Sachverhalt:
A. X._ hat bereits wiederholt ohne Erfolg um Wechsel seines Offizialverteidigers ersucht (vgl. die Urteile des Bundesgerichts 1B_193/2007 vom 19. September 2007 und 1B_237/2007 vom 8. Januar 2008). Am 23. Januar 2008 stellte X._ erneut ein Gesuch um Verteidigerwechsel. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, trat auf dieses Gesuch mit Verfügung vom 29. Januar 2008 nicht ein.
B. Gegen die Verfügung vom 29. Januar 2008 reicht X._ beim Bundesgericht Beschwerde ein. Er beantragt im Wesentlichen, das Kantonsgericht sei zu verpflichten, auf sein Gesuch einzutreten. Ausserdem stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren.
Das Kantonsgericht und die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. X._ hat zu diesen Eingaben Stellung genommen.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Nichteintretensentscheid stützt sich auf kantonales Strafprozessrecht. In Betracht fällt einzig die Beschwerde in Strafsachen (<ref-ruling> E. 2 S. 337 f.). Die angefochtene Verfügung schliesst das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab und bildet somit einen Zwischenentscheid. Es stellt sich die Frage, ob ein solcher Entscheid im Lichte von <ref-law> anfechtbar ist. Diese Frage kann offen bleiben, weil die vom Beschwerdeführer erhobenen Verfassungsrügen im Ergebnis ohnehin nicht durchzudringen vermögen. Dies ist im Folgenden kurz aufzuzeigen.
2. Zur Hauptsache macht der Beschwerdeführer eine Missachtung seines Gehörsanspruchs im Sinne einer formellen Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV) geltend.
2.1 Der Beschwerdeführer legt dar, er habe in seinem Gesuch vom 23. Januar 2008 drei neue Gründe für einen Verteidigerwechsel vorgebracht. Daher hätte die Vorinstanz auf sein Begehren eintreten müssen.
Im angefochtenen Entscheid wird nicht verkannt, dass die Tatsachenbehauptungen neu sind. Die Vorinstanz hat ihnen jedoch - nach summarischer Prüfung - die Erheblichkeit im Hinblick auf eine Neubeurteilung des Anliegens um Anwaltswechsel abgesprochen.
2.2 Nach <ref-law> müssen kantonale Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, die Angabe der angewendeten Gesetzesbestimmungen enthalten. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid derartige Angaben auch sinngemäss nicht gemacht. Folglich lässt sich nicht beurteilen, ob die mangelnde Erheblichkeit neuer Tatsachen nach dem anwendbaren Recht im vorliegenden Sachzusammenhang einen Grund für einen Nichteintretensentscheid bildet. Immerhin hat die Vorinstanz im Ergebnis eine materielle Prüfung vorgenommen und dabei haltbare Erwägungen angestellt (vgl. E. 2.3 hiernach). Selbst wenn ihre Beurteilung der Eintretensfrage unzutreffend wäre, würde dem Beschwerdeführer daraus kein Nachteil erwachsen. Dieser wendet sich formal zwar nur gegen den Nichteintretensentscheid. Seine Äusserungen im bundesgerichtlichen Verfahren lassen sich aber nicht anders verstehen, als dass er gestützt auf seine Tatsachenbehauptungen einen Verteidigerwechsel für nötig hält. Es besteht deshalb kein Anlass, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.3 Im Gesuch vom 23. Januar 2008 hatte der Beschwerdeführer Folgendes ausgeführt: Der Offizialverteidiger habe eine Eingabe an die Vorinstanz im laufenden Appellationsverfahren verspätet eingereicht. Sodann habe er am 10. Januar 2008 bei einer Unterredung eine Tätlichkeit gegen den Beschwerdeführer begangen. Schliesslich habe der Verteidiger ihn in einer Eingabe vom 11. Januar 2008 an die Vorinstanz bezichtigt, er verbreite massive Verleumdungen über den Verteidiger.
Demgegenüber erwog die Vorinstanz, der Verteidiger habe die umstrittene Eingabe fristgerecht eingereicht. Dieser bestreite die Tätlichkeit und habe im Schreiben vom 11. Januar 2008 nicht erklärt, dass der Beschwerdeführer tatsächlich Verleumdungen geäussert habe.
Der Beschwerdeführer tut nicht dar, wegen der angeblich verspäteten Einreichung der Eingabe einen Rechtsnachteil erlitten zu haben. Ebenso wenig vermag er konkret aufzuzeigen, inwiefern eine wirksame Verteidigung wegen der behaupteten Tätlichkeit (Festhalten des Unterarms) und des Inhalts des anwaltlichen Schreibens vom 11. Januar 2008 nicht mehr gewährleistet wäre. Unter diesen Umständen ist es nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz einen Verteidigerwechsel nicht als geboten erachtet hat. Sie war auch nicht gehalten, die vom Beschwerdeführer verlangten Abklärungen zu seinen Tatsachenbehauptungen vorzunehmen.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang wird der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat jedoch ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gemäss <ref-law> gestellt. Das Gesuch ist gutzuheissen, weil davon ausgegangen werden kann, dass der Beschwerdeführer bedürftig ist, und weil die Rechtsbegehren nicht von vornherein aussichtslos waren.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. März 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet