Sachverhalt:
A. Die 1972 geborene B._ erlitt am 27. Dezember 2001 einen Unfall (Kontusion des Steissbeins); mit Unfallmeldung vom 23. Februar 2004 meldete sie einen Rückfall. Der obligatorische Unfallversicherer erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Die IV-Stelle des Kantons Luzern lehnte das am 7. Dezember 2004 eingegangene Gesuch um Leistungen der Invalidenversicherung mit der Begründung ab, es bestehe kein Gesundheitsschaden, welcher die Arbeitsfähigkeit einschränken würde (mit Einspracheentscheid vom 30. Januar 2006 bestätigte Verfügung vom 9. August 2005).
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 23. Juli 2007).
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, nach Aufhebung von vorinstanzlichem und Einspracheentscheid, eine Invalidenrente zuzusprechen; eventuell seien zuvor zusätzliche medizinische Abklärungen vorzunehmen; subeventuell sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses sich zum Ausmass der Einschränkung äussere. Ausserdem ersucht B._ um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Streitig ist, ob die von der Verwaltung erhobenen medizinischen Angaben genügen, um die Rechtsauffassung zu begründen, es bestehe von vornherein kein invalidisierender Gesundheitsschaden.
1.1 Das kantonale Gericht hat die zur Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen, teilweise in Form einer Verweisung auf die entsprechenden Angaben im Einspracheentscheid, zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Zusammenhang mit dem Einbezug einer Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 6. Juli 2005 in den Entscheidungsprozess.
2.1 Das kantonale Gericht hielt fest, die fragliche Stellungnahme des RAD befinde sich praxisgemäss in dem zu jedem Versicherungsfall angelegten Verlaufsprotokoll, "worin im Sinn eines Reports fortlaufend mit entsprechendem Datum die von den verschiedenen Fachbereichen der IV vorgenommene Fallbearbeitung festgehalten wird". Vorliegend habe der RAD ohne weitere ärztliche Abklärung einzig eine medizinische Beurteilung der vorliegenden ärztlichen Dokumente vorgenommen und seine Ergebnisse im Verlaufsprotokoll zuhanden der IV-Stelle festgehalten. Damit habe die Stellungnahme des RAD zur versicherungsrechtlichen Würdigung der medizinischen Befunde gedient. Das entsprechende Ergebnis sei in die Begründung des Einspracheentscheids eingeflossen. Eine Rückweisung der Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs bewirke einen formalistischen Leerlauf. Eine "mögliche Gehörsverletzung" sei als im Rahmen des kantonalen Gerichtsverfahrens geheilt zu betrachten.
2.2 Die Stellungnahme eines RAD ist auch dann ein entscheidungserhebliches Dokument, wenn es nicht auf eigenen Untersuchungen beruht (Urteil I 143/07 vom 14. September 2007, E. 3.3). Die IV-Stelle hat die Stellungnahme des RAD nicht in der originalen Fassung, sondern lediglich zitatweise im (dem eigentlichen Dossier vorangestellten) Verlaufsprotokoll zu den Akten gegeben. Die Frage nach der beweisrechtlichen Bedeutung dieses Umstandes kann indes offen bleiben, weil der vorinstanzliche Entscheid nicht massgebend auf die Einschätzung des RAD abstellt (unten E. 3). Insofern liegt selbst dann keine bundesrechtswidrige Feststellung und Würdigung des Sachverhalts durch das kantonale Gericht vor, wenn die vorstehend umrissene Art und Weise der Dossierführung mangelbehaftet und die Stellungnahme des RAD deswegen ohne Beweiswert sein sollte.
3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die IV-Stelle habe das Ausmass der Einschränkung ihrer körperlichen Gesundheit zumindest nicht ausreichend abgeklärt. Sie habe sich vielmehr damit begnügt, die Schmerzangaben als rein subjektive Befunde ohne objektives Korrelat darzustellen. Die Verwaltung bestreitet die Begründetheit dieser Rüge und verweist auf die grundsätzliche Bindung des Bundesgerichts an den vorinstanzlich festgestellten rechtserheblichen Sachverhalt (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>).
3.1 Das kantonale Gericht führte aus, es sei unbestritten, dass bei der Beschwerdeführerin eine Arachnoidal- oder Tarlovzyste im sakralen rechten Spinalkanal sowie aufgrund des Unfalls vom Dezember 2001 eine kleine Diskushernie L5/S1 vorliege. Die Zyste sei nicht durch den Unfall entstanden, sondern habe schon existiert, als die Versicherte noch arbeitsfähig war. Im Spital X._ wurden bei einer Untersuchung Ende März 2004 folgende objektiven Befunde erhoben: "Druck- und Klopfdolenz im Bereiche des Sakrums. Lasègue rechts bei 80°, links bei 60° pseudopositiv (Erzeugung von Kreuzschmerzen). Keine motorischen oder sensiblen Ausfälle, vor allem keine Reflexausfälle und keine Störung der sakralen Sensibilität" (Bericht vom 19. April 2004). Verschiedene Dokumente weisen eine Zystenproblematik im Bereich der Sakralwirbelkörper aus und nehmen auf die Diskusprotrusion Bezug (vgl. etwa Berichte des Instituts Y._ vom 5. März 2004 und vom 23. März 2005 sowie des Spitals Z._ vom 5. Mai 2004). Das kantonale Gericht setzte sich mit diesen Akten auseinander, indem es auf die dort geäusserte Einschätzung verwies, die kleine Bandscheibenherniation führe nicht zu einer Kompression neuraler Strukturen; fraglich sei auch, ob die Arachnoidalzyste ursächlich für die rezidivierende Schmerzsymptomatik in Frage komme. Die vorbestehende Zyste habe bis zum Unfall im Dezember 2001 und auch danach die Beschwerdeführerin nicht daran gehindert, im Rahmen ihres Pensums zu arbeiten. Sie könne auch deswegen nicht Schmerzursache sein, weil es nach der im Oktober 2006 vorgenommenen operativen Entfernung nicht zu einer Besserung der Schmerzen gekommen sei. Die umfassende neurologische Abklärung der geltend gemachten lumbalen Schmerzen führe zu keinem hinreichend erklärbaren korrelierenden Befund. Für eine psychiatrische Genese bestünden keine Hinweise. Es ist nicht offensichtlich unrichtig, wenn die Vorinstanz diese ärztlichen Einschätzungen zur Grundlage des entscheiderheblichen Sachverhalts gemacht hat. Vor diesem Hintergrund hat die Vorinstanz auch die hausärztliche Einschätzung, es komme bei stehender Arbeit nach einer Stunde jeweils zu starken Rückenschmerzen mit Ausstrahlungen in das rechte Bein (Bericht des Dr. A._ vom 17. März 2005), nicht offensichtlich unrichtig gewürdigt.
3.2 Aufgrund der Diagnose "lumboradikuläres Reizsyndrom S1 und S2 bei ausgedehnter, rechtsbetonter sakraler Tarlovzyste" wurde am 10. Oktober 2006 in der neurochirurgischen Klinik am Spital X._ eine Operation durchgeführt. Aus dem entsprechenden Bericht geht hervor, dass die Beschwerdeführerin seit mehreren Jahren unter rezidivierenden Lumbalgien "mit immer wieder einschiessenden pseudoradikulären, glutealen Schmerzen" litt. Eine Zustandsbesserung nach der Operation scheint indes ausgeblieben zu sein (Bericht der chirurgischen Klinik am Spital Z._ vom 1. Mai 2007). Das kantonale Gericht hat daraus den - wiederum nicht offensichtlich unrichtigen - Schluss gezogen, die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Ursächlichkeit der Zyste im Hinblick auf die Schmerzen werde durch diesen Befund widerlegt.
3.3 Im Rahmen der bundesgerichtlichen Kognition (oben E. 1.2) ist die sachverhaltliche Feststellung der Vorinstanz, ein invalidisierender Gesundheitsschaden sei nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen, zu schützen.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Gemäss dem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, das Rechtsmittel nicht aussichtslos und die anwaltliche Vertretung geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Dr. Peter Rothenbühler, Meggen, wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. September 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub