Erwägungen:
1. Der 1968 geborene Kosovare X._ war vom Oktober 1998 bis Dezember 2003 mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet. Die ihm gestützt auf diese Ehe erteilte Aufenthaltsbewilligung war letztmals bis zum 3. Oktober 2002 verlängert worden; das Gesuch um eine weitere Verlängerung wurde abgelehnt, zuletzt bestätigt mit Urteil des Bundesgerichts 2A.506/2004 vom 16. September 2004. Dabei ergab sich, dass die nach fünf Jahren und zwei Monaten geschiedene Ehe schon lange vor Ablauf von fünf Jahren nur noch formell aufrechterhalten wurde und eine Berufung darauf im Bewilligungsverfahren rechtsmissbräuchlich war.
Am 9. März 2012 stellte X._ ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung für die Zeit von April bis Dezember 2012, welches das Amt für Migration mit Verfügung vom 26. Juni 2012 abwies. Auf eine dagegen erhobene Beschwerde trat das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern mit Entscheid vom 11. September 2012 nicht ein, weil sie verspätet erhoben worden sei. Dagegen gelangte X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Dieses erklärte mit Verfügung vom 3. Dezember 2012 das Beschwerdeverfahren als erledigt, da es angesichts des rein prozessualen Verfahrensgegenstands (Nichteintretensentscheid) nicht selber über die materiellrechtliche Seite der Sache (Verweigerung einer ohnehin bloss bis Ende Dezember 2012 beantragten Bewilligung) entscheiden könnte und die Sache an das Departement hätte zurückweisen müssen, weshalb das Rechtsschutzinteresse an der Behandlung der Beschwerde bereits dahingefallen sei. Im Übrigen hielt das Verwaltungsgericht fest, dass die Beschwerdeerhebung an seine Vorinstanz unter Berücksichtigung aller Umstände entgegen deren Ansicht möglicherweise fristwahrend gewesen sei, weshalb es auf die Erhebung von Kosten verzichtete.
Mit vom 30. Januar 2013 datierter Eingabe erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts.
2. 2.1 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Der Beschwerdeführer war zwar früher mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet. Das diesbezügliche letzte Bewilligungsverfahren ist im Jahr 2004 mit für ihn negativem Ausgang rechtskräftig abgeschlossen worden; auf die damalige, Ende 2003 geschiedene Ehe (bzw. auf Art. 42 Abs. 3 AuG) kann er sich heute nicht berufen, um nach mehreren Jahren wiederum eine Bewilligung erhältlich zu machen. Als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist die vorliegende Rechtsschrift offensichtlich unzulässig; sie kann höchstens als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden.
2.2 Rechtsschriften haben gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Dabei kann mit der Verfassungsbeschwerde allein die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>); entsprechende Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-law>). Der Beschwerdeführer nennt kein verfassungsmässiges Recht und zeigt nicht auf, inwiefern ein solches durch die angefochtene Verfügung verletzt worden sei. Ohnehin äussert er sich nicht zur allein Gegenstand der angefochtenen Verfügung bildenden Problematik des Dahinfallens des Rechtsschutzinteresses an einer Beurteilung des Nichteintretensentscheids des Departements durch das Verwaltungsgericht.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>); soweit sie - als Verfassungsbeschwerde - überhaupt zulässig wäre (s. aber <ref-law>, Beschwerdelegitimation bei Fehlen eines Rechtsanspruchs auf eine ausländerrechtliche Bewilligung, dazu <ref-ruling>), enthält sie offensichtlich keine hinreichende Begründung, sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
2.3 Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer auf dem diplomatischen Weg, dem Amt für Migration des Kantons Luzern, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller