Faits:
A.
A.a. Le 28 mai 2009, la ressortissante ... A._, domiciliée à X._, a été nommée en qualité d'"auxiliaire administrative" à la Mission permanente de B._ auprès de l'Office des Nations Unies à Genève (ONUG). L'engagement s'est fait par "résolution" émanant du Ministère des relations extérieures de la République B._. La Mission B._ précitée a annoncé son employée à la Mission permanente de la Suisse auprès de l'ONUG, en indiquant qu'elle était membre du personnel de service. Le Département fédéral des affaires étrangères (DFAE) lui a octroyé une carte de légitimation de type E pour la durée de ses fonctions. L'employée était par ailleurs titulaire d'un passeport de service B._. A son arrivée à Genève, elle a signé le 15 juin 2009 un acte de "prise de possession" de sa charge; le document a été cosigné par l'ambassadeur représentant B._ auprès de l'ONUG.
Dans les faits, A._ a travaillé comme employée domestique à la résidence de l'ambassadeur.
Le 4 mai 2010, elle a adressé au Ministre B._des relations extérieures un courrier annonçant sa démission pour le 1er juillet 2010. La République B._ a accepté cette démission par résolution du 21 mai 2010. Les parties sont ensuite revenues sur leurs décisions et l'employée a continué de travailler.
A.b. Par courrier du 25 octobre 2011, la République B._ a signifié à l'employée qu'elle avait deux mois pour démissionner de sa charge et qu'elle pouvait s'adresser au Ministère des relations extérieures pour coordonner le paiement de ses indemnités de déplacement et de retour. L'employée a contresigné le courrier le 3 novembre 2011.
Le 29 décembre 2011, elle a réclamé à l'ambassadeur le paiement de 109'508 fr. à titre d'heures supplémentaires, remboursement de frais médicaux, indemnité pour tort moral et dommages-intérêts. Elle précisait avoir été licenciée pour le 3 janvier 2012.
Le 9 janvier 2012, la Mission suisse a demandé que l'employée restitue sa carte de légitimation.
Le 27 mars 2012, la République B._ a adressé à la "fonctionnaire" A._ un document concernant la liquidation des rapports de service des employés publics, dont elle devait attester la réception; il était précisé que des voies de droit étaient ouvertes selon le code de contentieux administratif.
B.
B.a. Le 16 mars 2012, l'employée a assigné la République B._ devant l'autorité de conciliation du Tribunal des prud'hommes du canton de Genève. Elle a ensuite porté l'affaire devant ce tribunal le 10 septembre 2012, en concluant au paiement de 129'628 fr. plus intérêts.
L'Etat défendeur a pris des conclusions en constatation de l'incompétence ratione materiae du tribunal saisi, respectivement en reconnaissance de son immunité de juridiction. Il a produit une note du 15 mai 2012 établie à son intention par la Mission suisse, laquelle soutient que l'employée appartenait à la catégorie du personnel transférable de carrière régi par le droit public étranger.
Le tribunal prud'homal a limité la procédure aux deux questions soulevées par l'Etat défendeur. Par décision incidente du 17 mai 2013, il s'est déclaré compétent pour statuer sur la demande déposée par l'employée le 10 septembre 2012.
B.b. L'Etat défendeur a déposé appel devant la Cour de justice, laquelle a rendu un arrêt le 15 octobre 2013 par lequel elle déclare irrecevable la demande formée par l'employée, en raison de l'incompétence du tribunal saisi.
C.
L'employée a saisi l'autorité de céans d'un recours en matière civile dans lequel elle conclut à ce que le Tribunal des prud'hommes de Genève soit déclaré compétent pour connaître du litige. Elle a en outre sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire.
Cette dernière requête a été refusée par ordonnance du 11 février 2014, au motif que la recourante n'avait produit aucune pièce au sujet de son indigence nonobstant le délai imparti et ne démontrait pas réaliser à ce stade les conditions de l'assistance judiciaire.
La recourante a ensuite versé en temps utile l'avance de frais requise. Dans un courrier du 4 mai 2014 (date du sceau postal), son avocat a annoncé ce paiement et pris des conclusions sur les frais et dépens, demandant notamment des dépens de 1'800 fr. pour la procédure de deuxième instance et ce même montant pour la présente procédure.
L'Etat intimé et la Cour de justice n'ont pas été invités à déposer une réponse.

Considérant en droit:
1.
L'arrêt attaqué met fin à la procédure, de sorte qu'il est susceptible de recours (<ref-law>). Au stade de la recevabilité, la question de savoir si la cause relève de la matière civile au sens de l'<ref-law> peut rester indécise, puisqu'elle se recoupe avec l'objet du recours (cf. arrêt 4A_87/2013 du 22 janvier 2014 consid. 1.6 in fine). Pour le surplus, la valeur du litige au fond excède manifestement le seuil minimal de 15'000 fr. (<ref-law>; cf. aussi <ref-law>).
Point n'est besoin de se prononcer sur la recevabilité des conclusions prises le 4 mai 2014, en particulier celle afférente à l'indemnité de dépens pour la procédure de deuxième instance; elles sont en effet privées d'objet, vu l'issue du recours.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral, notion qui inclut les droits constitutionnels (<ref-law>). Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, le justiciable ne peut dénoncer une violation du droit cantonal en tant que telle; il peut en revanche plaider que l'application de ce droit contrevient au droit fédéral, par exemple parce qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.2).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation qu'impose l'<ref-law>, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.2.1; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.4.1).
Par ailleurs, l'autorité de céans n'examine la violation des droits constitutionnels que si le grief a été expressément soulevé et motivé par le recourant (<ref-law>). L'acte de recours doit contenir un exposé succinct des droits ou principes constitutionnels invoqués et expliquer de manière claire et circonstanciée en quoi consiste leur violation (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2.2).
2.2. L'autorité de céans statue sur la base de l'état de fait retenu dans l'arrêt attaqué (<ref-law>). Elle ne peut s'en écarter que s'il a été établi en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, ce qu'il incombe en principe au recourant de démontrer. Dans la mesure où il invoque l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst., le recourant doit satisfaire aux exigences de motivation plus strictes imposées par l'<ref-law> (cf. <ref-law> et 105 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 6.2).
En l'occurrence, la recourante entend faire préciser ou compléter l'état de fait sur certains points. Toutefois, elle ne plaide pas que les constatations factuelles ont été établies de façon arbitraire ou contraire au droit. La cour de céans est ainsi liée par les faits tels que retenus dans l'arrêt attaqué.
3.
3.1. La recourante allègue dans sa demande qu'elle était liée à la République B._ (voire à son ambassadeur) par un contrat de travail soumis au droit privé suisse; en conséquence, elle a saisi le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève.
L'art. 1 de la loi genevoise sur le Tribunal des prud'hommes règle la compétence matérielle de cette autorité (LTPH du 11 février 2010, RSG E 3 10). Ce tribunal connaît principalement des litiges découlant d'un contrat de travail au sens du titre 10 du Code des obligations (art. 1 al. 1 let. a LTPH). En revanche, ne sont pas de son ressort les litiges découlant de rapports de travail de droit public (art. 1 al. 2 let. d LTPH).
Le droit fédéral n'impose pas aux cantons d'instituer une juridiction spéciale pour les conflits de travail du droit privé (cf. <ref-law>). Si les cantons décident de le faire, les règles délimitant la compétence de cette juridiction ressortissent en principe au droit cantonal, y compris lorsqu'elles incorporent une notion de droit fédéral telle que le contrat de travail au sens de l'<ref-law> (arrêt 4A_84/2011 du 15 avril 2011 consid. 3, rés. in JdT 2012 II 210; Jacques Haldy, in Code de procédure civile commenté, 2011, n° 2 ad art. 4CPC; pour la période antérieure au CPC, cf. <ref-ruling>). Doit être réservée l'hypothèse où le législateur cantonal a l'obligation, sur un point considéré, de tenir compte du droit fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 463; <ref-ruling> consid. 1 p. 54).
3.2. La cour d'appel genevoise a déclaré incompétent le tribunal prud'homal en raison de l'art. 1 al. 2 let. d LTPH. Elle a jugé que les relations entre l'Etat étranger et son ex-employée relevaient du droit public B._ et que les autorités instituées par ce droit étaient compétentes pour connaître du conflit de travail.
La question de savoir si les relations entre ces deux parties sont de nature civile ou administrative et si les tribunaux suisses peuvent ou non connaître du litige ressortit au droit fédéral, voire international. Les cantons ne sont pas libres de décider si leurs autorités judiciaires peuvent se saisir d'une cause relevant du droit public étranger. Dans cette mesure, l'art. 1 al. 2 let. d LTPH doit tenir compte du droit fédéral. Peu importe, dès lors, que la recourante n'ait pas soulevé le grief d'arbitraire dans l'application de la LTPH.
4.
4.1. La recourante plaide en substance que la République B._ aurait effectué un acte de gestion privée (jure gestionis) en l'engageant pour effectuer du travail domestique à la résidence privée de l'ambassadeur. Selon une jurisprudence constante, de tels litiges devraient être jugés par les tribunaux suisses en vertu du droit privé suisse. Cette conclusion s'imposerait d'autant plus qu'après sa démission forcée du 4 mai 2010, la recourante aurait été réengagée de suite à Genève par la nouvelle ambassadrice pour travailler dans sa résidence privée à Genève. Le titre d'auxiliaire administratif lui aurait été donné à titre purement formel, pour faire accroire qu'elle appartenait au personnel de service de carrière transférable. L'autorité précédente aurait repris à son compte l'avis exprimé par la Mission suisse, alors que le juge est seul compétent pour qualifier le statut du personnel d'une mission permanente étrangère. Enfin, la Cour de justice se serait référée indûment à l'ordonnance du 6 juin 2011 sur les domestiques privés (ODPr, RS 192.126), qui n'était pas en vigueur au moment des faits litigieux.
4.2.
4.2.1. L'Etat défendeur a invoqué son immunité de juridiction et l'incompétence du juge saisi. Il s'agit en soi de deux questions distinctes. L'immunité de juridiction permet aux Etats étrangers de ne pas être jugés par les tribunaux suisses dans les domaines qui relèvent de leur souveraineté (<ref-ruling> consid. 4a p. 388). La compétence internationale concerne la délimitation des compétences entre les tribunaux suisses et étrangers dans les causes présentant un caractère international (Jolanta Kren Kostkiewicz, Staatenimmunität im Erkenntnis- und im Vollstreckungsverfahren nach schweizerischem Recht, 1998, p. 106; Agnes Dormann Bessenich, Der ausländische Staat als Kläger, 1993, p. 34 s.).
La Suisse, conformément à un principe qui s'est également imposé au niveau international, ne reconnaît qu'une immunité de juridiction relative, c'est-à-dire pour les seuls actes de souveraineté, accomplis dans l'exercice de la puissance publique (jure imperii). En revanche, un Etat étranger peut être attrait devant les tribunaux suisses pour ses actes de gestion privée, soit ceux qu'il effectue au même titre que le ferait un particulier (jure gestionis; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 141 s.).
Pour trancher une question de compétence internationale, il faut au préalable déterminer si le litige ressortit à la matière civile ou administrative. Dans la première hypothèse, les conflits de compétence sont réglés par la loi fédérale sur le droit international privé (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 165). En droit public, les règles sont plus diffuses. Il y a souvent une correspondance étroite entre la compétence de juger et le droit matériel applicable (cf. Dormann Bessenich, op. cit., p. 37 s.; Christine Breining-Kaufmann, Internationales Vewaltungsrecht, in RDS 2006 II 27 ss).
4.2.2. Le personnel affecté à du travail domestique dans des missions diplomatiques ou permanentes est divisé en deux catégories: le personnel de service et les domestiques privés. Le critère de distinction réside dans la personne de l'employeur: le personnel de service est employé par l'Etat d'envoi lui-même, tandis que les domestiques privés sont engagés par un membre de la mission. Cette distinction est opérée en particulier dans la Convention de Vienne du 18 avril 1961 sur les relations diplomatiques (art. 1 let. g et h CV 1961, RS 0.191.01), applicable par analogie aux missions permanentes, et dans la Convention de Vienne du 24 avril 1963 sur les relations consulaires (art. 1 let. f et i CV 1963, RS 0.191.02).
A l'origine, le personnel engagé par l'Etat d'envoi en avait la nationalité et faisait partie de son personnel de carrière transférable. La pratique a toutefois évolué, notamment en raison des coûts liés au transfert de personnel (note du 16 mai 2006 émise par la Direction du droit international public au DFAE, in RSDIE 2007 p. 795). Aussi l'administration suisse a-t-elle introduit une subdivision au sein du personnel de service étatique: aux côtés du "personnel de service" stricto sensu, qui comprend les employés de l'Etat d'envoi soumis au droit public étranger, coexiste le "personnel local", composé des employés de l'Etat d'envoi occupés à des tâches administratives ou domestiques, mais engagés sur une base de droit privé (suisse ou étranger). Cette distinction apparaît notamment dans une directive du DFAE entrée en vigueur le 1er mai 2006 ("directive sur l'engagement des domestiques privés par les membres du personnel des missions diplomatiques, des missions permanentes, des postes consulaires et des organisations internationales en Suisse", spéc. ch. 1.3 et 1.4).
Dès le 1er janvier 2008, les règles sur les privilèges, immunités et facilités accordés par la Suisse comme Etat hôte ont été regroupées et codifiées dans une seule loi fédérale, qui confère au Conseil fédéral la compétence de réglementer les conditions de travail du personnel (art. 27 de la Loi sur l'Etat hôte, LEH, RS 192.12).
L'Ordonnance sur l'Etat hôte, entrée en vigueur le 1er janvier 2008 (OLEH, RS 192.121), contient une définition du "personnel local" des missions diplomatiques ou permanentes. Elle précise que celui-ci est soumis au droit du travail suisse, quels que soient sa nationalité et le lieu de son recrutement. Une élection de droit pour l'application d'une législation étrangère n'est possible que dans le cadre défini par le droit suisse (<ref-law>, dans sa teneur antérieure au 1er juillet 2011, RO 2007 6664). Selon l'<ref-law>, les membres du personnel local ne font pas partie du personnel transférable de l'Etat d'envoi. Ils peuvent avoir la nationalité de l'Etat d'envoi ou d'un autre Etat.
Quant à la notion de "personnel de service" stricto sensu, elle est définie dans l'Ordonnance sur les domestiques privés, entrée en vigueur le 1er juillet 2011 (ODPr; RS 192.126), étant précisé que cette réglementation ne s'applique pas à ce type de personnel (cf. <ref-law>). Selon l'<ref-law>, le personnel de service comprend les emp loyés de l'Etat d'envoi soumis au droit public de cet Etat, lesquels sont généralement affectés à des tâches telles que chauffeur, huissier, concierge, personnel de nettoyage ou d'entretien dans les locaux de la chancellerie ou à la résidence du chef de mission.
4.2.3. En bref, les règles édictées par l'administration suisse distinguent entre les domestiques privés, engagés par un membre de la mission diplomatique ou permanente, et le personnel engagé par l'Etat d'envoi lui-même. Les premiers sont soumis au droit privé. Quant au personnel de l'Etat, il peut être soumis soit au droit public étranger (personnel de service), soit au droit privé, suisse ou étranger (personnel local).
4.3. La recourante cherche à démontrer qu'elle était une domestique privée, soit une employée personnelle de l'ambassadeur. Cette thèse ne saurait être retenue.
Il est constant que dans les faits, la recourante a effectué du travail domestique à la résidence de l'ambassadeur, et non pas dans les locaux de la Mission B._. Ce point ne s'oppose pas au statut de personnel de service, comme le précise l'art. 3 al. 2 in fine ODPr, cité ci-dessus; il ne s'agit pas d'une règle nouvelle, la note précitée du 16 mai 2006 précisant déjà que le personnel de service peut être affecté au service de la résidence du chef de mission (RSDIE 2007 p. 795). La recourante semble plaider qu'elle aurait été réengagée par la nouvelle ambassadrice personnellement. Cette version ne peut être retenue au regard des faits de l'arrêt attaqué, qui lient la cour de céans. Il est précisé que l'Etat étranger a accepté la démission de la recourante, puis que les parties sont revenues sur leurs décisions et que la recourante a continué son emploi. Il ressort des courriers du 25 octobre 2011 et du 27 mars 2012 que c'est l'Etat étranger, et non l'ambassadeur (ou une nouvelle ambassadrice) qui a mis fin aux relations contractuelles et réglé leur liquidation. Il faut dès lors admettre que la recourante était l'employée de l'Etat d'envoi. Avant d'examiner si elle appartenait au personnel de service ou au personnel local, il faut répondre à un autre grief.
4.4. La recourante se prévaut de la jurisprudence selon laquelle l'Etat étranger ne jouit pas de l'immunité de juridiction dans les litiges l'opposant avec le personnel des missions diplomatiques exerçant des tâches subalternes comme celles de chauffeur, portier, jardinier, cuisinier, employé de maison (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 573; <ref-ruling> consid. 4b p. 406). A défaut d'immunité, les tribunaux civils suisses seraient compétents dans cette affaire. Tel est du reste le motif retenu en première instance par le tribunal prud'homal pour justifier sa compétence.
L'on peut donner raison à la recourante sur un point: si l'immunité de juridiction et la compétence internationale sont théoriquement deux questions distinctes, en pratique elles sont imbriquées. En effet, lorsque le juge arrive à la conclusion que l'Etat étranger agit jure gestionis et ne bénéficie pas de l'immunité de juridiction, cela signifie que la relation litigieuse sera traitée comme une cause de droit privé relevant des tribunaux civils suisses (Frank Vischer, Praxis des Bundesgerichtes zum internationalen Obligationenrecht 1984-1985, in Annuaire suisse de droit international 1986, p. 243). Le juge ne peut donc pas statuer sur une question de compétence internationale en faisant abstraction des règles sur l'immunité de juridiction.
Il est par ailleurs exact que pour déterminer si l'Etat étranger jouit ou non de l'immunité, la jurisprudence se réfère à la fonction exercée par l'employé. Elle reconnaît que l'Etat étranger peut avoir un intérêt important à ce que les litiges l'opposant à du personnel d'ambassade exerçant des fonctions supérieures ne soient pas portés devant les tribunaux du lieu de l'ambassade, tandis qu'un tel intérêt est dénié s'agissant d'employés subalternes (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 573; <ref-ruling> consid. 4a). Ceci dit, l'on ne saurait en déduire que l'Etat étranger ne bénéficie jamais de l'immunité de juridiction dans les litiges l'opposant avec le personnel d'ambassade subalterne. L'on relève tout d'abord que la jurisprudence exige une condition supplémentaire, soit l'existence d'un lien suffisant avec l'Etat du for ("Binnenbeziehung"; <ref-ruling> consid. 5c p. 411; <ref-ruling> consid. 4b). A cela s'ajoute que le système suisse exposé ci-dessus (consid. 4.2.2) connaît la catégorie de "personnel de service" subalterne soumis au droit public étranger, et donc en principe soumis aux voies de droit prévues par cette législation (cf. Philippe Ehrenström, Immunités diplomatiques et contentieux du travail en Suisse, in Jusletter du 10 décembre 2007, p. 9; Werner Gloor, Employeurs titulaires de l'immunité de juridiction, in Le juriste suisse face au droit et aux jugements étrangers, 1988, p. 269).
Pour le surplus, la recourante, qui est assistée d'un avocat, ne plaide pas que l'immunité de juridiction serait exclue - et la compétence des tribunaux civils suisses garantie - par des règles de droit international public, en particulier par la Convention des Nations Unies sur les immunités juridictionnelles des Etats et de leurs biens, que la Suisse a ratifiée le 10 avril 2010 (CNUIJE, in FF 2009 1481 ss). Il n'y a pas à examiner cette question plus avant, dans la mesure où une réponse positive ne s'impose pas de façon manifeste (cf. supra consid. 2.1).
4.5. Il reste à examiner si l'employée de l'Etat B._ appartenait au personnel de service régi par le droit public étranger, ou au personnel local soumis au droit privé. La cour cantonale, qui ne s'est pas contentée de faire sien l'avis exprimé par la Mission suisse, a considéré que l'employée était liée par un rapport de droit public. La cour s'est référée entre autres à l'acte de nomination, soit une "résolution" émise par un ministère de l'Etat B._, à l'acte de même nature ayant mis fin aux rapports de service, à l'envoi d'une correspondance qui utilisait le terme de fonctionnaire et se référait au statut et voies de droit de la fonction publique B._, et à la délivrance d'un passeport de service. La recourante n'explique pas en quoi cette analyse serait erronée. Elle souligne tout au plus que son travail effectif ne correspondait pas au titre officiel d'auxiliaire administrative, ce qui n'exclut pas encore son incorporation dans la fonction publique. Il n'était pas contraire au droit fédéral de considérer que le rapport de travail litigieux relevait du droit administratif étranger. Par ailleurs, l'état de fait retenu dans l'arrêt attaqué ne permet pas de retenir que l'incorporation dans la fonction publique étrangère n'aurait eu d'autre fin que d'échapper à la juridiction et au droit suisses; l'on ne discerne du reste aucun grief précis dans le recours.
Il faut concéder que l'arrêt attaqué ne contient aucun élément selon lequel la recourante était une fonctionnaire "transférable", c'est-à-dire susceptible d'être envoyée dans un autre pays étranger sur simple prescription de service (cf. FF 2003 2695 s.). Outre que cet élément ne donne lieu à aucun grief explicite de la recourante, il ne paraît pas déterminant. L'on ne saurait déduire de la réglementation suisse exposée ci-dessus (consid. 4.2.2) que seuls les fonctionnaires "transférables" seraient soumis au droit public étranger, tandis que les fonctionnaires recrutés pour une ambassade précise devraient obligatoirement être soumis au droit privé. L'<ref-law>, qui définit le "personnel de service", évoque uniquement le lien de droit public unissant les membres de ce personnel à l'Etat employeur, sans exiger qu'ils soient transférables. L'ordonnance est certes entrée en vigueur après les faits litigieux, mais rien n'indique qu'elle ait introduit une modification par rapport à la situation antérieure.
4.6. En bref, l'on ne saurait reprocher à la Cour de justice d'avoir enfreint le droit fédéral en considérant que la recourante était une fonctionnaire de l'Etat B._, soumise au droit administratif de ce pays, et partant justiciable devant les autorités de ce pays.
5.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté. En conséquence, la recourante supportera les frais de la présente procédure (<ref-law>). Aucuns dépens ne sont dus à l'Etat intimé, qui n'a pas eu à déposer de réponse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre des prud'hommes de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 4 juin 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti