Erwägungen:
1. X._ (geb. 1963) stammt aus Algerien. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren, in dessen Rahmen er verpflichtet wurde, das Land bis zum 12. November 2002 zu verlassen, was er nicht tat. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 28. Januar 2008 in Durchsetzungshaft, welche das Haftgericht III Bern-Mittelland am 29. Januar 2008 prüfte und bis zum 27. Februar 2008 bestätigte. X._ ist hiergegen mit dem sinngemässen Antrag an die Haftrichterin gelangt, er sei aus der Haft zu entlassen; sein Schreiben wurde am 4. Februar 2008 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weitergeleitet.
2. Die Eingabe erweist sich aufgrund der eingeholten Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden; es braucht unter diesen Umständen nicht geprüft zu werden, ob die Beschwerde rechtsgenügend begründet ist (vgl. <ref-law>):
2. Die Eingabe erweist sich aufgrund der eingeholten Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden; es braucht unter diesen Umständen nicht geprüft zu werden, ob die Beschwerde rechtsgenügend begründet ist (vgl. <ref-law>):
2.1 2.1.1 Hat ein Ausländer seine Pflicht zur Ausreise aus der Schweiz innerhalb der ihm angesetzten Frist nicht erfüllt und kann die rechtskräftige Weg- oder Ausweisung wegen seines persönlichen Verhaltens nicht vollzogen werden, so darf er, um der Ausreisepflicht Nachachtung zu verschaffen, in Durchsetzungshaft genommen werden, sofern die Anordnung der Ausschaffungshaft nicht zulässig ist und keine andere, mildere Massnahme geeignet erscheint, zu diesem Ziel zu führen (Art. 78 Abs. 1 AuG [SR 142.20]). Die Durchsetzungshaft ist erstmals für einen Monat möglich. Sie kann hernach mit der Zustimmung der zuständigen kantonalen richterlichen Behörde - bis zu einer Maximaldauer von 18 Monaten - jeweils um zwei Monate verlängert werden (Art. 78 Abs. 2 AuG). Die Vorbereitungs-, Ausschaffungs- und Durchsetzungshaft dürfen zusammen die Höchstdauer von 24 Monaten nicht überschreiten (Art. 79 AuG).
2.1.2 Zweck der Durchsetzungshaft ist es, die ausreisepflichtige Person in jenen Fällen zu einer Verhaltensänderung zu bewegen, in denen nach Ablauf der Ausreisefrist der Vollzug der rechtskräftig gegen sie angeordneten Weg- oder Ausweisung - trotz der behördlichen Bemühungen - ohne ihre Kooperation nicht möglich ist. Sie soll das letzte Mittel darstellen, wenn und soweit keine andere Zwangsmassnahme mehr zum Ziel führt, den illegal anwesenden Ausländer - auch gegen seinen Willen - in seine Heimat verbringen zu können (<ref-ruling> E. 2.2 S. 99 f.). Ihre konventionsrechtliche Rechtfertigung findet die Durchsetzungshaft in Art. 5 Ziff. 1 lit. f in Verbindung mit Art. 5 Ziff. 1 lit. b EMRK. Nach dem Willen des Gesetzgebers kann selbst eine Haftdauer von 18 Monaten im Einzelfall verhältnismässig sein (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 100).
2.1.2 Zweck der Durchsetzungshaft ist es, die ausreisepflichtige Person in jenen Fällen zu einer Verhaltensänderung zu bewegen, in denen nach Ablauf der Ausreisefrist der Vollzug der rechtskräftig gegen sie angeordneten Weg- oder Ausweisung - trotz der behördlichen Bemühungen - ohne ihre Kooperation nicht möglich ist. Sie soll das letzte Mittel darstellen, wenn und soweit keine andere Zwangsmassnahme mehr zum Ziel führt, den illegal anwesenden Ausländer - auch gegen seinen Willen - in seine Heimat verbringen zu können (<ref-ruling> E. 2.2 S. 99 f.). Ihre konventionsrechtliche Rechtfertigung findet die Durchsetzungshaft in Art. 5 Ziff. 1 lit. f in Verbindung mit Art. 5 Ziff. 1 lit. b EMRK. Nach dem Willen des Gesetzgebers kann selbst eine Haftdauer von 18 Monaten im Einzelfall verhältnismässig sein (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 100).
2.2 Die gegen den Beschwerdeführer angeordnete Durchsetzungshaft entspricht diesen Vorgaben und verletzt kein Bundesrecht:
2.2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden und hätte diese seit November 2002 verlassen müssen. Er hat sich am 14. November 2002 in Genf geweigert, den Rückflug nach Algier anzutreten, worauf er aus der damaligen Haft entlassen werden musste, da zwangsweise Ausschaffungen nach Algerien nicht möglich sind. In der Folge war er unbekannten Aufenthalts, wobei er offenbar illegal in Genf, La Chaux-de-Fonds und Lausanne lebte. Die Möglichkeit der Rückkehr in seine Heimat hängt heute allein von seiner Bereitschaft hierzu ab, weshalb eine erneute Ausschaffungshaft nicht (mehr) zulässig und die Anordnung der Durchsetzungshaft rechtens ist (zu Algerien: <ref-ruling> E. 3.3).
2.2.2 Der Beschwerdeführer hat es jederzeit in der Hand, seine Durchsetzungshaft zu verkürzen bzw. zu beenden, indem er sich bereit erklärt, auf einem Linienflug freiwillig in seine Heimat zurückzukehren, und hierfür mit den Behörden kooperiert. In diesem Fall könnte die Haft innert weniger Wochen beendet werden, andernfalls sind Haftverlängerungen bis zu maximal 18 Monaten denkbar; auch ist eine (allenfalls zusätzliche) Ausschaffungshaft nicht ausgeschlossen, sollten die Verhandlungen mit den algerischen Behörden über die zwangsweisen Rückschaffungen inzwischen Erfolg zeitigen (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.). Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, bei einer Haftentlassung in einen Drittstaat reisen zu wollen, ist nicht ersichtlich, wie er dies - ohne Visum - legal tun könnte; im Übrigen hatte er seit dem Jahre 2002 hinreichend Gelegenheit, seine freiwillige Ausreise zu organisieren.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es rechtfertigt sich aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, absehbarer Vollzug der Wegweisung) indessen, von der Erhebung von Kosten abzusehen (<ref-law>). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar