Erwägungen:
1.
Gerichtspräsidentin Y._ des Regionalgerichts Bern-Mittelland überwies am 1. Juli 2013 ein gegen sie gerichtetes Ablehnungsgesuch von X._ an die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern. Am 7. August 2013 ersuchte X._ um Ausstand der Präsidentin der Beschwerdekammer, Oberrichterin Z._, und beantragte eine Beschlussfassung über den Ausstand der Gerichtspräsidentin Y._ durch ein ausserkantonales Beschwerdegericht, da eigentlich praktisch alle Oberrichter des Obergerichts des Kantons Bern als befangen abgelehnt werden müssten.
In der Folge leitete die Präsidentin der Beschwerdekammer das Ausstandsgesuch vom 7. August 2013 an die Strafkammern des Obergerichts weiter. Mit Beschluss vom 11. September 2013 wies die 1. Strafkammer das Ausstandsgesuch gegen Oberrichterin Z._ sowie weitere am Obergericht tätige Richter ab. Daraufhin wies die Beschwerdekammer in Strafsachen das Ausstandsgesuch gegen Gerichtspräsidentin Y._ mit Beschluss vom 26. September 2013 ab.
2.
X._ führt mit Eingabe vom 3. Oktober 2013 (Postaufgabe 10. Oktober 2013) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Anfechtungsgegenstand der vorliegenden Beschwerde ist einzig der Beschluss der Beschwerdekammer vom 26. September 2013, mit welchem das Ausstandsgesuch gegen die Gerichtspräsidentin des Regionalgerichts Bern-Mittelland abgewiesen wurde. Der Beschluss der I. Strafkammer vom 11. September 2013, mit welchem das Ausstandsgesuch gegen Oberrichterin Z._ und weitere am Obergericht tätige Richter abgewiesen wurde, ist indessen nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Der Beschwerdeführer, der sich mit der Begründung des angefochtenen Beschlusses nicht auseinandersetzt, legt mit seiner appellatorischen Kritik nicht dar, inwiefern die Begründung der Beschwerdekammer bzw. deren Beschluss selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Regionalen Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli