Erwägungen:
1. X._ reichte am 23. November 2010 Strafklage gegen den Arzt Y._ wegen falschen Arztzeugnisses und Verletzung von Berufsgeheimnissen ein. Die Staatsanwaltschaft Luzern erliess am 19. August 2011 eine Nichtanhandnahmeverfügung. Zur Begründung führte die Staatsanwaltschaft aus, der vom Strafkläger geschilderte Sachverhalt sei vom damaligen Amtsstatthalteramt Luzern bereits rechtskräftig beurteilt worden und jener Entscheid sei vom Obergericht und vom Bundesgericht bestätigt worden (Urteil 1B_5/2011 vom 14. Januar 2011). Gegen die Nichtanhandnahmeverfügung erhob X._ am 9. September 2011 Beschwerde, welche das Obergericht des Kantons Luzern mit Beschluss vom 9. Dezember 2011 abwies. Das Obergericht führte zusammenfassend aus, dass der geltend gemachte Sachverhalt bereits vom damaligen Amtsstatthalteramt Luzern beurteilt worden sei. In seiner neuen Strafklage vom 23. November 2010 bringe der Beschwerdeführer nichts Neues vor, das den damaligen Entscheid des Amtsstatthalteramts hätte entkräften können. Auch sei nicht erkennbar, inwiefern eine "überlange Bearbeitungszeit" vorliegen sollte.
2. X._ führt mit Eingabe vom 9. Februar 2012 (Postaufgabe 11. Februar 2012) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Luzern vom 9. Dezember 2011. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung im obergerichtlichen Beschluss nicht auseinander. Er legt nicht im Einzelnen dar, inwiefern die Begründung, die zur Abweisung seiner Beschwerde führte, Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzen sollte. Insbesondere ergibt sich aus den Ausführungen des Beschwerdeführers nicht, inwiefern die Auffassung des Obergerichts, dass der Beschwerdeführer in seiner Strafklage vom 23. November 2010 offensichtlich nichts Neues vorbringe, was den Entscheid vom 5. Mai 2010 hätte entkräften können, rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. in diesem Zusammenhang <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen) nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Die Beschwerde erweist sich als aussichtslos. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtpflege ist daher abzuweisen (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Luzern, Abteilung 1, und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. März 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli