Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 15. November 1996, Staatsangehörige von Bosnien und Herzegowina) ist die Tochter von Y._ und Z._.
B.
Mit Entscheid vom 16. Februar 2011 errichtete die Vormundschaftsbehörde Luzern für X._ eine Erziehungsbeistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB und bezeichnete eine Beiständin. Nach vorgängiger provisorischer Verfügung vom 6. Juli 2011 entzog die zuständige Vormundschaftsbehörde den Eltern am 10. August 2011 erstmals die Obhut und brachte X._ in der Jugendsiedlung A._ unter. Nach ihrer Entlassung und Rückkehr zu den Eltern wurde am 16. November 2011 ein weiterer Obhutsentzug mit Fremdplatzierung angeordnet. Der Aufenthalt von X._ in der Stiftung B._ in C._ dauerte bis zum 11. Juli 2012.
Wieder in der Obhut ihrer Eltern tauchte X._ im September 2012 unter. Zweieinhalb Monate später, am 28. November 2012, griff die Polizei sie auf und brachte sie zu den Eltern zurück. Daraufhin stellte die Beiständin einen Antrag um Anordnung von Kindesschutzmassnahmen. Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Luzern entzog den Eltern mit Urteil vom 8. Januar 2013 wiederum die Obhut über X._ und ordnete zur weiteren Erziehung und Betreuung eine fürsorgerische Unterbringung im Jugendheim D._ in E._ an.
C.
Am 14. Januar 2013 verlangte X._ vor dem Obergericht des Kantons Luzern die Aufhebung des Entscheides vom 8. Januar 2013. Am selben Tag wurde sie polizeilich in das Jugendheim D._ verbracht. Das Obergericht wies mit Urteil vom 4. Februar 2013 die Beschwerde ab und bestätigte den Obhutsentzug und die Platzierung.
D.
Gegen diesen Entscheid hat die nun anwaltlich vertretene X._ (Beschwerdeführerin) beim Bundesgericht Beschwerde eingereicht. Sie beantragt, sie sei in die elterliche Obhut zurückzugeben und die fürsorgerische Unterbringung sei aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter hat sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ersucht. Sowohl die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde der Stadt Luzern als auch das Obergericht schlossen auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung.
E.
Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat mit Verfügung vom 22. April 2013 das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
In der Sache selbst hat das Bundesgericht keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG) betreffend die Anordnung von Kindesschutzmassnahmen (<ref-law>), gegen den die Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden kann (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Im Lichte von <ref-law>, wonach urteilsfähige Unmündige selber das Gericht anrufen können, ist die 16-jährige Beschwerdeführerin zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
1.2. Die vorliegend umstrittenen Kindesschutzmassnahmen wurden am 8. Januar 2013 von der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Luzern angeordnet und am 4. Februar 2013 vom Obergericht des Kantons Luzern bestätigt. Daher kommen die am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen neuen Bestimmungen des Kindesschutzrechts zur Anwendung (<ref-law>; vgl. Bundesgesetz vom 19. Dezember 2008 zum Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht, AS 2011 725).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt pauschal eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz.
Diesbezüglich gilt das strenge Rügeprinzip und die Beschwerdeführerin müsste Willkür dartun (Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 5; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 319).
Wie aus den nachfolgenden Erwägungen ersichtlich wird, ist die Vorinstanz ausführlich auf die Vorgeschichte und die aktuelle Situation der Beschwerdeführerin eingegangen. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich vor Bundesgericht darauf, ihre eigene Sicht der Dinge zu schildern, ohne sich mit den Vorbringen der Vorinstanz substanziiert auseinanderzusetzen oder aufzuzeigen, wo diese den Sachverhalt qualifiziert falsch oder willkürlich festgestellt haben soll. Damit kommt sie ihrer Rügepflicht nicht nach.
3.
Zu prüfen ist demgegenüber die ebenfalls erhobene Rüge, es sei Bundesrecht verletzt worden.
Muss ein Kind in einer geschlossenen Einrichtung oder in einer psychiatrischen Klinik untergebracht werden, sind die Bestimmungen des Erwachsenenschutzes über die fürsorgerische Unterbringung sinngemäss anwendbar (<ref-law>). Die materiellen Voraussetzungen für die Unterbringung Minderjähriger richten sich indes nach <ref-law> (Entzug der elterlichen Obhut; vgl. Botschaft zum Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht, BBl 2006 7001 ff., S. 7102; Rosch, Die fürsorgerische Unterbringung im revidierten Kindes- und Erwachsenenschutzrecht, in: AJP 2011 S. 505 ff., S. 514).
Nach <ref-law> hat die Vormundschaftsbehörde, wenn einer Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden kann, dieses den Eltern wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen. Die Gefährdung muss darin liegen, dass das Kind in der elterlichen Obhut nicht so geschützt und gefördert wird, wie es für seine körperliche, geistige und sittliche Entfaltung nötig wäre. Unerheblich ist, auf welche Ursachen die Gefährdung zurückzuführen ist: Sie können in den Anlagen oder in einem Fehlverhalten des Kindes, der Eltern oder der weiteren Umgebung liegen. Desgleichen spielt keine Rolle, ob die Eltern ein Verschulden an der Gefährdung trifft. Massgebend sind die Verhältnisse im Zeitpunkt der Entziehung. Alle Kindesschutzmassnahmen müssen erforderlich sein (Subsidiarität), und es ist immer die mildeste Erfolg versprechende Massnahme anzuordnen (Proportionalität); diese sollen elterliche Bemühungen nicht ersetzen, sondern ergänzen (Komplementarität). Die Entziehung der elterlichen Obhut ist daher nur zulässig, wenn andere Massnahmen ohne Erfolg geblieben sind oder von vornherein als ungenügend erscheinen (zum Ganzen Urteil 5A_701/2011 vom 12. März 2012 E. 4.2.1, in: FamPra.ch 2012 821 mit weiteren Hinweisen auf Literatur und Rechtsprechung ).
4.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law> und <ref-law>, indem die Vorinstanz den Grundsatz der Verhältnismässigkeit verletzt habe. Sie sei zu Unrecht zum Schluss gekommen, dass die Gefährdung des Wohls der Beschwerdeführerin eine Platzierung in einer geschlossenen Einrichtung erfordere; es hätte weniger einschneidende Massnahmen gegeben.
4.1. Vorliegend ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin ab 2010 (d.h. ab 14 Jahren) immer wieder "auf Kurve" gegangen, d.h. ihren Eltern davongelaufen ist, und dass dies zumindest teilweise im Zusammenhang mit Männerkontakten stand. Infolge dieser Vorfälle wurde das Mädchen zweimal fremdplatziert. Nach Ablauf der letzten stationären Massnahme im Juli 2012 tauchte sie im September 2012 erneut für mehr als zwei Monate unter, bis die Polizei sie fand und zu den Eltern zurückbrachte. Die Vorinstanz hält fest, aus der Vernehmlassung der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde vom 16. Januar 2013 zur vorinstanzlichen Beschwerde gehe hervor, dass der Beschwerdeführerin bei ihrer Entlassung im Sommer 2012 eine erneute Unterbringung angedroht worden sei, falls sich die Verhältnisse nicht nachhaltig verbesserten. Gemäss dieser habe die Beschwerdeführerin seit diesem Zeitpunkt keine Schritte in schulischer und beruflicher Hinsicht getroffen und es sei zu befürchten, dass sie dies ohne vorgegebene ausserfamiliäre Strukturen nicht schaffe. Die Beiständin der Beschwerdeführerin habe ausgeführt, dass das Jugendheim D._ einen solchen strukturellen Rahmen biete und für die Beschwerdeführerin eine letzte Chance darstellen würde. Über einen allfälligen Aufenthalt im D._ habe sich die Beschwerdeführerin nach einem Besuch mit der Beiständin ambivalent geäussert. Einerseits habe sich die Beschwerdeführerin gut vorstellen können, die Massnahme anzutreten, und frühere Platzierungen hätten ihr gut gefallen, anderseits widersetze sie sich ausgeübtem Zwang. In ihrer Beschwerde habe die junge Frau ausgeführt, das Untertauchen im September 2012 sei lediglich eine Kurzschlusshandlung gewesen, sie habe es sofort bereut und sich dafür geschämt. Anlässlich einer telefonischen Anhörung durch den Instruktionsrichter am 14. Januar 2013 habe die Beschwerdeführerin ihre "Kurzschlusshandlung" vom September 2012 bedauert, das sei nicht gut gewesen. Sie sei aber überzeugt, dass es ohne fürsorgerische Unterbringung gut komme; sie sei zum ersten Mal optimistisch für die Zukunft.
In Würdigung dieser Ausgangslage kam das Obergericht zum Schluss, dass das erneute Ausreissen im Herbst 2012 gerade gezeigt habe, dass das Wohl der Beschwerdeführerin weiterhin gefährdet sei. Offenbar sei sie in dieser Zeit in eine schwierige Situation geraten und von einem Mann festgehalten worden. Trotz der guten Vorsätze und Beteuerungen sei nicht überzeugend, dass die Beschwerdeführerin sich in der kurzen Zeit seit ihrem letzten Ausreissen derart verändert habe, dass sie ihr Leben mit der erforderlichen Reife und Einsicht an die Hand nehmen könne. Weder sie selbst noch die Eltern seien in der Lage, ihr Wohl zu schützen, weshalb eine Fremdplatzierung notwendig sei.
4.2. Die Beschwerdeführerin wiederholt in ihrer Beschwerde ihre Argumente an die Vorinstanz. Sie fügt an, dass sie sich in der Familie wohl fühle und dort die nötige Unterstützung erhalte. Insbesondere die 20-jährige ältere Schwester sei ihr ein Vorbild und auch die jüngere Schwester stehe ihr sehr nahe und sie würden sich vermissen. Obwohl sie eine einschlägige Vergangenheit habe, müsse auf den jetzigen Zeitpunkt abgestützt werden. Sie sei heute eine ganz andere Frau als noch vor ein paar Monaten. Die Vorinstanz reduziere sie jedoch sinngemäss auf ihre Vergangenheit. Sie sei sich bewusst, dass sie Unterstützung benötige, und habe aus den bisherigen Fremdplatzierungen gelernt. Es sei eine Kombination (wie bisher) von ambulanten Unterstützungsmassnahmen, bestehend aus einer Wiedereingliederung in das Dreipunkt-Programm des RAV, Therapiestunden sowie die Anordnung einer sozialpädagogischen Familienbegleitung, als mildere Massnahme vorzuziehen.
4.3. Die Beschwerdeführerin vermag damit keine falsche Ermessensausübung der Vorinstanz darzutun (vgl. E. 3 am Ende) und sie bestreitet letztlich auch die Tatsache nicht, dass bisher sämtliche angeordneten ambulanten Massnahmen (Erziehungsbeistandschaft, Eingliederung im Dreipunkt-Programm, Therapiestunden) und die Integration in der Familie keine bleibende Verbesserung herbeiführen konnten. Sodann hat sie selbst geäussert, dass sie sich einen stabilen Rahmen und Unterstützung wünscht; zu Hause habe es ihr an klaren Strukturen gefehlt (vgl. Briefe der Beschwerdeführerin an das Obergericht und die Anwältin). Der vorinstanzliche Schluss, dass die Beschwerdeführerin einen familienexternen Aufenthaltsort benötige, wo man ihren Bedürfnissen gerecht werden könne, ist demnach folgerichtig.
Keine Bundesrechtswidrigkeit darzutun ist schliesslich mit dem Hinweis auf den guten Zusammenhalt innerhalb der Familie, insbesondere unter den Schwestern. Trotz dieses familiären Rückhalts ist die Beschwerdeführerin wiederholt aus dem Familienkreis ausgebrochen, letztmals im September 2012, als sie über zwei Monate lang untergetaucht blieb.
Die angeordnete fürsorgerische Unterbringung und der damit verbundene Obhutsentzug erweist sich vor diesem Hintergrund als unumgänglich, da mildere Massnahmen ohne nachhaltigen Erfolg blieben.
5.
In einem weiteren Punkt stellt die Beschwerdeführerin sinngemäss die Geeignetheit der gewählten Institution in Frage. Die geschlossene Abteilung des D._ Heims sei auf den Strafvollzug für Jugendliche ausgerichtet, mit strengem Regime. Es gehe in erster Linie darum, die Jugendlichen zu stabilisieren. Sie sei aber nie straffällig geworden und dort völlig fehl am Platz. Anstatt in ihrer Zukunftsplanung gefördert, würde sie zurückgeworfen. Dies könne sowohl für die berufliche Zukunft als auch für das eingeleitete Einbürgerungsverfahren verheerend sein. Es gehe ihr im D._ schlecht und sie leide unter Zitteranfällen und schlaflosen Nächten. In ihrer Beschwerde an die Vorinstanz hatte die damals noch nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin überdies bestritten, dass ihr im D._ bezüglich Schulabschluss und Lehrstellensuche geholfen werden könne .
5.1. Die Eignung der Institution beurteilt sich unter dem Blickwinkel der spezifisch kindesrechtlichen Gefährdungslage und ist zu bejahen, wenn die betreffende Anstalt dem eingewiesenen Kind Hilfe bei der Lösung seiner Probleme zu leisten vermag, so dass Aussicht besteht, seine Entwicklung in geordnete Bahnen zu lenken (vgl. Urteil 5C.258/2006 vom 22. Dezember 2006 E. 3.3.1; in: FamPra.ch, 2007 428).
Die Beiständin sprach sich gemäss Vorinstanz für die Geeignetheit der Institution aus und sie betonte, das Jugendheim D._ biete den nötigen strukturellen Rahmen, welcher der Beschwerdeführerin helfen könne, bezüglich Beschulung und Berufsfindung am Ball zu bleiben. Das Jugendheim D._ ist ein Erziehungsheim für junge Frauen im Alter zwischen 14 bis 22 Jahren, welche verhaltensauffällig wurden (beispielsweise durch Ausreissen), die eine stationäre Massnahme benötigen und bei Platzierungsbeginn einer internen Tagesstruktur bedürfen. Erklärtes Ziel ist dabei, die jungen Frauen sozial zu (re-) integrieren. Die geschlossene Wohngruppe verfügt dabei über Ateliers, ein begrenztes Schulangebot und Ausbildungsmöglichkeiten (vgl. erstinstanzliches Urteil, worauf das Obergericht verweist; sodann http://www...., vgl. Portrait, Vollzug/Tagesstrukturen, was als gerichtsnotorisch gelten darf).
5.2. Die Beschwerdeführerin riss wiederholt aus, letztmals von September bis Ende November 2012. Die Eltern konnten sie bislang nicht davon abhalten. Die Beiständin äusserte vor der Vorinstanz ihre Auffassung, dass das Jugendheim D._ die letzte Chance in Bezug auf Schule und Berufsfindung sein könne. Die Beschwerdeführerin selbst wünscht sich feste Strukturen und auch Unterstützung auf ihrem beruflichen Weg in die Zukunft (vgl. ihre Schreiben an das Obergericht und an die Anwältin).
Unter diesen Voraussetzungen ist die geschlossene Abteilung des Jugendheims D._ zur Zeit ein geeigneter Aufenthaltsort. Für das D._ spricht ausserdem, dass bei gegebenen Voraussetzungen grundsätzlich ein Übertritt in eine offenere Wohngruppe möglich ist.
6.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die fürsorgerische Unterbringung der Beschwerdeführerin bundesrechtskonform und verhältnismässig war. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, Y._ und Z._, der Kinder- und Erwachsenenschutzbehörde Stadt Luzern und dem Obergericht des Kantons Luzern, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann