Sachverhalt:
A.
X._ (Ehemann, geb. 1961) und Y._ (Ehefrau, geb. 1982) heirateten am 3. Mai 2002. Sie haben drei Töchter (geb. 2005, 2007, 2008).
B.
B.a. Am 25. August 2011 leitete die Ehefrau beim Kreisgericht Rheintal (SG) ein Eheschutzverfahren ein. In dessen Verlauf schlossen die Parteien am 11./14. Juni 2012 eine vorläufige Vereinbarung, namentlich über die Betreuung der Töchter.
B.b. Das Gericht holte einen Sozialbericht bei der zuständigen Vormundschaftsbehörde ein, welcher am 4. August 2012 einging. Der Familienrichter des Kreisgerichts hörte am 23. August 2012 die älteste Tochter persönlich an.
B.c. Mit Eheschutzurteil vom 14. November 2012 wies das Kreisgericht die eheliche Liegenschaft der Ehefrau zu, wobei der Ehemann bis spätestens am 30. November 2012 auszuziehen habe (Ziff. 2). Es stellte die Töchter unter die Obhut der Mutter (Ziff. 3), sprach dem Vater ein 14-tägliches Wochenendbesuchsrecht sowie drei Wochen Ferien pro Jahr zu (Ziff. 4) und errichtete eine Beistandschaft gemäss <ref-law> (Ziff. 5). Weiter verpflichtete das Gericht den Ehemann ab 1. Dezember 2012 zur Bezahlung eines Unterhaltsbeitrags von Fr. 600.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen an jede Tochter sowie Fr. 715.-- an die Ehefrau (Ziff. 6).
C.
C.a. Hiergegen erhob der Ehemann am 26. November 2012 Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen. Er verlangte die Aufhebung der Ziffern 2, 3, 4 und 6 des erstinstanzlichen Urteils. Das Haus sei ihm zuzuweisen, wobei die Ehefrau dieses innert 2 Wochen ab Rechtskraft des Entscheides zu verlassen habe. Die Kinder seien unter seine Obhut zu stellen, der Ehefrau sei entsprechend ein Besuchsrecht einzuräumen und diese sei zu verpflichten, an den Unterhalt der Töchter einen Betrag in noch festzulegender Höhe zu entrichten. Im Hinblick auf den letzten Punkt beantragte er, die Ehefrau sei zur Auskunft über ihre Erwerbstätigkeit, ihr Einkommen und Vermögen sowie zur Edition entsprechender Dokumente zu verpflichten. Seiner Berufung sei aufschiebende Wirkung zu gewähren. Die Zuweisung der Liegenschaft, eventualiter auch ein ausgedehnteres Besuchsrecht, sei überdies superprovisorisch anzuordnen. Schliesslich ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege.
C.b. Mit Verfügung vom 29. November 2012 erteilte das Kantonsgericht in Bezug auf die Ziffern 2, 3, 4 und 6 des erstinstanzlichen Urteils superprovisorisch die aufschiebende Wirkung. Es wies darauf hin, dass weiterhin die Parteivereinbarung vom 11./14. Juni 2012 gelte (vgl. B.a).
In ihrer Berufungsantwort vom 10. Dezember 2012 schloss die Ehefrau auf Abweisung der Berufung. Sie ersuchte ebenfalls um unentgeltliche Rechtspflege. Beide Parteien reichten weitere Schriften ein.
C.c. Das Kantonsgericht gewährte beiden Parteien die unentgeltliche Rechtspflege, wies aber die Berufung mit Entscheid vom 2. April 2013 ab, soweit es darauf eintrat. Es setzte dem Ehemann Frist, bis spätestens 30. April 2013 aus der ehelichen Liegenschaft auszuziehen, und es verpflichtete ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung zugunsten der Ehefrau.
D.
D.a. Vor Bundesgericht verlangt der Ehemann (Beschwerdeführer) die Aufhebung dieses Entscheides und wiederholt im Wesentlichen die im kantonalen Verfahren gestellten Anträge (Abänderung der Ziff. 2, 3, 4 und 6 des erstinstanzlichen Urteils, vgl. C.a). Zudem seien die kantonalen Gerichts- und Parteikosten neu zu verlegen. Seiner Berufung sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Die Obhut für die Kinder sei ihm als vorsorgliche Massnahme per sofort zu übertragen oder ihm zumindest ein ausgedehnteres Besuchsrecht zu gewähren. Nur eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.
D.b. Am 2. Mai 2013 gewährte das Bundesgericht bezüglich Auszug des Beschwerdeführers aus der Liegenschaft vorerst superprovisorisch einen Aufschub.
Die Ehefrau (Beschwerdegegnerin) schloss mit Eingabe vom 8. Mai 2013 auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Sie beantragte ihrerseits die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Stellungnahme zum beantragten Aufschub.
D.c. Mit Verfügung vom 16. Mai 2013 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde für folgende Ziffern des erstinstanzlichen Urteils die aufschiebende Wirkung erteilt: 2 (Nutzung der ehelichen Liegenschaft), 3 (Zuteilung der Obhut über die Töchter), 4 (Besuchsrecht) und 6 (Unterhalt des Beschwerdeführers an die Kinder). Im Übrigen wies er das Gesuch um aufschiebende Wirkung und vorsorgliche Massnahmen ab.
In der Sache selbst hat das Bundesgericht keine Vernehmlassungen eingeholt.
D.d. Mit Postaufgabe vom 16. August 2013 reichte der Beschwerdeführer unaufgefordert weitere Beweismittel ein und stellte einen Zeugenantrag. Die Beschwerdegegnerin nahm am 28. August 2013 dazu Stellung. Am 13. September 2013 erfolgte eine weitere unaufgeforderte Noveneingabe des Beschwerdeführers.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzliches Urteil in einer streitwertunabhängigen Zivilsache (Art. 72 Abs. 1, Art. 74, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>), womit die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist.
1.2. Weil Eheschutzentscheide vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> darstellen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 397), kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Die Aufhebung eines angefochtenen Entscheids rechtfertigt sich erst, wenn sich dieser nicht nur in der Begründung als unhaltbar erweist, sondern er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 5; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 319).
1.3. Im Übrigen dürfen bei der Beschwerde in Zivilsachen keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (<ref-law>). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395).
Der Beschwerdeführer beruft sich in seiner Eingabe vom 16. August 2013 auf Tatsachen, welche sich nach dem Entscheid der Vorinstanz zugetragen haben (Gespräch mit Beistand, Zwischenverdienst) und die damit zum Vornherein nicht zu berücksichtigen sind. Dasselbe gilt für die nachträglich eingereichten Beweismittel und den Antrag auf Anhörung des Beistands als Zeuge, welche überdies bereits infolge der abgelaufenen Beschwerdefrist unzulässig sind. Ebenso unzulässig ist die zweite unaufgeforderte Eingabe vom 13. September 2013. Die dort vorgebrachten Noven sind im Übrigen auch nicht entscheidrelevant.
2.
Umstritten ist vorliegend in erster Linie die Obhutszuteilung.
2.1. Das mit der "Regelung des Getrenntlebens" (Marginalie zu Art. 176ZGB) befasste Eheschutzgericht trifft nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses die nötigen Massnahmen, wenn die Ehegatten minderjährige Kinder haben (<ref-law>). Für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil gelten grundsätzlich die gleichen Kriterien wie im Scheidungsfall. Nach der Rechtsprechung hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Vorab muss die Erziehungsfähigkeit der Eltern geklärt werden. Ist diese bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, namentlich die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung undechter Zuneigung getragen sein sollte (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 209; zuletzt Urteil 5A_157/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen, in: FamPra.ch 2012, 1094).
Bei der Beurteilung der für die Obhutszuteilung massgebenden Kriterien verfügt das Sachgericht über grosses Ermessen (<ref-ruling> E. 2 und E. 3 S. 319 ff.). Auf Willkürbeschwerde hin kann das Bundesgericht deshalb nur eingreifen, wenn das Sachgericht grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Der Ermessensentscheid muss sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerechterweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99 mit weiteren Hinweisen; vgl. zum Ganzen zuletzt Urteil 5A_157/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3.1, in: FamPra.ch 2012, 1094).
2.2. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die Parteien während desehelichen Zusammenlebens eine klassische Rollenteilung lebten. Der Ehemann ging einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit nach, während die Ehefrau die Kinder betreute. Die Parteien trennten sich am 25. August 2011, was aus der Trennungsvereinbarung sowie den ersten übereinstimmenden Aussagen der Parteien hervorgehe. Die Beschwerdegegnerin zog in der Folge zu ihrem neuen Lebenspartner. Ab Oktober 2011 bis April 2012 war der Beschwerdeführer krankgeschrieben und in der Folge arbeitslos. Für diese Zeit stellte die Vorinstanz sich widersprechende Aussagen der Parteien in Bezug auf die Betreuung der Kinder fest. Ab diesem Zeitpunkt wolle der Vater - mit Hilfe seiner Eltern - praktisch alleine für die Kinder gesorgt haben. Die Beschwerdegegnerin behaupte aber ihrerseits, die Kinder weiterhin grösstenteils alleine betreut zu haben. Mit Vereinbarung vom 11./14. Juni 2012 einigten sich die Parteien dann auf eine Kinderbetreuungsregelung, wonach die Töchter im Haus in A._ wohnen und die Eltern sie dort abwechslungsweise betreuen sollten (Vater: Sonntag Abend bis Mittwoch Morgen und Freitag Abend bis Samstag Morgen; Mutter: Mittwoch Morgen bis Freitag Abend; Wochenenden abwechslungsweise), wobei diese Regelung bis heute praktiziert werde.
Die Vorinstanz erwog, dass gemäss Sozialbericht der Jugendhilfekommission B._-A._-C._ vom 4. August 2012 beiden Eltern die Voraussetzungen für eine angemessene Erziehung der Kinder zu attestieren seien. Beide erzögen die Kinder entsprechend ihrer eigenen persönlichen Neigung gut. Es bestünden normale Eltern-Kind-Beziehungen; eine extreme Bindungsneigung zum einen oder anderen Elternteil sei nicht erkennbar. Im Resultat spreche sich der Sozialbericht für eine Zuteilung der Obhut an den Vater aus, weil dieser auf die Weiterentwicklung der Kinder mehr Wert als auf das Ausleben der eigenen Interessen lege, seine soziale Verankerung in der Dorfgemeinschaft als Einheimischer höher sei, er bisher die Schulkontakte wahrgenommen habe und zudem über bessere Drittbetreuungsmöglichkeiten verfüge (Grosseltern). Wie die erste Instanz kam die Vorinstanz dann aber zum Schluss, dass die Obhut aufgrund der Möglichkeit der persönlichen Betreuung der Mutter zuzuweisen sei. Sie verwies hierzu auch auf die Ausführungen der ersten Instanz, welche die Abweichung vom Sozialgutachten ausführlich begründet habe.
Zusammengefasst befand die Vorinstanz, dass es der Beschwerdegegnerin nicht als mangelndes Interesse an den Kindern ausgelegt werden könne, wenn sie sich vermehrt nach C._ (zum Lebenspartner) zurückgezogen habe, sondern dies in den ehelichen Spannungen wurzle. Es bestünden auch keine Anhaltspunkte, dass sie der Weiterentwicklung der Kinder nicht genügend Bedeutung zumesse. Sie lasse sie beispielsweise einen Thai-Kurs besuchen und im Übrigen gebe es externe Unterstützungsangebote. Die vom Ehemann ins Feld geführten Vorfälle, welche zu einem Strafbefehl gegen die Ehefrau wegen Tätlichkeit geführt hätten, schienen auf Überforderung mit der Trennungssituation und dem darauf folgenden Unvermögen zur sachlichen Kommunikation beider Ehegatten zurückzuführen sein, und stellten daher die Erziehungsfähigkeit keines der Ehegatten in Frage. Die Ehefrau wolle die während des Ehelebens praktizierte Aufgabenteilung beibehalten und für die Kinder da sein. Der zur Zeit arbeitslose Ehemann wolle die Kinder zwar ebenfalls selbst betreuen und suche deshalb lediglich eine 60%-Stelle; während seiner Arbeitszeit sollten sich die Grosseltern um die Kinder kümmern. Im Eheschutzverfahren sei indes grundsätzlich an der Rollenteilung während des Zusammenlebens anzuknüpfen. Für einseitige Änderungen, wie dies der Ehemann vorhabe, bestehe kein Raum. Dieser könne wie früher vollzeitlich arbeiten, für eine Reduktion des Pensums auf 60% bestehe keine Rechtfertigung. Im Übrigen könnte dieser die Kinder selbst bei teilzeitlicher Beschäftigung nur unter Mitwirkung seiner Eltern, also Drittpersonen, umsetzen. Die Mutter anderseits verfüge über keine Ausbildung und es sei fraglich, ob sie eine Arbeit finden würde. Dies könne von ihr mit drei Kindern auch nicht verlangt werden. Die persönliche Betreuung durch eine einzige Hauptbezugsperson, was die Mutter gewährleisten könne, sei im Blick auf das Kindeswohl vorzuziehen.
Eine geteilte Obhut mit abwechselnder (hälftiger) Betreuung falle ausser Betracht, weil die Parteien nicht in dem Masse zusammenarbeiten könnten, wie dies hierfür nötig wäre.
2.3. Der Beschwerdeführer rügt den Obhutsentscheid in verschiedener Hinsicht als willkürlich.
2.3.1. Willkür sieht er namentlich darin, dass die Vorinstanz von der Empfehlung des Sozialberichts abgewichen ist.
Der vom Beschwerdeführer ins Feld geführte Sozialbericht beschränkt sich auf eine knapp 4-seitige Kurzeinschätzung der familiären Verhältnisse und der verschiedenen Zuteilungskriterien. Die eigentliche Empfehlung bezüglich Obhutszuteilung erfolgt in wenigen Zeilen und ohne fundierte Interessenabwägung. Die Vorinstanzen nahmen demgegenüber eine detaillierte Abwägung vor und begründeten entgegen den Behauptungen des Beschwerdeführers ausführlich, weshalb sie dabei zu einem anderen Schluss kamen als der Sozialbericht. Auf die (per se einleuchtenden) Erwägungen der Vorinstanz geht der Beschwerdeführer nicht ein, er zeigt namentlich nicht auf, inwiefern diese qualifiziert falsch sein sollen (E. 1.2). Damit ist jedenfalls keine Willkür dargetan.
2.3.2. Weiter rügt er die Beurteilung seiner Eigenbetreuungskapazität als willkürlich. Die Vorinstanz habe nicht berücksichtigt, dass er arbeitslos sei und die Kinder vollumfänglich betreuen könne. Es müsse von einer langfristigen Arbeitslosigkeit ausgegangen werden, da er mehrere Risikofaktoren auf sich vereine (Alter 52, fehlender Fachausweis, Burnout vor eineinhalb Jahren). Damit sei er auf lange Frist in der Lage, persönlich für die Kinder zu sorgen.
Aus dem angefochtenen Entscheid geht nicht hervor, dass er diese Argumente bereits vor der Vorinstanz vorgebracht hätte, er behauptet dies auch nicht. Entsprechend sind die Vorbringen neu und nicht zu hören (<ref-law>). Überdies übergeht er die Feststellung der Vorinstanz, dass er bisher wohl auch deshalb keine neue Arbeitsstelle gefunden habe, weil er sich nur um eine 60%-Stelle bemüht habe. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, womit er auch seiner Rügepflicht nicht nachkommt (E. 1.2).
2.3.3. Auch die Beurteilung der Eigenbetreuungskapazität der Beschwer degegnerin empfindet er als willkürlich. Die Ehefrau könne und müsse arbeiten gehen, da alle drei Kinder bereits in den Kindergarten oder die Schule gehen. Sie lebe seit zehn Jahren in der Schweiz, sei Schweizer Bürgerin und es sei ihr ohne weiteres möglich, Hilfsarbeiten in einer Küche oder im Pflege- oder Putzbereich etc. auszuführen, respektive könne sie an einem Integrations- oder Beschäftigungsprogramm teilnehmen, um ihre Vermittelbarkeit zu erhöhen.
Auch hier geht der Beschwerdeführer nicht auf die Begründung des angefochtenen Entscheides ein, wonach im Eheschutzverfahren grundsätzlich an der vor der Trennung gelebten Rollenteilung (d.h. vorliegend der klassischen Aufgabenteilung) auszugehen sei. Die Tatsache (<ref-law>), dass die Beschwerdegegnerin während des Zusammenlebens nicht erwerbstätig, sondern für die Kinder zuständig war, ist indes entscheidend.
Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung gilt selbst bei einer Scheidung als Richtlinie, dass dem betreuenden Elternteil die (Wieder-) Aufnahme einer Erwerbsarbeit im Umfang von 50% erst zumutbar ist, sobald das jüngste Kind 10-jährig ist (<ref-ruling> E. 3c S. 10; Rechtsprechung bestätigt im Urteil 5A_210/2008 vom 14. November 2008 E. 3.2, nicht publ. in <ref-ruling>). Eine darüber hinausgehende Tätigkeit ist zumutbar, wenn sie bereits während des ehelichen Zusammenlebens ausgeübt worden ist oder das Kind fremdplatziert ist und deshalb den Inhaber der elterlichen Sorge bzw. der Obhut nicht an einer Erwerbsarbeit hindert. Umgekehrt kann eine Erwerbsarbeit auch länger unzumutbar bleiben, etwa bei einem behinderten Kind oder wenn zahlreiche Kinder zu betreuen sind (vgl. Urteil 5A_177/2010 vom 8. Juni 2010 E. 8.2.1 mit weiteren Hinweisen, in: FamPra.ch 2010, 914).
Vorliegend geht es erst um ein Eheschutzverfahren, die Ehefrau hat während des Zusammenlebens nicht gearbeitet und nicht nur ist das jüngste Kind erst 5-jährig, sondern alle drei Kinder haben das 10. Altersjahr noch nicht zurückgelegt. Damit ist auch darin keine Willkür ersichtlich, dass die Vorinstanz befand, von der Beschwerdegegnerin könne vorderhand keine Erwerbstätigkeit verlangt werden.
Soweit der Beschwerdeführer schliesslich vorbringt, es gebe Anhaltspunkte, dass die Beschwerdegegnerin bereits wieder arbeite, bleiben die Ausführungen appellatorisch. Er zeigt namentlich nicht auf, weshalb eine teilzeitliche Arbeitstätigkeit der Beschwerdegegnerin nicht mit einer Obhutszuteilung an diese vereinbar sein sollte. Wenn sie nicht zu einer Arbeit verpflichtet werden kann, so heisst das noch nicht, dass sie nicht arbeiten darf. Seine Verdächtigung, dass die Beschwerdegegnerin im Dancingbereich arbeiten könnte, hat diese bestritten; der Vorwurf hat sich im vorinstanzlichen Verfahren nicht konkretisiert. Aus der Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin (vor über 10 Jahren) in Thailand als Prostituierte gearbeitet hatte - und dass der Beschwerdeführer sie gemäss seinen Aussagen dort kennen lernte - lässt sich im Übrigen kein Rückschluss ziehen auf die heutige Erziehungsfähigkeit der einen oder der anderen Partei (vgl. hierzu auch Urteil 5A_693/2010 vom 29. Dezember 2010 E. 3, in: FamPra.ch 2011, 494).
2.3.4. Im Zusammenhang mit der Obhutszuteilung macht der Beschwerdeführer sodann eine formelle Rechtsverweigerung resp. eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) geltend.
Soweit er beanstandet, die Vorinstanz sei in keiner Weise auf sein Vorbringen eingegangen, dass er in mindestens gleichem Masse wie die Ehefrau in der Lage sei, die Kinder vollumfänglich selbst zu betreuen, ist die aus dem rechtlichen Gehör fliessende Begründungspflicht der Vorinstanz betroffen (zum Umfang der Begründungspflicht ausführlich <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Der Beschwerdeführer übergeht dabei, dass die Vorinstanz sich mit seinem Argument sehr wohl ausführlich auseinandergesetzt hat (vgl. auch E. 2.2). Die Rüge ist damit unbegründet.
Soweit er die Nichtberücksichtigung mehrerer Beweismittel resp. Beweisanträge (Dokument betreffend Betreuungssituation, Auszüge aus dem Tagebuch seiner Mutter, Befragung seiner Eltern, Parteibefragung von ihm selbst) beanstandet, ist demgegenüber das Beweisführungsrecht als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs betroffen. Dieses steht ge mäss der Rechtsprechung einer vorweggenommenen Beweiswürdigung nicht entgegen. Das Gericht kann auf die Abnahme von Beweisen ver zichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148 mit weiteren Hinweisen). Auch die Tatsache, dass ein Verfahren - wie vorliegend - der Untersuchungsmaxime unterliegt, steht einer antizipierten Beweiswürdigung nicht entgegen (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735; Urteil 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.1, in: FamPra.ch 2011 S. 218). Nur wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft, ist durch die Nichtabnahme eines Beweismittels das rechtliche Gehör verletzt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 211).
Vorliegend stellte die Vorinstanz fest, dass die Parteien in der für die Zuweisung entscheidenden Zeitperiode gemäss übereinstimmenden Aussagen der Parteien eine klassische Rollenteilung gelebt hatten. Der Beschwerdeführer hält dem nichts entgegen. Nach dem oben Gesagten durfte die Vorinstanz ausserdem willkürfrei davon ausgehen, dass die Beschwerdegegnerin die Kinder selbst betreuen kann, während dem Beschwerdeführer eine Arbeit möglich und zumutbar ist (E. 2.3.2 und E. 2.3.3). Damit ist im vorinstanzlichen Verzicht auf weitere Beweiserhebungen keine Willkür zu erblicken. Entsprechend ist dem Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs die Grundlage entzogen.
2.4. Nach dem Gesagten lag die getroffene Obhutsregelung im Ermessensspielraum der Vorinstanz (vgl. vorstehend E. 2.1 letzter Abschnitt). Die Beschwerde ist insofern abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellte für diesen Fall keine Anträge zum Besuchsrecht zwischen ihm und den Kindern, womit dieses nicht weiter zu prüfen ist.
3.
Sodann rügt der Beschwerdeführer Willkür bei der Zuweisung der Liegenschaft in A._ an die Beschwerdegegnerin.
3.1. Nach <ref-law> regelt das Eheschutzgericht auf Begehren eines Ehegatten die Benützung der Wohnung und des Hausrats, wenn die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts begründet ist.
Es entscheidet über die vorübergehende Zuteilung der ehelichen Liegenschaft und des Hausrats an eine der Parteien mit freiem Ermessen (Urteil 5A_766/2008 vom 4. Februar 2009 E. 3.1, 3.3 mit weiteren Hinweisen, in: FamPra.ch 2009, 422) nach Zweckmässigkeit und unabhängig davon, wer Eigentümer oder Mieter ist (<ref-ruling> E. 2d S. 4). In erster Linie hat das Gericht dabei zu bestimmen, wem die bisherige Wohnstatt den grösseren Nutzen bringt. Im Vordergrund der Beurteilung stehen dabei das Interesse der Kinder, in der gewohnten und vertrauten Umgebung bleiben zu dürfen, und die Erfahrungstatsache, dass der alleinstehende Ehegatte als Einzelperson rascher eine Wohnung findet als der andere Ehegatte mit den Kindern, sowie Gründe beruflicher und gesundheitlicher Art, wenn ein Ehegatte in der ehelichen Liegenschaft seinen Beruf ausübt oder ein Geschäft betreibt oder wenn die Wohnverhältnisse auf besondere Bedürfnisse eines gebrechlichen oder invaliden Familienmitglieds zugeschnitten sind. In zweiter Linie werden Affektionsinteressen berücksichtigt wie z.B. die Beziehungsnähe zur ehelichen Liegenschaft, deren höherer zeitlicher Nutzungswert oder die Möglichkeit für einen Ehegatten, den Unterhalt persönlich zu besorgen. Führt die Interessenabwägung zu keinemeindeutigen Ergebnis, ist schliesslich im Zweifel den Eigentums- oder anderen rechtlich geordneten Nutzungsverhältnissen Rechnung zu tragen, denen auch bei voraussehbarer längerer Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes ein zusätzliches Gewicht beigemessen wird. Nur ausnahmsweise (z.B. bei unausweichlich notwendigem Verkauf, in offensichtlichen Mangelfällen u.ä.) können finanzielle Gründe für die Zuweisung des ehelichen Wohnhauses entscheidend sein (zum Ganzen Urteil 5A_78/2012 vom 15. Mai 2012 E. 3.1, in: FamPra.ch 2012, 1104; mit Verweis auf Urteile 5A_766/2008 vom 4. Februar 2009 E. 3.3, in: FamPra.ch 2009, 422 und 5A_575/2011 vom 12. Oktober 2011 E. 5.1).
3.2. Die Vorinstanz hielt fest, dass sich die Liegenschaft im Alleineigen tum des Beschwerdeführers befindet. Im Juni 2011 seien die Parteien gemeinsam dort eingezogen, es handle sich damit um eine Familienwohnung im Sinne von Art. 162 und <ref-law>. Anlässlich der Eheschutzverhandlung habe der Beschwerdeführer ausgesagt, die Ehefrau sei kurz nach dem Erwerb der Liegenschaft ausgezogen und habe praktisch nie dort gelebt (Trennung im August 2011, E. 2.2).
Die Vorinstanz erwog sodann, dass die Kinder auch seit der Trennung der Eltern im Haus wohnen. Die Übertragung der Obhut über die Kinder an die Beschwerdegegnerin spreche für eine Zuteilung des Hauses an diese. Den vom Beschwerdeführer geltend gemachten affektiven Interessen käme keine vorrangige Bedeutung zu, zumal er auch erst seit zwei Jahren dort wohne. Seine finanziellen Bedenken (allfällige Abzahlungsschwierigkeiten; mögliche Kündigung von Darlehen durch seine Eltern) könnten ebenfalls nicht ausschlaggebend sein, da deren Eintritt noch ungewiss sei. Im Resultat sprach sich die Vorinstanz füreine Zuweisung der ehelichen Liegenschaft an die Beschwerdegegnerin aus.
3.3. Der Beschwerdeführer bringt nun vor, die Vorinstanz habe willkürlich angenommen, dass es sich überhaupt um eine "eheliche" Wohnung im Sinne von <ref-law> gehandelt habe.
Die Ehefrau habe nie in diesem Haus gewohnt. Sie sei im Frühjahr 2011 mit ihrem neuen Freund zusammengezogen. Er habe im Mai 2011das Haus gekauft und sei dann im Juni 2011 alleine mit den Kindern dort eingezogen. Das habe er bereits vor der Vorinstanz erklärt. Auf das Trennungsdatum in der Vereinbarung dürfe nicht abgestützt werden, da es sich quasi um einen Kompromiss gehandelt habe. Er sei von einer Trennung im Frühjahr 2011 "ausgegangen", während die Ehefrau geltend gemacht habe, sie wohne nach wie vor in A._ und damit mit dem Ehemann zusammen. Auch aus seiner Aussage anlässlich der Eheschutzverhandlung (die Ehefrau sei kurz nach dem Umzug ausgezogen) könne nicht abgeleitet werden, dass die Ehefrau je in die Liegenschaft eingezogen sei. Die Vorinstanz habe einseitig auf die Aussagen der Beschwerdegegnerin abgestellt. Dabei habe diese selbst zugegeben, dass sie mit ihrem Partner in C._ wohne und im Haus in A._ über kein eigenes Zimmer verfüge.
3.3.1. Die Ausführungen des Beschwerdeführers gehen über weite Strecken an der Sache vorbei und erschöpfen sich in Behauptungen. Wäre die Trennung tatsächlich vor dem Umzug erfolgt, hätte der Beschwerdeführer nach dem allgemeinen Kenntnisstand Belege vorlegen können (z.B. hätte aus der Anmeldung bei der Gemeinde A._ hervorgehen müssen, dass er sich alleine mit den Kindern angemeldet hat). Vorliegend tragen aber vom Beschwerdeführer selbst eingereichte amtliche Dokumente auch für die Beschwerdegegnerin die Anschrift der ehelichen Liegenschaft (z.B. Einstellungsverfügung des Untersuchungsamts C._ vom 6. Dezember 2011, Beschwerdebeilage 1; Steuerveranlagungsberechnung der Gemeinde B._ vom 13. Juli 2011 an beide Ehegatten, Beschwerdebeilage 15). Weiter lauten diverse vom Beschwerdeführer eingereichte Kontoauszüge von Konti der Beschwerdegegnerin bei der Bank D._ und der Bank E._, welche von der zweiten Jahreshälfte 2011 datieren, ebenfalls auf die Adresse in A._ (Beschwerdebeilage 6). Die Beschwerdegegnerin hätte ihre Adresse kaum auf A._ ändern lassen, wenn die Trennung bereits vor dem Umzug stattgefunden hätte. Überdies sprechen auch die von der Vorinstanz genannte Vereinbarung und die Aussagen des Beschwerdeführers anlässlich der Eheschutzverhandlung klar gegen dessen heutige Version. Nichts zu seinen Gunsten ableiten kann er schliesslich aus der Tatsache, dass die Ehefrau im Haus über kein eigenes Zimmer verfüge. Daraus lässt sich kein Rückschluss auf das Trennungsdatum ziehen.
Vor diesem Hintergrund ist keine Willkür ersichtlich, wenn die Vorinstanz die Liegenschaft in A._ als eheliche Wohnung qualifizierte.
3.3.2. Seine zusätzliche Kritik, sein rechtliches Gehör sei verletzt worden, indem auf gewisse Eingaben (in welchen er dargelegt haben will, dass die Ehefrau freiwillig aus- und zu ihrem Freund gezogen sei), istebenfalls unbegründet. Aus der Freiwilligkeit oder Nichtfreiwilligkeit des Auszugs allein lässt sich weder auf ein bestimmtes Trennungsdatum schliessen noch sagt es etwas darüber aus, ob die Parteien ursprünglich in A._ ehelichen Wohnsitz nahmen. Entsprechend brauchte sich die Vorinstanz dazu nicht zu äussern (vgl. auch vorstehend E. 2.3.4).
3.3.3. Unbegründet ist auch seine Rüge, die Vorinstanz habe <ref-law> willkürlich angewendet. Die Beschwerdegegnerin sei in Bezug auf den Charakter der Liegenschaft in A._ als Familienwohnung und den effektiven Einzug beweisbelastet gewesen. Mangels Beweis hätte ihr die Wohnung nicht zugewiesen werden dürfen.
Da die Vorinstanz nach dem oben Gesagten willkürfrei darauf schliessen durfte, dass die Parteien im Juni 2011 gemeinsam die neue eheliche Liegenschaft bezogen haben, stellt sich die Frage der Beweislastverteilung gemäss <ref-law> nicht mehr. Die Rüge wird damit gegenstandslos.
3.4. Sodann rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe die zu berücksichtigenden Zuweisungskriterien willkürlich angewendet.
Das Haus müsse selbst dann ihm zugewiesen werden, wenn die Obhut über die Kinder der Frau anvertraut würde. Er sei - anders als die Ehefrau - in A._ integriert. Sie habe nie Interesse daran gezeigt, mit den Kindern Zeit im Haus zu verbringen. Weiter müsse er befürchten, dass ihr Partner mit einziehen werde. Aus finanzieller Sicht habe die Vorinstanz nicht berücksichtigt, dass seine Eltern für den Kauf des Hauses Darlehen von insgesamt Fr. 148'000.-- gewährt hatten, welche diese zurückfordern würden, wenn die Ehefrau ins Haus einziehe. Die in diesem Zusammenhang von ihm angebotenen Beweise habe die Vorinstanz übergangen und sei damit nicht nur in Willkür verfallen, sondern habe dadurch auch sein rechtliches Gehör verletzt.
3.4.1. Zu den von der Rechtsprechung herausgearbeiteten Kriterien ist auf vorstehende E. 3.1 zu verweisen. Vorliegend ist unbestritten, dass die drei Kinder seit Juni 2011 in der Liegenschaft zu Hause sind. Sie besuchen am Ort den Kindergarten resp. die Schule. In solchen Fällen ist es grundsätzlich gerechtfertigt, schwergewichtig auf das Interesse der Kinder, in ihrem gewohnten Umfeld bleiben zu können, abzustützen.
3.4.2. Die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Argumente betreffen die erst in zweiter Linie zu berücksichtigenden Kriterien (sein persönliches Affektionsinteresse, sein Alleineigentum). Was zudem die von ihm vorgebrachten finanziellen Gründe betrifft, so wiederholt er in seiner bundesgerichtlichen Beschwerde im Wesentlichen seine bereits im kantonalen Verfahren eingebrachten Argumente. Mit der Begründung der Vorinstanz, weshalb diese Gründe nicht berücksichtigt werden könnten, setzt er sich nicht in rechtsgenüglicher Weise auseinander (E. 1.2), weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist. Er legt auch nicht dar, weshalb es willkürlich sein sollte, auf die vorrangigen Interessen der Kinder abzustützen.
Damit ist keine Willkür ersichtlich, wenn die Vorinstanz dem Kindeswohl den Vorrang gegeben und gestützt darauf die Liegenschaft der Beschwerdegegnerin zugewiesen hat.
3.4.3. Ebenfalls nicht zu folgen ist ihm schliesslich, soweit er beanstandet, die Vorinstanz habe sein rechtliches Gehör verletzt, indem sie von ihm angebotene Beweise zu den Zuweisungskriterien, welche zu seinen Gunsten gesprochen hätten (namentlich Zeugenbefragung seiner Eltern), stillschweigend übergangen habe.
Gegenstand des Beweises sind rechtserhebliche, streitige Tatsachen (vgl. <ref-law>). Die Eltern des Beschwerdeführers hätten nur zu Kriterien aussagen können, welche im vorliegenden Fall angesichts des Vorrangs der Kindesinteressen für die Zuweisung nicht (mehr) entscheidend sein konnten. Entsprechend verletzte die Vorinstanz das Beweisführungsrecht des Beschwerdeführers nicht, indem sie auf das Beweisangebot nicht näher einging. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt abzuweisen.
3.4.4. Nicht einzutreten ist sodann auf seine Kritik im Zusammenhang damit, dass der Beschwerdeführerin mit der Liegenschaft auch die Wohnungsausstattung zugewiesen wurde. Die Beschwerde genügt hier den Rügeanforderungen nicht (E. 1.2).
4.
Zu prüfen bleibt der Eventualantrag des Beschwerdeführers, im Falle der Obhutszuteilung an die Ehefrau seien die von ihm geschuldeten Kinderunterhaltsbeiträge ab Rechtskraft des Beschwerdeentscheids auf Fr. 125.-- pro Monat und Kind zu reduzieren; der Unterhaltsbeitrag an die Ehefrau sei ganz zu streichen.
4.1. Die Vorinstanz hielt bezüglich Unterhalt fest: "Für den Fall der Obhutszuteilung an die Mutter stellt er (der Beschwerdeführer) kein - und damit auch kein beziffertes - Rechtsbegehren". Auch nachdem die Ehefrau die von ihm verlangten Unterlagen eingereicht habe, sei von seiner Seite kein bezifferter Antrag erfolgt. Die Vorinstanz erwog, dies genüge nicht für ein Eintreten auf die Berufung in diesem Punkt. Weiter befand sie: "Selbst wenn man auf das Begehren eintreten wollte, würde sich nichts zu Gunsten des Ehemanns ändern, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen". Aus dieser Formulierung erhellt, dass die Vorinstanz die materiellen Kritikpunkte des Beschwerdeführers nicht einlässlich prüfte.
In formeller Hinsicht ist die Vorinstanz - aufgrund des ihrer Ansicht nach fehlenden Rechtsbegehrens - auf die Beschwerde bezüglich Unterhalt nicht eingetreten. Entsprechend müsste der Beschwerdeführer vor Bundesgericht aufzeigen, dass der Nichteintretensentscheid willkürlich erfolgte.
4.2. Im Berufungsverfahren sind Rechtsbegehren zu stellen. Auf Geldzahlungen gerichtete Anträge sind zu beziffern und zwar unabhängig von einer allfälligen Anwendbarkeit der Untersuchungs- und Offizialmaxime und unter Gewärtigung der Nichteintretensfolge (ausführlich <ref-ruling> E. 4.2 bis 4.5 S. 618 ff.). Werden die Rechtsbegehren erstmals vor dem Bundesgericht beziffert, haben diese als neu im Sinne von <ref-law> zu gelten und sind entsprechend unzulässig (Urteil 5A_807/2012 vom 6. Februar 2013 E. 4.2 und 4.3).
4.3. Vorliegend hatte der Beschwerdeführer in der Berufung eine Übertragung der Obhut an sich selbst verlangt. Weiter beantragte er:
" (...) die Ehefrau sei zu verpflichten, an den Unterhalt von F._, G._ und H._ monatlich im Voraus zahlbare Beiträge in nach Erhalt der Auskünfte und Urkunden gemäss Ziff. 3 festzulegender Höhe, pro Kind, zuzüglich allfälliger an sie ausbezahlter Kinderzulagen, zu leisten;
Auf die Zusprechung von vom Ehemann zu bezahlenden Beiträgen an den persönlichen Unterhalt der Ehefrau sei zu verzichten."
4.4. Der Beschwerdeführer führt nun aus, mit vorgenanntem Rechtsbegehren habe er hinsichtlich des Unterhalts ein von der Obhutszuteilung unabhängiges Rechtsbegehren gestellt, welches auch für den Fall einer Obhutszuteilung an die Ehefrau gelte. Somit liege auch für diesen Fall ein formell gültiges Rechtsbegehren vor. Die Vorinstanz sei folglich willkürlich nicht eingetreten.
4.5. Gemäss <ref-law> wird der Unterhalt eines Kindes durch Pflege und Erziehung oder, wenn das Kind nicht unter der Obhut der Eltern steht, durch Geldzahlung geleistet. Nachdem das Gesetz davon ausgeht, dass die Eltern entweder Geld oder Pflege und Erziehung leisten - und da der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer nicht explizit etwas anderes verlangte -, musste die Vorinstanz nicht davon ausgehen, dass der Antrag (die Mutter müsse Kindesunterhalt bezahlen) auch für den Fall gelten sollte, dass die Obhut der Mutter zugeteilt würde. Keine andere Auslegung ergibt sich für den Ehegattenunterhalt. Dieses zweite Begehren war lediglich durch einen Strichpunkt vom Antrag zum Kindesunterhalt abgegrenzt und damit den selben Voraussetzungen unterworfen. Weshalb die Vorinstanz zu einem anderen Schluss hätte kommen müssen, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Dass allenfalls auch eine andere Auslegung des Begehrens möglich gewesen wäre, rechtfertigt eine Aufhebung des Nichteintretensentscheids nicht (vgl. E. 1.2).
5.
5.1. Infolge der Abweisung der Beschwerde hat der Beschwerdeführer die eheliche Liegenschaft der Beschwerdegegnerin und den Kindern zu überlassen. Nachdem ihm im bundesgerichtlichen Verfahren aufschiebende Wirkung gewährt wurde, ist indes diesbezüglich eine neue Frist anzusetzen.
5.2. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>) und er hat die Beschwerdegegnerin für ihre Stellungnahme zur beantragten aufschiebenden Wirkung zu entschädigen, da sie diesbezüglich zumindest teilweise obsiegt hat (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird somit gegenstandslos.
Das Armenrechtsgesuch des Beschwerdeführers ist abzuweisen. Die vorstehenden Erwägungen zeigen auf, dass die Beschwerde von Beginn weg keinen Erfolg haben konnte (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer hat bis spätestens 30. November 2013 aus der Liegenschaft K._strasse xx, in A._ auszuziehen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 200.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter im Familienrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann