Erwägungen:
1.
1.1. X._ stammt aus Marokko. Er arbeitete während mehrerer Saisons (jeweils vom März bis Ende November) als Tierpfleger für einen Schweizer Zirkus. Hierfür wurden ihm jeweils Kurzaufenthaltsbewilligungen erteilt. Aus wirtschaftlichen Gründen konnte X._ für die Saison 2013 nicht mehr beschäftigt werden. Seine letzte Kurzaufenthaltsbewilligung dauerte deshalb vom 2. März bis 28. November 2012.
1.2. Am 27. November 2012 ersuchte X._ das Migrationsamt des Kantons St. Gallen darum, seine Kurzaufenthaltsbewilligung zu verlängern bzw. ihm allenfalls eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; der Antrag wurde am 3. Mai bzw. 28. August 2013 abgewiesen.
1.3. Mit Verfügung vom 26. September 2013 lehnte das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen das Gesuch von X._ ab, sich während des Beschwerdeverfahrens weiter in der Schweiz aufhalten zu dürfen; gleichzeitig gab es dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit der Begehren keine Folge und setzte X._ Frist bis zum 10. Oktober 2013, um einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu leisten.
1.4. X._ beantragt mit Eingabe vom 28. Oktober 2013 vor Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen aufzuheben und seiner Eingabe aufschiebende Wirkung beizulegen; es sei ihm zudem zu gestatten, den Ausgang des Beschwerdeverfahrens im Inland abwarten zu dürfen. Für das kantonale wie das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. X._ macht geltend, der angefochtene Entscheid sei willkürlich und unverhältnismässig. Zudem beruhe er auf einer falschen Interessenabwägung.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Gegen den kantonalen Zwischenentscheid, den Ausgang eines allfälligen Bewilligungsverfahrens nicht in der Schweiz abwarten zu dürfen (Art. 17 Abs. 2 AuG), ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben, falls in vertretbarer Weise ein potenzieller Anspruch auf die beantragte Bewilligung geltend gemacht wird (vgl. die Urteile 2C_117/2012 vom 11. Juni 2012 E. 1.1; 2C_483/2009 vom 18. September 2009 E. 2; 2D_98/2008 vom 12. Dezember 2008 E. 1). Da es dabei um einen (Zwischen-) Entscheid über eine vorsorgliche Massnahme geht, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge haben kann (vgl. <ref-law>; Urteil 2C_483/2009 vom 18. September 2009 E. 2.2), prüft das Bundesgericht diesen nur daraufhin, ob er verfassungsmässige Rechte verletzt (vgl. <ref-law>). Deren angebliche Missachtung muss ausdrücklich und in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid verfassungsbezogen dargelegt werden (<ref-law>; "qualifizierte Rügepflicht"; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 311; <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer kann nicht in vertretbarer Weise behaupten, auf die von ihm beantragte Bewilligung einen gesetzlichen oder anderweitigen Anspruch zu haben (vgl. Art. 6 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE, SR 142.201]) : Ihm wurden jeweils Kurzaufenthaltsbewilligungen erteilt, die an seine saisonale Tätigkeit geknüpft waren. Sein letzter Arbeitsvertrag endete am 18. November 2012 und die hierfür erforderliche Bewilligung lief am 28. November 2012 aus, womit er das Land zu verlassen hatte und er sich seither lediglich gestützt auf die mit seinen Eingaben verbundenen vorsorglichen Massnahmen noch in der Schweiz aufhält. Der Beschwerdeführer hat als Drittstaatsangehöriger - anders als Vertragsausländer - ausländerrechtlich nach Ablauf seiner Bewilligung keinen Anspruch darauf, in der Schweiz nach einer anderen Arbeitsstelle suchen zu können, auch wenn er hier seit Ende seiner Beschäftigung arbeitslosenversicherungsrechtliche Taggelder bezieht bzw. bezogen hat (vgl. Art. 54 [Änderung des Aufenthaltszwecks] und Art. 55 ff. [Kurzaufenthaltsbewilligungen] VZAE).
3.
3.1. Verfügt er in der Schweiz über keinen Bewilligungsanspruch, steht ihm gegen den angefochtenen Zwischenentscheid über seinen prozeduralen Aufenthalt die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (<ref-law>). In der Bewilligungsfrage selber fehlt ihm indessen das für dieses Rechtsmittel erforderliche rechtlich geschützte Interesse (vgl. <ref-law>), da sich ein solches weder aus dem verfassungsrechtlichen Willkürver- noch dem Verhältnismässigkeitsgebot ableiten lässt (vgl. das Urteil 2D_26/2010 vom 13. Mai 2010 E. 2.2; <ref-ruling> ff.). Soweit der Beschwerdeführer auf die Pflicht einer sorgfältigen Prüfung seines Härtefallgesuchs (Art. 30 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 96 AuG) verweist, verkennt er, dass es dabei nicht um eine Anspruchs-, sondern eine Ermessensbewilligung geht, weshalb es ihm diesbezüglich ebenfalls an einem rechtlich geschützten Interesse und damit an der nach <ref-law> erforderlichen Beschwerdelegitimation fehlt. Verfahrensrechtlich kann seine Rüge nicht vom Sachentscheid getrennt werden, weshalb er sich auch nicht auf die sog. "Star"-Praxis berufen kann (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 2 S. 308).
3.2. In der Verweigerung seines prozeduralen Aufenthalts liegt unter diesen Umständen auch kein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur, wie er für die Anfechtbarkeit des entsprechenden Zwischenentscheids erforderlich wäre (vgl. <ref-law>; zur Abgrenzung von Teil- und Zwischenentscheid: <ref-ruling> E. 4.1.3 S. 481 mit Hinweisen; zum nicht wieder gutzumachenden Nachteil: <ref-ruling> E. 1.2.1; zum prozeduralen Aufenthalt: <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 2C_483/2009 vom 18. September 2009 E. 2.2). Der Umstand, dass er sich allenfalls vom Ausland aus auf dem hiesigen Arbeitsmarkt um eine neue Stelle bewerben muss und dies nicht in der Schweiz selber tun kann, ist lediglich ein faktischer und kein rechtlicher Nachteil, da dieser aufgrund der ausländerrechtlichen Regeln sämtliche Drittstaatsangehörigen in gleicher Weise trifft. Der vorliegende Fall kann nicht mit den in <ref-ruling> ff. bzw. im Urteil 2C_76/2013 vom 23. Mai 2013 behandelten Sachverhalten verglichen werden, da bei diesen jeweils ein Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK bzw. ein Eingriff in eine in der Schweiz gelebte familiäre Beziehung zur Diskussion stand (vgl. <ref-ruling> E. 1.1).
4.
Grundsätzlich zulässig ist das Vorbringen, der mit einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil verbundene Zwischenentscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung sei verfassungswidrig und verletze <ref-law> (vgl. Urteil 4A_100/2009 vom 15. September 2009 E. 1.3, nicht publ. in <ref-ruling> ff.). Es ist jedoch nicht ersichtlich, inwiefern der entsprechende Zwischenentscheid offensichtlich unhaltbar sein könnte: Die Bewilligung des Beschwerdeführers war zeitlich beschränkt und ist abgelaufen, wobei er - wie bereits ausgeführt worden ist - über keinen Bewilligungsanspruch verfügt. Unter diesen Umständen ist die Einschätzung, dass seine Eingabe keine ernst zu nehmenden Chancen auf Erfolg habe, nicht verfassungswidrig. Die Vorinstanz durfte ohne Verletzung von <ref-law> das Gesuch des Beschwerdeführers abweisen und für ihr Verfahren einen Kostenvorschuss erheben.
5.
5.1. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nicht einzutreten (E. 2). Soweit die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig ist (Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung im kantonalen Verfahren), erweist sie sich als offensichtlich unbegründet (E. 4). Das vorliegende Urteil kann ohne Weiterungen im Verfahren nach <ref-law> ergehen. Mit dem Entscheid in der Sache selber wird das Gesuch um vorsorgliche Anordnungen gegenstandslos.
5.2. Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Verfahrenskosten zu tragen (vgl. <ref-law>), da seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit der Begehren nicht entsprochen werden kann (vgl. <ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
1.2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar