Faits:
A.
C._, né le 27 octobre 1946 en France, est issu d'une relation adultérine entre son père, de nationalité suisse, et une ressortissante française. Il a été reconnu par son père devant les autorités françaises de l'état civil, le 22 août 1947. Cette reconnaissance n'a pas pu être transcrite dans les registres suisses, dans la mesure où l'art. 304 du Code civil suisse dans sa teneur de 1911 (aCC) interdisait à un père encore marié la reconnaissance d'un tel enfant. Pour ce motif, C._ n'a pas acquis la nationalité suisse, mais uniquement la nationalité française.
Le prénommé et ses enfants, A._ et B._, ont sollicité en vain dès 1991 l'obtention de la nationalité suisse, par constatation ou par procédure de naturalisation. Ces procédures se sont terminées par l'arrêt du Tribunal cantonal du canton de Fribourg du 9 octobre 1997, un recours à son encontre au Tribunal fédéral ayant été déclaré irrecevable.
B.
Par décision du 9 août 2010, le Service de l'Etat civil et des naturalisations du canton de Fribourg a rejeté la nouvelle demande de constatation de la nationalité suisse que A._ lui a adressée, en faveur de son père, de sa soeur et de sa fille, D._, ainsi que pour lui-même, le 15 juillet 2008. Par décision du 19 janvier 2011, la Direction des institutions, de l'agriculture et des forêts du canton de Fribourg (ci-après: la Direction des institutions) a rejeté le recours interjeté par les intéressés contre la décision du 9 août 2010. Le recours dirigé contre cette décision a été rejeté dans la mesure de sa recevabilité par la Ie Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal), par arrêt du 29 janvier 2013.
C.
Par acte du 7 mars 2013, C._, B._, A._ et D._ ont recouru contre l'arrêt du 29 janvier 2013 auprès du Tribunal fédéral. Ils demandent au Tribunal fédéral de "constater l'existence d'une discrimination et de constater l'existence de la nationalité suisse" de C._, B._, A._ et D._.
Le Tribunal cantonal et la Direction des institutions renvoient aux considérants de l'arrêt attaqué et concluent au rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
Les recourants ont indiqué déposer un "recours de droit public et recours constitutionnel" auprès du Tribunal fédéral. Cette imprécision dans la dénomination de leur écriture ne saurait toutefois leur nuire, pour autant que celle-ci remplisse les conditions formelles de la voie de droit qui leur est ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 444 s.).
Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit de la nationalité, le recours est recevable comme recours en matière de droit public (art. 82 al. 1 let. a). Le motif d'exclusion de l'art. 83 let. b LTF n'entre pas en ligne de compte, dès lors qu'il s'agit en l'espèce de constatation de la nationalité suisse et non pas de naturalisation ordinaire. Les recourants qui ont pris part à la procédure devant l'autorité précédente et qui se sont vus refuser la constatation de la nationalité suisse ont la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF.
Les autres conditions de recevabilité étant remplies, il y a lieu d'entrer en matière sur le fond.
2.
Dans un premier grief d'ordre formel, les recourants se plaignent d'une constatation inexacte ou incomplète des faits.
2.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 LTF, il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 314). Si le recourant entend se prévaloir de constatations de faits différentes de celles de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui retenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356 et les arrêts cités).
2.2. Les recourants reprochent d'abord au Tribunal cantonal de ne pas avoir retenu qu'une litispendance de divorce existait vraisemblablement au moment de la naissance de C._, ce qui entraînerait l'inapplicabilité de l'art. 304 aCC. Ce grief doit être déclaré d'emblée irrecevable, dans la mesure où le Tribunal cantonal a pris en compte "le fait qu'une procédure de divorce était éventuellement pendante lors de la naissance du précité".
C'est également d'une manière appellatoire, et donc irrecevable, que les recourants prétendent, sur le mode du procès d'intention, que le rejet de leur recours tiendrait à "la crainte d'une arrivée massive de demandes de reconnaissance similaires, y compris pour des raisons pécuniaires", et non à des raisons objectives.
Enfin, les intéressés font grief à l'instance précédente de ne pas être entrée en matière sur la discrimination subie, en étudiant le cas uniquement selon la position de C._ et de s'être référée à la possibilité d'une naturalisation facilitée, alors que celle-ci n'est ouverte que pour C._ et non pas pour sa descendance. En réalité, les intéressés critiquent plutôt la pertinence de la motivation du Tribunal cantonal et soulèvent des questions de fond qui seront examinées ci-après.
2.3. Le grief de la constatation inexacte ou incomplète des faits est donc irrecevable.
3.
L'instance précédente a traité le recours comme une demande de reconsidération, dans la mesure où la décision prise par la Direction des institutions le 15 mai 1997, entrée en force de chose jugée, était définitive et ne pouvait plus faire l'objet d'un recours ordinaire. Les recourants ne contestent pas cette qualification.
En principe, l'autorité n'était donc tenue de se saisir de la demande de reconsidération que si le requérant avait invoqué des faits ou des moyens de preuve importants qu'il ne connaissait pas lors de la première décision ou dont il ne pouvait pas se prévaloir ou n'avait pas de raison de se prévaloir à cette époque ou s'il avait allégué des faits ou produit des moyens de preuve nouveaux et importants, ou prouvé que l'autorité n'avait pas tenu compte de faits importants établis par pièces (art. 104 al. 2 du Code de procédure et de juridiction administrative du canton de Fribourg du 23 mai 1991 [CPJA/FR; RSF 150.1] en lien avec l'art. 105 al. 1 CJPA/FR).
Le grief portant sur la violation du droit constitutionnel de l'époque, dont se prévalent les recourants, peut être d'emblée déclaré irrecevable puisqu'il ne s'agit pas d'un motif de reconsidération au sens des dispositions cantonales précitées.
4.
Sur le fond, les recourants ne contestent pas qu'à teneur de l'art. 57 de la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse (LN; RS 141.0), l'acquisition de la nationalité suisse est régie par le droit en vigueur au moment de la naissance de C._ en 1946. Ils mettent toutefois en doute l'application de l'art. 304 aCC, au motif qu'une procédure de divorce était vraisemblablement en cours lors de la conception et de la naissance de C._. Ils prétendent que l'art. 303 aCC aurait dû s'appliquer, ce qui aurait permis la reconnaissance de l'enfant et de son droit de cité.
L'instance précédente a retenu qu'à sa naissance en 1946, C._ ne pouvait pas être formellement reconnu au sens du droit suisse, en raison de l'art. 304 aCC - à teneur duquel l'enfant né d'un commerce adultérin ou incestueux ne peut être reconnu -, ce qui ne lui permettait pas d'acquérir la nationalité suisse. Elle a estimé que le fait qu'une procédure de divorce était éventuellement pendante lors de la naissance du prénommé ne changeait rien au statut "illégitime" de l'enfant adultérin, selon les conceptions légales de l'époque. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique dans la mesure où l'art. 304 aCC avait pour but de protéger la famille légitime en excluant les effets de l'état civil pour les enfants issus d'un commerce adultérin ou incestueux (cf. Message du Conseil fédéral à l'Assemblée fédérale concernant la modification du code civil suisse [Filiation] du 5 juin 1974, FF 1974 II 1 p. 16). L'administration de l'époque devait donc appliquer l'art. 304 aCC, et non pas l'art. 303 aCC, même si une procédure de divorce était en cours lors de la naissance de l'enfant.
Le grief doit donc être écarté.
5.
Les recourants se plaignent ensuite d'une discrimination en l'encontre des enfants nés hors mariage et font valoir une violation de l'art. 14 CEDH en lien avec l'art. 8 CEDH. Ils se prévalent d'un sentiment d'identité profond et durable avec la Suisse, de sorte que le refus d'octroi de cette nationalité porterait atteinte à leur "identité sociale". Ils se réfèrent à cet égard à un arrêt de la Cour européenne des droits de l'homme qui a jugé discriminatoire le refus d'accorder la nationalité à un enfant au motif qu'il était né hors mariage (arrêt du 11 octobre 2011 Genovese contre Malte ).
Les intéressés reprochent au Tribunal cantonal de ne pas avoir examiné ce grief au motif qu'il ne saurait fonder le réexamen d'une situation acquise il y a plus de soixante ans.
5.1. Selon la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme, seules de très fortes raisons peuvent rendre compatible avec l'art. 14 CEDH une distinction fondée sur la naissance hors mariage (arrêt du 7 février 2013 Fabris contre France § 59). Toutefois, l'art. 14 CEDH ne peut s'appliquer que s'il est combiné à un autre droit conventionnellement protégé (arrêt du 7 février 2013Fabris contre France § 47). Or, l'art. 8 CEDH ne garantit pas un droit à acquérir une nationalité ou une citoyenneté particulière. Il n'est toutefois pas exclu qu'un refus arbitraire d'octroyer une nationalité puisse, dans certaines conditions, poser un problème sous l'angle de l'art. 8 CEDH en raison de l'impact d'un tel refus sur la vie privée de l'individu, laquelle est un concept suffisamment large pour englober tous les aspects de l'identité sociale ( social identity ) d'une personne (arrêt Genovese contre Malte du 11 octobre 2011 § 30 et § 33 et les arrêts cités; pour une critique approfondie de cet arrêt: Fabien Marchadier, L'attribution de la nationalité à l'épreuve de la Convention européenne des droits de l'homme: réflexions à partir de l'arrêt Genovese c/ Malte in Revue de droit international privé 2012 p. 61-78, en particulier p. 68-71).
5.2. S'agissant de l'obligation de réexamen d'une décision, déduite de l'art. 29 Cst., la jurisprudence a précisé que l'autorité administrative est tenue d'entrer en matière sur une demande de reconsidération, notamment, lorsque, en cas de décision déployant des effets durables, les circonstances se sont modifiées dans une mesure notable depuis le prononcé de la décision matérielle mettant fin à la procédure ordinaire (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 181; cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 39; <ref-ruling> consid. 2b p. 47; Moor/Poltier, Droit administratif, vol. II, 3e éd., 2011, n. 2.4.4.2 p. 399; "vrais nova") ou si la situation juridique a changé de manière telle que l'on peut sérieusement s'attendre à ce qu'un résultat différent puisse se réaliser (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 181; <ref-ruling> consid. 4a p. 161 s.).
Il n'est pas nécessaire de déterminer si cette jurisprudence s'applique en l'espèce, vu les développements qui suivent.
5.3. En l'occurrence, en 1946, C._ n'a pas pu être formellement reconnu au sens du droit suisse en raison de l'art. 304 aCC, ce qui ne lui a pas permis d'acquérir la nationalité suisse. Le refus de reconnaître la nationalité suisse au prénommé résulte donc exclusivement de sa naissance hors mariage.
Il s'agit cependant uniquement du refus de reconnaître la nationalité suisse et non pas du refus de lui octroyer cette nationalité. En effet, le droit transitoire de l'art. 58c al. 2 LN prévoit que l'enfant né de père suisse peut, après son 22ème anniversaire, former une demande de naturalisation facilitée s'il a des liens étroits avec la Suisse. La notion de "liens étroits" n'est pas définie dans la loi et la doctrine n'en donne pas plus de description (cf. Hartmann/Merz, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [éd.], Ausländerrecht, § 12 Einbürgerung: Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts, 2ème édition, 2009, n. 12.33). En revanche, la circulaire de l'Office fédéral des migrations relative à l'acquisition de la nationalité suisse du 20 juin 2007 indique que l'on peut admettre l'existence de tels liens lorsque le requérant se rend régulièrement en Suisse et peut indiquer plusieurs personnes de référence pouvant confirmer ces liens; d'autres critères sont aussi susceptibles d'entrer en ligne de compte, tels que s'intéresser à ce qui se passe en Suisse, participer aux activités d'associations ou de cercles de Suisses de l'étranger ou exercer une activité pour une entreprise ou une association suisse. C._ a donc la possibilité de déposer une demande de naturalisation facilitée au sens de la disposition précitée. L'exigence de "liens étroits avec la Suisse" au sens de la LN, notion juridique indéterminée, doit être considérée comme correspondant au concept - tout aussi imprécis - d'"identité sociale" de la jurisprudence de la CourEDH (cf. Fabien Marchadier, op. cit., p. 69). Ainsi, le refus de reconnaître la nationalité suisse n'est pas contraire à l'art. 14 CEDH en lien avec l'art. 8 CEDH, dans la mesure où le droit transitoire permet d'obtenir la nationalité suisse par un autre moyen pour des personnes se trouvant dans la situation de C._.
Toutefois, le droit transitoire ne prévoit pas expressément la possibilité de former une demande de naturalisation facilitée pour les enfants majeurs du prénommé. L'art. 58a al. 3 LN, en revanche, dispose que si l'enfant de mère suisse - ayant obtenu la naturalisation facilitée - a lui-même des enfants, ces derniers peuvent également former une demande de naturalisation facilitée s'ils ont des liens étroits avec la Suisse. Cette disposition doit s'appliquer par analogie à la présente situation (cf. <ref-ruling> consid. 4.6). Il résulte de cette interprétation conforme aux art. 14 et 8 CEDH que le droit de former une demande de naturalisation facilitée au sens de l'art. 58c al. 2 LN doit être reconnu aux enfants de C._. Ainsi que l'ont suggéré les instances précédentes, il incombe dès lors aux recourants de déposer une demande de naturalisation facilitée au sens de l'art. 58c al. 2 LN. Quant à l'enfant mineure de A._, elle sera comprise dans la naturalisation facilitée de son père (art. 33 en lien avec l'art. 58c al. 2 LN).
6.
Il s'ensuit que le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
Les frais judiciaires sont mis à la charge des recourants, qui succombent (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge des recourants.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux recourants, à la Direction des institutions, de l'agriculture et des forêts, et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ie Cour administrative.
Lausanne, le 7 août 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller