Faits:
A.
A.a. Ressortissant brésilien né en 1984, A._ a vécu au Portugal, au bénéfice d'un permis de séjour temporaire, valable jusqu'au 30 avril 2011. Il a noué une relation avec D._, une ressortissante portugaise, entrée en Suisse en juillet 2007 et titulaire d'une autorisation de séjour CE/AELE, initialement valable jusqu'au 18 juillet 2012, puis renouvelée.
Le **** 2008, D._ a mis au monde à E._ une fille, C._, de nationalité portugaise au bénéfice de la même autorisation de séjour que sa mère. Le 17 juin 2008, A._ a reconnu l'enfant, dont le nom a été modifié en " B._ ".
Par convention du 18 septembre 2008, approuvée par la Justice de Paix du district du Pays d'Enhaut le 14 octobre 2008, A._ s'est engagé à payer chaque mois à titre de contributions à l'entretien de l'enfant, allocations familiales non comprises, les sommes de 100 fr. jusqu'à ce que l'enfant ait atteint l'âge de six ans révolus, 150 fr. de six à douze ans révolus, 200 fr. de douze ans à la majorité de l'enfant ou au-delà en cas de poursuites d'études ou d'une formation professionnelle, pour autant qu'elle soit achevée dans des délais normaux.
A.b. Le 2 septembre 2009, A._ a sollicité l'octroi d'une autorisation de séjour pour " se rapprocher de sa fille ".
Le 12 novembre 2009, le Contrôle des habitants de la commune de F._ a transmis au Service cantonal de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) une lettre signée de la mère de l'enfant, laquelle indiquait que A._ avait rendu visite à sa fille en avril, juin, octobre et décembre 2008 avant de s'installer en Suisse en juillet 2009.
A la demande du Service cantonal, D._ a encore indiqué, le 7 juin 2010, que A._ exerçait son droit de visite en accueillant sa fille chez lui à hauteur de deux jours par semaine et qu'il s'était régulièrement acquitté de la pension alimentaire depuis la naissance de l'enfant.
Le 3 août 2010, le Service de la population a informé A._ qu'il avait l'intention de refuser de lui délivrer une autorisation de séjour au motif qu'il séjournait en Suisse de façon illégale, qu'il n'était pas démontré qu'un employeur était prêt à l'engager, ni qu'il disposait des moyens financiers garantissant qu'il ne tomberait pas à l'assistance publique. Dans le délai imparti pour formuler ses objections, A._ a produit quatre lettres d'employeurs disposés à l'engager dans l'hypothèse où il obtiendrait un permis de séjour.
A.c. Par décision du 20 octobre 2010, le Service cantonal a refusé de lui délivrer une autorisation de séjour et a prononcé son renvoi de Suisse. La Cour de droit administratif public du Tribunal cantonal de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé cette décision par arrêt du 17 février 2011. Le Tribunal cantonal a retenu que A._ n'avait pas sollicité les autorisations nécessaires à son séjour avec activité lucrative en Suisse et malgré cela s'y était établi et y avait travaillé, de sorte qu'il ne pouvait pas se prévaloir d'un comportement irréprochable. Par ailleurs, n'ayant pas la garde de sa fille, l'intéressé ne pouvait invoquer le bénéfice de l'Accord du 21 juin 1999, entré en vigueur le 1er juin 2002, entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681).
A.d. Le 31 août 2011, l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) a prononcé une décision d'interdiction d'entrée en Suisse à l'encontre de l'intéressé, valable jusqu'au 30 août 2013.
Par ordonnance pénale du 25 octobre 2011, le Procureur de l'arrondissement de l'Est vaudois a condamné A._ à une peine de 40 jours-amende avec sursis durant deux ans et à une amende pour séjour illégal et activité lucrative sans autorisation à raison de faits s'étendant à tout le moins du 6 juin au 11 août 2011.
Le 28 mars 2012, la Justice de paix du district de la Riviera-pays-d'Enhaut a approuvé une convention passée à une date inconnue entre les parents, laquelle prévoyait une autorité parentale conjointe ainsi qu'une garde partagée sur leur fille B._. Les parents avaient convenu que A._ garderait B._ du jeudi au samedi, ainsi que la moitié des vacances scolaires et en alternance à Noël et Nouvel-An, Pâques et Pentecôte, l'Ascension et le week-end du Jeûne. La convention prévoyait également que, pour autant que le père trouve un emploi de ferblantier-couvreur, chaque parent prendrait à sa charge les frais d'entretien et de loyer de l'enfant durant le temps où il s'en occupait. Enfin, il était prévu que chaque parent participe à hauteur de 200 fr. par mois aux autres frais (garde, assurance-maladie, vêtements, etc.). Il était précisé que cette convention annulait celle du 18 septembre 2008.
B.
Le 31 juillet 2012, A._ a sollicité une nouvelle fois une autorisation de séjour pour regroupement familial. A l'appui de sa demande, l'intéressé a produit la convention ratifiée par la Justice de paix, une promesse d'engagement ainsi qu'une assurance d'obtenir un bail pour une chambre.
Traitant cette nouvelle requête comme une demande de réexamen, le Service cantonal l'a rejetée par décision du 15 mars 2013.
Saisi d'un recours formé par A._ et B._ contre la décision du Service cantonal, le Tribunal cantonal l'a admis par arrêt du 5 juin 2013; il a annulé la décision du 15 mars 2013 et renvoyé le dossier au Service cantonal pour qu'il délivre une autorisation de séjour en faveur de A._. Le Tribunal cantonal a considéré que l'obtention par le père de la garde sur sa fille constituait un fait nouveau justifiant le réexamen et l'octroi d'une autorisation de séjour.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'Office fédéral demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 5 juin 2013, sous suite de frais et dépens.
Les intimés ont conclu au rejet du recours et à l'octroi d'une autorisation de séjour à A._. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de l'arrêt entrepris. Le Service cantonal a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>), et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 44).
1.1. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 315; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179).
Selon la jurisprudence, un étranger peut, selon les circonstances, se prévaloir du droit au respect de sa vie privée et familiale au sens de l'art. 8 par. 1 CEDH pour s'opposer à une éventuelle séparation de sa famille. Encore faut-il, pour pouvoir invoquer cette disposition, que la relation entre l'étranger et une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse soit étroite et effective (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 287; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 145). La notion de résidence durable en Suisse suppose que la personne ait la nationalité suisse, une autorisation d'établissement ou un droit certain à une autorisation de séjour (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 354; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 145 s.).
En l'occurrence, il n'est pas contesté que la relation entre l'intimé et sa fille B._ est étroite et effective. Par ailleurs, du moment que sa mère est une ressortissante portugaise au bénéfice d'une autorisation de séjour, B._ peut prétendre à l'octroi d'une autorisation de séjour sur la base de l'art. 7 let. d ALCP, en relation avec l'<ref-law>. L'intimé, qui a obtenu la garde partagée de sa fille, peut ainsi faire valoir un droit potentiel à séjourner en Suisse sur la base de l'art. 8 CEDH, de sorte que le recours échappe au motif d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 68).
L'Office fédéral a par ailleurs qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral (<ref-law> et 14 al. 2 de l'ordonnance fédérale du 17 novembre 1999 sur l'organisation du Département fédéral de justice et police [Org DFJP; RS 172.213.1]). Au surplus, déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>), le présent recours, dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par un tribunal cantonal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), est en principe recevable.
2.
Le présent recours est dirigé contre l'arrêt du Tribunal cantonal, admettant le recours contre le refus d'autorisation de séjour prononcé à la suite d'une demande de réexamen. Quand l'autorité saisie d'une demande de réexamen entre en matière et rend une nouvelle décision au fond comme en l'espèce, cette dernière peut faire l'objet d'un recours pour des motifs de fond (arrêts 2C_406/2013 du 23 septembre 2013 consid. 4.1; 2C_968/2011 du 20 février 2012 consid. 1.1; 2C_362/2009 du 24 juillet 2009 consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 3c p. 153 s.).
3.
L'Office fédéral ne remet pas en cause que l'attribution de la garde partagée justifie d'entrer en matière sur la demande de réexamen, mais il considère que cet élément ne suffit pas à octroyer une autorisation de séjour à l'intimé.
3.1. Aux termes de son art. 2 al. 2, la LEtr n'est applicable aux ressortissants des Etats membres de la Communauté européenne, aux membres de leur famille et aux travailleurs détachés par un employeur ayant son siège ou son domicile dans un de ces Etats que dans la mesure où l'ALCP n'en dispose pas autrement ou lorsque ladite loi contient des dispositions plus favorables. En l'espèce, le ressortissant étranger, dont l'enfant est titulaire d'une autorisation de séjour, ne peut tirer de la LEtr aucun droit à l'octroi d'une autorisation de séjour sur la base de sa relation avec son enfant.
3.2. Il faut se demander si l'ALCP permet à l'intimé d'obtenir un titre de séjour en lien avec sa fille. Dans un arrêt Zhu et Chen du 19 octobre 2004, la Cour de justice des communautés européennes (ci-après: la Cour de justice) s'est demandée si une ressortissante d'un Etat tiers, mère d'une citoyenne de l'Union en bas âge, avait le droit de séjourner avec son enfant sur le territoire de l'Union. La Cour de justice a jugé que la Directive 90/364/CEE ainsi que l'art. 18 CE conféraient un droit de séjour de durée indéterminée au ressortissant mineur en bas âge d'un Etat membre qui est couvert par une assurance-maladie appropriée et qui est à la charge d'un parent, lui-même ressortissant d'un Etat tiers, dont les ressources sont suffisantes pour que le premier ne devienne pas une charge pour les finances publiques de l'Etat membre d'accueil. Ces mêmes dispositions permettaient au parent qui a effectivement la garde de cet enfant de séjourner avec lui dans l'Etat membre d'accueil (arrêt du 19 octobre 2004 C-200/02 Zhu et Chen, Rec. 2004 I-09925 point 47). Dans un arrêt du 15 novembre 2010, le Tribunal fédéral s'est aligné sur la jurisprudence Zhu et Chenet a admis qu'une ressortissante brésilienne, mère d'un ressortissant portugais, puisse se prévaloir d'un titre de séjour en raison de la nationalité de son fils, à condition de disposer de ressources suffisantes pour elle-même et pour son enfant, ce qui en l'espèce n'avait pas été instruit (arrêt 2C_574/2010 du 15 novembre 2010 consid. 2.2.2). Par la suite, la Cour de céans a confirmé cette jurisprudence à plusieurs reprises (<ref-ruling> consid. 4.2.5 p. 401; 2C_253/2012 du 11 janvier 2013 consid. 4; 2C_190/2011 du 23 novembre 2011 consid. 4.2.1).
3.3. Selon le Tribunal cantonal, la jurisprudence Zhu et Chen s'applique à l'intimé, en tant qu'il bénéficie de la garde, " certes partagée ", de l'enfant (cf. arrêt attaqué p. 10). Constatant que la condition des ressources financières suffisantes était remplie, l'autorité précédente en a déduit le droit pour l'intimé à une autorisation de séjour.
3.4. L'Office fédéral conteste cette approche, à juste titre. A la différence du cas particulier, il sied de relever que, dans l'affaire Zhu et Chen, la mère de l'enfant en était " la personne responsable à titre principal " (arrêt Zhu et Chen, point 44). Or, dans la mesure où l'enfant dépendait tant affectivement que financièrement de sa mère, un refus d'autorisation de séjour aurait eu pour effet de contraindre l'enfant à quitter le territoire de l'Union et à suivre son parent à l'étranger (cf. arrêt 2C_1105/2012 du 5 août 2013 consid. 3.2). Une telle conséquence revenait, selon la Cour de justice, à " priver[...] de tout effet utile le droit de séjour [de l'enfant] " (arrêt Zhu et Chen, point 45). Compte tenu de cette situation, la Cour de justice a considéré que le parent ayant effectivement la garde sur un ressortissant de l'Union devait aussi être autorisé à résider sur le territoire de l'Union, quelle que soit sa nationalité (arrêt Zhu et Chen, point 47). La situation se présente différemment dans le cas d'espèce: B._ est née en Suisse où elle a vécu avec sa mère, le père, dont rien n'indique qu'il ait vécu ou même envisagé de vivre avec la mère de son enfant, n'ayant qu'un droit de visite dans les premières années. La garde partagée qu'a obtenue le père ne remet pas en cause le séjour de l'enfant en Suisse. B._ pourra continuer à vivre en Suisse avec sa mère, comme elle l'a fait jusqu'à présent, étant précisé que lorsque le père est venu s'installer en Suisse, D._ y résidait avec sa fille depuis déjà plus d'une année. On ne saurait donc assimiler la situation de l'intimé à celle de la requérante dans l'arrêt Zhu et Chen, de sorte que cette jurisprudence ne s'applique pas au cas d'espèce. Admettre le contraire reviendrait à étendre la jurisprudence Zhu et Chen à des situations qui n'ont pas été voulues par la Cour de justice.
3.5. Il suit de ce qui précède que l'intimé, qui n'est pas ressortissant d'un Etat partie à l'ALCP, ne peut pas déduire un droit à une autorisation de séjour sur la base de cet accord.
4.
Il reste à vérifier si l'art. 8 CEDH donne à l'intimé un droit à une autorisation de séjour fondé sur sa relation avec sa fille B._.
4.1. Un étranger peut, selon les circonstances, se prévaloir de l'art. 8 par. 1 CEDH pour s'opposer à l'éventuelle séparation de sa famille. Pour qu'il puisse invoquer la protection de la vie familiale découlant de cette disposition, l'étranger doit entretenir une relation étroite et effective avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 145; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 286).
4.2. En l'occurrence, il ressort des constatations de fait effectuées par l'instance cantonale qui lient la Cour de céans (cf. <ref-law>), que l'intimé s'occupe activement de sa fille, non seulement financièrement, mais encore affectivement. Il a établi avec sa fille des contacts étroits puisqu'il la garde chaque semaine du jeudi au samedi soir, ainsi que la moitié des vacances scolaires et en alternance à Noël et Nouvel-An, Pâques et Pentecôte, l'Ascension et le week-end du Jeûne. L'intéressé s'est par ailleurs engagé à verser une pension alimentaire à son enfant et il respecte cette obligation. Dans ces conditions, il faut admettre qu'un refus d'accorder une autorisation de séjour au père porterait atteinte à la vie familiale de l'intimé.
5.
5.1. La protection découlant de l'art. 8 CEDH n'est cependant pas absolue. En effet, une ingérence dans l'exercice du droit au respect de la vie privée et familiale est possible selon l'art. 8 par. 2 CEDH, "pour autant que cette ingérence est prévue par la loi et qu'elle constitue une mesure qui, dans une société démocratique, est nécessaire à la sécurité nationale, à la sûreté publique, au bien-être économique du pays, à la défense de l'ordre et à la prévention des infractions pénales, à la protection de la santé ou de la morale, ou à la protection des droits et libertés d'autrui".
5.2. S'agissant de l'intérêt privé à obtenir une autorisation de séjour d'un étranger disposant d'un simple droit de visite sur son enfant habilité à résider en Suisse, la jurisprudence considère qu'il peut en principe exercer ce droit même s'il vit à l'étranger, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée. Un droit plus étendu peut exister (regroupement familial inversé) en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique et lorsque, en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 319; arrêt 2C_652/2013 du 17 décembre 2013 consid. 3.2, destiné à la publication). En outre, le parent qui entend se prévaloir de cette garantie doit avoir fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 319; arrêts 2C_1231/2012 du 20 décembre 2012 consid. 3.3; 2C_858/2012 du 8 novembre 2012 consid. 2.2).
5.3. Lorsqu'un parent a le droit de garde et l'autorité parentale sur son enfant, qui a par ailleurs la nationalité suisse, le Tribunal fédéral a posé des règles moins strictes. Ainsi, lors de la pesée des intérêts au sens de l'art. 8 par. 2 CEDH, le fait que le parent étranger qui cherche à obtenir une autorisation de séjour en invoquant ses relations avec un enfant suisse (regroupement familial inversé) a adopté un comportement illégal est à prendre en compte dans les motifs d'intérêt public incitant à refuser l'autorisation requise. Toutefois, seule une atteinte d'une certaine gravité à l'ordre et à la sécurité publics peut l'emporter sur le droit de l'enfant suisse de pouvoir grandir dans sa patrie avec le parent qui a le droit de garde et l'autorité parentale sur lui (<ref-ruling> consid. 4.2.1 et 4.2.2 p. 250 s.; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 287; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 156 ss; 143 consid. 4.4 p. 152 s.). Cette jurisprudence est dictée par le fait que le départ du parent qui a la garde de l'enfant entraîne de facto l'obligation pour ce dernier de quitter la Suisse. En pareil cas, le renvoi du parent entre ainsi en conflit avec les droits que l'enfant peut tirer de sa nationalité suisse, comme la liberté d'établissement, l'interdiction du refoulement ou le droit de revenir ultérieurement en Suisse. Dans un <ref-ruling>, le Tribunal fédéral a cependant précisé que cette jurisprudence ne s'étendait pas aux enfants étrangers en provenance d'Etat tiers au bénéfice d'une autorisation d'établissement ou de séjour (consid. 4.2.3 p. 251).
Enfin, dans un arrêt récent destiné à la publication, le Tribunal fédéral a posé que la jurisprudence permettant à un parent étranger ayant le droit de garde et l'autorité parentale sur un enfant suisse de rester dans le pays ne s'appliquait pas telle quelle à la situation de l'étranger ne faisant plus ménage commun avec son conjoint suisse mais ayant encore l'autorité parentale sur leur enfant mineur de nationalité suisse sans en avoir la garde, dans la mesure où un éventuel éloignement dudit parent ne remettait pas en cause le séjour de l'enfant en Suisse (arrêt 2C_652/2013 du 17 décembre 2013 consid. 4.1, destiné à la publication). La Cour de céans a néanmoins jugé que, dans un tel cas, la contrariété à l'ordre public ne constituait pas une condition indépendante rédhibitoire de refus de prolongation de l'autorisation de séjour. Il s'agissait d'un élément parmi d'autres à prendre en compte dans la pesée globale des intérêts, sans toutefois lui accorder le même traitement que dans le cas d'un regroupement familial inversé concernant un enfant de nationalité suisse lorsqu'un parent a l'autorité parentale et le droit de garde exclusive (arrêt 2C_652/2013 du 17 décembre 2013 consid. 4.3, destiné à la publication; T. Hugi Yar, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten: Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in Annuaire du droit de la migration 2012/2013, Achermann et al éd., Berne 2013, p. 31 ss, p. 130).
6.
6.1. Le Tribunal fédéral ne s'est jamais prononcé sur la situation d'une autorité parentale conjointe et d'une garde partagée sur un enfant, ressortissant d'un Etat partie à l'ALCP, entre des parents non mariés vivant séparément. La situation ne peut en particulier pas être comparée à l'arrêt 2C_784/2009 du 25 mai 2010, dans lequel le parent qui entendait se prévaloir de l'art. 8 CEDH partageait la garde de son fils avec la mère de ce dernier. En effet, contrairement à la présente espèce, les parents vivaient en ménage commun. De même, comme l'intimé est titulaire de l'autorité parentale et qu'il partage la garde de sa fille, la jurisprudence relative à la situation du parent étranger qui n'a pas l'autorité parentale ni la garde de l'enfant au bénéfice d'une autorisation d'établissement ou de séjour en Suisse (cf. supra consid. 5.2) ne trouve pas non plus application, du moins pas sans aménagement dans la pesée des intérêts, notamment sous l'angle de l'ordre public (cf. arrêt 2C_652/2013 du 17 décembre 2013 consid. 4.1, destiné à la publication). La situation de l'intimé diffère également de celle du parent étranger ayant la garde et l'autorité parentale sur un enfant suisse (cf. supra consid. 5.3). Comme déjà relevé, le renvoi du père n'implique pas de facto le déplacement de l'enfant B._, qui pourra continuer à vivre auprès de sa mère en Suisse.
6.2. Les circonstances particulières du cas d'espèce se rapprochent en revanche des faits à l'origine de l'arrêt 2C_652/2013, destiné à la publication (cf. supra consid. 5.3 in fine ). A l'instar du cas particulier, cette affaire concerne un étranger qui, sans faire ménage commun avec la mère de son enfant, partageait l'autorité parentale avec celle-ci et assumait ses obligations parentales de manière irréprochable, tant sous l'angle affectif qu'économique (cf. arrêt 2C_652/2013 consid. 4.2, destiné à la publication). Sur le plan pénal, le recourant avait porté atteinte à l'ordre public en commettant des actes de peu de gravité. Cependant, à la différence du cas présent, l'enfant du recourant était de nationalité suisse et les parents, bien que séparés, étaient encore formellement mariés. Il reste que, compte tenu des similitudes avec la présente espèce, il se justifie de s'inspirer des critères posés par le Tribunal fédéral dans cet arrêt, en particulier en lien avec l'exigence d'un comportement conforme à l'ordre public (cf. supra consid. 5.3 in fine ).
6.3. En l'espèce, l'intimé a été condamné le 25 octobre 2011 à une peine de 40 jours-amende avec sursis et à une amende pour avoir séjourné et travaillé en Suisse sans titre de séjour. Il a en outre fait l'objet d'une interdiction d'entrée en Suisse valable jusqu'au 30 août 2013. Dans ces circonstances, il faut bien admettre qu'en adoptant un comportement réprimé par le droit des étrangers, l'intimé n'a pas fait preuve d'un comportement irréprochable. Toutefois, à s'en tenir à la jurisprudence du Tribunal fédéral développée dans l'arrêt 2C_652/2013 destiné à publication (cf. supra consid. 5.3 in fineet 6.2), la contrariété à l'ordre public ne constitue en pareille hypothèse plus une condition indépendante rédhibitoire de refus de permis de séjour, mais un élément parmi d'autres à prendre en compte dans la pesée des intérêts.
Dans le cas particulier, la présence de liens familiaux particulièrement forts entre le père et sa fille n'est pas contestée (cf. supra consid. 4.2). Depuis la naissance de B._, l'intimé a toujours assumé ses obligations parentales tant sous l'angle affectif qu'économique. Quand bien même il n'a jamais vécu avec la mère de son enfant, l'intéressé a su établir des contacts très étroits avec sa fille, dépassant de loin les standards usuels en la matière. Or les avantages d'une relation qu'un parent entretient de manière étroite et effective avec son enfant revêtent une importance considérable dans l'appréciation du bien-être de ce dernier. Dans de telles circonstances, la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107) impose d'accorder un poids particulier au maintien du lien parental par rapport à la protection de l'ordre public suisse. A cet égard, les infractions à la loi sur les étrangers commises par l'intimé présentent une gravité particulièrement légère, allant même en dessous du degré de gravité des actes reprochés au recourant dans la cause précitée 2C_652/2013. Ainsi, compte tenu de ces circonstances, il faut reconnaître que l'intérêt des intimés à conserver leurs relations familiales l'emporte sur les infractions de peu d'importance au droit des étrangers qui sont imputables à l'intéressé.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours par substitution de motifs. Conformément à l'<ref-law>, il n'est pas perçu de frais judiciaires. A._, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un représentant (<ref-law>), a droit à des dépens à la charge de la Confédération (art. 68 al. 1 et 2 LTF), soit de l'Office fédéral des migrations.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
La Confédération versera à l'intimé 1 la somme de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué à l'Office fédéral des migrations, à la représentante des intimés, au Service de la population du canton de Vaud et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 4 avril 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor