Sachverhalt:
A.
X._, geboren 1978 und Staatsangehöriger der Republik Türkei, gelangte im März 2005 zur Vorbereitung der Heirat mit einer 1963 geborenen Schweizerbürgerin in die Schweiz. Die Brautleute heirateten im Mai 2005. X._ erhielt hier vom Kanton Zürich die Aufenthaltsbewilligung, der sie ihm letztmals bis zum 19. Mai 2011 verlängerte. Die eheliche Gemeinschaft wurde spätestens am 15. Dezember 2010 aufgegeben, nachdem die Eheleute - im Anschluss an eine Trennungszeit von sieben Monaten - zuvor im April 2010 wieder zusammengezogen waren. Die Ehe ist kinderlos geblieben. Die Eltern und die Schwester X._s leben in der Türkei. In der Schweiz hat er keine Verwandtschaft.
B.
In seiner Heimat betrieb X._ vor seiner Übersiedlung in die Schweiz ein eigenes Restaurant. In der Schweiz war er zeitweilig erwerbstätig, insbesondere im Gastgewerbe und im Hausdienst. Ab Mitte Dezember 2011 betätigte er sich im Rahmen eines Arbeitsintegrationsprojekts als Servicemitarbeiter. Trotz ausreichender Deutschkenntnisse und nachgewiesener Arbeitsbemühungen gelang es ihm seither nicht, wieder Arbeit zu finden. Seit März 2011 wird er fortlaufend von der Sozialhilfe unterstützt. Per Mitte Juli 2012 lagen gegen X._ sechs Verlustscheine im Gesamtbetrag von rund Fr. 10'500 vor und waren Betreibungen hängig. X._ leidet unter gesundheitlichen Problemen. Er ist nach wie vor in medizinischer Behandlung wegen psychischer und Verhaltensstörungen durch Alkohol (schädlicher Gebrauch, ICD-10: F10.1). Die ärztlichen Atteste von Dezember 2012 und April 2013 sprechen für den Fall der Rückkehr in die Heimat namentlich von negativen Folgen bezüglich Alkoholkarenz, psychischer Stabilität sowie adäquater Kontrolle und Weiterabklärung der Hepatopathie (Leberzirrhose). Gemäss dem Zeugnis vom April 2013 findet die psychosoziale Belastungssituation ihre Ursache in der ausgestandenen Untersuchungshaft, den ehelichen Konflikten und dem "Abschieberisiko".
C.
Am 10. Februar 2011 legte X._ in der Wohnung seiner Ehefrau in A._/ZH Feuer. Aufgrund starker Rauchentwicklung entstand am Haus ein Sachschaden von rund Fr. 83'000, nebst jenem am zuvor unbrauchbar gemachten Hausrat der Ehefrau. Vom 16. Februar bis zum 30. August 2011 befand X._ sich in Untersuchungshaft. Mit rechtskräftigem Urteil vom 30. Mai 2012 sprach ihn das Bezirksgericht B._/ZH schuldig der Brandstiftung (<ref-law>), der Sachbeschädigung (<ref-law>), der versuchten mehrfachen Drohung (Art. 180 Abs. 1 und 2 lit. a StGB) sowie der mehrfachen Tätlichkeiten (<ref-law>). Es belegte ihn mit einer Freiheitsstrafe von zwanzig Monaten und einer Busse von Fr. 300.--. Der Vollzug der Freiheitsstrafe wurde bei einer Probezeit von zwei Jahren aufgeschoben, verbunden mit der Weisung, dass er sich psychotherapeutisch behandeln zu lassen habe.
D.
Mit Verfügung vom 13. November 2012 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch von X._ um weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und setzte ihm zum Verlassen der Schweiz Frist bis zum 13. Februar 2013. Die dagegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel an die Sicherheitsdirektion und hernach an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, blieben erfolglos (Entscheide vom 28. Februar bzw. 25. August 2013).
E.
X._ erhebt mit Eingabe vom 28. September 2013 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 25. August 2013 sei aufzuheben und das Migrationsamt des Kantons Zürich sei anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen respektive zu verlängern. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung und ergänzenden Prüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter sei die Unzumutbarkeit der Wegweisung festzustellen und in der Folge das Migrationsamt des Kantons Zürich anzuweisen, beim Bundesamt für Migration die vorläufige Aufnahme zu beantragen.
Mit Verfügung vom 9. Oktober 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Über das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege ist mit der Hauptsache zu entscheiden.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Eintretensvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten geben unter Vorbehalt des Nachfolgenden zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass.
1.2.
1.2.1. Die Wegweisung (Art. 64 AuG) ist vom Anwendungsbereich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgenommen (<ref-law>). Geht sie von einer kantonalen Instanz aus, unterliegt sie immerhin der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 307). Gerügt werden kann indes nur die Verletzung besonderer verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>; Schutz des Lebens, Schutz vor grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung usw.) oder die Verletzung von Parteirechten, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt (sog. "Star"-Praxis; zum Ganzen <ref-ruling> E. 1-3). Das Bundesgericht prüft eine derartige Verletzung nur, soweit die Rüge ausdrücklich vorgebracht und klar und detailliert begründet wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 2.1 S. 334). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 2.8 S. 494; zum Ganzen Urteil 2C_170/2013 vom 20. Juni 2013 E. 1.2). An einer solchen Begründung fehlt es. Insoweit ist auf die Beschwerde, insofern sie in eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde umzudeuten wäre, ohnehin nicht einzutreten.
1.2.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten steht auch im Bereich der vorläufigen Aufnahme (Art. 83 AuG) nicht zur Verfügung (<ref-law>). Art. 83 AuG verschafft den Einzelnen keinen Rechtsanspruch. Praxisgemäss können auch keine Verfahrensfehler gerügt werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 310). Auch in dieser Hinsicht ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Er wirft der Vorinstanz sinngemäss vor, die massgebenden Kausalitäten verkannt zu haben. Unberücksichtigt geblieben seien zunächst die psychischen Probleme, aufgrund deren es zur strafrechtlichen Verurteilung und schliesslich zum ausländerrechtlichen Verfahren gekommen sei. Weiter habe die Vorinstanz übersehen, dass die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung zur Arbeitslosigkeit und diese dann zur Sozialhilfeabhängigkeit geführt habe. Was der Beschwerdeführer vorträgt, vermag indessen nicht zu überzeugen. Die Vorinstanz bezieht die beiden Arztzeugnisse ausdrücklich in ihre Überlegungen ein und folgert, eine angemessene Behandlung in der Heimat sei medizinisch und finanziell möglich (Entscheid E. 4.3.2). Der Umstand, dass die Sozialhilfeabhängigkeit seit März 2011 besteht (Entscheid E. 4.2.2) und sich damit (auch) als Folge der Untersuchungshaft darstellt, geht aus den Akten hervor und musste der Vorinstanz bewusst sein. Die Vorinstanz hat den rechtserheblichen Sachverhalt willkürfrei und damit für das Bundesgericht verbindlich festgestellt (<ref-law>).
2.2. In der Sache selbst stellt sich die Frage nach dem Weiterbestand des Anspruchs auf Familiennachzug (Art. 42 Abs. 1 AuG).
2.3. Der Bewilligungsanspruch besteht trotz Auflösens bzw. definitiven Scheiterns der Ehegemeinschaft fort, wenn diese mindestens drei Jahre gedauert und - kumulativ - die betroffene Person sich zudem erfolgreich integriert hat (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG; <ref-ruling> E. 2 S. 231; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 347; <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 119). Die Ehedauer - unter Berücksichtigung der Trennungszeit von ca. sieben Monaten - beträgt rund fünf Jahre. Die Vorinstanz erwägt, von einer erfolgreichen Integration könne keine Rede sein. Allem voran habe der Beschwerdeführer aufgrund schwerwiegender Verfehlungen eine Freiheitsstrafe von zwanzig Monaten verwirkt; obwohl arbeitsfähig, sei er trotz ausreichender Deutschkenntnisse (nur) zeitweilig arbeitstätig gewesen, und er führe selber aus, "hohe Schulden zu haben". Anders als der Beschwerdeführer meint, ist die Frage der Integration damit nicht offen geblieben, sondern verworfen worden.
Allein mit Blick auf die Straftatbestände erhellt, dass der Beschwerdeführer mehrfach tätlich wurde und mehrfach versuchte, jemanden durch schwere Drohung in Schrecken oder Angst zu versetzen. Vor allem aber hat er durch das Verursachen einer Feuersbrunst eine ganz erhebliche Gefahr für Leib und Leben geschaffen - auch jenes der ausgerückten, das Feuer mit Atemschutzgeräten bekämpfenden Feuerwehrleute -, nachdem er zuvor mutwillig den Hausrat seiner Ehefrau unbrauchbar gemacht hatte. Dass das Bezirksgericht das Verschulden als leicht eingestuft haben soll, wie der Beschwerdeführer vorbringt, erscheint angesichts der Tatmehrheit und mit Blick auf die ausgesprochene Freiheitsstrafe und Busse als wenig wahrscheinlich. Ob der Beschwerdeführer "hauptsächlich sich selber schaden wollte" und "durch selbstzerstörerisches Verhalten" eine "Verzweiflungstat", "eine Art Suizid" begangen haben könnte, bedarf vor diesem Hintergrund keiner näheren Prüfung. Bundesrechtskonform hat die Vorinstanz eine erfolgreiche Integration verneint.
2.4. Ein nachehelicher Härtefall im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG setzt wichtige persönliche Gründe voraus, die einen weiteren Aufenthalt der ausländischen Person in der Schweiz erforderlich machen. Entscheidend ist, ob die persönliche, berufliche und familiäre Eingliederung der betroffenen ausländischen Person bei einer Rückkehr in ihre Heimat als stark gefährdet zu gelten hätte, und nicht, ob ein Leben in der Schweiz einfacher wäre und vorgezogen würde (<ref-ruling> E. 6 S. 403; <ref-ruling> E. 3.1 S. 231 f.). Ein persönlicher, nachehelicher Härtefall setzt aufgrund der gesamten Umstände eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben voraus, die mit der Lebenssituation nach dem Dahinfallen der abgeleiteten Anwesenheitsberechtigung verbunden sein muss (<ref-ruling> E. 6 S. 403; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350).
2.5. Der Beschwerdeführer macht geltend, sein angeschlagener Gesundheitszustand stehe in engem Zusammenhang zur früheren Ehegemeinschaft. Die Leberzirrhose, die chronischen Rückenbeschwerden, die Ein- und Durchschlafstörungen und die damit einhergehenden Depressionen hätten vor Auftreten der ehelichen Unstimmigkeiten und der strafrechtlichen Verurteilung nicht bestanden. Dem Beschwerdeführer ist entgegenzuhalten, dass er an anderer Stelle ausführt, die Straftat vom 10. Februar 2011 unter dem Eindruck zunehmenden Alkoholkonsums und dadurch hervorgerufener psychischer Empfindlichkeit und Labilität verübt zu haben. Selbst wenn seine Leiden ehebedingt wären, ergäbe sich daraus aber noch kein nachehelicher Härtefall. Zumindest im Fall der Leberzirrhose und der chronischen Rückenschmerzen kann zudem als notorisch gelten, dass solche Krankheiten über lange Zeit entstehen. Willkürfrei und für das Bundesgericht verbindlich ist die Vorinstanz in der Folge davon ausgegangen, dass die Behandlung der Krankheiten in der Türkei medizinisch und finanziell möglich sei. Die übrigen Argumente wie die höhere Arbeitslosigkeit oder das tiefere Lohnniveau in der Türkei stellen keinen wichtigen Grund dar. Ein Härtefall im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG ist nicht ersichtlich.
2.6. Ebenso zutreffend erwägt die Vorinstanz, selbst wenn von der Fortdauer eines Rechtsanspruchs auf eine Aufenthaltsbewilligung auszugehen wäre, müsste es mit Blick auf die verwirkte Freiheitsstrafe von zwanzig Monaten zum Widerruf der Bewilligung kommen ("längerfristige Freiheitsstrafe" gemäss Art. 62 lit. b AuG). Ihrer Verhältnismässigkeitsprüfung (<ref-law>, konkretisiert durch Art. 96 AuG) unterlegt die Vorinstanz die praxisgemäss relevanten Gesichtspunkte. Das öffentliche Interesse an Fernhaltung bzw. Wegweisung des Beschwerdeführers gewichtet fraglos stärker als das verständliche Interesse des Beschwerdeführers am Verbleib in der Schweiz. Der Delinquenz, den Schulden, der gegenwärtigen (und mutmasslich andauernden) Sozialhilfeabhängigkeit, insgesamt der fehlenden Integration steht die Tatsache gegenüber, dass der Beschwerdeführer erst im Alter von 27 Jahren in die Schweiz gelangt ist, hier nicht allzu lange Zeit zugebracht und keine Verwandtschaft hat, während seine Familie in der Türkei wohnt. Ein baldiger, erfolgreicher Wiedereinstieg in das gesellschaftliche und berufliche Leben in der Heimat wird dadurch spürbar begünstigt. Aus Konventionsrecht, das im Übrigen nicht angerufen wird, ergäbe sich nichts Anderes (Art. 8 Ziff. 2 EMRK).
3.
3.1. Bundes- (<ref-law>) und Völkerrecht (<ref-law>) werden durch den angefochtenen Entscheid nicht verletzt. Die Beschwerde ist als unbegründet und abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
3.2. Bei diesem Ausgang sind dem Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Er stellt ein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung). Nachdem er sich durch einen Nichtanwalt vertreten lässt, muss das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Verbeiständung von vornherein abgewiesen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7.4.1 S. 4; <ref-ruling> E. 5.1.4 S. 205 f.). Die unentgeltliche Prozessführung setzt gemäss <ref-law> nebst der Bedürftigkeit der ersuchenden Person (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223) die fehlende Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens voraus (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218; zum Ganzen Urteil 2C_545/2012 vom 22. Februar 2013 E. 4.3). Die Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheides war angesichts der eindeutigen Praxis des Bundesgerichts und des EGMR aussichtslos. Schon die Vorinstanz hat das Gesuch infolge Aussichtslosigkeit abgewiesen. Den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist mit einer reduzierten Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen.
3.3. Dem Kanton Zürich steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher