Faits:
A.
A.a. Alors qu'il bénéficiait d'un délai-cadre de l'assurance-chômage depuis le 1er décembre 2007, L._ a été engagé par la société A._ Ltd à partir du 10 décembre 2007 en qualité de chef de produits industriels. A ce titre, il était assuré pour la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse de pensions X._ (ci-après: la caisse de pensions).
Le 8 janvier 2008, l'employeur a résilié le contrat de travail avec effet au 29 février suivant. A partir du 10 janvier 2008, L._ a été mis en arrêt de travail jusqu'au 29 février 2008 par son médecin traitant, le docteur T._, généraliste, en raison de l'apparition d'un syndrome de "burn-out" (courrier au conseil du recourant du 8 février 2012). Dès le 11 mars 2008, L._ s'est réinscrit à l'assurance-chômage, en indiquant chercher une activité à 100 % et disposer d'une capacité de travail équivalente. A partir du 1er septembre 2008, il a travaillé pour la société B._ SA. Les rapports de travail ont pris fin le 28 février 2009. Après s'être à nouveau annoncé à l'assurance-chômage, le 4 mars 2009, L._ a présenté une incapacité de travail totale dès le 28 août 2009, en raison d'un fort état de tension psychique sous forme de troubles du comportement avec agressivité verbale et physique, ainsi qu'un repli sur lui-même et une incapacité à affronter le monde extérieur (courrier du docteur T._ du 17 mars 2010).
Saisi d'une demande de prestations de l'assurance-invalidité présenté par L._ le 5 mai 2010, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) l'a soumis à une expertise psychiatrique auprès du docteur S._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Diagnostiquant un trouble schizotypique (dd évolution schizophrénique de type paranoïde non exclue; trouble délirant de type paranoïde; symptômes psychotiques induits par la consommation de toxiques), de trouble panique avec agoraphobie, d'abus et/ou dépendance à des substances multiples (amphétamines, cocaïne, abus d'alcool), d'état dépressif majeur de gravité moyenne et/ou troubles thymiques induits par l'abus d'alcool et/ou de toxiques et de personnalité limite inférieure de type psychotique décompensée, le médecin a indiqué que l'incapacité de travail était totale "probablement depuis au moins 2008" dans toute activité (rapport du 10 février 2011). Fort de ces conclusions, l'office AI a, par décision du 23 novembre 2011, mis l'assuré au bénéfice d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er novembre 2010 (soit six mois à compter du dépôt de la demande de prestations). Cette décision a été notifiée à la caisse de pensions.
A.b. Entre-temps, L._ a requis en vain des prestations d'invalidité de la part de la caisse de pensions. Celle-ci contestait que l'incapacité de travail dont la cause était à l'origine de l'invalidité eût débuté en 2008 (courrier du 28 septembre 2012).
B.
Par demande datée du 26 février 2013, L._ a ouvert action contre la caisse de pensions devant le Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, Cour de droit public. Il a conclu en substance à ce que la caisse de pensions fût condamnée à lui verser, ainsi qu'à ses enfants, des rentes d'invalidité à partir du 1er novembre 2010, s'élevant mensuellement pour lui à 4989 fr. au moins et à 1247 fr. 35 au moins pour chaque enfant, avec un intérêt de 5 % dès leur exigibilité. Après avoir fait verser le dossier de l'assurance-invalidité à la procédure, la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois a rejeté la demande, par jugement du 14 novembre 2013.
C.
L._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, il conclut principalement à ce que la caisse de pensions soit condamnée à lui allouer une rente d'invalidité découlant de la prévoyance professionnelle. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2.
2.1. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle de la part de l'intimée. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs au droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire, singulièrement au double critère de la connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail et l'invalidité exigé pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance à laquelle était affilié l'intéressé (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 275 et les arrêts cités). Il suffit donc d'y renvoyer.
2.2. On ajoutera que la notion d'invalidité adoptée par la Caisse de pensions X._ correspond à celle de la LAI (en relation avec la LPGA); selon l'art. 27 ch. 1 du Règlement d'assurance de l'intimée, "l'assuré qui est reconnu invalide par l'assurance-invalidité fédérale (ci-après: 'AI'), est également reconnu invalide par la Caisse, avec effet à la même date et dans la même mesure, pour autant qu'il ait été affilié à la Caisse lorsqu'a débuté l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité".
3.
3.1. La juridiction cantonale a tout d'abord considéré que l'intimée n'était pas liée par les constatations de l'office AI, dès lors qu'elle n'avait pas participé à la procédure de l'assurance-invalidité, même si la décision du 23 septembre 2011 lui avait été communiquée. En tout état de cause, les constatations de l'organe d'exécution de l'assurance-invalidité n'étaient pas suffisamment précises en ce qui concerne le début de l'incapacité de travail, de sorte qu'elles n'avaient pas force obligatoire pour l'institution de prévoyance.
Examinant ensuite le parcours professionnel du recourant depuis le 1er décembre 2007 (date de l'ouverture du délai-cadre de l'assurance-chômage), les premiers juges ont constaté qu'il n'existait pas de lien de connexité matérielle entre d'une part l'atteinte à la santé diagnostiquée par le docteur T._ ("burn-out" ou épuisement professionnel), après que le recourant avait été licencié en janvier 2008 au motif que ses prestations étaient insuffisantes, et d'autre part l'affection à l'origine de l'invalidité (maladie psychiatrique). Ils ont par ailleurs retenu qu'il n'y avait pas non plus de connexité temporelle entre l'incapacité de travail de 2008 et l'invalidité déterminante pour la prévoyance professionnelle. En effet, il s'était écoulé une année et demie entre la fin de l'incapacité de travail (le 28 février 2008) attestée par le docteur T._ et la nouvelle incapacité de travail survenue à partir du 29 août 2009 en raison des troubles du comportement et de l'agressivité verbale et physique. Durant ce laps de temps, le recourant s'était réinscrit à l'assurance-chômage et avait en outre retrouvé un emploi dès le 1er septembre 2008 (qui ne reposait pas sur des considérations sociales de l'employeur), qu'il avait occupé sans subir d'absence pour cause de maladie. En conséquence, les premiers juges ont retenu qu'une relation d'étroite connexité temporelle entre l'incapacité de travail survenue du 10 janvier au 29 février 2008, alors que le recourant était affilié à l'intimée, et l'invalidité faisait défaut, de sorte que celui-là ne pouvait prétendre une rente d'invalidité de celle-ci.
3.2. Le recourant conteste l'appréciation de la juridiction cantonale qu'il qualifie d'arbitraire; il soutient que tant le lien de connexité matériel que temporel entre l'incapacité de travail subie au début de l'année 2008 et l'invalidité étaient donnés, les constatations de l'office AI étant par ailleurs contraignantes pour l'intimée. Le "burn-out" dont il avait souffert au mois de janvier 2008 était une des manifestations de la maladie psychique l'affectant, tandis que son état de santé ne s'était pas amélioré après le mois de février 2008. En particulier, son inscription au chômage en 2008 et le bref travail (un mois au plus) au service de la société B._ SA ne suffisaient pas à interrompre le lien de connexité matériel et temporel, dès lors qu'aucun examen médical n'attestait d'une rémission de sa maladie postérieurement au mois de février 2008 et que l'employeur prénommé avait mis fin aux rapports de travail en raison de ses absences répétées. Ces faits ressortiraient de l'expertise du docteur S._, dont la juridiction cantonale se serait écartée à tort, sans requérir des renseignements complémentaires auprès de l'ancien employeur.
4.
4.1. En ce qui concerne en premier lieu le caractère obligatoire, pour l'intimée, des constatations de l'office AI relative à l'incapacité de travail du recourant, on constate, à l'instar de la juridiction cantonale, qu'une telle force contraignante ne peut être reconnue en l'espèce.
Indépendamment du point de savoir si l'intimée a participé de manière suffisante à la procédure de l'assurance-invalidité - dans laquelle elle est néanmoins intervenue au stade du projet de décision du 13 avril 2013 (cf. courrier à l'office AI du 24 mai 2011) -, les constatations en question de l'office AI ne sont en effet pas déterminantes pour l'institution de prévoyance. Celui-ci a fixé le début du droit du recourant à la rente de l'assurance-invalidité en fonction de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations (le 5 mai 2010), conformément à l'<ref-law>, singulièrement six mois suivant cette date, au 1er novembre 2010 (dispositif de la décision du 23 septembre 2011). Aussi, l'office AI a-t-il renoncé à déterminer de manière plus précise le début de l'incapacité de travail du recourant, dont le docteur S._ avait indiqué qu'elle existait "depuis au moins 2008". Dans la mesure où le droit à la rente de l'assurance-invalidité présuppose que la personne assurée a présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne durant une année sans interruption notable (<ref-law>), il n'y a en principe aucune raison, du point de vue de l'assurance-invalidité, d'examiner l'évolution de la capacité de travail de la personne assurée au-delà d'une période de six mois précédant le dépôt de la demande (soit ici le mois de novembre 2009). En tant qu'elles ont pour objet une période antérieure, les constatations et appréciations des organes de l'assurance-invalidité n'ont aucune force contraignante pour les organes de la prévoyance professionnelle (arrêt 9C_620/2012 du 16 octobre 2012 consid. 2.4 [SVR 2013 BVG n° 17 p. 67]; voir également l'arrêt 9C_414/2007 du 25 juillet 2008 consid. 2.4). Par conséquent, l'intimée était en droit d'examiner librement les conditions du droit à la rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle.
4.2.
4.2.1. La juridiction cantonale a nié que l'assuré était affilié à la caisse de pensions au moment du début de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité (cf. art. 27 ch. 1 du règlement). Pour ce faire, elle a nié tout lien de connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail survenue le 10 janvier 2008 et l'invalidité déterminante pour la prévoyance professionnelle. Le recourant ne pouvait dès lors pas prétendre de rente d'invalidité.
4.2.2. Les arguments soulevés par le recourant pour remettre en cause les constatations de fait de l'autorité judiciaire de première instance et l'appréciation qu'elle en a tirées ne sont pas susceptibles d'en établir le caractère manifestement inexact ou arbitraire.
En se limitant à affirmer que son état de santé ne s'était pas amélioré après février 2008 et que son licenciement à la fin de l'année 2008 était dû à des absences répétées de sa part, le recourant donne sa propre appréciation des faits, laquelle n'est pas corroborée par les pièces du dossier. Le docteur T._ a fait état d'une incapacité de travail du 10 janvier au 29 février 2008 en raison d'un épuisement professionnel, en précisant qu'il n'avait pas revu son patient en consultation durant toute l'année 2008, puis d'une incapacité de travail de 100 % depuis le 29 août 2009 à cause d'un état de tension psychique sous forme de troubles du comportement avec agressivité verbale et physique ainsi qu'un repli sur soi (courriers des 17 mars 2010 et 8 février 2012). Durant cette période (de fin février 2008 à août 2009), le recourant s'était inscrit au chômage et cherchait à reprendre une activité lucrative à plein temps ("Indications de la personne assurée" à l'assurance-chômage pour les mois de mars à juillet 2008, puis de mars à juillet 2009); il a par ailleurs été engagé du 1er septembre 2008 au 28 février 2009 par la société B._ SA, qui a indiqué l'avoir licencié parce qu'il ne correspondait pas au profil du poste et précisé que celui-ci n'avait jamais été absent pour cause de maladie (questionnaire de l'assurance-invalidité pour l'employeur du 19 mai 2010).
Ces circonstances mettent en évidence que le recourant n'a pas subi d'incapacité de travail déterminante du point de vue de la prévoyance professionnelle entre la fin du mois de février 2008 et le début de l'année 2009, ce qui suffit à interrompre la connexité temporelle entre l'incapacité de travail subie alors qu'il était affilié auprès de l'intimée et l'invalidité subséquente. Elles ne sont par ailleurs pas remises en cause, quoi qu'en dise le recourant, par les conclusions du docteur S._ auxquelles il se réfère encore. Pour conclure à une incapacité totale de travail "probablement depuis au moins 2008", l'expert psychiatre s'est fondé essentiellement sur les renseignements fournis par le recourant quant à son parcours professionnel, selon lesquels L._ avait été licencié deux mois après avoir obtenu un poste chez A._ Ltd "car il [était] déjà en arrêt maladie", puis avait obtenu un poste "en 2008" duquel il avait été congédié trois mois après "en raison de son absentéisme consécutif à ses céphalées", avant d'être, depuis lors, plus en mesure d'exercer une quelconque activité lucrative vu ses problèmes de santé (cf. "anamnèse professionnelle", p. 5 de l'expertise du 10 février 2011). Or, les déclarations du recourant à l'expert sur les raisons de ses licenciements successifs ne correspondent pas aux indications des deux employeurs en cause, qui n'ont fait état d'aucune absence pour cause de maladie (mais de prestations insatisfaisantes [attestation de l'employeur à l'assurance-chômage du 20 mars 2008], respectivement d'un profil ne correspondant pas au poste), étant précisé que l'incapacité de travail à partir du 10 janvier 2008 est postérieure à la lettre de licenciement du 8 janvier 2008. Dès lors que l'incapacité de travail déterminée par l'expert psychiatrique a été fixée sur la base de renseignements pour le moins imprécis, trois ans après l'incapacité de travail survenue alors que le recourant était affilié à l'intimée, et que les employeurs successifs n'ont fait état d'aucune diminution des capacités de leur employé, il n'y a pas lieu de retenir une incapacité de travail déterminante du point de vue de la prévoyance professionnelle pendant la durée du rapport de prévoyance auprès de l'intimée.
4.3. Dans ces circonstances, il n'y a pas lieu de donner suite aux requêtes du recourant tendant à interroger l'expert psychiatre sur la possibilité d'une reprise de travail après le mois de janvier 2008 et à la production des dossiers le concernant par les deux anciens employeurs. A l'instar de la juridiction cantonale, la Cour de céans dispose de suffisamment d'éléments au dossier pour se prononcer en connaissance de cause sur le droit du recourant à des prestations d'invalidité de la part de l'intimée, de sorte qu'il convient de renoncer à administrer les preuves requises (sur l'appréciation anticipée des preuves en général, cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 157; <ref-ruling> consid. 2 p. 428).
5.
Il résulte de ce qui précède que le recours est mal fondé et doit être rejeté.
6.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires y afférents sont mis à la charge du recourant, qui ne peut prétendre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless