Faits:
A. En l'an 2000, A.X._, domiciliée à Genève depuis 1959, a fait don à la fondation bâloise "A.X._" (ci-après la fondation) d'un montant de 37'368'947 fr. Cette donation n'a pas été déclarée aux autorités genevoises.
A.X._ est décédée le 30 juin 2007 en laissant deux héritières réservataires.
L'une des héritières a demandé un inventaire successoral, qui a été établi les 13 et 18 mars 2008 par Me Y._, notaire. Celui-ci a révélé l'existence de la donation soumise à rapport dans la succession.
Le 11 avril 2008, le Conseiller d'Etat en charge du Département genevois des finances a accordé à la fondation une exonération de 50 % des droits de succession, conformément à un arrêté de portée générale du Conseil d'Etat du 10 mars 2008 prévoyant une réduction de 50 % des droits de succession et d'enregistrement sur les donations à des institutions d'utilité publique situées dans d'autres cantons suisses sans convention de réciprocité.
Le 28 juillet 2008, Me Y._ a déposé, pour la fondation, une demande d'exonération totale des droits d'enregistrement et/ou de succession pour la donation effectuée en 2000.
Dans un arrêté du 7 janvier 2009, le Conseil d'Etat a indiqué qu'en raison notamment des attributions régulières faites par la fondation depuis 2005 à la Faculté de médecine de l'Université de Genève, l'omission d'enregistrer la donation dans les délais n'entraînerait la perception d'aucune amende. En revanche, il ne se justifiait pas de déroger exceptionnellement à l'arrêté du Conseil d'Etat du 10 mars 2008 fixant la quotité de la réduction accordée aux institutions d'utilité publique, philanthropiques ou de charité. Par conséquent, l'autorité exécutive cantonale a confirmé la décision du Conseiller d'Etat chargé du Département des finances du 11 avril 2008 et a indiqué que l'arrêté du 10 mars 2008 était applicable à la soulte de la donation de 37'368'947 fr. faite en 2000 par feue A.X._ à la fondation, après déduction de la réserve des héritières légales. Le montant dû porterait intérêt au taux légal dès le 1er janvier 2001.
B. A l'encontre de l'arrêté du Conseil d'Etat du 7 janvier 2009, la fondation interjette un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral, dans lequel elle conclut à la recevabilité du recours, à l'annulation de l'arrêté attaqué et au renvoi du dossier au Conseil d'Etat pour nouvelle décision dans le sens des considérants, sous suite de frais et dépens.
Le Département cantonal des finances conclut, pour l'Etat de Genève, au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 96).
1.1 Bien qu'il s'intitule "arrêté", l'acte entrepris est une mesure individuelle et concrète par laquelle l'autorité a refusé d'accorder l'exonération complète des droits de succession et d'enregistrement requise par la recourante en relation avec la donation effectuée en 2000 et confirmé la décision du Conseiller d'Etat du 11 avril 2008. Il s'agit donc d'une décision (cf. PIERRE MOOR, Droit administratif, vol. II, 2e éd., 2002, p. 156 ss; en droit genevois, voir l'art. 4 al. 1. de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative - LPA - RS/GE E 5/10). Cette décision doit être qualifiée de finale (cf. art. 90 LTF), dès lors qu'elle fixe définitivement l'étendue des droits de succession et d'enregistrement dus.
1.2 La décision attaquée a été prise en application de la loi genevoise du 26 novembre 1960 sur les droits de succession (RS/GE D 3 25) et de la loi genevoise du 9 octobre 1969 sur les droits d'enregistrement (LDE; RS/GE D 3 30). Le litige concerne donc l'exonération de la recourante de contributions relevant du droit cantonal. Contrairement aux décisions en matière de remise d'impôts (cf. art. 83 let. m LTF), les litiges portant sur l'exonération, en particulier de personnes morales poursuivant des buts d'intérêt public, peuvent en principe faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral (cf. art. 82 let. a LTF; voir par exemple arrêts 2C_592/2008 du 2 février 2009 et 2C_664/2007 du 6 mars 2008).
1.3 La loi sur le Tribunal fédéral impose aux cantons, à l'art. 86 al. 2 LTF, d'instituer des tribunaux supérieurs qui statuent comme autorités précédant immédiatement le Tribunal fédéral, sauf dans les cas où une autre loi fédérale prévoit qu'une décision d'une autre autorité judiciaire peut faire l'objet d'un recours au Tribunal de céans. Cette règle correspond à la garantie d'accès au juge prévue à l'art. 29a Cst., disposition qui permet toutefois des dérogations dans des cas exceptionnels (HANSJÖRG SEILER, in Bundesgerichtsgesetz, 2007, nos 13 et 20 ad art. 86 LTF). La loi sur le Tribunal fédéral prévoit une telle exception en cas de recours contre les actes normatifs cantonaux (art. 87 LTF), pour les décisions qui concernent les droits politiques (art. 88 LTF) et pour les décisions revêtant un caractère politique prépondérant (art. 86 al. 3 LTF). Cette dernière disposition autorise, mais n'oblige pas les cantons à instituer une autorité de recours autre qu'un tribunal (ALAIN WURZBURGER, in Commentaire de la LTF, 2009, no 24 ad art. 86 LTF; ESTHER TOPHINKE, in Commentaire bâlois, Bundesgerichtsgesetz, 2008, no 25 ad art. 86 LTF).
1.4 En vertu de l'art. 130 al. 3 LTF, les cantons disposaient d'un délai de deux ans à compter de l'entrée en vigueur de la loi sur le Tribunal fédéral au 1er janvier 2007 pour adapter les dispositions d'exécution relatives notamment à l'organisation des autorités précédentes au sens des art. 86 al. 2 et 3 LTF. La décision attaquée a été rendue le 7 janvier 2009, soit passé le délai de l'art. 130 al. 3 LTF, de sorte que l'art. 86 al. 2 et 3 LTF est applicable (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 et 3.2 p. 96 s.). Dès lors que l'acte attaqué émane du Conseil d'Etat, soit du pouvoir exécutif, il ne remplit pas les exigences de l'art. 86 al. 2 LTF. Il convient donc de déterminer si l'on se trouve en présence d'une décision revêtant un caractère politique prépondérant au sens de l'art. 86 al. 3 LTF qui justifierait de déroger à la garantie de l'accès au juge.
1.5 La notion juridique de "décision revêtant un caractère politique prépondérant" est en elle-même indéterminée (YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, no 3015; TOPHINKE, op. cit., no 19 ad art. 86 LTF; SEILER, op. cit., no 21 ad art. 86 LTF).
1.5.1 La jurisprudence ne s'est pas encore prononcée sur la portée à donner à l'art. 86 al. 3 LTF, mais a statué de cas en cas. Elle a ainsi exclu le caractère politique prépondérant d'une décision concernant la détention en vue de l'expulsion (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 97) et le retrait de permis de circulation (arrêt 1C_346/2009 du 6 novembre 2009 consid. 4.1). En revanche, une décision du pouvoir exécutif cantonal relative à l'autorisation d'ouvrir une enquête pénale à l'encontre d'un juge a été considérée comme revêtant un caractère politique prépondérant, au motif que l'acte attaqué échappait aux critères relevant purement du droit pénal (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.5.2 En introduisant l'art. 86 al. 3 LTF (art. 80 al. 3 du projet), le Conseil fédéral n'a pas précisé ce qu'il entendait par "décision revêtant un caractère public prépondérant", mais il a souligné l'aspect exceptionnel de la dérogation au contrôle juridictionnel cantonal des actes de cette nature. A titre d'exemple, il a mentionné l'adoption d'un plan directeur cantonal (cf. Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4027, 4122, 4124).
1.5.3 Selon la doctrine, l'accès au juge découlant de l'art. 29a Cst. ne doit être exclu que de manière exceptionnelle (JEAN-CLAUDE LUGON/ ETIENNE POLTIER/THIERRY TANQUEREL, Les conséquences de la réforme de la justice fédérale pour les cantons, in Les nouveaux recours fédéraux en droit public, 2006, p. 108). Il en découle que l'art. 86 al. 3 LTF, qui fait partie des exceptions à la garantie constitutionnelle précitée (ANDREAS KLEY, in Die Schweizerische Bundesverfassung - Kommentar, 2e éd., 2008, no 20 ad art. 29a Cst.; JEAN-FRANÇOIS AUBERT/PASCAL MAHON, Petit commentaire de la Constitution fédérale suisse, 2003, no 6 ad art. 29a Cst.), trouve seulement application si l'aspect politique prévaut sans discussion (WURZBURGER, op. cit., no 25 ad art. 86 LTF; KARL SPÜHLER, in Kurzkommentar, 2006, no 7 ad art. 86 LTF; ETIENNE POLTIER, Le recours en matière de droit public, in La nouvelle loi sur le Tribunal fédéral, 2007, p. 155 s.). La vérification par le juge ne doit pas apparaître admissible (TOPHINKE, op. cit., no 19 ad. art. 86 LTF). Le fait que la décision émane d'une autorité politique est un indice de son caractère politique, mais n'est pas toujours déterminant. Ainsi, iI n'y a pas décision à caractère politique prépondérant, lorsque le gouvernement rend une décision qui porte une atteinte individuelle à des droits privés (cf. WURZBURGER, op. cit., no 25 ad art. 86 LTF p. 846; SEILER, op. cit., no 22 ad art. 86 LTF). Certains auteurs considèrent que, lorsque des intérêts particuliers sont touchés, l'accès au juge n'est exclu que si les considérations politiques l'emportent clairement (TOPHINKE, op. cit., no 19 ad. art. 86 LTF; SPÜHLER, op. cit., no 7 ad art. 86; en ce sens également DONZALLAZ, op. cit., no 3016). A titre d'exemples de décisions à caractère politique prépondérant, les plans directeurs cantonaux et la grâce sont régulièrement mentionnés (TOPHINKE, op. cit., no 22 ad. art. 86 LTF; SEILER, op. cit., no 22 ad art. 86 LTF; KLEY, op. cit., no 24 ad art. 29a Cst.), alors que le caractère politique prépondérant des décisions concernant la remise ou l'ajournement d'impôts est exclu (TOPHINKE, op. cit., no 19 ad. art. 86 LTF; LUGON/POLTIER/TANQUEREL, op. cit., p. 118; cf. également MICHAEL BEUSCH, Auswirkungen der Rechtsweggarantie von Art. 29a BV auf den Rechtsschutz im Steuerrecht, Archives 73 p. 741 ss, selon lequel toutes les décisions en matière fiscale doivent bénéficier de l'accès au juge).
1.5.4 L'interprétation restrictive de l'exception figurant à l'art. 86 al. 3 LTF, qui ressort tant des travaux préparatoires que de la doctrine, doit être privilégiée. En effet, l'accès au juge étant garanti par la Constitution (art. 29a), il convient d'interpréter l'art. 86 al. 3 LTF, qui déroge à cette garantie, de manière stricte. Le texte de l'art. 86 al. 3 LTF, par l'exigence du caractère politique "prépondérant" ("vorwiegend"; "prevalentemente"), indique du reste que seules les situations revêtant à l'évidence un caractère politique sont visées. Il ne suffit donc pas que la cause ait une connotation politique, encore faut-il que celle-ci s'impose de manière indubitable et relègue à l'arrière-plan les éventuels intérêts privés en jeu.
1.6 En l'espèce, la décision attaquée concerne une demande d'exonération des droits d'enregistrement et/ou de succession pour une donation dont a bénéficié la fondation recourante. Elle met donc en jeu les intérêts financiers de cette dernière. Certes, cette cause revêt aussi un intérêt politique, dès lors que la fondation en cause est une institution d'utilité publique qui, depuis 2005, fait des attributions régulières à la Faculté de médecine de l'Université de Genève. L'intérêt politique à favoriser la recourante sur le plan financier n'est cependant qu'accessoire par rapport aux intérêts privés de la fondation à obtenir une exonération fiscale. Par conséquent, on ne se trouve pas dans une situation où l'intérêt politique serait prépondérant, de sorte que l'exception de l'art. 86 al. 3 LTF n'est pas réalisée.
1.7 La recourante se prévaut d'un arrêt du Tribunal fédéral du 8 mars 2007 (cause 2P.157/2006 et 2P.297/2006). Dans cette affaire, qui concernait aussi une demande d'exonération fiscale tranchée définitivement par le Conseil d'Etat, le Tribunal fédéral avait rejeté un recours dans lequel était remis en cause le système genevois, qui excluait tout recours au Tribunal administratif cantonal à l'encontre de telles décisions. Il s'agissait cependant d'un recours de droit public rendu sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 (abrogée avec effet au 1er janvier 2007) et non pas en application de l'art. 86 al. 2 et 3 LTF; en outre, l'art. 29a Cst. garantissant l'accès au juge n'était pas encore en vigueur, ce que l'arrêt du 8 mars 2007 a expressément souligné, précisant qu'en conséquence, un recours à une autorité judiciaire sur la base de cette disposition ne s'imposait pas (consid. 4.4). La recourante ne saurait donc déduire de cette jurisprudence qu'elle dispose, en vertu de l'art. 86 al. 3 LTF, d'un droit de recourir au Tribunal fédéral à l'encontre de la décision du Conseil d'Etat du 7 janvier 2009.
Le recours doit donc être déclaré irrecevable, dès lors que la décision attaquée n'émane pas d'une autorité judiciaire (cf. <ref-ruling> consid. 6.4 p. 104).
2. Dans un tel cas, le Tribunal fédéral, s'il parvient à déterminer l'autorité judiciaire cantonale compétente, lui transmet directement la cause pour qu'elle statue sur le recours (cf. <ref-ruling> consid. 6.2 p. 102 s.).
En vertu de l'art. 56A de la loi genevoise du 22 novembre 1941 sur l'organisation judiciaire (LOJ; RS/GE E 2 05), le Tribunal administratif est l'autorité supérieure ordinaire de recours en matière administrative. Cette autorité est donc au bénéfice d'une clause générale de compétence (arrêt 2C_138/2009 du 3 novembre 2009 consid. 3.4 et la référence citée). L'art. 56A al. 2 LOJ prévoit que le recours au Tribunal administratif est ouvert contre les décisions des autorités et juridictions administratives, au nombre desquelles figure le Conseil d'Etat (cf. art. 5 let. a et 6 let. c LPA).
Jusqu'au 31 décembre 2008, les art. 6 al. 3 de la loi genevoise sur les droits de succession et 28 al. 3 LDE prévoyaient qu'en matière d'exemptions, le Conseil d'Etat statuait de manière définitive sur chaque cas particulier; l'exclusion du recours au Tribunal administratif était ainsi expressément prévue (cf. arrêt du 8 mars 2007 précité consid. 4.3). Ces dispositions ont été supprimées par une modification du 1er juin 2008 entrée en vigueur le 1er janvier 2009 (Recueil des lois 2008 p. 386 s.), qui doit être prise en compte en l'espèce, puisque, selon un principe général, le nouveau droit de procédure est applicable dès son entrée en force (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 115, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce, s'agissant notamment de la compétence de l'autorité judiciaire saisie [voir <ref-ruling> consid. 3.2 p. 93; arrêt 2C_138/2009 du 3 novembre 2009 consid. 4.2]). Rien ne s'oppose dès lors à ce que la cause soit transmise au Tribunal administratif, afin qu'il statue sur le présent recours comme objet de sa compétence (cf. <ref-ruling> consid. 6.2 p. 102 s.).
3. L'irrecevabilité et le renvoi procèdent d'une situation procédurale peu claire sur le plan cantonal, de sorte qu'il sera statué sans frais (cf. art. 66 al. 1 LTF). Il ne se justifie pas d'allouer des dépens à la recourante, qui succombe s'agissant de ses conclusions quant à la recevabilité du recours (cf. art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est déclaré irrecevable.
2. La cause est transmise au Tribunal administratif genevois comme objet de sa compétence.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires ni alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires de la recourante, au Conseil d'Etat et au Tribunal administratif du canton de Genève.
Lausanne, le 14 décembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Müller
Le Greffier: Vianin