Sachverhalt:
A. X._ und Y._ (Beschwerdeführer) sind die Eltern von W._ (geb. xxxx 1995). Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn ist mit einer Beschwerde der Beschwerdeführer gegen eine Verfügung des Departements des Innern des Kantons Solothurn vom 11. November 2011 befasst. In dieser Verfügung hatte das Departement unter anderem die Vollstreckung einer Verfügung der Vormundschaftsbehörde A._ vom 9. November 2011 aufgeschoben und angeordnet, dass W._ bis auf weiteres unter Obhutsentzug fremdplatziert bleibe und V._ weiterhin als seine Beiständin eingesetzt sei. In der genannten Verfügung vom 9. November 2011 hatte die Vormundschaftsbehörde den am 10. Oktober 2011 angeordneten Obhutsentzug und die Fremdplatzierung aufgehoben und Beiständin V._ durch U._ ersetzt. Oberrichter Z._ ist Referent des Verfahrens vor Verwaltungsgericht.
Am 20. Dezember 2011 führte Oberrichter Z._ eine Instruktionsverhandlung durch. An dieser Verhandlung stellten die Beschwerdeführer ein Ausstandsbegehren gegen ihn. Er nahm am 21. Dezember 2011 schriftlich dazu Stellung. Nachdem den Beschwerdeführern diese Stellungnahme zugestellt worden war, begründeten sie ihr Ausstandsbegehren am 22. Dezember 2011 schriftlich. Mit Urteil vom 23. Dezember 2011 wies das Verwaltungsgericht das Ausstandsbegehren ab.
B. Dagegen haben die Beschwerdeführer am 6. Januar 2012 - der vorinstanzlichen Rechtsmittelbelehrung folgend - Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie verlangen die Aufhebung des angefochtenen Urteils und ersuchen darum, Oberrichter Z._ für befangen zu erklären. Zudem beantragen sie für das Verfahren vor Bundesgericht unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht bildet der selbständig eröffnete Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren (<ref-law>) gegen einen Oberrichter, der als Referent mit einem Rechtsmittelverfahren im Zusammenhang mit der Obhut und der Platzierung eines Kindes betraut ist. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Die Hauptsache ist Gegenstand der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 und Ziff. 7 BGG) und hat keinen vermögensrechtlichen Charakter. Die als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bezeichnete Eingabe ist deshalb als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen. Das Obergericht hat zwar als einzige Instanz über das Ausstandsbegehren entschieden, doch ist dies kein Verstoss gegen das Prinzip der double instance, da es als Rechtsmittelinstanz mit der Hauptsache befasst ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 426 mit Hinweisen; zur Publikation vorgesehenes Urteil 5A_622/2011 vom 12. Januar 2012 E. 1.1).
Die Beschwerdeführer rügen die Verletzung von Grundrechten. Eine Verfassungsrüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen).
2. Nach <ref-law> hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 2 S. 15; <ref-ruling> E. 3.4 S. 116). Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Da Befangenheit ein innerer, schwer nachweisbarer Zustand ist, braucht sein tatsächliches Vorliegen nicht bewiesen zu werden. Es genügt vielmehr, wenn Umstände bestehen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten des Richters begründet sein. Auf das bloss subjektive Empfinden einer Partei kann bei dieser Beurteilung allerdings nicht abgestellt werden. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen).
Verfahrensmassnahmen eines Richters als solche, seien sie richtig oder falsch, vermögen im Allgemeinen keinen objektiven Verdacht der Befangenheit des Richters zu erregen, der sie verfügt hat (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 mit Hinweis). Dasselbe gilt für einen allenfalls materiell falschen Entscheid (<ref-ruling> E. 3b S. 404). Anders liegt es nur, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Richterpflichten bewertet werden müssen (<ref-ruling> E. 3a S. 138; <ref-ruling> E. 3b S. 404). In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass Verfahrensverstösse im dafür vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen sind und grundsätzlich nicht als Begründung für die Verletzung von <ref-law> herangezogen werden können (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f. mit Hinweis; Urteil 5A_332/2010 vom 16. Juli 2010 E. 2).
3.1 3.1.1 Die Beschwerdeführer hatten dem Beschwerdegegner vor der Vorinstanz vorgeworfen, sich mit einer von ihm an der Instruktionsverhandlung gemachten Aussage bereits festgelegt zu haben, indem er die Platzierung als logische Konsequenz bezeichnet habe. Er sei deshalb befangen.
Die kritisierte Bemerkung lautet gemäss Verhandlungsprotokoll wie folgt:
"Nachdem die Anordnungen der Verfügung vom 30. Juni 2011 [der Vormundschaftskommission A._, mit der den Eltern Weisungen erteilt worden waren, noch bevor am 10. Oktober 2011 der Obhutsentzug und die Fremdplatzierung verfügt worden waren] nicht funktioniert hatten, war eine Platzierung die logische Konsequenz und die Schule in B._ sagte auch, es funktioniere nicht, deshalb suchte man wohl etwas anderes?"
Die Vorinstanz hat dazu erwogen, die Äusserung sei in ihrem Kontext zu verstehen. Zunächst sei sie als Frage an die Anwesenden formuliert worden. Der Beschwerdegegner habe herausfinden wollen, ob die Anwesenden dies auch so sehen würden; er habe zwar womöglich eine vorläufige Meinung gehabt, aber versucht, weitere Erkenntnisse zu gewinnen. Der Gedanke, dass die Platzierung eine logische Konsequenz des Scheiterns der anderen Massnahmen sei, sei zudem zuvor durch T._ vom Kinderschutz Kanton Solothurn ins Spiel gebracht worden und der Beschwerdegegner habe ihn bloss aufgegriffen und mit einer Frage vertieft. Ziel der Verfügung vom 30. Juni 2011 sei schliesslich gewesen, eine Fremdplatzierung zu verhindern. Dies bedeute objektiv betrachtet, dass die Fremdplatzierung logische Folge des Scheiterns der in dieser Verfügung angeordneten Massnahmen bilde. Damit sei aber nicht gesagt, dass eine Platzierung nun tatsächlich vorgenommen werden müsse, weshalb der Beschwerdegegner diesbezüglich auch nachgefragt habe, wie die andern Beteiligten dies sähen.
3.1.2 Die Beschwerdeführer machen vor Bundesgericht weiterhin geltend, der Beschwerdegegner habe sich mit seiner Bemerkung bereits festgelegt. Sie setzen sich allerdings nicht mit den Ausführungen der Vorinstanz auseinander. Insbesondere gehen sie nicht darauf ein, dass es sich bei der Bemerkung des Beschwerdegegners um eine Frage an die an der Instruktionsverhandlung Anwesenden gehandelt habe. Mangels genügender Begründung (oben E. 1) kann auf die Rüge nicht eingetreten werden.
3.1.2 Die Beschwerdeführer machen vor Bundesgericht weiterhin geltend, der Beschwerdegegner habe sich mit seiner Bemerkung bereits festgelegt. Sie setzen sich allerdings nicht mit den Ausführungen der Vorinstanz auseinander. Insbesondere gehen sie nicht darauf ein, dass es sich bei der Bemerkung des Beschwerdegegners um eine Frage an die an der Instruktionsverhandlung Anwesenden gehandelt habe. Mangels genügender Begründung (oben E. 1) kann auf die Rüge nicht eingetreten werden.
3.2 3.2.1 Die Beschwerdeführer hatten in ihrer Vernehmlassung vom 22. Dezember 2011 des Weiteren den Ablauf der Instruktionsverhandlung kritisiert. Sie sei nicht gesetzmässig durchgeführt worden, sondern jeder habe nach Gutdünken das Wort ergriffen, ohne dass die Personen einzeln in ihrer Rolle (Zeuge, Auskunftsperson, Partei) befragt worden seien. Zudem habe der Beschwerdegegner anlässlich der Befragung des Kindes im Kinderheim auf die Frage eines Angestellten, wie das Verfahren weitergehe, geantwortet, das Gericht werde demnächst entscheiden, falls die Beschwerde nicht heute zurückgezogen würde. Diese Aussage habe der Druckausübung gedient.
Die Vorinstanz hat dazu erwogen, nach <ref-law> (SR 272), der im Verwaltungsgerichtsverfahren sinngemäss zur Anwendung komme, diene die Instruktionsverhandlung der freien Erörterung des Streitgegenstands, der Ergänzung des Sachverhalts, dem Versuch der Einigung und der Vorbereitung der Hauptverhandlung. Es sei die erklärte Absicht des Beschwerdegegners gewesen, eine Einigung zu erzielen. In diesem Sinne sei auch seine Äusserung gegenüber dem Angestellten des Kinderheims zu verstehen, sofern sie tatsächlich so erfolgt sein sollte. Es sei nicht zu beanstanden, dass alle Beteiligten sich hätten äussern können. Eine Beweisabnahme sei an der Instruktionsverhandlung nicht erfolgt.
3.2.2 Die Beschwerdeführer machen geltend, die Ausführungen des Verwaltungsgerichts seien willkürlich. Eine "Je-Ka-Mi-Befragung" sei gesetzlich nicht vorgesehen. Das Verwaltungsgericht habe ausserdem das rechtliche Gehör verletzt, da es sich nicht zur Aussage des Beschwerdegegners betreffend Rückzug der Beschwerde geäussert habe.
Die Beschwerdeführer haben sich während der Instruktionsverhandlung nicht gegen die Art der Verhandlungsführung gewehrt. Es kann jedoch offenbleiben, ob ihre Rüge verspätet erscheint. Das Verfahren beruht auf dem kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetz und die Vorinstanz hat die ZPO bloss lückenfüllend beigezogen. Die Beschwerdeführer legen nicht detailliert dar, inwiefern dieses Vorgehen willkürlich (<ref-law>) sein soll und genügen damit den Begründungsanforderungen nicht (oben E. 1). Darauf kann nicht eingetreten werden. Offensichtlich unbegründet ist die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>): Das Verwaltungsgericht hat sich zur angeblichen Aussage des Beschwerdegegners geäussert und sie mit seiner Absicht in Zusammenhang gebracht, an der Instruktionsverhandlung eine Einigung herbeizuführen (E. 5a des angefochtenen Urteils; vgl. oben E. 3.2.1).
Die Beschwerdeführer haben sich während der Instruktionsverhandlung nicht gegen die Art der Verhandlungsführung gewehrt. Es kann jedoch offenbleiben, ob ihre Rüge verspätet erscheint. Das Verfahren beruht auf dem kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetz und die Vorinstanz hat die ZPO bloss lückenfüllend beigezogen. Die Beschwerdeführer legen nicht detailliert dar, inwiefern dieses Vorgehen willkürlich (<ref-law>) sein soll und genügen damit den Begründungsanforderungen nicht (oben E. 1). Darauf kann nicht eingetreten werden. Offensichtlich unbegründet ist die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>): Das Verwaltungsgericht hat sich zur angeblichen Aussage des Beschwerdegegners geäussert und sie mit seiner Absicht in Zusammenhang gebracht, an der Instruktionsverhandlung eine Einigung herbeizuführen (E. 5a des angefochtenen Urteils; vgl. oben E. 3.2.1).
3.3 3.3.1 Die Beschwerdeführer hatten die Befangenheit in ihrer Vernehmlassung vom 22. Dezember 2011 auch daraus abgeleitet, dass der Beschwerdegegner das Verfahren gemäss <ref-law> führe. Dies entspreche nicht ihren Anträgen.
Die Vorinstanz hat dazu ausgeführt, den Beschwerdeführern sei mit Verfügung vom 2. Dezember 2011 mitgeteilt worden, das Verfahren werde vorderhand als Beschwerdeverfahren betreffend Platzierung gemäss <ref-law> geführt. Die erstmalige Rüge in der Vernehmlassung zum Ausstandsverfahren vom 22. Dezember 2011 sei verspätet.
3.3.2 Die Beschwerdeführer bringen vor, sie hätten bereits mit Schreiben vom 5. Dezember 2011 gerügt, dass sie mit der Führung des Verfahrens gemäss <ref-law> nicht einverstanden seien. Die vorinstanzlichen Ausführungen seien aktenwidrig.
Es trifft zu, dass die Beschwerdeführer bereits am 5. Dezember 2011 gerügt haben, dass das Verfahren zu Unrecht als solches gemäss <ref-law> geführt werde. Die Behebung des Mangels ist für den Verfahrensausgang jedoch nicht relevant. Wie bereits gesagt (oben E. 2), sind angebliche Fehler der Verfahrensführung mit den normalen Rechtsmitteln zu rügen und können grundsätzlich nicht im Rahmen von <ref-law> vorgebracht werden.
Es trifft zu, dass die Beschwerdeführer bereits am 5. Dezember 2011 gerügt haben, dass das Verfahren zu Unrecht als solches gemäss <ref-law> geführt werde. Die Behebung des Mangels ist für den Verfahrensausgang jedoch nicht relevant. Wie bereits gesagt (oben E. 2), sind angebliche Fehler der Verfahrensführung mit den normalen Rechtsmitteln zu rügen und können grundsätzlich nicht im Rahmen von <ref-law> vorgebracht werden.
3.4 3.4.1 Schliesslich hatten die Beschwerdeführer die Befangenheit des Beschwerdegegners in der Vernehmlassung vom 22. Dezember 2011 damit begründet, dass er V._ weiterhin als Beiständin von W._ behandle, obschon sie von der Vormundschaftskommission entlassen und stattdessen U._ eingesetzt worden sei. Damit bringe er zum Ausdruck, dass er den Beschluss der Vormundschaftskommission für falsch halte.
Die Vorinstanz hat dazu ausgeführt, es ergebe sich nicht aus den Akten, dass der Beschwerdegegner einzig V._ als Beiständin akzeptiert habe. Mangels Vorliegens eines Rücktrittsschreibens sei er davon ausgegangen, sie sei weiterhin Beiständin. Im Übrigen stehe diese Frage in keinem direkten Bezug zur Platzierung. Es könne daraus jedenfalls nicht geschlossen werden, er halte den Beschluss der Vormundschaftskommission für falsch. Schliesslich werde das Verfahren nicht in einzelrichterlicher Kompetenz geführt, sondern in Dreierbesetzung.
3.4.2 Die Beschwerdeführer machen weiterhin geltend, dass der Beschwerdegegner sich mit der Behandlung von V._ als Beiständin bereits in einer zentralen Frage definitiv festgelegt habe.
Es trifft - wie bereits die Vorinstanz festgestellt hat - zu, dass der Beschwerdegegner V._ in der Instruktionsverhandlung als Beiständin behandelt hat. Soweit diese Frage überhaupt Prozessthema sein sollte, kann daraus aber noch nicht abgeleitet werden, dass sich der Beschwerdegegner in dieser Beziehung bereits definitiv festgelegt hat.
3.5 Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten unter solidarischer Haftbarkeit (<ref-law>). Da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird als Beschwerde in Zivilsachen entgegengenommen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zingg