Sachverhalt:
A.
Am 30. November 2010 reichte Rechtsanwalt X._ im Namen der Eheleute A._ und B._ am Bezirksgericht Weinfelden die Scheidungsklage ein. Er beantragte, es sei den Eheleuten für das erstinstanzliche Scheidungsverfahren und die Führung von Konventionsgesprächen im Rahmen einer Mediation die unentgeltliche Prozessführung mit ihm als Offizialanwalt mit Substitutionsbefugnis zu bewilligen. Mit Verfügung vom 20. Dezember 2010 bewilligte das Bezirksgericht die unentgeltliche Prozessführung für Konventionsgespräche im Rahmen einer Mediation und setzte Rechtsanwalt X._ als Offizialanwalt mit Substitutionsbefugnis ein. Zugleich sistierte es das Verfahren, damit die Scheidungskonvention ausgearbeitet werden könne, und kam so einem weiteren Antrag in der Eingabe vom 30. November 2010 nach.
Am 1. April 2011 reichte Rechtsanwalt X._ eine Scheidungskonvention ein. Darin war vorgesehen, die elterliche Sorge über die beiden, bei einer Pflegefamilie untergebrachten Kinder bei den Eltern zu belassen. Das Bezirksgericht teilte in der Folge mit, die Konvention könne bezüglich der gemeinsamen elterlichen Sorge so wohl nicht genehmigt wer den. Rechtsanwalt X._ wurde gebeten, die Situation bezüglich der elterlichen Sorge nochmals zu besprechen. Möglich sei auch, diesbezüglich auf einen Antrag zu verzichten. Am 18. August 2011 teilte Rechtsanwalt X._ mit, mit Hilfe von Rechtsanwalt C._, der zwischenzeitlich von der Ehefrau beigezogen worden war, sei eine Konvention zustande gekommen. Nach dieser Konvention sollte die elterliche Sorge der Mutter übertragen werden. Am 30. August 2011 stellte Rechtsanwalt X._ (als Vertreter beider Parteien) Anträge zum Besuchsrecht und auf Einsetzung eines Kinderanwalts. Als Kinderanwalt wurde D._ eingesetzt.
Am 19. März 2012 bzw. 23. Mai 2012 ersuchte Rechtsanwalt X._ um Entlassung aus dem Amt als Offizialanwalt der Ehefrau bzw. des Ehemanns. Er wurde daraufhin aus dem Mandat entlassen. Als unentgeltliche Rechtsvertreter wurden Rechtsanwalt E._ (für die Ehefrau) und Rechtsanwältin F._ (für den Ehemann) eingesetzt. Mit Honorarnote vom 8. Juli 2013 forderte Rechtsanwalt X._ eine Entschädigung von Fr. 12'821.95.
Mit Entscheid vom 10. Juli / 30. August 2013 schied das Bezirksgericht die Ehe von A._ und B._. Die Entschädigung für Rechtsanwalt X._ setzte es auf Fr. 7'527.90 (inkl. Barauslagen und MWST) fest.
B.
Am 24. September 2013 erhob Rechtsanwalt X._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Thurgau. Er hielt an seiner Honorarforderung von Fr. 12'821.95 fest.
Mit Entscheid vom 6. November 2013 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
C.
Am 24. Februar 2014 (gemäss Zeugenbestätigung; Poststempel 25. Februar 2014) hat Rechtsanwalt X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Zusprechung eines Honorars von Fr. 12'821.95 für das Verfahren vor Bezirksgericht.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Wird ein Anwalt in einem Zivilverfahren eingesetzt, handelt es sich bei der Verfügung, die seine amtliche Entschädigung festsetzt, um einen unmittelbar mit Zivilrecht zusammenhängenden Entscheid öffentlich-rechtlicher Natur (<ref-law>; Urteil 5A_199/2012 vom 31. Mai 2012 E. 1.3). Vor Obergericht ging es einzig um die Festsetzung dieser Entschädigung, so dass angesichts des strittigen Betrags der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert nicht erreicht ist (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer beruft sich jedoch auf das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) und leitet diese daraus ab, dass die institutionelle und materielle Unabhängigkeit des Anwalts durch die Honorarkürzung betroffen sei. Seine Ansicht läuft darauf hinaus, dass jede Honorarkürzung - ausser in krassen Ausnahmefällen - mit der anwaltlichen Unabhängigkeit unvereinbar ist. Dass der Beschwerdeführer einen rechtlichen Grundsatz als wichtig erachtet, bedeutet jedoch nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> stellen würde. Eine solche liegt nur vor, wenn ein allgemeines Interesse daran besteht, dass das Bundesgericht eine umstrittene Frage höchstrichterlich klärt, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit Rechtssicherheit herzustellen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 236; <ref-ruling> E. 1.2 S. 185). Eine solche zu beseitigende Rechtsunsicherheit ist nicht ersichtlich. Vielmehr geht es um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung über die Bemessung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters auf einen konkreten Fall (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 4 mit Hinweisen). Im Übrigen erhebt der Beschwerdeführer in weiten Teilen Verfassungsrügen, so dass die Annahme einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung entbehrlich ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 236). Die Eingabe ist deshalb als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerdefrist ist am 24. Februar 2014 abgelaufen (Inempfangnahme des angefochtenen Urteils am 23. Januar 2014; Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Der Poststempel lautet auf den 25. Februar 2014 (18.00 Uhr). Der Beschwerde lag allerdings ein auf einem Computer verfasstes und auf Anwaltspapier gedrucktes Schreiben bei, mit dem eine gewisse G._ unterschriftlich bestätigt, dass die Beschwerde am 24. Februar 2014 um 21.50 Uhr der Post (Briefkasten Post H._) übergeben worden sei. Da sich der Beschwerdeführer kaum um 21.50 Uhr zusammen mit Computer, einem mit Anwaltspapier gefüllten Drucker und Frau G._ zum Briefkasten begeben haben wird, ist davon auszugehen, dass dieses Schreiben einige Zeit vor dem angeblichen Einwurf vorbereitet oder sogar unterzeichnet worden ist. Der Beweiswert des Schreibens hinsichtlich des - auf die Minute genau bezeugten - Einwurfszeitpunkts ist dementsprechend gering. Da auf die Beschwerde ohnehin nicht eingetreten werden kann, erübrigt es sich, auf diesen Punkt näher einzugehen. Der Beschwerdeführer ist jedoch erneut darauf hinzuweisen, dass das Bundesgericht Beweismittel wie das Schreiben von G._ frei würdigt und bei einem negativen Ergebnis auf die Beschwerde nicht eintritt (vgl. Urteil 5A_168/2013 vom 30. Mai 2013 E. 1.2).
1.3. Mit Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Bei Verfassungsrügen gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die Rügen müssen in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 1.4 S. 400 f.). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen). Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Eine Sachverhaltsrüge hat ebenfalls den strengen Anforderungen von <ref-law> zu genügen.
Die Begründung muss in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 400 mit Hinweisen). Soweit der Beschwerdeführer stattdessen auf seine Ausführungen vor Obergericht und die Akten verweist, ist darauf nicht einzutreten.
2.
Das Obergericht hat zunächst festgehalten, das Scheidungsverfahren sei vor Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung eingeleitet worden, weshalb für die Entschädigung des Offizialanwalts im erstinstanzlichen Verfahren auf die ZPO/TG (Gesetz vom 6. Juli 1988 über die Zivilrechtspflege; Zivilprozessordnung) abzustellen sei. Gemäss <ref-law>/TG würden die Barauslagen ersetzt und eine ermässigte Entschädigung gemäss Anwaltstarif (Verordnung des Obergerichts vom 9. Juli 1991 über den Anwaltstarif für Zivil- und Strafsachen; RB 176.31) ausgerichtet, sofern keine Parteientschädigung zugesprochen werde oder diese nicht erhältlich sei.
Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung von <ref-law>. Er macht geltend, das Scheidungsbegehren sei erst am 1. April 2011 (Datum der Einreichung einer Konvention mit vollständiger Einigung) hängig geworden und bezeichnet den zuvor angefallenen Aufwand als "vorprozessual". Er setzt sich jedoch nicht mit der vorinstanzlichen Feststellung auseinander, dass die Klage am 30. November 2010 eingereicht und das Verfahren danach bloss sistiert worden ist. Er zeigt auch nicht auf, inwiefern sich die thurgauische und die schweizerische ZPO im vorliegenden Kontext unterscheiden.
3.
3.1. Das Obergericht ist davon ausgegangen, dass der Staat nutzlose Aufwendungen des Offizialanwalts nicht entschädige, sondern nur den angemessenen und notwendigen Aufwand. Dabei war vor der Vorinstanz nicht nur die Angemessenheit des Aufwands des Beschwerdeführers selber umstritten, sondern auch derjenige seiner Ehefrau, die im Scheidungsverfahren als Mediatorin aufgetreten ist. Das Obergericht hielt fest, das Bezirksgericht habe dem Beschwerdeführer im Rahmen seines Offizialmandats gestattet, seine Ehefrau mit der Mediation zwischen den Parteien des Scheidungsverfahrens zu betrauen. Dies sei ausnahmsweise zulässig. Die Tätigkeit der Mediatorin habe sich jedoch auf ihr Fachgebiet zu beschränken. Verschiedene Aufwandpositionen der Mediatorin seien unnötig gewesen und deshalb zu streichen. Insbesondere habe das Bezirksgericht den Beschwerdeführer entgegen seiner Ausführungen nicht beauftragt, den Verzicht eines Elternteils auf das Sorgerecht auszuhandeln. Vielmehr habe es ihm am 8. Juni 2011 mitgeteilt, die eingereichte Konvention könne bezüglich des gemeinsamen Sorgerechts wohl nicht genehmigt werden, was mit den Parteien nochmals besprochen werden soll, wobei es auch möglich sei, auf einen entsprechenden Antrag zu verzichten. Somit habe das Bezirksgericht keine umfangreichen Mediationsleistungen in Auftrag gegeben oder genehmigt. Des Weiteren hatte der Beschwerdeführer vor Obergericht geltend gemacht, eine aufwendige Aktenanalyse sei nötig gewesen. Das Obergericht hat dazu erwogen, es habe kein Anlass bestanden, neben dem Studium der Vormundschaftsakten auch das frühere Strafverfahren (Urteil vom 16. Mai 2007, in dem beide Elternteile wegen einfacher Körperverletzung an einem unter ihrer Obhut stehenden Kind und mehrfacher Verletzung der Fürsorge- und Erziehungspflicht schuldig gesprochen worden waren) neu aufzurollen und umfangreiche medizinische Abklärungen zu treffen. Insbesondere seien diese Vorkehren nicht von einer Mediatorin zu treffen gewesen, die ausserhalb ihres Fachgebiets recherchieren musste.
In der Folge hat das Obergericht die vom Bezirksgericht vorgenommenen Kürzungen bestätigt, und zwar im Einzelnen wie folgt: Für den Zeitraum vom 8. bis 17. Juni 2012 sind 7,75 Stunden Zeitaufwand der Mediatorin gekürzt worden (umfassend sieben Stunden für die Recherche medizinischer, sozialpädagogischer und psychologischer Fachliteratur und im Internet, ein halbstündiges Telefonat mit einer Ärztin und eine Viertelstunde für die Orientierung des Beschwerdeführers). All dieser Aufwand habe sich auf das rechtskräftige Strafurteil bezogen und sei nicht relevant gewesen. Gestrichen wurden weiter eineinhalb Stunden für die Teilnahme der Mediatorin an der Besprechung zwischen dem Beschwerdeführer und Rechtsanwalt C._, da die Anwesenheit einer Person genügt hätte. Unnötig seien weiter der Aufwand von 7,5 Stunden vom 9. bis 13. Januar 2013 hinsichtlich "Recherche betreffend Kontakt der leiblichen Eltern mit ihren fremdplatzierten Kindern, Dokumentation über Ergebnisse, Dokumentation der Klienten mit Informationsmaterial". Da die Kinderbelange im Scheidungsverfahren von Amtes wegen zu regeln seien, habe es derart aufwendiger Recherchen nicht bedurft. Das Bezirksgericht hatte der Mediatorin ausserdem zwei Stunden für "Zusammenstellung Fachliteratur" gestrichen und bloss eine belassen. Das Obergericht hielt diesbezüglich fest, dass der ganze Aufwand hätte gestrichen werden können, der getroffene Entscheid aber im Ermessen des Bezirksgerichts liege. Das Bezirksgericht hatte ausserdem zweieinhalb Stunden Aufwand des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit der Beiziehung des Kinderanwalts gestrichen und ihm bloss zwei Stunden zugebilligt. Das Obergericht hat dies geschützt, auch wenn es die zwei Stunden immer noch als grosszügig erachtete. Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 30. August 2011 (u.a. mit Antrag auf Einsetzung eines Kinderanwalts) habe zudem den Rahmen des Notwendigen gesprengt, da er sich in weiten Teilen zum Strafurteil geäussert habe, das nicht Thema des Scheidungsverfahrens gewesen sei. Schliesslich habe das Bezirksgericht zu Recht den Aufwand für Fotokopien gekürzt. Von den insgesamt 1'203 Fotokopien, die im Zusammenhang mit gekürzten Mediationsstunden angefallen seien, habe es pauschal 1'000 Kopien (entsprechend einem Betrag von Fr. 500.--) gestrichen und damit sein Ermessen nicht überschritten. Der Grossteil der geltend gemachten Kopien habe im Zusammenhang mit unnötigem Aufwand gestanden.
Zusammenfassend hat das Obergericht festgehalten, dass im fraglichen Scheidungsverfahren neben einem Gutachterteam, diversen Ämtern etc. auch fünf Rechtsanwälte und eine Mediatorin involviert gewesen seien. An sich hätten jedoch zwei Rechtsanwälte genügt, die sich von Anfang an auf die relevanten Fragen konzentriert hätten. Der gesamte, von der Mediatorin ausserhalb ihres Fachgebiets betriebene medizinische Aufwand, der in eine nachträgliche Aufarbeitung eines längst rechtskräftigen Strafurteils ausuferte, hätte sich erübrigt. Dies gelte umso mehr, als dieses Strafverfahren für das Scheidungsverfahren ohne Belang gewesen sei. Im Zentrum sei das Kindeswohl gestanden, das durch zukunftsgerichtete Gutachten abzuklären gewesen sei. Der Beschwerdeführer sei einzig für den angemessenen Aufwand mit Fr. 7'527.90 zu entschädigen.
3.2. Vor Bundesgericht kommt der Beschwerdeführer zunächst auf den bezirksgerichtlichen Auftrag zurück, die Situation bezüglich der elterlichen Sorge nochmals zu besprechen, nachdem das Bezirksgericht die erste Konvention in diesem Punkt als wahrscheinlich nicht genehmigungsfähig beurteilt hat. Seine Ausführungen dazu sind wenig klar: Einerseits macht er geltend, es sei der gänzliche Entzug des Sorgerechts im Raum gestanden, womit sein Mandat zur Verhinderung dieses Entzugs den Charakter einer anwaltlichen Interessenvertretung erhalten habe und entsprechender Aufwand nötig geworden sei. Andererseits deutet er die Rückmeldung des Bezirksgerichts nunmehr so, dass er mit den Parteien einen beidseitigen (und nicht einseitigen) Verzicht auf das Sorgerecht hätte besprechen sollen. Jedenfalls setzt er sich nicht damit auseinander, dass das Bezirksgericht ihn in diesem Zusammenhang nicht mit Mediationsleistungen beauftragt hat.
Der Beschwerdeführer sieht sodann das Akteneinsichtsrecht als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs dadurch verletzt, dass ihm die Einsichtnahme in die Akten nicht vergütet wurde. Entgegen seiner Ausführungen hat das Obergericht die Konsultation der Vormundschaftsakten jedoch nicht als entbehrlich erachtet. Auch hinsichtlich der Strafakten hat es nicht die Einsichtnahme als solche als überflüssig erachtet, sondern die Tatsache, dass der Beschwerdeführer im Scheidungsverfahren das Strafverfahren faktisch neu aufrollen wollte. Der Beschwerdeführer macht ausserdem geltend, entgegen der Ansicht des Obergerichts sei es angebracht gewesen, medizinische Abklärungen vorzunehmen. Wenn ihn das Obergericht auf die Beantragung eines medizinischen Gutachtens verweise, so sei dem entgegenzuhalten, dass er ein solches Gutachten erfolgreich beantragt habe. Da in den Strafakten bereits Gutachten lagen, habe er seinen Beweisantrag ausführlich begründen müssen. Damit kann er aber nicht aufzeigen, inwiefern der von ihm betriebene Aufwand nützlich oder sogar erfolgreich war, zumal er zugibt, dass das Bezirksgericht einen Experten aus einem anderen Fachgebiet einsetzte als von ihm beantragt und auch seine Expertenfragen nicht zuliess. Im Übrigen äussert sich der Beschwerdeführer zu einer Vielzahl von Punkten im Zusammenhang mit dem damaligen Strafverfahren bzw. der Gesundheit der Tochter, die angeblich für das Scheidungsverfahren relevant sein sollen. Er macht geltend, die Vorinstanz habe sich mit diesen Punkten nicht auseinandergesetzt und deshalb sein rechtliches Gehör verletzt. Er übersieht, dass ein Gericht nicht auf jedes einzelne Argument eingehen muss, sondern sich bei der Begründung auf die wesentlichen Punkte beschränken kann (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237; je mit Hinweisen). Trotz all seiner Ausführungen fehlt eine Auseinandersetzung mit der vorinstanzlichen Erwägung, dass das Strafverfahren für den Ausgang des Scheidungsverfahrens ohne Belang war, im Zentrumeinzig das Kindeswohl stand und dieses durch zukunftsgerichtete Gutachten abzuklären war.
Der Beschwerdeführer sieht ferner - wie bereits erwähnt (oben E. 1.1) - die anwaltliche Unabhängigkeit verletzt. Soweit er in der Honorarkürzung eine Verletzung von Art. 12 lit. b des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) zu erkennen glaubt, kann darauf im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer macht in diesem Zusammenhang auch geltend, die Vorinstanzen hätten sich mit seinen Vorbringen nicht auseinandersetzen wollen, was das rechtliche Gehör verletze. Er legt aber nicht dar, welche Vorbringen nicht behandelt worden sein sollen. Ausserdem macht er geltend, die Vorinstanz habe die Honorarreduktion mit der Weitschweifigkeit seiner Eingaben begründet. Sie habe dies aber ungenügend begründet und dadurch das rechtliche Gehör und auch das Recht auf unentgeltliche Verbeiständung verletzt. Der Beschwerdeführer verweist dabei auf die Kriterien mangelhafter Eingaben im Sinne von <ref-law> und auf <ref-law>. Abgesehen davon, dass diese Normen vor Bezirksgericht nicht anwendbar waren, erschöpfen sich seine Ausführungen in der Behauptung, einzig mangelhafte Eingaben im Sinne von <ref-law> seien dem unentgeltlichen Rechtsvertreter nicht zu entschädigen. Worin eine Verfassungsverletzung liegen soll, wenn die Vorinstanz stattdessen auf das Kriterium des angemessenen und notwendigen Aufwands abgestellt hat und dieses Kriterium nicht im Sinne der vom Beschwerdeführer nunmehr vorgebrachten Lesart verstanden hat, legt er nicht nachvollziehbar dar. Was die Gehörsrüge betrifft, so hat die Vorinstanz ausdrücklich erwähnt, inwieweit seine Eingaben unnötig gewesen seien, womit er sich nicht auseinandersetzt. Der Beschwerdeführer behauptet schliesslich, die Honorarkürzung orientiere sich am Prozessergebnis. Es bleibt unklar, auf welche konkrete Prozesshandlung er in diesem Zusammenhang abzielt, die ihm nicht vergütet worden sein soll. Soweit er einzelne Punkte des Verfahrensablaufs aufgreift, han delt es sich um appellatorische Sachverhaltsschilderungen, die im angefochtenen Urteil keine Stütze finden.
Auf die Beschwerde kann demnach insgesamt nicht eingetreten werden.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Weinfelden und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg