Sachverhalt:
A. A.a Am 28. August 2009 ersuchte X._ beim Gerichtskreis II Biel-Nidau um Ladung zum Aussöhnungsversuch über die Begehren um Bestimmung und Zahlung von Kinderunterhaltsbeiträgen nach <ref-law> sowie um Erlass vorsorglicher Massnahmen nach Art. 281 aZGB. In diesem Verfahren stellte sie überdies ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Am 2. September 2009 wurde sie darüber informiert, dass der Antrag auf Erlass vorsorglicher Massnahmen im Aussöhnungsverfahren zu früh erfolgt sei, da dieses keine Rechtshängigkeit begründe, und vor Behandlung des Aussöhnungsbegehrens über das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung entschieden werde. Mit Schreiben vom 16. September und vom 26. Oktober 2009 reichte X._ im Verfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege Unterlagen nach. Nachdem die damalige Gerichtspräsidentin 1 des Gerichtskreises II das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung bewilligt hatte, reichte X._ auf Hinweis des Gerichts vom 5. Februar 2010 hin am 12. Februar 2010 ein korrigiertes Gesuch um Ladung zum Versöhnungsversuch ein. Am 18. Februar 2010 wurde der Termin für den Aussöhnungsversuch auf den 3. Mai 2010 anberaumt, an welchem Tag schliesslich die Klagebewilligung erteilt wurde.
A.b Am 10. Juni 2010 erhob X._ Unterhaltsklage nach <ref-law> und verlangte überdies vorsorgliche Unterhaltszahlungen im Sinn von Art. 281 aZGB. Auch in diesem Verfahren ersuchte sie um unentgeltliche Prozessführung. Mit Verfügung vom 15. Juni 2010 forderte die a.o. Gerichtspräsidentin 1 des Gerichtskreises II Biel-Nidau die Gegenpartei im Hauptverfahren zur Einreichung einer Klageantwort und Bezahlung eines Kostenvorschusses auf. Diese Verfügung konnte erst am 1. Juli 2010 zugestellt werden.
A.c Mit Verfügung vom 18. August 2010 stellte die a.o. Gerichtspräsidentin 1 des Gerichtskreises II Biel-Nidau fest, dass X._ ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen gestellt hatte, und forderte die Gegenpartei im Verfahren zur Einreichung einer Gesuchsantwort auf. Diese Verfügung konnte erst am 2. September 2010 zugestellt werden. Am 25. Oktober 2010 hiess die angerufene Richterin das Begehren um vorsorgliche Unterhaltszahlungen teilweise gut.
A.d Mit Schreiben vom 18. November 2010 beantragte X._, bei der Ausgleichskasse Biel einen Auszug aus dem individuellen Konto der Gegenpartei einzuholen und den Termin für die Hauptverhandlung festzusetzen.
B. Am 10. Januar 2011 erhob X._ beim Appellationshof des Obergerichts des Kantons Bern Beschwerde betreffend "Rechtsverzögerung gemäss <ref-law>" mit den Begehren, die a.o. Gerichtspräsidentin 1 des Gerichtskreises II Biel Nidau sei zu verpflichten, unverzüglich über den Beweisantrag zu entscheiden und die Hauptverhandlung binnen kurzer Frist anzusetzen. Für das Beschwerdeverfahren ersuchte X._ um unentgeltliche Rechtspflege und um Beiordnung der die Beschwerde unterzeichnenden Anwältin. Mit Entscheid vom 4. Februar 2011 wies das Obergericht des Kantons Bern die Beschwerde sowie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und auferlegte X._ die Verfahrenskosten.
C. X._ (Beschwerdeführerin) gelangt mit am 14. März 2011 der Post aufgegebenen Eingabe an das Bundesgericht mit den Begehren, die a.o. Gerichtspräsidentin 1 des Gerichtskreises II Biel-Nidau sei anzuweisen, das hängige Hauptverfahren innert angemessener Frist zum Abschluss zu bringen. Ferner sei der Beschwerdeführerin für das Verfahren der Rechtsverzögerungsbeschwerde die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, die unterzeichnende Rechtsanwältin als amtliche Beiständin zu bestellen und eine Parteientschädigung auszurichten. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie ebenso um unentgeltliche Rechtspflege.
D. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin hat sich am 27. April 2011 vernehmen lassen.
E. Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 30. Juni 2011 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen zwei Entscheide eines oberen kantonalen Gerichts. Der Entscheid über die Rechtsverzögerungsbeschwerde gilt als Zwischenentscheid im Sinn von <ref-law>, bei dem die Voraussetzung eines nicht wiedergutzumachenden Nachteils (<ref-law>) nicht erfüllt zu sein braucht (<ref-ruling> E. 1b S. 144; <ref-ruling> E. 1a S. 337/338). Angefochten ist überdies ein Zwischenentscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege, der die entsprechende Voraussetzung erfüllt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2. S. 647). Dabei handelt es sich um eine Unterhaltsklage nach <ref-law> und damit um eine Zivilsache im Sinn von <ref-law> vermögensrechtlicher Natur, deren Streitwert den Betrag von <ref-law> bei Weitem übersteigt. Ist die Beschwerde in Zivilsachen für die Hauptsache gegeben, ist sie es auch für die vorliegend angefochtenen Zwischenentscheide. Nach der Rechtsmittelbelehrung des Obergerichts handelt es sich überdies um letztinstanzliche Entscheide (<ref-law>).
1.2 Das Obergericht hat die Eingabe der Beschwerdeführerin als Beschwerde betreffend "Rechtsverzögerung gemäss <ref-law>" behandelt. Ob im vorliegenden Fall tatsächlich bereits die neue ZPO anwendbar war, kann letztlich offenbleiben, rügt doch die Beschwerdeführerin in der Sache ausschliesslich eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law>.
2. Das Obergericht hat zur Frage der behaupteten Rechtsverzögerung erwogen, das Verfahren inkl. Aussöhnungsverfahren habe nunmehr rund 15 Monate gedauert, wovon 7 Monate auf das eigentliche Klageverfahren entfallen seien. Dabei gelte es indes zu berücksichtigen, dass die Verzögerungen teilweise auf dem Verhalten der Parteien beruhten. Das Verfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege der Beschwerdeführerin habe rund 4 Monate (vom 28. August bis 22. Dezember 2009) gedauert, wobei das Gericht ca. 2 Monate nach Eingabe der letzten Unterlagen durch die Beschwerdeführerin (am 26. Oktober 2009) entschieden habe. Zwischen der Klagebewilligung und der Klageeinleitung habe die Beschwerdeführerin einen Monat verstreichen lassen. Schliesslich habe die Behandlung des Massnahmebegehrens rund zwei Monate (18. August bis 25. Oktober 2010) in Anspruch genommen, wobei das Gericht nach erfolgter Zustellung der Verfügung betreffend Ansetzung einer Vernehmlassungsfrist an die Gegenpartei im Hauptverfahren (am 2. September 2010) binnen knapp 1 1⁄2 Monaten entschieden habe. In Würdigung dieser Verfahrensabläufe hält das Obergericht dafür, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und das Aussöhnungsverfahren hätten parallel verlaufen können, weshalb insbesondere das Aussöhnungsverfahren nicht immer mit der gebotenen Beschleunigung instruiert und durchgeführt worden sei. Die Beschwerdeführerin werfe überdies der Beschwerdegegnerin zu Recht vor, das Massnahmebegehren übersehen zu haben. Hingegen sei die Verfügung vom 18. August 2010 entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin nicht unnötigerweise erfolgt, da der Anspruch der Gegenpartei auf rechtliches Gehör zu wahren gewesen sei. Zwar rechtfertige die Geschäftslast eines Gerichts für sich allein keine überlange Verfahrensdauer, weshalb die festgestellten Zeitspannen der gerichtlichen Untätigkeit grundsätzlich geeignet seien, dem Staat zum Vorwurf zu gereichen. Die Parteien hätten indes die sich aus personellen und organisatorischen Umstellungen ergebenden Verzögerungen hinzunehmen. Aufgrund der Justizreform und des damit einhergehenden Weggangs der Beschwerdegegnerin vom Gerichtskreis II bzw. vom Regionalgericht Berner Jura-Seeland habe noch kein Termin für die Hauptverhandlung angesetzt werden können. Auch spreche nichts dagegen, den Beweisantrag zusammen mit der Vorladung zur Hauptverhandlung zu behandeln. Damit aber lägen besondere Umstände (Justizreform mit personellen Wechseln) vor, welche die dadurch verursachte Verzögerung des Verfahrens als gerechtfertigt erscheinen liessen. Die vor <ref-law> grundsätzlich nicht zu rechtfertigende Verzögerung aufgrund der grossen Geschäftslast des mit der Sache befassten Gerichts erreiche weder mit noch ohne Berücksichtigung des Aussöhnungsverfahrens das Mass einer für ein Unterhaltsklageverfahren unangemessen langen Verfahrensdauer.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK und macht zur Begründung geltend, die Vorinstanz halte selbst verbindlich fest, die vielen einzelnen Prozesshandlungen des Verfahrens hätten zu lange gedauert bzw. seien noch gar nicht durchgeführt worden. Das strittige Verfahren sei für die Beschwerdeführerin von grosser Bedeutung. Sie sei vermögenslos und damit auf die Alimentenbevorschussung angewiesen, was den kantonalen Instanzen habe klar sein müssen. Nachdem zumindest intern bekannt gewesen sei, dass sich aufgrund der Justizreform ein Engpass ergeben könnte, hätte die Lösung der sich daraus ergebenden Probleme bereits 2010 an die Hand genommen werden müssen, um dem Bürger den staatlichen Rechtsschutz zu gewährleisten und die Justizgarantie wieder herzustellen. Der Personalabgang sowie die seit Jahren bekannte Justizreform vermöchten die gerügte Verfassungsverletzung nicht zu rechtfertigen.
Die Beschwerdegegnerin führt die eingetretenen Verzögerungen auf ausserordentliche durch ihre Krankheit und die Justizreform begründete Umstände zurück und weist zudem darauf hin, dass sie in ihrer heutigen Stellung als Gerichtspräsidentin am Regionalgericht Bern-Mittelland nicht mehr mit dem Fall der Beschwerdeführerin befasst sei.
2.1 Die Beschwerdeführerin stützt ihre Beschwerde auch auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK, der wie <ref-law> eine Entscheidung innert angemessener Frist verlangt. Artikel 6 Ziff. 1 EMRK geht indes mit Bezug auf die Verfahrensdauer nicht weiter als <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 S. 332). Die Rüge der Beschwerdeführerin ist somit allein im Lichte der Bundesverfassung zu prüfen.
2.2 Artikel 29 Abs. 1 BV verpflichtet eine Gerichts- oder Verwaltungsbehörde, jeden Entscheid binnen einer Frist zu fassen, die nach der Natur der Sache und nach den gesamten übrigen Umständen als angemessen erscheint. Die Angemessenheit der Dauer bestimmt sich nicht absolut. Sie ist im Einzelfall unter Berücksichtigung der gesamten Umstände zu beurteilen und in ihrer Gesamtheit zu würdigen. Dabei sind insbesondere die Natur sowie der Umfang und die Komplexität der Sache, das Verhalten der betroffenen Privaten und der Behörden, die Bedeutung für die Betroffenen sowie die für die Sache spezifischen Entscheidungsabläufe zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 277 mit Hinweisen; Urteile 8C_176/2011 vom 20. April 2011 E. 2.2; 1A.169/2004 vom 18. Oktober 2004, in Pra 2005 Nr. 58 S. 447, <ref-ruling> E. 2c S. 142, ZBl 2002 S. 411 E. 2d, mit Hinweisen; Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte i.S. Josef Müller gegen Schweiz, Ziff. 31, VPB 2003 Nr. 139). Für die Rechtsuchenden ist unerheblich, auf welche Gründe eine übermässige Verfahrensdauer zurückzuführen ist; entscheidend ist ausschliesslich, dass die Behörde nicht oder nicht fristgerecht handelt. Bei der Feststellung einer übermässigen Verfahrensdauer ist daher zu prüfen, ob sich die Umstände, die zur Verlängerung des Verfahrens geführt haben, objektiv rechtfertigen lassen (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 1c; <ref-ruling> E. 4c; <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 3c; Urteil 12T_3/2007 vom 11. Dezember 2007 E. 3.2).
2.3 Das Obergericht hat bei der Prüfung der Verfahrensdauer nicht nur das eigentliche Klageverfahren nach <ref-law> inklusive des Verfahrens um Erlass vorsorglicher Massnahmen berücksichtigt, sondern das der Klage vorgelagerte Sühneverfahren in seine Betrachtungen mit einbezogen. Es weist indes in seinen Erwägungen darauf hin, dass der Aussöhnungsversuch nach dem damals anwendbaren bernischen Zivilprozessrecht (<ref-law>/BE) keine Rechtshängigkeit begründete. Die Beschwerdeführerin hat mit Bezug auf das Sühneverfahren keine selbstständige Rechtsverzögerungsbeschwerde erhoben und dieses Verfahren ist mit der Ausstellung der Klagebewilligung beendet worden. Weil das Aussöhnungsverfahren abgeschlossen war, hätte das Bundesgericht eine einzig dagegen erhobene Rechtsverzögerungsbeschwerde im Nachhinein nicht an die Hand nehmen können. Sodann ist für die Frage nach der angemessenen Dauer des Verfahrens mit Bezug auf den Beginn der Verfahrensdauer auf den Eingang der Klage abzustellen (dazu: JENS MEYER-LADEWIG, EMRK Handkommentar, 3. Aufl. 2011, N. 189 zu Art. 6 EMRK mit Hinweisen auf die Rechtsprechung des EGMR). Von daher rechtfertigt es sich, für die Beurteilung des Vorwurfs der Beschwerdeführerin vom Zeitpunkt der Klageeinreichung auszugehen. Die Beschwerdeführerin hat am 10. Juni 2010 Unterhaltsklage nach <ref-law> erhoben und gleichzeitig vorsorgliche Massnahmen verlangt. Im Folgenden ist somit zu prüfen, ob die Beschwerdegegnerin mit der bis Januar 2011 unterbliebenen Ansetzung der Hauptverhandlung <ref-law> verletzt hat.
2.4 Im vorliegenden Fall hat die Beschwerdegegnerin nach der am 10. Juni 2010 angehobenen Klage eine Aufforderung zur Einreichung einer Klageantwort innert drei Wochen erlassen, die der Gegenpartei allerdings erst am 1. Juli 2010 zugestellt werden konnte. Fest steht überdies, dass die Gegenpartei keine Antwort eingereicht hat, womit das Verfahren grundsätzlich nach dem 21. Juli 2011, d.h. nach Ablauf der dreiwöchigen Frist, spruchreif war. Negativ fällt beim Verfahrensverlauf ins Gewicht, dass die Beschwerdegegnerin erst am 18. August 2010 die Gegenpartei aufgefordert hat, zum Gesuch der Beschwerdeführerin um Erlass vorsorglicher Massnahmen Stellung zu nehmen, wobei diese Verfügung erst am 2. September 2010 zugestellt werden konnte. Am 25. Oktober 2010 hiess die Beschwerdegegnerin schliesslich das Begehren der Beschwerdeführerin um vorsorgliche Massnahmen teilweise gut, sodass auch gegen eine allfällige Verzögerung des Massnahmeverfahrens nachträglich nicht selbstständig Beschwerde geführt werden kann. Am 18. November 2010 beantragte die Beschwerdeführerin, bei der Ausgleichskasse Biel einen Auszug aus dem individuellen Konto der Gegenpartei einzuholen und die Verhandlung anzusetzen. Erstellt ist schliesslich, dass die Verhandlung bis zur Einreichung der Rechtsverzögerungsbeschwerde am 10. Januar 2011 nicht angesetzt worden ist, womit das Verfahren von der Klageeinreichung an bis zum Zeitpunkt der Rechtsverzögerungsbeschwerde bisher rund 7 Monate gedauert hat, ohne dass eine Verhandlung in der Sache angesetzt worden wäre.
Wie der Ablauf des Verfahrens zeigt, hat die eingesetzte Beschwerdegegnerin das Verfahren nicht immer im Lichte des Beschleunigungsgebots geführt und hat es mitunter an raschen Entscheiden über die zu unternehmenden Verfahrensschritte mangeln lassen. Insbesondere gilt zu beanstanden, dass vom Zeitpunkt der Klageinreichung an rund 2 Monate verstrichen sind, bis eine Vernehmlassung zum Gesuch um vorsorgliche Massnahmen eingeholt worden ist, obwohl das entsprechende Gesuch mit der Klage vorgelegen hat. Dennoch erweist sich der Vorwurf der Rechtsverzögerung nicht zuletzt auch unter Berücksichtigung der unterbliebenen Ansetzung der Hauptverhandlung insgesamt als nicht gerechtfertigt:
Zwar ist nicht von der Hand zu weisen, dass es sich beim Verfahren nach <ref-law> um ein für die Beschwerdeführerin bedeutendes Verfahren handelt, wobei der anwendbare Art. 280 aZGB diesbezüglich ein einfaches und rasches Verfahren vorgeschrieben hat. Von entscheidender Bedeutung ist indes, dass dem Unterhaltsbedarf der Beschwerdeführerin mit der Anordnung vorsorglicher Massnahmen Rechnung getragen worden ist. Mit diesem Entscheid ist die Beschwerdeführerin in der Lage, beim Kanton um Bevorschussung der Unterhaltsbeiträge zu ersuchen, sofern der angebliche Vater seiner Verpflichtung nicht nachkommt (vgl. Gesetz vom 6. Februar 1980 über Inkassohilfe und Bevorschussung von Unterhaltsbeiträgen). Das Obergericht hat somit eine Verletzung von <ref-law> im Ergebnis zu Recht verneint. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
3. Mit Bezug auf die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren hat das Obergericht erwogen, im Rahmen des Aussöhnungsversuchs sei das Verfahren nicht immer mit der gebotenen Beschleunigung instruiert und durchgeführt worden. Seit Einreichung der Klageantwort sei es indes - mit Ausnahme der zunächst unterlassenen Aufforderung zur Vernehmlassung betreffend das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen - unter Berücksichtigung der Justizreform und der personellen Änderung bei den Justizbehörden - recht zügig abgewickelt worden. Vor diesem Hintergrund habe die Beschwerdeführerin nicht erwarten dürfen, dass in den ersten Tagen der neuen Gerichtsorganisation in den neuen Strukturen bereits Terminverfügungen in allen Fällen ergehen können, selbst wenn es sich dabei um einfache Verfahren handle. Damit habe sich die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen und sei die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren zu verweigern.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law> und macht dazu geltend, die Begründung der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege decke sich mit jener zur Abweisung der Beschwerde in der Sache, sodass fraglich erscheine, ob die Vorinstanz die Gewinnaussichten zum Zeitpunkt des Gesuchs (ex ante) geprüft habe. Im Weiteren habe die Rechtsprechung des Bundesgerichts widerlegt, dass die Parteien organisatorische und personelle Änderungen einfach hinzunehmen hätten. Schliesslich werde die Möglichkeit der Parteien überschätzt, den jeweiligen organisatorischen Status eines Gerichts und dessen krankheitsbedingte personelle Abwesenheiten zu eruieren.
3.1 Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat nach <ref-law> Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2c mit Hinweisen). Die Prozesschancen sind in vorläufiger und summarischer Prüfung des Prozessstoffes abzuschätzen, wobei es im Rechtsmittelverfahren um die Erfolgsaussichten des Rechtsbehelfs geht. Die Frage lautet, ob das Rechtsmittel offenbar prozessual unzulässig oder aussichtslos ist (BGE 60 I 179 E. 1 S. 182; 78 I 193 E. 2 S. 195). Dass der angefochtene Entscheid oder das vorinstanzliche Verfahren an einem Mangel leidet, genügt für die Bejahung der Erfolgsaussichten nicht; entscheidend ist allein, ob das Rechtsmittel voraussichtlich gutgeheissen werden muss (Urteil 5A_373/2008 vom 7. Juli 2008 E. 2). Ob ein Begehren aussichtslos erscheint, beurteilt sich aufgrund der Verhältnisse im Zeitpunkt des Gesuchs (<ref-ruling> E. 5 S. 616; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f., je mit Hinweisen).
3.2 Das Obergericht begründet die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege damit, dass die Beschwerdeführerin angesichts der beschriebenen Umstände (Justizreform; personelle Veränderungen) nicht habe erwarten dürfen, dass die Verhandlung bereits in den ersten Tagen angesetzt werde. Damit hat das Obergericht den Begriff der Aussichtslosigkeit gemäss <ref-law> zu eng umschrieben. Wie bereits dargelegt, galt es zu prüfen, ob das Rechtsmittel, d.h. die Rechtsverzögerungsbeschwerde als Ganzes aussichtslos erschien oder nicht. In diesem Zusammenhang ist von Bedeutung, dass das Obergericht zahlreiche Zeitspannen aufgezeigt hat, in denen die Beschwerdegegnerin untätig geblieben war. Des weiteren kann den Akten auch nicht entnommen werden, dass die Parteien in diesem Verfahren auf allfällige Verzögerungen hingewiesen worden wären, die sich, wie dargelegt, durch die Justizreform oder personelle Änderungen bzw. durch die Krankheit der mit dem Fall befassten Magistratin ergeben haben. Wird im Weiteren berücksichtigt, dass auch 7 Monate nach der Klageeinreichung trotz der im Juli 2010 vorliegenden Spruchreife noch keine Hauptverhandlung angesetzt war, so kann nicht gesagt werden, im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege seien die Gewinnaussichten der Rechtsverzögerungsbeschwerde beträchtlich geringer gewesen als die Verlustgefahren. Mit der Bejahung der Aussichtslosigkeit des Beschwerdeverfahrens hat das Obergericht somit <ref-law> verletzt.
Die Ziffern 2 bis 4 des angefochtenen Entscheids sind damit aufzuheben. Da sich das Obergericht nicht zu den weiteren Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege (Bedürftigkeit, Notwendigkeit anwaltlicher Verbeiständen und gegebenenfalls die Festsetzung der Entschädigung im Fall entsprechender Notwendigkeit) ausgesprochen hat, ist die Sache dem sinngemässen Eventualantrag entsprechend zur Prüfung der weiteren Voraussetzungen von <ref-law> an das Obergericht zurückzuweisen.
4. Die Beschwerdeführerin ist mit ihrer Beschwerde nur zum Teil durchgedrungen, sodass es sich rechtfertigt, ihr einen Teil der Gerichtskosten, nämlich Fr. 1'500.--, aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Kanton sind keine Gerichtskosten zu überbinden (<ref-law>).
5. Die Beschwerdeführerin ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Diese kann einer Partei gewährt werden, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (<ref-law>).
Die Beschwerdeführerin ist zwar mit ihrem Antrag auf Gutheissung der Rechtsverzögerungsbeschwerde nicht durchgedrungen. Für die Beurteilung der Frage, ob die Beschwerde im Zeitpunkt des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege aussichtslos gewesen sei, ist entscheidend, dass das Obergericht im angefochtenen Entscheid zahlreiche Zeitabschnitte erwähnt, in denen die Beschwerdegegnerin untätig geblieben ist. Zu beachten ist ferner, dass im konkreten Verfahren, das von Gesetzes wegen (Art. 280 aZGB; <ref-law>) rasch durchzuführen war, trotz der im Juli 2010 gegebenen Spruchreife auch im Januar 2011 die Hauptverhandlung noch nicht angesetzt war. Die Beschwerdeführerin hat sich überdies auf bundesgerichtliche Rechtsprechung berufen können, wonach kantonale Behörden namentlich auch bei organisatorischen Mängeln dem Vorwurf der Rechtsverzögerung nicht entgangen sind. Unter diesen Umständen kann nicht gesagt werden, die Gewinnaussichten der vorliegenden Beschwerde hätten sich als bedeutend geringer erwiesen als die Verlustgefahren. Die Beschwerde galt somit auch bezüglich der Rechtsverzögerung nicht als von vornherein aussichtslos. Was den Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren anbelangt, hat die Beschwerdeführerin obsiegt. Damit war die Beschwerde zum Zeitpunkt des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege insgesamt nicht aussichtslos.
Gemäss dem begründeten Gesuch scheint die Beschwerdeführerin bedürftig zu sein (<ref-law>). Ihr ist somit die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren zu gewähren und ein amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen, dem ein Honorar aus der Bundesgerichtskasse zu entrichten ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Ziffern 2-4 des Entscheides des Obergerichts des Kantons Bern, Zivilabteilung, 2. Zivilkammer, vom 4. Februar 2011 werden aufgehoben und die Sache wird zur Prüfung der übrigen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Beschwerdeverfahren an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen. Ihr wird Rechtsanwältin Marija Novakovic als amtliche Rechtsbeiständin bestellt.
3. Die Gerichtskosten werden im Umfang von Fr. 1'500.-- der Beschwerdeführerin auferlegt, jedoch einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwältin Marija Novakovic wird für ihre Bemühungen ein Honorar von Fr. 1'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden