Sachverhalt:
A. Der 1985 geborene H._ erlitt, in der Lehre zum Automonteur stehend und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, am 15. Mai 2005 einen Unfall. Der von ihm gelenkte Peugeot 205 prallte innerorts frontal in die Seite eines Linienbusses. H._ wurde ins Spital X._ überführt, wo er bis 30. Mai 2005 hospitalisiert blieb. Er zog sich gemäss Bericht des Spital X._ vom 27. Mai 2005 beim Unfall ein Polytrauma mit Commotio cerebri (mit retrograder Amnesie und passagerer Agitation) nichtdislozierter Nasenbeinfraktur, Thoraxtrauma (Lungenkontusionen rechts mehr als links; nichtdislozierte Rippenfrakturen ventral beidseits, rechts costa VI, links costae IV-VI; Hämatopneumothorax rechts; minimer Pneumothorax links), Abdominaltrauma (zentrale Leberlazeration; wenig freie Flüssigkeit in abdomine), Herzkontusion (Troponin T positiv; Echokardiographie vom 17. Mai 2005 unauffällig) sowie Rissquetschwunden am rechten Handrücken und am Kinn zu. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Ab April 2007 bezog H._ im Rahmen einer beruflichen Massnahme (berufliche Neuausbildung in Form einer innerbetrieblichen Ausbildung zum Mitarbeiter im Bereich "Entsorgung, Recycling, Transportwesen) Taggeld der Invalidenversicherung (IV), weshalb die SUVA das von ihr ausgerichtete Taggeld auf den 31. März 2007 einstellte. Am 10. März 2008 endete das IV-Taggeld infolge Abbruchs der beruflichen Massnahme. Ab 12. März 2008 hielt sich H._ für sechs Monate zur stationären Behandlung in der Klinik Y._ für Psychiatrie und Psychotherapie auf. Nach medizinischen Abklärungen eröffnete die SUVA dem Versicherten mit Verfügung vom 31. Mai 2010, die noch geklagten Beschwerden seien nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge zu erklären und könnten nicht adäquat kausal auf den Unfall vom 15. Mai 2005 zurückgeführt werden. Es bestehe daher kein Anspruch auf weitere Leistungen der Unfallversicherung, weshalb die Heilbehandlung per sofort eingestellt werde. Die im Frühjahr 2008 aufgetretenen psychischen Beschwerden begründeten mangels überwiegend wahrscheinlicher Unfallkausalität von vornherein keinerlei Leistungsanspruch. Sodann seien zwar die Taggeldleistungen der IV am 10. März 2008 eingestellt worden. Es bestehe aber kein Anspruch auf Wiederaufnahme der UV-Taggeldzahlungen, da in diesem Zeitpunkt keine unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit mehr bestanden habe. Daran hielt die SUVA auf die vom Versicherten und seinem Krankenpflegeversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Entscheid vom 24. September 2010). Zwischenzeitlich hatte die IV dem Versicherten am 22. September 2010 (mit Korrektur vom 24. September 2010) erneut eine berufliche Massnahme (Neuausbildung zum Hauswart vom 1. August 2010 bis 31. Juli 2012) zugesprochen.
B. Die von H._ gegen den Einspracheentscheid vom 24. September 2010 eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. März 2012 ab.
C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, weiterhin die gesetzlich geschuldeten Leistungen, insbesondere Taggeld und Heilbehandlung, auch nach dem 10. März 2008 resp. 31. Mai 2010 zu gewähren.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen; Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die SUVA aus dem Unfall vom 15. Mai 2005 über den 10. März 2008 resp. 31. Mai 2010 hinaus Leistungen zu erbringen hat.
Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, die Bestimmungen über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Grundsätze über die hiefür nebst anderem erforderlichen kausalen Zusammenhänge.
Danach setzt die Leistungspflicht eines Unfallversicherers gemäss UVG zunächst voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht. Ursachen im Sinne des natürlichen Kausalzusammenhangs sind alle Umstände, ohne deren Vorhandensein der eingetretene Erfolg nicht als eingetreten oder nicht als in der gleichen Weise bzw. nicht zur gleichen Zeit eingetreten gedacht werden kann. Entsprechend dieser Umschreibung ist für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht erforderlich, dass ein Unfall die alleinige oder unmittelbare Ursache gesundheitlicher Störungen ist; es genügt, dass das schädigende Ereignis zusammen mit anderen Bedingungen die körperliche oder geistige Integrität der versicherten Person beeinträchtigt hat, der Unfall mit andern Worten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch die eingetretene gesundheitliche Störung entfiele. Ob zwischen einem schädigenden Ereignis und einer gesundheitlichen Störung ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, ist eine Tatfrage, worüber die Verwaltung bzw. im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der ihm obliegenden Beweiswürdigung nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu befinden hat. Die blosse Möglichkeit eines Zusammenhangs genügt für die Begründung eines Leistungsanspruches nicht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen).
Die Leistungspflicht des Unfallversicherers setzt im Weiteren voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden ein adäquater Kausalzusammenhang besteht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181 mit Hinweis). Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Sind die geklagten Beschwerden natürlich unfallkausal, aber nicht organisch objektiv ausgewiesen, so ist die Adäquanz besonders zu prüfen. Hiefür ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind gegebenenfalls weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Hat die versicherte Person beim Unfall eine Verletzung erlitten, welche die Anwendung der sog. Schleudertrauma-Rechtsprechung rechtfertigt, so sind hiebei die mit <ref-ruling> eingeführten und durch <ref-ruling> präzisierten Kriterien massgebend. Ist diese Rechtsprechung nicht anwendbar, so sind grundsätzlich die Adäquanzkriterien, welche für psychische Fehlentwicklungen nach einem Unfall entwickelt wurden (sog. Psycho-Praxis; <ref-ruling>), anzuwenden (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 250 f. mit Hinweisen).
3. Der Unfallversicherer hat jegliche Leistungspflicht für die psychischen Beschwerden, welche im Frühjahr 2008 aufgetreten sind und zur stationären Behandlung in der Klinik Y._ geführt haben, verneint. Das kantonale Gericht hat dies bestätigt. Diese Beschwerden stünden nicht überwiegend wahrscheinlich in einem natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfall von 2005.
In den medizinischen Akten finden sich unterschiedliche Auffassungen zur Kausalität dieser Beschwerden. Während in den Berichten und Stellungnahmen der Klinik Y._ davon ausgegangen wird, der Unfall von 2005 habe zu den Beschwerden beigetragen, kommt Dr. med. P._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, Abteilung Versicherungsmedizin der SUVA, in der aktengestützten Beurteilung vom 8. Januar 2010 zum Ergebnis, diese Beschwerden seien mit unfallfremden Faktoren zu erklären.
Das kantonale Gericht hat gestützt auf eine sorgfältige Würdigung der medizinischen Akten einlässlich und überzeugend dargelegt, weshalb nicht der Auffassung der Klinik Y._ zu folgen ist. Hervorzuheben ist, dass der Beschwerdeführer, wie im Austrittsbericht der Klinik Y._ vom 3. September 2008 festgehalten, seit der Kindheit an einer Aufmerksamkeitsdefizit-Hyperaktivitätsstörung (ADHS) und an Stimmungsschwankungen leidet, wobei komplizierend - schon vor dem Unfall - der schädliche Gebrauch von Alkohol, Cannabis sowie Kokain hinzukommt. Zu beachten ist sodann, dass der Versicherte im Frühjahr 2008 verschiedene Probleme zu bewältigen hatte. Namentlich hatte er zum wiederholten Male die LKW-Prüfung nicht bestanden, wegen erneuten Drogenkonsums seinen Führerausweis abgeben müssen, eine Untersuchungshaft zu bestehen, weil er einer schwerwiegenden Straftat verdächtigt wurde, und in diesem Zusammenhang auch seine Arbeitsstelle und den Anspruch auf die laufenden IV-Leistungen verloren. Gerade die strafrechtliche Anschuldigung setzte dem Versicherten denn auch massiv zu, wie er selber am 4. Juni 2008 bestätigte. In Anbetracht dieser erheblichen unfallfremden Faktoren ist mit dem kantonalen Gericht nicht als überwiegend wahrscheinlich zu erachten, dass der Unfall 2005 ganz oder teilweise zu der im Frühjahr 2008 aufgetretenen psychischen Störung oder auch nur zu einer Verschlimmerung des Vorzustandes geführt hat. Das gilt erst recht, wenn berücksichtigt wird, dass gemäss den medizinischen Akten nach dem Unfall während immerhin fast drei Jahren keine wesentlichen psychischen Beschwerden aufgetreten sind. So wurde in den Berichten der Rehaklinik Z._ vom 27. Dezember 2005 und 15. Januar 2007 eine psychische Störung mit Krankheitswert ausdrücklich verneint. Soweit der psychische Zustand überhaupt als auffällig beurteilt wurde, beschränkte sich dies auf die Annahme einer kurzzeitigen leichten depressiven Episode im August 2007 gemäss Bericht Frau Dr. phil. B._, Fachpsychologin für Psychotherapie und Neuropsychologie FSP, vom 19. September 2007.
Zusammenfassend sind die im Frühjahr 2008 aufgetretenen psychischen Störungen zu Recht als unfallfremd betrachtet worden, was einen Leistungsanspruch gegenüber der SUVA ausschliesst.
4. Die Vorinstanz hat sodann erkannt, die organischen Verletzungen, welche sich der Beschwerdeführer beim Unfall von 2005 zugezogen habe, seien regel- und zeitgerecht abgeheilt. Aus orthopädisch-traumatologischer Sicht hätten spätestens im März 2008 keine Unfallfolgen mehr bestanden.
Diese Beurteilung beruht auf einer einlässlichen Würdigung der medizinischen Akten, insbesondere der Berichte der Rehaklinik Z._ und des Gutachtens des Dr. med. R._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 21. April 2009. Sie wird in der Beschwerde zu Recht nicht in Frage gestellt.
5. Umstritten ist, ob die - nebst der wie dargelegt nicht unfallkausalen psychischen Störung - noch bestehenden Beschwerden in einer unfallbedingten Hirnschädigung begründet liegen. Es handelt sich dabei hauptsächlich um Kopfschmerzen und kognitive Einschränkungen, entsprechend einer minimen bis leichten neuropsychologischen Störung.
Unfallversicherer und Vorinstanz haben dies verneint. Das kantonale Gericht hat hiezu erwogen, selbst wenn im Zeitpunkt des von der SUVA vorgenommenen Fallabschlusses noch eine natürliche Unfallkausalität bezüglich dieser Beschwerden gegeben gewesen wäre, müsste der adäquate Kausalzusammenhang zum Unfall von 2005 verneint werden.
6. Nach Lage der Akten bestanden ab März 2008 nebst der unfallfremden und damit hier nicht relevanten psychischen Störung (E. 3 hievor) keine Beschwerden mehr, deren weitere ärztliche Behandlung eine namhafte Besserung hätte erwarten lassen. Auch waren in diesem Zeitpunkt keine Eingliederungsmassnahmen der IV im Gange. Damit kann, im Sinne der Grundsätze zum Fallabschluss (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 113 f.), ab diesem Zeitpunkt ein weiterer Anspruch auf Heilbehandlung und Taggeld aus dem Unfall von 15. Mai 2005 ohne Weiteres verneint werden. Das schliesst auch den ausdrücklich geltend gemachten Anspruch auf Wiederaufnahme der Taggeldleistungen ab März 2008 aus.
7. Zu beurteilen bleibt, ob die ab diesem Zeitpunkt noch bestandenen Kopfschmerzen und kognitiven Einschränkungen (E. 5 hievor) einen Leistungsanspruch in Form von Invalidenrente und/oder Integritätsentschädigung zu begründen vermögen. Dabei stellt sich unter den gegebenen Verhältnissen zunächst die Frage, ob diese Beschwerden in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall von 2005 stehen. Trifft dies nicht zu, ist ein Leistungsanspruch zu verneinen, ohne dass noch auf die Frage der natürlichen Unfallkausalität eingegangen werden müsste.
Das kantonale Gericht hat sich in Bezug auf den Zeitraum ab März 2010 mit dem adäquaten Kausalzusammenhang befasst und diesen verneint. Was sich hiezu ergibt, gilt indessen auch für die ab März 2008 noch bestandenen Kopfschmerzen und kognitiven Einschränkungen.
7.1 Die vorinstanzliche Beurteilung beruht zunächst auf der Annahme, die Kopfschmerzen und kognitiven Einschränkungen seien nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge zu erklären.
Objektivierbar sind Untersuchungsergebnisse, die reproduzierbar und von der Person des Untersuchenden und den Angaben des Patienten unabhängig sind. Von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen kann somit erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 251 mit Hinweis).
Ein in diesem Sinne organisch objektiver Nachweis für eine beim Unfall erlittene Hirnverletzung liegt, wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, nicht vor. Namentlich hat die am 28. Februar 2008 durchgeführte MR-Untersuchung nichts Auffälliges und insbesondere auch keine posttraumatischen Läsionen ergeben. Mit anderen apparativen/bildgebenden Verfahren erhobene Befunde, welche den Schluss auf eine solche Verletzung gestatten würden, liegen nicht vor. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung kann von den ärztlicherseits anfänglich genannten Werten gemäss der Glasgow Coma Scale (GCS) wie auch von den Ergebnissen der durchgeführten Gleichgewichtsprüfungen nicht auf eine organische Unfallfolge geschlossen werden. Soweit der Neurologe Dr. med. O._ im Gutachten vom 4. März 2008 davon ausgeht, eine organische Schädigung am Gehirn sei bewiesen, stützt er sich nicht auf bildgebende Abklärungen, sondern auf die Interpretation der aufgetretenen Symptome. Das genügt nicht, um auf eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge schliessen zu können. Den übrigen medizinischen Akten lassen sich ebenfalls keine zuverlässigen Anhaltspunkte für eine solche Unfallfolge entnehmen. Das gilt namentlich auch für die neurologische Expertise des Dr. med. A._ vom 26. Oktober 2010 (mit ergänzender Stellungnahme vom 17. Mai 2011). Der Neurologe schliesst ebenfalls von der Symptomatik auf eine organische Schädigung, wobei er zugleich davon ausgeht und damit bestätigt, dass sich eine solche nicht verlässlich aus den bildgebenden Untersuchungen ergeben hat.
Von ergänzenden medizinischen Abklärungen ist abzusehen, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen.
7.2 Lassen sich die Beschwerden nach dem Gesagten nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge erklären, kann der adäquate Kausalzusammenhang nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 2 hievor).
Der Unfallversicherer hat eine solche Prüfung vorgenommen und den adäquaten Kausalzusammenhang in Anwendung der Schleudertrauma-Praxis verneint. Die Vorinstanz hat offengelassen, ob nicht eher nach der Psycho-Praxis vorgegangen werden müsste, da die Adäquanz auch nach der Schleudertrauma-Praxis nicht gegeben sei. In der Beschwerde wird die Auffassung vertreten, sofern der adäquate Kausalzusammenhang beurteilt werde, sei er in Anwendung der Schleudertrauma-Praxis zu bejahen. Dazu ergibt sich Folgendes:
7.2.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird. Während der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel bei schweren Unfällen ohne Weiteres bejaht und bei leichten Unfällen verneint werden kann, lässt sich die Frage der Adäquanz bei Unfällen aus dem mittleren Bereich nicht aufgrund des Unfallgeschehens allein schlüssig beantworten. Es sind weitere, objektiv erfassbare Umstände, welche unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehen oder als direkte bzw. indirekte Folgen davon erscheinen, in eine Gesamtwürdigung einzubeziehen. Je nachdem, wo im mittleren Bereich der Unfall einzuordnen ist und abhängig davon, ob einzelne dieser Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sind, genügt zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs ein Kriterium oder müssen mehrere gegeben sein (<ref-ruling> E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweisen).
7.2.2 Das kantonale Gericht hat den Unfall von 2005 dem Bereich der mittelschweren Unfälle im engeren Sinn zugeordnet. Der Beschwerdeführer geht von einem mittelschweren Unfall an der Grenze zu den schweren Unfällen aus.
Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1). Die Kollision des vom Versicherten gelenkten Peugeot mit dem Bus war zweifellos wuchtig. Es waren damit aber nicht höhere Krafteinwirkungen verbunden als bei zahlreichen anderen Unfallereignissen, welche von der Rechtsprechung noch als im engeren Sinne mittelschwer beurteilt wurden. Zu erwähnen sind hiezu Ereignisse, bei welchen das Fahrzeug mit der versicherten Person: ins Schleudern geriet, von der Strasse abkam, sich über eine Grasböschung seitlich überschlug und auf dem Dach zum Stillstand kam; bei einem Überholmanöver mit ca. 100 km/h abrupt abgebremst wurde, dabei ins Schleudern geriet, gegen einen Strassenwall prallte, sich überschlug und auf der Fahrerseite zu liegen kam; einen Lastwagen beim Überholen touchierte und sich überschlug; von der Strasse abkam und sich überschlug; auf der Autobahn in einer Kurve ins Schleudern geriet, sich überschlug und auf dem Dach liegend zum Stillstand kam; sich bei einer Geschwindigkeit von ca. 90 km/h auf einer Autobahn über eine Mittelleitplanke hinweg überschlug - wobei die versicherte Person hinausgeschleudert wurde - und mit Totalschaden auf der Gegenfahrbahn auf dem Dach zu liegen kam; mit einer Fahrgeschwindigkeit von 110 km/h auf den Fahrstreifen für den Gegenverkehr, dann auf das linksseitige Strassenbankett und schliesslich in den Strassengraben geriet, wobei es sich mehrere Male überschlug; frontal mit einem anderen Personenwagen kollidierte, wobei die Geschwindigkeit des unfallverursachenden Personenwagens 30 bis 40 km/h betrug und diejenige des beteiligten Fahrzeugs auf etwa 70 bis 80 km/h geschätzt wurde; bei einer Fahrgeschwindigkeit von ca. 80 km/h mit einem Drahtgitterzaun abseits der Strasse kollidierte, sich seitlich überschlug und auf dem Dach liegend im angrenzenden Wiesland zum Stillstand kam; mit einer Geschwindigkeit von ca. 90 km/h frontal in einen stehenden Personenwagen prallte; auf der Autobahn mit ca. 130 km/h wegen des Platzens eines Reifens ins Schleudern geriet, sich um die eigene Achse drehte, wobei es einen Schutzzaun durchbrach und anschliessend nach der Überquerung mehrerer Wassergräben auf einem Acker neben der Fahrbahn zum Stehen kam; ungebremst mit etwa 100 km/h in ein mit ca. 80 km/h fahrendes, noch ein Abbrems- und Ausweichmanöver einleitendes Auto stiess (vgl. die Praxisübersicht in Urteil 8C_100/2011 vom 1. Juni 2011 E. 3.4.1, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2012 UV Nr. 2 S. 3; Urteil 8C_996/2010 vom 14. März 2011 E. 7.2). Gleich qualifiziert wurden auch Unfälle, bei welchen das Fahrzeug mit der versicherten Person: in die linke Seite eines anderen Personenwagens prallte (erwähntes Urteil SVR 2012 UV Nr. 2 Sachverhalt A und E. 3.4.2); mit einer Geschwindigkeit von ca. 70 bis 75 km/h frontal/seitlich versetzt mit einem anderen, angeblich mit einer Geschwindigkeit von 70 km/h fahrenden Personenwagen zusammenstiess, von der Fahrbahn abgetrieben wurde, den Strassenrand überfuhr, abhob und 25 m weiter auf einem bereits am Boden liegenden Telefonmast zum Stillstand kam (erwähntes Urteil 8C_996/2010 E. 7.1 und 7.3). Im vorliegenden Fall bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass der Unfall zu höheren Krafteinwirkungen führte als die genannten Ereignisse. Es bleibt damit bei einem im engeren Sinn mittelschweren Unfall.
7.2.3 Bei dieser Unfallschwere müssten von den zusätzlich zu beachtenden Kriterien (gemäss <ref-ruling> E. 10.3 S. 130: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen) mindestens drei in der einfachen Form oder aber eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein, damit der adäquate Kausalzusammenhang bejaht werden könnte (SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.5).
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, keines dieser Kriterien sei erfüllt. Nach Auffassung des Versicherten sind sechs adäquanzrelevante Kriterien gegeben.
Das Kriterium betreffend Heilungsverlauf/Komplikationen wird nicht geltend gemacht. Zu Recht, denn die unfallbedingten Verletzungen heilten regelrecht ab und es liegen, einschliesslich der im Frühjahr 2008 aufgetretenen psychischen Problematik, keine Faktoren vor, welche den Heilungsverlauf wesentlich beeinträchtigt hätten.
Bezüglich der umstrittenen Kriterien ergibt sich Folgendes:
Die Vorinstanz hat dem Unfall von 2005 eine gewisse Eindrücklichkeit zugebilligt. Damit wurde aber entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht etwa das entsprechende Kriterium bejaht. Eine gewisse Eindrücklichkeit ist jedem mindestens mittelschweren Unfall eigen, ohne dass dies zur Bejahung des Kriteriums genügen würde (statt vieler: erwähntes Urteil 8C_996/2010 E. 8.1). Die hiefür erforderliche besondere Eindrücklichkeit ist im Lichte der Rechtsprechung zu diesem Kriterium (vgl. die Praxisübersicht im Urteil 8C_9/2010 vom 11. Juni 2010 E. 3.7.1) hier nicht gegeben. Die Begleitumstände weichen nicht wesentlich von den bei Verkehrsunfällen üblichen Gegebenheiten ab. Hinzu kommt, dass sich der Versicherte, wie die Akten klar zeigen, auch gar nicht an das Unfallgeschehen erinnern kann (vgl. Urteil 8C_624/2010 vom 3. Dezember 2010 E. 4.2.1). Das Kriterium betreffend Begleitumstände/Eindrücklichkeit wurde daher zu Recht verneint.
Eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung war nicht erforderlich. Die ärztliche Behandlung der Unfallfolgen währte nur relativ kurz und war nicht überdurchschnittlich belastend. Schon bald fanden in erster Linie noch Verlaufskontrollen und nichtärztliche Therapien statt. Die beiden stationären Aufenthalte in der Rehaklinik Z._ dienten, wie das kantonale Gericht entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung zutreffend erkannt hat, nur zum Teil ärztlicher Behandlung und waren im Übrigen stark auf berufliche Abklärungen ausgerichtet. Das Kriterium ist daher nicht erfüllt.
Gleiches gilt für das Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung. In der Beschwerde wird diesbezüglich vorgebracht, bei der medizinischen Erstbehandlung am Spital X._ sei es zu einer Harnröhrenläsion gekommen. Es ergibt sich aus den Akten aber nicht, dass dadurch die Unfallfolgen erheblich verschlimmert wurden. Damit kann offenbleiben, ob der entsprechende, soweit ersichtlich erst letztinstanzlich vorgebrachte Einwand des Versicherten novenrechtlich überhaupt zulässig ist.
Der Versicherte war nach dem Unfall von 2005 in der Lage, die Lehre zum Automonteur bei einem anderen Lehrbetrieb fortzusetzen und, wenn auch mit einem Jahr Verzögerung, im Juli 2006 erfolgreich abzuschliessen. Ab Februar 2007 stand er, zunächst mit einem 50 %-Pensum und in der Folge bis hin zu einem Vollzeitpensum, in einer Ausbildung bei einer Recycling-Firma, wobei die IV Leistungen im Rahmen einer beruflichen Massnahme erbrachte. Dieses Anstellungsverhältnis endete im März 2008 aus unfallfremden Gründen. Bei dieser Ausgangslage kann nicht von einer erheblichen Arbeitsunfähigkeit gesprochen werden. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung liegen auch keine besonderen Anstrengungen des Versicherten vor, welche die Bejahung des Kriteriums gestatten würden. Zwar sind gewisse Bemühungen zur beruflichen Wiedereingliederung erkennbar. Anderseits hat der Beschwerdeführer aber am 4. März 2008 ausgesagt, die Arbeit in der Recycling-Firma gefalle ihm nicht mehr. Er hat zudem nicht nur die für diese Tätigkeit erforderliche LKW-Prüfung zweimal nicht bestanden. Vielmehr hat er klar zu erkennen gegeben, dass er an dieser Prüfung nicht mehr interessiert war, und er hat deren erfolgreiche Absolvierung überdies dadurch verhindert, dass er unter Drogeneinfluss ein Motorfahrzeug lenkte und ihm deswegen der Führerausweis entzogen wurde. Das Kriterium betreffend Arbeitsunfähigkeit ist daher ebenfalls nicht erfüllt.
Die weiteren Kriterien der Verletzungsschwere/-art und der erheblichen Beschwerden liegen sicher nicht in besonders ausgeprägter Weise vor. Entsprechendes wird denn auch nicht geltend gemacht. Damit kann offenbleiben, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form erfüllt sind. Denn auch bejahendenfalls würde dies nicht genügen, um die Adäquanz bejahen zu können.
7.2.4 Mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs zum Unfall von 2005 ist daher ein weiterer Leistungsanspruch auch für die ab März 2008 noch bestandenen Kopfschmerzen und kognitiven Einschränkungen zu verneinen. Das führt diesbezüglich ebenfalls zur Abweisung der Beschwerde.
8. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. November 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz