Erwägungen:
1. X._ will vom Kanton Solothurn Schadenersatz und Genugtuung erhältlich machen. Seine Forderungen stehen im Zusammenhang mit Einkommenseinbussen, die seiner Auffassung nach darauf beruhen, dass seine Chancen am Arbeitsmarkt wegen der Weitergabe von Gesundheitsdaten durch eine regionale Arbeitsvermittlungsstelle beeinträchtigt worden seien. Im ersten diesbezüglichen Klageverfahren lehnte das Verwaltungsgericht das Gesuch des Klägers um unentgeltliche Rechtspflege ab und forderte ihn auf, einen Kostenvorschuss zu bezahlen; auf die dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 2D_82/2009 nicht ein, und das kantonale Verwaltungsgericht trat am 1. März 2010 auf die Klage mangels Vorschussleistung nicht ein.
Die am 29. Juni 2010 in gleicher Angelegenheit beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn neu eingereichte Klage wies dieses mit Urteil vom 19. Juli 2010 ab. Gegen dieses Urteil gelangte X._ am 24. Juli 2010 ans Bundesgericht; er verlangte ein gerechtes Urteil mit Schadenersatz von Fr. 12'000.-- mit Genugtuung und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mit für ihn kostenlosem Rechtsbeistand. Das Bundesgericht wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit Verfügung vom 4. August 2010 ab; dabei wurde erwogen, dass die Beschwerde aussichtslos erscheine, weil weder die Vorbringen des Beschwerdeführers noch die bis dannzumal vorliegenden Akten erkennen liessen, dass bzw. inwiefern das die Haftung des Kantons verneinende Urteil des Verwaltungsgerichts gegen schweizerisches Recht (<ref-law>) verstossen könnte. Am 10. August 2010 reichte X._ einen Beschwerdenachtrag bzw. eine Stellungnahme zur Verfügung vom 4. August 2010 nach. Zusätzlich zu Schadenersatz und Genugtuung verlangte er eine "plausible Erklärung sowie eine Verurteilung des SECO gemäss EDÖB".
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind weitere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; dabei ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (<ref-law>) verletze.
Vorliegend ist ein Urteil angefochten, das auf kantonalem Staatshaftungsrecht beruht; dagegen steht als bundesrechtliches Rechtsmittel allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne von <ref-law> zur Verfügung (<ref-law>). Mit diesem Rechtsmittel kann bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>); solche Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-law>). Welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch das Urteil des Verwaltungsgerichts verletzt worden sein sollen, lässt sich weder der Beschwerdeschrift vom 24. Juli 2010 noch der ergänzenden Eingabe vom 10. August 2010 entnehmen. Worin die angebliche Befangenheit der "Richter in Solothurn" bestehen soll, bleibt unerfindlich. Was schliesslich die Aussage des Beschwerdeführers betrifft, dass im Kanton Solothurn die unentgeltliche Rechtspflege verlangen könne, wer vermögenslos sei und nicht über genügend Einkommen verfüge, ist ihm schon im Verfahren 2D_82/2009 und auch in der Verfügung vom 4. August 2010 zur Genüge aufgezeigt worden, wie es sich mit den Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege verhält und dass diese im Zusammenhang mit seinem Rechtsstreit nicht erfüllt sind, weil in keiner Weise eine Rechtsverletzung ersichtlich sei; ein Zurückkommen auf die entsprechenden Entscheidungen fällt ausser Betracht.
Da es offensichtlich an einer den gesetzlichen Anforderungen genügenden Beschwerdebegründung fehlt (<ref-law>), ist auf die Beschwerde mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
Nachdem dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden konnte, sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Feller