Sachverhalt:
A.
Die politischen Gemeinden des Kantons Zug haben sich zum "Zweckverband der Zuger Einwohnergemeinden für die Bewirtschaftung von Abfällen" (kurz: Zeba; nachfolgend der Gemeindeverband), zusammengeschlossen. Dieser lässt das Abfallaufkommen in ausserkantonale Kehrichtverwertungsanlagen verbringen, wozu er Verträge mit mehreren Transporteuren unterhält. Hier von Bedeutung sind die X._ AG, U._, die Einwohnergemeinde der Stadt Zug und die Y._ AG, V._. Der Transport der Kehrichtcontainer erfolgt nach der Methode des unbegleiteten kombinierten Verkehrs (UKV). Danach holen die Transporteure die Container am Verladeort ab und befördern diese per Lastwagen bis zum ersten Umschlagsbahnhof ("Vorlauf" des UKV). Dort erfolgt der Umlad von der Strasse auf die Schiene. Alsdann gelangen die Container per Bahn bis zum zweiten Umschlagsbahnhof ("Hauptlauf" des UKV), ehe der "Nachlauf" des UKV (von dort bis zum Entladeort, hier: Kehrichtverwertungsanlage), falls ein solcher überhaupt erforderlich ist, wiederum mit Lastwagen bewältigt wird. Soweit Strassenfahrzeuge im unbegleiteten kombinierten Verkehr - für den Vor- und/oder Nachlauf - eingesetzt werden, haben die Transporteure von Gesetzes wegen die Möglichkeit, die leistungsabhängige Schwerverkehrsabgabe (LSVA) zurückzuverlangen. Nach der Verordnung zur LSVA bedingt dies insbesondere, dass die Ladebehälter oder Sattelanhänger eine Mindestlänge von 5,5 Meter (entsprechend 18 Fuss) aufweisen.
B.
Die Eidgenössische Zollverwaltung (OZD, Abteilung LSVA) kontrollierte im Mai 2011 die vom Gemeindeverband verwendeten Container. Dabei zeigte sich, dass die eingesetzten Ausführungen eine Aussenlänge (unter Ausschluss der Aussenbügel) von 5'343 Millimetern (Typ IES 20) bzw. 5'249 Millimetern (Typ A 24 25 525) erreichen. Die Nachkontrolle durch die RUAG Schweiz AG bestätigte dies. Unter Einbezug der Aussenbügel wären die Längenerfordernisse hingegen erfüllt. Mit Blick auf die Längenmasse von jeweils rund 5,3 Metern eröffnete die Zollverwaltung gegen den Gemeindeverband und die Transporteure Zollstrafuntersuchungen wegen unrechtmässig beanspruchter Rückerstattungen der LSVA, angeblich begangen in den Jahren 2007-2011. Am 30. Mai 2012 erliess die Zollverwaltung gegenüber vier Transporteuren Nachleistungsverfügungen (Art. 12 Abs. 1 und 2 VStrR), deren gesamter Umfang den Betrag von Fr. 352'829.90 erreichte. Davon betroffen waren die X._ AG (für Fr. 125'816.80), die Einwohnergemeinde der Stadt Zug (für Fr. 59'890.45), die Y._ AG (für Fr. 55'321.50) und ein weiteres Transportunternehmen (für Fr. 111'801.15). Mit einer weiteren Nachleistungsverfügung vom selben Tag erklärte die Zollverwaltung den Gemeindeverband solidarisch leistungspflichtig für Fr. 352'829.90. Die Rückerstattung habe, so die Zollverwaltung, auf Ebene der Transporteure zu tieferen Kosten geführt, was letztlich auch dem Gemeindeverband zugute gekommen sei. Deshalb sei der Gemeindeverband solidarisch leistungspflichtig. Alle fünf Parteien erhoben erfolglos verwaltungsinterne Beschwerde (Beschwerdeentscheide vom 4. Februar 2013).
C.
Die X._ AG (Verfahren A-1225/2013), die Y._ AG (A-1380/2013), die Einwohnergemeinde der Stadt Zug (A-1381/2013) und der Gemeindeverband (A-1356/2013), nicht aber der vierte Transporteur riefen das Bundesverwaltungsgericht an. Dieses hiess mit Entscheiden vom 27. März 2014 alle vier Beschwerden gut und hob die Beschwerdeentscheide der Zollverwaltung auf. Es erkannte, Auslegung und Anwendung der Verordnung durch die Zollverwaltung seien zwar nicht zu beanstanden, doch entbehrten die verordnungsgemässen Längenvorschriften einer sachlichen Begründung und seien damit willkürlich.
D.
Mit Eingabe vom 7. Mai 2014 erhebt die Eidgenössische Zollverwaltung beim Bundesgericht in allen vier Fällen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Hinsichtlich des Gemeindeverbandes beantragt sie, dieser sei für Schwerverkehrsabgaben von Fr. 352'829.90 leistungspflichtig zu erklären; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Während die Vorinstanz auf eine Vernehmlassung verzichtet, reicht der Gemeindeverband eine ausführliche Beschwerdeantwort ein und schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Entscheiden vom 18. Juli 2015 heisst das Bundesgericht die Beschwerden der Eidgenössischen Zollverwaltung bezüglich der Einwohnergemeinde der Stadt Zug (Verfahren 2C_422/2014), der X._ AG (2C_424/2014) und der Y._ AG (2C_425/2014) gut und bestätigt es den Beschwerdeentscheid der Eidgenössischen Zollverwaltung vom 4. Februar 2013.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 92; <ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 4 S. 26; <ref-ruling> E. 3 S. 329).
1.2.
1.2.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen verfahrensabschliessenden Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Er kann beim Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG).
1.2.2. Streitgegenstand ist die Bemessung der leistungsabhängigen Schwerverkehrsabgabe (LSVA) der Jahre 2007-2011. Dementsprechend finden in der Sache das Bundesgesetz vom 19. Dezember 1997 über eine leistungsabhängige Schwerverkehrsabgabe (SVAG; SR 641.81) und die Verordnung vom 6. März 2000 über eine leistungsabhängige Schwerverkehrsabgabe (SVAV; SR 641.811) Anwendung. Die funktionelle Zuständigkeit für Veranlagung und Bezug der LSVA liegt bei der Eidgenössischen Zollverwaltung (Art. 10 Abs. 1 SVAG in Verbindung mit Art. 5 lit. a Ziff. 2 und insbesondere Art. 8 Abs. 1 SVAV [Fahrzeuge, die im unbegleiteten kombinierten Verkehr eingesetzt werden]). Nachdem Art. 63 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 22. März 1974 über das Verwaltungsstrafrecht (VStrR; SR 313.0) bezüglich der Verfahren über die Leistungs- und Rückleistungspflicht (Art. 12 VStrR) an die Zuständigkeit in der Hauptsache anknüpft, liegen auch derartige Verfahren in der Kompetenz der Zollverwaltung. Im Recht der LSVA finden sich bezüglich des Verfahrens vor Bundesgericht keine abweichenden Bestimmungen (Art. 23 Abs. 4 SVAG bzw. Art. 116 Abs. 4 des Zollgesetzes vom 18. März 2005 [ZG; SR 631.0], der aufgrund von <ref-law> massgebend ist).
1.2.3. Die Eidgenössische Zollverwaltung ist damit zur vorliegenden Beschwerde legitimiert (<ref-law> und Art. 4 Abs. 1 i. V. m. Art. 14 Abs. 2 lit. c der Organisationsverordnung vom 17. Februar 2010 für das Eidgenössische Finanzdepartement [OV-EFD; SR 172.215.1]; Urteil 2C_723/2013 vom 1. Dezember 2014 E. 1.2.4, in: ASA 83 S. 413). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung verfügt das Bundesgericht über volle Kognition und wendet es das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Das Bundesgericht ist daher weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 2 S. 89 unten; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
1.4.
1.4.1. Trotz der Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>) untersucht das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 308 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, es sei denn, die rechtlichen Mängel lägen geradezu auf der Hand (<ref-ruling> E. 2 S. 88 ff.). Die Verletzung von Grundrechten (Art. 7-34 BV, nebst den übrigen verfassungsmässigen Rechten der BV [<ref-ruling> E. 6.1 S. 31; <ref-ruling> E. 2 S. 640] und den Rechtsansprüchen der EMRK [<ref-ruling> E. 4.3 S. 106]), von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht das Bundesgericht nur, soweit eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.4.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Zudem muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein, was in der Beschwerde klar und substanziiert aufzuzeigen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 100).
1.5. Die Gesetzgebung über das Bundesgericht sieht keine Anschlussbeschwerde vor (<ref-ruling> E. 2.1 S. 110; Urteil 2C_160/2014 vom 7. Oktober 2014 E. 2.3, in: ASA 83 S. 301). Will eine Partei das vorinstanzliche Urteil anfechten, hat sie innerhalb der Frist von <ref-law> eine Beschwerde einzureichen. Unterlässt sie dies, kann sie in ihrer Beschwerdeantwort lediglich auf Abweisung der von dritter Seite erhobenen Beschwerde schliessen (Urteile 2C_941/2012 vom 9. November 2013 E. 1.8.2, in: ASA 82 S. 375, StR 69/2014 S. 207; 2C_738/2012 vom 27. November 2012 E. 1.2). Zulässig ist, Gründe anzuführen, welche die Vorinstanz nicht in Erwägung gezogen hat (Urteil 2C_77/2012 vom 31. August 2012 E. 1.3). Anträge und Begründungen, die über die Abweisung der Drittbeschwerde hinausgehen, sind hingegen unzulässig (Urteil 2C_77/2012 vom 31. August 2012 E. 1.3, in: StE B 73.12 Nr. 10).
2.
2.1. Gemäss <ref-law> kann der Bund auf dem Schwerverkehr eine leistungs- oder verbrauchsabhängige Abgabe erheben, soweit der Schwerverkehr der Allgemeinheit Kosten verursacht, die nicht durch andere Leistungen oder Abgaben gedeckt sind. Der Reinertrag der Abgabe wird zur Deckung von Kosten verwendet, die im Zusammenhang mit dem Strassenverkehr stehen (<ref-law>). Die maximal zulässigen Abgabesätze finden sich nicht in der Verfassung, sondern in Art. 40 des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Gemeinschaft über den Güter- und Personenverkehr auf Schiene und Strasse (LVA; SR 0.740.72; dazu KLAUS A. VALLENDER/PETER HETTICH, in: Bernhard Ehrenzeller/Benjamin Schindler/Rainer J. Schweizer/Klaus A. Vallender [Hrsg.], Die Schweizerische Bundesverfassung, 3. Aufl., 2014, N. 5 ff. und 15 zu <ref-law>).
2.2.
2.2.1. Verfassung und Gesetz verfolgen mit der LSVA mehrere Ziele (Botschaft vom 11. September 1996 zu einem Bundesgesetz über die leistungsabhängige Schwerverkehrsabgabe, BBl 1996 V 521 [nachfolgend Botschaft SVAG ], insb. 524 zu Ziff. 12; <ref-ruling> E. 2.2 S. 340) : Zum einen soll der Schwerverkehr mittels der LSVA die betriebswirtschaftlichen Kosten ("Wegekosten") und sozialen Zusatzkosten ("externe Kosten") langfristig decken, soweit er für diese nicht bereits durch andere Leistungen oder Abgaben aufkommt ( Kostenanlastungsziel gemäss Art. 1 Abs. 1 SVAG). Zum andern dient die LSVA dazu, die Rahmenbedingungen der Schiene im Transportmarkt zu verbessern und die Güter vermehrt mit der Bahn zu befördern ( Umlagerungsziel gemäss Art. 1 Abs. 2 SVAG; dazu Vallender/ Hettich, a. a. O., N. 11 ff., insb. 13 f. zu <ref-law>, und Michael Beusch, Lenkungsabgaben im Strassenverkehr, 1999, S. 210 f.). Alsdann dient der Ertrag der LSVA auch der Realisation bestimmter Eisenbahngrossprojekte ( Finanzierungsziel gemäss Art. 196 Ziff. 3 Abs. 2 lit. b und Abs. 5 BV bzw. Art. 19 Abs. 2 SVAG; Beusch, a. a. O., S. 211).
2.2.2. Der Bundesrat würdigt die LSVA insgesamt als (reine) Kausalabgabe (Botschaft SVAG, 545 zu Ziff. 422; 547 zu Ziff. 424, Art. 7), und zwar als Benützungsgebühr. Die Lehre ist diesbezüglich geteilt (dazu namentlich Beusch, a. a. O., S. 216 ff.; Vallender/Hettich, a. a. O., N. 19 f. zu <ref-law> mit Hinweisen; ausführlich Hansjörg Seiler, Kommentar USG, N. 10-14 der Vorbemerkungen zu Art. 35a-35c USG). Entsprechend dem Wortlaut von Art. 2 SVAG wird die LSVA "für die Benützung der öffentlichen Strassen" erhoben, und zwar auf den im In- und Ausland immatrikulierten schweren Motorfahrzeugen und Anhängern für den Güter- oder den Personenverkehr (Art. 3 SVAG). Von dieser Regel bestehen die in Art. 4 SVAG genannten Ausnahmen und Befreiungen, darunter für Fahrten im unbegleiteten kombinierten Verkehr. Liegen die Voraussetzungen des "UKV-Privilegs" vor, bleibt es zwar grundsätzlich bei der leistungsabhängigen Abgabepflicht, doch besteht Anspruch auf Erstattung einer Pauschale (Art. 4 Abs. 3 Satz 1 SVAG). Im jeweiligen Einzelfall kann die Pauschale die leistungsabhängige Abgabe übertreffen oder unterschreiten.
2.2.3. Die Sonderregelung für Fahrten im unbegleiteten kombinierten Verkehr ist vor dem Hintergrund des Lenkungsziels zu sehen. In den beiden verfassungsunmittelbaren Verordnungen vom 12. September 1984 über die (pauschale) Schwerverkehrsabgabe (SVAV 1984; AS 1984 1026; gestützt auf den bis 31. Dezember 1994 befristeten Art. 17 UebBest. aBV in der Fassung vom 26. Februar 1984) und vom 26. Oktober 1994 über die Schwerverkehrsabgabe (SVAV 1994; AS 1994 2509; gestützt auf Art. 21 UebBest. aBV in der Fassung vom 20. Februar 1994) finden sich noch keine Sonderbestimmungen zum UKV. Auch in der ursprünglichen Fassung des SVAG vom 19. Dezember 1997 fehlen solche. Der heutige Art. 4 Abs. 3 SVAG gelangte erst aus Anlass des Bundesgesetzes vom 8. Oktober 1999 zur Verlagerung von alpenquerendem Güterschwerverkehr auf die Schiene (AS 2000 2864; BBl 1999 6128) ins Gesetz. Vorangegangen waren "kontroverse Reaktionen" im Vernehmlassungsverfahren (Botschaft vom 23. Juni 1999 zur Genehmigung der sektoriellen Abkommen zwischen der Schweiz und der EG, BBl 1999 6128 [nachfolgend Botschaft sektorielle Abkommen ], insb. 6175 f.).
2.2.4. Der Bundesrat kam in der Folge zum Schluss, es widerspräche der Zielsetzung der LSVA, "wenn der Vor- und Nachlauf des unbegleiteten kombinierten Verkehrs mit der vollen LSVA belastet würden" (BBl 1999 6298). Eine vollständige Befreiung auf der gesamten Vor- und Nachlaufstrecke dürfte aber, so die Einschätzung des Bundesrats, "negative Auswirkungen auf den übrigen Güterverkehr haben". Nach vertiefter Analyse stehe "eine Pauschalbefreiung im Umfang einer pauschal festgelegten Distanz (z. B. 40 km) und pro im Vor- bzw. Nachlauf transportiertem Container im Vordergrund". Er, der Bundesrat, werde die "genaue Ausgestaltung dieser Massnahme in Zusammenarbeit mit den direkt betroffenen Instanzen regeln" (BBl 1999 6298; Urteil 2A.71/2003 vom 6. Februar 2004 E. 1.2 und 6).
2.2.5. Im Anschluss an Art. 4 Abs. 3 SVAG in der Fassung vom 8. Oktober 1999 erliess der Bundesrat am 6. März 2000 die Art. 8 ff. SVAV ("Fahrten im unbegleiteten kombinierten Verkehr"). In Art. 9 Abs. 2 SVAV bestimmte er:
"Die Ladebehälter müssen eine Mindestlänge von 5,5 m oder 18 Fuss und eine Mindestbreite von 2,1 m oder 7 Fuss aufweisen."
Unter Ladebehältern, von welchen die Norm spricht, sind Container und Wechselaufbauten zu verstehen (Art. 9 Abs. 1 SVAV). Zur Rückerstattung der LSVA hielt der Bundesrat in Art. 8 Abs. 2 SVAV (in der Fassung vom 15. September 2004 [AS 2004 4525]) fest:
"Pro Ladebehälter oder Sattelanhänger, der von der Strasse auf die Bahn oder das Schiff oder von der Bahn oder dem Schiff auf die Strasse umgeschlagen wird, beträgt die Rückerstattung:
a. für Ladebehälter oder Sattelanhänger mit einer Länge zwischen 5,5 und 6,1 m oder zwischen 18 und 20 Fuss Fr. 23.-- b. für Ladebehälter oder Sattelanhänger mit einer Länge über 6,1 m oder über 20 Fuss (Fassung vom 12. September 2007) Fr. 35.--"
Der Bundesrat hat die Ansätze seither leicht erhöht. In der geltenden Fassung vom 12. September 2007 betragen sie 24 bzw. 37 Franken.
2.3.
2.3.1. Ist der Bundesrat unmittelbar durch eine Delegationsnorm im Gesetz (<ref-law>) dazu ermächtigt, erlässt er rechtsetzende Bestimmungen in der Form der Rechtsverordnung (<ref-law>). Die Delegationsnorm findet sich regelmässig im Gesetz (unselbständige Verordnungen mit gesetzesergänzender Funktion), ausnahmsweise unmittelbar in der Verfassung (selbständige Verordnungen mit gesetzesersetzender Funktion). Selbst wenn der Verfassungs- oder Gesetzgeber davon abgesehen hat, der Exekutive ausdrückliche Legislativfunktionen zu übertragen, ist es dennoch Sache des Bundesrats, die Gesetzgebung zu vollziehen (<ref-law>). Hierzu kann er verfassungsunmittelbar die erforderlichen Rechtsverordnungen erlassen (selbständige Verordnungen mit gesetzesvollziehender Funktion; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 463 f.; nun auch Urteil 2C_146/2014 vom 30. März 2015 E. 3.3, zur Publikation vorgesehen).
2.3.2. Vor dem Hintergrund dieser Kompetenzausscheidung kann das Bundesgericht Rechtsverordnungen des Bundesrates auf ihre Rechtmässigkeit hin überprüfen (Urteil 2C_146/2014 vom 30. März 2015 E. 3.4). Sind Auslegung und Anwendung einer bundesrätlichen Rechtsverordnung im konkreten Einzelfall nicht zu beanstanden, so kann das Bundesgericht daher untersuchen, ob die Verordnung als solche bundesrechtskonform ist (vorfrageweise bzw. konkrete Normenkontrolle; <ref-law>). Die bundesgerichtliche Kontrolle bezieht sich zunächst auf die Gesetzmässigkeit, alsdann - bei gegebener Gesetzmässigkeit - auf die Verfassungsmässigkeit der Rechtsverordnung (Geltungskontrolle gemäss <ref-law>). Die Frage der Verfassungsmässigkeit stellt sich indes nur insoweit, als der Gesetzgeber nicht den Bundesrat mit hinreichender Bestimmtheit ermächtigt hat, auf Verordnungsstufe von der Bundesverfassung abzuweichen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 463; zit. Urteil 2C_146/2014 vom 30. März 2015 E. 3.4). Das Bundesgericht kann diesen Fragen mit freier Kognition nachgehen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7.1 S. 30). Inhaltlich beschränkt die Kontrolle sich auf jenen Aspekt der Verordnung, der gerügt und entscheidwesentlich ist. Zeigt sich, dass die Rechtsverordnung insgesamt oder teilweise dem Bundesgesetz oder der Bundesverfassung widerspricht, bleibt die angefochtene generell-abstrakte Norm zwar weiterhin in Kraft, doch ist der darauf beruhende individuell-konkrete Anwendungsakt aufzuheben (Urteil 2C_1174/2012 vom 16. August 2013 E. 1.7.1 und 1.7.4, in: ASA 82 S. 146 und 502, ZBJV 150/2014 S. 791).
2.3.3. Bei Vollziehungsverordnungen (<ref-law>) besteht die Aufgabe der Exekutive darin, die Bestimmungen des Gesetzes durch Detailvorschriften näher auszuführen und dadurch zur verbesserten Anwendbarkeit des Gesetzes beizutragen. Unzulässig ist, die auszuführende Gesetzesbestimmung abzuändern oder aufzuheben. Die Verordnung darf daher weder die Rechte der Rechtsunterworfenen (zusätzlich) beschränken noch ihnen (weitere) Pflichten auferlegen, und zwar auch dann nicht, wenn dies durch den Gesetzeszweck an sich gedeckt wäre. Ebenso wenig darf eine gesetzgeberisch gewollte Unbestimmtheit des Gesetzes bereinigt werden. Zulässig ist jedoch, untergeordnete Gesetzeslücken mit einer Verordnungsbestimmung zu schliessen, die dem Sinn der lückenhaften Gesetzesbestimmung folgt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 463).
2.3.4. Darüber hinaus klärt das Bundesgericht auf Rüge hin, ob die Verordnung aus anderen (als gewaltenteilungsrechtlichen) Gründen gesetz- oder verfassungswidrig ist. Ein Erlass ist rechtsung leich, wenn er hinsichtlich einer entscheidwesentlichen Tatsache rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 324; <ref-ruling> E. 5.3 S. 125; <ref-ruling> E. 4.1 S. 5; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 127 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 13 f.). Ein Erlass ist willkürlich, wenn er sich auf keine ernsthaften sachlichen Gründe stützen lässt oder sinn- und zwecklos ist (<ref-ruling> E. 7.1 S. 30; <ref-ruling> E. 3.1 S. 44; <ref-ruling> E. 4.1 S. 163; <ref-ruling> E. 4.2 S. 6).
2.3.5. Verfügt der Bundesrat aufgrund der gesetzlichen Delegation über einen weit gefassten Spielraum für die inhaltliche Ausgestaltung der unselbständigen Verordnung, ist dieser Freiraum für das Bundesgericht und die anderen rechtsanwendenden Behörden verbindlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5 S. 310; <ref-ruling> E. 5.2 S. 197; <ref-ruling> E. 6.6 S. 312; <ref-ruling> E. 3.1 S. 259). Das Bundesgericht schreitet nur korrigierend ein, wenn die Verordnung den Rahmen der delegierten Kompetenzen offensichtlich sprengt (BGE <ref-ruling> E. 5.8 S. 198; Urteile 2C_146/2014 vom 30. März 2015 E. 3.4; 2C_1174/2012 vom 16. August 2013 E. 1.7.2 je mit Hinweisen). Dies schliesst insbesondere aus, dass das Bundesgericht sein eigenes Ermessen an die Stelle desjenigen der Exekutive setzt und eine eigentliche Angemessenheitskontrolle vornimmt. Die Zweckmässigkeit der getroffenen Anordnung entzieht sich daher einer gerichtlichen Kontrolle, zumal die erforderliche Sachkenntnis beim Bundesrat liegt. Darüber hinaus kann der Bundesrat sich auch zulässigerweise von Zweckmässigkeitsüberlegungen leiten lassen, für die er allein die politische Verantwortung trägt. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, sich zur wirtschaftlichen, politischen oder anderweitigen Sachgerechtigkeit zu äussern. Dies schliesst nicht aus, dass einer gerügten Verordnungsbestimmung im konkreten Einzelfall die Anwendung zu versagen ist, wenn es sich zeigt, dass sie im Widerspruch zum Verhältnismässigkeitsprinzip steht (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 5.8 S. 198 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 463 f.).
3.
3.1. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>), die im Übrigen unbestritten sind, verhält es sich hinsichtlich der Aussenmasse der beiden streitbetroffenen Containertypen wie folgt: Wird das Aussenmass (hier: die Länge) als Distanz zwischen Front- und Heckkante verstanden, wird die verordnungsgemäss erforderliche Mindestlänge von 18 Fuss nicht erreicht. Anders verhält es sich nur, wenn auch die Aussenbügel einbezogen werden.
3.2.
3.2.1. Die Vorinstanz erwägt, die in Art. 9 Abs. 2 und Art. 8 Abs. 2 lit. a SVAV vorgesehene Mindestlänge beziehe sich auf die "Länge über Kanten", also unter Ausschluss der front- und heckseitig angebrachten, abnehmbaren Bügel. Im unilateralen Recht fehlten Angaben zum Vorgehen. Daher seien die branchenspezifischen Messmethoden heranzuziehen. Die einschlägigen ISO-Normen (Norm 668 in den Fassungen 1995 und 2013) sähen, so die Vorinstanz weiter, eine Messung von Kante zu Kante vor, weshalb etwaige Bügel ausser Betracht zu bleiben hätten. Die Norm EN 284 halte die Höchstlänge der Wechselbehälter fest, wobei etwaige Bügel - der Skizze zufolge - ausser Betracht fielen. Gleich verhalte es sich nach dem UIC-Kodex 591. Vor dem Hintergrund der drei Regelwerke erübrige sich die beantragte Befragung einer sachverständigen Person. Entgegen den Ausführungen des Gemeindeverbandes bestehe keine technische Notwendigkeit zur Verwendung von Bügeln, zumal der Einsatz von Fahrzeugen mit Hakengeräten auf dem Gelände der Kerichtverbrennungsanlage ohnehin verboten sei. Mit Blick auf diese Einschätzung schliesst die Vorinstanz, die eingesetzten Container verfehlten die erforderliche Mindestlänge (gemessen von Kante zu Kante), weshalb eine Rückerstattung der LSVA ausser Betracht falle.
3.2.2. Der Gemeindeverband hält dem zunächst entgegen, Fahrzeuge mit Hakengeräten seien ebenso gebräuchlich wie Fahrzeuge mit Kettengeräten. Universell einsetzbare Container müssten beiden Systemen genügen. Die Bügel bildeten einen "Systembestandteil des Containers" und seien im Hakensystem für den Umlad von der Strasse auf die Schiene und umgekehrt unerlässlich. Wenn die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung erwäge, für die Anhörung einer sachverständigen Person bestehe kein Grund, verstosse dies gegen das Bundesrecht.
3.2.3. Mit dem Gemeindeverband ist festzuhalten, dass dem Bundesrecht - insbesondere Art. 9 Abs. 2 SVAV und Art. 8 Abs. 2 lit. a SVAV - keine Präferenz für eines der beiden Systeme zu entnehmen ist. Ob der Verlad von der Strasse oder auf die Strasse horizontal (Kettengerät) oder vertikal (Hakengerät) geschieht, ist abgaberechtlich von keiner weiteren Bedeutung. Mit Art. 9 Abs. 2 SVAV setzte der Bundesrat lediglich eine typenunabhängige Mindestgrundfläche der Ladebehälter fest. Diese haben eine Mindestlänge von 5,5 m oder 18 Fuss und eine Mindestbreite von 2,1 m oder 7 Fuss aufzuweisen.
3.2.4. Fehlen landesrechtliche Vorgaben zum Messverfahren, bestehen aber gefestigte, teils weltweit anerkannte Regelwerke, drängt sich eine Lückenfüllung mittels dieser Normen auf, es sei denn, diese stünden Sinn und Zweck des Landesrechts entgegen. Davon kann keine Rede sein. Es greift insbesondere zu kurz, wenn der Gemeindeverband geltend macht, der unbegleitete kombinierte Verkehr in der hier vorliegenden Form spiele sich ausschliesslich im Binnenverkehr ab. Der Gemeindeverband übersieht, dass dem Gesetz der Gedanke der technischen Interoperabilität und der politischen "EU-Kompatibilität" innewohnt (hinten E. 4.2.1). Weshalb der Bundesrat gerade im Bereich des "UKV-Privilegs" einen Helvetismus angestrebt haben sollte, bleibt unklar. Die Verordnungsbestimmung ist insofern schlüssig, selbst wenn sie die zu befolgende Messmethode nicht ausdrücklich regelt. Ein Verstoss gegen das Legalitätsprinzip, von welchem der Gemeindeverband spricht, ist nicht ersichtlich.
3.3. Auslegung und Anwendung des Verordnungsrechts erweisen sich als rechtmässig.
4.
4.1. Die Vorinstanz unterzieht die Rechtmässigkeit von Art. 8 Abs. 2 lit. a SVAV einer umfassenden Prüfung. Sie erwägt, Art. 4 Abs. 3 SVAG könne nicht dahingehend verstanden werden, dass die Rückerstattung der LSVA von bestimmten Längenvorgaben abhängen soll (angefochtener Entscheid E. 4.3.3). Auch mit Blick auf das Verlagerungsziel fehlten sachliche Gründe für eine Längenvorschrift. Das streitbetroffene Verordnungsrecht erweise sich mithin als willkürlich (angefochtener Entscheid E. 4.3.4).
4.2.
4.2.1. Ausgangspunkt bildet Art. 4 Abs. 3 Satz 2 SVAG, wonach der Bundesrat "die Einzelheiten" regelt. Welche Stossrichtung er dabei einzuschlagen hat, bleibt bei einer rein grammatikalischen Auslegung zwar offen. Mit der Gesetzesvorlage hatte der Bundesrat aber die Absicht verbunden, insgesamt auf die "europäischen Entwicklungen" und auf die "technischen Möglichkeiten zur Umsetzung" Rücksicht zu nehmen. Der Bundesrat hielt es denn auch für angezeigt, "im Gesetz nur diejenigen Elemente festzuhalten, welche aus abgabenrechtlicher Sicht unbedingt erforderlich sind" (Botschaft SVAG, 528 zu Ziff. 173 unter dem Titel "'Schlankes' Bundesgesetz"). Der Gesetzgeber folgte dem Bundesrat und liess es dabei bewenden, was nichts daran ändert, dass die Minimalerfordernisse im Sinne von <ref-law> gewahrt sind. Häufig arbeitet der Gesetzgeber sodann mit "Kann"-Vorschriften, was dem Bundesrat einen beträchtlichen Handlungsspielraum verschafft. Zu denken ist etwa an Art. 4 Abs. 1 (Befreiungen), Art. 5 Abs. 2 (solidarisch haftbare Personen), Art. 6 Abs. 2 und 3 (Sonderfälle der Bemessung), Art. 8 Abs. 2 (Staffelung der Einführung des Tarifs), Art. 9 (Pauschalierung) und Art. 11 Abs. 2 SVAG (Erfassungsgeräte).
4.2.2. Die angestrebte normative Undichte des Gesetzes ist für das Bundesgericht und die anderen rechtsanwendenden Behörden massgebend (<ref-law>; vorne E. 2.3.5). Zwangsläufig verlagert der Gesetzgeber bei dieser Technik wesentliche Teilgehalte auf die Verordnungsstufe. Ähnlich wie schon unter Herrschaft der Verordnungen von 1984 und 1994 zur pauschalen Schwerverkehrsabgabe, die unmittelbar auf der Verfassung beruhten (vorne E. 2.2.3), verfügt der Bundesrat auch weiterhin über einen erheblichen Handlungsspielraum (vgl. Urteil A.658/1986 vom 7. Mai 1987 E. 4a [zur SVAV 1984]). Zu den "Ausnahmen und Befreiungen" (Art. 4 E-SVAG) hielt der Bundesrat in der Botschaft einzig fest, es handle sich dabei um eine Delegationsnorm. Ihm, dem Bundesrat, stehe es zu, weitere Befreiungen oder Vergünstigungen vorzunehmen, wobei auch diese restriktiv zu handhaben seien, "indem der Grundsatz der Kostendeckung zu beachten ist" (a. a. O., 546 zu Ziff. 423). Die Delegation der Rechtsetzungsbefugnisse in Art. 4 E-SVAG unterliege folglich Schranken, "die das Anwendungsfeld eng begrenzen und konkretisieren " (a. a. O., 556 zu Ziff. 82).
4.2.3. Abs. 3 von Art. 4 SVAG gelangte erst aus Anlass des Verkehrsverlagerungsgesetz vom 8. Oktober 1999 ins SVAG (vorne E. 2.2.3). Er behandelt eine Sonderkonstellation und enthält eine "Muss"-Vorschrift. Im Unterschied insbesondere zu Abs. 1 verleiht Abs. 3 schon auf Gesetzesebene einen Rechtsanspruch, ermächtigt aber den Bundesrat zur Regelung der Einzelheiten. Nichts deutet darauf hin, dass der Bundesrat nicht auch das "UKV-Privileg" restriktiv verstanden haben wollte. Er visierte zwar eine gewisse Entlastung des Vor- und Nachlaufs an (keine Belastung mit der "vollen LSVA"), suchte dabei aber negative Auswirkungen auf den "übrigen Güterverkehr" zu vermeiden (auch dazu vorne E. 2.2.3 und 2.2.4). Wie die Zollverwaltung überzeugend vorträgt, ging es dabei um die Abgrenzung von unbegleitetem kombinierten Verkehr (privilegiert zu behandeln) und herkömmlichem Wagenladungsverkehr (keine Privilegierungsabsicht). Auch aus diesem Grund schickte der Bundesrat einen Vorentwurf zu Art. 8 ff. SVAV in die Vernehmlassung, der die Rückerstattung ausdrücklich den grösseren Volumina (20- und 40-Fuss-Container) vorbehalten wollte. Die SBB haben dieses Gesetz nachdrücklich begrüsst, wogegen etwa der Verband der Anschlussgeleise- und Privatgüterwagenbesitzer (VAP) und weitere Verbände im Bereich des öffentlichen Verkehrs eine kritische Haltung einnahmen.
4.2.4. Den geäusserten Bedenken trug der Bundesrat dahingehend Rechnung, dass Art. 9 Abs. 2 und im Nachgang dazu auch Art. 8 Abs. 2 lit. a SVAV nunmehr eine Länge "zwischen 18 und 20 Fuss" vorschreiben. Ausgeschlossen blieben kleinere, oft den individuellen Transportbedürfnissen angepasste und im klassischen Wagenladungsverkehr eingesetzte Behältnisse. Schon aus der Entstehungsgeschichte von Art. 4 Abs. 3 SVAG ergibt sich, dass die Transporteure eine Rückerstattung der LSVA "pro umgeschlagenen Container" erhalten sollten (Botschaft sektorielle Abkommen, insb. 6298 zu Ziff. 262.33, lit. C). Dass der Ansatz "pro Container" eine gewisse Mindestgrösse voraussetzt, liegt auf der Hand. Die Abgrenzung von unbegleitetem kombinierten Verkehr und Wagenladungsverkehr zieht sich im Übrigen wie ein roter Faden durch die schweizerische Verkehrspolitik. Der Bundesrat hat sich erst jüngst wieder mit den beiden Erscheinungsformen auseinandergesetzt (Botschaft vom 30. April 2014 zur Totalrevision des Gütertransportgesetzes, BBl 2014 3827 [nachfolgend Botschaft neues Gütertransportgesetz ], insb. 3854 f.) und dabei festgehalten (Auszeichnungen durch das Bundesgericht) :
"Wagenladungsverkehr (WLV) : Die Güterwagen im Wagenladungsverkehr sind grundsätzlich an das Transportgut angepasst. Das Transportgut wird direkt in die Güterwagen verladen. Beispiele sind Kesselwagen für Flüssigkeiten wie Öl, Schüttgutwagen für Landwirtschaftsprodukte, offene Güterwagen, z.B. für die Entsorgung von Schrott, oder Güterwagen zum Transport neuer Strassenfahrzeuge. Ergänzend dazu verkehren auch sogenannte Schiebewandwagen, in die das Transportgut meist palettiert eingeladen wird.
Kombinierter Verkehr (KV) : Den KV kennzeichnen normierte Transportbehälter für den multimodalen Transport. Güterwagen im KV sind für den Transport von Containern, Sattelaufliegern oder Wechselbrücken sowie ganzer schwerer Motorfahrzeuge (inkl. Transport der Fahrer in einem Begleitwagen; sogenannte Rollende Landstrasse) geeignet. Diese Transportgefässe sind für den Transport auf verschiedenen Verkehrsträgern (Wasser, Strasse, Schiene) konzipiert. Sie sind darum oft in ihrer Grösse normiert. "
4.2.5. Zutreffend weist die Vorinstanz darauf hin, das Recht der Europäischen Union finde auf die Schweiz keine Anwendung. Nichts Anderes gilt für die Richtlinie 92/106/EWG des Rates vom 7. Dezember 1992 über die Festlegung gemeinsamer Regeln für bestimmte Beförderungen im kombinierten Güterverkehr zwischen Mitgliedstaaten. Immerhin ist festzuhalten, dass die Mindestlänge von 20 Fuss auch dort als Grundvoraussetzung genannt wird. So lautet Art. 1 Abs. 2 dieser Richtlinie (Auszeichnungen durch das Bundesgericht) : "Im Sinne dieser Richtlinie gelten als 'kombinierter Verkehr' Güterbeförderungen zwischen Mitgliedstaaten, bei denen der Lastkraftwagen, der Anhänger, der Sattelanhänger mit oder ohne Zugmaschine, der Wechselaufbau oder der Container von mindestens 20 Fuss Länge die Zu- und Ablaufstrecke auf der Strasse und den übrigen Teil der Strecke auf der Schiene oder auf einer Binnenwasserstrasse oder auf See, sofern diese mehr als 100 km Luftlinie beträgt, zurücklegt (...)."
4.2.6. In der Schweiz wickelt sich der unbegleitete kombinierte Verkehr mehrheitlich grenzüberschreitend ab; im Binnenverkehr spielt er eine untergeordnete Rolle (Botschaft neues Gütertransportgesetz, 3862). Umso dringender ist das Bedürfnis, dass Güterwagen und Ladebehälter den Spezifikationen entsprechen, wie sie im unbegleiteten kombinierten Verkehr allgemein üblich sind. Die Längenvorgabe folgt aus dem Gebot der technischen Interoperabilität im Binnen- und grenzüberschreitenden Verkehr, einem Bereich, der weitgehend durch das Recht der EU präjudiziert ist. Dies führt zurück zur bundesrätlichen Absicht, rasch auf die "europäischen Entwicklungen" und die "technischen Möglichkeiten" reagieren zu können. Die Äusserungen der Vorsteherinnen des UVEK und des EFD, die diese jüngst machten und auf welche der Gemeindeverband sich beruft, dürften in diesem Sinne zu verstehen sein.
4.3. Zusammenfassend ergibt sich, dass der Bundesrat eine Regelung getroffen hat, die im Rahmen der Delegation bleibt. In der Sache hat er sich von technischen (Interoperabilität) und politischen Überlegungen (EU-Konformität) leiten lassen, die nachvollziehbar sind und die bei Bedarf den gewandelten Umständen angepasst werden können. Die Norm behält im Grundsatz die Kostenanlastung an den Schwerverkehr bei und lässt eine Ausnahme nur zu, soweit es um den Hauptlauf europaweit üblicher Behälter mit einer Länge von mindestens 18 Fuss geht. Wäre die pauschale Rückerstattung der LSVA für jeden noch so kleinen Ladebehälter auszurichten, stünde dies in Widerspruch zum erklärten Ziel des Gesetzes. Mithin ist Art. 8 Abs. 3 SVAV willkürfrei gehalten, was nicht ausschliesst, dass der Bundesrat die etwaigen technischen Entwicklungen in einer künftigen Revision berücksichtigt. Der Entscheid darüber obliegt dem Bundesrat.
4.4. Bei dieser Rechtslage hat die Eidgenössische Zollverwaltung mit Recht die Zulässigkeit der erfolgten Rückerstattung verneint.
5.
5.1. Es bleibt, den Fragen der Nachleistungspflicht der Transporteure, jener des Gemeindeverbandes und der Verjährung nachzugehen.
5.2.
5.2.1. Art. 12 VStrR steht unter dem Titel "Leistungs- und Rückleistungspflicht". Ist infolge einer Widerhandlung gegen die Verwaltungsgesetzgebung des Bundes zu Unrecht eine Abgabe nicht erhoben, zurückerstattet, ermässigt oder erlassen worden, so sind gemäss Art. 12 Abs. 1 VStrR die Abgabe, die Vergütung, der Beitrag oder der nicht eingeforderte Betrag und der Zins, ohne Rücksicht auf die Strafbarkeit einer bestimmten Person, nachzuentrichten oder zurückzuerstatten.
5.2.2. Leistungs- oder rückleistungspflichtig ist in solchen Fällen, wer in den Genuss des unrechtmässigen Vorteils gelangt ist, insbesondere der zur Zahlung der Abgabe Verpflichtete oder der Empfänger der Vergütung oder des Beitrages (Art. 12 Abs. 2 VStrR). Tatbestandsbegründend ist das Erlangen eines unrechtmässigen Vorteils, der auf einer (objektiven) Widerhandlung gegen das Bundesverwaltungsrecht beruht. Keine Rolle spielt, ob die Widerhandlung durch eine Drittperson oder durch den zur Zahlung der Abgabe Verpflichteten oder den Leistungsempfänger begangen wurde. Ebenso wenig kommt es auf eine strafrechtliche Verantwortlichkeit, ein Verschulden oder die Einleitung eines Strafverfahrens gegen eine bestimmte Person an. Es genügt, dass der unrechtmässige Vorteil auf einer Widerhandlung im objektiven Sinn gründet (zum Ganzen Urteile 2C_723/2013 vom 1. Dezember 2014 E. 2.6, in: ASA 83 S. 413; 2C_201/2013 vom 24. Januar 2014 E. 7.4, nicht publ. in: BGE <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 167; <ref-ruling> E. 2a S. 309; <ref-ruling> E. 2c S. 221; Michael Beusch, in: Martin Kocher/Diego Clavadetscher [Hrsg.], Zollgesetz, 2009, N. 12 zu <ref-law>). Dementsprechend haftet selbst, wer zwar den unrechtmässigen Vorteil empfangen hat, aber ahnungslos ist (Urteile 2A.580/2003 vom 10. Mai 2004 E. 3.3; 2A.18/1988 vom 30. September 1988 E. 3; <ref-ruling> E. 6c/d S. 201 f.).
5.2.3. Abgabesubjekt der LSVA sind die Halterinnen und Halter schwerer Motorfahrzeuge und Anhänger (Art. 5 SVAG). Entsprechend steht es auch (nur) ihnen zu, um pauschale Rückerstattung zu ersuchen (Art. 8 Abs. 1 SVAV). Dies haben sie im vorliegenden Fall getan, wenn auch zu Unrecht. Leistungs- oder rückleistungspflichtig ist, wer in den Genuss des unrechtmässigen Vorteils gelangt ist, "insbesondere der zur Zahlung der Abgabe Verpflichtete" (Art. 12 Abs. 2 VStrR). Bundesrechtskonform hat die Zollverwaltung die Nachleistungsverfügungen an die vier Transporteure gerichtet. Wie die Vorinstanz zutreffend feststellt, vermag der seinerzeitige Schriftenwechsel mit der Eidgenössischen Zollverwaltung, worin es um die unterschrittene Mindestlänge der Container ging, keine Vertrauensgrundlage zu begründen. Was der Gemeindeverband vernehmlassungsweise vorträgt, führt zu keinem andern Schluss. Die Nachleistungspflicht der Transporteure ist gegeben.
5.2.4. Es stellt sich die Frage, wie es sich mit der Nachleistungspflicht des Gemeindeverbandes verhält. Hierzu fällt auf, dass die Zollverwaltung in den Nachleistungsverfügungen vom 30. Mai 2012 gegenüber den vier Transporteurinnen festgehalten hatte, für den Betrag von Fr. ... (Anteil der jeweiligen Transporteurin) sei der Gemeindeverband "solidarisch leistungspflichtig erklärt" worden. Weiter führte sie aus: "Der Betrag ist indes nur einmal zu bezahlen. Der Rückgriff unter den Zollschuldnern richtet sich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts." Im Beschwerdeentscheid vom 4. Februar 2013 E. 10 erklärte die Zollverwaltung alsdann, "eine solidarische Leistungspflicht gemäss Art. 12 Abs. 3 VStrR müsste im Rahmen eines Strafverfahrens gerügt werden und scheidet in casu ohnehin aus". Hingegen seien die Voraussetzungen von Art. 12 Abs. 2 VStrR auch hinsichtlich des Gemeindeverbandes erfüllt, weshalb dieser als Direktbegünstigter für den gesamten Betrag (d. h. für Fr. 352'829.90) leistungspflichtig sei.
5.2.5. Die Vorinstanz gelangt zum Schluss, die verordnungsgemässen Längenvorschriften entbehrten einer sachlichen Begründung. Sie erwiesen sich daher als willkürlich, weshalb sie im konkreten Fall nicht anzuwenden seien. Vor diesem Hintergrund erübrigten sich nähere Abklärungen zur Leistungspflicht des Gemeindeverbandes. Dennoch hält die Vorinstanz in E. 5.2 des angefochtenen Entscheides hypothetisch fest, falls dem Gemeindeverband kein Anspruch auf Rückerstattung zugestanden hätte, wäre davon auszugehen gewesen, dass er in den Genuss eines unrechtmässigen Vorteils gelangt sei. Nach Angaben des Gemeindeverbandes seien die Transporteure nämlich verpflichtet gewesen, ihm die Rückerstattung - unter Abzug einer kleinen Administrativgebühr - zukommen zu lassen. Bei dieser Sachlage wäre die Zollverwaltung, so die Vorinstanz weiter, berechtigt gewesen, die Rückerstattungen beim Gemeindeverband einzufordern (Art. 12 Abs. 1 VStrR).
5.2.6. Zwangsläufig lassen sich dem angefochtenen Entscheid hinsichtlich der Nachleistungspflicht des Gemeindeverbandes keine weiteren Feststellungen entnehmen. Insbesondere bleibt ungewiss, in welcher Weise und mit welchem Betrag der Gemeindeverband - unmittelbar oder mittelbar - in den Genuss des unrechtmässigen Vorteils gelangt ist, von welchem Art. 12 Abs. 2 VStrR spricht. Vor diesem Hintergrund ist es dem Bundesgericht benommen, reformatorisch zu entscheiden. Die Sache ist daher zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
5.3. Soweit schliesslich der Eintritt der Verjährung behauptet wird, ist den Ausführungen der Vorinstanz nichts beizufügen. Zutreffend weist sie nach, dass Art. 12 Abs. 4 VStrR, soweit das Verwaltungsstrafverfahren überhaupt zur Anwendung kommt, den abgaberechtlichen Verjährungsbestimmungen vorgeht. Ebenso korrekt ist die Herleitung der siebenjährigen Verfolgungsverjährung (angefochtener Entscheid E. 2.6.2 und 5.2). Die Verfolgungsverjährung ist für keines der betreffenden Abgabejahre eingetreten.
6.
6.1. Damit erweist die Beschwerde sich im Eventualantrag, der auf Gutheissung und Rückweisung lautet, als begründet. Daher ist die Beschwerde gutzuheissen, der angefochtene Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. März 2014 aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
6.2. Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG). Vorliegend wird die Vorinstanz aufgrund der Rückweisung eine Neubeurteilung vorzunehmen haben, deren Ausgang offen ist, sodass es auch zu einer vollständigen Gutheissung kommen kann. Folglich obsiegt die Eidgenössische Zollverwaltung und unterliegt der Gemeindeverband (<ref-ruling> E. 7.1 S. 271; ausführlich Urteil 2C_846/2013 vom 28. April 2014 E. 3.2).
6.3. Für die Zwecke der Parteientschädigung gilt an sich dasselbe. Da die Eidgenossenschaft indes in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil A-1356/2013 des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. März 2014 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juli 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher