Sachverhalt:
A. X._ wurde mit Anklageschrift vom 4. Mai 2010 vorgeworfen, sie habe in ihrem Hobbyraum im Keller zwölf Chinchillas in neun Käfigen verteilt gehalten und dabei auf grobe Weise gegen das Tierschutzgesetz vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455) verstossen (Dunkelhaltung, mangelnde Hygiene in den Gehegen, ungenügende Gesundheitsfürsorge sowie mangelnde bzw. fehlende Ernährung und Tränkung). Sie habe die Tiere überaus stark vernachlässigt und in vier Fällen zumindest eventualvorsätzlich deren qualvollen Tod verursacht. Wer Tiere nicht mehr füttere oder tränke, nehme deren qualvollen Tod ohne weiteres in Kauf. Die Staatsanwaltschaft beantragte 16 Monate Freiheitsstrafe, bedingt mit einer zweijährigen Probezeit, und 2'000 Franken Busse.
B. Das Bezirksgericht Muri sprach X._ am 29. Juni 2010 schuldig der mehrfachen Tierquälerei durch Vernachlässigung von Tieren gemäss <ref-law> und der mehrfachen Tierquälerei durch Tötung von Tieren gemäss <ref-law>. Es verurteilte sie zu einer Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu Fr. 130.-- (mit bedingtem Vollzug und zweijähriger Probezeit) sowie zu einer Busse von Fr. 1'000.--.
Das Obergericht des Kantons Aargau hiess am 28. Oktober 2010 eine Berufung der Staatsanwaltschaft zur Strafzumessung und zur Formulierung des Urteilsdispositivs (sowie zu Entschädigungsfolgen) teilweise gut. Es ergänzte den zweiten Schuldspruch mit "durch qualvolle Tötung" von Tieren, verneinte eine verminderte Schuldfähigkeit und bestätigte im Übrigen das bezirksgerichtliche Urteil im Strafpunkt.
C. Die Staatsanwaltschaft erhebt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, X._ zu einer Freiheitsstrafe von 16 Monaten zu verurteilen, eventualiter die Sache zur Neubeurteilung der Strafe an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Vorinstanz verzichtet auf Gegenbemerkungen.
X._ reicht eine Vernehmlassung ein, worin sie beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, und ihr sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.

Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorinstanz habe zwar anders als das Bezirksgericht eine verminderte Schuldfähigkeit ausgeschlossen, aber die Tatkomponente viel zu wenig stark gewichtet und eine unhaltbar milde Strafe ausgefällt. Die Tatkomponente wiege ausserordentlich schwer, und die wenigen entlastenden Täterkomponenten vermöchten das Verschulden insgesamt nicht auf mittelschwer zu reduzieren. Das Rechtsempfinden verlange eine hypothetische Einstufung, so dass starke Vernachlässigung, Misshandlung und qualvolle oder mutwillige Tötung zwingend im oberen Bereich des Strafrahmens einzuordnen seien, ansonsten der Strafrahmen niemals auch nur annähernd ausgeschöpft werden könne, und für minder schwere Fälle bloss noch Raum für symbolische Strafen bliebe.
2. Die Vorinstanz geht von einem ordentlichen Strafrahmen bei Tierquälerei von einem Tagessatz Geldstrafe bis drei Jahre Freiheitsstrafe und einem schweren Verschulden aus. Entgegen der Beschwerdeführerin habe das Bezirksgericht zu Recht den Eventualvorsatz berücksichtigt. Die Beschwerdegegnerin habe den Tod nicht direkt angestrebt. Ihr Verschulden wiege deshalb geringer. Die Beschwerdeführerin blende die subjektive Seite zu Unrecht aus. Dass es sich bei der Beschwerdegegnerin um eine Tierfreundin handeln solle, ändere aber nichts, eben so wenig, dass bei einer Nachkontrolle alles in Ordnung gewesen sei. Sie sei geständig, habe sich kooperativ verhalten, sei einsichtig und reuig. Zu berücksichtigen sei auch, dass sie im Tatzeitpunkt offensichtlich an psychischen Problemen in der Form von Depression gelitten und in Behandlung gestanden habe. Die Tierquälerei stehe damit in Zusammenhang. Verminderte Schuldfähigkeit sei aber auszuschliessen. Es sei nicht von einer in hohem Masse in den Bereich des Abnormen fallenden psychischen Abweichung auszugehen. Sie sei nicht stets ans Bett gebunden gewesen und habe sich nicht in stationäre Behandlung begeben müssen. Sie sei im Gegenteil weitgehend in der Lage gewesen, ihrer Arbeit nachzugehen und ihre anderen Tiere ausreichend zu betreuen. Eine Begutachtung erübrige sich (<ref-law>). Es sei "ihr nicht selbst verschuldeter depressiver Zustand" leicht strafmindernd zu berücksichtigen. Insgesamt sei von einem mittelschweren Verschulden auszugehen.
3. In ihrer Vernehmlassung (S. 11) ersucht die Beschwerdegegnerin, die Frage zu prüfen, ob ihr Verhalten tatsächlich als eventualvorsätzlich qualifiziert werden dürfe. Mangels Anfechtung der Schuldsprüche ist darauf an sich nicht einzutreten. Die auch von der Beschwerdeführerin angefochtene strafzumessungsrelevante Wertung des subjektiven Sachverhalts ist jedoch zu überprüfen.
3.1 Das Bezirksgericht schloss direkten Vorsatz von vornherein aus. Die Vernachlässigung der Tiere sei weder eigentliches Handlungsziel noch eine Vorstufe dazu oder eine Nebenfolge davon gewesen. Die Beschwerdegegnerin habe mit Sicherheit nicht gewollt, dass ihre Tiere durch ihre Nachlässigkeit Hunger leiden und in unbeleuchteten und verdreckten Gehegen leben müssten. Dies bestätige der Bericht des Amtstierarztes, wonach sie sich anlässlich der Kontrolle über das Ausmass der Verschmutzung und vor allem über die vier toten Chinchillas sehr erschrocken gezeigt habe. Sie habe nicht erkannt, dass die Situation derart ernst und schlimm gewesen sei. Sie habe glaubwürdig beteuert, dass sie das alles nicht gewollt habe. Die Verwirklichung der Vernachlässigung habe ihr aber so naheliegend erscheinen müssen, dass sie nicht mehr auf deren Ausbleiben habe vertrauen dürfen (bezirksgerichtliches Urteil S. 10 f.).
Auch hinsichtlich des Todes der vier Tiere könne einzig von eventualvorsätzlichem Handeln ausgegangen werden. Es könne nicht ernsthaft in Betracht gezogen werden, dass sie den Tod ihrer Chinchillas gewünscht hätte. Es habe ihr aber bewusst sein müssen, dass mangelnde Ernährung zu einer Abmagerung (Kachexie) und allenfalls sogar zum Tod durch Verhungern und Verdursten führen könne (bezirksgerichtliches Urteil S. 12).
3.2 Die Abgrenzung des Eventualvorsatzes zur bewussten Fahrlässigkeit ist schwierig. Vorsatz ist eine innere Tatsache und nur anhand äusserer Kennzeichen feststellbar. Deshalb ist die Rechtsfrage ohne Bewertung der Tatfrage kaum zu beantworten. Der Sinngehalt der zum Eventualdolus entwickelten Formeln lässt sich nur im Lichte der tatsächlichen Umstände des Falles prüfen (<ref-ruling> E. 2c mit Hinweis).
Dass das Bezirksgericht das Verhalten der Beschwerdegegnerin als eventualvorsätzlich wertete und damit Fahrlässigkeit verneinte, womit es eine Übertretungsstrafbarkeit im Sinne von <ref-law> ausschloss, ist mit der Vorinstanz bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Indessen ergibt sich klar, dass das vorwerfbare Verhalten näher der fahrlässigen Pflichtwidrigkeit (<ref-law>) als dem direkten Vorsatz (<ref-law>) liegt.
4. Wegen vorsätzlicher Tierquälerei gemäss <ref-law> wird mit Gefängnis oder mit Busse bestraft, wer ein Tier misshandelt, vernachlässigt, es unnötig überanstrengt oder dessen Würde in anderer Weise missachtet (lit. a), oder wer Tiere auf qualvolle Art oder aus Mutwillen tötet (lit. b). Gemäss <ref-law> ist die Strafandrohung "Gefängnis" durch Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe zu ersetzen. Für die Strafzumessung gelten die allgemeinen Bestimmungen des StGB (<ref-law>).
4.1 Das Gericht misst die Strafe nach dem Verschulden zu (<ref-law>). Das Verschulden wird nach der Schwere der Verletzung oder Gefährdung des betroffenen Rechtsguts, nach der Verwerflichkeit des Handelns, den Beweggründen und Zielen des Täters sowie danach bestimmt, wie weit der Täter nach den inneren und äusseren Umständen in der Lage war, die Gefährdung oder Verletzung zu vermeiden (<ref-law>). Bei Real- oder Idealkonkurrenz verurteilt das Gericht zu der Strafe der schwersten Straftat und erhöht sie angemessen (Asperationsprinzip; <ref-law>; dazu <ref-ruling> E. 2b).
Bei der Gewichtung der Strafzumessungsfaktoren steht dem Sachgericht ein weites Ermessen zu. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn die Vorinstanz den gesetzlichen Strafrahmen über- oder unterschritten hat, wenn sie von rechtlich nicht massgebenden Kriterien ausgegangen ist oder wesentliche Gesichtspunkte ausser Acht gelassen bzw. in Überschreitung oder Missbrauch ihres Ermessens falsch gewichtet hat (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2c).
Das Gericht erfüllt seine Begründungspflicht (<ref-law>), wenn es die Überlegungen, die es bei der Bemessung der Strafe vorgenommen hat, in den Grundzügen wiedergibt (<ref-ruling> E. 2.1). Die Strafe muss im Ergebnis bundesrechtlich vertretbar sein (vgl. <ref-ruling> E. 2a/aa).
4.2 Die Vorbringen der Beschwerdeführerin gehen an der Sache vorbei. Der Strafantrag ist überrissen. Jede Straftat ist in den Strafrahmen einzuordnen. Das tut auch die Vorinstanz. Sie ist nicht verpflichtet, sich bei den einzelnen Teilschritten der Urteilsbegründung auf bestimmte Zahlenangaben festzulegen (<ref-ruling> E. 2a/aa). Die Strafzumessungstatsachen zeigen zudem ein völlig anderes Bild als das von der Beschwerdeführerin aufgezeigte. Entgegen ihrer Einschätzung wiegt die Tatkomponente keineswegs "ausserordentlich schwer". Es geht auch nicht darum, den Strafrahmen auszuschöpfen, sondern eine Strafe nach den Kriterien des StGB festzusetzen. <ref-law> kennt keine Mindeststrafandrohung. Deshalb steht auch bei Vernachlässigung und Tötung der gesamte Strafrahmen zur Verfügung. Die Strafe ist nicht nach dem Erfolg, sondern nach dem Verschulden zuzumessen (oben E. 4.1). Es sind denn auch ganz andere Formen der Tierquälerei vorstellbar als jene, welche hier zu beurteilen sind. Die Beschwerdegegnerin hat weder aus gemeinen Beweggründen gehandelt noch die Tiere in skrupelloser Zielsetzung belastet. Vielmehr war die sich selbst als Tierfreundin verstehende Beschwerdegegnerin (vorübergehend) nicht in der Lage, für das Wohlergehen der Tiere (vgl. <ref-law>) zu sorgen. Sie war bei der amtstierärztlichen Kontrolle erschrocken. Sie hatte nicht erkannt, dass die Situation derart ernst und schlimm gewesen war. Sie hatte "das alles nicht gewollt" (oben E. 3.1). Die zutreffende normative Zuschreibung des Eventualvorsatzes und damit die Bejahung des subjektiven Tatbestands ändern nichts daran, dass die tatsächlichen Umstände für die Strafzumessung massgeblich bleiben.
Wird berücksichtigt, das die Beschwerdegegnerin im Tatzeitpunkt wegen Depression in Behandlung stand (seit Oktober 2008; ärztliches Attest vom 14. Juni 2010; act. 42), wird auch ihr Verhalten eher erklärlich und anders zu beurteilen sein, als es die Beschwerdeführerin beantragt. Dabei stellt die Vorinstanz zu hohe Voraussetzungen, wenn sie gleichsam bereits einen stationären Aufenthalt verlangt, um eine verminderte Schuldfähigkeit gemäss <ref-law> in Betracht zu ziehen (oben E. 2). Das Verschulden ist auch danach zu bestimmen, wie weit der Täter nach den inneren und äusseren Umständen in der Lage war, die Gefährdung oder Verletzung zu vermeiden (<ref-law>). Eine Depression ist ein solcher innerer Umstand, der aktuell persönlichkeitsverändernd wirken und das Handeln einer Person massiv beeinträchtigen kann. Mit dieser Problematik muss sich das Bundesgericht in der vorliegenden prozessualen Situation nicht vertiefter auseinandersetzen.
Hingegen ist anzumerken, dass der vorinstanzliche Ausgangspunkt eines "schweren Verschuldens" und das massgebende Ergebnis eines "mittelschweren Verschuldens" angesichts des Sachverhalts nicht haltbar sind. Die ausgesprochene Strafe ist zudem im Lichte der Gewichtung des Verschuldens schwer verständlich. Bei einem Strafrahmen, der von Geldstrafe bis zu drei Jahren Freiheitsstrafe reicht, erscheint eine festgesetzte Geldstrafe von 60 Tagessätzen nicht nachvollziehbar, wenn zumessungsrelevant von einem "mittelschweren Verschulden" auszugehen wäre. Weil das Strafmass indessen im Ergebnis bundesrechtlich vertretbar ist (vgl. oben E. 4.1), führt dies nicht zur Aufhebung des angefochtenen Urteils nur der besseren Begründung wegen (<ref-ruling> E. 2c am Ende). Das Bundesgericht drängt in seiner neuesten Praxis vermehrt darauf, dass Formulierung des Verschuldens und Festsetzung des Strafmasses auch begrifflich im Einklang stehen (vgl. Urteile 6B_1048/2010 vom 6. Juni 2011 E. 3.2 [den Kanton Aargau betreffend] und 6B_763/2010 vom 26. April 2011 E. 4.1).
5. Die Beschwerde ist abzuweisen. Es sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Mit dem antragsgemässen Ausgang des Verfahrens ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos geworden. Der Kanton Aargau hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).
Die Beschwerdegegnerin reichte eine Kostennote ein. Honorar und Entschädigung werden auf Grund der Akten als Gesamtbetrag festgelegt (Art. 10 und 12 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor Bundesgericht vom 31. März 2006; SR 173.110.210.3). In Strafsachen beträgt die Parteientschädigung bei vollständigem Obsiegen in der Regel maximal Fr. 3'000.-- (zum Ganzen MARC THOMMEN, Kosten und Entschädigungen in strafrechtlichen Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht, in: FP 1/2009 S. 51). Auf die eingereichte Kostennote (vgl. Art. 12 Abs. 2 des Reglements) ist nicht weiter einzutreten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Aargau wird verpflichtet, der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu zahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juli 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Mathys Briw