Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. In dem zwischen Y._ (Ehefrau) und ihm hängigen Scheidungsverfahren stellte Z._ (Ehemann) das Begehren, die Ehefrau im Sinne einer vorsorglichen Massnahme zu verpflichten, ihm Unterhaltsbeiträge und einen Prozesskostenvorschuss zu zahlen. Der Einzelrichter am Bezirksgericht Zürich (5. Abteilung) wies das Begehren durch Verfügung vom 16. Juni 2003 ab.
Die von Z._ hiergegen eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde wies das Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich am 18. September 2003 ab, soweit darauf hatte eingetreten werden können. Abgewiesen wurde auch das Gesuch von Z._, ihm für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die von Z._ hiergegen eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde wies das Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich am 18. September 2003 ab, soweit darauf hatte eingetreten werden können. Abgewiesen wurde auch das Gesuch von Z._, ihm für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
B. Z._ führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, die einzelrichterliche Verfügung vom 16. Juni 2003 und den Beschluss des Obergerichts vom 18. September 2003 aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an den Einzelrichter am Bezirksgericht Zürich zurückzuweisen. Ausserdem ersucht der Beschwerdeführer darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und seinen Anwalt zum unentgeltlichen Rechtsbeistand zu ernennen.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Gemäss Art. 86 Abs. 1 OG ist die staatsrechtliche Beschwerde nur gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide zulässig. Der Entscheid einer unteren kantonalen Instanz kann nach der Rechtsprechung indessen dann mitangefochten werden, wenn entweder der letzten kantonalen Instanz nicht sämtliche vor Bundesgericht erhobenen Rügen hatten unterbreitet werden können oder wenn solche Rügen von der letzten kantonalen Instanz zwar beurteilt wurden, jedoch mit einer engeren Prüfungsbefugnis, als sie dem Bundesgericht zusteht (<ref-ruling> E. 1c S. 51 mit Hinweisen).
1.2 Ob die einzelrichterliche Verfügung vom 16. Juni 2003 im vorliegenden Verfahren angefochten werden kann, lässt sich nach dem Gesagten nicht mit dem blossen Hinweis beantworten, bei der vom Obergericht beurteilten Nichtigkeitsbeschwerde habe es sich um ein ausserordentliches Rechtsmittel gehandelt. Wie dem Obergericht wirft der Beschwerdeführer auch dem Einzelrichter am Bezirksgericht willkürliche Beweiswürdigung bzw. Feststellung des Sachverhalts, willkürliche Rechtsanwendung und Missachtung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör vor. Damit erhebt er keine Rügen, die vom Obergericht im Rahmen der Nichtigkeitsbeschwerde nach § 281 der kantonalen Zivilprozessordnung (Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes; aktenwidrige oder willkürliche tatsächliche Annahmen; Verletzung klaren materiellen Rechts) nicht oder nur mit einer im Vergleich zur staatsrechtlichen Beschwerde eingeschränkten Überprüfungsbefugnis hätten beurteilt werden können (dazu Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Auflage, N 35 zu § 281 Ziff. 1 und N 44, 45 und 51 zu § 281 Ziff. 2/3). Soweit die Aufhebung des einzelrichterlichen Entscheids vom 16. Juni 2003 verlangt wird, ist auf die vorliegende Beschwerde mithin nicht einzutreten.
1.2 Ob die einzelrichterliche Verfügung vom 16. Juni 2003 im vorliegenden Verfahren angefochten werden kann, lässt sich nach dem Gesagten nicht mit dem blossen Hinweis beantworten, bei der vom Obergericht beurteilten Nichtigkeitsbeschwerde habe es sich um ein ausserordentliches Rechtsmittel gehandelt. Wie dem Obergericht wirft der Beschwerdeführer auch dem Einzelrichter am Bezirksgericht willkürliche Beweiswürdigung bzw. Feststellung des Sachverhalts, willkürliche Rechtsanwendung und Missachtung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör vor. Damit erhebt er keine Rügen, die vom Obergericht im Rahmen der Nichtigkeitsbeschwerde nach § 281 der kantonalen Zivilprozessordnung (Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes; aktenwidrige oder willkürliche tatsächliche Annahmen; Verletzung klaren materiellen Rechts) nicht oder nur mit einer im Vergleich zur staatsrechtlichen Beschwerde eingeschränkten Überprüfungsbefugnis hätten beurteilt werden können (dazu Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Auflage, N 35 zu § 281 Ziff. 1 und N 44, 45 und 51 zu § 281 Ziff. 2/3). Soweit die Aufhebung des einzelrichterlichen Entscheids vom 16. Juni 2003 verlangt wird, ist auf die vorliegende Beschwerde mithin nicht einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht in verschiedener Hinsicht einen Verstoss gegen das Willkürverbot vor.
2.1 Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung als die beanstandete ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen materieller Rechtsverweigerung nur dann auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3 S. 440; <ref-ruling> E. 3a S. 15 und 129 E. 5b S. 134, mit Hinweisen).
2.2 Art. 90 Abs. 1 lit. b OG verlangt die Darlegung, inwiefern verfassungsmässige Rechte und Rechtssätze verletzt worden seien, was appellatorische Kritik, wie sie allenfalls im Rahmen eines Berufungsverfahrens zulässig ist, ausschliesst (<ref-ruling> E. 4b S. 11 f.). Wird Willkür gerügt, ist klar und detailliert aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid qualifiziert unrichtig sein soll (<ref-ruling> E. 1c S. 73 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.6 S. 189 mit weiteren Hinweisen).
2.2 Art. 90 Abs. 1 lit. b OG verlangt die Darlegung, inwiefern verfassungsmässige Rechte und Rechtssätze verletzt worden seien, was appellatorische Kritik, wie sie allenfalls im Rahmen eines Berufungsverfahrens zulässig ist, ausschliesst (<ref-ruling> E. 4b S. 11 f.). Wird Willkür gerügt, ist klar und detailliert aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid qualifiziert unrichtig sein soll (<ref-ruling> E. 1c S. 73 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.6 S. 189 mit weiteren Hinweisen).
3. 3.1 Als willkürlich bezeichnet der Beschwerdeführer die Feststellung des Obergerichts, der Einzelrichter habe sich nicht dahin gehend geäussert, eine Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushalts der Parteien sei ausgeschlossen.
Der Einzelrichter hatte - im Zusammenhang mit Ausführungen zu den von den Ehegatten zu erbringenden Beiträgen an den Unterhalt der Familie - unter Berufung auf <ref-ruling> erklärt, es dürfe bei einer als endgültig erscheinenden Trennung auch vom Ehegatten, dessen Erwerbsfähigkeit durch die eheliche Aufgabenteilung beeinträchtigt worden sei, erwartet werden, dass er gehörige Anstrengungen unternehme, um wieder auf eigenen Füssen stehen zu können. Sollte aus dieser Erwägung überhaupt die Feststellung abgeleitet werden können, eine Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushalts sei im Falle der Parteien ausgeschlossen, wird in der Beschwerde nicht in einer den gesetzlichen Anforderungen entsprechenden Form dargetan, weshalb ihre Bestätigung durch das Obergericht willkürlich sein soll. Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, auf den "im Zeitpunkt des Urteils bekannten Sachverhalt" zu verweisen.
Inwiefern die beanstandete Äusserung rechtlich überhaupt von Bedeutung war, braucht unter den angeführten Umständen nicht erörtert zu werden.
3.2 Sodann rügt der Beschwerdeführer, der Vorwurf des Obergerichts, er habe seine Mitwirkungspflicht hinsichtlich der Offenlegung seiner wirtschaftlichen Verhältnisse verletzt, beruhe auf willkürlicher Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung sowie auf willkürlicher Rechtsanwendung.
3.2.1 Das Obergericht ist davon ausgegangen, der Beschwerdeführer stelle nicht in Abrede, dass die Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses und von Unterhaltsbeiträgen voraussetze, dass er auf den finanziellen Beistand der Beschwerdegegnerin angewiesen, mithin selbst nicht leistungsfähig sei. Es hat sich sodann auf seinen Beschluss vom 21. März 2003 berufen, worin nach eingehender Würdigung der Schluss gezogen worden sei, die (widersprüchlichen) Depositionen des Beschwerdeführers in der bezirksgerichtlichen Hauptverhandlung vom 24. Juni 2002 zu seinen wirtschaftlichen Verhältnissen (unter anderem auch zum Grundeigentum der Familie in Serbien) seien äusserst unglaubhaft. Der Beschwerdeführer unterlasse es, konkret zu rügen, inwiefern die erwähnten Äusserungen willkürlich gewürdigt oder allenfalls nicht richtig wiedergegeben worden seien; zumindest räume er ein, wirre Angaben gemacht zu haben; seine nachträglichen Erklärungsversuche mit dem Hinweis auf mangelnde Deutschkenntnisse seien unbehelflich, zumal anlässlich der Verhandlungen vor Bezirksgericht ein Serbokroatisch-Übersetzer anwesend gewesen sei. Als unbehelflich hat die kantonale Kassationsinstanz ebenso den zum Grundbesitz in Jugoslawien nachgereichten Beleg bezeichnet, der nicht aussagekräftig sei. Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer sei vom Bezirksgericht zweimal aufgefordert worden, Belege über die geltend gemachten Schulden und über das Grundstück in Serbien beizubringen. Wenn er hierauf lediglich das erwähnte Schriftstück - zunächst einzig in serbischer Sprache - eingereicht habe, könne der ersten Instanz nicht angelastet werden, sie habe mit dem Vorwurf der Verletzung der Mitwirkungspflicht einen wesentlichen Verfahrensgrundsatz verletzt.
3.2.2 Soweit das in der Beschwerde hiergegen Vorgebrachte nicht neu und schon aus diesem Grund unzulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 5c/aa S. 160 mit Hinweisen), erschöpft es sich weitgehend in einer rein appellatorischen Kritik. Die Erklärung des Beschwerdeführers, es seien von ihm ausser dem Grundbuchauszug keine weiteren Unterlagen verlangt worden, steht im Widerspruch zur Feststellung der kantonalen Kassationsinstanz, er sei ein erstes Mal am Ende der Hauptverhandlung vom 24. Juni 2002 vor Bezirksgericht und ein zweites Mal durch die gleiche Instanz mit Verfügung vom 19. November 2002 aufgefordert worden, Belege auch über die geltend gemachten Schulden einzureichen. Dass diese Feststellung willkürlich wäre, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Seiner Meinung, es sei völlig notorisch, dass jemand, der seit vier Jahren keiner Arbeit nachgehe und von seiner Ehefrau und von Krediten anderer lebe, einen Schuldenberg aufweisen müsse, und es könne von ihm deshalb nicht verlangt werden, die Schulden zu belegen, ist entgegenzuhalten, dass Unterhaltsleistungen der Ehefrau die gesetzliche Pflicht nach <ref-law> zu Grunde liegt und dass allfällige Kreditschulden gegenüber Dritten ohne weiteres belegt werden können und deshalb auch zu belegen sind. Der Beschwerdeführer erklärt an anderer Stelle denn auch selbst, Belege für die Schulden eingereicht zu haben. Allerdings schweigt er sich darüber aus, worum es sich bei diesen Beweisstücken gehandelt habe, und er legt somit auch in keiner Weise dar, dass solche durch das Obergericht willkürlich gewürdigt worden wären.
3.2.3 Zu den Vorbringen des Beschwerdeführers zum Grundstück in Serbien ist vorab zu bemerken, dass das Obergericht bezüglich dieser Liegenschaft nicht nur Unterlagen über damit zusammenhängende Schulden vermisst hat, sondern ganz allgemein Angaben zum Grundstück (vor allem auch über die Eigentumsverhältnisse). Mit der Feststellung der kantonalen Instanz, der eingereichte Beleg über den Grundbesitz in Serbien sei nicht aussagekräftig, setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, und er legt somit auch nicht dar, inwiefern diese Würdigung willkürlich sein soll. Abgesehen davon, räumt der Beschwerdeführer selbst ein, in der Verhandlung vom 24. Juni 2002 zum Grundeigentum seiner Familie in Serbien wirre Angaben gemacht zu haben. Dass seine Erklärungen auf seine Persönlichkeitsstruktur oder möglicherweise auf eine geistige Krankheit zurückzuführen gewesen seien, findet in den Feststellungen des angefochtenen Entscheids keine Stütze.
3.2.4 In Anbetracht des Dargelegten kann von einer Verweigerung des rechtlichen Gehörs durch das Obergericht keine Rede sein. Der Beschwerdeführer macht auch nicht etwa geltend, das Absehen der kantonalen Kassationsinstanz von einer weiteren Befragung stelle eine als Willkür zu qualifizierende Missachtung einer Vorschrift des kantonalen Prozessrechts dar.
3.3 Dass sich das Obergericht auf seinen (zu einem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gefassten) Beschluss vom 21. März 2003 berufen hat, stellt nach Ansicht des Beschwerdeführers eine willkürliche Rechtsanwendung und eine Missachtung des rechtlichen Gehörs, namentlich der Begründungspflicht, dar.
Bei der sich aus dem verfassungsrechtlichen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) ergebenden Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen, geht es darum, dass der Betroffene sich über dessen Tragweite ein Bild machen und ihn in voller Kenntnis der Sache gegebenenfalls bei der oberen Instanz anfechten kann (<ref-ruling> E. 2b S. 102; <ref-ruling> E. 2a S. 149; <ref-ruling> E. 4d S. 269 mit Hinweisen). <ref-law> ist keine Pflicht zur Begründung in einem einzigen Dokument zu entnehmen. Dass sich ein entsprechender Anspruch aus dem kantonalen Verfahrensrecht ergebe, macht der Beschwerdeführer nicht geltend.
Es braucht nicht erörtert zu werden, ob das Obergericht tatsächlich etwas aus dem Umstand ableiten wollte, dass der Entscheid vom 21. März 2003 unangefochten geblieben war. Dem Beschwerdeführer stand auf jeden Fall frei, im neuen Verfahren die vom Obergericht angerufenen Feststellungen anzufechten.
3.4 Der Beschwerdeführer beanstandet schliesslich, dass in willkürlicher Weise und in Missachtung seines Gehörsanspruchs unter Hinweis auf eine angebliche Verletzung der Mitwirkungspflicht nicht geprüft worden sei, ob das Grundeigentum (in Serbien), falls er denn solches haben sollte, überhaupt innert nützlicher Frist liquidiert werden könnte. Er verkennt, dass die Aufforderung des Bezirksgerichts, Belege zum Grundstück einzureichen, sich auch auf Angaben erstreckte, die für die Beantwortung der angesprochenen Frage erforderlich gewesen wären. Die Rüge stösst nach dem oben Ausgeführten deshalb ins Leere.
3.4 Der Beschwerdeführer beanstandet schliesslich, dass in willkürlicher Weise und in Missachtung seines Gehörsanspruchs unter Hinweis auf eine angebliche Verletzung der Mitwirkungspflicht nicht geprüft worden sei, ob das Grundeigentum (in Serbien), falls er denn solches haben sollte, überhaupt innert nützlicher Frist liquidiert werden könnte. Er verkennt, dass die Aufforderung des Bezirksgerichts, Belege zum Grundstück einzureichen, sich auch auf Angaben erstreckte, die für die Beantwortung der angesprochenen Frage erforderlich gewesen wären. Die Rüge stösst nach dem oben Ausgeführten deshalb ins Leere.
4. Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege verweigert, weil die Nichtigkeitsbeschwerde aussichtslos sei und die Mittellosigkeit nicht glaubhaft dargetan worden sei. Was der Beschwerdeführer hiergegen vorbringt, erschöpft sich in der Behauptung des Gegenteils. Damit ist den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG in keiner Weise Genüge getan.
4. Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege verweigert, weil die Nichtigkeitsbeschwerde aussichtslos sei und die Mittellosigkeit nicht glaubhaft dargetan worden sei. Was der Beschwerdeführer hiergegen vorbringt, erschöpft sich in der Behauptung des Gegenteils. Damit ist den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG in keiner Weise Genüge getan.
5. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Sie konnte angesichts des Dargelegten von vornherein keine Aussicht auf Erfolg haben (vgl. Art. 152 Abs. 1 OG). Das Armenrechtsgesuch ist deshalb abzuweisen, und es ist dem Beschwerdeführer die Gerichtsgebühr aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist und der Beschwerdegegnerin demnach keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. November 2003
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: