vorzeitigen Strafvollzug), hat sich ergeben:
A.- R._ wurde vom Bezirksgericht Bülach am 6. April 2000 wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu sieben Jahren Zuchthaus verurteilt.
Dagegen erhob er Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Am 20. April 2000 stimmte er einer vorzeitigen Vollstreckung des bezirksgerichtlichen Urteils zu, welche vom Strafvollzugsdienst am 25. April 2000 angeordnet wurde.
Am 27. April 2000 verfügte die Bezirksanwaltschaft Bülach, die vor Bezirksgericht die Anklage vertreten hatte, wegen Kollusionsgefahr verschiedene Einschränkungen des Post-, Telephon- und Besuchsverkehrs sowie von Urlauben von R._. Dieser erhob hiergegen Rekurs an die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich (im Folgenden:
Justizdirektion), welche den Rekurs am 25. Juli 2000 abwies und die von der Bezirksanwaltschaft verfügten Massnahmen in eigener Kompetenz anordnete. Zur Begründung wurde ausgeführt, die Bezirksanwaltschaft habe es zwar unterlassen, die notwendige Bestätigung ihrer Verfügung durch den Präsidenten des Obergerichts einzuholen. Die entsprechenden Massnahmen könnten jedoch auch von der Strafvollzugsbehörde erlassen werden und würden daher von der Justizdirektion als Rekursinstanz in Strafvollzugssachen angeordnet. Damit könnten weitere Umtriebe vermieden werden, die mit dem Einholen einer Bestätigung der bezirksanwaltlichen Verfügung durch den Obergerichtspräsidenten verbunden wären.
B.- R._ führt gegen die Verfügung der Justizdirektion vom 25. Juli 2000 staatsrechtliche Beschwerde und beantragt deren Aufhebung sowie eine Zurückweisung der Sache an die Justizdirektion. Eventuell seien die Einschränkungen im Strafvollzug auf den Zeitraum bis zu einem obergerichtlichen Entscheid über seine Beweisanträge zu befristen. Er rügt unter anderem, die Justizdirektion sei zum Erlass der angefochtenen Verfügung nicht zuständig gewesen.
Die Bezirksanwaltschaft und die Justizdirektion verzichten auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit einer staatsrechtlichen Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1a S. 414 mit Hinweisen).
a) Nach Art. 84 Abs. 2 OG ist die staatsrechtliche Beschwerde nur zulässig, wenn die behauptete Rechtsverletzung nicht mit einem anderen bundesrechtlichen Rechtsmittel gerügt werden kann. Es fragt sich, ob gegen den angefochtenen Entscheid eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde zulässig ist. In diesem Falle könnte die Eingabe des Beschwerdeführers als Verwaltungsgerichtsbeschwerde entgegengenommen werden, wenn der angefochtene Entscheid kantonal letztinstanzlich wäre.
aa) Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist nur gegen Entscheide gegeben, die sich auf Bundesrecht stützen (vgl.
Art. 97 Abs. 1 OG und Art. 5 VwVG). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts stützen sich Entscheide über das Recht von Gefangenen im Strafvollzug, Besuche zu empfangen oder andere Aussenkontakte zu pflegen, auf Bundesrecht (vgl.
Art. 5 der Verordnung [1] zum StGB vom 13. November 1973 [VStGB 1; SR 311. 01], der sich auf Art. 397bis Abs. 1 lit. l StGB stützt). Kantonalen Vorschriften auf diesem Gebiet kommt keine selbstständige Bedeutung zu, weshalb entsprechende Entscheide auch dann mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde anzufechten sind, wenn die Auslegung solchen kantonalen Rechts kritisiert wird (<ref-ruling> E. 1 S. 131 ff. mit Hinweisen). Die Regelung der Haftbedingungen von Untersuchungs- und Sicherheitsgefangenen steht hingegen ebenso wie das Strafverfahren den Kantonen zu (vgl. Art. 123 Abs. 3 BV). Entsprechende Entscheide können daher nur mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 71 f.).
bb) Die Justizdirektion stützt ihre Zuständigkeit zum Erlass der angefochtenen Verfügung auf ihre Funktion als zweitinstanzliche Strafvollzugsbehörde. Unabhängig von der im Sachurteil zu beantwortenden Frage, ob dies zu Recht geschieht, spricht dies für die Zulässigkeit einer Verwaltungsgerichtsbeschwerde.
Dass der Beschwerdeführer keine Verletzung von Bundesrecht rügt, sondern sinngemäss eine willkürliche Auslegung kantonalen Rechts, und dass auch im kantonalen Verfahren nur die Auslegung kantonalen Rechts strittig war, spricht grundsätzlich nicht gegen eine bundesrechtliche Verfügungsgrundlage (<ref-ruling> E. 1a S. 132).
Hingegen betreffen die Anordnungen der Justizdirektion den vorläufigen Strafvollzug, der eine Institution des kantonalen Rechts ist (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 259 mit Hinweisen; Martin Schubarth, Zur Rechtsnatur des vorläufigen Strafvollzuges, ZStR 96 (1979), S. 295-300). Weiterhin begründet die Justizdirektion ihren materiellen Entscheid einzig mit Kollusionsgefahr, also dem Interesse des Strafverfahrens, auf das kantonales Strafprozessrecht anwendbar ist, und nicht mit Argumenten im Zusammenhang mit der Ordnung in der Anstalt, die für den bundesrechtlich geregelten Strafvollzug von Bedeutung sind. Ihre Zuständigkeit stützt die Justizdirektion auf § 419 des Zürcher Gesetzes betreffend den Strafprozess vom 4. Mai 1919 (StPO/ZH, LS 321). Sie argumentiert, wenn sie zuständig sei, dem erstinstanzlich Verurteilten den sofortigen Strafvollzug zu bewilligen, müsse sie auch "weniger weit gehend" gleichzeitig Massnahmen erlassen können, die den Zweck der konkret angeordneten Sicherheitshaft garantieren würden. Mithin hält sie sich für zuständig, autonomes kantonales (Strafprozess)recht anzuwenden, und nicht bloss Bundesstrafvollzugsrecht oder darauf gestütztes unselbstständiges kantonales Ausführungsrecht.
Im Übrigen enthält die angefochtene Verfügung keine Rechtsmittelbelehrung.
Eine solche müsste sie nach § 10 Abs. 2 des Zürcher Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRPG/ZH, LS 175. 2) enthalten, wenn sie Bundesrecht als Grundlage hätte, da in diesem Falle nach § 43 Abs. 2 VRPG/ZH eine Beschwerde an das Zürcher Verwaltungsgericht zulässig wäre.
cc) Zusammenfassend ergibt sich, dass sich der angefochtene Entscheid auf selbstständiges kantonales Recht stützt, obwohl er von der zur Anwendung des Bundesstrafvollzugsrechts zuständigen Behörde erlassen wurde. Ob diese hierzu zuständig ist, entscheidet sich ausschliesslich nach kantonalem Organisationsrecht. Aus diesen Gründen unterliegt der angefochtene Entscheid nicht der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.
Somit kann er mit staatsrechtlicher Beschwerde wegen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte angefochten werden (Art. 84 Abs. 2 OG).
b) Nach Art. 86 OG ist die staatsrechtliche Beschwerde nur gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide zulässig. Der angefochtene Entscheid erfüllt diese Bedingung.
Nach § 27 Abs. 2 des Kantonalen Straf- und Vollzugsgesetzes vom 30. Juni 1974 (StVG/ZH, LS 331) sind Entscheide von Verwaltungsbehörden, die den Strafvollzug anordnen, an die vorgesetzte Behörde weiterziehbar. Deren Rekursentscheid ist endgültig, sofern nicht ein Weiterzug an eine richterliche Behörde offen steht. § 36 Abs. 2 StVG/ZH sieht denselben Rechtsweg für Anordnungen der Anstalts- und Gefängnisleitung über die Durchführung des Strafvollzugs vor. Unabhängig davon, ob der angefochtene Entscheid den Strafvollzug anordnet oder durchführt, und davon, dass er nicht auf Rekurs gegen eine Anordnung einer Gefängnisleitung hin getroffen wurde, fällte ihn die Justizdirektion jedenfalls ausdrücklich als vorgesetzte Behörde in Strafvollzugssachen. Damit ist ihr Entscheid nach den genannten Bestimmungen endgültig, weil ein Weiterzug an das Verwaltungsgericht gegen Anordnungen im Zusammenhang mit dem Vollzug von Strafen und Massnahmen nur zulässig ist, soweit die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht offen steht (vgl. § 43 Abs. 1 lit. g und Abs. 2 VRPG/ZH). Letzteres ist für den angefochtenen Entscheid nicht der Fall (vgl. vorne E. 1a).
c) Das staatsrechtliche Beschwerdeverfahren führt nicht das vorangegangene kantonale Verfahren weiter, sondern es stellt ein selbstständiges staatsgerichtliches Verfahren dar, das der Kontrolle kantonaler Hoheitsakte unter dem spezifischen Aspekt ihrer Verfassungsmässigkeit dient. Daher prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene Rügen (<ref-ruling> E. 1b S. 495 mit Hinweisen). Zur rechtlichen Substanziierung seiner Beschwerde hat der Beschwerdeführer gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht nur die als verletzt behaupteten Rechtssätze zu nennen, sondern auch darzulegen, inwiefern diese Rechtssätze bzw. Rechte durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 4c S. 230; <ref-ruling> E. 1c S. 395 mit Hinweisen).
Bloss appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid ist im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde unzulässig (<ref-ruling> E. 1b S. 495; <ref-ruling> E. b; <ref-ruling> E. 4c S. 230).
Neben appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid und unzulässigen Verweisen auf seine kantonale Rekursschrift macht der Beschwerdeführer auch geltend, der angefochtene Entscheid sei aus prozessualen Gründen aufzuheben.
Er führt aus, die Justizdirektion hätte die - wie sie selbst anerkenne - fehlerhafte Verfügung der Bezirksanwaltschaft aufheben müssen und hätte sie nicht durch eine eigene Verfügung ersetzen dürfen, zu der sie als Strafvollzugsbehörde in seinem Falle nicht zuständig sei. Die Prüfung, ob Kollusionsgefahr bestehe, stehe dem Präsidenten des Obergerichts zu. Diese Ausführungen können als genügend substanziierte Rüge verstanden werden, die Justizdirektion habe ihre Zuständigkeit zum angefochtenen Entscheid auf eine willkürliche, also gegen Art. 9 BV verstossende Auslegung des kantonalen Rechts gestützt. Da diese Rüge, wie im Folgenden zu zeigen ist, gerechtfertigt ist, und der angefochtene Entscheid schon deshalb aufzuheben ist, braucht nicht mehr geprüft werden, ob die übrigen Rügen und Ausführungen des Beschwerdeführers den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügen.
2.- Der Beschwerdeführer macht sinngemäss geltend, die Justizdirektion habe ihre Zuständigkeit zum Erlass der angefochtenen Verfügung in willkürlicher Weise auf ihre Rolle als Beschwerdeinstanz in Strafvollzugssachen gestützt. Ihm als nicht rechtskräftig Verurteiltem gegenüber könnten die angeordneten Massnahmen zur Begegnung einer Kollusionsgefahr nur von den Strafverfolgungsbehörden angeordnet werden. Die Bezirksanwaltschaft hätte solche Massnahmen nicht allein anordnen können, sondern diese hätten nach § 417 Abs. 3 StPO/ZH vom Präsidenten des Obergerichts bestätigt werden müssen, um gültig zu sein. Letztere Auffassung wird auch im angefochtenen Entscheid vertreten. Es fragt sich einzig, ob die Auffassung der Justizdirektion willkürlich ist, dass auch sie als Strafvollzugsbehörde gegenüber einem Gefangenen, der sich im vorzeitigen Strafvollzug befindet, die angefochtenen Massnahmen zur Verhinderung von Kollusionsgefahr ergreifen darf.
a) Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt sodann nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 168; <ref-ruling> E. 4a S. 5, je mit Hinweisen).
b) Der Beschwerdeführer befindet sich im vorläufigen Strafvollzug. Dieser stellt seiner Natur nach eine Massnahme auf der Schwelle zwischen Strafverfolgung und Strafvollzug dar (<ref-ruling> E. 3c S. 259). Das Bundesgericht hat entschieden, dass der im vorläufigen Strafvollzug Befindliche wie ein Untersuchungs- bzw. Sicherheitsgefangener jederzeit seine Freilassung verlangen könne (vgl. <ref-ruling> E. 1d S. 78 ff. mit Hinweisen). Anderseits hat es im Zusammenhang mit der Urlaubsgewährung erkannt, dass unter Willkürgesichtspunkten entweder die Strafverfolgungs- oder die Vollzugsbehörden entsprechende Verfügungen treffen könnten, wenn eine ausdrückliche Zuständigkeitsregelung im kantonalen Recht fehle (vgl. unveröffentlichter Entscheid des Bundesgerichts vom 18. Januar 1977 i.S. Sch. E. 1; siehe zur Problematik der Urlaubsgewährung unter dem Regime des vorzeitigen Strafvollzugs <ref-ruling> E. 3c S. 260). Im vorliegenden Fall geht es hingegen um Einschränkungen der Kontakte des Gefangenen.
Die Lehre und der angefochtene Entscheid gehen davon aus, dass für Briefzensur und die Bewilligung von Besuchen im vorzeitigen Strafvollzug jene Strafverfolgungsbehörden zuständig bleiben (vgl. Niklaus Schmid, in: Donatsch/ Schmid, Kommentar zur Strafprozessordnung des Kantons Zürich, Zürich 1996/98, § 36 N. 12 und § 419 N. 5), die auch gegenüber Untersuchungs- und Sicherheitsgefangenen zuständig sind (vgl. § 20 Abs. 1 der Verordnung vom 17. Dezember 1997 über das Flughafengefängnis [LS 333. 4] und §§ 55 Abs. 1 und 59 Abs. 1 der Verordnung vom 24. April 1994 über die Bezirksgefängnisse [LS 333. 1]). Dies entspricht der allgemeinen Erwägung des Bundesgerichts, im Zweifelsfalle seien bei vorzeitigem Strafantritt die Regeln über die Untersuchungs- und Sicherheitshaft anzuwenden (<ref-ruling> E. 3c S. 260). Für die Regelung von Aussenkontakten des Gefangenen erscheint diese Lösung auch sachgerecht, da nur die Strafverfolgungsbehörden auf Grund ihrer Kenntnis des Verfahrens beurteilen können, welche Kontakte den Verfahrenszweck gefährden.
Gleichartige Kontroll- und Überwachungsmassnahmen können zwar nach Art. 5 VStGB (1) auch die Strafvollzugsbehörden erlassen; aber die Bestimmung unterstreicht, dass dies nur zulässig ist, soweit es die Ordnung der Anstalt gebietet. Im vorliegenden Fall werden die Einschränkungen eindeutig nur mit der Kollusionsgefahr, also einem rein strafprozessualen Zweck begründet. Im angefochtenen Entscheid wird ausführlich dargelegt, dass diese Kollusionsgefahr bestehe und warum ihr nicht anders als durch die angeordneten Massnahmen begegnet werden könne.
Entsprechend ihrer Begründung stützt die Justizdirektion ihre Zuständigkeit nicht auf die VStGB (1) oder kantonales Ausführungsrecht, sondern darauf, dass sie dem erstinstanzlich Verurteilten den Antritt der noch nicht rechtskräftigen Strafe bewilligen könne. Aus diesem Grunde habe sie auch "weniger weit gehend" das Recht, gleichzeitig Massnahmen zu erlassen, die den Zweck der konkret angeordneten Sicherheitshaft garantieren würden. Diese Begründung ist unhaltbar, weil die genannten Massnahmen nicht weniger weit gehen, als der vorzeitige Strafvollzug, sondern weiter und zu diesem hinzukommen. Auch wenn die Begründung der Justizdirektion so zu verstehen wäre, dass die angeordneten Massnahmen "weniger weit gehen" würden als eine Verweigerung des vorzeitigen Strafvollzugs, also milder als eine Fortdauer der Sicherheitshaft seien, so wäre die Argumentation gleichwohl unhaltbar. Die Anordnung von Sicherheitshaft liegt in der Zuständigkeit anderer Behörden. Damit kann die gegebene Begründung von vornherein nicht die Zuständigkeit der Strafvollzugsbehörden zum Erlass von angeblich "weniger weit gehenden" Massnahmen rechtfertigen.
Auch im Ergebnis ist die Annahme unhaltbar, die Justizdirektion sei zum Erlass der angeordneten Massnahmen zuständig. Um zu beurteilen, ob und welche Massnahmen das fortdauernde Strafverfahren zur Verhinderung von Kollusionen erfordert, müsste die Strafvollzugsbehörde das Verfahren kennen. Zu Recht kritisiert der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang, dass die Justizdirektion keine Einsicht in die Untersuchungsakten genommen habe. Bezeichnenderweise verweist diese auf Absprachen zwischen Strafverfolgungs- und Strafvollzugsbehörden. Weiter führt sie aus, inhaltlich könne sie auf die Anordnungen abstellen, "wie sie die mit der Sache am nächsten befasste Anklagebehörde verfügt" habe.
Somit gesteht sie selbst ein, dass sie nicht selbstständig sachgerecht und in Abwägung aller Interessen entscheiden kann. Ihr eigener Entscheid dient einzig dazu, das vom Gesetzgeber vorgesehene Erfordernis einer Zustimmung des Obergerichtspräsidenten zu umgehen. In diesem Punkte verstösst der angefochtene Entscheid gegen die Zuständigkeit des Obergerichtspräsidenten und ist deshalb auch im Ergebnis willkürlich.
Entgegen der Auffassung der Justizdirektion war ihr Entscheid auch nicht zur Vermeidung weiterer Umtriebe nötig.
Die Bezirksanwaltschaft hätte die Bestätigung des Obergerichtspräsidenten jederzeit einholen oder den Erlass der umstrittenen Massnahmen neu bei ihm beantragen können. Der Präsident hätte die Notwendigkeit der Massnahmen ohne Umtriebe beurteilen können, da die Berufung beim Obergericht hängig ist und dieses über die beantragten zusätzlichen Einvernahmen von Zeugen zu entscheiden hat, mit denen Kollusionsgefahr bestehen könnte. Umgekehrt würde es der Justizdirektion Umtriebe verursachen, wenn sie mit der nötigen Aktenkenntnis über den Erlass der umstrittenen Massnahmen entscheiden und diese laufend dem Verfahrensstand anpassen müsste.
3.- Zusammenfassend ergibt sich, dass die Justizdirektion ihre Zuständigkeit zum angefochtenen Entscheid auf eine willkürliche Auslegung des kantonalen Rechts gestützt hat.
Daher ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben, ohne dass die weiteren Rügen des Beschwerdeführers behandelt zu werden brauchen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 156 Abs. 2 OG). Der Antrag des Beschwerdeführers auf unentgeltliche Rechtspflege ist somit gegenstandslos. Da der Beschwerdeführer nicht anwaltlich vertreten ist, ist ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen und die Verfügung der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich vom 25. Juli 2000 aufgehoben.
2.- Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bezirksanwaltschaft Bülach (Büro 4) und der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 21. August 2000
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: