Sachverhalt:
A. Die 1958 geborene T._ war 2009 bei der Progrès Versicherungen AG (nachfolgend: Progrès) obligatorisch krankenpflegeversichert. Vom 12. Februar bis 26. Oktober 2009 stand sie bei Dr. med. Dr. med. dent. S._, FMH für Kiefer- und Gesichtschirurgie sowie Spezialist SSO für Oralchirurgie, in Behandlung. Gestützt auf die Stellungnahmen ihres Vertrauenskieferchirurgen vom 18. September und 18. Dezember 2009 lehnte die Progrès mit Verfügung vom 25. Februar 2010 und Einspracheentscheid vom 29. April 2010 eine Vergütung der Kosten von Fr. 1'539.15 gemäss Honorarrechnungen vom 21. März, 29. April und 3. November 2009 durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung ab.
B. Die Beschwerde der T._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 22. Juli 2010 ab.
C. T._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, die Progrès sei zu verpflichten, die Kosten von Fr. 2'546.65 im Zusammenhang mit der zahnärztlichen Behandlung vom 12. Februar bis 26. Oktober 2009 zu vergüten, und die medizinische Beurteilung habe durch einen unabhängigen Facharzt FMH für Kiefer- und Gesichtschirurgie zu erfolgen.
Die Progrès beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Gesundheit haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit Verfügung vom 24. November 2010 ist das Gesuch von T._ um unentgeltliche Rechtspflege (Durchführung des Verfahrens ohne Kostenfolge) mangels Bedürftigkeit abgewiesen worden.

Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin beantragt neu auch die Vergütung der Kosten der vom behandelnden Arzt und Zahnarzt verfassten Stellungnahmen und Berichte in der Höhe von insgesamt Fr. 942.40 gemäss Honorarrechnung vom 8. August 2010. Dabei handelt es sich indessen nicht um Leistungen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung und insoweit ist daher schon aus diesem Grund nicht auf die Beschwerde einzutreten (SVR 2008 KV Nr. 3 S. 8, 9C_50/2007 E. 2; vgl. aber hinten E. 5.2).
2. 2.1 Nach <ref-law> übernimmt die obligatorische Krankenpflegeversicherung die Kosten der zahnärztlichen Behandlung, u.a. wenn diese durch eine schwere, nicht vermeidbare Erkrankung des Kausystems bedingt ist. Voraussetzung ist, dass das Leiden Krankheitswert erreicht; die Behandlung ist nur so weit von der Versicherung zu übernehmen, wie es der Krankheitswert des Leidens notwendig macht (Art. 17 Ingress KLV in Verbindung mit <ref-law> und Art. 33 Abs. 2 und 5 KVG). Zu den schweren, nicht vermeidbaren Erkrankungen des Kausystems gehören u.a. Verlagerung und Überzahl von Zähnen und Zahnkeimen mit Krankheitswert (z.B. Abszess, Zyste) und Osteomyelitis der Kiefer (Art. 17 lit. a Ziff. 2 und lit. c Ziff. 5 KLV).
2. 2.1 Nach <ref-law> übernimmt die obligatorische Krankenpflegeversicherung die Kosten der zahnärztlichen Behandlung, u.a. wenn diese durch eine schwere, nicht vermeidbare Erkrankung des Kausystems bedingt ist. Voraussetzung ist, dass das Leiden Krankheitswert erreicht; die Behandlung ist nur so weit von der Versicherung zu übernehmen, wie es der Krankheitswert des Leidens notwendig macht (Art. 17 Ingress KLV in Verbindung mit <ref-law> und Art. 33 Abs. 2 und 5 KVG). Zu den schweren, nicht vermeidbaren Erkrankungen des Kausystems gehören u.a. Verlagerung und Überzahl von Zähnen und Zahnkeimen mit Krankheitswert (z.B. Abszess, Zyste) und Osteomyelitis der Kiefer (Art. 17 lit. a Ziff. 2 und lit. c Ziff. 5 KLV).
2.2 2.2.1 Eine schwere, nicht vermeidbare Erkrankung des Kausystems im Sinne von Art. 17 Ingress KLV setzt allgemein ein durch prophylaktische Massnahmen im Sinne und im Rahmen zumutbarer Mund- und Zahnhygiene (<ref-ruling> und 70) nicht zu verhinderndes pathologisches Geschehen voraus, welches zu erheblichen Schäden an Zähnen, Kieferknochen oder Weichteilen geführt hat oder nach klinischem und allenfalls radiologischem Befund mit hoher Wahrscheinlichkeit dazu führen würde (<ref-ruling> E. 7a S. 335; SVR 2008 KV Nr. 3 S. 8, 9C_50/2007 E. 4.2).
2.2.2 Eine Verlagerung von Zähnen und Zahnkeimen im Sinne von <ref-law> im Besonderen besteht in einer Abweichung von der Lage oder Achsenrichtung. Bei bleibender Dentition besteht der Krankheitswert in einem pathologischen Geschehen, worunter neben den explizit aufgeführten Abszess und Zyste alle Erscheinungsformen zu verstehen sind, die erhebliche Schäden an den benachbarten Zähnen, am Kieferknochen und an benachbarten Weichteilen verursacht haben oder gemäss klinischem und allenfalls radiologischem Befund mit hoher Wahrscheinlichkeit verursachen werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 467). Bei verlagerten Weisheitszähnen im Speziellen genügt jedoch nicht jede Pathologie, die bei anderen verlagerten Zähnen die Übernahme der Behandlungskosten durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung rechtfertigt. Vielmehr muss entweder die Entfernung des verlagerten Weisheitszahnes wegen besonderer Verhältnisse oder die Behandlung der Pathologie schwierig und aufwändig sein (<ref-ruling> E. 4.1-4 S. 468 ff.; Urteil K 152/06 vom 4. Juli 2007 E. 2.2). Dies gilt auch bei mit der Verlagerung in Zusammenhang stehenden Komplikationen in Form eines Abszesses oder einer Zyste (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 164/03 vom 18. März 2005 E. 3.4).
2.3 Bei von Zahnärztinnen und Zahnärzten vorgenommenen Behandlungen in der Mundhöhle, die nicht zahnärztliche Behandlungen im engeren Sinne darstellen, bestimmt sich die Kostenübernahme durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung nach <ref-law>. Für die Abgrenzung solcher ärztlicher von zahnärztlichen Behandlungen im Sinne von <ref-law> und Art. 17-19 KLV sind in erster Linie der Ansatzpunkt und die therapeutische Zielsetzung der Vorkehr im konkreten Fall von Bedeutung. Vom Ansatzpunkt her betreffen zahnärztliche Behandlungen grundsätzlich das Kausystem. Die therapeutische Zielsetzung bestimmt sich danach, welcher Körperteil oder welche Funktion unmittelbar geheilt oder verbessert werden soll (<ref-ruling> und 143). Ist die Zuordnung nicht eindeutig, kommt der therapeutischen Zielsetzung das grössere Gewicht zu (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 43/01 vom 29. April 2002 E. 5b in fine; vgl. auch <ref-ruling> E. 2 S. 278 und 128 V 143 E. 4b/cc S. 146; vgl. zum Ganzen Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR/Band XIV, 2. Aufl. 2007, Rz. 447 ff. S. 548 ff.).
Die Behandlung eines extraodontoparodontal im Oberkieferknochen liegenden Abszesses mit Fistelbildung etwa stellt eine ärztliche Behandlung einer Krankheit im Sinne von Art. 25 Abs. 1 und Abs. 2 lit. a Ziff. 1 KVG dar (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 86/99 vom 19. Dezember 2001). Dagegen ist die Entfernung einer radikulären Zyste an der Wurzelspitze eines Zahnes grundsätzlich eine zahnärztliche Massnahme, wenn sie vom Zahnarzt mittels Wurzelbehandlung angehbar ist; da sie im Zusammenhang mit einem Zahnelement steht, sind die Kosten jedoch nicht gestützt auf <ref-law> von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zu übernehmen. Hat sich eine solche Zyste weit über ihren Ursprung hinaus entwickelt und den Kieferknochen in der Weise betroffen, dass sie in die Kieferhöhle im Sinne einer Sinusitis maxillaris durchgebrochen ist, hat sie die enge Verbindung mit dem Zahnelement verlassen, sodass deren Behandlung nunmehr eine nach Massgabe von <ref-law> zu übernehmende ärztliche Leistung darstellt (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 111/99 vom 19. Dezember 2001 E. 5 und 6).
2.4 Eine ärztliche oder zahnärztliche Krankheitsbehandlung im Sinne von <ref-law> resp. <ref-law> liegt auch vor, wenn ein gefährdeter Gesundheitszustand unbehandelt sich wahrscheinlich verschlimmerte und dem mit der grössten Aussicht auf Erfolg durch eine möglichst frühzeitige Therapie entgegengewirkt werden kann (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 5/06 vom 21. August 2006 E. 3.2; Eugster, a.a.O., Rz. 325 f. S. 502).
3. 3.1 Die Vorinstanz hat festgestellt, die von Dr. med. Dr. med. dent. S._ im Rahmen der Behandlung vom 12. Februar bis 26. Oktober 2009 erbrachten Leistungen, deren Vergütung durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung streitig sei, hätten die Entfernung des Weisheitszahns Nr. 18 am Oberkiefer rechts sowie die Behandlung und anschliessende Beseitigung samt der notwendigen Nachkontrollen des diagnostizierten osteomyelitischen Herdes im Bereich des (bereits früher gezogenen) Weisheitszahns Nr. 28 des Oberkiefers links umfasst. Gemäss der Honorarrechnung vom 29. April 2009 sei vor der Entfernung des Weisheitszahns am 23. März 2009 der osteomyelitische Herd im Segment des früher entfernten Weisheitszahns Nr. 28 behandelt worden. Im Zusammenhang mit dem Weisheitszahn Nr. 18 seien einzig pericoronale Infekte diagnostiziert worden, deren Behandlung im Wesentlichen in der Extraktion des betreffenden Zahnes bestanden habe, was keine besondere Massnahme darstelle. Aussergewöhnliche Verhältnisse, welche die Operation schwierig und aufwändig gemacht hätten, seien nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen. In der betreffenden Honorarrechnung (recte: vom 31. März 2009) habe der Zahnarzt die Position 4206 verrechnet, was gemäss dem anwendbaren SSO-Tarif für eine einfache Entfernung eines retinierten Zahnes stehe. Die später vom behandelnden Zahnarzt vorgebrachte Darstellung (im Bericht vom 26. Juni 2009), es sei der zweithöchste von sechs Schwierigkeitsgraden erfüllt gewesen, sei weniger glaubhaft. Aus diesen Tatsachenfeststellungen hat die Vorinstanz geschlossen, bei der Extraktion des Weisheitszahns Nr. 18 sei der qualifizierte Krankheitswert, welcher Anspruch auf Übernahme der Kosten durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung gebe, nicht vorgelegen.
3.2 Die Feststellung der Vorinstanz, die vier Sitzungen umfassende Behandlung vom 12. Februar bis 22. März 2009 habe den osteomyelitischen Herd im Segment des früher entfernten Weisheitszahns Nr. 28 im Oberkiefer links betroffen, ist offensichtlich unrichtig, wie die Beschwerdeführerin zu Recht rügt. In der Honorarrechnung vom 29. April 2009 wurde zwar die Diagnose "Osteomyelitischer Herd" angegeben. Aus den Akten ergibt sich indessen mit aller nur wünschbaren Deutlichkeit, dass am 12. Februar 2009 unter der Diagnose "Abszess Oberkiefer rechts" in Terminalanästhesie eine Inzision und Drainage durchgeführt worden war. Die Nachbehandlung erfolgte an drei Sitzungen, wobei an derjenigen vom 16. Februar 2009 eine "Intraorale Inzision Logen" vorgenommen wurde. Der behandelnde Arzt und Zahnarzt führt dazu in seinem integrierender Bestandteil der Beschwerde bildenden "Arztzeugnis" vom 3. August 2010 unter Hinweis auf die Operationsberichte vom 12. Februar und 23. März 2009 aus, trotz Inzision und Drainage und Antibiotikaverabreichung habe der Infekt noch zugenommen, sodass nach vier Tagen die Inzision hätte erweitert und die Drainage erneuert werden müssen. Erst nach Abklingen des akuten Infektes sei die Entfernung des schräg transversal impaktiert verlagerten, mit der Okklusionsfläche nach bukkal und den Wurzeln bis in die Kieferhöhle rechts reichenden Weisheitszahns Nr. 18 möglich gewesen. Bereits davor hätten rezidivierende pericoronale Infekte mit ausstrahlenden Schmerzen in die Kopf- und Nackenregion bestanden.
3.3 Es ist davon auszugehen, dass der Weisheitszahn Nr. 18, welcher auch nach Auffassung des Vertrauenskieferchirurgen des Krankenversicherers (Stellungnahme vom 18. September 2009) verlagert war, (mit-)ursächlich für den Abszess gewesen war (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 in fine S. 469). Das Tatbestandsmerkmal der Verlagerung mit Krankheitswert im Sinne von <ref-law> ist somit gegeben. Anderseits fällt eine Qualifikation der Abszessbehandlung als ärztliche Massnahme nach Art. 25 Abs. 1 und Abs. 2 Ziff. 1 KVG ausser Betracht.
3.3.1 Die Behandlung des Abszesses erforderte vier Konsultationen, wobei laut dem Bericht des behandelnden Zahnarztes vom 23. Oktober 2009 nach einer ersten Inzision mit Drainage am 12. Februar 2009 und Antibiotikaverabreichung wegen des schwierigen Verlaufs vier Tage später noch ein weiteres Mal inzidiert werden musste. Ebenfalls sei die Entfernung des Weisheitszahnes Nr. 18 schwierig gewesen. Der Zahn sei transversal gelegen und habe mit den Wurzeln bis in die Kieferhöhle gereicht, sodass diese eröffnet war. Im "Arztzeugnis" vom 3. August 2010 führt er weiter aus, wegen der vorgängig notwendigen Inzision sei zudem die Schleimhaut über der Zahnverlagerung und damit über dem Loch zur Kieferhöhle nicht intakt gewesen, sodass die angrenzende vestibuläre Schleimhaut mobilisiert und eine plastische Deckung durchgeführt werden musste. Die Behandlung durch eine Osteotomie ohne Separation habe dem zweithöchsten von sechs Schwierigkeitsgraden gemäss dem anwendbaren SSO-Tarif (Position 4206 "Entfernung retinierter Zahn einfach") entsprochen.
3.3.2 Aufgrund dieser Angaben kann in Bezug auf die Entfernung des Weisheitszahns Nr. 18 nicht von besonderen Verhältnissen resp. einer schwierigen und aufwändigen Behandlung der Pathologie, bestehend aus dem Abszess sowie den üblichen pericoronalen Infekten (vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 61/03 vom 8. Februar 2005 E. 4.4), gesprochen werden. Auch aus dem Operationsbericht vom 23. März 2009 ergeben sich keine Besonderheiten, insbesondere keine Hinweise auf Komplikationen. Sodann gehören die verschiedenen Verfahren der Zahnentfernung gemäss den Tarifpositionen 4201-4207 zum zahnärztlichen Standard. Die Anwendung eines bestimmten Verfahrens, vorliegend eine Osteotomie ohne Separation, allein vermag daher noch nichts über die Besonderheit der Verhältnisse auszusagen. Ebenfalls lässt der Umstand der zweimaligen Abszessinzision die Behandlung der Pathologie nicht als besonders schwierig oder aufwändig erscheinen. Es besteht somit kein Anspruch auf Übernahme der Kosten der Entfernung des Weisheitszahns Nr. 18 einschliesslich der Abszessbehandlung durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung. Das gilt auch, soweit diese Vorkehren im Rahmen der Behandlung von chronischen Kopf- und Nackenschmerzen erfolgte (vgl. undatierter Überweisungsschein Frau Dr. med. B._; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 134/02 vom 26. August 2003 E. 4.2).
4. 4.1 Mit Bezug auf die Behandlung im Bereich des Oberkiefers links ist gemäss Vorinstanz aufgrund der Stellungnahme des Vertrauenskieferchirurgen des Krankenversicherers vom 18. Dezember 2009 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt, dass nicht eine Osteomyelitis, sondern einzig eine Ostitis vorgelegen habe, welche im Katalog von <ref-law> nicht enthalten sei und damit keine Leistungspflicht der obligatorischen Krankenpflegeversicherung begründe. Die Beurteilung des Vertrauensarztes überzeuge mit Blick auf die Ausführungen zur Osteomyelitis der Kiefer im Atlas der Erkrankungen mit Auswirkungen auf das Kausystem der Schweizerischen Zahnärzte-Gesellschaft (SSO; 3. Aufl. 2008), wonach sich diese Krankheit im Röntgenbefund als unscharf begrenzte osteolytische Zone im Kiefer zeige. Der behandelnde Zahnarzt begründe in seinem Bericht vom 8. März 2010 nicht überprüfbar, weshalb seine Auffassung, wonach es sich tatsächlich um einen osteomyelitischen Herd gehandelt habe, zutreffen soll.
Der Vertrauenskieferchirurg des Krankenversicherers hatte in seiner Stellungnahme vom 18. Dezember 2009 ausgeführt, das Röntgenbild zeige von einem entzündlichen Randsaum umgebene Wurzelreste des Zahnes 28, was nicht einer Osteomyelitis entspreche, sondern einem ganz lokalisierten entzündlichen Herd. Ein solcher Befund sei in der KLV nicht aufgeführt und diese sei abschliessend.
4.2 Der behandelnde Arzt und Zahnarzt bestreitet nicht, dass keine Osteomyelitis der Kiefer im Sinne von <ref-law> vorlag. Im "Arztzeugnis" vom 3. August 2010 führt er aus, es habe sich um einen "typischen osteomyelitischen Herd" gehandelt, d.h. die unscharf begrenzte osteolytische Zone um den Sequester bzw. Wurzelrest sei auf den Tuberbereich lokalisiert gewesen und habe am Nachbarzahn 27 ihr Ende gefunden. Demgegenüber hätte sich sinngemäss bei einer Osteomyelitis der Kiefer diese Zone weiter im Kiefer ausgebreitet, was zu einer Lockerung der Zähne bis zum Zahnausfall hätte führen können. Er widerspricht jedoch der Vorinstanz, wonach lediglich eine Ostitis und nicht ein (im Operationsbericht vom 23. März 2009 und auf der Honorarrechnung vom 29. April 2009 als Diagnose genannter) "Osteomyelitischer Herd" bestanden habe. Die entzündliche Veränderung im Oberkiefer links habe im Innern des Tuber, somit im Knochenmark gelegen und nicht (nur) die Knochenoberfläche (Kortikalis) betroffen. Ein osteomyelitischer Herd im Knochenmark, ob mit Sequester oder Wurzelrest im Zentrum, lasse sich wie eine Osteomyelitis der Kiefer nicht durch mundhygienische Massnahmen, Fluoridierung und Dentalhygiene beeinflussen und sei daher als nicht vermeidbar resp. erkrankungsbedingt anzusehen. Als Prozess im Knochenmark stelle der osteomyelitische Herd wie eine begrenzte oder ausgedehnte Osteomyelitis in jedem anderen Knochen eine Erkrankung ausserhalb vom Kausystem (Odontoparodont) dar. Da die Zielsetzung nicht eine Verbesserung der Kaufunktion sei, liege eine Krankheitsbehandlung im Sinne von Art. 25 Abs. 1 und Abs. 2 lit. a Ziff. 1 KVG vor.
4.3 Die abschliessende vorinstanzliche Feststellung, bei der Beschwerdeführerin liege im Oberkiefer links lediglich eine Entzündung von Knochengewebe (Ostitis), und nicht eine Knochenmarkentzündung (Osteomyelitis; Pschyrembel, Klinisches Wörterbuch, 262. Aufl. 2011, S. 1511 und 1516), vor, kann nicht als offensichtlich unrichtig bezeichnet werden (Art. 97 Abs. 1 sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Es ist aber nicht auszuschliessen, dass die Behandlung des auf einen bestimmten Bereich lokalisierten entzündlichen Herdes eine ärztliche Behandlung im Sinne von <ref-law> darstellt. Massgebend ist neben dem Ansatzpunkt in erster Linie die therapeutische Zielsetzung, d.h. welcher Körperteil oder welche Funktion unmittelbar geheilt oder verbessert werden soll (vorne E. 2.3). Es stellen sich u.a. folgende Fragen: Gibt es solche lokalisierten entzündlichen Herde im Bereich des Tubers eines extrahierten Weisheitszahns? Haben sie Krankheitswert resp. was sind die absehbaren Folgen einer Nichtbehandlung? Inwiefern dient eine Behandlung auch der Kaufunktion? Der Krankenversicherer wird zu diesen Fragen ein fachärztliches Gutachten einzuholen haben und danach über die Vergütung der Kosten der Behandlung der Entzündung im Oberkiefer links durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung neu verfügen.
5. 5.1 Bei diesem Ausgang des Verfahrens haben die Parteien je die Hälfte der Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Seit dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes am 1. Januar 2007 sind die Verfahren vor Bundesgericht auch in Sozialversicherungsangelegenheiten nicht mehr kostenlos (<ref-law>).
5.2 Im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren besteht auch dann Anspruch auf Parteientschädigung, wenn kein entsprechender Antrag gestellt wurde (<ref-ruling> E. 4 und 5 S. 157 f.; Urteil 8C_629/2007 vom 3. November 2008 E. 5.2.1; Hansjörg Seiler und Andere, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 3 zu <ref-law>). Das vom behandelnden Arzt und Zahnarzt im Auftrag und auf Rechnung der Beschwerdeführerin verfasste "Arztzeugnis" vom 3. August 2010 enthält die wesentliche medizinische und rechtliche Begründung dafür, weshalb es sich bei der Behandlung vom 12. Februar bis 26. Oktober 2009 um eine von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zu vergütende Leistung handeln soll. Es bildet integrierender (Haupt-) Bestandteil der Beschwerde. Es rechtfertigt sich daher, eine Parteientschädigung unter dem Titel notwendiger und gebotener Vertretungsaufwand zur Wahrung der Interessen der Beschwerdeführerin zuzusprechen (vgl. Seiler und Andere, a.a.O., N. 12 ff., insbes. 15 f. zu <ref-law>). In masslicher Hinsicht ist die Höhe der Entschädigung unter Berücksichtigung des teilweisen Prozesserfolges ex aequo et bono auf Fr. 600.- festzusetzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 22. Juli 2010 und der Einspracheentscheid der Progrès Versicherungen AG vom 29. April 2010, soweit die Behandlung im Oberkiefer links im Zeitraum vom 23. März bis 26. Oktober 2009 betreffend, werden aufgehoben. Die Sache wird an den Krankenversicherer zurückgewiesen, damit er nach Abklärungen im Sinne von E. 4.3 über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf Vergütung der Kosten dieser Behandlung neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden je zur Hälfte der Progrès Versicherungen AG und der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Progrès Versicherungen AG hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 600.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Dezember 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler