Sachverhalt:
A. Mit Strafurteil vom 14. Januar 2005 sprach das Kriminalgericht des Kantons Luzern X._ des gewerbsmässigen Betruges sowie der mehrfachen Urkundenfälschung schuldig und verurteilte ihn zu viereinhalb Jahren Zuchthaus und acht Jahren Landesverweisung. Gegen das begründete Urteil appellierten X._ (nachfolgend: Appellant) am 23. Juni 2005 sowie ein Teil der Privatklägerschaft am 24. bzw. 27. Juni 2005 beim Obergericht des Kantons Luzern. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern erhob am 6. Juli 2005 Anschlussappellation.
B. Mit prozessleitender Verfügung 10. Januar 2006 wurde der Appellant vom Obergericht unter Androhung von Säumnisfolgen auf den 14. März 2006 zur Berufungsverhandlung vorgeladen. Am 13. Februar 2006 stellte der in Deutschland wohnhafte Appellant ein Gesuch um Dispensation vom persönlichen Erscheinen an der Berufungsverhandlung. Mit prozessleitender Verfügung vom 14. Februar 2006 wies das präsidierende Mitglied des Obergerichtes das Dispensationsgesuch "im Sinne der Erwägungen" ab. In den Erwägungen stellte das Obergericht dem Appellanten (für den Fall der Bestätigung einer unbedingten Freiheitsstrafe) dessen sofortige Verhaftung anlässlich der Berufungsverhandlung in Aussicht.
C. Zur Berufungsverhandlung vom 14. März 2006 erschien der Appellant nicht. Er liess sich jedoch durch seinen Verteidiger vertreten. Mit verfahrensabschliessendem Entscheid vom 14. März 2006 schrieb das Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, das Appellationsverfahren als erledigt von der Geschäftskontrolle ab. Gleichzeitig wurde das Verfahren betreffend die Zivilansprüche von drei Privatklägern sowie betreffend Einziehung von Vermögenswerten und Verwendung zugunsten von Geschädigten vom Appellationsverfahren abgetrennt und separat weitergeführt. Die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens wurden dem Appellanten auferlegt, und dieser wurde verpflichtet, vier privatklägerischen Anwälten sowie einer privatklägerischen Anwältin (für deren Bemühungen anlässlich der Berufungsverhandlung) je eine Parteientschädigung zu bezahlen.
D. Gegen den Entscheid des Obergerichtes vom 14. März 2006 gelangte X._ mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 26. Mai 2006 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Streitsache zur Neubeurteilung.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht des Kantons Luzern schliessen mit Stellungnahmen vom 12. bzw. 13. Juni 2006 je auf Abweisung der Beschwerde. Rechtsanwalt Urs Rudolf beantragt mit Vernehmlassung vom 19. Juli 2006 (und im Namen der privaten Beschwerdegegner 5.1-5.11) die Abweisung der Beschwerde unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Rechtsanwalt Stephan Kamer hat am 16. Juni 2006 für seine Mandantschaft auf eine Stellungnahme ausdrücklich verzichtet. Von den übrigen Prozessbeteiligten sind innert angesetzter Frist keine Vernehmlassungen eingegangen. Mit prozessleitender Verfügung vom 7. Juli 2006 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die Eintretenserfordernisse von Art. 84 ff. OG sind erfüllt. Beim angefochtenen Abschreibungsbeschluss handelt es sich um einen letztinstanzlichen verfahrensabschliessenden Entscheid in Strafsachen (vgl. Art. 86 Abs. 1 OG). Der Beschwerdeführer ist legitimiert, die Abschreibung der von ihm erhobenen Appellation als grundrechtswidrig anzufechten (vgl. Art. 88 i.V.m. Art. 84 Abs. 1 lit. a OG).
2. Der angefochtene Entscheid wird wie folgt begründet: Der Beschwerdeführer sei "an der Appellationsverhandlung vom 14. März 2006 trotz der über seinen Verteidiger zugestellten Vorladung vom 10. Januar 2006 nicht erschienen". Gemäss <ref-law>/LU falle daher "die Appellation dahin". Zwar habe sich der Appellant an der Berufungsverhandlung durch seinen Verteidiger vertreten lassen; dieser sei auch "zum Plädoyer bereit" gewesen und habe an der Appellation festgehalten. Nach Luzerner Strafprozessrecht könne der Verteidiger jedoch "nicht einfach als Stellvertreter für den Angeklagten handeln". Es genüge "in der Regel nicht, dass der Verteidiger allein an der Verhandlung teilnimmt". "Die Aussagen und der persönliche Eindruck des Angeschuldigten" seien "für die Wahrheitsfindung und für die Strafzumessung von grosser Bedeutung". Gerade dies treffe "auf den vorliegenden Fall besonders zu, zumal die Staatsanwaltschaft in ihrer Anschlussappellation" die Ausfällung einer noch "um ein Jahr höheren Strafe" beantragt habe.
Zwar sei der Praxis des Bundesgerichtes Rechnung zu tragen, wonach "ein schuldhaftes Nichterscheinen" des Appellanten unter gewissen Umständen "keinen Rechtsnachteil zur Folge" haben dürfe. Im vorliegenden Fall sei sich "der anwaltlich verbeiständete Angeklagte" jedoch "der Tragweite seiner unterlassenen persönlichen Teilnahme bewusst" gewesen. Daher habe der Beschwerdeführer "durch seine selbstbestimmte Abwesenheit nicht nur auf sein Recht auf persönliches Erscheinen" verzichtet, "sondern auch auf die Appellation". "Aus dem Erscheinen des zum Plädoyer bereiten Verteidigers vor Obergericht" könne "nicht abgeleitet werden, dass der Angeklagte diesen stellvertretend für sich zum gewillkürten Auftreten vor Obergericht ermächtigt hat". Vielmehr habe der Beschwerdeführer "durch seine unentschuldigte Abwesenheit" bekundigt, dass er "kein Interesse an dem durch seinen Verteidiger damals eingelegten Rechtsmittel" mehr gehabt bzw. "auf seine Appellation verzichtet" habe. Und schliesslich sei der Beschwerdeführer "vor Kriminalgericht wirksam verteidigt" worden (angefochtener Entscheid, S. 7-10, E. 1.3-2.2.4).
3. Der Beschwerdeführer rügt, die Abschreibung der Appellation verletze seine grundrechtlich geschützten Verteidigungs- und Verfahrensrechte (namentlich Art. 29 Abs. 2 und <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 und Ziff. 3 lit. c EMRK, Art. 14 Ziff. 3 UNO-Pakt II). Nach Eingang der Vorladung habe er durch seinen Verteidiger ein Gesuch um Dispensation vom persönlichen Erscheinen an der Appellationsverhandlung stellen lassen. Das Obergericht habe nicht nur das Dispensationsgesuch abgewiesen, sondern ihm, dem Beschwerdeführer, gleichzeitig ausdrücklich angedroht, ihn bei einer Bestätigung des erstinstanzlichen Schuldspruches "unmittelbar nach der Berufungsverhandlung" verhaften zu lassen. Zwar sei er in der Folge zur mündlichen Appellationsverhandlung nicht persönlich erschienen. Sein Verteidiger sei jedoch anwesend gewesen, habe (im Namen des Beschwerdeführers) an der Appellation ausdrücklich festgehalten und sich bereit erklärt, "die Berufung zu begründen". Von einem Rückzug der Appellation oder einem Verzicht darauf könne keine Rede sein.
4. Nach luzernischem Strafprozessrecht ist der Angeklagte, der zu einer Freiheitsstrafe von mehr als zehn Tagen verurteilt worden ist, zur Appellation berechtigt (<ref-law>/LU). Die Appellation ist innert zehn Tagen seit Zustellung des begründeten Urteils schriftlich bei der Obergerichtskanzlei zu erklären (<ref-law>/LU). Erscheint der Appellant nicht zur Verhandlung, fällt die Appellation dahin (<ref-law>/LU). Der Angeklagte kann jedoch wegen Krankheit, Landesabwesenheit oder aus anderen wichtigen Gründen von der persönlichen Teilnahme an der Berufungsverhandlung entbunden werden (§ 170 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>/LU). Der Angeklagte kann seine Parteirechte im Rahmen der Strafprozessordnung entweder selber ausüben oder sich durch einen Verteidiger verbeiständen lassen (§ 33 Abs. 1-2 StPO/LU). Bei Gerichtsverfahren in Kriminalstrafsachen muss er durch einen Verteidiger verbeiständet sein (sog. "notwendige" Verteidigung, § 33 Abs. 3 Ziff. 3 i.V.m. §§ 12 und 240 Abs. 1 StPO/LU). Wenn sich der Angeklagte nicht selbst verteidigt, hält der Verteidiger den Parteivortrag (§ 179 Abs. 1 Ziff. 3 i.V.m. <ref-law>/LU).
5. Gemäss <ref-law> hat jede strafrechtlich verurteilte Person das Recht, das Urteil von einem höheren Gericht überprüfen zu lassen; ausgenommen sind die Fälle, in denen das Bundesgericht als einzige Instanz urteilt. Ein analoger Anspruch ergibt sich auch aus dem Völkerrecht (Art. 2 Ziff. 1 des Siebten Zusatzprotokolls zur EMRK [7. ZP/EMRK, SR 0.101.07]; Art. 14 Ziff. 5 UNO-Pakt II [SR 0.103.2]). Zu beachten sind sodann die grundrechtlich geschützten allgemeinen Parteirechte bzw. die besonderen Verteidigungsrechte des Angeklagten. So hat jede Person in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte sowie auf eine Treu und Glauben respektierende faire Behandlung (Art. 9 und Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Jede angeklagte Person muss die Möglichkeit haben, die ihr zustehenden Verteidigungsrechte geltend zu machen (<ref-law>). Insbesondere besteht gestützt auf <ref-law> ein Anspruch des Angeklagten, dass sein Verteidiger an der Haupt- bzw. Berufungsverhandlung teilnehmen kann (<ref-ruling> E. 3.1 S. 191 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht prüft frei, ob die betreffenden Grundrechtsgarantien bei der Anwendung des kantonalen Prozessrechtes missachtet worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 3b S. 216 mit Hinweisen).
6. Nach der Praxis des Bundesgerichtes stellt in Fällen der notwendigen Verteidigung die Durchführung der Berufungsverhandlung ohne Anwesenheit des Rechtsbeistands einen Verstoss gegen die Verteidigungsrechte des Angeklagten dar (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 191 f., mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3c S. 223). Selbst wenn der Appellant trotz ordnungsgemässer Vorladung und ohne Entschuldigung zur Berufungsverhandlung nicht erscheint, darf ihm das Recht, von einem Anwalt an dieser Verhandlung wirksam verteidigt zu werden, nicht verunmöglicht werden; auch in einer solchen Konstellation hat er Anspruch auf amtliche Verteidigung (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 192, mit Hinweis auf BGE <ref-ruling> E. 3a S. 216).
In BGE <ref-ruling> erwog das Bundesgericht, dass der Appellant mit seinem unentschuldigten Nichterscheinen zwar sein Recht auf persönliche Anwesenheit verwirkt habe. Hingegen habe er damit weder auf die Appellation verzichtet, noch auf sein Recht, durch einen Offizialverteidiger vertreten zu werden (BGE <ref-ruling> E. 4 S. 217). Die Versagung von Verteidigungsrechten (im Sinne von Art. 32 Abs. 2 und Art. 29 Abs. 3 BV) wegen unentschuldigter Säumnis stelle eine unverhältnismässige Massnahme dar. Wegen der zentralen Bedeutung der persönlichen Anwesenheit des Beschuldigten für ein faires Strafverfahren müsse zudem der Verzicht auf das Anwesenheitsrecht soweit möglich durch die Sicherstellung einer wirksamen Verteidigung ausgeglichen werden (BGE <ref-ruling> E. 4 S. 218).
Das Kassationsgericht des Kantons Zürich erkannte in einem publizierten Urteil vom 27. Oktober 1997 (und gestützt auf seine jahrzehntelange Praxis) einen Verstoss gegen die Grundrechte, "wenn die Berufungsinstanz wegen unentschuldigten Ausbleibens des appellierenden Angeklagten Rückzug der Berufung annimmt, sofern gleichzeitig der Verteidiger anwesend und zur Begründung der Berufung bereit ist" (ZR 97 [1998] Nr. 29, S. 86 ff. mit Hinweisen). Ein Verlust des Anspruches auf Berufung (wie ihn <ref-law> unterdessen ausdrücklich gewährleistet) könne nur bei sogenanntem "Totalversäumnis" eintreten (Ausbleiben sowohl des Appellanten als auch des Ver-teidigers).
Nach der neuen ausdrücklichen Vorschrift der Zürcher Strafprozessordnung (<ref-law>/ZH, in Kraft seit 1. Januar 2005) genügt es, wenn der Appellant oder sein Verteidiger an der Berufungsverhandlung anwesend ist. Das unentschuldigte Nichterscheinen des Appellanten führt nicht zur Abschreibung des Berufungsverfahrens, sondern zur Durchführung des Abwesenheitsverfahrens (vgl. Niklaus Schmid, Strafprozessrecht, 4. Aufl., Zürich 2004, Rz. 1041, Fn. 269).
Eine ähnliche Regelung (Rechtsverlust nur bei "Totalversäumnis") enthält auch der bundesrätliche Entwurf zu einer Schweizerischen Strafprozessordnung (EStPO/2006, BBl 2006 1389 ff.): Die Berufung "gilt als zurückgezogen", wenn der Appellant "der mündlichen Berufungsverhandlung unentschuldigt fernbleibt und sich auch nicht vertreten lässt" (Art. 414 Abs. 1 lit. a EStPO/2006). Ein Abwesenheitsverfahren findet statt, wenn "die Staatsanwaltschaft oder die Privatklägerschaft die Berufung im Schuld- oder Strafpunkt erklärt" und der Angeklagte der Berufungsverhandlung unentschuldigt fernbleibt (Art. 414 Abs. 2 EStPO/2006).
Auch der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte folgt (gestützt auf die EMRK bzw. das 7. ZP/EMRK) in seiner Praxis diesen oben dargelegten Grundsätzen (vgl. EGMR vom 22. September 1994 i.S. Lala und Pelladoah c. NL, Série A, vol. 297-A und 297-B, AJP 1995 S. 668 f.; EGMR vom 23. November 1993 i.S. Poitrimol c. F, Série A, vol. 277-A, AJP 1994 S. 804 f.).
7. Wie sich im vorliegenden Fall aus den Akten ergibt, ist der Beschwerdeführer anwaltlich verbeiständet. Da er vom Kriminalgericht erstinstanzlich zu viereinhalb Jahren Zuchthaus verurteilt wurde, handelt es sich um einen Fall der notwendigen Verteidigung (vgl. <ref-law>/LU). Am 23. Juni 2005 hat der Beschwerdeführer frist- und formgültig Appellation erhoben. Mit prozessleitender Verfügung vom 10. Januar 2006 wurde er vom Obergericht unter Androhung von Säumnisfolgen auf den 14. März 2006 zur Berufungsverhandlung vorgeladen. Die betreffende persönliche Vorladung an den Angeklagten wurde dessen Verteidiger zugestellt.
Am 13. Februar 2006 stellte der in Deutschland wohnhafte Beschwerdeführer ein Gesuch um Dispensation vom persönlichen Erscheinen an der Berufungsverhandlung. Er wies darauf hin, dass er "in tatsächlicher Hinsicht voll geständig" sei und dass sein Verteidiger "das angefochtene Urteil mit rechtlichen Argumenten in Frage stellen" werde. Daher erscheine seine persönliche Anwesenheit an der Appellationsverhandlung "entbehrlich". Darüber hinaus habe das Bundesamt für Migration am 10. August 2005 eine Einreisesperre gegen ihn, den Beschwerdeführer, verfügt.
Mit prozessleitender Verfügung vom 14. Februar 2006 wies das präsidierende Mitglied des Obergerichtes das Dispensationsgesuch "im Sinne der Erwägungen" ab. Es erwog, dass das Bundesamt für Migration zwar eine Einreisesperre gegen den Appellanten "bis am 9. August 2010 verhängt" habe. Es stehe dem Beschwerdeführer jedoch "offen, bei diesem Bundesamt als zuständige Behörde eine ausdrückliche Bewilligung für das Betreten der Schweiz im Hinblick auf die Appellationsverhandlung einzuholen". Zwar könne das Obergericht "wegen Krankheit, Landesabwesenheit oder aus anderen wichtigen Gründen" Angeklagte vom persönlichen Erscheinen an der Berufungsverhandlung dispensieren. Im Hinblick auf die "strittige Strafzumessung" sei hier jedoch die persönliche Anwesenheit des Appellanten "zwingend".
In der gleichen Verfügung vom 14. Februar 2006 erwog das präsidierende Mitglied des Obergerichtes zusätzlich, dass sich "vorliegend auch die Frage" stelle, "ob dem Angeklagten das freie Geleit zu gewähren sei". Ein freies Geleit könne den Beschwerdeführer "nur vor einer Untersuchungshaft" schützen, es falle jedoch "bei einer allfälligen Verurteilung durch das Obergericht" dahin. "Das Obergericht" behalte "sich demnach vor, den Angeklagten im Fall eines Schuldspruchs und einer unbedingten Freiheitsstrafe nach Urteilseröffnung im Nachgang zur Appellationsverhandlung verhaften zu lassen".
In der Folge erschien der Beschwerdeführer nicht persönlich an der Berufungsverhandlung vom 14. März 2006. Er liess sich dort jedoch durch seinen Verteidiger vertreten. Dieser erklärte im Namen des Beschwerdeführers ausdrücklich, dass er an der Appellation festhalte und auch bereit sei, diese zu begründen. Das Obergericht schrieb die Appellation dennoch "als erledigt" von der Geschäftskontrolle ab mit der Begründung, durch sein Nichterscheinen habe der Beschwerdeführer auf Appellation "verzichtet" bzw. sein "Desinteresse" daran erklärt.
8. Die Luzerner Praxis, wonach die Appellation (bei unentschuldigtem Ausbleiben des Angeklagten) selbst dann ersatzlos abgeschrieben wird, wenn der Verteidiger zur Appellationsverhandlung erscheint, hält vor <ref-law> und der oben dargelegten Rechtsprechung nicht stand.
8.1 Die prozessuale Pflicht des Angeklagten zum persönlichen Erscheinen an der Hauptverhandlung (wie auch sein Recht auf persönliche Teilnahme) ist ein sehr wichtiges Element des Strafverfahrens (vgl. Robert Hauser/Erhard Schweri/Karl Hartmann, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl., Basel 2005, § 81 Rz. 10-13). Dies gilt grundsätzlich auch für das Appellationsverfahren. Allerdings dürfen kantonale Verfahrensvorschriften die verfassungsmässigen Grundrechte auf Appellation und wirksame Verteidigung nicht unterlaufen und aushöhlen. Zwar kann unentschuldigtes Ausbleiben des Angeklagten prozessuale Konsequenzen nach sich ziehen. Zu denken wäre namentlich an die Durchführung eines Abwesenheitsverfahrens, an Kostenfolgen oder an Auswirkungen auf Fragen der Beweiswürdigung. Das verfassungsmässige Grundrecht auf Appellation und wirksame Verteidigung wird jedoch unterlaufen, wenn als Folge des unentschuldigten Ausbleibens des Angeklagten die Berufung selbst dann als "zurückgezogen" abgeschrieben wird, wenn der Verteidiger zur Berufungsverhandlung antritt und bereit ist zu plädieren. Eine solche Konsequenz erscheint nach der dargelegten Rechtslage unverhältnismässig und verfassungswidrig. Eine Verwirkung der Appellation kann nur bei einem sogenannten "Totalversäumnis" im Sinne der dargelegten Praxis (unentschuldigtes Ausbleiben sowohl des Angeklagten als auch des Verteidigers) in Frage kommen.
Schon aus diesem Grund ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Abschreibungsbeschluss aufzuheben.
8.2 Von diesen grundsätzlichen Erwägungen abgesehen, erscheint das prozessuale Vorgehen der kantonalen Justizbehörden im vorliegenden konkreten Fall auch noch aus zusätzlichen Gründen unfair, überspitzt formalistisch und unverhältnismässig. Nach Treu und Glauben (<ref-law>) kann hier nicht von einem (konkludenten) "Verzicht" auf die ausdrücklich erklärte Appellation ausgegangen werden. Mit einem Verzicht auf persönliche Anwesenheit an der Berufungsverhandlung nimmt der Appellant zwar freiwillig eine gewisse Schwächung seiner prozessualen Stellung und seiner Verteidigungsmöglichkeiten in Kauf. Damit verzichtet er jedoch nicht vollständig auf das Rechtsmittel der Appellation bzw. auf jegliche Verteidigung (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 191 f.; <ref-ruling> E. 4 S. 217 f.). Hier kommt noch hinzu, dass ein gesetzlicher Fall der notwendigen Verteidigung vorliegt und der Angeklagte erstinstanzlich zu einer Strafe von viereinhalb Jahren Zuchthaus verurteilt wurde. Ausserdem war der Beschwerdeführer zur erstinstanzlichen Hauptverhandlung persönlich erschienen.
9. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten gutzuheissen und der angefochtene Abschreibungsbeschluss aufzuheben.
Bei diesem Verfahrensausgang ist dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. Die privaten Beschwerdegegner 5 haben sich am Verfahren förmlich beteiligt und sind mit ihren Anträgen unterlegen, weshalb die Parteientschädigung ihnen aufzuerlegen ist (Art. 159 OG). Hingegen rechtfertigt es sich, im vorliegenden Fall auf die Erhebung einer Gerichtsgebühr zu verzichten (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern, II. Kammer, vom 14. März 2006 wird aufgehoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Die privaten Beschwerdegegner 5 haben dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- zu entrichten.
4. Dieses Urteil wird den Parteien sowie der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht, II. Kammer, des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. November 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: