Faits:
A. Le 16 octobre 2006, A._ a requis l'autorisation de construire un garage préfabriqué en béton, sur la parcelle n° 104 du registre foncier de la commune de Chamoson, sise en zone agricole. Soumis à l'enquête publique, le projet n'a pas suscité d'oppositions. Le 12 janvier 2007, le Service cantonal de l'agriculture a attesté que le requérant exploitait à titre accessoire 5'615 m2 de vignes, que le garage de sa villa située en zone à bâtir était insuffisant pour accueillir son matériel viticole et que le garage préfabriqué requis répondait en conséquence à un "besoin agricole". Le Service cantonal de l'aménagement du territoire a en revanche préavisé négativement le projet pour défaut de conformité à l'art. 24 de la loi fédérale du 22 juin 1979 sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700). Après avoir constaté que le garage avait déjà été érigé, sans que son implantation et sa longueur (9 m 50 au lieu de 7 m 50) ne correspondent aux plans soumis à l'enquête publique, la Commission cantonale des constructions (ci-après: la CCC) a sommé l'intéressé de déposer une nouvelle demande d'autorisation de construire conforme.
Le 16 mai 2007, A._ a déposé une telle requête, qui a suscité deux oppositions. La commune de Chamoson a préavisé négativement la demande au motif que l'intéressé n'était pas agriculteur de métier. Le 27 septembre 2007, la CCC a refusé l'autorisation de construire sollicitée et a imparti à A._ un délai de trois mois dès l'entrée en force de sa décision pour procéder à la remise en état des lieux, par la suppression du garage préfabriqué. Saisi d'un recours contre cette décision, le Conseil d'Etat valaisan l'a rejeté par arrêt du 25 juin 2008.
B. La Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision, par arrêt du 17 octobre 2008. Le Tribunal cantonal a considéré en substance que l'exploitation viticole de l'intéressé n'avait qu'un caractère accessoire et ne répondait pas au critère de la viabilité à long terme; elle n'était donc pas conforme à l'affectation de la zone agricole au sens de l'art. 16a LAT. De plus, l'implantation du garage hors de la zone à bâtir n'était pas imposée par sa destination et ne pouvait ainsi bénéficier de la dérogation prévue par l'art. 24 LAT. Enfin, comme le garage était manifestement contraire au droit et contrevenait à un intérêt public majeur, l'ordre de suppression ne violait pas le principe de la proportionnalité.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal et de lui accorder l'autorisation de construire sollicitée. Il fait valoir une appréciation arbitraire des faits ainsi qu'une violation de la LAT et du principe de la proportionnalité. Une expertise des conditions d'exploitation agricole du recourant est en outre sollicitée.
Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer. Le Conseil d'Etat conclut au rejet du recours. La Commune de Chamoson déclare maintenir ses préavis négatifs. Invité à se déterminer, l'Office fédéral du développement territorial n'a pas formulé d'observations.
Par ordonnance du 16 décembre 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif présentée par le recourant.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions (<ref-law>), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Le recourant a pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. Il est particulièrement touché par l'arrêt attaqué confirmant le refus de l'octroi de l'autorisation de construire qu'il a sollicitée. Il peut ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Il a dès lors qualité pour agir au sens de l'<ref-law>. Les autres conditions de recevabilité sont par ailleurs réunies, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2. Le Tribunal fédéral s'estimant suffisamment renseigné pour statuer en l'état du dossier, il n'y a pas lieu de procéder à l'expertise des conditions d'exploitation agricole sollicitée par l'intéressé, celui-ci n'expliquant du reste pas en quoi une telle mesure d'instruction serait utile (cf. <ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>).
3. Dans un grief qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant estime que le Tribunal cantonal a fait preuve d'arbitraire dans l'appréciation des faits en retenant que la surface cultivée de son exploitation agricole comprenait uniquement 5'615 m2 de vignes.
3.1 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). L'existence de faits constatés de manière inexacte ou en violation du droit doit en outre être susceptible d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure (art. 97 al. 1 in fine LTF).
3.2 Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir constaté de manière arbitraire que "rien n'indiquait qu'il exploitait les 2'565 m2 de prés et 814 m2 de marais dont il affirme être également propriétaire" (consid. 4c de l'arrêt attaqué). L'intéressé avait en effet allégué en cours de procédure qu'il exploitait une entreprise agricole comprenant non seulement 5'615 m2 de vignes, mais également 2'565 m2 de prés et 814 m2 de marais, sans que cet élément n'ait jamais été contesté.
Dans l'arrêt attaqué, le Tribunal cantonal s'est fondé sur les 5'615 m2 de vignes pour calculer l'unité de main-d'oeuvre standard laquelle correspond, pour les "surfaces viticoles en forte pente et en terrasse" à une superficie d'un hectare, en vertu de l'art. 3 al. 2 let. a ch. 3 de l'ordonnance sur la terminologie agricole et la reconnaissance des formes d'exploitation du 7 décembre 1998 (OTerm; RS 910.91). Il a considéré que l'exploitation agricole du recourant n'avait qu'un caractère accessoire, en raison de sa surface inférieure à un hectare. Or, même si les 2'565 m2 de prés et les 814 m2 de marais avaient été pris en compte dans le calcul de la superficie de l'exploitation, on obtiendrait toujours une surface inférieure à un hectare. La prise en compte de ces aires ne change dès lors rien au raisonnement du Tribunal cantonal, lequel n'est pas contesté par le recourant. Faute d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure, ce grief tombe à faux.
4. Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir évalué arbitrairement la viabilité à long terme de son exploitation, en se fondant uniquement sur son âge et sur le revenu provenant de son activité agricole. L'intéressé estime que la construction litigieuse est conforme à l'affectation de la zone agricole et fait implicitement grief au Tribunal cantonal d'avoir violé l'art. 34 al. 4 let. c OAT, en considérant que l'exploitation ne pourrait pas subsister à long terme.
4.1 L'art. 16a LAT fixe les conditions générales auxquelles des constructions et des installations peuvent être considérées comme conformes à l'affectation de la zone agricole. L'<ref-law> précise ces conditions, en disposant que l'autorisation de construire ne peut être délivrée que si la construction ou l'installation est nécessaire à l'exploitation (let. a ), si aucun intérêt prépondérant ne s'oppose à son implantation à l'endroit prévu (let. b) et s'il est prévisible que l'exploitation pourra subsister à long terme (let. c). Cette dernière condition a pour but d'éviter que des autorisations ne soient délivrées inconsidérément dans une zone qui doit être maintenue autant que possible libre de toute construction, pour des constructions et installations qui seront rapidement mises hors service suite à l'abandon de l'exploitation agricole (cf. arrêt 1A.86/2001 du 21 mai 2002 consid. 3.4, in SJ 2002 I p. 541; Office fédéral du développement territorial, Nouveau droit de l'aménagement du territoire, Explications relatives à l'ordonnance sur l'aménagement du territoire et recommandations pour la mise en oeuvre, 2000, chapitre I, ch. 2.3.1, p. 31). La possibilité de construire de nouveaux bâtiments doit être réservée aux domaines agricoles rentables et dont le maintien semble assuré à long terme. Il faut donc, outre le professionnalisme et le savoir-faire spécialisé que cette activité exige, l'engagement durable, structuré et rentable de capitaux et de forces de travail, et cela dans une mesure économiquement significative (Niklaus Spori, Lexique des constructions hors de la zone à bâtir, Edition septembre 2007, in: VLP-ASPAN, Territoire & Environnement 5/2007, p. 8 et 42; cf. Waldmann/Hänni, Raumplanungsgesetz, 2006, n° 28 ad art. 16a LAT). La réalisation de cette condition doit faire l'objet d'un examen concret et précis dans chaque cas particulier, en tenant compte de la structure et de l'importance de l'exploitation ainsi que des circonstances locales (arrêt 1C_27/2008 du 25 juin 2008, consid. 2.3).
4.2 Dans l'arrêt attaqué, le Tribunal cantonal s'est fondé sur quatre éléments pour examiner la viabilité à long terme de l'exploitation. Après avoir établi que la surface de l'exploitation était inférieure à une unité de main-d'oeuvre standard (cf. consid. 3.2), il a relevé que le revenu net provenant de l'activité viticole du recourant en 2007 (19'712 francs) ne suffisait pas à un exploitant pour en vivre. Il a ensuite rappelé que l'expertise du Service cantonal de l'agriculture du 12 janvier 2007 avait qualifié l'exploitation viticole de l'intéressé d'activité accessoire. Il a enfin mentionné l'âge de l'exploitant. Mis à part le critère de l'âge, contesté par le recourant, les autres éléments retenus par les juges cantonaux sont à eux seuls suffisants pour répondre à la question de la viabilité de l'exploitation.
Les critiques du recourant portent sur la constatation du Tribunal cantonal selon laquelle le revenu de son activité agricole ne suffirait pas pour en vivre. L'intéressé peine cependant à convaincre lorsqu'il allègue que les gains tirés de son activité agricole lui permettraient, au contraire, de ne pas tomber en-dessous du minimum vital et devraient ainsi être considérés comme un revenu de l'activité principale. A suivre le recourant, n'importe quelle source de revenu, aussi insignifiante soit-elle, proviendrait d'une activité principale dès lors qu'elle serait indispensable pour assurer le minimum vital de celui qui l'exerce. Ces considérations ne sauraient être suivies, ce d'autant moins qu'elles ne parviennent pas à démontrer que l'implantation du garage sollicité est indispensable à cet endroit-là et partant que la construction litigieuse est conforme à la zone agricole au sens des art. 16a al. 1 et 22 LAT.
Pour les mêmes motifs, il n'est pas pertinent de soutenir, comme le fait le recourant, que la viabilité de l'entreprise serait garantie dans la mesure où ce type de terrain viticole a une valeur marchande importante et où les exploitants agricoles sont multiples dans la région.
Dans ces circonstances, le projet litigieux ne saurait être tenu en l'état pour conforme à la destination agricole de la zone. L'arrêt attaqué qui le constate ne viole pas le droit fédéral.
5. Enfin, le recourant se plaint d'une violation du principe de la proportionnalité. Il estime qu'il est disproportionné de condamner la construction litigieuse qui a été prolongée de 2 m par rapport à la construction initiale, alors que celle-ci n'avait pas suscité d'oppositions. Le recourant perd cependant de vue que, dès l'instant où le Tribunal cantonal a constaté le caractère illicite de la construction, il importe peu qu'elle soit de dimension modeste. Ce critère pourrait éventuellement être retenu si les frais de démolition étaient disproportionnés, ce que le recourant n'invoque pas. Dans ces circonstances, le grief est mal fondé.
6. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, aux frais du recourant qui succombe (art. 65 al. 1 et 66 al. 1 LTF). La commune de Chamoson n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de A._.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la Commune de Chamoson, au Conseil d'Etat et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais, ainsi qu'à l'Office fédéral du développement territorial.
Lausanne, le 26 mars 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Tornay