Faits :
A.
La société anonyme Centre A._ SA (ci-après: A._ SA ou la société) a pour but statutaire l'exploitation d'un centre de soins médicaux et chirurgicaux, en particulier dans le domaine ophtalmologique. Elle a son siège à W._. Le 15 novembre 2013, alors qu'elle était en formation, la société a déposé auprès du Conseil d'Etat de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Conseil d'Etat ou l'autorité intimée) une demande d'autorisation de mise en service d'un bloc de chirurgie ambulatoire dédié à l'ophtalmo-chirurgie en ville de W._.
A la suite de cette requête, le Chef du Département des finances et de la santé de la République et canton de Neuchâtel a constitué la Commission ad hoc "Clause du besoin" (ci-après: la Commission). Entre le 20 et le 24 novembre 2013, le Service cantonal de la santé publique de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a transmis aux membres de la Commission un rapport concernant la demande d'autorisation de A._ SA. Chaque membre s'est exprimé séparément par voie de courriel sur la demande en question.
Le 25 novembre 2013, le Service cantonal a établi une synthèse des réponses des membres de la Commission, en relevant que la majorité de ceux-ci avait rendu un préavis positif. Le 26 novembre 2013, le Conseil de santé de la République et canton de Neuchâtel a ratifié la composition de la Commission et préavisé favorablement la requête de A._ SA.
B.
B.a. Le 27 novembre 2013, le Conseil d'Etat a autorisé la société à mettre en service un centre de chirurgie ambulatoire, avec bloc opératoire, en ville de W._. Il a soumis cette autorisation au respect de plusieurs conditions.
B.b. B._ SA (ci-après: B._ SA ou l'intimée) gère l'Hôpital T._ à W._. Par mémoire du 7 mars 2014, elle a formé un recours devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) contre la décision du Conseil d'Etat du 27 novembre 2013, qui ne lui avait pas été transmise. Par la suite, après avoir pu prendre connaissance du dossier de la cause, B._ SA a complété son mémoire.
B.c. Par arrêt du 3 octobre 2014, le Tribunal cantonal a admis le recours, annulé la décision du Conseil d'Etat du 27 novembre 2013 et renvoyé la cause à cette autorité pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Les juges cantonaux ont retenu, en substance, que le Conseil d'Etat n'avait pas suffisamment établi les faits pertinents de la cause, concernant notamment les besoins sanitaires cantonaux, ainsi que l'impact de l'autorisation octroyée à A._ SA sur la maîtrise et la proportionnalité des coûts des soins dans le canton.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 3 octobre 2014, A._ SA dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Elle requiert, sous suite de frais et dépens, l'annulation de l'arrêt querellé et la confirmation de la décision du Conseil d'Etat du 27 novembre 2013. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause "à l'autorité cantonale" pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal se réfère aux motifs de son arrêt et conclut au rejet du recours. Le Conseil d'Etat, par le biais du service juridique du Département de la justice, de la sécurité et de la culture, dépose des observations et conclut à l'admission du recours. L'Office fédéral de la santé publique renonce à prendre position.
B._ SA a déposé un mémoire de réponse.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 476).
1.1. Le présent recours a été interjeté dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. L'arrêt attaqué, qui a été rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), annule la décision du Conseil d'Etat du 27 novembre 2013, par laquelle A._ SA s'était vu octroyer l'autorisation de mettre en service un centre de chirurgie ambulatoire en Ville de W._. Cette société a donc un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt entrepris, de sorte qu'il faut lui reconnaître la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF). En outre, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée en l'espèce.
1.2. Encore faut-il, pour qu'il puisse être entré en matière, que l'arrêt attaqué constitue une décision susceptible de faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral.
1.2.1. En vertu de l'art. 90 LTF, le recours au Tribunal fédéral est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure. Il est également recevable contre certaines décisions préjudicielles et incidentes. Il en va ainsi de celles qui concernent la compétence et les demandes de récusation (art. 92 LTF). Quant aux autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément, elles ne peuvent faire l'objet d'un recours qu'aux conditions de l'art. 93 al. 1 LTF.
1.2.2. Alors qu'une décision finale met fin à la procédure - que ce soit pour un motif déduit de la procédure ou du droit matériel -, une décision préjudicielle ou incidente est rendue en cours de procès et ne constitue qu'une étape vers la décision finale; elle peut avoir pour objet une question formelle ou matérielle, tranchée préalablement à la décision finale (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 45 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 568; arrêt 2C_990/2013 du 25 mai 2014 consid. 1.2.2).
En l'espèce, le Tribunal cantonal a renvoyé la cause au Conseil d'Etat pour instruction complémentaire et nouvelle décision. L'arrêt attaqué constitue par conséquent une décision incidente. Ne portant ni sur la compétence, ni sur une demande de récusation (art. 92 LTF), cet arrêt ne peut donc faire l'objet d'un recours direct devant le Tribunal fédéral que dans le respect des conditions figurant à l'art. 93 LTF.
2.
Selon l'art. 93 al. 1 LTF, une décision préjudicielle ou incidente peut être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (let. a; cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 632 s.) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b; cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 633 s.). Il appartient à la partie recourante de démontrer la réalisation de ces conditions, sauf si ce point découle manifestement de la décision attaquée ou de la nature de la cause (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 47).
2.1. En l'occurrence, l'intéressée ne démontre pas, ni même ne prétend, que l'arrêt attaqué lui causerait un préjudice irréparable. L'hypothèse visée à l'art. 93 al. 1 let. a LTF peut ainsi être écartée d'emblée.
2.2. Il reste à vérifier si, comme l'invoque la recourante, il incombe à la Cour de céans d'entrer en matière sur son recours en vertu de l'art. 93 al. 1 let. b LTF, qui ouvre exceptionnellement la possibilité de recourir immédiatement contre une décision incidente pour des motifs d'économie de procédure (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 430). A ce sujet, il y a lieu de rappeler que cette disposition doit être interprétée de manière restrictive, le justiciable devant en principe attendre la décision finale pour déférer la cause au Tribunal fédéral, qui n'aura ainsi à statuer qu'une seule fois sur la même affaire (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 631; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 292; arrêt 2C_1048/2012 du 14 avril 2014 consid. 1.3).
2.2.1. L'art. 93 al. 1 let. b LTF suppose la réalisation de deux conditions cumulatives (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 430). D'une part, le recours doit permettre de rendre immédiatement une décision finale; d'autre part, cette décision doit permettre d'éviter une administration des preuves longue et coûteuse.
2.2.2. La première de ces conditions est réalisée si le Tribunal fédéral peut mettre fin une fois pour toutes à la procédure en jugeant différemment la question tranchée dans la décision préjudicielle ou incidente (<ref-ruling> consid. 2.4.1 p. 633).
Cette première condition est remplie en l'espèce, concernant la qualité pour recourir de l'intimée devant le Tribunal cantonal, contestée par la recourante. En effet, si le Tribunal fédéral parvenait à la conclusion que les juges cantonaux ont reconnu à B._ SA la qualité pour recourir sur la base d'une application arbitraire du droit cantonal de procédure, l'arrêt attaqué devrait être annulé et la décision du Conseil d'Etat du 27 novembre 2013 serait rétablie, ce qui mettrait fin définitivement à la procédure en question.
2.2.3. Quant à la seconde condition, il appartient à la recourante en particulier d'indiquer de manière détaillée quelles questions de fait sont encore litigieuses, quelles preuves - déjà offertes ou requises - devraient encore être administrées et en quoi celles-ci entraîneraient une procédure probatoire longue et coûteuse qui serait évitée si le Tribunal fédéral statuait immédiatement (cf. arrêt 4A_210/2010 du 1er octobre 2010 consid. 3.3.1, non publié in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2.4.2 p. 633). Seule la procédure probatoire entre en considération, à l'exception de l'étude des questions de fond par les parties, de la rédaction d'écritures, de la préparation de plaidoiries ou encore du temps nécessaire pour que l'autorité statue à nouveau (cf. arrêt 2C_814/2012 du 7 mai 2013 consid. 3.3). Tout complément d'instruction entraîne nécessairement des frais et un prolongement de la procédure; cela ne suffit pas pour ouvrir le recours immédiat. Pour que la condition légale soit remplie, il faut que la procédure probatoire, par sa durée et son coût, s'écarte notablement des procès habituels. Tel peut être le cas lorsqu'il faut envisager une expertise complexe ou plusieurs expertises, l'audition de très nombreux témoins, ou encore l'envoi de commissions rogatoires dans des pays lointains (cf., parmi d'autres exemples, arrêts 4A_103/2013 du 11 septembre 2013 consid. 1.1.3, non publié in <ref-ruling>; 2C_990/2013 du 25 mai 2014 consid. 2.2.2 et 2C_814/2012 du 7 mai 2013 consid. 3.3).
En l'espèce, la recourante considère qu'en tranchant immédiatement le recours dirigé contre l'arrêt du 3 octobre 2014, le Tribunal fédéral éviterait au Conseil d'Etat de devoir procéder à une instruction de grande envergure, impliquant des auditions, des "études", voire "plusieurs expertises". Selon elle, il s'agirait d'une procédure probatoire qui "s'écarterait, par sa durée et son coût, des procès habituels" (recours, p. 4).
Ce raisonnement ne peut être suivi.
En effet, il résulte de l'arrêt attaqué que, suite à l'admission du recours par le Tribunal cantonal et au renvoi de la cause au Conseil d'Etat, ce dernier devra procéder à un complément d'instruction au sujet de deux questions: les besoins sanitaires cantonaux, ainsi que l'impact de l'autorisation demandée par la recourante sur la maîtrise et la proportionnalité des coûts des soins dans le canton. Pour cela, l'autorité intimée devra recueillir des renseignements complémentaires, "au besoin notamment par l'audition des établissements hospitaliers ou ambulatoires, publics ou privés fournissant des prestations d'ophtalmo-chirurgie ambulatoire dans le canton" (arrêt attaqué, p. 17). Il ne s'agit donc pas de procéder à des expertises ou à de longues études, mais essentiellement d'interroger les établissements sanitaires concernés quant à leur capacité actuelle de prise en charge en matière de chirurgie ophtalmique ambulatoire et d'évaluer, sur la base des données récoltées, si le centre de chirurgie ambulatoire faisant l'objet de la requête d'autorisation de la recourante est compatible avec les besoins sanitaires cantonaux ainsi qu'avec la maîtrise et la proportionnalité des coûts des soins dans le canton. Cette procédure d'instruction ne saurait être qualifiée de rapide ou simple. Cependant, elle n'est pas non plus excessivement compliquée ou coûteuse, n'implique pas une expertise complexe ou l'audition de très nombreux témoins et elle ne présente pas un caractère international. Ainsi, elle ne se démarque pas, par sa durée et son coût prévisibles, du cadre habituel. Au demeurant, l'examen auquel devra procéder le Conseil d'Etat est une tâche qui rentre dans les attributions de cette autorité, qui dispose des moyens appropriés pour l'accomplir.
Dès lors qu'il n'est ni établi ni manifeste que la procédure d'instruction complémentaire que le Conseil d'Etat devra exécuter sera longue et coûteuse, la seconde condition posée à l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'est pas réalisée. L'arrêt attaqué ne peut donc pas faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral, mais il pourra être contesté, le cas échéant, en même temps que l'arrêt final (art. 93 al. 3 LTF).
Compte tenu de ce qui précède, le recours doit être déclaré irrecevable.
3.
La recourante, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Elle versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Une indemnité de 3'000 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire de la recourante, aux mandataires de B._ SA, au Conseil d'Etat et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, ainsi qu'à l'Office fédéral de la santé publique.
Lausanne, le 28 juillet 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
Le Greffier : Ermotti