Sachverhalt:
A.
A._ führt seit einiger Zeit einen Rechtsstreit im Zusammenhang mit der von ihm behaupteten Verantwortlichkeit der Kantonspolizei Solothurn und weiterer Personen wegen Vorkommnissen aus seiner beruflichen Tätigkeit bei der Solothurner Kantonspolizei in den Jahren 1986 bis 2007. Unter anderem war auch das Bundesgericht schon wiederholt mit Beschwerden von A._ in einem ersten Strafverfahren wegen angeblicher Amtspflichtverletzungen befasst. So hiess es mit Urteil 1B_263/2009 vom 11. Dezember 2009 eine Beschwerde gegen den Entscheid über den Ausstand eines bestimmten Staatsanwaltes teilweise gut, wies sie im Übrigen, d.h. insbesondere, soweit es um den Ausstand sämtlicher Staatsanwälte des Kantons Solothurn ging, aber ab, soweit es darauf eintrat. Am 7. Oktober 2010 wies das Bundesgericht mit Urteil 1B_283/2010 eine weitere Beschwerde im Zusammenhang mit einem Ausstandsentscheid ab, soweit es darauf eintrat. Mit Urteil 6B_352/2013 vom 21. Mai 2013 trat das Bundesgericht auf eine Beschwerde gegen die Einstellung dieser ersten Strafuntersuchung nicht ein.
B.
Am 12. Dezember 2013 erstattete A._ beim Obergericht des Kantons Solothurn Strafanzeige gegen die Oberstaatsanwaltschaft und die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn. Dabei machte er im Wesentlichen geltend, die Staatsanwaltschaft sei bei der Bearbeitung des ersten Verfahrens ihren Amtspflichten nicht nachgekommen und sie bzw. ihre Mitarbeiter hätten sich des Amtsmissbrauches schuldig gemacht; überdies führte er aus, er sende die Strafanzeige direkt an das Obergericht, da die Oberstaatsanwaltschaft und die Staatsanwaltschaft nicht gegen sich selbst eine Strafuntersuchung durchführen könnten. Mit Beschluss vom 10. März 2014 behandelte das Obergericht die Eingabe als Ausstandsgesuch gegen die Oberstaatsanwaltschaft und die Staatsanwaltschaft und wies dieses Gesuch im Sinne der Erwägungen ab.
C.
Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe an das Bundesgericht vom 7. April 2014 beantragt A._, den Beschluss des Obergerichts vom 10. März 2014 aufzuheben; im vorliegenden Strafverfahren sei auf Ausstand der Oberstaatsanwaltschaft und der Staatsanwaltschaft zu erkennen und es sei ein unabhängiger, neutraler, ausserkantonaler ausserordentlicher Staatsanwalt mit der Strafuntersuchung zu betrauen. In prozessualer Hinsicht wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
D.
Die Staatsanwaltschaft sowie das Obergericht des Kantons Solothurn schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne.
E.
A._ äusserte sich am 16. Mai 2014 nochmals zur Sache.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher (vgl. <ref-law>) kantonaler Entscheid über ein Ausstandsbegehren. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG).
1.2. Das erste vom Beschwerdeführer eingeleitete Strafverfahren wurde mit dessen Einstellung rechtskräftig abgeschlossen. Streitgegenstand ist hier mithin einzig, ob die Vorinstanz das Ausstandsgesuch des Beschwerdeführers im neuen Verfahren, in dem dieser geltend macht, die Staatsanwaltschaft bzw. einzelne ihrer Mitarbeiter seien ihren Amtspflichten bei der Bearbeitung des ersten Strafverfahrens nicht nachgekommen und hätten sich deswegen strafbar gemacht, zu Recht abgewiesen hat.
1.3. Der Beschwerdeführer ist in Strafsachen als Privatkläger vor Bundesgericht nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 262 ff.). Nicht dazu zählen allfällige - auf öffentliches Recht gestützte - Staatshaftungsansprüche, worum es im Ergebnis hier gehen dürfte. Selbst ohne Legitimation in der Sache kann der Beschwerdeführer aber seine Verfahrensrechte als Partei geltend machen, die eine formelle Rechtsverweigerung bewirken, solange sie nicht auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheides hinauslaufen (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 6B_569/2012 vom 2. Mai 2013 E. 1.3). Der Beschwerdeführer ist somit zur Rüge berechtigt, Ausstandsregeln seien verletzt worden.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>). Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S 254 mit Hinweisen).
2.2. Die umfangreiche Beschwerdebegründung ist weitgehend appellatorischer Natur. Der Beschwerdeführer beruft sich zwar verschiedentlich auf einzelne Bestimmungen des Bundes- bzw. insbesondere des Bundesverfassungsrechts wie namentlich <ref-law> (Rechtsgleichheitsgebot), <ref-law> (Willkürverbot), <ref-law> (Recht auf Hilfe in Notlagen) und <ref-law> (Allgemeine Verfahrensgarantien). Er legt aber nicht konkret dar, inwiefern er dadurch geschützt und der angefochtene Entscheid dagegen verstossen sollte. Insoweit kann demnach auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
3.
Im Übrigen ist mit der Vorinstanz festzuhalten, dass der Ausstand einer ganzen Behörde wie hier der Staatsanwaltschaft grundsätzlich nicht ohne Glaubhaftmachen konkreter, d.h. auf die einzelnen betroffenen Mitarbeiter bezogener Ausstandsgründe begründet werden kann. Eine allenfalls besondere Ausnahmekonstellation liegt nicht vor (vgl. die ebenfalls den Beschwerdeführer betreffenden Urteile des Bundesgerichts 1B_263/2009 vom 11. Dezember 2009 und 1B_283/ 2010 vom 7. Oktober 2010 sowie das Urteil 1B_598/2012 vom 11. Dezember 2012). Konkrete Ausstandsgründe gegen alle Staatsanwälte und Staatsanwältinnen vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun. Der heutige Oberstaatsanwalt und verschiedene Staatsanwälte und Staatsanwältinnen des Kantons Solothurn waren mit dem früheren Strafverfahren nicht betraut und sind mithin nicht vorbefasst. Sodann vermag der Beschwerdeführer nicht glaubhaft zu machen, dass ihm ein faires Verfahren generell und nur deswegen verwehrt bliebe, weil es um die strafrechtliche Beurteilung von Handlungen von Mitarbeitern derselben Behörde gehe bzw. weil diese aus Kollegialität voreingenommen seien. Demnach rechtfertigt sich der Ausstand der gesamten Staatsanwaltschaft bzw. der Beizug eines ausserkantonalen Staatsanwaltes nicht. Zugleich ist unbestritten, dass nicht die gleichen Mitarbeiter, die bereits im ersten Strafverfahren tätig gewesen sind, mit der vorliegenden zweiten Strafanzeige betraut werden dürfen, da der Beschwerdeführer ja gerade ihre strafrechtliche Verantwortlichkeit aus behaupteten Amtspflichtverletzungen im früheren ersten Strafverfahren ableiten will.
4.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren abzuweisen (vgl. <ref-law>). Damit wird der unterliegende Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax