Sachverhalt:
A.
A._ und B._ waren für die am 31. Mai 2012 endende Amtsdauer als Mitglieder der Verwaltungskommission der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Verwaltungskommission) gewählt. Sie bewarben sich auf ein am 11. Februar 2012 in der Zeitung C._ publiziertes Inserat um ihre Wiederwahl. Der Regierungsrat nahm am 22. Mai 2012 die Wahl von fünf Mitgliedern der Verwaltungskommission vor. Der zuständige Departementsvorsteher teilte A._ und B._ im Nachgang zu dieser Wahl telefonisch mit, dass sie nicht wiedergewählt worden seien. Diese ersuchten um schriftliche Eröffnung der Nichtwiederwahl mittels beschwerdefähigen Beschlusses.
B.
Auf die von A._ und B._ gegen die Nichtwiederwahl erhobenen Beschwerden trat das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 12. März 2013 vorerst nicht ein. Mit Urteil 8C_353/2013 vom 28. August 2013 wies das Bundesgericht das Verwaltungsgericht an, auf die Beschwerden einzutreten. Mit Entscheid vom 19. Dezember 2013/17. Januar 2014 vereinigte das Verwaltungsgericht die Verfahren (Dispositiv-Ziff. 1) und wies die Beschwerden ab (Disp.-Ziff. 2); es stellte sodann fest, die Verfahrensrechte der Beschwerdeführer seien verletzt worden (Disp.-Ziff. 3), auferlegte die Gerichtskosten diesen und dem Staat je hälftig (Disp.-Ziff. 4) und sprach keine Entschädigung für ausseramtliche Kosten zu (Disp.-Ziff. 5).
C.
A._ und B._ führen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, evtl. subsidiäre Verfassungsbeschwerde, mit den Anträgen, der verwaltungsgerichtliche Entscheid sei, soweit auf Abweisung der Beschwerden lautend und die Gerichtskosten sowie ausseramtliche Kosten betreffend, aufzuheben und der im Amtsblatt Nr. 26 des Kantons St. Gallen vom 25. Juni 2012 publizierte Beschluss der Regierung des Kantons St. Gallen über die Wahl der Mitglieder der Verwaltungskommission für die Amtsdauer 2012 bis 2016 sei aufzuheben; eventuell sei anzuordnen, dass A._ und B._ für die besagte Amtsdauer als Mitglieder der Verwaltungskommission wiedergewählt würden; subeventuell sei die Angelegenheit zur Abklärung des Sachverhalts und zur materiellen Beurteilung im Sinne der Erwägungen des Bundesgerichts an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Regierung des Kantons St. Gallen schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Mit zusätzlicher Eingabe halten A._ und B._ an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 44 mit Hinweisen).
Die Beschwerde richtet sich gegen gegen einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>. Der Entscheid wurde von einer letzten kantonalen Instanz erlassen und ist nicht beim Bundesverwaltungsgericht anfechtbar (<ref-law>). Ihm liegt eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts zugrunde (<ref-law>). Ein Ausschlussgrund (<ref-law>) liegt nicht vor. Insbesondere ist der auf dem Gebiet öffentlich-rechtlicher Arbeitsverhältnisse zu beachtende Ausnahmetatbestand des <ref-law> nicht gegeben. Zwar geht es hier um ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis im - weit zu verstehenden - Sinn dieser Bestimmung (vgl. THOMAS HÄBERLI, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 168 zu <ref-law>; in dieser Sache ergangenes Urteil 8C_353/2013 E. 2 mit Hinweis). Der Streit um die Nichtwiederwahl in eine entgeltlich auszuübende Funktion ist aber vermögensrechtlicher Natur und die nach Art. 85 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit <ref-law> zu beachtende Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- wird mit den durch die Nichtwiederwahl entgangenen Entschädigungen erreicht. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) einzutreten. Damit bleibt kein Raum für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Die hier erhobenen Rügen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte von Bund und Kanton sind zulässig (Art. 95 lit. a und c BGG).
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz können nur berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Nichtwiederwahl der Beschwerdeführer in die Verwaltungskommission gegen verfassungsmässige Rechte von Bund oder Kanton verstösst.
4.
Das kantonale Gericht hat in formellrechtlicher Hinsicht zunächst eine Verletzung von Ausstandsvorschriften insoweit festgestellt, als die Generalsekretärin des zuständigen Departementes bei der Vorbereitung der Wahl mitgewirkt habe. Weil sie selber Kandidatin für die Verwaltungskommission gewesen sei, hätte sie in den Ausstand treten müssen.
Die Beschwerdeführer machen geltend, die kantonalen Ausstandsvorschriften seien auch dadurch verletzt worden, dass der Präsident der Verwaltungskommission bei der Wahlvorbereitung mitgewirkt habe.
4.1. Die Vorinstanz ist dieser Auffassung nicht gefolgt. Da der Präsident der Verwaltungskommission in einem separaten Wahlakt bereits vor der Wahl der übrigen Mitglieder bestimmt worden sei, habe er sich ohne weiteres bei der Auswahl der weiteren Mitglieder beratend betätigen dürfen. Dies sei im Hinblick darauf, dass die Verwaltungskommission als Ganzes habe funktionieren müssen, nicht zu beanstanden.
4.2. Es ist nicht ersichtlich, weshalb diese Betrachtungsweise gegen verfassungsmässige Rechte verstossen soll. Es gibt gute Gründe dafür, den bereits ernannten Vorsitzenden eines Gremiums bei der Bestimmung der weiteren Mitglieder zu konsultieren. Im vorliegenden Fall traf dies insbesondere deshalb zu, weil die Verwaltungskommission in der früheren Zusammensetzung nur unbefriedigend zusammengearbeitet hatte. Es bestand daher durchaus Anlass, der Teamfähigkeit der einzelnen Mitglieder und ihrer Kooperationsbereitschaft mit Blick auf das Ganze besondere Beachtung zu schenken. Dass der bereits gewählte Kommissionspräsident Vorbehalte, etwa eine persönliche Feindschaft, gegen die Beschwerdeführer hatte, welche zu seinem Ausstand hätten führen müssen, wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich. Dass er selber der Auffassung war, die Verwaltungskommission sei als Ganzes zu erneuern, genügt hiezu jedenfalls nicht. Darin kann keine unzulässige Vorbefassung bezüglich der Auswahl der Kandidaten und insbesondere bezüglich der Person der beiden Beschwerdeführer erblickt werden.
5.
Das kantonale Gericht hat sodann festgestellt, die Regierung habe bei der Bestellung der Verwaltungskommission weitere Verfahrensrechte der Beschwerdeführer in mehrfacher Hinsicht verletzt. Indem die Beschwerdeführer - im Gegensatz zu den übrigen nicht berücksichtigten Bewerbern - weder über den Umstand, dass sie zu keinem Gespräch eingeladen werden sollten, noch darüber, dass sie der Regierung nicht mehr zur Wahl vorgeschlagen würden, orientiert worden seien, hätten die Behörden rechtsungleich informiert. Mit der Anhörung vom 27. April 2012 sei das Fairnessgebot verletzt worden. Mit der mangelnden schriftlichen Eröffnung und Begründung der Verfügung bezüglich der Nichtwahl habe die Regierung schliesslich den entsprechenden Anspruch der Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör verletzt.
Ob letzteres zutrifft und abgewiesene Bewerber einen Anspruch auf Erlass einer anfechtbaren Verfügung haben, braucht im Lichte der nachfolgenden Erwägungen nicht näher geprüft zu werden. Immerhin hat aber etwa der Bundesgesetzgeber diese Möglichkeit bei der am 1. Juli 2013 in Kraft getretenen Revision des Bundespersonalrechts ausdrücklich ausgeschlossen (Art. 34 Abs. 3 BPG) und damit einem anderslautenden Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts (A-2757/2009 vom 12. Oktober 2010 [BVGE 2010/53]; vgl. auch HÄNNI/ MEIER, Der Rechtsschutz im öffentlichen Personalrecht, in: Brennpunkte im Verwaltungsprozess, 2013, S. 153 f.) die gesetzliche Grundlage entzogen. Somit besteht jedenfalls im Bereich des öffentlichen Personalrechts des Bundes kein Anspruch des nicht berücksichtigten Stellenbewerbers auf Erlass einer anfechtbaren Verfügung.
6.
Die Beschwerdeführer machen geltend, die Verletzung ihrer Verfahrensrechte hätte zur Aufhebung des Wahlbeschlusses führen müssen. Es handle sich dabei nicht um leichte, sondern um schwerwiegende Verfahrensfehler, die keiner Heilung zugänglich seien.
6.1. Die Vorinstanz hat hiezu erwogen, Gegenstand des Verfahrens könne einzig die Nichtwiederwahl der Beschwerdeführer bilden. Ein praktikables Verfahren zur Begründung eines öffentlich-rechtlichen Anstellungsverhältnisses setze voraus, dass auf Wahlbeschlüsse nicht zurückgekommen werden könne. Andernfalls könnten Stellen nur unter Berücksichtigung der Dauer allfälliger Rechtsmittelverfahren oder unter dem Vorbehalt der Rechtskraft des Wahlbeschlusses besetzt werden. Eine solche Ungewissheit widerspreche dem öffentlichen Interesse an der Funktion der zu wählenden Gremien. Die Verletzung von Verfahrensrechten könne nicht die Wahl der betroffenen Personen zur Folge haben. Entsprechend sehe das kantonale Personalrecht denn auch vor, dass selbst eine missbräuchliche Kündigung nicht die weitere Gültigkeit des Anstellungsverhältnisses, sondern lediglich Entschädigungsansprüche nach sich ziehe.
6.2. Ob ein Wahlbeschluss in diesem Sinne in jedem Fall und unter allen Umständen rechtsbeständig ist, bedürfte näherer Betrachtung. So wäre etwa möglich, dass sich eine Wahlbehörde nicht an die mit der Ausschreibung verbundenen Wahlvoraussetzungen hält oder sich von unsachlichen Kriterien leiten lässt. Denkbar wären auch Interessenkollisionen oder andere Wahlausschlussgründe von gewählten Mitgliedern. Daraus könnte folgen, dass eine einzelne Person oder ein Gremium als Ganzes die gesetzlichen Aufgaben nicht oder nur unzureichend wahrzunehmen vermöchte. Dies widerspräche dem Gebot einer rechtsstaatlich konstituierten und funktionierenden Verwaltung. Eine solche Wahl verletzte daher nicht nur die Verfahrensrechte von einzelnen Bewerbern, sondern sie verstiesse als solche gegen wichtige öffentliche Interessen. Diesfalls entspräche es allenfalls dem Gemeinwohl, einen entsprechenden Beschluss auf Beschwerde hin oder von Amtes wegen aufzuheben. Denn solch schwerwiegende Mängel hätten nicht nur Auswirkungen auf allfällige Rechte der nicht berücksichtigten Bewerber, sondern auch auf die Funktion des durch die Wahl bestellten staatlichen Organs. Die Aufhebung eines solchen Wahlbeschlusses hätte aber nicht etwa zur Folge, dass die nicht berücksichtigten Konkurrenten automatisch an die Stelle der gewählten Mitglieder eines Gremiums treten könnten. Vielmehr wäre das Wahlverfahren ganz oder teilweise zu wiederholen.
Ob ein Wahlbeschluss, welcher die Funktionsfähigkeit der Verwaltung einschränkt, in diesem Sinne aufzuheben wäre und auf welchem Rechtsweg dies gegebenenfalls zu geschehen hätte, muss hier aber nicht beantwortet werden. Denn es wird nicht geltend gemacht, die Nichtwiederwahl der Beschwerdeführer habe das Funktionieren der Verwaltungskommission beeinträchtigt. Beanstandet wird die Nichtwiederwahl als solche unter dem Aspekt von Verfahrensmängeln.
6.3. Auch bei einer allenfalls schweren Verletzung von Verfahrensrechten bestünde indessen keine Grundlage, um den Wahlbeschluss aufzuheben. Anders als etwa bei der Geltendmachung von gesetzlichen Leistungen geht es in einem Wahlverfahren nicht darum, Rechtsansprüche von Kandidaten zu beurteilen. Zwar haben die Kandidaten Anspruch auf ein rechtskonformes Verfahren. Dies besagt aber nicht, dass sie gewählt oder wiedergewählt werden müssen, wenn sie die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllen (vgl. <ref-ruling> E. 5c/bb S. 43 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 178; Urteil 1P.133/2006 vom 10. März 2006 E. 1.2). Vielmehr hat die zuständige Wahlbehörde das Recht und die Pflicht, eine Auswahl aus dem Kreis der - die gesetzlichen und weiteren Voraussetzungen erfüllenden - Kandidierenden zu treffen. Es liegt in der Natur dieses Entscheides, dass bei einer Vielzahl von Bewerbungen nicht alle berücksichtigt werden können. Bei ihrem Wahlentscheid kommt der Wahlbehörde rechtsprechungsgemäss ein weites Ermessen zu (in dieser Sache ergangenes Urteil 8C_353/2013 vom 28. August 2013 E. 6.3.1; vgl. auch <ref-ruling>). Das gute Funktionieren des von ihr ernannten Gremiums fällt denn auch in ihren Verantwortungsbereich und liegt in ihrem Interesse.
Zu Recht hat die Vorinstanz in diesem Zusammenhang weiter darauf hingewiesen, dass nach der Personalgesetzgebung des Kantons St. Gallen ein Anstellungsverhältnis selbst dann nicht weiter besteht, wenn es durch eine missbräuchliche Kündigung aufgelöst wird. Auch in diesem Fall erwachsen den Betroffenen höchstens Entschädigungsansprüche. Fehlt es an einem Rechtsanspruch auf Weiterbeschäftigung selbst bei einer unrechtmässigen Kündigung, ist ein solcher bei einer Erneuerungswahl erst recht auszuschliessen. Eine bundesrechtliche oder kantonale verfassungsrechtliche Grundlage, welche etwas anderes gebieten würde, ist nicht ersichtlich und wird nicht geltend gemacht.
6.4. Entgegen der Annahme der Beschwerdeführer können sie sich auch nicht auf den Vertrauensgrundsatz berufen. Zwar mag es zutreffen, dass in vielen Gremien die Wiederwahl nur Formsache ist und die wieder kandidierenden Mitglieder mit einer Bestätigung rechnen dürfen. Indessen existiert für einen Wahlanspruch der "Bisherigen" keine Rechtsgrundlage. Es bestanden im konkreten Fall auch keine Zusagen oder andere Vorkehren, auf welche die Beschwerdeführer sich stützen könnten. Die Beschwerdeführer genossen auch von daher gegenüber den neu kandidierenden Bewerbern kein Vorrecht.
6.5. Unter diesen Umständen musste das Wahlverfahren, wiewohl die Verfahrensrechte der Beschwerdeführer verletzt worden waren, nicht wiederholt werden. Die begangenen Fehler führten nicht zu einer Auswahl von Kandidaten, welche die gesetzlichen Vorgaben nicht erfüllen oder zu einem Beschluss, welcher sonst wie dem öffentlichen Interesse widersprach. Schon gar nicht konnten die Verfahrensmängel zur Folge haben, dass die Beschwerdeführer automatisch als gewählt galten, bestand doch kein Rechtsanspruch auf Wiederwahl. Anders als gegebenenfalls bei der Wiederwahl von Beamten (vgl. dazu etwa Peter Hänni, Beendigung öffentlicher Dienstverhältnisse in: Münch/ Metz [Hrsg.], Stellenwechsel und Entlassung, 2. Auflage 2012, Rz. 8.12 ff.) bedurfte es zudem keiner besonderen Gründe für den Verzicht auf die weitere Mitarbeit der bisherigen Kommissionsmitglieder. Die vierjährige Amtszeit endete ordentlich und die bisherigen Mitglieder mussten die Wahlvoraussetzungen für eine weitere Periode in der gleichen Weise wie die neuen Bewerber erfüllen. Es kann demnach auch nicht von einer Absetzung oder gar von einer Amtsenthebung gesprochen werden.
7.
Bei diesem Ergebnis kann von den beantragten Zeugenbefragungen, welche die Eignung der Beschwerdeführer für eine Wiederwahl zum Gegenstand haben, Umgang genommen werden. Es ist nicht zu beurteilen, ob die Beschwerdeführer die Voraussetzungen für eine weitere Amtsperiode (ebenfalls) erfüllt hätten und ob sie persönlich für eine Wiederwahl gleich wie die gewählten Mitglieder geeignet gewesen wären. Aus demselben Grund bestand für die Vorinstanz auch keine Veranlassung, dem Begehren um Einsicht in die Bewerbungsunterlagen der weiteren Mitbewerber stattzugeben. Abgesehen davon, dass diese Anspruch auf einen vertraulichen Umgang mit ihren persönlichen Daten haben, vermöchten sämtliche beantragten Beweismassnahmen nicht zur Aufhebung des Wahlbeschlusses zu führen.
8.
Die Nichtwiederwahl von Amtsträgern kann allenfalls Abfindungen zur Folge haben (vgl. hiezu etwa Urteil 8C_558/2009 vom 30. November 2009 E. 4 f.). Werden überdies Verfahrensrechte verletzt, kann dies zu Entschädigungsansprüchen führen. Nachdem entsprechende Begehren nicht vorlagen, hat es die Vorinstanz aber zu Recht bei der dispositivmässigen Feststellung der Verfahrensmängel bewenden lassen. Weiterungen hiezu erübrigen sich.
9.
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Verfahrensrechte der Beschwerdeführer bei der Wiederwahl verletzt wurden. Dies hat aber nicht zur Folge, dass das Wahlverfahren wiederholt werden muss, weil der Entscheid der Wahlbehörde dadurch nicht in unzulässiger Weise beeinflusst wurde und eine Verletzung von öffentlichen Interessen nicht ersichtlich ist. Den Beschwerdeführern hätte wegen der festgestellten Verfahrensfehler allenfalls eine Entschädigung zugesprochen werden können, welche aber nicht verlangt wurde. Zusätzliche Beweisvorkehren erübrigen sich. Der vorinstanzliche Entscheid verletzt weder Bundesrecht noch kantonale verfassungsmässige Rechte. Die Beschwerde ist abzuweisen.
10.
Die Gerichtskosten sind den unterliegenden Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte und unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. September 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz