Sachverhalt:
A.
Der 1952 geborene R._ war Polymechaniker bei der Firma X._ AG und daher bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 5. No-vember 2007 verspürte er beim Hantieren mit einem Schraubenschlüssel bei grosser Kraftanstrengung Schmerzen im linken Handgelenk ulnar. Am 19. November 2007 begab er sich zur Erstbehandlung bei Dr. med. S._, Allgemeine Medizin FMH, der am 25. April 2008 einen Handgelenksschmerz links, DD Zerrung diagnostizierte. Am 28. Mai 2008 teilte die SUVA dem Versicherten mit, dass sich kein Unfall ereignet habe und die Voraussetzungen zur Übernahme des Schadenfalls als unfallähnliche Körperschädigung nicht vorlägen. Am 20. August 2009 wurde er im Spital A._ am linken Handgelenk operiert, wobei eine zentrale und periphere TFC Läsion Handgelenk links diagnostiziert wurde. Am 30. März 2010 erfolgte in der Klinik C._ eine weitere Operation am Handgelenk links, in deren Rahmen folgende Diagnosen gestellt wurden: Pisotriquetralarthrose, Ulnaimpaktions-syndrom und foveale TFC Läsion bei Status nach Distorsion Handgelenk links anamnestisch am 5. November 2007 (ICD-10 S62.4). Mit Verfügung vom 18. Mai 2010 hielt die SUVA an ihrem Schreiben vom 28. Mai 2008 fest, weshalb sie keine Versicherungsleistungen erbringen könne. Dagegen erhob der Versicherte Einsprache. Am 29. September 2011 teilte ihm die SUVA mit, dass sie Leistungen im Zusammenhang mit den Handgelenksbeschwerden links erbringe und die Verfügung vom 18. Mai 2010 zurückziehe. Mit Verfügung vom 23. April 2012 sprach sie ihm ab 1. April 2011 eine Invalidenrente bei einer Erwerbsunfähigkeit von 24 % und eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 5 % zu. Seine Einsprache wies sie mit Entscheid vom 21. Juni 2012 ab.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen dahingehend gut, dass es dem Versicherten ab 1. April 2011 eine Invalidenrente bei einer Erwerbsunfähigkeit von 29 % zusprach und die Sache zur Rentenfestsetzung an die SUVA zurückwies. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 14. Juni 2013).
C.
C.a. Mit Beschwerde im Verfahren 8C_492/2013 beantragt die SUVA die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
Der Versicherte schliesst auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
C.b. Mit Beschwerde im Verfahren 8C_599/2013 beantragt der Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die Sache - mit der Auflage, eine stationäre polydisziplinäre medizinische Untersuchung durch einen von der Unfallversicherung unabhängigen Gutachter durchführen zu lassen - zur Festsetzung einer Invalidenrente sowie einer Integritätsentschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventuell sei ihm eine Rente von mindestens 50 % und eine Integritätsentschädigung von mindestens 10 % zuzusprechen.
Die SUVA verlangt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 4. November 2013 erneuert der Versicherte seine beschwerdeweise gestellten Rechtsbegehren.

Erwägungen:
1.
Da den beiden Beschwerden derselbe Sachverhalt zugrunde liegt, sich die gleichen Rechtsfragen stellen und die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (nicht publ. E. 1.2 des Urteils <ref-ruling> mit Hinweis).
2.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3.
Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f.), die freie Beweiswürdigung (<ref-law>), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 6 S. 221) und den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232) richtig dargelegt. Gleiches gilt zur Invaliditätsbemessung nach dem Einkommensvergleich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 f. S. 300 f., 130 V 343 E. 3.4 S. 348) sowie zum Anspruch auf eine Rente (<ref-law>) und eine Integritätsentschädigung (Art. 24 Abs. 1, <ref-law>; <ref-ruling>). Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, zwischen dem Unfall vom 5. November 2007 und den vom Versicherten geklagten Hals-, Nacken- und Rückenbeschwerden bestehe überwiegend wahrscheinlich kein natürlicher Kausalzusammenhang. Da er sich einzig aufgrund der Nichtberücksichtigung dieser Beschwerden gegen eine volle Arbeitsfähigkeit ausgesprochen habe, könne auf die Arbeitsfähigkeitsbeurteilung des PD Dr. med. T._, Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Handchirurgie, Teamleiter Stv., Orthopädie, Klinik C._, vom 25. Februar und 11. Juli 2011 betreffend die linke Hand des Versicherten abgestellt werden. Danach sei ihm zwar die frühere Tätigkeit als Polymechaniker mit teils schweren manuellen Tätigkeiten nicht mehr möglich. Er sei aber befähigt, ganztägig eine angepasste Arbeit auszuüben. Der Verweis des PD Dr. med. T._ auf den Bericht der Ergotherapeutin Frau K._ vom 30. Juni 2011 sei lediglich im Zusammenhang mit der Feststellung erfolgt, dass eine volle Leistung mit Teilzeit eher weniger zu empfehlen sei. Daraus lasse sich nicht ableiten, die Klinik C._ habe sich nicht abschliessend zur Handgelenksproblematik geäussert. Beim von PD Dr. med. T._ formulierten leidensangepassten Leistungsprofil handle es sich um eine leichte, intermittierend mittelschwere Tätigkeit unter Vermeidung anhaltender repetierender Tätigkeiten in Pro-/Supination unter Kraftaufwendung; feinmotorische Arbeiten könnten ohne Probleme durchgeführt werden.
4.2. Diese Einschätzung der Arbeitsfähigkeit beanstandet die SUVA nicht. Sie rügt einzig den vorinstanzlichen Einkommensvergleich (hierzu vgl. E. 8.2 hienach).
5.
Der Versicherte beanstandet als Erstes die vorinstanzliche Arbeitsfähigkeitsschätzung hinsichtlich der Handproblematik links.
5.1. Entgegen der Argumentation der Vorinstanz hat er die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit durch PD Dr. med. T._ weder im Einspracheverfahren noch im vorinstanzlichen Verfahren anerkannt.
5.2. PD Dr. med. T._ erstattete seine von der Vorinstanz ins Feld geführten Berichte vom 25. Februar und 11. Juli 2011 (E. 4.1 hievor) zu Handen der IV-Stelle des Kantons St. Gallen nicht als unabhängiger Gutachter nach <ref-law>, sondern als behandelnder Arzt; er hatte den Versicherten am 30. März 2010 an der linken Hand operiert. Am 11. Juli 2011 legte PD Dr. med. T._ dar, "Seine frühere Tätigkeit als Polymechaniker mit teils schweren manuellen Tätigkeiten dürfte nicht mehr möglich sein. Ganztägige leichte Arbeit mit zwischenzeitlich mittelschweren Belastungen sollte allerdings ganztags möglich sein. Eine volle Leistung mit Teilzeit ist eher weniger zu empfehlen. Wir möchten diesbezüglich auf den Bericht von seiner Ergotherapeutin Frau K._ verweisen. Wir bitten Sie diesbezüglich direkt bei ihr Informationen einzuholen".
Wenn PD Dr. med. T._ eine volle Leistung bei Teilzeitarbeit nicht als empfehlenswert ansah, legt dies eher den Schluss nahe, dass auch bei Vollzeitarbeit keine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit gegeben ist. In diesem Lichte ist die vorinstanzliche Annahme, der Versicherte sei bei ganztägiger bzw. vollzeitlicher Erwerbstätigkeit zu 100 % leistungsfähig, nicht ohne Weiteres nachvollziehbar. Vielmehr fehlt zur Frage des Grades seiner Arbeitsfähigkeit eine hinreichende ärztliche Stellungnahme. Aus dem Bericht der Ergotherapeutin Frau K._ vom 30. Juni 2011 ergibt sich hierzu nichts Erhellendes; ein zusätzlicher Bericht der Frau K._, dessen Einholung PD Dr. med. T._ am 11. Juli 2011 empfohlen hatte, liegt nicht bei den Akten.
5.3. Weiter argumentierte die Vorinstanz, der Hausarzt Dr. med. S._ habe im Verlaufsbericht vom 9. Juli 2011 eine ergänzende medizinische Abklärung nicht für angezeigt gehalten. Hierzu ist festzuhalten, dass er zwar angab, dem Versicherten seien andere Tätigkeiten zumutbar, sich aber nicht zum Grad der Arbeitsfähigkeit äusserte; zudem ging er von einem seit 19. November 2009 verschlechterten Gesundheitszustand aus.
5.4. Der Versicherte beruft sich - wie schon vorinstanzlich - unter anderem auf die Aktenstellungnahme des Dr. med. B._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie, beratender Arzt für Traumatologie, vom 23. November 2011 (zum Beweiswert von Aktenstellungnahmen siehe SVR 2010 UV Nr. 17 S. 63 E. 7.2 [8C_239/2008]; RKUV 1993 Nr. U 167 S. 95 E. 5d). Dieser führte aus, hinsichtlich des Handgelenks links betrage die Arbeitsunfähigkeit in einer manuellen Tätigkeit sicherlich mindestens 50 %; auch hier könnte sie jedoch bei Belastung durch eine starke Schmerzsteigerung deutlich höher ausfallen. Zu dieser Aktenstellungnahme äusserte sich die Vorinstanz nicht, was der Versicherte rügt.
Die aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende vorinstanzliche Begründungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88) erfasst auch den beweisrechtlichen Umgang mit Dokumenten, auf welche sich die beschwerdeführerische Argumentation massgeblich bezieht. Unerheblich ist, ob die Nichterwähnung im angefochtenen Entscheid auf einem Versehen oder auf sprachlich nicht zum Ausdruck gebrachter, implizit erfolgter Beweiswürdigung beruht. Das Bundesgericht kann mit Blick auf die festgestellte Rechtsverletzung, die aus der Nichtbehandlung von potenziell entscheidungserheblichen Beweismitteln resultiert, die entsprechenden Aktenstücke selber würdigen und beurteilen, ob die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung zu korrigieren ist (<ref-law>; oben E. 1; Urteil 8C_101/2013 vom 31. Mai 2013 E. 6.4). Die Aktenstellungnahme des Dr. med. B._ vom 23. November 2011 ist ein zusätzliches Element, das die Arbeitsfähigkeitsschätzung der Vorinstanz in Frage stellt (vgl. E. 5.2 hievor). Indessen kann allein gestützt auf die Angaben des Dr. med. B._ keine Leistungszusprache erfolgen.
6.
6.1. Der Versicherte macht weiter geltend, nach bundesgerichtlicher Praxis sei anerkannt, dass unfallbedingte Fehlbelastungen und/oder eine eingetretene Dekonditionierung im Sinne indirekter Unfallfolgen zu Rückenbeschwerden führten könnten (Urteil 8C_456/2009 vom 28. Juli 2009 E. 5.2 f.). Gemäss der Aktenstellungnahme des Dr. med. B._ vom 23. November 2011 bestehe mit Blick auf die zervikale Komponente mindestens eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit. Es müsse zwingend fachmännisch abgeklärt werden, ob ein Zusammenhang zwischen der Handgelenksverletzung links vom 5. November 2007 und seinen Hals-, Nacken- und Rückenbeschwerden vorliege. Die Vorinstanz habe dies in willkürlicher Weise unterlassen.
6.2. Für die Bejahung der Unfallkausalität eines Beschwerdebildes genügt eine Teilursächlichkeit (<ref-ruling> E. 9.5 S. 125), wobei sich die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers auch auf mittelbare bzw. indirekte Unfallfolgen erstreckt (nicht publ. E. 3a des Urteils <ref-ruling>; Urteil 8C_335/2012 vom 27. September 2012 E. 6.2). Für die Feststellung natürlicher Kausalzusammenhänge im Bereich der Medizin sind Verwaltung und das Gericht auf diesbezügliche Angaben ärztlicher Experten angewiesen (<ref-ruling> E. 1b S. 290; Urteil U 73/06 vom 16. August 2006 E. 3.2).
6.3. Die Vorinstanz stellte fest, gemäss dem MRI vom 28. November 2008 bestünden objektiv-strukturelle Korrelate in Form einer Streck-Fehlstellung der Halswirbelsäule (HWS) und des cervikothorakalen Übergangs, eine rechts laterale Unkovertebral-arthrose mit einer leicht- bis mittelgradigen foraminalen Einengung rechts im Halswirbelkörper (HWK) 4/5, eine Osteochondrose und eine breitbasige medio-bilaterale Bandscheibenprotrusion, eine deutliche beidseitige Unkovertebralarthrose mit mittelgradiger foraminaler Einengung sowie sekundärer Einengung des Spinalkanals, eine Reduktion des sagittalen Restdurchmessers bis 10 mm ohne Kompression des Myelons im HWK 5/6 und eine links lateral betonte Unkovertebralarthrose, eine leicht- bis mittelgradige foraminale Einengung links und eine leichtgradige Einengung rechts ohne Hinweise auf eine Irritation der rechten C7-Wurzel. Weiter erwog die Vorinstanz, die Frage, ob es sich bei den organischen Substraten um einen degenerativen Vorzustand handle, oder ob diese degenerativen Störungen sich erst durch eine nach dem Ereignis vom 5. November 2007 erfolgte Fehl- und/oder Überbelastung während fast einem Jahr bei der Arbeit entwickelt hätten, lasse sich nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zu Gunsten des Beschwerdeführers beantworten. Weder die involvierten Ärzte noch die vom Versicherten angegebene Literatur-Quelle hätten sich zu einem Zusammenhang geäussert.
SUVA und Vorinstanz haben mithin keine medizinische Beurteilung zur Frage der Unfallkausalität dieses Beschwerdebildes eingeholt, was gegen den Untersuchungsgrundsatz verstösst (Art. 43 Abs. 1, <ref-law>).
7.
Hinsichtlich der Integritätsentschädigung stellte die Vorinstanz auf die Beurteilung des SUVA-Kreisarztes Dr. med. D._, Facharzt für Chirurgie FMH. speziell Allgemein- und Unfallchirurgie, vom 13. Ja-nuar 2012 ab. Er führte unter Verweis auf die SUVA-Tabellen 1 und 5 aus, beim Versicherten bestehe ein Zustand nach Reparatur im TFCC-Komplex und Exzision des Pisiformes. Damit sei vom Mittelwert einer beginnenden Arthrose im Handwurzelbereich im Übergang zu einer mässigen Arthrose auszugehen, was einem Integritätsschaden von 5 % entspreche.
Angesichts der insgesamt unvollständigen und unklaren Aktenlage ist indessen auch eine abschliessende Überprüfung der vorinstanzlichen Beurteilung des Integritätsschadens nicht möglich.
8.
8.1. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz ein medizinisches Gutachten einzuholen. Danach hat sie über die Beschwerde neu zu entscheiden (<ref-ruling> E. 4.4.1 S. 263 ff.).
8.2. Nachdem der angefochtene Entscheid aufgehoben wird, erübrigt es sich, auf die von der SUVA dagegen erhobenen Rügen betreffend den Einkommensvergleich einzugehen (vgl. E. 4.2 hievor).
9.
Die SUVA hat die Gerichtskosten von Fr. 800.- für das vom Versicherten angehobene Verfahren zu tragen und ihm hierfür eine Parteientschädigung von Fr. 2'800.- zu bezahlen, da er im Sinne der Rückweisung der Sache an die Vorinstanz obsiegt und die Rügen der SUVA nicht zu überprüfen sind (E. 4.2 und 8.2 hievor; Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 7.1 S. 271).
Auf die Erhebung von Gerichtskosten für das von der SUVA geführte Verfahren wird verzichtet, da dem Bundesgericht in diesem Rahmen kein relevanter Aufwand entstanden ist (<ref-law>). Diesbezüglich hat der Versicherte keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da nicht von einem Obsiegen gesprochen werden kann. Die SUVA hat ohnehin keinen Parteientschädigungsanspruch (<ref-law>; SVR 2011 UV Nr. 7 S. 25 E. 6 [8C_443/2010]).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 8C_492/2013 und 8C_599/1013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden im Sinne der Erwägungen teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 14. Juni 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen werden die Beschwerden abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der SUVA auferlegt.
4.
Die SUVA hat den Versicherten für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Februar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar