Sachverhalt:
A. A.a In der von Z._ als Gläubiger für einen Betrag von Fr. 10'006.65 nebst Zins zu 5% seit 24. September 2011 gegen die X._ AG als Schuldnerin eingeleiteten Betreibung Nr. xxxx erliess das Betreibungsamt A._ am 19. April 2012 die Konkursandrohung. Die X._ AG hat ihren Sitz in A._. Im Handelsregister ist als Adresse "c/o Y._" eingetragen. Die Konkursandrohung wurde der X._ AG am 23. April 2012 an dieser im Handelsregister eingetragenen (Domizil-) Adresse zugestellt.
A.b Am 4. Juni 2012 erhob die X._ AG gegen die Konkursandrohung Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zug als Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs. Sie ersuchte ebenfalls um aufschiebende Wirkung.
Mit Schreiben vom 5. Juni 2012 wies das Obergericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. Sodann trat es mit Präsidialverfügung vom 21. Juni 2012 auf die Beschwerde nicht ein.
A.c Dagegen erhob die X._ AG am 12. Juli 2012 eine Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht.
Am 3. September 2012 erkannte das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu. Mit Urteil vom 5. Dezember 2012 wies das Bundesgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 5A_533/2012).
B. B.a Parallel dazu eröffnete das Kantonsgericht des Kantons Zug am 12. Juni 2012, 08.30 Uhr, den Konkurs über die X._ AG, nachdem Z._ am 18. Mai 2012 das Konkursbegehren gestellt und das Kantonsgericht die Parteien am 21. Mai 2012 zur Konkursverhandlung vorgeladen hatte.
B.b Gegen die Konkurseröffnung erhob die X._ AG am 2. Juli 2012 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zug.
Mit Urteil vom 4. Juli 2012 wies das Obergericht die Beschwerde ab. Das Urteil konnte der X._ AG erst am 4. Oktober 2012 zugestellt werden, nachdem ein erster Versand der Gerichtsurkunde nach Auskunft der Schweizerischen Post "nicht beim Kunden eingetroffen" war.
C. Dem Bundesgericht beantragt die X._ AG (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer als Beschwerde bezeichneten Eingabe vom 5. November 2012, das obergerichtliche Urteil vom 4. Juli 2012 sei aufzuheben und die Angelegenheit zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen, soweit das Verfahren durch den Entscheid des Bundesgerichts im Verfahren 5A_533/2012 nicht ohnehin gegenstandslos geworden sei.
Zudem ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung. Das Obergericht hat sich dem Gesuch nicht widersetzt (Schreiben vom 13. November 2012). Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) hat sich dazu nicht vernehmen lassen. Das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 20. Dezember 2012 die aufschiebende Wirkung in dem Sinne zuerkannt, als der Konkurs eröffnet bleibt, jedoch bis zum Entscheid des Bundesgerichts Vollstreckungsmassnahmen zu unterbleiben haben.
In der Sache hat der Beschwerdegegner auf eine Vernehmlassung verzichtet (Schreiben vom 18. Januar 2013). Das Obergericht hat beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei (Schreiben vom 28. Januar 2013). Das Bundesgericht hat die Vorakten sowie die Akten des Verfahrens 5A_533/2012 beigezogen.

Erwägungen:
1. Gegen den Endentscheid über die Konkurseröffnung ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (Art. 90 und Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG), und zwar unabhängig von der Höhe des Streitwerts (<ref-law>) und ohne Einschränkung der Beschwerdegründe (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 689 f.). Die im Übrigen fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid eines oberen Gerichts, das kantonal letztinstanzlich auf Rechtsmittel hin geurteilt hat (<ref-law>).
Die von der Beschwerdeführerin nicht näher bezeichnete Eingabe ist als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin legt eingangs ihrer Beschwerde dar, sie beziehe sich sinngemäss auf sämtliche ihrer Vorbringen, die sie auch im Beschwerdeverfahren gegen die Konkursandrohung (bundesgerichtliches Verfahren 5A_533/2012) erhoben habe (Ziff. 1 der Beschwerde).
Die Begründung der vor Bundesgericht erhobenen Beschwerde muss in der Beschwerdeschrift enthalten sein. Pauschale Verweisungen auf Rechtsschriften in anderen Verfahren sind unzulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 258; <ref-ruling> E. 1.3 S. 306). Darauf ist demnach nicht einzutreten.
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Neu sind Tatsachen, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 365).
Die Beschwerdeführerin verweist vor Bundesgericht auf ein vom Beschwerdegegner "unterdessen" eingeleitetes Retentionsverfahren. Zudem beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, vom Betreibungsamt C._ einen Amtsbericht über dieses Retentionsverfahren einzuholen. Diese Tatsachenbehauptung und Beweismittel sind neu und damit unzulässig und im vorliegenden Verfahren unbeachtlich. Es ist im Übrigen nicht Aufgabe des Bundesgerichts, Beweise abzunehmen und Tatsachen festzustellen, über die sich das kantonale Sachgericht nicht ausgesprochen hat (<ref-ruling> E. 6.1 S. 214 f.).
3. 3.1 Das Obergericht hat erwogen, die Beschwerdeführerin habe im Beschwerdeverfahren weder ihre Zahlungsfähigkeit glaubhaft gemacht noch einen Konkurshinderungsgrund nachgewiesen (<ref-law>). Jedoch habe sie geltend gemacht, ihr sei die Konkursandrohung nicht zugestellt worden, wogegen sie am 4. Juni 2012 eine Beschwerde erhoben habe.
Insoweit hat das Obergericht im angefochtenen Entscheid ausgeführt, das Kantonsgericht sei verpflichtet gewesen, den Konkurs zu eröffnen, da es an einem Grund für die Aussetzung des Entscheids gefehlt habe. Insbesondere sei der Beschwerde gegen die Konkursandrohung zu diesem Zeitpunkt keine aufschiebende Wirkung zugekommen.
Insoweit hat das Obergericht im angefochtenen Entscheid ausgeführt, das Kantonsgericht sei verpflichtet gewesen, den Konkurs zu eröffnen, da es an einem Grund für die Aussetzung des Entscheids gefehlt habe. Insbesondere sei der Beschwerde gegen die Konkursandrohung zu diesem Zeitpunkt keine aufschiebende Wirkung zugekommen.
3.2 3.2.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör und des Willkürverbots, da das Obergericht auf ihre Argumente in der Beschwerde gar nicht eingegangen sei. Es fehle demnach an einer sachbezogenen Begründung (Ziff. 2 der Beschwerde).
3.2.2 Die Beschwerdeführerin macht damit sinngemäss geltend, der obergerichtliche Entscheid sei unzureichend begründet.
3.2.3 Nach <ref-law> kann der Entscheid des Konkursgerichts innert zehn Tagen mit Beschwerde nach der ZPO angefochten werden. Gemäss <ref-law> eröffnet die Rechtsmittelinstanz ihren Entscheid mit einer schriftlichen Begründung. Sodann haben die Parteien gemäss <ref-law> Anspruch auf rechtliches Gehör.
Mit <ref-law> wird der in <ref-law> als verfassungsrechtliche Minimalgarantie verankerte Anspruch auf rechtliches Gehör für den Anwendungsbereich der ZPO auf Gesetzesstufe geregelt. Die vom Bundesgericht zu <ref-law> entwickelte Praxis ist auch für die Auslegung von <ref-law> zu berücksichtigen (Urteile 5A_109/2012 vom 3. Mai 2012 E. 2.1; 5A_31/2012 vom 5. März 2012 E. 4.3 mit Hinweisen). Die von der Beschwerdeführerin gerügte Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör ist damit im Lichte von <ref-law> zu prüfen.
Das rechtliche Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in ihrer Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 237; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
3.2.4 Auch wenn der obergerichtliche "Dass-Entscheid" kurz ausgefallen ist (Begründung von einer Seite), setzt er sich mit den für den Entscheid wesentlichen Punkten auseinander (nämlich einerseits mit den Gründen für die Aufhebung der Konkurseröffnung gemäss <ref-law> und andererseits mit den geltend gemachten Mängeln des erstinstanzlichen Verfahrens). Das Obergericht hat die von der Beschwerdeführerin erhobenen Einwände behandelt und es ergibt sich aus der Begründung des Entscheids, weshalb es die Beschwerde abgewiesen hat. Der Beschwerdeführerin war es denn auch ohne Weiteres möglich, den Entscheid sachgerecht mit Beschwerde an das Bundesgericht weiterzuziehen. Der Einwand der Verletzung des rechtlichen Gehörs erweist sich demnach als unbegründet.
3.2.5 Inwiefern daneben der von der Beschwerdeführerin erhobenen Willkürrüge (<ref-law>) selbstständige Bedeutung zukommen soll, ist weder ersichtlich noch von der Beschwerdeführerin dargetan (<ref-law>). Darauf ist nicht einzutreten.
4. Die Beschwerdeführerin macht in der Sache vor Bundesgericht sinngemäss geltend, das Kantonsgericht hätte das Konkursbegehren aufgrund der nichtigen Konkursandrohung abweisen müssen. Selbst wenn man nicht von der Nichtigkeit der Konkursandrohung ausgehen sollte, sei jedenfalls im Zeitpunkt der Konkurseröffnung das betreibungsrechtliche Beschwerdeverfahren gegen die Konkursandrohung hängig gewesen und hätte deshalb das Kantonsgericht das Verfahren der Konkurseröffnung aussetzen müssen. Das Obergericht habe das Vorgehen des Kantonsgerichts geschützt und damit Bundesrecht verletzt (E. 5 und 6 unten).
Schliesslich habe das Bundesgericht seiner Beschwerde in Zivilsachen im Verfahren 5A_533/2012 (betreffend die Konkursandrohung) am 3. September 2012 die aufschiebende Wirkung zuerkannt, weshalb das Obergericht das Beschwerdeverfahren nach <ref-law> gegen die Konkurseröffnung ebenfalls hätte aussetzen müssen (E. 7 unten).
5. 5.1 Wird von der Aufsichtsbehörde infolge einer Beschwerde (oder vom Gericht gemäss Art. 85 oder 85a Abs. 2 SchKG) die Einstellung der Betreibung verfügt, so setzt das Gericht den Entscheid über den Konkurs aus (<ref-law>). Eine Beschwerde (nach <ref-law> an die Aufsichtsbehörde) hat nur auf besondere Anordnung der Behörde, an welche sie gerichtet ist, oder ihres Präsidenten aufschiebende Wirkung (<ref-law>).
5.2 Das Konkursgericht hat demnach (in der ersten Konstellation von <ref-law>) den Entscheid über den Konkurs auszusetzen, wenn die Aufsichtsbehörde einer betreibungsrechtlichen Beschwerde die aufschiebende Wirkung nach <ref-law> zuerkannt hat (<ref-ruling> E. 4.1 f. S. 153 f.; GILLIÉRON, Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 5. Aufl. 2012, N. 1453; BOSSHARD, Le recours contre le jugement de faillite, JdT 2010 II S. 122; FRITSCHI, Verfahrensfragen bei der Konkurseröffnung, 2010, S. 242; FRITZSCHE/WALDER, Schuldbetreibung und Konkurs nach schweizerischem Recht, Band II, 3. Aufl. 1993, § 36 N. 23).
Eine gegen die Konkursandrohung erhobene betreibungsrechtliche Beschwerde, die keine aufschiebende Wirkung zuerkannt erhält, ist mit anderen Worten kein Grund für die Aussetzung des Entscheids über den Konkurs (GIROUD, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs II, 2. Aufl. 2010, N. 5a zu <ref-law> und N. 4 zu <ref-law>; AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Aufl. 2008, § 36 N. 38; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Band II, 2001, N. 11 zu <ref-law>).
5.3 Vorliegend erhob die Beschwerdeführerin am 4. Juni 2012 gegen die Konkursandrohung eine betreibungsrechtliche Beschwerde an das Obergericht als Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs und ersuchte darin um aufschiebende Wirkung. Mit Schreiben vom 5. Juli 2012 wies das Obergericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab (vgl. Lit. A.b oben).
Im Zeitpunkt der Konkurseröffnung am 12. Juni 2012 kam demnach der Beschwerde nach <ref-law> gegen die Konkursandrohung keine aufschiebende Wirkung zu. Das Obergericht ist im Ergebnis zu Recht davon ausgegangen, dass das Kantonsgericht das Verfahren gestützt auf <ref-law> nicht auszusetzen hatte.
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Konkursandrohung vom 19. April 2012 sei nichtig, weshalb der Konkurs auch aus diesem Grund nicht hätte ausgesprochen werden dürfen.
6.2 Gemäss <ref-law> setzt das Konkursgericht den Entscheid ebenfalls aus und überweist den Fall der Aufsichtsbehörde, wenn im vorangegangenen Verfahren eine nichtige Verfügung (<ref-law>) erlassen wurde.
6.3 Wie aus den nachfolgenden Erwägungen ersichtlich wird, braucht vorliegend nicht näher darauf eingegangen zu werden, ob das Konkursgericht gestützt auf <ref-law> eine offensichtliche Nichtigkeit selbst feststellen und das Konkursbegehren abweisen kann (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.4 S. 18) oder ob jedenfalls die blosse Erhebung einer Beschwerde an die Aufsichtsbehörde (ohne dass ihr aufschiebende Wirkung zuerkannt worden wäre) dann zur Aussetzung berechtigt, wenn auch der Fall des <ref-law> zutrifft (JAEGER/WALDER/KULL/KOTTMANN, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Band II, 4. Aufl. 1997/1999, N. 2 zu <ref-law>).
6.4 Die Konkursandrohung wurde der Beschwerdeführerin zu Recht an ihrer (nach wie vor) im Handelsregister eingetragenen Domiziladresse (c/o-Adresse) zugestellt (Art. 43 Abs. 1 lit. g i.V.m. Art. 117 Abs. 3 der Handelsregisterverordnung vom 17. Oktober 2007 [HregV; SR 221.411]; vgl. Urteile 5A_682/2009 vom 20. April 2010 E. 4.2.2; 5A_215/2007 vom 2. Oktober 2007 E. 2.1), zumal in solchen Fällen eine Zustellung an einen Verwaltungsrat oder Prokuristen der juristischen Person nicht mehr zulässig wäre (<ref-ruling> E. 3a S. 66; <ref-ruling> E. 3d S. 59). Es ist demnach nicht ersichtlich, inwiefern diese Zustellung sich als nichtig erweisen sollte, selbst wenn - wie von der Beschwerdeführerin behauptet - sie das Betreibungsamt angewiesen hätte, alle Zustellungen direkt an die private Adresse ihres einzigen Verwaltungsrats zu richten, da sich das Betreibungsamt ohnehin nicht zu einer solchen - wie dargelegt unzulässigen - Zustellung hätte ermächtigen lassen dürfen (vgl. Urteil 7B.21/1998 vom 17. Februar 1998 E. 1a, in: BlSchK 2003 S. 116).
Im Übrigen erhielt die Beschwerdeführerin nach eigenen Angaben am 29. Mai 2012 Kenntnis von der Konkursandrohung (S. 3 der betreibungsrechtlichen Beschwerde vom 4. Juni 2012 an das Obergericht als Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs). Somit wäre auch aus diesem Grund nicht von der Nichtigkeit der Konkursandrohung auszugehen, da die Beschwerdeführerin Kenntnis von der Konkursandrohung erlangte und rechtzeitig vor der Konkursverhandlung eine betreibungsrechtliche Beschwerde gegen die Konkursandrohung einreichen konnte (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 104; <ref-ruling> E. 3b S. 116; <ref-ruling> E. 2 S. 11; Urteile 5P.266/2003 vom 20. Oktober 2003 E. 3.1; 5P.411/1996 vom 3. Dezember 1996 E. 2d).
6.5 Das Obergericht hat demnach auch <ref-law> nicht verletzt, wenn es das kantonsgerichtliche Vorgehen insoweit geschützt hat.
7. Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich geltend macht, das Obergericht hätte seinen Rechtsmittelentscheid über die Konkurseröffnung ebenfalls aussetzen müssen, legt sie nicht dar und ist nicht ersichtlich, dass zu jenem Urteilszeitpunkt einer Beschwerde gegen die Konkursandrohung aufschiebende Wirkung zuerkannt worden wäre. Damit erübrigt es sich von vornherein, darauf einzugehen.
8. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird kosten- (<ref-law>), nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, II. Beschwerdeabteilung, sowie im Dispositiv dem Betreibungsamt A._, dem Konkursamt des Kantons Zug, dem Grundbuch- und Vermessungsamt des Kantons Zug und dem Handelsregisteramt des Kantons Zug schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Bettler