Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1957) war seit Juni 1996 als Leiterin des Hausdienstes in einem Altersheim tätig. Ab dem Jahr 2001 hielten ärztliche Berichte fest, sie sei wegen eines chronischen panvertebralen Schmerzsyndroms, Schmerzfehlverarbeitung "mit Symptomausweitung bei diversen sozialen Problemen" sowie multiplen weichteilrheumatischen Beschwerden hälftig arbeitsunfähig. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen erkannte A._ mit Wirkung ab November 2001 eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 14. August 2002).
Nachdem A._ Ende 2004 geltend gemacht hatte, ihr Gesundheitszustand habe sich verschlechtert, holte die IV-Stelle ein Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) ein. Diese hielt in der Expertise vom 6. Juli 2006 fest, es seien keine Diagnosen zu stellen, welche mit einer wesentlichen Einschränkung der Arbeitsfähigkeit verbunden wären. Die IV-Stelle lehnte das Gesuch um Rentenerhöhung ab (Verfügung vom 29. Mai 2007). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen ab. Es hielt fest, die gutachtliche Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit, welche im Vergleich zu ärztlichen Einschätzungen im Zeitpunkt der Rentenzusprechung 2002 deutlich abweiche, beruhe auf der unterschiedlichen Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts (Entscheid vom 5. November 2008).
In einem weiteren Revisionsgesuch beantragte A._ wiederum eine höhere Invalidenrente. Die MEDAS stellte in einem Verlaufsgutachten vom 19. August 2009 nach wie vor keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit fest. Ohne Auswirkung auf das Leistungsvermögen blieben ein panvertebrales Schmerzsyndrom (mit leichter Fehlform bzw. -statik der Wirbelsäule sowie einer kleinen, nicht kompressiven Diskushernie C3/4), ein generalisiertes Weichteilsyndrom (klinisch: Fibromyalgie), eine chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren, rezidivierende depressive Episoden, eine verminderte mentale Leistungsfähigkeit multifaktorieller Genese, der Bluthochdruck und eine Adipositas. Ungeeignet seien lediglich Arbeiten, bei welchen ergonomisch ungünstige Körperhaltungen eingenommen werden müssten, die mit dem Heben und Tragen von über 15 Kilogramm schweren Gewichten verbunden oder in der Kälte zu verrichten seien. Die IV-Stelle stellte zunächst in Aussicht, den laufenden Anspruch auf eine halbe Rente bestätigen zu wollen (Vorbescheid vom 9. Dezember 2010). In einem weiteren Vorbescheid vom 2. August 2012 sah die IV-Stelle sodann die Wiedererwägung der Verfügung vom 14. August 2002 und die Aufhebung der Invalidenrente vor. Mit Verfügung vom 23. November 2012 hob die Verwaltung die Rente auf Ende des Jahres hin auf und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen gerichtete Beschwerde gut und hob die Verfügung vom 23. November 2012 auf (Entscheid vom 29. November 2013).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die Verfügung vom 23. November 2012 sei zu bestätigen.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Sie beantragt die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung). Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Das kantonale Gericht erwog, von einer zweifellosen Unrichtigkeit der leistungszusprechenden Verfügung vom 14. August 2002 könne, jedenfalls nach damaligem Massstab, nicht ausgegangen werden. Die Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit (50 Prozent) durch den Allgemeinmediziner Dr. B._ und den Rheumatologen Dr. C._ sei nachvollziehbar. Eine fachärztliche (psychiatrische) Einschätzung sei nicht unabdingbar gewesen, auch wenn die Arbeitsunfähigkeit mit "psychiatrischen Faktoren" begründet worden sei (E. 2.2). Hinsichtlich der weiteren Entwicklung der gesundheitlichen Situation wies das kantonale Gericht auf seinen Entscheid vom 5. November 2008 hin. Danach habe sich der Gesundheitszustand gemäss dem MEDAS-Gutachten vom 6. Juli 2006 "jedenfalls nicht verschlechtert" (angefochtener Entscheid E. 3.3). Auch für die Folgezeit ergebe sich keine erhebliche Veränderung (Verlaufsgutachten der MEDAS vom 19. August 2009; E. 3.4-3.7). Die strittige Verfügung vom 23. November 2012 lasse sich daher auch nicht unter dem Titel der materiellen Revision (<ref-law>) begründen (E. 3.8).
1.2. Die beschwerdeführende Verwaltung macht geltend, die ursprüngliche Verfügung von 2002 beruhe - vor allem mangels fachärztlicher Beurteilungsgrundlage - nicht auf einer nachvollziehbaren Feststellung der Arbeitsfähigkeit. Hinzu komme, dass die IV-Stelle damals nicht abgeklärt habe, ob und in welchem Umfang die von den behandelnden Ärzten attestierte hälftige Arbeitsunfähigkeit inzwischen angestiegen sei: Der Rheumatologe Dr. C._ habe am 10. September 2001 festgehalten, eine 50-prozentige Arbeitsunfähigkeit bestehe nur "vorderhand"; sobald sich die psychische Situation stabilisiert habe, könne wieder ein grösseres Arbeitspensum zugemutet werden. Der rechtserhebliche Sachverhalt sei daher unvollständig gewesen, die darauf gestützte Invaliditätsbemessung nicht rechtskonform. Bis zum Erlass der strittigen Verfügung vom 23. November 2012 sei vollständige Arbeitsfähigkeit ausgewiesen.
Die Beschwerdegegnerin hält entgegen, im Zeitpunkt der Rentenzusprechung hätten keine Rechtsvorschriften bestanden, welche Art und Umfang der notwendigen medizinischen Abklärungen regelten. Unzutreffend sei auch das Argument des unvollständig abgeklärten Sachverhaltes: Im Zeitpunkt der Rentenzusprechung habe noch gar nicht festgestellt werden können, ob sich die in einem Arztbericht erwähnte Möglichkeit eines Ansteigens der Arbeitsfähigkeit tatsächlich realisieren würde.
2.
Der Versicherungsträger kann durch Wiedererwägung auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (<ref-law>).
2.1. Zweifellose Unrichtigkeit meint, dass kein vernünftiger Zweifel an der (von Beginn weg bestehenden) Unrichtigkeit der Verfügung möglich, also einzig dieser Schluss denkbar ist. Das Erfordernis ist in der Regel erfüllt, wenn eine Leistungszusprechung unvertretbar war, weil sie aufgrund falscher Rechtsregeln erfolgte oder weil massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden (<ref-ruling> E. 3.3 S. 328). Qualifiziert unrichtig ist die Verfügung auch, wenn ihr ein unvollständiger Sachverhalt zugrunde liegt, so wenn eine klare Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes dazu führte, dass die Invaliditätsbemessung nicht auf einer nachvollziehbaren ärztlichen Einschätzung der Arbeitsfähigkeit beruht (vgl. <ref-law>; Urteil 9C_466/2010 vom 23. August 2010 E. 3.2.2; vgl. Urteil 9C_307/2011 vom 23. November 2011 E. 3.2 mit Hinweis). Die Frage nach der zweifellosen Unrichtigkeit beurteilt sich nach der Rechtslage im Zeitpunkt des Verfügungserlasses, einschliesslich der damaligen Rechtspraxis (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 149).
2.2. Eine Revisionsverfügung tritt an die Stelle der zu revidierenden Verfügung. Dies gilt unabhängig davon, ob eine Rente revisionsweise (<ref-law>) herauf- oder herabgesetzt wird oder die bisherige Rente nach materieller Prüfung des Rentenanspruchs bestätigt wird (vgl. <ref-ruling>). Wenn nachträglich durch Wiedererwägung oder (neue) Revision auf diese Revisionsverfügung zurückgekommen wird, lebt die ursprüngliche Verfügung nicht wieder auf. Vorbehalten bleibt die Nichtigkeit der Revisionsverfügung (amtlich zu publizierendes Urteil 8C_424/2013 vom 21. November 2014 E. 5.2).
Aus diesem Grund ist hier, abweichend von strittiger Verfügung und angefochtenem Entscheid, die zweifellose Unrichtigkeit nur der Revisionsverfügung vom 29. Mai 2007 zu prüfen.
2.3.
2.3.1. Grundlage der ursprünglichen Leistungszusprechung waren zwei Arztberichte. Der Allgemeinmediziner Dr. B._ attestierte eine Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent infolge eines chronischen Panvertebralsyndroms, Fibromyalgie und einer reaktiven depressiven Störung (Bericht vom 31. Dezember 2001). Der Rheumatologe Dr. C._ diagnostizierte neben einem chronischen panvertebralen Schmerzsyndrom und einer Schmerzfehlverarbeitung "mit Symptomausweitung bei diversen sozialen Problemen" multiple weichteilrheumatische Beschwerden. Das Zusammenwirken der rheumatologischen und psychischen Probleme führe zu einer unheilvollen Entwicklung mit drohender Invalidität. Aus rein rheumatologischer Sicht sei die Arbeitsfähigkeit für leichte Arbeiten zwar nicht beeinträchtigt. Mit Blick auf die drohende psychische Dekompensation empfehle er aber, die Patientin vorderhand nur zu 50 Prozent arbeitsfähig zu schreiben. Wenn sich die psychische Situation wieder stabilisiert habe, "kann allenfalls eine allmähliche Steigerung der Arbeitsfähigkeit auf 100% ins Auge gefasst werden" (Bericht vom 10. September 2001).
2.3.2. Unter diesen Umständen hätte bei Erlass der Revisionsverfügung vom 29. Mai 2007 klar sein müssen, dass die auf interdisziplinärer Untersuchung beruhende Schlussfolgerung der MEDAS, es bestehe keine zu Arbeitsunfähigkeit führende Gesundheitsschädigung (Expertise vom 6. Juli 2006 S. 16), nicht bloss die abweichende Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Zustandes darstellte. Der Leistungsanspruch stand unter dem Vorbehalt einer psychischen Stabilisierung. Nach deren Eintritt hätte eine Arbeitsunfähigkeit nur noch angenommen werden dürfen, wenn festgestanden wäre, dass eine verselbständigte Gesundheitsschädigung das Leistungsvermögen weiterhin beeinträchtigte (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 299). Die Sachverständigen brachten jedoch zum Ausdruck, dass die schon vorher grundsätzlich vorhandene Arbeitsfähigkeit nunmehr, wie von Dr. C._ prognostiziert, umgesetzt werden konnte, ohne dass damit weiterhin ein erhebliches gesundheitliches Risiko verbunden gewesen wäre (vgl. Urteil 9C_273/2014 vom 16. Juni 2014 E. 3.3.4). Die Einschätzung der MEDAS hätte unter diesen Umständen zu einer revisionsweisen Aufhebung der Invalidenrente führen müssen. Ihre Nichtberücksichtigung macht die Verfügung vom 29. Mai 2007 im Sinne von <ref-law> zweifellos unrichtig.
2.3.3. Der Umstand, dass das kantonale Gericht die Verfügung vom 29. Mai 2007 überprüft hat (Entscheid vom 5. November 2008), steht deren Wiedererwägung nicht entgegen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2 S. 417; Urteil 9C_889/2011 vom 8. Februar 2012 E. 5.1) : Das Gericht hat den Antrag der Versicherten abgewiesen, die bisherige halbe sei durch eine ganze Invalidenrente zu ersetzen. Die Frage, ob die angefochtene Verfügung allenfalls zu Ungunsten der Versicherten zu ändern sei (Reformatio in peius in Form einer Rentenaufhebung), konnte nicht Thema der richterlichen Beurteilung sein, nachdem das kantonale Gericht den Parteien keine Gelegenheit zur Stellungnahme resp. zum Rückzug der Beschwerde gegeben hatte (vgl. <ref-law>).
2.4. Eine Aufhebung des Rentenanspruchs auf dem Weg einer Wiedererwägung setzt voraus, dass auch bis dahin keine Invalidität eingetreten ist (Urteil 9C_121/2014 vom 3. September 2014 E. 3.4, SVR 2014 IV Nr. 39 S. 137 mit Hinweisen). Nach dem Gesagten war im Zeitpunkt der Verfügung vom 29. Mai 2007 keine Arbeitsunfähigkeit mehr ausgewiesen. Für die Folgezeit bis zur strittigen Verfügung vom 23. November 2012 ergab die (auf das zweite MEDAS-Gutachten vom 19. August 2009 sowie weitere Arztberichte abstellende) vorinstanzliche Beweiswürdigung, dass keine erhebliche Änderung des Gesundheitszustandes und seiner funktionellen Folgen eingetreten ist (E. 3 des angefochtenen Entscheids). Diese Feststellung tatsächlicher Natur ist nicht offensichtlich unrichtig oder anderswie bundesrechtswidrig (<ref-law>). Das Bundesgericht ist somit daran gebunden (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
3.
3.1. Nach dem Gesagten ist die Aufhebung des Rentenanspruchs rechtens.
3.2. Der Zeitpunkt der Rentenaufhebung (auf Ende des Jahres 2012 hin) richtet sich hier nicht nach der Prüfung allfälliger Massnahmen der beruflichen Wiedereingliederung, auch wenn die Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der leistungsaufhebenden Verfügung vom 23. November 2012 das 55. Altersjahr bereits vollendet hatte (vgl. zuletzt Urteil 9C_920/2013 vom 20. Mai 2014 E. 4.4). Die in den MEDAS-Gutachten vom 6. Juli 2006 und 19. August 2009 ausgewiesene vollständige Arbeitsfähigkeit war auch in der früher ausgeübten Tätigkeit einer Hausdienstleiterin verwertbar. Daher hing deren Umsetzung nicht von Integrations- oder Massnahmen beruflicher Art ab (vgl. Urteile 9C_163/2009 vom 10. September 2010 E. 4.1 und 4.2.2, SVR 2011 IV Nr. 30 S. 86; 9C_771/2009 vom 10. September 2010 E. 3.2.1).
4.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>) sind erfüllt (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Die Beschwerdegegnerin hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 29. November 2013 wird aufgehoben.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Dr. Barbara Wyler als unentgeltliche Anwältin der Beschwerdegegnerin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indessen vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin der Beschwerdegegnerin wird für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'400.- ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur neuen Regelung der Kostenfolgen des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Dezember 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub