Sachverhalt:
A.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt erklärte A._ mit Urteil vom 1. September 2014 der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung (Bereicherungsabsicht), der mehrfachen Urkundenfälschung, der mehrfachen Erschleichung einer falschen Beurkundung, des mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer und des mehrfachen Vergehens gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt für schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 14 Monaten, mit bedingtem Strafvollzug und unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. In diversen Anklagepunkten sprach das Strafgericht A._ frei. Mit demselben Urteil verurteilte das Strafgericht zwei weitere Angeschuldigte wegen ähnlich gelagerter Delikte. Weiter erkannte das Strafgericht, dass diverse beschlagnahmte Urkunden an die Berechtigten zurückzugeben seien. Gegen dieses Urteil meldete A._ Berufung an.
Mit Schreiben vom 11. Dezember 2014 stellte A._ beim Strafgericht das Begehren, sämtliche Akten von ihm und seinen Firmen, welche sich bei der Staatsanwaltschaft befänden und damit nicht Teil der Verfahrensakten seien, zu seinen Handen freizugeben. Der Strafgerichtspräsident wies das Begehren mit Verfügung vom 17. Dezember 2014 ab. Dagegen führte A._ mit Eingabe vom 20. Dezember 2014 Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt.
Mit Entscheid vom 13. Februar 2015 trat das Appellationsgericht, Einzelgericht, auf die Beschwerde nicht ein. Es erwog zusammenfassend, es liege insbesondere im Interesse der Wahrheitsfindung im Strafprozess, dass die (am 19. Oktober 2010) beschlagnahmten Akten im Berufungsverfahren zur Verfügung stünden. Dabei komme A._ ein uneingeschränktes Akteneinsichtsrecht zu. Es werde Sache der Instruktionsrichterin oder des Instruktionsrichters im Berufungsverfahren sein, über eine allfällige vorzeitige Rückgabe von Akten zu entscheiden. Ein drohender nicht wieder gutzumachender Nachteil für den Fall der Einbehaltung der Akten sei nicht erkennbar. Ein aktuelles Rechtsschutzinteresse von A._ sei ebensowenig ersichtlich. Auf die Beschwerde sei nicht einzutreten.
Mit Eingabe vom 9. März 2015 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht und beantragt (insbesondere) die Aufhebung des Entscheids des Appellationsgerichts vom 13. Februar 2015.
Am 16. März 2015 erliess die Präsidentin des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt drei prozessleitende Verfügungen. Namentlich teilte sie A._ mit, seine Befangenheitsanträge gegen einzelne Mitglieder des Berufungsgerichts würden zur weiteren Behandlung an Appellationsgerichtspräsident Claudius Gelzer weitergeleitet.
Am 2. April 2015 hat A._ Beschwerde an das Bundesgericht eingereicht mit dem Antrag, die drei Verfügungen vom 16. März 2015 seien aufzuheben.
Am 8. Mai 2015 verfügte die Präsidentin des Appellationsgerichts als Instruktionsrichterin im Berufungsverfahren, das Gesuch von A._ um Herausgabe der sich bei der Staatsanwaltschaft befindenden Akten werde abgewiesen. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, in die Urteilsfindung einbezogen würden einzig die sich beim Appellationsgericht befindenden Akten. Die Akteneinsicht von A._ in sämtliche Unterlagen sei gewährleistet. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil sei nicht ersichtlich, wenn die beschlagnahmten Unterlagen während des Prozesses bei der Staatsanwaltschaft blieben.
Gegen diese Verfügung führt A._ am 1. Juni 2015 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht mit dem Hauptantrag auf Aufhebung der angefochtenen Verfügung.
Es wurden Vernehmlassungen eingeholt, zu welchen der Beschwerdeführer Stellung genommen hat. Er hält dabei an seinem Standpunkt und an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Zwischen den drei Verfahren besteht ein enger Zusammenhang. In allen Verfahren führt die gleiche Person Beschwerde, und die Beschwerden richten sich gegen behördliche Akte in derselben Sache. Die bundesgerichtlichen Verfahren 1B_85/2015, 1B_113/2015 und 1B_195/2015 sind daher zu vereinigen (<ref-law> i.V.m <ref-law>).
1.2. Der Entscheid des Appellationsgerichts vom 13. Februar 2015 und die Verfügung der Präsidentin des Appellationsgerichts vom 8. Mai 2015 haben ein Begehren des Beschwerdeführers um Aktenrückgabe bzw. Aktenherausgabe zum Gegenstand. Die Verfügung der Präsidentin des Appellationsgerichts vom 16. März 2015 betrifft die Weiterleitung eines Ausstandsbegehrens des Beschwerdeführers.
Die Beschwerden sind nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig. Dieser wird durch den Gegenstand der angefochtenen Entscheide und durch die Parteibegehren bestimmt, wobei die angefochtenen Entscheide den möglichen Streitgegenstand begrenzen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 189). Auf ausserhalb des Streitgegenstands liegende Anträge, Rügen und weitere Vorbringen des Beschwerdeführers kann daher von vorneherein nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer kann seine Kritik formeller und materieller Art am erstinstanzlichen Urteil mit Berufung vorbringen. Gegen den Endentscheid des Berufungsgerichts in der Sache steht ihm alsdann die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen.
Damit ist gleichzeitig gesagt, dass die Vorinstanz keine Rechtsverweigerung und keine Gehörsverletzung begangen hat, indem sie sich nicht mit den ausserhalb des Streitgegenstands liegenden Vorbringen des Beschwerdeführers befasst hat.
1.3. Angefochten sind Zwischenentscheide, welche das Verfahren nicht abschliessen. Gegen solche Zwischenentscheide ist die Beschwerde nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder - was hier ausser Betracht fällt - die Gutheissung der Beschwerden sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beschwerdeverfahren ersparen würde (<ref-law>). Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (<ref-ruling> E. 2.1 S. 94; <ref-ruling> E. 1.2 S. 263; je mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung muss es sich im Bereich des Strafrechts beim nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss <ref-law> um einen solchen rechtlicher Natur handeln. Ein solcher liegt vor, wenn er auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht mehr gänzlich behoben werden könnte. Ein lediglich tatsächlicher Nachteil wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 239 f., 172 E. 2.1 S. 173 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 263, je mit Hinweisen).
Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4 je mit Hinweisen).
1.4.
1.4.1. Der Beschwerdeführer verlangte die vorzeitige Herausgabe der am 19. Oktober 2010 beschlagnahmten Firmenunterlagen. Bei Beschwerden von Privaten gegen die Aufrechterhaltung von strafprozessualen Beweismittelbeschlagnahmen ist der nicht wieder gutzumachende Nachteil grundsätzlich zu verneinen (vgl. Urteil 1B_301/2009 vom 31. März 2010 E. 1.2 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer setzt sich in seinen Beschwerdeschriften nicht substanziiert mit den Beschwerdevoraussetzungen von <ref-law> auseinander. Soweit er geltend macht, ihm erwachse aus den angefochtenen Entscheiden "finanziell und zeitlich ein klarer nicht wieder gut zu machender Nachteil", vermag er nach dem Gesagten keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur aufzuzeigen. Gleiches gilt, soweit der Beschwerdeführer behauptet, er habe - trotz vollumfänglicher Akteneinsicht und obwohl die Akten aus den Jahren 2010 und davor stammen - einen Nachteil, weil "er seine Firma ohne vorhandene Verträge und Mitarbeiterakten weiterführen" müsse.
1.4.2. Mit Verfügung vom 16. März 2015 hat die Appellationsgerichtspräsidentin das gegen sie gerichtete Ausstandsbegehren an den Appellationsgerichtspräsidenten Claudius Gelzer als Verfahrensleiter des Ausstandsverfahrens weitergeleitet. Hieraus erwächst dem Beschwerdeführer kein nicht wiedergutzumachender Nachteil. Über Ausstandsbegehren gegen einzelne Mitglieder des Berufungsgerichts entscheidet das Berufungsgericht (<ref-law>). Sobald diesbezüglich ein Entscheid des Berufungsgerichts vorliegt, kann dieser vom Beschwerdeführer, soweit er beschwert ist, gestützt auf <ref-law> beim Bundesgericht angefochten werden; damit ist der Rechtsschutz gewahrt.
1.4.3. An einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil fehlt es auch hinsichtlich der beiden anderen angefochtenen Verfügungen vom 16. März 2015, denen nur gerichtsorganisatorischer Charakter zukommt.
Mangels anfechtbarer Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law> ist auf die Beschwerden nicht einzutreten.
1.5. Kann das Bundesgericht nicht angerufen werden, so besteht unter den gegebenen Umständen auch kein Anlass, die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Nichtigkeit des erstinstanzlichen Urteils des Strafgerichts Basel-Stadt vom 1. September 2014 zu prüfen. In der jüngsten Rechtsprechung hat das Bundesgericht zwar vereinzelt die Nichtigkeit von Rechtsakten auch in Fällen untersucht, in denen das erhobene Rechtsmittel nicht zulässig war (so etwa in <ref-ruling> E. 4 S. 389 ff. und 136 II 415 E. 2 und 3 S. 418 ff.). Nach der zitierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist für die Feststellung der Nichtigkeit aber jedenfalls ein Rechtsschutzinteresse erforderlich (<ref-ruling> E. 1.2 und 1.3 S. 417), d.h. ein genügendes Interesse an der sofortigen Feststellung der Nichtigkeit durch das Bundesgericht. Dies ist vorliegend nicht der Fall. Der Beschwerdeführer hat gegen das erstinstanzliche Urteil Berufung an das Appellationsgericht erhoben und dabei die Nichtigkeit des Urteils gerügt. Gegen den Berufungsentscheid steht dem Beschwerdeführer, soweit er mit seiner Berufung nicht durchdringt, alsdann die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (vgl. insoweit auch Urteil 1C_627/2012 vom 24. April 2013 E. 2).
2.
Auf die Beschwerden ist nicht einzutreten. Damit werden die vom Beschwerdeführer gestellten Gesuche um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um Verfahrenssistierung gegenstandslos. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1B_85/2015, 1B_113/2015 und 1B_195/2015 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, dem Strafgericht Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Stohner