Sachverhalt:
A.
In einem von der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich gegen ihn geführten Strafverfahren wurde X._ von Rechtsanwalt Y._ als amtlicher Verteidiger vertreten. Am 26. November 2012 verurteilte das Bezirksgericht Zürich X._ wegen mehrfachen sich bestechen Lassens, mehrfacher ungetreuer Amtsführung, mehrfacher Geldwäscherei und Verletzung des Amtsgeheimnisses. Gegen dieses Urteil wurde die Berufung erklärt.
B.
Noch bevor ihm das begründete Urteil des Bezirksgerichts zugestellt wurde, stellte X._ ein Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung, welches das Bezirksgericht am 5. März 2013 abwies. Eine von X._ gegen die Abweisung des Gesuchs erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 5. Juni 2013 ab.
C.
Gegen den Beschluss des Obergerichts hat X._ am 10. Juli 2013 Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt, Rechtsanwalt Daniel U. Walder sei per 21. Januar 2013 als sein neuer amtlicher Verteidiger einzusetzen unter gleichzeitiger Entlassung des bisherigen amtlichen Verteidigers. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid zu kassieren und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Rechtsanwalt Y._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft und die Vorinstanz haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit Eingabe vom 28. Oktober 2013 hat der Beschwerdeführer an den Beschwerdeanträgen festgehalten.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft eine Strafsache im Sinne von <ref-law> und wurde von einer letzten kantonalen Instanz gefällt (vgl. Art. 80 Abs. 1 und 2 BGG). Es handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der das Strafverfahren nicht abschliesst.
1.1. Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (vgl. <ref-law>), ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss <ref-law> nur zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder - was vorliegend von vornherein ausser Betracht fällt - die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Als oberste rechtsprechende Behörde des Bundes soll sich das Bundesgericht in der Regel nur einmal mit der gleichen Streitsache befassen müssen. Nach ständiger Praxis zu <ref-law> ist ein Vor- oder Zwischenentscheid daher nur ausnahmsweise anfechtbar, sofern ein konkreter Nachteil droht, der auch durch einen (für die rechtsuchende Partei günstigen) Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte. Dabei obliegt es dem Beschwerdeführer, detailliert darzutun, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 95 mit Hinweisen).
1.2. Der blosse Umstand, dass es sich beim Offizialverteidiger nicht um den Wunsch- bzw. Vertrauensanwalt der beschuldigten Person handelt, schliesst eine wirksame und ausreichende Verteidigung nicht aus. Die Ablehnung eines Gesuchs um Auswechslung des Offizialverteidigers begründet daher grundsätzlich keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne des Gesetzes. Anders liegt der Fall, wenn der amtliche Verteidiger seine Pflichten erheblich vernachlässigt, wenn die Strafjustizbehörden gegen den Willen der beschuldigten Person und ihres Offizialverteidigers dessen Abberufung anordnen, wenn sie der beschuldigten Person verweigern, sich (zusätzlich zur Offizialverteidigung) auch noch durch einen Privatverteidiger vertreten zu lassen, oder wenn sie das gesetzliche Vorschlagsrecht der beschuldigten Person bezüglich der Person des amtlichen Verteidigers missachten (<ref-ruling> E. 1.1 f. S. 115 ff. mit Hinweisen).
1.3. Der Beschwerdeführer legt ausführlich dar, weshalb eine wirksame Verteidigung durch den amtlichen Verteidiger nicht mehr gewährleistet sein soll. Dem amtlichen Verteidiger seien erhebliche Pflichtverletzungen anzulasten und das Vertrauensverhältnis zwischen ihnen sei erheblich gestört. Damit ist die Sachurteilsvoraussetzung von <ref-law> grundsätzlich erfüllt.
2.
Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer sich nicht mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid auseinandersetzt, sondern bloss den Inhalt von Rechtsschriften wiederholt, die er vor dem Bezirksgericht und der Vorinstanz eingereicht hat (vgl. <ref-law>).
3.
Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Von der beschwerdeführenden Person kann die Feststellung des Sachverhalts wiederum nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
4.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe sich nicht in genügender Weise mit seinen Vorbringen auseinandergesetzt, ihren Entscheid mangelhaft begründet und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 237; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; je mit Hinweisen).
Diesen Anforderungen genügt der angefochtene Entscheid. Die Vorinstanz hat sich in genügender Weise mit den wesentlichen Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt, sodass dieser in der Lage war, den Entscheid sachgerecht anzufechten. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass die Vorinstanz nicht ausdrücklich auf den Einwand des Beschwerdeführers eingegangen ist, der Wechsel der amtlichen Verteidigung sei auch deshalb zu genehmigen, weil sich der amtliche Verteidiger aktiv gegen die Auswechslung wehre (vgl. dazu nachfolgend E. 5.4). Der Beschwerdeführer vermag mit der Rüge, die Vorinstanz habe ihre Prüf- und Begründungspflicht nach <ref-law> verletzt, nicht durchzudringen.
5.
Der Beschwerdeführer macht geltend, der angefochtene Entscheid verletze <ref-law> sowie <ref-law>, weil die Vorinstanz zu Unrecht davon ausgegangen sei, dass kein Grund für einen Wechsel der amtlichen Verteidigung vorliege.
5.1. Art. 29 Abs. 3 und Art. 32 Abs. 2 BV vermitteln der beschuldigten Person einen Anspruch auf sachkundige, engagierte und effektive Wahrnehmung ihrer Parteiinteressen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 164 f. mit Hinweis). Wird die beschuldigte Person amtlich verteidigt, überträgt die Verfahrensleitung die amtliche Verteidigung einer anderen Person, wenn das Vertrauensverhältnis zwischen der beschuldigten Person und ihrer amtlichen Verteidigung erheblich gestört oder eine wirksame Verteidigung aus anderen Gründen nicht mehr gewährleistet ist (<ref-law>).
Allein das Empfinden der beschuldigten Person reicht für einen Wechsel der Verteidigung allerdings nicht aus. Vielmehr müssen konkrete Hinweise bestehen, die in objektiv nachvollziehbarer Weise für eine erhebliche Störung des Vertrauensverhältnisses sprechen. Der blosse Wunsch der beschuldigten Person, nicht mehr durch den ihm beigegebenen Verteidiger vertreten zu werden, reicht für einen Wechsel nicht aus. Zudem ist der amtliche Verteidiger nicht bloss das unkritische Sprachrohr seines Mandanten. Für einen Verteidigerwechsel genügt deshalb nicht, wenn die Verteidigung eine problematische, aber von der beschuldigten Person gewünschte Verteidigungsstrategie nicht übernimmt oder wenn sie nicht bedingungslos glaubt, was die beschuldigte Person zum Delikt sagt, und das nicht ungefiltert gegenüber den Behörden vertritt. Gleiches gilt betreffend die Weigerung, aussichtslose Prozesshandlungen vorzunehmen. Im Zweifelsfall liegt es nämlich im pflichtgemässen Ermessen des Verteidigers, zu entscheiden, welche Beweisanträge und juristischen Argumentationen er als sachgerecht und geboten erachtet. Hingegen erscheint der Anspruch auf eine wirksame Verteidigung verletzt, wenn die Verteidigung einer nicht geständigen beschuldigten Person andeutet, sie halte ihren Mandanten für schuldig (<ref-ruling> E. 2.4 S. 165 f.; Urteil 1B_410/2012 vom 3. Oktober 2012 E. 1.2; je mit Hinweisen).
5.2. Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, der amtliche Verteidiger habe sich krass ungenügend auf die Hauptverhandlung vorbereitet und ihn an der Hauptverhandlung ungenügend verteidigt.
Wie der amtliche Verteidiger und im angefochtenen Entscheid die Vorinstanz nachvollziehbar dargelegt haben, setzte sich der amtliche Verteidiger während der Strafuntersuchung immer wieder mit dem Beschwerdeführer sowie den Verfahrensakten auseinander und besprach er die Anklagepunkte und seine Vorgehensweise mit dem Beschwerdeführer persönlich. Dass der amtliche Verteidiger gemäss einer von ihm eingereichten Honorarnote für die unmittelbare Vorbereitung der Hauptverhandlung (nur) 975 Minuten aufgewendet hat, erscheint vor diesem Hintergrund nicht aussergewöhnlich. Nicht zu beanstanden ist aufgrund der Gegebenheiten, dass der amtliche Verteidiger an der Gerichtsverhandlung die Qualifikation des Beschwerdeführers als Beamter im Sinne des Strafgesetzbuchs nicht angezweifelt hat. Auch sonst ist nicht ersichtlich, inwiefern der amtliche Verteidiger an der Hauptverhandlung entscheidende Aspekte nicht in genügender Weise beleuchtet hätte, wobei er zu Recht darauf hingewiesen hat, dass der Beschwerdeführer in weiten und zentralen Teilen der Anklage geständig war. Auch vom Umfang der Plädoyernotizen kann nicht darauf geschlossen werden, der amtliche Verteidiger habe den Beschwerdeführer ungenügend verteidigt. Dass der amtliche Verteidiger sich unzureichend auf die Hauptverhandlung vorbereitet oder den Beschwerdeführer an der Hauptverhandlung ungenügend verteidigt hätte, vermag der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen nicht darzutun und ist nicht ersichtlich.
5.3. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, der amtliche Verteidiger habe krass gegen seine Interessen gehandelt, indem er im Strafverfahren geltend gemacht habe, ein Ferienhaus in Frankreich sei aus deliktisch erlangtem Geld finanziert worden, indem er nicht berücksichtigt habe, dass die Ehefrau des Beschwerdeführers aus Güterrecht Ansprüche am Ferienhaus habe, und indem er einen Antrag auf Auszahlung der Pensionskassengelder gestellt habe.
Wie der amtliche Verteidiger und im angefochtenen Entscheid die Vorinstanz überzeugend dargelegt haben, hat der Beschwerdeführer im Strafverfahren früh offengelegt, dass die Liegenschaft in Frankreich zum Teil aus deliktisch erworbenem Geld finanziert worden ist. Nicht ersichtlich ist, inwiefern dem Beschwerdeführer ein Nachteil daraus entstanden sein sollte oder entstehen könnte, dass es während des Strafverfahrens hinsichtlich des Ausmasses von für den Liegenschaftskauf eingesetztem deliktisch erworbenem Vermögen offenbar zu einem Missverständnis zwischen dem amtlichen Verteidiger und ihm gekommen ist. Es besteht sodann kein Anlass, an den Ausführungen des amtlichen Verteidigers zu zweifeln, wonach der Beschwerdeführer und in einer ersten Phase auch seine Ehefrau damit einverstanden waren, die Liegenschaft in Frankreich im Auftrag der Staatsanwaltschaft zu verkaufen und damit Kooperationsbereitschaft und Willen zur Schadensminderung zu zeigen. Dass der amtliche Verteidiger in diesem Zusammenhang im Widerspruch zu den Interessen des Beschwerdeführers gehandelt hätte, ist nicht ersichtlich. Was den Antrag auf Auszahlung von Pensionskassengeldern angeht, ist zu bedenken, dass dieser auf Wunsch des Beschwerdeführers hin gestellt worden ist und letztlich keine Pensionskassengelder bezogen worden sind. Auch diesbezüglich ist nicht einzusehen, inwiefern das Vorgehen des amtlichen Verteidigers den Interessen des Beschwerdeführers hätte zuwiderlaufen sollen.
5.4. Schliesslich führt der Beschwerdeführer an, der amtliche Verteidiger habe sich aktiv und strikt gegen die Auswechslung der amtlichen Verteidigung gewehrt. Damit habe er das Anwaltsgeheimnis verletzt und gegen die Interessen seines Mandanten gehandelt.
Wie aus seiner Stellungnahme ans Bundesgericht vom 5. August 2013 zu schliessen ist, ist der amtliche Verteidiger weiterhin bereit, seine Aufgabe wahrzunehmen. Wie schon vor Bezirksgericht und der Vorinstanz hat er sich im bundesgerichtlichen Verfahren zurückhaltend geäussert und sachlich dargelegt, weshalb seiner Ansicht nach kein Anlass für den beantragten Wechsel der amtlichen Verteidigung besteht. Dies ist nicht zu beanstanden (vgl. Urteil 1B_639/2011 vom 8. Februar 2011 E. 1.4).
5.5. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass keine konkreten Hinweise ersichtlich sind, die in objektiv nachvollziehbarer Weise für ein erheblich gestörtes Vertrauensverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und dem amtlichen Verteidiger sprechen. Auch sind keine erheblichen Pflichtverletzungen ersichtlich, die dem amtlichen Verteidiger im Strafverfahren anzulasten wären. Dass die Vorinstanz in diesem Zusammenhang entscheidwesentliche Tatsachen offensichtlich unrichtig bzw. in Verletzung von <ref-law> festgestellt oder gewürdigt hätte, vermag der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen nicht darzutun. Eine wirksame Verteidigung durch den amtlichen Verteidiger erscheint nach wie vor gewährleistet. Die Vorinstanz hat folglich nicht gegen <ref-law> oder <ref-law> verstossen, indem sie zum Schluss gekommen ist, die amtliche Verteidigung sei nicht auf eine andere Person zu übertragen.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege inklusive Verbeiständung ist gutzuheissen (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Berufungsinstanz wird dem Aufwand von Rechtsanwalt Y._ im Zusammenhang mit dem vorliegenden Verfahren im Rahmen der Festsetzung der Entschädigung des amtlichen Verteidigers gestützt auf <ref-law> Rechnung zu tragen haben (vgl. Urteil 1B_410/2012 vom 3. Oktober 2012 E. 2).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Daniel U. Walder wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Rechtsanwalt Y._, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle