Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene I._ ist seit 1. Januar 2000 im Umfang von 20 bis 30 % als Ausbildungsleiterin beim Verein X._ tätig und bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Allianz) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Mit Unfallmeldung vom 24. Februar 2006 und ergänzenden Angaben vom 13. Mai 2006 meldete I._ unter Hinweis auf Müdigkeit, Herzbeschwerden, Gelenkschmerzen und Konzentrationsschwäche drei bis fünf in den letzten Jahren erlittene Zeckenstiche. Gestützt auf ein Gutachten der Medizinischen Abklärungsstation (MEDAS vom 14. März 2007) verneinte die Allianz mit Verfügung vom 16. Mai 2007 ihre Leistungspflicht, da kein wahrscheinlicher Zusammenhang zwischen den Zeckenstichen und den geltend gemachten Beschwerden bestehe. Nach Einholung einer ergänzenden Stellungnahme der MEDAS-Gutachter vom 28. Oktober 2007 hielt sie daran mit Einspracheentscheid vom 28. November 2007 fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 17. September 2009 ab. Zur Begründung führte das Gericht aus, es sei nicht überwiegend wahrscheinlich, dass die gemeldeten Zeckenstiche im Rahmen der erst seit 1. Januar 2000 bestehenden Versicherungsdeckung bei der Allianz erfolgt seien, weshalb diese nicht leistungspflichtig sei.
C. I._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Allianz zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Eventualiter sei die Sache zu weiteren Sachverhaltsabklärungen an den Unfallversicherer zurückzuweisen.
Die Allianz schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2 1.2.1 Diese Einschränkungen der Rüge- und Überprüfungsbefugnis gelten nicht bei Beschwerden, welche sich gegen einen Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung richten. Hier kann jede unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gerügt werden (Art. 97 Abs. 2 BGG) und ist das Bundesgericht nicht an die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz gebunden (Art. 105 Abs. 3 BGG).
1.2.2 Im Streit, ob für ein Unfallereignis Versicherungsdeckung besteht, kommt die Ausnahmeregelung des Art. 105 Abs. 3 (in Verbindung mit Art. 97 Abs. 2) BGG ungeachtet dessen, dass von der Beurteilung der Streitfrage auch Ansprüche auf Geldleistungen der obligatorischen Unfallversicherung abhängen können, nicht zur Anwendung. Das Bundesgericht kann somit die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nur im Rahmen von Art. 105 Abs. 1 und 2 (in Verbindung mit Art. 97 Abs. 1) BGG überprüfen (<ref-ruling> E. 1.2).
2. Das kantonale Gericht hat die massgeblichen Bestimmungen und Grundsätze zutreffend dargelegt. Es betrifft dies namentlich den Unfallbegriff und die für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen kausalen Zusammenhänge zwischen dem versicherten Ereignis und dem eingetretenen Schaden, insbesondere bei Zeckenstichen, sowie die sich stellenden beweisrechtlichen Fragen. Darauf wird verwiesen.
Hervorzuheben ist, dass der Stich der Zecke der Gattung Ixodes sämtliche Merkmale des Unfallbegriffs (Art. 4 ATSG; aArt. 9 Abs. 1 UVV) erfüllt, weshalb der obligatorische Unfallversicherer für die damit verbundenen Infektionskrankheiten (Lyme-Krankheit, Enzephalitis) und deren Folgen aufzukommen hat (<ref-ruling> E. 4 S. 239 ff. E. 5 und seitherige Entscheide). Entgegen den Vorbringen der Allianz besteht zu einer Überprüfung dieser Rechtsprechung kein Anlass.
3. 3.1 In tatsächlicher Hinsicht hat das kantonale Gericht festgestellt, die Versicherte habe im Frühjahr des Jahres 2005 an Beschwerden am ganzen Körper, insbesondere an Gelenken, Sehnen und Muskeln zu leiden begonnen. Mit Blick auf die hinsichtlich des Zeitpunkts eines Zeckenstichs vagen Angaben der Versicherten und des Umstands, dass der serologische Nachweis eines Borreliosekontaktes durch Zeckenstich und der entsprechende Ausbruch von Gesundheitsstörungen auch erst viele Jahre nach einem solchen Ereignis möglich sei, könne ein Zeckenstich auch vor dem 1. Januar 2000 erfolgt sein. Hinsichtlich der Versicherungsdeckung bei der Allianz kam die Vorinstanz daher zum Schluss, es sei nicht überwiegend wahrscheinlich, dass der allenfalls massgebliche Zeckenstich während des seit 1. Januar 2000 bei der Allianz bestehenden Versicherungsverhältnisses eingetreten sei. Die Folgen der Beweislosigkeit habe die Versicherte zu tragen.
3.2 Ausgehend von der vorinstanzlichen Feststellung, dass die Versicherte seit Frühjahr 2005 an den geltend gemachten Beschwerden, namentlich in Form von Arthralgien, Müdigkeit, Konzentrationsschwierigkeiten/-schwäche, Gedächtnisschwierigkeiten, Malaise und Herzbeschwerden leidet, kann den Erwägungen der Vorinstanz insoweit nicht gefolgt werden, als sie einen Symptomausbruch auch viele Jahre nach einem Zeckenstich als möglich erachtet. Diese Schlussfolgerung findet weder in den ärztlichen Unterlagen noch in der medizinischen Literatur eine Stütze. Die klinischen Manifestationen einer Lyme-Borreliose werden nach Zeitpunkt und Lokalisation in Stadium I bis III eingeteilt. Die Symptome in Stadium I (früh/lokalisiert) und II (früh/disseminiert) wie Erythema migrans, grippale und Allgemeinsymptome, Lymphozytom, Befall des Bewegungsapparates (Gelenke [Arthralgien, Arthridien], Muskeln, Knochen und Sehnen), des Nervensystems, des Herzens und der Haut treten dabei innerhalb von Tagen bis Monaten auf; erst in Stadium III (spät/persistierend) können die Symptome Monate bis Jahre nach einem Zeckenstich auftreten (Steffen, Hirsch, Diagnostik der Lyme-Borreliose in: Therapeutische Umschau, 2005, S. 738; Orasch, Itin, Flückiger, Lyme Borreliose in der Schweiz, in: Swiss Medical Forum 2007, S. 852). Ein Stadium III mit chronischen, irreversiblen organischen oder funktionellen Schädigungen stand jedoch bei der Beschwerdeführerin gemäss Aktenlage in diagnostischer Hinsicht nie zur Diskussion. Dies deckt sich mit der vom behandelnden Arzt Dr. med. S._, Facharzt für Innere Medizin in seinem letztinstanzlich neu eingereichten Schreiben vom 2. November 2009 vertretenen Auffassung - welches Schreiben aufgrund der von der Vorinstanz erstmals mit der Begründung der fehlenden Versicherungsdeckung verneinten Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin als zulässiges Novum berücksichtigt werden darf (Art. 99 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 3.4 S. 199 f.) - wonach bei unbekanntem Datum eines Zeckenstichs mit grösster Wahrscheinlichkeit davon auszugehen sei, dass der entscheidende, unbemerkte Zeckenstich zwei bis sechs Monate vor Symptomauftritt stattgefunden habe (vgl. ferner S._, Klinik der Lyme-Borreliose, 3. Auflage, Bern 2010, S. 262 f.). Damit schätzte die Vorinstanz den Zeitraum möglicher Zeckenstiche offensichtlich falsch ein (E.1). Aufgrund des zeitlichen Ablaufs ist vielmehr davon auszugehen, dass die Zeckenstiche während des seit 1. Januar 2000 bei der Allianz bestehenden Versicherungsverhältnisses erfolgten, weshalb die Versicherungsdeckung zu bejahen ist.
4. Mit Blick auf die serologischen Untersuchungsergebnisse steht fest, dass die Beschwerdeführerin Kontakt mit dem Borreliose-Erreger Borrelia Burgdorferi gehabt hat. Streitig ist hingegen, ob daraus eine Lyme-Borreliose entstanden ist, die für das ab Frühjahr 2005 entstandene Beschwerdebild kausal ist.
4.1 Die Allianz stellte hinsichtlich der Verneinung eines Kausalzusammenhangs der persistierenden Beschwerden und der Zeckenstiche massgeblich auf das Gutachten der MEDAS vom 14. März 2007 sowie die ergänzende Stellungnahme vom 28. Oktober 2007 ab, wonach mit mindestens gleich hoher Wahrscheinlichkeit wie von den Folgen einer Borreliose von einem prolongierten, postinfektiösen Polyarthralgie- und Astheniesyndrom nach unspezifischer, bakterieller oder viraler Infektion der Luftwege respektive des Gastrointestinaltraktes im Frühling 2005 ausgegangen werden könne. Ausserdem kämen aus rheumatologischer Sicht auch die allgemeine Hypermobilität und die markante Gewichtszunahme in den vergangenen zwei Jahren als Teilursache für die Arthralgien der unteren Extremitäten in Frage. Zusammenfassend wurde im MEDAS- Gutachten aus interdisziplinärer Sicht sodann festgehalten, bei rezidivierenden, migratorischen Episoden von Arthralgien sei die Diagnose Lyme-Borreliose Stadium II trotz langer Latenz des letzten erinnerlichen Zeckenstichs möglich. Mit Rocephin über insgesamt 28 Tage sei lege artis therapiert worden. Trotz adäquater Therapie leide ein kleiner Prozentsatz der Patienten (1-5 %) weiterhin an subjektiven Symptomen, welches Krankheitsbild in der Literatur als post-Lyme disease oder post-treatment chronic disease bezeichnet werde, wobei der Verlauf im einzelnen stark variabel sei. Gegen einen entscheidenden Anteil der Borreliose am geklagten Beschwerdekomplex spreche das Fehlen von Gelenksentzündungen, im ganzen Verlauf würden nur Arthralgien, nie aber Arthritiden beschrieben. Eine chronische Arthritis der bei der Versicherten vorwiegend betroffenen Gelenke wäre eine Seltenheit. Im Rahmen der Beantwortung des von der Allianz an die MEDAS-Ärzte gestellten Fragenkatalogs wurde sodann hinsichtlich der Frage, ob die vorliegende Gesundheitsschädigung überwiegend wahrscheinliche Folge eines Zeckenstichs sei, ausgeführt, es sei kein Borrelien-Nachweis mit der PCR-Methode durchgeführt worden. Ohne positive PCR auf Borrelia Burgdorferi, das heisse ohne direkten Erregernachweis aus Gelenkpunktat, Biopsiematerial oder Liquor könne bei der Versicherten aus der objektivierten Antikörperkonstellation gegen Borrelia Burgdorferi lediglich eine möglich floride Borreliose abgeleitet werden. Die geltend gemachte Gesundheitsschädigung, die weder zu Beginn noch im Verlauf je objektivierbare oder humorale Entzündungszeichen gezeigt habe, könne höchstens als mögliche Folge eines Zeckenstichs beurteilt werden.
4.2 Demgegenüber vertrat Dr. med. S._ sowohl in seinem Bericht vom 8. Juni 2005 wie in seinen weiteren Stellungnahmen vom 7. November 2007, 17. Dezember 2007 und 2. November 2009 die Auffassung, es könne mit Eindeutigkeit eine noch floride Lyme-Borreliose Stadium II mit Beteiligung des Bewegungsapparates (Arthralgien, Periarthralgien) als Ursache für die bestehenden Beschwerden diagnostiziert werden.
4.3 Im infektiologischen Teilgutachten der MEDAS (vom 16. Oktober 2006) diagnostizierten die Experten Prof. Dr. C._ und Dr. med. O._ - entgegen der Diagnose im Hauptgutachten - eine Borreliose Stadium II mit Beteiligung des Bewegungsapparates mit/bei Verdacht auf post-treatment chronic disease. Sie führten aus, es dürfe als gesichert gelten, dass die Versicherte bei positivem Nachweis von Antiborrelien-IgG, positiver Borrelien-Komplementbindungsreaktion sowie dem Nachweis von insgesamt fünf spezifischen Banden im Borrelien-IgG-Western Blot Kontakt mit Borreliae burgdorferi hatte. Ebenso dürfe in Verbindung mit rezidivierenden, migratorischen Episoden von Arthralgien, mit zentrifugalem, atypischem Befallsmuster der Finger-, Hand-, Ellbogen-, Knie-, Fuss- und Zehengelenke, die Diagnose einer Lyme-Borreliose Stadium II als gesichert gelten. Aufgrund der Anamnese und der zur Verfügung stehenden Unterlagen werde ein Zusammenhang zwischen dem beklagten Beschwerdebild und der Borreliose als wahrscheinlich erachtet.
Eine Auseinandersetzung mit dieser gegenteiligen Expertenmeinung findet sich im Hauptgutachten nicht, worin lediglich von einer möglichen Lyme-Borreliose ausgegangen wurde. Die konsiliarisch hinzugezogenen Prof. Dr. C._ und Dr. med. O._ erklärten sich denn auch nicht unterschriftlich mit den Schlussfolgerungen der Hauptexpertise einverstanden. Im Hauptgutachten wurde sodann nicht überzeugend dargelegt, weshalb die Beschwerdeführerin ebenso wahrscheinlich an den Folgen einer unspezifischen, bakteriellen oder viralen Infektion der Luftwege oder des Gastrointestinaltraktes leiden könnte, welche Schlussfolgerungen einzig auf den anamnestischen Angaben der Versicherten, im Frühling 2005 an zwei Infekten (Erkältung/Darm) gelitten zu haben, fussten. Daran vermag auch die von der Beschwerdegegnerin veranlasste ergänzende Stellungnahme der MEDAS vom 28. Oktober 2007 nichts zu ändern, worin die divergierenden gutachterlichen Auffassungen nicht überzeugend geklärt wurden, wenn ausgeführt wird, dass das Fehlen von Gelenksentzündungen gegen einen entscheidenden Anteil der Borreliose am geklagten Beschwerdekomplex spreche. Eine Lyme-Arthritis könne nicht aufgrund von unspezifischen Gelenkschmerzen (Arthralgien) diagnostiziert werden, sondern dazu seien Arthritidien (in aller Regel mit Ergussbildung und positivem labortechnischem Punktatbefund einhergehenden Gelenksentzündungen) zu fordern.
Zum einen stand bei der Beschwerdeführerin die Diagnose einer Lyme-Arthritis nie im Raum, zum andern schliesst das Vorliegen einzig von migratorischen Arthralgien (ohne physikalisch fassbare Entzündungszeichen) und nicht von Arthritiden mit Gelenksschwellungen, die Diagnose einer Lyme-Borreliose nicht aus, wie sich aus dem infektiologischen Teilgutachten ergibt und worauf Dr. med. S._ ebenfalls klar hinweist (Schreiben vom 7. November, 17. Dezember 2007 und 11. März 2008; vgl. auch S._, a.a.O. S. 358 ff.). Mit Blick auf den im MEDAS-Gutachten erwähnten fehlenden Erregernachweis mittels PCR-Methode (Genomnachweis) ist sodann mit Dr. med. S._ festzustellen, dass ein positives PCR-Resultat gemäss Literatur für eine Borreliose wohl beweisend ist, ein negatives Resultat hingegen eine Borreliose nicht ausschliessen kann (Steffen, Hirsch, a.a. O. S. 739). Zudem trug ebenso der behandelnde Arzt Dr. med. S._ objektiv feststellbare Gesichtspunkte vor, die geeignet sind, die Schlussfolgerungen im MEDAS-Gutachten in Frage zu stellen (vgl. Plädoyer 2009/2 S. 69 E. 4, 9C_53/2008, mit Hinweis auf SVR 2008 IV Nr. 62 S. 2003, 9C_830/2007). Mit Blick auf den Krankheitsverlauf und das Beschwerdebild vermögen die Gründe, die im MEDAS-Hauptgutachten gegen die Annahme einer Lyme-Borreliose sprechen, nicht zu überzeugen, weshalb die Expertise keine beweiskräftige Entscheidungsgrundlage (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 352) für die hier zu beurteilende Frage darstellt. Aufgrund der sich widersprechenden medizinischen Aktenlage sind ergänzende Abklärungen unumgänglich. Die Sache ist daher an die Allianz zurückzuweisen, damit diese zur Frage, ob ein Zeckenstich kausal für die geltend gemachten Beschwerden ist, eine Zweitexpertise einholt.
5. Die Rückweisung der Sache an die Allianz zu neuem Entscheid mit noch offenem Ausgang gilt bei der Auferlegung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung als volles Obsiegen der Versicherten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1). Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten daher der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin steht eine Parteientschädigung zu.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 17. September 2009 und der Einspracheentscheid der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft vom 28. November 2007 werden aufgehoben. Es wird die Sache an die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch der Beschwerdeführerin neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. April 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Polla