Sachverhalt:
A. X._ wird von den Strafjustizbehörden des Kantons Appenzell Ausserrhoden vorgeworfen, er habe am 28. Februar 2005 eine Person erschossen. Der Angeschuldigte wurde am 21. März 2005 festgenommen und am 22. März 2005 in Untersuchungshaft gesetzt. Sein Gesuch um Versetzung in den vorzeitigen Strafvollzug wurde am 8. März 2006 durch das kantonale Departement Sicherheit und Justiz (Abteilung Straf- und Massnahmenvollzug) bewilligt.
B. Mit Urteil vom 28. August 2006 sprach das Kantonsgericht von Appenzell Ausserrhoden X._ der vorsätzlichen Tötung (sowie des mehrfachen Führens eines Motorfahrzeuges ohne Führerausweis) schuldig und verurteilte ihn zu einer Zuchthausstrafe von neun Jahren. Gleichzeitig widerrief es den bedingten Strafvollzug für eine früher ausgefällte Gefängnisstrafe von fünf Tagen.
C. Auf Appellation des Verurteilten und Anschlussappellation der kantonalen Staatsanwaltschaft hin bestätigte das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden mit Entscheid vom 10. Juli 2007 die Schuldsprüche. Es erhöhte die Freiheitsstrafe auf zehn Jahre und fällte zusätzlich eine Busse von Fr. 400.-- gegen den Verurteilten aus.
D. Auf Beschwerde des Verurteilten hin hob das Bundesgericht mit Urteil vom 14. Juli 2008 den Entscheid des Obergerichtes vom 10. Juli 2007 auf und wies die Strafsache zu weiteren Beweisabklärungen und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurück (Verfahren 6B_219/2008).
E. Am 24. Juli 2008 stellte der Verurteile ein Haftentlassungsgesuch, welches vom kantonalen Departement Sicherheit und Justiz (Abteilung Straf- und Massnahmenvollzug) am 28. Juli 2008 zuständigkeitshalber dem Obergericht übermittelt wurde. Mit Beschluss vom 18. August 2008 wies das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden, 1. Abteilung, das Haftentlassungsgesuch ab.
F. Gegen den Entscheid des Obergerichtes vom 18. August 2008 gelangte X._ mit Beschwerde vom 22. September 2008 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und seine sofortige Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug.
Die kantonale Staatsanwaltschaft beantragt mit Stellungnahme vom 26. September 2008 die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht liess sich am 25. September 2008 vernehmen. Der Beschwerdeführer replizierte am 1. Oktober 2008.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde gegen den angefochtenen Haftprüfungsentscheid ist (in Berücksichtigung von Art. 80 i.V.m. <ref-law>) zulässig.
2. Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine Verletzung des Beschleunigungsgebotes von <ref-law> und Art. 5 Ziff. 4 EMRK. Der angefochtene Haftprüfungsentscheid sei am 18. August 2008 ergangen. Die Begründung des Entscheides sei jedoch erst am 19. September 2008 zugestellt worden. Da kein Dispositiv versendet worden sei, habe das kantonale Haftprüfungsverfahren zu lange gedauert. Besondere Umstände, welche die Länge des Verfahrens rechtfertigen würden, seien hier nicht gegeben. Schon deshalb sei eine sofortige Haftentlassung anzuordnen.
2.1 Unbestrittenermassen hat der Beschwerdeführer sein Haftentlassungsgesuch bei einer unzuständigen Behörde eingereicht. Es wurde unverzüglich und von Amtes wegen an die zuständige Haftprüfungsinstanz übermittelt. Die kurze Zeit, die deswegen verstrich, haben nicht die kantonalen Behörden zu verantworten. Gesuch und Haftdossier seien gemäss Darstellung des Beschwerdeführers am 31. Juli 2008 beim Obergericht eingegangen. Wie den Akten zu entnehmen ist, lud das Obergericht die Staatsanwaltschaft am 4. August 2008 zur Stellungnahme bis zum 11. August 2008 ein. Mit Eingabe vom 6. August 2008 liess sich die Staatsanwaltschaft vernehmen. Am 7. August 2008 wurde die Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft dem Beschwerdeführer übermittelt. Das Obergericht teilte diesem gleichzeitig mit, dass es vorsehe, an seiner Sitzung vom 18. August 2008 über das Haftentlassungsgesuch zu befinden. Mit Eingabe vom 12. August 2008 teilte der Beschwerdeführer dem Obergericht mit, dass er am Haftentlassungsgesuch ausdrücklich festhalte. Für den Fall, dass dieses abgewiesen würde, sei er mit dem Verbleib im (bereits bewilligten) vorzeitigen Strafvollzug einverstanden.
2.2 Am 18. August 2008 wies das Obergericht das Haftentlassungsgesuch ab. Der Beschwerdeführer räumt in seiner Replik ein, dass die Gerichtskanzlei die Verteidigung "am 3. September 2008" telefonisch darüber informiert habe, "dass das Haftentlassungsgesuch abgelehnt" worden sei "und darüber kein Dispositiv ergehe, sondern ein begründeter Beschluss erfolge". Mit Schreiben vom 11. September 2008 erkundigte sich der Beschwerdeführer nach dem Stand des Verfahrens. Gemäss den Verfahrensakten (Telefonnotiz vom 12. September 2008) wurde die Verteidigung am 12. September 2008 von der Gerichtskanzlei nochmals telefonisch orientiert. Am 18. September 2008 wurde der begründete Entscheid spediert; er ging beim Rechtsvertreter des Beschwerdeführers am 19. September 2008 ein.
2.3 Wie sich aus den Akten ergibt, hat das Obergericht knapp drei Wochen nach dem Eingang des Haftentlassungsgesuches und fünf Kalendertage nach Abschluss des Schriftenwechsels den Haftprüfungsentscheid gefällt. Dies hält nach der Praxis des Bundesgerichtes vor <ref-law> und Art. 5 Ziff. 4 EMRK stand (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 377 f.; <ref-ruling> E. 5c S. 91 f., je mit Hinweisen auf die Strassburger Praxis, insbes. EGMR vom 21. Oktober 1986 i.S. Sanchez-Reisse c. CH, Série A, vol. 107 = EuGRZ 1988 S. 523 ff.; zur betreffenden Praxis s. auch Andreas Donatsch in: Donatsch/Schmid [Hrsg.], Kommentar zur Strafprozessordnung des Kantons Zürich, Zürich 1996 ff., § 62 N. 22 f.; Marc Forster, Rechtsschutz bei strafprozessualer Haft, SJZ 94 [1998] 2 ff./35 ff., S. 36-38).
2.4 Zwar wurde die schriftliche Begründung des Entscheides erst einen Monat nach dessen Ausfällung versendet. Dies führt im vorliegenden Fall jedoch nicht zu einer Verletzung der Grundrechte: Das Haftprüfungsverfahren erfolgte, wie oben dargelegt, speditiv. Der Entscheid erging (auch ungeachtet der Hauptferienzeit im Hochsommer) innert kurzer Frist. Bereits mit Schreiben vom 7. August 2008 war der Beschwerdeführer ausdrücklich darauf aufmerksam gemacht worden, dass am 18. August 2008 entschieden werde. Spätestens am 3. September 2008 (laut Vernehmlassung des Obergerichtes auch schon 2-3 Tage nach dem 18. August 2008) wurde er vom Haftgericht unbestrittenermassen über den Ausgang des Verfahrens (Entscheiddispositiv) telefonisch informiert. Ein zusätzliches schriftliches Dispositiv hat der Beschwerdeführer nicht verlangt. Am 12. September 2008 erfolgte seitens der Gerichtskanzlei eine nochmalige mündliche Bestätigung. In diesem Zusammenhang ist keine Verletzung der Bundesverfassung oder der EMRK ersichtlich. Die schriftliche Begründung des Haftprüfungsentscheides ist ausführlich und sorgfältig. Dass die Ausfertigung des motivierten Entscheides einen Monat in Anspruch nahm, hält im vorliegenden Fall vor der Verfassung stand.
3. Der Beschwerdeführer rügt die Annahme des dringenden Tatverdachtes der vorsätzlichen Tötung (im Sinne von Art. 98 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>/AR und <ref-law>) als willkürlich. Es bestehe "nur noch ein dringender Tatverdacht auf fahrlässige Tötung".
3.1 Im Gegensatz zum erkennenden Sachrichter hat das Bundesgericht bei der Überprüfung des allgemeinen Haftgrundes des dringenden Tatverdachtes keine erschöpfende Abwägung sämtlicher belastender und entlastender Beweisergebnisse vorzunehmen. Macht ein Inhaftierter geltend, er befinde sich ohne ausreichenden Tatverdacht in strafprozessualer Haft, ist vielmehr zu prüfen, ob aufgrund der bisherigen Untersuchungsergebnisse genügend konkrete Anhaltspunkte für eine Straftat und eine Beteiligung des Beschwerdeführers an dieser Tat vorliegen, die Justizbehörden somit das Bestehen eines dringenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen durften. Im Haftprüfungsverfahren genügt dabei der Nachweis von konkreten Verdachtsmomenten, wonach das inkriminierte Verhalten mit erheblicher Wahrscheinlichkeit die fraglichen Tatbestandsmerkmale erfüllen könnte (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 146). Das Beschleunigungsgebot in Haftsachen lässt hier nur wenig Raum für ausgedehnte Beweismassnahmen. Zur Frage des dringenden Tatverdachtes bzw. zur Schuldfrage hat der Haftrichter weder ein eigentliches Beweisverfahren durchzuführen, noch dem erkennenden Strafrichter vorzugreifen. Vorbehalten bleibt allenfalls die Abnahme eines liquiden Alibibeweises (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 210 mit Hinweisen).
Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen der Ablehnung eines Haftentlassungsgesuches erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung des kantonalen Prozessrechtes frei. Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 24 mit Hinweisen).
3.2 Die wesentlichen Verdachtsgründe werden im angefochtenen Entscheid ausreichend dargelegt (vgl. auch erstinstanzliches Strafurteil des Kantonsgerichtes). Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, das Opfer (mit einem Schuss in die Brust) getötet zu haben. Entgegen seiner Auffassung ist es auch nicht völlig unhaltbar, wenn das Obergericht erwägt, es bestehe der dringende Verdacht eines vorsätzlichen bzw. eventualvorsätzlichen Verhaltens. Nach Ansicht der Vorinstanz spreche "nichts für eine fahrlässige Begehung" der Tat. "Sämtliche bisher vorliegenden Untersuchungsergebnisse" (insbesondere rechtsmedizinische Gutachten, Tatrekonstruktion sowie Aussagen des Beschwerdeführers und eines Augenzeugen) deuteten "im Gegenteil auf eine vorsätzliche Tatbegehung hin" (angefochtener Entscheid, S. 9). Die Einwendungen und Bestreitungen des Beschwerdeführers lassen den dringenden Tatverdacht nicht dahinfallen. Im Übrigen wird es Sache des erkennenden Strafgerichtes (im hängigen Appellationsverfahren) sein, nach Massgabe der zu ergänzenden Beweisergebnisse nötigenfalls eine vertiefende materiellstrafrechtliche Abgrenzung zwischen direktem Vorsatz, Eventualvorsatz und bewusster Fahrlässigkeit zu treffen.
4. Auch die Rüge, die Vorinstanz habe den Haftgrund des dringenden Tatverdachtes nicht ausreichend motiviert und dadurch das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt, erweist sich als unbegründet. Im angefochtenen Entscheid wird der dringende Tatverdacht eines Tötungsdeliktes rechtsgenüglich begründet. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers beschränkt sich die Vorinstanz nicht auf den "lapidaren" Hinweis, er habe "eingestanden", das Opfer erschossen zu haben. Wie oben dargelegt, befasste sich das Obergericht auch ausdrücklich mit der Frage des subjektiven Tatbestandes und mit den übrigen Beweisergebnissen (vgl. angefochtener Entscheid, S. 8 E. 5.3, sowie S. 9 unten). Der Beschwerdeführer konnte den betreffenden Erwägungen die wesentlichen Gründe entnehmen, weshalb die Vorinstanz den dringenden Tatverdacht als erfüllt ansah. Es ist denn auch nicht ersichtlich, inwiefern die Begründung des angefochtenen Entscheides es dem Beschwerdeführer geradezu verunmöglicht hätte, den Rechtsweg wirksam zu beschreiten. Dass die Vorinstanz den Einwendungen des Beschwerdeführers inhaltlich nicht gefolgt ist (und sich auch nicht mit dessen sämtlichen Argumenten ausnahmslos und ausdrücklich befasst hat), begründet keine Verletzung von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 277; <ref-ruling> E. 3.2 S. 236, je mit Hinweisen).
5. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer eine übermässige Haftdauer.
5.1 Gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich abgeurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Sie liegt dann vor, wenn die Haftfrist die mutmassliche Dauer der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion übersteigt. Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer ist namentlich der Schwere der untersuchten Straftaten Rechnung zu tragen. Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 170, 270 E. 3.4.2 S. 281, je mit Hinweisen). Im Weiteren kann eine Haft die zulässige Dauer auch dann überschreiten, wenn das Strafverfahren nicht genügend vorangetrieben wird, wobei sowohl das Verhalten der Justizbehörden als auch dasjenige des Inhaftierten in Betracht gezogen werden müssen. Gemäss der übereinstimmenden Rechtsprechung des Bundesgerichtes und des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte ist die Frage, ob eine Haftdauer als übermässig bezeichnet werden muss, aufgrund der konkreten Verhältnisse des einzelnen Falles zu beurteilen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 170 f., 270 E. 3.4.2 S. 281; <ref-ruling> E. 4.1 S. 27 f., je mit Hinweisen).
5.2 Dem Beschwerdeführer wird ein Kapitalverbrechen zur Last gelegt. Vorsätzliche Tötung wird mit Freiheitsstrafe nicht unter fünf Jahren und bis zu 20 Jahren sanktioniert (Art. 111 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer wurde erstinstanzlich zu neun und zweitinstanzlich zu zehn Jahren Freiheitsstrafe verurteilt. Zwar hat das Bundesgericht den Entscheid des Obergerichtes vom 10. Juli 2007 aufgehoben und die Strafsache zu weiteren Beweisabklärungen (förmliche Zeugeneinvernahme eines unbeteiligten Augenzeugen) und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückgewiesen. Dem Bundesgerichtsurteil (6B_219/2008 vom 14. Juli 2008) lassen sich jedoch keine Erwägungen entnehmen, die eine viel tiefere Freiheitsstrafe oder gar einen Freispruch als wahrscheinlich erscheinen liessen. Nach dem Gesagten ist die bisherige Haftdauer von gut dreieinhalb Jahren noch nicht in grosse Nähe der Freiheitsstrafe gerückt, die dem Beschwerdeführer im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung droht.
5.3 Der Beschwerdeführer beanstandet "Verfahrensmängel" des Strafprozesses. Er nennt diese Mängel jedoch in der Beschwerdeschrift nicht, sondern verweist diesbezüglich auf sein Haftentlassungsgesuch im kantonalen Haftprüfungsverfahren. Es kann offen bleiben, ob diesbezüglich die prozessualen Anforderungen von <ref-law> erfüllt wären. Auch die im Haftentlassungsgesuch genannten zusätzlichen Vorbringen begründen keine Überhaft im Sinne der oben dargelegten Rechtsprechung:
Dies gilt insbesondere für das Argument, die Aufhebung des Appellationsentscheides des Obergerichtes vom 10. Juli 2007 führe zu einer unzulässigen Verzögerung des Strafverfahrens. Dass das Bundesgericht (mit Urteil vom 14. Juli 2008) weitere Beweisabklärungen für verfassungsrechtlich notwendig angesehen hat, bedeutet nicht automatisch, dass die kantonalen Behörden das Verfahren dermassen verschleppt hätten, dass eine sofortige Haftentlassung des Beschwerdeführers geboten wäre. Das Tötungsdelikt wurde am 28. Februar 2005 begangen. Anderthalb Jahre später, am 28. August 2006, erfolgte das erstinstanzliche Strafurteil des Kantonsgerichtes. Sowohl die Strafuntersuchung als auch das erstinstanzliche Gerichtsverfahren sind nach den vorliegenden Akten sehr speditiv durchgeführt worden. Das erstinstanzliche Urteil wurde nicht rechtskräftig, weil der Beschwerdeführer Appellation und die Staatsanwaltschaft Anschlussappellation erhoben haben. Weniger als ein Jahr nach dem erstinstanzlichen Urteil, nämlich am 10. Juli 2007, wurde der Appellationsentscheid des Obergerichtes gefällt. Diesen focht der Beschwerdeführer mit Beschwerde beim Bundesgericht an. Zwar mag es zutreffen, dass ein rechtskräftiges Urteil vermutlich früher hätte erfolgen können, falls die kantonalen Behörden die vom Bundesgericht verlangten weiteren Beweisvorkehren bereits getroffen hätten. Bei gesamthafter Betrachtung des bisherigen Verfahrens sind jedoch keine schweren prozessualen Versäumnisse im Sinne der dargelegten Bundesgerichtspraxis erkennbar, welche eine sofortige Haftentlassung des Beschwerdeführers rechtfertigen würden. Dabei ist auch der Schwere des Tatvorwurfes Rechnung zu tragen, der erstinstanzlichen Verurteilung zu neun Jahren Freiheitsstrafe, der Tatsache, dass die gesamte Dauer der strafprozessualen Haft an den allfälligen Strafvollzug anzurechnen sein wird (<ref-law>), sowie dem Umstand, dass die bisherige Haftdauer noch nicht in grosse Nähe der Freiheitsstrafe gerückt ist, die dem Beschwerdeführer im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung droht.
6. Die Beschwerde ist abzuweisen.
Dem ausreichend begründeten Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung ist zu entsprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt:
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Rechtsanwalt Markus Raess wird als unentgeltlicher Rechtsvertreter ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit einem Honorar von Fr. 1'500.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht, 1. Abteilung, des Kantons Appenzell Ausserrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Oktober 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster