Sachverhalt:
A. Die 1972 geborene R._ leidet unter chronischem Asthma. Sie war als Kundenberaterin am Regionalsitz der Bank X._ über ihre Arbeitgeberin bei der SWICA Versicherungen AG (nachstehend: Swica) gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert, als am 18. Februar 2005 im Haus des Regionalsitzes mit Malerarbeiten an den Heizkörpern begonnen wurde. Bei diesen Arbeiten wurden Lösungsmittel eingesetzt, welche die Stoffe Xylol und Toluol enthielten. Die Versicherte verliess in der Folge wiederholt ihren Arbeitsplatz, da sie starke Kopfschmerzen verspürte und Atemprobleme auftraten. Am 28. Februar 2005 suchte sie ihren Lungenarzt Dr. med. A._ auf, welcher sie krank schrieb und ihr empfahl, sich aus dem Bereich ähnlicher Geruchsimmissionen fernzuhalten. Da die Versicherte das Auftreten der gesundheitlichen Probleme auf die Malerarbeiten zurückführte, meldete ihre Arbeitgeberin die Atembeschwerden am 15. März 2005 der Swica an. Diese verneinte mit Verfügung vom 6. Oktober 2005 einen Anspruch auf Versicherungsleistungen, da keine Berufskrankheit vorliege. Aufgrund der von der Versicherten hiegegen erhobenen Einsprache holte die Swica bei Dr. med. B._ eine Stellungnahme ein, welche von der Versicherung anschliessend der Einsprecherin zur Kenntnis gebracht wurde. Die Versicherte rügte daraufhin mit Schreiben vom 25. April 2006 eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör und hielt an der Einsprache fest. Mit Einspracheentscheid vom 21. August 2006 bestätigte die Swica ihre leistungsablehnende Verfügung.
B. Die von R._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 6. Juli 2007 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt R._, es sei unter Aufhebung des kantonalen Entscheides die grundsätzliche Leistungspflicht der Swica festzustellen und die Sache zur weiteren Bearbeitung an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Abklärung des Kausalzusammenhangs an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Während die Swica auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht die von der Beschwerdegegnerin begangenen, schweren Verletzungen der Verfahrensrechte nicht sanktioniert. Die Swica liess am 17. Februar 2006 bei ihrem beratenden externen Arbeitsmediziner Dr. med. B._ eine ärztliche Stellungnahme zur Abklärung ihrer Leistungspflicht einholen. Der Arbeitsmediziner verfasste am 20. März 2006 einen anderthalbseitigen Bericht, in welchem er aufzeigte, dass neben der Lösungsmittelexposition auch berufsfremde Ursachen die Verschlimmerung der Atemprobleme zu erklären vermöchten. Die Swica stellte diesen Bericht umgehend nach Empfang am 12. April 2006 dem Rechtsvertreter der Versicherten zur Gewährung des rechtlichen Gehörs zu. Weder mit Schreiben vom 25. April noch mit jenem vom 23. Mai 2006 machte die Beschwerdeführerin Ausstands- oder Ablehnungsgründe (<ref-ruling> E. 6 S. 106 ff.) geltend. Die betroffene Person, welche die sachverständige Person nicht unverzüglich als befangen ablehnt, nachdem sie von einem Ablehnungsgrund Kenntnis erhält, verliert ihren Anspruch auf spätere Anrufung der Verfahrensgarantie (vgl. <ref-ruling> E. 7.4.2 S. 112, AHI 2001 S. 116 E. 4a/aa [I 128/98]). Die Rüge der behaupteten Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ist unbegründet.
3. Im vorliegenden Fall steht fest und ist unbestritten, dass die Versicherte schon seit längerer Zeit an leichtem chronischem Asthma litt. Ebenfalls ist unstreitig, dass Ende Februar 2005 am Arbeitsort der Beschwerdeführerin Malerarbeiten durchgeführt wurden, bei denen Lösungsmittel zum Einsatz gelangten, welche die Stoffe Xylol und Toluol enthielten. Weiter steht fest, dass sich der Gesundheitszustand der Versicherten während der Dauer dieser Malerarbeiten verschlechterte. Wie die Vorinstanz zutreffend dargelegt hat und im letztinstanzlichen Verfahren zu Recht unbestritten blieb, ist die Verschlechterung des Gesundheitszustandes nicht auf ein Unfallereignis zurückzuführen. Streitig und zu prüfen ist, ob ein Kausalzusammenhang zwischen der Lösungsmittelexposition am Arbeitsplatz und der Verschlimmerung der Atembeschwerde besteht und ob diese Verschlimmerung gegebenenfalls als Berufskrankheit zu qualifizieren ist.
4. Vorinstanz und Beschwerdegegnerin lehnten eine Anerkennung der Verschlechterung des Gesundheitszustandes als Berufskrankheit ab, weil die Versicherte als Bankangestellte tätig gewesen sei. Selbst wenn die Verschlimmerung auf das Einatmen der durch die Malerarbeiten verursachten Dämpfe zurückzuführen sein sollte, habe sich jedenfalls kein typisches Berufsrisiko einer Bankangestellten verwirklicht. Nicht jede Krankheit, welche sich eine versicherte Person anlässlich der Berufsausübung zuziehe, könne als Berufskrankheit im Sinne von <ref-law> betrachtet werden. Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber geltend, die vorinstanzliche Rechtsauffassung vermische unzulässigerweise die Tatbestandselemente von <ref-law> mit denjenigen von <ref-law>. Lediglich bei der Anerkennung einer Berufskrankheit im Rahmen von <ref-law> sei es entscheidend, ob die Krankheit ein typisches Berufsrisiko darstellt. Müsste bei einer Schädigung durch einen Listenstoff auch der Tatbestand von <ref-law> erfüllt sein, so würde das Listensystem sinnlos. Zudem missachte die Vorinstanz die Verordungssystematik: Anders als bei der Liste der arbeitsbedingten Erkrankungen (Ziff. 2 des Anhanges 1 der UVV) kenne die Liste der schädigende Stoffe (Ziff. 1 des Anhanges 1 der UVV) keine Einschränkungen auf bestimmte Tätigkeiten. Eine solche Einschränkung würde aber durch die vorinstanzliche Rechtsauffassung eingeführt.
4.1 Soweit das Gesetz nichts anderes bestimmt, werden die Versicherungsleistungen bei Berufsunfällen, Nichtberufsunfällen und Berufskrankheiten gewährt. Als Berufskrankheiten gelten unter anderem Krankheiten (<ref-law>), die bei der beruflichen Tätigkeit ausschliesslich oder vorwiegend durch schädigende Stoffe oder bestimmte Arbeiten verursacht worden sind (<ref-law>). Der Bundesrat erstellt eine Liste dieser Stoffe und Arbeiten sowie der arbeitsbedingten Erkrankungen. Gestützt auf diese Delegationsnorm und <ref-law> hat der Bundesrat in Anhang 1 zur UVV eine Liste der schädigenden Stoffe und der arbeitsbedingten Erkrankungen erstellt. Toluol und Xylole figurieren auf dieser Liste und sind daher als potentiell schädigende Stoffe anerkannt.
4.2 Nach der Rechtsprechung ist eine "vorwiegende" Verursachung von Krankheiten durch schädigende Stoffe oder bestimmte Arbeiten gegeben, wenn diese mehr wiegen als alle anderen mitbeteiligten Ursachen, mithin im gesamten Ursachenspektrum mehr als 50 % ausmachen (<ref-ruling> E. 2a, SVR 2007 UV Nr. 27 E. 2 S. 91 [U 410/05], je mit Hinweisen).
4.3 Gemäss der Rechtsprechung ist die Verschlimmerung einer vorbestehenden Krankheit durch einen Listenstoff im Sinne von <ref-law> der durch einen solchen Stoff verursachten Erkrankung gleichgestellt; die zu Art. 68 Abs. 1 KUVG ergangene Rechtsprechung bleibt auch unter der Herrschaft des UVG anwendbar (<ref-ruling> E. 4c S. 356 f.). Zum Nachweis einer Berufskrankheit ist zu beweisen, dass die versicherte Person an ihrer Arbeitsstätte der Einwirkung eines auf der Liste aufgeführten Stoffes ausgesetzt war und dass diese Einwirkung ausschliesslich oder vorwiegend eine Krankheit verursacht bzw. verschlimmert hat (RKUV 1988 Nr. U 61 S. 447 E. 1b S. 450 [U 98/87], vgl. auch Efrem Beretta, Le malattie professionali nel diritto svizzero, in: RDAT 1989, S. 263 ff., S. 269). Es wird nicht vorausgesetzt, dass der Listenstoff zu einem typischen Krankheitsbild geführt hat (<ref-ruling> E. 4c S. 356). Soweit ersichtlich, stellte in allen Fällen, in denen höchstrichterlich eine Leistungspflicht der Unfallversicherung aufgrund einer Vergiftung mit einem Listenstoff bejaht wurde, die Giftexposition ein typisches Berufsrisiko dar. Die Frage, ob es sich hiebei um eine eigene Anspruchsvoraussetzung handelt, wurde indessen noch nicht entschieden. Sie kann auch im vorliegenden Fall offenbleiben, da - wie in E. 5 hienach gezeigt wird - eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin bereits deshalb entfällt, weil es nicht mit dem notwendigen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt ist, dass die Verschlimmerung des Asthmas, welche die Versicherte Ende Februar 2005 erlitt, mindestens vorwiegend durch die Lösungsmittel-Exposition verursacht war.
5. Es ist unbestritten und steht aufgrund der vorliegenden Akten fest, dass die Versicherte Dämpfen von Toluol- und Xylol-haltigen Lösungsmitteln ausgesetzt war. Zu prüfen ist daher nachstehend, ob diese überwiegend wahrscheinlich zumindest zu 50 % für die Verschlechterung des Gesundheitszustandes der Beschwerdeführerin verantwortlich sind.
5.1 Dem UVG-Abklärungsbericht vom 13. April 2005 ist nicht abschliessend zu entnehmen, auf welchem Stockwerk am Arbeitsort der Beschwerdeführerin Malerarbeiten stattfanden. Es steht jedoch fest, dass diese nicht im vierten Stockwerk, auf dem die Versicherte ihren Arbeitsplatz hatte, ausgeführt wurden. Die Mitarbeiter, welche auf dem gleichen Stockwerk wie die Beschwerdeführerin arbeiteten, bestätigten, dass die Ausdünstungen der Malerarbeiten deutlich zu riechen gewesen seien. Es ist nicht bekannt, ob ausser der Versicherten andere Personen wegen diesen Ausdünstungen gesundheitliche Probleme gehabt hätten. Dem Schreiben des Dr. med. A._ vom 28. März 2005 ist zu entnehmen, dass die Beschwerdeführerin seit einigen Jahren an chronischem Asthma leide. Diese chronische Entzündung sei durch die regelmässige Einnahme der Medikamente normalerweise relativ gut zu kontrollieren. Komme es aber zu einem übermässigen Einwirken von Reizstoffen, gerate das Bronchialsystem sehr rasch ausser Kontrolle und das Asthma verschlechtere sich. Der Arzt ging davon aus, dass sich die respiratorische Zustandsverschlechterung in den letzten Wochen vor seinem Schreiben mit grösster Wahrscheinlichkeit durch die verstärkten Irritationen, die von den Frischfarben ausgegangen waren, verursacht worden seien. Auch Dr. med. B._ hielt es in seinem Schreiben vom 20. März 2006 für möglich, dass bereits die geringen Konzentrationen an Lösungsmitteldämpfen, denen die Versicherte ausgesetzt war, bei ihr zu den geklagten Beschwerden hätten führen können.
5.2 Gemäss Angabe der Beschwerdeführerin gegenüber der Abklärungsperson begannen die Malerarbeiten am Freitag, den 18. Februar 2005. Zuvor fühlte sich die Versicherte "sozusagen asthmafrei", inhalierte aber nach Verordnung des Dr. med. A._ seit Dezember 2004 "Seretide 500" zur Prävention in Hinblick auf eine bevorstehende Afrika-Reise. Am Wochenende vom 19./20. Februar 2005 pflegte sie ihren kranken Lebenspartner, der an einer starken Grippe litt. In der darauffolgenden Woche traten die ersten gesundheitlichen Beschwerden auf, wobei sie zunächst dachte, sie habe sich ebenfalls mit dem Grippevirus angesteckt. Die Symptome steigerten sich auch am Wochenende vom 26./27. Februar 2005 noch, so dass sie am Montag, den 28. Februar 2005, aus Angst, sie habe eine Lungenentzündung, Dr. med. A._ aufsuchte. Dr. med. B._ gab in seinem Schreiben vom 20. März 2006 zu bedenken, dass bei chronisch asthmatischen Personen auch andere Reizungen der Atemwege als Lösungsmitteldämpfe, beispielsweise Viren oder Bakterien, zu einem Aufflammen der Asthma-Symptome führen können. Da der Lebenspartner der Versicherten in der fraglichen Zeit an einer starken Grippe gelitten habe, sei nicht auszuschliessen, dass allenfalls ein viraler Infekt zu den Atemproblemen geführt habe. Dies würde die Kopfschmerzen und das Auftreten "ernsthafter Schwierigkeiten" am Sonntag, den 27. Februar 2005, besser erklären als die Lösungsmittel-Exposition.
5.3 Aufgrund dieser Aktenlage ist nicht mit dem notwendigen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt, dass die Verschlimmerung des Asthmas, welche die Versicherte Ende Februar 2005 erlitt, mindestens vorwiegend durch die Lösungsmittel-Exposition verursacht war. Auf die beantragte Rückweisung zu weiteren Abklärungen ist zu verzichten, da unter den gegebenen Umständen von zusätzlichen Untersuchungen keine neuen entscheidrelevanten Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung; vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 94). Die von der Swica verfügte und vorinstanzlich bestätigte Verneinung eines Leistungsanspruchs für die ab 21. Februar 2005 gemeldeten Beschwerden ist somit im Ergebnis nicht zu beanstanden.
6. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer