Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 17. Mai 2008 des Obergerichts des Kantons Zürich, das eine Nichtigkeitsbeschwerde des Beschwerdeführers gegen zwei den Beschwerdegegnern die definitive Rechtsöffnung für Fr. 22'729.85 (nebst Zins und Kosten) erteilende Verfügungen abgewiesen hat,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Entscheid des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. (entsprechend den altrechtlichen Anforderungen des Art. 90 Abs. 1 lit. b OG: Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4207ff., Ziff. 4.1.2.4 zu Art. 39 Entwurf, S. 4294) anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261f.), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Beschluss vom 17. Mai 2008 erwog, der Beschwerdeführer weise in seiner Nichtigkeitsbeschwerde keinen Nichtigkeitsgrund im Sinne von <ref-law>/ZH nach, der erstinstanzliche Richter habe die Verrechnung mit einer angeblichen Gegenforderung des Beschwerdeführers zu Recht verweigert, auf die zutreffende erstinstanzliche Begründung (u.a. fehlender Urkundenbeweis für die behauptete Gegenforderung) könne verwiesen werden, die sachliche Richtigkeit der als Rechtsöffnungstitel dienenden Steuerentscheide sei im Rechtsöffnungsverfahren nicht zu überprüfen, inwieweit sich ein Verschrieb des Rechtsöffnungsrichters zum Nachteil des Beschwerdeführers ausgewirkt haben soll, sei nicht ersichtlich,
dass sich der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht mit den obergerichtlichen Erwägungen auseinandersetzt,
dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand dieser Erwägungen aufzeigt, inwiefern der Zirkular-Erledigungsbeschluss des Obergerichts vom 17. Mai 2008 verfassungswidrig sein soll,
dass es insbesondere nicht genügt, den Sachverhalt aus eigener Sicht zu schildern, die bereits von den kantonalen Gerichten widerlegten Argumente zu wiederholen und auf den im kantonalen Verfahren abgewiesenen Forderungen zu beharren,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und der Abteilungspräsident zuständig ist,

erkennt der Präsident:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Füllemann