Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Das Geschworenengericht des Kantons Zürich verurteilte X._ am 26. Juni 2002 wegen versuchter vorsätzlicher Tötung, schwerer Körperverletzung und weiterer Delikte zu 10 1⁄4 Jahren Zuchthaus, abzüglich 899 Tage erstandener Haft. X._ hat gegen das Urteil des Geschworenengerichts eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde angemeldet. Am 18. Juli 2002 stellte er ein Gesuch um vorzeitigen Strafantritt. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich lehnte das Gesuch mit Verfügung vom 15. August 2002 ab. X._ reichte am 3. März 2003 erneut ein Gesuch um vorzeitigen Strafantritt ein. Mit Entscheid vom 17. März 2003 trat das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich auf das Gesuch nicht ein.
A. Das Geschworenengericht des Kantons Zürich verurteilte X._ am 26. Juni 2002 wegen versuchter vorsätzlicher Tötung, schwerer Körperverletzung und weiterer Delikte zu 10 1⁄4 Jahren Zuchthaus, abzüglich 899 Tage erstandener Haft. X._ hat gegen das Urteil des Geschworenengerichts eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde angemeldet. Am 18. Juli 2002 stellte er ein Gesuch um vorzeitigen Strafantritt. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich lehnte das Gesuch mit Verfügung vom 15. August 2002 ab. X._ reichte am 3. März 2003 erneut ein Gesuch um vorzeitigen Strafantritt ein. Mit Entscheid vom 17. März 2003 trat das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich auf das Gesuch nicht ein.
B. Gegen diesen Entscheid liess X._ mit Eingabe vom 18. April 2003 durch seinen Anwalt beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde erheben. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei ihm "sofort (und vorsorglich) der vorzeitige Strafantritt zu bewilligen". Als vorsorgliche Massnahme verlangt er, das Amt für Justizvollzug sei anzuweisen, ihm "sofort den vorzeitigen Antritt der Strafe gemäss Urteil des Geschworenengerichts des Kantons Zürich vom 26. Juni 2002 (Disp. Ziff. 2) zu gewährleisten". Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Einschluss der unentgeltlichen Rechtsvertretung sowohl für das bundesgerichtliche als auch für das vorinstanzliche Verfahren.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob es auf die bei ihm eingereichte staatsrechtliche Beschwerde eintreten kann (<ref-ruling> E. 1a S. 48; <ref-ruling> E. 1 S. 93, je mit Hinweisen).
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob es auf die bei ihm eingereichte staatsrechtliche Beschwerde eintreten kann (<ref-ruling> E. 1a S. 48; <ref-ruling> E. 1 S. 93, je mit Hinweisen).
2. Gemäss Art. 86 Abs. 1 OG ist die staatsrechtliche Beschwerde nur gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide zulässig, d.h. der Beschwerdeführer muss zunächst die kantonalen Rechtsmittel ergreifen, bevor er sich mit einer staatsrechtlichen Beschwerde an das Bundesgericht wenden kann.
Mit der vorliegenden Beschwerde wird der Entscheid des Amtes für Justizvollzug des Kantons Zürich vom 17. März 2003 angefochten. Gegen diesen Entscheid konnte, gemäss der ihm beigefügten Rechtsmittelbelehrung, Rekurs bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich eingereicht werden. Der Beschwerdeführer hat dieses Rechtsmittel nicht ergriffen, sondern direkt im Anschluss an den erstinstanzlichen Entscheid staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Er führt zur Begründung dieses Vorgehens aus, die Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzuges sei "nicht immer vorausgesetzt". Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts bedürfe es eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur, um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 87 OG mit staatsrechtlicher Beschwerde anfechten zu können. Ein solcher Nachteil "wäre vorliegend offensichtlich gegeben, wenn das Bundesgericht nicht korrigierend eingreifen könnte".
Es kann dahingestellt bleiben, ob die Abweisung eines Gesuchs um vorzeitigen Strafantritt einen End- oder einen Zwischenentscheid darstellt, denn auch die Anfechtung eines Zwischenentscheids nach Art. 87 OG setzt grundsätzlich die Letztinstanzlichkeit des kantonalen Entscheids voraus. Die Frage des nicht wieder gutzumachenden Nachteils ist daher im vorliegenden Fall ohne Belang.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann vom Erfordernis der Erschöpfung des kantonalen Instanzenzuges abgesehen werden, wenn die Ergreifung eines Rechtsmittels zwecklos und leere Formalität wäre oder wenn ernsthafte Zweifel über die Zulässigkeit eines kantonalen Rechtsmittels bestehen (<ref-ruling> E. 2b S. 265; <ref-ruling> E. 1 S. 213; <ref-ruling> E. 1a S. 363, je mit Hinweisen). Im hier zu beurteilenden Fall ist keine dieser Voraussetzungen gegeben. Der Beschwerdeführer hätte somit gegen den Entscheid des Amtes für Justizvollzug vom 17. März 2003 - entsprechend der dem Entscheid beigefügten Rechtsmittelbelehrung - Rekurs bei der Zürcher Justizdirektion einreichen müssen. Er hat dies unterlassen. Mangels Erschöpfung des kantonalen Instanzenzuges kann deshalb auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten werden. Damit wird das Begehren um Anordnung einer vorsorglichen Massnahme gegenstandslos.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann vom Erfordernis der Erschöpfung des kantonalen Instanzenzuges abgesehen werden, wenn die Ergreifung eines Rechtsmittels zwecklos und leere Formalität wäre oder wenn ernsthafte Zweifel über die Zulässigkeit eines kantonalen Rechtsmittels bestehen (<ref-ruling> E. 2b S. 265; <ref-ruling> E. 1 S. 213; <ref-ruling> E. 1a S. 363, je mit Hinweisen). Im hier zu beurteilenden Fall ist keine dieser Voraussetzungen gegeben. Der Beschwerdeführer hätte somit gegen den Entscheid des Amtes für Justizvollzug vom 17. März 2003 - entsprechend der dem Entscheid beigefügten Rechtsmittelbelehrung - Rekurs bei der Zürcher Justizdirektion einreichen müssen. Er hat dies unterlassen. Mangels Erschöpfung des kantonalen Instanzenzuges kann deshalb auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten werden. Damit wird das Begehren um Anordnung einer vorsorglichen Massnahme gegenstandslos.
3. Soweit der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich ersucht, ist auf das Gesuch nicht einzutreten.
Soweit sich das Begehren um unentgeltliche Rechtspflege auf das bundesgerichtliche Verfahren bezieht, ist es abzuweisen, da die staatsrechtliche Beschwerde von vornherein aussichtslos war (Art. 152 Abs. 1 OG). Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens wären gemäss Art. 156 Abs. 1 OG dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Weil aber zu vermuten ist, dass sie nicht erhältlich sein werden, sind keine Kosten zu erheben.
Soweit sich das Begehren um unentgeltliche Rechtspflege auf das bundesgerichtliche Verfahren bezieht, ist es abzuweisen, da die staatsrechtliche Beschwerde von vornherein aussichtslos war (Art. 152 Abs. 1 OG). Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens wären gemäss Art. 156 Abs. 1 OG dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Weil aber zu vermuten ist, dass sie nicht erhältlich sein werden, sind keine Kosten zu erheben.
4. Eine Kopie der staatsrechtlichen Beschwerde vom 18. April 2003 ist der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich zusammen mit einem Exemplar des bundesgerichtlichen Urteils zuzustellen, damit diese abklären kann, ob die Eingabe des Beschwerdeführers allenfalls als Rekurs entgegengenommen werden kann.

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Amt für Justizvollzug, Strafvollzugsdienst, und der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich (unter Beilage einer Kopie der staatsrechtlichen Beschwerde) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. April 2003
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: