Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. B._ (Klägerin) begab sich am 7. Februar 1996 wegen Kniebeschwerden in die Privatsprechstunde von PD Dr. med. A._ (Beklagter), der als leitender Chefarzt am Regionalspital X._ und Chefarzt der Klinik Chirurgie tätig war. Der Beklagte operierte die Klägerin am 19. April 1996 im Regionalspital am linken Kniegelenk. Nach einem einwöchigen stationären Aufenthalt in der privaten Abteilung dieser Klinik wurde die Klägerin entlassen. Da die Beschwerden in der Folge wieder auftraten und zahlreiche Therapien erfolglos blieben, liess sich die Klägerin am 28. Januar 1997 in einem Spital in Zürich abermals operieren.
A. B._ (Klägerin) begab sich am 7. Februar 1996 wegen Kniebeschwerden in die Privatsprechstunde von PD Dr. med. A._ (Beklagter), der als leitender Chefarzt am Regionalspital X._ und Chefarzt der Klinik Chirurgie tätig war. Der Beklagte operierte die Klägerin am 19. April 1996 im Regionalspital am linken Kniegelenk. Nach einem einwöchigen stationären Aufenthalt in der privaten Abteilung dieser Klinik wurde die Klägerin entlassen. Da die Beschwerden in der Folge wieder auftraten und zahlreiche Therapien erfolglos blieben, liess sich die Klägerin am 28. Januar 1997 in einem Spital in Zürich abermals operieren.
B. Am 25. Juni 1999 belangte die Klägerin den Beklagten beim Bezirksgericht March auf Bezahlung von Schadenersatz und Genugtuung im Betrag von Fr. 171'498.95 nebst 5% Zins seit 19. April 1996. Der Beklagte beantragte, das Hauptverfahren zunächst auf die Frage seiner Passivlegitimation, des anwendbaren Rechts sowie der örtlichen und sachlichen Zuständigkeit des Bezirksgerichts March zu beschränken, womit sich die Klägerin einverstanden erklärte. In der Folge trat das Bezirksgericht mit Beschluss vom 24. Mai 2000 auf die Klage nicht ein. Es hielt dafür, der eingeklagte Anspruch sei öffentlichrechtlicher Natur und daher nach kantonalem öffentlichem Recht zu beurteilen, wofür der Verwaltungsweg zu beschreiten sei.
Auf Rekurs der Klägerin hin hob das Kantonsgericht des Kantons Schwyz diesen Beschluss am 29. Januar 2002 auf und wies die Streitsache zur materiellen Beurteilung nach Zivilrecht an das Bezirksgericht zurück.
Auf Rekurs der Klägerin hin hob das Kantonsgericht des Kantons Schwyz diesen Beschluss am 29. Januar 2002 auf und wies die Streitsache zur materiellen Beurteilung nach Zivilrecht an das Bezirksgericht zurück.
C. Der Beklagte beantragt mit eidgenössischer Berufung vom 1. März 2002, es sei der Beschluss des Kantonsgerichts vom 29. Januar 2002 aufzuheben und auf die Klage in Bestätigung des Beschlusses des Bezirksgerichts March vom 24. Mai 2000 nicht einzutreten. Er rügt, das Kantonsgericht habe zu Unrecht Bundesrecht statt kantonales öffentliches Recht für anwendbar erklärt und damit auch zu Unrecht die örtliche und sachliche Zuständigkeit des Bezirksgerichts March als Zivilgericht bejaht.
Die Klägerin schliesst auf Abweisung der Berufung und Bestätigung des angefochtenen Beschlusses.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Die Berufung ist zulässig in Zivilsachen bzw. Zivilrechtsstreitigkeiten (Art. 44, 45 und 46 OG). Unter einer Zivilrechtsstreitigkeit versteht die Rechtsprechung ein kontradiktorisches Verfahren zwischen zwei oder mehreren natürlichen oder juristischen Personen in ihrer Eigenschaft als Trägerinnen privater Rechte oder zwischen solchen Personen und einer Behörde, die nach Bundesrecht die Stellung einer Partei einnimmt. Entscheidend ist dabei, dass die Parteien nach ihren Rechtsbegehren und Sachvorbringen Ansprüche des Bundeszivilrechts erhoben haben und ebensolche objektiv streitig sind ( <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1a). Als Zivilrechtsstreitigkeit gilt auch die hier strittige Frage, ob die Klägerin bundesprivatrechtliche oder öffentlichrechtliche Ansprüche erhoben hat (<ref-ruling> E. 1; zur Publikation in BGE 128 III bestimmtes Urteil 4C.328/2001 vom 19. Februar 2002 E. 1a).
1.2 Die Berufung ist in der Regel erst gegen Endentscheide der oberen kantonalen Gerichte oder sonstigen Spruchbehörden zulässig, die nicht durch ein ordentliches kantonales Rechtsmittel angefochten werden können (Art. 48 Abs. 1 OG, <ref-ruling> E. 1a; <ref-ruling> E. 3b). Mit dem angefochtenen Rückweisungsentscheid hat die Vorinstanz nicht endgültig über den im Streit stehenden Anspruch entschieden, sondern einen selbständigen Vor- oder Zwischenentscheid gefällt. Dagegen kann Berufung unter den Voraussetzungen der Art. 49 oder 50 OG eingelegt werden (vgl. Corboz, Le recours en réforme au Tribunal fédéral, SJ 2000 S. 9 ff.). Gegen selbständige Zwischenentscheide über die Zuständigkeit im Sinne von Art. 49 OG ist die Berufung ohne weitere Voraussetzung zulässig und die Zuständigkeit kann mit dem Endentscheid nicht mehr angefochten werden (Art. 48 Abs. 3 OG). Andere Zwischenentscheide sind dagegen nach Art. 50 OG nur dann berufungsfähig, wenn bei Gutheissung des Rechtsmittels sofort ein Endentscheid herbeigeführt und ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart werden kann. Gegen solche Zwischenentscheide kann auch erst im Anschluss an den Endentscheid Berufung erhoben werden (Art. 48 Abs. 3 OG).
Der Entscheid der Vorinstanz ist nicht in Anwendung einer bundesrechtlichen Zuständigkeitsvorschrift ergangen. Die Zuständigkeit des Bezirksgerichts March ergibt sich für den Fall, dass der eingeklagte Anspruch als bundesprivatrechtlich zu qualifizieren ist, aus dem kantonalen Prozessrecht und ist unter dieser Voraussetzung unter den Parteien auch nicht streitig. Der Zwischenentscheid über die Frage, ob die Streitsache privat- oder öffentlichrechtlicher Natur sei, ist zwar in der Rechtsprechung teilweise als Zuständigkeitsentscheid im Sinne von Art. 49 OG qualifiziert worden (<ref-ruling> E. 1 S. 368; zustimmend Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bd. II, N. 1.6.2 zu Art. 49 OG, S. 332). Da der Entscheid den eingeklagten Anspruch jedoch im Fall der Nichtanhandnahme der Streitsache unter zivilrechtlichen Gesichtspunkten endgültig abweist, auch wenn die Subsumtion unter öffentlichrechtliche Normen noch aussteht, ist er in der neueren Praxis als Endentscheid qualifiziert worden (zur Publikation in BGE 128 III bestimmtes Urteil 4C.328/2001 vom 29. Februar 2002 E. 1b). Entsprechend liegt aber auch kein Zwischenentscheid über die Zuständigkeit im Sinne von Art. 49 OG vor, wenn die - als solche nach kantonalem Prozessrecht bestimmte - Zuständigkeit eines Gerichts mit der Begründung bejaht wird, es handle sich um eine privatrechtliche Streitigkeit (anders noch <ref-ruling> E. 1). Die Berufung ist in diesem Fall nur zulässig, soweit die Voraussetzungen des Art. 50 OG vorliegen.
Der Entscheid der Vorinstanz ist nicht in Anwendung einer bundesrechtlichen Zuständigkeitsvorschrift ergangen. Die Zuständigkeit des Bezirksgerichts March ergibt sich für den Fall, dass der eingeklagte Anspruch als bundesprivatrechtlich zu qualifizieren ist, aus dem kantonalen Prozessrecht und ist unter dieser Voraussetzung unter den Parteien auch nicht streitig. Der Zwischenentscheid über die Frage, ob die Streitsache privat- oder öffentlichrechtlicher Natur sei, ist zwar in der Rechtsprechung teilweise als Zuständigkeitsentscheid im Sinne von Art. 49 OG qualifiziert worden (<ref-ruling> E. 1 S. 368; zustimmend Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bd. II, N. 1.6.2 zu Art. 49 OG, S. 332). Da der Entscheid den eingeklagten Anspruch jedoch im Fall der Nichtanhandnahme der Streitsache unter zivilrechtlichen Gesichtspunkten endgültig abweist, auch wenn die Subsumtion unter öffentlichrechtliche Normen noch aussteht, ist er in der neueren Praxis als Endentscheid qualifiziert worden (zur Publikation in BGE 128 III bestimmtes Urteil 4C.328/2001 vom 29. Februar 2002 E. 1b). Entsprechend liegt aber auch kein Zwischenentscheid über die Zuständigkeit im Sinne von Art. 49 OG vor, wenn die - als solche nach kantonalem Prozessrecht bestimmte - Zuständigkeit eines Gerichts mit der Begründung bejaht wird, es handle sich um eine privatrechtliche Streitigkeit (anders noch <ref-ruling> E. 1). Die Berufung ist in diesem Fall nur zulässig, soweit die Voraussetzungen des Art. 50 OG vorliegen.
1.3 Die erste in dieser Bestimmung aufgestellte Voraussetzung, dass die Gutheissung der Berufung zu einem Endentscheid führen würde, ist vorliegend erfüllt: Sollte mit dem Beklagten verneint werden, dass der eingeklagte Anspruch privatrechtlicher Natur ist, beendet dieser Entscheid das Verfahren unter zivilrechtlichen Gesichtspunkten endgültig. Aber auch die zweite Voraussetzung des Art. 50 OG ist hier ohne weiteres gegeben: Es ist notorisch, dass Prozesse über Fragen der Arzthaftung regelmässig weitläufige Beweisverfahren erforderlich machen und es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass es sich im vorliegenden Verfahren ausnahmsweise anders verhalten könnte. Auch wenn der Beklagte - seiner Rechtsansicht gemäss, dass die Berufung nach Art. 49 OG zulässig sei - dazu keine Ausführungen macht, sind die Voraussetzungen des Art. 50 OG auch insoweit als erfüllt zu betrachten. Auf die Berufung ist daher einzutreten.
1.3 Die erste in dieser Bestimmung aufgestellte Voraussetzung, dass die Gutheissung der Berufung zu einem Endentscheid führen würde, ist vorliegend erfüllt: Sollte mit dem Beklagten verneint werden, dass der eingeklagte Anspruch privatrechtlicher Natur ist, beendet dieser Entscheid das Verfahren unter zivilrechtlichen Gesichtspunkten endgültig. Aber auch die zweite Voraussetzung des Art. 50 OG ist hier ohne weiteres gegeben: Es ist notorisch, dass Prozesse über Fragen der Arzthaftung regelmässig weitläufige Beweisverfahren erforderlich machen und es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass es sich im vorliegenden Verfahren ausnahmsweise anders verhalten könnte. Auch wenn der Beklagte - seiner Rechtsansicht gemäss, dass die Berufung nach Art. 49 OG zulässig sei - dazu keine Ausführungen macht, sind die Voraussetzungen des Art. 50 OG auch insoweit als erfüllt zu betrachten. Auf die Berufung ist daher einzutreten.
2. Die Vorinstanz entschied, der eingeklagte Anspruch sei privatrechtlicher Natur, obwohl er sich gegen den Chefarzt einer öffentlichrechtlich verfassten Klinik richtet und nach dem Recht des Kantons Schwyz das Gemeinwesen für den Schaden haftet, den ein Funktionär in Ausübung hoheitlicher Verrichtungen einem Dritten widerrechtlich zufügt. Der Beklagte bringt dagegen vor, die ärztliche Tätigkeit an einem öffentlichen Spital gelte nach konstanter Praxis des Bundesgerichts als amtliche Verrichtung im Sinne von <ref-law>. Dies führe zur Anwendung des öffentlichen kantonalen Verantwortlichkeitsrechts, soweit der Kanton, wie hier der Kanton Schwyz, von seiner in <ref-law> vorbehaltenen Gesetzgebungskompetenz Gebrauch gemacht habe.
2.1 Die Krankenbehandlung in öffentlichen Spitälern ist nach konstanter Rechtsprechung keine gewerbliche Verrichtung, für die nach <ref-law> die bundesprivatrechtlichen Haftungsnormen von <ref-law> durch kantonales öffentliches Recht nicht geändert werden können. Es handelt sich vielmehr um eine öffentliche Aufgabe, so dass Schäden, die dabei entstehen, auf die Ausübung staatlicher Hoheit und nicht auf die Verletzung privatrechtlicher Vertragspflichten zurückzuführen sind (<ref-ruling> E. 2a/aa S. 104; <ref-ruling> E. 2 S. 179). Gegen wen und unter welchen Voraussetzungen Patienten wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital Schadenersatz oder Genugtuung verlangen können, ist daher nach der Ordnung von <ref-law> zu bestimmen. Diese Norm enthält einen fakultativen öffentlichrechtlichen Vorbehalt zugunsten des kantonalen öffentlichen Rechts; die Kantone sind danach befugt aber nicht verpflichtet, die öffentlichrechtlich angestellten Ärzte der kantonalrechtlichen (Haftungs-)Regelung zu unterstellen. Die Abgrenzung zwischen Bundesprivatrecht und kantonalem öffentlichem Recht ist insoweit nicht nach den gängigen Theorien vorzunehmen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2c/bb), sondern wird allein vom kantonalen Recht bestimmt. Wenn die Kantone von ihrer Befugnis gemäss <ref-law> keinen Gebrauch machen, haften die Ärzte für ihr Verhalten unmittelbar nach den bundesprivatrechtlichen Normen der <ref-law> (<ref-ruling> E. 2a/bb und cc S. 104 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 1a S. 78).
2.2 Der Beklagte anerkennt, dass die ärztliche Tätigkeit in einem öffentlichen Spital als amtliche Verrichtung zu qualifizieren ist, auf die das öffentlichrechtliche kantonale Verantwortlichkeitsrecht nur anwendbar ist, sofern der Kanton von seiner Gesetzgebungskompetenz Gebrauch gemacht hat. Er macht jedoch sinngemäss geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht verneint, dass dies der Fall sei, indem sie in unzutreffender Auslegung des massgeblichen Rechts des Kantons Schwyz die Anwendbarkeit des kantonalen Haftungsgesetzes vom 20. Februar 1970 verneint habe.
Auf diese Ausführungen ist nicht einzutreten. Der Beklagte verkennt, dass mit eidgenössischer Berufung nur die Verletzung von Bundesrechtsnormen gerügt werden kann (Art. 43 OG); für Erörterungen über die Verletzung kantonalen Rechts steht sie nicht zur Verfügung (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG; vgl. <ref-ruling> E. 2a/cc und 2b).
Die bundesrechtliche Vorschrift von <ref-law> kann überdies durch eine allenfalls falsche Anwendung kantonalen Rechts von vornherein nicht verletzt sein, da sie dem kantonalen Gesetzgeber keinerlei Verpflichtungen auferlegt, sondern mangels kantonaler Normen die bundesrechtlichen Bestimmungen von <ref-law> als anwendbar erklärt. Indem die kantonalen rechtsanwendenden Behörden das kantonale Haftungsgesetz dahingehend ausgelegt haben, dass es auf die Tätigkeit des Beklagten im Regionalspital X._ keine Anwendung findet, haben sie <ref-law> nicht verletzt. Insoweit ist der Schluss, dass der Beklagte der Klägerin nach den Bestimmungen der <ref-law> haftet, bundesrechtlich nicht zu beanstanden und erweist sich die Berufung als unbegründet. Soweit der Beklagte aus den von ihm zitierten Bundesgerichtsentscheiden, namentlich aus BGE <ref-ruling> ff. und aus <ref-ruling> ff., etwas anderes ableiten will, übersieht er, dass das Bundesgericht in den damals noch zulässigen Direktprozessen auch kantonale Normen auszulegen und anzuwenden hatte. Im Rahmen der Berufung kann jedoch, wie dargelegt, die Auslegung kantonaler Bestimmungen nicht überprüft werden.
3. Die Vorinstanz hat <ref-law> nicht verletzt, indem sie aufgrund einer im vorliegenden Verfahren nicht zu überprüfenden Auslegung kantonalen Rechts die Streitsache als privatrechtlich qualifizierte. Die Berufung ist daher abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist, und das angefochtene Urteil zu bestätigen. Diesem Verfahrensausgang entsprechend ist die Gerichtsgebühr dem Beklagten zu auferlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Er hat die Klägerin überdies für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist, und der Beschluss des Kantonsgerichts des Kantons Schwyz vom 29. Januar 2002 wird bestätigt.
1. Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist, und der Beschluss des Kantonsgerichts des Kantons Schwyz vom 29. Januar 2002 wird bestätigt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 5'500.-- wird dem Beklagten auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 5'500.-- wird dem Beklagten auferlegt.
3. Der Beklagte hat die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
3. Der Beklagte hat die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2002
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: