Sachverhalt:
A. H._, geb. 1953, meldete sich am 18. September 2006 zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle Aargau holte Angaben der Versicherten (Fragebogen betreffend Erwerbstätigkeit/Haushalt; Fragebogen für Gesuchstellende) vom 29. September 2006 sowie Berichte des Hausarztes Dr. med. B._, Allgemeinmedizin FMH, vom 28. September 2006 (mit zahlreichen Beilagen) und des Spitals X._, Neurochirurgische Klinik, vom 9. Mai 2006 ein. Zudem liess sie den Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) am 27. Dezember 2006 Stellung nehmen. Anschliessend lehnte es die IV-Stelle - nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens und Beizug eines Schreibens von Dr. med. B._ vom 10. April 2007 - mit Verfügung vom 8. Mai 2007 ab, der Versicherten eine Rente auszurichten.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau ab (Entscheid vom 26. Februar 2008). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens legte die IV-Stelle eine weitere Stellungnahme des RAD vom 10. Juli 2007 auf. Die Beschwerdeführerin liess Berichte der Dr. med. W._, Neurologie FMH, spez. Verhaltensneurologie/Neuropsychologie, vom 10. August 2007 und des Dr. med. S._, Neurologie FMH, vom 7. September 2007 einreichen.
C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die IV-Stelle anzuweisen, die notwendigen Abklärungen durchzuführen, ein Gutachten eines unabhängigen Sachverständigen einzuholen und anschliessend neu zu verfügen. Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
1.2 Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Dagegen beschlägt die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln eine Rechtsfrage (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil 8C_74/2008 vom 22. August 2008, E. 2.3).
1.3 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff der Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), die Voraussetzungen und den Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung; vgl. jetzt <ref-law>), den Rentenbeginn (<ref-law>) und die Bemessung des Invaliditätsgrades nach der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zur Aufgabe des Arztes oder der Ärztin im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 4 S. 261 mit Hinweisen) sowie zum Beweiswert und zur Würdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3 S. 352 ff.). Zutreffend ist insbesondere, dass das Sozialversicherungsgericht bei einander widersprechenden medizinischen Berichten den Prozess nicht erledigen darf, ohne das gesamte Beweismaterial zu würdigen und anzugeben, warum es auf die eine und nicht auf die andere medizinische These abstellt (<ref-ruling> E. 3a S. 352, 122 V 157 E. 1c S. 160).
2. 2.1 Zur Leistungsfähigkeit der Beschwerdeführerin hat das kantonale Gericht erwogen, eine Rückenoperation vom 3. April 2006 (Dekompressive Interlaminektomie Th11/Th12 beidseits und rechts subartikulär) sei komplikationslos verlaufen. In der Folge habe die Versicherte laut dem Bericht des Spitals X._, Neurochirurgische Klinik, vom 9. Mai 2006 über fast vollständige Beschwerdefreiheit (Einnahme von Panadol bei Bedarf; Beschwerden bei schwereren körperlichen Arbeiten wie z.B. Staubsaugen) berichtet. Auch aus neurochirurgischer Sicht habe sich ein erfreulicher Verlauf gezeigt. Aus psychiatrischer Sicht liege gemäss dem Bericht des Psychiatrischen Dienstes Y._ vom 11. September 2006 kein invalidisierender Gesundheitsschaden vor. Deshalb könne - obwohl Einschränkungen in der Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin, insbesondere aufgrund ihres Tremors und ihrer Rückenschmerzen, bestünden - nicht von einem relevanten somatischen oder psychischen Gesundheitsschaden mit Krankheitswert ausgegangen werden. Die durch Dr. med. W._ und Dr. med. S._ geschilderten Auffälligkeiten (multiple kognitive Teilleistungsschwächen; wahrscheinlich perinatale/frühkindliche Hirnschädigung, insbesondere wegen des ungewöhnlichen, seit frühester Kindheit beschriebenen Tremorsyndroms) gäben zwar Aufschluss über die bei der Beschwerdeführerin bestehenden Defizite. Sie vermöchten aber aus invalidenversicherungsrechtlicher Sicht keine vollständige Arbeitsunfähigkeit zu begründen. Im Rahmen einer körperlich leichten, angepassten und auch stressfreien Tätigkeit müsste es der Beschwerdeführerin auch mit diesen Einschränkungen zuzumuten sein, einer Arbeitstätigkeit im Umfang von 80 % nachzugehen. Der seit Kindheit bestehende rechtsbetonte Halte- und Aktionstremor der oberen Extremitäten beidseits könne medizinisch behandelt werden und verunmögliche die Ausübung einer angepassten Tätigkeit nicht zum vornherein. Dies werde auch dadurch erhärtet, dass die Beschwerdeführerin gemäss ihren eigenen Angaben im Jahr 1973 einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit als Hilfskraft habe nachgehen können. Indem die IV-Stelle aufgrund der vorliegenden medizinischen Aktenlage, insbesondere auch ausgehend vom Bericht des Hausarztes Dr. med. B._, zum Schluss komme, die Beschwerdeführerin sei in der Lage, einer körperlich leichten Tätigkeit mit der Möglichkeit zu Pausen, ohne Zwangshaltung und mit Vermeidung von repetitiven Tätigkeiten sowie Tragen von Lasten mit einem Gewicht von mehr als 5 kg nachzugehen, und wegen der erforderlichen regelmässigen Pausen und dem eigenen (verlangsamten) Arbeitstempo ein Arbeitspensum von 80 % als zumutbar erachte, werde sie einer vertretbaren Einschätzung der Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin gerecht. Da die Beschwerdeführerin bereits medizinisch, neurologisch, neuropsychologisch und psychiatrisch abgeklärt worden sei und keine relevanten Leiden mit Krankheitswert hätten ausgewiesen werden können, bestehe für weitere medizinische Abklärungsmassnahmen keine Veranlassung.
2.2 Die Beschwerdeführerin lässt insbesondere einwenden, das kantonale Gericht stütze sich auf die Stellungnahmen des RAD-Arztes pract. med. L._ vom 27. Dezember 2006 und 10. Juli 2007. Dieser Arzt habe die erst später verfassten Berichte der Dres. med. W._ und S._ nicht in seine Beurteilung einbeziehen können. Überdies seien die Aussagen des Dr. med. B._ willkürlich interpretiert worden.
2.3 Wie den vorinstanzlichen Erwägungen zu entnehmen ist, stehen im Wesentlichen drei Arten gesundheitlicher Beeinträchtigungen zur Diskussion: Rückenbeschwerden, neurologische Befunde mit einem essentiellen Tremor congenital sowie eine psychische Komponente. Was die letztere anbelangt, hat die Vorinstanz erwogen, es liege kein psychischer Gesundheitsschaden vor. Diese Feststellung, welche durch den Bericht des Psychiatrischen Dienstes Y._ vom 11. September 2006 gestützt wird, ist nicht offensichtlich unrichtig. Auf dieser Basis konnte das kantonale Gericht von weiteren psychiatrischen Abklärungen Abstand nehmen, ohne gegen den Untersuchungsgrundsatz zu verstossen. Nicht beanstanden lässt sich auch die auf die RAD-Stellungnahmen vom 27. Dezember 2006 und 10. Juli 2007 gestützte vorinstanzliche Schlussfolgerung, aus Sicht der Rückenproblematik könne eine Leistungsfähigkeit von 80 % in einer angepassten Tätigkeit angenommen werden. Demgegenüber werden die Erwägungen des kantonalen Gerichts zur IV-rechtlichen Relevanz der aus neurologischer Sicht angegebenen Defizite, insbesondere des ausgeprägten Halte- und Aktionstremors, den von der Rechtsprechung entwickelten Anforderungen an eine bundesrechtskonforme Beweiswürdigung (vgl. E. 1.3) nicht gerecht. Die Vorinstanz hält zwar fest, der Tremor verunmögliche nicht von vornherein die Ausübung einer angepassten Tätigkeit. Sie äussert sich jedoch nicht dazu, ob dieses Leiden sowie allenfalls die durch Dr. med. W._ diagnostizierten Teilleistungsschwächen weitere Einschränkungen nach sich ziehen. Insbesondere legt das kantonale Gericht nicht nachvollziehbar dar, warum es der in seinem Entscheid festgehaltenen Aussage des Neurologen Dr. med. S._ (Bericht vom 7. September 2007), wonach der Tremor in einem erwerblichen Umfeld "ausgesprochen limitieren" würde und die Patientin aufgrund der erheblichen neuropsychologischen Defizite und des schweren Tremors nicht arbeitsfähig sei, ohne weitere Abklärungen keinerlei Beweiswert beimisst. Die vorinstanzliche Feststellung, die Beschwerdeführerin habe nach eigenen Angaben im Jahr 1973 vollzeitlich als Hilfskraft gearbeitet, liefert diesbezüglich ebenso wenig eine Erklärung wie die Bemerkung des RAD-Arztes pract. med. L._ vom 10. Juli 2007, neurologisch bestehe keine erhebliche Störung mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit. Pract. med. L._ konnte bei Abgabe dieser Stellungnahme die Berichte des Dr. med. S._ vom 7. September 2007 und der Dr. med. W._ vom 10. August 2007 nicht kennen. Auch die nicht näher konkretisierte Annahme der Vorinstanz, der Tremor lasse sich behandeln, steht einer (allenfalls vorübergehenden) invalidisierenden Wirkung nicht zwingend entgegen (vgl. <ref-ruling> E. 4c S. 298). Unter diesen Umständen wäre das kantonale Gericht aufgrund des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>; E. 1.2 hiervor) gehalten gewesen, weitere Abklärungen zu veranlassen. Die Sache ist daher an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit sie ergänzende Abklärungen vornehme und anschliessend über den Rentenanspruch neu entscheide.
3. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind der IV-Stelle als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6.1 S. 235). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 26. Februar 2008 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 8. Mai 2007 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle des Kantons Aargau zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Rentenanspruch neu verfüge.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, der Ausgleichskasse des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Dezember 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger