Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 19. Januar 2006 sprach die IV-Stelle Luzern dem 1966 geborenen H._ ab 1. April 2002 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu. Der diesbezüglichen Begründung lässt sich entnehmen, dass die einjährige Wartezeit am 16. November 1998 zu laufen begonnen habe und der Rentenanspruch an sich bereits seit 1. November 1999 bestehe. Weil die Anmeldung des Versicherten zum Leistungsbezug erst im April 2003 und somit verspätet erfolgt sei, könne die Invalidenrente erst ab 1. April 2002 ausgerichtet werden. Die Personalvorsorgestiftung X._ (nachfolgend: Personalvorsorgestiftung), bei welcher H._ bis 28. Februar 1999 (einschliesslich Nachdeckungsfrist) berufsvorsorgerechtlich versichert war, erhob Einsprache mit dem Antrag, der Beginn der einjährigen Wartezeit sei auf ein späteres Datum festzulegen. Mit Einspracheentscheid vom 7. September 2006 lehnte die IV-Stelle das Begehren der Vorsorgeeinrichtung ab.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die von der Personalvorsorgestiftung dagegen eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 23. Mai 2007 ab.
C. Die Personalvorsorgestiftung führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag, der von der IV-Stelle auf den 16. November 1998 festgesetzte Beginn der einjährigen Wartezeit sei "auf ein späteres Datum zu verlegen".
Während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, haben sich das Bundesamt für Sozialversicherungen sowie der als Mitinteressierter beigeladene H._ hiezu nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1. Nach ständiger Rechtsprechung prüft das Bundesgericht von Amtes wegen die formellen Gültigkeitserfordernisse des Verfahrens, insbesondere auch die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht auf die Beschwerde eingetreten ist. Hat die Vorinstanz übersehen, dass es an einer Prozessvoraussetzung fehlte, und hat sie materiell entschieden, ist dies im Rechtsmittelverfahren von Amtes wegen zu berücksichtigen mit der Folge, dass der angefochtene Entscheid aufgehoben wird (<ref-ruling> E. 1.2 S. 95 mit Hinweis). <ref-law>, wonach das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen darf, steht in einem solchen Falle einer Aufhebung des angefochtenen Entscheides aus formellen Gründen - auch ohne entsprechenden Antrag - nicht entgegen, da diese Bestimmung nur die materielle Seite des Rechtsstreits betrifft (Ulrich Meyer, Basler Kommentar, N. 1 zu <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 191 und RKUV 1991 Nr. U 124 S. 157 E. 1 zu Art. 114 Abs. 1 des auf Ende 2006 aufgehobenen OG).
2. Es stellt sich die Frage nach der Legitimation der Personalvorsorgestiftung zur vorliegenden, im Laufe des Instanzenzuges mehrfach erfolgten Ergreifung von Rechtsmitteln.
2.1 Erlässt ein Versicherungsträger eine Verfügung, welche die Leistungspflicht eines anderen Trägers berührt, so hat er auch ihm die Verfügung zu eröffnen; dieser kann die gleichen Rechtsmittel ergreifen wie die versicherte Person (<ref-law>). Der Ausdruck des "Berührtseins" findet sich auch in <ref-law>, wonach zur Beschwerde berechtigt ist, wer durch die angefochtene Verfügung oder den Einspracheentscheid berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat. Zu letzterer, die Beschwerdelegitimation im kantonalen Gerichtsverfahren (wie auch im Einspracheverfahren: <ref-ruling> E. 3.2 S. 562) betreffenden Norm hat das Eidgenössische Versicherungsgericht festgestellt, dass die Begriffe des "Berührtseins" und des "schutzwürdigen Interesses" in gleicher Weise auszulegen sind wie für das bundesrechtliche Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren nach Art. 103 lit. a des auf Ende 2006 aufgehobenen OG (<ref-ruling> E. 2.2 S. 390, 560 E. 3.2 in fine S. 563; vgl. nunmehr <ref-law>, <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 252, 353 E. 3 S. 356). Nichts anderes kann für den Anwendungsbereich von <ref-law> gelten. Auch hier ist demnach derjenige anderweitige Versicherungsträger berührt, der in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache steht, mithin in rechtlichen oder tatsächlichen Interessen spürbar betroffen ist (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen S. 77).
2.2 Die (durch die Rechtsprechung näher umschriebene) Bindungswirkung der Invaliditätsbemessung der Ersten Säule (Invalidenversicherung) für die Zweite Säule (berufliche Vorsorge) ist in den Art. 23 ff. BVG positivrechtlich ausdrücklich verankert (<ref-ruling>, 215 und 118 V 35 E. 2, 3 S. 38 ff. sowie seitherige Urteile). Das zeigt sich darin, dass sich der Leistungsanspruch auf eine Invalidenrente der obligatorischen beruflichen Vorsorge an den sachbezüglichen Voraussetzungen des IVG orientiert (Art. 23 BVG [für die hier relevante Rechtsfrage sind jeweils die bis Ende 2004 gültig gewesenen Fassungen der BVG-Bestimmungen massgebend]), die Höhe der berufsvorsorgerechtlichen Rente analog zu derjenigen nach IVG bestimmt wird (Art. 24 Abs. 1 BVG) und schliesslich für den Beginn des Anspruchs auf eine BVG-Invalidenrente gestützt auf Art. 26 Abs. 1 BVG sinngemäss die entsprechenden invalidenversicherungsrechtlichen Bestimmungen (<ref-law> in der hier massgebenden, bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassung) gelten. Diese gesetzliche Konzeption fusst auf der Überlegung, die Organe der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge von eigenen aufwändigen Abklärungen freizustellen, und gilt nur bezüglich Feststellungen und Beurteilungen der IV-Organe, welche im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren für die Festlegung des Anspruchs auf eine Invalidenrente entscheidend waren. Indem die Invaliditätsbemessung der Invalidenversicherung für die Organe der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge prinzipiell bindend ist, ist sie geeignet, die Leistungspflicht des BVG-Versicherers in grundsätzlicher, zeitlicher und masslicher Hinsicht im Sinne von <ref-law> (unmittelbar) zu berühren. Die Organe der beruflichen Vorsorge sind daher zur Einsprache gegen die Verfügung oder zur Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der IV-Stelle über den Rentenanspruch als solchen oder den Invaliditätsgrad berechtigt; ebenso ist der BVG-Versicherer befugt, in Streitigkeiten um eine Rente der Invalidenversicherung gegen Entscheide kantonaler Gerichte Beschwerde ans Bundesgericht zu führen (<ref-ruling> E. 3.2 und 3.3.1 S. 4 f.).
2.3 Wie erwähnt, erstreckt sich die Verbindlichkeitswirkung nur auf diejenigen Feststellungen und Beurteilungen im IV-Verfahren, welche dort für die Festlegung des Anspruchs auf eine Rente der Invalidenversicherung entscheidend waren und über die demnach effektiv zu befinden war; andernfalls haben die Organe der beruflichen Vorsorge die Anspruchsvoraussetzungen ihrerseits frei zu prüfen (vgl. Urteil B 50/99 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 14. August 2000, E. 2b). Die Festsetzung des Beginns des Rentenanspruches durch die Invalidenversicherung schliesst sodann nicht aus, dass die den Anspruch auf Invalidenleistungen nach BVG begründende Arbeitsunfähigkeit (in geringerem Ausmass) schon mehr als ein Jahr zuvor eingetreten ist (Urteil B 47/98 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 11. Juli 2000, E. 4d; zum Ganzen: SVR 2005 BVG Nr. 5 S. 16, E. 2.3.2).
2.4 Im vorliegenden Fall fehlt es an der dargelegten Verbindlichkeitswirkung: Aufgrund der im April 2003 erfolgten, von der Invalidenversicherung als im Sinne von <ref-law> (in Kraft gestanden bis Ende 2007) verspätet qualifizierten Anmeldung zum Leistungsbezug bestand invalidenversicherungsrechtlich kein Anlass, den Verlauf der Arbeitsunfähigkeit mehr als zwei Jahre vor dem Zeitpunkt der Anmeldung zu prüfen (nach der letztgenannten Gesetzesbestimmung werden die Leistungen lediglich für die zwölf der Anmeldung vorangehenden Monate ausgerichtet, während gemäss <ref-law> der IV-Rentenanspruch frühestens in dem Zeitpunkt entsteht, in dem der Versicherte während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 % arbeitsunfähig gewesen war). Hinsichtlich weiter zurückliegender Zeiten fallen daher verbindlichkeitsrechtlich massgebende Feststellungen und Beurteilungen der IV-Organe rechtsprechungsgemäss von vornherein ausser Betracht (Urteil I 349/05 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 21. April 2006, E. 2.3; Urteil I 204/04 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 16. September 2004). Das allein Rechtsverbindlichkeit erlangende Dispositiv der Verfügung vom 19. Januar 2006 beschränkt sich denn auch darauf, ab 1. April 2002 eine Rente zuzusprechen. Ein Beginn der Wartezeit per 16. November 1998 ist zwar unter "Abklärungsergebnis" erwähnt, aber in der Verfügung nicht rechtsverbindlich festgelegt. Wird nach dem Gesagten mit Bezug auf den berufsvorsorgerechtlichen Leistungsanspruch insoweit nichts präjudiziert, entfällt eine entsprechende Rechtsmittelbefugnis der Personalvorsorgestiftung.
2.5 Die Vorinstanz hätte daher richtigerweise auf die Beschwerde nicht eintreten dürfen, was im vorliegenden Verfahren von Amtes wegen zu korrigieren ist (Urteil I 299/93 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 25. März 1994). Dementsprechend hätte sich das kantonale Gericht zum Beginn der einjährigen Wartezeit gemäss <ref-law> nicht äussern und den angefochtenen Einspracheentscheid materiell weder bestätigen noch aufheben dürfen. Dieselben Überlegungen gelten hinsichtlich des Einspracheentscheids vom 7. September 2006: Auch die IV-Stelle hätte die Sache mit Nichteintreten erledigen müssen. Soweit letztinstanzlich wiederum die Verlegung der Wartezeit "auf ein späteres Datum" verlangt wird, kann darauf ebenso nicht eingetreten werden.
3. Die Gerichtskosten werden der Beschwerde führenden Personalvorsorgestiftung als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, im Sinne der Erwägungen abgewiesen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 23. Mai 2007 und der Einspracheentscheid der IV-Stelle Luzern vom 7. September 2006 werden aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Personalvorsorgestiftung X._ auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, dem Bundesamt für Sozialversicherungen, der Ausgleichskasse Luzern und H._, Luzern, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Juli 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer i.V. Krähenbühl