Faits:
A. A._, ressortissant tunisien né le 29 juin 1963, est entré en Suisse le 2 janvier 1996. Le 23 février 1996, il a épousé B._, ressortissante suisse de quatre ans son aînée et divorcée. Il s'est ainsi vu délivrer une autorisation de séjour.
Le 8 juillet 2002, A._ a déposé une demande de naturalisation facilitée. Le requérant et son épouse ont contresigné, le 25 juin 2003, une déclaration écrite aux termes de laquelle ils confirmaient vivre en communauté conjugale effective et stable, résider à la même adresse et n'envisager ni séparation, ni divorce. Leur attention a été attirée sur le fait que la naturalisation facilitée ne pouvait pas être octroyée lorsque, avant ou pendant la procédure de naturalisation, l'un des époux demandait le divorce ou la séparation, ou lorsque la communauté conjugale effective n'existait plus. La déclaration signée précisait en outre que si cet état de fait était dissimulé, la naturalisation facilitée pouvait être annulée dans les cinq ans. Par décision du 28 août 2003, l'Office fédéral de l'immigration, de l'intégration et de l'émigration (actuellement l'Office fédéral des migrations [ci-après: l'ODM]) a accordé la naturalisation facilitée à A._.
B. A._ et B._ se sont séparés le 1er avril 2004. Le 24 avril suivant, ils ont introduit une requête commune de divorce auprès du Tribunal d'arrondissement de l'Est vaudois. Par jugement du 2 septembre 2004, devenu définitif et exécutoire le 14 septembre 2004, cette autorité a prononcé la dissolution du mariage.
Le 7 octobre 2004, A._ a épousé une ressortissante tunisienne, née en 1977. En date du 6 décembre 2004, le Service de l'état civil et des naturalisations du canton de Fribourg a dénoncé A._ en vue d'une annulation de sa naturalisation facilitée. Invité à se déterminer par l'ODM, l'intéressé a répondu que son divorce était dû à des "raisons personnelles" que le couple a décidé de garder pour lui.
B._ a été entendue le 9 mai 2005. Elle a déclaré que la volonté de mener une vie conjugale s'était éteinte vers le mois d'avril 2004, mais que les problèmes conjugaux avaient débuté fin 2001, en raison de divergences relatives à la volonté d'avoir des enfants. A cet égard, elle a précisé qu'ayant déjà un enfant adulte et étant grand-mère, elle ne s'imaginait pas avoir un nouvel enfant, tandis que A._ voulait fonder une famille. Elle a indiqué que lorsqu'elle avait signé la déclaration commune du 25 juin 2003, elle n'avait aucune intention de divorcer et que la décision de rompre l'union conjugale était intervenue d'un commun accord en avril 2004, afin que A._ "trouve son bonheur en ayant des enfants". Invité par l'ODM à se déterminer sur les déclarations de son ex-épouse, A._ a confirmé l'intégralité des propos tenus par celle-ci.
C. Par décision du 19 avril 2006, l'ODM a prononcé l'annulation de la naturalisation facilitée accordée à A._. En substance, il a retenu que le mariage n'était pas constitutif d'une communauté conjugale effective et stable lors de la signature de la déclaration commune et que l'octroi de la naturalisation facilitée s'était fait sur la base de déclarations mensongères, voire de dissimulation de faits essentiels.
A._ a recouru contre cette décision auprès du Département fédéral de justice et police. Il a notamment allégué qu'au moment de l'octroi de la naturalisation facilitée, la communauté conjugale qu'il avait formée avec B._ était stable et ne laissait pas présager le divorce ultérieur. A titre d'exemple, il a relevé qu'ils étaient partis en vacances ensemble en août 2003. En outre, l'intéressé a produit un lot de photographies prises durant le mariage, deux livrets de récépissés attestant que le couple faisait des paiements en commun, des courriers de soutien de la soeur, du beau-frère et de la fille de B._ ainsi qu'une lettre de témoignage dans laquelle celle-ci écrit notamment que la décision de divorcer a été prise "pour que A._ ait toutes les chances d'être papa".
La cause a été transmise au Tribunal administratif fédéral, conformément à l'art. 53 al. 2 de la loi sur le Tribunal administratif fédéral (LTAF; RS 173.32). Dans un courrier du 18 avril 2008, l'intéressé a informé cette autorité de la naissance d'un enfant issu de son union avec sa nouvelle épouse le 14 août 2007.
Le Tribunal administratif fédéral a confirmé la décision de l'ODM au terme d'un arrêt rendu le 22 juillet 2008. Il a considéré en substance que la communauté conjugale des intéressés n'était plus étroite et effective au moment de la signature de la déclaration commune, vu le désaccord du couple quant à la volonté de fonder une famille. L'enchaînement rapide des faits entre la naturalisation, la requête de divorce et le remariage avec une ressortissante tunisienne, était également de nature à fonder la présomption que A._ avait obtenu la naturalisation facilitée par dissimulation de faits essentiels.
D. Agissant par la voie du recours en matière public, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que la naturalisation facilitée qui lui a été accordée le 28 août 2003 ne soit pas annulée. Il reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir abusé de son pouvoir d'appréciation dans l'examen des éléments fondant le retrait de la naturalisation et d'avoir ainsi rendu une décision arbitraire (art. 9 Cst.), contraire au principe de proportionnalité et au but de la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse (LN; RS 141.0). L'Office fédéral des migrations et le Tribunal administratif fédéral ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué émane du Tribunal administratif fédéral et concerne l'annulation de la naturalisation facilitée. Il peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public (art. 82 al. 1 let. a et 86 al. 1 let. a LTF). Le motif d'exclusion de l'<ref-law> n'entre pas en ligne de compte, dès lors qu'il s'agit en l'espèce de naturalisation facilitée et non pas de naturalisation ordinaire (cf. arrêt du Tribunal fédéral 5A.7/2003 du 25 août 2003 et les références). Pour le surplus, le recourant a la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law> et les conditions formelles de recevabilité sont remplies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2. Le recourant conteste avoir obtenu la nationalité suisse par des déclarations mensongères et reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir abusé de son pouvoir d'appréciation en se fondant sur des critères inappropriés pour établir la présomption qu'il avait menti ou dissimulé des faits essentiels. Il soutient également que le Tribunal administratif fédéral n'a pas tenu compte des circonstances pertinentes dans l'examen des éléments avancés pour renverser cette présomption.
3. En vertu de l'art. 27 al. 1 LN, un étranger peut, ensuite de son mariage avec un ressortissant suisse, former une demande de naturalisation facilitée s'il a résidé en Suisse pendant cinq ans en tout (let. a) ou s'il y réside depuis une année (let. b) et vit depuis trois ans en communauté conjugale avec un ressortissant suisse (let. c). La naturalisation facilitée ne peut pas être accordée, en particulier, s'il n'y a pas de communauté conjugale au moment du dépôt de la requête ou à la date de la décision de naturalisation. D'après la jurisprudence, la notion de communauté conjugale suppose non seulement l'existence formelle d'un mariage, mais encore une véritable communauté de vie des conjoints; tel est le cas s'il existe une volonté commune et intacte de ceux-ci de maintenir une union conjugale stable; une séparation survenue peu après l'octroi de la naturalisation constitue un indice de l'absence de cette volonté lors de l'obtention de la citoyenneté suisse (<ref-ruling> consid. 2 p. 484; <ref-ruling> consid. 3a p. 98; <ref-ruling> consid. 2b p. 52).
3.1 Conformément aux art. 41 al. 1 LN et 14 al. 1 de l'ordonnance du 17 novembre 1999 sur l'organisation du Département fédéral de justice et police (RS 172.213.1), l'Office fédéral des migrations peut, avec l'assentiment de l'autorité du canton d'origine, annuler dans les cinq ans une naturalisation facilitée obtenue par des déclarations mensongères ou par la dissimulation de faits essentiels. Pour qu'une naturalisation facilitée soit annulée, il ne suffit donc pas qu'elle ait été accordée alors que l'une ou l'autre de ses conditions n'était pas remplie; il faut qu'elle ait été acquise grâce à un comportement déloyal et trompeur. S'il n'est pas besoin que ce comportement soit constitutif d'une escroquerie au sens du droit pénal, il est nécessaire que l'intéressé ait donné sciemment de fausses informations à l'autorité ou qu'il l'ait délibérément laissée dans l'erreur sur des faits qu'il savait essentiels (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 115 et les arrêts cités). Tel est notamment le cas si le requérant déclare vivre en communauté stable avec son conjoint alors qu'il envisage de se séparer une fois obtenue la naturalisation facilitée; peu importe que son mariage se soit ou non déroulé jusqu'ici de manière harmonieuse (arrêt 5A.22/2006 du 13 juillet 2006 consid. 2.2).
3.2 La nature potestative de l'art. 41 al. 1 LN confère une certaine liberté d'appréciation à l'autorité compétente, qui doit toutefois s'abstenir de tout abus dans l'exercice de celle-ci. Commet un abus de son pouvoir d'appréciation l'autorité qui se fonde sur des critères inappropriés, ne tient pas compte de circonstances pertinentes ou rend une décision arbitraire, contraire au but de la loi ou au principe de la proportionnalité (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 115; <ref-ruling> consid. 4a p. 101 et les arrêts cités).
3.3 La procédure administrative fédérale est régie par le principe de la libre appréciation des preuves (art. 40 de la loi fédérale de procédure civile fédérale du 4 décembre 1947 [PCF; RS 273], applicable par renvoi de l'art. 19 de la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative [PA; RS 172.021]). Ce principe vaut également devant le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). L'administration supporte le fardeau de la preuve lorsque la décision intervient, comme en l'espèce, au détriment de l'administré. Cela étant, la jurisprudence admet dans certaines circonstances que l'autorité puisse se fonder sur une présomption. C'est notamment le cas pour établir que le conjoint naturalisé a menti lorsqu'il a déclaré former une union stable, dans la mesure où il s'agit d'un fait psychique, lié à des éléments relevant de la sphère intime, souvent inconnus de l'administration et difficiles à prouver (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 485). Partant, si l'enchaînement rapide des événements fonde la présomption de fait que la naturalisation a été obtenue frauduleusement, il incombe alors à l'administré de renverser cette présomption, non seulement en raison de son devoir de collaborer à l'établissement des faits (<ref-law>), mais également dans son propre intérêt.
S'agissant d'une présomption de fait, qui ressortit à l'appréciation des preuves et ne modifie pas le fardeau de la preuve (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 486), l'administré n'a pas besoin, pour la renverser, de rapporter la preuve contraire du fait présumé, à savoir faire acquérir à l'autorité la certitude qu'il n'a pas menti; il suffit qu'il parvienne à faire admettre l'existence d'une possibilité raisonnable qu'il n'ait pas menti en déclarant former une communauté stable avec son conjoint. Il peut le faire en rendant vraisemblable, soit la survenance d'un événement extraordinaire, susceptible d'expliquer une détérioration rapide du lien conjugal, soit l'absence de conscience de la gravité de ses problèmes de couple et, ainsi, l'existence d'une véritable volonté de maintenir une union stable avec son conjoint lorsqu'il a signé la déclaration (arrêts 1C_294/2007 du 30 novembre 2007 consid. 3.6; 5A.12/2006 du 23 août 2006 consid. 2.3).
4. En l'espèce, le Tribunal administratif fédéral a présumé que la naturalisation facilitée avait été obtenue frauduleusement, "la ferme intention des époux de poursuivre la communauté conjugale au-delà de la décision de naturalisation facilitée" faisant défaut au moment de la signature de la déclaration commune du 25 juin 2003.
4.1 Le Tribunal administratif fédéral relève que le laps de temps particulièrement court entre la déclaration commune (juin 2003), l'octroi de la naturalisation facilitée (août 2003), la cessation de la vie commune et le dépôt d'une requête commune de divorce (avril 2004), le prononcé définitif et exécutoire du divorce (septembre 2004) et le remariage de l'intéressé (octobre 2004) fonde la présomption que le couple n'avait plus la volonté de maintenir une communauté conjugale stable au sens de l'art. 27 LN, lors de la signature de la déclaration commune sur la stabilité de l'union et à plus forte raison lors de l'octroi de la naturalisation.
Selon le Tribunal administratif, cette présomption est renforcée par d'autres éléments. Il met en évidence le fait que les ex-époux ont renoncé à toute prétention en partage de la prévoyance professionnelle accumulée pendant l'union conjugale. Il ajoute que "selon les usages de la culture d'origine" du recourant, il est inhabituel d'épouser une femme plus âgée, mère et divorcée. Enfin, la déclaration de l'ex-femme de l'intéressé selon laquelle les problèmes conjugaux du couple ont pour cause un désaccord sur la volonté de fonder une famille et datent de la fin de l'année 2001, constitue un indice supplémentaire pour fonder la présomption.
4.2 Il est vrai, comme le relève le recourant, que le Tribunal administratif fédéral retient de façon inexacte que l'intéressé cherchait à "régulariser" son statut en Suisse, puisqu'il ne ressort pas du dossier qu'il ait été en situation illégale dans ce pays. Il était en outre vain de faire référence aux "usages de la culture d'origine" du recourant, ce critère étant sans pertinence pour renforcer la présomption.
Il n'en demeure pas moins que les autres éléments avancés suffisent à établir celle-ci. Au demeurant, le recourant ne conteste pas que l'enchaînement rapide des événements, le désaccord du couple au sujet d'une éventuelle descendance, l'absence de partage des avoirs de prévoyance professionnelle et la déclaration de son ex-épouse établissant que les problèmes conjugaux remontent à fin 2001 puissent fonder une telle présomption. L'intéressé relève seulement qu'il aurait abandonné une situation professionnelle aisée dans son pays pour pouvoir rejoindre son ex-épouse en Suisse. Cet élément, pour autant qu'il puisse être tenu pour établi au regard des pièces versées au dossier, n'est pas en mesure d'affaiblir la présomption sur laquelle se fonde l'autorité puisqu'il est bien antérieur à la signature de la déclaration commune.
Vu ce qui précède, le Tribunal administratif fédéral n'a pas fait preuve d'arbitraire dans l'examen des différents éléments qui fondent la présomption de fait.
5. Selon la jurisprudence précitée, il incombait dès lors au recourant de renverser cette présomption en rendant vraisemblable, soit la survenance d'un événement extraordinaire, susceptible d'expliquer une dégradation aussi rapide du lien conjugal après un peu plus de huit ans de mariage, soit l'absence de conscience de la gravité de ses problèmes de couple au moment de la signature de la déclaration commune.
5.1 Le recourant tente de renverser la présomption en se fondant sur une attestation selon laquelle il aurait passé des vacances avec son ex-épouse à trois reprises entre 2001 et 2003. Il avance également que, durant l'année 2003, il a partagé avec son ex-épouse les charges de la vie commune et participé au remboursement du crédit accordé à cette dernière pour son atelier de stylisme sur ongles ("onglerie"). Il s'appuie enfin sur les témoignages écrits de plusieurs personnes dont celui de son ex-épouse, de la fille, de la soeur et du beau-frère de cette dernière, qui le décrivent comme une personne honnête, travailleuse et fiable.
5.2 Cela étant, le recourant ne conteste pas qu'un des éléments qui a conduit son couple au divorce réside dans son désir de fonder une famille, ni que le désaccord du couple sur cette question n'est pas survenu en avril 2004 au moment de la décision de divorcer, mais qu'il est bien antérieur.
En effet, ainsi que le retient le Tribunal administratif, le désir du recourant d'avoir des enfants était essentiel au point qu'un refus de son ex-épouse a, entre autres motifs que l'intéressé a préféré taire, conduit le couple au divorce. Dans sa lettre de témoignage, l'ex-épouse du recourant écrit que la décision de divorcer a été prise pour que ce dernier ait "toutes les chances d'être papa". Elle a également déclaré que les problèmes conjugaux avaient débuté vers la fin de l'année 2001, le couple ayant des divergences au sujet d'une éventuelle descendance. Dès lors, le désaccord du couple sur cette question n'est pas né en avril 2004, mais il existait depuis la fin de l'année 2001.
Dans ces circonstances, l'intéressé ne rend pas vraisemblable qu'il n'avait pas conscience de la gravité des problèmes rencontrés par leur couple au moment de la signature de la déclaration commune, en juin 2003. De plus, il n'avance aucun autre motif susceptible d'expliquer la cessation de la communauté conjugale dans un laps de temps aussi bref, après plus de huit ans de mariage.
Dès lors, mis en balance avec le désaccord du couple quant à la volonté de fonder une famille, les éléments avancés par le recourant ne suffisent pas à renverser la présomption établie. Il en découle que les conditions d'application de l'art. 41 LN sont réunies et que le Tribunal administratif fédéral n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation en confirmant l'annulation de la naturalisation facilitée qui avait été octroyée au recourant.
6. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office fédéral des migrations ainsi qu'à la Cour III du Tribunal administratif fédéral.
Lausanne, le 24 novembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Tornay