Faits:
A.
S._ a été affiliée auprès d'une caisse de compensation en qualité d'indépendante du 1 er avril 1992 au 31 décembre 2008. Le 8 décembre 2010, elle a requis l'octroi d'une indemnité de chômage en indiquant avoir travaillé du 1er janvier 2009 au 23 janvier 2010 pour le compte de X._ Sàrl (ci-après: la société), exploitant une boutique à Z._.
Par décision du 9 mars 2011, confirmée sur opposition le 23 août 2011, la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage a nié le droit de S._ à une indemnité de chômage au motif qu'elle ne remplissait pas les conditions relatives à la période de cotisation. Elle a retenu que selon une attestation établie le 17 décembre 2010 par la Caisse cantonale de compensation à Neuchâtel, S._ n'avait bénéficié d'aucun salaire durant son activité auprès de la société X._ Sàrl.
B.
S._ a recouru devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de Neuchâtel.
Par jugement du 17 juillet 2012, la juridiction cantonale a admis le recours, annulé la décision sur opposition du 23 août 2011 et dit que S._ remplissait les conditions relatives à la période de cotisation durant le délai-cadre s'étendant du 8 décembre 2008 au 7 décembre 2010.
C.
La caisse interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Elle conclut au "renvoi de la cause à l'autorité précédente ou à l'autorité de première instance pour nouvelle décision dans le sens des considérants". A titre préalable, elle requiert que l'effet suspensif soit accordé au recours.
S._ conclut au rejet du recours. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (Seco) recommande l'admission de ce dernier.
D.
Par ordonnance du 31 janvier 2013, la requête d'effet suspensif a été admise.

Considérant en droit:
1.
Formellement, la caisse conclut à l'annulation du jugement attaqué assortie du renvoi de la cause à la juridiction cantonale ou à elle-même. Les conclusions du recours doivent toutefois s'interpréter au regard de ses motifs et de son argumentation (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 414). Or, il ressort du mémoire de recours que la caisse demande uniquement la confirmation de sa décision sur opposition du 23 août 2011, à savoir que le droit à l'indemnité de chômage soit refusé à l'intimée.
2.
Le litige porte sur le droit de l'intimée à l'indemnité de chômage à partir du 8 décembre 2010.
3.
Selon l'article 8 al. 1 lit. e LACI, l'assuré a droit à l'indemnité de chômage s'il remplit les conditions relatives à la période de cotisation ou en est libéré (art. 13 et 14 LACI). Celles-ci sont satisfaites par celui qui, dans les limites du délai-cadre prévu à cet effet (<ref-law>), a exercé durant douze mois au moins une activité soumise à cotisation (<ref-law>). Selon une jurisprudence publiée au DTA 2001 p. 225 ss [arrêt C 279/00 du 9 mai 2001], parmi les conditions relatives à la période de cotisation, la disposition de l'<ref-law> présupposait non seulement que l'assuré ait effectivement exercé une activité soumise à cotisation, mais également que l'employeur lui ait versé réellement un salaire pour cette activité. Cette jurisprudence a cependant été précisée par l'arrêt <ref-ruling>, dont il ressort que la seule condition du droit à l'indemnité de chômage est, en principe, que l'assuré ait exercé une activité soumise à cotisation pendant la période minimale de cotisation, la preuve qu'un salaire a bel et bien été payé demeurant seulement un indice important de la preuve de l'exercice effectif d'une activité salariée. Dans ce même arrêt, le Tribunal fédéral des assurances a aussi indiqué que lorsque l'assuré ne parvient pas à prouver qu'il a effectivement perçu un salaire, notamment en l'absence de virement périodique d'une rémunération sur un compte bancaire ou postal à son nom, le droit à l'indemnité de chômage ne pourra lui être nié en application des articles 8 al. 1 let. e et 13 LACI que s'il est établi que celui-ci a totalement renoncé à la rémunération pour le travail effectué (cf. consid. 3.3 p. 452).
4.
En application de cette jurisprudence, les premiers juges ont considéré que du moment que l'intimée avait exercé une activité soumise à cotisation d'une durée suffisante, le droit à l'indemnité de chômage ne pouvait lui être refusé, si bien que la caisse devait procéder à son indemnisation.
5.
La recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits en retenant que l'intimée avait exercé une activité salariée pour le compte de la société du 1 er janvier 2009 au 23 janvier 2010. Il ressortait en effet d'un extrait du registre du commerce de Neuchâtel et de la FOSC du 19 novembre 2009 que le 13 novembre 2009, l'intéressée avait succédé à sa fille en qualité d'associée-gérante de la société, de sorte qu'à partir de cette date au plus tard, elle n'était plus salariée mais était redevenue indépendante. Dès lors que l'intimée ne pouvait pas se prévaloir d'une période de cotisation de douze mois au moins pendant le délai-cadre s'étendant du 8 décembre 2008 au 7 décembre 2010, les premiers juges avaient violé le droit fédéral en retenant qu'elle remplissait les conditions relatives à la période de cotisation.
Pour sa part, le Seco fait valoir qu'en renonçant délibérément à percevoir un salaire pour les années 2009 et 2010 afin de "développer le commerce", l'intimée avait manifesté sa volonté d'agir en tant qu'entrepreneur et non pas en qualité de salariée de la société.
6.
En l'espèce, il ressort des constatations de la juridiction cantonale que l'intimée a renoncé à toute rémunération pour son activité déployée au cours des années 2009 et 2010 au sein de la société en raison des charges pesant sur celle-ci. Pour ce motif déjà, l'activité exercée par l'intimée pour le compte de la société ne pouvait être considérée comme une activité soumise à cotisation au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> précité). On ajoutera que selon les indications figurant au registre du commerce, accessibles par internet - qui sont des faits notoires que le Tribunal fédéral peut librement prendre en compte (cf. <ref-ruling> cosid. 4.1 p. 89; arrêt 2C_199/2012 du 23 novembre 2012) -, l'intimée est devenue, en date du 13 novembre 2009, l'unique associée-gérante de la société. On peut en inférer qu'elle entendait désormais exploiter celle-ci à son propre compte, ce qui est de nature à expliquer sa renonciation, dans la perspective d'une amélioration future de la situation de la boutique. Compte tenu de ce qui précède, c'est à tort que les premiers juges ont admis que l'intimée avait exercé, durant le délai-cadre applicable, une activité soumise à cotisation pendant douze mois au moins (cf. <ref-law>).
Le recours doit être admis et le jugement attaqué annulé, sans qu'il n'y ait lieu de renvoyer la cause à la recourante ou à l'autorité précédente (cf. consid. 1 supra).
7.
L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Par ailleurs, contrairement à ses conclusions, la recourante ne saurait prétendre des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis. La décision du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, du 17 juillet 2012 est annulée et la décision sur opposition de la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage du 23 août 2011 confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 18 juin 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Ursprung
La Greffière: Fretz Perrin