Sachverhalt:
A. Der 1965 geborene S._ ist bei der Firma X._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Er erlitt am 5. April 2003 einen Verkehrsunfall. Der von ihm gelenkte Mercedes-Benz 190 E prallte mit der rechten Frontecke auf den hinteren rechten Seitenbereich eines entgegenkommenden, über die vom Versicherten benutzte Fahrspur hinweg abbiegenden Renault Espace. Die am 7. April 2003 aufgesuchte Frau Dr. med. A._, FMH für Innere Medizin, diagnostizierte ein HWS-Distorsionstrauma und bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Mit Verfügung vom 28. Juli 2005 eröffnete sie S._ die Einstellung der Leistungen auf den 31. Juli 2005. Sie verneinte zudem einen Anspruch auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch bestehenden Beschwerden stünden nicht in einem kausalen Zusammenhang zum Unfall vom 5. April 2003. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 6. Januar 2006).
B. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 27. September 2006 ab.
C. S._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, über den 31. Juli 2005 hinaus die gesetzlichen Leistungen, insbes. Taggeld und Heilbehandlung, zu erbringen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Unfall vom 5. April 2003 über den 31. Juli 2005 hinaus.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Es betrifft dies zunächst den für die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) mit den sich dabei stellenden Beweisfragen. Richtig wiedergegeben ist auch die Rechtsprechung zum überdies erforderlichen adäquaten Kausalzusammenhang im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181 mit Hinweis) sowie bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling>) und bei Schleudertraumen der Halswirbelsäule (HWS) ohne organisch (hinreichend) nachweisbare Folgeschäden (<ref-ruling>) im Besonderen.
3. Das kantonale Gericht hat die Frage nach einem natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 5. April 2003 nicht abschliessend beantwortet. Dies ist nicht zu beanstanden, wenn die streitige Leistungspflicht ohnehin mangels Adäquanz zu verneinen ist (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c), zu welchem Ergebnis die Vorinstanz im Weiteren gelangt ist.
3.1 Hiebei ist zunächst festzustellen, dass nach Lage der medizinischen Akten kein unfallbedingtes organisches Substrat gefunden werden konnte, welches die weiterhin geklagten Beschwerden zu erklären vermöchte. Anders als bei somatisch ausgewiesenen Gesundheitsschädigungen nach Unfall, bei welchen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel mit dem natürlichen bejaht werden kann (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), hat demnach eine spezielle Adäquanzprüfung zu erfolgen. Das ist insoweit auch nicht umstritten.
3.2 Uneins sind sich die Parteien in der Beantwortung der Frage, ob die Adäquanz, wie vom Unfallversicherer entschieden, gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen oder aber, wie der Beschwerdeführer geltend machen lässt, nach der Schleudertrauma-Praxis zu beurteilen ist. Diesem Gesichtspunkt kann insofern Bedeutung zukommen, als nach der letztgenannten Praxis, anders als im Falle einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall, bei der Prüfung der abhängig von der Unfallschwere in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehenden unfallbezogenen Kriterien auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird, weil es hier nicht entscheidend ist, ob Beschwerden eher als organischer und/oder psychischer Natur beurteilt werden (<ref-ruling> E. 6a S. 367 und 369 E. 4b S. 382 f.).
3.3 Ob die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze oder die Schleudertrauma-Praxis zur Anwendung gelangt, kann mit dem kantonalen Gericht offen gelassen werden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang selbst nach der letztgenannten Praxis zu verneinen wäre. Diesfalls muss auch nicht näher auf die vom Unfallversicherer aufgeworfene Frage eingegangen werden, welche Beschwerden in welchem Zeitabstand (Latenzzeit) zum Unfall vorzuliegen haben, damit die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis gerechtfertigt ist.
3.4 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen (<ref-ruling> E. 6a S. 366 f.). Das kantonale Gericht hat die Kollision vom 5. April 2003 als mittelschwer an der Grenze zu den leichten Unfällen eingeordnet.
Diese Beurteilung ist aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufs richtig. Jedenfalls liegt kein mittelschwerer Unfall im Grenzbereich zu den schweren Unfällen, wie er in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde geltend gemacht wird, vor (vgl. die in RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322 E. 3.4.1, U 458/04, und Nr. U 548 S. 228 E. 3.2.2, U 306/04, aufgeführten Beispiele).
Von den weiteren, objektiv fassbaren und unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehenden oder als Folge davon erscheinenden Umständen, welche als massgebende Kriterien in die Gesamtwürdigung einzubeziehen sind (<ref-ruling> E. 6a S. 367), müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (<ref-ruling> E. 6b S. 367 f.).
Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, es sei einzig und nicht in besonders ausgeprägter Weise das Kriterium der Dauerbeschwerden erfüllt. Demgegenüber lässt der Beschwerdeführer die im Folgenden behandelten weiteren Kriterien geltend machen.
Als besonders eindrücklich kann der Unfall entgegen der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht betrachtet werden. Die Kollision, wie sie in den Akten, namentlich im Polizeirapport vom 6. Mai 2003 und in der biomechanischen Kurzbeurteilung vom 21. Januar 2004, beschrieben wird, unterscheidet sich nicht wesentlich von anderen Unfallereignissen, bei welchen dieses Kriterium regelmässig verneint wurde (vgl. etwa die Praxisübersicht in SZS 2001 S. 413 ff.). Das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen ist mit der Vorinstanz, welche die hiefür massgebliche Rechtsprechung zutreffend wiedergegeben hat, klar zu verneinen. Gleiches gilt für die Kriterien der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung sowie des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen. Was hiegegen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vorgetragen wird, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Selbst wenn sodann das Kriterium von Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit - ohne nähere Prüfung - bejaht würde, wäre es jedenfalls nicht in ausgeprägter Weise gegeben. Es fehlt mithin gesamthaft sowohl an einem in dieser besonderen Ausprägung gegebenen Kriterium als auch an der gehäuften oder besonders auffallenden Erfüllung mehrerer Kriterien. Unfallversicherer und Vorinstanz haben einen weiteren Leistungsanspruch somit zu Recht mangels eines rechtserheblichen Zusammenhangs der noch geklagten Beschwerden zum Unfall vom 5. April 2003 verneint.

erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 30. Oktober 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
i.V. Lustenberger Lanz