Faits:
A. Par jugement du 20 octobre 2011, la Cour des affaires pénales du Tribunal pénal fédéral (ci-après : TPF) a reconnu X._ coupable de faux dans les titres par omission (art. 251 et 11 CP). Elle l'a condamné à une peine pécuniaire de 80 jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 300 fr., et a suspendu l'exécution de cette peine pour une durée de deux ans.
En résumé, cette condamnation repose sur les faits suivants :
Le 19 février 2003, X._ a ouvert un compte n°zzzzzzzz auprès de la banque NPB. Il a signé une formule A, qui mentionnait Y._ comme ayant droit économique des avoirs du compte. En signant cette formule, il s'est engagé, ainsi que cela figurait au bas dudit document, à communiquer à la banque tout changement de l'ayant droit économique. Du 14 août 2003 au 20 juillet 2004, date de la clôture du compte, il a procédé, sur ce compte, à diverses opérations, dont aucune au nom et pour le compte de Y._, sans pour autant renouveler la formule A, comme il s'y était engagé en signant ladite formule.
B. Contre cet arrêt, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut à son acquittement et éventuellement au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouveau jugement.
Le Ministère public de la Confédération conclut au rejet du recours.
Informé de la prise de position du Ministère public, le recourant dépose des observations.

Considérant en droit:
1. Selon le TPF, le recourant a réalisé, par omission improprement dite, l'infraction de faux dans les titres, sous la forme d'usage d'un titre faux. En effet, il lui est reproché d'avoir omis d'informer la banque du changement de l'ayant droit économique lors des diverses opérations qu'il a effectuées sur le compte qu'il avait ouvert. Le TPF fonde l'obligation juridique d'agir sur le contrat que le recourant a passé avec la banque et, plus particulièrement, sur la formule A, par laquelle il s'est engagé à communiquer à la banque les modifications relatives à la teneur de la formule (arrêt attaqué p. 12).
Le recourant conteste que l'infraction de faux dans les titres - qui constitue un délit de mise en danger abstraite et, partant, un délit d'activité (et non de résultat) - puisse être commise par omission. En outre, selon lui, la clause contractuelle, figurant sur la formule A et par laquelle le cocontractant s'engage à communiquer spontanément les modifications à la banque, ne saurait fonder une obligation juridique d'agir.
2. Selon l'<ref-law>, se rend coupable de faux dans les titres celui qui, dans le dessein de porter atteinte aux intérêts pécuniaires ou aux droits d'autrui, ou de se procurer ou de procurer à un tiers un avantage illicite, aura créé un titre faux, falsifié un titre, abusé de la signature ou de la marque à la main réelles d'autrui pour fabriquer un titre supposé, ou constaté ou fait constater faussement, dans un titre, un fait ayant une portée juridique, ou aura, pour tromper autrui, fait usage d'un tel titre.
2.1 L'<ref-law> vise non seulement un titre faux ou la falsification d'un titre (faux matériel), mais aussi un titre mensonger (faux intellectuel). Il y a faux matériel lorsque l'auteur réel du document ne correspond pas à l'auteur apparent, alors que le faux intellectuel vise un titre qui émane de son auteur apparent, mais dont le contenu ne correspond pas à la réalité (<ref-ruling> consid. 2a p. 67).
Il est toutefois généralement admis qu'un simple mensonge écrit ne constitue pas un faux intellectuel. La confiance que l'on peut avoir à ne pas être trompé sur la personne de l'auteur est plus grande que celle que l'on peut avoir à ce que l'auteur ne mente pas par écrit; pour cette raison, la jurisprudence exige, dans le cas du faux intellectuel, que le document ait une crédibilité accrue et que son destinataire puisse s'y fier raisonnablement. Une simple allégation, par nature sujette à vérification ou discussion, ne suffit pas; il doit résulter des circonstances concrètes ou de la loi que le document est digne de confiance, de telle sorte qu'une vérification par le destinataire n'est pas nécessaire et ne saurait être exigée (<ref-ruling> consid. 8.1 p. 14 s. ; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 133 s. ; <ref-ruling> consid. 2a p. 67 s.).
2.2 La loi fédérale concernant la lutte contre le blanchiment d'argent et le financement du terrorisme dans le secteur financier (loi sur le blanchiment d'argent ; LBA ; RS 955.0) impose à l'intermédiaire financier, notamment aux banques, une identification de l'ayant droit économique dans certaines circonstances, notamment si le cocontractant n'est pas l'ayant droit économique ou qu'il y a doute à ce sujet (cf. <ref-law>) ; à cet effet, elle prévoit que l'intermédiaire financier doit requérir du cocontractant une déclaration écrite, dans laquelle celui-ci désigne l'ayant droit économique ou confirme être lui-même cet ayant droit. La loi contraint ainsi le cocontractant à une déclaration écrite, qui doit permettre à l'intermédiaire financier de se faire une juste idée sur l'ayant droit économique. Selon la jurisprudence, une déclaration de ce type instaurée par la loi doit être qualifiée de titre, à l'instar d'une comptabilité commerciale régie par la loi et dont la fonction est aussi de procurer une information (arrêt 6S.293/2005 du 24 février 2006, publié in SJ 2006 I p. 309 ; arrêt 6S. 346/1999 du 30 novembre 1999, in SJ 2000 I p. 234). Ainsi, le cocontractant qui, en toute connaissance de cause, indique, sur la formule A, le nom et les coordonnées d'une personne qui n'est pas l'ayant droit économique réel des valeurs se rend coupable de faux (intellectuel) dans les titres.
2.3 En l'espèce, le TPF a admis que Y._, que le recourant a mentionné sur la formule A, était le réel ayant droit économique des montants destinés à être déposés sur le compte, de sorte que le recourant n'a pas commis de faux (intellectuel) dans les titres lorsqu'il a rempli la formule A. Le recourant a été reconnu coupable d'usage de faux au sens de l'<ref-law> pour ne pas avoir renouvelé la formule A lors des opérations effectuées postérieurement sur le compte. Il y a usage de faux, lorsque le faux est présenté à la personne qu'il doit tromper ; il suffit qu'il parvienne dans sa sphère d'influence, c'est-à-dire qu'il soit reçu ; il n'est pas nécessaire que la dupe en prenne connaissance (<ref-ruling> 5c/cc p. 131 ; CORBOZ, Les infractions en droit suisse, vol II, 3e éd., 2010, n. 89 ad art. 251, p. 247). Lorsque, ultérieurement, le recourant a versé sur le compte des valeurs qui n'appartenaient pas à l'ayant droit économique figurant sur la formule A, il n'avait toutefois pas à remettre à la banque une nouvelle formule A (celle-ci n'étant pas nécessaire à la réalisation des opérations) et ne l'a donc pas fait. On ne peut donc lui reprocher d'avoir fait usage d'une fausse formule A à ce moment-là. Il convient encore d'examiner si le recourant peut - comme le soutient le TPF - être condamné pour usage de faux par omission.
3. Entré en vigueur le 1er janvier 2007, l'<ref-law> reprend la jurisprudence relative aux délits de commission par omission ou d'omission improprement dit. Selon cette disposition, un crime ou un délit peut aussi être commis par le fait d'un comportement passif contraire à une obligation d'agir (al. 1). Reste passif en violation d'une obligation d'agir celui qui n'empêche pas la mise en danger ou la lésion d'un bien juridique protégé par la loi pénale bien qu'il y soit tenu à raison de sa situation juridique. La loi énumère plusieurs sources pouvant fonder une obligation d'agir, à savoir la loi, un contrat, une communauté de risques librement consentie ou la création d'un risque (al. 2 CP). Celui qui reste passif en violation d'une obligation d'agir n'est punissable à raison de l'infraction considérée que si, compte tenu des circonstances, il encourt le même reproche que s'il avait commis cette infraction par un comportement actif (al. 3). Le juge peut atténuer la peine (al. 4).
3. Entré en vigueur le 1er janvier 2007, l'<ref-law> reprend la jurisprudence relative aux délits de commission par omission ou d'omission improprement dit. Selon cette disposition, un crime ou un délit peut aussi être commis par le fait d'un comportement passif contraire à une obligation d'agir (al. 1). Reste passif en violation d'une obligation d'agir celui qui n'empêche pas la mise en danger ou la lésion d'un bien juridique protégé par la loi pénale bien qu'il y soit tenu à raison de sa situation juridique. La loi énumère plusieurs sources pouvant fonder une obligation d'agir, à savoir la loi, un contrat, une communauté de risques librement consentie ou la création d'un risque (al. 2 CP). Celui qui reste passif en violation d'une obligation d'agir n'est punissable à raison de l'infraction considérée que si, compte tenu des circonstances, il encourt le même reproche que s'il avait commis cette infraction par un comportement actif (al. 3). Le juge peut atténuer la peine (al. 4).
3.1 3.1.1 Dans son avant-projet de révision de la partie générale du Code pénal, Hans Schultz préconisait l'extension de la construction du délit d'omission improprement dit aux délits formels (ou délits d'activité ; Tätigkeitsdelikte ; SCHULTZ, Bericht und Vorentwurf zur Revision des Allgemeinen Teils und des Dritten Buches « Einführung und Anwendung des Gesetzes » des Schweizerischen Strafgesetzbuches, 1987, p. 25 s.). Suivant l'avant-projet, le projet du Conseil fédéral visait de manière très succincte, « celui qui n'empêche pas la réalisation d'une infraction alors qu'il y est tenu par une obligation juridique si son omission peut être assimilée à un comportement actif punissable » (art. 11 P-CP), et étendait de la sorte la commission par omission aux délits formels (message du 21 septembre 1998 du Conseil fédéral concernant la modification du code pénal suisse, FF 1999, p. 1808). Les Chambres fédérales ont remanié cette clause, précisant qu'était punissable pour omission « celui qui n'empêche pas la mise en danger ou la lésion d'un bien juridique protégé par la loi pénale ».
Se référant à la notion de résultat, la jurisprudence et une partie de la doctrine suggèrent que seuls les délits matériels (ou délits de résultat ; Erfolgsdelikte) peuvent être commis sous la forme de l'omission improprement dite (<ref-ruling> consid. 2a p. 132 ; TRECHSEL ET AL., Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2008, n. 2 ad art. 11 ; DONATSCH/TAG, Strafrecht I, p. 298). Un délit d'omission improprement dit est réalisé lorsque la survenance du résultat par une action est expressément menacée d'une sanction pénale, que l'accusé par son action aurait effectivement pu éviter le résultat et qu'en raison de sa situation juridique particulière il y était à ce point obligé que son omission apparaît comparable au fait de provoquer le résultat par un comportement actif (<ref-ruling> consid. 2a p. 132).
Il est clair que l'omission improprement dite ne peut être envisagée lorsque l'élément objectif de l'infraction décrit un comportement concevable uniquement sous la forme d'une action. On peut citer comme exemple le faux dans les titres (<ref-law>) et la fausse déclaration d'une partie en justice (<ref-law> ; SEELMANN, Strafrecht I, Basler Kommentar, 2007, n. 83 ad art. 11 ; STRATENWERTH, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil I : Die Straftat, 4e éd., 2011, n. 33 ad § 14 ; DONATSCH/TAG, Strafrecht I, Verbrechenslehre, 8e éd., 2006, p. 298). Il convient d'examiner pour chaque infraction si celle-ci peut être commise par omission (STRATENWERTH, op. cit.).
3.1.2 Le TPF a condamné le recourant pour usage de faux par omission, car il n'avait pas renouvelé la formule A qui se trouvait dans les dossiers de la banque. Comme vu ci-dessus, l'<ref-law> réprime le fait de remettre un faux document à un tiers dans le but de le tromper. Un tel comportement constitue un comportement actif qui ne peut être commis par omission. La figure juridique du délit d'omission improprement dite est inconcevable et est donc exclue pour des raisons dogmatiques ; elle doit aussi être rejetée faute d'obligation juridique d'agir (cf. consid. 3.2 ci après).
3.1.2 Le TPF a condamné le recourant pour usage de faux par omission, car il n'avait pas renouvelé la formule A qui se trouvait dans les dossiers de la banque. Comme vu ci-dessus, l'<ref-law> réprime le fait de remettre un faux document à un tiers dans le but de le tromper. Un tel comportement constitue un comportement actif qui ne peut être commis par omission. La figure juridique du délit d'omission improprement dite est inconcevable et est donc exclue pour des raisons dogmatiques ; elle doit aussi être rejetée faute d'obligation juridique d'agir (cf. consid. 3.2 ci après).
3.2 3.2.1 N'importe quelle obligation juridique d'agir ne suffit pas pour fonder une infraction de commission par omission. Il doit s'agir d'une obligation juridique qualifiée (message du 21 septembre 1998 du Conseil fédéral concernant la modification du code pénal suisse, FF 1999, p. 1808 ; CASSANI, Commentaire romand, Code pénal I, n. 21 et 25 ad <ref-law>). Il faut que l'auteur se soit trouvé dans une situation qui l'obligeait à ce point à protéger un bien déterminé contre des dangers indéterminés (devoir de protection) ou à empêcher la réalisation de risques connus auxquels des biens indéterminés étaient exposés (devoir de surveillance ; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 191 ; <ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 259 s.).
3.2.2 Parmi les différents types de devoirs juridiques figurent tout d'abord ceux fondés sur la loi. En accord avec la doctrine minoritaire, le Tribunal fédéral a admis que les intermédiaires financiers se trouvent, depuis l'entrée en vigueur de la LBA, dans une position de garant. En effet, il résulte des normes concernant la lutte contre le blanchiment d'argent que les intermédiaires financiers doivent, dans les limites fixées par la loi (art. 3 à 10 LBA), clarifier l'arrière-plan économique et le but d'une relation d'affaires lorsque des indices laissent supposer que des valeurs patrimoniales proviennent d'un crime et informer immédiatement le Bureau de communication en matière de blanchiment d'argent s'ils savent ou présument, sur la base de soupçons fondés, que les valeurs patrimoniales impliquées dans la relation d'affaires ont un rapport avec un acte de blanchiment ou proviennent d'un crime (<ref-ruling> consid. 6).
En l'espèce, le recourant n'a toutefois pas agi en tant qu'intermédiaire financier (contrairement à ce que soutient le Ministère public de la Confédération), mais comme simple cocontractant de la banque. Or, la LBA oblige l'intermédiaire financier à identifier l'ayant droit économique (<ref-law>) et à renouveler cette vérification au cours de la relation d'affaires lorsque des doutes surviennent quant à son identité (<ref-law>). L'obligation du cocontractant se limite à fournir une déclaration écrite, dans laquelle celui-ci désigne l'ayant droit économique ou confirme être lui-même cet ayant droit lors de l'établissement des relations d'affaires. Il n'a pas, de par la loi, l'obligation d'indiquer des éventuelles modifications. C'est uniquement par la signature de la formule A que le cocontractant « s'engage à communiquer spontanément les modifications à la banque ». Il ne s'agit donc pas d'une obligation légale, qui trouve sa source dans la LBA, mais uniquement d'un engagement contractuel, que le cocontractant prend en signant la formule A.
3.2.3 Un contrat peut être la source d'une position de garant au sens de l'<ref-law>. Tout engagement contractuel de faire ou de ne pas faire quelque chose ne fonde toutefois pas une position de garant. Le devoir de protéger le bien juridique ou de surveiller une certaine source de danger doit former l'objet exclusif ou principal de la mission que l'auteur avait assumée selon le contrat ; il s'agit par exemple du devoir de protection du médecin et du personnel soignant, du guide de montagne ou du moniteur de sport (GRAVEN, L'infraction pénale punissable, 2e éd., 1995, p. 81 ; DUPUIS ET AL., CP, Code pénal I, 2012, n. 11 ad art. 77 ; CASSANI, op. cit., n. 34 et 35 ad ad art. 11 ; STRATENWERTH, op. cit., § 14, n. 16). Lorsque l'obligation violée n'est qu'accessoire, il faut se demander si, comme le secret professionnel du médecin ou de l'avocat, elle a une portée propre (STRATENWERTH, op. cit. ; CASSANI, op. cit.). Les obligations accessoires, telles les obligations de diligence, d'avis ou de rendre des comptes, ou découlant du principe de la bonne foi (<ref-law>), ne fondent pas une position de garant, à moins qu'il existe entre les intéressés une relation particulièrement étroite, de longue durée ou basée sur une confiance accrue (arrêt 6S.449/2004 du 21 septembre 2005, consid. 4.3 ; DUPUIS ET AL., op. cit. ; STRATENWERTH, op. cit.).
En l'espèce, l'objet principal de la relation contractuelle entre le recourant et la banque est la relation de compte. Certes, en signant la formule A, le recourant s'est engagé à communiquer spontanément à la banques les modifications relatives à la formule A; cette obligation d'avis n'est toutefois qu'accessoire et ne saurait fonder une obligation de garant.
3.3 En conséquence, le TPF a violé le droit fédéral en reconnaissant le recourant coupable de faux dans les titres par omission, dans la mesure où l'usage de faux, en tant que délit formel, ne peut être commis par omission et que le recourant ne se trouvait pas dans une position de garant.
4. Le recours doit être admis pour ces motifs, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs soulevés par le recourant.
Il convient d'annuler l'arrêt attaqué et d'acquitter le recourant en application de l'<ref-law>.
Le recourant qui obtient gain de cause ne supporte pas de frais judiciaires (<ref-law>) et peut prétendre à une indemnité de dépens à la charge de la Confédération (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Conformément à l'<ref-law>, le Ministère public de la Confédération n'est pas condamné aux frais.
Le Tribunal fédéral ne fera pas usage de la faculté prévue aux art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure devant elle.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
2. Le recourant est acquitté.
3. Il n'est pas perçu de frais pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4. le Ministère public de la Confédération versera au recourant la somme de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5. La cause est renvoyée au Tribunal pénal fédéral pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal pénal fédéral, Cour des affaires pénales.
Lausanne, le 18 juin 2012
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Mathys
La Greffière: Kistler Vianin