Sachverhalt:
A.
Die A._ SA (Klägerin; Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft nach <ref-law> mit Sitz in Freiburg. Sie bezweckt im Wesentlichen die Beteiligung an Unternehmen im Pflege- und Gesundheitsbereich.
Die B._ AG (Beklagte; Beschwerdegegnerin) ist eine Anwaltskanzlei, die sich als Aktiengesellschaft mit Sitz in Zürich.
An der Generalversammlung der A._ SA vom 9. Juni 2010 wurden drei der sechs Verwaltungsräte, nämlich C._, D._ sowie E._, als Verwaltungsräte nicht wiedergewählt, und angestrebte Neuwahlen von Verwaltungsratsmitgliedern kamen nicht zustande. Nach dem Rücktritt von F._ aus dem Verwaltungsrat anlässlich der Sitzung vom 15. Juni 2010 setzte sich dieser nur noch aus den kollektivzeichnungsberechtigten Verwaltungsräten G._ und H._ zusammen.
In dieser Zusammensetzung erteilte der Verwaltungsrat diverse Aufträge an externe Berater. Darunter mandatierte er auch die Beklagte als Rechtsberaterin der Klägerin. Der Verwaltungsrat genehmigte die Mandatierung mit Beschluss vom 15. Juni 2010. In der Folge erbrachte die Beklagte diverse Leistungen. Wegen finanzieller Probleme der Klägerin wurden aber die Honorarrechnungen der Beklagten nicht bezahlt. Nach Gesprächen akzeptierte der Verwaltungsrat einen von der Beklagten vorgelegten Abzahlungsplan.
An der ausserordentlichen Generalversammlung vom 6. September 2010 wurden sieben zusätzliche Personen in den Verwaltungsrat gewählt. Daraufhin widerrief die Klägerin ein allfälliges Mandatsverhältnis mit der Beklagten mit sofortiger Wirkung. Die Beklagte stellte Schlussrechnung. Mit Schreiben vom 5. Oktober 2010 erklärte die Klägerin, dass sie jegliche von Verwaltungsräten unterzeichnete Schuldanerkennung anfechte bzw. widerrufe. Die Beklagte setzte ihre Honorarforderung im Umfang des im Abzahlungsplan anerkannten Betrages in Betreibung, wofür ihr provisorische Rechtsöffnung erteilt wurde.
B.
Mit Klage vom 9. August 2011 beantragte die Klägerin dem Handelsgericht des Kantons Zürich, es sei festzustellen, dass die Forderungen in folgender Höhe, für die der Beklagten mit Entscheid des Juge de paix du district de Nyon vom 14. Juli 2011 im Verfahren KC11.018950 provisorische Rechtsöffnung erteilt wurde, nicht bestehen: Fr. 948'028.80, zuzüglich Kosten von Fr. 703.--, zuzüglich Zins zu 8 % p.a. auf Fr. 150'000.-- seit 1. September 2010, Zins von 8 % p.a. auf Fr. 200'000.-- seit 1. Oktober 2010, Zins von 8 % p.a. auf Fr. 200'000.-- seit 1. November 2010, Zins von 8 % auf Fr. 200'000.-- seit 1. Dezember 2010 und Zins von 8 % p.a. auf Fr. 198'028.80 seit 1. Januar 2011.
Zur Begründung ihrer Klage machte die Klägerin geltend, die Mandatierung der Beklagten sei zufolge nicht statuten- und reglementskonformer Zusammensetzung des Verwaltungsrates nach dem Rücktritt von F._ nicht gültig erfolgt. Zudem lägen Interessenkonflikte vor. Die Schuldanerkennung sei aus denselben Gründen ungültig und führe nicht zu einer Umkehr der Beweislast. Die Beklagte habe ihre Honorarforderung nicht genügend substanziiert vorgebracht. Ihre Honorarnoten seien auch nicht nachvollziehbar und zu hoch; die Klägerin akzeptiere die verrechneten Stundenansätze nicht. Die Klägerin brachte zudem Gegenforderungen zur Verrechnung.
Die Beklagte erhob Widerklage auf Bezahlung von Fr. 131'373.55 zuzüglich Zins zu 8 % p.a. seit 1. Januar 2011 für über die Schuldanerkennung hinausgehende Honoraransprüche.
Mit Urteil vom 22. Januar 2014 hiess das Handelsgericht die Aberkennungsklage im Umfang von Fr. 4'023.80 gut und wies sie im Betrag von Fr. 944'005.-- ab. Zudem hielt es fest, die mit Verfügung des Juge de paix du district de Nyon vom 14. Juli 2011 in der Betreibung Nr. xxx des Office des poursuites du district de Nyon (Zahlungsbefehl vom 14. April 2011) erteilte provisorische Rechtsöffnung sei damit definitiv im Betrag von Fr. 812'631.45 zuzüglich Zins zu 8 % p.a. auf Fr. 150'000.-- seit 1. September 2010, 8 % p.a. auf Fr. 200'000.-- seit 1. Oktober 2010, 8 % auf Fr. 200'000.-- seit 1. November 2010, 8 % auf Fr. 200'000.-- seit 1. Dezember 2010 und 8 % p.a. auf Fr. 62'631.45 seit 1. Januar 2011. Im Weiteren verpflichtete das Handelsgericht die Klägerin in Gutheissung der Widerklage, der Beklagten Fr. 131'373.55 zuzüglich Zins zu 8 % p.a. seit 1. Januar 2011 zu bezahlen.
Die teilweise Gutheissung der Aberkennungsklage im Umfang von Fr. 4'023.80 betrifft zum einen den zu Unrecht fakturierten Betrag von Fr. 726.80 (recte wohl 723.80) für Leistungen vor der eigentlichen Erteilung des Mandats am 9. Juni 2010, zum andern den von der Beklagten anerkannten Betrag von Fr. 3'300.--. Diese Beträge sind vor Bundesgericht nicht mehr streitig.
C.
Die Klägerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts vom 22. Januar 2014 aufzuheben. Die Aberkennungsklage sei gutzuheissen und die Widerklage abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts, Durchführung eines ordentlichen Beweisverfahrens und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Die Parteien reichten Replik und Duplik ein.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Handelsgerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>). Gegen Entscheide der als einzige kantonale Instanzen im Sinne von <ref-law> urteilenden Handelsgerichte (<ref-law>) ist die Beschwerde an das Bundesgericht streitwertunabhängig gegeben (<ref-ruling> E. 1.2). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Erwägung 2) - auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.1/2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieses offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1. S. 399).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90; Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1).
Die Beschwerdeführerin kann demnach nicht gehört werden, soweit sie ihre Argumentation auf einen Sachverhalt stützt, der von den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht, ohne im Einzelnen hinreichend begründete Sachverhaltsrügen gemäss den dargelegten Grundsätzen zu erheben.
3.
Die Beschwerdeführerin steht auf dem Standpunkt, dass keine gültige Beauftragung der Beschwerdegegnerin vorliege. Die Mandatierung und die Tätigkeit der Beschwerdegegnerin sei allein im Interesse von G._ und H._ und nicht im Interesse der Beschwerdeführerin erfolgt und habe deshalb die Beschwerdeführerin nicht verpflichtet (dazu Erwägung 3.1). Überdies sei die Mandatserteilung ungültig, weil der Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin nach dem Rücktritt von F._ nicht mehr statutenkonform zusammengesetzt und somit nicht beschlussfähig gewesen sei (dazu Erwägung 3.2). Die Vorinstanz verwarf beide Vorbringen, was die Beschwerdeführerin als Verletzung von Art. 718 und <ref-law> rügt. Ausserdem wirft sie ihr im Zusammenhang mit der Frage der Gutgläubigkeit der Beschwerdegegnerin eine falsche Anwendung von <ref-law> vor sowie durch das Auslassen eines Beweisverfahrens eine Verletzung von <ref-law> und <ref-law>.
3.1.
3.1.1. Der Verwaltungsrat vertritt die Gesellschaft nach aussen (<ref-law>). Nach <ref-law> können die zur Vertretung befugten Personen im Namen der Gesellschaft alle Rechtshandlungen vornehmen, die der Zweck der Gesellschaft mit sich bringen kann. Diese Vorschrift wird zum Schutz gutgläubiger Dritter weit ausgelegt. Unter Rechtshandlungen, die der Gesellschaftszweck mit sich bringen kann, sind nicht bloss solche zu verstehen, die der Gesellschaft nützlich sind oder in ihrem Betrieb gewöhnlich vorkommen; erfasst sind vielmehr ebenfalls ungewöhnliche Geschäfte, sofern sie auch nur möglicherweise im Gesellschaftszweck begründet sind, d.h. durch diesen zumindest nicht geradezu ausgeschlossen werden (<ref-ruling> E. 3a S. 323; <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 3a S. 364; Urteile 4A_357/2007 vom 8. April 2008 E. 4.2; 4C.77/2000 vom 3. Juli 2000 E. 2a, nicht publ. in: BGE <ref-ruling>, je mit Hinweisen). Nur in Extremfällen sind Vertretungshandlungen wegen Zweckwidrigkeit und damit Überschreitung der Vertretungsmacht als von Anfang an für die Gesellschaft unverbindlich und ungültig anzusehen (Peter Böckli, Schweizer Aktienrecht, 4. Aufl. 2009, S. 1742 f. Rz. 497 mit Beispielen). Der Umfang der Vertretungsmacht des Verwaltungsrats im Aussenverhältnis erfasst demnach alle Rechtsgeschäfte, die vom objektiv verstandenen Gesellschaftszweck nicht geradezu ausgeschlossen sind.
Bei einem Konflikt zwischen den Interessen der juristischen Person und jenen des handelnden Organs ist grundsätzlich davon auszugehen, dass die Vertretungsbefugnis nach dem mutmasslichen Willen der juristischen Person stillschweigend jene Geschäfte ausschliesst, welche sich als interessen- bzw. pflichtwidriges Vertreterhandeln erweisen. Eine stillschweigende Beschränkung der Vertretungsbefugnis kann aber dem gutgläubigen Dritten nicht entgegengehalten werden. Der Interessenkonflikt vermag die Vertretungsmacht nur zu begrenzen, wenn er für den Dritten erkennbar war oder dieser ihn wenigstens bei gebührender Sorgfalt hätte erkennen müssen (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 363). Ist kein Interessenkonflikt in diesem Sinn erkennbar, kann sich der Vertragspartner auf die Vertretungsbefugnis gemäss Handelsregistereintrag verlassen (Urteile 4A_617/2013 vom 30. Juni 2014 E. 5.1; 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 3.2.1).
3.1.2. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin bringe vor, diverse Handlungen der Beschwerdegegnerin seien nicht in ihrem Interesse gewesen. Sie mache aber nicht geltend, die Mandatierung der Beschwerdegegnerin per se sei nicht durch den Gesellschaftszweck gedeckt gewesen oder sei diesem entgegen gestanden oder sei ganz Allgemein nicht in ihrem Interesse erfolgt. Die Mandatierung einer Anwaltskanzlei, insbesondere zur Rechtsberatung, wäre denn auch kaum jenseits der Zweckgrenze einer Gesellschaft gelegen.
Allfällige mit der Mandatierung verfolgte Eigeninteressen der damaligen Verwaltungsräte führten ebenfalls nicht ohne Weiteres zu einem relevanten Interessenkonflikt. In dieser Hinsicht verpasse es die Beschwerdeführerin einen Konflikt zwischen ihren und den Interessen der Verwaltungsräte im Rahmen der Mandatierung klar und deutlich auszuscheiden sowie substanziiert vorzutragen. So gehe es nicht um einzelne Handlungen der Beschwerdegegnerin, die sie im Zuge der Mandatierung erbracht habe, sondern nur um die Frage, ob die Mandatierung selbst rechtsgültig erfolgt sei. Insbesondere hielt die Vorinstanz die Argumente in Bezug auf die Aktionärsgruppe rund um G._ für zu wenig substanziiert. So möge es zwar sein, dass diese Gruppe versucht habe, ihren Einfluss auf die Beschwerdeführerin zu stärken und eine Rückkehr jener Personen in den Verwaltungsrat zu verhindern, die sie anlässlich der ordentlichen Generalversammlung abgewählt hatte. Ganz allgemein lasse sich ein solches Verhalten jedenfalls noch nicht als den Interessen der Gesellschaft gegenläufig qualifizieren. Im Übrigen wäre auch der Einfluss auf die erfolgte Mandatierung der Beschwerdegegnerin fraglich.
Die Vorinstanz gelangte demgemäss zum Ergebnis, dass die Beschwerdeführerin die Beschwerdegegnerin rechtsgültig als Rechtsberaterin mandatiert habe. Es lägen keine rechtsrelevanten Interessenkonflikte im Rahmen der Mandatierung vor.
3.1.3. Die Beschwerdeführerin zeigt nicht auf und stellte gemäss Vorinstanz im kantonalen Verfahren auch nicht in Abrede, dass die Mandatierung einer Anwaltskanzlei, insbesondere zur Rechtsberatung, ausserhalb der Zweckgrenze einer Gesellschaft liegen würde. Es kann daher nicht gesagt werden, die Beauftragung der Beschwerdegegnerin mit der Rechtsberatung der Beschwerdeführerin sei wegen Zweckwidrigkeit und damit Überschreitung der Vertretungsmacht als von Anfang an für die Gesellschaft unverbindlich und ungültig anzusehen. Vielmehr ist mit der Vorinstanz festzuhalten, dass die Verwaltungsräte G._ und H._ durch die Beauftragung der Beschwerdegegnerin mit der Rechtsberatung der Gesellschaft ein Rechtsgeschäft abschlossen, das vom Zweck der Gesellschaft gedeckt war. Die Beschwerdeführerin wurde mithin rechtsgültig verpflichtet.
3.1.4. Die Beschwerdeführerin machte geltend, die Verwaltungsräte G._ und H._ hätten sich bei der Mandatierung der Beschwerdegegnerin in einem Interessenkonflikt befunden bzw. sich pflichtwidrig verhalten, was die Beschwerdegegnerin im Detail gewusst habe. Sie hätten daher die Beschwerdeführerin nicht gültig verpflichten können. Sie listet eine Reihe von Umständen auf, die zeigen sollen, dass die Beschwerdegegnerin tatsächlich die "persönlichen Interessen ihres Klienten G._ und von dessen Verbündeten H._" wahrgenommen habe. Mit dem behaupteten Interessenkonflikt meint sie insbesondere den Machtkampf zwischen den beteiligten Aktionärsgruppen um die Kontrolle der Beschwerdeführerin. Damit vermag sie das entscheidende Argument der Vorinstanz nicht zu entkräften, dass als rechtsrelevanter Interessenkonflikt dargetan sein müsste, dass die von den Verwaltungsräten im Rahmen der Mandatierung der Beschwerdegegnerin verfolgten Interessen effektiv gegenläufig zu den Interessen der Beschwerdeführerin gewesen seien. Einen diesbezüglichen Interessenkonflikt vermochte die Beschwerdeführerin nach den Feststellungen der Vorinstanz nicht substanziiert vorzutragen, weshalb die Vorinstanz einen solchen verneinen konnte. Eine andere Beurteilung erheischen auch die Ausführungen in der Beschwerde nicht.
3.1.5. Namentlich ist der Vorinstanz in ihrer Ansicht beizupflichten, dass aus dem Umstand, dass die Aktionärsgruppe rund um G._ versucht haben mag, ihren Einfluss auf die Beschwerdeführerin zu stärken und eine Rückkehr jener Personen in der Verwaltungsrat zu verhindern, die sie anlässlich der ordentlichen Generalversammlung abgewählt hatte, nicht abgeleitet werden kann, dass ein solches Verhalten den Interessen der Gesellschaft zuwiderlaufen musste. Es wurde bereits in einem Parallelverfahren festgehalten, dass grundsätzlich angenommen werden darf, dass Aktionäre als Teilhaber einer Gesellschaft neben ihren persönlichen Interessen auch die Interessen der Gesellschaft wahren wollen (Urteil 4A_617/2013 vom 30. Juni 2014 E. 5.1.2). Dass dies hier in Bezug auf G._ nicht der Fall gewesen wäre, vermochte die Beschwerdeführerin nach den Feststellungen der Vorinstanz nicht genügend substanziiert zu behaupten, weshalb dazu auch kein Beweisverfahren durchzuführen war, und die diesbezügliche Rüge einer Verletzung von <ref-law> und <ref-law> fehl geht. Welche personelle Zusammensetzung des Verwaltungsrats im Interesse der Gesellschaft lag und welche nicht, ist entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin nicht offenkundig. Vor allem ist nicht dargetan, dass es nur diejenige Zusammensetzung gewesen sein soll, welche die Beschwerdeführerin heute postuliert und ihrer Argumentation zugrunde legt. Die Vorinstanz durfte daher einen Interessenkonflikt in Bezug auf den Verwaltungsrat und die Beschwerdeführerin verneinen und von einer gültigen Mandatierung ausgehen, ohne Bundesrecht (<ref-law> und <ref-law>) zu verletzen.
Damit brauchte sie zur behaupteten Bösgläubigkeit der Beschwerdegegnerin kein Beweisverfahren durchzuführen. Denn die Frage, ob die Beschwerdegegnerin gutgläubig war, stellt sich nur, wenn überhaupt von einem Mangel bzw. einem Interessenkonflikt auszugehen wäre. Die gerügte Verletzung von <ref-law> sowie von <ref-law> und <ref-law> stösst ins Leere. Soweit die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vorwirft, willkürlich gehandelt zu haben, dies aber nicht weiter begründet, kann darauf mangels hinlänglicher Begründung nicht eingetreten werden.
3.1.6. Die Vorinstanz verwarf auch das Vorbringen der Beschwerdeführerin, dass die Mandatierung der Beschwerdegegnerin deshalb ungültig sei, weil G._ bei der Beschlussfassung in den Ausstand hätte treten müssen und H._ den Beschluss nicht alleine hätte fassen dürfen. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz nicht auseinander, sondern wiederholt bloss ihre Ansicht, dass G._ anlässlich der Beschlussfassung betreffend Mandatserteilung hätte in den Ausstand treten müssen. Darin kann keine rechtsgenügliche Anfechtung erblickt werden, weshalb auf diese Thematik nicht weiter einzugehen ist.
3.2.
3.2.1. In einem weiteren Argumentationsstrang hält die Beschwerdeführerin die Mandatserteilung wegen eines Organisationsmangels im Zeitpunkt der Beschlussfassung für ungültig. Sie bringt vor, der Verwaltungsrat sei nach dem Rückritt von F._ am 15. Juni 2010 nicht mehr statutenkonform zusammengesetzt und daher nicht beschlussfähig gewesen, da er entgegen Art. 17 Ziff. 1 der Statuten und Art. 3 Abs. 2 des Organisationsreglements nur aus zwei statt mindestens drei Mitgliedern bestanden habe. Die Auftragserteilung sei demnach mangels Beschlussfähigkeit nicht gültig erfolgt.
3.2.2. Die Vorinstanz verwarf dieses Argument und gelangte gegenteilig zum Schluss, dass der Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin in der Zeit vom 15. Juni bis 6. September 2010 trotz der den Statuten und dem Organisationsreglement nicht entsprechenden Zusammensetzung beschlussfähig gewesen sei. Ebensowenig beeinflusse jener Umstand die Vertretungsmacht der Verwaltungsräte. Die beiden Verwaltungsräte G._ und H._ seien im massgebenden Zeitraum und darüber hinaus im Handelsregister als Vertreter der Beschwerdeführerin mit Kollektivzeichnungsberechtigung eingetragen und daher zur Vertretung der Beschwerdeführerin befugt gewesen.
Die Beschwerdeführerin erblickt darin eine Verletzung von Art. 718 und <ref-law>.
3.2.3. Sie meint weiterhin, dass der Verwaltungsrat intern nicht beschlussfähig gewesen sei. Die anderslautende Erkenntnis der Vorinstanz ficht sie indessen nicht rechtsgenügend an, indem sie diesbezüglich bloss behauptet, Art. 17 Ziff. 1 der Statuten und Art. 3 Abs. 2 des Organisationsreglements gingen als "konkrete Bestimmungen" dem von der Vorinstanz erwähnten Art. 21 der Statuten vor. Was aus Art. 21 der Statuten implizit abgeleitet werden könne, sei damit unerheblich.
Dieser Einwand ist nicht weiter substanziiert und vermag den von der Vorinstanz ermittelten Gehalt von Art. 21 der Statuten nicht hinlänglich zu widerlegen. Mangels genügender Anfechtung bleibt es bei der Erkenntnis der Vorinstanz, dass der Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin trotz Nichterreichens der Mindestzahl gemäss Statuten gültig beschliessen konnte.
Damit entbehrt auch das neu vorgebrachte Argument der Beschwerdeführerin der Grundlage, wonach die Beschwerdegegnerin Kenntnis vom internen Organisationsmangel gehabt habe und sich demnach nicht auf den für sie bekanntermassen "ungültigen" Verwaltungsratsbeschluss vom 15. Juni 2010 berufen könne. Da nach dem vorstehend Gesagten entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin davon auszugehen ist, dass der Verwaltungsrat trotz der statutenwidrigen Besetzung beschlussfähig blieb, kann der Beschwerdegegnerin nicht die Kenntnis der (nicht vorliegenden) Ungültigkeit des Beschlusses vom 15. Juni 2010 entgegen gehalten werden. Selbstredend entfällt damit auch die von der Beschwerdeführerin aus jenem Vorwurf abgeleitete Wirkung auf die Vertretungsmacht gegen aussen.
3.2.4. Vielmehr ist mit der Vorinstanz festzuhalten, dass die statutenwidrige Zusammensetzung des Verwaltungsrates keinen Einfluss auf die Vertretungsmacht hatte. Die Beschwerdeführerin bringt in diesem Zusammenhang vor, <ref-law> spreche von den "zur Vertretung befugten Personen" und verweise damit auf <ref-law>. Letztere Bestimmung verweise ausdrücklich auf die "Statuten oder das Organisationsreglement" der Gesellschaft; damit habe der Gesetzgeber zum Ausdruck gebracht, dass auch die externe Vertretung letztlich auf einer gehörigen internen Bestellung der Organe beruhen müsse, was vorliegend nicht der Fall gewesen sei. Auch dieses Argument greift nicht:
3.2.5. In der Aktiengesellschaft vertritt der Verwaltungsrat die Gesellschaft nach aussen. Bestimmen die Statuten oder das Organisationsreglement nichts anderes, so steht die Vertretungsbefugnis jedem Mitglied einzeln zu (<ref-law>). Gemäss <ref-law> kann der Verwaltungsrat die Vertretung einem oder mehreren Mitgliedern oder Dritten übertragen. Die zur Vertretung der Gesellschaft befugten Personen sind ins Handelsregister einzutragen (<ref-law>). Durch die Publikation im Handelsregister gibt die Gesellschaft gegen aussen kund, wer sie vertreten kann; damit sind Handlungen der gemäss Handelsregistereintrag zur Vertretung ermächtigten Personen der Gesellschaft zuzurechnen und zwar unabhängig davon, ob die entsprechenden Organe die gesellschaftsinternen Kompetenz- und Handlungsrichtlinien beachtet haben (Urteile 4A_617/2013 vom 30. Juni 2014 E. 5.2; 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 3.1.3; 4A_357/2007 vom 8. April 2008 E. 4.2).
Die damals einzigen Verwaltungsräte G._ und H._ waren im Handelsregister ordnungsgemäss als Kollektivzeichnungsberechtigte eingetragen. Sie konnten die Beschwerdeführerin demnach gemeinsam verpflichten. Daran ändert der Hinweis der Beschwerdeführerin auf "die zur Vertretung befugten Personen" in <ref-law> bzw. auf "die Statuten oder das Organisationsreglement" in <ref-law> nichts. Denn der in <ref-law> enthaltene Vorbehalt abweichender Bestimmungen in den Statuten oder dem Organisationsreglement bezieht sich einzig auf die gesetzliche Vermutung der Einzelzeichnungsberechtigung jedes Verwaltungsratsmitglieds, nicht aber auf irgendwelche Statutenbestimmungen zur Zusammensetzung des Verwaltungsrats oder zur Art, wie dieser intern Beschlüsse zu fassen hat (vgl. Watter, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht, 4. Aufl. 2012, N. 11 zu <ref-law>). Die nicht statutengemässe Zusammensetzung des Verwaltungsrats hatte demnach keinen Einfluss auf die gegen aussen wirkende Vertretungsmacht der Verwaltungsräte G._ und H._.
3.2.6. Die Vorinstanz bejahte mithin die Gültigkeit der Mandatierung der Beschwerdegegnerin, ohne Art. 718 und <ref-law> zu verletzen.
4.
4.1. Die Vorinstanz erkannte, dass das Schreiben vom 24./30. August 2010 ein kausales Schuldbekenntnis der Beschwerdeführerin darstelle. Dies wird seitens der Beschwerdeführerin nicht mehr in grundsätzlicher Hinsicht in Abrede gestellt. Sie macht jedoch geltend, die Schuldanerkennung sei mangels Beschlussfähigkeit des statutenwidrig zusammengesetzten Verwaltungsrates (Organisationsmangel) ungültig sowie, weil H._ und G._ (bzw. der den letzteren vertretende I._) mit der Unterzeichnung der Schuldanerkennung nicht im Interesse der Gesellschaft gehandelt hätten.
Sie nimmt damit auch bezüglich der Schuldanerkennung die gleichen Argumente auf, die sie gegen die Gültigkeit der Mandatierung vorbrachte. Wie dort vermögen diese auch hier nicht durchzudringen:
4.1.1. Das Argument der mangelnden internen Beschlussfähigkeit sticht aus den gleichen Gründen wie bei der Mandatserteilung, auf die verwiesen werden kann (Erwägung 3.2), auch bei der Schuldanerkennung nicht. Die Vorinstanz erkannte zu Recht, dass die beiden im Zeitpunkt der Unterzeichnung der Schuldanerkennung als kollektivzeichnungsberechtigt im Handelsregister eingetragenen Verwaltungsräte H._ und G._ die Gesellschaft gültig verpflichten konnten. Eine Verletzung von Art. 718 und <ref-law> liegt nicht vor.
4.1.2. Ferner bringt die Beschwerdeführerin vor, die Verwaltungsräte H._ und G._ (bzw. der für diesen handelnde I._) hätten auch bei Unterzeichnung der Schuldanerkennung für die Beschwerdegegnerin erkennbar in eigenem Interesse und nicht im Interesse der Gesellschaft gehandelt. Es sei nur darum gegangen, der Beschwerdegegnerin das Inkasso zu erleichtern, wobei die Unterstützung dieses Anliegens auch den persönlichen Anliegen von G._ gedient habe, der selbst Klient der Beschwerdegegnerin gewesen sei. Indem die Vorinstanz trotzdem die Schuldanerkennung für gültig zustande gekommen beurteilt habe, habe sie auch aus diesem Grund Art. 718 und <ref-law> verletzt.
Diese Argumentation verfängt auch im Zusammenhang mit der Schuldanerkennung nicht. Wie die Vorinstanz richtig festhielt, erfolgt eine Schuldanerkennung schon von ihrem Wesen her im Interesse des Gläubigers und nicht des Schuldners, hier der Beschwerdeführerin. Das heisst aber nicht, dass die Ausstellung einer Schuldanerkennung ausserhalb des objektiv verstandenen Gesellschaftszwecks liegen würde. Vielmehr ist mit der Vorinstanz festzuhalten, dass die Ausstellung einer Schuldanerkennung im Sinne von <ref-law> zu den Rechtshandlungen gehört, die der Gesellschaftszweck mit sich bringen kann. Die Vertretungsmacht von G._ und H._ war mithin nicht überschritten. Sodann ist den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz nicht zu entnehmen, dass ein Konflikt zwischen den Interessen der Beschwerdeführerin und persönlichen Interessen der Verwaltungsräte G._ und H._ bestand, welcher deren Vertretungsmacht zu begrenzen vermocht hätte. Die appellatorischen Darlegungen der Beschwerdeführerin ändern nichts an dieser tatsächlichen Ausgangslage und erlauben keine Ergänzung des Sachverhalts. Auf der Grundlage des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts ist auch in diesem Zusammenhang keine Verletzung von Art. 718 und <ref-law> dargetan.
Es ist somit von einer gültigen Schuldanerkennung auszugehen.
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe (möglicherweise) <ref-law> und <ref-law> verletzt, sofern sie von einer novatorischen Wirkung der Schuldanerkennung ausgehen sollte. Letzteres trifft indessen nicht zu (vgl. angefochtenes Urteil E. 6.4.4), weshalb die Rüge ins Leere stösst.
4.3. Entgegen dem weiteren Einwand der Beschwerdeführerin erkannte die Vorinstanz sodann in Übereinstimmung mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, dass die Schuldanerkennung zu einer Umkehr der Beweislast führt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 273; ferner etwa die Urteile 4C.53/2001 vom 17. August 2001 E. 2b; 4A_617/2013 vom 30. Juni 2014 E. 6.3; 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 3.3). Sie hielt demnach zutreffend fest, dass die Beschwerdegegnerin mit dem Nachweis der Schuldanerkennung den Hauptbeweis für die Existenz der Forderung im anerkannten Umfang von Fr. 866'655.25 erbracht hatte.
4.4. Die Beschwerdeführerin erhob gegen die anerkannte Schuld Einwendungen. So bestritt sie die Höhe der verrechneten Stundenansätze und ebenso den Umfang der in Rechnung gestellten Leistungen. Die Vorinstanz prüfte daher, ob der Schuldanerkennung diesbezüglich die Wirkungen eines Einredeverzichts zukomme.
4.4.1. Mit einer Schuldanerkennung erklärt der Anerkennende dem Anerkennungsempfänger, dass er ihm gegenüber eine Schuld hat. Es handelt sich also um eine rechtsgeschäftliche Erklärung. Der Schuldner kann sich grundsätzlich auf sämtliche Einreden und Einwendungen (Erfüllung, Nichterfüllung, Verjährung etc.) berufen, die sich gegen die anerkannte Schuld richten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 272 f; Urteile 4A_152/2013 vom 20. September 2013 E. 2.3; 4A_757/2011 vom 3. April 2012 E. 2.1; 4A_119/2010 vom 29. April 2010 E. 2.1; je mit Hinweisen). Nur ausnahmsweise ist mit der Schuldanerkennung eine zusätzliche Abrede verbunden, dass der Schuldner bezüglich der anerkannten Schuld auf bestimmte Einreden verzichte. Ein solcher Einredeverzicht ist nicht leichthin anzunehmen und muss eindeutig sein, da er für den Schuldner von grosser Tragweite ist (BGE 65 II 66 E. 8b S. 82). Die Beweislast für eine derartige Einredebeschränkung trägt der Gläubiger (Urteil 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 3.3 mit Hinweisen).
4.4.2. Die Vorinstanz gelangte in objektivierter Auslegung der Schuldanerkennung vom 24./30. August 2010 zum Ergebnis, dass diese in Bezug auf die erhobenen Einreden bzw. Einwendungen einen Einredeverzicht beinhalte. Die Einreden der Beschwerdeführerin gegen die Höhe der verrechneten Stundenansätze sowie den Umfang der erbrachten Leistungen seien daher nicht zu hören. Einzig die Leistungen, welche die Beschwerdegegnerin vor der eigentlichen Mandatierung am 9. Juni 2010 erbracht und in Rechnung gestellt hatte, seien vom Einredeverzicht nicht erfasst, da die Schuldanerkennung die Bezahlung für "seit dem 9. Juni 2010 für die Gesellschaft erbrachten Leistungen" erfasse. Aus diesem Grund sei die Honorarforderung um Fr. 726.30 zu kürzen. In einer Eventualbegründung zeigte die Vorinstanz sodann auf, dass die erhobenen Einwendungen ohnehin materiell unbegründet sind. Die Beschwerdeführerin ficht beide Begründungen an, womit sie prozessual korrekt vorgeht (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.). Zu prüfen ist zunächst, ob die Hauptbegründung der Vorinstanz den Vorbringen der Beschwerdeführerin standhält:
4.4.3. Zur Begründung des Einredeverzichts erwog die Vorinstanz, für einen solchen fänden sich bereits im Wortlaut der Schuldanerkennung Hinweise: So bestätigten die Verwaltungsräte H._ und G._ namens der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin mehrfach Zusicherungen gegeben zu haben, die Honorarnoten zu bezahlen, dass diese aber aufgrund der angespannten Liquiditätslage der Beschwerdeführerin erst nach Begleichung der für das Überleben der Beschwerdeführerin notwendigen Schulden bezahlt werden könnten. Diese Zusicherungen, aber auch das unterzeichnete Schuldbekenntnis, enthielten keine Vorbehalte. Aus dem Dokument ergebe sich lediglich, dass die Beschwerdeführerin einen Rabatt auf der Honorarforderung gewünscht habe. Auch habe die Beschwerdeführerin die Behauptung der Beschwerdegegnerin, die Schuldanerkennung beinhalte den vorbehalts- und bedingungslosen Willen der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin die im Schreiben ausgewiesene Summe von Fr. 866'655.25 zu bezahlen, nicht substanziiert bestritten. Gerade dieser vorbehalts- und bedingungslose Wille der Beschwerdeführerin, die anerkannte Schuld nach verbesserter Liquiditätslage zu bezahlen, deute darauf hin, dass die Beschwerdeführerin auf Einreden gegen die anerkannte Forderung verzichtet habe.
Dies müsse umso mehr gelten, als der Verwaltungsrat namens der Beschwerdeführerin durch das Schuldbekenntnis die am 4. (recte wohl: 2.) Juli und 24. August 2010 in Rechnung gestellten Totalbeträge akzeptiert habe, ohne eine Abrechnung zu verlangen, geschweige denn die angefallenen Kosten zu hinterfragen. Zwar sei es tatsächlich so, dass sich weder aus der Schuldanerkennung noch aus den dieser zu Grunde liegenden Rechnungen vom 2. Juli und 24. August 2010 detaillierte Angaben über die erbrachten Leistungen und die verrechneten Stundenansätze lesen liessen; die (schriftliche) Spezifikation habe die Beschwerdegegnerin erst mit Übergabe der Leistungsbeschriebe am 1. März 2011 geliefert. Doch müsse sich dies ebenfalls die Beschwerdeführerin vorhalten lassen: So sei der Verwaltungsrat gegen die Rechnungen vom 2. Juli und 24. August 2010 nicht eingeschritten. Der Verwaltungsrat habe es unterlassen, im Zuge dieser Rechnungen umgehend eine detaillierte Aufstellung der Leistungen der Beschwerdegegnerin zu verlangen, um so die gestellte Honorarrechnung im einzelnen überprüfen zu können. Im Gegenteil: Er habe die offenen Rechnungen im Umfang von Fr. 866'655.25 vorbehalts- und bedingungslos anerkannt.
Überdies sei die Beschwerdeführerin bereits mit E-Mail der Beschwerdegegnerin vom 25. Juli 2010 auf Ausstände im Umfang von Fr. 505'000.-- hingewiesen worden. Auch auf diese E-Mail habe die Beschwerdeführerin nicht reagiert, obwohl nach nur sechs Wochen Mandatsarbeit der Beschwerdegegnerin bereits eine offene Forderung im Umfang von über einer halben Million Franken geltend gemacht worden sei.
Schliesslich sei es auch so, dass die beiden geschäftserfahrenen Verwaltungsräte Leistungen im Umfang von Fr. 866'655.25 auch dann ohne weiteres gültig hätten genehmigen und die entsprechende Forderung unter Verzicht auf Einreden anerkennen können, wenn ihnen die Leistungsdetails zu den in der Schuldanerkennung genannten Rechnungen nicht bekannt gewesen seien.
Im Ergebnis lasse der Wortlaut der Schuldanerkennung, aber auch der tatsächliche (unbestritten gebliebene) Wille der Beschwerdeführerin, die Schuld vorbehalts- und bedingungslos anzuerkennen und zu bezahlen, sowie das Verhalten unmittelbar vor und nach der Schuldanerkennung am 30. August 2010 im Zuge der Rechnungen sowie der E-Mail keinen anderen Schluss zu, als dass die Erklärung der Beschwerdeführerin gegenüber der Beschwerdegegnerin nach Treu und Glauben so habe verstanden werden dürfen und müssen, dass sie damit auf Einreden gegen die von der Beschwerdegegnerin erbrachten entgeltlichen Leistungen im Umfang der Schuldanerkennung verzichtet habe.
4.4.4. Die Beschwerdeführerin bringt vor, im Schreiben vom 24./30. August 2010 finde sich kein Hinweis, dass die Beschwerdeführerin die Forderung "vorbehaltlos" bzw. unter ausdrücklichem Verzicht auf Einreden und Einwendungen anerkenne. Es trifft zu, dass dies im erwähnten Schreiben nicht explizit aufgeführt ist. Nun ist zwar ein Einredeverzicht nicht leichthin anzunehmen, doch muss ein solcher nicht unbedingt ausdrücklich erfolgen, sondern kann sich - in der gebotenen Eindeutigkeit - auch aus den Umständen ergeben (vgl. Urteil 4C.214/2006 vom 19. Dezember 2006 E. 4.3.2/4.3.3; Schwenzer, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht, 5. Aufl. 2011, N. 11 zu <ref-law>). Solche Umstände hat die Vorinstanz im vorliegenden Fall angeführt:
So stellte sie fest, dass die Beschwerdeführerin den tatsächlichen Willen gehabt habe, die Schuld vorbehalts- und bedingungslos zu anerkennen und zu bezahlen. An Feststellungen über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten ist das Bundesgericht auch im Rahmen der Auslegung nach dem Vertrauensprinzip gebunden (<ref-ruling> E. 4.1 S. 91; <ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 3.2). Die Beschwerdeführerin stellt zwar in Abrede, die Behauptung der Beschwerdegegnerin, die Schuldanerkennung enthalte den vorbehalts- und bedingungslosen Willen der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin die im Schreiben ausgewiesene Summe von Fr. 866'655.25 zu bezahlen, nicht sustanziiert bestritten zu haben. Es gelingt ihr aber nicht, eine willkürliche Feststellung aufzuzeigen. Die Vorinstanz stützte die besagte Feststellung auf die Klageantwort (act. 11 Rz. 146), wo die Beschwerdegegnerin jene Behauptung - durch Unterstreichung hervorgehoben - aufgestellt hat, und auf die Replik (act. 19 Rz. 361 und 75), wo die Beschwerdeführerin diese beklagtische Behauptung in der Tat nicht substanziiert bestritten hat.
Zudem sah sich die Vorinstanz durch die mangelnde substanziierte Bestreitung jener Behauptung lediglich in der ohnehin gewonnenen Erkenntnis bestärkt, dass bereits der Wortlaut der Schuldanerkennung Hinweise auf einen Einredeverzicht enthalte. So gab die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin nach diesem "mehrfache Zusicherungen", dass die Honorarnoten der Beschwerdegegnerin bezahlt würden. Als Grund für die Zahlungsausstände wurde dabei lediglich auf die angespannte Liquidität hingewiesen. Jedoch stellte die Beschwerdeführerin mit keinem Wort die Stundenansätze oder die Leistungserbringung in Frage und brachte diesbezüglich keinerlei Vorbehalte an. Wenn die Vorinstanz folgerte, der damit zum Ausdruck gebrachte vorbehalts- und bedingungslose Wille, die anerkannte Schuld nach verbesserter Liquiditätslage zu bezahlen, deute auf einen Verzicht auf Einreden gegen die anerkannte Schuld hin, so erscheint dies durchaus plausibel. Die Beschwerdeführerin möchte die Erklärung, die Honorarnoten bezahlen zu wollen, lediglich als "allgemeines Statement" verstanden haben. Sie übergeht damit, dass von mehrfachen "Zusicherungen" die Rede ist. Auch lag der Beschwerdeführerin zum Zeitpunkt dieser Zusicherungen zumindest eine Honorarrechnung vom 2. Juli 2010 konkret vor sowie auch die E-Mail vom 25. Juli 2010, mit der die Beschwerdegegnerin auf Ausstände von Fr. 505'000.-- hinwies. Wenn die Beschwerdeführerin bei dieser Sachlage der Beschwerdegegnerin mehrfach zusicherte, die Honorarnoten der Beschwerdegegnerin nach verbesserter Liquidität bezahlen zu wollen, ohne irgendeinen Vorbehalt hinsichtlich der Höhe der geforderten Honorarbeträge anzubringen, so kann darin nicht ein blosses "allgemeines Statement" erkannt werden. Vielmehr ist mit der Vorinstanz anzunehmen, dass die Beschwerdegegnerin diesen Umstand dahingehend begreifen durfte und musste, dass die Beschwerdeführerin die anerkannte Schuld nach verbesserter Liquiditätslage bezahlen wollte, ohne über die Höhe der anerkannten Summe zu streiten, dass sie mithin auf diesbezügliche Einwendungen verzichten würde.
Die Beschwerdeführerin hält dem weiter entgegen, die vorgelegten Honorarrechnungen hätten keine Leistungsdetails ausgewiesen, weshalb die Verwaltungsräte die selben nicht näher hätten prüfen können. Entsprechend hätten sie die darin abgerechneten Leistungen auch nicht genehmigen bzw. auf Einreden dagegen verzichten können. Diese Folgerung erscheint keineswegs zwingend. Vielmehr ist umgekehrt der Vorhalt der Vorinstanz berechtigt, dass die Beschwerdeführerin durch das Schuldbekenntnis die am 2. Juli und 24. August 2010 in Rechnung gestellten Totalbeträge akzeptierte, ohne eine Abrechnung zu verlangen, geschweige denn die angefallenen Kosten zu hinterfragen. Auch auf die E-Mail der Beschwerdegegnerin vom 25. Juli 2010 reagierte der Verwaltungsrat nicht und verlangte keine Angaben zu den monierten Ausständen über Fr. 505'000.--. Aus einem solchen Verhalten - keinerlei Infragestellung der fakturierten Summe sondern vielmehr deren vorbehaltlose Anerkennung - durfte die Vorinstanz einen gewichtigen Umstand für einen Einredeverzicht erblicken.
4.4.5. Die vorinstanzliche Beurteilung ist demnach bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Die Beschwerdeführerin brachte mit der Schuldanerkennung den Willen zum Ausdruck, die Schuld vorbehalt- und bedingungslos zu anerkennen und zu bezahlen. Die abgegebenen Zusicherungen, die Honorarnoten der Beschwerdegegnerin nach verbesserter Liquiditätslage zu bezahlen, sowie das Verhalten der Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der Rechnungsstellung und der E-Mail vom 25. Juli 2010 durfte die Vorinstanz dahingehend auslegen, dass die Beschwerdeführerin mit der Anerkennung der Summe von Fr. 866'655.25 auf allfällige Einwendungen gegen die Stundenansätze und den Umfang der Leistungen verzichtete.
4.5. Da somit die Hauptbegründung, die vorliegende Schuldanerkennung habe mit Bezug auf die Vorbringen gegen die verrechneten Stundenansätze und den Umfang der erbrachten Leistungen die Wirkung eines Einredeverzichts, der bundesgerichtlichen Überprüfung standhält, erübrigt es sich, auf die Vorbringen der Beschwerdeführerin gegen die Eventualbegründung der Vorinstanz, wonach die erhobenen Einwendungen ohnehin nicht durchdringen, einzugehen.
5.
Die Beschwerdegegnerin stellte mit den Honorarnoten vom 2. Juli, 24. August und 7. September 2010 insgesamt Fr. 998'028.80 in Rechnung. Davon anerkannte die Beschwerdeführerin in der Schuldanerkennung Fr. 866'655.25. Mit der Widerklage machte die Beschwerdegegnerin den Restbetrag von Fr. 131'373.55 geltend, wovon Fr. 129'821.80 auf Leistungen entfielen, die sie gemäss Rechnung vom 7. September 2010 nach Ausstellen der zweiten Honorarrechnung bis zur Beendigung des Mandates am 9. September 2010 erbracht habe, und Fr. 1'551.75 auf Beträge, die sie in den beiden ersten Honorarrechnungen infolge eines Versehens zu tief angegeben habe.
Da für den geltend gemachten Betrag keine Schuldanerkennung vorliegt, befand die Vorinstanz zu Recht, dass die Beschwerdegegnerin hierfür behauptungs- und beweispflichtig sei (<ref-law>). Diese legte in Nachachtung ihrer Beweispflicht die Honorarnote vom 7. September 2010 und entsprechende Spezifikationen ins Recht. Die Vorinstanz stellte fest, die Beschwerdeführerin beschränke sich auf Bestreitungen dieser Honorarnote bzw. der darin geltend gemachten Leistungen und erkannte, dass die Beschwerdeführerin damit nicht durchdringe. Sie hielt die Leistungen der Beschwerdegegnerin daher für ausgewiesen, weshalb sie die Widerklage grundsätzlich guthiess.
5.1. In Bezug auf die von der Beschwerdeführerin als zu hoch beanstandeten Stundenansätze stellte die Vorinstanz bei der Behandlung der Widerklage fest, der Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin sei sich im Zeitpunkt der Mandatierung unstreitig bewusst gewesen, zu welchen Sätzen die Beschwerdegegnerin ihre Dienstleistungen in Rechnung stelle. Trotzdem habe er die Mandatierung gutgeheissen und die Leistungen in der Folge unwidersprochen entgegengenommen.
An die tatsächliche Feststellung der Vorinstanz, der Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin sei sich im Zeitpunkt der Mandatierung unstreitig bewusst gewesen, zu welchen Sätzen die Beschwerdegegnerin ihre Dienstleistungen in Rechnung stelle, ist das Bundesgericht gebunden, sofern sie von der Beschwerdeführerin nicht als willkürlich ausgewiesen würde (vgl. Erwägung 2.2). Letzteres ist nicht der Fall. Die Beschwerdeführerin bezeichnet jene Feststellung in ihren Ausführungen zu diesem Punkt (Beschwerde Rz. 81) lediglich als "unzutreffend", zeigt aber mitnichten Willkür auf. Dies namentlich auch nicht durch den Verweis auf eine andere Stelle ihrer Beschwerde (Rz. 70), wo ausgeführt wird, sie habe die Behauptung der Beschwerdegegnerin, dass der Verwaltungsrat im Zeitpunkt der Mandatierung gewusst habe, zu welchen Ansätzen die Beschwerdegegnerin ihre Dienstleistungen in Rechnung stelle, in ihrer Replik/Widerklageantwort sehr wohl bestritten. Die Vorinstanz führte dazu in ihren Ausführungen zur Hauptklage willkürfrei aus, die Beschwerdeführerin habe an der bezeichneten Aktenstelle lediglich die Genehmigung der Stundenansätze bestritten, nicht aber die Behauptung, sie habe um die Höhe der Honoraransätze gewusst. Es hat damit bei jener Feststellung sein Bewenden, und die Beschwerdeführerin muss sich entgegenhalten lassen, die Beschwerdegegnerin im Wissen um die Höhe ihrer Honoraransätze mandatiert zu haben, weshalb die Vorinstanz zu Recht nicht weiter auf deren Bestreitungen der Stundenansätze eingegangen ist.
5.2. Die Bestreitung von einzelnen Leistungspositionen gemäss Honorarrechnung vom 7. September 2010 durch die Beschwerdeführerin erachtete die Vorinstanz teilweise als nicht bzw. nicht genügend substanziiert. Im Weiteren offeriere die Beschwerdeführerin kaum (taugliche) Beweismittel für ihre Bestreitungen und Vorbringen. Diese würden sich daher als unbewiesen erweisen.
5.2.1. Die Beschwerdeführerin macht dagegen zunächst geltend, die Vorinstanz sei zu Unrecht von einer genügenden Substanziierung von einzelnen Leistungen und damit der entsprechenden Honorarforderungen durch die Beschwerdegegnerin ausgegangen, nachdem diese zum Nachweis derselben bloss die Abrechnung vorlege, ohne die darin abgerechneten Leistungen in substanziierter Form darzulegen. Die Widerklage hätte schon aus diesem Grund ganz oder zumindest teilweise abgewiesen werden müssen.
Gemäss <ref-law> ist der Beauftragte verpflichtet, auf Verlangen jederzeit über seine Geschäftstätigkeit Rechenschaft abzulegen. Aus dieser Bestimmung wird abgeleitet, dass er bei der Rechnungstellung nach Zeitaufwand gemäss seiner Rechenschaftspflicht Angaben über die erbrachten Bemühungen machen muss. Die Umschreibung der erbrachten Leistung muss so detailliert sein, dass sie überprüfbar ist. Dem Richter steht hinsichtlich der Anforderungen an die Detaillierung einer Rechnung ein Ermessensspielraum zu (Urteile 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 5.2.2; 4P.28/1996 vom 1. Juli 1997 E. 4b/aa). Das Bundesgericht erachtete im letztzitierten Entscheid eine Beurteilung des kantonalen Gerichts, welches Tätigkeitsrapporte mit Angaben über geleistete Arbeiten in Stichworten, das Datum und den jeweiligen Zeitaufwand als genügend erachtete, obwohl die Rapporte keine Aufteilung nach einzelnen Tätigkeiten (in einem umfassenden Mandat) enthielten, als nicht willkürlich, da sie eine gewisse Überprüfung der geleisteten Arbeit ermöglichten (Urteil 4P.28/1996 vom 1. Juli 1997 E. 4b/bb).
Angesichts dieser zur materiellen Rechnungslegungspflicht entwickelten Grundsätze ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz in Bezug auf die Honorarnote der Beschwerdegegnerin vom 7. September 2010 (stillschweigend) von einer genügenden Substanziierung durch die Beschwerdegegnerin im Rahmen der Widerklage ausging. Die Beschwerdeführerin weist dazu bloss darauf hin, dass sie in ihrer Widerklageantwort dargelegt habe, einzelne Leistungen seien derart allgemein festgehalten worden, dass eine nähere Prüfung anhand der vorgelegten Rechnung nicht möglich sei ("Substantielle Leistungen sind nur summarisch aufgeführt und daher nicht nachvollziehbar"). Die Vorinstanz befasste sich damit bei der Behandlung der Widerklage zwar nicht ausdrücklich, verwarf aber die entsprechenden Einwendungen im Rahmen ihrer Eventualbegründung zur Hauptklage. Mit dem blossen Hinweis auf ihre Vorbringen in der Widerklageantwort und der Behauptung, die Beschwerdegegnerin behaupte ihre Leistungen nicht in substanziierter Form, zeigt die Beschwerdeführerin indessen nicht rechtsgenüglich auf, dass und inwiefern die Vorinstanz den angerufenen <ref-law> verletzt haben soll, indem sie dafür hielt, die Beschwerdegegnerin habe ihre entsprechenden Leistungen hinreichend substanziiert. Die Beschwerde ist in diesem Punkt unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
5.2.2. Die Vorinstanz hielt dafür, die Beschwerdeführerin habe die einzelnen Leistungspositionen der Rechnung vom 7. September 2010 teilweise nicht hinreichend substanziiert bestritten, nämlich soweit die Bestreitung lediglich "unter Verweis auf die vorstehenden Ausführungen" erfolge bzw. soweit darin lediglich "nicht angemessener Aufwand" bemängelt werde. Aufgrund des Missbrauchspotentials seien hohe Anforderungen an die Substanziierungspflicht des die Honorarnote anfechtenden Klienten zu stellen.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz zwar vor, damit überhöhte Anforderungen an die Substanziierung der Bestreitung von Honorarforderungen gestellt zu haben. Sie begründet dies aber nicht weiter und tut damit nicht hinreichend dar, inwiefern die Vorinstanz insoweit Bundesrecht verletzt haben soll, und dies ist auch nicht ersichtlich. Ebensowenig zeigt sie auf oder ist erkennbar, weshalb es bundesrechtswidrig sein soll, von einer ungenügenden Substanziierung auszugehen, soweit in den Bestreitungen lediglich auf vorstehende Ausführungen verwiesen oder nicht angemessener Aufwand bemängelt wurde. Insoweit hat die Vorinstanz die Widerklage somit zu Recht mangels rechtsgenügender Bestreitung der geltend gemachten Honorarforderungen gutgeheissen.
Die Beschwerdeführerin stellt bezüglich verschiedener weiterer Bestreitungen von Leistungspositionen in Abrede, dass diese in nicht genügender Weise erfolgt seien, und dies kann auch nicht ohne Weiteres verneint werden (so z.B. hinsichtlich der Behauptungen der doppelten Erfassung einzelner Leistungseinträge, der Verrechnung von Aufwand für die Finalisierung eines bereits erstellten Protokolls oder ein angeblich erstelltes Memorandum befinde sich nicht in den Akten). Allerdings stossen die diesbezüglichen Vorbringen in der Beschwerde ins Leere, da die Vorinstanz insoweit gar keine unsubstanziierte Bestreitung angenommen, sondern insoweit auf eine Prüfung im Einzelnen verzichtet hat.
5.2.3. So hiess die Vorinstanz die Widerklage insoweit allein deshalb gut, weil die Beschwerdeführerin für ihre Bestreitungen und Vorbringen (kaum) taugliche Beweismittel offeriert habe, weshalb dieselben sich als unbewiesen herausstellten.
Damit widerspricht die Vorinstanz indessen ihrer eigenen, zutreffenden Erwägung, wonach die Beschwerdegegnerin für den widerklageweise geltend gemachten Honoraranspruch beweispflichtig ist (vgl. Erwägung 5 vorne). Soweit von genügenden Bestreitungen von geltend gemachten Leistungspositionen auszugehen ist, obliegt es danach der Beschwerdegegnerin, diesen Bestreitungen durch entsprechende Beweise entgegenzutreten; allenfalls kann das Gericht den getätigten Aufwand bei gegebenen Voraussetzungen nach <ref-law> schätzen (vgl. Urteil 4A_349/2013 vom 22. Januar 2014 E. 5.2.2 letzter Absatz, u.a mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2b/aa S. 276 f.). Soweit die Vorinstanz von der nicht beweisbelasteten Beschwerdeführerin verlangte, sie müsse taugliche Beweismittel vorlegen, um ihre Bestreitungen zu beweisen, verletzte sie <ref-law>, wie die Beschwerdeführerin zu Recht rügt. Die Beschwerde ist somit in diesem Punkt gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist in dem Umfang aufzuheben, als die Widerklage allein deshalb gutgeheissen wurde, weil die Beschwerdeführerin ihre Bestreitungen nicht bewiesen habe, und die Sache ist insoweit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird hinsichtlich der Leistungspositionen, die von der Beschwerdeführerin in der Widerklageantwort nicht bloss unter "Verweis auf die vorstehenden Ausführungen" oder mit dem Vorbringen "nicht angemessener Aufwand" bzw. wegen zu hohen Stundenansätzen bestritten wurden, zu prüfen haben, ob eine hinreichend substanziierte Bestreitung durch die Beschwerdeführerin erfolgt ist und gegebenenfalls, ob die Beschwerdegegnerin insoweit den Nachweis für ihre Leistungen erbracht bzw. hinreichend angeboten hat. Dies betrifft die Leistungspositionen Nrn. 132, 135, 139, 183, 184, 194, 195, 224, 226, 232, 241, 249 gemäss der Nummerierung im kant. act. 20/49 sowie die unter "Miscellaneous expenses" geltend gemachten Auslagen im Gesamtumfang von Fr. 9'266.85.
5.3. Zusammenfassend erweisen sich die Vorbringen gegen die Gutheissung der Widerklage teilweise - d.h. im betragsmässigen Umfange von Fr. 9'266.85 - als begründet, soweit darauf einzutreten ist. In diesem Umfang ist Ziffer 2 des angefochtenen Urteils aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung im Sinne der vorstehenden Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6.
Eventualiter machte die Beschwerdeführerin Verrechnung mit Ansprüchen aus aktienrechtlicher Verantwortlichkeit geltend.
6.1. Die Vorinstanz verwarf die Verrechnungseinrede aus mehreren Gründen: So gehe aus den Behauptungen der Beschwerdeführerin nicht hervor, welche der geltend gemachten Schadenspositionen die zu tilgende Verrechnungsforderung sein solle. Sie behaupte bloss, sie gehe von einem Schaden von 9 Mio. aus und bringe diesen zur Verrechnung. Daneben lege die Beschwerdeführerin auch nicht (rechtzeitig) dar, inwieweit ihre Verrechnungsforderungen fällig sein sollen. Inhaltlich scheitere die Verrechnungseinrede an der Substanziierung des Schadens sowie an der behaupteten Organstellung der Beschwerdegegnerin.
6.2. Die aktienrechtliche Haftung nach <ref-law> erfasst nicht nur die formellen Organe sondern auch die materiellen (faktischen) Organe. Als faktische Organe gelten Personen, die tatsächlich Organen vorbehaltene Entscheide treffen oder die eigentliche Geschäftsführung besorgen und so die Willensbildung der Gesellschaft massgebend mitbestimmen (<ref-ruling> E. 4.5; <ref-ruling> E. 3a). Eine faktische Organstellung kommt nur einer Person zu, die in eigener Verantwortung eine dauernde Zuständigkeit für gewisse das Alltagsgeschäft übersteigende und das Geschäftsergebnis beeinflussende Entscheide wahrnimmt. Weder ein Handeln im Einzelfall noch eine bloss hilfsweise Tätigkeit in untergeordneter Stellung vermag hingegen die spezifische Organhaftung zu begründen (BGE <ref-ruling> E. 3a).
6.3. Die Vorinstanz stellte fest, die Beschwerdeführerin lege nicht dar, wo die Beschwerdegegnerin selbständige Entscheidungsbefugnisse eingeräumt erhalten oder sich solche angemasst habe. Sie führe vielmehr aus, dass die Beschwerdegegnerin unterstützend tätig gewesen sei und Sitzungen und Traktanden lediglich vorgeschlagen habe. Dass die Beschwerdegegnerin generell die Geschäfte der Beschwerdeführerin in einem besonderen Zuständigkeitsbereich dauernd wahrgenommen habe, sei den Ausführungen der Beschwerdeführerin nicht zu entnehmen.
Die Beschwerdeführerin weist diese Feststellungen der Vorinstanz nicht als willkürlich aus, sondern beruft sich lediglich auf ihre Ausführungen in der Replik, wonach die Mitarbeiter der Beschwerdegegnerin bei der Festlegung der Strategie im Machtkampf eine "zentrale Rolle" eingenommen und als Teil des Kleinen Komitees aktiv an der Entscheidfindung mitgewirkt hätten. Mit diesen Vorbringen wird aber, soweit sie überhaupt gehört werden können, die tatsächliche Grundlage für die Annahme einer faktischen Organstellung der Beschwerdegegnerin nicht dargelegt, ebensowenig wie mit den von der Vorinstanz festgestellten. Die Vorinstanz verletzte daher <ref-law> nicht, indem sie erwog, die aktienrechtliche Verantwortlichkeit gemäss dieser Bestimmung greife schon nach den von der Beschwerdeführerin aufgestellten Behauptungen nicht. Bei dieser Sachlage verstiess sie auch nicht gegen die Bestimmungen von <ref-law> und <ref-law>, indem sie die zur Behauptung der aktiven Mitwirkung der Beschwerdegegnerin an den Entscheiden und damit an der Willensbildung der Beschwerdeführerin als Zeugen angerufenen J._ und K._ nicht anhörte und kein Beweisverfahren durchführte, wie die Beschwerdeführerin beanstandet. Die Vorinstanz durfte vielmehr schon aufgrund der Vorbringen der Beschwerdeführerin schliessen, die Beschwerdegegnerin sei Rechtsberaterin der Beschwerdeführerin gewesen und habe in dieser Funktion wohl bei der Entscheidfindung unterstützend mitgewirkt und aufgrund ihres Know-hows allenfalls einen starken Einfluss gehabt, wodurch sie aber nicht faktisches Organ geworden sei.
6.4. Nach dem Gesagten wird der Entscheid der Vorinstanz, die Verrechnung mit einer Forderung aus aktienrechtlicher Verantwortlichkeit abzulehnen, bereits durch die mangelnde Organstellung der Beschwerdegegnerin gestützt. Es erübrigt sich daher, auf die weiteren Gründe einzugehen, aus denen die Vorinstanz die Verrechnungseinrede zurückwies.
7.
Die Vorinstanz sprach der Beschwerdegegnerin gestützt auf die in der Schuldanerkennung getroffene Vereinbarung einen Verzugszins von 8 % zu. Die Beschwerdeführerin verlangt auch in diesem Punkt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Sie begründet dies mit der behaupteten Ungültigkeit der Schuldanerkennung. Nachdem sich dieses Argument als unzutreffend und die Schuldanerkennung als gültig erwiesen hat (Erwägung 4.1), ist die Beschwerde auch in diesem Punkt unbegründet.
8.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen. Das angefochtene Urteil vom 22. Januar 2014 ist insoweit aufzuheben, als die Vorinstanz darin der Beschwerdegegnerin in Gutheissung der Widerklage einen Fr. 122'106.70 übersteigenden Betrag zugesprochen hat. Im Umfang von Fr. 9'266.85 ist die Widerklage zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Mehrumfang ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der vor Bundesgericht strittige Betrag beläuft sich auf Fr. 944'005.-- (Fr. 812'631.45 + Fr. 131'373.55). Die Beschwerdeführerin dringt mit ihren Anträgen vor Bundesgericht im betragsmässigen Umfang von Fr. 9'266.85 durch, was einem Obsiegen von weniger als 1 % gleichkommt. Dieses marginale Obsiegen darf bei der Kosten- und Entschädigungsverteilung vernachlässigt werden. Die Gerichtskosten von Fr. 11'000.-- sind demnach vollumfänglich der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Diese hat der Beschwerdegegnerin zudem für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>).
Wird der angefochtene Entscheid geändert, so kann das Bundesgericht die Kosten des vorangehenden Verfahrens anders verteilen (<ref-law>). Auch der Entscheid der Vorinstanz über die Parteientschädigung wird vom Bundesgericht je nach Ausgang des Verfahrens bestätigt, aufgehoben oder geändert (<ref-law>). Da der angefochtene Entscheid vorliegend nur in geringfügigem Ausmass aufgehoben wird, ist es fraglich, ob es erforderlich ist, die Kosten- und Entschädigungsregelung der Vorinstanz zu ändern, oder ob dieselbe bestätigt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 4). Da das Bundesgericht den vorinstanzlichen Entscheid indessen in der Sache nicht reformiert, sondern die Angelegenheit zur teilweisen Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückweist, hat das Bundesgericht darüber nicht zu befinden, sondern den Entscheid darüber der Vorinstanz zu überlassen (s. zum Ganzen: Corboz, in: Commentaire de la LTF, Corboz und andere [Hrsg.], 2009, N. 7 zu <ref-law> und N. 11 zu <ref-law>; s. auch <ref-ruling> E. 3 zu den inhaltlich gleichlautenden Art. 157 und Art. 159 Abs. 6 aOG). Demnach ist der vorinstanzliche Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens aufzuheben und die Sache zur Neuregelung derselben an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Ziffern 2-5 des angefochtenen Urteils des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 22. Januar 2014 werden aufgehoben.
Die Ziffer 2 des Urteils des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 22. Januar 2014 wird wie folgt neu gefasst:
"Die Klägerin wird verpflichtet, der Beklagten CHF 122'106.70 zuzüglich Zins zu 8 % p.a. seit 1. Januar 2011 zu bezahlen".
Im Umfang von Fr. 9'266.85 wird die Widerklage zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
Im Mehrumfang wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Handelsgericht zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 11'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 13'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer