Sachverhalt:
A. X._ (Ehemann) und Y._ (Ehefrau) heirateten im Jahre 1988. Sie sind die Eltern der beiden Töchter S._, geboren 1988, und T._, geboren 1994.
Mit Eingabe vom 2. Juli 2004 reichte Y._ beim Gerichtspräsidium A._ ein Gesuch um Anordnung von Eheschutzmassnahmen ein.
Der Gerichtspräsident 3 von A._ stellte mit Urteil vom 19. Oktober 2004 fest, dass die Ehegatten zum Getrenntleben berechtigt seien, nahm Vormerk davon, dass sie seit 5. August 2004 getrennt lebten, und wies Y._ und den Kindern, die er unter ihre Obhut stellte, die eheliche Liegenschaft zur alleinigen Benutzung zu. X._ wurde verpflichtet, an den Unterhalt der Töchter monatliche Beiträge von je Fr. 1'200.-- und an denjenigen von Y._ solche von Fr. 3'830.-- für die Zeit vom 1. Juli 2004 bis zum 31. Dezember 2004 und von Fr. 3'240.-- für die Zeit darnach zu zahlen. Auf das Begehren von Y._, die Gütertrennung anzuordnen, trat der Gerichtspräsident nicht ein.
Beide Ehegatten erhoben Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau, X._ mit den Rechtsbegehren, die den Töchtern zugesprochenen Unterhaltsbeiträge auf Fr. 1'000.-- herabzusetzen und die Unterhaltspflicht gegenüber der Ehefrau aufzuheben, Y._ mit dem Antrag, mit Wirkung ab 1. Juli 2004 die Gütertrennung anzuordnen.
Das Obergericht (Zivilgericht, 5. Kammer) setzte mit Urteil vom 18. Januar 2007 die Unterhaltsbeiträge für die beiden Töchter auf monatlich je Fr. 950.-- und diejenigen für die Ehefrau auf Fr. 2'350.-- für die Zeit vom 1. Juli 2004 bis zum 31. Dezember 2004, Fr. 2'077.-- für die Zeit ab 1. Januar 2005 und Fr. 2'127.-- für die Zeit ab 1. Juli 2006 fest und ordnete mit Wirkung ab 6. August 2004 ausserdem die Gütertrennung an. Dem Gesuch von Y._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gab das Obergericht statt, das von X._ gestellte gleichlautende Gesuch wies es dagegen ab.
B. Mit Eingabe vom 22. Februar 2007 hat X._ beim Bundesgericht Beschwerde eingereicht. Er verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids und wiederholt die im kantonalen Beschwerdeverfahren gestellten Anträge. Ausserdem hat er nachträglich per Fax darum ersucht, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist nachher ergangen, so dass das neue Recht anzuwenden ist (<ref-law>).
2. Die Anordnung von Massnahmen zum Schutze der ehelichen Gemeinschaft (<ref-law>) ist eine Zivilsache im Sinne von <ref-law>. Strittig ist die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers, mithin eine Frage vermögensrechtlicher Natur. Die Streitwertgrenze von 30'000 Franken (<ref-law>) ist angesichts der Höhe und der unbestimmten Dauer der der Beschwerdegegnerin zugesprochenen Unterhaltsbeiträge, deren Aufhebung der Beschwerdeführer verlangt, überschritten (vgl. <ref-law>). Die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Rügen können mit keinem kantonalen Rechtsmittel erhoben werden (vgl. §§ 335 ff. der Aargauer Zivilprozessordnung [ZPO]), so dass die Beschwerde in Zivilsachen auch aus der Sicht von <ref-law> offen steht.
3. Der Beschwerdeführer legt neue Dokumente vor. Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (im gleichen Sinne schon die Praxis zur staatsrechtlichen Beschwerde: <ref-ruling> E. 6c S. 357 mit Hinweisen). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die erwähnte Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Beweismitteln erfüllt sein soll. Die vom Beschwerdeführer hier vorgetragene blosse Behauptung, erst der angefochtene Entscheid habe Anlass zur Nachreichung von Dokumenten gegeben, ist unzureichend. Die neu ins Recht gelegten Schriftstücke sind daher unbeachtlich.
4. Unter der Herrschaft des Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG), das bis Ende 2006 in Kraft stand, galt ein im Eheschutzverfahren ergangener Entscheid der oberen kantonalen Instanz grundsätzlich nicht als Endentscheid im Sinne von Art. 48 Abs. 1 OG, so dass er nicht mit Berufung anfechtbar war; hingegen war (neben der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde) die staatsrechtliche Beschwerde zugelassen (dazu <ref-ruling> E. 2 S. 476 ff.). Zur Begründung wurde hauptsächlich darauf hingewiesen, dass Eheschutzentscheide regelmässig in einem summarischen Verfahren mit Beweismittel- und Beweisstrengebeschränkung ergingen, im Allgemeinen lediglich provisorischen Charakter hätten, erleichtert abänderbar seien und nicht in materielle Rechtskraft erwüchsen (<ref-ruling> E. 2b/aa und 2b/bb S. 477 ff.).
Nach dem Bundesgerichtsgesetz sind Endentscheide Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>). Aus der Sicht dieses rein prozessualen Kriteriums haben nunmehr auch Entscheide in Eheschutzsachen als Endentscheide zu gelten (so auch die Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4331 Ziff. 4.1.4.1).
5. Der Beschwerdeführer rügt hauptsächlich eine Verletzung der Art. 176 und 163 ZGB. Angesichts der Natur von Eheschutzmassnahmen drängt sich die Frage auf, ob sie nicht als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> zu betrachten seien. Nach dieser Bestimmung kann mit der Beschwerde gegen entsprechende Entscheide nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden.
5.1 Laut Botschaft zum neuen Gesetz (a.a.O., S. 4336) sind unter vorsorglichen Massnahmen im Sinne von <ref-law> einstweilige Verfügungen zu verstehen, die eine rechtliche Frage so lange regeln, bis über sie in einem späteren Hauptentscheid definitiv entschieden wird. Eheschutzentscheide sind insoweit mehr als nur vorläufiger Natur, als sie nicht in einem nachfolgenden ordentlichen Verfahren unbeschränkt überprüft werden (<ref-ruling> E. 2b/bb S. 478). Provisorischer Charakter eignet ihnen in der Regel dagegen insoweit, als die in den <ref-law> vorgesehenen Massnahmen nur solange aufrecht bleiben, als aussergewöhnliche Verhältnisse ihren Bestand erfordern: Nehmen die Ehegatten das Zusammenleben wieder auf, fallen, mit Ausnahme der Gütertrennung und der Kindesschutzmassnahmen, die für das Getrenntleben angeordneten Vorkehren ohne weiteres dahin (<ref-law>). Falls die Verhältnisse sich geändert haben, kann das Gericht auf Begehren eines Ehegatten die Massnahmen mit Wirkung für die Zukunft anpassen oder aufheben, wenn ihr Grund weggefallen ist (<ref-law>). In dieser im Vergleich zu anderen Sachurteilen erleichterten Abänderbarkeit liegt denn auch einer der Gründe, weshalb Entscheide über Eheschutzmassnahmen nicht in materielle Rechtskraft erwachsen (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 477 mit Hinweisen). Während ein Entscheid, dem unbeschränkte Rechtskraft zukommen soll, eine eingehende und umfassende Abklärung des Sachverhalts voraussetzt, ist bei Eheschutzmassnahmen charakteristisch, dass sie in der Regel - so auch vorliegend - in einem summarischen Verfahren angeordnet werden, wo namentlich blosses Glaubhaftmachen genügt.
Ferner fällt in Betracht, dass Eheschutzmassnahmen seit Inkrafttreten des neuen Scheidungsrechts (1. Januar 2000) in zunehmendem Masse dazu dienen, die Folgen des für eine Scheidung nach <ref-law> erforderlichen Getrenntlebens (von ursprünglich vier und heute zwei Jahren) zu regeln. Es kommt ihnen aus dieser Sicht eine ähnliche Bedeutung zu wie den vorsorglichen Massnahmen, die gestützt auf <ref-law> für die Dauer des Scheidungsverfahrens angeordnet werden. Eheschutzmassnahmen bleiben im Übrigen über den Zeitpunkt der Einleitung eines Scheidungsverfahrens hinaus bestehen, solange sie nicht durch Vorkehren im Sinne dieser Bestimmung abgeändert werden (<ref-ruling> E. 2 S. 61). Dass Anordnungen nach <ref-law> unter die eingangs angeführte Umschreibung vorsorglicher Massnahmen im Sinne von <ref-law> fallen, steht ausser Zweifel.
5.2 Unter den dargelegten Umständen rechtfertigt es sich, auch Eheschutzmassnahmen grundsätzlich <ref-law> zu unterstellen. Eine andere Behandlung würde dazu führen, dass für Eheschutzmassnahmen mehr Beschwerdegründe zugelassen wären als für die allenfalls an sie anschliessenden vorsorglichen Massnahmen nach <ref-law>. Ob ausnahmslos allen denkbaren Eheschutzmassnahmen im Sinne des Gesagten bloss provisorischer Charakter beizumessen ist und entsprechende Entscheide <ref-law> unterstehen oder ob beispielsweise im Falle der Anordnung der Gütertrennung (<ref-law>) die Verhältnisse anders zu beurteilen wären (dazu <ref-ruling> E. 2b/aa S. 477 f.), mag hier, wo es ausschliesslich um die Unterhaltspflicht geht, offenbleiben.
6. Die Verletzung von Grundrechten, wie sie aufgrund von <ref-law> einzig geltend gemacht werden kann, prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG (dazu Botschaft, a.a.O., S. 4294) - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
7. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, es habe den Sachverhalt unrichtig festgestellt, und verlangt, dieser sei (in Anwendung von <ref-law>) von Amtes wegen richtigzustellen.
7.1 Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Eine entsprechende Bestimmung findet sich ebenfalls im Abschnitt über die Beschwerdegründe: <ref-law> erklärt, dass die Sachverhaltsfeststellungen der kantonalen Instanz nur hinsichtlich der genannten Mängel gerügt werden können. Da nach dem oben (E. 5.2) Ausgeführten gegen den angefochtenen Entscheid nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden kann, gelangen jedoch die Art. 95 und 97 BGG und auch <ref-law> nicht (unmittelbar) zur Anwendung. Die hier gegebenen Verhältnisse entsprechen denjenigen bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Wie dort (Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>) kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen ebenfalls hier nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat. Wird letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich (<ref-law>), offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 86; <ref-ruling> E. 4b S. 40, mit Hinweisen).
7.2 Der Beschwerdeführer beanstandet die Annahme des Obergerichts, es sei bei ihm von einem massgeblichen Einkommen von monatlich Fr. 6'800.-- auszugehen. Sein Vorbringen, er sei im Zeitpunkt der Fällung des angefochtenen Entscheids ohne Einkommen und massiv verschuldet gewesen, sucht er mit unzulässigen neuen Ausführungen und Schriftstücken (vgl. oben E. 3) zu belegen. Mit den eingehenden Erwägungen der Vorinstanz zu seinen Einkommensverhältnissen setzt er sich in keiner Weise auseinander, und er legt denn auch nicht in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Form dar, inwiefern sie verfassungswidrig sein sollen. Soweit der Beschwerdeführer die dem Bundesgericht gegebene Möglichkeit anspricht, Sachverhaltsfeststellungen wegen offensichtlicher Unrichtigkeit zu berichtigen bzw. zu ergänzen (<ref-law>), ist zu bemerken, dass von einer solchen - im Sinne der Rechtsprechung zum früheren Recht (Art. 63 Abs. 2 OG) - nur dann die Rede sein kann, wenn die kantonale Instanz eine bestimmte Aktenstelle übersehen oder unrichtig, d.h. nicht in ihrer wahren Gestalt, insbesondere nicht mit ihrem wirklichen Wortlaut, wahrgenommen hat (<ref-ruling> E. 2a S. 399 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 162, mit Hinweisen). Ein derartiger Mangel, der zudem eine bestimmte Tatsachenfeststellung als willkürlich erscheinen lassen müsste, ist hier indessen nicht dargetan.
8. In der Sache selbst kann es sodann ebenfalls nur darum gehen, ob das Obergericht bei der Festsetzung der den Kindern der Parteien und der Beschwerdegegnerin zugesprochenen Unterhaltsbeiträge die vom Beschwerdeführer angerufenen Bestimmungen von Art. 176 Abs. 1 Ziff. 1 und Art. 163 ZGB in willkürlicher Weise angewendet habe. Was der Beschwerdeführer - namentlich zum Zusammenbruch des T._-Imperiums - vorträgt, beruht zu einem grossen Teil auf unbeachtlichen Noven und ist, soweit nicht auch hier die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts in Frage gestellt werden, rein appellatorischer Natur. Im Rahmen der Prüfung einer Willkürrüge ist eine Kritik dieser Art nicht zu hören (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262 mit Hinweis). Auf die Beschwerde ist daher auch insofern nicht einzutreten.
9. Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege verweigert mit der Begründung, er sei nicht bedürftig. Darin erblickt der Beschwerdeführer eine Missachtung von <ref-law>. Auch bezüglich dieser Rüge fehlt indessen eine den gesetzlichen Anforderungen genügende Begründung: Insbesondere legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern die Verneinung der Bedürftigkeit auch dann gegen die erwähnte Verfassungsbestimmung verstossen soll, wenn es bei der von ihm nach dem Gesagten erfolglos angefochtenen Annahme eines monatlichen Einkommens von Fr. 6'800.-- bleibt.
9. Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege verweigert mit der Begründung, er sei nicht bedürftig. Darin erblickt der Beschwerdeführer eine Missachtung von <ref-law>. Auch bezüglich dieser Rüge fehlt indessen eine den gesetzlichen Anforderungen genügende Begründung: Insbesondere legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern die Verneinung der Bedürftigkeit auch dann gegen die erwähnte Verfassungsbestimmung verstossen soll, wenn es bei der von ihm nach dem Gesagten erfolglos angefochtenen Annahme eines monatlichen Einkommens von Fr. 6'800.-- bleibt.
10. Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten in allen Teilen nicht einzutreten. Sie erschien unter den dargelegten Umständen von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. <ref-law>), und die Gerichtsgebühr ist ausgangsgemäss dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Da keine Vernehmlassungen eingeholt worden und der Beschwerdegegnerin somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (Zivilgericht, 5. Kammer) des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Mai 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: