Faits:
A. Dans la nuit du 1er au 2 juillet 2002, deux avions commerciaux, à savoir un Tupolev TU154M de Bashkirian Airlines qui reliait Moscou à Barcelone (vol BTC2937) et un Boeing B757-200PF de la compagnie DHL (vol DHX611), lequel reliait Bahrein à Bruxelles via Bergame, sont entrés en collision au-dessus d'Überlingen (Allemagne), près du Lac de Constance. Les septante et une personnes, passagers et membres d'équipage, qui se trouvaient à bord des appareils ont perdu la vie. Le contrôle du trafic aérien sur la portion du territoire du sud de l'Allemagne où les deux avions se trouvaient lors de la collision incombait à la société Skyguide, Société Anonyme Suisse pour les Services de la Navigation Aérienne civils et militaires (ci-après: Skyguide). Parmi les passagers du vol de Bashkirian Airlines, décédés lors de cette collision, se trouvaient D.X._, né le *** 1968, et son fils, E.X._, né le *** 1994.
Par requête unique et conjointe du 19 mai 2005, cent vingt-trois proches de passagers du Tupolev, victimes du crash aérien, se sont adressés à Skyguide afin d'être dédommagés. Parmi ceux-ci figuraient plusieurs membres de la famille des victimes précitées, à savoir leur épouse et mère, leurs parents et grands-parents, les grands-parents maternels de E.X._, ainsi que les frère et soeur de D.X._. Leur épouse et mère, ainsi que leurs parents et grands-parents - qui seuls sont encore parties à la procédure devant le Tribunal de céans - ont conclu au versement des sommes d'argent suivantes, à titre de réparation du dommage - consistant en la perte de soutien et les frais, dont ceux d'inhumation, de voyage et d'autres coûts - et du tort moral subi, avec intérêts à 5% à compter du 1er juillet 2002: A.X._ (épouse de D.X._ et mère de E.X._): 667'516 fr. 90; B.X._ (père de D.X._ et grand-père de E.X._): 418'306 fr. 25; C.X._ (mère de D.X._ et grand-mère de E.X._): 430'512 fr. 50. Ils ont en outre conclu à ce que les décisions de Skyguide soient rendues sans frais et à l'octroi d'une "équitable indemnité valant participation aux honoraires de leur conseil".
Par décision incidente du 26 juillet 2005, Skyguide a disjoint les procédures relatives aux cent vingt-trois demandes.
Le 31 mars 2006, les requérants ont sollicité le versement à chacun d'un montant complémentaire de 1'000 fr., à titre d'indemnité pour les frais résultant de la procédure (frais de traduction, de légalisation et d'apostille, de port, etc.).
Par décisions du 11 décembre 2006, Skyguide a octroyé, à titre de réparation du tort moral, à A.X._ une somme de 80'000 fr. et à chacun de B.X._ et C.X._ un montant de 35'000 fr., le tout avec intérêts à 5 % l'an depuis le 1er juillet 2002. En sus, Skyguide a accordé à chaque requérant un montant de 1'000 fr. à titre de dommages-intérêts, avec intérêts à 5 % l'an depuis le 31 mars 2006. Skyguide a rejeté les requêtes pour le surplus, en particulier s'agissant de la perte de soutien.
B. Le 29 janvier 2007, un certain nombre de proches des victimes de l'accident aérien ont recouru au Tribunal administratif fédéral. Parmi ceux-ci figuraient les membres précités de la famille de D.X._ et de E.X._. Sur le fond, ils ont pris des conclusions tendant à ce que Skyguide soit condamnée à leur verser les sommes suivantes à titre de perte de soutien, en sus des montants accordés par décisions du 11 décembre 2006: pour A.X._: 119'382 fr. 50, mais au moins 100'763 fr. 75; pour chacun de B.X._ et C.X._: 21'920 fr., mais au moins 15'306 fr. 25. Ces deux derniers ont en outre conclu à ce que leur soient alloués, à chacun, 5'000 fr. supplémentaires à titre de réparation du tort moral. Les trois personnes en cause ont par ailleurs requis le versement à chacune d'un montant de 4'000 fr. à titre de dépens.
Le 18 mars 2007, les proches des victimes ont requis la suspension de la procédure jusqu'à droit connu dans la procédure pénale ouverte contre des employés de Skyguide devant le Tribunal de district de Bülach.
Par décision incidente du 3 mai 2007, le Tribunal administratif fédéral a suspendu les procédures dans l'attente de la notification des jugements du Tribunal précité.
Le 5 septembre 2007, le Tribunal de district de Bülach a transmis au Tribunal administratif fédéral les jugements en matière pénale rendus le 21 août 2007 à l'encontre de huit employés de Skyguide. Quatre d'entre eux ont été reconnus coupables d'homicide par négligence au sens de l'<ref-law>. Ils ont été condamnés respectivement, pour trois d'entre eux, à une peine de 12 mois d'emprisonnement avec sursis durant deux ans et, pour le quatrième, à une peine de 90 jours amende à 150 fr. Les autres employés ont été acquittés.
Le 23 octobre 2007, le Tribunal administratif fédéral a ordonné la reprise de la procédure. Il a en outre autorisé la consultation par les parties de l'essentiel des documents pénaux, leur a imparti un délai pour motiver leur requête d'assistance judiciaire en décrivant la situation financière dans laquelle elles se trouvaient dans leur pays et leur a permis de déposer un mémoire complémentaire.
Le délai imparti aux proches des victimes pour établir leur situation financière et produire un mémoire complémentaire a été prolongé, à leur demande, à de multiples reprises. Le 14 mars 2008, au terme de l'ultime prolongation, les proches des victimes ont déposé un mémoire complémentaire contenant certains éléments relatifs à leur situation personnelle et patrimoniale et étayé leur demande d'assistance judiciaire à l'aide de pièces. Par ailleurs, ils ont pris des conclusions additionnelles tendant à l'allocation d'indemnités à titre de réparation du tort moral supérieures à celles octroyées par Skyguide ou ont amplifié celles contenues dans le mémoire du 29 janvier 2007. Ils ont également augmenté les conclusions initiales tendant à l'allocation d'indemnités pour la perte de soutien. Les membres de la famille de D.X._ et de E.X._ demandaient dorénavant le versement des sommes suivantes: pour A.X._: 80'000 fr. supplémentaires au moins pour le tort moral et 250'000 fr., mais au moins 125'000 fr., pour la perte de soutien; pour chacun de B.X._ et C.X._: 35'000 fr. supplémentaires au moins pour le tort moral et 150'000 fr., mais au moins 75'000 fr., pour la perte de soutien. Ils concluaient en outre à l'allocation à chacun de 4'000 fr. à titre de dépens, montant comprenant les frais d'expertise et une participation aux honoraires du conseil suisse.
Dans sa réponse du 29 octobre 2008, Skyguide a conclu préalablement à ce que le mémoire complémentaire du 14 mars 2008 soit déclaré irrecevable dans la mesure où il contenait des conclusions nouvelles ou amplifiées.
Par arrêt du 17 février 2010, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours dans la mesure de sa recevabilité. En substance, pour ce qui intéresse encore la cause telle qu'elle se présente devant le Tribunal de céans, cette autorité a retenu que seuls B.X._ et C.X._, à l'exclusion des autres membres de la famille, avaient valablement conclu, dans le délai de recours, à l'allocation, à titre de réparation du tort moral, d'une somme supplémentaire par rapport à l'indemnité qui leur avait été allouée par Skyguide. Les autres recourants s'étaient contentés de formuler des conclusions tendant au versement d'une indemnité pour la perte de soutien et d'un autre montant à titre de dépens. Or, les conclusions étant scellées par le mémoire de recours (cf. art. 52 al. 1 première phrase de la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative [PA; RS 172.021]) déposé dans le délai légal non prolongeable (<ref-law>) de 30 jours à compter de la notification de la décision attaquée (<ref-law>), celles prises ultérieurement dans le mémoire complémentaire du 14 mars 2008 étaient irrecevables. Sur le fond, les conclusions, jugées recevables, tendant à l'allocation à B.X._ et C.X._ d'un montant supplémentaire de 5'000 fr. à titre de réparation du tort moral, ont été rejetées, tout comme les prétentions en indemnisation de la perte de soutien.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._, ainsi que B.X._ et C.X._ demandent au Tribunal fédéral, principalement, de condamner Skyguide à verser à la première 205'000 fr. et à chacun des deux suivants 50'000 fr. supplémentaires, "à titre de tort moral et perte de soutien"; subsidiairement, ils concluent à ce que la cause soit renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants, le tout sous suite de frais et dépens. Ils requièrent aussi la dispense de l'avance des frais de procédure et la désignation de leur mandataire en qualité d'avocat d'office.
L'autorité précédente a renoncé à se déterminer sur le recours, alors que l'intimée a conclu à son irrecevabilité, subsidiairement à son rejet, le tout sous suite de frais et dépens.

Considérant en droit:
1. 1.1 Dirigé contre un jugement final (cf. <ref-law>) rendu dans une cause de droit public (cf. <ref-law>) par le Tribunal administratif fédéral (cf. <ref-law>), le présent recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public. Interjeté par des parties directement touchées par la décision attaquée et qui ont un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (cf. <ref-law>), il a, en effet, été déposé dans le délai (cf. <ref-law>) et la forme (cf. <ref-law>) prévus par la loi et ne tombe sous aucun des cas d'exceptions mentionnés à l'<ref-law>.
1.2 Selon l'<ref-law>, s'agissant de contestations pécuniaires, le recours est irrecevable en matière de responsabilité étatique si la valeur litigieuse est inférieure à 30'000 fr. Aux termes de l'<ref-law>, lorsque le recours est dirigé contre une décision finale, la valeur litigieuse est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente. Selon une jurisprudence établie sous l'ancienne loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 (OJ; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2006), qui demeure valable sous la LTF, les chefs de conclusions qui ne sont plus litigieux devant le Tribunal fédéral ne sont pris en considération pour le calcul de la valeur litigieuse que s'ils présentent un lien de connexité avec ceux qui le sont encore (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 239). Par ailleurs, l'<ref-law> prévoit que les conclusions prises par des consorts sont additionnées, à moins qu'elles ne s'excluent.
En l'occurrence, devant l'autorité précédente, les recourants ont conclu (dans leur mémoire complémentaire du 14 mars 2008) à ce que des montants représentant plusieurs centaines de milliers de francs leur soient adjugés à titre de réparation du tort moral et de compensation de la perte de soutien. De ce point de vue également, le recours est donc recevable.
En l'occurrence, devant l'autorité précédente, les recourants ont conclu (dans leur mémoire complémentaire du 14 mars 2008) à ce que des montants représentant plusieurs centaines de milliers de francs leur soient adjugés à titre de réparation du tort moral et de compensation de la perte de soutien. De ce point de vue également, le recours est donc recevable.
1.3 1.3.1 Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>), en particulier en contrevenant à l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 450). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 288). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 3 p. 104; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322; <ref-ruling> consid 1.4 p. 400).
1.3.2 Dire s'il y a eu dommage et quelle en est la quotité est une question de fait qui lie le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 152; arrêt 4C.22/2005 du 1er avril 2005 consid. 1.1). Cela fait que le jugement attaqué constate en principe définitivement le dommage, notamment en ce qui concerne son existence, sa qualité et son importance. C'est en revanche une question de droit de dire si la notion juridique du dommage a été méconnue et de déterminer si l'autorité cantonale s'est fondée sur des principes de calcul admissibles pour le fixer (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 23).
Aux termes de l'<ref-law>, lorsque, par suite de mort, d'autres personnes ont été privées de leur soutien, il y a également lieu de les indemniser de cette perte. Cette disposition déroge au système général du code des obligations en permettant exceptionnellement la réparation du préjudice réfléchi (<ref-ruling> consid. 4b/aa p. 407) et doit, de ce fait, être interprétée restrictivement (<ref-ruling> consid. 4a). Elle exige en premier lieu que le défunt apparaisse comme un soutien du ou des demandeur(s). Est considéré comme tel celui qui, s'il n'était pas décédé, aurait subvenu en tout ou partie à l'entretien d'une autre personne dans un avenir plus ou moins proche. La perte de soutien peut donc non seulement être effective, mais aussi hypothétique. Cette dernière éventualité suppose que la personne décédée aurait, avec une grande vraisemblance, assuré un jour l'entretien du ou des demandeur(s) si elle n'était pas décédée (<ref-ruling> consid. 2a p. 146). Il faut donc établir des faits permettant de conclure que, dans le cours normal des choses, la personne décédée aurait un jour aidé le ou les demandeur(s) (ATF 66 II 206 consid. 3). Comme les incertitudes sont nombreuses, le juge doit se montrer prudent (arrêt 4C.195/2001 du 12 mars 2002 consid. 4, rés. in JdT 2003 I 547, ainsi que les références citées).
1.3.3 En l'espèce, les recourants s'en prennent au montant de l'indemnité pour perte de soutien, sans toutefois exposer de manière conforme aux exigences rappelées ci-dessus en quoi les faits pertinents à cet égard auraient été établis de manière arbitraire par l'autorité précédente. Ils se contentent en effet d'affirmer que "le TAF est ici tombé dans l'arbitraire alors qu'il disposait dans les expertises soumises (auxquelles il s'est d'ailleurs référé dans d'autres décisions) des informations suffisantes pour au moins procéder à une estimation de ces pertes", ce qui est insuffisant. On pouvait en effet attendre des recourants qu'ils exposent de manière circonstanciée en quoi le Tribunal administratif fédéral se serait de manière illicite écarté de telle ou telle pièce et en quoi cela aurait eu une influence décisive sur le sort de la cause (cf. <ref-law>). Pour ce motif déjà, le Tribunal fédéral n'entrera pas en matière sur le recours en tant qu'il concerne l'indemnité pour perte de soutien.
1.3.3 En l'espèce, les recourants s'en prennent au montant de l'indemnité pour perte de soutien, sans toutefois exposer de manière conforme aux exigences rappelées ci-dessus en quoi les faits pertinents à cet égard auraient été établis de manière arbitraire par l'autorité précédente. Ils se contentent en effet d'affirmer que "le TAF est ici tombé dans l'arbitraire alors qu'il disposait dans les expertises soumises (auxquelles il s'est d'ailleurs référé dans d'autres décisions) des informations suffisantes pour au moins procéder à une estimation de ces pertes", ce qui est insuffisant. On pouvait en effet attendre des recourants qu'ils exposent de manière circonstanciée en quoi le Tribunal administratif fédéral se serait de manière illicite écarté de telle ou telle pièce et en quoi cela aurait eu une influence décisive sur le sort de la cause (cf. <ref-law>). Pour ce motif déjà, le Tribunal fédéral n'entrera pas en matière sur le recours en tant qu'il concerne l'indemnité pour perte de soutien.
1.4 1.4.1 Les conclusions portant sur une somme d'argent prises dans un recours en matière civile doivent en principe être chiffrées; des conclusions non chiffrées suffisent à condition que la somme à allouer soit d'emblée reconnaissable au regard de la motivation du recours ou de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 2 p. 237; arrêt 5A_766/2008 du 4 février 2009 consid. 2.2, in JdT 2010 I p. 341; cf. aussi Lorenz Meyer, Wege zum Bundesgericht - übersicht und Stolpersteine, RJB 2010 p. 862). La règle vaut notamment pour les prétentions en responsabilité civile (cf. Andreas Güngerich/Lukas Friedli, Rechtsmittel nach neuem BGG, in Haftpflichtprozess 2007, 2007, p. 129 s.; Fridolin Walter, Das Bundesgerichtsgesetz [BGG] - zwei Jahre Erfahrungen, in Haftpflichtprozess 2009, 2009, p. 104 ss).
1.4.2 Les prétentions soulevées dans la présente procédure en responsabilité de l'Etat étant similaires à celles d'un procès en responsabilité civile, les règles exposées ci-dessus sont applicables par analogie dans le cas d'espèce. Or, les recourants ont conclu à l'adjudication d'un montant global à titre de réparation du tort moral et de compensation de la perte de soutien, sans distinguer entre ces deux formes de préjudice. La motivation du recours ne permet pas davantage d'effectuer une répartition. Compte tenu du fait que la réparation du tort moral n'est pas guidée par les mêmes principes que celle de la perte de soutien, ces conclusions sont irrecevables au regard des principes rappelés ci-dessus. Admettre le contraire signifierait que le lésé peut laisser le montant de l'indemnité à l'appréciation du juge, ce que les recourants font en réalité en concluant à l'allocation d'un montant global pour la perte de soutien et le tort moral. Or, si cela est possible en vertu de l'<ref-law> tant que la procédure probatoire n'a pas eu lieu, tel n'est plus le cas devant le Tribunal de céans, où les conclusions doivent être chiffrées (cf. Güngerich/Friedli, op. cit., p. 129).
Il s'ensuit que les conclusions des recourants sont irrecevables.
2. Les considérants qui précèdent conduisent à l'irrecevabilité du recours. Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire est rejetée (cf. <ref-law>).
Succombant, les recourants doivent supporter les frais judiciaires, solidairement entre eux (cf. art. 65 et 66 al. 1 et 5 LTF). Ils n'ont pas droit à des dépens (cf. <ref-law>).
Conformément à la règle de l'<ref-law> (cf. aussi <ref-ruling> consid. 7 p. 119; arrêt 2C_212/2007 du 11 décembre 2007 consid. 5), l'intimée n'a pas droit à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal administratif fédéral, Cour I.
Lausanne, le 28 avril 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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