Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 12. Oktober 2001 sprach die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) X._ (Beschwerdeführer) eine Integritätsentschädigung von Fr. 24'300.--, ein Rentenguthaben von Fr. 48'012.-- für den Zeitraum vom 1. November 1996 bis am 31. Oktober 2001 und damit gesamthaft den Betrag von Fr. 72'312.-- zu. Die dem Beschwerdeführer ab 1. Januar 2001 zustehende Rente wurde auf Fr. 820.-- festgesetzt.
Am 9. November 2001 wurde der Betrag von Fr. 72'312.-- dem Konto bei der Y._ Kantonalbank, Konto-Nr. 000000000, lautend auf Z._, gutgeschrieben.
Mit Urteil vom 7. September 2006 verpflichtete das Landgericht Waldshut-Tiengen Z._, dem Beschwerdeführer Euro 58'912.02 nebst Zins zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage des Beschwerdeführers ab.
B. Am 21. Mai 2008 reichte der Beschwerdeführer beim Bezirksgericht Aarau gegen die Y._ Kantonalbank (Beschwerdegegnerin) Klage ein und beantragte, diese sei zu verpflichten, ihm Schadenersatz in Höhe von Fr. 72'312.-- zuzüglich Zins seit dem 12. November 2005 zu bezahlen. Mit Urteil vom 14. Januar 2009 wies das Bezirksgericht die Klage ab.
Dagegen appellierte der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Aargau, das die Appellation am 28. Januar 2010 abwies.
C. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil sei abzuändern und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm Schadenersatz in Höhe von Fr. 72'312.-- zuzüglich Zins zu 5% seit dem 12. November 2005 zu bezahlen. Innert noch laufender Beschwerdefrist (<ref-law>) reichte er eine Ergänzung seiner Beschwerdeschrift ein. Diese wird demnach entgegengenommen.
Die Beschwerdegegnerin verweist auf ihre bisherigen Eingaben und verzichtet auf eine erneute Stellungnahme. Auch die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 3.2).
Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, kann sich nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 7.1). Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_526/2008 vom 21. Januar 2009 E. 3.2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.3).
1.3 Zu beachten ist zudem, dass dem Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zusteht (<ref-ruling> E. 4b S. 40). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4b S. 40; <ref-ruling> E. 1b S. 30). Inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen im dargelegten Sinn missbraucht haben soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem die freie Prüfung aller Tat- und Rechtsfragen zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2b).
2. Der Beschwerdeführer gründete seinen Schadenersatzanspruch zum einen auf eine Haftung aus culpa in contrahendo. Dazu stellte die Vorinstanz fest, dass der Beschwerdeführer den Beweis dafür, dass er mit der Beschwerdegegnerin in Vertragsverhandlungen zwecks Eröffnung eines Kontos getreten sei, nicht erbracht habe. Damit entfalle eine Haftungsgrundlage der culpa in contrahendo.
Dagegen bringt der Beschwerdeführer keine sachdienlichen Einwendungen vor. Auch legt er nicht dar, dass die Vorinstanz ihren Schluss aufgrund einer unhaltbaren Beweiswürdigung gezogen hätte. Für das Bundesgericht besteht daher kein Anlass, in das Urteil der Vorinstanz einzugreifen.
3. Die Vorinstanz verneinte auch eine Haftung aus unerlaubter Handlung. Sie führte dazu aus, die erste Zahlung der SUVA von Fr. 72'312.-- sei von der Beschwerdegegnerin an die SUVA rückvergütet worden mit dem Hinweis "Kontonummer nicht identisch" bzw. "Konto und Inhaber nicht identisch". Die Beschwerdegegnerin habe demnach geprüft, ob die vom Beschwerdeführer angegebene Kontonummer auf ihn lautete und habe die Gutschrift verweigert, als sie festgestellt habe, dass diese Übereinstimmung nicht gegeben gewesen sei. Die Gutschrift der zweiten Überweisung stütze die Beschwerdegegnerin auf eine per 7. November 2001 bei ihr eingegangene Vollmacht von Z._ zugunsten des Beschwerdeführers. Die Situation habe sich demnach im Zeitpunkt der zweiten Überweisung vom 9. November 2001 dahingehend verändert, dass Z._ dem Beschwerdeführer eine Vollmacht über das fragliche Konto eingeräumt habe. Selbst wenn diese Vollmacht die Buchung des dem Beschwerdeführer zustehenden Betrags auf das Konto von Z._ nicht zu legitimieren vermöchte, was zur Folge hätte, dass die Beschwerdegegnerin sich beim Beschwerdeführer über die Richtigkeit der Buchung hätte vergewissern müssen, entfiele eine Haftung bereits mangels natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen der fehlenden Rückfrage beim Beschwerdeführer und dem Schaden. Denn es stehe ausser Zweifel, dass der Beschwerdeführer gewollt und mit seiner damaligen Ehefrau dahingehend zusammengewirkt habe, dass der Betrag von Fr. 72'312.-- auf das Konto von Z._ ausbezahlt werde. Auch wenn die Beschwerdegegnerin die entsprechenden Mitteilungen gemacht hätte, hätte der Beschwerdeführer die Gutschrift des Geldes auf das Konto von Z._ verlangt bzw. an seiner dementsprechenden Anweisung festgehalten.
Der Feststellung des fehlenden natürlichen Kausalzusammenhangs, die im Bereich des Tatsächlichen anzusiedeln ist (<ref-ruling> E. 4.4.2 S. 470), könnte der Beschwerdeführer nur mit einer rechtsgenüglich begründeten Willkürrüge entgegentreten. Was er aber vorträgt, erschöpft sich in blosser appellatorischer Kritik. Er unterbreitet dem Bundesgericht die eigene Sicht der Dinge unter freier Ergänzung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts, ohne indessen rechtsgenüglich aufzuzeigen, inwiefern die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig wäre. Er missachtet damit die gesetzlichen Begründungsanforderungen (Erwägung 1). Namentlich genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, es hätten zum Zeitpunkt der zweiten Überweisung durch die SUVA keinerlei Hinweise dafür vorgelegen, dass der Beschwerdeführer gewollt habe, dass das Geld auf das Konto von Z._ ausbezahlt werde, und der Vorinstanz einen Denkfehler vorwirft, zumal es keinen Lebenserfahrungssatz gebe, dass getrennt lebende Eheleute einvernehmlich zusammenwirkten.
Die Vorinstanz stützte ihre Annahme eines entsprechenden Willens des Beschwerdeführers nicht auf einen allgemeinen Erfahrungssatz. Vielmehr nannte sie mehrere konkrete Hinweise für einen entsprechenden Willen des Beschwerdeführers und begründete ihre diesbezügliche Annahme eingehend. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht rechtsgenügend auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern die Annahme der Vorinstanz geradezu willkürlich wäre.
4. Der Beschwerdeführer hatte A._ von der SUVA als Zeugen angerufen zum Beweis dafür, "dass die SUVA Luzern seitens der Beklagten in dem Irrtum belassen wurde, das streitige Konto laute auf den Namen des Klägers, ansonsten die SUVA nicht gezahlt hätte (...)". Die Vorinstanz lehnte die Befragung von A._ ab mit der Begründung, dass davon auszugehen sei, dass der Beschwerdeführer die Auszahlung auf das Konto von Z._ gewollt habe. Eine Rückfrage der Beschwerdegegnerin bei der SUVA oder beim Beschwerdeführer hätte daher am Ergebnis, d.h. an der weisungsgemässen Auszahlung des Geldes auf das Konto von Z._, nichts geändert, da der Beschwerdeführer die von ihm gewollte Auszahlung auf dieses Konto zweifelsohne bestätigt hätte.
Der Beschwerdeführer rügt den Verzicht auf die Anhörung von A._ als rechtsfehlerhaft.
<ref-law> gibt der beweispflichtigen Partei einen bundesrechtlichen Anspruch darauf, für rechtserhebliche Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 226; 545 E. 3.3.2 S. 548; <ref-ruling> E. 5.4 S. 601), wenn ihr Beweisantrag nach Form und Inhalt den Vorschriften des kantonalen Rechts entspricht (<ref-ruling> E. 2.6 S. 24 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 290, je mit Hinweisen). Der Beweisführungsanspruch schliesst aber die vorweggenommene Beweiswürdigung nicht aus, verbietet dem Gericht also nicht, einem beantragten Beweismittel die Erheblichkeit oder Tauglichkeit abzusprechen (<ref-ruling> E. 2.6; <ref-ruling> E. 4a, je mit Hinweisen). Ob die Beschränkung des Beweisverfahrens gegen verfassungsmässige Rechte verstösst, sei es durch Willkür in der Beweiswürdigung (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.1 S. 429).), sei es durch Verweigerung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>), weil einem Beweismittel von vornherein jede Erheblichkeit oder Tauglichkeit abgesprochen wird, ohne dass dafür sachliche Gründe angegeben werden können (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2a S. 291), ist nur zu prüfen, soweit die Rechtsschrift diesbezüglich eine hinreichend begründete Rüge enthält (<ref-law>).
Eine solche Rüge ist den Ausführungen des Beschwerdeführers kaum zu entnehmen. Da sich die Annahme der Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe die Auszahlung des Geldes auf das von ihm angegebene Konto von Z._ gewollt, mangels rechtsgenüglicher Anfechtung gehalten hat (Erwägung 3), trägt auch die Begründung für die Ablehnung der Zeugenbefragung, mithin, dass diese nicht entscheiderheblich wäre, weil selbst eine Rückfrage der Beschwerdegegnerin bei der SUVA oder dem Beschwerdeführer nichts an der weisungsgemässen Überweisung des Geldes auf das Konto von Z._ geändert hätte.
5. Auf die Beschwerde kann mangels rechtsgenügender Begründung grösstenteils nicht eingetreten werden. Im Übrigen ist sie abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Da sich die Beschwerdegegnerin nicht vernehmen liess und ihr im bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist, ist keine Parteientschädigung zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer