Sachverhalt:
A. Mit Vorbescheid vom 21. August 2007 teilte die IV-Stelle des Kantons Zürich Y._ (geb. 1962) mit, dass er ab 1. April 2002 Anspruch auf eine ganze und mit Wirkung ab 1. Oktober 2006 auf eine halbe Invalidenrente habe. Dies bestätigte sie mit Verfügung vom 6. Februar 2008, wobei Verfügungsteil 1 nur die Leistungen ab 1. Januar 2008 betraf.
B. Hiegegen erhob Y._ Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit dem Antrag, die Verfügung vom 6. Februar 2008 sei aufzuheben und die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese über den Rentenanspruch neu entscheide; eventualiter sei ihm mit Wirkung ab 1. April 2002 eine ganze Rente und ab 1. Oktober 2006 eine Dreiviertelsrente zuzusprechen. Überdies ersuchte er für das Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtsverbeiständung. Nachdem die IV-Stelle dem Versicherten auch noch die Verfügungen vom 10. März 2008 betreffend die Zeit vom 1. April bis 31. Dezember 2007 zugestellt hatte, teilte dessen Rechtsvertreter dem kantonalen Gericht mit Schreiben vom 14. März 2008 mit, der Eventualantrag werde damit teilweise gegenstandslos. Soweit eine ganze Rente zugesprochen worden sei, würden die Verfügungen nicht angefochten. Gemäss einer Telefonnotiz vom 3. August 2009 wies der Gerichtsschreiber des Sozialversicherungsgerichts den Rechtsvertreter hinsichtlich der für die Zeit vom 1. April 2002 bis 30. September 2006 zugesprochenen ganzen Rente auf eine drohende reformatio in peius hin und gab ihm Gelegenheit, die Beschwerde zurückzuziehen. Am 26. November 2009 liess Y._ die Beschwerde zurückziehen. Mit Verfügung vom 2. Dezember 2009 schrieb die Ersatzrichterin als Referentin die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung wies sie ab (Dispositiv-Ziffer 2). Zudem auferlegte sie dem Beschwerdeführer die Gerichtskosten von Fr. 200.- (Dispositiv-Ziffer 3).
C. Y._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, Ziffer 2 und 3 der Verfügung vom 2. Dezember 2009 seien aufzuheben. Das im Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung sei gutzuheissen, und dieses sei zu verpflichten, die unentgeltliche Rechtsvertretung zu gewähren und von der Auferlegung von Gerichtskosten abzusehen. Eventuell sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses in einem Kollegialentscheid neu darüber befinde. Zudem wird um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die Referentin des Sozialversicherungsgerichts schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition die Zuständigkeit der ihm unterbreiteten Beschwerden (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4 S. 748).
2. Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, der nicht mit Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht weitergezogen werden kann (<ref-law>). Mit dem Entscheid wurde die unentgeltliche Verbeiständung in einem Verfahren betreffend eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts abgelehnt, welche nicht vom gesetzlichen Ausnahmekatalog (<ref-law>) erfasst ist. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1), dessen ungeachtet, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dessen Endentscheid - wie vorliegend - oder nach diesem ergangen ist (Urteil 5D_41/2007 vom 27. November 2007 E. 2.1). Die Beschwerde ist daher zulässig und es ist auf sie einzutreten, da auch die übrigen Voraussetzungen hiefür erfüllt sind.
3. Der Beschwerdeführer bestreitet die funktionelle Zuständigkeit der Ersatzrichterin zum Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Diese verfahrensrechtliche Rüge ist vorab zu prüfen.
4. 4.1 Die Rechtspflegebestimmung des <ref-law> enthält keine Vorschrift über die Zusammensetzung der kantonalen Versicherungsgerichte. Die Regelung dieser Frage obliegt somit den Kantonen. Sowohl <ref-law> als auch Art. 6 Ziff. 1 EMRK geben dem Einzelnen Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts und Einhaltung der jeweils geltenden staatlichen Zuständigkeitsordnung (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 338; <ref-ruling> E. 2a S. 84; <ref-ruling> E. 3c S. 130, S. 196 E. 2b S. 198; <ref-ruling> E. 2b S. 170; SVR 2000 UV Nr. 21 S. 72, U 161/98 E. 2a). Die Bundesverfassung schreibt den Kantonen nicht eine bestimmte Gerichtsorganisation oder ein bestimmtes Verfahren vor (<ref-ruling> E. 6a S. 191), sondern verlangt nur, dass das formelle Gesetz die Grundzüge der Zuständigkeiten, Kompetenzen und der Organisation des Gerichts generell-abstrakt normiert (JÖRG PAUL MÜLLER/MARKUS SCHEFER, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl., 2008, S. 933). Aus <ref-law> ergeben sich indessen Minimalanforderungen an das kantonale Verfahren.
4.2 Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 lit. a und b BGG prüft das Bundesgericht grundsätzlich frei, einschliesslich die Frage, ob die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Übrigen prüft das Bundesgericht die Handhabung kantonalen Rechts - vorbehältlich der in Art. 95 lit. c und d BGG genannten Fälle - bloss auf Willkür hin (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f.). Mit freier Kognition beurteilt es indessen die Frage, ob die als vertretbar erkannte Auslegung des kantonalen Prozessrechts mit den genannten Garantien der <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK vereinbar ist.
5. 5.1 Gemäss § 9 des zürcherischen Gesetzes vom 7. März 1993 über das Sozialversicherungsgericht (GSVGer; LS 212.81) wird das Gericht für seine Entscheide mit insgesamt drei Richterinnen und Richtern besetzt (Abs. 1). In der Regel führt die Präsidentin, der Präsident, eine Vizepräsidentin oder ein Vizepräsident den Vorsitz (Abs. 2). Die Referentin oder der Referent erlässt Erledigungsverfügungen, ausgenommen Nichteintretensentscheide (Abs. 3). Nach § 10 Abs. 1 GSVGer trifft das vorsitzende Mitglied die prozessleitenden Anordnungen. Es kann diese Befugnis einem Mitglied des Gerichts oder des juristischen Sekretariats übertragen. § 11 GSVGer ermächtigt die voll- und teilamtlichen Mitglieder des Gerichts, als Einzelrichterinnen und Einzelrichter Streitigkeiten zu entscheiden, deren Streitwert Fr. 20'000.- nicht übersteigt (Abs. 1). Sie treffen in diesem Bereich die prozessleitenden Anordnungen. Diese Befugnis können sie einem Mitglied des juristischen Sekretariats übertragen (Abs. 2).
5.2 Die Ersatzrichterin führt in der Vernehmlassung aus, die Streitsache sei der 1. Kammer und gemäss § 9 Abs. 1 GSVGer dem Kollegialspruchkörper mit Sozialversicherungsrichterin A._, Vorsitzende, Sozialversicherungsrichterin B._ und Ersatzrichterin C._ als Referentin zugeteilt worden. Gemäss § 9 Abs. 3 GSVGer sei die Ersatzrichterin als Referentin und Teil des kollegialen Spruchkörpers zuständig für den Erlass der Abschreibungsverfügung, nachdem der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers unter der drohenden reformatio in peius die Beschwerde zurückgezogen habe. Damit sei der Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung im gerichtlichen Verfahren ebenfalls in die Kompetenz der Referentin gefallen, da dieser hinsichtlich der Entscheidungsinstanz praxisgemäss der materiellen Hauptsache folge.
5.3 Der Beschwerdeführer stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, das Sozialversicherungsgericht hätte nach § 9 Abs. 1 GSVGer in Dreierbesetzung über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entscheiden müssen. Die Beurteilung durch die Referentin verstosse gegen <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
6. 6.1 Im vom Beschwerdeführer erwähnten Urteil 9C_275/2008 vom 24. Juli 2008 hat das Bundesgericht entschieden, einer Rechtsverzögerungsbeschwerde komme kein bestimmbarer Streitwert zu, wobei es offenliess, ob dies auch auf eine vorinstanzliche Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Verwaltungsverfahren zutrifft. Im Urteil 9C_1022/2009 vom 17. März 2010, bei welchem es um einen Streit über den Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Vorbescheidverfahren der Invalidenversicherung ging, betrachtete das Bundesgericht die Annahme eines bestimmbaren Streitwertes und damit die Auslegung von § 11 Abs. 1 GSVGer durch das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich als vertretbar, wonach die Beurteilung in die Zuständigkeit des Einzelrichters falle. Vorliegend geht es jedoch nicht um einen Streit über die unentgeltliche Verbeiständung im Verwaltungsverfahren und auch nicht um eine einzelrichterliche Beurteilung im Sinne von § 1 GSVGer, weshalb die vom Beschwerdeführer zitierte Rechtsprechung hier nicht massgebend ist.
6.2 Vielmehr stellt sich die Frage, ob in einem Prozess, der grundsätzlich in die Zuständigkeit der Kammer fällt (§ 9 Abs. 1 GSVGer), zufolge Rückzugs der Beschwerde jedoch gemäss § 9 Abs. 3 GSVGer von der Referentin als erledigt abgeschrieben wurde, die Kammer oder die Referentin über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu befinden hatte. Auch wenn für die Abschreibung des Prozesses infolge Rückzugs der Beschwerde unbestrittenermassen die Referentin zuständig ist, bedeutet dies nicht ohne weiteres, dass diese auch selbständig über die unentgeltliche Verbeiständung befinden kann (vgl. für das Verfahren vor Bundesgericht: Urteil 2C_423/2007 vom 27. September 2007). Im Unterschied zum Rückzug ergeht die Bestellung des unentgeltlichen Rechtsbeistands - unabhängig davon, ob sie während des Hauptverfahrens oder zusammen mit dem Endentscheid erfolgt - in einem Zwischenentscheid (vgl. E. 2 hievor). Aus der unterschiedlichen Rechtsnatur der beiden Entscheide folgt, dass die jeweiligen Zuständigkeiten zu wahren sind. Die Entscheidungskompetenz für die Abschreibung zieht daher nicht ohne weiteres auch jene für die Beurteilung der unentgeltlichen Rechtspflege nach sich.
7. 7.1 Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der Ratio legis (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 116; <ref-ruling> E. 5.1 S. 53, 232 E. 2.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.2 S. 311).
7.2 Gemäss § 5 GSVGer besteht das Gericht aus vollamtlichen und teilamtlichen Mitgliedern und aus Ersatzmitgliedern. Der Kantonsrat legt die Zahl der Mitglieder und der Ersatzmitglieder fest (Abs. 1). Der Kantonsrat wählt die Mitglieder und Ersatzmitglieder. Bei den teilamtlichen Mitgliedern legt er deren Beschäftigungsgrad fest. Für die Wahl der Hälfte der Ersatzmitglieder steht dem Gericht ein Vorschlagsrecht zu (Abs. 2). Die voll- und teilamtlichen Mitglieder nehmen im Kanton Zürich Wohnsitz (Abs. 3). Nach der gestützt auf § 7 Abs. 1 lit. a und c GSVGer ergangenen Verordnung vom 26. Oktober 2004 über die Organisation und den Geschäftsgang des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich (OrgV SVGer; LS 212.811) besteht jede Kammer aus mindestens drei Mitgliedern, den ihr zugeteilten Ersatzmitgliedern, einer Kammersekretärin oder einem Kammersekretär und den Gerichtssekretärinnen und Gerichtssekretären (§ 10 Abs. 2 OrgV SVGer). Die Mitglieder und Ersatzmitglieder einer Kammer amten als Referentinnen und Referenten, die Mitglieder zudem als Einzelrichterinnen und Einzelrichter (§ 13 Abs. 1 OrgV SVGer). Das zürcherische Gesetz über das Sozialversicherungsgericht unterscheidet somit zwischen den vollamtlichen und teilamtlichen Mitgliedern und den Ersatzmitgliedern und weist diesen überdies unterschiedliche Entscheidungskompetenzen zu.
7.3 So darf die einzelrichterliche Zuständigkeit nur von den voll- und teilamtlichen Mitgliedern, nicht jedoch von den in § 11 GSVGer nicht aufgeführten Ersatzmitgliedern ausgeübt werden (vgl. § 11 Abs. 1 GSVGer in Verbindung mit § 13 Abs. 1 OrgV SVGer; HANS-JAKOB MOSIMANN, in: Gesetz über das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, 2. Aufl., 2009, N. 2 zu § 11 GSVGer). § 10 Abs. 1 Satz 2 GSVGer erwähnt - abgesehen vom hier nicht zur Diskussion stehenden juristischen Sekretariat - lediglich das "Mitglied des Gerichts" als möglichen Delegationsempfänger. Nicht genannt werden auch dort die Ersatzmitglieder. Daraus - wie auch aus § 11 GSVGer - folgt, dass diese nicht befugt sind, prozessleitende Anordnungen zu treffen, weder als Einzelrichter (§ 11 Abs. 1 und Abs. 2 GSVGer) noch als Referenten (§ 9 Abs. 3 in Verbindung mit § 10 Abs. 1 GSVGer). Zwar können die Ersatzmitglieder als Referentinnen und Referenten amten (§ 9 Abs. 3 GSVGer in Verbindung mit § 13 Abs. 1 OrgV SVGer), doch beschränkt sich ihre selbständige Entscheidungskompetenz auf Erledigungsverfügungen (Abschreibungen des Verfahrens aufgrund von Rückzug, Gegenstandslosigkeit, Klageanerkennung, Vergleich), mit Ausnahme der Nichteintretensentscheide, welche in Kollegialgerichtsfällen in Dreierbesetzung zu ergehen haben (MOSIMANN, a.a.O., N. 5 und 8 zu § 9 GSVGer). Den als Referenten eingesetzten Ersatzmitgliedern räumt das zürcherische Gesetz über das Sozialversicherungsgericht somit weder umfassende Kompetenzen zur selbständigen Streiterledigung ein, noch verleiht es ihnen die Kompetenz, prozessleitende Anordnungen zu treffen.
7.4 Ob der Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege zu den "prozessleitenden Anordnungen" im Sinne von § 10 Abs. 1 Satz 2 GSVGer zählt, welche das vorsitzende Mitglied an ein anderes Mitglied des Gerichts delegieren kann, lässt sich dem GSVGer nicht eindeutig entnehmen. MOSIMANN (a.a.O., N. 3 f. zu § 10 GSVGer) führt dazu aus, seit Bestehen des Sozialversicherungsgerichts werde die Prozessleitung in Kollegialgerichtsfällen grundsätzlich durch Verfügungen des juristischen Sekretariats (vor allem bei Standardverfügungen wie Einholung der Beschwerdeantwort, Replik und Duplik) oder des zuständigen Mitglieds des Gerichts (vor allem bei Verfügungen mit einer Androhung oder einer Rechtsmittelbelehrung, Nachfristansetzung, Sistierung, vorsorgliche Massnahmen, unentgeltliche Rechtsvertretung, Einholung von Beweismitteln) und nicht durch Beschlüsse (Dreierbesetzung) wahrgenommen. Gewichtige prozessleitende Anordnungen, wie die Einholung eines Gutachtens oder die Abweisung der unentgeltlichen Rechtsvertretung, würden indessen häufig in Dreierbesetzung ergehen. Der Umstand, dass der Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege somit einiges Gewicht zukommt, legt es nahe, dass darüber in Dreierbesetzung (§ 9 Abs. 1 GSVGer) befunden wird.
7.5 Zusammenfassend ergibt sich somit, dass die Ersatzrichterin nicht befugt war, über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu entscheiden. Der Beschwerdeführer hat gestützt auf <ref-law> einen Anspruch darauf, dass die Gerichtsbehörde in der gesetzlich festgelegten Besetzung entscheidet. Dieser Anspruch wurde vorliegend verletzt. Die Beschwerde ist somit schon wegen dieses Verfahrensmangels gutzuheissen, und Dispositiv-Ziffer 2 und 3 des angefochtenen Entscheids sind aufzuheben. Die Vorinstanz, an welche die Sache zurückgewiesen wird, hat vorab zu entscheiden, in welcher Besetzung - anstelle der Ersatzrichterin - sie über die unentgeltliche Rechtspflege entscheidet.
8. Damit würde sich an sich die Behandlung der Beschwerde, soweit damit die Ablehnung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege zufolge Aussichtslosigkeit gerügt wird, erübrigen. Indessen erscheint es im Hinblick auf den neu zu treffenden Entscheid angebracht, die Rüge des Beschwerdeführers trotzdem zu behandeln.
8.1 Der angefochtene Entscheid vom 2. Dezember 2009 verneint den Anspruch des Beschwerdeführers auf unentgeltliche Verbeiständung nach <ref-law> (vgl. auch <ref-law>) für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht betreffend Leistungen der Invalidenversicherung wegen Aussichtslosigkeit des Prozesses.
Gemäss <ref-law> muss im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht das Recht, sich verbeiständen zu lassen, gewährleistet sein. Wo die Verhältnisse es rechtfertigen, wird der Beschwerde führenden Person ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt (vgl. auch <ref-law>). Nach der Praxis sind die Voraussetzungen für die Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung erfüllt, wenn der Prozess nicht aussichtslos erscheint sowie die Partei bedürftig und die anwaltliche Verbeiständung notwendig oder doch geboten ist (SVR 2009 UV Nr. 12 S. 49, 8C_530/2008 E. 3 mit Hinweisen).
8.2 Die Ablehnung des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung wird im angefochtenen Entscheid selbst nicht näher begründet (vgl. zu den Begründungsanforderungen <ref-law>). Die Vorinstanz hat daher auch keine Feststellungen zur Aussichtslosigkeit des Beschwerdeverfahrens getroffen. Von einer Rückweisung an die Vorinstanz aus diesem Grund kann indessen abgesehen werden (<ref-law>), da die Akten dem Bundesgericht erlauben, diesbezüglich den massgeblichen Sachverhalt festzustellen (<ref-law>). In der Vernehmlassung hält die Referentin fest: "Sodann muss die Beschwerde in Anbetracht des Umstandes, dass in der Streitsache selber eine reformatio in peius resultiert hätte, was dem Rechtsvertreter am 3. August 2009 hinlänglich klar gemacht worden war (vgl. Aktennotiz vom 3. August 2009), weshalb dieser denn auch in der Folge die Beschwerde zurückzog, als aussichtslos bezeichnet werden."
8.3 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> und von <ref-law> und somit von Bundesrecht (<ref-law>). Zur Begründung wird vorgebracht, das Sozialversicherungsgericht habe die Beschwerde nicht als aussichtslos beurteilt, sondern laut telefonischer Auskunft des Gerichtsschreibers vom 3. August 2009 sogar erwogen, die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese weitere Abklärungen vornehme, was seinem vorinstanzlich gestellten Hauptantrag entsprochen hätte und einem Obsiegen gleichgekommen wäre. Vor diesem Hintergrund widerspreche es dem Grundsatz von Treu und Glauben, die Beschwerde als aussichtslos zu qualifizieren. Da der Beschwerdeführer die meisten Hilfsarbeitertätigkeiten wegen der körperlichen und neuropsychologischen Einschränkungen selbst im Rahmen einer verbleibenden Restarbeitsfähigkeit von 50 Prozent nicht mehr voll ausüben könne, sei zudem von einem leidensbedingten Abzug vom Invalideneinkommen von 25 Prozent - und nicht wie von der IV-Stelle angenommen von 15 Prozent - auszugehen. Zu berücksichtigen sei zudem der Umstand, dass teilzeitbeschäftigte Männer gegenüber vollzeitlich Angestellten eine zusätzliche Lohneinbusse zu gewärtigen haben.
9. 9.1 Eine allfällige reformatio in peius oder der Rückzug der Beschwerde wegen einer möglichen Schlechterstellung schliesst den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nicht schlechthin aus (Urteil U 131/06 vom 19. Mai 2006 E. 3.1; vgl. auch SVR 1996 UV Nr. 40 S. 123, U 134/94 E. 3b sowie AHI 1994 S. 180, H 301/92 E. 4a). Anderseits kommt der Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Verwaltungsverfahren keine entscheidende Bedeutung für die Frage der unentgeltlichen Verbeiständung für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren zu (Urteil U 131/06 vom 19. Mai 2006 E. 3.1).
9.2 Laut Telefonnotiz des Gerichtsschreibers vom 3. August 2009 wurde die Androhung der reformatio in peius bezüglich der von der IV-Stelle zugesprochenen, befristeten ganzen Invalidenrente damit begründet, dass es gestützt auf die medizinischen Berichte fraglich sei, "ob die Zusprechung der ganzen Rente vom 1. April 2002 bis 30. September 2006 richtig sei. Diesbezüglich sei wohl eine reformatio anzudrohen oder allenfalls die Sache zurückzuweisen." Ein Rechtsmittel, dessen Erledigung die Durchführung ergänzender Abklärungen notwendig macht, kann nicht zum vornherein als aussichtslos bezeichnet werden. Auch eine von der Verwaltung abweichende Würdigung der medizinischen Akten, welche im Entscheid zudem mit keinem Wort begründet wird, rechtfertigt die Annahme von Aussichtslosigkeit nicht, zumal sich die Beschwerde gar nicht gegen die Zusprechung der ganzen Rente richtete.
9.3 Bezüglich der bei einem Invaliditätsgrad von 56 Prozent zugesprochenen halben Invalidenrente mit Wirkung ab 1. Oktober 2006 wurde in der bereits erwähnten Aktennotiz vom 3. August 2009 festgehalten, die IV-Stelle sei mit der Annahme eines Valideneinkommens von Fr. 55'000.- überaus grosszügig gewesen. Bei näherer Betrachtung könne indessen kaum ein Valideneinkommen in dieser Höhe angenommen werden. Selbst wenn von den Zahlen der IV-Stelle ausgegangen werde, müsse anstelle des von dieser anerkannten 15 prozentigen Abzugs vom Tabellenlohn ein solcher von 25 Prozent vorgenommen werden, damit ab 1. Oktober 2006 eine höhere Rente zugesprochen werden könne. Daraus ergibt sich, dass sich die Androhung der reformatio in peius nur auf die zugesprochene ganze und nicht auch auf die halbe Invalidenrente bezogen hatte. Zwar entfällt bei einem Beschwerderückzug, welcher im Ergebnis einer Abweisung gleich kommt, der Anspruch auf Parteientschädigung. Die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege setzt das Unterliegen des Gesuchstellers im Hauptprozess voraus, was jedoch nicht bedeutet, dass die Beschwerdeführung unbegründet war (SVR 1996 UV Nr. 40 S. 123, U 134/94 E. 3b).
Der Beschwerdeführer hatte die Erhöhung des leidensbedingten Abzugs auf das rechtsprechungsgemäss auf 25 Prozent festgesetzte Maximum (<ref-ruling> E. 5b/cc S. 80) eingehend begründet. Dieses Begehren kann nicht als aussichtslos bezeichnet werden. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) ging in der Verfügung vom 12. Oktober 2004 ebenfalls von einem Abzug von 25 Prozent vom Tabellenlohn aus und erhöhte den Invaliditätsgrad gemäss Verfügung vom 31. Mai 2007 sogar auf 65 Prozent. Aus dem Bericht von Frau Dr. med. K._ vom 7. Juli 2005 ergibt sich überdies, dass der Beschwerdeführer aufgrund der Kraftverminderung und reduzierten Belastbarkeit der Hände auch leichte Handarbeiten nur mit häufigen Pausen durchführen kann. Das Gutachten der Neurologischen Klinik und Poliklinik des Spitals X._ vom 24. Juli 2006 kam zum Schluss, dass Störungen der exekutiven Funktionen mit psychomotorischer Verlangsamung und verminderter figuraler Flüssigkeit sowie mnestische Störungen mit vermindertem Lernen, Abrufen und Wiedererkennen figuraler Modalitäten und vermindertem Abruf und Wiedererkennen in der verbalen Modalität vorliegen würden. Zusätzlich wirkten sich die chronischen Schmerzen und die depressive Stimmungslage aggravierend im Sinne einer negativen Interaktion auf die neuropsychologische Symptomatik aus. Die Gutachter gehen von einer täglichen Arbeitstätigkeit von drei bis vier Stunden aus.
9.4 Indem die Vorinstanz unter diesen Umständen Aussichtslosigkeit der Beschwerde angenommen und deswegen die Voraussetzungen für die Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung verneint hat, hat sie <ref-law> und damit Bundesrecht verletzt. Dispositiv-Ziffer 2 und 3 des angefochtenen Entscheids sind daher auch aus diesem Grund aufzuheben. Die Sache geht daher an das kantonale Gericht zurück, damit es die übrigen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung prüfe und hernach entscheide.
10. Gerichtskosten sind keine zu erheben (<ref-law>). Dem obsiegenden Beschwerdeführer steht für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese geht zu Lasten des Kantons Zürich, da der Gegenpartei des Hauptprozesses im Verfahren um die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege keine Parteistellung zukommt (SVR 1996 UV Nr. 40 S. 123, U 134/94 E. 4 mit Hinweisen). Damit wird das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im letztinstanzlichen Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 2 und 3 der Verfügung der Referentin des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 2. Dezember 2009 werden aufgehoben. Die Sache wird an dieses zurückgewiesen, damit es in richtiger Besetzung über das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne der Erwägungen entscheide.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der IV-Stelle des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. August 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer