Sachverhalt:
A. Am 27. April 2009 kam es in einem Asylantenheim zwischen X._ und A._ zu einem vorerst verbalen Streit. X._ wird zur Last gelegt, im Laufe der Auseinandersetzung A._ mit einem Küchenmesser (Klingenlänge 15.8 cm) erheblich verletzt zu haben. Dieser erlitt insbesondere mehrere tiefe Schnittwunden im Gesicht, eine tiefe Stichverletzung im Bereich des rechten Ohres sowie eine oberflächliche Schnittwunde am Hals. Die Verletzungen waren nicht lebensgefährlich. X._ wird zudem vorgeworfen, zwischen dem 2. August 2009 und 1. September 2009 verschiedene Gegenstände in der Gefängniszelle beschädigt zu haben.
B. Das Kantonsgericht Obwalden sprach X._ mit Entscheid vom 10./19. November 2010 der mehrfachen einfachen Körperverletzung sowie der mehrfachen Sachbeschädigung schuldig. Es verurteilte ihn zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 18 Monaten und ordnete eine ambulante Massnahme (<ref-law>) an. Zudem hielt es fest, dass X._ gegenüber A._ dem Grundsatze nach (im Umfang von 20%) schadenersatzpflichtig ist. X._ wurde weiter verpflichtet, A._ eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 1'500.-- zuzüglich Zins und dem Kanton Obwalden Schadenersatz im Umfang von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
Das Obergericht des Kantons Obwalden hiess eine von A._ dagegen erhobene Berufung teilweise gut und wies eine Anschlussberufung von X._ ab. Es sprach X._ der versuchten vorsätzlichen Tötung und der einfachen Körperverletzung schuldig. Das Gericht billigte ihm zu, in Überschreitung der Grenzen der Notwehr gehandelt zu haben. Es verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft, des vorzeitigen Strafvollzugs sowie des vorsorglichen Massnahmenvollzugs von insgesamt 705 Tagen. Im Übrigen bestätigte das Obergericht den Entscheid des Kantonsgerichts.
C. X._ führt Beschwerde ans Bundesgericht. Er beantragt, er sei vom Vorwurf der versuchten vorsätzlichen Tötung und der einfachen Körperverletzung freizusprechen und wegen mehrfacher Sachbeschädigung zu einer Freiheitsstrafe von einem Monat zu verurteilen. Eventualiter sei er wegen einfacher Körperverletzung und mehrfacher Sachbeschädigung mit einer Freiheitsstrafe von 16 bis 18 Monaten zu bestrafen. Subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und um amtliche Verteidigung.
D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer bestreitet ein eventualvorsätzliches Handeln. Es sei zutreffend, dass A._ (nachfolgend: Beschwerdegegner 2) im Verlaufe der Auseinandersetzung mehrere Stich- und Schnittwunden im Gesicht und am Hals erlitten habe. Welche Verletzungen er dem Beschwerdegegner 2 aktiv zugefügt habe und welche durch den gemeinsamen Sturz über die Treppe entstanden seien, sei jedoch unklar. Die Schnittwunden habe er nicht durch ein Zustechen zugefügt. Sie seien eher auf den unkontrollierten Sturz zurückzuführen. Es sei somit wahrscheinlich, dass der Beschwerdegegner 2 einzig die Stichwunde im Bereich des rechten Ohres davongetragen habe, bevor sie zusammen die Treppe hinuntergestürzt seien. Deshalb könne nicht davon ausgegangen werden, er hätte sich bewusst sein müssen, dass die Verletzungen zum Tod des Beschwerdegegners 2 führen könnten. Schliesslich sei auch nicht erwiesen, dass er die Gefährlichkeit seines Handelns erkannt und die mögliche Tötung in Kauf genommen habe (Beschwerde S. 5).
1.2 Vorsätzlich begeht ein Verbrechen oder Vergehen, wer die Tat mit Wissen und Willen ausführt. Vorsätzlich handelt bereits, wer die Verwirklichung der Tat für möglich hält und in Kauf nimmt (<ref-law>). Nach ständiger Rechtsprechung ist Eventualvorsatz gegeben, wenn der Täter den Eintritt des Erfolgs beziehungsweise die Tatbestandsverwirklichung für möglich hält, aber dennoch handelt, weil er den Erfolg für den Fall seines Eintritts in Kauf nimmt, sich mit ihm abfindet, mag er ihm auch unerwünscht sein. Für den Nachweis des Vorsatzes kann sich das Gericht - soweit der Täter nicht geständig ist - regelmässig nur auf äusserlich feststellbare Indizien und auf Erfahrungsregeln stützen, die ihm Rückschlüsse von den äusseren Umständen auf die innere Einstellung des Täters erlauben. Zu den äusseren Umständen, aus denen der Schluss gezogen werden kann, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen, zählen namentlich die Grösse des dem Täter bekannten Risikos der Tatbestandsverwirklichung und die Schwere der Sorgfaltspflichtverletzung. Je grösser dieses Risiko ist und je schwerer die Sorgfaltspflichtverletzung wiegt, desto eher darf gefolgert werden, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 28 f. mit Hinweisen).
1.3 Was der Täter wusste, wollte und in Kauf nahm, betrifft so genannte innere Tatsachen, ist damit Tatfrage und wird vom Bundesgericht nur auf Willkür überprüft. Rechtsfrage ist hingegen, ob im Lichte der festgestellten Tatsachen der Schluss auf Eventualvorsatz begründet ist (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 4 f. mit Hinweisen). Nach den Feststellungen der Vorinstanz verletzte der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner 2 in einer ersten Phase der Auseinandersetzung mit dem Messer nur leicht an Hals und Wange. Dies geschah, als der Beschwerdegegner 2 den Beschwerdeführer angriff, indem er einen Stuhl nach ihm warf. Die zweite Phase der Auseinandersetzung fand im oberen Stock der Unterkunft statt, als der Beschwerdegegner 2 den Beschwerdeführer mit einem Gürtel für Gewichtheber abermals angriff. Die Vorinstanz stellt fest, dass der Beschwerdegegner 2 mehrere zum Teil tiefe Schnitt- und Stichwunden im Gesicht und am Hals erlitt, bevor er gemeinsam mit dem Beschwerdeführer die Treppe hinunterstürzte (angefochtener Entscheid S. 14 f. und 20 f.).
1.4 Was der Beschwerdeführer gegen die Erwägungen der Vorinstanz vorbringt, überzeugt nicht. Indem er beispielsweise behauptet, einzig die Stichwunde im Bereich des rechten Ohres sei vor dem Sturz erfolgt, weicht er in unzulässiger Weise vom verbindlichen Sachverhalt der Vorinstanz (<ref-law>) ab. Eine willkürliche Beweiswürdigung macht er nicht geltend. Eine solche wäre im Übrigen durch das appellatorische Vorbringen, mit dem der Beschwerdeführer bloss ein aus seiner Sicht plausibleres Geschehen der zweiten Phase der Auseinandersetzung zu erklären versucht, nicht dargetan (vgl. zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 4.2 S. 560 mit Hinweisen). Mit Blick auf die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung wiegt die Sorgfaltspflichtverletzung des Beschwerdeführers erheblich. Bei Messerstichen gegen den Kopf und Schnittverletzungen am Hals ist das Risiko der Tatbestandsverwirklichung, d.h. des Todes des Opfers, insbesondere bei einer langen Messerklinge als hoch einzustufen. Die Vorinstanz erwägt, die Gefahr einer tödlichen Verletzung sei sehr naheliegend gewesen. Dies ist unter Hinweis auf den Bericht des Kantonsspitals Obwalden vom 27. Mai 2009, wonach die Verletzungen bei tieferer Schnittführung lebensgefährlich gewesen wären, nicht zu beanstanden (Untersuchungsakten act. 1/17). Gestützt auf die Tatumstände stellt die Vorinstanz weiter fest, dem Beschwerdeführer sei das hohe Risiko, dass Messerstiche in den Kopf und Hals die angegriffene Person töten können, bewusst gewesen. Das gilt umso mehr, als der Beschwerdeführer im Irak als Leibwächter ausgebildet wurde und über Militär- sowie Kriegserfahrung verfügt (angefochtener Entscheid S. 19 und 26 f.). Deshalb ist die Folgerung der Vorinstanz, dass sich dem Beschwerdeführer bei seinem Messereinsatz die Möglichkeit tödlicher Verletzungen als so wahrscheinlich aufdrängen musste, dass sein Handeln als Billigung dieses Erfolgs ausgelegt werden muss, nicht zu beanstanden. Die Verwirklichung der subjektiven Tatbestandsmässigkeit ist deshalb erstellt. Dass die Vorinstanz den bundesrechtlichen Begriff des Eventualvorsatzes verkannt hätte, ist nicht ersichtlich und wird in der Beschwerde im Übrigen auch nicht aufgezeigt.
2. Der Beschwerdeführer sieht in Bezug auf die erste (E. 2.2 nachfolgend) und zweite Phase (E. 2.1) der Auseinandersetzung sinngemäss die Bestimmung über die entschuldbare Notwehr nach <ref-law> verletzt.
2.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, ihm sei - beim Vorwurf einer versuchten eventualvorsätzlichen Tötung - zuzubilligen, in entschuldbarem Affekt die Grenzen der Notwehr überschritten zu haben. Es sei ihm nicht bewusst gewesen, dass er das Messer in der zweiten Phase der Auseinandersetzung noch immer in der Hand gehalten habe. Ebenso wenig sei ihm bewusst gewesen, dass er dieses gegen den Beschwerdegegner 2 eingesetzt habe, als er dessen Angriff mit dem Gürtel habe abwehren wollen (Beschwerde S. 6). Damit entfernt er sich erneut von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, ohne allerdings darzutun, inwiefern diese willkürlich seien. Auch legt er nicht dar, in welcher Hinsicht die Vorinstanz bei der von ihr festgestellten Sachlage eine entschuldbare Aufregung oder Bestürzung zu Unrecht verneint und damit Bundesrecht (<ref-law>) verletzt habe. Seine Beschwerde genügt den bundesrechtlichen Anforderungen von <ref-law> nicht. Im Übrigen ist eine Bundesrechtsverletzung nicht ersichtlich. Bei der Beurteilung, ob die Aufregung oder die Bestürzung hinreichend erheblich war, um den Täter nicht mit Strafe zu belegen, wird ein umso höherer Grad entschuldbarer Aufregung oder Bestürzung verlangt, je mehr die Reaktion des Täters den Angreifer verletzt oder gefährdet (<ref-ruling> E. 3b S. 7). Der Beschwerdegegner 2 erlitt Verletzungen im Gesicht und am Hals und wurde durch den Beschwerdeführer erheblich gefährdet. Dieser nahm in Kauf, seinen Gegner zu töten. Es gilt deshalb ein strenger Massstab für die Entschuldbarkeit seines Notwehrexzesses. Dass die Vorinstanz eine entschuldbare Aufregung oder Bestürzung des Beschwerdeführers über den Angriff verneint, ist mit Blick auf die Art und Intensität der Auseinandersetzung und den nicht besonders schweren oder brutalen Angriff nicht zu beanstanden.
2.2 Soweit der Beschwerdeführer die nämliche Rüge betreffend die erste Phase der Auseinandersetzung erhebt (Beschwerde S. 4 f.), richtet er sich ebenfalls gegen tatsächliche Feststellungen der Vorinstanz, ohne Willkür darzutun. Dies trifft insbesondere auf seine Behauptung zu, er habe das Messer nur fürs Frühstück behändigt, habe es nicht wissentlich mitgeführt und auch nicht bewusst eingesetzt, als er den Angriff mit dem Stuhl abgewehrt habe. Damit ist das Bundesgericht an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>), wonach der Beschwerdeführer nach dem Disput nur kurz in der Küche erschien, das Messer zu Verteidigungszwecken ergriff und dieses in der Folge auch wissentlich und willentlich gegen den Beschwerdegegner 2 einsetzte.
Inwiefern die Vorinstanz bei diesem Sachverhalt die Bestimmung über den entschuldbaren Notwehrexzess nach <ref-law> verletzt habe, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, und solches ist auch nicht ersichtlich. Der Beschwerdegegner 2 griff den Beschwerdeführer an, indem er einen Stuhl nach ihm warf. Nicht zu beanstanden ist (und vom Beschwerdeführer nicht in Abrede gestellt), dass der Beschwerdeführer bei der Abwehr - indem er den Angreifer mit dem Messer an Gesicht und Hals leicht verletzte - die Grenzen der Notwehr überschritt. Auf die vorinstanzlichen Erwägungen (angefochtener Entscheid S. 17 f.) kann verwiesen werden (<ref-law>). Zudem ging dem Angriff ein Disput voraus, und der Beschwerdeführer kehrte, nachdem er sich mit einem Messer bewaffnet hatte, zu seinem Kontrahenten zurück. Der Wortwechsel und der (nicht brutale) Angriff mit dem Stuhl waren nicht geeignet, bei einer besonnenen Person einen ähnlichen Affekt hervorzurufen.
2.3 Es verletzt nicht Bundesrecht, wenn die Vorinstanz die Notwehrhandlungen des Beschwerdeführers (einzig) bei der Strafzumessung berücksichtigt und nicht als Entschuldigungsgrund im Sinne von <ref-law> qualifiziert.
3. Das Rechtsbegehren des Beschwerdeführers, er sei wegen mehrfacher Sachbeschädigung zu einer Freiheitsstrafe von einem Monat respektive wegen einfacher Körperverletzung und mehrfacher Sachbeschädigung zu einer Freiheitsstrafe von 16 bis 18 Monaten zu verurteilen, ist abzuweisen. Dieses wird in der Beschwerde nur mit den beantragten Freisprüchen vom Vorwurf der versuchten vorsätzlichen Tötung und der einfachen Körperverletzung begründet. Es bleibt aber bei der Verurteilung des Beschwerdeführers.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer richtet sich gegen die Verweigerung des bedingten Strafvollzugs. Er bringt vor, entgegen der Auffassung der Vorinstanz sei ihm unter Hinweis auf die Einschätzung von Dr. med. D._ im forensisch-psychiatrischen Gutachten vom 28. Dezember 2009 und im Bericht vom 5. November 2010 keine ungünstige Prognose zu stellen. Jedoch sei die Freiheitsstrafe, unabhängig davon, wie hoch sie ausfalle, bereits vollzogen. Deshalb erübrige es sich, sich zur Frage des bedingten oder teilbedingten Vollzugs weiter zu äussern (Beschwerde S. 6 f.).
4.2 Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Das Interesse muss praktisch und aktuell sein, somit im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Entscheids noch vorliegen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 276 mit Hinweisen).
4.3 Der Beschwerdeführer wurde am 17. Dezember 2010 ins Wohnheim W._ in O._ verlegt, wo er sich gemäss seinen Angaben noch heute befindet. Die Vorinstanz rechnet ihm diesen Aufenthalt zu zwei Dritteln an die Freiheitsstrafe an, was der Beschwerdeführer nicht beanstandet. Insgesamt hat der Beschwerdeführer im Moment des vorinstanzlichen Entscheids 705 Tage Freiheitsentzug ausgestanden. Er hat mithin - unter Berücksichtigung der seit dem angefochtenen Entscheid verstrichenen Zeit - die zweijährige Freiheitsstrafe zum heutigen Zeitpunkt vollständig verbüsst.
Soweit der Beschwerdeführer ein schutzwürdiges Interesse an der Änderung des angefochtenen Entscheids betreffend Aufschub der Freiheitsstrafe verneint, ist ihm demnach grundsätzlich zu folgen. Weitere Umstände, welche eine Beschwer begründen könnten (beispielsweise im Hinblick auf die Entfernung des Eintrags im Strafregister und die Strafregisterauszüge [vgl. Art. 369 und Art. 371 StGB] oder allfällige Entschädigungs- und Genugtuungsansprüche), legt er nicht dar.
4.4 Selbst wenn ein Rechtsschutzinteresse des Beschwerdeführers bejaht und auf die sinngemäss gerügte Bundesrechtsverletzung (<ref-law>) eingetreten werden könnte, wäre die Beschwerde abzuweisen. Die Vorinstanz bestätigt die durch das Kantonsgericht Obwalden angeordnete ambulante Massnahme im Sinne von <ref-law>, was der Beschwerdeführer nicht beanstandet. Gemäss <ref-law> ist eine Massnahme anzuordnen, wenn eine Strafe allein nicht geeignet ist, der Gefahr weiterer Straftaten des Täters zu begegnen. Mithin bedeutet die Anordnung der (stationären oder ambulanten) Massnahme zugleich eine ungünstige Prognose, so dass eine gleichzeitig ausgefällte Strafe nicht gemäss Art. 42 (bedingt) oder <ref-law> (teilbedingt) aufgeschoben werden kann (<ref-ruling> E. 2.3 S. 186 f. mit Hinweisen; SCHWARZENEGGER/HUG/JOSITSCH, Strafrecht II, 8. Aufl. 2007, S. 132).
5. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>). Er stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verteidigung. Das Bundesgerichtsgesetz sieht in <ref-law> die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung vor. Nach Abs. 2 dieser Bestimmung bestellt das Bundesgericht der (bedürftigen) Partei einen Anwalt oder eine Anwältin, wenn dies zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist. Der Antrag, es sei dem Beschwerdeführer eine amtliche Verteidigung zu bestellen, ist deshalb sinngemäss als Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung entgegenzunehmen. Indessen ist das Gesuch abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law> e contrario). Seinen angespannten finanziellen Verhältnissen ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner 2 ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihm im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Obwalden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Faga