Faits:
A.
Le 25 décembre 2007, X._, ressortissant marocain né en 1983, est arrivé en Suisse.
Le 18 mai 2009, il a enregistré à A._ un partenariat avec Y._, ressortissant français titulaire à l'époque d'une autorisation de séjour UE/AELE (aujourd'hui d'une autorisation d'établissement).
Le 27 juillet 2009, X._ a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour UE/AELE au titre de regroupement familial.
B.
Le 2 avril 2012, le Bureau des étrangers de la Commune de C._ a informé le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population) que Y._ et X._ s'étaient séparés en date du 1er avril 2011.
Sur réquisition du Service de la population, la Police de la région de D._ a entendu les partenaires. Lors de son audition du 7 juillet 2012, Y._ a déclaré que la séparation remontait au mois d'avril 2011. Il a expliqué qu'il avait décidé de rompre, parce que son partenaire l'avait trompé à de nombreuses reprises et qu'ils ne s'entendaient plus. Il a ajouté qu'il avait chargé son avocat d'entamer une procédure de dissolution du partenariat, car son ex-compagnon refusait un accord à l'amiable. Il a invoqué encore qu'il ne s'était personnellement pas mis en partenariat par complaisance, mais qu'il avait des doutes sur les réelles motivations de son partenaire compte tenu du comportement de celui-ci. Lors de son audition le 12 juillet 2012, X._ a déclaré pour sa part que la séparation datait du 12 avril 2012 à son retour du Maroc. Il a expliqué que son partenaire l'avait mis à la porte de l'appartement, parce qu'il aurait rencontré une autre personne. Il a ajouté qu'une procédure de dissolution du partenariat n'était pas envisagée selon lui. Il a contesté enfin s'être mis en partenariat par complaisance.
Le 30 juillet 2012, le Service de la population a informé X._ qu'il envisageait de révoquer l'autorisation de séjour de l'intéressé, au motif que le partenariat n'existait plus que formellement; il l'a invité à faire valoir au préalable d'éventuelles observations. Par décision du 19 décembre 2012, le Service de la population a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de X._, valable jusqu'au 24 décembre 2012, et lui a imparti un délai de trois mois pour quitter la Suisse.
C.
X._, a recouru contre cette décision devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), lequel a rejeté le recours par arrêt du 16 avril 2013.
D.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 16 avril 2013 et de renouveler son autorisation de séjour, subsidiairement, de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
Par ordonnance du 13 mai 2013, le Président de la IIème Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 43).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
En l'espèce, le recourant peut potentiellement tirer un droit de séjourner et travailler en Suisse de son partenariat enregistré avec un citoyen français titulaire d'une autorisation d'établissement - situation assimilée au mariage au regard de l'art. 52 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (ci-après: LEtr ou loi sur les étrangers; RS 142.20) et de la loi fédérale du 18 juin 2004 sur le partenariat enregistré entre personnes du même sexe (LPart; RS 211.231) -, au sens de l'art. 7 let. d de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ci-après: ALCP ou l'Accord sur la libre circulation; RS 0.142.112.681) en relation avec l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 8.3 p. 129). Partant, la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
1.2. Au surplus, le présent recours remplit les conditions des art. 42 et 82 ss LTF et est, par conséquent, recevable.
1.3. Toutefois, dans la mesure où le recourant s'en prend au refus des autorités précédentes de le mettre au bénéfice de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr et de déroger aux conditions d'admission dans le but de tenir compte d'un cas "d'une extrême gravité" (permis dit humanitaire), son recours est irrecevable. En effet, en raison de la nature potestative de cette disposition ("Kann-Vorschrift"), le recourant ne peut tirer aucun droit de cette disposition (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 348). En outre, comme refus de déroger aux conditions d'admission, l'arrêt attaqué ne peut de toute façon pas faire l'objet d'un recours en matière de droit public en vertu de l'art. 83 let. c ch. 5 LTF.
1.4. Le Service de la population a fait parvenir différentes pièces nouvelles au Tribunal fédéral qui ne peut pas les prendre en considération (<ref-law>). Il en va de même de celles produites au cours de la procédure devant le Tribunal fédéral par le partenaire du recourant qui n'est pas partie à la procédure.
2.
Le recourant se prévaut tout d'abord de l'arbitraire dans l'établissement des faits.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, le recourant ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. Il lui appartient d'exposer et de démontrer de manière claire et circonstanciée ces deux conditions par une argumentation répondant aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356 et les arrêts cités). Lorsque le recourant - comme c'est le cas en l'espèce - s'en prend à l'appréciation des preuves et à l'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
2.2. En l'espèce, c'est sous une forme purement appellatoire que le recourant s'en prend à l'état de fait retenu par le Tribunal cantonal. Son grief relatif à une constatation manifestement inexacte des faits est donc irrecevable. Au demeurant, l'autorité cantonale a nié l'existence d'un ménage commun depuis plusieurs mois en se fondant sur des éléments concrets. Ainsi, si le recourant admet une séparation depuis avril 2012, celle-ci remonte selon son partenaire à avril 2011. Le recourant soutient, dans ses écritures, que cette séparation ne serait pas irrémédiable et qu'une réconciliation serait encore possible. Son partenaire a toutefois clairement déclaré, lors de son audition par la police du 7 juillet 2012, qu'il voulait mettre fin au partenariat enregistré et qu'il avait chargé son avocat d'introduire la procédure, dès lors que le recourant refusait un accord à l'amiable. Au moment du jugement cantonal, la séparation durait déjà depuis douze mois. C'est ainsi sans arbitraire que le Tribunal cantonal a retenu que le partenariat enregistré était vidé de sa substance.
3.
3.1. La loi sur les étrangers n'est applicable aux membres de la famille des ressortissants des Etats membres de la Communauté européenne que dans la mesure où l'Accord sur la libre circulation n'en dispose pas autrement ou lorsque la loi fédérale prévoit des dispositions plus favorables (art. 2 al. 2 LEtr).
3.2. Le conjoint d'une personne ressortissant d'une partie contractante ayant un droit de séjour et ses descendants ont le droit de s'installer avec elle (art. 7 let. d ALCP et art. 3 par. 1 et 2 Annexe I ALCP). En cas de séparation des époux ou partenaires enregistrés, il y a cependant abus de droit à invoquer l'<ref-law> lorsque le lien conjugal est vidé de toute substance et que la demande de regroupement familial vise seulement à obtenir une autorisation de séjour pour l'époux du travailleur communautaire (<ref-ruling> consid. 9.4 p. 134; arrêt 2C_880/2012 du 25 janvier 2013 consid. 5.2). En vertu de l'art. 23 al. 1 de l'ordonnance fédérale sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, l'Union européenne et ses Etats membres, ainsi qu'entre les Etats membres de l'Association européenne de libre-échange (OLCP; RS 142.203), les autorisations de séjour de courte durée, de séjour et frontalières UE/AELE peuvent être révoquées ou ne pas être prolongées, si les conditions requises pour leur délivrance ne sont plus remplies.
3.3. En l'occurrence, comme on l'a vu, c'est sans arbitraire que le Tribunal cantonal a constaté que la séparation des partenaires était durable et que la communauté avait cessé d'exister. Par conséquent, le recourant ne peut se prévaloir d'un mariage qui n'existe plus que formellement pour bénéficier des dispositions de l'Accord sur la libre circulation. Il ne peut donc pas tirer de droit de l'art. 3 par. 1 et 2 Annexe I ALCP.
4.
4.1. Le recourant invoque l'art. 49 LEtr. Il reconnaît qu'il habite une partie de la semaine à D._ dans un appartement qu'il qualifie de résidence secondaire mais il prétend utiliser cet appartement pour des raisons professionnelles; il met en avant sa profession d'aide-soignant dans un EMS de D._ et le fait qu'il lui arrive de travailler de nuit.
4.2. Selon l'art. 43 LEtr, le conjoint étranger du titulaire d'une autorisation d'établissement a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité, à condition de vivre en ménage commun avec lui.
L'art. 49 LEtr prévoit une exception à l'exigence du ménage commun lorsque la communauté familiale (ou conjugale) est maintenue et que des raisons majeures justifiant l'existence de domiciles séparés peuvent être invoquées. Les motifs susceptibles de constituer une raison majeure visent des situations exceptionnelles, fondées avant tout sur des raisons d'ordre professionnel ou familiales (cf. arrêt 2C_544/2010 du 23 décembre 2010 consid. 2.1). De manière générale, il appartient à l'étranger d'établir l'existence de raisons majeures au sens de l'art. 49 LEtr, ainsi que le maintien de la communauté familiale en dépit des domiciles séparés.
4.3. L'argumentation du recourant a pour but de démontrer l'existence d'une communauté conjugale. Or, il a déjà été constaté ci-dessus (consid. 2.2) que l'arrêt attaqué a retenu sans arbitraire que le partenariat enregistré était vidé de sa substance. De toutes façons, il est pour le moins étonnant d'avoir une "résidence secondaire" à D._ - résidence secondaire qui est en fait un appartement loué -, lorsqu'on habite C._. En outre, l'argument voulant que cet appartement serait utilisé par le recourant qui s'éviterait ainsi un trajet jusqu'à C._ après son travail n'emporte pas la conviction, D._ et C._ n'étant distants que d'une dizaine de kilomètres.
La communauté conjugale étant rompue, le recourant ne peut tirer de droit à la prolongation de son autorisation de séjour sur la base de l'art. 43 LEtr.
5.
5.1. Selon l'art. 50 al. 1 LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint et des enfants à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité subsiste lorsque l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie (let. a), ou lorsque la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures (let. b). Les raisons personnelles majeures visées à l'al. 1, let. b, sont notamment données lorsque la réintégration sociale dans le pays de provenance semble fortement compromise (art. 50 al. 2 LEtr).
5.2. Le recourant ne se prévaut pas de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr. A juste titre dans la mesure où cette disposition conditionne notamment l'octroi d'une autorisation de séjour après la dissolution de la famille à l'existence d'une union conjugale de trois ans au moins, durée qui vaut de manière absolue (arrêt 2C_748/2011 du 11 juin 2012). Cette condition n'étant, dans le meilleur des cas plaidé par le recourant - 18 mai 2009 à avril 2012 - pas remplie, la norme ne saurait trouver application.
5.3. Selon le recourant, un renvoi au Maroc l'exposerait à un danger grave puisque le code pénal marocain punirait l'homosexualité et que la société marocaine la considérerait comme étant immorale. Cet argument, que le recourant invoque au regard de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr (cf. consid. 1.3), doit être examiné sous l'angle de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
L'homosexualité est effectivement illégale au Maroc et punissable d'emprisonnement. Le recourant a toutefois vécu dans ce pays jusqu'à l'âge de 24 ans sans qu'il prétende que son homosexualité lui aurait alors porté préjudice, ni même qu'il aurait quitté son pays pour cette raison. S'il est certain que celui-ci ne pourra pas afficher publiquement son orientation sexuelle, aucun élément ne démontre qu'il sera dans l'impossibilité de reprendre une vie telle qu'il la menait comme jeune adulte avant son départ pour la Suisse. L'avocat de l'intéressé se contente d'ailleurs d'avancer "qu'une fois le recourant officiellement fiché comme homosexuel, il fera sans aucun doute l'objet de persécutions ou de condamnations pénales". Cette crainte et son statut d'homosexuel ne l'ont, toutefois, nullement empêché, comme l'a relevé le Tribunal cantonal, de se rendre dans son pays après l'enregistrement de son partenariat, sans que cela ne pose de problème. Cet élément permet également de nier le risque concret de persécution au sens de l'art. 3 CEDH, le recourant ne démontrant pas qu'il courrait un risque concret de torture ou de traitement inhumain en cas de retour au Maroc et se contentant, comme susmentionné, d'allégations générales, ce qui est insuffisant (<ref-ruling> consid. 5.4 i.f. et 6.4 p. 73 et 76). Au regard de ce qui précède, l'homosexualité du recourant ne suffit à compromettre gravement la réintégration sociale au Maroc.
Quant aux autres motifs relevés par le recourant, soit sa maîtrise du français, son comportement irréprochable, sa parfaite intégration professionnelle et personnelle, ils ne sont pas pertinents. En effet, l'application de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr requiert des motifs personnels graves exigeant la poursuite du séjour en Suisse (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 395, 229 consid. 3.1 p. 232 et les références citées); la question n'est donc pas de savoir s'il est plus facile pour la personne concernée de vivre en Suisse, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de sa réintégration sociale, au regard de sa situation personnelle, professionnelle et familiale, seraient gravement compromises (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 7), ce qui n'est pas le cas en l'espèce, comme on vient de le voir.
Partant, les conditions de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr ne sont pas remplies.
6.
Le recourant invoque une violation du principe de la proportionnalité tel que concrétisé par les art. 96 LEtr et 8 § 2 CEDH.
6.1. Dans la mesure où le recourant n'entretient plus de liens concrets justifiant une protection avec son partenaire, il ne peut se prévaloir de la protection de l'art. 8 § 1 CEDH. La question de la proportionnalité de la mesure au sens de l'art. 8 § 2 CEDH ne se pose donc pas.
6.2. Le Tribunal cantonal a traité de manière complète et convaincante la question de la proportionnalité au regard de l'art. 96 LEtr, en y intégrant tous les éléments pertinents, au sens de la jurisprudence du Tribunal fédéral et de la Cour européenne des droits de l'homme. Il en va en particulier de l'âge d'arrivée en Suisse (24 ans), de l'absence d'attaches familiales et de l'intégration en Suisse, des racines socio-culturelles et de la famille au Maroc, ainsi que de la problématique de l'homosexualité dans ce pays. Il peut, dès lors, y être renvoyé.
7.
Compte tenu de ce qui précède, le recours en matière de droit public doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 aI. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 8 septembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Jolidon