Sachverhalt:
A. Die X._ Holding AG mit Sitz in Zürich (Klägerin) ist Eigentümerin von 44,5 % der Aktien der Y._ AG mit Sitz in Basel (Beklagte) und damit deren grösste Einzelaktionärin. Die Aktienmehrheit der Y._ AG liegt bei den sog. "Altaktionären" um A.B._ ("Aktionärsgruppe B._"). Gemäss Aktionärbindungsvertrag vom 16. Februar 2001 umfasst der Verwaltungsrat der Gesellschaft vier Mitglieder, wobei die X._ Holding AG und die Aktionärsgruppe B._ je Anspruch auf zwei Verwaltungsräte haben. Verwaltungsratspräsidium und Tagespräsidium an den Verwaltungsratssitzungen, beides mit Stichentscheid bei Stimmengleichheit, stehen der Aktionärsgruppe B._ zu, wobei den von der X._ Holding AG gestellten Mitgliedern des Verwaltungsrates bei unternehmenspolitischen Grundsatzfragen und bei Sachgeschäften im zehnfachen Ausmass der Entscheidungslimite des Verwaltungsrates im Falle eines Stichentscheids ein Vetorecht zusteht.
B. Am 9. Februar 2005 reichte die X._ Holding AG beim Dreiergericht des Zivilgerichts Basel gegen die Y._ AG eine Klage auf Einsetzung eines Sonderprüfers ein, welche das Dreiergericht mit Urteil vom 25. Juli 2005 abwies. Die von der Klägerin dagegen eingereichte Beschwerde wies der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt am 27. Januar 2006 ab.
C. Gegen das Urteil des Appellationsgerichts führt die Klägerin beim Bundesgericht Berufung mit dem Antrag, das Urteil sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Gemäss Art. 55 Abs. 1 lit. b OG ist in der Berufungsschrift genau anzugeben, welche Punkte des kantonalen Entscheides angefochten und welche Änderungen beantragt werden. Der Antrag auf Rückweisung an die Vorinstanz genügt indessen, falls das Bundesgericht, wenn es die Rechtsauffassung des Berufungsklägers teilt, kein Sachurteil fällen kann, sondern die Sache zur weiteren Abklärung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückweisen muss (<ref-ruling> E. 1.2 S. 188 mit Hinweis).
2. Der Anspruch auf Einsetzung eines Sonderprüfers im Sinne von Art. 697b OR ist - wie das Auskunftsrecht gemäss Art. 697 OR - als selbständiges Mitgliedschaftsrecht der Aktionäre zu verstehen. Der darüber ergehende gerichtliche Entscheid stellt einen Entscheid in einer Zivilrechtsstreitigkeit dar, welcher bei Vorliegen der übrigen Voraussetzungen mit Berufung angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 394). Das angefochtene Urteil des Appellationsgerichts ist ein Endentscheid, der nicht durch ein ordentliches kantonales Rechtsmittel angefochten werden kann (Art. 48 OG). Nach der Feststellung des Appellationsgerichts erreicht der Streitwert den für vermögensrechtliche Streitigkeiten erforderlichen Betrag von Fr. 8'000.-- (Art. 46 OG), sodass die Berufungsfähigkeit des angefochtenen Entscheids gegeben ist.
3. Das Appellationsgericht hat die Klage abgewiesen mit der Begründung, dass zuerst die Vertreter der Klägerin im Verwaltungsrat der Beklagten ihr Informationsrecht gemäss Art. 715a OR hätten wahrnehmen müssen, bevor die Klägerin selbst gemäss Art. 697a ff. OR eine Sonderprüfung verlangen könne. Nach Auffassung der Klägerin hat die Vorinstanz damit Bundesrecht verletzt.
3.1 Jeder Aktionär kann der Generalversammlung beantragen, bestimmte Sachverhalte durch eine Sonderprüfung abklären zu lassen, sofern dies zur Ausübung der Aktionärsrechte erforderlich ist und er das Recht auf Auskunft oder Einsicht bereits ausgeübt hat (Art. 697a Abs. 1 OR). Entspricht die Generalversammlung dem Antrag nicht, so können Aktionäre, die zusammen mindestens 10 % des Aktienkapitals oder Aktien im Nennwert von 2 Millionen Franken vertreten, innert dreier Monate den Richter ersuchen, einen Sonderprüfer einzusetzen (Art. 697b Abs. 1 OR). Die Gesuchsteller haben Anspruch auf Einsetzung eines Sonderprüfers, wenn sie glaubhaft machen, dass Gründer oder Organe Gesetz oder Statuten verletzt und damit die Gesellschaft oder die Aktionäre geschädigt haben (Art. 697b Abs. 2 OR).
3.2 Die Massnahme der Sonderprüfung ist insoweit ein subsidiärer Rechtsbehelf, als der Aktionär vor dem Antrag in der Generalversammlung die anderen Kontrollrechte ausgeschöpft haben muss (Botschaft des Bundesrates über die Revision des Aktienrechts vom 23. Februar 1983, BBl 1983 Il 745 ff., S. 908). Das Erfordernis, dass der Aktionär das Recht auf Auskunft oder das Recht auf Einsicht bereits ausgeübt haben muss (Art. 697a Abs. 1 OR), beziehen die Rechtsprechung und die Lehre einhellig allein auf die ihm gemäss Art. 697 OR zustehenden Rechte (<ref-ruling> E. 3a S. 264; Weber, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2002, N. 27 zu Art. 697a OR; Böckli, Schweizer Aktienrecht, 3. Aufl. 2004, § 16 N. 41; Forstmoser/Meier-Hayoz/Nobel, Schweizerisches Aktienrecht, Bern 1996, § 35 N. 18; Andreas Casutt, Die Sonderprüfung im künftigen schweizerischen Aktienrecht, Diss. Zürich 1991, § 7 Rz. 9 ff.; Felix A. Horber, Die Informationsrechte des Aktionärs, Zürich 1995, S. 394 Rz. 1214; Fabrizio Gabrielli, Das Verhältnis des Rechts auf Auskunftserteilung zum Recht auf Einleitung einer Sonderprüfung, Diss. Basel 1997, S. 96 und 155 ff.; Dominik Vock, Prozessuale Fragen bei der Durchsetzung von Aktionärsrechten, Diss. Zürich 2000, S. 46; Peter V. Kunz, Der Minderheitenschutz im schweizerischen Aktienrecht, Bern 2001, § 12 N. 62 ff.; Bianca Pauli, Le droit au contrôle spécial dans la société anonyme, Diss. Freiburg 2004, S. 212 f.). Dabei genügt die Ausübung in der Generalversammlung. Eine gerichtliche Durchsetzung des Auskunfts- oder Einsichtsanspruchs (Art. 697 Abs. 4 OR) ist nicht erforderlich (Weber, a.a.O., N. 27 zu Art. 697a OR; Böckli, a.a.O., § 16 N. 41; Forstmoser/Meier-Hayoz/Nobel, a.a.O., § 35 N. 31; Horber, a.a.O., S. 395 Rz. 1215; Gabrielli, a.a.O., S. 169; Casutt, a.a.O., S. 70; Kunz, a.a.O., § 12 N. 66; Pauli, a.a.O., S. 214). Insoweit ist die Klage auf richterliche Einsetzung eines Sonderprüfers im Verhältnis zur gerichtlichen Durchsetzung des Auskunfts- und Einsichtsrechts ein alternativer Rechtsbehelf.
Divergenzen bestehen in der Lehre bezüglich des Erfordernisses der Personenidentität, das heisst der Frage, ob nur der Aktionär, welcher Auskunft verlangt hat, in der Generalversammlung auch den Antrag auf Beschluss einer Sonderprüfung stellen kann, und ob nur der Aktionär, der in der Generalversammlung den entsprechenden Antrag gestellt hat, beim Gericht ein entsprechendes Begehren einreichen kann. Nach dem Wortlaut des Gesetzes ist für die erste Stufe die Personenidentität erforderlich, für die zweite hingegen nicht. Die Mehrheit der Lehre verneint für beide Stufen das Erfordernis der Personenidentität. Ein Antrag auf Sonderprüfung kann an der Generalversammlung ohne Ankündigung in der Traktandenliste von jedem Aktionär gestellt werden (Art. 700 Abs. 3 OR). Für eine Einschränkung des Rechts auf Aktionäre, welche zuvor selbst Auskunft verlangt haben, sind keine sachlichen Gründe ersichtlich. Auch Aktionäre, welche erst aufgrund des von einem anderen Aktionär gestellten Auskunftsbegehrens und der darauf vom Verwaltungsrat an der Generalversammlung erteilten Auskunft Kenntnis von bestimmten Sachverhalten und ihrer Tragweite erhalten, sollen die Möglichkeit haben, der Generalversammlung die Durchführung einer Sonderprüfung zu beantragen (so Weber, a.a.O., N. 30 zu Art. 697a OR, und Gabrielli, a.a.O., S. 100 f.; a.M. Horber, a.a.O., S. 356 f., Rz. 1105 ff., und Forstmoser/Meier-Hayoz/Nobel, a.a.O., § 35 N. 31 Anm. 8a). Auch für sie gilt indessen die thematische Begrenzung des Sonderprüfungsbegehrens durch den Gegenstand des Auskunftsbegehrens (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3a S. 264 f.).
Bei ablehnendem Beschluss der Generalversammlung kann das Begehren um Einsetzung eines Sonderprüfers durch das Gericht nur von Aktionären gestellt werden, die selbst oder zusammen mit weiteren Aktionären mindestens 10 % des Aktienkapitals oder Aktien im Nennwert von zwei Millionen Franken vertreten (Art. 697b Abs. 1 OR). Um dieses Quorum zu erreichen, muss die Möglichkeit bestehen, dass sich dem Begehren auch Aktionäre anschliessen, welche in der Generalversammlung selbst keinen entsprechenden Antrag gestellt haben, oder dass das Begehren ausschliesslich von anderen Aktionären gestellt wird (Böckli, a.a.O., § 16 N. 40; Casutt, a.a.O., S. 93; Horber, a.a.O., S. 389 Rz. 1198; Gabrielli, a.a.O., S. 110). Die Frist von drei Monaten für die Einreichung der Klage soll es gerade ermöglichen, andere Aktionäre zu suchen, welche das Begehren unterstützen, um die vom Gesetz geforderte repräsentative Minderheit formieren zu können (zit. Botschaft, BBl 1983 II S. 909 f.). Damit ist auch nicht erforderlich, dass die klagenden Aktionäre an der Generalversammlung, welche den Antrag auf Durchführung einer Sonderprüfung abgelehnt hat, teilgenommen oder dem Antrag zugestimmt haben (Weber, a.a.O., N. 3 zu Art. 697b OR).
3.3 Für das von der Vorinstanz aufgestellte zusätzliche Erfordernis der Ausschöpfung des Auskunftsanspruchs des Verwaltungsrats (Art. 715a OR), falls einer der klagenden Aktionäre persönlich dem Verwaltungsrat angehört oder in diesem vertreten ist, finden sich im Wortlaut des Gesetzes keine Anhaltspunkte. Vielmehr verweist Art. 697a Abs. 1 OR auf das Recht auf Auskunft oder Einsicht, welches dem Aktionär als solchem zusteht. Auch die systematische Stellung legt es nahe, das Erfordernis der vorherigen Ausschöpfung des Rechts auf Auskunft oder Einsicht allein auf das im unmittelbar vorangehenden Art. 697 OR geregelte Informationsrecht des Aktionärs zu beziehen. Das Institut der Sonderprüfung ist anlässlich der Aktienrechtsrevision von 1991 mit dem Ziel eingeführt worden, die Informationslage der Aktionäre zu verbessern. Mit diesem Mittel der Informationsbeschaffung soll den Aktionären ermöglicht werden, in hinreichender Kenntnis der Sachlage darüber zu entscheiden, ob und wie sie von ihren Aktionärsrechten Gebrauch machen wollen (<ref-ruling> E. 2a S. 263). In der aktienrechtlichen Informationsordnung bildet die Sonderprüfung das dritte Element neben der vom Verwaltungsrat ausgehenden Informationsvermittlung durch den Geschäftsbericht (Art. 696 OR) und der aktiven Informationsbeschaffung seitens des Aktionärs durch die Ausübung seines Auskunftsrechts (Art. 697 OR). Da dieses Instrument für die Gesellschaft mit erheblichen Umtrieben und Kosten verbunden ist, stellt es unter den drei Möglichkeiten die letzte Stufe dar und ist gegenüber den beiden anderen subsidiär. Allen drei Elementen ist im Übrigen gemeinsam, dass die Information an die Gesamtheit der Aktionäre ergeht. Um eine Gleichstellung aller Aktionäre bezüglich des Informationsstandes zu erreichen, muss das Auskunftsrecht gemäss Art. 697 OR in der Generalversammlung ausgeübt werden, wobei die erteilte Antwort zu protokollieren ist (Art. 702 Abs. 2 Ziff. 3 OR). Den Bericht des Sonderprüfers und die dazu ergangenen Stellungnahmen hat der Verwaltungsrat ebenfalls der nächsten Generalversammlung zu unterbreiten (Art. 697f OR).
Dem umfassenden Auskunftsanspruch der Mitglieder des Verwaltungsrates (Art. 715a OR) kommt demgegenüber eine andere Funktion zu. Er soll sicherstellen, dass der Verwaltungsrat seine Hauptaufgaben als Führungs- und Aufsichtsgremium wirksam und effizient wahrnehmen kann, und ist auch das Gegenstück zur individuellen Verantwortlichkeit der Verwaltungsratsmitglieder (Wernli, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2002, N. 3 zu Art. 715a OR; Homburger, Zürcher Kommentar, Zürich 1997, N. 446 zu Art. 715a OR; Böckli, a.a.O., § 13 N. 163; Forstmoser/Meier-Hayoz/Nobel, a.a.O., § 28, N. 78). Die Informationen, welche ein Verwaltungsratsmitglied erhält, unterstehen grundsätzlich auch seiner Pflicht zur Verschwiegenheit (Watter, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2002, N. 20 f. zu Art. 717 OR; Homburger, a.a.O., N. 838 ff. zu Art. 717 OR; Böckli, a.a.O., § 13 N. 670 ff.; Forstmoser/Meier-Hayoz/Nobel, a.a.O., § 28 N. 40 ff.).
Gegen den Einbezug des Auskunftsanspruchs eines Mitglieds des Verwaltungsrats in die Voraussetzungen für die Zulässigkeit eines Begehrens auf Durchführung einer Sonderprüfung spricht auch die ratio legis. Durch das vorgängige Auskunfts- oder Einsichtsbegehren soll der Verwaltungsrat die Gelegenheit erhalten, das Informationsbedürfnis der Aktionäre von sich aus zu befriedigen, bevor das mit Aufwand und Umtrieben verbundene Verfahren auf Sonderprüfung eingeleitet wird (<ref-ruling> E. 3a S. 265). Verweigert er hingegen die verlangte Auskunft oder bleibt diese ungenügend, hat es sich der Verwaltungsrat selbst zuzuschreiben, wenn zur Erlangung der verlangten Information ein Begehren um Durchführung einer Sonderprüfung gestellt wird. In einem solchen Fall wäre auch kaum zu erwarten, dass der Verwaltungsrat weitergehende Auskunft erteilen würde, wenn nun ein eigenes Mitglied nochmals ein gleiches Auskunftsbegehren stellen würde.
Gegen die Verknüpfung spricht auch die Pflicht der Mitglieder des Verwaltungsrates zur Verschwiegenheit bezüglich aller Informationen, welche sie in dieser Eigenschaft über die allen Aktionären zugänglichen Informationen hinaus erhalten haben. Entgegen der Argumentation der Vorinstanz stellt sich dabei nicht nur die Frage, inwieweit ein Verwaltungsratsmitglied, das Vertreter einer juristischen Person im Sinne von Art. 707 Abs. 3 OR ist, Informationen an deren Organe weiterleiten darf. Zu bedenken ist vielmehr auch die Situation, wo von mehreren Aktionären, welche zusammen die erforderliche qualifizierte Minderheit erreichen, einer selbst dem Verwaltungsrat angehört. Dass Mitaktionäre ebenfalls bestimmte Informationen erlangen wollen und dafür eine Sonderprüfung verlangen, kann ihn gegenüber diesen noch nicht von seiner Verschwiegenheitspflicht entbinden. Eine solche Weitergabe von Informationen wäre auch mit dem Makel behaftet, dass sie dem Grundsatz der informationsmässigen Gleichstellung aller Aktionäre widerspricht.
Die Auffassung der Vorinstanz hat auch keinerlei Stütze in der Lehre. Keiner der in E. 3.2 eingangs genannten Autoren verlangt, dass ein Aktionär, der selbst dem Verwaltungsrat angehört bzw. gemäss Art. 707 Abs. 3 OR einen Vertreter im Verwaltungsrat hat, auch das ihm in dieser Funktion zustehende umfassende Recht auf Auskunft und Einsicht gemäss Art. 715a OR ausgeübt haben muss. Diese allenfalls bestehende zusätzliche Informationsquelle wird vielmehr nirgends erwähnt.
Alle vorstehend dargelegten Gründe führen übereinstimmend zum Ergebnis, dass sich die in Art. 697a Abs. 1 OR verlangte vorherige Ausübung des Rechts auf Auskunft oder Einsicht allein auf das jedem Aktionär in dieser Eigenschaft zustehende Kontrollrecht gemäss Art. 697 OR bezieht. Nicht erforderlich ist hingegen, dass ein Aktionär, welcher dem Verwaltungsrat angehört oder in diesem vertreten ist, auch den ihm in dieser Eigenschaft zustehenden umfassenden Auskunftsanspruch geltend gemacht hat. Die von der Vorinstanz vertretene gegenteilige Auffassung verstösst damit gegen Bundesrecht.
4. Die Vorinstanz hat die Abweisung des Begehrens der Klägerin einzig damit begründet, dass ihre Vertreter im Verwaltungsrat es unterlassen hätten, das ihnen in dieser Eigenschaft zustehende Informationsrecht auszuüben. Nicht geprüft hat die Vorinstanz hingegen, ob die anderen formellen und materiellen Voraussetzungen für die richterliche Einsetzung eines Sonderprüfers erfüllt sind. Dazu gehören das vorgängige Auskunftsbegehren an der Generalversammlung, der von der Generalversammlung abgelehnte Antrag auf Durchführung einer Sonderprüfung, das Glaubhaftmachen einer Rechtsverletzung und Schadenszufügung sowie die Erforderlichkeit der mit der Sonderprüfung zu erlangenden Informationen für die Wahrung der Aktionärsinteressen. Über alle diese Punkte enthält das angefochtene Urteil keinerlei tatsächliche Feststellungen. Das angefochtene Urteil ist deshalb aufzuheben und die Sache ist zur Ergänzung des Sachverhalts und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 64 Abs. 1 OG).
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beklagten aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Sie hat die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Berufung wird gutgeheissen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, vom 27. Januar 2006 wird aufgehoben und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 9'000.-- wird der Beklagten auferlegt.
3. Die Beklagte hat die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 10'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2006
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: