Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1975), Staatsangehöriger von Serbien und Montenegro, reiste im Dezember 2000 zu einem Besuchsaufenthalt in die Schweiz ein. Am 23. Februar 2001 heiratete er eine hier niedergelassene Landsfrau, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erteilt wurde. Am 26. Juni 2002 kam der gemeinsame Sohn Y._ zur Welt. Die Ehefrau erlitt im Oktober 2002 eine Gehirnblutung und bezieht nunmehr eine Invalidenrente.
Am 13. Oktober 2004 reichte die Ehefrau beim Kreisgerichtspräsidenten Gaster-See ein Eheschutzbegehren ein. In der Folge widerrief das Ausländeramt des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 22. Oktober 2004 die Aufenthaltsbewilligung mit der Begründung, die Eheleute lebten getrennt.
B. X._ beschwerte sich dagegen beim Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen.
Am 24. Dezember 2004 zog die Ehefrau das Eheschutzbegehren zurück. Am 13. April 2005 ersuchte sie erneut um Erlass von Eheschutzmassnahmen. Mit Entscheid vom 6. Juni 2005 stellte der Präsident des Kreisgerichts Gaster-See unter anderem fest, dass die Ehegatten seit dem 2. August 2004 getrennt lebten und dass die Mutter die elterliche Obhut über den Sohn übernehme. Er ordnete ein Besuchsrecht von drei Stunden pro Woche für den Vater an und genehmigte die vereinbarten Unterhaltszahlungen.
Mit Entscheid vom 27. Februar 2006 wies das Justiz- und Polizeidepartement den Rekurs betreffend Aufenthaltsbewilligung ab. Dagegen beschwerte sich X._ erfolglos beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 15. August 2006 beantragt X._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 8. Juni 2006 sowie die Verfügung des Ausländeramtes vom 22. Oktober 2004 und den Rekursentscheid des Justiz- und Polizeidepartements vom 27. Februar 2006 aufzuheben, vom Widerruf der Aufenthaltsbewilligung abzusehen und die Fremdenpolizeibehörden anzuweisen, ihm den weiteren Aufenthalt zu bewilligen. Eventualiter ersucht er, die Sache zu neuem Entscheid an die kantonalen Vorinstanzen zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten des Verwaltungsgerichts beigezogen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.
D. Mit Präsidialverfügung vom 5. September 2006 wurde der Beschwerde vorläufig die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Nachdem die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers abgelaufen ist, stellt sich im vorliegenden Verfahren nur noch die Frage, ob deren Verlängerung zu Recht verweigert wurde. Nach Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde auf dem Gebiet der Fremdenpolizei ausgeschlossen gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die das Bundesrecht keinen Anspruch einräumt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 284; <ref-ruling> E. 1.1.1 S. 148 mit Hinweisen).
1.2 Der Beschwerdeführer lebt unbestrittenermassen getrennt von seiner in der Schweiz niedergelassenen Ehegattin und hat weniger als fünf Jahre in ehelicher Gemeinschaft mit ihr zusammen gewohnt. Ihm steht daher nach Art. 17 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142.20) kein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 116).
Art. 8 EMRK sowie <ref-law> gewährleisten das Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens. Hat ein Ausländer nahe Verwandte mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht in der Schweiz und ist die familiäre Beziehung intakt und wird sie tatsächlich gelebt, dann kann es die erwähnten Garantien verletzen, wenn ihm die Anwesenheit in der Schweiz untersagt wird (<ref-ruling> E. 5.3.1). Da sein Sohn über die Niederlassungsbewilligung verfügt und der Beschwerdeführer die familiäre Beziehung zu ihm aufrecht hält, kann ein Rechtsanspruch auf eine ausländerrechtliche Bewilligung gestützt auf Art. 8 EMRK in Frage stehen. Das Rechtsmittel der Verwaltungsgerichtsbeschwerde erscheint somit als zulässig. Aus dem Übereinkommen vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (UNO-KRK; SR 0.107) ergeben sich im indessen keine über Art. 8 EMRK hinausgehende Bewilligungsansprüche (vgl. Urteil 2A. 412/1998 vom 15. Dezember 1998 E. 3a).
1.3 Anfechtungsobjekt ist einzig das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen. Soweit vorliegend auch die unterinstanzlichen Verfügungen angefochten werden, ist daher auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht einzutreten.
1.4 Hat - wie hier - eine richterliche Behörde als Vorinstanz entschieden, so ist deren Sachverhaltsfeststellung für das Bundesgericht verbindlich, sofern diese nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensgarantien erfolgt ist (Art. 105 Abs. 2 OG). Damit ist die Möglichkeit, vor Bundesgericht neue Tatsachen vorzubringen und Beweismittel einzureichen, weitgehend eingeschränkt. Das Bundesgericht lässt nur solche neuen Tatsachen und Beweismittel zu, welche die Vorinstanz von Amtes wegen hätte berücksichtigen müssen und deren Nichtbeachtung eine Verletzung wesentlicher Verfahrensvorschriften darstellt (BGE <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 150 mit Hinweisen). Das Zwischenzeugnis der Spitex A._ vom 4. August 2006, das Zeugnis von Z._ vom 7. August 2006, die Empfangsscheine betreffend Alimentenzahlungen, soweit sie dem Verwaltungsgericht nicht vorlagen, sowie der Auszug des Betreibungsregisters vom 7. August 2006 sind daher unbeachtlich. Sie wären ohnehin nicht geeignet, am Ausgang des Verfahrens etwas zu ändern.
2.1 Der Anspruch auf Achtung des Familienlebens gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK gilt nicht absolut (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 24 f. ). In der Regel kann sich im Hinblick auf eine Bewilligungserteilung nur derjenige auf Art. 8 EMRK berufen, der mit der in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Person zusammen lebt. Der nicht sorgeberechtigte Ausländer kann die familiäre Beziehung zu seinem Kind zum Vornherein nur in einem beschränkten Rahmen, nämlich durch Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts leben; hierzu ist nicht unabdingbar, dass er dauernd im gleichen Land wie das Kind lebt und dort über eine Anwesenheitsberechtigung verfügt. Ein Besuchsrecht gegenüber einem in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Kind verschafft dem ausländischen Elternteil daher im Allgemeinen noch keinen Anspruch auf dauernde Anwesenheit; den Anforderungen von Art. 8 EMRK ist Genüge getan, wenn das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allerdings dessen Modalitäten entsprechend aus- bzw. umzugestalten sind. In ausländerrechtlicher Hinsicht hat das Bundesgericht daraus gefolgert, dass die Aufenthaltsbewilligung nur dann erteilt oder erneuert werden muss, wenn einerseits zwischen dem Ausländer und dessen in der Schweiz ansässigen Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht, die sich wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Land, in das der Ausländer bei Verweigerung der Bewilligung auszureisen hätte, praktisch nicht aufrechterhalten liesse, und wenn andererseits das Verhalten des Ausländers in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat (vgl. Urteil 2A.423/2005 vom 25. Oktober 2005 E. 4.3 mit Hinweisen sowie <ref-ruling> E. 3 S. 4 ff., 22 E. 4 S. 24 ff.).
2.2 Der in der Schweiz anwesenheitsberechtigte Sohn des Beschwerdeführers lebt mit seiner Mutter, unter deren elterlichen Sorge er steht, und den Grosseltern mütterlicherseits zusammen. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung betrifft demzufolge unter dem Gesichtswinkel von Art. 8 EMRK lediglich das vom Beschwerdeführer wahrgenommene Besuchsrecht. Dieses beschränkt sich auf bloss drei Stunden pro Woche und darf vom Beschwerdeführer zudem ausschliesslich in Anwesenheit der Kindsmutter in deren Wohnung ausgeübt werden. Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, ist nicht ersichtlich, inwiefern der Beschwerdeführer unter diesen Umständen für den Sohn eine enge Bezugsperson sein könnte. Bei dieser offensichtlichen Sachlage brauchte die Vorinstanz bezüglich der Intensität der Beziehung des Beschwerdeführers zu seinem Sohn keine weiteren tatsächlichen Abklärungen vorzunehmen. Im Übrigen durfte das Verwaltungsgericht davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer der Pflicht zur Bezahlung der Unterhaltsbeiträge nur schleppend bzw. unvollständig nachgekommen war. Der Schluss der Vorinstanz, zwischen dem Beschwerdeführer und seinem Sohn bestehe weder in wirtschaftlicher noch in affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung, ist somit nicht zu beanstanden.
Der Beschwerdeführer vermag in der Beschwerdeschrift nichts aufzuzeigen, was geeignet erschiene, diese Einschätzung der tatsächlichen Situation massgeblich zu entkräften. Dass er als Krankenpfleger einer Spitex-Organisation von seinem Arbeitgeber sowie von den von ihm betreuten Patienten sehr geschätzt wird, ist in diesem Zusammenhang nicht von Belang. Auf die Umstände, die zum Scheitern der Ehe geführt haben, kommt es ebenfalls nicht an. Die Voraussetzungen, unter denen einem Ausländer, der ein Besuchsrecht zu einem in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Kind hat, gestützt auf diese familiäre Beziehung ausnahmsweise eine ausländerrechtliche Bewilligung zu dauerndem Aufenthalt zu erteilen ist, sind vorliegend klarerweise nicht erfüllt. Ergänzend kann auf die Ausführungen im angefochtenen Urteil verwiesen werden (Art. 36a Abs. 3 OG).
3. 3.1 Nach dem Gesagten erweist sich die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers als rechtmässig und das angefochtene Urteil damit als bundesrechtskonform. Die offensichtlich unbegründete Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 36a OG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.2 Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 153 und Art. 153a OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Justiz- und Polizeidepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2006
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: