Faits:
A.
M. A.X._ (1952) et Mme B.X._ (1962) se sont mariés le 4 novembre 1993 à Las Vegas (USA). Deux enfants sont issus de leur union: C._ (1994) et D._ (1996). La vie séparée des époux a été réglée par jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 12 décembre 2002. Les époux ont repris la vie commune en 2008.
B.
B.a. Le 29 octobre 2012, l'époux a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale. Par jugement du 5 juillet 2013, le Tribunal de première instance du canton de Genève a notamment attribué la garde de D._ à sa mère, le père bénéficiant d'un droit de visite à raison de deux jours à midi et deux nuits par semaine, d'un week-end sur deux et de la moitié des vacances scolaires. Il a également condamné l'époux à verser à son épouse, à compter du jugement, une contribution de 3'000 fr. pour l'entretien de la famille, ainsi que les allocations familiales qu'il reçoit pour les enfants.
B.b. Statuant le 30 août 2013 sur appel de l'épouse, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre civile) a réformé le jugement en ce sens que l'époux est condamné à verser à son épouse la somme de 38'600 fr. à titre de contribution à l'entretien de sa famille pour la période du 1er novembre 2012 au 31 août 2013, sous imputation des contributions déjà versées pour cette période, à savoir 14'250 fr., et à s'acquitter d'une contribution d'entretien de 3'800 fr. par mois, allocations familiales non comprises, à compter du 1er septembre 2013.
C.
Par mémoire du 9 octobre 2013, l'époux exerce un recours en matière civile contre cet arrêt. Il conclut à son annulation et à la confirmation du jugement rendu le 5 juillet 2013 par le Tribunal de première instance. Invitée à se déterminer, l'épouse a conclu, en substance, au rejet du recours. Quant à la Chambre civile, elle s'est référée aux considérants de son arrêt.
D.
Par ordonnance présidentielle du 31 octobre 2013, l'effet suspensif a été accordé pour les contributions dues jusqu'à la fin septembre 2013, mais non pour les montants dus à partir du 1er octobre 2013.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le présent recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) ainsi que dans les formes légales (art. 42 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF; <ref-ruling> consid. 4 p. 395 s.) rendue sur recours par une autorité supérieure (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (art. 72 al. 1 LTF). Le litige porte sur la contribution d'entretien en faveur de la famille, à savoir une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 ch. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). La recourante a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 let. a LTF) et a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 let. b LTF). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
1.2. Le recours en matière civile des art. 72 ss LTF étant une voie de réforme (art. 107 al. 2 LTF), le recourant ne doit pas se borner à demander l'annulation de la décision attaquée; il doit également prendre des conclusions sur le fond du litige (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 383 s.). De surcroît, les conclusions doivent être déterminées avec suffisamment de précision; ainsi, celles qui portent sur une somme d'argent doivent être chiffrées (<ref-ruling> consid. 2 p. 236 s.). Exceptionnellement, des conclusions non chiffrées suffisent lorsque la somme à allouer est d'emblée reconnaissable au regard de la motivation du recours ou de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 2 p. 236 s. et les références citées; arrêt 5A_766/2008 du 4 février 2009 consid. 2.2 s., in FamPra.ch 2009 p. 422).
En l'occurrence, les conclusions du recourant ne portent que sur l'annulation de l'arrêt entrepris et sur la confirmation de la décision prise par l'autorité de première instance. Toutefois, on comprend du rapprochement de la motivation de son mémoire et de sa conclusion tendant à la confirmation du jugement du 5 juillet 2013 que le recourant sollicite la fixation d'une contribution d'entretien de 3'000 fr. par mois, à savoir le montant qu'avait fixé le premier juge.
2.
2.1. Dès lors que la décision attaquée porte sur le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC), lesquelles sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 668; <ref-ruling> consid. 5 p. 396), le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen limité, seule la violation des droits constitutionnels pouvant être invoquée. Il n'examine en outre les griefs de violation de droits constitutionnels que s'ils ont été invoqués et motivés conformément au principe d'allégation ( "Rügeprinzip" , art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 287).
2.2. Aux termes de l'art. 271 let. a CPC, les mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC) sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire. La décision de mesures protectrices de l'union conjugale est en principe provisoire et revêtue d'une autorité de la chose jugée limitée. La jurisprudence rendue avant l'entrée en vigueur du CPC demeure applicable (en particulier l'<ref-ruling> consid. 2b/bb p. 478) : la cognition du juge est limitée à la simple vraisemblance des faits et à un examen sommaire du droit (arrêt 5A_557/2013 du 23 décembre 2013 consid. 1.3).
2.3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt attaqué que s'il démontre la violation de droits constitutionnels par l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 588 s.).
2.4. Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4b p. 40; <ref-ruling> consid. 1b p. 30 et les références). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Cette retenue est d'autant plus grande lorsque, comme en l'espèce (cf. supra consid. 2.2), le juge n'examine la cause que d'une manière sommaire et provisoire (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 325; <ref-ruling> consid. 2b/bb p. 478 s.). La partie recourante qui se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit motiver son grief d'une manière correspondant à l'exigence de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. supra consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62).
3.
Le recours a pour objet la contribution d'entretien en faveur de la famille, dans le cadre d'une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale.
3.1. La Chambre civile a tout d'abord considéré qu'avant février 2013, l'époux n'avait pas mis les allocations familiales à la disposition de son épouse. Elle a estimé que l'époux n'avait pas rendu vraisemblables ses allégations, selon lesquelles il aurait versé ces allocations sur un compte joint dont il aurait par la suite privé l'accès à son épouse. Selon la cour cantonale, s'il a réellement, comme il le prétend, pu empêcher son épouse d'effectuer des prélèvements sur ce compte, il ne pouvait pas s'agir d'un compte joint; par conséquent, lui seul pouvait produire les relevés de compte censés prouver ses allégations, ce qu'il n'a pas fait. Pour ces motifs, les 400 fr. d'allocations familiales perçus pour l'enfant mineur n'ont été imputés sur les charges de ce dernier qu'à compter du 1er février 2013.
3.2. S'agissant de la situation financière des parties, la cour cantonale a retenu que l'époux percevait un revenu mensuel net de 10'532 fr., ses charges étant fixées à 4'720 fr. par mois, de sorte qu'il bénéficie d'un solde disponible de 5'812 fr. Quant au salaire de l'épouse, qui travaille à mi-temps en qualité de réceptionniste, il s'élève à 3'098 fr. par mois. L'autorité précédente a considéré qu'il n'y avait pas lieu de lui imputer un revenu hypothétique, dès lors qu'elle n'a eu, ces dernières années, que des emplois temporaires de durée déterminée, de sorte que sa situation sur le marché du travail paraît précaire; par ailleurs, rien n'indique qu'elle pourrait retrouver, à 50 ans, un emploi à plein temps dans un délai prévisible - l'époux n'ayant de surcroît articulé aucun élément susceptible de rendre vraisemblable que tel serait le cas. Les charges de l'épouse additionnées à celles de l'enfant mineure s'élèvent à 4'804 fr. jusqu'au 31 janvier 2013, et à 4'404 fr. à compter de cette date - au motif que dès le 1er février 2013, les allocations familiales par 400 fr. ont été régulièrement versées par l'époux - ; il en résulte un déficit de 1'706 fr. jusqu'au 31 janvier 2013, respectivement de 1'306 fr. dès le 1er février 2013.
Appliquant la méthode dite du minimum vital, les juges précédents ont réparti le disponible des époux, à savoir 4'106 fr. jusqu'au 31 janvier 2013, et 4'506 fr. à compter de cette date, à raison de 55% en faveur du groupe constitué de l'épouse et de l'enfant mineure (45 % pour l'épouse et 10% pour l'enfant), et 45% en faveur de l'époux. Cette clef de répartition a été privilégiée pour tenir compte de l'importance relative du solde disponible, un partage à raison de 2/3 en faveur de l'épouse et de l'enfant semblant excessif dans les circonstances de l'espèce. L'épouse ayant droit à la couverture de son déficit, il en résulte une contribution d'entretien due par l'époux pour sa famille de 3'964 fr., arrondie à 4'000 fr., jusqu'au 31 janvier 2013, et de 3'784 fr., arrondie à 3'800 fr., à compter du 1er février 2013.
3.3. La contribution d'entretien en faveur de la famille - à savoir de l'épouse et de l'enfant dont celle-ci assumait la garde de fait depuis le début de la procédure - a été fixée rétroactivement à compter du jour de la litispendance, soit par simplification dès le 1er novembre 2012, au motif que les époux vivaient déjà séparés à ce moment-là, leur situation financière n'ayant pas évolué jusqu'à ce que le jugement de première instance soit rendu, sous réserve de la question des allocations familiales.
4.
Le recourant affirme que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire (art. 9 Cst.) s'agissant de la constatation des faits et de l'appréciation des preuves, en retenant qu'il n'a pas mis les allocations familiales à la disposition de son épouse avant le 1er février 2013. Selon lui, il incombait à celle-ci d'apporter la preuve de l'absence de versements, au besoin au moyen d'une réquisition de production de pièces, ceci en application des art. 170 al. 1 CC ainsi que de la maxime inquisitoire (art. 272 et 296 al. 1 CPC).
4.1. En matière de mesures protectrices de l'union conjugale, la maxime inquisitoire est applicable (art. 272 CPC et, pour le sort des enfants, art. 296 al. 1 CPC). Selon la jurisprudence, le juge a le devoir d'éclaircir les faits et de prendre en considération d'office tous les éléments qui peuvent être importants pour rendre une décision conforme à l'intérêt de l'enfant, même si ce sont les parties qui, en premier lieu, lui soumettent les faits déterminants et les offres de preuves. Cette obligation du juge d'établir d'office les faits n'est cependant pas sans limite. En effet, la maxime inquisitoire ne dispense pas les parties de collaborer activement à la procédure et d'étayer leurs propres thèses; il leur incombe de renseigner le juge sur les faits de la cause et de lui indiquer les moyens de preuve disponibles (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 412 à 414; arrêt 5A_808/2012 du 29 août 2013 consid. 4.3.2). Lorsque, contrairement à ce qu'on serait en droit d'attendre d'elle, une partie refuse de collaborer à l'administration des preuves, celle-ci peut être close. Même lorsque la maxime inquisitoire s'applique, le juge peut apprécier les preuves en défaveur de la partie qui viole son devoir de renseigner (art. 170 CC: arrêt 5A_562/2011 du 21 février 2012 consid. 7.5). Le juge se prononce donc sur le résultat de la collaboration d'un époux dans le cadre de l'appréciation des preuves disponibles. Le recourant qui entend s'en prendre à cette appréciation des preuves doit invoquer l'art. 9 Cst. et en démontrer le caractère arbitraire (arrêts 5A_562/2011 du 21 février 2012 consid. 7.6.1; 5A_783/2010 du 8 avril 2011 consid 6.1).
4.2. Au préalable, il faut relever que le recourant ne critique pas la constatation selon laquelle le compte sur lequel il prétend avoir versé les allocations familiales est en réalité un compte dont il est seul titulaire, se limitant à affirmer qu'il incombait à son épouse de prouver qu'il n'a pas mis à sa disposition les allocations familiales jusqu'à fin janvier 2013.
En tant qu'il se réfère à l'art. 170 CC, le recourant n'explique pas de manière claire et détaillée pour quel motif cette disposition aurait été appliquée arbitrairement en l'espèce - étant rappelé que dans le cadre du présent recours, la cognition de la Cour de céans est limitée aux droits constitutionnels (cf. supra consid. 2.1) -. Il semble par ailleurs oublier que cette disposition consacre le droit de l'époux à la communication de renseignements et de pièces de la part de son conjoint, à savoir un droit subjectif privé conféré par le droit matériel (arrêt 5C.157/2003 du 22 janvier 2004 consid. 3.1 publié in SJ 2004 I 477), qui n'a pas pour effet de renverser le fardeau de la preuve (<ref-ruling> consid. 3a p. 28); il ne saurait dès lors être question de déduire de cette disposition, comme semble le suggérer le recourant, qu'il incombait à l'épouse de requérir qu'il produise des pièces.
En ce qui concerne le grief relatif à l'application arbitraire de la maxime inquisitoire, autant qu'il soit suffisamment motivé (art. 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.1), force est de constater que le recourant se méprend sur le sens du raisonnement de la Chambre civile. En effet, celle-ci lui reproche en réalité de ne pas avoir apporté la preuve de ses propres allégations, selon lesquelles il aurait mis les allocations familiales à la disposition de son épouse; le recourant ne prétend pas, dans son recours, qu'il aurait apporté cette preuve. Or, comme il a été rappelé ci-dessus, la maxime inquisitoire ne dispense nullement les parties d'étayer leurs propres thèses (cf. supra consid. 4.1). En définitive, autant que recevable, le grief doit être rejeté.
5.
S'agissant toujours de l'établissement des faits et de l'appréciation des preuves, le recourant soutient que l'autorité cantonale a arbitrairement omis de prendre en considération le revenu de 616 fr. par mois perçu par l'intimée pour la location d'une chambre. Selon lui, cet élément a été dûment allégué en procédure et prouvé par la production, en janvier 2013 déjà, d'un contrat du 6 juillet 2012. Dans son mémoire de réponse, l'intimée expose que selon les termes de ce contrat, elle perçoit certes 200 fr. par semaine durant 37 semaines, mais qu'il lui incombe de nourrir et blanchir sa locataire. Dès lors, il ne faudrait pas ajouter 616 fr., mais seulement 300 fr. par mois à son revenu. Selon elle, il en découle une différence minime sur le montant de la pension alimentaire, à savoir 74 fr. 30 jusqu'au 31 janvier 2013 et 149 fr. 30 à compter de cette date, ce qui ne contreviendrait pas à l'art. 4 CC.
Comme l'indique à juste titre le recourant, l'arrêt entrepris ne fait aucune mention du contrat du 6 juillet 2012. Cette pièce a pourtant été produite par l'intimée dans son bordereau de pièces du 22 janvier 2013. Se fondant sur ce document, le recourant a effectivement exposé lors de la procédure d'appel qu'il fallait ajouter un montant de 616 fr. par mois au salaire de l'intimée. Or, l'arrêt entrepris ne contient aucune constatation quant au revenu tiré de la location de la chambre, la cour cantonale ayant omis, sans motifs objectifs, d'établir les faits et d'administrer les preuves à ce sujet (cf. supra consid. 2.4). Il s'ensuit que le grief du recourant doit être admis sur le principe et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour complément d'instruction (art. 107 al. 2 LTF) en ce qui concerne le montant de revenu net tiré de la location de la chambre - ainsi que, le cas échéant, la période concernée par ce revenu -, puis nouvelle décision, la cour de céans ne disposant pas des éléments nécessaires pour recalculer le montant de la contribution d'entretien en tenant compte du nouveau solde disponible de la crédirentière.
6.
Invoquant la mauvaise constatation des faits ainsi que l'arbitraire dans l'application des art. 176 al. 1 ch. 1 et 163 CC, le recourant critique le refus de la cour cantonale d'imputer un revenu hypothétique à son épouse. Il expose que vu leur âge, les enfants n'ont plus besoin d'une présence accrue de leurs parents, de sorte que son épouse est en mesure de rechercher un emploi à plein temps. Ces éléments constitueraient des faits notoires dont il appartenait à l'intimée de prouver le contraire, notamment en produisant des pièces attestant de ses recherches d'emploi. Par ailleurs, il rappelle que son contrat de travail a été renouvelé. Il y aurait donc lieu de lui imputer un revenu hypothétique de 5'000 fr.
6.1. De jurisprudence constante, même lorsqu'on ne peut plus sérieusement compter sur la reprise de la vie commune, l'art. 163 CC demeure la cause de l'obligation d'entretien réciproque des époux en mesures protectrices de l'union conjugale, comme il l'est aussi en mesures provisionnelles prononcées pour la durée de la procédure de divorce (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 98 s.; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 386 s.). Pour fixer la contribution d'entretien, selon l'art. 176 al. 1 ch. 1 CC, le juge doit partir de la convention, expresse ou tacite, que les époux ont conclue au sujet de la répartition des tâches et des ressources entre eux. Il doit ensuite prendre en considération qu'en cas de suspension de la vie commune (art. 175 s. CC), le but de l'art. 163 CC, soit l'entretien convenable de la famille, impose à chacun des époux le devoir de participer, selon ses facultés, notamment par la reprise ou l'augmentation de son activité lucrative, aux frais supplémentaires qu'engendre la vie séparée. Le juge peut donc devoir modifier la convention conclue pour la vie commune, pour l'adapter à des faits nouveaux. En revanche, ni le juge des mesures protectrices de l'union conjugale, ni celui des mesures provisionnelles ne doit trancher, même sous l'angle de la vraisemblance, les questions de fond, objets du procès en divorce, en particulier celle de savoir si le mariage a influencé concrètement la situation financière du conjoint (ATF <ref-ruling> consid. 3.1 p. 388).
Lors de la fixation de la contribution d'entretien, le juge doit en principe tenir compte des revenus effectifs. Un conjoint peut toutefois se voir imputer un revenu hypothétique, pour autant qu'il puisse gagner plus que son revenu effectif en faisant preuve de bonne volonté et en accomplissant l'effort que l'on peut raisonnablement exiger de lui. L'obtention d'un tel revenu doit donc être effectivement possible (<ref-ruling> consid. 4.2.2.2 p. 108; <ref-ruling> consid. 4a p. 5). Les critères permettant de déterminer le montant du revenu hypothétique sont, en particulier, la qualification professionnelle, l'âge, l'état de santé et la situation sur le marché du travail. Savoir si l'on peut raisonnablement exiger d'une personne une augmentation de son revenu est une question de droit; en revanche, déterminer di une personne a la possibilité effective d'exercer une activité déterminée et quel revenu elle peut en obtenir est une question de fait (<ref-ruling> consid. 4.2.2.2 p. 108; <ref-ruling> consid. 4c/bb p. 7).
6.2. En l'espèce, il y a lieu de constater que l'argument selon lequel les enfants n'ont plus besoin d'autant de présence parentale au vu de leur âge est sans pertinence. En effet, les motifs pour lesquels la cour cantonale a nié la possibilité effective pour l'intimée de trouver un travail à plein temps sont tout autres, à savoir son âge et sa situation sur le marché du travail. Comme il a déjà été précisé, la question de la possibilité effective d'exercer une activité relève du fait (cf. supra consid. 6.1). Or, les critiques du recourant, essentiellement appellatoires, ne démontrent pas en quoi les constatations de la cour cantonale sur ce point seraient insoutenables. Il ne conteste d'ailleurs pas que l'intimée n'a exercé, ces dernières années, que des emplois temporaires de durée déterminée, le fait que son dernier contrat ait été renouvelé ne permettant pas de remettre en cause ces constatations. Mal fondées pour autant que recevables, ses critiques doivent être rejetées.
7.
Le recourant affirme qu'à la suite d'une constatation arbitraire des faits (art. 9 Cst.), l'autorité cantonale a appliqué de manière insoutenable les art. 163 et 176 al. 1 ch. 1 CC en attribuant à l'épouse 55% du solde disponible et en accordant un effet rétroactif à la contribution d'entretien.
7.1. Le recourant qualifie d'arbitraire la constatation selon laquelle la garde de fait de l'enfant mineure a été assumée par son épouse dès le 1er novembre 2012. Il expose que l'enfant passerait exactement le même temps chez chacun des parents, ce qui ressortirait d'ailleurs, depuis que le jugement de première instance a été rendu, du droit de visite tel que fixé par le tribunal. Au surplus, selon le rapport du SPMi du 16 avril 2013, les époux exerçaient une garde partagée de fait sur leur fille mineure (p. 3 de l'arrêt entrepris), aucun élément retenu dans l'arrêt attaqué ne permettant de contredire ce constat. Le recourant affirme que dans ces circonstances, le solde disponible des époux aurait dû être partagé par moitié, non pas à raison de 45% pour l'époux et 55% pour l'épouse et l'enfant. En outre, la garde ayant été attribuée formellement à l'épouse par jugement du 5 juillet 2013, l'épouse n'était tenue de prendre en charge les frais d'entretien de l'enfant qu'à compter de ce jour. Le recourant affirme qu'avant le prononcé du jugement, il a lui-même pris en charge ces frais, de sorte qu'il était arbitraire d'accorder un effet rétroactif à la contribution d'entretien.
7.2. En tant qu'il soutient s'être acquitté des frais d'entretien de l'enfant entre le début de la procédure et le moment où a été rendu le jugement de première instance, le recourant se fonde sur des faits qui ne ressortent pas de la décision attaquée, sans toutefois expliquer pour quel motif l'autorité cantonale aurait arbitrairement omis d'en tenir compte, de sorte que l'argument est irrecevable (art. 99 LTF; cf. supra consid. 2.3 et 2.4). En ce qui concerne les constatations relatives à la garde de fait de l'enfant, il ressort notamment de l'arrêt entrepris que lorsque les époux ont été entendus par le SPMi, ils ont expliqué que l'enfant " résidait chez sa mère mais rendait fréquemment visite à son père, avec lequel elle déjeunait les lundis et mardis et chez qui elle dormait les mercredis et jeudis ainsi qu'un week-end sur deux ". Ces éléments, pas plus que les modalités du droit de visite fixé par le tribunal, ne permettent toutefois pas d'affirmer que l'enfant passe " exactement le même temps chez chacun des parents ", comme le prétend le recourant sans toutefois l'expliciter. Dans ces circonstances, par ses critiques, il ne parvient pas à démontrer qu'il est insoutenable de considérer que, au stade de la vraisemblance (cf. supra consid. 2.2), il paraissait justifié de retenir que la garde de fait a été exercée par la mère dès le 1er novembre 2012.
Enfin, dans son argumentation relative à l'application arbitraire des art. 163 et 176 CC, en relation avec la répartition du solde disponible et avec l'effet rétroactif de la pension, le recourant invoqueexclusivement que la garde de fait n'a pas été assumée par son épouse. Par conséquent, le grief n'a pas de portée propre par rapport au grief de mauvaise constatation des faits qui vient d'être traité.
8.
En conclusion, le recours doit être partiellement admis dans la mesure de sa recevabilité, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour instruction et nouvelle décision au sens des considérants. Il se justifie de répartir les frais judiciaires entre les parties à raison de 3/4 pour le recourant, qui succombe dans la plupart de ses conclusions, et d'1/4 pour l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). Le recourant versera en outre une indemnité de dépens réduite à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Dans cette mesure, la requête d'assistance judiciaire de l'intimée, dont les conditions sont réalisées (art. 64 al. 1 LTF), est sans objet. Pour le surplus, les dépens sont compensés (art. 68 al. 1 LTF); la Caisse du Tribunal fédéral versera au mandataire de l'intimée, dans la mesure où celle-ci succombe, une indemnité d'avocat d'office (art. 64 al. 2 LTF). Il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour instruction et nouvelle décision au sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est admise, en tant qu'elle n'est pas sans objet, et Me Elisabeth Gabus-Thorens lui est désignée comme avocate d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à raison de 1'500 fr. à la charge du recourant et à raison de 500 fr. à la charge de l'intimée, la part qui incombe à celle-ci étant provisoirement supportée par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 1'500 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant; pour le surplus, les dépens sont compensés.
5.
La Caisse du Tribunal fédéral versera au mandataire de l'intimée une indemnité d'avocat d'office de 500 fr.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 27 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Bonvin