Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1969) stammt aus der Türkei. Er kam 1980 im Familiennachzug in die Schweiz und heiratete hier 1993 eine Landsfrau. Die Ehe wurde am 22. September 2008 geschieden und die beiden Kinder (geb. 1995 und 2001) wurden unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt.
1.2. Die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich wies das Migrationsamt am 28. Dezember 2011 an, A._ unter Vorbehalt der Zustimmung des Bundesamts für Migration (BFM) eine Aufenthaltsbewilligung zur Ausübung einer Erwerbstätigkeit zu erteilen, nachdem die Niederlassungsbewilligung von A._ wegen einer über sechs Monate dauernden Auslandsabwesenheit erloschen war (Strafvollzug in Deutschland bei einer Verurteilung zu zwei Jahren und sechs Monaten). Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft (Urteile des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. April und des Bundesgerichts vom 12. Juli 2012 [2C_527/2012]).
1.3. Mit Verfügung vom 8. Juni 2012 weigerte sich das Bundesamt für Migration, der Neuerteilung einer Aufenthaltsbewilligung an A._ zuzustimmen; gleichzeitig wies es ihn aus der Schweiz weg. Das Migrationsamt des Kantons Zürich wurde angehalten, A._ eine angemessene Ausreisefrist anzusetzen. Auf eine Beschwerde hiergegen trat das Bundesverwaltungsgericht am 4. Oktober 2012 nicht ein.
1.4. A._ ersuchte in der Folge im Kanton Zürich wiederholt darum, die Wegweisungsverfügung wiedererwägungsweise aufzuheben, was die kantonalen Behörden ablehnten. Gegen den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts gelangte er erfolglos an das Bundesgericht (Urteil 2C_154/2013 vom 14. Februar 2013). Am 22. März 2013 wurde A._ festgenommen und am 25. März 2013 in die Türkei ausgeschafft. Sein Rechtsvertreter, B._ (Firma C._), gelangte hiergegen mit zahlreichen Anträgen an die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Er machte unter anderem geltend, die Wegweisung von A._ hätte noch einmal formell verfügt werden müssen; die Vollzugshandlungen seien widerrechtlich erfolgt; A._ sei zudem zu Unrecht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung durch einen patentierten Anwalt verweigert worden. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 4. Dezember 2013 ab.
2.
2.1. A._ und B._ wiederholen mit Verfassungsbeschwerde vor Bundesgericht die bereits vor dem Verwaltungsgericht vorgebrachten verfahrensrechtlichen Anträge und ersuchen darum, ihnen auch im vorliegenden Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung durch einen patentierten Anwalt zu gewähren. Hierüber sei separat in einem Zwischenentscheid zu befinden und ihnen allenfalls eine Zahlungsfrist für den Kostenvorschuss anzusetzen. Die Wegweisung und Ausschaffung vom 25. März 2013 erweise sich "als krass gesetzes- und verfassungswidrig", da keine Wegweisungsverfügung im Sinne des Ausländergesetzes (SR 142.20) ergangen sei. Entgegen der Annahme der Vorinstanz habe die bei ihr erhobene Beschwerde nicht als aussichtslos bezeichnet werden können.
2.2. Auf Gesuch der Beschwerdeführer hin ist ihnen am 17. Februar 2014 mitgeteilt worden, welche Richterinnen und Richter der zuständigen II. öffentlich-rechtlichen Abteilung zugeteilt sind und wer potenziell als vereidigte Gerichtsschreiberinnen oder Gerichtsschreiber deutscher Sprache am Entscheid mitwirken könnten. A._ und B._ haben am 3. März 2014 beantragt, dass Präsident Zünd und Gerichtsschreiber Feller in den Ausstand zu treten hätten. Bezüglich der restlichen Abteilungsmitglieder bzw. -mitarbeiter beschränkten sie sich auf den Hinweis, dass es für sie als juristische Laien "offensichtlich schwierig" sei, den Ausstand gegen Bundesgerichtspersonen substanziiert zu fordern.
3.
3.1. Gegen das angefochtene Urteil steht auf Bundesebene ausschliesslich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 i.V.m. Art. 113 BGG). Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG (SR 173.110) haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Mit Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG), wobei die entsprechenden Rügen qualifiziert zu begründen sind (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG; <ref-ruling> E. 4.3 S. 521 f.; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 466).
3.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht, ohne dass mit Blick auf die abgelaufene Beschwerdefrist eine Nachfrist zur Verbesserung anzusetzen wäre, nachdem B._ sich und seine Firma C._ selber öffentlich als Rechtsberater anbietet und ihm die Erfordernisse an Eingaben an das Bundesgericht bereits wiederholt dargelegt worden sind. A._ hält sich seit dem 25. März 2013 im Ausland auf, ohne dass die Beschwerdeführer darlegen würden, inwiefern sie an der Beurteilung der vorliegenden Eingabe in verfassungsrechtlicher Hinsicht noch ein rechtlich geschütztes Interesse hätten (vgl. Art. 115 lit. b AuG), wie es ihnen gemäss der Begründungspflicht bei nicht evidenten Eintretensvoraussetzungen obläge (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404).
3.3. Soweit die Beschwerdeführer die vorinstanzliche Kostenregelung bzw. den Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege anfechten wollen, hängen diese Aspekte vom materiellen Entscheid des Verwaltungsgerichts in der Sache selber ab, zu dessen Anfechtung sie nicht legitimiert sind. Selbst wenn diesbezüglich ein rechtlich geschütztes Interesse bejaht würde, änderte dies nichts daran, dass auf die Beschwerde nicht einzutreten wäre: Den weitschweifigen Ausführungen in der Beschwerdeschrift lässt sich nicht entnehmen, inwiefern im kantonalen Vollzugsverfahren betreffend die von der Bundesbehörde verfügte rechtskräftige Wegweisung verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers 1 verletzt worden sein könnten (vgl. hierzu <ref-ruling> ff. mit Hinweisen); damit fehlt allfälligen Rügen zu den Kostenaspekten im Wesentlichen die Grundlage; jedenfalls enthält die Beschwerde in dieser Hinsicht keine den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügende Begründung.
3.4. Im Übrigen ist nicht ersichtlich, inwiefern die Beschwerde an die Vorinstanz irgendeine ernsthafte Chance auf Erfolg gehabt haben könnte: Der Beschwerdeführer 1 ist rechtskräftig durch die Bundesbehörden weggewiesen worden, ein weiterer kantonaler Wegweisungsentscheid war weder zulässig noch erforderlich. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, haben die kantonalen Behörden dem Beschwerdeführer zweimal eine Ausreisefrist angesetzt, die er nicht eingehalten hat (vgl. Art. 7 EU-Richtlinie 2008/115/EG [ABl. 2008 L 348 vom 24. Dezember 2008, S. 98 ff.] i.V.m. Art. 64d Abs. 1 AuG [Fassung vom 18. Juni 2010]). Art. 6 EMRK findet entgegen den Behauptungen der Beschwerdeführer auf ausländerrechtliche Verfahren weder unter seinem straf- noch seinem zivilrechtlichen Aspekt Anwendung (2D_16/2013 vom 8. Juli 2013 E. 3.2 mit Hinweisen). Die Eingabe hatte deshalb als zum Vornherein aussichtslos zu gelten.
4.
4.1. Die Prozessführung der Beschwerdeführer muss nach den zahlreichen Entscheiden, die im vorliegenden Zusammenhang ergangen sind, als missbräuchlich im Sinn von Art. 108 Abs. 1 lit. c BGG bezeichnet werden: Die Beschwerdeführer stellen, ohne neue Aspekte vorzubringen, die rechtskräftigen Entscheide immer wieder mit aussichtslosen, querulatorischen Eingaben in der Sache selber infrage; hierzu dienen die Rechtsmittelwege nicht. Es ist auf ihre Eingabe (auch aus diesem Grund) durch das präsidierende Mitglied im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
4.2. Die Beurteilung des Ausstandsgesuchs erübrigt sich, nachdem keine Person am vorliegenden Entscheid mitwirkt (vgl. Art. 34 Abs. 2 BGG), gegen die ein Ausstandsgesuch gestellt worden ist; im Übrigen sind die Ablehnungsgesuche lediglich mit dem Hinweis auf angebliche "Nazi"-Methoden begründet worden; sie haben ihrerseits als rechtsmissbräuchlich zu gelten (<ref-ruling> ff. und 105 Ib 301 ff.; Verfügung 8C_41/2013 vom 15. März 2013 mit weiteren Hinweisen).
4.3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung vor Bundesgericht ist abzuweisen, weil die vorliegende (missbräuchliche) Eingabe zum Vornherein als aussichtslos zu gelten hatte (Art. 64 Abs. 1 BGG). Dies kann durch den präsidierenden Einzelrichter geschehen (Art. 64 Abs. 3 Satz 2 BGG). Die Beschwerdeführer haben - entgegen ihren Ausführungen - keinen Anspruch auf Erlass einer entsprechenden Zwischenverfügung, zumal von ihnen in keiner Weise behauptet oder belegt wurde, dass der Beschwerdeführer 1, der die Kosten solidarisch zu tragen hat (vgl. Art. 66 Abs. 5 BGG), bedürftig wäre. Dem Umstand, dass direkt in der Sache selber entschieden wird, kann bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen werden (vgl. Art. 66 i.V.m. Art. 65 BGG). Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf das Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten, soweit es nicht gegenstandslos ist.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
3.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. März 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar