Faits:
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A. Dès mai 1997, la Banque X._ SA a engagé Y._ en qualité de gestionnaire des comptes de sa clientèle privée, avec rang de sous-directeur. Par la suite, Y._ a été promu au titre de directeur adjoint. Il gérait les comptes de quelques deux cent trente clients dont les avoirs totalisaient près de 130 millions de francs. Le 4 décembre 2001, il a souscrit un avenant à son contrat de travail par lequel il s'interdisait, pendant les trois ans qui suivraient la fin de sa collaboration, de contacter ou solliciter la clientèle de la banque, de manière directe ou indirecte, au profit d'un nouvel employeur, d'un tiers ou de lui-même.
Le directeur adjoint a présenté sa démission le 24 mai 2004 pour le 31 août de la même année; il est ensuite entré au service de N._ SA, une société active dans les opérations financières et la gestion de fortunes.
A l'annonce de cette démission, la banque a désigné son collaborateur Z._ pour reprendre la gestion des comptes confiés à Y._. Ce dernier était chargé de l'introduire auprès des clients et de l'informer de l'état des comptes et des dossiers. Des dissensions se sont rapidement élevées à ce sujet, la banque reprochant au directeur adjoint de ne pas coopérer loyalement à la préparation de son successeur.
Dans les mois qui ont suivi le départ de Y._, quelques-uns des clients concernés, qui avaient, selon la banque, des liens familiaux entre eux, ont fait clore leurs comptes, au nombre de sept, et transférer leurs avoirs à d'autres établissements bancaires. Certains ont désormais confié un mandat de gestion à N._ SA.
Dans les mois qui ont suivi le départ de Y._, quelques-uns des clients concernés, qui avaient, selon la banque, des liens familiaux entre eux, ont fait clore leurs comptes, au nombre de sept, et transférer leurs avoirs à d'autres établissements bancaires. Certains ont désormais confié un mandat de gestion à N._ SA.
B. Le 18 mars 2005, la Banque X._ SA a ouvert action contre Y._ devant la juridiction des prud'hommmes du canton de Genève. Sa demande tendait au paiement de 387'024 fr. à titre de dommages-intérêts, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 31 janvier 2005. Elle reprochait au défendeur d'avoir capté ce groupe de clients en violation de l'engagement qu'il avait souscrit et de lui avoir ainsi causé un dommage correspondant aux frais de gestion de comptes et de garde de titres qu'elle ne pouvait plus prélever.
Contestant qu'il eût agi en violation de ses devoirs, le défendeur a conclu au rejet de l'action.
La demanderesse a fait citer Z._ à titre de témoin. A l'audience du 6 juin 2005, elle a expliqué que celui-ci était un organe de la banque, de sorte que le Tribunal de prud'hommes l'a interrogé en cette qualité. Le tribunal a ensuite statué le 30 août 2005; au motif que la preuve d'un débauchage des clients n'avait pas été apportée, il a donné gain de cause au défendeur.
La demanderesse a appelé du jugement en persistant dans ses conclusions initiales. Elle a en outre pris des conclusions préalables qu'elle libellait comme suit:
- Admettre le témoignage apporté par ... Z._.
- Ordonner la réouverture des enquêtes.
- Ordonner [au défendeur] de communiquer le ou les numéros de téléphone portable [utilisés par lui du 1er janvier au 31 décembre 2004].
- Ordonner [au défendeur] de fournir la liste des appels [émis ou reçus par lui dans cette période].
- Ordonner à tout opérateur téléphonique de fournir les relevés précités.
- Impartir [à la demanderesse] un délai raisonnable pour compléter la liste de témoins dès réception des relevés précités.
A l'ouverture de l'audience du 7 février 2006, présidée par le juge Patrick Blaser, juge suppléant à la Cour de justice et Président de la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes, les parties ont déclaré n'avoir aucun motif de récusation contre les juges présents. Elles ont ensuite, l'une et l'autre, confirmé leurs conclusions et leurs arguments. Le Président a alors levé l'audience; selon le procès-verbal, « la Cour gard[ait] la cause à juger sur conclusions préalables et, le cas échéant, sur le fond ». L'audience a duré de 18h30 à 18h45.
A l'ouverture de l'audience du 7 février 2006, présidée par le juge Patrick Blaser, juge suppléant à la Cour de justice et Président de la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes, les parties ont déclaré n'avoir aucun motif de récusation contre les juges présents. Elles ont ensuite, l'une et l'autre, confirmé leurs conclusions et leurs arguments. Le Président a alors levé l'audience; selon le procès-verbal, « la Cour gard[ait] la cause à juger sur conclusions préalables et, le cas échéant, sur le fond ». L'audience a duré de 18h30 à 18h45.
C. Le 9 du même mois, la demanderesse a introduit une demande de récusation dirigée contre le président Blaser. Elle exposait que dans l'instance d'appel, une nouvelle audition de Z._, cette fois en qualité de témoin plutôt que d'organe d'une partie, était absolument indispensable. Lors de l'audience, le président Blaser était averti que Z._ était présent dans la salle d'attente. Il aurait dû immédiatement délibérer, avec les autres juges de la Cour, pour décider de la qualité de témoin ou de partie, puis procéder à l'audition. En levant abruptement l'audience, il avait refusé cette audition et, par là, manifesté sa partialité. La demanderesse faisait aussi état d'une hostilité existant depuis plusieurs années entre le président Blaser et son propre avocat, issue d'une autre affaire judiciaire. Elle se référait à l'art. 91 let. e et i de la loi genevoise d'organisation judiciaire (OJ gen.), selon lequel un juge est récusable s'il a manifesté son avis avant le temps d'émettre son opinion pour le jugement (let. e), ou s'il a, d'une quelconque manière, témoigné haine ou faveur pour l'une des parties (let. i).
Invité à prendre position, le président Blaser a contesté toute partialité; il a indiqué que lors de l'audience, il ignorait la présence de Z._ dans la salle d'attente.
Dès le 1er mars 2006, la composition de la Cour d'appel s'est modifiée en ce sens que les fonctions des juges autres que le Président arrivaient à leur terme et que ces juges étaient désormais remplacés par d'autres personnes.
Par décision du 18 juillet 2006, la Cour d'appel a rejeté la demande de récusation, dans la mesure où elle était recevable. En tant qu'elle reposait sur des faits antérieurs à l'audience du 7 février 2006, elle était tardive car l'instante avait procédé devant le président Blaser en connaissance de ces faits; pour le surplus, les circonstances ne justifiaient pas une récusation. La Cour a délibéré et statué dans sa nouvelle composition, sans la participation du président Blaser.
Par décision du 18 juillet 2006, la Cour d'appel a rejeté la demande de récusation, dans la mesure où elle était recevable. En tant qu'elle reposait sur des faits antérieurs à l'audience du 7 février 2006, elle était tardive car l'instante avait procédé devant le président Blaser en connaissance de ces faits; pour le surplus, les circonstances ne justifiaient pas une récusation. La Cour a délibéré et statué dans sa nouvelle composition, sans la participation du président Blaser.
D. Agissant par la voie du recours de droit public, la demanderesse requiert le Tribunal fédéral d'annuler cette décision. Invoquant les art. 9 et 30 al. 1 Cst., elle se plaint d'une constatation arbitraire des faits déterminants, d'une application arbitraire des dispositions cantonales précitées et d'une violation de la garantie constitutionnelle d'un tribunal indépendant et impartial.
Invité à répondre, le défendeur et intimé conclut au rejet du recours, dans la mesure où les griefs présentés sont recevables. La Cour d'appel a renoncé à présenter des observations et le recours n'a pas été communiqué au président Blaser.
Par ordonnance du 23 octobre 2006, le Président de la Ire Cour civile a accueilli une demande d'effet suspensif présentée par la recourante.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le recours de droit public au Tribunal fédéral peut être exercé contre une décision cantonale pour violation des droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ), en particulier contre une décision incidente relative à une demande de récusation (art. 87 al. 1 OJ). Cette décision doit n'être susceptible d'aucun autre recours cantonal ou fédéral apte à redresser l'inconstitutionnalité (art. 84 al. 2, 86 al. 1 OJ), exigence qui est satisfaite en l'espèce; en particulier, le recours en réforme au Tribunal fédéral n'est pas recevable pour violation des droits constitutionnels (art. 43 al. 1 OJ). L'exigence d'un intérêt actuel, pratique et juridiquement protégé à l'annulation de la décision attaquée (art. 88 OJ) est également satisfaite; les conditions légales concernant la forme et le délai du recours (art. 30, 89 et 90 OJ) sont aussi observées.
Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs fondés sur les droits constitutionnels, invoqués et motivés de façon suffisamment détaillée dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 261/262; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1c p. 53). Il statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée, à moins que le recourant ne démontre que la cour cantonale a retenu ou, au contraire, ignoré de manière arbitraire certains faits déterminants (<ref-ruling> consid. 5a).
Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs fondés sur les droits constitutionnels, invoqués et motivés de façon suffisamment détaillée dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 261/262; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1c p. 53). Il statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée, à moins que le recourant ne démontre que la cour cantonale a retenu ou, au contraire, ignoré de manière arbitraire certains faits déterminants (<ref-ruling> consid. 5a).
2. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial, conférée par l'art. 30 al. 1 Cst., permet au plaideur d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité; elle tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du juge est établie car le sentiment intime du magistrat ne peut guère être prouvé; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale. Toutefois, seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles de l'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 25; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 116; <ref-ruling> consid. 3a p. 122).
Par ailleurs, une décision est arbitraire, donc contraire à l'art. 9 Cst., lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 17; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 473/474; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
Par ailleurs, une décision est arbitraire, donc contraire à l'art. 9 Cst., lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 17; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 473/474; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
3. La décision attaquée ne contient aucune constatation relative au point de savoir si, pendant l'audience du 7 février 2006, le président Blaser connaissait ou ignorait la présence de Z._ dans la salle d'attente. Par ailleurs, cette décision porte uniquement sur la demande de récusation; elle n'a pas pour objet de reconnaître ou de dénier la pertinence d'offres de preuve faites dans l'instance d'appel. En particulier, elle n'exclut pas que Z._ soit éventuellement entendu dans cette instance également. Sur ces points, la recourante n'est donc pas fondée à se plaindre d'arbitraire.
3. La décision attaquée ne contient aucune constatation relative au point de savoir si, pendant l'audience du 7 février 2006, le président Blaser connaissait ou ignorait la présence de Z._ dans la salle d'attente. Par ailleurs, cette décision porte uniquement sur la demande de récusation; elle n'a pas pour objet de reconnaître ou de dénier la pertinence d'offres de preuve faites dans l'instance d'appel. En particulier, elle n'exclut pas que Z._ soit éventuellement entendu dans cette instance également. Sur ces points, la recourante n'est donc pas fondée à se plaindre d'arbitraire.
4. La Cour d'appel retient que la décision du président Blaser, consignée au procès-verbal d'audience et relative à un jugement ultérieur de la Cour sur les conclusions préalables ou sur le fond, n'exprime aucun préjugé au sujet de la nécessité d'entendre Z._. Elle retient aussi que les juges devaient délibérer en commun au sujet des preuves à administrer et qu'il eût été peu opportun de prendre une décision le jour même, sur ce sujet, alors que quatre des cinq membres de la Cour allaient être très prochainement remplacés. De tout cela, elle conclut que les actes du président Blaser ne justifient pas la suspicion de partialité.
La décision consignée au procès-verbal envisage explicitement deux hypothèses: un jugement préparatoire ordonnant des mesures d'instruction ou un jugement final qui rejetterait l'offre de preuves de la demanderesse et statuerait sur l'action en dommages-intérêts. A bien comprendre l'argumentation que la recourante développe devant le Tribunal fédéral, la nécessité d'entendre Z._ était si manifestement et si évidemment indiscutable que le simple fait d'envisager un éventuel jugement final, sans mesures probatoires et donc sans audition de cette personne, dénote la volonté de nuire à la partie qui requérait l'audition.
Cette approche est purement subjective. Elle méconnaît le pouvoir des juges de procéder, s'il y a lieu, à une appréciation anticipée des preuves offertes et de rejeter l'offre sur la base de cette appréciation (cf. arrêt 4P.72/2005 du 27 juillet 2005, consid. 3.2). Elle repose sur un préjugé négatif concernant le résultat de cette éventuelle appréciation anticipée. La recourante perd de vue qu'un rejet de l'offre de preuves n'entraînerait pas nécessairement celui de l'action en dommages-intérêts et que celle-ci pourrait être accueillie sur la base des éléments de preuve déjà disponibles, tels que les déclarations faites par Z._ devant les premiers juges, si la Cour d'appel, elle, trouvait ces éléments concluants. Pour infirmer, si possible, le jugement de première instance, cette partie tente légitimement d'apporter des éléments de preuve supplémentaires et on comprend bien qu'elle soit absolument convaincue de la pertinence des mesures d'instruction qu'elle requiert elle-même; néanmoins, elle ne peut pas sérieusement reprocher au président Blaser d'avoir aussi mentionné, dans le libellé du procès-verbal, l'éventualité d'un jugement final sans complément d'enquête.
Z._ étant présent dans la salle d'attente, il était possible de l'entendre immédiatement. Il était cependant aussi possible de procéder autrement, et cela sans inconvénient, hormis que Z._, si son audition était jugée utile, devrait se déranger une fois encore. Le choix était question d'opportunité; il appartenait au Président de la Cour d'appel et la recourante ne peut pas exiger la récusation de ce magistrat au seul motif qu'il ne dirige pas la procédure comme elle le ferait elle-même. Au demeurant, même si l'on trouvait des raisons de critiquer la décision du président Blaser, cela n'entraînerait pas encore sa récusation. En effet, les erreurs de procédure ou d'appréciation d'un juge ne suffisent pas à fonder objectivement la suspicion de partialité; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, qui doivent être considérées comme des violations graves des devoirs du magistrat, peuvent avoir cette conséquence (<ref-ruling> consid. 3a p. 138; <ref-ruling> consid. 3b/bb p. 158).
Dans ces conditions, la décision de la Cour d'appel ne présente rien de contraire à la garantie conférée par l'art. 30 al. 1 Cst. Cette autorité juge également sans arbitraire que les actes du président Blaser ne comportent ni expression prématurée d'une opinion, au regard de l'art. 91 let. e OJ gen., ni manifestation de haine ou de faveur envers l'une des parties, selon la let. i de la même disposition. Enfin, il n'y a évidemment pas lieu de vérifier si l'attitude du magistrat « s'explique », selon la thèse de la recourante, par une inimitié antérieure à la cause.
Dans ces conditions, la décision de la Cour d'appel ne présente rien de contraire à la garantie conférée par l'art. 30 al. 1 Cst. Cette autorité juge également sans arbitraire que les actes du président Blaser ne comportent ni expression prématurée d'une opinion, au regard de l'art. 91 let. e OJ gen., ni manifestation de haine ou de faveur envers l'une des parties, selon la let. i de la même disposition. Enfin, il n'y a évidemment pas lieu de vérifier si l'attitude du magistrat « s'explique », selon la thèse de la recourante, par une inimitié antérieure à la cause.
5. Le recours de droit public se révèle privé de fondement, ce qui entraîne son rejet. A titre de partie qui succombe, la recourante doit acquitter l'émolument judiciaire et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. La recourante acquittera un émolument judiciaire de 2'000 fr.
2. La recourante acquittera un émolument judiciaire de 2'000 fr.
3. La recourante acquittera une indemnité de 2'500 fr. due à l'intimé à titre de dépens.
3. La recourante acquittera une indemnité de 2'500 fr. due à l'intimé à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 23 novembre 2006
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: