Sachverhalt:
A.
Der 1947 geborene A._ war als Betriebsleiter bei der B._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 13. Januar 2011 stürzte er auf einer Treppe. Er zog sich eine Ruptur der Quadrizepssehnen und des lateralen Retinakulums am linken Knie sowie eine dislozierte Basisfraktur MT5 am linken Fuss zu, weshalb er am 14. Januar an Knie und Fuss operiert wurde (Austrittsbericht Spital C._ vom 18. Januar 2011). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Am 16. Juli 2012 wurde am linken Knie des Versicherten eine arthroskopische partielle Synovektomie mit peripatellärer Denervation, Hoffa-Reduktion, Meniscustoilette medial und Knorpelglättung durchgeführt (Operationsbericht Dr. med. D._, Chefarzt Orthopädische Chirurgie, Spital C._ vom 17. Juli 2012). Gestützt auf die kreisärztliche Beurteilung des Dr. med. E._, Facharzt für Chirurgie FMH, vom 17. Dezember 2012 verfügte der Unfallversicherer am 3. Januar 2013, der Fall werde per 26. Dezember 2012 abgeschlossen, die Leistungen würden auf diesen Zeitpunkt eingestellt und es bestehe kein Anspruch auf weitere Versicherungsleistungen, da die noch bestehenden Beschwerden nicht mehr unfallkausal, sondern ausschliesslich krankhafter Natur seien. Auch die Kosten des Eingriffes vom 16. Juli 2012 würden nicht übernommen, da dieser nicht unfallbedingt gewesen sei. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 19. Februar 2013).
B.
A._ erhob hiegegen Beschwerde. Er legte u.a. die Berichte des Dr. med. F._, Facharzt FMH für Neurologie,vom 16. Juli 2013 und des Dr. med. G._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, vom 9. August 2013 auf. Das Kantonsgericht Luzern hiess die Beschwerde teilweise gut, hob den Einspracheentscheid vom 19. Februar 2013 auf und stellte fest, der Versicherte habe bezogen auf den linken Fuss weiterhin sowie bezogen auf das linke Knie bis Mitte Mai 2013 Anspruch auf Versicherungsleistungen der SUVA. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 13. Mai 2014).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die SUVA, der Entscheid vom 13. Mai 2014 sei bezüglich des linken Fusses und des linken Knies aufzuheben; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung und erneuten Entscheidung an die SUVA zurückzuweisen; subeventuell sei die Sache zur Einholung eines Gerichtsgutachtens und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
A._ und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 13. Januar 2011 bezüglich des linken Fusses über den 26. Dezember 2012 hinaus und bezüglich des linken Knies bis Mitte Mai 2013 Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zur Beantwortung der Streitsache zutreffend dargelegt. Das betrifft nebst den für einen Leistungsanspruch erforderlichen kausalen Zusammenhängen, dem zu beachtenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit sowie den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Gutachten und Berichte namentlich auch den Untersuchungsgrundsatz und die Beweislast (<ref-ruling> E. 6 S. 222 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass bei nachgewiesener Unfallkausalität die deswegen anerkannte Leistungspflicht des Unfallversicherers erst entfällt, wenn der Gesundheitsschaden nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Da es sich hierbei um eine anspruchsaufhebende Tatfrage handelt, liegt die entsprechende Beweislast - anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist - nicht beim Versicherten, sondern beim Unfallversicherer (SVR 2011 UV Nr. 4 S. 12, 8C_901/2009 E. 3.2; 2009 UV Nr. 3 S. 9, 8C_354/2007 E. 2.2; aus jüngster Zeit: Urteil 8C_419/2014 vom 23. September 2014 E. 3.2).
3.
Die Vorinstanz hat erwogen, entgegen dem Einspracheentscheid vom 19. Februar 2013 könne nicht auf die kreisärztliche Beurteilung vom 17. Dezember 2012 abgestellt werden. Gestützt auf den Bericht des Neurologen Dr. med. F._ vom 16. Juli 2013 seien die Beschwerden am linken Fuss weiterhin als unfallbedingt zu betrachten. Darauf lasse auch der Bericht des Fussspezialisten Dr. med. G._ vom 9. August 2013 schliessen. Sodann ergebe sich aus dem Operationsbericht des Dr. med. D._ vom 17. Juli 2012, dass der Eingriff am linken Knie vom 16. Juli 2012 der Sanierung von Unfallfolgen gedient habe und daher von der SUVA zu übernehmen sei. Der diesbezügliche Status quo sine sei Mitte Mai 2013 erreicht worden, weshalb erst ab diesem Zeitpunkt der Kausalzusammenhang der Kniebeschwerden zum Unfall vom 13. Januar 2011 entfalle.
Die SUVA wendet ein, die Berichte F._ und G._ seien nicht beweiswertig und vermöchten die kreisärztliche Beurteilung nicht zu entkräften. Gestützt auf diese Beurteilung und den operierenden Arzt Dr. med. D._ seien sodann die Kniebeschwerden, einschliesslich des Eingriffs vom 16. Juli 2012, nicht als unfallbedingt zu betrachten.
3.1. Zur Beurteilung sozialversicherungsrechtlicher Leistungsansprüche bedarf es verlässlicher medizinischer Entscheidgrundlagen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232 mit Hinweis auf 125 V 351 E. 3a S. 352).
3.2. Es stehen sich hier unterschiedliche ärztliche Einschätzungen zur Frage, ob die noch bestehenden Beschwerden an Fuss und Knie unfallkausal sind, gegenüber. Dabei werfen u.a. die Ausführungen des Dr. med. F._ Fragen hinsichtlich der kreisärztlichen Beurteilung auf, welche nicht gestatten, einzig auf Letztere abzustellen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 470). Anderseits genügen aber die von der Vorinstanz für relevant erachteten medizinischen Akten nicht, um die Unfallkausalität der Beschwerden verlässlich zu bejahen. Der Bericht F._ vom 16. Juli 2013 weist zwar auf eine Nervenläsion hin. Er, wie auch der wesentlich auf ihn abstellende Bericht G._ vom 9. August 2013, lässt aber nicht mit der nötigen Bestimmtheit darauf schliessen, dass eine unfallbedingte Schädigung vorliegt. Die entsprechende Folgerung der Ärzte beruht im Wesentlichen auf der unzulässigen Beweisregel "post hoc ergo propter hoc" (vgl. SVR 2012 UV Nr. 8 S. 27, 8C_380/2011 E. 6.2.1, und Nr. 5 S. 17, 8C_310/2011 E. 4.5.1, je mit Hinweisen). Sodann finden sich im Operationsbericht D._ vom 17. Juli 2012 keine eindeutigen Aussagen, welche die erneut aufgetretenen Kniebeschwerden als unfallbedingt erscheinen lassen. Der rechtserhebliche Sachverhalt ist demnach ungenügend erstellt. Die Frage der Unfallkausalität der nach dem 26. Dezember 2012 noch bestandenen Fuss- und Kniebeschwerden ist durch ein neurologisches-orthopädisches Gutachten abzuklären. Zudem sind die Akten der Invalidenversicherung, bei der offenbar ebenfalls ein Leistungsverfahren hängig ist, beizuziehen. Die Sache ist für diese Beweisergänzungen und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. In diesem Sinne ist die Beschwerde gutzuheissen.
4.
Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz (mit noch offenem Ausgang) gilt praxisgemäss als Obsiegen der Beschwerde führenden Partei (vgl. SVR 2013 IV Nr. 26 S. 75, 8C_54/2013 E. 6 mit Hinweisen). Die Gerichtskosten sind daher dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Die SUVA hat als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation trotz Obsiegens keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern, 3. Abteilung, vom 13. Mai 2014 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. November 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz