Faits:
A.
A.a. Dans la nuit du 7 au 8 septembre 2012, trois personnes ont agressé un vendeur de marijuana, qui se trouvait à son domicile avec une amie. Après avoir reçu de violents coups, notamment à la tête, celui-ci a perdu connaissance. Le 6 octobre 2012, il est décédé aux Hôpitaux universitaires de Genève (HUG), sans avoir repris connaissance. Une expertise médicale a été ordonnée afin de déterminer le rapport de causalité entre les coups reçus et le décès.
Sur la base en particulier des auditions de l'amie de la victime, l'enquête a permis d'identifier les trois personnes présentes lors de l'agression, dont A._, né le 15 septembre 1993, et B._. Le 14 novembre 2012, A._ a été entendu en qualité de prévenu de brigandage aggravé et d'assassinat pour les faits susmentionnés. Il en a été de même pour les deux autres protagonistes le 15 novembre 2012. Au cours de l'instruction, des auditions ont eu lieu le 22 novembre 2012, le 5 février et le 13 avril 2013. Des expertises psychiatriques ont été effectuées pour les trois prévenus. S'agissant en particulier de A._, l'expert a rendu son rapport le 28 mars 2013 et celui-ci a été complété le 23 juillet 2013 afin de tenir compte du jugement du Tribunal des mineurs du 27 janvier 2012, reconnaissant A._ coupable de lésions corporelles simples de peu de gravité et de détention de stupéfiants pour des faits commis en février 2011.
A.b. Arrêté le 13 novembre 2012 par la police, A._ a été placé en détention provisoire par décision du Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) du 15 novembre 2012. Cette même mesure a été prononcée à l'encontre des deux autres prévenus. B._ a été remis en liberté le 5 avril 2013, moyennant plusieurs mesures de substitution.
Le 2 août 2013, le Tmc a prolongé la détention provisoire de A._ jusqu'au 2 novembre 2013, relevant que les charges à son encontre étaient suffisantes, celui-ci ayant notamment fait l'objet le 1 er juillet 2013 d'une mise en prévention supplémentaire pour des actes de contrainte à l'encontre de l'amie de la victime. Cette autorité a retenu l'existence d'un risque de réitération, observant en particulier que le jugement rendu en janvier 2012 par le Tribunal des mineurs n'avait pas empêché le prévenu de participer à l'agression de septembre 2012. Le Tmc a enfin estimé que la détention demeurait proportionnée à la peine encourue et qu'aucune mesure de substitution n'était susceptible d'atteindre le but de la détention en raison du risque de récidive et en l'absence de tout projet actuel et concret de prise en charge thérapeutique.
B.
Le 20 août 2013, la Chambre pénale de recours de la République et canton de Genève a rejeté le recours intenté par A._ contre ce jugement.
C.
Par mémoire du 19 septembre 2013, A._ forme un recours en matière pénale, concluant à l'annulation de l'arrêt cantonal et à sa mise en liberté immédiate. Il requiert, à titre subsidiaire, sa mise en liberté assortie des mesures de substitution suivantes: interdiction d'entretenir des contacts, sous quelle forme que ce soit, de manière directe ou indirecte (mails, sms, téléphones, échanges internet, correspondances, etc.) avec les deux autres prévenus et avec l'amie de la victime; interdiction de quitter la Suisse pendant la procédure pénale; obligation de résider chez ses parents; obligation de suivre de manière assidue les cours de l'École de culture générale de Genève ou tout autre établissement scolaire; interdiction de consommer de l'alcool et/ou toute drogue; obligation de se soumettre à des prises de sang et d'urine, à raison d'une fois chaque quinze jours dans un centre spécialisé des HUG, destinées à vérifier son abstinence; obligation de se soumettre à un suivi psychothérapeutique régulier auprès du département de santé mentale et de psychiatrie des HUG ou de tout autre thérapeute reconnu, avec un rendez-vous à fixer dès sa sortie de prison; obligation de se présenter à toute audience dans la procédure P/12493/2012; et obligation de fournir au Service de probation et d'insertion la preuve du respect des suivis scolaire et thérapeutique tous les deux mois pendant six mois, puis tous les quatre mois. Encore plus subsidiairement, A._ demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Il sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer, le Ministère public a conclu au rejet du recours, tandis que la cour cantonale a renvoyé à ses considérants, sans formuler d'observation. Le 9 octobre 2013, le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière pénale (<ref-law>) est en principe ouvert contre une décision relative à la détention provisoire ou pour motifs de sûreté au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 23). Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF, le prévenu a qualité pour agir. Le recours est formé en temps utile contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2.
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). La partie recourante ne peut critiquer les constatations de faits que si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, en particulier en violation de l'interdiction de l'arbitraire consacrée à l'art. 9 Cst. (<ref-law>). La correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
Si le recourant se plaint à plusieurs reprises d'une constatation inexacte de faits (cf. notamment son mémoire de recours ad 4 p. 8, ad 20, 21 p. 15), il ne démontre cependant pas en quoi ces prétendus manquements pourraient influencer l'issue de la procédure relative à la détention, notamment dans l'appréciation du risque de récidive. En effet, les griefs soulevés - absence d'indication dans les faits en lien avec les infractions reprochées du troisième prévenu et silence de l'autorité sur des éléments allégués à décharge (divergences existant entre les propos tenus par la témoin, ceux de B._ et les constatations résultant de la reconstitution du 11 juillet 2013) - tendent en substance à soutenir que le recourant aurait eu un rôle moins important lors l'agression que le sous-entendrait la cour cantonale. Toutefois, dès lors qu'il n'appartient pas au juge de la détention de procéder à une pesée complète des éléments à charge et à décharge, d'établir les faits constitutifs d'infractions, puis de les qualifier juridiquement (arrêt 1B_249/2013 du 12 août 2013 consid. 5.1), ces faits ne sont pas déterminants pour l'examen de la présente cause.
Quant à l'absence de mention du jugement du Tmc du 29 avril 2013 ordonnant la mise en liberté du recourant et des mesures de substitution, il sied de rappeler qu'il a été annulé par la Chambre pénale de recours le 8 mai 2013, seul prononcé décisif. Or, celui-ci constatait l'existence d'un risque de réitération.
Partant, le grief relatif à l'établissement des faits doit être écarté.
3.
Une mesure de détention préventive n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 2c p. 270). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP).
Préalablement à l'examen de ces hypothèses, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (<ref-law>; art. 5 par. 1 let. c CEDH; arrêt 1B_63/2007 du 11 mai 2007 consid. 3 non publié in <ref-ruling>). La réalisation de cette condition n'est pas contestée en l'espèce, le recourant ayant reconnu avoir été présent au moment des faits reprochés et pour lesquels il a été mis en prévention de brigandage aggravé, ainsi que d'assassinat.
4.
Invoquant des violations des articles 212 et 221 CPP, le recourant conteste l'existence d'un risque de récidive. Il soutient que la Chambre pénale de recours se serait substituée sans fondement à l'expert psychiatre, retenant arbitrairement que le rapport complémentaire de ce dernier aurait été rédigé "avec plus de précipitation que d'approfondissement".
4.1. Aux termes de l'art. 221 al. 1 let. c CPP, la détention provisoire peut être ordonnée lorsqu'il y a lieu de craindre que le prévenu compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre.
Selon la jurisprudence, il convient de faire preuve de retenue dans l'appréciation du risque de récidive: le maintien en détention ne peut se justifier pour ce motif que si le pronostic est très défavorable et si les délits dont l'autorité redoute la réitération sont graves (<ref-ruling> consid. 4.5 p. 21; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 73; arrêt 1B_103/2013 du 27 mars 2013 consid. 5.1). Le jurisprudence se montre moins sévère dans l'exigence de vraisemblance lorsqu'il s'agit de délits de violence graves, car le risque à faire courir aux victimes potentielles est alors considéré comme trop important; en pareil cas, il convient de tenir compte de l'état psychique du prévenu, de son imprévisibilité ou de son agressivité (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 129 s.; 23 I 268 consid. 2e p. 271).
Bien qu'une application littérale de l'art. 221 al. 1 let. c CPP suppose l'existence d'antécédents, le risque de réitération peut être également admis dans des cas particuliers alors qu'il n'existe qu'un antécédent, voire aucun dans les cas les plus graves. La prévention du risque de récidive doit en effet permettre de faire prévaloir l'intérêt à la sécurité publique sur la liberté personnelle du prévenu (<ref-ruling> consid. 3 à 4 p. 18 ss; arrêt 1B_133/2011 du 12 avril 2011 consid. 4.7 in SJ 2011 I p. 487). Le risque de réitération peut également se fonder sur les infractions faisant l'objet de la procédure pénale en cours, si le prévenu est fortement soupçonné - avec une probabilité confinant à la certitude - de les avoir commises (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 86 et les références citées).
4.2. Selon la jurisprudence, le juge apprécie en principe librement une expertise et n'est pas lié par les conclusions de l'expert. Toutefois, il ne peut s'en écarter que lorsque des circonstances ou des indices importants et bien établis en ébranlent sérieusement la crédibilité. Il est alors tenu de motiver sa décision de ne pas suivre le rapport d'expertise (<ref-ruling> consid. 5.6 in fine p. 61; <ref-ruling> consid. 4.2.3 p. 391 et les références citées). Si les conclusions d'une expertise judiciaire apparaissent douteuses sur des points essentiels, le juge doit recueillir des preuves complémentaires pour tenter de dissiper ses doutes. A défaut, en se fondant sur une expertise non concluante, il pourrait commettre une appréciation arbitraire des preuves et violer l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 547 s.; <ref-ruling> consid. 1c p. 146).
4.3. En l'occurrence, l'expert a considéré que le risque de réitération était faible à court terme tant dans son rapport du 28 mars 2013 que dans son complément du 23 juillet 2013, le second tenant compte de la condamnation du recourant de janvier 2012. Selon le psychiatre, ce risque pouvait être réduit si un suivi socio-judiciaire par le Service de probation était mis en place. S'agissant de l'évaluation à long terme, l'expert a réservé, dans ses deux rapports, ses conclusions en fonction de l'évolution de l'intégration psychosociale de l'expertisé. Dans son rapport complémentaire, le psychiatre a encore précisé que le risque de réitération dépendait aussi de la récidive dans la consommation de cannabis et a constaté que le recourant ne prenait toujours aucun traitement médicamenteux.
L'expert n'a pas exclu tout risque de récidive et ce n'est donc que sur l'appréciation de celui-ci que la Chambre pénale de recours s'est distancée des deux rapports. De manière conforme à la jurisprudence, elle a expliqué de façon détaillée pourquoi, selon elle, ce risque n'était pas négligeable. Ainsi, l'instance précédente a rappelé que le 4 février 2011, le recourant - alors âgé de dix-sept ans - avait identifié une vendeuse de stupéfiants, échafaudé un plan pour lui dérober sa "marchandise", puis l'avait agressée en se munissant d'un spray. Il avait été condamné par le Tribunal des mineurs en janvier 2012 et si une peine légère avait été prononcée par cette autorité, cela se justifiait à ce moment-là par l'entourage du recourant, par le suivi de son cursus scolaire et par la prise de conscience de la gravité de ses actes. Les juges cantonaux ont ensuite relevé que sept mois plus tard, le recourant avait pourtant pris l'initiative d'une agression d'un genre identique, "mais connaissant une escalade certaine en termes d'organisation et de violence". Selon la cour cantonale, ces circonstances laissaient accroire, contrairement notamment aux conclusions de l'expertise, que le recourant n'avait rien appris de ses premiers errements. Les arguments du recourant ne permettent pas de remettre ce raisonnement en cause. En effet, les circonstances favorables alléguées par ce dernier devant le Tribunal fédéral ("projet scolaire pas totalement interrompu", "cadre familial sain et soutenant, malgré ses carences", absence de "graves critères de dangerosité", expression de "regrets authentiques") et qui existaient déjà en janvier 2012, ne l'ont pourtant pas empêché d'adopter en septembre 2012 de nouveaux comportements fautifs. Ces derniers sont d'autant plus inquiétants qu'ils sont similaires à ceux jugés en janvier 2012 (agression en vue d'obtenir de la drogue) et démontrent une aggravation du mode opératoire (commission à plusieurs et sans que la présence d'un tiers ne les stoppe).
Au vu de ces considérations et au regard de la particulière gravité des actes reprochés, la Chambre pénale de recours n'a pas violé le droit fédéral en retenant l'existence d'un risque de réitération.
4.4. En conséquence et conformément au principe de proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst.), il convient d'examiner les possibilités de mettre en oeuvre d'autres solutions moins dommageables que la détention. Cette exigence est concrétisée par l'<ref-law>, qui prévoit que le tribunal compétent ordonne une ou plusieurs mesures moins sévères en lieu et place de la détention si celles-ci permettent d'atteindre le même but.
Contrairement à ce que prétend le recourant, l'instance précédente n'a pas estimé que le suivi thérapeutique préconisé par l'expert psychiatre était insuffisant, mais elle a retenu qu'aucune démarche concrète en vue de sa mise en oeuvre n'avait été réellement entreprise par le recourant. Ce raisonnement ne peut être critiqué. En effet, l'attestation de l'obtention d'un rendez-vous en date du 15 août 2013 auprès d'un psychiatre ne permet ni d'établir que celui-ci aurait effectivement eu lieu, ni qu'une thérapie aurait été entamée; cela vaut d'autant plus que le recourant ne prétend pas le contraire devant le Tribunal de céans. Quant au courrier de la Fondation Phénix, il fait état de la possibilité pour cette institution d'"envisager la prise en charge thérapeutique" du recourant "sous réserve des conclusions de [leur] phase évaluative", celle-ci permettant de juger si la thérapie qui y est proposée pourrait répondre au besoin du recourant; au regard de cette formulation, il ne peut en être déduit aucune assurance de prise en charge future. Dès lors, en l'absence de tout suivi médical actuel ou de réelles perspectives d'une mise en oeuvre d'un traitement, les quelques circonstances favorables invoquées par le recourant (entourage, cursus scolaire et regrets) - dont on rappellera qu'elles n'ont pas suffi à empêcher le recourant d'agir en septembre 2012 - ne garantissent pas que les mesures de substitution proposées par celui-ci soient suffisantes et adéquates pour pallier tout risque de récidive. Enfin, la durée de la détention provisoire reste à ce jour proportionnée au vu des chefs de prévention retenus à ce stade de l'instruction (art. 140 ch. 1, ch. 3 et 4, 111 et 112 CP).
Par son raisonnement, la cour cantonale ne viole en outre ni le principe d'égalité de traitement (art. 8 Cst.), ni celui de la présomption d'innocence (<ref-law> et 6 CEDH). S'agissant du premier, il est violé lorsque ce qui est semblable n'est pas traité de manière identique et lorsque ce qui est dissemblable ne l'est pas de manière différente (<ref-ruling> consid. 3.6.1 p. 229 s. et les références citées). Or, en l'occurrence, toute comparaison avec la situation prévalant pour le co-prévenu B._ est dénuée de pertinence. En effet, l'expert psychiatre ayant examiné ce dernier n'a proposé aucune mesure spécifique et uniquement indiqué qu'un traitement serait souhaitable. De plus, étant dans un internat, B._ bénéficie d'un cadre pouvant assurer un meilleur suivi tant de son cursus scolaire que de la thérapie à laquelle il a déclaré vouloir se soumettre, notamment par rapport aux contrôles d'abstinence. Quant au second principe, l'instance précédente se limite à relever que les actes "élaborés" par le recourant étaient finalement extrêmement violents. Une telle appréciation résulte tout d'abord des déclarations du recourant, puisqu'il a admis avoir "eu l'idée de se rendre chez [la victime] qui était un dealer afin de lui dérober de la marijuana", ajoutant qu'ils avaient "planifié le rôle que chacun devait tenir ce soir-là", notamment qui devait maîtriser la victime (cf. les auditions du 14 novembre, du 15 novembre et du 22 novembre 2012). Il est ensuite incontesté que la victime a été frappée, qu'elle a perdu conscience et qu'elle est décédée quelques jours plus tard sans avoir repris connaissance. Ce faisant, les juges ne vont pas au-delà ce que le recourant a lui-même reconnu. Ils ne donnent aucune qualification juridique des faits, ne procèdent à aucune évaluation du degré de participation des trois prévenus lors de l'agression et n'établissent pas de lien de causalité entre le décès de la victime et les coups reçus; ils ne préjugent donc pas du rôle tenu par le recourant.
Au vu de ces considérations, la Chambre pénale de recours n'a pas violé le droit fédéral en retenant que seule la détention provisoire permettait d'exclure un risque de récidive.
5.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Laura Caruso en qualité d'avocate d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Laura Caruso est désignée comme avocate d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 11 octobre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf