Sachverhalt:
A.
Am 5. Juni 2014 erstattete die Aufsichtskommission Bildung und Gesundheit (ABG) des Zürcher Kantonsrates einen Bericht zu den Ereignissen am Medizinhistorischen Institut der Universität Zürich, die zur Entlassung von Professor Christoph Mörgeli führten.
Gestützt auf diesen Bericht stellte die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich am 25. Juni 2014 der dortigen Oberstaatsanwaltschaft den Antrag, bei der Geschäftsleitung des Kantonsrats (im Folgenden: Geschäftsleitung) ein Verfahren zur Ermächtigung der Strafverfolgung gegen die damalige Regierungspräsidentin Regine Aeppli wegen des Verdachts des Amtsmissbrauchs einzuleiten. Dem entsprach die Oberstaatsanwaltschaft mit Verfügung vom 26. Juni 2014.
Mit Schreiben vom 7. Juli 2014 überwies die Geschäftsleitung das Ermächtigungsgesuch an die Justizkommission des Kantonsrats (im Folgenden: Justizkommission) zu Bericht und Antrag an die Geschäftsleitung.
Am 25. August 2014 gab die Justizkommission Regine Aeppli Gelegenheit zur Stellungnahme.
Am 3. bzw. 5. September 2014 überwiesen die Staatsanwaltschaft I bzw. die Oberstaatsanwaltschaft der Geschäftsleitung weitere Akten zum Ermächtigungsgesuch, unter anderem eine Strafanzeige vom 22. August 2014 von Christoph Mörgeli gegen Regine Aeppli. Die Geschäftsleitung leitete diese Akten an die Justizkommission weiter.
Mit Stellungnahme vom 5. September 2014 beantragte Regine Aeppli, dem Ermächtigungsgesuch nicht stattzugeben.
Am 15. September 2014 forderte die Geschäftsleitung die Oberstaatsanwaltschaft auf, einen begründeten Antrag zum Ermächtigungsgesuch nachzureichen. Dazu nahm die Oberstaatsanwaltsschaft am 22. September 2014 Stellung. Am 25. September 2014 überwies die Geschäftsleitung die Stellungnahme der Oberstaatsanwaltschaft an die Justizkommission.
Am 30. September 2014 gab die Justizkommission Regine Aeppli Gelegenheit, sich zu den am 3. bzw. 5. September 2014 neu eingereichten Akten und zum Schreiben der Oberstaatsanwaltschaft vom 22. September 2014 zu äussern. Dies tat Regine Aeppli am 31. Oktober 2014. Sie beantragte erneut, dem Ermächtigungsgesuch nicht stattzugeben.
Am 2. Dezember 2014 beantragte die Justizkommission der Geschäftsleitung, das Ermächtigungsgesuch eigenständig als offensichtlich unbegründet von der Hand zu weisen.
Dies lehnte die Geschäftsleitung am 8. Januar 2015 ab. Sie beantragte vielmehr dem Kantonsrat die Ablehnung des Ermächtigungsgesuchs, da es unbegründet sei.
B.
Mit Beschluss vom 23. Februar 2015 gab der Kantonsrat dem Ermächtigungsgesuch der Oberstaatsanwaltschaft nicht statt (Amtsblatt des Kantons Zürich Nr. 9 vom 6. März 2015, Meldungsnummer 00103621). Er kam zum Schluss, dem Ermächtigungsgesuch, dem Bericht der ABG sowie den weiteren eingereichten Akten könnten keine genügend konkreten Anhaltspunkte für ein strafrechtlich relevantes Verhalten von Regine Aeppli entnommen werden. Gegen die Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung sprächen sodann vor allem staatspolitische Gründe. Mit dem Bericht der ABG und dessen Beratung im Kantonsrat sei dem öffentlichen Interesse an der Aufklärung der Vorfälle, die zur Entlassung von Christoph Mörgeli führten, genügend Rechnung getragen worden.
C.
Christoph Mörgeli erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, der Kantonsrat sei anzuweisen, das Ermächtigungsgesuch vom 21. August 2014 des Beschwerdeführers anhand zu nehmen und zu beurteilen. Eventualiter sei der Beschluss des Kantonsrats aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an diesen zurückzuweisen.
D.
Die Oberstaatsanwaltschaft und Regine Aeppli haben auf Vernehmlassung verzichtet.
Die Geschäftsleitung hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Christoph Mörgeli hat hierzu Stellung genommen.
Die Beteiligten haben auf weitere Bemerkungen verzichtet.

Erwägungen:
1.
Mit Schreiben vom 7. September 2015 unterrichtet Rechtsanwältin Katja Ammann, die vom vorliegenden Verfahren aus der Presse erfuhr, das Bundesgericht über einen anderen, die Staatsanwaltschaft, den Kantonsrat und die Beschwerdegegnerin betreffenden Vorfall und ersucht darum, dies beim Entscheid zu berücksichtigen.
Rechtsanwältin Ammann ist nicht Verfahrensbeteiligte des bundesgerichtlichen Verfahrens und ihre Eingabe bezieht sich nicht auf den vom Kantonsrat beurteilten Vorfall. Ihr Schreiben ging zudem nach Abschluss des Schriftenwechsels beim Bundesgericht ein. Das Schreiben ist deshalb unbeachtlich.
2.
2.1. Das Ermächtigungsverfahren stellt eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit dar. Die Ermächtigung ist Prozessvoraussetzung für das Strafverfahren. Sie wird aber in einem davon getrennten Verwaltungsverfahren erteilt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272 mit Hinweisen).
Gemäss Art. 83 lit. e BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern. Dieser Ausschlussgrund kommt nur bei Mitgliedern der obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden zur Anwendung (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f.). Dazu gehört die Beschwerdegegnerin. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten scheidet deshalb aus.
Gemäss Art. 113 BGG ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegeben.
2.2. Nach Art. 114 i.V.m. Art. 86 Abs. 3 BGG können die Kantone für Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter anstelle eines Gerichts eine andere Behörde als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts einsetzen.
Der angefochtene Beschluss stellt einen Entscheid mit vorwiegend politischem Charakter dar. Die Verfassungsbeschwerde ist deshalb zulässig. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung, was nicht zu beanstanden ist. Der kantonale Gesetzgeber ist befugt, Entscheide mit überwiegend politischem Charakter von der Rechtsweggarantie nach Art. 29a BV auszunehmen (<ref-ruling> E. 1 S. 116 f. mit Hinweisen).
2.3.
2.3.1. Gemäss Art. 115 BGG ist zur Verfassungsbeschwerde berechtigt, wer: a. vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat; und b. ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat.
2.3.2. Gemäss Art. 7 Abs. 2 lit. b StPO können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt.
Von dieser Möglichkeit hat der Kanton Zürich Gebrauch gemacht. Gemäss § 38 des Kantonsratsgesetzes vom 5. April 1981 (KRG; LS 171.1) kann gegen ein Mitglied des Regierungsrates oder eines obersten kantonalen Gerichts eine Strafuntersuchung wegen eines in Ausübung seines Amtes begangenen Verbrechens oder Vergehens nur eröffnet werden, wenn der Kantonsrat dazu die Ermächtigung erteilt hat (Abs. 1). Entsprechende Anträge von Mitgliedern des Kantonsrates oder der genannten Behörden oder Gerichte sowie Anzeigen und Ermächtigungsgesuche Dritter sind an die Geschäftsleitung zu richten. Diese werden der Justizkommission zur Antragstellung an die Geschäftsleitung zugewiesen. Die Geschäftsleitung stellt dem Rat Antrag. Offensichtlich unbegründete Anzeigen und Ermächtigungsgesuche kann die Geschäftsleitung auf Antrag der Justizkommission ohne Weiterungen oder nach Beizug der Akten und einer schriftlichen Stellungnahme der betroffenen Person selbständig von der Hand weisen (Abs. 2). Die Geschäftsleitung kann auch von sich aus dem Rat Antrag stellen (Abs. 3). Beschliesst der Kantonsrat die Eröffnung einer Strafuntersuchung, kann er zu deren Durchführung einen besonderen Staatsanwalt bestimmen (Abs. 4).
2.3.3. § 38 KRG regelt das Ermächtigungsverfahren damit nur rudimentär (<ref-ruling> E. 1 S. 115). Er räumt dem privaten Anzeigeerstatter und Gesuchsteller keine Parteirechte ein. Entsprechend hat die Vorinstanz den Beschwerdeführer nicht am Verfahren beteiligt. Er hatte somit keine Möglichkeit zur Teilnahme. Die Voraussetzung nach Art. 115 lit. a BGG ist erfüllt.
2.3.4. Die Beschwerdebefugnis setzt gemäss Art. 115 lit. b BGG ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids voraus.
Der Beschwerdeführer beruft sich auf die "Star-Praxis". Danach kann er unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache eine Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Das erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls nicht aus einer Berechtigung in der Sache selbst, sondern aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 80; <ref-ruling> E. 2 S. 308; <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f.; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann die Verletzung von Verfahrensrechten rügen, die ihm aufgrund des kantonalen Rechts oder unmittelbar aufgrund der Bundesverfassung oder der Europäischen Menschenrechtskonvention zustehen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 44 mit Hinweisen).
2.3.5. Wie gesagt, gewährleistet § 38 KRG dem Beschwerdeführer keine Verfahrensrechte. Darin vorgesehen ist lediglich eine - hier eingeholte - schriftliche Stellungnahme der betroffenen, d.h. beschuldigten Person.
Dies entspricht der Rechtslage im Bund. Gemäss Art. 14 des Bundesgesetzes vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördenmitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz, VG; SR 170.32) bedarf die Strafverfolgung von durch die Bundesversammlung gewählten Behördemitgliedern und Magistratspersonen wegen strafbarer Handlungen, die sich unmittelbar auf ihre amtliche Tätigkeit oder Stellung beziehen, einer Ermächtigung der zuständigen Kommissionen der eidgenössischen Räte (Abs. 1). Die Kommissionen geben dem Beschuldigten Gelegenheit zur Stellungnahme (Abs. 4). Eine Beteiligung des Anzeigers am Ermächtigungsverfahren sieht das Verantwortlichkeitsgesetz nicht vor.
2.3.6. Die Rechtsprechung leitet jedoch Verfahrensrechte des Anzeigers und Gesuchstellers unmittelbar aus der Bundesverfassung und der Europäischen Menschenrechtskonvention ab.
In <ref-ruling> ging es um den Vorwurf der fahrlässigen Tötung gegenüber einem Zürcher Oberrichter. Art. 10 Abs. 1 BV und Art. 2 Ziff. 1 EMRK schützen das Recht auf Leben. Gestützt darauf muss der Staat bei Verdacht der vorsätzlichen oder fahrlässigen Tötung eine wirksame Strafverfolgung gewährleisten. Dies führt einerseits dazu, dass er das Strafverfolgungsprivileg des eines Tötungsdelikts Beschuldigten nicht ohne Weiteres schützen darf, sondern dass er die Interessen an der Strafverfolgung und diejenigen an deren Verhinderung gegeneinander abzuwägen hat; anderseits dazu, dass die nahen Angehörigen des Opfers, die sich im Schutzbereich von Art. 10 Abs. 1 BV und Art. 2 Ziff. 1 EMRK befinden, am Verfahren, welches zum Entscheid über die Eröffnung eines Strafverfahrens gegen einen mit einem Strafverfolgungsprivileg ausgestatteten Beschuldigten führt, unabhängig vom einschlägigen Verfahrensrecht als Partei beteiligt werden müssen. Damit stehen ihnen die verfassungs- und konventionsrechtlich gewährleisteten Verfahrensrechte zu. Sie haben unter anderem Anspruch auf rechtliches Gehör und einen begründeten Entscheid (E. 2 S. 117 f.).
Im Fall, der dem Urteil 1D_5/2014 vom 10. Dezember 2014 zugrunde lag, hatte jemand gegen den früheren Genfer Generalstaatsanwalt Strafanzeige eingereicht wegen Amtsmissbrauchs und Verletzung des Amtsgeheimnisses. Der Grosse Rat des Kantons Genf lehnte die Ermächtigung zur Strafverfolgung ab. Der Anzeiger erhob subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Das Bundesgericht erwog, die Verweigerung der Ermächtigung beende das Strafverfahren, das der Beschwerdeführer mit der Strafanzeige eingeleitet habe (Art. 310 Abs. 1 lit. a bzw. b StPO). Damit sei der Beschwerdeführer von der Ablehnung der Ermächtigung unbestreitbar betroffen. Es rechtfertige sich deshalb, ihm im Rahmen des öffentlich-rechtlichen Ermächtigungsverfahrens, das von den Grundsätzen der Bundesverfassung und Konvention beherrscht werde, das Recht einzuräumen, eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend zu machen. In diesem begrenzten Umfang trat das Bundesgericht auf die Beschwerde ein (E. 1.2.3). Es bejahte in der Folge eine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör, da der Grosse Rat seinen Entscheid nicht begründet und diesen dem Beschwerdeführer nicht mitgeteilt hatte (E. 2.1).
2.3.7. Im Schrifttum wird ausgeführt, das Verfahren zur Erteilung bzw. Verweigerung der Ermächtigung sei in der Strafprozessordnung nicht geregelt und demgemäss Sache des kantonalen Rechts. Jedenfalls sei dem Beschuldigten wie auch dem Opfer bzw. Geschädigten und bei deren Tod den Angehörigen das rechtliche Gehör zu gewähren. Der Entscheid der Ermächtigungsbehörde sei zu begründen ( NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 11 zu Art. 7 StPO; vgl. auch RIEDO/ FIOLKA, in: Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 98 ff. zu Art. 7 StPO).
2.3.8. Im hier zu beurteilenden Fall geht es nicht um das Recht auf Leben gemäss Art. 10 Abs. 1 BV und Art. 2 Ziff. 1 EMRK. Die in <ref-ruling> aus diesen Bestimmungen abgeleiteten Grundsätze können deshalb nicht unbesehen auf die vorliegende Konstellation übertragen werden.
Massgeblich sind vielmehr die Erwägungen im Urteil vom 10. Dezember 2014, das einen mit dem vorliegenden vergleichbaren Fall betraf. Danach hat der Anzeiger im Ermächtigungsverfahren Anspruch auf rechtliches Gehör, insbesondere einen begründeten Entscheid. Darüber hinausgehende Rechte hat das Bundesgericht dem Anzeiger nicht zuerkannt. Daran ist grundsätzlich festzuhalten. Bei der Vorinstanz handelt es sich um eine politische Behörde, die bei ihrem Entscheid politische Gesichtspunkte berücksichtigt, was nach der Rechtsprechung bei Magistratspersonen zulässig ist (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 115; je mit Hinweisen). Die Vorinstanz ist kein Gericht, das einzig nach rechtlichen Kriterien entscheidet. Der wesentlich politischen Natur des vorinstanzlichen Verfahrens würde es nicht gerecht, dem Anzeiger sämtliche Rechte, die einer Partei im Gerichtsverfahren zustehen (Teilnahme an Instruktionsmassnahmen, Recht auf Beweisanträge, Akteneinsichtsrecht, Anspruch auf Zustellung von Eingaben und Zwischenentscheiden, Replikrecht usw.), zu gewähren. Der Anzeiger hat in Fällen wie hier, wo es um keine Tötung geht, Anspruch auf rechtliches Gehör in dem Sinne, dass die Ermächtigungsbehörde seine Darlegungen entgegen und zur Kenntnis zu nehmen, ihren Entscheid - wenigstens kurz - zu begründen und ihm diesen mitzuteilen hat. Darüber hinausgehende Rechte sind ihm nicht zuzugestehen.
2.3.9. Soweit der Beschwerdeführer rügt, er habe keine Akteneinsicht gehabt und sei am vorinstanzlichen Schriftenwechsel nicht beteiligt worden, hat er demnach kein rechtlich geschütztes Interesse, weshalb insoweit auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann.
3.
3.1. Mit Eingabe vom 21. August 2014 ersuchte der Beschwerdeführer die Vorinstanz, die Immunität der Beschwerdegegnerin aufzuheben und die Einleitung einer Strafuntersuchung gegen sie zu beschliessen wegen Amtsanmassung, Amtsmissbrauchs in mehreren Fällen, Prozessbetrugs und Verletzung des Bundesgesetzes über den unlauteren Wettbewerb. Am folgenden Tag reichte er Strafanzeige gegen die Beschwerdegegnerin bei der Staatsanwaltschaft ein. Am 3. bzw. 5. September 2014 übermittelte diese die Strafanzeige der Vorinstanz. Diese setzt sich im angefochtenen Beschluss im Einzelnen und einlässlich mit den Vorbringen des Beschwerdeführers auseinander. Sie hat somit seine Darlegungen entgegen und zur Kenntnis genommen.
3.2. Die Vorinstanz hat ihren Entscheid ausführlich begründet. Zwar hat sie ihn dem Beschwerdeführer nicht eröffnet, doch hat sie über das Ermächtigungsgesuch nach öffentlicher Ankündigung in öffentlicher Sitzung beraten und entschieden und ihren Beschluss im Amtsblatt publiziert. Der Beschwerdeführer konnte auf diese Weise davon Kenntnis nehmen und tat dies auch. Damit ist seinem Anspruch auf Mitteilung eines begründeten Entscheids (jedenfalls im Ergebnis) Genüge getan.
3.3. Die Vorinstanz hat demnach keine dem Beschwerdeführer zustehenden Verfahrensrechte verletzt.
4.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Vorinstanz hätte keine politischen Gesichtspunkte berücksichtigen dürfen, geht es um die Sache selber. Er legt nicht dar, weshalb er insofern zur Beschwerde befugt sein soll, wozu er verpflichtet gewesen wäre (<ref-ruling> E. 1 S. 121 mit Hinweis). Ob insoweit auf die Beschwerde eingetreten werden kann, kann jedoch dahingestellt bleiben. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was es rechtfertigen könnte, auf die Rechtsprechung zurückzukommen, wonach bei Magistratspersonen politische Gesichtspunkte berücksichtigt werden dürfen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f. mit Hinweis).
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien sowie dem Kantonsrat und der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. November 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri