Sachverhalt:
A.
Das Kriminalgericht Luzern verurteilte X._ am 19. März 2009 u.a. wegen schwerer Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte und mehrfacher Verstösse gegen das Strassenverkehrsgesetz zu einer Freiheitsstrafe von 21 Monaten. Es schob den Vollzug der Strafe zugunsten einer ambulanten therapeutischen Behandlung auf.
B.
Am 9. März 2010 hoben die Vollzugs- und Bewährungsdienste des Kantons Luzern (VBD) die ambulante Behandlung wegen Aussichtslosigkeit auf, weil sich X._ geweigert hatte, die Therapietermine wahrzunehmen. Das Kriminalgericht ordnete am 21. Juli 2010 auf Antrag der Staatsanwaltschaft den Vollzug der Freiheitsstrafe an. Die dagegen gerichteten Beschwerden von X._ blieben vor Obergericht und Bundesgericht ohne Erfolg (Urteil 6B_665/2011 vom 18. Oktober 2011).
Am 3. April 2012 boten die VBD X._ zum Vollzug der Freiheitsstrafe von 21 Monaten ins Gefängnis Grosshof in Kriens auf. Die dagegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel wiesen das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (JSD) am 5. März 2013 und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern am 23. Mai 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt X._, das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 23. Mai 2013 sei aufzuheben, und die Verpflichtung zum Strafantritt sei infolge Hafterstehungsunfähigkeit um mindestens zwei Jahre aufzuschieben. Eine Aufnahme in eine ausserkantonale und offen geführte Anstalt sei nach Stabilisierung seines gesundheitlichen Zustands erneut zu prüfen. X._ ersucht überdies um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Am 12. Juli 2013 hat das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Rechts auf persönliche Freiheit, da er den Strafvollzug antreten müsse, obwohl er derzeit dauerhaft und generell hafterstehungsunfähig sei. Er macht eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung geltend sowie eine Verletzung der vorinstanzlichen Begründungspflicht. Er sei 1982 als sogenannter Intersexueller geboren. Im Jahre 2000 habe er mit der Hormontherapie und der vorgeschriebenen Psychotherapie begonnen. Er habe sich 2001 einer Mastektomie unterzogen. Heute stehe nur noch die letzte geschlechtsangleichende Operation (Aufbau eines Penis) aus. Diese sei in zwei Schritten vorzunehmen. Die Heilungsphase zwischen den beiden Operationen betrage mindestens 16 Monate. Deshalb sei ein Aufschub von zwei Jahren beantragt worden. Seit November 2011 unterziehe er sich freiwillig einer therapeutischen Behandlung. Die ihn behandelnde Therapeutin erachte eine Inhaftierung im Gefängnis Grosshof gegenwärtig als sinnlos, destruktiv und kontraproduktiv. Der Strafvollzug würde mit grosser Sicherheit seinen psychischen und physischen Gesundheitszustand gefährden. Von dieser ärztlichen Beurteilung sei nicht ohne Not abzuweichen. Sein Anliegen, gesund zu werden, gehe dem öffentlichen Interesse an einem Vollzug der Strafe vor.
1.2. Die Kantone vollziehen die von ihren Strafgerichten auf Grund des Strafgesetzbuchs ausgefällten Urteile (<ref-law>).
Nach § 289 Abs. 1 des Gesetzes über den Straf- und Massnahmenvollzug des Kantons Luzern vom 3. Juni 1957 (SMVG; SRL Nr. 305; Fassung gemäss Änderung vom 11. September 2006, in Kraft seit dem 1. Januar 2007) sind Freiheitsstrafen in der Regel sofort zu vollziehen. Die zuständige kantonale Behörde kann auf Ersuchen des Verurteilten den Vollzug aus wichtigen Gründen um höchstens ein Jahr aufschieben (Abs. 2). Gemäss § 289 Abs. 3 SMVG muss der Vollzug aufgeschoben werden, wenn (a) der Verurteilte psychisch schwer gestört ist oder (b) die Strafverbüssung seine Gesundheit ernstlich gefährden würde.
Das öffentliche Interesse am Vollzug rechtskräftig verhängter Strafen und der Gleichheitssatz schränken den Ermessensspielraum der Vollzugsbehörde hinsichtlich einer Verschiebung des Strafvollzugs erheblich ein. Der Strafvollzug bedeutet für den Betroffenen immer ein Übel, das vom einen besser, vom andern weniger gut ertragen wird. Die blosse Möglichkeit, dass Leben oder Gesundheit des Verurteilten gefährdet sein könnten, genügt offensichtlich nicht für einen Strafaufschub auf unbestimmte Zeit. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kommt eine Verschiebung des Vollzugs einer rechtskräftigen Strafe auf unbestimmte Zeit nur ausnahmsweise in Frage. Dafür wird verlangt, dass mit beträchtlicher Wahrscheinlichkeit damit zu rechnen ist, der Strafvollzug gefährde das Leben oder die Gesundheit des Verurteilten. Selbst in diesen Fällen ist eine Interessenabwägung vorzunehmen, wobei neben den medizinischen Gesichtspunkten die Art und Schwere der begangenen Straftat und die Dauer der Strafe mitzuberücksichtigen sind. Je schwerer Tat und Strafe sind, umso stärker fällt - im Vergleich zur Gefahr der Beeinträchtigung der körperlichen Integrität - der staatliche Strafanspruch ins Gewicht. (<ref-ruling> E. 2c und 2d S. 72 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3b S. 423 mit Hinweis; vgl. Urteil 6B_377/2010 vom 25. Mai 2010 E. 2.1).
1.3. Das Verwaltungsgericht erwägt, der Beschwerdeführer leide gemäss Gutachten des Psychiatrisch-Psychologischen Dienstes (PPD) des Kantons Zürich vom 20. Mai 2007 an einer paranoid-querulatorischen Persönlichkeitsstörung. Eine eindeutige Diagnose der Transsexualität sei bislang nicht gestellt worden. Dass die Strafverbüssung die Gesundheit des Beschwerdeführers gefährden könnte, sei nicht von der Hand zu weisen. Seine Angst, Opfer von verbalen oder gewalttätigen Übergriffen von Mitgefangenen zu werden, sei nachvollziehbar. Die VBD hätten sich deshalb sehr bemüht, eine ausserkantonale, offen geführte Strafvollzugseinrichtung für ihn zu finden. Der Beschwerdeführer habe zu den Platzierungsbemühungen nicht Hand geboten. Sein Einverständnis, am 15. Juli 2012 in das Wohnheim Salis einzutreten, habe er von der Bedingung abhängig gemacht, am 27. Juli 2012 für seinen Geburtstag Urlaub zu erhalten. Seit Jahren mache er geltend, die letzte geschlechtsangleichende Operation vornehmen zu wollen. Bis heute habe er dem Gericht jedoch keine verbindliche Information zum weiteren Vorgehen zukommen lassen. Er habe sich jahrelang gegen eine psychologisch-psychiatrische Betreuung zur Wehr gesetzt. Die gerichtlich angeordnete ambulante Therapie, zu deren Gunsten die Freiheitsstrafe aufgeschoben worden sei, sei daher aufgehoben worden. Derzeit unterziehe er sich freiwillig einer therapeutischen Behandlung im Institut B._. Gemäss der ihn behandelnden Therapeutin, welche eine Inhaftierung im Gefängnis derzeit als nicht zumutbar erachte, bestehe keine Suizidalität. Die Voraussetzungen für einen Strafaufschub nach § 289 SMVG lägen nicht vor, geschweige denn für einen solchen auf unbestimmte Zeit. Die Strafe sei zu vollziehen. Sicherzustellen sei, dass der Beschwerdeführer diese in Nachachtung der Vollzugsgrundsätze (Art. 74, 75 StGB) verbüssen könne (Entscheid, S. 6 ff. Ziff. 5).
2.
Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweisen; vgl. zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560; je mit Hinweisen).
Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Sie muss wenigstens kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sie sich hat leiten lassen und auf welche sie sich stützt, sodass der Betroffene den Entscheid in voller Kenntnis der Sache anfechten kann (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Nicht erforderlich ist, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 2b S. 102 f.).
Wird die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) gerügt, gelten qualifizierte Anforderungen an die Begründung. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur, wenn sie in der Beschwerde vorgebracht und substanziiert begründet worden ist. Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 228; <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Vorinstanz begründet umfassend, aus welchen Gründen sie einen Strafaufschub verneint. Auf die Vorbringen des Beschwerdeführers geht sie ein, soweit sie entscheidrelevant sind. Der Beschwerdeführer war somit durchaus in der Lage, den Entscheid sachgerecht anzufechten, was sich bereits aus seiner Beschwerdeschrift ergibt. Seine Kritik (vgl. Beschwerde, S. 6, 7, 11 f.) richtet sich denn letztlich weniger gegen die angebliche unzureichende Begründungsdichte als gegen die vorinstanzlichen Schlussfolgerungen, mit welchen er nicht einverstanden ist. Die Gehörsverweigerungsrüge ist unbegründet.
3.2. Die Vorinstanz stützt ihre Feststellungen zur geschlechtlichen Entwicklung des Beschwerdeführers sowie zur Befunderhebung und Diagnose auf das Gutachten des PPD vom 20. Mai 2007 (Entscheid, S. 4 mit Hinweis auf Gutachten, S. 49 - 53). Dieses ist sorgfältig abgefasst, breit abgestützt und nachvollziehbar. Die Überzeugungskraft des Gutachtens wird durch den Bericht des Instituts B._ vom 28. Juni 2012 nicht in Frage gestellt (vgl. Urteil 6B_733/2013 E. 4). Wohl beurteilt die Therapeutin des Beschwerdeführers dessen psychischen Zustand anders als die Gutachter des PPD. Sie begründet ihre abweichende Diagnose indes nicht und setzt sich mit dem Gutachten des PPD nicht auseinander. Die Vorinstanz stellt ohne Willkür auf dieses ab. Inwiefern ihre diesbezüglichen Feststellungen "tendenziös" sein könnten (Beschwerde, S. 5) bzw. sie von einem falschen Sachverhalt ausgeht (Beschwerde, S. 8 f.), ist - auch unter Berücksichtigung der vom Beschwerdeführer eingereichten Bilddokumentation - nicht ersichtlich. Die Frage einer Sachverhaltsanpassung im Sinne von <ref-law> stellt sich nicht (Beschwerde, S. 5 f.). Nicht massgeblich ist, wie die anwaltliche Vertreterin das Störungsbild des Beschwerdeführers medizinisch einordnet (vgl. Beschwerde, S. 9 f.). Darauf ist nicht einzugehen.
3.3. Die Vorinstanz übersieht nicht, dass die Therapeutin in ihrem Bericht vom 28. Juni 2012 den Vollzug der Strafe im Gefängnis Grosshof für den Beschwerdeführer aus psychischen und physischen Gründen derzeit als unzumutbar erachtet und den Aufschub des Strafantritts auch deshalb befürwortet, damit der Beschwerdeführer die längst geplante Geschlechtsoperation durchführen könne (Entscheid, S. 7 mit Hinweis auf Bericht vom 28. Juni 2012). Die Vorinstanz setzt sich mit dieser Einschätzung sachlich auseinander. Nach konstanter Rechtsprechung des Bundesgerichts haben Parteigutachten nicht die Qualität von Beweismitteln, sondern von blossen Parteibehauptungen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 667; Urteil 6B_377/2010 vom 25. Mai 2010 E. 2.6). Als Bestandteil der Parteivorbringen durfte die Vorinstanz den fraglichen Bericht mit Zurückhaltung würdigen (vgl. aber Beschwerde, S. 10). Aus ihren Erwägungen im Gesamtzusammenhang ergibt sich nachvollziehbar, dass und weshalb sie eine weitere ärztliche oder gutachterliche Einschätzung nicht für erforderlich erachtet.
3.4. Dass schwerwiegende gesundheitliche Probleme einen Strafaufschub rechtfertigen können und ein solcher etwa zur Durchführung einer unaufschiebbaren Operation angeordnet werden kann, verkennt die Vorinstanz nicht. Sie weist jedoch darauf hin, dass der Beschwerdeführer das Angebot, die Strafe in der offen geführten Anstalt der Stiftung Salis zu vollziehen, ohne stichhaltige Gründe ablehnte, er nicht suizidal ist und seit Jahren geltend macht, die letzte geschlechtsangleichende Operation vornehmen zu wollen. Aufgrund der langen, ereignislosen Zeitspanne seit der vor über 10 Jahren vorgenommenen Mastektomie schliesst sie, dass sich die Ausgangslage beim Aufschub des Strafantritts nach Ablauf eines Jahres nicht anders präsentieren würde als zum aktuellen Zeitpunkt (Entscheid, S. 8). Die Feststellungen der Vorinstanz lassen sich auf die Akten stützen (vgl. kantonale Akten VBD act. 6.23, 6.38, 6.39, 6.44; kantonale Akten JSD act. 1.6 [Beleg 5], 16; kantonale Akten, Vorinstanz, act. 06 [Beilage]; s.a. Beschwerdebeilage 3.2). Inwiefern ihre Schlussfolgerungen willkürlich sein könnten, ist nicht erkennbar. Der Beschwerdeführer unterlässt es auch im bundesgerichtlichen Verfahren, sich verbindlich zum weiteren Vorgehen betreffend den operativen Eingriff zu äussern (vgl. Beschwerde, S. 7 ff., S. 10, wonach er sich um einen Operationstermin bemüht habe und ihm zu glauben sei, dass er auf der Warteliste eines Spezialisten stehe). Er verkennt, dass Strafvollzug und Strafvollstreckung nicht verhandelbar sind. Im Übrigen kann die von ihm freiwillig besuchte Therapie im Strafvollzug weitergeführt werden und haben die VBD und das Gefängnis Grosshof mit geeigneten und angemessenen Vorkehrungen sicherzustellen, dass der Beschwerdeführer in seiner psychischen und physischen Integrität geschützt wird und er die Strafe in Nachachtung der Vollzugsgrundsätze nach Art. 74 und 75 StGB verbüssen kann. Den diesbezüglichen Ausführungen der Vorinstanz zur erhöhten Fürsorgepflicht des Staates gegenüber dem Gefangenen ist beizupflichten (Entscheid, S. 10; s.a. ANDREA BAECHTOLD, Strafvollzug, 2. Aufl., 2009, S. 106 f., RETO ANDREA SURBER, Das Recht der Strafvollstreckung, Diss. ZH 1998, S. 245 ff.).
3.5. Soweit der Beschwerdeführer gestützt auf diverse Mitteilungen in der Presse vom 2. Mai 2013 geltend macht, der Vollzug der Strafe im Gefängnis Grosshof sei wegen nicht optimaler Haftbedingungen unzumutbar, ist auf die Beschwerde (vgl. S. 12) nicht einzutreten. Er trägt dieses Vorbringen erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren vor. Weshalb erst der vorinstanzliche Entscheid hierfür Anlass gegeben haben soll, ist weder dargetan noch ersichtlich (<ref-law>).
4.
Die Vorinstanz durfte unter den gegebenen Umständen ohne Rechtsverletzung eine lebensbedrohliche Situation ausschliessen, eine Hafterstehungsunfähigkeit verneinen und zum Schluss kommen, es lägen keine triftigen Gründe für einen Strafaufschub vor.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Verwaltungsrechtliche Abteilung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill