Faits:
A. En février 1990, X._, avocat à Genève, a engagé A._ en qualité de secrétaire. Il ignorait que, depuis 1958, ce dernier se trouvait sous tutelle, en raison notamment de plusieurs incarcérations faisant suite à des détournements de fonds.
De 1990 à 1996, A._ a détourné chez X._ une somme importante, ce qui lui a valu d'être condamné, le 2 septembre 1999, à une peine privative de liberté de deux ans.
Le 20 juin 2000, X._, reprochant au tuteur général de Genève d'avoir omis de l'aviser de la mesure de tutelle et des risques liés à la personnalité de son pupille, a assigné l'Etat de Genève en paiement de 868'268 fr. 95 avec intérêt à 5% l'an dès le 15 juin 1993 à titre de dommages-intérêts pour le préjudice subi et de 25'191 fr. 95 plus intérêt à 5% l'an dès le 11 décembre 1999 comme remboursement des frais engagés avant procès. Le montant réclamé comprenait une somme de 118'650 fr. qui avait été débitée par A._ du compte bancaire de B._, dont X._ était alors le curateur.
L'action a été rejetée par les autorités judiciaires genevoises. Par arrêt du 23 novembre 2004 (2P.230/2003), le Tribunal fédéral a admis le principe de la responsabilité de l'Etat de Genève, tout en renvoyant la cause à la Cour de justice du canton pour qu'elle fixe les dommages-intérêts dus à X._, en tenant compte de sa faute concomitante. Par arrêt du 20 janvier 2006, celle-ci a retenu une faute concomitante de 2/3 à la charge de X._ et a condamné l'Etat de Genève à payer au prénommé la somme de 260'000 fr. avec intérêt à 5% dès le 15 juin 1993, sous déduction des montants déjà versés. Elle a en outre déduit du montant du dommage les 118'650 fr. prélevés sur le compte bancaire de B._, dès lors que X._ était certes responsable à l'égard de son pupille, mais qu'il n'avait pas indiqué avoir dû payer effectivement cette somme. Il n'était donc pas exclu que l'Etat de Genève soit appelé à verser lui-même ce montant directement à B._, si X._ n'y parvenait pas. Cet arrêt est entré en force.
B. Le 17 juillet 2006, X._ a informé l'Etat de Genève qu'il avait intégralement remboursé à B._ les montants détournés par A._ et qu'il entendait se voir indemniser à raison d'un tiers au moins. L'Etat de Genève s'y est opposé, au motif que ces prétentions avaient été jugées et qu'elles étaient prescrites.
Le 24 août 2006, X._ a fait notifier un commandement de payer de 118'650 fr. à l'Etat de Genève, lequel a formé opposition.
Par demande du 20 décembre 2006, X._ a assigné l'Etat de Genève en paiement de 56'173 fr. avec intérêt à 5% l'an dès le 24 août 2006 et demandé la mainlevée de l'opposition à concurrence de ce montant (qui représentait le tiers de 168'519 fr., somme totale qu'il avait remboursée à B._ en capital et en intérêts). Il a produit des documents d'où il ressort qu'au 30 novembre 2003, il avait déjà remboursé à B._ 121'872 fr. 95, montant imputé en priorité sur les intérêts courus et pour le surplus sur le capital, le solde encore dû à cette date s'élevant à 42'000 fr. X._ a versé le solde dû à B._ par virements bancaires des 16 et 22 février 2006, représentant avec les intérêts un montant total de 46'646 fr.
Par jugement du 27 septembre 2007, le Tribunal de première instance du canton de Genève a déclaré la demande irrecevable.
Statuant le 14 mars 2008 sur appel de X._, la Cour de justice du canton de Genève a annulé ce jugement. Elle a déclaré la demande irrecevable à concurrence de tout montant supérieur à 46'646 fr. et a condamné l'Etat de Genève à payer à X._ les montants de 6'529 fr. 60 avec intérêt à 5% dès le 16 février 2006 et de 7'470 fr. 40 avec intérêt à 5% dès le 22 février 2006, tout en ordonnant la mainlevée définitive de l'opposition à hauteur de ces montants. Ces sommes correspondaient au tiers de la part afférente au capital des deux versements que le prénommé avait effectués en faveur de B._ les 16 et 22 février 2006. La cour cantonale a considéré en substance que les prétentions du recourant se rapportant aux montants déjà versés au pupille au moment du prononcé de l'arrêt du 20 janvier 2006 ne pouvaient plus être remises en cause, en raison de l'autorité de la chose jugée dont ce jugement était revêtu. Elle a en outre limité le dommage indemnisable de X._ au montant du capital, à l'exclusion des intérêts (courus entre le 1er décembre 2003 et le 16 février 2006) que celui-ci avait remboursés à son pupille, en considérant qu'il n'avait "dû payer ces intérêts qu'en raison de son propre retard dans la réparation du dommage subi par le tiers créancier".
C. A l'encontre de cet arrêt, X._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que l'arrêt en question soit annulé, à ce que l'Etat de Genève soit condamné à lui verser un montant de 56'173 fr. plus intérêt à 5% l'an dès le 24 août 2006, à ce que l'opposition au commandement de payer soit levée à concurrence de cette somme et à ce que le dossier soit retourné à l'autorité intimée afin qu'elle statue à nouveau sur les dépens de la procédure accomplie devant elle.
L'autorité intimée renonce à se déterminer. L'intimé conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 251).
1.1 Le recourant a qualifié son écriture de recours en matière civile. Ses prétentions à l'égard de l'Etat de Genève reposent toutefois sur la loi genevoise du 24 février 1989 sur la responsabilité de l'Etat et des communes (LREC; RS/GE A 2 40), soit sur du droit public cantonal. Le recourant prétend certes exercer une action récursoire au sens de l'<ref-law>, mais à supposer que cette disposition soit applicable, elle l'est à titre de droit (public) cantonal supplétif (cf. <ref-law>, selon lequel les règles générales du code civil suisse sont appliquées à titre de droit cantonal supplétif). Il convient dès lors d'admettre que l'arrêt attaqué est susceptible de faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral (<ref-law>; cf. aussi <ref-law>), la cause ne relevant pas du domaine de la responsabilité de l'Etat pour les activités médicales, pour lequel la voie du recours en matière civile est exceptionnellement ouverte (cf. art. 30 al. 1 lettre c ch. 1 et 31 al. 1 lettre d du règlement du Tribunal fédéral du 20 novembre 2006 [RTF; RS 173.110.131] et <ref-ruling> consid. 2.1). La fausse désignation du recours n'a au demeurant pas de conséquence pour le recourant, si l'écriture déposée répond aux conditions de recevabilité du recours en matière de droit public (cf. <ref-ruling> consid. 1a p. 508).
1.2 L'arrêt attaqué, qui déboute le recourant de sa demande en paiement, est une décision finale rendue par une autorité cantonale de dernière instance, qui ne peut faire l'objet d'un recours au Tribunal administratif fédéral (cf. art. 86 al. 1 lettre d et 90 LTF). Le recourant est légitimé à agir sur la base de l'<ref-law>. Il a déposé son recours en temps utile compte tenu des féries (cf. art. 46 al. 1 lettre a et 100 LTF) et dans les formes requises (cf. <ref-law>). Dans le domaine de la responsabilité étatique, la valeur litigieuse doit atteindre la limite de 30'000 fr. (<ref-law>), en étant calculée sur la base des conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (<ref-law>), abstraction faite des intérêts et dépens réclamés comme droits accessoires (<ref-law>). En l'occurrence, devant l'instance d'appel, le recourant a conclu au paiement de 56'173 fr. La Cour cantonale ayant retenu que, sur ce montant, la somme de 42'000 fr. correspondait au capital, le reste représentant les intérêts, force est d'admettre que la valeur litigieuse requise est atteinte.
1.3 Selon l'<ref-law>, le recours (ordinaire) au Tribunal fédéral peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (lettre a), qui comprend notamment les normes de la Constitution fédérale, au nombre desquelles figure la protection contre l'arbitraire (art. 9 Cst.). Par conséquent, une application arbitraire du droit cantonal est contraire au droit fédéral et constitue un motif de recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 251/252). Aux termes de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine la violation de dispositions de droit cantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. Cette disposition reprend le principe d'allégation (Rügeprinzip) que la pratique relative au recours de droit public avait établi en relation avec l'art. 90 OJ (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254; <ref-ruling> consid. 6 p. 397). Selon cette pratique, dans un recours pour arbitraire fondé sur l'art. 9 Cst., l'intéressé ne peut se contenter de critiquer l'arrêt attaqué comme il le ferait dans une procédure d'appel où l'autorité de recours peut revoir librement l'application du droit. Il doit préciser en quoi cet arrêt serait arbitraire, ne reposerait sur aucun motif sérieux et objectif, apparaîtrait insoutenable ou heurterait gravement le sens de la justice (<ref-ruling> consid. 7a p. 312; <ref-ruling> consid. 1b p. 495 et la jurisprudence citée).
2. 2.1 Le recourant prétend que l'autorité intimée aurait méconnu l'autorité de la chose jugée et violé l'<ref-law> - applicable comme droit cantonal supplétif en vertu de l'<ref-law> -; elle aurait de plus appliqué arbitrairement les art. 1 et 2 LREC, ce qui porterait atteinte à l'art. 2 de la Constitution genevoise du 24 mai 1847 (RS/GE A 2 00). Il soutient en substance que l'autorité intimée n'était pas fondée à considérer que sa demande était (partiellement) irrecevable en raison de l'autorité de la chose jugée attachée à son premier jugement. Une décision de justice ne serait en effet revêtue de l'autorité de la chose jugée que pour autant qu'il s'agisse de la même prétention, c'est-à-dire d'une prétention reposant sur la même cause juridique et le même état de fait. Or, dans le cas particulier, la prétention invoquée dans la présente procédure ne serait pas identique à celle qui a fait l'objet de la procédure close par arrêt du 20 janvier 2006; en particulier, elle ne reposerait pas sur la même cause. Dans la première procédure, en effet, l'autorité intimée aurait retenu une responsabilité subsidiaire de l'intimé à l'égard du pupille du recourant en vertu des règles sur la tutelle (<ref-law>). Dans la présente procédure, en revanche, elle aurait admis, en suivant l'argumentation du recourant, que l'intimé répondait solidairement avec ce dernier du dommage subi par le pupille et que le recourant faisait ainsi valoir à l'égard de l'intimé une prétention récursoire - fondée sur l'<ref-law> -, après avoir intégralement remboursé le pupille.
2.2 Selon la jurisprudence, l'autorité de la chose jugée relève du droit fédéral pour autant que les prétentions déduites en justice se fondent sur ce droit (<ref-ruling> consid. 1 p. 242; <ref-ruling> consid. 2 p. 476 s.). En l'occurrence, les prétentions que le recourant a fait valoir à l'égard de l'intimé dans la procédure close par arrêt du 20 janvier 2006 reposent sur la loi genevoise sur la responsabilité de l'Etat et des communes (plus précisément sur l'art. 1 ou l'art. 2 de ladite loi, selon que le tuteur général est considéré comme un magistrat ou comme un fonctionnaire ou agent), soit sur du droit cantonal, de sorte que l'autorité de la chose jugée de l'arrêt précité est elle aussi régie par ce droit. Dès lors, en vertu de l'<ref-law>, le recourant aurait dû démontrer que l'autorité de la chose jugée telle que garantie par le droit cantonal a été arbitrairement appliquée, ce qu'il ne fait pas clairement.
On peut donc douter que le grief soit recevable. Au demeurant, on ne saurait en tout cas qualifier d'arbitraire le point de vue de l'autorité intimée selon lequel les montants que le recourant a versés à son pupille en 2003 sont couverts par l'autorité de la chose jugée. En effet, en procédure civile genevoise - les actions en responsabilité contre l'Etat de Genève et ses communes étant de la compétence des tribunaux civils, qui appliquent la loi de procédure civile (cf. <ref-law>) -, comme en droit fédéral, l'autorité de la chose jugée suppose d'abord un jugement passé en force, c'est-à-dire un jugement qui ne peut plus être remis en discussion ni par les parties, ni par les tribunaux (arrêt 5C.242/2003 du 20 février 2004, consid. 2.1). En outre, l'autorité de la chose jugée d'une décision passée en force ne peut être invoquée dans une autre procédure que si les parties et l'objet du litige sont identiques (Bertossa/Gaillard/Guyet/Schmidt, Commentaire de la loi de procédure civile du canton de Genève du 10 avril 1987, Genève 1988 ss, n. 10 ad art. 99). Tel est le cas lorsque, dans l'un et l'autre procès, les parties ont soumis au juge la même prétention en se fondant sur la même cause juridique et sur les mêmes faits (<ref-ruling> consid. 1 p. 242; <ref-ruling> consid. 2a p. 18; <ref-ruling> consid. 4a p. 477; cf. également <ref-ruling> consid. 3b p. 286). En principe, seul le jugement au fond (Sachurteil) jouit de l'autorité de la chose jugée. Il faut donc que le juge ait examiné le fondement matériel de la prétention déduite en justice; pour déterminer si cette condition est réalisée, il y a lieu de se référer aux motifs du jugement, même si l'autorité de la chose jugée ne s'attache qu'au dispositif (<ref-ruling> consid. 4a p. 195; <ref-ruling> consid. 3b p. 13). Des éléments de l'état de fait soumis à l'appréciation des juges dans le premier procès ne peuvent faire l'objet d'une nouvelle demande; seuls des faits survenus postérieurement au moment où ils pouvaient encore être invoqués devant le juge du premier procès peuvent fonder une nouvelle demande (Bertossa/Gaillard/Guyet/ Schmidt, op. cit., n. 10 ad art. 99).
En l'espèce, l'arrêt de la Cour de justice du 20 janvier 2006 est entré en force. Il opposait les mêmes parties. Dans le cadre de ce premier procès, le recourant a notamment réclamé 118'650 fr. correspondant à la somme détournée par A._ du compte bancaire de son pupille. Les juges ont refusé d'indemniser le recourant pour ce poste du dommage en relevant que, comme l'<ref-law> prévoyait une responsabilité des organes de tutelle en cascade, il appartenait en premier lieu au recourant de rembourser son pupille; or, à ce jour (soit au 20 janvier 2006), le recourant n'avait pas indiqué avoir dû le faire et, s'il n'y parvenait pas, l'Etat de Genève aurait pu être amené à devoir payer deux fois. Dans la présente procédure, le recourant fait valoir ce même poste du dommage et, quoi qu'il en dise, sa prétention repose sur la même cause juridique, dans le même contexte que celui de l'arrêt du 20 janvier 2006. Reste à savoir si le fait que le recourant a démontré, dans la présente procédure, avoir payé le montant de 118'650 fr. plus intérêt à son pupille est un élément qui justifie une nouvelle demande. A ce propos, comme l'a retenu pertinemment la cour cantonale, il faut distinguer les montants versés en 2003 du solde dont le recourant s'est acquitté en février 2006. En ce qui concerne les versements effectués en 2003, il appartenait au recourant de les invoquer dans le cadre de la première procédure. Les juges lui ont du reste précisément reproché de ne pas avoir apporté la preuve de ces versements et c'est la raison pour laquelle ils ont rejeté ses prétentions. Dans ces circonstances, il n'est manifestement pas insoutenable d'admettre que, compte tenu de l'autorité de chose jugée que revêt l'arrêt du 20 janvier 2006, le recourant ne peut réclamer le remboursement de ces mêmes montants dans une nouvelle procédure.
Les critiques du recourant, qui reposent sur une appréciation juridique différente des mêmes faits, tombent à faux. En particulier, l'argumentation selon laquelle, dans la présente procédure, il ferait valoir une prétention récursoire fondée sur l'<ref-law> repose sur la prémisse qu'à l'égard du pupille l'intimé était tenu solidairement avec lui - et non pas seulement subsidiairement en vertu des règles sur la tutelle. Or, une telle responsabilité de l'intimé envers le pupille, fondée sur la loi genevoise sur la responsabilité de l'Etat et des communes, n'est pas établie; seule sa responsabilité à l'égard du recourant a été admise (tant lors du premier procès que dans la présente procédure).
Au vu de ce qui précède, le recours est mal fondé dans la mesure où il porte sur l'autorité de la chose jugée dont est revêtu l'arrêt du 20 janvier 2006.
Quant à la prétendue violation de l'art. 2 de la Constitution genevoise - disposition intitulée "Egalité devant la loi" -, ce grief n'est pas motivé de manière conforme à l'<ref-law> et est partant irrecevable.
3. 3.1 En second lieu, le recourant reproche à la cour cantonale de n'avoir pas pris en compte, dans le montant dû, les intérêts sur le capital de 42'000 fr. courus entre le 1er décembre 2003 et le 16 février 2006 et versés en 2006. De ce que l'on peut comprendre de l'argumentation du recourant (dont on peut se demander si elle remplit les exigences de l'<ref-law>), il ressort que l'Etat de Genève, en qualité de codébiteur solidaire, aurait concouru à la survenance et à l'aggravation du dommage et que c'est donc arbitrairement que la cour cantonale a nié l'existence d'un lien de causalité naturelle entre les intérêts compensatoires courus durant la période précitée et l'acte illicite de l'Etat de Genève. En outre, elle aurait, sur ce point, également méconnu la notion de causalité adéquate, appliquée à titre de droit cantonal supplétif, violant ainsi l'art. 2 de la Constitution genevoise.
3.2 Comme pour le grief précédent, le recourant part d'une prémisse juridique erronée. En effet, il n'est pas établi que l'intimé répondait solidairement, à ses côtés, du dommage subi par le pupille. En particulier, une telle responsabilité ne ressort pas de l'arrêt du Tribunal de céans du 23 novembre 2004, lequel s'est prononcé uniquement sur la responsabilité de l'intimé à l'égard du recourant. De plus, l'arrêt du 20 janvier 2006 précisait bien la nature subsidiaire de la responsabilité du canton, découlant de l'<ref-law>. Le recourant lui-même ne s'est prévalu d'une responsabilité solidaire de l'intimé pour le dommage subi par son pupille que dans son mémoire d'appel du 31 octobre 2007. La responsabilité de l'intimé en vertu des règles sur la tutelle n'étant que subsidiaire, on ne saurait lui reprocher d'avoir "concouru à la survenance et à l'aggravation du dommage" en ne versant pas le solde de l'indemnité due au pupille. De son côté, le recourant savait qu'en vertu de ces dispositions, il répondait à titre primaire du dommage subi par son pupille. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle, à la date du 30 novembre 2003, il avait remboursé à ce dernier les intérêts et environ les deux tiers du capital détourné (76'650 fr. sur un total de 118'650 fr.). Les critiques liées à la causalité naturelle et adéquate tombent donc à faux.
Dans ces conditions, il n'est pas arbitraire de considérer, comme l'a fait l'autorité intimée, qu'en attendant le mois de février 2006 pour verser le solde du capital dû (42'000 fr.), le recourant a tardé et a ainsi manqué à son obligation de réduire son dommage (<ref-law> applicable à titre de droit cantonal supplétif). Partant, le recours doit également être rejeté sur ce point.
4. 4.1 Le recourant reproche à l'intimé de s'être comporté de manière contradictoire et, partant, contraire aux règles de la bonne foi (<ref-law>): alors que, dans un premier temps, son comportement aurait donné à penser que "la seule raison pour laquelle il se refusait de payer sa part de responsabilité dans le dommage causé au pupille était qu'il ne voulait pas avoir à payer deux fois", il se serait ensuite, une fois ce risque écarté, retranché derrière l'autorité de la chose jugée du premier jugement.
4.2 En argumentant de la sorte, le recourant se prévaut du principe de la protection de la bonne foi, qui est ancré à l'art. 9 Cst. et vaut pour l'ensemble de l'activité étatique. Ce principe confère au citoyen, à certaines conditions, le droit d'exiger des autorités qu'elles se conforment aux promesses ou assurances précises qu'elles lui ont faites et ne trompent pas la confiance qu'il a légitimement placée dans ces promesses et assurances (cf. p. ex. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 636). En l'occurrence, quoi qu'en dise le recourant, le comportement de l'intimé lors de la première procédure ne saurait être interprété comme une assurance donnée qu'il l'indemniserait à la (seule) condition qu'il prouve avoir remboursé son pupille. Du reste, comme le recourant avait déjà partiellement remboursé celui-ci en 2003, il ne peut s'en prendre qu'à lui-même s'il a négligé d'alléguer ce fait - preuve à l'appui - dans le premier procès. Dès lors, le recours est mal fondé à cet égard aussi.
5. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable.
Succombant, le recourant supporte les frais judiciaires (<ref-law>) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).
Selon l'<ref-law>, en règle générale, aucuns dépens ne sont alloués aux cantons lorsqu'ils obtiennent gain de cause dans l'exercice de leurs attributions officielles. A certaines conditions, la jurisprudence fait une exception dans le domaine de la responsabilité de l'Etat (cf. arrêt 5A_306/2007 du 19 septembre 2007 consid. 6; 2C.3/2005 du 10 janvier 2007 consid. 7.2). Ces conditions n'étant pas réunies en l'espèce, il n'y a pas lieu de déroger à la règle de l'<ref-law>. Il en va spécialement ainsi du fait qu'au vu de l'importance relative des intérêts économiques en jeu, l'intimé aurait pu procéder par l'intermédiaire de ses propres services juridiques.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Des frais judiciaires de 3'500 fr. sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant et de l'intimé ainsi qu'à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 29 août 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Merkli Vianin