Sachverhalt:
A. Dr. med. X._ (geb. 1935), Psychiater mit Praxis in Zürich, war während geraumer Zeit als verschreibender Arzt und Mitglied der Ethik-Kommission bei der Sterbehilfeorganisation D._ tätig. Seit einigen Jahren ist er über die Medien in der Öffentlichkeit bekannt und umstritten, weil er sich unter anderem für die Suizidbeihilfe auch an psychisch Kranken einsetzt.
A.a Das Strafgericht Basel-Stadt sprach Dr. med. X._ am 6. Juli 2007 der Verleitung und Beihilfe zum Selbstmord (zum Nachteil von B._) und der fahrlässigen Tötung (zum Nachteil von A._) schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren (unter Anrechnung von 86 Tagen Untersuchungshaft), wovon zwei Jahre mit bedingtem Strafvollzug bei einer Probezeit von zwei Jahren. Von der Anklage der Verleitung und Beihilfe zum Selbstmord zum Nachteil von C._ sowie der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz wurde er freigesprochen.
Gegen dieses Urteil erhoben sowohl Dr. med. X._ als auch die Staatsanwaltschaft die Appellation. Dr. med. X._ beantragte Freispruch in sämtlichen Anklagepunkten. Die Staatsanwaltschaft stellte die Anträge, Dr. med. X._ sei im Anklagefall A._ wegen vorsätzlicher (statt bloss fahrlässiger) Tötung schuldig zu sprechen und deswegen sowie in Bestätigung des weiteren erstinstanzlichen Schuldspruchs zu einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren zu verurteilen.
A.b Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sprach Dr. med. X._ am 1. Oktober 2008 in Abänderung des erstinstanzlichen Urteils der vorsätzlichen Tötung zum Nachteil von A._ schuldig und verurteilte ihn deshalb zu einer Freiheitsstrafe von vier Jahren, unter Anrechnung der Untersuchungshaft von 86 Tagen. Es sprach ihn in Abänderung des erstinstanzlichen Entscheids von der Anklage der Verleitung und Beihilfe zum Selbstmord zum Nachteil von B._ frei, da er nicht aus selbstsüchtigen Beweggründen gehandelt habe. Es bestätigte den erstinstanzlichen Freispruch von der Anklage der Verleitung und Beihilfe zum Selbstmord zum Nachteil von C._ sowie der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz.
B. Dr. med. X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben, und er sei vollumfänglich freizusprechen; eventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist einzig das Verhalten des Beschwerdeführers im Fall A._.
1.1 Der im Jahr 1955 geborene und seit 1982 als uniformierter Postbeamter tätig gewesene A._ wurde 1986 infolge psychischer Erkrankung arbeitsunfähig und bezog seit 1987 eine 100%ige IV-Rente. Im Jahr 1986 hielt er sich einige Monate in der Psychiatrischen Klinik Solothurn auf. Im Dezember 1986 unternahm er einen Suizid-Versuch durch Aufschneiden der Pulsadern. Sein Todeswunsch wurde in der Folge immer stärker. Weitere Suizidversuche unternahm der körperlich gesunde A._ allerdings nicht. Eine Behandlung seiner psychischen Krankheit durch Therapien und/oder Medikamente lehnte er ab. Er wandte sich zwecks Suizid-Beihilfe an verschiedene Ärzte und an die Organisation D._, welche ihn aber abwiesen, da ihm gegenüber eine Sterbehilfe ausser Betracht falle. Schliesslich gelangte A._ an den Beschwerdeführer, welchen er am 4. April 2001 in dessen Praxis in Zürich aufsuchte. Dabei übergab er dem Beschwerdeführer ein handschriftliches Schreiben, worin er in einigen Sätzen seine Befindlichkeit beschrieb, worauf der Beschwerdeführer mit ihm ein rund 2-stündiges Gespräch führte. Am 9., 10., 11. und 18. April 2001 fanden Telefongespräche zwischen A._ und dem Beschwerdeführer von jeweils zirka einer halben Stunde Dauer statt. Es wurde vereinbart, dass der begleitete Suizid am 20. April 2001 in der Wohnung von A._ in Basel durchgeführt werde. Das Geschehen am 20. April 2001 von 13.10 bis 15.18 Uhr zeichnete der Beschwerdeführer mit einer Videokamera in Wort und Bild auf. Mehrere Suizidversuche unter Verwendung der vom Beschwerdeführer mitgebrachten und eigens präparierten Maler-Atemschutzmaske, deren Filterstück mit Natronkalk versetzt war, schlugen fehl, unter anderem, weil A._ massive Probleme mit der als sehr quälend empfundenen Atemnot hatte. In der Folge wurde der Suizid unter Verwendung von Lachgas (N2O) durchgeführt, welches der Beschwerdeführer sich zunächst noch beschaffte, indem er in einem Supermarkt zwei Rahmbläserflaschen samt diversen Gaspatronen erwarb. Der Beschwerdeführer füllte Lachgas aus drei Gaspatronen in einen transparenten Plastiksack. Er befestigte diesen an dem mit Natronkalk versetzten Mundstück der genannten Atemschutzmaske und überreichte diese A._. Dieser atmete das Lachgas ein und starb nach wenigen Minuten. Todesursache war Ersticken durch eine Sauerstoffunterversorgung des Gehirns, verursacht durch das Einatmen von N2O in Kombination mit dem Rückatmen des ausgeatmeten CO2. Nachdem er den Tod von A._ festgestellt hatte, avisierte der Beschwerdeführer telefonisch die Einsatzzentrale der Kantonspolizei Basel-Stadt. Er wartete in der Wohnung von A._ das Eintreffen der Beamten ab und gab diesen bereitwillig Auskunft.
1.2 Eine Verurteilung des Beschwerdeführers wegen Beihilfe zum Selbstmord im Sinne von <ref-law> fällt nach der übereinstimmenden Auffassung der Vorinstanz und der ersten Instanz ausser Betracht, weil A._ in Bezug auf seinen Todeswunsch urteilsunfähig war. Aus diesem Grunde scheide auch der Tatbestand der Tötung auf Verlangen im Sinne von <ref-law> aus, weil das Tötungsverlangen einer urteilsunfähigen Person rechtlich unbeachtlich sei.
Die erste Instanz verurteilte den Beschwerdeführer wegen fahrlässiger Tötung (<ref-law>). Sie billigte ihm zu, er habe sachverhaltsirrtümlich angenommen, dass A._ urteilsfähig sei. Er habe mithin weder gewusst noch in Kauf genommen, dass A._ urteilsunfähig gewesen sei. Daher falle eine Verurteilung des Beschwerdeführers wegen vorsätzlicher Tötung (<ref-law>) von A._ unter Verwendung des Opfers als Tatwerkzeug ausser Betracht. Der Beschwerdeführer hätte aber bei pflichtgemässer Sorgfalt erkennen können, dass A._ urteilsunfähig gewesen sei. Deshalb habe er sich der fahrlässigen Tötung schuldig gemacht.
Die Vorinstanz vertritt demgegenüber die Auffassung, der Beschwerdeführer habe damit gerechnet und in Kauf genommen, dass A._ urteilsunfähig gewesen sei. Der Beschwerdeführer habe sich daher der (eventual-)vorsätzlichen Tötung (<ref-law>) unter Verwendung des urteilsunfähigen Opfers als Tatwerkzeug schuldig gemacht.
1.3 Die Vorinstanz stützt ihre Feststellung, dass A._ in Bezug auf seinen Todeswunsch nicht urteilsfähig war, auf das gerichtliche Gutachten von Prof. Dr. med. E._ und Mitarbeitern vom 8. Juli 2005 und auf verschiedene Umstände, unter anderem die Videoaufnahme, welche die vom Beschwerdeführer begleitete Herbeiführung des Todes von A._ in Wort und Bild aufzeichnete. Das von der Verteidigung eingereichte Gutachten von PD Dr. med. F._ vom 8. Juni 2007, wonach sich eine Urteilsunfähigkeit von A._ nicht nachweisen lasse und das Gutachten von Prof. Dr. med. E._ an erheblichen Mängeln leide, gibt nach der Auffassung der Vorinstanz keinen Anlass, die Beurteilung durch den Gerichtsexperten Prof. Dr. med. E._ in Zweifel zu ziehen.
2. 2.1 Wer aus selbstsüchtigen Beweggründen jemanden zum Selbstmord verleitet oder ihm dazu Hilfe leistet, wird, wenn der Selbstmord ausgeführt oder versucht wurde, wegen Verleitung und Beihilfe zum Selbstmord mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder mit Geldstrafe bestraft (<ref-law>). Verleitung und Beihilfe zum Selbstmord sind mithin nach dem schweizerischen Recht nur strafbar, wenn erstens der Täter aus selbstsüchtigen Beweggründen handelt und zweitens der Selbstmord zumindest versucht wurde. Verleitung und Beihilfe zum Selbstmord sind der Sache nach Anstiftung und Gehilfenschaft, mithin strafbare Teilnahme an einem zumindest versuchten Selbstmord, der als solcher nicht strafbar ist. Anstiftung und Gehilfenschaft können nur vorliegen, wenn der Betroffene, der zum Selbstmord angestiftet oder welchem dabei Hilfe geleistet wird, der Sache nach "Täter" ist. Das ist beispielsweise nicht der Fall, wenn der Betroffene in Bezug auf die konkrete Selbsttötungshandlung urteilsunfähig ist. Die Anwendung von <ref-law> betreffend Verleitung und Beihilfe zum Selbstmord fällt somit unter anderem ausser Betracht, wenn der Betroffene nicht in der Lage ist, die Bedeutung der Selbsttötungshandlung und des zum Tod führenden Geschehensablaufs zu verstehen, wenn er mithin in diesem Sinne nicht urteilsfähig ist. In diesem Fall ist der Betroffene nicht "Täter" seiner eigenen Tötung und seine Handlung kein "Selbstmord" im Sinne von <ref-law>. Ist der Betroffene mangels Urteilsfähigkeit nicht "Täter", so ist die Hilfeleistung als - vorsätzliche oder fahrlässige - Tötung in mittelbarer Täterschaft unter Verwendung des Opfers als schuldloses Tatwerkzeug anzusehen (siehe zum Ganzen Christian Schwarzenegger, in: Basler Kommentar. 2. Aufl. 2007, N. 2 ff. zu <ref-law>; Günter Stratenwerth/ Guido Jenny, Schweizerisches Strafrecht, Besonderer Teil I, 6. Aufl. 2003, § 1 N. 51 f.; Andreas Donatsch, Strafrecht III, 9. Aufl. 2008, S. 17 f.; Martin Schubarth, Kommentar zum schweizerischen Strafrecht, Delikte gegen Leib und Leben, 1982, N. 11 ff. zu <ref-law>; DERSELBE, Assistierter Suizid und Tötung auf Verlangen, ZStrR 127/2009 S. 3 ff., 5 f.; Bernard Corboz, Les infractions en droit suisse, Vol. I, 2002, art. 115 CP n. 4). Tötung in mittelbarer Täterschaft kann auch vorliegen, wenn das Tötungsopfer selbst das Tatwerkzeug ist (Günter Stratenwerth, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil I, 3. Aufl. 2005, § 13 N. 42 f.).
Rechtlich entscheidend ist somit im vorliegenden Fall, ob A._ urteilsfähig und somit in der Lage war, die Bedeutung seines Verhaltens und des zum Tod führenden Geschehensablaufs zu verstehen, beziehungsweise ob er seinen Entschluss, aus dem Leben zu scheiden, eigenverantwortlich und aufgrund eines frei gebildeten Willens fasste.
Rechtlich entscheidend ist somit im vorliegenden Fall, ob A._ urteilsfähig und somit in der Lage war, die Bedeutung seines Verhaltens und des zum Tod führenden Geschehensablaufs zu verstehen, beziehungsweise ob er seinen Entschluss, aus dem Leben zu scheiden, eigenverantwortlich und aufgrund eines frei gebildeten Willens fasste.
2.2 2.2.1 Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt erteilte am 6. März 2003 dem Institut für Rechtsmedizin einer schweizerischen Universität den Auftrag, ein Gutachten zu erstellen, welches zu mehreren Fragen im Zusammenhang mit dem Tod von B._ und von A._ sowie zur Beteiligung des Beschwerdeführers daran Stellung nehmen sollte. Das Gutachten (kant. Akten p. 1155 ff.) ist von Prof. Dr. med. E._ und von Dr. G._ unterzeichnet. Es datiert vom 8. Juli 2005 und umfasst 16 Seiten. Die lange Bearbeitungsdauer wird im Gutachten mit dem erforderlichen Aufwand erklärt. Mit dem Fall A._ befasst sich das Gutachten auf den Seiten 9 bis 14. Das Gutachten verweist einleitend (S. 9, kant. Akten p. 1164) auf einen Bericht von Dr. med. H._ vom Juni 1997 (recte: vom Juni 1994; siehe kant. Akten p. 1097 f.) zuhanden der Invalidenversicherung, wonach sich täglich Schübe mit depressiven Phasen und 'Blockierungen' ereigneten, die teilweise schwerer Natur seien und bis zu Todesängsten führten. Es verweist im Weiteren auf eine Beurteilung durch Dr. med. I._ vom September 1997 (siehe kant. Akten p. 1087 f.) zuhanden der Invalidenversicherung, wonach A._ hin und wieder suizidale Gedanken habe, aber ärztliche Hilfe nie in Anspruch genommen habe, da er am Erfolg einer Behandlung zweifle, und eine medikamentöse Behandlung zur Besserung der Situation nicht angezeigt sei. Das gerichtliche Gutachten hält fest, dass sich in den Akten kein psychiatrisch-fachärztliches Zeugnis und keine Begutachtung über den psychischen Zustand von A._ finden liessen, was möglicherweise seinen Grund in dessen Ablehnung einer psychiatrischen Behandlung habe. Die zur Verfügung stehenden Akten enthielten aber laut Gutachten handschriftliche Ausführungen von A._, worin dieser seinen Zustand geschildert und als Grund für seinen Todeswunsch zahlreiche Ängste angegeben habe, unter anderen die Angst, keine Frau mehr zu finden, die Angst vor Therapien, Verantwortung etc., und worin er den Abbruch von Eingliederungs- und Therapieversuchen damit begründet habe, dass es jeweils schlimmer gewesen sei, sowie von Trost- und Hilflosigkeit gesprochen habe und auch berichtet habe, dass er bei einfachster Arbeit wie kleben bleibe bis zur Erstarrung, dies seit vielen Jahren, und er stets bedaure, dass sein Suizidversuch vom 1. Dezember 1986 (durch den Versuch, die Pulsadern zu öffnen) nicht gelungen sei (Gutachten S. 9 f.; kant. Akten p. 1164 f.). Das gerichtliche Gutachten kommt gestützt auf die eigenen schriftlichen Aeusserungen von A._ und unter dem Vorbehalt ihrer Authentizität zum Schluss, dass dessen Zustand deutlich über eine reine "Zwangsneurose" hinausgegangen sei. Vielmehr hätten sich auch ausgeprägte soziophobische Zustände sowie ein insgesamt schweres depressives Syndrom gezeigt. Eine depressive Episode sei als schwer zu kennzeichnen, wenn neben depressiver Stimmung, Verlust von Interesse und Freudlosigkeit und erhöhter Ermüdbarkeit Verzweiflung, Hemmung, Verlust des Selbstwertgefühls und Gefühle von Nutzlosigkeit und Schuld vorherrschten und eine ausgeprägte Suizidalität vorliege. Gemäss dem gerichtlichen Gutachten lassen die schriftlichen Äusserungen von A._ erkennen, dass dessen Realitätswahrnehmung und -beurteilung durch die geschilderten depressiven Symptome schwer beeinträchtigt gewesen sei. Der Entschluss von A._, aus dem Leben zu scheiden, sei insofern nicht wohl überlegt, als die Beurteilung der Situation aus der Sicht eines schwer depressiven Menschen erfolgt sei. A._ habe nicht an einer bald zum Tode führenden körperlichen Krankheit gelitten. Objektiv betrachtet sei seine Situation auch nicht völlig hoffnungslos gewesen, da keineswegs alle möglichen medizinischen Massnahmen ausgeschöpft gewesen seien. Das gerichtlichen Gutachten kommt zum Schluss, dass A._ zum Zeitpunkt seines Entschlusses, mit Hilfe des Beschwerdeführers aus dem Leben zu scheiden, an einer krankhaften Fehlbeurteilung der Realität gelitten habe, indem er sich für unheilbar psychisch krank gehalten habe, was mangels einer adäquaten Therapie, die er, wahrscheinlich ebenfalls krankheitsbedingt, abgelehnt habe, nicht den Tatsachen entsprochen habe. Damit seien eine objektive Erkenntnis- und Bewertungsfähigkeit nicht gegeben gewesen und habe nach forensisch-psychiatrischem Ermessen Urteilsunfähigkeit vorgelegen (Gutachten S. 12 f.; kant. Akten p. 1167 f.).
2.2.2 PD Dr. med. F._ kam in seinem Parteigutachten vom 8. Juni 2007 (kant. Akten p. 2433 ff.) im Wesentlichen zu folgenden Schlüssen. Aufgrund der vorhandenen Akten und Aufzeichnungen lasse sich keine abschliessende Aussage über die Urteilsfähigkeit von A._ bezüglich des Suizids machen. Die vorhandenen Unterlagen müssten durch Beizug weiterer Akten, Befragungen von Bezugspersonen und (sofern juristisch möglich) insbesondere von Ärzten ergänzt werden. Die vorhandenen Akten und Aufzeichnungen liessen annehmen, dass A._ an einer chronischen Zwangskrankheit gelitten habe, sich aus einer therapiefeindlichen Haltung heraus einem Behandlungsversuch über Jahre verweigert habe und wegen der Belastung durch die Krankheit (zermürbende Wirkung der Zwänge) und der nach eigener Einschätzung schlechten Sozialprognose zu einem Suizid motiviert gewesen sei. Es gebe Hinweise für das Vorliegen einer Depression, die allerdings nicht gesichert sei und keine schwere Form zeige. Es gebe keine Hinweise, dass A._ aufgrund der Zwangskrankheit oder aufgrund einer depressiven Symptomatik nicht urteilsfähig gewesen sei. Dabei sei zu berücksichtigen, dass an die Annahme einer Urteilsunfähigkeit sehr hohe Anforderungen gestellt würden (psychoseähnliche Zustände, hochgradiger Schwachsinn, Demenz etc.). Ein solcher Zustand sei bei A._ weder anamnestisch noch für den Zeitpunkt des Suizids (soweit aufgrund der Videoaufzeichnung beurteilbar) zu erkennen. Zum gerichtlichen Gutachten führt der Parteigutachter kritisch aus, dass dieses aufgrund einer oberflächlichen und flüchtigen Bearbeitung mangelhaft wirke. Vor allem aber seien die Ausführungen zur psychiatrischen Diagnose falsch, da sie auf nicht genügend soliden und nicht genügend qualifizierten Grundlagen beruhten und weil die Schlussfolgerungen bezüglich der Beurteilung der Urteilsfähigkeit nicht nachvollziehbar seien (Parteigutachten S. 20 f., kant. Akten p. 2452 f.). Im Besonderen hält das Parteigutachten fest, dass aufgrund der guten kognitiven Verfassung von A._, des Fehlens eines hoch pathologischen depressiven Zustands wie Stupor, schwere depressive Agitiertheit, depressive Wahnideen eine Urteilsunfähigkeit zu verneinen sei (Parteigutachten S. 15, kant. Akten p. 2447). Bei A._ seien die Motive für das vorzeitige Ausscheiden aus dem Leben - unabhängig davon, ob sie objektiv richtig seien und von anderen Personen geteilt würden - nicht realitätsfremd und absurd, sondern durchaus nachvollziehbar. Dabei sei zu bedenken, dass auch in der Bevölkerung die Ansichten über den Freitod und die Beihilfe dazu weit auseinander gingen und das Thema kontrovers diskutiert werde. A._ habe an einer schweren psychischen Krankheit gelitten, die er als belastend, zermürbend und quälend empfunden habe. Ausserdem sei er der Ansicht gewesen, dass er mit seinem Leiden die Hoffnung auf ein normales Berufsleben und eine erfüllende Beziehung nie verwirklichen werden könne. Diese Erfahrung habe er bereits über viele Jahre gemacht. Er habe zu einer pessimistischen Sicht seiner Zukunftsaussichten geneigt. Diese Beurteilung sei zwar objektiv insofern nicht richtig gewesen, als eine Besserung seiner Zwangsneurose - zum Beispiel durch medikamentöse Behandlung und als Folge einer Wendung der Lebensumstände zu seinen Gunsten - nicht von vornherein ganz ausgeschlossen gewesen wäre. Die Gefahr einer irreversiblen Chronifizierung und einer trostlosen Lebensperspektive könne aber nicht als unrealistisch eingestuft werden (Parteigutachten S. 15 f., kant. Akten p. 2447 f.). Der Suizid sei nicht in einem Zustand erfolgt, in dem die Besinnungsfähigkeit von A._ aufgehoben gewesen sei. Daher habe keine Urteilsunfähigkeit bestanden (Parteigutachten S. 18, kant. Akten p. 2450).
2.2.3 Der Gerichtsexperte und der Parteigutachter bestätigten und bekräftigten in der Verhandlung vor der Vorinstanz ihre Standpunkte. Der Gerichtsexperte führte aus, A._ habe an einer Zwangsstörung und an einer Depression gelitten und sei nicht urteilsfähig gewesen. Massgebend sei die Gesamtheit der Symptome, egal, ob das eine oder das andere mehr gewichtet werde. A._, der nie ein Medikament eingenommen habe, sei behandlungsbedürftig und behandlungsfähig gewesen. Das ausweislich der Videoaufzeichnung geschäftsmässige Verhalten von A._ beim Suizidvorgang sei durchaus nicht untypisch. A._ sei auf den Beschwerdeführer fixiert und von diesem abhängig gewesen (Protokoll der vorinstanzlichen Verhandlung S. 3 ff., kant. Akten p. 3028 ff.). Der Parteigutachter führte in der vorinstanzlichen Verhandlung unter anderem aus, dass er ein Gegner des Vereins D._ sei und nicht machen würde, was der Beschwerdeführer getan habe. A._ sei nicht in der Lage gewesen, seinen langjährigen Todeswunsch umzusetzen, und er sei erleichtert gewesen, im Beschwerdeführer jemanden gefunden zu haben, welcher dies tun könne. Er sei am fraglichen Tag euphorisch gewesen. Bei A._ sei eine depressive Komponente vorhanden gewesen, die aber nicht so schwer gewesen sei (Protokoll der vorinstanzlichen Verhandlung S. 5 ff., kant. Akten p. 3030 ff.).
2.3 Die Vorinstanz erachtet die Einschätzung des Gerichtsexperten als logisch und nachvollziehbar. Auch die Arztberichte (1989-1997) zuhanden der IV-Stellen für die Rentenüberprüfung bestätigten eine Zwangskrankheit mit depressiver Entwicklung und suizidalen Gedanken (angefochtener Entscheid S. 10). Nach der Auffassung der Vorinstanz ergeben sich zudem aus der Videoaufnahme betreffend den Suizidvorgang Zweifel an der Wohlerwogenheit des Suizidentschlusses. So habe sich A._ zu Beginn des Vorganges gefragt, ob seine Krankheit mehr geistig oder mehr seelisch sei. Er habe dem Beschwerdeführer die Frage gestellt, ob dieser ihn "zurückholen" würde, wenn er "weg" sei, und die Gegenfrage des Beschwerdeführers, ob er dies tun solle, bejaht mit der Begründung, er wolle einmal "drüben" gewesen sein und dann "mal schauen, eben wie es dort tut bis man weg ist. Wie, bis ich das Gefühl habe, ich merke nichts mehr, so weit eigentlich" (angefochtenes Urteil S. 11/12; siehe die Abschrift des Wortlauts der Videoaufzeichnung, kant. Akten p. 1048 ff., 1051). Die Vorinstanz verweist im Weiteren auf schriftliche Aufzeichnungen, datiert auf den "Karfreitag", worin sich A._ selbst als "sehr ängstlicher (A._)" bezeichnete (angefochtenes Urteil S. 10).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer stellte in der Appellationsbegründung ein "Ausstandsbegehren" gegen den Gerichtsexperten und hielt in der Appellationsverhandlung daran fest. Er machte geltend, dass der Gerichtsexperte aufgrund von konkreten Umständen objektiv als befangen erscheine. Zur Begründung verwies er erstens auf eine Korrespondenz zwischen einem Prof. Dr. med. K._ und Prof. Dr. med. E._ aus dem Jahre 1999, von welcher er erst nach dem Abschluss des erstinstanzlichen Beweisverfahrens Kenntnis erhalten habe, und zweitens auf ein Gespräch zwischen einem Dr. L._ und Prof. Dr. med. Volker Dittman im Februar 2008.
Prof. med. K._, Mitglied der Ethikkommission des Vereins D._, fragte mit Schreiben vom 30. September 1999 Prof. Dr. med. E._ an, ob die vom Beschwerdeführer (Dr. med. X._) in der beigelegten Aktennotiz beschriebene Suizid-Methode korrekt sei. Prof. Dr. med. E._ antwortete mit Schreiben vom 8. Oktober 1999, dass er keine Stellungnahme zu der von Dr. med. X._ in der Aktennotiz beschriebenen Suizidmethode abgeben werde, da er gegenüber dem Verein D._ eine "ausserordentlich kritische Haltung" habe und deshalb nicht bereit sei, an der Entwicklung irgendwelcher Rezepte auch nur indirekt mitzuwirken. Im Februar 2008 unterhielten sich Dr. L._, Präsident des Vereins D._, und Prof. Dr. med. E._ anlässlich eines Abendessens über die Beurteilung der Urteilsfähigkeit, namentlich deren Feststellung post mortem. Dabei soll Prof. Dr. med. E._ geäussert haben, in seinem Gutachten vom 8. Juli 2005 in Sachen des Beschwerdeführers sei es weniger um die Frage der Urteilsfähigkeit des Suizidenten A._ gegangen als vielmehr darum, dass das Vorgehen des Beschwerdeführers zur Beurteilung der Urteilsfähigkeit von A._ mangelhaft gewesen sei, da hiefür ein bloss halbstündiges Gespräch nicht ausreiche.
3.2 Nach der Auffassung der Vorinstanz kann aus der erwähnten Korrespondenz mit Prof. Dr. med. K._ nicht auf eine Befangenheit des Gerichtsexperten geschlossen werden. Dieser sei damals mit seiner kritischen Haltung gegenüber dem Verein D._ nicht allein gewesen, und die zu beurteilende Suizidbeihilfe sei gerade nicht vom Verein D._ durchgeführt worden. Im gerichtlichen Gutachten habe Prof. Dr. med. E._ die Urteilsfähigkeit von B._ bejaht, was beweise, dass er fähig gewesen sei, die Frage der Urteilsfähigkeit der Suizidenten unvoreingenommen zu beantworten (angefochtenes Urteil S. 12). Auch aus dem fraglichen Gespräch mit Dr. L._ könne nicht auf Befangenheit des Gerichtsexperten geschlossen werden. Im gerichtlichen Gutachten seien die Fragen betreffend die Urteilsfähigkeit von A._ einerseits und bertreffend das Vorgehen des Beschwerdeführers bei deren Überprüfung andererseits getrennt erörtert und beantwortet worden, und das fragliche Gespräch vom Februar 2008 habe 2 1⁄2 Jahre nach Erstellung des Gutachtens und mehr als ein halbes Jahr nach der erstinstanzlichen Verhandlung stattgefunden (angefochtenes Urteil S. 13). Prof. Dr. med. E._ sei daher an der Verhandlung vor dem Appellationsgericht als Experte zuzulassen (angefochtenes Urteil S. 13).
3.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe im Appellationsverfahren nicht behauptet, dass der Gerichtsexperte befangen sei und deshalb in den Ausstand zu treten habe. Er habe lediglich vorgetragen, dass die genannten Umstände objektiv den Anschein der Befangenheit erwecken und der Gerichtsexperte daher abgelehnt werde. Mit diesem Vorbringen habe sich die Vorinstanz gar nicht befasst, womit sie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt habe. Der Beschwerdeführer meint, dass die genannten Umstände, d.h. die Korrespondenz vom September/Oktober 1999 mit Prof. Dr. med. K._ und das Gespräch vom Februar 2008 mit Dr. L._, gegen den Gerichtsexperten den Anschein der Befangenheit begründen. Daher hätte dessen Gutachten vom 8. Juli 2005 nicht als Beweismittel verwendet werden dürfen. Damit sei aber nicht mehr bewiesen, dass A._ urteilsunfähig gewesen sei. Demnach falle eine Verurteilung wegen eines Tötungsdelikts ausser Betracht (Beschwerde S. 8-15).
3.4 Gerichtsexperten können von einer Partei gestützt auf den verfassungsmässigen Anspruch auf ein faires Verfahren (<ref-law>) grundsätzlich abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, welche nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken. Es muss mithin nicht nachgewiesen werden, dass der Sachverständige tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 3f/bb S. 81; <ref-ruling> E. 4a S. 544 f.).
Die Vorinstanz hat nach einem insoweit zutreffenden Einwand des Beschwerdeführers offenbar eine Befangenheit des gerichtlichen Sachverständigen verneint, aber nicht explizit festgehalten, dass auch schon kein Anschein von Befangenheit besteht. Dies kann indessen nicht zu einer Gutheissung der Beschwerde in diesem Punkt führen, da die vom Beschwerdeführer genannten Umstände auch nicht den Anschein der Befangenheit des Experten erwecken. Das Schreiben vom 8. Oktober 1999, worin Prof. Dr. med. E._ äusserte, dass er gegenüber dem Verein D._ eine "ausserordentlich kritische Haltung" habe, erweckt nicht den Anschein, dass der Experte bei der konkreten Einschätzung der Urteilsfähigkeit von A._ befangen gewesen sein könnte und daher bei der Beantwortung dieser Frage im Rahmen des allenfalls bestehenden Beurteilungsspielraums zum Nachteil des Beschwerdeführers die Urteilsfähigkeit von A._ verneint haben könnte. Gegen den Anschein der Befangenheit spricht allerdings nicht schon der Umstand, dass der Gerichtsexperte im Fall der Suizidentin B._ die Urteilsfähigkeit bejaht hat; denn die beiden Fälle sind in tatsächlicher Hinsicht sehr verschieden. Massgebend ist vielmehr, dass eine sehr kritische Haltung gegenüber Suizidhilfeorganisationen und gegenüber organisierter Suizidhilfe eine weltanschauliche Grundhaltung darstellt, die von vielen Menschen geteilt wird. Sie begründet, wie etwa die Mitgliedschaft in einer politischen Partei, nicht eo ipso den Anschein der Befangenheit. Die allgemein sehr kritische Haltung gegenüber Suizidhilfeorganisationen ist das eine, die konkrete Beurteilung der Urteilsfähigkeit eines Suizidenten ist etwas anderes. Es kann ausgeschlossen werden, dass Prof. Dr. med. E._ als ausgewiesener und renommierter Fachmann und erfahrener Gutachter sich bei der Beurteilung der konkreten Frage von seiner sehr kritischen Haltung beeinflussen liess. Inwiefern die angebliche Äusserung von Prof. Dr. med. E._ gegenüber Dr. L._ im Februar 2008, es sei in seinem Gutachten weniger um die Frage der Urteilsfähigkeit von A._ als vielmehr um die Untersuchungsmethode des Beschwerdeführers zu deren Feststellung gegangen, den Anschein der Befangenheit des Experten begründe, ist nicht ersichtlich. Der Experte hat diese beiden Fragen in seinem Gutachten getrennt erörtert. Im Übrigen hat die Vorinstanz die Feststellung, der Beschwerdeführer habe die Frage der Urteilsfähigkeit von A._ ungenügend geprüft und dessen Urteilsunfähigkeit in Kauf genommen, nicht auf Ausführungen im gerichtlichen Gutachten gestützt.
Die Beschwerde ist daher in diesem Punkt abzuweisen.
4. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Gutachten des Gerichtsexperten sei aus mehreren Gründen mangelhaft, weshalb die Vorinstanz sich nicht hätte darauf stützen dürfen.
4.1 Der Beschwerdeführer beanstandet wie bereits im Appellationsverfahren, der Gerichtsexperte habe nicht alle verfügbaren Akten beigezogen, so unter anderem nicht den Bericht der Psychiatrischen Klinik Solothurn, in welcher A._ im Jahre 1986 während mehrerer Monate hospitalisiert gewesen sei. Der Gerichtsexperte habe es auch unterlassen, die Krankengeschichten zu verlangen, die zwei Psychiater über A._ vor dessen Einweisung in die Psychiatrische Klinik Solothurn erstellt hätten. Der Beizug dieser Berichte wäre aber erforderlich gewesen für die Beurteilung der Frage, ob bei A._ die Depression oder aber die Zwangskrankheit mit depressiven Episoden vorgeherrscht habe respektive ob die Depression eigenständiger Natur oder Folge beziehungsweise episodenhafte Begleiterscheinung der Zwangserkrankung gewesen sei. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz unzulässige beziehungsweise willkürliche antizipierte Beweiswürdigung vor, indem sie den Beizug des im Zeitpunkt der inkriminierten Tat 12 Jahre zurückliegenden Berichts der Psychiatrischen Klinik Solothurn durch den Experten als entbehrlich erachtet habe. Er sieht eine Verweigerung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör darin, dass sich die Vorinstanz mit seinem Einwand betreffend den Nichtbeizug der von zwei Psychiatern verfassten Krankengeschichten nicht befasst hat. Die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie Unterlagen als unerheblich qualifiziert habe, deren Inhalt ihr gar nicht bekannt gewesen sei. Dass nach der Auffassung des Gerichtsexperten A._ entgegen seiner Vorstellung durchaus therapiefähig gewesen wäre und daher sein Wunsch, auf Therapien zu verzichten und aus dem Leben zu scheiden, insoweit unvernünftig gewesen sei, lasse entgegen der Meinung des Gutachters nicht den Schluss zu, A._ sei urteilsunfähig gewesen. Die Urteilsunfähigkeit von A._ sei entgegen der Auffassung der Vorinstanz, welche dem Gutachten des Gerichtsexperten gefolgt sei, nicht erstellt (Beschwerde S. 16-25). Im Gegenteil ergebe sich aus dem Parteigutachten von PD Dr. med. F._, dass A._ urteilsfähig gewesen sei. Die Vorinstanz habe das Gutachten von PD Dr. med. F._ willkürlich gewürdigt, und es stelle sich die Frage, ob sie dieses überhaupt sorgfältig und unvoreingenommen gelesen und dem Parteigutachter in der appellationsgerichtlichen Verhandlung auch zugehört habe. Der Parteigutachter habe im Unterschied zum Gerichtsexperten die im Zusammenhang mit der Urteilsfähigkeit zentralen Fragen erörtert, ob A._ fähig gewesen sei, sich eine Einsicht beziehungsweise Erkenntnis zu bilden und gemäss dieser Einsicht respektive Erkenntnis zu handeln. Der Parteigutachter habe diese Fragen bejaht, da bei A._ eine Zwangserkrankung mit begleitenden depressiven Episoden und entgegen der Einschätzung des Gerichtsexperten jedenfalls keine schwere Depression vorgelegen habe (Beschwerde S. 26-31). Aus diesen Gründen hätte die Vorinstanz nach den weiteren Einwänden in der Beschwerde an der Schlüssigkeit des Gutachtens des Gerichtsexperten zweifeln und daher in Anwendung des Grundsatzes "in dubio pro reo" von der Urteilsfähigkeit von A._ ausgehen und deshalb den Beschwerdeführer vom Vorwurf der vorsätzlichen Tötung freisprechen oder zumindest von Amtes wegen ein Obergutachten in Auftrag geben müssen (Beschwerde S. 32-37).
4.2 Was der Beschwerdeführer damit vorbringt, beschränkt sich grösstenteils auf eine appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung, die zur Begründung der Willkürrüge nicht genügt, und ist im Übrigen unbegründet. Ein Parteigutachten hat nicht den gleichen Stellenwert wie ein Gutachten, das von der Untersuchungsbehörde oder vom Gericht nach dem massgebenden Verfahrensrecht eingeholt worden ist. Der Privatgutachter ist nicht unabhängig und unparteiisch wie der amtliche Sachverständige, sondern er ist Beauftragter des Beschuldigten, mithin einer Partei, und er fällt nicht unter den Anwendungsbereich von <ref-law> betreffend falsches Gutachten. Die Ergebnisse eines Privatgutachtens, welches im Auftrag des Beschuldigten erstellt wurde, gelten denn auch lediglich als Bestandteil der Parteivorbingen (<ref-ruling> E. 3 f/bb S. 82). Das Bundesgericht hat dazu festgehalten, dass ein Parteigutachten grundsätzlich bloss geeignet ist, die Erstellung eines (zusätzlichen) Gerichtsgutachtens zu rechtfertigen oder darzulegen, dass das Gerichtsgutachten mangelhaft oder nicht schlüssig sei (Urteil 6P.223/2006 vom 9. Februar 2007 E. 2.4, in: Pra 2007 Nr. 96 S. 644; Urteil 6P.158/1998 vom 11. Februar 1999 E. 3b). Der Richter darf nicht ohne triftige Gründe von der Einschätzung des gerichtlichen Sachverständigen abweichen (<ref-ruling> E. 5.4.2; <ref-ruling> E. 2). Inwiefern die Vorinstanz triftige Gründe für ein Abweichen willkürlich verneint hat, ist nicht ersichtlich. Dass PD Dr. med. F._ in seinem Parteigutachten im Unterschied zum Gerichtsexperten eine schwere Depression bei A._ verneinte beziehungsweise jedenfalls aufgrund der vorhandenen Unterlagen als nicht hinreichend erstellt erachtete, ist kein triftiger Grund, von den Schlussfolgerungen des Gerichtsexperten abzuweichen. Dass gewisse Arztberichte betreffend A._ unberücksichtigt blieben, ist verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, da sie eine Phase betreffen, die lange Zeit (zweite Hälfte der 80er-Jahre) zurückliegt. Im Übrigen ergibt sich aus dem Arztbericht von Dr. med. H._ vom 23. Februar 1987 zu Handen der IV, dass A._ gemäss dem Bericht der Psychiatrischen Klinik Solothurn an einer Zwangsneurose mit depressiver Entwicklung litt (kant. Akten p. 1115 f.). Allerdings trifft es zu, dass A._ seit vielen Jahren unerschütterlich den Wunsch hegte und äusserte, aus dem Leben zu scheiden, dass er einen klaren Abschiedsbrief verfasste und Anordnungen betreffend seine Bestattung erteilte (siehe kant. Akten p. 976 ff.). Auch trifft es zu, dass A._ während der Sterbebegleitung am 20. April 2001 sich umsichtig verhielt, indem er beispielsweise den Beschwerdeführer darum bat, nachzuschauen, ob der Herd abgestellt sei, und dem Beschwerdeführer anhand eines Stadtplans ausführlich erklärte, wo sich der Supermarkt befand, in welchem der Beschwerdeführer Gaspatronen mit Lachgas erwerben könne, dessen Verwendung das Prozedere erleichtern sollte (siehe Abschrift der Videoaufzeichnung, kant. Akten p. 1048 ff., 1051, 1057 ff.), nachdem die vorangegangenen Versuche, den Tod herbeizuführen, gescheitert waren. Alle diese Umstände, die auch dem Gerichtsexperten bekannt waren, begründen nach der willkürfreien Würdigung der Vorinstanz keinen ernsthaften Zweifel an der vom Gerichtsexperten diagnostizierten schweren Depression und der Urteilsunfähigkeit in Bezug auf den Todeswunsch mangels objektiver Erkenntnis- und Bewertungsfähigkeit. Da die Schlussfolgerungen des Gerichtsexperten durch die abweichende Einschätzung des Parteigutachters aus der Sicht der Vorinstanz nicht erschüttert wurden, hatte diese keinen Anlass, ein Obergutachten einzuholen. Die im Wesentlichen auf das Gerichtsgutachten abgestützte Feststellung der Vorinstanz, dass A._ in Bezug auf seinen Suizidwunsch nicht urteilsfähig war, ist verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden.
Die Beschwerde ist daher in diesem Punkt abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
5. 5.1 Die Vorinstanz hält zum subjektiven Tatbestand fest, vorliegend gehe es um die Beurteilung des Vorhandenseins oder Nichtvorhandenseins des Tatbestandsmerkmals der Urteilsfähigkeit und damit - ähnlich wie in <ref-ruling> betreffend unzüchtige Filme - um ein normatives Tatbestandsmerkmal. Der Beschwerdeführer habe sich zwar die Frage der Urteilsfähigkeit von A._ gestellt und diese in der Erkenntnis, dass der Sterbewunsch eindeutig und unbeeinflusst gewesen sei, als gegeben erachtet. Damit habe der Beschwerdeführer nun allerdings seine eigene Auffassung an die Stelle der normativen Voraussetzungen der Urteilsfähigkeit gesetzt. Aus der im Nachgang zum "Basler-Fall" entbrannten Diskussion habe er gewusst, dass eine rechtens als wohl erwogene Entscheidung zu verstehende Abklärung der Urteilsfähigkeit eines psychisch Kranken nicht genüge, wenn diese Abklärung bloss aus einem zweistündigen Gespräch bestehe, dem drei bis vier Telefonate und ein weiteres Gespräch 16 Tage später unmittelbar vor der Sterbebegleitung folgten. Angesichts der beruflichen Qualifikation als Psychiater könne das Verhalten des Beschwerdeführers nur dahingehend verstanden werden, dass er von der Abklärung der Urteilsfähigkeit im genannten Sinne offenbar nicht viel halte und, wie er sich selber ausdrücke, den Suizidwunsch auch eines mit sicherer Diagnose psychisch Kranken (Zwangskranken) immer erfüllen möchte, wenn dieser Wunsch ihm persönlich menschlich einfühlbar und verständlich erscheine. Indem der Beschwerdeführer sich aber derart um eine sachgerechte Abklärung der Urteilsfähigkeit und die Objektivierung seiner Einschätzung der Lage "foutiert" habe, habe er eventualvorsätzlich gehandelt, weshalb er entsprechend dem Antrag der Staatsanwaltschaft der vorsätzlichen Tötung (<ref-law>) in mittelbarer Täterschaft schuldig zu sprechen sei (angefochtenes Urteil S. 16 f.).
5.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, seine Verurteilung wegen vorsätzlicher Tötung (<ref-law>) verstosse auch gegen Bundesrecht, wenn man mit der Vorinstanz annehmen wollte, dass A._ urteilsunfähig gewesen sei. Er selbst sei nämlich davon ausgegangen, dass A._ urteilsfähig gewesen sei. Dieser Irrtum sei als Sachverhaltsirrtum zu qualifizieren, welcher den Vorsatz ausschliesse. Aus den insoweit widersprüchlichen Erwägungen im angefochtenen Urteil sei nicht klar ersichtlich, wie die Vorinstanz seine irrtümliche Annahme, dass A._ urteilsfähig gewesen sei, qualifiziere. Die vorinstanzliche Erwägung, dass es sich bei der Urteilsfähigkeit um ein "normatives Tatbestandselement" handle, und der Hinweis der Vorinstanz auf <ref-ruling> deuteten darauf hin, dass diese von einem - für die Frage des Vorsatzes unbeachtlichen - Subsumtionsirrtum ausgehe, auch wenn sie diesen Begriff nicht ausdrücklich verwende. Wenn die Vorinstanz ihm aber anderseits vorwerfe, dass er die Wohlerwogenheit des Suizidwunsches von A._ nicht genügend abgeklärt und aus diesem Grunde dessen Urteilsunfähigkeit nicht erkannt habe, dann gehe sie offensichtlich von einem Sachverhaltsirrtum aus, welcher den Vorsatz ausschliesse (Beschwerde S. 38-43). Dass A._ gemäss dem Gutachten des Gerichtsexperten wegen seiner krankheitsbedingten Fehlbeurteilung der Realität nicht habe vernunftgemäss handeln können, stehe seiner Urteilsfähigkeit nicht entgegen. Auch wer wisse, dass es noch Therapiemöglichkeiten für seine Krankheit gebe, könne die Therapie ablehnen, etwa weil er schon jahrelang therapiert worden sei oder weil er einfach keine weiteren Therapien auf sich nehmen wolle. Dies schliesse nicht aus, dass er die Einsicht in die Tragweite seines Suizidwunsches habe und gemäss dieser Einsicht handeln könne. Er, der Beschwerdeführer, habe diese kognitiven Fähigkeiten bei A._ aufgrund der mit diesem geführten Gespräche als intakt eingestuft. Entgegen den Andeutungen der Vorinstanz sei er nicht von einem unzutreffenden Begriff der Urteilsfähigkeit ausgegangen und nicht einem Subsumtionsirrtum erlegen. Er sei vielmehr vom zutreffenden Begriff der Urteilsfähigkeit ausgegangen und habe deren tatsächlichen Voraussetzungen bei A._ (allenfalls) sachverhaltsirrtümlich als gegeben erachtet, weshalb seine Verurteilung wegen vorsätzlicher Tötung Bundesrecht verletze. Selbst wenn er diesen Sachverhaltsirrtum - entsprechend der Auffassung der ersten Instanz - bei pflichtgemässer Sorgfalt hätte vermeiden können, dürfe er nicht verurteilt werden, da der in diesem Fall erfüllte Straftatbestand der fahrlässigen Tötung nach dem bis Ende September 2002 geltenden, vorliegend anwendbaren milderen Verjährungsrecht 7 1⁄2 Jahre nach der inkriminierten Tat, mithin am 21. Oktober 2008, absolut verjährt sei (Beschwerde S. 44 f.). Sollte er aber nach der Meinung der Vorinstanz von einem unzutreffenden Rechtsbegriff der Urteilsfähigkeit ausgegangen sein, so hätte die Vorinstanz von Amtes wegen das Vorliegen eines Verbotsirrtums prüfen müssen, was sie zu Unrecht unterlassen habe (Beschwerde S. 45-48).
5.3 Diese Einwände gehen grösstenteils an der Sache vorbei und sind im Übrigen unbegründet.
5.3.1 Bei psychisch kranken Personen ist die Urteilsfähigkeit in Bezug auf den Suizid, d.h. die Fähigkeit, den entsprechenden Willen eigenverantwortlich und frei zu bilden und danach zu handeln, nur mit grosser Zurückhaltung anzunehmen und daher besonders gründlich abzuklären, namentlich wenn der Sterbewunsch Symptom oder Ausdruck der psychischen Erkrankung sein könnte (siehe zum Ganzen <ref-ruling> E. 6.3.5 mit Hinweisen). Gemäss der Stellungnahme Nr. 9/2005 "Beihilfe zum Suizid" der Nationalen Ethikkommission im Bereich Humanmedizin soll Beihilfe zum Suizid aus ethischer Sicht auf keinen Fall erfolgen, wenn die Suizidalität Symptom oder Ausdruck einer psychischen Erkrankung ist (S. 56, 71). Gerade bei der Depression kann Suizidalität ein Symptom sein (siehe FRANK TH. PETERMANN, Urteilsfähigkeit, 2008, N. 267). Dass bei psychisch kranken Menschen die Frage der Urteilsfähigkeit in Bezug auf den Suizidwunsch sich in besonderem Masse stellt und schwierig zu beantworten ist, war dem Beschwerdeführer als Psychiater bekannt. Er wusste auch, dass der Verein D._ im Jahre 1999 diesbezüglich ein Moratorium beschlossen hatte, nachdem im "Basler Fall" der Suizid einer jungen, psychisch kranken Frau, welchen der Verein D._ begleitend unterstützen wollte, von einem Vewandten im letzten Moment verhindert werden konnte (siehe dazu FRANK TH. PETERMANN, a.a.O., N. 243 ff.; DERSELBE, Der Entwurf eines Gesetzes zur Suizid-Prävention, AJP 9/2004 S. 1111 ff., 1119 f.). Gleichwohl klärte der Beschwerdeführer nicht gründlich ab, ob der augenscheinlich psychisch kranke A._ in Bezug auf seinen Suizidwunsch allenfalls urteilsunfähig sein könnte. Er begnügte sich stattdessen mit der Einschätzung, dass der Sterbewunsch menschlich einfühlbar und verständlich sei. Die Frage, ob der Suizidwunsch einer psychisch kranken Person einfühlbar und verständlich erscheint, hat indessen nichts mit der Frage zu tun, ob die Person in Bezug auf den Suizid urteilsfähig ist.
5.3.2 Die Vorinstanz hat mit ihrer Bemerkung, dass der Beschwerdeführer "seine eigene Auffassung an die Stelle der normativen Voraussetzung der Urteilsfähigkeit gesetzt" habe, dem Beschwerdeführer nicht irgendeinen Irrtum zugebilligt, welcher gemäss den Ausführungen in der Beschwerde nicht lediglich als Subsumtionsirrtum, sondern als Verbotsirrtum beziehungsweise als Sachverhaltsirrtum zu qualifizieren wäre. Die Vorinstanz bringt mit ihren Erwägungen vielmehr zum Ausdruck, dem Beschwerdeführer sei es, wie sich aus seinen offensichtlich zu rudimentären Abklärungen ergebe, gleichgültig gewesen, ob die tatsächlichen Voraussetzungen der Urteilsfähigkeit in Bezug auf den Todeswunsch bei A._ erfüllt gewesen seien. Denn der Beschwerdeführer habe unabhängig davon den Todeswunsch auch eines psychisch kranken Menschen - entsprechend seinen Grundsätzen - schon erfüllen wollen, wenn ihm dieser Wunsch menschlich einfühlbar und verständlich erschien. Die Vorinstanz bringt damit zum Ausdruck, der Beschwerdeführer habe in Kauf genommen, dass die tatsächlichen Voraussetzungen der Urteilsfähigkeit im konkreten Einzelfall nicht erfüllt seien, was ihm aber gleichgültig gewesen sei, da er massgeblich auf die Einfühlbarkeit und Nachvollziehbarkeit des Todeswunsches abgestellt habe. Inwiefern diese Feststellungen willkürlich sind beziehungsweise die Vorinstanz von einem unzutreffenden Rechtsbegriff des Eventualvorsatzes ausgegangen ist, wird in der Beschwerde nicht dargelegt und ist nicht ersichtlich. Dass der vom Beschwerdeführer im Januar 2002 gegründete Verein M._ gemäss den Statuten psychisch kranken Menschen Suizidhilfe nur zukommen lassen will, wenn sie urteilsfähig sind, und dass eine Suizidhilfe gegenüber einer urteilsunfähigen Person nicht im Interesse des Beschwerdeführers und der von ihm angestrebten "Liberalisierung" sein konnte, legt nicht den Schluss nahe, der Beschwerdeführer habe - wenn auch fahrlässig - darauf vertraut, dass A._ urteilsfähig sei, und somit dessen Urteilsunfähigkeit nicht in Kauf genommen.
5.3.3 Im Übrigen ist in diesem Zusammenhang ergänzend auf Folgendes hinzuweisen. Im Rahmen eines von den zürcherischen Behörden im September 2002 eröffneten und in der Folge an die Behörden des Kantons Basel-Stadt abgetretenen Strafverfahrens wegen des durch die Gründung des Vereins M._ sowie verschiedene Publikationen gegen den Beschwerdeführer begründeten Anfangsverdachts der strafbaren Vorbereitungshandlungen (<ref-law>) zu vorsätzlichen Tötungen (kant. Akten p. 2067 ff.) wurde der Beschwerdeführer am 5. November 2002 rechtshilfeweise von der Kantonspolizei Zürich eingehend befragt (kant. Akten p. 2136 ff.). Auf die Frage Nr. 36, ob er bei seinen Beratungen die Urteilsfähigkeit abkläre, antwortete der Beschwerdeführer: "Formal nicht .... Es ist der klinische Blick. Man sieht es in der ersten Minute, wenn man mit jemandem spricht oder jemanden sieht" (kant. Akten p. 2141). Auf die Frage Nr. 40, was er dazu meine, dass er in einem Vereinsrundbrief die Frage aufgeworfen habe, ob bei krankheitsbedingter Entschlussunfähigkeit die Verleitung zum Suizid angezeigt sei, antwortete der Beschwerdeführer: "Ich habe ausdrücklich genug geschrieben, dass diese Frage in der Ferne auftaucht und noch diskutiert sein will" (kant. Akten p. 2142). Auf die Frage Nr. 49, ob er die Krankengeschichten der Hilfesuchenden jeweils beiziehe, antwortete der Beschwerdeführer: "Wenn sie sie spontan mitbringen, ja. Sonst nur, wenn etwas Wesentliches fraglich wäre." Auf die Frage Nr. 50, was dies sein könnte, antwortete er: "Das Wesentliche sagen die Ratsuchenden immer sofort und spontan" (kant. Akten p. 2143). Zwar soll gemäss den Statuten des Vereins M._ psychisch kranken Personen beim Suizid nur geholfen werden, wenn sie "urteilsfähig" sind. Diese Einschränkung wurde indessen in anderen Dokumenten nicht genannt. Der Beschwerdeführer hielt beispielsweise in einem Referat an der Fachtagung AGZ "Beihilfe zum Suizid - Doch eine ärztliche Tätigkeit?" vom 10. Januar 2002 fest, dass der Verein "volljährigen Menschen, die ihr Leben beenden wollen, auf Wunsch bei den Lebensabschluss-Arbeiten und bei der Planung des Freitods" beisteht. "Wir möchten, dass wir kein Ersuchen um Beihilfe zum Suizid mehr ablehnen müssen, wenn der Wunsch uns menschlich einfühlbar und verständlich ist" (kant. Akten p. 2077). Auch aus allen diesen Umständen kann willkürfrei der Schluss gezogen werden, dass der Beschwerdeführer die Frage der Urteilsfähigkeit von psychisch kranken Sterbewilligen nicht der gebotenen Überprüfung unterziehen wollte, weil sie ihm letztlich gleichgültig war, wenn er den Sterbewunsch für menschlich einfühlbar und verständlich hielt.
Die Beschwerde ist daher auch in diesem Punkt abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
6. Da die Beschwerde somit abzuweisen ist, soweit darauf einzutreten ist, hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Näf