Faits:
A. Par arrêt du 27 février 2009, la Cour d'assises du canton de Genève a condamné X._, pour actes d'ordre sexuel commis sur une personne incapable de discernement ou de résistance (<ref-law>), vols (<ref-law>), dommages à la propriété (<ref-law>) et violation de domicile (<ref-law>), à trente-six mois de privation de liberté, dont dix-huit avec sursis pendant cinq ans, sous déduction de la détention préventive, et déclaré cette peine partiellement complémentaire à une précédente, de vingt jours d'emprisonnement, dont elle a renoncé à révoquer le sursis à l'exécution.
B. Contre cet arrêt, X._ a formé un pourvoi que la Cour de cassation du canton de Genève a rejeté par arrêt du 14 septembre 2009.
C. X._ recourt au Tribunal fédéral contre ce dernier arrêt, dont il demande, principalement, la réforme en ce sens qu'il soit acquitté du chef d'actes d'ordre sexuel commis sur une personne incapable de discernement ou de résistance et, en tout état de cause, que sa peine soit réduite et la partie ferme de celle-ci réduite de manière à être entièrement compensée par la détention préventive. À titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause aux autorités cantonales pour nouvelle décision sur l'accusation d'actes d'ordre sexuel commis sur une personne incapable de discernement ou de résistance, ainsi que sur la peine et le sursis.
Il assortit son recours d'une demande d'assistance judiciaire et d'une requête d'effet suspensif.
Le Procureur général du canton de Genève et la cour cantonale ont été invités à se déterminer sur les moyens concernant la fixation de la peine et le sursis. Le premier a conclu au rejet du recours; la seconde s'est référée à son arrêt.
Le recourant a renoncé à présenter des observations sur ces réponses.

Considérant en droit:
1. En premier lieu, le recourant soutient que la cour d'assises est sortie du cadre tracé par l'ordonnance de renvoi, au mépris de l'art. 283 du code de procédure pénale genevois (ci-après: CPP/GE; RS/GE E4 20), en retenant que l'intimée avait perdu conscience non à cause du verre de vodka que le recourant ou ses amis lui avaient donné à boire, mais en raison de sa fatigue et de sa consommation d'alcool fort tout au long de la soirée. En refusant de sanctionner cette irrégularité, l'arrêt attaqué commettrait l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., et violerait le principe d'accusation.
Le recourant n'expose pas avec la précision exigée à l'<ref-law> que le droit cantonal irait au delà des garanties qui résultent des art. 29 al. 2 et 32 al. 2 Cst. (et de l'art. 6 § 3 al. a CEDH). Le juge du fond ne viole le principe d'accusation consacré par ces dernières dispositions que s'il se fonde sur un état de fait différent de celui qui figure dans l'acte de renvoi sans avoir respecté les formalités requises pour étendre l'accusation ou sans avoir donné à l'accusé la faculté de s'exprimer sur le complètement ou la modification de l'accusation d'une manière suffisante et en temps utile ou, encore, s'il applique une disposition pénale plus sévère ou tout autre que celle indiquée dans l'acte de renvoi sans avoir laissé à l'accusé la possibilité de faire valoir ses moyens de défense au sujet de la nouvelle qualification (cf. <ref-ruling> consid. 2c p. 22).
En l'espèce, le recourant a été renvoyé aux assises sous l'accusation de contrainte sexuelle (<ref-law>) et de viol (<ref-law>) pour avoir, d'abord, mis l'intimée hors d'état de résister en lui faisant boire une vodka, ou accepté que ses deux amis et co-accusés la mettent hors d'état de résister en lui faisant boire une vodka, et pour avoir, ensuite, commis sur elle, alors qu'elle était inconsciente, des actes d'ordre sexuel de toute nature et accepté que ses deux co-accusés en fassent autant. Aux débats, le président a demandé aux jurés si, par ces faits, le recourant s'était rendu coupable d'actes d'ordre sexuel commis sur une personne incapable de discernement ou de résistance (<ref-law>). Le jury a répondu par l'affirmative à cette question complémentaire.
Le crime dont le recourant a ainsi été convaincu est exclusivement constitué par le fait qu'il s'est livré à des actes d'ordre sexuel sur une personne dont il a exploité l'incapacité de discernement ou de résistance, indépendamment de la cause de cette incapacité. Peu importe, dès lors, que le jury ait retenu que l'intimée avait perdu la capacité de résister pour une autre raison que celle alléguée dans l'ordonnance de renvoi. Dans cet acte, le recourant était accusé d'avoir commis sans le consentement de l'intimée des actes d'ordre sexuel sur celle-ci alors qu'elle était inconsciente. Par la question complémentaire du président, son attention avait été attirée sur la possibilité que les faits qui lui étaient reprochés reçoivent la qualification prévue à l'<ref-law>. Partant, sa condamnation pour le crime puni par cette dernière disposition légale ne viole pas le principe d'accusation.
2. Ensuite, le recourant fait grief à l'arrêt attaqué de protéger une appréciation arbitraire des preuves, prohibée par l'art. 9 Cst., qui aurait amené la cour d'assises à constater de manière insoutenable qu'il avait conscience que l'intimée ne consentait pas aux actes d'ordre sexuel auxquels il se livrait et, par conséquent, à lui appliquer faussement l'<ref-law>.
Lors même que la victime participait à un "jeu de la vérité" sur des questions intimes au moment où elle s'est endormie profondément, l'arrêt attaqué considère que la cour d'assises n'a pas versé dans l'arbitraire en excluant toute possibilité que le recourant et ses deux co-accusés aient cru que l'intimée avait consenti à entretenir des relations sexuelles. D'abord, les trois hommes avaient éprouvé un sentiment de honte après les faits et ils avaient décidé de supprimer les photos les plus compromettantes qu'ils avaient prises, ce qui indique, selon l'arrêt attaqué, qu'ils avaient conscience que leurs actes n'avaient pas été souhaités par l'intimée. Ensuite, l'un d'eux avait déclaré qu'elle était "comme morte, sans réaction" lorsqu'il avait voulu entretenir une seconde fois des rapports sexuels avec elle, ce qui signifie, d'après l'arrêt attaqué, que ce quatrième rapport sexuel ne pouvait, encore moins que les précédents, avoir été voulu par la victime. Enfin, le fait que l'intimée s'était retrouvée tuméfiée au visage et blessée sur le corps attestait qu'elle avait subi de violents assauts, auxquels elle ne pouvait manifestement pas avoir consenti. Selon l'arrêt attaqué, la cour d'assises pouvait déduire de tous ces éléments que le recourant et ses deux co-accusés avaient agi en pleine connaissance de cause, à tour de rôle, à réitérées reprises, en forçant une femme qui ne réagissait pas et qui gémissait, d'une manière particulièrement brutale et sans commune mesure avec une relation sexuelle à laquelle elle aurait pu acquiescer.
Cette appréciation n'a rien d'arbitraire (sur cette notion: cf. <ref-ruling> consid. 5.4 p.148; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9 et les arrêts cités). Il est en effet soutenable de déduire de tous les éléments mentionnés par l'arrêt attaqué que le recourant et ses deux co-accusés ont agi d'une manière excluant, en fait, toute possibilité qu'ils aient cru au consentement de leur victime. En particulier, il n'est pas dépourvu de tout fondement de voir dans le fait qu'ils ont effacé les photos de leurs agissements le signe qu'ils savaient avoir commis un acte illicite et de rejeter pour cette raison la thèse selon laquelle l'intimée aurait, sous l'effet de l'alcool, adopté un comportement inhabituel dont elle n'aurait gardé aucun souvenir. Pour le surplus, les griefs que le recourant articule contre chacun de ces éléments pour faire valoir qu'il est en soi insuffisant, ne remettent pas en cause leur valeur d'ensemble, lorsqu'ils sont considérés conjointement, en tant que faisceau d'indices forts et concordants apte à fonder objectivement une conviction.
Il s'ensuit que les faits constatés par l'arrêt attaqué ne sont pas arbitraires, de sorte qu'ils lient le Tribunal fédéral (<ref-law>). Comme ils réunissent tous les éléments constitutifs du crime d'actes d'ordre sexuel commis sur une personne incapable de discernement ou de résistance, au sens de l'<ref-law>, c'est à bon droit que le recourant a été reconnu coupable de ce chef d'accusation.
3. Le recourant conteste aussi la quotité de la peine qui lui a été infligée, subsidiairement la motivation de celle-ci. Concrètement, il fait valoir que l'arrêt attaqué retient à tort que la cour d'assises a pris en considération tous les éléments pertinents au regard de l'<ref-law>, alors qu'elle n'avait pas tenu compte de sa situation familiale et professionnelle ou, à tout le moins, pas expliqué de quelle manière elle en avait tenu compte.
3.1 Au moment de fixer la peine, la cour d'assises a rappelé que le recourant avait une compagne, avec laquelle il avait une fille âgée de cinq ans, et qu'il suivait un apprentissage dans le domaine de l'automobile. Avec raison, elle a considéré que ces circonstances ne justifiaient ni n'expliquaient les actes commis, mais qu'elles avaient leur importance dans le cadre du pronostic. Les griefs formulés par le recourant sont dès lors sans fondement.
3.2 En revanche, il apparaît que la peine fixée par la cour d'assises pose problème à un autre égard. En effet, si, après avoir pris en considération tous les éléments pertinents au regard de l'<ref-law>, le juge du fond arrive à la conclusion que la durée de la peine privative de liberté à prononcer se situe à proximité de la durée maximale compatible avec l'octroi du sursis intégral ou partiel, il doit se demander si une peine compatible avec le sursis intégral ou partiel reste dans son pouvoir d'appréciation. Dans l'affirmative, il doit prononcer une peine compatible avec l'octroi du sursis. Dans la négative, il peut prononcer une peine dépassant même légèrement la limite légale. En toute hypothèse, il doit, conformément à l'<ref-law>, motiver sa décision sur ce point (<ref-ruling> consid. 3 p. 22 ss).
Dans le cas présent, la cour d'assises a prononcé une peine de trente-six mois de privation de liberté, soit de la durée maximale compatible avec l'octroi du sursis partiel (<ref-law>), en la déclarant complémentaire à une précédente peine de vingt jours d'emprisonnement. Sous les anciennes dispositions générales du code pénal, en cas de concours rétrospectif, la peine complémentaire ne pouvait être assortie du sursis à l'exécution si la durée totale de la ou des peines infligées auparavant, ajoutée à celle de la peine complémentaire, excédait la durée maximale compatible avec l'octroi du sursis (<ref-ruling> consid. 1 p. 69 s. et les arrêts cités). Pareillement, lorsqu'il y avait lieu de prononcer une peine partiellement complémentaire, le sursis ne pouvait être accordé si la partie complémentaire à la ou aux peines précédentes, ajoutée à celles-ci, dépassait la durée maximale compatible avec l'octroi du sursis (<ref-ruling> consid. 2 p. 70 s.). Il en allait ainsi même si la ou les peines précédentes étaient assorties du sursis à l'exécution et que celui-ci n'était pas révoqué (arrêt 6S.57/ 2005 du 20 juillet 2005 consid. 3.3, in RtiD 2006 I 115). Ces règles restent applicables sous les nouvelles dispositions générales du code pénal et concernent en particulier l'octroi du sursis partiel (cf. arrêt 6B_645/2009 du 14 décembre 2009 consid. 1.6). Ainsi, en condamnant le recourant à trente-six-mois de privation de liberté et en déclarant cette peine partiellement complémentaire à une précédente, de vingt jours d'emprisonnement, la cour d'assises a prononcé une peine qui excède, de vingt jours au plus, la durée maximale compatible avec l'octroi du sursis partiel. Or, elle n'a pas indiqué, contrairement aux exigences de motivation découlant de l'<ref-law>, pour quelles raisons il se justifierait de prononcer une peine supérieure de si peu à la peine maximale compatible avec l'octroi du sursis partiel. Dès lors, l'arrêt attaqué couvre à tout le moins une violation de l'<ref-law>.
À la lecture des motifs de son arrêt, il apparaît que la cour d'assises ne s'est pas aperçue qu'elle prononçait une peine incompatible avec le sursis partiel. Il est manifeste qu'elle avait l'intention de fixer la peine au maximum compatible avec cette modalité particulière d'exécution. Partant, il sied d'admettre partiellement le recours, d'annuler l'arrêt attaqué en tant qu'il rejette le pourvoi du recourant ainsi que l'arrêt de la cour d'assises dans la mesure où il statue sur l'action pénale dirigée contre celui-ci, puis, statuant sur le fond en application de l'<ref-law>, de condamner le recourant à une peine de trente-cinq mois et dix jours de privation de liberté, peine partiellement complémentaire à celle de vingt jours d'emprisonnement prononcée précédemment contre lui.
4. Enfin, le recourant se plaint de la fixation de la partie ferme de sa peine.
Lorsqu'il assortit une peine privative de liberté d'un sursis partiel à l'exécution, le juge du fond dispose, pour fixer la partie ferme de la peine à l'intérieur des limites posées par les al. 2 et 3 de l'<ref-law>, d'un large pouvoir d'appréciation. Plus le pronostic est favorable et moins l'acte apparaît blâmable, plus la partie de la peine assortie du sursis doit être importante. Mais en même temps, la partie ferme de la peine doit demeurer proportionnée aux divers aspects de la faute (<ref-ruling> consid. 5.6 p. 15).
En l'espèce, la cour d'assises a considéré qu'en l'absence d'un pronostic défavorable à poser sur son comportement futur, le recourant devait se voir accorder le sursis partiel. Mais elle a fixé la partie ferme de la peine au maximum possible au regard de l'<ref-law>, soit à la moitié de la peine, eu égard aux divers éléments qui caractérisent la faute du recourant et aux antécédents pénaux de celui-ci.
Une telle appréciation est conforme au droit fédéral. Sur ce point, le recours doit dès lors être admis uniquement pour adapter la durée de la partie ferme de la peine à sa nouvelle quotité.
5. Le présent arrêt sera rendu sans frais (<ref-law>).
Le recourant, qui obtient partiellement gain de cause, a droit à des dépens (<ref-law>), dont il y a lieu d'ordonner la distraction en faveur de son conseil (<ref-law>). Sa demande d'assistance judiciaire n'a dès lors plus d'objet.
6. La cause étant ainsi jugée, la requête d'effet suspensif n'a plus d'objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis.
2. L'arrêt entrepris est annulé en tant qu'il rejette le pourvoi du recourant et condamne celui-ci à verser un émolument en faveur de l'État; il est maintenu pour le surplus.
3. L'arrêt de la Cour d'assises du canton de Genève du 27 février 2009 (AASS/4/09) est annulé au chiffre 1 du dispositif rendu par la cour et le jury (p. 30); il est maintenu pour le surplus.
4. Le recourant X._ est condamné, pour actes d'ordre sexuel commis sur une personne incapable de discernement ou de résistance (<ref-law>), vols (<ref-law>), dommages à la propriété (<ref-law>) et violation de domicile (<ref-law>), à trente-cinq mois et dix jours de privation de liberté, dont dix-sept mois et vingt jours avec sursis pendant cinq ans, sous déduction de cinq mois et vingt-trois jours de détention préventive, cette peine étant partiellement complémentaire à celle de vingt jours d'emprisonnement prononcée par le Ministère public du canton de Genève le 5 juillet 2005, dont le sursis n'est pas révoqué.
5. La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais judiciaires de dernière instance cantonale.
6. Le canton de Genève versera une indemnité de 3'000 fr. à Me Nicola Meier, au titre des dépens pour la procédure fédérale.
7. Il n'est pas prélevé de frais judiciaires.
8. La demande d'assistance judiciaire et la requête d'effet suspensif n'ont plus d'objet.
9. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de cassation du canton de Genève, ainsi qu'à l'Office fédéral de la justice pour enregistrement dans le système VOSTRA de la condamnation prononcée sous chiffre 4.
Lausanne, le 28 janvier 2010
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Favre Oulevey