Sachverhalt:
A.
A.B._ (geb. 1983) ist bulgarische Staatsangehörige. Am 4. August 2005 reiste sie zum ersten Mal in die Schweiz ein. Am 9. Dezember 2005 wurde sie wegen Widerhandlung gegen das damals geltende Ausländergesetz zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 60 Tagen verurteilt. Das Migrationsamt des Kantons Zürich verfügte daraufhin ihre Wegweisung. Das Bundesamt für Migration (seit dem 1. Januar 2015: Staatssekretariat für Migration SEM) belegte sie mit einer bis zum 12. Dezember 2008 gültigen Einreisesperre. Am 14. September 2006 wies das Migrationsamt ein Gesuch von A.B._ um eine Aufenthaltsbewilligung als Opfer von Menschenhandel ab. Sie wurde jedoch auf Zusehen hier geduldet.
Im September 2007 brachte A.B._ in Zürich ihre Tochter E.B._ zur Welt. Nach der Anerkennung des Kindes durch den Schweizer Bürger F._ erhielt A.B._ eine Aufenthaltsbewilligung aufgrund eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls, die zuletzt bis 15. November 2010 verlängert wurde. Nach Ablauf der Gültigkeitsdauer kehrte A.B._ freiwillig mit ihrer Tochter nach Bulgarien zurück.
Im November 2010 gebar A.B._ in Bulgarien die Zwillinge C.B._ und D.B._, deren Vater der mazedonische Staatsbürger G._ ist.
Im Oktober 2011 reiste A.B._ mit ihrer Tochter, die das Schweizer Bürgerrecht besitzt, und ihren zwei Söhnen erneut in die Schweiz ein und ersuchte am 8. Dezember 2011 um eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zur Stellensuche bzw. für die beiden Söhne zum Verbleib bei der Mutter.
B.
Mit Verfügung vom 12. September 2012 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich die Gesuche von A.B._ und ihren Söhnen ab und setzte ihnen eine Ausreisefrist.
Am 13. Januar 2014 wurde A.B._ vom Bezirksgericht Zürich wegen qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und mehrfacher Geldwäscherei, begangen zwischen Februar und Juli 2012, zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 21 Monaten bei einer Probezeit von drei Jahren verurteilt.
Am 28. Februar 2014 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich den Rekurs von A.B._ und ihren beiden Söhnen gegen die Verfügung des Migrationsamtes vom 12. September 2012 ab. Mit Urteil vom 28. Mai 2014 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion erhobene Beschwerde ebenfalls ab.
C.
Vor Bundesgericht beantragen A.B._, C.B._, D.B._ und E.B._ die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 28. Mai 2014. Es sei ihnen eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Zudem ersuchen sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Während das Verwaltungsgericht und die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich auf eine Vernehmlassung verzichten, beantragt das Staatssekretariat für Migration die Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 9. Juli 2014 wurde der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Zulässigkeit eines Rechtsmittels von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 3).
1.2. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, der grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (vgl. Art. 82 lit. a BGG, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG, Art. 90 BGG).
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein solcher Anspruch besteht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.).
Zur Begründung ihres Anspruchs berufen sich die Beschwerdeführer auf das Anwesenheitsrecht der Beschwerdeführerin 4 (Tochter von Beschwerdeführerin 1 und Halbschwester von Beschwerdeführer 2 und 3). Da diese Schweizer Staatsbürgerin ist, kommt ein Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung der sorgeberechtigten Beschwerdeführerin 1 in Betracht ("umgekehrter Familiennachzug"; Art. 8 EMRK; vgl. <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146 mit Hinweisen), was auch zu einem Recht auf Bewilligungserteilung an die Beschwerdeführer 2 und 3 führen könnte. Damit berufen sich die Beschwerdeführer in vertretbarer Weise auf Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV.
Die Beschwerdeführer 1, 2 und 3 können sich zudem als bulgarische Staatsangehörige grundsätzlich auf das am 1. Juni 2009 für Bulgarien rechtswirksam gewordene Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA, SR 0.142.112.681; vgl. das betreffende Protokoll vom 27. Mai 2008, SR 0.142.112.681.1) berufen, welches ihnen potenziell einen Bewilligungsanspruch einräumt.
Ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet praxisgemäss Gegenstand der materiellen Beurteilung und ist keine Eintretensfrage (Urteil 2C_375/2014 vom 4. Februar 2015 E. 1.1 mit Hinweisen).
1.3. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG) der hierzu legitimierten Beschwerdeführer 1, 2 und 3 (Art. 89 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
1.4. Die Beschwerdeführerin 4 ist nicht zur Beschwerde legitimiert, da sie nicht am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat und weder ersichtlich noch dargetan ist, dass ihr keine Möglichkeit zur Teilnahme offen stand (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG). Auf ihre Beschwerde ist somit nicht einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin 1 und ihre beiden Söhne sind bulgarische Staatsangehörige, auf welche das Freizügigkeitsabkommen Anwendung findet.
3.2. EU-Bürger haben gestützt auf Art. 2 Abs. 1 Anhang I FZA das Recht, sich bis zu sechs Monaten zwecks Stellensuche in der Schweiz aufzuhalten. Die Bewilligung zur Stellensuche kann unter gewissen Voraussetzungen bis zu einem Jahr verlängert werden (Art. 18 Abs. 3 der Verordnung vom 22. Mai 2002 über die schrittweise Einführung des freien Personenverkehrs zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Union und deren Mitgliedstaaten sowie unter den Mitgliedstaaten der Europäischen Freihandelsassoziation [VEP; SR 142.203]). Stellensuchende EU-Angehörige haben jedoch grundsätzlich keinen Rechtsanspruch auf Bezug von Sozialhilfe (Art. 2 Abs. 1 Anhang I FZA). Reichen die finanziellen Mittel für den Lebensunterhalt nicht aus und beantragen diese Personen Sozialhilfe, kann ihnen die Aufenthaltsbewilligung verweigert werden (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 392; Urteil 2C_390/2013 vom 10. April 2014 E. 5.4; vgl. auch Weisungen des SEM zur VEP [Stand: Januar 2015], Ziff. 8.2.5.3).
Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, ist es der Beschwerdeführerin 1 seit Einreichen ihres Gesuchs im Dezember 2011 nicht gelungen, sich in den hiesigen Arbeitsmarkt zu integrieren. Stattdessen wurde sie mit ihren Kindern in erheblichem Umfang von der Sozialhilfe unterstützt. Zwar verfügt sie seit September 2013 über eine Anstellung von 50 Stunden pro Monat in einem geschützten Arbeitsplatz. Diese Stelle vermag jedoch keinen Aufenthaltsanspruch gemäss FZA zu begründen (vgl. Urteil 2C_390/2013 vom 10. April 2014 E. 3.1). Den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen lässt sich nicht entnehmen, dass die Beschwerdeführerin 1 Aussicht auf eine baldige Anstellung hätte, die ihr ein Erwerbseinkommen gewährleisten würde. Die Beschwerdeführerin 1 kann daher aus Art. 2 Anhang I FZA keinen Aufenthaltsanspruch ableiten.
Mangels ausreichender finanzieller Eigenmittel besteht auch kein freizügigkeitsrechtlicher Anspruch auf Aufenthalt ohne Erwerbstätigkeit (vgl. Art. 6 FZA i.V.m. Art. 24 Abs. 1 lit. a Anhang I FZA). Dasselbe gilt für die 2010 geborenen Beschwerdeführer 2 und 3.
Die Vorinstanz hat somit zutreffend einen freizügigkeitsrechtlichen Anspruch verneint, was die Beschwerdeführer im Übrigen nicht beanstanden.
4.
Die Beschwerdeführer berufen sich zur Begründung ihres Aufenthaltsrechts in erster Linie auf das Schweizer Bürgerrecht von Beschwerdeführerin 4 und rügen in diesem Zusammenhang eine Verletzung von Art. 8 EMRK und Art. 13 BV.
4.1. Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 BV) garantiert zwar kein Recht auf Aufenthalt in einem bestimmten Staat. Es kann aber das in Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens verletzen, wenn einem Ausländer, dessen Familienangehörige hier weilen, die Anwesenheit untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145, 153 E. 2.1 S. 154 f.). Muss ein Ausländer, dem eine ausländerrechtliche Bewilligung verweigert worden ist, das Land verlassen, haben dies seine Angehörigen grundsätzlich hinzunehmen, wenn es ihnen "ohne Schwierigkeiten" möglich ist, mit ihm auszureisen; eine weitergehende Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK erübrigt sich in diesem Fall. Anders verhält es sich, falls die Ausreise für die Familienangehörigen "nicht von vornherein ohne Weiteres zumutbar" erscheint. In diesem Fall ist immer eine Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK geboten, welche sämtlichen Umständen des Einzelfalls Rechnung trägt (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 249 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 155 mit Hinweisen).
Falls der Beschwerdeführerin 1, die das alleinige Sorgerecht über ihre Tochter hat, keine Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz erteilt wird, bedeutet dies, dass ihr Schweizer Kind gezwungen ist, nach Bulgarien auszureisen.
Das hier lebende Schweizer Kind hat ein offenkundiges Interesse daran, in der Schweiz bleiben zu können, um in den Genuss der hiesigen Ausbildungsmöglichkeiten und Lebensbedingungen zu kommen. Es darf daher nicht ohne nähere Interessenabwägung gezwungen werden, mit dem obhutsberechtigten Elternteil die Schweiz zu verlassen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 157 f.; Urteil 2C_285/2009 vom 4. Februar 2010 E. 4.2).
Rechtsprechungsgemäss darf ein Schweizer Kind nur dann dazu verpflichtet werden, dem obhutsberechtigten Elternteil in dessen Heimat zu folgen, wenn nebst der Zumutbarkeit der Ausreise besondere, namentlich ordnungs- und sicherheitspolizeiliche Gründe vorliegen, welche die damit für das Schweizer Kind verbundenen weitreichenden Folgen zusätzlich zu rechtfertigen vermögen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 287; <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 158, 143 E. 3 und 4 S. 148 ff.). Bagatelldelikte oder blosse Verstösse gegen aufenthaltsrechtliche Vorschriften durch den obhutsberechtigten Elternteil gehören nicht dazu (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 255; <ref-ruling> E. 5.3 S. 288 f.). Nur Verfehlungen von einer gewissen Schwere überwiegen das Interesse des Schweizer Kindes, mit dem sorgeberechtigten Elternteil hier aufwachsen zu können (<ref-ruling> E. 5.2 S. 287; Urteil 2C_660/2009 vom 7. Juni 2010 E. 2.2 und 2.3). Ebenso kann eine fortgesetzte und erhebliche Sozialhilfeabhängigkeit dem Verbleib des sorgeberechtigten ausländischen Elternteils eines Schweizer Kindes im umgekehrten Familiennachzug entgegenstehen, wenn keine Änderung absehbar erscheint (<ref-ruling> E. 5.2.5 S. 256 mit Hinweisen; Urteile 2C_234/2010 vom 11. Juli 2011 E. 2.4.3; 2C_54/2011 vom 16. Juni 2011 E. 2.2).
4.2. Die Beschwerdeführerin 1 ist in der Schweiz straffällig geworden. Nach einer ersten Verurteilung im Jahr 2005 zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 60 Tagen wegen Vergehen gegen die Ausländergesetzgebung wurde sie im Januar 2014 wegen qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz sowie mehrfacher Geldwäscherei zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 21 Monaten verurteilt. Zwischen Ende Februar und Juli 2012 hatte sie die Väter ihrer Kinder beim Drogenhandel unterstützt. Sie hatte mehrfach Heroin in Mengen bis zu 400 Gramm in ihrem Zimmer gelagert und das bei ihr deponierte Drogentelefon bedient. Auch hatte sie mehrmals eigenhändig Heroin an Abnehmer ausgehändigt. Zudem hatte sie sich am Waschen von Drogengeldern beteiligt. Die Beschwerdeführerin 1 nahm nicht selbständig Abstand vom Drogenhandel, sondern erst infolge der Verhaftung des Vaters ihrer beiden Söhne. Mit ihrem Verhalten hat sie eine beträchtliche kriminelle Energie sowie eine äusserst bedenkliche Gleichgültigkeit gegenüber der schweizerischen Rechtsordnung und der Gesundheit anderer Menschen demonstriert.
Die Beschwerdeführer machen geltend, beim Urteil des Strafgerichts von Januar 2014 handle es sich um die erste schwerwiegende Verurteilung der Beschwerdeführerin 1. Seit der Tatbegehung habe sie sich wohlverhalten, weshalb die von ihr ausgehende Gefahr für die öffentliche Ordnung und Sicherheit stark zu relativieren sei.
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer ist das Wohlverhalten der Beschwerdeführerin 1 seit der Tatbegehung nicht aussagekräftig, da während der Probezeit - die vorliegend drei Jahre beträgt - von Straftätern allgemein vorbildliches Verhalten erwartet wird. Zudem muss gemäss der bundesgerichtlichen Praxis bei schweren Straftaten, wozu auch Drogendelikte aus rein finanziellen Motiven gehören, zum Schutz der Öffentlichkeit ausländerrechtlich selbst ein geringes Restrisiko weiterer Delinquenz nicht in Kauf genommen werden (<ref-ruling> E. 2.5 S. 149 f., 31 E. 2.3.2 S. 34, 16 E. 2.2.1 S. 20; <ref-ruling> E. 4.2-4.4 S. 185 ff. mit Hinweisen). Auch der EGMR akzeptiert ausdrücklich, dass bei Betäubungsmitteldelinquenz von einer gewissen Schwere ein strenger Massstab angelegt wird (<ref-ruling> E. 2.5 S. 150 mit Hinweisen auf die Praxis des EGMR). Zu beachten ist sodann, dass Drogendelikte zu den in Art. 121 Abs. 3 lit. a BV genannten Anlasstaten gehören, deren Begehung dazu führen soll, dass die ausländische Person "unabhängig von ihrem ausländerrechtlichen Status ihr Aufenthaltsrecht sowie alle Rechtsansprüche auf Aufenthalt in der Schweiz" verliert. Dieser Absicht des Verfassungsgebers trägt das Bundesgericht bei der Auslegung der geltenden Ausländergesetzgebung insoweit Rechnung, als dies zu keinem Widerspruch mit übergeordnetem Recht führt und mit gleichwertigen Verfassungsbestimmungen, namentlich dem Verhältnismässigkeitsprinzip, im Einklang steht (sog. "praktische Konkordanz"; vgl. <ref-ruling> E. 4.2, 4.3 und 5.3 S. 24 ff., 31 E. 2.3.2 S. 34).
Zur Straffälligkeit der Beschwerdeführerin 1 kommt hinzu, dass die Beschwerdeführer in erheblichem Masse von der Sozialhilfe abhängig sind. Gemäss vorinstanzlicher Sachverhaltsfeststellung mussten sie seit 2006 mit Sozialhilfeleistungen im Gesamtbetrag von über Fr. 200'000.-- unterstützt werden. Auch wenn die Beschwerdeführerin 1 ihren Willen bekundet, sich von der Sozialhilfe zu lösen, sind keine Anhaltspunkte erkennbar, die eine Änderung absehbar erscheinen lassen.
Angesichts dieser Sachlage ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz das öffentliche Interesse an der Wegweisung der Beschwerdeführer als gewichtig einstufte.
4.3. Dem öffentlichen Interesse an der Wegweisung sind die privaten Interessen der Beschwerdeführer an deren Verbleib in der Schweiz gegenüberzustellen.
4.3.1. Die Beschwerdeführerin 1 macht geltend, sie lebe seit gut neun Jahren in der Schweiz. Auch ihre Kinder hätten den grössten Teil ihres Lebens hier verbracht. Deren Interessen seien von der Vorinstanz ungenügend gewichtet worden.
Wie das Verwaltungsgericht zu Recht ausführt, muss die Aufenthalts-dauer der Beschwerdeführerin 1 relativiert werden. Zwar lebt sie schon seit dem Jahr 2005 in der Schweiz. Sie hat ihr Land jedoch erst mit 22 Jahren verlassen und somit den Grossteil ihres Lebens in Bulgarien verbracht. Mit den dortigen Verhältnissen ist sie nach wie vor bestens vertraut. Im Jahr 2010 kehrte sie zudem für elf Monate in ihr Heimatland zurück. Den vorinstanzlichen Feststellungen zufolge hat sie in Bulgarien Familienmitglieder, zu denen sie ein gutes Verhältnis hat, was ihre Wiedereingliederung erleichtern dürfte. In der Schweiz verweilte sie hingegen grösstenteils ohne geregelten Aufenthaltsstatus. Von einer erfolgreichen Integration kann keine Rede sein. Es ist ihr nicht gelungen, in der Schweiz beruflich Fuss zu fassen. Stattdessen wird sie seit Jahren von der Sozialhilfe unterstützt. Zudem wurde sie straffällig. Insgesamt ist ihr die Rückkehr nach Bulgarien zuzumuten, zumal sie mit 31 Jahren noch vergleichsweise jung ist.
4.3.2. Empfindlicher trifft das Urteil der Vorinstanz die siebenjährige Schweizer Tochter der Beschwerdeführerin 1, die hier geboren ist und ein grosses Interesse daran hat, in der Schweiz aufzuwachsen.
Wie die Söhne der Beschwerdeführerin 1 befindet sie sich jedoch auch in einem anpassungsfähigen Alter. Zudem hat sie mit ihrer Mutter und ihren Halbbrüdern bereits elf Monate in Bulgarien gelebt und spricht die dortige Sprache. Es wird ihr somit möglich sein, sich dort wieder einzuleben.
Zu berücksichtigen ist auch ihr Verhältnis zu ihrem Schweizer Vater. In der Beschwerdeschrift wird geltend gemacht, es bestehe eine enge emotionale Bindung zwischen Vater und Tochter. Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ergeben jedoch ein anderes Bild. Der Vater sieht seine Tochter alle 14 Tage im Rahmen eines begleiteten Besuchsrechts, wobei die Besuche in der Regel vier Stunden dauern. Ob unter diesen Umständen von einer engen affektiven Beziehung gesprochen werden kann, wird von der Vorinstanz zu Recht bezweifelt. Auch in wirtschaftlicher Hinsicht kann die Vater-Tochter-Beziehung nicht als eng bezeichnet werden, kommt doch der Kindsvater seinen finanziellen Verpflichtungen gegenüber seiner Tochter nicht nach. Bei dieser Sachlage hat die Vorinstanz zu Recht gefolgert, die Beziehung zum Vater stehe einer Ausreise der Beschwerdeführerin 4 nicht entgegen. Der Kontakt zwischen Vater und Tochter kann im Rahmen von Kurzaufenthalten aufrechterhalten werden, wobei allenfalls die Modalitäten des Besuchsrechts geeignet aus- bzw. umzugestalten sind. Im Übrigen kann die Beziehung auch über Briefverkehr, Telefonate, E-Mail oder Internet (Skype etc.) gepflegt werden.
4.4. Nach dem Gesagten ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz in ihrer Gesamtbetrachtung aller relevanten Umstände das öffentliche Interesse an der Wegweisung der Beschwerdeführer höher gewichtet hat als deren private Interessen an einem Verbleib in der Schweiz. Die Verweigerung der Bewilligung erweist sich daher als verhältnismässig. Die Beschwerde der Beschwerdeführer 1 bis 3 ist als unbegründet abzuweisen.
5.
5.1. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die unterliegenden Beschwerdeführer gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG grundsätzlich kostenpflichtig; sie haben indessen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht.
5.2. Gemäss Art. 64 Abs. 1 BGG befreit das Bundesgericht eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten und von der Sicherstellung der Parteientschädigung, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Praxisgemäss sind Prozessbegehren als aussichtslos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218).
Mit Blick auf die Tatsache, dass die Beschwerdeführerin 1 Mutter einer Schweizer Bürgerin ist, kann die Beschwerde nicht als geradezu aussichtslos bezeichnet werden. Das entsprechende Kriterium ist damit erfüllt. Aufgrund der Sozialhilfeabhängigkeit ist auch die Mittellosigkeit nachgewiesen. Die Beschwerdeführer sind daher antragsgemäss von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien.
5.3. Der Beizug eines Rechtsvertreters ist in einer Streitsache wie der vorliegenden notwendig. Rechtsanwältin Marisa Bützberger ist als unentgeltliche Rechtsbeiständin der Beschwerdeführer zu bestellen. Als solche hat sie Anspruch auf eine angemessene Entschädigung (Art. 64 Abs. 2 BGG).
5.4. Parteientschädigungen werden keine zugesprochen (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit sie von den Beschwerdeführern 1 bis 3 erhoben wird; mit Bezug auf die Beschwerdeführerin 4 wird darauf nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Den Beschwerdeführern wird Rechtsanwältin Marisa Bützberger, Zürich, als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben; diese wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Petry