Faits:
A.
A.a. R._, née en 1963, a travaillé comme ouvrière d'usine jusqu'en juillet 1995. Le 7 août 1997, elle s'est annoncée auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI). Selon son médecin traitant, le docteur T._, spécialiste FMH en médecine interne, la prénommée souffrait d'un syndrome fibromyalgique, de lombo-cervicalgies chroniques persistantes, d'un status après hémilaminectomie L4-L5 (hernie discale luxée médiane et paramédiane gauche), d'une insuffisance veineuse chronique des membres inférieurs et d'une obésité exogène, en raison desquels elle était incapable de travailler (rapport du 12 septembre 1997). L'office AI a confié une expertise pluridisciplinaire au Centre d'observation médicale de l'assurance-invalidité (COMAI) de la clinique médicale X._. Les experts du COMAI ont retenu que l'assurée présentait un trouble somatoforme douloureux chronique sans pathologie psychiatrique associée; la capacité de travail raisonnablement exigible était de 70 % dans une activité adaptée et de 80 % dans l'accomplissement des tâches ménagères (rapport du 17 février 2000). Par décision du 7 septembre 2000 confirmant le prononcé du 20 mars 2000, l'office AI a nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité compte tenu d'un taux d'invalidité de 25 %, insuffisant pour ouvrir le droit à cette prestation. Saisi d'un recours de l'assurée contre cette décision, le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui: le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales) l'a rejeté par jugement du 23 avril 2001.
A.b. Faisant valoir une aggravation de son état de santé sur le plan somatique et psychique, l'assurée a présenté une nouvelle demande en date du 21 décembre 2001. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'office AI a mandaté la Clinique Y._ pour qu'elle réalise une expertise pluridisciplinaire. Dans leur rapport du 27 avril 2004, les médecins de la Clinique Y._ ont posé pour l'essentiel les diagnostics, avec répercussion sur la capacité de travail, d'épisode dépressif d'intensité légère, de personnalité à traits dépendants, de lombalgie irradiant dans le membre inférieur gauche, de cure de hernie discale L4-L5 gauche en 1996, et sans répercussion sur la capacité de travail, de trouble somatoforme douloureux persistant, de troubles dégénératifs cervicaux et lombaires, d'obésité, de migraine sans aura, d'oedème d'origine multiple des membres inférieurs, d'hypertension artérielle essentielle anamnestique, de dyslipidémie anamnestique, de tabagisme chronique, d'intolérance au glucose anamnestique et de cure du tunnel carpien. Il n'y avait pas eu d'aggravation de l'atteinte somatique lombaire, ni de l'état douloureux depuis l'expertise du COMAI; le seul facteur d'aggravation consistait en l'apparition d'un trouble dépressif de degré léger. Les experts ont conclu à une capacité de travail résiduelle de 60 % dans une activité adaptée. S'écartant des conclusions de cette expertise, l'office AI a, par décision du 10 mai 2005, confirmée sur opposition le 15 juin 2006, rejeté la nouvelle demande de l'assurée sur la base d'un taux d'invalidité de 25 %. L'assurée a déféré la décision sur opposition au Tribunal des assurances du canton de Vaud qui l'a déboutée par jugement du 28 août 2007 après avoir constaté qu'il n'y avait pas eu d'aggravation significative sur le plan somatique ou psychiatrique depuis la dernière expertise du COMAI et qu'il n'y avait dès lors pas lieu de s'écarter de l'évaluation de la capacité de travail faite à cette époque.
A.c. Le 21 décembre 2009, l'assurée a déposé une nouvelle demande de rente d'invalidité en produisant notamment un rapport du 23 octobre 2009 du docteur F._, spécialiste FMH en médecine physique et réhabilitation et spécialiste de la colonne vertébrale, ainsi qu'un avis du 18 novembre 2009 du docteur G._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie et médecin traitant. Après avoir requis l'avis de son Service médical régional (SMR; rapport du 27 avril 2010), l'office AI a informé l'assurée de son intention de ne pas entrer en matière sur sa nouvelle demande de rente dès lors qu'elle n'avait pas rendu vraisemblable que son état de santé s'était modifié de manière essentielle depuis la dernière décision (projet de décision du 20 janvier 2011). L'intéressée a produit de nouvelles pièces médicales (rapports du 27 mai 2011 du docteur F._, du 19 avril 2011 de la doctoresse V._, cheffe de clinique auprès du centre d'antalgie du centre hospitalier Z._, des 28 juin et 23 août 2010 du docteur G._). Prenant conseil une nouvelle fois auprès du SMR (cf. rapport du 9 juin 2011 des docteurs M._ et C._), l'office AI a, par décision du 6 juillet 2011, refusé d'entrer en matière sur la nouvelle demande.
B.
R._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, en produisant trois nouveaux avis médicaux. Par jugement du 19 juillet 2012, la Cour des assurances sociales a débouté l'assurée.
C.
R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut principalement au versement des «prestations légales découlant de la LAI» et, subsidiairement, au renvoi du dossier à l'office AI pour instruction complémentaire sous forme d'une expertise médicale pluridisciplinaire. Elle sollicite, par ailleurs, le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invités à se prononcer, l'office AI n'a formulé aucune remarque particulière, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments du recourant ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2.
2.1. Lorsque la rente a été refusée une première fois parce que le degré d'invalidité était insuffisant, la nouvelle demande ne peut être examinée que si l'assuré rend plausible que son invalidité s'est modifiée de manière à influencer ses droits (art. 87 al. 3 et 4 RAI dans leur teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2011; <ref-ruling> consid. 3 p. 264 s.). Cette exigence doit permettre à l'administration, qui a précédemment rendu une décision de refus de prestations entrée en force, d'écarter sans plus ample examen de nouvelles demandes dans lesquelles l'assuré se borne à répéter les mêmes arguments, sans alléguer une modification des faits déterminants (<ref-ruling> consid. 2b p. 412, 117 V 198 consid. 4b p. 200 et les références).
2.2. Lorsqu'elle est saisie d'une nouvelle demande, l'administration doit commencer par examiner si les allégations de l'assuré sont, d'une manière générale, plausibles. Si tel n'est pas le cas, l'affaire est liquidée d'entrée de cause et sans autres investigations par un refus d'entrée en matière. A cet égard, l'administration se montrera d'autant plus exigeante pour apprécier le caractère plausible des allégations de l'assuré que le laps de temps qui s'est écoulé depuis sa décision antérieure est bref. Elle jouit sur ce point d'un certain pouvoir d'appréciation que le juge doit en principe respecter. Ainsi, le juge ne doit examiner comment l'administration a tranché la question de l'entrée en matière que lorsque ce point est litigieux, c'est-à-dire quand l'administration a refusé d'entrer en matière en se fondant sur l'<ref-law> et que l'assuré a interjeté recours pour ce motif. Ce contrôle par l'autorité judiciaire n'est en revanche pas nécessaire lorsque l'administration est entrée en matière sur la nouvelle demande (<ref-ruling> consid. 2b p. 114).
2.3. Le principe inquisitoire, selon lequel les faits pertinents de la cause doivent être constatés d'office par l'autorité (cf. <ref-law>), ne s'applique pas à la procédure de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5.2.5 p. 68 s.). Eu égard au caractère atypique de celle-ci dans le droit des assurances sociales, le Tribunal fédéral a précisé que l'administration pouvait appliquer par analogie l'art. 73 aRAI (cf. <ref-law> depuis le 1er janvier 2003) - qui permet aux organes de l'AI de statuer en l'état du dossier en cas de refus de l'assuré de coopérer - à la procédure régie par l'<ref-law>, à la condition de s'en tenir aux principes découlant de la protection de la bonne foi (cf. art. 5 al. 3 et 9 Cst.; <ref-ruling> consid. 4a p. 269 s.). Ainsi, lorsqu'un assuré introduit une nouvelle demande de prestations ou une procédure de révision sans rendre plausible que son invalidité s'est modifiée, notamment en se bornant à renvoyer à des pièces médicales qu'il propose de produire ultérieurement ou à des avis médicaux qui devraient selon lui être recueillis d'office, l'administration doit lui impartir un délai raisonnable pour déposer ses moyens de preuve, en l'avertissant qu'elle n'entrera pas en matière sur sa demande pour le cas où il ne se plierait pas à ses injonctions. Enfin, cela présuppose que les moyens proposés soient pertinents, en d'autres termes qu'ils soient de nature à rendre plausibles les faits allégués. Si cette procédure est respectée, le juge doit examiner la situation d'après l'état de fait tel qu'il se présentait à l'administration au moment où celle-ci a statué (<ref-ruling> consid. 5.2.5 p. 68, arrêts 9C_708/2007 du 11 septembre 2008 consid. 2.3 et I 52/03 du 16 janvier 2004 consid. 2.2).
3.
3.1. Au préalable, la recourante soutient que l'intimé est formellement entré en matière sur sa nouvelle demande de prestations, dès lors qu'il a sollicité l'avis du SMR. Elle lui reproche, en outre, d'avoir attendu six ans avant de se prononcer sur sa demande, laquelle remonterait au 7 décembre 2007. Un tel délai de carence serait inadmissible et prouverait que le dossier nécessitait une instruction complémentaire.
3.2. Quoi qu'en dise la recourante, il ne s'est pas écoulé six ans avant que l'intimé ne se prononce sur sa nouvelle demande de rente; ce n'est qu'en date du 21 décembre 2009 que l'assurée a formulé une telle demande. Le courrier du 7 décembre 2007, par lequel le mandataire de la recourante a informé l'intimé qu'il ne comptait pas recourir contre le jugement du 28 août 2007 et requis une mesure d'aide au placement, n'avait pas pour objet une nouvelle demande d'examen du droit à une rente d'invalidité. Le délai dans lequel l'intimé s'est déterminé sur la demande du 21 décembre 2009 n'apparaît pas particulièrement long compte tenu des nombreux rapports médicaux produits par la recourante et du recours qu'elle a déposé entre-temps contre la décision d'aide au placement accordée par l'office AI en date du 24 juin 2010. Il est vrai que l'intimé a pris conseil à deux reprises auprès du SMR au sujet des pièces produites, il n'a toutefois procédé à aucune mesure d'instruction sur le plan médical. On ne peut donc suivre le raisonnement de la recourante, lorsqu'elle soutient que l'intimé est entré (implicitement) en matière sur la demande du 21 décembre 2009. Dès lors, en instance fédérale, le litige porte uniquement sur le bien-fondé du refus d'entrer en matière, de sorte que les conclusions de la recourante tendant à l'octroi d'une rente d'invalidité sont irrecevables.
4.
4.1. Contrairement à l'argument soulevé par la recourante à ce sujet, la juridiction cantonale a correctement appliqué la jurisprudence évoquée ci-dessus (cf. supra consid. 2.3 in fine) en ne tenant pas compte des rapports médicaux produits par la recourante au cours de la procédure cantonale, soit postérieurement à la décision du 6 juillet 2011. En effet, dans un litige portant sur le bien-fondé du refus d'entrer en matière sur une nouvelle demande, le juge doit se contenter d'examiner la situation d'après l'état de fait tel qu'il se présentait à l'administration au moment où celle-ci a statué. Son examen se limite, ainsi, au point de savoir si les pièces déposées en procédure administrative justifient ou non la reprise de l'instruction du dossier.
4.2. Examinant donc à juste titre uniquement les pièces déposées en procédure administrative et les comparant à la situation médicale prévalant lors du dernier examen du droit à la rente de l'assurance-invalidité par l'office AI (cf. décision du 15 juin 2006 confirmée par jugement du 28 août 2007), la juridiction cantonale est parvenue à la conclusion que l'assurée n'avait pas rendu plausible une aggravation de son état de santé physique et psychique. En ce qui concerne plus spécialement les rapports médicaux, sur lesquels s'appuie la recourante, les premiers juges ont indiqué que sur le plan somatique le rapport du 1er octobre 2008 du docteur L._ n'apportait aucun élément nouveau. Dans son rapport du 23 octobre 2009, le docteur F._ faisait état d'un syndrome douloureux, qui ne constituait pas un problème nouveau; il ne se prononçait, par ailleurs, pas sur les limitations fonctionnelles, ni sur la capacité de travail résiduelle. En ce qui concerne la deuxième appréciation du docteur F._ au terme de laquelle ce médecin a conclu à une capacité de travail résiduelle de 50 %, les premiers juges ont retenu qu'elle n'était pas suffisamment motivée. Ce médecin n'avait, en effet, pas exposé les éléments sur lesquels il fondait ses conclusions relatives à la capacité de travail et ses observations ne permettaient pas d'attester clairement la présence d'une atteinte à la santé objective nouvelle.
Sur le plan psychique, les premiers juges ont relevé que les conclusions du docteur G._ (rapports des 18 novembre 2009, 28 juin 2010 et 23 août 2010) étaient peu claires, voire contradictoires, et que le diagnostic d'état dépressif grave auquel il concluait n'était pas suffisamment documenté. En ce qui concerne le diagnostic d'épisode dépressif d'intensité modérée à sévère retenu par la doctoresse V._, ils ont mentionné que celui-ci relevait d'une appréciation différente d'une même situation. Cette praticienne ne s'était, par ailleurs, pas prononcée sur les limitations fonctionnelles, ni sur la capacité de travail exigible. Quant au syndrome de stress post-traumatique - mis en évidence par la doctoresse V._ en relation avec le grave accident que le fils de la recourante avait subi en 2008 -, la juridiction cantonale a considéré que ce diagnostic n'était pas établi.
5.
5.1. Par ses arguments, la recourante ne parvient pas à démontrer en quoi les constatations des premiers juges sur le plan somatique seraient manifestement inexactes ou auraient été établies en violation du droit. Elle reproche notamment aux premiers juges de ne pas avoir tenu compte comme facteur aggravant de l'apparition en 2008 de cervico-brachialgies dans un contexte de spondylodiscarthrose cervico-thoracique attestée par le docteur F._. Or, ce médecin n'a pas précisé en quoi cette nouvelle atteinte aurait entraîné des limitations fonctionnelles autres que celles déjà prises en compte lors des procédures précédentes. Les seules limitations fonctionnelles mises en évidence par le docteur F._ concernent les lombosciatalgies et sont superposables à celles qu'il retenait dans son évaluation du 20 juillet 2001. C'est donc à juste titre que la juridiction cantonale n'a pas tenu compte de cette nouvelle affection. Au demeurant, on ajoutera, à la suite des premiers juges, que ce médecin n'a pas indiqué les éléments objectifs sur lesquels repose la capacité de travail de 50 % à laquelle il conclut, se contentant dans une large mesure de faire état d'un «syndrome douloureux subjectivement extrêmement invalidant». En ce qui concerne le rapport radiologique du 1er octobre 2008, il n'est d'aucun secours à la recourante, le docteur L._ ne s'étant pas prononcé sur les limitations fonctionnelles, ni sur la capacité de travail résiduelle de l'intéressée. En outre, quoi qu'en dise la recourante, l'avis du 4 février 2009 du médecin conseil de l'intimé ne constituait pas une nouvelle appréciation de la capacité de travail résiduelle de l'assurée, le docteur A._ ayant, de toute vraisemblance, repris le taux de 60 % admis par les experts de la Clinique Y._. Enfin, le fait que les premiers juges se sont référés au taux de capacité de travail de 60 % fixé par les experts de la Clinique Y._ au lieu de prendre en considération le taux de 75 % finalement retenu dans le jugement du 28 août 2007 n'a pas eu de conséquence sur l'appréciation du cas d'espèce.
5.2. Sur le plan psychique, l'appréciation de la juridiction cantonale n'apparaît pas non plus arbitraire, ni autrement contraire au droit. En particulier, il n'était pas insoutenable de la part des premiers juges de retenir que le diagnostic d'état dépressif grave posé par le docteur G._ n'était pas suffisamment documenté. Le seul fait de noter que les symptômes anxieux dépressifs et douloureux s'étaient aggravés, sans préciser en quoi consistait cette aggravation et sans indiquer les raisons pour lesquelles de tels symptômes empêcheraient la recourante d'exercer une activité professionnelle adaptée à son état de santé, ne constituait pas une motivation suffisante. Il ressort, en outre, des précédentes évaluations du docteur G._ que celui-ci concluait déjà en 2001 et 2002 à l'existence d'un état dépressif moyen à sévère entraînant une incapacité de travail de 80 %, voire de 100 % (cf. rapports des 30 janvier 2001 et 25 avril 2002). De son côté, la doctoresse V._ a posé le diagnostic d'épisode dépressif d'intensité modérée à sévère. Elle a toutefois relevé que la situation n'était pas si désespérée, la recourante faisant face au quotidien, à sa façon, à ses douleurs même si elle avait encore de la peine à le reconnaître. En l'occurrence, dans la mesure où elles n'apparaissent pas manifestement inexactes, il n'y a pas lieu de s'écarter des constatations de la juridiction cantonale selon lesquelles le diagnostic d'épisode dépressif d'intensité modérée à sévère retenu par la doctoresse V._ relevait d'une appréciation différente d'une situation médicale demeurée inchangée. En ce qui concerne le syndrome de stress post-traumatique, la recourante ne peut rien tirer de ce nouveau diagnostic, dès lors que la doctoresse V._ n'a pas précisé si cette affection était de nature à entraîner une diminution de la capacité de travail résiduelle, préconisant simplement la mise en place d'un traitement spécifique à ce genre de traumatisme. La question de savoir si ce nouveau diagnostic pouvait être posé dans le cas de la recourante - comme l'ont nié les premiers juges sur la base du rapport du docteur C._ du 9 juin 2011 approuvé par le docteur M._ - peut ainsi demeurer indécise.
5.3. Faute pour la recourante d'avoir apporté les éléments médicaux pertinents permettant de rendre plausible que son degré d'invalidité s'était modifié, les premiers juges pouvaient donc retenir que c'était à bon droit que l'intimé n'était pas entré en matière sur la nouvelle demande de prestations de l'assurée.
6.
Il s'ensuit que le recours se révèle mal fondé et doit être rejeté.
7.
La recourante voit ses conclusions rejetées, de sorte qu'elle devrait en principe supporter les frais de justice et ses propres dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Elle a toutefois déposé une demande d'assistance judiciaire. Dès lors que le recours n'était pas dénué de chances de succès, que l'indigence de la recourante est établie et que l'assistance d'un avocat est justifiée (art. 64 al. 1 et 2 LTF), il convient de lui accorder l'assistance judiciaire. La recourante est toutefois rendu attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle se trouve ultérieurement en mesure de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Me Pierre Seidler est désigné en tant qu'avocat d'office de la recourante et une indemnité de 2'800 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, supportée par la caisse du Tribunal.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Reichen