Faits:
A. E._ travaille en qualité d'ingénieur de production au service de la société X._ SA depuis le 1er janvier 2001. A ce titre, il est assuré contre le risque d'accident auprès de La Mobilière Suisse Société d'assurances SA (ci-après: La Mobilière).
Le 1er décembre 2004, E._ a été victime d'un accident de la circulation, à la suite duquel il a souffert d'un traumatisme crânien simple avec des contractures musculaires cervicales. Selon le rapport de la gendarmerie vaudoise du 2 décembre 2004, l'assuré n'avait pas attaché sa ceinture de sécurité. Il a subi une incapacité de travail entière jusqu'au 5 décembre 2004 et il a repris son activité à temps complet à compter du 6 décembre suivant.
Dès le 27 décembre 2004, l'assuré s'est plaint d'oppressions thoraciques et de malaises à chaque effort. Dans la nuit du 19 au 20 janvier 2005, il a été hospitalisé en urgence au Centre hospitalier Y._ pour un syndrome coronarien aigu. Une coronarographie effectuée le 21 janvier 2005 a mis en évidence un infarctus du myocarde sur occlusion de la coronaire droite proximale. Une angioplastie coronaire avec implantation d'un stent (prothèse endovasculaire), ainsi qu'une nouvelle coronarographie de contrôle ont été pratiquées. E._ a subi une incapacité entière de travail jusqu'au 6 mars 2005, puis de 50 % durant la période du 7 mars au 4 avril 2005.
La Mobilière a pris en charge le cas. Toutefois, par décision du 20 juin 2005, confirmée sur opposition le 23 août 2005, elle a réduit de 10 % l'indemnité journalière, au motif que l'assuré n'avait pas attaché sa ceinture de sécurité.
Au mois d'avril 2005, l'assuré s'est plaint de douleurs gastriques. Les médecins consultés par l'assuré ont fait état d'une aérophagie. La Mobilière a confié une expertise au docteur A._, médecin-chef au service de cardiologie de l'Hôpital Z._. Cet expert a indiqué que l'intéressé avait "besoin de traitement médical concernant ses problèmes d'aérophagie qui [étaient] certainement également secondaires à l'accident de la circulation", tout en ajoutant qu'il ne pouvait se prononcer "quant à l'origine possiblement séquellaire à l'accident de circulation" (rapport du 30 novembre 2009).
Par décision du 17 décembre 2010, confirmée sur opposition le 14 mars 2011, La Mobilière a supprimé le droit de l'assuré à des prestations à compter du 4 avril 2005. Se référant à l'ensemble des renseignements d'ordre médical versés au dossier, elle a considéré que le statu quo sine avait été atteint le 5 avril 2005 au plus tard en ce qui concerne les troubles cardiaques et qu'en outre il n'existait pas de lien de causalité entre l'aérophagie apparue après cette date et l'accident du 1er décembre 2004.
B. Saisie d'un recours de l'assuré, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 6 décembre 2011.
C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande la réforme, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi de prestations de l'assurance-accidents pour ses troubles liés à l'aérophagie. Subsidiairement, il demande l'annulation du jugement cantonal et le renvoi de la cause à la juridiction précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
La Mobilière conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, tandis que la juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.
Le 1er mai 2012, le recourant a adressé des observations et produit des rapports des docteurs S._, spécialiste en cardiologie (du 26 avril 2005), et H._, spécialiste en médecine générale (du 27 avril 2005). Par écriture du 2 mai 2012, l'intimée a demandé au tribunal d'écarter ces pièces du dossier, au motif que ces moyens de preuve n'avaient pas été soumis à la juridiction cantonale. Le recourant s'est déterminé à ce sujet.

Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Dans ses observations du 1er mai 2012, le recourant a produit des rapports des docteurs S._ et H._. Ces rapports médicaux, qui ne figuraient pas au dossier, ne peuvent toutefois pas être pris en considération par la Cour de céans, dès lors que - sauf exception non réalisée en l'espèce -, un moyen de preuve qui n'a pas été examiné dans la procédure devant l'autorité précédente n'est pas admissible dans la procédure devant le Tribunal fédéral (<ref-law>; cf. <ref-ruling>).
3.1 La Mobilière a supprimé le droit de l'assuré à des prestations à compter du 4 avril 2005, motif pris que le statu quo sine avait été atteint le 5 avril 2005 au plus tard en ce qui concerne les troubles cardiaques et qu'en outre il n'existait pas de lien de causalité entre l'aérophagie apparue après cette date et l'accident du 1er décembre 2004. Le recourant ne conteste pas la suppression du droit à des prestations pour les troubles cardiaques mais soutient qu'il a droit à la prise en charge du traitement médical occasionné par l'aérophagie. Le litige porte donc sur le point de savoir si l'intimée était fondée à refuser l'octroi de prestations d'assurance pour les suites de l'aérophagie, singulièrement, sur l'existence d'un lien de causalité naturelle entre cette affection et l'accident du 1er décembre 2004.
3.2 Le jugement attaqué porte uniquement sur le droit éventuel de l'assuré à la prise en charge du traitement médical occasionné par l'aérophagie, de sorte que le Tribunal fédéral est lié par les faits établis par l'autorité précédente (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>), sous réserve des éventualités prévues à l'<ref-law>.
Lorsque le Tribunal fédéral est lié par les faits établis par l'autorité précédente, le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire.
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62).
4. Selon l'<ref-law>, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; <ref-ruling> consid. 1 p. 337; <ref-ruling> consid. 1b p. 289 s. et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; <ref-ruling> consid. 5a p. 461 s. et les références).
5. 5.1 La juridiction cantonale a confirmé le point de vue de La Mobilière, selon lequel il n'existe pas de lien de causalité naturelle entre les troubles liés à l'aérophagie et l'accident survenu le 1er décembre 2004. Se référant à l'ensemble des pièces médicales versées au dossier, elle a considéré qu'un tel lien n'était pas établi au degré de la vraisemblance prépondérante.
De son côté, le recourant soutient qu'il existe un lien de causalité naturelle entre l'aérophagie et l'accident et il reproche à la juridiction cantonale une appréciation arbitraire des conclusions de l'expert A._, ainsi qu'une interprétation défavorable des autres rapports médicaux versés au dossier. Il allègue que l'adverbe "certainement" dont s'est servi le docteur A._ a été utilisé dans le sens d'"assurément" et non de "probablement", comme l'ont retenu les premiers juges. En outre, il fait valoir que les autres avis médicaux versés au dossier n'excluent pas une origine post-traumatique des troubles oeso-gastriques, de sorte qu'il n'est pas justifié de nier l'existence d'un rapport de causalité sur la base de ces avis.
5.2 Pour admettre l'existence d'un lien de causalité naturelle, il n'est pas nécessaire que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé physique ou psychique de l'assuré, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celle-ci. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte à la santé sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait, que l'administration ou, le cas échéant, le juge examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale. Ainsi, lorsque l'existence d'un rapport de cause à effet entre l'accident et le dommage paraît possible, mais qu'elle ne peut pas être qualifiée de probable dans le cas particulier, le droit à des prestations fondées sur l'accident assuré doit être nié (<ref-ruling> consid. 3.1 p.181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; <ref-ruling> consid. 1 p. 337; <ref-ruling> consid. 1b p. 289 s. et les références).
En l'occurrence, le recours de l'assuré ne contient aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué. En effet, le recourant n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par les premiers juges est manifestement insoutenable, mais il interprète d'une manière différente les conclusions du rapport d'expertise du docteur A._ et passe même sous silence la déclaration de cet expert, selon laquelle il ne pouvait se prononcer "quant à l'origine possiblement séquellaire à l'accident de circulation". Cela étant, son argumentation tend simplement à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. Au demeurant, l'intéressé n'indique pas quels sont les faits susceptibles, selon lui, de démontrer que le lien de causalité naturelle est établi au degré de vraisemblance prépondérante. Du reste, les renseignements d'ordre médical versés au dossier ne permettent pas de qualifier de probable, dans le cas concret, l'existence d'une cause à effet, au seul motif que certains d'entre eux évoquent une origine post-traumatique possible des troubles gastriques.
5.3 Par ailleurs, on ne saurait partager le point de vue de l'assuré, selon lequel les avis médicaux versés au dossier étaient contradictoires, ce qui justifiait l'admission de sa requête en procédure cantonale tendant à un complément d'instruction sous la forme d'une expertise judiciaire.
En effet, l'intéressé n'indique pas en quoi les renseignements d'ordre médical versés au dossier sont contradictoires et ne mentionne pas non plus ceux qui, selon lui, auraient été écartés sans raison par les premiers juges. Du reste, tous les avis médicaux convergent et aucun d'entre eux ne permet d'établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, un lien de causalité entre les troubles gastriques et l'accident. Se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves versées au dossier et convaincus que l'existence d'un lien de causalité naturelle n'était pas établi au degré de vraisemblance requis et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation, les premiers juges étaient dès lors en droit de refuser la mise en oeuvre d'une expertise judiciaire, conformément à la jurisprudence en matière d'appréciation anticipée des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 4a p. 469; <ref-ruling> consid. 3c p. 223; <ref-ruling> consid. 2b p. 229; <ref-ruling> consid. 3c p. 343 s. et la référence).
5.4 Vu ce qui précède, la juridiction cantonale était fondée à confirmer le refus de l'intimée de prendre en charge le traitement médical occasionné par l'aérophagie. Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). L'intimée ne peut se voir allouer une indemnité de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 11 décembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Leuzinger
Le Greffier: Beauverd