Sachverhalt:
A.
Am 19. Dezember 2011 erklärte das Bezirksgericht Zürich X._ der versuchten Nötigung schuldig und sprach ihn im Übrigen frei. Auf seine Berufung und auf Anschlussberufung der Staatsanwaltschaft sowie von A.Y._ hin verurteilte die II. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich X._ am 11. September 2012 wegen versuchter Nötigung und mehrfacher sexueller Belästigung zu einer bedingten Geldstrafe von 45 Tagessätzen und einer Busse von Fr. 1'000.--. Mit Urteil 6B_666/2012 vom 13. Juni 2013 wies das Bundesgericht die von X._ dagegen erhobene Beschwerde ab.
B.
B.a. Am 4. Juli 2013 erstattete X._ im Zusammenhang mit dem oben erwähnten Verfahren Strafanzeige gegen A.Y._, B.Y._, C._ und D._ wegen falscher Anschuldigung sowie teilweise "Prozessbetrugs", Freiheitsberaubung und Nötigung. Am 17. April 2014 erstattete X._ eine weitere Strafanzeige gegen A.Y._ wegen Verleumdung und übler Nachrede. Die Staatsanwaltschaft nahm die Strafuntersuchungen nicht an die Hand, wogegen X._ am 19. August 2013 bzw. am 30. Juni 2014 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich erhob.
B.b. Die III. Strafkammer des Obergerichts wies die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens wegen Verleumdung und übler Nachrede am 8. Januar 2015 ab. Das Bundesgericht wies die Beschwerde in Strafsachen von X._ gegen diesen Entscheid ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6B_175/2015 vom 9. April 2015).
B.c. Am 16. Februar 2015 wies die III. Strafkammer des Obergerichts auch die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme des Verfahrens wegen falscher Anschuldigung sowie "Prozessbetrugs" (falschem Zeugnis), Freiheitsberaubung und Nötigung ab.
Im Verlaufe dieses Verfahrens erhob X._ ein Ausstandsbegehren gegen die Oberrichter der III. Strafkammer. Die I. Strafkammer des Obergerichts wies das Ausstandsbegehren mit Beschluss vom 25. März 2015 ab.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen, eventualiter subsidiär Verfassungsbeschwerde, und beantragt die Aufhebung des Beschlusses der I. Strafkammer des Obergerichts vom 25. März 2015 und die Gutheissung des Ausstandsgesuchs. Eventualiter sei der aufgehobene Beschluss zu neuer Entscheidung an eine andere Kammer des Obergerichts des Kantons Zürich zurückzuweisen. Zugleich stellt er ein Ausstandsgesuch gegen die am Beschluss vom 25. März 2015 beteiligten Oberrichter der I. Strafkammer sowie gegen den in dieser Sache tätig gewesenen Gerichtsschreiber.
D.
Die Beschwerden in Strafsachen von X._ gegen den Entscheid der III. Strafkammer des Obergerichts vom 16. Februar 2015 (Nichtanhandnahme in der Sache) und gegen eine weitere von der III. Strafkammer des Obergerichts am 18. November 2014 abgewiesene Beschwerde (betreffend eine Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat vom 10. Juli 2013) sowie die Beschwerde in Strafsachen gegen die von der I. Strafkammer des Obergerichts am 31. März 2015 abgewiesene Revision des Urteils vom 11. September 2012 bilden Gegenstand der separaten Verfahren 6B_312/2015, 6B_1242/2014 bzw. 6B_527/2015.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid schliesst das Strafverfahren nicht ab, er ermöglicht vielmehr dessen Weiterführung. Es handelt sich um einen selbstständig eröffneten, kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren, gegen den die Beschwerde in Strafsachen nach Art. 92 Abs. 1 BGG zulässig ist. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde unabhängig von seiner Legitimation in der Sache berechtigt, da er eine Verletzung von Ausstandsregeln geltend macht (vgl. Urteil 1B_308/2014 vom 5. November 2014 E. 1 mit Hinweis). Da der Entscheid in der Sache bereits am 16. Februar 2015 ergangen ist und ebenfalls Gegenstand einer Beschwerde an das Bundesgericht bildet, befindet die Strafrechtliche Abteilung praxisgemäss auch über die Beschwerde gegen das abgewiesene Ausstandsbegehren.
1.2. Mit der Beschwerde in Strafsachen kann auch die Verletzung von Verfassungsrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (vgl. Art. 113 ff. BGG) des Beschwerdeführers besteht daher kein Raum (Urteile 6B_1192/2013 vom 17. Juni 2014 E. 1; 6B_479/2013 vom 30. Januar 2014 E. 1.1).
2.
Der Beschwerdeführer begründet sein Ausstandsbegehren mit der Diskriminierung aufgrund der Nationalität. Soweit er geltend macht, die Auferlegung einer Kaution gestützt auf seinen ausländischen Wohnsitz sei eine indirekte Diskriminierung und erschwere seinen Zugang zum Gericht, ist seine Rüge nicht zu hören, da sie keinen Ausstandsgrund nach Art. 56 StPO betrifft, sondern ein verfassungsmässiges Recht auf diskriminierungsfreien Zugang zum Gericht. Die vom Präsidenten der III. Strafkammer des Obergerichts für die Beurteilung der Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme verlangte Kaution bildet nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids. Die Beschwerde des Beschwerdeführers gegen den Entscheid der III. Strafkammer des Obergerichts vom 16. Februar 2015 und die vom Präsidenten der III. Strafkammer in diesem Verfahren mit Zwischenverfügung verlangte Kaution von Fr. 5'000.-- wies das Bundesgericht mit separatem Entscheid vom heutigen Tag als unbegründet ab, wobei es eine unzulässige Diskriminierung oder eine Verletzung des Gleichbehandlungsgrundsatzes verneinte.
3.
Der Beschwerdeführer rügt krasse Verfahrensfehler.
3.1. Der Anspruch auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht gemäss Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK umfasst nicht auch die Garantie jederzeit fehlerfrei arbeitender Richter. Prozessuale Rechtsfehler sind im Rechtsmittelverfahren zu rügen und lassen sich grundsätzlich nicht als Begründung für eine Verletzung der Garantie des verfassungsmässigen Richters heranziehen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung können richterliche Verfahrensfehler nur ausnahmsweise die Unbefangenheit einer Gerichtsperson infrage stellen. Dabei müssen objektiv gerechtfertigte Gründe zur Annahme bestehen, dass sich in Rechtsfehlern gleichzeitig eine Haltung manifestiert, die auf fehlender Distanz und Neutralität beruht. Es muss sich um besonders krasse Fehler oder wiederholte Irrtümer handeln, die eine schwere Verletzung der Richterpflichten darstellen (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 3e; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b; je mit Hinweisen; Urteil 6B_20/2014 vom 14. November 2014 E. 4.2). Die monierten Verfahrensfehler müssen besonders krass sein und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen, und sich einseitig zu Lasten einer Prozesspartei auswirken (Urteil 1B_82/2015 vom 30. Juni 2015 E. 2; MARKUS BOOG, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 59 zu Art. 56 StPO).
3.2. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern die von ihm monierten Verfahrensfehler besonders krass waren und wiederholt aufgetreten sind. Er beschränkt sich auf die Behauptung, die Richter hätten eine Aversion gegen ihn, ohne darzulegen, worin sich diese Aversion manifestiert. Die von ihm geltend gemachte schwerwiegende Verletzung der Unschuldsvermutung, die Billigung eines Rechtsbruchs sowie Beleidigung betreffen die mit gleicher Spruchkörperbesetzung wie der Entscheid vom 16. Februar 2015 ergangenen Beschlüsse der III. Strafkammer des Obergerichts vom 5. Februar 2014 (betreffend Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen die Staatsanwälte) und 18. November 2014 (betreffend die Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat vom 10. Juli 2013). Das Bundesgericht wies die Beschwerde des Beschwerdeführers gegen den Entscheid vom 5. Februar 2014 mit Urteil 1C_137/2014 vom 11. Juni 2014 ab, soweit es darauf eintrat. Es fehlt auch insofern an Anhaltspunkten für besonders krasse und wiederholte Verfahrensfehler, die an der Distanz und Neutralität der Richter der III. Strafkammer des Obergerichts zweifeln lassen könnten. Die Rüge des Beschwerdeführers ist unbegründet, soweit sie den Begründungsanforderung überhaupt zu genügen vermag.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt eine unzulässige Vorbefassung der Richter der III. Strafrechtlichen Abteilung aufgrund von deren Mitwirkung an den Beschlüssen vom 5. Februar 2014 (Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen die Staatsanwälte) und vom 8. Januar 2015 (Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens wegen Verleumdung und übler Nachrede; vgl. Urteil des Bundesgerichts 6B_175/2015 vom 9. April 2015). Die Richter hätten bereits im Beschluss vom 5. Februar 2014 entschieden, Rechtsanwalt D._ habe keine Falschinformationen gemacht und es werde kein Strafverfahren wegen Freiheitsberaubung eröffnet. Im Verfahren, das zum Beschluss vom 8. Januar 2015 geführt habe, hätten sich die Oberrichter derart massiv auf die Bewertung des nachfolgend behandelten Verfahrens festgelegt, dass dieses nicht mehr als offen gelten könne. Stattdessen seien die Oberrichter in Willkür verfallen und hätten sich ohne nähere Prüfung auf den Ausgang des Verfahrens festgelegt. Sie hätten sich mit seinem Argument, es lägen Revisionsgründe vor, nicht auseinandergesetzt. Dass sie - ohne nähere Prüfung - ein erfolgreiches Wiederaufnahmeverfahren ausgeschlossen hätten, sei mit der Garantie eines unabhängigen Richters nicht vereinbar. Sie hätten sich im Entscheid vom 8. Januar 2015 festgelegt, jegliche Revisionsgründe auszuschliessen und hätten damit nicht anders handeln können als am 16. Februar 2015 einen abweisenden Entscheid zu fällen. Alles andere hätte dazu geführt, dass sie zwei sich widersprechende Urteile gefällt hätten. Ein Gericht könne durchaus eine Entscheidung in einem Fall treffen, welcher gewisse Überschneidungen mit einem anderen Fall aufweise. Zentral sei aber, inwiefern die Entscheidung im anderen Fall noch als offen angesehen werden könne. Die beiden Verfahren seien nicht nur nicht hinreichend unterschiedlich, sondern in einer zentralen zu entscheidenden Frage deckungsgleich, weshalb die frühere Entscheidung die spätere präjudiziert habe.
4.2. Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Strafsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, welche ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. Art. 30 Abs. 1 BV soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Bei der Beurteilung, ob Voreingenommenheit und Befangenheit vorliegen, ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Auch wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Vielmehr genügt es, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.2 S. 242; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; je mit Hinweisen).
4.3. Zutreffend ist, dass die Richter der III. Strafkammer des Obergerichts bereits im Beschluss vom 5. Februar 2014 festhielten, Rechtsanwalt D._ habe im Zusammenhang mit der angeblichen Verletzung des Rayonverbots keine falschen Angaben gemacht und es liege kein strafrechtlich relevantes Verhalten seinerseits vor; die Staatsanwältin habe kein Strafverfahren eröffnen müssen (vgl. Beschluss, a.a.O., S. 7 unten). Daraus kann allerdings noch nicht geschlossen werden, die Richter seien bei der späteren Beurteilung der Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung voreingenommen gewesen. Das Bundesgericht wies im Urteil 1C_137/2014 vom 11. Juni 2014 ausdrücklich darauf hin, dass sich die Frage, ob sich weitere Personen - etwa A.Y._ und Rechtsanwalt D._ - strafbar gemacht haben könnten, bei der Frage der Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen die Staatsanwältin nicht stelle (Urteil, a.a.O., E. 1.2). Für letztere Frage sei ohne Belang, ob sich die telefonische Mitteilung von Rechtsanwalt D._ im Nachhinein als falsch, zutreffend oder missverständlich herausstellte (Urteil, a.a.O., E. 3.3). Die betroffenen Richter beschränkten sich in der Folge im Entscheid vom 16. Februar 2015 nicht auf die Feststellung, Rechtsanwalt D._ habe die Staatsanwältin korrekt informiert. Ein entsprechender Hinweis fehlt gar, worauf der Beschwerdeführer in seiner separaten Beschwerde an das Bundesgericht hinweist (vgl. Verfahren 6B_312/2015 act. 1 S. 45). Damit kann nicht gesagt werden, die Richter hätten es bei der Beurteilung der Nichtanhandnahme des Strafverfahrens gegen Rechtsanwalt D._ an der notwendigen Offenheit mangeln lassen. Ob die Begründung im Entscheid vom 16. Februar 2015 vor Bundesrecht standhält, ist nicht im vorliegenden Verfahren zu prüfen, sondern bildet Gegenstand des Verfahrens 6B_312/2015.
4.4. Mit Blick auf die Beschwerdeverfahren zu den Nichtanhandnahmeverfügungen ist darüber zu befinden, ob bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Der Beschwerdeführer spricht dem Obergericht die Befähigung ab, im zweiten Verfahren unparteiisch und unvoreingenommen zu entscheiden, vom Moment an, wo der erste Beschluss gefällt worden ist. Entgegen der Begründung der Vorinstanz hält der Beschwerdeführer dafür, dass die zentral zu entscheidende Frage in beiden Verfahren deckungsgleich sei. Das Obergericht könne gar nicht zu einer Gutheissung der zweiten Beschwerde kommen, weil es sonst widersprüchliche Entscheide fällen würde. Indessen zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, um welche zentrale Frage es geht und inwiefern eine präjudizierende Wirkung besteht. Beide Strafanzeigen stehen in Verbindung zu den Vorfällen, die zum Strafurteil vom 11. September 2012 gegen den Beschwerdeführer geführt haben. Allein, seine erste Strafanzeige betraf Sachverhaltselemente, die zur Verurteilung geführt haben, während seine zweite Strafanzeige das Folgeverhalten der Privatklägerin betraf. Die Vorinstanz hat kein Bundesrecht verletzt, wenn sie feststellt, dass die in den beiden Verfahren zu prüfenden Fragen unabhängig voneinander zu beurteilen waren und auch so beurteilt worden sind. Bei objektiver Betrachtung kann in einer solchen Konstellation kein Anschein von Befangenheit und Voreingenommenheit bestehen. Dass der Beschwerdeführer dies subjektiv anders empfindet, reicht nicht aus, um eine Verletzung seines Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht anzunehmen. Die Rüge ist unbegründet.
4.5. Der Beschwerdeführer macht ferner geltend, die Voreingenommenheit durchziehe den gesamten Entscheid, indem seine Argumente nicht behandelt worden seien. Bei diesen Argumenten handelt es sich um rechtliche Aspekte und Beweiswürdigungen, die er im Rahmen der Beschwerde gegen den Endentscheid, nicht aber mit Blick auf die Beschwerde gegen den Ausstandsbeschluss vorbringen kann. Auf diese Rügen ist nicht einzutreten.
5.
Für eine Befangenheit oder Voreingenommenheit der am angefochtenen Entscheid mitwirkenden Richter und des Gerichtsschreibers der I. Strafkammer des Obergerichts bestehen keine Anhaltspunkte. Der Beschwerdeführer begründet sein Ausstandsbegehren gegen diese Personen mit der angeblich fehlerhaften Rechtsauffassung des Spruchkörpers. Der angefochtene Entscheid verletzt jedoch wie dargelegt kein Bundesrecht. Die Beschwerde in Strafsachen des Beschwerdeführers gegen den Beschluss der I. Strafkammer des Obergerichts vom 31. März 2015 betreffend Revision wurde vom Bundesgericht mit Urteil vom heutigen Tag ebenfalls als unbegründet abgewiesen.
6.
Soweit auf die Beschwerde eingetreten werden kann, ist sie abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten aufzuerlegen. Den Beschwerdegegnern ist keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. September 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld