Sachverhalt:
A.
Am 28. November 2013 erhob der Verein A._ gegen B._ beim Zivilgericht Basel-Stadt Klage auf Zahlung von Fr. 305.-- zuzüglich Zinsen und Betreibungskosten sowie auf Beseitigung des Rechtsvorschlags in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Bad Ragaz.
Der a.o. Zivilgerichtspräsident trat an der Verhandlung vom 24. Februar 2014 auf die Klage mangels örtlicher Zuständigkeit nicht ein. Der Entscheid wurde den Parteien an der Verhandlung mündlich eröffnet und kurz begründet. Anschliessend fertigte das Zivilgericht den Entscheid im Dispositiv aus, verbunden mit dem Hinweis, wonach eine schriftliche Begründung nachgeliefert werde, sofern eine der Parteien eine solche innert zehn Tagen ab Zustellung verlange. Der Versand erfolgte am 25. Februar 2014. Nachdem sich der Verein A._ weigerte, den Empfang der Gerichtsurkunde mittels Unterschrift auf dem elektronischen Display (Touchscreen) der Post zu bestätigen, wurde ihm der Entscheid am 23. April 2014 per A-Post nochmals zugestellt.
Mit Eingabe vom 29. April 2014 verlangte der Verein A._ die schriftliche Urteilsbegründung, welches Gesuch der a.o. Zivilgerichtspräsident mit begründeter Verfügung vom 13. Mai 2014 abwies.
B.
Am 1. Juli 2014 gelangte der Verein A._ an das Zivilgericht, das die Eingabe an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt weiterleitete, welches auf seine Beschwerde wegen Verspätung nicht eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 10. Oktober 2014 hat sich der Verein A._ an das Bundesgericht gewandt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des appellationsgerichtlichen Entscheides vom 27. August 2014 und die Anweisung an das Gericht, auf seine Beschwerde einzutreten.
Das Zivilgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. B._ hat sich nicht vernehmen lassen. Der Beschwerdeführer hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Nichteintretensentscheid, der auf eine Beschwerde in einer Zivilsache hin ergangen ist (<ref-law>). Der Streitwert in der Hauptsache erreicht die gesetzliche Grenze nicht (74 Abs. 1 lit. b BGG). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben. Indes steht von der Sache her die Verfassungsbeschwerde zur Verfügung (<ref-law>), womit allerdings einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>).
1.2. Vor dem Appellationsgericht war die Abweisung des Gesuchs um Urteilsbegründung durch den erstinstanzlichen Richter angefochten. Gegenstand des kantonalen Verfahrens und Anlass der vorliegenden Beschwerde bildet die Qualifikation dieser erstinstanzlichen Verfügung. Dabei handelt es sich nach Ansicht der Vorinstanz um eine prozessleitende Verfügung, welche einen nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann und daher gemäss <ref-law> mit Beschwerde bei ihr anfechtbar ist. Für die Beantwortung der Eintretensfrage ist aus Sicht des Bundesgerichtes einzig entscheidend, ob die strittige Verfügung einen Endentscheid (<ref-law>) oder einen Zwischenentscheid (<ref-law>) darstellt. Allein der Umstand, dass die Vorinstanz einen Nichteintretensentscheid gefällt hat, lässt diesen mit Blick auf den Gang an das Bundesgericht jedoch nicht ohne weiteres zu einem Endentscheid werden (<ref-ruling> E. 1.1 S. 381 f.). Vielmehr sind in diesem Stadium die Auswirkungen des angefochtenen Entscheides auf die Hauptsache zu prüfen. Im vorliegenden Fall wurde dem Beschwerdeführer im Ergebnis der Rechtsmittelweg in der Hauptsache abgeschnitten, indem die Rechtzeitigkeit seines Gesuchs um Urteilsbegründung infolge Verspätung nicht geprüft wurde. Darin liegt ein Endentscheid im Sinne von <ref-law>. Auf die Verfassungsbeschwerde ist demnach einzutreten.
2.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Frage nach der Pflicht des Richters, seinen Entscheid mit einer Rechtsmittelbelehrung zu versehen. Nicht Gegenstand des Verfahrens bildet hingegen die materielle Beurteilung der Beschwerde an die Vorinstanz.
2.1. Eröffnet das Gericht seinen Entscheid ohne schriftliche Begründung, indem es den Parteien das Dispositiv zustellt (<ref-law>), so können diese innert zehn Tagen seit der Eröffnung eine solche verlangen. Wird keine Begründung verlangt, so gilt dies als Verzicht auf die Anfechtung des Entscheides durch Berufung oder Beschwerde (<ref-law>). Die Zustellung der Begründung löst demgegenüber die jeweiligen Rechtsmittelfristen aus (<ref-law> und <ref-law>).
2.2. Nach Ansicht der Vorinstanz stellt der Entscheid, keine schriftliche Begründung auszufertigen, eine prozessleitende Verfügung dar und muss demzufolge nicht mit einer Rechtsmittelbelehrung versehen werden. Sie stützt sich in ihrer Begründung auf eine in der Lehre verschiedentlich geäusserte Ansicht und auf ein Urteil des Bundesgerichts (Urteil 5A_783/2014 vom 4. November 2014 E. 1).
2.3. Gemäss <ref-law> leitet das Gericht den Prozess und erlässt die notwendigen prozessleitenden Verfügungen zur zügigen Vorbereitung und Durchführung des Verfahrens. Die Art der Verfahrensleitung liegt weitgehend im Ermessen des Gerichts. Dazu gehört beispielsweise die Erhebung eines Kostenvorschusses (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 162). Ebenso wird die Gewährung der Fristerstreckung als prozessleitende Verfügung behandelt (Urteil 5A_783/2014 vom 4. November 2014 E. 1). In der Lehre wird beispielsweise die Beurteilung des Ausstandsgesuchs und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege hier eingereiht (STECK, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 13 zu <ref-law>). Prozessleitende Verfügungen beziehen sich nicht auf den Streitgegenstand an sich und äussern sich nicht zur Begründetheit der Klage (KILLIAS, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 19 zu <ref-law>). Sie können nur in den vom Gesetz vorgesehenen Fällen (<ref-law>) oder bei Drohung eines nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteils (<ref-law>) mit Beschwerde an die obere Instanz weitergezogen werden. Diese ist beispielsweise in Bezug auf den Ausstand (<ref-law>), den Kostenvorschuss und die Sicherheit (<ref-law>), die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>), die Sistierung (<ref-law>), die Überweisung (<ref-law>) und die Ordnungsbusse (<ref-law>) geregelt.
2.4. Demgegenüber wird mit einem Zwischenentscheid eine formelle oder materielle Vorfrage vorab beantwortet, von welcher der weitere Verfahrensverlauf abhängt. Der Zwischenentscheid schliesst das Verfahren nicht ab, sondern stellt lediglich einen Schritt auf dem Weg zum Endentscheid dar. Als Zwischenentscheid gilt in der Lehre etwa die Bejahung der örtlichen Zuständigkeit oder die Verneinung der Verjährung (KILLIAS, a.a.O., N. 3, 8 zu <ref-law>). Eröffnet das Gericht den Zwischenentscheid in selbständiger Form, so hat es die Anforderungen von <ref-law> zu erfüllen, namentlich eine Rechtsmittelbelehrung anzubringen (lit. f). Sodann muss er direkt angefochten werden und nicht erst zusammen mit dem Endentscheid (<ref-law>).
2.5. Der Beschwerdeführer hat von seinem Recht Gebrauch gemacht, von der Erstinstanz nach Erhalt des Dispositivs eine Urteilsbegründung zu verlangen. Diese hat das Gesuch als verspätet erachtet und es mittels Verfügung abgewiesen. Dem Beschwerdeführer war daher der Rechtsmittelweg verschlossen (<ref-law>). Dass mit dieser Verfügung kein Zwischenentscheid im dargelegten Sinne (E. 2.4) gefällt worden ist, liegt auf der Hand. Nur wenn es sich dabei wirklich um eine bloss prozessleitende Verfügung handelt, ist die Frage zu beantworten, ob in einem solchen Fall regelmässig keine Rechtsmittelbelehrung erforderlich ist ( verneinend STECK, a.a.O., N. 23 zu <ref-law>; REETZ, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 23 Vorbemerkungen zu Art. 308-318; kritisch dazu TAPPY, in: Code de procédure civile commenté, 2011, N. 20 zu <ref-law>). Immerhin ist der Klarheit halber festzuhalten, dass das Bundesgericht in dem von der Vorinstanz angeführten Urteil (5A_783/2014 vom 4. November 2014 E. 1) die Pflicht zur Rechtsmittelbelehrung nur in Bezug auf den Zwischenentscheid erwähnte, nicht aber mit Blick auf prozessleitende Verfügungen.
2.6. Ausgangspunkt bildet die Abweisung einer Klage des Beschwerdeführers durch die Erstinstanz. Diesbezüglich liegt zweifellos ein Endentscheid vor, der den Parteien vorerst im Dispositiv eröffnet worden war. Das Gesuch um nachträgliche Begründung ist eng damit verbunden und wird am Ende des erstinstanzlichen Verfahrens gestellt. Mit der Abweisung des Gesuchs um eine Urteilsbegründung findet das erstinstanzliche Verfahren seinen definitiven Abschluss. Die entsprechende Verfügung stellt daher einen Endentscheid dar, der einer Rechtsmittelbelehrung bedarf (<ref-law>). In diese Richtung weist bereits das Urteil 5A_253/2013 vom 12. August 2013 (E. 1.1). In jenem Fall war die Abweisung der Wiederherstellung der Frist für das verpasste Gesuch um Urteilsbegründung strittig. Da das Verfahren damit abgeschlossen war, ging das Bundesgericht von einem Endentscheid aus.
2.7. Konkret geht es weniger um den Anspruch auf rechtliches Gehör, den der Beschwerdeführer geltend macht, sondern um den sinngemäss ebenfalls erhobenen Vorwurf der Willkür in der Rechtsanwendung (<ref-law>). Aufgrund der fehlenden Rechtsmittelbelehrung kann die Beschwerde an das Appellationsgericht im Ergebnis nicht als verspätet erachtet werden. Der angefochtene Entscheid erweist sich daher angesichts der fehlenden Rechtsmittelbelehrung nicht als haltbar und ist aufzuheben. Das Appellationsgericht wird damit die Vorbringen des Beschwerdeführers in seiner Eingabe vom 1. Juli 2014 zu prüfen haben. Zu diesem Zweck wird die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen. Den weiteren Verfassungsrügen des Beschwerdeführers kommt an dieser Stelle keine selbständige Bedeutung zu, so dass auf die entsprechenden Vorbringen nicht einzugehen ist.
3.
Nach dem Dargelegten ist die Verfassungsbeschwerde gutzuheissen. Dem Gemeinwesen werden keine Kosten auferlegt (<ref-law>). Dem Beschwerdeführer ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden, weshalb von der Zusprechung einer Parteientschädigung abzusehen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfassungsbeschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 27. August 2014 wird aufgehoben und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Eine Parteientschädigung ist nicht zu leisten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Zivilgericht Basel-Stadt, Einzelrichter in Zivilsachen, und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante