Faits:
A. J._ a bénéficié de prestations complémentaires à l'assurance-invalidité depuis le 1er septembre 1991. Dès août 2000, la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation a procédé au réexamen de son droit à des prestations complémentaires. L'assurée a signé une demande de révision du 25 août 2000, qui indiquait la rente AI comme revenu et ne déclarait aucun élément de fortune mobilière. Dans un rapport du 25 août 2000 figurant au dos de la formule, l'agence communale AVS, répondant par l'affirmative à la question de savoir si les déclarations faites étaient conformes à la situation réelle, a indiqué un revenu effectif de 17'400 fr. et une fortune effective de 171'000 fr. selon la dernière taxation fiscale 1999. Par décision du 2 novembre 2000, la caisse a continué d'allouer à J._ des prestations complémentaires à partir du 1er août 2000.
Dès novembre 2004, la caisse a réexaminé le droit de l'assurée à des prestations complémentaires. J._ a signé une demande de révision du 11 novembre 2004. La caisse a invité l'agence communale AVS à produire les documents fiscaux et les polices d'assurance de la requérante. Par décision du 19 juin 2006, procédant à un nouveau calcul qui tenait compte de la rente viagère, des avoirs en épargne et de l'assurance-vie (valeur de rachat) dont bénéficiait J._, elle lui a réclamé la restitution de 81'811 fr. au titre de prestations complémentaires indûment perçues à partir du 1er juin 2001. Le 13 juillet 2006, l'assurée, invoquant des erreurs sur les montants déterminants pour le calcul des impôts qui faisaient l'objet de discussion avec le service des contributions, a formé opposition contre cette décision. Par décision du 7 février 2007, la caisse a rejeté l'opposition.
Le 27 avril 2007, J._ a présenté une demande de remise de l'obligation de restituer la somme de 81'811 fr. Le 4 mai 2007, la caisse l'a avisée du dépôt imminent d'une plainte pénale à son encontre, de sorte qu'une décision ne serait rendue sur sa requête qu'à l'issue de la procédure pénale. Le 1er juin 2007, l'assurée a versé la somme de 81'121 fr. encore due sur le montant réclamé en restitution. Par jugement du 25 février 2008, le Tribunal de police du district de X._ a acquitté J._, faute d'intention délictueuse. Par décision du 25 août 2008, la caisse a rejeté la demande de remise de l'obligation de restituer, au motif que l'assurée ne pouvait se prévaloir de sa bonne foi, son comportement étant constitutif d'une négligence grave. Le 19 septembre 2008, J._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 2 octobre 2008, la caisse a rejeté l'opposition.
B. Le 31 octobre 2008, J._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci, la juridiction cantonale étant invitée à condamner la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation à lui restituer la somme de 81'121 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er juin 2007. A titre subsidiaire, elle demandait que la cause soit renvoyée à la caisse de compensation pour nouvelle décision au sens des motifs.
Par arrêt du 10 mars 2009, le Tribunal administratif a rejeté le recours.
C. J._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens de première et deuxième instances, à son annulation, le Tribunal fédéral étant invité à lui accorder le bénéfice de la remise de l'obligation de restituer la somme de 81'121 fr. et à condamner la caisse à la restitution de cette somme avec intérêts à 5 % dès le 6 juin 2008. A titre subsidiaire, elle demande que la cause soit renvoyée au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision au sens des considérants.
La Caisse cantonale neuchâteloise de compensation déclare qu'elle n'a pas d'observations à déposer dans le cadre du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law> et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (<ref-law>) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
2. Le litige porte sur le refus de l'intimée de mettre la recourante au bénéfice de la remise de son obligation de restituer, singulièrement sur le point de savoir si celle-ci remplit la condition de la bonne foi.
2.1 Selon la jurisprudence, l'ignorance, par l'assuré, du fait qu'il n'avait pas droit aux prestations versées ne suffit pas pour admettre qu'il était de bonne foi. Il faut bien plutôt que le bénéficiaire des prestations ne se soit rendu coupable, non seulement d'aucune intention malicieuse, mais aussi d'aucune négligence grave. Il s'ensuit que la bonne foi, en tant que condition de la remise, est exclue d'emblée lorsque les faits qui conduisent à l'obligation de restituer - comme par exemple une violation du devoir d'annoncer ou de renseigner - sont imputables à un comportement dolosif ou à une négligence grave. En revanche, l'assuré peut invoquer sa bonne foi lorsque l'acte ou l'omission fautifs ne constituent qu'une violation légère de l'obligation d'annoncer ou de renseigner (<ref-ruling> consid. 2c p. 103, 110 V 176 consid. 3c p. 180). Il y a négligence grave quand un ayant droit ne se conforme pas à ce qui peut raisonnablement être exigé d'une personne capable de discernement dans une situation identique et dans les mêmes circonstances (<ref-ruling> consid. 3d p. 181).
2.2 L'examen de l'attention exigible d'un ayant droit qui invoque sa bonne foi relève du droit et le Tribunal fédéral revoit librement ce point (<ref-ruling> consid. 3 p. 223, 102 V 245 consid. b p. 246).
3. Les premiers juges ont retenu que la recourante n'avait pas mentionné dans ses demandes de révision du droit à des prestations complémentaires des 25 août 2000 et 11 novembre 2004, ni dans sa demande de prestations complémentaires du 23 mai 2006, les avoirs en épargne, la valeur de rachat d'une assurance-vie ainsi que des rentes du 3e pilier perçues de Y._, Société suisse d'assurance sur la vie. Cela n'est pas remis en cause devant la Cour de céans. Il est constant, par ailleurs, que l'agence communale AVS a mentionné dans son rapport au bas des demandes de révision du droit à des prestations complémentaires des 25 août 2000 et 11 novembre 2004 les éléments tirés des taxations fiscales, soit le revenu et la fortune effectifs de la recourante.
3.1 La juridiction cantonale a relevé qu'il n'aurait pas dû échapper à l'administration que le montant du revenu et de la fortune était supérieur au montant que l'assurée déclarait recevoir ou détenir. Posant la règle selon laquelle tout assuré a en principe le devoir de diligence de contrôler la feuille de calcul jointe aux décisions sur les prestations complémentaires afin d'y déceler les erreurs évidentes (jugement du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel du 14 février 1997, confirmé par arrêt du Tribunal fédéral des assurances du 26 février 1998 [P 11/97]), elle a retenu que l'erreur de la caisse aurait dû apparaître comme manifeste à la recourante dès qu'elle avait pris connaissance de la décision d'octroi de prestations complémentaires du 2 novembre 2000 et des feuilles de calcul du 1er novembre 2000 valable dès août 2000 et du 21 décembre 2000 valable dès janvier 2001, où figurent une fortune de zéro ainsi que des revenus inférieurs à ceux réellement perçus et qui résultent des taxations fiscales. L'erreur était manifeste soit portait sur des montants de plusieurs dizaines de milliers de francs et il appartenait à l'assurée d'indiquer immédiatement à la caisse sa situation financière véridique. Même si, dans une situation où l'agence communale AVS avait indiqué les revenus et fortune effectifs, le Tribunal fédéral des assurances a considéré que l'assuré n'avait pas violé son obligation de renseigner (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 29), il n'en demeure pas moins que la bonne foi ne saurait être retenue si l'assuré ne signale pas par la suite des erreurs évidentes. La condition de la bonne foi n'était dès lors pas remplie en ce qui concerne la recourante.
3.2 Celle-ci conteste avoir commis une négligence. Elle fait valoir qu'elle se trouve dans la situation de l'arrêt <ref-ruling> consid. 3 p. 29 et qu'elle n'a jamais violé l'obligation de renseigner selon l'art. 24, 1ère phrase, OPC-AVS/AI. Niant avoir dissimulé des éléments de sa fortune, elle relève que, comme cela ressort de l'enquête pénale, elle a toujours déclaré sa situation financière effective en produisant l'intégralité des documents qui lui étaient demandés lors des différentes révisions périodiques, notamment en 2000 déjà, et que l'agence communale AVS s'est chargée à chaque fois de l'intégralité des démarches à entreprendre dans le cadre des différentes procédures de révision et a indiqué tous les éléments de revenus et fortune effectifs.
3.3 Dans l'arrêt <ref-ruling> consid. 3 p. 29, le Tribunal fédéral des assurances, relevant que le requérant avait signé la formule de demande de prestations complémentaires et confié à une tierce autorité - soit l'agence communale AVS, qui connaissait fort bien sa situation financière - le soin d'y inscrire les données requises, a laissé indécise la question de savoir si la négligence légère consistant à signer simplement la formule sans la contrôler et à renoncer ainsi à la possibilité d'une vérification suffisait à exclure la bonne foi de l'intéressé. Un élément était en effet décisif, qui permettait de conclure à sa bonne foi: la tierce autorité avait certes rempli la formule, où le montant en question n'était pas indiqué sous la rubrique "Pensions et rentes de tout ordre" (englobant donc aussi la rente CNA), mais elle avait inscrit au verso sous "Rapport de l'agence communale AVS" un revenu plus élevé que sous la rubrique précédente, lequel comprenait donc aussi des prestations n'ayant pas été indiquées ailleurs, de sorte que si l'on voulait reprocher à l'assuré sa négligence pour n'avoir pas vérifié l'exactitude des données inscrites par le fonctionnaire, il faudrait adresser un reproche également à l'administration, qui avait accordé la prestation sans avoir procédé à un examen complet de la formule de demande.
3.4 Même si l'agence communale AVS a mentionné dans son rapport au bas des demandes de révision des 25 août 2000 et 11 novembre 2004 les éléments tirés des taxations fiscales, soit le revenu et la fortune effectifs de l'assurée, la recourante a commis une négligence grave.
A cet égard, l'arrêt <ref-ruling> consid. 3 p. 29 mentionné ci-dessus ne lui est d'aucun secours. Que l'administration ait pu commettre une erreur ne dispensait pas l'assurée de son obligation de renseigner (arrêts [du Tribunal fédéral des assurances] P 14/93 du 26 août 1993, consid. 4b in VSI 1994 p. 128 in fine, et P 11/97 du 26 février 1998 déjà cité). Dans la demande de révision du 25 août 2000, la recourante a apposé sa signature au-dessous du texte selon lequel la soussignée attestait que les indications figurant au-dessus étaient complètes et véridiques et qu'elle ne disposait d'aucune autre fortune et d'aucun autre revenu. Les premiers juges ont retenu qu'elle avait pris connaissance de la décision d'octroi de prestations complémentaires du 2 novembre 2000 et de la feuille de calcul (en annexe) du 1er novembre 2000 valable dès août 2000 qui mentionne une fortune de zéro ainsi que des revenus inférieurs à ceux réellement perçus et qui résultent des taxations fiscales, ce que la recourante ne nie pas. A partir de ce moment-là, elle aurait ainsi pu se rendre compte que les indications figurant au-dessus de sa signature dans la demande de révision du 25 août 2000 n'étaient pas complètes. En vertu de son obligation de renseigner, il lui appartenait ainsi de réagir auprès de l'intimée en attirant son attention sur la fortune et les revenus déclarés au fisc, dont l'assurée ne pouvait ignorer l'existence. Sa négligence est d'autant plus grave que l'erreur de la caisse s'est reproduite dans la feuille de calcul du 21 décembre 2000 valable dès janvier 2001 et qu'elle a subsisté jusqu'à la procédure de révision entamée en novembre 2004. Niant que la condition de la bonne foi soit remplie, le jugement attaqué est dès lors conforme au droit fédéral (supra, consid. 2.1).
3.5 La condition de la bonne foi n'étant pas remplie, cela suffit à exclure une remise de l'obligation de restituer. Le recours est mal fondé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 4'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 février 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner