Sachverhalt:
A. R._ wurde ab Juli 2002 von den Sozialen Diensten der Stadt Zürich mit wirtschaftlicher Hilfe unterstützt. Am 6. Mai 2004 heiratete sie B._. Aufgrund dessen Erwerbseinkommen wurde das Ehepaar ab Sommer 2005 nur noch ergänzend unterstützt. Mit Verfügung vom 4. Oktober 2007 stellte die Einzelfallkommission der Sozialbehörde der Stadt Zürich die Unterstützungsleistungen auf den 30. September 2007 ein und verpflichtete R._, bis dahin bezogene Leistungen im Betrag von Fr. 84'402.70 zurückzuerstatten. Die hiegegen erhobene Einsprache hiess die Einspracheinstanz und Geschäftsprüfungskommission der Sozialbehörde der Stadt Zürich am 10. Dezember 2007 teilweise gut; sie setzte die Rückerstattungsforderung auf Fr. 74'004.20 herab und verpflichtete R._, davon alleine Fr. 6061.50 sowie solidarisch mit dem Ehemann Fr. 67'942.70 zu tragen; im Übrigen wurde die Einsprache abgewiesen. R._ und B._ erhoben Rekurs beim Bezirksrat Zürich. Dieser hob am 20. März 2008 die Verfügung vom 4. Oktober 2007 und den Einspracheentscheid vom 10. Dezember 2007 auf und wies die Sache zur genügenden Feststellung des Sachverhalts und zur neuen Entscheidung an die Sozialbehörde zurück.
B. Die Stadt Zürich erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, der Rekursentscheid sei, soweit auf Rückweisung betreffend die Einstellung der Leistungen lautend, aufzuheben. Hingegen würden gegen die Rückweisung betreffend die Rückerstattung von Leistungen keine Einwendungen erhoben. R._ und B._ beantragten die Abweisung der Beschwerde und ersuchten um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren.
Mit Zwischenentscheid vom 28. Juli 2008 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung mangels Notwendigkeit eines anwaltlichen Beistandes ab.
Am 20. August 2008 ersuchten R._ und B._ das Verwaltungsgericht, den Zwischenentscheid vom 28. Juli 2008 in Wiedererwägung zu ziehen.
Mit Entscheid vom 1. September 2008 trat das Verwaltungsgericht auf das Wiedererwägungsgesuch nicht ein und hiess die Beschwerde der Stadt Zürich gut. Die Verfahrenskosten auferlegte es der Stadt. Eine Parteientschädigung sprach es nicht zu.
C. Mit einer ersten Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lassen R._ und B._ beantragen, es sei der Zwischenentscheid vom 28. Juli 2008 aufzuheben und die unentgeltliche Verbeiständung für das kantonale Verfahren zu bewilligen (Dossier 8C_778/2008).
Mit einer zweiten Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lassen R._ und B._ beantragen, der Zwischenentscheid vom 28. Juli 2008 und der Entscheid vom 1. September 2008 seien, soweit die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung betreffend, aufzuheben und es sei die unentgeltliche Verbeiständung für das kantonale Verfahren zu bewilligen (Dossier 8C_908/2008).
In beiden Beschwerden ersuchen R._ und B._ um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt die Abweisung der ersten Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Zur zweiten Beschwerde wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1. Aufgrund der gegebenen Umstände sind die beiden Beschwerdeverfahren zu vereinigen (vgl. Urteile 9C_825/2008 und 9C_829/2008 vom 6. November 2008 E. 1; 8C_814/2007 und 8C_580/2008 vom 25. September 2008 E. 1; je mit Hinweisen).
2. Der Zwischenentscheid vom 28. Juli 2008 betraf lediglich die unentgeltliche Verbeiständung, nicht die unentgeltliche Prozessführung im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten. Gerichtskosten wurden den Beschwerdeführern im verfahrensabschliessenden Entscheid der Vorinstanz vom 1. September 2008 nicht auferlegt. Auf die zweite Beschwerde ist daher, soweit die unentgeltliche Prozessführung betreffend, mangels eines Anfechtungsgegenstandes resp. Rechtsschutzinteresses nicht einzutreten.
3. Streitig und zu prüfen bleibt, wie es sich mit der Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das kantonale Verfahren verhält.
3.1 Dabei ist in formeller Hinsicht zu differenzieren:
3.1.1 Die erste Beschwerde richtet sich gegen den Zwischenentscheid vom 28. Juli 2008, in welchem die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung verweigert worden ist. Dieser Zwischenentscheid ist selbstständig anfechtbar (<ref-law>; Urteil 8C_530/2008 vom 25. September 2008 E. 2.3 und 2.4). Auf die Beschwerde ist einzutreten, da auch die übrigen Voraussetzungen hiefür erfüllt sind.
3.1.2 Auf die zweite Beschwerde kann zunächst insofern nicht eingetreten werden, als sie sich (erneut) gegen den bereits mit der ersten Beschwerde angefochtenen Zwischenentscheid vom 28. Juli 2008 richtet.
3.1.3 Soweit mit der zweiten Beschwerde der vorinstanzliche Endentscheid vom 1. September 2008 angefochten werden soll, betrifft dies die Frage der unentgeltlichen Verbeiständung insofern, als auf das diesbezügliche Wiedererwägungsgesuch nicht eingetreten wurde. Die Beschwerdeführer begründen aber nicht, weshalb dieses Nichteintreten unrechtmässig sein soll. Auf die Beschwerde ist daher mangels einer rechtsgenüglichen Begründung nicht einzutreten, soweit sie sich gegen den Nichteintretensentscheid richten will.
3.2 Das kantonale Gericht hat das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung abgewiesen, weil es eine anwaltliche Vertretung der Gesuchsteller als nicht notwendig erachtete. Die Beschwerdeführer rügen, die Vorinstanz habe mit diesem Entscheid ihren Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung nach § 16 des zürcherischen Verwaltungsrechtspflegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG) und <ref-law> verletzt. Sie tun indessen nicht dar, dass ihnen das kantonale Recht unter erleichterten Voraussetzungen einen unentgeltlichen Rechtsbeistand verschaffen würde. Die Beschwerde ist damit ausschliesslich unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> zu beurteilen, womit das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei überprüfen kann, ob der Anspruch auf Gewährung des Armenrechts missachtet worden ist. Auf Willkür beschränkt ist die Prüfungsbefugnis, soweit tatsächliche Feststellungen beanstandet werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 14; <ref-ruling> E. 2.1 S. 182 mit Hinweis).
3.2.1 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Falls es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Von Bedeutung ist im vorliegenden Fall ausschliesslich die Frage der sachlichen Notwendigkeit der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung. Dies beurteilt sich nach den konkreten Umständen des Einzelfalles. Die Rechtsnatur des Verfahrens ist ohne Belang. Grundsätzlich fällt die unentgeltliche Verbeiständung für jedes staatliche Verfahren in Betracht, in das der Gesuchsteller einbezogen wird oder das zur Wahrung seiner Rechte notwendig ist. Die bedürftige Partei hat Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, wenn ihre Interessen in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 182 mit Hinweisen).
3.2.2 Rechtsprechungsgemäss ist die Notwendigkeit der anwaltlichen Verbeiständung im Bereich der Sozialhilfe, in dem es regelmässig vorab um die Darlegung der persönlichen Umstände geht, nur mit Zurückhaltung anzunehmen (Urteil 2P.234/2006 vom 14. Dezember 2006 E. 5.1, auch zum Folgenden). Auch wenn im vorliegenden Fall die Interessen der Beschwerdeführer unstreitig relativ schwer betroffen waren, müssten daher besondere rechtliche oder tatsächliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen die Ansprecher auf sich allein gestellt nicht gewachsen wären. Solche Schwierigkeiten sind mit der Vorinstanz zu verneinen, zumal es im kantonalen Beschwerdeverfahren nurmehr um die Einstellung der laufenden Fürsorgeleistungen ging; in Bezug auf die Rückforderung von erbrachten Fürsorgeleistungen hatte die Stadt Zürich als Beschwerdeführerin den Rekursentscheid vom 20. März 2008 ausdrücklich nicht angefochten. Sodann hat die Vorinstanz zu Recht mitberücksichtigt, dass die Ansprecher am kantonalen Beschwerdeverfahren in der Funktion der Beschwerdegegnerschaft, welche in der Regel prozessual einfacher ist als die der Beschwerdeführerschaft, beteiligt waren.
3.2.3 Sämtliche Vorbringen der Beschwerdeführer vermögen den vorinstanzlichen Entscheid nicht in Frage zu stellen. Dies gilt insbesondere auch, soweit sprachliche Probleme und fehlende Vertrautheit mit behördlichen Verfahren geltend gemacht werden:
Gemäss den Akten hält sich zumindest die Beschwerdeführerin seit etlichen Jahren in der (Deutsch-)Schweiz auf. Sie hat überdies zahlreiche Formulare über Arbeitsbemühungen sowie mehrere Vermögens- und Einkommensdeklarationen eigenhändig ausgefüllt und eine Stellungnahme an die Sozialbehörde zu gegen sie erhobenen Vorwürfen verfasst. Sodann hat sie in der Deutschschweiz eine Massageschule und ein 60tägiges Trainingsprogramm "Arbeitswelt für Frauen Zürich" absolviert. Auch wenn diese Aktenstücke keine besonders guten Deutschkenntnisse ausweisen mögen, zeigen sie doch, dass die Beschwerdeführerin jeweils verstand, worum es ging. Auch war sie in der Lage, sich in verständlicher Weise zu äussern.
Mit Blick auf die verschiedenen Verfahren (unter anderem betreffend Strafrecht/Strafvollzug sowie Arbeitslosenversicherung), in welche die Beschwerdeführerin involviert war, erweist sich der Einwand der mangelnden Vertrautheit mit behördlichen Vorgängen ebenfalls als nicht begründet. Gleiches gilt für die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführer.
3.3 Der Zwischenentscheid vom 28. Juli 2008 ist somit rechtens.
4. Die Gerichtskosten der beiden Verfahren werden den unterliegenden Beschwerdeführern auferlegt (<ref-law>).
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann für das Verfahren 8C_778/2008 entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist. Für das Verfahren 8C_908/2008 kann die unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht gewährt werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 8C_778/2008 und 8C_908/2008 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Den Beschwerdeführern wird im Verfahren 8C_778/2008 die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren 8C_908/2008 wird abgewiesen.
5. Die Gerichtskosten im Verfahren 8C_778/2008 von Fr. 500.- werden den Beschwerdeführern auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
6. Die Gerichtskosten im Verfahren 8C_908/2008 von Fr. 500.- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
7. Rechtsanwalt Viktor Györffy, Zürich, wird im Verfahren 8C_778/2008 als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführer bestellt, und es wird ihm aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1500.- ausgerichtet.
8. Dieses Urteil wird den Parteien und der Stadt Zürich, Support Sozialdepartement, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Dezember 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz