Sachverhalt:
A.
Die 1977 geborene D._ ist verheiratet und Mutter zweier Kinder. Sie war seit November 1999 als Betriebsmitarbeitende Logistik tätig. Am 14. Mai 2009 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen in medizinischer sowie erwerblicher Hinsicht und Durchführung einer beruflichen Abklärung, welche abgebrochen wurde, weil die Zielsetzung eines Einsatzes von mindestens 50 % nicht erreicht werden konnte, veranlasste die IV-Stelle des Kantons St. Gallen eine psychiatrische Begutachtung (Expertise des Medizinalrates Dr. med. J._, beeideter und gerichtlich zertifizierter Sachverständiger in Österreich, Medizinisches Gutachterzentrum Y._, vom 8. Dezember 2011). Mit Verfügung vom 4. April 2012 lehnte die IV-Stelle den Anspruch der Versicherten auf eine Invalidenrente ab, weil kein invalidisierender Gesundheitsschaden vorliege.
B.
D._ liess Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, unter Aufhebung der Verfügung vom 4. April 2012 sei ihr ab dem 1. Januar 2010 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zuzusprechen; eventuell sei die Sache zu ergänzenden medizinischen Abklärungen an die IV-Stelle zurückzuweisen. Mit Entscheid vom 22. Mai 2013 sprach das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen D._ in Gutheissung der Beschwerde rückwirkend ab 1. Januar 2010 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zu.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Ferner ersucht sie darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Während D._ auf Abweisung der Beschwerde, eventuell Rückweisung zur Vornahme ergänzender medizinischer Abklärungen an die Verwaltung, schliessen lässt, unterstützt das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) den Standpunkt der IV-Stelle.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2. Im Rahmen der Invaliditätsbemessung - namentlich bei der Ermittlung von Gesundheitsschaden, Arbeitsfähigkeit und Zumutbarkeitsprofil sowie bei der Festsetzung von Validen- und Invalideneinkommen - sind zwecks Abgrenzung der (für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen) Tatsachenfeststellungen von den (letztinstanzlich frei überprüfbaren) Rechtsanwendungsakten der Vorinstanz weiterhin die kognitionsrechtlichen Grundsätze heranzuziehen, wie sie in <ref-ruling> E. 3 S. 397 ff. für die bis 31. Dezember 2006 gültig gewesene Fassung von Art. 132 des seither aufgehobenen OG entwickelt wurden. Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage; dazu gehören auch Folgerungen, die sich auf medizinische Empirie stützen, zum Beispiel die Vermutung, dass eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung oder ein vergleichbarer ätiologisch unklarer syndromaler Zustand mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar sei (<ref-ruling> mit Hinweisen; SVR 2008 IV Nr. 8 S. 24, I 649/06 E. 3.2 am Ende). Im Übrigen gilt in diesem Zusammenhang Folgendes: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (SVR 2008 IV Nr. 23 S. 72, I 683/06 E. 2.2).
2.
2.1. Die Vorinstanz ging gestützt auf das psychiatrische Gutachten des Dr. med. J._ davon aus, die Versicherte sei in der früheren Tätigkeit bei der Post zu 40 % und in einer angepassten Arbeit zu 60 % einsatzfähig. Laut Gutachten habe die Mehrfachbelastung der Beschwerdegegnerin durch die Schichtarbeit, die Besorgung des Haushalts und die Kinderbetreuung zunächst eine Neurasthenie ausgelöst. In der Folge habe sich zusätzlich eine mittelgradige depressive Störung entwickelt. Die Symptome des neurasthenischen Beschwerdebildes seien erhalten geblieben. Dr. med. J._ habe diese Kombination aus Neurasthenie und mittelgradiger depressiver Störung bezüglich der Neurasthenie bedingten Beschwerden als durch eine zumutbare Willensanstrengung überwindbar erklärt. Die von ihm attestierte Arbeitsunfähigkeit beruhe somit auf den Auswirkungen der mittelgradigen depressiven Störung. Dass die Neurasthenie und später - teilweise indirekt - auch die mittelgradige depressive Episode ihre Ursache in den belastenden psychosozialen Verhältnissen hatten, in denen die Versicherte seit Jahren lebte, sei hinsichtlich der Arbeitsunfähigkeit irrelevant. Deren direkte Ursache sei die Krankheit mit ihren belastenden Symptomen und nicht die psychosoziale Situation.
2.2. Die IV-Stelle wendet ein, bei der Neurasthenie handle es sich um ein sogenanntes pathogenetisch-ätiologisch unklares syndromales Beschwerdebild ohne nachweisbare organische Grundlage. Bei einem solchen Krankheitsbild (syndromales Leiden) beurteile sich die Frage, inwieweit eine Arbeitsunfähigkeit aus medizinisch-psychiatrischer Sicht als invalidisierend im rechtlichen Sinn anzuerkennen ist, nach der mit <ref-ruling> begründeten Rechtsprechung. Wie dem Gutachten des Dr. med. J._ zu entnehmen ist, habe sich das ursprünglich neurasthenische Beschwerdebild im weiteren Verlauf verschlechtert, und ab Anfang 2009 könne von einer mittelgradigen depressiven Störung ausgegangen werden. Demnach leite sich die Depression aus der Neurasthenie ab. Folgerichtig werde die Depression sowohl im Administrativgutachten als auch im Bericht des Psychiatrischen Zentrums X._ vom 30. Oktober 2009 als Erschöpfungsdepression bezeichnet. Die diagnostizierte mittelgradige depressive Störung sei somit eine reaktive Begleiterscheinung zu einem syndromalen Leiden; eine invalidisierende psychische Komorbidität sei deshalb nicht gegeben, weil kein von depressiven Verstimmungszuständen klar unterscheidbarer, verselbstständigter pathologischer Gesundheitsschaden vorliegt. Die festgestellten psychosozialen Belastungsfaktoren führten für sich allein zu keiner Invalidität. Das Fehlen einer antidepressiven Medikation spreche ebenfalls gegen eine invalidisierende Depression. Schliesslich lägen die rechtsprechungsgemäss massgebenden Kriterien, welche eine grundsätzlich zumutbare Willensanstrengung für die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit behindern könnten, nicht vor.
2.3. Das BSV teilt die Auffassung der IV-Stelle unter Hinweis auf die Ausführungen des Gutachters Dr. med. J._. Es verweist ferner auf das Urteil 9C_710/2011 vom 20. März 2012. Darin habe das Bundesgericht festgestellt, eine Willensanstrengung könne letztlich nicht aufgeteilt werden; deshalb könne diese vorliegend nicht im Ausmass von 40 % gegeben sein. Dies bedeute, dass die Beschwerdegegnerin mit einer zumutbaren Willensanstrengung die Überzeugung, krank und arbeitsunfähig zu sein, zu überwinden vermag.
2.4. Die Beschwerdegegnerin nimmt eingehend Stellung zur Beschwerde, wobei sie sich den Erwägungen der Vorinstanz zur Arbeitsunfähigkeit anschliesst. Sie macht des Weiteren hauptsächlich geltend, Frau Dr. med. Z._ habe den Verdacht auf eine Aufmerksamkeitsdefizit-/Hyperaktivitätsstörung (ADHS) im Erwachsenenalter geäussert. Der Gutachter habe dies ohne Begründung verneint. ADHS zähle nicht zu den syndromalen Beschwerdebildern, sondern sei eine genetisch bedingte Krankheit, die dem Willen der betroffenen Person nicht zugänglich ist. Die vorinstanzliche Feststellung, mit welcher eine ADHS im Erwachsenenalter gestützt auf die Expertise des Dr. med. J._ verneint wurde, sei willkürlich.
3.
Nach der Rechtsprechung kommt einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) ebenso wie grundsätzlich sämtlichen pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 283) nur ausnahmsweise invalidisierender, d.h. einen Rentenanspruch begründender Charakter zu (<ref-law> sowie Art. 3 Abs. 1 und Art. 6 ATSG; grundlegend <ref-ruling>). Entscheidend ist, ob und inwiefern die versicherte Person über psychische Ressourcen verfügt, die es ihr erlauben, trotz den subjektiv erlebten Schmerzen einer Arbeit nachzugehen (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 355; <ref-ruling> E. 4b/cc in fine und E. 5a S. 299 unten). Umstände, die bei Vorliegen eines solchen Krankheitsbildes die Verwertung der verbliebenen Arbeitskraft auf dem Arbeitsmarkt als unzumutbar erscheinen lassen können, sind: Eine Komorbidität im Sinne eines vom Schmerzgeschehen losgelösten eigenständigen psychischen Leidens von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer oder aber das Vorhandensein anderer qualifizierter, mit gewisser Intensität und Konstanz erfüllter Kriterien, und zwar wie chronische körperliche Begleiterkrankungen mit mehrjährigem Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission, sozialer Rückzug, ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn), unbefriedigende Ergebnisse von konsequent durchgeführten Behandlungen (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) und gescheiterte Rehabilitationsmassnahmen bei vorhandener Motivation und Eigenanstrengung der versicherten Person (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 71; <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 353 ff.; Urteil 9C_1061/2009 vom 11. März 2010 E. 5.4.3.1.1). Analog angewendet wird die Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen u.a. bei Neurasthenien (<ref-ruling> E. 4.2 S. 68 mit Hinweisen).
4.
4.1. Wie die IV-Stelle aufgrund der Feststellungen der Vorinstanz und des psychiatrischen Gutachtens zutreffend festhält, litt die Beschwerdegegnerin zunächst an einer Neurasthenie, zurückzuführen auf die Mehrfachbelastung durch Schichtarbeit, Haushalt und Kinderbetreuung. In der Folge entwickelte sich eine mittelgradige depressive Störung. Die Neurasthenie weist nach Massgabe der Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen nur ausnahmsweise, bei Vorliegen einer psychischen Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer oder dem Vorhandensein anderer Kriterien, invalidisierenden Charakter auf. Die invalidisierende Wirkung einer mittelschweren depressiven Störung ist nicht schlechthin auszuschliessen; deren Annahme bedingt jedoch, dass es sich nicht bloss um die Begleiterscheinung einer Schmerzkrankheit, sondern um ein selbstständiges, vom psychogenen Schmerzsyndrom losgelöstes depressives Leiden handelt (Urteile 9C_917/2012 vom 14. August 2013 E. 3.2, 9C_210/2012 vom 9. Juli 2012 E. 3.1). Im Weiteren ist vorausgesetzt, dass eine konsequente Depressionstherapie befolgt wird, deren Scheitern das Leiden als resistent ausweist. Fehlt es daran, ist nach der Rechtsprechung in der Regel keine invalidisierende Wirkung des Gesundheitszustandes anzunehmen. Falls die mittelgradige depressive Störung als psychische Komorbidität zur Neurasthenie betrachtet werden müsste, fehlt es an der rechtsprechungsgemäss erforderlichen Schwere, Ausprägung und Dauer dieses psychischen Leidens, was schon daraus hervorgeht, dass keine intensive Psychotherapie durchgeführt wird. Laut Gutachten des Dr. med. J._ vom 8. Dezember 2011 sucht die Beschwerdegegnerin seit Dezember 2009 alle zwei Wochen die Psychiaterin Frau Dr. med. Z._ auf, welche sie mit einem Antidepressivum und begleitender Psychotherapie behandelt. Angesichts der Therapieintervalle kann kaum von einer konsequenten ambulanten Behandlung gesprochen werden, die letztlich infolge Resistenz der Krankheit als gescheitert betrachtet werden müsste. Würde es sich bei der mittelgradigen Depression hingegen um ein von der Neurasthenie unabhängiges Leiden handeln, würde sich am Ergebnis nichts ändern. Wie die IV-Stelle zu Recht einwendet, ist das Beschwerdebild von Anfang an wesentlich durch invaliditätsfremde psychosoziale Umstände, insbesondere die erwähnte Mehrfachbelastung sowie finanzielle und existenzielle Probleme wegen der Erkrankung des Ehemannes, geprägt. Solche Faktoren vermögen medizinisch die Diagnose einer mittelschweren Depression, aber rechtlich keine Invalidität zu begründen. Auszugehen ist vielmehr davon, dass leichte bis höchstens mittelschwere Störungen aus dem depressiven Formenkreis therapierbar sind (Urteile 9C_917/2012 vom 14. August 2013 E. 3.2, 9C_696/2012 vom 19. Juni 2013 E. 4.3.2.1, 9C_250/2012 vom 29. November 2012 E. 5). Dass es sich im Falle der Beschwerdegegnerin anders verhalten sollte, wird nicht mit hinreichender Begründung geltend gemacht und ist nicht ersichtlich.
4.2. Soweit die Beschwerdegegnerin vorbringt, Administrativgutachter Dr. med. J._ habe sich nicht eingehend mit der Frage befasst, ob sie an einer ADHS im Erwachsenenalter leidet, ist ihr entgegenzuhalten, dass der Arzt die Frage klar beantwortet hat. Er hat erklärt, für das Vorliegen einer ADHS im Erwachsenenalter fänden sich keine typischen Symptome. Zu beachten gilt es im Übrigen, dass die ADHS in den ersten Lebensjahren auftritt (Hans-Christoph Steinhausen, Psychische Störungen bei Kindern und Jugendlichen, 7. Aufl., München 2010 S. 139 f.). Dies bedeutet, dass die Beschwerdegegnerin, sofern sie seit ihrer Kindheit an ADHS leidet, dadurch nicht in ihrer Erwerbsfähigkeit eingeschränkt wird, hat sie doch während Jahren eine vollzeitliche Erwerbsarbeit ausgeübt.
5.
5.1. Aufgrund dieser Erwägungen steht fest, dass die Beschwerdegegnerin, objektiv betrachtet, eine leidensangepasste Tätigkeit ohne wesentliche Einschränkung verrichten könnte. Die Voraussetzungen, unter denen der Neurasthenie und der sich in der Folge entwickelnden mittelgradigen Depression rechtsprechungsgemäss ausnahmsweise invalidisierender Charakter zukommt, sind nicht erfüllt; weder in Bezug auf eine Komorbidität noch hinsichtlich der anderen Kriterien. Die Versicherte verfügt über psychische Ressourcen, die es ihr erlauben, trotz der subjektiv erlebten Beschwerden eine Arbeit auszuführen, sind doch keine Umstände gegeben, die bei Vorliegen des diagnostizierten Krankheitsbildes die Verwertung der restlichen Arbeitskraft auf dem Arbeitsmarkt als unzumutbar erscheinen liessen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 355). Demzufolge wäre sie in der Lage, mit einer angepassten Arbeit ein rentenausschliessendes Einkommen von mindestens 60 % des bei der Schweizerischen Post erzielbaren Lohnes zu verdienen (Prozentvergleich; <ref-ruling> E. 3a S. 312). Der vorinstanzliche Entscheid verletzt somit Bundesrecht.
5.2. Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
6.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 22. Mai 2013 aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Oktober 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Widmer