Sachverhalt:
Mit Entscheid vom 19. Mai 2009 hat das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn eine Beschwerde der Familie P._ abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist. Gegen diesen Entscheid erhebt Familie P._ mit Eingabe vom 29. Juni 2009 Beschwerde an das Bundesgericht und beantragt, in Gutheissung des Rechtsmittels sei ihr "das Geld für Kleiderkauf samit Zins zuzusprechen"; ferner sei sie "wieder in die gesetzliche Sozialhilfe aufzunehmen, da sich die Nothilferegelung als Verstoss gegen die EMRK erweist"; infolge fehlender Mittel seien "alle Akten seitens Vorinstanzen einzufordern"; schliesslich sei ihr die "unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren". - Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Soweit sich die Beschwerde - wie vorliegend - gegen einen in Anwendung kantonalen Rechts ergangenen Entscheid richtet, bildet die Verletzung blossen kantonalen Rechts keinen selbstständigen Beschwerdegrund; vielmehr hat die Beschwerde führende Person darzulegen, inwiefern der beanstandete Akt gegen verfassungsmässige Rechte, wie etwa das Willkürverbot oder das Recht auf persönliche Freiheit, verstossen soll; hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht, weshalb insofern eine qualifizierte Rügepflicht besteht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; vgl. auch <ref-ruling> ff.): es obliegt daher der Beschwerde führenden Person (entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen u.a. des Art. 90 Abs. 1 lit. b OG: Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001, S. 4207 ff., Ziff. 4.1.2.4 zu Art. 39 Entwurf, S. 4294), klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit weiteren Hinweisen). Was die Feststellung des Sachverhalts anbelangt, kann gemäss <ref-law> nur gerügt werden, diese sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1 S. 95 mit Hinweisen). Wie unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) müssen die erhobenen Rügen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten bzw. andere Quellen reicht nicht aus (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 120; <ref-ruling> E. 4a S. 30; je mit Hinweisen).
2. Die Eingabe der Beschwerdeführer vom 29. Juni 2009 richtet sich gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 19. Mai 2009, mit dem die Vorinstanz das Rechtsmittel hinsichtlich Kleiderkauf zufolge Verletzung der Mitwirkungspflicht bzw. der Möglichkeit des Gratisbezugs von Kleidern in Solothurn abwies und auf die Aufsichtsbeschwerde nicht eintrat. Soweit die Beschwerdeführer im letztinstanzlichen Verfahren andere Anträge und Einwendungen vorbringen, so u.a. bezüglich dem gemäss AsylG möglichen Ausschluss und der wieder vorzunehmenden Aufnahme "in die gesetzliche Sozialhilfe" sowie von Rügen betreffend Essen, Hygiene, Arzt- und Reisekosten, kann mangels Anfechtungsgegenstandes auf die Beschwerde zum Vornherein nicht eingetreten werden.
3. Die Beschwerdeführer setzen sich bezüglich der geltend gemachten Rechtsverletzungen nicht in einer den qualifizierten Anforderungen an die Rügepflicht (vgl. E. 1 hievor) genügenden Weise mit den entscheidenden Erwägungen der Vorinstanz auseinander, indem sie nicht klar und detailliert anhand dieser Erwägungen darlegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt worden sein sollen, woran auch die blossen - in unsubstanziierter Weise vorgetragenen - Hinweise unter anderem auf verschiedene enumerierte Artikel der BV und der EMRK sowie auf die Verletzung des rechtlichen Gehörs, von Treu und Glauben, des Gleichbehandlungsgebots, des Willkür- und des Rechtsverweige- rungsverbots sowie des Verstosses der Nothilferegelung gegen die EMRK nichts ändern. Sodann vermögen die Beschwerdeführer auch hinsichtlich der Feststellung des Sachverhalts diesen nicht als offensichtlich unrichtig oder als auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> beruhend darzutun (vgl. vorstehende E. 1 hievor in fine). Vielmehr erschöpft sich die Beschwerdeschrift, zum Teil unter Aufstellung blosser Behauptungen, zum Teil unter Anbringung unzulässiger Verweisungen (vgl. E. 1 in fine), in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid und am Vorgehen der Sozialbehörde, ohne dass in klarer Weise dargelegt wird, worin die offensichtliche, in die Augen springende Unhaltbarkeit der angefochtenen Entscheidung bestehen soll. Die Eingabe erfüllt damit die Formvorschriften an eine gültige Beschwerde nicht, weshalb auf das offensichtlich unzulässige Rechtsmittel in Anwendung von <ref-law> nicht eingetreten werden kann. Es erübrigt sich daher, "alle Akten seitens Vorinstanzen einzufordern", wie es die Beschwerdeführer in ihrem entsprechenden Begehren der Beschwerde beantragen (vgl. Art. 102 Abs. 1 und 2 BGG).
4. Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich, von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (<ref-law>), so dass sich das sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Prozessführung als gegenstandslos erweist.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juli 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz