Sachverhalt:
A. Die Liegenschaft an der Strasse F._ in Bern ist in sieben Stockwerkeinheiten eingeteilt. Vier davon gehören C.H._ resp. seiner Ehefrau D.H._, sowie ihrem gemeinsamen Sohn E.H._, welche alle in dieser Liegenschaft wohnen. Die restlichen drei Stockwerkeinheiten standen im Eigentum von B._, welche nach ihrer Heirat mit A._ überwiegend in Tunis lebte. Sie vermietete die Parterrewohnung seit 1970 der X._ AG (Mieterin). Dieser Mietvertrag wurde im Jahr 2002 bis zum 31. Oktober 2012 verlängert. Verwaltungsratspräsident der Mieterin ist C.H._, der mit B._ befreundet war und von ihr mit der Vermögens- und Liegenschaftsverwaltung betraut und testamentarisch als Willensvollstrecker eingesetzt wurde. B._ verstarb am 13. November 2003. Gegen ihre Tochter aus erster Ehe erhob A._ beim Gerichtskreis VIII Bern-Laupen am 24. November 2004 eine Erbteilungsklage. In der Folge verlangte A._ von C.H._ als Willensvollstrecker die Leistung von Abschlagszahlungen, welche dieser verweigerte. Dagegen erhob A._ Beschwerde, welche die Regierungsstatthalterin von Bern mit Entscheid vom 30. September 2005 abwies. Am 1. Februar 2006 reichte A._ gegen C.H._ wegen Verdachts der Veruntreuung eine Strafanzeige ein. Das gerichtliche Verfahren betreffend die Erbteilung wurde am 8. Februar 2006 durch einen Vergleich beendet, der die Übertragung der drei Stockwerkeinheiten an der Strasse F._ auf A._ vorsah. Dieser wurde damit Vermieter und kündigte am 3. Oktober 2006 den Mietvertrag mit der Mieterin aus wichtigem Grund per 30. April 2007. Zur Begründung führte er hauptsächlich die tiefe Zerrüttung und gegenseitige Feindschaft zwischen ihm und C.H._ an.
Auf Ersuchen der Mieterin hob das Mietamt der Stadt Bern mit Entscheid vom 23. November 2006 die am 3. Oktober 2006 per 30. April 2007 ausgesprochene Kündigung auf.
B. Am 18. Dezember 2006 klagte der Vermieter (Kläger) beim Gerichtskreis VIII Bern-Laupen gegen die Mieterin (Beklagte) mit den Begehren, der Entscheid des Mietamtes der Stadt Bern vom 23. November 2006 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die am 3. Oktober 2006 ausgesprochene Kündigung des Klägers gültig sei.
Mit Urteil vom 23. November 2006 wies der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen die Klage ab. Dieses Urteil wurde auf Appellation des Klägers hin vom Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, am 11. Februar 2008 bestätigt.
C. Der Kläger (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Begehren, das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 11. Februar 2008 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die gegenüber der Beklagten (Beschwerdegegnerin) am 3. Oktober 2006 per 30. April 2007 ausgesprochene Kündigung gültig sei.
Die Beschwerdegegnerin stellt die Anträge, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Bei Gutheissung der Beschwerde sei die Sache zur Fortsetzung des Verfahrens an den Gerichtspräsidenten 1 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen zurückzuweisen. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Der bei mietrechtlichen Fällen erforderliche Streitwert von Fr. 15'000.-- (<ref-law>) wird bei einer umstrittenen Vertragsdauer von 66 Monaten und einem monatlichen Mietzins von Fr. 2'400.-- zuzüglich Nebenkosten bei weitem überschritten (vgl. <ref-law>; Urteil 4C.198/2004 vom 6. Juli 2004, E. 2.2; <ref-ruling> E. 1). Da auch die übrigen Voraussetzungen gegeben sind, ist auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Nach <ref-law> können die Parteien das Mietverhältnis aus wichtigen Gründen mit der gesetzlichen Frist auf einen beliebigen Zeitpunkt kündigen. Die Gründe müssen inhaltlich so beschaffen sein, dass der kündigenden Partei nach objektiver Beurteilung die Fortsetzung des Mietverhältnisses bis zur nächsten vertraglich vorgesehenen Auflösungsmöglichkeit nicht mehr zugemutet werden kann. Ob wichtige Gründe eingetreten sind, hat der Richter gemäss <ref-law> nach Recht und Billigkeit zu entscheiden. Dabei hat er die für die vorzeitige Vertragsauflösung angeführten Gründe gegenüber dem Grundsatz der Verbindlichkeit der Verträge, der Rechtssicherheit sowie den Interessen der Gegenpartei an der Aufrechterhaltung des Vertrages abzuwägen (<ref-ruling> E. 2a/aa S. 266; vgl. auch Urteil 4C.375/2000 vom 31. August 2001 E. 3a, publ. in: Pra 2001 Nr. 177 S. 1073 ff.). Solche Ermessensentscheide überprüft das Bundesgericht an sich frei. Es übt dabei aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen. Es greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4).
2.2 Das Obergericht ging davon aus, eine unerträglich gewordene Feindschaft der Parteien könne einen wichtigen Grund zu einer vorzeitigen Kündigung eines Mietvertrages bilden. Gestützt auf das Beweisverfahren sei anzunehmen, zwischen dem Beschwerdeführer und C.H._ bestehe eine eigentliche Feindschaft, da dieser dem Beschwerdeführer seit der Erkrankung von dessen Ehefrau das Leben schwer gemacht habe. Der Beschwerdegegnerin sei das Verhalten von C.H._ zuzurechnen, da er seine Handlungen als Privatperson nicht klar von seiner Funktion als Organ der Beschwerdegegnerin getrennt habe. Dennoch sei dem Beschwerdeführer die Fortsetzung des Mietverhältnisses zumutbar. Zwar dürfte das feindschaftliche Verhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und C.H._ auch in Zukunft weiter bestehen. Jedoch seien inzwischen die erbrechtlichen Angelegenheiten abgeschlossen worden. Sobald im Prozess gegen die Stockwerkeigentümergemeinschaft die Mehrheitsverhältnisse geklärt seien, falle auch dieser Konfliktherd weg. Alsdann dürfte ein Stück weit Ruhe in die Strasse F._ einkehren. Der Beschwerdeführer habe denn auch selbst erklärt, er könne sich trotz allem vorstellen, weiterhin dort zu wohnen. Die Vorinstanz fuhr fort, der Beschwerdeführer habe seinen Wohnsitz in Tunesien und halte sich nicht durchgehend in Bern auf. Im Rahmen der Erbteilung habe er noch eine weitere Liegenschaft übernommen, so dass er für den Aufenthalt in der Schweiz nicht zwingend auf seine Wohnung an der Strasse F._ angewiesen sei. C.H._ bleibe als Stockwerkeigentümer auch bei einer Auflösung des umstrittenen Mietverhältnisses Nachbar an der Strasse F._, weshalb sich mit der Kündigung an der gegebenen Situation kaum etwas ändere. Das einzige Interesse des Beschwerdeführers an der Auflösung des Mietvertrages liege darin, der Beschwerdegegnerin und damit C.H._ zu verwehren, das Eigentum des Beschwerdeführers zu benutzen. Demgegenüber habe die Beschwerdegegnerin ein überwiegendes Interesse an der Weiterführung des Mietverhältnisses, da sie ihr Geschäft über dreissig Jahre im gemieteten Lokal betreibe und ein Umzug mit grossen Umtrieben und wohl auch erheblichen wirtschaftlichen Einbussen verbunden sein dürfte. Zwar sei der Umzug früher oder später unvermeidlich. Indessen könne er bis im Jahr 2012 gut vorbereitet und der Klientschaft angekündigt werden. Bei einer Weiterführung des Mietverhältnisses bis zu diesem Termin seien die Chancen höher, in der gleichen Gegend ein geeignetes Geschäftslokal zu finden. Die verbleibende Mietdauer sei im Übrigen im Vergleich mit der Zeitspanne, in der die Liegenschaft bereits von der Beschwerdegegnerin gemietet wurde, relativ kurz, was dafür spreche, dass es für den Beschwerdeführer zumutbar sei, das Ende des Mietverhältnisses abzuwarten. Schliesslich entspreche auch dem Willen der verstorbenen Ehefrau des Beschwerdeführers, dass die Beschwerdegegnerin ihr Geschäft bis im Jahr 2012 im Mietlokal betreiben könne. An der Zumutbarkeit der Weiterführung des Mietverhältnisses ändere auch die zonenwidrige Nutzung nichts, da dem Beschwerdeführer daraus keine Nachteile erwachsen würden.
2.3 Der Beschwerdeführer rügt, das Obergericht habe bei der Interessenabwägung den Sachverhalt in zwei Punkten offensichtlich unrichtig bzw. unvollständig festgestellt. Zum einen sei das Obergericht von einem bis 2012 befristeten Mietverhältnis ausgegangen und habe dabei übersehen, dass der schriftliche Mietvertrag zwar vorerst eine feste Vertragsdauer bis zum 31. Oktober 2012 vorsehe, er aber grundsätzlich unbefristet sei.
2.4 Gemäss dem schriftlichen Mietvertrag vom 23. Januar 2002 dauert das Mietverhältnis fest bis 31. Oktober 2012 und kann mit einer Kündigungsfrist von 12 Monaten erstmals auf diesen Zeitpunkt gekündigt werden; eine Kündigung nach Ablauf der festen Vertragsdauer ist auf jedes Monatsende möglich.
Der Mietvertrag schloss damit eine Weiterführung des Mietverhältnisses nach dem 31. Oktober 2012 nicht aus, erlaubte jedoch - wie der Beschwerdeführer zu Recht anführt - die ordentliche Kündigung auf das Ende der festen Vertragsdauer, was bezüglich der Zumutbarkeit der Weiterführung entscheidend ist.
2.5 Als weiteren Fehler in der Sachverhaltsfeststellung des Obergerichts kritisiert der Beschwerdeführer die Angabe, er verfüge in Bern noch über eine andere Liegenschaft, weshalb er nicht zwingend an der Strasse F._ wohnen müsse. Das Obergericht habe dabei ausser Acht gelassen, dass es sich bei dieser Liegenschaft um ein billiges Haus mit 6 oder 7 Wohnungen in einem unansehnlichen Aussenquartier von Bern an der viel befahrenen Strasse G._ handle.
2.6 Ob diese Angaben zutreffen, kann offen bleiben, weil nicht entscheidrelevant ist, ob der Beschwerdeführer in Bern über eine für ihn zumutbare Alternativwohnung verfügt (vgl. E. 4.1 hiernach).
3. 3.1 In rechtlicher Hinsicht rügt der Beschwerdeführer, das Obergericht habe <ref-law> bzw. Art. 4 ZBG verletzt, indem es bei der Interessenabwägung den rechtserheblichen Umstand nicht berücksichtigt habe, dass die Beschwerdegegnerin über das Jahr 2012 hinaus auch noch eine mehrjährige Mieterstreckung gemäss <ref-law> verlangen könne.
3.2 Die Rüge ist unbegründet. Mit Bezug auf die Frage der Gültigkeit der erfolgten Kündigung ist die Interessenabwägung ausschliesslich mit Blick auf den ordentlichen Kündigungstermin des 31. Oktober 2012 vorzunehmen. Dabei ist nicht erheblich, dass die Beschwerdegegnerin für die Zeit danach allenfalls eine Mieterstreckung verlangen könnte, da bezüglich dieses künftigen Gesuchs gemäss <ref-law> eine neue Interessenabwägung erforderlich ist.
3.3 Sodann bringt der Beschwerdeführer vor, das Obergericht habe nicht beachtet, dass C.H._ mit seinem Geschäft ohnehin werde umziehen müssen. Dieser Einwand ist offensichtlich unbegründet. Das Obergericht hat diesen Umstand ausdrücklich erwähnt und damit berücksichtigt.
3.4 Weiter rügt der Beschwerdeführer, das Obergericht habe übersehen, dass die wirtschaftlichen Folgen der ausserordentlichen Kündigung in <ref-law> geregelt seien und damit die Möglichkeit entfalle, diese gleichzeitig bei der Interessenabwägung zu berücksichtigen.
Gemäss <ref-law> bestimmt der Richter die vermögensrechtlichen Folgen der vorzeitigen Kündigung unter Würdigung aller Umstände. Diese Regelung verbietet nicht, bei der Interessenabwägung bezüglich der Zulässigkeit der Kündigung deren wirtschaftliche Auswirkungen für die betroffene Partei zu berücksichtigen.
3.5 Der Beschwerdeführer führt an, C.H._ und seine Ehefrau hätten nie damit gerechnet, dass der Beschwerdeführer Eigentümer der gemieteten Geschäftsräume werde, da diese seit langem im Eigentum der Stieftochter des Beschwerdeführers gestanden hätten und niemand erwartet habe, dass diese die Stockwerkeinheiten an der Strasse F._ auf Anrechnung an den Erbteil offeriere. Das Obergericht hätte diesen Umstand berücksichtigen müssen.
Der Beschwerdeführer legt indessen nicht dar und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die Vorhersehbarkeit seines Eintritts in das Mietverhältnis einen Einfluss auf die Zumutbarkeit bezüglich dessen Weiterführung haben soll.
3.6 Alsdann bringt der Beschwerdeführer vor, das Obergericht habe nicht beachtet, dass er erst im März Eigentümer und Vermieter der strittigen Stockwerkeinheit geworden sei und das Mietverhältnis mit ihm nicht lange gedauert habe.
Dabei verkennt der Beschwerdeführer, dass das Obergericht im Rahmen der Prüfung des Interesses der Mieterin an der Fortsetzung des Mietverhältnisses dessen bisherige Dauer berücksichtigte. Wer Eigentümer der Mietsache war, ist dabei nicht relevant.
4. 4.1 Nach Auffassung des Beschwerdeführers hat das Obergericht mit der Erwägung betreffend das Haus des Beschwerdeführers an der Strasse G._ sachfremde Kriterien in die Interessenabwägung einbezogen. Er könne und müsse ja ohnehin damit leben, dass er bei seinen Besuchen in Bern an der Strasse F._ unter einem Dach mit der Familie H._ wohne. Nicht leben könne er hingegen damit, dass er seinen Feinden auch noch eine seiner Wohnungen zum Gebrauch überlassen müsse. Dies habe für ihn etwas Demütigendes.
Mit diesen Ausführungen bestätigt der Beschwerdeführer, dass die gemeinsame Nutzung des Hauses an der Strasse F._ für ihn weiterhin zumutbar ist, weshalb seiner Möglichkeit, in Bern allenfalls eine andere seiner Liegenschaften zu bewohnen, tatsächlich keine entscheidende Bedeutung zukommt. Dies hat das Obergericht jedoch erkannt, wenn es mit dem Beschwerdeführer davon ausgeht, sein Interesse an der Auflösung des Mietverhältnisses beziehe sich einzig darauf, dass sein Eigentum nicht mehr durch die Beschwerdegegnerin, bzw. C.H._ benutzt werde.
4.2 Alsdann bringt der Beschwerdeführer vor, auch die Beachtung des mutmasslichen Willens der verstorbenen Ehefrau sei nicht sachgerecht. Ob dies zutrifft, kann offen bleiben, da das Obergericht den Willen der Ehefrau lediglich zur Bestätigung der bereits vorgenommenen Interessenabwägung erwähnt.
5. 5.1 Schliesslich hält der Beschwerdeführer das angefochtene Urteil im Ergebnis für stossend ungerecht. Er sei heute bereits 69-jährig, weshalb ihm ein Verbleiben der Beschwerdegegnerin in der Liegenschaft bis im Jahre 2012 mit der Möglichkeit einer mehrjährigen Mieterstreckung sicher nicht zuzumuten sei. Dagegen sei der Beschwerdegegnerin, welche um die Umtriebe eines Umzugs ohnehin nicht herumkomme, zuzumuten, sofort neue Geschäftsräume zu suchen.
Damit legt der Beschwerdeführer nicht dar, weshalb für ihn die Weiterführung des Mietverhältnisses unerträglich sein soll. Dies ist auch nicht ersichtlich, zumal dessen Auflösung für ihn anerkanntermassen praktisch kaum etwas ändert. Das Obergericht hat das ihm zustehende Ermessen nicht überschritten, wenn es das Vorliegen eines wichtigen Grundes zur vorzeitigen Kündigung verneinte.
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. August 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Klett Gelzer