Faits:
A. P._ est affilié à Helsana Assurances SA et assuré pour l'assurance obligatoire des soins depuis le 1er janvier 2006. La prime mensuelle pour 2006 s'élevait à 227 fr. 50. Pour les mois de janvier et février 2006, il a bénéficié de la prise en charge des primes d'assurance-maladie par le subside de l'Etat de Genève. A partir de mars 2006, les cotisations sont restées impayées. Celles dues pour juillet à décembre 2006 ont fait l'objet de poursuites.
En février 2007, le Service de l'assurance-maladie de la République et canton de Genève a donné à la caisse l'instruction de déduire, dès le 1er mars 2006, le subside cantonal de 80 fr. par mois (groupe A) des primes d'assurance-maladie de l'assuré.
Par lettre du 29 mai 2007, Helsana a avisé P._ que les poursuites pour les primes de juillet à décembre 2006 étaient annulées et qu'il devait s'acquitter de la prime mensuelle de 147 fr. 50 (227 fr. 50 - 80 fr.) pour les mois de mars à décembre 2006. Elle l'invitait à verser le montant de 1'475 fr. d'ici au 20 juin 2007. Le 17 juillet 2007, elle lui a adressé un ultime rappel pour un montant de 1'621 fr. 50 (10 x 147 fr. 50 + 146 fr. 50), correspondant aux primes mensuelles de 147 fr. 50 pour les mois de mars à décembre 2006 et de 146 fr. 50 pour le mois de janvier 2007.
Le 3 septembre 2007, la caisse lui a fait notifier dans la poursuite n° A._ un commandement de payer la somme de 1'621 fr. 50, avec intérêts à 5 % dès le 1er juillet 2006. Elle requérait également le paiement de 30 fr. de frais d'intervention et de 120 fr. de frais de rappel. P._ a fait opposition au commandement de payer. Par décision du 24 septembre 2007, la caisse a prononcé qu'il était débiteur du montant de 1'869 fr. (soit 1'621 fr. 50 + 97 fr. 50 [intérêts moratoires] + 30 fr. [frais d'intervention] + 120 fr. [frais de rappel]) et qu'elle levait l'opposition à la poursuite n° A._ jusqu'à concurrence de cette somme. Le 19 octobre 2007, celui-ci a formé opposition contre cette décision.
Les primes de février à avril 2007 (146 fr. 50 + 146 fr. 50 + 26 fr. 50 [prime corrigée]) ont fait l'objet de la poursuite n° B._, dans laquelle Helsana a fait notifier à P._ le 13 juin 2007 un commandement de payer la somme de 319 fr. 50, avec intérêts à 5 % dès le 19 février 2007. Elle requérait également le paiement de 30 fr. de frais d'intervention et de 40 fr. de frais de rappel. L'assuré a fait opposition au commandement de payer. Par décision du 5 juillet 2007, la caisse a prononcé qu'il était débiteur du montant de 425 fr. 05 (soit 319 fr. 50 + 5 fr. 55 [intérêts moratoires] + 30 fr. [frais d'intervention] + 30 fr. [frais de poursuite] + 40 fr. [frais de rappel]) et qu'elle levait l'opposition à la poursuite n° B._ jusqu'à concurrence de cette somme. Le 31 juillet 2007, P._ a formé opposition contre cette décision.
Par décision du 10 décembre 2007, Helsana a rejeté les oppositions contre les décisions des 5 juillet et 24 septembre 2007.
B. Par jugement du 5 mai 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a partiellement admis au sens des considérants le recours formé par P._ contre cette décision (ch. 2 du dispositif), prononcé la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer dans la poursuite n° A._ à concurrence de 1'621 fr., dont 1'475 fr. portant intérêts à 5 % dès le 20 juin 2007 et 146 fr. 50 portant intérêts à 5 % dès le 1er janvier 2007, ainsi que de 30 fr. de frais d'intervention et 40 fr. de frais de rappel (ch. 3 du dispositif), et prononcé la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer dans la poursuite n° B._ à concurrence de 319 fr. 50, portant intérêts à 5 % dès le 19 février 2007, ainsi que de 30 fr. de frais d'intervention, 40 fr. de frais de rappel et 30 fr. de frais de poursuite (ch. 4 du dispositif).
C. Dans un mémoire du 4 juin 2008, P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il requiert implicitement l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au maintien des oppositions aux commandements de payer, à l'annulation de toutes les poursuites à son encontre, y compris les intérêts et frais réclamés, et à l'octroi de la somme de 1'000 fr. à titre de dommages-intérêts. Il demande à être libéré de toutes obligations vis-à-vis d'Helsana, qui est invitée à s'adresser au Service de l'assurance-maladie et à l'Hospice général pour le recouvrement des primes impayées.
Le 25 juin 2008, il a fait parvenir au Tribunal fédéral une nouvelle écriture, accompagnée de documents.

Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'<ref-law>, le recours contre une décision doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les 30 jours qui suivent la notification de l'expédition complète.
L'écriture du recourant du 25 juin 2008 et les documents qui lui sont joints ont été produits en dehors du délai de l'<ref-law> et ne sont ainsi pas admissibles.
1.1 Dans son mémoire du 4 juin 2008, le recourant a pris des conclusions tendant à l'allocation de la somme de 1'000 fr. à titre de dommages-intérêts. Dans cette mesure, celles-ci sortent de l'objet de la contestation portée devant la juridiction cantonale, déterminé par la décision sur opposition du 10 décembre 2007, et sont dès lors irrecevables.
L'écriture du recourant du 25 juin 2008 et les documents qui lui sont joints ont été produits en dehors du délai de l'<ref-law> et ne sont ainsi pas admissibles.
1.1 Dans son mémoire du 4 juin 2008, le recourant a pris des conclusions tendant à l'allocation de la somme de 1'000 fr. à titre de dommages-intérêts. Dans cette mesure, celles-ci sortent de l'objet de la contestation portée devant la juridiction cantonale, déterminé par la décision sur opposition du 10 décembre 2007, et sont dès lors irrecevables.
2. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Au regard de la réglementation sur le pouvoir d'examen prévue par la LTF, il convient d'examiner sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (<ref-law>), y compris une éventuelle constatation des faits contraire au droit (art. 97 al. 1, <ref-law>).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office, hormis les droits fondamentaux (<ref-law>). Il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève conformément aux exigences légales relatives à la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254) et ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254).
3. 3.1 Le litige a pour objet les primes de l'assurance obligatoire des soins pour les mois de mars 2006 à janvier 2007 et pour les mois de février à avril 2007, ainsi que les frais administratifs et intérêts de retard réclamés par l'intimée.
3.2 Le jugement attaqué expose correctement les règles pertinentes applicables du droit matériel (<ref-law> en ce qui concerne l'obligation de s'assurer, <ref-law> en ce qui concerne la réduction des primes par les cantons). On peut ainsi y renvoyer.
Il y a lieu d'ajouter, à propos du changement d'assureur réglé à l'<ref-law>, que l'<ref-law>, introduit dans la loi par la novelle du 18 mars 2005, prévoit à l'al. 4 première phrase qu'en dérogation à l'art. 7, l'assuré en retard de paiement ne peut pas changer d'assureur tant qu'il n'a pas payé intégralement les primes ou les participations aux coûts arriérées ainsi que les intérêts moratoires et les frais de poursuite.
4. Les premiers juges ont retenu que l'intimée et le recourant avaient conclu un contrat d'assurance valable dès le 1er janvier 2006, pour l'année 2006, ainsi que cela ressortait de la police d'assurance du 23 décembre 2005 fondée sur la proposition d'assurance datée du 8 décembre 2005, signée par les deux parties, fixant la prime mensuelle à 227 fr. 50, avec une franchise annuelle de 2'500 fr. Pour l'année 2007, la caisse avait fait parvenir à l'assuré, en octobre 2006, une nouvelle police d'assurance fixant le montant de la prime mensuelle à 226 fr. 50, pour la même couverture et la franchise annuelle de 2'500 fr. Le recourant n'ayant pas changé d'assureur, il était assuré auprès de l'intimée pendant l'année 2007 également, conformément à la police d'assurance.
4.1 Le recourant remet en cause son affiliation à l'intimée.
Il n'apparaît pas que les faits retenus par les premiers juges aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. En 2006, le recourant avait son domicile en Suisse et il était soumis à l'assurance obligatoire des soins (<ref-law>). Sur la base de sa proposition d'assurance et de l'offre d'assurance de la caisse du 8 décembre 2005, il a été affilié à l'intimée dès le 1er janvier 2006.
La juridiction cantonale a déjà réfuté son argument, selon lequel l'obligation de s'assurer inscrite à l'<ref-law> serait contraire aux art. 6 s. Cst. En effet, domicilié en Suisse, il ne saurait se soustraire au principe de l'obligation d'assurance. Les droits constitutionnels qu'il invoque ne lui sont d'aucun secours (RAMA 2001 n° KV 151 p. 117 s., consid. 3a p. 119 [K 57/00]), en particulier l'art. 6 Cst., le Tribunal fédéral étant tenu d'appliquer les lois fédérales (art. 190 Cst).
4.2 Les motifs du recourant pour contester le maintien de son affiliation auprès de l'intimée en 2007 sont dénués de pertinence.
En décembre 2006, celui-ci ne pouvait pas sortir de l'intimée, en déclarant résilier les rapports d'assurance. En effet, les primes réclamées par la caisse à partir de juillet 2006 étaient restées impayées. Les primes de juillet à septembre 2006 avaient fait l'objet d'une mise en demeure. Ainsi, le recourant était dans l'impossibilité de changer d'assureur (<ref-law>).
Il n'apparaît pas arbitraire que l'assuré en retard de paiement ne puisse pas changer d'assureur tant qu'il n'a pas payé intégralement les primes. En effet, le but de l'<ref-law> est de protéger la communauté des assurés contre des augmentations de primes dues aux assurés qui changent d'assureur sans avoir préalablement réglé leurs arriérés (Message du Conseil fédéral du 26 mai 2004, FF 2004 4103).
4.3 Les primes de mars 2006 à janvier 2007 ont fait l'objet d'un rappel du 17 juillet 2007, puis d'un commandement de payer la somme de 1'621 fr. 50 (1'475 fr. + 146 fr. 50) notifié le 3 septembre 2007 dans la poursuite n° A._.
Le montant de 1'475 fr. réclamé pour les primes impayées de mars à décembre 2006 a été confirmé par les premiers juges. Cette somme représente les primes de 147 fr. 50 (227 fr. 50 - 80 fr. [subside cantonal]) pour mars à décembre 2006 (147 fr. 50 x 10). S'agissant du passage au subside partiel, l'assuré fait une confusion. Même si le Service de l'assurance-maladie, dans une lettre du 6 novembre 2006, l'a avisé de son droit à un subside cantonal de 60 fr. (groupe B) dès le 1er mars 2006, il n'en demeure pas moins que, par décision du 14 février 2007, il a donné à la caisse l'instruction de déduire des primes d'assurance-maladie, dès le 1er mars 2006, le montant correspondant au groupe A, soit la somme mensuelle de 80 fr. Sur cette base, l'intimée a établi la facture de primes du 3 mars 2007, qui a remplacé la facture de primes du 9 décembre 2006 à laquelle le recourant se réfère, dans laquelle il était fait état d'un solde de 53 fr. 50 en sa faveur.
En ce qui concerne la somme de 146 fr. 50 réclamée à l'assuré pour le mois de janvier 2007, les premiers juges ont constaté que ce montant était conforme à la prime due, moins le subside correspondant. Cela n'est pas remis en cause par le recourant.
4.4 Les primes de février et mars 2007, chacune de 146 fr. 50, et la prime corrigée d'avril 2007 de 26 fr. 50 ont fait l'objet d'un rappel du 30 avril 2007, puis d'un commandement de payer la somme de 319 fr. 50 notifié le 13 juin 2007 dans la poursuite n° B._.
La juridiction cantonale a retenu que l'enregistrement rétroactif des subsides cantonaux avait engendré un crédit de 200 fr. en faveur de l'assuré, diminuant ainsi de 200 fr. la prime d'avril 2007. Il résultait des explications fournies par l'intimée en procédure cantonale que la prime d'avril 2007 ne comprenait pas le montant du subside, que le montant de 200 fr. mis au crédit de celui-ci l'avait été à tort, mais que la caisse renonçait à s'en prévaloir, et que le montant du subside pour avril 2007 avait été comptabilisé sur la prime du mois de mai 2007. Compte tenu en particulier de la rectification portée sur la prime du mois de mai 2007, les premiers juges ont constaté que les montants réclamés dans la poursuite n° B._ étaient justifiés. Cela n'est pas discuté par le recourant.
4.5 Les premiers juges ont examiné le sort des intérêts moratoires réclamés par l'intimée. En ce qui concerne la poursuite n° A._, ils ont retenu que pour les primes de mars à décembre 2006, la mise en demeure du 29 mai 2007 avait pour conséquence que les intérêts moratoires avaient commencé à courir dès le 20 juin 2007, alors que pour la prime de janvier 2007, ils avaient pour point de départ le 1er janvier 2007, date de l'échéance. En ce qui concerne la poursuite n° B._, les intérêts moratoires avaient pour point de départ la valeur médiane des mois de février à avril 2007, soit le 19 février 2007.
Même s'il affirme contester sur ce point le jugement attaqué, le recourant n'expose pas en quoi l'acte attaqué viole le droit (art. 42 al. 2 première phrase LTF).
4.6 En ce qui concerne la poursuite n° A._, les premiers juges ont retenu 30 fr. de frais d'intervention et 40 fr. de frais de rappel. Ces montants, qui ne sont pas discutés par le recourant, n'ont pas été fixés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Il en va de même des frais d'intervention de 30 fr., des frais de rappel de 40 fr. et des frais de poursuite de 30 fr. retenus par la juridiction cantonale en ce qui concerne la poursuite n° B._.
4.7 Il s'ensuit que les prononcés de mainlevée définitive des oppositions aux commandements de payer dans la poursuite n° A._ (ch. 3 du dispositif du jugement attaqué) et dans la poursuite n° B._ (ch. 4 du dispositif du jugement attaqué) sont conformes au droit.
5. La requête du recourant tendant à la restitution de l'effet suspensif est sans objet.
5. La requête du recourant tendant à la restitution de l'effet suspensif est sans objet.
5.1

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 600 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 26 août 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner