Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene M._, Dr. med., arbeitet seit 1. Februar 1999 - ab 1. Juli 2000 in der Funktion eines Qualitätsbeauftragten - am Zentrum X._. Er ist bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen die gesundheitlichen und erwerblichen Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Gemäss Bagatellunfall-Meldung UVG vom 3. Januar 2003 verletzte sich M._ am 25. Dezember 2002 beim Wandern auf der Insel Tasmanien am linken Fuss. Als Art der Schädigung wurde ein Bruch angegeben. Im «Fragebogen zur obligatorischen Unfallversicherung» der Zürich vom 10. Januar 2003 schilderte der Versicherte den Vorfall im Einzelnen wie folgt: «Mehrstündige Wanderung im Freycinet Park mit Gepäck. Stechender Schmerz beim Bergabgehen, Ferse links, professionelles Schuhwerk; zunächst Verdacht auf Zerrung, daher Ruhigstellung ab 26.12.2002 (Fotos vorhanden).» Mit Verfügung vom 19. Februar 2003 verneinte die Zürich eine Leistungspflicht mit der Begründung, der Vorfall vom 25. Dezember 2002 stelle weder einen Unfall noch eine unfallähnliche Körperschädigung dar. Dagegen machte M._ einspracheweise geltend, er habe auf der Wanderung am 25. Dezember 2002 zwei Traumata erlitten, «als ich mit der linken Ferse aus einer senkrechten Granitspalte nach unten abrutschte und mit dem linken Absatz auf einem Felsvorsprung aufschlug» und «als ich beim Abstieg vom Mt. Graham über die Südflanke (Granitfelsen) erneut einen Höhenunterschied von ca. 1,50 m überwinden musste, und, um nicht das Gleichgewicht zu verlieren, den Schwerpunkt reflexartig und unvorhergesehen auf den linken Fuss verlagerte». Mit Einspracheentscheid vom 14. April 2003 bestätigte die Zürich die Verfügung vom 19. Februar 2003.
A. Der 1955 geborene M._, Dr. med., arbeitet seit 1. Februar 1999 - ab 1. Juli 2000 in der Funktion eines Qualitätsbeauftragten - am Zentrum X._. Er ist bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen die gesundheitlichen und erwerblichen Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Gemäss Bagatellunfall-Meldung UVG vom 3. Januar 2003 verletzte sich M._ am 25. Dezember 2002 beim Wandern auf der Insel Tasmanien am linken Fuss. Als Art der Schädigung wurde ein Bruch angegeben. Im «Fragebogen zur obligatorischen Unfallversicherung» der Zürich vom 10. Januar 2003 schilderte der Versicherte den Vorfall im Einzelnen wie folgt: «Mehrstündige Wanderung im Freycinet Park mit Gepäck. Stechender Schmerz beim Bergabgehen, Ferse links, professionelles Schuhwerk; zunächst Verdacht auf Zerrung, daher Ruhigstellung ab 26.12.2002 (Fotos vorhanden).» Mit Verfügung vom 19. Februar 2003 verneinte die Zürich eine Leistungspflicht mit der Begründung, der Vorfall vom 25. Dezember 2002 stelle weder einen Unfall noch eine unfallähnliche Körperschädigung dar. Dagegen machte M._ einspracheweise geltend, er habe auf der Wanderung am 25. Dezember 2002 zwei Traumata erlitten, «als ich mit der linken Ferse aus einer senkrechten Granitspalte nach unten abrutschte und mit dem linken Absatz auf einem Felsvorsprung aufschlug» und «als ich beim Abstieg vom Mt. Graham über die Südflanke (Granitfelsen) erneut einen Höhenunterschied von ca. 1,50 m überwinden musste, und, um nicht das Gleichgewicht zu verlieren, den Schwerpunkt reflexartig und unvorhergesehen auf den linken Fuss verlagerte». Mit Einspracheentscheid vom 14. April 2003 bestätigte die Zürich die Verfügung vom 19. Februar 2003.
B. Die Beschwerde des M._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 12. Juli 2004 ab.
B. Die Beschwerde des M._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 12. Juli 2004 ab.
C. M._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit den Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben, der Vorfall vom 25. Dezember 2002 sei als Unfall, allenfalls als unfallähnliches Ereignis anzuerkennen und die Zürich sei zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Im Weitern werden verschiedene Beweisanträge gestellt.
Die Zürich beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Die Zürich beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. In zwei weiteren Eingaben hat sich M._ zur Sache geäussert.
D. In zwei weiteren Eingaben hat sich M._ zur Sache geäussert.
E. Am 23. November 2006 hat das Eidgenössische Versicherungsgericht den Fall parteiöffentlich beraten.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer am 25. Dezember 2002 einen Unfall im Sinne von alt Art. 9 Abs. 1 UVV (in Kraft gewesen bis 31. Dezember 2002) oder eine unfallähnliche Körperschädigung nach Art. 9 Abs. 2 UVV erlitten hat. Entgegen dem kantonalen Gericht kommt Art. 4 des am 1. Januar 2003 in Kraft getretenen Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) über den Unfallbegriff nicht zur Anwendung (<ref-ruling> f. Erw. 2.2 und 2.3, 129 V 4 Erw. 1.2, 127 V 467 Erw. 1). Diese Feststellung ist allerdings insofern nicht von Bedeutung, als Art. 4 ATSG inhaltlich mit alt Art. 9 Abs. 1 UVV übereinstimmt und die hiezu ergangene Rechtsprechung weiterhin Gültigkeit hat (RKUV 2004 Nr. U 530 [U 123/04] S. 576 Erw. 1.2 mit Hinweis auf Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, S. 56 ff. Rz 1 und 4 ff.).
Im angefochtenen Entscheid wird die Rechtsprechung zum Begriff der Ungewöhnlichkeit und der Plötzlichkeit des äusseren Faktors als begriffsnotwendige Merkmale eines Unfalles resp. einer unfallähnlichen Körperschädigung zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Im angefochtenen Entscheid wird die Rechtsprechung zum Begriff der Ungewöhnlichkeit und der Plötzlichkeit des äusseren Faktors als begriffsnotwendige Merkmale eines Unfalles resp. einer unfallähnlichen Körperschädigung zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2. Das kantonale Gericht ist bei der Beurteilung der Frage, ob der Beschwerdeführer am 25. Dezember 2002 einen Unfall oder eine unfallähnliche Körperschädigung erlitten hat, von der Schilderung im Fragebogen der Zürich vom 10. Januar 2003 ausgegangen. Danach hat der Versicherte beim Bergabgehen anlässlich einer mehrstündigen Wanderung einen stechenden Schmerz im linken Fuss verspürt. Im Einzelnen hat die Vorinstanz erwogen, in Ziffer 2 des Fragebogens werde deutlich darauf hingewiesen, der Vorgang, der zur Körperschädigung geführt habe, müsse im Detail, präzise und vollständig geschildert werden. Auf spätere Ergänzungen müsse der Versicherer nicht eintreten. Der Beschwerdeführer habe in seiner Antwort die mehrstündige Wanderung mit Gepäck, den stechenden Schmerz beim Bergabgehen in der linken Ferse und das professionelle Schuhwerk genannt. Hätte der Vorfall im Abrutschen und Aufschlagen bzw. in einer reflexartigen Abwehrbewegung bestanden, wäre anzunehmen, dass er dies im Formular vermerkt haben würde. Im E-Mail vom 18. Februar 2003 werde auf die besondere Topografie und Geologie, die Marschdauer und die gepäckbedingte kinetische Energie hingewiesen. Auch hier werde ein Aus- oder Abrutschen beim Bergabgehen nicht erwähnt. Die Angaben in dem zwei Wochen nach dem Ereignis ausgefüllten Fragebogen vom 10. Januar 2003 könnten als «Aussage der ersten Stunde» gewertet werden, welcher bei der Würdigung des Sachverhaltes besonderes Gewicht zukomme. Zudem habe der Versicherte in der Beschwerde festgehalten, er habe auf dem Rückweg am 1. Januar 2003 die Klinik Y._ aufgesucht, um u.a. differentialdiagnostisch einen Tumor sichern oder ausschliessen zu können. Schlug er den Fuss tatsächlich auf, hätte er als Arzt doch wohl kaum einen Tumor in Betracht gezogen. Überdies stehe die Schilderung vom 10. Januar 2003 mit der Beurteilung der Radiologen des Zentrums X._ einer «Ermüdungsfraktur des Calcaneus» in Einklang.
Ausgehend von den Angaben im Fragebogen der Zürich vom 10. Januar 2003 hat die Vorinstanz mangels Ungewöhnlichkeit und Plötzlichkeit des äusseren Faktors einen Unfall oder eine unfallähnliche Körperschädigung verneint. Insbesondere lasse sich weder in der mehrstündigen Wanderung mit Gepäck noch im Bergabgehen etwas Ungewöhnliches erkennen. Ebenfalls sei aufgrund der medizinischen Akten davon auszugehen, dass der Versicherte am 25. Dezember 2002 eine Ermüdungsfraktur am Calcaneus links erlitten habe.
Ausgehend von den Angaben im Fragebogen der Zürich vom 10. Januar 2003 hat die Vorinstanz mangels Ungewöhnlichkeit und Plötzlichkeit des äusseren Faktors einen Unfall oder eine unfallähnliche Körperschädigung verneint. Insbesondere lasse sich weder in der mehrstündigen Wanderung mit Gepäck noch im Bergabgehen etwas Ungewöhnliches erkennen. Ebenfalls sei aufgrund der medizinischen Akten davon auszugehen, dass der Versicherte am 25. Dezember 2002 eine Ermüdungsfraktur am Calcaneus links erlitten habe.
3. 3.1 Nach der Rechtsprechung hat die versicherte Person die Umstände des als Unfall gemeldeten Ereignisses glaubhaft zu machen. Unvollständige, ungenaue oder widersprüchliche Angaben zum Geschehensablauf können die Verneinung der Leistungspflicht der Unfallversicherung zur Folge haben. Im Streitfall hat das Sozialversicherungsgericht zu entscheiden, ob die einzelnen Merkmale des Unfallbegriffs, insbesondere die Ungewöhnlichkeit des äusseren Faktors, gegeben sind. Hiezu hat es im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes die notwendigen Beweise zu erheben. Spricht der rechtserhebliche Sachverhalt nicht wenigstens mit Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen der einzelnen Begriffsmerkmale - die blosse Möglichkeit genügt nicht -, ist ein Unfall im Rechtssinne zu verneinen (<ref-ruling> Erw. 4b, 103 V 176 Erw. 2a; RKUV 2003 Nr. U 485 [U 307+308/01] S. 259 Erw. 5).
Bei sich widersprechenden Angaben des Versicherten über den Unfallhergang ist auf die Beweismaxime hinzuweisen, wonach die sogenannten spontanen «Aussagen der ersten Stunde» in der Regel unbefangener und zuverlässiger sind als spätere Darstellungen, die bewusst oder unbewusst von nachträglichen Überlegungen versicherungsrechtlicher oder anderer Art beeinflusst sein können. Wenn der Versicherte seine Darstellung im Laufe der Zeit wechselt, kommt den Angaben, die er kurz nach dem Unfall gemacht hat, meistens grösseres Gewicht zu als jenen nach Kenntnis einer Ablehnungsverfügung des Versicherers (<ref-ruling> Erw. 2a mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 5, 130 V 120 Erw. 2.2.7 sowie RKUV 2004 Nr. U 512 [U 349/02] S. 283 Erw. 4.2).
Der Grundsatz, wonach die ersten Aussagen nach einem schädigenden Ereignis in der Regel unbefangener und zuverlässiger sind als spätere Darstellungen, stellt eine im Rahmen freier Beweiswürdigung zu berücksichtigende Entscheidungshilfe dar. Sie kann nur zur Anwendung gelangen, wenn von zusätzlichen Abklärungen keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (RKUV 2004 Nr. 524 [U 236/03] S. 546).
3.2 Im Lichte dieser Grundsätze lässt sich die vorinstanzliche Sachverhaltswürdigung nicht beanstanden. Insbesondere durfte das kantonale Gericht dem Umstand, dass der Versicherte trotz klarer Fragestellung zum Vorfall vom 25. Dezember 2002 im Fragebogen der Zürich vom 10. Januar 2003 kein spezielles Ereignis nannte, das den Schmerz unmittelbar auslöste oder mit zeitlicher Verzögerung im Sinne einer Teilursache ausgelöst haben könnte, entscheidendes Gewicht beigemessen hat. Daran ändert nichts, dass er in der Anmeldung Radiologie vom 3. Januar 2003 «Dauerschmerz Fuss links nach Wanderung mit Aufschlag links» angegeben hatte. Abgesehen davon stellt das harte Aufschlagen mit der linken Ferse auf dem Boden für sich allein genommen keinen Vorgang aussergewöhnlicher Art dar. Darin kann keine für den Unfallbegriff letztlich entscheidende Programmwidrigkeit (<ref-ruling> Erw. 2.1) erblickt werden, welche den Rahmen des Normalen und Üblichen beim Bergabgehen in felsigem Gelände ohne gesicherten Weg mit bis zu 1,5 m hohen Absätzen sprengte. Es kann sich insoweit nicht anders verhalten als bei jenem Versicherten, welcher beim Ausstieg aus einem Wagen der S-Bahn bei einer Tritthöhe von etwa 43 cm mit dem rechten Fuss hart auf dem Perron auftrat und in der Folge von der Lendengegend ins Bein ausstrahlende Schmerzen verspürte (nicht veröffentlichtes Urteil N. vom 2. Dezember 1993 [U 82/92]). In diesem Zusammenhang kann daraus, dass bei oder nach einer Körperbewegung Schmerzen auftreten, allein nicht auf eine ungewöhnliche Ursache im Sinne eines programmwidrig gestörten Ablaufs geschlossen werden (Urteil G. vom 17. August 2004 [U 243/03] Erw. 3.2; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 2.1 in fine und RKUV 2003 Nr. U 492 [U 56/01] S. 372 Erw. 2.2). Ebenfalls vermag die Bestätigung der Sachverhaltsschilderung in der Einsprache durch die Ehefrau des Versicherten nichts am vorinstanzlichen Beweisergebnis betreffend den gemeldeten Vorfall vom 25. Dezember 2002 zu ändern. Aufgrund des Vorstehenden hat die Vorinstanz zu Recht und insoweit unbestritten einen Unfall im Rechtssinne verneint.
3.2 Im Lichte dieser Grundsätze lässt sich die vorinstanzliche Sachverhaltswürdigung nicht beanstanden. Insbesondere durfte das kantonale Gericht dem Umstand, dass der Versicherte trotz klarer Fragestellung zum Vorfall vom 25. Dezember 2002 im Fragebogen der Zürich vom 10. Januar 2003 kein spezielles Ereignis nannte, das den Schmerz unmittelbar auslöste oder mit zeitlicher Verzögerung im Sinne einer Teilursache ausgelöst haben könnte, entscheidendes Gewicht beigemessen hat. Daran ändert nichts, dass er in der Anmeldung Radiologie vom 3. Januar 2003 «Dauerschmerz Fuss links nach Wanderung mit Aufschlag links» angegeben hatte. Abgesehen davon stellt das harte Aufschlagen mit der linken Ferse auf dem Boden für sich allein genommen keinen Vorgang aussergewöhnlicher Art dar. Darin kann keine für den Unfallbegriff letztlich entscheidende Programmwidrigkeit (<ref-ruling> Erw. 2.1) erblickt werden, welche den Rahmen des Normalen und Üblichen beim Bergabgehen in felsigem Gelände ohne gesicherten Weg mit bis zu 1,5 m hohen Absätzen sprengte. Es kann sich insoweit nicht anders verhalten als bei jenem Versicherten, welcher beim Ausstieg aus einem Wagen der S-Bahn bei einer Tritthöhe von etwa 43 cm mit dem rechten Fuss hart auf dem Perron auftrat und in der Folge von der Lendengegend ins Bein ausstrahlende Schmerzen verspürte (nicht veröffentlichtes Urteil N. vom 2. Dezember 1993 [U 82/92]). In diesem Zusammenhang kann daraus, dass bei oder nach einer Körperbewegung Schmerzen auftreten, allein nicht auf eine ungewöhnliche Ursache im Sinne eines programmwidrig gestörten Ablaufs geschlossen werden (Urteil G. vom 17. August 2004 [U 243/03] Erw. 3.2; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 2.1 in fine und RKUV 2003 Nr. U 492 [U 56/01] S. 372 Erw. 2.2). Ebenfalls vermag die Bestätigung der Sachverhaltsschilderung in der Einsprache durch die Ehefrau des Versicherten nichts am vorinstanzlichen Beweisergebnis betreffend den gemeldeten Vorfall vom 25. Dezember 2002 zu ändern. Aufgrund des Vorstehenden hat die Vorinstanz zu Recht und insoweit unbestritten einen Unfall im Rechtssinne verneint.
4. Im Weitern ist nicht zu beanstanden, dass das kantonale Gericht aufgrund der medizinischen Unterlagen davon ausgegangen ist, der Versicherte habe überwiegend wahrscheinlich am 25. Dezember 2002 eine Ermüdungsfraktur am Calcaneus links - und nicht eine «bone bruise» (Knochenprellung nach Trauma) - erlitten. Die Vorbringen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde geben zu keiner anderen Betrachtungsweise Anlass. Von diesbezüglichen Abklärungen ist daher abzusehen. Der aus der Art der Verletzung gezogene Schluss der Vorinstanz auf das Fehlen des Begriffsmerkmals der Plötzlichkeit (<ref-ruling> oben) ist nicht bestritten. Somit fällt auch eine unfallähnliche Körperschädigung ausser Betracht.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 23. November 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: