Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1977) stammt aus Serbien. Aus einer ersten Ehe mit einem hier niedergelassenen Landsmann gingen drei Kinder (geb. 1993, 1995, 1997) hervor. Im März 2000 zog die Familie zurück in die Heimat. Im Jahr 2002 kamen die Gatten erneut in die Schweiz, wobei die Kinder in Serbien bei den Grosseltern väterlicherseits verblieben. Im Juni 2003 hoben die Eheleute den gemeinsamen Haushalt auf; am 28. April 2005 wurde die Ehe geschieden und in der Folge die Aufenthaltsbewilligung von A._ nicht mehr verlängert. Da sie der Wegweisung nicht nachgekommen war, wurde sie am 19. August 2006 nach Belgrad ausgeschafft.
1.2. Am 27. April 2010 übertrug das Amtsgericht U._ die elterliche Sorge über die drei Kinder mit Einverständnis der Mutter von den Grosseltern auf den Vater; am 10. Januar 2011 kamen sie im Familiennachzug zu diesem und dessen zweiter Ehefrau in die Schweiz. A._ heiratete in der Folge am 11. November 2011 ihrerseits einen Schweizer Bürger, worauf sie ab Juni 2012 wieder in den Besitz einer Aufenthaltsbewilligung kam. Anfang September 2012 hob A._ den gemeinsamen Haushalt auf; am 9. Dezember 2013 lehnte die Einwohnergemeinde Bern (Einwohnerdienste) es ab, ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und hielt sie an, das Land zu verlassen.
1.3. Die kantonalen Rechtsmittel hiergegen blieben ohne Erfolg. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die Beschwerde von A._ am 16. Juni 2015 ab. Es begründete seinen Entscheid damit, dass deren zweite eheliche Gemeinschaft nur gerade zehn Monate gedauert habe und verschiedene Anhaltspunkte dafür sprächen, dass es ihr - wie bereits 2010 bei der Übertragung der elterlichen Sorge geplant - nur darum gegangen sei, den Kindern nachfolgen und wieder in der Schweiz arbeiten zu können. So oder anders habe ihre zweite Ehe aber inzwischen als gescheitert zu gelten, ohne dass wichtige persönliche Gründe ihren weiteren Aufenthalt in der Schweiz gebieten würden. Die Beziehung zu den volljährigen Kindern fielen nicht (mehr) in den Schutzbereich von <ref-law> bzw. Art. 8 EMRK (Familien- und Privatleben). Im Übrigen sei es ihr zumutbar, die entsprechenden Kontakte von Serbien aus besuchsweise bzw. über die heutigen modernen Kommunikationsmitteln weiter zu pflegen, nachdem kein Abhängigkeitsverhältnis bestehe.
1.4. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern aufzuheben, die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und von ihrer Wegweisung abzusehen. Sie macht geltend, die Vorinstanz habe Art. 30 und 50 AuG (SR 142.20) falsch angewandt und die Tragweite von Art. 3 bzw. 8 EMRK verkannt.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), und kann diesen - soweit entscheidrelevant - nur berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (<ref-law>). Die betroffene Person muss dartun, dass und inwiefern der Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft - mit anderen Worten willkürlich - erscheint (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3).
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich weitestgehend darauf, die Beweiswürdigung appellatorisch zu kritisieren; sie behauptet zwar, diese sei willkürlich, mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid setzt sie sich indessen unter verfassungsrechtlichen Aspekten nicht weiterführend auseinander. Sie stellt lediglich ihre Sicht der Dinge derjenigen der Vorinstanz gegenüber, ohne darzulegen, inwiefern deren tatsächliche Schlussfolgerungen offensichtlich unhaltbar wären.
2.2.2. Der Einwand, sie sei in den kantonalen Verfahren durch ihre damalige Rechtsbeiständin "krass ungenügend" bzw. "sogar standeswidrig" vertreten worden, bildet nicht Verfahrensgegenstand; es ist ihm deshalb nicht weiter nachzugehen. Die Beschwerdeführerin kann aus den entsprechenden Behauptungen und allfälligen Unzulänglichkeiten in der Verfahrensführung durch ihre frühere Rechtsvertreterin nichts zu ihren Gunsten ableiten: Soweit sie erstmals geltend macht, Opfer ehelicher Gewalt geworden zu sein, belegt sie die behaupteten Vorkommnisse nicht; ihr Hinweis darauf, dass die entsprechenden Noven wegen der angeblich ungenügenden anwaltlichen Vertretung zuzulassen seien, entbindet sie nicht davon, allfällige Misshandlungen nicht nur zu behaupten, sondern zu belegen oder zumindest glaubhaft zu machen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 und 3.2).
2.2.3. Die Beschwerdeführerin rügt, dass die Vorinstanz zu Unrecht - vom Eheschutzentscheid ausgehend - angenommen habe, die Trennung sei am 1. September 2012 und nicht erst im März 2013 erfolgt, weshalb von einem Zusammenleben von 16 und nicht bloss 10 Monaten auszugehen sei. Sie legt diesbezüglich nicht dar, inwiefern der entsprechende Unterschied entscheidwesentlich wäre. Nachdem der Bewilligungsanspruch gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG kumulativ eine erfolgreiche Integration und eine in der Schweiz gelebte Ehegemeinschaft von drei Jahren voraussetzt, ist dies auch nicht ersichtlich. Die Beschwerdeführerin erfüllt das entsprechende Erfordernis mit ihrer zweiten Ehe so oder anders nicht (vgl. <ref-ruling> E. 3). Die Kritik, die Vorinstanz habe Art. 49 AuG nicht Rechnung getragen, substanziiert sie ebenso wenig wie die Behauptung, die kantonalen Behörden seien falsch zusammengesetzt gewesen. Solche Rügen wären im Übrigen so früh wie möglich zu erheben gewesen; sie können nicht erst vor Bundesgericht nachgeschoben werden; entsprechende formelle Mängel hätten zudem als durch das Verfahren vor Verwaltungsgericht geheilt zu gelten (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197; Urteil 2C_980/2013 vom 21. Juli 2014 E. 4.3).
2.3. Ob und wieweit in Anwendung von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG vorliegend von den allgemeinen Zulassungsvoraussetzungen hätte abgewichen werden dürfen oder müssen ("allgemeiner" Härtefall; E. 5 des angefochtenen Entscheids), kann das Bundesgericht, wie es dem Rechtsvertreter bereits im Urteil 2C_561/2015 vom 14. Juli 2015 dargelegt hat, nicht prüfen, da sich seine Zuständigkeit auf Anspruchs bewilligungen beschränkt (vgl. <ref-law> und Art. 96 AuG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1).
2.4. Soweit die Beschwerdeführerin den mit der Nichtverlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung als gesetzliche Folge (vgl. Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG) verbundenen Wegweisungsentscheid beanstandet, ist auf ihre Eingabe nicht einzutreten, da sie nicht dartut, dass und inwiefern dieser besondere verfassungsmässige Rechte verletzen würde (vgl. <ref-ruling> ff.). Die Beschwerdeführerin behauptet lediglich, eine Rückkehr in das Heimatland sei ihr nicht zumutbar; sie tut diesbezüglich indessen nicht in vertretbarer Weise dar, inwiefern ihr dort eine konkrete Gefahr im Sinne der Rechtssprechung zu Art. 3 EMRK und <ref-law> drohen würde ("real risk"). Allein ihr allgemeiner, nicht belegter Hinweis auf angeblich nicht verfolgte frühere Kriegsverbrechen bzw. den Korruptionsgrad der serbischen Behörden genügt hierzu nicht.
3.
Materiell gibt der angefochtene Entscheid die bundesgerichtliche Praxis zutreffend wieder. Das Verwaltungsgericht hat den Sachverhalt korrekt unter die gesetzlichen Vorgaben subsumiert. Was die Beschwerdeführerin hiergegen einwendet, überzeugt nicht:
3.1. Zwar kann die kantonal zuständige Behörde zivilrechtlich auf die Ungültigkeit der Ehe klagen, wenn diese nur dazu dient, die ausländerrechtlichen Aufenthaltsvoraussetzungen zu umgehen (Art. 105 Ziff. 4 i.V.m. <ref-law>), doch bildet ein entsprechendes Handeln nicht Voraussetzung dafür, dass ausländerrechtlich kein Bewilligungs- oder Verlängerungsanspruch mehr besteht. Dies ist dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin bereits im Urteil 2C_561/2015 erläutert worden. Es besteht keinerlei Anlass, auf diese Praxis zurückzukommen, auch wenn er - ohne weitere Begründung - meint, dass das Gericht damit "völlig fehl gegangen" sei. Der Hinweis, dass im bundesgerichtlichen Urteil von einem Art. 105 Abs. 4 ZGB gesprochen werde, den es gar nicht gäbe, trifft insofern zu, als es Art. 105 Ziff. 4 ZGB heissen müsste, wie sich dies aus dem klaren Zusammenhang der Ausführungen und der Gesetzeslektüre ergibt. In der Sache ändert das indessen nichts.
3.2. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin verkennt schliesslich einmal mehr die Rechtsprechung, wenn er geltend macht, die Doktrin spreche sich mehrheitlich für die Zulässigkeit eines "living apart together" aus, wie dies seine Klientin praktiziere bzw. praktizieren wolle: Das Bundesgericht hat die entsprechenden Lehrmeinungen verworfen und anders entschieden. Vorbehältlich eines wichtigen Grundes für das Getrenntleben (Art. 49 AuG) müssen sich die Ehegatten im gleichen Haushalt aufhalten, wollen sie in den Genuss der Bewilligungsansprüche nach Art. 42 ff. AuG kommen (vgl. das Urteil 2C_804/2013 vom 3. April 2014 E. 3 u. 4). Das Bundesgericht schützt im Rahmen des Wortlauts der einschlägigen gesetzlichen Vorgaben das Eheleben auf Distanz nicht. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin argumentiert zudem widersprüchlich, wenn er einerseits neu geltend macht, diese sei Opfer ehelicher Gewalt geworden, gleichzeitig aber behauptet, mit ihrem Gatten nach wie vor in einem "living apart together" verblieben zu sein bzw. verbleiben zu wollen, was den Fortbestand einer gelebten ehelichen Gemeinschaft mit entsprechendem wechselseitigen Ehewillen voraussetzen würde.
3.3.
3.3.1. Die Kinder der Beschwerdeführerin aus erster Ehe halten sich zwar in der Schweiz auf; der Beschwerdeführerin ist es indessen - wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat - zumutbar, ihre Kontakte zu diesen von Serbien aus aufrechtzuerhalten: Sie ist in ihrer Heimat aufgewachsen und hat wiederholt längere Zeit allein und mit ihrer früheren Familie dort gelebt. Bei ihrer Rückkehr in die Schweiz mit dem niederlassungsberechtigten ersten Gatten, liess sie die Kinder bei den Grosseltern in der Heimat zurück. Weshalb die Beziehungen zu den damals minderjährigen Kindern von der Schweiz aus hatte gelebt werden können, heute dies indessen umgekehrt gegenüber den inzwischen volljährigen Kindern nicht mehr möglich sein sollte, ist nicht ersichtlich.
3.3.2. Der Einwand der Beschwerdeführerin, es bestehe ein eigentliches Abhängigkeitsverhältnis der Kinder zu ihr, da diese als "Hilfsplättlileger", knapp genügende Zeichnerin ohne Berufsmatur bzw. junge Erwachsene derart unbeholfen seien, dass sie ihrer Hilfe vor Ort bedürften, überzeugt nicht und wird nicht weiter belegt. Die Beschwerdeführerin verkennt, dass die Kinder volljährig sind und ab 2011 in der Familie des Vaters integriert waren. Sollten sie Hilfe benötigen, kann ihnen diese im entsprechenden Familienkreis gewährt werden.
4.
4.1. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selber wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>).
4.2. Die unterliegende Beschwerdeführerin hat die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (<ref-law>). Da ihre Eingabe als zum Vornherein aussichtslos zu gelten hatte, ist ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht zu entsprechen (<ref-law>). Bei der Festsetzung der Gerichtskosten wird einerseits dem Umstand Rechnung getragen, dass das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht vorab beurteilt wurde, was der Beschwerdeführerin den Rückzug ihrer Eingabe ermöglicht hätte, andererseits ist die Art ihrer Prozessführung zu berücksichtigen (vgl. <ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar