Sachverhalt:
A. M._ war seit 1. März 1992 für das Konkursamt, Zweigstelle X._ tätig. Nachdem ihr erstmals auf den 1. September 1995 die vollen konkursamtlichen Befugnisse übertragen worden waren, erledigte sie nach einer Reduktion des Arbeitspensums auf 20 % zunächst im Wesentlichen nur noch Sekretariatsarbeiten. Ab 1. November 2006 wurde ihr Beschäftigungsgrad auf 60 % erhöht und auf das gleiche Datum hin übertrug ihr die Regierung St. Gallen wiederum volle konkursamtliche Befugnisse. Am 19. Mai 2008 teilte das Departement des Innern des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Departement) allen Angestellten des Konkursamtes mit, es finde eine Überprüfung der Arbeitsweise und der Organisation statt und die Wiederwahl für die neue Amtsdauer 2008 bis 2012 werde gestützt auf Art. 80 Abs. 2 des Staatsverwaltungsgesetzes vom 16. Juni 1994 (sGS 140.1; StVG) vorerst befristet bis zum Vorliegen der Ergebnisse bzw. bis zur Umsetzung der notwendigen strukturellen und organisatorischen Massnahmen vorgenommen. Je nach Ergebnis werde die Wahl anschliessend für den Rest der Amtsdauer oder bis zur Revision des StVG bestätigt oder es werde die Auflösung des Beamtenverhältnisses eingeleitet. Zudem wurde für alle Beamtenverhältnisse im Zuständigkeitsbereich der Departemente und der Staatskanzlei ein allgemeiner Vorbehalt angebracht, wonach die Wiederwahl nicht für die gesamte Amtsdauer, sondern nur bis zum Zeitpunkt des Vollzugs der Revision des StVG (Aufhebung des Beamtenstatus) erfolge; mit dem Wegfall des Beamtenstatus werde das Dienstverhältnis dann automatisch in ein öffentlich-rechtliches Angestelltenverhältnis überführt.
Die Arbeit von M._ ist gestützt auf die ab 1. Januar 2009 geltenden Qualitätsstandards des Konkursamtes St. Gallen und der Wegleitung des Amtsleiters zu den Qualitätsstandards der Zweigstelle X._ vom 3. März 2009 von A._, Leiter des Konkursamtes, und B._, Leiter der Zweigstelle Y._, beurteilt worden. Mit Schreiben vom 12. Juni 2009 beantragte A._ der Departementsvorsteherin, der Vorbehalt zur Wahl von M._ als Beamtin sei aufrechtzuerhalten, es sei eine weitere Prüfung zu Beginn des Jahres 2010 vorzunehmen und es seien ihr die vollen konkursamtlichen Befugnisse zu entziehen. Gleichentags fand ein Gespräch zwischen M._, der Departementsvorsteherin, der Generalsekretärin des Departements, A._ und C._, Leiter Personaldienst, über die Ergebnisse der Qualitätsbeurteilung und das weitere Vorgehen statt. Die Regierungsrätin informierte M._ am 15. Juni 2009 schriftlich darüber, dass sie den Vorbehalt bis zum Vorliegen der Ergebnisse einer weiteren, anfangs 2010 durchzuführenden Leistungsprüfung verlängere, und forderte sie auf, ihre Zustimmung zum Entzug der vollumfänglichen konkursamtlichen Befugnisse durch Unterschrift unter die Aktennotiz über die Besprechung vom 12. Juni 2009 zu bestätigen. M._ liess mit Schreiben ihres inzwischen beigezogenen Rechtsvertreters vom 24. Juni 2009 darum ersuchen, den Entscheid über den Entzug der vollen konkursamtlichen Befugnisse bis zum Vorliegen eines qualifizierten Gutachtens eines externen, ausserkantonalen Experten über die menschlichen und fachlichen Qualitäten von A._ und anderen Mitarbeitern des Konkursamtes St. Gallen hinauszuschieben. Daraufhin teilte die Departementsvorsteherin am 29. Juni 2009 mit, sie sehe mit Blick auf die ungenügenden Leistungen und den eingetretenen Vertrauensverlust keine andere Möglichkeit mehr, als das Dienstverhältnis aufzulösen, und räumte ihr Gelegenheit zur Stellungnahme bis 17. Juli 2009 ein; ausserdem wurde M._ "vorerst bis zum Eingang der Stellungnahme" von der Dienstleistung freigestellt. M._ reichte am 6. Juli 2009 ein Arztzeugnis ein und liess sich am 17. Juli 2009 und 4. November 2009 vernehmen. Die Regierungsrätin ordnete am 21. April 2010 verfügungsweise an, auf die Wiederwahl von M._ als Konkursbeamtin werde verzichtet, das Beamtenverhältnis werde unter Einhaltung der dreimonatigen Frist nach Art. 80 StVG per 31. Juli 2010 aufgelöst, sie werde von der weiteren Amtsausübung entbunden und bleibe freigestellt; einer allfälligen Beschwerde gegen die Freistellung wurde die aufschiebende Wirkung entzogen.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies die gegen die Verfügung vom 21. April 2010 erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 26. Januar 2011).
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der kantonale Gerichtsentscheid vom 26. Januar 2011 sei aufzuheben. Der Eingabe liegt ein in der Zeitschrift D._ erschienener Bericht über das Konkursamt bei.
Das kantonale Gericht und das Departement schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Am 1. Juni 2011 teilt das Departement mit, dass M._ auf den 1. Juni 2011 eine Arbeitsstelle in Z._ angetreten habe, weshalb nicht ersichtlich sei, welches Interesse sie an einer Wiedereinsetzung in ihr ursprüngliches Arbeitsverhältnis haben könnte. Die Beschwerdeführerin lässt mit Eingabe vom 14. Juli 2011 zur Vernehmlassung des Departements und zu dessen Schreiben vom 1. Juni 2011 Stellung nehmen und hält an ihrem Antrag fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG), der ein Beamtenverhältnis betrifft, und somit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts im Sinne von Art. 82 lit. a BGG darstellt. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, weshalb der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. g BGG nicht gegeben ist. Die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- ist erreicht (Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 BGG gerügt werden. Rügen gegen die Sachverhaltsfeststellung sind nur zulässig, wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252).
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen, 369 E. 2 S. 371; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53).
1.4 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; <ref-ruling>). Solche Umstände können namentlich in formellrechtlichen Mängeln des angefochtenen Entscheids liegen, mit denen die Partei nicht rechnete und nach Treu und Glauben nicht zu rechnen brauchte, oder darin, dass die Vorinstanz materiell in einer Weise urteilt, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals rechtserheblich werden. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne weiteres hätten vorgebracht werden können. Das Vorbringen von Tatsachen oder Beweismitteln, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden sind (sog. echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (Urteil 8C_652/2010 vom 22. September 2010 E. 3.1).
2. Die Beschwerdeführerin ist der Ansicht, sie habe ein schutzwürdiges Interesse an der Beibehaltung ihrer Stellung als Beamtin während der ganzen Amtsdauer von 2008 bis 2012. Es ist demgemäss davon auszugehen, dass sie mit einem Obsiegen in der vorliegenden Angelegenheit die Fortsetzung des Dienstverhältnisses mit entsprechender Entlöhnung erreichen will.
3. 3.1 Das Departement erachtet es mit Blick darauf, dass die Beschwerdeführerin am 1. Juni 2011 eine neue Stelle ausserhalb der kantonalen Verwaltung angetreten hat, als fraglich, ob sie an einer Wiedereinsetzung in ihr ursprüngliches Dienstverhältnis (und damit wohl auch an der Fortführung der vorliegenden Streitsache) überhaupt noch ein Interesse haben kann.
3.2 Das Beamtenverhältnis wurde mittels der umstrittenen Verfügung vom 21. April 2010 auf den 31. Juli 2010 beendet. Nach Auflösung des Dienstverhältnisses war die Beschwerdeführerin (soweit ihre Gesundheit dies im damaligen Zeitpunkt ermöglichte) zur Wahrung des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung grundsätzlich gehalten, sich rasch zur Arbeitsvermittlung zu melden und Stellenangebote anzunehmen (Art. 8 Abs. 1 lit. f und g, Art. 15 bis 17 AVIG). Durch Suchen und Annehmen einer neuen Stelle hat sie zur Schadenminderung beigetragen (vgl. im Zusammenhang mit dem bundespersonalrechtlichen Anspruch auf Weiterbeschäftigung: Urteil 8C_808/2010 vom 28. Juni 2011 E. 5.2). Ein mangelndes schutzwürdiges Interesse im vorliegenden Prozess kann der Beschwerdeführerin allerdings schon deshalb nicht attestiert werden, weil die Lohnzahlungen des Kantons bereits im April 2010, über ein Jahr vor Antritt der neuen Stelle, eingestellt wurden, weshalb die Frage nach der Rechtmässigkeit des departementalen Verzichts auf eine Wiederwahl als Beamtin nach wie vor relevant bleibt. Es kann demgemäss an dieser Stelle offen gelassen werden, ob das Novum des Stellenantritts vom 1. Juni 2011 im Prozess vor Bundesgericht überhaupt berücksichtigt werden kann (E. 1.4 hiervor).
3.3 Die Beschwerdeführerin lässt vorbringen, ein (im Verfahren vor Bundesgericht neu zu den Akten gereichter) Bericht in der Zeitschrift D._ (publiziert am ...) zeige ein weiteres Mal die schwerwiegenden Verfehlungen und Mängel der Leitung des Konkursamtes. Ob es sich bei diesem zeitlich nach dem vorinstanzlichen Entscheid vom 26. Januar 2011 veröffentlichten Bericht um ein zulässiges Novum handelt (E. 1.4 hiervor), ist im vorliegenden Verfahren ebenfalls nicht zu prüfen, weil die Beschwerde bereits aus einem anderen Grund gutzuheissen ist (vgl. E. 5 ff. hiernach).
4. Zunächst ist auf das Argument der Beschwerdeführerin einzugehen, das Departement sei für ihre Entlassung gar nicht zuständig gewesen, weshalb diese nichtig sei. Der Amtsentzug sei die strengste Disziplinarmassnahme im Sinne von Art. 14 Abs. 2 Ziff. 4 SchKG und diese Handlung könne nur durch die kantonale Aufsichtsbehörde, nicht durch den Beschwerdegegner vorgenommen werden.
Gemäss Verfügung des Departements vom 21. April 2010 wurde das Beamtenverhältnis "insbesondere" wegen des gegenseitigen Vertrauensverlustes aufgelöst. Daher kann letztlich nicht von einer disziplinarischen Entlassung ausgegangen werden, auch wenn im Rahmen des Gesprächs vom 12. Juni 2009 noch disziplinarische Fehler im Vordergrund gestanden waren. Das Departement verweist in seiner Stellungnahme vom 5. Mai 2011 zutreffend darauf, dass die Auflösung eines Beamtenverhältnisses auf administrativem Weg der Wahlbehörde zusteht (Art. 77 StVG; vgl. gleichermassen für die fristlose Auflösung des Beamtenverhältnisses: 78 StVG). Die Wahlbehörde wird durch Art. 80 Abs. 2 StVG im Übrigen auch ermächtigt, die Wiederwahl mit Auflagen zu verbinden oder von Bedingungen abhängig zu machen. Art. 90 StVG zählt die Funktionen auf, welche durch Wahl der Regierung zu besetzen sind, und bestimmt zudem, dass diese sich weitere Wahlen vorbehalten kann. Gemäss Art. 5 Abs. 2 und Anhang 2 der Verordnung über den Staatsdienst vom 5. März 1996 (sGS 143.20; VStD) werden Konkursbeamte durch das Departement des Innern gewählt. Für das Departement handelt der Departementsvorsteher (Art. 24 StVG). Die Regierungsrätin war demgemäss in casu zuständig für die Auflösung des Beamtenverhältnisses. Von einer Nichtigkeit der Auflösungsverfügung mangels Zuständigkeit kann demgemäss nicht gesprochen werden. Andere Nichtigkeitsgründe sind ebenfalls nicht ersichtlich.
5. 5.1 Gemäss Art. 29 Abs. 2 BV haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen. Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht somit alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677).
Im öffentlichen Dienstrecht können auch relativ informelle Äusserungsgelegenheiten vor der Kündigung dem verfassungsrechtlichen Gehörsanspruch genügen, sofern der betroffenen Person klar war, dass sie mit einer solchen Massnahme zu rechnen hatte. Dabei hat die Partei nicht bloss die ihr zur Last gelegten Tatsachen zu kennen, sondern sie muss darüber hinaus auch wissen, dass gegen sie eine Verfügung mit bestimmter Stossrichtung in Erwägung gezogen wird (Urteil 8C_98/2010 vom 23. August 2010 E. 5.1).
5.2 Der Umfang des Anspruchs auf rechtliches Gehör wird zunächst durch die kantonalen Verfahrensvorschriften umschrieben. Das Bundesgericht prüft deren Auslegung und Anwendung nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbotes. Unabhängig vom kantonalen Recht greifen die aus Art. 29 Abs. 2 BV folgenden Verfahrensregeln zur Sicherung des rechtlichen Gehörs Platz (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 161). Ob diese Grundsätze eingehalten wurden, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 2 S. 242 f. mit Hinweisen). Dass sich vorliegend aus dem kantonalen Recht ein weitergehender Gehörsanspruch als aus Art. 29 Abs. 2 BV ergeben würde, wird nicht behauptet und ist auch nicht ersichtlich. Aus Art. 15 des Gesetzes vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons St. Gallen (sGS 951.1; VRP), welcher unter anderem bestimmt, dass Verfügungen, die erheblich belasten, nur zulässig sind, wenn die Betroffenen den wesentlichen Sachverhalt kennen und Gelegenheit zur Stellungnahme hatten, lassen sich keine zusätzlichen Aspekte ableiten.
6. 6.1 Das kantonale Gericht ist der Auffassung, der Vorwurf der Beschwerdeführerin, wonach die Departementsvorsteherin bezüglich des Verzichts auf Weiterbeschäftigung voreingenommen gewesen sei und deshalb in den Ausstand hätte treten müssen, treffe nicht zu, zumal die Beschwerdeführerin nicht für eine Amtsdauer, sondern unter Vorbehalt des Ergebnisses der Diagnose über die Arbeitsweise und die Organisation des Konkursamtes St. Gallen gewählt worden sei. Erst das Verhalten der Beschwerdeführerin nach der Besprechung vom 12. Juni 2009 sei massgebend dafür gewesen, dass die Departementsvorsteherin am 29. Juni 2009 zum Ausdruck gebracht habe, eine Weiterführung des Dienstverhältnisses komme nicht mehr in Frage. Zum Vorwurf der mangelhaften Arbeitsleistung, der am 15. Juni 2009 zur Verlängerung des Vorbehalts, nicht aber zur Auflösung des Dienstverhältnisses geführt habe, sei aus Sicht der Departementsleitung neu der Verlust des Vertrauens in die Beschwerdeführerin hinzugekommen. Der zweitgenannte Aspekt sei entscheidend dafür gewesen, dass sich die Departementsvorsteherin veranlasst gesehen habe, eine weitere Zusammenarbeit mit der Beschwerdeführerin abzulehnen. Die Vorinstanz gelangt nach Behandlung der übrigen Rügen der Beschwerdeführerin zum Schluss, der Verzicht auf die Wiederwahl leide an keinem formellen Mangel und sei rechtmässig.
6.2 Es kann der Beschwerdeführerin in der Tat nicht beigepflichtet werden, soweit sie annimmt, ihre Entlassung sei bereits vor oder anlässlich der Besprechung vom 12. Juni 2009 vorbereitet und entschieden gewesen. Dafür ergeben sich keine Anhaltspunkte. Aus den gesamten Umständen lässt sich lediglich folgern, dass diese Sitzung allen Teilnehmenden Gelegenheit bieten sollte, über die Ergebnisse der von A._ und B._ durchgeführten Arbeitsbeurteilung und das weitere Vorgehen zu diskutieren. Auch aus dem Brief der Departementsvorsteherin vom 15. Juni 2009, mit welchem schriftlich festgehalten wurde, dass der Vorbehalt zur Wiederwahl für die Amtsdauer 2008 bis 2012 bis zum Abschluss der erneuten Leistungsprüfung anfangs 2010 verlängert werde, und die Beschwerdeführerin gebeten wurde, die Zustimmung zum Entzug der vollumfänglichen konkursamtlichen Befugnisse unterschriftlich zu bestätigen, kann kein solcher Schluss gezogen werden.
Die Beschwerdeführerin unterliess es in der Folge, ihre schriftliche Zustimmung zum Entzug der konkursamtlichen Befugnisse zu geben. Stattdessen liess sie am 24. Juni 2009 Kritik in mannigfaltiger Hinsicht vorbringen und verlauten, dass sie sich zu einer Unterschrift nicht drängen lasse. Diese Reaktion führte bei der Regierungsrätin zu einer "endgültig(en) und definitiv(en)" Zerstörung des Vertrauensverhältnisses, wie sie im Brief vom 29. Juni 2009 an den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin darlegte. Sie erklärte, nach der Reaktion vom 24. Juni 2009 bedaure sie es ausserordentlich, dass die Beschwerdeführerin die "letzte Chance, eine Problemlösung ohne Kündigung des Dienstverhältnisses (...) zu finden", nicht habe wahrnehmen wollen. Sie sehe aufgrund all dieser Umstände leider keine andere Möglichkeit mehr, als die Auflösung des Dienstverhältnisses einzuleiten. Die Gründe seien "zusammengefasst in erster Linie" die ungenügende Leistungserbringung, aber auch der Vertrauensverlust zwischen seiner Klientin und der vorgesetzten Stelle "sowie nun auch der Departementsleitung". Bevor sie "die entsprechende Kündigungsverfügung" erlasse, räume sie seiner Klientin "im Rahmen des rechtlichen Gehörs" die Gelegenheit zur schriftlichen Stellungnahme bis - peremptorisch - 17. Juli 2009 ein.
Dieser Text lässt keinen Zweifel offen, dass die Entscheidung zur Nichtfortführung des Dienstverhältnisses am 29. Juni 2009, schon bei Ansetzung der für die Wahrnehmung des rechtlichen Gehörs eingeräumten Frist, bereits gefällt war. Das Schreiben muss klar als Anzeige der Auflösung des Beamtenverhältnisses gewertet werden. Die zuständige Behörde darf aber erst nach Kenntnisnahme der gesamten entscheidrelevanten Sachlage und mithin nach Anhörung der betroffenen Person zu einer Entscheidung gelangen (Urteil 8C_158/2009 vom 2. September 2009 E. 6.5, nicht publ. in: <ref-ruling>; vgl. E. 5.1 hiervor). Vorliegend kann die Gewährung des rechtlichen Gehörs mit Brief vom 29. Juni 2009 angesichts der unmissverständlichen Äusserungen nur noch als Leerlauf bezeichnet werden. Stand die Nichtwiederwahl bereits fest, ohne dass sich die Beschwerdeführerin dazu vorgängig hat äussern können, so liegt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor. Die gegenteilige Ansicht des kantonalen Gerichts lässt sich auch unter dem eingeschränkten Blickwinkel der Willkür nicht halten. Die Vorinstanz übersieht, dass die Einräumung des rechtlichen Gehörs nach der Besprechung vom 12. Juni 2009 (durch Schreiben vom 15. Juni 2009) nur die Modalitäten der Weiterführung des Beamtenverhältnisses unter Vorbehalt betroffen hatte. Nach Eingang der Stellungnahme des Rechtsanwalts der Beschwerdeführerin vom 24. Juni 2009 wurde das Vertrauensverhältnis als definitiv zerstört erachtet. Diese Entwicklung ergab sich offenbar aus dem Umstand, dass sich die Beschwerdeführerin (zumindest bis zu jenem Zeitpunkt) nicht schriftlich bereit erklärt hatte, auf ihre konkursamtlichen Befugnisse "einvernehmlich" zu verzichten. Sobald für die Regierungsrätin aber fraglich wurde, ob eine Weiterführung des Beamtenverhältnis bis zum Vorliegen des Ergebnisses einer weiteren Arbeitsbeurteilung anfangs 2010 (gemäss Besprechung vom 12. Juni 2009 und Schreiben vom 15. Juni 2009) noch möglich war, hätte sie der Beschwerdeführerin dazu das rechtliche Gehör gewähren müssen, und nicht erst, als sie eine Entlassung so oder anders für unumgänglich hielt. Mit ihrem Schreiben vom 29. Juni 2009 gab sie zweifellos zu verstehen, dass eine Weiterbeschäftigung als Konkursbeamtin gar nicht mehr in Frage kam. Die Gewährung des rechtlichen Gehörs zur beabsichtigten Auflösung des Beamtenverhältnisses gemäss Titel des Schreibens vom 29. Juni 2009 war unter diesen Umständen eine Farce. Es war klar zu erkennen, dass die Beschwerdeführerin durch alle nachfolgenden Stellungnahmen keinen Meinungsumschwung mehr bewirken konnte. Ein Abrücken vom Vorhaben, die Beschwerdeführerin zu entlassen, war nicht mehr möglich. Gesprächsbereitschaft wurde lediglich bezüglich der Form der Beendigung des Dienstverhältnisses signalisiert (Austrittsvereinbarung; Schreiben vom 29. Juni 2009). Stand die Nichtwiederwahl bereits fest, ohne dass sich die Beschwerdeführerin dazu vorgängig hat äussern können, so liegt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor.
Es kommt hinzu, dass die Regierungsrätin das Vertrauen verlor, weil die Beschwerdeführerin in der Vernehmlassung vom 24. Juni 2009 nicht freiwillig auf die vollen konkursamtlichen Befugnisse verzichten wollte. Indessen hätten diese der Beschwerdeführerin zweifellos auch ohne ihre Einwilligung von der Regierung entzogen werden können. Mass die Departementsvorsteherin der Einvernehmlichkeit in diesem Punkt also ein solch hohes Gewicht zu, so wäre die unbefangene Gewährung des rechtlichen Gehörs umso vordringlicher gewesen. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführerin am 15. Juni 2009 die Möglichkeit eingeräumt worden war, zur Verlängerung des Wiederwahlvorbehalts Stellung zu nehmen.
6.3 Auf die weiteren Rügen der Beschwerdeführerin gegen die Auflösung des Beamtenverhältnisses ist unter diesen Umständen nicht einzugehen.
7. 7.1 Der vom Departement am 21. April 2010 verfügte Verzicht auf die Wiederwahl der Beschwerdeführerin als Konkursbeamtin leidet nach dem Gesagten an einem formellen Mangel. Der Verwaltungsakt und der bestätigende kantonale Gerichtsentscheid sind demgemäss aufzuheben und die Angelegenheit geht an das Departement zurück, damit es sich mit der Frage der Bestätigung der Wiederwahl versus Verzicht auf Wiederwahl ganz neu befasse, der Beschwerdeführerin vor einem allfälligen Erlass einer neuen Verfügung nochmals das rechtliche Gehör gewähre und sich in der Folge mit ihren Argumenten inhaltlich auseinandersetze.
Das Departement hat im vorinstanzlichen Gerichtsverfahren ausgeführt, vor dem Hintergrund eines "derartigen Zerwürfnisses und einer derartigen Misstrauenskultur" könne es "kein Zurück" mehr geben (Vernehmlassung zur Beschwerde vom 28. Juni 2010). Eine weitere Zusammenarbeit sei weder den Mitarbeitenden des Konkursamtes noch der Departementsleitung noch der Beschwerdeführerin zumutbar. Anders als durch eine Beendigung des Dienstverhältnisses könne die objektiv bestehende, von der Beschwerdeführerin selbst dokumentierte massive Konfliktsituation nicht gelöst und der störungsfreie Betrieb des Konkursamtes nicht sichergestellt werden. Angesichts dieser Äusserungen muss abschliessend darauf hingewiesen werden, dass sich die im Rahmen der höchstrichterlich angeordneten Rückweisung wieder oder allenfalls neu mit der Angelegenheit befassten Personen die Frage stellen sollten, ob sie bereits von vornherein eine feststehende Meinung zur Sache haben. Bejahendenfalls wären andere Personen im Zuständigkeitsbereich des Beschwerdegegners mit der Durchführung des Verfahrens zu betrauen.
7.2 Bei dieser Gelegenheit wird der Beschwerdegegner gegebenenfalls auch die Frage zu überdenken haben, ob die Auflösung eines Beamtenverhältnisses gemäss Art. 80 StVG, bei welchem die Wiederwahl im Sinne von Art. 80 Abs. 2 StVG mit Auflagen verbunden oder von Bedingungen abhängig gemacht wurde, nur dann erfolgen darf, wenn sich die entsprechenden Auflagen oder Bedingungen nicht erfüllt haben, und ob in allen anderen Fällen der nicht fristlosen Auflösung einer der in Art. 77 Abs. 1 StVG genannten Gründe erfüllt sein muss, damit ein Beamtenverhältnis vorzeitig aufgelöst werden darf.
8. 8.1 Der Prozess ist kostenpflichtig (Art. 65 f. BGG). Nach Art. 66 Abs. 1 BGG werden die Gerichtskosten in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt. Dem Bund, den Kantonen und den Gemeinden sowie den mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen dürfen in der Regel keine Gerichtskosten auferlegt werden, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis und ohne dass es sich um ihr Vermögensinteresse handelt, das Bundesgericht in Anspruch nehmen oder wenn gegen ihre Entscheide in solchen Angelegenheiten Beschwerde geführt worden ist (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Im vorliegenden Fall ist der Kanton als Arbeitgeber in seinen Vermögensinteressen betroffen. Der Ausnahmetatbestand von Art. 66 Abs. 4 BGG findet demnach keine Anwendung (<ref-ruling>), weshalb der unterliegende Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen hat (Art. 66 Abs. 1 BGG).
8.2 Das Departement hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren ausserdem eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 26. Januar 2011 und die Verfügung des Departementes des Innern des Kantons St. Gallen vom 21. April 2010 werden aufgehoben. Die Sache wird ans Departement des Innern des Kantons St. Gallen zurückgewiesen, damit es im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. September 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz