Sachverhalt:
A.
A._ (Gesuchsteller, Beschwerdeführer) reichte am 22. Dezember 2011 beim Bezirksgericht Lenzburg eine Klage gegen B._ (Beklagter) betreffend Saldierung und Rückanweisung der hinterlegten Mietzinse nach <ref-law> ein und stellte ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Bezirksgerichtspräsidentin wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 12. Januar 2012 zufolge fehlender Mittellosigkeit des Gesuchstellers ab. Dagegen gelangte der Gesuchsteller mit kantonaler Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau, das am 11. April 2012 die Mittellosigkeit des Gesuchstellers bejahte, die angefochtene Verfügung in Gutheissung der Beschwerde aufhob und die Sache zur Prüfung der Erfolgsaussichten der Klage und zu neuer Entscheidung an das Bezirksgericht zurückwies.
Mit Verfügung vom 6. Juli 2012 wies die Bezirksgerichtspräsidentin das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege nun zufolge Aussichtslosigkeit der Klage des Gesuchstellers ab, wogegen letzterer wiederum mit kantonaler Beschwerde an das Obergericht gelangte. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 1. Juli 2013 ab, soweit es darauf eintrat. Die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren verweigerte es und auferlegte dem Gesuchsteller die Gerichtsgebühr. Es befand, der Gesuchsteller könne nicht als mittellos gelten. Damit erübrige es sich, über die Aussichtslosigkeit der Klage zu entscheiden.
B.
Der Gesuchsteller verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, der Entscheid des Obergerichts vom 1. Juli 2013 sei aufzuheben, und es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren zu gewähren. Allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Ausserdem ersucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt.
C.
Mit Präsidialverfügung vom 17. September 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Der Entscheid, mit dem die Vorinstanz die kantonale Beschwerde gegen die Verfügung der Bezirksgerichtspräsidentin betreffend unentgeltliche Prozessführung abgewiesen hat, ist ein letztinstanzlicher (<ref-law>) kantonaler Zwischenentscheid, der das Verfahren nicht abschliesst. Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde nach <ref-law> zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können. Zwischenentscheide, mit denen die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wird, haben in der Regel einen solchen Nachteil zur Folge (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2a S. 210). Dies trifft auch im vorliegenden Fall zu.
Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Diese betrifft vorliegend eine mietrechtliche Angelegenheit, mithin eine Zivilsache im Sinne von <ref-law>. Der Streitwert übersteigt ausserdem gemäss der Feststellung der Vorinstanz die Grenze von Fr. 15'000.-- nach <ref-law>. Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen vorliegend zulässig. Eine Behandlung der Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde fällt ausser Betracht (vgl. <ref-law>).
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. I n der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.2).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4).
3.
Eine Person hat gemäss <ref-law> Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b).
3.1. Die Vorinstanz verneinte die Mittellosigkeit des Beschwerdeführers.
Zur Begründung erwog sie, im Entscheid vom 11. April 2012 habe sie gestützt auf die Angaben des Beschwerdeführers geschlossen, dieser verfüge über keinen Freibetrag, mit dem er die Prozesskosten bestreiten könne. Am 6. September 2012 habe ihr aber der Beklagte mitgeteilt, der Beschwerdeführer beziehe zur IV-Rente und den Ergänzungsleistungen hinzu durchschnittlich Fr. 5'000.-- pro Monat aus dem Betrieb einer Auto-Waschanlage, und er habe ihn daher bei der Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau wegen Sozialhilfebetrugs angezeigt. Weiter habe der Beklagte erklärt, der Missbrauch des Instituts der unentgeltlichen Rechtspflege sei aber unabhängig von den Ermittlungsergebnissen im Strafverfahren offenkundig. Der Beschwerdeführer habe daraufhin in seiner Stellungnahme vom 5. Oktober 2012 die Sistierung des Beschwerdeverfahrens bis zum Abschluss des Strafverfahrens beantragt und ausgeführt, wenn er von dem ihm vom Beklagten vorgeworfenen Delikt freigesprochen oder wenn das Verfahren rechtskräftig eingestellt werde, könne keine Rede von einem offenkundigen Missbrauch des Instituts der unentgeltlichen Rechtspflege mehr sein, sowie weiter, es sei unzulässig, dass er im Rahmen eines Zivilverfahrens dazu verhalten werde, sich zu strafrechtlich relevanten Vorwürfen zu äussern, die bereits bei den Strafverfolgungsbehörden zur Anzeige gebracht worden seien. Dagegen - so die Vorinstanz schliesslich - habe der Beschwerdeführer die Behauptung des Beklagten, wonach er ein zusätzliches Einkommen von durchschnittlich Fr. 5'000.-- pro Monat erziele, nicht bestritten, wie es zu erwarten gewesen wäre, falls sie unzutreffend sein sollte. Deshalb sei deren Richtigkeit zu unterstellen, mit der Folge, dass der Beschwerdeführer über einen Freibetrag von mehr als Fr. 4'000.-- verfüge und nicht als mittellos gelten könne.
3.2. Der Beschwerdeführer beanstandet diese Sachverhaltsfeststellung unter verschiedenen Gesichtspunkten.
3.2.1. Er meint zunächst, die Vorinstanz habe seine Eingabe vom 5. Oktober 2012 falsch gewürdigt. "Aus dem Gesamtzusammenhang der Stellungnahme" ergebe sich nämlich ohne Weiteres, dass er die Behauptung, er beziehe ein Zusatzeinkommen von Fr. 5'000.--, bestreite. Er habe ein Sistierungsgesuch gestellt und sich "durch die Weigerung, sich im Zivilverfahren zu den strafrechtlich relevanten Vorwürfen zu äussern, selbstverständlich vorbehalten, sich dazu im Strafverfahren zu äussern". Die Stellungnahme stelle "in ihrem Sinn und Geist" auch "eine Bestreitung der (ohnehin völlig haltlosen) Vorwürfe dar". Überdies sei "in Analogie zur Unschuldsvermutung bis zur rechtskräftigen strafrechtlichen Verurteilung gerade von einer solchen Bestreitung auszugehen" gewesen, weshalb die Vorinstanz "mit ihrer Annahme ganz elementare Beweisregeln" verletze.
Dem kann nicht gefolgt werden: Der Beschwerdeführer zeigt nicht nachvollziehbar auf, inwiefern sein blosser Antrag auf Sistierung des zivilrechtlichen Beschwerdeverfahrens respektive seine Weigerung, sich in diesem zur Eingabe des Beklagten zu äussern unter Vorbehalt, im Strafverfahren dazu Stellung zu nehmen, als Bestreitung der Behauptungen für das Zivilverfahren hätte verstanden werden müssen. Es sind denn auch keine Umstände ersichtlich, die diesen Schluss erlauben würden, und namentlich ergibt sich aus der strafrechtlichen Unschuldsvermutung nichts derartiges (dazu Erwägung 3.2.3). Sodann trifft es gerade nicht zu, dass die Vorinstanz angenommen hätte, der Beschwerdeführer werde sich "im Strafverfahren für schuldig bekennen", wie der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang behauptet. Der diesbezügliche Willkürvorwurf des Beschwerdeführers entbehrt der Grundlage.
3.2.2. Der Beschwerdeführer scheint weiter kritisieren zu wollen, dass die Vorinstanz an das Unterbleiben einer inhaltlichen Äusserung (zu den vom Beklagten erhobenen Vorwürfen) unzulässige Rechtsfolgen geknüpft habe. Er moniert, er werde mit dem angefochtenen Entscheid "noch schlechter gestellt[,] als wenn er keinerlei Stellungnahme abgegeben hätte", da in diesem Fall "anhand der Akten zu entscheiden gewesen" wäre. Inwiefern letzteres für ihn im Ergebnis von Vorteil gewesen wäre, tut er jedoch nicht dar. Vielmehr räumt er selber ein, dass auch bei Ausbleiben einer Stellungnahme grundsätzlich auf die Behauptungen der Gegenpartei hätte abgestellt werden dürfen.
Unabhängig davon gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, den Entscheid der Vorinstanz in dieser Hinsicht als bundesrechtswidrig auszuweisen. Die gesuchstellende Person trifft im Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> eine umfassende Mitwirkungsobliegenheit (Urteile 4A_114/2013 vom 20. Juni 2013 E. 2.2 und 4.3.1; 5A_405/2011 vom 27. September 2011 E. 4.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; vgl. zum bundesgerichtlichen Verfahren <ref-ruling> E. 4a). Sie hat nach <ref-law> ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen. Dass er vorliegend überhaupt nicht zur Mitwirkung verpflichtet war oder dass er zumindest nicht zu den Behauptungen des Beklagten Stellung nehmen konnte, macht der Beschwerdeführer vor dem Bundesgericht nicht (mehr) geltend; im Gegenteil argumentiert er in der Beschwerdebegründung selber, sein Verhalten habe - sinngemäss - eine entsprechende Bestreitung enthalten (Erwägung 3.2.1). Unter den gegebenen Umständen ist auch kein Grund zu erkennen, weshalb vom Beschwerdeführer keine Mitwirkung hätte verlangt werden dürfen, zumal dieser mit einer Bestreitung der in der Eingabe vom 6. September 2012 enthaltenen Behauptungen - wenn überhaupt - bloss seinen offenbar im Strafverfahren vertretenen Standpunkt bekräftigt hätte, wonach die Vorwürfe haltlos seien. Es ist unter diesen Umständen jedenfalls im Ergebnis nicht bundesrechtswidrig, wenn die Vorinstanz angesichts der unterbliebenen inhaltlichen Äusserung des Beschwerdeführers von der Richtigkeit der Behauptungen des Beklagten ausging.
3.2.3. Der Beschwerdeführer moniert sodann, keine Prozesspartei müsse damit rechnen, dass ein Zivilrichter "in Übergehung des ehernen Rechtsgrundsatzes der Unschuldsvermutung, ohne ein Beweisverfahren durchzuführen, einen Sachverhalt" annehme, "der von der Begehung eines schweren Straftatbestandes ausgeh[e]".
Nach der in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK verankerten Unschuldsvermutung und dem davon abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro reo" ist bis zum gesetzlichen Nachweis der Schuld zu vermuten, dass der wegen einer strafbaren Handlung Angeklagte unschuldig ist (<ref-ruling> E. 7 S. 81; <ref-ruling> E. 2 S. 86).
Der Beschwerdeführer verkennt indessen die Tragweite dieses Prinzips, wenn er meint, daraus ergebe sich, dass im vorliegenden Zivilverfahren eine Bestreitung der Parteibehauptungen der Gegenseite zum prozessgegenständlichen Sachverhalt, der gleichzeitig im Strafverfahren untersucht wird, entbehrlich gewesen wäre, respektive dass gar hätte davon ausgegangen werden müssen, er habe sich jedenfalls nicht in strafbarer Weise verhalten. Die Unschuldsvermutung findet ausserhalb des Strafverfahrens etwa auch im sozialversicherungsgerichtlichen Rückerstattungsverfahren Anwendung, wenn es um die nach <ref-law> (SR 830.1) vorfrageweise vorzunehmende Prüfung geht, ob sich der Rückforderungsanspruch aus einer strafbaren Handlung herleite (<ref-ruling> E. 7). In diesem Fall ist die Strafbarkeit des entsprechenden Verhaltens als solche rechtserheblich. Demgegenüber ergibt sich jedenfalls nicht aus der Unschuldsvermutung, dass in einem Zivilverfahren generell zu unterstellen wäre, die Parteien hätten sich nicht in einer Art und Weise verhalten, die (zugleich) einen strafrechtlichen Vorwurf zu begründen vermöchte (vgl. Urteil 5C.86/1996 vom 5. Dezember 1996 E. 4 i.f.; Frowein/Peukert, Europäische Menschenrechtskonvention, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 271 zu Art. 6 EMRK; Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention, 2. Aufl. 1999, Rz. 493 S. 314 f.). Im vorliegenden Zusammenhang, wo lediglich über die gegenwärtigen Einkommens- und Vermögensverhältnisse des Beschwerdeführers und nicht über einen gegen den Beschwerdeführer erhobenen strafrechtlichen Vorwurf (der naturgemäss ein in der Vergangenheit liegendes Verhalten betrifft) zu befinden ist, kann der Beschwerdeführer nicht gestützt auf die Unschuldsvermutung für sich beanspruchen, er verfüge bloss über jenes Einkommen, das er auch gegenüber den Sozialversicherungsbehörden deklariert habe, ansonsten er sich ja strafbar gemacht hätte. Die dahingehende Rüge des Beschwerdeführers erweist sich als unbegründet.
3.2.4. Der Beschwerdeführer erblickt im Umstand, dass die Vorinstanz vom Vorliegen eines Zusatzeinkommens in der Höhe von Fr. 5'000.-- ausging und ihm deshalb die Mittellosigkeit absprach, schliesslich einen Verstoss "gegen das Überraschungsverbot", beruft sich also auf seinen Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>. Inwiefern dieser verletzt sein soll, ist allerdings nicht ersichtlich: Nach der bundesgerichtlichen Praxis besteht kein verfassungsrechtlicher Anspruch der Parteien, zur rechtlichen Würdigung der durch sie in den Prozess eingeführten Tatsachen noch besonders angehört zu werden. Ebenso wenig folgt aus dem Gehörsanspruch, dass die Parteien vorgängig auf den für den Entscheid wesentlichen Sachverhalt hinzuweisen wären. Eine Ausnahme besteht lediglich dann, wenn ein Gericht seinen Entscheid mit einem Rechtsgrund zu begründen beabsichtigt, auf den sich die beteiligten Parteien nicht berufen haben und mit dessen Erheblichkeit sie vernünftigerweise nicht rechnen mussten (<ref-ruling> E. 5 S. 39; <ref-ruling> E. 2c/aa). Von einer überraschenden Rechtsanwendung bzw. tatsächlichen Feststellung kann vorliegend keine Rede sein: Die Vorinstanz übermittelte dem Beschwerdeführer die Eingabe des Beklagten vom 6. September 2012 mit Verfügung vom 13. September 2012 unter Ansetzung einer Frist zur Stellungnahme und dem Hinweis, bleibe eine Stellungnahme innert Frist aus, werde aufgrund der Akten entschieden. Dass die Eingabe, gemäss welcher der Beschwerdeführer zur IV-Rente und den Ergänzungsleistungen hinzu ein erhebliches Einkommen aus der Auto-Waschanlage bezieht, einen Einfluss auf die Frage der Mittellosigkeit des Beschwerdeführers haben konnte, war nicht zu übersehen, zumal der Beklagte auch einen möglichen Missbrauch des Instituts der unentgeltlichen Rechtspflege ansprach. Ebenso war absehbar, dass die Vorinstanz ihrem Entscheid (unter anderem) diese Eingabe des Beklagten zugrunde legen würde, wozu sie nach dem (durch die Mitwirkungsobliegenheit des Gesuchstellers eingeschränkten) Untersuchungsgrundsatz, der in diesem Verfahren gilt (Urteil 4A_114/2013 vom 20. Juni 2013 E. 4.3.1 mit zahlreichen Hinweisen), auch ohne Weiteres befugt war. Die Auffassung der Vorinstanz, die Mittellosigkeit des Beschwerdeführers sei angesichts des Zusatzeinkommens nicht ausgewiesen, kann unter diesen Umständen keineswegs als überraschend gelten. Es ist nicht erkennbar, weshalb sich der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz nicht zu den entscheidrelevanten Umständen hätte äussern können (vgl. bereits Erwägung 3.2.2).
3.3. Aufgrund des Gesagten ist die tatsächliche Feststellung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer verfüge über ein Zusatzeinkommen von Fr. 5'000.-- pro Monat und sei folglich nicht mittellos, weder offensichtlich unrichtig, noch beruht sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law>. Die Vorinstanz durfte demnach dem Beschwerdeführer gestützt auf <ref-law> die unentgeltliche Rechtspflege verweigern.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Begehren des Beschwerdeführers waren von vornherein aussichtslos (vgl. <ref-ruling> E. 5), weshalb seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden kann (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz