Sachverhalt:
A. Die IV-Stelle des Kantons Zürich stellte aufgrund eines - am 30. Dezember 2004 unter Hinweis auf eine motorische Behinderung und Gleichgewichtsstörungen eingereichten - Gesuchs der 1969 geborenen P._ um Ausrichtung von Leistungen der Invalidenversicherung einen Invaliditätsgrad von 10 Prozent fest und verneinte demgemäss den Anspruch auf eine Invalidenrente oder berufliche Massnahmen (mit Einspracheentscheid vom 6. Februar 2007 bestätigte Verfügung vom 17. März 2006).
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 23. November 2007).
C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, nach Aufhebung des vorinstanzlichen und des Einspracheentscheides, eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur psychiatrischen Abklärung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.
D. Auf entsprechende instruktionsrichterliche Anfrage hin geben der psychiatrische Teilgutachter sowie der federführende Sachverständige des Begutachtungsinstituts X._ am 22. Oktober 2008 eine das interdisziplinäre Gutachten vom 10. Januar 2006 ergänzende Einschätzung ab.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen und die IV-Stelle verzichten sowohl im Rahmen des ersten Schriftenwechsels wie auch hinsichtlich des Ergebnisses der bundesgerichtlichen Beweismassnahme auf eine Vernehmlassung. Die Versicherte nimmt zur Ergänzung des Gutachtens Stellung.

Erwägungen:
1. 1.1 Zu prüfen ist aufgrund der Parteibegehren, ob der Entscheid der Vorinstanz, es bestehe kein rentenbegründender Invaliditätsgrad, auf im Sinne der Rechtsprechung vollständigen und beweistauglichen Grundlagen beruht (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 352).
1.2 Das kantonale Gericht hat die zur Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
1.3 Der Beurteilung von Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) liegt der Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesen kann das Bundesgericht von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>; ohne Beschwerden gemäss <ref-law> und <ref-law>). Zu den Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gehört auch die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (Urteil 9C_40/2007 vom 31. Juli 2007 E. 1; Ulrich Meyer, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, Rz. 25, 36 und 59 zu Art. 105; Seiler/von Werdt/Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, Rz. 24 zu Art. 97) und die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (Meyer, a.a.O., Rz. 60 zu Art. 105; Urteil 8C_364/2007 vom 19. November 2007 E. 3.3).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin rügt vor allem eine nicht rechtskonforme Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit (<ref-law>). Fraglich ist im Wesentlichen, ob die Leistungsfähigkeit allein wegen einer Stand- und Gangataxie (Störung der Bewegungskoordination und Gleichgewichtsregulation) oder zusätzlich durch eine Panikstörung von Krankheitswert eingeschränkt ist. Dem Funktionsausfall liegt nach Lage der Akten keine neurologische Ursache zugrunde (vgl. etwa den Bericht der Klinik B._ vom 8. Dezember 2004; Gutachten des Begutachtungsinstituts X._ vom 10. Januar 2006), sondern ein psychisches Leiden (dissoziative Störung).
2.2 Das kantonale Gericht stellte für seinen Entscheid, wonach seit März 2004 von einer vollständigen Arbeitsfähigkeit in einer leichten Verweisungstätigkeit auszugehen sei, massgebend auf das Gutachten des Begutachtungsinstituts X._ vom 10. Januar 2006 ab. In dieser interdisziplinären Expertise wird in psychiatrischer Hinsicht eine dissoziative Bewegungsstörung (ICD-10 Ziff. F44.4) "bei Status nach möglicher Panikstörung (ICD-10 Ziff. F41.0)" ausgewiesen. Die primäre Panikstörung manifestiere sich nun in einer dissoziativen Bewegungs- und Empfindungsstörung. Es sei anzunehmen, dass eine starke Beeinträchtigung bestehe; die Störung sei dauerhaft und konsistent vorhanden. Es könne der Versicherten nicht der Wille und die Anstrengung zugemutet werden, diese vollständig zu überwinden. Die bisherige Arbeit einer Postbotin sei daher, wie andere körperlich belastende Tätigkeiten, nicht mehr zumutbar. Hingegen bestehe hinsichtlich einer leichten, am besten sitzend auszuführenden Tätigkeit vollständige Arbeitsfähigkeit. Aus einer intensiven psychotherapeutischen Behandlung könne sich eine Besserung ergeben. Allerdings deute der prolongierte Verlauf auf eine eher ungünstige Prognose hin; es müsse befürchtet werden, dass bereits eine Chronifizierung eingetreten sei.
3. Eine nur bedingt realisierbare medizinisch-theoretische Arbeitsfähigkeit kann unter Umständen unbeachtlich sein, solange die nötigen Voraussetzungen für deren erwerbliche Verwertung nicht erfüllt sind (Urteile 9C_720/2007 vom 28. April 2008 E. 4.2 und I 2/06 vom 23. Mai 2006 E. 2.2).
3.1 Im Gutachten des Begutachtungsinstituts X._ vom 10. Januar 2006 wird, namentlich gestützt auf die psychiatrische Teilbegutachtung, einerseits ausgeführt, zur Verbesserung der Arbeitsfähigkeit sei eine intensive psychotherapeutische Behandlung mit möglicherweise psychosomatischer Ausrichtung angezeigt und zumutbar; mit den bisherigen Behandlungsansätzen lasse sich die ansonsten mögliche Verbesserung des Gesundheitszustandes nicht erreichen (Ziff. 4.2.6 und 6.7). Anderseits nehmen die Gutachter in Ziff. 4.2.5 zur Arbeitsfähigkeit wie folgt Stellung: "Es sollte ihr aber eine körperlich einfache Tätigkeit möglich sein oder wenn sie sitzen könnte. Diesbezüglich wäre von einer ganztägigen Arbeitsfähigkeit auszugehen. Diese Einschränkung der Arbeitsfähigkeit besteht schon seit März 2004 in diesem Ausmass". Insoweit blieb die - für die Annahme oder den Ausschluss einer unüberwindbaren, invalidisierenden psychischen Störung entscheidende - Frage offen, ob die gutachtlichen Angaben zur Arbeitsfähigkeit das ohne weitere Voraussetzungen seit je und durchgehend gegebene oder aber das erst nach zumutbarer Durchführung der als notwendig bezeichneten therapeutischen Vorkehren zu erwartende Leistungsvermögen widerspiegeln. Zufolge unvollständiger Sachverhaltsfeststellung (oben E. 1.3) unterbreitete das Bundesgericht daher die Frage dem Gutachterinstitut zur Stellungnahme (Art. 55 Abs. 1 und 2 BGG in Verbindung mit <ref-law>).
3.2 Mit Schreiben vom 22. Oktober 2008 führte das Begutachtungsinstitut X._ aus, anlässlich der Begutachtung sei eine adaptierte Tätigkeit der diagnostizierten dissoziativen Störung zum Trotz als zumutbar eingestuft worden. Bei der psychiatrischen Untersuchung seien keine Hinweise auf eine depressive Störung gefunden worden. Der Umstand, dass die Explorandin in der Lage gewesen sei, den Haushalt (mit Schwierigkeiten) zu führen, Kontakte zu pflegen und die Wohnung (in Begleitung) zu verlassen, zeige, dass sie die dissoziativen Symptome zumindest teilweise vermittels ihres Bewusstseins steuern könne. Zum Zeitpunkt der psychiatrischen Untersuchung habe die Versicherte wiederholt betont, nicht unter Ängsten zu leiden. Daher sei es ihr zum damaligen Zeitpunkt durchaus zumutbar gewesen, einer beruflichen Tätigkeit nachzugehen. Der Umstand, dass sie Mühe bekunde, ihre Wohnung alleine zu verlassen, hänge auch mit einem erheblichen sekundären Krankheitsgewinn und einer ausgesprochenen Regressionsneigung zusammen; dies begründe aber keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Abschliessend führten die Gutachter aus:
"Zusammenfassend halten wir also fest, dass auch ohne vorgängige therapeutische Massnahmen der Explorandin eine Arbeitsfähigkeit in einer Tätigkeit, bei der sie vorwiegend sitzen kann, zugemutet werden kann. Zur Behandlung der dissoziativen Störung ist eine intensive, allenfalls stationäre psychiatrische Therapie notwendig. Zum Zeitpunkt der Untersuchung waren aufgrund der ausgeprägten subjektiven Krankheitsüberzeugung berufliche Massnahmen nicht erfolgsversprechend durchzuführen. Nach erfolgreich durchgeführter Therapie könnten, entsprechende Motivation vorausgesetzt, berufliche Massnahmen durchgeführt werden."
4. Diese ergänzenden Angaben lösen zum einen den offensichtlichen Widerspruch nicht auf, wonach die "dauerhaft und konsistent", also chronisch und ausgeprägt, vorhandene Störung einer "intensiven, allenfalls stationären" psychiatrischen Therapie bedarf - welche in der indizierten Form aus nicht von der Beschwerdeführerin zu vertretenden Gründen bisher nicht durchgeführt worden ist - und ihr dennoch "ohne vorgängige therapeutische Massnahmen" eine seit jeher und aktuell verwertbare Arbeitsfähigkeit attestiert wird. Zum andern schliesst die eingeholte Stellungnahme auch mit Blick auf die weiteren Akten eine invalidisierende Panikstörung nicht rechtsgenüglich aus, lassen es doch die Gutachter sowohl in der Expertise vom 10. Januar 2006 wie auch im Schreiben vom 22. Oktober 2008 - trotz ausdrücklicher Aufforderung durch das Gericht - an einer einzelfallbezogenen substantiellen Auseinandersetzung mit den diskrepanten Auffassungen diagnostischer Art (Dres. S._ und A._) und hinsichtlich der Arbeitsunfähigkeit (Bericht der Psychiatrischen Poliklinik Z._ vom 28. Juli/2. August 2005) fehlen. Wenn auch divergente Standpunkte behandelnder Ärzte als solche keinen Grund bilden, ein Administrativgutachten in Frage zu stellen, macht die Rechtsprechung davon eine Ausnahme, wenn sie objektiv feststellbare Gesichtspunkte vortragen, die einer Auseinandersetzung bedürfen (vgl. etwa SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203 E. 4.3 mit Hinweisen, 9C_830/2007). Dieser Beweisanforderung genügt der angefochtene Entscheid nicht (oben E. 1.3), weshalb ergänzende Abklärungen in Form einer unabhängigen psychiatrischen Zweitexpertise unumgänglich sind.
5. Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu erneuter Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie überhaupt beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1). Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten daher der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin steht eine Parteientschädigung zu. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. November 2007 und der Einspracheentscheid der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 6. Februar 2007 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Februar 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub