Faits:
A. Ressortissant turc né le 1er janvier 1969, A._ est entré pour la première fois en Suisse en octobre 1988 en tant que requérant d'asile. A la suite du rejet de sa demande, il a quitté ce pays en juillet 1991 pour se rendre chez son frère domicilié à Paris.
Le 19 février 1998, il est revenu illégalement en Suisse et s'est établi, sans titre de séjour, chez sa future épouse de nationalité suisse, B._ née en 1956. Le 27 mars 1998, il a contracté mariage avec la prénommée et a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour. Aucun enfant n'est issu de cette union.
Le 10 février 2002, A._ a déposé une demande de naturalisation facilitée. Lors de l'instruction, le requérant et son épouse ont contresigné, le 11 août 2002, une déclaration écrite aux termes de laquelle ils confirmaient vivre en communauté conjugale effective et stable, résider à la même adresse et n'envisager ni séparation, ni divorce. Par décision du 9 octobre 2002, l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) a accordé la naturalisation requise.
Les époux A._ et B._ ont introduit une requête commune de divorce au début du mois de décembre 2003 et la dissolution de leur mariage a été prononcée le 19 avril 2004.
Le 12 août 2004, A._ a contracté un nouveau mariage avec C._, ressortissante turque née le 24 octobre 1984.
B. Le 15 février 2005, l'Office fédéral a informé l'intéressé de son intention d'ouvrir une procédure visant à l'annulation de sa naturalisation facilitée. Dans ses observations du 14 mars 2005, A._ a assuré n'avoir nullement conclu un mariage de complaisance et n'avoir en aucun cas envisagé un divorce ou une séparation lors de la procédure de naturalisation facilitée. Interrogée le 3 mai 2005, B._ a affirmé qu'elle avait rencontré son futur mari à Lausanne en juillet 1997 et que la conclusion de son mariage avait été initialement motivé par des sentiments amoureux. Les problèmes conjugaux avaient commencé à partir du printemps 2003, à la suite de "problèmes relationnels". S'agissant des causes principales du divorce, B._ a évoqué l'existence de "différences de cultures et d'origines" entre les époux. Par ailleurs, elle a exposé que A._ se rendait une fois par année en Turquie pour rendre visite à sa famille, durant trois semaines, et qu'elle l'avait accompagné une seule fois, en 1998, soit très peu de temps après leur mariage. Elle a encore déclaré que l'intéressé s'absentait souvent du domicile conjugal pendant les fins de semaine pour rejoindre ses amis et compatriotes. A._ a joint plusieurs pièces à ses déterminations du 18 juillet 2005, notamment un lot de photographies démontrant la vie commune des époux et la copie d'une lettre qu'il avait adressée à l'Office fédéral le 15 juillet 2005, faisant état d'un désaccord existant au sein du couple relatif à la présence dans le foyer familial du fils de son ex-épouse. Appelé par l'Office fédéral à se prononcer sur ce point, ledit fils n'a pas confirmé, dans sa réponse du 4 septembre 2006, les propos tenus par l'intéressé. Le 5 décembre 2006, A._ a produit des déclarations écrites de plusieurs personnes tendant à démontrer qu'il n'avait rien dissimulé lors de sa naturalisation.
Par décision du 9 février 2007, l'Office fédéral a prononcé, avec l'assentiment des autorités cantonales compétentes, l'annulation de la naturalisation facilitée accordée à A._.
C. Le 31 mars 2009, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours de A._ contre la décision précitée. Il a considéré en substance que l'examen des faits pertinents de la cause, ainsi que leur déroulement chronologique, amenaient à la conclusion que l'intéressé avait obtenu la naturalisation facilitée sur la base de déclarations mensongères ou d'une dissimulation des faits essentiels. Celui-ci n'avait par ailleurs pas rendu vraisemblable la survenance d'un événement extraordinaire susceptible d'expliquer une détérioration rapide du lien conjugal.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 31 mars 2009 en ce sens que la décision d'annulation de la naturalisation facilitée est invalidée. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à "l'autorité de première instance" pour qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Tribunal administratif fédéral ainsi que l'Office fédéral ont renoncé à se déterminer.
Par ordonnance du 8 juin 2009, le président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif contenue dans le recours.

Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué émane du Tribunal administratif fédéral et concerne l'annulation de la naturalisation facilitée accordée au recourant, si bien qu'il peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public (art. 82 let. a et 86 al. 1 let. a LTF). Le motif d'exclusion de l'<ref-law> n'entre pas en ligne de compte, dès lors qu'il s'agit en l'espèce de naturalisation facilitée et non pas de naturalisation ordinaire. Pour le surplus, le recourant possède la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law> et les conditions formelles de recevabilité sont remplies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2. A titre de mesures d'instruction, le recourant requiert la production des dossiers du Tribunal administratif fédéral et de l'Office fédéral. Sa requête est satisfaite, les autorités ayant déposé le dossier de la cause dans le délai que le Tribunal fédéral leur avait imparti à cette fin (cf. <ref-law>).
3. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits, susceptibles d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure, que si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135).
Au début de son mémoire de recours, le recourant indique que le Tribunal administratif fédéral aurait constaté de manière inexacte et incomplète les faits pertinents. Il ne dit toutefois pas quels faits retenus dans l'arrêt attaqué seraient erronés ou inexacts, ni quels éléments déterminants le Tribunal administratif fédéral aurait oublié de mentionner. En réalité, il critique l'appréciation juridique des faits, soulevant ainsi une question de droit que le Tribunal fédéral examine en l'espèce librement (cf. <ref-law>).
4. En vertu de l'art. 27 al. 1 de la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse (LN; RS 141.0), un étranger peut, ensuite de son mariage avec un ressortissant suisse, former une demande de naturalisation facilitée s'il a résidé en Suisse pendant cinq ans en tout (let. a), s'il y réside depuis une année (let. b) et s'il vit depuis trois ans en communauté conjugale avec un ressortissant suisse (let. c). La naturalisation facilitée ne peut pas être accordée, en particulier, s'il n'y a pas de communauté conjugale au moment du dépôt de la requête ou à la date de la décision de naturalisation. D'après la jurisprudence, la notion de communauté conjugale suppose non seulement l'existence formelle d'un mariage, mais encore une véritable communauté de vie des conjoints. Tel est le cas s'il existe une volonté commune et intacte de ceux-ci de maintenir une union conjugale stable; une séparation survenue peu après l'octroi de la naturalisation constitue un indice de l'absence de cette volonté lors de l'obtention de la citoyenneté suisse (<ref-ruling> consid. 2 p. 484; <ref-ruling> consid. 3a p. 98; <ref-ruling> consid. 2b p. 52). La communauté conjugale ainsi définie doit non seulement exister au moment du dépôt de la demande, mais elle doit subsister pendant toute la procédure jusqu'au prononcé de la décision d'octroi de la naturalisation facilitée (<ref-ruling> consid. 2 p. 484).
Conformément aux art. 41 al. 1 LN et 14 al. 1 de l'ordonnance du 17 novembre 1999 sur l'organisation du Département fédéral de justice et police (RS 172.213.1), l'Office fédéral des migrations peut, avec l'assentiment de l'autorité du canton d'origine, annuler dans les cinq ans une naturalisation facilitée obtenue par des déclarations mensongères ou par la dissimulation de faits essentiels. Pour qu'une naturalisation facilitée soit annulée, il ne suffit donc pas qu'elle ait été accordée alors que l'une ou l'autre de ses conditions n'était pas remplie; il faut qu'elle ait été acquise grâce à un comportement déloyal et trompeur. S'il n'est pas besoin que ce comportement soit constitutif d'une escroquerie au sens du droit pénal, il est nécessaire que l'intéressé ait donné sciemment de fausses informations à l'autorité ou qu'il l'ait délibérément laissée dans l'erreur sur des faits qu'il savait essentiels (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 115 et les arrêts cités). Tel est notamment le cas si le requérant déclare vivre en communauté stable avec son conjoint alors qu'il envisage de se séparer une fois obtenue la naturalisation facilitée; peu importe que son mariage se soit ou non déroulé jusqu'ici de manière harmonieuse (arrêt 5A.22/2006 du 13 juillet 2006 consid. 2.2). La nature potestative de l'art. 41 al. 1 LN confère une certaine liberté d'appréciation à l'autorité compétente, qui doit toutefois s'abstenir de tout abus dans l'exercice de celle-ci. Commet un abus de son pouvoir d'appréciation l'autorité qui se fonde sur des critères inappropriés, ne tient pas compte de circonstances pertinentes ou rend une décision arbitraire, contraire au but de la loi ou au principe de la proportionnalité (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 115; <ref-ruling> consid. 4a p. 101 et les arrêts cités).
La procédure administrative fédérale est régie par le principe de la libre appréciation des preuves (art. 40 de la loi fédérale de procédure civile fédérale du 4 décembre 1947 [PCF; RS 273], applicable par renvoi de l'art. 19 de la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative [PA; RS 172.021]). Ce principe vaut également devant le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). L'administration supporte le fardeau de la preuve lorsque la décision intervient, comme en l'espèce, au détriment de l'administré. Cela étant, la jurisprudence admet dans certaines circonstances que l'autorité puisse se fonder sur une présomption. C'est notamment le cas pour établir que le conjoint naturalisé a menti lorsqu'il a déclaré former une union stable, dans la mesure où il s'agit d'un fait psychique, lié à des éléments relevant de la sphère intime, souvent inconnus de l'administration et difficiles à prouver (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 485). Partant, si l'enchaînement rapide des événements fonde la présomption de fait que la naturalisation a été obtenue frauduleusement, il incombe alors à l'administré de renverser cette présomption, non seulement en raison de son devoir de collaborer à l'établissement des faits (<ref-law> ; cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 115 s.), mais encore de son propre intérêt (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 485 s.).
5.1 Dans le cas particulier, le Tribunal administratif fédéral a relevé que le laps de temps entre la déclaration commune (11 août 2002), l'octroi de la naturalisation facilitée (9 octobre 2002), l'annonce de la séparation de fait des époux (1er septembre 2003), le dépôt de la requête commune de divorce (9 décembre 2003) et le remariage du recourant avec une ressortissante turque (12 août 2004), soit exactement deux ans, tendait à confirmer que le couple n'envisageait déjà plus une vie future partagée lors de la signature de la déclaration de vie commune. Cette conviction était renforcée par plusieurs autres éléments. Le recourant a contracté mariage le 27 mars 1998 avec B._, alors qu'il résidait de manière illégale dans le canton de Vaud et que sa situation sur le plan des conditions de séjour paraissait pour le moins précaire. Il a épousé une femme de treize ans son aînée, divorcée et mère d'un enfant issu d'un précédent mariage, situation inhabituelle dans son milieu socioculturel, et, moins de quatre mois après l'entrée en force du jugement de divorce, il a conclu un nouveau mariage avec une compatriote vingt-huit ans plus jeune que sa première épouse. A cela s'ajoute que le recourant s'absentait souvent du foyer conjugal les fins de semaine pour rejoindre ses amis et compatriotes et qu'il se rendait seul en Turquie une fois par année, durant trois semaines, aux fins de rendre visite à sa famille.
Le recourant ne conteste aucun de ces éléments, lesquels sont propres à fonder la présomption que sa naturalisation a été obtenue frauduleusement. Il fait certes valoir, photographies à l'appui, que le couple qu'il formait avec B._ était heureux pendant la vie commune; cet allégué ne permet toutefois pas d'affaiblir ladite présomption.
5.2 Selon la jurisprudence précitée, il incombait dès lors au recourant de renverser cette présomption en rendant vraisemblable, soit la survenance d'un événement extraordinaire, susceptible d'expliquer une dégradation aussi rapide du lien conjugal, soit l'absence de conscience de la gravité de ses problèmes de couple au moment de la signature de la déclaration commune.
Le recourant soutient que, dans la mesure où le Tribunal administratif fédéral a retenu que les difficultés conjugales étaient apparues six mois environ après l'obtention de la naturalisation facilitée, cela signifiait qu'au moment de la signature de la déclaration du 11 août 2002, les problèmes de couple n'existaient pas. La demande de divorce avait par ailleurs été déposée le 9 décembre 2003, soit près d'un an après l'apparition des difficultés, et c'était B._ qui avait décidé de mettre un terme au mariage. Le recourant en conclut qu'il n'avait pas conscience de la gravité des problèmes de couple au moment de la signature de la déclaration et que l'union conjugale était suffisamment stable à ce moment-là. Ces affirmations ne sont pas convaincantes. En effet, il ressort des déclarations de B._ que la séparation est survenue à la suite de "problèmes relationnels" et à cause de "différences de cultures et d'origines" entre les ex-époux; par ailleurs, bien que les époux aient eu connaissance de leurs différences culturelles, celles-ci n'auraient jamais posé de problèmes avant le printemps 2003 (mémoire de recours p. 11). Ainsi que l'a relevé le Tribunal administratif fédéral, de tels motifs ne sauraient être survenus de manière inattendue et subite, précisément quelques mois après l'obtention de la nationalité suisse. Les éventuelles difficultés qui peuvent surgir entre époux, après plusieurs années de vie commune, dans une communauté de vie effective, intacte et stable, n'entraînent en effet la désunion, selon l'expérience générale, qu'au terme d'un processus prolongé de dégradation des rapports conjugaux, en principe entrecoupés de tentatives de réconciliation (cf. arrêt 5A.11/2006 du 27 juin 2006 consid. 4.1 et arrêt 5A.18/2003 du 19 novembre 2003 consid. 2.2). Au demeurant, on peut relever la précipitation avec laquelle le recourant s'est remarié, moins de quatre mois après le prononcé du divorce, avec une jeune ressortissante turque. Le recourant tente en vain d'expliquer cette hâte par "l'élément socio-culturel qui a sous-tendu ce second mariage", alléguant qu'au Kurdistan, terre d'origine de sa nouvelle épouse, des femmes sont fréquemment assassinées par leurs proches en raison d'une liaison qu'elles ont eue hors mariage. Ces explications ne sont guère vraisemblables lorsque l'on sait que les us et coutumes kurdes dont se prévaut le recourant impliquent auparavant des tractations entre les familles avant qu'une jeune fille ne soit promise à son futur mari. Au vu du laps de temps extrêmement court qui s'est écoulé entre le divorce et la conclusion du second mariage, il apparaît que ce projet devait mûrir depuis un certain temps déjà. Finalement, le recourant fait valoir que le retour du fils de B._ au foyer de sa mère a précipité le couple vers la rupture, ce qui permettrait d'expliquer pourquoi les liens du mariage se sont si rapidement détériorés. Or, B._, qui a été entendue en détail sur la nature et le causes des difficultés conjugales, n'a jamais fait allusion à un quelconque problème qui aurait surgi entre son fils et le recourant; de même, le fils en question, invité par l'Office fédéral à se prononcer sur ses relations avec le recourant, a affirmé qu'il n'avait jamais ressenti de tension entre eux qui auraient pu poser un éventuel problème de cohabitation. Il apparaît ainsi que ce motif du divorce, en contradiction avec celui avancé par B._, semble peu crédible et ne saurait de toute façon constituer un événement extraordinaire susceptible d'expliquer une dégradation aussi rapide du lien conjugal.
Dans ces circonstances, les éléments avancés par le recourant ne permettent pas de renverser la présomption établie. Il en découle que les conditions d'application de l'art. 41 LN sont remplies et que le Tribunal administratif fédéral n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation en confirmant l'annulation de la naturalisation facilité octroyée au recourant.
6. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 30 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: La Greffière:
Aemisegger Mabillard