Sachverhalt:
A.
T._ bezog seit 1. Februar 2001 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Invaliditätsgrad: 100 %) samt einer Zusatzrente für den Ehemann sowie drei Kinderrenten. Gestützt u.a. auf das Gutachten der MEDAS vom 6. Juli 2011 setzte die IV-Stelle des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 4. Januar 2013 die ganze Rente mit Wirkung ab 1. März 2013 auf eine halbe Rente herab. Mit Verfügung vom 18. Januar 2013 setzte die Ausgleichskasse des Kantons Solothurn die monatlich auszuzahlenden Leistungen fest
B.
Am 7. Februar 2013 liess T._ gegen beide Verfügungen beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde einreichen und zur Hauptsache deren Aufhebung beantragen. Die IV-Stelle schloss in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung des Rechtsmittels.
B.a. Mit Verfügung vom 14. Mai 2013 wies das Gericht das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab und hielt fest, es werde kein zweiter Schriftenwechsel durchgeführt. Am 20. August 2013 fand die von T._ beantragte öffentliche Hauptverhandlung statt, an welcher die IV-Stelle nicht teilnahm. Dabei reichte ihr Rechtsvertreter einen ärztlichen Bericht vom 14. August 2013 ein.
Am 22. August 2013 verfügte der Präsident des Versicherungsgerichts, dass der Bericht vom 14. August 2013 zu den Akten genommen worden sei, das an der Verhandlung geschlossene Beweisverfahren wieder eröffnet und ein weiterer am selben Tag eingereichter ärztlicher Bericht ebenfalls zu den Akten genommen werde. Unter Ziff. 5 wurde sodann Folgendes festgehalten (und eine kurze Begründung hierfür gegeben) :

"Das Versicherungsgericht zieht unpräjudiziell und nach einer Vorabwürdigung der für eine Schlechterstellung sprechenden Umstände in Erwägung, die angefochtenen Verfügungen vom 4. und 18. Januar 2013 zu Ungunsten der Beschwerdeführerin abzuändern (sogenannte 'reformatio in peius'). Der Beschwerdeführerin wird deshalb gemäss Art. 61 Bst. d Satz 2 des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) bis 11. September 2013 Gelegenheit zur Stellungnahme sowie zum Rückzug der Beschwerde gegeben."
Die Verfügung war vom Gerichtsschreiber A._ unterzeichnet. Mit Schreiben vom selben Tag, unterzeichnet von B._ in Vertretung von Gerichtsschreiber A._, wurde eine Kopie des "Auszug aus den Minuten des Gerichtsschreibers" vom 20. August 2013 den Parteien zur Kenntnisnahme zugestellt.
B.b. Mit Eingabe vom 11. September 2013 beantragte T._ u.a., sämtliche im Beschwerdeverfahren beteiligten Gerichtspersonen (insbesondere Präsident C._ und Gerichtsschreiber A._) hätten wegen begründeter Besorgnis der Voreingenommenheit in den Ausstand zu treten und das Gericht habe in komplett neuer Besetzung das Beschwerdeverfahren fortzusetzen. Weiter sei der Urteilsvorschlag des referierenden Richters bzw. Gerichtsschreibers anlässlich der Verhandlung vom 20. August 2013 zu edieren; ferner sei schriftlich zu begründen, weshalb der Gerichtsschreiber ausgewechselt worden sei.
Mit Verfügung vom 13. September 2013 trat der Präsident des Versicherungsgerichts auf das Editionsbegehren nicht ein und hielt weiter fest, dass Gerichtsschreiber A._ am 22. August 2013 seinen letzten Arbeitstag am Gericht gehabt habe. Sodann wurde festgestellt, dass vom Ausstandsbegehren neben dem Präsidenten C._ und Gerichtsschreiber A._ Oberrichterin D._, Oberrichter E._ und vermutlich auch Gerichtsschreiberin B._ betroffen seien. Ferner wurde darauf hingewiesen, dass über das Ausstandsbegehren der einzige davon nicht betroffene Richter des Versicherungsgerichts, Oberrichter F._, entscheiden werde.
B.c. Am 10. Oktober 2013 verfügte Oberrichter F._ u.a., es werde festgestellt, dass das Ausstandsbegehren gegen Gerichtsschreiber A._ gegenstandslos sei (Dispositiv-Ziff. 2); das Ausstandsbegehren gegen die am Verfahren und insbesondere an der Verhandlung vom 20. August 2013 beteiligten Richter, C._, D._ und E._, werde abgewiesen (Dispositiv-Ziff. 3).
C.
T._ hat Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht mit dem hauptsächlichen Rechtsbegehren, die Verfügung vom 10. Oktober 2013 sei aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventualiter sei das Ausstandsbegehren vom 11. September 2013 gutzuheissen.
Das kantonale Versicherungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde.
D.
Mit Eingabe vom 17. Dezember 2013 hat der Rechtsvertreter von T._ mitgeteilt, dass das solothurnische Versicherungsgericht das Verfahren bis zum bundesgerichtlichen Urteil über das Ausstandsbegehren sistiert hat.
Erwägungen:
1.
Bei der angefochtenen Verfügung handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law> über ein Ausstandsbegehren (<ref-law>) im Rahmen einer Streitigkeit (Herabsetzung einer Rente der Invalidenversicherung), die der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (<ref-law> und <ref-law>). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig, und es ist darauf einzutreten (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.).
2.
Mit der Sistierung des vorinstanzlich hängigen Verfahrens (Verfügung des Instruktionsrichters vom 12. Dezember 2012) ist das nämliche Gesuch für das bundesgerichtliche Verfahren obsolet.
3.
Die Vorinstanz hat eine Befangenheit der Gerichtspersonen, die im hängigen Beschwerdeverfahren betreffend die Herabsetzung der ganzen Rente auf eine halbe Rente mitwirken bzw. mitgewirkt haben (C._, Präsident, D._ und E._ sowie Gerichtsschreiber A._ und Gerichtsschreiberin B._) verneint bzw. mit Bezug auf A._ als gegenstandslos betrachtet. Die Beschwerdeführerin sieht dadurch u.a. <ref-law> und Bestimmungen des solothurnischen Gesetzes vom 13. März 1977 über die Gerichtsorganisation (GO; GS 125.12) verletzt.
Gemäss <ref-law> hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Dazu gehört auch, dass gegenüber den urteilenden Richtern keine Ausstands- und Ablehnungsgründe bestehen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 338 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3c S. 130).
4.
Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Bundesrecht oder Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b BGG) grundsätzlich frei. Die Regelung des Ausstands von Gerichtspersonen im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht ist eine Frage des kantonalen Rechts. Dessen Auslegung und Anwendung prüft das Bundesgericht von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen lediglich unter dem eingeschränkten Gesichtswinkel des Willkürverbots (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f.). Dagegen prüft es grundsätzlich frei, ob willkürfrei ausgelegtes kantonales Prozessrecht im Ergebnis zu einer Verletzung von Bundes- oder Völkerrecht führt, insbesondere mit der Garantie eines unabhängigen und unparteiischen Gerichts gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, der insoweit nicht weitergeht, vereinbar ist (Urteile 8C_629/2008 vom 3. Dezember 2008 und 9C_836/2008 vom 30. Oktober 2008 E. 2.2 und 3.1 sowie 8C_555/2007 vom 31. Juli 2008 E. 4.1, in: SVR 2009 UV Nr. 2 S. 5 und Nr. 8 S. 30).
5.
5.1. Soweit die Vorinstanz in der angefochtenen Verfügung zu den Vorbringen im Ausstandsgesuch Stellung genommen und dargelegt hat, weshalb sie nicht stichhaltig sind, vermag die Beschwerdeführerin nicht substanziiert darzutun, inwiefern die betreffenden Erwägungen Bundesrecht verletzen sollen. Insbesondere hat die Vorinstanz richtig unter Hinweis auf das Urteil 9C_964/2012 vom 6. Mai 2013 E. 2.2 festgehalten, dass nach kantonalem Recht auch der Instruktionsrichter nach Massgabe von <ref-law> eine reformatio in peius androhen kann. Umso weniger ist es zu beanstanden, wenn - wie hier - das Versicherungsgericht "nach einer vorläufigen Prüfung der Sach- und Rechtslage unpräjudiziell" eine mögliche Schlechterstellung in Betracht zieht und der Beschwerdeführerin das rechtliche Gehör einräumt. Deren Äusserungen wird das Gericht bei seiner definitiven Entscheidfindung gebührend zu berücksichtigen haben, falls sie an ihrer Beschwerde festhält. Die reformatio in peius ist zudem keine Verpflichtung, sondern eine Befugnis des kantonalen Versicherungsgerichts, von der es nur bei eindeutiger Rechtslage und klar ausgewiesener Fehlerhaftigkeit der angefochtenen Verfügung Gebrauch macht (vgl. z.B. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 547/98 vom 28. Juli 1999 E. 2, 3).
5.2. Von vornherein keinen Ausstandsgrund stellt sodann der Umstand dar, dass der Präsident des Versicherungsgerichts und die ebenfalls abgelehnte Gerichtsschreiberin B._ nach Anhängigmachen des Ausstandsbegehrens mit Verfügung vom 13. September 2013 u.a. auf das Begehren um Edition des Urteilsvorschlags des referierenden Richters bzw. Gerichtsschreibers A._ anlässlich der Verhandlung vom 20. August 2013 nicht eintraten. Es handelte sich dabei um einen prozessleitenden Entscheid, der nicht rechtskräftig werden konnte (<ref-ruling> E. 7a S. 138; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 302/96 vom 23. Dezember 1997 E. 7b). Dieser justizielle Akt stand sodann unter dem Vorbehalt späterer Aufhebung, wenn das Ausstandsbegehren erfolgreich sein sollte (Urteil 5A_579/2013 vom 11. November 2013 E. 4.2.2 mit Hinweisen).
6.
Zur Hauptsache rügt die Beschwerdeführerin, bei den als vorbefasst erachteten Personen seien keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Nach Auffassung der Vorinstanz konnte darauf angesichts der klaren Rechtslage verzichtet werden.
6.1. Geht das Ausstandsbegehren von einer Partei aus, ist die abgelehnte Gerichtsperson anzuhören (§ 97 Abs. 1 GO). Wird ein Ablehnungsgesuch offensichtlich in der Absicht gestellt, ein geordnetes Gerichtsverfahren zu verunmöglichen, so kann die nach § 98 zuständige Instanz Nichteintreten beschliessen (§ 99 GO). § 97 Abs. 1 GO ist nach seinem Wortlaut (keine Kann-Bestimmung) eine Gültigkeitsvorschrift. Die abgelehnte Gerichtsperson ist somit grundsätzlich vor dem Entscheid über das Ausstandsbegehren anzuhören. Davon kann unter den tatbeständlichen Voraussetzungen des § 99 GO abgesehen werden. Unter dem Gesichtswinkel der Willkür ist zu prüfen, wie es sich diesbezüglich bei § 97 Abs. 1 GO verhält.
6.1.1. Nach Sinn und Zweck von § 97 Abs. 1 GO dient die Anhörung der abgelehnten Gerichtsperson der Abklärung des Sachverhalts. Diese erhält so die Möglichkeit, das Vorliegen eines Ausstandsgrundes zu akzeptieren oder zu bestreiten. Die Regelung, wonach eine Gerichtsperson zu dem gegen sie erhobenen Vorwurf der Befangenheit Stellung nimmt, kennen auch die Schweizerische Zivilprozessordnung (<ref-law>) und die Strafprozessordnung (<ref-law>) sowie das Bundesgerichtsgesetz (<ref-law>). Dabei geht die Lehre vom grundsätzlich zwingenden Charakter der Stellungnahme der abgelehnten Gerichtsperson aus (vgl. STEPHAN WULLSCHLEGER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2. Aufl. 2013 N. 13 zu <ref-law>; MARC WEBER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 5 zu <ref-law>; DAVID RÜETSCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Band I, Art. 1-149 ZPO, 2012, N. 24 S. 438; Markus Boog, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2011 N. 11 zu <ref-law> [vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 224]; ISABELLE HÄNER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 5 zu <ref-law>). Somit hat, rein formal betrachtet, die Vorinstanz kantonales Recht verletzt.
6.1.2. Das von der Beschwerdeführerin als ausstandsrelevant erachtete Verhalten der erwähnten Gerichtspersonen bezieht sich einzig auf ihre Mitwirkung am Entscheid der Androhung einer reformatio in peius gemäss <ref-law>. Nach der Rechtsprechung erweckt es grundsätzlich keinen Anschein von Befangenheit im Hinblick auf den Endentscheid, wenn ein kantonales Versicherungsgericht mit summarischer Begründung (Urteil 8C_970/2010 vom 12. Januar 2011 E. 4.3) gestützt auf eine vorläufige Würdigung der Beweise (<ref-ruling> E. 4b S. 74) und unter Gewährung des rechtlichen Gehörs der Beschwerde führenden Person eröffnet, dass es eine Schlechterstellung in Betracht zieht (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 8/02 vom 16. Dezember 2002 E. 3.4 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.6 S. 231 ff.). Daran ist festzuhalten. Die gegenteilige Betrachtungsweise würde zur ausstandsrechtlich bedingten Unanwendbarkeit von <ref-law> führen, was abzulehnen ist.
6.2. Vorliegend hat das Gericht nichts anderes getan, als von einer gesetzlichen Befugnis Gebrauch zu machen: mit summarischer Begründung und unter Gewährung des rechtlichen Gehörs nach durchgeführter Verhandlung eine reformatio in peius anzudrohen, wie es <ref-law> und die dazu ergangene ständige Rechtsprechung dem kantonalen Gericht ausdrücklich erlauben. Der Umstand, dass ein Gericht im Rahmen einer solchen gesetzlichen Befugnis handelt, kann nicht zum Anlass genommen werden, den Ausstand zu verlangen. Was der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin vor- und letztinstanzlich vorträgt, beschlägt einzig und allein die - kontroverse - Würdigung der Beweise in der konkreten Verfahrenslage. In diesem Kontext ist die Anhörung nach § 97 Abs. 1 GO gegenstandslos, weil sich das ausstandsrelevante Verhalten der Gerichtspersonen auf ihre Mitwirkung am Entscheid bzw. hier der Androhung der reformatio in peius bezieht. Der Standpunkt der Beschwerde läuft darauf hinaus, dass die Gerichtsperson begründen müssten, warum sie so entschieden hat und nicht anders; sie müsste gleichsam ihre Entscheidung rechtfertigen. Das ist nicht der Rechtssinn der Anhörung zu den geltend gemachten Ausstandsgründen gemäss § 97 Abs. 1 GO, weshalb die Rügen nicht durchdringen. Im Weiteren bestehen keinerlei Anhaltspunkte, dass die verfügte Androhung der reformatio in peius nicht rechtskonform erfolgt wäre. Sämtliche Vorbringen in der Beschwerde vermögen an diesem entscheidenden Punkt nichts zu ändern.
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der IV-Stelle des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Fessler