Sachverhalt:
K._ und T._ sind seit April 1995 bei der Assura Krankenversicherung obligatorisch krankenpflegeversichert. Am 19. und 22. September 2008 bestätigte die sana24 Krankenversicherung aufgrund von Gesuchen der Versicherten vom 8. September 2008 deren Aufnahme in die Krankenpflegeversicherung gemäss KVG. Mit Schreiben vom 22. und 25. September 2008 (Poststempel) kündigten die Versicherten die Versicherungsverhältnisse mit der Assura auf Ende 2008. Am 24. Oktober 2008 (Eingang der Schreiben am 21. und 24. November 2008) erklärten K._ und T._ gegenüber der sana24, vom Versicherungsvertrag zurücktreten zu wollen, sowie gegenüber der Assura den Widerruf der Kündigung. Letztere bestätigte am 7. November 2008 die Weiterführung der Krankenpflegeversicherung (unter veränderten Bedingungen). Am 6. Dezember 2008 teilte die sana24 der Assura mit, K._ und T._ seien mit Wirkung ab dem 1. Januar 2009 bei der sana24 versichert. Mit Schreiben an die Versicherten vom 15. Dezember 2008 lehnte sie deren Rücktritt vom neu abgeschlossenen Versicherungsvertrag ab.
Diesen Standpunkt bestätigte die sana24 mit durch Einspracheentscheid vom 23. September 2009 bestätigter Verfügung vom 14. August 2009.
Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn hiess die von der Assura erhobene Beschwerde gut und stellte unter Aufhebung des Einspracheentscheids fest, dass K._ und T._ ab dem 1. Januar 2009 weiterhin bei der Assura obligatorisch krankenpflegeversichert sind (Entscheide vom 18. Oktober 2010).
Die sana24 führt hiergegen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die angefochtenen Entscheide seien aufzuheben.

Erwägungen:
1. Den beiden Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegt derselbe Sachverhalt zugrunde; es stellen sich überdies die gleichen Rechtsfragen. Während die am Recht stehenden Parteien (Krankenkassen) je identisch sind, sind unterschiedliche Mitinteressierte (Versicherte) beteiligt. Da Letztere indessen offensichtlich Familienangehörige mit gleicher Adresse sind, deren Rechtshandlungen jeweils übereinstimmten, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 126 mit Hinweisen).
2. 2.1 Im Falle eines Wechsels des Versicherers nach <ref-law> endet das Versicherungsverhältnis beim bisherigen Versicherer erst, wenn ihm der neue Versicherer mitgeteilt hat, dass die betreffende Person bei ihm ohne Unterbrechung des Versicherungsschutzes versichert ist (<ref-law>). Sobald der bisherige Versicherer die Mitteilung erhalten hat, informiert er die betroffene Person, ab welchem Zeitpunkt sie nicht mehr bei ihm versichert ist (<ref-law>).
2.2 Das kantonale Gericht erwog, die Ablösung der bisherigen Versicherungsverhältnisse auf Beginn des Jahres 2009 habe erst mit der Mitteilung der sana24 an die Assura betreffend die Weiterversicherung verbindlich werden können. Die entsprechenden Mitteilungen seien am 6. Dezember 2008 erfolgt und damit zu einem Zeitpunkt, als die Versicherten die Kündigung bereits widerrufen hatten. Der seitens der Assura am 7. November 2008 bestätigte Widerruf der Kündigungen sei rechtsgültig. Neue Versicherungsverhältnisse hätten somit von vornherein nicht entstehen können.
2.3 Die Fragen, ob eine versicherte Person ihre Kündigung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung rechtswirksam widerrufen kann, solange der neue Versicherer dem bisherigen noch nicht im Sinne von <ref-law> Mitteilung gemacht hat, sowie ob in diesem Fall das anbegehrte neue Versicherungsverhältnis hinfällig ist, lassen sich anhand des Wortlautes dieser Bestimmung nicht abschliessend beantworten. Die gesetzliche Vorgabe, das Versicherungsverhältnis beim bisherigen Versicherer ende erst, wenn ihm der neue Versicherer die ununterbrochene Weiterversicherung mitgeteilt habe, lässt einmal die Interpretation zu, die Mitteilung sei nur für den Zeitpunkt des Wechsels bedeutsam (vgl. dazu <ref-ruling>), nicht aber für dessen Bestand. Sodann kann die Bestimmung aber auch dahingehend verstanden werden, die Begründung eines neuen Versicherungsverhältnisses erfolge durch das Mitteilungserfordernis aufschiebend bedingt. Letztere ist die zutreffende Variante: In einem System des Versicherungsobligatoriums mit freier Wahl der Kasse (Art. 3 und 4 KVG; <ref-ruling> E. 3b S. 269) muss der bisherige Versicherer die Rücknahme einer Kündigung und Weiterführung des Versicherungsverhältnisses grundsätzlich akzeptieren, solange nicht feststeht, dass die Krankenpflegeversicherung durch eine andere Kasse gewährleistet ist. Damit wird die Begründung eines neuen Versicherungsverhältnisses ausgeschlossen: In <ref-ruling> hat das Bundesgericht die (im Verlauf des Gesetzgebungsprozesses zum KVG nicht thematisierte; E. 4.4 S. 452) Zulässigkeit einer Doppelversicherung für Krankenpflege im Obligatoriumsbereich verneint. Eine Person kann demnach im Zusammenhang mit dem Wechsel des Versicherers stets nur einer Kasse angeschlossen sein; ein neues Versicherungsverhältnis entsteht nicht, bevor das bisherige beendet ist (E. 4 S. 451 ff.). Solange noch keine Mitteilung nach <ref-law> erfolgt ist, muss also die Aufnahmebestätigung des neuen Versicherers ohne Rechtswirkung bleiben, wenn das laufende Versicherungsverhältnis weitergeführt wird, weil die versicherte Person dessen Kündigung gegenüber der bisherigen Kasse mit deren Einverständnis zurückgenommen hat. Ob die versicherte Person den Versicherungsantrag gegenüber dem anderen Versicherer widerrufen hat, ist dabei nicht ausschlaggebend. Letzterer hat es selber in der Hand, sich über den Bestand des anbegehrten Versicherungsverhältnisses (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 395) Gewissheit zu verschaffen, indem er der bisherigen Kasse unverzüglich Mitteilung erstattet und, um einen zwischenzeitlich erfolgten Rückzug der Kündigung des bisherigen Versicherungsverhältnisses ausschliessen zu können, gegebenenfalls von dieser eine entsprechende Bestätigung einfordert.
Die Beschwerdeführerin beruft sich vergeblich auf das anderslautende Präjudiz eines kantonalen Gerichts. Die dort vertretene Auffassung, ein Zurückkommen auf die Kündigung habe allein im Verhältnis zwischen der bisherigen Krankenkasse und der versicherten Person Wirkung, nicht jedoch im Aussenverhältnis mit einer neuen Kasse, wird den gesetzlichen Vorgaben nicht gerecht.
2.4 Nach dem Gesagten ist der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht zu folgen, wonach die Mitteilung gemäss <ref-law> über einen allfälligen Aufschub der Beendigung des Versicherungsverhältnisses hinaus keine Rechtswirkungen zeitige. Wird der Wechsel des Krankenversicherers erst mit der gesetzlich vorgeschriebenen Mitteilung rechtsverbindlich, so kann der von der Beschwerdeführerin hervorgehobene Gesichtspunkt der Rechtssicherheit in der Zeit davor nicht zum Tragen kommen.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerden werden abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, K._ und T._, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Dezember 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub