Sachverhalt:
A. A.a Die 1957 geborene, als Sonderpädagogin tätige B._ zog sich am 20. August 1998 bei einem Unfall eine Commotio cerebri zu; bei dieser Gelegenheit wurde ein Status nach älterer ischämischer Hirnstammläsion festgestellt. Am 5. Oktober 1998 nahm sie die bisherige Arbeit wieder vollumfänglich auf, reduzierte das Pensum wegen "vermehrter Müdigkeit und Stresssituationen" ab dem 23. November 1998 jedoch auf 75 Prozent. Im weiteren Verlauf klagte sie über Kopf-, Nacken- und Schulterbeschwerden, Konzentrationsstörungen, Schwindel, Übelkeit, vermehrte Müdigkeit und Stressanfälligkeit. Gestützt auf eine vertrauensärztliche Untersuchung vom 14. Januar 2000 wurde sie mit Beschluss des Bildungsrates des Kantons Zürich vom 7. März 2000 auf den 29. Februar 2000 aus gesundheitlichen Gründen pensioniert.
A.b Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach B._ am 5. Dezember 2001 mit Wirkung ab Oktober 2000 eine halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50 Prozent zu. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich in dem Sinne gut, dass es die Sache zur Einholung eines polydisziplinären Gutachtens und neuen Verfügung an die Verwaltung zurückwies (Entscheid vom 29. August 2002). Nach Erhalt der Expertise des Zentrums X._, vom 3. März 2004 hielt die Verwaltung mit durch Einspracheentscheid vom 17. Dezember 2004 bestätigter Verfügung vom 27. April 2004 an der Zusprechung einer halben Invalidenrente ab Oktober 2000 fest. Gestützt auf Privatgutachten reichte B._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde ein mit den Anträgen, es sei ihr eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell seien hinsichtlich der erwerblichen Möglichkeiten auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt nähere Abklärungen zu treffen und es sei gestützt darauf der Invaliditätsgrad neu festzusetzen. Ferner sei ihr eine angemessene Kapitalleistung zuzusprechen. Mit Entscheid vom 22. März 2006 gelangte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zum Schluss, es seien keine Gründe ersichtlich, um von der Beurteilung im Gutachten des Zentrums X._ vom 3. März 2004 abzugehen, wonach die Versicherte in ihrer angestammten Tätigkeit zu 50 Prozent arbeitsunfähig sei. Unter Bezugnahme auf den allgemeinen Arbeitsmarkt sei jedoch konkret zu ermitteln, welches Einkommen die Beschwerdeführerin bei einem Pensum von 50 Prozent erzielen könnte. Dementsprechend wies das kantonale Gericht die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie nach Durchführung eines Einkommensvergleichs über den Rentenanspruch und den Anspruch auf Kapitalleistung neu verfüge. Das Bundesgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Urteil I 470/06 vom 8. Mai 2007).
A.c Die IV-Stelle nahm daraufhin einen Einkommensvergleich vor, in dessen Rahmen das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2004 des Bundesamtes für Statistik bemessen wurde, und ermittelte einen Invaliditätsgrad von 60 Prozent. Demgemäss wurde B._ mit Wirkung ab Oktober 2000 eine halbe Invalidenrente und mit Wirkung ab Januar 2004 (Inkrafttreten der 4. Revision des IVG) eine Dreiviertelsrente zugesprochen (Verfügungen vom 6. und 22. Mai 2008).
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen eingereichte Beschwerde ab (Entscheid vom 19. Oktober 2009).
C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung der strittigen Verfügungen und des angefochtenen Entscheids, eine ganze Invalidenrente auszurichten. Zudem sei ihr eine Kapitalhilfe in der Höhe von Fr. 57'000.- zuzusprechen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur weiteren Abklärung zurückzuweisen.

Erwägungen:
1. Strittig ist, ob die Vorinstanz das Invalideneinkommen zu Recht auf der Grundlage einer unselbständigen Tätigkeit als Sonderpädagogin bemessen hat. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei auf die tatsächlich ausgeübte selbständige Tätigkeit abzustellen und in diesem Rahmen eine Kapitalhilfe zu sprechen. Falls eine unselbständige Tätigkeit zumutbar wäre, müsse ein invaliditätsbedingter Abzug vom tabellarisch ermittelten Invalideneinkommen um 25 Prozent vorgenommen werden.
2. 2.1 Mit Urteil I 470/06 vom 8. Mai 2007 bestätigte das Bundesgericht den Rückweisungsentscheid des kantonalen Gerichts vom 22. März 2006, wonach die IV-Stelle auf der Grundlage einer hälftigen Arbeitsunfähigkeit in der angestammten Tätigkeit einen Einkommensvergleich durchzuführen habe, um anschliessend über den Rentenanspruch und den Anspruch auf Kapitalleistung neu zu verfügen. Das Bundesgericht verwies auf die Akten, wonach sich die Versicherte im Hinblick auf eine spätere selbständige Tätigkeit um eine Anstellung bei der "Beratungsstelle Y._" beworben habe. Als die Bemühungen um ein Anstellungsverhältnis auf der Basis eines Pensums von 50 Prozent gescheitert seien, habe sie die Beratungsstelle übernommen und sei seither als Seniorpartnerin zusammen mit weiteren Personen selbständigerwerbend. Ein Erwerbspensum von 50 Prozent erweise sich auch im Rahmen der ausgeübten selbständigen Erwerbstätigkeit als zumutbar, zumal die Versicherte dabei in der Zeiteinteilung freier sei und insbesondere in der Eigenschaft als Seniorpartnerin auch leitende und administrative Aufgaben zu erfüllen habe, bei denen sich die gesundheitlichen Beeinträchtigungen weniger stark auswirkten (E. 5.1 S. 8 des Urteils vom 8. Mai 2007).
Unter Bezugnahme auf eine Einschätzung in einem Parteigutachten, wonach eine Tätigkeit als Sonderpädagogin in einer Schulklasse insbesondere aufgrund der neuropsychologischen Störungen in Verbindung mit einem pseudoneurasthenischen Syndrom nicht mehr zumutbar sei, führte das Bundesgericht weiter aus, diese Feststellungen deckten sich im Wesentlichen mit der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit im Gutachten des Zentrums X._; sie bestätigten die Zumutbarkeit einer selbständigen Tätigkeit als Sonderpädagogin mit Einzelunterricht. Aufgrund der gutachtlichen Ausführungen sei davon auszugehen, dass die ausgeübte selbständige Tätigkeit den Anforderungen an eine angepasste Tätigkeit optimal entspreche, weil die Beschwerdeführerin in zeitlich kurzen Abständen und weitgehend frei zwischen körperlich und mental belastenden Tätigkeiten wechseln und auch vermehrt Pausen einlegen könne. Mit der Vorinstanz sei daher festzustellen, dass die Verwaltung gestützt auf das Gutachten des Zentrums X._ zu Recht von einer Arbeitsfähigkeit als Sonderpädagogin von 50 Prozent ausgegangen sei. Zu bestätigen sei der kantonale Entscheid auch insoweit, als die Sache an die Verwaltung zurückgewiesen werde, damit sie einen konkreten Einkommensvergleich durchführe und hierauf über den Leistungsanspruch neu verfüge (E. 5.2 S. 10 f.).
2.2 Die IV-Stelle ermittelte aufgrund des letztinstanzlich bestätigten kantonalen Rückweisungsentscheids einen Invaliditätsgrad von 60 Prozent, indem sie dem aus dem früheren Gehalt abgeleiteten Valideneinkommen als Invalideneinkommen den um 50 Prozent reduzierten Zentralwert der Löhne für Absolventinnen von Fachhochschulen gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE; Anforderungsniveau 1+2) gegenüberstellte; es bestehe keine medizinisch attestierte Notwendigkeit, die beruflichen Einsatzmöglichkeiten der Beschwerdeführerin als Sonderpädagogin auf Nachhilfe- und Stützunterricht im Status einer Selbständigerwerbenden zu beschränken (Stellungnahme der Berufsberatung vom 17. August 2007; Verfügungen vom 6. und 22. Mai 2008). Im angefochtenen Entscheid gelangte das kantonale Gericht zum Schluss, für die Versicherte sei - im Interesse der Schadenminderung und Selbsteingliederung - nicht nur die selbständige Tätigkeit als Sonderpädagogin, sondern auch eine unselbständige Tätigkeit in diesem Beruf zumutbar, soweit sie auf Einzelunterricht beschränkt sei (E. 3.3).
Die tatsächlichen Einkommen aus selbständigem Erwerb können den Akten nicht zuverlässig entnommen werden. Aufgrund der in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift angegebenen Daten ging das kantonale Gericht indessen davon aus, dass das Jahreseinkommen bei einem Pensum von 50 Prozent Fr. 20'000.- betrage. Damit schöpfe die Beschwerdeführerin die ihr verbliebene Leistungsfähigkeit nicht vollständig aus, weshalb zur Bemessung des Invalideneinkommens auf Tabellenlöhne abzustellen sei (E. 2.2 und 4.3.2 des angefochtenen Entscheids).
2.3 Geht man davon aus, das bundesgerichtliche Urteil vom 8. Mai 2007 verpflichte die IV-Stelle grundsätzlich darauf, das Invalideneinkommen auf der Grundlage der selbständigen Erwerbstätigkeit der Beschwerdeführerin zu bemessen, lässt sich daraus allein indessen kein höherer Invaliditätsgrad ableiten. Denn unter Zumutbarkeitsgesichtspunkten bleibt ausschlaggebend, ob die - vorab durch eine selbständige Erwerbstätigkeit erfüllbaren - Rahmenbedingungen (vgl. oben E. 2.1) für eine leidensangepasste Arbeit in unselbständiger Stellung ebenfalls effektiv gewährleistet sind. Die Beschwerdeführerin hat nach eigenen Angaben im Jahr 2001, also nach Eintritt der leistungsbegründenden Invalidität, eine Institution übernommen, für welche sie seither im angestammten Tätigkeitsfeld als Selbständigerwerbende tätig ist. Unter dem Aspekt der Schadenminderung durften und mussten die Vorinstanzen indessen prüfen, ob die im bundesgerichtlichen Urteil formulierten Vorgaben allenfalls auch im Rahmen einer unselbständigen Tätigkeit im Bereich von Stütz- und Fördermassnahmen (mit Einzelunterricht) eingehalten werden können. Dem Beschluss des Bildungsrates des Kantons Zürich vom 7. März 2000, mit welchem die Beschwerdeführerin aus gesundheitlichen Gründen "vollumfänglich pensioniert" wurde, ist zu entnehmen, dass solche Stellen allenfalls von den Schulgemeinden angeboten werden. Allerdings ist zum einen offen, ob diese den medizinischen Vorgaben in gleicher Weise gerecht werden wie eine selbständige Tätigkeit. Ungeklärt blieb zum andern auch, ob die Beschwerdeführerin tatsächlich Zugang zu entsprechenden Stellen hätte. Die Arbeitsmöglichkeiten, die mit der gesundheitlichen Beeinträchtigung vereinbar und nach den objektiven und subjektiven Umständen zumutbar sind, bilden strukturell nur dann den in <ref-law> vorausgesetzten Arbeitsmarkt, wenn sie in verschiedenen Ausformungen und hinreichender Zahl, also in ausreichender qualitativer und quantitativer Bandbreite, tatsächlich vorhanden sind (Urteile I 268/04 vom 26. November 2004 E. 3.1 und I 392/02 vom 23. Oktober 2003 mit Hinweisen). Je enger umschrieben das Anforderungsprofil und damit der Kreis der geeigneten Verweisungstätigkeiten ist, desto weiter geht die Substantiierungspflicht der Verwaltung bei der Bezeichnung entsprechender Arbeitsgelegenheiten. Insoweit kann die Invaliditätsbemessung nur dann auf der Grundlage einer unselbständigen Arbeit als Sonderpädagogin erfolgen, wenn dem medizinischen Anforderungsprofil entsprechende Stellen (Förder- und Stützmassnahmen in Gestalt von Einzellektionen) auch effektiv angeboten werden, was an sich gerichtsnotorisch zutrifft.
2.4 Die offenen Fragen können jedoch dahingestellt bleiben. Ein Anspruch auf eine ganze Invalidenrente könnte selbst dann nicht entstehen, wenn der Invalidenlohn auf der Grundlage eines Einkommens als Selbständigerwerbende festgesetzt würde. Denn die Versicherte ist offenkundig auch in diesem Fall in der Lage, ein Invalideneinkommen zu erzielen, das mindestens demjenigen aus dem von den Vorinstanzen angerechneten unselbständigen Erwerb entspräche. Nicht zuletzt der Umstand, dass sie Mitarbeiter beschäftigt (vgl. Budget Schuljahr 2001/2002), lässt den Schluss zu, dass das Arbeitsvolumen - wenigstens nach einer gewissen Anlaufzeit - eine Auslastung der Beschwerdeführerin im zeitlich zumutbaren Ausmass von 50 Prozent mit sich bringt. Nicht anzunehmen ist, dass die Nettostundenansätze unter einem Erwerbseinkommen aus einem Angestelltenverhältnis liegen. Hinzu kommt, dass die Beschwerdeführerin im Rahmen der Geschäftsführung Gelegenheit hat, administrative Verrichtungen zu erledigen, welche den ärztlich auferlegten Anforderungen ebenfalls gerecht werden. Die Beschwerdeführerin wäre demnach in der Lage, bei optimaler Ausnützung ihrer medizinisch vorhandenen Ressourcen ein Invalideneinkommen zu erzielen, das den Anspruch auf eine ganze Invalidenrente ausschliesst.
2.5 Dem Hauptbegehren der Versicherten kann im Übrigen im Falle eines Abstellens auf unselbständigen Erwerb nicht deswegen stattgegeben werden, weil die diesfalls beizuziehenden Tabellenlöhne gemäss der LSE wie anbegehrt im rechtsprechungsgemäss höchstmöglichen Ausmass herabzusetzen wären (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481; <ref-ruling>). Die Festlegung der Höhe des Abzugs vom Tabellenlohn beschlägt eine typische Ermessensfrage und ist im Lichte der Kognitionsbefugnis (Art. 95 und Art. 105 Abs. 2 BGG) letztinstanzlicher Korrektur nur dort zugänglich, wo das kantonale Gericht das Rechtsermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also bei Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung (<ref-ruling> E. 2.2 und 3.3 S. 396 und 399). Ermessensmissbrauch im Besonderen ist gegeben, wenn die Behörde zwar im Rahmen des ihr eingeräumten Ermessens bleibt, sich aber von unsachlichen, dem Zweck der massgebenden Vorschriften fremden Erwägungen leiten lässt oder allgemeine Rechtsprinzipien wie das Verbot von Willkür und von rechtsungleicher Behandlung, das Gebot von Treu und Glauben oder den Grundsatz der Verhältnismässigkeit verletzt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 615 und 123 V 150 E. 2 S. 152, je mit Hinweisen; SVR 2009 IV Nr. 43 S. 127 E. 3, 9C_235/2008; SVR 2008 IV Nr. 49 S. 163 E. 1.3, 9C_404/2007).
Im Ergebnis hat das kantonale Gericht kein Bundesrecht verletzt, indem es zum Schluss gelangte, ein leidensbedingter Abzug rechtfertige sich nicht. Vorausgesetzt, die ärztlich vorgegebenen Rahmenbedingungen seien auch im Rahmen einer unselbständigen Arbeit als Sonderpädagogin gegeben, sind keine Faktoren ersichtlich, welche eine solche Herabsetzung des anrechenbaren Invalideneinkommens gebieten würden. Insbesondere wäre mit der pensenmässigen Reduktion um 50 Prozent sowie mit der leidensangepassten Beschaffenheit der Arbeit (Einzelunterricht) den im Gutachten des Zentrums X._ umschriebenen gesundheitlichen Einschränkungen in einem Masse Rechnung getragen, dass die Beschwerdeführerin keine zusätzlichen erwerblichen Einbussen zu gewärtigen hätte.
3. Verwaltung und Vorinstanz haben den Anspruch auf Kapitalhilfe zur Aufnahme einer Tätigkeit als Selbständigerwerbende im Sinne von <ref-law> verneint mit der Begründung, es wäre für die Beschwerdeführerin zumutbar gewesen, eine unselbständige Arbeit (im Bereich der Sonderpädagogik) zu suchen und auszuüben. Nach dem Gesagten (E. 2.3) trifft diese Begründung zu, sofern Stellen, welche dem medizinischen Anforderungsprofil entsprechen (Förder- und Stützmassnahmen in Gestalt von Einzellektionen), auch effektiv angeboten werden. Dies ist zwar ungewiss. Jedenfalls aber fehlen Anzeichen dafür, dass die Beschwerdeführerin die Institution, durch welche sie seit dem Jahr 2001 ein selbständiges Erwerbseinkommen erzielt, wegen der Invalidität - und nicht bloss bei Gelegenheit der Arbeitssuche nach dem gesundheitlich bedingten Stellenverlust - übernommen hat. Der Schritt in die Selbständigkeit entspricht offenkundig den Neigungen und Fähigkeiten der Beschwerdeführerin. Stellt sich die Aufnahme einer Tätigkeit als Selbständigerwerbende auch im hypothetischen Gesundheitsfall als ein ohne Weiteres realistisches Szenario dar, so verbietet es der Grundsatz der Rechtsgleichheit, die damit verbundenen wirtschaftlichen Risiken teilweise durch die Invalidenversicherung abzusichern.
4. Die Gerichtskosten gehen entsprechend dem Verfahrensausgang zu Lasten der Beschwerdeführerin (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. April 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub