Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Lenzburg verurteilte X._ am 15. August 2013 unter anderem wegen mehrfacher versuchter schwerer Körperverletzung, mehrfacher Drohung, Gewalt und Drohung gegen Beamte, gewerbsmässigen Diebstahls, mehrfacher Sachbeschädigung sowie mehrfacher falscher Anschuldigung zu einer Freiheitsstrafe von 2 1⁄2 Jahren (unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft und des vorzeitigen Strafvollzugs von insgesamt 213 Tagen).
B.
Das Amt für Justizvollzug des Kantons Aargau gelangte am 8. Juli 2015 an die Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau und beantragte, die mit Urteil des Bezirksgerichts Lenzburg ausgesprochene Freiheitsstrafe sei in eine stationäre Massnahme nach <ref-law> umzuwandeln. Es stellte den Antrag, es sei dem zuständigen Gericht der Antrag auf Anordnung von Sicherheitshaft vorzulegen.
Das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau ordnete am 11. Juli 2015 auf Antrag der Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau vom 9. Juli 2015 Sicherheitshaft für die Dauer von drei Monaten bis zum 9. Oktober 2015 an. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau am 3. August 2015 ab. X._ wendet sich dagegen mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht (Verfahren 6B_850/2015).
C.
Das Bezirksgericht Lenzburg wies den Antrag der Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau vom 9. Juli 2015 auf nachträgliche Änderung der Sanktion am 10. September 2015 in der Sache ab und ordnete die sofortige Haftentlassung von X._ an. Das Bezirksgericht begründete seinen Entscheid summarisch damit, X._ habe die ihm auferlegte Freiheitsstrafe gemäss Urteil vom 15. August 2013 vollständig verbüsst. Eine Umwandlung der Strafe in eine Massnahme gemäss <ref-law> sei nicht mehr möglich.
Dagegen hat die Staatsanwaltschaft gleichentags beim Bezirksgericht Lenzburg Berufung zuhanden des Obergerichts des Kantons Aargau angemeldet. Gleichzeitig stellte sie Antrag auf Fortsetzung der Sicherheitshaft zuhanden der Verfahrensleitung des Obergerichts des Kantons Aargau.
D.
Die Verfahrensleitung des Obergerichts des Kantons Aargau verfügte am 16. September 2015, X._ sei aus der Sicherheitshaft zu entlassen. Sie beauftragte die Staatsanwaltschaft mit dem unverzüglichen Vollzug der Haftentlassung. Sie begründete ihren Entscheid damit, dass die nachträgliche Anordnung einer stationären Massnahme als nicht sehr naheliegend erscheine.
E.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau gelangt mit Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt, es sei die Verfügung der Verfahrensleitung des Obergerichts vom 16. September 2015 aufzuheben. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen und X._ in Sicherheitshaft zu belassen (Verfahren 6B_942/2015).
F.
Das Bundesgericht, Strafrechtliche Abteilung, erteilte der Beschwerde der Oberstaatsanwaltschaft am 17. September 2015 superprovisorisch die aufschiebende Wirkung. Es hat die Parteien eingeladen, sich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung sowie zur Beschwerde vernehmen zu lassen.
Die Verfahrensleitung des Obergerichts des Kantons Aargau trägt am 25. September 2015 auf Abweisung der Beschwerde an. X._ beantragt am 28. September 2015, es sei der Beschwerde keine aufschiebende Wirkung zu erteilen und er sei umgehend aus der Haft zu entlassen. Mit Eingabe vom 2. Oktober 2015 beantragt er die Beschwerdeabweisung und seine unverzügliche Haftentlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht vereinigt mehrere Verfahren, wenn sie in einem engen sachlichen Zusammenhang stehen, namentlich, wenn sie auf einem im Wesentlichen gleichartigen tatsächlichen und rechtlichen Grund beruhen und wenn sie gleiche Parteien sowie ähnliche oder gleiche Rechtsfragen betreffen (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; je mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind erfüllt. Es rechtfertigt sich daher, die Verfahren 6B_850/2015 und 6B_942/2015 zu vereinigen.
2.
Gegen die Verfügung der Vorinstanz vom 16. September 2015 betreffend Entlassung aus der Sicherheitshaft ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig (Art. 78 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (<ref-ruling> E. 1.2 S. 94 f. mit Hinweis). Die Oberstaatsanwaltschaft ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 3 BGG zur Beschwerde befugt. Die Beschwerde einschliesslich Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde fristgerecht eingereicht. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde im Verfahren 6B_942/2015 ist einzutreten.
3.
Im zu beurteilenden Fall geht es um die Frage der Zulässigkeit der Sicherheitshaft während des vor Vorinstanz hängigen Verfahrens betreffend nachträgliche Änderung der Sanktion nach <ref-law> i.V.m. <ref-law>.
Gemäss <ref-law> ist Sicherheitshaft zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat. <ref-law> ist entgegen dem deutschsprachigen Gesetzeswortlaut dahin auszulegen, dass "Verbrechen oder schwere Vergehen" drohen müssen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85 f.). Nach der Rechtsprechung ist Sicherheitshaft wegen Wiederholungsgefahr zulässig, wenn einerseits die Rückfallprognose sehr ungünstig und anderseits die zu befürchtenden Delikte von schwerer Natur sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 73 mit Hinweisen). <ref-law> setzt somit die ernsthafte Befürchtung voraus, dass die beschuldigte Person durch Delikte bestimmter Schwere die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 85 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen). Der Haftgrund der Wiederholungsgefahr ist restriktiv zu handhaben (<ref-ruling> E. 2.3, 2.6 und 2.11 S. 73 ff.).
Wird die Sicherheitshaft im Verfahren betreffend nachträgliche Änderung der Sanktion angeordnet, so entfällt die Prüfung des dringenden Tatverdachts, da eine rechtskräftige Verurteilung bereits vorliegt. Hingegen bedarf es für die Anordnung und die Weiterführung von Sicherheitshaft einer hinreichenden Wahrscheinlichkeit, dass das Verfahren zu einer Massnahme führt, welche die Sicherstellung des Betroffenen erfordert (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 337).
Zu prüfen ist folglich, ob ein besonderer Haftgrund vorliegt und ob die Anordnung einer stationären Massnahme als wahrscheinlich erscheint.
4.
4.1. Der Beschwerdegegner wurde in den Jahren 2007 bis 2013 diverse Male verurteilt (vgl. kantonale Akten, act. 216 ff). Seine Vortaten umfassen im Wesentlichen neben Diebstahl, Hausfriedensbruch und Sachbeschädigung auch Drohung sowie einfache und versuchte schwere Körperverletzung. Der Beschwerdegegner hat mehrfach, teilweise ohne erkennbaren äusseren Anlass, ihm unbekannte Personen aggressiv angegangen. Ein Angriff, in dessen Rahmen der Beschwerdegegner mit einem Holzstock unter Todesdrohungen auf unbeteiligte Opfer losgegangen ist, konnte (nur) durch einen anwesenden Polizeibeamten gestoppt werden (kantonale Akten, Auszug aus dem Urteil des Bezirksgerichts Lenzburg vom 15. August 2013, S. 258). Das Vortatenerfordernis ist unter diesen Umständen erfüllt.
4.2. Zu prüfen bleibt, ob insofern eine Rückfallgefahr besteht. Dabei kommt es im vorliegenden Zusammenhang einzig darauf an, ob vom Beschwerdegegner weitere (qualifizierte) Körperverletzungsdelikte oder gleichartige Straftaten drohen. Nach dem Gutachten der Psychiatrischen Dienste Aargau (PDAG) vom 25. Juni 2015 kann gewalttätiges Verhalten beim Beschwerdegegner ohne Warnsignal auftreten, eruptiv und unvermittelt. Bei Entlassung in die Freiheit sei von einer sehr hohen Rückfallgefahr auszugehen. Bewege er sich in der Öffentlichkeit, so könne jede zufällig sich in der Nähe befindliche Person Opfer seiner Übergriffe werden, sei es auf der Strasse, im Zug oder in einem Einkaufszentrum. Sollte er "zufällig" in den Besitz von Waffen gelangen, könnte die von ihm ausgehende Gefahr auch schwerwiegend werden. Aufgrund der dissozialen Persönlichkeitsstörung des Beschwerdegegners, seiner damit einhergehenden Persönlichkeitsmerkmale, inkl. der Neigung zu dysfunktionalem, "gefährlichem" Alkohol- und Drogenkonsum, sowie der aktenkundigen Tat- und Lebensumstände sei ernsthaft zu erwarten, dass der Beschwerdegegner erneut schwere Gewaltdelikte "gegen Leib und Leben" anderer Personen begehen werde (kantonale Akten, Gutachten der PDAG vom 25. Juni 2015, S. 35 ff., S. 81 f., S. 85, S. 87).
4.3. Das Gutachten geht damit insgesamt von einer sehr ungünstigen Rückfallprognose aus. Es stellt eine sehr hohe Rückfallgefahr für Gewaltdelikte fest. Der Beschwerdegegner wendet dagegen jedenfalls nichts Substanzielles ein. Schwere Körperverletzung im Sinne von <ref-law> stellt ein Verbrechen dar; einfache Körperverletzung im Sinne von <ref-law> kann ein schweres Vergehen darstellen (vgl. Urteil 1B_48/2015 vom 3. März 2015 E. 4.4.1 mit weiteren Hinweisen). Bei Gewaltdelikten stehen Leib und Leben, somit die höchsten Rechtsgüter, auf dem Spiel. Insoweit darf das Gericht an die Annahme von Wiederholungsgefahr keinen allzu strengen Massstab anlegen. Andernfalls setzte es mögliche Opfer einer nicht verantwortbaren Gefahr aus (vgl. <ref-ruling> E. 2e S. 271; Urteil 1B_146/2013 vom 3. Mai 2013 E. 3.2). Die Wiederholungsgefahr im Sinne von <ref-law> ist damit erstellt.
4.4. Dass das Gutachten der PDAG vom 25. Juni 2015 dem Beschwerdegegner eine sehr hohe Rückfallgefahr für die Begehung weiterer Gewaltdelikte zuschreibt, stellt auch die Vorinstanz fest. Dies und der Umstand, dass es im Strafvollzug zu Regelverstössen gekommen sei, vermag nach ihrer Auffassung die nachträgliche Anordnung einer Massnahme allerdings nicht zu rechtfertigen. So sei bereits zweifelhaft, ob nach vollzogener Strafe eine stationäre Massnahme zulässig sei und auf welche rechtliche Grundlage sich diese abstützen könnte. Die nachträgliche Anordnung der Massnahme erscheine daher nicht als naheliegend, sondern nur als vage Möglichkeit (Entscheid, S. 4). Die Sichtweise der Vorinstanz greift zu kurz. Das Gesetz sieht die Möglichkeit der nachträglichen Anordnung einer stationären Massnahme in <ref-law> ausdrücklich vor. Das Gericht kann danach eine solche Massnahme nachträglich anordnen, wenn bei einem Verurteilten vor oder während des Vollzugs einer Freiheitsstrafe die entsprechenden Massnahmenvoraussetzungen gegeben sind. Ausgehend hievon und in Anbetracht dessen, dass das Gutachten dem Beschwerdegegner eine schwere psychische Störung diagnostiziert und es von einer sehr hohen Rückfallgefahr für Gewaltdelikte ausgeht, kann nicht gesagt werden, die nachträgliche Anordnung einer stationären therapeutischen Massnahme sei zum vornherein ausgeschlossen. Damit ist das Erfordernis der hinreichenden Wahrscheinlichkeit in Bezug auf die Massnahmenanordnung im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gegeben (vorstehend E. 3). Ob die Voraussetzungen für eine Änderung der Sanktion nach <ref-law> vorliegen und ein solcher Wechsel von einer reinen Strafe zur Massnahme mit übergeordnetem Recht - unter Berücksichtigung auch des Umstands, dass das Urteil vom 15. August 2013 im abgekürzten Verfahren erging - überhaupt vereinbar ist, ist nicht im Haftprüfungsverfahren zu beurteilen, sondern im Verfahren betreffend die nachträgliche Änderung der Sanktion nach <ref-law> i.V.m. <ref-law>. Das Bundesgericht hat sich hierzu noch nie abschliessend geäussert.
4.5. Strafprozessuale Haft darf nur als "ultima ratio" angeordnet oder aufrechterhalten werden. Wo sie durch mildere Massnahmen ersetzt werden kann, muss von ihrer Anordnung oder Fortdauer abgesehen und an ihrer Stelle eine solche Ersatzmassnahme verfügt werden (Art. 212 Abs. 2 lit. c i.V.m. Art. 237 f. StPO; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 78). Das Absehen von sichernden Massnahmen wäre vorliegend angesichts der gutachterlich festgestellten hohen Wahrscheinlichkeit für die Begehung von Gewalttaten gegen Leib und Leben mit erheblichen konkreten Risiken für die öffentliche Sicherheit verbunden. Eine mildere Massnahme im Sinne von <ref-law>, die denselben Zweck wie die Haft erfüllen könnte, ist nicht ersichtlich. Der Beschwerdegegner bringt vor, dass eine Gefährdungsmeldung an die zuständige Erwachsenenschutzbehörde erfolgte. Allfällig angezeigte zivilrechtliche Massnahmen würden demnach ohne Verzug eingeleitet. Die strafprozessuale Haft dürfe nicht zur Sicherung von Erwachsenenschutzmassnahmen angeordnet werden. Damit macht er sinngemäss geltend, seine (angebliche) Rückfallgefahr würde mit den (milderen) Mitteln des Erwachsenenschutzes, soweit notwendig, genügend gedämmt. Sein Vorbringen ist unbehelflich (vgl. in diesem Zusammenhang auch <ref-ruling> E. 3 S. 80). Angesichts der von ihm ausgehenden Rückfallgefahr ist nicht ersichtlich, welche weniger weit gehende zivilrechtliche Massnahme vorliegend zielführend sein könnte. Eine allfällige Umwandlung der Sicherheitshaft in eine fürsorgerische Unterbringung würde für den Beschwerdegegner im Übrigen nicht viel ändern. Wohl entsprechen die Sicherheitsvorkehren in Therapieanstalten im Allgemeinen nicht denjenigen in Haftanstalten. Ist aber eine bedingungslose Entlassung des Beschwerdegegners zurzeit nicht zu verantworten und fällt damit allenfalls nur eine Änderung des Haftregimes von der strafprozessualen Sicherheitshaft in eine ebenfalls freiheitsentziehende zivilrechtliche fürsorgerische Unterbringung in Betracht, so erscheint in dieser speziellen Konstellation die Aufrechterhaltung der Sicherheitshaft für die Dauer des Verfahrens nicht als unverhältnismässig (vgl. zum Ganzen 1B_77/2014 vom 17. März 2014 E. 2.3).
5.
Die Voraussetzungen der Anordnung und Weiterführung von Sicherheitshaft sind damit zusammenfassend erfüllt. Die Beschwerde der Oberstaatsanwaltschaft im Verfahren 6B_942/2015 ist gutzuheissen, die Verfügung der Vorinstanz vom 16. September 2015 aufzuheben und die Angelegenheit zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der obsiegenden Beschwerdeführerin ist keine Entschädigung auszurichten. Der Beschwerdegegner würde als unterliegende Partei grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 Satz BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung kann bewilligt werden (<ref-law>). Damit sind keine Kosten zu erheben und ist sein Vertreter aus der Bundesgerichtskasse angemessen zu entschädigen.
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden. Ebenfalls gegenstandslos geworden ist die Beschwerde im Verfahren 6B_850/2015, mit welchem sich der Beschwerdeführer gegen die durch das Obergericht am 3. August 2015 bestätigte Anordnung von Sicherheitshaft durch das Zwangsmassnahmengericht wendet. Dieser Entscheid ist mit dem Entscheid des Bezirksgerichts vom 10. September 2015 in der Sache (<ref-law> analog), jedenfalls aber mit dem bundesgerichtlichen Entscheid, hinfällig geworden. Es sind insoweit weder Gerichtskosten zu erheben noch Entschädigungen zuzusprechen, zumal sich in beiden Verfahren die gleichen Fragen stellten.
Das weitere Verfahren ist unter Beachtung des Beschleunigungsgebots (Art. 5 Ziff. 4 EMRK, <ref-law>, <ref-law>) zügig durchzuführen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 6B_850/2015 und 6B_ 942/2015 werden vereinigt.
2.
Das Verfahren 6B_850/2015 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Die Beschwerde der Oberstaatsanwaltschaft im Verfahren 6B_942/2015 wird gutgeheissen, die Verfügung der Verfahrensleitung des Obergerichts des Kantons Aargau vom 16. September 2015 aufgehoben und die Angelegenheit zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
4.
Es werden keine Kosten erhoben.
5.
Der Vertreter des Beschwerdegegners, Rechtsanwalt Peter Fäs, wird für das bundesgerichtliche Verfahren 6B_942/2015 mit Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer sowie Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill