Sachverhalt:
A.
Der am 13. Oktober 1946 geborene R._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Am 3. Oktober 2011 (Eingang: 7. Dezember 2011) meldete er sich bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) für eine "Altersrente für Personen mit Wohnsitz ausserhalb der Schweiz" an. Am 21. Dezember 2011 verneinte die SAK verfügungsweise einen entsprechenden Anspruch, da das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde. Indes könnten die AHV-Beiträge auf Gesuch hin zurückvergütet werden. Daran hielt die SAK mit Einspracheentscheid vom 27. August 2012 fest.
B.
Das Bundesverwaltungsgericht hiess die dagegen eingereichte Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid der SAK vom 27. August 2012 auf und sprach R._ ab 1. November 2011 eine monatliche AHV-Rente in der Höhe von Fr. 580.- zu (Entscheid vom 21. November 2012).
C.
Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 21. November 2012 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 27. August 2012 zu bestätigen.
R._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) stellt Antrag auf Gutheissung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist - wozu auch Unvollständigkeit gehört (Urteil 9C_395/2009 vom 16. März 2010 E. 2.4) - oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Gemäss Art. 18 AHVG in der hier massgebenden, bis Ende 2011 gültigen Fassung haben Schweizer Bürger, Ausländer und Staatenlose Anspruch auf Alters- und Hinterlassenenrenten (Abs. 1). Ausländer sowie ihre Hinterlassenen ohne Schweizer Bürgerrecht sind nur rentenberechtigt, solange sie ihren Wohnsitz und gewöhnlichen Aufenthalt (Art. 13 ATSG) in der Schweiz haben. Dieses Erfordernis ist von jeder Person, für die eine Rente ausgerichtet wird, einzeln zu erfüllen. Vorbehalten bleiben die besonderen bundesrechtlichen Vorschriften über die Rechtsstellung der Flüchtlinge und der Staatenlosen sowie abweichende zwischenstaatliche Vereinbarungen, insbesondere mit Staaten, deren Gesetzgebung den Schweizer Bürgern und ihren Hinterlassenen Vorteile bietet, die denjenigen dieses Gesetzes ungefähr gleichwertig sind (Abs. 2). Den Ausländern, die ihren Wohnsitz im Ausland haben und mit deren Heimatstaat keine zwischenstaatliche Vereinbarung besteht, sowie ihren Hinterlassenen können die gemäss den Artikeln 5, 6, 8, 10 oder 13 bezahlten Beiträge rückvergütet werden. Der Bundesrat regelt die Einzelheiten, insbesondere das Ausmass der Rückvergütung (Abs. 3).
Bei Personen, die mehrere sich ablösende Staatsangehörigkeiten besessen haben, ist für die Rentenberechtigung die Staatsangehörigkeit während des Rentenbezugs massgebend. Diese Regelung findet sich neu in Art. 18 Abs. 2 bis AHVG, der am 1. Januar 2012 in Kraft getreten ist (AS 2011 4748).
3.
Wie das Bundesgericht im Grundsatzurteil 9C_662/2012 vom 19. Juni 2013, das demnächst in der Amtlichen Sammlung publiziert wird, entschieden hat, ist das Abkommen vom 8. Juni 1962 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der ehemaligen (Sozialistischen) Föderativen Volksrepublik Jugoslawien über Sozialversicherung (nachfolgend: Sozialversicherungsabkommen; SR 0.831.109.818.1) ab 1. April 2010 nicht weiter auf kosovarische Staatsangehörige anzuwenden. Dem Urteil lag der Fall eines 1977 geborenen kosovarischen Staatsangehörigen mit Wohnsitz in Kosovo zu Grunde, dessen Gesuch auf Rückvergütung der AHV-Beiträge das Bundesverwaltungsgericht unter Hinweis auf die Weiteranwendung des Sozialversicherungsabkommens abgewiesen hatte.
Die bundesgerichtliche Rechtsprechung lässt sich ohne weiteres auf den hier zu beurteilenden Fall übertragen:
3.1. Der Beschwerdegegner hat in seiner Anmeldung für eine Altersrente auf die Frage nach den "Staatsangehörigkeit (en) " ausschliesslich "Kosovar" angegeben. Erst im Einspracheverfahren machte er - gestützt auf den Entscheid C-4828/2010 des Bundesverwaltungsgerichts vom 7. März 2011 - erstmals geltend, kosovarisch-serbischer Doppelbürger zu sein. Indes hat das Bundesgericht einen Automatismus oder den Grundsatz, dass Personen aus dem Kosovo neben der Staatsangehörigkeit des Kosovos auch die serbische Staatsangehörigkeit besitzen, wie er im erwähnten Entscheid C-4828/2010 vertreten wird, verneint (Urteil 9C_662/2012 E. 12.2). Die Geburtsurkunde (in Kopie), ausgestellt am 21. Mai 1971, der Fahrausweis (in Kopie), ausgestellt am 22. Februar 1989, und die Identitätskarte (in Kopie), ausgestellt am 20. Februar 1989, sind Belege, die allesamt aus der Zeit des Bestehens der Föderativen Volksrepublik Jugoslawien, mithin aus der Zeit vor der Neuordnung (Ost-) Europas anfangs der 90er-Jahre stammen (vgl. Urteil 9C_662/2012 E. 5.1 und E. 11). Sie sind nicht geeignet, die Staatsangehörigkeit der Republik Serbien nachzuweisen (vgl. auch Mitteilungen des BSV an die AHV-Ausgleichskassen und EL-Durchführungsstellen Nr. 326 vom 20. Februar 2013). Nichts anderes gilt in Bezug auf die offenbar aus dem Pass kopierten zwei Seiten, lässt sich damit mangels eines Ausstellungsdatums oder einer Gültigkeitsdauer eine aktuelle serbische Staatsangehörigkeit nicht erhärten. Soweit der Beschwerdegegner sich darauf beruft, in den Akten der SAK sei verzeichnet, dass er serbischer Bürger sei, so trifft dies wohl zu: Auf dem Aktenstück Nr. 13 (Berechnungsblatt aus ACOR, dem automatisierten Rentenberechnungsprogramm der Ausgleichskassen) findet sich unter "nationalité" der Eintrag "Serbien (248) ". Indes vermag er aus diesem Umstand nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Es darf nicht ausser Acht gelassen werden, dass die neue Schlüsselzahl für Kosovo - 256 -, die ab 1. Juni 2008 gemäss Verzeichnis "Schlüsselzahlen der Staaten" in den Dokumenten der Ausgleichskassen zu verwenden ist, im Versicherten- und Rentenregister nicht systematisch umgestellt wurde (vgl. Mitteilungen des BSV an die AHV-Ausgleichskassen und EL-Durchführungsstellen Nr. 225 vom 16. Mai 2008).
3.2. Was die zeitliche Geltung des Sozialversicherungsabkommens im Verhältnis zu Kosovo bis zum 31. März 2010 betrifft, so hielt das BSV in seinen Mitteilungen an die AHV-Ausgleichskassen und EL-Durchführungsstellen Nr. 265 vom 28. Januar 2010 fest, dass es auf bestehenden AHV-Leistungen einen Besitzstand gebe, während für die Zusprache von neuen AHV-Leistungen die Rechtsgrundlagen wie für Angehörige von Staaten, mit welchen die Schweiz kein Sozialversicherungsabkommen hat, gelten würden. Massgebend für die Zusprache einer Altersrente sei dabei der Eintritt des Versicherungsfalles, also das Erreichen des Rentenalters (Geburtstag).
Da bestehende Rechte und blosse Anwartschaften nichts Gleiches sind, kann von Rechtsungleichheit, auf welches Gebot sich der Beschwerdegegner beruft, keine Rede sein. Seiner Auffassung, dass auch Anwartschaften, die auf Grund des Sozialversicherungsabkommens erworben wurden, analog zu Art. 25 Abs. 2 des Sozialversicherungsabkommens im Sinne einer Lückenfüllung zu schützen seien, kann nicht gefolgt werden. Art. 25 Abs. 2 des Sozialversicherungsabkommens stipuliert wohl für den Fall der Kündigung, dass die gemäss seinen Bestimmungen erworbenen Rechte erhalten bleiben und die entsprechenden Anwartschaften durch Vereinbarung geregelt werden. Das Sozialversicherungsabkommen wurde im Verhältnis zu Kosovo jedoch nicht gekündigt. Vielmehr ist ein solches zwischen der Schweiz und dem Neustaat Kosovo nicht zustande gekommen (Urteil 9C_662/2012 E. 6.4). Für eine - auch nicht analoge - vertragsrechtliche Auslegung nach internationalem Recht verbleibt daher von vornherein kein Raum. Dies gilt umso mehr, als das Wiener Übereinkommen vom 23. Mai 1969 über das Recht der Verträge (Wiener Übereinkommen, VRK; SR 0.111) Fragen unberührt lässt, die sich hinsichtlich eines Vertrages aus der Nachfolge von Staaten ergeben können (Urteil 9C_662/2012 E. 4.2.2). Im Weiteren ist eine richterliche Lückenfüllung unzulässig, wenn der Gesetzgeber eine Rechtsfrage ausdrücklich oder stillschweigend beantwortet hat (<ref-ruling> E. 4.2 S. 3). So liegt es in der alleinigen Kompetenz des Bundesrates, Vertragsverhandlungen aufzunehmen und völkerrechtliche Verträge abzuschliessen (Urteil 9C_662/2012 E. 7.2), worunter auch eine Vereinbarungen nach Art. 25 Abs. 2 des Sozialversicherungsabkommens fällt, die übrigens nicht zwingend eine Vorteilsgewährung zum Inhalt haben muss. Indem der Bundesrat mit diplomatischer Note vom 18. Dezember 2009 an Kosovo einen Schlussstrich gezogen, sich für Neuverhandlungen ausgesprochen und keine weiteren Konzessionen über den 1. Januar 2010 hinaus - ausser des Hinausschiebens der konkreten Umsetzung der Nichtweiterführung auf den 31. März 2010 - gemacht hat, gab er unmissverständlich zum Ausdruck, keine weitergehenden Regelungen abschliessen zu wollen. Bereits am 29. Januar 2010 hatte denn auch das BSV im IV-Rundschreiben Nr. 290 über die Nichtweiteranwendung des Sozialversicherungsabkommens ab 1. April 2010 orientiert, wonach für alle bis zum 31. März 2010 noch hängigen, nicht verfügten Fälle die selben Rechtsgrundlagen gelten würden, wie für Staatsangehörige aus Nichtvertragsstaaten (Urteil 9C_662/2012 E. 6.2 und E. 6.3).
3.3. Das (Abgrenzungs-) Kriterium des Erreichens des Rentenalters (vgl. E. 3.2 Abs. 1 in fine) geniesst - in Bezug auf die Entstehung des Rentenanspruchs - Allgemeingültigkeit (Art. 21 AHVG). Soweit der Beschwerdegegner diesbezüglich eine Rechtsungleichheit erblickt, ist darauf aufmerksam zu machen, dass das Bundesgericht daran gebunden ist (Art. 190 BV). Eine andere Frage ist, auf welchen Zeitpunkt hinsichtlich des Rentenanspruchs von Ausländerinnen und Ausländern, deren Staatsbürgerschaft wie hier gewechselt hat (vgl. Urteil 9C_662/2012 E. 12.2), abzustellen ist. Art. 18 AHVG gibt darauf erst seit dem 1. Januar 2012 eine explizite Antwort (vgl. E. 2 vorne). Die neue Regelung bezweckt eine administrative Entlastung und die Vermeidung von Rechtsunsicherheiten (Botschaft zur Änderung des Bundesgesetzes über die Alters- und Hinterlassenenversicherung [AHVG] vom 3. Dezember 2010, BBl 2011 557). In Anbetracht dieser Zielsetzung und des Umstandes, dass Art. 18 Abs. 2 bis AHVG das geltende System nicht grundsätzlich ändert, sondern der Klärung des (vor allem) mit der Neuordnung in den Nachfolgerstaaten des "alten" Europas (vgl. E. 3.1 vorne) einhergehenden Rechtszustandes dient, kann dieser Zeitpunkt im Rahmen der Auslegung der bis Ende 2011 geltenden Fassung berücksichtigt werden (Urteil 5A_793/2011 vom 3. Februar 2012 E. 6.8.3 mit Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl. 2010, S. 78 Rz. 354a). Dazu kommt der allgemeine Grundsatz, wonach in zeitlicher Hinsicht regelmässig diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben. Dieser auch im vorliegenden Fall geltende Grundsatz führt (ebenfalls) zum Schluss, dass im Moment der Entstehung des Rentenanspruchs des Beschwerdegegners das Sozialversicherungsabkommen für ihn keine Gültigkeit mehr besass (zur Publikation vorgesehenes Urteil 8C_109/2013 vom 8. Juli 2013 E. 6.2). Demnach ist - entgegen der Ansicht des Beschwerdegegners - für die Rentenberechtigung nicht ausschlaggebend, dass die Versicherungszeiten unter Geltung des Sozialversicherungsabkommens zurückgelegt wurden. Der von ihm vertretene Lösungsansatz - Abstellen auf die Beitragszeit - ist ohnehin der Rechtsprechung zur AHV-Rentenberechtigung eines Doppelbürgers Vertragsstaat/Nichtvertragsstaat entliehen, wonach für die Begründung eines Anspruchs auf Leistungen der schweizerischen Alters- und Hinterlassenenversicherung genügt, dass der Versicherte während der Beitragszeit die Staatsangehörigkeit eines Staates, mit welchem die Schweiz ein Abkommen über Soziale Sicherheit getroffen hat, besessen hat (vgl. Urteil 9C_662/2012 E. 9.2). Eine solche Parallelisierung rechtfertigt sich aber schon deshalb nicht, weil sich die Konstellation einer Doppelbürgerschaft von derjenigen einer wechselnden (Mono-) Staatsbürgerschaft erheblich unterscheidet.
3.4. Zusammengefasst bleibt es dabei, dass der Beschwerdegegner über keinen Rechtstitel verfügt, der ihn zu einer AHV-Rente berechtigt. Die Rückvergütung der Beiträge ist vorbehalten. Der Anspruch verjährt mit dem Ablauf von fünf Jahren seit dem Versicherungsfall (Art. 7 der Verordnung über die Rückvergütung der von Ausländern an die Alters- und Hinterlassenenversicherung bezahlten Beiträge; RV-AHV; SR 831.131.12), wozu es sich entgegen dem Wortlaut um eine Verwirkungsfrist handelt (Urteil 9C_847/2008 vom 21. August 2009 E. 1 mit weiteren Hinweisen). Anzufügen ist die Möglichkeit, dass die Schweiz dereinst ein neues Sozialversicherungsabkommen mit Kosovo abschliesst.
4.
Bei dieser Sach- und Rechtslage erweist sich die Beschwerde der SAK als begründet. Entsprechend gehen die Gerichtskosten zu Lasten des Beschwerdegegners (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 21. November 2012 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Ausgleichskasse vom 27. August 2012 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. August 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Helfenstein