Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1985) und A._ (geb. 1986, deutsche Staatsangehörige) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von B._ (geb. 2012). Die Mutter verfügte ab der Geburt über das alleinige Sorge- und Obhutsrecht.
B.
B.a. Noch vor der Gebu rt, am 15. Juni 2012,erst attete die Frauenklinik Y._ eine erste Gefährdungsmeldung für das ungeborene Kind, u.a. wegen suizidalen Äusserungen der Kindsmutter. Am 26. Oktober 2012 gingen Gefährdungsmeldungen der Psychiatrie von Y._ sowie des Kindsvaters X._ ein, nachdem die Kindsmutter fürsorgerisch untergebracht werden musste.
B.b. Am 26. Februar 2013 erstattete X._ via die Beiständin des Kindes eine weitere Gefährdungsmeldung, da die Kindsmutter ihm gegenüber Suizidabsichten geäussert hatte. A._ wurde mittels fürsorgerischer Unterbringung in eine Psychiatrie verbracht. Ebenfalls am 26. Februar 2013 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Y._ (nachfolgend KESB) A._ superprovisorisch die Obhut für die Tochter und brachte diese im Kinderheim C._ unter.
B.c. A m 27. Februar 2013 e rfolgte die amtliche Vaterschaftsanerkennung durch X._.
B.d. Am 12. März 2013 bestätigte die KESB die superprovisorisch angeordnete Platzierung in Form einer vorsorglichen Massnahme.
B.e. X._ verlangte mit Eingabe vom 7. April 2013 an die KESB die Einräumung eines grosszügigen Besuchsrechts. Ebenfalls mit Eingabe vom 7. April 2013 liessen die Kindseltern der KESB einen beiderseitig unterzeichneten Antrag auf ein gemeinsames Sorgerecht zukommen. Die Kindsmutter widerrief den Antrag am 29. April 2013.
B.f. Mit Schreiben vom 20. Juni 2013 beantragte die Kindsmutter die Übertragung der (alleinigen) elterlichen Sorge auf den Vater. Am 10. Juli 2013 zog sie jedoch auch dieses Gesuch zurück.
B.g. Mit Entscheid vom 25. Juni 2013 bestätigte die KESB den gegenüber A._ ausgesprochenen Obhutsentzug sowie die Platzierung des Kindes im Kinderheim C._. Die KESB regelte das Besuchsrecht der Eltern. X._ wurde berechtigt, die Tochter montags von 9.15 Uhr bis 11.15 Uhr und samstags von 14.15 Uhr bis 17.00 Uhr im Kinderheim zu besuchen. Anderslautende und weitergehende Besuchszeiten seien nur nach Absprache mit der Heimleitung und der Beiständin möglich.
B.h. Der Entscheid kreuzte sich mit einem Gesuch von X._ um Anordnung von Kindesschutzmassnahmen im Sinne von <ref-law> (Postaufgabe: 25. Juni 2013, Eingang bei der KESB: 26. Juni 2013). Er ersuchte die KESB um Übertragung des alleinigen Sorge- und Obhutsrechts auf ihn. Eventualiter sei den Eltern die gemeinsame Sorge zu übertragen, bei Zuteilung des alleinigen Obhutsrechts an ihn.
C.
C.a. Am 18. Juli 2013 erhob X._ gegen den Entscheid vom 25. Juni 2013 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Er beantragte, B._ sei bei ihm unterzubringen; eventualiter sei er zu berechtigen, sie jedes Wochenende von Freitag, 13.00 Uhr, bis Sonntag, 18.00 Uhr, zu sich auf Besuch zu nehmen. Die KESB schloss mit Vernehmlassung vom 2. August 2013 auf Abweisung der Beschwerde.
C.b. Mit Urteil vom 5. September 2013 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab. Es auferlegte die Verfahrenskosten grundsätzlich X._, verzichtete aber auf die Einziehung von Gerichtskosten. Weiter verpflichtete es die Y._, dem Beschwerdeführer für das oberinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen; im Übrigen habe X._ seine Kosten selbst zu bezahlen.
D.
X._ (Beschwerdeführer) zieht dieses Urteil mit Beschwerde in Zivilsachen vom 31. Oktober 2013 an das Bundesgericht weiter. Er beantragt, das Kind B._ sei bei ihm unterzubringen. Eventualiter sei ihm jedes Wochenende von Freitag, 13.00 Uhr, bis Sonntag, 18.00 Uhr, ein zusätzliches Besuchsrecht einzuräumen. (Sub-) Eventualiter sei die Angelegenheit zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei ihm das Recht zur Replik gegen Vernehmlassungen der KESB, des Kantonsgerichts, des Kinderheims, der Beiständin sowie der Kindsmutter einzuräumen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Schliesslich seien Y._ oder der Kanton Luzern zu verpflichten, ihm für die Verfahren vor der KESB, dem Kantonsgericht und dem Bundesgericht eine angemessene Anwaltskostenentschädigung zu bezahlen.
E.
Das Kantonsgericht beantragte mit einlässlicher Stellungnahme vom 21. Februar 2014, die Beschwerde sei unter Kostenfolge zu Lasten des Beschwerdeführers abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die KESB schloss innert verlängerter Frist ebenfalls auf Abweisung. Die Kindsmutter holte die ihr zugestellte Aufforderung zur Vernehmlassung nicht ab.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG) betreffend Platzierung eines Kindes (Kindesschutzmassnahme; <ref-law>). Damit geht es um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert. Der Beschwerdeführer war vor der Vorinstanz Partei und ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
1.2. Soweit der Beschwerdeführer direkt den Entscheid der KESB vom 25. Juni 2013 beanstandet, ist darauf von vornherein nicht einzutreten. Anfechtungsobjekt vor Bundesgericht ist einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>).
1.3. Der Vollständigkeit halber ist festzuhalten, dass A._ als Inhaberin des elterlichen Sorgerechts sowohl vom Obhutsentzug als auch vom Streit um die Platzierung betroffen ist. Sie ist daher entgegen dem Rubrum der Vorinstanz als Verfahrensbeteiligte aufzuführen.
1.4. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt des Bereichs der verfassungsmässigen Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es kann die Beschwerde daher auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (zu den Voraussetzungen der Motivsubstitution <ref-ruling> E. 4 S. 252 mit Hinweis).
Dagegen ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252 und E. 1.4.2 f. S. 254 f.).
2.
Vor Bundesgericht ist strittig, ob das Kind infolge des Obhutsentzugs gegenüber der Mutter in einem Heim oder beim Vater unterzubringen sei (und daran anknüpfend evtl. subsidiär, ob das väterliche Besuchsrecht auszudehnen sei). Zu befinden ist somit zuerst über die Platzierung des Kindes. Von einer Platzierung wird gesprochen, wenn ein Kind einer Person oder Institution zu Pflege und Erziehung überlassen, d.h. dort untergebracht wird. Dies ist nicht mit einer Übertragung der Obhut gleichzusetzen. Dem nicht sorgerechtsberechtigten Vater (<ref-law>) kommt von Gesetzes wegen keine rechtliche Obhut zu. Eine Obhutsübertragung an den nicht mit der Mutter des Kindes verheirateten Vater würde eine Übertragung der elterlichen Sorge voraussetzen. Eine Sorgerechtsübertragung ist wiederum nur möglich, wenn der Kindsmutter vorgängig die elterliche Sorge entzogen (Art. 311 f. ZGB, <ref-law>) oder aber eine gemeinsame Sorge der Eltern errichtet würde (<ref-law>). Zur Abgrenzung zwischen Platzierung und Übertragung der rechtlichen Obhut kann auch auf das kürzlich ergangene Urteil 5A_742/2013 vom 24. Dezember 2013 (mit Hinweis auf <ref-ruling>) verwiesen werden.
Wie aus der Prozessgeschichte hervorgeht, ist zwar seit dem 25. Juni 2013 ein Verfahren auf Übertragung des alleinigen Sorge- und Obhutsrechts auf den Kindsvater vor der KESB hängig (vorstehend B.h). Die Behörde hat indes noch nicht darüber befunden, womit dies nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens sein kann.
3.
Der Beschwerdeführer wirft dem Kantonsgericht vor, es habe die Kindesschutzbestimmungen (<ref-law>), sein rechtliches Gehör sowie die Untersuchungsmaxime (<ref-law>) verletzt und es sei überdies in Willkür verfallen in der Sachverhaltsfeststellung und -würdigung (<ref-law>). Er kritisiert, es sei nie abgeklärt worden, ob das Kind bei ihm platziert werden könnte. Von Anfang an hätten nur die Mutter oder ein Heim im Fokus der Behörden gestanden.
3.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law> ist formeller Natur. Ist er verletzt worden, führt dies ungeachtet der Erfolgsaussichten in der Sache zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197; <ref-ruling> E. 2.2 S. 190). Die entsprechenden Verfassungsrügen sind deshalb vorweg zu prüfen.
Das rechtliche Gehör nach <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677; je mit weiteren Hinweisen).
Der hier ebenfalls zur Debatte stehende Teilgehalt des rechtlichen Gehörs, das Beweisführungsrecht, steht einer vorweggenommenen Beweiswürdigung nicht entgegen. Das Gericht kann auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148 mit weiteren Hinweisen). Auch die Tatsache, dass ein Verfahren - wie vorliegend - der Untersuchungsmaxime unterliegt, steht einer antizipierten Beweiswürdigung nicht entgegen (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735; Urteil 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.1, in: FamPra.ch 2011 S. 218). Nur wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft, ist durch die Nichtabnahme eines Beweismittels das rechtliche Gehör verletzt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 211). Diese Rechtsprechung hat für den Beschwerdeführer zur Folge, dass er - wenn das Sachgericht eine rechtserhebliche Tatsache als bewiesen oder als widerlegt erachtet - in einem ersten Schritt - und unter Gewärtigung der Nichteintretensfolge - willkürliche Beweiswürdigung rügen und damit durchdringen muss, bevor sich das Bundesgericht mit der Rüge der Verletzung des Beweisführungsanspruchs nach <ref-law> befasst.
3.2. Bereits vor der Vorinstanz machte der Beschwerdeführer eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs geltend, weil die KESB nicht geprüft habe, ob das Kind bei ihm anstatt im Heim untergebracht werden könnte. Seine Erziehungsfähigkeit und Bereitschaft zur Fürsorge seien in keinster Weise eingeschränkt. Seine Wohnverhältnisse erlaubten eine Unterbringung des Kindes bei ihm. Er werde sein Arbeitspensum auf 60 % beschränken und werde ferner von seiner Mutter und Schwester unterstützt; Letztere sei zugleich die Patin des Kindes. Er könne seiner Tochter die notwendige Kontinuität und Fürsorge bieten, derer ein einjähriges Mädchen bedürfe.
3.3. Das Kantonsgericht erwog hierzu, es sei aktenkundig, dass der Beschwerdeführer anlässlich eines Gesprächs im Kinderheim vom 18. Juni 2013 ausgeführt habe, er verstehe nicht, weshalb die Tochter nicht bei ihm platziert worden sei. Vor dem 25. Juni 2013 habe er aber keinen formellen Antrag auf Unterbringung des Kindes bei ihm gestellt und er habe zu keinem Zeitpunkt erklärt, er könne die Obhut über das Kind persönlich wahrnehmen, weshalb es nicht auf der Hand gelegen habe, dass die KESB konkrete Abklärungen hätte tätigen müssen. Es befand nichtsdestotrotz, die KESB habe ihre Begründungspflicht und damit den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt. Die KESB hätte nämlich darauf hinweisen sollen, dass eine Platzierung beim Vater grundsätzlich denkbar gewesen wäre, die dafür notwendigen Voraussetzungen aber nicht vorliegen würden. Diese untergeordnete Verletzung könne vor Kantonsgericht aufgrund der ihm zustehenden umfassenden Überprüfungsbefugnis geheilt werden; es könne die Verhältnisse im "heutigen" Urteilszeitpunkt (d.h. per 5. September 2013) beurteilen. Es führte weiter aus:
"Das Beweisverfahren - die Beobachtung der Interaktion zwischen Vater und Tochter, aber auch die Abklärung der aktuellen Verhältnisse bei den Verantwortlichen des Kinderheims und bei der Beiständin - hat gezeigt, dass eine Platzierung [des Kindes] beim Beschwerdeführer im heutigen Zeitpunkt (noch) nicht verantwortet werden kann. Hierzu bedarf es zusätzlicher Abklärungen durch die Vorinstanz, die nicht in den Aufgabenbereich des Kantonsgerichts als Rechtsmittelinstanz fallen."
Das Kantonsgericht fuhr fort, es sei im Übrigen der Auffassung, dass aufgrund der engsten emotionalen Beziehung zuerst die Platzierung des Kindes bei der Kindsmutter zu prüfen sei. Daran ändere nichts, dass die Beweisvorkehren vor Kantonsgericht eine gute Vater-Tochter-Beziehung offenbart hätten, der Beschwerdeführer sich engagiert um das Kind kümmere und an dessen Wohlergehen ernsthaft interessiert sei. Letzteres zeige sich nicht zuletzt darin, dass er seit der Anerkennung seiner Vaterschaft die Besuchszeiten wahrnehme und deren Ausdehnung wünsche.
3.4. Der Beschwerdeführer weist nun zurecht auf den Widerspruch hin, dass das Kantonsgericht einerseits festhält, der Entscheid über die Platzierung bedürfe weiterer Abklärungen, anderseits aber behauptet, eine Unterbringung beim Kindsvater sei nicht zu verantworten. Das Gericht begründet dabei nicht, inwiefern die erwähnte Interaktion oder die weitere "Abklärung" ergeben haben sollen, dass eine Obhutszuteilung zur Zeit nicht in Frage komme. Im Gegenteil weist die Vorinstanz ausdrücklich auf die gute Vater-Kind-Beziehung hin. Auch in ihrer Stellungnahme vom 21. Februar 2014 hält die Vorinstanz lediglich fest, sie habe aufgrund des feststehenden Sachverhalts willkürfrei davon ausgehen können, dass der Zeitpunkt für eine Unterbringung beim Vater noch nicht reif gewesen sei; dabei habe sie sich auf die fachlichen Abklärungen der Behörden stützen können. Von welchem "feststehenden Sachverhalt" sie dabei ausging und inwiefern dieser gegen eine Unterbringung beim Vater hätte sprechen sollen, wird indes mit keinem Wort erläutert. Das Kantonsgericht betont sodann erneut, dass die KESB weitere Abklärungen treffe resp. treffen müsse.
Bedarf eine Frage, welche zur Entscheidung kommen soll, weiterer Abklärungen - welche eine obere Instanz nicht selbst vornehmen kann oder will -, so ist die Angelegenheit zwecks Durchführung der Abklärungen an die untere Instanz zurückzuweisen. Vorliegend hat das Kantonsgericht postuliert, die Angelegenheit bedürfe weiterer Abklärungen. Es hat indes die Sache nicht an die KESB zurückgewiesen, um zu prüfen, ob das Kind beim Vater untergebracht werden könnte. Das Kantonsgericht hat vielmehr - ohne über die von ihm selbst als notwendig bezeichneten weiteren Abklärungen zu verfügen und ohne den Sachverhalt zu bezeichnen, von welchem es ausging - befunden, eine Platzierung beim Vater könne zur Zeit nicht verantwortet werden. In dieser Vorgehensweise verfällt die Vorinstanz in Willkür und verletzt das rechtliche Gehör (E. 3.1) des Beschwerdeführers. Selbstredend fällt damit auch eine Heilung der vom Kantonsgericht festgestellten Gehörsverletzung durch die KESB ausser Betracht.
4.
Die Beschwerde ist somit gutzuheissen und das angefochtene Urteil ist aufzuheben.
4.1. Die Angelegenheit ist zwecks Vornahme der erforderlichen Abklärungen und zu anschliessendem Neuentscheid an die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Y._ zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2, Art. 112 Abs. 3 BGG). Angesichts des Zeitablaufs ist auf der Basis der aktuellen Verhältnisse und möglichst zeitnah neu zu entscheiden. Wünschenswert ist, dass nicht nur über die Frage der vorliegend strittigen Platzierung, sondern unter Berücksichtigung des zweiten hängigen Verfahrens direkt über Sorge und Obhut entschieden wird. Eine Sistierung des Sorgerechts- und Obhutsverfahrens war und ist nicht angebracht, betrifft es doch einen umfassenderen Verfahrensgegenstand und aktuellere Verhältnisse als das Verfahren betreffend Platzierung.
Im weiteren Verfahren vor der Kindesschutzbehörde wird ausserdem zu prüfen sein, ob dem Kind ein Prozessvertreter gemäss <ref-law> zu bezeichnen ist.
4.2. Nachdem der Beschwerdeführer obsiegt, sind antragsgemäss die Kosten des kantonalgerichtlichen Verfahrens neu zu verlegen resp. ist neu über die Parteientschädigung des Beschwerdeführers zu befinden. Die Angelegenheit wird hierzu an das Kantonsgericht zurückgewiesen (<ref-law>). Der Antrag des Beschwerdeführers, das Bundesgericht habe über die Verfahrenskosten vor der KESB zu befinden, wird angesichts der Rückweisung an diese gegenstandslos. Die KESB wird beim Neuentscheid auch über die Kosten befinden.
4.3. Bei diesem Ergebnis erübrigt es sich, die weiteren vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht vorgebrachten Rügen zu prüfen.
5.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG); namentlich sind der Kindsmutter keine Gerichtskosten aufzuerlegen, nachdem sie den Entscheid nicht zu verantworten hat. Dem Beschwerdeführer steht für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu (<ref-law>). Diese geht zu Lasten des Kantons Luzern. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird somit gegenstandslos. Der Kindsmutter ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Kantonsgerichts Luzern, 2. Abteilung, vom 5. September 2013 aufgehoben und die Sache zur weiteren Abklärung und neuen Entscheidung an die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Y._, zurückgewiesen.
Im Übrigen wird die Angelegenheit zur Neufestsetzung der vorinstanzlichen Parteikostenentschädigung an das Kantonsgericht zurückgewiesen.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Luzern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Diese s Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Y._, der Kindsmutter, der Beiständin D._, dem Kinderheim C._, und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann