Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der Kreis Oberengadin führt in Samedan unter dem Namen "Spital Oberengadin" ein Spital, welches in die Rechtsform der nicht rechtsfähigen öffentlichrechtlichen Anstalt gekleidet ist. Das Spital Oberengadin sichert im Rahmen des individuellen Leistungsauftrages des Kantons Graubünden die erweiterte medizinische Grundversorgung für die Gemeinden des Kreises Oberengadin und übernimmt die vom Kanton übertragenen überregionalen Aufgaben für Südbünden (Art. 1 bis 3 des vom Kreis Oberengadin am 1. Dezember 1996 beschlossenen Gesetzes des Spitals Oberengadin [GSpOE]). Für die Verbindlichkeiten des Spitals haftet der Kreis Oberengadin (Art. 21 GspOE).
1.2 Dr. med. X._ war seit Juni 1993 als Chefarzt der Anästhesie-Abteilung im Kreisspital Oberengadin angestellt. Die durch ihn sowie durch den Leitenden Arzt Dr. Y._ erzielten Honorareinkünfte bei Behandlung von Privatpatienten wurden zusammengelegt, und der nach Abzug des Spitalanteils verbleibende Betrag war nach einem speziell, einvernehmlich festzulegenden Verteilschlüssel an die beiden beteiligten Ärzte auszubezahlen. Ab 1. Januar 1995 war eine Aufteilung von 60 % (Dr. X._) zu 40 % (Dr. Y._) massgeblich. Ab 1998, nach Beförderung von Dr. Y._ zum Co-Chefarzt, versuchte die Spitalleitung, einen Verteilschlüssel von 50 % zu 50 % durchzusetzen. Dr. X._, der dieser Lösung nie zugestimmt haben will, ging davon aus, dass der neue Verteilschlüssel ab 1998 angewendet worden sei, und klagte am 29. Juni 2004 gegen den für das Spital verantwortlichen Kreis Oberengadin (Art. 21 GSpOE) auf Nachzahlung ihm vorenthaltener Honorareinkünfte von Fr. 151'795.-- für die Zeitspanne 1998-2001. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden verpflichtete den Kreis Oberengadin mit Urteil vom 1. Februar 2005 in teilweiser Gutheissung der Klage, X._ Fr. 99'586.-- nebst Zins zu 5 % ab 29. Juni 2004 zu bezahlen. Zugleich auferlegte es dem Kreis Oberengadin die Gerichtskosten von Fr. 4'221.-- und verpflichtete ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung an X._.
1.3 Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 12. Mai 2005 beantragt der Kreis Oberengadin dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben.
Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdegegner hat sich zur Beschwerde geäussert, wobei er ausdrücklich auf die Stellung von Anträgen verzichtet.
1.4 Mit Verfügung vom 7. Juni 2005 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung dem Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung entsprochen.
1.4 Mit Verfügung vom 7. Juni 2005 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung dem Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung entsprochen.
2. 2.1 Die staatsrechtliche Beschwerde ist ein Rechtsmittel zum Schutze der Träger verfassungsmässiger Rechte gegen Übergriffe der Staatsgewalt. Solche Rechte stehen grundsätzlich nur Privaten zu, nicht dagegen dem Gemeinwesen als Inhaber hoheitlicher Gewalt (<ref-ruling> E. 2a S. 219 f.).
Eine Ausnahme gilt für Gemeinden und andere öffentlichrechtliche Körperschaften, wenn sie nicht hoheitlich auftreten, sondern durch einen staatlichen Akt gleich wie eine Privatperson betroffen werden (<ref-ruling> E. 2a S. 219 f.). Ausserdem können sich Gemeinden und andere öffentlichrechtliche Körperschaften mit staatsrechtlicher Beschwerde gegen eine Verletzung ihrer durch das kantonale Recht gewährleisteten Autonomie oder Bestandesgarantie zur Wehr setzen (<ref-ruling> E. 1c S. 7, mit Hinweisen).
2.2 Der Beschwerdeführer ist eine Körperschaft des kantonalen öffentlichen Rechts; er erfüllt die Aufgaben, die ihm durch den Kanton oder die Gemeinden übertragen sind (Art. 70 Abs. 1 und 2 KV/GR; vgl. auch Art. 50 Abs. 2 des Gemeindegesetzes des Kantons Graubünden vom 28. April 1974).
Vorliegend sind nicht durch kantonales Recht garantierte Autonomiebereiche oder die Bestandesgarantie des Beschwerdeführers im Spiel, und der Beschwerdeführer beruft sich auch nicht darauf. Es stellt sich einzig die Frage, ob er durch den angefochtenen Hoheitsakt gleich wie eine Privatperson betroffen ist. Ob diese Voraussetzung erfüllt ist, bestimmt sich nach der Rechtsnatur des Verhältnisses, das der Auseinandersetzung zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 1a S. 97). Voraussetzung für die Beschwerdelegitimation ist, dass die betroffene Körperschaft sich auf dem Boden des Privatrechts bewegt oder sonstwie im streitigen Rechtsverhältnis als dem Bürger gleichgeordnetes Rechtssubjekt auftritt und durch den angefochtenen Akt wie eine Privatperson betroffen wird (<ref-ruling> E. 2a S. 220; <ref-ruling> E. 1a S. 216). Beschlägt der Rechtsstreit einen Bereich, in dem die Körperschaft dem Bürger gegenüber aufgrund staatlicher Prärogative, in Ausübung hoheitlicher Befugnisse oder Verpflichtungen handelt, ist sie zur staatsrechtlichen Beschwerde nicht legitimiert, selbst wenn der fragliche Entscheid ihre finanziellen Interessen berührt (vgl. etwa <ref-ruling> E. 1b S. 97, betreffend Besoldungsstreit zwischen dem Gemeinwesen und seinen - in einem öffentlichrechtlichen Dienstverhältnis stehenden - Angestellten).
2.3 Durch das Betreiben des Spitals Oberengadin nimmt der Beschwerdeführer eine öffentliche, ihm durch den Kanton übertragene Aufgabe wahr (Art. 3 GSpOE in Verbindung insbesondere mit Art. 6 des Gesetzes vom 2. Dezember 1979 über die Förderung der Krankenpflege und Art. 2 der Vollziehungsverordnung vom 30. März 1979 dazu). Das Verhältnis zwischen dem Spital und den Chefärzten ist öffentlichrechtlich geregelt (Art. 1 der Verordnung vom 6. September 1994 über die Anstellungsbedingungen für die Chefärzte und leitenden Ärzte der beitragsberechtigten Spitäler im Kanton Graubünden [Chefarzt-Verordnung]). Auch die Ausübung privatärztlicher Tätigkeit durch Chefärzte in den Spitälern ist in der Chefarzt-Verordnung geregelt (Art. 6 ff.); die Rechnungsstellung und das Inkasso für derartige Leistungen obliegt der Spitalverwaltung. Das Spital ist nicht reine Inkassostelle; auf den Honoraren berechnet es einen Anteil zur Abgeltung der Benützung seiner Infrastrukturen, den es zurückbehält (vgl. Art. 16 der Chefarzt-Verordnung, auch gemäss der vor dem 1. Januar 2004 geltenden Fassung). Die Verteilung der Einkünfte aus privatärztlicher Tätigkeit unter den betroffenen Ärzten ist jedenfalls umfassend, im Rahmen von deren öffentlichrechtlichen Anstellung und in Berücksichtigung ihrer Einbindung in das öffentliche Spital geregelt (s. zusätzlich auch Verordnung vom 22. August 1995 über die Führung von Pools an öffentlichen Spitälern). Die Tatsache, dass über die konkrete Ausgestaltung, z.B. den Verteilschlüssel, eine Vereinbarung getroffen wird, bei welcher es sich um einen öffentlichrechtlichen Vertrag handelt, ändert daran nichts.
Nach dem Gesagten steht der Beschwerdeführer im vorliegenden Streit über die Verwendung und Verteilung der Honorare (Spitalanteil, Aufteilung unter den Ärzten) dem Beschwerdegegner als Träger öffentlicher Aufgaben gegenüber; unerheblich ist dabei, dass das Verwaltungsgericht bei seinem Entscheid sinngemäss auf die Regeln des Obligationenrechts abgestellt hat. Die Voraussetzungen, den Beschwerdeführer als öffentlichrechtliche Körperschaft ausnahmsweise als zur staatsrechtlichen Beschwerde legitimiert zu betrachten, sind unter den gegebenen Umständen nicht erfüllt.
2.4 Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig, und es ist darauf im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG) nicht einzutreten.
2.5 Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer, um dessen finanziellen Interessen es sich im Rechtsstreit handelt, aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 und 2 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG). Zudem hat er den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren prozessual zu entschädigen (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
3. Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2005
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: