Arbeitsvertrag; fristlose Kündigung, hat sich ergeben:
A.- Die X._ AG hatte im Geschäftsjahr 1994/95 einen Verlust erwirtschaftet und suchte einen neuen Geschäftsführer.
Sie schloss mit A._ einen "Dienstleistungsvertrag für eine Beratertätigkeit" für die Zeit vom 18. September bis zum 31. Dezember 1995 ab. Anschliessend stellte die X._ AG A._ mit einem bis zum 30. Juni 1997 befristeten Arbeitsvertrag als Geschäftsführer an.
Am 8. Mai 1996 kündigte die X._ AG A._ fristlos. Sie bestätigte diese Kündigung mit Schreiben vom 13. Mai 1996.
B.- A._ akzeptierte die fristlose Entlassung nicht und erhob am 19. Juli 1996 Klage beim Bezirksgericht Unterrheintal. Dieses hiess mit Urteil vom 4. Februar 1998 die Klage teilweise gut. Auf kantonale Berufung der Beklagten und in Abweisung der Anschlussberufung des Klägers hin reduzierte das Kantonsgericht St. Gallen mit Urteil vom 15. Juli 1999 die dem Kläger zugesprochene Summe auf Fr. 96'964. 70 (Salär) und Fr. 11'333. 30 Entschädigung nach <ref-law>.
C.- Die X._ AG gelangt gegen dieses Urteil mit Berufung an das Bundesgericht und beantragt die Abweisung der Klage, weil die fristlose Entlassung gerechtfertigt gewesen sei. A._ beantragt die Abweisung des Rechtsmittels, soweit darauf einzutreten sei.
D.- Eine von der X._ AG gleichzeitig erhobene kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wurde teilweise gutgeheissen und eine Feststellung im Urteil des Kantonsgerichts gestrichen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die Beklagte macht geltend, das Kantonsgericht habe <ref-law> falsch angewendet. Auf Grund des nachgewiesenen Sachverhalts liege ein ausreichender Grund für eine fristlose Entlassung vor. Sie macht damit eine Bundesrechtsverletzung geltend und auf die Berufung ist grundsätzlich einzutreten.
Die Beklagte ist indessen nicht zu hören, soweit sie in der Berufungsschrift Kritik an den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz vorträgt. Vielmehr ist von dem Sachverhalt auszugehen, den das Kantonsgericht festgestellt hat, wobei allerdings die vom Kassationsgericht vorgenommene Streichung zu beachten ist.
2.- Gemäss <ref-law> kann jede Partei den Arbeitsvertrag aus einem wichtigen Grund fristlos auflösen. Als solcher gilt jeder Umstand, bei dessen Vorhandensein dem Kündigenden nach Treu und Glauben die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht mehr zugemutet werden darf (<ref-law>). Unzumutbar ist die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses ausschliesslich, wenn das Vertrauensverhältnis zwischen den Parteien derart gestört ist, dass die sofortige und fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses als einziger Ausweg erscheint (<ref-ruling> E. 5c). Nach der Rechtsprechung rechtfertigen nur besonders schwere Pflichtverletzungen eine fristlose Entlassung (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 6a).
Es kann sich entweder um eine Verletzung der Treuepflicht oder der Arbeitspflicht handeln. Leichtere Vertragsverletzungen rechtfertigen eine fristlose Entlassung nur im Wiederholungsfall trotz vorgängiger Abmahnung (<ref-ruling> E. 4d; von Kaenel, Die Entschädigung aus ungerechtfertigter fristloser Entlassung nach <ref-law>, Diss. Zürich 1995, S. 66). Als ultima ratio ist die fristlose Entlassung zudem erst zulässig, wenn dem Vertragspartner nicht mehr zugemutet werden kann, das Arbeitsverhältnis durch ordentliche Kündigung aufzulösen oder bei fester Vertragsdauer deren Ende abzuwarten (<ref-ruling> E. 3b).
Über das Vorhandensein solcher Gründe entscheidet das Gericht nach seinem Ermessen. Ermessensentscheide überprüft das Bundesgericht im Berufungsverfahren grundsätzlich frei. Es übt aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von den in der Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen. Ausserdem greift das Bundesgericht in Ermessensentscheide ein, falls sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2a bb; <ref-ruling> E. 2a).
3.- Die Beklagte hatte die fristlose Entlassung des Klägers damit begründet, der Kläger habe seine Arbeitgeberin bei Vertragsschluss über seine Fähigkeiten getäuscht, er habe vollständig ungenügende Leistungen erbracht und mehrfach die Treuepflicht verletzt, indem er verschiedene Personen über die schlechte Geschäftslage seiner Arbeitgeberin informiert und sich in herabsetzender Weise über den Alleinaktionär der Beklagten geäussert habe.
a) Dass weder die Angaben des Klägers in den Vertragsverhandlungen noch seine Leistungen in fachlicher Hinsicht eine fristlose Entlassung rechtfertigen können, haben die kantonalen Instanzen hinreichend dargelegt und die Beklagte kommt in ihrer Berufung zu Recht auch nicht mehr darauf zurück. Das Kantonsgericht hielt überdies den Vorwurf, der Kläger habe sich abfällig über den Alleinaktionär der Beklagten geäussert, für nicht erwiesen. Diese Sachverhaltsfeststellung bindet das Bundesgericht im Berufungsverfahren (Art. 63 Abs. 2 OG). Die Beklagte macht nunmehr ausschliesslich geltend, die Äusserungen des Klägers über den Geschäftsgang seien als schwere Treuepflichtverletzung anzusehen, welche eine fristlose Entlassung rechtfertigen würden.
b) Das Kantonsgericht hielt fest, dass der Kläger die Banken über die Liquiditätsprobleme informiert und mit Peter Stubbe, Hans Gantenbein, Terence Cocking sowie Werner Preusker über diese Schwierigkeiten gesprochen habe.
aa) In den Äusserungen gegenüber Peter Stubbe und Hans Gantenbein sah das Kantonsgericht keine Verletzung der Geheimhaltungspflicht, da diese Herren aufgrund ihrer Stellung im Betrieb bereits vorher über die angespannte Finanzlage Bescheid wussten. Peter Stubbe war damals Betriebsleiter und vor dem Kläger Geschäftsführer der Beklagten. Hans Gantenbein war deren Buchhalter. Darin ist eine Sachverhaltsfeststellung zu erblicken, welche für das Bundesgericht verbindlich ist (Art. 63 Abs. 2 OG). Brachten aber Äusserungen des Klägers überhaupt keine neue Information und kann von den Umständen her auch nicht davon ausgegangen werden, dass mit diesen Äusserungen eine bloss vage Vermutung bei den genannten Personen bestärkt worden ist, so kann in den genannten Gesprächen keine Treuepflichtverletzung erblickt werden.
bb) Bezüglich der anderen beiden Personen ist davon auszugehen, dass diese die finanzielle Lage der Beklagten nicht kannten und es sich insofern tatsächlich um eine neue Information gehandelt hat. Terrence Cocking ist aber der damals neu angestellte Marketing-Berater, der von seiner Stellung im Betrieb her grundsätzlich auch über die finanzielle Situation des Unternehmens Bescheid wissen musste. Mit den entsprechenden Äusserungen hat der Kläger somit seine Schweigepflicht nicht verletzt. Es liegt auch keine Treuepflichtverletzung vor, die eine fristlose Entlassung rechtfertigen könnte.
cc) Werner Preusker ist nach den verbindlichen Feststellungen des Kantonsgerichts der Lizenzgeber eines der wichtigsten Produkte der Beklagten. Als solcher ist er zwar ein aussenstehender, indessen nicht - wie die Beklagte in ihrer Berufungsschrift ausführen lässt - ein beliebiger Gläubiger. Mit Blick auf das Dauerschuldverhältnis handelt es sich um einen Geschäftspartner, gegenüber dem als Ausfluss von Treu und Glauben im Geschäftsverkehr eine gewisse Informationspflicht bestand. Dabei ist ohne Bedeutung, wieweit diese rechtlich tatsächlich ging. Entscheidend für die Frage einer Treuepflichtverletzung ist nur, ob der Geschäftsführer in guten Treuen annehmen durfte, die entsprechende Information stehe im Interesse einer korrekten Geschäftsabwicklung oder nicht. Dem Geschäftsführer kam diesbezüglich jedenfalls ein gewisses Ermessen zu. Dass er im Sinne einer offenen Geschäftspolitik diesen wichtigen Geschäftspartner über die Schwierigkeiten informierte, kann nicht als Verletzung der Verschwiegenheitspflicht aufgefasst werden. Vielmehr gehört es zu den Aufgaben des Geschäftsführers einer Unternehmung, die Beziehungen mit den Geschäftspartnern zu pflegen. Wie offen dabei mit Informationen umgegangen wird, ist letztlich eine Frage des unternehmerischen Stils.
Daran vermag auch die von der Beklagten in der Berufungsschrift vorgetragene Kritik nichts zu ändern. Wohl handelt es sich beim Lizenzgeber und technischen Berater formell um einen Dritten und nicht um einen Arbeitnehmer der Beklagten. Insofern hat der Kläger tatsächlich Informationen über seine Arbeitgeberin an Dritte weitergegeben. Solche Informationen sind aber zulässig, wenn sie sich für die Geschäftsabwicklung als notwendig oder nützlich erweisen. Dass der Kläger die Information aus einem anderen Grund als zur korrekten Abwicklung der Geschäftsbeziehung mit dem Lizenzgeber diesem weitergegeben hat, ist weder dargetan noch erwiesen.
dd) Zu Recht hat das Kantonsgericht in der Mitteilung an die Banken keinerlei Geheimnispflichtverletzung gesehen.
Es ist offensichtlich, dass die Kreditgeber über den finanziellen Stand des Unternehmens zu unterrichten sind.
c) Auch wenn die sachliche Mitteilung an die genannten Personen grundsätzlich als zulässig angesehen werden muss, bleibt zu prüfen, ob nicht die Art dieser Mitteilungen unzulässig war. <ref-law> verpflichtet den Arbeitnehmer, die ihm übertragenen Arbeiten sorgfältig auszuführen und die berechtigten Interessen des Arbeitgebers in guten Treuen zu wahren. Soweit Dritten Geschäftsgeheimnisse mitgeteilt werden müssen, hat dies in einer für die Interessen des Arbeitgebers möglichst schonenden Weise zu geschehen.
Vorliegend scheint der Kläger indessen nicht sehr geschickt vorgegangen zu sein. Zu einer Treuepflichtverletzung kann ein solches Verhalten allerdings nur führen, wenn dies nicht auf Ungeschicklichkeit, sondern auf eine verschuldete Unachtsamkeit oder gar bewusste Verletzung der Interessen der Arbeitgeberin zurückzuführen ist.
Das Kantonsgericht hat insofern eine Treuepflichtverletzung angenommen, als der Kläger die Situation bewusst übertrieben geschildert habe. Der Kläger hat damit eine Schädigung des Ansehens seiner Arbeitgeberin in Kauf genommen.
Allerdings hält das Kantonsgericht in für das Bundesgericht verbindlicher Weise auch fest, dass der Kläger damit auf den Alleinaktionär der Beklagten einzuwirken bezweckte, damit dieser die für das Unternehmen notwendigen Barmittel zur Verfügung stelle. Ob die Einschätzung des Klägers bezüglich der wirtschaftlichen Lage des Unternehmens richtig oder falsch war, ist dabei ohne ausschlaggebende Bedeutung. In Anbetracht der festgestellten Liquiditätsengpässe erweist sich das Vorgehen des Klägers jedenfalls nicht als schwerwiegend.
Dass möglicherweise solche Engpässe saisonal verstärkt auftraten, wie die Beklagte in ihrer Berufungsschrift behauptet, ändert an dieser Einschätzung nichts. Mit Blick auf diesen Zweck hat die Vorinstanz zu Recht die Treuepflichtverletzung als leicht eingestuft.
d) In einer Interessenabwägung ist die Vorinstanz zum Schluss gekommen, die fristlose Entlassung sei nicht gerechtfertigt, da keine schwere Treuepflichtverletzung vorliege.
Vielmehr wäre es der Beklagten zuzumuten gewesen, das Verhalten des Klägers abzumahnen bzw. mit ihm die Angelegenheit zu besprechen. Falls dadurch keine Einigung über das künftige Verhalten des Klägers hätte erzielt werden können und sich die Beklagte deshalb vom Kläger definitiv trennen wollte, wäre ihr sodann zuzumuten gewesen, den Ablauf des Vertragsverhältnisses abzuwarten, bzw. ordentlich zu kündigen.
In diesem Zusammenhang ist auch die Äusserung des Kantonsgerichts hinsichtlich der festen Vertragsdauer und der Klausel zu verstehen, wonach es bei einem Nichterreichen der gesteckten Ziele beiden Seiten frei stehe, ein Gespräch über die vorzeitige Beendigung des Vertrages innerhalb einer angemessenen Frist zu suchen. Da solche Gespräche ohnehin immer möglich sind, kann in dieser Klausel nur der Wille zum Ausdruck kommen, anstehende Differenzen in erster Linie im Gespräch zu bereinigen. Von daher hätte es dem Geiste der vertraglichen Vereinbarung entsprochen, das Gespräch zu suchen, bevor rechtliche Schritte eingeleitet werden. Entsprechend muss sich die Beklagte vorhalten lassen, in Anlehnung an das durch die Vereinbarung vorgezeigte Vorgehen wäre ihr jedenfalls eine Aussprache vor einer fristlosen Entlassung zuzumuten gewesen.
Die vom Kantonsgericht vorgenommene Interessenabwägung ist somit nicht zu beanstanden.
e) Liegt kein hinreichender Grund für eine fristlose Entlassung vor, erübrigt sich die Frage, ob diese rechtzeitig ausgesprochen worden ist. Beizufügen ist, dass entgegen der in der Berufungsschrift vorgetragenen Argumente, das Kantonsgericht der Beklagten gar nicht vorgeworfen hat, die Kündigung zu spät ausgesprochen zu haben. Vielmehr ging der Vorhalt dahin, der Alleinaktionär der Beklagten hätte das Gespräch mit dem Kläger suchen müssen, um das Verhalten des Klägers abzumahnen. Dass er dafür im Zeitalter der elektronischen Kommunikation nicht aus Deutschland in die Schweiz hätte fahren müssen, sondern das Gespräch auch an einem Telefon hätte stattfinden können, liegt auf der Hand.
4.- In quantitativer Hinsicht ist die Forderung nicht bestritten. Im Antrag, die Klage abzuweisen, weil ein wichtiger Grund für eine fristlose Entlassung gegeben sei, kann allerdings auch der Antrag als miterfasst angesehen werden, auf die Strafzahlung nach <ref-law> zu verzichten.
Erweist sich eine fristlose Entlassung als nicht gerechtfertigt, so kann das Gericht den Arbeitgeber verpflichten, dem Arbeitnehmer eine Entschädigung von maximal sechs Monatslöhnen zu bezahlen (<ref-law>). Die Höhe der Entschädigung wird in diesem Rahmen vom Sachgericht nach pflichtgemässem Ermessen auf Grund der Umstände des Einzelfalls festgesetzt (<ref-ruling> E. 6a). Nachdem in der Lehre umstritten war, ob auf eine Entschädigung auch ganz verzichtet werden könne, hat das Bundesgericht einem Teil der Lehre folgend (Rehbinder, Berner Kommentar, N 8 zu <ref-law>; Vischer, Der Arbeitsvertrag, SPR VII/1, III, S. 184; Brunner/Bühler/Waeber, Commentaire du contrat de travail, N 10 zu <ref-law>) in nunmehr konstanter Rechtsprechung entschieden, dass in aller Regel eine Entschädigung geschuldet sei und nur in Ausnahmefällen davon abgesehen werden könne (<ref-ruling> E. 3c; <ref-ruling> E. 3e).
Ein derartiger Ausnahmefall liegt etwa dann vor, wenn die Umstände eine fristlose Entlassung zwar nicht rechtfertigen, den Arbeitgeber dabei jedoch nur ein leichtes Verschulden trifft, hingegen den Arbeitnehmer ein erheblich grösseres, so dass die Zusprechung einer Entschädigung offensichtlich unhaltbar erschiene (Entscheid des Bundesgerichts vom 1. Februar 1991 E. 3, publiziert in: JAR 1995, S. 220 ff.).
Dies kann insbesondere der Fall sein, wenn der Arbeitgeber zwar Anlass zur fristlosen Entlassung hatte, dieses Recht aber einzig infolge zu langen Zuwartens verwirkt hat (Chambre d'appel des prud'hommes de Genève, JAR 1999, S. 308 f.).
Das Kantonsgericht hat eine Entschädigung in der Höhe eines Monatslohnes zugesprochen. Es ist damit an der unteren Grenze dessen geblieben, was in der Regel ohne besondere Umstände zugesprochen werden kann. Es sind keinerlei Gründe ersichtlich, welche es rechtfertigen würden, ausnahmsweise von einer Entschädigung gänzlich abzusehen. Der angefochtene Entscheid erweist sich somit auch in diesem Punkt als richtig.
5.- Die Berufung ist unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend ist die Gerichtsgebühr der Beklagten aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Sie hat den Kläger für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Kantonsgerichts des Kantons St. Gallen vom 15. Juli 1999 wird bestätigt.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 5'000.-- wird der Beklagten auferlegt.
3.- Die Beklagte hat den Kläger für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen (III. Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 6. November 2000
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: