Sachverhalt:
A.
Gestützt auf ein rechtskräftiges Scheidungsurteil will B.A._ bei ihrem früheren Ehemann A.A._ Unterhaltsbeiträge für die beiden Söhne C.A._ (geb. 1997) und D.A._ (geb. 2000) eintreiben. Am 19. Oktober 2009 beschloss die Gemeinde U._, B.A._ für die Einforderung der Kinderalimente ab 1. Oktober 2009 Inkassohilfe zu gewähren. Hierauf unterzeichnete B.A._ eine als "Vollmacht" bezeichnete und auf den 5. November 2009 datierte Urkunde. Sie erteilt der Alimenteninkassostelle Aargau darin "Auftrag und Vollmacht" für das Inkasso der erwähnten Alimente und ermächtigt die Inkassostelle, "das gesamte Inkasso durchzuführen". Der Urkunde zufolge erstreckt sich die Vollmacht auch auf die "Vertretung vor allen behördlichen und gerichtlichen Instanzen".
B.
Am 3. März 2015 erliess das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, in der Betreibung Nr. vvv gegen A.A._ den Zahlungsbefehl über Fr. 9'860.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 6. Februar 2015. Nachdem der Betriebene Rechtsvorschlag erhoben hatte, wandte sich B.A._, vertreten durch das Alimenteninkasso Aargau, mit einem Rechtsöffnungsgesuch an das Regionalgericht Bern-Mittelland. Mit Entscheid vom 1. Mai 2015 entsprach dieses dem Gesuch im Umfang von Fr. 9'848.-- nebst Zins zu 5 % seit 6. Februar 2015. Erfolglos wehrte sich A.A._ dagegen vor dem Obergericht des Kantons Bern. Dieses wies seine Beschwerde mit Entscheid vom 12. Juni 2015 ab.
C.
Mit Eingabe vom 8. Juli 2015 (Datum der Postaufgabe) wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt den Antrag, den Entscheid des Regionalgerichts vom 1. Mai 2015 bzw. denjenigen des Obergerichts vom 12. Juni 2015 "vollumfänglich aufzuheben und neu zu beurteilen". Aufgrund des hängigen Abänderungsverfahrens am Bezirksgericht V._, sei die Vollstreckung im Sinne von <ref-law> bis zum Vorliegen eines revidierten, rechtsgültigen Urteils aufzuschieben. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer für das hiesige Verfahren um das Armenrecht. Mit Verfügung vom 3. August 2015 erteilte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die rechtzeitig eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 Bst. a, 75, 90 und 100 BGG). Die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist nicht erreicht. Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG), macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Das Bundesgericht kann die Eingabe also nicht als Beschwerde in Zivilsachen, sondern nur als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegennehmen (<ref-law>).
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer muss in seiner Eingabe präzise angeben, welche verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sind, und im Einzelnen substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Eine Überprüfung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Gesetzes- und Verordnungsrechts des Bundes zusteht (<ref-law>), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist. Es prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 399 f.). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.).
3.
"Unschön" findet der Beschwerdeführer in formeller Hinsicht den Umstand, dass sowohl im obergerichtlichen Verfahren ZK www, das hier in Frage steht, als auch in den weiteren Verfahren ZK xxx, ZK yyy und ZK zzz "praktisch" dieselben Richter die Entscheide gefällt haben. Der Beschwerdeführer hat diese Richter im Verdacht, "ein bestimmtes subjektives Verhalten an den Tag gelegt" zu haben. Sie hätten "nicht neutral verfügen" können, was Art. 6 EMRK widerspreche.
Gewiss ist in Art. 6 Ziff. 1 EMRK jeder Person das Recht darauf verheissen, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen von einem unabhängigen und unparteiischen Gericht verhandelt wird. Hier begnügt sich der Beschwerdeführer aber mit blossen Mutmassungen. Die Gerichtspersonen, auf die sich sein Argwohn bezieht, will er nicht beim Namen nennen. Auch das "subjektive Verhalten", das er diesen Richtern vorwirft, vermag er nicht näher zu erklären. Mit derart schemenhaften Vorbringen lässt sich eine Verfassungsrüge nicht begründen. Im Übrigen stellt die blosse Tatsache, dass ein Richter oder ein Richtergremium in einem früheren Entscheid in anderer Sache zu Gunsten der Gegenpartei entschieden hat, noch keinen Ausstandsgrund dar (Urteil 1P.655/2000 vom 23. Februar 2001 E. 2b).
4.
Weiter meint der Beschwerdeführer, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 11. Oktober 2004, der als Rechtsöffnungstitel geltend gemacht werde, sei durch eine "separate Schuldanerkennung über den Gesamtbetrag von Fr. 248'261.55" ersetzt worden, die er mit der Alimenteninkassostelle des Kantons Aargau "vertraglich vereinbart" habe. Der Beschwerdeführer beteuert, er habe ein berechtigtes Interesse daran, ein Doppel dieser Schuldanerkennung zu erhalten. Zu Unrecht hätten die Vorinstanzen seinem Antrag auf Edition der Urkunde bei der Inkassostelle nicht stattgegeben. Damit hätten sie seinen verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law> und Art. 6 EMRK) verletzt.
Dem angefochtenen Entscheid zufolge muss im Verfahren der definitiven Rechtsöffnung der Schuldner selbst die Urkunden beibringen, mit denen er die Tilgung oder Stundung beweisen will. Der Antrag auf Beizug von Akten anderer Behörden oder Dritter genüge deshalb nicht. Inwiefern sich diese Beurteilung mit den zitierten Verfassungsnormen nicht verträgt, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Wie er selbst richtig festhält, folgt aus <ref-law> das Recht eines jeden, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zur Sache zu äussern (<ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 2 S. 242). Dass er sich vor erster Instanz nicht zum Rechtsöffnungsgesuch hätte äussern können, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich, nahm er doch dort mit Eingabe vom 7. April 2015 Stellung. Im Übrigen behauptet der Beschwerdeführer nicht, dass ihm aus Art. 6 EMRK Rechte erwachsen, die über <ref-law> hinausgehen. Und schliesslich übersieht der Beschwerdeführer, dass die Beschwerdegegnerin als Rechtsöffnungstitel nicht den von ihm erwähnten Entscheid vom 11. Oktober 2004 vorgelegt hat, sondern das Urteil des Bezirksgerichts Baden vom 22. Februar 2007.
5.
In der Sache argumentiert der Beschwerdeführer, dass die neue Berechnung und Schuldanerkennung über Fr. 152'982.--, die eine gewisse Frau E._ am 3. Oktober 2014 erstellt haben soll, aufgrund der (falschen) Neuberechnung der indexierten Unterhaltsbeiträge gemäss Erwägung 4 des Entscheids des Regionalgerichts vom 1. Mai 2015 (s. Sachverhalt Bst. B) falsch und die Schuldanerkennung somit "nichtig und gegenstandslos" sei, da sie "ohnehin doppelt" und für den erwähnten Betrag von total Fr. 248'261.55 (E. 4) "geregelt wurde".
Soweit der Beschwerdeführer mit seinen wenig kohärenten Ausführungen den Entscheid des Regionalgerichts in Frage stellt, übersieht er, dass Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht nur der Entscheid der letzten kantonalen Instanz sein kann (<ref-law>). Inwiefern der Entscheid des Obergerichts vom 12. Juni 2015 in diesem Zusammenhang Grund zur Beanstandung gibt, lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen. Abgesehen davon übersieht der Beschwerdeführer, dass der Streit um die Rechtsöffnung rein vollstreckungsrechtlicher Natur ist. Wie schon die Vorinstanz zutreffend klarstellt, prüft der Richter einzig, ob die in Betreibung gesetzte Forderung auf einem vollstreckbaren Urteil beruht. Die materiellrechtliche Frage, was es mit dem Schuldverhältnis zwischen Schuldner und Gläubiger auf sich hat, ist nicht Gegenstand der richterlichen Beurteilung (Urteil 5D_213/2013 vom 23. Januar 2014 E. 1.3; vgl. sinngemäss <ref-ruling> E. 1.2 S. 472).
6.
Der Beschwerdeführer bezeichnet den Gerichtsentscheid als willkürlich, da sowohl der Beschwerdegegnerin als auch der Vorinstanz "unmissverständlich bekannt" sei, dass er weder über neues Vermögen noch über Einkommen verfügt. Auch die Alimenteninkassostelle des Kantons Aargau sei über diese Situation im Bilde. Weil das ihm angerechnete fiktive Einkommen und die verfügte Anpassung an die Teuerung nie im Einklang mit den effektiven Verhältnissen gestanden hätten, habe er beim Bezirksgericht V._ rückwirkend per 1. März 2007 auch eine Anpassung beantragt. Nach der Rechtsprechung müsse er von seinem Einkommen nur abgeben, was über seinem Existenzminimum liegt. Dass er in den letzten Jahren über keine solchen Überschüsse verfügen konnte, sei aus den Bestätigungen der Ausgleichskasse und des Steueramts des Kantons Bern ersichtlich, weshalb der Entscheid des Regionalgerichts vom 1. Mai 2015 "willkürlich und nichtig" sei.
Wiederum will der Beschwerdeführer den erstinstanzlichen Entscheid nicht gelten lassen, ohne sich zum Entscheid des Obergerichts zu äussern, der allein vor Bundesgericht angefochten ist. Darauf ist nicht einzutreten (E. 5). Im Übrigen steht den Vorbringen des Beschwerdeführers die vorinstanzliche Erkenntnis gegenüber, wonach im Rahmen der definitiven Rechtsöffnung die finanziellen Möglichkeiten des Schuldners nicht zu prüfen sind und erst im weiteren Verfahren, insbesondere im Rahmen der Pfändung abzuklären sein wird, ob zur Deckung der Schuld genügend Vermögenswerte vorhanden sind. Mit dieser Einschätzung der Rechtslage setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Inwiefern das Obergericht das Schuldbetreibungsrecht in verfassungswidriger Weise angewendet hat, tut er nicht dar und ist auch nicht ersichtlich: Im Verfahren der Rechtsöffnung befindet der Richter lediglich über die Beseitigung des Rechtsvorschlags (s. Randtitel zu <ref-law>; vgl. Urteil 5D_72/2015 vom 13. August 2015 E. 3).
7.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die im Gesuchsverfahren betreffend die aufschiebende Wirkung mit ihrem Antrag unterlag und sich in der Sache nicht zu äussern hatte, ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn