Sachverhalt:
A. X._ (Beschwerdeführerin) trat am 23. Mai 2001 nach einem vorzeitigen Blasensprung für eine Entbindung in das Spital Z._ ein. Nachdem Wehen eingesetzt hatten und der zuständige Gynäkologe Dr. Y._ vor Ort war, begann der operative Geburtsvorgang. Auf ausdrücklichen Wunsch der Beschwerdeführerin wurde eine Periduralanästhesie durchgeführt. Als der Geburtsvorgang ins Stocken geriet, versuchte der Gynäkologe Dr. Y._, das Kind mittels Zangengeburt zur Welt zur bringen. Als dies misslang, musste ein Kaiserschnitt eingeleitet werden, weshalb die Anästhesistin der Gebärenden noch im Gebärsaal ein stärkeres Medikament verabreichte und die Anästhesie im Operationssaal durch Nachspritzen verstärkte. Bei der Prüfung der Unempfindlichkeit ergab sich zunächst kein Schmerzbefund. Beim Hautschnitt war die Beschwerdeführerin immer noch schmerzfrei. Beim Spreizen der Bauchfelldecke verspürte sie Schmerzen, worauf die Anästhesie durch den Katheter verstärkt und Schmerz- und Beruhigungsmittel ins Blut verabreicht wurden. Das Kind kam wenige Minuten später gesund zur Welt.
Die Beschwerdeführerin war seit dem 1. Januar 1999 als selbständige Coiffeuse tätig. Sie meldete sich am 7. Mai 2002 bei der Eidgenössischen Invalidenversicherung unter Hinweis auf eine posttraumatische Belastungsstörung infolge der Komplikationen im Zusammenhang mit der Geburt ihres Sohnes zum Leistungsbezug an. Am 4. April 2005 sprach die IV-Stelle des Kantons Basel-Landschaft der Beschwerdeführerin ab dem 1. Oktober 2002 eine Viertelsrente gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 42 % zu und - nach Revision von Amtes wegen - am 12. Juli 2007 ab dem 1. Juni 2006 eine halbe Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 54 %. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, am 3. September 2008 ab.
Mit Schreiben vom 5. März 2002 gelangte die Beschwerdeführerin an die A._ Versicherungsgesellschaft als Unfallversicherer der B._ GmbH (gemeinsame GmbH der Eheleute X._ und C._, in der die Beschwerdeführerin zum Zeitpunkt der Geburt tätig gewesen war) und verlangte die Ausrichtung von nach UVG versicherten Leistungen. Die Unfallversicherung lehnte die Ausrichtung von Leistungen ab.
B. Am 28. Dezember 2007 reichte die Beschwerdeführerin beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn ein Vorladungsbegehren gegen den Kanton Solothurn (Beschwerdegegner) betreffend Forderung aus Verantwortlichkeit (Arzthaftung) ein. Sie verlangte die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung und machte geltend, das Vorladungsbegehren erfolge zur Unterbrechung der Verwirkungs- resp. Verjährungsfrist.
Zuvor, nämlich am 23. Mai 2007, hatte die Beschwerdeführerin beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn gegen die Solothurner Spitäler AG und gegen den Kanton Solothurn ein Vorladungsbegehren betreffend Forderung aus Verantwortlichkeit (Arzthaftung) eingereicht mit dem Ersuchen, eine öffentliche Verhandlung durchzuführen und das Verfahren bis zum rechtskräftigen Abschluss der sozialversicherungsrechtlichen Verfahren (IVG und UVG) zu sistieren. Sie führte aus, die Klage erfolge zur Unterbrechung der Verwirkungsfristen nach § 11 des Verantwortlichkeitsgesetzes des Kantons Solothurn vom 26. Juni 1966 (VG/SO; BGS 124.21). Mit Urteil vom 21. Juli 2008 (VWKLA.2007.16) wies das Verwaltungsgericht die Klage gegen die Solothurner Spitäler AG mangels Passivlegitimation ab. Es stellte weiter fest, dass der Kanton Solothurn passivlegitimiert und die Forderung entgegen dessen Auffassung nicht verwirkt sei. Die Kosten- und Entschädigungsfolgen wurden zur Hauptsache geschlagen.

Mit Verfügung vom 21. April 2009 wurde den Parteien mitgeteilt, dass das Verfahren VWKLA.2007.16 unter der neuen Bezeichnung VWKLA. 2008.1 weitergeführt werde. Zudem wurde der Beschwerdeführerin Frist gesetzt, die Klage zu begründen und Beweisanträge zu stellen. Die Klagebegründung vom 3. Juni 2009 ging am 5. Juni 2009 ein (die darin gestellten Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin finden sich wortwörtlich wiedergegeben in Erwägung 5). Der Beschwerdegegner verlangte die Abweisung der Klage, soweit darauf eingetreten werden könne, und stellte sich auf den Standpunkt, er hafte höchstens für das Verhalten der Anästhesieärztin, nicht aber für das Verhalten des Streitberufenen Dr. Y._, da dieser am Spital Z._ als Belegarzt und damit eigenverantwortlich tätig gewesen sei. Dr. Y._ (Streitberufener) teilte am 19. Oktober 2008 mit, er sei grundsätzlich mit der Streitberufung einverstanden, lehne aber jede Haftung ab und behalte sich vor, seine Gerichts- und Anwaltskosten bei den Parteien geltend zu machen. Keinesfalls wolle er an Stelle des Kantons Solothurn in den Prozess eintreten, sondern diesem allfällige Verteidigungsmittel in die Hand geben.
Das Verwaltungsgericht trat mit Urteil vom 8. März 2010 nicht auf die Klage ein. Es erkannte, die Beschwerdeführerin habe völlig mangelhafte Rechtsbegehren gestellt. Daher fehle es an einer Prozessvoraussetzung.
C. Die Beschwerdeführerin erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit folgenden Anträgen:
"1. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 8. März 2010 sei vollumfänglich aufzuheben.
2. Die Rechtsstreitsache sei an die kantonale Vorinstanz zurückzuweisen.
3. a) Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sei anzuweisen, die Anträge der Klägerin vom 3. Juni 2009 gerichtlich zu behandeln und zu beantworten.
b) Eventualiter: Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sei anzuweisen, der Beschwerdeführerin Gelegenheit zu geben, ihre Ansprüche rechtskonform geltend zu machen, worauf das Gericht materiell in der Sache zu entscheiden habe.
4. - 6. ... "
Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, allenfalls sei sie abzuweisen. Der Streitberufene begehrt, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht schliesst unter Verzicht auf eine Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne.
D. Der Beschwerde wurde mit Präsidialverfügung vom 27. Mai 2010 die aufschiebende Wirkung gewährt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin erhebt Ansprüche wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, kann dagegen nach <ref-law> Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465). Die von der Beschwerdeführerin gestützt auf die unrichtige Rechtsmittelbelehrung der Vorinstanz als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bezeichnete Eingabe ist daher als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen, soweit sie die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 466).
Die Vorinstanz trat mangels Vorliegens einer Prozessvoraussetzung (kein hinreichendes Rechtsbegehren) auf die Klage nicht ein. Dieser Nichteintretensentscheid schliesst das kantonale Verfahren ab und gilt als anfechtbarer Endentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 S. 41; <ref-ruling> E. 1.3 S. 156). Das Verwaltungsgericht fällte den angefochtenen Entscheid als kantonalrechtlich einzige Instanz. Der Umstand, dass das Verwaltungsgericht die Anforderungen des BGG an die kantonalen Vorinstanzen insofern nicht erfüllt, als es nicht als Rechtsmittelinstanz entschied (vgl. <ref-law>), hindert das Eintreten auf die Beschwerde nicht, da die Frist für die kantonalen Ausführungsvorschriften (<ref-law>) noch läuft (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2.2). Die vorliegende Streitsache beschlägt eine vermögensrechtliche Angelegenheit. Die Beschwerde in Zivilsachen kommt daher nur in Betracht, sofern der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Die Vorinstanz äusserte sich entgegen der Vorschrift von <ref-law> nicht zum Streitwert und traf auch keine tatsächlichen Feststellungen, die dem Bundesgericht eine Bestimmung des Streitwerts nach <ref-law> erlauben würden, was vorliegend verständlich ist, weil der Beschwerdeführerin vorgeworfen wird, ihren Anspruch in keiner Weise beziffert zu haben. Da keine der Parteien bestreitet, dass der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- erreicht, kann diese Voraussetzung als erfüllt betrachtet werden.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach grundsätzlich zulässig, womit die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ausscheidet (<ref-law>). Auf die von der Beschwerdeführerin ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach nicht einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin stellt keinen materiellen Antrag, sondern beantragt lediglich die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Das unter Ziffer 3 gestellte Rechtsbegehren kann als Antrag auf Anweisung an die Vorinstanz, auf die Klage einzutreten, verstanden werden. Der angefochtene Entscheid lautet auf Nichteintreten. Hat die Vorinstanz einen Nichteintretensentscheid gefällt und demnach die Sache materiell nicht beurteilt, könnte das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde nicht reformatorisch entscheiden, sondern müsste die Angelegenheit zum Entscheid in der Sache an die Vorinstanz zurückweisen. Ein materieller Antrag ist daher in solchen Fällen nicht erforderlich (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1; Urteil 4A_330/2008 vom 27. Januar 2010 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Entgegen der Meinung des Streitberufenen genügt demnach vorliegend der Rückweisungsantrag.
3. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Der Beschwerdeführer muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2 S. 591 f.; je mit Hinweisen). Die erhobenen Rügen müssen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 400 mit Hinweisen). Macht der Beschwerdeführer beispielsweise eine Verletzung von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist. Auf Rügen, die diese Begründungsanforderungen nicht erfüllen, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 5.5).
4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5).
Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer eigenen Sachverhaltsdarstellung und der weiteren Beschwerdebegründung von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht, kann darauf nicht abgestellt werden, zumal sie keine (rechtsgenüglichen) Sachverhaltsrügen erhebt.
5. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, die Vorinstanz anzuweisen, die Anträge vom 3. Juni 2009 zu behandeln. Sie hält demnach selbst diese für massgebend und nicht die erst nach Abschluss des Beweisverfahrens - und damit zu spät - gestellten Anträge. Die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin vom 3. Juni 2009 lauten wie folgt:
"1. a) Das vorliegende Verfahren sei vorerst auf die Frage der Haftung des Beklagten [des Beschwerdegegners] resp. der Widerrechtlichkeit seines Verhaltens und auf die Frage des natürlichen resp. medizinischen Kausalzusammenhangs zu beschränken.
b) Eventualiter: Es sei dem unterzeichneten Rechtsanwalt eine angemessene Nachfrist zur Quantifizierung und weiteren Substantiierung der Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen anzusetzen.
c) Subeventualiter: Der im heutigen Zeitpunkt nicht ziffernmässig nachweisbare Schaden sei nach Ermessen des Richters mit Rücksicht auf den gewöhnlichen Lauf der Dinge und auf die vom Geschädigten getroffenen Massnahmen abzuschätzen (vgl. <ref-law>).
2. Es sei ein medizinisches Gerichtsgutachten zur Frage der Haftung des Beklagten [des Beschwerdegegners] resp. der Widerrechtlichkeit seines Verhaltens und zur Frage des natürlichen resp. medizinischen Kausalzusammenhangs erstellen zu lassen; dies im Bestreitungsfall und für den Fall, dass das angerufene Gericht die Beweislage in Bezug auf den Kausalzusammenhang und die Haftung als nicht ausreichend erachten sollte.
3. Es sei eine öffentliche Parteiverhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK mit Partei- und Zeugenbefragung durchzuführen.
4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Beklagten [des Beschwerdegegners]."
Die Vorinstanz erwog dazu, mit Ausnahme des unter Ziffer 1.c) gestellten Subeventualbegehrens handle es sich um reine Verfahrensanträge, die mit der Umschreibung des Klagegegenstandes nichts zu tun und sich durch den Prozessablauf erledigt hätten. Auch mit dem Subeventualbegehren verlange die Beschwerdeführerin vom Beschwerdegegner nicht die Bezahlung einer Geldsumme nach richterlichem Ermessen, sondern vom Richter die Abschätzung des Schadens. Dieses Rechtsbegehren genüge den Anforderungen an die Bestimmtheit nicht. Diesbezüglich verwies die Vorinstanz auf § 129 Abs. 1 lit. b der Zivilprozessordnung des Kantons Solothurn vom 11. September 1966 (ZPO/SO; BGS 221.1), wonach die Klageschrift die Anträge des Klägers enthalten muss, "die derart klar und bestimmt abgefasst werden sollen, dass bei Gutheissung das Urteil auf Zuspruch der Klagebegehren lauten kann." Weiter führte die Vorinstanz aus, selbst wenn man zugunsten der Beschwerdeführerin davon ausgehen würde, dass wegen der Nennung von <ref-law> klar sein müsste, um welchen Klagegrund es sich handle und deshalb auf die Klage einzutreten wäre, bringe die Beschwerdeführerin rein gar nichts vor, was das Gericht in die Lage versetzen würde, den Schaden auch nur annähernd zu bestimmen. Die einzelnen Schadensbemessungsfaktoren hätte die Beschwerdeführerin vorbringen müssen, so dass der Beschwerdegegner dazu hätte Stellung nehmen können. Dies habe sie aber nicht getan.
Die Beschwerdeführerin erhebt dagegen Rügen der Verletzung von Bundesverfassungsrecht (<ref-law>, <ref-law>, Art. 5 Abs. 1 und 2 BV), ferner der Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK, von <ref-law> und von kantonalem Prozessrecht (§ 58 Abs. 4 und § 133 Abs. 2 ZPO/SO). Dazu ist Folgendes auszuführen:
6. 6.1 In einem ersten Rügenkomplex stellt sich die Beschwerdeführerin auf den Standpunkt, die Vorinstanz habe in mehrfacher Hinsicht den Vertrauensschutz missachtet. Im Grunde anerkennt sie in ihrer diesbezüglichen Argumentation, dass die gestellten Anträge nicht rechtsgenüglich sind, ist aber der Meinung, sie hätte aufgrund des Zwischenentscheids vom 21. Juli 2008, der prozessleitenden Verfügung vom 21. April 2009 und der bisherigen Praxis der Vorinstanz darauf vertrauen dürfen, dass auf die Klage eingetreten werde.
6.2 Ihre Argumentation verfängt offensichtlich nicht. Die Pflicht, hinlängliche Rechtsbegehren zu stellen, ergibt sich direkt aus der gesetzlichen Vorschrift von <ref-law>/SO. Dies musste der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin bewusst sein, zumal die Stellung korrekter Rechtsbegehren ein zentrales Element jeder Klageerhebung bildet. Weder im Zwischenentscheid des Verwaltungsgerichts vom 21. Juli 2008 noch in der prozessleitenden Verfügung vom 21. April 2009 wurde die Beschwerdeführerin von dieser Pflicht dispensiert oder wurde ihr zugesichert, die gestellten Rechtsbegehren würden genügen. Aus dem Umstand, dass die Vorinstanz im Entscheid vom 21. Juli 2008 vorweg die Fragen der Passivlegitimation der ursprünglich eingeklagten Solothurner Spitäler AG und des Kantons Solothurn sowie der allfälligen Verwirkung entschieden hatte, konnte und durfte die Beschwerdeführerin nicht ableiten, die Vorinstanz habe bereits rechtskräftig über das Eintreten auf die Klage beschlossen. Namentlich bedeutet die Abweisung der Klage gegen die Solothurner Spitäler AG mangels Passivlegitimation nicht, dass das Gericht auch schon sämtliche Eintretensvoraussetzungen bezüglich der Klage gegen den Beschwerdegegner bejaht hätte. Betreffend das Erfordernis eines rechtsgenüglichen Rechtsbegehrens scheidet ein solcher Schluss bereits deshalb aus, weil nach solothurnischem Prozessrecht die Begehren noch bis zum Abschluss des Beweisverfahrens geändert werden können (<ref-law>/SO). Die Beschwerdeführerin hätte somit im Zeitpunkt des Zwischenentscheids vom 21. Juni 2008 ihre Rechtsbegehren noch anpassen können, was sich wiederum direkt aus dem Gesetz ergibt. Sodann kann - entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin - im Passus des besagten Zwischenentscheids, wonach der Prozess nun zur Prüfung der Haftungsvoraussetzungen, insbesondere der Widerrechtlichkeit und des Kausalzusammenhangs, fortgesetzt werde, keine behördliche Zusage erblickt werden, dass die Eintretensvoraussetzungen erfüllt seien und insbesondere die gestellten Rechtsbegehren genügen würden. Ohnehin zählt auch der Schaden zu den Haftungsvoraussetzungen.
Ebenso wenig ergibt sich aus der Tatsache, dass der Beschwerdeführerin in der prozessleitenden Verfügung vom 21. April 2009 Frist zur Einreichung der Klagebegründung angesetzt wurde, eine "verbindliche Zusicherung", dass "kein Rechtsbegehren einzureichen" sei. Wie bereits ausgeführt, folgt die Pflicht zur Stellung hinreichender Rechtsbegehren aus dem Gesetz und muss jedem Rechtsanwalt ohne Weiteres klar sein. Vorliegend hat der Beschwerdegegner zudem in der Klageantwort ausdrücklich auf das Ungenügen der gestellten Rechtsbegehren hingewiesen. Trotzdem hat die Beschwerdeführerin ihre Begehren nicht hinlänglich geändert.
Auch die Berufung auf eine angebliche vertrauensbegründende Praxis der Vorinstanz geht fehl. Die Beschwerdeführerin bezieht sich auf ein Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 17. Dezember 2009, in dem die Vorinstanz auf angeblich "identische Rechtsbegehren des unterzeichneten Rechtsanwalts zumindest eingetreten" sei (eine gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wurde vom Bundesgericht mit Urteil 4A_98/2010 vom 21. April 2010 abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte). Abgesehen davon, dass durch einen einzelnen Entscheid noch keine feststehende Praxis begründet wird, kann die Beschwerdeführerin daraus nichts für den vorliegenden Fall ableiten. In jenem Verfahren war das Verfahren auf Antrag der Parteien auf die Fragen der Verjährung/Verwirkung, der Widerrechtlichkeit und der Kausalität beschränkt worden. Der Rechtsanwalt der Beschwerdeführerin stellte bezüglich dieser Vorfragen Feststellungsbegehren. Da das Verwaltungsgericht die Haftungsvoraussetzung der Widerrechtlichkeit verneinte, wies es die Klage ab, und es kam gar nicht mehr zur Fortsetzung des Verfahrens. Vorliegend hingegen war eine solche Beschränkung des Verfahrens nicht angeordnet. Die Beschwerdeführerin hatte hinlängliche Rechtsbegehren betreffend ihre Forderungsklage zu stellen. Von "identischen Rechtsbegehren" kann demnach nicht die Rede sein. Aber selbst unter der Annahme, in jenem Verfahren seien die Rechtsbegehren ungenügend gewesen und das Verwaltungsgericht hätte anstatt auf Abweisung mangels Widerrechtlichkeit auf Nichteintreten erkennen können, hätte die Beschwerdeführerin kein berechtigtes Vertrauen dahingehend schöpfen dürfen, dass die Vorinstanz auch auf rechtsungenügliche Anträge, wie sie im vorliegenden Verfahren gestellt wurden, eintreten würde. So kommt es immer wieder vor, dass ein Gericht die Eintretensfrage nicht abschliessend prüft, wenn klar ist, dass eine Klage bzw. ein Rechtsmittel ohnehin abzuweisen ist.
6.3 Die Berufung der Beschwerdeführerin auf Vertrauensschutz geht demnach fehl.
7. 7.1 In einem zweiten Rügenkomplex beschwert sich die Beschwerdeführerin über eine Verletzung der richterlichen Prüfungs- und Antwortpflicht und insbesondere über eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und auf ein faires Verfahren (Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Die genannten Bestimmungen sieht sie dadurch verletzt, dass die Vorinstanz ihre am 3. Juni 2009 gestellten Anträge, das Verfahren auf die Fragen der Widerrechtlichkeit und der Kausalität zu beschränken bzw. - eventualiter - eine Nachfrist zur Quantifizierung und weiteren Substantiierung der Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen anzusetzen, nicht behandelt habe.
7.2 Die Rüge ist unbegründet. Die Vorinstanz führte in der Erwägung 8 des angefochtenen Urteils klar und deutlich aus, dass nach <ref-law>/SO die Möglichkeit der Beschränkung des Prozessstoffes nur dem Beklagten, nicht aber dem Kläger zustehe. Vorliegend sei der Prozessstoff aber weder durch Verfügung des Instruktionsrichters beschränkt worden, noch habe der Beschwerdegegner eine Einwendung im Sinne von <ref-law>/SO erhoben. Demzufolge hätte die Beschwerdeführerin ihre völlig mangelhaften Rechtsbegehren neu stellen oder abändern müssen. Dazu wäre nach <ref-law>/SO bis zum Abschluss des Beweisverfahrens Zeit gewesen.
Daraus ergibt sich, dass die Vorinstanz die besagten Anträge durchaus hörte, diese aber implizit abwies bzw. als völlig untauglich beurteilte. Die Beschwerdeführerin war als Klägerin gar nicht befugt, eine Beschränkung des Prozessstoffes zu verlangen. In ihrem Eventualbegehren kann sodann nicht - wie sie vor Bundesgericht vorbringt - ein Fristerstreckungsgesuch im Sinne von § 10 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Solothurn vom 15. November 1970 (VRG/SO; BGS 124.11) erblickt werden. Denn es wurde nicht um Erstreckung einer behördlich gesetzten Frist ersucht. Die Pflicht, hinlänglich bestimmte Rechtsbegehren zu stellen und dieselben substantiiert zu begründen, ergibt sich explizit aus dem Gesetz (<ref-law>/SO). Wenn die Beschwerdeführerin der Meinung war, dass die Rechtsbegehren nicht genügten bzw. dass sie eine weitere Substantiierung der Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen vornehmen wolle, hätte sie dies bis zum Abschluss des Beweisverfahrens (<ref-law>/SO) bzw. bis zu den Parteivorträgen an der Hauptverhandlung (<ref-law>/SO) tun können. Der Ansetzung einer Nachfrist bedurfte dies nicht. Entsprechend war auch das eine Nachfristansetzung beantragende Eventualbegehren von der Vorinstanz zu Recht als untauglich beurteilt worden. Es ging nicht darum, eine behördlich angesetzte Frist zu erstrecken oder - bei Ablehnung einer Erstreckung - eine kurze Nachfrist zu setzen. Der Vorwurf trifft daher nicht zu, dass die Vorinstanz ein Fristerstreckungsgesuch im Sinne von § 10 VRG/SO nicht behandelt habe.
7.3 Demnach ist weder eine Verletzung von <ref-law> noch eine solche von Art. 6 Ziff. 1 EMRK dargetan.
8. Weiter rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung der richterlichen Aufklärungs- und Fragepflicht durch die Vorinstanz als Ausfluss des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 9 und 29 Abs. 2 BV i.V.m. § 58 Abs. 4 und § 133 Abs. 2 ZPO/SO).
8.1 Das Bundesgericht kann grundsätzlich die Anwendung kantonalen Rechts nicht überprüfen (Art. 95 f. BGG). Die Beschwerdeführerin ist daher mit ihrer Rüge einer Verletzung von § 58 Abs. 4 und § 133 Abs. 2 ZPO/SO ausgeschlossen. Sie müsste eine willkürliche Anwendung der genannten kantonalen Prozessvorschriften aufzeigen, was sie aber in keiner Weise tut. Auf ihre diesbezüglichen Ausführungen kann daher nicht eingetreten werden.
8.2 Auch soweit sie behauptet, die richterliche Aufklärungs- und Fragepflicht sei Ausfluss des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und des Gebots der prozessualen Fairness (<ref-law>, Handeln nach Treu und Glauben), verfehlt sie die Begründungsanforderungen an eine Verfassungsrüge (<ref-law>; Erwägung 3). Denn sie legt nicht hinreichend klar dar, dass und inwiefern diese Verfassungsbestimmungen überhaupt eine richterliche Aufklärungs- und Fragepflicht garantieren und dieselbe durch die Vorinstanz verletzt worden sein soll. Ihre diesbezügliche Behauptung entbehrt der Grundlage, wonach die richterliche Aufklärungs- und Fragepflicht ihre Wirkung insbesondere dann entfalte, wenn eine Unklarheit oder Unsicherheit bestehe, die offensichtlich sei und vorliegend durch die Praxis des Gerichts selber verursacht worden sei, indem dieses eine Beschränkung des Prozessstoffes bereits mehrfach und auch ohne gültige Zustimmung des Beklagten vorgenommen habe. Vorliegend nahm die Vorinstanz gerade keine Beschränkung des Prozessstoffes vor. Es ist nicht ersichtlich, dass und wie sie bei der Beschwerdeführerin eine Unklarheit hervorgerufen hätte. Es handelt sich um einen üblichen Haftpflichtprozess, bei dem die Beschwerdeführerin als Klägerin hinlängliche Rechtsbegehren zu stellen hat. Die Beschwerdeführerin änderte denn auch an der Hauptverhandlung am Schluss ihres ersten Parteivortrages (und damit verspätet) ihre Rechtsbegehren ab und manifestierte damit, dass sie offenbar selbst der Meinung war, die am 3. Juni 2009 gestellten Anträge seien noch nicht die definitiven. Trotzdem hat sie nicht rechtzeitig hinlängliche Rechtsbegehren vorgetragen. Dies muss sie ihrer eigenen nachlässigen Prozessführung zuschreiben und nicht einem Verstoss gegen die richterliche Aufklärungs- bzw. Fragepflicht. Eine Verletzung des Gehörsanspruchs oder des Prinzips von Treu und Glauben durch die Vorinstanz ist nicht, jedenfalls nicht rechtsgenüglich, dargetan.
9. 9.1 Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung des Legalitätsprinzips (<ref-law>) vor, indem diese von der Beschwerdeführerin verlangt habe, ihr Rechtsbegehren zu beziffern, obwohl das kantonale Recht bei verwaltungsrechtlichen Klagen nur ein Rechtsbegehren und eine Begründung verlange (§ 61 Abs. 2 VRG/SO).
9.2 Nach § 58 VRG/SO finden auf das Verfahren vor den Verwaltungsgerichtsbehörden die Vorschriften der Zivilprozessordnung sinngemäss Anwendung. § 61 Abs. 2 VRG/SO bestimmt, dass die Rechtsschriften ein Rechtsbegehren und eine Begründung enthalten müssen. Die Vorinstanz erwog, das VRG/SO enthalte keine weiteren diesbezüglichen Vorschriften. Es fänden daher die Vorschriften der Zivilprozessordnung Anwendung, konkret <ref-law>/SO, wonach die Rechtsbegehren des Klägers derart klar und bestimmt abgefasst werden sollen, dass bei Gutheissung das Urteil auf Zuspruch der Klagebegehren lauten kann.
9.3 Die Vorinstanz legte demnach die Anforderungen an die Bestimmtheit der klägerischen Rechtsbegehren gestützt auf kantonales Recht fest. Abgesehen von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen kann die Verletzung kantonalen Rechts beim Bundesgericht nur insofern gerügt werden, als darin eine Verletzung von Bundesrecht oder Völkerrecht im Sinne von Art. 95 lit. a und b BGG liegt. Im Vordergrund steht dabei ein Verstoss gegen das Willkürverbot (<ref-ruling> E. 3 S. 351; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.). Diese Beschränkung der Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts betreffend die Anwendung des kantonalen Rechts kann nicht mittels Anrufung der allgemeinen Grundsätze nach Art. 5 Abs. 1 und 2 BV umgangen werden (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158).
9.4 Eine willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts macht die Beschwerdeführerin nicht geltend, weshalb eine solche nicht weiter zu prüfen ist (<ref-law>) und im Übrigen auch nicht in die Augen springt. Es erscheint nämlich keineswegs unhaltbar, wenn die Vorinstanz annahm, § 61 Abs. 2 VRG/SO regle die Anforderungen an Form und Inhalt des Rechtsbegehrens nicht und sei daher nicht abschliessend, weshalb sie gestützt auf § 58 VRG/SO die Regelung von <ref-law>/SO heranzog.
10. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>), da die Vorinstanz das Rechtsbegehren auf richterliche Schätzung des Schadens nicht zugelassen habe, obwohl der Schaden im Zeitpunkt der Antragstellung noch gar nicht bezifferbar gewesen sei. Insbesondere sei das unfallversicherungsrechtliche Abklärungsverfahren nicht abgeschlossen gewesen. Ein auf ungewissen sozialversicherungsrechtlichen Faktoren beruhendes Rechtsbegehren wäre aber arbiträr gewesen und hätte zu einem Überklagen geführt. Das könne von der Beschwerdeführerin nicht verlangt werden. Bei <ref-law> handle es sich um "ein bundesrechtlich normiertes Rechtsbegehren". Die Beschwerdeführerin habe sich an den Wortlaut des Gesetzes gehalten. Es sei nicht erkennbar, was daran unbestimmt oder ungenügend sein solle.
10.1 Der Schaden ist vom Geschädigten grundsätzlich ziffernmässig nachzuweisen (<ref-law>). Ist das nicht möglich, ist der Schaden vom Richter mit Rücksicht auf den gewöhnlichen Lauf der Dinge abzuschätzen (<ref-law>). Diese Bestimmung bezieht sich sowohl auf das Vorhandensein wie auf die Höhe des Schadens. Dieser gilt als erwiesen, wenn sich genügend Anhaltspunkte ergeben, die geeignet sind, auf seinen Eintritt zu schliessen. Der Schluss muss sich mit einer gewissen Überzeugungskraft aufdrängen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 381; <ref-ruling> E. 3a S. 221 f.). Eine Anwendung von <ref-law> setzt voraus, dass ein strikter Beweis nach der Natur der Sache nicht möglich oder nicht zumutbar ist (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 276).
Allerdings soll dem Geschädigten damit nicht die Möglichkeit eröffnet werden, ohne nähere Angaben Schadenersatzforderungen in beliebiger Höhe zu stellen. <ref-law> zielt lediglich auf eine Beweiserleichterung und nicht etwa darauf, dem Geschädigten die Beweislast generell abzunehmen. Das Bundesgericht hält in seiner Rechtsprechung denn auch ausdrücklich fest, dass der Geschädigte alle Umstände, die für den Eintritt eines Schadens sprechen und dessen Abschätzung erlauben oder erleichtern, soweit möglich und zumutbar zu behaupten und zu beweisen hat (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 276 f. mit Hinweisen). Die vom Geschädigten vorgebrachten Umstände müssen geeignet sein, den Bestand des Schadens hinreichend zu belegen und seine Grössenordnung hinreichend fassbar werden zu lassen (BGE <ref-ruling> E. 3a mit Hinweisen).
10.2 Die Beschwerdeführerin verkennt den soeben dargestellten Gehalt von <ref-law>, wenn sie meint, sie könne einfach den Wortlaut dieser Bestimmung übernehmen und damit ein hinlängliches Rechtsbegehren in einem Schadenersatzprozess stellen. Die Vorinstanz liess das Subeventualbegehren 1.c) nicht deshalb nicht genügen, weil der Schaden bzw. die Forderung nicht schon genau beziffert war, sondern weil die Beschwerdeführerin damit überhaupt kein Leistungsbegehren stellte, also nicht die Verpflichtung des Beschwerdegegners zur Bezahlung einer Geldsumme nach richterlichem Ermessen verlangte. <ref-law> betrifft den Beweis des Schadens, dispensiert den Kläger indessen nicht davon, ein Leistungsbegehren zu stellen. Die Beschwerdeführerin beantragte lediglich vom Richter, dass er den Schaden abschätze. Der Schluss der Vorinstanz, wonach dies kein rechtsgenügliches Rechtsbegehren in einem Schadenersatzprozess darstellt, hält somit ohne Weiteres vor Bundesrecht stand.
Die Vorinstanz erwog schliesslich, selbst wenn man zugunsten der Beschwerdeführerin annehmen würde, dass wegen der Nennung von <ref-law> klar sein müsse, um welchen Klagegrund es sich handle und deshalb auf die Klage einzutreten sei, wäre das Gericht nicht in der Lage, den Schaden auch nur annähernd zu bestimmen, da die Beschwerdeführerin rein gar nichts zur Schadensbemessung behaupten würde. Die einzelnen Schadensbemessungsfaktoren hätte die Beschwerdeführerin vorbringen müssen, was sie aber nicht getan habe. Damit verlangte die Vorinstanz nichts, was nicht von der oben dargestellten Rechtsprechung gedeckt wäre, muss doch der Geschädigte alle Umstände, die für den Eintritt eines Schadens sprechen und dessen Abschätzung erlauben oder erleichtern, soweit möglich und zumutbar behaupten und beweisen. Nach der Feststellung der Vorinstanz kam die Beschwerdeführerin auch dieser Pflicht nicht nach. Letzteres wird in der Beschwerde nicht entkräftet.
Eine Verletzung von <ref-law> liegt demnach nicht vor.
11. In einem letzten Punkt greift die Beschwerdeführerin den vorinstanzlichen Kostenentscheid an.
11.1 Zunächst wirft sie der Vorinstanz eine Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips (<ref-law>) vor. Die Vorinstanz habe sowohl im Rahmen der Kostenverteilung in Bezug auf das Urteil vom 8. März 2010 als auch im Rahmen der Festsetzung der gegnerischen Parteientschädigungen dem Nichteintretensentscheid vom 8. März 2010 im Verhältnis zum Sachurteil vom 21. Juli 2008 eine ungerechtfertigt hohe Bedeutung zugemessen. Darüber hinaus seien die zugesprochenen Parteientschädigungen allein schon von der Summe her betrachtet zu hoch und unverhältnismässig. Dazu komme, dass die Vorinstanz nicht begründe, welche Überlegungen zur Festsetzung der Pauschalsummen geführt hätten, weshalb sie auch ihre Begründungspflicht (<ref-law>) verletze.
Auf die Rüge der Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips kann nicht eingetreten werden. Die Verteilung und Bemessung der Kosten und Parteientschädigungen ergingen in Anwendung von kantonalem Recht. Bei der Anwendung kantonalen Rechts kann das in <ref-law> als allgemeiner Verfassungsgrundsatz verankerte Verhältnismässigkeitsprinzip (ausserhalb des Schutzbereichs spezieller Grundrechte) nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots angerufen werden (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158). Die Beschwerdeführerin erwähnt in ihren Ausführungen zum Verhältnismässigkeitsprinzip zwar auch einen Verstoss gegen das Willkürverbot. Zur Begründung der Willkürrüge begnügt sie sich aber mit der Behauptung, der vorgenommene Verteilschlüssel von 1 zu 10 sei in Anbetracht des Urteils vom 21. Juli 2008 offensichtlich unhaltbar und stehe zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch. Das ist keine rechtsgenügliche Begründung einer Willkürrüge (vgl. Erwägung 3). Einen Widerspruch zur tatsächlichen Situation zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf und ist auch nicht ersichtlich. Sodann kann angesichts des Umstands, dass die Beschwerdeführerin im Zwischenentscheid vom 21. Juli 2008 zwar betreffend die Vorfrage der Verwirkung obsiegte, hingegen betreffend die Passivlegitimation der ebenfalls eingeklagten Solothurner Spitäler AG und vor allem dann im Endentscheid vollumfänglich unterlag, nicht gesagt werden, der Verteilschlüssel von 1 zu 10 sei offensichtlich unhaltbar, auch wenn der Endentscheid bloss auf Nichteintreten lautete. Auch durch dieses Prozessurteil galt die Beschwerdeführerin als unterliegende Partei.
Was schliesslich die Rüge anbelangt, die Vorinstanz habe in Verletzung ihrer Begründungspflicht nicht dargelegt, welche Überlegungen zur Festsetzung der Pauschalsummen geführt hätten, so ist an die Rechtsprechung des Bundesgerichts zu erinnern, dass der Entscheid über die Höhe der Parteientschädigung in der Regel nicht begründet werden muss (<ref-ruling> E. 2a). Gründe, weshalb vorliegend von dieser Regel abzuweichen wäre, nennt die Beschwerdeführerin nicht.
11.2 Weiter macht die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Legalitätsprinzips (<ref-law>) geltend, weil die Vorinstanz dem streitberufenen Dr. Y._ eine Parteientschädigung zugesprochen habe, obwohl das kantonale Recht dafür keine gesetzliche Grundlage enthalte. Dr. Y._ sei nicht "Gegenpartei" im Sinne von <ref-law>/SO.
Da die Vorinstanz die Zusprechung einer Parteientschädigung an den streitberufenen Dr. Y._ in Anwendung von kantonalem Recht vornahm, hätte die Beschwerdeführerin wiederum nur mit einer gehörig begründeten Willkürrüge dagegen angetreten können (siehe Erwägung 9.3). Eine solche erhebt die Beschwerdeführerin aber im vorliegenden Zusammenhang nicht, weshalb es beim Entscheid der Vorinstanz sein Bewenden haben muss.
11.3 Schliesslich soll das Legalitätsprinzip (<ref-law>) auch dadurch verletzt worden sein, dass die Vorinstanz den Kanton Solothurn gestützt auf § 77 VRG/SO von der Kostentragung befreite. Diese Bestimmung gelte nur für das verwaltungsgerichtliche Beschwerdeverfahren, nicht aber für das verwaltungsgerichtliche Klageverfahren. Für dieses seien die Grundsätze der Zivilprozessordnung massgebend.
Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben. Auf die Rüge ist vielmehr mangels Beschwer der Beschwerdeführerin nicht einzutreten. Die Vorinstanz hat der Beschwerdeführerin nur den ihr gemäss der vorgenommenen Aufteilung obliegenden Teil der Verfahrenskosten (Fr. 4'500.--) auferlegt. Dadurch, dass sie den Kanton Solothurn von dem diesem obliegenden Teil der Verfahrenskosten von Fr. 500.-- gestützt auf § 77 VRG/SO befreite, wurde die Beschwerdeführerin nicht belastet. Sie ist daher auch nicht legitimiert, dagegen vorzugehen.
12. Die Beschwerde in Zivilsachen ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>).
Dem Beschwerdegegner (Kanton Solothurn) ist keine Parteientschädigung zuzusprechen. Gründe, um ausnahmsweise von der Regel nach <ref-law> abzugehen, sind weder vom Beschwerdegegner genannt noch ersichtlich.
Der Streitberufene, der die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen beantragte, obsiegt mit dem Beschwerdegegner. Das Bundesgericht befindet nach seinem Ermessen über die Berücksichtigung der Nebenintervenienten im Kosten- und Entschädigungspunkt (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Nebenintervention wie auch der Streitverkündung liegt ein Rechtsverhältnis zwischen der unterstützten Hauptpartei und der Nebenpartei zu Grunde, an welchem der Prozessgegner nicht beteiligt ist. Mit ihrer Teilnahme am Prozess nimmt die Nebenpartei Interessen wahr, die in diesem Rechtsverhältnis und nicht in einem Rechtsverhältnis zwischen ihr und dem Prozessgegner begründet sind. Es rechtfertigt sich daher grundsätzlich nicht, der Nebenpartei einen Anspruch gegenüber dem Prozessgegner auf Ersatz ihrer Parteikosten einzuräumen. Das Bundesgericht spricht deshalb der Nebenpartei im Allgemeinen keine Parteientschädigung zu, es sei denn, es bestünden Gründe der Billigkeit (vgl. <ref-ruling> E. 6; Urteil 4A_216/2008 vom 20. August 2008 E. 5; je mit Hinweis). Solche Gründe sind im vorliegenden Fall nicht ersichtlich und werden vom Streitberufenen auch nicht geltend gemacht. Ihm ist folglich keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Klett Sommer