Faits:
A.
A._ et la société B._ - dont le prénommé est associé-gérant - sont en litige avec la Commune de Cerniat en relation avec la construction d'une route donnant accès audit chalet. Dans ce contexte, A._ exploite un site Internet sous le nom de domaine "www. ...", qui présente sa version des faits.
A la suite de l'entrée en vigueur de la loi cantonale sur l'information et l'accès aux documents du 9 septembre 2009 (LInf; RSF 17.5), A._ a annoncé au Syndic de Cerniat qu'il avait l'intention d'enregistrer sur support vidéo les débats de l'assemblée communale du 13 décembre 2011 et de les diffuser en différé sur son site Internet. Le 13 décembre 2011, le Syndic a annulé l'assemblée communale du jour même, en raison du départ de nombreux citoyens qui refusaient d'être filmés. Une nouvelle assemblée communale a été convoquée pour le 31 janvier 2012. A._ a annoncé à nouveau son intention d'assister aux débats et de les filmer au moyen d'une caméra vidéo. Lors de cette assemblée, plusieurs citoyens se sont opposés à l'enregistrement annoncé des débats. Le Préfet du district de la Gruyère a alors interdit l'enregistrement des débats, puis, face au refus de l'intéressé de s'exécuter, a ordonné à la police de séquestrer le matériel d'enregistrement jusqu'à la fin de l'assemblée. Il a confirmé, par décision écrite du 14 février 2012, celle qu'il avait signifiée oralement le 31 janvier 2012. Il a considéré en substance que l'intérêt des membres de l'assemblée à pouvoir s'exprimer sans crainte sur l'utilisation qui sera faite de leur image était prépondérant par rapport à l'intérêt privé du prénommé à filmer la séance.
A._ a recouru contre cette décision auprès de la I e Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 29 janvier 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours, dans la mesure de sa recevabilité et mis à la charge de l'intéressé les frais de la procédure ainsi que les dépens de la Commune.
B.
A._ recourt contre cet arrêt auprès du Tribunal fédéral. Il demande l'annulation de l'arrêt du 29 janvier 2013 et le renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
Le Préfet de la Gruyère et le Tribunal cantonal se réfèrent aux considérants de l'arrêt attaqué et concluent au rejet du recours. La Commune de Cerniat conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Le recourant a répliqué par courrier du 15 juin 2013.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>).
1.1. Formé contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans le domaine du droit public de l'information du public sur les activités étatiques (<ref-law>), le présent recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public au sens des <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Il a en outre été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2. Aux termes de l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière de droit public quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a), est particulièrement atteint par la décision attaquée (let. b) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (let. c). L'intérêt digne de protection doit par ailleurs être actuel (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 24 s. et la jurisprudence citée). Le Tribunal fédéral fait exceptionnellement abstraction de l'exigence d'un intérêt actuel, lorsque la contestation peut se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, que sa nature ne permet pas de la trancher avant qu'elle ne perde son actualité et que, en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 25 et la jurisprudence citée).
En l'espèce, le recourant, qui a pris part à la procédure devant l'instance précédente, n'a plus d'intérêt actuel au recours, dans la mesure où l'objet de la contestation porte sur la possibilité de filmer les débats de l'assemblée communale du 31 janvier 2012. Il prétend cependant être un média et fait valoir une violation de l'art. 19 al. 2 LInf qui prévoit que lors de séances publiques, les médias peuvent, sauf disposition légale contraire, effectuer des prises de son ou d'images et assurer leur retransmission. L'interprétation de cette disposition soulève une question qui revêt une portée de principe et qui pourrait se poser à nouveau dans des termes semblables sans que le Tribunal fédéral soit en mesure de se prononcer en temps utile. Dans cette mesure, il y a lieu de renoncer à l'exigence de l'intérêt actuel et d'entrer en matière sur ce grief uniquement.
En revanche, le grief dirigé contre l'intervention du Préfet le 31 janvier 2012 est irrecevable, faute d'intérêt actuel.
Quant au grief intitulé "arrestation arbitraire pour des motifs fallacieux lors de l'assemblée communale du 8 mai 2012", il n'est pas non plus recevable, puisqu'il ne se rapporte pas à l'objet du litige (sur la notion d'objet de la contestation, voir <ref-ruling> consid. 1b p. 414; arrêt 2C_669/2008 du 8 décembre 2008, consid. 4.1 et les références citées).
2.
Dans un premier moyen, le recourant se plaint sommairement d'une violation de son droit à un procès équitable (art. 29 al. 2 Cst. et 6 CEDH). Il affirme, sur le mode du procès d'intention, s'être "retrouvé privé d'un recours recevable" en raison de la décision tardive de l'instance précédente. Ce grief peut être d'emblée déclaré irrecevable, faute de satisfaire aux exigences de motivation accrues de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2.8 p. 494).
3.
Le recourant critique l'interprétation qu'a donnée la cour cantonale de la notion de média au sens de la LInf. Il la juge arbitraire (art. 9 Cst.) et contraire à la liberté d'information (art. 16 Cst. et 10 CEDH). En réalité, ces griefs se confondent et seront traités ensemble.
3.1. Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - même préférable - paraît possible (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560). Dans ce contexte, le recourant est soumis aux exigences accrues de motivation de l'<ref-law>.
3.2. L'art. 3 al. 3 du règlement d'exécution de la loi sur les communes du 28 décembre 1981 (ReCo; RSF 140.11) a été modifié le 1 er septembre 2012 et prévoit désormais que les prises de son ou d'images par des personnes privées ainsi que leur retransmission sont soumises à l'autorisation de l'assemblée.
A teneur de l'art. 19 al. 2 LInf, lors de séances publiques, les médias peuvent, sauf disposition légale contraire, effectuer des prises de son ou d'images et assurer leur retransmission; ils informent au préalable la présidence et veillent à ne pas perturber le bon déroulement de la séance.
3.3. A l'instar de l'art. 16 al. 2 Cst., l'art. 10 par. 1 CEDH garantit à toute personne le droit à la liberté d'expression. Ce droit comprend la liberté d'opinion et la liberté de recevoir ou de communiquer des informations ou des idées sans qu'il puisse y avoir ingérence d'autorités publiques et sans considération de frontière. L'exercice de ces libertés comporte toutefois des devoirs et des responsabilités et peut être soumis à certaines formalités, conditions, restrictions ou sanctions prévues par la loi, qui constituent des mesures nécessaires, dans une société démocratique, notamment à la défense de l'ordre et à la protection de la morale, de la réputation ou des droits d'autrui (cf. art. 10 par. 2 CEDH).
La liberté d'expression, à l'instar des autres droits fondamentaux, n'a donc pas une valeur absolue. Une ingérence dans son exercice est conforme à l'art. 10 CEDH si elle est prévue par la loi, si elle poursuit un but légitime de protection de l'intérêt public, notamment de la réputation et des droits d'autrui, et si elle est proportionnée au but légitime poursuivi (arrêts de la CourEDH RTBF contre Belgique du 29 mars 2011, § 95; Bergens Tidende et autres contre Norvège du 2 mai 2000, § 33 et 48 ss). Ces critères correspondent à ceux posés en matière de restriction des droits fondamentaux par l'art. 36 Cst., disposition qui exige que de telles restrictions reposent sur une base légale, soient justifiées par un intérêt public ou par la protection d'un droit fondamental d'autrui et, selon le principe de la proportionnalité, se limitent à ce qui est nécessaire et adéquat à la réalisation des buts d'intérêt public poursuivis (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 104 et les arrêts cités).
3.4. En l'espèce, la question litigieuse consiste à déterminer si le recourant peut se prévaloir du statut de média, sachant qu'il exploite le site Internet "www. ...".
Le Tribunal cantonal a considéré que la lecture des art. 17 à 19 LInf montrait que la notion de médias retenue par le législateur ne concernait en rien les particuliers. Confronté au problème de délimitation de la notion de médias, le Conseil suisse de la presse avait posé des critères que l'on pouvait reprendre s'agissant des art. 17 à 19 LInf; il avait qualifié de média celui qui diffuse des contenus qui ont été triés et traités selon les critères professionnels du journalisme afin d'être portés à la connaissance du public; entraient dans cette définition les médias offline (journaux, revues, agences d'informations, station de radio et TV, etc.) qui se manifestaient aussi online, les offres journalistiques online spéciales (magazines, journaux, agences online ), les bureaux de médias onlineet les contenus publiés sur ces sites du web (cf. prise de position du Conseil de la presse 29/2011 du 11 mai 2011, voir aussi la prise de position 36/2000 du 18 août 2000). La cour cantonale avait ensuite estimé que le site web du recourant ne relevait pas du journalisme et des catégories décrites ci-dessus et qu'il ne se distinguait en rien d'un simple blog, destiné à défendre ses intérêts personnels. Elle avait par conséquent refusé de lui attribuer le statut de média au sens de l'art. 19 LInf.
Quant au recourant, il ne prétend pas avoir le droit, en qualité de particulier, de filmer librement les séances de l'assemblée communale. Il soutient en revanche que la notion de média ne concerne pas que des journalistes professionnels et revendique le statut de média à son site Internet, "qui se veut pédagogique et informatif pour permettre à un large public de comprendre les rouages du système administratif et judiciaire fribourgeois". Partant, il ne parvient pas à démontrer l'arbitraire de l'interprétation effectuée par le Tribunal cantonal. En effet, la notion de média au sens de l'art. 19 al. 2 LInf ne peut être comprise uniquement comme un simple support permettant la distribution d'information. Elle est également définie par son contenu journalistique. La seule exploitation d'un site Internet ne suffit donc pas pour être qualifiée de média au sens de la loi cantonale. Or, le recourant, qui n'est pas accrédité au sens de l'art. 18 LInf, ne participe pas à la publication d'information sur son site, à titre professionnel. Il n'est dès lors pas insoutenable de considérer qu'il ne peut se prévaloir de l'art. 19 al. 2 LInf pour procéder, en qualité de média, à un enregistrement des séances de l'assemblée communale.
Dans la mesure où la cour cantonale a retenu sans arbitraire que le site en question ne pouvait être qualifié de média, le recourant se prévaut également en vain des art. 10 CEDH et 16 al. 2 Cst. En effet, le droit à l'information que protègent ces dispositions n'inclut pas le droit pour un particulier de filmer sans autorisation les débats publics d'une assemblée communale. Le recourant ne cite d'ailleurs aucune jurisprudence de la CourEDH allant dans ce sens.
Mal fondés, les griefs d'application arbitraire de l'art. 19 LInf et de violation de la liberté d'information sont écartés.
4.
Le recourant conteste enfin l'indemnité de partie qui a été allouée à la Commune de Cerniat en vertu de l'art. 139 du code du 23 mai 1991 de procédure et de juridiction administrative (CPJA; RSF 150.1). Il se plaint implicitement d'une application arbitraire de cette disposition.
4.1. L'art. 139 CPJA prévoit qu'aucune indemnité de partie n'est allouée aux collectivités publiques visées à l'article 133, sauf dans les cas où leurs intérêts patrimoniaux sont en cause ou que des circonstances particulières ont rendu nécessaire l'appel à des mandataires extérieurs.
Le Tribunal fédéral ne s'écarte de l'interprétation d'une norme de droit cantonal retenue par la dernière instance cantonale que si celle-là est arbitraire (cf. consid. 3.1 supra).
4.2. Il est vrai que la motivation succincte du Tribunal cantonal relative à l'allocation de dépens au sens de l'art. 139 CPJA est limitée à la mention de l'absence de service juridique de la commune. Il ressort cependant de la jurisprudence cantonale que des circonstances particulières au sens de l'art. 139 CPJA ont notamment été retenues lorsqu'une collectivité publique de taille moyenne ne disposait pas de service juridique pour défendre elle-même son point de vue dans le procès (RJF 1992 p. 206, p. 212). Dans ces conditions, l'application de l'art. 139 CPJA consacrée par l'instance précédente ne paraît pas arbitraire. Le grief tombe donc à faux.
5.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 LTF).
La Commune de Cerniat conclut à l'allocation de dépens en sa faveur. A la différence des dépens cantonaux, cette question est réglée par l'<ref-law>, qui pose comme règle générale l'absence d'allocation de dépens. La Commune fait cependant valoir sa situation de petite commune de montagne n'ayant ni service juridique, ni moyens financiers suffisants. La pratique connue sous l'empire de l'ancienne loi fédérale d'organisation judiciaire dans les causes relevant du recours de droit public, qui consistait à allouer des dépens aux communes ne disposant pas, en raison de leur taille, d'une infrastructure administrative et juridique suffisante pour procéder sans l'assistance d'un avocat, ne se justifie plus dans le cadre du recours en matière de droit public (<ref-ruling> consid. 7 p. 119). La Commune de Cerniat ne fait au surplus valoir aucune circonstance exceptionnelle qui commanderait de faire une entorse en sa faveur à la règle de l'<ref-law>. Il n'y a dès lors pas lieu de prévoir de dépens au bénéfice de la Commune, celle-ci ayant agi dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial soit en cause (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Commune de Cerniat, à la Préfecture du district de la Gruyère et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, I e Cour administrative.
Lausanne, le 10 octobre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller