Faits:
A.
A.a. La société X._ SA, avec siège à T._, inscrite au Registre du commerce de T._ le 15 mars 2002, avait pour but l'exploitation d'un bureau de placement de personnel toutes professions. Son conseil d'administration était présidé par A._; sa fille, B._ en a été membre depuis la fondation de la société jusqu'au 5 mars 2009. L'organe de révision de X._ SA était la société Fiduciaire Y._ SA, dont C._ était l'administrateur. Affiliée en tant qu'employeur à la Caisse interprofessionnelle neuchâteloise de compensation pour l'industrie, le commerce et les arts et métiers (ci-après: la caisse), la société X._ SA a connu des difficultés financières; sa faillite a été prononcée le 30 avril 2009 et clôturée le 26 avril 2012.
A.b. Par décision du 10 février 2010, la caisse a réclamé à A._ le paiement d'un montant de 360'464 fr. 10 à titre de réparation du dommage résultant du non-paiement de cotisations AVS/AI/APG/AC, de cotisations au régime des allocations familiales, de frais administratifs et de poursuite, de taxes de sommation et d'intérêts moratoires. A la suite de l'opposition du prénommé, la caisse a réduit à 337'990 fr. 05 la somme dont le remboursement était demandé (décision sur opposition du 17 décembre 2010).
A.c. Le 23 février 2011, la caisse a également requis de B._ qu'elle s'acquitte d'un montant de 296'357 fr. 95 à titre de réparation du dommage résultant du non-paiement de cotisations AVS/AI/APG/AC, de cotisations au régime des allocations familiales, de frais administratifs et de poursuite, de taxes de sommation et d'intérêts moratoires. Saisie d'une opposition de l'intéressée, elle l'a rejetée par décision du 21 juillet 2011.
B.
Chacun de leur côté, A._ et B._ ont déféré la décision les concernant au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, qui a joint les deux causes. Le Tribunal cantonal a requis du Ministère public neuchâtelois le dossier relatif à la procédure pénale dirigée contre A._ et C._.
Statuant le 12 juillet 2012, le Tribunal cantonal a admis partiellement les recours (ch. 2 du dispositif de son jugement). D'une part, il a annulé la décision du 17 décembre 2010 concernant A._ (ch. 3 du dispositif), statué que celui-ci était en principe responsable du dommage causé à l'intimée du fait du non-paiement des cotisations sociales par X._ SA (ch. 4 du dispositif) et renvoyé la cause le concernant à la caisse pour nouvelle décision au sens des considérants (ch. 5 du dispositif). Il a, d'autre part, réformé la décision du 21 juillet 2011 en ce sens que B._ était tenue de réparer le dommage causé à l'intimée à hauteur de 275'055 fr. 15 (ch. 6 du dispositif). Il a par ailleurs réservé la rétrocession par l'intimée à A._ et B._ de tout montant éventuel susceptible de réduire le dommage en cause, en particulier un éventuel dividende perçu dans la liquidation de la faillite de X._ SA (ch. 7 du dispositif) et alloué aux recourants une indemnité de dépens globale de 800 fr. à la charge de l'intimée (ch. 8 du dispositif), alors qu'il a statué sans frais (ch. 9 du dispositif).
C.
Par un mémoire commun, B._ et A._ interjettent un recours en matière de droit public contre ce jugement.
Sous suite de frais et dépens, B._ conclut principalement à l'annulation des chiffres 2, 6, 7 et 8 du dispositif du jugement cantonal et des décisions de la caisse des 23 février et 21 juillet 2011, ainsi qu'à ce qu'il soit dit qu'elle n'est pas responsable de la survenance du préjudice subi par la caisse. A titre subsidiaire, elle conclut à ce qu'il soit dit qu'elle n'est plus redevable d'aucune somme d'argent en faveur de la caisse; plus subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale afin qu'elle procède aux compléments d'instruction nécessaires avant de statuer à nouveau.
De son côté, sous suite de frais et dépens, A._ conclut principalement à l'annulation des chiffres 2, 3, 4, 5, 7 et 8 du dispositif de l'arrêt cantonal et des décisions de la caisse des 10 février et 17 décembre 2010, ainsi qu'à ce qu'il soit dit qu'il n'est plus redevable d'aucune somme d'argent en faveur de la caisse. Il requiert, subsidiairement, le renvoi de la cause à la juridiction cantonale afin qu'elle procède aux compléments d'instruction nécessaires avant de statuer à nouveau.
D.
Les recourants ont tous deux été invités à verser une avance de frais; seule B._ s'est acquittée de celle-ci.
La caisse a conclu à l'irrecevabilité du recours de A._ et à l'admission partielle du recours de B._, en ce sens que le montant dont celle-ci est redevable s'élève à 191'063 fr. S'exprimant sur la détermination de la caisse, B._ a confirmé les conclusions de son recours.

Considérant en droit:
1.
Chacun des recourants a été invité à verser une avance de frais en garantie des frais de justice présumés, avec l'avertissement que si l'avance de frais n'était pas versée avant l'expiration du délai fixé, leurs conclusions seraient déclarées irrecevables. A._ n'a pas versé la garantie requise. En application de l'<ref-law>, et conformément à l'avertissement précité, son recours doit être déclaré irrecevable.
Le recours formé par B._ remplit en revanche les conditions de recevabilité du recours en matière de droit public, en particulier celle relative à la valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. (<ref-law>; cf. <ref-ruling>), de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière sur son écriture.
2.
2.1. La IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral connaît des décisions en réparation du dommage au sens de l'<ref-law> (<ref-law> et 35 let. a RTF). Cela vaut également lorsque la réparation du dommage comporte - comme en l'espèce - des cotisations impayées aux caisses d'allocations familiales régies par le droit cantonal (arrêt 9C_704/2007 du 17 mars 2008 consid. 1, non publié in <ref-ruling>).
2.2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
3.
Le litige porte sur la responsabilité de B._ dans le préjudice subi par l'intimée en raison du non-paiement des cotisations sociales jusqu'à sa sortie du conseil d'administration de la société X._ SA (le 5 mars 2009), le dommage ayant été fixé à 275'055 fr. 15 par la juridiction cantonale. Le jugement entrepris expose de manière complète les normes légales et la jurisprudence applicables en matière de responsabilité de l'employeur au sens de l'<ref-law>, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
4.
Les premiers juges ont constaté que la recourante avait été membre du conseil d'administration de X._ SA jusqu'au 5 mars 2009, de sorte qu'elle avait la qualité d'organe formel de la société. Outre le fait que le principe d'indépendance des organes de révision (<ref-law>) n'avait pas été respecté, puisque la gestion effective de la société avait été confiée à C._ (qui était aussi administrateur de l'organe de révision de X._ SA), ils ont retenu que la recourante avait commis une violation de son devoir de diligence, en raison de son comportement passif. Elle avait en effet accepté un mandat d'administrateur en sachant qu'elle ne pourrait pas le remplir consciencieusement ou en le conservant alors qu'elle était incapable d'en remplir les attributions légales.
Selon les premiers juges, même si C._ avait commis des malversations dans la gestion de X._ SA (hypothèse réalisée ou non), cela ne pouvait exonérer la recourante de sa propre responsabilité, puisqu'elle aurait dû exercer son devoir de surveillance avec d'autant plus de diligence qu'elle avait créé une confusion illégale entre l'administration de sa société et son organe de révision. A tout le moins, il lui incombait de s'assurer que les cotisations aux assurances sociales étaient régulièrement payées et elle ne pouvait s'en remettre simplement au rapport d'un organe de révision assumant lui-même la gestion de la société. La juridiction cantonale a nié qu'au regard du devoir accru de surveillance résultant de cette situation, les agissements de C._ auraient rompu le lien de causalité entre le dommage subi par l'intimée et le comportement de la recourante (et de son père). La négligence grave de celle-ci était donc avérée et sa responsabilité clairement engagée. Les premiers juges ont par conséquent condamné la recourante à s'acquitter de 275'055 fr. 15 à titre de réparation du dommage, montant fixé en fonction des décomptes produits par l'intimée sur la base de décisions de cotisations payables avant le 5 mars 2009.
5.
5.1. Reprochant tout d'abord aux premiers juges d'avoir constaté les faits de manière manifestement inexacte et d'avoir apprécié arbitrairement les preuves, la recourante soutient qu'ils auraient dû retenir que C._ s'était rendu coupable de faux dans les titres et de gestion fautive: il avait admis avoir confectionné de faux rapports de révision et bilans pour les exercices 2006 et 2007, et été condamné pour ces infractions par jugement du Tribunal de police de Z._ et de W._ du 28 juin 2011. La recourante en déduit qu'aucune négligence ne peut être retenue à son encontre, puisqu'en présence de faux documents, en particulier de rapports de révision falsifiés, elle n'était pas en mesure de se rendre compte des irrégularités commises par la Fiduciaire Y._ SA, agissant par C._, lesquelles étaient en soi de nature à interrompre tout lien de causalité entre son comportement et le préjudice subi par l'intimée.
5.2. Les griefs de la recourante sont mal fondés. Contrairement à ce qu'elle prétend, l'ouverture d'une procédure pénale à l'encontre de C._ en avril 2011 n'a aucune incidence sur la négligence grave dont elle a fait preuve. Les agissements de celui-ci étaient étrangers au devoir de diligence qui était le sien à partir de son entrée au conseil d'administration de X._ SA. Même si la recourante n'est, de son propre aveu, pas intervenue activement dans l'administration de la société, elle était tenue en tant que membre du conseil d'administration de X._ SA (<ref-law>), d'exercer la haute surveillance sur les personnes chargées de la gestion de la société, attribution intransmissible et inaliénable (<ref-law>). Entre autres obligations, il lui incombait de se mettre régulièrement au courant de la marche des affaires et de veiller personnellement à ce que les cotisations paritaires afférentes aux salaires versés fussent effectivement payées à l'AVS (arrêt H 92/01 du 25 septembre 2002, in SVR 2003 AHV n° 5 p. 14 consid. 5.3.2). La recourante avait le devoir d'exercer ses attributions conformément à son obligation de diligence aussi longtemps qu'elle était membre du conseil d'administration de la société en question.
Quand bien même C._ a été reconnu coupable de faux dans les titres et gestion fautive par jugement du 28 juin 2011 (cf. procès-verbal d'audition devant la Police neuchâteloise du 5 septembre 2011) - il convient ici de compléter les faits constatés par les premiers juges (cf. <ref-law>) -, cela n'explique pas pourquoi la recourante n'a effectué aucun contrôle, ni ne s'est informée sur l'activité des personnes chargées de la gestion de la société. Elle ne saurait, par ailleurs, excuser le fait qu'elle n'a rien entrepris de concret pour obtenir des renseignements sur l'administration de X._ SA, singulièrement sur le paiement des cotisations sociales, en affirmant qu'elle n'aurait de toute façon pas été en mesure - eût-elle contrôlé les activités de C._ - de se rendre compte des irrégularités commises en présence de rapports de révision falsifiés. Il s'agit d'une simple allégation qui ne suffit pas à établir, selon la vraisemblance prépondérante, une rupture du lien de causalité entre son comportement et le dommage subi par l'intimée. Au demeurant, on précisera que C._ a déclaré à la Police neuchâteloise que sa fiduciaire n'avait pas porté "[à la connaissance de l'administration de X._ SA par un écrit officiel] ces problèmes d'arriérés en relation avec les charges sociales, ceux-ci étant évoqués quasi journellement avec M. A._." (procès-verbal du 5 septembre 2011, p. 3 et 4). Rien ne permet dès lors d'admettre, sans autres indices contraires, que C._ aurait tu à la recourante "les problèmes d'arriérés" dont il parlait apparemment avec son père, si elle avait cherché à s'informer sur la situation de X._ SA, quelles que soient les indications effectives ayant fait l'objet du rapport de révision.
6.
6.1. Invoquant à la fois une violation du principe inquisitoire, une violation de son droit d'être entendue et l'arbitraire dans l'appréciation des preuves, la recourante conteste ensuite le montant du dommage qui lui est imputable. Elle fait avant tout valoir que la juridiction cantonale n'a pas pris en considération les arguments qu'elle avait invoqués relatifs aux versements effectués à l'intimée du 1 er janvier 2007 au 26 mars 2008 pour un montant total de 648'741 fr. 90, dont elle avait dûment produit les attestations et que la caisse n'aurait pas comptabilisé. Elle soutient également que les deux décomptes sur lesquels s'est fondée la juridiction cantonale pour chiffrer le montant du dommage font apparaître un total différent (294'521 fr. 75) de celui retenu par les premiers juges (296'357 fr. 95) et que la somme finalement due devrait être corrigée en conséquence.
6.2. En ce qui concerne le montant du dommage imputé à la recourante, qu'elle a chiffré à 275'055 fr. 15, la juridiction cantonale a constaté que les deux décomptes (deux documents "détail du compte" du 6 octobre 2011) sur lesquels était fondée la décision sur opposition du 21 juillet 2011 se rapportaient à des décisions de cotisations rendues entre le 14 mars 2007 et le 20 février 2009; les décisions postérieures à cette date indiquaient un solde en faveur de l'employeur (en particulier, les décisions du 22 juin et des 18 et 19 août 2011). Elle a retenu que la recourante ne pouvait pas être tenue pour responsable des montants de cotisations faisant l'objet de la décision du 20 février 2009, payables jusqu'au 10 mars 2009, puisqu'elle avait démissionné du conseil d'administration de X._ SA avec effet au 5 mars 2009. Aussi, une somme de 21'302 fr. 80 devait-elle être retranchée du montant faisant l'objet de la décision du 21 juillet 2011, ce qui revenait à un total de 275'055 fr. 15 en faveur de l'intimée.
6.3. Il est vrai que les constatations de la juridiction cantonale ne portent pas sur les versements dont se prévaut la recourante. Il ressort toutefois du dossier de l'intimée - et il convient de compléter d'office les faits pertinents (consid. 2.2 supra) -, singulièrement du document "Extrait de compte du 1 er janvier 2001 au 9 août 2011", transmis par la caisse à X._ SA en liquidation le 9 août 2011, que les sommes mentionnées par la recourante ont dûment été comptabilisées par la caisse. On retrouve en effet dans l'extrait de compte les divers versements de la société dans la colonne "Crédit", qui viennent en déduction du solde des cotisations dues à la caisse. Figurent, par exemple, dans l'extrait de compte les montants de 23'134 fr. 90 ("Paiement BVR du 05.02.2007" correspondant à l'avis de débit de la Banque V._ du 31 janvier 2007 produit par A._ en instance cantonale) et de 31'723 fr. 85 ("Paiement du 27.04.2007" correspondant à l'avis de débit de la Banque V._ du 26 avril 2007 produit par A._ en instance cantonale).
Selon les explications de l'intimée en procédure cantonale (cf. observations du 4 février 2011) et fédérale, corroborées par l'extrait de compte en question, le montant qu'elle a finalement réclamé à A._, respectivement à la recourante, correspond au solde des cotisations paritaires encore dues après déduction de l'ensemble des sommes versées par la société (ainsi que de compensations en fonction d'une diminution de la masse salariale effective), y compris donc du montant invoqué de 648'741 fr. 90. Les deux "détail du compte" du 6 octobre 2011 ne mentionnent que les cotisations finalement impayées, sans indiquer les montants dont la société s'était acquittée précédemment et qui ont été déduits de la créance de l'intimée. Par conséquent, la recourante ne peut rien tirer en sa faveur des versements invoqués, de sorte que son grief tombe à faux.
6.4. En revanche, l'argumentation de la recourante concernant le montant du dommage dont le remboursement lui est réclamé, tel que résultant des deux décomptes mentionnés par la juridiction cantonale, est pertinente. Le total des deux soldes indiqués dans chacun des "détail du compte" (du 6 octobre 2011) auxquels se sont référés les premiers juges correspond en effet à 294'521 fr. 75 (63'111 fr. 95 + 231'409 fr. 80) et non pas à 296'357 fr. 95, somme figurant dans la décision initiale du 23 février 2011. C'est donc du montant de 294'521 fr. 75 que l'autorité cantonale de recours aurait dû déduire les sommes de 15'239 fr. 75 et de 6'063 fr. 05, ayant fait l'objet des décisions de cotisations du 20 février 2009.
Par ailleurs, doivent également être retranchés de la somme de 294'521 fr. 75 les montants réclamés par les décisions de cotisations des 25 février 2009 (146 fr. 45), 3 mars 2009 (92 fr. 05), et 10 mars 2009 (81'917 fr. 45), puisque leur échéance de paiement était postérieure à la date de démission de la recourante du conseil d'administration de X._ SA (cf. <ref-law>), comme l'admet l'intimée dans ses déterminations en instance fédérale. C'est donc un montant total de 103'458 fr. 75 qui doit être déduit de la somme de 294'521 fr. 75, pour arriver à un solde de 191'063 fr.
Il convient dès lors de modifier le jugement entrepris (ch. 6 du dispositif) en ce sens que le montant dû par la recourante à l'intimée à titre de réparation du dommage s'élève à 191'063 fr. Dans cette mesure, le recours est bien fondé.
7.
Compte tenu de l'issue du litige, dans lequel la recourante obtient partiellement gain de cause, les frais de justice sont mis pour trois quarts à la charge de la recourante et pour un quart à la charge de l'intimée (<ref-law>). Celle-ci versera en outre à la recourante une indemnité de dépens réduite pour la procédure fédérale.
L'issue du litige n'a en revanche pas d'incidence sur la répartition des dépens de première instance, au regard des conclusions de la recourante qui demandait à la juridiction cantonale d'annuler les décisions de la caisse des 23 février et 21 juillet 2011 (cf. art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours de A._ est irrecevable.
2.
Le recours de B._ est partiellement admis. Le ch. 6 du dispositif de la décision du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, du 12 juillet 2012 est réformé en ce sens que la recourante est tenue de réparer le dommage causé à l'intimée à hauteur de 191'063 fr. Le recours est rejeté pour le surplus.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 8'000 fr., sont mis pour 6'000 fr. à la charge de la recourante et pour 2'000 fr. à la charge de l'intimée.
4.
L'intimée versera à la recourante la somme de 1'800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 juin 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless