Erwägungen:
1. Mit Verfügung vom 4. Oktober 2007 hat die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich X._ den Führerausweis in Anwendung von Art. 16 Abs. 1, Art. 16d Abs. 1 lit. a und Abs. 2, Art. 16c Abs. 1 lit. b sowie c und Abs. 2 lit. a sowie <ref-law> ab dem 2. April 2007 auf unbestimmte Zeit entzogen und ihm das Führen von Motorfahrzeugen aller Kategorien untersagt. Die Wiedererteilung des Führerausweises wurde vom Vorliegen eines günstig lautenden verkehrsmedizinischen Gutachtens abhängig gemacht. Dem Lauf der Rekursfrist und der Einreichung eines Rekurses wurde die aufschiebende Wirkung entzogen.
Der Regierungsrat des Kantons Zürich hat mit Entscheid vom 11. Juni 2008 einen von X._ gegen die Verfügung vom 4. Oktober 2007 erhobenen Rekurs abgewiesen. Gegen diesen Entscheid hat X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine Beschwerde eingereicht, welche dieses mit Entscheid vom 15. September 2008 abgewiesen hat.
2. Mit Eingabe vom 7. November 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>). Er beantragt die Aufhebung des am 15. September 2008 ergangenen verwaltungsgerichtlichen Entscheids. Sinngemäss stellt er zudem das Eventualbegehren, die kantonalen Verfahrenskosten seien dem Kanton Zürich aufzuerlegen und dieser sei zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für das kantonale Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten.
Das Bundesgericht hat bei der Sicherheitsdirektion, dem Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Strassen (ASTRA) Vernehmlassungen eingeholt. Von der Gelegenheit eine Replik einzureichen hat der Beschwerdeführer keinen Gebrauch gemacht; mit Eingabe vom 30. November 2008 liess er dem Bundesgericht jedoch verschiedene Unterlagen zukommen.
3. Aus den kantonalen Akten ergibt sich, dass die Sicherheitsdirektion die mit Verfügung vom 4. Oktober 2007 angeordnete Massnahme betreffend Entzug des Führerausweises mit Verfügung vom 6. November 2008 gestützt auf ein Gutachten des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Zürich (IRM) vom 21. Oktober 2008 aufgehoben hat; auf die Verfügung vom 6. November 2008 haben weder der Beschwerdeführer noch die Sicherheitsdirektion hingewiesen. Infolge dieser Massnahmenaufhebung kann dem Beschwerdeführer aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids in der Hauptsache kein praktischer Nutzen mehr entstehen, weshalb ihm diesbezüglich ein aktuelles schutzwürdiges Interesse an der Beschwerde fehlt (<ref-law>). Hinsichtlich der beanstandeten vorinstanzlichen Kostenverlegung würde ihm hingegen im Falle eines Obsiegens ein praktischer Nutzen erwachsen, sodass insofern ein schutzwürdiges Interesse im Sinne von <ref-law> zu bejahen ist.
4. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht, so ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer macht geltend, es sei widersprüchlich und unhaltbar und somit willkürlich, wenn die Vorinstanz einerseits den Sachverhalt mit dem Vorliegen des verkehrsmedizinischen Gutachtens des IRM vom 14. September 2007 als erstellt betrachte, andererseits aber die neunmonatige Dauer des Rekursverfahrens vor dem Regierungsrat (28. Oktober 2007 bis Ende Juli 2008) damit rechtfertige, dass die Komplexität des Falls und die damit verbundene Sachverhaltsermittlung den beanspruchten Zeitraum benötigt hätten. Welche Rechtsfolge hinsichtlich der vorinstanzlichen Kostenverlegung aus der geltend gemachten Rechtsverletzung abgeleitet werden soll, führt der Beschwerdeführer nicht aus. Er zeigt zudem auch keine anderen Gründe auf, weshalb die beanstandete Kostenverlegung Recht verletzen soll. Die Begründungsanforderungen von <ref-law> sind demnach nicht erfüllt.
5. Nach dem Gesagten ergibt sich, dass auf die Beschwerde insgesamt nicht eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des vorliegenden Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Sicherheitsdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, sowie dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kappeler