Erwägungen:
1.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt erklärte A._ mit Urteil vom 1. September 2014 der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung (Bereicherungsabsicht), der mehrfachen Urkundenfälschung, der mehrfachen Erschleichung einer falschen Beurkundung, des mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer und des mehrfachen Vergehens gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt für schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 14 Monaten, mit bedingtem Strafvollzug und unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. In diversen Anklagepunkten sprach das Strafgericht A._ frei. Dieses Urteil focht A._ mit Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an. Das Berufungsverfahren ist hängig.
2.
Am 7. März 2015 beantragte A._ den Ausstand von Marie-Louise Stamm, der (damaligen) Instruktionsrichterin des Berufungsverfahrens. Mit Entscheid vom 3. August 2015 wies das Appellationsgericht dieses Ausstandsgesuch ab. Das Appellationsgericht kam zum Schluss, es läge kein Ausstandsgrund vor, weshalb die Amtshandlungen von Marie-Louise Stamm aus ihrer instruktionsrichterlichen Tätigkeit nicht aufzuheben und nicht zu wiederholen seien (vgl. Art. 60 Abs. 1 StPO). A._ hat diesen Entscheid vom 3. August 2015 nicht angefochten.
Am 19. August 2015 stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen Claudius Gelzer, den Präsidenten des Appellationsgerichts, welcher beim Ausstandsentscheid vom 3. August 2015 mitgewirkt hatte. Dieses Ausstandsverfahren ist vor dem Appellationsgericht hängig.
3.
Am 19. August 2015 teilte Claudius Gelzer den Parteien mit, dass er mit der Verfahrensleitung des Berufungsverfahrens betraut worden sei.
Am 21. August 2015 verfügte Claudius Gelzer als Instruktionsrichter unter anderem, dass zur Vermeidung von Unklarheiten die (bereits früher erfolgte) Einsetzung von Advokat Roland Strauss als notwendigen Verteidiger von A._ bestätigt und die Frist für die Einreichung einer schriftlichen Berufungsbegründung des Verteidigers bis zum 30. September 2015 erstreckt werde. Weiter wies der Appellationsgerichtspräsident in seiner Kurzbegründung auf den Entscheid vom 3. August 2015 hin, mit welchem das Ausstandsgesuch gegen Marie-Louise Stamm abgewiesen worden sei; entsprechend sei keine Wiederholung der Amtshandlungen von Marie-Louise Stamm im Sinne von Art. 60 Abs. 1 StPO erforderlich.
Mit Eingabe vom 17. September 2015 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht mit den sinngemässen Anträgen, die Verfügung vom 21. August 2015, soweit ihn betreffend, aufzuheben. Das Appellationsgericht sei anzuweisen, einen unbefangenen Appellationsgerichtspräsidenten ab Beginn des Berufungsverfahrens einzusetzen. Weiter sei das Appellationsgericht anzuweisen, die Verfügungen von Marie-Louise Stamm aufzuheben.
Es wurde ein Schriftenwechsel durchgeführt.
4.
Bei der Verfügung des Präsidenten des Appellationsgerichts vom 21. August 2015 handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der nur anfechtbar ist, falls er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG), oder - was hier indes von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen kann und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4; je mit Hinweisen).
5.
Der Beschwerdeführer macht in seiner Beschwerde geltend, gegenüber Marie-Louise Stamm bestehe von Beginn an ein Ausstandsgrund, weshalb gemäss Art. 60 Abs. 1 StPO sämtliche Verfügungen der vom Ausstand betroffenen Marie-Louise Stamm aufzuheben seien.
Damit verkennt der Beschwerdeführer, dass die Verfügung vom 21. August 2015 keinen Ausstandsentscheid darstellt. Vielmehr hat der Appellationsgerichtspräsident insoweit einzig im Rahmen seiner Kurzbegründung auf den vom Beschwerdeführer nicht angefochtenen Entscheid vom 3. August 2015 hingewiesen, mit welchem das vom Beschwerdeführer gegen Marie-Louise Stamm gestellte Ausstandsgesuch abgewiesen und dementsprechend auf eine Aufhebung und Wiederholung der Amtshandlungen von Marie-Louise Stamm im Rahmen ihrer instruktionsrichterlichen Tätigkeit verzichtet worden ist (vgl. Art. 60 Abs. 1 StPO). Soweit Marie-Louise Stamm betreffend hat Claudius Gelzer am 21. August 2015 nichts verfügt.
Die Frage des Ausstands von Marie-Louise Stamm und der sich daraus ergebenden Rechtsfolgen bildet somit nicht Gegenstand der angefochtenen Verfügung vom 21. August 2015. Die Beschwerde aber ist nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 189). Auf die ausserhalb des Streitgegenstands liegenden Ausstandsanträge und -rügen des Beschwerdeführers kann daher von vorneherein nicht eingetreten werden.
6.
Gegenstand der angefochtenen Verfügung vom 21. August 2015 bildet die im Sinne einer Klarstellung verfügte Bestätigung der bereits früher erfolgten Einsetzung von Advokat Roland Strauss als notwendigen Verteidiger. Dagegen erhebt der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde keinerlei Einwände, behauptet mithin nicht, dass ihm hieraus ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG erwachse.
7.
Die Eintretensvoraussetzungen sind damit offensichtlich nicht gegeben. Auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 21. August 2015 ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, und Advokat Roland Strauss schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Stohner