Sachverhalt:
A.
Y._ (Arbeitnehmer, Beschwerdegegner) war Angestellter der A._ AG, S._. Diese hatte bei der X._ Zusatzversicherung AG (Versicherung, Beschwerdeführerin) eine Kollektiv-Krankentaggeldversicherung nach dem VVG (SR 221.229.1) für ihre Arbeitnehmer abgeschlossen. Der Arbeitnehmer war seit dem 23. April 2008 als arbeitsunfähig gemeldet. Ab dem 19. Mai 2008 wurden Taggelder ausgerichtet. Nachdem das Arbeitsverhältnis mit dem Arbeitnehmer auf den 31. Dezember 2008 aufgelöst worden war, wurden die Taggeldleistungen ab dem 1. Januar 2009 direkt an diesen erbracht.
Mit Wirkung ab dem 13. Juli 2009 stellte die Versicherung die Taggeldleistungen ein. Zur Begründung wies sie darauf hin, dass seit dem 21. Juli 2009 ein vertrauensärztliches Gutachten vorliege, wonach der Arbeitnehmer zu 100 % arbeitsfähig sei.
B.
Am 17. Oktober 2012 erhob der Arbeitnehmer beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt Klage gegen die Versicherung mit dem Antrag, diese sei zu verurteilen, ihm Taggeldleistungen in der Höhe von Fr. 37'895.76 nebst Zins zu 5 % ab 3. Oktober 2009 zu bezahlen. In der Folge wurde das Verfahren auf die Frage der Verjährung beschränkt. Mit Zwischenentscheid vom 24. April 2013 wies das Sozialversicherungsgericht die Verjährungseinrede der Versicherung ab. Es begründete diesen Entscheid damit, die Versicherung berufe sich rechtsmissbräuchlich auf die Verjährung.
C.
Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, den Zwischenentscheid des Sozialversicherungsgerichts vom 24. April 2013 aufzuheben. Es sei festzustellen, dass der Anspruch des Beschwerdegegners auf Krankentaggelder für die Zeit vom 13. Juli 2009 bis zum 23. April 2013 verjährt sei. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Entscheidung unter Berücksichtigung der Rechtsauffassung des Bundesgerichts an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
2.
Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) dem VVG. Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 72-77 BGG in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweis). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von Art. 7 ZPO entschieden, weshalb die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG unabhängig vom Erreichen der Streitwertgrenze nach Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2).
3.
3.1. Mit dem angefochtenen Entscheid verwarf die Vorinstanz die Verjährungseinrede der Beschwerdeführerin. Dieser Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab, sondern stellt einen Vor- und Zwischenentscheid dar (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.2, 212 E. 1.2; Urteil 4A_606/2010 vom 13. Januar 2011 E. 2.1).
3.2. Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn eine der folgenden alternativen Voraussetzungen erfüllt ist: Erstens, wenn der Vor- und Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG); zweitens, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Die selbständige Anfechtbarkeit von Vor- und Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.1). Die Ausnahme ist restriktiv zu handhaben, zumal die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn sie einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG nicht selbständig anfechten, können sie ihn doch durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechten, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (Art. 93 Abs. 3 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 3.2). Dementsprechend obliegt es dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Voraussetzungen von Art. 93 BGG erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht in die Augen springt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 47; <ref-ruling> E. 1.2 in fine; <ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.4.2).
3.3. Dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirken kann, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Hingegen beruft sie sich auf Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG.
Zur ersten Voraussetzung von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG, dass das Bundesgericht, sollte es die Rechtsauffassung des Beschwerdeführers teilen, einen verfahrensabschliessenden Endentscheid fällen könnte, ist Folgendes zu bemerken: Würde sich die Auffassung der Beschwerdeführerin, dass die eingeklagten Ansprüche verjährt seien, als zutreffend herausstellen, wäre die Klage - gemäss den Regeln des materiellen Rechts - abzuweisen und damit ein Endentscheid zu fällen. Allerdings stellt die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde keinen Antrag auf Klageabweisung, sondern verlangt nur die Feststellung, dass der eingeklagte Anspruch verjährt sei. Bei Gutheissung der Beschwerde entscheidet das Bundesgericht in der Sache selbst oder weist diese zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück (Art. 107 Abs. 2 Satz 1 BGG). Gegebenenfalls erhebt es die Anträge des Beschwerdeführers zum Urteil. Dabei ist es an die Begehren der Parteien gebunden und darf nicht über diese hinausgehen (Art. 107 Abs. 1 BGG). Nachdem vorliegend kein Antrag auf Klageabweisung gestellt wird, ist fraglich, ob angenommen werden darf, bei Gutheissung der Beschwerde könnte ein Endentscheid gefällt, d.h. die Klage abgewiesen werden. Die Frage kann indessen offen bleiben, da es ohnehin an der zweiten, kumulativen Voraussetzung von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG mangelt.
Mit Bezug auf diese ist zu differenzieren: Geht bereits aus dem angefochtenen Urteil oder der Natur der Sache hervor, dass ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erforderlich sein wird, darf auf lange Ausführungen verzichtet werden. Andernfalls hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzutun, welche Tatfragen offen sind und welche weitläufigen Beweiserhebungen in welchem zeit- oder kostenmässigen Umfang erforderlich sind. Zudem hat er unter Aktenhinweisen darzulegen, dass er die betreffenden Beweise im kantonalen Verfahren bereits angerufen oder entsprechende Anträge in Aussicht gestellt hat (BGE <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 1a S. 92 mit Hinweis; Urteil 4A_48/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1.3.2).
Hinsichtlich dieser Voraussetzung bringt die Beschwerdeführerin nichts Konkretes vor. Sie behauptet lediglich, durch den Entscheid des Bundesgerichts würden sich die Abklärung anderer offener Rechtsfragen und eine umfangreiche Beweiserhebung erübrigen. Indessen nennt sie keinen einzigen Beweis, der - wenn es beim angefochtenen Entscheid bleiben sollte - noch zu erheben wäre und konkretisiert mit nichts, weshalb diesfalls ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten anfallen würde und das Beweisverfahren weitläufig wäre. Solches liegt denn auch in keiner Weise auf der Hand und geht nicht aus dem angefochtenen Entscheid hervor. Darin ist nicht die Rede davon, dass überhaupt ein Beweisverfahren durchzuführen sein würde, geschweige denn, dass ein solches weitläufig wäre und einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten erfordern würde. So ist insbesondere nicht ersichtlich, dass etwa noch ein umfangreiches medizinisches Gutachten eingeholt werden müsste oder sonstige weitläufige Abklärungen zu tätigen wären.
Die zweite Voraussetzung von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG ist nicht dargetan und kann nicht als gegeben betrachtet werden. Die Beschwerde erweist sich demnach als unzulässig, und es ist nicht auf sie einzutreten.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren erweist sich als gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz