A.- Le 3 mars 1999, la Vice-présidente du Tribunal de première instance du canton de Genève a rejeté la requête de X._ tendant à la nomination d'un nouvel avocat en lieu et place de Me A._ commise selon décision du 22 janvier précédent;
Statuant le 25 mai 1999, le Président de la Cour de justice civile a annulé cette décision, nommé Me L._ comme avocate d'office de X._, relevé Me A._ de son mandat et reconnu à Me Y._ le droit d'être indemnisé, dans les limites de l'art. 18 du Règlement du 18 mars 1996 sur l'assistance juridique (RAJ), pour l'activité déployée depuis le 19 janvier 1999 en vue de la défense de l'assistée dans le cadre de la procédure en divorce pendante à Genève.
Par arrêt du 19 juillet 1999, la IIe Cour civile du Tribunal fédéral a annulé ce prononcé. Alors même que Me Y._ semblait maîtriser le danois et qu'aucun motif ne paraissait s'opposer à sa désignation, l'autorité cantonale ne pouvait sans arbitraire désigner Me L._, motif pris que celle-ci peut comprendre sans difficulté le danois, dès lors qu'elle parle le suédois et le norvégien.
Le 16 septembre 1999, la Présidente de la Cour de justice civile a refusé derechef de désigner Me Y._ et a nommé Me M._ - qui parle le danois - pour assister X._. A l'appui de sa décision, elle a en bref exposé que Me Y._ n'avait précédemment pas respecté le règlement sur l'assistance juridique.
B.- X._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral, concluant, principalement, à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause pour nouvelle décision.
Subsidiairement, elle demande à la cour de céans de lui désigner Me Y._ comme avocat d'office et, plus subsidiairement, de l'amener "à prouver par toutes voies de droit les faits et droits allégués, au besoin en comparaissant personnellement avec son conseil" devant le Tribunal fédéral.
Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
La Présidente de la Cour de justice civile se réfère à ses considérants. Me M._ ne se prononce pas sur le fond du recours, mais se contente de contester les allégations de la recourante sur l'exécution de précédents mandats.

Considérant en droit :
1.- Si le chef de conclusions tendant au renvoi de la cause est superfétatoire (<ref-ruling> consid. 3c/bb p. 354/355 et les références), celui qui vise la désignation de Me Y._ comme avocat d'office est irrecevable (arrêt du 28 avril 1992 de la Ie Cour de droit public dans la cause A. c./ S., consid. 3 in fine; cf. aussi: Philippe Gerber, La nature cassatoire du recours de droit public, thèse Genève 1997, p.234ss et la jurisprudence mentionnée, ainsi que p. 302 ss, spéc. p. 305).
2.- Il n'y a aucun motif d'ordonner une procédure probatoire pour élucider les faits au sens del'art. 95al. 1OJ(cf. PhilippeGerber, op.cit. ,p.98;Messmer/Imboden, DieeidgenössischenRechtsmittelinZivilsachen, Zurich1992, n. 160). Au demeurant, si la recourante demande - très subsidiairement d'ailleurs - de pouvoir prouver par toutes voies de droit les faits allégués dans son mémoire, elle ne donne aucune précision sur cette requête et n'indique en particulier pas quels faits elle aimerait prouver ni ne donne de renseignements sur les moyens de preuve qu'elle entendrait utiliser. En outre, dans la mesure où le recours est fondé sur l'arbitraire, une telle requête est irrecevable (Messmer/
Imboden, op. cit. , n. 160, note 34). De même, aucune circonstance importante ne justifie de tenir des débats, en application de l'art. 91 al. 2 OJ. Enfin, les conditions d'un second échange d'écritures - qui n'est prévu qu'à titre exceptionnel (art. 93 al. 3 OJ) - ne sont pas remplies en l'espèce (cf.
ATF 118 Ia 305 consid. 1c p. 308); l'autorité cantonale a renoncé à se déterminer et la réponse de Me M._ ne contient rien de nouveau qui soit décisif pour la cause.
3.- Autant que la recourante reproche à l'autorité cantonale de ne pas lui avoir communiqué la lettre du 25 mai 1999 du Président de la Cour de justice à Me Y._, son grief tombe à faux. Son acte de recours démontre à l'évidence qu'elle a eu connaissance de ce document.
4.- La recourante se plaint d'une violation arbitraire des art. 9 al. 4 et 5 ainsi que 16 RAJ, lequel conférerait le droit de choisir librement son avocat d'office. Il serait insoutenable de lui imposer Me M._ comme avocate d'office, alors qu'"aucun motif objectif" ne s'oppose, au regard du droit cantonal sur l'assistance judiciaire, à ce que Me Y._ lui soit désigné. En particulier, il serait arbitraire d'invoquer à l'encontre de ce dernier une contravention au règlement sur l'assistance juridique, plus particulièrement à son art. 9 al. 4 et 5; selon le texte clair de cette disposition, seul lebénéficiairedel'assistancejuridique, etnonsonavocatd'office, auraitl'obligationd'aviserl'autoritécompétented'unemodificationdesasituationfinancière.
a) Le principe, l'étendue et les limites du droit à l'assistance judiciaire gratuite sont déterminés en premier lieu par les prescriptions du droit cantonal de procédure. Le Tribunal fédéral ne revoit l'application du droit cantonal que sous l'angle de l'arbitraire; il examine en revanche librement la question de savoir si le droit à l'assistance judiciaire, déduit directement de l'art. 4 Cst. , dans sa teneur en vigueur en 1999 (ci-après: art. 4 aCst. ), a été respecté (<ref-ruling> consid. 2 p. 2; <ref-ruling> consid. 2a p. 204 et la jurisprudence citée).
Une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou contredit de manière choquante le sentiment de la justice (<ref-ruling> consid. 3a p. 66/ 67; <ref-ruling> consid. 2a p. 131; <ref-ruling> consid. 3a p. 373). Arbitraire et violation de la loi ne sauraient être confondus; une violation doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner aux dispositions applicables; il doit uniquement dire si l'interprétation qui a été faite est défendable. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (<ref-ruling>70 consid. 2g p. 174; <ref-ruling> consid. 3a p. 67).
b) La recourante s'égare lorsqu'elle se plaint d'arbitraire dans l'interprétation de l'art. 9 al. 4 et 5 RAJ et remet en cause l'existence d'une violation du règlement sur l'assistance juridique. Il appartenait uniquement à Me Y._ - en tant que destinataire de la lettre du 25 mai 1999 - de contester le reproche formulé à son encontre par le Président de la Cour de justice. Il convient à cet égard de souligner qu'il est pour le moins surprenant que la recourante se prévale du contenu de ce courrier, alors même qu'elle reproche à l'autorité intimée de ne pas lui avoir transmis cette pièce (cf. supra, consid. 3). On peut même se demander si, dans le présent recours, son mandataire ne défend en réalité pas ses propres intérêts. Au demeurant, quand bien même devrait-on entrer en matière sur le grief, il faut relever que, si la disposition précitée ne semble viser que le bénéficiaire de l'assistance juridique, il n'apparaîtrait pas insoutenable de considérer que l'avocat d'office qui perçoit pour une cliente assistée une certaine somme doit en aviser le service compétent. Celle-là pourrait être non seulement susceptible de modifier le droit à l'assistance juridique du bénéficiaire, mais aussi le propre droit de l'avocat d'office à demander à l'Etat le paiement de ses honoraires.
Or, il découle implicitement du régime de l'assistance judiciaire que l'avocat d'office ne saurait requérir de l'Etat le paiement d'honoraires dont il sait qu'ils pourraient être assumés par la personne assistée. En définitive, la seule question litigieuse en l'espèce est celle de savoir si l'autorité intimée a grossièrement violé le droit cantonal, en l'occurrence l'art. 16 RAJ, en écartant l'avocat de choix.
c) Selon cette disposition, l'avocat choisi par le requérant lui est en règle générale nommé (al. 1); un autre avocat peut être désigné d'office, notamment lorsque l'avocat choisi n'a, précédemment, pas respecté le règlement sur l'assistance juridique (al. 2). Comme on vient de le voir, il est établi que Me Y._ a violé ce dernier "dans une précédente affaire". Au regard du texte légal, la Présidente de la
Cour de justice civile pouvait, sans arbitraire, considérer que l'exception posée à l'art. 16 al. 2 RAJ était remplie. En effet, contrairement à ce qu'il a soutenu dans une affaire identique (5P. 382/1999), le mandataire de la recourante ne démontre nullement (art. 90 al. 1 let. b OJ) que cette disposition devrait être interprétée de façon restrictive, sous peine de réduire à néant le principe du libre choix de l'avocat d'office prévu à l'art. 16 al. 1 RAJ. En particulier, il ne soutient pas que cet unique manquement ne suffisait pas à écarter l'avocat de choix, argument qui en soi aurait été fondé. L'autorité cantonale doit en effet avoir de bonnes raisons de penser, sur la base d'expériences passées, que l'avocat choisi pourrait à nouveau ne pas respecter les obligations que lui impose le règlement (cf. sur l'interprétation de l'art. 15 aRAJ, dont la teneur ne diffère pas sensiblement de celle de l'art. 16 RAJ: arrêt 1P.565/1988, Ordre des avocats de Genève et François Brunschwig c./ Conseil d'Etat du canton de Genève, consid. 3). Quoiqu'il en soit, quand bien même la cour de céans aurait discuté ce grief, elle l'aurait rejeté - dans le cadre d'un examen limité à l'arbitraire - compte tenu des autres éléments qui résultent de la lettre du 29 mai 1999 du Président de la Cour de justice - document que la recourante ne méconnaît pas (cf. supra, consid. 3 et 4b) - et du pouvoir d'appréciation qu'il faut reconnaître à la Présidente de la Cour de justice en la matière. Dans ces conditions, la décision attaquée ne saurait être taxée d'arbitraire sous l'angle du droit cantonal sur l'assistance juridique.
5.- La recourante soutient aussi que l'autorité cantonale ne pouvait, sans violer l'art. 4 aCst. , refuser de nommer l'avocat choisi en raison du rapport de confiance qui s'est instauré entre eux et des mauvaises relations qu'elle entretiendrait avec l'avocate commise d'office.
a) Selon la jurisprudence, l'autorité chargée de désigner un défenseur d'office ne peut arbitrairement refuser de tenir compte dans la mesure du possible des voeux du justiciable quant à la personne du défenseur. Toutefois, vu la diversité des situations qui peuvent se présenter, l'art. 4aCst. n'accordepasauplaideurundroitinconditionnelauchoixdesondéfenseurd'office(ATF125I161consid. 3b p. 164 et les arrêts cités). Le Tribunal fédéral se limite donc à examiner si l'autorité cantonale est tombée dans l'arbitraire en abusant de la liberté d'appréciation dont elle jouit lorsqu'elle nomme un avocat d'office. Tel peut être le cas si la désignation d'un avocat apparaît objectivement préjudiciable à l'exercice des droits du justiciable, soit en raison des relations personnelles de celui-ci avec la personne désignée, soit en raison de la nature particulière de l'affaire.
b) Dans le cas présent, il est reproché à Me Y._ une violation du règlement sur l'assistance juridique. L'autorité cantonale n'a donc pas refusé sans un motif sérieux et objectif la désignation de cet avocat. Si on ne saurait, au nom de la liberté de choix (cf. supra, consid. 4), imposer à l'autorité cantonale de désigner un avocat qui a manqué à ses obligations réglementaires, on saurait d'autant moins le faire sous l'angle de l'art. 4 aCst. , qui ne confère pas un droit inconditionnel au choix de l'avocat d'office, et dans le cadre duquel l'autorité dispose d'un large pouvoir d'appréciation.
Quand bien même un tel manquement ferait défaut, l'argumentation de la recourante ne suffirait pas à démontrer l'existence d'une situation comparable aux hypothèses susmentionnées (cf. supra, consid. 5a in fine). Il ne ressort en effet pas de la décision attaquée que l'avocate désignée ne pourrait exercer son mandat d'office en raison de conflits d'intérêts, d'incompatibilitéoud'unautremotif(cf. ATF114Ia101; arrêtdu21février1986publiéàlaSJ1986, p.349). Iln'estenparticulierpasétabliqueladéfensedesintérêtsdelarecouranteimposeraitladésignationde Me Y._ en raison de la nature particulière de l'affaire - Me M._ parle le danois - ou serait mise en péril du fait des relations personnelles entre l'assistée et l'avocate commise d'office. A cet égard, on ne saurait tenir compte des explications de la recourante concernant les raisons personnelles qui l'ont poussée à ne pas demander la désignation de Me M._, dès lors qu'elle a omis de les exposer devant l'instance cantonale; on ne saurait mener un raisonnement juridique sur la base d'un état de fait qui n'a pas été soumis à l'autorité intimée (cf. <ref-ruling>). Au vu de la réponse de Me M._, on peut même se demander s'il existe un réel conflit entre celle-ci et l'assistée ou s'il ne s'agit pas plutôt d'une querelle entre confrères. Si la recourante semble avoir accordé sa confiance à Me Y._, aucune circonstance objective ne laisse penser qu'elle ne pourrait pas la placer en Me M._. Au demeurant, si la relation de confiance doit en principe être recherchée, l'art. 4 aCst. ne donne pas à l'assisté le droit de refuser l'avocat désigné, parce qu'il n'aurait, pour des raisons purement subjectives, pas confiance en lui (cf. <ref-ruling> consid. 1d p. 302), ce d'autant plus lorsque le mandataire choisi n'a, comme en l'espèce, pas respecté ses obligations réglementaires. Dans ces conditions, le recours est aussi mal fondé au regard de l'art. 4 aCst.
6.-Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Comme il était d'emblée dénué de toute chance de succès, la demande d'assistance judiciaire de la recourante doit être rejetée (art. 152 OJ). Cela étant, cette dernière supportera les frais de la procédure (art. 156 al. 1 OJ). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'autorité intimée (art. 159 al. 2 OJ), ni à Me M._ qui n'est qu'un tiers intéressé à la procédure.

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable.
2. Rejette la demande d'assistance judiciaire de la recourante.
3. Met un émolument judiciaire de 1'500 fr. à la charge de la recourante.
4. Communique le présent arrêt en copie au mandataire de la recourante, à la Présidente de la Cour de justice civile du canton de Genève et à Me M._.
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Lausanne, le 13 janvier 2000
BRU/mnv
Au nom de la IIe Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président,
La Greffière,