Faits:
A.
A la suite d'un cambriolage perpétré le 19 juillet 2013, A._ a été arrêté ce même jour par la police valaisanne et une instruction pour vol, dommages à la propriété et violation de domicile a été ouverte à son encontre par le Ministère public de l'Office régional du Bas-Valais. Dans le cadre de l'enquête, le prévenu a été entendu à différentes reprises; il a notamment reconnu avoir commis, avec des compatriotes, 31 vols par effraction, ainsi que 12 tentatives de vols par effraction (cf. en particulier le procès-verbal d'audience du 29 juillet 2013 et la liste des infractions reprochée établie par le Ministère public à l'appui de sa requête de prolongation de la détention du 14 octobre 2013).
Par ordonnance du 22 juillet 2013, le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) a prononcé le placement en détention provisoire de A._, retenant l'existence de forts soupçons de commission d'infractions, ainsi que d'un risque de collusion. Cette mesure a été prolongée jusqu'au 25 janvier 2014 par le Tmc le 25 octobre 2013 en raison d'un danger de fuite.
B.
Le 21 novembre 2013, le Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal valaisan a rejeté le recours intenté par l'intéressé. Cette autorité a considéré que le droit d'être entendu du prévenu n'avait pas été violé par l'absence d'audience devant le Tmc, dès lors que A._ n'avait ni formellement demandé une telle séance, ni prétendu que la recherche de la vérité commandait de l'ordonner. Selon la juridiction précédente, un risque de fuite paraissait concrètement élevé au vu des infractions reprochées, de la possible lourde sanction qui pourrait en découler, de l'absence de revenu en Suisse et des liens existants avec le pays d'origine du prévenu. Elle a encore estimé qu'aucune mesure de substitution ne permettait de pallier ce danger, relevant que la durée de la détention provisoire alors subie (quatre mois) était proportionnée.
C.
Par acte du 23 décembre 2013, A._ forme un recours en matière pénale contre ce jugement, concluant à son annulation et à sa mise en liberté avec effet immédiat. Il requiert, à titre subsidiaire, le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invités à déposer des observations, le Ministère public, ainsi que l'autorité précédente ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière pénale (<ref-law>) est en principe ouvert contre une décision relative à la détention provisoire ou pour motifs de sûreté au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 23). Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF, le prévenu a qualité pour agir. Le recours a été formé en temps utile contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>. Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Se référant à l'art. 9 Cst., le recourant soutient que l'autorité précédente aurait procédé à une constatation manifestement inexacte des faits en retenant qu'aucune demande formelle d'audience devant le Tmc n'aurait été déposée. Or, selon l'intéressé, il aurait formulé une telle requête dans ses déterminations du 21 octobre 2013.
Certes, l'hypothèse d'une audience a été mentionnée par le recourant dans l'écriture susmentionnée ("il est requis le refus de la demande de prolongation et la remise en liberté immédiate de Monsieur A._, le cas échéant, suite une séance auprès [du Tmc]"). Cependant, même en présence d'une telle requête, le recourant ne disposait pas d'un droit absolu à être entendu oralement puisque l'<ref-law> prévoit que la procédure de prolongation de la détention se déroule en règle générale par écrit (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 188 s.). Le Tmc pouvait donc statuer sur la base du dossier et des écritures des parties s'il s'estimait suffisamment renseigné; cela vaut d'autant plus en l'espèce que le recourant n'a pas motivé sa demande, se limitant à évoquer une telle possibilité. Il s'ensuit que la conclusion de l'autorité cantonale en lien avec cet élément de fait - absence de violation du droit d'être entendu du recourant - n'est pas arbitraire (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.).
Partant, ce grief doit être écarté.
3.
Une mesure de détention préventive n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 2c p. 270). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP).
Préalablement à l'examen de ces hypothèses, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (<ref-law>; art. 5 § 1 let. c CEDH; arrêt 1B_63/2007 du 11 mai 2007 consid. 3 non publié in <ref-ruling>), condition dont la réalisation n'est pas en l'espèce remise en cause.
4.
Le recourant soutient en revanche que le risque de fuite ne serait pas suffisant pour justifier son maintien en détention et que des mesures de substitution permettraient de pallier ce danger.
4.1. Conformément à l'<ref-law>, la détention pour des motifs de sûreté peut être ordonnée s'il y a sérieusement lieu de craindre que le prévenu se soustraie à la procédure pénale ou à la sanction prévisible en prenant la fuite. Selon la jurisprudence, le risque de fuite doit s'analyser en fonction d'un ensemble de critères tels que le caractère de l'intéressé, sa moralité, ses ressources, ses liens avec l'État qui le poursuit ainsi que ses contacts à l'étranger, qui font apparaître le risque de fuite non seulement possible, mais également probable. La gravité de l'infraction ne peut pas, à elle seule, justifier la prolongation de la détention, même si elle permet souvent de présumer un danger de fuite en raison de l'importance de la peine dont le prévenu est menacé (<ref-ruling> consid. 3a p. 62 et les arrêts cités). Il est enfin sans importance que l'extradition du prévenu puisse être obtenue (<ref-ruling> consid. 3d p. 36 s.).
4.2. En l'occurrence, il n'est pas contesté que le recourant vit en Suisse depuis cinq ans. Cependant, cette durée ne suffit pas à établir que le recourant aurait développé des liens si forts avec la Suisse qu'il n'envisagerait pas de la quitter au regard de la procédure pénale instruite à son encontre et de la sanction qu'il encourt. En effet, le recourant, de nationalité portugaise, ne dispose pas en Suisse d'un permis d'établissement, mais d'un titre de séjour à caractère temporaire (permis B échéant en avril 2017); son renouvellement pourrait d'ailleurs être remis en cause par l'instruction en cours, respectivement en raison du jugement qui pourrait être rendu. En outre, le seul écoulement du temps depuis son installation à Orsières ne permet pas de retenir l'existence de liens d'amitié avec des gens de ce village et ses collègues de travail, faute notamment d'élément concret venant appuyer cette allégation. Il sied au contraire de relever que les infractions commises, pour le moins dès mars 2012 - soit pourtant quatre ans après son installation en Suisse -, l'ont été avec des compatriotes. Ce n'est dès lors pas avec ceux-ci que le recourant - à qui certes il ne peut être reproché d'avoir eu recours à un traducteur dans le cadre de la procédure pénale - aurait pu améliorer ses connaissances en français, élément que pouvait donc retenir l'instance précédente pour appuyer sa conviction d'un possible défaut d'intégration. De plus, sur le plan professionnel, le recourant ne bénéficie pas de perspectives de travail à ce jour; la volonté qu'il affiche de trouver un emploi ne peut pallier la mauvaise conjoncture du monde de la construction, ni le fait que certains des employeurs contactés sont également les victimes présumées du recourant (cf. les copies des offres d'emploi envoyées le 7 novembre 2013 en lien avec les infractions no 5, 6 10 et 22 et la tentative no 1 de la liste du Ministère public). Il peut encore être relevé que la demande de la part d'une entreprise de location de service en vue d'obtenir ses coordonnées ne garantit pas un poste de travail; le recourant n'allègue d'ailleurs pas devant le Tribunal de céans que ce contact aurait abouti à une promesse d'engagement.
Certes, sa femme et son fils résident en Suisse. Cependant, au vu des éléments précédents, cette circonstance ne semble pas suffisante pour éviter tout risque de fuite à l'étranger, notamment dans son pays d'origine. En effet, le recourant y a vécu pendant vingt-et-un ans, il s'y rend plusieurs semaines par année, ses parents y résident et ses beaux-parents y sont propriétaires d'un bien immobilier. Quant à son épouse, elle dispose également de la nationalité portugaise et leur enfant n'a pas encore été scolarisé en Valais. Leurs attaches avec la Suisse paraissent donc également très restreintes. Un tel lien ne peut en particulier pas découler du "maigre revenu" que la femme du recourant percevrait à la suite de quelques heures de repassage (cf. le mémoire de recours p. 4), emploi qu'elle n'a par ailleurs recherché qu'à la suite de la détention de son époux (cf. le mémoire de recours, p. 6).
En conséquence, au regard des liens d'attache ténus avec la Suisse, de l'absence de perspective d'emploi notamment à court terme dans ce pays, de la nationalité du recourant lui permettant de s'installer et/ou de travailler dans son pays d'origine, des chefs d'infraction examinés (vol en bande et par métier), du cadre légal de la peine pouvant découler de chacune de ces infractions (peine privative de liberté de dix ans au plus [art. 139 ch. 2 et 3 al. 2 CP]), le Juge unique pouvait considérer, sans violer le droit fédéral, qu'il existait un risque concret que le recourant quitte la Suisse afin de se soustraire aux autorités pénales.
4.3. Conformément au principe de proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst.), il convient encore d'examiner les possibilités de mettre en oeuvre d'autres solutions moins dommageables que la détention. Cette exigence est concrétisée par l'<ref-law>, qui prévoit que le tribunal compétent ordonne une ou plusieurs mesures moins sévères en lieu et place de la détention si celles-ci permettent d'atteindre le même but.
En l'espèce, ainsi que l'a retenu l'instance cantonale, les mesures proposées par le recourant paraissent clairement insuffisantes. Il apparaît en effet que la fourniture de sûreté (<ref-law>) n'est pas envisageable, le recourant étant sans emploi et son épouse ne percevant que de très faibles revenus. Quant à l'obtention d'un montant de la part de ses beaux-parents, une telle hypothèse n'est pas crédible puisque le recourant affirme lui-même que, préalablement, il les assistait financièrement (cf. le mémoire de recours p. 6). Enfin, le recourant n'apporte aucune démonstration que ses propres parents - résidant par ailleurs à l'étranger - soient réellement dans la mesure de l'aider sur ce plan. S'agissant ensuite de la saisie de son passeport (<ref-law>), de l'obligation de se présenter à un service de police (art. 237 al. 2 let. d CPP) et de l'assignation à domicile (art. 237 al. 2 let. c CPP), ces mesures ne sont pas de nature à empêcher une personne dans la situation du recourant de passer la frontière suisse. Quant à la surveillance électronique, elle ne constitue pas en soi une mesure de substitution, mais un moyen de contrôler une telle mesure, notamment une assignation à résidence (arrêts 1B197/2013 du 26 juin 2013 consid. 4.4; 1B_447/2011 du 21 septembre 2011 consid. 3.4). S'il apparaît comme en l'occurrence que celle-ci n'est pas apte à prévenir le risque de fuite, la surveillance électronique, dépourvue en général d'effet préventif, ne saurait être mise en oeuvre. Enfin, le recourant ne remet pas en cause la durée de la détention provisoire, qui reste par ailleurs à ce jour proportionnée à la peine encourue (arrêt 1B_338/2013 du 16 octobre 2013 consid. 3.1 destiné à la publication).
4.4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Mathieu Dorsaz en qualité d'avocat d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Mathieu Dorsaz est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office régional du Ministère public du Bas-Valais et au Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 16 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf