Sachverhalt:
A. X._ reiste am 30. Dezember 1991 in die Schweiz ein. Sein Asylgesuch wurde am 6. September 1993 abgewiesen. Am 11. Februar 1994 verheiratete er sich mit der Schweizerin A._. Daraufhin zog X._ die bei der Asylrekurskommission gegen die Asylverweigerung eingereichte Beschwerde zurück. Er erhielt eine Jahresaufenthaltsbewilligung.
B. X._ stellte am 18. November 1996 ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Die Behandlung verzögerte sich wegen eines Strafverfahrens und einer Verurteilung. Im Zuge der Fortführung unterzeichneten die Eheleute am 14. November 2001 die Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten und stabilen ehelichen Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen davon Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens die Trennung oder Scheidung beantragt werde und die eheliche Gemeinschaft nicht mehr bestehe, und dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne. Am 29. Januar 2002 wurde X._ eingebürgert.
C. Die Ehe zwischen X._ und A._ wurde am 17. September 2002 vor dem Kreisgericht Peja im Kosovo geschieden. Im Januar 2003 heiratete X._ im Kosovo eine Landsfrau (geboren 1972). Diese brachte zwei Monate danach ein gemeinsames Kind zur Welt und reiste im Januar 2004 in die Schweiz ein.
In der Folge leitete das Bundesamt für Migration (im Folgenden: Bundesamt oder BFM) am 16. Februar 2004 das Verfahren um Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung ein. Es führte die Untersuchung. Die Heimatkantone Luzern und Schwyz erteilten ihre Zustimmung. Daraufhin erklärte das BFM die Einbürgerung von X._ am 25. Januar 2007 für nichtig.
X._ gelangte mit Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Dieses wies die Beschwerde am 19. Dezember 2008 ab. Es ging von der tatsächlichen Vermutung aus, dass X._ von vornherein keine auf eine gemeinsame Zukunft ausgerichtete Ehe bezweckt und die erleichterte Einbürgerung erschlichen hatte, und hielt dafür, dass diese tatsächliche Vermutung nicht umgestossen worden sei.
D. Gegen dieses Urteil hat X._ am 2. Februar 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt die Aufhebung der Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts und des BFM.
Das BFM beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer hält in seiner Replik an seinen Anträgen fest und ergänzt seine Begründung.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), betrifft eine Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung gestützt auf Art. 27 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0), somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinn von <ref-law>. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss <ref-law> erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2. Gemäss <ref-law> kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizer Bürgerin lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist (<ref-ruling> E. 2.3.1). Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin oder eines Schweizer Bürgers die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (<ref-ruling> E. 2 S. 484; zur Publikation bestimmtes Urteil 1C_190/2008 vom 29. Januar 2009).
Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt daher nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115; zur Publikation bestimmtes Urteil 1C_190/2008 vom 29. Januar 2009).
Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (<ref-ruling> E. 3.2 S. 486; zur Publikation bestimmtes Urteil 1C_190/2008 vom 29. Januar 2009).
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehr der Beweislast. Der Betroffene muss nicht den Beweis des Gegenteils erbringen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 486). Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung. Dem Gesagten zufolge liegt die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinn von <ref-law> im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr besteht, bei der Verwaltung. Es genügt deshalb, dass der Betroffene einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit der Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder der Betroffene kann darlegen, aus welchem Grund er die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als er die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit der Schweizer Ehepartnerin auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (vgl. zum Ganzen Urteile 5A.22/2006 vom 13. Juli 2006 E. 2.3; 5A.18/2006 vom 28. Juni 2006 E. 2.3; zur Publikation bestimmtes Urteil 1C_190/2008 vom 29. Januar 2009 E. 2 und 3, mit Hinweisen).
3. Der Beschwerdeführer bringt zur Hauptsache vor, er habe in hinreichender Weise ein ausserordentliches Ereignis geltend gemacht, das zum raschen Zerfall des Ehewillens im Anschluss an die Einbürgerung und schliesslich zur Scheidung führte. Einzige Ursache hätten sein Seitensprung im Sommer 2002 im Kosovo und hernach die Geburt seines Kindes im März 2003 gebildet. Nur eine Scheidung habe dem Kind im Kosovo eine Chance auf ein normales Leben geben können, da dort aussereheliche Kinder eine Schande darstellten und sowohl Mutter als Kind lebenslang ausgegrenzt würden. Die Beendigung der Ehe beruhe daher einzig auf seinem Pflichtbewusstsein und -gefühl. Mit diesen Vorbringen vermag der Beschwerdeführer allerdings nicht durchzudringen.
3.1 Das Bundesverwaltungsgericht hat (in E. 6) auf die Umstände hingewiesen, wie der Beschwerdeführer zu einer erleichterten Einbürgerung gelangte: Ankunft in der Schweiz im Dezember 1991; Abweisung des Asylgesuchs im September 1993; Eheschluss mit der um 24 Jahre älteren A._ im Februar 1994; unmittelbar darauf Rückzug der bei der Asylrekurskommission eingereichten Beschwerde; Gesuch um erleichterte Einbürgerung im November 1996, drei Monate vor Vollendung der dreijährigen Ehedauer; Unterzeichnung der entsprechenden Erklärung im November 2001; Einbürgerung im Januar 2002; aussereheliche Beziehung mit einer wenig jüngeren Landsfrau im Kosovo und Zeugung eines Kindes im Sommer 2002; Scheidung der Ehe im September 2002; Heirat mit der Landsfrau im Januar 2003; Einreise der neuen Ehefrau in die Schweiz im Januar 2004.
Das Bundesverwaltungsgericht schloss aus diesen Umständen, dass der Beschwerdeführer in der Ehe mit A._ eine günstige Möglichkeit erblickte, ein Aufenthaltsrecht in der Schweiz zu erlangen, und er von dieser Möglichkeit zielgerichtet Gebrauch machte. Mit dem BFM nahm es an, dass der Beschwerdeführer von vornherein keine auf eine gemeinsame Zukunft ausgerichtete Ehe bezweckte und sich die erleichterte Einbürgerung somit erschlich.
3.2 Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Ausführungen des Bundesverwaltungsgerichts und dessen Folgerungen, die Ehe sei zur Erlangung des Schweizer Bürgerrechts eingegangen worden, nicht auseinander. Er beschränkt sich darauf, seinen Seitensprung vom Sommer 2002 als einziges und unvorhergesehenes Ereignis darzustellen, das an der intakten Ehe zum Zeitpunkt der Erklärung und der Einbürgerung nichts ändere.
Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden. Die aussereheliche Beziehung des Beschwerdeführers steht offenkundig im Widerspruch zu einer angeblich intakten ehelichen Gemeinschaft. Daran vermögen die zeitlichen Verhältnisse nichts zu ändern. Im Umstand, dass der Beschwerdeführer die aussereheliche Beziehung rund sechs Monate nach der Einbürgerung und nicht schon unmittelbar danach aufgenommen hat, kann unter den gegebenen Verhältnissen kein Hinweis auf eine vorher intakte Ehe erblickt werden. Ebenso ist nicht entscheidend, dass die Ehe mehr als acht Jahre gedauert hat, da die Einbürgerung zu einem früheren Zeitpunkt gar nicht möglich war. Von Bedeutung ist vielmehr, dass der Beschwerdeführer von seinem Wohnsitz in der Schweiz in den Kosovo reiste und hier mit einer wenig jüngeren Landsfrau aus seinem angestammten Kulturkreis eine aussereheliche Beziehung einging. Er musste sich bewusst sein, dass die Aufnahme eines ausserehelichen Verhältnisses unmittelbare Konsequenzen für seine bisherige Ehe haben würde und dass eine allfällige Schwangerschaft in Anbetracht der kulturellen Verhältnisse im Kosovo gar zu deren Bruch führen müsste. Gleichwohl ist er die Beziehung - unter Preisgabe seiner bisherigen Ehe - eingegangen. Danach ist die bisherige Ehe, angesichts der Schwangerschaft der kosovarischen Landsfrau, geschieden worden und hat sich der Beschwerdeführer neu verheiratet. Schliesslich reiste die kosovarische Ehefrau anfangs 2004 unter dem Titel des Familiennachzuges in die Schweiz ein.
Aufgrund dieser Verhältnisse kann gefolgert werden, dass die Ehe im Zeitpunkt der Erklärung und der Einbürgerung nicht mehr intakt war, der Beschwerdeführer die Ehe vielmehr für den Erhalt des Bürgerrechts benutzte und hernach mit seinem weiteren Verhalten und der Einreise der kosovarischen Ehefrau ein Anwesenheitsrecht für die Mitglieder einer neuen Familie zu sichern versuchte. Dieser Schluss stützt sich auf das Verhalten des Beschwerdeführers zur Erlangung des Bürgerrechts einerseits sowie auf sein Verhalten nach der Einbürgerung andererseits. Es kann damnach nicht gesagt werden, dass das Bundesverwaltungsgericht dieselben Ereignisse in doppelter Weise zu seinen Ungunsten gewichtet hätte.
Der Schlussfolgerung des Bundesverwaltungsgerichts steht auch der Umstand nicht entgegen, dass der Beschwerdeführer nach der Scheidung bis Januar 2004 weiterhin mit der schweizerischen Ehefrau in derselben Wohnung lebte, zwischen der ehemaligen und der heutigen Ehefrau des Beschwerdeführers zurzeit ein gutes Einvernehmen bestehen soll und sich die ehemalige Ehefrau um die beiden Kinder des Beschwerdeführers kümmert sowie ihre Patin ist. Diese - dem Vernehmen nach optimale - Lebensform lässt keinen Schluss auf die frühere Ehe und die Verhältnisse zum Zeitpunkt von Erklärung und Einbürgerung zu.
In Würdigung aller Umstände ist mit dem Bundesverwaltungsgericht davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer die Einbürgerung im Sinne der Rechtsprechung erschlichen hat. Damit erweist sich seine Beschwerde als unbegründet.
4. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Steinmann