Sachverhalt:
A. Das Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland führt seit dem 17. August 2007 eine Voruntersuchung gegen X._ wegen des Verdachtes der ungetreuen Geschäftsbesorgung und Urkundenfälschung mit einem mutmasslichen Deliktsbetrag von über Fr. 200'000.--. Der Angeschuldigte ist Strafanzeiger in einem separaten Strafverfahren. Am 13. November 2007 stellte der Angeschuldigte gegen den Untersuchungsrichter und den ermittelnden Beamten der Kantonspolizei ein Ablehnungsgesuch, auf welches das Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, mit Beschluss vom 5. Februar 2008 nicht eintrat. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil vom 9. Juni 2008 ab (Verfahren 1B_64/2008).
B. Am 24. September 2009 reichte der Angeschuldigte beim Obergericht eine Beschwerde gegen polizeiliche Ermittlungshandlungen ein. Am 25. September 2009 stellte er ein weiteres Ablehnungsgesuch gegen den ermittelnden Beamten der Kantonspolizei. Mit Beschluss vom 12. Februar 2010 wies das Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, die Beschwerde und das Ausstandsbegehren ab.
C. Gegen den Beschluss des Obergerichtes vom 12. Februar 2010 gelangte X._ mit Beschwerde vom 19. März 2010 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung von Ziffer 3 des Dispositives des angefochtenen Entscheides (betreffend Ausstandsbegehren).
Das Untersuchungsrichteramt und der vom Ausstandsbegehren betroffene Ermittlungsbeamte haben auf Vernehmlassungen je ausdrücklich verzichtet. Das Obergericht beantragt (mit Hinweis auf den angefochtenen Entscheid) die Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 26. April 2010 bewilligte das Bundesgericht die aufschiebende Wirkung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Beim streitigen Entscheid über das Ausstandsgesuch handelt es sich um eine nach Art. 92 i.V.m. Art. 78 BGG anfechtbare Zwischenverfügung.
1.2 Der Beschwerdeführer beanstandet (neben der Verletzung von Individualrechten der Bundesverfassung) Verstösse gegen kantonales Strafverfahrensrecht (Art. 31 i.V.m. Art. 35 StrV/BE). Letztere stellen keinen zulässigen Beschwerdegrund dar, weshalb darauf nicht einzutreten ist (Art. 95 BGG).
2. Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 9 BV (Willkürverbot), da die Vorinstanz sein Ausstandsbegehren gegen einen Ermittler der Kantonspolizei abgelehnt hat. In diesem Zusammenhang macht er (im Wesentlichen) geltend, der Ermittler habe ihn teilweise ausserhalb des bernischen Kantonsgebietes polizeilich observiert, ohne die betroffenen Kantone vorgängig darüber zu benachrichtigen.
2.1 Für den allgemeinen grundrechtlichen Anspruch auf Unabhängigkeit und Objektivität von Strafverfolgungsbehörden ist nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes Art. 29 Abs. 1 BV massgeblich. Die angeschuldigte Person hat keinen Anspruch darauf, dass Untersuchungsrichter oder mit Ermittlungen beauftragte Polizeiorgane mit qualifizierter richterlicher Unabhängigkeit (im Sinne von Art. 30 Abs. 1 BV) ausgestattet würden (vgl. <ref-ruling> E. 3e S. 282 mit Hinweisen; Urteile 1B_56/2008 vom 24. Juni 2008 E. 4; 1P.709/2005 vom 2. Februar 2006 E. 3).
2.1.1 Der Unbefangenheit und Objektivität von Ermittlungs- und Untersuchungsorganen kann zwar (unter beschränkten Gesichtspunkten) eine ähnliche Bedeutung zukommen wie die richterliche Unabhängigkeit und Unparteilichkeit. Die Grundsätze von Art. 30 Abs. 1 BV dürfen jedoch nicht unbesehen auf nicht richterliche Behörden bzw. auf Art. 29 Abs. 1 BV übertragen werden (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 122 ff.; Urteile 1B_56/2008 E. 4.1; 1P.709/2005 E. 3.1; 1P.109/2005 vom 4. Mai 2005 E. 2.1.1). Im Interesse einer beförderlichen Rechtspflege sind Ablehnungs- und Ausstandsbegehren gegen Justizpersonen nicht leichthin gutzuheissen, zumal eine Bewilligung der Begehren zur Komplizierung und Verzögerung des Verfahrens führen kann. Zu beachten sind jeweils auch die unterschiedlichen gesetzlichen Funktionen des Straf- oder des Zwangsmassnahmenrichters einerseits und der Untersuchungs- bzw. Ermittlungsorgane anderseits. Von Letzteren sind Sachlichkeit, Unbefangenheit und Objektivität namentlich insofern zu erwarten, als sie sich vor Abschluss der Voruntersuchung grundsätzlich nicht darauf festlegen sollen, dass der beschuldigten Person ein strafbares Verhalten zur Last zu legen sei. Auch haben sie den entlastenden Indizien und Beweismitteln ebenso Rechnung zu tragen wie den belastenden (Urteile 1B_56/2008 E. 4.1; 1P.709/2005 E. 3.1; 1P.109/2005 E. 2.1.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 3e S. 282).
2.1.2 Strafverfolgungsorgane können grundsätzlich abgelehnt werden, wenn Umstände (etwa strafprozessual unzulässige vorverurteilende Äusserungen) vorliegen, welche nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 2d S. 148; Urteile 1B_56/2008 E. 4.2; 1P.709/2005 E. 3.2; 1P.109/2005 E. 2.1.2). Diesbezüglich sind in erster Linie die anwendbaren Vorschriften des kantonalen Strafprozessrechtes massgeblich. In der Regel vermögen allgemeine Verfahrensmassnahmen, seien sie nun richtig oder falsch, als solche keine Voreingenommenheit der verfügenden Justizperson zu begründen (vgl. <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f. mit Hinweis). Soweit konkrete Verfahrensfehler eines Untersuchungsrichters oder Ermittlungsbeamten beanstandet werden, kommen als möglicher Ablehnungsgrund jedenfalls nur besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Versäumnisse und Mängel in Frage (Urteile 1B_56/2008 E. 4.2; 1P.766/2000 E. 5-11). Diesbezüglich sind auch die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Untersuchungsmassnahmen auszuschöpfen (vgl. <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f.).
2.2 Nach bernischem Strafverfahrensrecht kann eine Gerichtsperson mittels begründeten Ausstandsgesuches abgelehnt werden, wenn Tatsachen vorliegen, die geeignet sind, sie als befangen erscheinen zu lassen und Zweifel an ihrer Unparteilichkeit zu erregen (Art. 31 i.V.m. Art. 33 Abs. 1 StrV/BE). Die Vorschriften über den Ausstand gelten sinngemäss auch für die Strafverfolgungsbehörden (Art. 35 Abs. 1 StrV/BE).
2.3 Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, dass der polizeiliche Ermittler keine besonders krassen oder wiederholten Verfahrensfehler begangen habe, welche seine Rekusation erforderlich machen würden. Den fraglichen Ermittlungshandlungen liege folgende Prozessgeschichte zugrunde:
Am 13. November 2007 habe eine erste untersuchungsrichterliche Einvernahme des Beschwerdeführers als Angeschuldigter abgebrochen werden müssen, nachdem er ein Ablehnungsgesuch gegen den Untersuchungsrichter und den ermittelnden Beamten der Kantonspolizei gestellt hatte (vgl. dazu auch Urteil des Bundesgerichtes 1B_64/ 2008 vom 9. Juni 2008). Zwischen Oktober 2008 und Juni 2009 habe der Untersuchungsrichter mehrmals eine Einvernahme des Angeschuldigten zur Sache durchzuführen versucht. Dies sei daran gescheitert, dass der im Engadin wohnhafte Beschwerdeführer gestützt auf Arztzeugnisse (die letztmals bis Ende September 2009 "verlängert" worden seien) über Monate hinweg geltend gemacht habe, er sei aus gesundheitlichen Gründen nicht reisefähig, selbst eine Reise im Zug stelle eine "Tortur" für ihn dar, und es sei ihm nicht möglich, längere Zeit in sitzender oder stehender Position zu verharren. Die polizeilichen Ermittlungen hätten allerdings ergeben, dass der Beschwerdeführer Vizepräsident eines Vereins sei, der regelmässig Fahrten mit Oldtimer-Autos durchführe. Fotos von entsprechenden Anlässen, auf denen auch der Beschwerdeführer zu sehen sei, seien damals im Internet öffentlich publiziert gewesen. Auf der Homepage des Vereins sei auch das Veranstaltungsprogramm veröffentlicht worden; für den 28. August 2009 sei eine "Rundfahrt im Grimselgebiet" angekündigt gewesen. Um die vom Angeschuldigten behauptete Reise- und Verhandlungsunfähigkeit zu verifizieren, habe sich der ermittelnde Polizeibeamte (nach Absprache mit dem Untersuchungsrichter) am 28. August 2009 an den Startpunkt der Rundfahrt begeben und den dort angetroffenen Angeschuldigten einen Tag lang auf öffentlichem Grund observiert.
Laut Polizeibericht vom 1. September 2009 habe der Beschwerdeführer nicht nur an der Fahrt über mehrere Pässe (Grimsel-, Nufenen- und Gotthardpass) teilgenommen, sondern dabei sein Oldtimer-Fahrzeug auch selbst gelenkt. Unter anderem habe die Reise über Kopfsteinpflasterstrassen und enge bzw. steile Kurven geführt. Um zu dokumentieren, wie mobil und beschwerdefrei der Angeschuldigte während und nach der langen Fahrt (und im Widerspruch zu den eingereichten aktuellen Arztzeugnissen) gewirkt habe, habe der Polizeibeamte ihn photographiert bzw. auf Kurzvideos gefilmt. Der Untersuchungsrichter habe den Polizeibericht dem Angeschuldigten sowie einem medizinischen Gutachter (zur Abklärung der Reise- und Verhandlungsfähigkeit) zukommen lassen.
Die fraglichen Ermittlungshandlungen stehen laut Vorinstanz in Übereinstimmung mit dem bernischen Strafverfahrensrecht. Dass die polizeiliche Observation teilweise ausserhalb des Kantons Bern erfolgt sei, vermöge an deren Rechtmässigkeit nichts zu ändern. Gemäss Art. 3 des Konkordates über die Rechtshilfe und die interkantonale Zusammenarbeit in Strafsachen vom 5. November 1992 habe der Berner Untersuchungsrichter entsprechende Ermittlungshandlungen durch die Kantonspolizei (auch ausserkantonal) durchführen lassen dürfen. Zwar sehe die Bestimmung vor, dass (ausser in dringenden Fällen) vorgängig die zuständigen Behörden der betroffenen Kantone zu benachrichtigen seien. Dies stelle jedoch eine blosse Ordnungsvorschrift dar, welche die Gültigkeit der Ermittlungshandlungen nicht tangiere.
3. Der Beschwerdeführer wirft dem polizeilichen Ermittler vor, dieser habe ihn teilweise ausserhalb des bernischen Kantonsgebietes observiert und dabei die Vorschrift verletzt, wonach bei den fraglichen Ermittlungshandlungen die Behörden der betroffenen Kantone vorgängig zu benachrichtigen seien. Dieser Vorwurf begründet keinen krassen Verfahrensfehler im Sinne der (oben erwähnten) Rechtsprechung zu Art. 29 Abs. 1 BV. Dass das Obergericht den Ermittlungsbeamten deswegen nicht von der Voruntersuchung ausschloss, hält vor der Verfassung stand. Zwar macht der Beschwerdeführer beiläufig noch geltend, es stelle sich die "Frage", ob seine Einvernahme als Angeschuldigter im Kanton Bern, zu der er sich von den kantonalen Behörden gezwungen fühle, verhältnismässig wäre. Er legt jedoch nicht dar, was er dem von ihm abgelehnten polizeilichen Ermittler in diesem Zusammenhang konkret vorwirft. Ebenso wenig wird klar, gegen welche Prozesshandlungen sich die Vorbringen richten. Es kann offen bleiben, ob die Beschwerde in diesem Punkt ausreichend substanziiert erscheint (vgl. Art. 42 Abs. 2 Satz 1 i.V.m. Art. 95 BGG). Der Beschwerdeführer legt jedenfalls keine schweren oder häufigen Verfahrensfehler dar, welche den Ausstand des polizeilichen Ermittlers von Verfassungs wegen als geboten erscheinen liessen. Das vom Beschwerdeführer auch noch angerufene Willkürverbot (Art. 9 BV) hat in diesem Zusammenhang keine über das Dargelegte hinausgehende selbstständige Bedeutung. Eine willkürliche Anwendung von kantonalem Strafverfahrensrecht ist weder substanziiert gerügt, noch ersichtlich.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster