Versicherungsvertrag, hat sich ergeben:
A.-G._, italienischer und iranischer Doppelbürger, lud Anfang 1999 seinen Bruder, H._, ferienhalber in die Schweiz ein, wobei er sich im Zusammenhang mit der Visumerteilung verpflichtete, für dessen Lebensunterhalt aufzukommen. Am 13. Januar 1999 schloss G._ für seinen Bruder bei der X._ Reiseversicherungsgesellschaft (nachfolgend Versicherung) eine Heilungskostenversicherung ab; die Prämie von Fr. 338.-- wurde gleichentags einbezahlt, und der Einzahlungsschein trug unter der Rubrik "Versicherungsbeginn" den Vermerk "22. 2.1999"; als Versicherungssumme war ein Betrag von Fr. 30'000.-- für eine Versicherungsdauer von 31 Tagen ausgemacht. Nach lit. G Ziff. 4.1 der Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) hatte die Versicherung bei Unfall oder Krankheit für medizinische Leistungen, insbesondere für Heilungsmassnahmen inkl. Medikamente und Spitalaufenthalt aufzukommen.
H._ reiste früher als vorgesehen, nämlich bereits am 2. Februar 1999, in die Schweiz ein und musste am 5. Februar 1999 infolge eines akuten Herzinfarktes notfallmässig in das Inselspital Bern eingeliefert werden, wo er zunächst medikamentös behandelt und schliesslich am Herzen operiert wurde (Bypass-Operation).
B.-Mit Urteil vom 30. Mai 2001 wies der Gerichtspräsident 3 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen die Klage von G._ gegen die Versicherung auf Bezahlung von Fr. 22'843.-- nebst Zins zu 5% seit dem 1. Mai 1999 kostenfällig ab.
In Gutheissung der Appellation des Klägers hob der Appellationshof des Kantons Bern am 22. Oktober 2001 den erstinstanzlichen Entscheid auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an den Gerichtspräsidenten zurück. Im Gegensatz zum erstinstanzlichen Richter ging der Appellationshof davon aus, die Parteien hätten einer allgemeinen Praxis entsprechend als Versicherungsbeginn den tatsächlichen Einreisetermin bestimmt, so dass bereits bei der Einreise von H._, am 2. Februar 2001, Versicherungsdeckung bestanden habe. Demzufolge sei abzuklären, ob der Bruder des Klägers an einer vorbestandenen Krankheit litt oder nicht.
C.-Gegen dieses Urteil hat die Beklagte beim Bundesgericht sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch Berufung eingereicht. In der Berufung schliesst sie dahin, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Klage abzuweisen. Der Kläger beantragt seinerseits, auf die Berufung sei nicht einzutreten; in seinem Eventualantrag schliesst er sinngemäss dahin, die Berufung sei abzuweisen und das angefochtene Urteil zu bestätigen.
Der Appellationshof hat keine Gegenbemerkungen eingereicht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz nicht definitiv über das streitige Verhältnis entschieden, sondern die Sache zu neuer Entscheidung an den Gerichtspräsidenten zurückgewiesen. Somit handelt es sich nicht um einen Endentscheid im Sinne von Art. 48 Abs. 1 OG (Poudret, Commentaire de la loi d'organisation judiciaire Bd. II, Bern 1990, N. 1.1.4.12 zu Art. 48 OG mit Hinweisen), wohl aber um einen Vor- oder Zwischenentscheid; gegen solche Entscheide ist die Berufung zulässig, wenn dadurch sofort ein Endentscheid herbeigeführt und so ein bedeutender Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitschweifiges Beweisverfahren erspart werden kann (Art. 50 Abs. 1 OG; Urteil des Bundesgerichts vom 9 September 1987 C.137/1987, E. 1, SJ 1988, S. 119; Poudret, a.a.O., N. 2.1.3 zu Art. 50 OG). Entgegen der Auffassung des Klägers ist offensichtlich, dass nunmehr aufgrund des Urteils der Vorinstanz ein zeitlich und finanziell aufwändiges Beweisverfahren über die Frage zu führen wäre, ob der Bruder des Klägers an einer die Leistungspflicht der Beklagten ausschliessenden Krankheit leidet; die Beklagte hat dazu ein gerichtliches Gutachten verlangt, wobei nicht ausgeschlossen werden kann, dass noch weitere Beweismassnahmen, wie etwa ein zweites Gutachten, erforderlich werden.
Sodann ist nicht zu verkennen, dass mit dem Entscheid über die Berufung gegen den vorinstanzlichen Zwischenentscheid sofort ein Endentscheid herbeigeführt werden kann. Entgegen der Auffassung des Klägers ist daher die Berufung gegen den Rückweisungsentscheid in Anwendung von Art. 50 Abs. 1 OG zuzulassen (<ref-ruling> E. 1a S. 92; vgl. ferner <ref-ruling> E. 2a S. 255/256 mit Hinweisen).
2.-Die Beklagte hat gegen den angefochtenen Entscheid sowohl Berufung als auch staatsrechtliche Beschwerde eingereicht.
Mit der Beschwerde wird einerseits geltend gemacht, die sinngemässe Verneinung eines wirklichen Willens der Parteien mit Bezug auf den Versicherungsbeginn sei willkürlich; anderseits rügt die Beklagte darin die Feststellung einer Praxis als unhaltbar, wonach in einem Fall wie dem vorliegenden im Sinne einer allgemeinen und generellen Praxis auf das tatsächliche Einreisedatum abgestellt werde.
Mit Berufung beanstandet die Beklagte die Auslegung der Erklärung des Klägers durch den Appellationshof als bundesrechtswidrig.
Wie nachfolgend aufgezeigt wird, ist das Bundesgericht auch unter Berücksichtigung der als willkürlich beanstandeten tatsächlichen Feststellungen in der Lage, über die Berufung zu befinden; in Abweichung von der Regel des Art. 57 Abs. 5 OG ist sie daher zuerst zu behandeln (vgl.
BGE 100 II 8 E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1b).
3.-a) Im vorliegenden Fall ist streitig, wann die Versicherungsdeckung des zwischen den Parteien abgeschlossenen Vertrages begonnen hat. Der Appellationshof hat sich der Auffassung der ersten Instanz nicht anschliessen können, wonach als Versicherungsbeginn der 22. Februar 1999 vereinbart worden sei. Zur Begründung hat er ausgeführt, die Allgemeinen Versicherungsbedingungen der Beklagten würden den Versicherungsbeginn nicht regeln, zumal sie keine Bestimmung für den Fall enthielten, in dem die begünstigte Person ein Ausländer sei, welcher für einen bestimmten Zeitpunkt in die Schweiz einreise. Auf Grund des Beweisverfahrens sowie von Antworten auf E-mail-Anfragen könne davon ausgegangen werden, dass die Beklagte bei Heilungskostenversicherungen zu Gunsten von ausländischen Personen, die vorübergehend in die Schweiz einreisen, für den Beginn der Versicherung im Sinne einer allgemeinen und generellen Praxis immer auf das tatsächliche Einreisedatum der Person abstelle, das ja aufgrund des Einreisestempels im Pass ohne weiteres bestimmt werden könne. Die erwähnte Praxis werde überdies durch das Verhalten der Beklagten nach dem Herzinfarkt des Bruders des Klägers am 5. Februar 1999 bestätigt. In der zwischen den Parteien im Nachgang zur Schadensmeldung geführten Korrespondenz vom 10. Mai 1999, 3. Juni 1999 und vom 9. Juli 1999 habe sie ihre Weigerung, Leistungen zu erbringen, einzig mit dem vorbestandenen Leiden des Bruders des Klägers begründet; erst am 14. Januar 2000 habe sie behauptet, die verlangten Heilungskosten seien auch in zeitlicher Hinsicht nicht gedeckt.
Darin sei ein rechtsmissbräuchliches Verhalten der Beklagten zu erblicken. Der Beklagten sei es ein Leichtes gewesen, den Versicherungsvertrag sofort zu überprüfen und sich sogleich auf die fehlende zeitliche Deckung zu berufen; das habe sie jedoch ein Jahr lang unterlassen, und zwar aufgrund ihrer offensichtlichen Praxis, wonach für den Versicherungsbeginn generell das effektive Einreisedatum gelte.
Der Kläger dürfe - anders ausgedrückt - nach dem Vertrauensprinzip die Willenserklärung der Beklagten im Sinne ihrer konstanten Praxis verstehen.
b) Die Beklagte macht zusammengefasst im Wesentlichen geltend, nach dem Vertrauensprinzip seien Erklärungen der Parteien so auszulegen, wie sie vom Adressaten unter Berücksichtigung der gesamten Umstände vernünftigerweise verstanden werden mussten und durften. Der Kläger habe bei der Rubrik "Versicherungsbeginn" den "22. 2.99" eingesetzt.
Angesichts des klaren Wortlautes wäre als Versicherungsbeginn nur dann - wie vom Appellationshof angenommen - der 22. Februar 1999 zu berücksichtigen, wenn für die Beklagte aufgrund der Begleitumstände klar gewesen wäre, dass der Kläger mit dem Vermerk "22. 2.99" nicht den Versicherungsbeginn per 22. Februar 1999, sondern den Beginn ab Einreise gemeint habe; das treffe hier nicht zu. Entgegen der Auffassung des Appellationshofs sei die Berufung auf den Versicherungsbeginn per 22. Februar 1999 auch nicht als rechtsmissbräuchlich zu bezeichnen, zumal der Einwand noch vor Einleitung des gerichtlichen Verfahrens geltend gemacht worden sei; auch habe der Umstand, dass sich die Beklagte nicht von Anfang an, sondern erst am 13. Januar 2000 auf die fehlende zeitliche Versicherungsdeckung berufen habe, für den Kläger keine wesentliche Erschwerung bewirkt.
Der Kläger vertritt in seiner Eingabe grundsätzlich den Standpunkt der Vorinstanz.
4.-a) Auf die Berufung ist von vornherein nicht einzutreten, soweit die Beklagte damit die Feststellung des Appellationshofs bezüglich der Praxis in Frage stellt, dass die Beklagte für den Beginn von Heilungskostenversicherungen zu Gunsten ausländischer Personen, die vorübergehend in die Schweiz einreisen, im Sinne einer allgemeinen und generellen Praxis immer auf das tatsächliche Einreisedatum abstelle.
Damit richtet sich die Beklagte gegen tatsächliche Feststellungen der Vorinstanz, ohne sich allerdings rechtsgenüglich auf Ausnahmen im Sinne von Art. 63 Abs. 2 OG zu berufen (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG; <ref-ruling> E. 2 S. 93; <ref-ruling> E. 3 S. 85; <ref-ruling> E. 2b S. 99).
b) Der mutmassliche Parteiwille ist nach dem Vertrauensgrundsatz zu ermitteln (<ref-ruling> E. 4b S. 372); danach sind Willenserklärungen der Parteien so auszulegen, wie sie vom Empfänger in guten Treuen verstanden werden durften und mussten (<ref-ruling> E. 2b S. 279). Seit Aufgabe der Eindeutigkeitsregel (Urteil des Bundesgerichts vom 2. März 1998 4C.24/1997 E. 1c; zur alten Praxis: <ref-ruling> E. 2 S. 287) kann nicht mehr ausschliesslich auf den klaren Wortlaut abgestellt werden. Aus <ref-law> folgt, dass ein klarer Wortlaut für die Auslegung nicht unbedingt entscheidend und eine reine Wortauslegung verboten ist.
Selbst wenn eine Vertragsbestimmung auf den ersten Blick klar erscheint, kann sich aus den anderen Vertragsbestimmungen, aus dem von den Parteien verfolgten Zweck und aus weiteren Umständen ergeben, dass der Wortlaut der strittigen Bestimmung nicht genau den Sinn der Vereinbarung unter den Parteien wiedergibt (<ref-ruling> E. 1b). Zu berücksichtigen ist schliesslich auch, was sachgerecht erscheint (<ref-ruling> E. 2a S. 121; <ref-ruling> E. 9d S. 391).
c) Im vorliegenden Fall trägt der Einzahlungsschein als "Versicherungsbeginn" das Datum des 22. Februar 1999.
Auf dem Schein findet sich insbesondere kein Hinweis, dass die Versicherung ab dem Tag der Einreise des Bruders des Klägers gelten soll. Weder aus den anderen Vertragsbestimmungen noch aus anderen Umständen wird erhellt, dass der klare Wortlaut nicht den Sinn der Vereinbarung unter den Parteien wiedergibt. Somit hat die Beklagte die Datumsangabe auf dem Einzahlungsschein als den vom Kläger gewollten Versicherungsbeginn verstehen dürfen und müssen, weshalb für sie auch keine Veranlassung bestanden hat, von einem anderen Datum als dem angegebenen auszugehen. Auf die Ausführungen von Vorinstanz und Kläger zum Einreisezeitpunkt als Vertragsbeginn ist folglich nicht näher einzugehen. Wenn dem Kläger an einem früheren Beginn des Vertrages gelegen gewesen wäre, hätte er die Beklagte dahingehend benachrichtigen müssen. Im konkreten Fall liegen sodann keine besonderen Umstände vor, die es rechtfertigten, die Angelegenheit zwecks Ermittlung eines gegenteiligen wirklichen Willens an die Vorinstanz zurückzuweisen: Die Vorinstanz ist nicht davon ausgegangen, dass sich der Kläger geirrt hat, als er das Datum des 22. Februar 1999 einschrieb, und der Kläger hat seinerseits auch nicht behauptet, einem wesentlichen Irrtum im Sinne von <ref-law> unterlegen zu sein. Schliesslich erweist sich das durch Auslegung nach dem Vertrauensprinzip gewonnene Ergebnis durchaus als sachgerecht, hat doch die Beklagte ihrerseits ohne Zweifel ein Interesse daran, den objektiv wesentlichen Punkt des Vertragsbeginns genau zu kennen. Bei gegenteiliger Auffassung hätte es der Versicherungsnehmer bzw. die versicherte Person in der Hand, über den vertraglich bestimmten Zeitpunkt hinaus von der Versicherungsdeckung zu profitieren, was nicht dem Zweck des Versicherungsvertrages entspricht.
5.-Nicht gefolgt werden kann dem Appellationshof und dem Kläger aber auch insoweit, als sie der Beklagten rechtsmissbräuchliches Verhalten vorwerfen, weil sie sich erst ein Jahr nach Abschluss des Versicherungsvertrages auf die fehlende zeitliche Deckung der Heilungskosten berufen habe. Es gibt keinen allgemeinen Grundsatz der Gebundenheit an das eigene Handeln. Ist eine Rechtslage unklar oder zweifelhaft, so widerspricht es nicht Treu und Glauben, wenn jemand widersprüchliche Positionen einnimmt, um seine Rechte unabhängig vom Ausgang einzelner Rechtsstandpunkte optimal zu wahren (<ref-ruling> E. 5a S. 338 mit Hinweisen auf die Literatur).
Im Lichte dieser Rechtsprechung war es der Beklagten somit nicht verwehrt, sich auf die mangelnde zeitliche Deckung zu berufen, obgleich sie den entsprechenden Einwand nicht unmittelbar nach dem Schadensereignis erhoben hat.
6.-Zusammenfassend ergibt sich demnach, dass für das Schadensereignis vom 5. Februar 1999 keine Versicherungsdeckung bestand, da die vertraglichen Wirkungen nach dem mutmasslichen Willen der Parteien erst am 22. Februar begannen.
Damit ist die Berufung gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann; das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Klage abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Kläger für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG).
Zur Verlegung der Kosten und Entschädigungen der kantonalen Verfahren ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid des Appellationshofs des Kantons Bern, I. Zivilkammer, vom 22. Oktober 2001 wird aufgehoben und die Klage abgewiesen.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Kläger auferlegt.
3.- Der Kläger hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.- Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen der kantonalen Verfahren an den Appellationshof des Kantons Bern, I. Zivilkammer, zurückgewiesen.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationshof des Kantons Bern, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 28. Februar 2002
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: