Faits:
A.
A.a. Le 4 février 2011, à Crissier, vers 20h00, X._, né en 1984, et A._, né en 1985, ont attendu, le visage dissimulé, le propriétaire d'une moto garée sur le parking d'une enseigne de restauration rapide. Après que celui-ci a mis le moteur de son engin en marche, ils l'ont menacé d'un couteau et se sont emparés de ce véhicule.
A.b. Le 7 février 2011, à Morges, vers 21h25, X._ a pénétré dans une station-service et a intimé l'ordre à l'employé présent, sous la menace d'un couteau, de lui remettre le contenu de sa caisse, soit 2'200 francs. X._ est ressorti avec l'argent et a pris la fuite en direction de la gare, où il est monté dans un train.
A.c. Le 8 février 2011, à Romont, vers 19h15, X._ a pénétré dans une station-service pendant que A._ faisait le guet sur une moto. Il a menacé avec un couteau l'employée présente afin qu'elle lui remette l'argent de la caisse, soit 5'981 francs. Il est ensuite ressorti avec l'argent et a pris place à l'arrière de la moto qui est partie à vive allure.
A.d. Le 18 février 2011, à Courgevaux, vers 14h15, X._ et A._ ont pénétré dans un magasin d'alimentation. Alors que le second faisait le guet, le premier a menacé l'employée avec un couteau de cuisine afin qu'elle lui remette le contenu de la caisse. Comme elle n'obtempérait pas, X._ a appuyé la pointe du couteau contre ses côtes et lui a légèrement entaillé le coude droit. Après avoir obtenu ce qu'il demandait, soit 1'500 ou 2'000 francs, deux clients qui avaient tenté de le retenir ont également été menacés avec le couteau. Alors que X._ se trouvait dans le sas d'entrée du magasin, une employée a activé le système de blocage des portes. Il s'est retrouvé coincé et a tenté en vain d'ouvrir celles-ci malgré les coups qu'il a donnés. A._, qui se trouvait déjà à l'extérieur, a alors foncé avec sa moto dans les portes coulissantes et a réussi à créer un passage par lequel X._ a pu passer et les deux comparses ont fui à vive allure.
A.e. Le 23 février 2011, à Granges-Marnand, vers 18h30, X._ et A._ ont pénétré dans un supermarché. Pendant que le second se tenait à l'entrée et pointait un pistolet en direction des clients, le premier a menacé une employée avec un grand couteau de cuisine. Comme elle n'arrivait pas à ouvrir sa caisse, il s'est dirigé vers une seconde employée qui lui a remis 4'495 francs. Alerté par les cris, le gérant est arrivé, muni d'un tabouret, tout en criant. X._ et A._ ont alors pris la fuite sur leur moto. Le pistolet utilisé était factice, mais l'employée menacée a expliqué qu'il avait l'air vrai.
A.f. Le 11 mars 2011, à Corseaux, vers 19h15, X._ a pénétré dans une station-service pendant que A._ faisait le guet sur une moto. Il a menacé l'employée présente avec un pistolet factice pour qu'elle lui remette le contenu de sa caisse. Celle-ci a refusé et a actionné le bouton d'alarme. X._ est ressorti sans rien emporter.
A.g. Le même jour, à Forel-Lavaux, vers 20h00, X._ a pénétré dans une autre station-service. Il a réussi à emporter un peu moins de 3'000 francs après avoir menacé la caissière avec son pistolet. Il s'est ensuite enfui sur la moto conduite par A._.
A.h. Entre le 8 et le 9 septembre 2009, X._ a forcé la porte d'entrée d'un magasin à Lausanne et y a pénétré. Il s'est emparé de matériel de musique, soit, en tout cas, un synthétiseur et un amplificateur.
A.i. Entre le 23 février 2009 et le 12 mars 2011, jour de son interpellation, X._ a consommé du cannabis à raison d'au moins deux joints par semaine, achetant de la drogue tous les quatre jours pour un montant compris entre 40 et 50 francs. Un sac lui appartenant et contenant environ 700 grammes de cannabis, conditionnés pour la vente, a en outre été retrouvé lors de la perquisition effectuée au domicile de son ancienne amie, chez laquelle il logeait depuis peu.
A.j. Le 5 août 2011, alors qu'il était détenu à la prison de la Croisée à Orbe, X._ a tenté de faire parvenir à un tiers, par l'intermédiaire d'un détenu libéré, un message dans lequel il demandait à celui-ci de corroborer sa version des faits selon laquelle un dénommé B._ était le propriétaire de la moto dérobée le 4 février 2011 et retrouvée devant son local de musique, ainsi que de différentes affaires qui y avaient été trouvées.
B.
Par jugement du 21 juin 2012, le Tribunal criminel de l'arrondissement de Lausanne a, notamment, reconnu X._ coupable de vol, tentative de brigandage qualifié et brigandages qualifiés au sens de l'art. 140 ch. 1, 2 et 3 al. 2 CP, dommages à la propriété, violation de domicile, tentative d'instigation à faux témoignage et infraction et contravention à la loi fédérale sur les stupéfiants. Il l'a condamné à une peine privative de liberté de quatre ans ainsi qu'à une amende de 200 francs.
C.
La Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois, statuant par jugement du 12 novembre 2012, a partiellement admis l'appel du Ministère public et condamné X._ à une peine privative de liberté de cinq ans ainsi qu'à une amende de 200 francs pour les infractions dont les premiers juges l'avaient reconnu coupable.
D.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral. Il conteste la peine prononcée à son encontre et conclut à la réforme du jugement attaqué en ce sens que la durée de sa peine soit ramenée à quatre ans et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit:
1.
Le recourant soutient que la cour d'appel ne pouvait augmenter la peine prononcée par le Tribunal criminel, sauf à substituer sa propre appréciation à celle des premiers juges, en violation des art. 398 al. 3 let. a et c CPP ainsi que 47 et 50 CP.
1.1.
1.1.1. Selon l'<ref-law>, le juge fixe la peine d'après la culpabilité de l'auteur. Il prend en considération les antécédents et la situation personnelle de ce dernier ainsi que l'effet de la peine sur son avenir (al. 1). La culpabilité est déterminée par la gravité de la lésion ou de la mise en danger du bien juridique concerné, par le caractère répréhensible de l'acte, par les motivations et les buts de l'auteur et par la mesure dans laquelle celui-ci aurait pu éviter la mise en danger ou la lésion, compte tenu de sa situation personnelle et des circonstances extérieures (al. 2).
La culpabilité de l'auteur doit être évaluée en fonction de tous les éléments objectifs pertinents, qui ont trait à l'acte lui-même, à savoir notamment la gravité de la lésion, le caractère répréhensible de l'acte et son mode d'exécution (objektive Tatkomponente). Du point de vue subjectif, sont pris en compte l'intensité de la volonté délictuelle ainsi que les motivations et les buts de l'auteur (subjektive Tatkomponente). A ces composantes de la culpabilité, il faut ajouter les facteurs liés à l'auteur lui-même (Täterkomponente), à savoir les antécédents, la réputation, la situation personnelle (état de santé, âge, obligations familiales, situation professionnelle, risque de récidive, etc.), la vulnérabilité face à la peine, de même que le comportement après l'acte et au cours de la procédure pénale (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 19 s.; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 20; arrêt 6B_759/2011 du 19 avril 2012 consid. 1.1).
1.1.2. L'<ref-law> confère un large pouvoir d'appréciation au juge. Par conséquent, le Tribunal fédéral, qui examine l'ensemble de la question d'office (<ref-law>), n'intervient que lorsque l'autorité cantonale a fait un usage vraiment insoutenable de la marge de manoeuvre que lui accorde le droit fédéral, s'il a fixé une peine en-dehors du cadre légal, s'il s'est fondé sur des critères étrangers à l'<ref-law> ou si des éléments d'appréciation importants n'ont pas été pris en compte (<ref-ruling> consid. 5.6 p. 61; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 19). L'exercice de ce contrôle suppose que le juge exprime, dans sa décision, les éléments essentiels relatifs à l'acte ou à l'auteur qu'il prend en compte, de manière à ce que l'on puisse constater que tous les aspects pertinents ont été pris en considération et comment ils ont été appréciés, que ce soit dans un sens aggravant ou atténuant (<ref-law>). Il peut passer sous silence les éléments qui, sans abus du pouvoir d'appréciation, lui apparaissent non pertinents ou d'une importance mineure. La motivation doit cependant justifier la peine prononcée, en permettant de suivre le raisonnement adopté même si le juge n'est pas tenu d'exprimer en chiffres ou en pourcentages l'importance qu'il accorde à chacun des éléments qu'il cite (<ref-ruling> consid. 2c p. 104 s.; arrêt 6B_49/2012 du 5 juillet 2012 consid. 1.1; 6B_485/2011 du 1er décembre 2011 consid. 1.3).
1.2. La cour cantonale a d'abord relevé que les premiers juges avaient retenu à la charge du recourant que sa culpabilité était très lourde, qu'il avait agi par appât du gain, sans scrupule et par pur égoïsme. Il avait menacé ses victimes avec un couteau de cuisine muni d'une lame de plus de 20 centimètres et avait menacé certaines d'entre elles de les tuer et blessé légèrement une autre. Ils avaient encore tenu compte qu'il avait agi sans se préoccuper des conséquences de ses actes sur ses victimes, que sa responsabilité était entière et que les différentes infractions entraient en concours. A décharge, les premiers juges avaient relevé que, malgré une première condamnation, le recourant ne semblait pas s'être installé dans la délinquance, qu'il n'était pas prêt à tout pour obtenir l'argent convoité et que son association avec son comparse l'avait déterminé à agir alors qu'il traversait une phase de vie difficile. Ils ont également tenu compte de ses excuses et aveux lors des débats, de sa jeunesse ainsi que du fait qu'il ne fallait pas prétériter son avenir.
La cour cantonale a cependant considéré que les antécédents du recourant, condamné à une reprise pour infraction à la loi fédérale sur les armes, constituaient un élément neutre, qui ne devait pas être "récompensé". L'absence de violence physique ne pouvait en outre être retenue à décharge car elle démontrait que la culpabilité du recourant aurait pu être plus importante. Il ne fallait par ailleurs pas accorder un poids trop élevé aux aveux du recourant, intervenus tardivement, à un moment où il ne pouvait faire autrement. La phase de vie difficile du recourant n'expliquait en outre pas son passage à l'acte, lequel était, selon ses dires, dicté par son désir de gagner rapidement de l'argent, étant relevé qu'il n'était pas dans le besoin puisqu'il avait un logement et une activité. Le recourant était certes jeune et père d'un enfant. Cela ne justifiait toutefois pas une réduction de la peine puisque cette dernière circonstance ne l'avait pas empêché de passer à l'acte. Il était inévitable qu'une peine privative de liberté d'une certaine durée ait des répercussions sur les membres de la famille du condamné, mais il était également vrai qu'il s'agissait de ne pas hypothéquer complétement son avenir. Partant, au vu des infractions commises, durant une brève période de temps, et des éléments à charge à prendre en considération, la peine prononcée par le Tribunal criminel devait être portée à cinq ans.
1.3. Le recourant soutient que la cour cantonale ne pouvait évaluer différemment les éléments retenus à décharge par le Tribunal criminel, sauf à substituer sa propre appréciation à celle des premiers juges.
Les critères à prendre en compte pour déterminer la culpabilité d'un prévenu sont définis à l'<ref-law>. Le juge doit se conformer aux principes qui en sont déduits, sous peine de violer le droit fédéral. Ce n'est que pour fixer la quotité de la peine, au vu des éléments retenus à charge et à décharge, qu'il dispose d'un pouvoir d'appréciation. Ainsi, contrairement à ce que le recourant soutient, la cour cantonale ne devait pas limiter son examen à un éventuel abus d'un prétendu pouvoir d'appréciation dont le Tribunal criminel aurait disposé pour admettre ou nier qu'un critère devait être retenu à décharge. L'autorité précédente devait au contraire examiner librement, en sa qualité de juridiction d'appel, quels critères devaient être pris en compte dans le cadre de la fixation de la peine, en application de l'<ref-law>.
1.3.1. Le recourant soutient que sa première condamnation a été mentionnée par les premiers juges uniquement comme un élément de sa situation personnelle. Cette circonstance figure cependant bien dans les éléments retenus à décharge par le Tribunal criminel (cf. jugement du 21 juin 2012 consid. 3.1 p. 63). Le recourant ne remet par ailleurs pas en question la jurisprudence citée par la cour cantonale selon laquelle une absence d'antécédent a un effet neutre sur la fixation de la peine et n'a donc pas à être prise en considération dans un sens atténuant (<ref-ruling>). La cour cantonale n'a dès lors pas violé le droit fédéral en considérant que les premiers juges ne pouvaient retenir à décharge que le recourant n'avait été précédemment condamné qu'à une simple amende de 400 francs pour délit à la loi fédérale sur les armes et qu'il n'était pas installé dans la délinquance.
1.3.2. Le recourant qualifie d'incompréhensible, voir d'absurde, la décision cantonale en tant qu'elle considère qu'il ne peut être retenu à décharge le fait qu'il n'a pas usé de violence au motif que, si tel n'avait pas été le cas, sa culpabilité aurait été plus importante.
Il ressort de manière suffisamment claire de la décision entreprise que la cour cantonale a considéré, à juste titre, que l'absence de violence commise par le recourant ne constituait pas un élément de nature à diminuer sa culpabilité. Admettre le contraire reviendrait à considérer, de manière inadmissible, qu'il fallait retenir dans un sens atténuant que le recourant n'avait pas commis d'autres infractions à l'occasion de ses brigandages, telles, par exemple, des lésions corporelles infligées aux personnes qu'il menaçait. Le recourant ne peut en outre se prévaloir du fait qu'il n'a pas fait usage de son arme dans la mesure où il a adressé des menaces suffisamment graves et explicites aux employés des commerces visités pour ne pas avoir à y recourir. Il a ainsi ordonné, par exemple, à l'employé de la station-service de Morges "ouvre la caisse, dépêche, tu veux que je te plante" ou à la caissière de celle de Forel-Lavaux "donne-moi le fric sinon je te bute". En outre, lorsqu'une employée n'a pas donné suite à son injonction lors du brigandage du 18 février 2011, il n'a pas pris la fuite, mais a insisté, appuyant la pointe de son couteau contre les côtes de la préposée, la blessant légèrement, démontrant ainsi la dangerosité de son comportement. La cour cantonale n'a dès lors pas violé le droit fédéral en considérant que l'absence de violence physique ne pouvait être retenue à décharge.
1.3.3. En ce qui concerne les aveux du recourant, ce dernier ne conteste pas les constatations cantonales, qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>), selon lesquelles ils sont intervenus de manière tardive - soit en cours d'audience devant le Tribunal criminel, après qu'il a encore contesté dans un premier temps les brigandages dont il était accusé - et à un moment où le recourant ne pouvait faire autrement au regard des éléments à charge et des aveux de son comparse.
Des aveux qui ne sont pas l'expression d'un repentir, qui n'ont facilité en rien le déroulement de la procédure et qui sont intervenus sous la pression des preuves accumulées ne peuvent conduire à une réduction de la peine (cf. arrêt 6B_13/2012 du 19 avril 2012 consid. 2.4). L'autorité cantonale n'a dès lors pas violé le droit fédéral en indiquant, au vu des faits constatés, qu'il n'y avait pas à accorder un poids trop important aux aveux du recourant. De plus, contrairement à ce que celui-ci semble soutenir, cet élément n'a pas justifié à lui seul l'augmentation d'une année de la peine prononcée en première instance.
1.3.4. Le recourant indique qu'il ne conteste pas la décision cantonale en tant qu'elle a retenu que sa conduite était dictée par son désir de gagner rapidement de l'argent. Il soutient qu'il fallait néanmoins tenir compte du fait qu'il traversait une phase difficile.
Il n'est toutefois pas courant qu'un individu qui vit une période délicate, sur le plan financier en particulier, commette des actes aussi graves que ceux du recourant et celui-ci n'explique pas en quoi cette circonstance a joué un rôle particulier susceptible d'amoindrir sa culpabilité en relation avec les faits pour lesquels il est condamné. On ne saurait donc reprocher à la cour cantonale de n'avoir pas pris en considération cet élément à décharge dans la fixation de la peine. Le recourant se borne par ailleurs à affirmer qu'il était contradictoire de retenir, d'une part, que son activité lui avait peu rapporté et, d'autre part, qu'il n'était pas dans le besoin. Il n'explique cependant pas au moyen d'une argumentation conforme aux exigences de l'<ref-law> en quoi cette dernière constatation serait arbitraire, alors que ne pas être dans le besoin ne signifie pas nécessairement disposer de moyens importants. Enfin, ainsi que l'a retenu la cour cantonale, l'influence négative de son comparse sur les actes du recourant ne peut être un argument expliquant son passage à l'acte, et donc constituer un élément à décharge. Le premier des brigandages réalisé par le recourant dans des commerces, le 7 février 2011, a été commis sans l'assistance de son comparse. Il ne peut dès lors être considéré qu'il a été entraîné dans cette voie par un tiers plus expérimenté que lui.
1.3.5. Le recourant soutient que la cour cantonale a violé le droit fédéral en considérant que son jeune âge et sa paternité ne justifiaient pas une réduction de peine.
Le jeune âge ne constitue plus une circonstance atténuante depuis l'entrée en vigueur de la nouvelle partie générale du code pénal le 1er janvier 2007 (cf., sous l'ancien droit, l'art. 64 al. 9 aCP, applicable aux auteurs âgés de 18 à 20 ans). Il ne peut en être pris en compte dans le cadre ordinaire de la fixation de la peine que dans la mesure où un auteur est immature (cf. arrêt 6B_762/2009 du 4 décembre 2009 consid. 3.3; Stratenwerth, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil II, 2ème éd., 2006, § 6 n. 105; Wiprächtiger, in Basler Kommentar, Strafrecht I, 2ème éd., 2007, n. 96 ad <ref-law>). Le recourant avait plus de 26 ans au moment des faits et il était ainsi majeur depuis plusieurs années. Il n'invoque aucun élément qui pourrait démontrer une quelconque immaturité chez lui et l'état de fait cantonal, qui lie le Tribunal fédéral (<ref-law>), n'en contient aucun. La cour cantonale pouvait donc considérer, sans violer le droit fédéral, que ce critère ne devait pas être pris en compte à décharge.
En outre, il est inévitable qu'une peine privative de liberté d'une certaine durée ait des répercussions sur les membres de la famille du condamné. Cette conséquence ne peut conduire à une réduction de la peine qu'en cas de circonstances extraordinaires (arrêt 6B_716/2010 du 15 novembre 2010 consid. 2.3; 6B_751/2009 du 4 décembre 2009 consid. 3). Le recourant ne soutient pas que son enfant, né en 2006, est à sa charge et que sa mère ne s'en occupe pas. Sa situation ne diffère pas de celle de n'importe quel détenu qui est père de famille et, en l'absence de circonstance particulière, cet élément ne pouvait influer, à décharge, dans la fixation de la peine. Cela étant, la cour cantonale n'a pas fait totalement abstraction de la situation personnelle du recourant, indiquant qu'il s'agissait de ne pas hypothéquer complètement son avenir.
1.3.6. En définitive, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en ne retenant pas, ou que très partiellement, les éléments à décharge pris en compte par les premiers juges. Compte tenu des critères à prendre en considération, à savoir plusieurs brigandages qualifiés, en concours avec d'autres infractions, commis sur une brève période de temps, motivés par le désir du recourant de gagner rapidement de l'argent, sans se préoccuper des conséquences de ses actes sur les personnes menacées, la culpabilité du recourant doit être qualifiée de très lourde. Une peine de deux ans au moins doit être infligée pour un brigandage commis en bande au sens de l'<ref-law> et le recourant en a commis plusieurs, ainsi qu'une tentative, infractions auxquelles s'en ajoutent d'autres en concours. Ainsi, en prononçant une peine de cinq ans de privation de liberté pour l'ensemble des infractions commises par le recourant, qui demeure dans le cadre légal, la cour cantonale n'a pas fait un usage insoutenable de la marge de manoeuvre que lui accorde le droit fédéral.
1.4. Dans la mesure où la cour cantonale n'a pas pris en compte des éléments retenus à tort à décharge par les premiers juges, ce qui avait pour effet d'aggraver la culpabilité du recourant, elle devait à nouveau fixer la peine et pouvait augmenter la quotité de celle-ci sans qu'il puisse lui être reproché d'avoir simplement substitué sa propre appréciation à celle du Tribunal criminel à cet égard. Le grief de violation de l'<ref-law>, tel qu'il est soulevé par le recourant qui soutient à tort que l'autorité précédente a aggravé sa peine sans s'écarter des critères retenus par les premiers juges, doit être rejeté. En tout état de cause, le recourant ne démontre pas que la peine prononcée par la Cour d'appel serait exagérément sévère, comme il lui appartenait de le faire afin de démontrer qu'elle a violé le droit fédéral (<ref-law>).
Enfin, le recours doit également être rejeté en tant que le recourant critique la décision attaquée au motif qu'elle n'indique pas quel poids elle donnait aux différents critères. Il appartenait à la cour cantonale d'exposer quels éléments elle prenait en compte dans le cadre de la fixation de la peine, ce qu'elle a fait, mais elle n'était pas tenue d'exprimer en chiffres ou en pourcentages l'importance qu'elle accordait à chacun des éléments qu'elle citait (cf. supra consid. 1.1.2). Il n'y a pas de défaut de motivation à cet égard. Le grief de violation de l'<ref-law> doit être rejeté.
2.
Le recours doit être rejeté. Le recourant a sollicité l'assistance judiciaire. Comme ses conclusions étaient dépourvues de chance de succès, celle-ci ne peut être accordée (<ref-law>). Le recourant devra donc supporter les frais (<ref-law>), dont le montant sera toutefois arrêté en tenant compte de sa situation financière.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 francs, sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 3 juin 2013
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Mathys
Le Greffier: Rieben