<ref-law> etc. (Eheschutz), hat sich ergeben:
A.- Am 15. Juni 2000 stellte Y._ beim Einzelrichter von A._ ein Begehren um Erlass von Eheschutzmassnahmen.
Z._ reichte am 7. August 2000 die Klageantwort ein, zu der die Ehefrau ihrerseits am 11. September 2000 Stellung nahm. In seiner Verfügung vom 19. September 2000 nahm der Einzelrichter davon Vormerk, dass die Parteien zur Aufhebung des gemeinsamen Haushalts berechtigt seien; er wies die eheliche Wohnung zum ausschliesslichen Gebrauch der Ehefrau zu und verpflichtete den Ehemann zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen von monatlich Fr. 1'000.-- für die Zeit vom 1. April 2000 bis zum 30. September 2000 sowie von monatlich Fr. 1'900.-- ab 1. Oktober 2000.
Z._ rekurrierte, worauf Y._ Anschlussrekurs erhob. Mit Beschluss vom 18. April 2001 legte das Kantonsgericht (1. Rekurskammer) des Kantons Schwyz die Unterhaltsbeiträge auf Fr. 1'250.-- für die Zeit vom 1. April 2000 bis zum 30. September 2000, Fr. 1'610.-- für die Zeit vom 1. Oktober 2000 bis zum 31. Dezember 2000 und Fr. 1'775.-- für die Zeit ab 1. Januar 2001 fest. Ferner wurden Anordnungen zur Benützung des Hausrats getroffen.
B.- Z._ hat mit Eingabe vom 25. Mai 2001 staatsrechtliche Beschwerde erhoben und beantragt, den Beschluss des Kantonsgerichts aufzuheben. Ausserdem ersucht er darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
In ihrer Vernehmlassung vom 28. Juni 2001 schliesst die Beschwerdegegnerin Y._ auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. Auch sie ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Kantonsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
C.- Am 22. Juni 2001 hat der Präsident der erkennenden Abteilung in teilweiser Gutheissung eines Begehrens des Beschwerdeführers verfügt, dass der Beschwerde hinsichtlich der bis und mit April 2001 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt werde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Der Beschwerdeführer beanstandet den angefochtenen Entscheid zunächst in formeller Hinsicht. Er macht geltend, der erstinstanzliche Richter habe der Gegenpartei ermöglicht, eine zweite Rechtsschrift einzureichen, zu der er nicht habe Stellung nehmen können. Die Eingabe und die beigelegten 18 Belege seien ihm erst zusammen mit dem Entscheid zur Kenntnis gebracht worden. Verletzt worden sei aber auch der Anspruch auf persönliche Anhörung. Eine Parteibefragung sei weder in erster noch in zweiter Instanz durchgeführt worden, wiewohl eine solche ausdrücklich beantragt worden sei und im Hinblick auf die Erwerbsverhältnisse der Beschwerdegegnerin erforderlich gewesen wäre.
Dem hält die Beschwerdegegnerin entgegen, eine allfällige Gehörsverletzung in erster Instanz wäre durch das Rekursverfahren geheilt worden. Das ist auch die Meinung des Kantonsgerichts, das ausserdem erklärt, auf Grund der Aktenlage habe kein Anlass zu weiteren Beweiserhebungen bestanden. Zwar teffe zu, dass die Beschwerdegegnerin in ihrer ersten Rechtsschrift zwei Einkommensquellen unerwähnt gelassen habe.
Doch mache der Beschwerdeführer selbst nicht geltend, die Beschwerdegegnerin würde noch anderen, dem Gericht noch immer nicht bekannt gewordenen Arbeitstätigkeiten nachgehen. Sollte die Beschwerdegegnerin noch über weitere Einkommensquellen verfügen, stehe es dem Beschwerdeführer frei, ein entsprechendes Abänderungsverfahren anzustreben.
2.- Der verfassungsrechtliche Gehörsanspruch (<ref-law>) gibt dem Betroffenen das Recht, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen.
Dem Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörde, die Argumente und Verfahrensanträge der Partei entgegenzunehmen und zu prüfen sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen, es sei denn, diese beträfen eine nicht erhebliche Tatsache oder seien offensichtlich untauglich, über die streitige Tatsache Beweis zu erbringen (<ref-ruling> E. 2 S. 242; <ref-ruling> E. 4b S. 268 f., mit Hinweisen), oder der Richter habe seine Überzeugung auf Grund bereits abgenommener Beweise willkürfrei schon bilden können (dazu <ref-ruling> E. 5b S. 285; <ref-ruling> E. 4a S. 469; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 505 f.; <ref-ruling> E. 5b S. 101; <ref-ruling> E. 5 S. 491).
3.- a) Wie dem Mitteilungssatz in der Verfügung vom 19. September 2000 ausdrücklich zu entnehmen ist, hat der Einzelrichter von A._ die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin vom 11. September 2000 samt einer Reihe von Beweisurkunden dem Beschwerdeführer erst zusammen mit dem Entscheid zugestellt. Darin liegt eine offensichtliche Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör: Dem Beschwerdeführer wurde verwehrt, sich vor Erlass des Entscheids zu den fraglichen Beweismitteln zu äussern, welche die Erwerbsverhältnisse der Beschwerdegegnerin betrafen. Aus diesen ging unter anderem hervor, dass die Beschwerdegegnerin bisher ausgeübte Tätigkeiten aufgegeben hatte, wobei ein Arztzeugnis ihr bescheinigte, überarbeitet zu sein und die Arbeitstätigkeit einschränken zu müssen.
Es trifft zwar zu, dass nach der Rechtsprechung eine Gehörsverletzung im Rechtsmittelverfahren geheilt werden kann, falls die Kognition der Rechtsmittelinstanz nicht eingeschränkt ist und dem Beschwerdeführer kein Nachteil erwächst; die Heilung ist allerdings von vornherein ausgeschlossen, wenn es sich um eine besonders schwerwiegende Verletzung der Parteirechte handelt (dazu <ref-ruling> E. 2 S. 72 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 2b S. 132). Die dem Beschwerdeführer vorenthaltenen Beweisstücke waren für den Entscheid des erstinstanzlichen Richters zentral, wurde doch gestützt darauf eine erhebliche Verminderung des Einkommens der Beschwerdegegnerin angenommen. Es fragt sich ernsthaft, ob dem Entscheid, der zum Teil auf Beweismitteln beruht, von denen der Beschwerdeführer keine Kenntnis hatte und zu denen sich dieser nicht hatte äussern können, nicht ein derart gravierender Mangel anhaftet, dass eine Heilung im Rekursverfahren ausser Betracht fiel. Die Frage braucht indessen nicht abschliessend geprüft zu werden.
b) Dem Entscheid des Einzelrichters von A._ liegt ein Verfahrensmangel zu Grunde, der im Rekursverfahren auf keinen Fall geheilt worden ist:
Eheschutzmassnahmen sind von ihrem Sinn und Zweck her auf Aussöhnung der Ehegatten, auf Vermeidung künftiger oder Behebung bestehender Schwierigkeiten ausgerichtet und wollen verhindern, dass die Uneinigkeit zur völligen Entfremdung führt (<ref-ruling> E. 4 S. 28 mit Hinweisen). Nach <ref-law> mahnt der Richter die Ehegatten an ihre Pflichten und versucht, sie zu versöhnen. Mit der Aufgabe der Vermittlung und Versöhnung aber ist eine mündliche Anhörung notwendig verbunden. Auch der Entscheid darüber, ob die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts berechtigt ist (<ref-law>), lässt sich regelmässig nicht treffen, ohne dass sich der Richter von den Parteien einen persönlichen Eindruck verschafft hat. Im Allgemeinen bedarf schliesslich ebenso die Klärung des Sachverhalts für die Anordnung der verschiedenen Eheschutzmassnahmen der Befragung der Parteien. In Lehre und Rechtsprechung herrscht Übereinstimmung darüber, dass eine mündliche Verhandlung im Eheschutzverfahren in aller Regel unabdingbar ist und vom Bundesrecht verlangt wird (dazu Hausheer/Reusser/Geiser, Berner Kommentar, N. 14 zu <ref-law>; Bräm, Zürcher Kommentar, N. 8 zu <ref-law>; OscarVogel, Der Richter im neuen Eherecht, Aufgaben und Verfahren, in: SJZ 83/1987, S. 133; für das Massnahmeverfahren: Spühler/Frei-Maurer, Berner Kommentar, N. 121 zu <ref-law>). Ein Recht auf persönliche Teilnahme, d.h. auf mündliche Verhandlung, leitet sich für eherechtliche Verfahren im Übrigen auch aus Art. 6 EMRK ab (vgl. Haefliger/Schürmann, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, 2. Aufl. , Bern 1999, S. 184 f.).
Im vorliegenden Fall sind die Parteien weder durch den Bezirksrichter noch durch das Kantonsgericht mündlich angehört worden. Das Verfahren vor den kantonalen Instanzen genügte den konventions- und verfassungsrechtlichen Anforderungen mithin nicht.
c) Im Verfahren vor dem Kantonsgericht ist der verfassungsrechtliche Gehörsanspruch noch in anderer Hinsicht verletzt worden: Die Beschwerdegegnerin hat in ihrem Anschlussrekurs geltend gemacht, sie habe nach ihrer Beschäftigung im Service und jener in einem privaten Haushalt nunmehr auch ihre Hauptarbeitsstelle verloren. Der Beschwerdeführer verlangte, dass sie hierzu persönlich befragt werde, weil er es für möglich halte, dass die Beschwerdegegnerin ihr Einkommen freiwillig reduziert habe. Da gegebenenfalls ein hypothetisches, höheres Einkommen zu berücksichtigen ist, wenn eine Partei ihr Einkommen freiwillig vermindert hat (dazu <ref-ruling> E. 4a S. 316 f.), waren die Umstände der Arbeitsreduktion abklärungsbedürftig. Von einer Parteibefragung hätte auch aus diesem Grund nicht abgesehen werden dürfen.
4.- Der angefochtene Entscheid ist nach dem Gesagten aus formeller Sicht verfassungswidrig. Die staatsrechtliche Beschwerde ist daher gutzuheissen, ohne dass auf die vom Beschwerdeführer zusätzlich erhobenen materiellen Rügen eingegangen zu werden braucht.
5.- Beide Parteien haben für das Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege nachgesucht. Das Gesuch des Beschwerdeführers ist insoweit gegenstandslos geworden, als er obsiegt und damit keine Gerichtsgebühr zu tragen hat (vgl. Art. 156 Abs. 1 OG). Bei beiden Parteien ist die Bedürftigkeit offenkundig und der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege auch sonst zu bejahen (vgl. Art. 152 Abs. 1 OG).
Da eine Parteientschädigung, zu deren Leistung die unterliegende Beschwerdegegnerin gemäss Art. 159 Abs. 2 OG an sich zu verpflichten wäre, angesichts ihrer prekären wirtschaftlichen Verhältnisse als von vornherein uneinbringlich betrachtet werden muss, ist auch der Anwalt des Beschwerdeführers sogleich aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen und der Beschluss des Kantonsgerichts (1. Rekurskammer) des Kantons Schwyz vom 18. April 2001 aufgehoben.
2.- Beiden Parteien wird für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt; dem Beschwerdeführer wird in der Person von Rechtsanwalt lic.
iur. Oswald Rohner, Lachen, und der Beschwerdegegnerin in der Person von Rechtsanwalt lic. iur. Peter Züger, Lachen, ein Rechtsbeistand beigegeben.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt, einstweilen jedoch auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.- Den Rechtsanwälten lic. iur. Oswald Rohner und lic.
iur. Peter Züger wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von je Fr. 1'800.-- zugesprochen.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht (1. Rekurskammer) des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 24. Juli 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung des
SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: