Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1955 geborene A._ ist Bürger von U._/SZ. Seine seit Oktober 2004 von ihm geschiedene Ehefrau und sein 1990 geborener Sohn leben in Thailand. Am 14. Januar 2007 zog A._ von Thailand kommend nach V._. Im Oktober 2007 reiste er nach Thailand, ohne sich in V._ abzumelden. Am 11. Dezember 2008 kehrte er wieder nach V._ zurück. Da er keine eigene Wohnung hatte und die Stadt V._ über keine Notwohnung verfügte, wurde er vom Sozialamt vorübergehend in der Unterkunft B._ in der Stadt W._ einquartiert. Am 11. Februar 2009 stellte das Sozialamt V._ dem Heimatkanton Schwyz eine Unterstützungsanzeige zu und zeigte einen Kostenersatzanspruch ab 11. Dezember 2008 an. A._ musste die Unterkunft B._ am 12. August 2009 wegen ungebührlichen Verhaltens verlassen. In der Folge logierte er in einer Unterkunft für Obdachlose (Unterkunft C._) in der Stadt W._. Am 19. Dezember 2009 bezog er wiederum ein Zimmer in der Unterkunft B._. Am 11. April 2011 wurde A._ in der Stadt W._ angemeldet, und er wurde ab Mai 2011 von den Sozialen Diensten der Stadt W._ unterstützt. Am 18. September 2011 zog er erneut in die Unterkunft C._. Seit Mai 2012 lebt A._ im Männerheim D._ in der Gemeinde X._/SG.
A.b. Am 17. Juni 2011 ersuchte das Amt für Gesundheit und Soziales des Kantons Schwyz das Amt für Soziales des Kantons St. Gallen um Richtigstellung der Unterstützungsanzeige vom 11. Februar 2009 mit der Begründung, obwohl die Unterbringung in der Unterkunft B._ anfänglich als Übergangslösung gedacht gewesen sei, halte sich A._ mittlerweile dauernd in der Stadt W._ auf. Dagegen erhob der Kanton St. Gallen am 1. Juli 2011 unter Hinweis auf einen hängigen innerkantonalen Zuständigkeitsstreit zwischen den Städten V._ und W._ vorsorglich Einsprache. Das Verwaltungsgericht St. Gallen kam am 13. November 2012 in jenem Verfahren zum Schluss, dass A._ anfangs April 2011 keinen Unterstützungswohnsitz in der Stadt W._ begründet habe, weshalb die politische Gemeinde V._ auch nach April 2011 unterstützungspflichtig sei. Dieser Entscheid blieb unangefochten. Der Kanton St. Gallen präzisierte daraufhin seine Einsprache am 14. Januar 2013 dahingehend, dass A._ in diesem Kanton über keinen Unterstützungswohnsitz verfüge, da er sich bisher durchwegs in Heimen aufgehalten habe. Das Departement des Innern des Kantons Schwyz wies die Einsprachen des Kantons St. Gallen vom 1. Juli 2011 und vom 14. Januar 2013 am 20. Januar 2014 ab und beschränkte die Kostenersatzpflicht des Kantons Schwyz bis 11. August 2011.
B.
Die vom Kanton St. Gallen dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 22. Mai 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt der Kanton St. Gallen, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass A._ im Kanton St. Gallen keinen Unterstützungswohnsitz begründet habe. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese den Zeitpunkt der Begründung des Unterstützungswohnsitzes festlege.
Der Kanton Schwyz schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Der Beschwerdeführer rügt eine unrichtige Anwendung des Bundesgesetzes vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1). Das Zuständigkeitsgesetz ist öffentliches Recht des Bundes im Sinne von Art. 82 lit. a und Art. 95 lit. a BGG. Das Bundesgerichtsgesetz enthält keinen Ausschlussgrund (vgl. <ref-law>).
1.2. Nach <ref-law> kann ein beteiligter Kanton eine Richtigstellung verlangen, wenn ein Unterstützungsfall offensichtlich unrichtig geregelt oder beurteilt worden ist. Der Anspruch auf Richtigstellung besteht nur für Unterstützungsleistungen, die in den letzten fünf Jahren vor dem Begehren ausgerichtet worden sind (Abs. 3). Anerkennt der angegangene Kanton die Richtigstellung nicht, muss er dagegen beim fordernden Kanton Einsprache erheben (<ref-law>). Gegen eine allfällige Abweisung der Einsprache kann bei der zuständigen richterlichen Behörde des Kantons Beschwerde geführt werden (<ref-law>). Der zur Erbringung finanzieller Leistungen verpflichtete Kanton kann gestützt auf <ref-law> Beschwerde ans Bundesgericht erheben (<ref-ruling> E. 2.3 S. 353; Urteil 8C_31/2013 vom 17. Juli 2013 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.3. Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet die Frage der Richtigstellung der Unterstützungspflicht im Falle von A._. Dabei geht es darum festzustellen, ob der Kanton St. Gallen anstelle des Kantons Schwyz für die entsprechenden Kosten aufzukommen hat.
1.4. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen.
2.
Die Richtigstellung wird sinngemäss als ein der Revision nachgebildetes Rechtsinstitut bezeichnet. Sie beschränkt sich indessen nicht auf die klassischen Revisionsgründe. Vielmehr kann ein Kanton die Richtigstellung verlangen, sobald er entdeckt, dass die bisherige Regelung des Falls, auf die sich die Kantone ausdrücklich oder stillschweigend geeinigt hatten, auf einem Sachverhalt beruht, den sie irrtümlich als richtig betrachteten. Aus <ref-law> lässt sich jedoch nicht ein vorbehaltloser Anspruch auf Korrektur sachlich nicht voll befriedigender Unterhaltsregelungen ableiten, mit dem sich die Folgen einer versäumten Rechtsmittelfrist jederzeit rückgängig machen lassen. Vielmehr folgt aus dem in dieser Bestimmung verwendeten Ausdruck "offensichtlich", dass qualifizierte Gründe für eine Richtigstellung sprechen müssen und es nicht ausreicht, wenn sich eine andere Lösung ebenfalls mit sachlichen Erwägungen vertreten lässt (Urteile 2A.714/2006 vom 10. Juli 2007 E. 2.1; 2A.504/1999 vom 9. März 2000 E. 2). Die Beweislast für die Voraussetzungen der Richtigstellung trägt derjenige Kanton, der sie verlangt. Er hat auch die entsprechenden Nachweise zu erbringen (Urteil 2A.714/2006 E. 2.2).
3.
3.1. Die Unterstützung der Schweizer Bürger obliegt in erster Linie seinem Wohnkanton (<ref-law>) und nur in Notfällen oder, wenn es keinen Wohnkanton gibt, dem Aufenthaltskanton (Art. 12 Abs. 2 und Art. 13 ZUG). Ein Kanton wird zum Wohnkanton mit der Begründung des Unterstützungswohnsitzes auf seinem Gebiet (<ref-law>) und verliert diese Eigenschaft mit dem Wegzug des Unterstützungsbedürftigen (<ref-law>). Der Unterstützungswohnsitz entspricht nicht zwingend dem zivilrechtlichen Wohnsitz, er knüpft aber wie dieser am Ort an, wo sich eine Person mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (<ref-law> und <ref-law>). Die polizeiliche Anmeldung gilt als Wohnsitzbegründung, wenn nicht nachgewiesen ist, dass der Aufenthalt schon früher oder erst später begonnen hat oder nur vorübergehender Natur ist (Art. 4 Abs. 2, Art. 9 Abs. 2 ZUG). Weniger stark als im Zivilrecht kommt es auf den Willen des Betroffenen als auf die gesamten Lebensverhältnisse an.
3.2. <ref-law> sieht vor, dass der Aufenthalt in einem Heim, einem Spital oder einer anderen Einrichtung und die behördliche Unterbringung einer volljährigen Person in Familienpflege keinen Unterstützungswohnsitz begründet; der Eintritt eines solchen Sachverhaltes beendigt denn auch einen bestehenden Unterstützungswohnsitz nicht (<ref-law>). Diese Regelung dient unter anderem dem Schutz der Standortkantone und soll dabei den Anreiz nach kantonsexterner Unterbringung unterstützungsbedürftiger Personen verringern (<ref-ruling> E. 3.1.3 S. 25 mit Hinweisen). Die Regelung von Art. 5 und Art. 9 ZUG geht derjenigen von <ref-law> grundsätzlich vor. Der Unterstützungswohnsitz kann sich damit insbesondere bei Heiminsassen vom Ort der tatsächlichen Anwesenheit unterscheiden (8C_79/2010 vom 24. September 2010 E. 7.2 nicht publ. in <ref-ruling>; erwähntes Urteil 2A.714/2006 E. 3.2).
3.2.1. Was "Heim", "Spital" oder "andere Einrichtung" im Sinne des Gesetzes ist, wird in Art. 5 und <ref-law> nicht definiert. Daraus ergibt sich, dass die Anwendung von <ref-law> immer mit Bezug auf den zur Diskussion stehenden Sachverhalt zu prüfen ist, um einer zeitgemässen Interpretation des Heimbegriffs gerecht zu werden. Als Beurteilungskriterium kommen etwa die Art und das Mass der angebotenen Dienstleistungen, der Grad der feststellbaren Fremdbestimmung sowie der Abhängigkeitsgrad der betroffenen Person in Frage (Urteil 2A.603/1999 vom 7. Juni 2000 E. 3a). Gemäss Lehre sind die Begriffe aufgrund der erwähnten Aufzählung, der Entstehungsgeschichte und Sinn und Zweck der Bestimmung zum Schutz der Standortkantone in einem sehr weiten Sinne zu verstehen, indem sie sich nicht nur auf Einrichtungen beziehen, die nach dem täglichen Sprachgebrauch so bezeichnet werden, sondern alle möglichen Versorgungseinrichtungen umfassen, in denen erwachsene Personen zur persönlichen Betreuung oder Pflege, zur ärztlichen oder therapeutischen Behandlung, zur Ausbildung oder Rehabilitation untergebracht werden oder freiwillig eintreten. Es geht somit um Institutionen, die erwachsene Personen aus einem bestimmten Grund oder zu einem bestimmten Zweck aufnehmen ( WERNER THOMET, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl. 1994, Rz. 110).
3.2.2. Als Heime im Sinne von <ref-law> gelten zum Beispiel: Alters- und Pflegeheime, Blindenheime, Bürgerheime, Frauen- oder Männerheime, Aufnahme- oder Wohnheime aller Art, Unterkünfte für Obdachlose, Formen des begleiteten Wohnens, Kur- und Erholungsheime, therapeutische Wohngemeinschaften für psychisch Kranke und/oder Suchtkranke. Keine Heime sind so genannte Alterssiedlungen oder Seniorenresidenzen, deren Bewohner nicht Pensionäre oder Pfleglinge, sondern Wohnungsmieter sind und einen eigenen Haushalt führen, auch wenn der Vermieter ihnen noch gewisse Dienstleistungen, wie eine Gaststätte oder Pflege- und Reinigungspersonal zur Verfügung hält oder sie sich sogar verpflichten müssen, täglich eine Mahlzeit in der Betriebsstätte einzunehmen. Ebenfalls keine Heime sind die Wohngemeinschaften von Senioren oder von jungen Leuten, die gemeinsam eine Wohnung oder ein Haus mieten und darin haushalten ( THOMET, a.a.O., Rz. 111).
3.3. Dem Unterstützungswohnsitz gemäss <ref-law> liegt begriffsimmanent eine räumliche und persönliche Beziehung einer Person zu einer bestimmten Gemeinde zugrunde; dass das Gesetz, seinem Zweck entsprechend, dem Wortlaut nach an den Kanton bzw. Wohnkanton anknüpft, vermag daran nichts zu ändern. Dementsprechend verliert eine Person ihren bisherigen Unterstützungswohnsitz nicht nur, wenn sie aus dem Wohnkanton wegzieht (<ref-law>), sondern auch dann, wenn sie aus dem Ort wegzieht, zu dem sie bis dahin die wohnsitzbegründenden räumlichen und persönlichen Beziehungen hatte. Solange die betreffende Person weder in einem anderen Kanton noch im bisherigen Wohnkanton einen neuen Wohnsitz begründet, besitzt sie in der Regel keinen Unterstützungswohnsitz mehr. Im Gegensatz zum zivilrechtlichen Wohnsitz (vgl. <ref-law>) bleibt der einmal begründete Unterstützungswohnsitz nicht bis zum Erwerb eines neuen bestehen; er endet vielmehr mit dem Wegzug (<ref-law>; Urteile 8C_223/2010 vom 5. Juli 2010 E. 4.1; 2A.420/1999 vom 2. Mai 2010 E. 4b).
3.4. Für die Ermittlung der subjektiven Absicht des dauernden Verbleibens sind alle Elemente der äusserlichen Gestaltung der Lebensverhältnisse zu berücksichtigen. Weder an die Absicht noch an die Dauer des Verbleibens dürfen zu strenge Anforderungen gestellt werden. Bei unsteten Personen bildet bereits der länger andauernde Aufenthalt an einem Ort ein Indiz für die Wohnsitzbegründung. Das Fehlen gefestigter sozialer und ökonomischer Beziehungen ist insbesondere bei suchtkranken Personen typisch und kann für sich allein nicht ausschlaggebend sein. Andernfalls könnten solche Personen kaum je einen Unterstützungswohnsitz begründen (Urteil 8C_79/2010 E. 7.3, nicht publ. in <ref-ruling>). Dass eine Person auf Dauer keinen Unterstützungswohnsitz hat, ist nach der Konzeption des Zuständigkeitsgesetzes zwar grundsätzlich möglich, darf aber nicht leichthin angenommen werden. Dies würde nicht nur dem Sinn und Zweck der Fürsorgegesetzgebung, sondern auch den richtig verstandenen Interessen der bedürftigen Person und der betroffenen Gemeinwesen widersprechen. Es hätte zudem zur Folge, dass dem Heimatkanton eine zeitlich unbefristete Ersatzpflicht gegenüber dem Aufenthaltskanton obläge. Auch das liefe dem mit der Gesetzesrevision von 1990 angestrebten Ziel, im Fürsorgewesen zum Wohnsitzprinzip überzugehen, zuwider. Dieses Ziel gebietet und rechtfertigt vielmehr, die Tatbestände der Ersatzpflicht des Heimatkantons (vgl. Art. 15 bis 17 ZUG) einschränkend auszulegen; den Rückerstattungsanspruch des Wohnkantons etwa hat der Gesetzgeber selber auf zwei Jahre befristet (<ref-law>; erwähntes Urteil 8C_223/2010 E. 4.1 mit Hinweis; zu den geänderten, auf 8. April 2017 in Kraft tretenden Bestimmungen des ZUG, nach welchen die Rückerstattungspflicht des Heimatkantons abgeschafft wird, vgl. den Hinweis in <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 435).
4.
4.1. Die Vorinstanz geht davon aus, dass A._ laut Unterstützungsanzeige der Gemeinde V._ vom 6. Februar 2007 am 14. Januar 2007 von Thailand nach V._ zog. Im Oktober desselben Jahres reiste er, ohne sich in V._ abzumelden, nach Thailand zurück. Von dort kehrte er am 11. Dezember 2008 nach V._ zurück. Seither lebt er ununterbrochen im Kanton St. Gallen. Weiter hat die Vorinstanz erwogen, nach seiner Rückkehr sei A._ von den zuständigen Organen der Stadt V._ nicht deshalb der Unterkunft B._ in der Stadt W._ zugewiesen worden, weil sein Gesundheitszustand eine Unterbringung in einem Heim erfordert hätte, sondern weil er keine Wohnung hatte und das Sozialamt V._ über keine Notwohnung verfügte. Diese Unterbringung sei ausdrücklich als vorübergehend bezeichnet worden. Gemäss Schreiben des Heimleiters vom 21. Juli 2009 habe A._ eine Wohnung in V._ suchen wollen. Die Vorinstanz berücksichtigte weiter, dass das Sozialamt V._ A._ ab dem 1. September 2009 für das Mittagessen in der Gassenküche anmeldete und dabei V._ als Wohn- oder Aufenthaltsgemeinde bezeichnete. Sie kam zum Schluss, dass A._ seinen Lebensmittelpunkt in V._ hatte, wohin er in Krisenzeiten jeweils zurückgekehrte und seinen Wohnsitz begründen wollte. Der polizeilichen Anmeldung in der Stadt W._ kommt laut kantonalem Gericht daher keine massgebende Bedeutung zu.
4.2. Der Kanton St. Gallen stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, mit der Ausreise von A._ nach Thailand im Dezember 2007 habe der Unterstützungswohnsitz in V._ geendet. Seine Wohnung in V._ habe dieser damals aufgegeben. Seine Beziehung zu Thailand, wo seine von ihm geschiedene Frau und sein Sohn lebten, sei enger als jene zu V._. Nach der Rückkehr nach V._ am 11. Dezember 2008 sei A._ von der Polizei in alkoholisiertem Zustand zum Sozialamt gebracht worden. Mit der Unterkunft B._ habe vorübergehend eine Unterkunft gefunden werden können. Schon bald habe sich indessen gezeigt, dass A._ wegen seiner Suchterkrankung Betreuung im Wohnbereich benötige. Seine persönliche Problematik habe ihm keine Wohnsitznahme ermöglicht und damit die Kostenersatzpflicht des Heimatkantons Schwyz nicht auf zwei Jahre begrenzt.
4.3.
4.3.1. Bei A._ handelt es sich um eine Person, welche kaum über gefestigte Beziehungen verfügt. Von seiner in Thailand lebenden Ehefrau ist er geschieden und in der Schweiz verfügt er offensichtlich über keine sozialen und ökonomischen Strukturen. Bei Problemen wandte er sich jeweils an Mitarbeiter des Sozialamtes. Aufgrund dieser Umstände dürfen mit Blick auf die Rechtsprechung, wonach das Fehlen eines Unterstützungswohnsitzes nach der Konzeption des Zuständigkeitsgesetzes nicht leichthin angenommen werden darf und bei unsteten Personen den besonderen Lebensverhältnissen Rechnung zu tragen ist (E. 3.4 hievor), an die Wohnsitzbegründung von A._ keine strengen Anforderungen gestellt werden. Aufgrund der Akten deutet nichts darauf hin, dass dieser nach seiner Rückkehr aus Thailand nicht in der Lage gewesen wäre, selbstständig zu wohnen. Für eine Anmeldung bei der Invalidenversicherung bestand laut behandelndem Arzt im Januar 2009 kein Anlass, und es wurden damals auch keine vormundschaftlichen Massnahmen in Erwägung gezogen. Da A._ in V._ über keine Wohnung verfügte, blieb ihm nichts anderes übrig, als die ihm angebotene Unterkunft B._ in der Stadt W._ zu beziehen. Der Wahl dieser Unterkunft haftet somit insofern etwas Zufälliges an. Es ist anzunehmen, dass der Aufenthalt in der Herberge nicht über einen reinen Wohnzweck hinausging. Da diese Unterbringung lediglich als vorübergehende Lösung gedacht war, wurde A._ vom dortigen Heimleiter aufgefordert, sich um eine anderweitige Wohnmöglichkeit zu bemühen. Laut Unterstützungsanzeige vom 11. Februar 2009 hatte er die Absicht, im Raum St. Gallen eine Wohnung zu suchen. Obwohl er Schritte in diese Richtung unternahm, blieb die Suche erfolglos. Damit einhergehend akzentuierte sich auch die Alkoholproblematik mit der Folge, dass er das Zimmer schliesslich am 12. August 2009 verlassen und in St. Gallen eine Unterkunft für Obdachlose (Unterkunft C._) beziehen musste. Für das Mittagessen meldete ihn das Sozialamt V._ bei der Gassenküche an. Da er nach wie vor keine eigene Wohnung mieten konnte, kehrte A._ am 19. Dezember 2009 wieder in ein Zimmer in der Unterkunft B._ zurück. Die polizeiliche Anmeldung in der Stadt W._ vom 11. April 2011 erfolgte auf Veranlassung der Gemeinde V._, nachdem sich seit Beginn des Jahres die Anordnung vormundschaftlicher Massnahmen abzeichnete.
4.3.2. Als A._ nach einem vorübergehenden Aufenthalt in Thailand nach V._ zurückkehrte, hätte ihn das dortige Sozialamt bei der Wohnungssuche unterstützen (Art. 8 Abs. 1 lit. b des Sozialhilfegesetzes des Kantons St. Gallen vom 27. September 1998 (SHG; sGS 381.1) und ihm damit eine Wohnsitzbegründung ermöglichen müssen, um den Heimatkanton nicht übermässig zu belasten. Zumindest bis Mitte 2009 wäre dies noch möglich gewesen.
4.4. Eine Gesamtwürdigung aller erheblichen Umstände ergibt, dass A._ das Zentrum seiner Lebensverhältnisse in V._ und damit seinen Unterstützungswohnsitz im Sinne von <ref-law> im Kanton St. Gallen hatte. Der Eintritt ins Männerheim D._ in der Gemeinde X._/SG hat diesen Unterstützungswohnsitz nicht beendet (<ref-law>).
5.
Laut Entscheid des Departements des Innern vom 20. Januar 2014 endet die Kostenersatzpflicht des Kantons Schwyz am 11. August 2011. Dieser Zeitpunkt wurde in der Folge nicht beanstandet, weshalb es dabei sein Bewenden hat. Eine Rückweisung der Sache zwecks Feststellung des Zeitpunktes der Begründung des Unterstützungswohnsitzes kann daher unterbleiben. Dies kann auch mit Blick auf <ref-law> gelten. Die Beschwerde ist daher abzuweisen.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig. Der unterliegende Kanton St. Gallen hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>), da es um sein Vermögensinteresse geht und er sich folglich nicht auf <ref-law> berufen kann (erwähntes Urteil 8C_223/2010 E. 5). Hingegen hat der Kanton Schwyz keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da er in seinem amtlichen Wirkungskreis tätig war (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. November 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer