Faits:
A. X._, né en 1992, est un ressortissant du Nigéria.
L'Office fédéral des migrations a refusé la demande d'asile déposée par X._ et a ordonné son renvoi le 6 avril 2010.
B. Le 2 décembre 2010, le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après le Service cantonal) a placé X._ en détention avec effet immédiat pour trois mois au plus.
Par arrêt du 3 décembre 2010, le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan a approuvé la décision précitée, en application des art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. A l'appui de sa décision, il a retenu que, lors de l'audience qui s'était tenue le jour-même, X._ avait attribué à l'une de ses soeurs un âge différent de celui qu'il avait mentionné lors de son interrogatoire sur ses motifs d'asile, sans pouvoir expliquer cet écart de manière plausible.
C. A l'encontre de l'arrêt du 3 décembre 2010, X._, dans un mémoire rédigé en anglais, a formé un recours au Tribunal fédéral ("appeal"). Il ressort de ce document que le recourant admet qu'il est désormais inévitable pour lui de quitter la Suisse. Il demande à pouvoir s'en aller par ses propres moyens, afin de se rendre dans un endroit où il sera accepté et aura une meilleure vie. Il refuse de retourner au Nigéria, qu'il a quitté parce que la situation était insupportable pour lui.
Le Tribunal cantonal a produit le dossier, mais a renoncé à se déterminer, à l'instar du Service cantonal et de l'Office fédéral des migrations. Le recourant n'a, pour sa part, pas fourni d'observations complémentaires dans le délai imparti à cet effet.

Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public (<ref-law>) est en principe ouverte à l'encontre des décisions cantonales en matière de mesures de contrainte (arrêt 2C_10/2009 du 5 février 2009 consid. 2, non publié aux <ref-ruling>). La décision attaquée, qui émane d'une autorité judiciaire cantonale supérieure de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 lettre d et al. 2 LTF), peut donc faire l'objet d'un tel recours, à condition que l'écriture présentée remplisse les exigences de recevabilité propres à cette voie de droit.
A cet égard, le mémoire doit contenir les conclusions et les motifs (<ref-law>) qui doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>). Pour satisfaire à cette obligation de motiver, le recourant doit discuter les motifs de l'arrêt entrepris et indiquer en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 60 et les arrêts cités). En l'espèce, le recourant n'expose pas dans quelle mesure, à son avis, le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal aurait pris une décision contraire au droit ni ne critique l'arrêt en tant que tel. Partant, on peut douter de la recevabilité du recours.
Il convient toutefois d'entrer en matière. En effet, le Tribunal fédéral, sous réserve des droits fondamentaux (<ref-law>), examine le droit fédéral d'office (<ref-law>). Il est, dans cette mesure, lié par les arguments juridiques soulevés dans le recours (cf. art. 42 al. 1 et 2 LTF), à moins que la décision attaquée contienne des vices juridiques manifestes (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254; arrêt 1C_223/2010 du 21 octobre 2010 consid. 2).
2. 2.1 La mise en détention du recourant confirmée par la décision attaquée se fonde sur l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. Cette disposition prévoit entre autres que, lorsqu'une décision de renvoi a été notifiée, l'autorité compétente peut, afin d'en assurer l'exécution, mettre en détention la personne concernée si des éléments concrets font craindre que celle-ci entende se soustraire au renvoi, en particulier parce qu'elle ne se soumet pas à son obligation de collaborer, ou si son comportement permet de conclure qu'elle se refuse à obtempérer aux instructions des autorités. D'après la jurisprudence, un risque de fuite existe notamment lorsque l'étranger tente d'entraver les démarches en vue de l'exécution du renvoi en donnant des indications manifestement inexactes ou contradictoires ou encore s'il laisse clairement apparaître, par ses déclarations ou son comportement, qu'il n'est pas disposé à retourner dans son pays d'origine (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 58 s.; arrêt 2C_206/2009 du 29 avril 2009 consid. 4.1). Comme l'indique expressément l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 LEtr, il faut qu'il existe des éléments concrets en ce sens. Dans ce contexte, la seule existence de contradictions dans les déclarations de l'étranger qui n'ont pas de lien avec sa propre situation et, partant, ne sont pas de nature à entraver les démarches en vue de l'exécution du renvoi, ne saurait suffire à justifier la détention.
2.2 En l'espèce, le Juge cantonal a considéré que les conditions de l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr étaient réalisées parce que le recourant avait indiqué, lors de son audition, que l'une de ses soeurs avait un âge différent de celui qu'il avait mentionné au cours de la procédure d'asile, sans pouvoir expliquer cet écart de manière plausible. Cette contradiction est toutefois manifestement impropre à fonder, à elle seule, une mise en détention en vertu de l'art 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. En effet, on ne voit pas en quoi une fausse indication concernant l'âge de l'une des soeurs du recourant serait de nature à rendre l'exécution de son renvoi plus difficile voire à l'empêcher. Il ne saurait s'agir d'un indice concret pertinent justifiant la mise en détention du recourant. En tant qu'il est fondé sur cette seule motivation, l'arrêt attaqué viole donc le droit fédéral.
2.3 Cela ne signifie pas pour autant que la détention du recourant ne soit pas justifiée. En effet, il ressort clairement du mémoire de recours au Tribunal fédéral que le recourant, s'il admet n'avoir aucun droit de demeurer en Suisse, s'oppose à tout retour au Nigéria. Il veut seulement obtenir la possibilité de quitter la Suisse par ses propres moyens, pour tenter sa chance dans un autre pays. Du reste, bien que son renvoi ait été prononcé le 6 avril 2010, le recourant, dépourvu de papiers d'identité, sans moyens d'existence ni d'attaches en Suisse, n'a pris aucune disposition concrète en vue de quitter le pays de lui-même, si ce n'est, selon ses dires, une visite à l'Ambassade du Nigéria où on lui aurait dit d'attendre. Ces éléments permettent, selon la jurisprudence, d'en conclure qu'il existe un risque de fuite (cf. arrêt 2C_806/2010 du 21 octobre 2010 consid. 2.2; arrêt de la CourEDH du 2 décembre 2010 dans la cause Jusic c. Suisse, Req. 4691/06 par. 80 s. a contrario). Partant, le Tribunal fédéral, opérant une substitution de motifs (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550), considère que la mise en détention en application des art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr est justifiée.
2.4 Enfin, l'exécution du renvoi ne s'avère pas d'emblée impossible pour des raisons juridiques ou matérielles (cf. art. 80 al. 6 let. a LEtr a contrario) et rien ne permet de penser que le service cantonal compétent ne respectera pas son obligation de diligence (cf. art. 76 al. 4 LEtr). En outre, la mise en détention du recourant pour trois mois apparaît nécessaire pour assurer l'exécution du renvoi et conforme au principe de la proportionnalité.
3. Dans ces circonstances, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Succombant, le recourant devrait en principe supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 1ère phrase LTF); compte tenu des circonstances, il se justifie cependant de statuer sans frais (cf. art. 66 al. 1, 2e phrase LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service de la population et des migrations et au Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 5 janvier 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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