Sachverhalt:
A. X._ (nachfolgend: Kläger) ist Miteigentümer eines Einfamilienhauses in S._.
Die Flughafen Zürich AG (nachfolgend: Beklagte) ist seit 1. Juni 2001 Betreiberin des Flughafens Zürich und Inhaberin der Betriebskonzession des Eidgenössischen Departements für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation (UVEK).
B. Am 4. April 2003 wurden seitens der deutschen Behörden die Einschränkungen für die An- und Abflüge zum und vom Flughafen Zürich durch Änderung der 213. Durchführungsverordnung verschärft, indem ab 17. April 2003 die Nachtflugsperre um je eine Stunde am Morgen (6 bis 7 Uhr) und am Abend (21 bis 22 Uhr) verlängert und die minimale Überflughöhe angehoben wurde; vorgesehen war ausserdem, die Ausnahmegründe für einen Anflug von Norden her zu den Sperrzeiten auf den 10. Juli 2003 erheblich einzuschränken.
Infolge dieser Einschränkungen wurde das Betriebsreglement für den Flughafen Zürich verschiedentlich provisorisch geändert.
Am 30. Oktober 2003 wurden Südanflüge im sogenannten VOR/DME-Anflugverfahren, am 30. April 2004 im LOC/DME-Anflugverfahren sowie am 31. Oktober 2004 im ILS-Anflugverfahren eingeführt.
C. Die Liegenschaft des Klägers liegt in der Südanflugschneise, in welcher der Flughafen Zürich seit Ende Oktober 2003 zu Randzeiten angeflogen wird.
Mit Klage vom 29. Oktober 2004 stellte der Kläger beim Bezirksgericht Uster folgende Rechtsbegehren:
- Die Beklagte sei unter Androhung von Haft oder Busse gemäss <ref-law> zu verpflichten, dafür zu sorgen, dass keine Luftfahrzeuge im Anflug auf die Piste 34 des Flughafens Zürich-Kloten die Parzelle Kataster Nr. xxxx, Grundbuchblatt yyyy, Plan zzzz in weniger als 500 Meter Höhe oder in einer eventuell vom Gericht festzulegenden Mindesthöhe überfliegen.
Eventualiter sei vorstehende Verpflichtung mit der Massgabe auszusprechen, dass sie sechs Monate nach Rechtshängigkeit dieser Klage in Kraft tritt."
Mit Beschluss vom 22. Dezember 2005 trat das Bezirksgericht auf die Klage nicht ein, weil es sich als Zivilgericht als sachlich nicht zuständig erachtete.
D. Dagegen erhob der Kläger am 18. Januar 2006 Rekurs an das Obergericht des Kantons Zürich. Dessen I. Zivilkammer wies den Rekurs mit Beschluss vom 25. April 2006 ab.
E. Gegen den obergerichtlichen Beschluss reichte der Kläger am 24. Mai 2006 Berufung ein und machte geltend, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben, die Streitigkeit dem Bundeszivilrecht zuzuordnen und die Sache zur materiellen Beurteilung an das Bezirksgericht Uster zu weisen.
Es wurde keine Berufungsantwort eingeholt.
Sodann erhob der Kläger am 29. Mai 2006 Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich und beantragte, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und das Obergericht sei anzuweisen, auf die Eigentumsfreiheitsklage einzutreten.
F. Das Kassationsgericht trat auf die Nichtigkeitsbeschwerde mit Zirkulationsbeschluss vom 15. Februar 2007 nicht ein.

Erwägungen:
1. Die Zulässigkeit der Berufung ist von Amtes wegen zu prüfen. Zur Anwendung gelangt gemäss Art. 132 Abs. 1 des Bundesgesetzes über das Bundesgericht (SR 173.110) übergangsrechtlich das Bundesrechtspflegegesetz (OG).
Die Berufung ist einzig in Zivilrechtsstreitigkeiten im Sinne der Art. 43 ff. OG zulässig und kann damit begründet werden, dass der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletze oder aber dass der kantonale Richter solches Recht in einer Zivilsache nicht oder nicht richtig angewendet habe (Art. 43 Abs. 1 und 2 OG). Nicht mit Berufung gerügt werden kann die Verletzung von kantonalem Recht. Entscheidend für den Begriff der Zivilrechtsstreitigkeit ist, ob der Anspruch, der Gegenstand der Auseinandersetzung bildet, dem Bundeszivilrecht zuzuordnen ist. Umstritten ist, ob zur Beurteilung der vom Kläger auf <ref-law> gestützten Rechtsbegehren der Zivilrichter oder der Enteignungsrichter zuständig ist.
Für den Anspruch des Klägers fehlt, sofern er sich auf Bundesrecht abstützen lässt, eine eidgenössische Zuständigkeitsregel, sind doch für die Rechtsprechung in Zivilsachen die Kantone zuständig, soweit das Gesetz nichts anderes vorsieht (<ref-law>). Richtet sich die umstrittene sachliche Zuständigkeit nach dem kantonalen Verfahrensrecht, steht daher die Berufung nicht zur Verfügung dessen ungeachtet, dass zur Bestimmung der Zuständigkeit vorfrageweise zu prüfen ist, ob sich der geltend gemachte Anspruch aus Bundeszivilrecht oder aus öffentlichem Recht ergibt. Die Berufung ist hingegen zulässig, wenn die vorfrageweise zu beurteilende materiellrechtliche Qualifikation des Anspruchs nicht nur die innerkantonale Zuständigkeit beschlägt, sondern Antwort darauf gibt, ob eine Streitsache von den nach kantonalem Recht zuständigen Instanzen oder von den nach Bundesrecht zuständigen Instanzen zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 1c S. 241 mit Hinweisen). Diese Konstellation liegt hier vor, ist doch strittig, ob für die Beurteilung der klägerischen Rechtsbegehren der Zivilrichter oder die Enteigungsbehörden zuständig sind, welche letztere Zuständigkeit vom Bundesgesetz über die Enteignung (EntG; SR 711) bzw. dessen Art. 30 ff. geregelt ist.
Da die Zuständigkeitsfrage mithin Bundesrecht beschlägt, ist die Berufung zulässig.
2. Das Obergericht erwog, dass Lärmimmissionen und Überflüge durch an- und abfliegende Flugzeuge mit dem bestimmungsgemässen Betrieb des Flughafens untrennbar verbunden seien. Sodann hielt das Obergericht fest, die vom Kläger beanstandeten Südanflüge seien unvermeidbar. Es bestünden keine Alternativen zu den Südanflügen, da die Betriebsaufnahme eines Landesflughafens morgens spätestens ab 6.00 Uhr gewährleistet sein müsse und Nordanflüge aufgrund der einseitigen deutschen Massnahmen in den Randstunden nicht mehr zulässig seien. Daher trete der Anspruch auf eine Enteignungsentschädigung an die Stelle der zivilrechtlichen Klagen, und es sei nicht mehr Sache des Zivilrichters, sondern des Enteignungsrichters, über das Bestehen des Rechts sowie über die Art und den Betrag der Entschädigung zu befinden. Die zivilrechtlichen Abwehrrechte sowohl gegen den Überflug im eigentlichen Sinne als auch gegen übermässige Immissionen stünden - in Übereinstimmung mit <ref-ruling> E. 2.4 S. 77 - nicht mehr zur Verfügung.
3. Gegen die Argumentation des Obergerichts wendet der Kläger ein, dass direkte Einwirkungen auf fremdes Eigentum - wie etwa ein Überflug - selbst von öffentlichen Unternehmen stets im Voraus durch Einräumung einer Dienstbarkeit zu sichern seien; die von der Einwirkung betroffenen Personen seien bekannt und die vorgängige Sicherung des Rechts damit möglich. Die Frage, in welcher Höhe ein Überflug zu erfolgen habe, damit für ihn kein Abwehrrecht mehr bestehe, sei vom Richter zu beurteilen, welcher in der Sache entscheiden werde. Ferner habe das Obergericht verkannt, dass in <ref-ruling>, auf den es sich gestützt habe, lediglich Entschädigungsforderungen von Anrainern zu beurteilen gewesen seien, welche die Überflüge seit Jahrzehnten geduldet hätten; die entsprechenden Ausführungen des Bundesgerichts seien nicht entscheidrelevant gewesen und seien demgemäss lediglich als obiter dicta zu verstehen, welche überdies keine einlässliche Begründung aufwiesen. In Analogie zum Notwegrecht, welches erst mit Eintragung im Grundbuch entstehe, sei erforderlich, dass die Beschränkung der eigentumsrechtlichen Abwehrrechte im Voraus erfolge. Für die Frage der Zuständigkeit des Zivilrichters sei das Kriterium der Vermeidbarkeit der Überflüge nicht massgeblich; dieses sei lediglich im Zusammenhang mit Immissionen, nicht aber mit direkten Einwirkungen von Bedeutung. Das Bundesgesetz über die Luftfahrt (LFG; SR 748.0) sehe zwar kein Plangenehmigungsverfahren für Betriebsänderungen vor. Gleichwohl sei in verfassungskonformer Auslegung des LFG (Berücksichtigung der Bestandesgarantie) die vorgängige Sicherung der Überflugsrechte erforderlich; das Bundesgericht habe in einem anderen Fall, welcher die Beklagte betroffen habe, denn auch entschieden, sie dürfe Sicherheitsvorkehren auf Nachbargrundstücken, welche im Zusammenhang mit Überflügen stünden - das Anbringen von Dachziegelklammern -, nur gestützt auf die Inanspruchnahme des Enteignungsrechts, allenfalls aufgrund einer vorzeitigen Besitzeinweisung vornehmen.
4. Nach <ref-law> erstreckt sich das Eigentum an Grund und Boden nach oben und unten auf den Luftraum und das Erdreich, soweit für die Ausübung des Eigentums ein Interesse besteht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 356). Das Interesse des Grundeigentümers reicht somit bis zu einer bestimmten Höhe (<ref-ruling> E. 2 S. 100; <ref-ruling> E. 1 S. 88 f.). Der Grundeigentümer kann sich gemäss <ref-law> gegen das Überfliegen zur Wehr setzen, wenn es ihn in der Ausübung seiner Eigentumsrechte behindert (<ref-ruling> E. 2 S. 100; <ref-ruling> E. 1 S. 88). Er kann sich aber auch gegen übermässige (Flug-)Lärmimmissionen auf Grund von Art. 679 und 684 ZGB zur Wehr setzen. Das gilt jedenfalls für sog. Flugfelder, die zwar einer Betriebsbewilligung (Art. 36b Abs. 1 LFG; siehe ferner Art. 2 und 17 ff. der Verordnung über die Infrastruktur der Luftfahrt [VIL; SR 748.131.1]), aber keiner Konzession bedürfen und auch nicht mit dem Enteignungsrecht ausgestattet sind.
5. Beim Flughafen Zürich handelt es sich um einen Flugplatz, der dem öffentlichen Verkehr dient und für dessen Betrieb eine Konzession erforderlich ist (Art. 36a Abs. 1 LFG). Dem Konzessionär steht von Gesetzes wegen das Enteigungsrecht zu (Art. 36a Abs. 4 LFG).
5.1 Mit Erteilung der Betriebskonzession und dem damit verbundenen Enteignungsrecht steht nicht nur fest, dass der Betrieb des Flughafens im vorrangigen öffentlichen Interesse liegt, sondern auch, dass damit verbundene übermässige Immissionen grundsätzlich zu dulden sind, wenn sie nicht vermeidbar sind, und vom Enteignungsrecht erfasst werden. Damit weichen die privatrechtlichen Abwehransprüche dem vorrangigen Interesse und stehen die nachbarrechtlichen Unterlassungs-, Beseitigungs- und Schadenersatzansprüche gemäss <ref-law> nicht zur Verfügung (<ref-ruling> E. 3 S. 244; <ref-ruling> E. 2a S. 253; <ref-ruling> E. 3a S. 341). An deren Stelle tritt ein Anspruch auf Entschädigung für die Enteignung der nachbarrechtlichen Abwehransprüche (Art. 5 Abs. 1 EntG), falls die übermässigen Immissionen im Zeitpunkt des Erwerbs des Grundstückes unvorhersehbar waren, eine besondere Schwere aufweisen und erheblichen Schaden verursachen (<ref-ruling> E. 7a S. 490 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 548, E. 5a S. 551; <ref-ruling> E. 2.1 S. 233 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 74; vgl. auch <ref-ruling> E. 7.1 S. 402).
Die von den Einwirkungen Betroffenen haben die sich aus dem EntG ergebenden Ansprüche im Enteignungsverfahren wahrzunehmen, in welchem sie namentlich auch geltend machen können, bestimmte übermässige Einwirkungen könnten vermieden werden. Insoweit ist das enteignungsrechtliche Einspracheverfahren im Falle der Unterdrückung nachbarlicher Abwehrrechte das massgebliche Verfahren zur Beurteilung der Zulässigkeit und des Umfangs der Einwirkung (<ref-ruling> E. 6 S. 400 f.; Margrit Schilling, Enteignungsrechtliche Folgen des zivilen Luftverkehrs, in: ZSR 2006 I, S. 18, mit Hinweisen; Tobias Jaag, Öffentliches Entschädigungsrecht, in: ZBl 1997, S. 170). Es liegt in solchen Fällen nicht am Zivilrichter, in einem zum Enteignungsverfahren parallelen Verfahren zu prüfen, ob mit dem bestimmungsgemässen Betrieb des Flughafens verbundene übermässige Einwirkungen vermeidbar sind und insoweit vom Enteignungsrecht nicht erfasst werden.
5.2 Entgegen der Auffassung des Klägers gilt dies nicht nur, wenn ein Grundstück indirekten Einwirkungen (Immissionen), sondern auch, wenn es direkten Einwirkungen auf das Eigentum ausgesetzt ist, wie das beim Überfliegen der Fall ist, wenn Flugzeuge in die auf dem Grundstück stehende Luftsäule eindringen. Nicht anders als in Bezug auf übermässige Lärmbelastungen wird mit der Verleihung der Konzession und dem damit verbundenen Enteignungsrecht praktisch zu Gunsten des Flughafens und zu Lasten der unter der Anflugachse liegenden Grundstücke eine Überflug- bzw. Durchflug-Dienstbarkeit eingeräumt (Schilling, a.a.O., S. 26).
Die Rechtsprechung zum Enteignungsrecht unterscheidet zwischen dem Überflug stricto sensu, d.h. dem Durchfliegen der Flugzeuge in geringer Höhe, und dem Durchflug in grösserer Höhe: Ein Überflug stricto sensu stellt einen direkten Eingriff in den Luftraum eines Grundstückes dar und bedeutet - vorbehältlich des vorgängigen Rechtserwerbs - eine ungerechtfertigte Einwirkung (<ref-law>). Demgegenüber ist ein Durchflug in grösserer Höhe nicht als ungerechtfertigte Einwirkung zu qualifizieren (<ref-ruling> E. 2.3 S. 76); er kann jedoch indirekte übermässige Einwirkungen (Immissionen) mit sich bringen, zumal der Lärm startender und landender Flugzeuge, auch soweit er nicht auf oder über dem Flugplatzareal entsteht, als Einwirkung des Flughafens gilt (<ref-ruling> E. 2a S. 17 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 7a S. 491). Die Unterscheidung zwischen Überflug stricto sensu und Durchflug in grösserer Höhe ist insoweit bedeutsam, als die Enteignungsentschädigung wegen übermässiger Lärmimmissionen von den Voraussetzungen der Unvorhersehbarkeit, der Spezialität und der Schwere abhängt (<ref-ruling> E. 2.5 S. 77). Sie ist indessen für die hier interessierende Frage des Verfahrens und der Zuständigkeit irrelevant. Rühren die Einwirkungen vom bestimmungsgemässen Gebrauch eines konzessionierten und mit dem Enteignungsrecht ausgestatteten Flughafens her, ist es Sache des Enteignungsrichters, über den Umfang des Rechtes, aber auch über Fragen der Entschädigung zu entscheiden. Die Abwehrrechte des Privatrechts sowohl hinsichtlich des Überflugs stricto sensu wie auch hinsichtlich übermässiger Immissionen stehen in diesen Fällen nicht zur Verfügung, und es tritt der Anspruch auf Enteignungsentschädigung an Stelle der privaten Klagen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 77).
5.3 Da die Beklagte über eine Konzession zum Betrieb des Flughafens Zürich verfügt und mit dem Enteignungsrecht ausgestattet ist, hat die Vorinstanz die Zuständigkeit des Zivilrichters hinsichtlich der Unterlassungsklage zu Recht verneint.
6. Demgemäss ist die Berufung abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang ist die Gerichtsgebühr dem Kläger aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Berufung wird abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 5'000.-- wird dem Kläger auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Rapp