Sachverhalt:
A. X._ wohnte während Jahren in F._, Gemeinde G._/ZG. Er ist dort Miteigentümer der Liegenschaft _, die in zwei Geschäftsräume und zwei Wohnungen aufgeteilt ist. Dort befinden sich die Geschäftsadressen mehrerer Gesellschaften, an denen X._ beteiligt ist; zudem lässt er sich im Kontakt mit den Behörden seine Post dorthin zustellen. Bis Ende März 2004 war X._ sodann auch Mieter einer 31⁄2-Zimmerwohnung in F._. In der Gemeinde G._ war er polizeilich gemeldet, bezahlte er seine Steuern und übte er auch die politischen Rechte aus.
Im Jahr 2003 liess X._ an der _ in L._/LU ein Mehrfamilienhaus erstellen und erwarb eine der Wohnungen zu Eigentum. Spätestens seit Ende September 2003 kehrte er unter der Woche regelmässig am Abend in die auch von seiner Lebensgefährtin bewohnte Eigentumswohnung zurück und ging am Morgen von dort aus zur Arbeit.
In der Folge wurde er von der Einwohnerkontrolle L._ mehrmals aufgefordert (letztmals am 11. Dezember 2003), den Heimatschein in der Gemeinde zu deponieren. Die hiergegen erhobenen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg. Schliesslich wies auch das Bundesgericht eine staatsrechtliche Beschwerde ab. Es stellte fest, X._ habe das Zentrum der persönlichen Beziehungen im Herbst 2003 nach L._ verschoben und es dürfe vermutet werden, dass er seinen eigentlichen Lebensmittelpunkt ab jenem Zeitpunkt in dieser Gemeinde hatte, wo er zusammen mit seiner Lebensgefährtin wohnte (Urteil 2P.49/2005 vom 10. August 2005).
B. Gestützt auf dieses Urteil des Bundesgerichts vom 10. August 2005 erliess die Steuerverwaltung des Kantons Luzern am 29. September 2005 einen Feststellungsentscheid betreffend das Steuerdomizil, wonach X._ ab dem 1. Januar 2003 in L._/LU unbeschränkt steuerpflichtig sei. Eine hiergegen erhobene Einsprache wurde am 24. Mai 2006 abgewiesen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies eine gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit Urteil vom 14. Dezember 2006 ebenfalls ab.
C. X._ hat am 17. Januar 2007 Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht. Er beantragt, die Verfügung der Steuerbehörden des Kantons Luzern betreffend die unbeschränkte Steuerpflicht seit dem 1. Januar 2003 sei aufzuheben. Desgleichen sei der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 14. Dezember 2006 aufzuheben und seien die bezahlten Gerichtsgebühren in jedem Fall zurückzuerstatten. Eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht Luzern zurückzuweisen und dieses zu verpflichten, "das rechtliche Gehör der Steuerverwaltung des Kantons Zug wahrzunehmen und die seitens des Beschwerdeführers eingelegten Beweise zu würdigen".
D. Die Steuerverwaltung und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Die ebenfalls zur Stellungnahme eingeladene Kantonale Steuerverwaltung Zug hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
E. Der Beschwerdeführer hat am 27. März 2007 "Ergänzungen" und weitere Beweismittel zu den Akten gegeben.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
I. Formelles
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, welches Rechtsmittel zulässig und in welchem Umfang darauf einzutreten ist (<ref-ruling> E. 2 S. 210; <ref-ruling> E. 1.1 S. 142; <ref-ruling> E. 1 S. 60, je mit Hinweisen).
1.1 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern erging am 14. Dezember 2006. Auf das vorliegende Verfahren findet deshalb noch das bis Ende 2006 geltende Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) Anwendung (vgl. Art. 132 Abs. 1 des am 1. Januar 2007 in Kraft getretenen Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht, BGG; SR 173.110).
1.2 Der angefochtene Entscheid betrifft einzig die Feststellung des steuerrechtlichen Wohnsitzes des Beschwerdeführers für die Steuerperiode 2003. Die ordentliche Steuerveranlagung selber wurde vom Kanton Luzern anscheinend noch nicht erlassen; eine allfällig vom Kanton Zug vorgenommene Veranlagung für die Steuerperiode 2003 ist nicht angefochten. In derartigen Doppelbesteuerungsfällen, wo nicht Fragen der Steuerveranlagung als solcher beantwortet werden müssen, ist hinsichtlich der kantonalen Steuern (nach der bundesgerichtlichen Praxis zum OG) die staatsrechtliche Beschwerde das gegebene Rechtsmittel; dies auch dann, wenn - wie hier - die Frist zur Anpassung der kantonalen Gesetzgebung an das Steuerharmonisierungsgesetz abgelaufen ist und die Beschwerde sich gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid richtet (vgl. Art. 72 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden, StHG; SR 642.14; <ref-ruling> E. 2.1 S. 147 f., mit Hinweisen).
Mit Bezug auf die direkte Bundessteuer steht gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern die Verwaltungsgerichtsbeschwerde offen (Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer, DBG; SR 642.11).
1.3 Als betroffene steuerpflichtige Person besitzt der Beschwerdeführer die zur Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids vorausgesetzte Legitimation (Art. 88 OG; Art. 103 lit. a OG). Auf seine form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
Unzulässig ist indessen das Begehren, auch die Verfügung der Steuerverwaltung des Kantons Luzern vom 29. September 2005 aufzuheben, denn diese wurde durch das letztinstanzliche Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt; insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Ferner sind die vom Beschwerdeführer nach Ablauf der Beschwerdefrist unaufgefordert eingereichten "Ergänzungen" im vorliegenden Verfahren unbeachtlich.
1.4 Das Bundesgericht prüft in Doppelbesteuerungssachen nicht von Amtes wegen, ob die vom Beschwerdeführer nicht angefochtene konkurrierende Veranlagung das Verbot der Doppelbesteuerung verletzt (<ref-ruling> E. 1b S. 46, mit Hinweisen). Vorliegend ficht der Beschwerdeführer wie bereits erwähnt eine allfällige Steuerveranlagung des Kantons Zug für die hier massgebende Steuerperiode nicht an und stellt insbesondere auch keinen Antrag auf Rückerstattung der dort angeblich bezahlten Steuern. Zu prüfen ist somit ausschliesslich der Steuerdomizilentscheid des Kantons Luzern für die Steuerperiode 2003.
2. Der Beschwerdeführer vertritt die Auffassung, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei bereits aus formellen Gründen "nichtig".
2.1 Begründet wird die Rüge damit, dass der Beschwerdeführer von der Steuerbehörde nicht auf den direkten Beschwerdeweg an das Bundesgericht hingewiesen worden sei; er sei von den Luzerner Steuerbehörden "in die Irre geleitet", und es sei ihm dadurch ein direkter Schaden zugefügt worden; die Kosten und Gebühren für das nicht notwendige Verfahren beim Verwaltungsgericht Luzern seien in jedem Fall zurückzuerstatten. Zudem sei das Verwaltungsgericht "als befangen zu betrachten", weil es die Steuerbehörden des Kantons Zug überhaupt nicht in das Verfahren einbezogen habe. Dadurch sei dieser "mitbetroffenen Stelle" das rechtliche Gehör verweigert worden. Schliesslich habe das Verwaltungsgericht Luzern sämtliche Beweise und Argumente, die gegen den eigenen Entscheid gesprochen hätten, überhaupt nicht geprüft.
2.2 Auf alle diese Rügen ist mangels einer rechtsgenügenden Begründung im Sinn von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG zum Vornherein nicht näher einzugehen (vgl. zur Begründungspflicht <ref-ruling> E. 2a S. 3 f., mit Hinweis). Immerhin sei zur bemängelten Rechtsmittelbelehrung Folgendes angemerkt: Verfügungen und Entscheide werden dem Steuerpflichtigen schriftlich eröffnet und müssen eine Rechtsmittelbelehrung enthalten (so die wörtlich gleich lautenden Art. 116 Abs. 1 DBG und § 141 Abs. 1 des luzernischen Steuergesetzes vom 22. November 1999; StG/LU). Der Einspracheentscheid vom 24. Mai 2006 enthält eine Rechtsmittelbelehrung, wonach die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern offen stehe. Der Beschwerdeführer vermag weder eine kantonal- noch eine bundesrechtliche Verfahrensbestimmung zu nennen, die vorschreiben würde, dass in einer Rechtsmittelbelehrung auch auf die Möglichkeit des ausserordentlichen Rechtsmittels der staatsrechtlichen Beschwerde hingewiesen werden müsste (vgl. Karl Spühler, Die Praxis der staatsrechtlichen Beschwerde, Bern 1994, Rz. 436). Dem Begehren um Rückerstattung der vorinstanzlichen Kosten und Gebühren als "direkter Schaden" fehlt jegliche Rechtsgrundlage. Die Kostenauferlegung als solche wird nicht beanstandet.
II. Staats- und Gemeindesteuern
3. 3.1 In der Sache hat das Verwaltungsgericht den Entscheid der Steuerverwaltung des Kantons Luzern geschützt, wonach der Beschwerdeführer ab 1. Januar 2003 im Kanton Luzern unbeschränkt steuerpflichtig sei. Das Verwaltungsgericht verweist auf das Rechtsmittelverfahren betreffend die polizeiliche Anmeldung des Beschwerdeführers, wo sämtliche Instanzen übereinstimmend zum Schluss gekommen seien, dass der Beschwerdeführer spätestens im Herbst 2003 Wohnsitz in der Gemeinde L._ /LU gehabt habe. Auch das Bundesgericht habe letztinstanzlich rechtsverbindlich entschieden, dass der Beschwerdeführer das Zentrum der persönlichen Beziehungen im Herbst 2003 von F._/ZG nach L._ verschoben und seinen eigentlichen Lebensmittelpunkt ab jenem Zeitpunkt in dieser Gemeinde gehabt habe, wo er zusammen mit seiner Lebensgefährtin gewohnt habe. Auf diese Feststellungen im bundesgerichtlichen Urteil vom 10. August 2005 könne im vorliegenden Verfahren abgestellt werden. Der Beschwerdeführer bringe nichts Neues vor, was die in jenem Rechtsmittelverfahren gemachten Feststellungen in Frage stellen würde und zu andern Schlussfolgerungen führen müsste.
3.2 Diese Begründung des Verwaltungsgerichts ist nicht zu beanstanden. Zwar ging es im erwähnten bundesgerichtlichen Urteil vom 10. August 2005 um die polizeiliche Niederlassung des Beschwerdeführers, doch besteht kein Anlass, von der dort vorgenommenen Beurteilung abzuweichen, zumal es um den gleichen Zeitraum geht (Steuerperiode 2003), für den steuerlichen Wohnsitz in einem Fall wie dem vorliegenden die gleichen Kriterien gelten und seither keine neuen wesentlichen Gesichtspunkte hinzugekommen sind.
4. Der Beschwerdeführer macht freilich geltend, das vorliegende Verfahren habe sich "von selbst erledigt" und der angefochtene Entscheid bzw. die ihm zugrunde liegende Verfügung sei ungültig, denn die Luzerner Steuerbehörden hätten am 12. Juni 2006, also nach Erlass der Feststellungsverfügung vom 29. September 2005, die "Schlussabrechnung" für das Steuerjahr 2003 erstellt.
4.1 Das Steueramt L._ stellte dem Beschwerdeführer am 12. Juli 2006 eine Rechnung für die Staats- und Gemeindesteuern 2003 zu. Die (offenbar nicht angefochtene) Rechnung trägt den Vermerk "Schlussrechnung aufgrund Ausscheidung Wohnsitzgemeinde" und nennt die Steuerfaktoren sowie den geschuldeten Steuerbetrag.
Träfe die Auffassung des Beschwerdeführers zu, dass er mit der fraglichen "Schlussrechnung" für die Steuerperiode 2003 bereits rechtskräftig veranlagt worden sei, und zwar aufgrund einer bloss beschränkten Steuerpflicht im Kanton Luzern, so stünde dies in der Tat nicht nur einer Nachbesteuerung entgegen, sondern auch dem abweichenden Steuerdomizilentscheid und dem Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 14. Dezember 2006, die für denselben Zeitraum eine unbeschränkte Steuerpflicht bejahen. Bei der gegebenen Sachlage kann nämlich nicht gesagt werden, die Luzerner Steuerbehörde habe ihre Verfügung vom 12. Juli 2006 in Unkenntnis der Steuerdomizilproblematik erlassen. Diesen Umstand müsste sich die Steuerbehörde anrechnen lassen, womit die Voraussetzungen, um auf die rechtskräftig gewordene Verfügung zurückzukommen, nicht erfüllt wären (vgl. hierzu Urteil 2A.585/2005 vom 8. Mai 2006, E. 3.2, mit Hinweisen, in: StE 2007 B 97.41 Nr. 19; ASA 73, 482 E. 3.3.2 S. 488).
4.2 Der Steuerrechnung vom 12. Juli 2006 kann indes aus verschiedenen Gründen nicht die Bedeutung einer solchen präjudizierenden Veranlagungsverfügung beigemessen werden:
Das Luzerner Steuergesetz unterscheidet ausdrücklich zwischen der Schlussrechnung und der Veranlagung: "Nach Vornahme der definitiven Veranlagung wird den Steuerpflichtigen die Schlussrechnung zugestellt. Diese kann mit der Eröffnung der Veranlagung verbunden werden" (§ 196 Abs. 1 StG/LU). Die Schlussrechnung betrifft den Steuerbezug (vgl. Überschrift der §§ 189 ff. StG/LU) und setzt die Veranlagungsverfügung begrifflich voraus. In diesem Sinn hält das Verwaltungsgericht zutreffend fest, eine Bezugsbehörde könne ohne rechtsgültige Veranlagung keine Schlussrechnung erstellen. Im vorliegenden Fall findet sich aber in den Akten keine Veranlagungsverfügung. Die Form der fraglichen "Schlussrechnung" vom 12. Juli 2006 legt die Vermutung nahe, dass die luzernischen Steuerbehörden gar kein eigenes Veranlagungsverfahren durchgeführt, sondern einfach die sich aus der zugerischen Steuerausscheidung vom 7. Juni 2006 ergebenden Werte übernommen haben.
Im angefochtenen Entscheid wird darauf hingewiesen, dass eine Einkommenssteuer mangels rechtskräftigen Domizilentscheids bislang nicht erhoben worden sei. Nach Auffassung des Verwaltungsgerichts betrifft die Steuerrechnung des Steueramts L._ vom 12. Juli 2006 nur die Steuer für das in der Gemeinde gelegene Grundvermögen, zu deren Bezug die Gemeinde unabhängig vom noch ausstehenden Steuerdomizilentscheid auf jeden Fall berechtigt sei. Diese Auffassung ist zumindest vertretbar. Gleichwohl ist festzustellen, dass der Sache wohl besser gedient gewesen wäre, wenn das Steueramt L._ mit Bezugshandlungen bis zum Abschluss des Vorverfahrens über das Steuerdomizil zugewartet hätte (vgl. Martin Arnold, Der steuerrechtliche Wohnsitz natürlicher Personen im interkantonalen Verhältnis nach der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung, in: ASA 68, 449 ff., 486, mit Hinweisen).
Was den Beschwerdeführer betrifft, durfte dieser mit Blick auf das hängige Rechtsmittelverfahren betreffend das Steuerdomizil aufgrund der Steuerrechnung vom 12. Juli 2006 jedenfalls nicht in guten Treuen davon ausgehen, die Gemeinde sei in der Domizilfrage auf ihren Standpunkt zurückgekommen; daran ändert auch die - unzutreffende - Bezeichnung der Steuerrechnung als "Schlussrechnung" nichts.
5. Nach dem Gesagten hat zum einen das Verwaltungsgericht den Steuerdomizilentscheid der Steuerverwaltung des Kantons Luzern, wonach der Beschwerdeführer ab dem 1. Januar 2003 in L._/LU unbeschränkt steuerpflichtig sei, mit Bezug auf die Staats- und Gemeindesteuern zu Recht geschützt. Zum andern steht die Steuerrechnung des Steueramts L._ vom 12. Juli 2006 der (aufgrund des rechtskräftigen Steuerdomizilentscheids nunmehr vorzunehmenden) ordentlichen Veranlagung nicht entgegen.
Die Beschwerde erweist sich damit, was die Staats- und Gemeindesteuern anbelangt, als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird.
III. Direkte Bundessteuer
6. Die Vorinstanz geht davon aus, der Steuerdomizilentscheid der Steuerverwaltung des Kantons Luzern beziehe sich auch auf die direkte Bundessteuer. Sie erachtet die Schlussfolgerung der Steuerverwaltung, wonach der Veranlagungsort des Beschwerdeführers für die Steuerperiode 2003 dem Kanton Luzern zuzuweisen sei, ebenso in dieser Beziehung als zutreffend. Damit masst sich das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern allerdings eine ihm nicht zustehende Kompetenz an, ist doch der Veranlagungsort dann, wenn mehrere Kantone in Frage kommen, von der Eidgenössischen Steuerverwaltung zu bestimmen (Art. 108 Abs. 1 DBG). Erfährt eine Veranlagungsbehörde vom konkurrierenden Anspruch eines andern Kantons, ist vor weiteren Veranlagungshandlungen die Eidgenössische Steuerverwaltung anzugehen, um die Zuständigkeit festlegen zu lassen (ASA 70, 529 S. 534). Dies gilt nicht nur für Veranlagungsbehörden, sondern gleichermassen für Rechtsmittelinstanzen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hätte demnach nicht über den Veranlagungsort bei der direkten Bundessteuer befinden dürfen (vgl. Urteil 2A.241/2006 vom 26. Oktober 2006, E. 2.4, in: StR 62/2007, 127 S. 130, mit Hinweisen).
Nachdem der Beschwerdeführer für die Steuerperiode 2003 von den Steuerbehörden des Kantons Zug offenbar rechtskräftig veranlagt wurde und die Unzuständigkeit dieser Behörden nicht auf der Hand liegt, ist darauf nicht mehr zuzukommen.
Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde betreffend die direkte Bundessteuer ist daher gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben.
IV. Kosten und Entschädigung
7. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, weshalb die bundesgerichtlichen Kosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen sind (Art. 156 Abs. 1 OG in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG). Der Steuerverwaltung des Kantons Luzern ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 159 Abs. 1 und Abs. 2 OG analog).
Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird im Sinn der Erwägungen gutgeheissen, doch hat dies aufgrund der besonderen Umstände für den Kanton Luzern ausnahmsweise weder Kosten- noch Entschädigungsfolgen. Im Übrigen wäre dem anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdeführer praxisgemäss ohnehin keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 159 OG; vgl. <ref-ruling> E. 6b S. 356 f., mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde betreffend die direkte Bundessteuer wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 14. Dezember 2006 wird insoweit (Ziff. 2 des Rechtsspruchs) aufgehoben.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Steuerverwaltung des Kantons Luzern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und der Steuerverwaltung des Kantons Zug schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Fux