Sachverhalt:
A. Am 7. Oktober 2011 reichte X._ bei der Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten eine Strafanzeige gegen Y._ wegen Verdachts auf Betrug, eventuell unrechtmässige Verwendung von Vermögenswerten ein. X._ führte zur Begründung aus, er habe mit der Z._GmbH, deren Geschäftsführer Y._ sei, am 4. Oktober 2005 einen Kaufvertrag über das Kontaktmagazin "Cocktail" und weitere Objekte abgeschlossen. Von diesem sei er in der Folge zurückgetreten, was Y._ akzeptiert habe. Dennoch habe er ihm am 3. November 2010 einen Zahlungsbefehl über Fr. 120'000.-- nebst Zinsen und Kosten zugestellt. Nach der Rechtsöffnung sei es zu einem Aberkennungsprozess gekommen. Mit der Klageantwort, die Y._ im Namen der Z._GmbH eingereicht habe, habe er geschickt ein Lügengebäude aufgebaut, welches das Gericht davon hätte überzeugen sollen, dass der Kaufvertrag vollzogen worden sei. Dank den Abrechnungen der V._AG habe der Schwindel aufgedeckt werden können. Das ändere aber nichts daran, dass ein vollendeter oder versuchter Prozessbetrug anzunehmen sei. Im Übrigen hätte sich Y._ auch im Falle der Gültigkeit des Kaufvertrags strafbar gemacht. Denn die Zahlungen der V._AG seien weiterhin an die Z._GmbH gegangen.
Die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten verfügte am 18. Oktober 2011 die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens. Zur Begründung führte sie aus, Äusserungen im Rahmen des Behauptungsverfahrens eines Zivilprozesses könnten keinen Betrug begründen. Ein solcher falle in Betracht, wenn im Rahmen des Beweisverfahrens etwa gefälschte Urkunden vorgelegt oder falsche Zeugenaussagen gemacht würden. Vorliegend habe jedoch die Beweisabnahme gar noch nicht stattgefunden.
Eine von X._ gegen die Nichtanhandnahmeverfügung erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 20. Dezember 2011 ab.
B. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 20. Februar 2012 beantragt X._, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, ein Strafverfahren betreffend Betrug zu eröffnen und durchzuführen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur neuen Beurteilung zurückzuweisen.
Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen.
Mit Präsidialverfügung vom 12. April 2012 hat das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdegegners um Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung gemäss Art. 62 Abs. 2 BGG gutgeheissen.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid betrifft die Nichtanhandnahme einer Strafuntersuchung. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach Art. 78 ff. BGG gegeben. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt, eine Nichtanhandnahme hätte nicht erfolgen dürfen. Der Beschwerdegegner habe gewusst, dass der Vertragsrücktritt gültig gewesen sei und dass die Entschädigungen für die Ausgaben Nr. 31 bis 33 des Kontaktmagazins weiterhin an die Z._GmbH geleistet worden seien. Trotzdem habe die Z._GmbH eine Betreibung für die Kaufpreisforderung eingeleitet. Mit dem Erwirken der Rechtsöffnung habe der Beschwerdegegner begonnen, ein Lügengebäude aufzubauen. Im Aberkennungsverfahren habe er weiterhin behauptet, es sei nie zu einem gültigen Vertragsrücktritt gekommen, obwohl die Z._GmbH nachweislich weiterhin Entschädigungszahlungen für die Veröffentlichung des Magazins entgegengenommen hatte. Damit habe der Beschwerdegegner sein Lügengebäude weiter ausgebaut und dieses zudem mit dem Vorlegen diverser Urkunden und der Anrufung verschiedener Zeugen untermauert. Nur aus reinem Zufall sei es gelungen, in den Besitz der Abrechnungen für die Ausgaben Nr. 31 bis 33 zu gelangen. Wenn die Vorinstanz davon ausgehe, dass das Verschweigen dieser Zahlungen leicht überprüfbar gewesen sei, irre sie. Ganz offensichtlich habe der Beschwerdegegner darauf vertraut, dass die Abrechnungsunterlagen verborgen bleiben würden. Es könne deshalb nicht davon ausgegangen werden, dass ein Betrug klarerweise nicht vorliege.
2.2 Das Obergericht führte aus, für den sogenannten Prozessbetrug gälten hinsichtlich der Tatbestandsmässigkeit grundsätzlich keine Besonderheiten. Eine blosse falsche Angabe, welche die Gegenpartei ohne besondere Mühe auf ihre Richtigkeit hin überprüfen könne, begründe noch keine Arglist im Sinne von Art. 146 Abs. 1 StGB. Dasselbe gelte für das Anrufen von Zeugen. Das beanstandete Vorgehen des Beschwerdegegners im Zivilprozess stelle offensichtlich keinen Betrug dar, weshalb die Nichtanhandnahme nicht zu beanstanden sei.
2.3 Die Staatsanwaltschaft eröffnet eine Untersuchung, wenn sich aus den Informationen und Berichten der Polizei, aus der Strafanzeige oder aus ihren eigenen Feststellungen ein hinreichender Tatverdacht ergibt (Art. 309 Abs. 1 lit. a StPO). Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf die Eröffnung, wenn sie sofort eine Nichtanhandnahmeverfügung oder einen Strafbefehl erlässt (Art. 309 Abs. 4 StPO). Die Nichtanhandnahme wird verfügt, sobald aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind (Art. 310 Abs. 1 lit. a StPO).
Gemäss Art. 146 Abs. 1 StGB macht sich des Betrugs unter anderem schuldig, wer in der Absicht, sich oder einen andern unrechtmässig zu bereichern, jemanden durch Vorspiegelung oder Unterdrückung von Tatsachen arglistig irreführt und so den Irrenden zu einem Verhalten bestimmt, wodurch dieser sich selbst oder einen andern am Vermögen schädigt. Arglist ist gegeben, wenn der Täter ein ganzes Lügengebäude errichtet oder sich besonderer Machenschaften oder Kniffe bedient. Arglist wird auch bei einfachen falschen Angaben bejaht, wenn deren Überprüfung nicht oder nur mit besonderer Mühe möglich oder nicht zumutbar ist, oder wenn der Täter das Opfer von der möglichen Überprüfung abhält oder nach den Umständen voraussieht, dass dieses die Überprüfung der Angaben aufgrund eines besonderen Vertrauensverhältnisses unterlassen wird (<ref-ruling> E. 5.2 S. 81 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 20 f.; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer leitet die Annahme eines Prozessbetrugs aus der Gültigkeit des Rücktritts vom Kaufvertrag vom 4. Oktober 2005 ab. Er geht davon aus, dass der Beschwerdegegner als Geschäftsführer der Z._GmbH diesen Rücktritt mit Schreiben vom 2. Dezember 2005 explizit akzeptierte. Wenn der Beschwerdegegner im angehobenen Zivilprozess über die Kaufpreisforderung den gegenteiligen rechtlichen Standpunkt vertritt, so kann jedoch deshalb noch nicht von einer Täuschung und schon gar nicht von Arglist gesprochen werden. Weiter hält der Beschwerdeführer für wesentlich, dass die Z._GmbH weiterhin Entschädigungszahlungen für die Veröffentlichung des Magazins entgegengenommen habe. Offensichtlich geht er davon aus, dass sich damit ebenfalls die Gültigkeit des Vertragsrücktritts beweisen lasse. Ob dies zutrifft, kann dahingestellt bleiben. Zusammen mit der Vorinstanz ist jedenfalls davon auszugehen, dass sich einfach beweisen lässt, dass es nicht der Beschwerdeführer war, der damals diese Zahlungen erhalten hatte. Schliesslich kann das Argument des Beschwerdeführers, mit dem Vorlegen diverser Urkunden und der Anrufung verschiedener Zeugen habe der Beschwerdegegner sein Lügengebäude untermauert, nicht geteilt werden. Der Beschwerdeführer selbst macht nicht geltend, es hätten Anzeichen vorgelegen, dass die angerufenen Zeugen falsch aussagen würden oder dass die Urkunden gefälscht gewesen seien. Unter diesen Voraussetzungen ging die Vorinstanz zu Recht davon aus, der Tatbestand des Betrugs sei eindeutig nicht erfüllt.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer hat dem obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen. Dieser Betrag wird der bei der Bundesgerichtskasse hinterlegten Sicherheit von Fr. 2'500.-- entnommen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold