Erwägungen:
1.
Am 14. November 2012 erhob A._ u.a. gegen Regine Aeppli, Regierungsrätin des Kantons Zürich, Strafanzeige. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich verfügte am 13. Dezember 2012 die Überweisung der Anzeige an die Geschäftsleitung des Kantonsrates. Diese wies mit Beschluss vom 21. Februar 2013 das Gesuch von A._ um Erteilung der Ermächtigung zu einer Strafverfolgung als offensichtlich unbegründet von der Hand. Gegen diesen Beschluss erhob A._ subsidiäre Verfassungsbeschwerde, welche das Bundesgericht mit Urteil vom 23. Oktober 2013 abwies (1C_357/2013).
Mit Schreiben vom 12. Juni 2013 reichte A._ erneut Strafanzeige gegen Regierungsrätin Regine Aeppli ein. Die Oberstaatsanwaltschaft leitete die Anzeige an die Geschäftsleitung des Kantonsrates weiter. Diese wies mit Beschluss vom 17. Oktober 2013 das Ermächtigungsgesuch als offensichtlich unbegründet ab. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass der Strafanzeige vom 12. Juni 2013 teilweise dieselben Vorbringen wie der Strafanzeige vom 14. November 2012 zugrunde lägen. Auf diese seien, da bereits beurteilt, nicht mehr einzugehen. Bezüglich der neuen Vorbringen liessen sich der Strafanzeige und den Akten keinerlei konkrete Anhaltspunkte für ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Angezeigten entnehmen.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 16. November 2013 (Postaufgabe 21. November 2013) subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss der Geschäftsleitung des Kantonsrates. Dabei stellte er u.a. ein Fristwiederherstellungsgesuch. Da der angefochtene Beschluss der Beschwerde nicht beilag, forderte das Bundesgericht A._ auf, den fehlenden Beschluss dem Bundesgericht nachzureichen. Innert Frist kam A._ dieser Aufforderung nach. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Der Beschwerdeführer erachtet die Bundesrichter Fonjallaz, Merkli und Chaix sowie die Gerichtsschreiber Lanz und Dold ohne Begründung und ohne einen Antrag auf Ausstand zu stellen als befangen. Da ein Ausstand ohne Darlegung der Gründe von vornherein nicht gegeben werden kann, braucht kein Ausstandsverfahren nach <ref-law> durchgeführt zu werden. Auf das sinngemäss gestellte Ausstandsbegehren ist vielmehr nicht einzutreten.
4.
Der Beschwerdeführer hat den angefochtenen Beschluss nach eigenen Angaben am 23. Oktober 2013 erhalten. Die 30-tägige Beschwerdefrist lief somit am 22. November 2013 ab. Der Beschwerdeführer hat seine Beschwerde am 21. November 2013, und damit rechtzeitig, der Post übergeben. Gleichwohl stellte er ein Fristwiederherstellungsgesuch, da er 100 % arbeitsunfähig und folglich nicht in der Lage sei, seine Beschwerde vollständig zu redigieren. Nach Wegfall des Hindernisses werde eine ergänzte bzw. abgeänderte Beschwerde eingereicht. In regelmässigen Abständen, zuletzt mit Eingabe vom 7. Dezember 2014, reichte A._ Arztzeugnisse ein, welche seine anhaltende 100 % Arbeitsunfähigkeit belegen. Ein weiteres Zuwarten auf den Wegfall des Hindernisses erachtet er jedoch nicht mehr als angebracht.
4.1. Gemäss <ref-law> wird eine versäumte Frist wiederhergestellt, wenn der Gesuchsteller nachweist, dass er oder sein Vertreter durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten worden ist, innerhalb der Frist zu handeln, und binnen 30 Tagen die Wiederherstellung verlangt und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Ein unverschuldetes Hindernis im Sinne der genannten Gesetzesbestimmung liegt vor, wenn der Partei (und gegebenenfalls ihrem Vertreter) kein Vorwurf gemacht werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2a).
4.2. Ein Krankheitszustand bildet, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht, ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis. Doch muss die Erkrankung derart sein, dass der Rechtsuchende durch sie davon abgehalten wird, selber innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Dass es sich so verhält, muss mit einschlägigen Arztzeugnissen belegt werden, wobei die blosse Bestätigung eines Krankheitszustandes und regelmässig selbst einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit zur Anerkennung eines Hindernisses im Sinne von <ref-law> nicht genügt (vgl. Urteil 6B_230/2010 vom 15. Juli 2010 mit weiteren Hinweisen).
4.3. Die Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers seit 1. Mai 2013 ist durch Zeugnisse des Sanatoriums Kilchberg, Privatklinik für Psychiatrie und Psychotherapie, belegt. Der Beschwerdeführer führt dazu aus, er sei durch die emotionale Vorbelastung in seiner Konzentrations- und Ausdrucksfähigkeit stark eingeschränkt, weshalb Flüchtigkeits- und Verständnisfehler vorprogrammiert seien. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern der Beschwerdeführer nicht im Stande gewesen sein soll, innerhalb der Beschwerdefrist eine Rechtsschrift zu verfassen. Immerhin war der Beschwerdeführer in der Lage, rechtzeitig eine 32-seitige Beschwerdeschrift einzureichen. Ganz unerfindlich ist jedenfalls, dass es dem Beschwerdeführer nicht möglich gewesen sein soll, rechtzeitig eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Das Fristwiederherstellungsgesuch ist somit abzuweisen. Damit ist die vorliegende Beschwerde allein aufgrund der Eingabe vom 16. November 2013 zu beurteilen. Für eine Beschwerdeergänzung nach Ablauf der Beschwerdefrist bleibt somit kein Raum.
5.
Der Beschwerdeführer stellt den Verfahrensantrag, es sei ihm nach erfolgter Akteneinsicht ein weiteres Äusserungsrecht zu gewähren. Da die am vorletzten Tag der Beschwerdefrist eingereichte Beschwerde (vgl. nachfolgende Begründung) keine genügende Begründung im Sinne von <ref-law> aufweist, geht es nicht an, mittels Einräumung eines weiteren Äusserungsrechts faktisch eine gesetzwidrige Erstreckung der Beschwerdefrist zu erreichen (vgl. <ref-law>). Gemäss Ausführungen in der Beschwerde will der Beschwerdeführer, um allfällige Befangenheitsanträge stellen zu können, Akteneinsicht in die Protokolle der Geschäftsleitung des Kantonsrats erlangen, was ihm offenbar bisher von der Geschäftsleitung verwehrt wurde. Inwiefern er überhaupt einen verfassungsmässigen Anspruch auf Einblick in diese Protokolle hat, legt er nicht dar. Ausserdem ist nicht ersichtlich, weshalb er für ein Ausstandsgesuch hätte Einsicht in die Protokolle nehmen müssen. Im Rubrum des angefochtenen Beschlusses sind die mitwirkenden Ratsmitglieder aufgeführt.
6.
Wie dem Beschwerdeführer spätestens seit Urteil 1C_357/2013 vom 23. Oktober 2013 bekannt sein muss, steht gegen den angefochtenen Beschluss ausschliesslich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen. Einziger Beschwerdegrund bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) ist die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>).
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
6.1. Die Geschäftsleitung des Kantonsrates kann offensichtlich unbegründete Anzeigen und Ermächtigungsgesuche gegen Mitglieder des Regierungsrats selbständig von der Hand weisen (§ 38 Abs. 2 KRG), was vom Beschwerdeführer grundsätzlich nicht bestritten wird. Im vorliegenden Fall erachtete die Geschäftsleitung das Ermächtigungsgesuch als offensichtlich unbegründet. Der Beschwerdeführer hat demnach aufzuzeigen, inwiefern dieser Schluss verfassungsmässige Rechte verletzt.
6.2. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, der beanstandete Beschluss sei nicht rechtsgenüglich begründet. Er vermag indessen nicht aufzuzeigen, weshalb es ihm aufgrund der beanstandeten Begründung nicht möglich sein sollte, konkret aufzuzeigen, wo die Geschäftsleitung in verfassungswidriger Weise Anhaltspunkte für ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Angezeigten verneint haben sollte. Eine Verletzung von verfassungsrechtlich geschützten Verfahrensrechten ist somit nicht rechtsgenüglich dargetan.
6.3. Die Geschäftsleitung ist auf Vorbringen in der Strafanzeige vom 12. Juni 2013 nicht mehr eingegangen, welche bereits der Strafanzeige vom 14. November 2012 zugrunde lagen, da sie bereits mit Beschluss der Geschäftsleitung vom 21. Februar 2013 beurteilt worden seien. Inwiefern die Geschäftsleitung unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten verpflichtet gewesen wäre, sich mit einer im Beschluss vom 21. Februar 2013 bereits beurteilten Sache erneut zu befassen, ergibt sich aus der Beschwerde nicht.
6.4. Hinsichtlich der in der Strafanzeige vom 12. Juni 2013 vorgebrachten neuen Vorbringen kam die Geschäftsleitung - wie bereits ausgeführt - zum Schluss, dass der Strafanzeige und den Akten keinerlei konkrete Anhaltspunkte für ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Angezeigten entnommen werden könnten. Inwiefern die Geschäftsleitung dabei die Strafanzeige oder die Akten in Bezug auf ein konkretes der Angezeigten vorgeworfenes strafrechtliches Verhalten oder Unterlassen in verfassungswidriger Weise gewürdigt haben sollte, ergibt sich aus der Beschwerde nicht.
Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die Stellungnahme der Angezeigten vom 30. Januar 2013 zuhanden der Geschäftsprüfungskommission von dieser nicht als Amtsbericht "mit erhöhter Beweiseignung" gewürdigt wurde. Weshalb indessen die Geschäftsleitung verfassungsrechtlich verpflichtet gewesen wäre, die Äusserung des Parteistandpunktes der Angezeigten als Amtsbericht mit erhöhter Beweisfunktion zu würdigen, ergibt sich aus der Beschwerde nicht.
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen vermag, inwiefern die Geschäftsleitung in verfassungswidriger Weise das Vorliegen von Anhaltspunkten für ein konkretes strafrechtlich relevantes Verhalten verneint haben sollte und daher das Ermächtigungsgesuch als offensichtlich unbegründet beurteilte.
6.5. Der Beschwerdeführer beanstandet schliesslich die Auferlegung der Kosten von Fr. 650.-- durch die Geschäftsleitung. Die Auferlegung der Kosten erfolgte in Anwendung von § 40 des Kantonsratsgesetzes. Nach dieser Bestimmung können der Kantonsrat, die Geschäftsleitung oder die zuständige Aufsichtskommission u.a. bei Erledigung von Ermächtigungsgesuchen eine Staatsgebühr von Fr. 100.-- bis Fr. 1'000.-- und die Verfahrenskosten erheben. Der Beschwerdeführer setzt sich mit dieser Bestimmung überhaupt nicht auseinander. Er vermag deshalb nicht aufzuzeigen, inwiefern die vorliegend beanstandete Kostenauflage verfassungswidrig sein soll.
6.6. Zusammenfassend ergibt sich, dass sich aus der Beschwerde nicht rechtsgenüglich ergibt, inwiefern der angefochtene Beschluss verfassungswidrig sein soll. Die vorliegende Beschwerde genügt den Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
7.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf das Ausstandsbegehren ist nicht einzutreten.
2.
Das Fristwiederherstellungsgesuch ist abzuweisen.
3.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
5.
Es werden keine Kosten erhoben.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und der Geschäftsleitung des Kantonsrates des Eidgenössischen Standes Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Dezember 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli