Sachverhalt:
A. A.a A._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) schloss am 15. März 2006 mit B._ (Arbeitgeber, Beklagter, Beschwerdegegner) einen Lehrvertrag ab, für eine dreijährige Lehre (August 2006 - August 2009) als tiermedizinische Praxisassistentin.
Während der Dauer der Lehre blieb A._ mehrmals und teils über längere Zeit krankheitsbedingt der Arbeitsstelle fern und teilte dem Arbeitgeber ihre Abwesenheit überwiegend per SMS mit; ein allfälliges Arztzeugnis reichte sie, nach Angaben des Arbeitgebers, jeweils nur verspätet ein.
A.b Mit Schreiben vom 26. September 2008 machte der Arbeitgeber A._ darauf aufmerksam, dass sie seit über drei Wochen nicht zur Arbeit erschienen sei, ohne ihm für diese Zeit ein Arztzeugnis vorgelegt zu haben. Er teilte ihr ebenfalls mit, dass es mindestens zum zweiten Mal sei, dass sie bei einer Absenz von über einer Woche kein Arztzeugnis vorweise, und stellte klar, dass er inskünftig keine SMS-Mitteilungen von ihren Abwesenheiten mehr akzeptiere. Gleichzeitig ersuchte er sie, einen Termin für eine Besprechung des Lehrverhältnisses vorzuschlagen.
Daraufhin reichte A._ dem Arbeitgeber mit Schreiben vom 30. September 2008 ein undatiertes Arztzeugnis für die Zeitspanne vom 1. September bis 30. September 2008 ein. Weiter hielt sie in ihrem Schreiben fest, dass sie ihre vereinbarten Ferien beziehen und ab dem 3. November wieder zurück ("da") sein werde. Die Parteien hatten allerdings einen Ferienbezug durch A._ (lediglich) vom 1. bis zum 21. Oktober 2008 vereinbart.
Mit Schreiben vom 1. Oktober 2008 kündigte der Arbeitgeber den Lehrvertrag fristlos.
B. B.a Am 8. April 2011 beantragte A._ dem Bezirksgericht Horgen, der Arbeitgeber sei zu verpflichten, ihr unter Nachklagevorbehalt Fr. 26'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 21. Oktober 2008 zu bezahlen sowie ihr ein wohlwollendes und angemessenes Arbeitszeugnis aus- und zuzustellen.
Mit Urteil vom 9. September 2011 hiess das Bezirksgericht Horgen die Klage teilweise gut und verpflichtete den Beklagten, der Klägerin den Betrag von Fr. 2'345.55 (brutto) zu bezahlen. Bezüglich der Aus- und Zustellung eines Arbeitszeugnisses wurde das Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt abgeschrieben.
B.b Dagegen erhob die Klägerin Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich und beantragte im Hauptbegehren, das Urteil des Bezirksgerichts Horgen sei im Umfang der Klageabweisung (Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 3) und in Bezug auf die Prozessentschädigung (Dispositiv-Ziffer 3) aufzuheben, und es sei der Beklagte zu verpflichten, ihr unter Nachklagevorbehalt Fr. 23'654.45 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 21. Oktober 2008 zu bezahlen.
Mit Urteil und Beschluss vom 5. Juli 2012 hat das Obergericht des Kantons Zürich vorgemerkt, dass das Urteil des Bezirksgerichts Horgen vom 9. September 2011 insoweit in Rechtskraft erwachsen ist, als der Beklagte verpflichtet wurde, der Klägerin den Betrag von Fr. 2'345.55 (brutto) zu bezahlen, das Verfahren bezüglich Aus- und Zustellung eines Arbeitszeugnisses zufolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben wurde und die Entscheidgebühr ausser Ansatz gefallen ist. Sodann hat es erkannt, dass die Berufung der Klägerin abgewiesen wird (Dispositiv-Ziffer 1), und verpflichtete die Klägerin, dem Beklagten für das Berufungsverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3).
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Klägerin dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Juli 2012 sei im Umfang der Abweisung der Berufung (Dispositiv-Ziffer 1) und in Bezug auf die Prozessentschädigung (Dispositiv-Ziffer 3) aufzuheben. Der Beklagte sei zu verpflichten, ihr unter Nachklagevorbehalt Fr. 23'654.45 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 21. Oktober 2008 zu bezahlen. Eventualiter sei die Streitsache zur Durchführung weiterer Erhebungen und zur Neuentscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Beklagten für das erstinstanzliche, zweitinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren.
Der Beklagte beantragt die Abweisung der Beschwerde, eventualiter die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung an die Vorinstanz zur Durchführung eines Beweisverfahrens und zu neuem Entscheid. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 417 mit Hinweisen).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Der Streitwert beträgt Fr. 23'654.45, womit der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert erreicht ist (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - auf die Beschwerde einzutreten.
2. Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt.
Die Beschwerdeführerin stellt in ihrer Beschwerdeschrift den Antrag, die Kosten und Entschädigungen der beiden kantonalen Verfahren seien dem Beschwerdegegner aufzuerlegen. Soweit die Beschwerdeführerin mit diesem Antrag verlangen wollte, die Kosten der kantonalen Verfahren seien auch bei Abweisung der Beschwerde anders zu verlegen, fehlt jede Begründung (<ref-law>). Auf diesen Antrag ist nicht einzutreten.
3. In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5 S. 401).
Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Rechtsprechung nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür vielmehr nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dabei genügt es nicht, wenn sich nur die Begründung des angefochtenen Entscheids als unhaltbar erweist. Eine Aufhebung rechtfertigt sich nur dann, wenn der Entscheid auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9).
4. Gegenstand der kantonalen Verfahren war die Frage, ob die fristlose Kündigung des Lehrvertrages durch den Beschwerdegegner rechtens erfolgt ist.
Die Vorinstanz hat festgestellt, dass der Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin für ihr Verhalten im Zusammenhang mit der verspäteten Einreichung der Arztzeugnisse und den Abwesenheitsmeldungen mittels SMS mit seinem Schreiben vom 26. September 2008 abgemahnt bzw. verwarnt habe. Auch wenn im Schreiben nicht explizit festgehalten worden sei, dass der Beschwerdegegner das Verhalten der Beschwerdeführerin in Zukunft nicht mehr toleriere resp. von der Beschwerdeführerin bei krankheitsbedingter Abwesenheit die umgehende Einreichung eines Arztzeugnisses erwarte, habe die Beschwerdeführerin das Schreiben dahin gehend verstehen müssen.
Weiter hielt die Vorinstanz fest, dass der Beschwerdegegner aufgrund des Wortlautes des Schreibens der Beschwerdeführerin vom 30. September 2008 davon habe ausgehen dürfen, dass die Beschwerdeführerin plane, bis zum 3. November 2008 in den Ferien zu weilen bzw. ihre Ferien eigenmächtig verlängere. Es sei objektiv nachvollziehbar, dass diese Verhaltensweise die Vertrauensgrundlage zwischen den Parteien derart tiefgreifend erschüttert habe, dass dem Beschwerdegegner die Fortsetzung des Lehrvertrages für die verbleibenden zehneinhalb Monate bis Mitte August 2009 nicht mehr zuzumuten gewesen sei. Damit erweise sich die Entlassung der Beschwerdeführerin im Sinne von <ref-law> als gerechtfertigt.
5. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht das Vorliegen wichtiger Gründe für eine fristlose Kündigung des Lehrvertrages angenommen und damit <ref-law> verletzt. Zudem habe die Vorinstanz den Sachverhalt unrichtig festgestellt und ihr rechtliches Gehör verletzt.
Die Beschwerdeführerin habe an einer Depression gelitten und sei somit unverschuldet an der Arbeitsleistung verhindert gewesen. Eine unverschuldete Arbeitsverhinderung dürfe gemäss <ref-law> nicht als wichtiger Grund anerkannt werden. Die Beschwerdeführerin sei weder vertraglich noch gesetzlich zur Einreichung eines Arztzeugnisses verpflichtet gewesen. Sie habe denn dem Beschwerdegegner auf sein Verlangen hin am 30. September 2008 auch ein Arztzeugnis eingereicht; demnach liege keine Pflichtverletzung vor und das Schreiben des Beschwerdegegners vom 26. September 2008 könne nicht als Verwarnung betrachtet werden.
Die Beschwerdeführerin habe in keinem Zeitpunkt in Aussicht gestellt, ihre Ferien eigenmächtig um zehn unbewilligte Ferientage zu verlängern. Sie habe vielmehr - in Absprache mit diversen Ärzten - vorgehabt, die Arbeit am 22. Oktober 2008 aus medizinischen Gründen zu 50 % und ab dem 3. November 2008 zu 100 % wieder aufzunehmen. Diesbezüglich habe sie beantragt, die behandelnden Ärzte als Zeugen einzuvernehmen; die Vorinstanz sei ihrem Beweisantrag allerdings nicht nachgekommen, womit sie ihr rechtliches Gehör verletzt habe. Sie hätte dem Beschwerdegegner zudem gerne bereits vor ihrem Ferienantritt mitgeteilt, dass sie plane, bei ihrer Ferienrückkehr die Arbeit vorerst zu 50 % aufzunehmen; dazu habe sie mehrmals vergebens versucht, den Beschwerdegegner telefonisch zu erreichen, weshalb ihr ein eigenmächtiger Ferienbezug nicht vorgeworfen werden könne.
Selbst wenn davon auszugehen sei, dass die Beschwerdeführerin eigenmächtig ihre Ferien verlängert habe, hätte der Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin diesbezüglich verwarnen sollen. Indem er jedoch die fristlose Kündigung ohne die entsprechende Verwarnung ausgesprochen habe, habe er <ref-law> verletzt.
6. Die Beschwerdeführerin verkennt, dass das Gericht ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs Beweisanträge ablehnen kann, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 211; je mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat festgehalten, die Beschwerdeführerin sei an den Sinn, welchen ein Adressat vernünftigerweise ihrer Erklärung in ihrem Schreiben vom 30. September 2008 zugrunde legen durfte und musste, gebunden, da sie nicht behauptet habe, der Beschwerdegegner habe die abgegebene Erklärung tatsächlich so wie von ihr geltend gemacht verstanden. Aufgrund des Wortlautes ihres Schreibens habe der Beschwerdegegner davon ausgehen dürfen, die Beschwerdeführerin beabsichtige, bis zum 3. November 2008 in den Ferien zu weilen. Eine geplante Arbeitsaufnahme zu 50 % ab dem 22. Oktober 2008 könne dem Schreiben nicht entnommen werden. An diesem Ergebnis würde auch eine Befragung der die Beschwerdeführerin behandelnden Ärzte als Zeugen nichts ändern. Die Beschwerdeführerin zeigt nicht auf, weshalb diese vorweggenommene Beweiswürdigung der Vorinstanz willkürlich und eine Beweisabnahme hinsichtlich der (teilweisen) Arbeitsaufnahme der Beschwerdeführerin nach ihren Ferien geboten gewesen wäre. Eine Gehörsverletzung ist nicht dargetan.
7. 7.1 Nach <ref-law> kann der Arbeitgeber wie der Arbeitnehmer das Arbeitsverhältnis aus wichtigen Gründen jederzeit fristlos auflösen (Abs. 1). Als wichtiger Grund gilt jeder Umstand, bei dessen Vorhandensein dem Kündigenden nach Treu und Glauben die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht mehr zugemutet werden darf (Abs. 2). Über das Vorhandensein solcher Umstände entscheidet das Gericht nach seinem Ermessen (Abs. 3). Derartige Ermessensentscheide überprüft das Bundesgericht an sich frei. Es übt dabei aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen. Es greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 32, 213 E. 3.1 S. 220).
Nach der Rechtsprechung zu <ref-law> ist eine fristlose Entlassung nur bei besonders schweren Verfehlungen des Arbeitnehmers gerechtfertigt. Diese müssen einerseits objektiv geeignet sein, die für das Arbeitsverhältnis wesentliche Vertrauensgrundlage zu zerstören oder zumindest so tiefgreifend zu erschüttern, dass dem Arbeitgeber die Fortsetzung des Vertrags nicht mehr zuzumuten ist, und anderseits auch tatsächlich zu einer derartigen Zerstörung oder Erschütterung des gegenseitigen Vertrauens geführt haben (<ref-ruling> E. 4.1 S. 31, 213 E. 3.1 S. 220 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 382 f. mit Hinweisen). Sind die Verfehlungen weniger schwerwiegend, so müssen sie trotz Verwarnung wiederholt vorgekommen sein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 221; <ref-ruling> E. 2.1 S. 382 mit Hinweisen). Ob die dem Arbeitnehmer vorgeworfene Pflichtverletzung die erforderliche Schwere erreicht, lässt sich nicht allgemein sagen, sondern hängt von den konkreten Umständen des Einzelfalles ab (<ref-ruling> E. 1a S. 155; <ref-ruling> E. 6a S. 150).
7.2 Die Beschwerdeführerin verkennt, dass ihr nicht aufgrund ihrer Krankheit (Morgendepression) oder der angeblich schlechten Organisation des Betriebes des Beschwerdegegners gekündigt wurde. Die Vorinstanz hat vielmehr festgestellt, dass sich die Beschwerdeführerin der Problematik ihrer (krankheitsbedingten) Abwesenheit vom Betrieb durchaus bewusst gewesen sei, weshalb es ihr ein Anliegen sein musste, bei Krankheit ihre Abwesenheit möglichst rasch zu belegen. Der Beschwerdegegner habe in seinem Schreiben vom 26. September 2008 - wenn auch nicht explizit - der Beschwerdeführerin zu verstehen gegeben, dass er bei Krankheit die umgehende Einreichung eines Arztzeugnisses erwarte. Damit wurde der Beschwerdeführerin klar zu erkennen gegeben, welche Verhaltensweisen nicht mehr toleriert werden, insbesondere, dass der Beschwerdegegner ein unentschuldigtes Fernbleiben von der Arbeit bzw. eine verspätete Einreichung eines Arztzeugnisses als schweren Fehler gewichte, was er bei Wiederholung nicht sanktionslos hinnehmen werde. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, sie sei nicht zur Einreichung eines Arztzeugnisses verpflichtet gewesen, vermag die vorinstanzliche Feststellung nicht als willkürlich auszuweisen. Mit der Vorinstanz ist demnach davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin durch den Beschwerdegegner mittels seinem Schreiben vom 26. September 2008 genügend abgemahnt bzw. verwarnt wurde.
7.3 Die Beschwerdeführerin bringt sodann vor Bundesgericht abermals vor, sie habe vor ihrer Ferienabreise mehrmals versucht, den Beschwerdegegner telefonisch zu erreichen, um ihm mitzuteilen, dass sie bei der geplanten Rückkehr aus ihren Ferien die Arbeit vorerst zu 50 % aufnehmen werde. Die Vorinstanz hat jedoch festgestellt, dass offen bleiben könne, ob sich die Beschwerdeführerin vor ihrem Abflug in die Ferien noch (vergebens) darum bemüht habe, den Beschwerdegegner telefonisch zu erreichen, da ihr Schreiben vom 30. September 2008 - worin sie dem Beschwerdegegner mitgeteilt habe, dass sie ab dem 3. November 2008 wieder zur Arbeit erscheinen werde - klar und eindeutig sei. Die Beschwerdeführerin vermag mit ihren Vorbringen diese Feststellung der Vorinstanz nicht als willkürlich auszuweisen und eine Verletzung des Vertrauensgrundsatzes bei der Auslegung der Erklärung ist nicht ersichtlich. Insbesondere kann dabei keine Rede von einer Verletzung von <ref-law> sein, wie dies die Beschwerdeführerin vorbringt. Es ist schlechthin nicht ersichtlich, inwiefern der Beschwerdegegner "betreffend Feriendauer für klare Verhältnisse" zu sorgen hatte. Die Parteien hatten in übereinstimmender Erklärung, die Dauer der Ferien der Beschwerdeführerin vom 1. bis 21. Oktober 2008 festgelegt, was im Übrigen auch nicht bestritten ist.
Die Vorinstanz hat zu Recht erwogen, dass das Vertrauensverhältnis zwischen den Parteien nachhaltig zerstört wurde, indem die Beschwerdeführerin - im Bewusstsein der Problematik ihres krankheitsbedingten Fernbleibens von der Arbeit, nach einer erteilten Verwarnung, trotz drei Wochen bewilligter Ferien - dem Arbeitgeber in Aussicht stellte, sie beziehe nun eigenmächtig noch weitere unbewilligte Ferientage. Daran vermag die Beschwerdeführerin auch mit ihrem Hinweis auf <ref-ruling> und das Urteil 4C.201/2004 nichts zu ändern, zumal sie selber erkennt, dass diese Fälle nicht mit dem zu beurteilenden Fall vergleichbar sind.
Eine Verletzung von <ref-law> ist nicht ersichtlich. Damit erweist sich die fristlose Entlassung der Beschwerdeführerin als gerechtfertigt.
8. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz bundesrechtskonform erwogen, dass die fristlose Kündigung am 1. Oktober 2008 im Sinne von <ref-law> gerechtfertigt war. Damit erübrigt es sich, auf die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin bezüglich der Höhe der Entschädigung infolge ungerechtfertigter fristloser Entlassung einzugehen.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze