Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene S._ war als Verkäuferin bei der Firma M._ tätig und damit bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Am 20. Oktober 1999 rutschte sie auf feuchtem Boden aus und zog sich eine Schädelkontusion, eine HWS-Distorsion und eine Kniekontusion zu. Nachdem die Zürich für die Heilbehandlung aufgekommen war und Taggelder ausgerichtet hatte, teilte sie der Versicherten am 12. April 2001 den Fallabschluss mit.
Im April 2002 meldete S._ einen Rückfall zum Unfall vom 20. Oktober 1999. Die Zürich informierte sie mit Schreiben vom 2. März 2005, dass eine medizinische Begutachtung bei Dr. med. X._, Facharzt FMH für Innere Medizin, speziell Rheumatologie und Physikalische Medizin, vorgesehen sei. Zudem wies sie darauf hin, dass dieser Arzt berechtigt sei, Spezialisten aus anderen medizinischen Fachrichtungen beizuziehen, sofern dies für die Beantwortung der ihm vorgelegten Fragen notwendig sei. Überdies gab sie der Versicherten Gelegenheit, zur Person des Gutachters und zu den Gutachterfragen Stellung zu nehmen und allfällige Ergänzungsfragen zu unterbreiten. Der Rechtsvertreter der Versicherten gelangte daraufhin an Dr. med. X._ und verlangte von ihm unter anderem Auskunft über seine bisherige Zusammenarbeit mit der Zürich. Mit Schreiben vom 24. Mai 2005 liess die Versicherte dem Unfallversicherer mitteilen, sie lehne den vorgesehenen Gutachter ab, weil sie aufgrund ihrer Beschwerden nicht nur rheumatologisch, sondern interdisziplinär zu begutachten sei und weil ihr die Zürich verschwiegen habe, dass es sich bei Dr. med. X._ um einen seit Jahren für sie tätigen Konsiliararzt handle, der somit nicht unabhängig und unparteilich sei. Zudem verlangte die Versicherte die Bekanntgabe der weiteren, allenfalls mit dem Gutachten befassten Fachärzte und schlug für die anbegehrte interdisziplinäre Expertise drei Institutionen vor. Auch mit dem vorgelegten Fragenkatalog erklärte sie sich nicht einverstanden und reichte eigene Gutachterfragen ein. Nachdem in einem weiteren Schriftenwechsel keine Einigung erzielt werden konnte, hielt die Zürich mit Verfügung vom 8. Juli 2005 an einer Begutachtung durch Dr. med. X._ fest, wies das Begehren um Durchführung einer interdisziplinären Begutachtung ab und trat auf die Gegenvorschläge betreffend Gutachterstellen nicht ein.
B. Beschwerdeweise liess S._ beantragen, es sei unter Wahrung der verfassungsmässigen Rechte eine interdisziplinäre Begutachtung durchzuführen oder ein anderer Sachverständiger zu bestellen. Zudem sei die Sache an die Zürich zurückzuweisen, damit diese die Abänderungs- und Ergänzungsfragen pflichtgemäss würdige und den Fragenkatalog entsprechend bereinige. Sie rügte erneut die fehlende Unvoreingenommenheit und Unabhängigkeit des Dr. med. X._. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. Oktober 2006 ab, soweit es darauf eintrat.
C. S._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit den Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses auf die im Zusammenhang mit der Gutachterernennung erhobenen Rügen eintrete und darüber befinde; eventuell sei die Sache an die Zürich zurückzuweisen, damit diese unter Wahrung sämtlicher durch die Bundesverfassung und die EMRK gewährleisteten Rechte der Versicherten einen neuen medizinischen Sachverständigen bestelle.
Die Zürich schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. In prozessualer Hinsicht ist zunächst festzustellen, dass die Beschwerdeschrift vom 22. November 2006 Ausführungen ungebührlichen Inhalts enthält, welche sich auf die medizinische Sachverhaltsabklärung durch die Beschwerdegegnerin beziehen. Von einer Rückweisung zur Verbesserung (Art. 30 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 135 OG) ist indessen abzusehen. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird jedoch für die Zukunft auf die Sanktionsmöglichkeiten gemäss Art. 31 in Verbindung mit Art. 135 OG (Verweis oder Ordnungsbusse) hingewiesen.
3. 3.1 Muss der Versicherungsträger zur Abklärung des Sachverhalts ein Gutachten einer oder eines unabhängigen Sachverständigen einholen, so gibt er der Partei deren oder dessen Namen bekannt. Diese kann den Gutachter aus triftigen Gründen ablehnen (<ref-law>).
3.2 Nach der materiell unverändert von Art. 58 aBV in <ref-law> überführten, ebenfalls in Art. 6 Ziff. 1 EMRK enthaltenen Garantie des verfassungsmässigen Richters hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Liegen bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vor, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, so ist die Garantie verletzt (<ref-ruling> E. 2b S. 198 mit Hinweisen). Für Sachverständige gelten grundsätzlich die gleichen Ausstands- und Ablehnungsgründe, wie sie für den Richter vorgesehen sind (<ref-ruling> E. 3a S. 364). Da sie nicht Mitglied des Gerichts sind, richten sich die Anforderungen zwar nicht nach <ref-law>, sondern nach <ref-law>. Hinsichtlich der Unparteilichkeit und Unbefangenheit kommt <ref-law> indessen ein mit <ref-law> weitgehend übereinstimmender Gehalt zu (<ref-ruling> E. 2b S. 198). Bei der Befangenheit handelt es sich um einen inneren Zustand, der nur schwer bewiesen werden kann. Es braucht daher für die Ablehnung nicht nachgewiesen zu werden, dass die sachverständige Person tatsächlich befangen ist. Es genügt vielmehr, wenn Umstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Bei der Beurteilung des Anscheins der Befangenheit und der Gewichtung solcher Umstände kann jedoch nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abgestellt werden. Das Misstrauen muss vielmehr in objektiver Weise als begründet erscheinen. Im Hinblick auf die erhebliche Bedeutung, welche den Arztgutachten im Sozialversicherungsrecht zukommt, ist an die Unparteilichkeit des Gutachters ein strenger Massstab anzusetzen (<ref-ruling> E. 7.1 S. 109).
3.3 Mit Blick auf einen vom Sozialversicherungsträger im Sinne von <ref-law> vorgesehenen oder beauftragten medizinischen Gutachter können Thema eines Ablehnungsgesuches, welches zu einem Zwischenentscheid führt, der geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu bewirken und daher selbstständig mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde angefochten werden kann, nur formelle Ausschliessungs- oder Ablehnungsgründe bilden, wie sie beispielsweise in <ref-law> und <ref-law> (vgl. auch Art. 22 f. OG) festgehalten sind. Die Ausstandsgründe nach <ref-law> stimmen mit denjenigen nach <ref-law> überein (SVR 2007 IV Nr. 22 S. 77 E. 2.2.3, I 478/04). Dazu gehören ein persönliches Interesse an der zu beurteilenden Sache, aber auch die enge verwandtschaftliche oder freundschaftliche Verbundenheit mit einer Partei oder andere Gründe von ähnlichem Gewicht (Kieser, ATSG-Kommentar, Zürich 2003, N 3 und 6 zu Art. 36). Bedenken materieller Natur gegen die Fachkompetenz des in Aussicht genommenen Gutachters können nicht Inhalt eines Ausstandsbegehrens sein, sondern sind allenfalls im Rahmen der materiellen Würdigung des Gutachtens vorzubringen (<ref-ruling> E. 6.5 S. 108 f.). Ebensowenig sind die Fragen zuhanden des medizinischen Sachverständigen in einer anfechtbaren Zwischenverfügung festzulegen (<ref-ruling> E. 7.4 S. 449). Gegenstand der Verfügung der Zürich vom 8. Juli 2005 und somit auch Streitgegenstand im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren konnte und kann daher nur die Frage sein, ob gegen den vorgesehenen Gutachter gesetzliche Ausstandsgründe vorliegen.
4. Das kantonale Gericht hat erwogen, zu prüfen sei einzig, ob die Beschwerdeführerin gegen den von der Zürich vorgeschlagenen Gutachter Dr. med. X._ gesetzliche Ausstands- oder Ablehnungsgründe geltend machen könne. Auf die übrigen Anträge sei hingegen nicht einzutreten, da es sich dabei um Einwendungen materieller Natur handle, welche erst mit dem Entscheid in der Sache zu prüfen seien. Mit Bezug auf die vorgebrachten Befangenheitsrügen hielt die Vorinstanz dafür, aus der unterlassenen Mitteilung der Zürich über die konsiliarische Tätigkeit des zur Diskussion stehenden Facharztes könne die Versicherte nichts zu ihren Gunsten ableiten. Dr. med. X._ gelte aber auch nicht deshalb als befangen, weil er in der Vergangenheit für die Beschwerdegegnerin als Konsiliararzt tätig gewesen sei. Aufgrund der Akten bestünden keine Anhaltspunkte dafür, dass er in einem unzulässigen Pflicht- und Abhängigkeitsverhältnis zum Unfallversicherer stehe, zumal er nicht als dessen Angestellter, sondern als selbstständiger Facharzt tätig sei. Da insgesamt keine Umstände ersichtlich seien oder geltend gemacht würden, welche das Misstrauen in die Unparteilichkeit objektiv als begründet erscheinen liessen, wies das kantonale Gericht die Beschwerde in diesem Punkt ab.
5. 5.1 Zunächst gilt es festzuhalten, dass die Vorinstanz auf die bei ihr eingereichte Beschwerde zu Recht nicht eingetreten ist, soweit sie Rügen enthält, die über die gegenüber Dr. med. X._ geltend gemachten Ausstands- und Ablehnungsgründe hinausgehen (vgl. E. 3.3 hievor). Daran vermögen die Vorbringen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nichts zu ändern. Es betrifft dies insbesondere die Ausführungen über die Anordnung der Begutachtung mittels Realakt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5 S. 100), zur Frage, ob ein rheumatologisches Gutachten mit Berechtigung des beauftragten Facharztes zum Beizug weiterer medizinischer Sachverständiger einzuholen oder ein interdisziplinäres Gutachten zu veranlassen sei (vgl. zu den mit dem Entscheid in der Sache im Rahmen der Beweiswürdigung zu behandelnden Einwendungen materieller Natur: <ref-ruling> E. 6.5 S. 108) und zu den dem Gutachter zu unterbreitenden Fragen (vgl. dazu <ref-ruling>).
5.2 Nicht durchzudringen vermag die Beschwerdeführerin sodann mit ihrem Einwand, Beschwerdegegnerin und Vorinstanz hätten <ref-law> nicht gesetzes-, verfassungs- und EMRK-konform ausgelegt. Wenn der rechtserhebliche Sachverhalt ausschliesslich durch Dr. med. X._ festzustellen ist, liegt ihrer Ansicht nach mangels einer ausreichenden gesetzlichen Grundlage, eines überwiegenden öffentlichen Interesses und mit Blick auf die Verhältnismässigkeit einer solchen Massnahme eine rechtswidrige Beschränkung der persönlichen Freiheit vor. <ref-law> statuiert die Sachverhaltsabklärung von Amtes wegen, wobei die zuständige Behörde nicht an Anträge der versicherten Person gebunden ist (<ref-ruling> E. 5.2.8 S. 105). Entsprechend dem Untersuchungsgrundsatz ist es in erster Linie Sache der zuständigen Behörde, die materielle Wahrheit zu ermitteln (SVR 2007 IV Nr. 22 S. 77, I 478/04). Es liegt im Ermessen des Versicherungsträgers, darüber zu befinden, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären ist. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin muss dieser die Ernennung eines bestimmten Gutachters daher nicht näher begründen. Oft handelt es sich um jenen Facharzt, der aufgrund seiner Arbeitsbelastung den Auftrag auch tatsächlich annehmen kann. Der versicherten Person sind jedoch die aus <ref-law> fliessenden Rechte zu gewähren, welcher Anforderung die Beschwerdegegnerin mit der Bekanntgabe der Person des Gutachters und seiner medizinischen Fachrichtung (SVR 2007 IV Nr. 27 S. 94, I 193/05) am 2. März 2005 nachgekommen ist. Dieser obliegt es alsdann, gegebenenfalls gesetzliche Ausstands- und Ablehnungsgründe und damit triftige Gründe im Sinne von <ref-law> substantiiert vorzutragen (vgl. <ref-ruling>) und allenfalls Gegenvorschläge zu unterbreiten. Zu den Gegenvorschlägen hat der Versicherungsträger nur dann eingehend Stellung zu nehmen, wenn sich ergibt, dass mit Bezug auf den von ihm bestimmten medizinischen Sachverständigen berechtigte Ausstands- oder Ablehnungsgründe vorliegen. Die üblichen Untersuchungen im Rahmen einer medizinischen Begutachtung sind ohne konkret entgegenstehende Umstände generell als zumutbar zu erachten (Urteil I 988/06 vom 28. März 2007).
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin erblickt einen Befangenheitsgrund in der langjährigen Konsiliartätigkeit des Dr. med. X._ für die Beschwerdegegnerin, welche überdies weder vom Arzt noch vom Unfallversicherer offengelegt und damit einer Überprüfung zugänglich gemacht worden sei. Wie sich aus dem auf Intervention des Rechtsvertreters der Versicherten verfassten Schreiben des Dr. med. X._ vom 22. März 2005 ergibt, erhält dieser regelmässig von einer Vielzahl von Privatversicherungen, öffentlich-rechtlichen Versicherungsanstalten, Vorsorgeeinrichtungen und Anwaltskanzleien Aufträge. Unbestritten ist, dass er auch von der Beschwerdegegnerin zur Klärung medizinischer Fragen oder zur Erstellung von Gutachten beigezogen wird. Er steht bei dieser indessen nicht in einem Anstellungsverhältnis, noch hatte er sich bisher mit den sich bezüglich der Beschwerdeführerin stellenden Fragen zu befassen, was auch nicht geltend gemacht wird. Die Beschwerdegegnerin ihrerseits erteilt die Gutachteraufträge nicht ausschliesslich dem hier zur Diskussion stehenden Facharzt, sondern arbeitet diesbezüglich mit verschiedenen versicherungsexternen Ärzten zusammen.
6.2 Nach ständiger Rechtsprechung stellt der Umstand, dass ein Arzt wiederholt von einem Sozialversicherungsträger als Gutachter beigezogen wird, für sich allein keinen Ausstandsgrund dar (RKUV 2001 Nr. KV 189 S. 490 E. 5b, K 6/01, 1999 Nr. U 332 S. 193 E. 2a/bb; Urteile 9C_67/2007 vom 28. August 2007, I 885/06 vom 20. Juni 2007, I 371/05 vom 1. September 2006).
6.3 Anzeichen für eine (wirtschaftliche) Abhängigkeit des Dr. med. X._ von der Beschwerdegegnerin, ein Pflichtverhältnis oder andere Gründe, die auf mangelnde Objektivität und auf Voreingenommenheit des Arztes schliessen liessen, was bereits im Vornherein Zweifel am Beweiswert seines Gutachtens rechtfertigen könnte, sind weder aufgrund der Akten noch der Vorbringen der Beschwerdeführerin auszumachen. Insbesondere können solche nicht in der Bezeichnung "Konsiliararzt Zürich-Versicherung" in einem nicht näher spezifizierten Teilnehmerverzeichnis erblickt werden, zumal nicht ersichtlich ist, bei welcher Gelegenheit dieser Titel verwendet wurde und von wem er stammt. Da die Beschwerdegegnerin und insbesondere auch der Arzt in seinem Schreiben an den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin vom 22. März 2005 zur gegenseitigen Beziehung ausführlich Stellung genommen haben, hat das kantonale Gericht mit der Abweisung des Begehrens um Offenlegung der Geschäftsbeziehungen zwischen der Zürich und Dr. med. X._ weder <ref-law> noch Art. 6 Ziffer 1 EMRK verletzt. Von einer eingehenderen Begründung im angefochtenen Entscheid konnte die Vorinstanz absehen, ohne den Anspruch auf rechtliches Gehör zu verletzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Februar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer