Erwägungen:
1.
1.1. X._ und Y._ reisten am 15. Januar 1992 mit der damals knapp dreijährigen Tochter Z._ aus dem ehemaligen Jugoslawien über Italien in die Schweiz ein, wo sie erfolglos um Asyl ersuchten. Sie wurden gestützt auf den Beschluss des Bundesrates vom 18. Dezember 1991 vorläufig aufgenommen. Im Februar 1998 hob der Bundesrat die vorläufige Aufnahme für Deserteure und Refraktäre aus der Bundesrepublik Jugoslawien, Bosnien-Herzegowina und Kroatien auf den 30. April 1998 wieder auf, womit die asylrechtliche Wegweisung der Familie X._, Y._ und Z._ auflebte. Das Amt für öffentliche Sicherheit des Kantons Solothurn setzte ihnen Frist bis zum 31. Mai 1998, um die Schweiz zu verlassen, was sie nicht taten. Die Behörden bemühten sich in der Folge, Papiere für die Familie X._, Y._ und Z._ zu beschaffen, was jeweils an deren mitwirkungsverweigernden Haltung scheiterte.
1.2. Am 18. Juni 2013 nahm das Departement des Innern des Kantons Solothurn X._, Y._ und Z._ in Ausschaffungshaft. Das Haftgericht des Kantons Solothurn prüfte diese am 20. Juni 2013 und bestätigte sie bis zum 17. September 2013. Die hiergegen gerichteten Beschwerden wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 8. Juli 2013 in drei getrennten Entscheiden ab, soweit es jeweils darauf eintrat. Hiergegen gelangten X._, Y._ und Z._ ab dem 9. Juli 2013 mit zahlreichen Eingaben an das Bundesgericht. Mit Verfügung vom 12. Juli 2013 vereinigte der Präsident als Instruktionsrichter ihre Verfahren (2C_637/2103 bis 2C_639/ 2013), gleichzeitig wies er die Gesuche um aufschiebende Wirkung hinsichtlich des Wegweisungsvollzugs ab und regelte die weitere Instruktion. Das Verwaltungsgericht und das Haftgericht des Kantons Solothurn beantragten, die Beschwerden abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Departement des Innern des Kantons Solothurn teilte dem Bundesgericht am 18. Juli 2013 mit, dass die Familie X._, Y._ und Z._ mit einem Sonderflug ab Bern-Belp nach Sarajewo ausgeschafft worden sei.
2.
2.1. Nach Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur legitimiert, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung seiner Eingabe hat (lit. c). Dieses muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 286 f.). Fällt das schutzwürdige Interesse im Laufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen). Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise dann auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 103; <ref-ruling> E. 1.1 S. 81).
2.2. Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens bildet ausschliesslich die Rechtmässigkeit der ausländerrechtlichen Festhaltung, nicht die Bewilligungs-, Asyl- oder Wegweisungsfrage (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 198; Urteil 2C_749/2102 vom 28. August 2012 E. 2). Mit der Beendigung der Haft fällt das schutzwürdige Interesse an deren Prüfung - wie hier - regelmässig nachträglich dahin, womit das Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben ist (vgl. <ref-ruling> ff.). Die Eingaben der Beschwerdeführer werfen haftrechtlich keinerlei Fragen auf, die es rechtfertigen würden, vorliegend ausnahmsweise auf ihre Beschwerden einzutreten. Die Verfahren sind deshalb als gegenstandslos geworden abzuschreiben.
3.
Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (und Verbeiständung) hinfällig wird. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach verfügt der Präsident:
1.
Die Verfahren 2C_637-639/2013 werden als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar