Sachverhalt:
A. Die Firma "X._" ist eine Anstalt nach liechtensteinischem Recht mit Sitz in A._ (im Folgenden auch als Gesellschaft bezeichnet). Sie ist seit dem 3. Mai 2000 im Öffentlichkeitsregister des Fürstentums Liechtenstein eingetragen. Die Gesellschaft bezweckt laut Registerauszug die Ausübung von Handels-, Finanz- und Rechtsgeschäften aller Art, den Betrieb von Flugzeugen sowie die Vermögensverwaltung, die Beteiligung an anderen Unternehmungen, die Übernahme von Vertretungen, den Erwerb, Verkauf und die Verwertung von Immobilien, Patenten, Lizenzen und anderen Schutzrechten sowie alle damit im Zusammenhang stehenden Geschäfte.
Die Gesellschaft wurde mit Wirkung ab 1. August 2001 in das liechtensteinische Mehrwertsteuer-Register eingetragen (MWST-Nr. 5_).
Mit Verfügung vom 6. Juni 2005 löschte die Liechtensteinische Steuerverwaltung die Firma "X._" rückwirkend auf den 1. August 2001 wieder aus dem Mehrwertsteuer-Register. Die Steuerverwaltung setzte die steuerbaren Entgelte und die Vorsteuern für die Steuerperioden des 3. Quartals 2001 bis zum 4. Quartal 2004 mit Fr. 0.-- fest und erkannte, dass das Konto der Gesellschaft per 6. Juni 2005 einen Saldo von Fr. 0.-- aufweise, somit ausgeglichen sei. Die Steuerverwaltung ging davon aus, dass die Gesellschaft die massgebende Umsatzgrenze nicht erreiche und dass überdies ein Fall von Steuerumgehung vorliege, weil die Tätigkeit der Firma primär von den privaten Interessen des an ihr wirtschaftlich Berechtigten beeinflusst werde. Zudem handle es sich teilweise um Auslandumsätze, welche ohnehin keine Mehrwertsteuerpflicht auszulösen vermöchten.
Eine gegen diese Verfügung erhobene Einsprache beziehungsweise Beschwerde vom 5. Juli 2005 wurde mit Einspracheentscheidung vom 11. August 2006 abgewiesen.
B. Gegen die Einspracheentscheidung reichte die Firma X._ am 13. September 2006 zunächst Beschwerde bei der Landessteuerkommission des Fürstentums Liechtenstein ein. Nachdem diese nicht binnen drei Monaten über die Beschwerde entschieden hatte, erhob die Firma X._ am 16. Januar 2007 Säumnisbeschwerde beim Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein.
Der Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein wies mit Urteil vom 29. März 2007 die Säumnisbeschwerde ab und bestätigte die Einspracheentscheidung der Liechtensteinischen Steuerverwaltung vom 11. August 2006. Zur Begründung wurde im Wesentlichen ausgeführt, in den Kalenderjahren 2001 und 2002 habe die Firma X._ keine steuerbaren Umsätze erzielt. Für das Kalenderjahr 2003 habe sie ebenfalls keinen steuerbaren Umsatz nachgewiesen: Bei der zur Verrechnung gebrachten offenen Forderung gegenüber der Firma "Y._" handle es sich um eine Leistung an nahestehende Personen, die mangels eines effektiven Leistungsaustausches als reine Innenleistung zu qualifizieren sei. Im Kalenderjahr 2004 habe sie wohl einen Umsatz nachgewiesen (Fr. 47'982.--), jedoch werde die massgebliche Umsatzschwelle (Fr. 75'000.--) nicht erreicht. Die Streichung aus dem Register für Mehrwertsteuerpflichtige sei deshalb zu Recht erfolgt und verstosse auch nicht gegen Treu und Glauben. Da die Beschwerde bereits aus diesen Gründen abzuweisen sei, müsse nicht weiter geprüft werden, ob allenfalls der Tatbestand der Steuerumgehung erfüllt wäre.
C. Die Firma X._ hat am 3. Mai 2007 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Schweizerischen Bundesgericht eingereicht. Sie verlangt im Hauptantrag sinngemäss, das Urteil des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein vom 29. März 2007 sei aufzuheben, mit der Folge, dass die angefochtene Verfügung der Liechtensteinischen Steuerverwaltung mit Bezug auf die steuerbaren Entgelte und die massgebenden Vorsteuern in dem in der Beschwerdeschrift im Detail beantragten Umfang abgeändert werde. Eventualiter sei "die Rechtssache unter Anbindung an die Rechtsansicht des Schweizerischen Bundesgerichtes zur neuerlichen Entscheidung an den Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein 'in subeventu' an die Liechtensteinische Steuerverwaltung zurückzuverweisen". Die Beschwerdeführerin macht in verschiedener Hinsicht eine Verletzung des anwendbaren Mehrwertsteuerrechts sowie einen Verstoss gegen Treu und Glauben geltend.
D. Der Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein und die Liechtensteinische Steuerverwaltung haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Die ebenfalls zur Vernehmlassung eingeladene Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt in ihrer Stellungnahme vom 16. August 2007, die Beschwerde abzuweisen und den Einspracheentscheid der Liechtensteinischen Steuerverwaltung vom 11. August 2006 zu bestätigen.
Die Beschwerdeführerin verlangt in ihrer unaufgefordert eingereichten, als "Replik" bezeichneten Eingabe vom 9. Oktober 2007, Anträge und Stellungnahme der Eidgenössischen Steuerverwaltung seien aus dem Recht zu weisen, weil diese am Verfahren nie beteiligt gewesen sei.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Zulässigkeit der Beschwerde gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein an das Schweizerische Bundesgericht ergibt sich völkerrechtlich aus Art. 11 der Vereinbarung vom 28. November 1994 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein zum Vertrag betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein (SR 0.641.295.142.1; im Folgenden: Vereinbarung) und landesrechtlich aus Art. 66 Abs. 1 des liechtensteinischen Gesetzes vom 16. Juni 2000 über die Mehrwertsteuer (MWSTG/FL; LGBL 2000, Nr. 163). (Das in den erwähnten Erlassen noch als "Verwaltungsgerichtsbeschwerde" bezeichnete Rechtsmittel ist mit dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht [Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.110] am 1. Januar 2007 durch die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ersetzt worden; [vgl. <ref-law>; Art. 131 und 132 BGG]; die entsprechende redaktionelle Anpassung der Erlasse steht noch aus.)
Das Verfahren richtet sich nach schweizerischem Recht (Vereinbarung, Art. 11; vgl. <ref-law>/FL; vgl. unten E. 1.3).
1.2 Letztinstanzliche liechtensteinische Entscheidungen über materielle Vorschriften der Mehrwertsteuer können kraft ausdrücklicher Vorschrift ausschliesslich "in bezug auf Rechtsfragen" beim Schweizerischen Bundesgericht angefochten werden (Vereinbarung, Art. 11). Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann also nur gerügt werden, Rechtsvorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuergesetzgebung und der gemäss dieser Gesetzgebung anwendbaren Vorschriften seien verletzt (<ref-law>/FL); eine Sachverhaltsprüfung steht dem Bundesgericht somit nicht zu, auch nicht in dem durch Art. 105 Abs. 2 OG - beziehungsweise seit dem 1. Januar 2007 <ref-law> - eingeschränkten Rahmen (vgl. Urteil 2A.550/2004 vom 11. Juli 2005, E. 1.2, mit Hinweis; Alois Camenzind/Niklaus Honauer/Klaus A. Vallender, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 2. Aufl., Bern/Stuttgart/Wien 2003, Rz. 1714 S. 581 f.). Diese Kognitionsbeschränkung rechtfertigt sich mit Rücksicht auf die Steuerautonomie, die jedem der beiden Vertragsstaaten zusteht (vgl. Art. 1 Abs. 1 des Vertrags vom 28. Oktober 1994 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein (SR 0.641.295.142).
Beschwerdefähig ist jeweils nur der Entscheid des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein, also "letztinstanzliche" liechtensteinische Entscheidungen (Vereinbarung, Art. 11; Art. 66 Abs. 1 MWSTG/FL). Soweit die Beschwerdeführerin die ursprüngliche Verfügung der Liechtensteinischen Steuerverwaltung vom 6. Juni 2005 mit anficht, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.3 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichtshofs erging am 29. März 2007. Das vorliegende Verfahren vor dem Schweizerischen Bundesgericht richtet sich deshalb nach dem seit dem 1. Januar 2007 geltenden Bundesgerichtsgesetz (<ref-law>).
1.4 Umstritten sind vorliegend ausschliesslich Sachverhalte aus dem Zeitraum nach dem 1. Januar 2001. In materiellrechtlicher Hinsicht ist deshalb das am 1. Januar 2001 in Kraft getretene (neue) liechtensteinische Mehrwertsteuergesetz vom 16. Juni 2000 anwendbar (Art. 89 und 90 MWSTG/FL).
Das Fürstentum Liechtenstein hat das schweizerische Mehrwertsteuerrecht in weiten Teilen unverändert in das eigene Recht übernommen (vgl. Vereinbarung, Art. 1 Abs. 1). Aus diesem Grund kann für die materielle Beurteilung auf die entsprechende Lehre und Rechtsprechung zur schweizerischen Mehrwertsteuer abgestellt werden, zumindest insoweit, als keine abweichenden (liechtensteinischen) Gesetzesbestimmungen bestehen.
1.5 Die Beschwerdeführerin macht in ihrer Replik vom 9. Oktober 2007 geltend, die Eidgenössische Steuerverwaltung sei am Verfahren gar nie beteiligt gewesen, weshalb deren Stellungnahme und - mangels Antragsrechts - auch deren Anträge aus dem Recht zu weisen seien:
1.5.1 Soweit erforderlich stellt das Bundesgericht die Beschwerde der Vorinstanz sowie den allfälligen anderen Parteien, Beteiligten oder zur Beschwerde berechtigten Behörden zu und setzt ihnen Frist zur Einreichung einer Vernehmlassung an (<ref-law>). Das Bundesgericht bestimmt von Amtes wegen, wer zu den vernehmlassungsberechtigten "anderen Beteiligten" gehört (Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt, Andreas Güngerich, Stämpflis Handkommentar zum Bundesgesetz über das Bundesgericht, Bern 2007, N 10 zu <ref-law>). Dazu zählen etwa Dritte, deren schutzwürdige tatsächliche oder rechtliche Interessen durch den Ausgang des Verfahrens berührt sein können (vgl. Spühler/Dolge/Vock, Kurzkommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Zürich/St. Gallen 2006, N 2 zu <ref-law>).
Das trifft im vorliegenden Fall auf die Eidgenössische Steuerverwaltung zu: Gemäss Ingress des erwähnten Staatsvertrags vom 28. Oktober 1994 sind die Vertragsparteien "vom gemeinsamen Willen getragen, in bezug auf die Mehrwertsteuer eine einheitliche Regelung, Auslegung und Durchsetzung zu gewährleisten". Dies gebietet aber geradezu den Einbezug der Eidgenössischen Steuerverwaltung in das Vernehmlassungsverfahren, denn diese ist in der Schweiz mit der Umsetzung und Festlegung der massgebenden Praxis betraut; damit ist auch das rechtliche Interesse an einer einheitlichen Regelung und Auslegung in den beiden Ländern betroffen. Die Kritik der Beschwerdeführerin erweist sich als unbegründet; ihre Anträge in der Replikschrift sind abzuweisen.
1.5.2 Die fragliche Stellungnahme der Eidgenössischen Steuerverwaltung wurde der Beschwerdeführerin zur blossen Kenntnisnahme ohne förmliche Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels zugestellt (vgl. <ref-law>). Diese hat sich in der Folge (unaufgefordert) in einer Eingabe vom 9. Oktober 2007 ausführlich dazu geäussert. Ein solches Replikrecht wird von der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör im Sinn von <ref-law> anerkannt (vgl. <ref-ruling> ff.).
2. Auszugehen ist von folgendem Sachverhalt, der vom Verwaltungsgerichtshof festgestellt wurde und für das Bundesgericht verbindlich ist:
Die Beschwerdeführerin, eine Anstalt liechtensteinischen Rechts, ist als Sitzunternehmen nach Art. 84 des liechtensteinischen Steuergesetzes zu qualifizieren. Sie wurde aufgrund ihrer eigenen Angaben auf dem entsprechenden Fragebogen in das liechtensteinische Mehrwertsteuer-Register eingetragen.
Die Beschwerdeführerin war Eigentümerin eines Helikopters A, den sie im August 2001 gekauft hatte. Dieser Helikopter A wurde gestützt auf ein sogenanntes "Aircraft Lease Agreement" an die Z._ AG, in S._, verleast. Diese war für den Betrieb des Helikopters verantwortlich, wobei eine stundenweise Charterung vereinbart wurde, sofern der Helikopter nicht vom Eigentümer selber benötigt werde. Für diesen Helikopter deklarierte die Beschwerdeführerin Umsätze von Fr. 191'628.-- (4. Quartal 2001) und Fr. 10'758.-- (1. Quartal 2002) und machte Vorsteuern in der Höhe von Fr. 510'606.29 geltend. Nachdem der Helikopter A am 12. Januar 2002 verunfallt war, wurden bis zum 3. Quartal 2003 keine Umsätze mehr erzielt.
Im Jahr 2003 kaufte die Beschwerdeführerin den Helikopter B. Dieser wurde am 6. Oktober 2003 im Freipassverfahren in die Schweiz verbracht, wo er zusammengebaut und getestet wurde. In der Folge war sein Einsatzort Griechenland, wo er für das Olympische Komitee verwendet wurde. Die definitive Einfuhr erfolgte gemäss Einfuhrzollausweis am 20. Dezember 2004. Für diesen Helikopter erzielte die Beschwerdeführerin ab dem 4. Quartal 2003 bis zum 4. Quartal 2004 verschiedene Umsätze und machte Vorsteuern im Umfang von Fr. 301'511.50 geltend.
Umstritten ist, ob die erwähnten deklarierten Umsätze im Inland erzielt wurden und ob sie - gegebenenfalls - auf einem mehrwertsteuerlich relevanten Leistungsaustausch beruhen.
2.1 Die Streitfrage ist materiellrechtlich nach den einschlägigen liechtensteinischen Vorschriften zu beurteilen:
Steuerobjekt der liechtensteinischen Inland-Umsatzsteuer bildet der von einem Steuerpflichtigen getätigte Umsatz, wobei es sich um im Inland gegen Entgelt erbrachte Lieferungen oder Dienstleistungen, um Eigenverbrauch oder um den entgeltlichen Bezug von Dienstleistungen von Unternehmen mit Sitz im Ausland handeln kann (<ref-law>/FL). Entgeltlichkeit und Leistungsaustausch sind dabei wesentliche Voraussetzungen der Steuerbarkeit. Der Leistungsaustausch wiederum bedingt, dass mehrere Beteiligte vorhanden sind (Leistungserbringer - Leistungsempfänger) beziehungsweise dass die erbrachte Leistung die betriebliche Sphäre verlässt, weshalb reine Innenumsätze nicht steuerbar sein können (Urteil des Bundesgerichts 2A.748/2005 vom 25. Oktober 2006, E. 3.2; vgl. auch Camenzind/Honauer/Vallender, a.a.O., Rz. 149 ff.). Erfolgt die Nutzung durch den Eigentümer selber oder eine Person, die diesem direkt zuzurechnen ist, so kann nicht von einem echten Leistungsaustausch gesprochen werden.
Die Überlassung von Gegenständen zum Gebrauch oder zur Nutzung (Vermietung) gilt als Lieferung (<ref-law>/FL). Abgrenzungen im Flugverkehr sind nicht nur gegenüber den reinen Vermietungen, sondern vor allem auch gegenüber den von der Steuer mit dem Recht auf Vorsteuerabzug befreiten Beförderungs- beziehungsweise Vermietungs- und Vercharterungsleistungen erforderlich (Art. 19 Abs. 2 und 3 MWSTG/FL). Die Bestimmung von Lieferungen oder Dienstleistungen im internationalen, grenzüberschreitenden Verkehr ist deshalb von wesentlicher Bedeutung, weil nur Inlandumsätze (<ref-law>/FL) sowie Importe (<ref-law>/FL) der Besteuerung unterliegen (vgl. Camenzind/Honauer/Vallender, a.a.O., Rz. 502 ff. sowie Rz. 938 ff.).
Beim Lieferort unterscheidet das liechtensteinische Recht zwischen Abhol- und Beförderungslieferungen: Bei Abhollieferungen gilt als Lieferort der Ort, wo sich der Gegenstand im Zeitpunkt der Verschaffung der Verfügungsmacht befindet (<ref-law>-FL), bei Beförderungs- und Versandlieferungen der Ort, wo die Beförderung oder die Versendung des Gegenstands zum Abnehmer beginnt (<ref-law>/FL). Mit Bezug auf Positionierungsflüge erfolgt die Lieferung an demjenigen Ort, wo sich das Flugzeug vor Inangriffnahme dieses Fluges befindet (vgl. Urteil des Bundesgerichts 2A. 726/2004 vom 25. August 2005, E. 3.2).
Zu beachten ist im vorliegenden Fall schliesslich, dass aufgrund der staatsvertraglichen Regelung zwischen der Schweiz und dem Fürstentum Liechtenstein sowohl das Gebiet des Fürstentums als auch dasjenige der Schweiz als Inland gelten (vgl. Vereinbarung, Art. 2 sowie <ref-law>/FL und <ref-law>/CH).
(Zur mehrwertsteuerlichen Behandlung von sogenannten "Aircraftmanagement-Leistungen" nach schweizerischer Praxis im Allgemeinen sei auf die von der Eidgenössischen Steuerverwaltung herausgegebene Branchenbroschüre Nr. 11, "Luftverkehr", [610.540-11], Ziff. 3.1, S. 12 ff. verwiesen.)
2.2 Bei der konkreten Beurteilung der einzelnen Umsätze ist nach der dargestellten Rechtslage davon auszugehen, dass nur dann von einer im Inland stattfindenden Vercharterung beziehungsweise Vermietung der Helikopter an die Z._ AG oder anderer Nutzer dieser Luftfahrzeuge gesprochen werden kann, wenn es sich (a) nicht um reine Innenleistungen handelt, also um Leistungen, bei denen es an einem mehrwertsteuerlich relevanten Leistungsaustausch mangelt, und wenn sich (b) der Ort der Lieferung bei Vercharterung oder Vermietung im Inland, d.h. in der Schweiz oder im Fürstentum Liechtenstein befindet. Demnach ist im Folgenden insbesondere der mehrwertsteuerlich relevante Ort für die Zurverfügungstellung der Helikopter A und B durch die Beschwerdeführerin an die Z._ AG oder allfällige andere Leistungsempfänger zu bestimmen.
2.3 Die Eidgenössische Steuerverwaltung erachtet in ihrer Vernehmlassung zu Recht die von der Beschwerdeführerin eingereichte Liste der Flugbewegungen vom 25. Juli 2001 bis 12. Januar 2002 als massgebend. Nach dem Gesagten fallen sämtliche Flugbewegungen des Helikopters A im Ausland für die Bestimmung des für die Steuerpflicht entscheidenden Inlandumsatzes zum Vornherein nicht in Betracht. Nicht zu berücksichtigen sind auch alle Schulungsflüge und die Leistungen gegenüber der Firma "Y._", weil diese vom Verwaltungsgerichtshof richtigerweise nicht als Leistungsempfängerin im mehrwertsteuerlichen Sinn anerkannt wurde und es mithin am erforderlichen Leistungsaustausch mangelt. Dafür sprechen gewichtige Indizien: So wurde von der Beschwerdeführerin nicht nachgewiesen, dass es sich bei der Firma "Y._", in V._, um eine aktive Gesellschaft handelt, die im Konzernverbund oder gegenüber Dritten Leistungen erbringt und hierfür Flugleistungen beziehen kann. Ebenso wenig wurde dargelegt, für welche Zwecke (privat/geschäftlich) der Helikopter A tatsächlich verwendet wurde. Im Übrigen wurden die betreffenden Umsätze von der Beschwerdeführerin selber als Eigengebrauch deklariert (was sie dann im Verfahren freilich als Irrtum bezeichnete; dazu unten E. 2.5.2).
Werden die möglichen im Inland erfolgten Lieferungen durch Zurverfügungstellung des Helikopters A anhand der eingereichten Flugliste beurteilt, so erweist sich, dass damit in den Jahren 2001 und 2002 der für die Begründung der Steuerpflicht massgebende Umsatz nicht erreicht wurde.
Zum gleichen Ergebnis kommt man mit Bezug auf den Helikopter B: Dieser wurde am 20. Dezember 2004 definitiv in die Schweiz eingeführt; bis zu diesem Zeitpunkt war er im Ausland stationiert und wurde auch dort verwendet. Inlandumsätze in den Jahren 2003 und 2004 sind keine nachgewiesen. Die gegenteiligen Behauptungen der Beschwerdeführerin, wonach der Helikopter bereits im Herbst 2003 an die M._ AG übergeben und von dieser geschäftlich eingesetzt worden sei, sind nicht erstellt. Dagegen spricht auch die Tatsache, dass der Helikopter B von der Ehefrau des wirtschaftlich Berechtigten ("beneficial owner") im Jahr 2004 im Zusammenhang mit der Organisation der Olympischen Spiele in Griechenland eingesetzt wurde.
2.4 Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass die Beschwerde schon aus diesen Gründen vollumfänglich abzuweisen ist. Es kann somit offenbleiben, ob es sich bei den Leistungen allenfalls um Beförderungsleistungen nach <ref-law>/FL gehandelt haben könnte. Offenbleiben kann ebenfalls ob die Beschwerdeführerin mangels Substanz (fehlende Geschäftsräumlichkeiten, fehlendes Personal) als sogenannte Offshore-Gesellschaft oder passive Investmentgesellschaft qualifiziert werden müsste und aufgrund ihrer Geschäftstätigkeit überhaupt in der Lage gewesen wäre, die zur Diskussion stehenden Leistungen zu erbringen oder zu empfangen.
2.5 Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, trifft nicht zu und führt jedenfalls zu keiner andern Beurteilung:
2.5.1 In grundsätzlicher Hinsicht verkennt die Beschwerdeführerin, dass die im Urteil des Verwaltungsgerichtshofs angeführten Umsätze nicht als steuerbare Umsätze festgestellt wurden, sondern dass diese im Hinblick auf den für die Besteuerung massgebenden Ort und Zeitpunkt im Detail zu prüfen sind. Ergibt diese Prüfung, dass es sich (zu einem grossen Teil) um Auslandumsätze handelt, die für die Begründung der Steuerpflicht nicht massgebend sein können, oder dass diese nicht an einen Leistungsempfänger im mehrwertsteuerlichen Sinn erbracht wurden - und es damit am erforderlichen Leistungsaustausch mangelt, so fallen sie bei der Prüfung der für die Steuerpflicht massgebenden Umsatzgrenze ausser Betracht. Entscheidet die Steuerverwaltung bei der Beurteilung der Frage, ob die Gesellschaft in das Register für Mehrwertsteuerpflichtige einzutragen ist, aufgrund der eigenen Angaben des Steuerpflichtigen, und stellt sich im Nachhinein heraus, dass diese unrichtig waren oder zu einer anderen Qualifikation führen, so ist - wie hier zu Recht geschehen - eine entsprechende Korrektur vorzunehmen. Die Gesellschaft musste deshalb nachträglich aus dem Register gelöscht werden.
Vorliegend wurde die Steuerpflicht, wie dargelegt, mangels steuerlich relevanter Umsätze überhaupt nicht begründet. Es erübrigt sich daher, auf die Ausführungen der Beschwerdeführerin bezüglich des massgebenden Zeitpunkts der erzielten Umsätze näher einzugehen.
2.5.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe irrtümlich einen Eigenverbrauch von Fr. 140'000.-- wegen Vercharterung des Helikopters A an den wirtschaftlich Berechtigten deklariert. Dabei habe es sich um eine Leistung an die Firma "Y._" gehandelt, die zum gleichen Konzern gehöre. In Wirklichkeit liege somit ein steuerpflichtiger Umsatz und kein Eigenverbrauch vor.
Was die Zurverfügungstellung des Helikopters an die Firma "Y._" und damit verbunden dessen geschäftliche Verwendung betrifft, so hat die Beschwerdeführerin ihre Behauptungen in keiner Art und Weise nachgewiesen, obwohl sie hierfür beweispflichtig gewesen wäre. Auf ihre Ausführungen und Argumentation zu diesem Punkt ist deshalb nicht weiter einzugehen. Abgesehen davon wurde bereits festgestellt, dass und weshalb die fragliche Gesellschaft nicht als Leistungsempfängerin im mehrwertsteuerlichen Sinn gelten könnte (oben E. 2.3).
In diesem Zusammenhang ist darauf hinzuweisen, dass nach Gesetz Beförderungs-, Vermietungs- und Vercharterungsleistungen im internationalen Luftverkehr von der Steuer befreit sind (<ref-law>/FL), während der Erwerb und der Betrieb von Luftfahrzeugen der Besteuerung unterliegen (<ref-law>/FL). Schon diese unterschiedliche Regelung verlangt eine gründliche Prüfung der Steuerpflicht. Durch die Zwischenschaltung von einer oder mehreren juristischen Personen besteht nämlich die Möglichkeit, der Besteuerung des Endverbrauchs zu entgehen, indem eine dieser juristischen Personen Leistungen bezieht, den Vorsteuerabzug geltend macht und dann von der Steuer befreite Leistungen in Rechnung stellt.
2.5.3 Unzutreffend sind die Ausführungen im Zusammenhang mit der Nutzung von Luftfahrzeugen im Konzern. Die Beschwerdeführerin behauptet, es bestehe eine Praxis der Eidgenössischen Steuerverwaltung, wonach die geschäftliche Nutzung eines Luftfahrzeugs angenommen werde, wenn dieses direkt oder indirekt von einem Konzern gehalten oder verwendet werde. Wie die Eidgenössische Steuerverwaltung in ihrer Vernehmlassung ausdrücklich bestätigt, besteht keine besondere Praxis mit Bezug auf die Verwendung von Flugzeugen innerhalb des Konzerns. Für eine solche Praxis würde es denn auch an einer gesetzlichen Grundlage fehlen. Es ist vielmehr davon auszugehen, dass für die Gewährung des Vorsteuerabzugs bei der Verwendung eines Flugzeugs innerhalb eines Konzerns die einschlägigen allgemeinen gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sein müssen (vgl. <ref-law>/FL).
2.5.4 Die Beschwerdeführerin rügt insbesondere, die Bestimmungen über den zeitlichen Beginn der Steuerpflicht (<ref-law>/FL) und über den hierfür massgebenden Umsatz (<ref-law>/FL) seien nicht korrekt angewendet worden.
Eine Verletzung dieser Vorschriften ist indessen weder überzeugend dargetan noch aus den Akten ersichtlich. Vielmehr zeigen die Beweisunterlagen, dass die Beschwerdeführerin selber schon bei der Einreichung des Fragebogens zur Eintragung als Mehrwertsteuerpflichtige am 3. August 2001 mit Bezug auf die zu erzielenden Umsätze unrichtige Angaben gemacht hatte, befand sich doch der fragliche Helikopter bereits in Griechenland und gelangte dort für den wirtschaftlich Berechtigten ("beneficial owner") zum Einsatz. Weder im Fragebogen noch im Begleitschreiben dazu vom 16. August 2001 wird zudem auf die eingeschränkte Verwendung des Helikopters durch die Z._ AG hingewiesen. Dabei wusste die Beschwerdeführerin - oder hätte wissen müssen -, dass die von ihr gemachten Angaben bezüglich der Nutzung des Helikopters im Jahr 2001 unrichtig oder zumindest unvollständig waren. Jedenfalls konnte unter den gegebenen Umständen nicht von einer dauerhaften, nachhaltigen Geschäftstätigkeit und einem Beginn der Steuerpflicht im Jahr 2001 ausgegangen werden. Auch für die Jahre 2002 bis 2004 liegt wie erwähnt kein genügender Nachweis für im Inland erbrachte Leistungen vor, mit denen eine Umsatzsteuerpflicht begründet worden wäre.
2.5.5 Was den Rechtsanspruch auf freiwillige Unterstellung unter die subjektive Steuerpflicht betrifft (vgl. <ref-law>/FL), so sieht die Praxis des Fürstentums Liechtenstein diese Optionsmöglichkeit für Holding- und Sitzgesellschaften nicht vor. Im Übrigen steht aufgrund der vorhandenen Akten nicht fest, dass überhaupt ein entsprechendes Gesuch gestellt worden wäre.
2.5.6 Schliesslich hat der Verwaltungsgerichtshof die weiteren Einwendungen der Beschwerdeführerin, die rückwirkende Streichung aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen sei unverhältnismässig und verstosse gegen den Grundsatz von Treu und Glauben, zu Recht und mit zutreffender Begründung verworfen:
Nachdem sich die Angaben der Beschwerdeführerin zu den mutmasslichen Umsätzen (für 2001 voraussichtlich Fr. 200'000.--; später jährlich mindestens Fr. 400'000.--) als offensichtlich unrichtig herausgestellt hatten, durfte und musste sie aus dem Mehrwertsteuer-Register gestrichen werden; dass diese notwendige Korrektur rückwirkend verfügt wurde, verletzt unter den gegebenen Umständen (fehlende Steuerpflicht schon im Zeitpunkt der Eintragung) den Grundsatz der Verhältnismässigkeit nicht. Das Vorgehen entspricht übrigens auch der Praxis der Eidgenössischen Steuerverwaltung. Für die Begründung im Einzelnen kann auf den angefochtenen Entscheid (S. 24 ff.) verwiesen werden.
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin vermochten ferner die von der Steuerverwaltung abgegebenen Saldobestätigungen keine Vertrauensgrundlage (im Sinn des Grundsatzes von Treu und Glauben) zu schaffen: Wie im angefochtenen Urteil überzeugend ausgeführt wird, stützten sich zum einen die fraglichen Bestätigungen in erster Linie auf die Angaben, welche die Beschwerdeführerin selber im Rahmen der Selbstveranlagung gemacht hatte; zum andern war für die Beschwerdeführerin aufgrund des bisherigen Verfahrens ohne Weiteres erkennbar, dass es sich aus Sicht der Steuerverwaltung nur um vorläufige Bestätigungen unter Vorbehalt einer abschliessenden Revision handeln konnte, die noch keinen Rechtsanspruch auf Auszahlung des geltend gemachten Vorsteuerguthabens zu begründen vermochten. Es genügt auch in diesem Punkt, auf die eingehende Begründung des Verwaltungsgerichtshofs zu verweisen (vgl. angefochtener Entscheid, S. 26 ff.).
3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich nach dem Gesagten in allen Teilen als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Es ist keine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein sowie kenntnishalber der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Januar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Fux