Faits:
A.
X._ est actuellement âgé de huitante-cinq ans.
Le 31 janvier 2002, à l'Hôpital de la Providence à Vevey, et sous anesthésie péridurale, il a subi une opération du genou droit pour la mise en place d'une prothèse.
Le 2 mai suivant, il fut admis à l'Hôpital de la Riviera à Montreux; il souffrait de graves douleurs et troubles sciatiques dans la fesse et la jambe gauche. Une radiculographie fut exécutée le 6 mai 2002, cet examen comportant une ponction dans les vertèbres lombaires. On posa le diagnostic d'un canal lombaire étroit et d'une protrusion d'un disque intervertébral, avec compression des racines nerveuses. Une opération était indiquée; dans l'intervalle, un traitement conservateur médicamenteux fut prescrit.
Le patient dut être ré-hospitalisé d'urgence le 13 mai. Il souffrait de douleurs lombaires et de douleurs dans les membres inférieurs, avec baisse de l'état général. Il souffrait également d'un début de tétraparésie, soit de paralysie des quatre membres, qui s'est ensuite aggravée.
En raison des douleurs qui ne cédaient pas aux analgésiques, on entreprit le 16 mai 2002 une laminectomie, soit une opération des vertèbres lombaires destinée à permettre la décompression du canal lombaire étroit. Le chirurgien découvrit alors un empyème péridural, soit une infection avec présence de pus et de staphylocoques dorés. Le chirurgien exécuta le drainage de cette infection, puis on mit en place un traitement antibiotique.
Le 18 mai, le patient dut être transféré aux soins intensifs en raison de graves complications cardiaques, rénales et hépatiques. Il y demeura jusqu'au 5 juillet 2002. Le 27 mai, un arrêt cardiaque nécessita une trachéotomie, laquelle fut suivie d'une infection pulmonaire nosocomiale puis d'une colonisation ou infection fongique.
L'hospitalisation se poursuivit dans divers établissements. Le 10 septembre 2002, les médecins posèrent le diagnostic d'une polyneuropathie des soins intensifs. Le pronostic de récupération de la mobilité, alors totalement perdue, était réservé. Le patient subit encore plusieurs opérations du genou droit, la dernière le 27 février 2003, consécutives à une infection par les staphylocoques dorés.
Le patient n'a pas recouvré sa mobilité; il demeure au contraire paralysé des quatre membres et totalement dépendant de l'aide d'autrui. Il vit dans un établissement médico-social.
B.
Sur requête de X._, le juge compétent a fait établir une expertise hors procès puis une expertise complémentaire afin de déterminer les causes de la paralysie et les éventuelles erreurs et responsabilités dans les traitements médicaux.
C.
Le 15 décembre 2007, X._ a ouvert action contre la Fondation des Hôpitaux de la Riviera, laquelle exploite l'établissement de la Riviera et celui de la Providence, devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud. La défenderesse devait être condamnée à payer diverses sommes au total de près d'un million de francs, avec intérêts, à titre de dommages-intérêts et de réparation morale.
Le demandeur plaidait au bénéfice de l'assistance judiciaire.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action.
Le juge instructeur a fait établir une expertise comptable, surtout destinée à élucider la perte de gain alléguée par le demandeur, et une nouvelle expertise médicale.
La Cour civile du Tribunal cantonal s'est prononcée le 31 mai 2012; elle a rejeté l'action. Elle a communiqué le dispositif de son jugement le 12 juin 2012, puis l'expédition complète le 11 mars 2013.
D.
Le demandeur a interjeté appel et sollicité l'assistance judiciaire pour l'instance d'appel.
La défenderesse a requis des sûretés en garantie des dépens.
Par arrêt du 23 mai 2013, le juge délégué de la Cour d'appel civile a rejeté la requête d'assistance judiciaire au motif que l'appel paraît dépourvu de chances de succès.
E.
Agissant cumulativement par la voie du recours en matière civile et par celle du recours constitutionnel, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que l'assistance judiciaire lui soit accordée en appel.
Le demandeur sollicite l'assistance judiciaire dans l'instance fédérale.
La défenderesse conclut au rejet des recours.

Considérant en droit:
1.
Le refus de l'assistance judiciaire est une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable au plaideur requérant (<ref-ruling> consid. 4 p. 338; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 131); cette décision est donc susceptible d'un recours séparé selon l'<ref-law>.
En l'état de la cause, la valeur litigieuse correspond aux conclusions d'appel du demandeur (art. 51 al. 1 let. c LTF). Elle excède le minimum légal de 30'000 fr. (<ref-law>) et les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont par ailleurs satisfaites; le recours constitutionnel subsidiaire est en conséquence exclu (<ref-law>).
2.
Le code de procédure civile unifié (CPC) est entré en vigueur le 1er janvier 2011 alors que la cause était pendante devant la Cour civile. Par l'effet des art. 404 al. 1 et 405 al. 1 CPC, la procédure de première instance est demeurée soumise au droit cantonal antérieur tandis que l'appel est régi par le code unifié.
3.
Aux termes de l'art. 117 let. a et b CPC, un plaideur a le droit d'obtenir l'assistance judiciaire s'il ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et que sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b).
Le refus ou l'octroi de l'assistance judiciaire s'inscrit en principe dans les mesures nécessaires à la conduite du procès (Frank Emmel, in Kommentar ZPO, Thomas Sutter-Somm et al., éd., 2e éd., 2013, nos 1 et 14 ad <ref-law>). Le tribunal saisi ou le juge délégué se prononce en procédure sommaire (<ref-law>).
En règle générale, le plaideur qui requiert l'assistance judiciaire a seul qualité de partie dans la procédure incidente y relative, à l'exclusion de son adversaire dans le procès civil principal (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 342). La partie adverse dans le procès principal a cependant aussi qualité de partie dans la procédure incidente lorsqu'elle requiert des sûretés en garantie des dépens, exigibles aux conditions fixées par l'<ref-law>, parce que, le cas échéant, l'octroi de l'assistance judiciaire fera échec à cette requête en vertu de l'<ref-law>; c'est pourquoi l'<ref-law> prévoit que la partie adverse doit « toujours » être entendue dans la procédure incidente lorsqu'elle requiert des sûretés en garantie des dépens (ALFRED BÜHLER, in Commentaire bernois, 2012, n° 120 ad <ref-law> et n° 5 ad <ref-law>; Viktor Rüegg, in Commentaire bâlois, 2e éd., 2013, n° 9 ad <ref-law>).
En l'occurrence, le magistrat intimé n'a pas invité la défenderesse à se prononcer sur la requête d'assistance judiciaire, quoique cette partie eût introduit une requête de sûretés en garantie des dépens; il y a semble-t-il renoncé en application de l'<ref-law>, parce qu'il s'apprêtait de toute manière à rejeter la requête d'assistance judiciaire. La défenderesse avait néanmoins qualité de partie.
Dans l'instance subséquente que le demandeur ouvre devant le Tribunal fédéral, la défenderesse a aussi qualité de partie aux termes de l'<ref-law>, relatif à l'échange d'écritures, et des art. 66 et 68 LTF relatifs à l'imputation des frais et dépens. En conséquence, la défenderesse a été invitée à répondre aux recours.
4.
Le demandeur fait grief au magistrat intimé d'avoir retenu à tort, en violation de l'<ref-law>, que son appel est dépourvu de chances de succès.
Selon la jurisprudence, un procès est dénué de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre; il n'est en revanche pas dénué de chances de succès lorsque celles-ci et les risques d'échec sont à peu près égaux, ou lorsque les premières ne sont guère inférieures aux seconds. L'<ref-law> n'exige pas que la personne indigente puisse engager, aux frais de la collectivité, des démarches vaines qu'une personne raisonnable n'entreprendrait pas si, disposant de moyens suffisants, elle devait les financer de ses propres deniers (<ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 218).
5.
Selon le jugement de la Cour civile, deux anomalies sont survenues dans la prise en charge médicale du demandeur.
La radiculographie du 6 mai 2002 se trouve à l'origine de l'empyème péridural découvert le 10 suivant, en ce sens que les staphylocoques dorés se sont introduits dans le canal lombaire lors de la ponction. Selon la Cour, il s'agit d'une complication très rare mais néanmoins classique de cette intervention. Il n'est pas établi que le patient ait été expressément averti de ce risque. Toutefois, en procédure, le demandeur ne s'est prévalu que tardivement d'une violation du devoir d'information à respecter par le personnel médical, et de toute manière, il y a lieu d'admettre que le patient aurait consenti à la ponction même s'il avait été dûment informé. Pour le surplus, aucune violation des règles de l'art médical n'est imputable au personnel de l'établissement hospitalier.
Lors de l'hospitalisation du 13 mai 2002, le personnel de l'établissement n'a prêté attention ni à la tétraparésie débutante signalée par le patient, ni aux résultats d'une analyse de sang alors exécutée. Le personnel aurait pourtant dû reconnaître les signes d'un état inflammatoire ou infectieux aigu, en rechercher l'origine et découvrir l'empyème péridural, lequel n'a été trouvé que lors de l'opération du 16 mai. L'inaction du personnel est une violation des règles de l'art médical. Il n'est cependant pas établi que l'état du patient se fût moins sévèrement dégradé si l'empyème péridural avait été découvert et soigné un ou deux jours plus tôt, car il s'agit de toute manière d'une affection grave, comportant un risque élevé de mortalité ou d'invalidité. Faute d'un lien de causalité avec l'atteinte à l'intégrité corporelle, l'inaction imputable au personnel n'engage pas la responsabilité de la défenderesse.
6.
Dans son mémoire d'appel, le demandeur consacre quelques développements aux lacunes de sa prise en charge entre son admission à l'hôpital le 13 mai 2002 et l'intervention chirurgicale exécutée le 16; il ne tente cependant pas de mettre en doute l'absence de lien de causalité entre l'inaction imputable au personnel et l'évolution défavorable de son état général. Sur ce point, l'appel est donc effectivement dépourvu de chances de succès, conformément à l'appréciation du magistrat intimé.
En revanche, le demandeur développe une critique motivée contre le jugement de la Cour civile relatif à la radiculographie du 6 mai 2002, sous les aspects de l'information préalable due au patient et d'une intervention conforme aux règles de l'art médical. Il est donc nécessaire d'examiner cette contestation de manière plus détaillée.
7.
Selon le jugement, les deux experts judiciaires médecins ont relevé que la radiculographie avec ponction eût pu être remplacée par un examen IRM sans geste médical invasif, moyennant un transfert du patient dans un établissement doté de l'équipement nécessaire. Les deux experts ont également indiqué que l'infection, lors d'une ponction lombaire, est une complication rare. Faute de tout rapport d'intervention établi par le personnel et conservé par l'établissement, ils n'ont pas pu vérifier si les procédures de désinfection et de contrôle du matériel avaient été accomplies dans les règles de l'art; ils n'ont toutefois trouvé, non plus, aucun indice d'une éventuelle « faute de stérilité ». L'un des experts a souligné que le médecin était expérimenté dans les gestes diagnostiques neurologiques et il a mentionné que la ponction avait été compliquée par le surpoids du patient.
8.
Devant la Cour civile, dès que la cause s'est trouvée en état d'être plaidée, les parties ont été autorisées à déposer « un bref mémoire exposant leurs moyens de droit », conformément à l'<ref-law> vaud. C'est dans ce mémoire que le demandeur, pour la première fois, a fait grief au personnel de la défenderesse de ne lui avoir pas signalé l'alternative entre la radiculographie avec ponction et l'examen IRM sans geste invasif, et qu'il s'est plaint, à cet égard, d'une violation du devoir d'information imposé au médecin par le droit applicable.
8.1. Dans sa motivation principale relative à ce moyen, la Cour civile retient que celui-ci a été soulevé tardivement parce que, à ce stade de l'instance, le droit cantonal de procédure ne permettait plus à l'adverse partie d'introduire de nouveaux allégués et de nouvelles offres de preuve qui eussent servi à contrer ledit moyen.
La loi indique explicitement que « l'énonciation de moyens de droit » est facultative au stade de la demande en justice (<ref-law> Vaud.) puis de la réplique (<ref-law> vaud.). Elle prévoit aussi explicitement que le juge peut tenir compte de faits même non allégués dans ces mémoires mais révélés par une expertise écrite (<ref-law> vaud.). Le « mémoire de droit » prévu par l'<ref-law> vaud. suit l'administration des preuves et précède l'audience de jugement, laquelle est surtout destinée aux plaidoiries (<ref-law> vaud.); ce mémoire fournit donc une nouvelle occasion d'introduire une argumentation juridique écrite. Au plus tard jusqu'à l'échéance du délai disponible pour le dépôt dudit mémoire (<ref-law> vaud.), une partie peut présenter une demande de réforme afin de se faire autoriser à introduire de nouveaux allégués et de nouvelles offres de preuve (art. 153 et ss CPC vaud.; Jean-François Poudret et al., Procédure civile vaudoise, 2002, n° 4 ad <ref-law> vaud.).
Au regard de ces dispositions, on ne discerne pas à quel stade de l'instance, avant le mémoire de droit, le demandeur eût censément pu et dû introduire une argumentation juridique fondée sur les rapports d'expertise, en particulier sur celui qui n'existait pas encore lors de la demande en justice puis de la réplique; la discussion présentée pour la première fois dans le mémoire de droit semble au contraire correspondre au système du procès civil vaudois. La défenderesse a pu prendre position lors des plaidoiries. Peut-être le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. exigeait-il que cette partie fût autorisée, si elle le demandait, et nonobstant l'<ref-law> vaud., à introduire de nouveaux allégués et offres de preuve encore après le mémoire de droit, voire lors des plaidoiries, mais ce droit constitutionnel de la défenderesse ne peut guère être opposé au demandeur pour refuser d'entrer en matière sur un moyen régulièrement soulevé par lui. A ce sujet, contrairement à l'opinion du magistrat intimé, la critique du demandeur paraît présenter de raisonnables chances de succès.
8.2. Dans une motivation subsidiaire relative à ce même moyen, la Cour civile considère que le patient et demandeur eût consenti à la radiculographie avec ponction même s'il avait été informé d'un risque statistiquement très faible d'abcès épidural. La Cour n'examine cependant pas si le médecin devait informer le patient d'une possibilité d'examen IRM sans geste invasif, à exécuter dans un autre établissement hospitalier, ou si le médecin pouvait au contraire se dispenser de cette information. La motivation subsidiaire ne répond donc pas au moyen soulevé par le demandeur dans son mémoire de droit. La réponse nécessite une appréciation juridique délicate, à porter sur l'étendue du devoir d'information dans la situation concrète qui était celle du personnel de la défenderesse le 6 mai 2002; la critique du demandeur présente ici des chances de succès à tout le moins équivalentes au risque d'échec.
Ainsi, des dommages-intérêts et une réparation morale devront éventuellement être alloués par suite d'une violation du devoir d'information imposé au personnel médical. Il est en effet connu qu'un pareil manquement engage la responsabilité de l'établissement hospitalier même si l'acte médical en cause a été accompli dans le respect des règles de l'art (<ref-ruling> consid. 4.1.1 p. 128). Sous cet aspect déjà, la décision présentement attaquée se révèle contraire à l'<ref-law>.
9.
La Cour civile s'exprime très brièvement, dans son jugement, sur l'observation des règles de l'art lors de la ponction lombaire. En substance, elle retient que cette intervention a été correctement exécutée parce que les expertises n'ont mis en évidence aucun indice du contraire et que le médecin était un praticien expérimenté.
Aux dires des experts, la défenderesse ne leur a remis aucun rapport de l'intervention et c'est pourquoi ils n'ont pu effectuer aucune vérification. Or, le médecin ou l'établissement hospitalier assume notamment l'obligation d'établir et de conserver une documentation des actes accomplis sur le patient (Laura Jetzer, Die ärztliche Dokumentationspflicht und der Beweis des Behandlungsfehlers, RJB 2012 p. 312 ch. 1.2). Il importait donc d'examiner si l'inexistence de tout rapport d'intervention est un manquement imputable à la défenderesse; dans l'affirmative, il fallait discuter l'incidence de ce manquement sur le sort de l'action. A cet égard, le jugement semble incomplet.
A cela s'ajoute que dans le cas d'une infection consécutive à une injection intra- ou périarticulaire, le patient qui recherche le médecin ou l'établissement hospitalier bénéficie en principe d'une présomption de fait au stade de l'appréciation des preuves, en ce sens que le juge doit constater la faute d'asepsie, faute qui est une violation des règles de l'art, si la partie défenderesse n'a pas prouvé les précautions concrètement appliquées lors de l'intervention et médicalement recommandées pour prévenir l'irruption de germes pathogènes. A défaut de cette preuve, la partie défenderesse ne peut pas utilement opposer au patient le risque résiduel inhérent à tout acte invasif (<ref-ruling> consid. 2c p. 250 in fine). Or, la Cour civile semble n'avoir tenu aucun compte de cette présomption.
L'appel présente ainsi des chances de succès également raisonnables en tant que la ponction lombaire pourrait se révéler, à l'issue d'une nouvelle appréciation judiciaire, insuffisamment documentée ou entachée d'une violation des règles de l'art. Sous cet aspect aussi, la décision présentement attaquée se révèle contraire à l'<ref-law>.
10.
La condition posée par cette disposition, relative aux chances de succès de l'appel, est donc réalisée. Celle fixée par l'<ref-law>, relative au manque des ressources nécessaires aux frais du procès, l'est de toute évidence aussi, bien que le magistrat intimé ait pu se dispenser de l'examiner. Il y a donc lieu d'annuler la décision attaquée et de renvoyer la cause audit magistrat pour accorder l'assistance judiciaire au demandeur et en régler l'étendue conformément à l'<ref-law>.
A titre de partie qui succombe, la défenderesse doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels le demandeur peut prétendre. Ces dépens lui permettront de rétribuer son conseil, de sorte qu'il n'est pas nécessaire de statuer sur la demande d'assistance judiciaire afférente à l'instance fédérale.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière civile est admis, la décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour accorder l'assistance judiciaire au demandeur et en fixer l'étendue conformément à l'<ref-law>.
2.
Le recours constitutionnel est irrecevable.
3.
La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 5'000 francs.
4.
La défenderesse versera une indemnité de 6'000 fr. au demandeur, à titre de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 20 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin