wird festgestellt und in Erwägung gezogen:
1.- X._ betreibt ein Restaurant, in das während der Nacht auf den 30. Dezember 1996 eingebrochen wurde. Dabei wurden Spielautomaten aufgebrochen sowie Apparate und Bargeld gestohlen. Am Morgen des 30. Dezember 1996 fand im Beisein der Wirtin eine polizeiliche Einvernahme statt. Im gestützt darauf erstellten Polizeirapport vom 2. Januar 1997 wurde der Verlust von X._ mit sieben Stangen Zigaretten und ca.
Fr. 750.-- Bargeld aus Spielautomaten angegeben. In der am gleichen Tag erstellten Schadenanzeige zu Handen der Versicherung V._ als Versichererin, die auch für gestohlenes Bargeld bis zum Betrag von Fr. 5'000.-- einzustehen hatte, wurden verschiedene gestohlene Waren und Bargeld aufgelistet, deren Wert aber nicht beziffert. Weiter wurde vermerkt, dass der Polizei eventuell nicht alle gestohlenen Werte angegeben worden seien. Am 25. Februar 1997 liess X._ der Versicherung V._ eine Zusammenstellung der gestohlenen Werte zukommen. In der angegebenen Schadensumme von Fr. 45'000.-- waren Geldwerte (Bargeld, Automatengeld und Servicestock) im Betrag von Fr. 9'000.-- enthalten.
Am 14. und 19. März 1997 bezahlte das Versicherungsunternehmen X._ total Fr. 16'350.-- aus und verweigerte weitere Zahlungen zunächst mit der Begründung, es fehlten polizeiliche Feststellungen. Später machte sie betrügerische Begründung des Versicherungsanspruches im Sinne von Art. 40 VVG geltend. Jedoch scheiterte ihre Klage auf Rückforderung der erbrachten Versicherungsleistung (Urteil der III. Zivilkammer des Kantonsgerichts St. Gallen vom 12. Juli 1999).
In der Folge erhob X._ Klage gegen die Versicherung V._ auf eine weitere Zahlung im Betrag von Fr. 22'789. 50. Das Bezirksgericht Untertoggenburg verneinte die von der Beklagten geltend gemachte betrügerische Anspruchsbegründung und verpflichtete die Beklagte mit Entscheid vom 13. Januar 2000 zur Bezahlung von Fr. 8'736.-- nebst Zins an die Klägerin. Auf Berufung beider Parteien wies das Kantonsgericht St. Gallen mit Entscheid vom 15. Februar 2001 die Klage kostenfällig ab; die Parteikosten der Klägerin wurden dem Staat überbunden.
X._ beantragt dem Bundesgericht mit staatsrechtlicher Beschwerde, das Urteil des Kantonsgerichts sei mit Ausnahme der ihr zu Lasten des Staates zugesprochenen Entschädigung aufzuheben. Vernehmlassungen sind nicht eingeholt worden. Die Beschwerdeführerin hat das kantonsgerichtliche Urteil beim Bundesgericht auch mit Berufung angefochten (5C. 109/2001).
Mit Rücksicht auf die von der Beschwerdeführerin beantragte unentgeltliche Rechtspflege hat der Präsident der II. Zivilabteilung mit Verfügung vom 14. Mai 2001 auf die Erhebung eines Kostenvorschusses verzichtet und die Behandlung des Gesuchs auf Antrag des bundesgerichtlichen Referenten in Aussicht gestellt.
2.- Zwar ruft die Beschwerdeführerin neben Art. 9 BV auch Art. 8 und 29 BV an. Jedoch macht sie im Zusammenhang mit den jeweiligen Rügen nicht in einer Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügenden Weise eine Verletzung des Gleichbehandlungsgebots (dazu <ref-ruling> E. 2a Abs. 2 S. 168) oder des Anspruchs auf rechtliches Gehör (dazu <ref-ruling> E. 2 S. 242 ab Mitte; <ref-ruling> E. 2b S. 137) geltend, sondern rügt im Ergebnis willkürliche Würdigung des massgeblichen Verhaltens und der einschlägigen Urkunden. Nur insoweit ist auf die staatsrechtliche Beschwerde einzutreten.
3.- Die Beschwerdegegnerin ist im Rahmen von Art. 40 VVG beweispflichtig dafür, dass die Beschwerdeführerin objektiv unrichtige Angaben zu den Schadensumständen gemacht und mit Täuschungsabsicht gehandelt hat (unveröffentlichtes Urteil des Bundesgerichts vom 15. Februar 2001 i.S. C., E. 2a [5C. 146/2001]). Entsprechende Feststellungen sind somit tatsächlicher Art und können nur mit staatsrechtlicher Beschwerde in Frage gestellt werden (Art. 55 Abs. 1 lit. c, Art. 63 Abs. 2 und Art. 84 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 OG).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Art. 4 aBV, auf die bei der Anwendung von Art. 9 BV abgestellt werden darf (Botschaft des Bundesrates, BBl. 1997 I S. 144 f. zu EArt. 8), liegt willkürliche Beweiswürdigung nur vor, wenn der Richter seinen grossen Ermessensspielraum bei der Würdigung der Beweise offensichtlich missbraucht hat, wenn das Beweisergebnis geradezu unhaltbar ist oder wenn es auf einem offenkundigen Versehen beruht. Der Richter muss z. B. die Beweise krass einseitig zu Gunsten einer Partei gewürdigt oder wichtige Beweise völlig ausser Acht gelassen haben (<ref-ruling> E. 4b S. 40; <ref-ruling> E. 1b S. 30). In der Beschwerdeschrift muss unter Auseinandersetzung mit der Begründung des angefochtenen Entscheids aufgezeigt werden, inwiefern Beweise geradezu unhaltbar oder der tatsächlichen Situation offensichtlich zuwiderlaufend gewürdigt worden sind (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 1b S. 495; <ref-ruling> E. 3a S. 373).
4.- Das Obergericht begründet objektiv unrichtige Mitteilung der leistungsrelevanten Tatsachen (Art. 40 VVG; SR 221. 229.1) zu Umfang und Höhe des gestohlenen Bargeldes zunächst mit Widersprüchen zwischen drei für die Schadenangaben relevanten Dokumenten. Im Polizeirapport vom 2. Januar 1997, der auf Grund der Bestandesaufnahme vom 30. Dezember 1996 erstellt wurde, sind Bargeldverluste aus Spielautomaten von ca. Fr. 750.-- für die Beschwerdeführerin und von Fr. 1'000.-- für den Spielautomatenaufsteller aufgelistet.
In der ebenfalls am 2. Januar 1997 von einem Vertreter der Beschwerdegegnerin erstellten Schadenanzeige, in welcher der Verlust von Bargeld nicht beziffert ist, wird festgehalten, der Polizei seien eventuell nicht alle gestohlenen Werte angegeben worden. Schliesslich hat die Beschwerdeführerin in der schriftlichen Schadenmeldung vom 25. Februar 1997 an die Beschwerdegegnerin angegeben, ihr Bargeldverlust belaufe sich auf Fr. 9'000.-- (Fr. 5'000.-- Bargeld, Fr. 3'000.-- Automatengeld und Fr. 1'000.-- als Bargeldstock aus zwei Serviceportemonnaies).
Weil der Ehemann der Beschwerdeführerin anlässlich der polizeilichen Befragung vom 29. Mai 1997 zu Protokoll gegeben habe, er habe den Verlust des nachträglich angegebenen Deliktsgutes bereits am Tag nach dem Einbruch festgestellt, könne der Vermerk in der Schadenanzeige an die Beschwerdegegnerin, der Polizei eventuell nicht alle gestohlenen Werte angegeben zu haben, nicht stimmen. Die Beschwerdeführerin oder ihr Ehemann hätten den Zusatz "eventuell" nicht anbringen dürfen, weil sie damals bereits wussten, dass sie zu Handen des Polizeirapportes sicher nicht alle zerstörten, bzw. gestohlenen Werte deklariert hatten.
a) Die Beschwerdeführerin wendet dagegen zunächst ein, das Kantonsgericht habe übergangen, dass sie oder ihr Ehemann den Polizeirapport nicht gesehen hätten und dass dieser erst drei Tage nach der Aufnahme am Ort des Geschehens erstellt worden sei. Diesem Rapport könne keine Beweiskraft beigemessen werden, weil er sich bloss auf angebliche Angaben der Beschwerdeführerin stütze und ihr Ehemann keine Angaben zum Schaden gemacht habe, die in diesem verwendet worden seien.
Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, sie und ihr Mann hätten den Schaden nicht schon am 30. Dezember 1996 gekannt und sie habe am 2. Januar 1997 nicht mehr gewusst, was gestohlen oder beschädigt worden sei. Sie behauptet auch nicht, der Polizei seien aus irgendwelchen Gründen nur kleine Verluste angegeben worden. Vergleicht man (von den Sachwerten abgesehen) die sehr erhebliche Zunahme der gestohlenen Bargeldbeträge sowohl nach der Art als auch der Höhe zwischen dem Polizeirapport und der Schadenliste vom 25. Februar 1997, und berücksichtigt man, dass über den Schaden von Anfang an Kenntnis bestanden hat, kann nicht gesagt werden, die kantonsgerichtlichen Zweifel am Terminus "eventuell" seien geradezu unhaltbar. Indem die Beschwerdeführerin bloss die Beweiskraft des Polizeirapports in Zweifel zieht, übt sie unzulässige appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung des Kantonsgerichts (<ref-ruling> E. 4c S. 230, 118 Ia 20 E. 5c S. 27 unten).
b) Die Beschwerdeführerin rügt sodann, der Polizeirapport sei auch unglaubhaft, weil darin der Schaden an der Eingangstüre krass falsch eingeschätzt worden sei. Davon müsse auch bezüglich der Höhe des Bargeldbestandes ausgegangen werden. Abgesehen davon, dass die Beschwerdeführerin nicht behauptet, der protokollierende Polizeibeamte habe den Betrag frei erfunden, schlägt die Rüge nicht auf das Ergebnis der staatsrechtlichen Beschwerde in diesem Punkt durch (<ref-ruling> E. 4a Abs. 2 S. 211 mit Hinw. ; <ref-ruling> E. 5 S. 57). Denn selbst wenn der Betrag zu tief ausgefallen wäre, hätte die Beschwerdeführerin begründen müssen, weshalb erst im Schreiben vom 25. Februar 1997 drei Bargeldbestände erwähnt sind (Fr. 5'000.-- Bargeld, Fr. 3'000.-- Automatengeld und Fr. 1'000.-- als Bargeldstock aus zwei Serviceportemonnaies).
Denn im Polizeirapport vom 2. Januar 1997 sind bloss Bargeldverluste aus Spielautomaten angegeben worden.
c) Die Beschwerdeführerin rügt weiter, die Schadenmeldung an die Beschwerdegegnerin vom 2. Januar 1997 sei von deren Vertreter sehr rudimentär ausgefüllt und der Bargeldverlust nicht beziffert worden. Weil in diesem Formular der Vorbehalt angebracht worden sei, die Beschwerdeführerin werde eine genaue Aufstellung nachliefern, hätte das Kantonsgericht aus der Liste vom 25. Februar 1997 nicht darauf schliessen dürfen, sie habe die Bargeldbestände objektiv unrichtig mitgeteilt, durfte sie diese doch auch noch später melden.
Indem das Kantonsgericht aus den beiden ersten Schadenverzeichnissen geschlossen hat, der gestohlene Bargeldbestand sei im Vergleich zur Liste vom 25. Februar 1997 nicht wesentlich und daraus abgeleitet hat, er sei zuletzt objektiv unrichtig angegeben worden, hat es nicht willkürlich gehandelt.
In Anbetracht des Umstandes, dass der Schaden von Anfang an bekannt war, erscheint die kontinuierliche Aufstockung des Deliktsgutes offensichtlich nicht bloss verdächtig.
Soweit die Beschwerdeführerin rügt, sie hätte die beiden gestohlenen Serviceportemonnaies samt Inhalt wegen des Vorbehalts in der Schadenanzeige an die Beschwerdegegnerin noch später angeben dürfen, verkennt sie wiederum die Argumentation im angefochtenen Entscheid. Wenn die Portemonnaies schon am 30. Dezember 1996 gestohlen und am 31. Dezember 1996 zwei neue Serviceportemonnaies gekauft worden sind, so ist unerklärlich, weshalb deren Diebstahl erst am 25. Februar 1997 gemeldet worden ist. Die Beschwerdeführerin begründet nicht, weshalb sie gerade so wichtige und täglich benutzte Gegenstände nicht sofort als gestohlen deklariert hat (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
5.- Das Kantonsgericht führt weiter aus, es sei nicht nachvollziehbar, dass die gestohlenen Portemonnaies und die Tageseinnahmen nicht spätestens in der Schadenanzeige vom 2. Januar 1997 angegeben worden seien. Mit diesen Einnahmen hätten doch am 30. Dezember 1996 Einzahlungen gemacht werden sollen; auch seien schon am 31. Dezember 1996 neue Portemonnaies angeschafft worden. Weiter seien über die gestohlenen Tageseinnahmen widersprüchliche Angaben gemacht worden.
Während die Beschwerdeführerin anlässlich der erneuten Einvernahme am 3. Juni 1997 ausgeführt habe, Tageseinnahmen seien über Nacht nie im Restaurant gelassen worden, habe sie diese Aussage später bestritten und erklärt, das habe sie gar nicht wissen können, weil ihr Mann das Finanzielle besorge.
Da sie aber am Morgen des 30. Dezember 1996, also kurz nach dem Einbruch, in das Restaurant gegangen sei, hätte sie schon vor dem Diebstahl wissen müssen, wo sich das Bargeld befindet.
Denn ohne dieses hätte der Betrieb ja gar nicht aufgenommen werden können.
a) Die Beschwerdeführerin wendet zunächst ein, dem sechs Monate nach dem Einbruch erstellten Nachtragsrapport der Polizei könne keine Beweiskraft beigemessen werden, weil sich kein unvoreingenommener Polizeibeamte an so weit zurückliegende Aussagen erinnern könne; das Kantonsgericht habe bloss unkritisch die Argumente der Beschwerdegegnerin aufgenommen.
Diese Rüge zielt an der Begründung des angefochtenen Urteils vorbei. Das Kantonsgericht zitiert aus den am 3. Juni 1997 bei der Polizei gemachten und somit aktuellen Aussagen der Beschwerdeführerin und zieht daraus offensichtlich haltbare und eigene Schlüsse; dass diese mit der Ansicht der Beschwerdegegnerin übereinstimmen, macht sie nicht verfassungswidrig.
Wenn die Beschwerdeführerin den protokollierenden Polizeibeamten als unvoreingenommen hinzustellen versucht, reichen Aktenverweise zur Begründung nicht. Diese muss in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein (<ref-ruling> E. 4a S. 30).
b) Weiter rügt die Beschwerdeführerin erfolglos, ihr könne nicht angelastet werden, dass die Tageseinnahmen nicht sofort angegeben worden seien, weil sie den Polizeirapport vom 2. Januar 1997 nicht gesehen habe und davon habe ausgehen dürfen, Schadenspositionen später anmelden zu können.
Weshalb sofort erkennbare, bzw. erkannte Verluste nicht angegeben wurden, begründet die Beschwerdeführerin wiederum nicht, und sie hält dem Kantonsgericht bloss ihre eigene Ansicht entgegen, was für die Begründung des Willkürvorwurfs nicht ausreicht (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 373). Auch setzt sie sich mit keinem Wort mit der Auffassung des Kantonsgerichts auseinander, unmittelbar nach dem Schadenereignis gemachte Angaben zum Schaden seien glaubhafter als spätere (vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 47).
c) Schliesslich macht die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang geltend, die beiden gestohlenen Serviceportemonnaies seien für ihren Mann und die Serviertochter bestimmt gewesen, die am 30. Dezember 1996 die Spätschicht hätten machen wollen. Damit mag nachvollziehbar begründet sein, warum der Verlust dieser zwei Portemonnaies der Polizei nicht sofort angegeben worden ist. Jedoch wird damit nicht begründet (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG), weshalb sie der Beschwerdegegnerin am 2. Januar 1997 nicht wenigstens als gestohlen gemeldet wurden.
6.- Das Kantonsgericht hat gegen den Standpunkt der Beschwerdeführerin auch den Umstand gewürdigt, dass sie wechselnde Angaben zum Aufbewahrungsort des Bargeldes gemacht habe. Der Polizei habe sie am 3. Juni 1997 gesagt, über Nacht sei nie Bargeld im Restaurant gelassen worden. In der Klageschrift habe sie behauptet, die Tageseinnahmen seien üblicherweise in der oberen Buffetschublade eingeschlossen gewesen.
Zur Begründung, weshalb der Verlust nicht sofort angegeben wurde, habe sie in der Replik ausgeführt, die Tageseinnahmen seien in einem anderen Schubladenkomplex verwahrt worden. Schliesslich habe sie in der Berufungsschrift vorgebracht, ihr Ehemann habe das Geld über Nacht jeweils in der Kasse gelassen und sei mit den leeren Portemonnaies nach Hause gegangen. Vor dem Kantonsgericht habe die Beschwerdeführerin schliesslich erklären lassen, beide fraglichen Schubladen seien verschlossen gewesen.
Die Beschwerdeführerin wendet zunächst ein, sie sei bezüglich des Liegenlassens des Geldes in der Kasse missverstanden worden. In die Kasse habe man die Einnahmen bloss eingetippt; diese seien nie in die Kasse gelegt, sondern in das Portemonnaie genommen sowie am Tagesschluss abgerechnet und dem Portemonnaie wieder entnommen worden. Nach Feierabend hätten die Serviceportemonnaies nur das Wechselgeld enthalten.
Selbst wenn der Beschwerdeführerin insoweit gefolgt werden könnte, begründet sie damit nicht, weshalb ihre Aussagen willkürlich als wechselnd und deshalb unzuverlässig gewürdigt worden sind (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Sie legt z. B. nicht dar, weshalb ihren letzten Aussagen Glauben geschenkt werden muss, wenn sie einmal ausgesagt hat, Bargeld sei nie im Restaurant gelassen worden, das andere Mal aber genau das Gegenteil verlauten liess. Wenn die Beschwerdeführerin lange Ausführungen zur Lage der in Betracht kommenden beiden Schubladen macht, ihre Verwendung des Begriffes "Kasse" richtigstellt und behauptet, das Kantonsgericht habe die örtlichen Umstände falsch oder gar nicht gewürdigt, zielt sie am Kern der Beweiswürdigung des Kantonsgerichts vorbei; ihre Rügen zur Würdigung ihrer Aussagen vermögen das Ergebnis des Beschwerdeverfahrens daher nicht zu beeinflussen.
7.- Das Kantonsgericht ist zum Schluss gelangt, die Angaben der Beschwerdeführerin zu den als gestohlen gemeldeten Bargeldbeträgen seien teils widersprüchlich oder übersetzt.
Zum Teil habe die Beschwerdeführerin die Beträge sogar doppelt geltend gemacht oder beanspruche solche, die im Vergleich zu Schadenspositionen, die der Automatenaufsteller geltend gemacht hatte, nicht stimmen könnten. Indem die Beschwerdeführerin bloss schildert, wie sich die einzelnen Positionen ihrer Meinung nach zusammensetzen und vorrechnet, welche Geldspielautomaten zu wessen Gunsten über welchen Zeitraum hinweg welche Beträge abgeworfen haben, setzt sie sich offensichtlich nicht mit der nachvollziehbaren Begründung im angefochtenen Urteil auseinander (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Wenn sie am Schluss bloss geltend macht, alle Feststellungen zum Bargeldanspruch seien widerlegbar, gibt sie indirekt selber zu, dass von Willkür nicht gesprochen werden kann. Denn diese liegt nicht bereits dann vor, wenn eine andere Entscheidvariante möglich oder gar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 2a S. 88 mit Hinw. ; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3a).
8.- Ist ohne Willkür erkannt worden, dass die leistungsrelevanten Tatsachen objektiv unrichtig angegeben worden sind, vermag die Beschwerdeführerin mit der gegenteiligen Ansicht nicht zu begründen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG), ihre Täuschungsabsicht sei verfassungswidrig festgestellt worden.
Ihre Beschwerde scheitert insgesamt.
Angesichts der recht komplexen und nicht sofort schlüssig erscheinenden Sachverhaltsfeststellungen kann nicht gesagt werden, die staatsrechtliche Beschwerde habe von vornherein keine Aussicht auf Erfolg gehabt (<ref-ruling> E. 2c). Hat die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren als bedürftig gegolten, kann ihr im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden (Art. 152 OG). Demnach wird die unterliegende Beschwerdeführerin nicht kostenpflichtig. Die trotz der Verfahrenshilfe grundsätzlich geschuldete Parteientschädigung (<ref-ruling> E. 3c S. 18) fällt weg, weil der Beschwerdegegnerin mangels Einholung einer Vernehmlassung keine Kosten entstanden sind (Art. 159 Abs. 2 OG). Das der amtlichen Rechtsvertreterin aus der Bundesgerichtskasse zu entrichtende Honorar wird entsprechend Art. 9 des Tarifs für die Entschädigung an die Gegenpartei für das Verfahren vor dem Bundesgericht vom 9. November 1978 (SR 173. 119.1) gekürzt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird gutgeheissen, und ihr wird für das bundesgerichtliche Verfahren Rechtsanwältin Hedi Mérillat-Holenstein, Lichtensteig, als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigegeben.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'500.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt, einstweilen aber auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.- Rechtsanwältin Hedi Mérillat-Holenstein, Lichtensteig, wird aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht (III. Zivilkammer) St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 10. Juli 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: