Sachverhalt:
A. Der 1965 geborene X._ wurde vom Bezirksgericht Horgen mit Urteil vom 7. Mai 2008 wegen Freiheitsberaubung, Drohung, mehrfacher Tätlichkeiten, mehrfachen Hausfriedensbruchs und mehrfachen geringfügigen Diebstahls zu 15 Monaten Freiheitsstrafe, einer Busse von Fr. 500.-- und zu einer stationären therapeutischen Massnahme im Sinne von <ref-law> (Behandlung von psychischen Störungen) verurteilt. Der Vollzug der Freiheitsstrafe wurde zugunsten der stationären Massnahme aufgeschoben. Gleichentags ordnete das Bezirksgericht die Fortdauer der Sicherheitshaft bis zur Rechtskraft des genannten Urteils an. X._ hat gegen das Strafurteil am 14. Mai 2008 Berufung angemeldet.
Mit Gesuch vom 22. Mai 2008 beantragte er die Bewilligung des vorzeitigen Strafantritts. Das Bezirksgericht Horgen (Vorsitzender der III. Abteilung als Einzelrichter) wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 30. Mai 2008 ab, da im Anschluss an das Strafurteil kein vorzeitiger Strafantritt, sondern höchstens ein vorzeitiger Vollzug einer stationären Massnahme bewilligt werden könne.
B. Mit Eingabe vom 30. Juni 2008 führt X._ Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung des Bezirksgerichts vom 30. Mai 2008 sei aufzuheben und es sei der vorzeitige Strafantritt zu bewilligen. Überdies ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bezirksgericht beantragt Beschwerdeabweisung. Die Staatsanwaltschaft See/Oberland hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. X._ hat mit Eingabe vom 16. Juli 2008 repliziert.

Erwägungen:
1. Die angefochtene Verfügung stützt sich auf kantonales Strafprozessrecht und kann mit der Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> angefochten werden. Ein kantonales Rechtsmittel ist gemäss <ref-law>/ZH ausgeschlossen; die angefochtene Verfügung ist demnach letztinstanzlich (<ref-law>).
Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist das Gesuch um vorzeitigen Strafantritt bzw. die Gesuchsablehnung durch das Bezirksgericht. Soweit sich der Beschwerdeführer gegen andere Verfahrensschritte wendet, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Dies gilt namentlich für die Kritik an der Anordnung der Sicherheitshaft.
2. Das Bezirksgericht wies das Gesuch um vorzeitigen Strafantritt mit Verweis auf das Strafurteil vom 7. Mai 2008 ab. Es habe in diesem Urteil ganz bewusst und mit Bedacht eine stationäre Massnahme im Sinne von <ref-law> angeordnet und die Freiheitsstrafe zugunsten dieser Massnahme aufgeschoben. Ein vorzeitiger Vollzug könne daher nur als Massnahmevollzug gewährt werden. Demgegenüber sei ein vorzeitiger Strafantritt nicht möglich, weil der Beschwerdeführer an einer schweren psychischen Störung leide. In der Vernehmlassung ergänzt das Bezirksgericht, es habe im Strafurteil in Übereinstimmung mit der Empfehlung des Psychiaters entschieden, wonach beim Beschwerdeführer angesichts der schweren psychischen Störung und des damit zusammenhängenden Rückfallrisikos anstelle des Vollzugs der Freiheitsstrafe nur eine stationäre Massnahme gemäss <ref-law> in Frage komme. Ein Antrag auf vorzeitigen Massnahmeantritt (statt: Strafantritt) wäre daher auch ohne Weiteres bewilligt worden.
3. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Willkürverbots und des Rechts auf persönliche Freiheit, indem er weiterhin in Sicherheitshaft gehalten werde, statt dass der vorzeitige Strafantritt bewilligt werde. Es gehe bei der Bewilligung des vorzeitigen Straf- oder Massnahmeantritts um dieselbe Fragestellung. Die Staatsanwaltschaft habe mit Verfügung vom 10. März 2008 mitgeteilt, dass ein vorzeitiger Strafantritt den Zweck des Strafverfahrens nicht gefährde. Das Bezirksgericht wolle die Anordnung einer stationären Massnahme gemäss <ref-law>, die der Beschwerdeführer als unverhältnismässig erachte, mit allen Mitteln durchsetzen. Das Strafurteil sei jedoch nicht rechtskräftig; es sei möglich, dass das Obergericht im Berufungsverfahren keine stationäre Massnahme anordne und das Strafmass von 15 Monaten Freiheitsstrafe reduziere. Von der mutmasslichen Strafe habe der Beschwerdeführer bereits sieben Monate in Untersuchungs- und Sicherheitshaft verbracht.
4. Gemäss dem kantonalen Strafprozessrecht (<ref-law>/ZH) wird die Bewilligung des vorzeitigen Straf- und Massnahmeantritts erteilt, wenn die Anordnung einer unbedingten Strafe oder einer freiheitsentziehenden Massnahme zu erwarten ist und der Zweck des Strafverfahrens nicht gefährdet wird.
Das Bezirksgericht hat den vorzeitigen Strafantritt als Haftform für den Beschwerdeführer grundsätzlich abgelehnt. Aufgrund des im Strafverfahren gewonnenen Eindrucks komme allein ein vorzeitiger Massnahmeantritt in Frage. Im Strafverfahren wurde der Beschwerdeführer durch einen Psychiater begutachtet. Er soll an einer ausgeprägten Persönlichkeitsstörung sowie an einer ausgeprägten Sucht (Abhängigkeitssyndrom) leiden; beides bedarf nach Ansicht des Psychiaters dringend der Behandlung (psychiatrisches Ergänzungsgutachten vom 13. März 2008). Entsprechend hat das Bezirksgericht mit dem Strafurteil eine stationäre Massnahme zur Behandlung psychischer Störungen angeordnet. Da der Beschwerdeführer ein Rechtsmittel erhob, ist dieses Urteil nicht rechtskräftig und das Strafverfahren dauert fort. Entsprechend liegt weiterhin ein strafprozessualer Freiheitsentzug vor, der naturgemäss aufgrund von vorläufigen Erkenntnissen beurteilt werden muss. In diesem Sinne ist der Rückgriff auf die Erkenntnisse des Strafverfahrens nicht zu beanstanden. Es ist vielmehr folgerichtig, wenn das Bezirksgericht aufgrund bisheriger Einschätzung der psychischen Verfassung des Beschwerdeführers den vorzeitigen Vollzug nur in Form einer stationären Massnahme als möglich erachtet. Das Gesuch des Beschwerdeführers zielt aber spezifisch auf einen vorzeitigen Strafantritt (nicht: Massnahmeantritt) ab. Da diese Form des vorläufigen Vollzugs beim derzeitigen Beurteilungsstand in grundsätzlicher Weise ausgeschlossen werden durfte, konnte das Bezirksgericht auf die Einholung einer Stellungnahme der Staatsanwaltschaft verzichten. Die Verfassungsrügen sind unbegründet.
Die vom Beschwerdeführer angerufene Stellungnahme der Staatsanwaltschaft vom 10. März 2008 ist nicht einschlägig, da sie eben gerade nicht den vorzeitigen Massnahmeantritt (sondern den grundsätzlich ausgeschlossenen vorzeitigen Strafantritt) betrifft und überdies in einem früheren Verfahrensstadium verfasst wurde.
5. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ebenso ist der vor Bundesgericht gestellte Antrag auf Bewilligung des vorzeitigen Strafantritts abzuweisen.
Da die Beschwerde im Sinne von <ref-law> aussichtslos ist, kann das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht bewilligt werden. Aufgrund der Umstände ist jedoch ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Der Antrag auf Bewilligung des vorzeitigen Strafantritts wird abgewiesen.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft See/Oberland und dem Bezirksgericht Horgen, III. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Thönen