Sachverhalt:
A. A.a Die Präsidentin III des Bezirksgerichts Lenzburg erteilte Z._ in der gegen X._ angehobenen Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes Lenzburg-Ammerswil am 7. Mai 2012 definitive Rechtsöffnung für Fr. 4'683.50 nebst Zins zu 5% seit dem 24. Juni 2011. Dieser Entscheid wurde als Gerichtsurkunde am 7. Mai 2012 an die Adresse von X._ versandt, wo er am 8. Mai 2012 eintraf und von der Post zur Abholung ins Postfach avisiert wurde. X._ holte die für ihn bestimmte Gerichtsurkunde innert der Frist von sieben Tagen nicht ab, weshalb sie mit entsprechendem Vermerk am 16. Mai 2012 an das Bezirksgericht Lenzburg zurückgeschickt wurde.
A.b X._ teilte dem Gerichtspräsidium Lenzburg mit Eingabe vom 24. Mai 2012 mit, er sei vom 27. April bis 16. Mai 2012 notfallmässig im Spital gewesen, und ersuchte um eine erneute Zustellung der Sendung "mit Fristauslösung", falls eine solche während seines Spitalaufenthaltes an das Gerichtspräsidium Lenzburg retourniert worden sei. Das Gericht überwies die Eingabe als Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist am 29. Mai 2012 an das Obergericht des Kantons Aargau und informierte X._ dahingehend.
B. B.a Der Instruktionsrichter des Obergerichts forderte den Gesuchsteller mit Verfügung vom 13. Juni 2012 zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 600.-- innert zehn Tagen auf. Am 29. Juni 2012 ersuchte der Gesuchsteller um Erstreckung der Frist bis zum 23. Juli 2012; diesem Gesuch gab der Instruktionsrichter mit Verfügung vom 3. Juli 2012 nicht statt und setzte dem Gesuchsteller eine letzte Frist von zehn Tagen zur Leistung des Kostenvorschusses. Am 23. Juli 2012 verlangte X._ fristgerecht die unentgeltliche Rechtspflege, die ihm der Instruktionsrichter mit Verfügung vom 19. September 2012 nicht bewilligte.
B.b X._ hat am 29. Oktober 2012 beim Bundesgericht gegen die Verfügung des Instruktionsrichters vom 19. September 2012 betreffend Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt, die angefochtene Verfügung aufzuheben und ihm die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren der Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist zu gewähren; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
B.c Mit Präsidialverfügung vom 5. November 2012 ist der Beschwerde gegen die Verfügung vom 19. September 2012 dem Antrag von X._ entsprechend aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
B.d Der Instruktionsrichter des Obergerichts des Kantons Aargau hat sich weder zur aufschiebenden Wirkung noch in der Sache vernehmen lassen.
C. C.a Am 26. September 2012 trat das Obergericht des Kantons Aargau auf das Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist mangels Leistung des Kostenvorschusses ohne Kostenfolge für X._ nicht ein. Dieser Entscheid ist X._ am 31. Oktober 2012 zugestellt worden.
C.b X._ hat diesen Entscheid am 30. November 2012 (Postaufgabe) mit Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht angefochten. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts vom 26. September 2012 aufzuheben und die Sache zwecks Ansetzung einer neuen Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses zurückzuweisen, soweit ihm nicht aufgrund des vor Bundesgericht hängigen Beschwerdeverfahrens 5D_166/2012 die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen sei. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
C.c Mit Verfügung vom 20. Dezember 2012 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
C.d Das Obergericht hat mit Bezug auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung und in der Sache auf Vernehmlassung verzichtet. Z._, Beschwerdegegner, hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1. Verfahrensvereinigung
Angefochten ist vorliegend ein Zwischenentscheid betreffend Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren der Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist für die Anfechtung eines Rechtsöffnungsentscheids (5D_166/2012). Separat angefochten ist sodann der Entscheid in der Sache, mit dem auf ein Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist nicht eingetreten worden ist (5D_190/2012). Diese Ausgangslage rechtfertigt es, die beiden separaten Beschwerdeverfahren, an welcher im Wesentlichen die gleichen Parteien beteiligt sind, zu vereinigen und in einem Entscheid zu erledigen (vgl. Urteil 5A_10/2007 vom 23.März 2007 E. 1.2).
2. Eintretensvoraussetzungen
2.1 Bei der Verfügung des Instruktionsrichters des Obergerichts des Kantons Aargau, mit der die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren betreffend Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist in einem Rechtsöffnungsverfahren abgewiesen worden ist, handelt es sich um einen Zwischenentscheid mit nicht wiedergutzumachendem rechtlichen Nachteil (<ref-law>; Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2. S. 647 f.). Bei dieser geht es um eine Rechtsöffnung, d.h. eine Zivilsache im Sinn von <ref-law>, deren Streitwert den Betrag von Fr. 30'000.-- nicht erreicht (<ref-law>). Die Sache kann demnach nur mit (subsidiärer) Verfassungsbeschwerde angefochten werden (<ref-law>), womit auch gegen den vorliegend angefochtenen Zwischenentscheid nur dieses Rechtsmittel offen steht. Dass es sich nicht um einen Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts in seiner Eigenschaft als Rechtsmittelinstanz handelt (<ref-law>), schadet nicht (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.1).
2.2 Der Entscheid, mit dem infolge Ablaufs der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses auf das Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist nicht eingetreten worden ist, schliesst das Verfahren ab. Er gilt damit als Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG), gegen den angesichts des Streitwertes von weniger als Fr. 30'000.-- (<ref-law>) ebenso einzig die Verfassungsbeschwerde offen steht (<ref-law>).
2.3 Der Beschwerdeführer war sowohl im Verfahren betreffend Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wie in jenem betreffend Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist Partei (<ref-law>). Da auf sein Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist nicht eingetreten wurde, verfügt er insoweit über ein schützenswertes Interesse an der Aufhebung bzw. Abänderung des angefochtenen Endentscheides (<ref-law>). Gleiches gilt mit Bezug auf den angefochtenen Zwischenentscheid, auch wenn dem Beschwerdeführer im Endentscheid keine Kosten auferlegt worden sind: Da der Endentscheid angefochten ist und unter Umständen aufgehoben wird, bleibt die Kostenfrage offen und ist nicht erstellt, dass dem Beschwerdeführer im neu zu fällenden Endentscheid keine Kosten auferlegt werden. Auf die fristgerecht (<ref-law>) eingereichten Beschwerde ist einzutreten.
3. Kognition
Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 113 i.V.m. <ref-law>). Es gilt das sogenannte Rügeprinzip (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat in der Beschwerdeschrift darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3.1).
4. Beschwerde 5D_166/2012
4.1 Das Obergericht hat das Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist als aussichtslos betrachtet und deshalb das Begehren des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das entsprechende Verfahren abgewiesen. Einleitend hat es erwogen, der Rechtsöffnungsentscheid der Präsidentin III des Bezirksgerichts Lenzburg sei am 7. Mai 2012 als Gerichtsurkunde an die Adresse des Beschwerdeführers versandt und am 8. Mai 2012 von der Post zur Abholung in das Postfach des Gesuchstellers avisiert worden. Der Beschwerdeführer habe den Entscheid innert der siebentägigen am 15. Mai 2012 ablaufenden Abholfrist nicht abgeholt; der Entscheid sei deshalb von der Post mit dem Vermerk "nicht abgeholt" an das Bezirksgerichtspräsidium zurückgeschickt worden. Der Beschwerdeführer habe aufgrund des hängigen Rechtsöffnungsverfahrens und der am 18. April 2012 in der Sache abgegebenen Stellungnahme mit der Zustellung des Rechtsöffnungsentscheids rechnen müssen, weshalb die Zustellung des Entscheids nach dem erfolglosen Zustellungsversuch am 15. Mai 2012 als erfolgt zu gelten habe (<ref-law>). Die zehntägige Beschwerdefrist habe am 16. Mai 2012 begonnen und am 25. Mai 2012 geendet. Der Beschwerdeführer habe innert der Rechtsmittelfrist keine Beschwerde erhoben, sondern am 24. Mai 2012 bei der ersten Instanz darum ersucht, eine allenfalls während seines Spitalaufenthalts an das Gericht zurückgesandte Sendung nochmals Frist auslösend zuzustellen. Die erste Instanz habe diese Eingabe somit zu Recht als Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist an das Obergericht überwiesen.
In der Sache hat das Obergericht alsdann erwogen, der Beschwerdeführer habe zur Begründung des Gesuchs ausgeführt, er sei am 27. April 2012 notfallmässig ins Spital eingeliefert und erst vor einer Woche (16. Mai 2012) entlassen worden. Anfangs dieser Woche (24. Mai 2012) habe er sich wieder um seine Angelegenheiten kümmern können. Der Beschwerdeführer habe aber nicht behauptet, er habe während der ganzen Zeit des Spitalaufenthalts niemanden damit beauftragen können, sein Postfach zu leeren und gegebenenfalls Beschwerde gegen den Rechtsöffnungsentscheid zu führen. Der Entscheid sei erst am 8. Mai 2012 zur Abholung avisiert worden und bis zum 15. Mai 2012 in seinem Postfach zur Abholung bereitgelegen. Unter diesen Umständen seien die Gewinnaussichten als beträchtlich geringer zu werten als die Verlustgefahren und könnten deshalb nicht mehr als ernsthaft bezeichnet werden. Das Wiederherstellungsgesuch sei daher als aussichtslos zu bezeichnen und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für dieses Verfahren abzuweisen.
4.2 Der Beschwerdeführer macht unter sinngemässer Berufung auf <ref-law> erstmals vor Bundesgericht im Wesentlichen geltend, das Obergericht habe bei der Beurteilung der Aussichtslosigkeit die tatsächlichen Verhältnisse nicht berücksichtigt. Namentlich verkenne es, dass eine ins Postfach gelegte Sendung nicht einfach von einer beauftragten Person abgeholt werden könne. Zwecks Bevollmächtigung einer Person müsse er persönlich am Postschalter erscheinen und seine Unterschrift am Display per Scanner leisten, was ihm in der Zeit vom 27. April bis 16. Mai 2012 weder möglich noch zumutbar gewesen sei. Zudem habe er nicht mit einem längeren Spitalaufenthalt gerechnet. Nach Ansicht des Beschwerdeführers sind diese Noven vor Bundesgericht zulässig, da er sich am 24. Mai 2012 einzig zwecks nochmaliger Zustellung einer allenfalls während seiner Abwesenheit an das Gericht zurückgesandten gerichtlichen Sendung an die Kanzlei des Bezirksgerichts gewendet und kein Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist gestellt hat. Erst im Verlaufe des obergerichtlichen Verfahrens sei ihm mitgeteilt worden, dass die erste Instanz sein Schreiben als Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist aufgefasst und an das Obergericht weitergeleitet habe. Niemand habe ihm erklärt, wie ein entsprechendes Gesuch abzufassen sei. Die Verweigerung des rechtlichen Gehörs berechtige ihn zu den besagten Noven.
4.2 Der Beschwerdeführer macht unter sinngemässer Berufung auf <ref-law> erstmals vor Bundesgericht im Wesentlichen geltend, das Obergericht habe bei der Beurteilung der Aussichtslosigkeit die tatsächlichen Verhältnisse nicht berücksichtigt. Namentlich verkenne es, dass eine ins Postfach gelegte Sendung nicht einfach von einer beauftragten Person abgeholt werden könne. Zwecks Bevollmächtigung einer Person müsse er persönlich am Postschalter erscheinen und seine Unterschrift am Display per Scanner leisten, was ihm in der Zeit vom 27. April bis 16. Mai 2012 weder möglich noch zumutbar gewesen sei. Zudem habe er nicht mit einem längeren Spitalaufenthalt gerechnet. Nach Ansicht des Beschwerdeführers sind diese Noven vor Bundesgericht zulässig, da er sich am 24. Mai 2012 einzig zwecks nochmaliger Zustellung einer allenfalls während seiner Abwesenheit an das Gericht zurückgesandten gerichtlichen Sendung an die Kanzlei des Bezirksgerichts gewendet und kein Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist gestellt hat. Erst im Verlaufe des obergerichtlichen Verfahrens sei ihm mitgeteilt worden, dass die erste Instanz sein Schreiben als Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist aufgefasst und an das Obergericht weitergeleitet habe. Niemand habe ihm erklärt, wie ein entsprechendes Gesuch abzufassen sei. Die Verweigerung des rechtlichen Gehörs berechtige ihn zu den besagten Noven.
4.3 Strittig ist vorliegend, ob die Vorinstanz die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) zu Recht verneint hat.
4.3.1 Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat nach <ref-law> Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218). Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen).
4.3.2 Im vorliegenden Fall stellt sich die Frage der Zustellungsfiktion in einem Rechtsöffnungsverfahren, auf das die Bestimmungen der ZPO anzuwenden sind. Damit richtet sich die Wiederherstellung der Frist ebenfalls nach der ZPO (Art. 148). <ref-law> (Wiederherstellung der Frist nach SchKG) ist nicht anwendbar.
4.3.3 Nach <ref-law> gilt die Zustellung einer nicht abgeholten eingeschriebenen Postsendung als am siebten Tag nach dem erfolglosen Zustellungsversuch erfolgt, sofern die Person mit einer Zustellung rechnen musste (sog. Zustellungsfiktion).
4.3.4 Der Beschwerdeführer war Partei in einem gegen ihn angehobenen Rechtsöffnungsverfahren und hat aufgrund dieses Umstandes und der am 18. April 2012 in der Sache abgegebenen Stellungnahme mit der Zustellung des Rechtsöffnungsentscheides rechnen müssen; die Zustellungsfiktion gelangt daher ohne weiteres zur Anwendung. Der Rechtsöffnungsentscheid der Präsidentin III des Bezirksgerichts Lenzburg ist am 7. Mai 2012 als Gerichtsurkunde an die Adresse des Beschwerdeführers versandt und am 8. Mai 2012 von der Post zur Abholung in das Postfach des Gesuchstellers avisiert worden. Der Beschwerdeführer hat den Entscheid innert der siebentägigen am 15. Mai 2012 ablaufenden Abholfrist nicht abgeholt, weshalb der Entscheid von der Post mit dem Vermerk "nicht abgeholt" an das Bezirksgerichtspräsidium zurückgeschickt worden ist. Aufgrund der in der Sache anwendbaren Zustellungsfiktion hat die Zustellung des Entscheids nach dem erfolglosen Zustellungsversuch als am 15. Mai 2012 erfolgt zu gelten (<ref-law>).
4.3.5 Nach <ref-law> kann das Gericht auf Gesuch einer säumigen Partei eine Nachfrist gewähren oder zu einem Termin erneut vorladen, wenn die Partei glaubhaft macht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden trifft. Das Gesuch ist innert zehn Tagen seit Wegfall des Säumnisgrundes einzureichen (Abs. 2). Ein Unfall oder die plötzliche Erkrankung einer Partei oder deren Vertreters kann eine Wiederherstellung einer versäumten Frist rechtfertigen. Von vorrangiger Bedeutung ist jedoch grundsätzlich der Zeitpunkt der Erkrankung. Nur wenn diese am Ende einer Frist liegt bzw. sich mit dem Termin überschneidet, kann von Unzumutbarkeit eigenen Handelns oder die Beauftragung eines Dritten ausgegangen werden (<ref-ruling> E. 2a S. 87; <ref-ruling> E. 2a mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2a S. 256, je mit Hinweisen; NICCOLÒ GOZZI, Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, N. 20 zu <ref-law>).
4.3.6 Wird wie hier eine Person notfall- und daher unplanmässig in ein Spital eingeliefert, gereicht ihr nicht zum Vorwurf, dass sie keine Vorkehrungen für die Zustellung der für sie bestimmten Entscheide getroffen hat. Das gilt erst recht im vorliegenden Fall, in dem die Abholfrist während des Spitalaufenthaltes ablief. Der ans Bett Gebundene war überdies offensichtlich auch nicht in der Lage, einen Stellvertreter zu bestimmen, zumindest hat die Vorinstanz nicht abgeklärt, ob der Beschwerdeführer nach den geltenden Bestimmungen der Post kurzfristig einen Vertreter hätte bestellen können. Bei der gegebenen Ausgangslage trifft den Beschwerdeführer kein Verschulden, sodass sich die Frage der Wiederherstellung der Frist im Sinn von <ref-law> grundsätzlich stellt.
4.3.7 Der Beschwerdeführer hat vorliegend darum ersucht, dass ihm eine allenfalls während seiner Spitalabwesenheit zugestellte Gerichtsurkunde erneut "fristauslösend" zugestellt werde. Fraglich ist, ob es sich dabei tatsächlich um ein die Wiederherstellung der Frist zur Ergreifung des Rechtsmittels gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid betreffendes Gesuch handelt oder ob darin nicht vielmehr ein Gesuch um Wiederholung der Zustellung bzw. um Ansetzung einer neuen Abholfrist bezüglich des erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheides zu erblicken ist. Wie es sich verhält braucht hier nicht abschliessend entschieden zu werden. Jedenfalls kann das Verfahren den bisherigen Ausführungen entsprechend nicht als aussichtslos bezeichnet werden.
4.4 Nach dem Gesagten ist die Verfassungsbeschwerde 5D_166/2012 gutzuheissen, die angefochtene Verfügung vom 19. September 2012 aufzuheben und die Sache zur Prüfung der Bedürftigkeit an die Vorinstanz zurückzuweisen.
5. Beschwerde 5D_190/2012
5.1 Das Obergericht ist im Entscheid vom 26. September 2012 auf das Gesuch des Beschwerdeführers um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist mit der Begründung nicht eingetreten, der Beschwerdeführer habe auch innert der letzten Frist den Kostenvorschuss nicht geleistet, sondern ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege gestellt, welches abgewiesen worden sei. Daher sei androhungsgemäss auf das Fristwiederherstellungsgesuch nicht einzutreten.
5.2 Aufgrund des fehlerhaften Zwischenentscheids über die unentgeltliche Rechtspflege beruht der Entscheid vom 26. September 2012 in der Sache auf falschen tatsächlichen Grundlagen, zumal das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege noch nicht abschliessend beurteilt ist. Unter den gegebenen Umständen kann das Verfahren nicht mit einem Nichteintreten auf das Gesuch wegen Nichtleistens des Kostenvorschusses erledigt werden. Abgesehen davon hat das Obergericht nicht beachtet, dass es trotz Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege aufgrund der bundesgerichtlichen Rechtsprechung verpflichtet war, eine Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen (<ref-ruling> E. 4 S. 165 f.).
5.3 Damit ist auch die Verfassungsbeschwerde 5D_190/2012 gutzuheissen und der Entscheid in der Sache vom 26. September 2012 aufzuheben. Die Sache ist zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6. Kosten und Entschädigung
6.1 Der Beschwerdeführer obsiegt mit beiden Beschwerden. Im Verfahren 5D_166/2012, in dem der Instruktionsrichter des Obergerichts des Kantons Aargau Gegenpartei ist, können keine Kosten erhoben werden (<ref-law>). Im Verfahren 5D_190/2012 ist zwar eine private Person Beschwerdegegner (der Gläubiger im Betreibungsverfahren). Dieser hat sich allerdings nicht vernehmen lassen und die Aufhebung des Entscheids in der Sache ist ihm in keiner Weise anzulasten, zumal die Aufhebung ausschliesslich auf einer fehlerhaften Rechtsanwendung der letzten kantonalen Instanz beruht. Unter diesen Umständen sind dem privaten Beschwerdegegner keine Kosten aufzuerlegen (vgl. zur Justizpanne: 5A_61/2012 vom 23. März 2012 E. 4).
6.2 Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-ruling> E. 4 S. 446 unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 5 S. 21).
7. Unentgeltliche Rechtspflege
Mit der vorliegenden Kostenregelung werden die Gesuche des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 5D_166/2012 und 5D_190/2012 werden vereinigt.
2. Die Verfassungsbeschwerden werden gutgeheissen. Die Verfügung des Instruktionsrichters des Obergerichts des Kantons Aargau vom 19. September 2012 sowie der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 26. September 2012 werden aufgehoben und die Sachen werden zu neuer Entscheidung an die Vorinstanzen zurückgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden