Erwägungen:
1. 1.1 X._ stammt aus Nigeria. Er heiratete - nach zwei gescheiterten Asylverfahren unter falscher Identität - eine Schweizer Bürgerin, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Am 23. Februar 2011 lehnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau es ab, diese zu verlängern, weil X._ mehrfach verurteilt worden war (insbesondere wegen Betäubungsmitteldelikten) und in erheblichem Masse Sozialhilfe bezogen hatte. Der entsprechende Entscheid ist rechtskräftig. Am 29. Mai 2012 wurde die Ehe geschieden und die beiden gemeinsamen Kinder unter die alleinige elterliche Sorge der Mutter gestellt.
1.2 Am 13. August 2012 nahm das Migrationsamt des Kantons Thurgau X._ in Ausschaffungshaft, welche der Präsident des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau tags darauf prüfte und für die Dauer von drei Monaten bestätigte. X._ beantragt vor Bundesgericht sinngemäss, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unzulässig und kann ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Einzelrichter im Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
2.1 Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist dabei in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz einzugehen (<ref-ruling> E. 2.1 - 2.3). Der Beschwerdeführer kritisiert ausschliesslich den Bewilligungs- und Wegweisungsentscheid, welcher dem Bundesgericht nicht zur Prüfung unterbreitet werden kann. Verfahrensgegenstand bildet einzig die Rechtmässigkeit der angeordneten Ausschaffungshaft zur Sicherung des Vollzugs des Wegweisungsentscheids (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220; <ref-ruling> E. 2b). Mit der entsprechenden Problematik setzt sich der Beschwerdeführer mit keinem Wort auseinander; er legt auch nicht ansatzweise dar, inwiefern der angefochtene Entscheid diesbezüglich Bundesrecht verletzen würde.
2.2 Es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern er dies tun könnte: Der Beschwerdeführer ist rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden. Er ist der Aufforderung, das Land bis zum 30. November 2011 zu verlassen, nicht nachgekommen, sondern hier untergetaucht. Aufgrund dieses Verhaltens besteht bei ihm die hinreichend konkretisierte Gefahr, dass er sich ohne die ausländerrechtlich begründete Festhaltung den Behörden für den Vollzug der Wegweisung nicht zur Verfügung halten wird (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1). Da - wie die Vorinstanz zutreffend dargelegt hat - auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind, insbesondere der Vollzug seiner Wegweisung zurzeit als absehbar bezeichnet werden kann (Art. 80 Abs. 6 AuG; <ref-ruling> E. 4.1.3) und keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sich die Behörden nicht weiterhin mit Nachdruck hierum bemühen werden (Art. 76 Abs. 4 AuG), verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht. Der Beschwerdeführer kann seine Haft verkürzen, indem er bei der Ausschaffung mit den Behörden zusammenarbeitet.
3. Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 2. Satz BGG). Das Migrationsamt des Kantons Thurgau wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar