Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Auf Begehren von G._ (nachfolgend: Gesuchstellerin oder Beschwerdegegnerin) wies das Vizegerichtspräsidium Arbon im Rahmen von Eheschutzmassnahmen mit Verfügung vom 14. August 2002 die eheliche Liegenschaft der Gesuchstellerin zur Benützung zu; es stellte überdies die Kinder A._ (27. Januar 1995) und B._ (2. Januar 1997) unter die Obhut der Gesuchstellerin und verpflichtete T._ (nachfolgend: Gesuchsgegner oder Beschwerdeführer), ab 1. Mai 2002 für A._ Fr. 1'250.-- sowie ab 1. Mai bis Ende 2002 für B._ Fr. 900.--, danach Fr. 1'250.-- pro Monat, je plus Kinderzulagen zu bezahlen. Ferner trug es dem Gesuchsgegner auf, an den Unterhalt der Gesuchstellerin ab 1. Mai 2002 mit Fr. 2'451.50 und ab 1. Januar 2003 mit Fr. 2'189.-- pro Monat beizutragen. Sämtliche Unterhaltsbeiträge wurden indexiert.
A. Auf Begehren von G._ (nachfolgend: Gesuchstellerin oder Beschwerdegegnerin) wies das Vizegerichtspräsidium Arbon im Rahmen von Eheschutzmassnahmen mit Verfügung vom 14. August 2002 die eheliche Liegenschaft der Gesuchstellerin zur Benützung zu; es stellte überdies die Kinder A._ (27. Januar 1995) und B._ (2. Januar 1997) unter die Obhut der Gesuchstellerin und verpflichtete T._ (nachfolgend: Gesuchsgegner oder Beschwerdeführer), ab 1. Mai 2002 für A._ Fr. 1'250.-- sowie ab 1. Mai bis Ende 2002 für B._ Fr. 900.--, danach Fr. 1'250.-- pro Monat, je plus Kinderzulagen zu bezahlen. Ferner trug es dem Gesuchsgegner auf, an den Unterhalt der Gesuchstellerin ab 1. Mai 2002 mit Fr. 2'451.50 und ab 1. Januar 2003 mit Fr. 2'189.-- pro Monat beizutragen. Sämtliche Unterhaltsbeiträge wurden indexiert.
B. Die Gesuchstellerin wandte sich einzig gegen die Höhe ihres persönlichen Unterhaltsbeitrages an das Obergericht des Kantons Thurgau, das in Gutheissung ihres Rekurses den ihr persönlich monatlich und zum Voraus geschuldeten Unterhaltsbeitrag ab 1. Mai 2002 auf Fr. 3'650.-- und ab 1. Januar 2003 auf Fr. 3'300.-- festsetzte. Überdies erkannte das Obergericht, dass die Gesuchstellerin mit Rückgriff auf den Gesuchsgegner die Verfahrensgebühr von Fr. 2'000.-- zu bezahlen und der Gesuchsgegner die Gesuchstellerin für das Rekursverfahren mit Fr. 2'000.-- zuzüglich Mehrwertsteuer zu entschädigen habe.
B. Die Gesuchstellerin wandte sich einzig gegen die Höhe ihres persönlichen Unterhaltsbeitrages an das Obergericht des Kantons Thurgau, das in Gutheissung ihres Rekurses den ihr persönlich monatlich und zum Voraus geschuldeten Unterhaltsbeitrag ab 1. Mai 2002 auf Fr. 3'650.-- und ab 1. Januar 2003 auf Fr. 3'300.-- festsetzte. Überdies erkannte das Obergericht, dass die Gesuchstellerin mit Rückgriff auf den Gesuchsgegner die Verfahrensgebühr von Fr. 2'000.-- zu bezahlen und der Gesuchsgegner die Gesuchstellerin für das Rekursverfahren mit Fr. 2'000.-- zuzüglich Mehrwertsteuer zu entschädigen habe.
C. Der Gesuchsgegner führt staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 und 29 Abs. 2 BV. Er beantragt, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben; für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die Beschwerdegegnerin schliesst dahin, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das Obergericht des Kantons Thurgau beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht im Zusammenhang mit dem Nachweis der Rechtzeitigkeit des Rekurses willkürliche antizipierte Beweiswürdigung und Verweigerung des rechtlichen Gehörs vor. Er macht geltend, gemäss Darstellung der Beschwerdegegnerin sei ihr die erstinstanzliche Verfügung am 15. August 2002 zugestellt worden; in dem auf das Eheschutzverfahren anwendbaren summarischen Verfahren bestünden keine Gerichtsferien, weshalb die zwanzigtägige Rekursfrist am folgenden Tag begonnen habe und folglich am Mittwoch, 4. September 2002, um 24.00 Uhr abgelaufen sei. Da zwar die Rekursschrift vom 4. September 2002 datiere, jedoch gemäss Eingangstempel des Obergerichts der Rekurs erst am 6. September 2002 dort eingegangen sei, habe er (der Beschwerdeführer) den Verdacht verspäteter Rekurseingabe gehegt und deshalb beantragt, auf den Rekurs nicht einzutreten. Das Obergericht führe in der Begründung des angefochtenen Entscheids etwas nebulös aus, das Zustellcouvert der Beschwerdegegnerin sei in den Akten nicht mehr vorhanden. Es verweise alsdann auf die EDV-Geschäftskontrolle, in welcher als Datum des Poststempels ausdrücklich der 4. September 2002 vermerkt sei, weshalb ohne weitere Nachforschungen davon ausgegangen werden könne, dass die Rekursfrist eingehalten worden sei. Bei dieser Ausgangslage sei das Obergericht gehalten gewesen, mit einer einfachen Anfrage bei der Beschwerdegegnerin vorstellig zu werden und sich entweder den Postempfangsschein oder den Zustellcode übermitteln zu lassen. Das Obergericht sei nicht auf diese Weise verfahren und habe deshalb den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt. Indem das Obergericht sich lediglich auf die Geschäftskontrolle abgestützt habe, sei es überdies in willkürliche antizipierte Beweiswürdigung verfallen, habe es doch nicht davon ausgehen dürfen, das Resultat der Nachforschungen sei ungeeignet, den als Indiz zu qualifizierenden Eintrag der EDV-Geschäftskontrolle zu entkräften.
1.1 Der verfassungsrechtliche Gehörsanspruch gebietet, rechtzeitig und formrichtig angebotene Beweismittel abzunehmen, es sei denn, diese beträfen eine nicht erhebliche Tatsache oder seien offensichtlich untauglich, über die streitige Tatsache Beweis zu erbringen (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4b). Eine vorweggenommene Beweiswürdigung wird dadurch aber nicht ausgeschlossen; der Richter kann vielmehr das Beweisverfahren schliessen, wenn er aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5; <ref-ruling> E. 5b; <ref-ruling> E. 5 b/bb; <ref-ruling> E. 4a).
1.2 Vom Verlust des Zustellcouverts abgesehen, beanstandet der Beschwerdeführer nicht, es sei bei der Registrierung der Eingabe der Beschwerdegegnerin zu Unregelmässigkeiten gekommen, und es gibt auch keine Anzeichen dafür, dass dabei Ungereimtheiten vorgefallen wären. Damit aber bildet der Vermerk des Datums des Poststempels (4. September 2002) in der Geschäftskontrolle ein untrügliches Indiz dafür, dass das Zustellcouvert bezüglich des Rekurses auch tatsächlich dieses Datum des Poststempels trug. Unter diesen Umständen durfte das Obergericht in antizipierter Beweiswürdigung von weiteren Abklärungen absehen und den Rekurs als rechtzeitig eingereicht betrachten. Von willkürlicher Beweiswürdigung bzw. von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs kann keine Rede sein.
1.2 Vom Verlust des Zustellcouverts abgesehen, beanstandet der Beschwerdeführer nicht, es sei bei der Registrierung der Eingabe der Beschwerdegegnerin zu Unregelmässigkeiten gekommen, und es gibt auch keine Anzeichen dafür, dass dabei Ungereimtheiten vorgefallen wären. Damit aber bildet der Vermerk des Datums des Poststempels (4. September 2002) in der Geschäftskontrolle ein untrügliches Indiz dafür, dass das Zustellcouvert bezüglich des Rekurses auch tatsächlich dieses Datum des Poststempels trug. Unter diesen Umständen durfte das Obergericht in antizipierter Beweiswürdigung von weiteren Abklärungen absehen und den Rekurs als rechtzeitig eingereicht betrachten. Von willkürlicher Beweiswürdigung bzw. von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs kann keine Rede sein.
2. Der Beschwerdeführer bezeichnet ferner den angefochtenen Entscheid in verschiedener Hinsicht als willkürlich. Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt sodann nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4a S. 5 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2b S. 56).
2. Der Beschwerdeführer bezeichnet ferner den angefochtenen Entscheid in verschiedener Hinsicht als willkürlich. Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt sodann nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4a S. 5 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2b S. 56).
3. Angefochten ist als Erstes die Aufteilung des Überschusses von Fr. 1'275.--.
3.1 Zu diesem Punkt macht der Beschwerdeführer einmal geltend, das Obergericht habe den Bedarf der Beschwerdegegnerin auf Fr. 5'529.-- bemessen und ihr damit ermöglicht, den bisherigen Lebensstandard zu halten. Angesichts dessen sei es unzulässig, sie zusätzlich auch noch am Überschuss von Fr. 1'275.-- teilhaben zu lassen, da sie auf diese Weise von Mehreinkommen profitiere, welche er erst nach Auflösung des ehelichen Haushalts erwirtschaftet habe. Mit der Zusprechung eines Teils des Überschusses habe das Obergericht in willkürlicher Weise den Grundsatz verletzt, wonach die Aufteilung nicht zu einer Vorwegnahme der güterrechtlichen Auseinandersetzung führen dürfe.
Beim Betrag von Fr. 5'529.-- handelt es sich laut dem angefochtenen Urteil um den um die Steuern erweiterten Notbedarf des Haushalts der Beschwerdegegnerin, weshalb denn auch nicht die Rede davon sein kann, der Betrag stelle die bisherige Lebenshaltung sicher. Die Ausführungen des Beschwerdeführers gehen somit an der Sache vorbei; insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. d S. 201; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 1c S. 282, mit Hinweisen).
3.2 Ebenfalls im Zusammenhang mit der Aufteilung des Überschusses macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht gehe von einer Sparquote während des Zusammenlebens in der Höhe von Fr. 600.-- pro Monat aus. Werde von diesem Betrag ein Drittel dem Beschwerdeführer und zwei Drittel der Beschwerdegegnerin und den Kindern zugesprochen, so betrage der Anteil des Haushalts der Beschwerdegegnerin maximal Fr. 400.--. Das Obergericht sei folglich auch deshalb in Willkür verfallen, weil es diesem Haushalt Fr. 850.--, mithin mehr als das Doppelte, belassen habe. Die Begründung im angefochtenen Entscheid sei nicht nachzuvollziehen.
Im Rekurs gegen die Verfügung vom 14. August 2002 des Vizegerichtspräsidiums Arbon machte die Beschwerdegegnerin geltend, während des Zusammenlebens der Ehegatten habe keine Sparquote resultiert. Der Beschwerdeführer sprach seinerseits in der Rekursantwort von einer "theoretischen Sparquote", und das Obergericht hat im Ergebnis keine Sparquote berücksichtigt, indem es den vollen Überschuss von Fr. 1'275.-- im Verhältnis 2/3 zu 1/3 auf die Parteien aufteilte (Ehefrau und Kinder 2/3; Ehemann 1/3). Im Lichte der Aussagen der Parteien ist dies nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer kritisiert denn auch nicht rechtsgenügend, die obergerichtliche Schlussfolgerung sei angesichts der Parteiaussagen willkürlich (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. d S. 201; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 1c S. 282, mit Hinweisen). Abgesehen davon ist auch unwahrscheinlich, dass beim gegebenen Lebensstandard der Parteien überhaupt eine Sparquote resultiert hat.
Im Rekurs gegen die Verfügung vom 14. August 2002 des Vizegerichtspräsidiums Arbon machte die Beschwerdegegnerin geltend, während des Zusammenlebens der Ehegatten habe keine Sparquote resultiert. Der Beschwerdeführer sprach seinerseits in der Rekursantwort von einer "theoretischen Sparquote", und das Obergericht hat im Ergebnis keine Sparquote berücksichtigt, indem es den vollen Überschuss von Fr. 1'275.-- im Verhältnis 2/3 zu 1/3 auf die Parteien aufteilte (Ehefrau und Kinder 2/3; Ehemann 1/3). Im Lichte der Aussagen der Parteien ist dies nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer kritisiert denn auch nicht rechtsgenügend, die obergerichtliche Schlussfolgerung sei angesichts der Parteiaussagen willkürlich (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. d S. 201; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 1c S. 282, mit Hinweisen). Abgesehen davon ist auch unwahrscheinlich, dass beim gegebenen Lebensstandard der Parteien überhaupt eine Sparquote resultiert hat.
4. Sodann beanstandet der Beschwerdeführer die Höhe der ihm zugestandenen Wohnungskosten von Fr. 1'200.-- als willkürlich. Dem Obergericht sei entgangen, dass die Beschwerdegegnerin die Wohnungskosten in der Höhe von Fr. 1'500.-- anerkannt habe; die letzte kantonale Instanz verletze die Dispositionsmaxime, wenn sie die Miete schliesslich nur mit Fr. 1'200.-- berücksichtige. In diesem Punkt erweist sich die Beschwerde als begründet:
Entgegen ihrer Darstellung hat die Beschwerdegegnerin die Höhe der Wohnungskosten des Beschwerdeführers anlässlich der erstinstanzlichen Verhandlung sowie im Rekurs ausdrücklich anerkannt. Die Halbierung des Mietzinses wurde in der Rekursergänzung vom 3. Oktober 2002 lediglich wegen des angeblichen Konkubinats des Beschwerdeführers verlangt, welches schliesslich nicht hat glaubhaft gemacht werden können. Soweit die Beschwerdegegnerin ein für die Beurteilung des Rechtsbegehrens, d.h. des persönlichen Unterhaltsbeitrages, massgebendes Element ausdrücklich anerkannt hat, ist der Richter daran gebunden. Weicht er von der anerkannten Teilposition ab, fällt dies letztlich in den Bereich der Dispositionsmaxime, indem der Richter einer Partei nicht das zubilligt, was ihr die andere ausdrücklich zugestanden hat. Dies gilt jedenfalls dann, wenn - wie hier - kein Mangelfall vorliegt. Wie es sich bei einem Mangelfall verhielte, braucht hier nicht erörtert zu werden.
Entgegen ihrer Darstellung hat die Beschwerdegegnerin die Höhe der Wohnungskosten des Beschwerdeführers anlässlich der erstinstanzlichen Verhandlung sowie im Rekurs ausdrücklich anerkannt. Die Halbierung des Mietzinses wurde in der Rekursergänzung vom 3. Oktober 2002 lediglich wegen des angeblichen Konkubinats des Beschwerdeführers verlangt, welches schliesslich nicht hat glaubhaft gemacht werden können. Soweit die Beschwerdegegnerin ein für die Beurteilung des Rechtsbegehrens, d.h. des persönlichen Unterhaltsbeitrages, massgebendes Element ausdrücklich anerkannt hat, ist der Richter daran gebunden. Weicht er von der anerkannten Teilposition ab, fällt dies letztlich in den Bereich der Dispositionsmaxime, indem der Richter einer Partei nicht das zubilligt, was ihr die andere ausdrücklich zugestanden hat. Dies gilt jedenfalls dann, wenn - wie hier - kein Mangelfall vorliegt. Wie es sich bei einem Mangelfall verhielte, braucht hier nicht erörtert zu werden.
5. Da die Bemessung des Unterhaltsbeitrages der Beschwerdegegnerin auf einem willkürlich angenommenen Mietzins des Beschwerdeführers beruht, erweist sich der obergerichtliche Entscheid im Ergebnis als unhaltbar und damit willkürlich. Der angefochtene Entscheid ist somit aufzuheben, womit sich Ausführungen zur Rüge der willkürlichen Kosten- und Entschädigungsregelung erübrigen.
5. Da die Bemessung des Unterhaltsbeitrages der Beschwerdegegnerin auf einem willkürlich angenommenen Mietzins des Beschwerdeführers beruht, erweist sich der obergerichtliche Entscheid im Ergebnis als unhaltbar und damit willkürlich. Der angefochtene Entscheid ist somit aufzuheben, womit sich Ausführungen zur Rüge der willkürlichen Kosten- und Entschädigungsregelung erübrigen.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG).
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG).
7. Der Beschwerdeführer beantragt die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Dieses Gesuch wird insoweit gegenstandslos, als ihm keine Gerichtsgebühr auferlegt wird. Was die ihm zu Lasten der Beschwerdegegnerin zugesprochene Parteientschädigung anbelangt, ist deren Einbringlichkeit ungewiss. Insoweit kann indes dem Gesuch nicht entsprochen werden:
Zum einen gilt es zu berücksichtigen, dass das Existenzminimum des Beschwerdeführers nunmehr infolge des anerkannten Mietzinses Fr. 3'486.-- (Fr. 3'096.-- + Fr. 390.--; Urteil S. 15 kk) beträgt. Wird ferner in Betracht gezogen, dass ihm zusätzlich zu seinem Lohn von Fr. 9'360.-- 1/3 des Überschusses von Fr. 885.-- (Fr. 9'900.-- - Fr. 9'015.--) mithin Fr. 295.-- zusteht, beläuft sich sein Einkommen auf Fr. 9'655.--. Nach Abzug seines Existenzminimums von Fr. 3'486.-- und des gesamten Anspruchs der Beschwerdegegnerin von Fr. 5'579.-- (Fr. 5'529.-- [errechneter Gesamtunterhaltsanspruch Beschwerdegegnerin] + Fr. 590.-- [2/3 Überschuss von Fr. 885.-- ] - Fr. 540.-- [Eigeneinkommen der Beschwerdegegnerin], verbleiben ihm Fr. 590.--, womit er in der Lage ist, für die eigenen Parteikosten des Beschwerdeverfahrens innert einigen Monaten aufzukommen, falls die unterliegende Beschwerdegegnerin nicht in der Lage sein sollte, ihm die Parteientschädigung zu entrichten. Damit gilt der Beschwerdeführer nicht als bedürftig im Sinne von Art. 152 Abs. 1 OG.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 11. Dezember 2002 wird aufgehoben.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 11. Dezember 2002 wird aufgehoben.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2003
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: