Verlängerung der Ausschaffungshaft, hat sich ergeben:
A.-B._, offenbar Staatsangehöriger der Elfenbeinküste, reiste nach eigenen Angaben am 6. November 2000 von Italien herkommend bei Genf illegal in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Das Bundesamt für Flüchtlinge stellte mit Verfügung vom 12. Januar 2001 fest, dass B._ die Flüchtlingseigenschaft nicht erfülle, lehnte dessen Asylgesuch ab und ordnete die Wegweisung aus der Schweiz an, wobei es ihm eine Ausreisefrist bis spätestens
26. Februar 2001 ansetzte, unter Androhung der Ausschaffung.
Mit dem Vollzug der Wegweisung wurde der Kanton St. Gallen betraut, welchem B._ für die Dauer des Asylverfahrens zugewiesen worden war. Die Schweizerische Asylrekurskommission trat am 13. März 2001 wegen Nichtleistung des Kostenvorschusses auf die gegen die Verfügung des Bundesamtes erhobene Beschwerde und am 2. Mai 2001 auf ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses nicht ein.
Das Ausländeramt des Kantons St. Gallen hatte B._ am 28. November 2000 für die Dauer des Asylverfahrens als Aufenthaltsort das Zentrum für Asylbewerber in X._ zugewiesen, von wo er am 16. Februar 2001 als verschwunden gemeldet wurde. Am 13. Februar 2001 wurde B._ in Genf festgenommen. Mit dem Vorwurf konfrontiert, er habe seit rund einem Monat mit verschiedenen Mengen Betäubungsmitteln gehandelt, räumte er ein, seit einer Woche sieben oder acht Kügelchen Kokain zu je Fr. 50.-- an verschiedene Drogensüchtige und am Tage seiner Festnahme sieben Gramm Kokain zum Preis von FF 7'000.-- an eine Frau veräussert zu haben. Er wurde gestützt darauf mit Urteil des Pouvoir judiciaire de la République et du Canton de Genève vom 20. Februar 2001 wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu zwei Monaten Gefängnis und einer - bedingt aufgeschobenen - Landesverweisung von fünf Jahren verurteilt.
Nach Vollzug der Gefängnisstrafe wurde B._ am 12. April 2001 wiederum dem Kanton St. Gallen zugeführt, und das Ausländeramt wies ihm, wie schon früher, das Zentrum für Asylbewerber in X._ als Aufenthaltsort zu. Seit
18. Mai 2001 war B._ erneut unbekannten Aufenthalts.
Am 8. Juni 2001 wurde er bei einer Personenkontrolle in Genf angehalten und den Behörden des Kantons St. Gallen übergeben.
Am 9. Juni 2001 eröffnete das Ausländeramt des Kantons St. Gallen B._, dass es ihn in Ausschaffungshaft nehme. Am 11. Juni 2001 beantragte es der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen, die Anordnung der Ausschaffungshaft sei zu schützen und der Inhaftierte für drei Monate in Haft zu belassen. Der Einzelrichter der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen bestätigte am 11. Juni 2001, nach mündlicher Verhandlung, die Haftanordnung und genehmigte die Ausschaffungshaft bis längstens am 7. September 2001.
Am 28. August 2001 stellte das Ausländeramt des Kantons St. Gallen das Gesuch, B._ sei für weitere drei Monate in Haft zu belassen. Nach mündlicher Verhandlung verlängerte der Einzelrichter der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 4. September 2001 die Ausschaffungshaft gegen B._ vorläufig für drei Monate, längstens bis zum 6. Dezember 2001.
B.-Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 17. September 2001 beantragt B._, der Haftverlängerungsentscheid vom 4. September 2001 sei aufzuheben und er sei umgehend aus der Haft zu entlassen.
Der Einzelrichter der Verwaltungsrekurskommission beantragt unter Hinweis auf die Erwägungen des angefochte-nen Entscheids Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwer-de. Denselben Antrag stellt das Ausländeramt des Kantons St. Gallen; es verweist zur Begründung auf die Entscheide der Verwaltungsrekurskommission vom 11. Juni und 4. September 2001.
Das Bundesamt für Ausländerfragen hat sich nicht vernehmen lassen. Der Beschwerdeführer hat von der Möglichkeit, ergänzend Stellung zu nehmen, nicht Gebrauch gemacht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-a) Die zuständige Behörde kann einen Ausländer in Ausschaffungshaft nehmen bzw. in dieser belassen, sofern die Voraussetzungen von Art. 13b des Bundesgesetzes über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142. 20; in der Fassung des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht [Zwangsmassnahmengesetz; AS 1995 146 ff.]) erfüllt sind. Danach ist im Einzelnen erforderlich, dass ein erstinstanzlicher, nicht notwendigerweise auch rechtskräftiger Weg- oder Ausweisungsentscheid vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 61; <ref-ruling> E. 3a S. 374; <ref-ruling> E. 1 S. 150), dessen Vollzug (z.B. wegen fehlender Reisepapiere) noch nicht möglich, jedoch absehbar ist (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 374, 377 E. 2a S. 379). Zudem muss einer der in Art. 13b Abs. 1 ANAG genannten Haftgründe bestehen (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 374, 377 E. 3a S. 381; <ref-ruling> E. 1 S. 3) und die Ausschaffung rechtlich und tatsächlich möglich sein (vgl. Art. 13c Abs. 5 lit. a ANAG; dazu <ref-ruling> E. 2 S. 220, 377 E. 5 S. 384). Auf Seiten der Behörden sind die für den Vollzug der Wegweisung notwendigen Vorkehrungen (wie Papierbeschaffung) umgehend zu treffen (Art. 13b Abs. 3 ANAG, Beschleunigungsgebot; vgl. <ref-ruling> ff.). Zu beachten sind die gesetzlichen Anforderungen an die Haftbedingungen (vgl. Art. 13c Abs. 3 sowie Art. 13d ANAG; dazu <ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>).
Die Haft darf höchstens drei Monate dauern; stehen dem Vollzug der Wegweisung besondere Hindernisse entgegen, so kann die Haft mit Zustimmung der kantonalen richterli-chen Behörde um höchstens sechs Monate verlängert werden (Art. 13b Abs. 2 ANAG). Die Haft (bzw. deren Dauer) muss verhältnismässig sein (<ref-ruling> E. 4 S. 383; <ref-ruling> E. 2c S. 198 f.; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3 S. 152 f.).
b) Der durch einen Rechtsanwalt vertretene Beschwerdeführer bestreitet vor Bundesgericht die Ausführungen der Vorinstanz über die Voraussetzungen für die Anordnung bzw.
grundsätzlich auch für die Verlängerung der Ausschaffungshaft nicht. Er macht bloss geltend, eine weitere Haftverlängerung sei nicht zulässig, weil die Behörden dem Beschleunigungsgebot nicht genügend Beachtung geschenkt hätten. Nachfolgend ist auf diese Rüge einzugehen.
2.- a) Das Beschleunigungsgebot gemäss Art. 13b Abs. 3 ANAG gebietet es den kantonalen Behörden, zu versuchen, die Identität des Ausländers so schnell wie möglich festzustellen und die für seine Ausschaffung erforderlichen Papiere zu beschaffen. Alle zur Verfügung stehenden Massnahmen sind zu ergreifen, die geeignet erscheinen, den Vollzug der Ausschaffung zu beschleunigen. So kann es sich in vielen Fällen als zweckmässig erweisen, den Ausländer bei der Vertretung seines Landes vorzuführen, oder es kann bei den Bundesbehörden um Vollzugsunterstützung ersucht werden (vgl. Verordnung vom 11. August 1999 über den Vollzug der Weg- und Ausweisung von ausländischen Personen [VVWA; SR 142. 281]). Umgekehrt besteht keine Pflicht der Behörden, in jedem Fall schematisch bestimmte Handlungen vorzunehmen. Das Beschleunigungsgebot gebietet bloss Vorkehrungen, die unter den konkreten Umständen des Einzelfalles die Ausschaffungsbemühungen überhaupt zu beschleunigen vermögen. Das unkooperative Verhalten des Ausländers erlaubt es dabei der Behörde nicht, einfach untätig zu bleiben; dem Verhalten des Ausländers und der Art seiner Auskünfte darf aber im Hinblick auf die Anforderungen an das Vorgehen der Behörde Rechnung getragen werden, insbesondere wenn diese dadurch an zielstrebigen Abklärungen und Vorkehrungen gehindert wird. Zu berücksichtigen ist auch der Umstand, dass die Hilfe ausländischer Behörden bisweilen schleppend vor sich geht; den Behörden lässt sich daher dann nicht vorhalten, sie lebten dem Beschleunigungsgebot nicht nach, wenn die Verzögerungen bei der Papierbeschaffung allein auf die ungenügende Kooperation einer ausländischen Botschaft zurückzuführen sind. Es ist eine Gesamtbetrachtung der durch die verantwortlichen Behörden geleisteten Arbeit, in Berücksichtigung der Umstände des Einzelfalles, vorzunehmen (zu den Kriterien für die Beurteilung des Beschleunigungsgebots bei ausländerrechtlichen Zwangsmassnahmen s. <ref-ruling> E. 3a S. 50 f.; vgl. auch <ref-ruling>).
b) Die kantonalen Behörden werfen dem Beschwerdeführer unkooperatives Verhalten im Hinblick auf die Abklärung seiner Identität und die Beschaffung der notwendigen Papiere vor.
Der Beschwerdeführer hat von Anbeginn an (Asylverfahren) immer gleichlautende Angaben zu seinen Personalien und seiner Herkunft gemacht. Andererseits hat er bis heute keine präzise Adresse in Abidjan bekanntgegeben und auch den Kontakt zu seinem offenbar dort wohnenden Onkel, bei dem er aufgewachsen sein will, nicht hergestellt, was - immer ausgehend von seiner Darstellung - die Beschaffung von scheinbar vorhandenen Identitätspapieren erlaubt hätte. Er hat allerdings der Aufforderung des Ausländeramtes Folge geleistet und zweimal Briefe an seinen Onkel geschrieben. Ein Zustellungsversuch auf dem Postweg blieb ohne Erfolg. Der Beschwerdeführer versuchte sodann, auf Aufforderung hin, seinem Onkel unter einer bestimmten Telefonnummer zu telefonieren; eine telefonische Verbindung kam zustande, wobei aber der Onkel unter der fraglichen Nummer nicht (mehr) erreichbar war. Es scheint schwer abschätzbar, ob diese beschränkte Kooperationsbereitschaft des Beschwerdeführers echt ist. Die Vorinstanz geht davon aus, dass die Schwierigkeiten bei den Abklärungen nicht nur auf das Verhalten des Beschwerdeführers, sondern auf die generelle Schwierigkeit, in afrikanischen Staaten Kontakte und Informationen zu erhalten, zurückzuführen sei (angefochtener Entscheid S. 9).
c) Angesichts der im angefochtenen Entscheid aufgelisteten und durch die Akten bestätigten Aktivitäten der zuständigen kantonalen Behörde darf dieser zugebilligt werden, dass sie sich um den Vollstreckungsvollzug bemüht hat. Es fragt sich allerdings, ob sie oder das um Vollzugshilfe angegangene Bundesamt für Flüchtlinge nach einer schon mehrmonatigen Haftdauer nicht doch an die Gesandtschaft der Elfenbeinküste in Bern hätten gelangen und allenfalls ein Interview zwischen dem Beschwerdeführer und Gesandtschaftsvertretern hätten anregen sollen. Wohl scheinen die Erfahrungen zu zeigen, dass eine Vorführung beim Konsul offenbar nur erwirkt werden kann, wenn die Nationalität und Identität des Ausländers weitgehend nachgewiesen ist; offenkundig aus diesem Grund haben sich die behördlichen Bemühungen bisher darauf beschränkt, am vermuteten Heimatort des Beschwerdeführers selber zu weiteren Informationen zu kommen. Ein solches Vorgehen lässt sich soweit rechtfertigen, als die hiefür ins Auge gefassten Massnahmen ihrerseits erfolgversprechend scheinen, was hinsichtlich der Anfrage an die Schweizer Botschaft, den früheren Aufenthaltsort des Beschwerdeführers und die Adresse seines Onkels ausfindig zu machen, bzw. einen ortskundigen Vertreter der Botschaft zu veranlassen, ein Interview mit dem Beschwerdeführer durchzuführen, grundsätzlich zutreffen mag. Voraussetzung dafür, während einer langen Zeitspanne ausschliesslich auf diese Abklärungsmassnahme zu setzen, ist jedoch, dass auf diese Weise entweder bereits konkrete Fortschritte erzielt worden sind oder aber absehbar ist, dass solche mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in einem nicht allzufernen Zeitpunkt erwartet werden können.
Dies setzt insbesondere eine funktionierende Kommunikation zwischen den Behörden in der Schweiz und Vertretern der schweizerischen Gesandtschaft im Ausland voraus.
Aus den Akten ergibt sich hinsichtlich der Bemühungen der Schweizer Botschaft in Abidjan Folgendes: Am 8. Juni 2001, wie zuvor schon im April 2001, ersuchte das kantonale Ausländeramt das Bundesamt für Flüchtlinge, das vom Beschwerdeführer verfasste Schreiben an seinen Onkel der Schweizer Vertretung zwecks Zustellung weiterzuleiten. Das Bundesamt leitete das erwähnte Schreiben noch am 8. Juni 2001 in dem Sinne an die Botschaft in Abidjan weiter. Am 26. Juni 2001 regte das Ausländeramt, unter Hinweis auf die Dringlichkeit, beim Bundesamt für Flüchtlinge an, es solle ein Telefongespräch zwischen dem Beschwerdeführer und einem ortskundigen Mitarbeiter der Schweizer Vertretung organisiert werden. Das Ausländeramt ersuchte das Bundesamt für Flüchtlinge am 30. Juli 2001 um baldmöglichste Information betreffend der Anfragen vom 8. und 26. Juni 2001. Am 16. August 2001 ersuchte das Ausländeramt nochmals "dringendst" um entsprechende schriftliche Beantwortung. Das Bundesamt für Flüchtlinge gelangte seinerseits am 17. August 2001, unter Bezugnahme auf seine Anfrage vom 8. Juni 2001, an die Botschaft in Abidjan. Es rief in Erinnerung, dass die Botschaft einen Brief weiterzuleiten hatte, und bat um Bericht darüber, ob dieser Brief hatte weitergeleitet werden können bzw.
ob es sich bei der angegebenen Adresse um eine reale Adresse handle. Zudem teilte es eine vermutliche Telefonnummer des Onkels des Beschwerdeführers mit und bat darum, diese Nummer zu überprüfen und gegebenenfalls weitere Informationen zur Identität des Beschwerdeführers geben. Gemäss Aktennotiz des Ausländeramtes vom 28. August 2001 lag zu jenem Zeitpunkt keine Antwort der Schweizer Vertretung vor; es wurde festgehalten, dass ein telefonisches Interview nach Eintreffen der Antwort organisiert werden könne. Die Vernehmlassung des Ausländeramtes im vorliegenden Verfahren datiert vom 20. September 2001; weder daraus noch aus den am 19. September 2001 von der Vorinstanz übermittelten (aktualisierten) amtlichen Akten ergeben sich Hinweise auf ein Tätigwerden der Schweizer Botschaft. Es liegt nicht einmal ein Bericht der Botschaft darüber vor, dass irgendwelche Gründe sie daran gehindert hätten, überhaupt etwas zu unternehmen.
d) Es kann dahingestellt bleiben, ob sich die Schweizer Botschaft allein gestützt auf die Anfragen des Bundesamtes für Flüchtlinge vom 8. Juni und 17. August 2001 allenfalls der Dringlichkeit der Angelegenheit nicht bewusst gewesen sein sollte; dies hätte angesichts der wiederholten klaren Interventionen des kantonalen Ausländeramts das für die Kontaktaufnahme zuständige Bundesamt für Flüchtlinge zu verantworten. Jedenfalls hätte dieses es bei Fehlen jeglicher Rückmeldung der Botschaft nicht dabei bewenden lassen dürfen, während mehrerer Monate bloss zuzuwarten. Nebst einem Versuch, den Beschwerdeführer doch der Gesandtschaft der Elfenbeinküste vorzuführen, hätte beispielsweise eine Lingua-Expertise durchgeführt werden können, worauf bisher offenbar verzichtet worden ist. Selbst bei Berücksichtigung der Tatsache, dass der Beschwerdeführer bloss mit einiger Zurückhaltung kooperiert, ist bei derartigen Verhältnissen das Beschleunigungsgebot verletzt.
3.-Die Verletzung des Beschleunigungsgebots muss in der Regel zur Haftentlassung führen, wie das Bundesgericht bereits zur altrechtlichen Internierung entschieden hat. In der Tat lässt sich dann, wenn die zuständigen Behörden den Ausschaffungsvollzug nicht gehörig vorangetrieben haben, nicht mehr von einem hängigen Ausweisungsverfahren im Sinne von Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK sprechen (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 206/207; 423 E. 4 S. 425 ff.). Die Haft dient dann nicht mehr dem einzigen vom Gesetz vorgesehenen Zweck, den Vollzug der Wegweisung sicherzustellen. Der Festhaltung des Beschwerdeführers in Ausschaffungshaft fehlt somit die gesetzliche Grundlage.
Die vorliegende Beschwerde ist daher vollumfänglich gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und der Beschwerdeführer unverzüglich aus der Haft zu entlassen. Es erübrigt sich mithin zu prüfen, wie es sich mit den im kantonalen Verfahren bemängelten Haftbedingungen verhält.
Den kantonalen Behörden, die weiterhin alles Nötige vorkehren können, um den Beschwerdeführer möglichst rasch auszuschaffen, steht es frei, allenfalls dessen Ein- oder Ausgrenzung gemäss Art. 13e ANAG zu prüfen. Der Ausländer, der entsprechende Anordnungen missachtet, wird mit Gefäng-nis bis zu einem Jahr oder mit Haft bestraft, falls sich der Vollzug der Weg- oder Ausweisung aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen als undurchführbar erweist (Art. 23a ANAG). Ist dies nicht der Fall, kann er möglicherweise gestützt auf Art. 13b Abs. 1 lit. b (in Verbindung mit Art. 13a lit. b ANAG) erneut in Ausschaffungshaft genommen werden.
4.-Entsprechend dem Verfahrensausgang ist keine Gerichtsgebühr zu erheben (Art. 156 Abs. 2 OG). Zudem hat der Kanton St. Gallen dem Beschwerdeführer die durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten zu ersetzen (Art. 159 Abs. 2 OG). Damit wird das in der Beschwerdeschrift gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.-Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Einzelrichters der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen vom 4. September 2001 aufgehoben.
2.- Der Beschwerdeführer ist ohne Verzug aus der Haft zu entlassen.
3.- Es werden keine Kosten erhoben.
4.-Der Kanton St. Gallen hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.-Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos erklärt.
6.-Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Ausländeramt und der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen schriftlich und vorweg im Dispositiv per Fax sowie dem Bundesamt für Ausländerfragen schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 27. September 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: