Sachverhalt:
A. X._ (Mutter) und A._ (Vater) sind die geschiedenen Eltern von B._ (geb. 1997) und C._ (geb. 1999). Das Sorgerecht steht der Mutter zu, während der Vater über ein Besuchs- und Ferienrecht verfügt. Seit Oktober 2004 ist die Vormundschaftsbehörde Z._ mit Differenzen der Eltern betreffend das väterliche Besuchsrecht befasst, wobei eine konfliktfreie Umsetzung bis heute nicht zustande gekommen ist.
Nachdem eine Mediation gescheitert war, teilte die Vormundschaftsbehörde den Eltern am 19. November 2009 mit, dass sie verpflichtet sei, nun einen Entscheid zur Besuchsrechtsregelung zu treffen und lud die Kinder zu einer Anhörung am 25. November 2009 ein. Am 27. November 2009 stellte X._ ein Ausstandsbegehren gegen die Vormundschaftsbehörde unter Hinweis auf einen Blog-Eintrag des Vaters bzw. das fehlende Dementi der Vormundschaftsbehörde zu einer dort zitierten, angeblichen Aussage der Vormundschaftsbehörde. Die fragliche Stelle des Blog-Eintrags lautet wie folgt:
"Nach Aussage der Vormundschaftsbehörde Z._ gehe die Mutter lieber ins Gefängnis, als dem Vater die Kinder besuchsweise zu überlassen."
Ausserdem brachte sie das aus ihrer Sicht wenig überlegte Vorgehen der Vormundschaftsbehörde vor, welche eine Einladung zur Kinderanhörung mit der Mutter terminlich nicht abgesprochen habe.
B. Die Vormundschaftsbehörde überwies die Akten dem Bezirksrat Y._ und beantragte Abweisung des Ausstandsbegehrens. X._ beantragte in ihrer Stellungnahme vom 22. März 2010 den Ausstand der Vormundschaftsbehörde und ersuchte um unentgeltliche Prozessführung sowie unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Mit Beschluss vom 29. April 2010 wies der Bezirksrat das Ausstandsbegehren ab und verweigerte die unentgeltliche Rechtspflege.
C. Dagegen erhob X._ am 14. Mai 2010 Rekurs an das Obergericht des Kantons Zürich. Das Ausstandsbegehren wurde dabei insofern präzisiert, als der Ausstand sämtlicher Mitglieder der Vormundschaftsbehörde Z._ verlangt wurde, eventualiter der drei Mitglieder M._, N._ und O._. Das Obergericht trat auf den Rekurs mit Beschluss vom 26. Mai 2010 nicht ein und überwies das Verfahren zuständigkeitshalber an die Direktion der Justiz und des Innern.
Mit Verfügung vom 16. August 2010 wies die Direktion sowohl die Beschwerde wie auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und auferlegte X._ Verfahrenskosten von Fr. 729.--.
D. Am 22. September 2010 hat X._ (fortan: Beschwerdeführerin) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Sie beantragt die Aufhebung der angefochtenen Verfügung hinsichtlich der Kostenauflage und der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und ersucht um Gewährung des Rechts zur unentgeltlichen Prozessführung und um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Eventualiter sei das Verfahren an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Zudem ersucht sie auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Umstritten ist nur noch die von der Vorinstanz verweigerte Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Vorliegend betrifft das Begehren um unentgeltliche Rechtspflege ein Ausstandsverfahren, welches selber ebenfalls mit Zwischenentscheid abgeschlossen wird (vgl. <ref-law>). In der Hauptsache geht es offenbar einzig um die Besuchsrechtsregelung. Unabhängig davon, ob die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen darauf abgestützt wird, dass in der Hauptsache eine Zivilsache in Frage steht (<ref-law>), oder ob der aufsichtsrechtliche Aspekt des Ausstandsverfahrens in den Vordergrund gerückt wird (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 BGG), handelt es sich um eine Angelegenheit ohne Vermögenswert.
1.2 Die angefochtene Verfügung ist kantonal letztinstanzlich (<ref-law>). Allerdings handelt es sich bei der Justizdirektion nicht um eine gerichtliche Behörde (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.3 S. 97 mit Hinweisen). Damit stellt sich die Frage, ob unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts bereits heute ein Gericht sein muss und der übergangsrechtliche Vorbehalt in <ref-law> einzig das Erfordernis eines doppelten Instanzenzuges betrifft, oder ob die genannte Übergangsbestimmung so zu verstehen ist, dass bis zu ihrem Auslaufen auch eine nichtrichterliche Behörde Vorinstanz des Bundesgerichts sein kann (in diesem Sinne namentlich Botschaft zum Bundesgesetz über die Bereinigung und Aktualisierung der Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 1. März 2006, BBl 2006 3075 f. Ziff. 3.2; SPÜHLER UND ANDERE, Kurzkommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2006, N. 1 und 3 zu <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2 S. 315 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 85 f.). Die Frage mag offen bleiben, da auf die Beschwerde aus anderen Gründen nicht eingetreten werden kann. Spätestens ab Inkrafttreten der eidgenössischen Zivilprozessordnung am 1. Januar 2011 wird ein Instanzenzug wie der vorliegende jedenfalls bundesrechtswidrig sein.
1.3 Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Dabei bedeutet "offensichtlich unrichtig" willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis). Ansonsten ist der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>).
1.4 Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Ansonsten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird (<ref-law>). Eine Verfassungsrüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; je mit Hinweisen). Es muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 6 S. 397 mit Hinweis). Wird eine Verletzung des Willkürverbots - einschliesslich der Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) - geltend gemacht, muss im Einzelnen aufgezeigt werden, in welcher Hinsicht der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2 S. 591 f.).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat das Ausstandsbegehren als aussichtslos erachtet. Eine gerügte Vorbefassung sämtlicher Mitglieder bzw. von zwei Mitgliedern und der Vormundschaftssekretärin werde in keiner Weise substanziiert, sondern die Beschwerdeführerin verweise lediglich auf eine vom Kindsvater zitierte, angeblich seitens der Vormundschaftsbehörde gemachte Aussage, für welche sie keine objektiven Anhaltspunkte anbringen könne. Aufgrund der Aktenlage dränge sich der Schluss auf, der fragliche Blog-Eintrag des Vaters zitiere einen Protokollauszug der Vormundschaftsbehörde vom 15. Juli 2008 in unkorrekter und verfremdender Weise. In diesem Protokoll ist in indirekter Rede folgende Aussage der Kindsmutter festgehalten:
"Ein solches Ansinnen [d.h. die Besuchsrechtsausübung wie im Scheidungsurteil vorgesehen] lehnt [die Beschwerdeführerin] rundweg ab, auch wenn sie dafür gebüsst werde oder ins Gefängnis müsse."
Aus der Wiedergabe einer Aussage in einem Protokoll könne laut Vorinstanz aber keine Befangenheit der Vormundschaftsbehörde abgeleitet werden.
2.2 Das weiter geltend gemachte wenig überlegte Vorgehen der Vormundschaftsbehörde bei der Terminansetzung zur Kinderanhörung könne von vornherein keinen Ausstandsgrund begründen, so dass auch diesbezüglich Aussichtslosigkeit vorliege.
3. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechts-pflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweis). Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer summarischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen).
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin erhebt zunächst den Vorwurf, dass die Vorinstanz tautologisch argumentiert habe und ihre Verfügung so lang ausgefallen sei, dass das Ausstandsbegehren kaum aussichtslos gewesen sein könne. Solch allgemeine Kritik ist nicht geeignet, fehlende Aussichtslosigkeit darzutun. Darauf ist nicht einzutreten.
4.2 Soweit die Beschwerdeführerin den Sachverhalt aus ihrer eigenen Sicht darstellt, ohne auf die entsprechenden Erwägungen der Vorinstanz einzugehen, kann darauf ebenfalls nicht eingetreten werden. So ist entgegen ihrer Darstellung keineswegs erstellt, dass sich die Vormundschaftsbehörde je unpassend über die Beschwerdeführerin äusserte. Vielmehr hat die Vorinstanz - wie soeben erwähnt (oben E. 2.1) - die vom Kindsvater der Vormundschaftsbehörde zugeordnete Aussage auf ein unkorrektes Zitat einer Äusserung der Kindsmutter selber zurückgeführt. Dass eine andere Beweiswürdigung durch die Vorinstanz möglich und das Ausstandsbegehren deshalb nicht aussichtslos gewesen wäre, vermag sie durch die Schilderung ihrer Sicht der Dinge nicht darzutun.
Die Beschwerdeführerin sieht die Befangenheit der Vormundschaftsbehörde auch dadurch belegt, dass sie sich einerseits nie von der vom Kindsvater auf dem Blog publizierten Aussage distanziert habe und dass sie andererseits nicht offen gelegt habe, von wem die Aussage stamme. Mit Letzterem wiederholt sie die appellatorische Behauptung, der Ursprung der umstrittenen Aussage liege bei der Behörde. Hinsichtlich der mangelnden Distanzierung geht sie nicht auf den Mail-Verkehr zwischen ihrem Rechtsvertreter und der Vormundschaftsbehörde ein, worin diese ausführt, zwischen Behörde und Kindsvater existiere kein entsprechender Schriftverkehr, weshalb die Frage, ob die Vormundschaftsbehörde eine entsprechende Aussage gemacht habe, weder mit ja noch mit nein beantwortet werden könne. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern diese Äusserung der Behörde über den Aktenstand bzw. das unterbliebene Dementi der Behörde zu einer von einer Drittperson dieser Behörde unterstellten Aussage einen objektiven Anschein der Befangenheit bewirken könnte und damit ihrem Ausstandsbegehren vor der Vorinstanz eine reelle Erfolgschance zugekommen wäre. Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz schliesslich die weitere Rüge behandelt, das Protokoll vom 15. Juli 2008 sei unrichtig und sie habe die niedergeschriebene Aussage nie gemacht. Auf die Beurteilung dieser Darstellung als unglaubwürdig geht die Beschwerdeführerin aber nicht ein. Mit welchen weiteren Mängeln das Protokoll behaftet sein soll, spezifiziert die Beschwerdeführerin nicht. Damit genügt sie insgesamt den Begründungsanforderungen nicht.
4.3 Soweit die Beschwerdeführerin behauptet, die Vormundschaftsbehörde habe wiederholt ein klar unüberlegtes Verhalten an den Tag gelegt und Termine seien mit ihr nicht abgesprochen worden, handelt es sich um eine unzulässige Sachverhaltsdarstellung, die darüber hinweggeht, dass die Vorinstanz bloss eine einzige Terminfestsetzung - nämlich für die Kindesanhörung vom 25. November 2009 - untersucht hat. Die Beschwerdeführerin vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern sie bereits vor der Vorinstanz weitere unüberlegte Terminfestsetzungen gerügt hätte, welche die Erfolgschancen ihres Rekurses zu erhöhen geeignet gewesen wären. Mit welchen weiteren Argumenten sich die Vorinstanz angeblich nicht auseinandergesetzt haben soll und inwiefern dadurch verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen, wird nicht näher ausgeführt, weshalb auch darauf nicht einzutreten ist.
5. Somit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Bei diesem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Gesagten von vornherein aussichtslos gewesen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich, Vormundschaftliche Aufsichtsbehörde zweiter Instanz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Dezember 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Zingg