Sachverhalt:
A.
Der 1976 geborene S._ meldete sich am 26. Oktober 2010 bei der IV-Stelle des Kantons St. Gallen zum Leistungsbezug an. Am 16. September 2011 ging bei der IV-Stelle der im Auftrag der Krankentaggeldversicherung erstellte medizinische Bericht der Klinik Y._ vom 29. August 2011 ein. Mit Schreiben vom 4. April 2012 teilte die IV-Stelle der Rechtsvertreterin des Versicherten mit, es sei eine interdisziplinäre medizinische Begutachtung vorgesehen, welche nach dem Zufallsprinzip einer Gutachterstelle zugeteilt werde. Am 23. April 2012 erteilte sie den Auftrag dem medizinischen Abklärungsinstitut X._. Dem Fragebogen legte sie eine Zusammenfassung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen und sonstigen vergleichbaren syndromalen Zuständen bei. Der Versicherte erhob Einwände gegen die Begutachtung. Mit Zwischenverfügung vom 3. August 2012 hielt die IV-Stelle an der Begutachtung durch das medizinische Abklärungsinstitut X._ fest. Dieses erstellte das Gutachten am 28. August 2012.
B.
Die von S._ erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 28. Mai 2013 gut, hob die Verfügung vom 3. August 2012 auf und wies die Sache zur Weiterführung des Verwaltungsverfahrens im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück.
C.
Mit Beschwerde beantragt die IV-Stelle, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Verfügung vom 3. August 2012 zu bestätigen.
Das kantonale Gericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventuell sei diese abzuweisen. S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 6 Ingress S. 320; <ref-ruling> E. 1 S. 216 mit Hinweisen).
2.
2.1. Das kantonale Gericht erwog, es sei nicht einzusehen, weshalb die IV-Stelle nicht versucht habe, bezüglich der Wahl der Gutachterstelle eine einvernehmliche Lösung mit dem Versicherten zu finden, oder dessen Vorschlag zu befolgen, die Klinik Y._ mit der Erstellung eines Verlaufsgutachtens zu beauftragen. Mit den Verfahrensrechten, welche den versicherten Personen laut bundesgerichtlicher Rechtsprechung im Rahmen einer administrativ angeordneten Begutachtung zustünden, lasse sich das Vorgehen der IV-Stelle bei der Gutachtensbeauftragung jedenfalls nicht vereinbaren. Weiter führte das kantonale Gericht aus, mit der Zustellung einer Auswahl von Bundesgerichtsurteilen, in denen die Überwindbarkeit festgestellter psychischer Erkrankungen bejaht wurde, habe die IV-Stelle die Gutachterstelle in unzulässiger Weise beeinflusst. Ein Hinweis auf die Qualitätsleitlinien für psychiatrische Gutachten in der Eidgenössischen Invalidenversicherung der Schweizerischen Gesellschaft für Versicherungspsychiatrie wäre nach Auffassung der Vorinstanz zielführender gewesen. Aufgrund der festgestellten Verfahrensmängel wies das kantonale Gericht die Sache an die IV-Stelle zurück und verpflichtete diese, das bereits ergangene Gutachten des medizinischen Abklärungsinstitutes X._ aus den Akten zu entfernen und eine neue medizinische Expertise in Auftrag zu geben. Das Gericht hielt weiter fest, es spreche seiner Ansicht nach nichts dagegen, die Klinik Y._ mit einer Verlaufsbegutachtung zu beauftragen. Jedenfalls sei eine Einigung mit dem Versicherten betreffend Wahl der Gutachterstelle anzustreben. Auf die Zustellung einer Rechtsprechungsübersicht sei zu verzichten.
2.2. Die beschwerdeführende IV-Stelle wendet ein, das kantonale Gericht verpflichte sie zu einem bundesrechtswidrigen Vorgehen. Laut angefochtenem Entscheid müsse sie, entgegen dem klaren Wortlaut von <ref-law> bezüglich der Auswahl der Gutachterstelle, ein kontradiktorisches Einigungsverfahren durchführen und das bundesrechtlich vorgeschriebene Zufallsprinzip ignorieren. Mit der genannten Bestimmung sei es überdies nicht vereinbar, die Klinik Y._ mit einem Verlaufsgutachten zu beauftragen, da diese mit dem BSV keine Vereinbarung im Sinne dieser Bestimmung getroffen habe. Zudem werde sie gezwungen, ein kostenintensives und unnützes Abklärungsverfahren durchzuführen, obwohl mit dem Gutachten des medizinischen Abklärungsinstitutes X._ eine beweiskräftige medizinische Expertise vorliege. Weiter verkennt das kantonale Gericht laut IV-Stelle, dass die Qualitätsrichtlinien den auf SuisseMED (at) P aufgeschalteten Gutachterstellen bereits bekannt seien, während eine Zustellung einer Zusammenstellung bundesgerichtlicher Urteile ein probates Mittel sei, den Gutachtern die von der Rechtsprechung verbindlich festgestellten Richtlinien näher zu bringen.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Ebenfalls zulässig ist nach <ref-law> die Beschwerde gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen anderen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid (<ref-ruling> S. 481 f. E. 4.2 und 5.1), gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Ist die Beschwerde nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, bleibt ein Zwischenentscheid im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, sofern er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>).
3.2. Der Eintretensgrund von <ref-law> fällt hier ohne weiteres ausser Betracht. Derweil kann ein Rückweisungsentscheid der beschwerdeführenden IV-Stelle einmal dann einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken (<ref-law>), wenn er materiellrechtliche Anordnungen enthält, welche ihren Beurteilungsspielraum wesentlich einschränken, ohne dass sie die ihres Erachtens rechtswidrige neue Verfügung selber anfechten könnte (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483; SVR 2012 AHV Nr. 15 S. 55, 9C_171/2012 E. 3.3.1). Dies trifft hier nicht zu, da sich die Rechts- und Sachlage nicht als unverrückbar präsentiert. Der angefochtene Entscheid schränkt den Entscheidungsspielraum der IV-Stelle nicht in einem Masse ein, dass nur noch eine Umsetzung des vom kantonalen Gericht Angeordneten in Frage käme. Zu prüfen bleibt somit, ob eine ungerechtfertigte Rückweisung aus Sicht der IV-Stelle andere nachteilige Konsequenzen haben kann, die sich im Rahmen einer Anfechtung des Endentscheids (<ref-law>) letztinstanzlich nicht gänzlich beseitigen lassen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382).
3.3. In <ref-ruling> E. 3 ff. S. 278 hat das Bundesgericht festgehalten, dass eine Gutachtensanordnung in der Regel lediglich im erstinstanzlichen Verfahren anfechtbar sei (vgl. auch <ref-ruling> E. 4.5 S. 343). In <ref-ruling> E. 2.2 S. 102 hat es diese Rechtsprechung bestätigt. Weiter hat es erwogen, die IV-Stellen würden bei einer ungerechtfertigten Rückweisung (jedenfalls) einen zusätzlichen Abklärungsaufwand sowie (gegebenenfalls) das Risiko tragen, dass das neu eingeholte Administrativgutachten letztlich wiederum nicht als genügende Beweisgrundlage angesehen werde. Rein tatsächliche Nachteile wie eine Verlängerung und Verteuerung des Verfahrens allein reichten nicht aus, um einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil anzunehmen. Der Entscheid einer Beschwerdeinstanz, die Sache zur weiteren medizinischen Abklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen, sei daher beim Bundesgericht regelmässig nicht anfechtbar (<ref-ruling> E. 2.4 S. 103; Urteil 9C_305/2013 vom 2. August 2013 E. 3). Soweit sich die IV-Stelle gegen die vorinstanzliche Verpflichtung wendet, ein neues Gutachten einzuholen, entsteht ihr somit kein nicht wieder gutzumachender Nachteil.
3.4. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> die Praxis zur Auftragsvergabe medizinischer Gutachten nach dem Zufallsprinzip wie folgt präzisiert: Bei polydisziplinären MEDAS-Begutachtungen hat die Gutachterwahl immer nach dem Zufallsprinzip zu erfolgen (<ref-law>). Die Zufallszuweisung ist im Falle stichhaltiger Einwendungen gegen bezeichnete Sachverständige allenfalls zu wiederholen bzw. zu modifizieren, indem die Beteiligten beispielsweise übereinkommen, an der ausgelosten MEDAS festzuhalten, dabei aber eine Arztperson nicht mitwirken zu lassen. Bei erneuter Nichteinigkeit ist eine Zwischenverfügung zu erlassen (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 354; Urteil 9C_475/2013 vom 6. August 2013 E. 2.1). Weiter hat das Bundesgericht im publizierten Entscheid erwogen, das Hinwirken auf eine Einigung sei nach Einführung der Zuweisungsplattform SuisseMED (at) P nur teilweise hinfällig geworden. Denn auch nach Einführung dieses Zuweisungsinstrumentariums hätten sich die Beteiligten mit Einwendungen auseinanderzusetzen, die sich aus dem konkreten Einzelfall ergeben würden (E. 5.2.2 und 5.2.2.1). Bei mono- und bidisziplinären Begutachtungen sei im Falle aller zulässigen Einwendungen konsensorientiert vorzugehen (E. 5.2.2.3). Mono- und bidisziplinäre Expertisen dürften indessen nicht als Vehikel zur Umgehung des zufallsbasierten MEDAS-Zuweisungssystems missbraucht werden. Sofern die Verwaltung von einer MEDAS eine bi- oder monodisziplinäre Expertise einholen wolle, habe sie zwingend einen Einigungsversuch einzuleiten. Scheitert dieser, ist zu verfügen (E. 5.4).
3.5. Die Vorbringen der IV-Stelle vermögen keine bundesgerichtliche Anhandnahme einer Beschwerde gegen den Zwischenentscheid des kantonalen Gerichts zu begründen. Insbesondere ist nicht ersichtlich, inwiefern die IV-Stelle durch den angefochtenen Entscheid gezwungen sein sollte, eine rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Zwar wäre es wünschenswert gewesen, wenn sich das kantonale Gericht mit der Tragweite von <ref-law> auseinandergesetzt hätte. Wie das Bundesgericht in <ref-ruling> E. 5.2 S. 354 festhält, wird die Obliegenheit von IV-Stelle und versicherter Person, eine einvernehmliche Gutachtenseinholung anzustreben, von den Akteuren teilweise unterschiedlich verstanden. Die vom BSV erwähnte, in diesem Urteil präzisierte Rechtsprechung zur Gutachtensvergabe nach dem Zufallsprinzip erging indessen erst nach dem Erlass des angefochtenen Entscheids. Da dieser keine Anordnungen enthält, welche den Beurteilungsspielraum der IV-Stelle wesentlich einschränken würden, besteht in diesem Verfahren kein Anlass, auf die Kritik des BSV an den vorinstanzlichen Erwägungen näher einzugehen. Die in <ref-ruling> präzisierte Rechtsprechung schliesst die Einholung eines Verlaufsgutachtens bei der Klinik Y._ jedenfalls nicht aus (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 in fine S. 352; vgl. auch Handbuch für Gutachter- und IV-Stellen = Anhang V des Kreisschreibens über das Verfahren in der Invalidenversicherung [KSVI], FN 7). Zu einer einvernehmlichen Gutachtenseinholung kann eine Partei sodann ohnehin nicht verpflichtet werden, da dafür stets eine übereinstimmende Willenskundgebung erforderlich ist, welche indessen nicht verbindlich durchgesetzt werden kann, wie die Beschwerdeführerin selber zu Recht festhält. Ein Rechtsanspruch auf konsensuale Bestimmung der Gutachterstelle besteht somit nicht. Im Falle des Scheiterns einer Konsenssuche bliebe die von der IV-Stelle zu treffende Verfügung davon unbeeinflusst. Auch der vorinstanzlich angeordnete Verzicht auf die Zustellung einer Auswahl von Bundesgerichtsentscheiden zur invalidisierenden Wirkung von psychischen Störungen an die beauftragte Gutachterstelle vermag für die IV-Stelle keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu begründen.
3.6. Zusammenfassend sind die Eintretensvoraussetzungen nicht erfüllt. Auf die Beschwerde ist demnach nicht einzutreten.
4.
Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner steht eine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1000.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Januar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer