Sachverhalt:
A. A.a X._, Zug, (Beschwerdeführerin) hielt bis 1989 50 % der Aktien der A._ SA mit Sitz in Neuenburg. Y._ AG, Zürich, (Beschwerdegegnerin) ist Rechtsnachfolgerin der B.Y._ AG.
Im November 1989 erteilte die Beschwerdeführerin der Bank E._ (nunmehr Bank F._) den Auftrag, einen Käufer für ihre Aktien der A._ SA zu suchen. Die Bank E._ fand eine Investorengruppe, die bereit war, die Aktien zu übernehmen.
Im Rahmen des Mandatsverhältnisses mit der Beschwerdeführerin zog die Bank E._ die damalige B._ AG als Expertin in Steuerfragen bei. Diese teilte der Bank E._ mit Schreiben vom 29. November 1989 mit, dass der geplante Aktienverkauf keine steuerlichen Folgen für die Beschwerdeführerin zeitigen würde. In der Folge wurde der Kaufvertrag am 18. Dezember 1989 unterzeichnet und entsprechend abgewickelt.
Die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin, die B.Y._ AG, wurde am 31. Oktober 1991 als Tochtergesellschaft der B._ AG gegründet und übernahm in der Folge gemäss Pressemitteilung deren operatives Geschäft.
Im Januar 1992 teilte die Steuerverwaltung der Beschwerdeführerin mit, dass sie die Transaktion als Vermögensertrag zu besteuern gedenke. Im anschliessenden Einspracheverfahren erteilte die Beschwerdeführerin der B.Y._ AG den Auftrag, sie zu vertreten und zu beraten. Auf deren Anraten wurde schliesslich auf eine Einsprache verzichtet und der Aktienverkauf zeitigte für die Beschwerdeführerin nachteilige Steuerfolgen.
A.b Die Unternehmensgeschichte der Beschwerdegegnerin stellt sich im Einzelnen wie folgt dar: Im Jahr 1991 erwarb das obere Kader der B._ AG in einem Management-Buyout eine Aktienmehrheit der eigenen Unternehmung. In der Folge erwarb die B._ AG 100 % der Aktien der Y._ AG und gründete am 31. Oktober 1991 die Rechtsvorgängerin der heutigen Beschwerdegegnerin, die B.Y._ AG. Diese führte als operativ tätige Gesellschaft alle Dienstleistungen des Stammhauses B._ AG sowie der Y._ AG weiter. Dies geht aus einer Pressemitteilung, aus einer Mitteilung mit dem Titel "Unser Unternehmen 1991" sowie aus Zeitungsberichten hervor.
So teilte die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin unter anderem mit Pressemitteilung vom 13. November 1991 folgendes mit:
"Die Tätigkeiten der B._ AG und der Y._ AG werden zusammengelegt. Unter dem Gruppennamen B.Y._ führt die neue B.Y._ AG als operative Hauptgesellschaft alle Dienstleistungen des B._ AG-Stammhauses und der Y._ AG weiter."
In der Neuen Zürcher Zeitung vom 14. November 1991 wird die Umstrukturierung etwa wie folgt beschrieben:
"Die B._ AG ... hat die schweizerische Y._ AG zu 100 % übernommen. Dabei wurde das operative Geschäft der Y._ AG ... mit demjenigen des B._ AG-Stammhauses in der B.Y._ AG zusammengelegt."
Die Y._ AG sowie die B._ AG blieben daneben als eigene Gesellschaften bestehen. Die B.Y._ AG wurde am 30. April 1996 in C.Y._ AG und am 10. Oktober 2001 in D.Y._ AG umfirmiert. Schliesslich wurde die D.Y._ AG am 14. Dezember 2004 mit der Y._ AG fusioniert, wobei die Firma Y._ AG beibehalten wurde.
A.c Mit Klage vom 29. Dezember 1997 fasste die Beschwerdeführerin zunächst die Bank F._ als Rechtsnachfolgerin der Bank E._ ins Recht und forderte von ihr Schadenersatz für den aus der Steuerauskunft erwachsenen Schaden. Das Zivilgericht Basel-Stadt wies die Klage mit Urteil vom 6. November 2002 ab mit der Begründung, die Bank F._ sei zum Beizug der B._ AG als Substitutin gemäss <ref-law> befugt gewesen und habe in diesem Zusammenhang keine Pflichtverletzung begangen. Jedoch sei die der Beschwerdeführerin erteilte Steuerauskunft falsch gewesen und stelle grundsätzlich eine Vertragsverletzung dar. Gegen das Urteil des Zivilgerichts appellierte die Beschwerdeführerin. Das Appellationsverfahren ist bis zum Abschluss des vorliegenden Verfahrens sistiert worden.
B. B.a Mit Klage vom 24. Januar 2005 beim Zivilgericht Basel-Stadt verlangte die Beschwerdeführerin, es sei die Beschwerdegegnerin zur Zahlung von Fr. 1 Mio. zuzüglich Zins zu 5 % ab Klageeinreichung zu verurteilen. Zur Begründung führte die Beschwerdeführerin im Wesentlichen aus, die Beschwerdegegnerin sei hinsichtlich der Folgen der fehlerhaften Beurteilung der Steuerfolgen die Rechtsnachfolgerin der B._ AG im Sinne von <ref-law>. Die Beschwerdeführerin sei deshalb berechtigt, gegenüber der Beschwerdegegnerin vertragliche Haftungsansprüche geltend zu machen.
Das Verfahren wurde vom erstinstanzlichen Instruktionsrichter auf die Frage der Passivlegitimation beschränkt. Mit Zwischenurteil vom 23. August 2006 hat das Zivilgericht festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin passivlegitimiert sei.
B.b Auf Appellation der Beschwerdegegnerin hin hob das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt das Zwischenurteil des Zivilgerichts vom 23. August 2006 auf und wies die Klage zufolge fehlender Passivlegitimation der Beschwerdegegnerin ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 23. Mai 2008 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 18. Januar 2008 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin passivlegitimiert sei. Entsprechend sei das Zivilgericht Basel-Stadt anzuweisen, der Beschwerdegegnerin Frist anzusetzen für die Einreichung der materiellen Klagantwort. Eventualiter sei das Urteil des Appellationsgerichts vom 18. Januar 2008 insoweit aufzuheben, als die Beschwerdeführerin verurteilt worden sei, die ordentlichen und ausserordentlichen Kosten des erst- und zweitinstanzlichen kantonalen Verfahrens zu tragen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die kostenfällige Abweisung der Beschwerde. Die Vernehmlassung der Vorinstanz beschränkt sich auf zwei Bemerkungen zu den von der Beschwerdeführerin erhobenen Rügen.

Erwägungen:
1. Nach <ref-law> sind neue Begehren im Beschwerdeverfahren unzulässig. Unter diesem Gesichtspunkt ist das von der Beschwerdeführerin erstmals vor Bundesgericht erhobene Feststellungsbegehren problematisch. Es ist jedoch davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin darin lediglich die Vorgaben umschreibt, nach welchen nach der ebenfalls beantragten Rückweisung vorzugehen wäre. Da diese bei Gutheissung der Beschwerde ohnehin notwendig würde, um die weiteren Voraussetzungen der Haftbarkeit abzuklären, genügt der Rückweisungsantrag den vom Bundesgericht gestellten Anforderungen (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Das Bundesgericht entscheidet im Falle einer Rückweisung, ob es die Sache an die Vorinstanz oder an die erste Instanz zurückweist (<ref-law>).
2. 2.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 mit Hinweisen).
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
3. Die Beschwerdeführerin rügt hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zu den Hintergründen der Übernahme des operativen Geschäfts der B._ AG sowie der Y._ AG durch die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin eine willkürliche Beweiswürdigung (<ref-law>) bzw. eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts (<ref-law>).
3.1 Die Vorinstanz hielt zunächst fest, es sei unbestritten, dass die B.Y._ AG (die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin) als neu gegründete Tochtergesellschaft das operative Geschäft der Muttergesellschaft B._ AG sowie der Schwestergesellschaft Y._ AG übernommen habe. Umstritten sei, ob eine Geschäftsübernahme mit Aktiven und Passiven zwischen Muttergesellschaft und neu gegründeter Tochtergesellschaft stattgefunden habe. Die Beschwerdegegnerin bestreite, dass derartige interne Abmachungen bestünden und dass eine entsprechende Mitteilung nach aussen erfolgt sei. Sie bestreite auch, dass intern überhaupt Aktiven und Passiven übergegangen seien.
Es sei zwar richtig, dass die Beschwerdegegnerin diesbezüglich keine Verträge, Unterlagen oder sonstige Beweise eingereicht habe. Dies könne ihr jedoch auch nicht vorgehalten werden, sofern solche Unterlagen nicht bestanden hätten, da sich ein Negativum nicht beweisen lasse. Auch die von der Vorinstanz geprüften Mitteilungen an Dritte liessen nichts anderes erkennen als die Beschwerdegegnerin behauptet habe. Aus den verschiedenen von der Beschwerdeführerin eingereichten Verlautbarungen und Publikationen zur Umstrukturierung ergebe sich nichts zum Thema einer Übernahme von Aktiven und Passiven der Muttergesellschaft. In den Pressemitteilungen sowie der eigenen Verlautbarung der Beschwerdegegnerin werde sodann von einem Zusammenlegen der Tätigkeiten der B._ AG und der Y._ AG gesprochen, wobei die neu gegründete B.Y._ AG als Hauptgesellschaft alle Dienstleistungen des B._ AG-Stammhauses und der Y._ AG weiterführe. Die Begriffe "operative Hauptgesellschaft", "Weiterführen von Mandaten" etc., so die Vorinstanz weiter, beziehe sich klar auf die Tätigkeiten der neuen Gesellschaft gemäss Gesellschaftszweck und auf die Übernahme laufender und neuer Mandate. Hingegen lasse sich dieser Formulierung nicht entnehmen, dass bei der Muttergesellschaft aus früherer Tätigkeit entstandene Passiven von der neuen Gesellschaft übernommen würden.
3.2 Die Beschwerdeführerin bringt hiergegen vor, es sei vollkommen undenkbar, dass die Ausgliederung des gesamten operativen Geschäfts aus der B._ AG auf eine neu gegründete Gesellschaft und die Zusammenlegung dieses Geschäfts mit demjenigen der Y._ AG ohne schriftliche Verträge abgewickelt worden sei. Zu behaupten, dass die involvierten Gesellschaften eine solche Transaktion ohne schriftliche Verträge abgeschlossen haben könnten, sei unglaubwürdig, ja lebensfremd. Es stehe aufgrund der publizierten Mitteilungen fest, dass das gesamte operative Geschäft der B._ AG in die Beschwerdegegnerin gegliedert, dort mit dem - ebenfalls in die Beschwerdegegnerin eingebrachten - operativen Geschäft der Y._ AG zusammengelegt und von der Beschwerdegegnerin nahtlos weitergeführt worden sei.
Das "operative Geschäft" der B._ AG umfasse deren gesamtes umsatzwirksames Geschäft. Die Beschwerdegegnerin habe also sämtliche Mandatsbeziehungen (samt den diesbezüglichen Akten) übernommen. Es sei offensichtlich, dass sowohl die B._ AG als auch die Beschwerdegegnerin daran interessiert gewesen seien, keinen Bruch in den Mandatsbeziehungen entstehen zu lassen, sondern das operative Geschäft als Ganzes in die Beschwerdegegnerin einfliessen zu lassen. Es sei mit anderen Worten keineswegs darum gegangen, dass die B._ AG ihr bisheriges Geschäft einstellte und sie ihren Kunden empfahl, sich künftig von der Beschwerdegegnerin beraten zu lassen. Vielmehr sei die Beschwerdegegnerin in Bezug auf die gesamten Mandatsbeziehungen der B._ AG an deren Stelle getreten. Das in die Beschwerdegegnerin ausgegliederte "gesamte operative Geschäft" habe aber offensichtlich nicht nur aus Aktiven, sondern auch aus Passiven bestanden: Die Beschwerdegegnerin habe die noch nicht erledigten Aufträge der B._ AG und damit die mit diesen Aufträgen verbundenen Verpflichtungen übernommen, was sich aus den publizierten Mitteilungen der Beschwerdegegnerin ergebe. Damit stehe fest, dass vorliegend im internen Verhältnis effektiv Aktiven und Passiven des Geschäfts der B._ AG auf die Beschwerdegegnerin übertragen worden seien. Für diese Feststellung sei die Edition der (angeblich nicht existierenden) Verträge im Zusammenhang mit der Ausgliederung des operativen Geschäfts nicht nötig. Soweit die Vorinstanz diesbezüglich etwas anderes festgestellt habe, sei ihre Beweiswürdigung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich.
3.3 Die Beschwerdegegnerin bringt hiergegen vor, im Rahmen der Neugründung der B.Y._ AG sei mit Ausnahme der Übertragung einer Forderung in Höhe von Fr. 1'000'000.-- gegenüber einer Drittgesellschaft keine Sacheinlage bzw. Sachübernahme erfolgt. Weder der Errichtungsakt noch die Statuten oder die Publikation im Schweizerischen Handelsamtsblatt liessen auch nur den geringsten Hinweis dafür erkennen, dass im Rahmen der Neugründung Aktiven und/oder Passiven auf die gegründete Gesellschaft hätten übertragen werden sollen. Die Vereinbarung zur Übernahme zusätzlicher Aktiven und Passiven werde bestritten. Eine Vermögens- bzw. Geschäftsübertragung zwischen der B._ AG und der im Jahre 1991 gegründeten B.Y._ AG sei nicht vereinbart worden. In der damaligen Pressemitteilung sei kein Zweifel darüber offengelassen worden, dass mit der B._ AG, der B.Y._ AG sowie der C.Y.Z._ AG inskünftig mehrere voneinander getrennt wirtschaftende Unternehmen existieren würden. Die Bekanntgabe einer Weiterführung von Dienstleistungen könne aber - erst recht vor dem Hintergrund der SHAB-Publikation bei Gründung der Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin - nicht als Übernahme von Aktiven und Passiven im Sinne von <ref-law> qualifiziert werden. Mit der Ankündigung, dass die neu gegründete Gesellschaft als operative Hauptgesellschaft die Dienstleistungen des B._ AG-Stammhauses und der Y._ AG weiterführe, sei allein kundgetan worden, dass ein bisheriger Tätigkeitsbereich der B._ AG inskünftig von der neu gegründeten B.Y._ AG übernommen werde. Die Weiterführung des operativen Geschäfts sage jedoch ebenso wenig über das Schicksal der Passiven aus, wie die vom Bundesgericht in BGE 79 II 154 beurteilte Mitteilung, wonach die Geschäftsinhaberin ihre Milch-Bar übergebe.
3.4 Die Rüge der Beschwerdeführerin erweist sich als berechtigt. Die Übernahme des gesamten operativen Geschäfts der B._ AG durch die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin, wie sie von der Vorinstanz festgestellt wurde und aus den Verlautbarungen und Publikationen zur Umstrukturierung hervorgeht, setzt den Abschluss einer Vereinbarung zwischen den beiden Gesellschaften voraus, die diese Übertragung regelt. Eine Übernahme des operativen Geschäfts samt Verpflichtung zur Weiterführung laufender Mandate ohne entsprechende Vereinbarung ist undenkbar. Die Erwägung der Vorinstanz, dass sich das von der Beschwerdegegnerin behauptete Fehlen eines Übertragungsvertrags als Negativum nicht beweisen lasse, geht an der Sache vorbei. Selbst wenn nämlich kein schriftlicher Vertrag für die Übernahme des operativen Geschäfts der B._ AG bestehen sollte, was für eine bedeutende Umstrukturierung in der in Frage stehenden Dienstleistungsbranche höchst unüblich wäre, so ändert dies nichts am Umstand, dass der Transaktion eine Vereinbarung zwischen der B._ AG sowie der Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin zugrunde liegen musste, die grundsätzlich auch formlos gültig ist (<ref-law>; vgl. auch EUGEN SPIRIG, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1994, N. 126 zu <ref-law>; RUDOLF TSCHÄNI, in: Basler Kommentar, 4. Aufl. 2007, N. 12 zu <ref-law>).
Entgegen der Auffassung der Vorinstanz geht es nicht darum, der Beschwerdegegnerin den Beweis für eine negative Tatsache, nämlich das Fehlen von Vertragsdokumenten bzw. eines Vertragsschlusses, aufzuerlegen. Vielmehr wäre es an der Beschwerdegegnerin gewesen aufzuzeigen, welche interne Vereinbarung zwischen Mutter- und Tochtergesellschaft der besagten Umstrukturierung zugrunde lag. Sollte die Übernahme des operativen Geschäfts lediglich auf Grundlage einer formlosen konzerninternen Vereinbarung erfolgt sein, so wäre erst recht nur die Beschwerdegegnerin in der Lage gewesen, Art und Umfang der internen Vereinbarung aufzuzeigen, die sie bzw. ihre Rechtsvorgängerin selbst abgeschlossen hat. Die Beschwerdegegnerin hat es jedoch unterlassen, Einzelheiten der - gemäss Vorinstanz unbestrittenen - Übernahme des operativen Geschäfts vorzubringen, geschweige denn entsprechende Beweismittel einzureichen, sondern sich darauf beschränkt, das Zustandekommen einer Vereinbarung zur Übernahme von Aktiven und Passiven in Abrede zu stellen.
Angesichts der unzweifelhaft bestehenden Vereinbarung zur Übernahme des operativen Geschäfts sowie des Umstands, dass ein entsprechender Gegenbeweis nur von der Beschwerdegegnerin als Vertragspartei der internen Vereinbarung zu führen gewesen wäre, erweist sich die Erwägung der Vorinstanz, das Versäumnis der Beschwerdegegnerin könne ihr nicht vorgehalten werden, als offensichtlich unhaltbar. Die Beschwerdegegnerin hätte entgegen dem angefochtenen Entscheid nicht ein Negativum zu beweisen gehabt, sondern gegebenenfalls den Abschluss einer Vereinbarung mit der Muttergesellschaft, die sämtliche Passiven von der Übernahme ausschloss. Dass ihr dies nicht gelingen konnte, ergibt sich folgerichtig aus der Feststellung der Vorinstanz, wonach die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin nicht nur neue Mandate mit Klienten abschliessen, sondern auch die laufenden Dienstleistungsverträge erfüllen sollte. Wie bereits die Erstinstanz zutreffend feststellte, gehen bei diesen Verträgen jeweils Forderungsrechte mit Leistungspflichten einher. Soweit die Vorinstanz dennoch in tatsächlicher Hinsicht feststellte, es seien zwischen der B._ AG und der Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin keine Aktiven und Passiven übergegangen, ist dies widersprüchlich und offensichtlich unrichtig.
4. 4.1 Vorliegend ist davon auszugehen, dass zwischen der B._ AG und der Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin eine Vereinbarung zur Übernahme des operativen Geschäfts der B._ AG abgeschlossen wurde, die sowohl Aktiven als auch Passiven umfasste. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, setzt die Anwendbarkeit der im Zeitpunkt der fraglichen Transaktion zwischen der B._ AG und ihrer Tochtergesellschaft geltenden Bestimmung von <ref-law> (siehe nunmehr <ref-law>) voraus, dass ein Vermögen oder ein Geschäft übertragen wird, wobei auch die Übertragung eines organisch in sich geschlossenen Teils des Vermögens oder Geschäfts ausreicht (TSCHÄNI, a.a.O., N. 11 zu <ref-law>; CHRISTOPH HURNI, Die Vermögensübertragung im Spannungsfeld zwischen Vermögens- und Unternehmensrecht, Diss. Bern, Zürich/Basel/Genf 2008, S. 96; BRUNO VON BÜREN, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, Zürich 1964, S. 352). <ref-law> kommt also auch dann zum Zug, wenn nicht sämtliche Aktiven des Geschäfts übertragen werden (TSCHÄNI, a.a.O., N. 11 zu <ref-law>; THOMAS PROBST, in: Commentaire romand, Code des obligations, 2003, N. 24 zu <ref-law>). Der Einwand der Beschwerdegegnerin, es hätten infolge der Umstrukturierung mehrere voneinander getrennt wirtschaftende Unternehmen existiert und sie bzw. ihre Rechtsvorgängerin hätte nicht alle Dienstleistungen der B._ AG weitergeführt, sondern die Unternehmens- und Informatikberatung seien in eine andere Gesellschaft ausgegliedert worden, verfängt demnach nicht. Die separate Auslagerung dieser Bereiche ändert nichts daran, dass es sich beim übernommenen "operativen Geschäft der Muttergesellschaft" um einen organisch in sich geschlossenen Teil des Geschäfts der B._ AG handelt. Abgesehen davon bringt die Beschwerdegegnerin zu Recht nicht vor, der umstrittene Schadenersatzanspruch wäre dem Unternehmens- und Informatikberatungsgeschäft der B._ AG zuzuordnen, das von einer anderen Gesellschaft übernommen wurde.
4.2 Die Vorinstanz führte sodann zutreffend aus, dass sich ein Gläubiger auf die Mitteilungen des Übernehmers bzw. auf die Angabe in der Publikation verlassen darf. Er braucht den Inhalt der Vereinbarung des Übernehmers mit dem vorangegangenen Schuldner hinsichtlich Natur und Umfang der übertragenen Aktiven und Passiven nicht zu kennen. Vielmehr geht der Inhalt der Mitteilung bzw. Publikation den parteiinternen Abreden vor (<ref-ruling> E. 2.1 S. 168 f.; 79 II 289 E. 4b S. 291; 60 II 100 E. 1 S. 104 f.). Treu und Glauben im Geschäftsverkehr und die Rechtssicherheit bei Handelsgeschäften gebieten, dass der Gläubiger der Mitteilung des Übernehmers den Sinn beimessen darf, den ihr ein gutgläubiger Dritter nach Treu und Glauben beimisst (<ref-ruling> E. 2.1 S. 168 f. mit Hinweisen).
Da die Beschwerdeführerin keine Kenntnis von den Einzelheiten der Vereinbarung zwischen der B._ AG und ihrer neu gegründeten Tochtergesellschaft hatte, und ihr daher nicht bekannt sein konnte, in welchem Umfang die Passiven nach der internen Parteiabrede auf Letztere übergehen sollten, ist zu prüfen, wie die Beschwerdeführerin die öffentlichen Verlautbarungen der Beschwerdegegnerin nach Treu und Glauben verstehen durfte.
4.3 Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen liess die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin öffentlich verlauten, sie habe von der B._ AG das operative Geschäft übernommen. So teilte sie unter anderem in einer Pressemitteilung vom 13. November 1991 mit, dass die Tätigkeiten der B._ AG und der Y._ AG zusammengelegt würden, wobei die neue B.Y._ AG als operative Hauptgesellschaft alle Dienstleistungen der Mutter- sowie der Schwestergesellschaft weiterführe.
Die öffentliche Ankündigung der Übernahme der Tätigkeit der B._ AG bzw. des operativen Geschäfts schlechthin durfte die Beschwerdeführerin nach Treu und Glauben zur Annahme veranlassen, dass die Beschwerdegegnerin infolge der konzerninternen Umstrukturierung das gesamte operative Geschäft übernahm. Die Übernahme eines Geschäfts bedeutet nach allgemeinem Verständnis, dass auch die Passiven übernommen werden (vgl. etwa VON BÜREN, a.a.O., S. 353, wonach "Geschäft" nicht ein Inbegriff von Aktivposten allein, sondern auch der einschlägigen Passivposten ist). Einer besonderen Erklärung, dass auch die Passiven übernommen worden seien, bedarf es nicht (BGE 75 II 302 E. 1b S. 302). Von einer Übernahme gestützt auf das Vertrauensprinzip ist insbesondere bei denjenigen Passiven auszugehen, die ihrer Natur nach zum übertragenen Geschäft gehören (<ref-ruling> E. 2.1 S. 169). Zwar können der Veräusserer sowie der Übernehmer vereinbaren, dass lediglich Teile der Passiven übernommen werden. Eine Beschränkung der übernommenen Verbindlichkeiten ist jedoch in der Mitteilung klar und eindeutig hervorzuheben. Andernfalls kann die interne Vereinbarung den Gläubigern nicht entgegengehalten werden, und es gelten die gesamten Schulden als vom Erwerber übernommen (BGE 79 II 289 E. 4c S. 292; 75 II 302 E. 1b S. 302 f.; 60 II 100 E. 1 S. 104 f.; TSCHÄNI, a.a.O., N. 14 zu <ref-law>). Im Übrigen haben es Veräusserer und Übernehmer in der Hand, eine externe Schuldübernahme nach <ref-law> zu vermeiden, indem sie von der Mitteilung der Übernahme an die Gläubiger oder der Auskündigung in öffentlichen Blättern absehen (TSCHÄNI, a.a.O., N. 19 zu <ref-law>).
4.4 Die von der Beschwerdeführerin unter anderem gestützt auf <ref-law> geltend gemachte Schadenersatzforderung beruht auf einer angeblich unsorgfältigen Steuerberatung seitens der B._ AG. Damit gehört die umstrittene Verbindlichkeit ihrer Natur nach zu dem von der Beschwerdegegnerin laut ihren eigenen öffentlichen Verlautbarungen übernommenen Geschäftsbereich. Die absolut formulierte Mitteilung, wonach die Tätigkeit bzw. das operative Geschäft der B._ AG schlechthin mit dem Geschäft einer weiteren Tochtergesellschaft in der Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin zusammengelegt wurde, durfte die Beschwerdeführerin zur Annahme veranlassen, dass auch die mit dem Beratungsgeschäft verbundenen Verbindlichkeiten übernommen wurden. Die Mitteilung unterscheidet sich auch wesentlich von derjenigen, die BGE 79 II 154 zugrunde lag, auf den sich die Beschwerdegegnerin beruft. Zum einen war im Gegensatz zur vorliegenden öffentlichen Verlautbarung nicht von der Übernahme eines Geschäfts die Rede, das naturgemäss sowohl Aktiven als auch Passiven beinhaltet, sondern von der Überlassung einer "Milk-Bar" ("Mme X. ... remet ... son milk-bar ... à M. Y."), womit nach Ansicht des Bundesgerichts auch nur die Aktiven hätten gemeint sein können. Zum anderen erachtete das Bundesgericht den zweiten Satz der Veröffentlichung ("Les productions sont à adresser avant le 10 novembre 1951 à Mme X.") als Hinweis darauf, dass eine Schuldübernahme gerade nicht beabsichtigt war.
Aufgrund der öffentlichen Bekanntgabe der Umstrukturierung, deren genaue Abwicklung die Beschwerdeführerin nicht durchschauen konnte, durfte sie davon ausgehen, dass die Beschwerdegegnerin bzw. ihre Rechtsvorgängerin hinsichtlich des fraglichen Beratungsgeschäfts an die Stelle der B._ AG getreten sei (vgl. BGE 75 II 302 E. 1b S. 302). Ein im Rahmen der Umstrukturierung zwischen den Konzerngesellschaften allenfalls vereinbarter Vorbehalt, dass aus Sicht der Übernehmerin gewisse Positionen - wie etwa vertragliche Schadenersatzansprüche - von der Übernahme ausgeschlossen sind, lässt sich den Mitteilungen der Beschwerdegegnerin nicht entnehmen. Ein solcher hätte jedoch klar zum Ausdruck kommen müssen, damit er der Gläubigerin hätte entgegengehalten werden können (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 169).
4.5 Aus dem Gesagten ergibt sich, dass die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Schadenersatzpflicht - sofern sie überhaupt besteht - nach <ref-law> auf die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin übergegangen ist. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz ist die Beschwerdegegnerin damit im Zusammenhang mit den erhobenen Ansprüchen aus angeblich unsorgfältiger Beratung durch die B._ AG passivlegitimiert.
5. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gutzuheissen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 18. Januar 2008 ist aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin wird kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 18. Januar 2008 wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 15'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 17'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Corboz Leemann