Sachverhalt:
A. In der von Y._ gegen die X._ GmbH angehobenen Betreibung Nr. 20608360 des Betreibungs- und Konkursamtes Bern-Mittelland, Dienststelle Konolfingen, erteilte der Gerichtspräsident 3 des Gerichtskreises VII Konolfingen am 5. März 2007 die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 6'425.- zuzüglich Zinsen. Am 7. Mai 2007 vollzog das Betreibungsamt bei der X._ GmbH die Pfändung des Personenwagens "Honda CR-V". Nach Ablauf der Teilnahmefrist erstellte es am 2. Juli 2007 für die Pfändungsgruppe Nr. 20701028 die Pfändungsurkunde und stellte sie gleichentags der Schuldnerin und den Gläubigern der Gruppe zu. Dagegen wurde keine Beschwerde eingereicht. Nach Eingang des Verwertungsbegehrens erteilte das Betreibungsamt dem Weibel am 23. Oktober 2007 den Wegnahmeauftrag für den gepfändeten Personenwagen, worauf die X._ GmbH am 30. Oktober 2007 daran den Kompetenzanspruch anmeldete. Mit Verfügung vom 13. November 2007 verneinte das Betreibungsamt den Kompetenzanspruch. Das Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, trat auf die dagegen erhobene Beschwerde der X._ GmbH mit Entscheid vom 22. Dezember 2007 nicht ein. Zudem wies es das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab.
B. Die X._ GmbH (nachfolgend: Beschwerdeführerin) ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. Januar 2008 an das Bundesgericht gelangt. Sie verlangt im Wesentlichen die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und die Anerkennung des Kompetenzanspruchs am gepfändeten Personenwagen.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wurde am 28. Januar 2008 abgewiesen.
Mit Verfügung vom 18. Februar 2008 gewährte das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung in dem Sinne, dass der gepfändete Personenwagen während des bundesgerichtlichen Verfahrens nicht verwertet werden darf.
Das Betreibungsamt beantragt die Beschwerde abzuweisen, allenfalls sei darauf nicht einzutreten. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden über Verfügungen der Vollstreckungsorgane gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Sie ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (<ref-law>). Auf die fristgerecht erhobene Beschwerde ist demnach einzutreten (<ref-law>).
1.2 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Auf die Vorbringen der Beschwerdeführerin ist nur soweit einzutreten, als sie den Begründungsanforderungen genügen. Die Beschwerde nach <ref-law> hat nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3). Auch Verfassungsrügen sind in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>).
1.3 Gegenstand des Verfahrens bildet einzig die Frage, ob der Kompetenzanspruch am gepfändeten Fahrzeug rechtzeitig geltend gemacht worden ist. Nicht einzugehen ist daher auf die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur Höhe der in Betreibung gesetzten Unterhaltsverpflichtung, zur unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit ihres Gesellschafters sowie zu der gegen sie angeordneten und bereits wieder zurückgezogenen Lohnpfändung. Ebenfalls nicht zu berücksichtigen sind die neuen Vorbringen und Belege (<ref-law>).
2. Nach Ansicht der Vorinstanz bestätigt die Verfügung des Betreibungsamtes vom 13. November 2007 bloss die zuvor in Rechtskraft getretene Pfändung des Personenwagens und eröffnet dessen Eigentümerin keine erneute Beschwerdemöglichkeit. Die Beschwerde gegen die am 7. Mai 2007 vorgenommene Pfändung erweise sich damit als verspätet, da die Pfändungsurkunde bereits am 2. Juli 2007 zugestellt worden sei.
3. Die Beschwerdeführerin stellt zu Recht nicht in Frage, dass sie den Kompetenzanspruch am Fahrzeug innert 10 Tagen nach Erhalt der Pfändungsurkunde hätte anmelden müssen und ein Zuwarten bis zum Verwertungsbegehren nicht zulässig ist (Pierre-Robert Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, N. 237 und 238 zu <ref-law>; Georges Vonder Mühll, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Hrsg. Staehelin/Bauer/Staehelin, Basel 1998, N. 64 zu <ref-law>; Jaeger/Walder/Kull, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 5. Aufl., N. 20 zu <ref-law>). Hingegen behauptet sie erstmals vor Bundesgericht, die Pfändungsurkunde vom 2. Juli 2007 nie gesehen zu haben. Diese sei weder ihr noch ihrer Anwältin zugestellt oder zur Kenntnis gebracht worden. Weshalb sie diesen Umstand nicht bereits im kantonalen Verfahren erwähnt hat, sondern sich erst durch den angefochtenen Entscheid dazu veranlasst sah (<ref-law>), legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Zudem widerspricht sie bloss der vorinstanzlichen Feststellung, dass die Pfändungsurkunde am 2. Juli 2007 zugestellt worden war. Solche Vorbringen genügen den Begründungsanforderungen an eine Beschwerde in keinem Fall, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Schliesslich ergibt sich aus der Beschwerdeantwort des Betreibungsamtes samt beigelegtem Verzeichnis der eingeschriebenen Sendungen vom 2. Juli 2007, dass die Zustellung der Pfändungsurkunde vom 7. Mai 2007 am genannten Datum an die Beschwerdeführerin erfolgt ist. Da die Sendung von der Beschwerdeführerin nicht abgeholt worden sei, habe eine Zustellung mit einfacher Post vorgenommen werden müssen. Ein anwaltliches Vertretungsverhältnis sei dem Betreibungsamt nicht mitgeteilt worden und ergebe sich weder aus dem Rechtsöffnungs- noch aus dem Pfändungsverfahren. Die Beschwerdeführerin hat sich zu diesen Ausführungen nicht vernehmen lassen.
4. Zwar verlangt die Beschwerdeführerin, den angefochtenen Entscheid insgesamt aufzuheben. Soweit ihr dadurch die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren verweigert worden ist, erhebt sie keine konkrete Rüge. Damit ist auf die Beschwerde in diesem Punkt nicht einzutreten.
5. Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht eingetreten werden. Ausgangsgemäss trägt die Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. März 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett