Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 27. März 2008 stellte die I. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Bern zweitinstanzlich fest, dass das Urteil des Kreisgerichts Biel-Nidau vom 27. Juni 2007 insoweit in Rechtskraft erwachsen ist, als X._ schuldig erklärt worden ist des Raubes, gemeinsam mit A._ und B._ begangen am 6. April 2005 in C._, zum Nachteil insbesondere der Bank 1 im Deliktsbetrag von Fr. 79'123.30 (Urteilsdispositiv-Ziffer I.). Des Weiteren erklärte das Obergericht X._ schuldig des qualifizierten Raubes, durch Offenbarung seiner besonderen Gefährlichkeit, gemeinsam mit A._ und B._ begangen am 8. März 2005 in D._, zum Nachteil insbesondere der Bank 2 im Deliktsbetrag von Fr. 90'150.-- und verurteilte ihn wegen dieser beiden Delikte zu einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren (Urteilsdispositiv-Ziffer II.).
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen insbesondere mit den Anträgen, er sei schuldig zu erklären des Raubes, begangen am 8. März 2005 in D._, und er sei deswegen sowie wegen der in Rechtskraft erwachsenen erstinstanzlichen Verurteilung wegen Raubes, begangen am 6. April 2005 in C._, zu einer angemessenen, drei Jahre nicht übersteigenden Freiheitsstrafe zu verurteilen. Eventualiter sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 27. März 2008 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhaltes durch die Vorinstanz kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Verletzung von schweizerischem Recht im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Die Wendung "offensichtlich unrichtig" entspricht dem Willkürbegriff im Sinne von <ref-law> (Botschaft des Bundesrates vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4338). Die Rüge der offensichtlich unrichtigen Feststellung des Sachverhalts, mithin der Verletzung des Willkürverbots, prüft das Bundesgericht gemäss <ref-law> nur insoweit, als sie in der Beschwerde explizit vorgebracht und substantiiert begründet worden ist (<ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.4).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat es als erwiesen erachtet, dass der Beschwerdeführer bei beiden Raubüberfällen eine echte und geladene Waffe mit sich geführt hat.
Die Vorinstanz hat erwogen, der Mittäter B._ habe bei seinen ersten Einvernahmen ausdrücklich zu Protokoll gegeben, der Beschwerdeführer habe bei beiden Raubüberfällen eine echte und geladene schwarze Pistole verwendet. Diese gleichlautenden, detaillierten und differenzierten Aussagen von B._ in der Voruntersuchung erschienen glaubhaft, und es sei nicht einsichtig, weshalb er den Beschwerdeführer und damit auch sich selbst fälschlicherweise belasten sollte (angefochtenes Urteil S. 66 - 68, 70 - 71, 74 und 76).
Die Vorinstanz hat weiter festgehalten, betreffend den Banküberfall in D._ vom 8. März 2005 hätten überdies drei Bankangestellte, welche den Überfall miterlebten, übereinstimmend angegeben, alle drei Täter hätten Schusswaffen auf sich getragen (angefochtenes Urteil S. 69). Auch in Bezug auf den Banküberfall in C._ vom 6. April 2005 hätten zwei Bankangestellte und eine Kundin einhellig geschildert, alle drei Täter seien bewaffnet gewesen (angefochtenes Urteil S. 73).
Angesichts der schlechten Lichtverhältnisse könne ferner gestützt auf die Printbilder der Videokamera beim Überfall in D._ nicht gefolgert werden, der Beschwerdeführer habe keine schwarze echte, sondern eine silberne unechte Schusswaffe benutzt. Vielmehr sei insbesondere auch aufgrund der glaubhaften Schilderungen eines der als Zeugen einvernommenen Bankangestellten davon auszugehen, dass die schwarze Waffe des Beschwerdeführers nur von oben silbern ausgesehen bzw. geglänzt habe (angefochtenes Urteil S. 75 - 78).
2.2 Der Beschwerdeführer lastet der Vorinstanz insoweit eine willkürliche Beweiswürdigung und als Folge daraus eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung an. Im Ergebnis verletze das angefochtene Urteil den aus der Unschuldsvermutung abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro reo", denn er sei des qualifizierten Raubes, durch Offenbarung seiner besonderen Gefährlichkeit, schuldig gesprochen worden, obwohl bei objektiver Würdigung des Beweisergebnisses erhebliche bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel daran bestünden, dass er bei den Raubüberfällen eine echte und geladene Pistole eingesetzt habe.
Was der Beschwerdeführer gegen die Beweiswürdigung der Vorinstanz vorbringt, ist jedoch nicht geeignet, Willkür darzutun. Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung einzig vor, wenn der angefochtene Entscheid auf einer schlechterdings unhaltbaren oder widersprüchlichen Beweiswürdigung beruht bzw. im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Dass das angefochtene Urteil mit der Darstellung des Beschwerdeführers nicht übereinstimmt oder eine andere Lösung oder Würdigung vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, genügt praxisgemäss für die Begründung von Willkür nicht (127 I 54 E. 2b mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer stellt in seiner Beschwerdeschrift der vorinstanzlichen Begründung lediglich seine eigene Sicht der Dinge gegenüber, ohne näher zu erörtern, inwiefern der Entscheid (auch) im Ergebnis schlechterdings unhaltbar sein sollte. Dies gilt namentlich für sein nicht näher substantiiertes Vorbringen, B._ sei irrtümlicherweise von echten Waffen ausgegangen (Beschwerde S. 5 - 6), wie auch für seine bereits im vorinstanzlichen Verfahren erhobene Behauptung, auf den Printbildern der Videokamera beim Banküberfall in D._ erscheine die Waffe silbern und nicht schwarz, weshalb die Vorinstanz zu seinen Gunsten von einer Plastikwaffe hätte ausgehen müssen (Beschwerde S. 6 - 7). Mit den weiteren, ihn belastenden Aussagen der als Zeugen einvernommenen Bankangestellten und der Bankkundin setzt sich der Beschwerdeführer hingegen nicht auseinander.
Seine Ausführungen erschöpfen sich mithin in einer unzulässigen appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil und genügen den Begründungsanforderungen gemäss <ref-law> nicht (vgl. E. 1 hiervor). Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten.
2.3 Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Da das Rechtsmittel von vornherein aussichtslos war, kann dem Gesuch nicht entsprochen werden (<ref-law>).
Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr ist seinen finanziellen Verhältnissen Rechnung zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Stohner