Sachverhalt:
A. C._ war seit dem Jahr 1991 als Sekundarlehrerin phil. II an der Schule X._ zunächst mit einem Pensum von 50 Prozent und ab August 2001 mit einem Vollpensum tätig. Gemäss Mitarbeiterbeurteilung vom 13. Februar 2002 wurde sie in die Beurteilungsstufe II eingereiht, was eine lohnwirksame Beförderung auf den 1. Juli 2002 zur Folge hatte. Anlässlich eines Gesprächs vom Sommer 2004 kritisierte die Präsidentin der Schulpflege die Leistungen von C._ und stellte insbesondere einen zu lehrerzentrierten Unterricht fest. Gemäss Mitarbeiterbeurteilung vom 15. Dezember 2004 entsprach sie den an sie gestellten Anforderungen nur noch teilweise (Beurteilungsstufe III). Nachdem ihr die Schulpflege zehn Sitzungen Supervision zum Thema "zielgerichteter und schülerzentrierter Unterricht" bewilligt hatte, erreichte sie bei der Mitarbeiterbeurteilung vom 16. November 2005 wiederum Stufe III. Dabei wurde festgehalten, dass sich die Schule bei einer erneuten Einreihung in die Beurteilungsstufe III oder IV im Herbst 2006 von ihr trennen werde. Mit Beschluss vom 24. Januar 2006 sah die Schulpflege von einem Antrag auf lohnwirksame Beförderung ab und ordnete eine weitere Mitarbeiterbeurteilung im Herbst 2006 an. Gleichzeitig wurde C._ bei nochmaliger Einstufung III oder schlechter die Auflösung des Anstellungsverhältnisses in Aussicht gestellt. Seit dem 15. Juli 2006 war sie vollständig arbeitsunfähig geschrieben. Auf Beschwerde hin verpflichtete das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 24. Oktober 2006 die Schulgemeinde X._ zur hälftigen Übernahme der Kosten einer Intensivberatung am Arbeitsplatz durch die Pädagogische Hochschule Y._. Mit Entscheid vom 24. Januar 2007 hiess es die Beschwerde gegen die Mitarbeiterbeurteilung und Nichtbeförderung mit der Feststellung teilweise gut, C._ hätte zwingend mit Stufe II bewertet werden müssen und erfülle somit die für eine Beförderung notwendige Qualifikation. Die Schulgemeinde X._ löste mit Beschluss vom 12. Februar 2007 das Arbeitsverhältnis auf Ende des Schuljahres 2006/07 und somit auf den 15. August 2007 hin auf.
B. Den von C._ dagegen erhobenen Rekurs hiess die Bildungsdirektion des Kantons Zürich mit Verfügung vom 28. April 2008 teilweise gut und stellte die Missbräuchlichkeit der Kündigung vom 12. Februar 2007 fest. Zudem verpflichtete sie die Schulgemeinde X._ zur Zahlung einer Entschädigung in Höhe von vier Brutto-Monatslöhnen und einer Abfindung von acht Brutto-Monatslöhnen, welche um 50 Prozent gekürzt auszurichten sei. Überdies hielt sie im Sinne eines Vorentscheids fest, dass die Voraussetzungen der Staatshaftung erfüllt seien.
Sowohl die Schulgemeinde X._ als auch C._ reichten beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde ein. Dieses vereinigte die Verfahren. Mit Entscheid vom 17. Dezember 2008 hiess es die Beschwerde von C._ teilweise gut und verpflichtete die Schulgemeinde, ihr im Sinne der Erwägungen eine Abfindung in Höhe von Fr. 62'637.85 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Beschwerden ab.
C. Die Schulgemeinde X._ führt Beschwerde an das Bundesgericht mit den Anträgen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 17. Dezember 2008 sei aufzuheben mit der Feststellung, dass die ausgesprochene Kündigung nicht rechtsmissbräuchlich sei (Antrag Ziff. 1) und C._ keinen Anspruch auf Entschädigung habe (Antrag Ziff. 2). Im Falle der Gutheissung von Antrag Ziff. 1 sei die Abfindung angemessen zu reduzieren; eventuell sei die Sache zur Festsetzung der Abfindung an die Bildungsdirektion des Kantons Zürich zurückzuweisen. Ebenso sei der Vorentscheid betreffend Staatshaftung aufzuheben, und es sei festzustellen, dass keine Staatshaftung bestehe. Ferner sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
C._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
D. Mit Verfügung vom 20. Mai 2009 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Im angefochtenen Entscheid wird nur die grundsätzliche Haftung der Schulgemeinde X._ gestützt auf das Haftungsgesetz des Kantons Zürich vom 14. September 1969 (HaftungsG; LS 170.1) festgestellt. Da sich der Entscheid des Verwaltungsgerichts über die Schadenshöhe und die Bemessung von Schadenersatz und Genugtuungsanspruch nicht ausspricht, handelt es sich diesbezüglich um einen selbständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Auf dem Gebiet der Staatshaftung ist die Beschwerde laut <ref-law> zulässig, wenn der Streitwert nicht weniger als Fr. 30'000.- beträgt. Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nach Absatz 1 nicht, so ist die Beschwerde dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Bei Beschwerden gegen Vor- und Zwischenentscheide bestimmt sich der Streitwert nach den Begehren, die vor der Instanz streitig sind, wo die Hauptsache hängig ist (<ref-law>). Lautet das Begehren - wie vorliegend - nicht auf Bezahlung einer bestimmten Geldsumme, so setzt das Bundesgericht den Streitwert nach Ermessen fest (<ref-law>). Mehrere in einer vermögensrechtlichen Sache von der gleichen Partei oder von Streitgenossen und Streitgenossinnen geltend gemachte Begehren werden zusammengerechnet, sofern sie sich nicht gegenseitig ausschliessen (<ref-law>).
1.2 Die Beschwerdegegnerin beantragte im Verfahren vor der Bildungsdirektion des Kantons Zürich die Ausrichtung einer Genugtuung in Höhe von Fr. 5'000.- und Schadenersatz, welchen sie in der Eingabe vom 4. April 2008 auf einen Viertel des Brutto-Monatslohnes für den Zeitraum vom 15. Juli bis 15. August 2007 (entsprechend Fr. 2'373.30) festlegte, zuzüglich der wegen den noch ausstehenden Rentenverfügungen der Invalidenversicherung und der Vorsorgeeinrichtung im damaligen Zeitpunkt nicht abschliessend bezifferbaren Positionen für Erwerbsausfall/Rentenschaden, Haushaltschaden und Kostenersatz für krankheitsbedingte Arzt- und Therapiekosten, welche von der Krankenversicherung nicht übernommen werden sowie Umzugskosten in Höhe von Fr. 4'845.55 und Weiterbildungskosten. Die Bildungsdirektion bejahte im Entscheid vom 28. April 2008 die Voraussetzungen der Staatshaftung und des Anspruchs auf Genugtuung, ohne jedoch über deren Höhe zu befinden. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, welches davon absah, den Sachverhalt diesbezüglich näher abzuklären oder die Sache zu diesem Zweck an die Vorinstanz zurückzuweisen, liess im Entscheid vom 17. Dezember 2008 offen, ob die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.- für einen Weiterzug ans Bundesgericht erfüllt sei. Die Beschwerdeführerin begründet das Erreichen der Streitwertgrenze mit dem Hinweis auf Einkünfte von jährlich insgesamt Fr. 107'024.10 (Erwerbseinkommen, IV-Rente, Rente der beruflichen Vorsorge), gegenüber einem Einkommen von Fr. 126'140.- vor Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung und einer Invalidität von bislang zwei Jahren, nebst weiteren Positionen. Der Streitwert braucht aus den nachstehenden Gründen nicht abschliessend festgelegt zu werden.
1.3 Gegen Vorentscheide der vorliegenden Art ist nach <ref-law> die Beschwerde zulässig, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin liegt dieser Nachteil im Umstand begründet, dass sie durch die vorinstanzlich bejahte Haftung grundsätzlich zur Leistung von Schadenersatz verpflichtet werde und ihre Haftung nicht mehr ablehnen könne. Dies trifft indessen nicht zu, da sie nicht verpflichtet wird, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen (vgl. Urteil 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 9C_750/2008; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 484; vgl. zum Verfahren: § 19 ff. HaftungsG; ELMAR MARIO JUD, Besonderheiten öffentlichrechtlicher Dienstverhältnisse nach schweizerischem Recht, insbesondere bei deren Beendigung aus nichtdisziplinarischen Gründen, 1975, S. 289 ff.). Allfällige Nachteile für die Beschwerdeführerin können auch noch mit einer bundesgerichtlichen Beurteilung des Endentscheids behoben werden.
1.4 Gemäss <ref-law> ist gegen (andere) selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide die Beschwerde zulässig, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Gelangte das Bundesgericht in Gutheissung der Beschwerde zum Schluss, die Haftpflicht der Gemeinde X._ sei zu verneinen, wäre das Verfahren endgültig abgeschlossen. Damit ist die erste Voraussetzung von <ref-law> erfüllt. Hinsichtlich der Aufwandersparnis wird in der Beschwerdeschrift lediglich ausgeführt, es könne ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren als Folge des Vorentscheids unterbleiben. Inwieweit dieses zeitaufwändig oder kostspielig sein soll, ist weder dargetan noch offenkundig (vgl. zur Substantiierungspflicht: NICOLAS VON WERDT, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 14 ff. zu <ref-law>; FELIX UHLMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 9 zu <ref-law>). Auf die Beschwerde ist daher in diesem Punkt nicht einzutreten.
2. 2.1 Der angefochtene Entscheid ist demgegenüber ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, soweit er Entschädigungs- und Abfindungszahlungen wegen missbräuchlicher Kündigung betrifft (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Ihm liegt ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis und somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law> zugrunde. Der Verfahrensgegenstand betrifft geldwerte Leistungen in Höhe von mehreren Monatslöhnen, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht gegeben ist. Die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- ist mit Blick auf den vom Verwaltungsgericht festgestellten Jahresbruttoverdienst von Fr. 126'140.- im Zeitpunkt der Kündigung erreicht (Art. 85 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit <ref-law>).
2.2 Die Beschwerdeführerin beruft sich auf die Gemeindeautonomie.
2.2.1 Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften sind nach <ref-law> zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt. Für das Eintreten ist allein entscheidend, dass die beschwerdeführende Gemeinde durch einen Akt in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt berührt ist und eine Verletzung der Autonomie geltend macht. Ob die beanspruchte Autonomie tatsächlich besteht, ist hingegen keine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Dasselbe gilt für die Frage, ob die Autonomie im konkreten Fall tatsächlich verletzt worden ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 45 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 412; Urteil 5C_2/2009 vom 5. November 2009 E. 3.1). Der angefochtene Entscheid betrifft die Beschwerdeführerin in ihren hoheitlichen Befugnissen als Arbeitgeberin. Diese macht die Verletzung ihrer Autonomie geltend, womit sie ohne weiteres zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert ist.
2.2.2 Nach der Rechtsprechung sind Gemeinden in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt. Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine solche nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 130 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 294; je mit Hinweisen).
2.2.3 Art. 85 der Verfassung des Kantons Zürich vom 27. Februar 2005 (KV/ZH; LS 101) garantiert die Autonomie der zürcherischen Gemeinden. Nach Art. 72 Abs. 2 des Gemeindegesetzes des Kantons Zürich vom 6. Juni 1926 (GG/ZH; LS 131.1) sind auf das Arbeitsverhältnis des Personals der Gemeinden die Bestimmungen des Personalgesetzes und seiner Ausführungserlasse sinngemäss anwendbar, soweit die Gemeinden keine eigenen Vorschriften erlassen. Nach § 2 des Lehrpersonalgesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 1999 (LPG; LS 412.31) richtet sich das Arbeitsverhältnis der Lehrpersonen, einschliesslich der beruflichen Vorsorge, nach den für das übrige Staatspersonal anwendbaren Bestimmungen, sofern dieses Gesetz keine ausdrückliche Regelung enthält. Gemäss § 7 Abs. 1 LPG stellt die Schulpflege die Lehrpersonen an. Sie ist gemäss § 8 Abs. 1 LPG auch für die Kündigung des Arbeitsverhältnisses zuständig. Die Beendigungsgründe werden in § 16 des Gesetzes über das Arbeitsverhältnis des Staatspersonals vom 27. September 1998 (PG; LS 177.10) in Verbindung mit § 2 LPG angeführt. Für den Fall der Kündigung durch den Staat legt § 18 Abs. 2 PG fest, dass die Kündigung nicht missbräuchlich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts sein darf und einen sachlich zureichenden Grund voraussetzt. Laut § 16 Abs. 1 lit. c der Vollzugsverordnung zum Personalgesetz des Kantons Zürich vom 19. Mai 1999 (VVPG; LS 177.111) besteht namentlich dann ein sachlicher Grund, wenn die oder der Angestellte aus gesundheitlichen Gründen während langer Zeit wiederholt oder dauernd an der Erfüllung der Aufgaben verhindert ist. Die Beschwerdeführerin hat die Kündigung unstreitig wegen krankheitsbedingter Arbeitsverhinderung der Beschwerdegegnerin ausgesprochen.
2.2.4 Die Beschwerdeführerin macht unter Hinweis auf die Urteile 2P.133/2001 vom 6. September 2001 und 2P.214/2000 vom 5. Januar 2001 geltend, die Befugnisse hinsichtlich Anstellung und Kündigung von Lehrpersonen würden die der Gemeinde obliegende Führung der öffentlichen Schule und somit gemeindefreiheitsbezogene Gestaltungsspielräume, d.h. einen geschützten Autonomiebereich betreffen. Ein solcher kann bei der Anwendung kantonalen Rechts bestehen, wenn dieses der Gemeinde eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit belässt und der bestehende Spielraum auf die Berücksichtigung der besonderen Verhältnisse und Bedürfnisse in den Gemeinden ausgerichtet ist. Dies ist nicht bei jedem Ermessensentscheid der Fall, und auch ein in einem von der Gemeindebehörde anzuwendenden kantonalen Gesetz enthaltener unbestimmter Rechtsbegriff genügt für sich allein noch nicht für die Begründung eines gemeindefreiheitsbezogenen Spielraums (<ref-ruling> E. 3d/e S. 222).
2.2.5 Im Urteil 2P.214/2000 hat das Bundesgericht einen erheblichen Entscheidungsspielraum der Schulgemeinden bei der Begründung und Aufhebung von Angestelltenverhältnissen gemäss Staatsverwaltungsgesetz des Kantons St. Gallen bejaht. Diese konnten daher bezüglich der Aufhebung der verfügten Kündigung durch die kantonale Rechtsmittelinstanz eine Überschreitung der Prüfungsbefugnis oder eine falsche Anwendung der den betreffenden Sachbereich ordnenden Normen durch die kantonale Behörde geltend machen. Im Urteil 2P.133/2001 hatte das Bundesgericht nicht abschliessend zu beurteilen, ob den Gemeinden im Kanton Zürich hinsichtlich der Beendigung des Dienstverhältnisses Autonomie zusteht. Denn Gegenstand des Verfahrens bildete nicht die Entlassung an sich, sondern die rechtlich getrennt davon zu beurteilende Frage der finanziellen Folgen. Dabei hat das Bundesgericht erwogen, zwar bestehe bei der Anwendung von § 26 PG ein erheblicher Beurteilungsspielraum, doch sei dieser nicht "gemeindefreiheitsbezogen". Ob und in welcher Höhe der entlassenen Lehrperson nach dem kantonalen Recht eine Abfindung zustehe, falle nicht unter die Gemeindeautonomie.
2.2.6 Auch im vorliegenden Verfahren geht es nicht um das Weiterbestehen des Arbeitsverhältnisses, sondern um die Entschädigungsfolgen der Entlassung. § 18 Abs. 3 PG sieht die Ausrichtung einer Entschädigung vor, wenn sich die Kündigung als missbräuchlich oder sachlich nicht gerechtfertigt erweist und der oder die Angestellte nicht wiedereingestellt wird. Diese bemisst sich - vorbehältlich der Ausrichtung einer Abfindung nach § 26 PG - nach den Bestimmungen des Obligationenrechts über die missbräuchliche Kündigung (vgl. Art. 336 f. OR). Damit wird dem betroffenen Arbeitnehmer Genugtuung verschafft (ANDREAS KEISER, Das neue Personalrecht - eine Herausforderung für die Zürcher Gemeinden, in: ZBl 2001 S. 579). Es geht somit - wie bei § 26 PG - um eine einzelfallgerechte Sachentscheidung und nicht um die Rücksichtnahme auf besondere lokale Bedürfnisse. Bildet nicht die Weiterführung des Arbeitsverhältnisses, sondern die Anwendung von § 18 Abs. 3 PG Gegenstand des Verfahrens, verfügt die Beschwerdeführerin nicht über die erforderliche relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit. Streitig ist, ob die von der Beschwerdeführerin ausgesprochene Kündigung im Sinne dieser Bestimmung missbräuchlich ist, weil die den Kündigungsgrund bildende Krankheit durch eine Verletzung der Fürsorgepflicht der Arbeitgeberin verursacht wurde. Dabei handelt es sich nicht in erster Linie um ein lokales oder organisatorisches Anliegen der Gemeinde. Die Beschwerdeführerin rügt in diesem Zusammenhang denn auch keine Verletzung ihrer Autonomie, sondern macht lediglich geltend, mangels Interessenabwägung sei das kantonale Gericht zu einer unhaltbaren Bejahung einer Fürsorgepflichtverletzung gekommen.
2.2.7 Aus den dargelegten Gründen erweist sich die Beschwerde hinsichtlich der gerügten Verletzung der Gemeindeautonomie zwar als zulässig, wegen Fehlens eines geschützten Autonomiebereichs jedoch als unbegründet.
2.3 Die Beschwerdeführerin beruft sich überdies auf die allgemeine Legitimationsklausel von <ref-law> und rügt die Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte, insbesondere Willkür. Gemeinwesen können sich auf diese allgemeine Umschreibung der Legitimation beziehen, wenn sie durch den angefochtenen Hoheitsakt gleich oder ähnlich wie ein Privater betroffen oder aber in qualifizierter Weise in schutzwürdigen eigenen hoheitlichen Interessen berührt sind (<ref-ruling> E. 1.3 S. 47; <ref-ruling> E. 2.3 S. 206). Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Nach der Rechtsprechung ist die Legitimation von Gemeinwesen zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> zu bejahen, wenn diese in gleicher oder zumindest ähnlicher Weise berührt werden wie ein privater Arbeitgeber, was bei vermögensrechtlichen Streitigkeiten im Bereich des öffentlichen Dienstrechts grundsätzlich zu bejahen ist, auch wenn sich die Arbeitsverhältnisse nicht nach OR, sondern nach öffentlichem Recht richten. Wird über Entschädigungen wegen angeblich missbräuchlicher Kündigung gestritten, befindet sich das Gemeinwesen in der Rolle des Arbeitgebers und somit in einer dem privaten Arbeitgeber vergleichbaren Situation (BGE <ref-ruling> E. 2.3 S. 207). Soweit sich die Beschwerdeführerin gegen die Verurteilung zur Zahlung von Entschädigung und Abfindung wehrt, ist sie gemäss <ref-law> somit zur Beschwerde legitimiert.
3. 3.1 Der angefochtene Entscheid erging in Anwendung kantonalen Rechts. Das Bundesgericht überprüft dies grundsätzlich nur im Hinblick auf die Verletzung von Verfassungsrecht (<ref-law>) und nur insoweit, als entsprechende Rügen vorgebracht und begründet werden (<ref-law>).
3.2 In Ergänzung zu den Rügen, die sich auf Art. 95 f. BGG stützen, sind unter den engen Voraussetzungen von <ref-law> auch Vorbringen gegen die Sachverhaltsfeststellung zulässig. Ein solcher Einwand kann nach der letztgenannten Bestimmung nur erhoben werden, wenn die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Willkür liegt nach der Praxis nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung als die von der Vorinstanz gewählte ebenfalls vertretbar oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur dann, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
3.3 In <ref-law> ist der Grundsatz verankert, dass das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen anwendet. Dieser Grundsatz gilt nicht hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht; insofern statuiert <ref-law> eine qualifizierte Rügepflicht. In diesem Rahmen wird die Praxis zum Rügeprinzip gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) weitergeführt (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft lediglich klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
3.4 Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensvorschrift ermittelt worden ist, gelten ebenfalls strenge Anforderungen an die Begründung der Beschwerde; diese sind mit der Rügepflicht nach <ref-law> vergleichbar. Entsprechende Beanstandungen müssen präzise vorgebracht und begründet werden. Es genügt nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift darzulegen, inwiefern die Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
4. 4.1 § 18 Abs. 3 PG konkretisiert durch Hinweis auf Art. 336 f. OR das allgemeine Rechtsmissbrauchsverbot, wobei die Aufzählung nicht abschliessend ist. Neben den in <ref-law> aufgeführten sind daher weitere Tatbestände denkbar, doch müssen sie eine Schwere aufweisen, die mit den dort aufgeführten Gründen vergleichbar sind. Dabei kann sich der Missbrauch einer Kündigung nicht nur aus den Kündigungsmotiven, sondern auch aus der Art und Weise ergeben, wie die kündigende Partei ihr Recht ausübt. Selbst wenn eine Partei die Kündigung rechtmässig erklärt, muss sie das Gebot schonender Rechtsausübung beachten. Ein krass vertragswidriges Verhalten, namentlich eine schwere Persönlichkeitsverletzung im Umfeld einer Kündigung, kann diese als missbräuchlich erscheinen lassen. So ist der Arbeitgeber gemäss <ref-law> verpflichtet, die Persönlichkeit des Arbeitnehmers zu achten und zu schützen (<ref-ruling> E. 2.1 f. S. 116; Urteil 4A_419/2007 vom 29. Januar 2008 E. 2.3). Das Verwaltungsgericht hat erwogen, gestützt auf § 39 PG in Verbindung mit § 2 LPG obliege diese allgemeine Fürsorgepflicht für ihr Personal auch der Gemeindeschulpflege. Nach dieser unter dem Randtitel "Schutz der Persönlichkeit" stehenden Bestimmung achtet der Staat die Persönlichkeit der Angestellten und schützt sie; er nimmt auf deren Gesundheit gebührend Rücksicht (Abs. 1). Er trifft die zum Schutz von Leben, Gesundheit und persönlicher Integrität seiner Angestellten erforderlichen Massnahmen (Abs. 2). Es handelt sich dabei um das Korrelat der Treuepflicht des Arbeitnehmers (FRITZ LANG, Das Zürcher Personalgesetz vom 27. September 1998, in: Personalrecht des öffentlichen Dienstes, 1999, S. 73).
4.2 Die Missbräuchlichkeit der Kündigung kann in einem krassen Missverhältnis der Interessen begründet liegen. Dies ist bei <ref-law> der Fall, da es hier um eine gesetzliche Einschränkung der Vertragsfreiheit zu Gunsten des Sozialschutzes des Arbeitnehmers geht. Die Ausübung des an und für sich bestehenden Rechts zur Kündigung darf nicht zu einem sozial stossenden Missverhältnis der Interessen des Arbeitnehmers vor ungerechtfertigter Auflösung des Arbeitsverhältnisses führen. Die Beurteilung der Missbräuchlichkeit setzt eine Gesamtwürdigung aller Umstände des Einzelfalles voraus (<ref-ruling> E. 2.4 f. S. 118; <ref-ruling> E. 4.2 S. 539).
5. Gemäss den Feststellungen des kantonalen Gerichts wurde der Beschwerdeführerin anlässlich eines Vergleichsgesprächs vom 14. Juni 2006 das auf den 13. Juni 2006 datierte ärztliche Zeugnis von Dr. med. R._ übergeben, gemäss welchem die Beschwerdegegnerin als Folge der beruflichen Belastung und insbesondere der Kündigungsandrohung unter sehr starken psychophysischen Stresssymptomen leide, so dass aus ärztlicher Sicht eine Schonung dringend angezeigt sei. Nach Ansicht des Verwaltungsgerichts hätte die Beschwerdeführerin nach Erhalt des Arztzeugnisses aufgrund ihrer Fürsorgepflicht Vorkehren zur Erhaltung der psychischen Gesundheit treffen oder zumindest prüfen müssen. Dies habe sie unterlassen und stattdessen mit E-Mail vom 21. Juni 2006 an der Bewährungsfrist festgehalten, nachdem sie mittels Schreiben vom 16. März 2006 die Kündigungsandrohung gegenüber dem Beschluss der Schulpflege vom 24. Januar 2006 noch verschärft habe. Insbesondere habe sie ohne sachlichen Grund ausser Betracht gelassen, dass die damals noch hängige Überprüfung der Mitarbeiterbeurteilung 2005 durch das Verwaltungsgericht zu Gunsten der Arbeitnehmerin ausfallen könne, was dann gemäss Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. Januar 2007 teilweise auch der Fall war. Mit dem unrechtmässigen Festhalten an der Bewährungsfrist habe die Beschwerdeführerin die Verschlechterung des Gesundheitszustandes und damit die Arbeitsunfähigkeit der Arbeitnehmerin verursacht. Die Kündigung erweise sich somit als missbräuchlich.
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin erachtet die Feststellung des Verwaltungsgerichts als willkürlich, wonach sie die Fürsorgepflicht verletzt und dadurch die Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin verursacht habe. Soweit sich ihre Vorbringen darauf beschränken, ihre eigene Sicht der Dinge derjenigen des kantonalen Gerichts gegenüberzustellen oder ihre vor Vorinstanz erhobenen Rügen zu wiederholen, ohne sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinanderzusetzen, reicht dies nicht aus, den Vorwurf der Willkür zu begründen.
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin erachtet die Feststellung des Verwaltungsgerichts als willkürlich, wonach sie die Fürsorgepflicht verletzt und dadurch die Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin verursacht habe. Soweit sich ihre Vorbringen darauf beschränken, ihre eigene Sicht der Dinge derjenigen des kantonalen Gerichts gegenüberzustellen oder ihre vor Vorinstanz erhobenen Rügen zu wiederholen, ohne sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinanderzusetzen, reicht dies nicht aus, den Vorwurf der Willkür zu begründen.
6.2 6.2.1 Nach Ansicht der Beschwerdeführerin hat das vorinstanzliche Gericht verkannt, dass das Ansetzen einer Bewährungsfrist von sechs Monaten gemäss Schreiben der Schulgemeinde vom 16. März 2006 nicht als widerrechtlich betrachtet werden könne. Der vom Verwaltungsgericht mit Blick auf das damals hängige Gerichtsverfahren als angezeigt erachtete Vorbehalt sei nicht notwendig gewesen, weil allein die Nichtbeförderung Gegenstand jenes Verfahrens gebildet habe und der Beschwerde keine aufschiebende Wirkung bezüglich der Mitarbeiterbeurteilung 2005 zugekommen sei. Aus dem Fehlen eines Vorbehalts im erwähnten Schreiben auf eine die Missbräuchlichkeit der Kündigung begründende Pflichtverletzung zu schliessen, sei daher unhaltbar. Zudem sei nicht ersichtlich, dass die Fristansetzung die Krankheit zu jenem Zeitpunkt verursacht habe.
6.2.2 Diese Einwände lassen den angefochtenen Entscheid nicht als willkürlich erscheinen. Mit dem Festhalten an der Bewährungsfrist gemäss Schreiben der Schulbehörde vom 16. März 2006 wurde der Druck auf die Beschwerdeführerin insofern erhöht, als ihr unabhängig vom Ausgang des zu jenem Zeitpunkt noch hängigen Gerichtsverfahrens die Kündigung des Arbeitsverhältnisses wegen nicht erfüllter Anforderungen in Aussicht gestellt wurde. Wie das Verwaltungsgericht zutreffend festhält, tut dabei der Umstand nichts zur Sache, dass im Protokollauszug vom 24. Januar 2006 davon die Rede war, dass sich die Schulgemeinde bei einer unbefriedigenden Mitarbeiterbeurteilung gezwungen sähe, sich von der Beschwerdeführerin zu trennen, während laut obigem Schreiben in einem solchen Fall "das Arbeitsverhältnis zu überprüfen" wäre. Spätestens nach dem Gespräch vom 14. Juni 2006 und Kenntnisnahme von den gesundheitlichen Problemen der Beschwerdegegnerin hätte die Beschwerdeführerin überdies Anlass gehabt, die Rechtmässigkeit der gestützt auf die Mitarbeiterbeurteilung vom 16. November 2005 angesetzte Bewährungsfrist zu überprüfen. Unerheblich ist unter diesen Umständen, dass der Beschwerde bezüglich Mitarbeiterbeurteilung 2005 und Beförderung keine aufschiebende Wirkung zukam. Dabei hätte die Beschwerdeführerin nach den Feststellungen des Verwaltungsgerichts, welches sich dabei auf die vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich vom 24. Januar 2007 vorgenommene Gesamtbewertung der Mitarbeiterbeurteilung mit "gut" stützt, zum Schluss kommen müssen, dass von der Ansetzung einer Bewährungsfrist (zumindest vorübergehend) hätte abgesehen werden müssen. Die Rüge erweist sich somit als unbegründet.
6.3 Nicht gehört werden kann die Beschwerdeführerin sodann mit dem Einwand, die Fürsorgepflicht sei nicht verletzt und die Krankheit nicht durch eine Pflichtverletzung verursacht worden. Aus den Akten ergibt sich, dass die behandelnde Psychiaterin im Bericht vom 13. Juni 2006 unmissverständlich darauf hinwies, dass die Arbeitnehmerin als Folge der beruflichen Belastung und insbesondere der Kündigungsandrohung unter sehr starken psychophysischen Stresssymptomen leide. Aus ärztlicher Sicht sei eine Schonung dringend angezeigt. Weitere Belastungen, wie namentlich die angekündigte erneute Mitarbeiterbeurteilung im Herbst 2006 stelle eine Gefährdung der Gesundheit der Patientin dar, weshalb davon Abstand genommen werden sollte. Weil die Beschwerdeführerin trotz dieses fachärztlichen Rats den eingeschlagenen Weg in Richtung Entlassung weiter vorantrieb, erweist sich die Deutung des kantonalen Gerichts, diese habe die ihr obliegende Fürsorgepflicht verletzt, als vertretbar und die Annahme, die Kündigung sei missbräuchlich, als haltbar.
6.3 Nicht gehört werden kann die Beschwerdeführerin sodann mit dem Einwand, die Fürsorgepflicht sei nicht verletzt und die Krankheit nicht durch eine Pflichtverletzung verursacht worden. Aus den Akten ergibt sich, dass die behandelnde Psychiaterin im Bericht vom 13. Juni 2006 unmissverständlich darauf hinwies, dass die Arbeitnehmerin als Folge der beruflichen Belastung und insbesondere der Kündigungsandrohung unter sehr starken psychophysischen Stresssymptomen leide. Aus ärztlicher Sicht sei eine Schonung dringend angezeigt. Weitere Belastungen, wie namentlich die angekündigte erneute Mitarbeiterbeurteilung im Herbst 2006 stelle eine Gefährdung der Gesundheit der Patientin dar, weshalb davon Abstand genommen werden sollte. Weil die Beschwerdeführerin trotz dieses fachärztlichen Rats den eingeschlagenen Weg in Richtung Entlassung weiter vorantrieb, erweist sich die Deutung des kantonalen Gerichts, diese habe die ihr obliegende Fürsorgepflicht verletzt, als vertretbar und die Annahme, die Kündigung sei missbräuchlich, als haltbar.
6.4 6.4.1 Nach Auffassung der Beschwerdeführerin wäre die Vorinstanz zu einer Interessenabwägung und Einzelfallbeurteilung verpflichtet gewesen. Stattdessen habe sie einseitig den Standpunkt der Beschwerdegegnerin übernommen und ihr Interesse an einem geordneten Schulbetrieb ausser acht gelassen. Sie hätte insbesondere dem Umstand Rechnung tragen müssen, dass die Schulpflege Mitarbeiterbeurteilungen durchzuführen und ihre Funktion als Leitung der Schule zu wahren habe. In diesem Zusammenhang hätte sie berücksichtigen müssen, dass die Beschwerdegegnerin ihre Treuepflicht verletzt habe, indem sie erst sehr spät über ihre Krankheit informiert und unzumutbare Forderungen wie die Aussetzung der Bewährungsfrist und die Rücknahme der Mitarbeiterbeurteilung gestellt habe.
6.4.2 Das kantonale Gericht ging davon aus, im Zusammenhang mit der Missbräuchlichkeit der Kündigung sei allein massgebend, dass die Beschwerdeführerin mit dem Festhalten an der Bewährungsfrist die für die Arbeitsunfähigkeit entscheidende Verschlechterung des Gesundheitszustandes verursacht habe. Der Umstand, dass sie anfänglich nicht über den Gesundheitszustand der Arbeitnehmerin informiert war, ist insofern nicht von Belang, als die Beschwerdeführerin unabhängig von dieser Kenntnis an das Gebot einer schonenden Rechtsausübung gebunden war. Wäre sie bereits zu einem früheren Zeitpunkt von der Beschwerdegegnerin über die psychischen Probleme unterrichtet worden, hätte dies die Fürsorgepflicht der Beschwerdeführerin möglicherweise sogar noch erhöht. Bezüglich der geltend gemachten Notwendigkeit des gewählten Vorgehens zur Sicherstellung der Qualität des Unterrichts hielt das Verwaltungsgericht fest, die angeführten Beschwerden von Eltern und Schulkinder seien von der Beschwerdeführerin nicht substanziiert worden. Da auch keine sonstigen legitimen öffentlichen Interessen dargetan sind, welche das geschilderte Vorgehen der Verantwortlichen der Schulgemeinde X._ rechtfertigen, erweist sich die auf einer rechtsgenüglichen Gesamtwürdigung beruhende vorinstanzliche Annahme einer Verletzung der Fürsorgepflicht und damit einer missbräuchlichen Kündigung auch unter diesem Aspekt nicht als willkürlich.
7. Eine missbräuchliche oder sachlich nicht gerechtfertigte Kündigung hat einen Anspruch auf Entschädigung nach den Bestimmungen des Obligationenrechts zur Folge, wenn die Angestellte nicht wiedereingestellt wird (§ 18 Abs. 3 PG in Verbindung mit § 2 LPG). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern der vorinstanzliche Entscheid hinsichtlich der Zusprechung einer Entschädigung in Höhe von vier Monatslöhnen Recht verletzt (<ref-law>) und setzt sich in ihren Ausführungen mit der Begründung des angefochtenen Entscheids nicht auseinander. Da die Anforderungen an die Begründung nicht erfüllt sind, bleibt es in diesem Punkt daher beim vorinstanzlichen Entscheid, ohne dass Anlass besteht, darauf näher einzugehen.
8. 8.1 Nach § 26 Abs. 1 PG in Verbindung mit § 2 LPG haben Angestellte mit wenigstens fünf Dienstjahren, deren Arbeitsverhältnis auf Veranlassung des Staates und ohne ihr Verschulden aufgelöst wird, Anspruch auf eine Abfindung, sofern sie mindestens 35-jährig sind. Die auszurichtende Abfindung beträgt höchstens fünfzehn Monatslöhne (Abs. 4) und wird nach den Umständen des Einzelfalles festgelegt. Angemessen berücksichtigt werden insbesondere die persönlichen Verhältnisse und die Arbeitsmarktchancen, die Dienstzeit und der Kündigungsgrund; Angestellten, die während der Abfindungsdauer neues Einkommen erzielen, wird die Abfindung angemessen gekürzt (Abs. 5). Gemäss § 7 Abs. 1 lit. c der Personalverordnung des Kantons Zürich vom 16. Dezember 1998 (PV; LS 177.11) beträgt die Abfindung je nach den im Einzelfall massgebenden gesetzlichen Kriterien ab dem 51. Altersjahr drei bis 15 Monatslöhne.
8.2 Die Bildungsdirektion des Kantons Zürich setzte die Höhe der Abfindung im Entscheid vom 28. April 2008 auf acht Monatslöhne fest, welche sie mit Blick darauf, dass die heutige Beschwerdegegnerin seit dem 16. August 2007 eine 50 Prozent Stelle als Lehrerin inne hat und wieder eine volle Arbeitsfähigkeit erreichen werde, um 50 Prozent kürzte. Das Verwaltungsgericht bestätigte die Abfindung von acht Monatslöhnen mit der Begründung, die Kündigung sei im 16. Dienstjahr im Alter von 51 Jahren erfolgt, wobei die persönlichen Lebensumstände, die Chancen auf dem Arbeitsmarkt und die Wiedererlangung der vollen Arbeitsfähigkeit eher für eine tiefe Abfindung sprechen würden. Die Lohnfortzahlung gemäss § 99 Abs. 3 VVPG rechtfertige demgegenüber keine tiefere Abfindung oder gar einen Verzicht darauf. Hingegen setzte das kantonale Gericht - abweichend von der Bildungsdirektion - die Kürzung im Sinne von § 17 Abs. 4 VVPG auf die Hälfte des während der Abfindungsdauer bei der neuen Stelle erzielten Einkommens fest, wobei die IV-Rente nicht anzurechnen sei. Bei einem Jahresbruttoverdienst an der aufgelösten Stelle von Fr. 126'140.- ergab dies eine Abfindung von Fr. 62'637.85 (2/3 von Fr. 126'140.- abzüglich 1⁄2 von 2/3 des neuen Jahresbruttoverdienstes von Fr. 64'366.50). In diesem Sinne hiess es die Beschwerde der heutigen Beschwerdegegnerin teilweise gut.
8.3 Die Beschwerdeführerin bestreitet den grundsätzlichen Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine Abfindung nicht. In masslicher Hinsicht hält sie dafür, es sei lediglich eine Abfindung an der unteren Grenze gemäss § 7 PV gerechtfertigt, welche zudem zu kürzen sei, weil sie keine Mitverantwortung trage und die Beschwerdegegnerin seit dem 15. Juli 2006 bis zum Austritt in den Genuss der vollen Lohnzahlung gekommen sei. Dem Verwaltungsgericht wirft sie vor, diesen Umstand nicht berücksichtigt zu haben und damit in willkürlicher Weise davon ausgegangen zu sein, die Lohnfortzahlung sei nicht substantiiert geltend gemacht worden. Allenfalls sei die Sache zur Festsetzung der Abfindung an die Bildungsdirektion zurückzuweisen.
8.4 Der Einwand der Beschwerdeführerin reicht nicht aus, um den Vorwurf der Willkür zu begründen. Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Entscheid die Umstände, welche nach seinem Dafürhalten eine - um die Hälfte des während der Abfindungsdauer an der neuen Arbeitsstelle erzielten Einkommens gekürzte - Abfindung von acht Monatslöhnen rechtfertigen, eingehend gewürdigt und dabei auch die Lohnfortzahlung gemäss § 99 Abs. 3 VVPG, im letzten Anstellungsmonat bis 15. August 2007 in Anwendung von § 99 Abs. 4 VVPG gekürzt auf 75 Prozent, in ihre Würdigung miteinbezogen. Ein allenfalls fehlendes Mitverschulden des Arbeitgebers bildet sodann kein Kriterium im Rahmen der Bemessung der Abfindung im Sinne von § 26 PG. Bei der Festsetzung der Abfindung handelt es sich um einen Ermessensentscheid. In deren Veranschlagung im mittleren Bereich des gesetzlichen Rahmens (§ 26 Abs. 4 PG in Verbindung mit § 7 Abs. 1 lit. c PV) kann unter Berücksichtigung aller Umstände keine verfassungsrechtlich zu beanstandende Ermessensüberschreitung erblickt werden. Die Beschwerde erweist sich daher auch in diesem Punkt als unbegründet.
9. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; Urteil 8C_158/2009 vom 2. September 2009 E. 8.1.4). Zudem hat sie der Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Februar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer