Sachverhalt:
A. Die 1956 geborene M._ arbeitete als Personalassistentin bei der Firma A._ AG. Am 15. April 2006 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Am 11. Juni 2007 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf den 31. Dezember 2007. Nach medizinischen Abklärungen sprach die IV-Stelle Basel-Stadt der Versicherten ab 1. August 2006 eine halbe Invalidenrente zu (Invaliditätsgrad 50 %; Verfügungen vom 23. Januar 2009 und 20. November 2008).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 29. Juni 2009 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihr eine ihrer effektiven Erwerbsunfähigkeit entsprechende Rente rückwirkend ab August 2006 zuzusprechen, zuzüglich Verzugszinsen ab Fälligkeit jeder Rate auf der Differenz zur vergüteten Rente.
Die IV-Stelle schliesst auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (nicht publ. E. 1.1 des Urteils BGE 8C_784/2008 vom 11. September 2009). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dies ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen (nicht publ. E. 1 des Urteils <ref-ruling>).
1.2 Die aufgrund medizinischer Untersuchungen gerichtlich festgestellte Arbeits(un)fähigkeit betrifft eine Tatfrage. Bei der Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen aufgrund allgemeiner Lebenserfahrung geht es um eine Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Zu den Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gehört die unvollständige (gerichtliche) Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen, die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG; <ref-ruling> E. 5.2.5 S. 68 f.) sowie die Missachtung der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die konkrete Beweiswürdigung betrifft Tatfragen (nicht publ. E. 1 des Urteils <ref-ruling>; Urteile 8C_447/2009 vom 30. Oktober 2009 E. 1 und 8C_581/2009 vom 24. November 2009 E. 2.2).
2. 2.1 Umstritten und zu prüfen ist der Rentenanspruch ab 1. Februar 2006 bis zum Verfügungszeitpunkt vom 23. Januar 2009 (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220). Gemäss den intertemporalrechtlichen Regeln betreffend die im Zeitpunkt des Inkrafttretens der geänderten Normen noch nicht rechtskräftig festgelegten Leistungen sind für die Zeit bis 31. Dezember 2007 die damals geltenden Bestimmungen und ab 1. Januar 2008 die neuen Normen der in Kraft getretenen Änderungen des ATSG und des IVG vom 6. Oktober 2006 sowie der IVV vom 28. September 2007 (5. IV-Revision) anzuwenden.
2.2 Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Aufgabe des Arztes bei der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 4 S. 99), den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232) sowie die Ermittlung des ohne Invalidität erzielbaren Einkommens (Valideneinkommen; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 224) und des trotz Gesundheitsschädigung zumutbarerweise noch erzielbaren Einkommens (Invalideneinkommen) nach den vom Bundesamt für Statistik in der Lohnstrukturerhebung (LSE) ermittelten Tabellenlöhnen (<ref-ruling> E. 4.2.1 und 4.2.3 S. 475 und 481; vgl. <ref-law>) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Die IV-Stelle holte ein Gutachten der Dres. med. N._, Leitender Arzt, und T._, Assistenzarzt, Medizinische Poliklinik, Spital X._, vom 10. Mai 2007 ein, in dessen Rahmen ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. F._ vom 8. Februar 2007 beigezogen wurde.
Im somatischen Gutachten vom 10. Mai 2007 wurden folgende Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit gestellt: 1. Status nach depressiver Episode mit geringer Restsymptomatik. 2. Chronischer Tinnitus seit 1999. 3. Migräniformer Kopfschmerz. 4. Spannungskopfschmerz. 5. Peroneal betonte Ischiadiscusparese rechts bei Status nach Heminephrektomie links bei operiertem Nierenzellkarzinom. Es werde besonders in der depressiven Episode und in den migräniformen Kopfschmerzen und dem Tinnitus eine deutliche Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit der Versicherten gesehen. In der angestammten Tätigkeit sei die Versicherte seit April 2006 zu 100 % arbeitsunfähig. Es seien ihr leichte bis mittelschwere Arbeiten ohne grosse Ansprüche an Eigenverantwortung und psychische Belastbarkeit zu 100 % zuzumuten. Aus psychiatrischer Sicht sei eine Fortführung einer ambulanten psychiatrischen Therapie indiziert. Zusätzlich benötige sie eine weitere therapeutische Unterstützung bei Verdacht auf hintergründigen Genugtuungsanspruch für die verschiedenen Leiden. Des Weiteren sei eine neurologische Exploration und Behandlung der Cephalgien indiziert. Empfohlen würden eine Berufsberatung sowie berufliche Massnahmen im Sinne einer Wiedereingliederung.
Im psychiatrischen Teilgutachten vom 8. Februar 2007 wurde ein Status nach depressiver Episode mit geringer Restsymptomatik (ICD-10: F32) diagnostiziert. Die bisherige Tätigkeit sei der Versicherten nicht mehr zuzumuten. Sie sollte allerdings in der Lage sein, eine Tätigkeit durchzuführen, die nicht unter hohem Zeitdruck erfolge, wo sie keine grosse Verantwortung tragen müsste. Dabei wäre mit einer vollen Leistungsfähigkeit zu rechnen; eine derartige Tätigkeit sollte sie ganztags ausüben können. Die Therapie sei adäquat. Die Versicherte stehe in einer ambulanten psychiatrischen Therapie, die sie weiterzuführen gedenke. Weitere Massnahmen seien nicht indiziert. Es sollten mit ihr berufliche Massnahmen im Sinne einer Wiedereingliederung besprochen werden. Die Prognose sei etwas ungewiss. Eine Tendenz nach hintergründigem Genugtuungsanspruch für die verschiedenen Leiden sei nicht von der Hand zu weisen. Sie benötige diesbezüglich sicher noch eine weitere therapeutische Unterstützung.
4. 4.1 Die Vorinstanz hat in sorgfältiger Würdigung der medizinischen Akten mit einlässlicher Begründung zu Recht festgestellt, dass hinsichtlich der Restarbeitsfähigkeit der Versicherten auf die Gutachten vom 8. Februar und 10. Mai 2007 (E. 3 hievor) - deren Ergebnis vom Psychiater Dr. med. V._, Regionalärztlicher Dienst der IV-Stelle, in der Stellungnahme vom 5. November 2008 gestützt wird - abzustellen ist. Diese vorinstanzliche, auf ärztlicher Einschätzung beruhende Feststellung der Restarbeitsfähigkeit ist tatsächlicher Natur. Die Versicherte erhebt keine Rügen, welche diese Feststellung als offensichtlich unrichtig oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhend erscheinen lassen (vgl. E. 1 hievor).
4. 4.1 Die Vorinstanz hat in sorgfältiger Würdigung der medizinischen Akten mit einlässlicher Begründung zu Recht festgestellt, dass hinsichtlich der Restarbeitsfähigkeit der Versicherten auf die Gutachten vom 8. Februar und 10. Mai 2007 (E. 3 hievor) - deren Ergebnis vom Psychiater Dr. med. V._, Regionalärztlicher Dienst der IV-Stelle, in der Stellungnahme vom 5. November 2008 gestützt wird - abzustellen ist. Diese vorinstanzliche, auf ärztlicher Einschätzung beruhende Feststellung der Restarbeitsfähigkeit ist tatsächlicher Natur. Die Versicherte erhebt keine Rügen, welche diese Feststellung als offensichtlich unrichtig oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhend erscheinen lassen (vgl. E. 1 hievor).
4.2 4.2.1 Die Versicherte macht unter Berufung auf die Berichte der behandelnden Ärzte Dr. med. K._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 17. Juli 2006, sowie D._, Facharzt FMH für Innere Medizin, vom 17. Mai 2006 geltend, dass ihr keine arbeitsmarktlich noch relevante Tätigkeit mehr zuzumuten sei.
Diesbezüglich ist die Erfahrungstatsache zu beachten, dass behandelnde Ärzte im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung in Zweifelsfällen mitunter eher zugunsten ihrer Patienten aussagen dürften (<ref-ruling> E. 3b/cc S. 353). Deren Berichte sind allerdings dann geeignet, ein Administrativ- oder Gerichtsgutachten in Frage zu stellen und Anlass zu weiteren Abklärungen zu geben, wenn die behandelnden Ärzte wichtige - und nicht rein subjektiver ärztlicher Interpretation entspringende - Aspekte benennen, die im Rahmen der Begutachtung unerkannt oder ungewürdigt geblieben sind (Urteil 9C_24/2008 vom 27. Mai 2008 E. 2.3.2). Die Vorinstanz hat mit einlässlicher Begründung - auf die verwiesen werden kann - dargelegt, weshalb die Gutachten vom 8. Februar und 10. Mai 2007 (E. 3 hievor) durch die Berichte der Dres. med. K._ und D._ vom 17. Juli bzw. 17. Mai 2006 nicht entkräftet werden. Diese vorinstanzliche Feststellung ist im Rahmen der eingeschränkten Kognition des Bundesgerichts nicht zu beanstanden. Unbehelflich sind die Einwände der Versicherten, gestützt auf diese Arztberichte sei es zu ihrer völligen (Selbst-)Überforderung gekommen; Dr. med. D._ habe am 17. Mai 2006 eine zunehmende Depression bei Selbstüberforderung festgestellt, was durch die Hauptdiagnose des Dr. med. K._ vom 17. Juli 2006 - von seit 1990 rezidivierenden depressiven Episoden - bekräftigt werde, die wiederum durch die Schilderungen der Lebensumstände klar gestützt werde.
4.2.2 Die Versicherte macht weiter geltend, es sei eine praktische Prüfung bzw. konkrete Berufsabklärung ihrer Leistungs- und Erwerbsfähigkeit durchzuführen, da die in den Gutachten vom 8. Februar und 10. Mai 2007 gesetzten Rahmenbedingungen - keine grösseren Ansprüche auf Eigenverantwortung und psychische Belastung, kein grösserer Zeitdruck - eher auf einen geschützten Arbeitsplatz hinwiesen. Der vorinstanzliche Hinweis, dass im psychiatrischen Gutachten keine berufliche Abklärung, sondern nur berufliche Massnahmen empfohlen worden seien, greife zu kurz. Die Vorinstanz sei hinsichtlich der psychischen Ressourcen von falschen Ausnahmen ausgegangen. Die Versicherte habe versucht, im Arbeitsprozess zu bleiben (z.B. Arbeitsversuch anfangs 2006), habe sich dabei aber überfordert und weiter geschädigt. Diese Überdehnung der Selbsteingliederungs- und Schadenminderungsbestrebungen dürfe ihr nicht zum Nachteil gereichen.
Die vorinstanzliche Feststellung, dass eine berufliche Abklärung der Ressourcen der Versicherten nicht notwendig sei, ist nicht zu beanstanden. Denn die Gutachter sahen sich in der Lage, die Arbeitsfähigkeit der Versicherten auch ohne eine berufspraktische Abklärung festzulegen (E. 3 hievor), was vorliegend hinreichend ist. Auf dem für die Invaliditätsbemessung massgebenden ausgeglichenen Arbeitsmarkt bestehen durchaus Stellen im Bürobereich (vgl. auch E. 5.2 hienach), die den gutachterlich festgestellten gesundheitlichen Beeinträchtigungen der Versicherten Rechnung tragen (vgl. AHI 1998 S. 287 E. 3b; Urteile 9C_228/2009 vom 5. November 2009 E. 5.2 f. und 8C_696/2008 vom 3. Juni 2009 E. 10.2).
4.2.3 Die Versicherte bringt vor, obwohl auch der psychiatrische Gutachter die Therapie als adäquat bekräftigt habe, habe die Vorinstanz eine volle Leistungsfähigkeit "nach Optimierung der Schmerztherapie" postuliert. Sie berufe sich auf eine Feststellung der Neurologischen Poliklinik des Spital X._ vom 30. Oktober 2006, die aber durch das Gutachten vom 10. Mai 2007 und die weitere Entwicklung nicht gestützt werde. Von vornherein beweisuntauglich sei eine Spekulation/unbegründete Prognose. Auch diesbezüglich seien die Annahmen der Vorinstanz willkürlich und es wäre nur eine fachärztlich belegte, konkrete Alternative beweistauglich. Die Vorinstanz habe den Sachverhalt unvollständig sowie in Verletzung der Untersuchungspflicht und des rechtlichen Gehörs festgestellt.
Hiezu ist festzuhalten, dass die Versicherte selber einräumt, gemäss dem psychiatrischen Gutachten vom 8. Februar 2007 sei die Therapie adäquat. Zudem ist entscheidend, dass die Arbeitsfähigkeit der Versicherten in den Gutachten vom 8. Februar und 10. Mai 2007 bestimmt werden konnte und sich die darin angeführten therapeutischen Massnahmen somit offensichtlich auf die Erhaltung oder Verbesserung des Gesundheitszustandes bezogen und die Voraussetzungen für die Ausrichtung einer höheren Invalidenrente nicht erfüllt waren (vgl. auch Urteile 8C_696/2008 vom 3. Juni 2009 E. 12 und 8C_948/2008 vom 12. Januar 2009 E. 5.2).
Soweit im psychiatrischen Gutachten vom 8. Februar 2007 die Prognose als etwas ungewiss angesehen wurde, ist dies nicht entscheidwesentlich, da die Versicherte nicht geltend macht, seit der Begutachtung vom 8. Februar bzw. 10. Mai 2007 bis zum massgebenden Verfügungszeitpunkt am 23. Januar 2009 (E. 2.1 hievor) sei eine Verschlechterung ihres Gesundheitszustandes eingetreten.
4.2.4 Bei der gegebenen Aktenlage konnte die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung von weiteren medizinischen Beweismassnahmen absehen. Ein solches Vorgehen verstösst weder gegen den Untersuchungsgrundsatz noch gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör des <ref-law> (<ref-ruling> E. 3 S. 157; nicht publ. E. 4.2.1 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2003 AHV Nr. 4 S. 9 [H 26/02]; Urteil 9C_655/2009 vom 12. November 2009 E. 3).
5.1 5.1.1 Auf der beruflich-erwerblichen Stufe der Invaliditätsbemessung (hiezu vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 399) hat die Vorinstanz zum Invalideneinkommen erwogen, die Versicherte habe 1978 die Ausbildung als Hauswirtschaftslehrerin abgeschlossen und danach während elf Jahren als Lehrerin gearbeitet. Seit 1990 habe sie bei der Firma B._ bzw. bei der Firma A._ AG gearbeitet. 1997 habe sie berufsbegleitend das Diplom zur Personalassistentin erlangt und sei in dieser Funktion bei der Firma A._ AG tätig gewesen. Es könne angenommen werden, dass sie in der bisherigen Tätigkeit als Personalassistentin selbstständige und qualifizierte Tätigkeiten ausgeübt habe, was dem LSE-Anforderungsniveau 2 entspräche; diese Annahme rechtfertige sich auch angesichts des bisherigen Verdienstes von Fr. 117'750.-. Laut dem psychiatrischen Gutachter Dr. med. F._ seien ihr nur noch Tätigkeiten zumutbar, die keinen hohen Zeitdruck und keine grosse Eigenverantwortung beinhalteten. Der berufliche Hintergrund spreche bei der Bemessung des Invalideneinkommens für die Anwendung des LSE-Anforderungsniveaus 3, wie es die IV-Stelle getan habe. Diese habe wegen des Alters der Versicherten einen Abzug von 5 % vom LSE-Tabellenlohn vorgenommen. Ein altersbedingter Abzug erscheine zweifelhaft, da sie bei Verfügungserlass 52 Jahre alt gewesen sei. Indessen wäre ein Abzug aufgrund ihrer leidensbedingten Einschränkungen gerechtfertigt. Da aber erst ein maximaler Abzug von 25 %, der vorliegend nicht angemessen sei, zu einer höheren Rente führen würde, gebe es keinen Grund, den Abzug zu erhöhen. Die IV-Stelle habe somit zu Recht eine halbe Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 50 % (Valideneinkommen Fr. 117'750.-, Invalideneinkommen Fr. 58'711.-) zugesprochen.
5.1.2 Die Versicherte macht geltend, die Vorinstanz habe die LSE-Daten falsch angewendet, indem sie ihr ein nicht angemessenes Invalideneinkommen entgegengehalten und die von den Ärzten vorgegebenen gesundheitlichen Einschränkungen missachtet habe. Es sei unrealistisch, das Anforderungsniveau 3 auf eine Person anzuwenden, die keine Ansprüche an Eigenverantwortung, psychische Belastbarkeit und Zeitdruck zu erfüllen in der Lage sei. Abgesehen davon, dass sie zufolge Überqualifizierung mit derartigen Einschränkungen ohnehin eher zum Störfaktor würde. Insofern sei die von der Vorinstanz geschützte Option faktisch in der Arbeitsmarkt- und Betriebsrealität unrealistisch und daher unzulässig. Im Übrigen seien die Einschränkungen derart gravierend, dass unter Berücksichtigung des Alters insgesamt der Maximalabzug von 25 % vorzunehmen gewesen wäre, was zu einer höheren Rente führe.
5.2 Die Frage nach der massgeblichen LSE-Tabelle ist frei überprüfbare Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399). Das von der Vorinstanz herangezogene LSE-Anforderungsniveau 3 beinhaltet Arbeiten, die Berufs- und Fachkenntnisse voraussetzen. Unter Berücksichtigung der gesundheitlichen Beeinträchtigungen der Versicherten sowie ihrer beruflichen Qualifikation und Erfahrung ist nicht ersichtlich, inwiefern sie an der Ausführung von Arbeiten im Bürobereich, die Berufs- und Fachkenntnisse voraussetzen, gehindert sein sollte. Ein Wechsel zu den LSE-Tabellenlöhnen für einfache und repetitive Tätigkeiten (Anforderungsniveau 4) erscheint nicht als angezeigt.
5.3 Schliesslich ist die Frage nach der Höhe des im konkreten Fall grundsätzlich angezeigten Leidensabzuges eine typische Ermessensfrage, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur mehr dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung vorliegt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
IV-Stelle und Vorinstanz gingen beim Invalideneinkommen gestützt auf die LSE und die betriebsübliche wöchentliche Arbeitszeit von einem Lohn für das Jahr 2006 von Fr. 61'801.- aus, was beim 5%igen Abzug ein anrechenbares Einkommen von Fr. 58'711.- ergab. Da erst ein 25%iger Abzug vom Invalideneinkommen von Fr. 61'801.- verglichen mit dem Valideneinkommen von Fr. 117'750.- den Anspruch auf eine Dreiviertelsrente ergäbe, dieser Abzug indessen vorliegend nicht angemessen erscheint, ist es im Ergebnis nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz es offenliess, ob ein höherer Abzug als 5 % gerechtfertigt sei.
5.4 Im Übrigen ist der Einkommensvergleich - insbesondere auch das ermittelte Valideneinkommen von Fr. 117'750.- - masslich unbestritten, weshalb es mit dem Anspruch auf eine halbe Invalidenrente sein Bewenden hat (vgl. auch Urteil 8C_608/2009 vom 12. August 2009 E. 4).
6. Die unterliegende Versicherte trägt die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der Ausgleichskasse Arbeitgeber Basel und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Dezember 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar