hat sich ergeben:
A.- In teilweiser Gutheissung der Appellation bzw.
Anschlussappellation der Parteien änderte das Obergericht des Kantons Basel-Landschaft mit Urteil vom 12. Juni 2001 einen Entscheid des Bezirksgerichtspräsidenten von Arlesheim betreffend Eheschutzmassnahmen ab; es verpflichtete den Ehemann, S.X._, der Ehefrau, D.X._-A. _, einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 5'481.-- für September und Oktober 2000 bzw. von Fr. 6'124.-- ab 1. November 2000 zu bezahlen, wovon jeweils Fr. 1'200.-- auf jedes der drei Kinder entfielen (I/1). Ferner hielt es S.X._ dazu an, D.X._-A. _ für die Monate August 1999 bis und mit Juli 2000 einen Betrag zur freien Verfügung in der Höhe von Fr. 4'740.-- nachzuzahlen (I/2).
B.- Mit rechtzeitiger staatsrechtlicher Beschwerde beantragt D.X._-A. _, die Ziffern I/1 und I/2 des Urteils des Obergerichts des Kantons Basel-Landschaft aufzuheben und S.X._ zu verpflichten, ihr einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 7'420.-- für September und Oktober 2000 bzw. von Fr. 8'000.-- ab 1. November 2000 zu bezahlen, wovon jeweils Fr. 1'500.-- inkl. Kinderzulagen auf jedes Kind entfallen sollen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die letzte kantonale Instanz zurückzuweisen. Das Obergericht schliesst auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, der Beschwerdegegner ersucht um ihre Abweisung, soweit darauf einzutreten sei.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Letztinstanzliche kantonale Entscheide betreffend Eheschutzmassnahmen gelten nicht als Endentscheide im Sinne von Art. 48 Abs. 1 OG und können daher nur mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde (Art. 68 ff. OG) oder mit staatsrechtlicher Beschwerde (Art. 84 lit. a OG) angefochten werden (<ref-ruling> E. 1 und 2). Da keine Nichtigkeitsgründe geltend gemacht worden sind, steht nur die staatsrechtliche Beschwerde zur Verfügung, die insoweit zulässig ist, als es sich beim angefochtenen Entscheid um einen Endentscheid im Sinne von Art. 86 Abs. 1 i.V.m. Art. 87 Abs. 2 OG handelt.
b) Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht gegebenen Ausnahmen (<ref-ruling> E. 1b S. 328 mit Hinweisen) abgesehen, rein kassatorischer Natur. Auf die Beschwerde ist folglich nicht einzutreten, soweit damit mehr als die Aufhebung des angefochtenen Entscheides verlangt wird.
2.- Umstritten ist das Einkommen des Beschwerdegegners.
Laut angefochtenem Urteil beträgt es Fr. 11'021.-- und setzt es sich zusammen aus regulärem Einkommen von Fr. 9'538.-- (inkl. Kinderzulagen), aus einem Verwaltungsratshonorar der X._ AG von Fr. 833.-- und aufgerechneten Spesen von Fr. 650.--. Im Gegensatz zum Entscheid des erstinstanzlichen Richters wurde im angefochtenen Urteil ein dem Beschwerdegegner von der Y._ AG am 6. März 2000 ausbezahlter Betrag von Fr. 50'000.-- nicht berücksichtigt, weil es sich dabei nicht um Verwaltungsratshonorar, sondern um ein Darlehen der Gesellschaft handle. Diesbezüglich wies das Obergericht zwar den erst im obergerichtlichen Verfahren aufgelegten Darlehensvertrag vom 28. Februar 2000 als unechtes Novum aus dem Recht, akzeptierte aber den nach dem erstinstanzlichen Entscheid produzierten Bericht der Revisionsstelle vom 21. November 2000 "formal als neues Beweismittel"; daraus ergibt sich, dass dem Beschwerdegegner am 6. März 2000 ein Darlehen in der Höhe von Fr. 50'000.-- ausbezahlt worden ist, welches er am 19. September 2000 zurückbezahlt hat.
3.-Die Beschwerdeführerin rügt das Vorgehen des Obergerichts zusammengefasst und sinngemäss als willkürlich.
Könne eine Partei, die es versäumt habe, ein Beweismittel rechtzeitig einzureichen, sich durch Dritte die fragliche Tatsache zu einem beliebigen Zeitpunkt schriftlich (nochmals) bestätigen lassen und diese Bestätigung anstelle des eigentlichen Beweismittels als "formal neues" Beweismittel einreichen, werde das Beweisrecht aus den Angeln gehoben.
a) Gemäss <ref-law>/BL (SGS 221) können im Verfahren vor Obergericht neue Tatsachen und Beweismittel, vorausgesetzt, dass sie für die Beurteilung von Erheblichkeit sind, nur dann berücksichtigt werden, wenn sich diese Tatsachen nach der ersten untergerichtlichen Verhandlung zugetragen haben und Beweismittel erst seither aufgefunden worden oder der betreffenden Partei zur Kenntnis gelangt sind (vgl. dazu: Staehelin/Sutter, Zivilprozessrecht nach den Gesetzen der Kantone Basel-Stadt und Basel-Landschaft unter Einbezug des Bundesrechts, Zürich 1992, § 21 Rz. 56).
"Formal" mag der umstrittene Revisionsbericht vom 21. November 2000 den Anforderungen von <ref-law>/BL insoweit entsprechen, als er nach der erstinstanzlichen Verhandlung entstanden und insoweit "erst seither aufgefunden worden" ist. Dies besagt allerdings keineswegs, dass der obergerichtliche Entscheid bar jeglicher Willkür gefällt worden ist. Der Beschwerdegegner musste sich bewusst sein, dass der zeitlich vor der erstinstanzlichen Verhandlung liegende Darlehensvertrag als unzulässiges Novum aus dem Recht gewiesen werden würde; das ist denn auch geschehen.
Durch den an ihn adressierten Bericht vom 21. November 2000 hat er sich während des obergerichtlichen Verfahrens von der Revisionsstelle bestätigen lassen, dass ein Darlehensvertrag in der fraglichen Höhe bestehe. Damit aber unterlief er das in <ref-law>/BL statuierte Verbot unechter Noven, und das Obergericht schützte ihn in diesem Verhalten. Angesichts des mit der strengen Eventualmaxime gekoppelten Verbots unechter Noven im Appellationsverfahren war das Vorgehen des Beschwerdegegners klar rechtsmissbräuchlich (<ref-law>) und verfiel das Obergericht deshalb in Willkür, indem es den besagten Revisionsbericht als Beweismittel zuliess (zum Begriff der Willkür: <ref-ruling> E. 3a S. 117; <ref-ruling> E. 4a S. 319 f., je mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 5a S. 70).
b) Auch was das Obergericht in der Vernehmlassung dazu ausführt, lässt sein Vorgehen nicht als vertretbar erscheinen.
Wäre nämlich darauf abzustellen, dass bei Rückweisung des fraglichen Beweismittels "eine Partei aus einer prozessualen Unterlassung der anderen Partei fortgesetzten Nutzen ziehen könnte, ohne dass das Verfahren dadurch in irgendeiner Weise vereinfacht oder verkürzt würde", käme es für die Zulässigkeit von Noven - entgegen dem Wortlaut von <ref-law>/BL - gerade nicht darauf an, ob Beweismittel erst seit der ersten untergerichtlichen Verhandlung aufgefunden worden oder der betreffenden Partei zur Kenntnis gekommen sind; wesentlich wären vielmehr allein Zweckmässigkeitsüberlegungen.
Im Übrigen ist sich das Obergericht, wie die Formulierung "der möglicherweise nicht überragend lauteren Beweismittelbeschaffung" durchblicken lässt, durchaus bewusst, dass der Beschwerdegegner mit dem umstrittenen Bericht des Revisionsstelle das Verbot unechter Noven unterlaufen hat.
c) Da sich die staatsrechtliche Beschwerde in diesem Punkt als begründet erweist, erübrigt es sich, die im Eventualstandpunkt vorgetragene Rüge zu prüfen, wonach auch eine willkürfreie Anwendung von <ref-law>/BL der Zulässigkeit des umstrittenen Beweismittels entgegenstand.
4.-Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörsanspruchs. Sie wirft dem Obergericht vor, auf wesentliche Vorbringen nicht eingegangen zu sein und dafür keinerlei Begründung gegeben zu haben. Da die Praxis bei schwankendem Einkommen Selbständigerwerbender den Durchschnittswert mehrerer Jahre ermittle, habe sie (die Beschwerdeführerin) verlangt, dass bei der Ermittlung des Einkommens des Beschwerdegegners auf jenes der Vorjahre (1997, 1998 und 1999) abgestellt werde, das im Schnitt Fr. 180'000.-- betragen habe. Zwar sei der Beschwerdegegner nicht selbständigerwerbend, doch bekleide er in den beiden Aktiengesellschaften die Stellung eines Geschäftsführers, sei Alleinaktionär und Mitglied des Verwaltungsrates, in den er nur gerade noch seine Eltern berufen habe; das aber ermögliche ihm, sein Einkommen beliebig zu steuern, namentlich hinsichtlich der Auszahlung von Verwaltungsratshonoraren.
Faktisch entspreche der Status des Beschwerdegegners somit jenem eines Selbständigerwerbenden. Sollte nicht auf den Schnitt der letzten drei Jahre abgestellt werden, wäre hinsichtlich der nicht mehr ausbezahlten Verwaltungsratshonorare auf einen freiwilligen Einkommensverzicht zu schliessen. Die Behauptung eines schlechten Geschäftsganges sei völlig aus der Luft gegriffen und nicht belegt.
Der Gewinn der Y._ AG habe sich im ersten Jahr des Honorarverzichts verdoppelt und neben sicherlich vorhandenen stillen Reserven seien offene Reserven ausgewiesen worden.
Auch sei es dem Beschwerdegegner möglich gewesen, während Jahren zu Gunsten der Kinder Fr. 900.-- in einen Anlagefonds einzuzahlen, was er verheimlicht habe; all dies stelle seine Glaubwürdigkeit in Frage und zeige ausserdem, dass das von ihm geltend gemachte Einkommen von Fr. 10'391.-- nicht zutreffen könne.
a) Das rechtliche Gehör als persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die grundsätzliche Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen.
Aufgrund dieses allgemeinen verfassungsrechtlichen Anspruchs lassen sich allerdings keine generellen Regeln aufstellen, denen eine Begründung zu genügen hätte. Die Begründung des Entscheides muss aber so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dies ist nur dann möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheides ein Bild machen können. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Das bedeutet indessen nicht, dass sie sich ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinander setzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 2b S. 109; <ref-ruling> E. 3a S. 112; <ref-ruling> E. 2 S. 242).
b) In Bezug auf das umstrittene Einkommen des Beschwerdegegners hat sich das Obergericht darauf beschränkt, den dem Beschwerdegegner ausbezahlten Betrag von Fr. 50'000.-- als (zurückbezahltes) Darlehen zu qualifizieren und das massgebende Einkommen entsprechend herabzusetzen. Zu den tatsächlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin und ihren rechtlichen Einwänden hat sich das Obergericht mit keinem Wort geäussert. Insbesondere hat es keine Feststellungen darüber getroffen, wieviel der Beschwerdegegner in den vorangegangenen Jahren verdiente und wie der Geschäftsgang der Y._ AG im Zeitpunkt war, als dem Beschwerdegegner erstmals kein Verwaltungsratshonorar mehr ausbezahlt worden sein soll. Ebenso wenig enthält das angefochtene Urteil Feststellungen darüber, welches die Stellung des Beschwerdegegners in den beiden Unternehmen ist.
c) Sollten die Behauptungen der Beschwerdeführerin hinsichtlich der Stellung des Beschwerdegegners in der Y._ AG zutreffen, käme dem Beschwerdegegner in der Tat faktisch die Stellung eines Selbständigerwerbenden zu.
Dies würde es rechtfertigen, seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit entsprechend zu beurteilen. Sollte sich ferner ergeben, dass er sich - zeitlich zusammentreffend mit dem Prozess - von dem von ihm wirtschaftlich beherrschten Unternehmen plötzlich einen markant tieferen Lohn hat ausbezahlen lassen, ohne dass dies unternehmerisch begründet war, drängte sich auf, ihn so zu behandeln, als hätte er es absichtlich unterlassen, Einkommen zu erzielen (Bräm/Hasenböhler, Zürcher Kommentar, N. 78 zu <ref-law>). Das vom Obergericht für das Jahr 2000 angenommene Einkommen von (auf ein Jahr hochgerechnet) etwas über Fr. 130'000.-- steht in augenfälligem Kontrast zum von der Beschwerdeführerin behaupteten durchschnittlichen Einkommen von rund Fr. 180'000.-- der vorangegangenen Jahre. Bei schwankendem Einkommen kann als Referenzgrösse der Durchschnittswert mehrerer (vorangegangener) Jahre dienen (Schwenzer, in: Praxiskommentar Scheidungsrecht, 2000, N. 17 zu Art 125). Entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners bestand somit für das Obergericht durchaus Anlass, sich mit den von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Argumenten auseinander zu setzen.
Weder das Obergericht noch der Beschwerdegegner machen geltend, diese seien nicht prozesskonform vorgebracht worden.
d) Sind die von der Beschwerdeführerin namhaft gemachten und bereits im Verfahren vor Obergericht vorgebrachten tatsächlichen Behauptungen und rechtlichen Einwände entscheidrelevant, so hat das Obergericht das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin verletzt, indem es sich damit in keiner Weise befasste (<ref-law>).
5.- Zusammenfassend ergibt sich, dass die staatsrechtliche Beschwerde gutzuheissen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Ziff. I/1 und 2 sowie III (Kostenpunkt) des Urteils des Obergerichts des Kantons Basel-Landschaft vom 12. Juni 2001 sind damit aufzuheben. Nach dem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdegegner die Gerichtsgebühr zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG) und die Beschwerdeführerin für die ihr im bundesgerichtlichen Verfahren entstandenen Kosten angemessen zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und die Ziffern I/1 und 2 sowie III des Urteils des Obergerichts des Kantons Basel-Landschaft vom 12. Juni 2001 werden aufgehoben.
2.-Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.-Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.-Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Basel-Landschaft schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 20. November 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: