Sachverhalt:
A. X._ gelangte am 2. Februar 2012 mit einer Klage gegen Dr. med. Y._ ans Kantonsgericht Glarus (Verfahren ZG.2012.00159) und beantragte zugleich vorsorgliche Massnahmen (Verfahren ZG.2012.00160). Am 20. November 2012 (korrigierte Fassung vom 27. November 2012) erliess der Kantonsgerichtspräsident eine Verfügung. Danach wird X._ "für die vorliegenden zwei Prozesse sowie für alle noch hängigen und alle künftigen Verfahren im Zusammenhang mit Miete, Persönlichkeitsverletzung sowie jeglichen Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen vor allen Glarner Schlichtungsbehörden und vor dem Kantonsgericht Glarus als nicht prozessfähig im Sinn von <ref-law> erklärt". Die beiden Verfahren wurden sistiert. Vorbehalten blieb die Genehmigung der Prozessführung durch einen Beirat oder Vormund nach dem bis zum 31. Dezember 2012 geltenden Vormundschaftsrecht bzw. eines Beistands nach dem seit dem 1. Januar 2013 in Kraft stehenden Erwachsenenschutzrecht.
B. Am 18. Januar 2013 wies das Obergericht des Kantons Glarus die Beschwerde gegen die Verfügung des Kantonsgerichts vom 20. bzw. 27. November 2012 ab, soweit es darauf eintrat. Gegen dieses Urteil setzt sich X._ (Beschwerdeführer) mittels Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, zur Wehr. Er verlangt die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts des Kantons Glarus und "im Sinne der übrigen Begehren zu entscheiden" oder den Entscheid zur Neubeurteilung zurückzuweisen (Bst. a). Eventualiter sei die Verhandlung vom 13. September 2012 vor dem Kantonsgericht wegen Prozessunfähigkeit von Dr. med. Y._ (Beschwerdegegner) zu wiederholen (Bst. b). Subeventualiter sei ein Gutachten "über seine vorhandene Prozessfähigkeit zu erstellen" (Bst. c). Ferner seien alle bei Herrn Kantonsgerichtspräsident A._ laufenden Verfahren weiterzuführen gemäss den in den jeweiligen Klagen eingereichten Begehren (Bst. d), und schliesslich seien alle von der Erwachsenenschutzbehörde und dem Kantonsgerichtspräsidium zwischenzeitlich vorgenommenen Handlungen, Mitteilungen, Registereinträge, Ablagen und dergleichen vollständig rückgängig zu machen (Bst. e).
C. Mit Verfügung vom 12. Februar 2013 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten beigezogen und sowohl den Beschwerdegegner wie die Vorinstanzen zur Vernehmlassung eingeladen. Das Obergericht des Kantons Glarus hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Vernehmlassungsantworten des Beschwerdegegners und des Kantonsgerichts Glarus wurden dem Beschwerdeführer am 18. April 2013 zur Kenntnis gebracht. Am 22. April 2013 beantragte der Beschwerdeführer erfolglos die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels.
D. Am 17. April 2013 hat X._ beim Bundesgericht zusätzlich eine Beschwerde wegen Rechtsverweigerung eingereicht. Das Bundesgericht hat diese mit Urteil vom 17. April 2013 abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist.

Erwägungen:
1. 1.1 Beim Urteil des Obergerichts des Kantons Glarus, die Verfahren ZG.2012.00159 und ZG.2012.00160 zu sistieren, handelt es sich um einen Zwischenentscheid. Gegen einen solchen ist die Beschwerde in Zivilsachen - abgesehen vom hier nicht gegebenen Ausnahmefall gemäss <ref-law> - nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Rechtsprechungsgemäss ist bei einer Beschwerde gegen die Suspendierung eines Verfahrens vom Erfordernis eines weiteren, nicht wieder gutzumachenden Nachteils abzusehen, wenn - wir hier - eine ungerechtfertigte Verfahrensverzögerung bzw. Rechtsverweigerung geltend gemacht wird (<ref-ruling> E. 1.3 S. 129 mit Hinweis).
1.2 Im Fall eines Zwischenentscheids folgt der Rechtsweg jenem in der Hauptsache (Urteil 5A_170/2009 E. 1.2). Der Beschwerdeführer beklagt sich in erster Linie darüber, dass der Beschwerdegegner durch die Art und Weise, wie er sich als Arzt ihm gegenüber verhielt, ihn in seiner Persönlichkeit verletzt habe. Er verlangt unter anderem eine Genugtuung von mindestens Fr. 5'000.--. Die Angelegenheit ist in der Folge als vermögensrechtlich zu qualifizieren. Der in <ref-law> geforderte Streitwert von 30'000 Franken wird auch unter Berücksichtigung der Kosten, die sich mit den übrigen Rechtsbegehren verbinden, offensichtlich nicht erreicht. Auch stellt sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen scheidet damit aus. Die Beschwerde ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (<ref-law>). Gerügt werden kann in diesem Fall die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten (<ref-law>).
1.3 Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling>, E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demzufolge nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.). Dies ist nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts der Fall, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur dann als willkürlich auf, wenn er nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
2. 2.1 Nach <ref-law> ist prozessfähig, wer handlungsfähig ist. Der prozessrechtliche Begriff der Handlungsfähigkeit ist dabei grundsätzlich der Gleiche wie jener im Zivilrecht, das heisst er setzt neben der Mündigkeit bzw. Volljährigkeit (<ref-law>) voraus, dass der Betroffene urteilsfähig ist (<ref-law>). Urteilsfähig im Sinne des Gesetzes ist dabei jede Person, der nicht wegen ihres Kindesalters, infolge geistiger Behinderung, psychischer Störung, Rausch oder ähnlicher Zustände die Fähigkeit mangelt, vernunftgemäss zu handeln. Der Begriff der Urteilsfähigkeit ist damit relativer Natur, das heisst deren Vorhandensein bzw. Nichtvorhandensein hängt vom konkret zu beurteilenden Sachverhalt ab. Einer Person kann also die Urteilsfähigkeit nicht generell abgesprochen worden. Daran ändert nichts, dass eine Person namentlich wegen "dauernder Urteilsunfähigkeit" unter umfassende Beistandschaft zu stellen ist (<ref-law>). Auch in diesem Fall geht die betroffene Person bloss der Handlungsfähigkeit verlustig (<ref-law>). Ein rechtskräftiger Entscheid über die Urteilsfähigkeit der verbeiständeten Person verbindet sich damit nicht.
2.2 Die Vorinstanz hat die geschilderten Grundsätze zumindest teilweise verkannt. So böte <ref-law> allenfalls eine gesetzliche Grundlage dafür, um in einem konkreten Fall auf eine Klage mangels Prozessfähigkeit nicht einzutreten oder das Verfahren bis zur Ernennung eines gesetzlichen Vertreters zu sistieren. Auch unter Willkürgesichtspunkten (E. 1.2) bietet <ref-law> aber keine Handhabe dafür, dass sich das Gericht über die Anträge der Parteien hinwegsetzt und in verbindlicher Weise dazu äussert, dass dem Kläger auch in weiteren hängigen und gar künftigen Verfahren die Urteils- und damit die Prozessfähigkeit abgesprochen wird. Der Entscheid, ob einer Person die Handlungsfähigkeit in diesem umfassenden Sinn entzogen wird, muss der Erwachsenschutzbehörde vorbehalten bleiben (<ref-law>). Dabei ist zu beachten, dass selbst im Fall der Anordnung einer umfassenden Beistandschaft eine urteilsfähige Person insofern prozessfähig bleibt, als sie Rechte ausübt, die ihr um ihrer Persönlichkeit willen zustehen (<ref-law>), oder als sie das Nötige vorkehrt, wenn Gefahr in Verzug ist (<ref-law>). Die Beschwerde ist damit insoweit gutzuheissen, als das vorinstanzliche Urteil dem Beschwerdeführer die Prozessfähigkeit nicht nur in den Verfahren ZG.2012.00159 und ZG.2012.00160 abspricht.
3. Zu prüfen bleibt, ob dem Beschwerdeführer in Bezug auf die Verfahren ZG.2012.00159 und ZG.2012.00160 die Prozessfähigkeit zu Recht abgesprochen worden ist und ob gestützt auf diese Erkenntnis diese Verfahren zu Recht sistiert worden sind.
3. Zu prüfen bleibt, ob dem Beschwerdeführer in Bezug auf die Verfahren ZG.2012.00159 und ZG.2012.00160 die Prozessfähigkeit zu Recht abgesprochen worden ist und ob gestützt auf diese Erkenntnis diese Verfahren zu Recht sistiert worden sind.
3.1 Die Vorinstanz stellt fest, dass sich kein (ärztliches) Gutachten zur Prozessfähigkeit des Beschwerdeführers äussere. Trotzdem verneint sie diese, weil die Zahl der Prozesse und die Art, wie diese geführt würden, zum zwingenden Schluss führten, dass es sich beim Beschwerdeführer um einen Querulanten handle. Es erscheine der Eindruck, dass der Beschwerdeführer in rücksichtsloser Art und Weise gegen jeden vorgehe, mit dem er aus irgendeinem Grund in einer rechtlichen oder tatsächlichen Beziehung stehe und mit dem er nicht gleicher Meinung sei. Er missbrauche das Rechtssystem, um andere zu schikanieren und sein vermeintliches Recht durchzusetzen. Dass er vereinzelt obsiegt habe, ändere daran nichts. Der Beschwerdeführer nehme verschiedene Verwaltungs- und Gerichtsinstanzen mit seinen Anliegen übermässig in Anspruch. Bei objektiver Betrachtung müsse der Schluss gezogen werden, dass keinerlei vernünftige Überlegungen hinter diesem Tun steckten und dass das Handeln als Erscheinungsform einer psychischen Störung gewürdigt werden müsse.
3.1 Die Vorinstanz stellt fest, dass sich kein (ärztliches) Gutachten zur Prozessfähigkeit des Beschwerdeführers äussere. Trotzdem verneint sie diese, weil die Zahl der Prozesse und die Art, wie diese geführt würden, zum zwingenden Schluss führten, dass es sich beim Beschwerdeführer um einen Querulanten handle. Es erscheine der Eindruck, dass der Beschwerdeführer in rücksichtsloser Art und Weise gegen jeden vorgehe, mit dem er aus irgendeinem Grund in einer rechtlichen oder tatsächlichen Beziehung stehe und mit dem er nicht gleicher Meinung sei. Er missbrauche das Rechtssystem, um andere zu schikanieren und sein vermeintliches Recht durchzusetzen. Dass er vereinzelt obsiegt habe, ändere daran nichts. Der Beschwerdeführer nehme verschiedene Verwaltungs- und Gerichtsinstanzen mit seinen Anliegen übermässig in Anspruch. Bei objektiver Betrachtung müsse der Schluss gezogen werden, dass keinerlei vernünftige Überlegungen hinter diesem Tun steckten und dass das Handeln als Erscheinungsform einer psychischen Störung gewürdigt werden müsse.
3.2 3.2.1
Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht in prozessualer Hinsicht vor, den Brief von Dr. med. B._ vom 27. November 2012 zu Unrecht aus dem Recht gewiesen zu haben. Ferner verschweige das Obergericht, das den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen habe, dass er in seiner Beschwerde vom 2. Dezember 2012 darum gebeten habe, das bereits der ersten Instanz eingereichte Zeugnis von Dr. med. Y._ vom Oktober 2011 beizuziehen, in dem dieser ihm volle Urteilsfähigkeit attestiert habe.
3.2.2
Die Vorwürfe des Beschwerdeführers gehen an der Sache vorbei und vermögen weder Willkür noch die Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte zu begründen. Die Vorinstanz stützt sich für die Beurteilung der Prozessunfähigkeit erklärtermassen nicht auf ein medizinisches Gutachten, sondern auf das bisherige Prozessverhalten des Beschwerdeführers. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Wenn er zudem behauptet, dass sich aus dem Brief von Dr. med. B._ und dem Zeugnis von Dr. med. Y._ ergebe, dass er prozessfähig sei, übt er am vorinstanzlichen Urteil bloss appellatorische Kritik. Auf diese ist nicht einzutreten (E. 1.3).
Die Vorwürfe des Beschwerdeführers gehen an der Sache vorbei und vermögen weder Willkür noch die Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte zu begründen. Die Vorinstanz stützt sich für die Beurteilung der Prozessunfähigkeit erklärtermassen nicht auf ein medizinisches Gutachten, sondern auf das bisherige Prozessverhalten des Beschwerdeführers. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Wenn er zudem behauptet, dass sich aus dem Brief von Dr. med. B._ und dem Zeugnis von Dr. med. Y._ ergebe, dass er prozessfähig sei, übt er am vorinstanzlichen Urteil bloss appellatorische Kritik. Auf diese ist nicht einzutreten (E. 1.3).
3.3 3.3.1
In der Sache wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz zusammengefasst vor, den Begriff der Prozessfähigkeit falsch anzuwenden. Aus der (von ihm bestrittenen) Überforderung durch einen Prozess schliesse die Vorinstanz auf psychopathische Querulanz und damit auf seine Prozessunfähigkeit, und dies ohne entsprechende medizinische Abklärungen.
3.3.2
Die Prozessfähigkeit ist Prozessvoraussetzung und von Amtes wegen zu überprüfen (Art. 59 Abs. 2 lit c und 60 ZPO). Das Gesetz schweigt sich darüber aus, ob und unter welchen Voraussetzungen das Gericht zur Beurteilung der Prozessfähigkeit ein medizinisches Gutachten heranziehen muss. Es kann diesbezüglich auf die bisherige bundesgerichtliche Praxis zum kantonalen Recht verwiesen werden. Danach ist die Prozessfähigkeit, soweit der Vorwurf der psychopathischen Querulanz im Raum steht, grundsätzlich durch ein medizinisches Gutachten zu klären. Ausnahmsweise, das heisst wenn die Sache feststeht, kann das Gericht aber auch ohne ein solches Gutachten entscheiden (<ref-ruling> E. 2b S. 237 f.).
Im vorliegenden Fall hat die Vorinstanz dargetan, dass der Kläger mit seinem Prozessverhalten in ungebührlichem Umfang den Justizapparat belaste. Von selbst versteht sich, dass dies kein Grund ist, dem Beschwerdeführer die Prozessfähigkeit abzusprechen. Das gute Funktionieren der Justiz lässt sich auf andere Weise sicherstellen, so zum Beispiel dadurch, dass querulatorische und rechtsmissbräuchliche Eingaben ohne Weiteres zurückgeschickt werden (<ref-law>) oder dass für mutwillige Prozessführung eine Ordnungsbusse ausgesprochen wird (<ref-law>). Unter Berufung auf das Kantonsgericht spricht die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die Prozessfähigkeit nun aber auch deshalb ab, weil dieser sich mit seinem Vorgehen zunehmend selbst gefährde, indem er wichtige soziale und ärztliche Beziehungen riskiere oder gar zerstöre. Diesem Problem sei mit einem Rechtsbeistand nicht beizukommen, da der Beschwerdeführer genaue Vorstellungen seiner Begehren habe und es einem Rechtsanwalt grundsätzlich nicht erlaubt sei, gegen den Willen des Vertretenen zu handeln. Der so festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>). Auch diesbezüglich erweist sich die Kritik des Beschwerdeführers am vorinstanzlichen Urteil erneut als appellatorisch (E. 1.2). Auf sie ist nicht einzutreten. Vor diesem Hintergrund ist es unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden, wenn dem Beschwerdeführer in den Verfahren ZG.2012.00159 und ZG.2012.00160 die Prozessfähigkeit abgesprochen worden ist.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens obsiegt der Beschwerdeführer teilweise. Aufgrund der Besonderheiten des Verfahrens wird darauf verzichtet, dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Von solchen sind auch die Kantone befreit (<ref-law>). Weder der Beschwerdeführer noch der Beschwerdegegner sind anwaltlich vertreten. Entsprechend sind sie auch nicht zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit sie sich gegen die Suspendierung der Verfahren ZG.2012.00159 und ZG.2012.00160 richtet.
2. Die Verfahren ZG.2012.00159 und ZG.2012.00160 bleiben suspendiert, bis sich die Erwachsenenschutzbehörde zu deren Fortsetzung geäussert hat, maximal aber während dreier Monate seit Rechtskraft dieses Urteils.
3. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Glarus vom 18. Januar 2013 aufgehoben, soweit es den Beschwerdeführer in weiteren Verfahren als in den Verfahren ZG.2012.00159 und ZG.2012.00160 für prozessunfähig erklärt hat.
4. Das Kantonsgericht Glarus wird verpflichtet, dieses Urteil allen Schlichtungsbehörden des Kantons Glarus und der für den Beschwerdeführer zuständigen Erwachsenenschutzbehörde zur Kenntnis zu bringen.
5. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Glarus und dem Kantonsgericht Glarus schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Mai 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn