Sachverhalt:
A. X._, Jahrgang 1986, hielt sich als Asylbewerber im Asylbewerberzentrum in V._ auf, als er am 15. Juni 2004 durch einen Mitbewohner mit drei Messerstichen verletzt wurde. Er bevollmächtigte Rechtsanwalt R._ am 10. September 2004 zur Verfolgung allfälliger Ansprüche im Straf- und Zivilverfahren. Nach Abweisung seines Asylgesuchs wurde X._ aus der Schweiz ausgewiesen. Der seitherige Aufenthalt ist unbekannt. Gestützt auf die ihm erteilte Vollmacht machte Rechtsanwalt R._ für X._ auch Opferhilfeansprüche geltend. Im Rahmen der Anfechtung zweier Verfügungen des kantonalen Sozialdienstes forderten das Verwaltungsgericht und der Regierungsrat des Kantons Aargau Rechtsanwalt R._ auf, bis spätestens 31. Mai 2007 eine Vollmacht von X._ einzureichen.
B. Rechtsanwalt R._ ersuchte die Vormundschaftsbehörde V._, für den im Ausland abwesenden X._ eine Vollmacht zur Vertretung der Opferhilfeansprüche zu erteilen, eventualiter zu diesem Zweck einen Vertretungsbeistand einzusetzen. Die Vormundschaftsbehörde entsprach dem Gesuch, errichtete eine Vertretungsbeistandschaft und ernannte Rechtsanwalt R._ als Vertretungsbeistand mit der Aufgabe, die Opferhilfeansprüche von X._ gegenüber dem Staat zu vertreten (Beschluss vom 7. Mai 2007). Das Präsidium der Kammer für Vormundschaftswesen am Obergericht des Kantons Aargau schritt dagegen aufsichtsrechtlich von Amtes wegen ein und wies die Vormundschaftsbehörde an, ihren Beschluss vom 7. Mai 2007 umgehend ersatzlos aufzuheben. Die Vormundschaftsbehörde hob die Vertretungsbeistandschaft sofort und ersatzlos auf (Beschluss vom 18. Juni 2007).
C. Gegen die Aufhebung der Vertretungsbeistandschaft erhob Rechtsanwalt R._ beim Bezirksamt B._ als vormundschaftliche Aufsichtsbehörde Beschwerde. Das Bezirksamt überwies die Beschwerde zuständigkeitshalber an die Kammer für Vormundschaftswesen (Verfügung vom 3. Juli 2007). Rechtsanwalt R._ focht die Überweisungsverfügung mit Beschwerde an. Er erneuerte dabei seine wiederholt gestellten Ablehnungsbegehren. Die Kammer für Vormundschaftswesen als zweitinstanzliche vormundschaftliche Aufsichtsbehörde wies das Ablehnungsbegehren gegen die Mitglieder, das Ersatzmitglied und die Gerichtsschreiberin der Kammer zurück (Dispositiv-Ziff. 1.1), trat auf die Beschwerde gegen die Überweisungsverfügung des Bezirksamtes nicht ein (Dispositiv-Ziff. 1.2), bestätigte die aufsichtsrechtliche Weisung an die Vormundschaftsbehörde (Dispositiv-Ziff. 1.3) und wies die Beschwerde gegen die Aufhebung der Vertretungsbeistandschaft ab (Dispositiv-Ziff. 1.4). Es wurden weder Verfahrenskosten erhoben noch Parteikosten zugesprochen (Dispositiv-Ziff. 2). Das Begehren um unentgeltliche Rechtspflege für X._ wies die Kammer ab, soweit es nicht gegenstandslos war (Dispositiv-Ziff. 3 des Entscheids vom 30. Juli 2007).
D. Im Namen von X._ (fortan: Beschwerdeführer 1) und in seiner Funktion als Vertretungsbeistand reichte Rechtsanwalt R._ (hiernach: Beschwerdeführer 2) gegen den Entscheid der Kammer für Vormundschaftswesen je eine Beschwerde beim Bundesgericht und beim kantonalen Verwaltungsgericht ein. Bis zu dessen Entscheid wurde das bundesgerichtliche Verfahren ausgesetzt (Instruktionsrichterverfügung vom 15. November 2007). Das Verwaltungsgericht wies das Gesuch des Beschwerdeführers 1 um unentgeltliche Rechtspflege ab. Es trat auf die Beschwerde nicht ein, auferlegte die Verfahrenskosten den Beschwerdeführern und sprach keine Parteientschädigung zu (Beschluss und Urteil vom 20. Februar 2008). Die Beschwerdeführer liessen sich nach Mitteilung des verwaltungsgerichtlichen Urteils nicht mehr vernehmen und stellten insbesondere keine weiteren Verfahrensanträge vor Bundesgericht. Dessen II. zivilrechtliche Abteilung setzte das Verfahren fort und hiess die Beschwerde gut, soweit darauf einzutreten war. Sie hob den Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau, Kammer für Vormundschaftswesen als zweitinstanzliche vormundschaftliche Aufsichtsbehörde, vom 30. Juli 2007 auf und wies die Sache zu neuer Beurteilung im Sinn der Erwägungen an das Obergericht zurück (Urteil 5A_532/2007 vom 8. April 2008).
E. Mit Eingabe vom 4./7. April 2008 beantragen die Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Beschluss und das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 20. Februar 2008 aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Zum Verfahren begehren sie, dem Beschwerdeführer 1 die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, im Hinblick auf ein allfälliges Ablehnungsbegehren den Namen der vorgesehenen Gerichtsschreiberin bekanntzugeben und ihre Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegebenenfalls als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen. Weiter stellen sie mehrere Beweisanträge. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung nahm in Aussicht, die Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts wegen dahingefallenen Interesses als erledigt abzuschreiben, und setzte den Beschwerdeführern eine Frist von zehn Tagen an, dazu und zu den Kostenfolgen Stellung zu nehmen (Verfügung vom 9. April 2008). Die Beschwerdeführer haben sich vernehmen lassen und halten an ihrer Beschwerde fest, soweit es um die unentgeltliche Rechtspflege sowie um die Verfahrenskosten und Parteientschädigungen geht (Eingabe vom 21. April 2008). Das Verwaltungsgericht hat die Akten zugestellt, von einer Vernehmlassung in der Sache unter Hinweis auf sein Urteil abgesehen und zur Eingabe vom 21. April 2008 Gegenbemerkungen angebracht. Die Beschwerdeführer, denen die Gegenbemerkungen mitgeteilt wurden, haben dazu nochmals kurz Stellung genommen.

Erwägungen:
1. In formeller Hinsicht ergibt sich Folgendes:
1.1 Dem angefochtenen Urteil liegt ein Entscheid auf dem Gebiet der Aufsicht über die Vormundschaftsbehörden betreffend Aufhebung einer Vertretungsbeistandschaft und damit eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 und 6 BGG zugrunde. Die als Beschwerde in "öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten" bezeichnete Eingabe ist formell als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen. Die weiteren Zulässigkeitsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass (vgl. E. 1 des Urteils 5A_532/2007).
1.2 Im bundesgerichtlichen Verfahren 5A_532/2007 wurde den Beschwerdeführern mitgeteilt, dass keine Gerichtsschreiberin mit den von ihnen beschriebenen Eigenschaften bei der II. zivilrechtlichen Abteilung angestellt ist (Präsidialverfügung vom 20. September 2007). Daran hat sich auch seither nichts geändert. Der erneut gestellte Beschwerdeantrag, im Hinblick auf ein Ablehnungsbegehren den Namen der in der Beschwerdeschrift (S. 5 f. Ziff. 4) bezeichneten Gerichtsschreiberin bekanntzugeben, erweist sich deshalb als gegenstandslos.
1.3 Das Bundesgericht hat mit seinem Urteil 5A_532/2007 den Entscheid der Kammer für Vormundschaftswesen vom 30. Juli 2007 aufgehoben, den die Beschwerdeführer auch beim Verwaltungsgericht angefochten hatten. Mit der Aufhebung ist das Anfechtungsobjekt im verwaltungsgerichtlichen Verfahren und damit das Interesse an der Beurteilung der Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts nachträglich weggefallen. An einer Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Urteils in der Sache haben die Beschwerdeführer kein rechtlich geschütztes Interesse mehr (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 157). Da die Kammer für Vormundschaftswesen in neuer Besetzung über sämtliche Anträge der Beschwerdeführer nochmals entscheiden muss (E. 4 des Urteils 5A_532/2007), ist die Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts in der Sache - entgegen der Annahme der Beschwerdeführer (S. 1 der Eingabe) - vollumfänglich gegenstandslos geworden. Für diesen Fall sieht das Gesetz vor, dass das Bundesgericht die Beschwerde nach Vernehmlassung der Parteien ohne weitere Parteiverhandlung als erledigt erklärt und mit summarischer Begründung über die Prozesskosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes entscheidet (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Die Vernehmlassungen wurden eingeholt und mitgeteilt. Die Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen hat in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens abzustellen. Sie erfolgt auf Grund einer lediglich summarischen Prüfung, bei der nicht auf alle Rügen einzeln und detailliert einzugehen ist, und mit bloss summarischer Begründung, weil nicht auf dem Weg über den Kostenentscheid ein materielles Urteil gefällt oder vorweggenommen werden darf (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 494 f.; Urteil K 139/2003 vom 2. Dezember 2004, E. 2.1, in: Anwaltsrevue 2005 S. 123).
1.4 Nicht gegenstandslos geworden ist die Beschwerde hingegen, soweit die Beschwerdeführer die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ihrer Begehren und damit verbunden die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im verwaltungsgerichtlichen Verfahren anfechten. Sie berufen sich dabei nicht auf kantonal-rechtliche Bestimmungen über die unentgeltliche Rechtspflege, sondern auf <ref-law> (S. 11 ff. Ziff. 5 der Beschwerdeschrift). Die Erfolgsaussichten eines Begehrens sind auf Grund summarischer Prüfung zu beurteilen (<ref-ruling> S. 145; <ref-ruling> E. 5 S. 616), und zwar in rechtlicher Hinsicht frei (BGE 78 I 193 E. 3 S. 196; <ref-ruling> E. 2c S. 306 f.).
1.5 Aus den dargelegten Gründen ist auf die Beschwerde nur in beschränktem Umfang einzutreten und nachfolgend mit summarischer Prüfung über die Prozesskosten der gegenstandslos gewordenen Beschwerde in der Sache (E. 3) und über die Erfolgsaussichten der Begehren im kantonalen Verfahren zu entscheiden (E. 4 hiernach).
2. Vormundschaftliche Behörden sind gemäss <ref-law> die Vormundschaftsbehörde und die Aufsichtsbehörde. Gemäss <ref-law> bestimmen die Kantone diese Behörden und ordnen, wo zwei Instanzen der Aufsichtsbehörden vorgesehen sind, die Zuständigkeit dieser Instanzen.
2.1 Aus den Materialien geht klar hervor, dass die Kantone eine Aufsichtsbehörde vorsehen müssen, aber nicht mehr als zwei Aufsichtsbehörden einsetzen dürfen. Die Absicht des Nationalrats, den Kantonen mehr als zwei Aufsichtsbehörden zu gestatten, wies der Ständerat zurück mit der Begründung, das Verfahren würde dadurch unnötig verlängert und verteuert. Die Rechtsprechung hat in der Folge daran festgehalten, dass die Kantone mindestens eine und höchstens zwei Aufsichtsbehörden in Vormundschaftssachen zur Verfügung zu stellen haben, wobei die Beschränkung des kantonalen Instanzenzugs auf zwei Aufsichtsbehörden nur für die nach eidgenössischem und nicht auch nach kantonalem Recht den vormundschaftlichen Behörden übertragenen Aufgaben gilt (ausführlich: Schnyder/Murer, Berner Kommentar, 1984, N. 2 und N. 7 sowie N. 29 und N. 33 zu <ref-law>, mit Hinweisen; seither: z.B. <ref-ruling> E. 5a S. 478 f.).
2.2 Das aargauische Einführungsgesetz zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch und Partnerschaftsgesetz (EG ZGB; SAR 210.100) sieht in § 59 vor, dass vormundschaftliche Aufsichtsbehörde das Bezirksamt und Aufsichtsbehörde zweiter Instanz eine Kammer des Obergerichts ist (Abs. 4) und dass für das Verfahren vor den Aufsichtsbehörden sinngemäss die Bestimmungen des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege, insbesondere diejenigen über die Verwaltungsgerichtsbeschwerden gelten (Abs. 5). Gemäss § 2 Abs. 2 können mit Beschwerde angefochten werden Verfügungen der Vormundschaftsbehörde beim Bezirksamt (lit. a) und Verfügungen des Bezirksamtes in Vormundschaftssachen beim Obergericht (lit. c).
2.3 Das Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; SAR 271.100) regelt in §§ 51 ff. die Verwaltungsgerichtsbeschwerde. § 52 zählt Fälle auf, in denen die Beschwerde gegen letztinstanzliche Verfügungen und Entscheide der Verwaltungsbehörden zulässig ist. Die Aufsicht im Vormundschaftswesen gehört nicht zu diesen Beschwerdefällen. Auch wenn dessen Zuständigkeit in der Sache selbst nicht gegeben ist, kann beim Verwaltungsgericht gemäss § 53 gegen letztinstanzlich zuständige Verwaltungsbehörden Beschwerde geführt werden wegen Rechtsverweigerung, Rechtsverzögerung oder Verletzung der Vorschriften über die Zuständigkeit, den Ausstand, das rechtliche Gehör und die Akteneinsicht.
3. Ihre Beschwerde vor Verwaltungsgericht haben die Beschwerdeführer gestützt auf § 53 VRPG für zulässig gehalten. Das Verwaltungsgericht hat deshalb geprüft, ob die Kammer für Vormundschaftswesen in seinem Entscheid vom 30. Juli 2007 zweitinstanzlich Aufgaben nach eidgenössischem Recht oder kantonalem Recht wahrgenommen hat und inwiefern eine Beschwerde nach § 53 VRPG in Betracht fällt.
3.1 Ausgangspunkt des Beschwerdeverfahrens bildet der Beschluss der Vormundschaftsbehörde, eine Vertretungsbeistandschaft aufzuheben. Der Beschluss betrifft eine vormundschaftliche Massnahme, für deren Anordnung die Vormundschaftsbehörde kraft Bundesrechts sachlich zuständig ist (vgl. Schnyder/Murer, a.a.O., N. 52 zu <ref-law>, mit Hinweisen). Das Bezirksamt als vormundschaftliche Aufsichtsbehörde hat eine Überprüfung des Beschlusses abgelehnt und die Sache "zuständigkeitshalber" an die Kammer für Vormundschaftswesen überwiesen. Die Kammer für Vormundschaftswesen als zweitinstanzliche Aufsichtsbehörde ist auf die Beschwerde gegen die Überweisungsverfügung des Bezirksamtes nicht eingetreten und hat die Beschwerde gegen den Beschluss der Vormundschaftsbehörde abgewiesen (Bst. C hiervor). Ob die Kammer für Vormundschaftswesen die Zuständigkeitsfrage und die Aufhebung der Beistandschaft richtig beurteilt hat, ist hier nicht zu entscheiden. Es genügt vielmehr festzuhalten, dass in der Beschwerdesache betreffend Beistandschaft zwei Aufsichtsbehörden tätig waren. Entgegen der Annahme der Beschwerdeführer ist auch die Überweisungsverfügung des Bezirksamtes ein förmlicher Entscheid, in dem die angerufene Behörde gemäss § 7 VRPG ihre Zuständigkeit verneint und die Sache derjenigen Behörde überweist, die sie als zuständig erachtet. Haben somit zwei Aufsichtsbehörden in einer Beschwerdesache entschieden, die sich nach bundesgesetzlichem Vormundschaftsrecht beurteilt, durfte das Verwaltungsgericht sich als dritte kantonale Instanz betrachten und die vor ihm erhobene Beschwerde für unzulässig erklären (E. 2.1 hiervor).
3.2 Der Aufhebung der Vertretungsbeistandschaft durch die Vormundschaftsbehörde ist eine aufsichtsrechtliche Weisung der Kammer für Vormundschaftswesen vorangegangen (Bst. B hiervor). Weiter hat sich im Beschwerdeverfahren die Frage nach dem Ausstand von in der Kammer für Vormundschaftswesen mitwirkenden Personen gestellt. Obwohl sich mit diesen beiden Fragen kantonal nur die Kammer für Vormundschaftswesen befasst hat, ist das Verwaltungsgericht auch auf die in diesen Punkten erhobene Beschwerde nicht eingetreten. Im Ergebnis erweist sich der Entscheid nicht als bundesrechtswidrig. Er entspricht zum einen dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens, wonach die in der Hauptsache zuständige Behörde auch über allfällige Vor- und Zwischenfragen entscheidet, die mit der Sache eng zusammenhängen (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 147; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647). Zum anderen verwirklicht er die gesetzgeberische Absicht (E. 2.1 hiervor), dass im Verfahren vor den vormundschaftlichen Aufsichtsbehörden innert kurzer Frist eine materiell möglichst richtige Entscheidung zu fällen ist. Das Verfahren ist wenig förmlich, führt in der Regel zu einem reformatorischen und nicht bloss kassatorischen Entscheid und gestattet grundsätzlich auch eine Kompetenzattraktion zu Gunsten der mit dem Sachentscheid befassten Behörde (vgl. Geiser, Basler Kommentar, 2006, N. 22 ff. zu <ref-law>, und: Die Aufsicht im Vormundschaftswesen, ZVW 48/1993 S. 201 ff., S. 215; Egger, Zürcher Kommentar, 1948, N. 54 zu <ref-law>). Es verletzt deshalb kein Bundesrecht, dass das Verwaltungsgericht die Beschwerde nach § 53 VRPG auch gegen den Entscheid über Vor- und Zwischenfragen nicht zugelassen hat. Seine Auslegung trägt dem besonderen Charakter der vormundschaftlichen Beschwerde Rechnung (<ref-ruling> E. 3 S. 235) und befolgt den Grundsatz, dass kantonales Verfahrensrecht im Zweifel in einem Sinn auszulegen ist, der die Verwirklichung des Bundesprivatrechts auf einfachstem Wege ermöglicht (<ref-ruling> E. 3 S. 218 f.; <ref-ruling> E. 5b S. 218). Soweit die Beschwerdeführer dagegenhalten, gemäss <ref-law> müssten Rechtsmittelinstanzen entscheiden, sind sie auf <ref-law> zu verweisen, wonach die Frist zum Erlass kantonaler Ausführungsbestimmungen dazu noch nicht abgelaufen ist.
3.3 Die summarische Prüfung des mutmasslichen Verfahrensausganges zeigt, dass die Beschwerde in der Sache hätte abgewiesen werden müssen, wenn sie nicht gegenstandslos geworden wäre.
4. Der verwaltungsgerichtliche Nichteintretensentscheid lässt sich nach dem Gesagten auf Kommentare, allgemeine Verfahrensgrundsätze und die veröffentlichte Rechtsprechung des Bundesgerichts stützen. Die Beschwerdeführer haben dagegen nichts Stichhaltiges vorgetragen. Es erweist sich deshalb offenkundig nicht als verfassungswidrig, dass das Verwaltungsgericht das Begehren des Beschwerdeführers 1 als aussichtslos bezeichnet und dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen hat (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 22). Die dagegen erhobene Beschwerde muss insoweit abgewiesen werden.
5. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer unter solidarischer Haftbarkeit kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Dem Gesuch des Beschwerdeführers 1 um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden. Die vorstehenden Erwägungen verdeutlichen, dass seine Begehren um Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen der gegenstandslos gewordenen Beschwerde und der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Verfahren von Beginn an keinen Erfolg haben konnten (vgl. <ref-law>; vgl. Poudret/Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, V, Bern 1992, N. 5 zu Art. 152 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit sie nicht gegenstandslos geworden ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers 1 um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit für den ganzen Betrag auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli von Roten