Sachverhalt:
A. Der 1941 geborene H._ war seit April 1997 als Einkäufer bei der Firma M._ angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 27. Oktober 2003 war er von einem Auffahrunfall auf der Autobahn betroffen. Dabei zog er sich gemäss Arztzeugnis UVG des am 17. November 2003 erstmals aufgesuchten Dr. med. Z._, Allgemeine Medizin FMH, ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) zu. Die SUVA holte Angaben des Versicherten ein und zog Berichte des Dr. med. Z._, des Dr. med. T._, Physikalische Medizin und Rehabiliation FMH, Medizinisches Zentrum B._, des Dr. med. E._, Neurologie FMH, sowie diverse kurze Stellungnahmen des Dr. med. N._, Innere Medizin FMH, bei. Vom 26. Oktober bis 23. November 2004 befand sich der Versicherte in der RehaClinic X._ (Austrittsbericht vom 21. Dezember 2004). Am 28. September 2004 und 8. Februar 2005 fanden Untersuchungen durch den Kreisarzt Dr. med. K._ statt. Nach einem Aufenthalt in der Rehaklinik L._ (2. März bis 6. April 2005; Austrittsbericht vom 19. April 2005), dem Beizug eines Berichtes von Dr. med. W._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 12. April 2005 sowie der kreisärztlichen Abschlussuntersuchung vom 5. Juli 2005 stellte die SUVA mit Verfügung vom 25. August 2005 ihre Leistungen auf den 31. August 2005 ein. Gleichzeitig lehnte sie es ab, eine Invalidenrente oder eine Integritätsentschädigung auszurichten. Zur Begründung wurde erklärt, die über dieses Datum hinaus bestehenden Beschwerden seien nicht unfallkausal. Diesen Standpunkt bestätigte die SUVA - nach Einholung eines unfallanalytischen Gutachtens der Winterthur Versicherungen vom 27. September 2005 - mit Einspracheentscheid vom 27. Dezember 2005.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau ab (Entscheid vom 28. Februar 2007).
C. H._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es seien der kantonale Entscheid und der Einspracheentscheid aufzuheben und ihm die gesetzlichen Leistungen zu gewähren. Überdies sei "eine öffentliche Verhandlung im Sinne von EMRK 6 Abs. 1 durchzuführen". Eventualiter wird beantragt, es sei die Vorinstanz anzuweisen, "die öffentliche gesetzliche Parteiverhandlung durchzuführen und den Beschwerdeführer persönlich anzuhören." Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Im gleichen Sinn äussert sich das kantonale Gericht. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 hat das Bundesgericht die sog. Schleudertrauma-Praxis bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden präzisiert. Die Parteien hielten im Rahmen des ihnen zu dieser Präzisierung gewährten rechtlichen Gehörs an ihren Rechtsbegehren fest.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer verlangt zunächst, das Bundesgericht habe eine öffentliche Verhandlung durchzuführen oder - eventuell - die Sache zu diesem Zweck an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
1.1 Nach Art. 6 Ziff. 1 Satz 1 EMRK hat - unter Vorbehalt der in Satz 2 derselben Bestimmung genannten Ausnahmen - jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat.
1.2 Im Sozialversicherungsprozess ist die von Art. 6 Ziff. 1 EMRK geforderte Öffentlichkeit der Verhandlung - in Übereinstimmung mit der Praxis der Konventionsorgane - primär im erstinstanzlichen Rechtsmittelverfahren zu gewährleisten (<ref-ruling> E. 3 S. 54 f.). Der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung durch das Bundesgericht ist daher abzuweisen.
1.2 Im Sozialversicherungsprozess ist die von Art. 6 Ziff. 1 EMRK geforderte Öffentlichkeit der Verhandlung - in Übereinstimmung mit der Praxis der Konventionsorgane - primär im erstinstanzlichen Rechtsmittelverfahren zu gewährleisten (<ref-ruling> E. 3 S. 54 f.). Der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung durch das Bundesgericht ist daher abzuweisen.
1.3 1.3.1 Das erstinstanzliche Sozialversicherungsgericht hat grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung anzuordnen, wenn eine solche beantragt wird. Der Antrag auf eine öffentliche Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK muss klar und unmissverständlich gestellt werden. Verlangt eine Partei beispielsweise lediglich eine persönliche Anhörung oder Befragung, ein Parteiverhör, eine Zeugeneinvernahme oder einen Augenschein, liegt bloss ein Beweisantrag vor, welcher noch nicht auf den Wunsch nach einer konventionskonformen Verhandlung mit Publikums- und allenfalls Presseanwesenheit schliessen lässt (<ref-ruling> E. 3a S. 55 mit Hinweisen).
1.3.2 In der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift vom 31. März 2006 wurde beantragt, der Beschwerdeführer sei "vor das angerufene Gericht zur Parteibefragung zu laden". Nach dem Gesagten liegt darin kein Antrag, welcher das kantonale Gericht aufgrund von Art. 6 Ziff. 1 EMRK zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung verpflichtet hätte. Die Vorinstanz durfte daher von einer solchen absehen, ohne eine Konventionsverletzung zu begehen. Der vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang angerufene § 79 der Zivilprozessordnung des Kantons Aargau hält gemäss den Darlegungen des kantonalen Gerichts lediglich fest, dass eine Parteiverhandlung, falls eine solche stattfindet, öffentlich ist. Der Beschwerdeführer vermag nicht darzutun, inwiefern diese Auslegung eine Rechtsverletzung nach <ref-law> darstellen sollte. Der Eventualantrag ist somit ebenfalls unbegründet.
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (<ref-law>) vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und Gesundheitsschaden im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181; <ref-ruling> E. 5c S. 361; <ref-ruling> E. 1 S. 337 f.), einschliesslich der bei spezifischen HWS-Verletzungen geltenden Besonderheiten (BGE <ref-ruling> E. 2b/bb S. 340 f.; vgl. nun das noch nicht in der amtlichen Sammlung veröffentlichte Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 9), sowie den Beweiswert und die Würdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zur überdies erforderlichen Adäquanz des Kausalzusammenhangs (<ref-ruling> E. 5a S. 461 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 181, 402 E. 2.2 S. 405; <ref-ruling> E. 5a S. 461 f.), insbesondere bei psychischen Fehlentwicklungen (<ref-ruling>), einem HWS-Schleudertrauma (<ref-ruling>) oder einem diesem gleichgestellten Verletzungsmechanismus (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2), einschliesslich der nach bisheriger Praxis massgebenden Regeln zur Abgrenzung dieser beiden Tatbestände (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103; <ref-ruling> E. 2a S. 99; RKUV 2001 Nr. U 412 S. 80 f., U 96/00; RKUV 2000 Nr. U 397 S. 328 E. 3c, U 273/99).
3. Strittig und zu prüfen ist, ob die SUVA ihre Leistungen zu Recht auf den 31. August 2005 eingestellt hat. Dies hängt unter anderem davon ab, ob der Beschwerdeführer über diesen Zeitpunkt hinaus an einem Gesundheitsschaden leidet, welcher in einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfall steht.
4. 4.1 Nach Lage der Akten weist der Beschwerdeführer keine unfallkausalen gesundheitlichen Beeinträchtigungen auf, welche sich organisch nachweisen lassen. Insbesondere zeigen die bildgebenden Untersuchungen im Bereich der HWS einzig eine unfallfremde Diskushernie auf dem Niveau C6/7 (MRI HWS, Kantonsspital B._, Radiologisches Institut, vom 16. Juni 2004). Das kantonale Gericht gelangte zum Ergebnis, die vorhandenen Symptome, welche nicht einer somatisch nachweisbaren Ursache zugeordnet werden können, stünden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Ereignis vom 27. Oktober 2003. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen diese Betrachtungsweise.
4.2 Gemäss den Feststellungen des kantonalen Gerichts hat der Beschwerdeführer beim Auffahrunfall vom 27. Oktober 2003 eine HWS-Distorsion im Sinne eines Schleudertraumas der HWS erlitten. Laut den Angaben im Polizeirapport klagte er anschliessend über Nackenbeschwerden. In der Folge traten verschiedene Symptome auf, welche dem bei derartigen Verletzungen öfters zu beobachtenden, komplexen und vielschichtigen Beschwerdebild (BGE <ref-ruling> E. 1 S. 338 mit Hinweis) zuzurechnen sind. Die Adäquanz des Kausalzusammenhangs ist daher nach der mit <ref-ruling> ff. begründeten, im noch nicht in der amtlichen Sammlung veröffentlichten Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 präzisierten Rechtsprechung zu prüfen. Die Voraussetzungen, unter welchen nach der bisherigen Praxis trotz des Vorliegens eines Schleudertraumas die Regeln zur Adäquanzprüfung bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling>) Anwendung finden (vgl. die Hinweise in E. 2 hiervor am Ende), liegen nicht vor.
4.3 Über den Hergang des Unfalls vom 27. Oktober 2003 ist den Akten zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer als Lenker eines Personenwagens auf der Autobahn unterwegs war. Er befand sich auf der Überholspur, als die vor ihm fahrenden Wagen - offenbar im Zusammenhang mit einem Unfall, der sich in der Gegenrichtung ereignet hatte - abrupt bremsten. Der Versicherte vermochte seinen Volvo 960 rechtzeitig zum Stillstand zu bringen. Dasselbe gelang zunächst auch dem unmittelbar nachfolgenden Personenwagen VW Golf. Dieser wurde jedoch vom hinter ihm fahrenden Geländefahrzeug der Marke Jeep Grand Cherokee am Heck gerammt und nach vorne geschoben. Dabei prallte er einerseits links in die Leitplanke und andererseits in das Heck des vom Beschwerdeführer gelenkten Volvo. Das unfallanalytische Gutachten ergab für den Volvo eine kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung (delta-v) von 6.0 km/h bis 8.7 km/h. Im Rahmen der für die Adäquanzprüfung vorzunehmenden Einteilung ist dieses Ereignis den mittelschweren Unfällen zuzuordnen. Mit Blick auf die durch die Rechtsprechung entwickelten Massstäbe (vgl. die Zusammenstellung im Urteil U 515/06 vom 9. August 2007, E. 4.2.3) scheidet eine Einordnung im Grenzbereich zu den schweren Unfällen klarerweise aus. Die Adäquanz des Kausalzusammenhangs ist somit zu bejahen, wenn ein einzelnes der in die Beurteilung einzubeziehenden Kriterien in besonders ausgeprägter Weise vorliegt oder die zu berücksichtigenden Kriterien in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sind (<ref-ruling> E. 6b S. 367 f.).
4.4 Die Prüfung der Adäquanzkriterien unter Zugrundelegung der für Schleudertraumata und gleichgestellte Verletzungen entwickelten, mit dem erwähnten Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 präzisierten Praxis ergibt folgendes:
4.4.1 Das Adäquanzkriterium der besonderen Eindrücklichkeit und der dramatischen Begleitumstände wurde bei Verkehrsunfällen auf der Autobahn beispielsweise bei einem Versicherten bejaht, dessen Fahrzeug sich mit einer (angegebenen) Geschwindigkeit von rund 90 km/h über die Mittelleitplanke hinweg überschlug und auf dem Dach zu liegen kam (Urteil U 492/06 vom 16. Mai 2006, E. 4.3.1). Derartige oder auch nur entfernt vergleichbare Umstände sind hier nicht gegeben. Die Vorinstanz hat das Merkmal zu Recht verneint.
4.4.2 Der Beschwerdeführer hat keine Verletzungen besonderer Art oder Schwere erlitten. Insbesondere zog er sich beim Unfall vom 27. Oktober 2003 auch keine erheblichen anderweitigen Verletzungen zu. Bei der behaupteten Fehlbehandlung, welche im Mai 2004 stattgefunden haben soll, handelt es sich entgegen der Argumentation in der ergänzenden Stellungnahme vom 10. April 2008 nicht um eine beim Unfall erlittene Verletzung. Eine solche muss anlässlich des Unfallereignisses entstehen.
4.4.3 Zum Kriterium der fortgesetzten spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung lässt der Beschwerdeführer in der ergänzenden Stellungnahme vom 10. April 2008 geltend machen, dieses Merkmal werde angesichts der ärztlich angeordneten palliativen Behandlungen, Cranial-Therapie und Physiotherapie zweifellos erfüllt. Dieser Ansicht kann jedoch nicht gefolgt werden, denn derartige Vorkehren sind nicht mit der durch das Kriterium anvisierten erheblichen zusätzlichen Beeinträchtigung der Lebensqualität verbunden. Unter den gegebenen Umständen kommt diese Eigenschaft auch den stationären Aufenthalten in X._ und in L._ nicht zu. Ersterer wurde auf Anregung des Hausarztes und des Vertreters des Versicherten angeordnet, während die Rehabilitation in L._ in erster Linie diagnostischen Zwecken diente. Auch die im September 2004 aufgenommene psychiatrische Behandlung hat nicht belastenden Charakter im Sinne der mit dem Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 eingeleiteten Praxis.
4.4.4 Das Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, hat die Vorinstanz mit überzeugender Begründung verneint. Insbesondere hat sie dargelegt, dass und warum weder die Manipulation durch Dr. med. T._ im Mai 2004 an der BWS, welche gemäss den Angaben des Versicherten erhöhte Beschwerden im Bereich der LWS bewirkte, noch die versehentliche Abgabe des Medikaments Neurontin 300 mg oder 800 mg (anstelle von Irfen 880 mg bzw. Dafalgan 500 mg) während einiger Tage des Aufenthalts in L._ mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zu einer erheblichen Verschlimmerung der Unfallfolgen geführt haben.
4.4.5 Ein schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen liegen nicht vor. Das Kriterium setzt voraus, dass besondere Gründe die Heilung beeinträchtigt haben (SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81, E. 8.5 [U 479/05]). Solche Gründe sind hier nicht ersichtlich.
4.4.6 Das durch die Vorinstanz offen gelassene Kriterium der Dauerbeschwerden respektive erheblichen Beschwerden kann gestützt auf die Aktenlage als erfüllt angesehen werden.
4.4.7 Der Beschwerdeführer nahm die Arbeit am 13. Dezember 2003 wieder zu 100% auf. Ab 12. Juli 2004 war er jedoch gemäss ärztlichen Attesten in unterschiedlichem Masse arbeitsunfähig. Inwieweit die Absenzen von der Arbeit medizinisch begründet waren, lässt sich aufgrund der Akten nicht schlüssig beurteilen. Insbesondere gehen die Stellungnahmen zum Gesundheitszustand aus psychiatrischer Sicht deutlich auseinander (Bericht des Dr. med. W._ vom 12. April 2005 einerseits; im Rahmen des Aufenthalts in der Rehaklinik L._ erstelltes psychosomatisches Konsilium vom 10. März 2005 durch Dr. med. O._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, Leitender Arzt, andererseits). Weitere Abklärungen zu diesem Punkt können jedoch unterbleiben, denn auch auf der Basis der Stellungnahme von Dr. med. W._ liegt keine Arbeitsunfähigkeit in einem Ausmass vor, welches für sich allein die Bejahung der Adäquanz rechtfertigen würde. Somit sind jedenfalls nicht mehr als zwei der relevanten Kriterien erfüllt, ohne dass eines davon in besonderer Ausprägung vorläge. Diese Feststellung führt angesichts der Qualifikation des Unfalls als mittelschwer, ausserhalb des Grenzbereichs zu den schweren Ereignissen, zur Verneinung des adäquaten Kausalzusammenhangs.
5. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; <ref-law>) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Fürsprecher Dr. Hans A. Schibli, Baden, wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 3000.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Mai 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger