Sachverhalt:
A. Der 1960 geborene A._ war ab 1991 als Reinigungsmitarbeiter tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Nach zwei Unfällen von 1994 und 1998 gewährte die SUVA Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Im März 2004 einigte sie sich mit A._ vergleichsweise darauf, dass für die verbleibenden Unfallfolgen eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von 63 %, laufend ab 1. April 2004, und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätsentschädigung von 40 % ausgerichtet werde. Mit Verfügung vom 15. April 2004 bestätigte die SUVA den Vergleich, wobei sie sich eine künftige revisionsweise Anpassung der Rente aufgrund geänderter gesundheitlicher oder erwerblicher Verhältnisse vorbehielt.
Im Mai 2008 erhielt die SUVA von dritter Seite erste Informationen, wonach der Versicherte nicht im angenommenen Masse erwerbsunfähig sei. Im Juni 2008 gingen dem Versicherer Berichte und mehrere DVD's mit Bildmaterial über eine Observation des Versicherten zu. Diese war auf Veranlassung eines mit dem Unfall von 1998 befassten Haftpflichtversicherers im Zeitraum Februar bis November 2007 durchgeführt worden. Zudem erhielt die SUVA Kenntnis von einem polizeilichen Rapport über eine am 30. November 2007 durchgeführte Baustellenkontrolle, bei welcher A._ angetroffen worden war. Die SUVA traf ergänzende medizinische und erwerbliche Abklärungen. Sie zog zudem die Akten der Invalidenversicherung (IV), bei welcher sich A._ ebenfalls für eine Invalidenrente angemeldet hatte, bei (u.a. polydisziplinäres medizinisches Gutachten des medizinischen Instituts X._ vom 14. August 2008 mit ergänzender Stellungnahme vom 6. April 2009). Mit Verfügung vom 4. August 2009 hob der Unfallversicherer die Invalidenrente revisionsweise rückwirkend auf den 1. Februar 2007 auf und verpflichtete A._, in der Zeit vom 1. Februar 2007 bis 31. August 2009 erbrachte Rentenleistungen zurückzuerstatten. Daran hielt die SUVA mit Einspracheentscheid vom 29. September 2009 fest, wobei sie überdies einen Anspruch des Versicherten auf unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren verneinte.
Die IV-Stelle des Kantons Zürich verneinte mit Verfügung vom 25. Juni 2009 einen Anspruch auf eine Invalidenrente der IV und forderte mit Verfügung vom folgenden Tag von A._ die Rückerstattung bereits erbrachter IV-Rentenleistungen.
B. Die von A._ gegen den Einspracheentscheid der SUVA erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab. Zugleich verneinte es einen Anspruch des Versicherten auf unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren (Entscheid vom 9. März 2011).
In einem weiteren, gleichentags ergangenen Entscheid wies das Sozialversicherungsgericht auch die von A._ gegen die Verfügungen der IV-Stelle vom 25. und 26. Juni 2009 eingereichten Beschwerden ab.
C. A._ lässt gegen den vorinstanzlichen Entscheid betreffend Leistungen der Unfallversicherung (UV) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren:
"1. In Aufhebung des angefochtenen Urteils sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer weiterhin eine Invalidenrente auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 63 % zuzusprechen und auszurichten.
2. Es sei festzustellen, dass der Beschwerdegegnerin kein Rückforderungsanspruch zusteht.
3. Es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für das Einspracheverfahren die unentgeltliche Rechtsvertretung zu gewähren.
4. Es sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren zu bewilligen und Rechtsanwalt Dr. André Largier als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen.
Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (auch für das vorinstanzliche Verfahren, zzgl. MWSt) zu Lasten der Beschwerdegegnerin.
5. Eventualiter sei das im vorinstanzlichen Verfahren gestellte Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung gutzuheissen und die Vorinstanz zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine angemessene Entschädigung zuzusprechen."
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. A._ hat auch gegen den vorinstanzlichen Entscheid vom 9. März 2011 betreffend IV-Leistungen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Darüber entscheidet das Bundesgericht mit heutigem Urteil im Verfahren 8C_300/2011.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Gemäss <ref-law> müssen die Entscheide, welche der Beschwerde ans Bundesgericht unterliegen, bestimmten Anforderungen genügen. Zu diesen Anforderungen gehört gemäss lit. b der Bestimmung, dass die Entscheide die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art, insbesondere die Angabe der angewendeten Gesetzesbestimmungen enthalten. Nach <ref-law> kann das Bundesgericht einen Entscheid, der den Anforderungen von Absatz 1 nicht genügt, an die kantonale Behörde zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben.
Der vorinstanzliche Entscheid ist in der sog. "Dass-Form" gehalten. Das erschwert seine Les- und Nachvollziehbarkeit erheblich, zumal er verschiedene formell- und materiellrechtliche Streitpunkte beschlägt und mit sieben Seiten nicht kurz gehalten ist. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wurde in jüngerer Zeit schon verschiedentlich auf die erschwerte Lesbarkeit längerer "Dass-Entscheide" hingewiesen (Urteile 8C_684/2010 vom 25. Januar 2011 E. 1.2; 8C_667/2010 vom 15. Dezember 2010 E. 1.3; 8C_197/2010 vom 13. September 2010 E. 2; 8C_790/2009 vom 27. Juli 2010 E. 1.3 und 8C_1059/2009 vom 10. März 2010 E. 2.3). Dabei wurden die gesetzlichen Voraussetzungen im Sinne von <ref-law> jeweils als noch erfüllt betrachtet. Es ist aber von der Vorinstanz zu erwarten, dass sie die "Dass-Form" künftig nicht mehr bei längeren Entscheiden verwendet. Im vorliegenden Fall kann noch davon abgesehen werden, Massnahmen im Sinne von <ref-law> zu treffen, zumal der Beschwerdeführer nichts Entsprechendes geltend macht. Zudem liegt der im Verfahren 8C_300/2011 beurteilte, nicht in "Dass-Form" redigierte Entscheid betreffend IV-Leistungen vor, welcher zum besseren Verständnis des vorliegend streitgegenständlichen Entscheides beiträgt.
3. Streitig und zu prüfen ist vorab, ob der Unfallversicherer die ab April 2004 ausgerichtete Invalidenrente zu Recht mit Wirkung auf den 1. Februar 2007 revisionsweise aufgehoben hat.
3.1 Ist der Versicherte infolge des Unfalles zu mindestens 10 Prozent invalid (<ref-law>), so hat er Anspruch auf eine Invalidenrente (<ref-law>).
Ändert sich der Invaliditätsgrad einer Rentenbezügerin oder eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (<ref-law>). Das gilt gestützt auf <ref-law> auch für Invalidenrenten der obligatorischen Unfallversicherung.
3.2 Gemäss dem angefochtenen Entscheid liegt keine die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigende organisch nachweisbare Unfallfolge vor. Das ist nicht umstritten und gibt keinen Anlass zu Weiterungen.
3.3 Die Vorinstanz hat sodann erkannt, bei der Rentenzusprechung sei gestützt auf die psychiatrische Beurteilung des PD Dr. med. G._ davon ausgegangen worden, es bestehe aufgrund von Kopf-, Nacken- und Rückenschmerzen sowie Vergesslichkeit und depressivem Rückzug eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit. Spätestens ab 1. Februar 2007 hätten nun aber keine die Arbeitsfähigkeit des Versicherten einschränkenden gesundheitlichen Folgen der Unfälle von 1994 und 1998 mehr vorgelegen. Damit bestehe keine unfallbedingte Invalidität mehr, weshalb die Rente revisionsweise aufzuheben sei.
Der Beschwerdeführer wendet ein, im Gutachten des medizinischen Instituts X._ vom 14. April 2008 sei aufgrund einer mittelgradigen Depression (bei Status nach abgelaufener posttraumatischer Belastungsstörung) und einer neuropsychologisch nachgewiesenen leichten bis mittelschweren Funktionsstörung eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit in der angestammten wie auch in einer leidensangepassten Tätigkeit bestätigt worden. Darauf sei abzustellen. Demnach sei keine erhebliche Änderung des Invaliditätsgrades eingetreten.
3.3.1 Die Vorinstanz hat hiezu erwogen, nach Einsicht in die Observationsunterlagen seien u.a. Kreisarzt Dr. med. W._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, in der ärztlichen Beurteilung vom 24. Juli 2008 und die Experten des medizinischen Instituts X._ Dr. med. J._, Facharzt für Innere Medizin FMH, und Frau Dr. med. L._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, in der Stellungnahme vom 6. April 2009 zur Auffassung gelangt, dass die im Gutachten des medizinischen Instituts X._ vom 14. April 2008 vorgenommene Beurteilung der Arbeitsfähigkeit nicht valide sei und keine Einschränkung mehr vorliege. Der Beschwerdeführer habe denn auch ab Februar 2007 für verschiedene Arbeitgeber teilweise mindestens mittelschwere Arbeiten auf Baustellen ausgeführt und die Observationsunterlagen enthielten hinreichend Indizien für eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit. Ein die Arbeitsfähigkeit einschränkendes Leiden sei somit nicht nachgewiesen. Es sei zudem davon auszugehen, dass auch weitere psychiatrische Abklärungen keine wesentlichen neuen Erkenntnisse ergäben.
Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Hervorzuheben ist, dass die Experten des medizinischen Instituts X._ in der Stellungnahme vom 9. April 2009 ausführen, das Observationsmaterial sei durchaus geeignet, ihre damalige Einschätzung der Arbeitsfähigkeit in Frage zu stellen. Auf den an verschiedenen Tagen erstellten Videoaufzeichnungen sei "ersichtlich, dass der Versicherte in der Lage ist, morgens mit seinem Privatauto zu einer Baustelle zu fahren und dort während insgesamt bis zu 9 Stunden eine körperliche Schwerarbeit zügig und ohne erkennbaren Leidensdruck zu verrichten. Dies steht in klarem Widerspruch zu unseren Schlussfolgerungen im Gutachten vom 14. April 2008, insbesondere bezüglich der Diagnose einer mittelgradigen depressiven Episode mit mittelschweren neurokognitiven Funktionsstörungen. Im vorliegenden Observationsmaterial ist weder ein fehlender Optimismus noch eine verminderte Konzentration oder eine gedankliche Ablenkung sichtbar, die die Arbeit negativ beeinflussen könnten. Es zeigt sich auch keine Verlangsamung bei der Ausführung der Arbeit und auch keine vermehrte Tagesmüdigkeit. Er kann zum Teil schwere körperliche Arbeiten auf dem Bau verrichten und dies recht schnell und speditiv, dies sogar am Ende des Arbeitstages. Somit muss davon ausgegangen werden, dass der Versicherte nicht nur aus rheumatologischer, sondern auch aus psychiatrischer und neuropsychologischer Sicht eine Ganztagesarbeit auf dem Bau problemlos durchführen kann." Die Experten sahen sich deswegen "gezwungen, unsere Beurteilung der Arbeitsfähigkeit zu revidieren und ihn ab dem Zeitpunkt der Begutachtung für alle Tätigkeitsbereiche, inkl. der zuletzt ausgeübten als Bauarbeiter, interdisziplinär als zu 100 % arbeitsfähig zu beurteilen". Im Wesentlichen gleich äusserte sich Dr. med. W._ in der kreisärztlichen Beurteilung vom 24. Juli 2008.
3.3.2 Was der Versicherte vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Hervorzuheben ist, dass sich der angefochtene Entscheid und die Arztberichte, auf welche die Vorinstanz abgestellt hat, hinreichend zum Gesundheitsschaden, welcher zur Rentenzusprechung geführt hat, und zur eingetretenen gesundheitlichen Verbesserung äussern (vgl. E. 3.1.2-3.1.4 hievor). Es ist zudem davon auszugehen, dass die - in der Tat sehr aussagekräftigen - Observationsunterlagen unter Berücksichtigung der übrigen Akten genügend Anhaltspunkte für die besagte fachärztliche Beurteilung der Arbeitsfähigkeit ergeben und dass die Ärzte, auf deren Berichte die Vorinstanz abgestellt hat, über die hiefür nötigen Fachkenntnisse verfügen. Das betrifft auch die neuropsychologischen Gesichtspunkte. Widersprüchliche Aussagen, welche die Verlässlichkeit der ärztlichen Beurteilungen in Frage stellen könnten, sind nicht auszumachen. Aus den vom Versicherten erwähnten Aussagen, welche in dem gegen ihn geführten Strafverfahren gemacht wurden, ergibt sich keine andere Betrachtungsweise. Die Vorinstanz hat auch den kreisärztlichen Bericht in zulässiger Weise berücksichtigt.
3.3.3 Der Beurteilung gemäss dem hier angefochtenen Entscheid steht ebenfalls nicht entgegen, was das kantonale Gericht in dem den IV-Rentenanspruch betreffenden Entscheid vom 9. März 2011 erwogen hat. Die Ausgangslagen der beiden Fälle sind unterschiedlich. Dort ist ein erstmaliger Rentenanspruch zu beurteilen und der hiefür in der IV geltende Mindestinvaliditätsgrad von 40 % (<ref-law>) zu beachten. Hier ist die Revision einer rechtskräftig verfügten Invalidenrente zu prüfen, wobei für eine Rentenberechtigung in der UV bereits ein Invaliditätsgrad von 10 % genügt (E. 3.1 hievor). Letztlich geht es um die in einer gesundheitlichen Verbesserung begründete Verringerung der unfallbedingten Erwerbsunfähigkeit unter den - UV-rentenbegründenden - Invaliditätsgrad von 10 % und die gleichzeitige Verneinung eines - IV-rentenbegründenden - Invaliditätsgrades von mindestens 40 %. Das schliesst sich gegenseitig nicht aus. Zu beachten ist zudem, dass die SUVA die UV-Rente aufgrund eines Vergleichs zugesprochen hatte. Sie liess sich dabei durch eine - später aufgehobene - Verfügung der IV-Stelle leiten, welche noch auf der Annahme beruhte, es sei ein IV-rentenbegründender Invaliditätsgrad gegeben.
3.3.4 Nicht stichhaltig ist auch der Einwand, das kantonale Gericht habe "die Auswirkungen der Depression" falsch gewürdigt. Dazu ist festzuhalten, dass im Gutachten des medizinischen Instituts X._ vom 14. April 2008 lediglich eine mittelgradige depressive Episode diagnostiziert wurde. Sodann sind die Fachärzte des medizinischen Instituts X._, nachdem sie Einsicht in die Überwachungsaufnahmen genommen hatten, zum Ergebnis gelangt, an der im Gutachten aufgrund dieser Diagnose noch bestätigten Arbeitsunfähigkeit könne nicht festgehalten werden. Das haben die Experten in der Stellungnahme vom 6. April 2009 überzeugend begründet. Wenn die Vorinstanz dies zur Grundlage ihres Entscheides genommen und eine noch bestehende invalidisierende Gesundheitsschädigung verneint hat, ist dies weder hinsichtlich tatsächlicher Feststellung noch rechtlicher Würdigung zu beanstanden.
3.4 Das kantonale Gericht hat schliesslich erkannt, die nach dem IV-Vorbescheid vom 21. November 2008 eingetretene Krankheitsentwicklung könne nicht als Rückfall oder Spätfolge eines der versicherten Unfälle qualifiziert werden. Der Beschwerdeführer bestreitet dies.
In den von ihm aufgelegten Berichten von Frau Dr. med. D._, welche ihn seit Januar 2009 ambulant psychiatrisch betreut, wird zwar eine Zunahme der psychischen (depressiven) Symptomatik bestätigt. Die Ärztin führt aber zugleich aus, diese Zunahme sei vermutlich auf die Ehesituation und die Probleme mit den Versicherern zurückzuführen (Bericht vom 16. Februar 2009). Zudem qualifiziert sie die deswegen bestätigte Arbeitsunfähigkeit als krankheitsbedingt (Bericht vom 5. Oktober 2010). Das spricht gegen die natürliche Unfallkausalität dieser Symptomatik. Anhaltspunkte, welche die Auffassung des Versicherten zu stützen vermöchten, ergeben sich auch nicht aus den übrigen Akten. Wenn das kantonale Gericht einen Rückfall oder eine Spätfolge zu einem der Unfälle von 1994 und 1998 verneint hat, ist dies daher nicht zu beanstanden. Von weiteren medizinischen Abklärungen ist abzusehen, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen. Zudem muss nicht auf die Frage der adäquaten Unfallkausalität eingegangen werden.
3.5 Die revisionsweise Aufhebung der Invalidenrente erfolgte mithin zu Recht.
In Bezug auf den Zeitpunkt der Rentenaufhebung macht der Beschwerdeführer lediglich geltend, es liege entgegen dem angefochtenen Entscheid keine Meldepflichtverletzung vor. Ansonsten verweist er pauschal auf Ausführungen in seiner vorinstanzlichen Beschwerde, was als Beschwerdebegründung nicht genügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 306; Urteil 2C_937/2010 vom 12. April 2011 E. 2.3).
Eine Meldepflichtverletzung hat das kantonale Gericht im Übrigen mit einlässlicher und überzeugender Begründung bejaht. Es hat dabei sowohl das Meldeverhalten des Versicherten und die jeweils diesbezüglich erfolgten Hinweise des Unfallversicherers als auch die Ergebnisse der Observation und der gestützt auf diese durchgeführten Abklärungen bei Arbeitgebern in nicht zu beanstandender Weise gewürdigt. Gleiches gilt für die vorinstanzliche Beurteilung der Auswirkungen, welche die Einhaltung der Meldepflicht auf den Rentenanspruch ab 1. Februar 2007 gehabt hätte. Was der Versicherte einwendet, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise.
4. Streitig ist sodann, ob der Versicherte die ab 1. Februar 2007 bezogenen Rentenleistungen zurückzuerstatten hat.
4.1 Nach <ref-law> sind unrechtmässig bezogene Leistungen zurückzuerstatten. Wer Leistungen in gutem Glauben empfangen hat, muss sie nicht zurückerstatten, wenn eine grosse Härte vorliegt (Abs. 1). Der Rückforderungsanspruch erlischt mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber mit dem Ablauf von fünf Jahren nach der Entrichtung der einzelnen Leistung. Wird der Rückerstattungsanspruch aus einer strafbaren Handlung hergeleitet, für welche das Strafrecht eine längere Verjährungsfrist vorsieht, so ist diese Frist massgebend (Abs. 2).
4.2 Das kantonale Gericht hat zutreffend erwogen, dass die Rentenleistungen ab 1. Februar 2007 infolge der Meldepflichtverletzung durch den Versicherten unrechtmässig erfolgten und daher zurückzuerstatten sind (vgl. KIESER, a.a.O., N. 12 zu Art. 25). Hingegen kann der Vorinstanz nicht gefolgt werden, soweit sie zugleich den guten Glauben des Versicherten verneint hat. Der Frage der Gutgläubigkeit kann im Rahmen eines allfälligen Erlassgesuches des Versicherten (<ref-law>; E. 4.1 hievor) Bedeutung zukommen. Darüber wäre in einem besonderen Erlassverfahren zu verfügen (<ref-law>; Urteile C 264/05 vom 25. Januar 2006 E. 2.1 und P 62/04 vom 6. Juni 2005 E. 1.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2 S. 43 und KIESER, a.a.O., N. 37 zu Art. 25). Im vorliegenden Fall ist aber weder ersichtlich, dass bislang ein Erlassgesuch gestellt wurde, noch wurde über die Erlassfrage verfügt. Es findet sich einzig in den Erwägungen, nicht aber im - massgeblichen - Dispositiv des Einspracheentscheids vom 29. September 2009 der Vermerk, der Erlass könne mangels guten Glauben nicht gewährt werden. Die Beurteilung des guten Glaubens ist somit weiterhin offen. In diesem Sinne sind die vorinstanzlichen Erwägungen richtigzustellen.
5. Nach dem Gesagten ist der angefochtene Entscheid bezüglich Rentenrevision und Rückerstattung rechtens. Zu prüfen bleiben der Antrag und der Eventualantrag betreffend die unentgeltliche Verbeiständung im Einsprache- und im vorinstanzlichen Verfahren.
5.1 Die unentgeltliche Verbeiständung wurde jeweils wegen Aussichtslosigkeit der Einsprache resp. Beschwerde verweigert. Fehlende Aussichtslosigkeit ist eine der Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung im Einsprache- (<ref-law>; (<ref-ruling> E. 4.1 S. 201; Urteil 8C_900/2010 vom 20. April 2011 E. 8.1) wie im Beschwerdeverfahren (SVR 2011 UV Nr. 6 S. 21, 8C_22/2010 E. 6.1 und IV Nr. 22 S. 61, 9C_432/2010 E. 2).
Prozessbegehren sind als aussichtslos anzusehen, wenn die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren, so dass eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, bei vernünftiger Überlegung von einem Prozess absehen würde (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135, 128 I 225 E. 2.5.3 S. 236 mit Hinweis; erwähntes Urteil SVR 2011, E. 6.1).
5.2 Im vorliegenden Fall konnte einer Einsprache oder Beschwerde aufgrund der Observationsergebnisse und Arztberichte realistischerweise von vornherein kein Erfolg beschieden sein. Einsprache und Beschwerde wurden daher zu Recht als aussichtslos betrachtet, weshalb es auch in diesem Punkt beim angefochtenen Entscheid bleibt.
6. Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Dieser hat zudem keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann nicht entsprochen werden, da auch die letztinstanzliche Beschwerde von vornherein aussichtslos war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Juni 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz