Faits:
A. A.a S._, née en 1969, sans formation professionnelle, a exercé l'activité de vendeuse. Le 19 mars 2003, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 19 mai 2003, le docteur P._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen, sans syndrome somatique ([CIM-10] F33.10), d'état de stress post-traumatique chronique (F43.1) et de personnalité émotionnellement labile, type borderline (F60.31). Il indiquait que la patiente avait présenté une incapacité de travail de 100 % dès le 22 juin 2002. A partir du 8 septembre 2003, l'assurée a bénéficié d'une mesure de reclassement sous la forme d'une initiation au travail dans le domaine de la vente et de la gestion de marchandises, mesure qui a été prolongée jusqu'au 7 mars 2004. Dans un rapport du 3 mai 2004, le docteur P._ a relevé que l'état de santé de la patiente s'était amélioré, que le status psychique n'avait pas beaucoup changé et qu'un emploi à 50 % était raisonnablement exigible de sa part, avec une diminution de rendement de 10 - 20 %. Dans un prononcé du 18 juin 2004, l'Office AI Berne a conclu à une invalidité de 50 % depuis le 1er juin 2003, date à partir de laquelle il a alloué à S._ une demi-rente d'invalidité (décision du 16 septembre 2004).
A.b Dès juillet 2006, l'office AI a procédé à la révision du droit de S._ à une demi-rente d'invalidité. Sur proposition de son Service médical régional (rapport SMR du 11 janvier 2007), il a confié une expertise au docteur A._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 31 juillet 2007, ce médecin, écartant l'existence d'un stress post-traumatique, a posé les diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail de trouble de l'adaptation, réaction dépressive prolongée ([CIM-10] F43.21), et de polytoxicomanie (F19): syndrome de dépendance d'alcool, utilisation épisodique; utilisation nocive pour la santé de cannabis (F12); status après utilisation nocive pour la santé de cocaïne et héroïne (F14.1). Il concluait que l'assurée était du point de vue psychiatrique capable de travailler à 100 %.
Par lettre du 21 décembre 2007, l'office AI a invité S._ à consulter son médecin traitant, afin de se soumettre à une thérapie de sevrage. Sans nouvelles de sa part, il lui a communiqué le 14 février 2008 un préavis de suppression de son droit à une demi-rente d'invalidité, au motif qu'elle avait manqué à son obligation de coopérer. Le 4 mars 2008, celle-ci a fait part à l'office AI de ses observations. Le 10 mars 2008, le docteur P._ a nié qu'il y ait "actuellement" dépendance à des boissons alcoolisées. Par lettre du 18 mars 2008, l'office AI, admettant l'objection de l'assurée, l'a informée que la décision prévoyant la suppression de son droit à la rente était "suspendue" et que la procédure de révision suivait son cours.
Le docteur P._, dans un rapport du 20 août 2008, a relevé que la légère amélioration de l'état de santé décrite dans son dernier rapport n'était plus présente, mais que dans l'ensemble les symptômes étaient restés les mêmes. A cause du manque d'aide extérieure et de son état très instable, la patiente ne venait pas régulièrement aux consultations, dont la dernière remontait au 16 juin 2008.
Dans un rapport médical SMR du 12 septembre 2008, la doctoresse K._, spécialiste en médecine générale, a posé le diagnostic (avec répercussions sur la capacité de travail) de trouble de l'adaptation, réaction dépressive prolongée. Elle indiquait que le rapport du docteur P._ du 20 août 2008 ne révélait pas de nouveaux aspects par rapport à l'expertise du docteur A._ du 31 juillet 2007, dont il y avait lieu de suivre les conclusions en ce sens que l'assurée ne présentait plus d'incapacité de travail.
Dans un préavis du 18 septembre 2008, l'office AI a informé S._ qu'elle ne présentait plus d'incapacité de travail depuis fin juillet 2007 au moins ni aucune invalidité, de sorte que les conditions du droit à la rente n'étaient plus remplies. Celle-ci, produisant une appréciation du docteur P._ du 27 octobre 2008, a fait part à l'office AI de ses observations datées du 16 octobre 2008, complétées le 25 novembre 2008. Les motifs pour lesquels l'assurée contestait que son état de santé se soit amélioré ont été réfutés par la doctoresse K._ dans une prise de position du 1er décembre 2008 et par décision de l'office AI du 4 décembre 2008 supprimant son droit à une rente d'invalidité avec effet à compter de la fin du mois suivant la date de la décision.
B. Le 19 janvier 2009, S._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif du canton de Berne, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation.
Par jugement du 14 septembre 2009, le Tribunal administratif a rejeté le recours.
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à celle de la décision de suppression du droit à la rente du 4 décembre 2008. Produisant copie d'une prise de position du docteur P._ du 12 octobre 2009, elle demande que le Tribunal fédéral constate qu'elle continue à avoir droit au moins à une demi-rente d'invalidité et fixe son droit aux prestations, à titre subsidiaire que le dossier soit renvoyé à l'office AI pour instruction complémentaire, expertise médicale et nouvelle décision au sens des considérants. Elle sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite.
L'Office AI Berne conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
1.2 Par rapport aux dernières conclusions prises devant l'autorité précédente tendant à l'annulation pure et simple de la décision de l'office AI du 4 décembre 2008, la conclusion demandant que soit constaté que la recourante continue à avoir droit au moins à une demi-rente d'invalidité et que soit fixé son droit aux prestations, subsidiairement que le dossier soit renvoyé à l'office AI pour instruction complémentaire, expertise médicale et nouvelle décision au sens des considérants, est nouvelle (BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, N. 30, 31 et 32 ad Art. 99 LTF). Cette conclusion est dès lors irrecevable.
1.3 Devant la Cour de céans, la recourante produit copie d'une prise de position du docteur P._ du 12 octobre 2009.
Toutefois, le jugement attaqué du 14 septembre 2009 ne justifie pas pour la première fois de soulever ce moyen et la recourante ne montre pas en quoi les conditions d'une exception à l'interdiction des faits ou moyens de preuve nouveaux selon l'art. 99 al. 1 LTF sont remplies (Ulrich Meyer, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, N. 44 à 47 ad Art. 99 BGG; Bernard Corboz, in op. cit., N. 19 ad Art. 99 LTF). Ce moyen n'est dès lors pas admissible.
1.4 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 s. (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité - dans la mesure où elle dépend d'une évaluation de la personne concrète, de son état de santé et de ses capacités fonctionnelles - relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398). Dans la mesure cependant où il en va de l'évaluation de l'exigibilité d'une activité professionnelle au regard de l'expérience de la vie, il s'agit d'une question de droit qui peut être examinée librement en instance fédérale. Ces principes s'appliquent également en ce qui concerne la question de savoir si la capacité de travail, respectivement l'incapacité de travail, de l'assuré s'est modifiée d'une manière déterminante sous l'angle de la révision au cours d'une certaine période (par exemple arrêts 9C_396/2009 du 12 février 2010, 9C_413/2008 du 14 novembre 2008 et 9C_270/2008 du 12 août 2008).
2. Le litige porte sur la suppression, par voie de révision, du droit de la recourante à une demi-rente d'invalidité, singulièrement sur le point de savoir si l'état de santé et son incidence sur la capacité de travail et sur le taux d'invalidité fondant le droit à la prestation ont subi un changement important.
2.1 Le jugement attaqué expose correctement les dispositions légales relatives à la notion d'invalidité (art. 4 al. 1 LAI, art. 8 al. 1 LPGA), les règles et principes jurisprudentiels sur la révision du droit à une rente d'invalidité (art. 17 al. 1 LPGA; <ref-ruling> et 545 consid. 7.1 p. 548, 130 V 343 consid. 3.5 p. 349 s.), les tâches du médecin et la libre appréciation des preuves. On peut ainsi y renvoyer.
2.2 En cas de divergence d'opinion entre experts et médecins traitants, il n'est pas, de manière générale, nécessaire de mettre en oeuvre une nouvelle expertise. La valeur probante des rapports médicaux des uns et des autres doit bien plutôt s'apprécier au regard des critères jurisprudentiels (<ref-ruling> consid. 3a p. 352) qui permettent de leur reconnaître pleine valeur probante. A cet égard, il convient de rappeler qu'au vu de la divergence consacrée par la jurisprudence entre un mandat thérapeutique et un mandat d'expertise (<ref-ruling> consid. 4 p. 175; arrêt I 514/06 du 25 mai 2007 consid. 2.2.1, in SVR 2008 IV Nr. 15 p. 43), on ne saurait remettre en cause une expertise ordonnée par l'administration ou le juge et procéder à de nouvelles investigations du seul fait qu'un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion contradictoire. Il n'en va différemment que si ces médecins traitants font état d'éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l'expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l'expert.
3. Les premiers juges ont constaté que par rapport aux circonstances existant lors de la décision du 16 septembre 2004, où une demi-rente d'invalidité avait été allouée à la recourante en raison du trouble dépressif récurrent d'épisode moyen diagnostiqué par le docteur P._ dans son rapport du 19 mai 2003, la situation de santé de l'assurée s'était améliorée de façon à influencer notablement le taux d'invalidité. Relevant que le docteur A._ avait écarté l'existence de troubles dépressifs invalidants dans son expertise du 31 juillet 2007 et posé le diagnostic sans répercussion sur la capacité de travail de trouble de l'adaptation, réaction dépressive prolongée, ils ont retenu que l'état de santé de la recourante s'était amélioré de manière sensible sur le plan psychique et que ses conséquences sur la capacité de travail et de gain avaient subi un changement important dans la mesure où elle ne présentait plus lors de la décision du 4 décembre 2008 d'incapacité de travail ni d'invalidité.
3.1 Ils ont relevé que l'état de santé de la recourante avait connu pendant la période déterminante une réelle évolution, susceptible d'influencer notablement le taux d'invalidité, ainsi que cela résultait d'une comparaison des faits tels qu'ils ressortaient de l'expertise du docteur A._ du 31 juillet 2007 et du rapport du docteur P._ du 3 mai 2004. Une première constatation s'imposait d'emblée à la comparaison des diagnostics posés par les deux médecins, puisque le docteur A._, contrairement au docteur P._, ne retenait plus aucun diagnostic ayant une influence sur la capacité de travail, en particulier avait écarté l'existence de troubles dépressifs et d'un état post-traumatique. Le premier avait relevé que l'assurée avait surmonté les épreuves difficiles qu'elle avait vécues et croyait en un futur, faits attestés par sa relation et la naissance de ses deux derniers enfants. Ces différences expliquaient sur le plan du diagnostic la capacité de travail considérée comme entière dans un emploi adapté par le docteur A._. Cette divergence dans le diagnostic ne constituait pas une simple appréciation différente d'un état de fait resté semblable. Il apparaissait bien plus vraisemblable qu'elle s'inscrive dans le cadre d'une évolution positive déjà amorcée en 2004, puisque le docteur P._ évoquait déjà une amélioration dans son rapport du 3 mai 2004 et posait un pronostic favorable. Le fait que la patiente n'avait plus consulté ce médecin entre mars 2004 et 2007 allait dans le même sens, ce d'autant qu'il n'était pas fait mention de la consultation d'un autre psychiatre au cours de cette période. La capacité démontrée à maîtriser sa consommation d'alcool, ainsi que la naissance de ses deux enfants en 2005 et 2006, tendaient également à démontrer que l'état de santé psychique avait évolué d'une manière positive.
Dans la mesure où la recourante se borne à reprendre les faits allégués de première instance d'un état prétendument inchangé et à en faire une appréciation différente de celle des premiers juges, son argumentation est manifestement insuffisante au regard des exigences légales de motivation (art. 42 al. 2 LTF).
3.2 La recourante allègue que le rapport du docteur P._ du 20 août 2008 fait état d'une nouvelle aggravation de son état de santé postérieure à l'expertise du docteur A._ du 31 juillet 2007 et qu'ainsi l'amélioration n'a pas été durable et n'est plus d'actualité, de sorte que les conditions n'étaient pas remplies pour supprimer son droit à une demi-rente d'invalidité.
Toutefois, comme cela ressort du jugement attaqué, le rapport du docteur P._ du 20 août 2008, bien que plus récent que l'expertise du docteur A._ du 31 juillet 2007, est très succinct, renvoie sommairement à ses rapports précédents et ne se prononce pas sur la capacité de travail de la patiente, ce que la recourante ne discute pas. Ce rapport du docteur P._ ne saurait dès lors avoir pleine valeur probante (<ref-ruling> consid. 3a p. 352; <ref-ruling> consid. 1c p. 160 et les références). Ainsi que l'ont relevé les premiers juges, pour l'essentiel le rapport du 20 août 2008 ne fait que rapporter les plaintes subjectives de l'assurée et indique simplement, après un nouveau renvoi à ses rapports précédents, que la légère amélioration de l'état de la patiente décrite dans le dernier rapport n'était plus présente, mais que dans l'ensemble les symptômes étaient restés les mêmes. On ajoutera que dans ce rapport, le docteur P._ n'a nullement fait état d'éléments objectivement vérifiables qui auraient été ignorés dans la cadre de l'expertise du 31 juillet 2007 et qui soient suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l'expert en ce qui concerne la capacité de travail (supra, consid. 2.2).
L'expertise du docteur A._ du 31 juillet 2007 remplit les critères jurisprudentiels permettant de lui reconnaître pleine valeur probante (<ref-ruling> consid. 3a p. 352; <ref-ruling> consid. 1c p. 160 et les références). Sur le vu des conclusions de l'expert qualifiant d'entière la capacité de travail de la recourante du point de vue psychiatrique, les affirmations de cette dernière en ce qui concerne son état de santé et sa capacité de travail ne permettent pas de considérer que les premiers juges, en retenant que son état de santé s'était amélioré de manière sensible sur le plan psychique et que ses conséquences sur sa capacité de travail et de gain avaient subi un changement important pendant la période déterminante dans la mesure où elle ne présentait plus d'incapacité de travail ni d'invalidité, aient établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Ils ont relevé que de l'avis de la doctoresse K._, le trouble dépressif récurrent d'épisode moyen diagnostiqué par le docteur P._ dans son rapport du 19 mai 2003 n'était plus donné, même si certains troubles de l'adaptation avec réactions dépressives étaient encore actuels, et qu'une humeur dépressive était parfois encore présente lorsque l'assurée était confrontée au passé. La recourante avait toutefois construit une nouvelle relation et mis deux enfants au monde, puis s'était à nouveau séparée de son ami, et elle avait réussi à surmonter son problème d'alcool et de drogue. Les griefs de la recourante à l'encontre de l'avis du SMR exprimé par la doctoresse K._ ne permettent pas de qualifier d'arbitraire l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale. Dans le rapport SMR du 12 septembre 2008, la doctoresse K._ a relevé que le docteur P._, même s'il avait qualifié de très instable l'état de la patiente dans son rapport du 20 août 2008, n'avait pas motivé son appréciation et que le fait que le traitement était inchangé depuis un an suggérait également le contraire. Dans sa prise de position du 1er décembre 2008, elle a précisé que l'amélioration de l'état de santé s'était faite de façon progressive dès 2003, qu'elle était déjà partiellement présente en 2004 et qu'elle était continue depuis l'expertise du 31 juillet 2007, vu que l'assurée avait pu également renoncer à l'alcool. Que ce soit dans le rapport SMR du 12 septembre 2008 ou dans la prise de position du 1er décembre 2008, la doctoresse K._ a fondé son appréciation sur l'expertise du docteur A._ du 31 juillet 2007, comme l'a fait du reste le docteur M._ dans le rapport SMR du 20 décembre 2007, dont il ressort que l'éventualité qu'une "autre appréciation adéquate d'un état inchangé" soit "en majeure partie probable" a pour objet le problème de dépendance et non le trouble dépressif.
3.3 Le jugement attaqué, qui retient que la recourante présentait une invalidité nulle au moment déterminant et que les conditions étaient réalisées pour supprimer son droit à une demi-rente par la voie de la révision, est ainsi conforme au droit fédéral (supra, consid. 2.1). Le recours est mal fondé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Représentée par une avocate du service juridique de Procap, elle remplit les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite (art. 64 al. 1 et 2 LTF; SVR 2003 IV n° 25 p. 76; voir aussi <ref-ruling>). Celle-ci est accordée à la recourante, son attention étant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Les honoraires de Me Ledermann sont fixés à 2'500 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée). Ils seront supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, à l'Office fédéral des assurances sociales et à la Caisse de compensation du canton de Berne.
Lucerne, le 6 juillet 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner