Nach Einsicht
in die Beschwerde nach Art. 72ff. BGG gegen das Urteil vom 24. März 2009 des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt,

in Erwägung,
dass die Beschwerdeführerin mit (ihr Gesuch um Wiedererwägung der abweisenden Armenrechtsverfügung vom 28. Mai 2009 abweisender) Verfügung vom 10. Juni 2009 samt Nachfristansetzung gemäss <ref-law> unter Androhung des Nichteintretens bei Säumnis aufgefordert worden ist, den (ihr mit der Verfügung vom 28. Mai 2009 auferlegten, jedoch nicht eingegangenen) Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- innerhalb einer nicht erstreckbaren Nachfrist von 10 Tagen seit der am 13. Juni 2009 erfolgten Zustellung dem Bundesgericht in bar zu zahlen oder zu Gunsten der Bundesgerichtskasse (Postkonto 10-674-3) entweder an einem Schalter der Schweizerischen Post zu übergeben oder (bei Erteilung eines Zahlungsauftrags an die Post oder an eine Bank) einem in der Schweiz befindlichen Post- bzw. Bankkonto der Beschwerde führenden Partei oder ihres Vertreters zu belasten (<ref-law>) und ausserdem (bei Erteilung eines Zahlungsauftrags) der Bundesgerichtskasse innerhalb von 10 Tagen seit Ablauf der nicht erstreckbaren Nachfrist eine Bestätigung der Postfinance bzw. der Bank einzureichen, wonach der Vorschussbetrag fristgerecht dem Post- bzw. Bankkonto belastet worden ist,
dass die Beschwerdeführerin den Kostenvorschuss auch innerhalb der Nachfrist weder bei der Bundesgerichtskasse in bar geleistet noch zu deren Gunsten an einem Postschalter übergeben und auch nicht den (für den Fall eines Zahlungsauftrags) ihr obliegenden Nachweis der rechtzeitigen Vorschussleistung durch Belastungsbestätigung erbracht hat, weshalb androhungsgemäss gestützt auf <ref-law> im Verfahren nach <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten ist und die Beschwerdeführerin kostenpflichtig wird (<ref-law>),

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann