erlassen und ist nicht beim Bundesverwaltungsgericht anfechtbar (<ref-law>). Ihm liegt eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts zugrunde (<ref-law>). Ein Ausschlussgrund (<ref-law>) liegt nicht vor. Insbesondere ist der auf dem Gebiet öffentlich-rechtlicher Arbeitsverhältnisse zu beachtende Ausnahmetatbestand des <ref-law> nicht gegeben. Zwar geht es hier um ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis im - weit zu verstehenden - Sinn dieser Bestimmung (vgl. THOMAS HÄBERLI, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 168 zu <ref-law>; Urteil 8C_495/2011 vom 13. Dezember 2011 E. 1.1; je mit Hinweisen). Der Streit um die Nichtwiederwahl in eine entgeltlich auszuübende Funktion ist aber vermögensrechtlicher Natur und die nach Art. 85 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit <ref-law> zu beachtende Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- wird mit den durch die Nichtwiederwahl entgangenen Entschädigungen erreicht. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) einzutreten. Damit bleibt kein Raum für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
3.
3.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG, insbesondere wegen Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>), erhoben werden. Die Verletzung kantonaler Bestimmungen bildet - abgesehen von den hier nicht gegebenen Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur dann einen zulässigen Beschwerdegrund, wenn eine derartige Rechtsverletzung einen Verstoss gegen Bundesrecht im Sinne von <ref-law> oder gegen Völkerrecht im Sinne von <ref-law> zur Folge hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.4 S. 249).
3.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz können nur berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
4.
Für eine mündliche Parteiverhandlung (Art. 57 in Verbindung mit <ref-law>) besteht keine Veranlassung. Dem Verfahrensantrag ist daher nicht zu entsprechen.
5.
Die Vorinstanz ist mit der Begründung auf das bei ihr erhobene Rechtsmittel nicht eingetreten, bei der Bestellung der Mitglieder der VK SVA durch die Regierung handle es sich um eine Wahl, gegen welche die Beschwerde an das Verwaltungsgericht gemäss Art. 59bis Abs. 2 lit. a Ingress und Ziff. 4 Satz 1 des kantonalen Gesetzes vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (sGS 951.1; nachfolgend: VRP) unzulässig sei. Zwischen den Mitgliedern der VK SVA und dem Kanton St. Gallen bestehe sodann kein öffentlich-rechtliches Dienstverhältnis im Sinne von Art. 59bis lit. a Ziff. 4 Satz 2 VRP, weshalb die Beschwerde an das Verwaltungsgericht auch nicht gestützt auf diese Bestimmung für zulässig erachtet werden könnte. Dieses Ergebnis halte auch vor übergeordnetem Bundesrecht im Sinne der Rechtsweggarantie gemäss <ref-law> in Verbindung mit den Vorschriften zu den Vorinstanzen des Bundesgerichts gemäss <ref-law> stand. Denn bei der zur Diskussion stehenden (Wieder-) Wahl handle es sich um einen Entscheid mit vorwiegend politischem Charakter im Sinne von <ref-law>.
6.
Die Beschwerdeführer wenden namentlich ein, der Nichteintretensentscheid verstosse gegen die verfassungsrechtliche Rechtsweggarantie. Sie verneinen hiebei den vorwiegend politischen Charakter der umstrittenen (Nicht-) Wiederwahl.
6.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person bei Rechtsstreitigkeiten Anspruch auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde, wobei Bund und Kantone durch Gesetz die richterliche Beurteilung in Ausnahmefällen ausschliessen können. Diese verfassungsrechtliche Rechtsweggarantie gewährleistet, zusammen mit <ref-law>, den Zugang zu wenigstens einem Gericht, das Rechts- und Sachverhaltsfragen umfassend überprüfen kann (Urteile 2C_692/2012 vom 10. Februar 2013 E. 2.3.2; 2C_423/2012 vom 9. Dezember 2012 E. 3.5, in: ASA 81 S. 588; 2C_273/2012 vom 29. Mai 2012 E. 2.3; je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.5 Ingress S. 239 und E. 2.5.2 S. 240; ANDREAS KLEY, in: Die Schweizerische Bundesverfassung, 2. Aufl. 2008, N. 5 zu <ref-law>).
Die verfassungsrechtliche Rechtsweggarantie wird durch <ref-law> konkretisiert, wonach die Kantone als unmittelbare Vorinstanzen des Bundesgerichts obere Gerichte einsetzen müssen, soweit nicht nach einem anderen Bundesgesetz Entscheide anderer richterlicher Behörden der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen. Für Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter können die Kantone gemäss <ref-law> anstelle eines Gerichts eine andere Behörde als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts einsetzen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.2 S. 328; <ref-ruling> E. 1.3 S. 44; je mit Hinweisen).
6.2. In den Materialien wird nicht näher erläutert, was unter dem unbestimmten Gesetzesbegriff "Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter" nach <ref-law> im Einzelnen zu verstehen ist. Aufgrund des engen Zusammenhangs zwischen dieser Bestimmung und der Rechtsweggarantie nach <ref-law> kommt der Ausschluss der richterlichen Beurteilung aber ausdrücklich nur für Ausnahmefälle in Betracht (<ref-ruling> E. 1.2 S. 438 f.; <ref-ruling> E. 1.5 S. 45; vgl. auch Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege [nachfolgend: Botschaft], BBl 2001 4325 zu Art. 78 und 4327 zu Art. 80; Urteil 2C_885/2011 vom 16. Juli 2012 E. 2.2.3.1, zusammengefasst in: JdT 2012 I S. 135). Der Begriff des vorwiegend politischen Charakters ist namentlich durch die fehlende Justiziabilität sowie die spezifische Ausgestaltung der demokratischen Mitwirkungsrechte und die damit verbundenen Aspekte der Gewaltenteilung geprägt. Dabei stellt die Zuständigkeit einer oberen politischen Behörde (kantonales Parlament oder Regierung), verbunden mit einem grossen, politisch auszufüllenden Ermessensspielraum, zwar ein Indiz für den politischen Charakter dar. Allein der Umstand, dass ein Entscheid durch den Regierungsrat gefällt wird, macht ihn allerdings noch nicht zu einem politischen Entscheid im Sinne dieser Bestimmung. Ebenso wenig weist ein Entscheid vorwiegend politischen Charakter auf, nur weil der Verwaltung ein gewisses Ermessen bei der Entscheidfindung zusteht (vgl. Urteile 2C_885/2011 E. 2.2.3.2; 8C_54/2011 vom 17. Februar 2011 E. 2.1 und 8C_103/2010 vom 19. August 2010 E. 1.3; je mit Hinweisen). Die Ausnahmeregelung des <ref-law> ist mithin eng auszulegen. Darunter fallen nur Umstände mit offensichtlich politischem Charakter. Es genügt somit nicht, dass die Sache eine politische Bedeutung hat; letztere muss unzweifelhaft im Vordergrund stehen und mögliche auf dem Spiel stehende private Interessen in den Hintergrund treten lassen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.5.4 S. 46; Urteil 2C_885/2011 E. 2.2.3.2; zum Ganzen sodann: ESTHER TOPHINKE, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 19 f. zu <ref-law>).
Als Beispiele für Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter werden regelmässig die kantonalen Richtpläne sowie die Begnadigung erwähnt (BGE <ref-ruling> E. 1.5.3 S. 46 mit Hinweis; vgl. auch E. 1.5.2 S. 45 mit Hinweis auf die Botschaft; Urteil 1C_240/2013 vom 22. April 2013 E. 1.2). Das Bundesgericht hat den Ausschluss einer kantonalen gerichtlichen Beurteilung sodann etwa bei der aus staatspolitischen Gründen verlangten Ermächtigung zur Einleitung einer Strafuntersuchung gegen einen Oberrichter (<ref-ruling>) sowie bei Entscheiden betreffend politische Rechte (Urteil 1C_91/2009 vom 10. November 2009 E. 1.6, in: RTiD 2010 I S. 27) oder den Zusammenschluss von Schulkreisen (Urteil 2C_885/2011 E. 2.2.3.3) für zulässig erachtet. Demgegenüber hat es den vorwiegend politischen Charakter beispielsweise verneint bei der mit justiziablen Vorschriften verbundenen Erteilung einer Wasserkraftkonzession (<ref-ruling>) und bei Entscheiden betreffend Versetzung eines Polizeifunktionärs (<ref-ruling>), Steuerbefreiung einer Stiftung (BGE <ref-ruling>), ausländerrechtliche Administrativhaft (<ref-ruling>), unentgeltliche Prozessführung in einer Personalrechtsangelegenheit (Urteil 8C_54/2011 E. 2.1) oder Führerausweisentzug (Urteil 1C_346/2009 vom 6. November 2009 E. 4.1). In Bezug auf Entscheide über die Zusammenlegung von Gemeinden konnte die Frage offen gelassen werden (Urteil 1C_91/2009 E. 1.6).
6.3. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen stellt eine öffentlich-rechtliche Anstalt mit eigener Rechtspersönlichkeit dar und vollzieht namentlich die Bundesgesetzgebung über die Alters- und Hinterlassenenversicherung und über die Invalidenversicherung (Art. 1 und 2 des kantonalen Einführungsgesetzes vom 13. Januar 1994 zur Bundesgesetzgebung über die Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung [sGS 350.1; nachfolgend: EG AHV/IV]). Organe der Sozialversicherungsanstalt sind die Verwaltungskommission, die Geschäftsleitung und die Revisionsstelle (Art. 4 Abs. 1 EG AHV/IV). Der - hier interessierenden - Verwaltungskommission gehören nebst einer Vertretung des zuständigen Departements sechs weitere Mitglieder an (Art. 5 Abs. 1 EG AHV/IV). Die Verwaltungskommission wird durch den Regierungsrat gewählt (Art. 10 Abs. 1 lit. b EG AHV/IV).
6.3.1. Die Wahl durch den Regierungsrat bedeutet wie erwähnt noch nicht, dass eine Sache mit vorwiegend politischem Charakter vorliegt. Dass allenfalls eine politische Komponente bei der Wahl mitspielt, genügt ebenfalls nicht. Der politische Charakter müsste offensichtlich sein und politische Interessen müssten individualrechtliche überwiegen. Zur Funktion der VK SVA hat das kantonale Gericht erwogen, diese stelle das strategische Leitungsgremium der Sozialversicherungsanstalt dar und übe für die Regierung, welcher im System der Gewaltenteilung grundsätzlich die Führungsaufgaben in der Verwaltung oblägen, die Steuerung der Beteiligung aus. Die Mitglieder der VK SVA übten ihre Funktion als Fachvertreter für die Regierung aus und brächten für diese ihr Fachwissen ein. Dass die VK SVA in erster Linie ein Fachgremium darstellt, ergibt sich auch aus den ihr gemäss Art. 6 EG AHV/IV namentlich in den Bereichen Organisation und Rechnungswesen übertragenen Aufgaben. Die Mitglieder üben demnach, jedenfalls weitaus überwiegend, keine politische Arbeit aus, sondern Facharbeit. Die Rekrutierung der Mitglieder erfolgt denn auch nicht anhand politischer Kriterien, sondern aufgrund der Fachkenntnisse der betreffenden Personen. Das zeigen exemplarisch die im Hinblick auf die hier erfolgte Wahl vorgenommene Ausschreibung sowie die parlamentarische Debatte zur Neukonstituierung der VK SVA. Die fachspezifische Ausrichtung hat überdies ihren Niederschlag im seit 1. Juni 2012 geltenden Wortlaut von Art. 5 Abs. 1 lit. b EG AHV/IV gefunden. Danach werden die sechs weiteren Mitglieder nach fachlichen Kriterien gewählt. Aufgabenbereich und Wahlkriterien lassen die Wahl der Mitglieder der VK SVA mithin nicht als vorwiegend politischen Entscheid erscheinen. Es kann nicht gesagt werden, die Überprüfung der Wahl sei nicht justiziabel. Zwar wird dem Regierungsrat bei der Wahl ein weit gehendes Ermessen zukommen. Insbesondere hat er nicht nur die Fachkompetenz der einzelnen Mitglieder zu berücksichtigen, sondern auch dafür zu sorgen, dass alle erforderlichen Fachbereiche vertreten sind und das Gremium als Ganzes funktioniert. Daher wird eine Korrektur durch das Gericht in materieller Hinsicht die Ausnahme darstellen. Geprüft werden kann aber jedenfalls der korrekte Ablauf des Verfahrens und dabei namentlich die Einhaltung des Fairnessgebotes, einschliesslich des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Entsprechende Verfahrensmängel werden hier denn auch gerügt. Schliesslich ist nicht ersehbar, inwiefern demokratische Mitwirkungsrechte und Aspekte der Gewaltenteilung tangiert sein sollten.
6.3.2. Dem - namentlich auf ein gerichtlich überprüfbares, korrektes Verfahren gerichteten - individualrechtlichen Interesse der sich zur (Wieder-) Wahl stellenden Bewerber stehen nach dem Gesagten keine auch nur annähernd gleichwertigen politischen Interessen gegenüber, die rechtfertigen könnten, eine gerichtliche Beurteilung auf kantonaler Ebene, und damit auch eine - dem Bundesgericht nicht zustehende (vgl. E. 3.2 hievor) - freie Überprüfung des Sachverhalts durch eine richterliche Behörde, auszuschliessen. Inwiefern es sich anders verhalten sollte, wird denn auch im angefochtenen Entscheid nicht weiter begründet. Der Wahlakt stellt somit keinen Entscheid mit vorwiegend politischem Charakter gemäss <ref-law> dar. Da kein Ausnahmefall im Sinne dieser Bestimmung vorliegt, hat nach <ref-law> als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts ein oberes kantonales Gericht, konkret das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen (Art. 59bis Abs. 1 VRP), zu entscheiden. Dieses ist daher auf die bei ihm eingereichte Beschwerde zu Unrecht nicht eingetreten. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache ist zur Behandlung der kantonalen Beschwerde an die Vorinstanz zurückzuweisen.
7.
Bei diesem Verfahrensausgang hat der Kanton St. Gallen die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Da dieser durch den hauptsächlich streitigen Wahlakt auch in seinen Vermögensinteressen betroffen ist, kommt die Kostenbefreiung gemäss <ref-law> nicht zum Tragen. Der Kanton hat den Beschwerdeführern zudem eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 12. März 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden dem Kanton St. Gallen auferlegt.
3.
Der Kanton St. Gallen hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. August 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz