Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene S._ meldete sich am 20. September 2005 wegen Depression, Diabetes und Bluthochdruck zum Bezug einer Rente der Invalidenversicherung an. Den Akten der IV-Stelle Basel-Landschaft ist zu entnehmen, dass die Versicherte von März 1989 bis Ende Juli 2005 beim Alterszentrum X._, als hauswirtschaftliche Angestellte in einem Teilzeitpensum von 70 % arbeitstätig gewesen war (Fragebogen für den Arbeitgeber vom 11. Oktober 2005) und daneben den zusammen mit dem Ehemann bewohnten Haushalt besorgte (Abklärungsbericht Haushalt vom 20. September 2006). Zur Klärung des medizinischen Sachverhalts veranlasste die Verwaltung unter anderem eine Begutachtung bei Dr. med. B._, FMH MBSR, Facharzt für Rheumatologie, Physikalische Medizin und Rehabilitation, der keine die Arbeitsfähigkeit einschränkenden somatischen Befunde erheben konnte (Gutachten vom 21. April 2006), sowie bei Dr. med. G._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, der eine rezidivierende depressive Störung (gegenwärtig leichte Episode; ICD-10 F33.0) und eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) mit akzentuierten Persönlichkeitszügen (ICD-10 Z73.1) diagnostizierte, die zu einer Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit von 20 % führten (Gutachten vom 10. Juni 2006). Mit Verfügung vom 6. Dezember 2006 verneinte die IV-Stelle mangels leistungsbegründenden Invaliditätsgrades einen Anspruch auf Invalidenrente.
In Nachachtung des Urteils des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 19. Oktober 2007, mit welchem die Verfügung vom 6. Dezember 2006 aufgehoben wurde, holte die IV-Stelle das polydisziplinäre Gutachten ABI Aerztliches Begutachtungsinstitut GmbH, (im Folgenden: ABI; Gutachten vom 21. Juli 2008 mit ergänzenden Stellungnahmen vom 8. Dezember 2008 und 21. August 2009) ein, wonach die Explorandin wegen einer chronisch dysthymen Entwicklung mit rezidivierenden depressiven Episoden (derzeit leicht; ICD-10 F34.1), schmerzhaft eingeschränkter Schulterbeweglichkeit rechts (Impingementsyndrom [ICD-10 M75.4]; partielle Supraspinatussehnenläsion [ICD-10 M75.1]) sowie Coxarthrose rechts mit begleitendem myofaszialen Beinschmerz (ICD-10 M16.9) für körperlich leichte bis intermittierend mittelschwere, wechselbelastende Arbeiten bei ganztägigem Einsatz leistungsmässig um 20 % eingeschränkt war, was sowohl für eine Erwerbs-, als auch eine Haushalttätigkeit galt; die weiter zu diagnostizierenden Befunde (generalisiertes Schmerzsyndrom, metabolisches Syndrom, Tranquilizer-Missbrauch) hatten keinen Einfluss auf die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle erneut einen Anspruch auf Invalidenrente mangels leistungsbegründenden Invaliditätsgrades (Verfügung vom 16. April 2010).
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde, mit welcher S._ beantragen liess, es sei ihr gestützt auf einen Invaliditätsgrad von mindestens 70 % eine ganze Invalidenrente mit Beginn ab 1. November 2005 zuzusprechen, wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft ab (Entscheid vom 13. Januar 2011).
C. Mit Beschwerde lässt S._ das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren wiederholen. Gleichzeitig ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Die IV-Stelle Basel-Landschaft und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG ist eine Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 und E. 4 S. 399). Die konkrete wie auch die antizipierte Beweiswürdigung betreffen Tatfragen, die das Bundesgericht lediglich auf offensichtliche Unrichtigkeit und Rechtsfehlerhaftigkeit hin zu überprüfen befugt ist (Art. 105 Abs. 2 BGG). Unter diesem Blickwinkel hält ein Verzicht der Vorinstanz auf weitere Beweisvorkehren aufgrund antizipierter Beweiswürdigung etwa dann nicht stand, wenn die Sachverhaltsfeststellung unauflösbare Widersprüche enthält oder wenn eine entscheidwesentliche Tatsache auf unvollständiger Beweisgrundlage beantwortet wird (Urteile 8C_391/2009 vom 21. Oktober 2009 E. 1 und 9C_410/2008 vom 8. September 2008 E. 3.3.1 mit Hinweisen).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz den Gesundheitsschaden und die daraus resultierende Arbeitsunfähigkeit als wesentliche Voraussetzungen für die Invaliditätsbemessung zutreffend beurteilt hat.
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz den Gesundheitsschaden und die daraus resultierende Arbeitsunfähigkeit als wesentliche Voraussetzungen für die Invaliditätsbemessung zutreffend beurteilt hat.
2.1 2.1.1 Arbeitsunfähigkeit ist die durch eine Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit bedingte, volle oder teilweise Unfähigkeit, im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich zumutbare Arbeit zu leisten (Art. 6 Satz 1 ATSG). Bei langer Dauer wird auch die zumutbare Tätigkeit in einem anderen Beruf oder Aufgabenbereich berücksichtigt (Art. 6 Satz 2 ATSG). Erwerbsunfähigkeit ist der durch Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit verursachte und nach zumutbarer Behandlung und Eingliederung verbleibende ganze oder teilweise Verlust der Erwerbsmöglichkeiten auf dem in Betracht kommenden allgemeinen Arbeitsmarkt (Art. 7 Abs. 1 ATSG). Für die Beurteilung des Vorliegens einer Erwerbsunfähigkeit nach dem im Rahmen der 5. IV-Revision am 1. Januar 2008 in Kraft gesetzten Art. 7 Abs. 2 ATSG ausschliesslich die Folgen der gesundheitlichen Beeinträchtigung zu berücksichtigen (Satz 1); eine Erwerbsunfähigkeit liegt zudem nur vor, wenn sie aus objektiver Sicht nicht überwindbar ist (Satz 2). Invalidität ist die voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde ganze oder teilweise Erwerbsunfähigkeit (Art. 8 Abs. 1 ATSG; vgl. Art. 4 IVG).
2.1.2 Im Übrigen wird auf die zutreffenden Darlegungen des kantonalen Gerichts zu den Rechtsgrundlagen über den Umfang des Rentenanspruchs, die Bemessung des Invaliditätsgrades bei teilerwerbstätigen Versicherten nach der gemischten Methode, die Aufgabe des Arztes oder der Ärztin im Rahmen der Invaliditätsbemessung (vgl. auch <ref-ruling> E. 4 S. 261) sowie den Beweiswert und die Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten verwiesen.
3. 3.1 Nach den vorinstanzlichen Erwägungen ist gestützt auf die rheumatologische Beurteilung des ABI-Gutachtens vom 21. Juli 2008 davon auszugehen, dass die Arbeitsfähigkeit für leichte und wechselbelastende Tätigkeiten, die den körperlichen Beeinträchtigungen angepasst sind (zu vermeiden sind repetitive Arbeiten über Kopf, wiederholtes Heben und Tragen von 10 kg übersteigenden Lasten über Bauchhöhe sowie repetitives Gehen von einer über einer halben Stunde liegenden Dauer), vollständig erhalten war. Entgegen dem Vorbringen der Beschwerdeführerin hat sich die Vorinstanz mit den Ausführungen des Dr. med. H._, Physikalische Medizin und Rehabilitation, Speziell Rheumaerkrankungen FMH, Psychosomatische Medizin APPM, Manuelle Medizin SAMM, (Berichte vom 14. Oktober 2008 und 20. Mai 2009), unter Hinweis auf die Stellungnahme der rheumatologischen Gutachterin der ABI vom 21. August 2009, auseinandergesetzt. Danach änderte der ihr nicht bekannt gewesene, von der Y._, Radiologie Nordwest, am 10. Oktober 2008 radiologisch erhobene Befund und die damit einhergehende diagnostische Neubeurteilung der Symptomatik im Bereich der rechten Schulter nichts an der Einschätzung zumutbarer Arbeiten, da das seitliche Heben des rechten Armes (Abduktion) aktiv bis zu 90° weiterhin ausführbar sei. Dieser Standpunkt erwies sich als zutreffend. So hielt Dr. med. R._, Spezialarzt FMH für Orthopädische Chirurgie, Traumatologie des Bewegungsapparates, im Bericht vom 12. Oktober 2009 fest, dass bei der Untersuchung vom 21. September 2009 der rechte Arm seitlich bis 90° eleviert werden konnte (Bericht vom 12. Oktober 2009).
3. 3.1 Nach den vorinstanzlichen Erwägungen ist gestützt auf die rheumatologische Beurteilung des ABI-Gutachtens vom 21. Juli 2008 davon auszugehen, dass die Arbeitsfähigkeit für leichte und wechselbelastende Tätigkeiten, die den körperlichen Beeinträchtigungen angepasst sind (zu vermeiden sind repetitive Arbeiten über Kopf, wiederholtes Heben und Tragen von 10 kg übersteigenden Lasten über Bauchhöhe sowie repetitives Gehen von einer über einer halben Stunde liegenden Dauer), vollständig erhalten war. Entgegen dem Vorbringen der Beschwerdeführerin hat sich die Vorinstanz mit den Ausführungen des Dr. med. H._, Physikalische Medizin und Rehabilitation, Speziell Rheumaerkrankungen FMH, Psychosomatische Medizin APPM, Manuelle Medizin SAMM, (Berichte vom 14. Oktober 2008 und 20. Mai 2009), unter Hinweis auf die Stellungnahme der rheumatologischen Gutachterin der ABI vom 21. August 2009, auseinandergesetzt. Danach änderte der ihr nicht bekannt gewesene, von der Y._, Radiologie Nordwest, am 10. Oktober 2008 radiologisch erhobene Befund und die damit einhergehende diagnostische Neubeurteilung der Symptomatik im Bereich der rechten Schulter nichts an der Einschätzung zumutbarer Arbeiten, da das seitliche Heben des rechten Armes (Abduktion) aktiv bis zu 90° weiterhin ausführbar sei. Dieser Standpunkt erwies sich als zutreffend. So hielt Dr. med. R._, Spezialarzt FMH für Orthopädische Chirurgie, Traumatologie des Bewegungsapparates, im Bericht vom 12. Oktober 2009 fest, dass bei der Untersuchung vom 21. September 2009 der rechte Arm seitlich bis 90° eleviert werden konnte (Bericht vom 12. Oktober 2009).
3.2 3.2.1 Den weiteren vorinstanzlichen Erwägungen gemäss hält das Gutachten der ABI auch in Bezug auf die Beurteilung des psychischen Gesundheitsschadens und dessen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit einer Überprüfung stand. Die psychiatrische Sachverständige hielt fest, die Gründe für das stark invalidisierende Krankheitsbild der Versicherten, das in diesem Ausmass aufgrund der psychopathologischen Befunde (chronisch gereizt-dysthyme Verstimmung) nicht objektivierbar sei, könnten nur vermutet werden und lägen im Bereich der Spekulation. Sie seien nicht auf den Diabetes mellitus zurückzuführen, zumal vorübergehende Unterzuckerungszustände, die mit Gereiztheit und Aggressivität einhergingen, erfahrungsgemäss auf Glucosezufuhr prompt besserten. Die Versicherte zeige eine deutlich verminderte Motivation, Aufgaben in der Familie zu übernehmen, und suche sich zu entlasten. Insgesamt seien aber psychopathologisch gesehen die Voraussetzungen für eine leichte depressive Episode erfüllt, mit einer um 20 % verminderten Arbeitsfähigkeit.
3.2.2
3.2.2.1 Zu der vom psychiatrischen ABI-Gutachter abweichenden Auffassung des behandelnden Dr. med. J._, Spezialarzt FMH, Psychiatrie und Psychotherapie, es liege seit 2004 eine schwere Depression mit vollständiger Arbeitsunfähigkeit vor (Bericht vom 15. Januar 2009), hat das kantonale Gericht erwogen, dieser Arzt habe früheren Auskünften gemäss während Jahren ebenfalls eine depressive Entwicklung bei Dysthymie, mithin im Wesentlichen dasselbe psychiatrische Krankheitsbild genannt, weshalb seine Neueinschätzung nicht überzeuge. Die Beschwerdeführerin bringt, zwar in fast wörtlicher Wiederholung der kantonalen Beschwerde, aber doch zutreffend vor, dass diese Feststellung offensichtlich unrichtig ist.
3.2.2.2 Mit Bericht vom 10. Dezember 2005, auf den sich die Vorinstanz bezogen hat, erörterte Dr. med. J._ unter Hinweis auf die Ergebnisse der vom 3. Oktober bis 11. November 2005 dauernden stationären Behandlung in der Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie N._, (im Folgenden: Klinik N._; vgl. Bericht und Zusammenfassung vom 15. November 2005), dass die schwere Depression mit chronisch dysphorischer Verstimmung und sozialem Rückzug weder mittels Abgabe hoher Dosen von Antidepressiva und Lithium, noch mit Kombinationstherapie nennenswert gebessert werden konnte; auch das verabreichte Neurolepticum zur Unterdrückung der Unruhe und der Schlafstörung führte zu keiner wesentlichen Veränderung. Weiter wies Dr. med. J._ darauf hin, dass der seit Jahren bestehende, insulinpflichtige Diabetes mellitus Typ II auch unter stationären Bedingungen (vom 27. Juni bis 7. Juli 2005; vgl. Bericht des Spitals A._ vom 12. Juli 2005) nicht gut eingestellt werden konnte (vgl. auch Bericht der Klinik Z._ vom 15. November 2005). Davon ausgehend stellte Dr. med. J._ eine "sehr schlecht(e)" Prognose. In einem weiteren Bericht vom 11. Januar 2007 führte Dr. med. J._ aus, Grundlage für die diagnostizierte schwere Depression bilde hauptsächlich "die Beobachtung einer völligen Anhedonie, eines gänzlich fehlenden Antriebes, der ichdyston erlebt wird, und wiederkehrenden Suicidgedanken"; sie werde nicht primär durch soziale Faktoren ("sekundärer Krankheitsgewinn"), sondern durch die therapierefraktären somatischen Störungen unterhalten; die Patientin sei weiterhin vollständig arbeitsunfähig.
Den Erwägungen des kantonalen Gerichts im Rückweisungsentscheid vom 19. Oktober 2007 ist zu entnehmen, dass die psychiatrische Expertise des Dr. med. G._ vom 10. Juni 2006 und dessen Stellungnahme vom 24. April 2007 zum einen deshalb nicht überzeugte, weil er die von der Klinik N._ (vgl. Bericht vom 18. Dezember 2006) und von Dr. med. J._ als therapierefraktär bezeichnete schwere Depression primär mit der mangelnden Compliance der Versicherten (Nichteinnahme der verschriebenen Medikamente) entkräftete, obwohl dafür kein Nachweis vorhanden war. Zum anderen erwog das kantonale Gericht, dass Dr. med. G._ den von den behandelnden Ärzten Dres. med. Z._ und J._ problematisierten Befund, dass Interdependenzen zwischen den langjährig bestehenden somatischen (Diabetes mellitus Typ II, Hypercholesterinämie, Hypothyreose, arterielle Hypertonie) und psychischen (Depression, depressive Verstimmung) Beschwerden bestanden, weitestgehend ausblende. Die ABI-Gutachter setzten sich mit den zitierten Erwägungen des vorinstanzlichen Rückweisungsentscheids vom 19. Oktober 2007 nicht bzw. unvollständig auseinander. So hielten sie aktenwidrig fest, Dr. med. J._ habe eine Depression auf vorwiegend somatischer Grundlage bescheinigt und nicht explizit zur Arbeitsfähigkeit Stellung genommen. Demgegenüber habe der Vorgutachter Dr. med. G._ die zur gezeigten Beschwerdeausweitung beitragenden, nicht invalidisierenden Hintergründe (Entlastungswünsche, sekundärer Krankheitsgewinn, soziale Umstände) ausführlich dargestellt und zutreffend angenommen, dass die psychischen Ressourcen der Versicherten ausreichten, im Umfang von 80 % erwerbstätig zu sein. Die ABI-Gutachter überprüften dabei die Frage der mangelnden Compliance nicht, sodass offen bleibt, inwieweit das depressive Beschwerdebild medikamentös günstig beeinflusst werden kann. In Bezug auf allfällige Wechselwirkungen hielten die ABI-Gutachter zunächst fest, klinisch lägen keine Anhaltspunkt für eine diabetische hirnorganische Funktionsstörung vor, für die weitere Feststellung, mit Gereiztheit und Aggression einhergehende Unterzuckerungszustände besserten prompt auf Glucosezufuhr, fehlt es hingegen an einem konkreten Befund oder auch nur an einer Auseinandersetzung mit den anderslautenden Angaben des Dr. med. J._ und der Kliniken N._ und A._.
3.2.2.3 Zusammengefasst ergibt sich, dass der im angefochtenen Entscheid festgestellte medizinische Sachverhalt auf einer unvollständigen Beweisgrundlage beruht. Eine abschliessende materielle Beurteilung ist anhand des gegebenen medizinischen Dossiers nach dem Gesagten zudem nicht möglich. Unter solchen Umständen hat nach der mit BGE 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011 E. 4.4.1.3 und 4.4.1.4 (vgl. auch E. 6) geänderten Rechtsprechung das angerufene kantonale Versicherungsgericht grundsätzlich selber eine medizinische Begutachtung anzuordnen. Die Sache ist daher an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie ein Gerichtsgutachten einhole und gestützt darauf neu entscheide.
4. Praxisgemäss entspricht die Rückweisung einem vollen Obsiegen (BGE 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011 E. 7.1 mit Hinweisen). Die unterliegende IV-Stelle hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdeführerin eine dem Aufwand entsprechende Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG). Damit ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 13. Januar 2011 aufgehoben. Die Sache wird an das kantonale Gericht zurückgewiesen, damit es, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde gegen die Verfügung der IV-Stelle Basel-Landschaft vom 16. April 2010 neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. September 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Grunder