Erwägungen:
1.
Die Helvetia Nostra erhob gegen ein von der Erbengemeinschaft X._ am 17. Oktober 2012 eingereichtes Baugesuch Einsprache. Die Gemeinde Vaz/Obervaz bewilligte das Bauvorhaben am 20. Dezember 2012 unter Auflagen und trat gleichzeitig auf die Einsprache nicht ein. Dagegen wandte sich die Helvetia Nostra mit einer Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dieses trat mit Urteil vom 19. Februar 2013 auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte die auf Fr. 1'033.-- bestimmten Gerichtskosten der Beschwerdeführerin. Gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil gelangte die Helvetia Nostra mit Beschwerde vom 18. März 2013 ans Bundesgericht.
Gemäss Schreiben vom 22. Juli 2013 hat die Beschwerdegegnerin ihr Baugesuch zurückgezogen.
2.
2.1. Durch den Rückzug des Baugesuchs ist die vorliegende Beschwerde gegenstandslos geworden. Sie ist daher als erledigt abzuschreiben (<ref-law>), wobei mit summarischer Begründung über die Prozesskosten zu entscheiden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Die Beschwerdegegnerin hält im Hinblick darauf dafür, sie gehe davon aus, dass sie nun die Kostenfolgen zu tragen habe. Dabei möchte sie aber festhalten, dass sie mit dem Einreichen des Baugesuchs nichts Ungesetzliches getan habe. Es sei unverständlich, wenn sie, die Erbengemeinschaft, nun mit weiteren Kostenfolgen bestraft werde, nachdem sie ja bereits die Fr. 6'750.-- betragende Gebühr für die Baubewilligung bezahlt habe.
2.2. Die Verfahrenskosten werden derjenigen Partei auferlegt, die sie verursacht hat (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Demgemäss rechtfertigt es sich, der Beschwerdegegnerin die Kosten der durch den Baugesuchsrückzug gegenstandslos gewordenen Rechtsmittelverfahren aufzuerlegen. Aufgrund des Rückzugs des Baugesuchs in einem frühen Stadium des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die diesbezüglichen Kosten indes auf eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- festzusetzen (<ref-law> analog).
Die Beschwerdeführerin ist nicht anwaltlich vertreten und hat daher praxisgemäss keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.
Ebenso steht der in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätigen Gemeinde keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; s. dazu <ref-ruling>).
3. Wie ausgeführt, ist das vorliegende Verfahren mit dem Baugesuchsrückzug gegenstandslos geworden.
Durch die am 22. Mai 2013 ergangenen Urteile des Bundesgerichts betreffend Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und unmittelbare Anwendbarkeit der Art. 75b und 197 Ziff. 9 BV (<ref-ruling>, 263 und 271) ist die Basis des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 19. Februar 2013 und des ursprünglichen kommunalen Entscheids vom 20. Dezember 2012 massgebend verändert worden, was selbstredend Auswirkungen auf deren Kostenregelungen zur Folge hat.
Insoweit ist es angezeigt, dass das Bundesgericht diese Regelung wie schon in früheren Verfahren sogleich selber neu trifft. Nachdem die Beschwerdegegnerin ihr Baugesuch zurückgezogen hat, rechtfertigt es sich, ihr die verwaltungsgerichtlichen Kosten, gemäss Urteil vom 15. Januar 2013 ausmachend Fr. 1'033.--, aus denselben Gründen wie die bundesgerichtlichen Kosten aufzuerlegen. Ebenso steht der Beschwerdeführerin auch für das kantonale Verfahren keine Parteientschädigung zu, da sie auch damals nicht anwaltlich vertreten war.
Auf welche Weise die Gemeinde Vaz/Obervaz den nunmehrigen Abschluss des kommunalen Bauverfahrens im Kostenpunkt gemäss ihren Verfahrenstarifen zu regeln haben wird, lässt sich hier nicht abschätzen. Die Sache geht daher insoweit zurück an die Gemeinde.

Demnach wird erkannt:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_304/2013 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
Es wird festgestellt, dass der am 20. Dezember 2012 ergangene kommunale Baubewilligungs- und Einspracheentscheid und das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 19. Februar 2013 gegenstandslos geworden sind. Die Sache geht zurück an die Gemeinde Vaz/Obervaz zur Prüfung der Kostenfrage hinsichtlich des nunmehrigen Abschlusses des kommunalen Verfahrens.
2.
Der Beschwerdegegnerin Erbengemeinschaft X._ werden die auf Fr. 1'033.-- festgesetzten verwaltungsgerichtlichen Kosten und die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 300.-- auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Vaz/Obervaz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp