Faits :
A.
A._ présente aux membres inférieurs des séquelles d'un accident de la circulation survenu en 1984. Par décision du 28 juillet 1995, l'assureur-accidents de la prénommée, Elvia Société suisse d'assurances Zurich (aujourd'hui: Allianz Suisse Société d'Assurances SA; ci-après: Allianz) lui a dénié le droit à une rente d'invalidité au motif qu'elle avait le statut de "ménagère sans activité lucrative". Cette décision n'a pas été attaquée. L'assurée a cependant été mise au bénéfice de prestations de l'assurance-invalidité (quart de rente, puis rente entière, supprimée en 2009; cette suppression a donné lieu à un arrêt du Tribunal fédéral du 15 novembre 2011 par lequel la cause a été renvoyée à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision).
L'assurée ayant à nouveau sollicité une rente de l'assurance-accidents en 2005, en faisant valoir qu'elle aurait désormais exercé une activité professionnelle vu l'âge de ses enfants, Allianz a confié une expertise au professeur B._, à l'époque médecin-chef à la clinique de chirurgie orthopédique de l'hôpital C._ (cf. rapport d'expertise du 18 octobre 2007). Elle a en outre versé au dossier un rapport d'expertise du docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie auprès du service médical régional de l'assurance-invalidité (cf. rapport du 26 mars 2009). Allianz a écarté l'expertise du professeur B._ au motif qu'elle n'était pas probante parce qu'elle comportait des contradictions et ne répondait pas aux questions décisives, contrairement à celle du docteur D._, laquelle était au demeurant plus récente. Se fondant sur cette dernière, Allianz a derechef refusé l'octroi de prestations par décision du 27 avril 2012.
A._ a formé opposition à cette décision le 15 mai 2012. Par lettres des 3 et 16 avril 2013, son mandataire a sommé Allianz de lui indiquer à quelle date une décision sur opposition serait rendue. Le 16 avril 2013, Allianz a répondu que l'opposition avait été reçue le 16 mai 2012 mais qu'elle n'avait été transmise à son service juridique que le 3 avril 2013. Par lettre du 30 mai 2013, elle a informé le mandataire de l'assurée qu'elle avait décidé de procéder à une nouvelle expertise médicale et lui a soumis le nom de trois experts, spécialistes en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (docteurs E._, F._ et G._), ainsi qu'une liste de questions à poser à l'expert, en l'invitant à se déterminer jusqu'au 1 er juillet 2013.
Le 4 juin 2013, A._ a déposé devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de Neuchâtel un recours pour déni de justice en concluant à ce que celui-ci soit admis et à ce qu'Allianz soit condamnée à lui verser une rente d'invalidité d'au moins 50 % dès le 1 er avril 1990 avec intérêts.
Par décision incidente du 26 juin 2013, Allianz a ordonné une expertise médicale qu'elle a confiée au docteur E._.
B.
L'assurée a recouru le 17 juillet 2013 contre cette décision incidente devant la juridiction cantonale en concluant à son annulation.
Par arrêt du 9 septembre 2013 (cause CDP.2013.202-AA/amp), la juridiction cantonale a rejeté le recours contre la décision incidente. Par un autre arrêt du même jour (cause CDP.2013.147-PROC/amp), elle a ordonné le classement du recours pour déni de justice dans la mesure où il n'était pas irrecevable, allouant à l'assurée une indemnité de dépens de 250 fr. à la charge de l'intimée.
C.
Par écriture du 10 octobre 2013, A._ a interjeté un recours en matière de droit public contre l'arrêt cantonal rendu dans la cause CDP.2013.202-AA/amp (affaire enregistrée sous la référence 8C_732/2013). Par une même écriture rédigée en des termes identiques, elle a également recouru contre l'arrêt cantonal rendu dans la cause CDP.2013.147-PROC/amp (affaire enregistrée sous la référence 8C_763/2013). Elle a conclu à l'annulation de ces jugements, à ce qu'Allianz soit condamnée "au titre de déni de justice" ainsi qu'au versement d'une rente d'invalidité de 50 % dès le 1 er avril 1990, subsidiairement dès le 1 er septembre 2005.
Allianz a conclu au rejet de chacun de ces recours. Elle a en outre demandé l'annulation du chiffre 3 du dispositif de l'arrêt rendu dans la cause CDP.2013.147-PROC/amp, par lequel la juridiction cantonale a mis à sa charge une indemnité de dépens de 250 fr. en faveur de la recourante.

Considérant en droit :
1.
Dans la mesure où les recours concernent les mêmes parties et le même complexe de faits, il y a lieu de joindre les causes 8C_732/2013 et 8C_763/2013 et de statuer sur celles-ci dans un seul arrêt.
2.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 331).
3.
3.1. L'intimée n'a pas recouru contre l'arrêt par lequel la juridiction cantonale a classé le recours pour déni de justice. Le recours joint ayant été aboli avec l'entrée en vigueur de la LTF, l'intimée ne peut pas demander que la décision querellée soit modifiée à son avantage. Sa conclusion tendant à la suppression de l'allocation de dépens mise à sa charge est par conséquent irrecevable ( BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2 e éd. 2014, n° 33 ad <ref-law>).
3.2. La conclusion de la recourante qui tend à l'octroi d'une rente d'invalidité de 50 % est d'emblée irrecevable car il n'appartient pas au Tribunal fédéral de se prononcer en l'absence de décision rendue sur ce point par la juridiction cantonale.
4.
L'arrêt attaqué rejetant le recours contre la décision incidente du 26 juin 2013 (cause CDP.2013.202-AA/amp) constitue une décision incidente au sens de l'<ref-law>. Le recours contre une telle décision n'est recevable que si celle-ci peut causer un préjudice irréparable (al. 1 let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (al. 1 let. b). Si le recours n'est pas recevable au regard de ces conditions ou s'il n'a pas été utilisé, la décision incidente peut être attaquée par un recours contre la décision finale dans la mesure où elle influe sur le contenu de celle-ci (al. 3).
4.1. Une décision relative à l'administration de preuves n'est en principe pas apte à causer un préjudice irréparable (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 483; cf. aussi arrêt 9C_652/2011 du 19 janvier 2012 consid. 3.1, in SVR 2012 IV n° 40 p. 151), qu'il s'agisse de décisions refusant ou, comme en l'espèce, ordonnant la mise en oeuvre d'un moyen de preuve déterminé. Le Tribunal fédéral l'a récemment rappelé dans le domaine de l'assurance-invalidité en déclarant - en dépit des principes et des correctifs établis par l'<ref-ruling> - que les jugements cantonaux et du Tribunal administratif fédéral sur des recours contre des décisions des offices AI concernant la mise en oeuvre d'expertises médicales ne sont pas susceptibles d'être déférés au Tribunal fédéral, à moins que des motifs de récusation aient été tranchés (cf. <ref-ruling> consid. 1-4). Il en va de même quand le recourant fait valoir que la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise équivaut à une " second opinion " (cf. arrêt 9C_207/2012 du 3 juillet 2013 consid. 1.2.1, non publié in <ref-ruling>). En l'espèce, il n'y a pas lieu de s'écarter de ces principes.
On ne voit au demeurant pas en quoi le fait d'ordonner une nouvelle expertise porterait atteinte à la personnalité ou à l'intégrité corporelle de la recourante, comme le soutient cette dernière. Celle-ci ne conteste du reste pas la nécessité d'un complément d'instruction puisqu'elle propose que celui-ci soit réalisé sous la forme d'un complément d'expertise confié au professeur B._.
4.2. Il convient encore d'examiner, comme le soutient la recourante, si l'admission du recours pourrait conduire immédiatement à une décision finale permettant d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse.
La première de ces deux conditions cumulatives n'est manifestement pas remplie en l'espèce. En effet, quelle que soit l'issue du recours, il incombera à l'intimée de rendre une nouvelle décision en se prononçant sur un éventuel droit de la recourante à une rente d'invalidité; il est donc impossible pour le Tribunal fédéral de mettre fin à la procédure pendante au fond (cf. aussi supra consid. 3.2). La première condition de l'<ref-law> n'étant pas réalisée, il n'est pas nécessaire d'examiner la seconde condition. En conséquence, le recours est irrecevable.
5.
La recourante demande en outre la condamnation d'Allianz pour déni de justice, au motif que la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise prolongerait une nouvelle fois la durée de la procédure.
On rappellera que la juridiction cantonale a déjà reconnu l'existence d'un retard injustifié de la part de l'intimée dans le traitement de l'opposition de la recourante, lequel a justifié le versement d'une indemnité de dépens en faveur de cette dernière. La question de savoir si le recours est recevable lorsque la partie recourante fait valoir qu'une expertise occasionnera un retard injustifié (cf. arrêt 8C_1014/2012 du 3 juillet 2013 consid. 1, in SVR 2013 UV n° 31 p. 108) n'a pas à être examiné ici plus avant. En effet, le simple allongement de la procédure en raison d'une expertise, en l'occurrence monodisciplinaire, est un inconvénient de fait qui n'est pas propre, à lui seul, à causer un préjudice irréparable et la recourante, au demeurant, ne rend pas vraisemblable que cet allongement entraînera comme tel une violation du principe de la célérité, c'est-à-dire du droit de tout justiciable à ce qu'il soit statué sur son droit dans un délai raisonnable (cf. <ref-ruling> consid. 6 p. 191). Sur ce point également, le recours est irrecevable.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante qui succombe (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 8C_732/2013 et 8C_763/2013 sont jointes.
2.
Les recours sont irrecevables.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 19 septembre 2014
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Leuzinger
La Greffière : Fretz Perrin