Faits:
A. A.a W._ est au bénéfice d'une formation d'hôtelier et de cafetier-restaurateur. Dès 1995, il a exploité les restaurants X._ à A._, B._, C._ et D._ sous la forme d'une société en nom collectif. Par la suite, il a repris à titre personnel les établissements de C._ et de D._, qu'il a exploités en raison individuelle.
Le 3 février 1999, W._ a été victime d'une fracture multi-fragmentaire par éclatement de la tête de l'humérus droit, dont l'évolution a été compliquée par une nécrose de la tête humérale. Le 31 mai 2001, le docteur E._ a procédé à l'ablation du matériel d'ostéosynthèse. Dans un rapport médical LAA du 28 décembre 2001, ce médecin a indiqué que le patient présentait pour l'instant et certainement de longue durée une incapacité de travail de 50 %. L'assureur-accidents a confié une expertise au docteur U._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 14 mars 2002, l'expert a posé le diagnostic de nécrose de la tête humérale droite après fracture sous-capitale (quatre fragments et plus), stade IV selon Neer. Dans le cadre d'un travail de restaurateur en cuisine, une incapacité de travail de l'ordre de 50 % semblait correcte.
A.b Le 7 décembre 2001, W._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 5 janvier 2002, le docteur R._, spécialiste FMH en médecine interne, a indiqué que le patient avait présenté une incapacité de travail de 100 % du 3 février au 4 juin 1999, de 50 % du 5 juin au 15 août 1999, de 30 % du 11 décembre 2000 au 29 janvier 2001 et de 50 % à partir du 30 janvier 2001. Il signalait que depuis l'ablation du matériel d'ostéosynthèse, il persistait une très importante limitation fonctionnelle au niveau de l'épaule. Dans un rapport du 21 janvier 2002, le docteur E._ a posé le diagnostic de status post-fracture de l'épaule droite avec nécrose de la tête humérale. Il retenait une incapacité de travail de 100 % du 31 mai au 15 juin 2001 et de 50 % dès le 16 juin 2001.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a mis en oeuvre une enquête pour indépendant, qui a été effectuée le 9 décembre 2002. Dans un rapport du 10 décembre 2002, sous la rubrique relative au champ d'activité avant la survenance de l'atteinte à la santé, l'enquêteur a mentionné les tâches de gestion (organisation, administration, salaires, élaboration de recettes, propositions de banquets, contrôles de la marchandise, achats, hygiène) représentant le 20 à 25 % de l'engagement, tout en indiquant que W._ était un homme de terrain avant tout. Celui-ci se consacrait à la formation du personnel de service, mais surtout aux tâches de cuisinier tout en restant très impliqué au niveau du service. Il assumait non seulement un renfort mais les remplacements aussi bien en cuisine qu'au service lors de l'absence de personnel. En raison du handicap au niveau du bras droit, l'assuré avait dû engager un cuisinier supplémentaire, à qui il avait confié le rôle de chef de cuisine. Par rapport à ses empêchements, il avait dû se replacer dans l'entreprise. En se chargeant des relations avec la clientèle et en améliorant l'accueil, son objectif était de développer l'entreprise dans le but d'augmenter le chiffre d'affaires et ainsi d'amortir l'engagement financier du poste supplémentaire de cuisinier, objectif qui n'avait pas pu être atteint, les fins de semaine étant de toute façon complètes et la clientèle n'ayant pas répondu à l'appel en semaine.
Par décision du 3 avril 2003, l'office AI a rejeté la demande: Dans la mesure où un établissement comme celui de W._ exigeait un travail important de direction et de gestion, il n'était pas possible d'admettre qu'il pourrait assumer, en plus, un poste de cuisinier à 80 % au moins. Il en résultait que l'incapacité de travail médico-théorique de 50 % dans l'activité de cuisinier n'occasionnait pas une diminution de la capacité de gain atteignant 40 %.
Le 5 mai 2003, W._ a formé opposition contre cette décision.
Par décision du 28 avril 2006, l'office AI a rejeté l'opposition, au motif que l'application de la méthode générale de comparaison des revenus conduisait à nier toute diminution de gain. D'autre part, si l'on appliquait la procédure extraordinaire d'évaluation de l'invalidité, la pondération des tâches mettait en évidence un degré d'invalidité inférieur à 40 %, attendu que l'assuré présentait une incapacité de travail de 50 % uniquement dans l'activité de cuisinier.
B. Le 2 juin 2006, W._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci, la juridiction cantonale étant invitée à lui accorder une rente d'invalidité d'une quotité à dire de justice, mais au minimum un quart de rente, subsidiairement à renvoyer le dossier à l'office AI pour nouvelle décision au sens des considérants.
Par jugement du 29 août 2008, le Tribunal administratif a rejeté le recours.
C. W._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, le dossier étant renvoyé au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision au sens des considérants.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue à l'<ref-law> seraient réalisées, sinon il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.4.3).
2. Il est constant que le recourant a exploité les restaurants X._ de D._ et de C._ en raison individuelle.
2.1 La juridiction cantonale a considéré que l'on ne pouvait exclure au degré de vraisemblance prépondérante que le résultat d'exploitation des établissements de C._ et de D._ réalisé par le recourant en qualité de restaurateur indépendant ait été influencé par des facteurs autres que ceux liés à la seule invalidité. Aussi était-ce à bon droit que l'office AI avait privilégié la méthode extraordinaire d'évaluation de l'invalidité, ce qui n'est pas remis en cause devant la Cour de céans. La procédure extraordinaire d'évaluation s'applique donc pendant toute la période où le recourant a exploité les restaurants X._ en raison individuelle.
2.2 Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité, singulièrement sur sa capacité de travail, sur la pondération des champs d'activité dans ses restaurants avant et après la survenance de l'atteinte à la santé, sur l'étendue de l'empêchement dans chacun des champs d'activité et son incidence sur sa capacité de gain.
2.3 Le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur les notions d'incapacité de gain et d'invalidité et sur la procédure extraordinaire d'évaluation de l'invalidité. On peut ainsi y renvoyer.
2.4 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 s. (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé (diagnostic, etc.), la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398).
3. Les premiers juges ont retenu que le recourant présentait une diminution de sa capacité de travail de 50 %, uniquement pour son activité de cuisinier.
3.1 Reprochant à la juridiction cantonale de s'être substituée à l'expert U._, le recourant fait valoir que dans son rapport du 14 mars 2002, ce médecin n'a pas dit que le taux de 50 % s'appliquait uniquement à son activité de cuisinier. Au contraire, le docteur U._ a indiqué que l'incapacité était dépendante du travail à effectuer et qu'à ce sujet une enquête sur le lieu de travail serait souhaitable et apporterait des précisions sur le handicap professionnel. Du point de vue de l'expert, il n'est dès lors pas exclu qu'il présente une incapacité de travail de 50 % également dans d'autres types d'emplois pouvant être exercés au sein des restaurants X._, par exemple dans l'activité du service en salle.
3.2 Cette argumentation doit être réfutée. Si l'on confronte l'expertise du docteur U._ du 14 mars 2002 aux autres pièces du dossier, en particulier au rapport du docteur E._ du 21 janvier 2002, il n'apparaît pas que les premiers juges, en retenant que le recourant présentait une diminution de la capacité de travail de 50 % uniquement dans l'activité de cuisinier, aient établi les faits de façon manifestement inexacte.
A la question de savoir quelle était l'ampleur de l'incapacité de travail actuelle et future, compte tenu de l'activité professionnelle en tant que restaurateur, l'expert a répondu qu'il existait un handicap important au niveau de l'épaule droite consécutif à la nécrose de la tête humérale et que dans le cadre d'un travail de restaurateur en cuisine, une incapacité de l'ordre de 50 % semblait à première vue correcte, le recourant étant en effet limité par un manque de mobilité de l'épaule droite (abduction 80°) et des douleurs qu'il décrivait comme étant cependant supportables. Ainsi que cela ressort des données selon les actes du dossier mentionnées en page 2 du rapport du 14 mars 2002, le docteur U._ avait connaissance des conclusions du docteur E._ sur l'incapacité de travail, fixée à 50 % et qualifiée de longue durée. Dans sa réponse, l'expert a confirmé l'existence d'une incapacité de travail de 50 % dans le cadre d'un travail de restaurateur en cuisine. Même s'il a indiqué qu'une enquête sur le lieu de travail était souhaitable, à aucun moment il n'a évoqué dans son rapport l'existence d'une incapacité de travail dans une activité autre qu'en cuisine. Le recours est mal fondé de ce chef.
3.3 Au demeurant, la question d'une incapacité de travail dans une autre activité, notamment de service, au sein du restaurant n'aurait de pertinence que si celle-ci pouvait être exigée de la part du recourant, au titre de la diminution du dommage, et était de nature à diminuer son taux d'invalidité. Au regard du considérant 4 qui suit, ce point peut être laissé de côté.
4. La proportion du temps consacré par l'assuré aux différents champs d'activité composant son métier relève d'une question de fait, que le Tribunal fédéral revoit avec un pouvoir d'examen restreint (supra, consid. 2.4; arrêt 9C_731/2007 du 20 août 2008, consid. 4.2).
4.1 En ce qui concerne la pondération des champs d'activité avant la survenance de l'atteinte à la santé, les premiers juges ont retenu que le recourant, à côté des 20 à 25 % de temps consacré selon son propre aveu aux tâches de gestion, exerçait effectivement moins de 80 % en cuisine. Tel qu'il doit être compris, le jugement attaqué fixe ainsi à 75 % la part consacrée par celui-ci avant la survenance de l'atteinte à la santé à son activité de cuisinier et à 25 % celle liée aux tâches de gestion.
4.2 Le recourant conteste cette pondération des champs d'activité, affirmant qu'il travaillait à 100 % en tant que cuisinier sans son handicap et que la part de 20 à 25 % consacrée aux tâches de gestion a toujours été prise sur son temps libre, comme le font la plupart des restaurateurs-cuisiniers.
Toutefois, cela revient à dire qu'il travaillait à 125 %, ce qui n'a aucun sens. Le recourant, en sa qualité d'indépendant, n'est pas dans la situation d'un salarié exerçant en plus une tâche de gestion. En effet, l'exploitation des restaurants X._ constitue une activité à part entière - soit un temps total de travail de 100 % -, incluant aussi bien l'activité de cuisinier que les tâches de gestion.
Il n'apparaît pas que les premiers juges, en fixant à 75 % la part consacrée par le recourant avant la survenance de l'atteinte à la santé à son activité de cuisinier et à 25 % celle liée aux tâches de gestion, aient établi les faits de façon manifestement inexacte. Selon le rapport d'enquête initiale pour indépendant du 10 décembre 2002, auquel ils se sont référés, les tâches de gestion (organisation, administration, salaires, élaboration de recettes, propositions de banquets, contrôles de la marchandise, achats, hygiène) représentaient le 20 à 25 % de son engagement environ, l'assuré se disant un homme de terrain avant tout. Il se consacrait à la formation du personnel de service, mais surtout aux tâches de cuisinier.
Même si, comme le relève le recourant, une partie de ces activités sont en lien avec la cuisine, elles ne font pas partie à proprement parler des activités de cuisinier stricto sensu et dans lesquelles il présente depuis son atteinte à la santé une incapacité de travail.
4.3 Les premiers juges ont procédé à une pondération des champs d'activité dans l'exploitation des restaurants X._ après la survenance de l'atteinte à la santé. Selon eux, on pouvait exiger du recourant qu'il se reconvertisse dans d'autres activités au niveau du service au sein des restaurants, où il lui était possible de diversifier ses tâches afin de ne pas exercer plus de 50 % de son temps en cuisine, tout en continuant à travailler à plein temps.
Pour autant que l'on puisse les suivre, les premiers juges sont ainsi de l'avis que l'on pouvait exiger du recourant qu'il réduise à 50 % la part consacrée à son activité de cuisinier et qu'il consacre 25 % de son temps au niveau du service, à côté de la part de 25 % liée aux tâches de gestion.
On peut se demander s'il est réaliste d'exiger du recourant qu'à côté de la part de 25 % investie dans les tâches de gestion, il se reconvertisse dans d'autres activités au niveau du service au sein des restaurants en y consacrant également 25 % de son temps. Pour les raisons qui suivent (consid. 4.4 ci-dessous), la question de l'exigibilité peut toutefois demeurer indécise.
4.4 Il résulte de la pondération des champs d'activité dans l'exploitation des restaurants X._ avant la survenance de l'atteinte à la santé à laquelle ont procédé les premiers juges que la part consacrée par le recourant à l'activité de cuisinier était de 75 % et celle liée aux tâches de gestion de 25 % (supra, consid. 4.1 et 4.2).
A la suite de la survenance de l'atteinte à la santé, le recourant a présenté une diminution de sa capacité de travail de 50 % uniquement pour son activité de cuisinier (supra, consid. 3).
La question de l'exigibilité peut demeurer indécise, attendu que l'empêchement fonctionnel du recourant dans les tâches de gestion est nul et qu'il est dans le meilleur des cas de 37.5 % dans l'activité de cuisinier (soit 75 % [part consacrée à cette activité] x 50 % [capacité résiduelle de travail dans l'activité de cuisinier]).
L'incidence de l'empêchement de 37.5 % dans le champ d'activité de cuisinier sur la capacité de gain du recourant se détermine selon la formule applicable pour la méthode extraordinaire d'évaluation de l'invalidité, conformément à la jurisprudence (<ref-ruling> consid. 4c p. 33):
T1 x B1 x s1 + T2 x B2 x s2
------------------------------------------------- = taux d'invalidité
T1 x s1 + T2 x s2
T correspond à la part consacrée à chacun des deux champs d'activité de travail en cause par rapport au temps total (T1 + T2 = 100 %) en pour cent, B à l'empêchement dans chacune des activités et s au revenu pour l'activité correspondante.
En ce qui concerne les éléments de la formule d'évaluation dans le cas d'espèce, T1 est égal à 25 et T2 à 75, tandis que B1 est égal à 0 et B2 à 37.5.
Les revenus à prendre en considération (s1 et s2) pour l'activité correspondante (tâches de gestion et cuisinier) n'ont fait l'objet d'aucune instruction. Le recours aux données statistiques n'est cependant pas nécessaire. En effet, par rapport à l'activité de cuisinier, les tâches de gestion représentent un revenu au moins égal, sinon supérieur à celui d'un cuisinier (<ref-ruling> consid. 4d p. 34), de sorte que, quelles que soient les données chiffrées effectives, le degré d'invalidité ne pourrait pas être supérieur à l'empêchement de 37.5 % existant uniquement dans l'activité de cuisinier. Il en résulte que le recourant, pendant toute la période où il a exploité les restaurants X._ en raison individuelle, ne présentait pas un degré d'invalidité donnant droit à une rente. Mal fondé, le recours doit ainsi être rejeté.
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 14 octobre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner