Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer hat mit einer am 12. Mai 2010 der Post übergebenen Eingabe beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 30. April 2010 erhoben. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer hat in der subsidiären Verfassungsbeschwerde die als verletzt erachteten verfassungsmässigen Rechte zu nennen und in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids zu begründen, inwiefern diese Rechte durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234).
2.2 Das Obergericht ist in seinem Beschluss auf die Kostenrekurse OGZPR.2010.200, OGZPR.2010.201 und OGZPR.2010.202 nicht eingetreten und hat dazu erwogen, der Beschwerdeführer habe am 4. März 2010 gegen die vorgenannten Urteile der Amtsgerichtspräsidentin von Y._ vom 25. Februar 2010 Rekurs erhoben, habe aber jeweils den Kostenvorschuss für die Verfahren vor Obergericht trotz Androhung des Nichteintretens im Unterlassungsfall nicht bezahlt. Auf die Rekurse sei daher nicht einzutreten, wobei der Beschwerdeführer die Gerichtskosten für alle drei obergerichtlichen Verfahren mit einer Abschreibungsgebühr von total Fr. 250.-- zu bezahlen habe. Der Beschwerdeführer geht in seiner Beschwerde nicht auf die obergerichtliche Erwägung ein und zeigt nicht auf, inwiefern das Obergericht damit seine verfassungsmässigen Rechte verletzt hat. Soweit er vorbringt, er erhalte mit dem obergerichtlichen Beschluss einen weiteren Beschluss in einer abgeschlossenen Angelegenheit, trifft dies nicht zu. Das Urteil des Bundesgerichts 5D_56/2010, auf das sich der Beschwerdeführer zum Beweis für sein Vorbringen beruft, betrifft die Verfügung des Präsidenten der Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 15. März 2010 und nicht den Beschluss des Obergerichts vom 30. April 2010, welcher Gegenstand der vorliegenden Beschwerde ist.
3. Auf die offensichtlich unzulässige subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (<ref-law>) durch die Präsidentin der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (<ref-law>) nicht einzutreten.
4. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen offensichtlicher Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden