Sachverhalt:
A. Der 1959 geborene S._ war seit Januar 2009 als Filmproduzent bei der T._ AG, angestellt und damit bei der Helsana Unfall AG (nachfolgend: Helsana) obligatorisch gegen Unfall versichert. Am 11. März 2009 erlitt er einen Berufsunfall mit Schulterverletzung. Die Helsana erbrachte unter anderem Versicherungsleistungen in Form von Taggeld, welches sie der Arbeitgeberin ausbezahlte.
Mit an Rechtsanwalt Markus Storchenegger adressierter Verfügung vom 3. April 2012 forderte die Helsana Taggelder in Höhe von Fr. 56'466.10 zurück. Dieser erhob am 15. Mai 2012 im Namen von S._ Einsprache, mit welcher er die Aufhebung der Rückforderungsverfügung verlangte, da sich der geltend gemachte Anspruch nicht gegen seinen Klienten, sondern gegen dessen Arbeitgeberin zu richten habe.
Am 21. Mai 2012 adressierte die Helsana zur Wahrung der Verwirkungsfrist nochmals eine Rückforderungsverfügung an Rechtsanwalt Markus Storchenegger, mit welcher sie diesen aufforderte, seine Klientin T._ AG zu veranlassen, ihr den Betrag von Fr. 56'466.10 zu überweisen.
Mit Einspracheentscheid vom 18. Juli 2012 wies die Helsana die gegen die Verfügung vom 3. April 2012 gerichtete Einsprache des S._ ab.
B. S._ liess am 14. September 2012 beim Kantonsgericht Appenzell I.Rh. Beschwerde einreichen und die Aufhebung des Einspracheentscheids vom 18. Juli 2012 sowie der Verfügung vom 3. April 2012 beantragen.
Am 11. Oktober 2012 erliess die Helsana eine "Wiedererwägungs- und Nichteintretensverfügung", mit welcher sie den Einspracheentscheid vom 18. Juli 2012 aufhob und auf die Einsprache vom 15. Mai 2012 nicht eintrat mit dem Hinweis, die Verfügung vom 3. April 2012 bleibe davon unberührt.
Das kantonale Gericht hiess die Beschwerde vom 14. September 2012 mit Entscheid vom 4. Dezember 2012 unter Aufhebung der Verfügung vom 3. April 2012 gut. Der Helsana auferlegte es Verfahrenskosten von Fr. 2'000.- und verpflichtete diese, S._ mit Fr. 4'500.- (inkl. MWSt und Barauslagen) zu entschädigen.
C. Die Helsana führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es sei der Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und das kantonale Beschwerdeverfahren wegen Gegenstandslosigkeit abzuschreiben. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das kantonale Gericht und S._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E 1.2 S. 252). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht grundsätzlich nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Im vorliegenden Fall macht die Beschwerdeführerin geltend, aufgrund der Wiedererwägungsverfügung vom 11. Oktober 2012 hätte das kantonale Gericht die Rückforderungsverfügung vom 3. April 2012 nicht aufheben dürfen, sondern das Beschwerdeverfahren als gegenstandslos abschreiben müssen. Es geht somit nicht um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung, sondern um eine prozessuale Frage, weshalb die Ausnahmen von Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG nicht zur Anwendung gelangen. Das Bundesgericht entscheidet daher im Rahmen der üblichen engen Kognition (vgl. etwa <ref-ruling> sowie Urteil 8C_921/2012 vom 12. März 2013 E. 2).
2. 2.1 Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz die Verfügung vom 3. April 2012 zu Recht aufgehoben hat.
2.2 Das kantonale Gericht ging davon aus, dass die Verfügung vom 3. April 2012 Anfechtungsgegenstand der Beschwerde bilde. Diese sei durch die Wiedererwägungsverfügung vom 11. Oktober 2012 nicht aufgehoben worden, weshalb das Beschwerdeverfahren nicht gegenstandslos geworden sei. Es unterzog die Beschwerde daher einer materiellen Prüfung. Die Aufhebung der streitigen Verfügung begründet die Vorinstanz mit der nicht eindeutigen Bestimmtheit des Subjekts des materiellen Rechtsverhältnisses. Der Rechtsakt sei an die Adresse von Rechtsanwalt Markus Storchenegger ergangen, welcher sowohl vom Versicherten als auch von dessen Arbeitgeberin bevollmächtigt worden sei. Unter dem Titel "Rückforderung Taggeldleistungen" seien Name und Geburtsdatum des Versicherten angeführt, und im Verfügungstext sei jeweils von "Ihr Klient" und "Ihr Mandant" die Rede. Die Verfügung schliesse mit der Aufforderung, den angegebenen Rückforderungsbetrag mit Angabe der Schadennummer sowie Name und Vorname des Versicherten auf das Konto der Helsana zu überweisen. Der Versicherte habe sich daher als Anordnungssubjekt der Verfügung betrachten und diese anfechten müssen, um keinen Rechtsnachteil zu riskieren. Mit dem Erlass der Verfügung vom 21. Mai 2012, welche ausdrücklich die T._ AG auffordere, den Rückforderungsbetrag zu überweisen, habe die Helsana offenbar die Lückenhaftigkeit der Verfügung vom 3. April 2012 erkannt. Bei dieser Konstellation hätte sie nach Auffassung der Vorinstanz die erste Verfügung widerrufen müssen.
2.3 Die Helsana rügt eine Verletzung der bundesrechtlichen Verfahrensgarantien, insbesondere des Rechts auf ein faires Verfahren, der Rechtsweggarantie (<ref-law>) und des Willkürverbots (<ref-law>) sowie von Art. 53 und Art. 56 ATSG. Diese erblickt sie darin, dass die Vorinstanz die Verfügung vom 3. April 2012 aufgehoben hat. Anfechtungsobjekt im Beschwerdeverfahren könne nach den allgemeinen Grundlagen des Prozessrechts nicht diese Verfügung sein, sondern nur der Einspracheentscheid vom 18. Juli 2012. Mit der wiedererwägungsweisen Aufhebung dieses Einspracheentscheids lite pendente sei das Anfechtungsobjekt der Beschwerde vom 14. September 2012 weggefallen und das Beschwerdeverfahren gegenstandslos geworden. Der Einspracheentscheid vom 18. Juli 2012 sei durch die Nichteintretensverfügung vom 11. Oktober 2012 ersetzt worden. Gegen diese stehe wiederum das Rechtsmittel der Beschwerde ans kantonale Versicherungsgericht zur Verfügung, welches vom Versicherten denn auch ergriffen worden sei. In jenem vor Vorinstanz noch hängigen Verfahren werde das kantonale Gericht über das Schicksal der gegen die T._ AG (und nicht gegen den Versicherten) gerichteten Verfügung vom 3. April 2012 zu befinden haben. Mit der vorinstanzlichen Aufhebung dieser Verfügung sei somit einem noch pendenten Verfahren die Grundlage entzogen worden.
3. 3.1 Gegenstand einer Verfügung bildet die Anordnung der Behörde im Einzelfall, welche die Begründung, Änderung oder Aufhebung von Rechten oder Pflichten zum Gegenstand hat (Art. 49 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>). Im Bereich der Sozialversicherung wird damit ein Rechtsverhältnis zwischen dem Versicherungsträger (<ref-law>) und dem Adressaten der Verfügung im materiellen Sinn geregelt. Davon zu unterscheiden ist der Zustellungsempfänger der eröffneten Verfügung, welcher mit dem Adressaten, verstanden als Subjekt des materiellen Rechtsverhältnisses, nicht identisch sein muss (FRITZ GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 132). Nach der Rechtsprechung schadet eine falsche Parteibezeichnung dann nicht, wenn die betroffene Person aufgrund der Umstände erkennen muss, dass sie gemeint ist. Wird jedoch eine Person ins Recht gefasst, gegen welche der Versicherungsträger gar keine finanziellen Ansprüche geltend machen kann, ist der streitige Rechtsakt aufzuheben (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 343).
3.2 Dem kantonalen Gericht ist darin beizupflichten, dass sich der Versicherte aufgrund des Wortlautes der Verfügung vom 3. April 2012 in guten Treuen als von der Helsana ins Recht gefasster materieller Verfügungsadressat betrachten musste. Entgegen der von der Beschwerdeführerin vertretenen Auffassung vermag daran nichts zu ändern, dass Rechtsanwalt Markus Storchenegger sowohl den Versicherten als auch dessen Arbeitgeberin vertritt und der Versicherte aufgrund der bestehenden Rechtslage nicht passivlegitimiert sein kann. Wie die Helsana in der Beschwerde selber festhält, richtet sich die Überweisungsaufforderung in der Verfügung vom 3. April 2012 ausdrücklich an den Rechtsvertreter. Die Verfügung war auch an diesen adressiert. Aufgrund der vorliegenden Konstellation, bei welcher nicht zweifelsfrei ersichtlich ist, gegen wen sich die streitige Verfügung richtet, kann diese auch nicht materiell geprüft werden. Erst aufgrund der Verfügung vom 21. Mai 2012 ergibt sich, dass gegenüber der T._ AG finanzielle Ansprüche in Form einer Rückerstattungsforderung geltend gemacht werden. Da sich die Parteien darüber einig sind, dass die Arbeitgeberin als materielle Adressatin der Rückerstattungsforderung ins Recht zu fassen ist, hätte die Helsana die Verfügung vom 3. April 2012 richtigerweise auf Einsprache des Beschwerdegegners hin aufheben müssen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 413; HANSJÖRG SEILER, Rechtsfragen des Einspracheverfahrens in der Sozialversicherung [<ref-law>], in: Sozialversicherungsrechtstagung 2007, St. Gallen 2007, S. 102).
3.3 Gemäss <ref-law> kann die Verwaltung auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 148 f.; <ref-ruling> E. 1). Der Versicherungsträger kann eine Verfügung oder einen Einspracheentscheid, gegen die Beschwerde erhoben wurde, so lange wiedererwägen, bis er gegenüber der Beschwerdebehörde Stellung nimmt (<ref-law>). Diese Regelung entspricht derjenigen von <ref-law>. Aus <ref-law> ergibt sich, dass auch die weiteren Absätze der genannten Bestimmung massgebend sind. Gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> setzt die Beschwerdeinstanz die Behandlung der Beschwerde fort, soweit diese durch die Verfügung der Vorinstanz nicht gegenstandslos geworden ist (Urteil 8C_ 526/2012 vom 19. September 2012 E. 3.2). Es entspricht einem allgemeinen Verfahrensgrundsatz, dass die Wiedererwägung der angefochtenen Verfügung während eines hängigen Verfahrens nur dann zur Gegenstandslosigkeit führt, wenn damit den im Beschwerdeverfahren gestellten Rechtsbegehren vollumfänglich entsprochen worden ist; entspricht die nach Wiedererwägung erlassene Verfügung indessen nur teilweise den gestellten Begehren, darf die Beschwerde nicht insgesamt als gegenstandslos betrachtet werden; in diesem Fall ist das Beschwerdeverfahren weiterzuführen, soweit es durch die neue Verfügung nicht hinfällig geworden ist (<ref-ruling> E. 2b/bb S. 233; bereits erwähntes Urteil 8C_526/2012 E. 4.2).
3.4 Vorliegend hat die Helsana den Einspracheentscheid vom 18. Juli 2012 am 11. Oktober 2012 lite pendente aufgehoben, nicht aber die Verfügung vom 3. April 2012. Dazu wäre sie nach dem in E. 3.2 hievor Gesagten indessen spätestens zu jenem Zeitpunkt verpflichtet gewesen. Indem sie davon absah, hat sie dem Antrag auf Aufhebung der Verfügung vom 3. April 2012 gemäss Beschwerde vom 14. September 2012 nicht entsprochen. Der Rechtsstreit blieb daher bestehen, und es konnte - weil begrifflich ausgeschlossen - keine Gegenstandslosigkeit eintreten. Dass der Beschwerdeführerin vor Erlass des vorinstanzlichen Entscheids keine Frist zur Stellungnahme zur im Rahmen der Gehörsgewährung erfolgten Eingabe des Beschwerdegegners eingeräumt wurde, stellt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Sinne von <ref-law> dar. Die Eingabe des Versicherten wurde ihr rechtzeitig zugestellt, so dass sie sich von sich aus noch dazu hätte äussern können, bevor das kantonale Gericht seinen Entscheid fällte. Da die Verfügung vom 3. April 2012 nach wie vor Bestand hatte, ist die Vorinstanz richtigerweise auf die Beschwerde eingetreten und hat diese, weil sie sich gegen einen nicht eindeutig bestimmten Adressaten richtete und daher materiell nicht überprüft werden konnte, zu Recht aufgehoben.
4. 4.1 Das kantonale Gericht auferlegte der Beschwerdeführerin Verfahrenskosten in Höhe von Fr. 2'000.-, da deren verfahrensrechtliche Vorgehensweise als mutwillig zu qualifizieren sei. Als die Helsana die Rückforderungsverfügung vom 21. Mai 2012 gegenüber der T._ AG erlassen habe, spätestens jedoch mit Einspracheentscheid vom 18. Juli 2012, habe diese die Verfügung vom 3. April 2012 widerrufen können, zumal sie selbst argumentiere, dass nicht der Beschwerdegegner, sondern dessen Arbeitgeberin rückerstattungspflichtig sei. Indem sie trotzdem an der Verfügung vom 3. April 2012 festhalte, habe sie sich mutwillig verhalten, weshalb ihr gemäss Art. 13 lit. c der kantonalen Verordnung vom 1. Oktober 2011 über die Gebühren der Gerichte (GGV; 173.810) Gerichtskosten von Fr. 2'000.- aufzuerlegen seien.
4.2 Die Beschwerdeführerin rügt, diese Kostenauflage sei willkürlich und beruhe auf einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung. Zudem habe sich die Vorinstanz nicht mit dem widersprüchlichen und treuwidrigen Verhalten des Rechtsvertreters des Versicherten und den im Einspracheentscheid vom 18. Juli 2012 und der Wiedererwägungs- und Nichteintretensverfügung vom 11. Oktober 2012 enthaltenen Argumenten auseinandergesetzt und damit das rechtliche Gehör verletzt.
4.3 Gemäss <ref-law> muss das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht einfach, rasch, in der Regel öffentlich und für die Parteien kostenlos sein; einer Partei, die sich mutwillig oder leichtsinnig verhält, können jedoch eine Spruchgebühr und die Verfahrenskosten auferlegt werden. Laut Art. 17 GGV können bei kostenlosen Verfahren wegen leichtsinniger oder mutwilliger Prozessführung Gerichtskosten in Höhe von zwischen Fr. 100.- und Fr. 2'000.- auferlegt werden.
Nach ständiger Rechtsprechung kann leichtsinnige oder mutwillige Prozessführung vorliegen, wenn die Partei ihre Stellungnahme auf einen Sachverhalt abstützt, von dem sie weiss oder bei der ihr zumutbaren Sorgfalt wissen müsste, dass er unrichtig ist. Mutwillige Prozessführung kann unter anderem auch angenommen werden, wenn eine Partei vor der Rekursbehörde an einer offensichtlich gesetzwidrigen Auffassung festhält. Die Partei muss indessen bei der ihr zumutbaren vernunftsmässigen Überlegung ohne weiteres erkennen können, dass ihr Verhalten aussichtslos ist oder dass der von ihr angenommene Sachverhalt nicht zutrifft (SVR 2007 IV Nr. 19 S. 68, I 252/06 E. 2.2). Dabei kann auch das vorprozessuale Verhalten einbezogen werden (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 289). Die Ausnahme von der Kostenlosigkeit trifft nicht nur die Beschwerde führende Partei, sondern beide Parteien; es kann mithin auch zulasten des Versicherungsträgers eine Kostenauflage erfolgen (UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Auflage 2009, N. 37 f. zu <ref-law>).
4.4 Entgegen den Ausführungen in der Beschwerde hat die Vorinstanz ihre Begründungspflicht (als Teilgehalt des Anspruchs der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>) nicht verletzt. Vielmehr hat sie im angefochtenen Entscheid rechtsgenüglich zu erkennen gegeben, weshalb aus ihrer Sicht mutwillige Prozessführung anzunehmen ist.
4.5 Aus dem in E. 3 hievor Gesagten sowie den zutreffenden vorinstanzlichen Darlegungen, auf welche verwiesen wird, ist ersichtlich, dass der Standpunkt der Beschwerdeführerin klar unbegründet ist. Wenn die Vorinstanz annahm, dass diese bei der ihr zumutbaren Sorgfalt ohne weiteres hätte erkennen können, dass sie sich auf einen unrichtigen Sachverhalt stützte und ihr Rechtsmittel somit aussichtslos war, verstösst es nicht gegen Bundesrecht, wenn diese ihr eine Gerichtsgebühr in masslich unbestrittener Höhe von Fr. 2'000.- auferlegt hat.
5. Zu prüfen bleibt, ob die vorinstanzlich auf Fr. 4'500.- festgesetzte Parteientschädigung vor Bundesrecht standhält.
5.1 Nach <ref-law> hat die obsiegende Beschwerde führende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten, wobei diese vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen wird.
5.2 Das Bundesgericht prüft frei, ob der vorinstanzliche Entscheid hinsichtlich der Bemessung der Parteientschädigung den in <ref-law> statuierten bundesrechtlichen Anforderungen genügt. Weil die Bemessung der Parteientschädigung für das kantonale Verfahren im Übrigen dem kantonalen Recht überlassen ist (<ref-law>), prüft das Bundesgericht darüber hinaus nur, ob die Höhe der Parteientschädigung vor dem Willkürverbot standhält. Dies gilt insbesondere mit Bezug auf den vom kantonalen Versicherungsgericht angewendeten Tarif (SVR 2011 AHV Nr. 7 S. 23, 9C_338/2010 E. 3.2; Urteil 9C_688/2009 vom 19. November 2009 E. 3.2.1 mit Hinweisen; vgl. zum Tarif: Art. 18 der kantonalen Verordnung über die Honorare der Anwälte [AnwHV; 177.410]). Dem erstinstanzlichen Gericht ist bei der Bemessung der Entschädigung praxisgemäss ein weiter Ermessensspielraum einzuräumen (Urteil 9C_284/2012 vom 18. Mai 2012 E. 2; vgl. die Zusammenfassung der Rechtsprechung in SVR 2000 IV Nr. 11 S. 31, I 308/98 E. 2b).
5.3 Nach der Rechtsprechung muss der Entscheid über die zu entrichtende Parteientschädigung in der Regel nicht begründet werden (<ref-ruling>; RKUV 2005 Nr. U 547 S. 221, U 85/04 E. 3.2). Eine grundsätzliche Verpflichtung zur Entscheidbegründung (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188) besteht aber namentlich, wenn die Festsetzung der Parteientschädigung nicht mit der vom Rechtsvertreter eingereichten Kostennote übereinstimmt (vgl. SVR 2009 IV Nr. 48 S. 144, 9C_991/2008 E. 3.1.2) oder wenn sich das Gericht nicht an vorgegebene Tarife oder gesetzliche Regelungen hält (Urteil 9C_155/2012 vom 30. Juli 2012 E. 2.2).
5.4 Laut Beschwerdeführerin ist die Parteientschädigung auf die notwendigen Aufwendungen für die Beschwerdeschrift vom 14. September 2012 und somit auf Fr. 1'540.- zu reduzieren, während die weiteren Aufwendungen, namentlich für die ihrer Ansicht nach vom kantonalen Gericht zu Unrecht angeordnete Stellungnahme vom 25. Oktober 2012 zum Antrag auf Abschreibung des Verfahrens wegen Gegenstandslosigkeit, nicht zu entschädigen sei.
5.5 Das kantonale Gericht hat die Parteientschädigung mit Blick auf das vollständige Obsiegen des Beschwerdeführers, die Umstände des konkreten Falles und den Gebührenrahmen von Art. 18 AnwHV auf Fr. 4'500.- festgesetzt. Dies verstösst nicht gegen <ref-law> und hält vor dem Willkürverbot stand.
6. Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>). Diese hat dem Beschwerdegegner ausserdem eine Parteientschädigung in beantragter Höhe von Fr. 2'300.- zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'300.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Appenzell I.Rh. und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Mai 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer