Sachverhalt:
Mit Verfügung vom 5. Juni 2013 lehnte die IV-Stelle Bern ein Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege im Verwaltungsverfahren mangels sachlicher Notwendigkeit einer anwaltlichen Vertretung ab.
Unter anderem auch die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ebenso wie das gleichzeitig gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Entscheid vom 12. März 2014 ab.
Mit Beschwerde ans Bundesgericht lässt A._ beantragen, unter diesbezüglicher Aufhebung des kantonalen Entscheids sei ihm auch für das die Verfügung vom 5. Juni 2013 betreffende kantonale Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu bewilligen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er ebenfalls um unentgeltliche Rechtspflege.
Das kantonale Gericht sieht von einer Stellungnahme zur Sache ab, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
Das Gericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft indessen - unter Beachtung der Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - nur die geltend gemachten Rügen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.
2.1. Verfügungsweise verweigerte die IV-Stelle am 5. Juni 2013 die für das Verwaltungsverfahren beantragte unentgeltliche Verbeiständung, weil die im laufenden Rentenrevisionsverfahren streitigen Aspekte keine derart schwierigen Fragen rechtlicher oder tatsächlicher Art aufwerfen würden, dass eine anwaltliche Vertretung notwendig erschiene. Dieser Betrachtungsweise schloss sich das kantonale Gericht im angefochtenen Entscheid vom 12. März 2014 vollumfänglich an und begründete dies in dessen E. 4 auch ausführlich. Seine dortigen Überlegungen sind nicht angefochten worden. In Ziff. 6 der Beschwerdeschrift wird gegenteils ausdrücklich erklärt, "aus verfahrensökonomischen Gründen (werde) die Ablehnung des Gesuches um Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung im verwaltungsinternen IV-Verfahren im Ergebnis nicht mehr kritisiert ...". Obschon der Beschwerdeführer in seiner Rechtsschrift wiederholt durchblicken lässt, auch in diesem Punkt mit dem kantonalen Entscheid nicht einverstanden zu sein, hat er vor Bundesgericht nur den Antrag gestellt, "es sei Ziffer 3, 1. Halbsatz, des Urteiles vom 12. März 2014 aufzuheben und es sei (ihm) auch im Verfahren IV/2013/618 (das Verfahren, das sich gegen die Verfügung vom 5. Juni 2013 richtet) die unentgeltliche Prozessführung mit dem Unterzeichneten als Vertreter zu bewilligen." Im ersten Halbsatz von Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids aber hat das kantonale Gericht einzig festgehalten, dass "das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung von Advokat André M. Brunner als amtlicher Anwalt im Beschwerdeverfahren IV/2013/618 (...) " abgewiesen werde. Vor Bundesgericht steht damit die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung im Administrativverfahren nicht mehr zur Diskussion.
2.2. Mangels Gebotenheit einer Vertretung durch eine Rechtsanwältin oder einen Rechtsanwalt hat das kantonale Gericht die Ablehnung des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung im Verwaltungsverfahren (<ref-law>) durch die IV-Stelle bestätigt, ohne dass darin eine Bundesrechtsverletzung oder eine rechtsfehlerhafte Sachverhaltsfeststellung erblickt werden könnte. Die dagegen erhobene Beschwerde erachtete es als aussichtslos, weshalb es auch dem Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung im gerichtlichen Beschwerdeverfahren (<ref-law>) nicht stattzugeben bereit war. Allein dies bildet in der hier zur Beurteilung anstehenden Beschwerde Streitgegenstand.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer musste wissen, dass die Gewährung unentgeltlicher Rechtsvertretung im Verwaltungsverfahren (<ref-law>) nur ganz ausnahmsweise in Frage kommt, wenn sich schwierige rechtliche oder tatsächliche Fragen stellen und überdies eine Verbeiständung durch Verbandsvertreter, Fürsorger oder andere Fach- und Vertrauensleute sozialer Institutionen nicht in Betracht fällt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 200 f. mit Hinweisen). Es musste ihm auch bewusst sein, dass namentlich die dafür erforderliche Voraussetzung der Gebotenheit einer anwaltlichen Vertretung, bei deren Prüfung ein strenger Massstab angelegt wird, im konkret zur Diskussion stehenden gewöhnlichen Rentenrevisionsfall, der weder eine besondere rechtliche Problematik noch eine spezielle sachverhaltliche Komplexität aufweist und damit als relativ einfach einzustufen ist, nicht gegeben war. Angesichts der von der IV-Stelle in ihrer Verfügung vom 5. Juni 2013 zudem bereits ausführlich und überzeugend begründeten Verweigerung des Armenrechts ist die dagegen erhobene Beschwerde mit der Vorinstanz als von vornherein aussichtslos gewesen zu qualifizieren. Die deshalb erfolgte Ablehnung des entsprechenden Gesuchs lässt sich daher nicht beanstanden.
3.2. Die Vorbringen in der Beschwerdeschrift bieten dem Bundesgericht - im Rahmen der ihm zustehenden Überprüfungsbefugnis (E. 1 hievor) - keinen Anlass zu einer abweichenden Beurteilung. Namentlich ist der Einwand, die Begründung der Verwaltung für die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung weiche von derjenigen der Vorinstanz ab, weder zutreffend noch stichhaltig. Schon die IV-Stelle hatte die mangelnde Gebotenheit der Vertretung als Grund für die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung angeführt. Diese Begründung hat die Vorinstanz nicht geändert, sondern noch vertieft.
4.
Weil auch das vor Bundesgericht ergriffene Rechtsmittel als von vornherein aussichtslos gewesen zu betrachten ist, kann dem hier gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, soweit es die Verbeiständung betrifft, ebenfalls nicht entsprochen werden (<ref-law>). Hingegen rechtfertigt es sich bei den gegebenen Verhältnissen, von der Erhebung von Gerichtskosten umständehalber abzusehen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der IV-Stelle Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. September 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Krähenbühl