Sachverhalt:
A.
Die Guccio Gucci S.p.A., Florenz (Beschwerdeführerin) führt das Modeunternehmen "Gucci". Es produziert und vertreibt Luxusartikel.
Die X._ AG, (Beschwerdegegnerin) ist eine Holdinggesellschaft, die Mehrheitsbeteiligungen an einer Reihe in- und ausländischer Gesellschaften hält, zu denen die im Textilbereich angesiedelten Y._ Ländergesellschaften zählen. Mit Fusionsvertrag vom 18. März 2008 übernahm die Beschwerdegegnerin die Z._ AG.
Die Beschwerdeführerin besitzt mehrere registrierte Marken in der Schweiz, worunter die Wortmarke "GUCCI" sowie folgende Buchstabenmarken "G" (fig.) :
IR-Marke Nr. 598277 IR-Marke Nr. 776194 IR Marke Nr. P-442913
Am 4. Mai 2006 wurde folgende von der Z._ AG für die Klassen 14, 18 und 25 hinterlegte Marke Nr. 545608 "G" (fig.)
im Markenregister eingetragen und international unter der Nr. 893794 ausgedehnt. Gegen diese Eintragung der Z._ AG erhob die Beschwerdeführerin Widerspruch, den das Institut für Geistiges Eigentum am 13. Juli 2007 abwies. Die Beschwerdeführerin reichte dagegen Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht ein. Das betreffende Verfahren wurde für die Dauer des vorliegenden Zivilprozesses sistiert.
B.
Am 8. Oktober 2007 klagte die Beschwerdeführerin gegen die Beschwerdegegnerin beim Kantonsgericht Zug mit dem Rechtsbegehren, die Schweizer Marke Nr. 545608 "G" (fig.) sei nichtig zu erklären und im Schweizer Markenregister zu löschen. Die Beschwerdegegnerin trug auf Klageabweisung an und erhob Widerklage, mit der sie beantragte, der schweizerische Schutzanteil der internationalen Registrierung 598277 "G" (fig.) sei für sämtliche beanspruchten Waren für nichtig zu erklären und aus dem Register zu löschen. Die schweizerische Registrierung Nr. P-442913 "G" (fig.) sei für sämtliche beanspruchten Waren ausser für "Uhren" für nichtig zu erklären und aus dem Register zu löschen. Die Beschwerdeführerin beantragte, die Widerklage abzuweisen.
Mit Urteil vom 20. Mai 2010 wies das Kantonsgericht die Klage ab. Die Widerklage hiess es gut und erklärte den schweizerischen Schutzanteil der IR-Marke Nr. 598277 "G" (fig.) für sämtliche beanspruchten Waren und die schweizerische Marke Nr. P-442913 "G" (fig.) für sämtliche beanspruchten Waren ausser für "Uhren" für nichtig; diese Eintragungen seien im Register zu löschen. Eine Entscheidung über die Nichtigkeit der IR-Marke Nr. 776194 unterblieb mangels eines substanziierten Antrags auf Nichtigerklärung dieser Marke.
C.
Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 21. Juni 2010, das Urteil der Vorinstanz vollumfänglich aufzuheben, die Klage gutzuheissen und die Schweizer Marke Nr. 545608 "G" (fig.) der Beschwerdegegnerin zu löschen. Die Widerklage sei vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Eventualiter sei die Sache der Vorinstanz zur erneuten Beweiserhebung und Beurteilung zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt mit Antwort vom 5. Oktober 2010, auf die Beschwerde wegen Verspätung nicht einzutreten, eventualiter sei sie vollumfänglich abzuweisen und das Urteil des Kantonsgerichts Zug zu bestätigen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Die Beschwerdeführerin reichte mit Eingabe vom 21. Oktober 2010 unaufgefordert eine Stellungnahme zur Beschwerdeantwort ein.
Mit Präsidialverfügung vom 3. August 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Endentscheid (<ref-law>), der in Anwendung des MSchG (SR 232.11) und des UWG (SR 241) erging. <ref-law> schreibt für Zivilklagen im Markenrecht eine einzige kantonale Instanz vor. Die Zuständigkeit derselben ergibt sich für das Lauterkeitsrecht aus <ref-law>. Die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach unabhängig vom Streitwert zulässig (<ref-law>). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Namentlich wurde die Beschwerde am 21. Juni 2010 und damit rechtzeitig innert der 30-tägigen Beschwerdefrist (<ref-law>) eingereicht. Auf die Beschwerde ist demnach entgegen dem Nichteintretensantrag der Beschwerdegegnerin einzutreten. Vorbehalten bleibt eine rechtsgenügliche Begründung der Beschwerde (<ref-law> und <ref-law>).
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. I n der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2). Macht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1. S. 399).
D ie Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig und rechtsgenügend begründet einzureichen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.4). Vor Bundesgericht findet zudem in der Regel nur ein Schriftenwechsel statt (<ref-law>). Reicht der Beschwerdeführer eine Replik ein (dazu <ref-ruling>), darf er diese nicht dazu verwenden, seine Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.4; <ref-ruling> E. 1d/aa, je mit Hinweisen). So geht es namentlich nicht an, die Ausführungen in der Beschwerdeantwort zum Anlass zu nehmen, um in der Replik neue Rügen gegen den angefochtenen Entscheid zu erheben oder Rügen zu verbessern, die bereits in der Beschwerdeschrift substanziiert hätten erhoben werden können, aber nicht mit hinreichender Klarheit erhoben wurden. Auf entsprechende Ausführungen kann nicht eingegangen werden.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, kann sich nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_526/2008 vom 21. Januar 2009 E. 3.2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.3).
Zu beachten ist, dass dem Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zusteht. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4b S. 40).
3.
Die Beschwerdeführerin machte zur Begründung ihrer Nichtigkeits- und Löschungsklage Verwechslungsgefahr der beklagtischen Marke mit den eingetragenen "G"-Buchstabenmarken der Beschwerdeführerin geltend. Zudem berief sie sich auf Verwechslungsgefahr mit weiteren "G"-Logos der Beschwerdeführerin, die zwar nicht eingetragen, aber als notorisch bekannte (bzw. berühmte) Zeichen Schutz beanspruchen könnten, sowie auf die durchgesetzte (und berühmte) abstrakte "G"-Buchstabenmarke. Sie führte das nicht registrierte "G" des "GUCCI"-Schriftzuges an und ferner das Argument einer Serienmarke. Ausserdem stützte sie ihre Klage auf das UWG.
Die Vorinstanz erklärte in Gutheissung der Widerklage den schweizerischen Schutzanteil der IR-Marke Nr. 598277 "G" (fig.) für sämtliche beanspruchten Waren und die CH-Marke Nr. P-442913 "G" (fig.) für sämtliche beanspruchten Waren ausser für "Uhren" für nichtig. Diese entfielen demnach als Vergleichsbasis für die behauptete Verwechselbarkeit mit der beklagtischen Marke. Trotzdem prüfte die Vorinstanz die Verwechslungsgefahr hinsichtlich aller drei eingetragenen "G"-Buchstabenmarken der Beschwerdeführerin und verneinte diese. Sie folgerte daraus, dass die Klage nicht wegen Verwechslungsgefahr mit den eingetragenen Zeichen hätte gutgeheissen werden können. Sodann hielt die Vorinstanz die Klage auch bezüglich aller im Weiteren angeführten Anspruchsgrundlagen für unbegründet.
4.
Als Erstes sind die Vorbringen der Beschwerdeführerin gegen die Gutheissung der Widerklage zu prüfen. Die Vorinstanz erklärte den schweizerischen Schutzanteil der IR-Marke Nr. 598277 "G" (fig.) für sämtliche beanspruchten Waren und die CH-Marke Nr. P-442913 "G" (fig.) für sämtliche beanspruchten Waren ausser für "Uhren" wegen Nichtgebrauchs gestützt auf <ref-law> für nichtig. Sie kam zum Schluss, der Beschwerdeführerin sei der Beweis des rechtserhaltenden Gebrauchs in der massgebenden Zeitperiode nicht gelungen.
4.1. Hat der Inhaber die Marke im Zusammenhang mit den Waren oder Dienstleistungen, für die sie beansprucht wird, während eines ununterbrochenen Zeitraumes von fünf Jahren nach unbenütztem Ablauf der Widerspruchsfrist oder nach Abschluss des Widerspruchsverfahrens nicht gebraucht, so kann er sein Markenrecht nur noch geltend machen, wenn wichtige Gründe für den Nichtgebrauch vorliegen (<ref-law>). Als Gebrauch der Marke gelten auch der Gebrauch in einer von der Eintragung nicht wesentlich abweichenden Form (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.4 S. 271 f.) und der Gebrauch für die Ausfuhr (<ref-law>). Wer den Nichtgebrauch der Marke geltend macht, hat ihn glaubhaft zu machen; der Beweis des Gebrauchs obliegt sodann dem Markeninhaber (<ref-law>).
4.2. Zunächst wird auf die Einwendungen der Beschwerdeführerin gegen den im angefochtenen Entscheid festgestellten Nichtgebrauch eines Teils ihrer eingetragenen Marken eingegangen.
4.2.1. Dem Vorhalt, dass ihr der Nachweis des rechtserhaltenden Gebrauchs der IR-Marke Nr. 598277 "G" (fig.) und der CH-Marke Nr. P-442913 "G" (fig.) (ausser für Uhren) nicht gelungen sei, tritt die Beschwerdeführerin mit der Behauptung entgegen, dass die Beschwerdegegnerin den Gebrauch der "G"-Logo Marken selbst anerkannt habe. Die Nichtberücksichtigung dieser Anerkennung durch die Vorinstanz verstosse gegen <ref-law> und §§ 89, 94 und 100 ZPO/ZG. Die Anerkennung des Gebrauchs mache diesen zu einer nicht strittigen Tatsache, weshalb eine Löschung aus dem Markenregister wegen Nichtgebrauchs nicht in Frage komme.
Der Einwand geht ins Leere. Die Beschwerdeführerin verweist in der Beschwerdeschrift (Erwägung 2.1 vorne) für die angebliche Anerkennung des Gebrauchs durch die Beschwerdegegnerin auf "Seite 6 Beilage 4". Unter Beilage 4 der Beschwerde figuriert die - lediglich eine Seite umfassende - Honorarnote des Anwalts der Beschwerdegegnerin vom 17. März 2010. Daraus ergibt sich keine Anerkennung des Gebrauchs.
4.2.2. Den Vorwurf der Nichtabnahme von beantragten Beweisen, namentlich eines demoskopischen Gutachtens, erhebt die Beschwerdeführerin nur im Zusammenhang mit dem Nachweis der notorischen Bekanntheit ihrer Zeichen mit der erforderlichen Klarheit, nicht aber (jedenfalls nicht mit einer rechtsgenügend begründeten Rüge) bezüglich des Beweises des rechtserhaltenden Gebrauchs der eingetragenen IR-Marke Nr. 598277 "G" (fig.) und der CH-Marke Nr. P-442913 "G" (fig.). Immerhin lässt sich eine auf S. 4, Rz. 7 der Beschwerdeschrift erhobene Rüge, die beantragte Befragung von Zeugen sei in Verletzung von <ref-law> abgelehnt worden, allenfalls auf den Beweis des Gebrauchs der eingetragenen "G"-Buchstabenmarken der Beschwerdeführerin beziehen, da die Beschwerdeführerin dabei auf die diesbezügliche Erwägung 4.5 des angefochtenen Urteils Bezug nimmt.
Die Vorinstanz verzichtete auf die Einvernahme der Zeugen A._ und B._, da nicht klar sei, was diese beantragten Zeugen hätten beweisen sollen. Die Beschwerdeführerin hält dem entgegen, die Vorinstanz könne gar nicht wissen, was für Informationen die Zeugen liefern könnten. Dies ist unbehelflich und verkennt, dass d ie Nichtabnahme von Beweisen, zu denen nicht substanziiert ausgeführt wird, welche (erheblichen) Tatsachen damit bewiesen werden sollen, nicht gegen <ref-law> verstösst ( vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 369). Entsprechende Angaben hat die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren nach der unwiderlegten Feststellung der Vorinstanz bezüglich der Zeugen A._ und B._ nicht gemacht, weshalb die Vorinstanz auf deren Befragung verzichten konnte, ohne <ref-law> zu verletzen.
4.2.3. Weiter rügt die Beschwerdeführerin, dass es ihr verwehrt geblieben sei, zu beweisen, dass es sich bei den strittigen "G"-Logo Marken auch um Exportmarken handle. Die Exportmarke werde wie eine gebrauchte Marke behandelt, so dass die entsprechenden Rechtsfolgen des Nichtgebrauchs nicht eintreten würden. Indem die Vorinstanz es unterlassen habe, diesbezüglich Beweis abzunehmen, habe sie <ref-law>, die einschlägigen zivilprozessualen Regeln der ZPO/ZG (§§ 83, 84, 89, 94 und 100) und die einschlägigen markenrechtlichen Bestimmungen des MSchG, insbesondere <ref-law>, verletzt.
Aus dem angefochtenen Entscheid geht nirgends hervor, dass die Beschwerdeführerin nicht zum Beweis zugelassen worden wäre, dass es sich bei ihren "G"-Logo Marken um Exportmarken handle. Gemäss der Verfügung der Vorinstanz vom 13. Juli 2009 wurde die Beschwerdeführerin aufgefordert, wie von ihr offeriert, Unterlagen zum Nachweis des langjährigen weltweiten Gebrauchs der "G"-Logo Marken (insbesondere Rechnungen, Lieferscheine, Werbemittel) sowie Unterlagen zum Nachweis des langjährigen Gebrauchs der "G"-Logo Marken in der Schweiz (Rechnungen, Lieferscheine, Werbemittel), insbesondere in der Zeitspanne 6. Dezember 2001 bis 6. Dezember 2006, einzureichen. Unter diese Formulierung fällt auch die Beibringung von Unterlagen zum Nachweis der markenmässigen Verwendung der "G"-Logos auf Waren, die aus der Schweiz für den Export angeboten werden. Die Beschwerdeführerin legt in der Beschwerde (Erwägung 2.1 vorne) nicht dar, welche prozesskonform hierfür angebotenen oder eingereichten Beweise die Vorinstanz nicht abgenommen hätte. Die Rüge ist unbegründet, soweit angesichts der kaum genügenden Motivierung überhaupt darauf eingetreten werden kann.
4.2.4. Somit bleibt es beim Schluss der Vorinstanz, dass der Beschwerdeführerin der Nachweis des rechtserhaltenden Gebrauchs der IR-Marke Nr. 598277 "G" (fig.) und der CH-Marke Nr. P-442913 "G" (fig.) (ausser für Uhren) nicht gelungen ist.
4.3. Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Marken dürften trotzdem nicht wegen Nichtgebrauchs gelöscht werden. Denn die Marken seien notorisch bekannt. Dies habe zur Folge, dass Registrierungen für die "G"-Logos unabhängig vom Gebrauchsnachweis in der Schweiz geschützt würden und eine Löschung aus dem Markenregister nicht in Frage komme. Die Widerklage müsse demzufolge abgewiesen werden. Der Grund dafür liege in der Konzeption des Schutzes notorisch bekannter Marken. Solche würden geschützt, obwohl sie nicht im Markenregister eingetragen seien. Sei eine Marke nun eingetragen und gleichzeitig notorisch bekannt, widerspreche es Sinn und Zwecke des Gesetzes, wenn diese Marke wegen Nichtgebrauchs gelöscht würde, da die Markenlöschung wegen Nichtgebrauchs bezwecke, das Register von ungenutzten und unbekannten Marken zu befreien, also Marken, die - anders als eine notorisch bekannte Marke - gerade keinen Schutz in der Schweiz genössen.
Im Konflikt zweier Zeichen geniesst das ältere Vorrang, wobei im schweizerischen Recht der Grundsatz der Hinterlegungspriorität gilt (Art. 6 in Verbindung mit <ref-law>). Dazu normiert <ref-law> eine Ausnahme, indem als ältere Marke auch ein nicht eingetragenes Zeichen gilt, wenn es im Zeitpunkt der Hinterlegung eines identischen oder verwechselbaren Zeichens im Sinne von Art. 6bis der Pariser Verbandsübereinkunft zum Schutz des gewerblichen Eigentums, revidiert in Stockholm am 14. Juli 1967 (PVÜ; SR 0.232.04) in der Schweiz notorisch bekannt ist.
Der Schutz notorisch bekannter Marken stellt eine Abweichung vom Registerprinzip dar. Der Ausnahmecharakter impliziert eine strenge Beurteilung (<ref-ruling> E. 4.4/4.5 S. 277; MARBACH, Markenrecht, in: Schweizerisches Immaterialgüter- und Wettbewerbsrecht, Bd. III/1, Markenrecht, 2. Aufl., 2009, S. 233 f. N. 763). Entgegen der Meinung der Beschwerdegegnerin ist denkbar, dass eine notorisch bekannte Marke auch registriert ist bzw. dass eine Marke registriert und notorisch bekannt ist. Allerdings bedarf es bei einer registrierten Marke der Berufung auf ihre notorische Bekanntheit nicht, da der Schutz bereits aufgrund der Registrierung erfolgt. Die Frage ist, ob die notorische Bekanntheit die Löschung einer registrierten Marke zufolge Nichtgebrauchs im Sinne von <ref-law> verhindern kann. Zur Beantwortung dieser Frage ist zunächst festzuhalten, dass die notorische Bekanntheit einer Marke deren Gebrauch in der Schweiz nicht voraussetzt (<ref-ruling> E. 4.4 S. 276). Die notorisch bekannte Marke geniesst mithin selbst bei Nichtgebrauch in der Schweiz Schutz, solange sie die erforderliche notorische Bekanntheit erreicht. In der Literatur wird daher zutreffend die Meinung vertreten, der Inhaber einer eingetragenen, nach Ablauf der Benutzungsschonfrist in der Schweiz nicht gebrauchten Marke könne sich gegenüber einer Löschungsklage wegen Nichtgebrauchs auf den Schutz der notorisch bekannten Marke berufen. Dem Kläger, der auf Nichtigerklärung der Marke wegen Nichtgebrauchs im Sinne von <ref-law> klage, fehle das Rechtsschutzinteresse. Denn die Gutheissung seiner Klage würde ihm nichts nützen, da die angegriffene Marke zufolge ihrer notorischen Bekanntheit gleichwohl Schutz geniesse und er sie demzufolge nicht selber nutzen könnte ( CHRISTIAN ROHNER, Die notorisch bekannte Marke in der Schweiz, Bern 2002, S. 178 f.; KARIN BÜRGI LOCATELLI, Der rechtserhaltende Markengebrauch in der Schweiz, Bern 2008, S. 58). Dies hilft der Beschwerdeführerin im vorliegenden Fall allerdings nicht weiter, da die notorische Bekanntheit ihrer "G"-Marken nicht erstellt ist (dazu Erwägung 5).
4.4. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin gegen die Gutheissung der Widerklage erweisen sich mithin allesamt als unbegründet. Die Vorinstanz hat die Löschung des schweizerischen Schutzanteils der IR-Marke Nr. 598277 "G" (fig.) und der CH-Marke Nr. P-442913 "G" (fig.) (ausser für Uhren) angeordnet, ohne Bundesrecht zu verletzen.
5.
Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie habe im vorinstanzlichen Verfahren sowohl in der Klageschrift als auch in der Replik die Auffassung vertreten, dass es sich bei der IR-Marke Nr. 598277 "G" (fig.) und der CH-Marke Nr. P-442913 "G" (fig.) um berühmte oder zumindest notorisch bekannte Marken handle. Die Beschwerdeführerin muss sich vorwerfen lassen, dass sie es in ihren Rechtsschriften, auch in der Beschwerde an das Bundesgericht, häufig an der präzisen Angabe vermissen lässt, auf welche ihrer vielfältigen Zeichen sie ihre Ausführungen bezieht. An der angegebenen Stelle der Klageschrift (Rz. 40 ff.) sprach die Beschwerdeführerin unbestimmt von den "G-Buchstaben Marken der Klägerin" bzw. von den "Gucci-Marken der Klägerin", ohne zu präzisieren, dass sie die eingetragenen "G"-Buchstabenmarken meint. An der einschlägigen Stelle in der Replik (S. 11 Rz. 27) gliederte sie die Anspruchsgrundlagen in vier Ebenen:
- die eingetragenen (und berühmten) "G"-Logo Marken,
- die nicht eingetragenen, aber notorisch bekannten (und berühmten) "G"-Logo Marken in verschiedenen grafischen Ausgestaltungen,
- die durchgesetzte (und berühmte) abstrakte "G"-Buchstabenmarke,
- die Ansprüche aus UWG.
Entsprechend verlief das Prüfungsprogramm der Vorinstanz (vgl. vorinstanzliches Urteil S. 14 E. 6). Sie prüfte, ob die nicht eingetragenen "G"-Logo Marken der Beschwerdeführerin die behauptete notorische Bekanntheit (bzw. Berühmtheit) aufwiesen. Dabei kam sie zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin nicht nachgewiesen habe, dass die betreffenden Marken notorische Bekanntheit, z.B. durch eine rechtsgenügende Bewerbung oder langjährigen lückenlosen Verkauf in einem der massgebenden Verkehrskreise erreicht hätten. In diesem Zusammenhang sei auch zu berücksichtigen, dass zahlreiche andere Unternehmen die Marke "G" für Waren im Bereich Mode, Taschen, Schmuck und Uhren verwendeten und sogar registriert hätten, was gegen eine Notorietät der klägerischen Marken spreche. Auf ein demoskopisches Gutachten könne somit verzichtet werden.
5.1. Die "notorische Bekanntheit" einer Marke ist ein Rechtsbegriff, den das Bundesgericht frei prüft. Dagegen ist eine vom kantonalen Sachgericht abschliessend zu beurteilende Tatfrage, ob die massgebenden Parameter des notorischen Bekanntheitsgrades der Marke im konkreten Fall erfüllt sind oder nicht (<ref-ruling> E. 4.3).
Vorliegend wird der Vorinstanz nicht vorgeworfen, den Rechtsbegriff der "notorischen Bekanntheit" an sich verkannt zu haben. Die Beschwerdeführerin tritt einzig der Erwägung der Vorinstanz entgegen, wonach eine Marke in der Schweiz zumindest beworben werden müsse, damit sie hierzulande notorisch bekannt sei. Insofern gehe die Vorinstanz von einer unrichtigen Rechtslage aus.
Wie bereits erwähnt, setzt der Schutz notorisch bekannter Marken den aktiven Gebrauch der Marke in der Schweiz nicht voraus (<ref-ruling> E. 4.4 S. 276). Auch mag es zutreffen, dass nicht einmal der Nachweis der Bewerbung für das Zielpublikum "Schweiz" erforderlich ist. Die Bekanntheit aufgrund des sog. "spillover advertising", also der Nebenwirkung der Werbung in internationalen Medien, kann ausreichend sein. Indessen ist es rein praktisch kaum denkbar, dass ohne eine solche Kommerzialisierung die erforderliche Bekanntheit überhaupt zu erreichen ist ( MARBACH, a.a.O., S. 236 N. 771; GALLUS JOLLER, in: Noth/Bühler/Thouvenin [Hrsg.], Markenschutzgesetz, 2009, N. 339 zu <ref-law>; MARKUS WANG, in: Noth/Bühler/Thouvenin [Hrsg.], Markenschutzgesetz, 2009, N. 65 zu <ref-law>; LUCAS DAVID, Basler Kommentar, Markenschutzgesetz - Muster- und Modellgesetz, 2. Aufl. 1999, N. 49 f. zu <ref-law>; CHRISTOPH WILLI, Kommentar zum MSchG, 2002, N. 168 zu <ref-law>; ROHNER, a.a.O., S. 177 f.; BÜRGI LOCATELLI, a.a.O., S. 58). Insofern ist die Erwägung der Vorinstanz, wonach es meist erforderlich sei, dass die Marke in der Schweiz zumindest beworben worden ist, durchaus zutreffend und widerspiegelt kein falsches Rechtsverständnis.
5.2. Die Beschwerdeführerin rügt hauptsächlich, sie sei nicht zum Beweis der tatsächlichen Voraussetzungen der Bekanntheit zugelassen worden, bzw. die Vorinstanz habe entsprechende Beweise, namentlich ein demoskopisches Gutachten, nicht abgenommen.
Sie beanstandet, dass die Vorinstanz in der Beweisverfügung vom 13. Juli 2009 keinen Beweis der Bekanntheit der Marken verlangt habe. Auch sonst gebe es keine Beweisverfügung, welche eine "konkretere Beweislast" der Beschwerdeführerin begründe. Trotzdem halte die Vorinstanz fest, dass der Nachweis der Notorietät aufgrund der von der Beschwerdeführerin vorgelegten Beweise nicht erbracht sei. Dies stelle einen Verstoss gegen <ref-law> und die einschlägigen Bestimmungen der ZPO/ZG dar (§§ 89 Abs. 2, 94 Abs. 1 und 2, 100 Abs. 2 und 3, 150).
5.2.1. Was die Rüge der Verletzung von Bestimmungen der Zivilprozessordnung des Kantons Zug anbelangt, ist darauf nicht einzutreten. Das Bundesgericht kann die Einhaltung dieser kantonalen Gesetzesbestimmungen nur unter dem Blickwinkel der Willkür überprüfen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 ). Die Beschwerdeführerin unterbreitet dem Bundesgericht aber keine hinlänglich begründete Willkürrüge (vgl. Erwägung 2).
5.2.2. Auch die Rüge einer Verletzung von <ref-law> ist unbegründet. Zwar wird in der Beweisverfügung von 13. Juli 2009 nicht explizit angeordnet, die Beschwerdeführerin müsse die "Notorietät" beweisen. Dies ist denn auch richtig, da es sich bei der "notorischen Bekanntheit" um einen Rechtsbegriff handelt, und es somit nur um den Nachweis der tatsächlichen Voraussetzungen der Bekanntheit gehen kann. Zu diesen hat die Vorinstanz mit ihrer Beweisverfügung vom 13. Juli 2009 Beweise abgenommen, indem sie die Beschwerdeführerin aufforderte, Unterlagen zum Nachweis des langjährigen weltweiten Gebrauchs ihrer "G"-Logo Marken (insbesondere Rechnungen, Lieferscheine, Werbemittel) einzureichen. Entsprechendes hatte die Beschwerdeführerin zum Thema der behaupteten Bekanntheit ihrer "G"-Logo Marken offeriert (insb. Replik S. 15). Solche Unterlagen hätten zumindest ein starkes Indiz für die behauptete Bekanntheit erbringen können. Darüber hinaus hat die Vorinstanz auch die mit der Replik bereits eingereichten Unterlagen gewürdigt (vgl. Urteil S. 15 E. 6.1.2). Es trifft demnach entgegen dem Vorwurf der Beschwerdeführerin nicht zu, dass sie nicht zum Beweis der tatsächlichen Parameter der notorischen Bekanntheit zugelassen worden wäre und die Vorinstanz hierzu keine Beweise erhoben hätte. Dass die Vorinstanz in den eingereichten Unterlagen keinen Nachweis für die erforderliche Bekanntheit erblicken konnte, betrifft die Beweiswürdigung. Diese wird aber in der Beschwerde (Erwägung 2.1 vorne) nicht als willkürlich ausgewiesen.
5.2.3. <ref-law> gibt der beweispflichtigen Partei einen bundesrechtlichen Anspruch darauf, für rechtserhebliche Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 226, 545 E. 3.3.2; <ref-ruling> E. 5.4 S. 601), wenn ihr Beweisantrag nach Form und Inhalt den Vorschriften des kantonalen Rechts entspricht (<ref-ruling> E. 2.6 S. 24 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 290, je mit Hinweisen). <ref-law> schliesst eine vorweggenommene Beweiswürdigung aber nicht aus, verbietet dem Gericht also nicht, einem beantragten Beweismittel die Erheblichkeit oder Tauglichkeit abzusprechen oder auf die Abnahme von Beweisen zu verzichten, wenn das Gericht aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und willkürfrei davon ausgehen darf, diese würde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 2.6 S. 24 f.; <ref-ruling> E. 5.4 S. 602).
Die Beschwerdeführerin erblickt eine Verletzung von <ref-law> darin, dass die Vorinstanz kein demoskopisches Gutachten eingeholt habe, wie sie es insbesondere an der Hauptverhandlung beantragt habe.
Es trifft zu, dass das demoskopische Gutachten grundsätzlich ein geeignetes Mittel zum Nachweis der für die Notorietät verlangten Bekanntheit ist (<ref-ruling> E. 4c/bb S. 319; vgl. auch <ref-ruling> E. 6 S. 131; <ref-ruling> E. 3.1 S. 332 und E. 3.5 S. 335 betreffend Nachweis der Verkehrsdurchsetzung; David Rüetschi, in: Noth/Bühler/Thouvenin [Hrsg.], Markenschutzgesetz, 2009, S. 1172 N. 30; Rohner, a.a.O., S. 227). Die Einholung eines solchen ist aber entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin nicht zwingend erforderlich. Die notorische Bekanntheit lässt sich auch aus Verkaufszahlen und Werbeunterlagen ableiten (<ref-ruling> E. 4.8 S. 284). Vorliegend hat die Vorinstanz die Einreichung entsprechender Unterlagen verlangt. Sie konnte aber in den beigebrachten Belegen und Dokumenten nicht einmal Indizien für die erforderliche Bekanntheit der "G"-Logo Marken der Beschwerdeführerin erkennen. Zu Recht weist die Beschwerdegegnerin darauf hin, dass wenn effektiv Bekanntheit bestehen würde, entsprechende Unterlagen hätten beigebracht werden können. Die Vorinstanz konnte daher aus dem Fehlen solcher Unterlagen schliessen, dass die behauptete notorische Bekanntheit der "G"-Logo Marken nicht gegeben ist. In diesem Schluss sah sie sich durch den Umstand bestärkt, dass zahlreiche andere Unternehmen die Marke "G" für Waren im Bereich Mode, Taschen, Schmuck und Uhren verwendeten und sogar registriert hätten. In der Tat spricht dieser Umstand gegen eine Notorietät der "G"-Logos der Beschwerdeführerin, da die Abnehmer nicht nur mit diesen sondern auch mit mehreren anderen "G"-Marken verschiedener Inhaber konfrontiert sind und sich demnach ein bestimmtes "G"-Logo weniger stark in ihrem Gedächtnis einprägen kann. Dies gilt umso mehr als auch die Beschwerdeführerin selber ihre Ansprüche auf "G"-Logo Marken mit unterschiedlicher grafischer Ausgestaltung stützt. Dies erschwert es den Adressaten zusätzlich, ein klares Bild der Zeichen der Beschwerdeführerin im Gedächtnis zu behalten und diese Zeichen der Beschwerdeführerin zuzuordnen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.6 S. 279 und 4.7.3 S. 281). Es ist daher keine Willkür erkennbar, wenn die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung davon ausging, die behauptete notorische Bekanntheit der betreffenden Marken bestehe nicht, weshalb auf ein demoskopisches Gutachten verzichtet werden könne.
Der Verzicht auf ein demoskopisches Gutachten ist betreffend der nicht eingetragenen "G"-Logo Marken der Beschwerdeführerin umso weniger zu beanstanden, als der Beweiswert eines solchen wegen der zeitlichen Komponente deutlich herabgesetzt gewesen wäre. Das Gutachten hätte den Bekanntheitsgrad der betreffenden Marken vor dem Hinterlegungsdatum der angegriffenen Marke Nr. 545608 der Beschwerdegegnerin, also vor anfangs 2006, ermitteln müssen (vgl. Erwägung 4.3 vorne, 2. Absatz). Der Antrag auf Einholung eines demoskopischen Gutachtens erfolgte in der Hauptverhandlung im März 2010. Die demoskopische Umfrage hätte somit erst mehr als fünf Jahre nach dem massgebenden Kollisionszeitpunkt durchgeführt werden können. Bei derart lang zurückliegenden Zeiträumen wäre das Umfrageergebnis aber wegen der Gefahr von Erinnerungstäuschungen mit grössten Unsicherheiten verbunden (dazu Rohner, a.a.O., S. 237).
Unter den gegebenen Umständen hat die Vorinstanz <ref-law> nicht verletzt, indem sie auf die Anordnung eines demoskopischen Gutachtens verzichtete.
5.3. Die Beschwerdeführerin unterbreitet dem Bundesgericht Hinweise auf Fernsehserien und weitere Argumente, die zeigen sollen, dass "die Marke" schon aufgrund der Medialisierung unserer Gesellschaft notorisch bekannt sei. Abgesehen davon, dass sie auch insoweit die nötige Präzisierung, welche Marke gemeint ist, vermissen lässt, kann sie mit diesen neuen Vorbringen nicht gehört werden (<ref-law>).
5.4. Zusammenfassend erweisen sich die Rügen der Beschwerdeführerin gegen den Schluss der Vorinstanz, dass die "G"-Logo Marken der Beschwerdeführerin die behauptete notorische Bekanntheit (bzw. Berühmtheit) nicht aufwiesen, als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
6.
Weiter beanstandet die Beschwerdeführerin, dass zu verschiedenen Beweisthemen gar keine Beweise erhoben worden seien, wie z.B. zur Berühmtheit oder zum behaupteten unmittelbaren Wiedererkennungseffekt der "G"-Logos sowie des "GUCCI"-Schriftzuges im Zusammenhang mit den gerügten UWG-Verletzungen. Dadurch habe die Vorinstanz <ref-law>, die einschlägigen Regeln der ZPO/ZG (§§ 83, 84, 89, 94, 100), die einschlägigen markenrechtlichen Bestimmungen des MSchG (Art. 3 Abs. 2 lit. b, 11, 12), ferner Art. 2 sowie Art. 3 lit. b und d UWG und das Willkürverbot verletzt.
Auf diese pauschale, nicht weiter ausgeführte Rüge kann mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht eingetreten werden (vgl. Erwägung 2).
7.
Unter dem Titel Verwechslungsgefahr bringt die Beschwerdeführerin zunächst vor, die Vorinstanz hätte vor dem Entscheid über die Verwechslungsgefahr die Bekanntheit bzw. Berühmtheit der klägerischen Marken prüfen müssen. Die hohe Bekanntheit der klägerischen Zeichen hätte zur Annahme eines grossen Schutzbereiches geführt und die Berühmtheit der klägerischen Zeichen hätte den Schutz auf alle anderen Waren und Dienstleistungen ausgedehnt und damit die Anforderungen an die Zeichenähnlichkeit zur Bejahung einer Verwechslungsgefahr weiter verringert.
Dieses Vorbringen verfängt nicht. Die Vorinstanz hat die Bekanntheit und die Berühmtheit der klägerischen Zeichen geprüft und - bundesrechtskonform - verneint. Die nicht eingetragenen und nicht notorisch bekannten (bzw. nicht berühmten) Zeichen der Beschwerdeführerin fielen demnach als Vergleichsbasis für eine Verwechslungsgefahr weg. Dasselbe gilt für die eingetragenen IR-Marke Nr. 598277 "G" (fig.) und die CH-Marke Nr. P-442913 "G" (fig.) (ausser für Uhren), die wegen Nichtgebrauchs zu löschen sind. Als Grundlage für die Klage der Beschwerdeführerin standen sich somit nur noch folgende Marken gegenüber:
Die Vorinstanz hat gleichwohl die Verwechslungsgefahr aller eingetragenen "G"-Buchstabenmarken der Beschwerdeführerin mit der Marke der Beschwerdegegnerin geprüft und schliesslich verneint. Die Beschwerdeführerin wendet gegen die Beurteilung der Vorinstanz einzig ein, die Vorinstanz gehe zu Unrecht von einem Kurzzeichen aus, bei dem bei der Beurteilung der Zeichenähnlichkeit ein besonders strenger Massstab angezeigt sei. Bei Kurzzeichen handle es sich um kurze Wortmarken, was bei Buchstabenlogos nicht zutreffe. Buchstabenlogos entsprächen - abgesehen von ihrem Sinngehalt - eher Bildzeichen und seien daher auch entsprechend zu prüfen. Dieser Einwand hilft der Beschwerdeführerin nicht weiter. Denn die Vorinstanz hat bei ihrer Beurteilung gerade vor allem die graphische Ausgestaltung der Zeichen verglichen. So hat sie etwa zu den oben dargestellten Vergleichspaaren ausgeführt, die klägerischen Zeichen seien eckig geformt und zusammenhängend (zudem sei bei der einen Marke der "GUCCI"-Schriftzug unten rechts angebracht), während das beklagtische Zeichen geschwungen, offen und mit einem Querbalken versehen sei. Sie hielt diese Unterschiede für hinlänglich markant, um eine Verwechslungsgefahr auszuschliessen. Dem ist beizupflichten und die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was eine andere Beurteilung erheischen würde.
8.
8.1. Soweit die Beschwerdeführerin ihre Klage auf das UWG stützte, hielt die Vorinstanz fest, die Beschwerdeführerin habe die Anspruchsgrundlagen von <ref-law> und von <ref-law> weder substanziiert dargelegt noch bewiesen. Die Beschwerdeführerin hält dem lediglich entgegen, die Erwägung der Vorinstanz treffe nicht zu und sei willkürlich. Mit dieser blossen Behauptung präsentiert sie keine rechtsgenüglich begründete Rüge (vgl. Erwägung 2), zumal auch der - ohnehin unzulässige - Verweis auf die Klageschrift, S. 39, nicht weiter führt, ist doch der angegeben Stelle keine Substanziierung eines Verstosses gegen <ref-law> (Generalklausel, auf die erst zurückzugreifen ist, wenn kein besonderer Tatbestand nach <ref-law> erfüllt ist [<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.1 ]) oder <ref-law> (unrichtige oder irreführende Angaben) zu entnehmen. Die Vorinstanz wies damit die Klage zu Recht ab, soweit sie sich auf Art. 2 und <ref-law> stützte.
8.2. Mit Bezug auf <ref-law> führte die Vorinstanz aus, die Beschwerdeführerin mache geltend, es liege eine Verwechslungsgefahr zwischen der eingetragenen Marke der Beschwerdegegnerin und dem "G" des "GUCCI"-Schriftzuges vor. Die Vorinstanz verneinte eine Verwechslungsgefahr, deren Vorliegen eine Rechtsfrage und nicht eine nach Beweisen zu beurteilende Tatfrage ist (<ref-ruling> E. 5 S. 404; <ref-ruling> E. 4b S. 317, je mit Hinweisen), nach eingehender Prüfung. Auch dagegen bringt die Beschwerdeführerin keine rechtsgenügend begründeten Rügen vor, indem sie, ohne sich mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen, bloss ihre eigene Meinung bekräftigt, die Verwechslungsgefahr hätte bejaht werden müssen. Wenn sie schliesslich der Vorinstanz Willkür und eine Verletzung des verfassungsmässigen Begründungsgebotes vorwirft, weil diese eine Verletzung von <ref-law> nur im Hinblick auf die Übernahme des "G" im "GUCCI"-Schriftzug und nicht auch bezüglich der anderen "G"-Logos der Beschwerdeführerin geprüft habe, so kann auch darauf mangels hinlänglicher Begründung nicht eingetreten werden, zumal sie nicht belegt, <ref-law> auch bezüglich ihrer anderen "G"-Logos angerufen zu haben.
9.
In einer letzten Rüge beanstandet die Beschwerdeführerin den von der Vorinstanz angenommenen Streitwert von Fr. 500'000.--. Die Beschwerdeführerin habe in ihrer ersten Rechtsschrift den Streitwert auf Fr. 500'000.-- festgesetzt, während die Beschwerdegegnerin von einem Streitwert von Fr. 100'000.-- ausgegangen sei. An der Hauptverhandlung hätten sie sich auf einen Streitwert von Fr. 300'000.-- geeinigt. Trotz Einigkeit über den Streitwert habe die Vorinstanz in willkürlicher Verletzung von <ref-law>/ZG den Streitwert auf Fr. 500'000.-- bestimmt. Zumindest die Ziffern 3 und 4 des angefochtenen Entscheids müssten aufgehoben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen werden bzw. die Spruchgebühr wäre auf Fr. 4'500.-- festzulegen und die Parteientschädigung entsprechend anzupassen.
Sind die Parteien über den Wert des Streitgegenstandes uneinig, so wird er nach richterlichem Ermessen festgestellt, wobei im Zweifel für den höheren Betrag zu entscheiden ist (<ref-law>/ZG).
In den Plädoyernotizen, auf welche die Beschwerdeführerin für die behauptete Einigung der Parteien auf einen Streitwert von Fr. 300'000.-- verweist, heisst es lediglich: "Entsprechend ist sie [die Beschwerdeführerin] auch durchaus bereit, einen tieferen Streitwert zu akzeptieren" (Beschwerdebeilage 2 S. 2). Diese Formulierung ist unbestimmt und nennt keinen konkreten Betrag, den zu akzeptieren die Beschwerdeführerin bereit wäre. Wenn die Vorinstanz daraus nicht auf eine Einigung der Parteien über den Streitwert schloss und diesen daher gestützt auf <ref-law>/ZG selber festlegte, fiel sie nicht in Willkür. Die diesbezügliche Rüge der Beschwerdeführerin ist unbegründet.
10.
Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Zug, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer