Sachverhalt:
A. Die Kläranlage Bibertal-Hegau reichte am 14. September 1994 der Eidgenössischen Steuerverwaltung (ESTV) den Fragebogen zur Eintragung als Mehrwertsteuerpflichtige ein, wobei sie in einem Begleitschreiben u.a. ausführte, kein rechtlich eigenständiger Betrieb zu sein. Sie werde gemäss Vertrag zwischen dem Abwasserverband (AV) Bibertal mit Geschäftssitz in Thayngen/CH und dem Abwasserzweckverband (AZV) Hegau-Süd mit Sitz in Singen/D betrieben. Die Abwasserverbände seien Körperschaften des öffentlichen Rechts. In der Folge wurde die Kläranlage Bibertal-Hegau ins Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen.
Mit Eingabe vom 20. Oktober 2008 liess die Kläranlage Bibertal-Hegau geltend machen, ihre Umsätze seien grösstenteils nicht mehrwertsteuerpflichtig. Sie beantragte insbesondere die Anerkennung des grenzüberschreitenden Zweckverbandes "Bibertal-Hegau", die Eintragung des grenzüberschreitenden Zweckverbandes "Bibertal-Hegau" im MWST-Register anstelle der Kläranlage Bibertal-Hegau, die Feststellung, dass die Kläranlage Bibertal-Hegau Bestandteil des grenzüberschreitenden Zweckverbandes "Bibertal-Hegau" sei, sowie die Feststellung, dass die Umsätze innerhalb des grenzüberschreitenden Zweckverbandes "Bibertal-Hegau" und die Leistungen innerhalb der Zweckverbände AV Bibertal (ausser den Stromlieferungen) / AZV Hegau-Süd nicht der Mehrwertsteuer unterlägen.
Mit Schreiben vom 12. November 2008 hielt die ESTV insbesondere fest, das Territorialitätsprinzip schliesse das Bestehen eines grenzüberschreitenden Zweckverbandes aus, denn eine im Ausland ansässige Einrichtung - selbst wenn sie sich nach dortigem Recht als solche des öffentlichen Rechts qualifiziere - gelte nicht als Gemeinwesen im Sinne der (schweizerischen) Mehrwertsteuer, sondern als Nichtgemeinwesen.
B. Mit Verfügung vom 26. August 2009 entschied die ESTV, die beiden die Kläranlage Bibertal-Hegau betreibenden Abwasserverbände AV Bibertal und AZV Hegau-Süd würden gemeinsam keine Einrichtung des öffentlichen Rechts im Sinne von Art. 23 Abs. 1 aMWSTG (in Verbindung mit Art. 3 aMWSTG) darstellen. Die von der Kläranlage Bibertal-Hegau dem AV Bibertal erbrachten Leistungen, die von der Kläranlage Bibertal-Hegau dem AZV Hegau-Süd erbrachten Leistungen sowie die von der Kläranlage Bibertal-Hegau dem Elektrizitätswerk des Kantons Schaffhausen erbrachten Leistungen würden vollumfänglich (zum Normalsatz) der Mehrwertsteuer unterliegen. Die Kläranlage Bibertal-Hegau habe demnach (unter Vorbehalt einer Kontrolle im Sinne von Art. 62 aMWSTG) die - für die Steuerperioden 2004 bis 2008 im einzelnen aufgeführten - Umsätze zu Recht in ihren Mehrwertsteuerabrechnungen deklariert und mit der ESTV abgerechnet.
C. Gegen diese Verfügung erhob die Kläranlage Bibertal-Hegau am 28. September 2009 Einsprache. Das Bundesverwaltungsgericht, an welches das Rechtsmittel antragsgemäss im Sinne von Art. 64 Abs. 2 aMWSTG weitergeleitet wurde, wies die Beschwerde mit Urteil vom 3. Mai 2010 ab.
D. Die Kläranlage Bibertal-Hegau beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlicher Angelegenheit vom 9. Juni 2010, es sei das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 3. Mai 2010 aufzuheben und die ESTV zu verpflichten, der Kläranlage Bibertal-Hegau die - im Detail aufgeführten - auf den zu Unrecht deklarierten Umsätzen erhobenen Mehrwertsteuern für die Steuerperioden 2004 bis 2008 zurückzuerstatten. Demzufolge sei die Steuerforderung für die Steuerperioden 1. Quartal 2004 bis 4. Quartal 2008 auf den Betrag von Fr. 12'464.76 festzusetzen. Es sei festzustellen, dass die beiden die Kläranlage Bibertal-Hegau betreibenden Abwasserverbände Bibertal und Hegau-Süd als ein Zweckverband im Sinne des Schweizerischen Mehrwertsteuerrechts zu qualifizieren seien. Es sei festzustellen, dass die von der Kläranlage Bibertal-Hegau dem Abwasserverband Bibertal erbrachten Leistungen sowie die dem Abwasserzweckverband Hegau-Süd erbrachten Leistungen als Leistungen unter Gemeinwesen zu qualifizieren seien und nicht der schweizerischen Mehrwertsteuer unterlägen. Eventualiter sei festzustellen, dass die Kläranlage Bibertal-Hegau als Betriebsstätte des AZV Hegau-Süd fungiere. Eventualiter sei die Beschwerde zur besseren Abklärung des Sachverhaltes an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Als Steuerpflichtige ist die Beschwerdeführerin zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>).
1.2 Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Die Anfechtung der Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz ist demgegenüber lediglich beschränkt möglich. Gemäss <ref-law> kann sie nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Offensichtlich unrichtig ist eine Sachverhaltsermittlung nicht schon dann, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Wer Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substanziiert darlegen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sind. Andernfalls ist vom Sachverhalt des angefochtenen Entscheids auszugehen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich unter Zugrundelegung des von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalts von Amtes wegen an (vgl. Art. 105 und 106 Abs. 1 BGG). Allerdings prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (vgl. Art. 42 Abs. 2, 97 Abs. 1 und 106 Abs. 2 BGG) - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.4 Die Beschwerdeführerin hat ihre Anträge teilweise, wie bereits vor der Vorinstanz, als Feststellungsbegehren formuliert. Dem Begehren um Feststellung ist zu entsprechen, wenn der Gesuchsteller ein schutzwürdiges Interesse nachweist (<ref-law>; SR 172.021). Nach konstanter bundesgerichtlicher Rechtsprechung bleibt im Bereich der Mehrwertsteuer für ein selbständiges Feststellungsbegehren kein Raum, wenn ein beschwerdefähiger Leistungsentscheid gefällt werden kann und die Steuerpflicht für einen konkreten Prüfungszeitraum zu beurteilen ist (vgl. Urteile 2C_807/2008 vom 19. Juni 2009 E. 1.3; 2A.150/2001 vom 13. Februar 2002 E. 2b bzw. 2A.384/2001 vom 26. Februar 2002 E. 2.2; ALOIS CAMENZIND/NIKLAUS HONAUER/KLAUS A. VALLENDER, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 2. Aufl., Bern 2003, S. 575 f., Rz. 1694). Nachdem im konkreten Falle entschieden werden kann, ob die umstrittene Leistung die Steuerpflicht auslöst oder nicht, erübrigt sich ein Feststellungsentscheid, weshalb auf diese Anträge nicht einzutreten ist. Daran vermag nichts zu ändern, dass die Vorinstanz ihrerseits auf das Feststellungsbegehren eingetreten ist, insbesondere mit der Begründung, die Eidgenössische Steuerverwaltung habe das Dispositiv ihres Entscheides teilweise als Feststellungsentscheid formuliert. Zwar ist die Beschwerdeführerin ursprünglich mit Anträgen betreffend die Feststellung der Steuerpflicht an die ESTV gelangt. Diese hat die Frage jedoch zulässigerweise im Kontext der Erhebung der Steuern für die Jahre 2004 bis 2008 behandelt. Richtigerweise stellen die Feststellungen der ESTV daher nicht Entscheide dar, welche Teil des Dispositives bilden sollten, sondern Erwägungen, welche Grundlage für die Leistungsentscheide betreffend die zur Diskussion stehenden Steuerperioden bilden.
2. Der zu beurteilende Sachverhalt hat sich in den Jahren 2004 bis 2008 verwirklicht. Am 1. Januar 2010 ist das Bundesgesetz vom 12. Juni 2009 über die Mehrwertsteuer (MWSTG; SR 641.20) in Kraft getreten. Die bisherigen gesetzlichen Bestimmungen sowie die darauf gestützt erlassenen Vorschriften bleiben grundsätzlich weiterhin auf alle während ihrer Geltungsdauer eingetretenen Tatsachen und entstandenen Rechtsverhältnisse anwendbar (<ref-law>). Das vorliegende Verfahren untersteht deshalb in materieller Hinsicht dem Bundesgesetz vom 2. September 1999 über die Mehrwertsteuer (aMWSTG; AS 2000 1300). Demgegenüber ist das neue mehrwertsteuerliche Verfahrensrecht im Sinne von <ref-law> auf sämtliche im Zeitpunkt des Inkrafttretens hängigen Verfahren anwendbar.
3. 3.1 Der Mehrwertsteuer unterliegen nach Art. 5 aMWSTG u.a. durch steuerpflichtige Personen im Inland gegen Entgelt erbrachte Dienstleistungen (lit. b), sofern sie nicht ausdrücklich von der Steuer ausgenommen sind. Als Dienstleistung gilt jede Leistung, die keine Lieferung eines Gegenstandes ist (Art. 7 Abs. 1 aMWSTG).
Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid zu Recht festgehalten, die von der Beschwerdeführerin erbrachten Leistungen, d.h. die Reinigung von Abwässern, seien als Dienstleistungen zu qualifizieren. Es kann auf die von der Beschwerdeführerin nicht bestrittenen Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
3.2 Als Ort einer Dienstleistung gilt - unter Vorbehalt der vorliegend nicht relevanten Absätze 2 und 3 von Art. 14 aMWSTG - der Ort, an dem die Dienst leistende Person den Sitz ihrer wirtschaftlichen Tätigkeit oder eine Betriebsstätte hat, von wo aus die Dienstleistung erbracht wird, oder in Ermangelung eines solchen Sitzes oder einer solchen Betriebsstätte ihr Wohnort oder der Ort, von dem aus sie tätig wird (Art. 14 Abs. 1 aMWSTG).
Die Vorinstanz hat implizit festgestellt, der Ort der Dienstleistungen liege in der Schweiz. Die Beschwerdeführerin bringt im Rahmen der Begründung ihres Eventualantrages vor, die Kläranlage Bibertal-Hegau verursache nur Kosten, welche durch die Mitgliedsgemeinden der Zweckverbände gedeckt werden müssten. Die betreffenden Erträge und Aufwände seien anhand einer Betriebsstättebuchhaltung aufzuteilen und entsprechend müssten aus mehrwertsteuerlicher Sicht nur jene Erträge und Aufwände berücksichtigt werden, welche auch tatsächlich in der Schweiz anfallen. Es ist unklar, ob die Beschwerdeführerin damit effektiv geltend machen will, die von ihr erbrachten Dienstleistungen seien nicht in der Schweiz steuerbar. Die Beschwerdeführerin legt selber dar, gestützt auf einen Zusammenarbeitsvertrag zwischen dem Abwasserverband "Bibertal" (AV Bibertal; Kanton Schaffhausen) und dem Abwasserzweckverband "Hegau-Süd" (AZV Hegau-Süd; Land Baden-Württemberg, Deutschland) sei die Kläranlage Bibertal-Hegau (ARA) in Ramsen (Kanton Schaffhausen) errichtet worden. Die ARA sei eine feste Einrichtung mit Wasserbecken, Apparaturen, Geräten und Büroräumlichkeiten. Aufgrund dieser Sachlage ergibt sich ohne weiteres, dass die fraglichen Dienstleistungen, also die Klärung der Abwässer, durch den in der Schweiz gelegenen Betrieb erbracht werden. Es ist nicht ersichtlich, dass die Beschwerdeführerin - unabhängig von der ihr zuzusprechenden Rechtsform (vgl. dazu E. 3.3) - abgesehen von diesem Betrieb einen anderweitigen Sitz der wirtschaftlichen Tätigkeit hätte, und die Beschwerdeführerin trägt derartiges auch nicht vor. Es erübrigt sich deshalb, auf die Frage einzugehen, wie die Zuordnung von Dienstleistungen bei Auseinanderfallen von Sitzort im genannten Sinne und Betriebs- oder Betriebsstätteort vorzunehmen wäre (vgl. dazu Alois Camenzind, in: mwst.com, Kommentar zum Bundesgesetz über die Mehrwertsteuer, Basel/Genf/ München 2000, N. 35 zu <ref-law>). Aufgrund des vorliegenden Sachverhaltes ergibt sich demnach, dass der Ort der fraglichen Dienstleistungen in der Schweiz liegt. Irrelevant ist, dass die Abwässer, welche gereinigt werden, zu 90 % aus Deutschland stammen.
3.3 Die Beschwerdeführerin bestreitet grundsätzlich ihre Steuerpflicht, indem sie geltend macht, sie sei Teil einer grenzüberschreitenden Verbandsstruktur und besitze keine eigene Rechtspersönlichkeit. Demgegenüber kam die Vorinstanz zum Schluss, die Beschwerdeführerin sei - wohl als einfache Gesellschaft - das Steuersubjekt.
3.3.1 Die Voraussetzungen der subjektiven Steuerpflicht bei der Inlandsteuer ergeben sich aus Art. 21 aMWSTG. Danach ist steuerpflichtig, wer eine mit der Erzielung von Einnahmen verbundene gewerbliche oder berufliche Tätigkeit selbständig ausübt, sofern seine Lieferungen, seine Dienstleistungen und sein Eigenverbrauch im Inland jährlich gesamthaft Fr. 75'000.-- übersteigen (Abs. 1). Steuerpflichtig sind nach Absatz 2 der genannten Bestimmung insbesondere natürliche Personen, Personengesellschaften, juristische Personen des privaten und öffentlichen Rechts, unselbständige öffentliche Anstalten sowie Personengesamtheiten ohne Rechtsfähigkeit, die unter gemeinsamer Firma Umsätze tätigen.
Kommunale Zweckverbände oder Gemeindeverbände sind öffentlich-rechtliche Zusammenschlüsse mehrerer Gemeinden zur gemeinschaftlichen Erfüllung bestimmter kommunaler Aufgaben (ULRICH HÄFELIN/GEORG MÜLLER/FELIX UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl., Zürich 2010, Rz. 1445). Es handelt sich um öffentlich-rechtliche Körperschaften, welche auf öffentlich-rechtlicher Grundlage gemäss <ref-law> beruhen. Sie gelten daher als juristische Personen des öffentlichen Rechts im Sinne von Art. 21 Abs. 2 aMWSTG und sind damit Steuersubjekt bei der Mehrwertsteuer. Andererseits zählt zu den "Personengesamtheiten ohne Rechtsfähigkeit" unter anderem die einfache Gesellschaft im Sinn von <ref-law>. Aufgrund der weit gefassten gesetzlichen Umschreibung des Steuersubjekts in Art. 21 Abs. 2 aMWSTG können jedoch auch solche Personengemeinschaften steuerpflichtig werden, denen das Wesensmerkmal der zivilrechtlichen einfachen Gesellschaft, der Wille zur Erreichung eines gemeinsamen Zwecks, fehlt. Entscheidend ist, ob die betreffende Gemeinschaft im Verkehr mit Dritten als solche auftritt. Daraus folgt, dass die sogenannten "stillen" Gesellschaften, die typischerweise gerade nicht nach aussen hin auftreten, der subjektiven Steuerpflicht nicht unterliegen (vgl. Urteile 2A.369/2005 vom 24. August 2007 E. 4.2 und 2A.520/2003 vom 29. Juni 2004 E. 4.1 mit Hinweisen, in: ASA 78 S. 250; vgl. Camenzind/Honauer/Vallender, a.a.O., S. 352, Rz. 1027).
3.3.2 Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil festgestellt, die Beschwerdeführerin sei gegen aussen als Kläranlage Bibertal-Hegau aufgetreten. Diese Sachverhaltsfeststellung wird von der Beschwerdeführerin zu Recht nicht bestritten. Bei dieser Sachlage kann nach dem vorstehend unter E. 3.3.1 Ausgeführten festgestellt werden, dass die Beschwerdeführerin als Steuersubjekt zu qualifizieren ist, ungeachtet darum, ob sich die sie tragenden Abwasserverbände in Form eines Zweckverbandes oder als einfache Gesellschaft zusammenschlossen. Massgebend ist, dass die Beschwerdeführerin auf jeden Fall ein eigenständiges Subjekt bildet, welches unter eigener Firma Umsätze tätigt, und dass dies insbesondere auch dann zutrifft, wenn der Beschwerdeführerin gefolgt würde und von einem eigenen Zweckverband Bibertal-Hegau aufgrund des Zusammenschlusses des AV Bibertal und des AZV Hegau-Süd ausgegangen würde. Aufgrund dieses Umstandes sowie der Feststellung, dass der Ort der von der Beschwerdeführerin erbrachten Dienstleistungen in der Schweiz liegt (vgl. E. 3.2), erübrigt es sich daher auf die Frage einzugehen, welche Rechtsform der Trägerschaft der Beschwerdeführerin zugrunde liegt. Die Vorinstanz hat daher zu Recht auf eine subjektive Steuerpflicht der Beschwerdeführerin erkannt.
Damit ist gleichzeitig festzustellen, dass den Eventualüberlegungen der Beschwerdeführerin nicht gefolgt werden kann, wonach die Kläranlage Bibertal-Hegau als Betriebsstätte des Abwasserzweckverbandes Hegau-Süd zu qualifizieren sei, liegt doch für die Kläranlage eine eigene, vom Abwasserzweckverband Hegau-Süd zu unterscheidende Trägerschaft vor.
3.4 Die Vorinstanz hat festgestellt, die Beschwerdeführerin habe ihre Leistungen gegen Entgelt erbracht. Sie begründete dies damit, die Verbandsgemeinden hätten je nach Inanspruchnahme der Leistung individuelle Entgelte bezahlt. Die Entgeltlichkeit der von der Beschwerdeführerin erbrachten Leistungen wird von dieser nicht bestritten. Hingegen ergibt sich aus ihren Vorbringen im Zusammenhang mit dem Eventualantrag, wonach von einer Betriebsstätte auszugehen sei, dass das Entgelt durch den Abwasserzweckverband Hegau-Süd entrichtet werde.
Relevant ist vorliegend, dass von einem entgeltlichen Leistungsaustausch auszugehen ist. Zu prüfen bleibt, ob die an ausländische Gemeinweisen erbrachten Leistungen als steuerbare Leistungen an Nichtgemeinwesen im Sinne von Art. 23 Abs. 1 aMWSTG zu qualifizieren sind. Dabei kann offen bleiben, ob die fraglichen Leistungen an die einzelnen Verbandsgemeinden erbracht wurden oder an die jeweiligen Zweckverbände, stellen doch sowohl Zweckverbände wie auch einzelne Gemeinden zweifellos Gemeinwesen dar und stellt sich für beide die Frage der allfälligen Qualifikation als Nichtgemeinwesen - aufgrund des Umstandes, dass sie als ausländisch gelten - gemäss Art. 23 Abs. 1 aMWSTG in identischer Weise.
3.5 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die von ihr erbrachten Leistungen unterlägen nicht der Mehrwertsteuer, da sie unter Gemeinwesen erbracht würden. Demgegenüber hat die Vorinstanz erkannt, ausländische Gemeinwesen würden nicht als Gemeinwesen im Sinne von Art. 23 Abs. 1 aMWSTG gelten.
3.5.1 Das Mehrwertsteuergesetz vom 2. September 1999 enthält ebensowenig eine Definition des Begriffes "Gemeinwesen" wie bereits die Verordnung über die Mehrwertsteuer vom 22. Juni 1994 (aMWSTV; AS 1994 1464). Der Begriff selber lässt sodann keine Rückschlüsse darauf zu, ob ausländische Gemeinwesen miterfasst sind, bedeutet doch Gemeinwesen gemäss Duden, Deutsches Universalwörterbuch (Mannheim etc. 1983), nichts anderes als Gemeinde(verband), Staat als öffentlich-rechtliches Gebilde. Nach Fritz Gygi (Verwaltungsrecht, Bern 1986, S. 21) machen hauptsächlich der Bund, die Kantone und die Gemeinden in der Schweiz das Gemeinwesen aus, wozu noch öffentliche Körperschaften und Anstalten sowie andere Organisationen als Träger von Verwaltungsaufgaben kommen, die aber alle in einer rechtlichen Verbindung mit Bund, Kanton oder Gemeinde stehen (ähnlich: Pierre Tschannen, Systeme des Allgemeinen Verwaltungsrechts, Bern 2008, S. 26 Rz. 47). Damit ist jedoch nicht beantwortet, ob unter den Begriff des Gemeinwesens nach Art. 23 Abs. 1 aMWSTG nur solche inländischen Gemeinwesen fallen, oder ob auch ausländische miterfasst sind. Auch der Wortlaut der gesamten Bestimmung von Art. 23 Abs. 1 aMWSTG lässt keine Rückschlüsse zu. Zwar werden eingangs Bund, Kantone und Gemeinden genannt, was den Schluss zuliesse, es werde auf schweizerische Gemeinwesen Bezug genommen. Danach werden jedoch auch übrige Einrichtungen des öffentlichen Rechts sowie die mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Personen und Organisationen genannt, was nicht ohne Weiteres ausschliesst, dass auch ausländische Gemeinwesen mitgemeint sind (vgl. in diesem Sinne die explizite Regelung in Art. 12 Abs. 2 der - vorliegend nicht zur Anwendung kommenden - Mehrwertsteuerverordnung vom 27. November 2009; MWSTV; SR 641.201).
Art. 23 aMWSTG hat eine spezielle Stellung im Gefüge des Mehrwertsteuerrechts, führt er doch mit den autonomen Dienststellen nicht nur ein zusätzliches Steuersubjekt ein, sondern auch eine zusätzliche Umsatzgrenze für den Beginn der Steuerpflicht sowie spezielle Ausnahmen von der objektiven und subjektiven Steuerpflicht (vgl. Gerhard Schafroth/Dominik Romang, in: mwst.com (a.a.O.), N. 1 zu <ref-law>). Die Mehrwertsteuerverordnung vom 22. Juni 1994 enthielt noch keine derart detaillierte Regelung, sondern bestimmte im Wesentlichen, dass Bund, Kantone und Gemeinden, die übrigen Einrichtungen des öffentlichen Rechts sowie mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Personen und Organisationen nicht steuerpflichtig seien für Leistungen, die sie in Ausübung hoheitlicher Gewalt erbringen. Ferner seien Gemeinwesen, ihre Dienststellen sowie Zweckverbände von Gemeinwesen von der Steuerpflicht ausgenommen, soweit sie ausschliesslich Leistungen untereinander erbringen (Art. 17 Abs. 4 Satz 1 und 2 aMWSTV). Entgegen dem Wortlaut der genannten Bestimmung erfasste die ESTV als Steuersubjekte die autonomen Dienststellen der Gemeinwesen (vgl. Broschüre Gemeinwesen, 610.507-16, vom Dezember 1994, Ziff. 3). Sie führte dazu aus, der Verordnungsgeber trage dem Umstand Rechnung, dass Gemeinden, Städte, Kantone usw. in der Regel komplexe Gebilde seien, welche über viele autonome Dienststellen (Abteilungen oder Direktionen) verfügten (so z.B. Elektrizitätsversorgung, Wasserversorgung, Abfallwesen, Bauamt, Jugendamt, Sozialamt, Sportamt, Vermessungsamt). Die autonomen Bereiche des Gemeinwesens würden auch dann subjektiv steuerpflichtig, wenn sie rechtlich nicht selbständig seien (Broschüre Gemeinwesen Ziff. 1 a.E.). Der institutionelle Aufbau eines Gemeinwesens richte sich nach dessen besonderen betriebswirtschaftlichen und politischen Bedürfnissen und hänge namentlich von seiner Grösse ab (Broschüre Gemeinwesen Ziff. 3). Nach der Praxis der ESTV konnte das Gemeinwesen beantragen, als Gruppe besteuert zu werden (Broschüre Gemeinwesen S. 9). Die genannte Praxis der ESTV sollte gemäss Bericht der Kommission für Wirtschaft und Abgaben des Nationalrats vom 28. August 1996 zur parlamentarischen Initiative betreffend Bundesgesetz über die Mehrwertsteuer im Gesetz verankert werden (vgl. BBl 1996 V S. 760, zu Art. 21). Aus dieser Entstehungsgeschichte der Norm sowie ihrem Aufbau ergibt sich, dass vorab eine Vereinfachung für die Gemeinwesen erreicht werden sollte. Angesichts der vielfältigen Organisations- und Aktivitätsformen der Gemeinwesen, würde ohne diese speziellen Regelungen eine schwierig handhabbare Komplexität der Mehrwertbesteuerung resultieren (vgl. Pascal Mollard/Xavier Oberson/Anne Tissot Benedetto, Traité TVA, Basel 2009, S. 513, N. 339). Dabei musste jedoch - entsprechend dem in Art. 1 Abs. 2 aMWSTG festgehaltenen Grundsatz der Wettbewerbsneutralität der Steuererhebung - sichergestellt werden, dass Leistungen des Gemeinwesens grundsätzlich besteuert werden, sofern sie im Markt, d.h. in Konkurrenz mit anderen Anbietern erbracht werden (vgl. zum Wettbewerbsvorteil der öffentlichen Hand: Camenzind/Honauer/Vallender, a.a.O., S. 367, Rz. 1075). Dies erfolgte, indem bestimmt wurde, die Steuerpflicht bestehe erst dann, wenn die Umsätze aus steuerbaren Leistungen an Nichtgemeinwesen 25'000 Franken im Jahr übersteigen (Art. 23 Abs. 1 aMWSTG).
3.5.2 Vor diesem Hintergrund ergibt sich, dass eine einschränkende Auslegung des in Art. 23 Abs. 1 aMWSTG verwendeten Begriffs Gemeinwesen durch den Ausschluss ausländischer Gemeinwesen der Zwecksetzung der Regelung zuwiderläuft. Sie hätte einerseits zur Folge, dass die Gestaltungs- bzw. Organisationsmöglichkeiten auch der schweizerischen Gemeinwesen erheblich eingeschränkt würden, wäre es ihnen doch nicht mehr möglich, sachlich allenfalls gebotene grenzüberschreitende Zusammenarbeit in frei gewählter Form vorzunehmen, ohne dass dies zu mehrwertsteuerlichen Konsequenzen führen würde. Zudem hätte eine Behandlung der ausländischen Gemeinwesen als Nichtgemeinwesen im Sinne von Art. 23 Abs. 1 aMWSTG die Wirkung, dass Leistungen eines Schweizer Gemeinwesens auch dann der Steuer unterliegen würden, wenn es sich nicht um solche Leistungen handeln würde, welche in einem Markt, also in Konkurrenz zu anderen Anbietern, erbracht werden.
3.5.3 Die Vorinstanz hat die Argumentation der ESTV, welche zum Schluss kam, ausländische Gemeinden seien aufgrund der Anwendung des Territorialitätsprinzips als "Nichtgemeinwesen" im Sinne von Art. 23 aMWSTG zu qualifizieren, mit überzeugender Begründung, auf die verwiesen werden kann, verworfen. Sie begründet sodann ihre eigenen Schlussfolgerung einerseits damit, im Hinblick auf eine konsequente Verbrauchsbesteuerung dürfe es nicht auf die subjektiven Merkmale des Leistungsempfängers ankommen. Entsprechend dürften Einschränkungen des Steuerobjektes sowie des Steuersubjektes nur mit grosser Zurückhaltung angenommen werden und werde deshalb der Begriff des Gemeinwesens in konstanter Rechtsprechung restriktiv ausgelegt. Auch wenn diesen Überlegungen der Vorinstanz grundsätzlich zuzustimmen ist, lässt sich hieraus alleine nichts für die Klärung der Frage ableiten, ob unter den Begriff des Gemeinwesens nach Art. 23 aMWSTG nur in der Schweiz gelegene Gemeinwesen fallen oder auch ausländische. Massgebend ist einerseits, dass der Gesetzgeber bewusst den Entscheid getroffen hat, mit Blick auf die Besteuerung der Gemeinwesen den Merkmalen des Leistungsempfängers eine entscheidende Bedeutung einzuräumen, und dass dies andererseits aufgrund der Zielsetzung erfolgte, Leistungen des Gemeinwesens grundsätzlich unbesteuert zu belassen, soweit sie nicht im Markt, d.h. in Konkurrenz mit anderen Anbietern, erbracht werden. Nicht gefolgt werden kann der Vorinstanz nach dem Ausgeführten auch, wenn sie zum Schluss kommt, die von ihr vorgenommene Auslegung des Begriffes Gemeinwesen sei aus Gründen der Wettbewerbsneutralität notwendig. Schliesslich erscheint ihre Überlegung, die Entlastung von ausländischen Gemeinwesen - wohl als Steuerträger - von der Mehrwertsteuer könne nicht begründet werden, weil damit faktisch eine Förderung/Unterstützung grenznaher Gemeinden durch den Schweizer Staat erfolgen würde, als nicht stichhaltig. Relevant erscheint, dass es den Schweizer Gemeinwesen ermöglicht werden soll, sich optimal nach ihren konkreten Bedürfnissen zu organisieren, ohne dass dies mehrwertsteuerliche Konsequenzen nach sich ziehen muss. Diese Überlegung liegt denn offensichtlich auch der Regelung in Art. 12 Abs. 2 und 3 der - vorliegend noch nicht zur Anwendung kommenden - Mehrwertsteuerverordnung vom 27. November 2009 zugrunde, wonach einerseits in- und ausländische öffentlich-rechtliche Körperschaften sowie Zweckverbände als übrige Einrichtungen des öffentlichen Rechts nach <ref-law> gelten (<ref-law>), und andererseits im Rahmen der grenzüberschreitenden Zusammenarbeit auch ausländische Gemeinwesen in Zweckverbände und einfache Gesellschaften aufgenommen werden können (<ref-law>).
3.5.4 Der Schluss der Vorinstanz, wonach ausländische Gemeinden als "Nichtgemeinwesen" gelten würden, widerspricht damit dem Sinn der Reglung von Art. 23 aMWSTG und verletzt deshalb Bundesrecht.
3.5.4 Der Schluss der Vorinstanz, wonach ausländische Gemeinden als "Nichtgemeinwesen" gelten würden, widerspricht damit dem Sinn der Reglung von Art. 23 aMWSTG und verletzt deshalb Bundesrecht.
3.6 3.6.1 Die Mehrwertsteuer ist eine Selbstveranlagungssteuer (Art. 46 aMWSTG). Das Mehrwertsteuergesetz stellt hohe Anforderungen an den Steuerpflichtigen, indem sie ihm wesentliche, in anderen Veranlagungsverfahren der Steuerbehörde obliegende Vorkehren überträgt. Er hat nicht nur selber zu bestimmen, ob er die Voraussetzungen für die Steuerpflicht erfüllt, sondern ist auch für die korrekte (vollständige und rechtzeitige) Deklaration und die Ablieferung der Steuer verantwortlich (vgl. Art. 46 und Art. 56 aMWSTG; vgl. Urteile 2A.320/2002 vom 2. Juni 2003 E. 3.4.3, in: ASA 74 S. 666, sowie 2C_486/2009 vom 1. Februar 2010 E. 2, mit Hinweisen). Demnach hat der Steuerpflichtige auch selber darüber zu befinden, ob er die von ihm geschuldete Steuer vorbehaltlos, d.h. aufgrund der geltenden Praxis abliefern will, oder ob er, wenn er sich mit dem einen oder anderen Punkt nicht einverstanden erklärt, dies nur unter Vorbehalt tun will. Die Aufgaben der Eidgenössischen Steuerverwaltung beschränken sich auf den Bezug und die Kontrolle der Steuer. Der Steuerpflichtige ist daher auch an seine Abrechnung gebunden, wenn er in Bezug auf Steuerpflicht, Steuerbetrag, Abzüge usw. keinen Vorbehalt anbringt. Er kann deshalb auf die Abrechnung bzw. Selbstveranlagung - ausser in den gesetzlich vorgesehenen Fällen - nicht mehr zurückkommen.
3.6.2 Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil festgehalten, aus den Akten gehe nicht hervor, dass die Beschwerdeführerin bezüglich Steuerpflicht, Steuerbetrag oder sonstwie einen Vorbehalt angebracht hätte. Die Beschwerdeführerin macht implizit geltend, diese Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz sei offensichtlich unrichtig, indem sie vorbringt, es sei aktenkundig, dass sie sich seit der Einführung der Mehrwertsteuer betreffend ihre Steuerpflicht und der damit zusammenhängenden Umsätze stets gewehrt habe. Sie beruft sich dabei zunächst auf ihren Schriftverkehr mit der ESTV aus den Jahren 1997 und 1998.
Die Beschwerdeführerin vermag mit diesen Vorbringen nicht nachzuweisen, dass die Vorinstanz den Sachverhalt falsch festgestellt hat. Sie übersieht insbesondere, dass gemäss den von ihr aufgelegten Akten der Schriftverkehr mit der ESTV durch deren Schreiben vom 26. März 1998 beendet wurde, in welchem die ESTV klar festhielt, die von der Beschwerdeführerin erbrachten Leistungen würden als Dienstleistungen der schweizerischen Mehrwertsteuer unterliegen. Demgegenüber geht es vorliegend um die Entrichtung der Mehrwertsteuern für die Jahre 2004 bis 2008. Diesbezüglich ist - unter Ausnahme der nachfolgenden Ausführungen - nicht ersichtlich, dass die Beschwerdeführerin nur unter Vorbehalt abrechnete.
Die Beschwerdeführerin macht allerdings im Weiteren geltend, sie habe im Jahre 2008 einen neuen Anlauf der Bestreitung unternommen. Aufgrund der Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, welche durch die Akten bestätigt wird, hat die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 20. Oktober 2008 Anträge zu ihrer mehrwertsteuerlichen Behandlung unterbreitet, wonach ihre Leistungen nicht der Mehrwertsteuer unterliegen würden. Das diese Begehren abweisende Schreiben der ESTV vom 12. November 2008 stellte sodann den Auslöser des vorliegenden Verfahrens dar, indem die Beschwerdeführerin in der Folge von der ESTV einen anfechtbaren Entscheid verlangte. Mit Datum vom 27. November 2008 reichte die Beschwerdeführerin ihre Abrechnung für das 3. Quartal 2008 ein und am 27. Februar 2009 diejenige für das 4. Quartal 2008. Zwar enthalten diese Abrechnungen selber keine Vorbehalte. Angesichts der kurz zuvor eingeleiteten Schritte der Beschwerdeführerin, welche darauf abzielten, die Befreiung von der Mehrwertsteuer zu erreichen und welche mittels Ersuchen um eine anfechtbare Verfügung und Einlegung von Rechtsmitteln fortgesetzt wurden, kann jedoch kein Zweifel daran bestehen, dass die genannten Abrechnungen für das 3. und 4. Quartal 2008 unter Vorbehalt erfolgten. Diesbezüglich ist daher die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz offensichtlich unrichtig.
Nach dem Ausgeführten hat die Beschwerdeführerin bezüglich der für das 3. und 4. Quartal 2008 zu Unrecht entrichteten Mehrwertsteuer grundsätzlich Anspruch auf Rückerstattung. Was die weiteren vorliegend strittigen Steuerperioden anbelangt, hat die Vorinstanz dagegen zu Recht erkannt, die Beschwerdeführerin sei an ihre Abrechnung bzw. Selbstveranlagung gebunden und könne darauf nicht mehr zurückkommen.
3.7 Die Vorinstanz erwähnt in ihrem Entscheid ergänzend, die Beschwerdeführerin dürfte die bestrittenen Mehrwertsteuerbeträge den Gemeinden in Rechnung gestellt haben, jedenfalls sei nichts Gegenteiliges behauptet worden. Die Mehrwertsteuer bleibe deshalb nach dem Grundsatz "fakturierte Mehrwertsteuer gleich geschuldete Mehrwertsteuer" ohnehin grundsätzlich geschuldet.
3.7.1 Auf Verlangen des steuerpflichtigen Empfängers hat der Mehrwertsteuerpflichtige über seine Leistung eine Rechnung mit den im Gesetz detailliert umschriebenen Angaben auszustellen (Art. 37 Abs. 1 aMWSTG). Anzugeben sind unter anderem das für die Lieferung oder Dienstleistung geschuldete Entgelt und der davon berechnete Steuerbetrag (Art. 37 Abs. 1 lit. e und f aMWSTG). Der Steuerpflichtige kann die Mehrwertsteuer offen oder verdeckt überwälzen (vgl. Art. 37 Abs. 1 lit. f aMWSTG). Bei offenem Ausweis wird die Mehrwertsteuer neben dem Entgelt auf der Rechnung separat ausgewiesen; bei verdecktem Ausweis wird nur der Bruttobetrag angegeben, in dem die Mehrwertsteuer mit enthalten ist (Urteil 2A.642/2004 vom 14. Juli 2005 E. 3, in: ASA 75 S. 495).
Die schweizerische Mehrwertsteuer ist - wie gesagt - als Selbstveranlagungssteuer ausgestaltet. Dies bedingt eine möglichst einfache Kontrolle durch die Eidgenössische Steuerverwaltung. Deshalb wurden in der Praxis auch besondere Regeln für die Korrektur von Rechnungen aufgestellt. Stellt sich im Nachhinein heraus, dass die fakturierte Mehrwertsteuer zu hoch oder zu niedrig berechnet wurde (Rechnungsfehler, Anwendung eines falschen Steuersatzes, unrichtige Berechnungsgrundlage usw.), so ist eine Korrektur durch die Erstellung einer berichtigten Rechnung oder Gutschrift vorzunehmen. Ist der Rechnungsempfänger eine steuerpflichtige Person, so ist unter Umständen der Vorsteuerabzug zu korrigieren. Die Verwaltungspraxis geht davon aus, dass bei fehlender Berichtigung die allenfalls zu Unrecht oder zu viel berechnete Steuer in voller Höhe geschuldet und abzuliefern ist (vgl. Wegleitung 2001 zur Mehrwertsteuer, Rz. 808). Die bundesgerichtliche Rechtsprechung hat diese Verwaltungspraxis geschützt und festgestellt, dass es systemgerecht ist, wenn allenfalls zu Unrecht oder zu viel berechnete Steuern in voller Höhe geschuldet sind, wird doch damit vermieden, dass der Steuerpflichtige Steuern für sich beanspruchen kann, die ihm rechtlich nicht zustehen (Urteil 2A.642/2004 vom 14. Juli 2005 E. 4.2, in: ASA 75 S. 495; vgl. <ref-ruling> E. 5).
3.7.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, der Zweckverband Bibertal-Hegau habe den Schweizer Gemeinden mit Mehrwertsteuer fakturiert. Den deutschen Gemeinden sei vom AZV Hegau-Süd - ohne Mehrwertsteuer - fakturiert worden. Im Zusammenhang mit dem Eventualvorbringen, es sei von einer Betriebsstätte des AZV Hegau-Süd auszugehen, führt die Beschwerdeführerin sodann aus, sämtliche fakturierten Beträge an die privaten Endverbraucher würden von den Gemeinden (inländischen / ausländischen) an die AZV Hegau-Süd bezahlt. Die ESTV bringt in ihrer Vernehmlassung vor, sie habe in ihrer Vernehmlassung an das Bundesverwaltungsgericht lediglich dargelegt, dass der Grundsatz "fakturierte Mehrwertsteuer gleich geschuldete Mehrwertsteuer" nur zum Tragen komme, "soweit" die Beschwerdeführerin die in casu umstrittenen Mehrwertsteuerbeträge in Rechnung gestellt und diesbezüglich keine Korrektur durch die Erstellung berichtigter Rechnungen vorgenommen habe.
Aufgrund der Feststellungen im angefochtenen Entscheid sowie den Vorbringen von Beschwerdeführerin und ESTV ergibt sich, dass der konkrete Sachverhalt bislang ungeklärt geblieben ist. Es wurde bisher weder geprüft, wer genau die fraglichen Leistungen wem gegenüber fakturiert hat, noch ob die Beschwerdeführerin in den hier noch relevanten Steuerperioden 3. und 4. Quartal 2008 ihre Leistungen mit Mehrwertsteuer fakturierte, ohne dass dies berichtigt worden wäre, sowie welche Leistungen - nämlich die an inländische Empfänger, die an ausländische Empfänger oder die an beide - dies allenfalls betrifft. Daran vermöchten auch die von der Beschwerdeführerin neu aufgelegten Rechnungen an die Schweizer Gemeinden nichts zu ändern, betreffen diese doch allenfalls einen Teil der erbrachten Leistungen und beziehen sich insbesondere nicht auf die vorliegend einzig noch relevanten Abrechnungsperioden des 3. und 4. Quartals 2008. Die bisher unterbliebene Sachverhaltsabklärung ist nachzuholen.
4. Die Beschwerde ist somit teilweise gutzuheissen und das angefochtene Urteil, soweit es sich auf das 3. und 4. Quartal 2008 bezieht, aufzuheben. Die Sache ist in diesem Punkt zur Vornahme weiterer Abklärungen in Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die unterliegende Beschwerdeführerin teilweise kostenpflichtig (<ref-law>). Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat der Beschwerdeführerin eine reduzierte Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 3. Mai 2010 aufgehoben, soweit es sich auf das 3. und 4. Quartal 2008 bezieht; in diesem Punkt wird die Sache zu weiterer Abklärung im Sinne der Erwägungen an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die reduzierten Gerichtskosten von Fr. 18'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat der Beschwerdeführerin eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu entrichten.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Eidgenössischen Steuerverwaltung, Hauptabteilung Mehrwertsteuer, und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. März 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Moser