Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 11. November 2005 lehnte die IV-Stelle Bern, nach Beizug der Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) sowie eines Gutachtens des Dr. med. H._, Psychiatrie Psychotherapie FMH, vom 31. Oktober 2005, ein Gesuch des 1955 geborenen A._ um Zusprechung einer Invalidenrente mangels rentenbegründenden Invaliditätsgrades ab, woran sie auf Einsprache hin festhielt (Einspracheentscheid vom 11. Oktober 2006).
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab (Entscheid vom 22. März 2007).
C. A._ lässt Beschwerde führen und beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihm eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung (medizinische Gesamtbegutachtung; psychiatrisches Obergutachten) zurückzuweisen. Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 26. Februar 2008 weist das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2. Streitig ist als Voraussetzung des Anspruchs auf eine Invalidenrente der Invaliditätsgrad und in diesem Zusammenhang die Frage, in welchem Ausmass der Beschwerdeführer arbeits- und erwerbsunfähig ist. Das kantonale Gericht und die IV-Stelle haben die zur Beurteilung dieser Streitfrage einschlägigen Rechtsgrundlagen (auch hinsichtlich der intertemporalrechtlich geltenden Grundsätze) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Die Vorinstanz stellte zur Beurteilung des psychischen Gesundheitszustands auf das Gutachten des Dr. med. H._ vom 31. Oktober 2005 ab. Danach leidet der Beschwerdeführer an einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10: F45.4) und an einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig leichte Episode (ICD-10: F33.0). Der Experte gelangte zum Schluss, dass es dem Exploranden möglich ist, seine Schmerzen zu überwinden und vollzeitlich arbeitstätig zu sein.
3.1.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, er habe Dr. med. H._ als Experten bereits im Verwaltungsverfahren abgelehnt und einen anderen psychiatrischen Sachverständigen vorgeschlagen. Trotzdem sei der psychische Gesundheitszustand von Dr. med. H._ exploriert und begutachtet worden. Dieser Arzt sei daher nicht mehr "neutral" gewesen, weshalb seine Stellungnahme bestenfalls dem Beweiswert eines Parteigutachtens entspreche.
3.1.2 Der Beschwerdeführer hat sich, nachdem die IV-Stelle das Mahn- und Bedenkzeitverfahren (vgl. <ref-law>) eingeleitet hatte, der Begutachtung durch Dr. med. H._ unterzogen. Es ist daher fraglich, ob die Rüge, welche auf die Begründung eines Ausstandsgrunds des medizinischen Sachverständigen abzielt, im bundesgerichtlichen Verfahren zulässig ist (vgl. <ref-ruling>). Diese Frage kann aber offen gelassen werden. Nach der Rechtsprechung ist Befangenheit eines medizinischen Sachverständigen anzunehmen, wenn Umstände vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit zu erwecken. Bei der Beurteilung des Anscheins der Befangenheit und der Gewichtung solcher Umstände kann jedoch nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abgestellt werden. Das Misstrauen muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen (<ref-ruling> E. 7.1 S. 109 f. mit Hinweis). Allein aufgrund des Umstands, dass hier der Versicherte den von der IV-Stelle vorgeschlagenen psychiatrischen Experten abgelehnt hat, ist dessen Unabhängigkeit nicht in Zweifel ziehen.
3.1.3 Sodann sind auch die allgemein gehaltenen materiellen Einwände des Beschwerdeführers gegen den Inhalt des Gutachtens des Dr. med. H._ nicht stichhaltig. Das kantonale Gericht hat einlässlich dargelegt, weshalb darauf zur Beurteilung des psychischen Gesundheitszustands und Zumutbarkeit einer Arbeitstätigkeit abgestellt werden kann. Eine offensichtlich unrichtige oder unvollständige Sachverhaltsfeststellung ist nicht ersichtlich.
3.2 In Bezug auf die körperlichen Beeinträchtigungen und deren Auswirkungen auf die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit stellte das kantonale Gericht auf die Erwägungen im Rückweisungsurteil U 73/01 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 4. März 2002 ab, in welchem die gesundheitlichen Folgen des Arbeitsunfalles vom 14. Juni 1997 zu beurteilen waren. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hielt fest, dass der Beschwerdeführer unfallbedingt an einer die Arbeitsfähigkeit einschränkenden Neuropathie der rechten Hand leidet. Eine vollschichtige Erwerbstätigkeit, bei welcher die rechte Hand nicht oder nur hilfsweise eingesetzt werden muss, war ihm vollschichtig zumutbar (U 73/01 E. 4c und 6). Der Beschwerdeführer hat im vorinstanzlichen Verfahren nicht geltend gemacht, dass sich an diesem Sachverhalt im Zeitraum bis Erlass des für die gerichtliche Überprüfung massgeblichen Einspracheentscheids der IV-Stelle vom 11. Oktober 2006 etwas verändert hat. Für eine solche Annahme finden sich namentlich in der Anamnese des Gutachtens des Dr. med. H._ vom 31. Oktober 2005 keine Anhaltspunkte. Eine offensichtlich unrichtige oder unvollständige Sachverhaltsfeststellung ist dem kantonalen Gericht daher auch in diesem Punkt nicht vorzuwerfen. Ob es sich beim letztinstanzlich aufgelegten Ärztlichen Zeugnis des Dr. med. S._, Arzt für Allg. Medizin FMH, vom 20. Februar 2007 um ein unzulässiges Novum handelt (vgl. <ref-law>), kann offen bleiben. Dieser Arzt bestätigt eine seit Jahren dauernde vollständige Arbeitsunfähigkeit, ohne zur gesundheitlichen Entwicklung Stellung zu nehmen.
3.2 In Bezug auf die körperlichen Beeinträchtigungen und deren Auswirkungen auf die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit stellte das kantonale Gericht auf die Erwägungen im Rückweisungsurteil U 73/01 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 4. März 2002 ab, in welchem die gesundheitlichen Folgen des Arbeitsunfalles vom 14. Juni 1997 zu beurteilen waren. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hielt fest, dass der Beschwerdeführer unfallbedingt an einer die Arbeitsfähigkeit einschränkenden Neuropathie der rechten Hand leidet. Eine vollschichtige Erwerbstätigkeit, bei welcher die rechte Hand nicht oder nur hilfsweise eingesetzt werden muss, war ihm vollschichtig zumutbar (U 73/01 E. 4c und 6). Der Beschwerdeführer hat im vorinstanzlichen Verfahren nicht geltend gemacht, dass sich an diesem Sachverhalt im Zeitraum bis Erlass des für die gerichtliche Überprüfung massgeblichen Einspracheentscheids der IV-Stelle vom 11. Oktober 2006 etwas verändert hat. Für eine solche Annahme finden sich namentlich in der Anamnese des Gutachtens des Dr. med. H._ vom 31. Oktober 2005 keine Anhaltspunkte. Eine offensichtlich unrichtige oder unvollständige Sachverhaltsfeststellung ist dem kantonalen Gericht daher auch in diesem Punkt nicht vorzuwerfen. Ob es sich beim letztinstanzlich aufgelegten Ärztlichen Zeugnis des Dr. med. S._, Arzt für Allg. Medizin FMH, vom 20. Februar 2007 um ein unzulässiges Novum handelt (vgl. <ref-law>), kann offen bleiben. Dieser Arzt bestätigt eine seit Jahren dauernde vollständige Arbeitsunfähigkeit, ohne zur gesundheitlichen Entwicklung Stellung zu nehmen.
3.3 3.3.1 Hinsichtlich der Bestimmung des Invaliditätsgrades (<ref-law>) schliesslich erwog die Vorinstanz, im Zeitpunkt des Einspracheentscheids der IV-Stelle vom 11. Oktober 2006 habe die SUVA dem Versicherten bereits mit rechtskräftig gewordenem Einspracheentscheid vom 10. Mai 2006 eine Invalidenrente gestützt auf eine Erwerbsunfähigkeit von 25 % zugesprochen. Aufgrund der tatsächlichen Verhältnisse und im Lichte von <ref-ruling> betrachtet sei die IV-Stelle wie auch das kantonale Gericht an diese unfallversicherungsrechtliche Beurteilung gebunden. Dieser Rechtsauffassung kann nicht ohne weiteres zugestimmt werden. Nach der neuesten Rechtsprechung (<ref-ruling> [Urteil U 148/06 vom 28. August 2007]) besteht für die Invalidenversicherung keine Bindungswirkung an die Invaliditätsschätzung der Unfallversicherung im Sinne von <ref-ruling>, weshalb die IV-Stellen nicht zur Einsprache gegen die Verfügung und zur Beschwerde gegen den Einspracheentscheid des Unfallversicherers über den Rentenanspruch als solchen oder den Invaliditätsgrad berechtigt sind. Allerdings schliesst das Bundesgericht in <ref-ruling> E. 6.4 S. 555 f. nicht aus, dass die IV-Stellen oder im Beschwerdefall die kantonalen Gerichte die Unfallversicherungsakten beiziehen und gestützt darauf den Invaliditätsgrad für den Bereich der Invalidenversicherung bestimmen können.
3.3.2 Die Vorinstanz hat die Bestimmung des Invaliditätsgrades der SUVA (Einspracheentscheid vom 14. April 2003, welcher mit Wiedererwägungsverfügung vom 11. Januar 2006 sowie Einspracheentscheid vom 10. Mai 2006 berichtigt wurde) zwar einzig danach geprüft, ob "triftige Gründe" im Sinne von <ref-ruling> vorliegen, die es erlauben, von der Einschätzung des Unfallversicherers abzuweichen. Der angefochtene Entscheid ist im Ergebnis aber nicht zu beanstanden. Wie das kantonale Gericht zutreffend festgehalten hat, lagen im Zeitpunkt des Einspracheentscheids der IV-Stelle vom 11. Oktober 2006 die gleichen die Arbeitsfähigkeit einschränkenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen vor, die auch für die Beurteilung der SUVA, welche auf den Feststellungen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts im Rückweisungsurteil U 73/01 beruhte, massgeblich gewesen sind. Der Beschwerdeführer beanstandet weder das von der SUVA anhand der Angaben der letzten Arbeitgeberin festgelegte Valideneinkommen, noch stellt er die Ermittlung des Invalidenlohnes gestützt auf die Durchschnittswerte der vom Bundesamt für Statistik (BFS) herausgegebenen Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) in Frage. Er macht einzig geltend, der Tabellenlohn sei um den maximal zulässigen Satz von 25 % (anstelle der von der SUVA gewährten 15 %) herabzusetzen. Selbst wenn von dieser Annahme ausgegangen würde, ergäbe sich ein unter 40 % liegender Invaliditätsgrad (abgerundet 36 %), welcher keinen Anspruch auf Invalidenrente der Invalidenversicherung begründet.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden dem im letztinstanzlichen Prozess unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. März 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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