Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 24. November 2009 sprach das Obergericht des Kantons Luzern X._ der versuchten vorsätzlichen Tötung schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 41⁄2 Jahren (abzüglich 21 Tage Untersuchungshaft). Gleichzeitig widerrief es den X._ gewährten bedingten Vollzug von sechs Monaten Gefängnis gemäss Urteil des Bezirksgerichts Winterthur vom 1. Juli 2004 sowie von sechs Tagen Gefängnis gemäss Urteil der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn vom 28. November 2005. Weiter verurteilte es X._, dem Opfer A._ eine Genugtuung von Fr. 10'500.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 18. Mai 2006 zu bezahlen. Ferner verpflichtete es X._ dem Grundsatz nach, A._ den verursachten Schaden zu 70 % zu ersetzen. Für die Festsetzung der massgeblichen Schadenshöhe verwies es A._ an den Zivilrichter.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 24. November 2009 sei aufzuheben, er sei des versuchten Totschlags schuldig zu sprechen und deswegen mit einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren zu bestrafen, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren. Eventualiter für den Fall eines Schuldspruchs wegen versuchter vorsätzlicher Tötung sei er mit einer Freiheitsstrafe von drei Jahren zu bestrafen. Der Vollzug der Freiheitsstrafe sei teilweise aufzuschieben, wobei der zu vollziehende Teil auf sechs Monate festzusetzen sei. Des Weiteren sei auf den Widerruf der beiden bedingt ausgesprochenen Freiheitsstrafen zu verzichten und die Zivilforderung auf den Zivilweg zu verweisen. (Sub-)Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 In der Anklage wird dem Beschwerdeführer vorgeworfen, in den frühen Morgenstunden des 18. Mai 2006 den Beschwerdegegner mit einem "Bowie"-Messer vor einem Cabaret in O._ Iebensgefährlich verletzt zu haben. Die Vorinstanz unterteilt das zu beurteilende Geschehen in zwei Phasen und erachtet den folgenden Sachverhalt als erstellt:
In der ersten Phase kam es in einem Cabaret in O._ zu einer handgreiflichen Auseinandersetzung zwischen dem Beschwerdegegner und B._ sowie zwei Brüdern (C._ und D._) des Beschwerdeführers. lm Verlauf dieses Streits zückte der Beschwerdegegner ein Messer und fügte einem der Brüder des Beschwerdeführers und B._ diverse Verletzungen im Gesicht zu. Der Beschwerdeführer, welcher sich zu Hause befand, wurde über das Vorgefallene informiert, nahm ein Messer an sich und begab sich zusammen mit seinem Vater und einem weiteren Bruder (E._) mit dem Auto vor das Cabaret, wo er auf seine beiden Brüder und B._ traf. Vor Ort anwesend waren auch vier Polizeibeamte.
Der zweite Teil des Geschehens betrifft das eingeklagte versuchte Tötungsdelikt. Der Beschwerdegegner kam - allein - aus dem Lokal und begann den Beschwerdeführer und dessen Familie zu beschimpfen. Der Beschwerdeführer eilte daraufhin zu seinem Auto, behändigte das dort deponierte Messer (Klingenlänge 12 cm), ging mit diesem in der Hand direkt auf den Beschwerdegegner zu und stach mindestens fünf Mal auf dessen Oberkörper ein.
Der Beschwerdegegner erlitt durch die Messer-Attacke multiple Verletzungen, namentlich lange, teilweise tief blutende Schnittwunden über der rechten Brustwarze, an der rechten Schulter und am Kinn sowie eine Durchtrennung zu 70 % des "Nervus radialis" am rechten Oberarm und der Strecksehnen an der rechten Hand. lm Kantonsspital Luzern wurde eine massive Luft- und Blutansammlung im rechten Brustraum festgestellt. Der Beschwerdegegner schwebte deswegen in Lebensgefahr und musste notfallmässig operiert werden.
1.2 Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vor (Beschwerde S. 4-7).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Feststellungen zum Sachverhalt prüft es nur unter dem Gesichtspunkt der Willkür (<ref-law>). Es hat die Voraussetzungen an die Begründungspflicht einer Willkürrüge und wann Willkür vorliegt, bereits mehrfach dargelegt. Darauf kann verwiesen werden (<ref-ruling> E. 2.1 und 2.2; <ref-ruling> E. 1.2).
Mit seinen Ausführungen stellt der Beschwerdeführer der vorinstanzlichen Begründung lediglich seine eigene Sicht der Dinge gegenüber, indem er darlegt, wie die Beweise seiner Meinung nach zu würdigen gewesen wären. Hierdurch vermag er jedoch nicht aufzuzeigen, dass bzw. inwiefern die Vorinstanz im Ergebnis in Willkür verfallen wäre. Dies gilt insbesondere für sein Vorbringen, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich in die zwei umschriebenen Phasen (vgl. E. 1.1 hiervor) unterteilt. Nicht unhaltbar ist ferner die Feststellung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe aufgrund der gesamten Umstände gewusst, dass die Gesichtsverletzungen seines Bruders und von B._ nicht besonders gefährlich sein konnten, zumal sich diese vehement gegen eine medizinische Betreuung gewehrt hätten.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, selbst wenn man vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt ausgehe, sei die Tat als versuchter Totschlag und nicht als versuchte Tötung zu qualifizieren. Die Vorinstanz habe die Entschuldbarkeit seines Affekts zu Unrecht verneint, denn unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der Beschwerdegegner seinen Bruder und B._ verletzt und ihn provoziert und beschimpft habe, lasse sich nicht bezweifeln, dass auch ein anderer rechtstreu gesinnter Mann - insbesondere aus dem gleichen "Rechtskreis" - von Wut und heftiger Erregung gepackt worden wäre (Beschwerde S. 7-9).
2.2 Die Vorinstanz hält fest, der Beschwerdeführer sei ob der Verletzungen seines Bruders und von B._ sowie aufgrund der Provokationen durch den Beschwerdegegner schwer schockiert gewesen und habe daher aus einer heftigen Gemütsbewegung heraus gehandelt. Diese sei jedoch nicht entschuldbar. Die Vorinstanz führt unter Bezugnahme auf die erstinstanzliche Urteilsbegründung aus, der Beschwerdeführer habe ein Messer zum Tatort mitgenommen und dieses schliesslich eingesetzt, ohne dass vom zu diesem Zeitpunkt unbewaffneten und von Polizisten umringten Beschwerdegegner eine Bedrohung ausgegangen wäre. Insbesondere habe dieser keinerlei Anstalten gemacht, ihn anzugreifen. Der Beschwerdeführer habe in der Absicht gehandelt, sich zu rächen, und sei dabei geradelinig und zielstrebig vorgegangen (angefochtenes Urteil S. 4).
2.3 Gemäss <ref-law> wird wegen Totschlags verurteilt, wer vorsätzlich einen Menschen tötet und dabei in einer nach den Umständen entschuldbaren heftigen Gemütsbewegung oder unter grosser seelischer Belastung handelt.
Die heftige Gemütsbewegung stellt einen besonderen psychologischen Zustand dar, der nicht pathologisch begründet, sondern dadurch gekennzeichnet ist, dass der Täter von einer starken Gefühlserregung überwältigt wird, die in einem gewissen Grad seine Fähigkeit, die Situation einzuschätzen oder sich zu beherrschen, einschränkt. Typisch ist, dass der Täter mehr oder weniger unverzüglich auf ein Gefühl, das ihn plötzlich überwältigt, reagiert. Beispiele solcher Gefühle sind Jähzorn, Wut, Eifersucht, Verzweiflung, Angst oder Bestürzung. Mit der Privilegierung wird der Tatsache Rechnung getragen, dass der Täter aufgrund des emotionalen Erregungszustands im Moment der Tötungshandlung nur noch beschränkt in der Lage war, sein Verhalten zu kontrollieren (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2a).
Die heftige Gemütsbewegung muss überdies entschuldbar sein. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung setzt der Begriff der Entschuldbarkeit voraus, dass die heftige Gemütsbewegung und nicht etwa die Tat nach den sie auslösenden Umständen gerechtfertigt und die Tötung dadurch bei ethischer Beurteilung in einem wesentlich milderen Licht erscheint. Eine heftige Gemütsbewegung ist entschuldbar, wenn sie in Anbetracht der gesamten äusseren Umstände als menschlich verständlich erscheint. Es muss angenommen werden können, auch eine andere, anständig gesinnte Person wäre in der betreffenden Situation leicht in einen solchen Affekt geraten (<ref-ruling> E. 3a und b).
2.4 Die Ausführungen der Vorinstanz sind überzeugend. Ausgehend vom willkürfrei erstellten Sachverhalt, wonach insbesondere keine Bedrohungssituation (mehr) bestand, kann nicht angenommen werden, auch eine andere, anständig gesinnte Person - welcher Herkunft auch immer - wäre in der betreffenden Situation leicht in einen solchen Affekt geraten. Die heftige Gemütsbewegung des Beschwerdeführers ist damit bei einer objektiven Bewertung nicht entschuldbar, sein Handeln erscheint bei ethischer Beurteilung mithin nicht in einem wesentlich milderen Licht respektive seine Schuld nicht vermindert.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Strafzumessung und rügt diese als bundesrechtswidrig. Die Vorinstanz habe angesichts seines Handelns im Affekt sein Verschulden zu Unrecht als schwer qualifiziert. Des Weiteren sei aus der Urteilsbegründung nicht ersichtlich, wie weit die von ihm gezeigte Reue zu seinen Gunsten berücksichtigt worden sei. Schliesslich habe die Vorinstanz ihm fälschlicherweise keine besondere Strafempfindlichkeit zugebilligt (Beschwerde S. 10-11).
3.2 Gemäss <ref-law> misst das Gericht die Strafe nach dem Verschulden des Täters zu. Es berücksichtigt das Vorleben, die persönlichen Verhältnisse sowie die Wirkung der Strafe auf das Leben des Täters. Die Bewertung des Verschuldens wird in <ref-law> dahingehend präzisiert, dass dieses nach der Schwere der Verletzung oder Gefährdung des betroffenen Rechtsguts, nach der Verwerflichkeit des Handelns, den Beweggründen und Zielen des Täters sowie danach bestimmt wird, wie weit der Täter nach den inneren und äusseren Umständen in der Lage war, die Gefährdung oder Verletzung zu vermeiden. Nach <ref-law> hat das Gericht die für die Zumessung der Strafe erheblichen Umstände und deren Gewichtung festzuhalten.
Es liegt im Ermessen des Sachgerichts, in welchem Umfang es die verschiedenen Strafzumessungsfaktoren berücksichtigt. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur in die Strafzumessung ein, wenn die Vorinstanz den gesetzlichen Strafrahmen über- oder unterschreitet, wenn sie von rechtlich nicht massgebenden Kriterien ausgeht oder wesentliche Gesichtspunkte ausser Acht lässt bzw. in Überschreitung oder Missbrauch ihres Ermessens falsch gewichtet (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 2).
3.3 Die Vorinstanz würdigt die für die Zumessung der Strafe erheblichen Umstände eingehend. Eine ermessensverletzende Gewichtung der Strafzumessungsfaktoren ist nicht ersichtlich.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist namentlich nicht einsichtig, weshalb es ausgeschlossen sein sollte, dass er trotz heftiger Gemütsbewegung zielstrebig mit direktem Vorsatz und aus Rache handelte.
Auch soweit er geltend macht, seine besondere Strafempfindlichkeit werde zu Unrecht nicht berücksichtigt, ist seiner Beschwerde kein Erfolg beschieden. Die Verbüssung einer Freiheitsstrafe ist für jeden in ein familiäres Umfeld eingebetteten Beschuldigten mit einer gewissen Härte verbunden. Als unmittelbare gesetzmässige Folge jeder Sanktion darf diese Konsequenz daher nur bei Vorliegen aussergewöhnlicher Umstände (erheblich) strafmindernd wirken. Insbesondere kann der Umstand, dass der Beschwerdeführer für seine behinderte Tochter sorgt, für sich allein nicht dazu führen, dass die Schwere des Verschuldens in den Hintergrund tritt und die Strafe unter Einbezug spezialpräventiver Gesichtspunkte auf ein Mass herabgesetzt wird, das eben diese Folgen ausschliesst. Den Sachgerichten steht im Rahmen der Strafzumessung ein Ermessensspielraum zu. Vorliegend verletzt die Vorinstanz mit ihrer Einschätzung, die Betreuung und Pflege der behinderten Tochter stellten zwar eine grosse Belastung für den Beschwerdeführer dar, gingen "aber noch nicht erheblich über das normale Mass der Strafempfindlichkeit hinaus", das ihr bei der Beurteilung des Einzelfalls zukommende Ermessen nicht, obwohl auch eine strafmindernde Berücksichtigung durchaus vertretbar gewesen wäre.
Dass die Vorinstanz ferner davon absieht, in absoluten Zahlen oder Prozenten anzugeben, inwieweit sie die vom Beschwerdeführer gezeigte Reue in Rechnung stellt, ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Im Übrigen könnte eine Beschwerde nicht allein deshalb gutgeheissen werden, um die Verbesserung oder Vervollständigung der Begründung der Strafzumessung zu veranlassen, wenn die ausgesprochene Strafe im Ergebnis vor Bundesrecht standhält (vgl. zum Ganzen BGE <ref-ruling> E. 2c). Dies ist vorliegend der Fall. Die ausgesprochene Freiheitsstrafe von 41⁄2 Jahren bewegt sich in dem der Vorinstanz zustehenden Ermessensspielraum.
4. Soweit sich der Beschwerdeführer schliesslich gegen den Widerruf der bedingten Strafen wendet (Beschwerde S. 12-13), ist seine Argumentation nicht stichhaltig.
Gestützt auf <ref-law> widerruft das Gericht die bedingte Strafe oder den bedingten Teil der Strafe, wenn der Verurteilte während der Probezeit ein Verbrechen oder Vergehen begeht und deshalb zu erwarten ist, dass er weitere Straftaten verüben wird.
Der Beschwerdeführer wurde mit Urteil des Bezirksgerichts Winterthur vom 1. Juli 2004 zu sechs Monaten Gefängnis, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von drei Jahren, und mit Urteil der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn vom 28. November 2005 zu sechs Tagen Gefängnis, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren, verurteilt. Er verübte am 18. Mai 2006 - und damit während den angesetzten Probezeiten - das vorliegend zu beurteilende Delikt.
Die Vorinstanz führt unter Bezugnahme auf die erstinstanzliche Urteilsbegründung aus, angesichts der Vorstrafen des Beschwerdeführers und der Tatsache, dass er zudem am 18. April 2008 wegen Fahrens in fahrunfähigem Zustand verurteilt worden sei, falle seine Legalprognose schlecht aus. Es sei daher zu erwarten, dass er weitere Straftaten verüben werde, weshalb der ihm gewährte bedingte Vollzug der Gefängnisstrafen zu widerrufen sei.
Diese Erwägungen sind nicht zu beanstanden, und der Widerruf der Strafen verletzt kein Bundesrecht. Die in diesem Zusammenhang gemachten Hinweise der Vorinstanz zum Leumundsbericht und ihre Ausführungen zur beeinträchtigten Arbeitsmoral des Beschwerdeführers haben bloss ergänzenden Charakter und dienen einzig der Vervollständigung des Bildes, weshalb auf die diesbezüglichen Einwände des Beschwerdeführers nicht näher eingegangen zu werden braucht.
5. Seinen Antrag im Zivilpunkt begründet der Beschwerdeführer nicht, und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern das angefochtene Urteil insoweit Bundesrecht verletzen sollte.
6. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Mai 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Stohner