Sachverhalt:
A. Der 1962 geborene G._ kam 1990 als anerkannter Flüchtling vom Kosovo in die Schweiz und arbeitete hier einerseits als Mitarbeiter in Asylunterkünften und andererseits als freier Schriftsteller und Publizist. In seiner ersteren Funktion war er bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 30. Juni 2004 beachtete eine nachfolgende Automobilistin zu spät, dass der Versicherte mit seinem Auto vor einem Fussgängerstreifen angehalten hatte, worauf es zu einer Heckkollision kam. Die erstbehandelnde Ärztin am Spital X._ stellte gleichentags die Diagnosen einer Halswirbelsäulen-Distorsion und einer Commotio cerebri. Der Versicherte nahm in der Folge weder die schon vor dem Unfall aus betrieblichen Gründen auf den 30. Juni 2004 gekündigte Tätigkeit in der Flüchtlingsbetreuung, noch diejenige eines vollzeitlich tätigen Kulturredaktors bei einer albanischen Tageszeitung - wie sie im Mai 2004 auf Anfang Juli 2004 vereinbart worden war - wieder auf. Die Zürich gewährte Heilbehandlung und richtete Taggelder aus. Am 23. März 2006 kam es erneut zu einem Unfall mit Heckkollision. Am darauf folgenden Tag wurde bei G._ wiederum eine Commotio cerebri, der Verdacht auf ein kraniocervicales Beschleunigungstrauma und eine Sternumkontusion diagnostiziert. Mit Verfügung vom 5. Oktober 2006 eröffnete die Zürich dem Versicherten, die Leistungen würden auf den 31. Juli 2006 mangels natürlichem und adäquatem Kausalzusammenhang zu den erlittenen Unfällen eingestellt. Daran hielt die Unfallversicherung auch auf Einsprache hin und nach Einsicht in ein von der Invalidenversicherung beim medizinischen Zentrum A._ eingeholtes interdisziplinäres Gutachten vom 14. September 2007 fest (Entscheid vom 29. August 2008).
B. Beschwerdeweise beantragte G._, die Zürich habe ihm in Aufhebung des Einspracheentscheides ab 1. August 2006 eine Rente bei 100%iger Arbeitsunfähigkeit auszurichten und weiterhin die notwendige Heilbehandlung zu gewähren. Nach Einsicht in ein lite pendente eingereichtes Gutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums B._ vom 25. September 2009 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde mit Entscheid vom 30. April 2010 ab.
C. G._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides die Ausrichtung der gesetzlichen Leistungen über den 31. Juli 2006 hinaus beantragen.
Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aus den Unfällen vom 30. Juni 2004 und vom 23. März 2006 über den 31. Juli 2006 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (Heilbehandlung und Taggeld, eventuell Invalidenrente und Integritätsentschädigung) besteht.
2.1 Im Einsprache- und im vorinstanzlichen Entscheid sind die Bestimmungen über diesen Leistungsanspruch und die Rechtsprechung über die hiefür erforderlichen kausalen Zusammenhänge zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden mit den jeweils zu beachtenden Beweisregeln zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2 Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen). Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (<ref-ruling>), während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Nach sorgfältiger Darstellung der medizinischen Akten ist das kantonale Gericht, insbesondere gestützt auf das interdisziplinäre Gutachten des medizinischen Zentrums A._, zur Erkenntnis gelangt, beim Beschwerdeführer seien trotz zahlreicher apparativer Untersuchungen - mit Ausnahme der seit dem Säuglingsalter bestehenden vollständigen linksseitigen Armplexusparese - keine klar ausgewiesenen organisch pathologischen Befunde erhoben worden. Organisch-strukturelle Verletzungen als Folge der beiden Unfälle seien nicht ausgewiesen. Aufgrund der umfassenden und allseitigen fachärztlichen Abklärungen, welche eine geeignete Basis für die Beurteilung der sich stellenden Rechtsfragen bieten würden, erübrigten sich auch weitere medizinische Untersuchungen. Das typische "bunte" Beschwerdebild sei indessen zumindest als Folge des ersten Unfalles ausgewiesen, womit feststehe, dass zwischen diesem Unfall und den unmittelbar danach eingetretenen Beeinträchtigungen ein natürlicher Kausalzusammenhang bestehe. Die Vorinstanz nahm eine Prüfung der Adäquanz der noch geklagten Beschwerden nach <ref-ruling> vor und gelangte dabei - ausgehend von einem mittelschweren Unfallereignis - zum Schluss, dass von den entscheidenden Kriterien weder eines in besonders ausgeprägter noch mehrere in gehäufter Weise vorlägen.
4. Der Beschwerdeführer lässt vorbringen, im angefochtenen Entscheid sei zu Unrecht nicht zwischen den Schleudertraumaverletzungen der Halswirbelsäule einerseits und der durch den Unfall vom 30. Juni 2004 verursachten zusätzlichen richtunggebenden Verschlimmerung der vorbestehenden Armplexusparese andererseits unterschieden worden. Letztere habe alleine zu einer Arbeitsunfähigkeit von 25 % geführt, wie aus den Ausführungen des PD Dr. med. K._ im Gutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums B._ vom 25. September 2009 hervorgehe. Die Kausalitätsbeurteilungen seien für jede der Unfallfolgen separat vorzunehmen, wobei die Adäquanz bei Vorliegen von fünf entsprechenden Kriterien zu bejahen sei.
5. 5.1 Die Parteien sind sich darin einig, dass hinsichtlich der HWS-Distorsion keine objektivierbaren Folgen vorliegen und die Leistungspflicht der Unfallversicherung daher davon abhängt, ob der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den persistierenden Beschwerden und den versicherten Unfällen zu bejahen ist. Mit der Vorinstanz ist dieser nach der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> zu prüfen.
5.2 Die Prüfung hat grundsätzlich für jeden der versicherten Unfälle je einzeln zu erfolgen (Urteile [des Eidg. Versicherungsgerichts] U 403/05 vom 20. Dezember 2006 E. 2.2.2, U 39/04 vom 26. April 2006 E. 3.2.2 und 3.3.2, in: SVR 2007 UV Nr. 1 S. 1, und U 297/04 vom 16. Dezember 2005 E. 4.1.2, je mit Hinweisen). Sowohl am 30. Juni 2004 als auch am 23. März 2006 erlitt der Beschwerdeführer einen Auffahrunfall, wobei der erste wesentlich heftiger war. Er ist im mittleren Bereich einzuordnen, wobei weder ein Grenzfall zu den schweren, noch zu den leichten Unfällen vorliegt. Dies steht in Einklang mit vergleichbaren Fällen, die nach der Rechtsprechung als Unfälle im eigentlichen mittleren Bereich zu qualifizieren sind (vgl. Urteile 8C_374/2009 vom 19. August 2009, E. 4.1, 8C_821/2007 vom 28. Juli 2008, E. 5.1, 8C_744/2007 vom 5. November 2008, E. 5.2, je mit Hinweisen). Der zweite Unfall liegt im mittleren Bereich an der Grenze zu den leichten Unfällen.
5.2 Die Prüfung hat grundsätzlich für jeden der versicherten Unfälle je einzeln zu erfolgen (Urteile [des Eidg. Versicherungsgerichts] U 403/05 vom 20. Dezember 2006 E. 2.2.2, U 39/04 vom 26. April 2006 E. 3.2.2 und 3.3.2, in: SVR 2007 UV Nr. 1 S. 1, und U 297/04 vom 16. Dezember 2005 E. 4.1.2, je mit Hinweisen). Sowohl am 30. Juni 2004 als auch am 23. März 2006 erlitt der Beschwerdeführer einen Auffahrunfall, wobei der erste wesentlich heftiger war. Er ist im mittleren Bereich einzuordnen, wobei weder ein Grenzfall zu den schweren, noch zu den leichten Unfällen vorliegt. Dies steht in Einklang mit vergleichbaren Fällen, die nach der Rechtsprechung als Unfälle im eigentlichen mittleren Bereich zu qualifizieren sind (vgl. Urteile 8C_374/2009 vom 19. August 2009, E. 4.1, 8C_821/2007 vom 28. Juli 2008, E. 5.1, 8C_744/2007 vom 5. November 2008, E. 5.2, je mit Hinweisen). Der zweite Unfall liegt im mittleren Bereich an der Grenze zu den leichten Unfällen.
5.3 5.3.1 Das kantonale Gericht hat die Kriterien der Schwere und besonderen Art der erlittenen Verletzungen sowie der erheblichen Beschwerden - in nicht besonders ausgeprägtem Masse - bejaht, die übrigen verneint. Der Beschwerdeführer hält alle weiteren Kriterien in einfacher oder erheblicher Weise als erfüllt.
5.3.2 Die Unfälle haben sich weder unter besonders dramatischen Begleitumständen abgespielt, noch waren sie von besonderer Eindrücklichkeit. Das wird auch vom Beschwerdeführer nicht behauptet. Die Parteien sind sich auch darin einig, dass keine ärztliche Fehlbehandlung vorliegt. Ebenso wenig ist der Heilungsverlauf als schwierig anzusehen, noch kam es zu erheblichen Komplikationen.
5.3.3 Die Verletzungen, welche sich der Beschwerdeführer bei den Unfällen zugezogen hat, waren nicht besonders schwer. Eine HWS-Distorsion, welche eine bereits erheblich vorgeschädigte Wirbelsäule trifft, ist hingegen speziell geeignet die "typischen" Symptome hervorzurufen, weshalb sie als Verletzung besonderer Art zu qualifizieren ist (vgl. Urteile 8C_69/2009 vom 3. September 2009 E. 4.3.3, 8C_154/2009 vom 5. Juni 2009 E. 5.3, 8C_785/2007 vom 11. Juni 2008 E. 4.4). Eine entsprechende Qualifikation der erlittenen Verletzungen rechtfertigt sich indessen nur bei Vorliegen einer erheblich vorgeschädigten Wirbelsäule (vgl. Urteile 8C_759/2007 vom 14. August 2008, E. 5.3 und 8C_61/2008 vom 10. Juli 2008 E. 7.3.2). Das Kriterium kann hier - in einfacher Weise - für den zweiten Unfall als erfüllt gelten, da der Beschwerdeführer wegen seiner Armplexusparese auch im Schulterbereich einen erheblichen Vorzustand aufgewiesen hatte und die Halswirbelsäule innert einer Frist von knapp zwei Jahren zweimal verletzt wurde.
5.3.4 Eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung musste der Beschwerdeführer nicht über sich ergehen lassen. Eine wöchentliche Konsultation beim Hausarzt und regelmässige Physiotherapie sowie der einmalige stationäre Aufenthalt in der Rehabilitationsklinik Y._ sind weder besonders belastend, noch geht eine entsprechende Behandlung über das bei HWS-Distorsionen übliche Mass hinaus. Der Beschwerdeführer hat auch nicht dargelegt, inwiefern die Behandlungen besonders belastend gewesen sein sollten. Die weiteren medizinischen Massnahmen bestanden im Einnehmen von Schmerzmedikamenten. Die Behandlung beim Psychiater Dr. med. H._ nahm der Beschwerdeführer erst im März 2007, mithin nach dem hier zu beurteilenden Zeitpunkt der Leistungseinstellung vom 31. Juli 2006 auf.
5.3.5 Das Kriterium der erheblichen Beschwerden ist aufgrund der glaubhaften Schmerzen und der Beeinträchtigung, welche der Versicherte durch die Beschwerden im Lebensalltag erfährt, wenn überhaupt, höchstens in der einfachen Form zu bejahen. Was das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen betrifft, ist entscheidend, dass der Beschwerdeführer zu keinem Zeitpunkt irgendwelche Schritte für eine berufliche Wiedereingliederung unternommen hat. Er hat weder nach dem ersten noch nach dem zweiten Unfall einen Arbeitsversuch unternommen. Soweit ersichtlich, hat er nicht einmal versucht, die neue Stelle als Redaktor bei der albanischsprachigen Tageszeitung aufzunehmen, obwohl diese Tätigkeit - genauso wie jene als Mitarbeiter/Nachtwächter in Asylunterkünften oder als Übersetzer - auch in körperlicher Hinsicht als besonders geeignet angesehen werden kann. Die Feststellung des psychiatrischen Teilgutachters in der Expertise des medizinischen Zentrums A._ und anlässlich des Aufenthaltes in der Rehabilitationsklinik Y._, wonach deutliche Anhaltspunkte für eine fehlende Kooperation bei Tests vorlagen, lassen darauf schliessen, dass die kognitiven Beeinträchtigungen, wenn überhaupt, sicherlich nicht in dem vom Beschwerdeführer dargestellten Ausmass vorliegen, sodass es ihm möglich gewesen wäre, zumindest zu versuchen, wieder eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen. Da der Beschwerdeführer diesbezüglich überhaupt keine Anstrengungen gemacht hat, ist auch dieses Kriterium in der nunmehr geltenden Fassung gemäss <ref-ruling> E. 10.2.7 S. 129 nicht erfüllt.
5.4 Da mithin keines der massgeblichen Kriterien besonders ausgeprägt vorliegt und selbst dann, wenn man zugunsten des Beschwerdeführers die beiden Kriterien der erheblichen Beschwerden und der besonderen Art der erlittenen Verletzung als erfüllt erachten würde, die Kriterien nicht in gehäufter Weise gegeben sind, ist die Adäquanz eines Kausalzusammenhanges zwischen den Unfallereignissen vom 30. Juni 2004 sowie vom 23. März 2006 und den über den 1. August 2006 hinaus anhaltend geklagten, organisch nicht im Sinne der Rechtsprechung hinreichend nachweisbaren Beschwerden zu verneinen. Somit ist die Leistungseinstellung für die HWS-Beschwerden auf dieses Datum hin rechtens.
6. Zu untersuchen bleibt, ob es durch die zwei Unfälle zu einer leistungsberechtigenden richtunggebenden Verschlimmerung der Schädigung des linken Armes gekommen ist.
6.1 Der Beschwerdeführer beruft sich auf die Ausführungen des PD Dr. med. K._, Spezialarzt FMH für Physikalische Medizin und Rehabilitation/Rheumatologie im Gutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums B._ vom 25. September 2009 und legt dar, die Unfälle hätten zu einer organisch bedingten, objektivierbaren Verschlechterung geführt, wofür die Unfallversicherung unabhängig von der Adäquanzbeurteilung der HWS-Beschwerden Leistungen zu erbringen habe.
6.2 Mit dem kantonalen Gericht genügen indessen die Ausführungen des PD Dr. med. K._ nicht, um mit der nötigen Klarheit eine direkte oder indirekte nachhaltige Schädigung der linken oberen Extremität durch die versicherten Unfälle zu belegen. Im Gutachten vom 25. September 2009 wird denn auch nur der "Verdacht auf neuropathischen Armschmerz links" gestellt. Dieselbe Diagnose findet sich auch im Bericht über die neurologische Untersuchung in der Schmerzklinik Z._ vom 30. Oktober 2007 ("Verdacht auf neuropathischen Armschmerz links nach HWS-Distorsion bei Status nach posttraumatischer Armplexusparese links im Kindesalter"). Im Gutachten des medizinischen Zentrums A._, auf welches sowohl die Unfallversicherung als auch die Vorinstanz abgestellt haben, wird der seit dem Unfall vom 30. Juni 2004 neu aufgetretene Schmerz im linken Arm nicht erwähnt. Dort wurde der Beschwerdeführer auch nicht neurologisch untersucht. Falls diese Schmerzen indessen neurologisch erklärbar und mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zumindest teilweise unfallbedingt sind, liegt ein organischer Schaden vor und die Zürich ist dafür bei Vorliegen der weiteren Voraussetzungen leistungspflichtig. Die Sache wird daher an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie eine neurologische Begutachtung hinsichtlich der Ursache der Schmerzen im linken Arm veranlasst und in der Folge diesbezüglich neu entscheidet.
7. Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die Parteien haben die Gerichtskosten im Masse ihres Unterliegens je hälftig zu tragen (<ref-law>). Die Versicherte hat Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. April 2010 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 29. August 2008 neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden den Parteien je hälftig auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Oktober 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Schüpfer