Sachverhalt:
A. X._ wurde am 4. September 1971 geboren und stammt aus Jordanien. Er heiratete am 5. Juli 1998 eine Schweizer Bürgerin und stellte am 7. Januar 2004 das Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im anschliessenden Verfahren unterzeichneten er und seine Ehefrau am 20. September 2005 eine Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen überdies unterschriftlich zur Kenntnis, dass eine erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantrage oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr bestehe. Bestätigt wurde mit der schriftlichen Erklärung überdies die Kenntnisnahme davon, dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne.
Am 31. Oktober 2005 wurde X._ erleichtert eingebürgert und erhielt das Bürgerrecht der Gemeinde Kirchberg, Kanton St. Gallen. Am 18. Januar 2006 zog er aus der gemeinsamen Wohnung aus und meldete sich ohne seine Ehefrau an einer neuen Adresse in Winterthur an. Am 26. Januar 2006 richteten er und seine Ehefrau ein gemeinsames Scheidungsbegehren an das Bezirksgericht Winterthur, das am 4. Juli 2006 die Scheidung aussprach. Das Urteil ist am 30. August 2006 in Rechtskraft erwachsen.
B. Diese Umstände veranlassten das Bundesamt für Migration, am 18. September 2006 gegen X._ ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der Einbürgerung einzuleiten. In diesem Verfahren konnte er zwei Mal schriftlich Stellung nehmen. Nachdem das Amt für Bürgerrecht und Zivilstand des Kantons St. Gallen am 7. Februar 2007 die entsprechende Zustimmung erteilt hatte, erklärte das Bundesamt die Einbürgerung von X._ mit Verfügung vom 9. März 2007 für nichtig.
C. Mit Urteil vom 16. April 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht die gegen die erstinstanzliche Verfügung eingereichte Beschwerde von X._ ab. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, X._ habe die erleichterte Einbürgerung aufgrund falscher Angaben bzw. durch Verschweigen wesentlicher Tatsachen erschlichen und damit den Tatbestand von Art. 41 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (BüG; SR 141.0) erfüllt.
D. Mit Eingabe vom 20. Mai 2008 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt im Wesentlichen, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben.
E. Das Bundesamt für Migration und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die vorliegende Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerungen gemäss <ref-law> erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Es sind auch keine weiteren Ausnahmen vom Beschwerderecht gemäss <ref-law> gegeben. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Die erleichterte Einbürgerung setzt gemäss <ref-law> u.a. voraus, dass der Gesuchsteller seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit einem Schweizer Bürger bzw. einer Schweizer Bürgerin lebt. Die Rechtsprechung des Bundesgerichts geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist. Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder ein Scheidungsantrag gestellt wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin oder eines Schweizer Bürgers die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (<ref-ruling> E. 2 S. 483 f., mit Hinweisen).
Gemäss <ref-law> kann die Einbürgerung vom zuständigen Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Nach der Rechtsprechung genügt das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", d.h. mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist. Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich, wohl aber dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 3.1 S. 114 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 483 f., mit Hinweisen). Besteht aufgrund des Ereignisablaufs die tatsächliche Vermutung, die Einbürgerung sei erschlichen worden, obliegt es dem Betroffenen, die Vermutung durch den Gegenbeweis bzw. erhebliche Zweifel umzustürzen, indem er Gründe bzw. Sachumstände aufzeigt, die es als überzeugend (nachvollziehbar) erscheinen lassen, dass eine angeblich noch wenige Monate zuvor bestehende tatsächliche, ungetrennte eheliche Gemeinschaft in der Zwischenzeit dergestalt in die Brüche gegangen ist, dass es zur Scheidung kam (<ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Weiss die Partei, dass die Voraussetzungen für die erleichterte Einbürgerung im Zeitpunkt der Verfügung erfüllt sein müssen, und erklärt sie, in einer stabilen Ehe zu leben, so hat sie die Behörde unaufgefordert über eine nachträgliche Änderung der Verhältnisse zu orientieren, von der sie weiss oder wissen muss, dass sie einer erleichterten Einbürgerung entgegensteht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 115 f.).
2.2 Die Vorinstanz hält fest, in der ehelichen Beziehung des Beschwerdeführers habe es bereits vom Mai 2000 bis zum Sommer 2001 und vom Januar bis zum März 2003 zwei Phasen der Trennung gegeben, was ein Indiz dafür sei, dass die Ehe schon vor der Erklärung vom 20. September 2005 zur ehelichen Gemeinschaft nicht mehr intakt gewesen sei. Die Darlegungen des Beschwerdeführers, wie es zur zweiten Trennung kam, überzeugten nicht. Gerade in Zeiten gesundheitlicher Probleme eines Partners sei nach dem allgemeinen Verständnis davon auszugehen, dass Ehegatten, die in einer intakten Ehe lebten, einander beistünden. Aufgrund der Haltung des Beschwerdeführers bezüglich der finanziellen Abhängigkeit von seiner Frau, wonach es unmoralisch sei, dass der Mann von der Frau Geld nehme, sei zudem davon auszugehen, dass seine finanzielle Situation die Beziehung bereits seit längerer Zeit stark belastet habe und nicht erst seit Januar 2006. Dass die Trennungs- bzw. Scheidungsabsicht nicht spontan im Januar 2006 entstanden sei, werde zudem durch die Aussagen der Ehefrau im Rahmen des Scheidungsverfahrens bestätigt. Sie habe dort gesagt, der Entscheid für die Scheidung sei langsam gewachsen und nicht überstürzt erfolgt.
Die Vorinstanz fährt fort, der nahe zeitliche Zusammenhang zwischen der erleichterten Einbürgerung und dem endgültigen Scheitern der Ehe des Beschwerdeführers lege aufgrund der allgemeinen Erfahrung den Schluss nahe, dass die Ehe bereits seit längerer Zeit nicht mehr intakt und stabil gewesen sei. Selbst wenn vor Januar 2006 nie von Trennung oder Scheidung die Rede gewesen sein sollte, könne daraus allein nicht der Schluss auf eine intakte, tragfähige Ehegemeinschaft gezogen werden. Wäre die Ehe am 31. Oktober 2005 noch stabil gewesen, hätte der Beschwerdeführer auf Ereignisse nach diesem Datum hinweisen müssen, die ein Scheitern der Ehe innert kürzester Zeit nachvollziehbar erscheinen liessen. Solche Gründe seien von ihm aber weder geltend gemacht worden noch seien sie ersichtlich. Es ergebe sich somit, dass die Stabilität der ehelichen Lebensgemeinschaft des Beschwerdeführers bereits in den letzten Monaten des Einbürgerungsverfahrens erheblich erschüttert gewesen sei, was nach der erfolgten Einbürgerung binnen zweier Monate zur Trennung geführt habe. Mit der unzutreffenden Erklärung vom 20. September 2005 habe der Beschwerdeführer somit bewusst falsche Angaben über den Zustand seiner Ehe gemacht. Zudem habe er es unterlassen, die Einbürgerungsbehörde über die schwerwiegenden Probleme in seiner Ehe zu informieren. Es stehe somit fest, dass er die erleichterte Einbürgerung erschlichen habe.
2.3 Der Beschwerdeführer macht vor Bundesgericht geltend, die Auffassung der Vorinstanz sei nicht haltbar, dass die beiden früheren Phasen der Trennung (Mai 2000 bis Sommer 2001, Januar bis März 2003) Indizien dafür seien, dass die Ehe bereits vor der Erklärung vom 20. September 2005 zur ehelichen Gemeinschaft nicht mehr intakt gewesen sei. Wenn ein Ehepaar zwei Mal eine kürzere oder längere Trennungsphase überwinde und danach wieder Jahre lang zusammen lebe, sei dies vielmehr ein Indiz dafür, dass der gemeinsame Ehewille relativ stark sei und auch Krisen überstehe. Im Übrigen sage der Zustand der Ehe im Jahr 2000 und 2003 nichts über den Zustand in den Jahren 2005/2006 aus. Hinsichtlich der zweiten Trennung von Januar bis März 2003 gehe es zudem nicht an, dass die Vorinstanz die Rücksichtnahme des Beschwerdeführers auf den Wunsch seiner Ehefrau, eine Phase mit gesundheitlichen Schwierigkeiten alleine verbringen zu wollen, als Indiz für eine nicht mehr intakte Ehe deute. Indem der Beschwerdeführer diesen Wunsch seiner Ehefrau respektiert habe, sei er ihr beigestanden. Sodann gebe es keinen Nachweis, dass der Beschwerdeführer am 20. September 2005 bewusst falsche Angaben über den Zustand der Ehe gemacht habe. Zwar möge es sein, dass die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt zerrütteter gewesen sei, als von ihm angenommen, dass er sich dessen aber bewusst gewesen sei, sei nicht erstellt. Es könne von einem Ehegatten nicht verlangt werden, dass er seine eheliche Situation richtig einschätze. Die subjektive Wahrnehmung der Ehefrau, wonach der Entscheid für die Scheidung langsam gewachsen und nicht überstürzt erfolgt sei, müsse sich überdies nicht mit derjenigen des Beschwerdeführers decken.
2.4 Zwischen der erleichterten Einbürgerung des Beschwerdeführers am 31. Oktober 2005 und seinem Wegzug aus der gemeinsamen ehelichen Wohnung am 18. Januar 2006 bzw. der Einreichung des Scheidungsbegehrens am 26. Januar 2006 liegt ein Zeitraum von lediglich knapp drei Monaten. Nach der bundesgerichtlichen Praxis (oben E. 2.1) besteht daher die Vermutung, dass beim Beschwerdeführer und seiner Ehefrau der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft bereits im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung (20. September 2005) nicht mehr intakt gewesen war. Will der Beschwerdeführer diese Vermutung umstossen, müsste er Gründe bzw. Sachumstände aufzeigen, die es als nachvollziehbar erscheinen lassen, weshalb eine angeblich noch wenige Monate zuvor bestehende tatsächliche, ungetrennte eheliche Gemeinschaft in der Zwischenzeit dergestalt in die Brüche gehen konnte, dass es zur Scheidung kam.
Der Beschwerdeführer zeigt keine Gründe oder Sachumstände auf, die geeignet sind, die genannte Vermutung umzustossen. Sich allein darauf zu berufen, die Ehe sei objektiv vielleicht zerrütteter gewesen, als er angenommen habe, und das nahe bevorstehende Scheitern der Ehe sei für ihn im September/Oktober 2005 nicht voraussehbar gewesen, genügt hiefür nicht. Die Vermutung bleibt somit bestehen, dass das Scheidungsbegehren den Endpunkt einer längeren (Entfremdungs-)Entwicklung zwischen den beiden Ehegatten bedeutete, die im massgebenden Zeitpunkt nicht nur bereits im Gange, sondern schon weit fortgeschritten gewesen sein musste. Demzufolge bleibt auch die Vermutung bestehen, dass der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft insbesondere auch im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung (20. September 2005) nicht mehr intakt war, weshalb auf eine Erschleichung der Einbürgerung im Sinne von <ref-law> zu schliessen ist. Der angefochtene Entscheid verstösst somit nicht gegen Bundesrecht.
3. Die Beschwerde ist daher abzuweisen.
Die Gerichtskosten werden dem Beschwerdeführer als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kappeler