Sachverhalt:
A. E._, geboren 1975, meldete sich am 4. September 2003 unter Hinweis auf chronische Schmerzen auf der linken Körperseite vom Kopf bis ins Bein bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug (Umschulung auf eine neue Tätigkeit, Rente) an. Die IV-Stelle des Kantons Aargau führte erwerbliche und medizinische Abklärungen durch. Mit Verfügung vom 5. Mai 2004 sprach sie E._ eine ganze Rente mit Wirkung ab 1. August 2003 bei einem Invaliditätsgrad von 93 % zu. Im Rahmen eines Revisionverfahrens veranlasste die IV-Stelle auf Anraten des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD; Dr. med. R._) vom 9. Oktober 2006 ein interdisziplinäres versicherungsmedizinisches Gutachten beim Institut X._ vom 29. Mai 2007. Die IV-Stelle holte hiezu eine Stellungnahme des RAD (Dr. med. R._) vom 30. November 2007 ein und stellte E._ mit Vorbescheid vom 25. Juli 2008 die Aufhebung der Rente in Aussicht. Nachdem E._ hievon Kenntnis erhalten hatte, begab sie sich zur Krisenintervention bei akuter Suizidalität ins interdisziplinäre Notfallzentrum und wurde in die Psychiatrische Klinik Z._ eingewiesen; am 31. Juli 2008 verfügte der zuständige Bezirksarzt wegen depressiver Reaktion mit suizidaler Gefährdung nach Entscheid einer Rentenkürzung durch die IV eine fürsorgerische Freiheitsentziehung. E._ wurde am 7. August 2008 aus der psychiatrischen Klinik Z._ entlassen. Die IV-Stelle holte von dieser Klinik einen Arztbericht vom 29. Dezember 2008 und eine Stellungnahme des RAD-Arztes Dr. med. G._ vom 13. März 2009 ein und verfügte am 23. März 2009 die Einstellung der Invalidenrente auf Ende des der Zustellung folgenden Monats.
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau, bei welchem E._ (vorsorglich) Beschwerde erheben liess, wies ein Sistierungsgesuch, welches sie im Hinblick auf eine Privatexpertise des Instituts Y._ eingereicht hatte, ab (Verfügung vom 28. Juli 2009). Eine hierauf beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zog E._ zurück, nachdem das kantonale Gericht ihr mit Verfügung vom 20. August 2009 Gelegenheit zur Replik eingeräumt hatte. Das Bundesgericht schrieb das Verfahren ab (Verfügung vom 22. September 2009). Mit Entscheid vom 5. Mai 2010 wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Beschwerde der E._ ab.
C. E._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und unter Aufhebung des angefochtenen Entscheides weiterhin die Zusprechung einer ganzen, eventuell einer halben Invalidenrente beantragen. Gleichzeitig ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde, eventualiter um Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zur weiteren Abklärung und neuen Verfügung. In verfahrensrechtlicher Hinsicht lässt sie um Gewährung einer Nachfrist zur ergänzenden Beschwerdebegründung ersuchen.
Das Bundesgericht lehnt mit Verfügung vom 29. Juni 2010 die Gewährung einer Nachfrist ab. Ebenfalls am 29. Juni 2010 ersucht E._ um Sistierung des Verfahrens bis zum Vorliegen des Berichts einer in der Klinik L._ vorgesehenen Untersuchung hinsichtlich einer Traumatisierungsstörung. Das Bundesgericht verfügt am 16. Juli 2010 die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung.
Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Mit Blick auf die so umschriebene Kognition ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen Bundesrecht verletzt, einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung.
1.2 Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Analoges gilt auch für die Frage, ob sich eine Arbeits(un)fähigkeit in einem bestimmten Zeitraum in einem revisionsrechtlich relevanten Sinne (<ref-law>; Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV) verändert hat (Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4). Ebenso stellt die konkrete Beweiswürdigung eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil 9C_270/2008 vom 12. August 2008 E. 2.2).
2. 2.1 Die Vorinstanz erwog, das Gutachten des Instituts X._ vom 29. Mai 2009 sei voll beweistauglich. Das Parteigutachten des Instituts Y._ vom 4. September 2009, soweit es die gesundheitlichen Verhältnisse bis zum massgeblichen Zeitpunkt der Verfügung vom 23. März 2009 betreffe, vermöge die Beurteilung der Experten des Instituts X._ nicht ernsthaft in Frage zu stellen. Die Diskrepanz bestehe insbesondere darin, dass Dr. med. A._, Institutsleiter des Instituts X._ und Eidg. Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, eine leichte depressive Episode festgestellt und die Versicherte in der bisherigen Tätigkeit weiterhin als arbeitsfähig erachtet habe bei einer Leistungsminderung von 30 %, während Dr. med. H._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, welcher im Rahmen der Exploration des Instituts Y._ das psychiatrische Teilgutachten vom 27. August 2009 verfasste, eine mittelgradige depressive Episode diagnostizierte bei einer Arbeitsfähigkeit von 50 %. Dr. med. H._ stelle den Befund des Dr. med. A._ aber nicht grundsätzlich in Frage, sondern erläutere, dass seit der Begutachtung im Institut X._ namentlich deshalb eine Verschlechterung eingetreten sei, weil sich die Beschwerdeführerin (seit Juni 2009) nicht mehr in geeigneter psychiatrischer Behandlung befinde. Bei adäquater psychiatrischer Behandlung sei mittelfristig medizinisch-theoretisch eine Arbeitsfähigkeit von 70 % erzielbar. Die Vorinstanz erwog, es sei daher überwiegend wahrscheinlich, dass sich die bei der Begutachtung des Instituts X._ vom Mai 2007 noch nicht vorhanden gewesenen psychosozialen Belastungsfaktoren in Verbindung mit dem Behandlungsabbruch nach dem Zeitpunkt der rentenaufhebenden Verfügung vom 23. März 2009 manifestierten und zuvor eine volle Arbeitsfähigkeit bei einer Leistungseinschränkung von 30 % bestanden habe. Die revisionsweise verfügte Rentenaufhebung könne daher nicht beanstandet werden.
2.2 Die Beschwerdeführerin rügt einzig, das kantonale Gericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie das Privatgutachten des Instituts Y._ ungenügend gewürdigt und das von der IV-Stelle in Auftrag gegebene Gutachten des Instituts X._ vorgezogen habe.
3. Die Rüge der Versicherten vermag die für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen (E. 1.1 hievor) nicht ernsthaft in Frage zu stellen. Insbesondere trifft es nicht zu, dass das kantonale Gericht dem Gutachten des Instituts X._ in Verletzung des Gehörsanspruches Vorrang eingeräumt hätte. Die Vorinstanz würdigte die medizinischen Unterlagen eingehend, setzte sich mit den Vorbringen der Versicherten einlässlich auseinander und begründete plausibel, weshalb sie dem Gutachten des Instituts X._ vollen Beweiswert zuerkannte. Namentlich legte sie nachvollziehbar dar, weshalb sie nicht auf die Expertise des Instituts Y._ abstellte. Die sorgfältige Beweiswürdigung und Begründung ist in keiner Weise zu beanstanden und überzeugt auch deshalb, weil die Ärzte an der psychiatrischen Klinik Z._ die bisherige Tätigkeit sogar im Umfang von 8,5 Stunden täglich für zumutbar erachteten und sowohl eine Diagnose mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit als auch - konsequenterweise - eine verminderte Leistungsfähigkeit generell verneinten (Arztbericht vom 6. November 2008). Ob die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 29. Juni 2010 (Postaufgabe), mit welcher sie sinngemäss rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht keinen leidensbedingten Abzug von 10 % vorgenommen, rechtzeitig erfolgt ist, kann offen bleiben. Selbst ein solcher Abzug vermöchte nichts daran zu ändern, dass es an einem weiterhin bestehenden rentenbegründenden Invaliditätsgrad fehlt. Bleiben die vorinstanzlichen Feststellungen zur Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin für das Bundesgericht verbindlich, ist die im angefochtenen Entscheid bestätigte revisionsweise Aufhebung der Rente bundesrechtskonform.
4. Die Bindung des Bundesgerichts an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt schliesst Verfahrensweiterungen im Sinne des gestellten Sistierungsgesuches aus. Im Übrigen ist dieser Antrag auch deshalb nicht erfolgsversprechend, weil sich die gerichtliche Überprüfungsbefugnis auf die Verhältnisse beschränkt, wie sie bis zur rentenaufhebenden Verfügung vom 23. März 2009 eingetreten sind (<ref-ruling> E. 1b S. 366) und weder der das psychiatrische Teilgutachten des Instituts Y._ vom 27. August 2009 verfassende Dr. med. H._ noch der die Versicherte bis Juni 2009 behandelnde Dr. med. V._ noch die Ärzte an der Psychiatrischen Klinik Z._ eine (post-) traumatische Störung feststellen konnten. Selbst eine retrospektive andere Beurteilung der Ärzte an der Klinik L._ vermöchte die echtzeitlichen Beurteilungen im voll beweiskräftigen Gutachten des Instituts X._ (E. 3 hievor) nicht in Frage zu stellen. Das am 29. Juni 2010 gestellte Sistierungsgesuch der Versicherten ist somit ebenfalls abzuweisen.
5. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. August 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Bollinger Hammerle