Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 27. Dezember 2010 wies die Ausgleichskasse des Kantons St. Gallen das Gesuch von K._ um Erlass der Rückerstattung zuviel ausgerichteter Ergänzungsleistungen (EL) in der Höhe von Fr. 16'125.- ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 9. Dezember 2011 fest, wobei sie einen Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das Einspracheverfahren verneinte.
B. Dagegen liess K._ Beschwerde erheben. Mit Entscheid vom 6. August 2012 wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Ausgleichskasse an, der Versicherten eine Entschädigung für unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Einspracheverfahren zuzusprechen (Dispositiv-Ziffer 1), sprach deren Rechtsvertreterin eine Entschädigung für das Beschwerdeverfahren zu (Dispositiv-Ziffer 4) und wies im Übrigen das Rechtsmittel ab (Dispositiv-Ziffer 2).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Ausgleichskasse, es sei festzustellen, dass für das Einspracheverfahren kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung besteht.
K._ beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde führende Ausgleichskasse ist berechtigt, Dispositiv-Ziffer 1 des vorinstanzlichen Entscheids (Bejahung des Anspruchs der Beschwerdegegnerin auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Einspracheverfahren betreffend den Erlass der Rückerstattung unrechtmässig bezogener Ergänzungsleistungen [<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und Art. 1 Abs. 1 ELG]) beim Bundesgericht anzufechten (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin bestreitet dies. Ihre Begründung, die Beschwerdeführerin habe insoweit keine Parteistellung gehabt, trifft indessen offensichtlich nicht zu. Die Ausgleichskasse hatte im vorinstanzlich angefochtenen Einspracheentscheid den Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das Einspracheverfahren (<ref-law>) verneint und hatte somit (auch diesbezüglich) Parteistellung im nachfolgenden Beschwerdeverfahren (vgl. Art. 21 Abs. 2 ELV; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 378; <ref-ruling> E. 1 S. 188; Urteil 9C_245/2007 vom 24. September 2007 mit Hinweisen auf die Lehre).
2. Die Vorinstanz hat den Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Einspracheverfahren betreffend den Erlass der Rückerstattung unrechtmässig bezogener Ergänzungsleistungen in der Höhe von Fr. 16'125.- mit der Begründung bejaht, es seien keine Umstände gegeben, welche die Erfolgsaussichten beträchtlich geringer erscheinen liessen als die Gefahr des Unterliegens. Ebenfalls seien die Voraussetzungen der Notwendigkeit einer rechtskundigen Vertretung und der Prozessarmut erfüllt. Demgegenüber ist nach Auffassung der Beschwerdeführerin offensichtlich, dass die Prozessaussichten bezüglich Erlass bei einer Verletzung sowohl der Melde- als auch der Überprüfungspflichten als aussichtslos erschienen. Folgerichtig seien die Erfolgsaussichten beträchtlich geringer als die Gefahr des Unterliegens, weshalb kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Einspracheverfahren bestehe.
3. 3.1 <ref-law> räumt jeder Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, einen Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand ein. Prozessbegehren sind als aussichtslos anzusehen, wenn die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren, so dass sie kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135; <ref-ruling> E. 2.5.3 S. 236).
Notwendigkeit einer rechtskundigen Vertretung und fehlende Aussichtslosigkeit der Prozessbegehren sind auch Voraussetzung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.1 S. 201; SVR 2009 IV Nr. 3 S. 4, I 415/06 E. 4.2). Dabei ist das Erfordernis der sachlichen Gebotenheit einer anwaltlichen Verbeiständung nur in Ausnahmefällen zu bejahen. Es müssen sich schwierige rechtliche oder tatsächliche Fragen stellen und eine Interessenwahrung durch Verbandsvertreter, Fürsorgestellen oder andere Fach- und Vertrauensleute sozialer Institutionen ausser Betracht fallen (<ref-ruling> E. 4.1 in fine S. 201). Von Bedeutung ist auch die Fähigkeit der versicherten Person, sich im Verfahren zu Recht zu finden (<ref-ruling> E. 4b S. 35). Mit Blick darauf, dass das Verfahren vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht wird, die Versicherungsträger und Durchführungsorgane der einzelnen Sozialversicherungen (u.a. EL-Durchführungsstellen) also den rechtserheblichen Sachverhalt unter Mitwirkung der Parteien zu ermitteln haben (<ref-law>), drängt sich eine Verbeiständung nur in Ausnahmefällen auf (<ref-ruling> E. 4.1 S. 201; <ref-ruling> E. 4c S. 36; SVR 2009 IV Nr. 48 S. 144, 9C_991/2008 E. 4.2 mit Hinweisen).
Notwendigkeit einer rechtskundigen Vertretung und fehlende Aussichtslosigkeit der Prozessbegehren sind auch Voraussetzung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.1 S. 201; SVR 2009 IV Nr. 3 S. 4, I 415/06 E. 4.2). Dabei ist das Erfordernis der sachlichen Gebotenheit einer anwaltlichen Verbeiständung nur in Ausnahmefällen zu bejahen. Es müssen sich schwierige rechtliche oder tatsächliche Fragen stellen und eine Interessenwahrung durch Verbandsvertreter, Fürsorgestellen oder andere Fach- und Vertrauensleute sozialer Institutionen ausser Betracht fallen (<ref-ruling> E. 4.1 in fine S. 201). Von Bedeutung ist auch die Fähigkeit der versicherten Person, sich im Verfahren zu Recht zu finden (<ref-ruling> E. 4b S. 35). Mit Blick darauf, dass das Verfahren vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht wird, die Versicherungsträger und Durchführungsorgane der einzelnen Sozialversicherungen (u.a. EL-Durchführungsstellen) also den rechtserheblichen Sachverhalt unter Mitwirkung der Parteien zu ermitteln haben (<ref-law>), drängt sich eine Verbeiständung nur in Ausnahmefällen auf (<ref-ruling> E. 4.1 S. 201; <ref-ruling> E. 4c S. 36; SVR 2009 IV Nr. 48 S. 144, 9C_991/2008 E. 4.2 mit Hinweisen).
3.2 3.2.1 Nach der am 1. Juli 2010 verfügten Rückforderung, die unangefochten blieb, liess die Beschwerdegegnerin durch die Beratungsstelle X._ ein Erlassgesuch stellen. Im betreffenden Schreiben vom 22. Juli 2010 führte die Beratungsstelle aus, die EL-Bezügerin habe vor 5-6 Jahren von einem Mitarbeiter der AHV-Zweigstelle der Stadt St. Gallen die Auskunft erhalten, sie müsse die Einkünfte aus ihrer unregelmässig, drei bis vier Mal im Monat ausgeübten Dolmetschertätigkeit nicht bei der EL angeben. Sie sei daher im Glauben gewesen, sie hätte alles richtig gemacht. Sie habe dieses Einkommen auch bei den Steuern benannt. Das Begehren wurde mit Verfügung vom 27. Dezember 2010 abgewiesen mit der Begründung, die Gesuchstellerin habe ihre Meldepflicht (Art. 24 ELV) und ihre Pflicht, die EL-Berechnung auf Vollständigkeit und Richtigkeit zu überprüfen (vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts P 62/04 vom 6. Juni 2005 E. 4.3), in einer den guten Glauben ausschliessenden Weise verletzt. Auf das Wiedererwägungsgesuch vom 18. Januar 2011, in welchem die Beratungsstelle zusätzlich vorbrachte, es werde davon ausgegangen, dass die EL-Durchführungsstelle intern Zugang zu den Steuerveranlagungen habe, trat diese nicht ein (Schreiben vom 8. Februar 2011).
3.2.2 In diesem Zeitpunkt bestand jedenfalls unter dem Gesichtspunkt der Gebotenheit einer anwaltlichen Vertretung kein ernstlicher Grund, einen Rechtsanwalt oder eine Rechtsanwältin beizuziehen. Es ging im Wesentlichen darum, Gründe zu benennen, die gegen ein sorgfaltspflichtwidriges Verhalten der Beschwerdegegnerin sprachen. Dessen rechtliche Würdigung war von untergeordneter Bedeutung, jedenfalls solange keine anderen Umstände geltend gemacht werden konnten, die nicht bereits von der Beratungsstelle X._ im Erlass- und im Wiedererwägungsgesuch vorgebracht worden waren. Nach den überzeugenden Erwägungen der Vorinstanz vermögen die korrekte Deklaration der Einkünfte aus der Dolmetschertätigkeit bei den den Steuern sowie die beweislos gebliebene angebliche Auskunft eines Mitarbeiters der AHV-Zweigstelle der Stadt St. Gallen, wonach dieses Einkommen der EL nicht gemeldet werden müsse, die Beschwerdegegnerin in keiner Weise zu entlasten, sodass auch der gute Glaube als Voraussetzung des Erlasses der Rückerstattungspflicht entfällt.
Andere als die bereits von der Beratungsstelle angeführten Umstände, die das Verhalten der Beschwerdegegnerin lediglich als leicht fahrlässig erscheinen liessen, was den guten Glauben nicht von vornherein ausschlösse (<ref-ruling> E. 4 S. 221 mit Hinweis), gab es nicht. In der Einsprache vom 21. Juni 2011 wurden denn auch keine solchen Gründe angeführt. Dass die Berechnung der Ergänzungsleistungen für einen Laien nicht ohne weiteres verständlich ist, wie festgehalten wurde, vermag die Beschwerdegegnerin nicht entscheidend zu entlasten.
3.3 Aufgrund des Vorstehenden muss eine anwaltliche Vertretung als sachlich nicht geboten bezeichnet werden, soweit die Einsprache gegen die Verfügung vom 27. Dezember 2010 nicht ohnehin aussichtslos war. Es besteht daher kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das Einspracheverfahren. Der anders lautende vorinstanzliche Entscheid verletzt Bundesrecht (<ref-law>) und ist aufzuheben. Die Beschwerde ist begründet.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 1 des Entscheids des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 6. August 2012 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. November 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler