Sachverhalt:
A.
Am 12. Dezember 2012 fand die ordentliche Kirchgemeindeversammlung der Reformierten Kirchgemeinde Solothurn statt. Ein Traktandum bildete die Totalrevision der Gemeindeordnung. Die Kirchgemeindeversammlung beschloss Eintreten auf das Geschäft und nahm die neue Gemeindeordnung in der Schlussabstimmung an.
Mit Beschwerde vom 18. Dezember 2012 an den Regierungsrat des Kantons Solothurn beantragte X._, die Beschlüsse der Kirchgemeindeversammlung vom 12. Dezember 2012 betreffend Eintreten auf die Vorlage Totalrevision der Gemeindeordnung und betreffend Annahme dieser Vorlage seien aufzuheben.
Mit Beschluss vom 25. Februar 2013 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 26. März 2013 beantragt X._ in der Hauptsache die Aufhebung des Beschlusses des Regierungsrats.
Mit Verfügung vom 13. Mai 2013 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch des Beschwerdeführers, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, abgewiesen.
Die Reformierte Kirchgemeinde Solothurn beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Regierungsrat stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Der Beschwerdeführer hält in einer weiteren Eingabe an seinem Standpunkt und an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 lit. c BGG kann die Verletzung politischer Rechte geltend gemacht werden. Zur Beschwerde ist gemäss Art. 89 Abs. 3 BGG legitimiert, wer in der betreffenden Angelegenheit stimmberechtigt ist. Dieses Erfordernis erfüllt der Beschwerdeführer. Die Beschwerdefrist von Art. 100 Abs. 1 BGG ist eingehalten.
1.2.
1.2.1. Beschwerden betreffend die Verletzung politischer Rechte sind gegen Akte letzter kantonaler Instanzen zulässig (vgl. Art. 88 Abs. 1 lit. a BGG). Die Kantone sehen gegen behördliche Akte, welche die politischen Rechte verletzen können, ein Rechtsmittel vor (Art. 88 Abs. 2 Satz 1 BGG). Diese Pflicht erstreckt sich nicht auf Akte des Parlaments oder der Regierung (Art. 88 Abs. 2 Satz 2 BGG).
Vor dem Hintergrund der Rechtsweggarantie von Art. 29a BV und der Zielsetzungen des Bundesgerichtsgesetzes hat das Bundesgericht entschieden, dass die Kantone als Rechtsmittelinstanz im Sinne von Art. 88 Abs. 2 Satz 1 BGG eine gerichtliche Behörde einsetzen müssen. Diese Pflicht besteht sowohl in kantonalen als auch in kommunalen Stimmrechtsangelegenheiten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 201; Urteil 1C_185/2007 vom 6. November 2007 E. 1.2, in: ZBl 110/2009 S. 169).
1.2.2. Streitgegenstand im zu beurteilenden Fall bildet die Totalrevision der Gemeindeordnung, welche von der Reformierten Kirchgemeinde Solothurn am 12. Dezember 2012 beschlossen wurde. Diesen kommunalen Beschluss focht der Beschwerdeführer gestützt auf § 199 Abs. 1 des Gemeindegesetzes des Kantons Solothurn vom 16. Februar 1992 (GG/SO; BGS/SO 131.1) beim Regierungsrat an. Nach dieser Bestimmung kann, wer stimmberechtigt ist, oder wer von einem Beschluss besonders berührt wird und ein schutzwürdiges eigenes Interesse hat, beim Regierungsrat Beschwerde erheben gegen die von den Stimmberechtigten an der Gemeindeversammlung oder an der Urne gefassten Beschlüsse. Anfechtungsobjekt im bundesgerichtlichen Verfahren ist der Rechtsmittelentscheid des Regierungsrats, weshalb kein Anwendungsfall von Art. 88 Abs. 2 Satz 2 BGG vorliegt. Da somit als Vorinstanz des Bundesgerichts einzig eine gerichtliche Behörde in Betracht kommt, ist der kantonale Instanzenzug nicht erschöpft. Daran ändert nichts, dass im kantonalen Recht die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht gegen den Beschluss des Regierungsrats nicht vorgesehen ist (vgl. § 49 Abs. 4 des Gesetzes über die Gerichtsorganisation des Kantons Solothurn vom 13. März 1977 [GO/SO; BGS/SO 125.12] i.V.m. § 199 Abs. 1 GG/SO sowie § 29 und §§ 66 ff. des Gesetzes über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen des Kantons Solothurn vom 15. November 1970 [Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRG/SO; BGS/SO 124.11]), ist doch diese kantonale Verfahrensordnung nach dem Gesagten mit Art. 29a BV und den Zielsetzungen des Bundesgerichtsgesetzes nicht vereinbar.
Auf die Beschwerde kann daher mangels Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheids nicht eingetreten werden.
1.3.
1.3.1. Der angefochtene Beschluss enthält die unzutreffende Rechtsmittelbelehrung, wonach Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht erhoben werden könne. Nach der Praxis des Bundesgerichts dürfen den Rechtsuchenden aus einer falschen Rechtsmittelbelehrung grundsätzlich keine Nachteile erwachsen (vgl. Art. 49 BGG, Art. 9 BV). Wird aufgrund einer unrichtigen Belehrung ein falsches Rechtsmittel ergriffen, kann die Sache daher von Amtes wegen an die zuständige Instanz überwiesen werden. Vertrauensschutz geniesst in diesem Sinne allerdings nur, wer die Unrichtigkeit der Rechtsmittelbelehrung nicht kennt und sie auch bei gebührender Aufmerksamkeit nicht hätte erkennen können. Rechtsuchende geniessen keinen Vertrauensschutz, wenn der Mangel für sie bzw. ihren Rechtsvertreter allein schon durch Konsultierung der massgeblichen Verfahrensbestimmungen ersichtlich ist. Dagegen wird nicht verlangt, dass neben den Gesetzestexten auch noch die einschlägige Rechtsprechung oder Literatur nachgeschlagen wird (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 202 f. mit Hinweisen).
1.3.2. Im zu beurteilenden Fall kann nicht gesagt werden, dass die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers die Fehlerhaftigkeit der Rechtsmittelbelehrung allein durch Konsultierung der kantonalen Verfahrensbestimmungen und des BGG hätte erkennen müssen. Um dies mit Sicherheit feststellen zu können, hätte sie die bundesgerichtliche Rechtsprechung kennen müssen. Der Beschwerdeführer geniesst folglich Vertrauensschutz.
2.
Zusammenfassend ergibt sich, dass auf die Beschwerde mangels Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheids nicht eingetreten werden kann. In Verwaltungssachen zuständig ist das kantonale Verwaltungsgericht. Da eine andere Zuständigkeit nicht in Betracht kommt, ist die Eingabe direkt dem Verwaltungsgericht zur Behandlung zu überweisen (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 102 f.).
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG) und keine Parteientschädigungen ausgerichtet (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 26. März 2013 wird dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zur Behandlung überwiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigungen ausgerichtet.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Regierungsrat des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner