Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1971) ist geschieden, alleinerziehende Mutter einer Tochter und wohnt in Zürich. Sie ist in der Türkei aufgewachsen und hat im Jahr 1998 das Studium der Kommunikationswissenschaften an der Universität Ankara mit dem Lizentiat abgeschlossen. Im Jahr 2001 floh sie in die Schweiz, wo ihr mit Entscheid des damaligen Bundesamtes für Flüchtlinge vom 3. Juli 2003 Asyl gewährt wurde. Sie wurde dem Kanton Aargau zugewiesen.
B. Am 20. September 2010 begann X._ an der Fachhochschule Nordwestschweiz (Hochschule für soziale Arbeit) ein Teilzeit-Bachelor-Studium in Sozialer Arbeit, welches sie voraussichtlich im September 2014 abschliessen wird. Im Oktober 2010 stellte X._ bei der Abteilung Bildungsberatung, Sport und Jugend des Departements Bildung, Kultur und Sport (BKS) ein Gesuch um Ausrichtung von Stipendien. Das Gesuch wurde mit Verfügung vom 25. Februar 2011 abgewiesen.
Eine hiergegen gerichtete Beschwerde hiess der Regierungsrat des Kantons Aargau am 28. September 2011 teilweise gut und wies die Vorinstanz an, der Beschwerdeführerin ein Darlehen in der Höhe von Fr. 20'000.-- zu gewähren. Eine gegen diesen Entscheid, soweit er die Ablehnung des Gesuchs um Stipendien betraf, gerichtete Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Aargau wies dieses am 29. Februar 2012 ab.
C. Mit Eingabe vom 23. April 2012 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau sei aufzuheben und die Sektion Stipendien des Departements BKS anzuweisen, das beantragte Stipendium auszurichten. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung.
Der Regierungsrat des Kantons Aargau beantragt - auch für das Departement Bildung, Kultur und Sport -, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide betreffend Subventionen, auf welche kein Anspruch besteht (<ref-law>). Der Begriff der Subvention umfasst alle geldwerten Vorteile, welche Empfängern ausserhalb der Verwaltung gewährt werden; auch Stipendien fallen unter den Subventionsbegriff (HÄBERLI, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], N. 196 zu <ref-law>; vgl. hierzu auch Urteil 2C_ 182/2012 vom 18. Juli 2012 E. 1; 2C_121/2007 vom 17. August 2007 E. 2; 2C_372/2007 vom 29. August 2007 E. 2).
Für die Frage, ob im Sinne von <ref-law> ein Anspruch auf Subvention besteht, kommt es (gleich wie nach Art. 99 Abs. 1 lit. h OG; Urteil 2C_473/2007 vom 18. September 2007 E. 2.1) insbesondere darauf an, ob der Subventionserlass genügend konkret umschreibt, unter welchen Bedingungen die im Einzelfall beantragte Unterstützung zu gewähren ist, ohne dass er es ins Ermessen der rechtsanwendenden Behörde stellt, ob sie einen Beitrag gewähren will oder nicht (Urteil 2C_762/2008 vom 8. Mai 2009 E. 1.1; noch zum OG: <ref-ruling> E. 3a S. 19; <ref-ruling> E. 2a S. 227; <ref-ruling> E. 1b S. 312). Nach den Feststellungen der Vorinstanz gewährt das Gesetz des Kantons Aargau über Ausbildungsbeiträge vom 19. September 2006 (Stipendiengesetz, StipG; 471.200) resp. die Verordnung über Ausbildungsbeiträge vom 2. Mai 2007 (Stipendienverordnung, StipV; 471.211) keinen Anspruch auf die Gewährung von Stipendien bei Zweitausbildungen auf Tertiärstufe: Gemäss § 6 Abs. 1 und 2 StipG sind zwar grundsätzlich die erste und die zweite Ausbildung beitragsberechtigt, ebenso gelten als beitragsberechtigte Ausbildungen gemäss § 5 Abs. 1 lit. b StipV u.a. Ausbildungen an Fachhochschulen; § 11 Abs. 3 StipG hält jedoch fest, dass für die zweite Ausbildung auf Tertiärstufe "in der Regel" Darlehen gewährt werden, wobei diese - im Unterschied zu den Stipendien - grundsätzlich zu verzinsen und zurückzuzahlen sind.
In § 10 StipV, welcher § 11 StipG näher ausführt, werden die vorgesehenen Ausnahmen ("in der Regel") zur Form der Ausbildungsbeiträge konkretisiert: Die Darlehen können nur dann mit Stipendien kombiniert werden, wenn diese "für Diplomstudien an Fachhochschulen, die im Anschluss an eidgenössische Berufsprüfungen oder höhere Fachprüfungen absolviert werden" gewährt werden. Das StipG i.V.m. der StipV räumt demnach für eine Zweitausbildung auf Tertiärstufe ohne die in § 10 näher spezifizierten Voraussetzungen, welche die Beschwerdeführerin aufgrund des von ihr erworbenen ausländischen Lizentiats nicht erfüllt, keine Rechtsansprüche auf die Ausrichtung von Stipendien ein.
Die Beschwerdeführerin geht von einem Anspruch auf Stipendien aus, unterlässt es jedoch, diesen gestützt auf das anwendbare StipG resp. die anwendbare StipV und in Abweichung von den durch die Vorinstanz herangezogenen anwendbaren kantonalen Normen darzutun. Erscheinen die Eintretensvoraussetzungen nicht ohne Weiteres gegeben, so würde es an der beschwerdeführenden Partei liegen, deren Vorhandensein darzulegen: Die Begründungspflicht nach <ref-law> besteht auch hinsichtlich nicht evidenter Eintretensvoraussetzungen (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; <ref-ruling> E. 1.1. S. 251; Urteil 2C_688/2012 vom 23. Juli 2012 E. 2.1.2). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann demzufolge nicht eingetreten werden (vgl. Urteil 2C_762/2008 vom 8. Mai 2009 E. 1.1).
1.2 Als bundesrechtliches Rechtsmittel kommt demnach nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht, mit welcher ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin sich auf das Willkürverbot (<ref-law>) oder das Rechtsgleichheitsgebot (<ref-law>) beruft, ist sie jedoch - mangels Rechtsanspruchs auf die beantragten Stipendien - zur subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht legitimiert, fehlt es ihr doch am gemäss <ref-law> erforderlichen rechtlich geschützten Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 3 ff.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 399; Urteile 2C_762/2008 vom 8. Mai 2009 E. 1.2; 1D_6/2007 vom 25. Januar 2008 E. 1.2). Mit Bezug auf diese Beschwerdegründe kann daher auch auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht eingetreten werden.
1.3 Der von der Beschwerdeführerin angerufene Art. 22 Abs. 2 der Genfer Flüchtlingskonvention (Abkommen über die Rechtsstellung der Flüchtlinge vom 28. Juli 1951; FK; SR 0.142.30) ist zwar auch für die Kantone verbindlich (vgl. Urteil 2P.132/2003 vom 7. August 2003 E. 4); die Bestimmung kann aufgrund des programmatischen Charakters ("möglichst günstige Behandlung") jedoch keine selbstständige Bedeutung im Sinne eines verfassungsmässigen Rechts erlangen (vgl. auch das Urteil 2P.132/2003 vom 7. August 2003 E. 3.4 i.V.m. E. 4) und ist daher im Rahmen der vorliegend zu behandelnden Beschwerde nur insoweit beachtlich, als zugleich das Diskriminierungsverbot (<ref-law>; unten E. 2 ff.) als spezifisches Grundrecht angerufen wird (vgl. <ref-ruling> S. 220 E.1.1 [noch zur Staatsrechtlichen Beschwerde]).
1.4 Gemäss <ref-law> hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten (vgl. auch oben E. 1.1). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Die Vorbringen müssen sachbezogen sein. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt, dass das Bundesgericht solche Rügen nur prüft, soweit sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie habe aufgrund ihrer publizistischen Tätigkeiten aus der Türkei fliehen müssen; dies führe dazu, dass sie ihre Ausbildung, welche sich massgeblich auf die türkische Sprache stütze, nicht mehr ausüben könne: Als Flüchtling sei es ihr verwehrt, in ihren Heimatstaat zurückzukehren, um ihr Gelerntes anzuwenden und damit ihren Lebensunterhalt zu verdienen. Wenn nun § 10 Abs. 1 StipV vorsehe, dass für Zweitausbildungen auf Tertiärstufe in der Regel keine Stipendien gewährt werden und die Vorinstanz diesbezüglich ausführe, dass diese Bestimmung alle Personen (mit Wohnsitz im Kanton Aargau) gleichermassen treffe, so übersehe sie eine (zumindest indirekte) Diskriminierung hinsichtlich Sprache und Herkunft im Sinne von <ref-law>.
2.2 Gemäss <ref-law> darf niemand diskriminiert werden, namentlich nicht wegen seiner Herkunft und der religiösen, weltanschaulichen oder politischen Überzeugung. Eine Diskriminierung liegt nach der Rechtsprechung vor, wenn eine Person ungleich behandelt wird allein aufgrund ihrer Zugehörigkeit zu einer bestimmten Gruppe, welche historisch oder in der gegenwärtigen sozialen Wirklichkeit tendenziell ausgegrenzt oder als minderwertig behandelt wird. Die Diskriminierung stellt eine im Vergleich zur rechtsungleichen Behandlung im Sinne von <ref-law> qualifizierte Ungleichbehandlung von Personen in vergleichbaren Situationen dar, indem sie eine Benachteiligung von Menschen bewirkt, die als Herabwürdigung oder Ausgrenzung einzustufen ist, weil sie an Unterscheidungsmerkmalen anknüpft, die einen wesentlichen und nicht oder nur schwer aufgebbaren Bestandteil der Identität der betroffenen Personen ausmachen; insofern beschlägt das Diskriminierungsverbot auch Aspekte der Menschenwürde nach <ref-law>. Das Diskriminierungsverbot des schweizerischen Verfassungsrechts schliesst die Anknüpfung an ein verpöntes Merkmal wie Herkunft, Rasse, Geschlecht, Sprache und weitere in <ref-law> (in nicht abschliessender Weise) aufgezählte Kriterien nicht absolut aus. Vielmehr begründet eine Anknüpfung an jene Merkmale den Verdacht einer unzulässigen Differenzierung, der nur durch eine genügende Rechtfertigung umgestossen werden kann. Im Bereich des Diskriminierungsverbot bedürfen ungleiche Behandlungen einer besonders qualifizierten Begründung (<ref-ruling> E. 7.1 S. 305 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 61; <ref-ruling> E. 6.1.2 S. 357; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 397 f; vgl. auch Urteil 9C_540/2011 vom 15. März 2012 E. 5.4; zur Publikation vorgesehen).
<ref-law> verbietet gleichermassen die indirekte oder mittelbare Diskriminierung. Eine solche liegt vor, wenn eine Regelung, die keine offensichtliche Benachteiligung von spezifisch gegen Diskriminierung geschützten Gruppen enthält, in ihren tatsächlichen Auswirkungen Angehörige einer solchen Gruppe besonders benachteiligt, ohne dass dies sachlich begründet wäre (<ref-ruling> E. 6 S. 392; <ref-ruling> E. 3 S. 53; <ref-ruling> E. 8.1 S. 65; <ref-ruling> E. 3 S. 169 mit Hinweisen auf Rechtsprechung und Doktrin; vgl. ferner REGINA KIENER/WALTER KÄLIN, Grundrechte, Bern 2007, S. 359 ff.; ANNE PETERS, Diskriminierungsverbote, in: Handbuch der Grundrechte - Grundrechte in der Schweiz und in Liechtenstein, Heidelberg 2007, § 211 Rz. 7-24 S. 259 ff.; vgl. JÖRG PAUL MÜLLER/MARKUS SCHEFER, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 687 ff.). In Anbetracht der Schwierigkeit, allgemeine Kriterien für eine rechtsverletzende mittelbare Diskriminierung im Sinne von <ref-law> aufzustellen, bedarf die Prüfung, ob eine mittelbare Diskriminierung vorliegt, einer Gesamtbetrachtung aller für den spezifischen Einzelfall relevanten Umstände, wobei die Beeinträchtigung von erheblicher Bedeutung sein muss (vgl. Urteil 9C_540/ 2011 vom 15. März 2012 E. 5.5, zur Publikation vorgesehen) und somit eine substanzielle Benachteiligung darstellt (Müller/Schefer, a.a.O., S. 696). Wirkt sich ein formal neutrales Gesetz de facto nachteilig auf eine Personengruppe aus, welche durch das spezifische Diskriminierungsverbot geschützt ist, so bedarf dies besonderer Rechtfertigung: Hierfür kommen nur qualifizierte, nicht-diskriminierende Gründe infrage und die Schlechterstellung hat zudem dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu genügen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 59; vgl. Kiener/Kälin, a.a.O., S. 362 f.; Peters, a.a.O., Rz. 55 f.; Müller/Schefer, a.a.O., 696 f.).
3. 3.1 Die Regelung von § 10 Abs. 1 StipV, wonach für Zweitausbildungen auf Tertiärstufe vorbehaltlich des in Abs. 2 geregelten Ausnahmefalls keine Stipendien gewährt werden, bezweckt eine Beschränkung des Anspruchs auf Stipendien für Personen, die bereits über eine Ausbildung im Tertiärbereich verfügen. Die Bestimmung sieht, wie bereits die Vorinstanz zu Recht festgehalten hat, keine Unterscheidung hinsichtlich der im In- oder Ausland erworbenen Tertiärausbildungen vor und knüpft auch nicht an ein besonders sensibles Merkmal im Sinne von <ref-law> wie etwa die Herkunft der Stipendienbewerber an. Die Regelung betrifft alle Personen mit stipendienrechtlichem Wohnsitz in Aargau, über welchen die Beschwerdeführerin unbestritten verfügt, gleichermassen; eine direkte Diskriminierung durch die Anwendung der genannten Bestimmung durch die verfügende Behörde liegt demnach nicht vor.
3.2 Auch die von der Beschwerdeführerin gerügte indirekte Diskriminierung (oben E. 2.2) ist nicht zu erkennen: Die Anwendung von Art. 10 Abs. 1 i.V.m. Abs. 2 StipV führt im Ergebnis nicht dazu, dass Flüchtlinge oder Personen mit derselben Herkunft wie die Beschwerdeführerin anteilsmässig stärker vom Ausschluss von Stipendien betroffen sind als andere von dieser Regelung erfasste Personengruppen, beispielsweise andere ausländische oder auch inländische Personen. Nicht die Zugehörigkeit zu einer spezifischen, unter dem Aspekt des Diskriminierungsverbots besonders sensiblen Gruppe, sondern vielmehr die Berufswahl erweist sich als für den durch die Beschwerdeführerin vorgebrachten ausbildnerischen Nachteil als entscheidend, wie die Vorinstanz treffend festhält: Sie hat sich für eine Fachrichtung entschieden, die sich im Vergleich zu anderen, beispielsweise technischen oder naturwissenschaftlichen Ausbildungen, im Ausland tendenziell weniger gut verwerten lässt. Da jedoch andere Flüchtlinge oder Personen gleicher Herkunft, die sich für sprach- und ortsunabhängige Studien entscheiden, potentiell nicht in die Lage der Beschwerdeführerin kommen, führt die formell neutrale Reglementierung nicht zu einer (verdeckten) allgemeinen Benachteiligung der besonders sensiblen Gruppe der Flüchtlinge bzw. von Personen mit derselben Herkunft. Damit ist auch eine "nicht ungünstigere Behandlung" der Beschwerdeführerin im Sinne von Art. 22 Abs. 2 FK gewährleistet.
3.3 Wenn die Beschwerdeführerin dartut, es liege eine qualifiziert diskriminierende Gleichbehandlung vor, indem sie hinsichtlich ihrer im Asylstaat kaum verwertbaren Tertiärausbildung mit den übrigen unter die Stipendienordnung fallenden Personen gleichgestellt werde, so vermag auch dieses Vorbringen weder eine (verdeckte) allgemeine Diskriminierung einer besonders sensiblen Gruppe noch eine in Gesamtbetrachtung aller relevanten Umstände qualifizierte Herabwürdigung oder Ausgrenzung der Beschwerdeführerin zu begründen:
Der Regierungsrat des Kantons Aargau hat durch eine partielle Gutheissung des ihm vorgetragenen Rekurses das zuständige Amt für Bildung und Sport angewiesen, der Beschwerdeführerin für die geplante Ausbildung ein Darlehen zuzusprechen. Durch den Erhalt dieses Darlehens ist grundsätzlich davon auszugehen, dass diese ihre Ausbildung weiter verfolgen kann. Im Gegensatz zu Stipendien ist ein entsprechendes Darlehen zwar innert zehn Jahren nach Abschluss der Ausbildung in jährlichen Raten zurückzuzahlen (§ 17 StipG); die Rückzahlung kann jedoch aus wichtigen Gründen ganz oder teilweise aufgeschoben oder erlassen werden (§ 18 Abs. 3 StipG). Die betreffende Regelung ermöglicht damit insbesondere die Berücksichtigung von Härtefällen, in welchen eine Rückerstattung aufgrund der tatsächlich gegebenen Umstände als unzumutbar erscheint.
Des weiteren ist die vorgebrachte vollumfängliche Unverwertbarkeit der durch die Beschwerdeführerin erlangten Ausbildung und die damit verbundene Behauptung, diese Ausbildung beziehe sich massgeblich auf die türkische Sprache, nicht einsichtig: Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz hat die Beschwerdeführerin ein Studium in Kommunikationswissenschaften absolviert. Dies ist üblicherweise - die Beschwerdeführerin äussert sich selbst nicht zum Inhalt ihres Studiums - eine breit angelegte Ausbildung, die neben den Systemen, Inhalten und Wirkungen von (Massen-)Kommunikation insbesondere empirische Forschungsmethoden und benachbarte sozialwissenschaftliche Disziplinen wie Politikwissenschaft und Soziologie umfasst, nicht nur Elemente der Lokalsprache; zudem gibt es auch in der Schweiz Tätigkeitsfelder mit Bezug zur türkischen Sprache oder der weiter gefassten Kommunikation. Eine diesbezüglich weit gefasste Ausbildung lässt sich auch dem englischsprachigen Eigenbeschrieb des Departements für Kommunikationswissenschaften an der Universität Ankara entnehmen. Mit der Vorinstanz ist daher von einer (gegenüber beispielsweise naturwissenschaftlichen oder technischen) erschwerten, jedoch nicht von einer gänzlich fehlenden Verwertbarkeit der Erstausbildung der Beschwerdeführerin auszugehen. Diese für das Bundesgericht verbindliche Einschätzung wird durch den Umstand bestätigt, dass die Universität Ankara neben den Universitäten in den Mitgliedstaaten der EU in das EU-Bildungsprogramm ERASMUS aufgenommen wurde, sodass auch von einer hohen Ausbildungsqualität auszugehen ist. Gemäss den Feststellungen des Regierungsrates hat die Beschwerdeführerin in der Schweiz denn auch im Medien-, Sozial- und Asylbereich teils freiwillig, teils als Praktikantin gearbeitet; hierfür waren Grundkenntnisse der deutschen Sprache wie auch ihre Tertiärausbildung hilfreich.
Es ist demnach davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin eine Erstausbildung im Tertiärbereich abgeschlossen hat, die nicht ausschliesslich in publizistische Tätigkeiten in der Türkei münden muss, sondern mit einer Bachelorausbildung an einer Fachhochschule in der Schweiz vergleichbar und insofern unter dem Gesichtswinkel von § 10 StipV anzurechnen ist.
4. Es gelingt der Beschwerdeführerin insgesamt nicht, eine Verletzung von <ref-law> i.V.m. Art. 22 Abs. 2 FK durch die Vorinstanz darzutun. Eine Diskriminierung liegt nicht vor, da die Voraussetzungen zur Stipendiumsgewährung in den einschlägigen Bestimmungen des aargauischen Stipendiengesetzes resp. der aargauischen Stipendienverordnung weder direkt noch indirekt an einem besonders sensiblen Persönlichkeitsmerkmal im Sinne von <ref-law> anknüpfen; die behauptete faktische Benachteiligung ist in diesem Sinn nicht auf ein besonders geschütztes und im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde anrufbares Merkmal, sondern vielmehr auf die (seinerzeit freie) Berufswahl der Beschwerdeführerin zurückzuführen. Auch eine diskriminierende Gleichsetzung mit anderen Studienbewerbern, die faktisch eine Herabwürdigung oder diskriminierende Ausgrenzung aus dem Berufsleben bewirkte, vermag die Beschwerdeführerin nicht darzutun: Die Regelung von § 10 StipV verfolgt mit der Begrenzung von Stipendien für Personen, die bereits über eine vergleichbare Tertiärausbildung verfügen, einen legitimen, sachlichen Zweck, um Bildungsgelder sinnvoll einzusetzen. Vor dem Hintergrund des der Beschwerdeführerin zugesprochenen Darlehens erscheint die Weiterführung der Ausbildung gesichert und die Ablehnung der Gewährung von Stipendien auch nicht unzumutbar. Aus der Gesamtbetrachtung ergibt sich demnach durch die Anrechnung der Erstausbildung auf Tertiärstufe keine ausgrenzende und herabwürdigende Situation, die einem Angriff auf die Wertschätzung der Beschwerdeführerin als Mensch gleichkäme. Die Vorinstanz hat durch die Verneinung des Vorliegens einer Diskriminierung <ref-law> demnach nicht verletzt.
5. Die Verfassungsbeschwerde ist somit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Da sie sich nicht als aussichtslos erweist und die Beschwerdeführerin bedürftig ist, kann die beantragte unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Der Beschwerdeführerin wird Rechtsanwalt Bernhard Jüsi als Rechtsbeistand beigegeben. Diesem wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'426.70 ausgerichtet (Honorarnote).
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni