Sachverhalt:
A. Dr. A._ war seit 1998 beim Kantonsspital Chur als Leitende Ärztin tätig, wo sie die Abteilung Angiologie aufbaute. Auf den 1. Oktober 2001 wurde sie zur Chefärztin Innere Medizin am Kreuzspital gewählt. Im Juni 2002 wurde zwischen ihr und dem Kreuzspital ein neuer Arbeitsvertrag auf der Grundlage der Verordnung vom 6. September 1994 über die Anstellungsbedingungen für die Chefärzte und Leitenden Ärzte der beitragsberechtigten Spitäler im Kanton Graubünden abgeschlossen.
Im März 2003 erfolgte die Gründung der Spitäler Chur AG, welche administrativ an die Stelle des Kreuzspitals und des bisherigen Kantonsspitals (selbständige öffentlich-rechtliche Anstalt Rätisches Kantons- und Regionalspital Chur) treten sollte. Die neue Aufgabenteilung unter den Spitalkörperschaften wurde mittels Managementvertrag geregelt.
Im November 2003 führte die Spitäler Chur AG gestützt auf die Vorgaben in der Botschaft der Bündner Regierung betreffend künftiger Ausrichtung und Gestaltung des Spitalplatzes Chur (Abbau von Doppelspurigkeiten, Sparpotential, Synergieeffekte, Standortkonzentration) ein Strategiemeeting durch.
Im April 2004 bewarb sich Dr. A._ erfolglos um Einsitz in den Spitäler-Lenkungsausschuss.
Im Mai 2004 fand auf Initiative des Geschäftsleiters der Spitäler Chur AG (Dr. B._) ein Abendessen statt, an dem der Chefarzt der Inneren Medizin des Kantonsspitals (Prof. Dr. C._), ein Leitender Arzt des Kantonsspitals (Dr. D._) und die Chefärztin Innere Medizin vom Kreuzspital (Dr. A._) teilnahmen. Das Gespräch zwischen den Dres D._ und A._ endete mit gegenseitigen Vorwürfen bezüglich der bisherigen Amtsführung und bezüglich der im Rahmen der Neuorganisation des Spitalplatzes Chur zu vergebenden Kompetenzen.
Im November 2004 fand ein zweites Strategiemeeting statt. Im Anschluss daran sprach sich der Verwaltungsrat der Spitäler Chur AG (mit Verwaltungsratspräsident Dr. E._ an der Spitze) für das Modell "Vollintegration" (Überführung Kreuzspital ins Kantonsspital) und gegen ein von Dr. A._ vorgestelltes Modell der "Schaffung einer A- und B-Klinik" aus und bestimmte Prof. Dr. C._ als Leiter der Zusammenführung der zwei Akutspitäler in ein Departement Innere Medizin. Parallel dazu beschloss die Bündner Regierung am 16. November 2004, dass die Variante "Vollintegration" weiterverfolgt werden soll.
Im Dezember 2004 und im Januar 2005 fanden vier Arbeitsgruppensitzungen statt, die zum Ziel hatten, mit Dr. A._ eine einvernehmliche Lösung bezüglich der Besetzung und der Verteilung der Kompetenzen in den Departementen auf dem geplanten Spitalplatz Chur zu erzielen. Der Projektleiter der internen Arbeitsgruppen (Prof. Dr. C._) hielt am 31. Januar 2005 in einem Zwischenbericht fest, dass der Einigungsversuch gescheitert sei.
Im April 2005 wurde das Institut für Angewandte Psychologie (IAP) zwecks Herbeiführung einer einvernehmlichen Lösung eingeschaltet.
Im Juni 2005 wurde den Mitarbeitern der Spitäler das neue Betriebsorganigramm vorgestellt. Dr. A._ erhielt am 27. Juni 2005 das Angebot, als "Stv.-Chefärztin Medizin SCAG/Bereichsleiterin Medizin KRZ" auf dem Spitalplatz Chur tätig zu sein. Ein entspechender Vertrag kam jedoch nicht zustande.
Am 1. Juli 2005 wurde Dr. A._ als Mitglied der Geschäftsleitung der Spitäler Chur AG entlassen, weil man zur Auffassung gelangt war, dass sie die Strategie der "Vollintegration" zu wenig unterstütze bzw. nach wie vor das damit unvereinbare "Konzept der A- und B-Klinik" propagiere. Auf denselben Zeitpunkt wurden die bisher eigenständig geführten Departemente Innere Medizin im Kantons- und Kreuzspital zusammengelegt, wobei Prof. Dr. C._ als alleiniger Chefarzt des neuen Departements bestätigt wurde.
In der Folge nahmen die Spannungen und Auseinandersetzungen zwischen den involvierten Personen zu. Dr. A._ informierte im August 2005 die Bündner Regierung über das Verhalten der Spitalverantwortlichen ihr gegenüber und bat darum, dass die Regierung in den Konflikt eingreife. Im selben Monat erschien ein Zeitungsinterview mit einer Arbeitskollegin (Dr. F._) von Dr. A._ betreffend die Machtkämpfe auf dem Spitalplatz Chur, wobei man davon ausging, dass Dr. A._ von diesem Interview vorgängig Bescheid wusste.
Der Verwaltungsratspräsident (Dr. E._) und der Geschäftsleiter der Spitäler Chur (Dr. B._) reagierten auf die aus ihrer Sicht völlig haltlosen Vorwürfe im erwähnten Zeitungsinterview mit einer verbalen Massregelung von Dr. A._ und mit dem Hinweis, dass eine weitere Zusammenarbeit mit ihr, trotz deren unbestrittenen fachlichen Qualitäten, äusserst schwierig werden würde.
Am 17. Oktober 2005 fand abermals ein Versuch der Herbeiführung einer gütlichen Einigung bezüglich der zukünftigen Anstellungsbedingungen von Dr. A._ statt, wobei diese den Vorwurf des Mobbing erhob. Auch dieser Einigungsversuch scheiterte.
Am 20. Oktober 2005 wurde Dr. A._ per 28. November 2005 von ihren Aufgaben als Chefärztin der Inneren Medizin entbunden und am 23. November 2005 die Kündung per 31. Mai 2006 ausgesprochen. Sämtliche später unternommenen Einigungsversuche scheiterten.
Am 14. Dezember 2005 gelangte Dr. A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und beantragte, es sei festzustellen, dass die Kündigung ungerechtfertigt und missbräuchlich sei. Die Stiftung Kreuzspital Chur, eventuell die Spitäler Chur AG sei zu verpflichten, der Klägerin Fr. 420'000.--, eventuell einen Betrag nach richterlichem Ermessen, nebst 5% Zins auf Fr. 320'000.-- seit dem 24. November 2005 und 5% auf Fr. 100'000.-- seit dem 1. Januar 2004 zu bezahlen. Zudem sei davon Vormerk zu nehmen, dass sich die Klägerin eine Nachklage zur Geltendmachung von Lohnforderungen und weiteren Schadenersatzansprüchen vorbehält. Mit Urteil vom 21. August 2007 wies die 1. Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden die Klage ab, auferlegte der Klägerin die Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 20'608.-- und verpflichtete diese, die Spitäler Chur AG/Kreuzspital mit Fr. 20'000.-- zu entschädigen.
B. Dr. A._ hat beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolgen im bundesgerichtlichen und im kantonalen Verfahren, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass die Kündigung ungerechtfertigt und missbräuchlich sei. Die Akten seien zur Bemessung der geltend gemachten Schadenersatz- und Genugtuungsforderung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht die Beschwerdeführerin um die Gewährung der aufschiebenden Beschwerdewirkung.
C. Das Verwaltungsgericht sowie die Spitäler Chur AG und die Stiftung Kantonsspital Graubünden beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführerin und die Beschwerdegegnerinnen haben unter Aufrechterhaltung ihrer Anträge nochmals Stellung genommen.
D. Mit Verfügung vom 29. Februar 2008 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Beschwerdewirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG), betrifft einen Streit aus einem öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (<ref-law>). Die Streitsache, ein Schadenersatzbegehren, ist vermögensrechtlicher Natur, weshalb kein Ausschlussgrund vorliegt (vgl. <ref-law>). Das Streitwerterfordernis von 15'000 Franken ist erfüllt (Art. 51 Abs. 1 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerde ist damit grundsätzlich zulässig.
1.2 Soweit in der Replik Beanstandungen vorgebracht werden, die bereits in der Beschwerdeschrift in das bundesgerichtliche Verfahren hätten eingeführt werden können, sind diese Vorbringen verspätet (vgl. <ref-law>). Sie sind damit nicht zu prüfen.
1.3 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Ausserhalb des Anwendungsbereichs von Art. 95 lit. c-e BGG, welche Vorschriften hier nicht zum Tragen kommen, bleibt die Kognition des Bundesgerichts bezüglich des kantonalen Rechts unter dem Bundesgerichtsgesetz im Vergleich zum früheren Recht unverändert. Die Verletzung kantonaler Bestimmungen bildet nur dann einen zulässigen Beschwerdegrund, wenn eine derartige Rechtsverletzung einen Verstoss gegen Bundesrecht im Sinne von <ref-law> oder gegen Völkerrecht im Sinne von <ref-law> zur Folge hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.).
Dies gilt auch im Bereich der öffentlich-rechtlichen Anstellungsverhältnisse, wenn das kantonale Personalrecht - wie im vorliegenden Fall - auf das Obligationenrecht verweist. Dies bewirkt, dass das Bundesprivatrecht als ergänzendes kantonales Recht zur Anwendung gelangt.
1.4 In Ergänzung zu den Rügen, die sich auf Art. 95 f. BGG stützen, sind unter den engen Voraussetzungen von <ref-law> auch Vorbringen gegen die Sachverhaltsfeststellung zulässig. Ein solcher Einwand kann nach der letztgenannten Bestimmung nur erhoben werden, wenn die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Willkür liegt nach der Praxis nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung als die von der Vorinstanz gewählte ebenfalls vertretbar oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur dann, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133, mit Hinweisen).
1.5 In <ref-law> ist der Grundsatz verankert, dass das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen anwendet. Dieser Grundsatz gilt nicht hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht; insofern statuiert <ref-law> eine qualifizierte Rügepflicht. In diesem Rahmen wird die Praxis zum Rügeprinzip gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) weitergeführt (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft lediglich klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
1.6 Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensvorschrift ermittelt worden ist, gelten ebenfalls strenge Anforderungen an die Begründung der Beschwerde; diese sind mit der Rügepflicht nach <ref-law> vergleichbar (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Entsprechende Beanstandungen müssen präzise vorgebracht und begründet werden. Es genügt nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift darzulegen, inwiefern die Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
1.7 Es wird nachfolgend im Zusammenhang mit den einzelnen Rügen geprüft, ob die Beschwerdeführerin die genannte Rügepflicht erfüllt.
2. 2.1 Als erstes beanstandet die Beschwerdeführerin, das Verwaltungsgericht habe die Passivlegitimation der Beschwerdegegnerinnen nicht geprüft. Zum einen habe die Vorinstanz übergangen, dass die Stiftung Kreuzspital Chur im Laufe des Verfahrens mit dem Kantonsspital Chur fusioniert habe und an dessen Stelle als Partei die Stiftung Kantonsspital Graubünden getreten sei. Zum andern habe das Gericht nicht geprüft, ob die im Hauptbegehren beklagte Stiftung Kreuzspital Chur resp. nachfolgend die Stiftung Kantonsspital Graubünden oder die im Eventualantrag beklagte Spitäler Chur AG passivlegitimiert sei. Indem die Vorinstanz in Ziffer 3 des Urteilsdispositivs sie, die Beschwerdeführerin, verpflichtet habe, die "Spitäler Chur AG/Kreuzspital" mit Fr. 20'000.-- zu entschädigen, habe sie den Sachverhalt nicht vollständig abgeklärt und das bundesrechtliche Fusionsgesetz verletzt.
2.2 Im Verfahren der verwaltungsrechtlichen Klage ist die Passivlegitimation nicht eine Eintretensvoraussetzung, sondern eine Frage des materiellen Rechts. Im angefochtenen Urteil wies das Verwaltungsgericht die Klage der Beschwerdeführerin ab, weil es die ergangene Kündigung als rechtmässig beurteilte. Die Frage der Passivlegitimation, d.h. welche der beiden beklagten Gegenparteien im Falle des Obsiegens der Beschwerdeführerin im Klageverfahren die anbegehrte Schadenersatz- und Genugtuungsforderung hätte erfüllen müssen, konnte daher offen bleiben.
Das Verwaltungsgericht verpflichtete die Beschwerdeführerin zur Bezahlung einer Parteientschädigung an die von ihr eingeklagten, beide anwaltlich vertretenen Gegenparteien. Daran ist nichts auszusetzen. Zwar hätte die Vorinstanz im Rubrum und im Urteilsdispositiv nicht die während des Verfahrens untergegangene Stiftung Kreuzspital Chur, sondern die Stiftung Kantonsspital Graubünden aufführen müssen. Aus diesem Versehen erwächst der Beschwerdeführerin aber kein Rechtsnachteil. Es ist deshalb nicht ersichtlich, inwiefern ein Einschreiten von Verfassungs wegen erforderlich wäre. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt daher als unbegründet.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin ist der Ansicht, sie sei gemobbt worden, die Kündigung sei demzufolge missbräuchlich und ihr stehe ein Schadenersatz- und Genugtuungsanspruch zu. Laut angefochtenem Urteil ist Mobbing ein systematisches, feindliches, über einen längeren Zeitraum anhaltendes Verhalten, mit dem eine Person an ihrem Arbeitsplatz isoliert, ausgegrenzt oder sogar von ihrem Arbeitsplatz entfernt werden soll. Diese Definition des Mobbing stellt die Beschwerdeführerin nicht in Frage, sondern sie richtet sich gegen die Sachverhaltsermittlung im angefochtenen Urteil. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Verbots der willkürlichen Beweiswürdigung und des Gehörsanspruchs, da die Vorinstanz ihrer Auffassung nach die Beweise einseitig gewürdigt und dabei ihre Vorbringen teilweise übergangen habe.
3.2 Demgegenüber geht das Verwaltungsgericht davon aus, dass die Beschwerdeführerin in ihrer Position als Chefärztin Innere Medizin des Kreuzspitals zwar Schwierigkeiten zu bewältigen hatte, nicht aber im oben genannten Sinn gemobbt wurde. Es sei weder bezüglich eines bestimmten Vorkommnisses noch im Gesamtgefüge erkennbar, inwiefern der Vorwurf des Mobbing begründet sei. Tatsache sei vielmehr, dass die Beschwerdeführerin vorerst einen "mutigen Kampf" in der Sache selbst geführt, sich im Laufe der Zeit aber in Widersprüche verstrickt habe bzw. sich von einem unkooperativen Eigenverhalten habe leiten lassen und zuletzt offensichtlich aus rein persönlichen Interessen auf der Gewährung des Titels "Chefärztin" (statt Stv.-Chefärztin) beharrt habe, was letztlich den Ausschlag für das unheilbare Zerwürfnis gegeben habe. Die Klage erweise sich im Punkt des Mobbing-Vorwurfs als unbegründet. Bezüglich der einzelnen Vorkommnisse ergibt sich Folgendes:
3.2.1 Gemäss den Feststellungen im angefochtenen Urteil trifft es nicht zu, dass bereits der Start der Beschwerdeführerin als Chefärztin unnötig erschwert resp. arglistig hintertrieben worden sei. Zwar behaupte die Beschwerdeführerin, ein Leitender Arzt der Kardiologie des Kantonsspitals Chur habe gegenüber einer Oberärztin bemerkt, dass man mit ihr früher auf der Kardiologie Schwierigkeiten gehabt habe und er sich wundere, dass dies im Kreuzspital offenbar nicht der Fall sei. Nach Auffassung des Verwaltungsgerichts ist diese Äusserung zwar ungeschickt, nicht aber persönlichkeitsverletzend. Weiter führte die Vorinstanz aus, es hätten keine "Heimlichtuereien" hinter dem Rücken der Beschwerdeführerin stattgefunden. Es habe zwar im Frühling 2002 eine Sitzung gegeben, welche den Ablauf des Wahlverfahrens und die Wahl der Beschwerdeführerin zur Chefärztin betraf. Diese sei aber nachträglich darüber informiert und ausdrücklich aufgefordert worden, diesbezüglich das direkte Gespräch mit dem Chefarzt Innere Medizin des Kantonsspitals zu suchen. Was das Wahlprozedere um die Chefarzt-Stelle am Kreuzspital betreffe, so habe die Beschwerdeführerin sich gegen die Besetzung dieses Postens durch zwei Fachärzte ausgesprochen, jedoch nicht offengelegt, dass sie sich selber um den Posten bewerbe. Es sei deshalb verständlich, dass sich die Ärzte des Kantonsspitals als potentielle Mitbewerber um den Chefarzt-Posten nach Bekanntgabe der Wahl der Beschwerdeführerin zur Chefärztin etwas düpiert bzw. "hinters Licht geführt" gefühlt und deshalb mit Unmut über das illoyale Verhalten der Beschwerdeführerin reagiert hätten.
Die Beschwerdeführerin trägt vor, die Leitenden Ärzte hätten verbreitet, sie habe sich unkollegial verhalten, da sie sich entgegen einer internen Abmachung um den Chefarzt-Posten beworben habe. Sie sei jedoch nicht verpflichtet gewesen, allfällige Konkurrenten über ihre Kandidatur vorgängig zu informieren. Zudem hätten die Spitalverantwortlichen Kenntnis von ihrer Bewerbung gehabt und sie darin unterstützt. Die Schlussfolgerung des Verwaltungsgerichts, sie habe sich illoyal verhalten, sei in willkürlicher Beweiswürdigung zustande gekommen. Die Sachverhaltsfeststellungen seien zu korrigieren, und es sei festzustellen, dass die Leitenden Ärzte mindestens seit Frühling 2002 falsche, herabsetzende und feindliche Äusserungen gegen sie verbreitet hätten. Diese Anfeindungen würden unter den Begriff des Mobbing fallen.
Diese Ausführungen sind nicht geeignet, die tatsächliche Feststellung des Verwaltungsgerichts, die Leitenden Ärzte hätten lediglich ihren Unmut über die Wahl der Beschwerdeführerin verlauten lassen, indem sie ihr illoyales Verhalten vorgeworfen hätten, als willkürlich auszugeben.
3.2.2 Laut Verwaltungsgericht ist ausschlaggebend, dass die Spitalverantwortlichen innert vernünftiger Frist mehrere Massnahmen trafen, um das Konfliktpotential infolge der anfänglichen Ressentiments unter den Ärzten zu entschärfen. Die Vorinstanz nennt Einzelgespräche mit Leitenden Ärzten des Kantonsspitals Chur, die Durchführung kaderinterner Hearings und die Einschaltung des Instituts für Angewandte Psychologie (IAP). Des Weitern sei nach Ablauf der ersten hundert Tage Amtszeit der Beschwerdeführerin eine externe Beratungs-/Mediationsfirma mit der nachhaltigen Beseitigung der damals aufgetretenen Verständigungsschwierigkeiten und Missverständnisse im Kreuzspital beauftragt worden. Der Vorwurf des verantwortungslosen Duldens von gezielten Attacken gegen die Beschwerdeführerin (Rufmord) und des bewussten "im Stich lassen" sei daher offensichtlich unbegründet.
Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass in den Jahren 2001/2002 rechtzeitig Massnahmen zur Behebung ihrer Schwierigkeiten getroffen worden sind. Sie begründet ihre Sachverhaltsrüge damit, die Vorinstanz habe nicht ausgeführt, an welchen Daten die Massnahmen durchgeführt worden seien. Zudem sei die Zeugenaussage des Geschäftsführers der Spitäler Chur AG (Dr. B._) unglaubwürdig, da dieser den genauen Zeitpunkt, in dem die Massnahmen ergriffen wurden, nicht angegeben habe. Ein weiterer Zeuge (H._) könne bestätigen, dass sie im Kreuzspital gemobbt worden sei. Die Vorinstanz übergehe, dass dies deswegen der Fall gewesen sei, weil sie eine Befürworterin des Spitalplatzes Chur gewesen sei. Auf Seite 18 der Beschwerdeschrift behauptet die Beschwerdeführerin, das IAP sei erst im Jahr 2005 eingeschaltet worden. Dagegen führt sie auf Seite 19 der Beschwerdeschrift aus, das IAP sei bereits im Jahr 2002 beigezogen worden sei, weil sie von den Mitarbeitenden des Kreuzspitals gemobbt worden sei. Auf Seiten 21/22 behauptet die Beschwerdeführerin, der Beizug des IAP im Jahr 2002 habe nichts mit den in diesem Verfahren erhobenen Vorwürfen des Mobbing zu tun.
Mit diesen - teilweise widersprüchlichen - Vorbringen übt die Beschwerdeführerin appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil. Sie nennt keinen vernünftigen Grund, weshalb der Zeuge B._ offensichtlich nicht glaubwürdig sein soll. Allein der Umstand, dass dieser das genaue Datum der ergriffenen Massnahmen in der Zeugenbefragung nicht nannte, lässt ihn keinesfalls als unglaubwürdig erscheinen, zumal er nicht nach dem genauen Datum gefragt wurde (vgl. Einvernahme-Protokoll S. 4). Nicht nachvollziehbar sind die Einwände der Beschwerdeführerin bezüglich der Einschaltung des IAP. Die Feststellung des Verwaltungsgerichts, in den Jahren 2001/2002 seien rechtzeitig Massnahmen gegen ihre Schwierigkeiten mit den Leitenden Ärzten des Kantonsspitals und den Mitarbeitenden des Kreuzspitals getroffen worden, ist unter dem Blickwinkel des Willkürverbots keinesfalls zu beanstanden.
3.2.3 Das Verwaltungsgericht stellte gestützt auf eine Zeugenaussage (G._) fest, für den Umstand, dass die Beschwerdeführerin im Mai 2003 anfänglich nicht zu den Teamsitzungen betreffend die Umorganisation der Zentralen Untersuchungsstation eingeladen worden sei, gebe es sachliche Gründe. Ein gegen die Beschwerdeführerin gerichtetes, böswilliges Fehlverhalten sei nicht anzunehmen. Zudem habe die Beschwerdeführerin noch rechtzeitig auf die Beschlüsse der Arbeitsgruppe Einfluss nehmen können.
Die Beschwerdeführerin beschränkt sich in ihren Ausführungen darauf, die Glaubwürdigkeit des Zeugen mit der Begründung anzuzweifeln, dieser sei für die Stiftung Kantonsspital Graubünden tätig und wolle der Arbeitgeberin nicht zu nahe treten. Im Übrigen setzt sie ihre Auffassung derjenigen des Verwaltungsgerichts gegenüber. Der Willkürvorwurf ist damit nicht ausgewiesen.
3.2.4 Laut angefochtenem Urteil kann die Nichtwahl der Beschwerdeführerin in den Lenkungsausschuss "Untersuchungs- und Behandlungszentrum Spitäler Chur AG" im April 2004 nicht als gezieltes "Verheizen" betrachtet werden. Zum einen habe die Beschwerdeführerin keinen Anspruch auf Einsitznahme in dieses Gremium gehabt, zum andern sei sie rechtzeitig gewarnt worden, dass sie bei einer allfälligen Kandidatur mit einer Niederlage zu rechnen habe.
Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, es wäre die Pflicht von Prof. Dr. C._ gewesen, die Leitenden Ärzte davon zu überzeugen, ihr bei der Wahl die Stimme zu geben. Dass Prof. Dr. C._ dies unterlassen habe, zeige erneut, dass sie bewusst ausgegrenzt worden sei. Die Vorinstanz habe auch in diesem Zusammenhang den Sachverhalt unrichtig festgestellt.
Dieser Einwand zielt offensichtlich ins Leere. Es ist keinesfalls willkürlich, wenn das Verwaltungsgericht aus dem Umstand, dass das Wahlgremium des besagten Lenkungsausschusses nicht beeinflusst wurde, nicht ein gezieltes Angreifen der Beschwerdeführerin ableitet.
3.2.5 Gemäss den Feststellungen im angefochtenen Urteil sei nicht erkennbar, inwiefern die Beschwerdeführerin im Mai 2004 anlässlich eines gemeinsamen Nachtessens mit den Kaderärzten (Prof. Dr. C._, Dr. D._) und dem Geschäftsführer der Spitäler Chur AG (Dr. B._) hätte ausgegrenzt werden sollen. Im Gegenteil sei den Spitalverantwortlichen ein offenes und ehrliches Bemühen um eine gütliche Lösung der absehbaren Probleme im Zusammenhang mit der Fusion der Spitäler zu attestieren. Was die Beleidigungen des Stellvertretenden Chefarztes Innere Medizin des Kantonsspitals Chur (Dr. D._) betreffe, so gehe aus den Zeugenaussagen hervor, dass auch die Beschwerdeführerin teils verbal, teils durch abschätzige Gesten nichts schuldig geblieben sei. Der Beschwerdeführerin könne daher nicht einseitig die Opferrolle zuerkannt werden. Zudem müsse aufgrund der damals zur Diskussion stehenden Leaderpositionen die Messlatte für persönliche Animositäten und individuelle Empfindlichkeiten relativ hoch angesetzt werden.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe die Zeugenaussagen nicht richtig wiedergegeben, da keiner der Zeugen habe bestätigen können, dass sie ausfällig geworden sei. Es sei lediglich Dr. D._, der ihr gegenüber ausfällig geworden sei, während sie ihm gegenüber den Anstand gewahrt habe. Die Spitalverantwortlichen hätten sie gegen Dr. D._ nicht in Schutz genommen.
Prof. Dr. C._ sagte aus: "... vor allem Herr Dr. D._, aber auch Frau Dr. A._ stritten, D._ vorwiegend verbal, Frau Dr. A._ averbal. Herr Dr. D._ war zum Teil verbal ausfällig, Frau Dr. A._ provozierte durch Gesten, in das Wort fallen usw." (Einvernahme-Protokoll S. 2 Ziff. 3).
Dr. B._ sagte aus: "... es entwickelte sich ein Hickhack zwischen Dr. D._ und Dr. A._, die Vorwürfe und Vorhaltungen gingen hin und her. Ich versuchte dreimal mit einem Timeout und gewissen Verhaltensregeln die Sache in geordnete Bahnen zu bringen" (Einvernahme-Protokoll S. 5 Ziff. 5).
Die Version der Beschwerdeführerin, sie habe den Anstand gegenüber Dr. D._ stets gewahrt, wird durch die zitierten Zeugenaussagen nicht gestützt. Inwiefern unter diesen Umständen die Beschwerdeführerin gegen Dr. D._ hätte geschützt werden sollen, ist ebenfalls nicht ersichtlich. Die weiteren Ausführungen der Beschwerdeführerin gegen die tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid sind unerheblich. Auch in diesem Zusammenhang hat die Vorinstanz das Willkürverbot nicht verletzt.
3.2.6 Gemäss angefochtenem Urteil wurde die Beschwerdeführerin auch in der Folgezeit weder vom Geschäftsleiter der Spitäler Chur AG (Dr. B._) noch vom Verwaltungsratspräsidenten (Dr. E._) mit ihren Sorgen allein gelassen. Zum einen sei abermals auf die erwähnten Massnahmen zur Beruhigung der Konfliktsituation zu verweisen. Zum andern könne auf die glaubwürdigen Aussagen des Verwaltungsratspräsidenten abgestellt werden. Dieser habe die Beschwerdeführerin im Sommer 2004 sogar während den Ferien im Tessin empfangen, um die Personal- und Strukturprobleme zu besprechen. Für weitere Einzelgespräche mit der Beschwerdeführerin habe laut Verwaltungsratspräsident keine Notwendigkeit bestanden, da seit Dezember 2004 ein klarer Projektauftrag existiert habe und für die Umsetzung desselben die Zeit bis Juli 2005 geplant gewesen sei. Die Einschaltung des IAP im Frühling 2005 habe ergeben, dass die Situation derart zerrüttet gewesen sei, dass nur die Aufsplittung in einzelne Problemkreise eine Lösung habe bringen können. Dies habe in der Folge stattgefunden. Im Übrigen sei bereits am Strategiemeeting im November 2004 das Modell "Vollintegration" mit Prof. Dr. C._ als Chefarzt im Departement Innere Medizin an der Spitze beschlossen worden. In der Folge habe man für die Beschwerdeführerin eine adäquate Position auf dem Spitalplatz Chur gesucht, wobei diese gegenüber dem Verwaltungsratspräsidenten im damaligen Zeitpunkt gesagt habe, dass der Titel "Chefärztin" für sie keine vorrangige Bedeutung habe. Aufgrund dieser Aussagen des Verwaltungsratspräsidenten kann nach Auffassung der Vorinstanz ebenfalls nicht auf eine gezielte Benachteiligung der Beschwerdeführerin geschlossen werden.
Die Beschwerdeführerin wendet ein, sie sei mit ihren Anliegen nicht auf Verständnis gestossen. Ihre Vorschläge seien nicht unterstützt worden. Es habe sich dabei um eine gezielte Ausgrenzung ihrer Person gehandelt. Sie habe sich nicht gegen das Konzept "Vollintegration" gewehrt, sondern ihre Vorschläge hätten die Art der Vollintegration betroffen. Zudem verkenne die Vorinstanz, dass sie nie beabsichtigt habe, den Posten von Prof. Dr. C._ zu übernehmen und dass sie auch nie auf dem Titel "Chefärztin" bestanden habe.
Die Einwände der Beschwerdeführerin sind über weite Strecken appellatorisch. Im Übrigen zielen sie ins Leere. Das Verwaltungsgericht stellte entgegen den Ausführungen in der Beschwerdeschrift fest, dass die Beschwerdeführerin im damaligen Zeitpunkt nicht auf dem Titel "Chefärztin" bestanden hatte. Es ist daher nicht nachvollziehbar, dass die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht das Gegenteil behauptet. Des Weitern kann die Beschwerdeführerin aus der Tatsache, dass ihre Vorschläge bezüglich der Neuorganisation des Spitalplatzes Chur sachlich nicht auf Zustimmung stiessen, nicht ableiten, sie werde gemobbt. Die Beschwerdeführerin zeigt denn auch nicht auf, welche gegen ihre Person gerichtete Gründe vorgelegen hätten, dass ihre Vorschläge keine Beachtung fanden.
3.2.7 Das Verwaltungsgericht führte aus, in Anbetracht des grossen Zeitdrucks sei nicht erstaunlich, dass die leitenden Fachkräfte, wozu auch die Beschwerdeführerin gezählt habe, im Hinblick auf das wegweisende Strategiemeeting von November 2004 zu einem Vorgespräch eingeladen worden seien. Was an einem solchen Vorgehen nicht korrekt gewesen sein soll, sei nicht erkennbar, zumal die von der Beschwerdeführerin bemängelte Kurzfristigkeit der Einberufung der Sitzung alle beteiligten Führungskräfte betroffen hätte. Eine bewusste Ausgrenzung oder systematische Diskriminierung der Beschwerdeführerin liege nicht vor. Hinzu komme, dass die Beschwerdeführerin Anfang November 2004 den zuständigen Stellen ein Konzept mit ihrer Vision der Integration des Kreuzspitals in das Kantonsspital eingereicht habe und sie sich somit zum bevorstehenden Strategiemeeting habe vorbereiten und zur künftigen Strategieausrichtung gebührend habe äussern können. Auch in diesem Punkt liege keine Ausgrenzung der Beschwerdeführerin vor.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, Prof. Dr. C._ habe ihr ein von ihm vorbereitetes Arbeitspapier betreffend das Konzept der Neuorganisation des Spitalplatzes Chur nicht bereits vor der Sitzung zur Verfügung gestellt, sondern dieses erst anlässlich des Vorgesprächs vorgestellt. Dabei sei auf die Vorschläge der Vertreter des Kreuzspitals nicht eingegangen worden, sondern man habe sie jeweils vor vollendete Tatsachen gestellt. Es treffe auch nicht zu, dass bereits im November 2004 Zeitdruck bestanden habe. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich mit diesen Ausführungen wiederum auf appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern dadurch, dass Prof. Dr. C._ sein Arbeitspapier erst am Vorgespräch vorstellte und die Beschwerdeführerin mit ihren Vorschlägen nicht auf Zustimmung stiess, diese als Person ausgegrenzt worden wäre.
3.2.8 Nach den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz hatte die Beschwerdeführerin am Strategiemeeting die Möglichkeit, ihren Vorschlag der "Schaffung einer Klinik in der Klinik" vorzustellen. Sie sei dabei von den Anwesenden in keiner Form brüskiert oder blossgestellt worden. Daran ändere auch die Tatsache nichts, dass der Chefarzt Innere Medizin des Kantonsspitals Chur zum Projektleiter der Arbeitsgruppensitzungen bestimmt worden sei, was die Beschwerdeführerin veranlasst habe, dem Verwaltungsratspräsidenten ihre Kündigung in Aussicht zu stellen. Dieser habe mit dem Ersuchen reagiert, diesbezüglich nichts zu überstürzen. Auch diese besonnene Reaktion lässt nach Ansicht des Verwaltungsgerichts nicht auf eine arglistige "Hinhalte- und Verschleierungstaktik" schliessen. Im Gegenteil habe der Verwaltungsratspräsident damit signalisiert, dass er die fachärztlich über jeden Zweifel erhabene Beschwerdeführerin gerne auf dem künftigen Spitalplatz Chur weiterhin beschäftigt hätte, sofern mit ihr eine einvernehmliche Lösung über die noch offenen Personal- und Strukturfragen gefunden werden könnte.
Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass die Vorinstanz sich nicht mit ihrer in der Rechtsschrift dargelegten Idee der Integration der medizinischen Abteilung des Kreuzspitals auseinandergesetzt hat. Sie verkennt, dass es nicht Sache des Gerichts sein kann, über die Zweckmässigkeit der Neuorganisation des Spitalplatzes Chur zu befinden. Auch die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin sind unerheblich.
3.2.9 Schliesslich stellte die Vorinstanz fest, dass nicht erkennbar sei, inwiefern der Verwaltungsratspräsident den Chefarzt Innere Medizin des Kantonsspitals Chur (Prof. Dr. C._) und dessen Stellvertreter (Dr. D._) gegenüber der Beschwerdeführerin bevorzugt hätte. Allein aus dem Umstand, dass die Beschwerdeführerin den Verwaltungsratspräsidenten nicht von ihrem Konzept des Spitalplatzes Chur überzeugt habe, könne sie nichts ableiten, was auf Mobbing deuten würde.
Die Beschwerdeführerin bringt vor, ursprünglich sei vorgesehen gewesen, dass sie zusammen mit Prof. Dr. C._ das Departement Innere Medizin leiten würde. Die Vorinstanz übergehe diesbezüglich eine Zeugenaussage (H._). Ihr sei es in der Folge darum gegangen, nach der Neuorganisation des Spitalplatzes Chur die Nummer 2 im Departement Innere Medizin zu sein.
Die Beschwerdeführerin widerspricht sich insoweit, als sie weiter vorn in der Beschwerdeschrift einräumte, es sei auch für sie unbestritten gewesen, dass sie mangels Habilitation den Posten von Prof. Dr. C._ nicht habe übernehmen können. Zudem ist unbestritten, dass sie neben Dr. D._ ebenfalls zur Stv.-Chefärztin vorgeschlagen wurde. Eine Ausgrenzung ihrer Person ist damit nicht auszumachen. Die weiteren Ausführungen in der Beschwerdeschrift zielen an der Sache vorbei.
3.2.10 Nach den Sachverhaltsfeststellungen des Verwaltungsgerichts sind die in der Folge durchgeführten Arbeitsgruppensitzungen und die damit in Zusammenhang stehenden Reibungsflächen darauf zurückzuführen, dass das beschlossene Konzept "Vollintegration" bis Juli 2005 hätte umgesetzt werden sollen. Jene Zeitspanne sei aktenkundig nicht nur einseitig für die Beschwerdeführerin sehr belastend und arbeitsintensiv gewesen, sondern mindestens genau so für die Projektverantwortlichen, welche sich durch die seit November 2004 unveränderte Haltung der Beschwerdeführerin zunehmend genervt gefühlt und deshalb gereizt auf die von ihr immer von neuem angezettelte Grundsatzdiskussion reagiert hätten. Es sei auf beiden Seiten - in ausgewogenem Mass - zu persönlichen Gehässigkeiten und Unsportlichkeiten gekommen. Die Umsetzung des Konzepts bis Ende Juli 2005 sei nicht zuletzt am unkooperativen Verhalten der Beschwerdeführerin gescheitert, welche an ihrer Konzeptvariante festgehalten habe. Auch für diesen Zeitabschnitt sei es nicht gerechtfertigt, der Beschwerdeführerin einseitig die Opferrolle zuzuweisen.
Die Beschwerdeführerin beschränkt sich erneut auf die Darstellung ihrer eigenen Sichtweise, ohne zu belegen, inwiefern die Sachverhaltsfeststellung, sie sei ständig auf ihre Konzeptvariante zurückgekommen und könne nicht einseitig als Mobbing-Opfer betrachtet werden, willkürlich sein soll. Die Beschwerde ist wiederum appellatorisch.
3.2.11 In ihren weiteren Ausführungen beanstandet die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz nicht auf alle ihre Vorbringen eingegangen sei. Eine Verletzung der Pflicht zur Urteilsbegründung (<ref-law>) ist aber in Anbetracht der detaillierten Erwägungen der Vorinstanz nicht auszumachen. Im Übrigen gelingt es der Beschwerdeführerin auch in ihren weiteren Ausführungen nicht, die Feststellung der Vorinstanz, es habe kein Mobbing stattgefunden, sondern die Ursachen der Zerrüttung seien in den unvereinbaren Positionen der Parteien zu suchen, als krass falsch und damit willkürlich auszugeben. Dass auch die Verantwortlichen der Spitäler während der Phase der Umsetzung des beschlossenen Spital-Konzepts gegenüber der Beschwerdeführerin teilweise "unsportlich" reagierten, stellt die Vorinstanz nicht in Abrede.
3.3 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Verwaltungsgericht bei der Sachverhaltsermittlung im Zusammenhang mit dem Vorwurf des Mobbing weder gegen das Willkürverbot noch gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör verstiess. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet, soweit darauf infolge der darin über weite Strecken enthaltenen appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil eingetreten werden kann.
4. 4.1 Des weitern macht die Beschwerdeführerin geltend, die Kündigung sei unrechtmässig. Sie bringt vor, das Verwaltungsgericht habe den Anstellungsvertrag im Zusammenhang mit der Frage des Kündigungsschutzes willkürlich ausgelegt. Zudem sei ihr in Verletzung von Art. 13 der damals geltenden Personalverordnung kein zumutbarer Vertrag angeboten worden.
4.2 Das Verwaltungsgericht führte sinngemäss aus, es müsse nicht geprüft werden, ob ein ordentlicher Kündigungsgrund vorgelegen habe, da die Parteien Art. 9 der damals geltenden Personalverordnung (PV) betreffend die ordentliche Kündigung durch den Arbeitgeber im Anstellungsvertrag ausdrücklich wegbedungen hätten. Nicht betroffen sei hingegen Art. 13 PV, wonach die Kündigungsfrist bei allen Mitarbeitern auf sechs Monate ausgedehnt werde, sofern deren Arbeitsstelle aufgehoben wird, ohne dass ihnen eine andere zumutbare Stelle angeboten werden kann oder ohne dass eine Umschulung mit einem verhältnismässigen Aufwand eine Weiterbeschäftigung ermöglicht. Vorliegend stelle sich die Frage, ob der Beschwerdeführerin vor der Kündigung eine zumutbare Stelle angeboten worden sei. Es sei erstellt, dass die Spitalverantwortlichen der Beschwerdeführerin am 27. Juni 2005 die Gelegenheit geboten hätten, als "Stv.-Chefärztin Medizin SCAG/Bereichsleiterin Medizin KRZ" auf dem Spitalplatz Chur tätig zu sein. Diesen Vertrag habe die Beschwerdeführerin aber abgelehnt, weil sie die Ansicht vertreten habe, dass sie sowohl fachlich (Einschränkung der bisherigen Alleinverantwortung und Entscheidkompetenz) als auch persönlich (Verlust des Titels "Chefärztin") herabgesetzt würde. Das Verwaltungsgericht vertritt den Standpunkt, dass darin keine Herabminderung zu sehen sei, dass die angebotene Stelle als "Stv.-Chefärztin Medizin SCAG/Bereichsleiterin Medizin KRZ" eine Folge der Fusion der Spitäler gewesen und Prof. Dr. C._ aufgrund seiner Habilitation der besser qualifizierte Kandidat für die Chefarzt-Position zu betrachten sei. Am 17. Oktober 2005 habe eine weitere Aussprache stattgefunden, um die Probleme auszudiskutieren und die Beschwerdeführerin zur Annahme eines Kompromisses zu bewegen. Dieser Versuch sei jedoch gescheitert. In der Folge sei eine zunehmende Polarisierung der Standpunkte eingetreten, die letztlich zur Kündigung wegen unheilbarer Zerrüttung des Vertrauensverhältnisses und unüberwindbaren Meinungsverschiedenheiten geführt habe. Unter diesen Umständen könne von einer missbräuchlichen oder ungerechtfertigten Kündigung nicht die Rede sein, zumal die Beschwerdeführerin auf die von ihr angestrebte Anstellung als Chefärztin keinen Rechtsanspruch gehabt habe. Demzufolge entfalle auch ein Schadenersatz- und Genugtuungsanspruch.
4.3 Die Beschwerdeführerin wendet ein, das Verwaltungsgericht habe den Anstellungsvertrag nur wörtlich, nicht auch nach systematischen und teleologischen Gesichtspunkten ausgelegt. Dies sei willkürlich, da die Parteien nicht den gesamten Kündigungsschutz hätten wegbedingen wollen. Die Beschwerdeführerin verkennt, dass jeder Vertrag in erster Linie nach seinem Wortlaut auszulegen ist. Davon wird nur abgewichen, wenn ernsthafte Gründe dafür vorliegen, dass der Wortlaut nicht den objektiven Sinn der Vertragsklausel wiedergibt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 425, mit Hinweisen). Inwiefern dies vorliegend der Fall wäre, zeigt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich auf. Auch legt sie nicht hinreichend dar, weshalb die Kündigungsschutzbestimmungen der kantonalen Personalverordnung im Anstellungsverhältnis einer Chefärztin oder eines Chefarztes als zwingendes Recht zu beachten und daher nicht vertraglich wegbedungen werden dürften. Mit der blossen Behauptung, das kantonale Personalrecht sei selbst bei öffentlich-rechtlichen Arbeitsverträgen mit Chefärztinnen und Chefärzten zwingend, erfüllt sie die qualifizierte Rügepflicht (vgl. E. 1.5) nicht.
Auch in ihren weiteren Ausführungen bringt die Beschwerdeführerin nichts vor, was das angefochtene Urteil als willkürlich erscheinen liesse. Sie beschränkt sich darauf, das Vertragsangebot der Anstellung als "Stv.-Chefärztin Medizin SCAG/Bereichsleiterin Medizin KRZ" als unzumutbar hinzustellen. Dabei setzt sie sich insbesondere nicht mit der Rechtsauffassung des Verwaltungsgerichts auseinander, dass sie keinen Rechtsanspruch auf eine bestimmte, von ihr angestrebte Anstellung hatte. Dies gilt auch für ihren Einwand, sie hätte die Anstellung als Stv.-Chefärztin für den gesamten Spitalplatz Chur (ohne Beschränkung auf den Bereich des Kreuzspitals) und mit vertraglich garantiertem Einsitz im Führungsgremium des Departements Innere Medizin der Spitäler Chur AG akzeptiert.
Insgesamt hat das Verwaltungsgericht das Willkürverbot nicht verletzt, wenn es die Kündigung infolge Scheiterns der Vertragsverhandlungen als rechtmässig beurteilte.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde unbegründet und demnach abzuweisen, soweit darauf mangels Erfüllung der Begründungsanforderungen überhaupt eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen. Die Zusprechung einer Parteientschädigung fällt ausser Betracht (<ref-law>; Urteile des Bundesgerichts 1C_383/2007 vom 15. Juli 2008 E. 5; 1C_351/2007 vom 30. Oktober 2008 E.8).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. November 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder