(unentgeltliche Rechtspflege), hat sich ergeben:
A.- Am 11. April 1997 stiess A._ beim Betreten des Rheinquais in Schaffhausen mit einem Radfahrer zusammen; sie zog sich dabei Verletzungen am rechten Fuss zu.
B.- Am 10. Juni 1999 klagte sie die Stadt Schaffhausen, weil sie die Signalisation am Unfallort als ungenügend erachtete, auf Schadenersatz von Fr. 3'400.-- sowie Genugtuung von Fr. 10'000.-- ein. Nachdem das (prorogierte) Kantonsgericht Schaffhausen einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- von ihr verlangt hatte, ersuchte A._ am 30. September 1999 um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Kantonsgericht wies dieses Gesuch am 24. Januar 2000 wegen mangelnder Bedürftigkeit und Aussichtslosigkeit in der Hauptsache ab. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen schützte diesen Entscheid am 23. Juni 2000 auf Beschwerde hin, weil es die Bedürftigkeit von A._ nicht nachgewiesen sah.
C.- Hiergegen hat A._ am 14. September 2000 staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht mit dem Antrag, den Obergerichtsentscheid aufzuheben.
Gleichzeitig hat sie um unentgeltliche Prozessführung für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht. Zur Begründung ihrer Beschwerde führt A._ aus, das Obergericht habe "das kantonale Recht" willkürlich ausgelegt und ihren verfassungsmässigen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege verletzt; für beide Rügen beruft sie sich auf Art. 4 aBV.
Das Obergericht hat ausdrücklich auf Stellungnahme verzichtet, während sich das Kantonsgericht innert Frist nicht hat vernehmen lassen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Entscheide über die Gewährung oder Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege gelten als Zwischenentscheide, die in der Regel einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil zur Folge haben (<ref-ruling> E. 2a S. 210; <ref-ruling> E. 1 S. 338). Die staatsrechtliche Beschwerde gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Obergerichts ist daher zulässig (Art. 84 Abs. 2, Art. 86 Abs. 1 und Art. 87 OG). Auf die Eingabe der in rechtlich geschützten Interessen betroffenen Beschwerdeführerin ist grundsätzlich einzutreten (Art. 88 OG; vgl. aber unten).
2.- a) Auf das vorliegende Verfahren findet die Bundesverfassung vom 18. April 1999 Anwendung (Art. 29 Abs. 3 und <ref-law>), welche seit dem 1. Januar 2000 in Kraft steht.
Der Beschwerdeführerin gereicht jedoch nicht zum Nachteil, dass sie sich auf die einschlägige Bestimmung der alten Bundesverfassung vom 29. Mai 1874 beruft (Art. 4 aBV).
b) Soweit die Beschwerdeführerin einen Verstoss gegen das Willkürverbot rügt, vermag ihre Eingabe den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht zu genügen: Die staatsrechtliche Beschwerde muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Das Bundesgericht untersucht nicht von Amtes wegen, ob ein kantonaler Hoheitsakt verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 201, mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend gemacht, genügt es nicht, wenn der Beschwerdeführer bloss den angefochtenen Entscheid kritisiert, wie er dies in einem appellatorischen Verfahren tun könnte, bei dem die Rechtsmittelinstanz die Rechtsanwendung frei überprüfen kann. Er muss deutlich dartun, welche Vorschriften oder allgemein anerkannten Rechtsgrundsätze die kantonalen Behörden in einer gegen <ref-law> verstossenden Weise verletzt haben sollen (<ref-ruling> E. 4b S. 12, mit Hinweis). Die Beschwerdeführerin macht eine willkürliche Auslegung "des kantonalen Rechts" geltend, ohne näher darzulegen, welche Bestimmungen betroffen sind. Zwar lässt sich aus dem Zusammenhang ersehen, dass sich ihre Rüge auf die Regelung nachträglicher Vorbringen in Art. 177, Art. 349 und Art. 361 der kantonalen Zivilprozessordnung bezieht. Sie erwähnt jedoch in ihren Ausführungen mit keinem Wort, inwiefern diese Vorschriften willkürlich gehandhabt worden sein sollten. Deshalb ist auf ihre Beschwerde insoweit nicht einzutreten.
3.- a) Der Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt.
Unabhängig davon garantiert <ref-law> einen Mindestanspruch der bedürftigen Partei auf unentgeltliche Rechtspflege. Dieser Anspruch umfasst einerseits die Befreiung von den Verfahrenskosten und andererseits - soweit notwendig - das Recht auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand (<ref-ruling> E. 2a S. 9, 322 E. 2b S. 324, mit Hinweisen).
Das Bundesgericht prüft frei, ob die direkt aus <ref-law> hergeleiteten Ansprüche verletzt sind, während es die Anwendung des kantonalen Gesetzesrechts nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots prüft (<ref-ruling> E. 2c S. 306 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 180).
b) Das Obergericht hat der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Prozessführung verweigert, weil sie die Voraussetzung der Bedürftigkeit nicht erfülle; die Frage der Erfolgsaussichten hat es offen gelassen. Als bedürftig im Sinne von <ref-law> gilt eine Person dann, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, derer sie zur Deckung des notwendigen Lebensunterhalts für sich und ihre Familie bedarf.
Dabei sind die Einkommens- wie die Vermögensverhältnisse in Betracht zu ziehen (<ref-ruling> E. 3b S. 98). Zu diesem Grundbedarf gehört, was zur Führung eines bescheidenen, aber menschenwürdigen Lebens laufend erforderlich ist. Er umfasst mit anderen Worten insbesondere die Aufwendungen für Wohnung, Kleidung, Ernährung, Gesundheitspflege, Versicherungen und Steuern. Zur Prüfung der Bedürftigkeit sind sämtliche Umstände im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs zu würdigen; dabei ist nicht schematisch auf das betreibungsrechtliche Existenzminimum abzustellen; vielmehr sind die individuellen Umstände zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2a S. 2; <ref-ruling> E. 5b S. 109, mit Hinweisen).
4.- a) aa) Das Einkommen der Beschwerdeführerin setzt sich aus einer Invalidenrente (Fr. 959.--) sowie Ergänzungsleistungen (Fr. 1'816.--) zusammen und beträgt Fr. 2'775.-- monatlich. Ihm stehen gemäss Bedürftigkeitszeugnis der Stadt Schaffhausen Ausgaben von Fr. 2'552.-- pro Monat gegenüber.
Von dieser Summe hat das Kantonsgericht nur Fr. 2'152.-- als zivilprozessuales Existenzminimum anerkannt, womit sich der Freibetrag, welcher der Beschwerdeführerin monatlich verbleibt, auf Fr. 623.-- vergrösserte. Das Kantonsgericht erachtete diesen Betrag für ausreichend, um die Verfahrens- und Anwaltskosten des Haftungsprozesses zu bestreiten.
Mit Schreiben vom 22. Oktober 1999 hatte das Kantonsgericht zusätzliche Auskünfte von der Beschwerdeführerin darüber verlangt, wie sie die Prozessaussichten in der Hauptsache beurteile; Erklärungen oder Belege bezüglich die Prozessarmut holte es keine ein.
bb) Vor Obergericht verwies die Beschwerdeführerin auf das (erstmals ins Recht gelegte) Berechnungsblatt für die Ergänzungsleistungen und machte geltend, zu den vom Kantonsgericht anerkannten Auslagen seien Fr. 208. 50 für Diätkosten und AHV-Beiträge zu addieren. Der Freibetrag mache demnach weniger als Fr. 500.-- aus, was praxisgemäss die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege erlaube. Im Übrigen bezahle sie noch monatlich Fr. 300.-- für ein Atelier, in welchem sie zu psychotherapeutischen Zwecken male.
Das Obergericht hat die fraglichen Auslagen nicht berücksichtigt, weil die Beschwerdeführerin sie nicht schon vor Kantonsgericht geltend gemacht hatte; es führte an, das Berechnungsblatt für die Ergänzungsleistungen datiere vom 1. Januar 1999 und hätte bereits der Vorinstanz eingereicht werden können.
b) aa) Die Beschwerdeführerin rügt vor Bundesgericht einzig eine Verletzung der Minimalgarantie von <ref-law>; es ist deshalb nicht zu prüfen, ob und inwieweit die kantonale Regelung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege verfassungskonform gehandhabt worden ist. Zur Begründung beruft sich die Beschwerdeführerin vor allem auf den Umstand, dass sie Ergänzungsleistungen bezieht.
Diese würden lediglich "das erweiterte Existenzminimum" decken, weshalb anzunehmen sei, dass sie über keinen Freibetrag verfüge, der ihr erlaube, Gerichts- und Anwaltskosten selbst zu bezahlen. Demzufolge sei sie nicht gehalten gewesen, ihre finanziellen Verhältnisse gegenüber dem Kantonsgericht von sich aus näher zu erläutern bzw. das von den Behörden erstellte Bedürftigkeitszeugnis auf Vollständigkeit und Richtigkeit zu überprüfen. Das Obergericht verletze <ref-law>, wenn es ihren Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung verneine, nur weil es die (nachträglich) geltend gemachten und belegten Ausgaben nicht berücksichtige.
bb) Mit dieser Argumentation übersieht die Beschwerdeführerin, dass nicht zwingend im Sinne des prozessualen Armenrechts bedürftig ist, wer Ergänzungsleistungen bezieht. Insbesondere in Fällen, in welchen der Betroffene über ein gewisses Vermögen verfügt, kann dieser zwar dennoch Anspruch auf Ergänzungsleistungen haben (zur Berücksichtigung des Vermögens bei der Berechnung von Ergänzungsleistungen:
Art. 3c Abs. 1 lit. c Bundesgesetzes vom 19. März 1965 über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung [ELG; SR 831. 30] sowie Art. 17 der Verordnung vom 15. Januar 1971 über die Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung [ELV; SR 831. 301]), aber aufgrund seiner Vermögensverhältnisse bereits nicht mehr als prozessarm gelten (vgl. Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 3. September 1997 in: SVR 1998 UV Nr. 11 S. 32 u. 34). Dessen ungeachtet weist die Beschwerdeführerin aber zu Recht darauf hin, dass Ergänzungsleistungen nur zur Deckung der Grundbedürfnisse ausgerichtet werden (vgl. hierzu Art. 3a ff.
ELG) und lediglich einfache, aber menschenwürdige Lebensbedingungen gewährleisten sollen (vgl. Botschaft des Bundesrats zum Entwurf betreffend die Änderung der Bundesverfassung auf dem Gebiet der Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge, in: BBl 1971 II 1616; Botschaft des Bundesrates zum Entwurf eines Bundesgesetzes über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung, in:
BBl 1964 II 681 ff.). So sind denn auch verschiedene im Rahmen der Anspruchsermittlung anerkannte Ausgaben nur bis zu einem gesetzlich bestimmten Höchstbetrag anrechenbar (vgl. z.B. Art. 3b Abs. 1 lit. a und Art. 5 Abs. 1 lit. b ELG). Aufgrund dieser Gegebenheiten sind die Empfänger von Ergänzungsleistungen in der Regel als bedürftig im Sinne von <ref-law> zu betrachten.
c) aa) Somit ist an sich verständlich, wenn die Beschwerdeführerin davon ausging, ihre Prozessarmut werde keine besonderen Fragen aufwerfen. Der Umstand, dass sie Bezügerin von Ergänzungsleistungen ist, entbindet sie indessen nicht von der Obliegenheit, ihre finanziellen Verhältnisse umfassend darzustellen und soweit als möglich zu belegen; verweigert sie die zur Beurteilung ihrer aktuellen wirtschaftlichen Situation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann ihre Bedürftigkeit ohne Verfassungsverletzung verneint werden (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 327). Von einem entsprechend renitenten Verhalten kann jedoch vorliegend keine Rede sein: Das Kantonsgericht hat die Angaben der Beschwerdeführerin zu ihrer finanziellen Situation nicht als ungenügend beanstandet oder Ergänzungen verlangt. Auch zum eingereichten Bedürftigkeitszeugnis hat es sich vor seinem abschlägigen Entscheid nicht geäussert; es hat weder die Vollständigkeit noch das Fehlen von Belegen für die darin enthaltenen Angaben bemängelt. Für die Beschwerdeführerin bestand deshalb kein Anlass, weitere Ausführungen zu ihrer Prozessarmut zu machen; dies umso weniger, als das Kantonsgericht mit Schreiben vom 22. Oktober 1999 - in welchem ausdrücklich auf das eingereichte Bedürftigkeitszeugnis und den bevorstehenden Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung hingewiesen wurde - sie einzig aufforderte, zu den Erfolgsaussichten der Haftungsklage Stellung zu nehmen.
bb) In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass es sich bei dem Verfahren, in welchem über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für den Hauptprozess zu entscheiden ist, nicht um ein zivilrechtliches (Zweiparteien-)Verfahren handelt. Vielmehr hat der Richter zu beurteilen, ob dem Gesuchsteller staatliche Leistungen zukommen sollen. Die allgemeinen Vorschriften, welche die kantonalen Prozessordnungen zum Beweisverfahren enthalten, können deshalb nicht unbesehen angewendet werden. Zu beachten ist insbesondere, dass die Beweisführungslast des Gesuchstellers regelmässig weniger weit geht als im Zivilprozess: Er hat zwar durch Offenlegung seiner finanziellen Verhältnisse an der Beweiserhebung mitzuwirken (vgl. oben); kommt er aber dieser Obliegenheit nach, ohne dass es ihm in der ersten Eingabe gelingt, seine Bedürftigkeit zur Zufriedenheit des Richters nachzuweisen, so hat ihn dieser zur Klärung aufzufordern (vgl. hiezu: Walter Düggelin, Das zivilprozessuale Armenrecht im Kanton Luzern, Diss. Zürich 1986, S. 134).
Verschiedene kantonale Zivilprozessordnungen verpflichten den Richter denn auch ausdrücklich, die Bedürftigkeit des Gesuchstellers von Amtes wegen festzustellen und nötigenfalls selbst weitere Erhebungen vorzunehmen (vgl. Patrick Wamister, Die unentgeltliche Rechtspflege, die unentgeltliche Verteidigung und der unentgeltliche Dolmetscher unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> und Art. 6 EMRK, Diss. Basel 1983, S. 39). Die Beschwerdeführerin durfte unter den gegebenen Umständen davon ausgehen, sie sei ihren Obliegenheiten hinreichend nachgekommen, indem sie ihre Bedürftigkeit mit dem erforderlichen Zeugnis belegt und zugleich ausdrücklich erwähnt hatte, dass sie Ergänzungsleistungen bezieht. Bei dieser Sachlage hätte das Kantonsgericht sie auf das Ungenügen ihrer Vorbringen hinweisen und ihr Gelegenheit geben müssen, zusätzliche Erklärungen und Belege einzureichen; dies zumindest dann, wenn es die Bedürftigkeit verneinen und die unentgeltliche Rechtspflege nicht bereits wegen Aussichtslosigkeit der Hauptsache verweigern wollte. Es geht nicht an, dass es - trotz Kenntnis der Umstände - das Gesuch der Beschwerdeführerin unbesehen (auch) wegen fehlender Prozessarmut abwies: <ref-law> wird nicht nur verletzt, wenn die unentgeltliche Rechtspflege zu Unrecht verweigert wird, sondern bereits dann, wenn an die Geltendmachung des Anspruchs ungebührlich hohe Anforderungen gestellt werden.
Als Regel gilt, dass die eigene Darstellung des Gesuchstellers desto umfassender und klarer zu sein hat, je komplexer seine finanzielle Situation ist (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 182). Präsentieren sich die finanziellen Verhältnisse des Rechtsuchenden aber derart einfach wie hier, so kann grundsätzlich nicht erwartet werden, dass dieser von sich aus - über das Einreichen des (meist) von Gesetzes wegen erforderlichen, amtlichen Bedürftigkeitszeugnisses hinaus - Beweis führt. Dies trifft vorliegend umso mehr zu, als für die kantonalen Behörden ohne weiteres erkennbar war, dass die Beschwerdeführerin mit grösster Wahrscheinlichkeit prozessarm ist; ihr (bescheidenes) Einkommen besteht zu zwei Dritteln aus Ergänzungsleistungen und sie verfügt offenbar über kein Vermögen. Auch wenn es der Beschwerdeführerin tatsächlich ein Leichtes gewesen wäre, das (die Ausgaben dokumentierende) Berechnungsblatt für die Ergänzungsleistungen bereits dem Kantonsgericht einzureichen, darf das fragliche Versäumnis nicht ohne weiteres zum Rechtsverlust führen; dem Kantonsgericht wäre es im Übrigen ebenso einfach möglich gewesen, mit dem Schreiben vom 22. Oktober 1999 auch zur Bedürftigkeit zusätzliche Auskünfte einzuholen.
d) Nach dem Gesagten hat das Kantonsgericht die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin vorschnell verneint. Weil das Obergericht die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege - anders als das Kantonsgericht - nur auf diesen (durch eine fragwürdige Handhabung des zivilprozessualen Novenverbots geschützten) Gesichtspunkt gestützt hat, verletzt der angefochtene Entscheid die verfassungsrechtliche Minimalgarantie von <ref-law>.
5.- a) Die staatsrechtliche Beschwerde ist, soweit darauf einzutreten ist, gutzuheissen und der Zwischenentscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 23. Juni 2000 aufzuheben.
b) Gerichtskosten sind nicht zu erheben (Art. 156 Abs. 1 und Abs. 2 OG). Hingegen hat der Kanton Schaffhausen der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung auszurichten (Art. 159 OG); das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 23. Juni 2000 aufgehoben.
2.- Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.
3.- Der Kanton Schaffhausen hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.- Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
5.- Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 9. April 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: