Ablehnungsbegehren, hat sich ergeben:
A.- Die Bezirksanwaltschaft I für den Kanton Zürich führt gegen X._ und gegen dessen Vater, Rechtsanwalt Y._, ein Strafverfahren wegen Verdachts des Betruges und der Widerhandlung gegen das Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer. Am 16. April 1999 stellte Y._ vor Beginn der (in der Folge nicht durchgeführten) Schlusseinvernahme den Antrag auf Einstellung des Strafverfahrens.
Nachdem die das Strafverfahren führende Bezirksanwältin A._ diesem Begehren nicht entsprochen hatte, lehnte er die Bezirksanwältin wegen Befangenheit ab. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich wies das Ablehnungsbegehren am 22. April 1999 ab. Y._ rekurrierte ohne Erfolg an die Justizdirektion des Kantons Zürich. Gegen deren Entscheid erhob er staatsrechtliche Beschwerde, die das Bundesgericht mit Urteil vom 24. Februar 2000 abwies (1P. 544/1999).
X._ hatte am 21. September 1999 gegen Bezirksanwältin A._ ebenfalls ein Ablehnungsbegehren wegen Befangenheit gestellt. Mit Entscheid vom 7. Oktober 1999 wies die Staatsanwaltschaft das Begehren ab. Den dagegen eingereichten Rekurs wies die Justizdirektion des Kantons Zürich am 28. Januar 2000 ab.
B.- Diesen Entscheid focht X._ am 9. März 2000 mit staatsrechtlicher Beschwerde beim Bundesgericht an. Er beantragt, der Entscheid der Justizdirektion sei aufzuheben und die Sache sei zur neuen Entscheidung an die kantonale Instanz zurückzuweisen. Ausserdem stellte er das Gesuch, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen.
C.- Die Justizdirektion und die abgelehnte Bezirksanwältin A._, die seit dem 1. März 2000 als Staatsanwältin tätig ist, stellen in ihren Vernehmlassungen vom 28. März bzw. 13. April 2000 den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft verzichtete auf eine Vernehmlassung.
D.- Mit Verfügung vom 7. April 2000 wies der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Der angefochtene Rekursentscheid der Zürcher Justizdirektion vom 28. Januar 2000 ist ein letztinstanzlicher kantonaler Zwischenentscheid, mit dem über ein Ablehnungsbegehren befunden wurde. Gegen diesen Entscheid ist die staatsrechtliche Beschwerde an das Bundesgericht zulässig, und zwar sowohl aufgrund der alten Fassung von Art. 87 OG (vgl. <ref-ruling> E. 2a mit Hinweis) als auch nach der am 1. März 2000 in Kraft getretenen Änderung, welche in Art. 87 Abs. 1 OG die staatsrechtliche Beschwerde gegen selbständig eröffnete Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren ausdrücklich zulässt (<ref-ruling> E. 1b, 207 E. 1b).
2.- Die Justizdirektion gelangte in ihrem Rekursentscheid zum Schluss, die Staatsanwaltschaft habe das Ablehnungsbegehren des Beschwerdeführers gegen Bezirksanwältin A._ zu Recht abgewiesen.
a) Der Beschwerdeführer beanstandet in erster Linie, dass die Justizdirektion das Ablehnungsgesuch unter dem Gesichtspunkt von Art. 4 der alten Bundesverfassung (aBV) und nicht unter dem Aspekt von Art. 30 der neuen Bundesverfassung (BV) geprüft habe. Er macht geltend, bei Erlass des Rekursentscheids vom 28. Januar 2000 sei Art. 4 aBV nicht mehr in Kraft gewesen. Es bestehe keine Übergangsbestimmung, welche Art. 4 aBV als anwendbar erklärt hätte. Dem angefochtenen Entscheid fehle deshalb eine rechtliche Grundlage. Das Prinzip der Gesetzmässigkeit der Verwaltung sei verletzt worden, was zur Aufhebung des Rekursentscheids führen müsse.
aa) Der Grundsatz der Gesetzmässigkeit der Verwaltung ist - ausser im Abgaberecht und im Strafrecht - kein verfassungsmässiges Recht, dessen Verletzung selbständig mit staatsrechtlicher Beschwerde gerügt werden kann. Eine Missachtung des Legalitätsprinzips kann aber mit diesem Rechtsmittel im Rahmen einer Rüge wegen Verletzung des Willkürverbots oder der Rechtsgleichheit vorgebracht werden (<ref-ruling> E. 2b mit Hinweisen). Es ist davon auszugehen, der Beschwerdeführer beklage sich sinngemäss über eine Verletzung des Willkürverbots und berufe sich in diesem Zusammenhang auf das Legalitätsprinzip.
bb) Der Rekurs, den die Justizdirektion am 28. Januar 2000, mithin nach Inkrafttreten der neuen Bundesverfassung, beurteilte, richtete sich gegen einen Ausstandsentscheid der Staatsanwaltschaft, welcher unter der Herrschaft der alten Bundesverfassung gefällt worden war. Die neue Bundesverfassung enthält keine Übergangsbestimmung, der sich entnehmen liesse, ob in diesem Fall das neue Recht auf das bei seinem Inkrafttreten hängige Rekursverfahren anzuwenden sei. Nach allgemeinen übergangsrechtlichen Prinzipien ist die Rechtmässigkeit eines Entscheids grundsätzlich nach der Rechtslage zur Zeit seines Erlasses zu beurteilen; nachher eingetretene Änderungen müssen unberücksichtigt bleiben. Eine Ausnahme ist dann zu machen, wenn zwingende Gründe dafür bestehen, dass das neue Recht sogleich anzuwenden ist (<ref-ruling> E. 1c; <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 1). Die Frage des intertemporalen Rechts kann jedoch im vorliegenden Fall offen bleiben, da in Bezug auf die Vorschriften über die Unabhängigkeit und Unbefangenheit der Behörden das neue Recht in materieller Hinsicht mit dem alten Recht übereinstimmt. Die Garantie unvoreingenommener Verwaltungsbehörden, wie sie aus Art. 4 aBV abgeleitet wurde, ist im Anspruch auf "gleiche und gerechte Behandlung" in Art. 29 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> enthalten (Jörg Paul Müller, Grundrechte in der Schweiz, Bern 1999, S. 582). Der Anspruch auf einen unbefangenen Richter gemäss Art. 58 Abs. 1 aBV ist materiell unverändert in <ref-law> gewährleistet (<ref-ruling> E. 3a). Diese Vorschrift kommt - ebenso wie Art. 58 Abs. 1 aBV - auf Strafuntersuchungsbehörden nur dann nur Anwendung, wenn sie in richterlicher Funktion tätig sind (<ref-ruling> E. 2a, zu Art. 58 aBV).
Der zürcherische Bezirksanwalt übt dann eine richterliche Funktion aus, wenn er einen Strafbefehl erlässt oder wenn er das Strafverfahren einstellt (<ref-ruling> E. 2b, zu Art. 58 aBV). Die vom Beschwerdeführer abgelehnte Bezirksanwältin hat weder einen Strafbefehl noch eine Einstellungsverfügung erlassen. Sie war somit nicht in richterlicher Funktion tätig. Die Frage ihrer Ausstandspflicht wäre deshalb bei Anwendung des neuen Rechts - entgegen der Meinung des Beschwerdeführers - nicht unter dem Gesichtspunkt von <ref-law>, sondern unter demjenigen von Art. 29 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> zu beurteilen.
Für den Ausgang des Rekursverfahren war es unerheblich, ob die Justizdirektion das alte oder das neue Verfassungsrecht anwendete. Da - wie erwähnt - die einschlägigen Vorschriften materiell übereinstimmen, wäre die Justizdirektion auch bei Anwendung des neuen Rechts zum gleichen Ergebnis gelangt. Es bedeutete daher keine Verletzung des Willkürverbots, wenn sie den Entscheid der Staatsanwaltschaft unter dem Gesichtspunkt von Art. 4 aBV prüfte. Demzufolge ist auch die Rüge der Verletzung des Legalitätsprinzips bzw. des Fehlens einer gesetzlichen Grundlage unbegründet.
b) Im Weiteren wirft der Beschwerdeführer der Justizdirektion vor, sie habe gegen das Willkürverbot verstossen, indem sie den Ausstandsentscheid der Staatsanwaltschaft geschützt habe.
aa) Die Frage der Ausstandspflicht der Bezirksanwältin als Untersuchungsorgan beurteilt sich aufgrund des kantonalen Verfahrensrechts (§ 96 des zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetzes, GVG) und der aus Art. 4 aBV bzw. Art. 29 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> abgeleiteten Prinzipien.
Nach diesen Grundsätzen kann ein Justizbeamter abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, die ihn als befangen erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 2d, zu Art. 4 aBV, mit Hinweisen). Im gleichen Sinn ist § 96 Ziff. 4 GVG zu verstehen. Dies bedeutet jedoch nicht, dass entscheidend auf die subjektive Meinung des Ablehnenden abzustellen wäre. Vielmehr müssen Umstände vorliegen, welche nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 2d, zu Art. 4 aBV, mit Hinweisen).
bb) Der Beschwerdeführer hatte die behauptete Befangenheit von Bezirksanwältin A._ unter anderem darin erblickt, dass die Bezirksanwältin ihn aufgefordert habe, Ergänzungsfragen schriftlich vorzulegen, dass sie von ihm gestellte Beweisanträge nicht abgenommen, ihm keine umfassende Akteneinsicht gewährt und ihm Briefe mehrfach zugestellt habe.
Die Justizdirektion legte im angefochtenen Entscheid ausführlich dar, dass und weshalb die genannten Handlungen der Bezirksanwältin nicht den Anschein der Befangenheit zu begründen vermöchten.
In der staatsrechtlichen Beschwerde begnügt sich der Beschwerdeführer im Wesentlichen mit der Behauptung, es sei willkürlich, dass die Justizdirektion die erwähnten Handlungen der Bezirksanwältin nicht als "objektive Befangenheit" gewertet habe. Er bringt jedoch nichts vor, was geeignet wäre, die betreffenden Feststellungen der Justizdirektion (Ziff. 7-8c), auf die hier verwiesen wird, als sachlich nicht vertretbar erscheinen zu lassen. Es ist darauf hinzuweisen, dass selbst Verfahrensverstösse oder eine unrichtige Anwendung des materiellen Rechts grundsätzlich nicht als Begründung für eine Ablehnung herangezogen werden können (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b/bb). Nur sehr schwere oder wiederholt begangene Fehler, die eine gravierende Amtspflichtverletzung darstellen, können den Anschein der Befangenheit begründen (<ref-ruling> E. 3e; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b). Von solchen Verfehlungen kann hier nicht die Rede sein.
cc) Der Beschwerdeführer wirft der Justizdirektion zu Unrecht vor, sie sei auf die im Ablehnungsbegehren und im Rekurs angeführten "ungewöhnlichen Animositäten" unter Hinweis auf die "Unparteilichkeitsvermutung" der Bezirksanwältin "gar nicht eingegangen". Die Justizdirektion hielt zunächst fest, die unter dem Stichwort "ungewöhnlich grosse Animositäten" erhobenen Vorwürfe gegen die Bezirksanwältin seien derart vage, dass weder diese selbst, noch die Staatsanwaltschaft oder die Rekursbehörde in der Lage gewesen seien, die kritisierten Verhaltensweisen konkret zu identifizieren. Es sei jedoch nicht Aufgabe der Rekursinstanz, in den Akten nach ausstandsbegründenden Indizien zu forschen. Dabei sei der Grundsatz von Bedeutung, dass die Unparteilichkeit des Justizorgans zu vermuten sei, bis das Gegenteil bewiesen sei (Ziff. 8e Abs. 1 des angefochtenen Entscheids). In der Folge (Ziff. 8e Abs. 2) befasste sich die Justizdirektion aber mit Vorfällen, die der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang angeführt hatte, und legte dar, weshalb diese bei objektiver Betrachtungsweise keine Indizien für eine Befangenheit der Bezirksanwältin darstellten. Die betreffenden Erwägungen der kantonalen Instanz halten vor der Verfassung stand.
dd) Ferner wird gerügt, die Staatsanwaltschaft sei, als sie am 7. Oktober 1999 über das Ablehnungsbegehren entschieden habe, befangen gewesen, weil zu diesem Zeitpunkt schon lange klar gewesen sei, dass die abgelehnte Bezirksanwältin "zur Staatsanwaltschaft stossen werde".
Die Staatsanwaltschaft entschied über das Ablehnungsbegehren als Aufsichtsbehörde über die Bezirksanwälte gemäss § 101 Abs. 1 GVG. Sie handelte dabei nicht in richterlicher Funktion (<ref-ruling> E. 2c), weshalb die Frage der Befangenheit aufgrund von Art. 4 aBV zu beurteilen war. Das Bundesgericht hat in dem den Beschwerdeführer betreffenden Urteil vom 24. Februar 2000 (1P. 755/1999; E. 3b/aa) erklärt, aus dem Umstand, dass Bezirksanwältin A._ vom Regierungsrat des Kantons Zürich als ordentliche Staatsanwältin mit Amtsantritt am 1. März 2000 gewählt worden sei, könne nicht gefolgert werden, die Staatsanwaltschaft sei deswegen beim Entscheid über den Rekurs gegen eine Verfügung dieser Bezirksanwältin befangen gewesen. Dementsprechend verstiess die Justizdirektion im vorliegenden Fall nicht gegen Art. 4 aBV, wenn sie die Auffassung des Beschwerdeführers verwarf, die Staatsanwaltschaft sei wegen des bevorstehenden Funktionswechsels der Bezirksanwältin in der Beurteilung des Ablehnungsbegehrens "nicht mehr frei gewesen".
ee) Was in der staatsrechtlichen Beschwerde sonst noch vorgebracht wird, stellt eine rein appellatorische Kritik am Entscheid der Justizdirektion dar. Auf diese Kritik kann in einem staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 1b mit Hinweisen).
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Justizdirektion keine verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers verletzte, indem sie als Rekursinstanz den Ausstandsentscheid der Staatsanwaltschaft geschützt hat.
Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.- Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG), und er hat keinen Anspruch auf eine Entschädigung (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bezirksanwaltschaft I für den Kanton Zürich, der Staatsanwaltschaft sowie der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 13. Oktober 2000
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: