Sachverhalt:
A.
Das Migrationsamt des Kantons Basel Stadt verfügte am 7. Dezember 2010 die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement (JSD) am 13. Dezember 2012 ab. Gegen diesen Entscheid meldete A._ - durch einen neuen Advokaten vertreten - am 14. Januar 2013 Rekurs beim Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt an und ersuchte gleichzeitig um Wiederherstellung der Frist zur Anmeldung des Rekurses. Der Regierungsrat wies am 28. Januar 2013 das Gesuch ab und trat auf den Rekurs nicht ein, da sich der Rekurrent das Versäumnis der rechtzeitigen Rekursanmeldung durch seinen Rechtsvertreter anrechnen lassen müsse. Dagegen hat A._ Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht erhoben und die Gutheissung des Wiedereinsetzungsgesuchs und die Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist beantragt. Das Appellationsgericht hat den Rekurs mit der Begründung, dass das Gesuch um Wiedereinsetzung in den vorigen Stand nicht rechtzeitig gestellt worden sei, abgewiesen und die Frage offengelassen, ob der Rekurrent allenfalls durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten worden sei, fristgerecht den Rekurs beim Regierungsrat anzumelden.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und mit Verfassungsbeschwerde beantragt A._, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 21. Oktober 2013 und den Entscheid des Regierungsrates vom 28. Januar 2013 aufzuheben, festzustellen, dass das Wiederherstellungsgesuch vom 14. Januar 2013 rechtzeitig erfolgte und die Wiederherstellung zu gewähren sei, den Regierungsrat anzuhalten, auf den Rekurs gegen den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements Basel-Stadt (JSD BS) vom 13. Dezember 2012 einzutreten und eine angemessene Frist für die Einreichung einer ausführlichen Rekursbegründung anzusetzen, eventuell das angefochtene Urteil aufzuheben und an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt er, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihm zu gestatten, mindestens bis zum Vorliegen des bundesgerichtlichen Urteils in der Schweiz zu weilen.
Das Appellationsgericht beantragt vernehmlassungsweise die Abweisung der Beschwerde; das JSD BS und das Bundesamt für Migration beantragen ebenfalls Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat sich dazu geäussert.
C.
Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 16. Dezember 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid des Appellationsgerichts als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Ausländerrecht). Der Beschwerdeführer ist mit einer Schweizerin verheiratet und macht in vertretbarer Weise einen Rechtsanspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung geltend; die Angelegenheit fällt deshalb unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> (lit. c Ziff. 2 e contrario) und kann daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Dementsprechend ist auf die nebenbei erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (Art. 113 2. Halbsatz BGG). Der Beschwerdeführer ist gestützt auf <ref-law> zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert; auf das frist- (<ref-law>) und formgerecht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) eingereichte Rechtsmittel ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung schweizerischen Rechts gerügt werden (<ref-law>). Bei der Prüfung angeblich verletzten Bundes- und Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG) verfügt das Bundesgericht über volle Kognition und wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Anwendung von kantonalem Recht prüft es nur darauf hin, ob dadurch Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verletzt wird (Art. 95 lit. a, b und e BGG), namentlich auch ob das kantonale Recht willkürlich angewendet worden ist (<ref-ruling> E. 2 S. 150). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht zudem nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 8 S. 156). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 3.8 S. 144). Das Bundesgericht ist weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 2 S. 89 unten; <ref-ruling> E. S. 137).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
2.
2.1. Nach § 46 des Gesetzes vom 22. April 1976 betreffend die Organisation des Regierungsrates und der Verwaltung des Kantons Basel-Stadt (Organisationsgesetz, OG; SR BS 153.100) ist der Rekurs innert 10 Tagen seit der Eröffnung der Verfügung bei der Rekursinstanz anzumelden (Abs. 1) und innert 30 Tagen, vom gleichen Zeitpunkt an gerechnet, die Rekursbegründung einzureichen, welche die Anträge des Rekurrenten und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel zu enthalten hat (Abs. 2).
Der Entscheid des JSD BS ist am 14. Dezember 2012 dem damaligen Rechtsvertreter des Beschwerdeführers zugestellt worden. Unter Berücksichtigung der Feiertage ist die 10-tägige Frist am 27. Dezember 2012 abgelaufen. Während dieser Frist ist keine Rekursanmeldung erfolgt; dies ist unbestritten. Eine Rekursanmeldung erfolgte erst am 14. Januar 2013 mit dem gleichzeitigen Gesuch um Wiedereinsetzung in den vorigen Stand.
2.2. Das Organisationsgesetz des Kantons Basel-Stadt kennt keine Bestimmung über die Wiedereinsetzung; dies schadet allerdings nicht, wendet doch das Verwaltungsgericht in konstanter Rechtsprechung § 147 Abs. 5 des Steuergesetzes (StG; Gesetz über die direkten Steuern vom 12. April 2000; SR BS 640.100), wonach bei Fristversäumnis die Wiederherstellung der Frist verlangt werden kann, wenn die säumige Person von ihrer Einhaltung durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten war, analog an (vgl. ALEXANDRA SCHWANK, Das verwaltungsinterne Rekursverfahren des Kantons Basel-Stadt, in: Buser (Hrsg.), Neues Handbuch des Staats- und Verwaltungsrechts des Kantons Basel-Stadt, 2008, 435 ff., 449 f.). Zudem ist die Möglichkeit, eine unverschuldet versäumte Frist wiederherzustellen, ein allgemeiner Rechtsgrundsatz (<ref-ruling> E. 3c S. 301 mit Hinweis; Urteil 1C_491/2008 vom 10. März 2009 E. 1.2).
Die Wiederherstellung der Frist ist an zwei Voraussetzungen gebunden: zum einen an materielle, zum anderen an formelle. Jene Voraussetzungen sind die unverschuldete Verhinderung, wobei nicht nur objektive, sondern auch subjektive, psychische Hinderungsgründe die Wiederherstellung einer Frist unter Umständen rechtfertigen können (<ref-ruling> E. 1a S. 265; Urteile 2C_319/2009 & 2C_321/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>), und dass die unverschuldete Verhinderung beim Beschwerdeführer oder bei seinem Vertreter erfüllt ist. Die formelle Voraussetzung besteht darin, dass der Beschwerdeführer nach Wegfall des Hindernisses, innert der gesetzlich vorgesehenen Frist ein Gesuch um Fristwiederherstellung einreicht. Dabei beginnt der Fristenlauf, wenn das Hindernis entfällt; dies ist der Fall, sobald der Gesuchsteller objektiv und subjektiv imstande ist, selber zu handeln oder einen Dritten mit der entsprechenden Handlung zu beauftragen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 87). Um den Beginn des Fristenlaufs festzusetzen, muss somit notwendigerweise analysiert werden, ob überhaupt ein oder gegebenenfalls welches Hindernis vorliegt und diesfalls, wann das Hindernis aufhört, unverschuldet zu sein (<ref-ruling> E. 2a S. 87). Ein Abstellen nur auf den Fristenlauf ohne Bezug auf diese angeführten Fragen des Hindernisses vermag deshalb Beginn und Ende des Fristenlaufs rechtlich nicht korrekt zu bestimmen.
2.3.
2.3.1. Der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt hat in seinem Entscheid festgehalten, dass sich der Beschwerdeführer das Versäumnis der rechtzeitigen Rekursanmeldung seines Rechtsvertreters anrechnen lassen müsse; das Verpassen der Frist stelle eine Sorgfaltspflichtverletzung des Rechtsanwalts dar, welche die rekurrierende Partei sich wie ein eigenes Verschulden anrechnen lassen müsse. Er konstatiert deshalb, dass kein unverschuldetes Hindernis vorliege. Eine Fristberechnung erübrigte sich somit.
2.3.2. Das Verwaltungsgericht beantwortet die Frage, ob der Rekurrent innert Frist seit dem Wegfall seiner Verhinderung beim Regierungsrat das Wiedereinsetzungsgesuch gestellt bzw. den Rekurs angemeldet hat. Es nimmt dabei an, dass der Hinderungsgrund mit der Rückkehr des Beschwerdeführers in die Schweiz am 30. Dezember 2013 weggefallen sei. Der Beschwerdeführer habe im vorinstanzlichen Verfahren Übernachtungsbestätigungen eingereicht, woraus ersichtlich sei, dass er bis 29. Dezember 2013 landesabwesend gewesen sei. Der Beschwerdeführer moniert indes, dass zu diesem Zeitpunkt der Hinderungsgrund noch nicht weggefallen sei, sondern erst nach Rücksprache mit seinem ehemaligen Rechtsanwalt nach dessen Rückkehr aus den Ferien am 3. Januar 2013, woraus sich ergeben habe, dass Handlungsbedarf bestehe. Diesbezüglich habe das Verwaltungsgericht trotz der Zugrundelegung eines anderen Sachverhalts überhaupt keine Abklärungen vorgenommen und somit diesen offensichtlich unrichtig festgestellt. Daneben habe es den Entscheid unter einem anderen Sachverhalt und somit auch unter einer anderen Begründung behandelt und dabei ohne Einbezug des Beschwerdeführers dessen rechtliches Gehör verletzt. Schliesslich sei nach § 147 Abs. 5 StG BS eine 30- und nicht ein 10-tägige Frist für die Rekursanmeldung vorgesehen.
2.4. Zur Beurteilung der Frage, wann der Hinderungsgrund aufhört, unverschuldet zu sein, muss vorerst Klarheit in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht über den Hinderungsgrund selbst herrschen (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 88).
Die Vorinstanz ist stattdessen davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer in jedem Fall mit der Rückkehr in die Schweiz in der Lage war, selber zu handeln oder einen Dritten mit der entsprechenden Handlung zu beauftragen, der Hinderungsgrund somit ab diesem Zeitpunkt dahingefallen sei. Insofern geht auch die Vorinstanz implizit von einem bestimmten Hinderungsgrund aus. Sie hat verbindlich festgestellt, dass der Beschwerdeführer am 30. Dezember 2012 das Schreiben des ehemaligen Advokaten zur Kenntnis genommen hat; wie sich aus den Akten ergibt (<ref-law>), hat der Beschwerdeführer im Verfahren vor dem Regierungsrat ausgeführt, dass er "das Schreiben seines bisherigen Anwalts [...] erst bei seiner Rückkehr in Basel [...] zur Kenntnis" genommen habe. Insofern ist die Vorinstanz der Auffassung, dass im vorliegenden Fall nur von einem objektiven Hinderungsgrund auszugehen wäre. Der Beschwerdeführer reklamiert dagegen implizit zusätzlich "subjektive" Gründe, weil er die lateinischen Schriftzeichen noch zu wenig verstehe und daher mit seinem ehemaligen Advokaten habe Rücksprache nehmen müssen.
Wie der Beschwerde zu entnehmen ist, wurde der Beschwerdeführer so informiert, dass der ehemalige Advokat keine Beschwerde angemeldet habe. Selbst wenn er aus dessen Schreiben nicht alles verstanden haben sollte, war ihm - nur schon aufgrund seiner Erkenntnis, dass er nicht alles verstanden hatte - klar, dass er handeln musste; aus diesem Grund hat er ja auch seinen ehemaligen Advokaten kontaktiert. Dass er diesem erst nach dessen Rückkehr aus den Ferien am 3. Januar 2013 telefonieren konnte, ändert nichts daran, dass der Hinderungsgrund nach Kenntnisnahme des Schreibens des ehemaligen Advokaten dahingefallen war. Der Beschwerdeführer war somit im Zeitpunkt der Kenntnisnahme des Schreibens seines ehemaligen Advokaten objektiv und subjektiv imstande, selber zu handeln oder einen Dritten mit der entsprechenden Handlung zu beauftragen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 87). Diese Begründung des Appellationsgerichts ist nicht willkürlich.
Was den Vorwurf einer Verletzung des rechtlichen Gehörs betrifft, so ist der Beschwerdeführer darauf hinzuweisen, dass - wie bereits ausgeführt - für die Wiederherstellung der Frist auch die Einhaltung der Gesuchseinreichungsfrist zu begründen ist. Der Beschwerdeführer hat deshalb sowohl vor dem Regierungsrat als auch vor dem Verwaltungsgericht rechnen müssen, dass die Einhaltung der Gesuchseinreichungsfrist ebenfalls zu begründen ist, wenn diese der Auffassung gewesen wären, es läge eine unverschuldete Verhinderung vor. Insofern hätte er sich bereits in seinen Beschwerden dazu äussern müssen. Im Übrigen unterlässt er es, auch vor Bundesgericht qualifiziert eine Verletzung des rechtlichen Gehörs zu rügen.
Schliesslich ist es auch nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz bei ihrer lückenfüllenden Regelung der Wiedereinsetzung für das Wiedereinsetzungsgesuch die gleiche Frist anwendet wie für die verpasste Rechtshandlung, vorliegend mithin die zehntägige Frist für die Rekursanmeldung.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18.September 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Errass