Erwägungen:
1.
In einer ihn betreffenden Strafuntersuchung verlangte A._ mit "Rechtsverzögerungs-/Rechtsverweigerungsbeschwerde" vom 5. Januar 2015 u.a., Staatsanwalt B._ habe in den Ausstand zu treten. Im Zusammenhang mit diesem Begehren beantragte er, es sei "aufschiebende Wirkung" zu gewähren, womit er offenbar geltend machen wollte, der Staatsanwalt habe - entgegen der Regelung von <ref-law> - per sofort in den Ausstand zu treten. Mit Verfügung vom 10. Februar 2015 hat der Präsident der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich das in Bezug auf das Ausstandsgesuch gestellte Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung mit Blick auf die genannte Bestimmung abgewiesen.
2.
Mit Eingabe vom 23. Februar (Postaufgabe: 24. Februar) 2015 führt A._ Beschwerde ans Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung vom 10. Februar 2015 sei aufzuheben. Sodann stellt er verschiedene weitere Begehren, welche in erster Linie die Strafuntersuchung selber bzw. - über die Frage der aufschiebenden Wirkung hinausgehend - das obergerichtliche Hauptverfahren betreffen.
Das Bundesgericht hat darauf verzichtet, Vernehmlassungen zur Beschwerde einzuholen.
3.
3.1. Die angefochtene obergerichtliche Verfügung betrifft einzig die Frage der aufschiebenden Wirkung. Es handelt sich dabei klarerweise um einen Zwischenentscheid im Rahmen der gegen den Beschwerdeführer laufenden Strafuntersuchung, der das diesbezügliche Verfahren nicht abschliesst.
3.2. Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu <ref-law>), ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss der Bestimmung des <ref-law> zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
Dabei ist es Sache des Beschwerdeführers, die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> darzulegen. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, von Amtes wegen Nachforschungen anzustellen, inwiefern ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> gegeben sein sollte (s. etwa <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4).
Der Beschwerdeführer äussert sich zu den Beschwerdevoraus-setzungen gemäss <ref-law> in keiner Weise. Er legt nicht dar, inwiefern ihm durch die angefochtene Verfügung ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> drohen sollte. Ein solcher ist denn auch sonstwie nicht ersichtlich.
Was der Beschwerdeführer über die Frage der aufschiebenden Begehren hinausgehend verlangt und vorträgt, geht nach dem Gesagten über den Streitgegenstand gemäss der angefochtenen obergerichtlichen Verfügung hinaus. Die betreffenden Vorbringen betreffen die Hauptsache des vor Obergericht hängigen Verfahrens selber und werden im Rahmen des weiteren kantonalen Beschwerdeverfahrens zu prüfen sein.
Auf die Beschwerde ist daher bereits mangels einer hinreichenden Begründung im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
Mit dem vorliegenden Entscheid wird das im bundesgerichtlichen Verfahren gestellte Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
4.
Bei somit offensichtlich aussichtsloser Beschwerde ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. amtliche Verbeiständung abzuweisen (<ref-law>).
Bei den gegebenen Verhältnissen kann indes davon abgesehen werden für das vorliegende Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. amtlichen Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, sowie Rechtsanwalt Markus Lienert, Zürich, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp