Sachverhalt:
A.
X._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) focht die seitens der Vermieterschaft am 6. November 2012 per 28. Februar 2013 ausgesprochene Kündigung ihrer Wohnung bei der Staatlichen Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten Basel (Schlichtungsstelle) als ungültig/missbräuchlich an (Verfahren 12/K-296). Am 5. März 2013 fand die Schlichtungsverhandlung statt. Mit Verfügung gleichen Datums erliess die Schlichtungsstelle einen Urteilsvorschlag, wonach die Kündigung als missbräuchlich aufgehoben werde. In einem zweiten angehobenen Verfahren betreffend Nebenkosten (13/SHN-4) kam es an der Schlichtungsverhandlung vom 5. März 2013 zu einem Vergleich. Es wurde festgestellt, dass der Allgemeinstrom nicht als Nebenkostenposition ausgeschieden wurde. Demzufolge schulde die Vermieterschaft der Mieterin für zuviel bezahlte Nebenkosten aus den Abrechnungsperioden 2002/2003 bis und mit 2011/2012 Fr. 768.50. Mit Verfügung vom 6. März 2013 wies die Schlichtungsstelle ein Kostenerlassgesuch von X._ ab. Zur Begründung wurde ausgeführt, sie sei Mitglied des Mieterinnen- und Mieterverbandes (MV) Basel und habe als solche Anspruch auf Leistungen des Prozesshilfefonds des MV, weshalb sie ihren Anspruch diesem gegenüber geltend zu machen habe. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege durch die Staatskasse sei daher abzuweisen.
B.
Mit Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt focht die Mieterin die Verfügung vom 6. März 2013 an. Sie beantragte deren Aufhebung und die Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung bzw. Verbeiständung sowie die Zusprechung einer angemessenen Parteientschädigung für das Schlichtungsverfahren, eventualiter die Rückweisung der Angelegenheit an die Schlichtungsstelle zur Festsetzung der Parteientschädigung.
Das Appellationsgericht hiess die Beschwerde am 21. August 2013 teilweise gut und wies den Fall zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück. Das Gericht erwog, die staatliche Prozesskostenhilfe sei subsidiär und durch den Anspruch der Beschwerdeführerin auf Leistungen des Prozesshilfefonds ausgeschlossen. Ein grundsätzlicher Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung bestehe einzig im Umfang des Selbstbehalts von 10 %, welche alle Mitglieder des MV bei Leistungen aus dem Prozesshilfefonds zu tragen hätten. Es wies die Sache daher zurück, damit die Schlichtungsstelle prüfe, ob im Hinblick auf den Selbstbehalt von 10 % die unentgeltliche Prozessführung gewährt werden könne, wobei namentlich die Angemessenheit der eingereichten Kostennote des Rechtsvertreters zu prüfen sei.
C.
Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen; ausserdem seien ihr für das Schlichtungsverfahren und für das Beschwerdeverfahren vor Appellationsgericht Basel-Stadt angemessene Parteientschädigungen zuzusprechen. Eventualiter sei die Angelegenheit in Aufhebung des angefochtenen Entscheids zur Festsetzung der Parteientschädigungen für das Schlichtungsverfahren und das Beschwerdeverfahren an die Vorinstanz (en) zurück zu weisen. Schliesslich sei ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
1.1. Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich nur gegen Endentscheide der oberen kantonalen Gerichte zulässig (<ref-law>). Gemeint sind Entscheide, die den Prozess beenden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 216 mit Hinweis). Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder Ausstandsbegehren betreffen (<ref-law>). Gegen andere selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde namentlich zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, beim Entscheid der Schlichtungsstelle handle es sich um einen Endentscheid. Gegenstand des Schlichtungsverfahrens sei einerseits die Gültigkeit der Kündigung und anderseits die Ausscheidung der Nebenkosten gewesen. Im Verfahren betreffend Kündigungsanfechtung (12/K-296) liege ein Endentscheid vor, weil der Rechtsweg nicht jenem der Hauptsache folge. Nach erfolgter Ablehnung des Urteilsvorschlags durch die Vermieterschaft, sei dieser die Klagebewilligung erteilt worden. Mit Ausstellung der Klagebewilligung sei das Schlichtungsverfahren abgeschlossen worden und liege daher ein Endentscheid vor. Anderseits sei das zweite Verfahren betreffend Ausscheidung der Nebenkosten (13/SHN-4) mit einem Vergleich rechtskräftig beendet worden, und daher sei auch dies ein Endentscheid. Entsprechend handle es sich auch beim Beschwerdeentscheid des Appellationsgerichts um einen Endentscheid.
Selbst wenn aber von einem Zwischenentscheid auszugehen wäre, müsste nach Ansicht der Beschwerdeführerin auf die Beschwerde eingetreten werden. Mit dem Entscheid sei definitiv die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden, weshalb ein nicht wieder gutzumachender Nachteil vorliege.
1.3. Rückweisungsentscheide der oberen kantonalen Instanz gelten in der Regel als Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law>, denn sie schliessen das Verfahren nicht ab (<ref-ruling> E. 1.2 S. 216, 329 E. 1.2 S. 331). Sofern der Entscheid der oberen kantonalen Instanz nicht nur einen Rückweisungsentscheid enthält, sondern auch einen materiellen Entscheid über einen Teil des Streitgegenstands, kann diesbezüglich ein beschwerdefähiger Teilentscheid im Sinne von <ref-law> vorliegen. Ein Teilentscheid ist eine Variante des Endentscheids. Er setzt voneinander unabhängige Rechtsbegehren voraus. Es handelt sich dabei nicht um verschiedene materiellrechtliche Teilfragen des Rechtsbegehrens (<ref-ruling> E. 1.2 S. 216 f.).
Der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts beinhaltet einen Rückweisungsentscheid im Umfang des Selbstbehalts von 10 %. Im Umfang der nach Auffassung der Vorinstanz durch Eigenmittel (Prozesshilfefonds) gedeckten 90 % des (grundsätzlich anrechenbaren) Aufwands wurde die Beschwerde abgewiesen. Es ist fraglich, ob diesbezüglich teilbare Streitgegenstände vorliegen. Die Frage kann aber offen bleiben. Nähme man nämlich an, es liege insgesamt ein (nicht teilbarer) Rückweisungsentscheid vor, wäre die Beschwerde nur nach Massgabe von <ref-law> zulässig. Ginge man demgegenüber davon aus, eine separate Beurteilung der Abweisung im Umfang von 90 % sei möglich, wäre massgeblich wie der Entscheid der Schlichtungsstelle zu qualifizieren ist. Schloss er das Verfahren (unter Vorbehalt des Rechtsmittels) ab, wäre mit Bezug auf die 90 % ein anfechtbarer Teilentscheid gegeben. Andernfalls erwiese sich der Entscheid der Rechtsmittelinstanz auch bezüglich der 90 % als Zwischenentscheid im Sinne des BGG (Urteil des Bundesgerichts 4A_64/2011 vom 1. September 2011 E. 2.2 mit Hinweis), der nur nach Massgabe von <ref-law> angefochten werden könnte. Wie nachfolgend dargelegt wird (vgl. E. 1.4 und 1.5 hiernach), sind die Voraussetzungen, unter denen auf die Beschwerde eingetreten werden könnte, jedenfalls nicht gegeben.
1.4. Entscheide, mit denen die unentgeltliche Prozessführung verweigert wird, gelten in der Regel als Zwischenentscheide. Die Beschwerdeführerin meint, es liege entgegen der allgemeinen Qualifizierung ein Endentscheid vor.
1.4.1. Sie begründet dies einerseits damit, dass im Verfahren betreffend Nebenkosten (13/SHN-4) mit dem Vergleich ein rechtskräftiger Entscheid vorliege. Diese Begründung würde voraussetzen, dass die Kostenerlassverfügung vom 6. März 2013 auch das Verfahren 13/SHN-4 betraf. Der Wortlaut der Verfügung ist diesbezüglich nicht klar. Zwar werden zu Beginn die Fallnummern beider Verfahren erwähnt, jedoch wird in der Folge einzig das Rechtsbegehren des Kündigungsanfechtungsverfahrens angeführt. Massgeblich ist für das Bundesgericht die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz (<ref-law>). Als Tatsache zählt auch das prozessuale Geschehen (Urteil des Bundesgerichts 4A_322/2012 vom 21. Februar 2013 E. 1.4.1 mit Hinweisen). Die Vorinstanz stellte fest, mit der Verfügung vom 6. März 2013 sei das Kostenerlassgesuch der Beschwerdeführerin "in dem von ihr angehobenen Kündigungsanfechtungsverfahren" abgewiesen worden. Die Beschwerdeführerin erwähnt zwar, ihr sei die unentgeltliche Prozessführung verweigert worden, und bezieht dies auf beide Verfahren; sie begründet dies aber nicht weiter und legt insbesondere nicht dar, inwiefern die vorinstanzliche Feststellung offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG) und damit willkürlich sein soll. Mithin ist davon auszugehen, dass die Kostenerlassverfügung nur im Rahmen des Kündigungsanfechtungsverfahrens erging.
1.4.2. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, auch in diesem Fall sei die Kostenerlassverfügung wegen der spezifischen verfahrensrechtlichen Situation ein Endentscheid. Die Vermieterschaft habe den Urteilsvorschlag der Schlichtungsstelle abgelehnt und ihr sei daher die Klagebewilligung erteilt worden. Im mietgerichtlichen Verfahren vor Zivilgericht Basel-Stadt könne dieses aber nicht über den Entscheid der Schlichtungsstelle betreffend unentgeltliche Prozessführung entscheiden. Mit Ausstellung der Klagebewilligung an die Vermieterschaft sei das Schlichtungsverfahren daher abgeschlossen worden. Die Beschwerdeführerin macht damit sinngemäss geltend, das Schlichtungsverfahren - jedenfalls wenn es wie hier mit einem Urteilsvorschlag endet - sei ein unterscheidbares, eigenständiges Verfahren, auch wenn der Urteilsvorschlag nicht zum rechtskräftigen Entscheid im Sinne von <ref-law> wird.
1.4.3. Für das Mietrecht enthielt bereits das frühere Recht die Möglichkeit, einen Urteilsvorschlag zu unterbreiten (aArt. 259i, 273, 274e Abs. 2 und 274f Abs. 1 OR), obwohl das Gesetz dort von Entscheid sprach ( BRIGITTE RICKLI, in: Schweizerische Zivilprozessordnung, Brunner und Andere [Hrsg.], 2011, N. 5 zu <ref-law>; ALEXANDER WYSS, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Baker & McKenzie [Hrsg.], 2010, N. 2 zu <ref-law>; kritisch, aber letztlich ebenso: CIPRIANO ALVAREZ/JAMES T. PETER, Berner Kommentar, N. 7 zu <ref-law>). Zum früheren Recht hat das Bundesgericht festgestellt, das mietrechtliche Gerichtsverfahren sei keine Fortsetzung des Verfahrens vor der Schlichtungsbehörde und der Richter nicht Rechtsmittelinstanz. Vielmehr trete der Streit mit der Anrufung des Richters erstmals in die gerichtliche Phase. Der erfolglose Schlichtungsversuch und der Entscheid der Schlichtungsbehörde in den gesetzlich vorgesehenen Fällen sei lediglich prozessuale Voraussetzung dafür, dass beim Richter Klage erhoben werden kann (<ref-ruling> E. 2b S. 506 f.; Urteil des Bundesgerichts 4C.335/2000 vom 21. Dezember 2000 E. 3). Das gilt gleichermassen für <ref-law>.
Aus der Formulierung, das mietrechtliche Verfahren sei " keine Fortsetzung" des Verfahrens vor der Schlichtungsstelle, lässt sich nicht ableiten, letzteres sei ein abgeschlossenes Verfahren. Und ebenso wenig daraus, dass der Entscheid über die unentgeltliche Prozessführung unabhängig vom Ausgang des Hauptverfahrens ist. Entscheidend ist, dass die mietrechtliche Streitsache, die Gegenstand des Schlichtungsverfahrens war (<ref-law>), zufolge Nicht-Annahme des Urteilsvorschlags (<ref-law>) nicht rechtskräftig beurteilt ist. Das Schlichtungsverfahren ist ein (notwendiger) Schritt zum Endentscheid. Der Kostenentscheid in der Verfügung der Schlichtungsbehörde ist somit ein Zwischenentscheid im Rahmen der noch nicht beurteilten mietrechtlichen Hauptsache. Er kann, sofern die Beschwerdeführerin in der Hauptsache unterliegen sollte, von ihr zusammen mit der Hauptsache angefochten werden. Sofern sie in der Hauptsache nicht unterliegen sollte und daher diesbezüglich nicht beschwert wäre, kann sie dannzumal den Kostenentscheid selbstständig anfechten (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 333; Urteil des Bundesgerichts 4A_119/2013 vom 27. Juni 2013 E. 2.7 mit Hinweisen).
1.5. Auf die Beschwerde eingetreten werden könnte somit nur, wenn der Beschwerdeführerin aus dem Zwischenentscheid ein nicht wieder gutzumachender Nachteil entstehen könnte. Zwischenentscheide, welche die unentgeltliche Rechtspflege verweigern, haben einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge, wenn sie den Gesuchsteller zur Leistung eines Kostenvorschusses auffordern und ihm androhen, bei Säumnis auf die Klage oder das Rechtsmittel nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2b S. 202 f.; Urteil des Bundesgerichts 4A_151/2013 vom 3. Juni 2013 E. 4.2 mit Hinweisen). Die unentgeltliche Rechtsverbeiständung verweigernde Zwischenentscheide können einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken, wenn sie zur Folge haben, dass der Gesuchsteller am weiteren Verfahren ohne anwaltliche Vertretung teilnehmen muss (<ref-ruling> E. 4 S. 338; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; zit. Urteil 4A_151/2013 E. 4.2). Werden dagegen in einem Entscheid lediglich Gerichtskosten auferlegt oder die unentgeltliche Prozessführung für das bereits durchgeführte Verfahren abgelehnt, kann dieser Entscheid zusammen mit dem Entscheid in der Hauptsache angefochten werden, ohne dass daraus dem Beschwerdeführer ein irreversibler Nachteil entsteht (Urteil des Bundesgerichts 1B_233/2012 vom 21. August 2012 E. 2, bezogen auf Gerichtskosten).
Der Gesuchsstellerin wurde einzig am Schluss des Schlichtungsverfahrens die unentgeltliche Prozessführung nicht bewilligt. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im dargelegten Sinne könnte nur vorliegen, wenn damit bereits für das nachfolgende gerichtliche Verfahren vor Zivilgericht die unentgeltliche Prozessführung abgewiesen worden wäre (vgl. für eine analoge Fragestellung: zit. Urteil 4A_151/2013 E. 4.3). Die Beschwerdeführerin macht aber selbst ausdrücklich geltend, mit der Verfügung der Schlichtungsstelle sei ihr die unentgeltliche Prozessführung " für das Schlichtungsverfahren " verweigert worden.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach nicht einzutreten.
2.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, da die Beschwerde von vorneherein aussichtslos war (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das Verfahren vor Bundesgericht wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak