Sachverhalt:
A. Der libanesische Staatsangehörige Y._ (geb. 1970) reiste erstmals im Juni 1993 in die Schweiz ein und stellte unter falschem Namen ein Asylgesuch. Kurz darauf wurde er mehrfach in der Zürcher Drogenszene angehalten und wegen des Verdachts auf Betäubungsmittelhandel zur Anzeige gebracht. Am 20. August 1995 wurde er ein erstes Mal in den Libanon ausgeschafft und mit einem auf unbestimmte Zeit ausgesprochenen Einreiseverbot belegt. Die Strafuntersuchungen wurden eingestellt, nachdem Y._ zunächst untergetaucht und später bereits ausgeschafft war. Am 5. Oktober 1996 reiste er von Deutschland herkommend erneut illegal in die Schweiz ein, wurde - zum zweiten Mal nach 1993 - wegen illegalem Aufenthalt zu 30 Tagen Gefängnis verurteilt und am 12. Oktober 1996 wieder in den Libanon ausgeschafft. Nach seiner Ausschaffung reiste er nach Deutschland, wo er sich bis 2006 aufhielt und mehrfach straffällig wurde (Urteil des Amtsgerichts A._ vom 22. September 1998: 6 Monate Gefängnis wegen Betäubungsmittelhandel, Urteil des Landgerichts D._ vom 9./12. Oktober 2000: Vier Jahre Freiheitsstrafe wegen Handelns mit harten Drogen, Strafbefehl des Amtsgerichts B._ vom 24. November 2006: Geldstrafe von 60 Tagessätzen wegen Verwendens eines gefälschten Passes).
Im September 2006 stellte Y._ in der Schweiz ein weiteres, erfolgloses Asylgesuch (Verfügung des Bundesamtes für Migration vom 28. November 2007, Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 31. Oktober 2008). Die ihm angesetzte Ausreisefrist liess er ungenutzt verstreichen.
B. X._ ist als deutsche Staatsangehörige seit dem 1. Juli 2006 im Besitz einer bis zum 3. Juni 2012 gültigen Aufenthaltsbewilligung. Sie ist teilweise erwerbstätig und wird gleichzeitig zusätzlich von der Gemeinde G._ mit Sozialhilfe unterstützt. Am 6. Mai 2008 heiratete sie Y._ und stellte am 20. Mai 2008 für ihn ein Familiennachzugsgesuch. Auf dieses Gesuch trat das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht des Kantons Graubünden zunächst nicht ein. Mit Verfügung vom 23. Februar 2009 hob das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden den Nichteintretensentscheid des Amtes auf und verpflichtete Y._ - der zu dieser Zeit bei seiner Ehefrau wohnte - zur sofortigen Ausreise; den Gesuchsausgang habe er im Ausland abzuwarten.
Nachdem ein erster Ausschaffungsversuch im Dezember 2008 noch gescheitert war, weil Y._ sich geweigert hatte, das Flugzeug zu besteigen, konnte er am 12. März 2009 schliesslich in den Libanon zurückgeführt werden.
C. Mit Verfügung vom 4. August 2009 lehnte das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht des Kantons Graubünden das Gesuch von X._ um Nachzug ihres Ehemannes ab. Hiegegen wehrte sich X._ erfolglos beim Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden (Entscheid vom 8. Februar 2010), und mit Urteil vom 8. Juni 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden die gegen den Departementsentscheid erhobene Beschwerde ebenfalls ab.
D. Mit Eingabe vom 12. August 2010 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und ihrem Ehemann die Einreise und den Aufenthalt in der Schweiz im Rahmen des Familiennachzugs zu bewilligen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht sowie das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration stellt ebenfalls Antrag auf Beschwerdeabweisung.

Erwägungen:
1. 1.1 Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>).
1.2 Nach Art. 7 lit. d in Verbindung mit Art. 3 Abs. 1 und 2 Anhang I des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) hat der Ehegatte eines EU-Bürgers, der in der Schweiz über ein Aufenthaltsrecht verfügt, während der gesamten Ehedauer einen grundsätzlichen (abgeleiteten) Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung (vgl. Urteil 2C_547/2010 vom 10. Dezember 2010, E. 2.1). Die Beschwerdeführerin kann sich als deutsche Staatsangehörige wegen ihres (originären) Anwesenheitsrechts als Arbeitnehmerin für den Nachzug ihres Ehemannes grundsätzlich auf diese Regelung berufen, da nach der bundesgerichtlichen Rechsprechung nicht mehr erforderlich ist, dass sich der nachzuziehende Drittstaatsangehörige bereits rechtmässig mit einem nicht nur vorübergehenden Anwesenheitstitel in der Schweiz oder in einem anderen Vertragsstaat aufgehalten hat (<ref-ruling> E. 3.7 S. 19 [Praxisänderung "Metock"]). Für das Eintreten genügt, dass im Rahmen des Freizügigkeitsabkommens potentiell ein Anspruch auf die Bewilligung besteht bzw. die Kriterien einer der im FZA vorgesehenen Situationen der Freizügigkeit erfüllt erscheinen (<ref-ruling> E. 1.1).
Auf die vorliegende Beschwerde ist daher einzutreten.
2. 2.1 Gemäss Art. 5 Abs. 1 Anhang I FZA dürfen die vom Freizügigkeitsabkommen - unter anderem nach den erwähnten Art. 2 und 3 Anhang I FZA - gewährten Rechtsansprüche "nur durch Massnahmen, die aus Gründen der öffentlichen Ordnung, Sicherheit und Gesundheit gerechtfertigt sind, eingeschränkt werden" (<ref-ruling> E. 3.1 S. 179 f. mit Hinweisen). Weitere Präzisierungen finden sich vor allem in der Richtlinie 64/221/EWG des Rates der Europäischen Wirtschaftsgemeinschaft vom 25. Februar 1964 zur Koordinierung der Sondervorschriften für die Einreise und den Aufenthalt von Ausländern, soweit sie aus Gründen der öffentlichen Ordnung, Sicherheit oder Gesundheit gerechtfertigt sind (kurz: RL 64/221/EWG; publ. in: ABl. Nr. 56, S. 850), auf welche in Art. 5 Abs. 2 Anhang I FZA Bezug genommen wird.
Zunächst kann Art. 5 Anhang I FZA nicht zu Massnahmen gegen in der Schweiz befindliche Personen ermächtigen, die über diejenigen hinausgehen, welche im schweizerischen Recht (insbesondere dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer, AuG; SR 142.20) vorgesehen sind. Daher ist zuerst zu untersuchen, ob es ausserhalb des Freizügkigkeitsabkommens eine Rechtsgrundlage gibt, auf welche die Verweigerung des vorliegend beantragten Familiennachzugs gestützt werden kann. Erst bei Bejahung dieser Frage ist in einem nächsten Schritt zu prüfen, inwiefern das Freizügigkeitsabkommen zusätzliche Schranken auferlegt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 181). Mit Blick auf den erwähnten Art. 2 FZA darf für Ehegatten von Staatsangehörigen von Vertragsparteien allerdings keine strengere Regelung zur Anwendung kommen, als sie für ausländische Ehegatten von Schweizer Bürgern gilt (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 181).
Zunächst kann Art. 5 Anhang I FZA nicht zu Massnahmen gegen in der Schweiz befindliche Personen ermächtigen, die über diejenigen hinausgehen, welche im schweizerischen Recht (insbesondere dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer, AuG; SR 142.20) vorgesehen sind. Daher ist zuerst zu untersuchen, ob es ausserhalb des Freizügkigkeitsabkommens eine Rechtsgrundlage gibt, auf welche die Verweigerung des vorliegend beantragten Familiennachzugs gestützt werden kann. Erst bei Bejahung dieser Frage ist in einem nächsten Schritt zu prüfen, inwiefern das Freizügigkeitsabkommen zusätzliche Schranken auferlegt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 181). Mit Blick auf den erwähnten Art. 2 FZA darf für Ehegatten von Staatsangehörigen von Vertragsparteien allerdings keine strengere Regelung zur Anwendung kommen, als sie für ausländische Ehegatten von Schweizer Bürgern gilt (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 181).
2.2 2.2.1 Ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 42 AuG). Die Ansprüche nach Art. 42 AuG erlöschen u.a., wenn Widerrufsgründe nach Art. 63 AuG vorliegen. Gemäss Art. 63 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit Art. 62 lit. b AuG kann die zuständige Behörde die Bewilligung widerrufen bzw. verweigern, wenn der Ausländer zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe - d.h einer solchen von mindestens einem Jahr (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 und 4.5) - verurteilt wurde.
2.2.2 Der Ehemann der Beschwerdeführerin wurde u.a. im Jahre 2000 in Deutschland wegen "Handeltreibens mit Betäubungsmitteln in nicht geringer Menge (Heroin)" - zu einer Freiheitsstrafe von vier Jahren verurteilt (vorne lit. A.-), womit der Widerrufsgrund von Art. 62 lit. b AuG erfüllt ist. Der Einwand, dieses Urteil dürfe ihm wegen des längeren Zeitablaufs seit der Begehung der Straftaten nicht mehr entgegengehalten werden, ist unbehelflich (vgl. Art. 369 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit <ref-law> sowie Urteil 2C_477/2008 vom 24. Februar 2009, E. 3); dass es sich dabei um ein Strafurteil aus Deutschland handelt, ändert nichts (vgl. Urteil 2C_427/2008 vom 23. Januar 2009 E. 3.2).
2.2.3 Mit in Anwendung zu bringen ist vorliegend - wenn auch nicht als eine feste Grenze (<ref-ruling> E. 4b S. 14) - sodann die gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung auch unter der Herrschaft des seit 1. Januar 2008 in Kraft stehenden AuG weiter geltende "Zweijahresregel" (<ref-ruling> E. 4.4 S. 382; <ref-ruling>), wonach einem mit einer Schweizer Bürgerin verheirateten Ausländer, der erstmals oder nach bloss kurzer Aufenthaltsdauer um die Bewilligung ersucht, im Falle einer Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren in der Regel selbst dann kein Aufenthaltstitel mehr zu erteilen ist, wenn der schweizerischen Ehepartnerin die Ausreise nicht oder nur schwer zuzumuten ist. In einer solchen Konstellation sind aussergewöhnliche Umstände vonnöten, um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an den ausländischen Ehemann einer Schweizer Bürgerin noch zu rechtfertigen ("Reneja-Praxis"; <ref-ruling> E. 4.1 S. 185; <ref-ruling>).
2.3 Die vorstehenden Erwägungen zeigen, dass der vorliegend beantragte Familiennachzug jedenfalls ausserhalb des FZA-Anwendungsbereiches auf bestehender Rechtsgrundlage verweigert werden könnte. Zu prüfen sind somit allfällige zusätzliche Einschränkungen des Freizügigkeitsabkommens (vgl. vorne E. 2.1).
3. 3.1 Nach der an die Praxis des EuGH angeglichenen Rechtsprechung des Bundesgerichts setzen Entfernungs- oder Fernhaltemassnahmen eine hinreichend schwere und gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung durch den betreffenden Ausländer voraus. Eine strafrechtliche Verurteilung darf dabei nur insofern zum Anlass für eine derartige Massnahme genommen werden, als die ihr zugrunde liegenden Umstände ein persönliches Verhalten erkennen lassen, das eine gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung darstellt. Art. 5 Anhang I FZA steht somit Massnahmen entgegen, die (allein) aus generalpräventiven Gründen verfügt werden (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 182 ff.; <ref-ruling> E. 7 S. 221 ff., je mit Hinweisen). Während die Prognose über das künftige Wohlverhalten im Rahmen der Interessenabwägung nach rein nationalem Ausländerrecht zwar mitzuberücksichtigen, aber nicht ausschlaggebend ist, kommt es bei Art. 5 Anhang I FZA wesentlich auf das Rückfallrisiko an (<ref-ruling> E. 4.2 S. 185 mit Hinweisen). Zu verlangen ist eine nach Art und Ausmass der möglichen Rechtsgüterverletzung zu differenzierende hinreichende Wahrscheinlichkeit, dass der Ausländer künftig die öffentliche Sicherheit und Ordnung stören wird. Je schwerer die möglichen Rechtsgüterverletzungen sind, desto niedriger sind die Anforderungen an die in Kauf zu nehmende Rückfallgefahr (<ref-ruling> E. 4.2 S. 20 mit Hinweisen).
3.2 Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Entscheid die Auffassung der Vorinstanzen geschützt, wonach beim Ehemann der Beschwerdeführerin aufgrund seines bisherigen Verhaltens nach wie vor eine gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung und Sicherheit ausgehe. Während seiner illegalen Aufenthalte in der Schweiz sei er immer wieder im Drogenmilieu angetroffen worden. Er habe in Deutschland aus rein finanziellen Interessen - ohne in einer Notlage oder selbst süchtig zu sein - mit einer erheblichen Menge harter Drogen die Gesundheit vieler Menschen gefährdet, und eine solch mögliche Gefährdung der Gesundheit der Schweizer Bevölkerung sei keinesfalls hinzunehmen. Berücksichtige man sein rücksichtsloses und - u.a. bei den jeweiligen Ausschaffungen - renitentes Verhalten, seine - trotz Einreisesperre - mehrfachen illegalen Einreisen bzw. Aufenthalte und sein fehlender Respekt gegenüber behördlichen Anordnungen, bestehe durchaus die Wahrscheinlichkeit, dass der Ehemann der Beschwerdeführerin die öffentliche Sicherheit und Ordnung während seiner Anwesenheit im Rahmen des Familiennachzugs weiter stören werde.
3.3 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Drogendelikte ihres Mannes lägen über 10 Jahre zurück, weshalb nach so langer Zeit keine negativen Prognosen mehr daraus abgeleitet werden könnten. Die Vorgänge in der Zürcher Drogenszene dürften für eine Prognose sodann nicht herangezogen werden, da hierfür die Unschuldsvermutung gelte. Ferner sei das schematische Festhalten an der "Zweijahresregel" rechtswidrig. Von Rückfallgefahr könne keine Rede sein: Seit seinen Verurteilungen habe ihr Ehemann keine einschlägigen Straftaten mehr begangen; er werde nach Erteilung der Aufenthaltsbewilligung vielmehr in geordneten Verhältnissen leben und auch in der Lage sein, eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen. Seinen Beteuerungen, sich in Zukunft wohlzuverhalten, könne damit uneingeschränkt Glauben geschenkt werden.
3.4 Der Ehemann der Beschwerdeführerin ist - anders als in dem vom Bundesgericht beurteilten Fall 2C_547/2010 (Urteil vom 10. Dezember 2010) - nicht bloss ein "kleiner Haschisch-Schwarzhändler" ("petit trafiquant de haschich"), der zu Freiheitsstrafen weit unter den Grenzen der "Reneja-Praxis" bzw. der "längerfristigen Freiheitsstrafe" von Art. 62 lit. a AuG verurteilt worden ist. Sein Verschulden und seine Verurteilungen wiegen weitaus schwerer, so dass die Anforderungen an die in Kauf zu nehmende Rückfallgefahr geringer erscheinen (vorne E. 3.1). Es steht sodann nichts entgegen, den Umstand, dass er mehrfach auch in der Schweiz im Drogenmilieu angehalten wurde, bei der Rückfallprognose zu berücksichtigen, obwohl hierzu keine gerichtlichen Verurteilungen vorliegen (vgl. Urteil 2A. 41/2003 vom 2. Juni 2003, E. 3.2). Hinzu kommt, dass der Ehemann der Beschwerdeführerin in der Vergangenheit sowohl in der Schweiz wie auch in Deutschland - offensichtlich, um sich daraus Vorteile zu verschaffen - systematisch seine Identität verschleiert bzw. unter zahlreichen Alias-Namen aufgetreten ist; noch im Jahre 2006 wurde er wegen Verwendens eines falschen Passes verurteilt. Sodann liessen ihn behördliche Verfügungen (Wegweisung, Einreisesperre, Verurteilungen wegen illegalen Aufenthalts, mehrmalige Ausschaffungen, aber auch die Aufforderung, den Ausgang des Bewilligungsverfahrens im Ausland abzuwarten) bis in die jüngste Zeit (vgl. vorne lit. A.- und B.-) gänzlich unbeeindruckt und zeugen von einer ausgeprägten Geringschätzung der Rechtsordnung. Unter diesen Umständen ist die Beurteilung des Verwaltungsgerichts, der Ehemann der Beschwerdeführerin lasse ein persönliches Verhalten erkennen, das eine fortdauernde gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung darstelle, nicht zu beanstanden. Aussergewöhnliche Umstände im Sinne der "Reneja-Praxis" (vorne E. 2.2.3) liegen nicht vor; die Beschwerdeführerin wusste um den illegalen Aufenthalt (angefochtener Entscheid S. 10), und ihr persönliches Interesse, die Ehe in der Schweiz führen zu können, vermag das öffentliche Interesse an der Fernhaltung ihres Ehemannes nicht zu überwiegen.
4. Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen.
Bei diesem Ausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie durfte nicht ernsthaft mit einer Gutheissung ihrer Anträge rechnen, weshalb ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden kann (<ref-law>). Ihrer finanziellen Lage ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht, dem Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit sowie dem Verwaltungsgericht (1. Kammer) des Kantons Graubünden und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein