Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Basel Stadt warf A.X._ im vorliegend relevanten Anklagepunkt vorsätzliche Tötung, eventualiter Totschlag bzw. fahrlässige Tötung seines Sohnes B.X._ (geb. 1998) vor. Danach holte A.X._, welcher das Sorgerecht gemeinsam mit seiner geschiedenen Frau ausübte, seinen Sohn nach einem Karatetraining am 16. Dezember 2009 ab und fuhr mit ihm nach Hause. Weil sich dieser nicht wohl fühlte, übernachtete er ausnahmsweise im Bett mit A.X._. Zwischen 21 und 22.30 Uhr erwachte A.X._, der sich bereits den Tag über depressiv gefühlt hatte, mit suizidalen Gedanken. Er nahm in der Küche ein Brotmesser an sich, ging ins Badezimmer und setzte sich das Messer, wie er das bereits früher mehrfach und ohne sich zu verletzten getan hatte, aber um einen "push" zu verspüren, an die Pulsadern der rechten Hand, als unerwartet sein Sohn dazu kam und fragte: "Papi, Papi, was machst du?" und "Papi, Papi, was machst du mit dem Messer?" Der Sohn rannte erschrocken, verstört und wimmernd zurück ins Zimmer und hielt sich ein Kissen vor sein Gesicht, als ob er sich damit schützen wollte. A.X._ folgte beschämt, sich schuldig fühlend und immer noch mit dem Messer in der Hand ins Schlafzimmer und nahm in dieser Gemütsbewegung, in der er unbedingt wollte, dass sein Sohn das Bild von ihm mit dem Messer an der Pulsader vergisst, einen Satz auf diesen. Während er mit seinem Körper auf dem Rumpf, zumindest auf der oberen Brustpartie seines Sohnes lag, legte respektive drückte er seinem Sohn das Kissen, welches dieser schützend vor sich hielt, unter grosser Druckausübung gegen die Mundpartie so in das Gesicht, dass dieser keine Luft mehr bekam. Trotz andauernder Gegenwehr seines Sohnes verblieb er auf ihm, bis der Atemstillstand eintrat. Der Sohn erlitt drei leichte, für den Tod nicht kausale, Hautdurchtrennungen durch das Messer. Eventualiter warf die Staatsanwaltschaft A.X._ eine grobpflichtwidrige Unvorsichtigkeit vor.
B.
Das Strafgericht Basel-Stadt verurteilte A.X._ am 17. Mai 2013 wegen vorsätzlicher Tötung, mehrfacher Urkundenfälschung und Anstiftung zu mehrfacher Urkundenfälschung, mehrfacher Erschleichung einer falschen Beurkundung und Anstiftung zur Erschleichung einer falschen Beurkundung zu 7 Jahren Freiheitsstrafe (unter Anrechnung von 252 Tagen Untersuchungshaft), teilweise als Zusatzstrafe zu einem Strafbefehl des Bezirksstatthalteramts Liestal vom 20. September 2006 (wobei es die bedingte Freiheitsstrafe von 50 Tagen nicht als vollziehbar erklärte).
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte am 2. September 2014 auf Berufung von A.X._ gegen den Schuldspruch wegen vorsätzlicher Tötung und die Strafzumessung das Urteil des Strafgerichts.
C.
A.X._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben, ihn vom Vorwurf der vorsätzlichen Tötung freizusprechen und ihn wegen fahrlässiger Tötung zu einer bedingten Freiheitsstrafe zu verurteilen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Anweisung, die Strafe zu reduzieren und eine teilbedingte Freiheitsstrafe von drei Jahren mit bedingtem Vollzug von zwei Jahren und unbedingtem von einem Jahr auszusprechen. Subeventualiter sei das Urteil aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, die Strafe zu reduzieren. Es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.

Erwägungen:
1.
Die Erstinstanz erachtete es als erstellt, dass der Beschwerdeführer auf seinen auf dem Bett liegenden Sohn, welcher ein Kissen auf sein Gesicht gedrückt hielt, gesprungen war und mehrere Minuten auf ihm lag, was zur Erstickung führte. Er habe den Tod eventualvorsätzlich in Kauf genommen.
Der Beschwerdeführer machte mit Berufung geltend, er sei der fahrlässigen Tötung schuldig zu sprechen. Es sei unzutreffend, dass für ihn die Gefahr des Todes habe bewusst sein müssen. Die Erstinstanz sei unrichtigerweise davon ausgegangen, dass er auf und nicht neben seinem Sohn gelegen und für ihn eine Gegenwehr seines Sohnes spürbar gewesen sei. Er habe diesen lediglich trösten wollen. Es habe sich um einen tragischen Unfall gehandelt (Urteil S. 4).
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz verletze den Grundsatz in dubio pro reo in ihrem Gehalt als Beweiswürdigungsmaxime und weist gestützt auf das Urteil 6B_923/2008 vom 2. Februar 2009 E. 2 zutreffend darauf hin, dass ein Entscheid unter diesem Titel vom Bundesgericht nur aufgehoben wird, wenn das Sachgericht die beschuldigte Person verurteilt hat, obgleich bei objektiver Würdigung des Beweisergebnisses offensichtlich erhebliche bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an der Schuld fortbestehen.
2.1. Gemäss der nunmehr in <ref-law> normierten Maxime "in dubio pro reo" ist bis zum gesetzlichen Nachweis ihrer Schuld zu vermuten, dass die einer strafbaren Handlung beschuldigte Person unschuldig ist (<ref-law>). Die Maxime besagt, dass sich das Strafgericht nicht nach rein subjektivem Empfinden von einem für den Angeklagten ungünstigen Sachverhalt überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung Zweifel an der Erfüllung der tatsächlichen Voraussetzungen der angeklagten Tat bestehen. Bloss abstrakte und theoretische Zweifel genügen aber nicht. Es müssen vielmehr erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel vorliegen. Relevant sind mithin nur unüberwindliche, sich nach der objektiven Sachlage aufdrängende Zweifel (Urteil 6B_768/2014 vom 24. März 2015 E. 1.3). Soweit sich der Beschwerdeführer auf den Grundsatz in dubio pro reo als Beweiswürdigungsmaxime beruft, kommt ihm keine über das Willkürverbot hinausgehende Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 7; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2d S. 38; Urteil 6B_1104/2014 vom 21. April 2015 E. 2.1 mit zusätzlichen Hinweisen auf die Rechtsprechung zu Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.2.
2.2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz gehe davon aus, dass er das Kissen auf den Kopf des Sohnes gedrückt habe, obwohl sich dieser stets rührte und zu verstehen gab, dass er keine Luft bekam. Er habe dagegen dargelegt, dass er das Wimmern aus dem Schlafzimmer hörte und seinen Sohn mit strampelnden Beinen auf dem Bett sah. Das habe bei ihm den Reflex ausgelöst, ihn sofort zu trösten und zu beruhigen. Er sei impulsiv auf das Bett gesprungen, habe gemerkt, dass er unglücklich auf ihm landete, und habe sofort sein Gewicht auf die linke Seite verlagert. Er habe den Kopf mit der rechten Hand zu sich an die Brust genommen, während der Sohn das Kissen weiter hielt. Das Strampeln habe aufgehört, und er habe auf ihn eingesprochen, immer und immer wieder. Der Gutachter habe vor der Erstinstanz erklärt, es könne vorkommen, dass Menschen in solchen Situationen keine Gegenwehr leisteten, und möglich sei, dass der Sohn bereits nach kurzer Zeit das Bewusstsein verlor, ohne dass er (der Beschwerdeführer) dies hätte bemerken können. Im Zweifel sei dieses Geschehen keineswegs ausgeschlossen. Es sei unhaltbar, dass sich die Vorinstanz mit der Tatvariante, dass der Sohn bereits aufgrund der durch den Sprung verursachten Thoraxkompression bewusstlos wurde, nicht auseinandergesetzt habe.
2.2.2. Zum Motiv nehme die Vorinstanz an, er habe seinen Sohn zum Schweigen gebracht, um zu verhindern, dass dieser ein schlechtes Vaterbild habe. Auch sie führe aber aus, dass er zu seinem Sohn ein sehr inniges, ja schon fast symbiotisches Verhältnis hatte. Das vom Gutachter aufgestellte Motiv, dass es vor dem Hintergrund seiner Persönlichkeitsakzentuierung (Narzissmus) eine geradezu katastrophale Konfrontation mit der widersprüchlichen Realität gegeben haben müsse, als sein Sohn ihn mit dem Messer am Handgelenk überraschte, sei rein spekulativ und treffe nicht zu. Sicher habe er diesen Vorfall nicht mit seinem Bild eines liebevollen Vaters in Einklang bringen können. Dass er seinen Sohn nicht etwa trösten, sondern wegen des anklagenden Weinens zum Schweigen bringen wollte, sei pure Spekulation, decke sich mit seinen Aussagen keineswegs und sei unhaltbar.
2.3.
2.3.1. Die Vorinstanz stellt aufgrund des rechtsmedizinischen Gutachtens fest, genaue Aussagen über die Dauer des Erstickungsvorgangs seien im Einzelfall zwar generell unmöglich, es stehe aber fest, dass verschiedene Phasen durchlaufen würden. Mit den kleinen Blutungen und Schleimhautdefekten an der Innenseite der Oberlippe und den Hauteinblutungen unterhalb der Nase bzw. seitlich des Kinns sei eine Bedeckung der Atemöffnungen als wesentliche Erstickungsursache vereinbar. Weiter komme eine Brustkompression als zusätzliche Ursache in Betracht.
2.3.2. Die Vorinstanz nimmt an, aus der Thoraxkompression sei zu schliessen, dass der Beschwerdeführer mit seinem gesamten Gewicht auf dem Brustkorb seines Sohnes gelegen sein müsse. Diese Gewalteinwirkung sei in seitlicher Liegestellung praktisch ausgeschlossen. Auch die Endlage am rechten Kopfende des Bettes werfe Fragen zur Glaubwürdigkeit der Aussagen auf. Das mache einen Sprung auf den Sohn fast unmöglich. Vor der Erstinstanz habe er angegeben: "Er lag im unteren Teil des Bettes, nicht am Kopfteil." Das lasse sich mit der Endlage am Kopfteil des Bettes beim Eintreffen der Polizei nicht erklären, wenn der Beschwerdeführer den Sohn nach dem Tod nicht mehr bewegt haben wolle. Vielmehr lasse die Endlage darauf schliessen, dass sich der Sohn heftig gewehrt habe. Zu diesem Schluss komme auch das Gutachten, weil die teilweise wischartig imponierenden Blutantragungen am Spannbetttuch dafür sprächen, dass nach Beibringung der blutenden Verletzung an der linken Brustkorbvorderseite eine Lageveränderung erfolgte. Gegen die Darstellung des Beschwerdeführers spreche weiter die Tatsache, dass die Polizei bei ihrem Eintreffen noch das Kissen auf dem Gesicht des auf dem Rücken liegenden Sohnes gefunden hatte. Hätten sich beide Personen in Seitenlage befunden, wäre das Kissen beim Aufstehen des Beschwerdeführers nicht auf dem Gesicht geblieben, sondern heruntergerutscht.
2.3.3. Weiter widerspreche jeder Lebenserfahrung, dass ein Vater mit einem Sprung auf seinen weinenden Sohn, mit einem Messer in der Hand, versuche, diesen zu trösten. Selbst unter Berücksichtigung eines Schocks hätte sich der Beschwerdeführer gegenüber der Polizei ganz anders geäussert, wenn tatsächlich ein Unfall passiert wäre. Stattdessen habe er stets angegeben, er habe seinen Sohn umgebracht. Er habe weder Nachbarn noch Sanität alarmiert noch versucht, seinen Sohn zu reanimieren, sondern erst Stunden später die Polizei gerufen. Das Verhalten spreche gegen einen tragischen Unfall.
2.3.4. Zum Motiv führt die Vorinstanz aus, dass alle Befragten angaben, der Beschwerdeführer habe ein sehr inniges Verhältnis zu seinem Sohn gehabt und sei nie gewalttätig gewesen. Fraglich sei, ob sich daraus etwas ableiten lasse. Nach dem psychiatrischen Gutachten weise der Beschwerdeführer "akzentuierte narzisstische Persönlichkeitszüge" auf. Sein Vaterbild sei mit dem Vorfall im Bad "in Sekundenbruchteilen völlig zerstört" gewesen. Der Beschwerdeführer habe angegeben, sein Sohn sei sein Lebensinhalt gewesen. Er habe sich in der Tatnacht "unfähig gefühlt", weil er seinem Sohn Angst gemacht habe, und habe "eine Mischung aus Beschämung, Schuld und Angst" empfunden. Es sei gewesen "wie ein schwarzes Loch", "bei mir brach alles zusammen". Nach dem Gutachten gebe es für eine narzisstische Persönlichkeit "kaum eine grössere Bedrohung als einen solchen Verlust des Selbstbildes", weshalb der weinende Sohn vielleicht viel weniger getröstet, sondern vielmehr "in seinem anklagenden Weinen zum Schweigen gebracht werden musste". Dies decke sich mit den Aussagen des Beschwerdeführers, er habe gewollt, dass sein Sohn ruhig sei und aufhöre zu schreien bzw. "dass er das Bild von mir vergisst", und angab, "ich wollte das Bild, das er von mit hatte ..." - ohne den Satz zu vollenden.
Die Vorinstanz nimmt an, auch wenn es sich nach dem Gutachten lediglich "um eine als vage zu bezeichnende psychodynamische Hypothese" handle, sei diese in sich doch stimmig und überzeugend. Aufgrund der gutachterlich festgestellten auffälligen Diskrepanz zwischen "Schein" und "Sein" stehe der Schein eines fürsorglichen, liebevollen Vaters entgegen der Verteidigung gerade nicht im Widerspruch zur Gewalttat. Vielmehr liege darin das wahrscheinlichste Motiv.
2.4. Die Darstellung des Beschwerdeführers erscheint im ersten Hinblick als plausibel. Wie das auch die Anklagebehörde eventualiter in Erwägungen zog, drängt sich in der geschilderten Stresssituation die Annahme einer "grobpflichtwidrigen Unvorsichtigkeit" zunächst auf. Die eingehende vorinstanzliche Beweiswürdigung unter Einbezug der Aussagen und des Aussageverhaltens des Beschwerdeführers sowie der rechtsmedizinischen und psychiatrischen Gutachten ergibt allerdings, dass diese "Nullhypothese" (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 86 oben) mit den erhobenen Fakten nicht mehr in Übereinstimmung stehen kann, so dass sie zu verwerfen ist. Wie sich dem Urteil 6B_54/2013 vom 23. August 2013 entnehmen lässt, kann es bei Kampfsportlern durchaus zu Fehleinschätzungen der "Robustheit" von Mitmenschen kommen. Ein solches Verhalten erweist sich aber als ambivalent, erwirbt ein Kampfsportler durch Training und Schulung doch ein Bewusstsein für die Gefährlichkeit von Gewalteinwirkungen.
Beim zu beurteilenden Sachverhalt verhält es sich auch unter diesem Gesichtspunkt anders als im erwähnten Urteil. Der Beschwerdeführer sprang mit einem Satz und dem Küchenmesser in der Hand auf den elfjährigen, verängstigten, wimmernden, auf dem Bett strampelnden Knaben, der sich in seiner Not ein Kissen vor das Gesicht hielt. Nach dem gerichtsmedizinischen Gutachten bildeten das gewaltsame Andrücken des Kissen ans Gesicht und die Brustkompression Ursachen für den Erstickungstod.
Es ist ausgeschlossen, dass sich der Knabe die Gesichtsverletzungen dadurch beigebracht haben könnte, dass er seinen Kopf in das Kissen drückte bzw. das Kissen an sein Gesicht andrückte. Dies konnte einzig durch Gewalteinwirkung seitens des Beschwerdeführers geschehen sein. Ebenso verhält es sich mit der Thoraxkompression. Hinzu kommen die drei leichten, für den Tod nicht kausalen, Schnittverletzungen, die für den Knaben jedenfalls schmerzhaft fühlbar sein mussten.
Der Beschwerdeführer wollte nach eigenen Aussagen, dass sein Sohn ruhig ist und aufhört zu schreien (oben E. 2.3.4). Dazu war der Knabe nach aller Lebenserfahrung in einer solchen Situation schlicht nicht in der Lage, und zwar um so weniger als sich der Vater mit einem Messer in der Hand auf ihn warf. Es ist abwegig anzunehmen, in dieser Situation sei der in Panik schreiende und strampelnde Knabe einfach still geworden. Vielmehr wollte der Beschwerdeführer ihn zur Ruhe und zum Schweigen bringen und unternahm dies mit massiver Gewalteinwirkung, die den Erstickungstod des Knaben verursachte.
2.5. Mit der blossen Darstellung einer abweichenden Version des Geschehens vermag der Beschwerdeführer keine Willkür und damit keine schlechterdings unhaltbare Sachverhaltserstellung aufzuzeigen. Die vorinstanzliche Beweiswürdigung verletzt die Unschuldsvermutung bzw. den Grundsatz in dubio pro reo in keiner Weise. Das Bundesgericht hat seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde zu legen, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer macht ein fahrlässiges Handeln geltend.
3.1. Die Vorinstanz führt aus, der eventualvorsätzlich wie der bewusst fahrlässig Handelnde wisse um die Möglichkeit bzw. das Risiko der Tatbestandsverwirklichung. Dem Vorbringen des Beschwerdeführers, er habe nie gedacht, dass dies eine gefährliche Situation sei, könne aber nicht gefolgt werden. Es sei für jeden naheliegend und erkennbar, dass beim Aufliegen eines Kissens auf das Gesicht eines Menschen, insbesondere eines Kindes, die Möglichkeit besteht, dass die Atemwege belegt werden und die Erstickungsgefahr geschaffen wird. Die Gefahr sei durch das körperliche Ungleichgewicht erhöht worden, was weiter zu einer Kompression des Brustkorbs führte (Urteil S. 10).
3.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, die entscheidende Differenz liege auf der Willensseite, denn der eventualvorsätzlich Handelnde nehme die Verwirklichung ernstlich in Kauf. Dass der Täter den Eintritt des Erfolgs in seinen Verwirklichungswillen aufgenommen habe, sei erst anzunehmen, wenn dies in Würdigung aller Umstände nach dem Grundsatz "in dubio pro reo" nicht mehr ernsthaft zu bezweifeln sei (mit Hinweis auf GUIDO JENNY, in: Basler Kommentar, Strafgesetzbuch, Band I, 1. Aufl. 2003, N. 48 zu aArt. 18 StGB). Der Hinweis auf diese zweifellos zutreffende Lehrmeinung (ebenso NIGGLI/MAEDER, in: Basler Kommentar, Strafrecht, Band I, 3. Aufl. 2013, NN. 53 und 62 zu <ref-law>), vermag am Beweisergebnis nichts zu ändern.
3.3. Vorsätzlich begeht ein Verbrechen oder Vergehen, wer die Tat mit Wissen und Willen ausführt oder wer die Verwirklichung der Tat für möglich hält und in Kauf nimmt (<ref-law>), aber dennoch handelt, weil er sich mit dem Erfolg abfindet, mag er ihm auch unerwünscht sein (<ref-ruling> E. 4.2.3).
Die Abgrenzung zwischen Eventualvorsatz und bewusster Fahrlässigkeit kann im Einzelfall schwierig sein. Sowohl der eventualvorsätzlich als auch der bewusst fahrlässig handelnde Täter weiss um die Möglichkeit des Erfolgseintritts bzw. um das Risiko der Tatbestandsverwirklichung. Hinsichtlich der Wissensseite stimmen somit beide Erscheinungsformen des subjektiven Tatbestands überein. Unterschiede bestehen beim Willensmoment. Der bewusst fahrlässig handelnde Täter vertraut (aus pflichtwidriger Unvorsichtigkeit) darauf, dass der von ihm als möglich vorausgesehene Erfolg nicht eintreten, das Risiko der Tatbestandserfüllung sich mithin nicht verwirklichen werde. Demgegenüber nimmt der eventualvorsätzlich handelnde Täter den Eintritt des als möglich erkannten Erfolgs ernst, rechnet mit ihm und findet sich mit ihm ab. Wer den Erfolg dergestalt in Kauf nimmt, "will" ihn im Sinne von <ref-law>. Nicht erforderlich ist, dass der Täter den Erfolg "billigt" (<ref-ruling> E. 4.1 S. 16, 222 E. 5.3 S. 225, jeweils zu aArt. 18 Abs. 2 StGB).
Ob der Täter die Tatbestandsverwirklichung in diesem Sinne in Kauf genommen hat, muss der Richter aufgrund der Umstände entscheiden. Dazu gehören die Grösse des dem Täter bekannten Risikos der Tatbestandsverwirklichung, die Schwere der Sorgfaltspflichtverletzung, die Beweggründe des Täters und die Art der Tathandlung. Je grösser die Wahrscheinlichkeit der Tatbestandsverwirklichung ist und je schwerer die Sorgfaltspflichtverletzung wiegt, desto näher liegt die Schlussfolgerung, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 17). Für den Nachweis des Vorsatzes darf der Richter vom Wissen des Täters auf den Willen schliessen, wenn sich diesem die Verwirklichung der Gefahr als so wahrscheinlich aufdrängte, dass die Bereitschaft, sie als Folge hinzunehmen, vernünftigerweise nur als Inkaufnahme des Erfolgs ausgelegt werden kann (<ref-ruling> E. 4.2.3). Eventualvorsatz kann indessen auch vorliegen, wenn der Eintritt des tatbestandsmässigen Erfolgs nicht in diesem Sinne sehr wahrscheinlich, sondern bloss möglich war (Urteil 6B_222/2014 vom 15. Juli 2014 E. 1.3.2). Doch darf nicht allein aus dem Wissen des Täters um die Möglichkeit des Erfolgseintritts auf dessen Inkaufnahme geschlossen werden. Weitere Umstände müssen hinzukommen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 17; Urteil 6B_148/2013 vom 19. Juli 2013 E. 4.3.1).
3.4. Der Beschwerdeführer macht somit zutreffend geltend, eine Inkaufnahme der Tatbestandsverwirklichung dürfe nicht allein aus der Tatsache gezogen werden, dass sich der Täter des Risikos der Tatbestandsverwirklichung bewusst war und dennoch handelte (mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 8.4; <ref-ruling> E. 4.1).
Gemäss der zitierten Rechtsprechung liegt die Schlussfolgerung, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen, indessen desto näher, je grösser die Wahrscheinlichkeit der Tatbestandsverwirklichung ist und je schwerer die Sorgfaltspflichtverletzung wiegt (BGE <ref-ruling> E. 4.1 S. 4; kritisch NIGGLI/MAEDER, a.a.O., N. 54 zu <ref-law>). Unter den festgestellten Umständen war die Wahrscheinlichkeit der Tatbestandsverwirklichung evident und war die Sorgfaltspflichtverletzung gravierend. Die Art der Tathandlung legt den Schluss nahe, dass der Beschwerdeführer den Erfolg im Sinne der Rechtsprechung in Kauf nahm.
Denn nach den vorinstanzlichen Feststellungen war das Vorgehen des Beschwerdeführers sogar derart gewalttätig und von so langer Dauer, dass sein Handeln näher beim direkten Vorsatz als bei bewusster Fahrlässigkeit liegt. Wenn eine körperlich und gewichtsmässig massiv überlegene Person auf ein elfjähriges Kind springt, wobei sie mit dem ganzen Gewicht so auf den Brustkorb des Kindes zu liegen kommt, dass daraus eine Thoraxkompression resultiert, und in der Folge während längerer Zeit derart stark ein Kissen gegen das Gesicht des Kindes drückt, dass dieses sogar Verletzungen deswegen aufweist, wenn die Person dann in dieser Stellung bleibt, bis sich das Kind nicht mehr rührt, und sich schliesslich in keiner Weise um das Kind kümmert, kann dieses Verhalten vernünftigerweise nur als Inkaufnahme des Erfolgs ausgelegt werden (Urteil S. 11).
3.5. Unbehelflich erweist sich der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe "die günstigere Variante einer Bewusstlosigkeit nach sehr kurzer Dauer und keinem Rühren und keiner Gegenwehr" nicht mehr geprüft. Entgegen der Beschwerde ist nicht klar, dass, wenn das Kind bereits durch den Sprung bewusstlos wurde, sich dem Beschwerdeführer die Verwirklichung der Gefahr keineswegs als so wahrscheinlich aufdrängte, dass eine Inkaufnahme des Erfolges anzunehmen wäre. "Denn dann ging er, wenn auch irrtümlich und pflichtwidrig, davon aus, dass es dem Sohn noch gut ging" (Beschwerde S. 14). Das erscheint abwegig. Weder lässt sich eine solche Tatvariante mit den festgestellten Tatsachen vereinbaren noch vermöchte die behauptete günstigere Variante, in welcher der Beschwerdeführer das Kind durch seinen Sprung bewusstlos geschlagen hätte, zu einer anderen Beurteilung führen, hätte er dann doch dem bewusst- und regungslos liegenden Kind das Kissen weiterhin derart ins Gesicht gedrückt, dass die festgestellten Verletzungen resultierten. Dass damit ein Kind erstickt wird, liegt auch für den Uneinsichtigen auf der Hand.
3.6. Unbegründet ist ferner der Einwand, er (der Beschwerdeführer) habe schlichtweg kein ersichtliches Motiv gehabt, das Leben seines Sohnes zu beenden (Beschwerde S. 14). Die vorinstanzliche Annahme (oben E. 2.3.4) ist der Versuch, die Beweggründe zu eruieren, und wird sachlich begründet. Wie das Handeln motiviert ist, ändert im Übrigen für die Annahme des Eventualvorsatzes grundsätzlich nichts, da es sich dabei um kein Merkmal von <ref-law> handelt, was nicht bedeutet, dass die Eruierung des Motivs für das Verständnis der Tat nicht hilfreich ist. Wesentlich ist, dass der Täter den Erfolg "in Kauf nimmt" (<ref-law>) und nicht, ob er ihm unerwünscht ist, ob er ihn billigt oder ob er ihn aus anderen, nur ihm einsichtigen oder nicht einsichtigen, Gründen in Kauf nimmt. So kommt es etwa auf die innere Ablehnung nicht an, wenn der Täter auf das Ausbleiben des Erfolges nicht mehr vertrauen, sondern es sich bloss noch erhoffen konnte ( NIGGLI/MAEDER, a.a.O., N. 56 zu <ref-law>). Welches die Beweggründe der Tat waren, ist ohne Einfluss auf den Vorsatz (<ref-ruling> E. I/5 S. 274). Der Beweggrund kann ausserhalb des Vorsatzes liegen (<ref-ruling> E. 2c S. 66). Die Vorinstanz hat nach dem Motiv geforscht (oben E. 2.3.4) und ihre Erkenntnis bei der Beurteilung des subjektiven Tatbestands zulässigerweise (oben E. 3.3) berücksichtigt. Dennoch ist der Vorsatz zu unterscheiden von den Beweggründen, die zu ihm führen und die einzig für die Strafzumessung bedeutsam sein können, doch nichts darüber aussagen, ob der Vorsatz besteht oder nicht ( HANS SCHULTZ, Einführung in den Allgemeinen Teil des Strafrechts, Erster Band, 4. Aufl. 1982, S. 193).
3.7. Die vorinstanzliche Entscheidung, der Beschwerdeführer habe den Tod seines Sohnes eventualvorsätzlich im Sinne von <ref-law> in Kauf genommen, verletzt kein Bundesrecht.
4.
Der Beschwerdeführer rügt die Strafzumessung.
4.1. Der Beschwerdeführer wendet ein, die Vorinstanz erachte zu Unrecht den Strafmilderungsgrund von <ref-law> für nicht anwendbar.
Die Vorinstanz verweist für die Strafzumessung auf die Erstinstanz und nimmt mit dieser an, der Strafmilderungsgrund von <ref-law> sei nicht anzuwenden, da der Beschwerdeführer den Verlust seines Sohnes selbst herbeiführte. Die Betroffenheit als Vater werde im Rahmen des allgemeinen Verschuldens berücksichtigt. Denn der Beschwerdeführer habe nicht nur seinen Sohn verloren, sondern werde auch durch die Schuld, welche er durch die Tat auf sich geladen habe, belastet. Insgesamt werde die Einsatzstrafe von achteinhalb Jahren aufgrund dieser Betroffenheit und der akzentuierten Persönlichkeitszüge um zwei Jahre gemildert und damit diesen Umständen angemessen Rechnung getragen (Urteil S. 12).
<ref-law> ist bei Vorsatzdelikten anwendbar (<ref-ruling> E. 2e S. 175 f. betreffend aArt. 66bis Abs. 1 StGB). Von einer Bestrafung wird abgesehen, wenn der Täter durch die unmittelbaren Folgen seiner Tat so schwer betroffen ist, dass eine Strafe unangemessen wäre. Nach dem Grundsatz "a maiore minus" kann anstelle einer Strafbefreiung die Milderung der Strafe nach freiem Ermessen treten. Neben der persönlichen Betroffenheit hängt der Entscheid über die Unangemessenheit der Strafe wesentlich vom Verschulden des Täters ab. Bei Vorsatztaten ist eine Strafreduktion zwar möglich, sollte aber nur zurückhaltend vorgenommen werden. Die Vorinstanz verfügt bei der Festsetzung der angemessenen Strafe über ein weites Ermessen (Urteil 6B_149/2014 vom 26. Juni 2014 E. 3.2).
Nach der ratio legis betrifft <ref-law> Grenzfälle, in denen meist schon das natürliche Rechtsgefühl sagt ( FRANZ RIKLIN, in: Basler Kommentar, Strafrecht, Band I, N. 6 zu <ref-law>), dass der Täter durch die ihn unmittelbar selbst treffenden Folgen seiner Tat "schon genug bestraft erscheint und die Ausgleichsfunktion der Strafe bereits erfüllt ist" (<ref-ruling>05 E. 2.3). Die unmittelbaren Folgen der Tat werden selber zur poena naturalis ( RIKLIN, a.a.O. mit Hinweisen).
Es lässt sich nicht annehmen, dass die Ausgleichsfunktion der Strafe durch die Betroffenheit des Beschwerdeführers bereits erfüllt ist. Die Vorinstanz berücksichtigt die Tatfolgen in anderer Weise hinreichend.
4.2. Das Vorbringen, die Vorinstanz habe neben der Nichtberücksichtigung von <ref-law> wichtige Strafzumessungskriterien gemäss <ref-law> unrichtig angewendet, ist unbegründet.
Die Vorinstanz geht aufgrund des psychiatrischen Gutachtens von einer erhaltenen Schuldfähigkeit aus, da den akzentuierten narzisstischen Persönlichkeitszügen nicht das Gewicht einer Persönlichkeitsstörung zukommt. Sie nimmt richtigerweise ein schweres Verschulden beim Tötungsdelikt an (Urteil S. 11). Mit der Rüge, dabei werde "überhaupt nicht berücksichtigt, dass, wenn überhaupt, nur ein eventualvorsätzliches Tatbegehen in Frage steht" (Beschwerde S. 17), wird die Tatschwere allzu sehr relativiert.
4.3. Entgegen der Beschwerde ist die Strafe auch nicht vor dem Hintergrund des vorinstanzlich angenommenen Motivs (welches der Beschwerdeführer als rein spekulativ kritisiert) deutlich zu hoch ausgefallen. Wie die Vorinstanz festhält, sind bei diesem Motiv keine entlastenden Momente zu erblicken. Die Erklärung, er habe seinen Sohn trösten wollen, überzeuge nicht und sei geradezu lebensfremd (Urteil S. 11 f.). Die Vorinstanz gewichtet dieses Motiv auch nicht straferhöhend. Sie berücksichtigt in erheblichem Mass die durch die Tötung des Sohnes bewirkte Selbstbelastung (oben E. 4.1).
4.4. Trotz Heirat und Vaterschaft zu einer kleinen Tochter ist nicht von einer klar erhöhten Strafempfindlichkeit auszugehen. Eine solche ist nur bei aussergewöhnlichen Umständen zu bejahen, da die Verbüssung einer Freiheitsstrafe für jede arbeitstätige und in ein familiäres Umfeld eingebettete Person mit einer gewissen Härte verbunden ist (vgl. Urteile 6B_1095/2014 vom 24. März 2015 E. 3.3 und 6B_794/2014 vom 9. Februar 2015 E. 6.3.2).
4.5. Wer vorsätzlich einen Menschen tötet, wird mit Freiheitsstrafe nicht unter fünf Jahren bestraft (<ref-law>). Der Strafrahmen reicht mithin bis zu 20 Jahren (<ref-law>). Angesichts des schweren Verschuldens beim Tötungsdelikt (oben E. 4.2) konnte die dafür veranschlagte Strafe nicht in der Höhe der Mindeststrafe verbleiben. Die Vorinstanz ging mit ihrer Verweisung auf das erstinstanzliche Urteil (hier S. 20) von einem qualvollen Erstickungstod aus, dem ein eigentlicher Todeskampf voranging. Strafschärfend waren gemäss <ref-law> die weiteren in Realkonkurrenz stehenden Straftaten zu gewichten (oben Bst. B), wobei bereits die Urkundenfälschung einen Strafrahmen von bis zu fünf Jahren aufweist (<ref-law>). Die Strafe für die Urkundendelikte, die teilweise als Zusatzstrafe erging, rückte bei einem derart massiven Hauptdelikt stark in den Hintergrund, fiel aber dennoch ins Gewicht (erstinstanzliches Urteil S. 21 und 22). Von einer "deutlich zu hoch" ausgefallenen Strafe (oben E. 4.3) kann bei der Sachlage offenkundig nicht die Rede sein.
4.6. Die beantragte Festsetzung einer teilbedingten Strafe fällt ausser Betracht, da das bundesrechtlich nicht zu beanstandende Strafmass nicht mehr im Rahmen der Dreijahresgrenze von <ref-law> liegt.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Aufgrund der Belege sowie des Urteils (S. 13) ist Mittellosigkeit anzunehmen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann gutgeheissen werden. Entsprechend sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen und der Rechtsvertreter aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten auferlegt.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juni 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Briw