Sachverhalt:
A.
X._ ist mit Y._ verheiratet. Sie sind die Eltern des Sohnes A._, geb. 2004. Mit Eingabe vom 15. Juni 2013 klagte X._ gegen Y._ vor dem Kantonsgericht Schaffhausen auf Scheidung. Im Scheidungsverfahren sind insbesondere die Kinderbelange streitig. Am 10. September 2013 fand die Einigungsverhandlung statt, an der sich die Parteien jedoch nicht einigen konnten.
B.
Am 12. Dezember 2013 erliess das Kantonsgericht Schaffhausen zur Frage der Zuteilung der elterlichen Sorge über den Sohn A._ eine Beweisverfügung. Es ordnete ein Gutachten an, ernannte Dr. med. B._, als Gutachter und formulierte die Gutachterfragen.
Gegen diese Beweisverfügung legte X._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Schaffhausen ein. Er beantragte im Wesentlichen, es sei ein anderer Gutachter zu ernennen und der Auftrag an den Gutachter sei erst zu erteilen, wenn der Schriftenwechsel durchgeführt sei, alle Zeugen einvernommen seien und ein erwachsenenpsychiatrisches Gutachten über die Mutter, eventuell auch über ihn selbst vorliege. Zudem seien dem Gutachter andere Fragen zu stellen. Mit Entscheid vom 4. Februar 2014 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein.
C.
Gegen diesen Entscheid gelangt X._ mit Beschwerde vom 7. März 2014 an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Sache mit der Anweisung, auf die Beschwerde einzutreten, an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig beantragt er, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Auf Antrag von Y._ (Beschwerdegegnerin) hat das Bundesgericht den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers aufgefordert, noch ein rechtsgültig unterschriebenes Exemplar der Beschwerdeschrift einzureichen, was inzwischen erfolgt ist. Mit Verfügung vom 1. April 2014 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist - binnen Frist (<ref-law>) - ein kantonal letztinstanzlicher Nichteintretensentscheid (<ref-law>) über die Beschwerde gegen eine erstinstanzliche prozessuale Anordnung in einem Scheidungsverfahren, nämlich die Anordnung einer Begutachtung. Dieser erstinstanzliche Entscheid ist in der Terminologie der ZPO eine prozessleitende Verfügung (Art. 319 Bst. b ZPO) und nicht ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 S. 381 f. mit Hinweisen). In der Begrifflichkeit des BGG ist die angefochtene Verfügung jedoch ein Vor- oder Zwischenentscheid. An dieser Qualifikation ändert sich auch dadurch nichts, dass der angefochtene Rechtsmittelentscheid auf Nichteintreten lautet. Er beendet nämlich lediglich den Streit um die erstinstanzliche Zwischenverfügung, nicht aber das Hauptverfahren (Urteil 4A_542/2009 vom 27. April 2010 E. 3 mit Hinweisen). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache. In der Hauptsache geht es um eine Scheidung, wobei insbesondere die Kinderbelange umstritten sind. Es liegt somit eine Zivilsache (<ref-law>) ohne Vermögenswert vor (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382 mit Hinweis).
2.
Selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide können vor Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 und 93 BGG angefochten werden. Vorliegend kommt einzig die Variante gemäss Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG in Betracht, das heisst die Beschwerde ist nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann.
2.1. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG muss nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung rechtlicher Natur sein, was voraussetzt, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382 mit Hinweisen). Dabei genügt die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 2.1 S. 191 mit Hinweis). Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382 mit weiteren Hinweisen).
2.2. Im vorliegenden Fall ist die Vorinstanz auf die kantonale Beschwerde des Beschwerdeführers mit der Begründung nicht eingetreten, durch die streitige Beweisverfügung des erstinstanzlichen Gerichts drohe kein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 319 Bst. b Ziff. 2 ZPO. Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht bildet die Frage, ob dieses Nichteintreten rechtens war. Darüber, ob die Begutachtung zu Recht angeordnet wurde, hat die Vorinstanz hingegen noch nicht entschieden. Auch das Bundesgericht kann sich deshalb nicht dazu äussern und der Antrag des Beschwerdeführers auf Rückweisung der Sache ist grundsätzlich zulässig (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 383). Trotz dieser Beschränkung des Verfahrensthemas bemisst sich - wie der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift zutreffend ausführt - die Frage, ob ein nicht wieder gutzumachender Nachteil vorliegt, allein im Lichte der Auswirkungen des Zwischenentscheids auf die Hauptsache (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 383). Für die Frage der Zulässigkeit der vorliegenden Beschwerde in Zivilsachen kommt es also darauf an, ob die Anordnung einer Begutachtung, die Bezeichnung einer bestimmten Person als Gutachter und die Umschreibung der Gutachterfragen bezüglich der Kinderzuteilung einen nicht wieder gutzumachenden rechtlichen Nachteil im Scheidungsverfahren bewirken kann.
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, es entstehe ihm ein rechtlicher Nachteil, weil das Gericht einen fachlich nicht kompetenten Gutachter bezeichnet und die Begutachtung des Kindes angeordnet habe, bevor der weitere Schriftenwechsel erfolgt und die Mutter psychiatrisch begutachtet worden sei; zudem stelle das Gericht dem Gutachter die falschen Fragen.
3.1. Selbst wenn diese Vorwürfe zuträfen, kann daraus kein für eine Beschwerdelegitimation nach Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG ausreichender rechtlicher Nachteil abgeleitet werden. Zunächst steht in keiner Weise fest, dass sich die vom Beschwerdeführer abgelehnte Begutachtung in der Sache selbst ungünstig für ihn auswirkt. Auch nach erfolgter Begutachtung kann der Scheidungsrichter im Hauptsacheurteil noch den Anträgen des Beschwerdeführers folgen. Selbst wenn sich die von der ersten Instanz angeordnete Begutachtung für den Beschwerdeführer aber nachteilig auswirken sollte, ist nicht zu sehen, warum sich dieser Nachteil durch ein später für den Beschwerdeführer günstiges Urteil in der Sache nicht sollte beseitigen lassen können, wie dies für die Annahme eines nicht wieder gutzumachenden rechtlichen Nachteil notwendig ist (s. E. 2.1). Zudem stellt in einem Scheidungsprozess die psychiatrische Begutachtung des Kindes nur eines von mehreren Beweismitteln für die Kinderzuteilung dar. Ebenso wesentlich können andere Faktoren sein, wie das Verhalten der Parteien, deren Wünsche und die Anhörung des Kindes. Innerhalb des Scheidungsprozesses hat jede Partei noch genügend Gelegenheit, zum kinderpsychiatrischen Gutachten Stellung zu nehmen, Kritik anzubringen und gegebenenfalls auch ein weiteres Gutachten zu beantragen. Auch wenn kein Gericht leichtfertig von der Gutachtermeinung abweicht, wird der Prozess nicht durch den Gutachter entschieden. Insofern kann das Gutachten selbst auch nicht einen nicht wieder gutzumachenden rechtlichen Nachteil darstellen.
Es ist zwar zutreffend, dass ein Kind in einem Scheidungsprozess auch einen Anspruch darauf haben kann, sich nicht mehrfach begutachten lassen zu müssen. Im vorliegenden Fall ist aber weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern der Streit über eine erfolgte Begutachtung dem Kind mehr schaden sollte als die Verzögerungen, die bezüglich der Begutachtung allenfalls eintreten könnten, wenn das Gericht so vorginge, wie es der Beschwerdeführer wünscht.
Es erweist sich somit, dass die Möglichkeit eines im nachfolgenden Verfahren nicht wieder gutzumachenden rechtlichen Nachteils nicht nachgewiesen ist. Somit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.2. Was die Kritik angeht, die der Beschwerdeführer am Vorgehen der ersten Instanz übt, ist im Übrigen Folgendes festzuhalten:
Bezüglich der fehlenden Kompetenz stellt der Beschwerdeführer reine Mutmassungen an. Der bezeichnete Gutachter ist unbestrittenermassen ein Facharzt für Kinderpsychiatrie, der im Bereich der gerichtlichen Begutachtung auch Erfahrungen hat. Dass er mit streitigen Fällen betreffend die gemeinsame elterliche Sorge noch gar keine Erfahrung haben könne, ist eine in jeder Beziehung unbelegte Behauptung. Der Beschwerdeführer übersieht, dass sehr wohl auch nach geltendem schweizerischem Recht in streitigen Fällen die elterliche Sorge beiden Eltern belassen werden kann, allerdings nicht im Rahmen einer Scheidung, sondern nur in einem Eheschutzverfahren oder im Sinne einer vorsorglichen Massnahme während des Scheidungsprozesses.
Eine kinderpsychiatrische Begutachtung in einer Kinderzuteilungsstreitigkeit setzt nicht voraus, dass die Eltern vorher psychiatrisch begutachtet worden sind. Auf deren psychische Gesundheit kommt es nur insoweit an, als sie sich auf die Erziehungsfähigkeit der Eltern und auf deren Verhältnis zum Kind auswirkt. Diese Fragen kann ein Kinderpsychiater aber sehr wohl beurteilen. Eine eigentliche Diagnose bezüglich des psychischen Zustandes der Eltern ist dafür nicht notwendig.
Es ist zutreffend, dass das Gericht dem Gutachter keine Rechtsfragen zu stellen hat, sondern ihn nach Tatsachen und deren medizinischer Beurteilung fragen muss (vgl. Urteil 5A_439/2012 vom 13. September 2012 E. 4.1). Dass in der Gerichtspraxis diese Unterscheidung immer wieder Schwierigkeiten bereitet, ist bekannt. Auch wenn die Gerichte die Gutachterfragen nicht immer präzise formulieren, sind die Experten in aller Regel aber durchaus in der Lage, den vorgelegten Fragen den richtigen Gehalt zu entnehmen. Entsprechend beantworten erfahrene Gutachter die Fragen gemäss ihrem Fachwissen und überlassen es dem Gericht, die rechtlichen Schlüsse aus dem von ihnen erstellten Gutachten zu ziehen.
4.
Schliesslich stört sich der Beschwerdeführer daran, dass das Obergericht seine Beschwerde weder der Beschwerdegegnerin noch dem Sohn zugestellt habe. Dadurch seien nicht nur die Beschwerdegegnerin und A._, sondern auch er selbst in seinem Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Angesichts der formellen Natur des Gehörsanspruchs (<ref-ruling> E. 2.2 S. 190; <ref-ruling> E. 5.1 S. 390) muss die Beschwerde unabhängig vom beschriebenen Erfordernis eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils (E. 3) grundsätzlich zulässig sein. Allerdings hat der Beschwerdeführer kein im Sinne von Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG schutzwürdiges Interesse daran, eine allfällige Verletzung des Gehörsanspruchs Dritter zu rügen. Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Soweit er aus der unterbliebenen Zustellung seiner Beschwerde eine Verletzung seines eigenen Gehörsanspruchs ableitet, ist seine Rüge unbegründet. Denn <ref-law> verschafft dem Rechtsuchenden keinen selbständigen Anspruch darauf, dass andere Verfahrensbeteiligte sich zu seiner Eingabe äussern und ihm dadurch möglicherweise "Schützenhilfe" leisten können, wie sich der Beschwerdeführer ausdrückt.
5.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu vernehmen hatte, mit ihrem diesbezüglichen Abweisungsantrag aber unterlegen ist, muss der Beschwerdeführer keine Entschädigung bezahlen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und dem Kantonsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Mai 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn