Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1974) stammt aus der Türkei. Er heiratete am 11. Januar 2003 die Schweizer Bürgerin Y._, worauf er eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei dieser erhielt. Seit Mai 2007 leben die Eheleute getrennt. Im Dezember 2007 erteilte das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen X._ die Niederlassungsbewilligung, ohne dass die Ehegatten wieder zusammengezogen wären.
B. Am 28. Januar 2008 ersuchte X._ darum, seine Kinder aus einer früheren Beziehung A._ (geb. 1995), B._ (geb. 1996) und C._ (geb. 1999) in die Schweiz nachziehen zu können, was das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen am 15. August 2008 ablehnte. Hiergegen gelangte X._ erfolglos an den Regierungsrat und das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Die kantonalen Behörden gingen bei ihren Entscheiden davon aus, dass keine zwingenden Gründe für den Nachzug sprächen, im Heimatland alternative Betreuungsmöglichkeiten bestünden und das Gesuch nicht dem Kindesinteresse entspreche.
C. X._ beantragt vor Bundesgericht, die kantonalen Entscheide aufzuheben und seinen Kindern A._, C._ und B._ im Rahmen des Familiennachzugs je eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; auf jeden Fall sei ihm für das vorinstanzliche Verfahren in Abweichung vom Urteil des Obergerichts die unentgeltliche Prozessführung und Vertretung zu gewähren. X._ macht geltend, er habe gestützt auf Art. 43 in Verbindung mit Art. 126 AuG (SR 142.20) bzw. gestützt auf Art. 8 EMRK einen Anspruch darauf, seine Kinder in die Schweiz nachziehen zu können.
Das Obergericht und der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Migration hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. X._ hat an seinen Anträgen und Ausführungen festgehalten.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer verfügt in der Schweiz über eine Niederlassungsbewilligung und hat nach dem Inkrafttreten des Ausländergesetzes darum ersucht, seine zu diesem Zeitpunkt rund 13, 12 und 9 Jahre alten Kinder in die Schweiz nachziehen zu können. Er verfügt grundsätzlich über einen entsprechenden gesetzlichen Anspruch (vgl. Art. 43 in Verbindung mit Art. 126 Abs. 3 AuG; <ref-law>). Zudem macht er geltend, mit seinen Kindern eine familiäre Beziehung im Sinne von Art. 8 EMRK zu leben und deshalb auch gestützt auf diese Bestimmung ein Recht auf die Familienzusammenführung geltend machen zu können. Ob die Bewilligungsvoraussetzungen gegeben sind, bildet praxisgemäss eine Frage der materiellen Beurteilung; für das Eintreten genügt, dass ein vertretbarer Anspruch auf den Nachzug besteht (vgl. BGE 2C_490/2009 vom 2. Februar 2010 E. 1.1 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.1.5 S. 149 f.; Urteil 2C_606/2009 vom 17. März 2010 E. 1). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten, soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des Urteils des Obergerichts des Kantons Schaffhausen beantragt. Nicht zu prüfen sind hingegen die anderen vom ihm beanstandeten kantonalen Entscheide, da sie nicht letztinstanzlich sind und damit nicht (unmittelbar) Anfechtungsobjekt vor Bundesgericht bilden können (Devolutiveffekt; vgl. <ref-law>).
2.1 2.1.1 Das Bundesgericht hat in seiner Rechtsprechung zu Art. 17 Abs. 2 ANAG danach unterschieden, ob die Gesamtfamilie oder bloss eine Teilfamilie zusammengeführt werden sollte (Nachzug zu den gemeinsamen Eltern oder zu einem Elternteil). Anders als bei zusammenlebenden Eltern, bei denen es für den nachträglichen Familiennachzug lediglich das Verbot des Rechtsmissbrauchs vorbehielt (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 3b S. 332), verneinte es beim Nachzug zu einem Elternteil das Bestehen eines bedingungslosen Anspruchs. Es verlangte hierfür vielmehr besondere familiäre Gründe bzw. eine zwingend notwendig gewordene Änderung in den Betreuungsverhältnissen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 9 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 4). Solche lagen praxisgemäss nicht vor, wenn im Heimatland alternative Pflegemöglichkeiten bestanden, die dem Kindeswohl besser entsprachen, weil dadurch vermieden werden konnte, dass die Kinder aus ihrer bisherigen Umgebung und dem ihnen vertrauten Beziehungsnetz gerissen wurden (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 11 f.; <ref-ruling> E. 2c S. 588 ff. mit Hinweisen). An den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland stellte die Rechtsprechung umso höhere Anforderungen, je älter das nachzuziehende Kind war und je grösser die Integrationsschwierigkeiten erschienen, die ihm hier drohten (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 16 sowie <ref-ruling> E. 5.3 S. 19 f. mit Hinweis auf das Urteil des EGMR i.S. Tuquabo-Tekle und andere gegen Niederlande vom 1. Dezember 2005 [Nr. 60665/00]).
2.1.2 Der Gesetzgeber hat im Ausländergesetz den Familiennachzug mit Blick auf die angestrebte frühzeitige Integration grundlegend neugestaltet (vgl. <ref-ruling> E. 4) und in den Übergangsbestimmungen (Art. 126 AuG) geregelt, wie der Systemwechsel vollzogen werden soll: Auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten eingereicht worden sind, bleibt das bisherige Recht anwendbar (Abs. 1), wogegen sich das Verfahren nach den neuen Bestimmungen richtet (Abs. 2). Ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, wenn sie (1) mit diesen zusammenwohnen (Art. 43 Abs. 1 AuG), (2) der Nachzug bei Kindern über zwölf Jahren innerhalb von zwölf Monaten erfolgt bzw. bei Kindern unter zwölf Jahren der Anspruch innerhalb von fünf Jahren geltend gemacht wird (Art. 47 Abs. 1 AuG), (3) die Wahrnehmung des Anspruchs nicht rechtsmissbräuchlich erscheint und (4) kein Widerrufsgrund nach Art. 62 AuG vorliegt (vgl. Art. 51 Abs. 2 AuG; vgl. hierzu auch das Urteil 2C_847/2009 vom 21. Juli 2010 E. 3). Ist die Einreise vor dem Zeitpunkt des Inkrafttretens des Ausländergesetzes erfolgt oder das Familienverhältnis vor diesem entstanden, läuft die Nachzugsfrist ab dem 1. Januar 2008 (Art. 126 Abs. 3 AuG). Ausserhalb der Nachzugsfristen ist der Familiennachzug im Rahmen der Altersgrenzen bloss noch möglich, wenn hierfür wichtige familiäre Gründe sprechen (Art. 47 Abs. 4 AuG). Solche liegen etwa dann vor, wenn das Kindeswohl letztlich nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (vgl. Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]; CARONI/MEYER/OTT, Migrationsrecht, 2009, N. 312).
2.1.3 In einem Grundsatzentscheid vom 15. Januar 2010 ist das Bundesgericht in Übereinstimmung mit dem Bundesverwaltungsgericht (Urteil C-237/2009 vom 13. Juli 2009 E. 9) und einem Teil der Lehre (MARC SPESCHA, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli, Migrationsrecht, 2. Aufl. 2009, N. 3 und 3a zu Art. 47 AuG und N. 2 zu Art. 126 AuG; CARONI/ BOLZLI, Die Familie im Ausländerrecht, in: Vierte Schweizer Familienrecht§Tage, 2008, S. 125) zum Schluss gekommen, dass das vom Gesetzgeber gewählte System die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 17 Abs. 2 ANAG abgelöst hat und diese nicht kumulativ zu den Nachzugsfristen gilt, wie das Bundesamt für Migration in seinen Richtlinien vom 1. Juli 2009 vorgesehen hat. Unter dem neuen Recht könne an der Unterscheidung zwischen nachträglichem Gesamt- bzw. nachträglichem Teilfamiliennachzug nicht mehr festgehalten werden. Dies bedeute jedoch nicht, dass Art. 43 Abs. 1 AuG beim nachträglichen Teilfamiliennachzug schematisch anzuwenden sei: Aus familienrechtlichen Gründen müsse der nachziehende Niedergelassene über das Sorgerecht oder die ausdrückliche Einverständniserklärung des im Ausland verbleibenden Elternteils verfügen; zudem habe die Beziehung zum Kind intakt und bereits bisher sachgerecht gelebt worden zu sein. Der Nachzugsentscheid dürfe nicht in klarer Missachtung des Kindeswohls und der familiären Bindungen des Nachzuziehenden in seinem Heimatstaat erfolgen (vgl. <ref-ruling> E. 4.8; Urteile 2C_537/2009 vom 31. März 2010 E. 3 und 2C_526/2009 vom 14. Mai 2010 E. 9.1; BGE 2C_490/2009 vom 27. Januar 2010). Das Bundesgericht verneinte gestützt hierauf einen Nachzugsanspruch in einem Fall, in dem der Vater bei der Geburt der Tochter im Jahre 1999 sich bereits seit 15 Jahren in der Schweiz aufgehalten, das Kind seit 2005 bzw. 2003 aber nicht mehr gesehen hatte und dieses durch den Aufenthalt beim Vater aus seinen familiären Bindungen zur Mutter und weiteren Angehörigen in der Demokratischen Republik Kongo gerissen worden wäre.
2.2 Der Beschwerdeführer hat während der Übergangsfrist von Art. 126 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 47 Abs. 1 AuG um den Nachzug seiner Kinder ersucht, die zu diesem Zeitpunkt noch nicht 18-jährig waren. Nachdem die gesetzliche Übergangsregelung zum AuG vorsieht, dass die Nachzugsfrist erst mit dem Inkrafttreten des Ausländergesetzes zu laufen beginnt, kann nicht gesagt werden, sein Gesuch sei missbräuchlich, weil er von der entsprechenden Sonderregelung Gebrauch machen will: Art. 126 Abs. 3 AuG will gerade bereits anwesenden, niedergelassenen Ausländern bzw. Schweizer Staatsangehörigen ermöglichen, von der neuen Nachzugsregelung allenfalls noch profitieren zu können, ansonsten ihr Anspruch unter Umständen bereits erloschen wäre, bevor er überhaupt entstehen konnte. Soweit das Obergericht implizit davon ausging, dass die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung, insbesondere bezüglich des Rechtsmissbrauchs, auch bei "übergangsrechtlichen" Gesuchen zum Tragen komme, kann seiner Auffassung nicht gefolgt werden: Auch wenn sich den Materialien nicht entnehmen lässt, dass vorübergehend eine materielle Rechtslage gewollt gewesen wäre, wonach Kinder im Nachzug zugelassen würden, für die ein solcher weder nach der bisherigen Praxis zum ANAG noch nach der neuen gesetzlichen Ordnung möglich erschiene, ist der Wortlaut von Art. 126 Abs. 3 AuG doch unzweideutig und klar. Es bleibt kein Platz, über eine teleologische Reduktion in der Auslegung die Tragweite der Übergangsbestimmungen so zu beschränken, dass sie für Teilfamiliennachzüge praktisch ihres Inhalts entleert würden (so Urteil 2C_606/2009 vom 17. März 2010 E. 2.3).
2.2 Der Beschwerdeführer hat während der Übergangsfrist von Art. 126 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 47 Abs. 1 AuG um den Nachzug seiner Kinder ersucht, die zu diesem Zeitpunkt noch nicht 18-jährig waren. Nachdem die gesetzliche Übergangsregelung zum AuG vorsieht, dass die Nachzugsfrist erst mit dem Inkrafttreten des Ausländergesetzes zu laufen beginnt, kann nicht gesagt werden, sein Gesuch sei missbräuchlich, weil er von der entsprechenden Sonderregelung Gebrauch machen will: Art. 126 Abs. 3 AuG will gerade bereits anwesenden, niedergelassenen Ausländern bzw. Schweizer Staatsangehörigen ermöglichen, von der neuen Nachzugsregelung allenfalls noch profitieren zu können, ansonsten ihr Anspruch unter Umständen bereits erloschen wäre, bevor er überhaupt entstehen konnte. Soweit das Obergericht implizit davon ausging, dass die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung, insbesondere bezüglich des Rechtsmissbrauchs, auch bei "übergangsrechtlichen" Gesuchen zum Tragen komme, kann seiner Auffassung nicht gefolgt werden: Auch wenn sich den Materialien nicht entnehmen lässt, dass vorübergehend eine materielle Rechtslage gewollt gewesen wäre, wonach Kinder im Nachzug zugelassen würden, für die ein solcher weder nach der bisherigen Praxis zum ANAG noch nach der neuen gesetzlichen Ordnung möglich erschiene, ist der Wortlaut von Art. 126 Abs. 3 AuG doch unzweideutig und klar. Es bleibt kein Platz, über eine teleologische Reduktion in der Auslegung die Tragweite der Übergangsbestimmungen so zu beschränken, dass sie für Teilfamiliennachzüge praktisch ihres Inhalts entleert würden (so Urteil 2C_606/2009 vom 17. März 2010 E. 2.3).
2.3 2.3.1 Die kantonalen Behörden haben das neurechtlich zu behandelnde Gesuch des Beschwerdeführers zu Unrecht in sinngemässer Übertragung der zum ANAG entwickelten Rechtsprechung abgewiesen. Der Beschwerdeführer, der über eine Niederlassungsbewilligung verfügt, hat fristgerecht um den Nachzug seiner Kinder ersucht. Er hat für diese in seinem Heimatland gesorgt und die Beziehungen zu ihnen sachgerecht von der Schweiz aus aufrechterhalten. Er verfügt seit dem Jahr 2003 über deren Sorgerecht. Er musste sich seinerseits hier erst einleben, weshalb es - entgegen den Überlegungen der Vorinstanz - verständlich erscheint, dass er seine Kinder nicht sofort, d.h. bereits im Jahre 2003, nachzog. Die Kinder wurden in der Heimat in dieser Zeit wechselweise durch ihre Grossmutter, ihren Onkel oder ihre Tante betreut; dieser Umstand steht einem Nachzugsanspruch nach Art. 43 AuG indessen nicht entgegen: Es ist in erster Linie an den Eltern unter sachgerechter Berücksichtigung der Interessen der Kinder darüber zu befinden, in welchem Familienverband sie aufwachsen sollen. Den ausländerrechtlichen Bewilligungsbehörden steht diesbezüglich nur eine beschränkte Überprüfungsbefugnis zu. Sie dürfen den neurechtlichen Familiennachzug bloss dann verweigern, wenn die gewählte Lösung offensichtlich und eindeutig gegen das Kindesinteresse verstösst und in diesem Sinn ein überwiegendes öffentliches Interesse gegen den Familiennachzug spricht (<ref-ruling> E. 4.8 S. 86 ff.; Urteil 2C_537/2009 vom 31. März 2010 E. 3 mit Hinweisen).
2.3.2 Eine solche Situation ist entgegen den Ausführungen des Obergerichts hier nicht hinreichend erstellt: Zwar arbeitet der Beschwerdeführer in Schicht und ist die Ehe mit seiner Schweizer Partnerin gescheitert, sodass er zumindest vorübergehend alleinerziehend sein wird, doch macht der Beschwerdeführer geltend, in der Schweiz über weitere Angehörige zu verfügen, die sich bereit erklärt hätten, ihn bei der Erziehung der Kinder zu unterstützen und sich während seiner beruflichen Abwesenheit um sie zu kümmern. In diesem für das Kindesinteresse wesentlichen Punkt ist der Sachverhalt durch die Bewilligungsbehörden nicht weiter ermittelt worden. Es ist diesbezüglich noch abzuklären, ob die Betreuung der Jugendlichen (trotz der Schichtarbeit ihres Vaters) tatsächlich als sichergestellt gelten kann. Auch die finanziellen Verhältnisse sind noch definitiv zu ermitteln: Der Beschwerdeführer ersuchte sowohl für die kantonalen wie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Es ist vor diesem Hintergrund nicht zum Vornherein klar, wie er bei den hiesigen Lebenshaltungskosten drei Kinder grossziehen und einen vierköpfigen Familienhaushalt finanzieren will. Nach den Angaben in seiner Beschwerdeschrift verfügt er über ein monatliches Einkommen von Fr. 4'177.--, dem Ausgaben (inklusive der Unterhaltszahlungen in die Heimat) von Fr. 4'094.-- gegenüberstehen; daneben verfügt er offenbar über keinerlei Vermögen. Zwar macht er in seiner ergänzenden Vernehmlassung vom 17. April 2010 geltend, Fr. 4'500.-- (netto) zu verdienen; seine Angaben widersprechen damit aber seinen ursprünglichen Ausführungen. Auch bei einer Berücksichtigung der Kinderzulagen in der Schweiz wären seine finanziellen Verhältnisse auf jeden Fall angespannt und eine möglicherweise andauernde Fürsorgeabhängigkeit nicht zum Vornherein ausgeschlossen. Träte diese Situation ein, könnten die Bewilligungen der Kinder widerrufen werden (vgl. Art. 43 in Verbindung mit Art. 62 lit. e AuG), weshalb es nicht in deren Interesse liegt, die entsprechende Problematik, wie der Beschwerdeführer dies wünscht, beim Bewilligungsentscheid nicht weiter zu berücksichtigen. Zwar wendet er ein, dass sein Bruder als Vermieter gegebenenfalls bereit wäre, ihm Fr. 150.-- auf dem Mietzins zu erlassen; dies ist indessen im vorliegenden Mietvertrag nicht vorgesehen und der Vermieter könnte auf die entsprechende Erklärung somit jederzeit auch wieder zurückkommen.
2.3.3 Das Obergericht hat - wegen seiner sinngemässen Übernahme der Rechtsprechung zum ANAG - die Frage nicht weiter geprüft, ob "die konkrete Gefahr einer dauerhaften und erheblichen Fürsorgeabhängigkeit" dem beantragten Familiennachzug entgegensteht oder nicht (Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG i.V.m. Art. 62 lit. e AuG). Dies haben die kantonalen Behörden noch nachzuholen, weshalb die Bewilligungen nicht - wie beantragt - im bundesgerichtlichen Verfahren erteilt werden können, sondern der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen ist (<ref-law>). Diese wird auch über das von ihr abgewiesene Gesuch über unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung neu zu befinden haben. Für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine Kosten geschuldet (vgl. <ref-law>). Der Kanton Schaffhausen muss den Beschwerdeführer für dieses jedoch angemessen entschädigen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das vorliegende Verfahren wird dadurch gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 18. Dezember 2009 aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. 2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Der Kanton Schaffhausen hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
2.3 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Hugi Yar