Faits:
A. Par arrêt du 9 juin 2009, la Cour d'assises du canton de Genève a condamné X._, pour tentative d'assassinat, à 7 ans de privation de liberté. Saisie d'un pourvoi du condamné, la Cour de cassation genevoise l'a écarté par arrêt du 25 septembre 2009.
B. Ce dernier arrêt retient, en substance, ce qui suit.
B.a Requérants d'asile, originaires d'Erythrée, X._ et Y._ étaient hébergés dans le même foyer. Au début février 2008, un menu litige les a opposés au sujet d'un lecteur MP3, lequel s'est apaisé par l'engagement de Y._ de ne plus entrer dans la chambre de X._.
Le 26 février 2008 vers 21 heures, X._ s'est rendu avec des camarades dans la chambre de Y._, alors absent, pour y prendre leur repas. A son arrivée, environ une heure plus tard, Y._ a fait remarquer à X._, sur le ton de la plaisanterie, que celui-ci se permettait de venir dans sa chambre tout en lui interdisant de venir dans la sienne. Il s'est attiré la menace de se faire "casser les dents". Les deux hommes ont été séparés avant d'échanger des coups.
Peu après, X._ s'est rendu dans la cuisine, où il s'est emparé d'un couteau de boucher, qu'il a dissimulé dans sa veste. Il est ensuite revenu auprès de Y._ et lui a proposé de sortir afin de "clarifier les choses". Une fois à l'extérieur du bâtiment, les deux hommes se sont éloignés de l'enceinte du foyer, cheminant côte à côte le long de la route. Leur discussion a notamment porté sur l'inutilité de se battre pour régler leurs problèmes. A un moment donné, X._ a déclaré à son interlocuteur: "il ne faut pas t'inquiéter pour tes dents, car c'est la vie que je vais te prendre". Joignant aussitôt le geste à la parole, il a porté un coup de couteau au ventre de Y._, provoquant une plaie au niveau du flanc gauche, une perforation de l'estomac avec saignement artériel important, une lésion muqueuse hémorragique et une section quasi-complète du colon transversale en son milieu.
Y._ a pris la fuite en direction de l'entrée latérale du foyer, en contenant de la main ses viscères, qui lui sortaient du ventre. Son agresseur l'a toutefois poursuivi, l'arme à la main, pour tenter de le poignarder par derrière. Il a réussi à lui planter la lame du couteau dans la cuisse gauche et à le frapper de plusieurs coups de poing.
A bout de forces et se tenant le ventre, la victime s'est affaissée sur les escaliers au bas de la porte. Parvenu à sa hauteur, son agresseur lui a déclaré, en brandissant le couteau au-dessus de sa tête, qu'il allait la tuer. Alertés par les cris de la victime, les résidents du foyer se sont penchés par les fenêtres. Sur quoi, la victime a tenté de s'enfuir en s'engouffrant dans le bâtiment par une des fenêtres menant au sous-sol. Soutenue par les personnes accourues sur les lieux, elle s'est effondrée, presque mourante, au bas des escaliers. Son agresseur l'a alors rejointe, l'a insultée, lui a craché dessus et s'est acharné sur elle à coups de poing et à coups de pied portés au ventre. Après quoi, il s'est mis à fumer une cigarette.
La victime n'a dû la vie sauve qu'à l'intervention d'un agent de sécurité du foyer et au fait que la lame du couteau de l'agresseur s'était désolidarisée du manche. Transportée à l'hôpital, elle a subi avec succès une importante intervention de chirurgie viscérale. Selon le médecin légiste, les lésions qui lui ont été occasionnées étaient de nature, en l'absence de soins urgents, à entraîner la mort à bref délai.
B.b Au terme d'une appréciation des preuves, la Cour d'assises a retenu que X._ avait agi dans l'intention de tuer la victime. Il s'en était pris à elle sans mobile déterminé. Il l'avait frappée et poursuivie avec acharnement et cruauté. L'ensemble de son comportement dénotait une absence particulière de scrupules. Les faits devaient dès lors être qualifiés de tentative d'assassinat, au sens des art. 22 et 112 CP.
B.c La cour de cassation cantonale a écarté, comme irrecevable, le grief d'arbitraire dans l'établissement des faits, au motif que le recourant n'avait formulé que des critiques appellatoires. Elle a rejeté celui pris d'une violation de l'<ref-law>, considérant que les conditions de cette disposition étaient réalisées.
C. X._ forme un recours en matière pénale. Invoquant une violation de l'<ref-law>, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué, en sollicitant l'assistance judiciaire.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1. Bien qu'il n'invoque formellement qu'un grief de violation de l'<ref-law>, le recourant se plaint en réalité aussi d'une constatation arbitraire des faits, comme cela ressort du chiffre II.1 de son mémoire, de ses références à la jurisprudence relative à l'arbitraire et plus généralement de la motivation de son recours, dans lequel il s'en prend très largement aux faits retenus.
2. La notion d'arbitraire a notamment été rappelée dans les <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148 et 133 I 149 consid. 3.1 p. 153, cités par le recourant et auxquels il suffit donc de renvoyer. Pour être recevable, le grief d'arbitraire, qui revient à invoquer une violation de l'art. 9 Cst., doit toutefois être motivé conformément aux exigences de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287). Or, les nombreuses critiques du recourant à l'encontre des faits retenus ne satisfont nullement à ces exigences. Elles se réduisent à une rediscussion purement appellatoire des faits et de l'appréciation des preuves sur laquelle ils reposent. Partant, le grief est irrecevable.
3. Le recourant soutient que le comportement qui lui est reproché est constitutif de tentative de meurtre, et non de tentative d'assassinat.
3.1 L'assassinat (<ref-law>) est une forme qualifiée d'homicide intentionnel, qui se distingue du meurtre ordinaire (<ref-law>) par le fait que l'auteur a tué avec une absence particulière de scrupules. Pour caractériser cette dernière notion, la loi évoque le cas où les mobiles, le but ou la façon d'agir de l'auteur sont particulièrement odieux, mais cet énoncé n'est pas exhaustif. Pour déterminer si l'on se trouve en présence d'un assassinat, il faut procéder à une appréciation d'ensemble des circonstances externes et internes de l'acte (mode d'exécution, mobile, but, etc.). Les antécédents et le comportement de l'auteur après l'acte sont aussi pertinents, s'ils ont une relation directe avec cet acte et sont révélateurs de la personnalité de l'auteur. Il y a assassinat lorsqu'il résulte de l'ensemble de ces circonstances que l'auteur a fait preuve d'un mépris complet pour la vie d'autrui. Alors que le meurtrier agit pour des motifs plus ou moins compréhensibles, généralement dans une grave situation conflictuelle, l'assassin est une personne qui agit de sang-froid, sans scrupules, avec un égoïsme primaire et odieux et sans tenir aucun compte de la vie d'autrui. Chez l'assassin, l'égoïsme l'emporte en général sur toute autre considération; il est souvent prêt, pour satisfaire des besoins égoïstes, à sacrifier un être humain dont il n'a pas eu à souffrir (<ref-ruling> consid. 1a p. 13/14 et les arrêts cités).
3.2 L'application de la loi matérielle s'examine sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. <ref-law>). Relèvent notamment du fait, les constatations relatives au contenu de la conscience et de la volonté, aux mobiles et aux buts de l'auteur, à la manière dont il a préparé et accompli son acte ou encore à son comportement après l'acte.
Le recourant fonde essentiellement son grief sur l'allégation de faits non retenus, respectivement sur une critique de ceux qui l'ont été. Dans cette mesure, son moyen est irrecevable.
3.3 Sur le vu des faits constatés par l'autorité précédente et de la jurisprudence relative à l'<ref-law> susrappelée, l'arrêt attaqué ne viole en rien le droit fédéral en tant qu'il retient une tentative d'assassinat, et non de meurtre. Le recourant n'avait aucune raison sérieuse de s'en prendre à la victime. Il a agi gratuitement, au mieux pour un motif futile. Après s'être muni d'un couteau de boucher, qu'il a dissimulé dans sa veste, il a attiré la victime à l'extérieur du foyer, prétextant vouloir "clarifier les choses". Dans le cadre de la discussion engagée, il lui a soudainement planté le couteau dans le ventre. Les graves lésions qu'il lui a ainsi causées ne l'ont nullement retenu de la poursuivre et de la frapper à nouveau, une première fois alors quelle fuyait, puis une seconde fois, alors qu'elle s'était affaissée à bout de forces. Le spectacle de la souffrance de la victime n'a eu aucun effet dissuasif sur lui. Il n'a même pas hésité, alors qu'elle gisait au sol éventrée et baignant dans son sang, à allumer une cigarette et à fumer devant elle, non sans lui avoir préalablement craché dessus. Par la gratuité de son acte, par la cruauté et l'acharnement dont il a fait preuve ainsi que par la désinvolture qu'il a affichée, il a manifesté le mépris le plus complet pour la vie de la victime, qui, selon les faits retenus, n'a dû la vie sauve qu'à l'intervention d'un agent de sécurité du foyer et au fait que la lame du couteau s'était désolidarisée du manche. Le recourant a ainsi agi sans scrupules, de manière odieuse et avec un égoïsme primaire, adoptant un comportement typique de l'assassinat. Il n'est d'ailleurs pas à même de le contester sur la base des faits retenus, dont il est irrecevable à s'écarter, comme il le fait très largement, si ce n'est exclusivement.
4. Le recours doit ainsi être rejeté dans la mesure où il est recevable. Comme ses conclusions étaient d'emblée vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne saurait être accordée (cf. <ref-law>). Le recourant devra donc supporter les frais (<ref-law>), dont le montant sera toutefois arrêté en tenant compte de sa situation financière. Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimé, qui n'a pas été amené à se déterminer sur le recours.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1600 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de cassation du canton de Genève.
Lausanne, le 3 décembre 2009
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Favre Angéloz