Fatti:
A.
Con decreto ingiuntivo 30 settembre 2011, dichiarato provvisoriamente esecutivo giusta l'<ref-law> italiano, il Tribunale ordinario di Milano ha ingiunto all'impresa ticinese B._SA di pagare alla società italiana A._S.p.A. euro 235'618.06 oltre interessi e spese giudiziarie, specificando che il debitore ingiunto aveva diritto di proporre la sua opposizione entro il termine di 40 giorni dalla notifica e che in mancanza di una tale opposizione il decreto sarebbe divenuto definitivo.
A._S.p.A. ha chiesto ed ottenuto dal Pretore del Distretto di Lugano il riconoscimento e l'esecutività in Svizzera del decreto ingiuntivo nonché il sequestro di specificati beni di pertinenza di B._SA fino a concorrenza del credito risultante dal predetto decreto.
B.
Con reclamo 26 marzo 2012 B._SA ha chiesto alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino di negare l'esecutività in Svizzera al decreto ingiuntivo e di annullare il sequestro dei suoi beni. Dopo lo scambio degli allegati scritti e dopo il dibattimento del 19 novembre 2012 dinanzi al Tribunale d'appello, B._SA ha sollecitato, con scritto 23 maggio 2013, l'evasione del suo reclamo, e ha portato all'attenzione della Corte cantonale il Regolamento UE n. 1215/2012, e in particolare il suo art. 2 lett. a cpv. 2, osservando che " non è ancora entrato in vigore ma appare innegabile che si tratta di una espressa precisazione di quanto in vigore nel regolamento 44 (di cui i Tribunali svizzeri, anche per la CLug, cercano di tenerne conto e di applicare in modo uniforme), circostanza questa, da sempre sostenuta da parte opponente ". Il 14 agosto 2013 B._SA ha anche trasmesso alla Corte cantonale una sentenza estera sul tema che era oggetto della procedura tra le parti, ribadendo le sue " conclusioni ma anche la conformità del diritto Svizzero con quello europeo, in particolare su questo specifico tema ".
Con sentenza 14 agosto 2013 il Tribunale d'appello, in accoglimento del predetto reclamo, ha respinto l'istanza volta ad ottenere il riconoscimento e l'esecutività in Svizzera del decreto ingiuntivo e ha annullato il sequestro.
C.
Con ricorso in materia civile 18 settembre 2013 A._S.p.A. ha chiesto al Tribunale federale, previo conferimento dell'effetto sospensivo al ricorso, di annullare la sentenza del Tribunale d'appello e di riformarla nel senso che il reclamo di B._SA sia respinto, in via subordinata di retrocedere l'incarto all'autorità inferiore per nuovo giudizio. La ricorrente ha lamentato la violazione del suo diritto di essere sentita, nonché la lesione degli art. 32 e 34 CLug (RS 0.275.12).
Invitata ad esprimersi sull'istanza di concessione dell'effetto sospensivo, l'opponente ne ha proposto la reiezione e ha al contempo presentato istanze di adozione di misure cautelari, di prestazione di garanzie per eventuali spese ripetibili ex <ref-law>, di costituzione di garanzie ex <ref-law> e di assistenza giudiziaria (con gratuito patrocinio) ex <ref-law>. Con decreto presidenziale 3 ottobre 2013 al ricorso è stato conferito il postulato effetto sospensivo e le istanze dell'opponente di adozione di misure cautelari e di prestazione di garanzie per eventuali spese ripetibili ex <ref-law> sono state respinte, ed è stato inoltre precisato che le rimanenti istanze dell'opponente sarebbero state decise con la sentenza sul ricorso.
Con risposta 16 ottobre 2013 l'autorità inferiore ha preso posizione sul gravame, rinviando ai considerandi della propria decisione e rimettendosi al giudizio del Tribunale federale in merito alla pretesa violazione del diritto di essere sentita della ricorrente. Con risposta 25 ottobre 2013 l'opponente ha chiesto la reiezione del ricorso, nonché la revoca dell'effetto sospensivo e " in via cautelare " l'espunzione di alcuni documenti ed allegazioni addotti dalla ricorrente.

Diritto:
1.
La sentenza impugnata, con cui il tribunale superiore del Cantone Ticino (Allegato III CLug) ha accolto un ricorso ai sensi dell'<ref-law>, è suscettiva di un ricorso in materia civile (<ref-law> in relazione con gli art. 72 cpv. 2 lett. b n. 1 e 75 cpv. 1 LTF), atteso che anche il valore di lite supera la soglia prevista dall'<ref-law>. Il gravame, tempestivo (<ref-law>) ed inoltrato dalla parte soccombente nella sede cantonale (<ref-law>), è pertanto in linea di principio ammissibile.
2.
2.1. La ricorrente censura la violazione del suo diritto di essere sentita, lamentando di non aver ricevuto copia degli scritti 23 maggio e 14 agosto 2013 che l'opponente ha trasmesso al Tribunale d'appello e di non aver quindi avuto la possibilità di replicare agli stessi.
2.2. Il diritto di essere sentito è una garanzia costituzionale (<ref-law>) formale, la cui violazione implica in linea di principio l'annullamento della decisione impugnata, a prescindere dalle possibilità di successo nel merito. Tale censura deve pertanto essere esaminata in primo luogo (<ref-ruling> consid. 2.2 con rinvio).
Il diritto di essere sentito è un aspetto della garanzia generale dell'equo processo secondo gli <ref-law> e 6 n. 1 CEDU. Comprende segnatamente il diritto di prendere conoscenza di ogni argomentazione sottoposta al tribunale e di potersi esprimere al proposito, indipendentemente dalla circostanza che contenga argomenti di fatto o di diritto nuovi o che si presti concretamente a influire sul giudizio. Spetta infatti alle parti, e non al giudice, decidere se una presa di posizione o un documento versato agli atti contiene degli elementi determinanti che richiedono delle osservazioni (<ref-ruling> consid. 2.1 con rinvii). Il diritto di replica fondato sull'<ref-law> vale per tutte le procedure giudiziarie, comprese quelle che non rientrano nel campo di applicazione dell'art. 6 n. 1 CEDU (<ref-ruling> consid. 4.6). Prima della pronuncia della sua decisione, il giudice deve pertanto comunicare alle parti ogni presa di posizione o documento versato agli atti per permettere loro di decidere se vogliono o meno fare uso della loro facoltà di esprimersi (<ref-ruling> consid. 2.3.1 con rinvii).
2.3. La circostanza secondo cui l'opponente ha inviato al Tribunale d'appello gli scritti 23 maggio e 14 agosto 2013 costituisce un fatto nuovo, che può essere allegato e provato in questa sede atteso che ne dà motivo il giudizio impugnato (<ref-law>; sentenza 2C_560/2012 del 21 gennaio 2013 consid. 4.2; Meyer/Dormann, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2a ed. 2011, n. 46 ad <ref-law>; Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, 2009, n. 23 ad <ref-law>). Tale circostanza non è del resto contestata né dall'opponente né dall'autorità inferiore. Quest'ultima ha inoltre confermato che gli scritti dell'opponente non sono stati trasmessi alla ricorrente.
Con riferimento allo scritto 14 agosto 2013 non si può rimproverare al Tribunale d'appello di aver violato il diritto di replica della ricorrente: esso ha infatti ricevuto lo scritto soltanto il 16 agosto 2013, vale a dire dopo aver pronunciato la qui impugnata sentenza.
Il Tribunale d'appello avrebbe invece potuto e dovuto sottoporre lo scritto 23 maggio 2013 (che non era unicamente volto a chiedere l'evasione del reclamo) alla ricorrente, affinché essa potesse decidere se esprimersi o meno in proposito, e ciò - contrariamente a quanto sostengono autorità inferiore ed opponente - a prescindere dalla questione a sapere se lo scritto potesse influire concretamente sul giudizio o dal fatto che le parti avessero già potuto godere di un doppio scambio di allegati. Il Tribunale d'appello ha quindi violato il diritto di essere sentita della ricorrente.
3.
3.1. Da quanto precede discende che il ricorso deve essere accolto, senza che sia necessario esaminare le altre censure sollevate dalla ricorrente. La sentenza impugnata va annullata e, non essendo possibile sanare in questa sede la predetta violazione del diritto di essere sentito (v. <ref-ruling> consid. 2.7), la causa va rinviata all'autorità inferiore affinché emetta un nuovo giudizio nel rispetto del diritto di replica definito al considerando precedente ed emani quindi una nuova decisione alla luce delle osservazioni che la ricorrente vorrà semmai fornire allo scritto di controparte del 23 maggio 2013, nonché a quello del 14 agosto 2013 (che è oramai versato agli atti e al quale la ricorrente ha pertanto il diritto di replicare).
3.2. Con l'evasione del gravame le istanze di revoca dell'effetto sospensivo e di adozione di misure cautelari presentate dall'opponente con la sua risposta divengono prive di oggetto.
Pure l'istanza di costituzione di garanzie ex <ref-law> dell'opponente diviene caduca. La costituzione di garanzie entrerebbe infatti in linea di conto unicamente nel caso in cui con la presente sentenza il decreto ingiuntivo italiano fosse dichiarato esecutivo in Svizzera. Atteso che in concreto la causa viene rinviata all'autorità inferiore per nuovo giudizio, tale ipotesi non si realizza.
La domanda di assistenza giudiziaria (con gratuito patrocinio) ex <ref-law> dell'opponente va respinta. La concessione dell'assistenza giudiziaria ad una persona giuridica è infatti in linea di principio esclusa e l'opponente non allega né dimostra l'esistenza dei presupposti che potrebbero eventualmente giustificare un'eccezione a tale principio (<ref-ruling> consid. 5.2.1 e 5.2.2; <ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 4; sentenza 1B_522/2011 del 23 novembre 2011 consid. 2.1).
3.3. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza e vanno quindi addossate all'opponente (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è accolto e la sentenza impugnata è annullata. La causa è rinviata alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino per nuova decisione nel senso dei considerandi.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria dell'opponente è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 6'000.-- sono poste a carico dell'opponente.
4.
L'opponente verserà alla ricorrente la somma di fr. 7'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
5.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti, alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino e per informazione alla Pretura del Distretto di Lugano.