Faits:
A. O._ a requis l'octroi d'une indemnité de chômage à partir du 1er septembre 2003. Il a réalisé divers gains intermédiaires durant le délai-cadre d'indemnisation couvrant la période du 1er septembre 2003 au 31 août 2005.
Par contrat de travail du 5 avril 2005, l'intéressé a été engagé par la société X._ à partir du 18 avril suivant pour une durée indéterminée. Ce contrat prévoyait un salaire annuel brut de 108'000 fr. payable en 13 mensualités et donnait droit à 25 jours de vacances par année civile. Par courrier du 8 juillet 2005, l'employeur a résilié les rapports de travail avec effet au 18 juillet suivant, en indiquant que le salaire serait payé jusqu'à cette date, bien que le collaborateur fût libéré de l'obligation de travailler dès le 11 juillet 2005. Les 6,25 jours de vacances auxquels l'intéressé avait droit ont été compensés par le paiement d'un montant de 2'592 fr. 15.
Après avoir travaillé en vertu d'un contrat d'emploi temporaire au service de Y._ du 6 septembre au 9 décembre 2005, l'assuré a requis une indemnité de chômage à partir du 12 décembre suivant. La Caisse de chômage UNIA lui a alors alloué une indemnité calculée en fonction d'un gain assuré déterminant de 6'642 fr.
L'assuré ayant contesté ce montant, la caisse a rendu une décision le 2 octobre 2006, confirmée sur opposition le 28 juin 2007, par laquelle elle a fixé à 6'669 fr. le montant du gain assuré. Ce montant a été calculé sans tenir compte de la somme de 2'592 fr.15 payée par X._ au titre de l'indemnité pour les 6,25 jours de vacances qui n'avaient pas été pris par l'assuré.
B. O._ a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant à l'octroi, à partir du 12 décembre 2005, d'une indemnité de chômage calculée en fonction d'un gain assuré de 7'118 fr. 90 et à la condamnation de la caisse au paiement des arriérés avec intérêt à 5 % l'an.
La juridiction cantonale a ordonné une comparution personnelle des parties le 5 mars 2008 et rejeté le recours dont elle était saisie par jugement du 25 juin 2008.
C. O._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en reprenant ses conclusions formulées en instance cantonale.
Par ordonnance du 28 août 2008, le Président de la Ire Cour de droit social du Tribunal fédéral a imparti au recourant un délai au 12 septembre 2008, afin de s'acquitter d'une avance de frais d'un montant de 500 fr. Par écriture du 1er septembre 2008, le recourant a demandé à être dispensé d'avancer les frais de procédure.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2. Le litige porte sur le montant de l'indemnité de chômage allouée au recourant durant la période d'indemnisation du 12 décembre 2005 au 11 décembre 2007, en particulier sur le montant du gain assuré.
3. Par un premier moyen, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir confirmé le point de vue de la caisse intimée selon lequel l'indemnité de vacances de 2'592 fr. 15 allouée par X._ ne fait pas partie du gain assuré.
3.1 Est réputé gain assuré le salaire déterminant au sens de la législation sur l'AVS qui est obtenu normalement au cours d'un ou de plusieurs rapports de travail durant une période de référence, y compris les allocations régulièrement versées et convenues contractuellement, dans la mesure où elles ne sont pas des indemnités pour inconvénients liés à l'exécution du travail (art. 23 al. 1, première phrase, LACI).
Bien qu'elles fassent partie du salaire déterminant au sens de la LAVS, les indemnités de vacances versées en plus du salaire de base sous la forme d'un pourcentage ne font pas partie du gain assuré. Une pratique contraire aurait pour effet de favoriser sans motif l'assuré dans cette situation par rapport à celui qui prend réellement les vacances auxquelles il a droit. Il convient toutefois d'établir combien de jours de vacances sont dédommagés par de telles compensations financières au cours de la période de cotisation déterminante. Dès lors, les indemnités de vacances perçues par l'assuré en sus de son salaire horaire ou mensuel doivent être considérées comme faisant partie du gain assuré du mois au cours duquel l'intéressé a pris effectivement ses vacances (<ref-ruling> consid. 5b p. 47; DTA 2000 no 7 p. 33, C 12/99 consid. 2).
3.2 En l'espèce, le contrat de travail liant le recourant à X._ prévoyait un salaire annuel brut de 108'000 fr., payable en 13 mensualités, et donnait droit à 25 jours de vacances par année civile. En d'autres termes, l'indemnisation des jours de vacances était comprise dans le salaire brut. Si l'intéressé avait pris les vacances auxquelles il avait droit pour la durée des rapports de travail (du 18 avril au 18 juillet 2005), soit 6,25 jours, il n'aurait pas perçu l'indemnité de 2'592 fr. 15 allouée par l'employeur après la fin des rapports de travail. Si donc cette indemnité était prise en considération dans le calcul du gain assuré du recourant, il y aurait une inégalité de traitement par rapport à un assuré qui aurait pris ses vacances pendant les rapports de travail et n'aurait donc pas reçu une telle indemnité.
Cela étant, la caisse intimée était fondée à faire abstraction de l'indemnité de vacances dans le calcul du gain assuré. Le premier grief du recourant se révèle manifestement infondé.
4. Par un deuxième moyen, le recourant reproche à la caisse intimée et à la juridiction cantonale d'avoir procédé au calcul de la durée de cotisation en appliquant un facteur de conversion de 1,4 (jour de travail en jour civil) au lieu du coefficient de conversion de 21.7 (nombre de jours ouvrables par mois), tel qu'il est indiqué dans le Guide des droits et devoirs du chômeur (www.guidechomage.ch), dans sa version du 7 novembre 2003.
Le recourant n'expose toutefois pas en quoi l'application du coefficient ci-dessus indiqué devrait conduire à la fixation d'un gain assuré plus élevé que 6'669 fr. Sur ce point, le recours ne répond pas aux exigences de motivation posées à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, et ce grief n'est pas recevable.
5. Quant au grief tiré de la violation des règles de la bonne foi, il est manifestement infondé, comme l'ont démontré les juges cantonaux. Renvoi soit à cet égard au jugement entrepris.
6. Le recourant, qui succombe, a demandé à être dispensé de verser une avance de frais.
En l'occurrence, la Cour de céans renonce à mettre à sa charge des frais judiciaires, de sorte que cette demande devient sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 28 novembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd