Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Z._ und Y._ sind australische Staatsangehörige türkischer Abstammung. Ihre im September 1990 in Australien geschlossene Ehe wurde am 8. August 2001 daselbst geschieden, wobei gemäss australischem Recht beide Ehegatten das gemeinsame Sorgerecht für die ihrer Ehe entstammende Tochter X._, geboren am 28. Januar 1998, behielten. Im August 2001 verliess Y._ zusammen mit der Tochter Australien und reiste zunächst in die Türkei und später nach Basel, wo sie fortan wohnte und am 30. Juli 2002 in zweiter Ehe den ehemals türkischen und inzwischen schweizerischen Staatsangehörigen W._ heiratete. Sie und das unter ihrer Obhut stehende Kind verfügen hier über eine befristete Aufenthaltsbewilligung.
A. Z._ und Y._ sind australische Staatsangehörige türkischer Abstammung. Ihre im September 1990 in Australien geschlossene Ehe wurde am 8. August 2001 daselbst geschieden, wobei gemäss australischem Recht beide Ehegatten das gemeinsame Sorgerecht für die ihrer Ehe entstammende Tochter X._, geboren am 28. Januar 1998, behielten. Im August 2001 verliess Y._ zusammen mit der Tochter Australien und reiste zunächst in die Türkei und später nach Basel, wo sie fortan wohnte und am 30. Juli 2002 in zweiter Ehe den ehemals türkischen und inzwischen schweizerischen Staatsangehörigen W._ heiratete. Sie und das unter ihrer Obhut stehende Kind verfügen hier über eine befristete Aufenthaltsbewilligung.
B. Am 10. Januar 2002 stellte Z._ gestützt auf das Haager Übereinkommen über die zivilrechtlichen Aspekte internationaler Kindesentführung vom 25. Oktober 1980 (HEntfÜ, SR 0.211.230.02) ein Gesuch um Rückführung der Tochter X._ nach Australien. Das Rückführungsgesuch wurde schliesslich mit Urteil des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 10. Dezember 2002 abgewiesen. Die dagegen erhobene Beschwerde von Z._ wies das Appellationsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 27. Dezember 2002 ab.
B. Am 10. Januar 2002 stellte Z._ gestützt auf das Haager Übereinkommen über die zivilrechtlichen Aspekte internationaler Kindesentführung vom 25. Oktober 1980 (HEntfÜ, SR 0.211.230.02) ein Gesuch um Rückführung der Tochter X._ nach Australien. Das Rückführungsgesuch wurde schliesslich mit Urteil des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 10. Dezember 2002 abgewiesen. Die dagegen erhobene Beschwerde von Z._ wies das Appellationsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 27. Dezember 2002 ab.
C. Dagegen hat Z._ am 14. Februar 2003 eine staatsrechtliche Beschwerde eingereicht, im Wesentlichen mit den Begehren um Aufhebung des angefochtenen Urteils, um Gutheissung des Rückführungsgesuchs und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Vernehmlassung vom 25. Februar 2003 schloss die Vorinstanz auf Abweisung der Beschwerde. Mit Vernehmlassung vom 3. März 2003 stellte die Beschwerdegegnerin im Wesentlichen die Begehren, der angefochtene Entscheid sei zu bestätigen und es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Da Verfahren nach HEntfÜ nicht Zivilrechtsstreitigkeiten, sondern eine Art administrative Rechtshilfe zwischen den Vertragsstaaten darstellen, steht die Berufung gegen Rückführungsentscheide nicht offen; auf die subsidiäre staatsrechtliche Beschwerde ist demnach einzutreten (<ref-ruling> E. 2b S. 224; <ref-ruling> E. 1a S. 421). Bei der Staatsvertragsbeschwerde überprüft das Bundesgericht Konventionsverletzungen mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 3b S. 382; <ref-ruling> E. 3 S. 439).
1.2 Das HEntfÜ zielt auf sofortige Rückgabe widerrechtlich in einen Vertragsstaat verbrachter oder dort zurückgehaltener Kinder (Art. 1 lit. a HEntfÜ). Als widerrechtlich gilt das Verbringen oder Zurückhalten eines Kindes, wenn dadurch das Sorgerecht verletzt wird, das einer Person allein oder gemeinsam nach den Regeln des Staates zusteht, in dem das Kind unmittelbar vor dem Verbringen oder Zurückhalten seinen gewöhnlichen Aufenthalt hatte (Art. 3 lit. a HEntfÜ). Dass der Beschwerdeführer mit der gemeinsamen elterlichen Sorge nach australischem Recht eine vom HEntfÜ geschützte Rechtsposition hat, bleibt in der Vernehmlassung zur staatsrechtlichen Beschwerde zu Recht unbestritten. Ebenso wenig zweifelt die Beschwerdegegnerin die vorinstanzliche Erwägung an, dass grundsätzlich eine Rückgabepflicht gemäss Art. 12 HEntfÜ besteht.
1.2 Das HEntfÜ zielt auf sofortige Rückgabe widerrechtlich in einen Vertragsstaat verbrachter oder dort zurückgehaltener Kinder (Art. 1 lit. a HEntfÜ). Als widerrechtlich gilt das Verbringen oder Zurückhalten eines Kindes, wenn dadurch das Sorgerecht verletzt wird, das einer Person allein oder gemeinsam nach den Regeln des Staates zusteht, in dem das Kind unmittelbar vor dem Verbringen oder Zurückhalten seinen gewöhnlichen Aufenthalt hatte (Art. 3 lit. a HEntfÜ). Dass der Beschwerdeführer mit der gemeinsamen elterlichen Sorge nach australischem Recht eine vom HEntfÜ geschützte Rechtsposition hat, bleibt in der Vernehmlassung zur staatsrechtlichen Beschwerde zu Recht unbestritten. Ebenso wenig zweifelt die Beschwerdegegnerin die vorinstanzliche Erwägung an, dass grundsätzlich eine Rückgabepflicht gemäss Art. 12 HEntfÜ besteht.
2. Der Beschwerdeführer rügt im Wesentlichen, die Vorinstanz habe mit der Bejahung des Ausschlussgrundes von Art. 13 Abs. 1 lit. b HEntfÜ die Konvention verletzt.
2.1 Soweit das Obergericht zunächst festhält, die Mutter sei als Inhaberin der Obhut und des gemeinsamen Sorgerechts ohne Wissen und Zustimmung des Vaters mit dem Kind aus Australien ausgereist und über die Türkei nach Basel gelangt, und soweit es daraus folgert, es handle sich nicht um einen "klassischen" Entführungsfall, bei dem ein Kind auf dem Heimweg von der Schule gekidnappt und in eine unvertraute Umgebung entführt werde, setzt es sich in Widerspruch zu seiner eigenen Feststellung, dass der vorliegende Sachverhalt in den Anwendungsbereich des HEntfÜ fällt. Diesem ist eine Unterscheidung in "klassische" bzw. "nicht klassische" Fälle und eine gewissermassen limitierte Anwendbarkeit oder weniger strenge Handhabung des Übereinkommens auf die als "nicht klassisch" taxierten Tatbestände fremd. Liegt eine widerrechtliche Entführung im Sinne des Übereinkommens vor, ist das Kind grundsätzlich zurückzugeben, soweit nicht ein Ausschlussgrund gegeben ist; vorliegend steht derjenige von Art. 13 Abs. 1 lit. b HEntfÜ zur Diskussion.
2.2 Das Gericht des ersuchten Staates ist nicht verpflichtet, die Rückgabe des Kindes anzuordnen, wenn nachgewiesen ist, dass sie mit der schwerwiegenden Gefahr eines körperlichen oder seelischen Schadens für das Kind verbunden ist oder das Kind auf andere Weise in eine unzumutbare Lage bringt (Art. 13 Abs. 1 lit. b HEntfÜ).
Die Ausschlussgründe von Art. 13 HEntfÜ sind eng auszulegen, damit der Entführer keinen Vorteil aus seinem Rechtsbruch ziehen kann. Zu berücksichtigen sind daher nur wirklich schwere Gefahren, nicht aber irgendwelche wirtschaftlichen und erzieherischen Nachteile. Kein Platz ist im Rückgabeverfahren namentlich für Überlegungen, bei welchem Elternteil oder in welchem Land das Kind besser aufgehoben oder welcher Elternteil zur Erziehung und Betreuung der Kinder besser geeignet sei. Der Entscheid darüber ist dem Staat des gewöhnlichen Aufenthalts des Kindes vorbehalten (Kuhn, "Ihr Kinderlein bleibet, so bleibet doch all", in: AJP 1997, S. 1098; Siehr, Münchner Kommentar zum BGB, 3. Aufl., München 1998, N. 61 Anh. II zu Art. 19 EG BGB). Schwerwiegende Gefahren im Sinne der Bestimmung liegen etwa vor, wenn ernsthaft zu befürchten ist, dass das Kind nach der Rückgabe misshandelt oder missbraucht wird, sei es vom Antragsteller oder von Dritten, und umgekehrt nicht zu erwarten ist, dass die Behörden des ersuchenden Staates gegen eine Gefährdung mit Erfolg einschreiten (Staudinger/Pirrung, Kommentar zum BGB, 13. Aufl., Berlin 1994, N. 683).
2.3 Den Sachverhaltsfeststellungen des angefochtenen Entscheides lassen sich keine Anhaltspunkte entnehmen, dass das Kind in Australien misshandelt oder missbraucht würde, und schon gar nicht, dass die Behörden diesfalls nicht mit Erfolg gegen eine Gefährdung einschreiten würden. Der Ausschlussgrund der schwerwiegenden Gefahr für die körperliche Gesundheit des Kindes ist nicht erstellt.
2.4 Es bleibt zu prüfen, ob dem Kind eine schwerwiegende Gefahr für seine geistige Gesundheit droht.
2.4.1 Das Obergericht hat aus der blossen Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin in der Schweiz eine Ehe eingegangen ist, den Schluss gezogen, sie werde nicht nach Australien zurückkehren, und es hat weiter befunden, angesichts des Zerwürfnisses mit dem Beschwerdeführer wäre ihr eine Rückkehr ohnehin unzumutbar. Die Beschwerdegegnerin selbst begründet die Unzumutbarkeit in ihrer Vernehmlassung damit, dass der Beschwerdeführer zu Gewalt neige.
2.4.2 Die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin gehen bei ihrer Argumentation von einer falschen Fragestellung aus; nach dem klaren Wortlaut von Art. 13 Abs. 1 lit. b HEntfÜ ist zu prüfen, ob das Kind durch die Rückführung in eine unzumutbare Lage gebracht wird. Dabei stellt die Trennung zwischen Kind und Mutter - die im angefochtenen Entscheid ohne nähere Abklärungen aus der blossen Tatsache der eingegangenen Ehe abgeleitet wird - nach übereinstimmender Lehre und Rechtsprechung keinen Ausschlussgrund dar (Staudinger/Pirrung, N. 683 und insb. 684; Kuhn, S. 1099; Schmid, Neuere Entwicklungen im Bereich der internationalen Kindesentführungen, in: AJP 2002, S. 1333, je mit weiteren Hinweisen); einzig für Säuglinge ist die Frage kontrovers (vgl. Kuhn, S. 1099 f.).
Ohnehin wäre aber auch nicht ersichtlich, inwiefern eine Rückkehr für die Mutter unzumutbar sein soll: Bei ihren Ausführungen überspielen Vorinstanz und Beschwerdegegnerin nämlich den Umstand, dass es nicht um eine Rückkehr in die Wohnung des Beschwerdeführers und damit zu ihm selbst - die Parteien lebten ohnehin bereits vor der Kindesentführung getrennt -, sondern um eine solche in das Entführungsland geht. Das Übereinkommen geht nämlich vom Grundsatz aus, dass über das Sorge- und Besuchsrecht im Land zu entscheiden ist, in welchem das Kind unmittelbar vor der Entführung seinen gewöhnlichen Aufenthalt hatte. Es ist deshalb nicht Sache des Rückführungsrichters, im Ergebnis familienrechtliche Entscheidungen des zuständigen ausländischen Gerichts vorwegzunehmen, nachzuprüfen oder gar abzuändern; umgekehrt hat sich die Beschwerdegegnerin an den australischen Richter zu wenden, wenn sie familienrechtliche Entscheidungen erwirken will (Kuhn, S. 1101; Siehr, N. 61; vgl. auch Art. 16, 17 und 19 HEntfÜ). Eine solche (vorübergehende) Rückkehr der Beschwerdegegnerin ins Ursprungsland ist objektiv zumutbar, selbst wenn der Beschwerdeführer seinerzeit gegen sie gewalttätig geworden wäre. Dass ihr in Australien wegen der Kindesentführung ein strafrechtliches Verfahren oder gar Gefängnis drohe, macht die Beschwerdegegnerin nicht geltend. Keine objektive Unzumutbarkeit begründet schliesslich die blosse Tatsache, dass sie sich in der Schweiz verheiratet und hier eine befristete Aufenthaltsbewilligung erhalten hat. Im Übrigen darf nicht übersehen werden, dass der Schaden, der für ein Kind aus dem Verbringen über die Landesgrenzen erwächst, auf der einseitigen Handlungsweise der Entführerin beruht und diese allein für alle Unzuträglichkeiten verantwortlich ist, die aus der Korrektur ihres Fehlverhaltens entstehen. Sie hat es denn auch in der Hand, einer Trennung vorzubeugen. Weigert sie sich zurückzukehren, ist anzunehmen, dass sie ihre eigenen Interessen über diejenigen der Kinder stellt. Wer durch Ablehnung der Begleitung selbst eine Gefahr schafft, kann sich nicht auf sie als Ausrede berufen (Kuhn, S. 1099; Siehr, N. 61a). Insofern ist nicht zu berücksichtigen, dass eine Rückkehr der Beschwerdegegnerin möglicherweise subjektiv unzumutbar erscheint.
2.4.3 Nicht zu hören sind schliesslich die allgemeinen Hinweise auf den Besuch des Kindergartens in Basel und die altersgemässe Integration, die zu unterbrechen nicht sinnvoll sei. Es versteht sich von selbst, dass ein Kind im Ursprungsland anfangs Sprach- und Integrationsschwierigkeiten haben kann. Dabei handelt es sich jedoch um die bei jeder Rückgabe auftretenden Erscheinungen, die vom Übereinkommen in Kauf genommen werden und keinen Ausschlussgrund darstellen (Staudinger/Pirrung, N. 683).
2.4.3 Nicht zu hören sind schliesslich die allgemeinen Hinweise auf den Besuch des Kindergartens in Basel und die altersgemässe Integration, die zu unterbrechen nicht sinnvoll sei. Es versteht sich von selbst, dass ein Kind im Ursprungsland anfangs Sprach- und Integrationsschwierigkeiten haben kann. Dabei handelt es sich jedoch um die bei jeder Rückgabe auftretenden Erscheinungen, die vom Übereinkommen in Kauf genommen werden und keinen Ausschlussgrund darstellen (Staudinger/Pirrung, N. 683).
3. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz mit der Bejahung des Ausschlussgrundes von Art. 13 Abs. 1 lit. b HEntfÜ das Haager Übereinkommen verletzt hat. Die streng kassatorische Natur der staatsrechtlichen Beschwerde verbietet es dem Bundesgericht indessen, die Rückgabe des Kindes selbst anzuordnen; insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1b S. 107; <ref-ruling> E. 2c S. 5). Im Grundsatz ist sie jedoch gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben; das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hat im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen die sofortige Rückgabe von X._ anzuordnen.
3. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz mit der Bejahung des Ausschlussgrundes von Art. 13 Abs. 1 lit. b HEntfÜ das Haager Übereinkommen verletzt hat. Die streng kassatorische Natur der staatsrechtlichen Beschwerde verbietet es dem Bundesgericht indessen, die Rückgabe des Kindes selbst anzuordnen; insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1b S. 107; <ref-ruling> E. 2c S. 5). Im Grundsatz ist sie jedoch gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben; das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hat im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen die sofortige Rückgabe von X._ anzuordnen.
4. Der Beschwerdeführer rügt abschliessend die obergerichtliche Honorarfestsetzung.
Der Entscheid über die Höhe der Parteientschädigung muss in der Regel nicht begründet werden; dies ist namentlich dann der Fall, wenn ein kantonaler Tarifrahmen besteht und die zugesprochene Parteientschädigung nicht ausserhalb dieses Rahmens festgesetzt wird (<ref-ruling> E. 2a). Vorliegend wird nicht dargetan, welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Mangels genügender Substanziierung ist auf die staatsrechtliche Beschwerde insoweit nicht einzutreten (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.; <ref-ruling> E. 1c S. 76).
Der Entscheid über die Höhe der Parteientschädigung muss in der Regel nicht begründet werden; dies ist namentlich dann der Fall, wenn ein kantonaler Tarifrahmen besteht und die zugesprochene Parteientschädigung nicht ausserhalb dieses Rahmens festgesetzt wird (<ref-ruling> E. 2a). Vorliegend wird nicht dargetan, welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Mangels genügender Substanziierung ist auf die staatsrechtliche Beschwerde insoweit nicht einzutreten (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.; <ref-ruling> E. 1c S. 76).
5. 5.1 Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers fällt die staatsrechtliche Beschwerde als ausserordentliches Bundesrechtsmittel gegen letztinstanzliche kantonale Rückführungsentscheide nicht in den Anwendungsbereich von Art. 26 Abs. 1 HEntfÜ, der Kostenlosigkeit des Verfahrens vorsieht; so ordnet denn auch nicht das Bundesgericht selbst die Rückgabe des Kindes an. An der konstanten Rechtsprechung, im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde gestützt auf Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG Kosten zu sprechen, ist deshalb festzuhalten. Unterliegt wie im vorliegenden Fall die Beschwerdegegnerin, käme ohnehin nicht Abs. 1, sondern Abs. 4 von Art. 26 HEntfÜ zum Tragen.
5.2 Der Beschwerdeführer ist im Grundsatz durchgedrungen, so dass sich keine Kostenausscheidung rechtfertigt. Die Gerichtsgebühr ist demnach der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG) und sie hat dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung zu leisten (Art. 159 Abs. 2 OG). Damit wird sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, deren formelle Voraussetzungen ohnehin nicht genügend dargetan wären, nach der Praxis des Bundesgerichts gegenstandslos.
5.3 Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege ist gestützt auf die eingereichten Unterlagen gutzuheissen, und es ist ihr Advokat Hans Suter als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizuordnen. Folglich ist die Gerichtsgebühr einstweilen auf die Gerichtskasse zu nehmen (Art. 152 Abs. 1 OG) und ihrem Anwalt ist aus der Gerichtskasse eine angemessene Entschädigung auszurichten (Art. 152 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der staatsrechtlichen Beschwerde wird der angefochtene Entscheid aufgehoben. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hat im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen die sofortige Rückgabe von X._ anzuordnen.
1. In teilweiser Gutheissung der staatsrechtlichen Beschwerde wird der angefochtene Entscheid aufgehoben. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hat im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen die sofortige Rückgabe von X._ anzuordnen.
2. Im Übrigen wird auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten.
2. Im Übrigen wird auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten.
3. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, und Advokat Hans Suter wird ihr als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigeordnet.
3. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, und Advokat Hans Suter wird ihr als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigeordnet.
4. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt, jedoch einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt, jedoch einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
5. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
6. Dem unentgeltlichen Rechtsbeistand der Beschwerdegegnerin, Advokat Hans Suter, wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
6. Dem unentgeltlichen Rechtsbeistand der Beschwerdegegnerin, Advokat Hans Suter, wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
7. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2003
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: