Sachverhalt:
A. A.a X._, geb. 1954, und Y._, geb. 1956, heirateten 1990. Sie haben einen gemeinsamen Sohn, A._, geb. 1992. X._ ist von Beruf Werbetexter und Inhaber des Einzelunternehmens "Büro B._ X._". Y._ ist Inhaberin des Einzelunternehmens "C._shop.ch Y._" und geht zur Zeit keiner weiteren Erwerbstätigkeit nach. Zuvor arbeitete sie während mehrerer Jahre im Unternehmen ihres Ehemannes mit. Im Jahre 2004 trennten sich die Ehegatten. Das Getrenntleben musste gerichtlich geregelt werden.
A.b Am 2. Mai 2006 reichte Y._ beim Bezirksgericht D._ die Scheidungsklage ein. Mit Vereinbarung vom 29. Juni / 3. Juli 2006 einigten sich die Parteien auf ein gemeinsames Scheidungsbegehren und konnten die Nebenfolgen teilweise regeln.
Die Ehe wurde mit Urteil des Bezirksgerichts D._ vom 29. Juni 2007 geschieden. Der unmündige Sohn A._ wurde unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. X._ wurde u.a. verpflichtet, für seinen Sohn monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'800.-- zuzüglich allfälliger bezogener Kinder- oder Ausbildungszulagen zu leisten und an den nachehelichen Unterhalt von Y._ monatlich Fr. 3'060.-- bis zum 31. Mai 2008 und Fr. 4'700.-- ab 1. Juni 2008 bis zu seinem Eintritt in das Pensionierungsalter zu bezahlen.
A.c Mit Eingabe vom 5. September 2007 erklärte X._ gegen das bezirksgerichtliche Urteil Berufung und beantragte unter anderem, der Kinderunterhaltsbeitrag sei auf Fr. 800.-- zu reduzieren und es sei festzustellen, dass für Y._ kein persönlicher Unterhalt festgesetzt werden könne. Weiter ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Obergericht des Kantons Thurgau bestätigte mit Urteil vom 28. Februar 2008 die erstinstanzlich festgesetzten Unterhaltsbeiträge und wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit ab.
B. X._ (fortan: Beschwerdeführer) ist am 30. September 2008 mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht gelangt. Er verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und beantragt, der Kinderunterhaltsbeitrag für A._ sei auf Fr. 800.-- festzusetzen. Weiter sei davon abzusehen, Y._ (fortan: Beschwerdegegnerin) einen nachehelichen Unterhaltsbeitrag zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Durchführung des Beweisverfahrens und Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem verlangt er die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Berufungsverfahren und das Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht.
Mit Präsidialverfügung vom 15. Oktober 2008 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung für die bis und mit Oktober 2008 zu leistenden Unterhaltsbeiträge zuerkannt.
In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Strittig ist vorliegend die Höhe des Kinderunterhaltsbeitrags für den Sohn und die Festsetzung des nachehelichen Unterhaltsbeitrags für die Beschwerdegegnerin. Dabei handelt es sich um letztinstanzlich beurteilte Zivilsachen mit Vermögenswert, welche dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen vorgetragen werden können, da der Streitwert von Fr. 30'000.-- überschritten ist (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 1 BGG).
2. Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
Auf die Vorbringen des Beschwerdeführers ist nur soweit einzutreten, als sie den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dabei ist es unerlässlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) geltend gemacht wird. Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.1 S. 246).
3. Der Beschwerdeführer beantragt die Reduktion des Kinderunterhaltsbeitrags für seinen Sohn auf Fr. 800.-- und die Feststellung, dass für die Beschwerdegegnerin kein nachehelicher Unterhaltsbeitrag festzusetzen sei. Er kritisiert in diesem Zusammenhang die obergerichtliche Berechnung seines Bedarfs sowie die Beurteilung seiner Leistungsfähigkeit bzw. die Bemessung seines monatlichen Einkommens.
3.1 Vorab rügt der Beschwerdeführer die Bedarfsberechnung als fehlerhaft.
3.1.1 Zur Begründung führt er aus, ab Juni 2008 habe das Obergericht die anfallenden Hypothekarzinsen von Fr. 4'050.-- nicht mehr berücksichtigt, obwohl noch kein Verkauf der ehelichen Liegenschaft stattgefunden habe. Als Konsequenz dieses Berechnungsfehlers falle im obergerichtlichen Urteil der Überschuss und folglich der Unterhaltsbeitrag für die Beschwerdegegnerin und den Sohn zu hoch aus. Die Nichtberücksichtigung der Hypothekarzinsen bei der Berechnung seines Bedarfs sei unhaltbar und der obergerichtliche Entscheid damit willkürlich.
3.1.2 Den Feststelllungen des Obergerichts kann Folgendes entnommen werden: Der Beschwerdeführer wurde am 11. Oktober 2007, mit Rechtskraft des bezirksgerichtlichen Scheidungsurteils, Alleineigentümer der betreffenden Liegenschaft. Die Parteien haben jedoch einvernehmlich geregelt, dass die Beschwerdegegnerin mit dem Sohn bis Mai 2008 in der Liegenschaft bleiben dürfe und die Hypothekarzinsen durch den Beschwerdeführer zu tragen seien.
Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Annahme des Obergerichts, der Bedarf des Beschwerdeführers werde sich ab Juni 2008 - nach dem Wegzug der Beschwerdegegnerin aus der Liegenschaft - reduzieren, offensichtlich unhaltbar sein sollte. Der Beschwerdeführer ist Eigentümer der Liegenschaft. Somit hat er seit dem Wegzug der Beschwerdegegnerin die Möglichkeit, darüber durch Verkauf, Vermietung oder Eigennutzung zu verfügen. Damit stehen den Hypothekarzinsen auch Erträge gegenüber. Dass dem nicht so sei, hat der Beschwerdeführer vor Obergericht nicht behauptet. Soweit er heute vor Bundesgericht geltend macht, die Liegenschaft sei "mittlerweile" gepfändet, handelt es sich um eine neue Tatsache. Wurde die Pfändung erst nach dem angefochtenen Urteil vorgenommen, gilt diese Tatsache als ein im vorliegenden Beschwerdeverfahren unzulässiges echtes tatsächliches Novum. Soweit die Pfändung hingegen bereits vor dem angefochtenen Urteil vorgenommen worden wäre, dürfte diese Tatsache vor Bundesgericht dann beachtet werden, wenn erst der Entscheid der Vorinstanz für dieses Vorbringen Anlass gegeben hätte (<ref-law>). Dass dem so ist, macht der Beschwerdeführer jedoch nicht geltend, weshalb auf dieses Vorbringen nicht eingetreten werden kann. Im Übrigen unterlässt es der Beschwerdeführer detailliert aufzuzeigen, weshalb die Bedarfsberechnung des Obergerichts und damit letztlich die Festsetzung der Unterhaltsbeiträge willkürlich erfolgt sein sollte. Die Begründung des Beschwerdeführers erfüllt die Anforderungen an eine Willkürrüge nicht (E. 2). Insoweit kann nicht auf seine Beschwerde eingetreten werden.
3.2 Weiter beanstandet der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Beurteilung seiner Leistungsfähigkeit.
3.2.1 Dazu führt er aus, sein monatliches Einkommen als selbstständiger Werbetexter betrage statt den obergerichtlich festgestellten Fr. 13'844.-- lediglich ungefähr Fr. 3'250.--. Die Vorinstanz habe den schlechten Jahresabschluss 2007 im angefochtenen Urteil vollständig ausser Betracht gelassen und sei dadurch in Willkür (<ref-law>) verfallen. Man habe ihn zudem nicht zum Beweis zugelassen, sein im Jahr 2007 vermindertes Einkommen nachzuweisen. Insbesondere habe das Obergericht seiner eingereichten Jahresrechnung 2007 keine Beachtung geschenkt und die beantragte Zeugenbefragung zu dieser Jahresrechnung abgelehnt. Dieses Vorgehen der Vorinstanz habe sein Recht auf Beweis (<ref-law>) und seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law> und Art. 6 EMRK) verletzt. Da die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit des Beitragspflichtigen eine unabdingbare Voraussetzung für einen nachehelichen Unterhaltsbeitrag darstelle, sei zudem <ref-law> verletzt worden.
3.2.2 Weil bei selbstständiger Erwerbstätigkeit die finanzielle Verflechtung zwischen Unternehmerhaushalt und Unternehmung gross und intensiv ist und weil der Gewinnausweis sich relativ leicht beeinflussen lässt, kann sich die Bestimmung der Leistungskraft eines Selbstständigerwerbenden als äusserst schwierig erweisen. Um ein einigermassen zuverlässiges Resultat zu erreichen und namentlich um Einkommensschwankungen Rechnung zu tragen, sollte auf das Durchschnittsnettoeinkommen mehrerer - in der Regel der letzten drei - Jahre abgestellt werden, wobei auffällige, d.h. besonders gute oder besonders schlechte Geschäftsjahre unter Umständen ausser Betracht bleiben können. Nur bei stetig sinkenden oder steigenden Zahlen kann das Nettoeinkommen des letzten Jahres als massgebend betrachtet werden (Urteil 5P.342/2001 vom 20. Dezember 2001 E. 3a, mit Hinweis vorab auf BRÄM VERENA, Zürcher Kommentar, 1998, N. 73 ff. zu <ref-law>, wiedergegeben von Bastons Bulletti, L'entretien après divorce, SJ 129/2007 II 77, S. 80 f. bei/in Anm. 19, mit weiteren Hinweisen; vgl. Bähler Daniel, Scheidungsunterhalt - Methoden der Berechnung, Höhe, Dauer und Schranken, Fampra.ch 2007 S. 461 ff., S. 477).
3.2.3 Das Obergericht hat das Einkommen des Beschwerdeführers nach dieser Methode bestimmt. Dabei hat es festgestellt, dass das Jahreseinkommen des Beschwerdeführers im Jahr 2004 Fr. 174'246.--, im Jahr 2005 Fr. 182'159.-- im Jahr 2006 Fr. 141'989.-- und schliesslich - gemäss Angaben des Beschwerdeführers - im Jahr 2007 nur noch rund Fr. 29'000.-- betragen hat. Das Obergericht hat es abgelehnt, das Jahr 2007 zu berücksichtigen, da es insgesamt als ausserordentlich und nicht als repräsentativ zu betrachten sei. Das Einkommen des Beschwerdeführers sei in den Jahren 2000 bis 2006 zwar stets gewissen Schwankungen unterworfen gewesen. Jedoch mache das behauptete Jahreseinkommen im Jahr 2007 mit rund Fr. 29'000.-- bloss etwa 16 % des Durchschnittseinkommens der Jahre 2000 bis 2006 aus. Es weiche somit von den übrigen Jahreseinkommen erheblich ab und müsse daher für die Berechnung ausser Betracht bleiben. Aus den Jahresergebnissen 2000 bis 2006 lasse sich auch kein kontinuierlich sinkendes Einkommen nachweisen, weshalb aus dem Ergebnis 2007 nicht geschlossen werden könne, dass das Jahr 2007 für die Beurteilung der künftigen Entwicklung repräsentativ wäre. Zudem habe der Beschwerdeführer das sprunghafte Absinken des Einkommens im Jahr 2007 um mehr als 80 % nicht nachvollziehbar erklärt. Zum Beleg seiner anhaltenden wirtschaftlichen Schwierigkeiten im Geschäftsbetrieb habe der Beschwerdeführer zwar die Jahresrechnung 2007 eingereicht, diese stelle aber lediglich eine Parteibehauptung dar. Auch sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer diese selber erstellt habe. Sollte sich zukünftig zeigen, dass der Beschwerdeführer nicht in der Lage sein werde, das der Berechnung zugrunde liegende Einkommen von rund Fr. 13'800.-- zu erzielen, so sei er auf die Möglichkeit der Abänderungsklage zu verweisen.
3.2.4 Was der Beschwerdeführer gegen die obergerichtliche Würdigung einwendet, ist unbehelflich. Er beschränkt sich weitgehend auf eine zusammenfassende Wiederholung seiner Vorbringen im kantonalen Verfahren und vermag damit den formellen Anforderungen an die Beschwerdeschrift nicht zu genügen (<ref-ruling> E. 2 S. 245 ff.). Insbesondere unterlässt er es aufzuzeigen, inwiefern es nicht angebracht und eine Verletzung von Bundesrecht sein sollte, auf das Durchschnittseinkommen der letzten Jahre vor der Scheidung, unter Ausschluss stark abweichender Geschäftsjahre, abzustellen. Stattdessen begnügt er sich damit, weitschweifende Ausführungen zu seiner eingereichten Jahresrechnung 2007 zu machen und versucht das Gericht davon zu überzeugen, dass diese der Wahrheit entspricht und nicht durch ihn selber, sondern seinen Treuhänder, erstellt worden ist. Dabei übersieht der Beschwerdeführer, dass sich die Jahresrechnung 2007 ohnehin nur beschränkt zum Beweis eignet, um ein zukünftig geringeres Einkommen nachzuweisen. Denn gestützt auf diese Jahresrechnung kann keine verlässliche Prognose darüber erstellt werden, wie sich die künftige Geschäftstätigkeit entwickeln wird. Fest steht lediglich, dass gemäss eingereichter Jahresrechnung das Jahreseinkommen 2007 erheblich von den Einkommen der vorhergehenden Jahren abweicht. Weiter steht fest, dass die Einkommenszahlen in den letzten Jahren nicht kontinuierlich gesunken sind, weshalb aufgrund des abweichenden Ergebnisses des Jahres 2007 praxisgemäss nicht leichthin auf zukünftig schlechte Geschäfte geschlossen werden darf. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat sich das Obergericht mit der Jahresrechnung 2007 - trotz ihrer geringen Beweiseignung und Zweifel über ihre inhaltliche Richtigkeit und über die Identität des Erstellers - auseinandergesetzt und sie analysiert. Jedoch vermochte sie die Richter nicht davon zu überzeugen, dass das Jahr 2007 für die Einkommensberechnung repräsentativ sei und auch inskünftig schlechte Geschäftsergebnisse zu erwarten seien. Folglich sahen sie sich auch nicht dazu veranlasst, weitere Abklärungen im Zusammenhang mit dieser Jahresrechnung vorzunehmen bzw. dazu Zeugen einzuvernehmen. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern eine Zeugeneinvernahme zu einem anderen Beweisergebnis geführt hätte. Vor diesem Hintergrund stellt die obergerichtliche Auseinandersetzung mit der Jahresrechnung 2007 und die nicht vorgenommene Zeugenbefragung keine Verletzung des Rechts auf Beweis (<ref-law>) dar. Darin ist auch keine Verletzung von <ref-law> bzw. Art. 6 EMRK zu sehen, da bei der Beurteilung zivilrechtlicher Ansprüche beweisrechtlich ohnehin <ref-law> vorrangig zum Zug kommt (Urteile 5A_44/2008 vom 7. Juli 2008 E. 3 und 5A_193/2008 vom 13. Mai 2008 E. 3.1). Insoweit verbliebe dem Beschwerdeführer einzig die Möglichkeit, die Beweiswürdigung des Richters zu kritisieren. Die Beweiswürdigung kann jedoch nur dann als fehlerhaft gerügt werden, wenn sie auf einer Rechtsverletzung beruht oder willkürlich erfolgt ist. Dies ist vorliegend aber nicht der Fall und wird vom Beschwerdeführer auch nicht rechtsgenüglich geltend gemacht. Zusammenfassend ergibt sich, dass das Obergericht bei der Berechnung des Einkommens des Beschwerdeführers weder das Willkürverbot noch das Recht auf Beweis verletzt hat. Kann aber die obergerichtliche Beurteilung der Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers nicht beanstandet werden, ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz <ref-law> verletzt haben sollte. Demzufolge ist die Rüge der fehlerhaften Einkommensberechnung insgesamt abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer ersucht um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Berufungsverfahren und das Verfahren vor Bundesgericht.
4.1 Ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann nur gutgeheissen werden, wenn der Gesuchsteller bedürftig ist und keine Aussichtslosigkeit des verfolgten Verfahrensziels besteht (<ref-law>).
4.2 Das Obergericht kommt zum Schluss, dass der Beschwerdeführer nicht bedürftig sei, da sein monatlicher Überschuss, umgerechnet auf ein Jahr, ausreiche, um die mutmasslichen Prozesskosten zu decken. Mit der Begründung des Obergerichts, insbesondere der Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums, setzt sich der Beschwerdeführer nur ansatzweise auseinander. Da seine Ausführungen die Anforderungen für eine rechtsgenügliche Beschwerde nicht erfüllen (E. 2), ist auf sein Begehren betreffend Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Berufungsverfahren nicht einzutreten.
4.3 Auch vor Bundesgericht vermag der Beschwerdeführer seine Bedürftigkeit nicht nachvollziehbar darzulegen. Zudem wäre auch die Aussichtslosigkeit seiner Begehren offensichtlich (vgl. E. 3).
4.4 Dem Beschwerdeführer ist somit weder für das kantonale Verfahren noch für die Beschwerde vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Januar 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Hohl Gut