Faits:
A. Par ordonnance du 8 mai 2009, le président du Tribunal civil du district de La Chaux-de-Fonds a prononcé l'exequatur d'un arrêt de la Cour d'appel de Venise du 15 décembre 2004 condamnant la société A._ SA en liquidation (ci-après: la débitrice) à rembourser à la société italienne B._ SpA (ci-après: la créancière), la somme de 295'822, 90 euros. La débitrice a vainement recouru contre cette décision auprès de la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, puis auprès du Tribunal fédéral (arrêt 4A_455/2009 du 29 octobre 2009).
L'opposition de la débitrice à la poursuite n° xxx exercée par la créancière a été levée définitivement, sur la base de l'arrêt italien précité, par décision du président du tribunal de district du 5 novembre 2009.
Le 11 janvier 2010, la créancière a fait notifier à la débitrice une commination de faillite, qui est restée sans effet. Le 15 mars suivant, elle a requis sa faillite. Convoquée à l'audience de la présidente du tribunal de district du 26 avril 2010 et avisée que si elle justifiait du paiement avant cette audience et auprès du tribunal de la somme de 566'089 fr. 80 la poursuite serait éteinte, la débitrice ne s'est pas présentée ni fait représenter à l'audience. Constatant dès lors qu'aucune des exceptions prévues par les art. 172 et 173a LP n'avait été soulevée, en particulier qu'il n'avait pas été justifié du paiement de la créance, la présidente du tribunal a prononcé la faillite de la débitrice avec effet au 26 avril 2010, jugement qui a été notifié à cette dernière le 28 avril 2010.
B. Par acte du 10 mai 2010, la débitrice a recouru à la Ire Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois en concluant à l'octroi de l'effet suspensif, à l'annulation du prononcé de faillite et, subsidiairement, à la suspension de la procédure jusqu'à droit connu dans la procédure civile italienne. Elle faisait valoir en substance que le prononcé attaqué reposait sur le jugement d'un tribunal italien qui n'était pas définitif puisqu'il avait fait l'objet d'un pourvoi auprès de la cour de cassation italienne. S'agissant des conditions de l'<ref-law>, elle considérait sa solvabilité comme ne faisant « l'objet d'aucun doute » dès lors que, sa liquidation étant presque terminée, ses différents créanciers avaient tous été désintéressés, la seule poursuite subsistant à son encontre étant celle ici en cause, dont la créancière, du fait qu'elle avait d'ores et déjà obtenu le séquestre de deux comptes bancaires, devait être considérée comme « elle aussi partiellement désintéressée, virtuellement à tout le moins ». La recourante trouvait en outre « particulièrement choquant » que sa faillite soit prononcée en Suisse, alors que le jugement italien n'était pas encore définitif.
En cours de procédure, le 19 mai 2010, la faillie a fait savoir à la cour cantonale que l'arrêt de la cour de cassation italienne avait été rendu et qu'un recours avait été déposé contre cet arrêt auprès de la Cour européenne des droits de l'homme. Ella a déposé une copie de ce recours.
Par ordonnance du 21 mai 2010, la juge instructeur de la cour cantonale a rejeté la requête d'effet suspensif.
Statuant sur le recours le 11 août 2010, la cour cantonale a tout d'abord considéré que la question de la recevabilité des pièces déposées en instance de recours pouvait rester ouverte puisqu'elle était sans effet sur le sort du recours et qu'il en allait de même de celle des mesures d'instruction sollicitées par la recourante. Sur le fond, elle a rejeté le recours au motif que la condition posée par l'<ref-law> n'était pas réalisée.
C. Contre cet arrêt cantonal, qui lui a été notifié le 13 août 2010, la faillie a interjeté, le 13 septembre 2010, un recours en matière civile au Tribunal fédéral, assorti d'une demande d'effet suspensif. Invoquant une application arbitraire de la règle sur la suspension du procès prévue à l'<ref-law>/NE et une fausse application de l'<ref-law>, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et du prononcé de faillite, subsidiairement à la suspension de la procédure de faillite jusqu'à droit connu sur le recours déposé auprès de la Cour européenne des droits de l'homme ou au renvoi de l'affaire à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Par ordonnance présidentielle du 29 septembre 2010, la recourante a été invitée, sur requête de l'intimée invoquant l'insolvabilité de celle-ci, à verser le montant de 3'000 fr. à titre de sûretés selon l'<ref-law>. Ce montant a été versé à la Caisse du Tribunal fédéral dans le délai imparti.
L'effet suspensif a été attribué au recours par ordonnance du 28 octobre 2010, en ce sens qu'aucun acte d'exécution de la décision attaquée ne devait être entrepris, les éventuelles mesures conservatoires déjà prises par l'office en vertu des <ref-law> demeurant toutefois en vigueur.
Le dépôt d'une réponse sur le fond n'a pas été requis.

Considérant en droit:
1. 1.1 Formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2) qui confirme, en dernière instance cantonale et sur recours (<ref-law>), l'ouverture de la faillite de la recourante (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2), le recours en matière civile est en principe recevable, indépendamment de la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. d LTF).
1.2 Le recours en matière civile peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), lequel comprend le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 1). Sous réserve des hypothèses visées à l'art. 95 let. c et d LTF, la violation du droit cantonal n'est pas un motif de recours. Toutefois, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, parce qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.3).
1.3 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 211; <ref-ruling> consid. 2 p. 61). En ce qui concerne la façon dont le droit cantonal a été appliqué, il ne faut pas confondre arbitraire et violation de la loi; une violation doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement dire si l'interprétation qui a été faite est défendable (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.1). En outre, l'annulation de la décision attaquée ne se justifie que si celle-ci est arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1). Il appartient au recourant d'établir la réalisation de ces conditions, par une argumentation précise répondant aux exigences de l'<ref-law> (principe d'allégation). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (cf. <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1b).
2. La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire en refusant de suspendre la procédure jusqu'à l'issue de la procédure italienne et en omettant par là de considérer le risque de jugements contradictoires, motif d'opportunité dont elle aurait dû tenir compte en vertu de l'<ref-law>/NE.
La cour cantonale n'a pas discuté la question, estimant que celle-ci pouvait rester ouverte puisqu'elle était en l'occurrence sans effet sur le recours. La recourante ne s'en prend pas vraiment à cet argument, se contentant d'affirmer que la suspension s'imposait pour le motif que l'issue de la procédure italienne pouvait influencer celle du recours cantonal. Ce n'est qu'avec la réponse de l'intimée au recours cantonal, déposée le 3 juin 2010, qu'a été produit l'arrêt ayant mis un terme à ladite procédure, soit un arrêt de la cour de cassation italienne du 2 mars 2010 rejetant le pourvoi en cassation. Au moment où la faillite a été prononcée, soit le 26 avril 2010, la cour de cassation italienne avait donc déjà statué et une suspension de la procédure cantonale ne se justifiait par conséquent plus. Il est certain que si ce pseudo-novum au sens de l'art. 174 al. 1 seconde phrase LP avait été évoqué dans le recours cantonal du 10 mai 2010, l'autorité précédente aurait pu en tenir compte et rejeter formellement la demande de suspension, au lieu de laisser la question ouverte. En l'état, elle ne pouvait que se fonder sur la décision d'exequatur de l'arrêt de la Cour d'appel de Venise du 15 décembre 2004 dont le caractère exécutoire avait été confirmé en dernière instance par le Tribunal fédéral le 29 octobre 2009 (arrêt 4A_455/2009 déjà cité). En ne suspendant pas le procès dont elle avait été saisie jusqu'à droit connu sur la procédure italienne, la cour cantonale a rendu une décision qui n'était en tout cas pas arbitraire dans son résultat.
3. 3.1 Par son grief de fausse application de l'<ref-law>, la recourante reproche notamment à l'autorité précédente d'avoir confirmé le prononcé de faillite alors qu'un recours, déposé le 4 mai 2010, était pendant devant la Cour européenne des droits de l'homme. La recourante s'est prévalue de ce fait et a produit une copie dudit recours le 19 mai 2010 seulement, soit après l'échéance du délai de 10 jours prévu par l'<ref-law>. Outre qu'ils étaient ainsi irrecevables, ces fait et pièce nouveaux proprement dits ou vrais nova ne pouvaient pas être pris en considération faute de figurer dans l'énumération de l'<ref-law>, qui est exhaustive (cf. arrêt 5A_728/2007 du 23 janvier 2008 consid. 3.1 et les références citées; FLAVIO COMETTA, in Commentaire romand de la LP, n. 6 ad <ref-law>). La cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral en n'en tenant pas compte.
3.2 Quant à la condition de l'<ref-law> permettant à l'autorité judiciaire supérieure d'annuler le jugement de faillite, la recourante ne démontre nullement que sa réalisation aurait été niée à tort. Elle se contente en effet d'alléguer, outre le fait que l'issue de la procédure italienne serait encore inconnue, que sa liquidation est « presque terminée », qu'elle ne fait pas l'objet d'autres poursuites que celle engagée par l'intimée et que cette dernière est « partiellement désintéressée, virtuellement à tout le moins » par le fait qu'elle a d'ores et déjà obtenu le séquestre de deux comptes bancaires. Ce faisant, elle n'établit pas avoir, en déposant son recours cantonal, comme exigé par l'<ref-law>, rendu vraisemblable sa solvabilité et établi par titre que, depuis le jugement de faillite, elle avait soit payé sa dette, intérêts et frais compris (ch. 1), soit déposé la totalité du montant à rembourser auprès de l'autorité judiciaire supérieure à l'intention de la créancière (ch. 2), soit encore bénéficié d'un retrait de la réquisition de faillite (ch. 3). Le grief de violation de l'<ref-law> est donc à l'évidence infondé.
4. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité, aux frais de son auteur (<ref-law>).
L'intimée a droit à des dépens réduits pour sa détermination sur l'effet suspensif (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Par prélèvement sur les sûretés constituées par la recourante, la Caisse du Tribunal fédéral versera une indemnité de 1'000 fr. à l'intimée à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et à la Ire Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, ainsi qu'à l'Office des poursuites à La Chaux-de-Fonds, à l'Office du registre foncier de l'arrondissement du Littoral et du Val-de-Travers, à l'Office du registre foncier de l'arrondissement des Montagnes et du Val-de-Ruz, au Registre du commerce et à la Caisse neuchâteloise d'assurance-chômage.
Lausanne, le 6 décembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Fellay