Sachverhalt:
A. Am 8. Mai 2003 erteilte die Munizipalgemeinde Fiesch X._ die Baubewilligung für die Errichtung eines Campingplatzes am Ort "Moos" nördlich des Dorfkerns, zwischen der Strasse nach Fieschertal und dem Weisswasser. Das Gebiet ist im Zonennutzungsplan der Gemeinde einer Campingzone zugewiesen.
B. Am 28. November 2003 stellte X._ ein Abänderungsgesuch zu der im Mai erteilten Baubewilligung für zusätzliche bauliche Massnahmen sowohl innerhalb der Campingzone als auch ausserhalb derselben, in der Landwirtschaftszone.
Die Gemeinde bewilligte am 26./30. Mai 2004 die in der Campingzone vorgesehenen Anlagen und befürwortete die in der Landwirtschaftszone gelegenen Anlagen (Spielplatz, Biotop, Parkplätze, Aufschüttungen). Sie sandte die diesbezüglichen Akten an die kantonale Baukommission (KBK).
Die kantonale Dienststelle für Raumplanung vertrat in ihrer Vernehmlassung vom 22. April 2004 die Auffassung, die ausserhalb der Bauzone geplanten Projekte könnten nur nach einer Anpassung des Zonennutzungsplans bewilligt werden; zudem entspreche das Gesuch nicht dem kantonalen Richtplan (Koordinationsblatt 4.2 Camping- und Caravaningplätze).
Gegen das Bauvorhaben wandten sich auch der Delta- und Gleitschirmclub Oberwallis und die Fluggruppe Aletsch, weil ein Teil der Anlagen in der Hindernisfreihaltezone für Delta- und Gleitschirmflieger zu liegen komme.
Noch vor dem Entscheid der KBK begann X._ mit den Bauarbeiten ausserhalb der Bauzone, weshalb die Gemeinde ihn am 13. Mai 2004 aufforderte, diese einzustellen.
Am 23. Juli 2004 verweigerte die KBK die Bewilligung für die Terrainaufschüttungen sowie das Erstellen von Spielplatz, Biotop und Parkplätzen und ordnete die Wiederherstellung des ursprünglichen rechtmässigen Zustandes innert vier Monaten nach Eintritt der Rechtskraft der Verfügung an.
C. Dagegen erhob X._ Beschwerde an den Staatsrat des Kantons Wallis. Das Verfahren wurde bis zur Abstimmung über eine Erweiterung der Campingzone sistiert. Am 10. März 2005 lehnte die Urversammlung der Gemeinde die Änderung der Nutzungsplanung ab. Anschliessend wurde das Verfahren erneut sistiert, um Verhandlungen mit dem Delta- und Gleitschirmclub Oberwallis zu ermöglichen. Am 4. Dezember 2006 nahm die Staatskanzlei das Verfahren wieder auf, u.a. weil X._ erneut ohne Bewilligung umfangreiche Materialaufschüttungen vorgenommen habe. Mit Entscheid vom 20. Dezember 2006 wies der Staatsrat die Beschwerde ab.
D. Dagegen erhob X._ am 5. Februar 2007 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Wallis. Das Verfahren wurde wiederum sistiert, im Hinblick auf Verhandlungen des Beschwerdeführers mit dem Schweizerischen Hängegleiterverband und ein erneutes Gesuch um Erweiterung der Campingzone. Am 11. Dezember 2007 lehnte die Urversammlung der Gemeinde die Erweiterung der Campingzone erneut ab. Am 11. Januar 2008 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
E. Dagegen hat X._ am 15. Februar 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, soweit er den Spielplatz, die Parkplätze und die Terrainaufschüttungen betrifft.
F. Das Verwaltungsgericht, der Staatsrat und die KBK beantragen Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Gemeinde Fiesch, der Delta- und Gleitschirmclub Oberwallis und die Fluggruppe Aletsch haben sich nicht vernehmen lassen.
G. Mit Verfügung vom 13. März 2008 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1. Gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Entscheid über eine Ausnahmebewilligung ausserhalb der Bauzone und die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) grundsätzlich offen. Da alle Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. Die streitigen Anlagen (Spielplatz, Parkplätze,Terrainaufschüttungen) sind in der Landwirtschaftszone zonenwidrig und daher auf eine Ausnahmebewilligung nach Art. 24 des Bundesgesetzes vom 22. Juni 1979 über die Raumplanung (RPG; SR 700) angewiesen. Voraussetzung ist, dass der Zweck der Bauten und Anlagen einen Standort ausserhalb der Bauzone erfordert (Art. 24 lit. a RPG; Standortgebundenheit) und keine überwiegenden Interessen entgegenstehen (lit. b).
2.1 Das Verwaltungsgericht verneinte die Standortgebundenheit: Die umstrittenen Teile des Campingplatzes könnten in der Bau- bzw. Campingzone gebaut werden und seien nicht auf einen Standort in der Landwirtschaftszone angewiesen. Dabei sei eine objektive Betrachtung geboten und es könne nicht auf die subjektiven Vorstellungen und Wünsche des Beschwerdeführers abgestellt werden.
2.2 Der Beschwerdeführer ist dagegen der Auffassung, wichtige und objektive Gründe betriebswirtschaftlicher Natur machten einen Standort ausserhalb der zu klein dimensionierten Campingzone unabdingbar, weshalb die positive Standortgebundenheit zu bejahen sei. Dies habe auch die Gemeindeverwaltung mehrfach anerkannt und deshalb der Urversammlung bereits zweimal eine Erweiterung der Campingzone vorgeschlagen. Diese Vorlage sei von der Urversammlung nicht aus sachlichen, sondern ausschliesslich aus in der Person des Beschwerdeführers liegenden Gründen abgewiesen worden.
Die Annahme des Verwaltungsgerichts, wonach vor Ausscheidung des Campingplatzes Studien über die benötigte Fläche angestellt worden seien, treffe nicht zu; vielmehr sei die Campingzone mehr oder weniger willkürlich dimensioniert worden. Unzutreffend sei auch das Argument des Verwaltungsgerichts, wonach das erste Baugesuch des Beschwerdeführers zeige, dass ein rentabler Campingbetrieb auf der eingezonten Fläche möglich sei: Wäre diese der Fall, hätte der Beschwerdeführer nicht kurz nach der ersten Baubewilligung und noch im Laufe der Bauarbeiten ein Abänderungs- und Erweiterungsgesuch gestellt.
Ein Kinderspielplatz gehöre heute zum Grundangebot eines Campingplatzes. Müsste der Spielplatz in die Campingzone verlegt werden, so gingen 25 bis 30 der insgesamt 60 Stellplätze verloren, was keinen wirtschaftlichen Betrieb mehr ermögliche. Zudem müsse eine Spielanlage möglichst peripher platziert werden, weil es Leute gebe, die sich durch den Lärm spielender Kinder gestört fühlten.
Das Campingareal dürfe nach 22 Uhr nicht mehr befahren werden, weshalb es unabdingbar sei, für Spätheimkehrer Parkierungsmöglichkeiten ausserhalb des eigentlichen Campingbereichs bereit zu stellen. Würden die vorgesehenen 35 Parkplätze in der Campingzone realisiert, müsste wertvoller Campingraum geopfert werden, was sich wiederum verheerend auf die Wirtschaftlichkeit des Betriebs auswirken würde.
Die Terrainaufschüttung sei für die Erstellung der 35 Parkplätze erforderlich gewesen, weil das Terrain entlang des Zufahrtsweges zur Campinganlage sumpfig sei.
2.3 Bau- und auch Ausnahmebewilligungen haben den planerischen Stufenbau zu beachten.
Dies bedeutet zunächst, dass für Bauten und Anlagen, die ihrer Natur nach nur in einem Planungsverfahren angemessen erfasst werden können, keine Ausnahmebewilligungen erteilt werden dürfen. Zieht ein nicht zonenkonformes Vorhaben durch seine Ausmasse oder seine Natur bedeutende Auswirkungen auf die bestehende Nutzungsordnung nach sich, so darf es erst nach einer entsprechenden Änderung des Zonenplans bewilligt werden und nicht im Wege der Ausnahmebewilligung nach Art. 24 RPG (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 212 mit zahlreichen Hinweisen). Eine Planungspflicht wurde beispielsweise für einen Standplatz für Fahrende mit Carawanen bejaht (<ref-ruling> E. 3 S. 326 ff.) und gilt auch für Campingplätze einer gewissen Grösse (Waldmann/Hänni, Handkommentar RPG, Art. 18 N 29).
Existiert bereits eine Campingzone, so ist diese für die Platzierung und den Umfang der zum Campingplatz gehörenden Bauten und Anlagen verbindlich (Art. 21 Abs. 1 RPG). Die Änderung oder Anpassung der bestehenden Campingzone an veränderte Verhältnisse oder gewandelte Vorstellungen muss ebenfalls im Wege der Planung erfolgen und nicht im Verfahren der Ausnahmebewilligung nach Art. 24 RPG (Art. 21 Abs. 2 RPG; vgl. dazu Entscheid 1A.42/2002 vom 15. Januar 2003 E. 2.2.1).
Im vorliegenden Fall hat die Urversammlung der Gemeinde die Erweiterung der Campingzone zweimal abgelehnt. Diese Beschlüsse wurden vom Beschwerdeführer nicht angefochten und sind deshalb verbindlich. Die akzessorische Überprüfung des Nutzungsplans ist im Baubewilligungsverfahren grundsätzlich ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.4.1 S. 110 mit Hinweisen). Insofern sind die vom Beschwerdeführer für die Erweiterung der Campingzone vorgebrachten Argumente im vorliegenden Verfahren nicht zu prüfen.
Auszugehen ist somit von der geltenden, vom Staatsrat 1998 homologierten Campingzone der Gemeinde. Diese definiert den Perimeter, in dem Bauten und Anlagen für den Campingplatz realisiert werden dürfen. Dies hat zur Folge, dass solche Bauten und Anlagen in der angrenzenden Landwirtschaftszone weder zonenkonform noch standortgebunden sind.
2.4 Nach dem Gesagten hat das Verwaltungsgericht die Standortgebundenheit der streitigen Vorhaben zu Recht verneint. Insofern kann offen bleiben, ob dem Vorhaben auch überwiegende Interessen nach Art. 24 lit. b RPG entgegenstehen.
3. Wurde die Ausnahmebewilligung somit zu Recht verweigert, ist noch zu prüfen, ob der Wiederherstellungsbefehl die Eigentumsgarantie verletzt.
3.1 Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, der Abbruch der fraglichen Anlagen liege nicht im öffentlichen Interesse, weil diese für den Betrieb des Campingplatzes unabdingbar seien; dies habe auch die Gemeindeverwaltung Fiesch anerkannt. Der Abbruch der Anlagen, in die er erhebliche Mittel investiert habe, wäre auch unverhältnismässig: Auf dem Spiel stünden nicht nur die vom Beschwerdeführer getätigten Investitionen und die Kosten des Rückbaus; vielmehr gehe es um Sein oder Nichtsein der gesamten Campinganlage, da im Falle eines Rückbaus die Wirtschaftlichkeit des Campingplatzes nicht mehr gewährleistet sei.
Der Beschwerdeführer bestreitet, bösgläubig gehandelt zu haben. Nachdem innert Frist keine Einsprache gegen das Projekt eingegangen sei und die Gemeindeverwaltung das Bauvorhaben befürwortet habe, habe er annehmen dürfen, dass ihm die Bewilligung auch für die Bauten ausserhalb der Campingzone erteilt werde. Überdies sei er davon ausgegangen, die planungsrechtliche Erweiterung der Campingzone sei reine Formsache. Schwierigkeiten hätten sich erst abgezeichnet, als die Anlagen bereits erstellt gewesen seien.
3.2 Das Verwaltungsgericht nahm dagegen an, der Beschwerdeführer habe als Unternehmer und Promoter klar gewusst, dass die KBK für Bauvorhaben ausserhalb der Bauzone allein zuständig sei und dass diese sein Gesuch selbständig, ohne Bindung an eine kommunale Vormeinung und unabhängig vom Vorliegen einer Einsprache, prüfen werde. Weil er sich der rechtlichen Schwierigkeiten seines Projekts bewusst gewesen sei, habe der Beschwerdeführer bereits am 1. März 2004, d.h. noch vor der kommunalen Bewilligung vom 26./30. März 2004, bei der Gemeinde das Gesuch gestellt, die Campingzone zu erweitern. Somit sei er sich des Risikos einer vorzeitigen Realisierung seines Vorhabens bewusst gewesen.
Das Verwaltungsgericht qualifizierte die Abweichungen gegenüber den gesetzlichen Vorschriften als gravierend: Der Beschwerdeführer habe weitreichende Arbeiten ausgeführt und Anlagen ausserhalb der Bauzone realisiert; dies sei eine massive Verletzung eines grundlegenden Prinzips des Raumplanungsrechts, dem Prinzip der Trennung der Bauzone vom übrigen Gebiet. Die vermögensrechtlichen Interessen des Beschwerdeführers, der sich mit einem kleineren Platz und mit einer geringeren Wirtschaftlichkeit der gesamten Anlage abfinden müsse, hätten hinter den gewichtigen öffentlichen Interessen an der Durchsetzung der Grundprinzipien der Raumplanung zurückzutreten, zumal sich der Beschwerdeführer seine missliche Lage selbst zuzuschreiben habe.
3.3 Diesen Erwägungen des Verwaltungsgerichts ist beizupflichten. Der Beschwerdeführer nahm weitreichende Arbeiten vor, obwohl er wusste, dass weder die erforderliche Ausnahmebewilligung der KBK noch die Zustimmung der Urversammlung zur Erweiterung der Campingzone vorlag. Insofern handelte er klar bösgläubig, auch wenn er auf einen positiven Ausgang des Ausnahmebewilligungs- bzw. des Planungsverfahrens hoffte. Ein öffentliches Interesse am Fortbestand des Campingplatzes besteht nur in den planungsrechtlich verbindlich festgelegten Grenzen der Campingzone. Der Beschwerdeführer kannte diese Grenzen, als er sich 2003 zur Eröffnung eines Campingplatzes entschloss. In dieser Situation überwiegt das öffentliche Interesse an der Beseitigung der formell und materiell rechtswidrigen Anlagen ausserhalb der Bauzone die wirtschaftlichen Interessen des Beschwerdeführers. Der Wiederherstellungsbefehl verletzt deshalb nicht die Eigentumsgarantie.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten und hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Munizipalgemeinde Fiesch, der Kantonalen Baukommission Wallis, dem Staatsrat des Kantons Wallis, den weiteren Mitbeteiligten und dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, sowie dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Gerber