Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 14. September 2001), hat sich ergeben:
A.- I._ wurde 1954 geboren und ist türkischer Staatsangehöriger. Mit Anklageschrift vom 26. Juni 2001 wirft ihm die Staatsanwaltschaft vor, am Abend des 28. Juni 2000 mit einem Küchenmesser (Klingenlänge ca. 25 cm) mehrmals auf seine Ehefrau eingestochen und ihr dabei schwere Verletzungen im Bauch und an der Hand zugefügt zu haben. Die Staatsanwaltschaft beantragt die Bestrafung von I._ wegen vollendeten Tötungsversuches im Sinne von Art. 111 in Verbindung mit <ref-law>.
I._ befindet sich seit dem 28. Juni 2000 in Haft. Am 20. Oktober 2000 und 11. April 2001 wies das Bundesgericht von I._ gegen die Untersuchungshaft erhobene staatsrechtliche Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat.
Am 10. Juli 2001 ordnete der Präsident der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Zürich die Sicherheitshaft an. Am 8. August 2001 ersuchte I._ um Aufhebung der Haft. Am 17. August 2001 gab der Präsident der Anklagekammer dem Gesuch keine Folge und überwies die Akten der Anklagekammer zum endgültigen Entscheid. Diese wies mit Beschluss vom 14. September 2001 das Haftentlassungsgesuch ab.
B.- I._ führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, den Beschluss der Anklagekammer aufzuheben; er sei auf freien Fuss zu setzen. I._ rügt eine Verletzung von Art. 8, 9, 10 und 31 BV.
C.- Die Anklagekammer hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Die Staatsanwaltschaft hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
D.- I._ hat Bemerkungen zur Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft eingereicht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Die staatsrechtliche Beschwerde ist grundsätzlich kassatorischer Natur, das heisst es kann mit ihr nur die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, nicht aber der Erlass positiver Anordnungen durch das Bundesgericht verlangt werden. Eine Ausnahme gilt dann, wenn die von der Verfassung geforderte Lage nicht schon mit der Aufhebung des kantonalen Entscheids hergestellt wird, sondern dafür eine positive Anordnung nötig ist. Das trifft hinsichtlich einer nicht oder nicht mehr gerechtfertigten Untersuchungshaft zu (<ref-ruling> E. 4 mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten, soweit der Beschwerdeführer beantragt, er sei auf freien Fuss zu setzen.
b) Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss die Beschwerdeschrift die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1b mit Hinweisen).
Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 8 und 9 BV geltend macht, genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht.
Darauf kann nicht eingetreten werden.
2.- Der Beschwerdeführer rügt, der angefochtene Beschluss verletze sein Recht auf persönliche Freiheit.
a) Gemäss <ref-law> hat jeder Mensch das Recht auf persönliche Freiheit, insbesondere auf Bewegungsfreiheit.
Bei staatsrechtlichen Beschwerden, die gestützt auf das verfassungsmässige Recht der persönlichen Freiheit wegen der Ablehnung eines Haftentlassungsgesuchs erhoben werden, prüft das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts frei (<ref-ruling> E. 2d mit Hinweis).
Gemäss § 67 Abs. 2 der Strafprozessordnung des Kantons Zürich (im Folgenden: StPO) ist für den Entscheid über die Anordnung der Sicherheitshaft <ref-law> anwendbar. Nach <ref-law> darf Untersuchungshaft angeordnet werden, wenn der Angeschuldigte eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtigt wird und ausserdem aufgrund bestimmter Anhaltspunkte ernsthaft befürchtet werden muss, er werde sich der Strafverfolgung oder der zu erwartenden Strafe durch Flucht entziehen.
b) Der Beschwerdeführer ist grundsätzlich geständig, den in der Anklageschrift geschilderten Sachverhalt verwirklicht zu haben. Der dringende Tatverdacht ist unstreitig gegeben.
c) Die Anklagekammer bejaht Fluchtgefahr. Sie stützt ihren Entscheid einzig auf diesen Haftgrund. Kollusionsgefahr nimmt sie nicht an. Soweit der Beschwerdeführer Kollusionsgefahr bestreitet, gehen seine Ausführungen deshalb an der Sache vorbei.
aa) Nach der Rechtsprechung genügt für die Annahme von Fluchtgefahr die Höhe der dem Angeschuldigten drohenden Freiheitsstrafe für sich allein nicht. Fluchtgefahr darf nicht schon angenommen werden, wenn die Möglichkeit der Flucht in abstrakter Weise besteht. Vielmehr müssen konkrete Gründe dargetan werden, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Höhe der drohenden Freiheitsstrafe kann nur neben anderen eine Flucht begünstigenden Tatsachen herangezogen werden (<ref-ruling> E. 3a mit Hinweisen).
bb) Der Beschwerdeführer lebt seit 1983 in der Schweiz. Trotz dieses vergleichsweise langen Aufenthalts ist er hier nur wenig integriert. Seine Bezugspersonen sind hauptsächlich Türken. Nach den Ausführungen im psychiatrischen Gutachten vom 21. Dezember 2000 ist er weiterhin im türkischen Kulturkreis verwurzelt. Für seine Einvernahmen musste ein Türkisch-Dolmetscher beigezogen werden. Der Beschwerdeführer pflegt nach wie vor Beziehungen zur Türkei.
Das belegen hohe Telefonrechnungen, welche sich aufgrund von Gesprächen mit Personen in der Türkei ergaben. Er hat dort namentlich eine Schwester. In der Schweiz hatte der Beschwerdeführer - bereits vor der Verhaftung - erhebliche finanzielle Schwierigkeiten. Die Ehe mit seiner Schweizer Ehefrau wurde am 31. August 2001 geschieden. Dem Beschwerdeführer wird eine schwere Straftat zur Last gelegt; es droht ihm eine mehrjährige Freiheitsstrafe. Wie die Staatsanwaltschaft in der Vernehmlassung darlegt, wird sie eine Strafe von 5 bis 10 Jahren beantragen. Diese Umstände sprechen für die Annahme von Fluchtgefahr.
Der Beschwerdeführer hat mit seiner geschiedenen Ehefrau drei Kinder (geb. 1984, 1985 und 1989). Diese wurden im Scheidungsurteil unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. Wie der Beschwerdeführer in den Bemerkungen zur Vernehmlassung selber einräumt, befindet sich das 1985 geborene Kind in England. Die 1984 und 1989 geborenen Kinder leben nach seinen Angaben nach wie vor in der Schweiz. Das älteste Kind war Zeugin der dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Tat. Angesichts des Alters dieses nun bald mündigen Kindes verzichteten die Parteien in der richterlich genehmigten Vereinbarung über die Scheidungsfolgen auf eine Regelung des Besuchsrechts. Demgegenüber wurde dem Beschwerdeführer für das jüngste Kind an 2 Tagen pro Monat ein Besuchsrecht eingeräumt, welches nach der Haftentlassung wirksam wird. Dies spricht unter den vorliegenden Umständen jedoch nicht vorbehaltlos gegen Fluchtgefahr. Denn wie der Befragung durch die Scheidungsrichterin vom 31. August 2001 zu entnehmen ist, hat das jüngste Kind Angst vor dem Vater und will ihn zurzeit nicht sehen.
Ohne Einschränkung gegen Fluchtgefahr spricht einzig, dass der frühere Arbeitgeber des Beschwerdeführers offenbar bereit wäre, ihn bei einer Haftentlassung zumindest temporär wieder anzustellen.
In Anbetracht der angeführten für die Fluchtgefahr sprechenden Umstände ist es verfassungsrechtlich jedoch nicht zu beanstanden, wenn die Anklagekammer diesen Haftgrund bejaht hat. Es besteht nicht nur die abstrakte Möglichkeit, dass sich der Beschwerdeführer durch Flucht der Strafverfolgung bzw. der zu erwartenden Strafe entziehen könnte. Vielmehr sind dafür ernsthafte Anhaltspunkte gegeben.
cc) Dass mit milderen Ersatzmassnahmen anstelle der Untersuchungshaft die Fluchtgefahr gebannt werden könnte, ist nicht ersichtlich. Was der Beschwerdeführer in der Beschwerde insoweit vorbringt, geht erneut an der Sache vorbei.
Er macht geltend, das Fernhalten von der Baslerstrasse, wo er mit seiner Familie gewohnt hat, reiche aus, um einer möglichen Wiederholungsgefahr zu begegnen. Es geht hier, wie gesagt, aber gar nicht um Wiederholungsgefahr, sondern um Fluchtgefahr. Zur Verminderung der Fluchtgefahr kann die Fernhaltung von der Baslerstrasse offensichtlich nichts beitragen.
d) Der Beschwerdeführer rügt, die Dauer der Haft sei unverhältnismässig.
aa) Gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist abgeurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Sie liegt dann vor, wenn die Haftfrist die mutmassliche Dauer der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion übersteigt.
Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer ist namentlich der Schwere der untersuchten Straftaten Rechnung zu tragen. Der Haftrichter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt. Im Weiteren kann eine Haft die zulässige Dauer auch dann überschreiten, wenn das Strafverfahren nicht genügend vorangetrieben wird, wobei sowohl das Verhalten der Justizbehörden als auch dasjenige des Inhaftierten in Betracht gezogen werden muss. Nach der übereinstimmenden Rechtsprechung des Bundesgerichts und der Organe der Europäischen Menschenrechtskonvention ist die Frage, ob eine Haftdauer als übermässig bezeichnet werden muss, aufgrund der konkreten Verhältnisse des einzelnen Falles zu beurteilen (<ref-ruling> E. 5a mit Hinweisen).
bb) Der Beschwerdeführer befand sich im Zeitpunkt des angefochtenen Beschlusses seit rund 14 1/2 Monaten in Haft. Diese Dauer kann nicht als übermässig bezeichnet werden.
Es kommt hier, wie dargelegt, aufgrund der Schwere der Straftat grundsätzlich eine mehrjährige Freiheitsstrafe in Betracht. Dem strafrichterlichen Urteil darf allerdings nicht vorgegriffen werden. Wie hoch die Strafe sein wird, wird wesentlich davon abhängen, wieweit eine Verminderung der Zurechnungsfähigkeit angenommen wird. Das psychiatrische Gutachten kommt insoweit je nach Sachverhaltsannahme zu unterschiedlichen Schlüssen; eine völlige Unzurechnungsfähigkeit schliesst der Gutachter aber aus. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, eine Freiheitsstrafe von 18 Monaten bedingt sei noch möglich. Die Staatsanwaltschaft erachtet das als unrealistisch. Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben. Selbst wenn man von einer Freiheitsstrafe von nur 18 Monaten bedingt ausginge, würde die Untersuchungshaft von 14 1/2 Monaten die Dauer der zu erwartenden Strafe noch deutlich unterschreiten. Die Möglichkeit der Ausfällung einer lediglich bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe wird nach der Rechtsprechung grundsätzlich nicht berücksichtigt (<ref-ruling> E. 6 mit Hinweis).
3.- Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Von der Bedürftigkeit des Beschwerdeführers ist auszugehen. Da sich das Bundesgericht in den Urteilen vom 20. Oktober 2000 und 11. April 2001 zur Fluchtgefahr nicht geäussert hat, konnte sich der Beschwerdeführer zur Beschwerde veranlasst sehen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird deshalb gutgeheissen.
Es sind keine Kosten zu erheben und dem Vertreter des Beschwerdeführers ist eine Entschädigung auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.- Es werden keine Kosten erhoben.
4.- Dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Dr. Guido Hensch, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'000.-- ausgerichtet.
5.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 14. November 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: