Sachverhalt:
A. Z._ (geb. 1957) und Y._ (geb. 1963) sind die unverheirateten, getrennt lebenden Eltern des X._ (geb. 2005). Dieser klagte am 1. Dezember 2009 beim Bezirksgericht Meilen gegen seinen Vater auf Leistung von angemessenen Unterhaltsbeiträgen. Mit Entscheid vom 25. Juni 2010 verpflichtete das zuständig erklärte Bezirksgericht Zürich den Vater, rückwirkend ab 4. November 2008 bis zum vollendeten 12. Altersjahr des Sohnes Fr. 1'700.-- und danach bis zur Volljährigkeit Fr. 1'800.--, jeweils zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen.
B. In seiner dagegen ergriffenen Berufung beantragte der Sohn, der Vater sei zu verurteilen, einen nach richterlichem Ermessen festzusetzenden Unterhaltsbeitrag, mindestens jedoch Fr. 3'000.--, ab November 2008 bis zum vollendeten 12. Altersjahr und danach Fr. 3'500.-- zu bezahlen. Sodann sei der Kindesunterhalt für passiv vererblich zu erklären, so dass er beim Tod des Vaters auf dessen Erbe übergeht. Ferner sei der Vater zu verpflichten, sich an ausserordentlichen Kosten (wie z.B. Nachhilfeunterricht, Zahnkorrekturen usw.) des Sohnes zur Hälfte zu beteiligen. Mit Beschluss vom 3. Januar 2011 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung ab und bestätigte das bezirksgerichtliche Urteil in allen Teilen.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 10. Februar 2011 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer), handelnd durch seine Mutter, an das Bundesgericht und beantragt, Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) zu verurteilen, einen nach richterlichem Ermessen festzusetzenden Unterhaltsbeitrag, mindestens jedoch Fr. 3'000.--, ab November 2008 bis zum vollendeten 12. Altersjahr und danach Fr. 3'500.-- zu bezahlen. Zudem sei der Beschwerdegegner zu verpflichten, sich an ausserordentlichen Kosten (wie z.B. Nachhilfeunterricht, Zahnkorrekturen usw.) des Beschwerdeführers zur Hälfte zu beteiligen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Ergänzung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. Am 7. März 2011 hat der Beschwerdeführer weitere Unterlagen eingereicht.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Zivilsache. Das Obergericht beziffert den Streitwert auf über Fr. 200'000.--. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist somit einzutreten (Art. 51 Abs. 4, Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
1.2 Anträge auf Geldforderungen sind zu beziffern (<ref-ruling> E. 2 S. 236 f.), jedenfalls soweit sich nicht aus der Beschwerdebegründung ohne weiteres ergibt, auf welchen Betrag der Beschwerdeführer eine Geldleistung festgesetzt wissen will (<ref-ruling> E. 1b S. 414). Unterhaltsbegehren auf Festlegung der üblichen, angemessenen oder gesetzlichen Leistungen erfüllen die formellen Anforderungen nicht (BGE 79 II 253 E. 1 S. 255; Urteil 5A_797/2009 vom 15. Januar 2010 E. 1.1; Urteil 5A_669/2007 vom 4. August 2008 E. 1.2.1; 5A_256/2007 vom 20. Juli 2007 E. 1). Der Antrag des Beschwerdeführers, es seien die Unterhaltsbeiträge nach richterlichem Ermessen festzusetzen, genügt diesen Vorgaben nicht. Auf die Beschwerde einzutreten ist indes im Umfang der beantragten Mindestunterhaltsbeiträge.
Das Erfordernis der Bezifferung des Begehrens gilt auch für die angefochtenen Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens (Urteil 5A_34/2009 vom 26. Mai 2009 E. 11.3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Soweit der Beschwerdeführer die erst- und vorinstanzliche Kostenregelung (namentlich die Höhe der auferlegten Gerichtskosten) anficht, kann mangels bezifferten Begehrens nicht darauf eingetreten werden.
1.3 Das Bundesgericht prüft nur die formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. So ist es unerlässlich, dass der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll in der Beschwerdeschrift mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749).
Nicht einzutreten ist daher auf das Begehren, den Beschwerdegegner zu verpflichten, sich an ausserordentlichen Kosten (wie z.B. Nachhilfeunterricht, Zahnkorrekturen usw.) des Beschwerdeführers zur Hälfte zu beteiligen, denn die Beschwerdeschrift enthält dazu keine Begründung.
1.4 Die Rechtsanwendung überprüft das Bundesgericht im Rahmen behaupteter und begründeter Verletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) an sich von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 106 Abs. 1 BGG). Für die Unterhaltsfestsetzung gilt es freilich zu beachten, dass der Richter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. 4 ZGB) und das Bundesgericht bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung übt: Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat; aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 1 S. 99). Im Unterschied zur Rechtsanwendung ist das Bundesgericht an die kantonalen Sachverhaltsfeststellungen grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich sind einzig Verfassungs-, insbesondere Willkürrügen statthaft (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398), für welche das strenge Rügeprinzip gilt (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.5 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde darzulegen ist (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE <ref-ruling> E. 3 S. 395 mit Hinweis).
Von vornherein unbeachtlich sind daher sämtliche Vorbringen des Beschwerdeführers, die er aus den gesundheitlichen Problemen seiner Grossmutter ableitet, die "in der Zwischenzeit" so gross geworden seien, dass ihr eine Betreuung nicht mehr zuzumuten sei. Dies gilt namentlich für den Vorwurf der willkürlichen Beweiswürdigung im Zusammenhang mit den Fremdbetreuungskosten, die er zudem mit Urkunden zu belegen versucht, deren Einreichung er in seiner Beschwerde erst in Aussicht stellte. Die am 7. März 2011 und mithin nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichten Unterlagen sind verspätet und werden damit aus dem Recht gewiesen.
2. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht habe die monatlichen Unterhaltsbeiträge in Verletzung von Art. 285 Abs. 1 ZGB festgesetzt und verlangt eine Erhöhung derselben auf (mindestens) Fr. 3'000.-- (bis zum vollendeten 12. Altersjahr) und Fr. 3'500.-- für die Zeit danach.
2.1 Nach den Erwägungen des Bezirksgerichtes, auf die das Obergericht verweist, bestünden keine Anhaltspunkte dafür, dass der Beschwerdeführer besondere Bedürfnisse hinsichtlich Pflege, Erziehung oder Lebensstandard habe. Drittbetreuungskosten fielen nicht oder jedenfalls nicht regelmässig an. Die Eltern verfügten über eine weit überdurchschnittliche Leistungsfähigkeit. Ihre Jahresnettoeinkommen bewegten sich im Bereich von rund einer halben Million. Auf der anderen Seite ergäben sich aus den Akten keinerlei Hinweise auf eine besonders hohe Lebensstellung der Eltern und es werde auch keine solche geltend gemacht. Daher sei es gerechtfertigt, sich zur Bemessung der Unterhaltsbeiträge an den Empfehlungen des Amtes für Jugend und Berufsberatung des Kantons Zürich zu orientieren. Angesichts der hohen Leistungsfähigkeit der Eltern sei auf den Bedarfszahlen ein Zuschlag von 25% vorzunehmen, was Fr. 2'550.-- bis zum 6. Altersjahr, Fr. 2'418.-- ab dem 7. bis zum 12. Altersjahr bzw. Fr. 2'643.-- vom 13. bis zum 18. Altersjahr ergebe. Die Mutter und dessen Eltern leisteten die Pflege und Erziehung des Beschwerdeführers in natura. Zudem gehe die Mutter einer hundertprozentigen Erwerbstätigkeit nach, nehme also eine Doppelbelastung in Kauf. Daher sei es angezeigt, ihr nur rund einen Drittel des Bedarfs anzulasten, während der Vater rund zwei Drittel in Geldleistung beizutragen habe.
Das Obergericht erwog sodann, vor dem Friedensrichter habe der Beschwerdeführer den eingeklagten Unterhaltsbeitrag nicht beziffert. Vor Bezirksgericht habe die Mutter des Beschwerdeführers trotz mehrmaligem Nachfragen keinen konkreten Antrag gestellt, aber ausgeführt, die Kosten für ihren Sohn beliefen sich alles in allem pro Monat auf Fr. 5'000.--, wovon der Vater die Hälfte zu übernehmen habe. Auch vor Obergericht lasse der Beschwerdeführer konkrete Angaben zu seinem eigenen Lebensunterhalt weitestgehend vermissen. Er unterlasse es zu beziffern, worin seine eigenen Unterhaltskosten begründet liegen. Namentlich mache er nicht geltend, die Auslagen seiner Mutter für ihn lägen über denjenigen Beträgen, die der Vorderrichter seiner Berechnung zugrunde gelegt habe. Zudem lebe die Mutter selber durchaus in komfortablen finanziellen Verhältnissen und vermöge dem Beschwerdeführer deshalb aus eigenen Kräften finanzielle Annehmlichkeiten zu bieten. Da dieser in keiner Weise einen gegenüber den Zürcher Richtlinien höheren Bedarf behaupte, sei mit dem Vorderrichter grundsätzlich auf die betreffenden (Richt-)Kosten abzustellen. Im Übrigen sei die Behauptung, es würde in Zukunft ein höherer Betreuungsaufwand anfallen und sich das Einkommen der Mutter deswegen reduzieren, nicht näher ausgeführt. Der vom Beschwerdeführer angeführte Betreuungsaufwand von Fr. 6'000.-- pro Monat exklusive Sozialversicherungsleistungen für eine Fachperson sei schon deswegen nicht plausibel, da dies bei dem angegebenen Stundenansatz von mindestens Fr. 30.-- monatlich 200 Stunden entspräche. Da der Beschwerdeführer im kommenden Sommer eingeschult werde, sei ein derart hoher Stundenaufwand für seine ausserschulische Betreuung in keiner Weise realistisch und weit übertrieben, zumal es gerichtsnotorisch sei, dass für die ausserschulische Betreuung von Kindern ein breites Angebot bestehe; solche Dienste seien zwar meist nicht kostenlos, in der Regel aber erschwinglich.
2.2 Der Anspruch auf Kindesunterhalt basiert auf Art. 276 ZGB; für seine Bemessung ist nach Art. 285 Abs. 1 ZGB den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern zu entsprechen und sind ausserdem Vermögen und Einkünfte des Kindes sowie der Beitrag des nicht obhutsberechtigten Elternteils an der Betreuung des Kindes zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 4 S. 70).
Das Gesetz schreibt keine konkrete Bemessungsmethode vor. Sind die finanziellen Verhältnisse - wie vorliegend - gut, sollten der Kindesunterhalt und der Bedarf des Kindes auf Grund der massgeblichen Lebenshaltung des Unterhaltspflichtigen konkret bemessen werden. Die Berechnung der "tatsächlich gelebten Lebensstellung" (<ref-ruling> E. 3b S. 113) bzw. die konkrete Bedarfsermittlung kommt freilich nicht ohne gewisse Pauschalierungen aus, so dass das Abstellen auf vorgegebene Bedarfszahlen unumgänglich und auch ohne weiteres zulässig ist, soweit die erforderlichen Anpassungen vorgenommen werden. Die Festsetzung des Unterhaltsbeitrags bleibt ein Ermessensentscheid, bei dem alle bedeutsamen Umstände berücksichtigt werden müssen (Urteil 5A_461/2008 vom 27. November 2008 E. 2.2; Urteil 5C.238/2005 vom 2. November 2005 E. 3.1, in: FamPra.ch 2006 S. 193; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 162, 411 E. 3.2.2 S. 414).
2.3 Der Beschwerdeführer hat vor keiner der beiden kantonalen Instanzen einen gegenüber den Zürcher Richtlinien höheren Bedarf behauptet. Entgegen seiner Auffassung sind Kinderunterhaltsbeiträge bei überdurchschnittlich guten wirtschaftlichen Verhältnissen nicht einfach linear nach der finanziellen Leistungskraft des zahlungspflichtigen Elternteils zu bemessen (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 290 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 113; HANS HOYER, Recht des Kindes auf Unterhalt über seine Bedürfnisse hinaus?, in: Privatrecht im Spannungsfeld zwischen gesellschaftlichem Wandel und ethischer Verantwortung, 2002, S. 421 ff.). Daher kann aus dem Umstand, dass der Beschwerdegegner ein überdurchschnittlich hohes Einkommen erzielt bzw. einen hohen Lebensstandard pflegt, nicht gefolgert werden, dass auch der Barbedarf des Beschwerdeführers höher ist und die Unterhaltsbeiträge entsprechend erhöht werden müssten. Insofern erweisen sich seine diesbezüglichen Einwendungen als unbegründet. Daraus folgt auch, dass das Obergericht das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers nicht verletzt hat, indem es entgegen dessen Anträgen darauf verzichtete, die finanzielle Situation des Beschwerdegegners näher abzuklären.
Soweit der Beschwerdeführer den Gleichbehandlungsgrundsatz verletzt sieht, erweist sich seine Rüge als unbegründet, denn er beziffert die angeblich exorbitante Höhe der vom Beschwerdegegner für seine beiden Kinder aus erster Ehe geleisteten Unterhaltsbeiträge nicht, noch belegt er sie und behauptet auch nicht, der Sachverhalt sei unvollständig und damit willkürlich festgestellt worden. Keine Verletzung des Gleichbehandlungsgrundsatzes lässt sich mit dem Hinweis begründen, der Vater bezahle für seine Kinder aus erster Ehe Schulgelder für die Privatschulen "A._" (mutmassliche Kosten von Fr. 2'640.-- im Monat) und "B._" in C._ (mutmassliche Kosten von Fr. 60'000.-- im Jahr), denn derartige Schulkosten fallen beim Beschwerdeführer selber unbestrittenermassen (noch) nicht an. Sollte sich sein Bedarf dereinst in dieser Richtung verändern, steht ihm der Weg über ein Abänderungsbegehren offen.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist hingegen kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schwander