Sachverhalt:
A. Mit Prozesseingabe vom 10. Januar 2007 klagte A._ (Beschwerdeführer) beim Bezirksgericht Prättigau/Davos gegen seinen früheren Arbeitgeber, X._ (Beschwerdegegner), auf Bezahlung des ausstehenden Lohns bis zum Ablauf der ordentlichen Kündigungsfrist von Fr. 123'750.-- sowie einer angemessenen Spesenentschädigung nebst Zins zu 5% seit 2. August 2006. Ferner verlangte er, dass ihm ausstehende Spesen in der Höhe von Fr. 15'000.-- und angesichts der fristlosen Kündigung eine Entschädigung nach richterlichem Ermessen zu bezahlen sei.
Der Beschwerdegegner beantragte mit eingeschriebener Prozessantwort vom 12. März 2007 die Abweisung der Klage. In der Folge bestritt der Beschwerdeführer, dass die Prozessantwort rechtzeitig eingereicht worden sei, während der Beschwerdegegner von der Rechtzeitigkeit seiner Prozessantwort ausging.
B. In der Beweisverfügung vom 8. April 2008 erachtete es das Bezirksgerichtspräsidium Prättigau/Davos unter anderem als erwiesen, dass die Prozessantwort rechtzeitig, d.h. innert Frist, der Post übergeben worden ist.
Gegen diese Beweisverfügung gelangte der Beschwerdeführer mit Beschwerde an den Bezirksgerichtsausschuss Prättigau/Davos und beantragte, es sei festzustellen, dass die Prozessantwort verspätet eingereicht worden sei. Ferner seien die als erheblich erklärten Beweismittel durch die von ihm in den Rechtsschriften der Prozesseinleitung vorgebrachten Beweismittel zu vervollständigen. Mit Beiurteil vom 29. Mai 2008 wies der Bezirksgerichtsausschuss Prättigau/Davos die Beschwerde ab, soweit er darauf eintrat. Er erkannte, dass die Prozessantwort rechtzeitig eingereicht worden war, weshalb er die Beschwerde in diesem Punkt abwies. Betreffend die Vervollständigung der Beweismittel trat er mangels Begründung auf die Beschwerde nicht ein, wobei er ausführte, dass selbst wenn auch insoweit auf die Beschwerde einzutreten wäre, diese abgewiesen würde.
C. Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, es sei das Beiurteil des Bezirksgerichtsausschusses Prättigau/Davos vom 29. Mai 2008 aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die Klageantwort des Beschwerdegegners verspätet war.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Bezirksgerichtsausschuss Prättigau/ Davos verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1).
1.1 Die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig gegen Endentscheide, d.h. gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>). Der vorliegend angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab. Vielmehr geht es um die Abweisung einer Beschwerde gegen eine prozessleitende Verfügung, namentlich die Feststellung, dass die Prozessantwort rechtzeitig eingereicht wurde. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betrifft.
Gegen solche Zwischenentscheide ist die Beschwerde nur zulässig, wenn eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt ist: wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>); oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Es obliegt dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich in die Augen springt (vgl. dazu <ref-ruling>).
1.2 Die Voraussetzung eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils ist vorliegend offensichtlich nicht gegeben und wird vom Beschwerdeführer auch nicht geltend gemacht.
1.3 Hingegen beruft er sich auf <ref-law>. Dabei begnügt er sich indessen mit der blossen Behauptung, die Gutheissung der Beschwerde und damit die Klagegutheissung würden sofort einen Endentscheid herbeiführen und ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen. Er begründet jedoch in keiner Weise, weshalb dies zutreffen soll und welche weitläufigen Beweiserhebungen in welchem zeit- und kostenmässigen Umfang erforderlich sind. Weder das eine noch das andere ist ohne Weiteres ersichtlich. So ist im Gegenteil fraglich, ob bei Gutheissung der Beschwerde und damit Verneinung der Rechtzeitigkeit der Prozessantwort ohne Weiteres auf Gutheissung der Klage erkannt werden könnte, was der Beschwerdeführer im Übrigen auch gar nicht beantragt hat. Sodann ist nicht ersichtlich, welches weitläufige Beweisverfahren erspart würde. Somit erweist sich die Beschwerde auch unter dem Titel von <ref-law> als unzulässig und es kann nicht auf sie eingetreten werden.
2. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bezirksgerichtsausschuss Prättigau/Davos schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. November 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Corboz Sommer