Sachverhalt:
A. Die 1961 geborene M._ war seit 1991 in einer Reinigungsfirma tätig. Bei dieser Arbeit trat im Bereich der Handgelenke und Handrücken ein Ekzem mit starkem Juckreiz auf. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) anerkannte eine Berufskrankheit und erliess am 26. Juni 1994 eine Nichteignungsverfügung für Arbeiten im Kontakt mit gewissen Putzmitteln (Radical, Calcacil). Wegen des Hautleidens verlor M._ von 1994 bis 1999 Arbeitsstellen als Reinigungsfrau, Spitalküchenangestellte und Zimmermädchen; im November 1999 wurde ein Arbeitsversuch in einer Holzwerkstatt nach einer Woche abgebrochen.
Gestützt auf die Beurteilung des behandelnden Arztes Dr. med. B._, Spezialarzt für Dermatologie und Venerologie, (Bericht vom 10. Februar 2000), richtete die SUVA M._ ab 29. November 1999 Taggeld auf der Basis einer 100-prozentigen Arbeitsunfähigkeit aus. Mit Verfügung vom 25. September 2002 stellte sie diese Leistung auf den 31. Juli 2002 ein. Sie begründete es damit, die Versicherte sei für trockene und saubere Arbeiten ohne Feuchtbelastung und ohne Kontakt zu Löse- und Reinigungsmitteln sowie ohne intensive mechanische Belastung in staubfreier Umgebung zu 100 % arbeitsfähig. Dabei stützte sie sich auf den Bericht der Dermatologischen Klinik des Spitals X._ vom 5. Juli 2002. Die dagegen erhobene Einsprache mit dem Begehren um Weiterausrichtung des Taggeldes wies die SUVA mit Entscheid vom 7. Februar 2005 ab. Sie zog diesen Entscheid im Beschwerdeverfahren vor dem kantonalen Sozialversicherungsgericht zurück und richtete nach dem 31. Juli 2002 das Taggeld weiter aus.
2003 arbeitete M._ während des ganzen Jahres als Hilfe und Kinderbetreuerin in einem Privathaushalt. Gemäss Zeugnis des Dr. med. B._ vom 20. Januar 2004 war der Gesundheitszustand während dieser Zeit konstant eher schlecht; nach grösseren Reinigungsarbeiten verschlimmerte sich das Hautleiden. Dr. med. B._ schrieb die Patientin ab 24. Dezember 2003 wieder zu 100 % arbeitsunfähig. Auf Ende 2003 lief das Arbeitsverhältnis wegen des Wegzugs der Arbeitgeberin aus.
Im Rahmen einer beruflichen Abklärung der SUVA absolvierte M._ im Frühjahr und im Herbst 2006 Arbeitstrainings in der Konfektionierung von Pharmazeutika und Kosmetika. Sie wurden aufgrund starker Ekzembildung abgebrochen (Motschan/Beratung/Selektion/Neuorientierung; Schlussbericht vom 7. November 2006).
Am 5. März 2007 teilte die SUVA mit, da die Behandlungsmöglichkeiten ausgeschöpft seien, würden die Taggeldleistungen auf den 31. März 2007 eingestellt. Mit Verfügung vom 17. März 2007 sprach sie M._ ab 1. April 2007 eine auf einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % basierende Invalidenrente und - bei einer Integritätseinbusse von 30 % - eine Integritätsentschädigung zu. Am 23. April 2007 erhob die IV-Stelle Basel-Stadt gegen die Verfügung Einsprache und beantragte deren Aufhebung, da sie ungenügend begründet sei und den rechtlichen Anforderungen nicht genüge. Mit Entscheid vom 25. September 2007 trat die SUVA wegen fehlender Legitimation der IV-Stelle zur Einsprache nicht darauf ein.
B. Am 10. Juli 2000 hatte sich M._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle Basel-Stadt lehnte zunächst berufliche Massnahmen und Stellenvermittlung ab (Verfügung vom 16. Januar 2003; Einspracheentscheid vom 4. April 2003). Mit Entscheid vom 17. Dezember 2003 hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt die Beschwerde der M._ gut; es wies die IV-Stelle an, zugunsten der Versicherten Bemühungen um Arbeitsvermittlung aufzunehmen. Am 22. September 2005 verfügte die IV-Stelle erneut den Abschluss der Arbeitsvermittlung, weil es nicht gelungen sei, die Versicherte innert angemessener Zeit in den Arbeitsmarkt zu integrieren. Die dagegen erhobene Einsprache hiess sie mit Entscheid vom 3. November 2006 gut mit der Begründung, die Weiterführung der beruflichen Massnahmen sei angezeigt. Nach Eingang der SUVA-Verfügung vom 17. Mai 2007 veranlasste sie eine dermatologische und psychiatrische Begutachtung am Spital Y._ (Bericht Dermatologische Poliklinik vom 31. März 2008; Teilgutachten Psychiatrische Poliklinik vom 4. April 2008). Mit Verfügung vom 22. August 2008 verneinte sie den Anspruch der Versicherten auf eine Invalidenrente. Sie begründete es damit, die spezialärztlichen Untersuchungen hätten ergeben, dass in einer dem Leiden angepassten Tätigkeit eine vollständige Arbeitsfähigkeit vorliege. Im Einkommensvergleich ergebe sich lediglich ein Invaliditätsgrad von 20 %.
C. Die gegen den Bescheid erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 23. März 2009 gut und wies die Sache zur Festsetzung einer ganzen Invalidenrente ab April 2005 an die IV-Stelle zurück. Es bejahte den Leistungsanspruch in Anbetracht einer mit überwiegender Wahrscheinlichkeit seit der Beendigung der Arbeitserprobung bei der Gesellschaft W._ am 29. April 2005 (Abklärungsbericht vom 9. Mai 2005) erstellten vollständigen Arbeitsunfähigkeit auch für Verweisungstätigkeiten und damit einer vollständigen Erwerbsunfähigkeit.
D. M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids insoweit, als der Anspruchsbeginn auf April 2005 festgelegt worden sei; die IV-Stelle sei anzuweisen, die Invalidenrente ab 1. November 2000 zu gewähren.
Die Vorinstanz beantragt Abweisung der Beschwerde, IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Die gesetzliche Kognitionsbeschränkung gilt namentlich für die Einschätzung der gesundheitlichen und leistungsmässigen Verhältnisse (<ref-law>), wie sie sich bei der revisionsweisen Anpassung einer Invalidenrente nach <ref-law> wegen Tatsachenänderungen (Gesundheitszustand, Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit usw.) im revisions- oder neuanmeldungsrechtlich massgeblichen Vergleichszeitraum (<ref-ruling>; Urteil I 692/06 vom 19. Dezember 2006, E. 3.1) entwickelt haben. Dies gilt auch im Falle einer rückwirkenden Zusprechung einer befristeten und/oder abgestuften Invalidenrente.
2. Die Ausrichtung einer ganzen Rente der Invalidenversicherung ab April 2005 ist letztinstanzlich unbestritten. Zu prüfen bleibt, ob schon in einem früheren Zeitpunkt ein Rentenanspruch entstanden ist. Beantragt ist die Zusprechung einer ganzen Rente bereits ab 1. November 2000.
2.1 Im vorinstanzlichen Entscheid werden die gesetzlichen Bestimmungen und die Rechtsprechung zum Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law> in der bis Ende 2007 geltenden Fassung), dessen Entstehung (<ref-law> in der bis Ende 2007 geltenden Fassung) und dessen Beginn bei Bezug eines Taggeldes (<ref-law> in der bis Ende 2007 geltenden Fassung), zur Aufgabe von Ärztinnen und Ärzten bei der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 4 S. 261) sowie zum Beweiswert medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3a-c S. 352 ff.) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2 Nach <ref-law> entsteht der Rentenanspruch frühestens in dem Zeitpunkt, in dem der Versicherte während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 Prozent arbeitsunfähig (<ref-law>) gewesen ist. In der seit 1. Januar 2004 gültigen Fassung definiert <ref-law> die Arbeitsunfähigkeit als die durch eine Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit bedingte (bis Ende 2003: der körperlichen oder geistigen Gesundheit), volle oder teilweise Unfähigkeit, im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich zumutbare Arbeit zu leisten. Bei langer Dauer wird auch die zumutbare Tätigkeit in einem anderen Beruf oder Aufgabenbereich berücksichtigt. Ändert sich der Invaliditätsgrad einer Rentenbezügerin oder eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (<ref-law>).
2.3 Nach <ref-law> (in der bis Ende Februar 2004 geltenden Fassung) ist bei einer Verbesserung der Erwerbsfähigkeit oder Verminderung der Hilflosigkeit die anspruchsbeeinflussende Änderung für die Herabsetzung oder Aufhebung der Leistung von dem Zeitpunkt an zu berücksichtigen, in dem angenommen werden kann, dass sie voraussichtlich längere Zeit dauern wird. Sie ist in jedem Fall zu berücksichtigen, nachdem sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate angedauert hat und voraussichtlich weiterhin andauern wird (Abs. 1). Bei einer Verschlechterung der Erwerbsfähigkeit oder Verschlimmerung der Hilflosigkeit ist die anspruchsbeeinflussende Änderung zu berücksichtigen, sobald sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate angedauert hat (Abs. 2).
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, weil sie stillschweigend davon ausgegangen sei, vor April 2005 habe in Verweisungstätigkeiten noch eine realisierbare Arbeitsfähigkeit bestanden. Bereits die früheren Abklärungen (so der Bericht des Spitals Z._/Eingliederungsstätte vom 8. November 2001) hätten jedoch die Nichtverwertbarkeit der noch vorhandenen Arbeitsfähigkeit gezeigt; deshalb habe die Eingliederungsstätte die Wiederaufnahme der beruflichen Evaluation erst für den Moment der Verfestigung der gesundheitlichen Situation vorgesehen. Zwar sei der Gesundheitszustand seitdem stabil geblieben, doch habe sich nie eine zumutbare Arbeitstätigkeit ermitteln lassen; es sei nicht ersichtlich, inwiefern vor April 2005 die medizinisch-theoretische Arbeitsfähigkeit in wirtschaftlich-praktischer Hinsicht noch durch eine zumutbare Tätigkeit hätte verwertet werden können.
3.2 Tatsächlich geht aus den Erwägungen des angefochtenen Entscheides nicht hervor, warum erst mit Ende der Arbeitserprobung bei der Gesellschaft W._ am 29. April 2005 (Abklärungsbericht vom 9. Mai 2005) für die Vorinstanz (vgl. Vernehmlassung vom 9. Juni 2009: "mit überwiegender Wahrscheinlichkeit") erstellt ist, dass auch in einer Verweisungstätigkeit keine relevante Arbeitsfähigkeit mehr gegeben war. Immerhin hat die Vorinstanz selber den Ablauf der Wartezeit auf November 2000 festgelegt. Zufolge fehlender sachbezüglicher Feststellungen für die Zeit danach ergänzt das Bundesgericht den Sachverhalt von Amtes wegen (E. 1).
Wie eingangs erwähnt, richtete die SUVA der Beschwerdeführerin gestützt auf die Beurteilung des behandelnden Dermatologen Dr. med. B._ (Bericht vom 10. Februar 2000) ab 29. November 1999 auf der Basis einer 100-prozentigen Arbeitsunfähigkeit Taggeld aus. Der Leidensverlauf war nach dem Bericht der Dermatologischen Klinik des Spitals X._ vom 15. Dezember 2000 unbefriedigend: Auch ohne Berufstätigkeit und ohne Tragen von Gummihandschuhen heilte das Ekzem unter hochpotenten Medikamenten nicht ab. Daran änderte auch ein höchstmögliches Meiden von Metallen nichts. Die Diplompsychologin/Berufs- und Laufbahnberaterin IAP Frau O._ gab im Bericht der Eingliederungsstätte vom 8. November 2001 an, die Patientin habe bei der auf drei Monate angelegten Abklärung am 22. Oktober 2001 rasch, konzentriert, qualitativ gut und selbstständig zu arbeiten begonnen. Sie habe desinfizierte Stoffhandschuhe getragen und sei weder Nässe noch Ölen ausgesetzt gewesen. Ihre Arme habe sie stündlich waschen und eincremen können. Trotzdem sei sie von ständigem Juckreiz behindert worden. Schon in der ersten Arbeitswoche hätten sich die Ekzeme auf die Oberarme ausgebreitet und zeitweise habe sie unter Kreislaufproblemen mit Schwindel gelitten. Dr. med. S._, Allgemeine Medizin FMH, habe sie ab 29. Oktober 2001 wieder für drei Monate krankgeschrieben. Die Abklärung wurde aus Krankheitsgründen nicht weitergeführt. Im Bericht des Spitals X._ vom 18. Januar 2002 wurde die Arbeitsunfähigkeit "als Mitarbeiterin in der Montage- und Textilabteilung" bis auf Weiteres bestätigt. Die SUVA-Arbeitsmedizinerin Dr. med. P._, Fachärztin FMH für Allgemeinmedizin, ging laut Bericht vom 5. Juni 2002 aufgrund der Verschlechterung des Hautbefundes von einer seit Januar 2001 anhaltenden Arbeitsunfähigkeit aus. Am 6. Februar 2003 wurde von Seiten der Dermatologischen Klinik des Spitals X._ eine Tätigkeit unter trockenen Bedingungen "wie zum Beispiel in einem Schreibbüro" empfohlen. Die SUVA-Ärztin Dr. med. P._ hat indes bereits am 17. Juli 2002 festgehalten, angesichts mangelnder Sprach- und Computerkenntnisse sowie bei den vorhandenen intellektuellen Fähigkeiten sei zu bezweifeln, dass die Voraussetzungen für einen Büroarbeitsplatz bei der Versicherten gegeben seien; diese habe immer als Reinigungsfrau gearbeitet oder Hilfsarbeiten verrichtet.
3.3 Die einzige Erwerbstätigkeit der Beschwerdeführerin seit 1999 war die Arbeit als Hilfe und Kinderbetreuerin im Privathaushalt während des Jahres 2003. Die Stelle lief zwar wegen des Wegzugs der Arbeitgeberin aus; auch diese Beschäftigung endete aber wie die früheren und späteren Arbeits- und Wiedereingliederungsversuche mit einer ärztlich attestierten vollständigen Arbeitsunfähigkeit (oben A. Abs. 3). Während die übrigen seit 1999 versuchten Einsätze schon nach kurzer Zeit abgebrochen werden mussten, weil sich das Leiden verschlimmerte, dauerte diese Beschäftigung länger. Offenbar war es der Beschwerdeführerin 2003 möglich, trotz der gesundheitlichen Einschränkungen einen regelmässigen Arbeitsverdienst zu erzielen (laut Arbeitsvertrag vom 19. Dezember 2002 monatlicher Bruttolohn von Fr. 2'700.-).
3.4 In Anbetracht dieser Entwicklung bestehen näherer Abklärung bedürftige Anhaltspunkte für die Annahme, dass nach vorinstanzlich festgestelltem Ablauf der einjährigen Wartezeit (Art. 29 Abs. 1 lit. b aIVG) im November 2000 die Beschwerdeführerin damals (vorübergehend) über keine erwerblich verwertbare Arbeitsfähigkeit verfügt (vgl. Bericht des Spitals X._ vom 15. Dezember 2000) und der Anspruch auf die ganze Rente zunächst entstanden sein könnte. Wie sich die Verhältnisse seither entwickelt haben, wird die IV-Stelle unter Berücksichtigung der vorstehend geschilderten Gegebenheiten und des weiteren aktenmässig gut dokumentierten Verlaufes in Anwendung von Art. 88a und Art. 29bis IVV zu prüfen haben. Anschliessend wird sie über den Rentenanspruch für die Zeit vom 1. November 2000 bis 31. März 2005 neu verfügen.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 23. März 2009 - soweit er den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung bis Ende März 2005 betrifft - und die Verfügung der IV-Stelle Basel-Stadt vom 22. August 2008 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle Basel-Stadt zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen über den Leistungsanspruch ab 1. November 2000 neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Diese Verfügung wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der Ausgleichskasse Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Februar 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz