Faits:
A. Le 29 novembre 2006, Y._ a requis l'autorisation de construire un bâtiment résidentiel de douze appartements, avec garage souterrain, sur les parcelles n° 10203 et 248 du registre foncier de la commune de Leytron. Ces terrains longent au nord la route cantonale Leytron-Chamoson, qui les sépare de la parcelle n° 471 dont A.X._ et B.X._ sont copropriétaires. Ce dernier bien-fonds supporte un bâtiment classé monument historique par le canton du Valais et dont la restauration a été subventionnée par la Confédération et le canton.
Par avis paru au Bulletin officiel du canton du Valais du 12 janvier 2007, la demande d'autorisation de construire a été mise à l'enquête publique. Le 19 janvier 2007, A.X._ et B.X._ ont formé opposition en faisant valoir, entre autres griefs, une non-conformité à l'affectation de la zone village telle que prévue par le règlement des constructions et des zones de la commune de Leytron, approuvé par le Conseil d'Etat du canton du Valais le 8 juin 2005 (RCCZ). Lors de la procédure de consultation des organes cantonaux compétents, le Service cantonal des bâtiments, monuments et archéologie (ci-après: le SBMA) a rendu un préavis négatif: l'important volume du nouveau bâtiment menaçait de rompre l'échelle du site et dévalorisait la maison de A.X._ et B.X._ (ci-après: la maison X._). Le 9 juillet 2007, le SBMA a effectué un nouvel examen et a subordonné son préavis positif à certains amendements portant sur la hauteur du bâtiment et sur des questions d'esthétique. Y._ a accepté d'abaisser les fondations de son projet de construction de 0.80 m, mais a refusé les autres réquisits du SBMA.
Le 25 juillet 2007, la Municipalité de Leytron a levé l'opposition et autorisé le projet. Par arrêt du 10 décembre 2007, le Conseil d'Etat du canton du Valais a rejeté le recours formé par les opposants contre la décision communale.
Le 14 janvier 2008, les opposants ont déposé un recours contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal). Sollicitée par le SBMA, la section Patrimoine culturel et monuments historiques de l'Office fédéral de la culture a estimé, dans un courrier daté du 1er avril 2008, que le projet devait intégrer les modifications esthétiques demandées par le SBMA.
B. Par arrêt du 11 juillet 2008, le Tribunal cantonal a rejeté le recours. Il a considéré en substance que l'autorisation de construire contestée était conforme à l'affectation de la zone village définie aux art. 21 à 23 RCCZ. La construction projetée ne détériorait pas l'image du quartier en cause dans lequel les bâtiments récents côtoyaient des architectures plus traditionnelles, avec des hauteurs et des volumes hétérogènes. Le règlement communal autorisait l'habitat collectif au même titre que l'habitat individuel. Le village de Leytron n'étant inscrit ni à l'Inventaire fédéral des sites construits d'importance nationale à protéger en Suisse (ISOS; cf. <ref-law> et ordonnance fédérale du 9 septembre 1981 concernant l'Inventaire fédéral des sites construits à protéger en Suisse [OISOS; RS 451.12]) ni à l'inventaire de la commune de Leytron, l'autorisation de construire délivrée ne se heurtait pas à la loi valaisanne du 13 novembre 1998 sur la protection de la nature, du paysage et des sites (LcPN; RS/VS 451.1).
C. A.X._ et B.X._ ont formé simultanément un recours de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Ils demandent au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal et de renvoyer l'affaire à celui-ci pour nouvelle décision.
Le Tribunal cantonal et la Municipalité de Leytron ont renoncé à se déterminer sur le recours. Y._ conclut à son rejet. Le Conseil d'Etat du canton du Valais a présenté des observations, sans toutefois prendre de conclusions.
Par ordonnance du 8 octobre 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif présentée par les recourants.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions (<ref-law>), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Les recourants ont pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. En tant que propriétaires de parcelles directement voisines du projet, ils sont particulièrement touchés par l'arrêt attaqué confirmant l'octroi d'un permis de construire pour un projet de construction qu'ils tiennent en particulier pour non conforme à l'affectation de la zone village. Ils peuvent ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Ils ont dès lors qualité pour agir au sens de l'<ref-law>. Les autres conditions de recevabilité étant par ailleurs réunies, la voie du recours en matière de droit public est ouverte, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>).
2. Les recourants estiment que le projet de construction litigieux n'est pas conforme à l'affectation de la zone village telle qu'elle est définie par le règlement communal. Ils soutiennent que la Municipalité de Leytron, le Conseil d'Etat et le Tribunal cantonal avaient interprété et appliqué arbitrairement différentes dispositions de ce règlement. L'autorisation de construire délivrée violerait ainsi l'art. 22 al. 2 let. a de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire du 22 juin 1979 (LAT; RS 700).
2.1 Il y a arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., lorsque la décision attaquée viole gravement une règle ou un principe juridique clair et indiscuté ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle est insoutenable ou en contradiction évidente avec la situation de fait, si elle a été adoptée sans motif objectif ou en violation d'un droit certain. Par ailleurs, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables, encore faut-il que celle-ci soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 266; <ref-ruling> consid. 2 p. 61 et la jurisprudence citée), ce que les recourants doivent démontrer en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 400).
2.2 En vertu de l'art. 22 al. 2 let. a LAT, l'autorisation de construire est délivrée par l'autorité compétente si la construction est conforme à l'affectation de la zone. A teneur de l'art. 21 al. 1 RCCZ, les buts de la zone village sont notamment de "reconnaître et privilégier les anciennes structures villageoises qui constituent l'identité des lieux" (let. a) ainsi que de "promouvoir le logement et la résidence par une amélioration de leur habitabilité" (let. b). L'alinéa 2 de cette disposition précise que les anciennes structures villageoises sont principalement caractérisées par l'aspect de petites propriétés, dû au fort morcellement (let. a), la contiguïté ou la proximité des bâtiments (let. b), les aires publiques d'intérêt général et les espaces intrinsèques non bâtis (let. d). Selon l'alinéa 3, "la restauration, la réaffectation ou la transformation douce des bâtiments contribuant au maintien du patrimoine communal sont souhaitées". L'art. 22 al. 1 RCCZ prévoit que la zone village est destinée à l'habitation ainsi qu'aux activités économiques et aux services qui répondent aux besoins de la population. L'art. 23 RCCZ dispose en son alinéa 1 que "l'ordre des constructions est réglé de cas en cas par rapport à la structure des quartiers et des bâtiments existants" et en son alinéa 4 que "les constructions nouvelles et les transformations s'harmoniseront aux édifices originels du point de vue de la volumétrie, de l'orientation et des autres caractéristiques (aspect extérieur, forme des toits, choix des matériaux et de la couleur, distances aux fonds voisins, aux constructions existantes et aux rues)". L'art. 121 al. 2 RCCZ habilite le Conseil communal à refuser d'autoriser tout projet de nature à compromettre l'aspect ou le caractère d'un site, d'une localité, d'un quartier, d'une rue ou de nuire à l'aspect d'un édifice de valeur historique, artistique ou pittoresque, même si ce projet ne se heurte à aucune disposition réglementaire spéciale. L'art. 188 RCCZ présente enfin sous forme de tableau récapitulatif les différentes zones et la nature de leur affectation. Il en ressort que l'habitat en zone village peut être collectif ou individuel.
2.3 Pour les recourants, le règlement communal ne prévoirait pas la possibilité de construire des immeubles d'habitat collectif dans la zone village, ce genre d'habitat étant affecté à la "zone de haute densité H80". La seule mention de l'habitat collectif figurant dans le tableau récapitulatif de l'art. 188 RCCZ ne saurait constituer une base légale claire permettant la construction de l'immeuble projeté. Une interprétation systématique du règlement s'y opposerait également. Le logement collectif pourrait tout au plus être admis dans le cadre de la rénovation des anciennes structures villageoises caractéristiques, sans qu'il puisse être question de créer de nouvelles structures ou de favoriser la construction d'immeubles nouveaux d'habitat collectif au centre du village.
Le Tribunal cantonal a quant à lui relevé que, si le RCCZ encourageait les projets de transformation ou de restauration contribuant au maintien du patrimoine communal (art. 21 RCCZ), il n'interdisait pas les projets de constructions nouvelles (cf. art. 22 RCCZ). Il a considéré que le projet litigieux trouvait son fondement dans la seconde disposition. Il a en outre fait remarquer que le tableau récapitulatif figurant à l'art. 188 RCCZ démontrait sans équivoque que le législateur avait autorisé l'habitat collectif au même titre que l'habitat individuel dans la zone village. Il a ajouté que cette précision avait été introduite par le RCCZ et ne ressortait pas de l'ancien règlement communal de 1976, qui soumettait la zone village à une réglementation plus restrictive. Le Tribunal cantonal a vu dans cette révision la volonté de faciliter la construction à neuf dans cette zone, sans quoi les restrictions du règlement communal de 1976 auraient été conservées au moins partiellement.
L'appréciation de l'autorité cantonale n'apparaît pas insoutenable. Elle se fonde sur une base légale claire; le tableau figurant à l'art. 188 RCCZ fait partie intégrante du règlement communal et rien ne permet d'affirmer comme le font les recourants que sa portée normative serait inférieure aux autres dispositions. Le fait que le RCCZ ne définisse pas la notion d'habitat collectif en zone village, alors qu'il la circonscrit à un minimum de quatre logements pour la "zone de densité H80" ne saurait signifier que ce genre d'habitat est proscrit en zone village. Partant, en considérant que l'habitat collectif est autorisé en zone village et que l'autorisation de construire délivrée est conforme à l'affectation de la zone, le Tribunal cantonal n'a pas fait preuve d'arbitraire au sens de la jurisprudence susmentionnée.
2.4 Les recourants estiment également que la volumétrie du projet de construction ne s'harmoniserait pas avec celle des édifices originels. Ils se plaignent d'une application arbitraire des clauses d'esthétique prévues aux art. 23 al. 4 et 121 RCCZ.
2.4.1 Selon la jurisprudence, un bâtiment doit non seulement respecter les règles de construction en vigueur, mais également les clauses d'esthétique, pour autant qu'elles aient une portée propre. Le champ de protection de ces deux types de dispositions n'est pas nécessairement le même. L'application d'une prescription d'esthétique peut en effet conduire, dans certains cas, à la réduction du volume de construction admissible sur la base des règles de construction (arrêt 1P.709/2004 du 15 avril 2005 consid. 2.3, in ZBl 2006 p. 422). Il n'en demeure pas moins qu'une clause d'esthétique ne doit pas être appliquée de manière à vider pratiquement de sa substance la réglementation sur les zones en vigueur (<ref-ruling> consid. 3 p. 366). Ainsi, lorsqu'un plan de zones prévoit que des constructions d'un certain volume peuvent être édifiées dans tel secteur du territoire, une interdiction de construire fondée sur une clause esthétique, en raison du contraste formé par le volume du bâtiment projeté avec les constructions existantes, ne peut se justifier que par un intérêt public prépondérant. Il faut alors que l'utilisation des possibilités de construire réglementaires apparaisse déraisonnable et irrationnelle (<ref-ruling> consid. 3 p. 366 s.).
Lorsqu'il s'agit d'examiner l'application de clauses d'esthétique, le Tribunal fédéral fait preuve de retenue dans l'appréciation des circonstances locales. Dans ce domaine, les autorités locales disposent en effet d'un large pouvoir d'appréciation (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 344 et les références; arrêt 1P.678/2004 du 21 juin 2005 consid. 4, publié in ZBl 107/2006 p. 430). C'est le cas notamment lorsqu'il s'agit de savoir si une construction ou une installation est de nature à compromettre l'aspect ou le caractère d'un site, d'une localité, d'un quartier ou d'une rue (<ref-ruling> consid. 3d p. 118, 363 consid. 3b p. 367; arrêt P.265/1985 du 16 avril 1986 consid. 3 in RDAF 1987 p. 155).
2.4.2 En l'espèce, à l'instar de la Municipalité de Leytron et du Conseil d'Etat du canton du Valais, le Tribunal cantonal a estimé que l'immeuble projeté ne créait pas un corps étranger rompant de manière choquante l'harmonie du quartier, ce d'autant moins que le constructeur a accepté de poser les fondations de la construction 0.80 m plus bas. Avec trois niveaux, un volume de 4'663 m3 et une hauteur inférieure à 11 m - alors que la hauteur maximale autorisée est de 13 m (art. 23 al. 7 RCCZ) -, l'immeuble résidentiel projeté ne compromettait pas l'image de la zone village, composée de maisons avec des volumes et des hauteurs hétérogènes ainsi que des gabarits parfois plus importants comprenant quatre niveaux. Se fondant sur les montages photographiques versés au dossier, ledit tribunal a relevé que le bâtiment projeté offrait une vision décalée en façades avec une toiture à deux pans. Cette structure du toit présentait l'ensemble comme deux volumes mitoyens plutôt que comme un seul bâtiment. Cette conception bipartite était renforcée par les teintes de nuances différentes des façades et la présence de balcons avec des hauteurs différentes du côté gauche et droit des façades nord-ouest et sud-est du bâtiment. Les juges cantonaux ont encore mentionné la présence, dans la zone village, de deux bâtiments dont la longueur des façades est analogue à celle du projet litigieux. Ils ont ajouté enfin que le quartier était plutôt disparate, sans véritable unité architecturale. Le Tribunal cantonal a ainsi pris soin d'expliquer les raisons pour lesquelles il considérait que la construction projetée s'intégrait suffisamment, d'un point de vue esthétique, dans le quartier.
Dans ces conditions, les recourants devaient à tout le moins présenter des éléments concrets contredisant clairement l'appréciation des autorités précitées. Or, ils se bornent pour l'essentiel à rappeler que le SBMA et l'Office fédéral de la culture ont rendu des préavis négatifs et à citer l'arrêt susmentionné 1P.709/2004 du 15 avril 2005. Les recourants perdent de vue qu'en l'occurrence - contrairement à la situation prévalant dans l'arrêt précité -, le Tribunal cantonal ne s'est pas contenté de trancher la conformité de la construction au regard de la réglementation de base, concernant en particulier la conformité à l'affectation de la zone: il a également procédé à l'examen du projet de construction sous l'angle de la clause d'esthétique, indépendamment des règles de construction. Pour le surplus, sur le vu du dossier, il convient de relever que le milieu bâti dans la zone village ne présente pas une homogénéité ou une spécificité particulières qu'il conviendrait de préserver dans la mesure du possible en limitant la construction sur les parcelles n° 10203 et 248. Les objections des recourants sur ce point, pour autant qu'elles ne soient pas purement appellatoires et respectent les exigences de l'<ref-law>, ne sont pas de nature à démontrer le caractère manifestement insoutenable de cette argumentation.
En définitive, en considérant que, dans un quartier d'habitation où les maisons traditionnelles côtoient des constructions récentes, le projet litigieux ne se heurtait à aucun obstacle qui découlerait des clauses d'esthétique contenues aux art. 23 al. 4 et 121 RCCZ, le Tribunal cantonal n'a pas non plus fait preuve d'arbitraire.
3. Les recourants estiment enfin que la construction d'un bâtiment d'habitat collectif de douze logements à proximité immédiate d'un monument historique protégé reviendrait à modifier un élément caractéristique du paysage et à amoindrir la valeur de ce dernier en touchant à ses alentours. Ils se plaignent d'une violation des impératifs de protection prévus par la loi fédérale sur la protection de la nature et du paysage du 1er juillet 1966 (LPN; RS 451) et ses dispositions d'application.
3.1 Dans l'accomplissement des tâches fédérales, les autorités fédérales et cantonales prennent soin de ménager les monuments historiques et, lorsque l'intérêt général prévaut, d'en préserver l'intégrité (<ref-law>). Elles s'acquittent de ce devoir notamment en n'allouant des subventions que sous conditions (art. 3 al. 2 let. c LPN, mis en relation avec l'art. 2 let. c de la même loi). Les mesures prises en application de l'<ref-law> ne doivent cependant pas aller au-delà de ce qu'exige la protection de l'objet et de ses environs (<ref-law>). Si un bâtiment ou un monument historique peut être gravement déprécié par des installations ou constructions édifiées aux alentours, cela ne signifie pas nécessairement que la préservation de son intégrité empêcherait l'octroi d'une autorisation de construire dans ses abords immédiats; l'essentiel est que l'objet protégé soit conservé dans son identité, conformément au but assigné à la mesure de protection (arrêt 1A.11/2007 du 16 mai 2007 consid. 2.5; 1A.278/2000 du 26 avril 2001 consid. 1b/cc; cf. Jean-Baptiste Zufferey, Commentaire LPN, 1997, n. 8 et 9 ad <ref-law>).
3.2 En l'espèce, les recourants ont bénéficié d'une subvention fédérale pour financer la restauration de la maison X._. L'octroi de cette aide financière était lié à l'obligation de conserver l'objet dans un état conforme au but de la subvention. Cela étant, ni la maison X._, ni le périmètre de la zone du village de Leytron ne sont répertoriés dans l'ISOS. Le seul fait de bénéficier d'une subvention fédérale ne rend pas la LPN applicable et n'a pas pour conséquence d'empêcher l'octroi d'une autorisation de construire dans ses abords immédiats (cf. arrêts 1A.11/2007 1P.23/2007 du 16 mai 2007 consid. 2.5; 1A.278/2000 du 26 avril 2001 consid. 1b/cc).
De plus, la Municipalité de Leytron n'a pas dressé d'inventaire des objets dignes de protection sur son territoire, comme le prévoit l'art. 128 al. 1 RCCZ. Sur le plan cantonal en revanche, la maison X._, en tant que bâtiment individuel, a été classée par le Conseil d'Etat du canton du Valais parmi les monuments historiques protégés par le canton, par décision du 9 février 2000. Selon le Tribunal cantonal, la maison X._ figure donc dans un inventaire cantonal, lequel cependant n'a pas d'effet juridique direct (art. 8 al. 1 de l'ordonnance du 20 septembre 2000 sur la protection de la nature, du paysage et des sites [RS/VS 451.100]), ce que les recourants ne contestent pas. En outre, il ne ressort pas de la décision du Conseil d'Etat qu'il y aurait lieu d'accorder une protection particulière aux environs de ce bâtiment historique. On ne saurait par conséquent en déduire une restriction du droit de construire sur les parcelles avoisinant la maison X._.
Ce d'autant plus que, comme le relève le Tribunal cantonal, le législateur communal et le Conseil d'Etat connaissaient, respectivement lors du vote et de l'approbation du RCCZ, le classement de la maison X._. L'art. 189 RCCZ, qui désigne une série de zones protégées, n'en a délimité aucune dans le quartier abritant le bâtiment des recourants: ceux-ci se prévalent dès lors en vain de deux inventaires qui auraient été établis en 1978 et en 1994, soit antérieurement au RCCZ. Dans ces conditions, le grief est mal fondé.
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Les recourants, qui succombent, doivent supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 LTF). Ils verseront en outre une indemnité de dépens à l'intimé, qui a eu recours à un avocat (<ref-law>). Ni la commune de Leytron, ni le Conseil d'Etat du canton du Valais n'ont en revanche droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de A.X._ et B.X._.
4. Une indemnité de 2'000 fr. est allouée à Y._ à titre de dépens, à la charge de A.X._ et B.X._, solidairement entre eux.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à la Municipalité de Leytron, au Conseil d'Etat du canton de Valais ainsi qu'à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du Valais.
Lausanne, le 12 février 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Tornay