Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die Strafgerichtspräsidentin Basel-Stadt erklärte mit Urteil vom 26. Juli 2002 R._ wegen Überschreitens des zulässigen Tiefgangs durch ein Tankmotorschiff der Übertretung des Bundesgesetzes über die Binnenschifffahrt schuldig und verurteilte ihn zu einer Busse von Fr. 1'500.--. Dagegen erhob der Verurteilte rechtzeitig Appellation. Mit Verfügung vom 13. September 2002 forderte ihn der Referent des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 600.-- bis zum 14. Oktober 2002 auf, ansonsten die Appellation dahinfalle. Die eingeschrieben versandte Verfügung wurde von der Post am 30. September 2002 mit dem Vermerk "nicht abgeholt" an das Appellationsgericht zurückgeschickt. Hierauf wies der Referent am 16. Oktober 2002 die Appellation mangels Bezahlung des Kostenvorschusses androhungsgemäss aus dem Recht.
In der Folge stellte R._ mit Schreiben vom 28. Februar 2003 die Rechtmässigkeit des Vorgehens des Appellationsgerichts in Frage und beanstandete namentlich, dass ihn die Strafgerichtspräsidentin ohne Gewährung des rechtlichen Gehörs verurteilt habe, was rechtsstaatlich unzulässig und als Grundrechtsverletzung ohne Leistung des Kostenvorschusses zu korrigieren sei. Er habe, da er als Schiffer nur selten zu Hause sei, die Verfügung vom 16. Oktober 2002 "erst dieser Tage" erhalten. Mit Schreiben vom 5. März 2003 machte der Referent des Appellationsgericht den Rechtsvertreter von R._ u.a. auf die Möglichkeit eines Wiedereinsetzungsgesuchs aufmerksam. Mit Eingabe vom 17. März 2003 ersuchte R._ um Wiedereinsetzung in die Kostenvorschussfrist. Der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt trat mit Urteil vom 20. Mai 2003 auf das Wiedereinsetzungsgesuch nicht ein. Zur Begründung führte er zusammenfassend aus, dass das Gesuch verspätet gestellt worden sei. Gemäss dem Wiedereinsetzungsgesuch vom 17. März 2003 habe der Gesuchsteller am 25. Februar 2003 von der Kostenvorschussverfügung vom 13. September 2002 Kenntnis erhalten. Die zehntägige Frist gemäss § 32 Abs. 1 der Strafprozessordnung des Kantons Basel-Stadt (StPO) habe demnach am 26. Februar 2003 zu laufen begonnen und sei am 7. März 2003 abgelaufen. Die Eingabe vom 28. Februar 2003 stelle kein Wiedereinsetzungsgesuch dar, da darin weder ausdrücklich noch sinngemäss ein Gesuch um Wiedereinsetzung gestellt wurde.
In der Folge stellte R._ mit Schreiben vom 28. Februar 2003 die Rechtmässigkeit des Vorgehens des Appellationsgerichts in Frage und beanstandete namentlich, dass ihn die Strafgerichtspräsidentin ohne Gewährung des rechtlichen Gehörs verurteilt habe, was rechtsstaatlich unzulässig und als Grundrechtsverletzung ohne Leistung des Kostenvorschusses zu korrigieren sei. Er habe, da er als Schiffer nur selten zu Hause sei, die Verfügung vom 16. Oktober 2002 "erst dieser Tage" erhalten. Mit Schreiben vom 5. März 2003 machte der Referent des Appellationsgericht den Rechtsvertreter von R._ u.a. auf die Möglichkeit eines Wiedereinsetzungsgesuchs aufmerksam. Mit Eingabe vom 17. März 2003 ersuchte R._ um Wiedereinsetzung in die Kostenvorschussfrist. Der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt trat mit Urteil vom 20. Mai 2003 auf das Wiedereinsetzungsgesuch nicht ein. Zur Begründung führte er zusammenfassend aus, dass das Gesuch verspätet gestellt worden sei. Gemäss dem Wiedereinsetzungsgesuch vom 17. März 2003 habe der Gesuchsteller am 25. Februar 2003 von der Kostenvorschussverfügung vom 13. September 2002 Kenntnis erhalten. Die zehntägige Frist gemäss § 32 Abs. 1 der Strafprozessordnung des Kantons Basel-Stadt (StPO) habe demnach am 26. Februar 2003 zu laufen begonnen und sei am 7. März 2003 abgelaufen. Die Eingabe vom 28. Februar 2003 stelle kein Wiedereinsetzungsgesuch dar, da darin weder ausdrücklich noch sinngemäss ein Gesuch um Wiedereinsetzung gestellt wurde.
2. Am 27. Juni 2003 reichte R._ beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt ein "Rechtsmittel" gegen dessen Urteil vom 20. Mai 2003 ein. Nachdem ihn der Präsident des Appellationsgerichts auf die Möglichkeit einer staatsrechtlichen Beschwerde hingewiesen hatte, erhob R._ mit Eingabe vom 3. Juli 2003 staatsrechtliche Beschwerde.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Streitgegenstand ist vorliegend der im Rahmen des Wiedereinsetzungsverfahrens ergangene Nichteintretensentscheid des Appellationsgerichts. Soweit der Beschwerdeführer das Verfahren vor dem Strafgericht Basel-Stadt beanstandet, liegt diese Rüge ausserhalb des Streitgegenstandes und ist deshalb unzulässig.
3. Streitgegenstand ist vorliegend der im Rahmen des Wiedereinsetzungsverfahrens ergangene Nichteintretensentscheid des Appellationsgerichts. Soweit der Beschwerdeführer das Verfahren vor dem Strafgericht Basel-Stadt beanstandet, liegt diese Rüge ausserhalb des Streitgegenstandes und ist deshalb unzulässig.
4. Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss eine staatsrechtliche Beschwerde die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene Rügen. Auf unbegründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3c mit Hinweisen).
4. Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss eine staatsrechtliche Beschwerde die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene Rügen. Auf unbegründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3c mit Hinweisen).
5. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er sein Wiedereinsetzungsgesuch vom 17. März 2003 erst nach Ablauf der zehntägigen Frist gemäss <ref-law> und damit verspätet gestellt hatte. Er macht vielmehr geltend, bereits seine Eingabe vom 28. Februar 2003 hätte als Wiedereinsetzungsgesuch behandelt werden müssen. Inwiefern indessen der Schluss des Appellationsgerichts, er habe in der Eingabe vom 28. Februar 2003 weder ausdrücklich noch sinngemäss ein Gesuch um Wiedereinsetzung gestellt, willkürlich sein soll (vgl. BGE 127 Ia 60 E. 5a S. 70 mit Hinweisen), ergibt sich nicht aus den beiden Eingaben vom 27. Juni 2003 und 3. Juli 2003. Der Beschwerdeführer legt somit auch nicht dar, inwiefern das Appellationsgericht <ref-law> willkürlich ausgelegt haben sollte, als es die Eingabe vom 28. Februar 2003 nicht als Wiedereinsetzungsgesuch behandelte. Mangels einer genügenden Begründung ist auf diese Rüge nicht einzutreten.
5. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er sein Wiedereinsetzungsgesuch vom 17. März 2003 erst nach Ablauf der zehntägigen Frist gemäss <ref-law> und damit verspätet gestellt hatte. Er macht vielmehr geltend, bereits seine Eingabe vom 28. Februar 2003 hätte als Wiedereinsetzungsgesuch behandelt werden müssen. Inwiefern indessen der Schluss des Appellationsgerichts, er habe in der Eingabe vom 28. Februar 2003 weder ausdrücklich noch sinngemäss ein Gesuch um Wiedereinsetzung gestellt, willkürlich sein soll (vgl. BGE 127 Ia 60 E. 5a S. 70 mit Hinweisen), ergibt sich nicht aus den beiden Eingaben vom 27. Juni 2003 und 3. Juli 2003. Der Beschwerdeführer legt somit auch nicht dar, inwiefern das Appellationsgericht <ref-law> willkürlich ausgelegt haben sollte, als es die Eingabe vom 28. Februar 2003 nicht als Wiedereinsetzungsgesuch behandelte. Mangels einer genügenden Begründung ist auf diese Rüge nicht einzutreten.
6. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, sein Verteidiger sei davon ausgegangen, das Wiedereinsetzungsgesuch müsse nur unverzüglich und nicht innerhalb der gesetzlichen Frist von 10 Tagen eingereicht werden. Dieses Verschulden seines Verteidigers könne ihm nicht zugerechnet werden.
Der Beschwerdeführer liess sich durch einen Rechtsanwalt verbeiständen. Er ermächtigte damit seinen Rechtsvertreter, Rechtshandlungen in seinen Namen vorzunehmen. Solange dieses Vertretungsverhältnis besteht, muss sich der Beschwerdeführer das Handeln seines Rechtsvertreters anrechnen lassen. Die Rüge erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist abzuweisen.
Der Beschwerdeführer liess sich durch einen Rechtsanwalt verbeiständen. Er ermächtigte damit seinen Rechtsvertreter, Rechtshandlungen in seinen Namen vorzunehmen. Solange dieses Vertretungsverhältnis besteht, muss sich der Beschwerdeführer das Handeln seines Rechtsvertreters anrechnen lassen. Die Rüge erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist abzuweisen.
7. Zusammenfassend ergibt sich, dass die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2003
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: