Sachverhalt:
A. Mit Verfügungen vom 31. März und 12. April 2010 sprach die IV-Stelle des Kantons St. Gallen der 1971 geborenen D._ ab 1. April 2008 gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 49 % eine Viertelsrente der Invalidenversicherung (nebst drei Kinderrenten) zu.
B. D._ liess Beschwerde erheben und begehren, es sei ihr eine Dreiviertels-, eventuell eine halbe Rente zuzusprechen. Die IV-Stelle beantragte vernehmlassungsweise, unter Abweisung der Beschwerde sei festzustellen, dass die Versicherte keinen Rentenanspruch habe. In teilweiser Gutheissung des eingelegten Rechtsmittels sprach das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen ab 1. April 2008 eine halbe Invalidenrente zu (Entscheid vom 11. Mai 2012).
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde und beantragt, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei festzustellen, dass kein Rentenanspruch bestehe.
D._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt, die Beschwerde sei gutzuheissen.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-ruling> E. 2.2 f. S. 341 ff. ist die IV-Stelle, die im vorinstanzlichen Verfahren gestützt auf <ref-law> beantragte, abweichend von der Leistungsverfügung sei der Rentenanspruch zu verneinen, im Sinne von Art. 89 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 2 lit d BGG legitimiert, den Entscheid des kantonalen Gerichts beim Bundesgericht anzufechten. Auf die Beschwerde der IV-Stelle des Kantons St. Gallen ist daher einzutreten.
2. Streitgegenstand bildet die Frage, ob das kantonale Gericht den Gesundheitszustand (<ref-law>) und die Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit (Art. 6 und Art. 7 ATSG) als wesentliche Voraussetzungen für die Annahme einer Invalidität (<ref-law> und <ref-law>) zutreffend beurteilt hat.
3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>).
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
4.1 4.1.1 Die Vorinstanz hat erkannt, dass zur Beurteilung des Gesundheitszustands und der Arbeitsfähigkeit auf das vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) mit Stellungnahme vom 12. November 2008 fachkundig überprüfte und bestätigte bidisziplinäre Gutachten des Instituts X._ vom 25. August 2008 abzustellen war. Aus orthopädischer Sicht konnten weder radiologisch noch klinisch mit den angegebenen Beschwerden (Schulterschmerzen rechts; Hyposensibilität des rechten Armes; lumbale Schmerzen mit Ausstrahlung in den rechten Fuss) korrelierende Befunde erhoben werden, weshalb insoweit keine Arbeitsunfähigkeit in den angestammten oder anderen vergleichbaren Erwerbstätigkeiten zu begründen war. Hingegen diagnostizierte der psychiatrische Sachverständige, Dr. med. S._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, gemäss der ins Hauptgutachten übernommenen Teilexpertise vom 24. August 2008 eine mittelgradige depressive Episode (ICD-10 F32.1) und eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4), die u.a. in der während der Kindheit erlebten fortgesetzten Gewalt und Drohungen des Vaters gegenüber der Mutter mit Übernahme elterlicher Funktionen ("Parentalisierung") sowie der traumatischen Totgeburt eines Kindes im Jahre 1999 mit daran anschliessender pathologisch (un)verarbeiteter Trauer gründeten und eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % zur Folge hatten.
4.1.2 Davon ausgehend hat die Vorinstanz erwogen, die Krankengeschichte zeige klar auf, dass die anhaltende somatoforme Schmerzstörung im Sinne eines komorbiden Beschwerdebildes zur depressiven Entwicklung hinzugekommen sei. Dr. med. S._ habe darauf hingewiesen, dass in erster Linie die depressiven Symptome (höhergradige Beeinträchtigung der Gedächtnisfunktionen, Reduktion des Arbeitstempos und der -produktivität, anhaltende Müdigkeit und Energielosigkeit) die körperliche und psychische Belastbarkeit reduziere und nicht die empfundenen Schmerzen. Daher liege nicht der typische Fall einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung vor, auf deren Grundlage sich eine depressive Symptomatik entwickelte. Dr. med. S._ verneine schlüssig die Frage, ob die aus dem Krankheitsbild resultierenden Einschränkungen, die zu einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % führten, mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar seien.
4.1.2 Davon ausgehend hat die Vorinstanz erwogen, die Krankengeschichte zeige klar auf, dass die anhaltende somatoforme Schmerzstörung im Sinne eines komorbiden Beschwerdebildes zur depressiven Entwicklung hinzugekommen sei. Dr. med. S._ habe darauf hingewiesen, dass in erster Linie die depressiven Symptome (höhergradige Beeinträchtigung der Gedächtnisfunktionen, Reduktion des Arbeitstempos und der -produktivität, anhaltende Müdigkeit und Energielosigkeit) die körperliche und psychische Belastbarkeit reduziere und nicht die empfundenen Schmerzen. Daher liege nicht der typische Fall einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung vor, auf deren Grundlage sich eine depressive Symptomatik entwickelte. Dr. med. S._ verneine schlüssig die Frage, ob die aus dem Krankheitsbild resultierenden Einschränkungen, die zu einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % führten, mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar seien.
4.2 4.2.1 Die IV-Stelle bringt vor, eine leichte bis (höchstens) mittelschwere depressive Episode sei grundsätzlich therapeutisch angehbar. Daher begründe eine solche gemäss Rechtsprechung keinen verselbstständigten Gesundheitsschaden, der der betroffenen Person verunmögliche, die Folgen einer somatoformen Schmerzstörung zu überwinden. Die Versicherte habe denn auch bis zum Zeitpunkt der gutachterlichen Exploration keine psychiatrische Hilfe beansprucht, was auf fehlenden erheblichen Leidensdruck schliessen lasse. Eine relevante Komorbidität sei unter diesen Umständen zu verneinen. Anhaltspunkte, dass die übrigen Komorbiditätskriterien in hinreichender Häufung oder Ausprägung erfüllt seien, lägen nicht vor.
4.2.2 Das BSV macht zusammengefasst geltend, der angefochtene Entscheid sei bundesrechtswidrig, weil die Vorinstanz die Komorbiditätsfrage über einen Kunstgriff verdrehe, indem sie die mittelgradige depressive Episode in den Vordergrund rücke und postuliere, die somatoforme Schmerzstörung sei subsidiär und daher komorbid zur mittelschweren depressiven Episode, die für sich allein invalidisierend sein soll.
4.2.2 Das BSV macht zusammengefasst geltend, der angefochtene Entscheid sei bundesrechtswidrig, weil die Vorinstanz die Komorbiditätsfrage über einen Kunstgriff verdrehe, indem sie die mittelgradige depressive Episode in den Vordergrund rücke und postuliere, die somatoforme Schmerzstörung sei subsidiär und daher komorbid zur mittelschweren depressiven Episode, die für sich allein invalidisierend sein soll.
4.3 4.3.1 Gemäss dem von der IV-Stelle und dem BSV angerufenen, grundlegenden <ref-ruling> bewirkt eine diagnostizierte anhaltende somatoforme Schmerzstörung allein in der Regel keine lang dauernde, zu einer Invalidität führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Entgegen ihrer Auffassungen kann jedoch bei psychiatrisch gleichzeitig diagnostizierter anhaltender somatoformer Schmerzstörung und depressiver Erkrankung nicht unbesehen der im konkreten Fall fachärztlich erhobenen Befunde festgestellt werden, letztere gehe in der ersteren gleichsam auf. Vielmehr hat das Bundesgericht in <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 356 unmissverständlich festgehalten, dass sich die Verwaltung - und im Streitfall das Gericht - nicht über die den beweisrechtlichen Anforderungen genügenden medizinischen (fachärztlichen) Tatsachenfeststellungen hinwegsetzen, noch sich die ärztlichen Einschätzungen und Schlussfolgerungen zur (Rest)Arbeitsfähigkeit unbesehen ihrer konkreten sozialversicherungsrechtlichen Relevanz und Tragweite zu eigen machen darf. In diesem Kontext ist darauf hinzuweisen, dass kein pathogenetisch-ätiologisch unklarer syndromaler Gesundheitszustand (vgl. zu diesem Begriff <ref-ruling> E. 3.2 S. 399) vorliegt, wenn eine depressive Erkrankung nicht bloss als Begleiterscheinung eines psychogenen Schmerzgeschehens, sondern als ein selbstständiges, davon losgelöstes Leiden anzusehen ist (SVR 2012 IV Nr. 22 S. 95, 8C_302/2011 E. 2.4; Urteil 9C_521/2012 vom 17. Januar 2013 E. 3.1.2 und 4.1).
4.3.2
4.3.2.1 Dr. med. S._ hielt in der psychiatrischen Teilexpertise vom 24. August 2008 fest, aus der Lebensgeschichte der Explorandin ergäben sich Anhaltspunkte (vor allem der Tod des Kindes im Zeitpunkt der Geburt verbunden mit gleichzeitiger Gefährdung des eigenen Lebens als einschneidender Zäsur), welche die depressive Entwicklung und die somatoform zum Ausdruck gebrachten Schmerzen plausibel machten. Er führte aus, in verschiedenen Studien sei gezeigt worden, dass das Risiko, an einer depressiven Störung zu erkranken, im Rahmen einer pathologischen Trauer, auch abgesehen von einer im Einzelfall erhöhten Vulnerabilität, wesentlich erhöht sei. Die Aussagen der Versicherten, sie sei sich selbst gegenüber "kalt" geworden und habe genug von sich, wiesen auf eine pathologische Trauerbewältigung hin. Die in zeitlicher Nähe mit der Totgeburt des Kindes aufgetretene, sich kontinuierlich steigernde Schmerzsymptomatik sei bei praktisch vollständig fehlendem somatischem Korrelat aufgrund der Ähnlichkeit, wie "Schmerz" und "Verlust" wahrgenommen würden, zueinander in Verbindung zu bringen. Der "körperliche" Schmerz sei an die Stelle der unbewältigten Trauer getreten und zum Substitut geworden, da er konkreter, lokalisierbarer und sozial akzeptabler sei. Sodann hielt Dr. med. S._ fest, die in sich konsistenten Angaben der Versicherten (bspw. vergesse sie oft das Essen auf dem Herd und habe dadurch auch schon fast einen Wohnungsbrand verursacht) deckten sich mit den klinisch feststellbaren, deutlichen kognitiven Störungen hinsichtlich Konzentration und Merkfähigkeit (u.a. konnte die Versicherte im Explorationsgespräch drei Begriffe, die sie im Gedächtnis hätte behalten sollen, zehn Minuten später nicht mehr wiedergeben) und liessen auf eine höhergradige Beeinträchtigung der Gedächtnisfunktionen schliessen. Wegen des depressiven Leidens sei die körperliche und psychische Belastbarkeit reduziert, was zu einer Verminderung von Arbeitsproduktivität und -tempo führte; gleichfalls vermindert sei die von der depressiven Störung im Sinne der dargelegten Genese abgespaltene Schmerzsymptomatik, die als anhaltende somatoforme Schmerzstörung diagnostiziert werden könne.
4.3.2.2 Aufgrund der Darlegungen des Dr. med. S._ ist davon auszugehen, dass die Versicherte im Zeitpunkt der gutachterlichen Exploration an psychopathologisch schwerwiegenden affektiven und kognitiven Beeinträchtigungen litt. Indessen kann aus der angegebenen Diagnose einer mittelgradigen depressiven Episode gemäss ICD-10 F32.1 allein nicht ohne Weiteres geschlossen werden, dass sie eine voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde (teilweise) Erwerbsunfähigkeit bewirkte (vgl. E. 2 hievor). Gemäss den Klinisch-diagnostischen Leitlinien der Internationalen Klassifikation psychischer Störungen der Weltgesundheitsorganisation, ICD-10 Kapitel V (F), Dilling/Mombour/Schmidt [Hrsg.], 7. Aufl., Bern 2010, S. 155 unten, dauern bei diagnostizierter rezidivierender depressiver Störung (ICD-10 F33) die einzelnen Episoden in der Regel zwischen 3 und 12 Monaten (im Mittel etwa 6 Monate), wobei nur eine Minderheit von Patienten eine anhaltende Depression entwickelt (S. 156 oben). Zudem kann aus dem diagnostizierten Schweregrad einer depressiven Episode nicht ohne Weiteres abgeleitet werden, die Erkrankung und deren Auswirkungen könnten therapeutisch nicht (mehr) gebessert werden (vgl. ICD-10 Kapitel V (F), a.a.O., S. 156 oben). Im Gesamtzusammenhang schliesslich werden in ICD-10 Kapitel V (F) unter F32 die depressiven Episoden (leicht-, mittel- und schwergradig) umschrieben, wogegen unter F33 von rezidivierenden Störungen die Rede ist (a.a.O. S. 149 und 155). Diese Unterscheidung legt nahe, dass bei letzteren eher von einer ungünstigeren Prognose in Bezug auf die Beurteilung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit auszugehen ist.
4.3.3 Unter diesen Prämissen betrachtet ist die in das Hauptgutachten der Institution Y._ vom 25. August 2008 übernommene Teilexpertise des Dr. med. S._ vom 24. August 2008 insofern unklar, als er diagnostisch den Begriff "depressive Episode" verwendete, hiegegen in der Beurteilung der Befunde von einer "depressiven Störung" sprach. In diesem Kontext bleibt insbesondere fraglich, ob das vom psychiatrischen Experten vorgeschlagene Behandlungskonzept (Verordnung eines antriebssteigernden Antidepressivums morgens und eines sedierenden abends mit [dringend indizierter] psychotherapeutischer Bearbeitung des Kindesverlusts und gleichzeitig durchzuführender nonverbaler Therapieverfahren) anschlagen und zu einer kurz- bis mittelfristig realisierbaren, dauerhaften Steigerung der um 50 % beeinträchtigten Arbeitsfähigkeit führen könnte. Zum anderen diagnostizierte Dr. med. S._ auch eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung gemäss ICD-10 F45.4, ohne dass dafür in der von den Ärzten aus somatischer Fachrichtung erhobenen Anamnese auch nur annähernd ein körperliches Korrelat gefunden wurde. Auch in diesem Punkt könnte gestützt auf die Teilexpertise des Dr. med. S._ geschlossen werden, dass die von der Versicherten angegebenen Schmerzen nicht hauptsächlich mit der an sich zuverlässig dargelegten psychopathologischen Entwicklung und den anlässlich der klinischen Exploration fachärztlich erhobenen Befunde zu begründen war. Insgesamt ist daher festzustellen, dass sich nicht schlüssig beurteilen lässt, ob eine von der anhaltenden somatoformen Schmerzstörung im Sinne der in E. 4.3.1 in fine hievor zitierten Rechtsprechung abgrenzbare und andauernde depressive Erkrankung vorliegt. Wie es sich damit verhält, wird die IV-Stelle, an welche die Sache zurückzuweisen ist, näher abzuklären haben.
5. Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird umständehalber verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass Ziff. 1 des Entscheides des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 11. Mai 2012 und die Verfügungen der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 31. März und 12. April 2010 aufgehoben werden und die Sache an die IV-Stelle zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über den Anspruch der Beschwerdegegnerin auf Invalidenrente neu verfüge.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. April 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Grunder