Sachverhalt:
A. Die 1971 geborene S._ war seit 1. September 2007 als Polygrafin bei der T._ AG, tätig und in dieser Eigenschaft bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Gemäss Unfallmeldung UVG vom 1. Juli 2009 war es am 29. April 2009 in einem Pilates-Kurs der Klubschule Migros zu einem Sehnenriss in der rechten Schulter gekommen. Am 14. August 2009 erfolgte eine Arthroskopie der Schulter rechts. Anschliessend wurde S._ physiotherapeutisch betreut. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2009 verneinte die AXA ihre Leistungspflicht, da weder ein Unfall noch eine unfallähnliche Körperschädigung vorliege. Die dagegen durch S._ und die SWICA Krankenversicherung AG erhobenen Einsprachen wies die AXA mit Einspracheentscheid vom 6. Januar 2010 ab.
B. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 19. Mai 2010 gut und bejahte das Vorliegen einer unfallähnlichen Körperschädigung und damit die Leistungspflicht der AXA.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die AXA die Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids vom 19. Mai 2010 und die Bestätigung des Einspracheentscheids vom 6. Januar 2010.
S._ schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde und ersucht für den Fall, dass ihr Kosten auferlegt werden sollten, um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 252). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen zum Unfallbegriff (Art. 4 ATSG) sowie zur Leistungspflicht der Unfallversicherung bei Unfällen (Art. 6 Abs. 1 UVG) und bei unfallähnlichen Körperschädigungen (Art. 6 Abs. 2 UVG in Verbindung mit Art. 9 Abs. 2 UVV), diesbezüglich insbesondere die zuletzt in <ref-ruling> bestätigte Rechtsprechung, wonach bei unfallähnlichen Körperschädigungen am Erfordernis des äusseren Faktors festzuhalten ist, zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Streitig ist, ob die AXA für die Folgen der am 29. April 2009 zugezogenen Schulterverletzung der Versicherten leistungspflichtig ist. Dabei steht fest und ist unbestritten, dass der Befund einer Verletzung gemäss Art. 9 Abs. 2 lit. f UVV entspricht und dass die Versicherte am 29. April 2009 keinen Unfall im Sinne von Art. 4 ATSG erlitten hat. Zu prüfen bleibt, ob die Beschwerdeführerin für die genannte Verletzung im Sinne einer unfallähnlichen Körperschädigung gemäss Art. 9 Abs. 2 lit. f UVV die gesetzlichen Leistungen zu erbringen hat und hiebei namentlich das Vorliegen eines äusseren Faktors.
3.1 Gemäss Unfallmeldung UVG vom 1. Juli 2009 kam es bei der Versicherten am 29. April 2009 bei einer Pilates-Übung im Rahmen eines Kurses der Klubschule Migros zu einem Sehnenriss an der rechten Schulter. Unter "Unfallhergang" schilderte die Versicherte, sie habe immer wieder Schmerzen in der rechten Schulter gehabt. Da diese jeweils wieder verschwunden seien, habe sie keinen Arzt aufgesucht. Seit dem 29. April 2009 habe sie jedoch vor lauter Schmerzen kaum mehr schlafen können, weshalb sie dann nach ca. zwei Wochen einen Arzt aufgesucht habe. Wegen Verdachts auf eine Schleimbeutelentzündung sei ein Ultraschall angewiesen worden. Der Röntgenbefund habe dann aber einen Sehnenriss ergeben. Sie habe, so die Beschwerdegegnerin, während der ganzen Zeit gearbeitet und melde den Sehnenriss erst jetzt, da sie bis anhin von einer Schleimbeutelentzündung ausgegangen sei. Sie erwähnte zudem, dass sie über 20 Jahre bis Ende März 2009 Volleyball gespielt habe. Auf Frage der AXA nach der ausführlichen Schilderung des Vorfalls antwortete die Versicherte am 7. Juli 2009, sie führe die Beschwerden auf den Umstand zurück, dass sie während des Volleyballspielens bei Verteidigungsaktionen manchmal auf die Schulter gefallen sei. Wahrscheinlich habe bei diesen Aktionen die Sehne einen kleinen Riss erhalten, welcher immer grösser geworden sei. Am 29. April 2009 hätten sie im Pilates-Kurs Übungen im Schulterbereich gemacht, u.a. eine Übung, bei welcher sie ihr Gewicht auf der rechten Hand und dem rechten Fuss (seitlich) habe stabilisieren müssen. Dabei habe sie einen starken Zwick im Bereich der Oberarmmuskulatur verspürt und sei eingeknickt. Auf die Frage, ob es sich um eine gewohnte Tätigkeit gehandelt habe, die unter normalen äusseren Bedingungen verlaufen sei, führte die Beschwerdegegnerin aus, sie hätten diese Übung erst wenige Male durchgeführt, sie sei aber unter normalen äusseren Bedingungen verlaufen. Auf etwas Besonderes (Ausgleiten, Sturz etc.) angesprochen erwähnte die Versicherte, sie habe einen Zwick verspürt und sei eingeknickt. Schliesslich führte sie aus, sie spiele seit vielen Jahren aktiv Volleyball und habe seit ca. einem Jahr ab und zu Schmerzen in der rechten Schulter, welche gekommen und wieder verschwunden seien. Sie sei von einer kleinen Überbelastung ausgegangen und habe zufolge längerer schmerzfreier Phasen keinen Arzt aufgesucht. Seit dem 29. April 2009 habe sie jedoch viel stärkere Schmerzen verspürt, vor allem beim Liegen, und habe deshalb kaum mehr schlafen können, weshalb sie dann nach rund zwei Wochen den Arzt konsultiert habe. Ihre Aussagen bestätigte die Beschwerdegegnerin anlässlich des im Bericht vom 22. September 2009 festgehaltenen Gesprächs mit der Schadeninspektorin der AXA. Bezüglich Hergang erwähnte sie wiederum, die Verletzung sei bei einer Übung im Pilates-Kurs passiert, welche sie erst das zweite Mal gemacht habe. Sie hätte sich seitlich mit dem Arm aufgestützt und mit den Beinen eine Scherbewegung nach oben und unten gemacht. Dabei sei das Körpergewicht mehrheitlich von der rechten Hand abgestützt worden. Es hätte ihr bei der Übung einen Zwick gegeben und sie sei heruntergefallen; sie sei aber nicht ausgerutscht oder Ähnliches. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2009 und Einspracheentscheid vom 6. Januar 2010 wurde eine Leistungspflicht der AXA im Wesentlichen mit der Begründung verneint, es liege kein Unfallereignis vor und beim von der Versicherten geschilderten Vorgang fehlten jegliche Sinnfälligkeit sowie das gesteigerte Gefährdungspotential, weshalb auch nicht von einer unfallähnlichen Körperschädigung ausgegangen werden könne. Daraufhin machte die Versicherte in der Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau geltend, es liege eine unfallähnliche Körperschädigung vor. Die Ausgangslage der Pilates-Übung Star sei seitlich gewesen. Sie habe sich dann ruckartig nach oben bewegt und daraufhin einen starken Zwick und Schmerz im Bereich der rechten Oberarmmuskulatur verspürt, weshalb sie eingeknickt und auf die rechte Schulter gefallen sei.
3.2 Bei unfallähnlichen Körperschädigungen nach Art. 9 Abs. 2 UVV müssen zur Begründung der Leistungspflicht des Unfallversicherers - wie die Vorinstanz zutreffend dargelegt hat - mit Ausnahme der Ungewöhnlichkeit die übrigen Tatbestandsmerkmale des Unfalls erfüllt sein. Besondere Bedeutung kommt hierbei der Voraussetzung des äusseren Ereignisses zu, d.h. eines ausserhalb des Körpers liegenden, objektiv feststellbaren, sinnfälligen, eben unfallähnlichen Vorfalles (<ref-ruling> E. 2.2 S. 467). Die schädigende äussere Einwirkung kann in einer körpereigenen Bewegung bestehen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 468 mit Hinweisen). Das Auftreten von Schmerzen als solches ist kein äusserer (schädigender) Faktor im Sinne der Rechtsprechung, weshalb dieser nicht gegeben ist, wenn die versicherte Person nur das (erstmalige) Auftreten von Schmerzen in zeitlicher Hinsicht anzugeben vermag (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 469). Nicht erfüllt ist das Erfordernis des äusseren schädigenden Faktors auch, wenn das erstmalige Auftreten der Schmerzen mit einer blossen Lebensverrichtung einhergeht, welche die versicherte Person zu beschreiben in der Lage ist. Vielmehr ist gemäss Rechtsprechung für die Bejahung eines äusseren auf den menschlichen Körper schädigend einwirkenden Faktors stets ein Geschehen verlangt, dem ein gewisses gesteigertes Gefährdungspotenzial innewohnt. Das ist zu bejahen, wenn die zum einschiessenden Schmerz führende Tätigkeit im Rahmen einer allgemein gesteigerten Gefahrenlage vorgenommen wird, wie dies etwa für viele sportliche Betätigungen zutreffen kann. Der äussere Faktor mit erheblichem Schädigungspotenzial ist sodann auch zu bejahen, wenn die in Frage stehende Lebensverrichtung einer mehr als physiologisch normalen und psychologisch beherrschten Beanspruchung des Körpers, insbesondere seiner Gliedmassen, gleichkommt. Deswegen fallen einschiessende Schmerzen als Symptome einer Schädigung nach Art. 9 Abs. 2 UVV ausser Betracht, wenn sie allein bei der Vornahme einer alltäglichen Lebensverrichtung auftreten, ohne dass hiezu ein davon unterscheidbares äusseres Moment hineinspielt. Wer also lediglich beim Aufstehen, Absitzen, Abliegen, der Bewegung im Raum, Handreichungen usw. einen einschiessenden Schmerz erleidet, welcher sich als Symptom einer Schädigung nach Art. 9 Abs. 2 UVV herausstellt, kann sich nicht auf das Vorliegen einer unfallähnlichen Körperschädigung berufen. Die physiologische Beanspruchung des Skelettes, der Gelenke, Muskeln, Sehnen und Bänder stellt keinen äusseren Faktor dar, dem ein zwar nicht ungewöhnliches, jedoch gegenüber dem normalen Gebrauch der Körperteile gesteigertes Gefährdungspotenzial innewohnen muss (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 470). Für die Bejahung eines äusseren Faktors braucht es zusammenfassend demzufolge ein gesteigertes Schädigungspotenzial, sei es zufolge einer allgemein gesteigerten Gefahrenlage, sei es durch Hinzutreten eines zur Unkontrolliertheit der Vornahme der alltäglichen Lebensverrichtung führenden Faktors (<ref-ruling> E. 4.3 S. 471).
3.3 Der äussere Faktor als gesteigertes Schädigungspotenzial zufolge allgemein gesteigerter Gefahrenlage kann bei Pilates als Methode eines ganzheitlichen Körpertrainings für eine korrekte und gesunde Körperhaltung, basierend auf den Prinzipien "Kontrolle, Konzentration, bewusste Atmung, Zentrierung, Entspannung, Bewegungsfluss und Koordination" (vgl. «http://de.wikipedia.org/wiki/Pilates») von vornherein verneint werden und wird auch nicht geltend gemacht. Bezüglich des äusseren Faktors als gesteigertes Schädigungspotenzial zufolge Hinzutreten eines zur Unkontrolliertheit der Vornahme einer alltäglichen Lebensverrichtung führenden Faktors gibt die Versicherte weder in der Unfallmeldung vom 1. Juli 2009 noch im Fragebogen der AXA vom 7. Juli 2009 oder anlässlich der persönlichen Besprechung mit der Schadeninspektorin vom 10. September 2009 eine unkontrollierte Bewegung, ein Ausgleiten oder Ähnliches an. Solches geht auch aus den Arztberichten im Zeitraum des Verfügungserlasses nicht hervor. Soweit Dr. med. R._, Klinik O._, im Ärztlichen Zeugnis vom 23. Februar 2010 als Einziger festhält, die Patientin habe ihm gesagt, sie sei bei einer Pilates-Übung ausgerutscht, widerspricht dies der übrigen Aktenlage und namentlich den Angaben der Versicherten. Vielmehr kam es gemäss den ansonsten übereinstimmenden Aussagen bei einer Pilates-Übung, bei welcher man sich seitlich auf die rechte Hand und den rechten Fuss abstützt, den Körper nach oben stemmt und das Gewicht stabilisiert zu einem Zwick und daraufhin zu einem Einknicken bzw. "Herunterfallen", wobei die Beschwerdegegnerin ausdrücklich bestätigte, die Übung sei unter normalen äusseren Bedingungen verlaufen und sie sei auch nicht "ausgerutscht oder so". Das Auftreten von Schmerzen als solches ist - wie oben dargelegt - kein äusserer schädigender Faktor. Bei der Übung selber handelt es sich um eine Verrichtung, die üblicherweise im Rahmen einer physiologisch normalen und psychologisch beherrschten Beanspruchung des Körpers erfolgt und bei welcher grundsätzlich kein besonderes Schädigungspotenzial vorhanden ist. Es fehlt im konkreten Fall sowohl an einer gesteigerten Gefahrenlage wie auch am Hinzutreten eines zur Unkontrolliertheit der Übung führenden Moments. Die von der Versicherten in der Beschwerde an das kantonale Gericht erwähnte ruckartige Bewegung nach oben, in welcher sie den äusseren Faktor sieht, kann weder ihren früheren Aussagen noch den medizinischen Berichten entnommen werden. Bei sich widersprechenden Angaben über den Hergang ist auf die Beweismaxime abzustellen, wonach die sogenannten spontanen "Aussagen der ersten Stunde" in der Regel unbefangener und zuverlässiger sind als spätere Darstellungen, die bewusst oder unbewusst von nachträglichen Überlegungen versicherungsrechtlicher oder anderer Art beeinflusst sein können (<ref-ruling> E. 2a S. 47; <ref-ruling> E. 8 S. 143; RKUV 2004 Nr. U 524 S. 546, U 236/03 E. 3.3.4; RKUV 2004 Nr. U 502 S. 183, U 322/02 E. 4). Es braucht daher nicht weiter darauf eingegangen zu werden, ob eine ruckartige Bewegung das Erfordernis des äusseren Faktors erfüllt hätte. Der vorliegend zu beurteilende Sachverhalt ist demnach entgegen der Auffassung der Vorinstanz eben nicht vergleichbar mit dem plötzlichen Aufstehen aus der Hocke (<ref-ruling> E. 2c S. 148 mit Hinweisen), mit dem Niederknien mit einem Gewicht in den Händen begleitet von einem Fehltritt (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 184/06 vom 27. September 2006 E. 3), mit dem Verschieben eines schweren Wäschekorbes mit dem linken Fuss, Ausführung einer ruckartigen Bewegung und Verdrehung des rechten Knies (RKUV 2000 Nr. U 385 S. 267, U 228/99) oder mit dem brüsken Umdrehen beim Kochen Richtung Kühlschrank (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 5/02 vom 21. Oktober 2002, E. 2), welche Tatbestände wohl körpereigene Bewegungen und alltägliche Lebensverrichtungen darstellen, bei welchen jedoch ein davon unterscheidbares zur Unkontrollierbarkeit der Verrichtung führendes äusseres Moment in Form der Plötzlichkeit, Brüskheit, Belastetheit o.Ä. hinzutrat (vgl. Urteil 8C_772/2009 vom 7. Mai 2010 E. 3.3).
3.4 Zusammenfassend ist unter Berücksichtigung aller Umstände ein in den Bewegungsablauf hineinspielendes äusseres Moment und damit ein ausserhalb des Körpers liegendes, objektiv feststellbares, sinnfälliges, unfallähnliches Ereignis nicht nachgewiesen, weshalb die Beschwerdeführerin Leistungen der Unfallversicherung zu Recht abgelehnt hat.
4. 4.1 Das Verfahren ist kostenpflichtig. Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
4.2 Nach Art. 68 Abs. 3 BGG wird obsiegenden Behörden oder mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen in der Regel keine Parteientschädigung zugesprochen, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegen. In Anwendung dieser Bestimmung hat das Bundesgericht der SUVA und den privaten UVG-Versicherern sowie - von Sonderfällen abgesehen - den Krankenkassen keine Parteientschädigungen zugesprochen, weil sie als Organisationen mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben zu qualifizieren sind (<ref-ruling> E. 4a S. 150 mit Hinweisen).
4.3 Die Beschwerdegegnerin hat um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht.
Sie hat den Prozess selber geführt, ohne dass sie hiezu eines Rechtsvertreters bedurft hätte. Die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung steht daher nicht zur Diskussion.
Die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten setzt unter anderem Bedürftigkeit der Gesuchstellerin voraus (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat indessen die bundesgerichtlich einverlangten Angaben und Belege zu ihren finanziellen Verhältnissen nicht beigebracht. Es ist daher aufgrund der Akten zu entscheiden. Danach ist die Bedürftigkeit nicht ausgewiesen. Das führt zur Abweisung des Gesuchs.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 19. Mai 2010 aufgehoben.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Februar 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch