Sachverhalt:
A.
Mit Beschluss vom 18. August 1998 hat der Regierungsrat des Kantons Schwyz Dr. med. et med. dent. X._, geb. 1955, die Bewilligung zur selbständigen Berufsausübung als Arzt und Zahnarzt erteilt.
Infolge verschiedener Reklamationen beim damaligen Kantonszahnarzt Dr. D._ bzw. dem Amt für Gesundheit und Soziales des Kantons Schwyz eröffnete dieses am 12. Februar 2009 ein Verwaltungsverfahren zur Prüfung allfälliger Verwaltungsmassnahmen gegen X._. Der Kantonszahnarzt trat am 27. Oktober 2009 in den Ausstand.
Am 19. August 2010 reichte der vom Amt für Gesundheit und Soziales des Kantons Schwyz beauftragte Sachverständige Prof. Dr. med. dent. et Dr. med. E._, Facharzt für Kiefer- und Gesichtschirurgie und Fachzahnarzt für Oralchirurgie, Universität Y._, ein Gutachten ein. Am 22. Oktober 2010 nahm X._ zum Gutachten Stellung.
Mit Schreiben vom 9. Dezember 2010 hat das Amt für Gesundheit und Soziales des Kantons Schwyz X._ ein Vergleichsverfahren vorgeschlagen, wobei dieser mit Schreiben vom 30. Mai 2011 eine vergleichsweise Lösung ablehnte.
B.
B.a. Mit Verfügung vom 22. Juli 2011 ordnete das Amt für Gesundheit und Soziales des Kantons Schwyz gegenüber X._ ein definitives Verbot der selbständigen Berufsausübung für die Tätigkeiten als Arzt und Zahnarzt an. Die mit der Verfügung entzogene aufschiebende Wirkung einer allfälligen Beschwerde hat der Regierungsrat des Kantons Schwyz mit Beschluss vom 23. August 2011 wiederhergestellt. Am 20. Dezember 2011 hiess der Regierungsrat die Beschwerde insofern gut, als das unbefristete Berufsausübungsverbot auf fünf Jahre befristet wurde. Im Übrigen wies er die Beschwerde ab.
B.b. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz am 17. April 2013 ab. Gestützt auf das Gutachten von Prof. D._ sowie die weiteren medizinischen Berichte erwog das Verwaltungsgericht, der Beschwerdeführer habe in mehreren Fällen die nötige Sorgfalt und Gewissenhaftigkeit gemäss Art. 40 lit. a des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe (Medizinalberufegesetz, MedBG; SR 811.11) nicht beachtet und damit seine Berufspflichten verletzt. Auch biete der Beschwerdeführer keine Gewähr für ein integres persönliches Verhalten bei der Berufsausübung. Es rechtfertige sich ein auf fünf Jahre befristetes Verbot der selbständigen Berufsausübung.
C.
Vor Bundesgericht beantragt X._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 17. April 2013 aufzuheben, eventualiter die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen und ein Obergutachten zu erstellen, subeventualiter den Beschwerdeführer mit einem Verweis zu belegen, subsubeventualiter das Verbot auf die Tätigkeit als Zahnarzt zu beschränken.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, der Regierungsrat des Kantons Schwyz und das Amt für Gesundheit und Soziales des Kantons Schwyz beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Eidgenössische Departement des Innern verzichtet auf eine Stellungnahme.
Mit Replik vom 16. August 2013 hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest.
D.
Am 19. Juni 2013 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist deshalb grundsätzlich das zutreffende Rechtsmittel (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Der Ausnahmetatbestand von Art. 83 lit. t BGG, wonach die Beschwerde gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen ausgeschlossen ist, greift vorliegend nicht. Die strittige Disziplinarmassnahme wegen Verstosses gegen die Berufspflichten erschöpft sich nicht in einer reinen Leistungsbeurteilung (Urteil 2C_150/2008 vom 10. Juli 2008 E. 2.2; vgl. ferner Urteil 2C_187/2007 vom 16. August 2007 E. 2).
2.
Zunächst sind die Rügen der Verletzung des rechtlichen Gehörs und die damit zusammenhängenden Sachverhaltsrügen des Beschwerdeführers betreffend das Gutachten von Prof. D._ zu prüfen.
2.1.
2.1.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; Urteil 2C_300/2013 vom 21. Juni 2013 E. 2.1). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinne mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f.). Rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- bzw. Rügeanforderungen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 104 f.).
2.1.2. Gutachten unterliegen als Beweismittel der freien richterlichen Beweiswürdigung. In Fachfragen darf das Gericht allerdings nicht ohne triftige Gründe vom Gutachten eines unabhängigen Sachverständigen abweichen und muss allfällige Abweichungen begründen. Ein Abweichen ist dann geboten, wenn sich aus den Umständen ergibt, dass die Glaubwürdigkeit des Sachverständigen oder die Überzeugungskraft des Gutachtens ernsthaft erschüttert ist. In diesen Fällen verfällt das Gericht in eine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung, wenn es auf ergänzende Abklärungen verzichtet (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 269; <ref-ruling> E. 5.4.2 S. 345 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 86 mit Hinweisen; vgl. ferner <ref-ruling> E. 1d S. 162, E. 2b S. 164; Urteile des EGMR Shulepova gegen Russland vom 11. Dezember 2008, §§ 58 ff.; Sara Lind Eggertsdóttir gegen Island vom 5. Juli 2007, §§ 47 ff).
2.2.
2.2.1. Vorliegend weist der Sachverständige im Gutachten darauf hin, dass er aufgrund der ihm zur Verfügung gestellten Akten "keinen vollständigen Überblick" erlangen könne und nur vom Beschwerdeführer "'gefiltertes' Material" vorliege. Es handle sich um "gewöhnungsbedürftige Gegebenheiten". Mehrfach wird hervorgehoben, dass sich die Beurteilung einzig auf die zur Verfügung stehenden Unterlagen stütze. Auf Weisung des Amts für Gesundheit und Soziales des Kantons Schwyz erstellte der Sachverständige gleichwohl ein reines Aktengutachten.
2.2.2. Dem Sachverständigen müssen alle für die Begutachtung massgeblichen Akten zur Verfügung stehen, damit sein Gutachten massgebliche Entscheidgrundlage darstellen kann (Urteil 6P.50/2005 vom 27. Oktober 2005 E. 3.3). Auch wenn die Anforderungen an die Aktenzusammenstellung dabei nicht so hoch angesetzt werden dürfen, dass die Durchführung einer rechtskonformen Begutachtung massiv erschwert oder gar verunmöglicht wird (vgl. Urteil 8C_924/2008 vom 8. April 2009 E. 3.3), verliert das vorliegende reine Aktengutachten doch entscheidend an Beweiskraft, wenn der Sachverständige - nach seiner eigenen fachlichen Einschätzung - aufgrund der vorhandenen Unterlagen "keinen vollständigen Überblick" erlangen konnte und dennoch auf eine Vervollständigung der Akten verzichtet wurde.
2.2.3. Die Vorinstanz ging auf die entsprechende Rüge des Beschwerdeführers zur Unvollständigkeit des Gutachtens nicht näher ein, da sie ihm treuwidriges bzw. rechtsmissbräuchliches Verhalten vorwarf. Der Beschwerdeführer habe im Verwaltungsverfahren (noch vor Erstattung des Gutachtens) Patientendossiers eingereicht und diese ausdrücklich als "vollständig" bezeichnet. Nun könne er sich nicht darauf berufen, das Gutachten beruhe auf einer unvollständigen Aktenlage. Dabei übersieht die Vorinstanz, dass das Amt für Gesundheit und Soziales des Kantons Schwyz von sich aus gehalten gewesen wäre, für eine vollständige Dokumentation des Sachverständigen besorgt zu sein, nachdem dieser auf die unbefriedigende Aktenlage hingewiesen hatte. Auch wurde der Beschwerdeführer nach Eröffnung des Verwaltungsverfahrens am 12. Februar 2009 nicht förmlich dazu aufgefordert, sämtliche Unterlagen herauszugeben, sondern reichte die erwähnten Patientendossiers im Rahmen der Gewährung des rechtlichen Gehörs ein. Zudem erwähnte der Beschwerdeführer in seiner Stellungnahme zum Gutachten vom 22. Oktober 2010 ausdrücklich, dass er dem Kantonszahnarzt Patientenunterlagen übergeben habe. Der Verzicht auf weitere Abklärungen kann daher nicht dem Beschwerdeführer angelastet werden.
2.3.
2.3.1. Schlüssigkeit und Nachvollziehbarkeit des Gutachtens sind insofern in Frage gestellt, als der vom Sachverständigen als "primäre Verfehlung" bezeichnete Vorwurf, der Beschwerdeführer habe in allen fünf begutachteten Patientendossiers unzutreffende Diagnosen (Osteomyelitis) gestellt, nicht hinreichend abgeklärt worden ist. So führt der Sachverständige im Begleitschreiben zum Gutachten aus, er empfehle zur Absicherung der im Gutachten getroffenen Aussagen weitere Abklärungen, und begründet dies damit, dass sich der Beschwerdeführer die gestellten Diagnosen durch Radiologen bzw. Nuklearmediziner "bestätigen" lasse. Die Richtigkeit dieser "Bestätigungen" könne er - der Sachverständige - mangels radiologischer Fachkenntnisse nicht nachprüfen.
2.3.2. Das Gutachten beruht damit in wesentlichen Teilen ("primäre Verfehlung") auf einem nach Einschätzung des Sachverständigen nicht abschliessend geklärten Sachverhalt. Damit werden die im Gutachten gezogenen Schlüsse in Frage gestellt, zumal im kantonalen Verfahren nach dem Scheitern der Vergleichsverhandlungen auf weitere Abklärungen verzichtet wurde. Auch bleibt offen, weshalb der Sachverständige auf diesen Umstand nicht im Gutachten selbst eingegangen ist, sondern dies - wie er im Begleitschreiben selbst ausführt - "im offiziellen Gutachtenschreiben ausgeklammert" hat und "mit getrennter Post" das Hinzuziehen weiterer Sachverständiger empfiehlt. Damit verliert das Gutachten an entscheidender Stelle an inhaltlicher Überzeugungskraft und der Sachverständige an Glaubwürdigkeit (vgl. zu Letzterem <ref-ruling> E. 7.2.2 S. 110; <ref-ruling> E. 2d S. 199 ff.; <ref-ruling> E. 3b S. 365 ff.; Urteil 4A_118/2013 vom 29. April 2013 E. 2.1).
2.4.
2.4.1. Hinzu kommen weitere Unstimmigkeiten im Gutachten, welche die bestehenden Zweifel an der Schlüssigkeit und Nachvollziehbarkeit verstärken, auch wenn sie für sich alleine die Überzeugungskraft des Gutachtens nicht grundsätzlich in Frage zu stellen vermöchten. So hat sich der Sachverständige zwar zu Recht um eine klare und verständliche Sprache bemüht, teilweise allerdings zulasten einer genauen und sorgfältigen Begründung. Dies trifft etwa für Passagen zu, in denen der Sachverständige davon spricht, den Patienten sei "durch die unbegründete zusätzliche nuklearmedizinische Strahlenexposition ein Schaden entstanden", ohne dies näher auszuführen, oder in denen er Aussagen trifft wie: "Wird die Sorgfaltspflicht nicht beachtet[,], besteht Fahrlässigkeit. Kommen Patienten dadurch zu Schaden[,] besteht grobe Fahrlässigkeit."
2.4.2. Solche Äusserungen mögen zumindest teilweise darauf zurückzuführen sein, dass bereits der Gutachtensauftrag nicht hinreichend zwischen Sach- und Rechtsfragen getrennt hat und die auftraggebende Behörde damit ihrer Pflicht zur sorgfältigen, klaren und präzisen Formulierung des Fragekatalogs nur ungenügend nachgekommen ist (<ref-ruling> E. 4.4.1 S. 269; <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 345; Urteil 5A_911/2012 vom 14. Februar 2013 E. 6.4.2). Dies entbindet den ärztlichen Sachverständigen jedoch nicht davon, den gestellten Auftrag zu prüfen und nur medizinisch beantwortbare Fragen auch tatsächlich zu beantworten (Hoffmann-Richter/Jeger/Schmidt, Das Handwerk ärztlicher Begutachtung, 2012, S. 25 ff., 244 ff.).
2.4.3. Schliesslich hat der Sachverständige auch dort auf Literaturhinweise verzichtet, wo er sich - in Distanzierung zum Vorgehen des Beschwerdeführers - ohne nähere Erläuterungen auf die "gängige Lehrmeinung", die "Literatur" und den "neuesten Stand der Literatur" beruft. Die Nachvollziehbarkeit der im Gutachten gezogenen Schlüsse wird damit erschwert.
2.5.
2.5.1. Auf diese Mängel des Gutachtens hat der Beschwerdeführer bereits im Verwaltungsverfahren hingewiesen, indem er sich einlässlich zu den rechtlichen wie fachlichen Aspekten des Gutachtens äusserte und dieses in einer über 60-seitigen fachlichen Stellungnahme "Satz für Satz" zu widerlegen suchte. Dessen ungeachtet hat die Vorinstanz das Gutachten als vollständig und schlüssig erachtet und auf weitere Beweismassnahmen verzichtet. Namentlich erhielt der Beschwerdeführer während des gesamten kantonalen Verfahrens nie Gelegenheit, den Sachverständigen mit seinen Einwendungen schriftlich oder mündlich zu konfrontieren. Zu prüfen ist, ob damit das Gebot eines fairen Verfahrens (<ref-law>; Art. 6 EMRK; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 124) verletzt worden ist.
2.5.2. Berührt der Ausgang eines Disziplinarverfahrens möglicherweise das Recht, einen freien Beruf weiterhin auszuüben, liegt eine Streitigkeit über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK vor (Urteil 2C_66/2013 vom 7. Mai 2013 E. 3.1; Urteil des EGMR Foglia gegen Schweiz vom 13. März 2007, § 62; je mit Hinweisen).
2.5.3. Das Gebot eines fairen Verfahrens (<ref-law>; Art. 6 EMRK) schliesst eine antizipierte Beweiswürdigung nicht aus (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f.; Urteil des EGMR Mirilashvili gegen Russland vom 11. Dezember 2008, § 191). Entsprechend ist es grundsätzlich Sache der verfahrensleitenden Behörden zu entscheiden, ob der Sachverständige mit allfälligen Ergänzungsfragen und/oder Stellungnahmen einer Verfahrenspartei mündlich oder schriftlich zu konfrontieren ist, soweit der verfassungsrechtliche Minimalanspruch auf nachträgliche Stellungnahme zum Gutachten gewahrt wird (vgl. zu Letzterem BGE <ref-ruling> E. 1c S. 362; <ref-ruling> E. 6d S. 263; Urteil 1C_77/2013 vom 19. Juli 2013 E. 3.4). Dabei dürfte allerdings eine Konfrontation des Sachverständigen mit den fachlichen Einwendungen einer Verfahrenspartei regelmässig angezeigt sein, wenn sie substanziierte fachliche Einwände gegen die Überzeugungskraft des Gutachtens vorzubringen vermag. Grund hierfür ist, dass die entscheidenden Behörden mangels ausreichender Fachkenntnisse allfällige objektiv-fachliche Mängel in Gutachten nicht immer erkennen können und diese daher aufgrund ihrer Fachspezifität faktisch vorentscheidenden Charakter haben (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 240 f.).
2.5.4. Ob aus diesen Gründen das Recht zum Stellen von Ergänzungsfragen an den Sachverständigen nicht bereits aus dem Gebot eines fairen Verfahrens abgeleitet werden kann, braucht vorliegend ebenso wenig abschliessend geklärt zu werden wie die Frage, ob sich die jüngste Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Verstärkung der vorgängigen Mitwirkungsrechte in der Invaliden- und Unfallversicherung zumindest teilweise auf weitere Verwaltungsbereiche übertragen lässt (<ref-ruling> ff.; <ref-ruling> ff.; vgl. Daniela Thurnherr, Verfahrensgrundrechte und Verwaltungshandeln, 2013, Rz. 411, 940). Die erheblichen Zweifel an der Überzeugungskraft des Gutachtens wären vorliegend jedenfalls nur durch weitere Beweismassnahmen zu beseitigen gewesen. Dazu hätte in erster Linie die Konfrontation des Sachverständigen mit den Einwendungen des Beschwerdeführers gezählt. Indem die Vorinstanz das Beweisverfahren vorzeitig abgebrochen hat, ist sie in eine unzulässige antizipierte Beweiswürdigung verfallen. Darin liegt ein Verstoss gegen das Gebot eines fairen Verfahrens (<ref-law>; Art. 6 EMRK; vgl. Urteil des EGMR Sara Lind Eggertsdóttir gegen Island vom 5. Juli 2007, §§ 53 f.) und zugleich eine willkürliche Beweiswürdigung sowie eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 9 und Art. 29 Abs. 2 BV).
2.5.5. Angesichts dieser Versäumnisse ist es vorliegend angezeigt, die Sache zur ergänzenden Abklärung und neuer Entscheidung an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz zurückzuweisen. Es liegt an ihm zu entscheiden, ob und welche Disziplinarmassnahmen sich gestützt auf die übrigen Erkenntnisse und allfällige weitere Beweismassnahmen rechtfertigen lassen. Dabei können gegebenenfalls auch die im bundesgerichtlichen Verfahren erstmals vorgebrachten Sachumstände einfliessen, die für das Bundesgericht aufgrund des Novenverbots unbeachtlich sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.5 S. 397; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Will die Vorinstanz ein neues Gutachten über die beruflichen Tätigkeiten des Beschwerdeführers einholen, so hat sie dieses einem Sachverständigen zu übertragen, der bisher nicht mit dem Fall betraut war.
3.
Aus prozessökonomischen Gründen ist nachfolgend auf weitere Rügen einzugehen, die sich nicht auf das Gutachten von Prof. D._ beziehen.
3.1.
3.1.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die durch den in Ausstand getretenen Kantonszahnarzt Dr. D._ in Auftrag gegebenen Berichte der Zahnärzte Prof. O._, Dr. P._ und Dr. Q._ seien aus den Akten zu entfernen.
3.1.2. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz hat mit Entscheid vom 27. Oktober 2009 dem Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers vom 23. Februar 2009 gegen den Kantonszahnarzt Dr. D._ stattgegeben. Ausschlaggebend waren dessen negative Äusserungen über den Beschwerdeführer gegenüber der Presse, ohne auf das vorgängige Ersuchen des Beschwerdeführers um rechtliches Gehör reagiert zu haben.
3.1.3. Über die Unbefangenheitsgarantie als Teilgehalt eines fairen Verfahrens nach <ref-law> hat der Einzelne Anspruch darauf, dass sich die zur Objektivität und Neutralität verpflichteten Verwaltungsbehörden nicht durch sachwidrige persönliche Einflüsse leiten lassen (Urteile 1C_413/2012 vom 14. Juni 2013 E. 4.2; 2C_694/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 2.3; je mit Hinweisen). Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers genügt die rein hypothetische Möglichkeit, dass sich ein während des Verfahrens zu einem bestimmten bzw. bestimmbaren Zeitpunkt eingetretener Ausstandsgrund bereits früher auf das Verfahren ausgewirkt haben könnte, nicht dazu, sämtliche Verfahrensschritte wiederholen zu lassen (Urteil 2C_732/2008 vom 24. März 2009 E. 2.3.2; vgl. ferner <ref-ruling> E. 3a S. 16 f.; BREITENMOSER/SPORI FEDAIL, in: Praxiskommentar VwVG, 2009, N. 102 zu <ref-law>). Diese Massnahme erwiese sich nur als verhältnismässig, wenn objektive, nachvollziehbare Umstände für einen Anschein der Befangenheit im Zeitpunkt der Vornahme der jeweiligen Instruktionshandlungen bestünden. Solche Umstände führt der Beschwerdeführer nicht an. Hinzu kommt, dass die ärztlichen Berichte nicht vom Kantonszahnarzt, sondern von Dritten stammen.
3.2. Nicht durchzudringen vermag die Rüge, dass dem Beschwerdeführer das Berufsverbot als Arzt (nicht nur: als Zahnarzt) hätte angezeigt werden müssen. Die gesamte berufliche Tätigkeit des Beschwerdeführers bildet Gegenstand des Verfahrens.
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdeführer rügt schliesslich als offensichtlich unrichtig die Feststellung der Vorinstanz, wonach er ein von ihm im vorinstanzlichen Verfahren aufgelegtes Beweismittel - das Schreiben von Dr. F._ vom 21. Mai 2012 - gefälscht habe.
3.3.2. Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz unter anderem mehrere Schreiben von Dr. F._ eingereicht, in denen sich dieser in fachlicher Hinsicht zu den Patientendossiers äusserte. Diese Schreiben wiesen Unstimmigkeiten auf (falsche Telefonnummer, unterschiedliche Berufsbezeichnung und Schreibweisen des Namens), worauf die Vorinstanz bei Dr. F._ eine schriftliche Auskunft einholte. Zu dem als Beweismittel aufgelegten Schreiben vom 21. Mai 2012 führte Dr. F._ aus, dass dieses "nicht durch uns geschrieben [wurde], es handelt sich jedoch nur um eine Zusammenfassung von Unterlagen". In seiner Stellungnahme zum Beweisergebnis gab der Beschwerdeführer an, dass er die Unterlagen selbst zusammengestellt habe, das Schreiben vom 21. Mai 2012 jedoch von Dr. F._ unterzeichnet worden sei. Gleichzeitig beantragte der Beschwerdeführer, Dr. F._ als Zeugen einzuvernehmen. Darauf hat die Vorinstanz verzichtet und stellte im Entscheid vom 17. April 2013 fest, dass die Unterschrift auf dem Schreiben vom 21. Mai 2012 nicht von Dr. F._ stamme bzw. zumindest nicht von diesem auf dem fraglichen Schreiben angebracht worden sei. Der Beschwerdeführer habe das Schreiben als von Dr. F._ stammend auszugeben versucht und damit das Gericht bezüglich der Herkunft des Schreibens offensichtlich hinters Licht führen wollen.
3.3.3. Der Beschwerdeführer legt im bundesgerichtlichen Verfahren eine schriftliche Bestätigung von Dr. F._ auf, wonach dieser das Schreiben vom "21.03.2012" (recte: 21. Mai 2012) eigenhändig unterzeichnet habe. Dieses Schreiben ist als zulässiges Novum zu qualifizieren, weil der Beschwerdeführer damit seinen Standpunkt untermauert, wonach er nicht über die Identität des Ausstellers des Schreibens vom 21. Mai 2012 getäuscht habe, und dieser Umstand im angefochtenen Entscheid nicht beachtet wurde (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 128 f.; Urteil 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 5.3 mit Hinweisen). Unter Berücksichtigung der neu aufgelegten Bestätigung ist nicht erstellt, dass der Beschwerdeführer das Schreiben vom 21. Mai 2012 gefälscht hat. Über den Beweiswert des Schreibens von Dr. F._ ist damit nichts gesagt.
4.
4.1. Die Beschwerde erweist sich als begründet und ist deshalb gutzuheissen. Das angefochtene Urteil wird aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
4.2. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Schwyz hat dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Schwyz hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, und dem Eidgenössischen Departement des Innern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Egli