Sachverhalt:
A.
In drei von X._ (Beschwerdeführer) gegen Z._ angehobenen Verfahren im Zusammenhang mit der von ihm gemieteten Wohnung an der Strasse S._ in N._ erteilte die Schlichtungsbehörde Höfe der klagenden Partei die Klagebewilligung ohne Kostenfolge (Beschlüsse datiert vom 25. Mai 2011, 12. Juli 2012 und 23. August 2012).
B.
Am 21. August 2012 (Postaufgabe) reichte der Beschwerdeführer beim Bezirksgerichtspräsidenten Höfe eine kantonale Aufsichtsbeschwerde gemäss den §§ 85 ff. der Justizverordnung des Kantons Schwyz vom 18. November 2009 (JV/SZ; SRSZ 231.110) gegen die Schlichtungsbehörde Höfe ein. Gegenstand dieser Aufsichtsbeschwerde waren die Schlichtungsverhandlungen, die am 25. Mai 2011 (recte 26. Mai) und am 12. Juli 2012 vor der Schlichtungsbehörde Höfe stattgefunden hatten. Der Antrag lautete wie folgt:
"Nach der Untersuchung bzw. als Sofortmassnahme beantrage ich, dass die fragliche (n) Schlichtungsverhandlung (en) wiederholt werden. Ich ersuche Sie als Aufsichtsbehörde um Einleitung der notwendigen Schritte."
Mit Verfügung vom 5. November 2012 wies das Bezirksgericht Höfe, Gerichtspräsidium, als Aufsichtsbehörde über die Schlichtungsbehörden (§ 33 Abs. 1 JV/SZ), die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es erkannte, die Aufsichtsbeschwerde sei offensichtlich verspätet (Nichteinhaltung der Frist von § 87 Abs. 1 JV/SZ), soweit sie sich auf die Schlichtungsverhandlung vom 25. Mai 2011 bezog, weshalb nicht darauf einzutreten sei. Die betreffend die Verhandlung vom 12. Juli 2012 erhobenen Vorwürfe erachtete es als unbegründet bzw. trat darauf nicht ein, soweit ein Protokollberichtigungsbegehren hätte gestellt werden können.
Mit Eingabe vom 10. November 2012 (Postaufgabe 16. November 2012) beantragte der Beschwerdeführer dem Bezirksgericht Höfe die Wiederherstellung der Beschwerdefrist betreffend die Schlichtungsverhandlungen vom 25. Mai 2011, vom 12. Juli 2012 und vom 23. August 2012. Eventualiter sei seine Eingabe als Aufsichtsbeschwerde zu behandeln. Mit Verfügung vom 21. November 2012 hielt das Bezirksgericht Höfe, Gerichtspräsidium, fest, dass die Verhandlung vom 23. August 2012 nicht Gegenstand des Beschwerdeverfahrens gebildet habe, weshalb auf ein diesbezügliches Fristwiederherstellungsgesuch nicht eingetreten werden könne. Ebenso wenig könne auf das Fristwiederherstellungsgesuch betreffend die Verhandlung vom 12. Juli 2012 eingetreten werden, da diesbezüglich gar keine verpasste Frist vorliege. Das Fristwiederherstellungsgesuch betreffend die Verhandlung vom 25. Mai 2011 wies es als unbegründet ab, da Rechtsunkenntnis keinen Anlass für eine Wiederherstellung von Fristen gebe und ein erhebliches Verschulden des Beschwerdeführers vorliege. Entsprechend dem Eventualantrag des Beschwerdeführers überwies das Bezirksgericht die Eingabe als Aufsichtsbeschwerde an das Kantonsgericht Schwyz.
Das Kantonsgericht gab dem Beschwerdeführer Gelegenheit zur Verbesserung seiner Eingabe, worauf dieser am 6. Dezember 2012 folgende Anträge stellte:
"1. Aufhebung Verfügung BezGer vom 05.11.2012, und Gutheissung der Beschwerde vom 07.07.2011 [...], eventualiter Rückweisung zur Beurteilung an die Vorinstanz.
2. Feststellung der Nichtigkeit des Beschlusses der Schlichtungsbehörde vom 24.08.2012 und Anordnung der Durchführung dieser Schlichtungsverhandlung, eventualiter Gutheissung des Wiederherstellungs-Antrages vom 10.11.2012 [...] bezüglich Schlichtungsverhandlung vom 23.08.2012.
3. Aufhebung Verfügung BezGer vom 21.11.2012 bezüglich Nichteintreten, Ablehnung Fristwiederherstellung sowie bezüglich der Kostenauflage.
4. Die Schlichtungsbehörde ist nach mehreren Vorfällen zu mehr Sorgfalt bei der Protokollerstellung anzuhalten via Bezirksgericht. Insbesondere sind auch stets alle Anwesenden zu protokollieren und Inhalte müssen korrekt sein.
5. Es sind keine Gerichtskosten zu erheben, und dem Beschwerdeführer ist eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen. Die Verfügung des Bezirksgerichts vom 5.11.2012 und 21.11.2012 sind bezüglich Kosten aufzuheben oder abzuändern."
Mit Beschluss vom 30. September 2013 wies das Kantonsgericht die Beschwerden gegen die Verfügungen des Bezirksgerichts vom 5. und 21. November 2012 ab, soweit es darauf eintrat, und auferlegte dem Beschwerdeführer die Kosten von Fr. 200.--.
C.
Der Beschwerdeführer reichte dem Bundesgericht Beschwerde "im Aufsichtsverfahren" ein und stellte folgende Anträge:
"[1.] Es sei festzustellen, dass die Schlichtungsbehörde Höfe (SB) an der Verhandlung vom 26.05.2011 in nicht paritätischer Zusammensetzung auftrat und dass sie die verfassungsmässigen Garantien auf ein faires Gericht verletzte.
[2.] Es sei festzustellen, dass die SB an der Verhandlung vom 12.07.2012 den Protest des durch einen Anwalt der Gegenpartei überraschten Mieters unzulässigerweise unterbunden hat und ihm damit insbesondere auch das Recht auf Verhandlungs-Verschiebung verweigerte.
[3.] Es sei festzustellen, dass die SB ihrer eigenen Verhandlung vom 23.08.2012 unentschuldigt ferngeblieben ist (Säumnis bzw. Willkür durch die Behörde).
[4.] Es sei festzustellen, dass Bezirksgericht/Kantonsgericht ihren Aufsichtspflichten bezüglich SB und den genannten drei Schlichtungsverfahren nicht bzw. nur sehr mangelhaft nachgekommen sind, die ZPO und Grundrechte der Verfassung wurden verletzt.
[...]
[5.] Der Beschluss der SB in den genannten 3 Verfahren sei aufzuheben bzw. als ungültig zu bezeichnen, eventualiter sei die Vorinstanz entsprechend anzuweisen.
[6.] Die Verfügung KG vom 30.09.2013 (bzw. BezGer vom 5.11.2012 und 21.11.2012, APD 2012 48) sei aufzuheben, eventualiter Rückweisung zur Beurteilung an die Vorinstanz.
[7.] Es sei festzustellen, dass die SB widerrechtlich handelte, indem sie eine falsche bzw. unvollständige Rechtsauskunft erteilte, und auf die in guten Treuen darauf basierenden, dem BezGer bzw. KG eingereichten Beschwerden bzw. Rügen ist einzutreten.
[8.] Die Schlichtungsbehörde sei zur Einhaltung der Gesetze anzuhalten (insbesondere Artikel 197-212 ZPO sowie BV bezüglich Willkür und rechtliches Gehör) und in Bezug auf die begangenen Verfehlungen zu ermahnen, und/oder die unteren Aufsichtsbehörden seien bezüglich ihrer Aufsichtspflichten zum Aussprechen einer Rüge zu ermahnen.
[9.] Die 3 Kostenverfügungen der Vorinstanzen sind aufzuheben. Es sind keine Gerichtskosten zu erheben und dem Beschwerdeführer ist aus der Staatskasse eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen, eventualiter ist die Entschädigungsfrage zur Behandlung an die Vorinstanz zurück zu weisen."
Die Schlichtungsbehörde beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der bei ihm eingereichten Rechtsmittel von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweis).
1.1. Das Bundesgericht ist die oberste rechtsprechende Behörde des Bundes (<ref-law>). Es behandelt im Rahmen seiner im BGG geregelten Zuständigkeiten Rechtsmittel in konkreten Rechtsstreitigkeiten. Ausserdem übt es die Aufsicht über die Geschäftsführung der unteren Gerichte des Bundes aus (<ref-law>). Gegenüber den kantonalen Gerichten und den Schlichtungsbehörden nimmt es dagegen nicht die Stellung einer Aufsichts- oder Oberaufsichtsbehörde ein (Rhinow und andere, Öffentliches Prozessrecht, 2. Aufl. 2010, Rz. 1743). Insoweit amtet es ausschliesslich als Rechtsmittelinstanz. Deshalb können dem Bundesgericht keine Aufsichtsbeschwerden gegen die Schlichtungsbehörden oder die kantonalen Gerichte unterbreitet werden. Verfahrensmängel bzw. Rechtsverletzungen, die diesen Behörden unterlaufen sein sollen, können beim Bundesgericht im Rahmen einer Beschwerde gegen einen anfechtbaren Entscheid gerügt werden, nicht jedoch losgelöst von einem solchen im Sinne der Aktualisierung eines aufsichtsrechtlichen Einschreitens, wie dies der Beschwerdeführer mit seinen Anträgen anstrebt.
1.2. Dem Beschwerdeführer wurde in den drei im Zusammenhang mit einer Mietsache stehenden Schlichtungsverfahren jeweils die Klagebewilligung ohne Kostenauflage erteilt. Bei der Klagebewilligung handelt es sich nicht um einen Entscheid, und sie ist dementsprechend nicht anfechtbar (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Da dem Beschwerdeführer in den Beschlüssen der Schlichtungsbehörde zudem keine Kosten auferlegt wurden, stellte sich auch nicht die Frage nach der Anfechtbarkeit des im Rahmen der Klagebewilligung ergangenen Spruchs über die Kosten (vgl. dazu Urteil 4D_68/2013 vom 12. November 2013 E. 3).
Der Beschwerdeführer focht denn auch nicht die Klagebewilligungen als solche an, sondern erhob bezüglich der von ihm eingeleiteten Schlichtungsverfahren (zunächst betreffend die Verhandlungen vom 25. Mai 2011 und vom 12. Juli 2012, später erweitert auf den Beschluss vom 23. August 2012) den Rechtsbehelf der Aufsichtsbeschwerde nach kantonalem Recht (§§ 85 ff. JV/SZ). Mit dieser gelangte er zunächst an das Bezirksgericht als Aufsichtsbehörde über die Schlichtungsbehörde (§ 33 Abs. 1 JV/SZ) und hernach an das Kantonsgericht als obere Aufsichtsbehörde (§§ 13 Abs. 1 und 89 JV/SZ). Der Beschluss des Kantonsgerichts vom 30. September 2013 erging mithin in diesem Aufsichtsverfahren, weshalb er keinen beim Bundesgericht mit Beschwerde anfechtbaren Entscheid bildet. Entsprechendes gilt für die in den Verfügungen des Bezirksgerichtspräsidiums vom 5. November 2012 und vom 21. November 2012 sowie im Beschluss des Kantonsgerichts vom 30. September 2013 enthaltenen Dispositivpunkte betreffend Kostenauflage und verweigerte Fristwiederherstellung. Diese halten sich im Rahmen des kantonalen Aufsichtsverfahrens, in dem der Weiterzug an das Bundesgericht nicht offen steht.
Sodann geht es vorliegend auch nicht um einen Fall, bei dem die Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. a und b BGG in Betracht kommt.
1.3. Ebenso wenig wird die Verweigerung eines anfechtbaren Entscheids im Sinne von <ref-law> geltend gemacht, so dass die Beschwerde auch unter diesem Titel nicht zulässig ist.
1.4. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist demnach nicht gegeben. Daran ändert nichts, dass das Kantonsgericht im Beschluss vom 30. September 2013 anführte, gegen den Entscheid könne nach Massgabe von <ref-law> Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden, mithin eine unzutreffende Rechtsmittelbelehrung abgab. Eine fehlerhafte Rechtsmittelbelehrung kann kein gesetzlich nicht gegebenes Rechtsmittel schaffen (<ref-ruling> E. 1.5 S. 200 f.; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1 S. 541; <ref-ruling> E. 3; je mit Hinweisen).
2.
Auf die Beschwerde kann demnach nicht eingetreten werden. Da das Kantonsgericht eine unzutreffende Rechtsmittelbelehrung abgegeben hat, gestützt auf die der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer seine Eingabe an das Bundesgericht verfasste, erscheint es gerechtfertigt, ausnahmsweise und in Nachachtung von <ref-law> auf die Erhebung von Kosten zu verzichten. Dem Antrag des unterliegenden Beschwerdeführers auf Ausrichtung einer Parteientschädigung aus der Staatskasse kann jedoch nicht entsprochen werden, zumal einer nicht anwaltlich vertretenen Partei gemäss bundesgerichtlicher Praxis selbst bei Obsiegen grundsätzlich keine Parteientschädigung zugesprochen wird (<ref-ruling> E. 4). Die Schlichtungsbehörde hat von vornherein keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz