Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Das Bundesgericht trat mit Urteil 6B_1127/2013 vom 5. Dezember 2013 auf eine Beschwerde des Gesuchstellers nicht ein. Zur Hauptsache war er nicht legitimiert, weil die von ihm gegen Mitarbeitende der sozialen Dienste der Stadt Zürich erhobenen strafrechtlichen Vorwürfe allenfalls Staatshaftungsansprüche betreffen können, ihm indessen keine zivilrechtlichen Ansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG gegen die Mitarbeitenden zustehen. In einem Punkt, der das rechtliche Gehör betraf, genügte seine Eingabe den Anforderungen nicht. Der Gesuchsteller verlangt die Revision des Urteils.
Der Gesuchsteller macht geltend, das Bundesgericht habe bei der Prüfung seiner Zuständigkeit gemäss <ref-law> übersehen, dass er sowohl im Zivilpunkt wie auch im Schuldpunkt zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert sei. Indessen kann auf das angeblich revisionsbedürftige Urteil verwiesen werden. Was der Gesuchsteller vorbringt, dringt nicht durch. So geht sein Hinweis auf <ref-ruling> an der Sache vorbei, da es in jenem Fall um eine Person ging, die in vertretbarer Weise behauptete, von einem Polizeibeamten erniedrigend behandelt worden zu sein. Dies ist mit dem vorliegenden Fall, in dem es um eine angebliche Verletzung des Datenschutzgesetzes, um Ehrverletzungs- und Urkundendelikte geht, nicht zu vergleichen. Abwegig ist der Hinweis, dass der Gesuchsteller nicht bloss Geldersatz, "sondern auch Naturalrestitution beantragt" habe. Selbst wenn dieser Antrag begründbar wäre, vermöchte dies nichts daran zu ändern, dass dem Gesuchsteller gegen die Beschuldigten keine zivilrechtlichen Ansprüche zustehen. Die übrigen Ausführungen lassen sich im Übrigen erneut nicht vom Entscheid in der Sache trennen, womit sich das Bundesgericht, wie im Urteil vom 5. Dezember 2013 bereits festgehalten, nicht befassen kann.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen.
2.
Die Gerichtskosten sind dem Gesuchsteller aufzuerlegen (<ref-law>). Das nachträglich gestellte Gesuch um Ratenzahlung kann als ein solches um unentgeltliche Rechtspflege entgegengenommen werden. Dieses ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Analog zum Verfahren 6B_1127/2013 ist der finanziellen Lage des Gesuchstellers bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. März 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn