Sachverhalt:
A. Die 1962 geborene S._ war zuletzt als Serviceangestellte und Verkäuferin tätig. Als Folge eines Unfalls mit dem Motorroller zog sie sich am 13. Dezember 2003 eine komplexe Fraktur am linken Knie zu. Am 4. August 2004 meldete sie sich zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Bei einem weiteren Unfall vom 13. März 2006 erlitt sie eine Unterschenkelfraktur links. Nach medizinischen Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 1. Juni 2009 wegen eines unter 40 Prozent liegenden Invaliditätsgrades den Anspruch auf eine Invalidenrente.
B. S._ liess hiegegen Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr mit Wirkung ab 1. Dezember 2004 eine Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Arbeitsunfähigkeit durch ein neutrales medizinisches Gutachten abzuklären. Mit Entscheid vom 12. Mai 2010 hiess die sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern die Beschwerde gut und hob die Verfügung vom 1. Juni 2009 auf; sie wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit sie weitere Abklärungen im Sinne der Erwägungen treffe und anschliessend über den Rentenanspruch von Dezember 2004 bis Dezember 2006 neu verfüge. Für die Zeit ab Januar 2007 stellte sie einen Anspruch auf eine Viertelsrente fest.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle die Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids mit der Feststellung, dass die Versicherte für die Zeit vom 1. November 2004 (recte: 2006) bis 30. Juni 2008 Anspruch auf eine (befristete) Viertelsrente habe. Überdies ersucht sie darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, soweit darauf einzutreten ist; eventuell sei ihr ab 1. Dezember 2004 eine Viertelsrente zuzusprechen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Das kantonale Gericht schliesst unter Verzicht auf eine Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.
D. Mit Verfügung vom 29. September 2010 hat die Instruktionsrichterin der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen Endentscheide, das heisst gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>), und gegen Teilentscheide, die nur einen Teil der gestellten Begehren behandeln, wenn diese unabhängig von den anderen beurteilt werden können, oder die das Verfahren nur für einen Teil der Streitgenossen und Streitgenossinnen abschliessen (<ref-law>). Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist hingegen die Beschwerde nur zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (<ref-law>), einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, sind Zwischenentscheide, die nur unter den genannten Voraussetzungen beim Bundesgericht angefochten werden können (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.). Anders verhält es sich nur dann, wenn der unteren Instanz, an welche zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1).
2. 2.1 In Bezug auf die Verneinung eines Leistungsanspruchs für die Zeit ab Beginn eines allfälligen Rentenanspruchs am 1. Dezember 2004 bis Dezember 2006 hat das kantonale Gericht die Sache zur näheren Abklärung im Sinne der Erwägungen an die Verwaltung zurückgewiesen. In den Erwägungen führte es aus, die Arbeitsfähigkeit in einer Verweistätigkeit könne für diesen Zeitraum mangels klarer Aussagen in den medizinischen Unterlagen nicht beurteilt werden. Es seien daher zusätzliche Abklärungen notwendig. Insoweit liegt ein Zwischenentscheid vor, der nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG angefochten werden kann.
2.2 Der angefochtene Entscheid betrifft nicht im Sinne von <ref-law> die Zuständigkeit oder den Ausstand und ist somit nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> selbstständig anfechtbar. Die Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zu ergänzender oder weiterer Abklärung und neuer Entscheidung bewirkt in der Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.2.1 und 5.2.2 S. 483 sowie Urteil I 126/07 vom 6. August 2007 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2008 IV Nr 31 S. 100), und zwar selbst dann nicht, wenn die vorinstanzliche Feststellung, der rechtserhebliche Sachverhalt sei ungenügend abgeklärt, offensichtlich unrichtig oder Ergebnis unhaltbarer Beweiswürdigung wäre (Urteil 9C_588/2010 vom 3. November 2010 E. 1.3 mit Hinweisen).
2.3 Die streitige Rückweisung enthält keine materiellen Anweisungen, welche die IV-Stelle zwingen würden, eine ihrer Ansicht nach rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten, soweit gerügt wird, die vorinstanzliche Rückweisung zu weiterer Abklärung der Anspruchsberechtigung für die Zeit von Dezember 2004 bis Dezember 2006 sei unnötig und die Sache spruchreif, zumal die vorinstanzlich angeordnete Abklärung zu keinem bedeutenden Aufwand im Sinne von <ref-law> führt.
3. 3.1 Für die Zeit ab 1. Januar 2007 hat die Vorinstanz einen materiellen Entscheid getroffen und den Anspruch der Versicherten auf eine Viertelsrente festgesetzt. Die Beschwerdeführerin anerkennt den kantonalen Gerichtsentscheid ausdrücklich, soweit dieser für die Zeit von Januar 2007 bis Februar 2008 aufgrund einer 50 prozentigen Arbeitsfähigkeit in angepasster Verweistätigkeit mittels Einkommensvergleich einen Invaliditätsgrad von 46.7 Prozent feststellt. Hingegen erweist sich ihrer Ansicht nach die Zusprechung einer unbefristeten Viertelsrente aufgrund des im März 2008 eingetretenen Revisionstatbestandes als bundesrechtswidrig.
3.2 Steht eine Dauerleistung während einer längeren Zeitperiode zur Diskussion und hat die Vorinstanz nur für einen Teil dieses Zeitraums in der Sache entschieden, so liegt grundsätzlich ein Teilentscheid vor, der selbstständig anfechtbar ist (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 146). Nach der Rechtsprechung ist denn auch ein Entscheid, mit welchem eine Vorinstanz des Bundesgerichts eine bestimmte, vorangehende Teilperiode des Rentenanspruchs materiell abschliessend beurteilt und für eine darauf folgende Teilperiode die Sache zu neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückweist, in Bezug auf die materiell abschliessend beurteilte Phase ein Teilentscheid, der selbstständig rechtskräftig wird und später nicht mehr angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 1.4.6 S. 147). Anders verhält es sich hingegen bei einem Entscheid, mit welchem eine Vorinstanz des Bundesgerichts - wie vorliegend - für eine vorangehende Teilperiode des Rentenanspruchs die Sache zu neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückweist und für eine darauf folgende Teilperiode den Rentenanspruch abschliessend beurteilt. In einem solchen Fall liegt gesamthaft ein Zwischenentscheid vor, der nur unter den Voraussetzungen der Art. 92 oder 93 BGG angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 5.3 S. 151).
3.3 Hat die Vorinstanz in Bezug auf die vorangehende Periode des Rentenanspruchs zurückgewiesen, in Bezug auf die darauf folgende Zeitspanne aber einen materiellen Entscheid gefällt, ist aus spezifischen sozialversicherungsrechtlichen Gründen ein abschliessender materieller Entscheid für die folgende Phase nicht zulässig. Denn Streitgegenstand ist der Rentenanspruch als Ganzes (<ref-ruling> E. 5.2 S. 150 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.2 S. 165; <ref-ruling> E. 2 S. 415 ff.). Da die Rentenrevision nach <ref-law> (SR 830.1) eine Änderung in medizinischer oder erwerblicher Hinsicht voraussetzt, kann die Rente für eine folgende Teilperiode nicht endgültig festgelegt werden, solange sie für die vorangehende Teilperiode nicht rechtskräftig beurteilt ist. Im Lichte der Einheit des Rentenverhältnisses (BGE <ref-ruling>) ist daher grundsätzlich davon abzusehen, eine spätere Periode materiell zu beurteilen, solange in Bezug auf einen vorangehenden Anspruchszeitraum die Sache noch zu näheren Abklärungen zurückgewiesen wird. Geschieht dies trotzdem, so liegt hinsichtlich der materiell beurteilten späteren Phase ebenfalls ein Zwischenentscheid vor.
3.4 In <ref-ruling> E. 5.2 S. 151 hat das Bundesgericht erwogen, es seien zwar durchaus Konstellationen denkbar, in denen das Vorliegen der Revisionsvoraussetzungen auf der Hand lägen oder es sonst wie möglich wäre, die folgende Phase zu beurteilen, auch wenn die vorangehende noch nicht endgültig beurteilt sei. Nach Auffassung des Bundesgerichts würde es jedoch zu unpraktikablen Differenzierungen und entsprechender Rechtsunsicherheit führen, die Anfechtbarkeit von der Konstellation im Einzelfall abhängig zu machen. Im Hinblick auf die erhebliche Auswirkung der Unterscheidung (selbstständiges Rechtskräftigwerden bei Unterlassung der Anfechtung bei Teilentscheiden; spätere Anfechtbarkeit bei Zwischenentscheiden) ist eine möglichst klare Regelung erforderlich, weshalb von derartigen Differenzierungen abzusehen ist.
3.5 Im Unterschied zum in <ref-ruling> beurteilten Fall hat vorliegend nicht die versicherte Person, sondern die Verwaltung Beschwerde erhoben. Diese beruft sich auf die Rechtsprechung (Urteil 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.2, 5.2.1 - 5.2.4 S. 483 ff.), wonach die Verwaltung bzw. der Versicherungsträger, wenn sie durch den Rückweisungsentscheid gezwungen werden, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen, bereits diesen Entscheid anfechten können und nicht den Endentscheid abwarten müssen. Diese Rechtsprechung kommt jedoch nicht zur Anwendung, wenn aus materiellrechtlichen Gründen über ein Rechtsverhältnis (hier: Rentenanspruch) nicht endgültig entschieden werden kann, solange der Anspruch auf eine vorangehende Teilperiode nicht feststeht (vgl. dazu BGE <ref-ruling>). In einem solchen Fall ist der Entscheid über eine spätere Phase für die Verwaltung nicht bindend. Diese wird vielmehr über den rückwirkenden befristeten und/oder abgestuften Rentenanspruch aus einem einheitlichen Beschluss heraus neu zu befinden haben (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.4 S. 146; <ref-ruling> E. 2.3.3 S. 166).
3.6 Da der Beurteilungsspielraum der IV-Stelle bezüglich des streitigen Rentenanspruchs durch den angefochtenen Entscheid nach dem oben Ausgeführten nicht eingeschränkt wird, entsteht ihr kein nicht wieder gutzumachender Nachteil. Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten. Die Beschwerdeführerin wird die von der Vorinstanz angeordneten Abklärungen treffen und neu verfügen. Das Bundesgericht wird darüber zusammen mit dem Endentscheid befinden können (<ref-law>).
4. 4.1 Wenn auch auf die Beschwerde nicht einzutreten ist, bleibt dennoch darauf hinzuweisen, dass die Vorinstanz im Zusammenhang mit dem im Rahmen der Invaliditätsbemessung ab März 2008 vorzunehmenden Abzug vom statistischen Tabellenlohn (<ref-ruling>) den Akten zuwiderlaufende Ausführungen gemacht hat.
4.2 Ist über die ärztliche Bezeichnung des massgebenden Pensums hinaus zusätzlichen Einschränkungen - wie vermindertes Rendement pro Zeiteinheit wegen verlangsamter Arbeitsweise, Bedarf nach ausserordentlichen Pausen - Rechnung zu tragen oder ist die funktionelle Einschränkung ihrer besonderen Natur nach nicht ohne weiteres mit den Anforderungen vereinbar, vermag dieser Umstand zwar grundsätzlich einen leidensbedingten Abzug zu begründen (Urteil 9C_119/2008 vom 16. Juli 2008 E. 2.3.1). Zu beachten ist jedoch, dass allfällige bereits in der Beurteilung der medizinischen Arbeitsfähigkeit enthaltene gesundheitliche Einschränkungen nicht zusätzlich in die Bemessung des leidensbedingten Abzuges einfliessen und so zu einer doppelten Anrechnung desselben Gesichtspunktes führen.
4.3 Wie sich aus den diesbezüglich unmissverständlichen Angaben des Dr. med. H._ im Gutachten vom 8. Juni 2008 und der ergänzenden Stellungnahme vom 20. März 2010 ergibt, hat dieser - entgegen den Feststellungen der Vorinstanz - bei der Festlegung der Arbeitsfähigkeit auf 60 Prozent nicht nur den erhöhten Pausenbedarf (insgesamt 2 1⁄2 Stunden bezogen auf einen normalen Arbeitstag von 8 1⁄2 Stunden), sondern auch das reduzierte Arbeitstempo mitberücksichtigt. Eine zusätzliche Veranschlagung der verlangsamten Arbeitsweise unter dem Titel des leidensbedingten Abzugs im Sinne von <ref-ruling> würde somit zu einer doppelten Anrechnung desselben Faktors führen.
5. Die Gerichtskosten sind bei diesem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Sie hat ausserdem der Beschwerdegegnerin deren Parteikosten für das vorliegende Verfahren zu ersetzen (<ref-law>). Damit wird deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Januar 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer