Faits:
A. A._, née le 24 août 1948, a été engagée par la Poste Suisse (ci-après: la Poste) le 1er novembre 1974 en qualité de buraliste postale à Ayer. Elle a présenté une incapacité de travail de 100% du 10 octobre 2001 au 16 décembre 2001, de 50% du 17 décembre 2001 au 10 mars 2002, puis à nouveau de 100% jusqu'au 30 juin 2002. A la suite de la fermeture du bureau postal d'Ayer le 30 juin 2002, elle a été déplacée à celui de Vissoie dès le 1er juillet 2002. Le 4 juillet 2002, l'intéressée a toutefois dû interrompre son activité professionnelle en raison d'une allergie au papier diagnostiquée par son médecin traitant, le Dr B._. Le 16 avril 2003, A._ a été victime d'un accident de parapente qui a entraîné une incapacité de travail pendant plusieurs mois.
Après avoir examiné la situation de sa collaboratrice, lors des entrevues des 7 et 27 octobre 2003, la Poste lui a proposé deux postes en distribution, l'un à 100% à Saint-Léonard, l'autre à Vissoie, à raison de cinq heures par jour. Se fondant sur l'avis de son médecin traitant, A._ a refusé ces postes en raison de son intolérance aux poussières de papier. Lors d'une audience de conciliation du 21 janvier 2004 consécutive à l'envoi par la Poste, le 4 décembre 2003, d'une convention de cessation des rapports de travail, la reprise d'un poste au guichet a été évoquée. A._ a cependant produit un certificat médical du Dr B._ du 28 janvier 2004, selon lequel elle ne devait en aucun cas pratiquer une profession dans des locaux où la poussière de papier était dense, ce qui correspondait à toute activité dans le domaine des postes, même dans les milieux les plus modernes.
Le 6 mai 2004, la Poste a notifié à A._ une décision mettant fin aux rapports de service pour le 30 novembre 2004. Cette décision a été confirmée, sur recours, par le Directeur général de la Poste le 15 avril 2005.
B. Saisie d'un recours dirigé contre la décision précitée du 15 avril 2005, la Commission fédérale de recours en matière de personnel fédéral (ci-après: la Commission fédérale de recours) l'a rejeté, par prononcé du 7 décembre 2005. Elle a retenu en substance que malgré sa volonté de reprendre une activité professionnelle, A._ n'avait pas donné suite aux différents emplois proposés par la Poste, qu'elle n'avait pas fait preuve de l'attention que son employeur était en droit d'attendre d'elle pour occuper un autre poste, que l'exercice du parapente, alors qu'elle était absente de son travail pour raison de santé, révélait un manque de motivation pour reprendre son travail et que la Poste avait fait preuve de bienveillance en acceptant de verser à bien plaire le salaire de sa collaboratrice de novembre 2003 à avril 2004, soit pendant six mois supplémentaires.
C. Agissant par la voie du recours de droit administratif, A._ demande au Tribunal fédéral, avec suite de frais et dépens, d'annuler la décision de la Commission fédérale de recours. Elle invoque l'établissement lacunaire de l'état de fait et conteste avoir fait preuve de mauvaise volonté.
La Commission fédérale de recours se reporte à la décision entreprise et renonce à déposer une réponse. La Poste renonce à présenter des observations et conclut au rejet du recours.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 60 et les arrêts cités, 361 consid. 1 p. 364, 571 consid. 1 p. 573).
1.1 Formé contre une décision rendue par une Commission fédérale de recours et fondé sur le droit public fédéral, le présent recours est en principe recevable comme recours de droit administratif en vertu des art. 97 ss OJ.
1.2 Au surplus, la recourante est atteinte par la décision attaquée et a un intérêt digne de protection à ce qu'elle soit annulée ou modifiée au sens de l'art. 103 lettre a OJ, de sorte que le recours, déposé en temps utile et dans les formes prescrites par la loi, est recevable.
2. La recourante propose l'audition de son médecin traitant et celle du Professeur Philippe Leuenberger, du Service de pneumologie du CHUV, auteur d'une expertise du 1er mars 2005, effectuée à la demande du médecin-conseil de la SUVA. Dans la mesure où l'appréciation médicale de ces médecins ressort clairement des pièces du dossier, leur audition n'est pas nécessaire, de sorte que la réquisition de la recourante doit être rejetée (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 429; <ref-ruling> consid. 4a p. 469 et les arrêts cités).
3. Conformément à l'art. 104 lettres a et b OJ, le recours de droit administratif peut être formé pour violation du droit fédéral, y compris l'excès et l'abus du pouvoir d'appréciation, ainsi que pour constatation inexacte ou incomplète de faits pertinents (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 49; <ref-ruling> consid. 2a p. 60). Le Tribunal fédéral revoit d'office l'application du droit fédéral qui englobe notamment les droits constitutionnels du citoyen (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 709; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 318 et la jurisprudence citée). Comme il n'est pas lié par les motifs que les parties invoquent, il peut admettre le recours pour d'autres raisons que celles avancées par le recourant ou, au contraire, confirmer l'arrêt attaqué pour d'autres motifs que ceux retenus par l'autorité intimée (art. 114 al. 1 in fine OJ; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 50; <ref-ruling> consid. 2 p. 366 et les arrêts cités).
Par ailleurs, lorsque le recours est dirigé, comme en l'occurrence, contre la décision d'une autorité judiciaire, le Tribunal fédéral est lié par les faits constatés dans la décision, sauf s'ils sont manifestement inexacts ou incomplets ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (105 al. 2 OJ; <ref-ruling> consid. 2 p. 24). En outre, le Tribunal fédéral ne peut pas revoir l'opportunité de la décision entreprise, le droit fédéral ne prévoyant pas un tel examen en la matière (art. 104 lettre c ch. 3 OJ a contrario; ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 366, 470 consid. 2 p. 475).
4. Les rapports de travail entre la recourante et la Poste sont régis par la loi fédérale du 24 mars 2000 sur le personnel fédéral de la Confédération (LPers; RS 172.220.1) et par la Convention collective de travail conclue par la Poste avec les associations du personnel pour leur domaine d'activité (ci-après: la CCT Poste), entrée en vigueur le 1er février 2002. Il n'est pas contesté que la Poste a respecté en l'espèce son obligation de verser le salaire en cas d'empêchement de travailler de sa collaboratrice et que le congé, notifié dans le délai de résiliation légal, est conforme aux dispositions protégeant le travailleur contre une résiliation en temps inopportun. En fait, la recourante conteste l'existence d'un motif de résiliation ordinaire de son contrat. A teneur du chiffre 124 de l'annexe 4 CCT Poste, qui reprend pratiquement le contenu de l'art. 12 al. 6 LPers, sont considérés comme des motifs de résiliation ordinaires du contrat:
a) la violation d'obligations légales ou contractuelles importantes;
b) des lacunes au niveau des prestations ou du comportement malgré un avertissement écrit;
c) les aptitudes ou les capacités insuffisantes pour effectuer le travail convenu ou la mauvaise volonté pour accomplir ce travail;
d) la mauvaise volonté de l'employé à accomplir un autre travail pouvant raisonnablement être exigé de lui;
e) des impératifs économiques ou des impératifs d'exploitation majeurs, dans la mesure où l'employeur ne peut proposer à l'intéressé un autre travail pouvant raisonnablement être exigé de lui;
f) la disparition de l'une des conditions d'engagement fixées dans la loi ou dans le contrat de travail.
4.1 Dans le cas particulier, la Poste et l'autorité intimée ont considéré que la recourante avait fait preuve de mauvaise volonté à poursuivre son activité ou à accomplir un autre travail pouvant raisonnablement être exigé d'elle, de sorte que la résiliation des rapports de service pouvait se fonder sur les lettres c) et d) du chiffre 124 annexe 4 CCT Poste.
Pour sa part, la recourante conteste toute mauvaise volonté, fait valoir qu'elle s'est toujours fiée à l'appréciation de son médecin traitant, le Dr B._, au sujet de son impossibilité d'occuper un emploi la mettant en présence de poussières de papier et souligne que l'opinion de ce dernier, dédaignée par le Service médical de la Poste, a été confirmée par le Professeur Leuenberger.
4.2 Les avis médicaux sur la nature de l'atteinte à la santé de la recourante et sur sa capacité à poursuivre son activité professionnelle au sein de la Poste ne sont pas unanimes. Selon le Dr B._, l'allergie au papier dont souffre la recourante empêche l'exercice d'une activité pouvant mettre sa patiente en contact avec de la poussière de papier, cette indication excluant toute reprise de travail au sein de la Poste, même dans les milieux les plus modernes. De son côté, le Professeur Leuenberger, qui a diagnostiqué un asthme chronique et une rhinite chronique avec sinusite polypeuse associée à une hyper-réactivité nasale à la poussière de vieux papier, a conclu à l'existence d'une maladie professionnelle au sens de la loi fédérale sur l'assurance-accidents et à une inaptitude restreinte à l'activité de manipulation de vieux papier. Il a préconisé une aide à la réinsertion professionnelle de la recourante.
Pour le Service médical des CFF, de l'administration générale de la Confédération, de la Poste et de Swisscom (devenu "MedicalService"), la recourante était capable de reprendre son activité à la Poste de Vissoie après son incapacité de travail consécutive à son accident de parapente. Il se fondait notamment sur une expertise du 22 mai 2003 du Dr Frey, du Centre valaisan de pneumologie de Montana. Par décision du 7 juillet 2004, la SUVA a considéré que les troubles de la sphère ORL de la recourante ne constituaient pas une maladie professionnelle. En outre, l'Office cantonal valaisan de l'Assurance-invalidité fédérale a refusé toutes prestations à la recourante le 3 août 2004, en relevant que son activité de buraliste postale ne comportait pas d'exposition significative aux poussières et que ni l'asthme, ni la rhinite dont elle était affectée ne justifiaient une incapacité de travail dans sa profession. Cet office s'est référé aux avis médicaux exprimés par le Dr Frey, le Dr Duc, allergologue à Sion et le Dr Thorens, de la Division médecine du travail à Lausanne. Après avoir pris connaissance de l'expertise du Professeur Leuenberger, "MedicalService" a contesté les modalités du test auquel la recourante avait été soumise, en soutenant que ses conditions de travail n'étaient pas comparables, et a confirmé l'absence d'incapacité de travail pour une activité de tri et de distribution effectuée à raison de 75% en milieu extérieur.
4.3 En présence de telles divergences d'ordre médical quant à sa capacité à poursuivre son travail au sein de la Poste, on peut se demander si la recourante n'a pas adopté une attitude trop rigide en se référant systématiquement et obstinément à l'avis de son médecin traitant pour refuser toute activité au sein de la Poste, au motif qu'elle serait inévitablement au contact de poussières de papier. On aurait pu attendre d'elle qu'elle accepte une tentative de reprise de travail dans les deux postes nouveaux qui lui avaient été proposés, soit un travail de distribution à la Poste de Saint-Léonard et une activité au guichet à celle de Sierre. A cet égard, la recourante n'a pas consenti tous les efforts que son employeur était en droit d'attendre d'elle. Il est également surprenant que la recourante ait cru bon de se livrer à des activités sportives de parapente, alors qu'elle se trouvait dans une période d'incapacité de travail à 100%. L'explication donnée, selon laquelle l'exercice d'activités sportives lui avait été recommandé par son médecin traitant, n'était guère convaincante et l'on peut comprendre que la Poste ait songé à invoquer une violation de ses obligations contractuelles. Malgré les critiques qui peuvent être adressées à la recourante, il paraît difficile de lui reprocher d'avoir véritablement fait preuve de mauvaise volonté pour reprendre son travail. En effet, elle éprouvait des craintes sérieuses de récidive à l'atteinte à sa santé et elle était confortée dans ce sentiment par l'appréciation très tranchée du Dr B._, qui a tout de même été confirmée ultérieurement, dans une mesure certaine, par le Professeur Leuenberger.
En définitive, la question de la bonne ou de la mauvaise volonté de la recourante peut rester ouverte. En effet, si la recourante était totalement inapte à exercer une quelconque activité au sein de la Poste, comme le soutenait le Dr B._, le congé pouvait lui être notifié sur la base de la lettre c) du chiffre 124 de l'annexe 4 CCT Poste. Cette disposition permet de mettre un terme aux rapports de service si le collaborateur ne présente plus les aptitudes nécessaires à l'accomplissement du travail convenu. Indépendamment de l'asthme et de la rhinite réactive à la poussière de papier dont elle souffre, la recourante est en bonne santé et souhaite reprendre une activité professionnelle. Il convient donc qu'elle soit mise au bénéfice de mesures de réadaptation professionnelle, comme le suggère le Professeur Leuenberger. Or, cette tâche incombe cas échéant aux organes de l'Assurance-invalidité et non à la Poste.
Dès lors que la recourante était objectivement inapte à effectuer, non seulement le travail pour lequel elle avait été engagée mais toute autre activité au service de son employeur, la Poste était en droit de résilier les rapports de service.
La décision de l'autorité intimée est ainsi fondée dans son résultat.
5. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 156 al. 1, 153 et 153a OJ) et n'a pas droit à des dépens compte tenu de l'issue du recours (art. 159 al. 2 OJ) et du fait qu'elle a procédé sans l'assistance d'un avocat.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Un émolument judiciaire de 2'500 fr. est mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué en copie à la recourante, à la Poste Suisse et à la Commission fédérale de recours en matière de personnel fédéral.
Lausanne, le 27 juin 2006
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: La greffière: