Faits :
A.
Par jugement du 30 novembre 2012, le Tribunal criminel du Littoral et du Val-de-Travers du canton de Neuchâtel a condamné Y._ pour vols en bande et par métier, dommages à la propriété, violation de domicile et infractions aux art. 51 al. 1 et 92 LCR, 54 al. 1 OCR et 116 al. 1 let. b et al. 2 LEtr à une peine privative de liberté de quatre ans et demi, dont à déduire 210 jours de détention subis avant jugement.
Par le même jugement, ce tribunal a condamné X._ pour vols en bande et par métier, dommages à la propriété, violation de domicile et infractions aux art. 51 al. 1 et 92 LCR et 54 al. 1 OCR à une peine privative de liberté de quatre ans et demi, dont à déduire 267 jours de détention subis avant jugement.
Cette autorité a renoncé à prononcer en sus une amende. Elle a condamné Y._ et X._ solidairement au paiement d'une part des frais de la cause arrêtée à 53'500 francs.
B.
Y._ et X._ ont tout deux adressé une annonce d'appel contre le jugement du 30 novembre 2012. Y._ a ensuite déposé une déclaration d'appel. X._ a en revanche déclaré renoncer à former appel.
Par ordonnance du 23 avril 2013, la Vice-présidente de la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a classé le dossier en ce qui concerne X._.
Par jugement d'appel du 17 juin 2013, la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a partiellement admis l'appel formé par Y._. Elle l'a acquitté des chefs d'accusation de vols, dommages à la propriété et violation de domicile pour six cambriolages et lui a accordé une indemnité au sens de l'art. 429 al. 1 CPP de 400 francs. Elle l'a condamné pour le surplus pour vols en bande et par métier, dommages à la propriété, violation de domicile, infractions à la LCR, à l'OCR et à la LEtr à une peine privative de liberté de quatre ans, dont à déduire 409 jours de détention subis avant jugement, ainsi qu'au paiement de sa part des frais de procédure de première instance arrêtée à 40'200 fr., au paiement desquels il est condamné solidairement avec X._.
C.
Y._ forme un recours en matière pénale auprès du Tribunal fédéral (réf. 6B_811/2013). Il conclut, avec suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement d'appel et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite l'assistance judiciaire.
D.
X._ forme un recours en matière pénale auprès du Tribunal fédéral (réf. 6B_800/2013). Il conclut, avec suite de frais et dépens, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens de son recours et en particulier pour entendre les parties et modifier le jugement d'appel attaqué en sa faveur et en conséquence réduire sa peine et la part des frais mis à sa charge. Il sollicite l'assistance judiciaire.
Interpellés sur le recours 6B_800/2013, l'autorité précédente et le Ministère public ont renoncé à se déterminer, les autres intimés n'ont pas répondu.

Considérant en droit :
1.
Les deux recours sont dirigés contre la même décision. Celle-ci acquitte partiellement le recourant Y._, mais non le recourant X._, pour des accusations identiques, respectivement très proches. Il se justifie de joindre les causes et de statuer par un seul arrêt (art. 71 LTF et 24 PCF).
Recours de Y._ (6B_811/2013)
2.
Le recourant Y._ conteste être l'auteur des cambriolages listés dans l'acte d'accusation sous ch. 21, 22, 23, 24 et 26 commis à Avry-sur-Matran, Neyruz et Cottens le 17 février et des cambriolages listés sous ch. 33, 34, 38 commis à la Chaux-de-Fonds le 1er mars 2012. Il invoque une violation du principe "in dubio pro reo" et de la maxime d'accusation.
2.1. Cette maxime est consacrée par l'art. 9 CPP qui prévoit qu'une infraction ne peut faire l'objet d'un jugement que si le ministère public a déposé auprès du tribunal compétent un acte d'accusation dirigé contre une personne déterminée sur la base de faits précisément décrits. Le recourant n'expose aucunement dans quelle mesure cette disposition aurait été violée, de sorte que le grief soulevé est irrecevable (cf. art. 42 al. 2 LTF).
2.2. La présomption d'innocence, garantie par les art. 32 al. 1 Cst. et 10 CPP, ainsi que son corollaire, le principe "in dubio pro reo", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves. Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe "in dubio pro reo", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7 p. 82; <ref-ruling> consid. 2a p. 41; sur la notion d'arbitraire, v. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 18). En tant que règle sur le fardeau de la preuve, la présomption d'innocence signifie, au stade du jugement, que ce fardeau incombe à l'accusation et que le doute doit profiter à l'accusé. C'est ainsi à l'accusation d'établir la culpabilité du prévenu, et non à celui-ci de démontrer qu'il n'est pas coupable. La présomption d'innocence est violée lorsque le juge rend un verdict de culpabilité au seul motif que l'accusé n'a pas prouvé son innocence (ATF <ref-ruling> consid. 2a p. 40).
Dans le recours en matière pénale, les constatations de fait de la décision entreprise lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF). Il n'en va différemment que si le fait a été établi en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 232 et les arrêts cités). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 10.1 p. 445).
2.3. Le recourant Y._ n'a pas été condamné pour le cas 24 (jugement du 30 novembre 2012, p. 23). Ses griefs à cet égard sont sans objet.
2.4. La cour cantonale, dont on peut regretter qu'elle n'ait pas repris la numérotation de l'acte d'accusation dans son jugement ce qui aurait simplifié la discussion, a jugé que le recourant Y._ était l'un des auteurs des cambriolages listés sous ch. 21, 22, 23, 25 et 26 de l'acte d'accusation, perpétrés le 17 février 2012, compte tenu des éléments suivants: des motifs de semelles attribués au recourant avaient été retrouvés sur le lieu du cas 21; son téléphone portable avait déclenché plusieurs antennes dans la région des cambriolages le 17 février 2012 dans l'après-midi; il existait entre ces cinq cas une évidente proximité dans l'espace et le temps et des similitudes dans le mode opératoire et les cibles choisies.
Au vu de ces éléments, il n'était pas insoutenable de considérer que le recourant Y._ était l'auteur non seulement du cambriolage listé sous ch. 21, mais également des autres perpétrés dans la même journée aux environs directs. Le recourant Y._, qui affirme que son inculpation ne reposerait que sur le fait que son téléphone portable a déclenché plusieurs antennes, ne peut être suivi. Son acquittement au bénéfice du doute pour le cas 27 n'est pas non plus propre à rendre insoutenable qu'il était l'auteur des cas 21, 22, 23, 25 et 26: si ces six cambriolages ont été commis le même jour, les cinq précités l'ont été dans un périmètre de quelques deux km, tandis que le cas 27 a eu lieu à Boudevilliers, de l'autre côté du lac de Neuchâtel. Le grief de violation du principe "in dubio pro reo" dans la constatation des faits est infondé.
2.5. La cour cantonale a jugé que le recourant Y._ était l'un des auteurs des cambriolages perpétrés le 1er mars 2012 à la Chaux-de-Fonds (cas 33, 34 et 38 de l'acte d'accusation). Elle s'est fondée à cet égard sur l'ADN du recourant Y._ retrouvé sur les lieux d'un cambriolage perpétré également dans cette ville entre le 24 février et le 2 mars 2012 - non contesté par le recourant -, et du déclenchement par son téléphone portable d'une antenne à la Ferrière - à moins de 10 km de la Chaux-de-Fonds - le 1er mars 2012. A cela s'ajoutent des similitudes entre les cas reprochés au recourant Y._ dans le mode opératoire et les cibles choisies. De plus, le recourant Y._ n'avait pas été en mesure d'indiquer ce qu'il faisait le 1er mars 2012 à la Chaux-de-Fonds.
Ici encore, cette appréciation des preuves et la constatation des faits qui en résulte ne révèlent pas d'arbitraire. Le recourant Y._ ne démontre pas le contraire. Son argumentation, reposant sur des faits ne résultant pas du jugement entrepris - notamment le lieu de domicile de l'une de ses filles - sans invoquer l'arbitraire de l'omission de ces faits, est irrecevable. Fondée pour le surplus principalement sur l'affirmation qu'il est normal qu'il ne sache plus ce qu'il avait fait le 1er mars 2012, une semaine avant son interpellation, elle est appellatoire et dès lors également irrecevable.
2.6. Il résulte de ce qui précède que la cour précédente a reconnu le recourant Y._ coupable des cambriolages litigieux sur la base d'un faisceau d'indices convaincants et non au seul motif qu'il n'aurait pas prouvé son innocence, notamment en expliquant de manière crédible la raison de sa présence sur les lieux ou au abord des lieux des cambriolages au moment de ceux-ci. Le grief de violation du principe "in dubio pro reo" en tant que règle sur le fardeau de la preuve est infondé.
3.
Le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Il était d'emblée dénué de chances de succès. L'assistance judiciaire est refusée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant Y._ supporte les frais de la cause, qui seront fixés en tenant compte de sa situation économique, qui n'apparaît pas favorable (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).
Recours de X._ (6B_800/2013)
4.
Selon l'art. 81 al. 1 LTF, quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b) a qualité pour former un recours en matière pénale. Alléguant qu'il aurait dû être entendu par l'autorité d'appel puis, comme le recourant Y._, acquitté de plusieurs chefs d'accusation et la peine prononcée en première instance réduite, le recourant X._ a qualité pour recourir.
5.
Le recourant X._ invoque une violation des art. 29 al. 2 Cst., 107 et 392 CPP.
5.1. Aux termes de l'art. 392 al. 1 CPP lorsque, dans une même procédure, un recours a été interjeté par certains des prévenus ou des condamnés seulement et qu'il a été admis, la décision attaquée est annulée ou modifiée également en faveur de ceux qui n'ont pas interjeté recours à deux conditions cumulatives: l'autorité de recours juge différemment les faits (let. a) et les considérants valent également pour les autres personnes impliquées (let. b). L'art. 392 al. 2 CPP impose à l'autorité de recours, avant de rendre sa décision, d'entendre s'il y a lieu les prévenus ou les condamnés qui n'ont pas interjeté recours, le ministère public et la partie plaignante.
5.2. Les recourants ont été poursuivis et jugés dans la même procédure. Le recourant Y._ a fait appel du jugement de première instance. Le recourant X._, s'il avait initialement déposé une annonce d'appel, a ensuite annoncé qu'il renonçait à attaquer le jugement de premier instance. La procédure d'appel, ouverte à la suite de son annonce d'appel, a ainsi été classée par ordonnance du 23 avril 2013. Le recourant X._ doit par conséquent être considéré, au sens de l'art. 392 al. 1 CPP, comme n'ayant pas attaqué le jugement de première instance.
La cour cantonale n'a pas examiné les conditions d'application de cette disposition. Elle a partiellement admis l'appel de Y._. Elle a modifié la décision de première instance en l'acquittant pour les cambriolages listés sous chiffres 8, 10, 12, 13, 14 et 27 de l'acte d'accusation, en réduisant la peine privative de liberté de six mois et les frais mis à sa charge ainsi qu'en lui octroyant une indemnité au sens de l'art. 429 CPP. La cour cantonale a considéré que les éléments au dossier n'étaient pas suffisants pour éliminer tout doute quant à sa participation aux six cambriolages susmentionnés (jugement attaqué, p. 9 et 10). Ce faisant, elle a estimé, contrairement à l'autorité de première instance, que le recourant Y._ n'avait pas participé à la commission de ces infractions. Elle a donc jugé différemment les faits (cf. art. 392 al. 1 let. a CPP). Il lui incombait en conséquence de déterminer si ces considérations valaient également pour la participation du recourant X._ aux autres cambriolages (art. 392 al. 1 let. b CPP). En effet, pour la quasi-totalité des cambriolages mentionnés ci-dessus, l'autorité de première instance avait retenu la participation du recourant X._ en se référant expressément aux considérants développés pour condamner le recourant Y._. L'autorité précédente a violé l'art. 392 CPP en n'examinant pas si la décision de première instance devait être annulée ou modifiée également en faveur du recourant X._.
6.
Le recours doit par conséquent être admis, le jugement attaqué annulé sur ce point et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle procède conformément à l'art. 392 CPP et rende une nouvelle décision, ce dans le respect du droit d'être entendu prévu par l'art. 392 al. 2 CPP.
Le recours étant admis et les intimés ayant renoncé à se déterminer, de sorte que ni frais ni dépens ne peuvent être mis à leur charge, il est statué sans frais (art. 66 al. 1 et 4 LTF) et le canton de Neuchâtel devra verser au recourant X._ des dépens pour la présente procédure devant le Tribunal fédéral (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Dans ces conditions, la requête d'assistance judiciaire formulée par le recourant X._ devient sans objet. Les intimés n'ont pas le droit à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 6B_800/2013 et 6B_811/2013 sont jointes.
2.
Le recours 6B_811/2013 est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires pour la cause 6B_811/2013, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant Y._.
4.
Le recours 6B_800/2013 est admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
5.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires pour la cause 6B_800/2013.
6.
Le canton de Neuchâtel versera au conseil du recourant X._ une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
7.
Les demandes d'assistance judiciaire sont rejetées dans la mesure où elles ne sont pas sans objet.
8.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 12 juin 2014
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : La Greffière :
Mathys Cherpillod