Sachverhalt:
A.
Am 26. März 2013 erstattete das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern bei der Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Luzern Disziplinaranzeige gegen den im Anwaltsregister des Kantons Aargau eingetragenen Fürsprecher A._ wegen Verletzung der Berufsregeln.
A._ hatte sich - im Auftrag der X._ AG und deren Verwaltungsrätin B._ - am 5. März 2013 an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern gewandt und dessen aufsichtsrechtliches Einschreiten gegen Regierungsstatthalter C._ gefordert. Dieser hatte im Januar 2013 Strafanzeige gegen die Verwaltungsrätin der X._ AG erstattet und die Sistierung eines Feststellungsverfahrens über die Nichtbewilligungspflicht eines von der Gesellschaft getätigten Grundstückskaufs sowie vorsorgliche Massnahmen verfügt; ein Beschwerdeverfahren betreffend diesen Zwischenentscheid war noch hängig. In seiner Eingabe an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern bezeichnete A._ die Verfügung des Regierungsstatthalters als abstrus. Er schloss eine persönlich motivierte Ursache für die umstrittene Verfügung mangels Vorbeziehungen zwischen C._ und B._ aus und äusserte sich dann wie folgt:
"Es bleibt nach meiner Beurteilung nur noch eine geistige Beeinträchtigung des Herrn C._, sei es durch eine Krankheit, Medikamente oder psychische Umstände. Ein mir bekannter Psychiater hat die Paranoia als mögliche Erkrankung genannt, die zu solchen Desorientierungen führen kann. Diese Krankheit kann temporär auftreten und hat viele Erscheinungsformen:
- Genetische Ursache
- Stress und Durchblutungsstörungen
- Kontraindikation von Medikamenten
- Alkohol- und Drogenabusus."
B.
Mit Entscheid vom 18. Dezember 2013 disziplinierte die Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Luzern Fürsprecher A._ wegen Verletzung von Berufsregeln mit einer Busse von Fr. 1'000.--.
Die dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 29. April 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. Juni 2014 beantragt A._ die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Das Verfahren gegen ihn sei einzustellen bzw. sei er von Schuld und Strafe freizusprechen. Eventualiter sei das Verfahren an die Anwaltskommission des Kantons Aargau zu überweisen.
Das Kantonsgericht des Kantons Luzern beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Luzern lässt sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Justiz verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil unterliegt als verfahrensabschliessender, kantonal letztinstanzlicher Gerichtsentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>); ein Ausschlussgrund im Sinn von <ref-law> liegt nicht vor.
Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG) des hierzu legitimierten Beschwerdeführers (<ref-law>) ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). Die Verletzung von kantonalem Gesetzesrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund; sie wird nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür geprüft (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 318 mit Hinweisen). In Bezug auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht) gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, ist gleichzusetzen mit der Willkürrüge (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252); diese ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.3. Der Beschwerdeführer stellt mehrere Beweisanträge (evtl. Beizug der Akten des Verfahrens nach BewG von Regierungsstatthalter C._, evtl. Beizug eines Notars im Kanton Luzern mit mehrjähriger Praxiserfahrung als Experte, evtl. Einholen eines Amtsberichts des Handelsregisteramts des Kantons Zürich, Zeugeneinvernahme). Diese Anträge sind abzuweisen, weil sich der rechtlich relevante Sachverhalt mit hinreichender Klarheit aus den Akten ergibt und der Beschwerdeführer nicht aufzeigt, inwiefern die diesbezüglichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig wären.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bestreitet zunächst die Zuständigkeit der Behörden des Kantons Luzern. Er habe zwar die Eingabe vom 5. März 2013 an die Aufsichtsbehörde im Kanton Luzern gerichtet, doch habe er sie in seinem Büro in U._ (AG) verfasst. Daher wäre die Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Luzern gehalten gewesen, das Disziplinarverfahren der Anwaltskommission des Kantons Aargau zu überweisen.
3.2. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung von § 10 Abs. 2 des Luzerner Gesetzes vom 4. März 2002 über das Anwaltspatent und die Parteivertretung (AnwG; SRL 280) geltend macht, ist nicht darauf einzugehen. Da er nicht darlegt, inwiefern die Auffassung der Vorinstanz das Willkürverbot verletzen sollte, wird sein Vorbringen den gesetzlichen Erfordernissen der qualifizierten Rügepflicht nicht gerecht (vgl. E. 2.1).
3.3. Die Auffassung der Vorinstanz ist zudem im Lichte des Bundesgesetzes über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte vom 23. Juni 2000 (Anwaltsgesetz, BGFA, SR 935.61) nicht zu beanstanden. Aus Art. 14 bis 16 BGFA ergibt sich, dass sich die Zuständigkeit der Aufsichtsbehörden auf sämtliche Anwältinnen und Anwälte erstreckt, die ihren Beruf auf dem Kantonsgebiet ausüben, unabhängig davon, ob diese dort eine Geschäftsadresse haben oder nicht (Botschaft zum Bundesgesetz über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte [Anwaltsgesetz, BGFA] vom 28. April 1999, BBl 1999 6013, S. 6059 Ziff. 233.5). Von der Aufsicht der kantonalen Behörde werden somit nicht allein im kantonalen Anwaltsregister eingetragene Personen erfasst, sondern auch ausserkantonal registrierte Personen, sobald diese im Rahmen eines Verfahrens vor einer Gerichts- oder Verwaltungsbehörde des betreffenden Kantons tätig werden (vgl. POLEDNA, in: Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 6-7 zu <ref-law>; BOHNET/MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, N. 2047 p. 835).
Die inkriminierten Äusserungen sind in einer vom Beschwerdeführer an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern gerichteten Aufsichtsanzeige enthalten. Mit Einreichen dieser Aufsichtsanzeige ist der im Anwaltsregister des Kantons Aargau registrierte Beschwerdeführer vor einer Verwaltungsbehörde des Kantons Luzern tätig geworden, so dass die Zuständigkeit der Luzerner Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte gegeben ist. An welchem Ort der Beschwerdeführer die Eingabe verfasst hat, spielt dabei keine Rolle.
4.
4.1. Gemäss der Generalklausel von <ref-law> haben die Rechtsanwältinnen und -anwälte ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft auszuüben. Diese Verpflichtung beschlägt sämtliche Handlungen des Rechtsanwalts und erfasst neben der Beziehung zum eigenen Klienten sowohl die Kontakte mit der Gegenpartei als auch jene mit den Behörden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 276). Verletzungen der Berufsregeln können von der Aufsichtsbehörde mit einer Busse von bis zu 20'000 Franken bestraft werden (Art. 17 Abs. 1 lit. c BFGA).
Bei seiner Tätigkeit kommt dem Rechtsanwalt eine weitgehende Freiheit zur Kritik an der Rechtspflege zu. Es ist sein Recht und seine Pflicht, Missstände aufzuzeigen und Mängel des Verfahrens zu rügen (Urteil 2C_1180/2013 vom 24. Oktober 2014 E. 4.1.1). Er darf im Sinne seines Klienten durchaus energisch auftreten und sich den Umständen entsprechend scharf ausdrücken; dabei kann nicht verlangt werden, dass er jedes Wort genau abwägt.
Der Anwalt hat jedoch alles zu unterlassen, was die Vertrauenswürdigkeit der Anwaltschaft in Frage stellt; es wird von ihm bei seiner gesamten Anwaltstätigkeit ein korrektes Verhalten verlangt. Er soll auf persönliche Beleidigungen, Verunglimpfungen oder beschimpfende Äusserungen verzichten, ebenso auf blosse Schikane. Erhebt der Anwalt Rügen wider besseres Wissen oder in unnötig ehrverletzender Form, so verstösst er gegen die in <ref-law> statuierten Gebote. Ehrverletzende Äusserungen des Anwalts können zwar gerechtfertigt sein; sie müssen aber einen hinreichenden Sachbezug haben und dürfen nicht über das Notwendige hinausgehen. Insbesondere dürfen sie nicht in einer Art und Weise deplatziert und herabsetzend, unnötig polemisch und verunglimpfend sein, die klar über das erlaubte Mass an harter, jedoch sachlicher Kritik hinausgehen. Es wird vom Anwalt erwartet, seinem Unmut auch anders, mit nicht verletzenden Worten und ohne Beleidigungen, Ausdruck zu verleihen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 8b S. 108; Urteile 2C_737/2008 vom 8. April 2009 E. 3.3; 2A.168/2005 vom 6. September 2005 mit weiteren Hinweisen).
4.2. Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer habe den Regierungsstatthalter C._ persönlich verunglimpft und seine Ehre im zivil- und strafrechtlichen Sinne verletzt, indem er in seiner Eingabe an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern eine geistige Beeinträchtigung bzw. eine Paranoia sowie eine daraus resultierende generelle Unfähigkeit der Amtsausübung unterstellt habe.
4.3. Diesen Schlussfolgerungen des Kantonsgerichts kann nicht gefolgt werden. Zwar werden psychiatrische Diagnosen oft auch als Schimpfwort oder Beleidigung verwendet. Trotzdem ist die Aussage, jemand leide allenfalls an einer psychischen Krankheit, per se noch nicht ehrenrührig (vgl. zur Abgrenzung <ref-ruling>). Massgebend ist der Kontext, in welchem die Äusserungen gemacht werden. Die Vorinstanz übersieht, dass es dem Beschwerdeführer nicht bloss darum ging, seinem Unmut gegenüber dem Regierungsstatthalter Ausdruck zu verleihen, sondern dass er auf mögliche Missstände hinweisen wollte. Ein solcher Missstand könnte objektiv gesehen auch darin liegen, dass ein Beamter nicht mehr in der Lage ist, sein Amt korrekt auszuüben. Zu beachten ist insbesondere auch, dass der Beschwerdeführer seine Äusserungen im Zusammenhang mit einer Aufsichtsanzeige innerhalb eines behördlichen Verfahrens, also nicht gegenüber der Öffentlichkeit vorbrachte. Dass in diesem Kontext der Massstab grosszügiger sein muss, ergibt sich bereits daraus, dass die Rechtsprechung gegenüber sogenannten Whistleblowern, die an die Presse gelangen - zu Recht - regelmässig festhält, sie hätten sich zuerst an die Aufsichtsbehörde wenden müssen. In diesem Rahmen muss die Äusserung eines Verdachts auf allfällige Amtsunfähigkeit zulässig sein. Dem vorinstanzlichen Urteil und den Akten lassen sich keine Hinweise darauf entnehmen, dass es dem Beschwerdeführer um eine ehrverletzende Diffamierung des Regierungsstatthalters und nicht bloss um Überlegungen im Zusammenhang mit der mit Aufsichtsanzeige verlangten Untersuchung ging. Zwar vermag die Äusserung einer Vermutung, ein Beamter leide unter einer geistigen Beeinträchtigung, diesen durchaus hart zu treffen. Disziplinarrechtlich relevant werden derartige Äusserungen jedoch erst dann, wenn aufgrund der Darstellung des Anzeigeerstatters sich nichts Seriöses ergibt, was einen solchen Vorhalt veranlassen könnte und die Vorwürfe in diesem Sinne als völlig aus der Luft gegriffen erscheinen. Vorliegend hat der Beschwerdeführer in seiner Aufsichtsanzeige dargelegt, wieso er zu seinen Überlegungen im Hinblick auf den Gesundheitszustand des Regierungsstatthalters kam. Ungeachtet darum, wie fundiert die Überlegungen letztlich sein mögen, kann jedenfalls nicht festgestellt werden, es fehle jeglicher Konnex zu den tatsächlichen Vorgängen und die Vorwürfe seien offensichtlich aus der Luft gegriffen. Weder die Aufsichtsbehörde noch das Kantonsgericht halten solches fest. Dementsprechend ist festzustellen, dass die Vorinstanz zu Unrecht die Äusserungen des Beschwerdeführers disziplinarisch sanktioniert hat.
5.
Die Beschwerde ist damit gutzuheissen. Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Beschwerdeführer ist nicht anwaltlich vertreten, Parteientschädigungen werden daher nicht zugesprochen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 29. April 2014 aufgehoben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Februar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Petry