Sachverhalt:
A.
A.a. Am 16. Dezember 2013 erteilte das Bezirksgericht Bülach dem Kanton Zürich und der Stadt Kloten in der gegen X._ angehobenen Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Kloten für ausstehende Steuern von Fr. 1'498.05 nebst Zinsen und Kosten die definitive Rechtsöffnung.
A.b. Gegen dieses Urteil gelangte X._ mit Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er machte unter anderem geltend, dass das Bezirksgericht ihm eine öffentliche Verhandlung verweigert und damit seinen Anspruch auf ein faires Verfahren missachtet habe (Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Das Obergericht folgte diesem Standpunkt, hob den Rechtsöffnungsentscheid auf und wies die Sache an die Erstinstanz zurück (Ziff. 2). Die Gerichtskosten von Fr. 450.-- auferlegte es zur Hälfte der Stadt Kloten und nahm den Rest auf die Gerichtskasse (Ziff. 3 und 4). Eine Parteientschädigung wurde keine zugesprochen (Ziff. 5).
A.c. X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen und Verfassungsbeschwerde vom 2. Juni 2014 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die teilweise Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses (Ziff. 5) und die Zusprechung einer Parteientschädigung für seine Umtriebe im kantonalen Rechtsmittelverfahren. Er stellt eine Reihe von prozessualen Anträgen und verlangt insbesondere die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es sind die kantonalen Akten beigezogen, aber keine Antworten eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel gegeben ist (<ref-ruling> E. 1).
1.1. Mit dem angefochtenen Beschluss hat das Obergericht eine Beschwerde betreffend die Gewährung der definitiven Rechtsöffnung gutgeheissen und die Sache an die Erstinstanz zurückgewiesen. Zwar geht es in der Hauptsache um eine Angelegenheit aus dem Schuldbetreibungs- und Konkursrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 Abs. 1 BGG), indes wird die gesetzliche Streitwertgrenze nicht erreicht (<ref-law>) und eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung wird nicht geltend gemacht (<ref-law>). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben.
1.2. Die Eingabe des Beschwerdeführers wird ungeachtet ihrer Bezeichnung als Verfassungsbeschwerde entgegengenommen (<ref-law>). Sie ist innert der gesetzlichen und damit nicht erstreckbaren Frist erhoben worden, womit sich ein Wiederherstellungsgesuch erübrigt (Art. 47 Abs. 1, Art. 100 Abs. 1 und Art. 50 Abs. 1 BGG) erübrigt. Der Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf vorgängige Mitteilung des Spruchkörpers. Die Mitglieder der für die Behandlung seiner Eingabe zuständige Abteilung können dem Staatskalender sowie den amtlichen Mitteilungen des Bundesgerichts entnommen werden. Damit konnte der Beschwerdeführer rechtzeitig ein Ablehnungsbegehren stellen.
1.3. Dem Antrag auf eine mündliche Verhandlung für das bundesgerichtliche Verfahren ist nicht stattzugeben. Vor dem Bundesgericht findet eine mündliche Parteiverhandlung (<ref-law>) nur ausnahmsweise statt und die Parteien haben darauf - im letztinstanzlichen Verfahren - grundsätzlich keinen Anspruch (Urteil 5A_880/2011 vom 20. Februar 2012 E. 1.5, Pra 2012 Nr. 19 S. 608; Urteil 2C_349/2012 vom 18. März 2013 E. 3.3). Der Beschwerdeführer legt nicht dar (<ref-law>), inwiefern besondere Umstände vorliegen sollen, die ausnahmsweise eine mündliche Verhandlung im bundesgerichtlichen Verfahren gebieten sollen, um die im Vordergrund stehenden prozessualen Aspekte, insbesondere die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiären Verfassungsbeschwerde zu beurteilen.
1.4. Das Bundesgericht beurteilt die Beschwerde aufgrund der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen (<ref-law>), womit sich die einzig in diesem Zusammenhang verlangte Akteneinsicht zwecks Ergänzung und Stellungnahme erübrigt.
1.5. Beim vorinstanzlichen Beschluss handelt es sich um einen Rückweisungsentscheid, mithin um einen Zwischenentscheid, der nur dann beim Bundesgericht anfechtbar ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Ein solcher ist insbesondere gegeben, wenn damit materiell-rechtliche Anordnungen an die nunmehr zuständige Instanz verbunden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 101; <ref-ruling> E. 1.2 S. 138). Das ist vorliegend nicht der Fall.
1.6. Die Beschwerde richtet sich im konkreten Fall einzig gegen die Abweisung des Antrags auf Parteientschädigung für das kantonale Rechtsmittelverfahren. Nicht angefochten ist hingegen die Rückweisung an die Erstinstanz als solche. Die in einem solchen Zwischenentscheid enthaltene Kosten- und Entschädigungsregelung ist als Nebenpunkt nicht selbständig anfechtbar (<ref-ruling> E. 2.3 S. 95; <ref-ruling> E. 1.2 S. 331; Urteil 5A_780/2011 vom 23. Februar 2012 E. 2). Sie kann nur im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid als solchen überprüft werden, sofern die diesbezüglichen Voraussetzungen gegeben sind.
2.
Nach dem Dargelegten kann auf die einzig gegen die Nichtzusprechung einer Parteientschädigung im Rahmen eines Zwischenentscheides erhobene Beschwerde nicht eingetreten werden.
Die Begehren des Beschwerdeführers waren von vornherein aussichtslos, womit bereits aus diesem Grunde seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht stattgegeben werden kann, ohne dass die Voraussetzung der Prozessarmut noch zu prüfen ist (<ref-law>). Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante