Sachverhalt:
A. Mit Urteil U 6/83 vom 7. Mai 1984 hat das Eidgenössische Versicherungsgericht eine Leistungspflicht der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) für von F._ in den Jahren 1958 und 1980 erlittene Gesundheitsschäden letztinstanzlich abgelehnt. Ein dagegen erhobenes Revisionsgesuch wurde mit Urteil U 62/84 vom 4. April 1985 abgewiesen, soweit darauf einzutreten sei.
A.a Am 25. Juli 2005 verlangte F._ von der SUVA u.a. Schadenersatz und Genugtuung für die langjährige psychische Schädigung. Dies, nachdem die SUVA bereits am 25. April 1996 erstmals gegen sie gerichtete Schadenersatzansprüche abgelehnt hatte. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern trat auf eine hernach bei ihm eingereichte Eingabe vom 1. Oktober 2005 mit Entscheid vom 17. Januar 2006 wegen unzureichender Begründung und fehlenden Einspracheentscheides nicht ein.
Dagegen führte F._ beim Eidgenössischen Versicherungsgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit den Anträgen auf "Recht auf Berichtigung bez. Vernichtung <ref-law>" und "Recht auf Schadenersatz und Genugtuung Art. 41 + 49 OR". Den ersten Antrag spezifizierte er in der Begründung dahingehend, dass das aus dem Jahre 1959 stammende, in den SUVA-Akten liegende Gutachten von Dr. med. T._, Psychiater, aus Gründen des Datenschutzes zu vernichten sei. Bezogen auf beide Begehren ergänzte er in einer Eingabe vom 21. Februar 2006, die SUVA sei nicht bereit, die geforderten beschwerdefähigen Verfügungen zu erlassen. Mit Urteil U 116/06 vom 15. März 2006 wies das Eidgenössische Versicherungsgericht die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat, und überwies gleichzeitig die Akten an das kantonale Gericht, damit dieses über die erstmals mit Eingabe vom 21. Februar 2006 geltend gemachte Rechtsverweigerungsbeschwerde befinde.
A.b Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hiess die Rechtsverweigerungsbeschwerde am 6. September 2006 gut und wies die SUVA an, über die Begehren vom 25. Juli 2005 zu verfügen.
Mit Verfügung vom 29. September 2006 trat die SUVA auf das (lediglich die Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche umfassende) Gesuch vom 25. Juli 2005 nicht ein. Gleichzeitig lehnte sie eine Leistungspflicht für zwei von F._ ihr gegenüber erwähnte neue Unfälle vom 24. September 2005 und 27. März 2006 ab. Einspracheweise verlangte F._ u.a. die Vernichtung des Gutachtens von Dr. med. T._. Die SUVA bestätigte mit Entscheid vom 13. Dezember 2006 die Verfügung vom 29. September 2006, ohne auf dieses Gesuch näher einzugehen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 5. Juni 2007 ab, soweit es darauf eintrat, und überwies die Akten an das Bundesgericht zur Prüfung, ob in der Beschwerdeschrift nicht auch ein Begehren um Revision der Urteile des Eidgenössischen Versicherungsgerichts zu erkennen sei.
A.c Das Bundsgericht verneinte dies am 19. Juni 2007, worauf F._ am 12. Juli 2007 (Poststempel) sinngemäss dennoch u.a. um Revision der Urteile des Eidgenössischen Versicherungsgerichts U 6/83 vom 7. Mai 1984 und U 62/84 vom 4. April 1985 ersucht.
Das Bundesgericht ediert bei der SUVA die Akten und ersucht um Ausführungen dazu, ob über die von F._ in der Eingabe vom 12. Juli 2007 gestellten Anträge verfügt worden sei und gegebenenfalls, ob gegen eine entsprechende Verfügung ein Rechtsmittel eingereicht worden sei.
Die SUVA nimmt dazu Stellung und beantragt, auf die Eingabe von F._ vom 12. Juli 2007 sei nicht einzutreten, eventuell seien die darin enthaltenen Anträge abzuweisen.
Am 19. März 2008 gelangt F._ an das Bundesgericht mit der Bitte, auch darüber zu entscheiden, ob die SUVA oder die Post für den Unfall vom 24. September 2005 leistungspflichtig sei.

Erwägungen:
1. Die Revision eines bundesgerichtlichen Urteils kann verlangt werden, wenn einer der vom Gesetz in Art. 121 - 123 BGG genannten Revisionsgründe geltend gemacht wird. Im Revisionsgesuch ist darzulegen und zu begründen, inwiefern mit dem angefochtenen Urteil ein Revisionsgrund gesetzt worden sein soll (vgl. <ref-law>). Die Begründung muss überdies sachbezogen sein, d.h. der Gesuchsteller muss sich mit den massgeblichen Entscheidgründen des Urteils, dessen Revision er beantragt, auseinandersetzen und hat darzulegen, inwiefern gerade in Bezug auf diese Entscheidgründe ein Revisionsgrund vorliege. Die Fristbestimmungen in <ref-law> sind ebenfalls zu beachten.
2. Der Gesuchsteller verlangt sinngemäss, die Ereignisse von 1958 (Unfall) und 1980 seien als leistungsbegründend anzuerkennen.
Die Leistungspflicht hiefür wurde indessen durch Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts U 6/83 vom 7. Mai 1984 bereits rechtskräftig abgelehnt. Ein dagegen eingereichtes Revisionsgesuch wurde mit Urteil U 62/84 vom 4. April 1985 abgewiesen, soweit darauf einzutreten sei.
Da der Gesuchsteller keine Revisionsgründe im Sinne von <ref-law> geltend macht, kann auf die Eingabe vom 12. Juli 2007 im Sinne eines Revisionsgesuchs nicht eingetreten werden.
3. Des Weiteren begehrt der Gesuchsteller, die SUVA sei zur Zahlung von Schadenersatz und Genugtuung zu verpflichten.
Die SUVA hat bereits mit Verfügung vom 25. April 1996 eine Haftung abgelehnt. Der Gesuchsteller macht nicht geltend, und aus den Akten geht auch nicht hervor, dass diesbezüglich ein noch anfechtbarer Entscheid vorliegt, sodass darauf nicht eingetreten werden kann. Im Übrigen ist die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts mit Urteil 2E_1/2007 vom 27. Juli 2007 auf eine Eingabe betreffend Schadenersatz ebenfalls nicht eingetreten, u. a. da der Gesuchsteller keinen noch anfechtbaren Entscheid vorlegte.
4. Der Gesuchsteller beantragt überdies, das Gutachten von Dr. med. T._ sei in Anwendung des DSG als nichtig zu erklären.
Darüber hat die SUVA, soweit ersichtlich, bisher nicht entschieden. Die Zuständigkeit hiezu liegt bei ihr (Art. 25 Abs. 4 DSG).
5. Weiter verlangt der Gesuchsteller, es sei die Verletzung von Regeln der Baukunde festzustellen.
Da kein Feststellungsinteresse dargetan wird, kann darauf nicht eingetreten werden.
6. Soweit überdies sinngemäss eine strafrechtliche Beurteilung verlangt wird, ist darauf hinzuweisen, dass das Richteramt X._ am 31. Oktober 1985 von der Einleitung eines Strafverfahrens abgesehen hat. Der Gesuchsteller macht diesbezüglich nicht geltend, und es ergibt sich nicht aus den Akten, dass diesbezüglich eine noch anfechtbare Verfügung vorliegt. Auf das Begehren könnte daher bereits aus diesem Grund nicht eingetreten werden.
7. Mit Eingabe vom 19. März 2008 beantragt der Gesuchsteller einen Entscheid darüber, ob die SUVA oder die Post für einen Unfall vom 24. September 2005 leistungspflichtig sei.
Eine Leistungspflicht der SUVA hat das kantonale Gericht mit Entscheid vom 5. Juni 2007 verneint. Die - im Übrigen ungenügend begründete - Beschwerde ist demnach verspätet (siehe Art. 44 - 48 und <ref-law>), weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
8. Die Gerichtskosten sind ausgangsgemäss dem Gesuchsteller und Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Revisionsgesuch und die weiteren in der Eingabe vom 12. Juli 2007 gestellten Rechtsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Auf die Beschwerde vom 19. März 2008 wird nicht eingetreten.
3. Es wird festgestellt, dass die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt über das Begehren auf Nichtigerklärung bzw. Entfernen aus den Akten des Gutachtens von Dr. med. T._ genau so wie die davon miterfasste Frage der Sperrung des Gutachtens für Dritte zu verfügen hat.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden dem Gesuchsteller und Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. April 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Grünvogel