Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1961, war ab 1. Januar 2005 bei den Schweizerischen Bundesbahnen SBB AG (nachfolgend: SBB) tätig und bei der Pensionskasse SBB berufsvorsorgeversichert. Am 4. Juni 2009 meldete er sich unter Hinweis auf eine Hüftoperation im Juni 2008, eine Rückenoperation im August 2008 und Probleme mit dem Darm (Analfistel) seit Oktober 2008 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle tätigte berufliche und medizinische Abklärungen. Per Ende Mai 2010 lösten die SBB das Arbeitsverhältnis auf. Am 31. August 2010 erging das von der IV-Stelle veranlasste rheumatologische und psychiatrische Gutachten des Dr. med. B._, Facharzt FMH für Rheumatologie und Innere Medizin, sowie des PD Dr. med. C._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie. Nachdem A._ vom 1. bis 22. November 2010 stationär in der psychiatrischen Klinik D._ behandelt worden war, leitete die IV-Stelle eine erneute psychiatrische Begutachtung bei PD Dr. med. C._ in die Wege (Expertise vom 11. Oktober 2011). Am 22. Mai 2012 verfügte sie, bis Ende August 2011 bestehe bei einem IV-Grad von 27 % kein Rentenanspruch. Unter Berücksichtigung einer psychischen Verschlechterung stehe A._ ab 1. September 2011 eine halbe Rente zu (IV-Grad: 57 %).
A.b. Am 2. November 2012 teilte die Pensionskasse SBB A._ mit, mangels zeitlichem und sachlichem Zusammenhang zwischen dem während seiner Anstellung bei den SBB bestandenen (somatischen) Problemen und der (psychischen) Verschlechterung bestehe kein Anspruch auf wiederkehrende Invalidenleistungen (wohl aber auf eine Austrittsleistung). Nach Einwänden des zwischenzeitlich anwaltlich vertretenen A._ (Schreiben vom 11. Dezember 2012) hielt die Pensionskasse SBB am 1. Februar 2013 an ihrer rentenablehnenden Haltung fest.
B.
In Gutheissung der Klage des A._ verurteilte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Pensionskasse SBB mit Entscheid vom 4. November 2014, A._ ab September 2011 eine halbe Invalidenrente aus der weitergehenden beruflichen Vorsorge zu bezahlen (nebst Zins seit 25. Februar 2014 bzw. ab Fälligkeit).
C.
Die Pensionskasse SBB führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Abweisung der vorinstanzlichen Klage. Eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen bzw. es sei ein Gerichtsgutachten erstellen zu lassen.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde und Bestätigung des angefochtenen Entscheids. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz werden Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, durch welche die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6 S. 17). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn Reglement oder Statuten nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 69). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit ist eine erhebliche und dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich massgebend. Diese muss mindestens 20 % betragen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23; Urteil 9C_569/2013 vom 18. Februar 2014 E. 1.1, in: SVR 2014 BVG Nr. 36 S. 134, mit weiteren Hinweisen).
2.2. Der Anspruch auf Invalidenleistungen setzt zudem einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der einmonatigen Nachdeckungsfrist gemäss Art. 10 Abs. 3 BVG) eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität voraus (z.B. Urteil 9C_326/2014 vom 28. September 2014 E. 6.2, in: SVR 2015 BVG Nr. 29 S. 107). Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen auch der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22). Der sachliche Zusammenhang kann auch gegeben sein, wenn die bei noch bestehender Versicherungsdeckung eingetretene Arbeitsunfähigkeit somatisch, die Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung begründende, allenfalls auch berufsvorsorgerechtliche Leistungen auslösende Invalidität jedoch psychisch bedingt ist. Notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung hiefür ist, dass das psychische Leiden sich schon während des Vorsorgeverhältnisses manifestierte und das Krankheitsgeschehen erkennbar mitprägte (z.B. Urteil 9C_58/2015 vom 11. August 2015 E. 2.2 mit Hinweisen). Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war. Eine nachhaltige, den zeitlichen Zusammenhang unterbrechende Erholung liegt grundsätzlich nicht vor, solange eine Arbeitsfähigkeit (von über 80 % [vgl. vorangehende E. 2.1]) weniger als drei Monate gedauert hat (bereits zitiertes Urteil 9C_569/2013 vom 18. Februar 2014 E. 1.2.2).
3.
3.1. Die Vorinstanz hielt einleitend fest, das Reglement der Beschwerdeführerin verweise auf die Bestimmungen des IVG und des BVG. Es weiche weder bezüglich der Definition des Invaliditätsbegriffs noch hinsichtlich des Eintritts der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit von den Grundsätzen des Art. 23 lit. a BVG ab. Nach Würdigung der ärztlichen Beurteilungen stellte das kantonale Gericht fest, der (letztinstanzliche) Beschwerdegegner sei anfänglich unbestrittenermassen aus somatischen Gründen arbeitsunfähig geschrieben worden und habe sich deswegen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Allerdings bestünden gewichtige Anhaltspunkte, wonach die psychischen Beschwerden schon während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (inklusive Nachdeckungsfrist bis Ende Juni 2010) erkennbar in Erscheinung getreten seien. Namentlich habe Hausarzt Dr. med. E._, Facharzt für Allgemeinmedizin, am 21. Februar 2010 zunehmend eine depressive Entwicklung vermutet und angekündigt, "bei Bedarf" eine psychiatrische Behandlung in Betracht zu ziehen. Dr. med. F._ (Oberärztin Rheumatologie am Spital G._) habe am 8. März 2010 den Verdacht auf eine Schmerzausweitung (bzw. differenzialdiagnostisch auf eine somatoforme Schmerzstörung) geäussert sowie eine entsprechende Therapieempfehlung abgegeben. Ebenfalls berücksichtigt hat das kantonale Gericht den weiteren Verlauf des Krankheitsgeschehens, insbesondere dass der psychiatrische Gutachter PD Dr. med. C._ kurz nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses seinen Verdacht auf eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung als Diagnose mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit bezeichnet und eine Einschränkung von 20 % attestiert hatte. Das Gericht erwog, das bereits während des Versicherungsverhältnisses mit der Beschwerdeführerin in Erscheinung getretene, später zur Invalidität führende psychische Leiden sei in Zusammenhang mit den somatischen Beschwerden aufgetreten, weshalb die sachliche Konnexität gegeben sei. Offen gelassen werden könne, ob die - nicht offensichtlich falsche - Verfügung der Invalidenversicherung für die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin bindend wäre. Zu bejahen sei auch der zeitliche Zusammenhang, nachdem aufgrund der Akten erstellt sei, dass der Beschwerdegegner zwischen 1. Juli 2010 und 31. August 2011 in seinem Leistungsvermögen stets um mindestens 20 % eingeschränkt gewesen sei und weder in der angestammten noch in einer alternativen Tätigkeit eine volle Arbeitsfähigkeit erlangt habe.
3.2. Die Beschwerde führende Vorsorgeeinrichtung rügt, vor Ende des Vorsorgeverhältnisses (inklusive Nachdeckungsfrist) sei in den medizinischen Akten bloss von einer Vermutung (des Dr. med. E._) und von einem Verdacht (der Dr. med. F._) die Rede. Eine echtzeitliche psychiatrische Diagnose, jedenfalls eine solche von Krankheitswert, fehle. Soweit das kantonale Gericht vor August 2010 von einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit ausgegangen sei, handle es sich um eine nachträgliche Annahme und spekulative Überlegungen, welche den mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zu erbringenden Nachweis nicht zu ersetzen vermöchten. Erst anlässlich der Begutachtung durch PD Dr. med. C._ vom 20. August 2010h abe ab dem Untersuchungszeitpunkt eine psychiatrische Störung mit Krankheitswert sicher festgestellt werden können. Die hievon abweichende vorinstanzliche Beweiswürdigung sei willkürlich. Zumindest wären weitere medizinische Abklärungen in die Wege zu leiten. Der Beschwerdegegner habe sich erst am 17. August 2010 in psychiatrische Behandlung begeben, eine frühere fachärztliche Stellungnahme als diejenige des PD Dr. med. C._ vom 20. August 2010 gebe es somit nicht.
Selbst eine während des Vorsorgeverhältnisses festgestellte leichte depressive Episode hätte mit Blick auf deren Überwindbarkeit nicht zu einer Invalidität führen können. Das kantonale Gericht argumentiere widersprüchlich, wenn es einerseits die Beurteilung des PD Dr. med. C._ mit Bezug auf die sogenannten Förster-Kriterien als schlüssig erachte, anderseits entgegen dessen Einschätzung annehme, die (psychisch bedingte) Arbeitsunfähigkeit sei bereits während des Vorsorgeverhältnisses eingetreten. Der von der Invalidenversicherung festgestellte Invaliditätsgrad von 27 % sei, da unter 40 % liegend, für die berufliche Vorsorge ohnehin nicht bindend.
Schliesslich sei der zeitliche Zusammenhang schon deshalb unterbrochen, weil das Leiden des Beschwerdegegners in der fraglichen Zeit überwindbar und dieser folglich uneingeschränkt arbeitsfähig gewesen sei. Selbst mit einer Einschränkung von 20 % wäre ein rentenausschliessendes Einkommen zu erzielen gewesen. Bis September 2011, mithin während über einem Jahr nach Ablauf der Nachdeckungsfrist, habe eine mindestens 80%ige Arbeitsfähigkeit bestanden.
4.
4.1. Nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz ist ein Entscheid der IV-Stelle für eine Einrichtung der beruflichen Vorsorge unter den in <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69 dargelegten Voraussetzungen grundsätzlich verbindlich. Die Bindungswirkung einer Verfügung der Invalidenversicherung für eine Einrichtung der beruflichen Vorsorge vermag sich allerdings nicht auf Feststellungen zu erstrecken, welche für die Festlegung des Anspruchs auf eine Rente der Invalidenversicherung nicht entscheidend waren. So ist der von der IV-Stelle ermittelte Invaliditätsgrad für die Vorsorgeeinrichtung nicht bindend, wenn er die gesetzliche Mindestgrenze von 40 % (Art. 28 Abs. 1 und 2 IVG) nicht erreicht, weil in diesem unterhalb der Erheblichkeitsschwelle liegenden Bereich für die Organe der Invalidenversicherung keine Veranlassung besteht, eine genaue Bestimmung des Invaliditätsgrades vorzunehmen (Urteil 9C_8/2009 vom 30. März 2009 E. 3.2 mit Hinweisen).
4.2. Soweit die IV-Stelle in ihrer Verfügung vom 22. Mai 2012 einen Rentenanspruch bis Ende August 2010 bei einem Invaliditätsgrad von 27 %, ausgehend von einer psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit von 20 %, verneint hatte, sind ihre diesbezüglichen Feststellungen für die Beschwerdeführerin somit nicht verbindlich. Die Vorinstanz hat Höhe und Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit denn auch umfassend geprüft.
5.
5.1. Entscheiderhebliche Feststellungen der Vorinstanz zur Art des Gesundheitsschadens und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, binden das Bundesgericht, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vorangehende E. 1; <ref-ruling> E. 3.2 S. 397). Dies gilt auch für den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG; Urteil 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.1.1 [SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126]). Frei zu prüfende Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt (Urteil 9C_91/2013 vom 17. Juni 2013 E. 4.3.2 mit Hinweisen [SVR 2013 BVG Nr. 49 S. 206]), und ob diese Entscheidung auf einer genügenden Beweislage beruht (Urteil 9C_752/2008 vom 9. April 2009 E. 1.2 und 2.3).
5.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (Urteil 9C_570/2007 vom 5. März 2008 E. 4.2). Eine Sachverhaltsfeststellung ist beispielsweise offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteile 8C_5/2010 vom 24. März 2010 E. 1.2; 9C_368/2008 vom 11. September 2008 E. 4.2).
6.
6.1. Es steht fest, dass der Beschwerdegegner während seiner Anstellung bei den SBB ab dem Jahr 2008 wiederholt an somatischen Gesundheitsproblemen gelitten hatte, sich innert kurzer Zeit mehrerer operativer Eingriffen unterziehen musste und wegen der organischen Beeinträchtigungen wiederholt krank geschrieben worden war. Die von der Arbeitgeberfirma versuchte berufliche Wiedereingliederung scheiterte namentlich an einer Rückenproblematik, weshalb das Arbeitsverhältnis per Ende Mai 2010 "wegen mangelnder medizinischer Tauglichkeit" aufgelöst wurde.
6.2. In somatischer Hinsicht stellte Gutachter Dr. med. H._ in der Expertise vom 31. August 2010 Hinweise auf eine "klare Aggravation" fest. Die Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit - worunter auch die angestammte Arbeit als Reiniger falle - sei nicht eingeschränkt. Gegen diese Beurteilung hat der Beschwerdegegner keine Einwände erhoben und es sind auch sonst keine Gründe ersichtlich, weshalb nicht darauf abzustellen wäre. Nachdem eine somatische Veränderung bis zum Begutachtungszeitpunkt Ende August 2010 weder geltend gemacht wurde noch sich entsprechende Hinweise in den Akten finden, ist davon auszugehen, dass die organische Problematik zwar zur (auf Einschätzungen der Werksärztin beruhenden) Auflösung des Arbeitsverhältnisses per Ende Mai 2010 führte, indes keine längerfristige Arbeitsunfähigkeit (in angepassten Tätigkeiten) bewirkte.
6.3.
6.3.1. Was die psychische Problematik betrifft, vermutete Hausarzt Dr. med. E._ bereits in seinem Bericht vom 21. Februar 2010 zunehmend eine depressive Entwicklung und hielt fest, "bei Bedarf" ziehe er eine psychiatrische Behandlung in Betracht. Auch Dr. med. F._ hegte im März 2010 den Verdacht, es bestehe eine Schmerzausweitung (bzw. differenzialdiagnostisch eine somatoforme Schmerzstörung; Bericht vom 8. März 2010). Einer psychiatrischen Behandlung unterzog sich der Beschwerdegegner erst ab August 2010, wobei aktenkundig ist, dass er sich bereits im Juni 2010 für eine psychiatrische Behandlung bei Dr. med. I._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie (Schreiben vom 11. Dezember 2012), angemeldet hatte. Die Vorinstanz kam namentlich in Würdigung der Einschätzungen der Dres. med. E._ und F._ zum bereits erwähnten (vorangehende E. 3.1) Schluss, die echtzeitlichen Aufzeichnungen enthielten gewichtige Anhaltspunkte, wonach schon während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses psychische Beeinträchtigungen mit Auswirkungen auf das Krankheitsgeschehen bestanden hätten. Dies werde durch den weiteren Krankheitsverlauf bestätigt. In der Tat hielt PD Dr. med. C._ im Gutachten vom 31. August 2010 fest, die Arbeitsfähigkeit sei durch eine leichte depressive Episode (ICD-10 F32.0) um 20 % eingeschränkt. Darin enthalten seien die Limitierungen wegen einer verdachtsweise zu diagnostizierenden somatoformen Schmerzstörung, die der Beschwerdegegner willentlich nicht vollumfänglich überwinden könne.
6.3.2. Die vorinstanzlichen Erwägungen, wonach die psychischen Limitierungen bereits vor dem 30. Juni 2010 erkennbar in Erscheinung getreten seien, sind nachvollziehbar. Tatsächlich wäre nicht einsichtig, weshalb Hausarzt Dr. med. E._ bereits im Februar 2010 eine psychiatrische Behandlung ("bei Bedarf") in Betracht zog und Dr. med. F._ anfangs März 2010 - für den Fall fehlender neuer Erkenntnisse auf neurologischem Gebiet - eine schmerzdistanzierende Therapie mit Antidepressiva (Saroten/Tryziptol) sowie eine Vorstellung beim Psychiater Dr. med. J._ zum allfälligen Einschleusen in eine Schmerzgruppe empfahl, wenn psychische Auffälligkeiten nicht bereits damals augenfällig gewesen wären. Dass die Ärzte des Spitals K._ nur wenige Wochen nach Ende der Nachdeckungsfrist einen Verdacht auf eine psychische Überlagerung geäussert hatten (Bericht vom 3. August 2010), deutet ebenfalls auf bereits vor Ende Juni 2010 manifest gewordene psychische Probleme hin. Nicht zuletzt hatte sich der Beschwerdegegner, wie erwähnt (E. 6.3.1 hievor), bereits im Juni 2010 bei Dr. med. I._ in psychiatrische Behandlung begeben wollen. Indes käme es nur dann auf die vorinstanzlich im Rahmen des sachlichen Zusammenhangs geprüfte Manifestation psychischer Beeinträchtigungen im Sinne der zitierten Rechtsprechung (Urteil 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2) an, wenn zunächst aus organischen Gründen eine Arbeitsunfähigkeit (von mindestens 20 %) bestanden und sich nachfolgend eine psychische Verschlechterung eingestellt hätte. Nach dem Gesagten (E. 6.2 hievor) trifft dies nicht zu.
6.4. Im Raum steht allein eine Arbeitsfähigkeit aus psychischen Gründen (die schliesslich als mittelgradige depressive Episode [ICD-10 F32.1] und anhaltende somatoforme Schmerzstörung [ICD-10 F45.4] in einen iv-rentenbegründenden Gesundheitsschaden mündete). Nachdem ausschliesslich eine Verschlechterung der bereits in den ersten Monaten des Jahres 2010 ärztlicherseits beobachteten psychischen Problematik in Frage steht, ist eine enge sachliche Verknüpfung zwischen den während des Vorsorgeverhältnisses (inklusive Nachdeckungsfrist) manifest gewordenen Limitierungen und den die Zusprechung der Rente der Invalidenversicherung ab 1. September 2011 auslösenden psychischen Beeinträchtigungen offensichtlich gegeben (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22; Urteile 9C_197/2015 vom 26. Oktober 2015 E. 1.2 und B 32/03 vom 21. Januar 2005 E. 5.2.3, zusammenfassend publiziert in: SZS 2005 S. 550). Indes hängt die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin davon ab, ob der Beschwerdegegner vor dem 1. Juli 2010 - aus psychischen Gründen - zu mindestens 20 % arbeitsunfähig gewesen war und die Arbeitsunfähigkeit nachfolgend nicht mehr anspruchshemmend unterbrochen wurde. Beides ist ohne Bindung an den IV-Entscheid zu prüfen (vorangehende E. 4.2).
7.
Die Beschwerdeführerin wendet ein, selbst wenn die psychische Problematik vor dem 1. Juli 2010 in Erscheinung getreten wäre, hätte es an einer invalidisierenden Wirkung gefehlt, da die Störung überwindbar gewesen wäre (vorangehende E. 3.2). Diese Rüge ist unbegründet. Eine depressive Störung, wie sie beim Beschwerdegegner diagnostiziert wurde, gilt nur als "unklares Beschwerdebild", das nach der sogenannten Schmerzrechtsprechung (nunmehr <ref-ruling>) zu beurteilen ist - und für welches bis zur Praxisänderung vom 3. Juni 2015 die Überwindbarkeitsvermutung galt -, wenn es sich dabei lediglich um Begleiterscheinungen einer Schmerzfehlentwicklung handelt. Eine depressive Störung als selbständiges, von der Schmerzstörung losgelöstes Leiden fällt indessen nicht unter die unklaren Beschwerden (z.B. Urteil 9C_173/2015 vom 29. Juni 2015 E. 4.2.2). Im konkreten Fall kam PD Dr. med. C._ zum Schluss, der Beschwerdegegner leide an einer leichten depressiven Episode (ICD-10 F32.0). Die anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) könne lediglich als Verdachtsdiagnose gestellt werden (welche insbesondere durch "nicht unerhebliche bewusstseinsnahe Mechanismen" in Frage gestellt werde, die klar über eine Verdeutlichungstendenz hinausgingen ). Dieser Beurteilung kann kein ausgewiesener Zusammenhang zwischen Schmerzproblematik und depressiver Problematik entnommen werden, der die Annahme rechtfertigte, es handle sich bei der Letzten lediglich um eine Begleiterscheinung des Schmerzgeschehens (vgl. Urteil 8C_689/2014 vom 19. Januar 2015 E. 3.4). Die depressive Problematik ist somit als eigenständiges Krankheitsbild aufzufassen, auf das zum vornherein weder die nach alter Rechtsprechung einschlägig gewesenen "Förster-Kriterien" noch die neue Praxis gemäss <ref-ruling> zur Anwendung gelangt. Soweit PD Dr. med. C._ die Überwindbarkeitskriterien gleichwohl kursorisch prüfte, ist dies ohne Belang. Im Übrigen erachtete er allfällige qualitative Funktionseinbussen wegen der Schmerzstörung ohnehin als in den Limitierungen durch die Depressionsproblematik mitenthalten.
8.
Die Vorinstanz hat aus den zur Verfügung stehenden Unterlagen geschlossen, die Beurteilung des PD Dr. med. C._ vom 31. August 2010, wonach die leichte depressive Episode eine qualitative Funktionseinbusse von 20 % bewirke, habe bereits während des Vorsorgeverhältnisses bei der Beschwerdeführerin bis Ende Juni 2010 gegolten. Indes vermögen psychische Störungen der hier - zunächst, d.h. vor der ausgewiesenen Verschlechterung im September 2011 - diagnostizierten Art ( ICD-10 F32.0 [leichte depressive Episode]) rechtsprechungsgemäss keine Arbeitsunfähigkeit zu begründen (z.B. Urteil 9C_531/2012 vom 5. März 2013 E. 4.2). Zu einer abweichenden Beurteilung besteht kein Grund. Die Vorinstanz hat somit unter Berücksichtigung, dass das Reglement der Beschwerdeführerin einen Gleichlauf mit der Invalidenversicherung statuiert (vgl. E. 3.1 hievor), zu Unrecht den Eintritt einer relevanten Arbeitsunfähigkeit bereits während der Versicherungsdauer bei der Beschwerdeführerin bejaht. Weil somit bis Ende Juni 2010 keine Ansprüche gegenüber der Pensionskasse auslösende - psychisch begründete - Arbeitsunfähigkeit (von mindestens 20 %; E. 2.1 hievor) ausgewiesen ist, fällt eine Leistungspflicht der Beschwerdeführerin ausser Betracht. Dies führt zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
9.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdegegner grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>). Der obsiegenden Beschwerdeführerin steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; Urteil 9C_920/2008 vom 16. April 2009 E. 7 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 BVG Nr. 30 S. 109).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 4. November 2014 wird aufgehoben. Die Klage vom 25. Februar 2014 wird abgewiesen.
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 4. November 2014 wird aufgehoben. Die Klage vom 25. Februar 2014 wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdegegner wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Daniel Tschopp wird als unentgeltlicher Rechtsvertreter bestellt.
2. Dem Beschwerdegegner wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Daniel Tschopp wird als unentgeltlicher Rechtsvertreter bestellt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4. Dem Rechtsvertreter des Beschwerdegegners wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
4. Dem Rechtsvertreter des Beschwerdegegners wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorinstanzlichen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorinstanzlichen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. November 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Bollinger Hammerle