Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. X._ wurde am 6. Dezember 2005 vom Bezirksgericht Zürich verurteilt. Am 15. Dezember 2005 meldete er Berufung an, und am 18. Dezember 2005 ersuchte er um einen Wechsel der amtlichen Verteidigerin. Mit Verfügung vom 5. Januar 2006 wies der Vorsitzende der 2. Abteilung des Bezirksgerichts Zürich das Gesuch um Verteidigerwechsel ab. X._ erhielt die Verfügung am 23. Januar 2006. Mit Schreiben vom selben Tag an das Bezirksgericht Zürich beanstandete X._ die Verfügung vom 5. Januar 2006. Er stellte in seiner Eingabe ein Gesuch um Fristerstreckung von mindestens 30 Tagen "nach Krankheit".
Das Obergericht des Kantons Zürich wies das Fristerstreckungsgesuch mit Beschluss vom 27. Februar 2006 ab. Zudem prüfte es, ob die Rekursfrist wiederhergestellt werden könnte, was es verneinte. Auf den Rekurs trat es schliesslich mangels hinreichender Begründung nicht ein und auferlegte dem Beschwerdeführer die Gerichtskosten.
Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 8. April 2006 beantragt X._ unter anderem, der Beschluss des Obergerichts vom 27. Februar 2006 sei aufzuheben und seinem Gesuch um Wiederherstellung der Rekursfrist sei zu entsprechen.
Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 8. April 2006 beantragt X._ unter anderem, der Beschluss des Obergerichts vom 27. Februar 2006 sei aufzuheben und seinem Gesuch um Wiederherstellung der Rekursfrist sei zu entsprechen.
2. Das staatsrechtliche Beschwerdeverfahren führt nicht das vorangegangene kantonale Verfahren weiter, sondern stellt als ausserordentliches Rechtsmittel ein selbständiges staatsrechtliches Verfahren dar, das der Kontrolle kantonaler Hoheitsakte unter dem spezifischen Gesichtspunkt verfassungsmässiger Rechte dient (<ref-ruling> E. 1c S. 395). Die als verletzt erachteten verfassungsmässigen Rechte oder deren Teilgehalte sind zu bezeichnen; überdies ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids im Einzelnen darzustellen, worin die Verletzung der angerufenen Verfassungsrechte bestehen soll (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene Rügen (Rügeprinzip), welche soweit möglich zu belegen sind. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.; <ref-ruling> E. 1.6 S. 189; <ref-ruling> E. 3c S. 43; <ref-ruling> E. 1c S. 395, je mit Hinweisen).
Diesen Anforderungen genügt die Eingabe des Beschwerdeführers nicht. Er setzt sich mit dem angefochtenen Entscheid nicht im Einzelnen auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorliegen soll. Soweit sein Antrag "nicht abschliessend, weil krank, Arztzeugnis seit 5.12.05 bis auf weiteres" als Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist im Sinne von Art. 35 OG zur besseren Begründung der Beschwerde zu verstehen sein sollte, wäre ein solches Gesuch mit derselben Begründung abzuweisen, wie sie in E. 4b des angefochtenen Beschlusses enthalten ist. Auf die entsprechenden Ausführungen kann verwiesen werden (Art. 36a Abs. 3 OG).
Diesen Anforderungen genügt die Eingabe des Beschwerdeführers nicht. Er setzt sich mit dem angefochtenen Entscheid nicht im Einzelnen auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorliegen soll. Soweit sein Antrag "nicht abschliessend, weil krank, Arztzeugnis seit 5.12.05 bis auf weiteres" als Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist im Sinne von Art. 35 OG zur besseren Begründung der Beschwerde zu verstehen sein sollte, wäre ein solches Gesuch mit derselben Begründung abzuweisen, wie sie in E. 4b des angefochtenen Beschlusses enthalten ist. Auf die entsprechenden Ausführungen kann verwiesen werden (Art. 36a Abs. 3 OG).
3. Somit kann auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten werden. Unter Beachtung der Umstände der vorliegenden Angelegenheit kann auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (Art. 156 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, seiner amtlichen Verteidigerin, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: