Sachverhalt:
A. Am 2. November 2011 beantragte X._ beim Gerichtspräsidium Rheinfelden, es sei der Y._ AG zu befehlen, ihn sofort aus den Räumlichkeiten des Spitals A._ zu entlassen und es sei ihm die Möglichkeit zu erteilen, direkt in die Rehaklinik in B._ verlegt zu werden. Zugleich sei ihm die vollständige Krankengeschichte auszuhändigen. Dieser Befehl sei mit der Androhung der Ungehorsamsstrafe (<ref-law>) zu verbinden. Der Befehl sei zudem superprovisorisch zu erlassen.
Mit Entscheid vom 30. Juli 2012 trat das Gerichtspräsidium Rheinfelden auf das Gesuch vom 2. November 2011 nicht ein.
B. Am 16. August 2012 erhob X._ dagegen Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau. Er beantragte, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Angelegenheit an das Gerichtspräsidium zur materiellen Behandlung zurückzuweisen. Allenfalls habe das Obergericht die Entlassung und die Möglichkeit zur Verlegung sowie die Herausgabe der Krankengeschichte (alles unter Androhung der Ungehorsamsstrafe) selber anzuordnen.
Mit Schreiben vom 20. September 2012 teilte W._ von der Amtsvormundschaft des Bezirks Rheinfelden dem Obergericht mit, das Bezirksgericht Rheinfelden habe die Entmündigungsklage gegen X._ mit Urteil vom 4. Juli 2012 gutgeheissen und dieses Urteil sei inzwischen rechtskräftig geworden. Zugleich wies er sich mit der Ernennungsurkunde über seine Ernennung zum Vormund von X._ durch den Gemeinderat C._ am 23. Juli 2012 aus.
Mit Schreiben vom 28. September 2012 orientierte das Gerichtspräsidium Rheinfelden das Obergericht über das am 4. Juli 2012 gefällte und am 25. August 2012 rechtskräftig gewordene Urteil, mit dem X._ gestützt auf [a]<ref-law> entmündigt worden war.
Mit Schreiben vom 15. Oktober 2012 zog W._ (nachfolgend: Vormund) die Berufung von X._ zurück.
Mit Verfügung vom 18. Oktober 2012 schrieb der Instruktionsrichter das obergerichtliche Verfahren als durch Rückzug der Berufung erledigt ab.
C. Am 13. November 2011 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde gegen diese Abschreibungsverfügung des Obergerichts erhoben. Er beantragt deren Aufhebung und die Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz zur materiellen Behandlung.
Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet und die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Am 22. Februar 2013 hat Z._ in dieser Angelegenheit dem Bundesgericht ein E-Mail eingereicht, das der Beschwerdegegnerin zur Kenntnis zugestellt worden ist.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit der angefochtenen Verfügung ist die Berufung gegen einen Entscheid, auf ein Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme zum Schutz der Persönlichkeit nicht einzutreten, als durch Rückzug erledigt abgeschrieben worden. Die angefochtene Verfügung betrifft demnach eine Zivilsache (<ref-law>) ohne Vermögenswert. Ob es sich bei der angefochtenen Verfügung um eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> handelt, kann offen gelassen werden (vgl. zu vorsorglichen Massnahmen mit definitiver Wirkung FABIENNE HOHL, Procédure civile, II, 2. Aufl. 2010, Rz. 1830, 1844 ff.). Der Beschwerdeführer erhebt ohnehin nur Verfassungsrügen. Ob es sich um einen End- oder Zwischenentscheid (Art. 90 und 93 BGG) handelt, kann ebenfalls offenbleiben (zur Abgrenzung im Rahmen vorsorglicher Massnahmen <ref-ruling> E. 3.1 S. 86 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 79). Die Nichtbehandlung eines Gesuchs um Entlassung aus einem Spital und Verlegung in eine andere Klinik kann jedenfalls einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil mit sich bringen (<ref-law>).
1.2 Das Gerichtspräsidium Rheinfelden ist auf das Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme nicht eingetreten, weil der Beschwerdeführer nicht urteilsfähig gewesen sei, als er für Z._ eine Vollmacht ausgestellt habe, und Z._ sei deshalb auch nicht ermächtigt gewesen, für den Beschwerdeführer einen Rechtsvertreter zu bestellen und diesen zu beauftragen, das Gesuch um Erlass der vorsorglichen Massnahme einzureichen. Das Berufungsverfahren vor Obergericht gegen diesen Entscheid drehte sich insoweit nur um die Vorfrage der Urteilsfähigkeit des Beschwerdeführers.
Wer nicht urteilsfähig und damit gemäss <ref-law> auch nicht handlungsfähig ist, dem fehlt die Fähigkeit, selber oder durch einen zu diesem Zweck beauftragten Vertreter einen Prozess anzuheben oder andere wirksame Prozesshandlungen vorzunehmen. Bis zur endgültigen gerichtlichen Feststellung der Prozessunfähigkeit muss der betreffenden Partei aber die Möglichkeit der Prozessführung gewahrt bleiben, weil sie sich sonst gegen die Verneinung ihrer Prozessfähigkeit nicht wirksam zur Wehr setzen könnte. Spricht ein Gericht oder eine Behörde - wie im vorliegenden Fall - in einer bestimmten Sache dem Betroffenen die Prozessfähigkeit ab, so muss dieser die Möglichkeit haben, dagegen mit einem Rechtsmittel an obere kantonale Gerichte bzw. an das Bundesgericht zu gelangen (<ref-ruling> E. 3a S. 239 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 8 mit Hinweisen). Dazu kann er auch einen Anwalt mit der Vertretung seiner Interessen beauftragen (zum Ganzen Urteil 5A_194/2011 vom 30. Mai 2011 E. 3.2). Der Beschwerdeführer ist damit im vorliegenden Verfahren prozessfähig.
1.3 Da die Beschwerde ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss grundsätzlich auch das Rechtsbegehren reformatorisch gestellt werden. Der Beschwerdeführer stellt jedoch bloss einen Aufhebungs- und Rückweisungsantrag. Da das Gesuch um Persönlichkeitsschutz noch von keiner Instanz materiell behandelt wurde und im Übrigen vor Bundesgericht nur die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) erhoben wird, könnte das Bundesgericht selber nicht reformatorisch entscheiden, so dass der gestellte Antrag zulässig ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 135 mit Hinweis). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich einzutreten.
1.4 Nicht einzugehen ist auf die E-Mail von Z._ vom 22. Februar 2013. Er ist nicht Partei des bundesgerichtlichen Verfahrens und als Parteivertreter des Beschwerdeführers kann er vor Bundesgericht nicht auftreten (<ref-law>).
2. Der mit dem Verfahren betraute Instruktionsrichter des Obergerichts hat das Berufungsverfahren am 18. Oktober 2012 abgeschrieben, nachdem der Vormund des Beschwerdeführers die Berufung am 15. Oktober 2012 zurückgezogen hatte.
Der Beschwerdeführer macht geltend, dieses Schreiben des Vormunds vom 15. Oktober 2012 sei ihm mit Verfügung vom 17. Oktober 2012 zur Kenntnis zugestellt worden. Er habe somit keine Gelegenheit bekommen, sich dazu zu äussern, wodurch das rechtliche Gehör verletzt worden sei. Diese Verletzung sei umso gravierender, als der Vormund nicht nachgewiesen habe, dass der Beschwerdeführer überhaupt rechtskräftig entmündigt worden sei. Zudem sei das Schreiben des Gerichtspräsidiums Rheinfelden vom 28. September 2012, mit dem auf das Entmündigungsurteil hingewiesen worden sei, dem Beschwerdeführer nie zugestellt worden. Bis heute hätten der Beschwerdeführer bzw. seine Vertreter keine Kenntnis vom Entmündigungsurteil erhalten. Auch darin liege eine Verletzung des rechtlichen Gehörs.
3. Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieser Anspruch ist formeller Natur. Dessen Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197).
Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst insbesondere das Recht, von jedem Aktenstück und jeder dem Gericht eingereichten Stellungnahme Kenntnis zu nehmen und sich dazu äussern zu können (sog. Replikrecht; <ref-ruling> E. 4.3 ff. S. 102 ff. mit Hinweisen). Es steht in erster Linie der Partei und nicht dem Richter zu, darüber zu befinden, ob neu beigebrachte Unterlagen es rechtfertigen, dass hiezu Stellung genommen wird (Urteil 2D_77/2010 vom 19. Juli 2011 E. 2.2, in: SJ 2012 I S. 61). Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass jede dem Gericht eingereichte Stellungnahme oder Vernehmlassung den Beteiligten zugestellt wird, so dass sie entscheiden können, ob sie sich dazu äussern wollen oder nicht. Dies gilt unabhängig davon, ob in diesen Eingaben neue und erhebliche Gesichtspunkte enthalten sind oder nicht (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197 mit Hinweisen; Urteil 5A_129/2012 vom 22. August 2012 E. 5.4.1).
4. 4.1 Was zunächst den Rückzug der Berufung durch den Vormund (Schreiben vom 15. Oktober 2012) betrifft, so ist unbestritten und ergibt sich aus den Akten, dass sie dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers mit Verfügung vom 17. Oktober 2012 zugestellt worden ist. Wann sie bei ihm eingetroffen ist, lässt sich den Akten nicht entnehmen. Da die Abschreibungsverfügung jedoch bereits einen Tag später, am 18. Oktober 2012, erlassen wurde, konnte der Beschwerdeführer zum Rückzug der Berufung durch den Vormund nicht mehr Stellung nehmen. Damit hat das Obergericht das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt. Entgegen der Ansicht der Beschwerdegegnerin ist nicht relevant, dass das Obergericht die bereits getroffene Abschreibungsverfügung erst später (am 5. November 2012) verschickt hat und der Beschwerdeführer zwischen dem unbekannten Datum des Erhalts des Rückzugs der Berufung und dem Erhalt der Abschreibungsverfügung zum Rückzug keine Stellung genommen hat. Auf die bereits getroffene Abschreibungsverfügung hätte eine solche Stellungnahme keinen Einfluss mehr gehabt.
An diesem Schluss ändern auch die folgenden, den Akten zu entnehmenden Umstände nichts: Mit Schreiben vom 20. September 2012 machte der Vormund das Obergericht auf die erfolgte Entmündigung des Beschwerdeführers und die Einsetzung zum Vormund aufmerksam (unter Beilage der Ernennungsurkunde, nicht aber des Entmündigungsurteils). Der Instruktionsrichter hat daraufhin den Vormund mit Schreiben vom 26. September 2012 angefragt, ob er an der Berufung festhalte. Diese beiden Schreiben (unter Beilage der Ernennungsurkunde) hat das Obergericht am 26. September 2012 dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers in Kopie zugestellt. Am 9. Oktober 2012 hat sich der Vormund per E-Mail mit Rechtsfragen hinsichtlich des allfälligen Rückzugs der Berufung an den Instruktionsrichter gewandt. Der Instruktionsrichter hat diese mit Schreiben vom 10. Oktober 2012 beantwortet. Auch diese Unterlagen sind dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers zugestellt worden. Dass der Beschwerdeführer bzw. sein Rechtsvertreter alle diese Aktenstücke erhalten hat, er darauf aber nicht sofort reagiert hat, gereicht ihm jedoch nicht zum Nachteil. Er durfte ohne weiteres davon ausgehen, dass ihm das Obergericht auch das Ergebnis der Anfrage an den Vormund mitteilen und ihm dannzumal Gelegenheit zur Stellungnahme geben werde. Vorher war noch nicht bekannt, ob der Vormund die Berufung zurückziehen und ob er insoweit in den Prozess eingreifen würde. Es drängte sich deshalb auch nicht auf, vor seinem Entscheid darüber bereits Stellung zu nehmen zur Frage, ob der Vormund überhaupt - im vorliegenden Prozess oder allgemein - im Namen des Beschwerdeführers handeln darf.
4.2 Was das Schreiben des Gerichtspräsidiums Rheinfelden vom 28. September 2012 betrifft, so handelt es sich dabei offenbar um eine Reaktion auf das Schreiben des Obergerichts vom 17. August 2012 (Aufforderung zur Akteneinsendung) und die Verfügung des Obergerichts vom 25. September 2012 (Zustellung der Berufungsantwort). Das Gerichtspräsidium schreibt, dass sich die Akten bereits am Obergericht befinden und weist ergänzend auf das Entmündigungsurteil gegen den Beschwerdeführer vom 4. Juli 2012 hin, das am 25. August 2012 rechtskräftig geworden sei. Dieses Schreiben hat das Obergericht nicht an die Parteien weitergeleitet und es hat sie nicht einmal auf den Zugang eines neuen Aktenstücks aufmerksam gemacht, so dass sie ein Akteneinsichtsgesuch hätten stellen können (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 391). Dazu hätte jedoch umso mehr Anlass bestanden, als dem Obergericht aus dem Verfahren 5A_575/2012 (betreffend vorläufigen Entzug der Handlungsfähigkeit des Beschwerdeführers) bekannt war, dass der Beschwerdeführer und seine Vertreter bestritten hatten, das Entmündigungsurteil zu kennen (Urteil 5A_575/2012 vom 19. Oktober 2012 lit. E). Diese Bestreitungen waren dem Obergericht durch das Bundesgericht mit Verfügung vom 21. September 2012 zugestellt worden. Im Übrigen fällt auf, dass nach wie vor (vgl. bereits Urteil 5A_575/2012 vom 19. Oktober 2012 E. 1.3) kein Entmündigungsurteil in den Akten zu liegen scheint, geschweige denn Unterlagen über die Eröffnung des Entmündigungsurteils. Auch beim Schreiben des Bezirksgerichts vom 28. September 2012 handelt es sich nicht um dieses Urteil, sondern bloss um eine Wiedergabe von zwei Dispositivziffern desselben. Wie es sich damit verhält, kann und muss an dieser Stelle nicht beantwortet werden. Jedenfalls rügt der Beschwerdeführer zu Recht auch eine Verletzung des rechtlichen Gehörs dadurch, dass ihm die Eingabe vom 28. September 2012 nicht zur Kenntnis gebracht worden ist.
4.3 Die Beschwerde ist folglich gutzuheissen, die angefochtene Verfügung aufzuheben und die Angelegenheit zur Gewährung des rechtlichen Gehörs an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es braucht an dieser Stelle nicht beurteilt zu werden, ob der Vormund die Berufung des Beschwerdeführers tatsächlich zurückziehen durfte und ob der Beschwerdeführer den Prozess selbständig bzw. durch einen von ihm gewählten Vertreter führen kann (vgl. <ref-law> und <ref-law>). Die angefochtene Verfügung enthält keine Auseinandersetzung mit diesen Fragen, auch wenn sie stillschweigend von der Zulässigkeit des Handelns des Vormunds ausgeht.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Sie hat den Beschwerdeführer zudem angemessen für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>). Die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens werden entsprechend dem Prozessausgang durch das Obergericht neu zu verlegen sein.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und die Verfügung des Obergerichts des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, vom 18. Oktober 2012 aufgehoben. Die Angelegenheit wird zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg