A.- Die Firma W._ AG (im Folgenden Firma),
Appenzell, bezog für die Zeit vom 1. Januar bis 28. Februar
1997 sowie vom 1. November 1997 bis 31. März 1998 Kurzar-
beitsentschädigung.
Das Bundesamt für Wirtschaft und Arbeit (ab 1. Juli
1999 Staatssekretariat für Wirtschaft, nachfolgend seco)
führte am 8. Oktober 1998 bei der Firma eine Arbeitgeber-
kontrolle durch. Dabei nahmen die Revisoren diverse Akten
zur weiteren Prüfung nach Bern mit. Die uneingeschrieben
erfolgte Rücksendung dieser Belege erreichte die Firma nie.
Damit gingen all jene Urkunden unwiederbringlich verloren,
von welchen keine Kopien vorhanden waren, nämlich die ge-
samten Lohnlisten der Monate Februar bis Oktober 1997, das
Lohnjournal 1997, die Lohnkarten-Rekapitulation 1997, die
SUVA-Jahreslohnabrechnung 1997, die Firmen-Rekapitulation
1997, die Abrechnung der Jahreslohnsumme für die kollektive
Krankentaggeld-Abrechnung, die Deklarationen der Betriebs-
haftpflicht und für die UVG-Versicherung sowie die Abrech-
nung der im Stundenlohn beschäftigten Personen. Nicht davon
betroffen waren dagegen insbesondere die von der Firma dem
seco zur Verfügung gestellten Arbeitsrapporte, von diesem
im provisorischen Bericht vom 20. Oktober 1998 näher als
Tagesrapporte bezeichnet.
Nach Erhalt des definitiven Berichtes des seco vom
11. Dezember 1998 verpflichtete die Arbeitslosenkasse des
Kantons Appenzell I.Rh. die Firma mit Verfügung vom 17. De-
zember 1998, die für die Zeit vom 1. Januar bis 26. Februar
1997 sowie vom 1. November 1997 bis 31. März 1998 bereits
ausbezahlten Kurzarbeitsentschädigungen im Betrag von
Fr. 125'235.- zurückzuerstatten.
B.- Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Kantons-
gericht Appenzell I.Rh. gut und wies die Sache unter Aufhe-
bung der Verfügung vom 17. Dezember 1998 an die Kasse zur
Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen zurück (Entscheid
vom 8. Juni 1999).
C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt das seco
die Aufhebung des angefochtenen Entscheids beantragen.
Die Arbeitslosenkasse verzichtet auf eine Vernehmlas-
sung. Die Firma schliesst auf Abweisung der Verwaltungsge-
richtsbeschwerde.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Nach <ref-law> muss die Kasse Leis-
tungen der Versicherung, auf die der Empfänger keinen An-
spruch hatte, zurückfordern. Gemäss einem allgemeinen
Grundsatz des Sozialversicherungsrechts kann die Verwaltung
eine formell rechtskräftige Verfügung, welche nicht Gegen-
stand materieller richterlicher Beurteilung gebildet hat,
in Wiedererwägung ziehen, wenn sie zweifellos unrichtig und
ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (BGE 122 V
21 Erw. 3a, 173 Erw. 4a, 271 Erw. 2, 368 Erw. 3, 119 V 183
Erw. 3a, 477 Erw. 1, je mit Hinweisen). Die für die Wieder-
erwägung formell rechtskräftiger Verfügungen massgebenden
Voraussetzungen gelten auch mit Bezug auf die Rückerstat-
tung zu Unrecht bezogener Geldleistungen der Arbeitslosen-
versicherung gemäss <ref-law> (<ref-ruling> Erw. 2, 110
V 179 Erw. 2a mit Hinweisen; SVR 1995 ALV Nr. 53 S. 162
Erw. 3a), und zwar unbesehen darum, ob sie förmlich oder
formlos zugesprochen worden sind (<ref-ruling> oben, 111 V
332 Erw. 1; ARV 1995 Nr. 12 S. 64 Erw. 2b). Eine zweifel-
lose Unrichtigkeit liegt nicht nur vor, wenn die in Wieder-
erwägung zu ziehende Verfügung auf Grund falscher oder un-
zutreffender Rechtsregeln erlassen wurde, sondern auch,
wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig ange-
wandt wurden (ARV 1996/1997 Nr. 28 S. 158 Erw. 3c).
b) Laut <ref-law> haben Arbeitnehmer, deren
normale Arbeitszeit verkürzt oder deren Arbeit eingestellt
ist, unter den in der Bestimmung aufgeführten Voraussetzun-
gen Anspruch auf Kurzarbeitsentschädigung. Keinen Anspruch
auf Kurzarbeitsentschädigung haben nach Art. 31 Abs. 3
lit. a AVIG Arbeitnehmer, deren Arbeitsausfall nicht be-
stimmbar oder deren Arbeitszeit nicht ausreichend kontrol-
lierbar ist. Ein geltend gemachter Arbeitsausfall ist erst
dann genügend kontrollierbar, wenn für jeden einzelnen Tag
die geleistete Arbeitszeit überprüfbar ist. Nur auf diese
Weise ist Gewähr geboten, dass die an gewissen Tagen ge-
leistete Überzeit, welche innerhalb der Abrechnungsperiode
auszugleichen ist (vgl. Gerhards, Kommentar zum AVIG,
Bd. I, N. 5 zu Art. 31), bei der Feststellung des monat-
lichen Arbeitsausfalls Berücksichtigung findet. Fehlen
geeignete Unterlagen zum Arbeitszeitnachweis, können diese
weder durch die nachträgliche Befragung der betroffenen
Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer noch anderer Personen
ersetzt werden, da nicht anzunehmen ist, dass diese aus dem
Gedächtnis detailliert Auskunft zu den fraglichen Arbeits-
zeiten geben können. Entsprechend hält <ref-law> fest,
dass für die genügende Kontrollierbarkeit des Arbeitsaus-
falles eine betriebliche Arbeitszeitkontrolle vorausgesetzt
ist (Abs. 1), die der Arbeitgeber zudem während fünf Jahren
aufzubewahren hat (Abs. 2).
2.- Streitig ist im Wesentlichen, ob die Arbeitszeit
ausreichend kontrollierbar im Sinne von Art. 31 Abs. 3
lit. a AVIG ist.
a) Dies lässt sich in Übereinstimmung mit der Vorin-
stanz anhand der vorhandenen Akten nicht abschliessend be-
urteilen. Ob die sowohl von der Beschwerdegegnerin als auch
vom seco im provisorischen Bericht vom 20. Oktober 1998 zur
Arbeitgeberkontrolle als Tagesrapporte bezeichneten Auf-
zeichnungen hiezu geeignet sind, ist unklar, scheint es
sich dabei doch um Regie-Rapporte zu handeln, die den der
Kundschaft verrechenbaren Arbeitsaufwand ausweisen, welcher
in der Gartenbaubranche mit der tatsächlich insgesamt ge-
leisteten Arbeitszeit nicht identisch zu sein braucht. Zu-
sätzlich ist nicht erstellt, ob diese Rapporte - den Aus-
führungen der Beschwerdegegnerin folgend - anders als jene
von nicht von der Kurzarbeitszeit betroffenen Arbeiterinnen
und Arbeitnehmern lückenlos aufbewahrt worden sind. Beja-
hendenenfalls fragt sich weiter, wie der Umstand zu erklä-
ren ist, dass auf den einzelnen Berichten gleichzeitig Ar-
beitsstunden als qualifizierter Gärtner, Facharbeiter, für
Gartenarbeiten und in einem Fall gar zusätzlich als Gärt-
nermeister aufgeführt werden, ohne dass - vorausgesetzt der
Rapport erfasst mehrere Arbeiter - eine Aufschlüsselung auf
die einzelnen Personen stattgefunden hat, sodass von einer
Arbeitszeitkontrolle für die von der Kurzarbeitszeit be-
troffenen Personen gesprochen werden kann. Hiezu bedarf es
zusätzlicher Abklärungen.
Die weiteren in den Akten liegenden Dokumente (insbe-
sondere die Lohnlisten und -abrechnungen) sind dagegen zur
Arbeitszeitkontrolle von vornherein nicht geeignet.
Welche der anlässlich der Rücksendung untergegangenen
Schriftstücke hiezu geeignet waren, ist sodann nicht er-
stellt, zumal lediglich bekannt ist, was unter "Lohnlisten"
zu verstehen ist.
b) Somit bedarf es zusätzlicher Beweiserhebungen. Da-
bei ist insbesondere auch abzuklären, ob mit den bei der
Rücksendung vom seco an die Beschwerdegegnerin verschwunde-
nen Dokumenten der Arbeitsausfall hätte bewiesen werden
können. Dies dürfte sich - wie auch die Frage nach der Ge-
eignetheit der Rapporte als Arbeitszeitnachweis - durch den
Beizug entsprechender Dokumente aus anderen Zeitperioden
und die förmliche Befragung von Zeugen erstellen lassen. Da
für Letzteres ein Gericht über die geeigneteren Mittel ver-
fügt, erweist es sich als sachgerecht, nicht die Verwal-
tung, sondern das kantonale Gericht mit den weiteren Abklä-
rungen zu betrauen.
3.- Sollten sich die Dokumente als für die Arbeits-
zeitkontrolle ungeeignet erweisen, war die Auszahlung der
Kurzarbeitsentschädigung zweifellos unrichtig (Erw. 1a in
fine). Ergibt sich dagegen, dass die Dokumente zur Kontrol-
le geeignet waren, oder lässt sich die Tauglichkeit der
ohne Verschulden der Beschwerdeführerin untergegangenen
Akten nicht mehr feststellen, ist nur die Ausrichtung der
Kurzarbeitsentschädigung in dem von der Vorinstanz in
Erwägung 3d umschriebenen Umfang zweifellos unrichtig. Da-
ran ändern die letztinstanzlichen Vorbringen der Beschwer-
degegnerin nichts. Das kantonale Gericht wird den entspre-
chenden Rückforderungsbetrag unter Mitwirkung der Parteien
festsetzen. In beiden Fällen wird es zusätzlich prüfen, ob
die Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (vgl. hiezu
in Erw. 1a hievor zitierte Rechtsprechung).
4.- Nachdem das Kantonale Arbeitsamt Appenzell I.Rh.
die Anrechenbarkeit des Arbeitszeitausfalles seinerzeit
nicht beanstandet hat (Art. 36 Abs. 1 und 4 in Verbindung
mit <ref-law>), ist dies - entgegen der vorinstanzlichen
Auffassung - im Rahmen der Wiedererwägung und damit auch
vom kantonalen Gericht mangels Zuständigkeit und da keine
Anzeichen für Unrichtigkeit vorliegen, nicht mehr zu über-
prüfen.
5.- Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Dem
Prozessausgang entsprechend hat die Beschwerdegegnerin An-
spruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 135 in
Verbindung mit Art. 159 Abs. 3 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.In teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbe-
schwerde wird der Entscheid das Kantonsgerichts Appen-
zell I.Rh. vom 8. Juni 1999 aufgehoben und die Sache
an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie, nach er-
folgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die
Beschwerde neu entscheide. Im Übrigen wird die Verwal-
tungsgerichtsbeschwerde abgewiesen.
II.Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III.Das seco hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren
vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Par-
teientschädigung von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehr-
wertsteuer) zu bezahlen.
IV.Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht
Appenzell I.Rh., der Kantonalen Arbeitslosenkasse
Appenzell I.Rh. und dem Kantonalen Arbeitsamt Appen-
zell I.Rh. zugestellt.
Luzern, 11. April 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: