Erwägungen:
1. Der nach eigenen Angaben aus Sierra Leone stammende X._ (geb. 1970) reiste am 17. Juni 2002 ohne Papiere illegal in die Schweiz ein. Auf das von ihm gleichentags gestellte Asylgesuch trat das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration) mit Verfügung vom 20. September 2002 nicht ein und wies den Gesuchsteller aus der Schweiz weg. Mit dem Vollzug der Wegweisung wurde der Kanton Bern beauftragt.
In den folgenden Jahren wurde X._ hier mehrmals straffällig und u.a. wegen Vergehen gegen das Betäubungsmittelgesetz wiederholt zu Gefängnisstrafen verurteilt. Seit dem 12. Januar 2005, dem Tag seiner Entlassung aus dem Strafvollzug, galt er als untergetaucht.
Gemäss einer im Jahre 2004 durchgeführten Sprachanalyse stammt X._ mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht aus Sierra Leone, sondern aus Nigeria.
Nachdem der Untergetauchte am 11. März 2008 um 04.15 Uhr in der Stadt Bern polizeilich angehalten worden war, nahm ihn der Migrationsdienst des Kantons Bern am 13. März 2008 in Ausschaffungshaft. Das Haftgericht III Bern-Mittelland prüfte und genehmigte diese Haft am 14. März 2008 bis zum 10. Juni 2008.
In der Folge wurde X._ einer Experten-Delegation des "Nigerian Immigration Service" vorgeführt und von dieser provisorisch als Nigerianer anerkannt.
Am 3. Juni 2008 hiess das Haftgericht III Bern-Mittelland einen entsprechenden Antrag des kantonalen Migrationsdienstes gut und bewilligte eine Verlängerung der Ausschaffungshaft bis zum 10. September 2008.
2. Mit einer undatierten, am 10. Juli 2008 zur Post gegebenen Eingabe in englischer Sprache verlangt X._ vom Bundesgericht die sofortige Haftentlassung ("Demanding for my liberty").
3. Die Eingabe ist - soweit sie überhaupt rechtzeitig erhoben worden ist (vgl. <ref-law>) bzw. soweit sich der Beschwerdeführer darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt (vgl. <ref-law>) - offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
3.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden. Daraufhin wurde er mehrmals straffällig und tauchte am Tag seiner Entlassung aus dem Strafvollzug unter; drei Jahre später konnte er in Bern aufgegriffen werden. Sodann behauptet er nach wie vor, aus Sierra Leone zu stammen, obwohl er von einer nigerianischen Expertendelegation bereits provisorisch als nigerianischer Staatsangehöriger anerkannt worden ist. Gestützt auf dieses Verhalten besteht bei ihm "Untertauchensgefahr" im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.).
3.2 Soweit er in der Beschwerde geltend machen will, er sei nach seiner asylrechtlichen Wegweisung bereits einmal ausgereist ("I honoured your request and left the country"), was zum Vollzug des Wegweisungsentscheides aus dem Jahre 2002 geführt hätte (vgl. Urteil 2A.133/2002 vom 26. März 2002, E. 3.2), handelt es sich um eine unzulässige (und auch unbelegte) neue Sachverhaltsbehauptung (<ref-law>). Zudem verkennt er, dass ihm nach der Entlassung aus dem Strafvollzug jedes Anwesenheitsrecht in der Schweiz fehlte und in der Anordnung der Ausschaffungshaft daher zwanglos auch eine (neue) formlose Wegweisung erblickt werden konnte, auf die sich die Haft stützen lässt (vgl. genanntes Urteil, a.a.O., und Art. 64 AuG). Hinsichtlich seines Einwandes, man möge ihm 24 Stunden geben, was ihm erlauben werde, das Land zu verlassen ("give me 24 hours to leave your country", "I'm ready to leave your country on your demand by myself"), ist nicht ersichtlich, wie er dies ohne gültige Reisepapiere rechtmässig tun könnte; nur sein Heimatstaat ist verpflichtet, ihn gegebenenfalls auch ohne solche zurückzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2). Anhaltspunkte für eine Verletzung des Beschleunigungsgebotes (Art. 76 Abs. 4 AuG) bestehen nicht, und der Vollzug der Wegweisung erscheint auch nicht aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen undurchführbar (Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG), zumal in absehbarer Zeit mit einem "Emergency Travel Document" der nigerianischen Behörden zu rechnen ist (vgl. S. 2 des angefochtenen Entscheides, auf den auch für alles Weitere verwiesen werden kann [<ref-law>]).
4. Aufgrund der Umstände rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland (Haftrichterin 7) und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein