Sachverhalt:
A. Die X._ AG mit Sitz in Vaduz, Fürstentum Liechtenstein, bezweckt gemäss dem Eintrag in das Öffentlichkeitsregister vom 22. April 2001 "den Erwerb und Betrieb eines Hubschraubers, Handels-, Finanz- und Rechtsgeschäfte aller Art, Beteiligung an anderen Unternehmungen sowie Ankauf und Verkauf von Mobilien und Immobilien". Wirtschaftlich Berechtigter ist A._. Die Gesellschaft ist mit Wirkung ab 1. Januar 2002 im Register der Mehrwertsteuerpflichtigen bei der Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein eingetragen.
Im Dezember 2001 erwarb die Gesellschaft einen Helikopter der Marke und des Typs Agusta A 109E, wobei die Finanzierung durch A._ erfolgte und die Verbindlichkeiten in der Buchhaltung der Gesellschaft als Kreditor Aktionär bilanziert wurden. Am 13. Oktober 2001 schloss die Gesellschaft mit der O._ AG eine Vereinbarung über die Betriebsführung des Helikopters ab. Dieser wurde zumindest anfänglich überwiegend für A._ verwendet.
In den Jahren 2002 bis 2004 deklarierte die Gesellschaft Umsatzsteuern und Vorsteuerabzüge dergestalt, dass sich ein Steuerguthaben von insgesamt Fr. 447'735.-- ergab, wobei davon Fr. 469'484.-- (betreffend 2002) von der Steuerverwaltung ausbezahlt wurden.
B. Mit Verfügung vom 16. November 2005 setzte die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein die Vorsteuern für die Steuerperioden 1. Quartal 2002 bis 4. Quartal 2005 auf je Fr. 0 fest, stellte fest, dass das Konto der X._ AG per 16. November 2005 einen Saldo von Fr. 492'394.65 zu Gunsten der Steuerverwaltung ausweise und löschte die X._ AG mit Wirkung ab 1. Januar 2002 im MWST-Register.
Zur Begründung führte die Steuerverwaltung im Wesentlichen aus, es liege eine Steuerumgehung vor, zumal die Gesellschaft sich praktisch auf eine Buchungsstelle, ohne eigenes Personal, beschränke. Es würden darin einzig die eingehenden Rechnungen verbucht und bezahlt. Weitere Aufgaben erfülle die Gesellschaft nicht. Wirtschaftlich bestünde kein Unterschied, mit Ausnahme eines etwaigen Haftungsrisikos, wenn der Helikopter in Form einer Einzelfirma geführt würde, da sämtliche Finanzierungen der Aufwendungen von A._ getätigt würden.
C. Die von der X._ AG gegen diese Verfügung erhobene Einsprache wurde von der Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein am 13. April 2006 abgewiesen. Die dagegen erhobene Beschwerde wies die Landessteuerkommission des Fürstentums Liechtenstein am 10. Juni 2008 ab.
Gegen den Entscheid der Landessteuerkommission gelangten die X._ AG mit Beschwerde an den Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein. Dieser wies mit Urteil vom 12. November 2009 die Beschwerde ab. Aus den Erwägungen ist hervorzuheben:
Der grösste Teil der von der Beschwerdeführerin erbrachten Beförderungsleistungen entfielen auf grenzüberschreitende Flüge, die von der Steuer befreit seien, aber dennoch zum Vorsteuerabzug berechtigten. Gegen diese Rechtsfolge sei nichts einzuwenden, sofern die Ausgangsleistungen (d.h. die Beförderungen), einem geschäftlich begründeten Zweck dienten. Hingegen berechtigten die Beförderungsleistungen nicht zum Vorsteuerabzug, wenn sie einer privaten Verwendung dienen, insbesondere zu einer dem Alleinaktionär direkt zuzurechnenden Leistung Anlass geben. Im vorliegenden Fall diene die Beschwerdeführerin in erster Linie den privaten Interessen des Alleinaktionärs. Das führe zu einer Kürzung des Vorsteuerabzugs. Dass die Gesellschaft in einem beschränkten Umfang auch Drittumsätze ausgeführt habe, sei unerheblich, da diese an der pimären Verwendung der Gesellschaft zugunsten des Aktionärs nichts ändere.
Ferner prüfte der Verwaltungsgerichtshof den Fall im Lichte der jüngeren Rechtsprechung des schweizerischen Bundesgerichts, wonach steuerbare Umsätze einen echten Leistungsaustausch voraussetzen. Im Falle der Vermietung oder Vercharterung eines Flugzeugs liege ein Leistungsaustausch und damit ein steuerbarer Umsatz nur vor, wenn das Flugzeug durch unabhängige Dritte genutzt werde. Soweit daher die Vermietung oder Vercharterung an eine der Unternehmung nahe stehende oder an dieser wirtschaftlich berechtigte Person erfolge, lägen keine unternehmerische Tätigkeit und keine Umsätze vor. Das führe im vorliegenden Fall dazu, dass die Beschwerdeführer gegenüber ihrem wirtschaftlichen Berechtigen keine steuerbaren Umsätze erzielt habe.
Schliesslich prüfte der Verwaltungsgerichtshof den Fall auch unter dem Gesichtswinkel der Steuerumgehung. Das gewählte Vorgehen führe tatsächlich zu einer Steuerersparnis, wobei für die Einschaltung der Beschwerdeführerin als Zwischengesellschaft nur steuerliche Motive angeführt werden könnten, zumal diese über keine eigene Betriebsorganisation verfüge und die flugtechnischen Leistungen ausschliesslich durch die O._ AG erbracht würden.
D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 16. Dezember 2009 stellte die X._ AG diverse prozessuale Anträge - darunter das Gesuch um Sistierung des Verfahrens -, auf die soweit erforderlich in den Erwägungen einzugehen ist. Ferner stellte sie eine Reihe, zum Teil redundanter, materieller Anträge, welche im Wesentlichen darauf abzielen, den angefochtenen Entscheid und den Entscheid der liechtensteinischen Steuerverwaltung aufzuheben. Auf deren Begründung ist - soweit erforderlich - im Rahmen der Erwägungen einzugehen.
Mit Verfügung vom 21. Januar 2010 wurde das Sistierungsgesuch der Beschwerdeführerin abgewiesen. Hingegen wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt (Verfügung vom 19. Februar 2010).
Der Verwaltungsgerichtshof und die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein verzichteten auf eine Stellungnahme. Die Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Die X._ AG beantragt mit separater Eingabe sowie replicando, die Vernehmlassung der Eidgenössischen Steuerverwaltung sei aus dem Recht zu weisen. Zusätzlich beantragt sie, der Verwaltungsgerichtshof bzw. die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein seien anzuhalten, dem Bundesgericht sämtliche streitgegenständlichen Verfahrensakten (insbesondere Rechtsschriften mit Beilagen) auszuhändigen; das Verfahren sei zu sistieren und der Beschwerdeführerin sei Gelegenheit zu geben, nach Akteneinsicht gegebenenfalls eine weitere schriftliche Stellungnahme einzureichen.
Der Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein verzichtet auf eine Stellungnahme zur Replik der Beschwerdeführerin. Die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein reichte keine Vernehmlassung ein.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des liechtensteinischen Verwaltungsgerichtshofs an das Schweizerische Bundesgericht ergibt sich völkerrechtlich aus Art. 11 der Vereinbarung zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein vom 28. November 1994 zum Vertrag betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein (nachfolgend: MWST-Vereinbarung; SR 0.641.295.142.1) und landesrechtlich aus Art. 66 des vorliegend anwendbaren liechtensteinischen Gesetzes vom 16. Juni 2000 über die Mehrwertsteuer (aMWSTG/FL, LGBl. 2000, Nr. 163) bzw. heute aus Art. 73 des liechtensteinischen Gesetzes über die Mehrwertsteuer vom 22. Oktober 2009, in Kraft seit 1. Januar 2010 (MWSTG/FL, LGBl. 2009, Nr. 330). Mit dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) am 1. Januar 2007 hat die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Funktion der Verwaltungsgerichtsbeschwerde übernommen (<ref-law>/FL). Das Verfahren richtet sich nach schweizerischem Recht (Art. 11 MWST-Vereinbarung, <ref-law>/FL). Auf die den gesetzlichen Anforderungen genügende Beschwerde ist daher einzutreten.
1.2 Art. 11 der MWST-Vereinbarung beschränkt die Anfechtbarkeit auf "Entscheidungen über materielle Vorschriften der Mehrwertsteuer". Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann somit nur gerügt werden, (materielle) Rechtsvorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuergesetzgebung und der gemäss dieser Gesetzgebung anwendbaren Vorschriften seien verletzt (s. auch <ref-law>/FL). Eine Sachverhaltsprüfung steht dem Bundesgericht nicht zu (vgl. hinten E. 3). Bezüglich der hier streitigen Fragen (Nichtanerkennung der Beschwerdeführerin als Steuersubjekt, Verweigerung des Vorsteuerabzugs) ist die Zuständigkeit des Bundesgerichts gegeben.
1.3 Der zu beurteilende Sachverhalt hat sich in den Jahren 2002 bis 2005 verwirklicht. Am 1. Januar 2010 ist das liechtensteinische Gesetz vom 22. Oktober 2009 über die Mehrwertsteuer in Kraft getreten. Die bisherigen gesetzlichen Bestimmungen sowie die gestützt darauf erlassenen Vorschriften bleiben aber weiterhin auf alle während ihrer Geltungsdauer eingetretenen Tatsachen und entstandenen Rechtsverhältnisse anwendbar (<ref-law>/FL). Anwendbar ist im vorliegenden Fall daher im materiellrechtlicher Hinsicht das liechtensteinische Mehrwertsteuergesetz vom 16. Juni 2000. Da das Gesetz das schweizerische Mehrwertsteuerrecht in weiten Teilen unverändert in das eigene Recht übernommen hat (vgl. Art. 1 Abs. 1 MWST-Vereinbarung), kann bei der Beurteilung auf die entsprechende Lehre und Rechtsprechung zur schweizerischen Mehrwertsteuer abgestellt werden. Das gilt, soweit keine abweichenden Gesetzesbestimmungen bestehen (Urteil 2C_904/2008 vom 22. Dezember 2009 E. 1.3). Das Verfahren richtet sich nach schweizerischem Recht (Art. 11 MWST-Vereinbarung; <ref-law>/FL).
1.4 Der Anspruch auf öffentliche und mündliche Verhandlung richtet sich vorliegend nach <ref-law>, nicht nach Art. 6 EMRK. Vorliegend erübrigt sich eine solche.
2. Die Beschwerdeführerin stellt verschiedene Verfahrensanträge und einen Rückweisungsantrag, die vorab zu beurteilen sind.
2.1 Die Beschwerdeführerin beantragt eventualiter, das Bundesgericht "möge die Behandlung der vorliegenden Beschwerde aussetzen, den Bundesrat über den gegenständlichen Fall informieren und Letzteren auffordern, das Verständigungsverfahren nach Art 12 der MWST-Vereinbarung einzuleiten". Sie begründet dies damit, dass die MWST-Vereinbarung auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht verweise, ein Rechtsmittel, das es nach dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes nicht mehr gebe.
Wie bereits in E. 1.1 erwähnt, hat die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als Einheitsbeschwerde u.a. die Funktion der Verwaltungsgerichtsbeschwerde übernommen (vgl. Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, BBl 2001 S. 4319; SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 2 zu <ref-law>). Es steht ausser Zweifel, dass die Vertragsparteien in ihrer Vereinbarung aus dem Jahre 1994 den Verweis auf das damals zur Verfügung stehende Rechtsmittel nach schweizerischem Recht nicht als statischen Verweis betrachteten, sondern damit lediglich die Zuständigkeit des schweizerischen Bundesgerichts nach dem jeweils geltenden Schweizer Recht begründen wollten. Der neue <ref-law>/FL benennt denn auch als Rechtsmittel die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht, ohne dass Art. 11 MWST-Vereinbarung geändert worden wäre. Es stellen sich offensichtlich keine Fragen, welche der gemischten Kommission gemäss Art. 12 der MWST-Vereinbarung zu unterbreiten wären. Der diesbezügliche Antrag der Beschwerdeführerin ist abzuweisen.
2.2 Die Beschwerdeführerin verlangt "präjudiziell und in principaliter", das angefochtene Urteil sei aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie begründet dies mit einer falschen Rechtsmittelbelehrung durch die Vorinstanz, da diese ausgeführt habe, gegen ihr Urteil könne Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Schweizerischen Bundesgericht erhoben werden, wogegen es nach dem auf den 1. Januar 2007 in Kraft getretenen Bundesgerichtsgesetz die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht mehr gebe.
Nach <ref-law> dürfen den Parteien aus mangelhafter Eröffnung, insbesondere wegen unrichtiger oder unvollständiger Rechtsmittelbelehrung oder wegen Fehlens einer vorgeschriebenen Rechtsmittelbelehrung, keine Nachteile erwachsen. Vorliegend hat die Vorinstanz zwar in der Rechtsmittelbelehrung angegeben, gegen das Urteil könne beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben werden, anstatt auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hinzuweisen. Es ist jedoch nicht erkennbar, wie daraus für die Beschwerdeführerin ein Nachteil hätte entstehen können. Es war ihr ohne Weiteres möglich, innert der - für beide Rechtsmittel identischen - Rechtsmittelfrist beim Bundesgericht Beschwerde zu erheben, und eine allenfalls fehlerhafte Bezeichnung des Rechtsmittels hat keinerlei Auswirkungen auf dessen Entgegennahme durch das Bundesgericht.
Der Rückweisungsantrag der Beschwerdeführerin ist daher abzuweisen.
2.3 Die Beschwerdeführerin beantragt, die Vernehmlassung der ESTV sei aus den Verfahrensakten zu entfernen und die in der besagten Vernehmlassung formulierten faktischen und rechtlichen Erwägungen sowie die dort enthaltenen Schlüsse seien im Rahmen der Urteilsfindung nicht zu berücksichtigen. Sie begründet dies damit, der Leiter des Rechtsdienstes der ESTV sei nicht befugt, einzeln eine Vernehmlassungsschrift im Zusammenhang mit einem Beschwerdeverfahren, das sich zudem gegen ein ausländisches Urteil richte, zu unterzeichnen und dem Bundesgericht zuzustellen.
Diese Einwände treffen nicht zu:
2.3.1 Soweit erforderlich stellt das Bundesgericht die Beschwerde der Vorinstanz sowie den allfälligen anderen Parteien, Beteiligten oder zur Beschwerde berechtigten Behörden zu und setzt ihnen Frist zur Einreichung einer Vernehmlassung an (<ref-law>). Das Bundesgericht bestimmt von Amtes wegen, wer zu den vernehmlassungsberechtigten "anderen Beteiligten" gehört (SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 10 zu <ref-law>). Dazu zählen etwa Dritte, die durch den Ausgang des Verfahrens in ihren schutzwürdigen tatsächlichen oder rechtlichen Interessen berührt sein können (vgl. SPÜHLER/DOLGE/VOCK, Kurzkommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2006, N. 2 zu <ref-law>). Das trifft im vorliegenden Fall auf die Eidgenössische Steuerverwaltung zu: Gemäss Ingress des Vertrags vom 28. Oktober 1994 zwischen dem Fürstentum Liechtenstein und der Schweizerischen Eidgenossenschaft betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein (SR 0.641.295.142) sind die Vertragsparteien "vom gemeinsamen Willen getragen, in Bezug auf die Mehrwertsteuer eine einheitliche Regelung, Auslegung und Durchsetzung zu gewährleisten". Dies gebietet aber geradezu den Einbezug der Eidgenössischen Steuerverwaltung in das Vernehmlassungsverfahren, denn diese ist in der Schweiz mit der Umsetzung und Festlegung der massgebenden Praxis betraut; damit ist auch das rechtliche Interesse an einer einheitlichen Regelung und Auslegung in den beiden Ländern betroffen.
2.3.2 Nach Art. 4 der Organisationsverordnung für das Eidgenössische Finanzdepartement (EFD) in der hier anwendbaren Fassung vom 17. Februar 2010, in Kraft seit 1. März 2010 (SR 172.215.1; OV-EFD), sind die im 2. Kapitel der Verordnung genannten Verwaltungseinheiten des EFD, somit u.a. die Eidgenössische Steuerverwaltung (vgl. <ref-law>), in ihrem Zuständigkeitsbereich zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt. Gemäss der gestützt auf <ref-law> (bzw. Art. 31 der bis 28. Februar 2010 in Kraft gewesenen OV-EFD) erlassenen Geschäftsordnung des EFD (sowohl in der Fassung vom 30. Juni 2010, in Kraft ab 1. Juli 2010, wie auch in der Fassung vom 21. August 2009, in Kraft ab 1. September 2009) haben die Ämter in ihren Geschäftsordnungen u.a. die Unterschriftsberechtigung zu regeln (je Art. 3 Abs. 1 Bst. b). Gemäss Anhang 2 i.V.m. Art. 4 der Geschäftsordnung der Eidgenössischen Steuerverwaltung vom 15. April 2009 verfügen die dem Direktor unterstellten Organisationseinheiten in ihrem Zuständigkeitsbereich über umfassende Unterschriftsberechtigung. Diese kann bis Stufe Sachbearbeiter delegiert werden, sofern die entsprechenden Kompetenzen und Zuständigkeiten gegeben sind. Jede dem Direktor unterstellte Organisationseinheit bestimmt die Einzelheiten in einer schriftlich festgelegten Unterschriftsregelung und aktualisiert letztere regelmässig.
Eine generelle schriftlich festgelegte Unterschriftsregelung liegt hier nicht vor. Der Chef der Hauptabteilung Mehrwertsteuer erklärt jedoch mit Eingabe vom 16. August 2010, im konkreten Fall die Unterschriftsberechtigung an den Chef der Abteilung Recht delegiert zu haben bzw. zu delegieren. Folglich ist die eingereichte Vernehmlassung der ESTV zuzurechnen.
2.3.3 Die Kritik der Beschwerdeführerin erweist sich somit als unbegründet; ihre Anträge in der Replikschrift sind abzuweisen. Anzufügen bleibt, dass fraglich ist, ob ein Ungültigerklären der Eingabe überhaupt konkrete Folgen haben könnte, nachdem das Bundesgericht einerseits das Recht von Amtes wegen anwendet und andererseits die Sachverhaltsfeststellungen des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein nicht zu überprüfen hat. In diesem Lichte scheinen sich die diesbezüglichen weitschweifigen Vorbringen der Beschwerdeführerin an der Grenze des Trölerischen zu bewegen.
2.4 Die Beschwerdeführerin verlangt in ihrer Replik erneut eine Sistierung des Verfahrens. Sie legt jedoch nicht dar, inwiefern angesichts des Umstands, dass das Bundesgericht vorliegend keinerlei Sachverhaltsprüfung vorzunehmen hat, das angebliche Fehlen von Akten Auswirkungen auf das Verfahren vor Bundesgericht haben könnte und inwiefern weitere Eingaben der Beschwerdeführerin angesichts der Beschränkung der Kognition des Bundesgerichts auf die Überprüfung der Rechtsanwendung durch die Vorinstanz von Relevanz sein könnten.
Der Verfahrensantrag der Beschwerdeführerin ist daher abzuweisen.
3. Die auf die Überprüfung der materiellen Rechtsvorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuergesetzgebung beschränkte Kognition des Bundesgerichts gemäss Art. 11 der MWST-Vereinbarung wurde bereits erwähnt (vorstehende E. 1.2). Auch eine Sachverhaltsprüfung steht dem Bundesgericht nach der ständigen Rechtsprechung nicht zu (Urteile 2C_434/2009 vom 17. Juni 2010 E. 1.2, in: ASA 79 S. 235; 2C_904/2008 vom 22. Dezember 2009 E. 1.2). Nach Auffassung der Beschwerdeführerin widerspricht diese Kognitionsbeschränkung hinsichtlich des Sachverhalts dem klaren Wortlaut der MWST-Vereinbarung sowie dem im vorliegenden Zusammenhang als völkerrechtliche Bestimmung anzuwendenden <ref-law>.
Diese Ansicht geht fehl: Zum einen steht ihr der klare Wortlaut der MWST-Vereinbarung entgegen, zum anderen übersieht die Beschwerdeführerin den mit der Vereinbarung verfolgten Zweck: Die Zuständigkeit des Bundesgerichts wurde offensichtlich nicht deswegen begründet, weil liechtensteinischen Steuerpflichtigen ein gleich umfassender Rechtsschutz vor Bundesgericht gewährt werden sollte wie schweizerischen Steuerpflichtigen in rein schweizerischen Verfahren. Bei der Begründung der Zuständigkeit des Schweizerischen Bundesgerichts geht es vielmehr einzig darum, eine einheitliche materielle Rechtsanwendung und Gesetzesauslegung der in den beiden Ländern identischen Mehrwertsteuergesetzgebung sicherzustellen (vgl. Art. 1 Abs. 1 des erwähnten Staatsvertrags vom 28. Oktober 1994). Daraus ergibt sich folgerichtig, dass die Bestimmung in der zwischenstaatlichen MWST-Vereinbarung, wonach einzig Rechtsfragen dem Schweizerischen Bundesgericht unterbreitet werden, durchaus eng zu verstehen ist, und eine Sachverhaltsüberprüfung gänzlich - d.h. auch im Rahmen von <ref-law> - ausgeschlossen bleibt (so bereits Urteile 2A.284/2000 vom 1. Dezember 2000 E. 1b; 2C_195/2007 vom 8. Januar 2009 E. 1.2 mit weiteren Hinweisen).
Soweit die Beschwerdeführerin die angeblich falsche Feststellung des Sachverhaltes durch die Vorinstanz rügt und damit zusammenhängende prozessuale Verfahrensmängel, wie u.a. die Verweigerung des rechtlichen Gehörs, kann demnach auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
4. 4.1 Auszugehen ist von folgendem, vom liechtensteinischen Verwaltungsgerichtshof für das Bundesgericht verbindlich (vorstehende E. 1.2, 3) festgestellten Sachverhalt:
Alleinaktionär und wirtschaftlich Berechtigter der Beschwerdeführerin ist A._. Im Dezember 2001 erwarb die Beschwerdeführerin einen Helikopter Agusta A 109E. Die Finanzierung des Helikopters erfolgte durch A._. Die Verbindlichkeiten werden in der Buchhaltung der Beschwerdeführerin als Kreditor Aktionär bilanziert. Halter des Helikopters ist die O._ AG, mit welcher die Beschwerdeführerin eine Vereinbarung über die Betriebsführung des Helikopters abgeschlossen hatte. Die Tätigkeit der Beschwerdeführerin beschränkte sich im Wesentlichen auf das Halten des Luftfahrzeugs, während mit dem Betrieb die O._ AG betraut worden war. Seitens der O._ AG wurden keine Personalkosten für Piloten usw. an die Beschwerdeführerin verrechnet. Die Aufwendungen für den Betrieb des Helikopters setzten sich aus Versicherung, Finanzierungskosten, Hangarmiete, Reparatur- und Treibstoffkosten sowie Flughafentaxen zusammen. Der Helikopter wurde im Revisionszeitraum im Durchschnitt während ungefähr 90 % der gesamten verrechneten Flugzeit durch A._ benutzt. Ob es sich bei den anderen Nutzern des Helikopters um Personen handelte, welche A._ nahe stehen und ihm letztlich zuzurechnen sind, wurde (bisher) nicht festgestellt.
4.2 Durch das Bundesgericht zu prüfen bleibt einzig, ob die vom Verwaltungsgerichtshof aufgrund dieser Sachverhaltsfeststellung getroffenen rechtlichen Würdigungen im Lichte der liechtensteinischen Mehrwertsteuer zutreffend sind.
5. Die Vorinstanz hat festgestellt, es fehle vorliegend an einem echten Leistungsaustausch, der im Rahmen einer unternehmerischen Tätigkeit erbracht werde. Eine solche sei nämlich zu verneinen, wenn der Aktionär oder eine Person, welche ihm direkt zuzurechnen sei, das von der Gesellschaft gehaltene Luftfahrzeug nutze.
5.1 Gemäss Art. 5 aMWSTG/FL unterliegen - abgesehen von der Steuer auf dem Eigenverbrauch - nur die gegen Entgelt erbrachten Lieferungen und Dienstleistungen der Mehrwertsteuer. Damit ein steuerbarer Umsatz vorliegt, ist ein Austausch von Leistungen notwendig. Die Leistung, welche der Unternehmer erbringt, ist entweder eine Lieferung oder eine Dienstleistung. Die Gegenleistung besteht im Entgelt. Nach Art. 33 Abs. 1 aMWSTG/FL wird die Steuer vom Entgelt berechnet. Zwischen Leistung und Gegenleistung muss zudem eine innere wirtschaftliche Verknüpfung gegeben sein in dem Sinn, dass die Leistung eine Gegenleistung auslöst (<ref-ruling> E. 6a S. 451; <ref-ruling> E. 4.1 S. 357; Urteil 2A.334/2003 vom 30. April 2004 E. 2.1, in: ASA 75 S. 234). Ein Leistungsaustausch ist auch mit nahestehenden Personen möglich. Leistungen gegenüber nahestehenden Personen sind mit Bezug auf das Steuerobjekt nicht anders zu behandeln als Leistungen gegenüber unabhängigen Dritten. Das ergibt sich aus dem Begriff des Leistungsaustausches bei Lieferungen und Dienstleistungen im Sinne der Art. 5 ff. aMWSTG/FL, welche diesbezüglich keine Ausnahme oder abweichende Behandlung vorsehen.
5.2 Aufgrund der verbindlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein steht fest, dass die Beschwerdeführerin vorwiegend gegenüber ihrem Alleinaktionär Beförderungsleistungen erbracht und dass sie dafür ein Entgelt erhalten hat. Die für den Betrieb und den Unterhalt des Luftfahrzeugs notwendigen Dienstleistungen bezog sie dabei von der O._ AG im Rahmen eines "Service Agreements". Es handelt sich bei den von der Beschwerdeführerin ihrem Aktionär erbrachten Leistungen um Umsätze im mehrwertsteuerrechtlichen Sinn (Art. 5 ff. aMWSTG/FL). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung wäre von einer Entgeltlichkeit beziehungsweise von einem Austauschverhältnis selbst dann auszugehen, wenn zwar überhaupt kein Entgelt bezeichnet und bezahlt wird, jedoch die Leistung, die dem nahestehenden Dritten erbracht wird, üblicherweise nur gegen Entgelt erhältlich ist (vgl. Urteil 2A.264/2006 vom 3. September 2008 E. 5.3, in: ASA 78 S. 600, mit weiteren Hinweisen). Entgegen der Auffassung des Verwaltungsgerichtshofs liegt diesbezüglich ein Leistungsaustausch vor, und zwar unabhängig davon, ob die Flüge zu geschäftlichen oder zu privaten Zwecken des Leistungsempfängers erfolgten (vgl. Urteil 2C_632/2007 vom 7. April 2008 E. 2, in: ASA 77 S. 354).
Das Bundesgericht hat in seiner bisherigen Rechtsprechung dies allerdings nicht immer mit der wünschbaren Deutlichkeit zum Ausdruck gebracht. Es hat zwar richtig festgehalten, ein Leistungsaustausch bedinge, dass die Leistung (Lieferung oder Dienstleistung) die betriebliche Sphäre verlasse, was nicht der Fall sei, wenn reine Innenumsätze vorlägen (vgl. Urteile 2A.748/2005 vom 25. Oktober 2006 E. 3.2; 2C_195/2007 vom 8. Januar 2008 E. 2.1, in: ASA 79 S. 636; 2C_904/2008 vom 22. Dezember 2009 E. 7.1). Es hat sodann erwogen, dass bei Leistungen an nahestehende Personen oder wirtschaftlich Berechtigte besonders zu prüfen sei, ob die Leistung die betriebliche Sphäre verlasse resp. von einem "echten" Leistungsaustausch ausgegangen werden könne (vgl. Urteile 2A.748/2005 vom 25. Oktober 2006 E. 3.2; 2C_195/2007 vom 8. Januar 2008 E. 2.1 und 2C_904/2008 vom 22. Dezember 2009 E. 7.1). Das folgt unmittelbar aus dem Begriff des Leistungsaustausches (vgl. E. 5.1). Soweit das Bundesgericht jedoch daraus in einigen Fällen ableitete, auch bei Leistungen einer Gesellschaft an den an ihr wirtschaftlich Berechtigten liege keine Leistung vor, welche die betriebliche Sphäre verlasse, sondern ein reiner Innenumsatz resp. eine Innenleistung (vgl. diesbezüglich Urteile 2A.748/2005 vom 25. Oktober 2006 E. 3.2; 2C_904/2008 vom 22. Dezember 2009 E. 7.1; so wohl auch Urteil 2C_195/2007 vom 8. Januar 2008 E. 2.1, in: ASA 79 S. 636), greift diese Argumentation zu kurz, weil sie nur ungenügend differenziert zwischen reinen Innenleistungen und Leistungen an zwar wirtschaftlich Berechtigte, aber trotzdem ausserhalb der betrieblichen Sphäre des konkreten Unternehmens Stehende. Vielmehr ist auch im Verhältnis zwischen der juristischen Person und dem Nahestehenden zu prüfen, ob es sich bei der fraglichen Leistung um eine Innenleistung zur betrieblichen oder unternehmerischen Leistungserstellung handelt oder ob es bei der Leistung bereits um das Endprodukt handelt, das den betrieblichen Bereich verlässt.
5.3 Es ist daher vorliegend von einem Leistungsaustausch auszugehen und zwar unabhängig davon, ob die Flüge zu geschäftlichen oder zu privaten Zwecken des Leistungsempfängers erfolgten (vgl. Urteil 2C_632/2007 vom 7. April 2008 E. 2, in: ASA 77 S. 354).
6. Zu prüfen ist indes, ob ein Steuerumgehung vorliegt, wie der liechtensteinische Verwaltungsgerichtshof angenommen hat.
6.1 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 635 f.; Urteile 2A.470/2002 vom 22. Oktober 2002 E. 4.1 und 5.1, in: StR 59/2004 S. 127; 2A.580/2000 vom 12. Juli 2001 E. 2c, in: StE 2001 A 12 Nr. 10; je mit Hinweisen) wird eine Steuerumgehung angenommen, wenn (1.) eine von den Beteiligten gewählte Rechtsgestaltung als ungewöhnlich (insolite), sachwidrig oder absonderlich, jedenfalls den wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen erscheint, (2.) anzunehmen ist, dass die gewählte Rechtsgestaltung missbräuchlich lediglich deshalb getroffen wurde, um Steuern einzusparen, die bei sachgemässer Ordnung der Verhältnisse geschuldet wären, und (3.) das gewählte Vorgehen tatsächlich zu einer erheblichen Steuerersparnis führen würde, sofern es von den Steuerbehörden hingenommen würde. Entgegen der in der neuen Literatur geäusserten Ansicht (vgl. anstelle vieler, PETER LOCHER, Rechtsmissbrauchsüberlegungen im Recht der direkten Steuern der Schweiz, ASA 75 S. 675 ff, insb. S. 680; RENÉ MATTEOTTI, Der Durchgriff bei von Inländern beherrschten Auslandgesellschaften im Gewinnsteuerrecht, 2003, S. 188 ff.) ist an diesen Kriterien festzuhalten. Zwar ist mit der neueren Lehre festzustellen, dass Steuerumgehung - im Sinne einer rechtsmissbräuchlichen Anrufung des als massgeblich geltenden Sinnes einer Norm (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.5 S. 568 und 129 III 656 E. 4.1 S. 657 f.) - nur in ganz ausserordentlichen Situationen in Frage kommt, d.h. wenn trotz Heranziehung des Normsinnes als Auslegungsschranke eine Besteuerung oder eine Steuerbefreiung nicht möglich ist, das Gesetz also angewendet werden kann, das Ergebnis aber aufgrund der konkreten Ausgestaltung des Sachverhalts in hohem Masse als stossend erscheint bzw. einer Willkür gleichkäme (LOCHER, a.a.O., S. 694; MARKUS REICH, Steuerrecht, 2. Aufl. 2012, § 6 N. 47 S. 149). Wird das Vorliegen einer Steuerumgehung mit dieser Gewichtung geprüft, so stellen die genannten Kriterien einen tauglichen Prüfraster für die Abgrenzung von der steuerlich zu akzeptierenden Steuervermeidung dar. Was die Beurteilung der gewählten Rechtsgestaltung, das sog. objektive Element, betrifft, ist daher das Gewicht auf die völlige Unangemessenheit zu legen. Das heisst, für die Annahme einer Steuerumgehung muss eine Sachverhaltsgestaltung vorliegen, die - wenn man von den steuerlichen Aspekten absieht - jenseits des wirtschaftlich Vernünftigen liegt (vgl. REICH, a.a.O., § 6 N. 20 S. 141). Das sog. subjektive Element spielt insofern eine entscheidende Rolle, als die Annahme einer Steuerumgehung ausgeschlossen bleibt, wenn andere als blosse Steuerersparnisgründe bei der Rechtsgestaltung eine relevante Rolle spielen. Wird der Anwendung der Steuerumgehung das rechtsmissbräuchliche Anrufen einer Norm zugrunde gelegt, so kann die zweckwidrige, ohne schützenswertes Interesse erfolgende Rechtsausübung nicht unbeachtet bleiben.
Was schliesslich das sog. effektive Element anbelangt, ist zu beachten, dass der Steuerpflichtige grundsätzlich frei ist, wie er seine Rechtsverhältnisse gestalten will, und dass bei rechtsmissbräuchlicher Gestaltung dann eingegriffen werden soll, wenn diese andernfalls tatsächlich Wirkung entfalten würde. Nicht zu prüfen ist im Kontext der Steuerumgehung, wie zu verfahren ist, wenn die Anwendung einer Norm zu einer Steuerübertreibung führen würde, die als krasser Verstoss gegen die Steuergerechtigkeit und damit als willkürlich qualifiziert werden müsste (anders beispielsweise LOCHER, a.a.O., S. 694 und MATTEOTTI, a.a.O., S. 189, welche bei ihren Überlegungen Rechtsmissbrauch und Willkür gleichsetzen und darauf basierend von der Annahme einer unechten Lücke sprechen, welche vom Rechtsanwender geschlossen werden darf [und dann wohl auch geschlossen werden muss]).
Ob die Voraussetzungen für die Annahme einer Steuerumgehung erfüllt sind, ist aufgrund der konkreten Umstände des Einzelfalls zu prüfen. Wird eine Steuerumgehung bejaht, ist gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung der Besteuerung die Rechtsgestaltung zugrunde zu legen, die sachgemäss gewesen wäre, um den erstrebten wirtschaftlichen Zweck zu erreichen. Entgegen in der Literatur geäusserten Meinungen (vgl. beispielsweise LOCHER, a.a.O., S. 680 und 696) erscheint eine solche Sachverhaltsfiktion als unproblematisch, wird doch lediglich die formale privatrechtliche Ausgestaltung des Sachverhalts negiert bzw. fingiert, unverändert bleibt jedoch der Sachverhalt mit Bezug auf seine - für die Beurteilung massgebenden - wirtschaftlichen Auswirkungen (vgl. REICH, a.a.O., § 6 N. 24).
6.2 Entgegen der Auffassung von PIERRE-MARIE GLAUSER (Evasion fiscale et interprétation économique en matière de TVA, ASA 75 S. 727 ff.) besteht kein hinreichender Grund, diese Regeln nicht auch bei der Mehrwertsteuer anzuwenden (s. Urteile 2C_742/2008 vom 11. Februar 2009, in: ASA 79 S. 260 E. 5.5. f.; 2C_632/2007 vom 7. April 2008, in: ASA 77 S. 354 E.4.2, und 2A.61/2006 vom 29. November 2006, in: StR 62/2007 S. 586 E. 3.1 und 3.2, Zusammenfassung). In BGE <ref-ruling> E. 10 S. 369 f. hat das Bundesgericht den Fall der Steuerumgehung ausdrücklich vorbehalten, ebenso im Urteil 2A.748/2005 vom 25. Oktober 2006 E. 3.5 (in: StR 62/2007 S. 234, Zusammenfassung). Dieser bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist Kritik erwachsen, wobei auf grundsätzliche Überlegungen in der Literatur verwiesen wurde, wonach eine Steuerumgehung nur dort in Frage komme, wo sich die Steuernorm auf das Zivilrecht stütze, was im Bereich der Mehrwertsteuer nicht der Fall sei, da diese hauptsächlich auf wirtschaftlichen Konzepten beruhe (vgl. BÉATRICE BLUM, Steuerumgehung bei der Mehrwertsteuer - Halten eines Flugzeuges in einer "Briefkastengesellschaft", in: Steuerrecht 2009, S. 343 ff., bes. 347, und HAROLD GRÜNINGER/STEFAN OESTERHELT, Steuerrechtliche Entwicklungen [insbesondere im Jahr 2008], SZW 2009 S. 51 ff., S. 65 ff., mit Hinweis auf GLAUSER, Evasion fiscale et interprétation économique [...], a.a.O., S. 728 ff.). Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden. Zwar hat das Bundesgericht konstant festgehalten, im Zusammenhang mit einer Steuernorm mit wirtschaftlichen Anknüpfungspunkten hänge die Zulässigkeit der sog. wirtschaftlichen Betrachtungsweise nicht davon ab, ob die Voraussetzungen der Steuerumgehung erfüllt sind (statt vieler, vgl. Urteile 2A.537/2005 vom 21. Dezember 2006 E. 2.1; 2A.648/2005 vom 11. April 2006 E. 3.1; 2A.234/2004 vom 17. Januar 2005 E. 3.3, in: StE 2005 B 24.4 Nr. 72). Daraus kann jedoch nicht geschlossen werden, wenn eine Norm in wirtschaftlicher Betrachtungsweise ausgelegt werde, sei kein Raum mehr für die Annahme einer Steuerumgehung: Der Annahme einer Steuerumgehung liegt - wie bereits ausgeführt - der Gedanke zugrunde, dass die missbräuchliche Geltendmachung eines Rechts bzw. die missbräuchliche Berufung auf eine gesetzliche Norm keinen Schutz verdient. Diese Grundüberlegung gilt jedoch unabhängig davon, ob eine Norm rein zivilrechtlich auszulegen ist oder in wirtschaftlicher Betrachtungsweise. Ergibt sich, dass eine gewählte Rechtsgestaltung den - letztlich - verfolgten wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen ist und dass die Akzeptanz dieser Rechtsgestaltung aufgrund der Anwendung der hierfür vorgesehenen Gesetzesnormen zu unbilligen Steuereinsparungen führen würde, so verdient die missbräuchliche Berufung auf die letztlich wirtschaftlich nicht gewollte Rechtsgestaltung keinen Schutz. Ob der Inhalt der missbräuchlich in Anspruch genommenen Normen dabei in rein zivilrechtlicher Auslegung oder in wirtschaftlicher Auslegung zu ermitteln ist, ist irrelevant (vgl. in diesem Sinn auch das Zweistufenmodell von LOCHER, a.a.O., S. 693 f.; zu kurz greift hier wohl PIERRE-MARIE GLAUSER, Notion d'évasion fiscale, in: Evasion fiscale, 2010, S. 18, wenn er ausführt, "il serait en effet tout à fait contradictoire d'invoquer la réalité économique dans le cadre de l'évasion pour s'écarter d'une disposition interprétée selon la même réalité économique"). Dies zeigt sich beispielhaft bei den Sachverhaltskonstellationen, welche schliesslich zum Durchgriff durch eine juristische Person führen. Selbst wenn die von der juristischen Person ausgeübte Tätigkeit aufgrund einer Norm mit wirtschaftlichen Anknüpfungspunkten bei dieser juristischen Person zu Steuerfolgen führen würde, ist es in solchen Konstellationen so, dass die Berufung auf das selbständige, vom Inhaber der Beteiligungsrechte unabhängige Bestehen der juristischen Person als den wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen erscheint. Führt die Rechtsanwendung zu einem krass ungerechten, völlig haltlosen Ergebnis, das von den Intentionen des Gesetzgebers in keiner Weise abgedeckt ist, darf die Abschirmwirkung der juristischen Person beeinträchtigt oder gänzlich beseitigt werden (vgl. REICH, a.a.O., § 18 N. 15 S. 441; so im Ergebnis wohl auch GLAUSER, Evasion fiscale et TVA, in: Evasion fiscale, 2010, S. 39; ders., Evasion fiscale et interprétation économique [...], a.a.O., S. 762 f.). Daran vermag nichts zu ändern, dass unter Umständen bereits aufgrund der Auslegung nach wirtschaftlicher Betrachtungsweise zu schliessen ist, es lägen gar keine mehrwertsteuerrechtlich relevanten Leistungen vor, weshalb dann für die Annahme einer Steuerumgehung kein Raum mehr bleibt.
6.3 Es ist somit zu prüfen, ob im vorliegenden Fall zu Recht eine Steuerumgehung angenommen wurde.
6.3.1 Der liechtensteinische Verwaltungsgerichtshof hat festgestellt, die Beschwerdeführerin habe in erster Linie den privaten Interessen des Alleinaktionärs gedient. Sie sei als reines Sitzunternehmen ohne professionelle Organisation oder für eine Fluggesellschaft typischen Geschäftsbetrieb geführt und auf eine Art finanziert worden, die sich nur aus den besonderen Beziehungen zum Alleinaktionär erklären liesse (nämlich Finanzierung des Helikopters durch Aktionärsdarlehen). Die Vorinstanz stellt sodann zu Recht fest, allein deswegen, weil namhafte Vorsteuerüberhänge bestünden, könne noch nicht auf eine Steuerumgehung geschlossen werden. Sie führt jedoch im Weitern aus, die von der Beschwerdeführerin gewählte Rechtsgestaltung erweise sich im vorliegenden Fall auch unabhängig davon als ungewöhnlich. Die Beschwerdeführerin bezwecke laut Handelsregistereintrag den Erwerb und Betrieb eines Hubschraubers, Handels-, Finanz- und Rechtsgeschäfte aller Art, die Beteiligung an anderen Unternehmungen sowie den Ankauf und Verkauf von Mobilien und Immobilien. In Wirklichkeit habe sich ihre Tätigkeit auf das Halten des hauptsächlich von ihrem Alleinaktionär benutzten Helikopters beschränkt.
6.3.2 Aufgrund der für das Bundesgericht verbindlichen (vgl. E. 1.2 und 3) Sachverhaltsfeststellungen ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin hauptsächlich dazu verwendet worden ist, private Bedürfnisse ihres Alleinaktionärs zu befriedigen. Daneben ging sie keinen wesentlichen Geschäftsaktivitäten nach, die ihren statutarischen Zwecken entsprochen hätten. Das Bundesgericht hat bereits früher - in Bezug auf das Halten eines praktisch ausschliesslich dem Alleinaktionär zur Verfügung stehenden Ferienhauses durch eine Aktiengesellschaft - festgehalten, es liege in der Natur der Sache, dass ein solches Objekt vorwiegend den persönlichen Bedürfnissen des Aktionärs zu dienen bestimmt sei und dass die Zwecke, die mit der Errichtung einer Immobiliengesellschaft normalerweise erreicht werden sollten, vollständig in den Hintergrund treten würden. Eine derartige zivilrechtliche Gestaltung erscheine - gesamthaft betrachtet - als den tatsächlichen wirtschaftlichen Verhältnissen vollständig unangemessen (Urteil vom 12. November 1969, in: ASA 40 S. 210 ff.). Diesem Urteil lag offensichtlich die Überlegung zugrunde, dass es absonderlich und den wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen ist, eine juristische Person einzig zu dem Zwecke zu gründen und zu halten, private Lebensbedürfnisse des Alleinaktionärs zu befriedigen. An dieser Feststellung ist festzuhalten; sie gilt grundsätzlich in analoger Weise, wenn eine Gesellschaft in erster Linie dazu da ist, dem Alleinaktionär für dessen privaten Belange ein Flugzeug (oder einen Hubschrauber) zur Verfügung zu stellen. Zwar liegt der Missbrauch nicht darin, dass für das Halten eines privat verwendeten Helikopters eine juristische Person gegründet wird. Missbräuchlich ist es jedoch, wenn mit einer solchen Gesellschaft überdies versucht wird, Steuern zu sparen. Daher ist zu prüfen, ob sich der Einsatz der Gesellschaft bloss rechnet, weil damit vom Vorsteuerabzug profitiert werden kann. Wird der Helikopter jedoch zu rein privaten Zwecken eingesetzt, so kann die Anmeldung bei der Mehrwertsteuer nur das Motiv der Steuerersparnis haben. Einer derartigen juristischen Person ist daher die Anerkennung als eigenständiges Steuersubjekt abzusprechen.
6.3.3 Im vorliegenden Fall bestreitet die Beschwerdeführerin, dass steuerliche Motive für die Gründung einer Aktiengesellschaft vorgelegen hätten. Auf ihre Argumente, dass sie kommerziell tätig gewesen sei, kann jedoch aufgrund der Bindung des Bundesgerichts an die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung von vorneherein nicht eingegangen werden. Soweit die Beschwerdeführerin als Motiv für die Gründung einer Aktiengesellschaft die Vereinfachung der Vererbung und der Veräusserung von Unternehmungen geltend macht, sind ihre Vorbringen derart pauschal und allgemein gehalten, dass daraus nichts für die konkrete Situation abgeleitet werden kann. Es ist anzunehmen, dass bei der Gründung der Aktiengesellschaft auch Überlegungen zu den Haftungsrisiken eine Rolle spielten, welche sich bei privater und direkter Haltung nicht ohne Weiteres in gleicher Weise durch eine Versicherung hätten abdecken lassen, wie die Beschwerdeführerin geltend macht. Darauf kommt es nach dem Gesagten aber nicht an, sondern auf die Feststellung des Verwaltungsgerichtshofs, dass eine geschäftliche Nutzung des Helikopters nicht nachgewiesen ist. Unter diesen Umständen ist davon auszugehen, dass die Anmeldung der Beschwerdeführerin als Mehrwertsteuerpflichtige einzig in der Absicht erfolgte, bei minimaler steuerlicher Belastung sich den Vorsteuerabzug auszahlen zu lassen.
6.3.4 Eine Steuerersparnis als Folge des von den Beteiligten gewählten Vorgehens ist zu bejahen. Als privater Halter eines Helikopters könnte A._ die auf dem Ankauf des Luftfahrzeugs bezahlte Einfuhrsteuer nicht als Vorsteuern geltend machen. Nicht relevant ist der Vergleich mit der Situation eines Dritten, der im internationalen Luftverkehr Beförderungsleistungen bei einer Linien- oder Charterfluggesellschaft mehrwertsteuerfrei einkaufen kann (anderer Ansicht offenbar ANNIE ROCHAT PAUCHARD, Actualités en matière fiscale dans le champ de l'aviation, in: ASDA/SVLR-Bulletin 1/2009, S. 38, sowie GRÜNINGER/OESTERHELT, a.a.O., S. 67). Grenzüberschreitende Beförderungen im Luftverkehr, d.h. solche, bei denen entweder der Ankunfts- oder der Abflugsort im Inland liegt, sind von der Mehrwertsteuer befreit (Art. 19 Abs. 3 aMWSTG/FL). Es handelt sich um eine echte Steuerbefreiung, weil die Vorsteuer abgezogen werden kann (Art. 19 Abs. 1 aMWSTG/FL). Das Recht auf Vorsteuerabzug besteht bei grenzüberschreitender Beförderung auch für den auf das Ausland entfallenden, der hiesigen Mehrwertsteuer nicht unterliegenden Streckenteil (Art. 38 Abs. 3 aMWSTG/FL, vgl. die Urteile 2C_632/2007 vom 7. April 2008 E. 2, in: ASA 77 S. 354, und 2A.55/1999 vom 23. Januar 2001 E. 4a, in: ASA 71 S. 564). Diese Befreiung erfolgt aus Gründen der Wettbewerbsneutralität im Hinblick auf das Richtlinienrecht der EU, das solche Befreiungen bei grenzüberschreitenden Beförderungen vorsieht (Art. 15 Ziff. 6 und 9 der Sechsten Richtlinie 77/388/EWG des Rates vom 17. Mai 1977; heute: Art. 148 lit. f und g der Richtlinie 2006/112/EG vom 28. November 2006 über das gemeinsame Mehrwertsteuersystem). Die Befreiung betrifft aber die Beförderungsleistungen. Sie gilt nicht für die Anschaffung und das Halten eines Privatflugzeugs. Der Halter eines Privatflugzeugs befindet sich auch nicht in Konkurrenz mit Luftverkehrsunternehmen. Aus der Steuerbefreiung des internationalen Luftverkehrs lässt sich für den vorliegenden Fall nichts ableiten.
Es kann daher kein Zweifel bestehen, dass die von der Beschwerdeführerin vorgenommene Gestaltung zu erheblichen Steuerersparnissen führen würde, indem sie beträchtliche Vorsteuern in Abzug bringen bzw. zurückfordern könnte. Unter diesen Umständen erfolgte die Anmeldung der Beschwerdeführerin als Mehrwertsteuerpflichtige einzig in der Absicht, bei minimaler steuerlicher Belastung sich die Vorsteuern auszahlen zu lassen.
7. Die Vorinstanz hat somit im Ergebnis eine Steuerumgehung zu Recht bejaht. Der Durchgriff auf den wirtschaftlich Berechtigten, A._, bewirkt, dass von der Beschwerdeführerin keine Mehrwertsteuern geschuldet sind und sie keine Vorsteuern geltend machen kann. Soweit Vorsteuern bereits ausbezahlt worden sind, sind sie zurückzuerstatten. Zudem ist die Beschwerdeführerin aus dem Mehrwertsteuerregister rückwirkend zu streichen.
8. Der liechtensteinische Verwaltungsgerichtshof hat auch angenommen, dass die Beschwerdeführerin kein Unternehmen betreibe, sondern eine reine Durchlaufgesellschaft sei. Es stellt sich daher die Frage, ob bereits die subjektive Steuerpflicht im Sinne von Art. 21 Abs. 1 aMWSTG/FL zu verneinen wäre. Wie es sich damit verhält, braucht hier nicht entschieden zu werden, da bereits eine Steuerumgehung zu bejahen ist.
Aus dem gleichen Grund kann dahingestellt bleiben, wie die gegenleistungslos (à-fonds-perdu) erbrachten Zahlungen durch die Schwestergesellschaften an die Beschwerdeführerin mehrwertsteuerrechtlich zu qualifizieren wären. Als Beiträge resp. Zuschüsse (Spenden) würden sie nicht in die Bemessungsgrundlage der Mehrwertsteuer einfliessen und keinen Anspruch auf Vorsteuerabzug begründen (vgl. <ref-ruling> E. 6 und 8; Urteile 2C_229/2008 vom 13. Oktober 2008 E. 5.3, in: ASA 79 S. 627; 2C_743 u. 744/2007 vom 9. Juli 2008 E. 5, in: ASA 78 S. 593; 2A.175/2002 vom 23. Dezember 2002 E. 1, in: ASA 76 S. 165). Es braucht auch nicht geprüft zu werden, wie die von A._ zur Finanzierung geleisteten Darlehen zu beurteilen sind resp. ob mit deren Rückzahlung gerechnet werden kann.
9. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein, dem Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Mai 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Wyssmann