Sachverhalt:
A.
H._, geboren 1948, arbeitete seit 1991 als Leiterin der Geschäftsstelle X._ SA. Im Januar 2006 traf die Arbeitgeberin mit ihr eine Vereinbarung, wonach das Arbeitsverhältnis per Ende April 2006 wegen Schliessung der Geschäftsstelle beendet werde und die Arbeitnehmerin im Monat Mai eine "Sonderprämie" in der Höhe von 6 Monatsgehältern (ohne Zulagen, "nicht PK-pflichtig") erhalte.
Am 8. August 2006 stellte H._ Antrag auf Arbeitslosenentschädigung. In der Rubrik 2 des Antrags mit der Frage "Ab welchem Datum erheben Sie Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung?" ist handschriftlich das Datum des 1. November 2006 angegeben. Mit Schreiben vom 11. und 18. August 2006 bestätigte die Kasse die Anmeldung, und bereits am 14. August lud das Regionale Arbeitsvermittlungszentrum H._ zu einem Beratungsgespräch auf den 2. Oktober 2006 ein. Unter Festsetzung der Rahmenfrist vom 1. November 2006 bis 31. Oktober 2008 richtete die Arbeitslosenkasse erstmals für den Monat November 2006 Arbeitslosenentschädigung aus. Am 15. Dezember 2006 liess H._ der Arbeitslosenkasse Nachweise ihrer persönlichen Arbeitsbemühungen aus der Zeit von Februar bis August 2006 zukommen.
H._ erlitt am 26. September 2006 eine Aneurysma-Ruptur mit Hirnblutung und war in der Folge 100 % arbeitsunfähig.
Die IV-Stelle Basel-Landschaft sprach H._ mit Verfügung vom 2. Oktober 2008 eine halbe Invalidenrente mit Wirkung ab 1. September 2007 und mit Verfügung vom 6. Oktober 2011 eine Dreiviertelsrente ab 1. November 2008 zu.
B.
Mit Klage vom 24. Mai 2012 liess H._ beantragen, die Stiftung Auffangeinrichtung BVG sei zu verpflichten, ihr ausgehend von einem Invaliditätsgrad von 56 % ab 1. September 2007 und von 62 % ab 1. November 2008 Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge auszurichten. Mit Entscheid vom 15. März 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt H._ die Aufhebung des kantonalen Entscheides beantragen sowie das Rechtsbegehren um Zusprechung von Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge erneuern.
Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Anspruch auf Invalidenleistungen haben nach Art. 23 lit. a BVG Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 40 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren. Die obligatorische Versicherung beginnt gemäss Art. 10 Abs. 1 BVG für Bezüger von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung mit dem Tag, für den erstmals eine Arbeitslosenentschädigung ausgerichtet wird. Laut Art. 10 Abs. 2 lit. d BVG endet die Versicherungspflicht, wenn der Anspruch auf Taggelder der Arbeitslosenversicherung wegen des Ablaufs der Rahmenfrist endet.
2.2. Das kantonale Gericht hat richtig auf die obligatorische berufliche Vorsorge für Taggeldbezüger der Arbeitslosenversicherung hingewiesen, die nach Art. 60 Abs. 2 lit. e BVG durch die Auffangeinrichtung BVG durchgeführt wird. Ebenso zutreffend ist, dass nach der Rechtsprechung zu Art. 23 lit. a BVG die Versicherteneigenschaft im Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, die zur Invalidität geführt hat, bestanden haben muss (<ref-ruling> E. 3.1 S. 68). Darauf wird verwiesen. Überdies hat die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass die massgebliche Arbeitsunfähigkeit am 26. September 2006 eingetreten ist (Art. 105 Abs. 1 BGG), was mit der Festlegung des Beginns der Wartezeit durch die IV-Stelle übereinstimmt. Davon ist im Folgenden auszugehen.
3.
3.1. Die Verordnung vom 3. März 1997 über die obligatorische berufliche Vorsorge von arbeitslosen Personen (SR 837.174) umschreibt den Kreis der versicherten Personen in Art. 1 Abs. 1 lit. a wie folgt:
"Für die Risiken Tod und Invalidität sind obligatorisch versichert arbeitslose Personen, welche:
die Anspruchsvoraussetzungen nach Artikel 8 AVIG für den Bezug von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung erfüllen oder Entschädigungen nach Artikel 29 AVIG beziehen und (...) ".
Voraussetzungen für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung nach Art. 8 AVIG sind: ganze oder teilweise Arbeitslosigkeit (lit. a), anrechenbarerer Arbeitsausfall (lit. b), Wohnen in der Schweiz (lit. c), zurückgelegte obligatorische Schulzeit und noch nicht im AHV-Alter stehend (lit. d), erfüllte Beitragszeit oder explizite Befreiung davon (lit. e), Vermittlungsfähigkeit (lit. f) und schliesslich Erfüllung der Kontrollvorschriften (lit. g).
4.
Es stellt sich die Frage, ob die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des Eintritts ihrer Arbeitsunfähigkeit am 26. September 2006 arbeitslos im Sinne von Art. 8 AVIG gewesen ist.
Entscheidend für die Entstehung des Versicherungsschutzes ist gemäss Auffassung der Vorinstanz, dass tatsächlich Taggelder der Arbeitslosenversicherung ausgerichtet worden seien. Erst in diesem Zeitpunkt setze der Versicherungsschutz der beruflichen Vorsorge ein. Der Gesetzgeber habe bei Erlass von Art. 10 Abs. 1 BVG den konkreten ersten entschädigungsberechtigten Tag im Auge gehabt, was deutlich aus dem Wortlaut des Gesetzestextes hervorgehe; die Bestimmung regle den Beginn des Versicherungsschutzes, während Art. 1 Abs. 1 der Verordnung über die obligatorische berufliche Vorsorge von arbeitslosen Personen den Kreis der versicherten Personen festlege. Es gebe keinen Anlass, den klaren Gesetzeswortlaut von Art. 10 Abs. 1 BVG anders auszulegen. Art. 1 Abs. 1 der genannten Verordnung sage über die Entstehung des Versicherungsschutzes nichts aus. Die Beschwerdeführerin bringt dagegen vor, sie habe bereits im August 2006 alle Voraussetzungen für den Bezug von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung erfüllt, sei aber von der Arbeitslosenkasse durch das Anbringen des Datums "1. November" auf dem Antragsformular, wonach Taggelder erst ab diesem Datum beantragt würden, daran gehindert worden, früher Taggelder zu beziehen. Diese Begründung habe das kantonale Gericht nicht gewürdigt und damit ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
4.1. Art. 10 Abs. 1 BVG lässt die obligatorische Versicherung (hinsichtlich der Risiken Tod und Invalidität; Art. 2 Abs. 3 BVG) für die Bezüger von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung mit dem Tag beginnen, "für den erstmals eine Arbeitslosenentschädigung ausgerichtet wird". Deutlicher noch als die deutsche Version bringen die französische und die italienische Sprachfassung der Vorschrift ("le jour où ils perçoivent pour la première fois une indemnité de chômage", "il giorno in cuiè versata per la prima volta un'indennità di disoccupazione") zum Ausdruck, dass der Gesetzgeber damit den konkreten entschädigungsberechtigten Tag im Auge hatte (SVR 2011 BVG Nr. 30 S. 116, 9C_793/2010 E. 4).
Art. 10 Abs. 1 BVG hatte durch die zweite Teilrevision des AVIG (Erlass von Art. 117a AVIG, in Kraft seit 1. Juli 1997) Eingang ins Gesetz gefunden. Im Zuge dieser Revision war Art. 117a AVIG neu geschaffen worden. Ein Ziel der damaligen Revision war - unter anderen - die Schliessung von Versicherungslücken bei Arbeitslosigkeit bzw. die Koordination mit der beruflichen Vorsorge, "soweit es die Finanzlage der Versicherung gestattet" (Botschaft des Bundesrates zur zweiten Teilrevision des Arbeitslosenversicherungsgesetzes vom 29. November 1993, BBl 1994 I 340, 344 Ziff. 11). Aus finanziellen Gründen schloss der Bundesrat als Kompromisslösung einen obligatorischen Vollschutz für arbeitslose Personen auch für das Alter aus und beschränkte sich auf einen Vorsorgeschutz lediglich für das Todesfall- und das Invaliditätsrisiko. Der Vorschlag passierte ohne Änderungen die parlamentarische Debatte. Einzig die Berichterstatterin im Ständerat (Beerli) führte dazu aus, die neuen Art. 22a (Beiträge der arbeitslosen Person an die Sozialversicherung) und Art. 117a AVIG seien Anpassungen der beruflichen Vorsorge "zur Sicherstellung des Schutzes gegen Invalidität oder Todesfall während der Arbeitslosigkeit" (AB 1994 S 322). Im Nationalrat erfolgte diskussionslose Zustimmung zum Beschluss des Ständerats (AB 1994 N 1719). In den wenigen Hinweisen aus dem gesetzgeberischen Entstehungsprozess wird immerhin das Bestreben deutlich, den Versicherungsschutz der beruflichen Vorsorge bei Tod und Invalidität "während der Arbeitslosigkeit" sicherzustellen.
4.2. Dieser Intention des Gesetzgebers widerspräche eine Lösung, die einen Versicherungsschutz erst im Zeitpunkt der tatsächlichen Ausrichtung von Arbeitslosengeldern annähme. Es kommt nicht auf den Zeitpunkt der erstmaligen faktischen Taggeldausrichtung an, sondern darauf, ab wann das Taggeld AlVv-rechtlich geschuldet war und hätte ausbezahlt werden müssen, wenn die Arbeitslosenkasse richtig vorgegangen wäre. Im vorliegenden Fall ist dieser Zeitpunkt ausgehend von der Anmeldung bei der Arbeitslosenversicherung vom 8. August 2006 und unter Berücksichtigung der Wartezeit von 5 Tagen gemäss Art. 18 Abs. 1 AVIG festzusetzen. Wäre der faktische Taggeldbezug massgebend, wäre der Beginn des Versicherungsschutzes von Zufälligkeiten des Verwaltungshandelns abhängig, was nicht einleuchtet. Daher muss entscheidend sein, wann die entschädigungsberechtigten Tage beginnen (so auch SVR 2011 BVG Nr. 30 S. 116, 9C_793/2010 E. 4). Richtigerweise wird denn auch in den Erläuterungen zur Verordnung über die obligatorische berufliche Vorsorge von arbeitslosen Personen ausgeführt, Artikel 1 Absatz 1 lege die Voraussetzungen fest, die nach dem AVIG und dem BVG von den arbeitslosen Personen erfüllt sein müssen, damit sie zum Versichertenkreis gehören. Versichert ist, wer die Anspruchsvoraussetzungen nach Artikel 8 AVIG erfüllt und den koordinierten Lohn nach BVG erreicht (Mitteilungen des BSV über die berufliche Vorsorge Nr. 38 vom 12. März 1997).
4.3. Im Zeitpunkt ihrer Erkrankung am 26. September 2006 hat die Beschwerdeführerin sämtliche Voraussetzungen von Art. 8 AVIG erfüllt (E. 3.1 hievor) : Sie war bei ihrer Anmeldung im August 2006 arbeitslos und vermittlungsfähig, erfüllte sowohl die Kontrollvorschriften (Art. 17 AVIG) als auch die Beitragszeit und erlitt insbesondere bereits im Zeitpunkt ihrer Anmeldung einen anrechenbaren Arbeitsausfall:
4.3.1. Eine freiwillige Arbeitgeberzahlung, die den Höchstbetrag gemäss Art. 11a Abs. 2 AVIG in Verbindung mit Art. 3 Abs. 2 AVIG, d.h. den Höchstbetrag des versicherten Verdienstes der obligatorischen Unfallversicherung, nicht überschreitet, ist nicht anrechenbar und bewirkt somit keinen Leistungsaufschub (vgl. <ref-ruling> E. 5.3.1 und 5.3.2 S. 388 f.; Urteil 8C_188/2011 vom 8. Juni 2011 E. 3.4).
4.3.2. Die Sonderprämie von sechs Monatsgehältern, die der Beschwerdeführerin im Hinblick auf die Beendigung des Arbeitsverhältnisses im Mai 2006 mit Vereinbarung vom 23. Januar 2006 in Aussicht gestellt worden war, ist eine freiwillige Zahlung der Arbeitgeberin. Sie erreicht den Höchstbetrag von Art. 11a Abs. 2 AVIG i.V.m. Art. 3 Abs. 2 AVIG nicht und bewirkt somit - entgegen der offenbaren Auffassung der Arbeitslosenkasse - keinen Leistungsaufschub.
5.
Die Frage, ob die Beschwerdeführerin von der Arbeitslosenkasse daran gehindert worden sei, bereits ab August 2006 Taggelder geltend zu machen, und ob das kantonale Gericht durch die Nichtwürdigung dieses Einwands den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt habe, kann bei dieser Rechtslage offenbleiben. Der Vollständigkeit halber sei indessen Folgendes angemerkt: Die Vorinstanz hat in der Tat keine Feststellungen getroffen zur Behauptung der Beschwerdeführerin, wonach eine Person der Arbeitslosenkasse das Datum des 1. November auf dem Anmeldeformular angebracht habe. Es erscheint nicht unplausibel, dass die Kassenangestellte angesichts der Vereinbarung zwischen der Arbeitgeberin und der Beschwerdeführerin, wonach Letztere im Mai 2006 eine Sonderprämie in der Höhe von sechs Monatsgehältern erhalten würde, davon ausgegangen ist, diese Arbeitgeberzahlungen seien anrechenbar, weshalb ein Anspruch auf Arbeitslosentaggelder erst sechs Monate nach der Beendigung des Anstellungsverhältnisses, also ab November 2006, bestehen würde.
6.
Hatte die Beschwerdeführerin somit unter den gegebenen Umständen im Zeitpunkt ihrer Erkrankung die Voraussetzungen gemäss Art. 8 AVIG für den Taggeldbezug erfüllt, kann ihr der Vorsorgeschutz als arbeitslose Person nicht verwehrt werden.
7.
Nach Artikel 7 des Reglements der Beschwerdegegnerin wird die Invalidenrente grundsätzlich mit der Invalidenrente der Invalidenversicherung fällig. Die Beschwerdegegnerin hat weder vor Vorinstanz noch vor Bundesgericht eine offensichtlich unrichtige Rentenzusprache durch die Invalidenversicherung behauptet. Die Zusprechung einer halben Invalidenrente ab 1. September 2007 (Invaliditätsgrad: 56 %) und einer Dreiviertelsrente ab 1. November 2008 (Invaliditätsgrad: 62 %) ist daher für die berufliche Vorsorge der Beschwerdeführerin verbindlich (<ref-ruling> E. 3.1 S. 273 mit Hinweisen).
8.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Diese hat der Beschwerdeführerin überdies eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BVG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 15. März 2013 aufgehoben. In Gutheissung der Klage wird festgestellt, dass die Beschwerdeführerin ab 1. September 2007 Anspruch auf die reglementarischen Leistungen der Beschwerdegegnerin hat.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. November 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Widmer