Sachverhalt:
Das Familiengericht U._ ordnete für E.A._ (geb. 1918) eine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung im Sinne von Art. 394 f. ZGB an und entzog ihr diesbezüglich die Handlungsfähigkeit. Die Führung der Beistandschaft übertrug es unter näherer Bezeichnung der jeweiligen Aufgabenbereiche an C._, Enkelin der Betroffenen, sowie an die Berufsbeiständin D._, Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Bezirks U._ (Entscheid vom 18. Juni 2014). Auf Beschwerde einer Tochter der Betroffenen, B._, hin hob das Obergericht des Kantons Aargau den angefochtenen Entscheid auf und wies die Sache zur neuen Beurteilung an das Familiengericht zurück; dieses habe ein ärztliches Gutachten einzuholen und gestützt darauf neu zu entscheiden. Der Betroffenen stellte das Obergericht Rechtsanwältin F._ als amtliche Vertreterin für das Beschwerdeverfahren zur Seite. Überdies beauftragte das Obergericht das Familiengericht, die Gerichts- und Parteikosten des Beschwerdeverfahrens im neuen Endentscheid zu verlegen (Entscheid vom 23. Februar 2015).
Gegen dieses kantonal letztinstanzliche Urteil erhob der Sohn der Betroffenen, A.A._, Beschwerde beim Bundesgericht. Er verlangte, es sei ein Verfahrensbeistand zu ernennen, welcher die Interessen von E.A._ wirklich vertrete. Zudem beantragte er die Aufhebung des angefochtenen Urteils im Rückweisungs- sowie im Kostenpunkt.
Am 10. Juni 2015 teilte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht mit, E.A._ sei am xx.xx.2015 verstorben. Er beantragte, im Abschreibungsentscheid seien die Kosten des Beschwerdeverfahrens B._ aufzuerlegen; diese habe das vorinstanzliche Verfahren ausgelöst. Sie sei auch zu verpflichten, ihn für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen.

Erwägungen:
1.
Gemäss Art. 32 Abs. 1 und 2 BGG entscheidet der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter über die Abschreibung von Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit, Rückzugs oder Vergleichs. Gleichzeitig befindet er mit summarischer Begründung über die Gerichtskosten und eine allfällige Parteientschädigung, im Falle der Gegenstandslosigkeit aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrunds (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Dabei ist in erster Linie auf den mutmasslichen Verfahrensausgang abzustellen, ohne unter Verursachung weiterer Umtriebe die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen. Es muss bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden. Lässt sich der mutmassliche Ausgang des Verfahrens nicht ohne Weiteres feststellen, ist auf allgemeine zivilprozessrechtliche Kriterien zurückzugreifen. Danach wird in erster Linie jene Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben (<ref-ruling> E. 2a S. 374; Urteil 2C_237/2009 vom 28. September 2009 E. 3.1).
2.
Mit dem Tod von E.A._ ist die Beschwerde an das Bundesgericht, welche eine Beistandschaft über die Verstorbene zum Gegenstand hat, gegenstandslos geworden. Das Verfahren ist daher abzuschreiben.
3.
Zu prüfen bleiben die Kostenfolgen. Diese richten sich in erster Linie nach dem mutmasslichen Ausgang des Verfahrens.
3.1.
3.1.1. Auf die Beschwerde gegen den vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid wäre einzutreten gewesen; es handelt sich bei diesem um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann, weil er unwiderruflich in das Grundrecht der persönlichen Freiheit (<ref-law>) eingreift (<ref-law>; Urteil 5A_655/2013 vom 29. Oktober 2013 E. 1.1 mit Hinweisen).
3.1.2. Der Beschwerdeführer wendet sich einmal gegen die Notwendigkeit einer ärztlichen Begutachtung der Verbeiständeten, zu welchem Zweck das Obergericht die Sache an das Familiengericht zurückgewiesen hat. Dazu stellte das kantonale Gericht fest, keines der Mitglieder der KESB verfüge über die erforderlichen medizinischen Kenntnisse; auch ein ärztlicher Bericht ersetze das nach Art. 446 Abs. 2 dritter Satz ZGB erforderliche Gutachten nicht. Der erstinstanzliche Entscheid leide daher an einem formellen Mangel, welcher zu dessen Aufhebung führe.
Jedenfalls vor der Anordnung einer umfassenden Beistandschaft (<ref-law>) muss durch ein bei externer, unabhängiger Stelle eingeholtes Gutachten dargetan sein, dass einer der in <ref-law> umschriebenen Schwächezustände tatsächlich gegeben ist, es sei denn, eines der Mitglieder der Erwachsenenschutzbehörde verfüge über die zur Beurteilung dieser Frage nötigen Kenntnisse (<ref-ruling> E. 4.3 S. 100). Sicherzustellen ist also, dass die Anordnung aufgrund medizinischer Kenntnisse getroffen worden ist, wie sie notwendig sind "pour conclure au trouble psychique justifiant la mesure de curatelle en question" (BGE a.a.O.). Der vorliegende Fall erheischt indes eine nuanciertere Betrachtung. Im Zeitpunkt der familiengerichtlichen Anordnung (Entscheid vom 18. Juni 2014) lagen im Wesentlichen zwar erst knappe ärztliche Atteste über das Vorhandensein einer schweren Demenz vor (Berichte der Frau Dr. med. G._ vom 18. März und 28. Mai 2014). Im Zeitpunkt des angefochtenen Rückweisungsentscheids vom 23. Februar 2015 indessen stand die geistige Schwäche in Form einer fortgeschrittenen Demenz endgültig ausser Frage. Dies ergibt sich unter anderem aus einem Bericht des Gerontopsychiatrischen Zentrums an der Klinik V._ vom 3. September 2014. Die Auswirkungen der dort festgehaltenen medizinischen Befunde werden im Protokoll über die ausführliche Befragung der Betroffenen durch eine Fachrichterin (Psychologin) des Familiengerichts am 24. November 2014 eindrücklich beschrieben. Unter diesen Umständen ist nicht ersichtlich, welche Punkte noch offen und daher gutachtlich abzuklären gewesen wären.
3.1.3. Die Beschwerde hätte auch hinsichtlich der Frage der Verfahrensvertretung im Sinne von <ref-law> gewisse Aussichten auf Erfolg gehabt. Die Vorinstanz wählte Rechtsanwältin F._ als Prozessbeiständin. Sie erwog, die Betroffene habe diese am 21. Oktober 2014 bevollmächtigt. Inwieweit die Vollmacht gültig zustande gekommen sei, könne offen bleiben, zumal keine konkreten Hinweise zu Interessenbindungen der Bevollmächtigten bestünden, welche eine unabhängige Interessenvertretung ausschliessen würden. Die Bevollmächtigte sei ausserdem bereits als Vertreterin der Betroffenen in Parallelverfahren vor dem Familiengericht tätig, weshalb von einem bestehenden Vertrauensverhältnis auszugehen sei.
Die Bestellung einer Vertretung nach <ref-law> (für das Beschwerdeverfahren sinngemäss anwendbar) setzt voraus, dass die betroffene Person ausserstande ist, selbst eine Vertretung einzusetzen. Nach dem in E. 3.1.2 Gesagten ist davon auszugehen, dass die Betroffene während des vorinstanzlichen Verfahrens in dieser Frage urteils- und damit handlungsunfähig war (vgl. zum Ganzen das Urteil 5A_368/2014 vom 19. November 2014 E. 5.2 mit Hinweisen). Das bedeutet, dass der Betroffenen im Herbst 2014 nicht mehr Gelegenheit "zur Bezeichnung eines selbst gewählten geeigneten Vertreters" gegeben werden konnte (so aber die verfahrensleitende Verfügung der Vorinstanz vom 16. Oktober 2014).
3.2. Eine summarische Beurteilung der Streitfragen zeigt, dass die Erfolgsaussichten der Beschwerde gut waren. Insoweit hat der Beschwerdeführer Anspruch auf eine Parteientschädigung zu Lasten der Beschwerdegegnerin. Nachdem aber kein abschliessender Entscheid in der Sache vorliegt, mithin offen bleiben muss, wie der Rechtsstreit nach einer umfassenden materiellen Beurteilung ausgegangen wäre, kann nur eine herabgesetzte Entschädigung zugesprochen werden.
3.3. Auf die Erhebung von Gerichtskosten im bundesgerichtlichen Verfahren ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).
3.4. Die Vorinstanz überliess die Verteilung der Prozesskosten des Rechtsmittelverfahrens sowie die Verlegung der Parteikosten der ersten Instanz (vgl. <ref-law>). Nachdem die vorinstanzliche Rückweisung dahingefallen ist, wird das Obergericht den Kostenentscheid nunmehr selber zu fällen haben.

Demnach verfügt der Präsident:
1.
Das bundesgerichtliche Verfahren 5A_302/2015 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.- zu entschädigen.
4.
Diese Verfügung wird den Parteien, den Verfahrensbeteiligten, dem Familiengericht U._ und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub