Faits:
A. B._ est propriétaire des parcelles contiguës nos 63 et 64 du registre foncier de la commune de Belmont-sur-Yverdon. D'une surface de 737 m2, la parcelle n° 63, non construite, est sise en zone à bâtir (zone de village). La parcelle n° 64, d'une surface de 6'222 m2, est sise partiellement en zone de village et partiellement en zone agricole. Elle supporte plusieurs constructions, dont deux bâtiments agricoles situés dans la zone de village.
Le 29 février 2008, B._ a déposé une demande de permis de construire sur ces parcelles deux bâtiments comprenant au total dix logements et seize places de stationnement, ainsi qu'un garage souterrain. Mis à l'enquête publique du 2 avril au 1er mai 2008, ce projet a suscité l'opposition de A._, propriétaire de plusieurs parcelles dans la zone de village de Belmont-sur-Yverdon, dont la plus proche (la parcelle n° 61), se situe à environ 200 m du projet litigieux. Par décision du 1er août 2008, la Municipalité de Belmont-sur-Yverdon a levé l'opposition et délivré l'autorisation requise.
B. A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté son recours par arrêt du 6 mai 2009. En substance, cette autorité a considéré que l'art. 19 de la loi sur l'aménagement du territoire du 22 juin 1979 (LAT; RS 700) n'était pas respecté, car les parcelles n° 63 et 64 n'étaient pas raccordées à un système d'évacuation des eaux respectant les exigences légales, à savoir un système permettant la séparation des eaux claires et des eaux usées. Se référant à un arrêt rendu le même jour dans une cause connexe (cf. arrêt 1C_246/2009 de ce jour), le Tribunal cantonal a toutefois considéré qu'un refus du permis de construire pour ce motif ne serait pas conforme au principe d'égalité et à la garantie de la propriété sous l'angle de la proportionnalité.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que l'autorisation de construire délivrée le 1er août 2008 est annulée, subsidiairement d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. Il se plaint notamment d'une violation des art. 19 et 22 al. 2 let. b LAT et des art. 7 et 12 de la loi du 24 janvier 1991 sur la protection des eaux (LEaux; RS 814.20). Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours, en se référant aux considérants de l'arrêt attaqué. B._ ne s'est pas déterminé. Au terme de ses observations, la Commune de Belmont-sur-Yverdon conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. L'Office fédéral de l'environnement a également présenté des observations.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision rendue dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110) auxquels renvoie l'art. 34 al. 1 LAT (<ref-ruling> consid. 2 p. 356, 249 consid. 1.2 p. 251). Aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'est réalisée. Les parcelles du recourant ne sont pas directement voisines des parcelles destinées au projet litigieux. Selon l'arrêt attaqué, la parcelle la plus proche serait située à "un peu moins de 200 m" et les constructions prévues ne seraient pas visibles depuis les terrains du recourant. Le Tribunal cantonal a exprimé ses doutes quant à la qualité pour recourir de l'intéressé, mais il a néanmoins décidé de statuer sur le fond, en relevant notamment que le recourant se plaignait de problèmes liés à l'évacuation des eaux qui pourraient le concerner. La qualité pour agir du recourant est effectivement pour le moins douteuse, mais cette question peut demeurer indécise vu l'issue du présent recours.
2. En substance, le recourant soutient que l'autorisation de construire litigieuse ne pouvait pas être délivrée, car les parcelles n° 63 et 64 n'étaient pas équipées conformément aux exigences de l'art. 19 LAT, en relation avec les art. 7 et 12 LEaux.
2.1 Conformément à l'art. 22 al. 2 let. b LAT, l'autorisation de construire n'est délivrée que si le terrain est équipé. A teneur de l'art. 19 al. 1 LAT, un terrain est réputé équipé lorsqu'il est desservi d'une manière adaptée à l'utilisation prévue par des voies d'accès et par des conduites auxquelles il est possible de se raccorder sans frais disproportionnés pour l'alimentation en eau et en énergie, ainsi que pour l'évacuation des eaux usées. Il découle des art. 7 et 12 al. 3 LEaux que les eaux claires doivent en principe être séparées des eaux polluées. Les eaux polluées doivent en effet être traitées (<ref-law>) alors que les eaux non polluées doivent en règle générale être évacuées par infiltration, si les conditions locales le permettent (<ref-law>). Quant aux eaux non polluées dont l'écoulement est permanent, elles ne doivent en principe pas être conduites à une station centrale d'épuration (<ref-law>).
2.2 En l'espèce, l'évacuation des eaux claires par infiltration n'étant pas possible, le Tribunal cantonal a estimé que l'aménagement d'un système séparatif des eaux usées et des eaux claires s'imposait en application des dispositions susmentionnées. Les parcelles n°s 63 et 64 n'étant pas reliées à un tel système, les juges cantonaux ont constaté que ces bien-fonds n'étaient pas équipés conformément aux exigences de l'art. 19 LAT. Ils ont toutefois considéré que l'autorisation de construire requise devait être délivrée, pour des motifs liés au respect de la garantie de la propriété - sous l'angle de la proportionnalité - et au principe de l'égalité de traitement.
2.2.1 De manière générale, il n'est pas exclu que des droits fondamentaux puissent s'opposer à une application stricte du droit matériel, en particulier si celle-ci leur cause une atteinte disproportionnée. Dans l'examen de cette question, il convient de prendre en compte tous les intérêts en présence et de s'assurer que les principes majeurs de l'aménagement du territoire et de la protection de l'environnement ne soient pas compromis. Par ailleurs, l'art. 19 LAT comporte des notions indéterminées, qui doivent s'interpréter en tenant compte du principe de la proportionnalité (cf. ANDRÉ JOMINI, in Commentaire LAT, 2009, n. 11 ad art. 19 LAT et les références). Ainsi, même si les conditions des art. 19 et 22 LAT n'apparaissent pas réunies, le juge conserve un certain pouvoir d'appréciation et doit procéder à une pesée des intérêts en présence (cf. ALEXANDER RUCH, in Commentaire LAT, 2009, Introduction n. 25; BERNHARD WALDMANN/PETER HÄNNI, Raumplanungsgesetz, 2006, n. 10 ad art. 19 LAT et les références).
2.2.2 Le Tribunal cantonal a procédé à cette pesée des intérêts. Il se réfère à un arrêt rendu dans une cause connexe et examiné par la Cour de céans dans la procédure 1C_246/2009. En substance, les juges cantonaux ont constaté qu'il existait un intérêt public incontestable à ce que les eaux soient traitées conformément aux exigences fixées par la législation en matière de protection des eaux, mais que cet intérêt ne justifiait pas de rendre inconstructible tous les bien-fonds qui ne seraient actuellement pas reliés à un système de canalisations en séparatif. Les représentants du Service des eaux, sols et assainissement du canton de Vaud avaient en outre déclaré que la station d'épuration concernée fonctionnerait correctement aussi longtemps que des sources d'eaux claires permanentes ne s'y déverseront pas. De plus, un plan général d'évacuation des eaux prévoyant le raccordement à un nouveau collecteur était en cours d'élaboration, de sorte que la situation devrait être régularisée dans les prochaines années. Enfin, refuser le permis de construire serait problématique du point de vue de l'égalité de traitement au sens de l'art. 8 Cst., dès lors que de nombreuses constructions du village sont reliées au système d'évacuation unitaire, ce qui serait également le cas dans de nombreuses autres communes. Un tel refus porterait donc une atteinte disproportionnée au droit de propriété de l'intimé.
2.3 Le recourant conteste cette appréciation en remettant partiellement en cause les éléments de fait sur lesquels s'est fondé le Tribunal cantonal, à savoir l'impact de l'écoulement des eaux claires vers la station d'épuration et la portée du plan général d'évacuation des eaux en cours d'élaboration. Il ne démontre cependant pas une constatation arbitraire des faits à cet égard, de sorte que le Tribunal fédéral doit statuer sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.).
2.3.1 En l'occurrence, le Tribunal cantonal ne saurait être suivi lorsqu'il confirme l'autorisation de construire en se fondant sur l'égalité de traitement, au motif que de nombreuses constructions existantes seraient reliées à un système d'évacuation des eaux unitaire. En effet, il n'est pas admissible d'éluder l'application de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire en invoquant le fait que les constructions érigées avant son entrée en vigueur n'étaient pas soumises aux mêmes exigences.
2.3.2 En revanche, compte tenu des circonstances rappelées ci-dessus, on peut admettre que la pesée des intérêts effectuée par le Tribunal cantonal est conforme au droit fédéral. Il convient d'abord de relever que la situation insatisfaisante qui prévaut actuellement apparaît temporaire, les juges cantonaux ayant retenu que le plan d'évacuation des eaux en cours d'élaboration permettrait de la régulariser dans les prochaines années. Cette situation n'est au demeurant aucunement imputable au constructeur. En effet, il ressort des plans figurant au dossier qu'il a prévu d'installer deux canalisations distinctes pour les eaux claires et les eaux usées, si bien qu'il respecte ses obligations en matière d'équipement (cf. art. 11 de l'ordonnance du 28 octobre 1998 sur la protection des eaux [OEaux; RS 814.201]). De plus, il n'apparaît pas que l'écoulement non permanent des eaux claires émanant des constructions litigieuses dans la canalisation unitaire soit susceptible de compromettre le fonctionnement de la station d'épuration.
Enfin, comme le relève l'Office fédéral de l'environnement, la loi fédérale sur les eaux n'impose pas de délai pour la mise en séparatif des eaux claires dont l'écoulement n'est pas permanent. En effet, le délai de quinze ans institué par l'<ref-law> ne vaut que pour les eaux non polluées à écoulement permanent (<ref-law>) qui diminuent l'efficacité de la station d'épuration. Le législateur a donc considéré que ce risque de surcharge des stations d'épuration justifiait d'imposer la mise en séparatif dans un délai déterminé pour les eaux à écoulement permanent. S'il ne l'a pas fait pour les eaux de ruissellement ou les eaux claires pluviales qui ne s'écoulent pas de manière permanente, on peut en déduire que l'intérêt public à la mise en séparatif a été jugé moins impérieux dans ce cas, même si ce système est souhaitable et qu'il devrait être adopté pour les nouvelles installations ou lors de travaux d'assainissement (cf. HANS W. STUTZ, Schweizerisches Abwasserrecht, 2008, p. 128 s.; Message du 29 avril 1987 concernant l'initiative populaire "pour la sauvegarde de nos eaux" et la révision de la loi fédérale sur la protection des eaux, FF 1987 II 1081, commentaire de l'<ref-law> p. 1192). L'Office fédéral de l'environnement en conclut que, dans le cas présent, l'octroi du permis de construire litigieux ne viole pas le droit fédéral sur la protection des eaux.
Dans ces conditions particulières, l'intérêt public lié à la protection des eaux n'apparaît pas suffisamment important pour rendre les parcelles de l'intimé totalement inconstructibles, ce qui constituerait une atteinte significative à la garantie de la propriété. En définitive, compte tenu des particularités du cas d'espèce, la pesée des intérêts ressortant de l'arrêt attaqué peut être confirmée.
3. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimé, qui n'est pas assisté d'un avocat et qui ne s'est pas déterminé (art. 68 al. 1 et 2 LTF). De même, il n'est pas alloué de dépens à la Commune de Belmont-sur-Yverdon, la pratique qui prévalait en matière de recours de droit public et qui consistait à allouer des dépens aux collectivités ne disposant pas d'une infrastructure administrative et juridique suffisante pour procéder sans l'assistance d'un avocat ayant été abandonnée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 7 p. 119).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'intimé, au mandataire de la Commune de Belmont-sur-Yverdon, au Service des eaux, sols et assainissement et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral de l'environnement.
Lausanne, le 1er février 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener