Faits:
A. X._, né en 1988, est un ressortissant du Nigéria.
L'Office fédéral des migrations a refusé d'entrer en matière sur sa demande d'asile le 19 novembre 2009 et a ordonné le renvoi du prénommé.
Le 24 février 2010, X._ a été détenu préventivement en raison de son implication dans une affaire d'infraction à la législation fédérale sur les stupéfiants.
B. Le 23 novembre 2010, alors qu'il venait d'être libéré, le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) a placé X._ en détention en vue de son renvoi avec effet immédiat, pour trois mois au plus.
Par arrêt du 26 novembre 2010, le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan (ci-après: le Juge unique) a approuvé la décision précitée, en application des art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. A l'appui de sa décision, il a retenu que, lors de l'audience qui s'était tenue le jour-même, X._ avait donné sur l'âge de ses trois soeurs des renseignements qui ne concordaient pas avec ceux figurant dans le procès-verbal de son interrogatoire sur sa demande d'asile, sans pouvoir expliquer de façon plausible ces différences.
C. A l'encontre de l'arrêt du 26 novembre 2010, X._, dans un mémoire rédigé en anglais ("appeal"), a formé un recours au Tribunal fédéral. Dans son écriture, le recourant affirme à plusieurs reprises vouloir quitter la Suisse. Il précise qu'il a été présenté à une délégation nigériane à Berne, mais qu'il n'a pas eu de nouvelles de sa part.
Le Tribunal cantonal a produit le dossier, mais a renoncé à se déterminer, à l'instar du Service cantonal. Dans ses observations, l'Office fédéral des migrations a indiqué que X._ avait été présenté à une délégation d'experts nigérians qui l'avait reconnu comme citoyen du Nigéria. Il devrait recevoir un laissez-passer permettant son retour dès le 24 janvier 2011 et un vol pourra être réservé dès cette date. Le recourant n'a, pour sa part, pas fourni d'observations complémentaires dans le délai imparti à cet effet.

Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public (<ref-law>) est en principe ouverte à l'encontre des décisions cantonales en matière de mesures de contrainte (arrêts 2C_945/2010 du 5 janvier 2011 consid. 1; 2C_10/2009 du 5 février 2009 consid. 2, non publié aux <ref-ruling>). La décision attaquée, qui émane d'une autorité judiciaire cantonale supérieure de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 lettre d et al. 2 LTF), peut donc faire l'objet d'un tel recours, à condition que l'écriture présentée remplisse les exigences de recevabilité propres à cette voie de droit.
A cet égard, le mémoire doit contenir les conclusions et les motifs (<ref-law>) qui doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>). Pour satisfaire à cette obligation de motiver, le recourant doit discuter les motifs de l'arrêt entrepris et indiquer en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 60 et les arrêts cités). En l'espèce, le recourant n'expose pas dans quelle mesure, à son avis, le Juge unique aurait pris une décision contraire au droit ni ne critique l'arrêt en tant que tel. Partant, on peut douter de la recevabilité du recours.
Il convient toutefois d'entrer en matière. En effet, le Tribunal fédéral, sous réserve des droits fondamentaux (<ref-law>), applique le droit fédéral d'office (<ref-law>). Toutefois, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF et sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui, à moins que la décision attaquée contienne des vices juridiques manifestes (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254; arrêt 1C_223/2010 du 21 octobre 2010 consid. 2).
2. 2.1 La mise en détention du recourant se fonde sur l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. Cette disposition prévoit entre autres que, lorsqu'une décision de renvoi a été notifiée, l'autorité compétente peut, afin d'en assurer l'exécution, mettre en détention la personne concernée si des éléments concrets font craindre que celle-ci entende se soustraire au renvoi, en particulier parce qu'elle ne se soumet pas à son obligation de collaborer, ou si son comportement permet de conclure qu'elle se refuse à obtempérer aux instructions des autorités. D'après la jurisprudence, un risque de fuite existe notamment lorsque l'étranger tente d'entraver les démarches en vue de l'exécution du renvoi en donnant des indications manifestement inexactes ou contradictoires ou encore s'il laisse clairement apparaître, par ses déclarations ou son comportement, qu'il n'est pas disposé à retourner dans son pays d'origine (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 58 s.; arrêt 2C_206/2009 du 29 avril 2009 consid. 4.1). Comme le prévoit expressément l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 LEtr, il faut qu'il existe des éléments concrets en ce sens. Dans ce contexte, la seule existence de contradictions dans les déclarations de l'étranger qui n'ont pas de lien avec sa propre situation et, partant, ne sont pas de nature à entraver les démarches en vue de l'exécution du renvoi ne saurait suffire à justifier la détention.
2.2 En l'espèce, le Juge unique a considéré que les conditions de l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr étaient réalisées, parce que le recourant avait donné, lors de son audition, des indications sur l'âge de ses trois soeurs qui ne correspondaient pas à celles qu'il avait fournies dans le cadre de sa demande d'asile, sans pouvoir expliquer ces différences de manière plausible. Cette contradiction est toutefois manifestement impropre à fonder, à elle seule, une mise en détention en vertu de l'art 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. En effet, on ne voit pas en quoi une fausse indication concernant l'âge des soeurs du recourant serait de nature à rendre l'exécution de son renvoi plus difficile, voire à l'empêcher. Il ne saurait s'agir d'un indice concret pertinent justifiant la mise en détention du recourant. En tant qu'il est fondé sur cette seule motivation, l'arrêt attaqué viole donc le droit fédéral (cf. arrêt 2C_945/2010 du 5 janvier 2011 consid. 2.2).
2.3 Cela ne signifie pas pour autant que la détention du recourant ne soit pas justifiée, mais pour un autre motif.
2.3.1 Selon l'art. 76 al. 1 let. b ch. 2 LEtr, l'autorité compétente peut mettre en détention la personne concernée si l'office a prononcé une décision de non-entrée en matière au sens de l'art. 32 al. 2 let. a à c ou 33 de la loi fédérale du 26 juin 1998 sur l'asile (LAsi; RS 142.31). Il s'agit là d'un motif objectif dénotant un risque de passage à la clandestinité (ANDREAS ZÜND, ad art. 76 LEtr, in: Migrationsrecht - Kommentar, 2ème éd., Zurich 2009, p. 180 N 5; THOMAS HUGI YAR, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Ausländerrecht, Bâle 2009, 417 ss, p. 469 N 10.95; sous l'ancien droit, <ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 382 et 130 II 488 consid. 3.2 p. 490). L'idée du législateur est qu'une décision de non-entrée en matière rendue à la suite d'un comportement abusif de l'intéressé résultant exclusivement des art. 32 al. 2 let. a à c ou 33 LAsi suffit à justifier la mise en détention (Message du 2 juillet 2003 concernant le programme d'allégement 2003 du budget de la Confédération du 2 juillet 2003, FF 2003 5234). Ce n'est que si, depuis le prononcé de la décision de non-entrée en matière, il s'est écoulé beaucoup de temps et que l'évolution de la situation permettrait d'évaluer différemment le risque de fuite qu'il peut exceptionnellement être tenu compte du comportement ultérieur de l'intéressé (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 491).
Selon l'<ref-law>, il n'est pas entré en matière sur une demande d'asile si le requérant ne remet pas aux autorités, dans un délai de 48 heures après le dépôt de sa demande d'asile, ses documents de voyage ou ses pièces d'identité. La pratique liée à l'application de cette disposition se doit d'être restrictive (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.4 p. 384).
2.3.2 En l'espèce, le recourant a fait l'objet, le 19 novembre 2009, d'une décision de non-entrée en matière fondée sur l'<ref-law>. Dans cette décision entrée en force, l'Office fédéral des migrations a retenu que le recourant n'avait fait valoir aucun motif excusable justifiant l'absence de documents de voyage ou de pièce d'identité valables. En outre, son audition n'avait pas permis d'établir sa qualité de réfugié et le dossier ne révélait pas la nécessité de procéder à d'autres mesures d'instruction.
Durant l'année qui s'est écoulée depuis le prononcé de la décision de non-entrée en matière, aucun fait permettant d'évaluer différemment le risque de fuite n'est en outre à relever. Au contraire, le recourant a passé la majeure partie de cette année en détention préventive en raison d'actes liés à un trafic de stupéfiants.
2.3.3 Sur la base de ces éléments, le Tribunal fédéral, opérant une substitution de motifs (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; arrêt 2C_945/2010 du 5 janvier 2011 consid. 2.3), considère que la mise en détention du recourant se justifie sur la base de l'art. 76 al. 1 let. b ch. 2 LEtr.
2.4 Enfin, l'exécution du renvoi ne s'avère pas d'emblée impossible pour des raisons juridiques ou matérielles (cf. art. 80 al. 6 let. a LEtr a contrario) et rien ne permet de penser que les autorités compétentes ne respecteront pas leur obligation de diligence (cf. art. 76 al. 4 LEtr). En outre, la mise en détention du recourant pour trois mois apparaît nécessaire pour assurer l'exécution du renvoi et conforme au principe de la proportionnalité, eu égard aux informations fournies par l'Office fédéral des migrations selon lesquelles un laissez-passer permettant le retour du recourant sera disponible dès le 24 janvier 2011.
3. Dans ces circonstances, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Succombant, le recourant devrait en principe supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1, 1ère phrase LTF); compte tenu des circonstances, il se justifie cependant de statuer sans frais (cf. art. 66 al. 1, 2e phrase LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service de la population et des migrations et au Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 11 janvier 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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