Sachverhalt:
A. Am 17. Februar 2012 erstatteten X._, Y._, Z.a._ und Z.b._, alle vertreten durch Rechtsanwalt Julian Burkhalter, als Privatkläger Strafanzeige gegen W.a._ und W.b._, V.a._, V.b._ und V.c._, U.a._, U.b._, U.c._ und U.d._ sowie die Abteilung Kindes- und Jugendschutz des Kantons Basel-Stadt (AKJS/BS) wegen Datendiebstahls, Kindesentführung respektive Entziehens von Unmündigen, Verleumdung respektive übler Nachrede und Beschimpfung, unbefugten Aufnehmens von Gesprächen und wegen Hausfriedensbruchs. Mit Schreiben vom 14. März 2012 forderte Rechtsanwalt Julian Burkhalter die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt auf, ihm bis am 23. März 2012 Bericht über ihre bisherigen Anstrengungen in dieser Angelegenheit zu erstatten. Mit Verfügung vom 15. März 2012 bestätigte die Staatsanwaltschaft den Eingang der Strafanzeige und teilte Rechtsanwalt Julian Burkhalter mit, die StPO sehe nicht vor, dass einer Partei ein "Zwischenbericht" über die Ermittlungen zu erstatten sei, schon gar nicht lediglich drei Wochen nach der Einreichung der Anzeige. Weiter stellte sie in Aussicht, dass die Akten gemäss <ref-law> nach den ersten Einvernahmen der beschuldigten Personen und nach der Erhebung der übrigen wichtigsten Beweise eingesehen werden könnten; der zuständige Sachbearbeiter werde sich zur gegebenen Zeit melden.
Mit Schreiben vom 26. März 2012 erhoben die Strafanzeigesteller beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde.
Mit Entscheid vom 9. August 2012 wies der Appellationsgerichtspräsident die Beschwerde ab. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens mit Einschluss einer Urteilsgebühr von Fr. 500.-- auferlegte er den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung.
B. Mit Eingabe vom 19. September 2012 führen X._, Y._ und Z.a._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit den Anträgen, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 9. August 2012 sei aufzuheben, und die Staatsanwaltschaft sei zu verpflichten, die in dieser Angelegenheit notwendigen Beweiserhebungen zur Ermittlung von Tat und Täterschaft durchzuführen; eventualiter sei die Untersuchung an eine ausserkantonale Staatsanwaltschaft abzutreten. Des Weiteren sei festzustellen, dass die Staatsanwaltschaft in dieser Sache bis anhin keine Ermittlungshandlungen vorgenommen habe, und dass es somit zu einer Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung gekommen sei.
Die Staatsanwaltschaft beantragt in ihrer Vernehmlassung, die Beschwerde sei abzuweisen. Den gleichen Antrag stellt das Appellationsgericht. Die Beschwerdeführerinnen halten in ihrer Stellungnahme vom 6. November 2012 an ihrem Standpunkt fest.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen. Der angefochtene Entscheid ist kantonal letztinstanzlich (<ref-law>). Er schliesst das Strafverfahren nicht ab (Art. 90 f. BGG). Es liegt ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vor, welcher nur dann der Beschwerde ans Bundesgericht unterliegt, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Vorliegend kommt nur die erste Variante (Abs. 1 lit. a) in Betracht. In der Beschwerdeschrift ist konkret darzulegen, inwiefern die Voraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils erfüllt ist, soweit dies nicht offensichtlich ist.
Indessen wird nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ausnahmsweise auf die Voraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteils verzichtet, wenn beschwerdeführende Personen, wie vorliegend der Fall, die Rüge der formellen Rechtsverweigerung in der Form der Rechtsverzögerung erheben (Urteil 1B_699/2011 vom 20. Februar 2012 E. 1). Auf die Beschwerde ist damit einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerinnen machen geltend, die Staatsanwaltschaft habe seit dem Eingang ihrer Strafanzeige vom 17. Februar 2012 keine einzige Ermittlungshandlung vorgenommen und insbesondere keine Einvernahmen durchgeführt. Die in der Strafanzeige erhobenen Vorwürfe seien gravierend - insbesondere jene der Kindesentführung respektive des Entziehens von Unmündigen sowie des Datendiebstahls - und hätten ein rasches Vorgehen erfordert. Selbst die Aufforderung der Vorinstanz an die Staatsanwaltschaft, das Verfahren nunmehr unverzüglich an die Hand zu nehmen, habe keine Wirkung gezeigt, denn noch immer sei keine einzige Einvernahme angesetzt worden. Die Untätigkeit der Staatsanwaltschaft bedeute eine unzulässige Rechtsverzögerung und verstosse damit gegen das Beschleunigungsgebot nach <ref-law> und verletze den Untersuchungsgrundsatz gemäss <ref-law>.
2.2 Die Vorinstanz hat erwogen, die Staatsanwaltschaft habe die Strafanzeige der Beschwerdeführerinnen vom 17. Februar 2012 entgegengenommen und am 20. Februar 2012 ein polizeiliches Ermittlungsverfahren eröffnet. Mit Verfügung vom 15. März 2012 habe sie in Aussicht gestellt, dass nach den ersten Einvernahmen der beschuldigten Personen und der Erhebung der übrigen wichtigsten Beweise die Akten eingesehen werden können. Die Beschwerdeführerinnen hätten in der Folge bereits am 26. März 2012 Rechtsverzögerungsbeschwerde erhoben. Dass zu diesem Zeitpunkt, d.h. lediglich fünf Wochen nach der Anzeigeerstattung, noch keine spezifischen Ermittlungshandlungen vorgenommen worden seien, stelle jedenfalls im zu beurteilenden Fall, in dem keine Gefahr in Verzug gewesen sei, da sich das von der beanzeigten Entführung betroffene Kind bereits im Zeitpunkt der Strafanzeige wieder in der Obhut der Mutter befunden habe, keine Rechtsverzögerung dar. Es sei nicht zu beanstanden, dass die Staatsanwaltschaft prioritär jene Fälle bearbeite, die dringlich seien oder in welchen die beschuldigte Person in Haft sei. Die Beschwerde sei daher abzuweisen, und die Kosten des Verfahrens seien den Beschwerdeführerinnen aufzuerlegen.
Der Vollständigkeit halber sei indessen darauf hinzuweisen, dass seit der Erstattung der Strafanzeige (17. Februar 2012) bis zum Entscheidzeitpunkt (9. August 2012) rund sechs Monate vergangen seien. Sollte die Staatsanwaltschaft immer noch keine Ermittlungshandlungen vorgenommen haben, so hätte sie solche unverzüglich an die Hand zu nehmen oder - soweit ihrer Auffassung nach die Voraussetzungen strafbarer Handlungen von vornherein nicht gegeben sind - eine Nichtanhandnahmeverfügung zu erlassen.
2.3 Zur Garantie eines gerechten Verfahrens nach <ref-law> gehören der ausdrückliche Anspruch auf Beurteilung innert angemessener Frist und das Verbot der Rechtsverzögerung. Sie gelten in allgemeiner Weise für sämtliche Sachbereiche und alle Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsbehörden. Überdies konkretisiert <ref-law> das Beschleunigungsgebot für den Bereich des Strafrechts; nach Abs. 1 dieser Bestimmung nehmen die Strafbehörden die Strafverfahren unverzüglich an die Hand und bringen sie ohne unbegründete Verzögerung zum Abschluss. Diese Grundsätze kommen sowohl auf die Behörden der Strafverfolgung (Art. 12 und Art. 15 ff. StPO) wie auf die mit Strafsachen befassten Gerichte (Art. 13 und Art. 18 ff. StPO) zur Anwendung.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung wird der Anspruch auf Beurteilung innert angemessener Frist missachtet, wenn eine Sache über Gebühr verschleppt wird. Die Beurteilung der angemessenen Verfahrensdauer entzieht sich starren Regeln. Es ist vielmehr in jedem Einzelfall zu prüfen, ob sich die Dauer unter den konkreten Umständen als angemessen erweist. Der Streitgegenstand und die damit verbundene Interessenlage können raschere Entscheide erfordern oder längere Behandlungsperioden erlauben. Entscheidend ist weiter der Umfang und die Komplexität der aufgeworfenen Sachverhalts- und Rechtsfragen. Kriterien für die Angemessenheit der Verfahrensdauer im Rahmen von Strafverfahren bilden etwa die Schwere des Tatvorwurfs, die Komplexität des Sachverhalts, die dadurch gebotenen Untersuchungshandlungen, das Verhalten der beschuldigten Person und dasjenige der Behörden (z.B. unnötige Massnahmen oder Liegenlassen des Falls) sowie die Zumutbarkeit für die beschuldigte Person. Strafverfahren sind zügig voranzutreiben, um die beschuldigte Person nicht unnötig über die gegen sie erhobenen Vorwürfe im Ungewissen zu lassen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.3 und 3.1 S. 272 f.; Urteile 1B_388/2011 vom 5. September 2011 E. 2.2; 1B_208/2012 vom 22. Juni 2012 E. 2). Anspruch auf Verfahrensbeschleunigung haben primär beschuldigte Personen, in etwas geringerem Mass jedoch auch die übrigen Verfahrensbeteiligten wie die Privatklägerschaft (vgl. Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1130 Ziff. 2.1.2; NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2009, N. 1 zu <ref-law>; Urteil 1B_699/2011 vom 20. Februar 2012 E. 2.6).
Eine Rechtsverzögerung liegt damit insbesondere vor, wenn die Behörde im Verfahren über mehrere Monate hinweg untätig gewesen ist (WOLFGANG WOHLERS, in: Donatsch/Hansjakob/Lieber [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], 2010, N. 9 zu <ref-law>; vgl. auch SARAH SUMMERS, Basler Kommentar StPO, 2011, N. 14 zu <ref-law>), mithin das Verfahren respektive der Verfahrensabschnitt innert wesentlich kürzerer Zeit hätte abgeschlossen werden können (NIKLAUS SCHMID, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 2009, Rz. 147).
2.4 Die Ausführungen der Vorinstanz im angefochtenen Entscheid überzeugen:
2.4.1 Ausgehend von den in der Strafanzeige erhobenen Vorwürfen handelt es sich vorliegend zwar nicht um einen Bagatellfall. Da jedoch bezogen auf den Vorwurf der Kindesentführung respektive auf jenen des Entziehens von Unmündigen zum Zeitpunkt der Strafanzeige keine Gefahr in Verzug war, da sich das Kind wieder in der Obhut der Mutter befand, bestand keine derartige Dringlichkeit, welche ein sofortiges Handeln der Staatsanwaltschaft erfordert hätte. Die Beschwerdeführerinnen bringen nichts vor, was die vorinstanzliche Beurteilung, es liege (noch) keine Rechtsverzögerung vor, in Frage stellen würde. Die Vorinstanz hat das Rechtsmittel der Beschwerdeführerinnen deshalb zu Recht als unbegründet abgewiesen und diesen als unterliegende Partei die Verfahrenskosten überbunden.
Soweit sich die Beschwerdeführerinnen insoweit neben dem Beschleunigungsgebot gemäss <ref-law> auch auf den Untersuchungsgrundsatz nach <ref-law> berufen, gehen ihre Ausführungen nicht über die Rüge der Rechtsverzögerung hinaus.
2.4.2 Gleichzeitig aber hat die Vorinstanz in der Begründung des angefochtenen Entscheids die Staatsanwaltschaft dazu aufgefordert, die notwendigen Ermittlungshandlungen nunmehr unverzüglich vorzunehmen.
Dieser Aufforderung ist die Staatsanwaltschaft bislang nicht nachgekommen. In ihrer Vernehmlassung vom 22. Oktober 2012 ans Bundesgericht führt sie vielmehr namentlich aus, es bestehe die dringende Notwendigkeit, Prioritäten zu setzen, weshalb eine Verfahrensdauer von bislang acht Monaten nicht zu beanstanden und noch weit entfernt von einer rechtlich relevanten Verzögerung sei. Die in der Beschwerde erhobenen Vorwürfe, es seien auch nach Erlass des Entscheids der Vorinstanz keinerlei Ermittlungshandlungen vorgenommen und insbesondere auch noch keine Einvernahmen angesetzt worden, bestreitet die Staatsanwaltschaft nicht.
Es ist somit davon auszugehen, dass die Staatsanwaltschaft seit dem Eingang der Strafanzeige vom 17. Februar 2012 untätig geblieben ist und keinerlei Ermittlungshandlungen durchgeführt hat. Eine Untätigkeit während über acht Monaten in einem Fall, in welchem namentlich der Vorwurf der Kindesentführung respektive jener des Entziehens von Unmündigen im Raum steht, ist mit <ref-law> nicht vereinbar. Der Hinweis der Staatsanwaltschaft auf die hohe Geschäftslast und die daraus folgende Notwendigkeit, Prioritäten zu setzen, ändert nichts an diesem Ergebnis. Gemäss ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung vermögen chronische Überlastung und strukturelle Mängel nicht vor dem Vorwurf der Rechtsverzögerung und -verweigerung zu bewahren (<ref-ruling> E. 5.2 S. 332; Urteil 1B_208/2012 vom 22. Juni 2012 E. 3; vgl. ferner Wohlers, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>).
Die Rüge der Verletzung des Rechtsverzögerungsverbots gemäss <ref-law> erweist sich damit im heutigen Zeitpunkt als begründet, was zur Gutheissung der Beschwerde führt. Eine Abweisung der Beschwerde mit der Begründung, der vorinstanzliche Entscheid verletze kein Bundesrecht und den Beschwerdeführerinnen sei es unbenommen, bei der Vorinstanz eine neuerliche Rechtsverzögerungsbeschwerde gegen die Staatsanwaltschaft zu erheben und den Instanzenzug nochmals zu durchlaufen, wäre ihrerseits mit dem Beschleunigungsgebot nicht vereinbar.
3. Die Beschwerde ist somit gutzuheissen. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt ist anzuweisen, im Strafverfahren (Aktenzeichen S 120222 117) die notwendigen Ermittlungen vorzunehmen oder eine Nichtanhandnahmeverfügung zu erlassen. Mit dieser Anweisung erübrigt sich die von den Beschwerdeführerinnen beantragte förmliche Feststellung der Rechtsverzögerung. Ebenso erübrigt sich ein Eingehen auf die erhobene Rüge der Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots nach <ref-law> (i.V.m. <ref-law>).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, und die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt wird angewiesen, im Strafverfahren (Aktenzeichen S 120222 117) die notwendigen Ermittlungen vorzunehmen oder eine Nichtanhandnahmeverfügung zu erlassen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführerinnen, der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner