Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene S._ ist seit 1. Januar 1998 bei der Assura Kranken- und Unfallversicherung obligatorisch für Krankenpflege versichert. Im Zeitraum April bis Juni 2003 blieb sie die monatliche Prämie von Fr. 160.- schuldig. Nachdem das Vollstreckungsverfahren in einem Pfändungs-Verlustschein vom 14. Oktober 2003 geendet hatte, gelangte die Assura am 16. Oktober 2003 an das Fürsorgeamt der Gemeinde A._ und verlangte, dass diese die ungedeckt gebliebenen Prämien der Grundversicherung samt Mahnspesen und Betreibungskosten von insgesamt Fr. 504.95 übernehme. Die Gemeinde lehnte eine Übernahme der Prämien mit Schreiben vom 22. Oktober 2003 ab, da sie dazu gesetzlich nicht verpflichtet sei, woran sie mit einem weiteren Schreiben vom 6. November 2003 festhielt. Die Wohnsitzgemeinde habe bei Prämienausständen neu die Wahl, entweder die ausstehenden Prämien oder die anfallenden Behandlungskosten zu übernehmen. Aus diesem Grunde lege sich die Gemeinde noch nicht fest, der Assura die Prämien zu vergüten. Auf Ersuchen des Krankenversicherers erliessen die Sozialen Dienste der Gemeinde A._ am 18. Februar 2004 eine beschwerdefähige Verfügung, womit die Übernahme der ausstehenden Prämien abgelehnt wurde. Den von der Assura hiegegen eingereichten Rekurs wies der Gemeinderat A._ mit Entscheid vom 23. März 2004 ab.
Die Assura rekurrierte gegen diesen Entscheid beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau. Dieses wies den Rekurs mit Entscheid vom 7. Juli 2006 ab.
B. Die gegen diesen Rekursentscheid erhobene Beschwerde mit dem Antrag, die Gemeinde A._ habe die Prämienausstände von S._ während der Wohnsitz- und Aufenthaltsdauer an diesem Ort gemäss Verlustschein in der Höhe von Fr. 504.95 zu übernehmen, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 6. Dezember 2006 ab.
C. Die Assura erhebt Beschwerde und erneuert das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren.
Das Departement für Finanzen und Soziales schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während die Stadt Amriswil auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Gesundheit äussert sich zum Rechtsstreit, ohne einen Antrag zu stellen.

Erwägungen:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (Art. 132 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2.
2.1 Gemäss Art. 128 OG beurteilt das Bundesgericht letztinstanzlich Verwaltungsgerichtsbeschwerden gegen Verfügungen im Sinne von Art. 97, 98 lit. b bis h und 98a OG auf dem Gebiet der Sozialversicherung. Hinsichtlich des Begriffs der mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde anfechtbaren Verfügungen verweist Art. 97 OG auf Art. 5 VwVG. Nach Art. 5 Abs. 1 VwVG gelten als Verfügungen Anordnungen der Behörden im Einzelfall, die sich auf öffentliches Recht des Bundes stützen (und im Übrigen noch weitere, nach dem Verfügungsgegenstand näher umschriebene Voraussetzungen erfüllen).
2.2 Die bundesrechtliche Verfügungsgrundlage bestimmt sich danach, ob der materiellrechtliche Streitgegenstand dem Bundessozialversicherungsrecht angehört (<ref-ruling> E. 2 S. 146). Ob dies im vorliegenden Fall zutrifft, - materiellrechtlich geht es um die Frage, wer der Assura die von der Versicherten geschuldeten, unbezahlt gebliebenen Prämien zu vergüten hat - , ist höchst fraglich, kann aber offen bleiben, da die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ohnehin unbegründet ist.
3. Die Assura macht keine Verletzung bundesrechtlicher Bestimmungen durch die Vorinstanz geltend, sondern beschränkt sich darauf, die einschlägigen Normen des Kantons Thurgau abweichend vom angefochtenen Entscheid auszulegen und daraus abzuleiten, dass die Wohnsitzgemeinde der Versicherten die Prämienrückstände zu übernehmen habe. Mit dem kantonalen Recht, welchem die Regelung von Prämienrückständen überlassen ist, hat sich das Bundesgericht grundsätzlich nicht zu befassen (Art. 128 in Verbindung mit Art. 97 Abs. 1 OG und Art. 5 Abs. 1 VwVG). Es kann nur prüfen, ob die Anwendung der einschlägigen kantonalen Bestimmungen zu einer Verletzung von Bundesrecht geführt hat (Art. 104 lit. a OG). Dabei fällt praktisch nur das in Art. 9 BV verankerte Willkürverbot in Betracht (<ref-ruling> E. 3; E. 9.1.1 des in <ref-ruling> auszugsweise publizierten Urteils B. vom 28. Dezember 2005, B 41/04). Willkürlich ist eine Entscheidung, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwider läuft. Willkürliche Rechtsanwendung liegt nicht schon vor, wenn eine andere Lösung in Betracht zu ziehen oder sogar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 2 S. 61, 129 I 8 E. 2.1 S. 9, 49 E. 4 S. 58, 127 I 38 E. 2a S. 41).
Die Assura behauptet nicht, dass der angefochtene Entscheid willkürlich sei oder sonstwie Bundesrecht verletze, und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern dem Verwaltungsgericht Willkür vorgeworfen werden könnte, weil es der Auffassung der Assura, die Gemeinde sei nach kantonalem Recht verpflichtet, die Prämienausstände zu begleichen, nicht gefolgt ist.
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Assura aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Januar 2008 / Wd
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Widmer