Erwägungen:
1. Y._ (geb. 1977) stammt nach eigenen Angaben aus Nigeria. Er hat in der Schweiz unter dem Namen X._ (geb. 1983; aus Sierra Leone) erfolglos um Asyl nachgesucht. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 6. Juni 2008 in Ausschaffungshaft. Mit Entscheid vom 4. September 2008 verlängerte der Haftrichter 5 am Haftgericht III Bern-Mittelland diese bis zum 4. März 2009. Y._ gelangte hiergegen am 11. September 2008 an das Bundesgericht mit dem Antrag, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und ihn unverzüglich aus der Haft zu entlassen; der Migrationsdienst des Kantons Bern sei mit vorsorglicher Verfügung superprovisorisch anzuweisen, mit seiner Ausschaffung bis zum bundesgerichtlichen Entscheid zuzuwarten.
2. Seine Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden:
2.1 Der Beschwerdeführer ist aus der Schweiz weggewiesen worden, hat das Land indessen nicht verlassen. Am 17. Juli 2008 vereitelte er seine Ausschaffung, weshalb er per Sonderflug nach Nigeria wird verbracht werden müssen. Der Beschwerdeführer hat zudem falsche Angaben zu seiner Person gemacht, um die Behörden zu täuschen; es besteht bei ihm deshalb Untertauchensgefahr (vgl. Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 2 u. 3). Ein Laissez-passer liegt vor, so dass er in absehbarer Zeit in seine Heimat wird verbracht werden können. Der Beschwerdeführer ist zwar gemäss Zivilstandsregister Vater des am 18. Juli 2003 geborenen Kindes Z._, doch verschafft ihm die Beziehung zu diesem kein (offensichtliches) Anwesenheitsrecht. Die Frage der Wegweisung oder der Bewilligung des Aufenthalts bildet grundsätzlich nicht Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens; der Haftrichter kann seine Genehmigung in diesem Zusammenhang nur verweigern, wenn sich der zu sichernde Wegweisungsentscheid als offensichtlich unzulässig erweist (<ref-ruling> E. 2 S. 220); dies ist hier nicht der Fall: Die Mutter des Kindes ist - soweit ersichtlich - anderweitig verheiratet; der Beschwerdeführer macht nicht geltend, zu diesem bereits eine langdauernde, tatsächlich bestehende familiäre Beziehung gelebt zu haben; er behauptet nicht einmal, über ein Besuchsrecht zu verfügen. Unter diesen Umständen erscheinen weder der Vollzug des Wegweisungsentscheids noch die Haftverlängerung als unverhältnismässig. Es ist dem Beschwerdeführer zumutbar, den Ausgang des hängigen Bewilligungsverfahrens in seiner Heimat abzuwarten (vgl. Art. 17 AuG und das Urteil 2C_508/2008 vom 24. Juli 2008, E. 2). Der Beschwerdeführer kann seine Festhaltung verkürzen, indem er freiwillig nach Nigeria zurückkehrt; andernfalls wird er die Organisation des Sonderflugs abwarten müssen.
2.2 Was der Beschwerdeführer gegen die Haftverlängerung einwendet, überzeugt nicht: Seine Ausschaffung ist - wie dagelegt - nicht aus rechtlichen Gründen unmöglich (Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG i.V.m. Art. 8 EMRK bzw. 13 Abs. 1 BV). Er kann und muss den Ausgang des Bewilligungsverfahrens im Ausland abwarten. Dies rechtfertigt sich umso mehr, als er unbestrittenermassen vom Kreisgericht II Biel-Nidau am 6. Juni 2008 wegen mehrfach begangener sexueller Handlungen mit einem Kind und mehrfacher Missachtung von Ausgrenzungen zu einer Freiheitsstrafe von 12 Monaten verurteilt worden ist. Der angefochtene Entscheid verletzt auch seinen Anspruch auf rechtliches Gehör nicht (vgl. zu diesem <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen): Die Haftgenehmigung ist hinreichend begründet, konnte der Beschwerdeführer sie doch ohne Weiteres sachgerecht angefechten. Zwar war sein Rechtsvertreter an der Verhandlung vom 4. September 2008 nicht anwesend, doch hatte das Haftgericht (vergeblich) versucht, diesen am Vortag per Fax über den Verhandlungszeitpunkt zu informieren; im Übrigen nahm sein Anwalt am 4. September 2008 noch vor der haftrichterlichen Verhandlung kurz schriftlich Stellung, so dass dem Haftrichter dessen wesentlichen rechtlichen Argumente bei seinem Entscheid bekannt waren. Warum dem Beschwerdeführer das rechtliche Gehör verweigert worden sein soll, indem er die Vorladung für die Verhandlung an dieser selber habe unterschreiben müssen, ist nicht ersichtlich: Er hat seinen Rechtsvertreter noch tags zuvor über die Verhandlung informieren können (Fax vom 3. September 2003, 17:53), worauf dieser rechtzeitig schriftlich reagiert hat.
2.3 Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch um vorsorgliche Massnahme gegenstandslos. Da die Eingabe gestützt auf die bundesgerichtliche Praxis zum Vornherein aussichtslos war, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 BGG). Aufgrund der Umstände ist dennoch auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 5, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar