Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. A.a Der 1943 geborene J._ arbeitete ab 1. November 1999 als Geschäftsführer des Restaurant X._. Im Rahmen dieser Anstellung war er bei der BAV GastroSuisse berufsvorsorgerechtlich versichert. Am 28. Juli 2001 löste die Arbeitgeberin, die V._ AG, das Arbeitsverhältnis «im gegenseitigen Einvernehmen auf Grund gesundheitlicher Gründe» auf Ende September 2001 auf. Im Zeitraum Oktober 2001 bis März 2002 bezog J._ Taggelder der Arbeitslosenversicherung unter Anrechnung des seit Dezember 2001 erzielten Zwischenverdienstes aus einer 50%-Tätigkeit. Mit Zeugnis vom 29. Januar 2002 attestierte Dr. med. K._, Spezialarzt für Innere Medizin FMH, eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % ab 31. Januar 2002. Ab 7. Februar 2002 bezog J._ Krankentaggelder.
A.b Im November 2002 meldete sich J._ wegen «Diabetes mit Schwindelanfällen und Depressionen (bestehend seit Jahren, ausgeprägt Januar 2002)» bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärung der gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse (u.a. Begutachtung durch Dr. med. P._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, [Expertise vom 10. Februar 2004]) sprach ihm die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügung vom 26. Juli 2004 rückwirkend ab 1. September 2002 eine ganze Rente zu. Dieser Verwaltungsakt wurde auch der BAV GastroSuisse eröffnet.
A.c Nach Einsichtnahme in die IV-Akten und Einholung von Auskünften bei der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Basel-Stadt verneinte die BAV GastroSuisee (heute: GastroSocial Pensionskasse) mit Schreiben vom 27. September und 28. Dezember 2004 eine Leistungspflicht. Ebenfalls lehnte die Stiftung Auffangeinrichtung BVG mit Schreiben vom 10. Dezember 2004 und 3. Februar 2005 die Ausrichtung von Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge ab.
A.c Nach Einsichtnahme in die IV-Akten und Einholung von Auskünften bei der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Basel-Stadt verneinte die BAV GastroSuisee (heute: GastroSocial Pensionskasse) mit Schreiben vom 27. September und 28. Dezember 2004 eine Leistungspflicht. Ebenfalls lehnte die Stiftung Auffangeinrichtung BVG mit Schreiben vom 10. Dezember 2004 und 3. Februar 2005 die Ausrichtung von Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge ab.
B. Am 22. September 2005 liess J._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt Klage einreichen gegen die GastroSocial Pensionskasse und die Stiftung Auffangeinrichtung BVG mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte 1 oder die Beklagte 2 sei zu verpflichten, ihm ab 1. September 2002 die reglementarischen Invaliditätsleistungen der beruflichen Vorsorge auszurichten.
Das Gericht zog nach Abschluss des Schriftenwechsels die IV-Akten bei und traf weitere Beweismassnahmen. Sodann führte es eine Hauptverhandlung mit Zeugenbefragung und Vortrag der Parteivertreter durch.
Mit Entscheid vom 21. März 2007 wies das kantonale Sozialversicherungsgericht die Klage gegen die GastroSocial Pensionskasse ab und hiess diejenige gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG gut, indem es diese zur Erbringung der reglementarischen Leistungen an den Kläger verpflichtete.
Mit Entscheid vom 21. März 2007 wies das kantonale Sozialversicherungsgericht die Klage gegen die GastroSocial Pensionskasse ab und hiess diejenige gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG gut, indem es diese zur Erbringung der reglementarischen Leistungen an den Kläger verpflichtete.
C. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 21. März 2007 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass J._ nicht während der Dauer der versicherten Arbeitslosigkeit arbeitsunfähig geworden sei; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Sozialversicherungsgericht zurückzuweisen.
J._ beantragt die Gutheissung der Beschwerde in dem Sinne, dass der Entscheid vom 21. März 2007 aufgehoben und die Klage gegen die GastroSocial Pensionskasse gutgeheissen wird. Die GastroSocial Pensionskasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
Erwägungen:
1. Die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts ist letztinstanzlich zuständig zum Entscheid über die Leistungspflicht der Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Beschwerdeführerin) oder der GastroSocial Pensionskasse (Beschwerdegegnerin) für den vorsorgerechtlichen Versicherungsfall Invalidität beim Beschwerdegegner (Art. 73 BVG und Art. 35 lit. e des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BgerR], in Kraft seit 1. Januar 2007; Urteile B 114/06 vom 11. Mai 2007 E. 2 und B 130/06 vom 27. April 2007 E. 2).
1. Die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts ist letztinstanzlich zuständig zum Entscheid über die Leistungspflicht der Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Beschwerdeführerin) oder der GastroSocial Pensionskasse (Beschwerdegegnerin) für den vorsorgerechtlichen Versicherungsfall Invalidität beim Beschwerdegegner (Art. 73 BVG und Art. 35 lit. e des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BgerR], in Kraft seit 1. Januar 2007; Urteile B 114/06 vom 11. Mai 2007 E. 2 und B 130/06 vom 27. April 2007 E. 2).
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
3. Die IV-Stelle hatte den Beginn der einjährigen Wartezeit nach <ref-law> auf den 28. September 2001 festgesetzt. In diesem Zeitpunkt war der Beschwerdegegner unbestrittenermassen bei der Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin berufsvorsorgeversichert. Diese focht die auch ihr eröffnete Rentenverfügung vom 26. Juli 2004 nicht an (vgl. zur Einspracheberechtigung und Beschwerdelegitimation der Vorsorgeeinrichtung Urteile I 687/06 vom 24. April 2007 E. 2.2 und I 780/04 vom 3. Mai 2006 E. 4). Der von der IV-Stelle festgesetzte Beginn der einjährigen Wartezeit nach <ref-law> gilt, soweit nicht offensichtlich unrichtig (<ref-ruling> E. 3.1 S. 273), somit auch als Zeitpunkt des Eintritts des berufsvorsorgerechtlichen Versicherungsfalles, d.h. der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 BVG, in der bis 31. Dezember 2004 geltenden Fassung, und Art. 26 Abs. 1 BVG; Urteil I 687/06 vom 24. April 2007 mit Hinweisen).
3. Die IV-Stelle hatte den Beginn der einjährigen Wartezeit nach <ref-law> auf den 28. September 2001 festgesetzt. In diesem Zeitpunkt war der Beschwerdegegner unbestrittenermassen bei der Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin berufsvorsorgeversichert. Diese focht die auch ihr eröffnete Rentenverfügung vom 26. Juli 2004 nicht an (vgl. zur Einspracheberechtigung und Beschwerdelegitimation der Vorsorgeeinrichtung Urteile I 687/06 vom 24. April 2007 E. 2.2 und I 780/04 vom 3. Mai 2006 E. 4). Der von der IV-Stelle festgesetzte Beginn der einjährigen Wartezeit nach <ref-law> gilt, soweit nicht offensichtlich unrichtig (<ref-ruling> E. 3.1 S. 273), somit auch als Zeitpunkt des Eintritts des berufsvorsorgerechtlichen Versicherungsfalles, d.h. der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 BVG, in der bis 31. Dezember 2004 geltenden Fassung, und Art. 26 Abs. 1 BVG; Urteil I 687/06 vom 24. April 2007 mit Hinweisen).
3. Die IV-Stelle hatte den Beginn der einjährigen Wartezeit nach <ref-law> auf den 28. September 2001 festgesetzt. In diesem Zeitpunkt war der Beschwerdegegner unbestrittenermassen bei der Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin berufsvorsorgeversichert. Diese focht die auch ihr eröffnete Rentenverfügung vom 26. Juli 2004 nicht an (vgl. zur Einspracheberechtigung und Beschwerdelegitimation der Vorsorgeeinrichtung Urteile I 687/06 vom 24. April 2007 E. 2.2 und I 780/04 vom 3. Mai 2006 E. 4). Der von der IV-Stelle festgesetzte Beginn der einjährigen Wartezeit nach <ref-law> gilt, soweit nicht offensichtlich unrichtig (<ref-ruling> E. 3.1 S. 273), somit auch als Zeitpunkt des Eintritts des berufsvorsorgerechtlichen Versicherungsfalles, d.h. der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 BVG, in der bis 31. Dezember 2004 geltenden Fassung, und Art. 26 Abs. 1 BVG; Urteil I 687/06 vom 24. April 2007 mit Hinweisen).
4.1 4.1.1 Feststellungen der Vorinstanz zur gesundheitlich bedingten Arbeitsunfähigkeit (Eintreten, Grad, Dauer, Prognose etc.) betreffen Tatfragen, soweit sie auf der Würdigung konkreter Umstände beruhen, und sind daher lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar (<ref-law> sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397 f.). Dies gilt auch für den Zeitpunkt des Eintritts des berufsvorsorgerechtlichen Versicherungsfalles, d.h. der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat. Demgemäss ist auch Tatfrage, ob der von der IV-Stelle festgesetzte Beginn der Wartezeit nach <ref-law> unrichtig ist. Frei überprüfbare Rechtsfrage (Art. 95 lit. a BVG) ist demgegenüber, ob eine allfällige Unrichtigkeit offensichtlich und demgemäss die Bindungswirkung aufgehoben ist.
4.1.2 Die Frage, ob die Invaliditätsschätzung der Invalidenversicherung offensichtlich unhaltbar und daher für die berufliche Vorsorge nicht verbindlich ist, beurteilt sich nach der Aktenlage bei Erlass der Rentenverfügung. Nachträglich geltend gemachte Tatsachen oder Beweismittel, welche die IV-Stelle nicht von Amtes wegen hätte erheben müssen, sind nur beachtlich, sofern sie im Rahmen einer prozessualen Revision (<ref-law>) zu berücksichtigen wären (<ref-ruling> E. 2a S. 311).
4.1.3 Unter relevanter Arbeitsunfähigkeit im Sinne von <ref-law> ist eine Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich zu verstehen (<ref-ruling> E. 2.2. S. 99 mit Hinweisen). Ob eine Person trotz Lohnzahlung tatsächlich erheblich arbeitsunfähig ist, ob sie also im Rahmen eines Arbeitsverhältnisses ihre übliche oder aber eine gesundheitsbedingt eingeschränkte Leistung erbringt, ist mit aller Sorgfalt zu prüfen (Urteil B 4/00 vom 26. Januar 2000 E. 4a/aa). Nach der Rechtsprechung muss eine Einbusse an Leistungsvermögen arbeitsrechtlich in Erscheinung treten, so etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte, aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle. Eine erst nach Jahren rückwirkend festgelegte medizinisch-theoretische Arbeitsunfähigkeit, ohne dass der frühere Arbeitgeber die Leistungseinbusse bemerkt hätte, genügt nicht (Urteil B 75/01 vom 6. Februar 2003 E. 2.2). Es sind die vertraglich festgesetzte Pflicht zur Erbringung von Arbeit und die dafür vorgesehene Entlöhnung sowie weitere im Rahmen des Arbeitsverhältnisses getroffene Vereinbarungen in der Regel als den realen Gegebenheiten entsprechend zu werten. Nur beim Vorliegen besonderer Umstände darf die Möglichkeit einer von der arbeitsrechtlich zu Tage tretenden Situation in Wirklichkeit abweichenden Lage - etwa in dem Sinne, dass ein Arbeitnehmer zwar zur Erbringung einer vollen Arbeitsleistung verpflichtet war und auch entsprechend entlöhnt wurde, tatsächlich aber eben doch keine volle Arbeitsleistung hat erbringen können - in Betracht gezogen werden. Dabei ist gegebenenfalls äusserste Zurückhaltung geboten, da ansonsten die Gefahr bestünde, den Versicherungsschutz zu vereiteln. Indessen gilt hier ebenfalls, dass die Leistungseinbusse auch und vor allem dem Arbeitgeber aufgefallen sein muss (Urteile I 687/06 vom 24. April 2007 E. 5.1, B 13/01 vom 5. Februar 2003 E. 4.2 und B 73/00 vom 28. Mai 2002 E. 3a/bb).
4.2 Das kantonale Gericht hat festgestellt, es existierten keine echtzeitlichen ärztlichen Unterlagen, denen eine Arbeitsunfähigkeit bis Ende Oktober 2001 (Ablauf der einmonatigen Nachdeckungsfrist nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses mit der Firma V._ AG [Art. 10 Abs. 3 BVG]) entnommen werden könnte. Dr. med. K._ habe erst ab 31. Januar 2002 eine 100%-ige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Ebenfalls habe der Kläger während der Dauer der Anstellung vom November 1999 bis September 2001 keinerlei Absenzen zu verzeichnen gehabt. Auf Grund der Aussagen des Geschäftsführers der V._ AG anlässlich der Hauptverhandlung sei es zwar durchaus möglich, dass bereits während der Anstellung in dieser Firma sich erste Zeichen der sich entwickelnden späteren Krankheit manifestiert hätten. Dessen Ausführungen könne aber nicht entnommen werden, dass sich die Symptome während dieser Zeit schon derart verdichtet hätten, dass daraus eine relevante Arbeitsunfähigkeit im Sinne der Rechtsprechung abgeleitet werden könnte. Im Weitern sei in dem im IV-Verfahren eingeholten «Fragebogen Arbeitgeber» nicht vermerkt worden, der Lohn habe nicht der Arbeitsleistung entsprochen. Im Übrigen habe der Kläger am 1. Oktober 2001 gegenüber der Arbeitslosenkasse angegeben, 100 % vermittlungsfähig zu sein. Unter diesen Umständen könne die rückwirkende Festlegung einer Arbeitsunfähigkeit von mehr als 70 % ab September 2001 im von der IV-Stelle eingeholten psychiatrischen Administrativgutachten vom 10. Februar 2004 nicht nachvollzogen werden.
Aus diesen Tatsachenfeststellungen hat die Vorinstanz gefolgert, der berufsvorsorgerechtliche Versicherungsfall Invalidität sei nicht vor Ablauf der Nachdeckungsfrist Ende Oktober 2001 eingetreten und der von der IV-Stelle auf spätestens Ende September 2001 festgelegte Beginn der Wartezeit nach <ref-law> sei offensichtlich falsch.
Aus diesen Tatsachenfeststellungen hat die Vorinstanz gefolgert, der berufsvorsorgerechtliche Versicherungsfall Invalidität sei nicht vor Ablauf der Nachdeckungsfrist Ende Oktober 2001 eingetreten und der von der IV-Stelle auf spätestens Ende September 2001 festgelegte Beginn der Wartezeit nach <ref-law> sei offensichtlich falsch.
4.3 4.3.1 Die IV-Stelle legte den Beginn der Wartezeit nach <ref-law> gestützt auf das Administrativgutachten des Dr. med. P._ vom 10. Februar 2004 in den Monat September 2001. Der Experte hatte eine organisch-psychische Störung diagnostiziert. Als schädigende, nicht scharf voneinander abgrenzbare Einflüsse nannte er neben traumatisch-mechanischen Faktoren (Autounfall 1968) eine Alkoholabhängigkeit (wahrscheinlich seit Ende der 1970er Jahre) sowie die schlechte Einstellung des Diabetes (1982-2002). Dabei zählte er sowohl den Diabetes mellitus Typ II, als auch die Polyneuropathie zu den Folgen des schädlichen alkoholischen Substanzgebrauchs. Gemäss Dr. med. P._ bestand ab September 2001 aus psychiatrischer Sicht eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 70 %. Dabei stützte er sich zum einen auf die Aussagen des Exploranden, welcher angegeben hatte, bedingt durch seine ungenügenden Leistungen als Folge seines abnehmenden Kurzzeitgedächtnisses auf Ende September 2001 die Kündigung erhalten zu haben. Zum anderen begründete der Gutachter den Beginn der Einschränkung der Arbeitsfähigkeit ab diesem Zeitpunkt damit, die Beschwerden von Seiten der Neuropathie hätten aufgrund der Befunde ebenfalls schon damals bestanden haben müssen. In der Expertise wurde der Bericht vom 14. Januar 2002 über die neurologische Untersuchung vom selben Tag erwähnt. Der Neurologe Dr. med. M._ hatte den Befund einer Polyneuropathie erhoben und diagnostisch den Verdacht auf eine orthostatische Dysregulation im Rahmen einer kardialen oder autonomen Störung im Kontext des Diabetes geäussert. Bereits auf Grund des schlecht eingestellten Diabetes bestand gemäss Dr. med. P._ seit 1999 eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 %.
4.3.2 Die fachärztliche Einschätzung einer Arbeitsunfähigkeit von 70 % als Geschäftsführer im Gastronomiebereich ab September 2001 stand in einem gewissen Widerspruch zu den Angaben der damaligen Arbeitgeberin zu den krankheitsbedingten Abwesenheiten vom Arbeitsplatz. Die V._ AG hatte auf entsprechende Anfrage der IV-Stelle angegeben, zwischen November 1999 und September 2001 hätten keine Absenzen bestanden (Mitteilung vom 22. November 2002). Auch trifft zu, dass keine echtzeitlichen ärztlichen Bestätigungen einer bis Ende Oktober 2001 eingetretenen Arbeitsunfähigkeit vorliegen. Umgekehrt bildet der Bericht des Dr. med. M._ vom 14. Januar 2002 ein gewichtiges Indiz für eine schon vorher bestandene gesundheitlich bedingte Arbeitsunfähigkeit. Zu beachten ist sodann, dass bereits eine Arbeitsunfähigkeit von 20 % im angestammten Beruf für die Eröffnung der Wartezeit nach <ref-law> genügt (AHI 1998 S. 124 E. 3c [I 411/96]; Urteil I 75/03 vom 6. Februar 2004 E. 2.2).
4.3.3 In dem - vom Arbeitnehmer nicht unterzeichneten - Kündigungsschreiben vom 28. Juli 2001 wurde u.a. festgehalten: «Die Kündigung erfolgt im gegenseitigem Einvernehmen auf Grund gesundheitlichen Gründen.» Die Firma machte somit ausdrücklich und einzig den Gesundheitszustand des Klägers und heutigen Beschwerdegegners für die vorzeitige Auflösung des Arbeitsverhältnisses verantwortlich. Gemäss dem Protokoll von der Sitzung des kantonalen Gerichts vom 21. März 2007 legte der Zeuge dar, für den Kläger sei die Tätigkeit als Geschäftsführer des Restaurant X._ eine psychische Belastung gewesen. Das spezielle Publikum sowie die Öffnungszeiten (18.00 bis 06.00) hätten ihm psychisch zugesetzt. Der Kläger habe den Stress psychisch nicht bewältigen können. Er sei gereizt gewesen und habe die Arbeit nicht bewältigen können. Krank sei er aber nicht gewesen. Er habe sich in seinem Wesen verändert. Man habe das Gefühl, er erbringe die Leistung nicht mehr. Seines Wissens habe er keine krankheitsbedingten Absenzen gehabt. Es sei ein langsamer Prozess gewesen. Nach zwei Jahren habe man das Arbeitsverhältnis schliesslich «im gegenseitigen Einvernehmen» aufgelöst. Mit den im Kündigungsschreiben vom 28. Juli 2001 erwähnten «gesundheitlichen Gründen» sei gemeint, dass der Kläger den Stress psychisch nicht habe bewältigen können.
Aufgrund dieser Aussagen ist davon auszugehen, dass der Beschwerdegegner aus gesundheitlichen Gründen in seiner Tätigkeit als Geschäftsführer des Restaurant X._ eingeschränkt war. Dabei kann entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin nicht gesagt werden, die Äusserungen des Geschäftsführers der Arbeitgeberin belegten eine lediglich situationsbedingte (Nachtarbeit, Kundschaft aus dem Rotlichtmilieu) und insoweit invalidenversicherungsrechtlich nicht beachtliche psychische Belastung. Im Übrigen räumt sie selber ein, dass ein Leistungsabfall beim Beschwerdegegner aufgetreten war. Dass die Vertragsparteien sich gewissermassen im Sinne eines «(Gentleman)Agreement» auf «gesundheitliche Gründe» als Erklärung für die vorzeitige Auflösung des Arbeitsverhältnisses geeinigt hätten, ist nicht nachvollziehbar. Erfahrungsgemäss ist bei Kündigungen aus gesundheitlichen Gründen das Finden einer neuen Anstellung erschwert, namentlich bei Personen im fortgeschrittenen Alter. Der Beschwerdegegner stand 2001 im 58. Lebensjahr. Vielmehr stützen die Zeugenaussagen die Einschätzung im Gutachten vom 10. Februar 2004, wonach spätestens im September 2001 (auch) eine psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit bestand. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdegegner nach Auffassung des Geschäftsführers der Arbeitgeberin nicht krank gewesen war. Vorab war die Kündigung bereits Ende Juli 2001 ausgesprochen worden. Es mussten somit schon vorher und zwar, was berufsvorsorgerechtlich entscheidend ist, für den Arbeitgeber erkennbare psychische Probleme bestanden haben, welche, wie dargelegt, zu einem Leistungsabfall geführt hatten. Offenbar war die Situation am Arbeitsplatz bereits von Beginn weg psychisch belastend. Spätestens im Juli 2001 war eine Weiterführung des Arbeitsverhältnisses länger als die zweimonatige Kündigungsfrist von beiden Seiten nicht mehr als sinnvoll erachtet worden, wobei im Kündigungsschreiben einzig gesundheitliche Gründe hiefür angeführt wurden. Spätestens in diesem Zeitpunkt mit der Auflösung des Arbeitsverhältnisses hatte aber auch die gesundheitliche Beeinträchtigung arbeitsrechtlich als in Erscheinung getreten zu gelten.
Zusammenfassend mögen allenfalls aufgrund der Akten bei Erlass der Rentenverfügung durch die IV-Stelle gewisse Zweifel bestehen, ob die Festlegung des Beginns der Wartezeit auf Ende September 2001 richtig war. Hingegen kann weder aufgrund dieser Akten noch der ergänzend im vorinstanzlichen Verfahren erhobenen Beweismittel (Kündigungsschreiben vom 28. Juli 2001 und Zeugenaussagen anlässlich der Hauptverhandlung vor dem kantonalen Gericht) gesagt werden, diese Festlegung sei offensichtlich unrichtig. Die Bindungswirkung an die Verfügung der IV-Stelle war damit nicht aufgehoben. Der anders lautende vorinstanzliche Entscheid verletzt Bundesrecht. Dies bedeutet, dass die Klage gegen die Beschwerdegegnerin gutzuheissen und diejenige gegen die Beschwerdeführerin abzuweisen ist.
Zusammenfassend mögen allenfalls aufgrund der Akten bei Erlass der Rentenverfügung durch die IV-Stelle gewisse Zweifel bestehen, ob die Festlegung des Beginns der Wartezeit auf Ende September 2001 richtig war. Hingegen kann weder aufgrund dieser Akten noch der ergänzend im vorinstanzlichen Verfahren erhobenen Beweismittel (Kündigungsschreiben vom 28. Juli 2001 und Zeugenaussagen anlässlich der Hauptverhandlung vor dem kantonalen Gericht) gesagt werden, diese Festlegung sei offensichtlich unrichtig. Die Bindungswirkung an die Verfügung der IV-Stelle war damit nicht aufgehoben. Der anders lautende vorinstanzliche Entscheid verletzt Bundesrecht. Dies bedeutet, dass die Klage gegen die Beschwerdegegnerin gutzuheissen und diejenige gegen die Beschwerdeführerin abzuweisen ist.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin sowie auch dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 21. März 2007 aufgehoben und die Klage gegen die GastroSocial Pensionskasse wird gutgeheissen, diejenige gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG abgewiesen.
1. In Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 21. März 2007 aufgehoben und die Klage gegen die GastroSocial Pensionskasse wird gutgeheissen, diejenige gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der GastroSocial Pensionskasse auferlegt.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der GastroSocial Pensionskasse auferlegt.
3. Die GastroSocial Pensionskasse hat die Stiftung Auffangeinrichtung BVG mit Fr. 2500.- und den Beschwerdegegner mit Fr. 500.- für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen.
3. Die GastroSocial Pensionskasse hat die Stiftung Auffangeinrichtung BVG mit Fr. 2500.- und den Beschwerdegegner mit Fr. 500.- für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen.
4. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt hat die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Klageverfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Beschwerdeverfahrens neu festzusetzen.
4. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt hat die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Klageverfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Beschwerdeverfahrens neu festzusetzen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der IV-Stelle Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Dezember 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler