Sachverhalt:
A.
Die Sunrise Communications SA will in der politischen Gemeinde Buchs auf dem Flachdach eines Mehrfamilienhauses auf der Parzelle Nr. 1568 eine Mobilfunkanlage erstellen. Das Grundstück liegt in der südöstlichen Ecke der Wohnzone W3. Südlich angrenzend befindet sich eine Wohnzone W2, östlich eine Wohn- und Gewerbezone WG3. Noch weiter östlich, auf der anderen Seite der Bahnlinie, liegt eine Bauzone, welche der Wohn- und Gewerbezone WG2 und der Wohnzone W2 zugeteilt ist. Die geplante Mobilfunkanlage besteht aus den drei UMTS-Antennen AU (Sendeleistung von 2'100 WERP ), BU (Sendeleistung von 1'800 WERP ) und CU (Sendeleistung von 600 WERP). Diese sollen auf drei Seiten des technischen Aufbaus des Gebäudes montiert werden.
Der Gemeinderat Buchs erteilte am 18. Mai 2009 die Baubewilligung. Darauf erhob A._, Eigentümer verschiedener Liegenschaften in der Nachbarschaft des Baugrundstücks, Rekurs ans Baudepartement des Kantons St. Gallen. Nachdem dieses beim Amt für Umwelt und Energie (AFU) des Kantons St. Gallen einen Amtsbericht (datierend vom 26. Oktober 2009) eingeholt und einen Augenschein durchgeführt hatte, wies es das Rechtsmittel ab, soweit es darauf eintrat. Eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen am 24. August 2010 gutgeheissen. Das Verwaltungsgericht hob den Entscheid des Baudepartements auf und wies dieses an, die Sache nach Vervollständigung der Sachverhaltsfeststellungen neu zu beurteilen.
Wieder mit der Sache befasst, holte das Baudepartement beim AFU einen weiteren Amtsbericht (datierend vom 14. Dezember 2010) ein und wies in der Folge den Rekurs mit Entscheid vom 16. Februar 2012 erneut ab. Dagegen erhob A._ wiederum Beschwerde ans Verwaltungsgericht. Dieses wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 24. Januar 2013 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 4. März 2013 beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Baubewilligung für die Antenne AU sei zu verweigern. Eventualiter sei die Bewilligung unter der Auflage bzw. Bedingung zu erteilen, dass die Mobilfunkanlage nicht zur Versorgung des Fürstentums Liechtenstein verwendet werden dürfe und Sendeleistung sowie Neigungswinkel der Antenne AU so weit zu reduzieren seien, dass damit im Wesentlichen nur die Wohnzone von Buchs versorgt werden könne. Subeventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung ans Verwaltungsgericht oder das Baudepartement zurückzuweisen.
Die politische Gemeinde Buchs hat Auszüge aus dem kommunalen Richtplan zu den Akten gegeben, auf eine Stellungnahme jedoch verzichtet. Das Verwaltungsgericht und das Baudepartement beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über die Baubewilligung für eine Mobilfunkanlage, welcher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist Eigentümer von Liegenschaften innerhalb des Perimeters, in dem die Strahlung noch 10 % des Anlagegrenzwerts beträgt. Er ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 169 ff. mit Hinweisen). Auf seine Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass die geplante Mobilfunkanlage die bundesrechtlichen Anforderungen gemäss der Verordnung vom 23. Dezember 1999 über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung (NISV; SR 814.710) einhält. Er ist jedoch der Ansicht, die Antenne AU sei nicht zonenkonform. Sie diene dazu, im Wesentlichen Nichtbauland und Gebiete des Fürstentums Liechtenstein zu versorgen. Damit fehle es ihr an der erforderlichen unmittelbaren funktionellen Beziehung zum Standort. Hinzu komme, dass die Vorinstanz den Sachverhalt unvollständig bzw. willkürlich festgestellt habe, da die Reichweite der Antenne nicht klar sei. Zwar habe das AFU in seinem Amtsbericht vom 14. Dezember 2010 eine entsprechende Tabelle vorgelegt. Diese weiche jedoch von den Unterlagen eines privaten Instituts, welche er selbst zu den Akten gegeben habe, erheblich ab. Zudem sei nicht ersichtlich, für welchen Antennentyp die Tabelle gelten solle, und auch, weshalb die Vorinstanz die Reichweitenwerte für den Vorstadtbereich und nicht für das freie Feld als massgeblich erachtet habe. Die Annahme, dass die Antenne AU auch Gebiete jenseits Landesgrenze abdecke, werde durch den Umstand gestützt, dass ihre Sendeleistung grösser sei als jene der Antennen BU und CU.
2.2. Das Verwaltungsgericht legt dar, die Antenne AU ermögliche eine Abdeckung des südlichen Baugebiets von Buchs mit qualitativ hochstehenden Mobilfunkdiensten. Auch die locker überbaute Rheinebene und Gebiete des Fürstentums Liechtenstein lägen im Sendebereich. So sei anzunehmen, dass jenseits der Landesgrenze ausserhalb von Gebäuden unter Umständen ein Telefongespräch geführt werden könne. Eine Versorgung mit UMTS-Diensten innerhalb von Gebäuden sei aber auszuschliessen. Hinsichtlich der Reichweite der Antenne beruft sich das Verwaltungsgericht auf die Angaben des AFU im Amtsbericht vom 14. Dezember 2010. Danach hat die Sendeleistung einer UMTS-Antenne im Gegensatz zu einer GSM-Antenne keinen Einfluss auf die Grösse des zu versorgenden Gebiets. Die Reichweite eines Sektors werde vielmehr durch den Pilotkanal bestimmt. Die Sendeleistung sei für die Kapazität und Qualität entscheidend, nicht für die flächenmässige Abdeckung. Die im Bericht des AFU aufgeführte Tabelle erachtet das Verwaltungsgericht als hinreichend. Es weist darauf hin, dass die Grösse des versorgten Gebiets ohnehin vorab von der Beanspruchung durch die Benutzer abhänge, indem einige wenige Nutzer mit hoher Datenübertragungsrate die Kapazität ausschöpfen könnten, sodass es für zusätzliche Nutzer zu Engpässen komme. Zu den vom Beschwerdeführer vorgelegten Angaben eines privaten Instituts über die Reichweite von Mobilfunksendern schreibt das Verwaltungsgericht, diese würden sich auf die rein funktechnische Reichweite beziehen; ob und unter welchen Voraussetzungen, insbesondere bei welcher Leistung des Pilotkanals, sie auch für Antennen des fraglichen Typs gelten würden, sei daraus nicht ersichtlich. Auch der Einwand, die im Vergleich zu den Antennen BU und CU höhere Leistung könne nur damit erklärt werden, dass die Antenne AU ein grösseres Gebiet abdecken solle, sei nicht begründet. Bei den beiden erstgenannten Antennen sei eine Reduktion der Leistung erfolgt, um an Orten mit empfindlicher Nutzung die Anlagengrenzwerte einzuhalten, was bei der Antenne AU dagegen nicht notwendig gewesen sei.
Gestützt auf diese Feststellungen bejaht das Verwaltungsgericht die Zonenkonformität der Antenne AU. Diese sei von durchschnittlicher Dimensionierung und Leistungsfähigkeit und versorge primär ein relativ dicht überbautes Baugebiet. Freilich erfasse die Antenne mit reduzierter Qualität auch entferntere Gebiete, zumal eine klare Begrenzung elektromagnetischer Strahlen nicht möglich sei. Dies ändere aber nichts daran, dass sie eine unmittelbare funktionelle Beziehung zum Ort habe, an dem sie errichtet werden solle, und deshalb zonenkonform sei.
2.3. Infrastrukturbauten - zu denen auch Mobilfunkantennen gehören - sind in Bauzonen nicht generell und unabhängig von ihrem Verwendungszweck zulässig. Grundsätzlich ist es Sache des kantonalen (bzw. kommunalen) Rechts und der Nutzungsplanung festzulegen, in welchen Zonen welche Infrastrukturbauten und -anlagen zulässig sind (Art. 22 Abs. 2 lit. a und Art. 23 RPG [SR 700]). Aus dem fundamentalen raumplanerischen Grundsatz der Trennung von Bau- und Nichtbaugebiet ergibt sich immerhin, dass Anlagen zur Erschliessung oder Versorgung des Siedlungsgebiets grundsätzlich innerhalb und nicht ausserhalb der Bauzonen errichtet werden müssen. Daraus hat das Bundesgericht in <ref-ruling> abgeleitet, dass innerhalb der Bauzonen die zur Versorgung einer bestimmten Zone notwendigen Infrastrukturanlagen zonenkonform sind, soweit sie hinsichtlich Standort und Ausgestaltung in einer unmittelbaren funktionellen Beziehung zum Ort stehen, an dem sie errichtet werden sollen, und im Wesentlichen Bauzonenland abdecken (a.a.O., E. 4.3.1 S. 325). Die Zonenkonformität einer Infrastrukturbaute kann unter Umständen auch bejaht werden, wenn sie der Ausstattung der Bauzone als Ganzem und nicht nur speziell dem in Frage stehenden Bauzonenteil dient (a.a.O.; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 5.3 S. 178).
In der politischen Gemeinde Buchs gibt es keine besonderen Planungsmassnahmen (Negativ- oder Positivplanung) zur Festlegung von Mobilfunkantennenstandorten (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6 S. 180 ff. mit Hinweisen). Die Zonenkonformität der umstrittenen Antenne bestimmt sich deshalb nach den erwähnten allgemeinen Grundsätzen. Ihre Beurteilung durch das Verwaltungsgericht wird vom Bundesgericht nur auf Willkür hin überprüft, zumal es um eine Anlage innerhalb der Bauzone geht, welche dem kantonalen bzw. kommunalen Recht untersteht. Das Bundesrecht sieht in diesem Bereich insbesondere weder einen Bedürfnisnachweis noch eine Interessenabwägung vor (Urteil 1A.162/2004 vom 3. Mai 2005 E. 4 mit Hinweisen, in: URP 2005 S. 740).
2.4. Die umstrittene Antenne ist in der Ecke einer Wohnzone geplant. Die mit ihr bezweckte Abdeckung erfasst zunächst verschiedene, aneinander angrenzende Wohn- sowie Wohn- und Gewerbezonen. Dies gilt insbesondere auch für das jenseits der Bahngeleise gelegene Quartier. Im Anschluss an dieses Quartier, gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen in einer Entfernung von rund 450-660 m vom Antennenstandort, folgt das Nichtbaugebiet der Rheinebene. Auch wenn die Abdeckung dieses Gebiet ebenfalls erfasst und auch wenn sogar auf dem Territorium des Fürstentums Liechtenstein Telefonate möglich sein sollten, richtet sich die Antenne somit zunächst auf ein Baugebiet. Wie die Vorinstanz zu Recht anführt, ist die Antenne zudem in ihrer Dimension und Leistungsfähigkeit durchschnittlich. In diesem Sinne geht sie nicht über das hinaus, was zur üblichen Ausstattung einer Wohnzone mit Infrastrukturanlagen gehört (vgl. Urteil 1C_192/2010 vom 8. November 2010 Sachverhalt lit. A und E. 6.3). Aus diesen Gründen ist eine unmittelbare funktionelle Beziehung der Antenne zu ihrem Standort zu bejahen und hat das Verwaltungsgericht das Willkürverbot nicht verletzt, wenn es deren Zonenkonformität bestätigte. Dass die Strahlung der Anlage an der Zonengrenze halt macht bzw. nur gerade die Wohnzone abdeckt, ist physikalisch nicht möglich und kann nicht verlangt werden (<ref-ruling> E. 5.4 S. 179 mit Hinweis).
Auf die exakte Reichweite der Antenne kommt es bei dieser Betrachtungsweise nicht an. Was der Beschwerdeführer in dieser Hinsicht zur Kritik an den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz geltend macht, ist mithin nicht erheblich (<ref-law>). Lediglich der Vollständigkeit halber ist festzuhalten, dass im angefochtenen Entscheid nachvollziehbar dargelegt wird, weshalb sich die Sendeleistungen der drei Antennen AU, BU und CU unterscheiden und weshalb die tabellarischen Angaben des AFU, nicht aber jene, welche vom Beschwerdeführer eingereicht wurden, als zuverlässig anzusehen seien. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den betreffenden Ausführungen nicht auseinander (<ref-law>).
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Diesem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Er hat der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin eine dem Aufwand entsprechende Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der politischen Gemeinde Buchs SG, Gemeinderat, dem Baudepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen sowie dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold