Sachverhalt:
A. Die Gemeinde Teufen beabsichtigte, den Naturrasen auf dem Nebenplatz der Sport- und Freizeitanlage Landhaus durch einen Kunstrasenbelag zu ersetzen. Sie schrieb dieses Projekt am 5. Dezember 2007 im offenen Verfahren aus. In der Folge gingen Offerten verschiedener Anbieter ein, darunter auch jene der X._ AG und jene der Y._ AG Bauunternehmung.
Der Vergabeentscheid datiert vom 7. Februar 2008. Er wurde auf dem Briefpapier der Baukommission Teufen erstellt und von deren Präsident sowie dem Gemeindeingenieur unterzeichnet. Den Zuschlag erhielt die Y._ AG Bauunternehmung.
B. Gegen den Vergabeentscheid beschwerte sich die X._ AG am 11. Februar 2008 beim Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden. Dieses erkannte der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 28. Februar 2008 aufschiebende Wirkung zu. Nach Beizug der vollständigen Verfahrensakten entschied der Verwaltungsgerichtspräsident jedoch am 8. April 2008, die aufschiebende Wirkung wieder zu entziehen. Eine von der X._ AG hiergegen beim Bundesgericht geführte Beschwerde blieb erfolglos (Urteil 2D_40/2008 vom 19. Mai 2008).
In der Folge schloss die Gemeinde Teufen mit der Y._ AG Bauunternehmung die notwendigen Verträge ab, worauf das Projekt im Sommer 2008 realisiert wurde.
Mit Urteil vom 28. September 2010 entschied der Präsident des Verwaltungsgerichts von Appenzell Ausserrhoden in der Sache: Er wies die Beschwerde der X._ AG kostenpflichtig ab und verpflichtete Letztere, der Y._ AG Bauunternehmung eine Parteientschädigung zu entrichten.
C. Mit Eingabe vom 8. November 2010 führt die X._ AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils sowie die Feststellung, dass die Zuschlagsverfügung der Gemeinde Teufen vom 7. Februar 2008 rechtswidrig sei.
Der Präsident des Verwaltungsgerichts von Appenzell Ausserrhoden schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Gemeinde Teufen beantragt, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten; eventualiter sei diese abzuweisen. Die Y._ AG Bauunternehmung lässt sich zur Sache vernehmen, ohne jedoch einen Antrag zu formulieren.
Mit Verfügung vom 6. Dezember 2010 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss insoweit aufschiebende Wirkung zu, als das vorinstanzliche Urteil die X._ AG verpflichtete, der Y._ AG Bauunternehmung eine Parteientschädigung zu entrichten.

Erwägungen:
1. Das ordentliche Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen nur zulässig, wenn die in <ref-law> genannten beiden Bedingungen (Erreichen des Schwellenwerts sowie Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung) kumulativ erfüllt sind (<ref-ruling> E. 1.2 S. 194 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 398), was vorliegend unstreitig nicht der Fall ist. Da es sich beim angefochtenen Urteil um den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz handelt, kommt aber immerhin die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> in Betracht. Mit dieser kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Zu prüfen ist diesbezüglich, ob die Beschwerdeführerin ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Letzteres ist im Bereich des öffentlichen Vergabewesens dann der Fall, wenn sie als unterlegene Bewerberin eine reelle Chance gehabt hätte, im Falle der Gutheissung ihres Rechtsmittels den Zuschlag zu erhalten (vgl. Urteil 2D_50/2009 vom 25. Februar 2010 E. 1.2 mit Hinweisen). Ob diese Voraussetzung vorliegend erfüllt ist, erscheint fraglich, zumal das Angebot der Beschwerdeführerin lediglich den 7. Rang erreichte. Die Frage kann jedoch offen bleiben, da es selbst bei fehlender Legitimation in der Sache zulässig ist, mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft ("Star-Praxis"; vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 198). Im vorliegenden Fall werden solche Rügen erhoben, weswegen sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde jedenfalls insoweit als zulässig erweist. In diesem Umfang ist auf das im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Anspruchs auf einen Entscheid durch die richtig zusammengesetzte Behörde i.S.v. <ref-law> (recte: <ref-law>): Der Vergabeentscheid sei nicht von der zuständigen Baukommission der Gemeinde Teufen, sondern vielmehr von der unzuständigen "Arbeitsgruppe Kunstrasen" gefällt worden. Zwar sei die Zuschlagsverfügung vom 7. Februar 2008 formell namens der Baukommission unterzeichnet gewesen, doch habe sich herausgestellt, dass die Baukommission an diesem Tag überhaupt keine Sitzung abgehalten habe und auch kein Zirkularbeschluss vorliege. Dem Protokoll der Sitzung der Baukommission vom 23. Januar 2008 könne dagegen entnommen werden, dass diese beschlossen habe, sich in Bezug auf das Produkt der Meinung der Arbeitsgruppe Kunstrasen anzuschliessen und den von der Arbeitsgruppe am 6. Februar 2008 zu fällenden Entscheid zu unterstützen. Die Kompetenz zur Auswahl des Rasens sei damit an die Arbeitsgruppe vergeben worden. Der sodann am 6. Februar 2008 erfolgte Entscheid der "zusammengewürfelten Arbeitsgruppe Kunstrasen" vermöge jedoch einen ordnungsgemässen Entscheid der Baukommission nicht zu ersetzen.
2.2 Die Vorinstanz führte diesbezüglich aus, es ergebe sich aus den Akten, dass die zuständige Baukommission den Vergabeentscheid gefällt und eröffnet habe: Am 19. Januar 2008 habe die Arbeitsgruppe Kunstrasen verschiedene Sportplätze mit Referenzprodukten besichtigt und sei dabei zum Schluss gekommen, dass das Produkt "yyy._" der Beschwerdegegnerin das geeignetste sei. Dieses Resultat habe sie der Baukommission mitgeteilt, gleichzeitig aber beschlossen, am 6. Februar 2008 einen weiteren Sportplatz zu besichtigen. An ihrer Sitzung vom 23. Januar 2008 habe die Baukommission den Antrag der Arbeitsgruppe beraten und sich antragsgemäss für das Produkt "yyy._" entschieden. Da die Baukommission aber auch gewusst habe, dass die Arbeitsgruppe am 6. Februar 2008 noch eine weitere Besichtigung durchführen wollte, habe sie, die Baukommission, mit der Eröffnung ihres Entscheids bis nach diesem Zeitpunkt zugewartet, für den Fall, dass die Arbeitsgruppe ihren ursprünglichen Antrag ändern oder ergänzen sollte. Nachdem dies nicht der Fall gewesen sei, habe die Baukommission den Vergabeentscheid am 7. Februar 2008 korrekt eröffnet.
2.3 Die Begründung der Vorinstanz steht im Widerspruch zur Aktenlage und erscheint willkürlich: Zwar lässt sich dem Protokoll der Arbeitsgruppe Kunstrasen vom 19. Januar 2008 entnehmen, dass diese das Produkt "yyy._" favorisierte. Indessen stellte die Arbeitsgruppe auch fest, dass zwei Submittenten, darunter die Beschwerdeführerin, günstigere Produkte anbieten. Aus diesem Grund beauftragte die Arbeitsgruppe denn auch den zuständigen Planer, sich bis zur nächsten Sitzung am 6. Februar 2008 Muster zu beschaffen und Referenzen bzw. die Erfahrung von Nutzern abzuklären. Ein Hinweis auf eine konkrete Antragstellung zuhanden der Baukommission lässt sich dem Protokoll vom 19. Januar 2008 nicht entnehmen. Vielmehr wird darin lediglich was folgt festgehalten:
"Um einen möglichst raschen Start zu ermöglichen müsste der Kunstrasen im Zirkulationsverfahren nach der Sitzung der ARGR vom 06. Februar vergeben werden. Eventuell ist auch eine Grundzustimmung zur Produktewahl der ARGR Kunstrasen in der Sitzung vom 23. Januar denkbar."
Wie dem Protokoll der Sitzung der Baukommission vom 23. Januar 2008 zu entnehmen ist, hielt diese zwar fest, dass sich das Produkt yyy._ bei einer Besichtigung der vier unverfüllten Kunstrasen-Felder "als unschlagbar" erwiesen habe und es deshalb favorisiert werde. Der im Protokoll festgehaltene Beschluss der Baukommission lautete indes wie folgt:
"Die Baukommission schliesst sich in Bezug auf das Produkt der Meinung der Arbeitsgruppe an und unterstützt den von der Arbeitsgruppe an der Sitzung vom 06.02.08 zu fällenden Entscheid. Die Vergabe erfolgt gemäss den Richtlinien des öffentlichen Verfahrens."
Die Baukommission hat somit offenkundig bereits zum Voraus ihre Zustimmung zur späteren Produktwahl durch die Arbeitsgruppe Kunstrasen erteilt. Dies bestätigt auch der Gemeindeingenieur anlässlich seiner Einvernahme vom 7. Oktober 2008, indem er ausführt, die Kompetenz zur Auswahl des Rasens sei mit dem Beschluss vom 23. Januar 2008 an die Arbeitsgruppe vergeben worden. Davon, dass sich die Baukommission am 23. Januar 2008 antragsgemäss für das Produkt "yyy._" entschieden habe, wie dies die Vorinstanz darstellte, kann daher keine Rede sein. Die Baukommission konnte diese Entscheidung insbesondere auch deshalb noch gar nicht getroffen haben, weil die erste Auswertung der Offerten gemäss den Angaben des Gemeindeingenieurs erst am 24. Januar 2008, d.h. einen Tag nach der Sitzung der Baukommission, erfolgt ist. Behandelt wurde die Auswertung erstmals an der Sitzung der Arbeitsgruppe Kunstrasen vom 6. Februar 2008: Dort wurde festgestellt, dass das Produkt "yyy._" am besten abschneide und die Vergabe an die Beschwerdegegnerin "beschlusskräftig" sei, zumal "die Baukommission vorausschauend den Beschluss der ARGR unterstützt". Der Vergabeentscheid selbst datiert vom 7. Februar 2008 und wurde - wie bereits ausgeführt - auf dem Briefpapier der Baukommission ausgefertigt und unterzeichnet von deren Präsident sowie dem Gemeindeingenieur, welche gleichzeitig auch Mitglieder der Arbeitsgruppe Kunstrasen waren. Dass an diesem Tag jedoch weder eine ordentliche Sitzung der Baukommission stattgefunden hat noch ein Zirkularbeschluss erfolgt ist, wird vom Gemeindeingenieur anlässlich der Einvernahme vom 7. Oktober 2008 ausdrücklich bestätigt.
2.4 Somit steht fest, dass die Auswertung der Offerten und die Entscheidung über die Auftragsvergabe faktisch nicht durch die unbestrittenermassen dafür zuständige Baukommission, sondern vielmehr durch die Arbeitsgruppe Kunstrasen erfolgt ist. Mit ihrer vorweggenommenen Erklärung, die Entscheidung der Arbeitsgruppe bezüglich der Produktwahl unbesehen zu übernehmen, hat die Baukommission ihre eigene Prüfungsbefugnis eingeschränkt und damit das erforderliche Prüfungsmass unterschritten. Dieses Vorgehen verstösst gegen den Anspruch auf eine gleiche und gerechte Behandlung in Gerichts- und Verwaltungsverfahren i.S.v <ref-law> (STEINMANN in: Ehrenzeller/Mastronardi/Schweizer/Vallender [Hrsg.], Die schweizerische Bundesverfassung - Kommentar, 2. Aufl. 2008, Rz. 17 zu <ref-law>, mit Hinweisen). Wie ausgeführt, wird von den beteiligten Personen nicht bestritten, sondern sogar ausdrücklich bestätigt, dass am 7. Februar 2008 keine ordentliche Entscheidfindung durch die Baukommission stattgefunden hat. Es ist daher ebenso erstellt, dass der formelle Vergabeentscheid nicht von der richtig zusammengesetzten Entscheidbehörde gefällt wurde, was den Anspruch auf ein gerechtes Verfahren gemäss <ref-law> ebenfalls verletzt (Urteil 2P.26/2003 vom 1. September 2003 E. 3.4 publ. in: ZBl 106/2005 S. 103, mit Hinweisen).
Die von der Gemeinde Teufen hiergegen vorgebrachten Einwendungen ändern daran nichts: Dass der Gemeinderat in seiner Sitzung vom 12. Mai 2009, während des bereits hängigen Beschwerdeverfahrens, die Zuschlagsverfügung vom 7. Februar 2008 pauschal "bestätigt" hat, vermag die aufgezeigten Verfahrensfehler und Verfassungsverletzungen jedenfalls nicht zu heilen. Die (unbelegte) Behauptung, dass die Baukommission "aufgrund der gegebenen Umstände" zur Delegation des Zuschlagsentscheides an die Arbeitsgruppe Kunstrasen kompetent gewesen wäre, steht im Widerspruch zu den diesbezüglichen Ausführungen der Vorinstanz, wonach zur Einsetzung von Arbeitsgruppen sowie zur Definition von deren Kompetenzen der Gemeinderat zuständig sei; die Arbeitsgruppe Kunstrasen stelle jedoch überhaupt keine offizielle Arbeitsgruppe dar, sondern sei "lediglich eine informelle Gruppe von Fachleuten und Vereinsvertretern, welche die Baukommission bei der Evaluation des für Teufen geeignetsten Kunstrasen unterstützen sollte" (E. 4.3 des angefochtenen Entscheids). Inwieweit diese Ausführungen der Vorinstanz unzutreffend sein sollen bzw. weshalb es trotzdem zulässig gewesen wäre, dass die Baukommission der Arbeitsgruppe materielle Entscheidkompetenzen zuerkennt, wird von der Gemeinde nicht dargelegt und es ist dies auch nicht ersichtlich.
3. Bereits aufgrund der obenstehenden Ausführungen erweist sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als begründet. Auf die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin muss daher nicht eingegangen werden. Da aus diesem Grund auch die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens neu zu regeln sind (vgl. E. 4 hiernach), muss insbesondere auch die von der Beschwerdeführerin erhobene Willkürrüge in Zusammenhang mit der Verpflichtung zur Bezahlung einer Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin nicht mehr behandelt werden.
4. Nach dem Ausgeführten ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gutzuheissen, was zur Aufhebung des angefochtenen Urteils und zur Feststellung der Verfassungswidrigkeit der Zuschlagsverfügung führt.
Bei diesem Ergebnis sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Gemeinde Teufen, welche im vorliegenden Verfahren Vermögensinteressen verfolgte, sowie der Beschwerdegegnerin je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>). Zudem haben die Beschwerdegegnerin und die Gemeinde Teufen der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung für das Verfahren vor Bundesgericht zu bezahlen (<ref-law>). Zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens ist die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen und gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts von Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, vom 28. September 2010 wird aufgehoben und es wird festgestellt, dass die Zuschlagsverfügung der Gemeinde Teufen vom 7. Februar 2008 verfassungswidrig ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Gemeinde Teufen und der Y._ AG Bauunternehmung je zur Hälfte, ausmachend je Fr. 1'500.--, auferlegt.
3. Die Gemeinde Teufen und die Y._ AG Bauunternehmung werden verpflichtet, die X._ AG für das bundesgerichtliche Verfahren je mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens wird die Angelegenheit an das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird der X._ AG, der Gemeinde Teufen, der Y._ AG Bauunternehmung sowie dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. April 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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