Faits:
A.
X._ et Y._ sont les parents de A._, né hors mariage en 2002. Le père a reconnu l'enfant. Ce dernier a vécu avec ses deux parents jusqu'à ce qu'il ait environ 2 ans; ensuite de la séparation du couple, il a d'abord vécu avec sa mère puis, dès novembre 2011, avec son père. L'autorité parentale est toujours attribuée conjointement aux deux parents.
Le 25 novembre 2011, le père a demandé que l'autorité parentale et la garde de l'enfant lui soient formellement confiées. Par décision du 11 septembre 2012, la Justice de paix de l'arrondissement de la Gruyère a institué une curatelle éducative. Le 17 juin 2013, elle a notamment attribué la garde provisoire de l'enfant à son père jusqu'à droit connu sur la procédure au fond et a réglé le droit de visite de la mère. Dans les faits, ce droit de visite ne s'exerce toutefois pas.
B.
Le 3 décembre 2012, la mère a requis de la Justice de paix l'institution d'une curatelle de représentation au sens de l'art. 392 ch. 2 aCC en faveur de son fils, en vue d'une action en contestation de la reconnaissance de paternité. A l'appui de sa requête, elle a notamment exposé que le moment de la conception de l'enfant correspondait à une période où elle vivait séparée de Y._ et avait rencontré un autre homme «de type maghrébin» prénommé B._. Elle a aussi fait valoir que l'enfant présentait actuellement les caractéristiques physiques d'un «maghrébin» et qu'il constaterait petit à petit qu'il n'a pas les caractéristiques génétiques de son père légal. En outre, elle a mentionné ses importantes difficultés avec celui-ci concernant l'exercice du droit de visite, la garde et l'entretien de l'enfant.
Par décision du 4 février 2013, la Justice de paix a rejeté la requête.
Le 13 juin 2013, la mère a déposé un recours devant la Cour de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, qui l'a rejeté par arrêt du 8 novembre suivant.
C.
Par acte du 12 décembre 2013, la mère exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 8 novembre 2013, concluant à son annulation.
Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le présent recours, déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF), est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue sur recours par la dernière autorité cantonale (art. 75 al. 1 LTF). L'instauration d'une curatelle de représentation de l'enfant fondée sur l'art. 306 al. 2 CC aux fins d'intenter une action en contestation de la reconnaissance de paternité (art. 260a CC) est une décision de nature non pécuniaire en matière de protection de l'enfant, sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. b ch. 7 LTF; cf. pour l'action en désaveu de paternité: arrêt 5A_593/2011 du 10 février 2012 consid. 1 et les références). Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions devant l'autorité cantonale (art. 76 al. 1 LTF), le recours est donc en principe recevable.
1.2. Le recours en matière civile des art. 72 ss LTF étant une voie de réforme (art. 107 al. 2 LTF), le recourant ne doit en principe pas se borner à demander l'annulation de la décision attaquée; il doit également, sous peine d'irrecevabilité, prendre des conclusions sur le fond du litige. Exceptionnellement, des conclusions uniquement cassatoires suffisent lorsque la motivation du recours ou de la décision attaquée permet de comprendre d'emblée la modification requise (<ref-ruling> consid. 2).
En l'espèce, la recourante se limite à prendre une conclusion cassatoire, sans même conclure au renvoi de la cause à une autorité inférieure. Toutefois, vu l'ensemble du dossier, notamment la motivation de son recours, l'on comprend que la recourante conclut à ce que sa requête tendant à l'instauration d'une curatelle de représentation de l'enfant en vue d'une action en contestation de la reconnaissance de paternité soit admise, en sorte que le recours est également recevable sous cet angle.
1.3. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Compte tenu des exigences de motivation posées à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.1). L'art. 42 al. 2 LTF exige ainsi que le recourant discute au moins de manière succincte les considérants de la décision entreprise. En outre, le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental doit indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle a été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation («principe d'allégation», art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 3.2 et les arrêts cités).
1.4. Le Tribunal fédéral ne peut s'écarter des faits constatés par l'autorité précédente que si ceux-ci ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF) et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.1; <ref-ruling> consid. 1.2.2), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (<ref-ruling> consid. 4.1.2). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2 et les arrêts cités).
Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 9 et les arrêts cités). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables; encore faut-il que la décision attaquée en soit viciée dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 2.1). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 LTF); il en est ainsi même lorsque la maxime d'office ou la maxime inquisitoire est applicable (<ref-ruling> consid. 1c [ad art. 55 al. 1 let. c OJ]).
2.
La recourante estime que les faits sur lesquels la cour cantonale s'est fondée sont manifestement inexacts, partant que cette autorité a mal appliqué le droit fédéral. Elle expose en bref que, par ordonnance pénale du 26 juillet 2013, l'intimé a été condamné pour lésions corporelles simples sur son fils, de sorte que l'autorité précédente ne pouvait retenir que le père et l'enfant entretiennent une relation affective suivie et stable depuis la naissance de ce dernier. Les divers rapport du Service de l'enfance et de la jeunesse mentionnent en outre l'existence d'un grave conflit entre les parents, particulièrement néfaste pour l'enfant, et le comportement singulier de l'intimé par rapport à elle-même et à son fils. Enfin, même l'intervention d'un curateur n'a pas permis la reprise de son droit de visite. Pour la recourante, il serait ainsi dans l'intérêt de l'enfant de ne plus avoir de père et, partant, d'entretenir une relation chaleureuse avec elle, en dehors de tout conflit parental.
2.1. Aux termes de l'art. 260 al. 1 CC, lorsque le rapport de filiation existe seulement avec la mère, le père peut reconnaître l'enfant. La reconnaissance peut être attaquée en justice par tout intéressé, en particulier par la mère, par l'enfant et, s'il est décédé, par ses descendants, ainsi que par la commune d'origine ou la commune de domicile de l'auteur de la reconnaissance (art. 260a al. 1 CC). L'action est intentée contre l'auteur de la reconnaissance et contre l'enfant lorsque ceux-ci ne l'intentent pas eux-mêmes (art. 260a al. 3 CC). Les conditions de l'exercice de l'action de l'enfant sont proches de celles qui valent pour le désaveu. Il s'agit pour lui d'un droit strictement personnel, qu'il peut exercer seul s'il a la capacité de discernement (art. 19c al. 1 CC); à défaut, l'enfant doit pouvoir agir par le ministère d'un curateur de représentation, lequel entreprendra le procès en contestation de la reconnaissance au nom de l'enfant (notamment: OLIVIER GUILLOD, Commentaire romand, n. 11 ad art. 260a CC; pour l'action en désaveu: <ref-ruling> consid. 1c et les citations; arrêt 5A_593/2011 du 10 février 2012 consid. 3.1.1 et les références).
L'autorité appelée à nommer un curateur à l'enfant doit déterminer si l'ouverture d'une action en contestation de la reconnaissance est ou non conforme à l'intérêt de celui-ci, en comparant sa situation avec ou sans la reconnaissance (cf. <ref-ruling> consid. 2c; arrêt 5A_593/2011 précité et la jurisprudence mentionnée; O. GUILLOD, op. cit., loc. cit.). Elle doit tenir compte des conséquences d'ordre tant psycho-social que matériel, par exemple la perte du droit à l'entretien et des expectatives successorales (cf. <ref-ruling> consid. 2c précité); il ne sera ainsi pas dans l'intérêt de l'enfant d'introduire une telle action lorsqu'il est incertain que le mineur puisse avoir un autre père légal, lorsque la contribution d'entretien serait notablement moindre, lorsque la relation étroite entre l'enfant et ses frères et soeurs serait sérieusement perturbée et lorsqu'il n'y a pas lieu d'admettre que l'enfant serait en mesure d'entretenir une relation positive sur le plan socio-psychique avec son géniteur (cf. arrêt 5A_593/2011 précité et les références).
La décision de nommer un curateur à l'enfant suppose ainsi une pesée d'intérêts de la part de l'autorité cantonale (arrêts 5A_744/2013 du 31 janvier 2014 consid. 3.2.2; 5A_507/2013 du 29 octobre 2013 consid. 4.1; 5A_593/2011 du 10 février 2012 consid. 3.1.2). En outre, la notion d'intérêt de l'enfant étant une notion juridique indéterminée, le Tribunal fédéral s'impose également une certaine retenue s'agissant de son interprétation.
2.2. Après avoir correctement rappelé les principes applicables en la matière, les juges précédents ont retenu que la mère invoquait exclusivement ses mauvaises relations avec le père, lesquelles nuiraient à l'intérêt de l'enfant. Pour l'autorité cantonale, quand bien même ce fait serait-il avéré, la suppression du lien de filiation avec l'intéressé ne constituait pas la solution idoine. Que la relation entre les parents soit conflictuelle était, partant, sans incidence concernant le maintien ou non du lien de filiation. Par ailleurs, comme l'avait pertinemment relevé l'autorité de première instance, une telle suppression aboutirait très certainement à priver l'enfant de père juridique, faute de pouvoir, selon toute vraisemblance, établir l'identité exacte du père biologique. Or ce point n'était même pas abordé par la mère, dont la démarche tendait uniquement à mettre à néant, de façon détournée, la décision confiant au père juridique la garde de son fils.
Cette opinion, à laquelle la recourante oppose une argumentation fondée en grande partie sur des faits qui ne résultent pas de l'arrêt entrepris, peut être confirmée. L'autorité cantonale a en effet procédé, conformément aux exigences jurisprudentielles, à une pesée correcte des intérêts de l'enfant à agir ou non en contestation de la reconnaissance de paternité. Elle a examiné son bien-être psycho-social en comparant les liens noués avec son père juridique, considérés comme suivis et stables, et l'impossibilité vraisemblable - admise par la mère - d'établir l'identité exacte de son père biologique. La recourante expose divers éléments tendant à démontrer que la relation entre le père et le fils est tout sauf harmonieuse, qu'il existe un grave conflit parental particulièrement néfaste pour l'enfant et que l'intimé la prive de toutes relations avec celui-ci: outre que ces faits ne ressortent pas de l'arrêt attaqué, sans que la recourante ne démontre d'arbitraire (art. 9 Cst.) à ce sujet, ses critiques étant de nature appellatoire (art. 106 al. 2 LTF), il s'agit en réalité d'objections qui concernent, comme l'autorité cantonale l'a relevé à juste titre, la question de la garde de l'enfant, en relation avec celle du droit aux relations personnelles du parent non gardien, et non l'intérêt de l'enfant à conserver un lien de filiation juridique avec son père. Dans la mesure où la recourante prétend qu'il serait souhaitable que l'enfant «n'ait plus de père, comme d'ailleurs beaucoup d'autres enfants», son allégation est par ailleurs infondée.
3.
En conclusion, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité, avec suite de frais à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 700 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et à la Cour de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 5 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Mairot