Sachverhalt:
A. In der gegen X._ für eine Forderung der Y._ über Fr. 500.-- angehobenen Betreibung Nr. aaa pfändete das Betreibungsamt Zürich 1 am 21. Juni 2006 den Liquidationsanteil des Schuldners am unverteilten väterlichen Nachlass ein weiteres Mal. Die Pfändungsurkunde Nr. bbb wurde am 28. August 2006 ausgestellt. Sie führt als Nachlassvermögen ein Bauernhaus in B._ an, welches von der Mutter des Schuldners bewohnt und verwaltet werde. Das behördliche Erbteilungsverfahren über den am 22. Mai 2001 in der Betreibung Nr. ccc bereits gepfändeten Liquidationsanteil ist noch hängig.
B. X._ gelangte gegen die erneute Pfändung seines Erbanteils an das Bezirksgericht Zürich als untere kantonale Aufsichtsbehörde über Betreibungsämter. Er machte geltend, dass seine Mutter nach dem Tode des Erblassers alle Aktiven und Passiven des Nachlasses übernommen habe und ihm demzufolge kein Anteil daran mehr zustehe. Seine Beschwerde wurde am 10. Oktober 2006 abgewiesen. Die untere Aufsichtsbehörde liess dabei offen, ob die Beschwerde überhaupt rechtzeitig eingereicht worden war. Das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen wies die von X._ dagegen erhobene Beschwerde mit Beschluss vom 18. Januar 2007 ab, soweit darauf einzutreten war.
C. Mit Eingabe vom 8. Februar 2007 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses. Zudem stellt er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 1. März 2007 erkannte das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung in dem Sinne zu, dass während des bundesgerichtlichen Verfahrens keine Verwertung erfolgen dürfe.
In der Sache sind keine Antworten eingeholt worden.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der angefochtene Beschluss ist nach Inkrafttreten des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ergangen, weshalb das neue Recht anzuwenden ist (<ref-law>).
1.2 Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen, welche in diesem Bereich an die Stelle der Beschwerde in Betreibungssachen tritt (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen (<ref-law>). Beschwerdeentscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden über Verfügungen des Betreibungs- und Konkursamtes gemäss <ref-law> sind Endentscheide im Sinne von <ref-law>, zumal diese Verfügungen im laufenden Vollstreckungsverfahren grundsätzlich nicht mehr in Frage gestellt werden können. Der Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze anfechtbar (<ref-law>). Der fristgerecht erhobene "Rekurs" ist demnach als Beschwerde in Zivilsachen entgegen zu nehmen (<ref-law>).
1.3 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
Auf die Vorbringen des Beschwerdeführers ist nur soweit einzutreten, als sie den Begründungsanforderungen genügen. Die Beschwerde nach <ref-law> hat nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Auch Verfassungsrügen sind in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>).
2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vorab die Verletzung seines rechtlichen Gehörs (<ref-law>) vor, da er sich zu dessen Abklärungen im Hinblick auf die Fristwahrung der Beschwerde an das Bezirksgericht nicht habe äussern können.
2.1 Das rechtliche Gehör dient einerseits der Klärung des Sachverhaltes, anderseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines ihn belastenden Entscheides zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis äussern zu können, wenn dieses geeignet ist, den Ausgang des Verfahrens zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2b S. 56).
2.2 Die Vorinstanz prüfte die Einhaltung der Beschwerdefrist gegenüber der ersten Instanz, welche diese Frage offen gelassen und sich in ihrem Beschluss zur Pfändbarkeit des Liquidationsanteils geäussert hatte. Aufgrund ihrer Nachforschungen (Track und Trace) stellte sie fest, dass die angefochtene Pfändungsurkunde vom Beschwerdeführer am 5. September 2006 abgeholt worden war. Die 10-tägige Beschwerdefrist (<ref-law>) sei am 15. September 2006 (Freitag) abgelaufen, womit die am 17. September 2006 erhobene Beschwerde verspätet erfolgt sei, so dass darauf nicht einzutreten gewesen wäre.
2.3 Der Beschwerdeführer stellt zu Recht nicht in Frage, dass die obere Aufsichtsbehörde die Einhaltung der Beschwerdefrist prüfte. Hingegen hätte er sich zum Ergebnis der Abklärungen äussern wollen. Gegenstand der Abklärungen war, ob die Pfändungsurkunde am 5. September 2005 versandt oder vom Beschwerdeführer entgegengenommen wurde. Das Ergebnis bestand ausschliesslich darin, das Datum zu klären, an welchem der Beschwerdeführer die Pfändungsurkunde abgeholt hatte. Dieser Umstand muss ihm allerdings bekannt gewesen sein, so dass kein rechtlich geschütztes Interesse (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 287) erkennbar ist, weshalb er sich dazu hätte äussern müssen.
3. Im Sinne eines Eventualstandpunktes macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht hätte prüfen müssen, ob die angefochtene Pfändung nichtig sei. Entgegen seiner Behauptung prüfte das Obergericht diese Frage sehr wohl, so dass von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs nicht die Rede sein kann. Es verwies im Wesentlichen auf die erstmals im Jahre 2001 erfolgte Pfändung des Liquidationsanteils, welche bereits damals Gegenstand eines Beschwerdeverfahrens bis vor Bundesgericht gewesen sei. Zwar werde eine Pfändung immer nur für die laufende und nicht für spätere Betreibungen rechtskräftig, indes könne das Ergebnis eines Rechtsmittelverfahrens, insbesondere der Entscheid des Bundesgerichts, gleich wie ein Präjudiz mit identischem Sachverhalt berücksichtigt werden.
3.1 Als nichtig gelten Verfügungen der Betreibungsbehörden, die Vorschriften verletzen, welche im öffentlichen Interesse oder im Interesse von nicht am Verfahren beteiligten Personen erlassen worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 239). Ob eine Verfügung nichtig ist, kann und muss von den kantonalen Aufsichtsbehörden jederzeit festgestellt werden (<ref-ruling> E. 2c S. 119; <ref-ruling> E. 2 S. 144). Das Bundesgericht kann die Nichtigkeit einer Verfügung einzig im Rahmen des bei ihm hängigen Beschwerdefalles prüfen. Hingegen kommt ihm hier keine aufsichtsrechtliche Kompetenz mehr zu (vgl. Botschaft zum BGG, Ziff. 4.1.8, 4. Abschnitt, BBl 2001 S. 4357). Vorliegend wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, die Nichtigkeit der Pfändung verkannt zu haben.
3.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, seine Mutter sei Eigentümerin der gepfändeten Liegenschaft, allenfalls stehe ihr ein Wohnrecht und eine Nutzniessung daran zu. Eine Pfändung sei daher rechtlich unmöglich und die Pfändungsurkunde vom 28. August 2006 infolgedessen nichtig. Hierzu ist vorab zu bemerken, dass in der Betreibung Nr. aaa nicht eine bestimmte Liegenschaft gepfändet worden ist, sondern der Liquidationsanteil des Beschwerdeführers am Nachlass seines Vaters. Die Pfändung des Anteilsrechts kann sich nur auf den ihm bei der Liquidation der Gemeinschaft zufallenden Liquidationsanteil erstrecken, und zwar auch dann, wenn das gemeinschaftliche Vermögen aus einem einzigen Gegenstand besteht (Art. 1 der Verordnung des Bundesgerichts über die Pfändung und Verwertung von Anteilen an Gemeinschaftsvermögen [VVAG, SR 281.41]; <ref-ruling> E. 4 S. 26; <ref-ruling> E. 3b S. 508). Vorliegend hat zwar das Betreibungsamt - entgegen <ref-law> - in der Pfändungsurkunde das Gemeinschaftsvermögen einzeln erwähnt ("Beschrieb des Nachlassvermögens: Liquidationsanteil am EFH, Bauernhaus, [...]. Das Haus wird zur Zeit von der Mutter und vom Schuldner bewohnt und verwaltet."). Ein Eingreifen von Amtes wegen (<ref-ruling> E. 4 S. 26) ist nicht gerechtfertigt, da im konkreten Fall über den Gegenstand der Pfändung - der Liquidationsanteil - kein Zweifel besteht. Welche dinglichen Rechte oder erbrechtlichen Ansprüche der Mutter und Miterbin des Beschwerdeführers zustehen, bildet Gegenstand der Liquidation der Gemeinschaft (<ref-law>). Damit ist auch die Frage, ob die sich in der Erbmasse befindende Liegenschaft eine Familienwohnung darstellt und welche Rechtsfolgen sich daraus für die Pfändung des Liquidationsanteils ergeben, vorliegend ohne Belang. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang geltend macht, dass er keine Ansprüche an der Liegenschaft habe, blendet er nicht nur den erwähnten Umstand aus, dass nicht eine bestimmte Liegenschaft, sondern sein Liquidationsanteil gepfändet worden ist; er macht zudem Ausführungen zum Sachverhalt, ohne darzutun, inwiefern das Obergericht offensichtlich unrichtige Feststellungen getroffen haben sollte (E. 1.3).
4. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht um Erlass seiner Schulden. Auf dieses Ansinnen kann nicht eingegangen werden, da einzig die Pfändungsurkunde vom 28. August 2006 Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet.
5. Nach dem Gesagten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Sie war von vornherein aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (<ref-law>). Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Kosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 600.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen und dem Betreibungsamt Zürich 1 schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. April 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: