Faits:
A. A.a Le 14 janvier 1981, Y._ a conclu avec la Société immobilière A._ un contrat de travail portant sur le service de conciergerie à temps partiel de l'immeuble propriété de ladite société à Genève. Ce contrat prévoyait un salaire mensuel brut de 275 fr. et la mise à disposition, pour un loyer de 500 fr. par mois, charges comprises, d'un appartement de 3 pièces sis au premier étage de l'immeuble, qui était désigné comme un logement de service.
Le 16 novembre 1995, les parties ont signé un nouveau contrat de travail pour le service de conciergerie, qui fixait le salaire mensuel à 490 fr., ainsi qu'un contrat de bail portant sur le logement de 3 pièces, qui était désigné comme un appartement de service lié au contrat de travail et dont le loyer était fixé à 505 fr. par mois, charges comprises.
X._ SA est devenue par la suite propriétaire de l'immeuble. Le salaire de conciergerie a été fixé en dernier lieu à 510 fr. par mois, montant auquel s'ajoutent 49 fr. 05 à titre d'indemnité pour les vacances. Quant au loyer, il a été fixé en dernier lieu à 545 fr. par mois, charges comprises.
A.b Par courrier du 9 février 2006, le représentant de la bailleresse s'est étonné auprès de Y._ de la présence d'une remplaçante comme concierge de l'immeuble et lui a fixé un rendez-vous le 16 février 2006. Y._ ne s'étant pas présentée à ce rendez-vous, le représentant de la bailleresse a résilié, le 17 février 2006, le contrat de travail et le contrat de bail avec effet immédiat. Un avis de résiliation de bail a ainsi été adressé le 20 février 2006 à Y._, pour l'échéance du 31 mars 2006.
Le 21 février 2006, le mandataire de Y._ a informé le représentant de la bailleresse que la locataire avait dû partir précipitamment en Espagne pour rejoindre son époux, victime d'un accident, et qu'elle reviendrait en Suisse dès que l'état de santé de son époux le lui permettrait, son fils et sa belle-fille, qui vivaient dans le même logement, se chargeant dans l'intervalle de la conciergerie.
B. B.a Le 15 mars 2006, Y._ a saisi la Commission de conciliation en matière de baux et loyers du canton de Genève d'une requête en constatation de l'inefficacité du congé, subsidiairement en annulation du congé et plus subsidiairement en prolongation de bail, déclarée non conciliée le 22 juin 2006 et introduite le 29 juin 2006 devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève. Par mémoire du 5 septembre 2006, X._ SA a conclu à l'irrecevabilité de la requête en contestation du congé et, au fond, à la constatation de la validité de la résiliation du 20 février 2006.
B.b Par jugement du 7 juillet 2007, le Tribunal s'est déclaré incompétent à raison de la matière pour connaître de la contestation de congé de Y._. Exposant que pour la résiliation du contrat de conciergerie, contrat mixte comprenant des éléments du bail et du contrat de travail, la jurisprudence appliquait les règles du contrat qui présentait un aspect prépondérant, il a considéré que les éléments du contrat de travail étaient en l'espèce prédominants et que les règles sur la résiliation du contrat liant les parties ne relevaient dès lors pas de sa compétence.
B.c Statuant par arrêt du 16 juin 2008 sur appel de Y._, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève a annulé ce jugement, a dit que le Tribunal des baux et loyers était compétent ratione materiae et a renvoyé la cause à ce tribunal pour complément d'instruction et nouvelle décision. Elle a en effet considéré que le caractère prépondérant du contrat était celui du contrat de bail, mais que l'instruction menée par le tribunal ne permettait pas de déterminer si le logement litigieux constituait un logement familial, pour lequel le congé devait être notifié séparément au locataire et à son conjoint (<ref-law>), sous peine de nullité (<ref-law>).
C. Agissant par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, X._ SA conclut avec dépens à la réforme de cet arrêt dans le sens de la confirmation du jugement de première instance. Elle reproche à l'autorité précédente d'avoir procédé à une constatation arbitraire des faits sur deux points ainsi que d'avoir violé les art. 253 et 274 CO en appliquant à tort les règles du droit du bail à la résiliation du contrat composé conclu entre les parties et en admettant ainsi à tort la compétence du Tribunal des baux et loyers à raison de la matière. Y._ conclut avec dépens au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement sa compétence, respectivement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1, 235 consid. 1, 379 consid. 1).
1.1 L'arrêt attaqué n'est pas une décision finale, puisqu'il ne met pas fin à la procédure (<ref-law>) mais renvoie la cause aux premiers juges pour complément d'instruction et nouvelle décision. En tant qu'il admet la compétence ratione materiae du Tribunal des baux et loyers, réformant ainsi la décision de ce tribunal qui avait décliné sa compétence, il constitue une décision incidente portant sur la compétence, contre laquelle le recours au Tribunal fédéral est recevable en vertu de l'<ref-law>. Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1.1), le recours est dirigé contre une décision rendue en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), si bien que le recours en matière civile est ouvert, à condition que la valeur litigieuse minimale exigée par l'<ref-law> soit atteinte.
1.2 La contestation porte sur la validité d'une résiliation de bail. En pareil cas, la valeur litigieuse se détermine selon le loyer dû pour la période pendant laquelle le contrat subsiste nécessairement, en supposant que l'on admette la contestation, et qui s'étend jusqu'au moment pour lequel un nouveau congé aurait pu être donné ou l'a été effectivement (<ref-ruling> consid. 1 et la jurisprudence citée; <ref-ruling> consid. 1; arrêt 4C.310/1996 du 16 avril 1997, reproduit in SJ 1997 p. 493, consid. 2a). Pour déterminer la prochaine échéance possible, il faut donc supposer que l'on admette la contestation, c'est-à-dire que le congé litigieux ne soit pas valable. Lorsque, comme en l'espèce (cf. <ref-law>), le bail bénéficie de la protection contre les congés des <ref-law>, il convient en principe de prendre en considération la période de trois ans prévue à l'art. 271a al. 1 let. e CO (arrêts 4C.155/2000 du 30 août 2000, reproduit in SJ 2001 I p. 17, consid. 1a; 4C.310/1996 du 16 avril 1997, reproduit in SJ 1997 p. 493, consid. 2a; sous le nouveau droit de procédure fédéral, cf. entre autres l'arrêt 4A_472/2007 du 11 mars 2008, consid. 1.1).
En l'espèce, le loyer annuel est de 6'540 fr. (545 fr. x 12), de sorte que la valeur litigieuse, correspondant à trois ans de loyer, atteint manifestement le seuil de 15'000 fr. fixé par l'<ref-law> en matière de droit du bail à loyer. Pour le surplus, déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, le recours est en principe recevable.
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4135, ch. 4.1.4.2; cf. <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3, 384 consid. 4.2.2) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 1.3, 286 consid. 1.4). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. 2.1 La compétence ratione materiae de la juridiction genevoise des baux et loyers est définie par la loi cantonale sur l'organisation judiciaire (ci-après : LOJ/GE; RS/GE E 2 05), le droit fédéral n'imposant pas aux cantons d'instituer des tribunaux spéciaux dans le domaine du contrat de bail (cf. <ref-law>). Selon l'art. 56M LOJ/GE, le Tribunal des baux et loyers est compétent pour statuer sur tout litige relatif au contrat de bail à loyer ou au contrat de bail à ferme non agricole au sens des titres VIIIe et VIIIe bis du code des obligations, portant sur une chose immobilière, ainsi que sur les litiges relevant de la loi protégeant les garanties fournies par les locataires, du 18 avril 1975. C'est donc en application du droit cantonal que l'autorité précédente a déterminé si le litige opposant les parties entrait dans la sphère de compétence du Tribunal des baux et loyers (cf. arrêt attaqué, consid. 2.1 p. 6). L'applicabilité des règles du bail à loyer à la résiliation du contrat litigieux, question relevant du droit fédéral, n'a été examinée qu'à titre préjudiciel, en tant que condition à la compétence du Tribunal des baux et loyers au sens de l'art. 56M LOJ/GE. Or si le droit cantonal, dans un domaine de son ressort exclusif, déclare applicable une règle du droit fédéral, utilise une notion du droit fédéral ou pose une question préalable de droit fédéral, les questions préalables qu'il pose et les notions auxquelles il se réfère sont également considérées comme relevant du droit cantonal (<ref-ruling> consid. 1a p. 80; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1). Il s'ensuit que savoir si le contrat litigieux entre les parties au présent litige entre dans les définitions données par l'art. 56M LOJ/GE est une pure question de droit cantonal.
2.2 Sous réserve des droits constitutionnels cantonaux (art. 95 let. c LTF), des dispositions cantonales sur le droit de vote des citoyens ainsi que sur les élections et votations populaires (art. 95 let. d LTF) et du droit intercantonal (art. 95 let. e LTF), la violation du droit cantonal ne constitue pas un motif de recours; le recourant peut uniquement se plaindre de ce que l'application du droit cantonal par l'autorité précédente consacre une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law> - notamment de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) - ou du droit international au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 1.2.1). Le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal (au sens de l'art. 95 let. c, d et e LTF) que si ce grief a été invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 1.4).
En l'espèce, la recourante n'invoque pas la violation d'un droit constitutionnel en relation avec l'application de l'art. 56M LOJ/GE, si bien que le Tribunal fédéral n'a pas à examiner la question sous cet angle. Dans la mesure où la recourante invoque une violation des art. 253 et 274 CO en reprochant à la cour cantonale d'avoir appliqué à tort les règles du droit du bail à la résiliation du contrat composé conclu entre les parties et d'avoir ainsi admis à tort la compétence du Tribunal des baux et loyers à raison de la matière, son recours se révèle irrecevable, puisqu'il s'agit là de questions relevant du droit cantonal (cf. consid. 2.1 supra).
3. Seuls peuvent donc être examinés les griefs par lesquels la recourante se plaint de ce que les faits sur lesquels s'est fondée la cour cantonale auraient été établis de façon manifestement inexacte, respectivement arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (cf. consid. 1.3 supra).
3.1 À cet égard, la recourante reproche en premier lieu à la cour cantonale d'avoir omis de mentionner dans son état de fait que les parties entendaient lier le contrat de travail pour le service de conciergerie et le contrat de bail qu'elles ont signés le 16 novembre 1995.
Ce grief tombe à faux. En effet, l'autorité précédente a retenu que les parties étaient depuis 1995 liées par deux contrats distincts, mais connexes, le contrat de bail précisant qu'il porte sur un logement de service lié au contrat de travail (arrêt attaqué, consid. 2.2 p. 7). Elle a clairement considéré que ces deux conventions étaient liées selon la volonté des parties et formaient un contrat composé (cf. sur cette notion <ref-ruling> consid. 7.1; <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 2), puisqu'elle a examiné si la résiliation de ce contrat était soumise aux règles du bail à loyer ou à celles du contrat de travail.
3.2 La recourante reproche ensuite aux juges cantonaux d'avoir retenu que le montant du loyer était supérieur au salaire du concierge; elle soutient qu'il conviendrait d'ajouter au salaire de conciergerie (510 fr. par mois) le montant mensuel de 49 fr. 05 que l'intimée perçoit à titre d'indemnité pour les vacances (cf. lettre A.a supra), de sorte que le montant total du salaire (559 fr. 05) serait supérieur à celui du loyer (545 fr., charges comprises).
Dans sa réponse au recours, l'intimée fait valoir que l'indemnité de 49 fr. 05 par mois pour les vacances ne peut en aucune manière être considérée comme faisant partie du salaire; elle se réfère à cet égard au courrier que lui a adressé le 9 février 2006 le représentant de la bailleresse (cf. lettre A.a supra), dans lequel il est rappelé que « l'allocation de vacances qui vous est octroyée tous les mois est prévue uniquement pour le paiement de votre remplaçant pendant la période de vacances ».
Même en faisant abstraction de ce fait nouveau allégué par l'intimée, dont le Tribunal fédéral ne peut tenir compte (<ref-law>; cf. consid. 1.3 supra), on ne voit pas que le versement mensuel d'une indemnité de 49 fr. 05 pour les vacances puisse s'expliquer autrement que par l'obligation pour l'intimée de trouver et rémunérer elle-même la personne qui assume à sa place le service de conciergerie pendant ses vacances. Dans ces conditions, on ne saurait reprocher à la cour cantonale de ne pas avoir ajouté ce montant de 49 fr. 05 au salaire du concierge pour évaluer l'importance respective des prestations relevant du bail et de celles relevant du contrat de travail.
4. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>) et versera à son adverse partie une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 18 novembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Abrecht