Sachverhalt:
A.
Das Betreibungsamt Region Solothurn wurde vom Betreibungsamt Böttstein um die Zustellung von zwei Zahlungsbefehlen an je einen Insassen der Strafanstalt A._ ersucht. Es stellte dem ersuchenden Betreibungsamt für die Ausführung der Rechtshilfeaufträge eine Rechnung über je Fr. 38.55, welche dieses in Bezug auf die Zustellungskosten der Post bei der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn anfocht. Die Beschwerde wurde mit Urteil vom 27. Mai 2013 abgewiesen.
B.
Das Betreibungsamt Böttstein ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6./10. Juni 2013 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Herabsetzung der Kostenrechnungen um je Fr. 19.55.
Die kantonale Aufsichtsbehörde hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Betreibungsamt Region Solothurn schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig eines Streitwertes der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Den Betreibungs- und Konkursämtern und weiteren Vollstreckungsorganen steht in bestimmten Fällen das Beschwerderecht zu, ohne dass der Nachweis eines schutzwürdigen Interesses im Sinne von <ref-law> erforderlich ist. Gemäss ständiger Praxis des Bundesgerichts kann das Amt insbesondere Beschwerde führen, wenn es als Organ des Kantons handelt und fiskalische Interessen geltend macht; zudem kann es sich gegen die Anwendung der Gebührenverordnung (GebV SchKG) zur Wehr setzen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 138). Im vorliegenden Fall wendet sich das Amt gegen die seiner Ansicht nach bundesrechtswidrige Anwendung von <ref-law>, womit es zur Beschwerdeführung befugt ist.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht werden (<ref-law>). Es ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels überdies für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Ansonsten ist der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>).
2.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Kostenrechnung für die rechtshilfeweise Zustellung von Zahlungsbefehlen.
2.1. Die Zustellung des Zahlungsbefehls erfolgt gemäss <ref-law> durch einen Betreibungsbeamten, einen Angestellten des Amtes oder durch die Post. Hingegen steht dem Betriebenen nach mehrfach bestätigter Rechtsprechung kein Anspruch auf Erhalt einer vorgängigen Abholungseinladung zu. Zudem rechtfertigt diese zwischenzeitlich verbreitete Praxis nicht, für einen solchen Vorgang Auslagen (<ref-law>) oder Gebühren (<ref-law>) zu erheben. Wenn auch das Betreibungsamt hinsichtlich der Zustellung des Zahlungsbefehls zügig vorzugehen hat (<ref-law>), so steht ihm im Rahmen seines Ermessens frei, wie es dieser Pflicht im Einzelfall nachkommt (Urteil 5A_536/2012 vom 20. März 2012 E. 2.2.1 und E. 2.2.2, mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.1 S. 26). Gemäss der am 1. Januar 2011 in Kraft getretenen Änderung von <ref-law>, welche die Auslagen bei "Verwendung eines besonderen Zustelldienstes" regelt, erhält das Betreibungsamt nun die Möglichkeit, die Mehrkosten für die Zustellung eines Zahlungsbefehls (einer Pfändungsankündigung oder einer Konkursandrohung) der äusserst effektiv arbeitenden besonderen Zustelldienste der Schweizerischen Post auf die Parteien zu überwälzen. Hingegen steht es dem Betreibungsamt gemäss dem klaren Wortlaut der neuen Bestimmung nicht zu, die ihm gesetzlich auferlegte Zustellungspflicht voraussetzungslos an den Zustellungsdienst der Post zu delegieren. Es muss vorher mindestens ein erfolgloser Zustellungsversuch stattgefunden haben (Art. 13 Abs. 4 a.E. GebV SchKG; vgl. Information Nr. 3 des Bundesamtes für Justiz vom 24. September 2010 an die kantonalen Aufsichtsbehörden betreffend Revision der GebV SchKG).
2.2. Nach Ansicht der Aufsichtsbehörde ist die Zustellung des Zahlungsbefehls auf "normalem Weg" vorliegend gar nicht möglich, da eine Zustellung von Betreibungsurkunden in eine Strafanstalt nur von "Swiss Kurier" zu einem Preis von Fr. 27.55 ausgeführt werde. Zudem sei nicht davon auszugehen, dass die Zustellung in einer solchen Situation kostensparender ausfallen würde, wenn dafür ein kantonaler Betreibungsbeamter aufgeboten würde. Darum sei die Zustellung der Zahlungsbefehle durch die besonderen Zustelldienste der Schweizerischen Post zum Preise von Fr. 27.55 nicht zu beanstanden.
2.3. Welche Zustellung (durch den Betreibungsbeamten oder durch die besonderen Zustelldienste der Schweizerischen Post) günstiger zu stehen kommt, ist vorliegend nicht zu prüfen. Dem Betriebenen bzw. dem vorschusspflichtigen Betreibenden können auf jeden Fall nur die Auslagen und Gebühren für gesetzlich vorgesehene Vorkehren angelastet werden (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 28). Zu entscheiden ist im konkreten Fall einzig, ob die Voraussetzung für den besonderen Zustelldienst der Schweizerischen Post gegeben ist und daher entsprechende Kosten in Rechnung gestellt werden dürfen. Die Vorinstanz ist der Ansicht, dass der vorgängige Zustellungsversuch gemäss <ref-law> "selbstredend" unterbleiben könne, sofern die normale Zustellung nicht möglich sei. Sie beruft sich dabei auf eine (nicht näher belegte) Auskunft der Schweizerischen Post. Das um Rechtshilfe ersuchte Betreibungsamt betont in seiner Vernehmlassung zudem, die Strafanstalt A._ verlange aus organisatorischen Gründen die besondere Zustellform der Schweizerischen Post. Soweit die Aufsichtsbehörde bzw. das Betreibungsamt meinen, die Zustellungsform werde aufgrund ihrer organisatorischen Abläufe von der Schweizerischen Post oder der Strafanstalt bestimmt, sind sie an ihre gesetzliche Zustellungspflicht und die ihnen damit übertragene Verantwortung zu erinnern (vgl. E. 2.1). Zudem ist der konkrete Vorgang der Zustellung eines Zahlungsbefehls in einer Strafanstalt vorliegend nicht geklärt. Angesichts der grundsätzlichen Bindung des Bundesgerichts an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (<ref-law>, vgl. E.1.2), kommt den diesbezüglichen Ausführungen der Vorinstanz wesentliche Bedeutung zu. Im angefochtenen Urteil findet sich zur Zustellung eines Zahlungsbefehls an den Insassen einer Strafanstalt lediglich ein pauschaler Hinweis auf eine Auskunft der Schweizerischen Post, der keine Überprüfung durch das Bundesgericht erlaubt, ob der besondere Zustelldienst gemäss <ref-law> in Frage kommt. Insoweit erweist sich das angefochtene Urteil mit Blick auf die tatsächliche Feststellung als ungenügend (<ref-law>). Eine solche Rechtsverletzung führt zur Aufhebung des angefochtenen Urteils und Rückweisung der Sache zur Verbesserung an die Vorinstanz (<ref-ruling> E. 8.2 S. 153).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten dem Kanton Solothurn aufzuerlegen, der in seinen Vermögensinteressen betroffen ist (<ref-law>; Urteil 5A_536/2012 vom 20. März 2013 E. 3). Eine Parteientschädigung an das beschwerdeführende Betreibungsamt wird nicht zugesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Urteil der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn vom 27. Mai 2013 wird aufgehoben, und die Angelegenheit wird zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Kanton Solothurn auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante