Erwägungen:
1. X._, geboren 1989, nach eigenen Angaben irakischer Staatsangehöriger, stellte im Juni 2007 nach illegaler Einreise ein Asylgesuch. Das Bundesamt für Migration trat mit Verfügung vom 23. Januar 2009 auf das Asylgesuch nicht ein (falsche Angaben zu Herkunft, gefälschte Identitätspapiere, keine entschuldbaren Gründe für das Nichtvorlegen von Identitätspapieren) und verfügte die Wegweisung. Das Bundesverwaltungsgericht wies die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde mit Urteil vom 5. Februar 2009 ab. Am 20. Februar 2009 reichte X._ beim Bundesverwaltungsgericht ein Gesuch um Gewährung von Asyl, eventuell vorläufige Aufnahme ein; gleichentags ersuchte er das Kantonale Ausländeramt St. Gallen um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Das Bundesverwaltungsgericht behandelte die bei ihm eingereichte Eingabe als Revisionsgesuch und wies dieses am 21. April 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Das Kantonale Ausländeramt St. Gallen erklärte mit Verfügung vom 23. Juli 2009, in Beachtung von Art. 14 Abs. 1 AsylG könne kein Verfahren um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung eingeleitet werden. Das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen wies den gegen die Verfügung des Ausländeramtes erhobenen Rekurs ab, ebenso das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde (Urteil vom 18. März 2010).
Mit als subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneter Rechtsschrift vom 27. April (Postaufgabe 30. April) 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und der Kanton St. Gallen sei anzuweisen, das Ersuchen um Aufenthalt materiell vollständig zu prüfen.
2. Da kein Anspruch auf die beantragte ausländerrechtliche Bewilligung besteht, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig (Art. 83 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 BGG), und als bundesrechtliches Rechtsmittel kommt in der Tat höchstens die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht (Art. 113 ff. BGG). Mit diesem Rechtsmittel kann bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG), und dazu berechtigt ist nur, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte hat der Beschwerdeführer spezifisch darzutun (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
Wegen Fehlens eines diesbezüglichen Rechtsanspruchs ist der Beschwerdeführer durch die Bewilligungsverweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen. Er kann daher einzig rügen, der angefochtene Entscheid verletze ihm zustehende Parteirechte, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinauslaufe (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f. mit Hinweis). Abgesehen davon, dass im Kontext von Art. 14 AsylG Parteirechte im kantonalen Verfahren weitgehend fehlen (s. Urteil 2D_113/2008 vom 19. Dezember 2008 E. 3 mit Hinweisen), wird eine solche Rechtsverletzung nicht dargelegt: Die Weigerung der kantonalen Behörden, das Gesuch um Bewilligungserteilung materiell zu prüfen, beruht auf Art. 14 Abs. 1 und 2 AsylG. Inwiefern die Anwendung dieser für das Bundesgericht verbindlichen bundesrechtlichen Normen im konkreten Fall verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verletzt habe und auf eine Rechtsverweigerung hinauslaufe, wird nicht dargetan. Insbesondere wird nicht aufgezeigt und bleibt unerfindlich, worin die behauptete Gehörsverweigerung liegen soll, nachdem die kantonalen Behörden, zuletzt das Verwaltungsgericht mit umfassender Begründung, dem Beschwerdeführer erläutert haben, warum ein Bewilligungsverfahren nicht eingeleitet werden kann. Soweit übrigens auf die (im angefochtenen Urteil aufgelistete, in der Beschwerdeschrift nicht diskutierte) Rechtsprechung zu Art. 14 AsylG hingewiesen wird, wäre diese im vorliegenden Verfahren ohnehin irrelevant, betrifft sie doch ausschliesslich Fälle von Asylbewerbern, die sich seit Einreichung des Asylgesuchs schon über fünf Jahre in der Schweiz aufhielten.
Wegen offensichtlichen Fehlens zulässiger bzw. hinreichend begründeter Rügen (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG) ist auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG), wobei bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr der Art der Prozessführung, die vorliegend an Rechtsmissbrauch grenzt, Rechnung zu tragen ist (Art. 65 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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