Sachverhalt:
A.
A._, geb. 1987, absolvierte von Dezember 2011 bis Juli 2013 eine Zweitausbildung zur Betreuungsfachfrau. Ende November 2011 stellte sie beim Amt für Jugend und Berufsberatung (AJB) des Kantons Zürich ein Gesuch um Ausbildungsbeiträge für das Ausbildungsjahr 2011/2012. Das Amt hiess das Gesuch gut und richtete A._ Stipendien in der Höhe von Fr. 5'541.-- aus. Am 21. August 2012 stellte A._ betreffend Ausrichtung von Stipendien für das Jahr 2012/2013 ein Wiederholungsgesuch. Dieses wies das Amt für Jugend und Berufsberatung mit Verfügung vom 14. Februar 2013 und Einspracheentscheid vom 25. April 2013 ab, weil es aufgrund des gestiegenen Einkommens und Vermögens der Eltern einen höheren Elternbeitrag anrechnete. Ein Rekurs an die Bildungsdirektion wurde am 13. Februar 2014 ebenfalls abgewiesen.
B.
A._ erhob gegen den Direktionsentscheid Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses hiess mit Urteil vom 18. Juli 2014 die Beschwerde gut und verpflichtete das Amt für Jugend und Berufsberatung, an A._ Fr. 5'700.-- zu bezahlen.
C.
Der Kanton Zürich, vertreten durch die Bildungsdirektion, erhebt mit Eingabe vom 11. September 2014 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Urteils seien die Verfügung und der Einspracheentscheid des AJB sowie der Rekursentscheid der Bildungsdirektion zu bestätigen und es sei festzustellen, dass A._ für das Jahr 2012/2013 keinen Anspruch auf Stipendien habe. Eventuell sei die Angelegenheit für weitere Abklärungen und zum Neuentscheid an die Vorinstanz oder an den Kanton zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. A._ beantragt Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 10. Oktober 2014 wurde der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts ist grundsätzlich zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Nach <ref-law> ist die Beschwerde unzulässig betreffend Subventionen, auf die kein Anspruch besteht. Als Subventionen gelten auch Stipendien (Urteile 2C_189/2009 vom 17.9.2009 E. 3.1; 2C_121/2007 vom 17. August 2007 E. 2). § 16 des zürcherischen Bildungsgesetzes vom 1. Juli 2002 (LS 410.1) gewährt dem Auszubildenden bei Erfüllen der entsprechenden Voraussetzungen jedoch einen Rechtsanspruch auf die Ausrichtung von Ausbildungsbeiträgen; die Beschwerde ist daher zulässig (Urteil 2C_189/2009 vom 17. September 2009 E. 3.1).
2.
Zu prüfen ist die Legitimation des Beschwerdeführers. Dieser beruft sich zu Recht nicht auf einen Legitimationsgrund nach <ref-law>. Er macht aber geltend, er sei nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
2.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Diese Regelung ist in erster Linie auf Privatpersonen zugeschnitten, doch kann sich auch das Gemeinwesen darauf stützen, falls es durch einen angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie ein Privater oder aber in spezifischer, schutzwürdiger Weise in der Wahrnehmung einer hoheitlichen Aufgabe betroffen wird, namentlich wenn einem Entscheid präjudizielle Bedeutung für die öffentliche Aufgabenerfüllung zukommt. Die Beschwerdebefugnis zur Durchsetzung hoheitlicher Anliegen setzt eine erhebliche Betroffenheit in wichtigen öffentlichen Interessen voraus. Das allgemeine Interesse an der richtigen Rechtsanwendung begründet keine Beschwerdebefugnis im Sinne dieser Regelung. Gestützt auf die allgemeine Legitimationsklausel von <ref-law> sind Gemeinwesen nur restriktiv zur Beschwerdeführung zuzulassen (kürzlich bestätigt im Urteil 8C_918/2014 vom 27. Januar 2015, E. 3.2.2.1, vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 329 f.; <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 508 f. mit Übersicht über die Rechtsprechung). Insbesondere ist die im Rechtsmittelverfahren unterlegene Vorinstanz nicht berechtigt, gegen den sie desavouierenden Entscheid an das Bundesgericht zu gelangen (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 323 mit Hinweisen).
2.2. Besondere Zurückhaltung ist geboten, wenn sich Organe desselben Gemeinwesens gegenüberstehen, namentlich die kantonalen Exekutivbehörden und das kantonale Verwaltungsgericht: Der Vorschlag des Bundesrats, die Kantonsregierungen in gewissen Fällen zur Anfechtung der Entscheide kantonaler Gerichte zu berechtigen, wurde in den Räten gestrichen (s. zur Entstehungsgeschichte <ref-ruling> E. 5.2 S. 331 f.; Urteil 8C_1025/2009 vom 19. August 2010 E. 3.3.4.1; MICHAEL PFLÜGER, Die Legitimation des Gemeinwesens zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, 2013, S. 203 ff.). Entscheidend für diese Streichung des Beschwerderechts war dabei der Wille des Gesetzgebers, dass Streitigkeiten zwischen der obersten Exekutivbehörde und der obersten Justizbehörde eines Kantons nicht vom Bundesgericht entschieden werden sollen (Pflüger, a.a.O., S. 205). Eine kantonale Exekutive, deren Verfügung von der kantonal letztinstanzlichen Justizbehörde aufgehoben wurde, ist daher grundsätzlich nicht befugt, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zur Wiederherstellung ihrer Verfügung zu führen, erst recht dann nicht, wenn es um die Auslegung und Anwendung von kantonalem Recht geht (<ref-ruling> E. 2.5/2.6 S. 387 f,; <ref-ruling> E. 3.5 S. 350; <ref-ruling> E. 2.3.3 S. 58 ff,; Urteil 8C_1025/2009 vom 19. August 2010 E. 3.3.4.2 und 3.4; PFLÜGER, a.a.O., S. 136 f., 146 f., 162 f.; 205 ff.).
2.3. Geht es um Entscheide mit finanziellen Auswirkungen, hat die Rechtsprechung zwar in verschiedenen Konstellationen die Legitimation von Kanton oder Gemeinde bejaht (vgl. Hinweise in BGE <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 509 f.). Doch ist die Legitimation nicht schon dann zu bejahen, wenn ein Entscheid Auswirkungen auf das Vermögen des Gemeinwesens hat: Zur Begründung des allgemeinen Beschwerderechts genügt nicht jedes beliebige, mit der Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe direkt oder indirekt verbundene finanzielle Interesse des Gemeinwesens (<ref-ruling> E. 4.2 S. 279; <ref-ruling> E. 2.4 S. 387; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 47 mit Hinweisen). So wurde die Legitimation des Gemeinwesens etwa verneint in seiner Eigenschaft als Schuldner von Entschädigungen nach Opferhilfegesetz (<ref-ruling> E. 4 S. 429 ff.), im Falle der Festlegung des Steuerwohnsitzes (<ref-ruling> E. 4.3 S. 280), aufgrund der Befürchtung, als Folge eines Entscheids haftpflichtig zu werden (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 407) oder der Tangierung des Kantons als Schuldner von (kantonalrechtlichen) Ergänzungsleistungen (BGE <ref-ruling> E. 2.3.3 S. 58 f.). Auch eine Gemeinde kann sich nicht auf <ref-law> berufen, wenn sie die willkürliche Anwendung von kantonalen und kommunalen Bestimmungen über Beihilfen und Gemeindezuschüsse durch das kantonale Gericht rügt (Urteil 8C_918/2014 vom 27. Januar 2015 E. 3.2.2.2). Ebenfalls nicht legitimiert ist das Gemeinwesen, wenn ihm in Beschwerdeentscheiden gegen seine Verfügungen Verfahrens- oder Parteikosten auferlegt werden (BGE <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 47 f.; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 407; Urteil 1C_79/2011 vom 10. März 2011 E. 1.4, in: JdT 2011 I S. 39). Verneint wurde die Legitimation auch in einem Fall, in welchem der Kanton die Erbschaftssteuer für Nachkommen abgeschafft hatte und die Auslegung der übergangsrechtlichen Regelung streitig war; der Kanton hatte mit der Abschaffung der Steuer dargetan, dass es für ihn nicht mehr um einen wichtigen Regelungsbereich ging, dies obwohl ein Steueraufkommen von insgesamt rund 30 Mio. Franken auf dem Spiel stand (<ref-ruling> E. 2.5 S. 387).
Bejaht wird die Legitimation in Konstellationen, in denen es um finanzielle Leistungen aus Rechtsverhältnissen geht, die zwar öffentlich-rechtlich geregelt sind, aber Analogien haben zu entsprechenden privatrechtlichen Instituten wie etwa das öffentliche Dienstrecht, das Staatshaftungsrecht oder das Enteignungsrecht. Im Übrigen ist das Gemeinwesen in seinen fiskalischen Interessen aber grundsätzlich nicht wie ein Privater betroffen, sondern in seiner Eigenschaft als Hoheitsträger (BGE <ref-ruling> E. 2.3 S. 511 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 279; <ref-ruling> E. 3.3 S. 160). Die Fälle, in denen diesbezüglich die Legitimation bejaht wurde, betreffen in der Regel Konstellationen, in welchen es um einen Konflikt zwischen verschiedenen Gemeinwesen geht, die einander nicht hoheitlich gegenüberstehen oder in denen ein Gemeinwesen Adressat einer von einem anderen Gemeinwesen getroffenen Verfügung ist, namentlich bei Streitigkeiten zwischen Kanton und Gemeinde oder zwischen Gemeinden unter sich (Hinweise in BGE <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 509 f.). Auch dann ist eine Gemeinde gegen einen kantonalen Entscheid, der ihr finanzielle Lasten auferlegt, nach <ref-law> nur zur Beschwerde legitimiert, wenn sie in qualifizierter Weise in zentralen hoheitlichen Interessen berührt ist (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 93 f.). Eine solche Betroffenheit wird in der Regel bejaht in Bezug auf Leistungen der Sozialhilfe (<ref-ruling> E. 6 S. 333 ff.) sowie den interkommunalen Finanzausgleich und ähnliche Regelungen (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 93 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 47; <ref-ruling> E. 3.3 S. 160) und im Übrigen dann, wenn die streitigen finanziellen Leistungen eine beträchtliche Höhe erreichen und die Beantwortung der Streitfrage eine über den Einzelfall hinaus gehende präjudizielle Wirkung für die öffentliche Aufgabenerfüllung mit insgesamt wesentlicher finanzieller Belastung hat (Urteil 2C_949/2013 vom 24. März 2014 E. 2.2.2 [bejaht bzgl. kommunale Beiträge an kantonale Schulen]), nicht aber dann, wenn es bloss um eine einzelfallbezogene Beurteilung ohne Grundsatzfragen geht (<ref-ruling> E. 1.2.6 S. 95 [kommunaler Kostenanteil an einer Busverbindung]). Verneint wird die Legitimation, wenn es einzig um die finanziellen Folgen der Verwaltungstätigkeit geht, welche das Gemeinwesen in seiner Stellung als hoheitlich verfügende Behörde treffen (BGE <ref-ruling> E. 2.3 S. 511 f.; Urteile 1C_670/2013 vom 10. Februar 2014 E. 4.2; 1C_220/2009 vom 26. April 2010 E. 2.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 1C_79/2011 vom 10. März 2011 E. 1.4, in: JdT 2011 I S. 39). In solchen Fällen deckt sich das finanzielle Interesse des Gemeinwesens mit der Frage der richtigen Rechtsanwendung, was zur Legitimation nicht genügt, auch dann nicht, wenn der angefochtene Entscheid Präzedenzwirkung für weitere Fälle mit Auswirkungen auf die Kantonsfinanzen hat (BGE <ref-ruling> E. 2.4 S. 512; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 46 f.).
2.4. Vorliegend wehrt sich der Kanton gegen ein Urteil seines eigenen Verwaltungsgerichts, welches in Auslegung des kantonalen Rechts zu einem Ergebnis gekommen ist, welches von der Rechtsauffassung der Exekutivbehörden abweicht. Der Streitwert beträgt Fr. 5'700.--. Der Beschwerdeführer bringt jedoch vor, die rechtliche Betrachtung der Vorinstanz habe zur Folge, dass bei einem beträchtlichen Teil von Personen in Ausbildung entgegen der bisherigen Praxis keine Elternbeiträge mehr angerechnet werden dürften, was Mehrkosten von jährlich rund 3,8 Mio. Franken zur Folge habe. Im Rahmen einer Maximalprognose müsste sogar mit Mehraufwendungen von nahezu 37 Mio. Franken pro Jahr gerechnet werden.
Damit ist - anders als in den in BGE <ref-ruling> E. 2.1.1 zitierten Entscheiden - nicht ersichtlich, inwiefern es hier um über das rein Finanzielle hinausgehende Interessen an der öffentlichen Aufgabenerfüllung gehen könnte. Dass das angefochtene Urteil einen zentralen Aspekt des Stipendienwesens beträfe und dessen System als Ganzes selber in Frage stellen würde (vgl. betreffend den Finanzausgleich <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 93 f., mit Hinweisen), ist mit dieser Argumentation jedenfalls nicht dargetan. Sowohl im konkreten Fall als auch in Bezug auf die Präzedenzwirkung des angefochtenen Urteils geht es vorliegend vielmehr einzig um die Auswirkungen auf die Kantonsfinanzen.
In dieser Konstellation ist nach dem Gesagten die Legitimation des Kantons zu verneinen. Es verhält sich anders als in den vom Beschwerdeführer zitierten Entscheiden (BGE <ref-ruling>, <ref-ruling>), in denen sich Gemeinden wehren konnten gegen kantonale Entscheide über die Aufgaben- und Kostenverteilung zwischen Kanton und Gemeinden oder die Kostentragung von Gemeinden. Der Kanton wehrt sich hier nicht gegen einen Entscheid, mit dem ihm eine hierarchisch höher stehende Körperschaft eine finanzielle Belastung direkt auferlegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3/1.2.4 S. 94), sondern es bleibt bei einer Organstreitigkeit zwischen der kantonalen Exekutive und der kantonalen Judikative, für deren Beurteilung durch das Bundesgericht die vorne genannten Voraussetzungen fehlen. Damit ist es Sache des Kantons, den Konflikt selber zu schlichten (vgl. PFLÜGER, a.a.O., S. 204), beispielsweise auf dem Wege einer Gesetzesrevision.
3.
Auf die Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Kanton Zürich, um dessen Vermögensinteressen es geht, die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Kanton Zürich auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein