Ablehnung, hat sich ergeben:
A.- Die Bezirksanwaltschaft Zürich führte seit Sommer 1996 gegen S._ und eine Mitangeschuldigte eine Strafuntersuchung wegen des Verdachts auf ungetreue Geschäftsbesorgung.
Am 27. September 1999 stellte S._ ein Ablehnungsbegehren gegen Bezirksanwalt W._. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich wies am 7. Oktober 1999 das Ablehnungsbegehren ab. Mit Verfügung vom 5. Januar 2000 wies die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich (im Folgenden: Justizdirektion) einen von S._ gegen den Entscheid der Staatsanwaltschaft erhobenen Rekurs ab. Am 3. Februar 2000 erhob Bezirksanwalt W._ gegen S._ Anklage wegen mehrfacher ungetreuer Geschäftsführung im Sinne von Art. 159 Ziff. 1 und 2 aStGB sowie mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung im Sinne von Art. 158 Ziff. 1 und 2 StGB und beantragte, S._ sei mit 16 Monaten Gefängnis zu bestrafen, unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs. In einigen Verdachtspunkten stellte der Bezirksanwalt die Untersuchung gegen S._ ein; gegen die Mitangeschuldigte stellte er die Untersuchung in allen Verdachtspunkten ein.
B.- Weil S._ zweifelte, ob sein bei der Justizdirektion eingereichter Rekurs überhaupt zulässig war, erhob er am 10. November 1999 staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 7. Oktober 1999 sei aufzuheben (1P. 682/1999). Mit Verfügung vom 26. Januar 2000 sistierte der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung das Verfahren bis zum Entscheid der Justizdirektion über den bei dieser eingereichten Rekurs.
C.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 23. Februar 2000 stellt S._ den Antrag, die Verfügung der Justizdirektion vom 5. Januar 2000 sei aufzuheben bzw. es sei festzustellen, dass sie nichtig sei; ausserdem sei die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 7. Oktober 1999 aufzuheben.
Er beantragt ferner, die beiden staatsrechtlichen Beschwerden seien zu vereinigen und der Beschwerde vom 5. Januar 2000 sei aufschiebende Wirkung zu erteilen (1P. 110/2000).
D.- Auf Aufforderung durch den Präsidenten der I. öffentlichrechtlichen Abteilung hin teilte S._ mit Schreiben vom 21. Februar 2000 mit, dass er seine staatsrechtliche Beschwerde vom 10. November 1999 (1P. 682/1999) nicht zurückziehe, denn es sei zweifelhaft, ob die Justizdirektion zur Behandlung des bei ihr eingereichten Rekurses zuständig sei.
E.- Mit der Einladung zur Vernehmlassung verfügte der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung am 2. März 2000, dass alle Vollziehungsvorkehrungen bis zum Entscheid über das Gesuch um aufschiebende Wirkung zu unterbleiben haben.
Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf Vernehmlassung.
Die Justizdirektion beantragt, auf die Beschwerde vom 10. November 1999 sei nicht einzutreten und die Beschwerde vom 23. Februar 2000 sei abzuweisen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die beiden staatsrechtlichen Beschwerden sind entsprechend dem Antrag des Beschwerdeführers, gegen den die beteiligten Behörden keine Einwände erheben, zu vereinigen und mit einem einzigen Urteil zu erledigen.
2.- a) Das Recht zur staatsrechtlichen Beschwerde steht Bürgern (Privaten) und Korporationen bezüglich solcher Rechtsverletzungen zu, die sie durch allgemein verbindliche oder sie persönlich treffende Erlasse oder Verfügungen erlitten haben (Art. 88 OG). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu dieser Bestimmung muss der Beschwerdeführer grundsätzlich ein aktuelles praktisches Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids bzw. an der Überprüfung der von ihm erhobenen Rügen haben, damit auf die Beschwerde eingetreten werden kann. Das Bundesgericht verzichtet jedoch ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn der gerügte Eingriff sich jederzeit wiederholen könnte und eine rechtzeitige verfassungsgerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre, so dass die Voraussetzung des aktuellen praktischen Interesses eine Kontrolle der Verfassungsmässigkeit faktisch verhindern würde. Es prüft demnach Beschwerden materiell trotz Wegfall des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen jederzeit unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen können und an deren Beantwortung wegen der grundsätzlichen Bedeutung ein hinreichendes öffentliches Interesse besteht und sofern sie im Einzelfall kaum je rechtzeitig verfassungsgerichtlich überprüft werden könnten (Urteil des Bundesgerichts vom 19. Juni 1997 i.S. V., E. 2, in: RDAT 1997 II 50 173; <ref-ruling> E. 1a, mit weiteren Hinweisen).
Das aktuelle praktische Interesse des Angeschuldigten am Ausstand des Untersuchungsrichters fällt grundsätzlich weg, wenn der Untersuchungsrichter die Untersuchung abschliesst. Ob der Untersuchungsrichter unter bestimmten Umständen verpflichtet ist, in den Ausstand zu treten, kann verfassungsgerichtlich auch geprüft werden, wenn der Angeschuldigte das Ablehnungsbegehren nicht erst unmittelbar vor dem Abschluss der Untersuchung stellt. Reicht der Angeschuldigte das Ablehnungsbegehren gegen den Untersuchungsrichter erst Jahre nach der Eröffnung der Untersuchung ein, gibt es keinen Grund, ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses an der Beschwerdeführung zu verzichten.
b) Im vorliegenden Fall wurde die Strafuntersuchung gegen den Beschwerdeführer schon 1996 eröffnet. Als er im Herbst 1999 das Ablehnungsbegehren gegen den Bezirksanwalt einreichte, stand die Untersuchung unmittelbar vor dem Abschluss.
Am 3. Februar 2000 schloss der Bezirksanwalt die Untersuchung ab, indem er gegen den Beschwerdeführer Anklage erhob und in einigen weiteren Punkten die Untersuchung einstellte.
Damit ist das aktuelle praktische Interesse des Beschwerdeführers an der Gutheissung seiner staatsrechtlichen Beschwerden nachträglich weggefallen, und es besteht kein Grund, ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses zu verzichten.
c) Der Beschwerdeführer weist allerdings darauf hin, dass er beim Präsidenten der 9. Abteilung des Bezirksgerichts Zürich den Antrag stellen werde, die Anklage sei nicht zuzulassen und die Sache sei an die Untersuchungsbehörde zur ergänzenden Beweiserhebung zurückzuweisen; sollte der Abteilungspräsident dem Antrag stattgeben, müsse der abgelehnte Bezirksanwalt weitere Untersuchungshandlungen vornehmen.
Dem Beschwerdeführer ist es unbenommen, im Anklagezulassungsverfahren zusammen mit dem Antrag auf Nichtzulassung der Anklage sein Ablehnungsbegehren erneut zu stellen.
Für die allenfalls wieder aufzunehmende Untersuchung haben die kantonalen Behörden noch keinen Entscheid im Sinne von Art. 84 Abs. 1 OG gefällt, der mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden könnte. Auf beide staatsrechtlichen Beschwerden ist vielmehr nicht einzutreten, weil nachträglich das aktuelle praktische Interesse des Beschwerdeführers an der Gutheissung seiner Beschwerden weggefallen ist (Art. 36a Abs. 1 lit. a OG). Unter diesen Umständen müssen die zahlreichen weiteren Fragen formell-rechtlicher Natur, die in den Rechtsschriften aufgeworfen werden, nicht mehr geprüft werden; offen bleiben können besonders auch alle Fragen im Zusammenhang mit der Zulässigkeit des bei der Justizdirektion eingereichten Rekurses.
3.- Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtlichen Beschwerden werden vereinigt.
2.- Auf die staatsrechtlichen Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.- Die Gerichtsgebühr von insgesamt Fr. 3'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksanwalt W._, der Staatsanwaltschaft sowie der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 7. April 2000
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: