Sachverhalt:
A. A.a Die Deutsche Reiterliche Vereinigung e.V. mit Sitz in Warendorf/DE (Beschwerdegegnerin) ist der nationale Reitsportverband Deutschlands.
X._, Deutschland, (Beschwerdeführer) ist ein erfahrener internationaler Springreiter. Er ist Mitglied der Beschwerdegegnerin und vertrat das deutsche Nationalteam an den Olympischen Sommerspielen 2008 in China.
Die Fédération Equestre Internationale (FEI) ist der Weltverband für den Reitsport mit Sitz in Lausanne.
A.b Der Beschwerdeführer war bereits Mitglied der deutschen Springreitermannschaft, welche die Goldmedaille an den Olympischen Sommerspielen 2004 in Griechenland gewann. Die Medaille wurde aberkannt, nachdem das Pferd von A._ positiv auf eine verbotene Substanz getestet worden war.
A.c Sämtliche Pferdewettkämpfe der Olympischen Sommerspiele 2008 fanden zwischen dem 8. und dem 21. August 2008 in Hongkong statt. Der Beschwerdeführer nahm am olympischen Springreitturnier mit dem Pferd AX._ teil.
Am 9. und 17. August 2008 füllte die zuständige Veterinärkommission ein Medikationsformular 3 (Genehmigung für den Gebrauch von Medikamenten, die nicht gemäss FEI-Richtlinien verboten sind) sowie ein Medikationsformular 1 (Genehmigung für Notfallbehandlungen, d.h. Medikation mit verbotenen Substanzen) aus. Auf beiden Dokumenten wurde das Pferd AX._ für wettkampftauglich erklärt. Ein Antrag zuhanden der zuständigen Stelle für den Gebrauch von Capsaicin wurde nicht eingereicht und es wurde für diese Substanz kein Medikationsformular ausgefüllt.
Am 17. August 2008 wurde das Pferd AX._ getestet. Auf dem FEI-Medikations-Kontrollformular wurde nicht vermerkt, dass eine auf Capsaicin basierende Substanz beim Tier verwendet worden wäre. Die Analyse der A-Proben vom 18. August 2008 ergab, dass sowohl im Blut als auch im Urin des Pferds AX._ die verbotene Substanz Capsaicin nachgewiesen wurde. Mit Faxschreiben vom 20. August 2008 wurde X._ darüber informiert und mit sofortiger Wirkung provisorisch suspendiert.
Am 22. August 2008 wurde anhand der B-Proben des Pferds eine weitere Analyse durchgeführt, die den Nachweis von Capsaicin bestätigte.
In einer Pressemitteilung vom 24. August 2008 erklärte der Beschwerdeführer, dass das Pferd AX._ seit der Teilnahme an einer Reitveranstaltung in Cannes im Juni 2008 unter chronischen Rückenschmerzen leide. Seither habe er daher zur Behandlung täglich die Salbe "Equi-block" verwendet. Dieses Produkt enthält unbestrittenermassen Capsaicin.
B. B.a Mit Entscheid vom 22. Oktober 2008 stellte das FEI-Tribunal eine Verletzung der anwendbaren Doping- und Medikationsregeln (FEI Equine Anti-Doping and Medication Control Rules, EADMC Rules) fest und verhängte eine 120-tägige Sperre des Beschwerdeführers, wirksam ab 21. August 2008, sowie eine Busse von Fr. 2'000.--. Es erwog, dass Capsaicin entweder als Dopingmittel zu qualifizieren sei, sofern es zur Sensibilitätssteigerung eingesetzt werde (sog. Hypersensibilisierung), indem die Vorderbeine des Pferds damit eingerieben werden (was beim Tier zu einer übermässigen Schmerzempfindlichkeit beim Berühren der Stangen und damit zu höheren Anstrengungen beim Springen führt), oder als verbotene Substanz der "Medication Class A". Es befand, dass kein Beweis für eine Sensibilitätssteigerung der Beine des Tiers vorliege und daher lediglich eine verbotene Medikation in Form eines "Medication Class A"-Verstosses nachgewiesen sei.
Der Beschwerdeführer nahm nach Ablauf der Sperre am 19. Dezember 2008 seine Wettkampftätigkeit wieder auf.
B.b Am 13. November 2008 erhob die Beschwerdegegnerin beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) einen Appeal gegen den Entscheid des FEI-Tribunals vom 22. Oktober 2008 und beantragte eine Sperre von mindestens acht Monaten seit dem 21. August 2008. Der Beschwerdeführer appellierte ebenfalls und beantragte im Wesentlichen eine Reduktion der Dauer der Sperre auf drei Monate.
Mit Schiedsentscheid vom 30. April 2009 hiess das TAS den Appeal der Beschwerdegegnerin gut und sprach gegen den Beschwerdeführer eine Sperre von acht Monaten, d.h. vom 21. August 2008 bis 20. April 2009, aus. Gleichzeitig wurden dem Beschwerdeführer sämtliche während dieses Zeitabschnitts erzielten Resultate (unter Verlust von Medaillen, Punkten und Preisen) aberkannt. Den Appeal des Beschwerdeführers wies das TAS ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen sowie Revisionsgesuch beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es sei das Urteil des TAS vom 30. April 2009 aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde sowie des Revisionsgesuchs, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Der Beschwerdeführer hat dem Bundesgericht eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid ist in englischer Sprache ergangen. Die Parteien bedienen sich im Verfahren vor Bundesgericht der deutschen Sprache. Nach <ref-law> ist der Entscheid in der Amtssprache Deutsch zu begründen.
2. Im Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit ist die Beschwerde in Zivilsachen unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG zulässig (<ref-law>).
2.1 Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich vorliegend in Lausanne. Die Parteien hatten im relevanten Zeitpunkt weder ihren Sitz bzw. Wohnsitz noch ihren gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz. Da die Parteien die Bestimmungen des 12. Kapitels des IPRG nicht schriftlich ausgeschlossen haben, gelangen diese zur Anwendung (Art. 176 Abs. 1 und 2 IPRG).
2.2 Zulässig sind allein die Rügen, die in <ref-law> abschliessend aufgezählt sind (<ref-ruling> E. 5 S. 187; <ref-ruling> E. 1a S. 53; <ref-ruling> E. 1a S. 282). Nach <ref-law> prüft das Bundesgericht nur die Rügen, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind; dies entspricht der in <ref-law> für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5 S. 187 mit Hinweis). Bei Rügen nach <ref-law> ist die Unvereinbarkeit des angefochtenen Schiedsentscheids mit dem Ordre public im Einzelnen aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 3 S. 606). Appellatorische Kritik ist unzulässig (<ref-ruling> E. 3b S. 382).
2.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (vgl. <ref-law>, der die Anwendbarkeit von Art. 105 Abs. 2 sowie Art. 97 BGG ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von <ref-law> vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 5 S. 141; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 733; je mit Hinweisen). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen zudem nur insoweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.4 Der Beschwerdeführer stellt seinen rechtlichen Ausführungen eine ausführliche Sachverhaltsdarstellung voran, in der er den Ablauf der Ereignisse sowie des Verfahrens aus seiner Sicht darlegt. Darin weicht er in verschiedenen Punkten von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne substantiiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung geltend zu machen. So trägt er unter anderem vor, es seien an den olympischen Reiterspielen 2008 - im Gegensatz zu anderen Turnieren - systematische Kontrollen der Beine der Pferde durchgeführt worden, ohne dass auch nur geringste Anzeichen von Sensibilitätssteigerungen erkannt worden wären und es könne infolge einer Thermographie der Beine des Pferds AX._ sowie des Kontrollergebnisses des Amts für Veterinärwesen und Lebensmittelüberwachung Recklinghausen ausgeschlossen werden, dass eine Hypersensibilisierung stattgefunden habe. Seine Vorbringen haben insoweit unbeachtet zu bleiben. Unbeachtlich sind auch die verschiedenen vom Beschwerdeführer neu eingereichten Beweismittel.
Der Beschwerdeführer geht auch in seiner weiteren Beschwerdebegründung in unzulässiger Weise über die Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid hinaus. So macht er etwa geltend, die FEI habe in zwei anderen Fällen (betreffend die Reiter B._ sowie C._), die sich ebenfalls an den Olympischen Spielen 2008 mit derselben Substanz ereignet hätten, auf die Verfolgung als Dopingfall verzichtet, woraus er ein widersprüchliches Verhalten der FEI und eine Missachtung des Rechtsmissbrauchsverbots ableiten will. Diese Vorbringen sind im Beschwerdeverfahren nicht zu berücksichtigen, weshalb die darauf gestützte Rüge ins Leere stösst. Daran vermag auch der lediglich pauschal erhobene Vorwurf der Gehörsverletzung nichts zu ändern, der die Anforderungen an eine hinreichende Rüge (vgl. <ref-law>) verfehlt.
3. Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine Verletzung des Ordre public nach <ref-law>.
3.1 Die materiellrechtliche Überprüfung eines internationalen Schiedsentscheids durch das Bundesgericht ist auf die Frage beschränkt, ob der Schiedsspruch mit dem Ordre public vereinbar ist (<ref-ruling> E. 3a S. 333). Gegen den Ordre public verstösst die materielle Beurteilung eines streitigen Anspruchs nur, wenn sie fundamentale Rechtsgrundsätze verkennt und daher mit der wesentlichen, weitgehend anerkannten Wertordnung schlechthin unvereinbar ist, die nach in der Schweiz herrschender Auffassung Grundlage jeder Rechtsordnung bilden sollte. Zu diesen Prinzipien gehören die Vertragstreue (pacta sunt servanda), das Rechtsmissbrauchsverbot, der Grundsatz von Treu und Glauben, das Verbot der entschädigungslosen Enteignung, das Diskriminierungsverbot und der Schutz von Handlungsunfähigen. Zur Aufhebung des angefochtenen Schiedsentscheids kommt es nur, wenn dieser nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis dem Ordre public widerspricht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 392 ff.; <ref-ruling> E. 6b S. 198; <ref-ruling> E. 6a S. 166 f.).
3.2 Der Beschwerdeführer erblickt eine Verletzung des Rechtsmissbrauchsverbots darin, dass die Vorinstanz nicht erkannt habe, dass die Beschwerdegegnerin keinerlei rechtliches Interesse an der Beschwerde an das TAS gehabt habe. Die Beschwerdegegnerin habe an ihm ein Exempel statuieren wollen und habe die Schädigungsabsicht im Hearing beim TAS ausdrücklich bestätigt. Da es nicht Sache des nationalen Verbands sei, anstelle des internationalen Verbands für die Sanktionierung von Verstössen gegen internationale Regeln zu sorgen, erweise sich die Strafaktion der Beschwerdegegnerin als unnütze Rechtsausübung nach <ref-law>. Das Beschwerderecht eines nationalen Verbands an das TAS finde seine Grenzen im Rechtsmissbrauch bzw. dem materiellen Ordre public. Das fehlende rechtliche Interesse ergebe sich auch aus dem Umstand, dass die Beschwerdegegnerin die Reiter immer noch nach ihren eigenen, nationalen Regeln sanktioniere; zudem habe sie den Beschwerdeführer bereits vor Einleitung des Schiedsverfahrens für zwei Jahre aus dem Nationalkader ausgeschlossen. Schliesslich stehe der Sanktionsanspruch bei internationalen Wettkämpfen aufgrund ihrer Statuten der FEI zu. Diesem für den Kampf gegen Doping im öffentlichen Interesse bestehenden Sanktionsanspruch sei mit dem Urteil des FEI-Tribunals Rechnung getragen worden, wie auch die FEI durch den Verzicht auf eine eigene Berufung erkannt habe. Es sei nicht Sache des nationalen Verbands, die - aus seiner Sicht - richtige Anwendung der Sanktionsbestimmungen des internationalen Verbands sicherzustellen. Weil das Urteil der Vorinstanz allein aufgrund der rechtsmissbräuchlichen Beschwerde der Beschwerdegegnerin zustande gekommen sei, verstosse es gegen den Ordre public und sei daher aufzuheben.
3.3 Die Rüge ist unbegründet. Die Vorinstanz hat sich mit der Frage des Beschwerderechts ausführlich auseinandergesetzt, weshalb sich der gleichzeitig erhobene Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) des Beschwerdeführers vorab als offensichtlich unbegründet erweist. Der Beschwerdeführer stellt zu Recht nicht in Abrede, dass Artikel 12.2.2 der EADMC Rules eine Beschwerdemöglichkeit des nationalen Verbands vorsieht. Die Vorinstanz hat erwogen, dass die Beschwerdegegnerin als nationaler Verband Deutschlands sowie als Mitglied der FEI angesichts der Aberkennung von Goldmedaillen an gleich zwei aufeinander folgenden Olympischen Spielen und dem entsprechend negativen Bild in der Öffentlichkeit ein legitimes Interesse daran haben könne, der Verhinderung und Ahndung von Dopingvergehen ein besonderes Augenmerk zu schenken. Darin ist entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers keine Missachtung des Rechtsmissbrauchsverbots (<ref-law>) zu erkennen. Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers lassen die für das Bundesgericht verbindlichen (<ref-law>) Sachverhaltsfeststellungen des angefochtenen Entscheids nicht darauf schliessen, dass die Beschwerdegegnerin von ihrem Beschwerderecht einzig in der Absicht Gebrauch gemacht hätte, dem Beschwerdeführer zu schaden. Der Vorwurf der unnützen Rechtsausübung ist haltlos. Der Vorinstanz ist kein Verstoss gegen den Ordre public vorzuwerfen.
3.4 An diesem Ergebnis ändern auch die vom Beschwerdeführer im Rahmen seines Revisionsgesuchs vorgetragenen Ausführungen nichts, es seien in der Zwischenzeit Tatsachen bekannt geworden, die mit grösster Wahrscheinlichkeit zu einer anderen Beurteilung betreffend Beschwerdelegitimation und Rechtmässigkeit der Beschwerde geführt hätten.
Zwar stellt das Bundesrecht den Parteien eines internationalen Schiedsgerichtsverfahrens nach der Rechtsprechung das ausserordentliche Rechtsmittel der Revision zur Verfügung, für welches die Zuständigkeit des Bundesgerichts gegeben ist (<ref-ruling> E. 2 S. 286 f. mit Hinweisen). Demnach kann nach <ref-law> die Revision verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss von Tatsachen und Beweismitteln, die erst nach dem Entscheid entstanden sind (<ref-ruling> E. 2.1 S. 287). Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers kann jedoch nicht davon ausgegangen werden, dass die nunmehr unter Verweis auf einen Bericht der NZZ vom 6. Mai 2009 sowie eine Pressemitteilung der FEI vom 28. Mai 2009 vorgebrachten Umstände zu einer anderen Einschätzung der Beschwerdeberechtigung der Beschwerdegegnerin durch die Vorinstanz geführt hätten.
Zunächst gibt der Beschwerdeführer den eingereichten Zeitungsartikel unzutreffend wieder, wenn er vorträgt, die darin beschriebene unerlaubte Behandlung beim Pferd des Springreiters D._ anlässlich der Olympischen Spiele 2008 sei mit Wissen des deutschen Mannschaftstierarztes E._ vorgenommen worden, zumal gemäss dem Pressebericht die Tierpflegerin die Behandlung ohne Rücksprache vorgenommen hatte, noch ehe die erforderliche Freigabe der Injektion erfolgt sei. Der Beschwerdeführer legt zudem nicht dar, inwiefern die Aussage von E._ vor der Vorinstanz entscheidrelevant war und der ergangene Schiedsspruch im Lichte der neu vorgebrachten Tatsachen anders ausgefallen wäre. Abgesehen davon lässt auch ein Verstoss der Meldepflicht des Mannschaftstierarztes sowie das angebliche Mitwissen eines deutschen Verbandsfunktionärs den Appeal der Beschwerdegegnerin nicht als rechtsmissbräuchlich erscheinen. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers wird die Erwägung der Vorinstanz, wonach die Beschwerdegegnerin aufgrund des negativen Bilds in der Öffentlichkeit ein legitimes Interesse daran haben könne, Dopingvergehen konsequent zu ahnden, durch die nunmehr im Rahmen der Revision vorgebrachten Umstände eher noch bekräftigt. Das Revisionsgesuch ist demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4. Der Beschwerdeführer macht im Weiteren zu Unrecht geltend, die Vorinstanz habe die Unklarheitenregel und damit den Ordre public missachtet, indem sie bei zwei gleichwertigen Auslegungen (d.h. einem Dopingverstoss sowie einem Verstoss gegen "Medication Class A") die für den Beschwerdeführer ungünstigere, nämlich Doping, gewählt habe.
Entgegen der in der Beschwerde geäusserten Ansicht hat die Vorinstanz den Grundsatz von Treu und Glauben nicht missachtet, wenn sie beim Nachweis einer Substanz, die sowohl unter "Medication Class A" als auch unter Doping fällt, nicht einfach auf die mildere Sanktion abstellte. Ein derartiger Automatismus zugunsten des für den Sportler günstigeren Tatbestands sowie der milderen Strafe lässt sich aus dem genannten Grundsatz nicht ableiten. Unabhängig von der Frage, inwiefern eine Missachtung der Unklarheitenregel überhaupt nach <ref-law> gerügt werden kann, geht aus den Ausführungen des Beschwerdeführers nicht hervor, welche von der Vorinstanz angewendete Bestimmung unklar und zu Ungunsten des Beschwerdeführers ausgelegt worden sein soll. Die Vorinstanz hat ihm vielmehr die Beweislast dafür auferlegt, dass der Wirkstoff Capsaicin im konkreten Fall nicht an den Gliedmassen des Pferds AX._, sondern in zulässiger Weise verwendet worden ist. Wenn der Beschwerdeführer diese Beweislastverteilung und damit die Folgen der Beweislosigkeit für die unbedenklichere Verwendungsart des Wirkstoffs in Frage stellt, macht er keine Missachtung des Grundsatzes von Treu und Glauben geltend, sondern übt lediglich appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid. Ein Verstoss gegen den materiellen Ordre public ist nicht dargetan.
5. Der Beschwerdeführer rügt weiter, die Vorinstanz habe sämtliche Beweise (inklusive die Aussagen der FEI-Experten) und seine Gegenbeweise missachtet (vgl. <ref-law>), obwohl diese geeignet gewesen seien zu erstellen, dass die Beine des Pferds nicht hypersensibilisiert worden seien.
Der Beschwerdeführer zeigt mit seinen Ausführungen keine Gehörsverletzung auf, sondern kritisiert unter Verweis auf einzelne Aussagen zweier Experten das Beweisergebnis der Vorinstanz, was nicht zulässig ist. Die Vorinstanz hat gestützt auf die Aussagen der verschiedenen Experten erwogen, dass die Substanz Capsaicin schwer nachzuweisen sei, weil sie kaum Spuren auf der Haut hinterlasse und im Blut des Pferds nach einigen Stunden überhaupt nicht mehr feststellbar sei. Die Vorinstanz hat die Aussagen der vom Beschwerdeführer erwähnten - wie auch weiterer - Experten sehr wohl gewürdigt, jedoch festgestellt, dass bezüglich des Wirkstoffs Capsaicin unterschiedliche Ansichten bestünden. Eine Gehörsverletzung ist im Zusammenhang mit der erwähnten Feststellung im angefochtenen Entscheid nicht dargetan. Beim Vorwurf, der Vorinstanz sei damit ein offensichtliches Versehen unterlaufen, handelt es sich nicht um einen nach <ref-law> zulässigen Rügegrund (vgl. auch <ref-law>, der die Anwendbarkeit von Art. 105 Abs. 2 sowie Art. 97 BGG ausschliesst). Dass das Schiedsgericht eine wesentliche Behauptung des Beschwerdeführers aufgrund eines Versehens nicht zur Kenntnis genommen hätte (vgl. <ref-ruling> E. 2e-f S. 579 f.) ist nicht dargetan.
Entsprechendes gilt für die als aktenwidrig gerügte Feststellung im angefochtenen Entscheid, die fragliche Substanz hinterlasse - insbesondere bei dunklen Pferden - kaum Spuren auf der Haut. Abgesehen davon ist nicht ersichtlich, und wird vom Beschwerdeführer auch nicht aufgezeigt, inwiefern die Farbe des Pferdes für den angefochtenen Schiedsspruch von Bedeutung war. Der Vorwurf der Gehörsverletzung stösst auch hier ins Leere.
6. Der Beschwerdeführer beruft sich sodann auf eine schwere Persönlichkeitsverletzung wegen der erfolgten Sperre. Aus den von der Vorinstanz angewendeten Regeln (EADMC Rules sowie FEI Equine Prohibited List) resultiere eine übermässige Bindung gemäss <ref-law>, weshalb der darauf gestützte Schiedsspruch der Vorinstanz gegen den Ordre public (<ref-law>) verstosse.
Die Ausführungen des Beschwerdeführers sind allgemein und lassen über weite Strecken keinen Zusammenhang mit den konkreten Erwägungen des angefochtenen Entscheids erkennen. Er verkennt die Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts, wenn er unabhängig von der konkret ausgesprochenen achtmonatigen Spielsperre das Anti-Doping- sowie Medikationskontrollsystem der FEI kritisiert und vorbringt, die darin vorgesehenen Sperren bis zu vier Jahren führten zu einem faktischen Berufsverbot.
Abgesehen davon, dass nicht ersichtlich ist, dass der Beschwerdeführer entsprechende Behauptungen bereits prozesskonform im vorinstanzlichen Verfahren vorgetragen hätte (vgl. <ref-law>) und sich seine Ausführungen weitgehend in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid erschöpfen, ist ein unzulässiger Eingriff in die Persönlichkeitsrechte infolge der ausgesprochenen Sperre nicht erkennbar. Der Beschwerdeführer wurde mit Schiedsspruch vom 30. April 2009 rückwirkend für acht Monate gesperrt, wobei er seine Wettkampftätigkeit bereits am 19. Dezember 2008 wieder aufgenommen hatte und die von der Vorinstanz rückwirkend verhängte Sperre am 20. April 2009 abgelaufen war. Die Einschränkung der Ausübung seiner sportlichen Aktivitäten infolge des angefochtenen Entscheids war damit entgegen seinen Vorbringen eher gering im Vergleich zu anderen im Bereich des Sports verhängten Dopingsperren und die Sanktion, die auf einen Verstoss gegen die massgebenden Dopingbestimmungen der FEI zurückgeht, ist mit dem Ordre public (<ref-law>) keineswegs unvereinbar (vgl. etwa die Urteile 4P.64/2001 vom 11. Juni 2001 E. 2d/bb, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5P.83/1999 vom 31. März 1999 E. 3c).
7. Die Beschwerde und das Revisionsgesuch sind abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. November 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann