Sachverhalt:
A.
Die 1975 geborene A._ war ab Mai 2003 als Produktionsmitarbeiterin bei der B._ AG tätig. Am 25. Februar 2011 erlitt sie bei einem Verkehrsunfall eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS). Der zuständige obligatorische Unfallversicherer gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Im Juni/Juli 2011 meldete sich A._ unter Hinweis auf die HWS-Distorsion und eine Depression bei der Invalidenversicherung (IV) zur Früherfassung und zum Leistungsbezug an. Die B._ AG kündigte das Anstellungsverhältnis auf den 31. Dezember 2011. Mit Verfügung vom 1. Juni 2012 stellte der Unfallversicherer seine Leistungen mit der Begründung, es lägen keine Unfallfolgen mehr vor, per 15. Juni 2012 ein. Die IV-Stelle des Kantons Zürich holte nebst weiteren Abklärungen die Akten des Unfallversicherers ein und liess die Versicherte durch ihren Regionalärztlichen Dienst (RAD) orthopädisch und neurologisch-psychiatrisch untersuchen. Gestützt auf die hierüber am 6. Juli 2012 erstatteten Berichte verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 22. Juli 2013 einen Anspruch auf Leistungen der IV. Sie begründete dies damit, es liege keine Diagnose vor, welche eine länger dauernde Arbeitsunfähigkeit auslöse; aus somatischer und psychiatrischer Sicht seien jegliche Tätigkeiten im freien Arbeitsmarkt zumutbar.
B.
Beschwerdeweise beantragte A._, in Aufhebung der Verfügung vom 22. Juli 2013 seien vom 1. Juni bis 31. Dezember 2012 eine ganze und ab 1. Januar 2013 eine halbe Invalidenrente sowie berufliche Massnahmen zuzusprechen; eventuell sei ein psychiatrisches Gerichtsgutachten einzuholen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 14. Mai 2014 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zu weiteren Abklärungen, insbesondere zur Einholung eines psychiatrischen Gutachtens, an die Verwaltung zurückzuweisen.
Die IV-Stelle beantragt unter Hinweis auf die vorinstanzlichen Erwägungen die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob Anspruch auf Leistungen der IV besteht. Die massgeblichen Bestimmungen und die Rechtsprechung zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte und Gutachten sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
Das kantonale Gericht hat anspruchsrelevante körperliche Leiden verneint. Diese Beurteilung wird nicht in Frage gestellt. Als Leistungs-grund steht nurmehr eine psychisch bedingte Beeinträchtigung zur Diskussion.
3.1. Das kantonale Gericht hat erwogen, zwar sei entgegen der Annahme im Bericht des RAD-Psychiaters Dr. med. C._ vom 6. Juli 2012 eine Umstellung der Medikation erfolgt und habe sich die Versicherte bereits in therapeutischer Behandlung befunden. Der RAD-Bericht vom 6. Juli 2012 sei aber gesamthaft überzeugend und beweiswertig. Dr. med. C._ habe festgestellt, dass die geklagten subjektiven Beschwerden durch eine Schmerzverarbeitungsstörung und eine Somatisierungsstörung zu erklären seien, welche sich nicht auf die Arbeitsfähigkeit auswirkten. Die behandelnde Psychiaterin Dr. med. D._ diagnostiziere zwar abweichend davon eine mittelgradige depressive Episode vor dem Hintergrund einer kombinierten Persönlichkeitsstörung. Der RAD habe aber - gemeint ist damit offenbar die Stellungnahme des RAD-Psychiaters Dr. med. E._ vom 15. Mai 2013 - hiezu dargelegt, eine Persönlichkeitsstörung hätte anlässlich der Untersuchung durch Dr. med. C._ festgestellt werden müssen. Soweit Dr. med. D._ auf eine massgebliche Einschränkung der Arbeitsfähigkeit schliesse, sei überdies die Erfahrungstatsache zu berücksichtigen, dass behandelnde Ärzte im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung mitunter eher zugunsten ihrer Patienten aussagen dürften. Anzufügen sei, dass mittelgradige depressive Episoden, wie von Dr. med. D._ diagnostiziert, in der Regel keine von depressiven Verstimmungszuständen klar unterscheidbare, andauernde Depression im Sinne eines verselbstständigen Gesundheitsschadens darstellten, die es der betroffenen Person verunmöglichte, die Folgen einer Schmerzstörung zu überwinden. Leichte bis höchstens mittelschwere psychische Störungen aus dem depressiven Formenkreis seien zudem grundsätzlich therapeutisch angehbar. Gestützt auf den Bericht des Dr. med. C._ sei daher ein invalidisierender psychischer Gesundheitsschaden zu verneinen.
3.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, die vorinstanzliche Sachver-haltsfeststellung sei unter anderem bezüglich der Feststellung offensichtlich falsch, Dr. med. D._ habe eine mittelgradige depressive Episode diagnostiziert. Die Psychiaterin habe die entsprechende Diagnose in ihrem im kantonalen Verfahren eingereichten Bericht vom 28. August 2013 dahin gehend präzisiert, dass eine mittelgradige depressive Störung, chronifiziert (ICD-10: F32.1, F33.1), vorliege. Sie habe auch eingehend dargelegt, weshalb und wie sich diese Diagnose auf die Arbeitsfähigkeit auswirke. Daher treffe auch der Hinweis der Vorinstanz auf Grundsätze zu mittelgradigen depressiven Episoden ins Leere.
Dr. med. D._ hat im Bericht vom 28. August 2013 die von der Versicherten angegebenen Aussagen zu Diagnose und Arbeitsfähigkeit gemacht. Das kantonale Gericht hat, obschon ihm dieser Bericht vorlag, lediglich die in den Vorberichten der Dr. med. D._ gestellten Diagnosen beurteilt und der Einschätzung des RAD-Psychiaters gegenübergestellt. Die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts ist demnach offensichtlich unrichtig, weshalb das Bundesgericht nicht daran gebunden ist.
3.3.
3.3.1. Zur Beurteilung sozialversicherungsrechtlicher Leistungsansprüche bedarf es verlässlicher medizinischer Entscheidgrundlagen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anam-nese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232 mit Hinweis auf 125 V 351 E. 3a S. 352). Der Beweiswert von RAD-Berichten nach <ref-law> ist mit jenem externer medizinischer Sachverständigengutachten vergleichbar, sofern sie den praxisgemässen Anforderungen an ein ärztliches Gutachten genügen (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 219). Auf das Ergebnis versicherungsinterner ärztlicher Abklärungen - zu denen die RAD-Berichte gehören - kann allerdings nicht abgestellt werden, wenn auch nur geringe Zweifel an ihrer Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit bestehen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 229; <ref-ruling> E. 4.4 S. 469 f. und E. 4.7 S. 471; Urteil 8C_197/2014 vom 3. Oktober 2014 E. 4.2 mit weiterem Hinweis).
3.3.2. Es liegen gegensätzliche psychiatrische Einschätzungen zu Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit vor. Dabei gestatten die medizinischen Akten nicht, die Einwände der behandelnden Psychiaterin gegenüber der Beurteilung des Dr. med. C._ ohne weiteres zu verwerfen. Auch die erwähnte Stellungnahme des RAD-Psychiaters Dr. med. E._ vom 15. Mai 2013 lässt dies nicht zu, zumal sie ausgesprochen kurz gehalten ist, offenbar nicht auf eigener fachärztlicher Exploration der Versicherten beruht und noch ohne Kenntnis des Berichts der Dr. med. D._ vom 28. August 2013 abgegeben wurde. Anderseits genügen deren Stellungnahmen ebenfalls nicht als medizinische Beurteilungsgrundlage. Bei dieser Sachlage ist die Einholung eines psychiatrischen Gutachtens geboten. Dieses ist, entgegen dem Antrag der Versicherten, nicht durch die Verwaltung, sondern durch das kantonale Gericht einzuholen (<ref-ruling> E. 4.4.4 S. 263 ff.). Die Sache wird hiefür und zum neuen Entscheid über die Beschwerde an dieses zurückgewiesen.
4.
Die IV-Stelle als unterliegende Partei hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Letztere wird nach bundesgerichtlichem Ermessen festgesetzt. Eine Kostennote ist entgegen dem Begehren in der Beschwerde nicht einzuholen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 14. Mai 2014 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Januar 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz