Sachverhalt:
A. A.a D._ (geb. 1954) war von 1982 bis 1996 als Hilfsmonteur in der Schweiz erwerbstätig. Unter Hinweis auf die gesundheitlichen Folgen eines am 11. Juli 1995 erlittenen Unfalls (Rückenschmerzen, funktionelle Beeinträchtigung des linken Beins) reichte er bei der Invalidenversicherung ein Leistungsgesuch ein. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich bestätigte die ablehnende Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 6. Juli 1998 (Entscheid vom 9. März 2000). Das Eidgenössische Versicherungsgericht (EVG) hiess die dagegen eingereichte Beschwerde teilweise gut und wies die Sache an das kantonale Gericht zurück, damit dieses bei einer auf Diagnose und Behandlung von Schmerzverarbeitungsstörungen spezialisierten Institution ein Gerichtsgutachten einhole und sodann über die Beschwerde neu entscheide (Urteil I 255/00 vom 6. Februar 2001). Das kantonale Gericht holte zwei psychiatrische Gerichtsgutachten (der Medizinischen Abklärungsstelle [MEDAS] vom 9. Dezember 2002 und der Medizinischen Abklärungsstelle Y._ vom 10. Oktober 2005) ein und wies die Beschwerde erneut ab (Entscheid vom 22. Februar 2006). Darauf liess sich der Versicherte durch Dr. M._ psychiatrisch begutachten (Expertise vom 27. April 2006). Das EVG bestätigte den kantonalen Entscheid unter Berücksichtigung dieses Parteigutachtens (Urteil I 391/06 vom 9. August 2006).
A.b Am 20. Juni und 1. Oktober 2007 meldete sich D._ erneut bei der Invalidenversicherung an und machte eine Verschlechterung seines Gesundheitszustandes geltend. Die nach dem Wegzug des Versicherten nach Spanien neu zuständige IV-Stelle für Versicherte im Ausland trat auf das Gesuch ein und erkannte gestützt auf die eingereichten medizinischen Berichte und auf eine Stellungnahme ihres Service médical vom 1. Juli 2008 und des Regionalen Ärztlichen Dienstes der Invalidenversicherung (RAD) vom 2. Dezember 2008, der Versicherte sei in der Lage, Verweisungstätigkeiten ganztägig auszuüben; eine rentenbegründende Invalidität sei nicht gegeben (Verfügung vom 13. Januar 2009).
B. Das Bundesverwaltungsgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 7. November 2011).
C. D._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Verwaltung zu verpflichten, ihm eine ganze Rente auszurichten. Es sei eine "korrekte Begutachtung/medizinische Abklärung durchzuführen, in der Schweiz". Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung).
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, wozu der Beschwerdeführer Stellung nimmt. Das Bundesamt für Sozialversicherungen und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesverwaltungsgericht hatte zu prüfen, ob im Zeitraum zwischen der rechtskräftigen Verfügung vom 6. Juli 1998 und der jetzt strittigen Verfügung vom 13. Januar 2009 eine anspruchserhebliche Änderung des Invaliditätsgrades eingetreten sei (Art. 87 Abs. 4 in Verbindung mit Abs. 3 IVV). Es nahm gestützt auf das Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle Y._ vom 10. Oktober 2005 sowie die im Neuanmeldungsverfahren erhobenen Arztberichte aus Spanien an, aus psychiatrischer Sicht sei keine relevante Veränderung des Gesundheitszustandes erfolgt. Das psychiatrische Gutachten des Dr. M._ vom 27. April 2006 weise einen seit dem Jahr 1998 im Wesentlichen unveränderten Zustand aus; bei dessen Schlussfolgerungen handle es sich um die bloss andere Beurteilung eines im Wesentlichen unverändert gebliebenen Sachverhalts. Ausserdem sei das Parteigutachten inhaltlich mängelbehaftet, was schon das EVG festgestellt habe (Urteil I 391/06 vom 9. August 2006). Auch die neueren psychiatrischen Berichte spanischer Ärzte wiesen nicht auf das Vorliegen eines psychischen Leidens mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit hin. Es sei somit - ohne weitere Abklärung - der Einschätzung des RAD zu folgen, wonach der Beschwerdeführer in sämtlichen Tätigkeiten vollständig arbeitsfähig sei (Bericht vom 2. Dezember 2008). In orthopädischer Hinsicht schliesslich sei aus neu gestellten Diagnosen (Coxarthrose und Lumboarthrose) keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit in leidensangepassten Tätigkeiten ableitbar (Bericht des Service médical vom 1. Juli 2008). Insgesamt habe die Verwaltung zu Recht festgehalten, dass seit der letzten rechtskräftigen Verfügung keine Verschlechterung des Gesundheitszustandes eingetreten sei.
1.2 Der Beschwerdeführer wirft ein, die IV-Stelle habe einen angesichts der langjährigen Vorgeschichte und komplexen Situation unzureichenden ärztlichen Formularbericht (E 213) spanischer Ärzte eingeholt, statt ihn in der Schweiz eingehend gutachtlich abklären zu lassen. Auch die Einschätzung des RAD beruhe nicht auf besserer Grundlage. Mit Blick auf den langen Beurteilungszeitraum (Sommer 1998 bis Januar 2009) und auf die komplexe psychische Problematik, wie sie in früheren Gutachten (insbesondere der MEDAS vom 9. Dezember 2002 sowie des Dr. M._ vom 27. April 2006) beschrieben worden sei, reiche dies nicht aus. Habe die Vorinstanz dennoch auf die somit ungenügende medizinische Entscheidungsgrundlage abgestellt, so seien dadurch der Untersuchungsgrundsatz und das Gebot der freien Beweiswürdigung verletzt. Ausserdem werde mit der Qualifikation der Einschätzungen des Dr. M._ als bloss andere Beurteilung verkannt, dass das Urteil des EVG vom 9. August 2006 dessen Gutachten durchaus neuanmeldungsrechtliche Bedeutung zugemessen habe. Schliesslich verlangten die Prinzipien der rechtsgleichen Behandlung und der Verfahrensfairness, dass Versicherte im Ausland nicht weniger genau und umfassend abgeklärt würden als in der Schweiz wohnhafte versicherte Personen.
2. 2.1 Entgegen der Vorinstanz ist nicht bereits aus der im Frühjahr 2006 getroffenen Feststellung des Parteigutachters Dr. M._, die körperlichen und psychischen Leiden des Beschwerdeführers beständen "höchstwahrscheinlich" seit 1998 (angefochtener Entscheid E. 4.3), abschliessend zu folgern, der Zustand sei bis Januar 2009 überwiegend wahrscheinlich gleich geblieben. Dr. M._ erfasste in erster Linie die medizinischen Gegebenheiten, wie sie sich bei seiner Untersuchung darstellten. Er zeichnete unter anderem "das Bild einer mittelschweren bis schweren chronifizierten Depression, die wahrscheinlich aufgrund zusätzlicher ungünstiger Persönlichkeitsfaktoren (denen für sich allein kein Krankheitswert zuzubilligen wäre) zu einer völligen Deprivation der Persönlichkeit geführt hat"; der Explorand sei "seit Jahren" vollständig arbeitsunfähig.
2.2 Hinsichtlich der Frage, ob seit der ursprünglichen Verfügung von 1998 eine leistungserhebliche Veränderung des Gesundheitszustandes eingetreten sei, hat das EVG in seinem Entscheid I 391/06 vom 9. August 2006 dem Gutachten des Dr. M._ einen "gewissen Beweiswert" zuerkannt; dessen Schlussfolgerungen könnten nicht einfach von der Hand gewiesen werden. Dementsprechend schloss es eine (in jenem Verfahren nicht entscheidende) neuanmeldungsrechtliche Bedeutung dieser Expertise nicht aus (E. 3.2.2). Aufgrund näher bezeichneter inhaltlicher Schwächen schloss das Gericht freilich (a.a.O.), dem Gutachten komme weder in dem Sinne voller Beweiswert zu, dass eine Administrativexpertise der Rehaklinik Z._ aus dem Jahr 1997 und das Gerichtsgutachten der Medizinischen Abklärungsstelle Y._ (2005) dadurch widerlegt wären, noch veranlasse es neue Abklärungen. Die Vorinstanz habe das zur Erhellung des Sachverhalts Mögliche unternommen; es liege letztlich Beweislosigkeit vor (E. 3.2.3).
2.3 Letzteres bezog sich indessen auf den für das damalige Urteil massgebenden Beurteilungszeitraum (bis zur Verfügung vom 6. Juli 1998). Hinsichtlich der nunmehr zu beurteilenden Frage nach einer anspruchserheblichen Veränderung des Gesundheitszustandes bis zur Verfügung vom 13. Januar 2009 bestimmt sich der nach dem Untersuchungsgrundsatz (Art. 43 Abs. 1 und <ref-law>) erforderliche Abklärungsumfang vor dem Hintergrund der medizinischen Vorakten. Wie im Urteil des EVG vom 9. August 2006 angetönt, kommt dem Gutachten des Dr. M._ im jetzigen Verfahren eine gewisse Bedeutung zu, indem es einen Abklärungsbedarf anzeigt, der - zumal mit Blick auf die mittlerweile grosse zeitliche Distanz zu den früheren ärztlichen Stellungnahmen - mit den im Neuanmeldungsverfahren in Spanien eingeholten Dokumenten (Formularbericht E 213 vom 26. November 2007 sowie Berichte Medizinischen Zentrums C._ in Spanien vom 2. und 3. April 2008) nicht abgedeckt wird. Diese enthalten einzig kurze Befundschilderungen. Knappe Formularberichte reichen allenfalls aus, wenn sie - im Sinne einer Verlaufsbeurteilung - eine auf klarem Fundament beruhende frühere Einschätzung bestätigen. Gleiches gilt, wenn die gestellten Diagnosen keine weiteren Fragen aufwerfen, insbesondere keine exakte Abschätzung der funktionellen Folgen notwendig machen. In diesem Zusammenhang macht der Beschwerdeführer zu Recht geltend, dass im Ausland erstellte Berichte regelmässig nicht den aus dem schweizerischen Recht abgeleiteten versicherungsmedizinischen Vorgaben gerecht werden. Die vorhandenen ärztlichen Angaben haben bereits unter den genannten Gesichtspunkten keinen ausreichenden Beweiswert. Hinzu kommt, dass die spanischen Ärzte offensichtlich keine Kenntnis der konkreten Anamnese, geschweige denn Einblick in die medizinischen Vorakten hatten: Im Formularbericht E 213 vom 26. November 2007 ist anamnestisch hinsichtlich der Zeit vor 2006 nur von den Folgen eines Arbeitsunfalls die Rede (vgl. Ziff. 3.1, 3.4.2 und 4.1); die klinische Psychologin im Medizinischen Zentrum C._ in Spanien geht in ihrem Bericht vom 2. April 2008 gar davon aus, es gebe keine psychiatrische Vorgeschichte ("sin antecedentes psiquiátricos"). Dementsprechend fehlt die in solchen Fällen erforderliche Auseinandersetzung mit abweichenden Auffassungen (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352). Die allein auf die erwähnten Akten gestützten Stellungnahmen des Service médical der IV-Stelle vom 1. Juli 2008 und des RAD vom 2. Dezember 2008 gleichen dieses Manko nicht aus.
Aus diesen Gründen kann die Streitsache nicht einzig auf Grundlage der im Zuge des Neuanmeldungsverfahrens beschafften medizinischen Akten entschieden werden. Der vorinstanzliche Entscheid verletzt insofern Bundesrecht (<ref-law>).
2.4 Die Beschwerdegegnerin macht in der Beschwerdeantwort geltend, Art. 40 der Verordnung (EWG) Nr. 574/72 sehe vor, dass der Sozialversicherungsträger eines Mitgliedstaats bei der Bemessung des Grades der Erwerbsminderung die von den Trägern aller anderen Mitgliedstaaten erhaltenen ärztlichen Unterlagen und Berichte berücksichtigt; weiter könne der Wohnsitzstaat mit ärztlichen Gutachten und Kontrollen beauftragt werden (Art. 87 der Verordnung [EWG] 1408/71 sowie Art. 51 und 76 der Verordnung [EWG] Nr. 574/72; vgl. nunmehr auch die einschlägigen Vorschriften der in den Beziehungen zwischen der Schweiz und den EU-Mitgliedstaaten ab dem 1. April 2012 anwendbaren Verordnungen [EG] Nr. 883/2004 und Nr. 987/2009). Nach diesen Bestimmungen bilde die Durchführung der ärztlichen Abklärungen am Wohnort der Versicherten den Normalfall.
Richtig ist, dass in einem EU-Staat wohnhafte Versicherte aus dem Freizügigkeitsabkommen keinen (unbedingten) Anspruch ableiten können, in der Schweiz begutachtet zu werden; eine Entscheidung kann grundsätzlich auf im Wohnsitzstaat verfertigte ärztliche Berichte abgestützt werden. Gleichzeitig gilt es aber zu beachten, dass die Koordinierungsvorschriften - und die dazugehörigen Durchführungsvorschriften - die Freiheit der Vertragsstaaten, ihre Sozialversicherungssysteme eigenständig zu gestalten, nicht tangieren (THOMAS NUSSBAUMER, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht Band XIV, Soziale Sicherheit, 2. Aufl. 2007, S. 2465). Somit besteht kein Raum für eine Regel, wonach abschliessend auf im Wohnsitzstaat ausgefertigte ärztliche Berichte abzustellen wäre: Bestimmt sich der Leistungsanspruch nach dem materiellen Recht des Vertragsstaats, so leitet sich auch aus dem einzelstaatlichen Recht ab, welche Fragen der ärztlichen Klärung bedürfen, welche Anforderungen an den Nachweis des rechtserheblichen medizinischen Sachverhalts gestellt werden und mit welchen Mitteln dieser Nachweis geführt wird. Alles andere wäre im Übrigen nicht mit dem Erfordernis einer rechtsgleichen Behandlung der Versicherten vereinbar.
3. Nach dem Gesagten ist die Sache an die Vorinstanz (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.1.4 S. 264) zurückzuweisen, damit sie eine versicherungsmedizinische Expertise einhole. Angesichts der in Frage stehenden Mehrzahl von gesundheitlichen Beeinträchtigungen ist es angezeigt, die Begutachtung durch eine MEDAS vornehmen zu lassen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.1.5 S. 265). Notwendig scheinen eine internistische, psychiatrische und rheumatologische Exploration. Im Hinblick auf die geltend gemachten weiteren Beschwerden (gastroenterologische Problematik, Coxarthrose, "Lumboarthrose") obliegt es der Gutachterstelle, gestützt auf die vorliegenden Akten den erforderlichen Untersuchungsumfang festzulegen.
4. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Dem obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer steht eine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid wird aufgehoben. Die Sache wird an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen, damit dieses ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten bei einer MEDAS einhole und anschliessend über die Beschwerde neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. November 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub