Faits:
Faits:
A. A.a C._, née le 26 octobre 1946, a travaillé en qualité d'aide-soignante au service de la Résidence X._, établissement médical pour personnes âgées. A ce titre, elle était assurée auprès de la Bernoise Assurances pour les accidents professionnels et non professionnels.
Le 23 décembre 1996, C._ a ressenti un craquement à l'épaule en retenant avec le bras droit un pensionnaire qui résidait dans le home médicalisé ci-dessus, lequel avait eu un malaise et allait tomber. Victime d'une rupture du biceps droit, elle a présenté une incapacité totale de travail. Le docteur H._, médecin-chef du Service de chirurgie orthopédique du Département de chirurgie de Y._, a posé le diagnostic de rupture de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite. Le 14 mars 1997, la patiente a subi une acromioplastie et suture de la coiffe des rotateurs à droite. Le 20 mai 1998, les médecins de l'Hôpital Z._ ont procédé à une réinsertion du muscle sus-épineux. La Bernoise Assurances a pris en charge le cas de C._.
A.b Le 15 avril 1998, C._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 8 juillet 1998, le docteur B._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie, a constaté que l'évolution se révélait défavorable, avec des douleurs importantes, contrastant avec un status objectif conforme après une intervention telle que la réinsertion du muscle sus-épineux. Il proposait que soit mise en oeuvre une expertise médicale.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a confié une expertise au professeur G._, médecin-chef du Service de rhumatologie, médecine physique et réhabilitation du Centre hospitalier W._. Dans un rapport du 15 janvier 1999, l'expert a posé les diagnostics de brachialgies droites d'origine fonctionnelle et de status après rupture du long chef du biceps et lésion de la coiffe des rotateurs. Il indiquait que pour les activités lucratives comme aide-soignante, employée de maison, la capacité de travail de l'assurée pouvait être considérée comme étant égale à 75 %.
Le 31 mars 1999, l'office AI a communiqué à C._ un prononcé l'avisant qu'elle présentait une capacité de travail de 75 % dans son activité professionnelle habituelle et qu'il en résultait une diminution de 25 % de sa capacité de gain correspondante, taux qui ne donnait pas droit à une rente d'invalidité.
C._ a contesté le prononcé de l'office AI. Elle produisait copie d'une expertise du 12 mai 1999 de la doctoresse F._, spécialiste FMH en médecine interne au sein du Département de médecine psychosomatique de l'Hôpital V._, effectuée pour le compte de la Bernoise Assurances, dans laquelle ce médecin indiquait que la patiente n'était actuellement pas capable de travailler. L'assurée produisait également copie d'un rapport du 21 mai 1999 du docteur E._, spécialiste FMH en rhumatologie, qui avait été adressé par ce médecin à la Bernoise Assurances et dans lequel celui-ci partageait l'avis de la doctoresse F._.
Par décision du 5 juillet 1999, l'office AI a rejeté la demande. Sur recours de C._ contre cette décision, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, par jugement du 23 mai 2000, a annulé celle-ci et renvoyé la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision selon les considérants. Il a considéré qu'une expertise médicale était nécessaire pour déterminer si et dans quelle mesure le trouble psychique présenté par l'assurée avait valeur de maladie, en d'autres termes si l'on pouvait raisonnablement exiger de sa part qu'elle surmonte son handicap et reprenne le travail, dans son activité antérieure ou une autre activité adaptée.
A la suite du jugement du Tribunal administratif du 23 mai 2000, l'office AI a repris l'instruction de la demande de prestations du 15 avril 1998. Il a chargé le docteur N._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie et médecin-adjoint du Centre psycho-social T._, de procéder à une expertise psychiatrique. Dans un rapport du 6 novembre 2000, l'expert a retenu un trouble somatoforme. Il indiquait que l'atteinte à la santé de l'assurée semblait correspondre à une incapacité de travail à 50 %.
Dans un projet de décision du 8 décembre 2000, l'office AI a informé C._ qu'elle présentait un trouble somatoforme, à l'exclusion de toute autre affection psychique ou psychiatrique, et que ce diagnostic ne permettait pas de retenir une incapacité de travail significative au sens de la loi. Par décision du 29 décembre 2000, il a rejeté la demande.
A.c Le 21 mai 2001, C._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité.
Dans un projet de décision du 1er février 2002, l'office AI a avisé C._ qu'il n'entrerait pas en matière sur sa nouvelle demande.
Par lettre du 12 mars 2002, le docteur R._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant de l'assurée, a invité l'office AI à reconsidérer sa position, compte tenu d'une aggravation de l'état de santé de la patiente depuis l'automne 2001. Il déposait copie d'un rapport du 30 janvier 2002 du docteur L._, spécialiste FMH en anesthésiologie et médecin-chef du Service d'anesthésiologie-antalgie de la Consultation de la douleur de l'hôpital U._, et d'un rapport du 21 février 2002 du docteur D._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, qui concluait à une incapacité totale de travail.
Par décision du 28 mars 2002, l'office AI a refusé d'entrer en matière sur la demande du 21 mai 2001.
Par décision du 28 mars 2002, l'office AI a refusé d'entrer en matière sur la demande du 21 mai 2001.
B. C._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci et au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il procède à une instruction complémentaire en mettant en oeuvre une expertise médicale par un spécialiste de l'épaule et qu'il statue à nouveau en lui allouant une rente d'invalidité.
Par jugement du 16 juin 2004, le Tribunal administratif a rejeté le recours, dans la mesure où il était recevable.
Par jugement du 16 juin 2004, le Tribunal administratif a rejeté le recours, dans la mesure où il était recevable.
C. C._ interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celui-ci et de la décision administrative litigieuse du 28 mars 2002 et au renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Elle demande à bénéficier de l'assistance judiciaire gratuite.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales n'a pas déposé d'observations.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. La contestation concerne le refus par l'intimé d'entrer en matière sur la demande de prestations présentée par la recourante le 21 mai 2001. Le litige porte sur le point de savoir si la demande de prestations satisfaisait aux exigences posées quant au caractère plausible d'une modification déterminante des faits (art. 87 al. 3 et 4 RAI), ce que les premiers juges ont nié dans le jugement attaqué. La recourante fait valoir qu'elle a apporté suffisamment d'indices concrets devant conduire l'assurance-invalidité à procéder à un nouvel examen du dossier.
1. La contestation concerne le refus par l'intimé d'entrer en matière sur la demande de prestations présentée par la recourante le 21 mai 2001. Le litige porte sur le point de savoir si la demande de prestations satisfaisait aux exigences posées quant au caractère plausible d'une modification déterminante des faits (art. 87 al. 3 et 4 RAI), ce que les premiers juges ont nié dans le jugement attaqué. La recourante fait valoir qu'elle a apporté suffisamment d'indices concrets devant conduire l'assurance-invalidité à procéder à un nouvel examen du dossier.
2. Lorsque la rente ou l'allocation pour impotent a été refusée parce que le degré d'invalidité était insuffisant ou parce qu'il n'y avait pas d'impotence, la nouvelle demande ne peut être examinée que si l'assuré rend plausible que son invalidité ou son impotence s'est modifiée de manière à influencer ses droits (art. 87 al. 3 et 4 RAI). Cette exigence doit permettre à l'administration qui a précédemment rendu une décision de refus de prestations entrée en force, d'écarter sans plus ample examen de nouvelles demandes dans lesquelles l'assuré se borne à répéter les mêmes arguments, sans alléguer une modification des faits déterminants (<ref-ruling> consid. 5.2.3, 117 V 200 consid. 4b et les références).
2. Lorsque la rente ou l'allocation pour impotent a été refusée parce que le degré d'invalidité était insuffisant ou parce qu'il n'y avait pas d'impotence, la nouvelle demande ne peut être examinée que si l'assuré rend plausible que son invalidité ou son impotence s'est modifiée de manière à influencer ses droits (art. 87 al. 3 et 4 RAI). Cette exigence doit permettre à l'administration qui a précédemment rendu une décision de refus de prestations entrée en force, d'écarter sans plus ample examen de nouvelles demandes dans lesquelles l'assuré se borne à répéter les mêmes arguments, sans alléguer une modification des faits déterminants (<ref-ruling> consid. 5.2.3, 117 V 200 consid. 4b et les références).
3. 3.1 Lors de l'appréciation du caractère plausible d'une modification déterminante des faits influant sur le droit aux prestations, on compare les faits tels qu'ils se présentaient au moment de la décision administrative litigieuse et les circonstances prévalant à l'époque de la dernière décision d'octroi ou de refus des prestations (<ref-ruling> consid. 2, et 77 consid. 3.2.3 relatif à l'étendue de l'analogie entre la révision de la rente et la nouvelle demande par rapport aux bases de comparaison dans le temps).
Dans le cas particulier, il convient de comparer les faits tels qu'ils se présentaient au moment de la décision du 28 mars 2002 par laquelle l'intimé a refusé d'entrer en matière sur la demande du 21 mai 2001 et les circonstances existant à l'époque de la décision du 29 décembre 2000 par laquelle l'intimé a rejeté la demande de prestations du 15 avril 1998.
3.2 L'exigence sur le caractère plausible de la nouvelle demande selon l'<ref-law> ne renvoie pas à la notion de vraisemblance prépondérante usuelle en droit des assurances sociales. Les exigences de preuves sont, au contraire, sensiblement réduites en ce sens que la conviction de l'autorité administrative n'a pas besoin d'être fondée sur la preuve pleinement rapportée qu'une modification déterminante est survenue depuis le moment auquel la décision refusant les prestations a été rendue. Des indices d'une telle modification suffisent lors même que la possibilité subsiste qu'une instruction plus poussée ne permettra pas de l'établir (Damien Vallat, La nouvelle demande de prestations AI et les autres voies permettant la modification de décisions en force, RSAS 2003, p. 396 ch. 5.1 et la référence sous note n° 27).
3.3 La recourante a présenté sa nouvelle demande le 21 mai 2001, soit près de cinq mois après la décision du 29 décembre 2000 rejetant la demande de prestations du 15 avril 1998. L'intimé était donc en droit de se montrer d'autant plus exigeant pour apprécier le caractère plausible de ses allégations que le laps de temps qui s'était écoulé depuis sa décision antérieure était bref (<ref-ruling> consid. 2b; voir aussi <ref-ruling> consid. 6.2).
3.3 La recourante a présenté sa nouvelle demande le 21 mai 2001, soit près de cinq mois après la décision du 29 décembre 2000 rejetant la demande de prestations du 15 avril 1998. L'intimé était donc en droit de se montrer d'autant plus exigeant pour apprécier le caractère plausible de ses allégations que le laps de temps qui s'était écoulé depuis sa décision antérieure était bref (<ref-ruling> consid. 2b; voir aussi <ref-ruling> consid. 6.2).
3.4 3.4.1 A la suite du projet de décision du 1er février 2002, qui avisait la recourante que l'intimé n'entrerait pas en matière sur sa nouvelle demande, le docteur R._, par lettre du 12 mars 2002, a invité l'office AI à reconsidérer sa position. Il faisait état d'une aggravation de l'état de santé de sa patiente depuis l'automne 2001. Produisant copie des rapports du docteur L._ du 30 janvier 2002 et du docteur D._ du 21 février 2002, il indiquait que les conclusions du docteur D._ étaient qu'actuellement la patiente était dans l'incapacité totale de travailler, et que vraisemblablement elle le resterait quels que soient les traitements envisagés. De l'avis du docteur R._, la recourante était incapable de travailler à 100 % pour une durée indéterminée.
La lettre du docteur R._ du 12 mars 2002 ne répond pas à toutes les exigences de preuve posées par l'<ref-law> dans le sens de ce qui a été exposé au consid. 3.2 ci-dessus. Il s'agit d'un compte rendu sur l'état de santé actuel de la patiente, fondé sur les constatations effectuées par le docteur D._ dans son rapport du 21 février 2002. Les considérations médicales du médecin traitant portent essentiellement sur l'incapacité de travail de la recourante. Ainsi que le relèvent avec raison les premiers juges, le docteur R._ n'explique pas en quoi il y aurait eu aggravation de l'état de santé depuis l'automne 2001 par rapport à l'examen du professeur G._ dans son expertise du 15 janvier 1999 et à l'examen du docteur N._ dans son expertise du 6 novembre 2000.
3.4.2 Dans son rapport du 30 janvier 2002, le docteur L._ indique que la patiente s'est présentée chez lui le 30 novembre 2001 de sa propre initiative avec un syndrome douloureux huméro-scapulaire droit. Après avoir exposé les problèmes de santé de l'assurée et le status au 30 novembre 2001, il a relevé sous la rubrique consacrée à l'appréciation et aux gestes diagnostiques que la patiente, comme le décrit l'évaluation psychosomatique, se focalisait sur ces douleurs et qu'elle était convaincue d'être la victime d'une « erreur médicale ». Le docteur L._, spécialiste en anesthésiologie et médecin à la Consultation de la douleur de l'hôpital U._, ne pense pas que les douleurs de la patiente « proviennent du psychisme » comme cela lui aurait été dit à plusieurs reprises. Il avoue qu'il n'arrive pas à cerner clairement l'étiologie du syndrome algique.
De son côté, le docteur D._, dans son rapport du 21 février 2002, indique que la patiente s'était présentée pour un consilium le 20 février 2002 à sa consultation. A son avis, il est possible que, malgré les observations des IRM de juin 1999 et décembre 2000, il y ait encore actuellement un état de rupture de la coiffe. Sur la base de son examen clinique, il partage l'opinion du professeur G._ qui conclut qu'il n'y a vraisemblablement pas de capsulite rétractile. En revanche, le docteur D._ pense que la coiffe des rotateurs n'est pas fonctionnelle. Les douleurs paraissent réelles. Selon lui, la description d'une tendinopathie au niveau de la coiffe des rotateurs sur l'IRM correspond peut-être à un tissu inflammatoire résiduel qui n'a pas cédé aux différents traitements chirurgicaux proposés. Il est clair aussi que la douleur est ressentie de manière très vive et que la limitation fonctionnelle correspond en partie à une réaction spastique, antalgique. Dans les différents avis donnés, il retient en particulier celui du docteur M._, qui relève « une constellation symptomatique qui va dans le sens d'un conflit sous-acromial avec un syndrome neuro-méningé ». Un traitement test de mobilisation est proposé. Le docteur D._ n'a pas réussi à savoir s'il avait été suivi de manière régulière. Ces propositions datent d'un an et pour sa part, il ferait les mêmes propositions. Si l'on ne renverse pas le cercle vicieux algique, ce praticien, spécialiste en chirurgie orthopédique, ne pense pas que l'on arrivera à enrayer cette évolution fonctionnellement catastrophique, qu'elle soit sur une base somatique pure ou psychosomatique. Dans tous les cas pour l'instant, la recourante apparaît dans l'incapacité totale de travailler. Son handicap l'empêche même d'effectuer de nombreuses tâches dans son ménage.
Que ce soit le docteur L._ dans son rapport du 30 janvier 2002 ou le docteur D._ dans son rapport du 21 février 2002, aucun de ces spécialistes ne rendent plausible une modification déterminante des faits (art. 87 al. 3 et 4 RAI) par rapport à l'examen du professeur G._ dans son expertise du 15 janvier 1999 et à l'examen du docteur N._ dans son expertise du 6 novembre 2000. A juste titre, les premiers juges relèvent que la déclaration du docteur D._, selon laquelle la patiente est pour l'instant dans l'incapacité totale de travailler, ne suffit pas à elle seule à rendre plausible une possible aggravation de l'état de santé de la recourante depuis la décision du 29 décembre 2000 de rejet de la demande, qui a acquis force de chose décidée. L'ensemble des faits évoqués par les docteurs L._ et D._ ne sont pas suffisants pour admettre que la recourante a rendu plausible une modification susceptible d'influer sur le droit aux prestations.
Que ce soit le docteur L._ dans son rapport du 30 janvier 2002 ou le docteur D._ dans son rapport du 21 février 2002, aucun de ces spécialistes ne rendent plausible une modification déterminante des faits (art. 87 al. 3 et 4 RAI) par rapport à l'examen du professeur G._ dans son expertise du 15 janvier 1999 et à l'examen du docteur N._ dans son expertise du 6 novembre 2000. A juste titre, les premiers juges relèvent que la déclaration du docteur D._, selon laquelle la patiente est pour l'instant dans l'incapacité totale de travailler, ne suffit pas à elle seule à rendre plausible une possible aggravation de l'état de santé de la recourante depuis la décision du 29 décembre 2000 de rejet de la demande, qui a acquis force de chose décidée. L'ensemble des faits évoqués par les docteurs L._ et D._ ne sont pas suffisants pour admettre que la recourante a rendu plausible une modification susceptible d'influer sur le droit aux prestations.
4. La procédure est gratuite (art. 134 OJ). La recourante, qui succombe, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 159 al. 1 en corrélation avec l'art. 135 OJ). Représentée par un avocat, elle demande à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite.
4.1 Selon la loi (art. 152 OJ) et la jurisprudence, les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite sont en principe remplies si les conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec, si le requérant est dans le besoin et si l'assistance d'un avocat est nécessaire ou du moins indiquée (<ref-ruling> consid. 4a, 372 consid. 5b et les références).
4.2 Une partie est dans le besoin, au sens de l'art. 152 al. 1 OJ, lorsqu'elle n'est pas en état de supporter les frais de procédure sans entamer les moyens nécessaires à son entretien et à celui de sa famille (<ref-ruling> consid. 2.5.1, 127 I 205 consid. 3b, 125 IV 164 consid. 4a). Sont déterminantes les circonstances économiques existant au moment de la décision sur la requête d'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 4). Lorsque la partie qui demande l'assistance judiciaire est mariée il faut, pour apprécier si elle est dans le besoin, prendre en considération également les ressources de son conjoint (<ref-ruling> consid. 3a, 108 Ia 10 consid. 3, 103 Ia 101 et les références).
4.2.1 Selon la jurisprudence, les pièces à l'appui d'une demande d'assistance judiciaire doivent renseigner sur les revenus, la fortune, les charges financières complètes et les besoins élémentaires actuels du requérant. S'il ne fournit pas ces données, la demande doit être rejetée (<ref-ruling>).
4.2.2 La requérante n'a pas retourné le questionnaire d'assistance judiciaire que la Cour de céans, par lettre du 18 août 2004, l'avait invitée à remplir et à soumettre pour attestation à l'autorité de sa commune de domicile.
Toutefois, la requérante, qui a bénéficié de l'assistance judiciaire totale gratuite devant la juridiction cantonale, reprend dans son mémoire de recours du 17 août 2004 les chiffres indiqués dans la formule cantonale de requête d'assistance judiciaire du 26 avril 2002. Il en ressort que le couple C._ disposait de 2'333 fr. par mois de revenus à titre de rentes (2'249 fr. de rente AI du mari, assortie d'une rente complémentaire pour son épouse; 84 fr. de rente versée à l'assurée par la Winterthur, soit 1'009 fr. par année). La fortune des époux C._ s'élevait au 31 décembre 2001 à 7'525 fr. 45, consistant dans des avoirs en banque. Déduction faite du montant de leur loyer par 680 fr. par mois, des cotisations mensuelles d'assurance-maladie et accident de 98 fr. 95 pour chacun des conjoints et des impôts s'élevant à 238 fr. en moyenne par mois, leurs revenus ne suffisaient pas à couvrir le minimum vital de 1'550 fr. (cf. Lignes directrices pour le calcul du minimum d'existence en matière de poursuite [minimum vital] selon l'<ref-law> du 24 novembre 2000, établies par la Conférence des préposés aux offices des poursuites et des faillites de Suisse, BlSchK 2001/2002, p. 19).
Sur le vu des affirmations de la requérante dans son mémoire de recours du 17 août 2004, on peut admettre que la situation financière des époux C._ ne s'est pas modifiée entre-temps.
4.3 En l'état du dossier, on peut admettre que la recourante remplit les conditions de l'assistance judiciaire gratuite (art. 152 al. 1 et 2 en corrélation avec l'art. 135 OJ; <ref-ruling> consid. 4a, 372 consid. 5b et les références). L'attention de la recourante est cependant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle devient ultérieurement en mesure de le faire (art. 152 al. 3 OJ; SVR 1999 IV n° 6 p. 15).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) de Me Blaise Péquignot, avocat à Neuchâtel, sont fixés à 1'500 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du Tribunal.
3. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) de Me Blaise Péquignot, avocat à Neuchâtel, sont fixés à 1'500 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du Tribunal.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 octobre 2005
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre: Le Greffier: