Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 9./13. März 2015 bewilligte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Weinfelden A._ in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Sulgen den am 19. November 2014 mangels neuen Vermögens erhobenen Rechtsvorschlag nicht; sie stellte fest, der Umfang des neuen Vermögens betrage Fr. 6'908.70, und auferlegte A._ die Verfahrensgebühr von Fr. 300.--. Dieser gelangte mit "Einsprache" vom 23. März 2015 an das Obergericht des Kantons Thurgau, das die Beschwerde mit Entscheid vom 22. April 2015 abwies, soweit darauf einzutreten war. A._ hat am 6. Mai 2015 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Verfassungsbeschwerde erhoben; er ersucht sinngemäss um Bewilligung des mangels neuen Vermögens erhobenen Rechtsvorschlages.
2.
2.1. In der Verfassungsbeschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein sollen (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234).
2.2. Das Obergericht hat zusammengefasst erwogen, der angefochtene Entscheid enthalte eine klare Rechtsmittelbelehrung. Der Beschwerdeführer sei darauf hingewiesen worden, dass gegen den Entscheid der Einzelrichterin wegen der Kosten- und Entschädigungsregelung innert zehn Tagen beim Obergericht Beschwerde geführt werden könne. Eine allfällige Klage auf Bestreitung oder Feststellung neuen Vermögens sei indessen innert 20 Tagen seit Zustellung des Entscheids auf dem ordentlichen Prozessweg beim Gericht des Betreibungsortes anhängig zu machen (Art. 265a Abs. 4 SchKG). Der Beschwerdeführer könne daher nicht damit argumentieren, er lebe auf dem Existenzminimum, habe keine feste Anstellung und er habe kein neues Vermögens von Fr. 6'000.--. Zur Prüfung dieser Argumente hätte er die Klage gemäss Art. 265a Abs. 4 SchKG auf Bestreitung des neuen Vermögens beim Richter am Betreibungsort anheben müssen. Insoweit sei auf die Beschwerde nicht einzutreten. Die Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- halte sich im Rahmen der in Art. 48 GebV SchKG geregelten Gerichtsgebühr. Eine Parteientschädigung zugunsten der Gegenpartei sei nicht gesprochen worden. Die Kostenregelung der Vorinstanz sei nicht zu beanstanden und die Beschwerde insoweit abzuweisen.
2.3. Der Beschwerdeführer setzt sich mit dieser Erwägung des angefochtenen Entscheids nicht auseinander und zeigt damit nicht den aufgezeigten Begründungsanforderungen entsprechend auf, inwiefern die Vorinstanz seine verfassungsmässigen Rechte verletzt haben soll. Auf die offensichtlich ungenügend begründete und damit unzulässige Verfassungsbeschwerde ist somit in Anwendung durch Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG durch das präsidierende Mitglied der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (Art. 66 Abs. 1 BGG) nicht einzutreten.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Mai 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zbinden