Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1964) und Y._ (geb. 1968) haben im Jahre 1986 in Mazedonien geheiratet. Sie haben fünf gemeinsame Kinder: A._ (geb. 1990), B._ (geb. 1992), C._ (geb. 1993), D._ (geb. 1995) und E._ (geb. 1997).
B.
Am 30. Juni 2012 wandte sich die Ehefrau an das Bezirksgericht Münchwilen. Sie ersuchte um Regelung des Getrenntlebens. Mit Entscheid vom 13. August 2012 nahm die Bezirksrichterin von der Trennung der Eheleute per 1. Juli 2012 Vormerk und regelte ihr Getrenntleben. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, verurteilte sie X._, seiner Ehefrau rückwirkend ab 1. Juli 2012 monatliche Alimente von Fr. 975.-- zu bezahlen.
C.
Beide Parteien legten gegen den bezirksrichterlichen Entscheid Berufung beim Obergericht des Kantons Thurgau ein. Y._ beantragte, die monatlichen Unterhaltsbeiträge auf Fr. 1'450.-- zu erhöhen, eventuell erst ab 1. Dezember 2012. X._ verlangte, voneinem persönlichen Unterhalt für seine Ehefrau ganz abzusehen. Am 3. Oktober 2012 erkannte das Obergericht, die Berufung der Ehefrau sei teilweise begründet, diejenige des Ehemannes demgegenüber unbegründet. Es entschied, dass X._ seiner Frau rückwirkend ab 1. Juli 2012 einen persönlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'100.-- zu bezahlen hat.
D.
Mit Beschwerde vom 12. November 2012 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt den Antrag, die rückwirkend ab 1. Juli 2012 geschuldeten Alimente für Y._ (Beschwerdegegnerin) auf monatlich Fr. 194.80 festzusetzen; eventuell sei die Sache zur Feststellung des Sachverhalts und zur Neubeurteilung zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersucht er darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen.
Mit Verfügung vom 29. November 2012 erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung für die bis und mit Oktober 2012 geschuldeten Unterhaltsbeiträge zu. Auf Anfrage des Beschwerdeführers stellte sie mit Schreiben vom 21. Dezember 2012 klar, dass damit die bis und mit Oktober 2012 geschuldeten Unterhaltsbeiträge nicht vollstreckt werden können.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. In ihrer Beschwerdeantwort vom 18. April 2013 lässt die Beschwerdegegnerin beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Auch das Obergericht des Kantons Thurgau beantragt die Abweisung der Beschwerde (Schreiben vom 27. März 2013). Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Kenntnis zugestellt.

Erwägungen:
1.
1.1. In der Sache ficht der Beschwerdeführer rechtzeitig den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75, 90 und 100 BGG) an. Der Eheschutzstreit dreht sich um die Geldbeiträge, die der eine Ehegatte dem andern schuldet (<ref-law>). Betroffen ist also eine Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur, deren Streitwert den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4, 74 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Von vornherein nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer darin das erstinstanzliche Verfahren kritisiert, denn Gegenstand der Beschwerde ist allein der angefochtene Entscheid der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>).
2.
Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (s. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es demnach nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat.
3.
Der Streit dreht sich zur Hauptsache um die Frage, ob der Beschwerdeführer mit seiner neuen Freundin eine Lebensgemeinschaft bildet und ob es deshalb richtig ist, in seinem Bedarf nur den hälftigen Ehegattengrundbetrag von Fr. 850.-- einzusetzen und von seinen Wohnkosten nur einen Anteil zu berücksichtigen.
3.1. Der Beschwerdeführer hält die Annahme einer Lebensgemeinschaft für falsch und willkürlich. Er stellt sich zunächst auf den Standpunkt, seine Freundin könne sich nicht an den Lebenskosten beteiligen, da sie mangels Arbeitsbewilligung in der Schweiz gar nicht erwerbstätig sein dürfe. Er macht geltend, aufgrund der in <ref-law> statuierten Pflicht hätte ihn das Obergericht fragen müssen, ob seine Freundin ein Einkommen erziele oder erzielen könne, denn die Antwort darauf wäre für die Bemessung seines Bedarfs wesentlich gewesen. Die richterliche Fragepflicht sei nur "unzulänglich" und somit willkürlich angewandt, der Sachverhalt entgegen der in <ref-law> vorgeschriebenen Untersuchungsmaxime nicht "rechtsgenügend", sondern falsch festgestellt worden.
Wer eine Verletzung der Untersuchungsmaxime rügt, muss aufzeigen, inwiefern die von ihm behaupteten Tatsachen, die das Gericht willkürlich festzustellen bzw. abzuklären unterlassen hat, für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sind (Urteil 5A_299/2012 vom 21. Juni 2012 E. 3.4). Nun behauptet der Beschwerdeführer selbst vor Bundesgericht aber nicht, dass seine Freundin überhaupt kein Einkommen erziele oder erzielen könne. Allein der Umstand, dass die Freundin in der Schweiz keine Arbeitsbewilligung hat, schliesst nicht aus, dass sie über Einkünfte verfügt, die es ihr ermöglichen, sich an den Kosten eines gemeinsamen Haushalts mit dem Beschwerdeführer zu beteiligen. Der Beschwerdeführer zeigt also nicht auf, inwiefern Angaben zur wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit seiner Freundin sich zwingend auf das Ergebnis des angefochtenen Entscheids hätten auswirken müssen. Dass dies der Fall wäre, ist unter Willkürgesichtspunkten umso weniger ersichtlich, als es nach der Rechtsprechung nicht darauf ankommt, in welchem Ausmass die neue Partnerin des Ehemannes sich an den gemeinsamen Lebenshaltungskosten beteiligt, sondern darauf, dass sie mit dem Ehemann in einer so genannten (einfachen) Wohn- und Lebensgemeinschaft zusammenlebt (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 100; vgl. dazu E. 3.3 ). Im Übrigen muss der Richter die Parteien wohl entsprechend befragen, wenn er an der Richtigkeit und/oder Vollständigkeit bestimmter Angaben Zweifel hat oder haben müsste und wenn - wie hier - die erstmalige Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen in Frage steht (Urteil 5A_775/2011 vom 8. März 2012 E. 2.1.3). Grundsätzlich entbindet aber weder die Untersuchungsmaxime (<ref-law>) noch die richterliche Fragepflicht (<ref-law>) die Parteien davon, am Verfahren aktiv mitzuwirken und ihre eigenen Standpunkte zu vertreten. An ihnen ist es, den Richter über den Sachverhalt zu unterrichten und auf die greifbaren Beweismittel hinzuweisen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 413 f., bestätigt in <ref-ruling> E. 3.2 S. 183 f.). Dass der Beschwerdeführer als unbeholfen hätte gelten müssen und aus diesem Grund erhöhte Anforderungen an die richterliche Fragepflicht zu stellen gewesen wären, kann nicht gesagt werden, war er im Berufungsverfahren doch anwaltlich vertreten. Dem weiteren Vorwurf, die angebliche Verletzung der Untersuchungsmaxime habe zur Verweigerung des rechtlichen Gehörs geführt, ist damit der Boden entzogen.
3.2. Der Beschwerdeführer legt sodann verschiedene Schriftstücke vor. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren indessen nur so weit vorgetragen werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Bestätigung über den ausländischen Wohnsitz seiner Freundin wurde nach dem angefochtenen Entscheid erstellt. Damit ist ausgeschlossen, dass die Voraussetzung gemäss <ref-law> erfüllt ist; echte Noven sind vor Bundesgericht unbeachtlich (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Was die übrigen Dokumente angeht, vermag sich der Beschwerdeführer nicht damit zu rechtfertigen, dass er sich durch die - angeblich - willkürliche Annahme einer Lebensgemeinschaft veranlasst sehe, diese einzureichen. Allein der vorinstanzliche Verfahrensausgang ist nämlich kein im Sinne von <ref-law> hinreichender Anlass für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren hätten vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226 f.). Insbesondere kann der Beschwerdeführer mit solchen Vorbringen auch nicht den Nachweis erbringen, dass die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig oder die Beweiswürdigung willkürlich sei. Soweit der Beschwerdeführer damit klarstellen will, "was ihm vorher zufolge Unkenntnis auch des Protokolls nicht möglich war", tut er nicht dar, inwiefern ihm im Berufungsverfahren die Einsicht in die Akten verwehrt worden wäre. Darauf ist nicht einzutreten.
3.3. In der Sache wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, es habe die "Tatsache" der Lebensgemeinschaft "nach eigenem Gutdünken" festgelegt.
3.3.1. Ob zwischen dem unterhaltsverpflichteten Ehemann und seiner neuen Partnerin eine (einfache) Wohn- und Lebensgemeinschaft ("communauté de toit de table"; "comunione di tetto e di tavola") besteht, die gewisse Einsparungen in den gemeinsamen Lebenshaltungskosten mit sich bringt und sich deshalb auf der Seite des Ehemannes bedarfssenkend auswirkt (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 100 mit Hinweisen), ist keine Tat- sondern eine Rechtsfrage. Tatsachen - und damit eine Frage der Sachverhaltsfeststellung bzw. der Beweiswürdigung - sind demgegenüber die Umstände, in denen der Ehemann mit seiner neuen Freundin lebt.
3.3.2. Seine Erkenntnis, dass "vom Grundbetrag eines in einer Lebensgemeinschaft lebenden Schuldners" auszugehen sei, stützt das Obergericht im Wesentlichen auf die Aussagen, die der Beschwerdeführer im erstinstanzlichen Verfahren zu Protokoll gegeben hat. Danach werde er ab 1. Oktober 2012 in F._ eine Wohnung beziehen und dort mit seiner Freundin zusammenleben. Auch habe er angedeutet, dass vielleicht später einmal geheiratet werde. Weiter zieht das Obergericht in Betracht, dass der Beschwerdeführer im Berufungsverfahren die Berücksichtigung der "vollen Wohnkosten" von monatlich Fr. 1'280.-- verlangt habe. Falls die Freundin nur besuchsweise bei ihm wohnen würde, bestünde kein Anlass, die Anrechnung der Wohnkosten für einen Mehrpersonenhaushalt in der Höhe von Fr. 1'280.-- zu reklamieren. In diesem Zusammenhang hält das Obergericht dem Beschwerdeführer entgegen, er verkenne, dass sich seine Freundin ab Oktober 2012 ebenfalls an den Wohnkosten beteiligen müsse. Der Grundbetrag eines in einer Lebensgemeinschaft lebenden Schuldners, von dem auszugehen sei, entspreche dem hälftigen Ehegatten-Grundbetrag von Fr. 1'700.--. Hinsichtlich der Wohnkosten führt das Obergericht aus, gegen den Betrag von Fr. 800.--, den das Bezirksgericht unter diesem Titel veranschlagt hat, sei nichts einzuwenden, zumal dieser Betrag der bei einem Einpersonenhaushalt üblichen Mietbelastung entspreche. Hinzu komme, dass der Beschwerdeführer seinen eigenen Aussagen zufolge in den Monaten Juli bis September 2012 in seinem Auto logiert habe, womit für diese Zeit von vornherein keine höheren Beträge angerechnet werden könnten.
3.3.3. Von vornherein unbegründet ist die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer die Höhe der anrechenbaren Wohnkosten von Fr. 800.-- als willkürlich tadelt. Denn diesbezüglich hält das Obergericht - wie soeben erwähnt (E. 3.3.2) - ausdrücklich fest, dieser Betrag entspreche der bei einem Einpersonenhaushalt üblichen Mietbelastung. Der Beschwerdeführer stellt diese Erkenntnis vor Bundesgericht nicht in einer Weise in Abrede, die den Anforderungen des strengen Rügeprinzips (E. 2.) genügen würde. Steht aber fest, dass der Beschwerdeführer auch dem angefochtenen Entscheid zufolge die üblichen Wohnkosten für einen Einpersonenhaushalt für sich in Anspruch nehmen kann, so ist der angefochtene Entscheid in dieser Hinsicht jedenfalls im Ergebnis nicht zu beanstanden. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid nur dann als willkürlich auf, wenn er nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
3.3.4. Nur noch mit Bezug auf den betreibungsrechtlichen Grundbetrag bleibt nach dem Gesagten zu prüfen, ob das Obergericht bei der Berechnung des Existenzminimums des Beschwerdeführers von einer Lebensgemeinschaft mit seiner serbischen Freundin ausgehen durfte. Nachdem sich die übrigen Vorbringen des Beschwerdeführers als unbehelflich (E. 3.1 ) bzw. unzulässig (E. 3.2 ) erweisen, bleibt als Einwand gegen die Annahme einer Lebensgemeinschaft die - bereits vor dem Obergericht vorgetragene - Behauptung übrig, dass seine Freundin ihren Wohnsitz in Serbien habe und sich in der Schweiz somit nur während dreier Monate als Touristin aufhalten könne. Auch damit vermag der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid aber nicht als willkürlich auszuweisen. Denn aus den erwähnten Einreisebeschränkungen folgt nicht zwingend, dass die neue Gefährtin sich nur "besuchsweise" beim Beschwerdeführer aufhalten und mit ihm keine Lebensgemeinschaft begründen kann. Zunächst kann unter Willkürgesichtspunkten nicht gesagt werden, eine Lebensgemeinschaft setze geradezu zwingend voraus, dass das Paar ohne jegliche Unterbrechungen andauernd zusammenleben kann bzw. muss. Dazu kommt, dass der Beschwerdeführer in keiner Weise aufzeigt, inwiefern die Anzahl der zulässigen Einreisen in die Schweiz begrenzt wäre. Mithin ist nicht auszuschliessen, dass die Frau die Schweiz jeweils nur für kurze Zeit verlässt, um sogleich wieder zum Beschwerdeführer zurückzukehren. Diese Annahme erscheint umso weniger abwegig, als der Beschwerdeführer vor Bundesgericht weder bestreitet, mit dieser Frau zusammenleben zu wollen, noch seine vor erster Instanz zum Ausdruck gebrachten Heiratsabsichten in irgend einer Weise relativiert.
3.3.5. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit das Obergericht bei der Berechnung des Existenzminimums des Beschwerdeführers unter dem Titel des betreibungsrechtlichen Grundbetrags Fr. 850.-- und unter demjenigen der Wohnkosten Fr. 800.-- einsetzt.
4.
Anlass zur Beschwerde gibt weiter der Entscheid des Obergerichts, den geltend gemachten "erhöhten Nahrungsbedarf" des Beschwerdeführers nicht zuzulassen.
4.1. Das Obergericht führt aus, der Beschwerdeführer habe die erhöhten Verpflegungskosten von Fr. 20.-- pro Tag nicht näher begründet. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht wiederum eine "Verletzung der amtlichen Sachverhaltserforschung und richterlichen Fragepflicht" vor. Dass Bauarbeiter durch die von ihnen geleistete Schwerarbeit einen erhöhten Nahrungsbedarf haben, sollte seiner Meinung nach notorisch sein. Deshalb sei der Verpflegungszuschlag für Schwerarbeit von Fr. 5.50 pro Arbeitstag bzw. Fr. 123.75 pro Monat zu berücksichtigen, wie er in den Richtlinien der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz vom 1. Juli 2009 vorgesehen sei. Zur Untermauerung seines Vorbringens legt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht ein Zwischenzeugnis seines Arbeitgebers vor. Dieses muss als echtes Novum unberücksichtigt bleiben, denn auch es stammt aus der Zeit nach dem angefochtenen Entscheid (s. E. 3.2 ). Trotzdem ist der Einwand des Beschwerdeführers begründet.
4.2. Dass der Beschwerdeführer den Beruf des Bauarbeiters ausübt, ist nicht nur eine blosse Behauptung in seiner Berufungsschrift, sondern ergibt sich schon aus dem erstinstanzlichen Entscheid und den dazugehörigen Akten. Das Bezirksgericht stellt nämlich fest, der Beschwerdeführer arbeite bei der G._ AG in H._, und zieht in Erwägung, "auf Baustellen" sei erfahrungsgemäss nur eine kurze Mittagszeit gegeben. Überdies ist in der Wohnsitzbestätigung der Gemeinde F._ vom 7. Mai 2012 als Beruf des Beschwerdeführers ausdrücklich "Bauarbeiter" vermerkt. Dies alles stellt das Obergericht nicht in Abrede.
Steht aber fest, dass der Beschwerdeführer Bauarbeiter ist und sich nicht zu Hause verpflegen kann, so ist in der Tat nicht nachvollziehbar, warum der Beschwerdeführer den Zuschlag für erhöhten Nahrungsbedarf nicht soll beanspruchen können. Nach der Rechtsprechung ist dem Rentenschuldner mit Bezug auf alle familienrechtlichen Unterhaltskategorien zumindest das betreibungsrechtliche Existenzminimum stets voll zu belassen (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 62). Zu Recht beruft sich der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang auf die Richtlinien für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums (Notbedarf) nach <ref-law> vom 1. Juli 2009, die von der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz herausgegeben wurden und denen zufolge bei Schwerarbeit für erhöhten Nahrungsbedarf Fr. 5.50 pro Arbeitstag einzusetzen sind. Warum diese Richtlinien gerade im vorliegenden Fall nicht anwendbar sein sollen, lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen und ist auch nicht ersichtlich. Daran aber, dass der Beruf des Bauarbeiters grundsätzlich in die Kategorie der Schwerarbeit fällt, kann entgegen dem, was das Obergericht anzunehmen scheint, kein vernünftiger Zweifel bestehen. So führt etwa das Obergericht des Kantons Zürich in seinem Kreisschreiben vom 16. September 2009 zu den erwähnten Richtlinien (veröffentlicht in: ZR 2009 S. 253 ff.) die Bauarbeiter ausdrücklich als Schuldner auf, die einen Anspruch auf diesen Zuschlag haben. Auch das Kantonsgericht von Graubünden stuft in einem neueren Entscheid zur Prozessarmut die Tätigkeit des Bauarbeiters als Schwerarbeit ein (Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden vom 8. Dezember 2008 E. 4b, publ. in: ZB 2008 31). Nichts anderes ergibt sich schliesslich aus der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Invalidenversicherung (z.B. Urteil 8C_305/2012 vom 6. September 2012 E. 4.2: Ein als Bauarbeiter/Maschinist tätiger Mann habe "bisher körperliche Schwerarbeit auf Baustellen" verrichtet; Urteil 9C_181/2010 vom 12. August 2010 E. 9: Die ursprünglichen Gutachter hätten sich verlässlich und eindeutig nur zur Arbeitsunfähigkeit in der "bisherigen Schwerarbeit als Bauarbeiter" geäussert; Urteil I 403/06 vom 18. Oktober 2006 E. 3: Der als Bauarbeiter/Kranführer tätige Beschwerdegegner könne "seine angestammte Tätigkeit nicht mehr ausüben und auch keine andere körperliche Schwerarbeit verrichten").
4.3. Nach alledem trifft das Obergericht der Vorwurf der Willkür, wenn es - unter der Herrschaft der Untersuchungsmaxime (<ref-law>) - dem Beschwerdeführer den erwähnten Schwerarbeitszuschlag einfach mit der Begründung abspricht, allein der Hinweis auf seinen Beruf als Bauarbeiter genüge "jedenfalls nicht für die Annahme erhöhter Kosten für die auswärtige Verpflegung". Im Eheschutzverfahren müssen die behaupteten Tatsachen nur glaubhaft gemacht werden (Urteil 5A_299/2012 vom 21. Juni 2012 E. 3.1.2). War das Obergericht der Meinung, der Beschwerdeführer habe nicht glaubhaft gemacht, dass er als Bauarbeiter tatsächlich Schwerarbeit im Sinne der erwähnten Richtlinien verrichte, so hätte es angesichts seiner gesetzlichen Pflicht zur Sachverhaltserforschung von Amtes wegen zu weiteren Abklärungen schreiten müssen. Allein der Umstand, dass der Beschwerdeführer im Berufungsverfahren anstatt des in den Richtlinien vorgesehenen Zuschlags von Fr. 5.50 pro Tag einen solchen von Fr. 10.-- reklamiert hat, vermag das Vorgehen des Obergerichts nicht zu entschuldigen. Die Beschwerde ist demnach in diesem Punkt gutzuheissen. Soweit das Obergericht weiterhin Zweifel daran hegt, dass der Beschwerdeführer Schwerarbeit leistet, wird es entsprechende Nachforschungen anstellen und insbesondere auch prüfen müssen, ob allenfalls der Arbeitgeber durch Geld- oder Naturalleistung für den erhöhten Nahrungsbedarf aufkommt.
5.
Schliesslich beanstandet der Beschwerdeführer, das Obergericht habe in seinem Bedarf willkürlich einen Teil der Schulden nicht berücksichtigt, obwohl diese Schulden alleine die Beschwerdegegnerin betreffen und er solidarisch hafte. Damit kann nur die Abzahlungsverpflichtung von monatlich Fr. 200.-- zugunsten der Spitex gemeint sein, die das Bezirksgericht in der Bedarfsrechnung des Beschwerdeführers noch berücksichtigt hatte. Das Obergericht führt hierzu aus, diese Ratenzahlungen seien schon deshalb nicht zu berücksichtigen, weil der Beschwerdeführer anlässlich der Hauptverhandlung zu Protokoll gegeben habe, er sei nicht mehr bereit, für die Spitex zu bezahlen. Nachdem sich der Beschwerdeführer mit dieser Erwägung überhaupt nicht auseinandersetzt, genügt er den Begründungsanforderungen nicht (E. 2). Auf diese Rüge ist nicht einzutreten.
6.
6.1. Im Ergebnis ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache ist im Sinne der Erwägungen zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, dem Beschwerdeführer ein Viertel und der Beschwerdegegnerin drei Viertel der Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin, die auch im Streit um die Erteilung der aufschiebenden Wirkung unterlegen ist, hat den Beschwerdeführer mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen (<ref-law>).
6.2. Beide Parteien ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
6.2.1. Im Falle des Beschwerdeführers sind die Voraussetzungen für das Armenrecht erfüllt. Die in <ref-law> geforderte Bedürftigkeit ist gegeben. Seine Beschwerde erscheint nicht als von vornherein aussichtslos. Das Armenrechtsgesuch wird indessen insoweit gegenstandslos, als der Beschwerdeführer teilweise obsiegt und die Beschwerdegegnerin einen Anteil an der Gerichtsgebühr selbst trägt. Dagegen wird es nicht gegenstandslos, soweit es die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zum Gegenstand hat. Zwar wird der Rechtsanwältin des Beschwerdeführers eine Parteientschädigung zugesprochen. Falls diese sich aber als uneinbringlich erweisen sollte, wäre die Rechtsanwältin aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3d S. 326 f.). Unter dem Vorbehalt der Uneinbringlichkeit ist der unentgeltlichen Rechtsbeiständin des Beschwerdeführers somit eine Entschädigung zuzusprechen (Art. 10 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Im Übrigen ist der Anteil des Beschwerdeführers an den Gerichtskosten einstweilen auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen.
6.2.2. Die Voraussetzungen gemäss <ref-law> sind seitens der Beschwerdegegnerin ebenfalls erfüllt. Insbesondere kann auch ihr Begehren um Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung nicht als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden. Allerdings ist auch das Armenrechtsgesuch der Beschwerdegegnerin in demjenigen Umfang gegenstandslos geworden, in welchem der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufkommen muss. Damit ist auch der Anteil der Beschwerdegegnerin an den Gerichtskosten einstweilen auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen und der Beschwerdegegnerin Rechtsanwalt René Schwarz beizugeben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 3. Oktober 2012 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Rechtsanwältin Bernadette Staub Weidmann wird als unentgeltliche Anwältin des Beschwerdeführers bestellt.
3.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Rechtsanwalt René Schwarz wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdegegnerin bestellt.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden zu Fr. 400.-- dem Beschwerdeführer und zu Fr. 1'200.-- der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
5.
Die Beschwerdegegnerin hat Rechtsanwältin Bernadette Staub Weidmann für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen. Für den Fall der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung wird Rechtsanwältin Bernadette Staub Weidmann als amtliche Vertreterin des Beschwerdeführers aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
6.
Rechtsanwalt René Schwarz wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Mai 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn