Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen den Beschluss vom 8. Juni 2010 des Obergerichts des Kantons Zürich, das (als obere SchK-Aufsichtsbehörde) dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege (wegen Aussichtslosigkeit) verweigert und dessen Rekurs gegen einen abweisenden Beschwerdeentscheid der unteren Aufsichtsbehörde (betreffend die - mangels Substantiierung der Forderungsurkunden und Forderungsgründe durch das Betreibungsamt erfolgte - Rückweisung eines Betreibungsbegehrens des Beschwerdeführers gegen den Beschwerdegegner über 725 Millionen Franken) abgewiesen hat, soweit es darauf eingetreten ist,
in die Gesuche um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege,

in Erwägung,
dass das Obergericht erwog, nach Ablauf der Rekursfrist könne der Rekurs auch nicht durch einen unentgeltlichen Rechtsvertreter ergänzt werden, im Rahmen des Verfahrens vor den Aufsichtsbehörden dürfe der materielle Bestand der Betreibungsforderung nicht überprüft werden, das Betreibungsamt habe zu Recht keinen Zahlungsbefehl ausgestellt, nachdem der Beschwerdeführer die von ihm behauptete Forderung nicht mit einer Forderungsurkunde bzw. einem Rechtsöffnungstitel belegt und anhand dieser Urkunden beziffert habe, neue Beschwerdegründe seien sodann wegen des Novenverbots unzulässig, der Rekurs grenze an Mutwillen,
dass die Beschwerde nach <ref-law> nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (<ref-law>), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.),
dass im vorliegenden Fall der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand dieser Erwägungen aufzeigt, inwiefern der Beschluss des Obergerichts vom 8. Juni 2010 rechts- oder verfassungswidrig sein soll,
dass der Beschwerdeführer ausserdem einmal mehr missbräuchlich prozessiert (<ref-law>),
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende und überdies missbräuchliche - Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. b und c BGG nicht einzutreten ist,
dass mit dem bundesgerichtlichen Beschwerdeentscheid das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird,
dass dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,
dass sich das Bundesgericht in dieser Sache vorbehält, allfällige weitere Eingaben in der Art der bisherigen, namentlich missbräuchliche Revisionsgesuche ohne Antwort abzulegen,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt Z._ und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann