Erwägungen:
1.
1.1. Die serbische Staatsangehörige X._ (geb. 1985) reiste im August 2000 zusammen mit zwei älteren Geschwistern illegal in die Schweiz ein, nachdem das von ihren in der Schweiz lebenden Eltern gestellte Familiennachzugsgesuch abgelehnt worden war. Ein erneutes Gesuch um Familiennachzug blieb erfolglos. Am 13. Februar 2006 heiratete X._ in der Schweiz einen Schweizer Bürger und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung. Am 19. Dezember 2008 meldete sich X._ am Wohnort ihres Ehemannes an. Die eheliche Gemeinschaft wurde am 31. August 2009 aufgelöst.
1.2. Mit Verfügung vom 14. Juli 2010 verweigerte das Bundesamt für Migration (BFM) die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und ordnete die Wegweisung aus der Schweiz an. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 9. Januar 2013 ab.
1.3. Vor Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 9. Januar 2013 aufzuheben und der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zuzustimmen, eventualiter von der Wegweisung aus der Schweiz abzusehen und eine vorläufige Aufnahme anzuordnen, subeventualiter weitere Sachabklärungen vorzunehmen bzw. vornehmen zu lassen.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und das BFM beantragt die Abweisung der Beschwerde.
1.4. Am 28. Februar 2013 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
2.
2.1. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit die Beschwerdeführerin eigenständig die Wegweisung anficht und eine vorläufige Aufnahme beantragt (Art. 83 lit. c Ziff. 3 und 4 BGG; Urteil 2C_769/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 1.4 und E. 1.5). Im Übrigen erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet und kann daher im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden.
2.2. Die Eheleute haben - wenn überhaupt - vom 12. Dezember 2008 bis 31. August 2009 zusammengewohnt. Die Beschwerdeführerin behauptet darüber hinaus, dass die Eheleute bereits seit der Heirat am 13. Februar 2006 zusammengelebt hätten, "vor allem bei den Eltern des Ehemannes". Wie die Vorinstanz willkürfrei festgestellt hat, lässt sich dies nicht erhärten und widerspricht namentlich den Erklärungen des Ehemannes anlässlich einer Befragung im Jahr 2007. Auch hat sich die Beschwerdeführerin selbst im vorinstanzlichen Verfahren widersprüchlich geäussert und darauf hingewiesen, dass sie "oftmals" bei ihrer Mutter übernachtet habe. Eine offensichtlich unrichtige oder unvollständige Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; Urteil 2C_682/2012 vom 7. Februar 2013 E. 2) liegt demnach ebenso wenig vor wie eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law> [SR 172.021]; vgl. Urteile 9C_693/2012 vom 8. Juli 2013 E. 4; 2C_80/2012 vom 16. Januar 2013 E. 3.1; je mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz hat einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG (SR 142.20) zu Recht verneint. Der Bewilligungsanspruch besteht trotz Auflösens bzw. definitiven Scheiterns der Ehegemeinschaft fort, wenn diese mindestens drei Jahre gedauert und die betroffene ausländische Person sich hier erfolgreich integriert hat (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG; <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 119; Urteil 2C_494/2013 vom 2. Juni 2013 E. 4.1). Vorliegend ist bereits das Kriterium der dreijährigen Ehegemeinschaft nicht erfüllt, weshalb sich eine nähere Prüfung der zweiten - kumulativen - Voraussetzung der Integration erübrigt: Die Eheleute haben allenfalls vom 12. Dezember 2008 bis 31. August 2009 zusammengewohnt. Wichtige Gründe für getrennte Wohnsitze in der Zeit davor sind weder ersichtlich noch dargetan (Art. 49 AuG; <ref-law> [SR 142.201]; Urteile 2C_40/2012 vom 15. Oktober 2012 E. 4; 2C_947/2011 vom 25. November 2011 E. 2.2; 2C_231/2011 vom 21. Juli 2011 E. 4.5; 2C_871/2010 vom 7. April 2011 E. 3). Im vorinstanzlichen Verfahren hat sich die Beschwerdeführerin auf den Betreuungsbedarf der Mutter und die finanzielle Situation der Eheleute berufen, vermochte jedoch beide Umstände nicht hinreichend zu substanziieren (vgl. unten E. 2.5). Bemühungen um eine gemeinsame Wohnungssuche sind ebenfalls nicht belegt. Damit ist die Beschwerdeführerin ihrer Mitwirkungsobliegenheit nicht nachgekommen (Art. 90 AuG; <ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.; Urteile 2C_906/2012 vom 5. Juni 2013 E. 2.2; 2C_682/2012 vom 7. Februar 2013 E. 4.1; 2C_1007/2011 vom 12. März 2012 E. 4.4; 2C_50/2010 vom 17. Juni 2010 E. 2.2). Hinzu kommt, dass die Eheleute ab dem 12. Dezember 2008 in derjenigen Wohnung zusammengelebt haben wollen, die der Ehemann bereits zuvor bewohnt hatte.
2.4. Ebenfalls zu verneinen ist das Vorliegen eines persönlichen nachehelichen Härtefalls im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG. Ein solcher Härtefall setzt aufgrund der gesamten Umstände eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben voraus, die mit der Lebenssituation nach dem Dahinfallen der gestützt auf Art. 42 Abs. 1 AuG abgeleiteten Anwesenheitsberechtigung verbunden sein muss (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 395; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350; Urteile 2C_930/2012 vom 10. Januar 2013 E. 4.1; 2C_13/2012 vom 8. Januar 2013 E. 3.3 und E. 3.4). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern ihre Rückkehr nach Serbien besondere Probleme stellen würde, die in einem hinreichend engen Zusammenhang zur ursprünglich anspruchsbegründenden Ehe und dem damit verbundenen bisherigen (bewilligten) Aufenthalt im Land stünden (vgl. Urteile 2C_494/2013 vom 2. Juni 2013 E. 4.3; 2C_432/2013 vom 16. Mai 2013 E. 3.3.5; 2C_405/2013 vom 8. Mai 2013 E. 3.3.3). Besondere Umstände bei Abschluss bzw. Auflösung der Ehe liegen nicht vor; gemeinsame Kinder sind nicht vorhanden. Die eheliche Gemeinschaft hat gut acht Monate gedauert. Die Beschwerdeführerin ist illegal in die Schweiz eingereist und hielt sich hier über Jahre unrechtmässig auf. Seit dem 14. Juli 2010 wird ihr Aufenthalt lediglich toleriert. Zudem ist die im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils 27-jährige, gesunde und arbeitsfähige Beschwerdeführerin in (Süd-) Serbien aufgewachsen und hat dort die Schulen besucht. Da sie unbestrittenermassen Albanisch spricht, wird es ihr möglich sein, sich mit der Mehrheit der Bevölkerung in Südserbien zu verständigen, selbst wenn sie nicht Serbisch sprechen sollte (vgl. Urteil 2C_739/2011 vom 18. Oktober 2012 E. 4.2.2). Es ist daher nicht zu erwarten, dass sich die Beschwerdeführerin in ihrer Heimat nicht wieder eingliedern könnte, zumal mit der Vorinstanz davon auszugehen ist, dass die Beschwerdeführerin aus ihrer Kindheit und Jugend weiterhin über ein soziales Beziehungsnetz verfügt, auf das sie bei der Rückkehr in die Heimat zurückgreifen kann.
2.5. Schliesslich resultiert kein Aufenthaltsanspruch aus dem Umstand, dass die Mutter, deren Geschwister sowie die eigenen Geschwister der Beschwerdeführerin in der Schweiz leben. Diese Beziehungen zwischen der erwachsenen Beschwerdeführerin und ihrer Familie vermögen nur unter restriktiven Voraussetzungen einen auf Art. 8 EMRK gestützten Anwesenheitsanspruch zu begründen und setzen jedenfalls ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis zwischen den Familienmitgliedern voraus, namentlich infolge von Betreuungs- oder Pflegebedürfnissen bei körperlichen oder geistigen Behinderungen und schwerwiegenden Krankheiten (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 159; <ref-ruling> E. 2 S. 14; <ref-ruling> E. 1e S. 261 f.; Urteil 2C_197/2012 vom 29. Oktober 2012 E. 4.3; Urteil des EGMR Shala gegen Schweiz vom 15. November 2012, § 40; je mit Hinweisen). Wohl beruft sich die Beschwerdeführerin auf den Betreuungsbedarf ihrer Mutter. Ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis zur Beschwerdeführerin ist jedoch nicht aktenkundig und liegt namentlich nicht bereits darin begründet, dass die gesundheitlich angeschlagene, unter Bluthochdruck und Polyarthralgie leidende Mutter gemäss ärztlichem Attest auf eine Haushaltshilfe angewiesen ist. Ein entsprechender Anspruch wird nicht in vertretbarer Weise geltend gemacht (vgl. Urteile 2C_253/2010 vom 18. Juli 2011 E. 1.5; 2C_942/2010 vom 27. April 2011 E. 1.3).
3.
3.1. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ergänzend wird auf die zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz verwiesen (<ref-law>).
3.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Egli