Sachverhalt:
A.
A. und B.F._ stammen aus dem Kosovo. Sie reisten am 8. April 1990 in die Schweiz ein. Die drei gemeinsamen Kinder C.F._ (geb. 1994), D.F._ (geb. 1997) und E.F._ (geb. 2000) wurden in U._/BE geboren. Die Familie lebte in der Gemeinde V._/BE, meldete sich per 30. April 2001 ab und lebte fortan während zweier Jahre im Kosovo. Die Niederlassungsbewilligungen aller Familienmitglieder wurden auf Gesuch hin bis zum 31. Mai 2003 aufrecht erhalten. Im April 2003 kehrte die Familie in die gleiche Einwohnergemeinde in der Schweiz zurück. A.F._ blieb jedoch im Kosovo erwerbstätig und die ganze Familie hielt sich fortan (bis Mitte 2012) mehrheitlich in ihrer Heimat auf. Im Jahr 2006 wurde A.F._ in der Schweiz eingebürgert. Die Einbürgerungsgesuche der restlichen Familienmitglieder wurden sistiert. Die Kontrollfristen der Niederlassungsbewilligungen von B.F._ und der Kinder wurden in den Jahren 2006 und 2009 um drei bzw. fünf Jahre verlängert.
B.
Am 27. Oktober 2011 stellte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern fest, dass die Niederlassungsbewilligungen von B.F._ und der Kinder infolge langer Landesabwesenheit erloschen seien. Gegen diese Verfügung erhoben A. und B.F._ am 29. November 2011 Beschwerde bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (POM). Diese wies das Rechtsmittel ab, soweit sie darauf eintrat. Eine hiergegen erhobene Beschwerde ans Verwaltungsgericht lehnte dieses ab, soweit es darauf eintrat (Urteil vom 22. Januar 2014).
C.
Mit Eingabe vom 28. Februar 2014 beantragen A.F._, B.F._ und C.F._ sowie D.F._ und E.F._, vertreten durch ihre Eltern, dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die Niederlassungsbewilligungen der Beschwerdeführer 2-5 nicht erloschen seien. Diese seien "zu verlängern".
Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei; das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Amt für Migration verzichtet auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen.
Das präsidierende Mitglied der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat der Beschwerde am 6. März 2014 antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Mit Schreiben vom 19. Juni 2014 brachte das Amt für Migration des Kantons Bern dem Bundesgericht zur Kenntnis, dass die Beschwerdeführer 3-5 per 29. Mai 2014 erleichtert eingebürgert worden seien. Dieses Schreiben ist den Beschwerdeführern am 26. Juni 2014 zugestellt worden. Sie haben sich hierzu nicht geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>). Gegen Entscheide über den Widerruf oder die Feststellung des Erlöschens einer Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerde jedoch zulässig, weil grundsätzlich ein Anspruch auf das Fortbestehen dieser Bewilligung gegeben ist (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4).
1.2. Gemäss Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG ist zur Beschwerde berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Erforderlich ist regelmässig ein aktuelles, praktisches Rechtschutzinteresse (<ref-ruling> E. 2.1 S. 41 f.). Fehlt dieses zum Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, fällt es nachträglich dahin, ist das Beschwerdeverfahren abzuschreiben (vgl. Urteile 2C_649/2014 vom 24. Oktober 2014 E. 2.1; 2C_964/2014 vom 23. Oktober 2014 E. 2.2).
A.F._ ist bereits im Jahr 2006 eingebürgert worden. Er ersuchte damals um Einbürgerung seiner Familie. Da die Kinder zu jenem Zeitpunkt die Schule im Kosovo besuchten und daher keine Integration stattfinde, wurden die Einbürgerungsgesuche sistiert (vgl. vorne Sachverhalt Ziff. A). Mit Schreiben vom 19. Juni 2014 orientierte das Amt für Migration des Kantons Bern das Bundesgericht, dass die Beschwerdeführer 3-5 per 29. Mai 2014 erleichtert eingebürgert worden seien. Dieses Schreiben ist den Beschwerdeführern zugestellt worden. Sie haben sich hierzu nicht geäussert. Die Beschwerde hat das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung zum Inhalt; in Bezug auf die Niederlassungsbewilligungen der Beschwerdeführer 3-5 ist das Verfahren gegenstandslos. An der Behandlung der Beschwerde besteht diesbezüglich offensichtlich kein Interesse. Zu prüfen bleibt, ob die Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 erloschen ist.
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel bleiben im bundesgerichtlichen Verfahren grundsätzlich unberücksichtigt (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 122 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. f.; je mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht ist an die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gebunden, soweit sie sich nicht als offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich erweisen oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Zudem ist von den Beschwerdeführern aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- und Rügeanforderungen nicht. Bei ungenügender Rüge und Begründung ist auf die Rüge nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 3.8 S. 144).
1.5. Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die richtige Anwendung des Bundesrechts und des Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b sowie <ref-law>). Zulässig ist auch die Rüge, die Anwendung kantonalen Rechts führe zu einer Bundesrechtsverletzung, namentlich, dass kantonales Recht willkürlich angewendet werde (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 149 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158). Die Verletzung von Grundrechten - mit Einschluss des Willkürverbots - und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.
2.1. Verlässt eine niederlassungsberechtigte Person die Schweiz, ohne sich abzumelden, erlischt die Niederlassungsbewilligung nach sechs Monaten (Art. 61 Abs. 2 Satz 1 AuG). Auf Gesuch hin kann die Niederlassungsbewilligung während vier Jahren aufrechterhalten werden (Art. 61 Abs. 2 Satz 2 AuG). Nach konstanter Rechtsprechung kommt es für das Erlöschen weder auf die Motive der Landesabwesenheit noch auf die Absichten des Betroffenen an (Urteile 2C_512/2013 vom 17. Februar 2014 E. 2; 2C_397/2011 vom 10. Oktober 2011 E. 3.2.2; 2C_980/2010 vom 21. Juni 2011 E. 2.1; 2C_853/2010 vom 22. März 2011 E. 5.1; je mit Hinweisen). Dass der Beschwerdeführer 1 im Kosovo - wobei er die näheren Umstände hierzu ohnehin nicht darlegt - für eine schweizerische Unternehmung tätig gewesen sein soll, ist im Rahmen der Prüfung des Erlöschens der Niederlassungsbewilligungen der Familie nicht von Bedeutung.
2.2. Die sechsmonatige Frist wird zudem durch vorübergehende Besuchs-, Tourismus- oder Geschäftsaufenthalte in der Schweiz nicht unterbrochen (<ref-law> [SR 142.201]). Somit erlischt die Niederlassungsbewilligung wegen Aufenthaltsunterbruchs auch dann, wenn ausländische Personen während eines grösseren Zeitraums landesabwesend sind, jeweils vor Ablauf von sechs Monaten für beschränkte Zeit in die Schweiz zurückkehren, dies aber bloss zu Besuchszwecken tun. Bei solchen Verhältnissen werden daher nicht etwa die (verschiedenen) Ausreisezeitpunkte, sondern wird vielmehr die Frage nach dem Lebensmittelpunkt zum ausschlaggebenden Kriterium (Urteile 2C_327/2013 vom 23. Oktober 2013 E. 2.1; 2C_471/2012 vom 18. Januar 2013 E. 4.1 mit Hinweisen; vgl. auch Urteile 2C_461/2012 vom 7. November 2012 E. 2.4.1; 2A.633/2006 vom 26. Januar 2007 E. 3.1; je mit Hinweisen).
3.
Zu beurteilen ist die Frage, ob die Vorinstanz - aufgrund der Auslandaufenthalte der Beschwerdeführerin 2 und ihrer Familie im Kosovo - vom Erlöschen ihrer Niederlassungsbewilligung ausgehen durfte (Art. 61 Abs. 2 AuG).
3.1. Das Verwaltungsgericht hat in tatsächlicher Hinsicht willkürfrei festgestellt, dass die Beschwerdeführer vom 30. April 2001 bis April 2003 im Ausland abwesend waren (Anmeldung am 22. April 2003); in den Folgejahren hielt sich die Familie mehrheitlich im Herkunftsstaat auf, wobei die Kinder ihre gesamte (Beschwerdeführerinnen 3 und 4) bzw. einen Grossteil ihrer Schulzeit (Beschwerdeführer 5) absolvierten. Während der Schulferien verbrachte die Familie jeweils zwei bis drei Monate im Sommer sowie einen Monat im Winter in der Schweiz. Eine Abmeldung bei der Einwohnerkontrolle nahmen die Beschwerdeführer für die Abwesenheit nach 2003 nicht vor. In der Schweiz verfügten sie über keine Wohnung mehr und waren während ihrer Aufenthalte jeweils bei einer befreundeten Familie in Untermiete. Zumindest während der Jahre 2003-2005 wurde keine Miete für eine Unterkunft bezahlt; den Nachweis, dass sie in den letzten Jahren in der Schweiz Steuern bezahlt hätten, konnten die Beschwerdeführer sodann nicht erbringen.
3.2. Während die Familie bereits in den Jahren 2001-2003 einmal zwei Jahre im Kosovo gelebt hatte, hielt sie sich ab 2003 jeweils während acht bis zehn Monaten pro Jahr im Kosovo auf. Der Beschwerdeführer 1 hat bis 2012 dort gearbeitet; auch die Beschwerdeführerin 2 war dort teils erwerbstätig. Die Kinder haben im Kosovo die Schulen besucht; demgegenüber verbrachten sie die Ferien in der Schweiz. Selbst wenn die Familie nie je sechs aneinander folgende Monate ausser Landes gewesen sein sollte, ist - in Übereinstimmung mit der Vorinstanz - von einer zehnjährigen Landesabwesenheit mit der Verlegung des Lebensmittelpunktes ins Ausland auszugehen.
Damit steht fest, dass die Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 seit rund zehn Jahren erloschen ist.
4.
Die Beschwerdeführer sehen in verschiedenen Handlungen der Einwohnergemeinde, des Zivil- und Bürgerrechtsdienstes sowie des Amts für Migration einen Verstoss gegen den Vertrauensschutz sowie das Verbot widersprüchlichen Verhaltens (Art. 5 Abs. 3 und <ref-law>), sodass sich die Behörden nicht auf das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung berufen könnten.
4.1. Nach ständiger Rechtsprechung verleiht der in <ref-law> verankerte Grundsatz von Treu und Glauben einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens, sofern sie sich auf eine Vertrauensgrundlage berufen kann und wenn sie gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 73; <ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170). Eine Vertrauensgrundlage kann sich namentlich aus einer vorbehaltlosen und nicht erkennbar unrichtigen Auskunft einer dafür zuständigen Person in einem konkreten Fall ergeben (<ref-ruling> E. 3.6.2 S. 193; <ref-ruling> E. 6.1 S. 637). Die Rechtsfolge des Vertrauensschutzes ist in erster Linie, dass die Behörde an die Vertrauensgrundlage gebunden ist (vgl. Urteil 2C_502/2013 vom 30. September 2013 E. 2.1).
4.2. Eine solche Vertrauensgrundlage aus Auskünften von Behörden besteht - sofern dies vorliegend überhaupt relevant sein könnte (dazu unten E. 4.4) - nicht: Gemäss den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen kann zwar davon ausgegangen werden, dass der Gemeindeschreiber der Einwohnergemeinde davon Kenntnis hatte, dass sich die Familie während der letzten zehn Jahre überwiegend im Ausland aufhielt. Die Vorinstanz schliesst es sodann nicht aus, dass der Gemeindeschreiber falsche Auskünfte betreffend das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung bei längeren Auslandaufenthalten gegeben hat. Sie erachtet ihn indessen als für entsprechende Auskünfte nicht zuständig. Die Beschwerdeführer rügen nicht - jedenfalls nicht substanziiert - die Erwägungen zur Unzuständigkeit der Gemeinde, sondern bringen vor, sie hätten gutgläubig gehandelt. Wenn die Vorinstanz Letzteres mit dem Hinweis verneint, der Beschwerdeführer 1 hätte sich und seine Familie für den ersten mehrjährigen Auslandaufenthalt (2001-2003) bereits bei der zuständigen Behörde vorsorglich abgemeldet, damit die Niederlassungsbewilligungen der Familienmitglieder nicht erlöschen würden, so verletzt dies kein Bundesrecht.
Dass entsprechende falsche Auskünfte betreffend Auslandaufenthalt zudem durch das Amt für Migration per Telefon erfolgt sein sollen, ist in tatsächlicher Hinsicht nicht erstellt. Was die Beschwerdeführer hiergegen vorbringen, beschränkt sich auf appellatorische Sachverhaltskritik und bleibt unbeachtlich (oben E. 1.4). Namentlich ist nicht ersichtlich, wie die Vorinstanz, die den Antrag auf Parteibefragung für einen entsprechenden Beweis als wenig geeignet ansah, den Anspruch der Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör verletzt haben soll (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157).
4.3. Die Beschwerdeführer machen weiter geltend, das Amt für Migration hätte die Kontrollfristen zur Niederlassungsbewilligung auch noch nach der Einbürgerung des Beschwerdeführers 1 im Jahr 2006 und auch 2009 verlängert. In jenen Unterlagen wäre ersichtlich gewesen, dass die Familie damals meist im Ausland wohnte. Wenn das Migrationsamt 2011 von einem Erlöschen der Niederlassungsbewilligung bereits in jenem Zeitpunkt ausgehe, sei dies treuwidrig.
4.3.1. Die Annahme der Vorinstanz, die näheren Umstände der Beschwerdeführer in der Schweiz bzw. im Kosovo wären dem Amt für Migration - trotz der von ihm vorgenommenen Verlängerung der Kontrollfrist der Niederlassungsbewilligungen - nicht bekannt gewesen, ist nicht willkürlich: Nach Art. 34 Abs. 1 AuG wird die Niederlassungsbewilligung unbefristet und ohne Bedingungen erteilt, sodass sich ein "Antrag um Verlängerung" erübrigt. Davon zu unterscheiden ist der Ausweis für Personen mit Niederlassungsbewilligung, welcher gemäss Art. 41 Abs. 3 AuG zur Kontrolle für fünf Jahre ausgestellt wird. Dieser Ausweis stellt keine Bewilligung dar, weshalb mit seiner Verlängerung (vgl. <ref-law>) - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer - nicht zwingend eine materielle Prüfung der Bewilligungsvoraussetzungen verbunden ist (Urteile 2C_348/2012 vom 13. März 2013 E. 1.1; 2C_733/2012 vom 24. Januar 2013 E. 4.2; vgl. bereits 2A.284/2001 vom 9. Oktober 2001 E. 3e).
4.3.2. Auch eine Rechtsverletzung im Zusammenhang mit der Meldung betreffend Einbürgerung des Beschwerdeführers 1 im Jahr 2006 kann dem Verwaltungsgericht nicht vorgeworfen werden: Die Vorinstanz geht zwar davon aus, dass die Gemeinde dem Amt für Migration die Einbürgerung des Beschwerdeführers 1 meldete (Art. 4 Abs. 1 lit. g der Einführungsverordnung zum Ausländer- und zum Asylgesetz vom 14. Oktober 2009 [EV AuG und AsylG/BE]). Dabei handle es sich indessen um eine (blosse) Meldung, die ohne Zustellung der kommunalen Einbürgerungsakten an das Migrationsamt erfolgte, sodass dieses hieraus zum Zeitpunkt der Einbürgerung des Beschwerdeführers 1 - so die Vorinstanz in tatsächlicher Hinsicht weiter - keine Kenntnisse der langjährigen Landesabwesenheit der Familie hatte. Spezifische Anhaltspunkte für eine mögliche Verlagerung des Lebensmittelpunktes der Familie in den Kosovo ergaben sich gestützt auf die Einbürgerungsmeldung - gerade in Anbetracht der allgemeinen Voraussetzungen einer Einbürgerung und der Wohnsitzerfordernisse hierfür (vgl. Art. 36 Abs. 3 in Verbindung mit <ref-law> [SR 141.0]) - für das Amt für Migration nicht. Gemäss dem von der Vorinstanz festgestellten und von den Beschwerdeführern nicht substanziiert bestrittenen Sachverhalt erfuhr das Migrationsamt vom überwiegenden Auslandaufenthalt der Familie erst Ende 2010. Es leitete hiernach die Feststellung des Erlöschens der Bewilligung umgehend ein.
4.3.3. Eine Vertrauensgrundlage schaffen sodann auch nicht die von den Beschwerdeführern behauptete Verletzung von Meldepflichten des Zivil- und Bürgerrechtsdienstes und der Einwohnergemeinde: Der Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst und das Amt für Migration sind zwar derselben Amtsstelle (Polizei- und Militärdirektion) unterstellt. Angesichts der ausdifferenzierten arbeitsteiligen Struktur der Verwaltungen erscheint jedoch die Annahme unrealistisch, die der einen Organisationseinheit zur Verfügung stehenden Informationen müssten unter dem Gesichtspunkt des Vertrauensschutzes einer anderen Einheit jederzeit bekannt sein. Bezüglich Meldepflichten sieht Art. 97 Abs. 1 AuG vor, dass sich die direkt mit dem Vollzug des AuG betrauten Behörden gegenseitig in der Erfüllung ihrer Aufgaben unterstützen. Sie erteilen die benötigten Auskünfte und gewähren auf Verlangen Akteneinsicht. Auch die anderen Behörden des Bundes, der Kantone und der Gemeinden sind - im Rahmen der Amtshilfe - verpflichtet, die für den Vollzug des AuG notwendigen Daten und Informationen auf Verlangen den Vollzugsbehörden des AuG bekannt zu geben (Art. 97 Abs. 2 AuG). Die kantonalen Migrationsämter sind Vollzugsbehörden für das AuG. Um ihre gesetzlichen Aufgaben zu erfüllen, dürfen die kantonalen Migrationsämter hierfür erforderliche Auskünfte bei anderen Ämtern einholen (Art. 97 Abs. 2 AuG). Aus den bundesrechtlichen Bestimmungen ergibt sich demnach - mit Ausnahme der in <ref-law> genannten meldepflichtigen Daten, wozu Daten der Zivilstandsbehörden aus den Einbürgerungsakten nicht gehören - keine Pflicht zur automatischen Weiterleitung. Namentlich führt die Mutmassung der Beschwerdeführer, die Gemeinde habe es "möglicherweise unterlassen", Daten an die Migrationsbehörde zu melden, zu keiner Überprüfung allfälliger weitergehender Bestimmungen des kantonalen Rechts zu Meldepflichten (vorne E. 1.5) und damit ohnehin zu keiner Vertrauensgrundlage im Sinne von <ref-law> (vorne E. 4.1).
4.4. Damit sind keine besonderen Umstände und keine konkrete Vertrauensgrundlage dargelegt, auf die sich die Beschwerdeführer (gutgläubig) stützen könnten. Ebenso wenig ist dargetan, dass bzw. inwiefern sich das Amt für Migration selbst widersprüchlich verhalten hätte. Insbesondere lässt der Umstand, dass das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung vom Amt für Migration - bei entsprechender Kenntnis - bereits 2006 hätte festgestellt werden können, die Anordnung der vorliegend umstrittenen ausländerrechtlichen Massnahme im Oktober 2011, bei der Pflege überwiegender Beziehungen zum Heimatland über zusätzliche Jahre hinweg, nicht als treuwidrig erscheinen. Die Erwägungen der Vorinstanz sind - soweit sie überhaupt relevant sind, nachdem sich der Erlöschensgrund in der Zeitspanne auch nach den gerügten Handlungen der Behörden erfüllte - weder willkürlich noch verletzen sie Art. 5 Abs. 3 und <ref-law> oder den Fairnessgrundsatz. Es ergeben sich keine rechtlichen Gründe, die gegen das Erlöschen der Bewilligung sprechen würden.
5.
Die Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 ist infolge einer zehnjährigen Landesabwesenheit erloschen. Dem stehen keine rechtlichen Hindernisse entgegen. Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit sie nicht gegenstandslos geworden ist (vgl. oben E. 1.2). Die unterliegenden Beschwerdeführer werden kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 65 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit sie nicht gegenstandslos geworden ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern 1-3 unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni