Sachverhalt:
A. Y._ (Beschwerdegegner) vermietete eine Viereinhalbzimmerwohnung an Z._, welche darin mit ihrem Sohn, X._ (Beschwerdeführer), wohnte. Nach dem Tod von Z._ am 21. April 2009 schlugen die gesetzlichen Erben ihre Erbschaft aus.
Am 13. Juni 2009 liess der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Stadt eine Aufforderung zur Kostensicherung publizieren. Darin forderte er die Gläubiger auf, bis am 22. Juni 2009 einen Kostenvorschuss für das summarische Konkursverfahren zu leisten, da in der ausgeschlagenen Erbschaft von Z._ nicht genügend Aktiven zur Deckung der Liquidationskosten vorhanden seien. Die Verfügung war mit der Ankündigung verbunden, dass ansonsten die konkursamtliche Liquidation nicht angeordnet würde. Dieser Aufforderung wurde binnen Frist nicht Folge geleistet und die konkursamtliche Liquidation demnach nicht angeordnet.
Der Beschwerdeführer lebt weiterhin in der seinerzeit seiner Mutter vermieteten Wohnung, wobei er den Mietzins für die Monate Mai und Juni 2009 beglich. Seither bezahlte er zunächst keinen Mietzins mehr, was er damit begründet, dass ihm die Vermieterschaft weitere Zahlungen durch Vorenthaltung von Einzahlungsscheinen verunmögliche.
B. B.a Der Beschwerdegegner klagte am 17. Juli 2009 beim Amtsgericht Luzern-Stadt auf Ausweisung des Beschwerdeführers aus der Wohnung. Das Amtsgericht hiess die Klage am 10. Dezember 2009 gut, indem es dem Beschwerdeführer unter Androhung von Strafe nach <ref-law> befahl, diese Wohnung innert zehn Tagen seit Rechtskraft des Entscheids zu räumen und zu verlassen und den Beschwerdegegner gleichzeitig ermächtigte, die polizeiliche Vollstreckung zu verlangen. Auf Rekurs des Beschwerdeführers entschied das Obergericht des Kantons Luzern am 27. Januar 2010 gleich wie das Amtsgericht. Dem Beschwerdeführer wurde die unentgeltliche Prozessführung für das kantonale Verfahren gewährt.
B.b Mit Schreiben vom 23. Dezember 2009 beantragte der Beschwerdeführer dem Konkursamt Luzern-Stadt, das von seiner verstorbenen Mutter und dem Beschwerdegegner begründete Mietverhältnis gestützt auf <ref-law> auf den Beschwerdeführer zu übertragen. Mit Entscheid vom 8. Januar 2010 trat das Konkursamt auf dieses Begehren nicht ein. Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 20. Januar 2010 Beschwerde an den Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt als untere kantonale Aufsichtsbehörde.
C. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 27. Januar 2010 aufzuheben und festzustellen, dass zwischen den Parteien bezüglich der Viereinhalbzimmerwohnung ein ungekündigtes Mietverhältnis bestehe. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung im ordentlichen Prozess an das Amtsgericht Luzern-Stadt zurückzuweisen. Er ersucht auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie um Sistierung des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens bis zum rechtskräftigen Entscheid über das beim Konkursamt Luzern-Stadt gestellte Begehren um Abtretung des Mietverhältnisses über die Viereinhalbzimmerwohnung.
Dem Begehren um aufschiebende Wirkung wurde am 11. Februar 2010 superprovisorisch entsprochen.
Mit Eingabe vom 22. Februar 2010 reichte der Beschwerdegegner unaufgefordert eine Beschwerdeantwort ein, mit der er beantragte, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Mit Verfügung der Instruktionsrichterin vom 7. Mai 2010 wurde dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und ihm Rechtsanwalt Beat Rohrer als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben. Ferner wurde das Verfahren antragsgemäss ausgesetzt bis zum rechtskräftigen Entscheid im Verfahren betreffend Abtretung des Mietvertrages zwischen Z._ und dem Beschwerdegegner an den Beschwerdeführer nach <ref-law>, und es wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt mit der Einschränkung, dass diese bei nicht vollständiger Deckung des für die Überlassung der Wohnung zu entrichtenden Entgelts dahinfiele.
D. Am 18. August 2010 wies der Amtsgerichtspräsident III von Luzern- Stadt, die vom Beschwerdeführer gegen die Verfügung des Konkursamtes vom 8. Januar 2010 (vgl. lit. B.b hiervor) eingereichte Beschwerde ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde des Beschwerdeführers wies die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts mit Urteil 5A_760/2010 vom 21. März 2011 ab, soweit sie darauf eintrat.
Mit Schreiben vom 28. März 2011 ersuchte der Beschwerdeführer darum, die Sistierung des Verfahrens bis zum Vorliegen der schriftlichen Begründung dieses Urteils aufrecht zu erhalten.
Nachdem die Begründung dieses Urteil am 29. März 2011 bei der I. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts eingetroffen war, setzte diese das Verfahren fort.
Mit Eingabe vom 31. März 2011, die beim Bundesgericht am 1. April 2011 einging, stellte der Beschwerdeführer diesem das Begehren, das Verfahren sei bis zum rechtskräftigen Entscheid über ein beim Bezirksgerichts Luzern am 31. März 2011 gestelltes Gesuch um konkursamtliche Liquidation der ausgeschlagenen Erbschaft auszusetzen.
Der Beschwerdegegner ersuchte das Bundesgericht mit Schreiben vom 1. April 2011 darum, diesem Aussetzungsbegehren nicht zu entsprechen.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Richter kann aus Gründen der Zweckmässigkeit das Verfahren aussetzen, insbesondere wenn das Urteil von der Entscheidung in einem anderen Rechtsstreit beeinflusst werden kann (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Eine Aussetzung muss jedoch mit dem Anspruch der Parteien auf eine Beurteilung der Streitsache innert angemessener Frist gemäss <ref-law> vereinbar sein, weshalb namentlich unbegrenzte Aussetzungen unzulässig sind (Urteil 6B_696/2010 vom 15. Februar 2011 E. 2.5).
1.2 Ob der Entscheid über das am 31. März 2011 gestellten Gesuch des Beschwerdeführers um konkursamtliche Liquidation das vorliegende Urteil beeinflussen könnte, ist fraglich. Jedenfalls kann es Monate wenn nicht gar Jahre dauern, bis insoweit ein rechtskräftiger Entscheid gefällt wird. Vor diesem Hintergrund ist mit dem Anspruch des Beschwerdegegners auf eine Beurteilung der Streitsache innert angemessener Frist nicht vereinbar, das Verfahren, das bereits während über zehn Monaten ausgesetzt war, weiter zu sistieren (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 135). Dem am 31. März 2011 gestellten Sistierungsbegehren kann daher nicht stattgegeben werden.
2. 2.1 Da vorliegend umstritten ist, ob die Parteien durch einen Mietvertrag gebunden sind, ist die Streitsache als ein mietrechtlicher Fall im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren, bei dem der Streitwert für die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen Fr. 15'000.-- beträgt. Sollte die Ausweisung zu Unrecht erfolgt sein und der Beschwerdeführer zu einem erheblichen Teil obsiegen, würde die dreijährige Kündigungssperre nach <ref-law> Platz greifen, weshalb der Streitwert dem Bruttomietzins entspricht, der für diese Zeit geschuldet ist (Urteil 4C.211/1993 vom 22. Februar 1994 E. 2b, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 4A_412/2009 vom 15. Dezember 2009, E. 1.1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer beziffert den monatlichen Bruttomietzins auf Fr. 1'266.--, der Beschwerdegegner auf Fr. 966.--, wobei nicht klar ist, ob er den Brutto- oder den Nettomietzins meint. Diese Frage kann offen bleiben, da der Streitwert so oder anders Fr. 15'000.-- übersteigt, weshalb diese Eintretensvoraussetzung erfüllt ist. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist daher einzutreten.
3. 3.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Will ein Beschwerdeführer die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten, kann er sich nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzt haben will, hat er mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was wiederum näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226 mit Hinweis).
4. 4.1 Das Amtsgericht folgte der Auffassung des Beschwerdeführers nicht, wonach zwischen ihm und dem Beschwerdegegner nach dem Tod seiner Mutter durch konkludentes Verhalten ein Mietvertrag zustande gekommen sein soll. Das Obergericht ging auf die betreffenden Erwägungen des Amtsgerichts nicht ein, da sich der Beschwerdeführer damit im Rekurs nicht auseinandergesetzt hatte. Zu der dazu neu vorgebrachten Behauptung, eine Mitarbeiterin der A._ AG (Liegenschaftsverwaltung) habe dem Beschwerdeführer sinngemäss die Auskunft erteilt, es sei kein Problem, den Mietvertrag auf ihn zu überschreiben, erwog das Obergericht, der Beschwerdeführer erläutere nicht, inwiefern dieser Mitarbeiterin Vertretungsbefugnis zukommen solle, weshalb sich deren Befragung erübrige.
4.2 Der Beschwerdeführer erblickt darin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Er bringt vor, es sei aktenkundig, dass der Beschwerdegegner bereits bei Abschluss des Mietvertrages vom 19. November 1997 durch die A._ AG vertreten gewesen sei, weshalb ohne Weiteres von einer Anscheinsvollmacht auszugehen sei. Der Beschwerdeführer brauche nicht zu wissen, wer bei der A._ AG zeichnungsberechtigt sei und wer nicht.
4.3 Mit diesen Ausführungen erweitert der Beschwerdeführer den vom Obergericht verbindlich festgestellten Sachverhalt, ohne hinreichend aufzuzeigen, dass er den betreffenden Umstand bereits der Vorinstanz prozesskonform unterbreitet hat, damit aber zu Unrecht nicht gehört wurde oder dass erst das angefochtene Urteil zu seinem neuen Vorbringen Anlass gab. Auf die Rüge ist daher nicht einzutreten. Abgesehen davon würde die von der Vorinstanz angeführte neue Behauptung lediglich aufzeigen, dass es aus der Sicht der Mitarbeiterin der A._ AG im Bereich des Möglichen lag, mit dem Beschwerdegegner einen Mietvertrag über die zuvor von seiner Mutter gemieteten Wohnung abzuschliessen. Dass ein Mietvertrag tatsächlich zustande kam, ist damit jedoch nicht belegt. Das Obergericht hätte demnach auch mangels Entscheiderheblichkeit von der Befragung der betreffenden Person absehen dürfen. Die in diesem Zusammenhang zusätzlich erhobene Rüge der Verletzung des im Mietrecht geltenden Grundsatzes der Sachverhaltsermittlung von Amtes wegen gemäss <ref-law> ist daher unbegründet.
5. 5.1 Wird die Erbschaft von allen nächsten gesetzlichen Erben ausgeschlagen, so gelangt sie gemäss <ref-law> zur Liquidation durch das Konkursamt (vgl. auch <ref-law>). Im Rahmen des Konkurses kann die Konkursverwaltung einen Mietvertrag des Erblassers, gegebenenfalls gegen Sicherstellung, weiterführen (<ref-law>) oder kündigen (Urteil 4C.252/2005 vom 6. Februar 2006 E. 5.2). Ergibt sich in der Liquidation nach Deckung der Schulden ein Überschuss, so wird dieser den Berechtigten gemäss <ref-law> überlassen, wie wenn keine Ausschlagung stattgefunden hätte.
5.2 Wie bereits im kantonalen Verfahren nimmt der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht den Standpunkt ein, nach Ausschlagung der Erbschaft und Verzicht auf konkursamtliche Liquidation sei das ursprüngliche Mietverhältnis zwischen seiner Mutter und dem Beschwerdegegner nicht beendet worden, sondern in analoger Anwendung von <ref-law> als Aktivum wieder auf den Erben zurückgefallen, wie wenn keine Ausschlagung stattgefunden hätte. Die Vorinstanz ist dieser Rechtsauffassung nicht gefolgt, weil es das Mietverhältnis nicht als Aktivum qualifizierte. Wie es sich damit verhält, kann aus nachstehenden Gründen offen bleiben.
5.3 Das Bundesgericht führte in einem Entscheid aus dem Jahr 1961 aus, <ref-law> ziehe nur den Fall eines durchgeführten Konkurses in Betracht, der einen Überschuss nach Tilgung der Schulden ergebe. Hinsichtlich des mangels Aktiven eingestellten und dann ohne Durchführung geschlossenen Erbschaftskonkurses bestehe eine Gesetzeslücke. Diese sei in analoger Anwendung von <ref-law> auszufüllen und es seien nach solchem Ausgang des Erbschaftskonkurses allfällig vorhandene Erbschaftsaktiven gleichfalls den Berechtigten im Sinne dieser Bestimmung zuzuweisen (<ref-ruling> E. 2b S. 77). Am 16. Dezember 1994 wurde der am 1. Januar 1997 in Kraft getretene <ref-law> erlassen, der in Abs. 1 bestimmt:
"Wird die konkursamtliche Liquidation einer ausgeschlagenen Erbschaft mangels Aktiven eingestellt, so können die Erben die Abtretung der zum Nachlass gehörenden Aktiven an die Erbengemeinschaft oder an einzelne Erben verlangen, wenn sie sich bereit erklären, die persönliche Schuldpflicht für die Pfandforderungen und die nicht gedeckten Liquidationskosten zu übernehmen. Macht keiner der Erben von diesem Recht Gebrauch, so können es die Gläubiger und nach ihnen Dritte, die ein Interesse geltend machen, ausüben."
Mit dieser Reglung hat der Gesetzgeber die vom Bundesgericht in <ref-ruling> E. 2b angenommene Lücke geschlossen, weshalb insoweit kein Raum mehr für die analoge Anwendung von <ref-law> besteht (vgl. PIERRE-ROBERT GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Art. 159-270, 2001, N. 18 zu <ref-law>, der <ref-ruling>-77 als überholt bezeichnet). Somit kann bei einem mangels Aktiven eingestellten bzw. nicht durchgeführten Erbschaftskonkurs ein Erbe die Übertragung eines Mietvertrages - auch wenn dieser als Aktivum qualifiziert würde - nur gemäss <ref-law> verlangen. Der Beschwerdeführer hat denn auch beim Konkursamt gestützt auf diese Bestimmung die Übertragung des Mietverhältnisses verlangt, die angestrebte Mieterstellung damit aber nicht erlangt (vgl. lit. D hiervor, bzw. Urteil 5A_760/2010 vom 21. Mai 2011). Ein Rechtsgrund für die Benützung der früher von seiner Mutter gemieteten Wohnung ist somit vom Beschwerdeführer nicht dargetan.
6. 6.1 Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Zufolge der dem Beschwerdeführer erteilten unentgeltlichen Prozessführung sind keine Gerichtskosten zu erheben. Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da er nicht in seiner Eigenschaft als Anwalt, sondern in eigener Angelegenheit tätig wurde (<ref-law>). Dem unentgeltlichen Rechtsbeistand des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Beat Rohrer, ist ein Honorar von Fr. 2'500.-- aus der Gerichtskasse zu entrichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dem Beschwerdegegner wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Rechtsanwalt Beat Rohrer wird für seine Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren ein Honorar von Fr. 2'500.-- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. April 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Gelzer