Sachverhalt:
A.
A._ bezog mit Wirkung seit Juli 2005 eine ganze Invalidenrente (Verfügung vom 5. Mai 2008). Im Rahmen der Überprüfung des Rentenanspruchs beauftragte die IV-Stelle des Kantons Solothurn die Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) Zentrum X._ am 24. Februar 2012 mit der Erstellung eines polydisziplinären Gutachtens. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2013 hob die Verwaltung die Invalidenrente auf Ende November 2013 hin auf.
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn hiess die dagegen erhobene Beschwerde in dem Sinne gut, als es die Verfügung vom 3. Oktober 2013 aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, "damit diese eine neue MEDAS-Abklärung nach dem Verfahren im Sinne der Erwägungen veranlasse und hierauf neu entscheide, ob die Beschwerdeführerin weiterhin Anspruch auf die bisher ausgerichtete ganze Invalidenrente hat" (Entscheid vom 26. Mai 2014).
C.
C.a. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihr weiterhin eine ganze Invalidenrente auszurichten. Eventuell sei die Sache zur ergänzenden Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung unter Anordnung der rückwirkenden Wiederaufnahme der Rentenleistungen an die IV-Stelle zurückzuweisen.
C.b. Die IV-Stelle führt ebenfalls Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Die Sache sei zur materiellen Überprüfung der Verfügung vom 3. Oktober 2012 an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei die Sache vom Bundesgericht materiell zu prüfen.

Erwägungen:
1.
Da den beiden Beschwerden derselbe Sachverhalt zugrundeliegt und die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die Verfahren zu vereinigen und in einem Urteil zu erledigen (<ref-ruling> E. 1 S. 126).
2.
Das kantonale Gericht erwog, die mit <ref-ruling> geänderte Rechtsprechung zur Einholung von MEDAS-Gutachten sei im Grundsatz auch auf im Zeitpunkt der Rechtsprechungsänderung laufende Verfahren anwendbar. Bei Erteilung des Begutachtungsauftrages am 24. Februar 2012 sei <ref-ruling> (Urteil 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011) bekannt gewesen. Die neuen Anforderungen seien zwar teilweise eingehalten worden. So sei der Beschwerdeführerin bei der Mitteilung der zu beauftragenden Gutachtenstelle der Fragenkatalog zur Stellungnahme zugestellt worden. Auch habe sie Gelegenheit erhalten, triftige Einwendungen gegen die Gutachtenstelle zu erheben. Jedoch sei das Zufallsprinzip (<ref-ruling> E. 3.1 S. 242) unberücksichtigt geblieben. Stattdessen sei - bei einem polydisziplinären Gutachten zu diesem Zeitpunkt unzulässigerweise - eine direkte Auftragsvergabe erfolgt. Laut dem bundesgerichtlichen Urteil 9C_769/2013 vom 1. April 2014 dürfe ein polydisziplinäres Gutachten, welches nach Publikation von <ref-ruling> (Mitte September 2011) in Auftrag gegeben worden sei, nur verwertet werden, wenn bei der Auftragsvergabe (hier am 24. Februar 2012) die Anforderungen, wie sie sich aus diesem Grundsatzentscheid ergeben, eingehalten worden seien. Das Bundesgericht differenziere nicht zwischen den einzelnen Vorgaben. Daher werde die Sache an die IV-Stelle zurückgewiesen, damit diese (nunmehr auch unter Berücksichtigung des am 1. März 2012 in Kraft getretenen <ref-law> sowie der einschlägigen Verwaltungsweisungen) ein neues Gutachten einhole.
3.
Die Beschwerde richtet sich, entgegen den Vorbringen der Versicherten, klarerweise gegen einen Zwischenentscheid, der vor Bundesgericht prinzipiell nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a oder b BGG angefochten werden kann (vgl. auch <ref-ruling>).
4.
Die Rechtsbegehren der Versicherten sind hauptsächlich materieller Natur und gehen über den Streitgegenstand hinaus. Diesbezüglich ist ohne Weiteres auf die Beschwerde nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG). Soweit sie geltend macht, die Vorinstanz habe ihr das Recht verweigert durch Nichtbehandlung des Antrags auf Anordnung der Wiederaufnahme der Rentenleistungen für den Fall einer Rückweisung an die IV-Stelle, fehlt es in Anbetracht der bei Obsiegen in der Hauptsache geschuldeten Rentennachzahlung (einschliesslich Zinsen) an einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil (vgl. unten E. 5.1) rechtlicher Natur, der auch mit einem für die beschwerdeführende Partei günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 647).
5.
5.1. Nach <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid zulässig, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Die beschwerdeführende Verwaltung macht geltend, ein solcher Nachteil sei im Umstand zu erblicken, dass die Vorinstanz rechtskonform erlangte Gutachten generell mit einem Beweisverwertungsverbot belege. Ein solcher Rückweisungsentscheid könne zusammen mit dem Endentscheid nicht mehr wirksam angefochten werden (vgl. <ref-law>).
Dieser Argumentation kann nicht gefolgt werden. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil aus Sicht der Behörde besteht nur, soweit der Rückweisungsentscheid materiellrechtliche Festlegungen enthält (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 484). Erfolgt die Rückweisung dagegen zwecks Gewährleistung einer Verfahrensgarantie, so entsteht der Behörde insoweit kein irreversibler Nachteil (zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 8C_217/2014 vom 12. Mai 2014 E. 4.2). Das gilt auch, wenn mit der Rückweisung die Auflage verbunden ist, ein (neues) medizinisches Gutachten einzuholen: Nach ständiger Rechtsprechung bewirken rein tatsächliche Nachteile wie eine Verlängerung und Verteuerung des Verfahrens allein keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (<ref-ruling> E. 2.4 S. 104).
5.2. Nach <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid zulässig, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
5.2.1. Die beschwerdeführende IV-Stelle bringt in erster Linie vor, der angefochtene Entscheid führe dazu, dass das gesamte Revisionsverfahren wiederholt werden müsste, was einschliesslich Anordnung und Erstellen einer neuen Expertise gut zwei Jahre in Anspruch nehmen dürfte. Ein materieller Endentscheid über die Frage der Rentenaufhebung verhindere diese aufwendige und kostenintensive Beweiserhebung.
Wenn das Bundesgericht zum Schluss käme, die verfahrensrechtliche Begründung des vorinstanzlichen Rückweisungsentscheids sei unzutreffend, könnte damit in der Sache nicht sofort ein (materieller) Endentscheid herbeigeführt werden. Denn der Gegenstand des letztinstanzlichen Verfahrens kann nicht über denjenigen des angefochtenen Urteils hinausgehen; das kantonale Gericht hat über die materielle Frage der Rentenaufhebung noch nicht befunden (vgl. Urteil 2C_1048/2012 vom 14. April 2014 E. 1.3.2).
5.2.2. Damit kann offenbleiben, wie es sich hier mit der weiteren Voraussetzung der Ersparnis eines bedeutenden Aufwands an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren verhielte (vgl. Urteil 9C_167/2012 vom 23. Mai 2012 E. 3.3.2; zur Besonderheit, dass die strittige Rückweisung nicht auf Beweiswürdigung im Einzelfall gründet, sondern eine vor Inbetriebnahme der Zuweisungsplattform SuisseMED@P geübte allgemeine Vergabepraxis der IV-Stelle sanktioniert, vgl. sogleich E. 5.3).
5.3. Die IV-Stelle beruft sich überdies auf <ref-ruling> E. 2.5 S. 104. Diese Erwägung befasst sich mit der Frage, was geschieht, wenn eine Vorinstanz die Sache regelmässig zur gutachtlichen Abklärung an die Verwaltung zurückweist, obwohl sie jeweils ein Gerichtsgutachten einholen sollte (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.1.4 S. 264). Das Bundesgericht behält sich vor, in einem solchen Fall ausnahmsweise auf die Beschwerde gegen einen ungerechtfertigten Rückweisungsentscheid einzutreten. Dahinter steht die Überlegung, dass eine strikte Einzelfallhandhabung der Eintretensvoraussetzungen es verunmöglichen würde, eine Fehlpraxis zu korrigieren. Es verhält sich insofern ähnlich, wie wenn unter bestimmten Bedingungen auf das Eintretenserfordernis des aktuellen praktischen Interesses an der Beschwerdeführung (<ref-law>) verzichtet wird, damit eine bestimmte Frage von allgemeinem Interesse überhaupt je einmal beurteilt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 93; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 25).
Zu prüfen bleibt, ob die vorliegende Konstellation damit vergleichbar ist. Auf der Hand liegt, dass es im Hinblick auf die Verwertbarkeit eines Gutachtens einen wesentlichen Unterschied ausmacht, ob bei der Auftragsvergabe nicht umgesetzte Korrektive nach <ref-ruling> zu diesem Zeitpunkt erst Appellcharakter hatten oder ob es sich um durchsetzbare Beteiligungsrechte handelte (z.B. das Recht, sich vorgängig zu den Gutachterfragen äussern zu können [<ref-ruling> E. 3.4.2.9 S. 258]). Vor Implementierung von SuisseMED@P stellte die zufallsgeleitete Auftragsvergabe erst einmal eine bundesgerichtliche Appellanforderung dar, deren Umsetzung primär dem Verordnungsgeber und der Aufsichtsbehörde überlassen war (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 243 und E. 5 S. 266). Was diesen Punkt angeht, so wirkt sich eine vorinstanzliche Lesart des Urteils 9C_769/2013 indessen praktisch nur noch dort aus, wo der Auftrag zur Begutachtung vor dem 1. März 2012 ergangen ist (vgl. den am 1. März 2012 in Kraft getretenen <ref-law>; Kreisschreiben des BSV über das Verfahren in der Invalidenversicherung [KSVI], Anhang V). Es handelt sich somit nicht um eine Problematik, die sich in dieser konkreten Form inskünftig weiterhin stellen wird.
5.4. Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerden gegen den angefochtenen Zwischenentscheid unter keinem Titel eingetreten werden.
6.
6.1. Die Beschwerden sind im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a resp. lit. b und Abs. 2 BGG zu erledigen.
6.2. Umständehalber wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Juli 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub