Faits:
A. M. B.X._, né en 1964, et Mme A.X._, née en 1962 en Argentine, ont contracté mariage le 21 juin 2002. De cette union est né un enfant, C._, le 20 décembre 1999. L'épouse est également la mère de trois enfants dorénavant majeurs, nés de deux précédentes unions.
Mme A.X._ est retournée vivre en Argentine en janvier 2007, laissant l'enfant C._ auprès de son père. Les époux se sont définitivement séparés en janvier 2008. L'épouse est revenue à D._ au mois de mai 2010.
B. Par acte déposé le 4 mai 2010 devant le Tribunal de première instance du canton de Genève, les époux ont requis le prononcé du divorce. Ils ont également déposé une convention réglant les effets accessoires, tenant compte du fait que l'épouse projetait de retourner en Argentine. La convention prévoyait notamment que l'épouse renonçait à toute contribution à son propre entretien dès juillet 2010, son mari s'engageant toutefois à lui verser la somme de 1'200 fr. par mois jusqu'au 30 juin 2010.
Lors de l'audience de comparution personnelle du 23 juin 2010, Mme A.X._ a confirmé son accord sur le principe du divorce, mais s'est en revanche rétractée sur les effets accessoires convenus.
Dans le cadre d'une procédure de mesures provisoires ouverte par le juge de première instance avec l'accord des parties, M. B.X._ a été astreint à contribuer à l'entretien de son épouse par le versement d'une contribution d'entretien de 3'300 fr. par mois à compter du 1er mai 2010, sous déduction du montant de 2'400 fr. déjà versé.
B.a Par jugement du 24 novembre 2011, le Tribunal de première instance a prononcé le divorce des époux X._, sans octroyer de contribution d'entretien à l'ex-épouse.
B.b Statuant par arrêt du 22 juin 2012 notifié aux parties le 27 juin 2012, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: Cour de justice) a rejeté l'appel formé par l'ex-épouse s'agissant de l'octroi d'une contribution d'entretien en sa faveur et a confirmé le jugement de première instance sur ce point.
C. Par acte du 29 août 2012, Mme A.X._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à l'annulation de l'arrêt entrepris et à sa réforme en ce sens que son ex-mari est condamné à lui verser une contribution d'entretien mensuelle de 4'000 fr. par mois, subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité précédente. Au préalable, la recourante sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des réponses n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1. Le présent recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 1 ch. 3 et 100 al. 1 LTF) ainsi que dans la forme légale (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (<ref-law>). Le litige porte sur le versement d'une contribution d'entretien après divorce en faveur de l'ex-épouse, à savoir une cause de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, art. 74 al. 1 let. b LTF). La recourante a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (<ref-law>) et, ayant succombé dans ses conclusions, a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2. 2.1 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 310 s.; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88), c'est-à-dire si la violation de droits constitutionnels a été expressément soulevée et exposée de façon claire et détaillée ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254).
2.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente et les faire compléter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 187).
3. Le recours a pour objet le versement d'une contribution d'entretien post-divorce à l'ex-épouse.
3.1 S'agissant de la situation professionnelle et financière de l'ex-épouse, la Cour de justice a constaté que celle-ci n'a exercé aucune activité lucrative durant la vie commune, s'occupant du ménage et de l'éducation de l'enfant commun, bien qu'elle ait travaillé à mi-temps comme animatrice dans des centres de vacances pour jeunes et, selon son ex-mari, également comme vendeuse, une quinzaine d'années auparavant. Entre janvier 2007 et mai 2010, la recourante a vécu en Argentine, recevant de son ex-époux une pension de 1'200 fr. par mois depuis janvier 2008. Durant ce séjour, la recourante a collaboré sur un projet de filtre pour métaux lourds, projet qui n'aurait pas abouti et pour lequel elle n'aurait perçu aucun revenu, selon ses dires. La cour cantonale a en outre retenu que la recourante a affirmé avoir acquis une formation de céramiste durant ce séjour, avoir eu le projet de vivre de cette activité en Argentine, et être atteinte dans sa santé en raison d'une intoxication aux métaux lourds dont elle a été victime il y a plusieurs années, ainsi que d'une dépression dont elle a commencé à souffrir avant son retour en Suisse. Il ressort des constatations de l'arrêt entrepris que, depuis son retour en Suisse, l'ex-épouse n'a jamais procédé à une demande de prestations AI et est à la charge de l'Hospice général. La Cour de justice a constaté que la prime LAMal de l'ex-épouse se monte à 455 fr. 95, et que ses coûts de logement s'élèvent à 500 fr. par mois, étant hébergée par sa belle-soeur depuis septembre 2010, à laquelle elle verse sa participation au loyer depuis mars 2011.
3.2 Sur la question de l'octroi d'une contribution d'entretien à l'ex-épouse, les juges cantonaux ont estimé que les documents produits par celle-ci pour prouver son incapacité de travail en raison d'une dépression ne convainquaient pas, dès lors que les certificats, soit ne provenaient pas de médecins spécialisés en psychiatrie-psychothérapie mais d'un généraliste, soit faisaient état d'une consultation d'urgence, non d'un suivi régulier qui aurait seul permis d'établir l'état psychique de l'ex-épouse et son impact sur sa capacité de travail. La Cour de justice a en définitive considéré que l'ex-épouse disposait d'une capacité de travail et lui a imputé un revenu hypothétique correspondant à sa situation, c'est-à-dire tenant compte de son absence d'expérience professionnelle et de son âge entravant sa réinsertion professionnelle, mais également des moyens dont elle a disposé pour prendre des mesures concrètes en vue de sa réinsertion, de la formation de céramiste qu'elle a acquise en Argentine, ainsi que de son projet de vivre de cette activité. Les juges cantonaux ont ainsi estimé que l'ex-épouse est en mesure de réaliser un revenu mensuel net de 2'900 fr. dans le domaine du nettoyage, de la restauration, de l'économie domestique ou dans la vente, au vu des données statistiques de l'Observatoire genevois du marché du travail. Compte tenu de ses charges de 2'200 fr. par mois, qui s'élèveront à 2'900 fr. si elle prend un appartement à bail, la recourante est en mesure d'assumer seule ses charges incompressibles, selon le constat de l'autorité précédente. La cour précédente a jugé que, dès lors que le mariage des parties a duré moins de six ans, que l'ex-épouse ne travaillait pas lors de la naissance de l'enfant commun alors qu'elle était âgée de 37 ans, la situation financière de l'ex-épouse a certes été améliorée par le mariage des parties, mais ses perspectives professionnelles sont demeurées les mêmes avant et après le mariage, de sorte que cette union ne lui a causé aucun désavantage. Considérant encore que l'ex-épouse a disposé de temps et de moyens pour se réinsérer professionnellement, la Cour de justice a jugé qu'il n'appartenait pas à son ex-mari de supporter les conséquences de l'abandon des projets professionnels de l'ex-épouse par le versement d'une contribution d'entretien.
4. La recourante fait grief à l'autorité précédente d'avoir établit les faits de manière manifestement inexacte. Elle soutient qu'il ne ressort de la procédure cantonale ni que l'Hospice général lui aurait fourni une aide avant son mariage avec l'intimé, ni qu'elle aurait acquis une formation de céramiste en Argentine, ainsi que cela ressort de l'arrêt attaqué. La recourante s'en prend également à l'appréciation des preuves effectuée par la Cour de justice, critiquant la manière dont l'autorité cantonale a écarté les attestations d'incapacité de travail qu'elle a fournies. Elle considère que les certificats médicaux qu'elle a produits sont probants et énumère le contenu de ces attestations.
4.1 En tant que la recourante reprend mot pour mot la motivation de son appel - sans même modifier le texte pour tenir compte de sa qualité de "recourante" dans la procédure devant la cour de céans - en ce qui concerne sa critique de l'appréciation des preuves, singulièrement des certificats médicaux d'incapacité de travail, son grief est - dans cette mesure - d'emblée irrecevable. L'<ref-law> exige en effet que la recourante discute au moins de manière succincte les considérants de la décision attaquée (cf. supra consid. 2.1); il doit exister un lien entre la motivation et la décision attaquée, condition qui fait défaut si la recourante se contente de reprendre textuellement la même argumentation que celle présentée devant l'instance inférieure (<ref-ruling> consid. 2.1 à 2.3 p. 245 ss), ainsi qu'elle le fait en l'espèce.
4.2 S'agissant de la constatation prétendument inexacte des faits relatifs à l'aide fournie par l'Hospice général avant le mariage et la formation professionnelle de céramiste qu'elle a suivie en Argentine, la recourante expose que ces faits ont été retenus à tort et ne ressortent pas de la procédure cantonale, se limitant à présenter en quelques lignes sa version des faits et en se référant à ses propres déclarations devant l'autorité inférieure. Or, de simples allégations de partie - fussent-elles même plausibles - ne suffisent pas à prouver un fait, à moins qu'elles ne soient corroborées par des pièces qui accréditent la thèse soutenue (arrêt 5A_225/2010 du 2 novembre 2010 consid. 3.2 non publié à l'<ref-ruling>). En outre, la recourante n'expose pas - même brièvement - en quoi ces constatations de fait seraient pertinentes pour l'issue de la cause (<ref-law>; cf. supra consid. 2.2). Il s'ensuit que sa critique tendant à la rectification de l'état de fait est mal fondée.
5. La recourante invoque ensuite l'<ref-law> et relève que les "constatations de la Cour de justice sont insoutenables", concluant que son mariage avec l'intimé lui a causé un désavantage, contrairement à l'opinion de l'autorité d'appel. Elle expose qu'elle ne dispose en outre d'aucune capacité de travail lui permettant de couvrir son minimum vital alors qu'elle chiffre ses besoins à 4'460 fr. par mois, partant, elle requiert l'octroi d'une contribution d'entretien mensuelle de 4'000 fr. à charge de son ex-époux.
5.1 Selon l'<ref-law>, si l'on ne peut raisonnablement attendre d'un époux qu'il pourvoie lui-même à son entretien convenable, son conjoint lui doit une contribution équitable. Cette disposition concrétise deux principes: d'une part, celui de l'indépendance économique des époux après le divorce, qui postule que, dans toute la mesure du possible, chaque conjoint doit désormais subvenir à ses propres besoins; d'autre part, celui de la solidarité, qui implique que les époux doivent supporter en commun non seulement les conséquences de la répartition des tâches convenue durant le mariage (<ref-law>), mais également les désavantages qui ont été occasionnés à l'un d'eux par l'union et qui l'empêchent de pourvoir à son entretien.
Une contribution est due si le mariage a concrètement influencé la situation financière de l'époux crédirentier ("lebensprägend"; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 105). Si le mariage a duré au moins dix ans - période à calculer jusqu'à la date de la séparation des parties (<ref-ruling> consid. 9.2 p. 600) - il a eu, en règle générale, une influence concrète. La jurisprudence retient également que, indépendamment de sa durée, un mariage influence concrètement la situation des conjoints lorsque ceux-ci ont des enfants communs (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 61) ou en cas de déracinement culturel de l'un des époux (arrêt 5A_649/2009 du 23 février 2010 consid. 3.2.2 et les arrêts cités) ou encore lorsque l'un des époux peut se prévaloir d'une position de confiance ("Vertrauensposition", arrêt 5C.49/2005 du 23 juin 2005 consid. 2.1). Un tel mariage ne donne toutefois pas automatiquement droit à une contribution d'entretien: le principe de l'autonomie prime le droit à l'entretien; un époux ne peut prétendre à une pension que s'il n'est pas en mesure de pourvoir lui-même à son entretien convenable et si son conjoint dispose d'une capacité contributive (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 105 in fine; <ref-ruling> consid. 4 p. 146 s.).
5.2 En l'espèce, il ressort de l'arrêt attaqué que le mariage a duré moins de dix ans et que la recourante n'exerçait aucune activité lucrative avant le mariage et la naissance de l'enfant commun, hormis une activité à temps partiel 15 ans auparavant. L'arrêt attaqué relève en outre que la recourante a bénéficié du temps et des moyens financiers pour se réinsérer professionnellement, son ex-époux s'étant engagé à lui verser une contribution d'entretien de 1'200 fr. entre janvier 2008 et mai 2010 (cf. supra consid. 3.1), en sorte que le mariage n'a ni eu une durée suffisante, ni n'a placé la recourante dans une position de confiance justifiant que ce mariage soit considéré comme ayant eu une influence concrète sur sa vie. Par ailleurs, la recourante est librement repartie seule dans son pays d'origine, à savoir l'Argentine, en dépit du lien conjugal et de la naissance de l'enfant. Antérieurement à la séparation des conjoints qui date de janvier 2008, elle a ainsi laissé son époux et son fils de 8 ans en Suisse pour retourner vivre en Argentine dès le mois de janvier 2007 (cf. supra consid. 3.1). La recourante est restée dans ce pays jusqu'au mois de mai 2010, date à laquelle elle est initialement revenue uniquement pour la procédure de divorce, avec le projet de repartir en Argentine (cf. supra consid. 3.1). Dans ces circonstances, en dépit de la naissance d'un enfant commun et de l'origine sud-américaine de la recourante, l'ex-épouse n'a effectivement pas été retenue dans ses projets par le lien matrimonial et l'éducation de son fils. Contrairement à l'avis de la recourante, le mariage n'a donc manifestement pas eu pour conséquence de lui imposer un déracinement culturel, dès lors qu'elle vivait déjà en Suisse avant le mariage et qu'elle n'a pas été empêchée de retourner vivre en Argentine durant l'union conjugale entre janvier 2007 et mai 2010. Il s'ensuit que le mariage ne saurait être considéré comme un événement ayant concrètement influencé la vie de la recourante.
En définitive, la Cour de justice n'a pas violé l'<ref-law> en jugeant que le mariage des parties et la répartition des tâches durant l'union conjugale n'avaient occasionné aucun désavantage à la recourante. Eu égard aux circonstances, il faut considérer que les perspectives professionnelles de la recourante sont demeurées les mêmes avant et après le mariage et la naissance de l'enfant commun; partant que l'ex-mari n'avait pas à contribuer à l'entretien de son ex-épouse après le divorce. Le grief de violation de l'<ref-law> est ainsi mal fondé, sans qu'il soit nécessaire d'examiner si la recourante est ou non en mesure de pourvoir elle-même à son entretien convenable et si son ex-conjoint dispose d'une capacité contributive (cf. supra consid. 5.1).
6. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les conclusions de la recourante étant d'emblée dénuées de toute chance de succès, sa demande d'assistance judiciaire devant la cour de céans ne saurait être agréée (<ref-law>). La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité de dépens à l'intimé qui n'a pas été invité à se déterminer.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 28 janvier 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Carlin