Faits:
A. Entre le 13 et le 27 avril 2006, A._ a commis trois excès de vitesse sur le territoire du canton de Genève. Par courrier du 10 octobre 2006 - expédié à l'adresse du prénommé à Genève, rue X._ - le Service des automobiles et de la navigation du canton de Genève (ci-après: le SAN) l'a invité à se déterminer à ce sujet. A._ a répondu par courrier du 18 octobre 2006, en mentionnant la même adresse.
Par décision du 27 octobre 2006, le SAN a ordonné le retrait du permis de conduire de A._ pour une durée d'un mois, en application de l'art. 16b de la loi fédérale sur la circulation routière (LCR; RS 741.01). Cette décision a elle aussi été expédiée à l'adresse précitée, par lettre recommandée. Elle a cependant été retournée au SAN, qui l'a alors renvoyée à A._ sous simple pli le 31 octobre 2006. Ce courrier lui ayant également été retourné le 6 novembre 2006, le SAN a procédé à une notification par publication dans la Feuille d'avis officielle du canton de Genève du 10 novembre 2006.
B. Lors d'un contrôle effectué le 5 février 2007, il a été constaté que A._ circulait au volant d'une voiture alors qu'il faisait l'objet du retrait de permis susmentionné. Par décision du 5 avril 2007, le SAN a ordonné le retrait du permis de conduire de l'intéressé pour une durée de six mois en application de l'<ref-law>. Cette décision a été envoyée à la nouvelle adresse communiquée par le prénommé: chemin Y._, à Plan-les-Ouates (GE).
C. A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif). Il concluait à son annulation ainsi qu'à la "notification formelle" de la décision du 27 octobre 2006. Par arrêt du 27 novembre 2007, le Tribunal administratif a rejeté le recours, considérant en substance que le retrait de permis du 27 octobre 2006 avait été valablement notifié par publication dans la Feuille d'avis officielle.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, d'annuler la décision du SAN du 5 avril 2007 et de renvoyer la cause au Tribunal administratif afin qu'il examine les griefs présentés contre la décision du SAN du 27 octobre 2006. Il se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.), d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et du principe de la proportionnalité. Il se prévaut également d'une violation de l'<ref-law> et de l'art. 46 al. 4 de la loi cantonale sur la procédure administrative (LPA; RS/GE E 5 10). Il requiert en outre l'octroi de l'effet suspensif. Le Tribunal administratif se réfère à l'arrêt attaqué. Le SAN n'a pas présenté d'observations. L'Office fédéral des routes conclut au rejet du recours. Ces déterminations ont été communiquées à A._.
E. Par ordonnance du 18 février 2008, le Juge présidant la Ire Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public, au sens des <ref-law>, est en principe ouverte contre les décisions prises en dernière instance cantonale au sujet de mesures administratives de retrait du permis de conduire. Le recourant est particulièrement atteint par la décision attaquée - qui confirme le retrait de son permis de conduire pour une durée de six mois - et il a un intérêt digne de protection à son annulation; il a donc la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 let. a et b LTF. Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Le recourant reproche au Tribunal administratif d'avoir violé l'<ref-law> en considérant que la décision de retrait de permis du 27 octobre 2006 avait été valablement notifiée.
2.1 En matière de retrait du permis de conduire, la procédure de première instance est de la compétence des cantons, sous réserve des exigences minimales prévues par l'<ref-law> (André Bussy/ Baptiste Rusconi, Code suisse de la circulation routière, 3e éd., Lausanne 1996, n. 2.1 ad <ref-law>). L'<ref-law> prévoit que le retrait d'un permis de conduire doit être notifié par écrit, avec indication des motifs. Selon la jurisprudence, celui qui, pendant une procédure, omet de prendre les dispositions nécessaires pour que les envois postaux lui soient transmis ne peut se prévaloir de son absence lors de la tentative de notification d'une communication officielle à son adresse habituelle, s'il devait s'attendre, avec une certaine vraisemblance, à recevoir une telle communication (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.3 p. 399 et les arrêts cités).
2.2 Le recourant prétend qu'au moment des tentatives d'envoi du premier retrait de permis par le SAN - soit les 27 et 31 octobre 2006 - il ne disposait d'aucune boîte aux lettres à l'adresse rue X._, où il aurait été domicilié "sans le vouloir" par l'Office cantonal de la population. On voit mal comment il peut soutenir une telle thèse de bonne foi, dans la mesure où il a bien reçu à cette adresse le courrier du SAN du 10 octobre 2006 et dès lors qu'il y a répondu le 18 octobre 2006, en mentionnant également cette adresse. Pour les mêmes raisons, le recourant est particulièrement malvenu de reprocher au SAN de n'avoir pas tenté de nouveaux envois aux deux autres adresses dont ce service aurait prétendument eu connaissance. Dès lors que l'intéressé savait pertinemment qu'une décision allait lui être envoyée à l'adresse qu'il avait lui-même donnée quelques jours auparavant, il lui appartenait de prendre les dispositions utiles pour la réceptionner.
Dans son courrier du 10 octobre 2006, le SAN a informé le recourant du fait qu'une mesure administrative telle qu'un retrait de permis était envisagée à son encontre. L'intéressé a répondu à ce courrier mais il a ensuite omis de retirer les courriers du SAN et évité de s'informer sur le sort de la cause. Or, celui qui rend plus difficile la notification d'une décision prévisible doit en assumer les conséquences et s'accommoder d'une présomption de notification ou d'une notification par la voie édictale. Dans le cas d'espèce, la voie de la publication dans la Feuille d'avis officielle était justifiée; vu le comportement du destinataire, il s'agissait même du seul moyen permettant la notification. En procédant de la sorte, le SAN n'a donc aucunement violé l'<ref-law>.
2.3 Le recourant se plaint en outre d'une violation de l'art. 46 al. 4 LPA/GE, aux termes duquel la notification a lieu par publication lorsque l'adresse du destinataire est inconnue. Ce grief est irrecevable, dès lors que la violation du droit cantonal ne fait pas partie des motifs invocables devant le Tribunal fédéral, sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF. Au demeurant, même si l'on considérait que le recourant entendait se plaindre d'une application arbitraire de l'art. 46 al. 4 LPA/GE, ce moyen aurait dû être rejeté. En effet, contrairement à ce que le recourant allègue, il n'est aucunement démontré que son adresse réelle était connue du SAN. On ignore du reste à quelle adresse l'intéressé se réfère, puisqu'il mentionne lui-même deux autres adresses (chemin Y._ à Plan-les-Ouates et rue Z._ à Genève). On ne saurait exiger de l'autorité qu'elle recherche toutes les adresses possibles d'un administré qui entretient une certaine confusion à cet égard. En envoyant la décision à l'adresse donnée par le recourant - qui avait bien reçu un précédent courrier à cette même adresse quelques jours plus tôt - d'abord par recommandé, puis par courrier A, avant de procéder à la notification par voie édictale, le SAN n'a pas appliqué de manière manifestement insoutenable la disposition cantonale précitée.
3. Dans un moyen présenté "à titre subsidiaire", le recourant se plaint d'arbitraire. Les arguments présentés sommairement à l'appui de ce grief se confondent avec la question examinée au considérant précédent. Au demeurant, les exigences minimales de motivation découlant des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF ne sont pas respectées, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'entrer en matière (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254 et les références).
4. Enfin, le recourant se plaint d'une violation du principe de la proportionnalité, au motif que la durée du retrait de permis (six mois) "aurait des conséquences pénibles" pour l'exercice de sa profession de photographe. En plus d'être insuffisamment motivé, ce grief se heurte à l'<ref-law>, selon lequel la conduite d'un véhicule sous le coup d'un retrait de permis est une infraction grave (al. 1 let. f), passible d'un retrait de six mois au minimum si, au cours des cinq années précédentes, le permis a été retiré une fois en raison d'une infraction moyennement grave (al. 2 let. b). Le recourant ne conteste pas la qualification d'infraction moyennement grave pour les trois excès de vitesse ayant fait l'objet du premier retrait et il ne critique pas l'application de l'<ref-law> par l'autorité intimée. Au demeurant, par son comportement il a délibérément pris le risque de conduire sous le coup d'un retrait de permis, alors qu'il avait été informé du fait que le SAN envisageait une telle mesure.
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Service des automobiles et de la navigation et au Tribunal administratif du canton de Genève ainsi qu'à l'Office fédéral des routes, Division circulation routière.
Lausanne, le 31 mars 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener