Faits:
A.
A.a. A._ s'est annoncé à l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) en novembre 2005. Il invoquait une symptomatologie douloureuse entravant périodiquement l'exercice de son métier de maçon.
Les médecins traitants ont diagnostiqué différentes affections (cervico-dorso-lombalgies et lombo-sciatalgies aigües, périarthrite de la hanche gauche, hernies inguinale et hiatale, épigastralgies, état anxio-dépressif, fibromyalgie et céphalées) qui rendaient la pratique de l'activité habituelle plus compliquée et ont préconisé une reconversion professionnelle (rapports des docteurs B._ et C._ des 21 décembre 2005 et 20 février 2006).
L'administration a reconnu le droit de l'assuré à une mesure de reclassement, a assumé les coûts de plusieurs formations (opérateur en horlogerie, informatique de base, opérateur sur machine à commande numérique, programmeur-régleur en horlogerie; décisions et communications des 24 mars, 17 juillet, 26 septembre et 27 novembre 2006, ainsi que 14 février et 25 juillet 2007) et a versé des indemnités journalières (décisions des 20 avril et 17 juillet 2006, ainsi que 8 avril 2008).
L'office AI a considéré que la formation dispensée était adaptée aux limitations fonctionnelles de l'intéressé et permettait de réaliser un revenu excluant le droit à une rente quelconque (décision du 22 septembre 2008). Cette décision a fait l'objet d'un recours. Elle a été annulée et la cause a été renvoyée à l'administration pour complément d'instruction et nouvelle décision dans la mesure où le dossier constitué ne permettait pas de déterminer si la profession apprise était réellement adaptée aux limitations évoquées (jugement du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales du 9 juillet 2009).
A.b. L'office AI a mis en oeuvre un stage d'observation (communication du 10 novembre 2009) et a octroyé des indemnités journalières pour la durée de celui-ci (décision du 26 février 2010 remplaçant celle du 5 février 2010). Sur la base du rapport d'observation, il a estimé que la formation suivie permettait l'exercice à plein temps d'une activité adaptée et que le salaire réalisable ne faisait apparaître aucune perte économique indemnisable sous forme de rente (décision du 1er juin 2010).
A._ a recouru contre la décision du 26 février 2010 relative aux indemnités journalières, ainsi que contre la décision du 1er juin 2010 mettant un terme aux mesures de réadaptation et refusant l'octroi d'une rente. Dans la première procédure, l'administration a reconsidéré ses décisions du 8 avril 2008 et du 26 février 2010 en prenant partiellement en compte les critiques de l'assuré au sujet de la détermination du montant de l'indemnité journalière (décisions du 4 juin 2010). L'intéressé a néanmoins maintenu ses conclusions et a interjeté un nouveau recours contre les décisions du 4 juin 2010, dans la mesure où il continuait à contester les éléments du calcul de l'indemnité journalière. Dans la seconde procédure, les griefs de A._ portaient sur l'évaluation des revenus déterminants en matière de rente d'invalidité (avec/sans invalidité), dont il déduisait un taux d'invalidité suffisant pour lui ouvrir le droit à l'achèvement de la formation entreprise dans le domaine horloger.
La juridiction cantonale a ordonné la jonction des différentes causes le 5 août 2010 et les a jugées le 20 décembre 2010. Elle a d'abord annulé la décision du 1er juin 2010, au motif que les éléments médicaux disponibles montraient que l'activité de programmeur-régleur sur machine à commande numérique n'était pas entièrement compatible avec les limitations fonctionnelles admises, de sorte que l'assuré pouvait prétendre un complément de formation dans le domaine horloger. Elle a aussi réformé les décisions du 4 juin 2010, en corrigeant certains paramètres du calcul de l'indemnité journalière due pour les périodes allant du 28 mars au 30 juin 2008 ainsi que du 4 au 31 janvier 2010. Elle a enfin enjoint l'office AI à réaliser ce qui précède et à rendre une décision sur la requête de reconsidération ou de révision de la décision d'indemnité journalière du 20 avril 2006 concernant la période du 28 mars 2006 au 27 mars 2008. L'administration a saisi le Tribunal fédéral d'un recours, mais l'a retiré le 8 avril 2011.
A.c. L'office AI a financé un complément de formation dans le domaine de l'horlogerie (communication du 12 juillet 2011), a corrigé les indemnités journalières versées (décisions du 27 juillet 2011), a pris en charge les coûts afférents à la réalisation d'un stage pratique dans une entreprise (communication du 12 mars 2012) et a octroyé des indemnités journalières pour la durée de la mesure de réadaptation (décisions des 13 octobre 2011 et 2 avril 2012). Le stage a conduit à l'engagement de l'intéressé à partir du 1er mai 2012.
L'administration a estimé que le reclassement s'était achevé avec succès et a avisé A._ que, compte tenu des données économiques rassemblées, elle envisageait de nier le droit à une rente (projet de décision du 10 décembre 2012). L'assuré a à nouveau contesté la fixation des revenus avec et sans invalidité et a estimé que leur comparaison donnait un taux d'invalidité de 41 % ouvrant le droit à une rente; il a en outre sollicité l'octroi d'une rente durant la période de reconversion à l'exception des périodes durant lesquelles il avait perçu des indemnités journalières. L'office AI a confirmé son appréciation initiale (décision du 25 avril 2013).
B.
L'intéressé a porté la cause devant la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales. Il concluait à la reconnaissance du droit à une rente entière entre les 1er juin 2006 et 30 avril 2013 à l'exclusion des périodes pendant lesquelles il avait perçu des indemnités journalières et à un quart de rente par la suite, sous réserve d'une détérioration de sa capacité résiduelle de gain. Il prétendait toujours que la comparaison des revenus pertinents en matière de rente d'invalidité, évalués correctement, laissaient apparaître un degré d'invalidité de 43 % et que sa capacité de travail, nulle aussi longtemps que les mesures d'ordre professionnel n'étaient pas achevées, justifiait l'allocation d'une rente entière pour les périodes au cours desquelles il n'avait pas été indemnisé. L'administration a pour sa part conclu au rejet du recours. Les parties ont confirmé leurs positions au terme du second échange d'écritures. A._ a toutefois pris une conclusion subsidiaire en fixant la date jusqu'à laquelle il requérait une rente entière au 31 mai 2012 et celle à partir de laquelle il demandait un quart de rente au 1er juin 2012.
Le tribunal cantonal a partiellement admis le recours. Il a annulé la décision litigieuse dans la mesure où elle portait sur la période antérieure au 1er mai 2012, l'a confirmée pour le surplus et a retourné le dossier à l'office AI pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision (jugement du 16 décembre 2013). Il a considéré que l'administration devait se prononcer sur le droit aux indemnités journalières d'attente durant les périodes allant du 1er juillet 2008 au 3 janvier 2010 et du 1er février 2010 au 4 septembre 2011 (lorsque les décisions administratives constatant le succès du reclassement entrepris avaient été contestées judiciairement et annulées afin de permettre la poursuite de la réadaptation), a fixé les éléments du calcul de l'indemnité journalière, si besoin était, ainsi que des revenus avec et sans invalidité et en a déduit un degré d'invalidité de 37 % ne donnant pas droit au quart de rente réclamé.
C.
L'office AI et l'assuré recourent contre ce jugement. Le premier en sollicite l'annulation et conclut à la confirmation de sa décision du 25 avril 2013 (cause 9C_100/2014). Le second en requiert l'annulation uniquement en tant qu'il confirme le refus du quart de rente à partir du 1er mai 2012 et conclut à la reconnaissance de ce droit dès le 1er janvier ou 1er mai 2013 ou au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour instruction complémentaire et nouvelle décision sous suite de frais et dépens (cause 9C_106/2014).

Considérant en droit:
1.
Les deux recours déposés céans visent le même jugement. Ils concernent des faits de même nature. Ils portent sur des questions juridiques communes. Il se justifie par conséquent de joindre les causes et de les liquider en un seul arrêt (<ref-ruling> consid. 1 p. 60).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 3 et la référence).
2.2. L'acte attaqué admet partiellement le recours interjeté par l'assuré contre la décision administrative du 25 avril 2013. L'admission partielle correspond, d'une part, à l'annulation de cette décision dans la mesure où elle concernait la période antérieure à l'achèvement de la reconversion professionnelle et au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il statue sur le droit de l'intéressé à des indemnités journalières d'attente ou à une rente pour les périodes du 1er juillet 2008 au 3 janvier 2010 ainsi que du 1er février 2010 au 4 septembre 2011 et, d'autre part, à l'entérinement de ladite décision en tant qu'elle déniait à l'assuré le droit à un quart de rente pour la période postérieure. La première partie du jugement entrepris ne met pas fin à la procédure (sur la notion de décision de renvoi, cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 481 sv.) et ne peut faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral que si elle occasionne un préjudice irréparable ou si l'admission du recours conduit à une décision finale évitant une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>) contrairement à la seconde partie du jugement qui met un terme au procès (sur la notion de décision partielle, cf. <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 480 sv.) et est attaquable immédiatement devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
2.3. Vu ce qui précède, le recours de l'intéressé est recevable puisqu'il porte exclusivement sur le droit à des prestations postérieurement à la fin de la reconversion professionnelle. En revanche, le recours de l'administration est irrecevable. L'argumentation de celle-ci ne porte effectivement que sur les deux périodes concernées par le renvoi. Elle soutient que la juridiction cantonale lui a ôté sa latitude de jugement en lui imposant le principe même de l'examen du droit à des indemnités journalières d'attente ou à une rente pendant les périodes en question, ce qui pouvait être assimilé à une décision finale d'après la jurisprudence (arrêt 9C_684/2007 du 27 décembre 2007 consid. 1.1 in: SVR 2008 IV n° 39 p. 131), et que le tribunal cantonal a arbitrairement fixé le revenu sans invalidité en s'écartant du montant qu'il avait déjà déterminé dans un jugement entré en force de chose jugée. La lecture de l'acte attaqué démontre toutefois que les premiers juges ont uniquement enjoint l'office AI à rendre une décision relative au droit de l'assuré à des prestations que son devoir lui imposait de prendre (<ref-law>). Cette injonction ne saurait être interprétée comme une instruction contraignante pouvant limiter la latitude de jugement. Le fait que l'acte attaqué évoque explicitement un examen du droit à des indemnités journalières d'attente ou à une rente ne change rien au fait que l'administration peut décider de ne pas octroyer de prestations au terme de son analyse si les conditions ne sont pas remplies. Il en va de même du fait de préciser certains éléments de calcul, d'autant plus que la juridiction cantonale a mentionné l'opportunité et non l'obligation de prendre en compte lesdits éléments pour des périodes qui n'ont de surcroît pas fait l'objet d'un jugement entré en force de chose jugée et uniquement "dans l'hypothèse où" l'intéressé aurait droit à des prestations. Il ne s'agit donc que d' obiter dicta dont la prise en considération - effective ou pas - pourra de toute façon faire l'objet d'un contrôle lors d'un éventuel recours contre la décision à rendre.
3.
Saisi d'un recours en matière de droit public (cf. <ref-law>) interjeté pour violation du droit fédéral (comprenant les droits fondamentaux) au sens de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (<ref-law>) qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il n'examine en principe que les griefs allégués et motivés (<ref-law>) surtout s'il portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant n'est habilité à critiquer la constatation des faits influant sur le sort du litige que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
4.
4.1. Si l'assuré ne critique pas le raisonnement du tribunal cantonal, en tant que tel, il soutient toutefois que ce dernier a constaté les faits permettant de déterminer le salaire qu'il aurait pu percevoir sans invalidité de façon manifestement inexacte dont la rectification aurait pour effet d'ouvrir le droit à un quart de rente pour la période postérieure à la fin des mesures de réadaptation professionnelle. Compte tenu des exigences d'allégation et de motivation de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; voir aussi Florence Aubry Girardin, in: Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad <ref-law>), seul le salaire sans invalidité doit être examiné.
4.2.
4.2.1. L'intéressé reproche aux premiers juges d'avoir tu le fait, admis dans un précédent jugement entré en force de chose jugée, que son horaire hebdomadaire de travail en qualité de maçon était avant la survenance de l'atteinte à sa santé de 41h30 et pas de 40h30, comme évoqué à l'art. 24 ch. 2 de la Convention nationale du secteur principal de la construction en Suisse (ci-après: la CN). Il estime que cette différence d'horaire doit être prise en considération lors de le détermination du revenu sans invalidité à titre d'heures supplémentaires majorées de 25 % par rapport au salaire de base.
4.2.2. Cet argument ne résiste pas à l'examen. On ne saurait effectivement considérer la différence d'une heure entre les horaires hebdomadaires de travail mentionnés comme des heures supplémentaires. Premièrement, le chiffre de 40h30 auquel fait allusion la Convention nationale est une donnée théorique servant uniquement à déterminer la durée annuelle du travail, soit le temps de travail brut (avant la déduction des heures ne devant pas être effectuées de manière générale [jours fériés] ou de manière individuelle [vacances, accident, jours de service de protection civile, etc.]) - à effectuer durant une année civile (cf. art. 24 ch. 1 CN). Cette durée est fixée à 2'112 heures et est calculée avec un horaire de 40h30 pour chacune des 52,14 semaines de l'année (cf. art. 24 ch. 2 CN). Deuxièmement, la durée hebdomadaire théorique de travail inscrite à l'art. 24 CN est indépendante de celle dont il est question à l'art. 25 CN. Selon cette disposition conventionnelle, il appartient à l'entreprise de déterminer une durée hebdomadaire de travail (durée normal du travail) dans un calendrier devant être établi au plus tard en fin d'année pour le début de la suivante (cf. art. 25 ch. 1 CN). Il s'agit d'une donnée concrète qui, en principe, doit être comprise entre 37h30 et 45h00 par semaine (cf. art. 25 ch. 2 CN). Troisièmement, c'est seulement dans le contexte de la durée hebdomadaire de travail fixée par l'entreprise que peut intervenir le décompte des heures supplémentaires (cf. art. 26 ch. 1 CN). L'art. 26 CN instaure un système de compensation et d'indemnisation de ces heures. Celles-ci doivent être payées rapidement (cf. art. 26 ch. 2 CN) et leur solde doit être compensé au plus tard jusqu'à la fin du mois de mars de l'année suivante (cf. art. 26 ch. 3 et 4 CN). Ce système tient donc compte d'une fluctuation saisonnière du temps de travail et des circonstances économiques ou autres pouvant influencer le marché de la construction ou le bon déroulement du travail, notoires dans le secteur du bâtiment, ce qu'illustre du reste la variation du revenu réel telle qu'elle ressort des décomptes de salaire déposés en cause. Quatrièmement, si l'on tient compte de cinq semaines de vacances (cf. art. 34 ch. 1 CN) et d'un horaire réel de travail de 41h30, on aboutit à un total annuel des heures travaillées de 1'950h30 (41h30 x 47 semaines travaillées), inférieur aux 2'112 heures retenues par le tribunal cantonal.
4.2.3. Dans ces conditions, on ne saurait reprocher à la juridiction cantonale d'avoir établi les faits d'une façon manifestement inexacte (arbitraire, cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356 et la référence) en ne prenant pas en considération dans la détermination du revenu sans invalidité 52 heures supplémentaires pour un montant de 2'151 fr. 50.
4.3. Si on retire le montant correspondant aux heures supplémentaires du revenu sans invalidité - tel que fixé par l'assuré (cf. recours, point 5 p. 14 s.) - sans modifier les autres paramètres (ceux qui sont issus du jugement entrepris et qui ne sont pas contestés, ainsi que ceux qui ont été corrigés par l'intéressé dans le recours déposé céans), il apparaît que le taux d'invalidité est de 38,4 % ([86'156,3 - 2'151,5 - 51'746,4] : [86'156,3 - 2'151,5]), arrondi à 38 % (<ref-ruling>). Ce degré d'invalidité est donc suffisant pour nier le droit au quart de rente requis, même si on devait admettre que les autres griefs formulés par le recourant à l'encontre du salaire sans invalidité admis pas la juridiction cantonale étaient fondés.
5. Vu l'issue des litiges, les frais judiciaires sont répartis par moitié entre les recourants (<ref-law>) qui ne peuvent prétendre des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 9C_100/2014 et 9C_106/2014 sont jointes.
2.
Le recours de l'office AI (cause 9C_100/2014) est irrecevable.
3.
Le recours de A._ (9C_106/2014) est rejeté.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'office AI par 500 fr. et de A._ par 500 francs.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 6 mai 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Le Greffier :
Kernen Cretton