Sachverhalt:
A.
Am 24. Oktober 2003 meldete sich die 1994 geborene P._ zum Bezug von IV-Leistungen vor dem 20. Altersjahr an. Die IV-Stelle übernahm mit Verfügung vom 6. April 2004 Sonderschulmassnahmen (Sprachheilbehandlung gemäss Therapieplan der Abklärungsstelle für Geburtsgebrechen, 1 - 3 Lektionen pro Woche vom 1. März 2003 bis 28. Februar 2005). Die Schul-Oberstufe absolvierte sie in einer Privatschule, welche zum überwiegenden Teil von der Stadt X._ finanziert wurde.
Am 3. Dezember 2009 ersuchte P._ um Kostenübernahme für die Ausbildung zur Kosmetikerin an der Berufsfachschule Y._. Die IV-Stelle des Kantons Zürich holte einen Schulbericht der Schule vom 12. Januar 2010, Akten des schulpsychologischen Dienstes sowie einen Arztbericht der Frau Dr. med. D._ vom 21. Mai 2010 ein und veranlasste ein Gutachten des Dr. med. L._, Facharzt FMH für Kinder- und Jugendpsychiatrie, vom 27. September 2010. Mit Vorbescheid vom 2. November 2010 stellte die IV-Stelle die Ablehnung des Anspruchs auf berufliche Massnahmen (Kostenübernahme der erstmaligen Ausbildung zur Kosmetikerin an der Berufsfachschule Y._) in Aussicht, weil gemäss den medizinischen und ihren Einschätzungen das Ausbildungsniveau EFZ (Eidgenössisches Fähigkeitszeugnis) zu anspruchsvoll sei. Sie hätten ihr angeboten, Alternativen zu suchen, was sie abgelehnt habe. Auf den Einwand von P._ hin hielt die IV-Stelle mit Verfügung vom 24. Januar 2011 an der Ablehnung des Leistungsbegehrens fest.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde mit dem Antrag, unter Aufhebung der Verfügung vom 24. Januar 2011 sei die IV-Stelle zu verpflichten, ihr die Ausbildung zur Kosmetikerin bei der Berufsfachschule Y._ zu übernehmen und während der Ausbildung ein Taggeld auszurichten, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. Juni 2012 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt P._ beantragen, die IV-Stelle sei zu verpflichten, die Kosten für die Erstausbildung zur Kosmetikerin zu übernehmen. Eventualiter sei sie zu verpflichten, die Eignung der Berufsfachschule Y._ für die Erstausbildung nochmals zu prüfen und die Schulkosten zu übernehmen.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) und die IV-Stelle verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 39). Die entsprechende Rüge prüft das Bundesgericht nur insoweit, als sie in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert begründet worden ist. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Dem kantonalen Gericht steht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 4b S. 40). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin ein, wenn die Vorinstanz offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 2.4 S. 5). Inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht haben soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261; zum Ganzen: erwähntes Urteil 9C_592/2012 E. 1.2.3).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Versicherte Anspruch auf berufliche Massnahmen im Rahmen der Übernahme der Kosten für die Ausbildung zur Kosmetikerin an der Berufsfachschule Y._ hat.
2.2. Die hiefür massgebenden Rechtsgrundlagen, namentlich die gesetzlichen Bestimmungen und die von der Rechtsprechung entwickelten Grundsätze zum Begriff der Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und der Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>) werden im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zu wiederholen ist <ref-law>, wonach Versicherte, die noch nicht erwerbstätig waren und denen infolge Invalidität bei der erstmaligen beruflichen Ausbildung in wesentlichem Umfange zusätzliche Kosten entstehen, Anspruch auf Ersatz dieser Kosten haben, sofern die Ausbildung den Fähigkeiten des Versicherten entspricht.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt, der angefochtene Entscheid beruhe auf einem offensichtlich unrichtig festgestellten Sachverhalt (<ref-law>) und auf einer willkürlichen Beweiswürdigung, weil die Vorinstanz das Gutachten des Kinder- und Jugendpsychiaters Dr. med. L._ vom 27. September 2010 nur auszugsweise und zudem inhaltlich nicht korrekt zitiert / wiedergegeben habe und dessen Würdigung willkürlich sei.
3.1. Die IV-Stelle hatte ihre abweisende Verfügung damit begründet, dass gemäss den medizinischen und ihren Einschätzungen das Ausbildungsniveau EFZ zu anspruchsvoll sei. Sie hätten der Versicherten angeboten, Alternativen zu suchen, was sie abgelehnt habe. Gemäss den medizinischen Einschätzungen bestehe eine ausgeprägte auditive Merk- und Differenzierungsstörung. Die Prognose für eine Eingliederung in den Arbeitsprozess sei gut, falls die Versicherte eine einfache Lehre bestehen könne. Gemäss Ausbildungsvoraussetzungen (einsehbar unter www.berufsberatung.ch) sei die Ausbildung zur Kosmetikerin eine anspruchsvolle Lehre mit einer hohen Anforderung an Auffassung, Fremdsprachenkenntnisse usw. Die Rückmeldungen der Ausbildungsbetriebe, bei denen die Versicherte sich beworben habe, bestätigten, dass ihr Schulniveau für die gewünschte Aufbildung zu tief sei. Der daraus entstehende Druck wirke sich zusätzlich negativ aus, was aus medizinischer Sicht unbedingt verhindert werden sollte. Bei angepasstem Ausbildungsniveau könne gemäss medizinischer und berufsberaterischer Einschätzung aber davon ausgegangen werden, dass die Versicherte keinen speziell beschützenden Rahmen benötige und die Ausbildung bestehen könne. Die Kosten würden nicht übernommen, da das Ausbildungsniveau "nicht stimmig" sei.
3.2. Die Vorinstanz schützte den Standpunkt der IV-Stelle mit der Begründung, der Gutachter Dr. med. L._ habe in seinem Bericht vom 27. September 2010 eine einfache Aufmerksamkeitsstörung ohne soziale Auffälligkeiten (ICD-10 F90.0), eine niedrige Intelligenz mit sehr dissoziierten Intelligenzbereichen und eine Anpassungsstörung mit hauptsächlichen Sorgen und Ängsten (ICD-10- F43.23) diagnostiziert und sei zum Schluss gekommen, es sei fraglich, ob die Beschwerdeführerin auf Grund ihrer eingeschränkten kognitiven Fähigkeiten den hohen schulischen Anforderungen der von ihr besuchten Berufsfachschule gewachsen sei, da sie deutlich längere Zeit benötige, um den Stoff zu bewältigen. Auf das Gutachten könne abgestellt werden, da es auf sorgfältigen und umfassenden Untersuchungen samt testpsychologischen Abklärungen beruhe, die geklagten Beschwerden berücksichtige, in Kenntnis der relevanten Vorakten abgegeben worden sei und in seinen Beurteilungen nachvollzogen werden könne. Demgegenüber könne die Einschätzung der Hausärztin und Psychotherapeutin, wonach die Beschwerdeführerin wegen ihrer gesundheitlichen Beeinträchtigung auf den Besuch einer privaten Berufsfachschule angewiesen sei, nicht nachvollzogen werden. Dass die Versicherte nach absolviertem erstem Semester durch die Ausbildungsstätte als genügend und für den Beruf der Kosmetikerin geeignet qualifiziert worden sei, verfange nicht, da doch dann das Vorliegen eines die Erwerbsfähigkeit beeinträchtigenden Gesundheitsschadens in Frage gestellt würde.
3.3. Sowohl das Verfahren vor dem Versicherungsträger wie auch der kantonale Sozialversicherungsprozess werden vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG; vgl. auch <ref-ruling> E. 6 S. 221). Danach haben Versicherungsträger und Sozialversicherungsgericht unter Mitwirkung der Versicherten resp. der Parteien den rechtserheblichen Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen. Diese Untersuchungspflicht dauert so lange, bis über die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlichen Tatsachen hinreichende Klarheit besteht (vgl. SVR 2013 UV Nr. 9 S. 29, 8C_592/2012 E. 5.1 f. mit Hinweisen).
3.4. Die Vorinstanz hat aus dem achtseitigen Bericht des Kinder- und Jugendpsychiaters Dr. med. L._ vom 27. September 2010, der die verschiedenen Fragen der IV-Stelle ausführlich beantwortet und auch die einzelnen Testungen differenziert wiedergegeben hat, lediglich einen Satz zitiert, wonach es fraglich sei, ob die Beschwerdeführerin auf Grund ihrer eingeschränkten kognitiven Fähigkeiten den hohen schulischen Anforderungen der von ihr besuchten Berufsfachschule gewachsen sei, da sie deutlich längere Zeit benötige, um den Stoff zu bewältigen. Bei der Würdigung von Arztberichten und Gutachten ist das kantonale Gericht zwar nicht gehalten, in seinem Entscheid alles lückenlos wiederzugeben. Seine Aufgabe ist jedoch, den Sachverhalt insoweit vollständig darzustellen, dass alle entscheidwesentlichen Elemente berücksichtigt werden. Daran mangelt es dem vorinstanzlichen Entscheid: Der erwähnte einzig zitierte Satz wird unvollständig wiedergegeben, da es im Gutachten heisst, es sei fraglich, ob die Beschwerdeführerin ohne externe Unterstützung auf Grund ihrer eingeschränkten kognitiven Fähigkeiten den hohen schulischen Anforderungen der von ihr besuchten Berufsfachschule gewachsen sei. Diese knappe und in diesem Sinne unrichtige Feststellung der Vorinstanz wird der ausführlichen Beurteilung durch den Gutachter nicht gerecht. Es geht daraus weder hervor, dass sich der Gutachter einlässlich mit den Fähigkeiten der Versicherten befasst hat, noch ist ansatzweise ersichtlich, welche Fragen die IV-Stelle zur Beurteilung des Anspruchs gestellt und der Gutachter dann beantwortet hat. Zudem lässt sich anhand des fraglichen Kurz-Zitats aus dem Gutachten eine differenzierte Würdigung durch das Gericht weder nachvollziehen noch erkennen, abgesehen davon, dass es zur Ablehnung eines Anspruchs mit Blick auf das im Sozialversicherungsprozess erforderliche Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 9.5 S. 125; Urteil 9C_752/2008 vom 9. April 2009 E. 2.3.1 und 2.3.2) nicht genügt, wenn eine Voraussetzung lediglich "fraglich" ist. Damit ist das Bundesgericht an die Feststellungen des kantonalen Gerichts nicht gebunden (<ref-law>).
3.5. Der Gutachter führte aus, ob die bisherige Tätigkeit aus medizinischer Sicht noch zumutbar sei, sei nicht eine Frage des zeitlichen Rahmens, sondern ob die Versicherte genügend Unterstützung erhalte und der Belastung gewachsen sei. Auf die Frage nach dem Bestehen einer verminderten Leistungsfähigkeit erläuterte er, dass im kognitiven Bereich auf Grund der niedrigen Intelligenz und der Konzentrationsschwierigkeiten von einer verminderten Leistungsfähigkeit im schulischen Bereich auszugehen ist. Die Frage, in welchem Umfang (Stunden pro Tag) und seit wann eine behinderungsangepasste Tätigkeit mit welchem Belastungsprofil möglich sei, beantwortete der Gutachter damit, dass die Versicherte keine behinderungsangepasste Tätigkeit brauche, sondern externe Unterstützung, damit sie ins Arbeitsleben integriert werden könne. Zu möglichen Eingliederungsmassnahmen führte er aus, auf Grund der Schwierigkeiten, die als genuin zu betrachten seien und sich wenig verändert hätten, werde sich die Lage der Versicherten wenig verändern. Psychotherapie und pharmakotherapeutische Behandlung seien aber unumgänglich zur Stabilisierung der Patientin. Zum Grad der Arbeitsfähigkeit im bisherigen Arbeitsverhältnis hielt er fest, die Versicherte befinde sich in Ausbildung und sei nicht arbeitstätig. Die Ausbildungsstätte sei eine private Kosmetikerinnen-Schule mit hohem Niveau. Die Beschwerdeführerin zeige deutlich Symptome einer Anpassungsstörung mit sich zunehmend verstärkendem Inhalt (Anspannung, übermässiges Sorgen, erhebliche Selbstzweifel und Selbstunsicherheit). Auf Grund der hauptsächlichen Schwierigkeiten in der verbalen Intelligenz und der Konzentrationsfähigkeit brauche sie einen enormen Aufwand, um den Stoff bewältigen zu können. Zum Grad der Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit gab der Gutachter an, es erscheine fraglich, ob die Versicherte ohne externe Unterstützung der schulischen Anforderung gewachsen sei. Sie brauchte deutlich länger Zeit, den schulischen Stoff zu bewältigen (Lernbehinderung) und habe zusätzlich mit grossem Einsatz und Unterstützung der Familie dies erreicht. Dies erhöhe aber zunehmend die psychische Anspannung und belaste die ganze Familie erheblich. Die Versicherte brauche neben Therapien intensive, externe Unterstützung (Vermitteln von Lerntechniken). Zudem müsse mit einem kürzeren Arbeitstag gerechnet werden. Die Schwierigkeiten der Versicherten seien genuin: Nur in privaten Schulinstitutionen in kleinen Gruppen (Oberstufe, aktuell private Kosmetikerinnenschule) könne die Versicherte integriert bleiben. Sie habe eine enorme Arbeitsmotivation für die Lehre als Kosmetikerin, komme aber deutlich an ihre Grenzen (verbale Intelligenz, Konzentrationsleistung und Anpassungsleistung). Die schulischen Fertigkeiten könnten durch Psychotherapie und Pharmakotherapie zwar stabilisiert werden, aber verbesserten die Situation wohl nicht wesentlich. Ein Versuch mit Ritalin stehe noch aus. Berufliche Massnahmen im Sinne von intensiver externer Unterstützung seien unumgänglich. Jedoch könne auch dadurch nicht garantiert werden, ob die Versicherte die Anforderungen einer Schule oder Lehre im öffentlichen Leben / in der freien Wirtschaft meistern könne. Falls die Ausbildung gelinge, müsse sie am Arbeitsplatz entlastet werden. Wie viele prozentuale Einbussen sie dann haben werde, müsse man zu einem späteren Zeitpunkt nochmals eruieren (Eintritt ins Berufsleben).
Schliesslich führte der Gutachter zur Frage des Bestehens eines sich auf die Ausbildungs- und Arbeitsfähigkeit auswirkenden Gesundheitsschadens aus, bei der Versicherten bestehe eine genuine Störung der Aufmerksamkeit / Konzentration und eine Beeinträchtigung der Intelligenz in Teilbereichen. Dies führe zu einem Gesundheitsschaden, der ihre zukünftige Arbeitsfähigkeit vermutlich einschränken werde. Nach ihrer Ausbildung (erst vor kurzem begonnen) werde sich zeigen, wie viel Prozent und in welchem Umfang die Versicherte in ihrem Beruf leisten könne. Es sei auch unklar, ob die Ausbildungsfähigkeit genug gross sei, um die aktuelle Ausbildung zu meistern. Auf Grund der Aufmerksamkeits- und Konzentrationsstörung werde die Versicherte Mühe haben, die Schule als Kosmetikerin bewältigen zu können. Auch auf Grund der Lernschwierigkeiten (Kognition) werde sie Schwierigkeiten haben im Verstehen und Umsetzen ihrer Tätigkeit. Dies führe dazu, dass sie mehr Anleitung und Hilfe brauchen werde, sowie auch einen kürzeren Arbeitstag. Die Ausbildung werde vorerst nicht in einem geschützten Rahmen notwendig sein, die Versicherte werde aber eher reduziert und ihren Anforderungen entsprechend arbeiten können. Die Versicherte wirke sehr motiviert für die Ausbildung als Kosmetikerin. Sie habe soziale und emotionale Fähigkeiten, die sie in ihrem Beruf einsetzen könne. Zudem sei sie sozial gut integriert, unauffällig und könne sich adaptieren.
3.6. Der Gutachter spricht sich zwar nicht ausdrücklich für oder gegen die Ausbildung zur Kosmetikerin an der Berufsfachschule Y._ aus. Aus seinen Ausführungen wird aber deutlich, dass die Versicherte mit den hohen Anforderungen ihrer Ausbildung in einer Überforderungssituation steht, welche sie bisher nur mit intensiver externer Unterstützung bewältigen konnte, aber immer mehr an ihre Grenzen stösst, was ihrem Gesundheitszustand nicht förderlich ist.
Damit entspricht die gewählte Ausbildung mit anerkanntem Lehrabschluss an der Kosmetik-Fachschule nicht den Fähigkeiten der Versicherten, da sich diese in einer dauernden Überforderungssituation befindet, welche nur durch zusätzliche externe Unterstützung aufgefangen werden kann. Eine Anlehre (neu: EBA - 2-jährige berufliche Grundausbildung mit Berufsattest) hingegen, welche die IV-Stelle als alternative Ausbildung vorgeschlagen hatte, ist mehr praxisorientiert und auf eher praktisch begabte Schüler ausgerichtet, dauert mit 2 Jahren weniger lange und erfordert weniger Schulstunden, was auf die Fähigkeiten der Beschwerdeführerin besser zugeschnitten ist. Zudem wird mit einer Anlehre dem zu beachtenden Grundsatz der Einfachheit und Zweckmässigkeit Rechnung getragen. Schliesslich verfügt die Berufsfachschule Y._ zu entnehmen ist, über eine Klassengrösse von maximal 16 Personen, was ebenfalls nicht auf die Bedürfnisse der Versicherten zugeschnitten ist. Im Ergebnis ist der vorinstanzliche Entscheid deshalb zu bestätigen. Die Beschwerde ist unbegründet.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird jedoch ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Ronald Pedergnana als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Ronald Pedergnana wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. September 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Helfenstein