Faits:
A. A._ et B._ sont copropriétaires de la parcelle n° 186 du registre foncier de la commune de Belmont-sur-Lausanne. Cette parcelle non construite, de 6'600 mètres carrés, est comprise dans le périmètre du plan de quartier "En Arnier" approuvé par le Conseil d'Etat du canton de Vaud le 18 décembre 1985. Située à l'entrée ouest de la localité, en forte pente et boisée sur sa partie inférieure par un cordon d'arbres, elle est bordée à l'ouest par la route cantonale des Monts-de-Lavaux, qu'elle surplombe, au nord par la parcelle n° 351, appartenant à la société C._, sur laquelle se trouve le bâtiment communément appelé le musée Deutsch, à l'est par la route d'Arnier, qui dessert un quartier de bâtiments d'habitation comprenant des appartements et quelques commerces, et au sud par deux parcelles supportant respectivement un parking collectif et une villa.
En 1990, un projet d'implantation de bâtiments en terrasses, en accord avec ce que prévoyait le plan de quartier "En Arnier", a été autorisé mais ne s'est pas concrétisé pour des raisons financières. En 2003, les propriétaires de la parcelle n° 186 ont soumis à la Municipalité de Belmont-sur-Lausanne plusieurs projets de plan de quartier prévoyant l'implantation de bâtiments en hauteur, accolés et formant un bloc rectangulaire. Ces projets se sont heurtés au refus des autorités communales au motif que les constructions prévues ne s'intégraient pas au quartier supérieur déjà construit, présentaient un aspect trop compact et n'offraient pas ou du moins pas suffisamment de césures. La Municipalité de Belmont-sur-Lausanne a donné son aval à un nouveau plan de quartier "En Arnier II", avec son règlement, propre à la parcelle n° 186. Ce plan aménage une surface constructible potentielle de 5'463 mètres carrés répartie sur quatre éléments de construction juxtaposés, reliés par des intervalles vitrés et couverts susceptibles d'accueillir les ascenseurs et les escaliers d'accès aux appartements. Il définit trois enveloppes volumiques périphériques horizontales de construction en toiture et trois séries de quatre enveloppes volumiques périphériques verticales de construction hors terre partiellement bâties en vue d'assouplir les lignes constructives et de ménager des espaces de transition entre l'intérieur et l'extérieur.
Le plan de quartier "En Arnier II" a été mis à l'enquête publique du 15 décembre 2006 au 24 janvier 2007, avec le plan d'implantation. Il a fait l'objet de quatre oppositions, dont celle de la société C._. Par décision du 3 mai 2007, le Conseil communal de Belmont-sur-Lausanne a adopté le plan de quartier "En Arnier II" ainsi que son règlement et levé les oppositions, faisant siennes les déterminations de la Municipalité à ce sujet. Le Département des institutions et des relations extérieures du canton de Vaud a approuvé préalablement ce plan le 20 juin 2007.
Au terme d'un arrêt rendu le 16 janvier 2008, le Tribunal administratif du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal administratif ou la cour cantonale) a admis le recours formé par la société C._ contre ces décisions qu'il a annulées. Il a considéré en substance que le projet de plan de quartier "En Arnier II" ne satisfaisait pas aux objectifs d'intégration définis à l'art. 3 al. 2 let. b de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700) et qu'il n'était pas possible de corriger les défauts qui l'affectait ultérieurement, au stade d'un projet de construction proprement dit.
B. A._ et B._ ont déposé un recours en matière de droit public contre cet arrêt en date du 15 février 2008 (cause 1C_82/2008). La Commune de Belmont-sur-Lausanne en a fait de même par acte séparé du 18 février 2008 (cause 1C_84/2008). Ils demandent tous deux au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal administratif du 16 janvier 2008 en ce sens que le recours de la société C._ est rejeté, respectivement que les décisions rendues le 3 mai 2007 par le Conseil communal de Belmont-sur-Lausanne et le 20 juin 2007 par le Département des institutions et des relations extérieures sont maintenues. Subsidiairement, ils concluent à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause au Tribunal administratif pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Ils reprochent au Tribunal administratif d'avoir substitué indûment son pouvoir d'appréciation à celui des autorités communales et d'avoir violé leur droit d'être entendus en ne tenant pas de procès-verbal de l'inspection locale à laquelle il a procédé, respectivement en admettant le recours de l'opposante pour des motifs à propos desquels ils n'ont pas eu l'occasion de se prononcer.
Le Tribunal administratif et la société C._ concluent au rejet des recours. Le Service cantonal du développement territorial a renoncé à déposer des observations.

Considérant en droit:
1. Les recours sont formés contre un seul et même arrêt, portant sur le même objet. Les recourants invoquent des griefs en grande partie identiques et ne font valoir aucun intérêt contradictoire commandant un prononcé séparé. Par conséquent, il se justifie de joindre les deux causes et de statuer par un seul arrêt (art. 24 PCF applicable vu le renvoi de l'art. 71 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral [LTF; RS 173.110]).
2. Dirigés contre une décision annulant en dernière instance cantonale un plan de quartier, les recours sont recevables comme recours en matière de droit public au sens des art. 82 ss LTF et de l'art. 34 al. 1 LAT dans sa teneur actuelle selon le ch. 64 de l'annexe à la loi sur le Tribunal administratif fédéral (<ref-ruling> consid. 2 p. 403). Aucun des motifs d'exclusion définis à l'art. 83 LTF n'est réalisé.
En tant que propriétaires de la parcelle n° 186, A._ et B._ peuvent se prévaloir d'un intérêt digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué qui refuse le plan de quartier destiné à la développer pour des raisons d'intégration. Ils ont participé à la procédure de recours devant le Tribunal administratif. Leur qualité pour agir est manifeste. La Commune de Belmont-sur-Lausanne est habilitée à recourir en vertu de l'art. 89 al. 2 let. c LTF dans la mesure où elle invoque une violation de l'autonomie qui lui serait reconnue dans l'aménagement et la planification de son territoire. Savoir si elle est effectivement autonome dans le domaine en cause n'est pas une question de recevabilité, mais constitue l'objet d'une appréciation au fond (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 69; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 412 et les arrêts cités). Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont réunies de sorte qu'il convient de statuer sur le fond.
3. Selon l'art. 50 al. 1 Cst., l'autonomie communale est garantie dans les limites fixées par le droit cantonal. Une commune bénéficie de la protection de son autonomie dans les domaines que le droit cantonal ne règle pas de manière exhaustive mais laisse en tout ou en partie dans la sphère communale, lui accordant une liberté de décision importante. Le domaine d'autonomie protégé peut consister dans la faculté d'adopter ou d'appliquer des dispositions de droit communal ou encore dans une certaine liberté dans l'application du droit fédéral ou cantonal. Pour être protégée, l'autonomie ne doit pas nécessairement concerner toute une tâche communale, mais uniquement le domaine litigieux. L'existence et l'étendue de l'autonomie communale dans une matière concrète sont déterminées essentiellement par la constitution et la législation cantonales (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 130 et les arrêts cités).
Il est manifeste que la Commune de Belmont-sur-Lausanne, à l'instar des autres communes vaudoises, jouit d'une autonomie protégée dans l'adoption ou la révision des plans d'affectation locaux régissant son territoire (cf. art. 139 let. d de la Constitution vaudoise du 14 avril 2003; art. 2 al. 1, 17, 17a et 43 ss de la loi cantonale sur l'aménagement du territoire et les constructions [LATC]; cf. notamment arrêts 1P.71/2005 du 25 avril 2005 et 1P.167/2003 du 3 juillet 2003 publié in RDAF 2004 I p. 114). Dans la mesure où son autonomie est en cause, elle peut exiger que l'autorité cantonale respecte les limites de sa compétence et qu'elle applique correctement les dispositions du droit fédéral, cantonal ou communal qui règlent la matière. Elle peut aussi invoquer, en tant que partie au procès, les garanties générales de procédure tirées du droit d'être entendu, dans la mesure où ce grief est en relation étroite avec le grief de violation de l'autonomie. Dans ce cadre, le Tribunal fédéral examine sous l'angle de l'arbitraire l'application des lois et règlements cantonaux ou communaux (arrêt 1C_183/2007 du 5 février 2008 consid. 2.2 destiné à la publication; cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 93 et les arrêts cités).
4. Les recourants sollicitent une inspection locale de manière à constater que les bâtiments existants dans le périmètre du plan de quartier "En Arnier" ne présentent pas une orientation unique et que les bâtiments projetés suivent la courbe naturelle du terrain contrairement à ce que retient le Tribunal administratif. Les plans et autres documents versés au dossier permettent de se faire une idée suffisamment précise de la pente qui caractérise la parcelle n° 186 et de l'orientation des bâtiments existants dans le secteur et de ceux autorisés par le plan de quartier litigieux sans qu'il soit nécessaire de se rendre sur place pour le constater. Il n'y a donc pas lieu de donner suite à la requête d'inspection locale des recourants.
5. Ces derniers voient une violation de leur droit d'être entendus dans le fait que le Tribunal administratif n'a pas tenu de procès-verbal de l'inspection locale à laquelle il a procédé en leur absence et qu'il n'a pas fait porter l'instruction sur l'intégration des bâtiments prévus par le plan litigieux dans leur environnement naturel et bâti.
5.1 Le droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. accorde aux justiciables le droit de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à leur détriment, de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur la décision, d'avoir accès au dossier, de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 à 4.6 p. 102; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 504; <ref-ruling> consid. 2b p. 56; <ref-ruling> consid. 2b p. 102 et les arrêts cités). L'autorité qui verse au dossier de nouvelles pièces dont elle entend se prévaloir dans son jugement est tenue d'en aviser les parties et de leur donner l'occasion de se déterminer à leur sujet (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 388; <ref-ruling> consid. 2b p. 137 et les arrêts cités). Il en va de même lorsqu'elle entend retenir une argumentation juridique inédite dont les parties ne pouvaient guère discerner la pertinence en l'espèce (<ref-ruling> consid. 2c/aa p. 22; <ref-ruling> consid. 3c p. 52; <ref-ruling> consid. 1b p. 96 et les références citées).
Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. confère par ailleurs aux parties le droit d'obtenir que leurs déclarations et celles de témoins ou d'experts qui sont importantes pour l'issue du litige soient consignées dans un procès-verbal, tout au moins dans leur teneur essentielle; la consignation des déclarations dans une note du dossier ou dans les considérants de la décision ne saurait pallier l'absence de procès-verbal. La verbalisation des déclarations pertinentes vise à donner l'occasion aux parties de participer à l'administration des preuves et de se prononcer effectivement sur leur résultat. Elle doit aussi permettre à l'autorité de recours de contrôler, s'il y a lieu, que les faits ont été constatés correctement par l'autorité inférieure (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 679; <ref-ruling> consid. 2a/aa p. 16 et les références citées).
5.2 La jurisprudence précitée concerne avant tout les déclarations des parties, des témoins ou encore des experts. La question de savoir si elle doit également s'appliquer aux constatations de fait résultant d'une inspection locale ou s'il suffit qu'elles ressortent clairement des considérants du jugement (cf. en ce sens, arrêt 1C_134/2007 consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2 p. 217; <ref-ruling> consid. 2a p. 75) peut demeurer indécise. Les recourants ont en effet renoncé à participer à l'inspection locale que le Tribunal administratif a mise en oeuvre après la séance d'instruction tenue en salle communale en présence des parties. Ils n'ont pas davantage exigé que des photographies des lieux soient prises à cette occasion, comme l'autorise le droit cantonal de procédure (cf. art. 49a de la loi vaudoise sur la juridiction et la procédure administratives [LJPA]), ou qu'un compte-rendu des faits pertinents soit établi et leur soit soumis pour détermination. Dans ces conditions, la cour cantonale n'a pas violé le droit d'être entendu des parties en ne tenant pas un procès-verbal et en relatant les faits pertinents pour l'issue du litige dans les considérants de son arrêt. Au demeurant, les constatations de fait que les recourants tiennent pour inexactes portent sur l'implantation des bâtiments autorisés par le plan de quartier litigieux dans la pente naturelle du terrain, leur orientation par rapport aux constructions existantes et leur intégration dans l'environnement bâti. Ces éléments ressortent des plans et autres documents versés au dossier de sorte que le Tribunal fédéral est en mesure de constater l'exactitude des constatations de fait contenues à cet égard dans l'arrêt attaqué.
Par ailleurs, la société C._ se plaignait devant le Tribunal administratif de la mauvaise intégration des bâtiments projetés dans le paysage et par rapport aux constructions existantes, en raison de leur volume, de leur hauteur et de leur aspect monolithique. Elle demandait à ce que seuls des villas individuelles ou des immeubles en terrasses, tels que prévus par le plan de quartier "En Arnier", soient autorisés dans la zone considérée. Elle sollicitait une visite des lieux afin de se rendre compte des problèmes d'esthétique. L'objet du litige consistait ainsi dans la bonne ou la mauvaise intégration dans le site des constructions autorisées par le plan de quartier "En Arnier II". Il importe à cet égard peu que l'opposante se soit fondée sur l'art. 86 LATC plutôt que sur l'art. 3 al. 2 let. b LAT dès lors que le Tribunal administratif n'était pas limité sur ce point par les moyens des parties et devait appliquer le droit d'office en vertu de l'art. 53 LJPA. Les arguments tirés de l'absence d'intégration des bâtiments projetés par le plan dans la courbe naturelle du terrain ou avec les constructions existantes dans le voisinage pour admettre le recours ne devaient donc pas impérativement être soumis préalablement aux parties pour détermination afin de respecter leur droit d'être entendues dans la mesure où ils s'inscrivent dans le cadre du litige tel que l'avait défini la société C._.
Le recours est ainsi mal fondé en tant qu'il porte sur une prétendue violation de l'art. 29 al. 2 Cst.
6. Les recourants reprochent au Tribunal administratif d'avoir substitué sa propre appréciation à celle des autorités communales en matière de planification pour conclure à la non-conformité du projet de plan de quartier aux principes d'aménagement du territoire.
6.1 La loi fédérale sur l'aménagement du territoire définit certains principes à respecter dans la procédure d'établissement des plans d'affectation. Les cantons doivent notamment instituer une protection juridique en faveur des propriétaires ou autres citoyens concernés par la planification, et leur garantir l'accès à au moins une autorité de recours exerçant un libre pouvoir d'examen (art. 33 al. 3 let. b LAT). Selon la jurisprudence, ce libre examen ne se réduit pas à un contrôle complet de la constatation des faits et de l'application du droit; il comporte aussi un contrôle de l'opportunité. L'autorité doit vérifier que la planification contestée devant elle soit juste et adéquate. Son rôle spécifique d'autorité de recours ne se confond toutefois pas avec celui de l'organe compétent pour adopter le plan; elle doit préserver la liberté d'appréciation dont celui-ci a besoin dans l'accomplissement de sa tâche (art. 2 al. 3 LAT). Cette liberté d'appréciation implique qu'une mesure d'aménagement appropriée doit être confirmée; l'autorité de recours n'est pas habilitée à lui substituer une autre solution qui serait également convenable. Elle suppose également que le contrôle de l'opportunité s'exerce avec retenue sur des points qui concernent principalement des intérêts locaux, tandis que, au contraire, la prise en considération adéquate d'intérêts d'ordre supérieur, dont la sauvegarde incombe au canton, doit être imposée par un contrôle strict (<ref-ruling> consid. 3b/aa p. 242; arrêt 1C_348/2007 du 21 décembre 2007 consid. 4.2; arrêt 1P.320/2003 du 22 août 2003 consid. 2).
6.2 En l'occurrence, la cour cantonale a considéré que le projet de plan de quartier ne satisfaisait pas aux objectifs d'intégration au milieu bâti visés à l'art. 3 al. 2 let. b LAT et qu'il n'était pas possible de corriger les défauts qui l'affectait au stade d'un projet de construction proprement dit. On peut se demander si ce faisant, elle a vraiment statué en opportunité, comme elle le prétend, car l'examen du respect des principes d'aménagement du territoire s'inscrit dans le cadre du contrôle de la légalité (cf. arrêt 1C_348/2007 précité consid. 4.2). Peu importe en définitive car elle devait de toute manière respecter la liberté d'appréciation que l'art. 2 al. 3 LAT reconnaît aux autorités communales dans ce domaine et n'intervenir que si le projet était clairement contraire aux principes d'intégration.
6.3 Dans l'accomplissement de leurs tâches, les autorités chargées de l'aménagement du territoire doivent notamment tenir compte de la nécessité de préserver le paysage et veiller à ce que les constructions prises isolément ou dans leur ensemble ainsi que les installations s'intègrent dans le paysage (art. 3 al. 2 let. b LAT). La portée de cette disposition dépend avant tout du degré de protection que requiert le paysage en question. S'il s'agit d'un site sensible, porté à l'inventaire ou présentant des caractéristiques particulières, une exigence plus élevée d'intégration peut se justifier qu'en présence d'un paysage de moindre intérêt (Bernhard Waldmann/Peter Hänni, Raumplanungsgesetz, Berne 2006, n. 27 ad art. 3 LAT, p. 85). Une construction ou une installation s'intègre dans le paysage lorsque son implantation et ses dimensions n'affectent ni les caractéristiques ni l'équilibre du site et si, par sa forme et les matériaux utilisés, elle en respecte l'originalité (DFJP/OFAT, Etude relative à la LAT, Berne 1981, n. 28 ad art. 3 LAT). Pour qu'un projet puisse être condamné sur la base de l'art. 3 al. 2 let. b LAT, il doit porter une atteinte grave à un paysage d'une valeur particulière, qui serait inacceptable dans le cadre d'une appréciation soigneuse des divers intérêts en présence (arrêt 1A.92/1998 du 30 décembre 1998 consid. 5 publié in RDAF 1999 I p. 410). Le Tribunal fédéral a ainsi confirmé un refus fondé sur cette disposition d'admettre un bâtiment au toit à forte pente dans un paysage sensible (arrêt 1A.93/2005 du 23 août 2005 consid. 2.4 publié in ZBl 107/2006 p. 601), d'autoriser un bâtiment qui, par ses dimensions, ne s'intégrait pas aux maisons traditionnelles appenzelloises (arrêt 1A.147/1988 du 14 mars 1990 consid. 5b publié in ZBl 92/1991 p. 179) ou de modifier l'aspect d'une ancienne maison paysanne classée à l'inventaire des monuments dignes de protection (arrêt 1A.66/1996 du 17 mars 1999 consid. 3d). Il a admis qu'une correcte intégration dans le milieu bâti pouvait justifier le classement d'un quartier d'habitation caractérisé par de petites maisons à toits plats dans une zone de toits plats (arrêt 1A.162/2002 du 10 décembre 2002 consid. 5.3.3), l'affectation dans une zone agricole protégée d'un terrain situé à un endroit sensible du point de vue du paysage (arrêt 1P.577/1994 du 29 décembre 1994 consid. 3e) ou encore la création d'un alignement en vue de protéger les rives d'un ruisseau (arrêt 1P.527/1992 du 28 janvier 1993 consid. 3d).
6.4 En l'occurrence, la parcelle n° 186 ne se trouve dans aucun site protégé qui mériterait une protection particulière au regard de l'art. 3 al. 2 let. b LAT. Elle est en revanche comprise dans la zone de la porte d'entrée ouest de la localité que le plan directeur communal prescrit de valoriser de façon particulière, de sorte que le principe d'intégration consacré par cette disposition revêtait une importance certaine dans l'élaboration du plan de quartier litigieux. Cependant, d'une manière générale, il y a lieu de relever que le milieu bâti dans cette zone ne présente pas une homogénéité ou une spécificité particulières qu'il conviendrait de préserver dans toute la mesure du possible en imposant un style de construction donné sur la parcelle n° 186. Selon les plans versés au dossier, le secteur situé en amont de la route d'Arnier se compose d'immeubles locatifs conventionnels, de plusieurs étages, voués à l'habitation ou à des fins d'utilité publique, à l'instar du bâtiment abritant l'administration communale; deux villas individuelles sont édifiées au sud de la parcelle des recourants alors qu'une construction imposante, formée de plusieurs corps, qui abritait anciennement le musée Deutsch et qui accueille aujourd'hui l'école d'ostéopathie, s'implante au nord. Enfin, le milieu bâti en aval de la route des Monts-de-Lavaux se compose essentiellement de maisons d'habitation individuelles ou familiales de styles et gabarits différents.
La cour cantonale a considéré que le projet ne s'intégrait pas dans le terrain naturel comme l'exigeait l'art. 3 al. 2 let. b LAT. Selon les plans et les montages photographiques versés au dossier, le bâtiment projeté ne suit pas la courbe naturelle du terrain telle qu'elle se dessine du nord au sud en raison des décrochements qu'il autorise. En outre, contrairement aux constructions réalisées dans le périmètre avoisinant, en amont comme en aval de la route des Monts-de-Lavaux, les façades de chacun des quatre blocs formant le bâtiment projeté ne font pas face à la pente du terrain dans lequel ils doivent trouver place, laquelle est orientée à l'ouest, mais sont orientées au sud-ouest. Ce choix des architectes, vraisemblablement dicté par le souci d'attribuer à chaque lot offert à la vente ou à la location une terrasse orientée au sud, ne saurait justifier pareille rupture avec l'orientation des constructions environnantes, qui satisfont quant à elles au premier objectif du principe de l'intégration voulant que le milieu bâti s'adapte à la nature du terrain.
Il est pour le moins douteux que cet objectif impose en tous les cas une implantation respectant la courbe naturelle du terrain. A tout le moins, lorsque la parcelle en cause est, comme en l'espèce, la dernière du secteur à ne pas être construite, on ne saurait donner à ce critère une portée absolue et faire abstraction de l'environnement bâti et de l'orientation des constructions et installations existantes. Si bon nombre de bâtiments s'implantent effectivement dans la pente du terrain et s'orientent à l'ouest, d'autres voient leur façade orientée au sud-ouest comme le prévoit le plan de quartier litigieux. Il en va ainsi de certains bâtiments du périmètre du plan de quartier "En Arnier", en amont de la route du même nom, et de plusieurs maisons d'habitation situées en aval de la route des Monts-de-Lavaux. La construction qui abritait l'ancien musée Deutsch, voisin au nord de la parcelle n° 186, ne respecte pas davantage l'orientation générale des bâtiments; elle présente également plusieurs décrochements par rapport au sens de la pente. On ne saurait dès lors soutenir que les bâtiments existants suivent tous la courbe naturelle du terrain ou qu'ils présentent une orientation dans le sens de la pente de telle sorte que ces critères s'imposent comme un principe absolu d'intégration. En prévoyant des décrochements pour chaque corps de bâtiments, les auteurs du plan de quartier ont précisément cherché à rompre l'impression de bloc monolithique que les précédents projets de plan de quartier inspiraient et qui avait justifié l'opposition des autorités communales. Cela étant, la présence de décrochements en rupture avec la courbe naturelle du terrain ne saurait constituer un motif suffisant pour s'opposer à un projet qui a été préparé en concertation avec les autorités municipales et qui a obtenu l'aval du législatif communal.
La cour cantonale a estimé que par sa situation entre l'ancien musée Deutsch au nord et une villa au sud, la parcelle n° 186 appelait un projet qui opère un lien architectural entre ces deux constructions afin de former un ensemble harmonieux. Or, cette harmonie se trouverait en l'occurrence rompue par le fait que les quatre blocs projetés s'implanteraient de guingois, malmenant ainsi le trait d'union entre le musée et la villa, sans que le toit plat rectiligne appelé à couvrir les quatre éléments précités puisse faire office de lien, dès lors qu'en débordent, à l'est comme à l'ouest, les angles de constructions. Cet argument ne convainc guère. La parcelle n° 186 s'inscrit entre une villa individuelle au sud et le complexe de bâtiments abritant l'école d'ostéopathie et l'ancien musée Deutsch au nord. Ces bâtiments ne présentent entre eux aucune harmonie, tant au niveau de leur volume, de leur forme ou de leur affectation, qu'il conviendrait de ménager par une implantation donnée ou un style de construction particulier sur le périmètre du plan de quartier litigieux. On constatera au contraire que la hauteur au faîte des bâtiments projetés par le plan est adaptée à celle des constructions existantes au nord et au sud et préserve de ce point de vue une certaine unité entre les bâtiments. On observera au demeurant que l'implantation d'immeubles en terrasses, tel qu'il est actuellement prévu dans le plan de quartier "En Arnier", n'assure pas davantage un lien entre le bâtiment érigé sur la parcelle n° 351 et la villa édifiée sur la parcelle n° 349. L'argument retenu en ce sens dans l'arrêt attaqué ne saurait ainsi faire obstacle au projet.
La cour cantonale voit enfin un motif propre à condamner le plan de quartier dans le fait que les bâtiments projetés ne présentent aucune césure dès lors que les quatre blocs sont reliés entre eux par des éléments de construction certes vitrés, mais dont l'effet de transparence se trouvera neutralisé par les cages d'escalier qu'ils contiennent ainsi que par les décrochements des façades à l'arrière de chacun des quatre blocs; le plan contreviendrait ainsi au but poursuivi par la Municipalité de rompre l'aspect monolithique de l'ensemble par la création de césures propres à ouvrir une vue vers ou depuis le site construit en amont de la parcelle n° 186. L'absence ou l'insuffisance de césures a certes constitué un motif pour s'opposer aux divers projets soumis à la Municipalité de Belmont-sur-Lausanne en 2003. Il ne s'agissait toutefois pas nécessairement de ménager une vue entre les bâtiments, mais bien plutôt d'éviter de donner l'impression d'un bloc monolithique de plus de septante mètres de longueur à l'entrée du village. Le projet litigieux répond manifestement à cet objectif en prévoyant des décrochements qui permettent à cet égard de rompre l'uniformité de la façade sud qui caractérisait les précédents projets. On ne saurait soutenir que seul un projet prévoyant des corps de bâtiments orientés vers l'ouest et ménageant de véritables césures entre eux serait admissible dans le milieu bâti existant au regard des objectifs d'intégration poursuivis par l'art. 3 al. 2 let. b LAT. A cet égard, la cour cantonale devait respecter la liberté d'appréciation des autorités communales reconnue à l'art. 2 al. 3 LAT. Enfin, on ne voit pas en quoi le projet litigieux compromettrait le concept directeur d'aménagement visant à mettre en valeur la porte d'entrée ouest de la localité.
6.5 En définitive, le plan de quartier "En Arnier II" ne consacre aucune violation évidente des principes d'aménagement du territoire instaurés à l'art. 3 al. 2 let. b LAT, qui appellerait une sanction de la part de l'autorité de recours, également sous l'angle de l'opportunité. A tout le moins, la présence de décrochements, qui impliquent une orientation quelque peu différente des façades par rapport à la pente naturelle du terrain, était admissible au regard de cette disposition et restait dans les limites de la liberté d'appréciation reconnue aux autorités communales dans la planification de leur territoire. Le Tribunal administratif a donc violé l'autonomie de la Commune de Belmont-sur-Lausanne en annulant les décisions d'approbation de ce plan en raison d'un prétendu défaut d'intégration dans le site des bâtiments projetés.
7. Les recours doivent par conséquent être admis aux frais de l'intimée qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Celle-ci versera une indemnité de dépens aux propriétaires de la parcelle n° 186, qui obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La Commune de Belmont-sur-Lausanne, qui a agi dans l'exercice de ses attributions officielles, n'a en revanche pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF). L'allocation de dépens à la partie qui obtient gain de cause ne découle ni des principes généraux du droit ni des garanties de procédure de la Constitution fédérale; cette question relève de la seule législation de procédure applicable à la cause (<ref-ruling> consid. 1 p. 13; arrêt P.1719/1984 du 14 juin 1985 consid. 2a publié in ZBl 86/1985 p. 508). Certes, sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 (OJ), le Tribunal fédéral avait pour pratique d'allouer des dépens aux collectivités publiques et aux autres organismes chargés de tâche de droit public ne disposant pas, en raison de leur taille, d'une infrastructure administrative et juridique suffisante pour procéder sans l'assistance d'un avocat (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 152 et l'arrêt cité). Tel était le cas des communes de moins de 10'000 habitants. Il s'agissait alors d'une exception à la règle générale de l'art. 159 al. 2 in fine OJ selon laquelle les autorités n'ont pas droit à des dépens lorsqu'elles agissent en tant que détentrices de la puissance publique. Cette pratique ne valait cependant que pour les causes relevant du recours de droit public, dans les domaines où l'autonomie communale pouvait être invoquée; en revanche, elle n'avait pas cours dans les procédures de recours de droit administratif, l'art. 159 al. 2 OJ étant alors appliqué strictement. Cette pratique ne se justifie plus dans le cadre du recours en matière de droit public (arrêt 1C_122/2007 du 24 juillet 2007 consid. 6; arrêt 2C_417/2007 du 11 janvier 2008 consid. 7). Même si une solution différente a pu être évoquée (cf. arrêt 2C_10/2007 du 8 octobre 2007 consid. 4.3), elle ne s'impose pas au regard du texte légal. La Commune de Belmont-sur-Lausanne ne fait au surplus valoir aucune circonstance exceptionnelle qui commanderait de faire une entorse en sa faveur à la règle de l'art. 68 al. 3 LTF.
L'admission des recours implique une autre répartition des frais et dépens devant l'instance inférieure. S'agissant d'apprécier si et dans quelle mesure il se justifie de faire supporter ceux-ci par l'intimée, la cour de céans renoncera à la faculté offerte par les art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra l'affaire au Tribunal administratif pour qu'il statue à nouveau sur ces points.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 1C_82/2008 et 1C_84/2008 sont jointes.
2. Les recours sont admis. L'arrêt attaqué est annulé. Les décisions rendues le 3 mai 2007 par le Conseil communal de Belmont-sur-Lausanne et le 20 juin 2007 par le Département des institutions et des relations extérieures du canton de Vaud sont confirmées. La cause est renvoyée au Tribunal administratif du canton de Vaud pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à fr. 3'000 fr., sont mis à la charge de la société C._.
4. Une indemnité de 2'000 fr. à payer à A._ et à B._, créanciers solidaires, à titre de dépens, est mise à la charge de la société C._.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, au Département de l'économie ainsi qu'au Tribunal administratif du canton de Vaud.
Lausanne, le 28 mai 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Parmelin