Sachverhalt:
A. Im Rahmen fürsorgerischer Freiheitsentziehung wurde X._ am 3. Juli 2003 in die Psychiatrische Klinik A._ eingewiesen. Ihr Gesuch um Entlassung wurde am 27. August 2003 abgelehnt. Die anschliessenden Rechtsmittelverfahren blieben ohne Erfolg (zuletzt: Urteil des Bundesgerichts 5C.218/2003 vom 4. Dezember 2003).
Nach Erhalt des bundesgerichtlichen Urteils stellte X._ am 16. Dezember 2003 ein Gesuch um sofortige Aufhebung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung und Entlassung aus der Klinik. Das Gesuch wurde mit Urteil vom 18. Juni 2004 kantonal letztinstanzlich abgewiesen.
Am 30. Juni 2004 verlangte X._ erneut ihre Entlassung. Der Gemeinderat G._ trat auf ihr Gesuch nicht ein (Beschluss vom 6. Juli 2004). Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Urteil vom 16. August 2004).
B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde beantragt X._ dem Bundesgericht in der Sache, das Urteil des Verwaltungsgerichts und den Beschluss des Gemeinderats aufzuheben und das Verwaltungsgericht, eventualiter den Gemeinderat anzuweisen, das Entlassungsgesuch umgehend und rasch zu behandeln. Der Gemeinderat sei ferner sofort, superprovisorisch und vorsorglich anzuweisen, die Freiheitsentziehung mit sofortiger Wirkung aufzuheben. Die Beschwerdeführerin stellt weitere Anträge zum Verfahren und ersucht um unentgeltliche Rechtspflege vor Bundesgericht. Es wurden die kantonalen Akten eingeholt, aber keine Vernehmlassungen angefordert.
C. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um sofortige Entlassung aus der Klinik ist abgewiesen worden (Präsidialverfügung vom 22. September 2004). Mit Urteil vom heutigen Tag hat die II. Zivilabteilung die gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 18. Juni 2004 eingelegten Bundesrechtsmittel abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte (Urteile 5P.317/2004 und 5C.171/2004).

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. In formeller Hinsicht kann auf die Ausführungen in dem die Beschwerdeführerin betreffenden Urteil 5P.317/2004 verwiesen werden. Nicht eingetreten werden kann namentlich auf die staatsrechtliche Beschwerde, soweit damit der Beschluss des Gemeinderats mitangefochten wird (E. 1.2 dortselbst) und soweit zur Begründung der Verfahrensanträge (Ziff. 14) und der Bestreitung der verwaltungsgerichtlichen Sachdarstellung (vorab in Ziff. 1) einfach auf die Ausführungen in sämtlichen kantonalen Akten des heutigen und aller früheren Verfahren verwiesen wird (E. 3.2 dortselbst).
2. Das Verwaltungsgericht hat dafürgehalten, das Recht, jederzeit die Entlassung zu verlangen, gelte nur, wenn an der Beurteilung des entsprechenden Gesuchs ein schutzwürdiges Interesse bestehe. Daran könne es namentlich fehlen, wenn Entlassungsgesuche in unvernünftigen Abständen bzw. in querulatorischer Weise gestellt würden. Das Verwaltungsgericht hat deshalb geprüft, ob sich seit der letzten materiellen Beurteilung des Entlassungsgesuchs vom 18. Juni 2004 die Verhältnisse derart verändert hätten, dass auf das Entlassungsgesuch vom 30. Juni 2004 materiell einzutreten gewesen wäre. Es hat die Frage verneint (E. 3 und 4 S. 7 ff.). Dagegen wendet sich die Beschwerdeführerin (vorab in Ziff. 6-11).
2.1 In rechtlicher Hinsicht kann auf die zutreffenden Ausführungen des Verwaltungsgerichts verwiesen werden:
2.1.1 Die Beschwerdeführerin ist befugt, "jederzeit" die Entlassung aus der Anstalt zu verlangen. Zwar hat die Expertenkommission sich mit der Frage beschäftigt, ob für das Entlassungsgesuch eine Sperrfrist vorzusehen sei, doch hat der Bundesrat mit Rücksicht auf die Unverzichtbarkeit und Unverjährbarkeit der persönlichen Freiheit davon abgesehen, eine solche Bestimmung in den Entwurf zu einem Bundesgesetz über die fürsorgerische Freiheitsentziehung aufzunehmen. Ein Entlassungsgesuch sollte jederzeit möglich sein (Botschaft, BBl 1977 III 1, S. 38); infolgedessen kann auch immer wieder der Richter angerufen werden, wenn die Entlassung verweigert wird (<ref-law>; Deschenaux/Steinauer, Personnes physiques et tutelle, 4.A. Bern 2001, N. 1192 S. 446 und N. 1210 S. 450 f.). Die Wahrnehmung dieses Rechts steht freilich - wie die Rechtsausübung schlechthin - unter dem Vorbehalt des Handelns nach Treu und Glauben. Auf in unvernünftigen Abständen erhobene Klagen ist mangels Rechtsschutzinteresses nicht einzutreten (Spirig, Zürcher Kommentar, 1995, N. 63 zu <ref-law>; Geiser, Basler Kommentar, 2002, N. 28 Abs. 2 zu <ref-law>).
2.1.2 Weder aus dem Anspruch auf Haftprüfung gemäss Art. 5 Ziff. 4 EMRK noch aus der gleichlaufenden Garantie in <ref-law> folgt etwas Abweichendes: Ist der Freiheitsentzug von persönlichen Eigenschaften (z.B. Geisteskrankheit) oder sonstigen veränderlichen Umständen abhängig, besteht ein Recht auf Haftprüfung in "angemessenen" bzw. "vernünftigen Abständen" (Frowein/Peukert, Europäische Menschenrechtskonvention, EMRK-Kommentar, 2.A. Kehl/Strassburg/ Arlington 1996, N. 136 zu Art. 5 EMRK; Vest, in: Schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, Zürich/Basel/Genf/Lachen 2002, N. 31 zu <ref-law>; Hottelier, Les garanties de procédure, in: Verfassungsrecht der Schweiz, Zürich 2001, § 51 N. 43 f. S. 819 f., mit Hinweisen; aus der Rechtsprechung, z.B. <ref-ruling> E. 2c S. 4/5). Es ist somit zulässig, bei offensichtlich unzulässigen Beschwerden die Häufigkeit von Rekursen zu begrenzen (Schürmann, Die Gesetzgebung über die fürsorgerische Freiheitsentziehung in ihrer praktischen Anwendung im Lichte von Art. 5 EMRK, in: Die sozialpsychiatrische Gesetzgebung. Eine Bilanz, Fribourg 1992, S. 31 ff., S. 42 bei Anm. 40; aus der Rechtsprechung, z.B. <ref-ruling> E. 4b/bb S. 31). Für die Frage, welche Abstände zwischen periodischen Haftprüfungen als "angemessen" anzusehen sind, kommt es auf die Verhältnisse des konkreten Einzelfalls und auf die Besonderheiten der anwendbaren Prozessvorschriften an. Während relativ lange Abstände angebracht und zulässig sind, wenn es sich um die Unterbringung eines Geisteskranken handelt, dürfen diese Abstände nur verhältnismässig kurz sein, wenn der Betroffene sich unter dem Verdacht der Begehung einer Straftat in Untersuchungshaft befindet. Dort ändern sich die Umstände nämlich meist nur mittelfristig, hier dagegen vermögen neue Beweismittel den Haftgrund auch kurzfristig zu beseitigen (Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention (EMRK), 2.A. Zürich 1999, S. 232 N. 369; aus der Rechtsprechung, z.B. <ref-ruling> E. 4c S. 38).
2.1.3 Die Behauptung der Beschwerdeführerin, in rechtlicher Hinsicht bestehe ein uneingeschränktes Recht, Entlassungsgesuche zu stellen und gesuchsabweisende Entscheide gerichtlich beurteilen zu lassen, findet weder in bundesgesetzlichen Bestimmungen noch in verfassungsrechtlichen Grundsätzen eine Stütze.
2.2 Strittig ist die Anwendung dieser Grundsätze im konkreten Einzelfall auf Grund der gesamten Umstände tatsächlicher Art:
2.2.1 Das Verwaltungsgericht hat vorweg auf seine letzte materielle Beurteilung eines Entlassungsgesuchs hingewiesen und Folgendes festgehalten: Bei der Beschwerdeführerin liege eine Geisteskrankheit vor. Eine akute Selbst- oder Fremdgefährung im Sinne von Suizidalität bei Überforderung oder drohender Gewaltanwendung sei nicht gegeben, hingegen könne Suizidalität bei Überforderung zufolge ungenügend vorbereiteter Klinikentlassung schnell entstehen, und es müsse von Selbstgefährdung im Sinne von Selbstdestruktion gesprochen werden, lebe die Beschwerdeführerin doch in massiver sozialer Isolation sowie schwerer seelischer und affektiver Verwahrlosung. Eine Entlassung aus der Klinik sei - nach dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit - erst in Betracht zu ziehen, wenn das vom Gutachter aufgezeigte Problemlösungssystem für ein Leben ausserhalb der Klinik effektiv installiert und tragfähig vorhanden sei. Das Problemlösungssystem beinhalte eine professionell begleitete Wohnlösung, eine gute Tagesstruktur, am besten an einem geschützten Arbeitsplatz, eine angemessene ärztlich-therapeutische Behandlung inklusive Einnahme der nötigen Medikamente, eine beistandschaftliche oder vormundschaftliche Unterstützung sowie die klare Bereitschaft, die Unterstützung durch das Helfersystem konstruktiv zu nutzen. Die Erarbeitung des Problemlösungssystems müsse in der Klinik erfolgen (E. 4.2 S. 8 f. des angefochtenen Urteils).
2.2.2 In Beurteilung der Frage nach einer zwischenzeitlich eingetretenen Änderung der Verhältnisse hat das Verwaltungsgericht festgehalten, das vom Gutachter aufgezeigte Problemlösungssystem greife noch in keiner Weise. Es liege zwar die Erklärung eines Psychiaters vor, die ambulante Behandlung zu übernehmen. Hingegen sei weder die verordnungsgemässe Einnahme von Medikamenten gewährleistet noch bestünden Möglichkeiten oder auch blosse Vorschläge hinsichtlich der Unterbringung, einer Tagesstruktur und eines geschützten Arbeitsplatzes. Auch habe die vormundschaftliche Massnahme bisher, insbesondere angesichts der Opposition der Beschwerdeführerin, nicht errichtet werden können. Aus früheren Verfahren der seit Februar 2002 immer wieder in Kliniken behandelten Beschwerdeführerin werde zudem deutlich, dass es ihr wesentlich an Krankheitseinsicht und Kooperationsbereitschaft fehle (E. 4.3 S. 9 des angefochtenen Urteils).
2.2.3 Was die Beschwerdeführerin gegen diese Beurteilung einwendet, ist nicht stichhaltig. Dass ein Arzt bereit ist, sie ausserhalb der Klinik zu behandeln, genügt gemäss dem letzten Sachverständigengutachten vom 1. Juni 2004 nicht. Danach bedarf die Beschwerdeführerin für ein Leben ausserhalb des geschützten Rahmens einer Klinik besonderer Fürsorge und kann in der Gestaltung ihrer Lebensverhältnisse vorerst noch nicht allein gelassen werden. Der gutachterliche Schluss wird durch die Geschehnisse nach zwei früheren Entlassungen aus der Klinik gestützt. Nach ihrer ersten Entlassung am 22. November 2002 ist die Beschwerdeführerin freiwillig in der Klinik geblieben und hat nach ihrem Austritt in einem Kur- und Ferienheim, in psychiatrischen Kliniken oder Hotels gelebt, bis sie am 13. Mai 2003 wieder in die Psychiatrische Klinik A._ eingewiesen werden musste. Nach ihrer zweiten Entlassung am 4. Juni 2003 hat sich die Beschwerdeführerin keine vier Wochen ausserhalb der Klinik zu halten vermocht und bereits am 3. Juli 2003 ihren Angaben zufolge wegen Angstzuständen einen Arzt aufgesucht, der sie gleichentags in die Psychiatrische Klinik A._ einweisen musste (E. 4.1 S. 7 f. des angefochtenen Urteils und E. 4.3 des zit. Urteils 5C.171/2004). Allein schon auf Grund dieser Vorkommnisse erscheint es nicht als verfassungswidrig, dass das Verwaltungsgericht angenommen hat, über eine Entlassung sei nicht mehr zu befinden, bevor nicht die Massnahmen getroffen seien, die der Beschwerdeführerin zu einem menschenwürdigen Dasein und einem inskünftig selbstbestimmten und eigenverantwortlichen Leben ausserhalb des Klinikrahmens verhelfen könnten. Dass diese Voraussetzungen zur Zeit noch nicht gegeben sind und daran noch gearbeitet wird und werden muss, steht mit Rücksicht auf die unangefochtenen Tatsachenfeststellungen des Verwaltungsgerichts fest. Gegenteiliges wird von der Beschwerdeführerin - abgesehen vom Hinweis auf die ärztliche Nachbehandlungsmöglichkeit - auch nicht behauptet.
2.3 Aus den dargelegten Gründen muss die staatsrechtliche Beschwerde abgewiesen werden, soweit sie die Frage des Eintretens auf wiederholte Entlassungsgesuche der Beschwerdeführerin betrifft.
3. Das Verwaltungsgericht hat über die Eintretensfrage entschieden und es abgelehnt, direkt anstelle des Gemeinderats über die Entlassung materiell zu entscheiden (E. 2 S. 6 f.). Die Beschwerdeführerin bezieht sich in ihrer Eingabe auch darauf (vorab in Ziff. 3 bis 5).
Das Verwaltungsgericht ist davon ausgegangen, die Beschwerde sei ohne materielle Prüfung des Entlassungsgesuchs abzuweisen, falls der Gemeinderat zu Recht einen Nichteintretensbeschluss gefasst habe (unter Verweis auf Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2.A. Zürich 1998, N. 410 ff.). Es hat sich auf den Prozessgrundsatz gestützt, dass die zweite Instanz Gegenstände nicht beurteilen darf, über die die erstinstanzlich verfügende Behörde nicht entschieden hat und über welche sie nicht entscheiden musste (vgl. Kölz/Häner, a.a.O., N. 404 f.).
Mit den prozessrechtlichen Überlegungen befasst sich die Beschwerdeführerin nicht näher. Sie erneuert vielmehr ihren Einwand, es gebe keine erstinstanzliche Entlassungsbehörde bzw. es sei verfassungs- und konventionswidrig der gerichtlichen Beurteilung des Entlassungsgesuchs ein Verwaltungsverfahren vorzuschalten. Die Beschwerdeführerin will behaupten, aus dem Recht auf gerichtliche Haftprüfung folge, dass das Entlassungsgesuch direkt dem Gericht eingereicht werden könne und nicht vorgängig von der Anstalt bzw. der Einweisungsbehörde zu beurteilen sei. Sie nimmt Bezug auf <ref-ruling> Nr. 65 (Berufung), der sich zu den bundesrechtlichen Vorgaben hinsichtlich des Rechts zur Anrufung des Gerichts äussert. Der Sache nach geht es der Beschwerdeführerin um die verfassungs- und konventionskonforme Auslegung der Zuständigkeitsregelung in <ref-law> (Entlassungskompetenz). Die Frage ist mit eidgenössischer Berufung aufzuwerfen, der die staatsrechtliche Beschwerde nachgeht (Art. 84 Abs. 2 OG; vgl. im Einzelnen: zit. Urteile 5P.317/2004, E. 4, und 5C.171/2004, E. 1.2). Auf die Rüge kann nicht eingetreten werden (vgl. dazu im Übrigen: Villiger, a.a.O., S. 233 N. 370).
4. Die Beschwerdeführerin rügt (Ziff. 12), das Verwaltungsgericht habe zu Unrecht und in Verletzung verschiedener Bestimmungen die beantragte parteiöffentliche Verhandlung nicht durchgeführt. Mit den Gründen, die das Verwaltungsgericht für die Abweisung des entsprechenden Antrags genannt hat (E. 7 S. 10 f.), setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Darauf kann nicht eingetreten werden (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; BGE 130 Ia 258 E. 1.3 S. 261).
5. Die staatsrechtliche Beschwerde muss aus den dargelegten Gründen abgewiesen werden, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin wird damit kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Die vorstehenden Erwägungen, wonach die Vorbringen der Beschwerdeführerin zur Hauptsache unzulässig (E. 1, 3 und 4) und für den Rest unbegründet (E. 2) sind, verdeutlichen, dass die gestellten Rechtsbegehren von Beginn an keinen Erfolg haben konnten. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege muss deshalb abgewiesen werden (Art. 152 OG). Aus dem gleichen Grund besteht für die beantragte Durchführung einer mündlichen Verhandlung vor Bundesgericht (Rechtsbegehren-Ziff. 6) kein Anlass.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2004
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: