Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Beschluss vom 17. März/1. Juli 2009 ernannte die Vormundschaftsbehörde A._ X._ zum Beirat im Sinn von aArt. 395 ZGB von Z._, geb. am xxxx 1965. Am 18. September 2009 nahm X._ unterschriftlich davon Kenntnis, dass die Entschädigungsansätze für die Betreuung des von ihm angenommenen vormundschaftlichen Mandates gemäss ordentlicher Praxis im Sinn von Art. 27 und 28 der Verordnung über die Geschäftsführung und Entschädigung vormundschaftlicher Organe (BR 215.100; gültig bis 31. Dezember 2012; nachfolgend: Verordnung) gelten und angewendet werden. Nach Art. 28 Abs. 1 dieser Verordnung haben Beiräte Anspruch auf eine von der Vormundschaftsbehörde festzusetzende Entschädigung von Fr. 200.-- bis Fr. 1'000.-- pro Jahr, wobei gemäss Abs. 2 dieser Bestimmung der Betrag bei besonderer Beanspruchung angemessen erhöht, jedoch höchstens verdoppelt werden kann. Im Rahmen eines Konfliktes zwischen der Vormundschaftsbehörde und X._ bezüglich der Entschädigung wurde diesem mit Schreiben vom 17. März 2010 bedeutet, dass die Arbeitsintensität des Mandats bei der Festsetzung der Entschädigung gewürdigt werde, indem bei ausgewiesenem hohen Aufwand die Höchstsätze von Fr. 2'000.-- gemäss Verordnung angewendet werden.
A.b. Am 30. März 2011 stellte X._ der Vormundschaftsbehörde Jahresbericht und Rechnung betreffend die Beiratschaft für die Periode vom 1. Juli 2009 bis 31. Dezember 2010 zu und beantragte die maximale Entschädigung gemäss Art. 28 Abs. 1 und 2 der Verordnung.
A.c. Mit Schreiben vom 2. Dezember 2011 legte X._ das Mandat als Beirat von Z._ nieder. Am 21. März 2012 reichte er bei der Vormundschaftsbehörde Jahresbericht und Rechnung für die Periode vom 1. Januar 2011 bis 31. Dezember 2011 ein und beantragte erneut die maximale Entschädigung gemäss Art. 28 Abs. 1 und 2 der Verordnung.
A.d. Mit Beschluss vom 18. Juli 2012 verweigerte die Vormundschaftsbehörde die Genehmigung der Rechnung für die Periode vom 1. August 2009 bis 29. Februar 2012 (Ziff. 1). Sie setzte die an Fortunat Schmid zu entrichtende Entschädigung im Sinn von Art. 28 Abs. 1 der Verordnung auf Fr. 5'177.-- exklusive nachgewiesener Auslagen fest (Ziff. 3) und verpflichtete X._, Z._ den Betrag von Fr. 13'796.70 an zu viel bezogenen Entschädigungen innert 20 Tagen ab Rechtskraft des Beschlusses zurückzuerstatten (Ziff. 4). Zudem forderte sie X._ auf, die fehlenden Belege für die Betreuung und das Wohnen im Wohnheim B._ "nachzuholen" (Ziff. 5).
B.
Gegen diesen Beschluss gelangte X._ am 9. September 2012 mit Beschwerde an das Kantonsgericht von Graubünden und rügte eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die erste Instanz. In ihrer Beschwerdeantwort vom 15. Oktober 2012 erläuterte die Vormundschaftsbehörde, welche der vom Beschwerdeführer ihr unterbreiteten Rechnungen betreffend Entschädigung sie nicht akzeptiere. Der Beschwerdeführer liess sich in der Replikschrift vom 18. Dezember 2012 dazu vernehmen. Mit Entscheid vom 29. April 2013 hob das Kantonsgericht in teilweiser Gutheissung der Beschwerde Ziff. 4 des erstinstanzlichen Beschlusses auf (Ziff. 1) und stellte fest, dass der vom früheren Beirat zu Unrecht aus dem Vermögen des Verbeirateten Z._ bezogene Betrag von Fr. 13'183.40 vom neuen Beistand (gemäss nunmehr geltendem Recht) auf dem Wege der Verantwortlichkeitsklage geltend zu machen sei (Ziff. 2). Schliesslich auferlegte es die Kosten des Verfahrens je zur Hälfte X._ und dem Kanton Graubünden (Ziff. 3).
C.
X._ (Beschwerdeführer) hat am 13. Juli 2013 gegen den Entscheid des Kantonsgerichts von Graubünden beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt, die Ziffern 2 und 3 des Entscheides des Kantonsgerichts sowie die Ziffern 1, 3, 4 und 5 des Beschlusses der Vormundschaftsbehörde aufzuheben. Vor Bundesrecht rügt er eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>).
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid eines oberen Gerichts betreffend die Entschädigung des unter altem Recht eingesetzten Beirates. Dabei handelt es sich um eine vermögensrechtliche Zivilsache (vgl. Urteil 5A_279/2009 vom 14. Juli 2009 E. 1.1), deren Streitwert Fr. 30'000.-- nicht erreicht (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist damit grundsätzlich gegeben. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
2.
2.1. Vor Kantonsgericht machte der Beschwerdeführer unter Hinweis auf <ref-law> geltend, er sei von der Vormundschaftsbehörde zur Ermittlung des Sachverhalts nicht vorgängig angehört worden. Sodann habe die Vormundschaftsbehörde in der Begründung des Beschlusses nicht einzeln ausgeführt, welche der vom Beschwerdeführer gestellten Rechnungen nicht anerkannt werden und warum dies der Fall sei. Das Kantonsgericht hat offen gelassen, ob der Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör durch die Vormundschaftsbehörde verletzt worden sei, zumal eine allfällige nicht als schwer zu bezeichnende Verletzung als vor Kantonsgericht geheilt gelte.
2.2. Vor Bundesgericht wirft der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht mit der gleichen Begründung vor, eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Vormundschaftsbehörde zu Unrecht verneint zu haben. Da vorliegend ein schwerer Verstoss gegen den besagten Verfassungsgrundsatz gegeben sei, erweise sich eine Heilung des Verfahrensmangels durch die Vorinstanz als ausgeschlossen.
3.
Die Vorinstanz hat offen gelassen, ob der ersten Instanz eineVerletzung von <ref-law> vorgeworfen werden kann. Sie ging davon aus, ein allfälliger Verstoss sei im Verfahren vor der zweiten kantonalen Instanz geheilt worden.Im Folgenden ist als Erstes zu prüfen, ob das Verhalten der Vormundschaftsbehörde <ref-law> verletzte. Erst, wenn dies bejaht wird, ist in einem weiteren Schritt abzuklären, ob der Mangel vom Kantonsgericht zu Recht als geheilt betrachtet worden ist.
3.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> dient einerseits der Klärung des Sachverhaltes, anderseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines ihn belastenden Entscheides zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis äussern zu können, wenn dieses geeignet ist, den Ausgang des Verfahrens zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 190; <ref-ruling> E. 2b S. 56). Aus <ref-law> ergibt sich ferner die Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung des Entscheids muss so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dabei muss sich die Begründung nicht mit jeder tatsächlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand ausdrücklich auseinandersetzen. Es genügt vielmehr, wenn die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte genannt werden (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540).
3.2. In einem Entscheid betreffend Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes hatte der Beschwerdeführer der letzten kantonalen Instanz unter Berufung auf <ref-law> vorgeworfen, sie habe ihm die Honorarnote gekürzt, ohne ihn vorgängig zu den einzelnen Aufwandposten zu befragen. Das Bundesgericht verneinte eine Verletzung des rechtlichen Gehörs mit dem Hinweis, als unentgeltlicher Rechtsbeistand habe der Beschwerdeführer dem Gericht spätestens bis zur Verhandlung eine Honorarnote einzureichen können, in welcher der Zeitaufwand genau anzugeben war (§ 18 Abs. 1 i.V.m. Abs. 2 der Tarifordnung für die Anwältinnen und Anwälte; SGS 178.112). Das hätte ihm erlaubt, die einzelnen Posten zu erläutern und insbesondere den geltend gemachten Zeitaufwand zu begründen (Urteil 5D.175/2008 vom 6. Februar 2009 E. 2 unter Hinweis auf BGE 111 la 101 E. 2b S. 104).
3.3. Vorliegend sind ähnliche Verhältnisse gegeben: Der als Rechtsanwalt tätige Beschwerdeführer wusste, dass die Entschädigung des Beirates maximal Fr. 2'000.-- pro Jahr betragen kann (Art. 28 Abs. 1 und 2 der Verordnung). Überdies wurde ihm von der Vormundschaftsbehörde am 17. März 2010 bedeutet, dass sich die Entschädigung für das arbeitsintensive Mandat am Höchstsatz orientiere. Unter diesen Umständen war er gehalten, mit der Einreichung der Jahresberichte und der entsprechenden Jahresrechnungen ausdrücklich auf die nunmehr strittigen Rechnungen betreffend den durch die maximale Entschädigung gemäss Art. 28 der Verordnung nicht gedeckten Aufwand hinzuweisen und zu begründen, warum dieser Aufwand dennoch zu entschädigen ist (vgl. BGE 111 la 101 E. 2b S. 104). Abgesehen davon verleiht <ref-law> keinen Anspruch, zu der von der Vormundschaftsbehörde beabsichtigten Begründung der Entschädigungsverfügung vorweg Stellung zu nehmen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 267, 485 E. 3.4 S. 495). Soweit der Beschwerdeführer beanstandet, er sei vor dem Entscheid nicht zu den einzelnen strittigen Rechnungspositionen angehört worden, erweist sich die Rüge als unbegründet.
3.4. Nicht anders verhält es sich mit dem Vorwurf der mangelnden Begründung: Aus dem Beschluss der Vormundschaftsbehörde vom 18. Juli 2012 geht hervor, dass sich die Entschädigung nach Art. 28 der Verordnung bemisst und dem Beschwerdeführer zugestanden worden ist, den Maximalansatz von Fr. 2'000.-- zu veranschlagen. Ferner wird im Beschluss festgehalten, dass die Vormundschaftsbehörde eine Tätigkeitsdauer des Beschwerdeführers als Beirat von 33 Monaten berücksichtigt und auf der Basis von Fr. 2'000.-- pro Jahr eine Entschädigung von Fr. 5'177.-- errechnet hat. Daraus ergibt sich klar, warum keine weiteren Positionen berücksichtigt worden sind. Die Begründung erweist sich im Lichte von <ref-law> als genügend und hätte es dem Beschwerdeführer ermöglicht, den Entscheid sachgerecht anzufechten.
3.5. Zusammenfassend lässt sich der Entscheid der Vorinstanz mit Bezug auf die Verletzung von <ref-law> durch die erste Instanz im Ergebnis nicht beanstanden. Damit erübrigen sich Ausführungen zur Frage, ob die Vorinstanz die Heilung eines allfälligen Verfahrensmangels zu Recht bejaht hat.
4.
Dementsprechend ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Frage der Entschädigung an die Erwachsenenschutzbehörde stellt sich nicht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB A._ und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. August 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden