Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. In der von der X._ Inkasso AG gegen H._ eingeleiteten Betreibung über einen Betrag von Fr. 38'950.40 erhob dieser mit der Begründung, er sei nicht zu neuem Vermögen gekommen, Rechtsvorschlag gemäss <ref-law>. Das Betreibungsamt legte den Rechtsvorschlag dem Richter vor. Mit Verfügung vom 27. Mai 2003 bewilligte der Einzelrichter des Bezirkes Bülach im summarischen Verfahren den erhobenen Rechtsvorschlag wegen fehlenden neuen Vermögens teilweise und stellte fest, dass H._ in der vorliegenden Betreibung im Umfange von Fr. 29'237.-- zu neuem Vermögen gekommen ist.
Im Oktober 2003 erhob H._ beim Bezirksgericht Bülach Klage mit dem (sinngemässen) Begehren, es sei festzustellen, dass er nicht zu neuem Vermögen gekommen ist. In der Folge fand am 12. Februar 2004 vor der Einzelrichterin lic. iur. E. Roos eine erste Hauptverhandlung statt, wurden verschiedene Prozesshandlungen vorgenommen und wurde schliesslich auf den 25. Juni 2004 für die Fortsetzung der Hauptverhandlung vorgeladen.
Im Oktober 2003 erhob H._ beim Bezirksgericht Bülach Klage mit dem (sinngemässen) Begehren, es sei festzustellen, dass er nicht zu neuem Vermögen gekommen ist. In der Folge fand am 12. Februar 2004 vor der Einzelrichterin lic. iur. E. Roos eine erste Hauptverhandlung statt, wurden verschiedene Prozesshandlungen vorgenommen und wurde schliesslich auf den 25. Juni 2004 für die Fortsetzung der Hauptverhandlung vorgeladen.
B. Mit Eingabe vom 7. Juni 2004 ersuchte die X._ Inkasso AG um den Ausstand der Bezirksrichterin lic. iur. E. Roos (sowie der juristischen Sekretärin lic. iur St. Knöpfli) und verlangte ferner eine Protokollberichtigung und die Verschiebung der Fortsetzung der Hauptverhandlung. Die abgelehnte Bezirksrichterin überwies das Ablehnungsbegehren der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich zum Entscheid und gab gleichzeitig die gewissenhafte Erklärung im Sinne von § 100 Abs. 1 GVG ab, dass gegen sie kein Ausschluss- oder Ablehnungsgrund bestehe.
Mit Beschluss vom 5. August 2004 wies die Verwaltungskommission das Ablehnungsbegehren ab. Sie hielt dafür, die gegen die Einzelrichterin erhobenen Vorwürfe erwiesen sich als unbegründet und der Verdacht der Voreingenommenheit der Bezirksrichterin gründe allein im subjektiven Empfinden der Antragstellerin.
Mit Beschluss vom 5. August 2004 wies die Verwaltungskommission das Ablehnungsbegehren ab. Sie hielt dafür, die gegen die Einzelrichterin erhobenen Vorwürfe erwiesen sich als unbegründet und der Verdacht der Voreingenommenheit der Bezirksrichterin gründe allein im subjektiven Empfinden der Antragstellerin.
C. Gegen diesen Beschluss der Verwaltungskommission hat die X._ Inkasso AG beim Bundesgericht am 13. September 2004 staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Sie rügt Verletzungen von Art. 29 und 30 BV sowie von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und macht im Wesentlichen geltend, die abgelehnte Bezirksrichterin habe durch ihr Verhalten im Prozess bei objektiver Betrachtung den Anschein der Voreingenommenheit und Parteilichkeit erweckt.
Bezirksrichterin lic. iur. E. Roos hat ihre Vernehmlassung auf eine Bemerkung zur Kenntnis der Parteien beschränkt. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Der Beschwerdegegner H._ hat sich nicht vernehmen lassen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts kann nach Art. 87 Abs. 1 OG mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden. Die Beschwerde ist im Lichte von Art. 34 Abs. 1 lit. b OG rechtzeitig erhoben werden. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
1. Der Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts kann nach Art. 87 Abs. 1 OG mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden. Die Beschwerde ist im Lichte von Art. 34 Abs. 1 lit. b OG rechtzeitig erhoben werden. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2. 2.1 Der aus <ref-law> fliessende Anspruch auf einen unvoreingenommenen, unabhängigen und unparteiischen Richter bezieht sich auf die Beurteilung von Streitsachen durch Gerichte. Demgegenüber regelt die Bestimmung von <ref-law> den Ausstand von Behördenmitgliedern in Administrativstreitigkeiten (vgl. <ref-ruling> E. 2b, ZBl 103/2002 S. 36 E. 2a und ZBl 103/2002 S. 276). Im vorliegenden Fall ist der Ausstand der Bezirksrichterin in einem Verfahren betreffend Klage auf Feststellung des Fehlens von neuem Vermögen vor dem Bezirksgericht umstritten. Dieses Verfahren ist ein gerichtliches im Sinne von <ref-law>. Daher kommt im vorliegenden Fall einzig diese Verfassungsbestimmung zur Anwendung und ist <ref-law>, auf die sich die Beschwerdeführerin ebenfalls beruft, ohne Bedeutung.
2.2 Weiter stellt sich die Frage der Anwendbarkeit von Art. 6 Ziff. 1 EMRK im vorliegenden Verfahren, das der Durchsetzung und Vollstreckung einer im Grundsatz unbestrittenen Forderung dient. Diese Bestimmung kommt zur Anwendung, wenn über Ansprüche und Verpflichtungen zivilrechtlicher Art zu entscheiden ist. Nach der älteren Praxis der Strassburger Organe trifft dies nicht zu, wenn Bestand und Umfang des zu vollstreckenden Rechts vom Verfahren nicht mehr betroffen sind; anders kann es sich indessen verhalten, wenn im Vollstreckungsverfahren erneut Entscheidungen über Rechte und Pflichten möglich sind (vgl. Mark E. Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention, 2. Aufl. 1999, Rz. 390, mit Hinweisen; Jochen Abr. Frowein/Wolfgang Peukert, EMRK-Kommentar, 2. Aufl. 1996, Rz. 52 zu Art. 6 S. 195; Arthur Haefliger/Frank Schürmann, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, 2. Aufl. 1999, S. 147). Die neuere Rechtsprechung stellt zur Frage der Anwendbarkeit von Art. 6 Ziff. 1 EMRK in Vollstreckungsverfahren darauf ab, ob das betreffende Urteil unabhängig von seinem Rechtsgrund wirksam wird und "le droit revendiqué trouve sa réalisation effective" (Urteil Pérez de Rada Cavanilles gegen Spanien, Recueil CourEDH 1998-VII S. 3242, Ziff. 39, Urteil Estima Jorge gegen Spanien, Recueil CourEDH 1998-II S. 762, Ziff. 37, Urteil Robins gegen Grossbritannien, Recueil CourEDH-1997-V S. 1898, Ziff. 28, je mit Hinweisen). In allgemeinerer Weise scheint der Gerichtshof das Vollstreckungsverfahren als Teil der contestation sur un droit de caractère civil zu verstehen (vgl. Urteil Hornsby gegen Griechenland, Recueil CourEDH 1997-II S. 495, Ziff. 40). Im Urteil Estima Jorge (a.a.O., Ziff. 35 ff.) führte er aus, Art. 6 Ziff. 1 EMRK verlange, dass alle gerichtlichen Verfahrensabschnitte, welche zur Realisierung von Zivilrechten gehören, innert angemessener Frist vorgenommen werden und Verfahrensschritte nach Abschluss der materiellen Entscheidungen davon nicht ausgeschlossen werden dürften. Der Ausdruck contestation dürfe nicht in einem rein technischen Sinne verstanden werden und sei mehr materiell als formell zu umschreiben. Im entsprechenden Fall betraue die portugiesische Gesetzgebung die Gerichte mit der Aufgabe der Vollstreckung, unabhängig von der Natur des Titels. Das gerichtliche Verfahren sei daher für die réalisation effective der Zivilrechte ausschlaggebend. Deshalb sind die Verfahrensgarantien nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK (und insbesondere der Anspruch auf einen Entscheid innert angemessener Frist) auf das entsprechende Verfahren als anwendbar bezeichnet worden (vgl. auch Urteil Pérez de Rada Cavanilles, a.a.O., Ziff. 39, Urteil Robins, a.a.O., zur Frage der Parteikosten in einem Vollstreckungsverfahren).
Im vorliegenden Fall ist die der Betreibung zugrunde liegende Forderung der Beschwerdeführerin gegen den Beschwerdegegner gemäss der Verfügung des Einzelrichters im summarischen Verfahren vom 27. Mai 2003 unbestritten. Insoweit handelt es sich im Verfahren vor dem Bezirksgericht Bülach nicht um eine eigentliche Streitigkeit über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen. Im Lichte der genannten Strassburger Rechtsprechung kann das Betreibungsverfahren bzw. dessen Fortsetzung nicht klarerweise vom Anwendungsbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK ausgeschlossen werden. In einem jüngsten, zur Publikation bestimmten Urteil hat das Bundesgericht die Anwendbarkeit von Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf den Richter im Sinne von <ref-law> sinngemäss bejaht (Urteil i.S. X. vom 23. September 2004, 5P.142/2004). Damit ist auch im vorliegenden Verfahren von der Anwendbarkeit von Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf den Richter gemäss <ref-law> auszugehen, auch wenn der Frage keine entscheidende Bedeutung zukommt, da sich der Anspruch auf einen unvoreingenommenen, unabhängigen und unparteiischen Richter gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK weitgehend nach denselben Kriterien richtet und die nationale Verfassungsbestimmung eine umfassende Garantie gewährleistet (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 53).
2.3 Die Beschwerdeführerin bringt einzig Rügen wegen Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK vor und macht nicht geltend, das Obergericht habe die kantonalen Regeln über den Ausstand von Justizpersonen gemäss § 95 ff. des Gerichtsverfassungsgesetzes (GVG) unrichtig bzw. willkürlich angewendet. Die Beschwerde ist daher ausschliesslich im Lichte der verfassungsmässigen Bestimmungen über den Ausstand und die Ablehnung von Richtern zu beurteilen (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 52). Dabei wird den Besonderheiten des Verfahrens, wie sie sich aus dem SchKG und dem kantonalen Verfahrensrecht ergeben, Rechnung zu tragen sein.
2.3 Die Beschwerdeführerin bringt einzig Rügen wegen Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK vor und macht nicht geltend, das Obergericht habe die kantonalen Regeln über den Ausstand von Justizpersonen gemäss § 95 ff. des Gerichtsverfassungsgesetzes (GVG) unrichtig bzw. willkürlich angewendet. Die Beschwerde ist daher ausschliesslich im Lichte der verfassungsmässigen Bestimmungen über den Ausstand und die Ablehnung von Richtern zu beurteilen (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 52). Dabei wird den Besonderheiten des Verfahrens, wie sie sich aus dem SchKG und dem kantonalen Verfahrensrecht ergeben, Rechnung zu tragen sein.
3. Die Beschwerdeführerin macht in verschiedenster Hinsicht geltend, das Verhalten der abgelehnten Bezirksrichterin im Einzelnen und gesamthaft betrachtet erwecke den Anschein der Befangenheit, weshalb die Abweisung des Ausstandsgesuches vor der Verfassung nicht standhalte.
Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine Umstände, welche ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zu Gunsten oder zu Lasten einer Partei auf das Urteil einwirken (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3b und 3c S. 53, 128 V 82 E. 2 S. 84, 126 I 68 E. 3 S. 73, 124 I 121 E. 2 und 3 S. 122, 124 I 255 E. 4a S. 261, 119 Ia 221 E. 5 S. 227, mit Hinweisen).
Voreingenommenheit wird nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit eines Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Voreingenommenheit des Richters muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, welche bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Angesichts der Bedeutung der Garantie des verfassungsmässigen Richters lässt sich eine restriktive Auslegung nicht rechtfertigen. Der Ausstand im Einzelfall steht indessen in einem gewissen Spannungsverhältnis zum Anspruch auf den gesetzlichen Richter und muss daher die Ausnahme bleiben, damit die regelhafte Zuständigkeitsordnung für die Gerichte nicht illusorisch und die Garantie des verfassungsmässigen Richters nicht von dieser Seite her ausgehöhlt werden.
Voreingenommenheit wird nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit eines Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Voreingenommenheit des Richters muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, welche bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Angesichts der Bedeutung der Garantie des verfassungsmässigen Richters lässt sich eine restriktive Auslegung nicht rechtfertigen. Der Ausstand im Einzelfall steht indessen in einem gewissen Spannungsverhältnis zum Anspruch auf den gesetzlichen Richter und muss daher die Ausnahme bleiben, damit die regelhafte Zuständigkeitsordnung für die Gerichte nicht illusorisch und die Garantie des verfassungsmässigen Richters nicht von dieser Seite her ausgehöhlt werden.
4. Im Folgenden sind die unterschiedlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin im Lichte der genannten Kriterien zum Anspruch auf einen verfassungsmässigen Richter im Einzelnen zu behandeln und einer Gesamtbeurteilung zu unterziehen.
4.1 In verfahrensrechtlicher Hinsicht bringt die Beschwerdeführerin vorerst vor, die abgelehnte Richterin habe es entgegen der Bestimmung von § 73 Ziff. 2 des Gesetzes über den Zivilprozess des Kantons Zürich (Zivilprozessordnung, ZPO) unterlassen, dem klagenden Beschwerdegegner vor der Einladung zur Hauptverhandlung eine Prozesskaution aufzuerlegen. Anlässlich der Hauptverhandlung habe sie darauf erst auf entsprechende Intervention eine Kaution verlangt und diese tief bzw. nach der Höhe der vorhandenen Mittel festgesetzt. Darin erblickt die Beschwerdeführerin einen Verfahrensmangel zu ihren Ungunsten, der den Anschein der Befangenheit erwecke.
Nach der Rechtsprechung vermögen Verfahrensfehler im Allgemeinen keinen Anschein der Befangenheit des Richters zu begründen, es sei denn, sie seien von grossem Gewicht, träten wiederholt auf und brächten auf diese Weise eine Voreingenommenheit oder eine Benachteiligung der einen Prozesspartei zum Ausdruck (vgl. <ref-ruling> E. 3e S. 124, 116 Ia 135 E. 3a S. 138, 114 Ia 153 E. 3b/bb S. 158; vgl. Regina Kiener, Richterliche Unabhängigkeit, Bern 2001, S. 105 f.).
Davon kann hinsichtlich der vorerst unterlassenen Kautionierung nicht die Rede sein. Der Verfahrensmangel war zum einen nicht schwer wiegend und konnte im Laufe der Hauptverhandlung behoben werden. Daran ändert der Umstand nichts, dass der Vertreter der Beschwerdeführerin anlässlich der Hauptverhandlung auf förmlicher Auferlegung einer Kaution bestehen musste. Auch aus der Festsetzung der Kautionshöhe entsprechend den vorhandenen Mitteln des Beschwerdegegners bzw. seiner Begleiterinnen auf Fr. 400.-- kann nicht auf Befangenheit der Richterin geschlossen werden. Die Beschwerdeführerin hatte ohne weiteres und ohne verfahrensrechtlichen Nachteil die Möglichkeit, im Laufe des Verfahrens eine Erhöhung der Kaution zu verlangen. Zudem erlaubte das Vorgehen, von einem vorzeitigen Abbruch der Hauptverhandlung abzusehen und diese zum Vorteil beider Parteien tatsächlich weiter zu führen. Von ausschlaggebender Bedeutung ist schliesslich, dass die Richterin den Verfahrensmangel keineswegs zu verbergen oder zu rechtfertigen suchte, sondern ihn anfangs der Hauptverhandlung von sich aus vorbrachte, offen eingestand und zu beheben gewillt war. Gesamthaft gesehen vermögen demnach die Umstände der Kautionsauferlegung keine Voreingenommenheit der Richterin zu begründen.
4.2 Einen den Beschwerdegegner bevorteilenden Verfahrensmangel erblickt die Beschwerdeführerin ferner im Umstand, dass die abgelehnte Richterin die Hauptverhandlung abbrach und deren Fortsetzung in einem späteren Zeitpunkt anordnete. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, dass die Hauptverhandlung grundsätzlich in einem Zuge durchzuführen sei und für einen Abbruch im vorliegenden Fall keine Veranlassung bestanden habe. Das Vorgehen der Richterin könne daher entgegen der Auffassung des Obergerichts weder als zulässig noch als zweckmässig bezeichnet werden.
Das Obergericht führte aus, dass es dem Vertreter der Beschwerdeführerin im Rahmen seiner Klageantwort nicht möglich gewesen wäre, zu den Vorbringen des Beschwerdegegners substantiiert Stellung zu nehmen, weil nämlich die schriftlichen Belege zu den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdegegners noch gar nicht vorlagen. Diese Ausführungen erweisen sich angesichts der konkreten Prozesslage als zutreffend und die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, dass bereits im Anschluss an die erste Hauptverhandlung definitiv hätte entschieden werden müssen. Von Bedeutung ist vielmehr, dass aus dem Umstand des Abbruchs der Hauptverhandlung selber keine Schlüsse auf die Voreingenommenheit bzw. Unvoreingenommenheit der Richterin gezogen werden können, da die Verschiebung im Wesentlichen von der Zulässigkeit der Verhandlungsführung im Allgemeinen und unter dem Gesichtswinkel der Verhandlungsmaxime insbesondere von der Zulässigkeit des Einforderns von weiteren Unterlagen beim Beschwerdegegner abhängt.
4.3 Zur Hauptsache macht die Beschwerdeführerin geltend, die abgelehnte Richterin habe wesentliche Verfahrensgrundsätze missachtet und dadurch zu ihrem Nachteil den Anschein der Befangenheit erweckt. Insbesondere habe sie die im Zivilprozess geltende Verhandlungsmaxime verletzt, von sich aus nach Argumenten und Beweismitteln, welche zum Nachweis fehlenden neuen Vermögens beitragen könnten, geforscht, dem Beschwerdegegner weitgehende Hilfeleistungen geboten und dadurch gewissermassen als Vertreter des Beschwerdegegners dessen Prozess geführt. Zur Beurteilung dieser Rügen ist vorerst auf die Eigenart des zugrunde liegenden Verfahrens und die Grundsätze des Zivilprozesses näher einzugehen.
4.3.1 Nach <ref-law> kann gestützt auf einen Verlustschein eine neue Betreibung nur eingeleitet werden, wenn der Schuldner zu neuem Vermögen gekommen ist; als neues Vermögen gelten auch Werte, über die der Schuldner wirtschaftlich verfügt. Erhebt der Schuldner mit der Begründung, er sei nicht zu neuem Vermögen gekommen, Rechtsvorschlag, wird dieser gemäss <ref-law> dem Richter vorgelegt, der darüber im summarischen Verfahren (<ref-law> und <ref-law>) endgültig entscheidet. Der Richter bewilligt den Rechtsvorschlag, wenn der Schuldner seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse darlegt und glaubhaft macht, er sei nicht zu neuem Vermögen gekommen (<ref-law>); bewilligt der Richter den Rechtsvorschlag nicht, so stellt er den Umfang des neuen Vermögens (unter allfälligem Einschluss von Vermögenswerten Dritter) fest (<ref-law>). Dem Schuldner kommt in diesem Verfahren eine Mitwirkungspflicht zur allfälligen Glaubhaftmachung fehlenden neuen Vermögens zu. Indessen sind angesichts des Summarverfahrens an die Beweisführung keine allzu hohen Anforderungen zu stellen (vgl. Beat Fürstenberger, Einrede des mangelnden und Feststellung neuen Vermögens nach revidiertem Schuldbetreibungs- und Konkursgesetz, Diss. Basel 1999, S. 85). Verweigert der Schuldner die Mitwirkung und macht er das Fehlen neuen Vermögens nicht glaubhaft, so wird der Richter den Rechtsvorschlag nicht bewilligen, es sei denn, der Vermögensmangel sei offensichtlich (Botschaft über die Änderung des Bundesgesetzes über Schuldbetreibung und Konkurs, BBl 1991 III 1/159).
In diesem Sinne hat der Summarrichter über den Rechtsvorschlag bzw. das Vorliegen neuen Vermögens befunden. Nach der von ihm wiedergegebenen Zürcher Praxis bildet der betreibungsrechtliche Notbedarf des Schuldners die Grundlage für die Ermittlung des standesgemässen Lebensunterhalts, und zwar mit einem Zuschlag von zwei Dritteln zum Grundbetrag. In Anwendung dieser Grundsätze hat der Summarrichter über den Grundbetrag hinaus u.a. einen (reduzierten) Mietzins, Krankenversicherungsprämien, Steuern, ein Abonnement für den öffentlichen Verkehr, Telefon- und Stromkosten sowie Alimentenzahlungen berücksichtigt, darüber hinausgehende unbelegte Ausgaben indessen nicht einbezogen.
4.3.2 In Folge des Entscheides des Summarrichters kann sowohl der Gläubiger als auch der Schuldner gemäss <ref-law> Klage auf Feststellung neuen bzw. mangelnden neuen Vermögens erheben. Das Verfahren richtet sich unter Beachtung von <ref-law> nach dem kantonalen Prozessrecht und wird im Kanton Zürich vom Einzelrichter im beschleunigten Verfahren geführt (§ 22 Ziff. 6 GVG; vgl. Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar der zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 8 vor § 204 ff.). Dieses Verfahren ist ein eigenständiges Verfahren und stellt keine eigentliche Fortführung des summarischen Verfahrens dar, weist indessen den gleichen Gegenstand auf (vgl. Botschaft, a.a.O., S. 159; vgl. Fürstenberger, a.a.O., S. 97 und 98 f.; Ueli Huber, in: Staehelin/Bauer/Staehelin, Kommentar zum SchKG, Band III, Basel 1998, Rz. 42 zu Art. 265a). Die Klage nach <ref-law> wird als betreibungsrechtliche Streitigkeit bezeichnet (Kurt Amonn/Dominik Gasser, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 6. Aufl. 1997, Rz. 44 zu § 48; Karl Spühler/Susanne Pfister, Schuldbetreibungs- und Konkursrecht I, 2. Aufl. 1999, S. 122). Aufgrund einer vollständigen Beweiserhebung kann eine umfassende Einzelwürdigung der Vermögensverhältnisse und des Grundsatzes der standesgemässen Lebensführung erfolgen (Fürstenberger, a.a.O., S. 55); der Richter stellt fest, wie weit Kapital und Einkommen des Schuldners neues Vermögen darstellen (Frank/ Sträuli/Messmer, a.a.O., N. 41a zu § 9; vgl. Amonn/Gasser, a.a.O., Rz. 42 zu § 48).
4.3.3 Das Verfahren um Feststellung neuen Vermögens im Sinne von <ref-law> richtet sich, wie dargelegt, nach kantonalem Prozessrecht. Dazu zählen im Hinblick auf die vorliegend streitigen Fragen insbesondere § 54 f. ZPO: Unter dem Titel Verhandlungs- und Dispositionsmaxime legt <ref-law> fest, dass es Sache der Parteien ist, dem Gericht das Tatsächliche des Rechtsstreits darzulegen; dieses legt seinem Verfahren nur behauptete Tatsachen zugrunde. Demgegenüber hält <ref-law> unter dem Titel der richterlichen Fragepflicht fest, dass der Partei Gelegenheit zur Behebung des Mangels unklarer, unvollständiger oder unbestimmter Vorbringen zu geben ist, insbesondere durch richterliche Befragung.
4.3.3 Das Verfahren um Feststellung neuen Vermögens im Sinne von <ref-law> richtet sich, wie dargelegt, nach kantonalem Prozessrecht. Dazu zählen im Hinblick auf die vorliegend streitigen Fragen insbesondere § 54 f. ZPO: Unter dem Titel Verhandlungs- und Dispositionsmaxime legt <ref-law> fest, dass es Sache der Parteien ist, dem Gericht das Tatsächliche des Rechtsstreits darzulegen; dieses legt seinem Verfahren nur behauptete Tatsachen zugrunde. Demgegenüber hält <ref-law> unter dem Titel der richterlichen Fragepflicht fest, dass der Partei Gelegenheit zur Behebung des Mangels unklarer, unvollständiger oder unbestimmter Vorbringen zu geben ist, insbesondere durch richterliche Befragung.
4.4 4.4.1 Für die Beurteilung der Rüge der Beschwerdeführerin, die abgelehnte Richterin habe durch Verletzung der Verhandlungsmaxime und entsprechende Nachfragen betreffend der Vermögensverhältnisse des Beschwerdegegners den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erweckt, ist von der Eigenart des geschilderten Verfahrens auszugehen. Dabei ist insbesondere zu beachten, dass dem Verfahren nicht eine eigentliche Zivilforderung, sondern eine dem Schuldbetreibung und Konkurs eigene Fragestellung und damit eine betreibungsrechtliche Streitigkeit zugrunde liegt, nämlich ob der Schuldner über neues Vermögen verfügt oder nicht. Vor diesem Hintergrund gilt es die Verhandlungsmaxime gemäss <ref-law> der richterlichen Fragepflicht nach <ref-law> gegenüber zu stellen.
Im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren ist nicht die Verfassungsmässigkeit der Handhabung des kantonalen Prozessrechts, d.h. die Einhaltung der Verhandlungsmaxime oder allfällige Verletzung der richterlichen Fragepflicht durch die abgelehnte Richterin, zu prüfen. Vielmehr ist unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> ausschliesslich zu beurteilen, ob die abgelehnte Richterin mit ihrer Prozessführung den Anschein der Befangenheit erweckt hat.
4.4.2 Gemäss dem Protokoll der Hauptverhandlung vom 12. Februar 2004 hat die Richterin auf das Verfahren vor dem Summarrichter und dessen Verfügung vom 27. Mai 2003 verwiesen und ausgeführt, dass nunmehr alle möglichen Belege beigebracht und diese auch noch nachgereicht werden könnten. Sie erklärte, dass möglichst viele Daten zu erheben seien, über welche der Summarrichter mangels Belegen nicht verfügt hatte. Aufgrund der vorgelegten Dokumente schickte sie sich an, den Beschwerdegegner zu den einzelnen relevanten Posten zu befragen. Dies betraf im Einzelnen den Grundbetrag sowie den Betrag für die Kinder, die Mietkosten und Nebenkosten für die Wohnung, die Krankenkassenprämien und die Steuerrechnungen. Am Schluss der Verhandlung forderte die Richterin den Beschwerdegegner auf, die Belege für die folgenden Posten noch nachzureichen: Steuern, öffentliche Verkehrsmittel, Mietnebenkosten, Telefon/Radio/TV, Alimente, Schuldzinstilgung, Ausgaben infolge Invalidität, Auto-Leasing, Lohnausweise, IV-Gelder. Die Richterin stellte schliesslich in Aussicht, dem Beschwerdegegner eine Liste der noch nachzureichenden Belege zuzustellen.
Diese Zusammenstellung zeigt, dass die abgelehnte Richterin im Wesentlichen Punkte angesprochen hat, welche bereits Gegenstand der Verfügung des Summarrichters bildeten (vgl. oben E. 4.3.1) und aufgrund der Klage des Beschwerdegegners nunmehr in einem Verfahren, das eine umfassende Beweiserhebung erlaubt, zu prüfen waren. Die einzelnen Posten betreffen, wie gezeigt, Elemente, welche für die Festlegung des Grundbedarfs von Bedeutung sind und in der Praxis anhand von Check-Listen geprüft werden. Die Befragung ging nicht über diesen Bereich hinaus; insbesondere forschte die abgelehnte Richterin nicht nach neuen oder gar ungewöhnlichen Sachverhalten oder nach weitern bisher nicht angesprochenen Schulden oder Verpflichtungen, um den Nachweis fehlenden neuen Vermögens zu erbringen. Insoweit kann entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht gesagt werden, die abgelehnte Richterin habe für den Beschwerdegegner den Prozessstoff gesammelt und für ihn gar den Prozess geführt. Daran vermag auch der Grundsatz der Verhandlungsmaxime nichts zu ändern. Angesichts der unklaren Sachverhaltsumstände hinsichtlich der umstrittenen Punkte darf mit dem Obergericht angenommen werden, dass die Richterin aufgrund von <ref-law> zu entsprechenden Nachfragen befugt war und die entsprechenden Unterlagen nachträglich einholen durfte. Dies kann umso mehr angenommen werden, als sich der Beschwerdegegner eher unbeholfen verhielt und mit dem Prozessstoff offensichtlich Mühe bekundete. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass dieser in einer früheren Phase möglicherweise anwaltlich beraten und an der Verhandlung begleitet war und ihn die abgelehnte Richterin auf die Möglichkeit des Beizuges eines Rechtsvertreters hätte aufmerksam machen können. Angesichts der Besonderheit des Verfahrens mit betreibungsrechtlichem Gegenstand kann daher nicht gesagt werden, die abgelehnte Richterin habe die richterliche Fragepflicht überspannt und es hätte in Beachtung der Verhandlungsmaxime nur hinsichtlich förmlich ins Verfahren eingebrachter Punkte nachgefragt werden dürfen.
Bei dieser Sachlage kann der abgelehnten Richterin insoweit nicht vorgehalten werden, durch ihre Prozessleitung den Anschein der Befangenheit oder Voreingenommenheit erweckt zu haben.
4.5 Die Beschwerdeführerin beruft sich auf weitere Handlungen der abgelehnten Richterin, welche den Anschein von deren Voreingenommenheit erwecken und belegen sollen.
Die abgelehnte Richterin hat sich nicht damit begnügt, am Schluss der abgebrochenen Hauptverhandlung die für die Beurteilung erforderlichen Dokumente und Beweisstücke aufzulisten, sondern hat dem Beschwerdegegner in der Folge eine entsprechende Aufstellung zugestellt und um Einreichung der genannten Dokumente innert Frist ersucht. Mit der Beschwerdeführerin kann davon ausgegangen werden, dass es sich dabei nicht um eine förmliche Beweisauflage- oder Beweisabnahmeverfügung handelt. Das Schreiben kann indessen gewissermassen als Zusammenfassung der abgebrochenen Hauptverhandlung verstanden werden. Es bringt in materieller Hinsicht nichts Neues. Es dient der Klärung und soll - in Anbetracht der unbeholfenen Prozessführung durch den Beschwerdegegner - dazu beitragen, der Fortsetzung der Hauptverhandlung eine klarere Ausrichtung zu geben und eine geordnete Weiterführung des Verfahrens zu ermöglichen. Insoweit dient es gleichermassen beiden Parteien und es kann darin daher kein Umstand erblickt werden, der den Beschwerdegegner angeblich bevorteilen und damit den Anschein der Voreingenommenheit erwecken könnte.
An dieser Beurteilung vermag auch die am Schluss des Briefes enthaltene Grussformel nichts zu ändern. Die Formulierung - "Für allfällige Fragen stehe ich Ihnen unter der Telefon Nummer ... gerne zur Verfügung. Mit bestem Dank für Ihre Bemühungen und freundlichen Grüssen" - ist, wie bereits das Obergericht festgestellt hat, sehr höflich und wenig geschäftsmässig ausgefallen. Darin kann indessen kein Anzeichen von Voreingenommenheit erblickt werden. Zum einen hat den Brief nicht die abgelehnte Richterin unterzeichnet; zum andern kommt durch die Grussformel eine bestimmte Haltung zum Verhältnis zwischen Gerichten und Rechtsuchenden zum Ausdruck, welche nicht als einseitige Bevorzugung einer der Parteien und als Zeichen der Befangenheit verstanden werden kann.
4.6 In ähnlichem Zusammenhang steht ferner ein Gespräch der abgelehnten Richterin mit dem Beschwerdegegner. Aus der darüber verfassten Aktennotiz geht hervor, dass es der Beschwerdegegner war, der die Richterin angerufen und sie angefragt hat, in welcher Form er gewisse Unterlagen einzureichen habe. Aus der neutralen Beantwortung kann keine Bevorzugung des Schuldners erblickt werden. Schliesslich ist von Bedeutung, dass die abgelehnte Richterin über das Telefonat eine Aktennotiz verfasste und dieses damit aktenkundig machte. Ein Anschein von Befangenheit kann darin auch bei objektiver Betrachtung nicht erblickt werden.
4.7 Die vorstehenden Erwägungen zeigen, dass die einzelnen Vorbringen der Beschwerdeführerin je isoliert betrachtet nicht geeignet sind, aus objektiver Sicht den Anschein der Voreingenommenheit zu erwecken. Ein abweichendes Ergebnis ergibt sich entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin auch nicht aus einer gesamthaften Würdigung der vorgebrachten Umstände:
Der von der Beschwerdeführerin gerügte eigentliche Verfahrensmangel, dass im Vorfeld der Hauptverhandlung kein Kostenvorschuss verlangt und ein solcher entsprechend den vorhandenen Mittel erst im Laufe der Verhandlung erhoben worden ist, ist von geringem Gewicht, kann nicht als Bevorteilung des Beschwerdegegners ausgelegt werden und erweckt nicht den Anschein der Befangenheit. Die Prozessführung durch die abgelehnte Richterin mit entsprechenden Nachfragen beim Schuldner entspricht weitgehend der Natur der zugrunde liegenden betreibungsrechtlichen Streitigkeit, der Unbeholfenheit des Beschwerdegegners und dem Prozessgegenstand, wie er sich aufgrund des Entscheides des Summarrichters und der vom Beschwerdegegner erhobenen Klage ergibt. Das Schreiben der Richterin an den Beschwerdegegner mit der entsprechenden Grussformel und das Telefonat mit diesem könnten als Stilfragen diskutiert werden, bringen aber insgesamt keine mangelnde Distanz zur klagenden Partei zum Ausdruck. Das Protokoll über die Hauptverhandlung zeigt, dass die abgelehnte Richterin das Verfahren wenig straff führte, insbesondere Interventionen der Begleitpersonen des Beschwerdegegners zuliess und gewisse Mühe bekundete, die Parteien zur Beantwortung der rechtlich relevanten Fragen anzuhalten. Darin kommt indessen keine mangelnde Distanz zur Seite des Beschwerdegegners zum Ausdruck. Das Vorgehen entspricht vielmehr der prozessualen Unerfahrenheit des Beschwerdegegners und seiner Begleiterinnen. Daraus erklärt sich auch der Umstand, dass die Richterin den Parteien den Entscheid des Summarrichters und dessen Schlussfolgerungen im Lichte mangelnder Belege sowie das vor ihr stattfindende Verfahren mit der Möglichkeit einer vollen Beweiserhebung ausgiebig erläuterte. Schliesslich ist von erheblichem Gewicht, dass die abgelehnte Richterin den Verfahrensmangel der fehlenden Kaution von sich aus ansprach, das geführte Telefonat aktenkundig machte, auf Beschwerde hin das Protokoll berichtigte und mit dieser Haltung und den Erklärungen zum Verfahren sich um Klarheit und Transparenz bemühte. In Anbetracht all dieser Umstände kann trotz gewisser Ungeschicklichkeiten im Einzelnen bei objektiver Betrachtung nicht gesagt werden, die abgelehnte Bezirksrichterin habe durch ihr Verhalten den Anschein der Befangenheit oder Voreingenommenheit erweckt und könne daher den Prozess nicht weiterführen.
Die Rüge der Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK erweist sich daher als unbegründet.
Die Rüge der Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK erweist sich daher als unbegründet.
5. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 156 OG). Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, Bezirksrichterin E. Roos sowie der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Januar 2005
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber: