Sachverhalt:
A. A.a X._ wurde am 23. Oktober 1997 unverschuldet Opfer eines Strassenverkehrsunfalls (Auffahrunfall). Dabei erlitt er ein Halswirbelsäulen-Distorsionstrauma. Der Fahrzeugführer, welcher den Unfall verursacht hatte, wurde strafrechtlich gebüsst.
A.b X._ ist seit 1995 arbeitslos. Im März 1998 wurde er von der Arbeitslosenversicherung ausgesteuert. Mit Verfügung vom 29. Juli 1998 teilte ihm die SUVA Aarau mit, dass sie ihn als zu 75% arbeitsfähig einstufe und die Versicherungsleistungen per 19. Januar 1998 daher einstellen werde. X._ erhob dagegen erfolglos Einsprache. Darauf beschwerte er sich beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn, welches das Rechtsmittel am 27. Juli 2005 abwies. Gegen dieses Urteil ist zurzeit ein bundesrechtliches Beschwerdeverfahren hängig.
A.c Am 4. Januar 2001 bewilligte das Departement des Innern des Kantons Solothurn, X._ einen opferhilferechtlichen Entschädigungsvorschuss in der Höhe von Fr. 20'000.-- auszurichten. Am 2. August 2001 bewilligte es einen zweiten Vorschuss in der Höhe von Fr. 7'200.--, was einen monatlichen Beitrag an die Lebenshaltungskosten von Fr. 600.-- in der Zeitspanne vom 1. Juli 2001 bis 30. Juni 2002 ergab.
Am 3. Februar 2003 stellte X._ ein weiteres Vorschussbegehren für den Zeitraum vom 1. Juli 2002 bis 31. Dezember 2003 von monatlich Fr. 2'266.65. Mit Verfügung vom 3. April 2003 wies das Departement des Innern das Begehren ab. Zur Begründung führte es an, X._ habe seine Ausbildung, deren Kosten vom Kanton Solothurn getragen würden, abgebrochen. X._ könne sich beruflichen Eingliederungsmassnahmen nach IVG nicht länger entziehen. Die Beurteilung eines allfälligen weiteren Vorschussgesuchs nach OHG werde daher von der sofortigen Bereitschaft von X._ abhängig gemacht, umgehend bei der zuständigen IV-Stelle ein Gesuch um Massnahmen/Leistungen nach IVG einzureichen und sich an die Leiterin der Beratungsstelle der Pro Infirmis zu wenden.
X._ stellte am 6. Mai 2003 erneut ein Gesuch um Vorschussleistungen und erklärte seine sofortige Bereitschaft, ein Gesuch um berufliche Massnahmen zu stellen. Nach Einsicht in ein ärztliches Gutachten der RehaClinic, wonach die Durchführung einer Psychotherapie zur Verbesserung der Erwerbsfähigkeit notwendig sei, stellte das Departement des Innern am 18. Dezember 2003 einen weiteren Vorschuss unter der Bedingung in Aussicht, dass X._ sich konsequent einer ambulanten psychiatrischen Behandlung unterziehe. Nach Erhalt einer Bestätigung über den Therapiebeginn am 31. Januar 2005 bewilligte das Departement des Innern am 10. März 2005 einen Entschädigungsvorschuss von Fr. 5'400.--, was einer monatlichen Unterstützungsleistung von Fr. 600.-- für die Zeitspanne vom 1. Dezember 2004 bis 31. August 2005 entspricht.
A.d X._ beschwerte sich gegen diese Verfügung beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Er beanstandete eine zu tiefe Vorschussbemessung. Zudem müssten die Vorschussleistungen rückwirkend per 1. Juli 2002 ausgerichtet werden. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 14. Juli 2005 ab.
Das Bundesgericht hiess die dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil 1A.244/2005 vom 27. März 2006 gut, hob das kantonale Urteil auf und wies die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurück. Als Begründung führte das Bundesgericht an, das Verwaltungsgericht sei der aus Art. 15 OHG fliessenden Pflicht zur summarischen Prüfung der Voraussetzungen des Entschädigungsvorschusses nicht genügend nachgekommen. Dementsprechend habe es auch nicht dargelegt, weshalb es eine Vorschusszahlung in der Höhe von Fr. 5'400.-- resp. Fr. 600.-- monatlich als angemessen erachte.
A.e Mit Urteil vom 16. Oktober 2006 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde erneut ab. Zur Begründung zog es ein Urteil des kantonalen Sozialversicherungsgerichts vom 27. Juli 2005 heran, welches den Anspruch von X._ auf SUVA-Leistungen betraf. Das Verwaltungsgericht schloss sich dem Standpunkt des Sozialversicherungsgerichts an, wonach dem Unfallereignis vom 23. Oktober 1997 keine massgebende Bedeutung für die psychischen Symptome und die damit verbundene Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers zukomme. Es sei davon auszugehen, dass ab dem 19. Januar 1998 zwischen dem Unfall und dem behaupteten Schaden kein adäquater Kausalzusammenhang besteht. Für den Zeitraum vom 1. Juli 2002 bis 31. August 2005 könnten daher keine höheren als die bereits verfügten Vorschüsse ausgerichtet werden.
B. X._ hat gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 16. Oktober 2006 beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Sache sei zu neuem Entscheid an die Vorinstanz resp. an das Amt für Gemeinden und soziale Sicherheit zurückzuweisen, damit dieses über den Beginn, die Höhe und die Fortdauer der Vorschussleistungen nach Art. 15 OHG im Sinne der bereits eingereichten Schadensberechnungen neu verfüge. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
C. Das Verwaltungsgericht und das Departement des Innern, vertreten durch das Amt für soziale Sicherheit, schliessen auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Justiz als beschwerdeberechtigte Behörde liess sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das angefochtene Urteil erging am 16. Oktober 2006 und damit vor Inkrafttreten des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.110) am 1. Januar 2007. Demzufolge richtet sich das Beschwerdeverfahren nach dem bisherigen Recht (Art. 84 ff. OG; Art. 132 Abs. 1 BGG, e contrario).
2. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Gewährung eines Vorschusses nach Art. 15 OHG. Dagegen ist nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts die Verwaltungsgerichtsbeschwerde grundsätzlich zulässig (<ref-ruling> E. 1b/cc S. 119). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist somit einzutreten.
3. Vorliegend ist die Kausalität zwischen dem am 23. Oktober 1997 erfolgten Unfall (Straftat) und den psychischen Gesundheitsstörungen mit der damit verbundenen Erwerbsunfähigkeit des Beschwerdeführers im Zeitraum vom 1. Juli 2002 bis zum 31. August 2005 umstritten. Der Beschwerdeführer verlangt für diesen Zeitraum einen angemessenen opferhilferechtlichen Entschädigungsvorschuss. Der natürliche und adäquate Kausalzusammenhang zwischen Straftat und Schaden stellt eine der Voraussetzungen für die Bewilligung des vom Beschwerdeführer anbegehrten opferhilferechtlichen Entschädigungsvorschusses nach Art. 15 OHG dar.
3.1 Das Verwaltungsgericht geht implizit davon aus, dass der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und den psychischen Gesundheitsstörungen des Beschwerdeführers in der Zeitspanne vom 1. Juli 2002 bis 31. August 2005 gegeben ist. Die Frage der natürlichen Kausalität eines Ereignisses für einen Schaden ist eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 2b S. 177; <ref-ruling> E. 5a S. 322, je mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an die Sachverhaltsfeststellung der gerichtlichen Vorinstanz gebunden, es sei denn, diese sei offensichtlich unrichtig oder unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen zustande gekommen (Art. 105 Abs. 2 OG). Dies trifft vorliegend nicht zu. Wie aus dem gerichtlich angeordneten Gutachten der RehaClinic Y._ hervorgeht, stellt das Unfallereignis zumindest eine Teilursache der Gesundheitsstörungen des Beschwerdeführers dar (Gutachten, S. 68). Es ist somit von der natürlichen Kausalität auszugehen.
3.2 Ob ein Unfallereignis für den eingetretenen Schaden als adäquat kausal angesehen werden kann, ist eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 4a S. 524). Im angefochtenen Urteil stellte das Verwaltungsgericht unter Verweis auf das Urteil des Solothurner Sozialversicherungsgerichts vom 27. Juli 2005 betreffend die SUVA-Ansprüche des Beschwerdeführers auf die sozialversicherungsrechtliche Rechtsprechung zur Frage der Adäquanz des Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und den psychischen Störungen ab. Dies wurde vom Beschwerdeführer zwar nicht angefochten. Jedoch liess das Bundesgericht in einem früheren Urteil 1A.166/2002 vom 16. Dezember 2002 (E. 3.2) die Frage, ob bei opferhilferechtlichen Ansprüchen der Adäquanzmassstab des Sozialversicherungs- oder des Haftpflichtrechts heranzuziehen ist, ausdrücklich offen. Es ist daher zunächst zu prüfen, ob das Vorgehen des Verwaltungsgerichts in diesem Punkt bundesrechtskonform ist.
Rechtspolitischer Zweck der Adäquanz, d.h. der rechtlichen Bedeutung von natürlich-kausalen Zusammenhängen, ist eine vernünftige Begrenzung der Haftung. Sie dient als Korrektiv zum naturwissenschaftlichen Ursachenbegriff, welcher unter Umständen eingeschränkt werden muss, um für die rechtliche Verantwortung tragbar zu sein (KARL OFTINGER/EMIL W. STARK, Schweizerisches Haftpflichtrecht, Allgemeiner Teil, Band I, 5. Aufl., Zürich 1995, S. 109 ff.; ROLAND BREHM, Berner Kommentar, Bern 1990, Rz. 161 zu Art. 41 OR; HEINZ REY, Ausservertragliches Haftpflichtrecht, 3. Aufl., Zürich 2003, Rz. 522b; ALFRED KELLER, Haftpflicht im Privatrecht, Band I, Bern 2002, S. 81).
Der Begriff der adäquaten Kausalität ist in allen Rechtsgebieten der gleiche. Als adäquate Ursache eines Erfolgs hat ein Ereignis dann zu gelten, wenn es nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und nach der allgemeinen Lebenserfahrung an sich geeignet ist, einen Erfolg von der Art des eingetretenen herbeizuführen, der Eintritt dieses Erfolgs also durch das Ereignis allgemein als begünstigt erscheint (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181; <ref-ruling> E. 5c S. 361; <ref-ruling> E. 3a S. 112; <ref-ruling> E. 5 S. 363; <ref-ruling> E. 3e S. 312; <ref-ruling> E. 3c S. 343; <ref-ruling> E. 3c S. 134, je mit Hinweisen). Je nach Rechtsgebiet unterscheiden sich hingegen die jeweiligen gesetzlichen Haftungsvoraussetzungen. Dies hat mit Rücksicht auf die rechtspolitischen Zielsetzungen der anzuwendenden Norm resp. des anzuwendenden Normenkomplexes notwendigerweise zur Folge, dass der Grundsatz der adäquaten Kausalität unterschiedlich gehandhabt wird (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 112 f.).
In diesem Sinne haben das damalige Eidg. Versicherungsgericht und das Bundesgericht übereinstimmend entschieden, dass an die massgebende Bedeutung einer Unfallursache in der sozialen Unfallversicherung höhere Anforderungen als im privaten Haftpflichtrecht gestellt werden dürfen und die Abgrenzung adäquater Unfallfolgen von inadäquaten in beiden Rechtsgebieten demnach unterschiedlich ausfallen kann (grundlegend BGE <ref-ruling> E. 3b S. 113 f.; <ref-ruling> E. 3d S. 104; ferner <ref-ruling> E. 5b/aa S. 103; <ref-ruling>, nicht publ. E. 3a; 4C.415/1996 vom 22. Januar 1998 E. 5a). Während bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen davon ausgegangen wird, dass sich die adäquate mit der natürlichen Kausalität weitgehend deckt (vgl. <ref-ruling> E. 5b/bb S. 103; <ref-ruling> E. 3d S. 104), hat das Eidg. Versicherungsgericht für die Beurteilung der Adäquanz bei psychischen Fehlentwicklungen nach einem Unfall mit Blick auf den spezifischen Charakter der Sozialversicherung besondere Kriterien entwickelt. Begründet wird dies im Einzelnen damit, dass in der sozialen Unfallversicherung Begehrenstendenzen entgegengewirkt werden muss (<ref-ruling> E. 2 S. 398), dass dort unfallfremde Mitursachen stärkere Berücksichtigung finden als im Haftpflichtrecht und dass andererseits dieses, wenn die Haftung im Grundsatz bejaht wird, im Rahmen der Schadenersatzbemessung (Art. 43 f. OR) immer die Möglichkeit zu einem differenzierten Schadensausgleich hat (<ref-ruling> E. 5b/aa S. 103; vgl. zum Ganzen teilweise kritisch ALEXANDRA RUMO-JUNGO, Haftpflicht und Sozialversicherung - Begriffe, Wertungen und Schadenausgleich, Freiburg 1998, Rz. 745 ff.; ERNST A. KRAMER, Schleudertrauma: Das Kausalitätsproblem im Haftpflicht- und Sozialversicherungsrecht, in: BJM 2001 S. 153 ff.; ferner BREHM, a.a.O., Rz. 124 und 150 ff. zu Art. 41 OR; REY, a.a.O., Rz. 527 und 535 ff.).
Zur Beantwortung der Frage, auf welchen Adäquanzmassstab bei psychischen Gesundheitsstörungen im Opferhilferecht abgestellt werden soll, muss auf die einschlägige Rechtsprechung des Eidg. Versicherungsgerichts im Folgenden näher eingegangen werden.
Zur Beantwortung der Frage, auf welchen Adäquanzmassstab bei psychischen Gesundheitsstörungen im Opferhilferecht abgestellt werden soll, muss auf die einschlägige Rechtsprechung des Eidg. Versicherungsgerichts im Folgenden näher eingegangen werden.
3.3 3.3.1 Wie das Eidg. Versicherungsgericht in <ref-ruling> E. 3c in Änderung seiner Rechtsprechung erkannt und in der nachfolgenden Rechtsprechung bestätigt hat, darf bei psychischen Fehlentwicklungen nach einem Unfallereignis die Adäquanzfrage in der sozialen Unfallversicherung nicht auf den psychisch Gesunden beschränkt werden. Vielmehr ist auf eine weite Bandbreite von Versicherten abzustellen. Hierzu gehören auch jene Versicherten, die aufgrund ihrer Veranlagung für psychische Störungen (konstitutionelle Prädisposition, Persönlichkeitsstruktur), ihrem angeschlagenen Gesundheitszustand oder ihrer sozialen, familiären oder beruflichen Situation anfälliger sind und einen Unfall seelisch weniger gut verkraften als andere Versicherte. Für die Beurteilung der Frage, ob ein konkretes Unfallereignis geeignet ist, zu einer bestimmten psychischen Schädigung zu führen, darf deshalb kein allzu strenger, sondern muss ein im dargelegten Sinne realitätsgerechter Massstab angelegt werden (<ref-ruling> E. 4b S. 135; <ref-ruling> E. 3.3 S. 182).
Indessen soll der Adäquanzmassstab so angesetzt werden, dass die Unfallversicherung nicht für solche psychischen Gesundheitsschäden einzustehen hat, die zum Unfallereignis in einem krassen Missverhältnis stehen. In einem grundlegenden Entscheid <ref-ruling> ff. präzisierte das Eidg. Versicherungsgericht seine Rechtsprechung dahingehend, dass die adäquate Kausalität eines Unfalls für psychische Fehlreaktionen nicht schon dann bejaht werden darf, wenn der Unfall mit seinen Begleitumständen im Verhältnis zur vortraumatischen Persönlichkeitsstruktur völlig bedeutungslos ist. Vielmehr muss dem Unfallereignis für die Entstehung der psychischen Gesundheitsstörung eine massgebende Bedeutung zukommen. Dies trifft dann zu, wenn es objektiv eine gewisse Schwere aufweist oder mit anderen Worten ernsthaft ins Gewicht fällt (<ref-ruling> E. 7 S. 141).
Zur Beurteilung der Frage, ob ein Unfallereignis bezüglich einer psychischen Gesundheitsstörung ins Gewicht fällt, ist gemäss <ref-ruling> E. 6 an das Unfallereignis anzuknüpfen, wobei - ausgehend vom augenfälligen Geschehensablauf - von einer Kategorisierung der Unfälle in leichte, mittlere und schwere Unfälle auszugehen ist. Bei leichten Unfällen kann der adäquate Kausalzusammenhang zwischen Unfall und psychischen Gesundheitsstörungen in der Regel ohne weiteres verneint (<ref-ruling> E. 6a S. 139), bei schweren Unfällen bejaht werden (<ref-ruling> E. 6b S. 140). Bei Unfällen aus dem mittleren Bereich lässt sich die Frage nicht aufgrund des Unfalls allein beantworten. Weitere, objektiv erfassbare Umstände, welche unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehen oder als direkte bzw. indirekte Folgen davon erscheinen, sind in eine Gesamtwürdigung einzubeziehen. Als wichtigste Kriterien sind zu nennen: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen (somatischen) Verletzungen, insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen; ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung; körperliche Dauerschmerzen; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140).
Der Einbezug sämtlicher objektiver Kriterien in die Gesamtwürdigung ist nicht in jedem Fall erforderlich. Je nach den konkreten Umständen kann für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs neben dem Unfall ein einziges Kriterium genügen. Dies trifft einerseits dann zu, wenn es sich um einen Unfall handelt, welcher zu den schwereren Fällen im mittleren Bereich zu zählen ist. Andererseits kann im gesamten mittleren Bereich ein einziges Kriterium genügen, wenn es in besonders ausgeprägter Weise erfüllt ist. Kommt keinem Einzelkriterium besonderes bzw. ausschlaggebendes Gewicht zu, so müssen mehrere unfallbezogene Kriterien herangezogen werden. Diese Würdigung des Unfalls zusammen mit den objektiven Kriterien führt zur Bejahung oder Verneinung der Adäquanz (<ref-ruling> E. 6c/bb S. 140 f.; U 248/98 vom 31. Mai 2000 E. 3-5, publ. in Pra 2001 Nr. 74 S. 430 ff.).
3.3.2 Eine Besonderheit gilt bezüglich Unfällen mit Schleudertrauma der Halswirbelsäule und äquivalenten Verletzungen. Zur Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen einem Unfall und der infolge eines HWS-Schleudertraumas auch nach Ablauf einer gewissen Zeit nach dem Unfall weiterbestehenden Arbeits- bzw. Erwerbsunfähigkeit, die nicht auf organisch nachweisbare Funktionsausfälle zurückzuführen ist, wird zwar ebenfalls nach der Methode von <ref-ruling> ff. vorgegangen. Jedoch wird, im Gegensatz zu den bei psychischen Fehlentwicklungen relevanten Kriterien gemäss <ref-ruling> E. 6c/aa, aufgrund des komplexen, sowohl organische wie psychische Komponenten aufweisenden Beschwerdebildes des HWS-Schleudertraumas (Kopf- und Nackenschmerzen, Schwindel, Konzentrations- und Gedächtnisstörungen, Übelkeit, Visusstörungen, Reizbarkeit, Affektlabilität, Depression, Wesensveränderung) auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet (grundlegend <ref-ruling> ff.; für Schädel-Hirntrauma <ref-ruling> ff.).
Kann hingegen nicht von einem vielschichtigen somatisch-psychischen Beschwerdebild gesprochen werden, hat die Prüfung der adäquaten Kausalität praxisgemäss unter dem Gesichtspunkt einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall gemäss <ref-ruling> ff. zu erfolgen. Dieses Vorgehen greift Platz, wenn die zum typischen Beschwerdebild eines HWS-Schleudertraumas gehörenden Beeinträchtigungen zwar teilweise gegeben sind, im Vergleich zur ausgeprägten psychischen Problematik aber unmittelbar nach dem Unfall ganz in den Hintergrund getreten sind oder die physischen Beschwerden im Verlaufe der ganzen Entwicklung vom Unfall bis zum Beurteilungszeitpunkt gesamthaft nur eine sehr untergeordnete Rolle gespielt haben (BGE <ref-ruling> E. 2a S. 99; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 103; U 462/04 vom 13. Februar 2006 E. 1.2; U 238/05 vom 31. Mai 2006 E. 4.1; U 422/05 vom 12. September 2006 E. 3-5).
3.3.3 Aus der dargestellten Rechtsprechung ergibt sich, dass im Unfallversicherungsrecht der Adäquanz im Hinblick auf eine versicherungsmässig vernünftige und gerechte Abgrenzung haftungsbegründender und -ausschliessender Unfälle andere Beurteilungskriterien und Massstäbe zugrunde gelegt werden als im Haftpflichtrecht. Zur Beurteilung der Adäquanzfrage bei psychischen Unfallfolgen hat das Eidg. Versicherungsgericht objektiv fassbare, der Rechtssicherheit dienende Kriterien gebildet, anhand derer sich die Adäquanz beurteilen lässt.
3.4 Wie das Sozialversicherungsrecht beruht das Opferhilferecht auf dem Gedanken der sozialen Solidarität des Gemeinwesens gegenüber Opfern von Straftaten (vgl. die Botschaft vom 6. Juli 1983 zur Volksinitiative "zur Entschädigung der Opfer von Gewaltverbrechen", BBl 1983 III 896). Der Staat entrichtet den Opfern von Straftaten Entschädigungs- und Genugtuungsleistungen nicht aus eigener Verantwortlichkeit, sondern im Sinne einer Hilfeleistung, weil Schadenersatz und Genugtuung weder vom Straftäter noch von einer Privat- oder Sozialversicherung erhältlich zu machen ist. Daraus, dass der Rechtsgrund bzw. die rechtliche Natur von Leistungen nach Opferhilferecht mit derjenigen haftpflichtrechtlicher Ansprüche nicht identisch ist, können sich Unterschiede in den Entschädigungssystemen ergeben (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 126; <ref-ruling> E. 4.3 S. 55; <ref-ruling> E. 3c/aa S. 373). Der Solidaritätsgedanke des Opferhilferechts ist in Gesetz und Praxis in diverser Hinsicht erkennbar. So sind Opferhilfe-Entschädigungen begrenzt erstens durch Berücksichtigung der Einnahmen des Opfers (Art. 12 Abs. 1 und Art. 13 Abs. 1 OHG), zweitens durch die Subsidiarität der staatlichen Leistung (Art. 14 OHG) und drittens durch die Festlegung des Höchstbetrages von Fr. 100'000.-- (Art. 4 Abs. 1 OHV). Im revidierten Opferhilfegesetz ist eine Plafonierung nach oben auch für Genugtuungsleistungen vorgesehen (vgl. die Botschaft vom 9. November 2005 zur Totalrevision des Bundesgesetzes über die Hilfe an Opfer von Straftaten, BBl 2005 7165 ff., 7187; Text des Erlasses, BBl 2007 2299). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts kann der Umstand, dass die Genugtuung nicht vom Täter, sondern von der Allgemeinheit bezahlt wird, auch bei der Bemessung der Genugtuung eine Rolle spielen. Eine opferhilferechtliche Genugtuung kann im Vergleich zur zivilrechtlichen insbesondere dann reduziert werden, wenn diese aufgrund von subjektiven, täterbezogenen Merkmalen (z.B. besonders skrupellose Art der Begehung der Straftat) erhöht worden ist (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 121; Urteile des Bundesgerichts 1A.235/2000 vom 21. Februar 2001 E. 3a; 1A.80/1998 vom 5. März 1999 E. 3c/cc).
Die Beantwortung der Adäquanzfrage beruht auf einem Werturteil; wie gesagt (E. 3.2 hiervor) hat das Gericht dabei auch den Zweck der anzuwendenden Normen, im vorliegenden Zusammenhang der dem Opferhilfegesetz zugrunde liegende Solidaritätsgedanke zu beachten. Ebenso wenig wie im Sozialversicherungsrecht braucht demzufolge die Abgrenzung adäquater Unfallfolgen von inadäquaten im Opferhilferecht gleich auszufallen wie im Haftpflichtrecht. Vielmehr legt es der dem Unfallversicherungs- und dem Opferhilferecht gemeinsame Zweck der angemessenen kollektiven und solidarischen Unterstützung der von einem Schadensereignis betroffenen Personen nahe, im Opferhilferecht zur Beurteilung der Adäquanz eines Unfallereignisses (Straftat) bei psychischen Unfallfolgen auf die differenzierte Rechtsprechung des Eidg. Versicherungsgerichts zurückzugreifen, welche durch die Kategorisierung der Unfälle und die Standardisierung der Adäquanzkriterien der staatlichen Leistungspflicht vernünftige Grenzen setzt. Dabei ist nicht zu befürchten, dass sich das Opferhilferecht allzu sehr von den haftpflichtrechtlichen Grundsätzen entfernen und seine Anwendung unpraktikabel werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 6.5 S. 669); wie bereits gesagt (vgl. E. 3.2 hiervor) ist der Begriff der Adäquanz in allen Rechtsgebieten derselbe und ändert sich nur der daran anzulegende Massstab.
3.5 Als Zwischenergebnis ist festzuhalten, dass das kantonale Verwaltungsgericht dadurch, dass es zur Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Auffahrunfall und den psychischen Gesundheitsstörungen des Beschwerdeführers auf die Rechtsprechung des Eidg. Versicherungsgerichts abstellte, Bundesrecht nicht verletzt hat.
3.5 Als Zwischenergebnis ist festzuhalten, dass das kantonale Verwaltungsgericht dadurch, dass es zur Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Auffahrunfall und den psychischen Gesundheitsstörungen des Beschwerdeführers auf die Rechtsprechung des Eidg. Versicherungsgerichts abstellte, Bundesrecht nicht verletzt hat.
3.6 3.6.1 Gemäss dem angefochtenen Urteil des Verwaltungsgerichts, das sich auf die Begründung des Urteils des kantonalen Sozialversicherungsgerichts vom 27. Juli 2005 abstützte, habe der Beschwerdeführer nach dem Unfallereignis am 23. Oktober 1997 zwar teilweise an einem für ein Schleudertrauma bzw. für eine äquivalente Verletzung typischen Beschwerdebild (insb. Nackenschmerzen) gelitten. Ein Leidensprofil mit einer Vielzahl von für diese Verletzung typischen Symptomen sei aktenmässig allerdings nicht - zumindest nicht unmittelbar nach dem Unfallereignis - ausgewiesen. Schliesslich sei es nach einem heftigeren Verkehrsunfall normal, dass das Opfer mehr oder weniger benommen und durcheinander sei.
Selbst wenn ein typisches Beschwerdebild vorgelegen hätte, wäre die Adäquanz des Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und den psychischen Gesundheitsstörungen des Beschwerdeführers nach Auffassung des kantonalen Sozialversicherungsgerichts nach den Kriterien von <ref-ruling> ff. zu beurteilen, da das psychogene Beschwerdebild des Versicherten (somatoforme Schmerzstörung, chronifiziertes depressives Zustandsbild, neuropsychologische Defizite) mit überwiegender Wahrscheinlichkeit bereits bald nach dem Unfall im Vordergrund gestanden habe. Die bestehenden Gesundheitsstörungen im Sinne eines typischen Beschwerdebildes nach HWS-Distorsionstrauma würden gegenüber den ausgeprägten psychischen Störungen des Beschwerdeführers in den Hintergrund treten. Es habe sich gezeigt, dass im Verlaufe der Entwicklung vom Unfall bis zum Beurteilungszeitpunkt die physischen Beschwerden nur eine sehr untergeordnete Rolle gespielt hätten. Gesamthaft betrachtet komme dem Unfallereignis neben anderen Faktoren (somatoforme Schmerzstörung, chronifiziertes depressives Zustandsbild, neuropsychologische Defizite) keine massgebende Bedeutung für die psychische Symptomatik des Versicherten sowie der damit verbundenen Arbeitsunfähigkeit zu, weshalb es auch am entsprechenden adäquaten Kausalzusammenhang mangle.
Das Verwaltungsgericht schloss sich den im angefochtenen Urteil zitierten Erwägungen des Sozialversicherungsgerichts an. Nach Vorliegen der detaillierten Analyse der verschiedenen Gutachten im Verfahren vor dem Versicherungsgericht bestehe kein Zweifel, dass ein Anspruch auf einen Entschädigungsvorschuss nicht bestehe. Es sei davon auszugehen, dass ab dem 19. Januar 1998 (Datum der Einstellung der Versicherungsleistungen) die Kausalität zwischen dem Unfall und dem behaupteten Schaden fehle. Für den Zeitraum vom 1. Juli 2002 bis 31. August 2005 könnten daher keine höheren als die verfügten Vorschüsse ausgerichtet werden.
3.6.2 Der Beschwerdeführer rügt, der Sachverhalt sei mit Bezug auf den Kausalzusammenhang offensichtlich unrichtig festgestellt worden. Er vertritt die Auffassung, nach dem Unfall habe das für ein HWS-Schleudertrauma "typische Beschwerdebild" im Sinne der Rechtsprechung vorgelegen, was zur Folge habe, dass für die Prüfung der adäquaten Kausalität nicht die Kriterien nach <ref-ruling> ff., sondern die Schleudertrauma-Praxis nach <ref-ruling> ff. zur Anwendung kommen müsse.
Im gerichtlich angeordneten Gutachten der RehaClinic Y._ wurde die Frage, ob von einem "typischen Beschwerdebild" für ein HWS-Distorsionstrauma im Sinne der Rechtsprechung ausgegangen werden könne, aus wissenschaftlichen Gründen nicht beantwortet (Gutachten, S. 73). Die Gutachter vertreten aber die Auffassung, dass die somatischen Beschwerden im Vergleich zur psychischen Problematik im gesamten Ablauf der Entwicklung vom Unfall bis zum Beurteilungszeitpunkt von untergeordneter Bedeutung gewesen seien (Gutachten, S. 75 und S. 55 ff., 66 f., 69 f., 77).
Vorliegend ist kein Grund ersichtlich, weshalb das Gutachten der RehaClinic Y._ anzuzweifeln wäre, und es ist daher auch nicht offensichtlich falsch, wenn das Verwaltungsgericht auf die gutachterlichen Feststellungen abstellte.
Nach dem oben Gesagten (E. 3.3.2 hiervor) ist demzufolge auch nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht zur Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen Unfall und psychischen Störungen nicht die Schleudertrauma-Praxis (<ref-ruling> ff.), sondern die Praxis zu psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling> ff.) als massgebend erachtete. Diese Praxis kommt zur Anwendung, wenn ein typisches Beschwerdebild für ein HWS-Schleudertrauma nicht oder nur teilweise auszumachen ist und die psychische Problematik im Vergleich zu den physischen Unfallfolgen ganz im Vordergrund steht.
3.6.3 Das Verwaltungsgericht ging unter Verweis auf das Urteil des kantonalen Sozialversicherungsgerichts davon aus, dass es sich beim Auffahrunfall vom 23. Oktober 1997 infolge der Heftigkeit des Aufpralls um einen mittelschweren, eher im mittleren als im unteren Bereich liegenden Unfall handelt. Der Beschwerdeführer ist dagegen der Auffassung, der Unfall befinde sich im Grenzbereich zu den schweren Unfällen.
Nach der Rechtsprechung werden Auffahrunfälle in der Regel als mittelschwer, im Grenzbereich zu den leichten Unfällen liegend qualifiziert (U 339/06 vom 6. März 2007 E. 5.2, mit Hinweisen). Das Sozialversicherungsgericht berücksichtigte die Heftigkeit des Aufpralls, indem es den Unfall als nicht mehr leicht, sondern als mittelschwer qualifizierte. Es ist demzufolge nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht auf diese Qualifizierung des Unfallereignisses abstellte, zumal die Prüfung der Entschädigungsvoraussetzungen im Rahmen eines Vorschussgesuchs lediglich summarisch erfolgt (Art. 15 OHG).
Dementsprechend müsste die Adäquanz des Kausalzusammenhangs vorliegend bejaht werden, wenn ein einzelnes der in <ref-ruling> E. 6c/aa genannten Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt wäre oder die zu berücksichtigenden Kriterien in gehäufter oder auffallender Weise gegeben wären (vgl. E. 3.3.1 hiervor).
3.6.4 Im Gutachten der RehaClinic Y._ (S. 67) wird im Einzelnen folgende Diagnose gestellt: Status nach Auffahrunfall mit HWS-Distorsionstrauma am 29. Oktober 1997 mit/bei
chronifiziertem zervikovertebralem und thorakovertebralem Schmerzsyndrom mit intermittierenden zerviko-okzipitalen und zervikospondylogenen Ausstrahlungen und anhaltenden Kopfschmerzen vorwiegend vom Spannungstyp,
möglichen posttraumatischen neuropsychologischen Funktionsstörungen und Wesensveränderung,
anhaltender somatoformer Schmerzstörung,
chronifiziertem depressivem Zustandsbild,
Tinnitus und Hyperakusis bei Status nach Innenohrschaden rechts,
verminderter psychophysischer Belastbarkeit.
Entgegen den Behauptungen des Beschwerdeführers ist weder das Kriterium eines besonders schwierigen somatischen Heilungsverlaufs noch dasjenige einer ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung somatischer Unfallfolgen gegeben. Wie sich aus der im Gutachten der RehaClinic Y._ zusammengestellten Krankheitsgeschichte ergibt, konnten beim Beschwerdeführer anlässlich der kreisärztlichen Untersuchung am 19. Januar 1998, somit bereits rund drei Monate nach dem Unfall, mit Ausnahme eines Ohrsummens keine somatischen Beschwerden mehr festgestellt werden (Gutachten der RehaClinic Y._, S. 46). Die geltend gemachten Dauerschmerzen sind nicht auf organische Schäden rückführbar (Gutachten, S. 56, S. 61, S. 69 und S. 72) und stellen daher kein Adäquanzkriterium dar.
Der Beschwerdeführer beruft sich sodann auf die von den Gutachtern der RehaClinic Y._ vertretene Auffassung, dass der gesamte Beschwerdekomplex durch eine nicht optimale versicherungstechnische und medizinische Begleitung des Beschwerdeführers verschlechtert worden sei (Gutachten, S. 58 und S. 68). Dies spricht zwar für die Annahme einer Fehlbehandlung des Beschwerdeführers, jedoch ist nicht die Behandlung körperlicher Unfallfolgen, sondern der psychische und versicherungstechnische Bereich gemeint. Zudem wird der gutachterliche Befund insoweit relativiert, als der Beschwerdeführer selber zeitweise wenig Motivation zur Behandlung der psychischen Problematik zeigte, obwohl ihm dies aus medizinischer Sicht hätte zugemutet werden können (vgl. Gutachten, S. 59 und S. 68).
Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers ist nicht erkennbar, inwiefern der Auffahrunfall ein besonders eindrückliches Ereignis gewesen wäre. Weitere Adäquanzkriterien werden nicht geltend gemacht und sind nicht ersichtlich. Unter diesen Umständen und in Anbetracht dessen, dass das Verwaltungsgericht lediglich zu einer summarischen Prüfung der Voraussetzungen eines Entschädigungsanspruchs verpflichtet war, durfte das Verwaltungsgericht den Unfall vom 23. Oktober 1997 als für die psychischen Gesundheitsstörungen (Erwerbsunfähigkeit) des Beschwerdeführers im Zeitraum vom 1. Juli 2002 bis zum 31. August 2005 nicht massgeblich betrachten und die adäquate Kausalität ablehnen. Eine Bundesrechtsverletzung liegt damit nicht vor.
4. Nach dem Gesagten erweist sich die Verwaltungsgerichtsbeschwerde als unbegründet und ist demzufolge abzuweisen. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 16 Abs. 1 OHG). Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Verfahren vor Bundesgericht. Die Voraussetzungen hierzu sind erfüllt (vgl. Art. 152 Abs. 1 und 2 OG), weshalb das Gesuch gutzuheissen ist. Die vorliegende Beschwerdeschrift ist unnötig ausschweifend. Rechtsanwalt Rémy Wyssmann wird ein der Sache angemessenes Honorar aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtsverbeiständung gewährt, Rechtsanwalt Rémy Wyssmann als unentgeltlicher Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit einem Honorar von Fr. 2'000.-- entschädigt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Justiz, Hauptabteilung Staats- und Verwaltungsrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juni 2007
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: