Sachverhalt:
A.
A._ sowie D.B._ und C.B._ haben am 19. Juli 2013 gemeinsam beim Baudepartement des Kantons St. Gallen Rekurs gegen eine von der Politischen Gemeinde Mörschwil am 3. Juli 2013 erteilte Baubewilligung erhoben. Das Departement forderte deren Rechtsvertreter mit verfahrensleitender Verfügung vom 23. Juli 2013 dazu auf, bis zum 30. August 2013 einen Kostenvorschuss in der Höhe von Fr. 1'000.-- zu leisten. Die Frist wurde als nicht erstreckbar bezeichnet und für den Säumnisfall das Abschreiben des Rekurses angedroht.
Am 3. September 2013 ersuchte der Anwalt von A._ sowie von D.B._ und C.B._ das Baudepartement um Ansetzung einer Notfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses. Er begründete dies damit, er habe es versäumt, den Vorschuss fristgerecht zu leisten, weil sein Vater im Zeitpunkt des Eingangs der verfahrensleitenden Verfügung im Sterben gelegen und am 1. August 2013 dann verstorben sei. Am 4. September 2013 ersuchte der Anwalt ausserdem um Wiederherstellung der Frist; der einverlangte Kostenvorschuss ging am selben Tag beim Baudepartement ein.
B.
Am 5. September 2013 trat das Baudepartement auf das Gesuch um Ansetzung einer Notfrist nicht ein; dieser Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Am 3. Oktober 2013 wies es ausserdem das Gesuch um Fristwiederherstellung ab und schrieb den Rekurs von A._ sowie D.B._ und C.B._ wegen Nichtleistens des Kostenvorschusses ab.
Mit Urteil vom 19. August 2014 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen eine von A._ sowie D.B._ und C.B._ gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde ab.
C.
Mit Eingabe vom 29. September 2014 führen A._ sowie D.B._ und C.B._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragen im Wesentlichen, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und sie seien zum Rekursverfahren gegen den Bauentscheid der Politischen Gemeinde Mörschwil zuzulassen.
Die Politische Gemeinde Mörschwil beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei; das Verwaltungsgericht beantragt deren Abweisung.
Es wurde ein weiterer Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen letztinstanzlichen Entscheid einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law> in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, der grundsätzlich mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden kann (Art. 82 lit. a und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführenden haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und sind vom angefochtenen Urteil mehr als die Allgemeinheit betroffen; sie haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung und sind daher zur Beschwerde befugt (<ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde können Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Allerdings prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Bezüglich der Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht: Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 2.1 S. 143; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
Die Beschwerdeführenden machen zum einen verschiedene Verstösse gegen verfassungsrechtliche Prozessgarantien geltend (Ausstand, <ref-law>; rechtliches Gehör, <ref-law>), was zulässig ist. Dasselbe gilt für die Rüge der willkürlichen Anwendung des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 16. Mai 1965 (VRP/SG; sGS 951.1). Soweit die Beschwerdeführenden dagegen einen Verstoss gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>) monieren, handelt es sich dabei um kein verfassungsmässiges Individualrecht, sondern um einen Verfassungsgrundsatz, dessen Verletzung nicht selbstständig, sondern nur im Zusammenhang mit der Verletzung des Grundsatzes der Gewaltentrennung, der Rechtsgleichheit, des Willkürverbots oder eines speziellen Grundrechts gerügt werden kann (<ref-ruling> E. 2.1 S. 326; <ref-ruling> E. 2.1 S. 163). Der Rüge der Unverhältnismässigkeit kommt somit keine über den Vorwurf der Willkür hinausgehende Bedeutung zu.
3.
3.1. Die Beschwerdeführenden sind zunächst der Auffassung, der Präsident des St. Galler Verwaltungsgerichts hätte bei der Behandlung ihrer Beschwerde in den Ausstand treten müssen, weil er bis vor kurzem Büropartner von Rechtsanwalt Thomas Frey gewesen sei, der seinerseits die Politische Gemeinde Mörschwil vertrete.
Wer einen Ablehnungsgrund nicht unverzüglich nach dessen Kenntnisnahme geltend macht, verwirkt den Anspruch auf seine spätere Anrufung (<ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275; <ref-ruling> E. 2.2 S. 4; <ref-ruling> E. 3.4 S. 211; je mit Hinweisen). Sowohl die Beschwerdegegnerin wie auch das Verwaltungsgericht haben in ihren Stellungnahmen zur Beschwerde aufgezeigt, dass den Beschwerdeführenden bzw. deren Anwalt die ehemalige Tätigkeit des heutigen Verwaltungsgerichtspräsidenten als Büropartner des Anwalts der Beschwerdegegnerin längst bekannt war. Sie hätten daher allfällige Bedenken gegen die Unbefangenheit des angerufenen Gerichtspräsidenten frühzeitig geltend machen können und müssen. Es geht nicht an - wie vorliegend - den Ausgang des Verfahrens abzuwarten und im Falle eines missliebigen Entscheids nachträglich einen Ausstandsgrund zu behaupten. Die Beschwerdeführenden bringen zwar vor, sie hätten nicht gewusst, dass der Verwaltungsgerichtspräsident tatsächlich am Verfahren mitwirken und nicht von selbst in den Ausstand treten würde. Dieser Einwand ist freilich unbehelflich: Die Beschwerdeführenden bzw. ihr Anwalt wussten, dass der Präsident zur ordentlichen Besetzung des Gerichts gehört und hätten nicht einfach darauf vertrauen dürfen, dass dieser die Ausstandsfrage gleich wie sie einschätzen würde, zumal der geltend gemachte Ausstandsgrund nicht geradezu offensichtlich erscheint. Sie hätten ihre Bedenken daher frühzeitig vorbringen müssen; alle Instruktionsverfügungen des Verwaltungsgerichts waren im Auftrag von dessen Präsidenten ergangen und signiert, womit keine Hinweise vorlagen, dieser könnte sich selbst als befangen erachten und in den Ausstand treten wollen.
Im Übrigen wäre der Einwand der Befangenheit auch in der Sache unbegründet gewesen. Zwar vermögen auch besondere Gegebenheiten hinsichtlich des Verhältnisses zwischen einem Richter und einem Parteivertreter den objektiven Anschein der Befangenheit des Ersteren zu begründen (<ref-ruling> E. 5 S. 276; Urteil 5A_253/2010 vom 10. Mai 2010 E. 2.2 mit Hinweisen), dies jedoch nur bei Vorliegen spezieller Umstände. Erforderlich wäre, dass die Intensität und Qualität der beanstandeten Beziehung das sozial Übliche übersteigt. Solches ist vorliegend nicht ersichtlich und wird von den Beschwerdeführenden auch nicht behauptet; aus einer - auch langjährigen - Büropartnerschaft allein lässt sich noch nicht auf eine besondere Freundschaft schliessen. Im vorliegenden Fall hatte der Verwaltungsgerichtspräsident im Urteilszeitpunkt seine ehemalige Anwaltskanzlei bereits seit mehr als anderthalb Jahren verlassen, so dass von ihm die erforderliche Distanz erwartet werden kann.
Die Beschwerdeführenden fühlen sich in ihrer Kritik am Mitwirken des Gerichtspräsidenten dadurch bestätigt, dass dieser selbst die einlässliche Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts mit dem Antrag auf Abweisung der Beschwerde unterzeichnet hat. In der Tat wäre es in der vorliegenden Konstellation womöglich sinnvoll gewesen, wenn der Präsident, dessen Unbefangenheit vor dem Bundesgericht in Frage gestellt wurde, die Verantwortung für die Vernehmlassung seinem Stellvertreter überlassen hätte. Allerdings vermag auch dieser Umstand noch keinen Anschein der Befangenheit zu erwecken, war doch die Stellungnahme in jeder Hinsicht sachlich gehalten. Im Übrigen war es durchaus sachgerecht, dass der Präsident zum Befangenheitsvorwurf selber Stellung bezog (vgl. <ref-law>, analog).
3.2. Die Beschwerdeführenden sind weiter der Auffassung, die Vorinstanz habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie sich mit ihren verschiedenen Vorbringen, weshalb das verspätete Bezahlen des Kostenvorschusses nicht zur Abschreibung des Verfahrens führen dürfe, nicht auseinandergesetzt habe.
Auch diese Rüge trifft nicht zu: Die Vorinstanz hat argumentiert, die Säumnisfolge trete ungeachtet dessen ein, ob der Kostenvorschuss verspätet oder überhaupt nicht geleistet werde, und sah höchstens einen ausgesprochen engen, vorliegend nicht gegebenen Anwendungsbereich für die Ausnahmeklausel von Art. 96 Abs. 2 VRP/SG, die trotz Säumnis eine materielle Behandlung eines Rechtsmittels erlaubt, wenn öffentliche Interessen dies gebieten. Damit hat sie genügend begründet, weshalb sie den Nichteintretensentscheid des Baudepartements weder als unverhältnismässig noch als unangemessen erachtete und darin keinen Verstoss gegen Art. 96 VRP/SG erblickte. Das angefochtene Urteil äussert sich zu diesen Aspekten zwar nicht sehr eingehend, doch ist dies auch nicht erforderlich, wenn die vorgebrachten Einwände klarerweise unbegründet sind, was nach Auffassung des Verwaltungsgerichts offenbar zutraf. Von der Frage der genügenden Begründung des vorinstanzlichen Urteils ist allerdings die Frage zu unterscheiden, ob die Erwägungen des Verwaltungsgerichts auch in der Sache zutreffend waren. Dies ist nachfolgend näher zu prüfen.
3.3. Die Beschwerdeführenden sind der Auffassung, die vorinstanzliche Auslegung und Anwendung von Art. 96 VRP/SG auf den vorliegenden Fall sei willkürlich und unverhältnismässig, wobei letztgenanntes Argument, wie weiter oben bereits erwähnt, keine selbstständige Bedeutung aufweist (vgl. oben E. 2).
3.3.1. Die Beschwerdeführenden erachten die Interpretation von Art. 96 Abs. 2 VRP/SG als willkürlich, weil es sich beim Kostenvorschuss, der gestützt auf diese Bestimmung erhoben werde, nicht um ein gesetzliches Gültigkeitserfordernis handle, anders etwa als die Einhaltung der Rekurs- bzw. der Beschwerdefrist. Letztere sei denn auch im dritten Teil des VRP/SG normiert, die Kostenvorschussregelung dagegen im vierten Teil. Art. 96 Abs. 2 VRP/SG regle nach seinem klaren Wortlaut bloss den Fall, dass der erhobene Kostenvorschuss überhaupt nicht geleistet werde. Zweck der Bestimmung sei es, zu verhindern, dass die Behörden Amtshandlungen vornehmen müssten, wenn die daraus resultierenden Kosten nicht gedeckt seien; dieses Risiko bestehe vorliegend gerade nicht, hätten die Beschwerdeführenden den Kostenvorschuss doch inzwischen bezahlt.
3.3.2. Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 168; <ref-ruling> E. 4.3 S. 319; je mit Hinweis).
3.3.3. Art. 96 Abs. 2 VRP/SG lautet wie folgt:
Entspricht der Betroffene trotz Hinweis auf die Säumnisfolgen der Aufforderung nicht, so kann das Verfahren abgeschrieben werden oder die anbegehrte Amtshandlung unterbleiben, wenn nicht öffentliche Interessen entgegenstehen.
Die Beschwerdeführenden sind der Auffassung, aus diesem Wortlaut ergebe sich klar, dass die Rechtsfolge der Abschreibung des Verfahrens nur eintreten solle, wenn der Kostenvorschuss überhaupt nicht geleistet werde. Davon könne in ihrem Fall nicht die Rede sein, denn sie hätten der Aufforderung zur Leistung des Kostenvorschusses sehr wohl entsprochen, wenn auch verspätet.
Die Auslegung der Beschwerdeführenden ist dann vertretbar, wenn man als "Aufforderung" bloss die Verpflichtung zur Leistung des Kostenvorschusses an sich versteht, ungeachtet eines bestimmten Termins. Interpretiert man den Begriff der "Aufforderung" dagegen als Anweisung der Behörde, den Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- bis zu einem bestimmten Zeitpunkt zu entrichten, haben die Beschwerdeführenden der Aufforderung des Baudepartements nicht entsprochen und können dies nach Ablauf der ihnen gesetzten Frist auch nicht mehr tun, so dass der Tatbestand von Art. 96 Abs. 2 VRP/SG erfüllt ist. Bei dieser zumindest ebenso gut vertretbaren Auslegung, die offensichtlich dem Normverständnis der Vorinstanz entspricht, waren die Voraussetzungen der Abschreibung des Verfahrens vor dem Baudepartement nach Ablauf der angesetzten Frist somit ohne weiteres erfüllt, auch wenn die Beschwerdeführenden den Kostenvorschuss einige Tage später dann doch noch leisteten (vgl. Urteil 9C_715/2007 vom 17. Juni 2008 E. 6.2.2). Gegen die Interpretation der Beschwerdeführenden spricht zudem der Umstand, dass sich für die Verwaltung erhebliche Unsicherheiten betreffend den Eingang des Kostenvorschusses und damit der Möglichkeit der Abschreibung des Verfahrens ergeben würden. Bereits aus diesen Überlegungen erhellt, dass die vorinstanzliche Praxis einer sinnvollen Interpretation von Art. 96 Abs. 2 VRP/SG entspricht und schon deshalb nicht als willkürlich bezeichnet werden kann.
3.3.4. Weiteres kommt dazu:
Die Vorinstanz stützt sich bei ihrer Auslegung von Art. 96 Abs. 2 VRP/SG auf ihre eigene, offenbar langjährige Praxis, die auch Zustimmung in der Lehre zum St. Gallischen Verwaltungsprozess gefunden hat (Rebecca Hirt, Die Regelung der Kosten nach St. Gallischem Verwaltungsrechtspflegegesetz, 2004, S. 139 f.; Urs Peter Cavelti/ Thomas Vögeli, Verwaltungsgerichtsbarkeit im Kanton St. Gallen, 2003, Rz. 812; Werner Hagmann, Die St. Gallische Verwaltungsrechtspflege und das Rechtsmittelverfahren vor dem Regierungsrat, 1979, S. 271). Es entspricht darüber hinaus verbreiteter Übung in den Kantonen und im Bund, bei erfolgtem Hinweis auf die Abschreibungsfolge ein Verfahren ohne weiteres vom Geschäftsverzeichnis abzuschreiben, wenn ein Kostenvorschuss nicht rechtzeitig geleistet wird. Daran ändert das die Beschwerdeführenden betreffende Urteil des Bundesgericht 5A_814/2014 vom 12. Dezember 2014 nichts.
Die Vorinstanz legt schliesslich dar, sie selbst mache kaum oder nur mit grosser Zurückhaltung von der in Art. 96 Abs. 2 VRP/SG vorgesehenen Möglichkeit Gebrauch, trotz unterbliebener oder verspäteter Leistung des Kostenvorschusses dennoch auf eine Beschwerde einzutreten. Diese Praxis überzeugt: Eine regelwidrige Anhandnahme eines Rechtsmittels unterläge vor dem Hintergrund des Gleichheitsgebots jedenfalls grossen Bedenken. Geradezu zwingende öffentliche Interessen, die einer Abschreibung eines Rekurses entgegenstehen würden, sind vorliegend nicht ersichtlich, zumal die von den Beschwerdeführenden bestrittene Baubewilligung auch von andern Parteien angefochten worden ist und damit trotz Abschreibung ihres eigenen Rekurses nicht in Rechtskraft erwachsen ist. Eine willkürliche oder unverhältnismässige Handhabung des kantonalen Verfahrensrechts ist somit nicht zu erkennen.
3.4. Zusammenfassend steht fest, dass das angefochtene Urteil inhaltlich nicht zu beanstanden ist, hinreichend begründet war und bei der Vorinstanz keine Ausstandsgründe vorlagen. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführenden kostenpflichtig (<ref-law>). Da die Politische Gemeinde Mörschwil in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätig war, steht ihr keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Politischen Gemeinde Mörschwil, dem Baudepartement des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Februar 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts