Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. W._ (geb. 1947) erlitt 4. Oktober 1999 einen Verkehrsunfall, bei welchem sie sich eine Commotio cerebri (Gehirnerschütterung), verschiedene Prellungen, eine Rissquetschwunde oberhalb des rechten Auges sowie eine Kontusion der Schneidezähne zuzog. Als Angestellte bei der B._ AG war sie bei der "Vaudoise Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft" obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Sie versah die Stelle seit November 1992 mit einem Pensum von 50 %; das Arbeitsverhältnis endete per Ende Mai 2000. W._ war ausserdem bis Juli 1998 zu ungefähr 50 % als Trainerin bei der Schule Y._ tätig. In entsprechendem Umfang bezog sie von November 1998 bis zum Unfall Arbeitslosenentschädigung. Der Unfallversicherer erbrachte bis zum 2. Februar 2000 Taggeldleistungen auf der Grundlage einer Arbeitsunfähigkeit von 100 %. Der behandelnde Arzt Dr. X._ attestierte der Versicherten für die Zeit ab dem 3. Februar 2000 zunächst eine volle Arbeitsfähigkeit, korrigierte diese Einschätzung indes später. Die effektive Arbeitsunfähigkeit ab dem 3. Februar 2000 betrage 50 %. Aufgrund einer Fehlüberlegung habe er die Angabe über die Leistungsfähigkeit ursprünglich nur auf die Teilzeitstelle bei der B._ AG bezogen (Schreiben an die B._ AG vom 20. April 2000).
Mit durch Einspracheentscheid vom 5. Januar 2001 bestätigter Verfügung vom 16. November 2000 stellte der Unfallversicherer fest, die rückwirkende Änderung des Unfallscheins sei nicht glaubwürdig. Die Leistungspflicht für Taggelder entfalle ab dem 3. Februar 2000.
Mit durch Einspracheentscheid vom 5. Januar 2001 bestätigter Verfügung vom 16. November 2000 stellte der Unfallversicherer fest, die rückwirkende Änderung des Unfallscheins sei nicht glaubwürdig. Die Leistungspflicht für Taggelder entfalle ab dem 3. Februar 2000.
B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern gut. Der Unfallversicherer habe die Taggeldleistungen über den 2. Februar 2000 hinaus zu gewähren, da die Versicherte auch nach diesem Zeitpunkt zu 50 % arbeitsunfähig gewesen sei (Entscheid vom 23. Juli 2002).
B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern gut. Der Unfallversicherer habe die Taggeldleistungen über den 2. Februar 2000 hinaus zu gewähren, da die Versicherte auch nach diesem Zeitpunkt zu 50 % arbeitsunfähig gewesen sei (Entscheid vom 23. Juli 2002).
C. Die Vaudoise Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft reicht Verwaltungsgerichtsbeschwerde ein mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben.
Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, währenddem das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Stellungnahme verzichtet.
Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, währenddem das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Stellungnahme verzichtet.
D. Die Versicherte lässt mit Eingabe vom 10. Oktober 2003 ein medizinisches Gutachten vom 11. September 2003 nachreichen.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen im Bereich der obligatorischen Unfallversicherung geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Einspracheentscheids (hier: 5. Januar 2001) eingetretenen Sachverhalt abstellt (<ref-ruling> Erw. 1b; RKUV 2001 Nr. U 419 S. 101), sind im vorliegenden Fall die bis zum 31. Dezember 2002 geltenden Bestimmungen anwendbar.
1.2 Das kantonale Gericht hat die massgebende Bestimmung über den Anspruch auf Taggeld (Art. 16 UVG), die Rechtsprechung zum Begriff der Arbeitsunfähigkeit (<ref-ruling> Erw. 1c; RKUV 2001 Nr. KV 174 S. 292 Erw. 2a, 1987 Nr. U 27 S. 394 Erw. 2b) sowie die Regeln betreffend Leistungspflicht des Unfallversicherers bei Teilarbeitslosigkeit (Art. 8 in Verbindung mit Art. 6 Abs. 2, ferner Art. 5 Abs. 4 der rückwirkend auf den 1. Januar 1996 in Kraft gesetzten Verordnung über die Unfallversicherung von arbeitslosen Personen vom 24. Januar 1996 [UVAL; SR 837.171] und Art. 25 Abs. 3 UVV; vgl. auch Art. 99 Abs. 2 UVV) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
1.2 Das kantonale Gericht hat die massgebende Bestimmung über den Anspruch auf Taggeld (Art. 16 UVG), die Rechtsprechung zum Begriff der Arbeitsunfähigkeit (<ref-ruling> Erw. 1c; RKUV 2001 Nr. KV 174 S. 292 Erw. 2a, 1987 Nr. U 27 S. 394 Erw. 2b) sowie die Regeln betreffend Leistungspflicht des Unfallversicherers bei Teilarbeitslosigkeit (Art. 8 in Verbindung mit Art. 6 Abs. 2, ferner Art. 5 Abs. 4 der rückwirkend auf den 1. Januar 1996 in Kraft gesetzten Verordnung über die Unfallversicherung von arbeitslosen Personen vom 24. Januar 1996 [UVAL; SR 837.171] und Art. 25 Abs. 3 UVV; vgl. auch Art. 99 Abs. 2 UVV) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2. 2.1 Die Vorinstanz hat zutreffend festgehalten, die Ausführungen des Dr. X._ über den Grund der nachträglichen Korrektur des Unfallscheins seien nachvollziehbar. Die Erklärung, dass der behandelnde Arzt bei der Feststellung, die Versicherte vermöge die bei der 50 %-Stelle anfallende Arbeit (zumindest versuchsweise) wieder zu erfüllen, den Grad der Arbeitsunfähigkeit - im Wissen um die nur halbtägige Beschäftigung - zunächst allein am konkret ausgefüllten Pensum gemessen hat, scheint keineswegs an den Haaren herbeigezogen. Auch ist den übrigen medizinischen Akten nichts zu entnehmen, das den gegenteiligen Schluss nahelegen würde. So führte der Neurologe Dr. Z._ aus, die Patientin leide nach dem Fahrradunfall vom 4. Oktober 1999 unter anderem an protrahierten Kopfschmerzen (Bericht vom 23. Dezember 1999). Die Einschätzung, wonach per 3. Februar 2000 eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % bestanden habe, ist beweiskräftig und mithin rechtserheblich.
Der vorinstanzliche Entscheid, die Sache - mit der Feststellung, dass die Beschwerdeführerin überwiegend wahrscheinlich ab dem 3. Februar 2000 zu 50 % arbeitsunfähig war - zur Prüfung aller übrigen Anspruchsvoraussetzungen an den Unfallversicherer zurückzuweisen, erweist sich damit als rechtens.
2.2 Die Beschwerdegegnerin lässt nachträglich ein Gutachten der Klinik S._ vom 11. September 2003 ins Recht legen. Da der Sachverhalt, wie er von der Versicherten vertreten wird, auch ohne Berücksichtigung dieses Dokuments erstellt ist, braucht nicht geprüft zu werden, wie diese nach Ablauf der Rechtsmittelfrist eingebrachte Akte prozessual zu behandeln wäre (vgl. <ref-ruling>).
2.2 Die Beschwerdegegnerin lässt nachträglich ein Gutachten der Klinik S._ vom 11. September 2003 ins Recht legen. Da der Sachverhalt, wie er von der Versicherten vertreten wird, auch ohne Berücksichtigung dieses Dokuments erstellt ist, braucht nicht geprüft zu werden, wie diese nach Ablauf der Rechtsmittelfrist eingebrachte Akte prozessual zu behandeln wäre (vgl. <ref-ruling>).
3. Mit dem kantonalen Gericht ist festzustellen, dass eine medizinisch begründete Arbeitsunfähigkeit über den 3. Februar 2000 hinaus ausgewiesen ist. Demgemäss hat die Beschwerdeführerin der Versicherten für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 135 in Verbindung mit Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Vaudoise Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft hat W._ für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1800.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Vaudoise Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft hat W._ für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1800.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 5. November 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer: Der Gerichtsschreiber: