Sachverhalt:
A. Der 1965 geborene, als Sachbearbeiter über seinen Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versicherte Z._ meldete dieser im September 2009, er leide linksseitig an einem Tinnitus, nachdem ihm am 11. Juni 2009 in einem Flugzeug die Klappe einer Handgepäckablage gegen das linke Ohr geprallt sei. In der Folge traten auch psychische Beschwerden auf, welche auf den Tinnitus zurückgeführt wurden. Nach medizinischen Abklärungen verneinte der Unfallversicherer mit Verfügung vom 24. August 2010 seine Leistungspflicht, da der Tinnitus nicht in einem sicheren oder wahrscheinlichen Zusammenhang zum Ereignis vom 11. Juni 2009 stehe. Daran hielt die SUVA mit Einspracheentscheid vom 29. März 2011 fest, wobei sie überdies erkannte, damit könne offen bleiben, ob der Tinnitus eine psychische Erkrankung verursacht habe.
B. Die von Z._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 16. November 2011 ab.
C. Z._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, die gesetzlichen UVG-Leistungen aus dem Unfall vom 11. Juni 2009 für den Tinnitus und dessen Folgen zu erbringen; eventuell sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses nach Einholung einer medizinischen Expertise über die Leistungspflicht des Unfallversicherers neu entscheide.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
D. Das Bundesgericht gibt Z._ mit Schreiben vom 4. Juni 2012 die Gelegenheit, seine Vorbringen im Lichte der kürzlich mit Urteil 8C_498/2011 vom 3. Mai 2012 (zur Publikation vorgesehen) bereinigten Rechtsprechung zur Unfallkausalität bei Tinnitus zu ergänzen. Z._ lässt mit Schreiben vom 25. Juni 2012 erklären, darauf werde verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmung über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung bei Unfall (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Rechtsprechung zum für einen solchen Leistungsanspruch nebst anderem erforderlichen natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden und zum hiebei zu beachtenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 406, je mit Hinweisen) sowie zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3 S. 352 ff.; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Darauf wird verwiesen.
3. Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, der gemeldete Unfall vom 11. Juni 2009 sei nicht überwiegend wahrscheinlich natürlich kausal für den im Anschluss geklagten Tinnitus. Diese Beurteilung stützt sich namentlich auf die ärztlichen Beurteilungen des Dr. med. M._, Facharzt FMH für Ohren-, Nasen- und Halskrankheiten, Hals- und Gesichtschirurgie, vom 15. Februar, 4. Mai, 14. Juni und 16. August 2010.
3.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, auf die Aussagen des Versicherungsmediziners könne nicht abgestellt werden. Aus den Berichten des Dr. med. N._ vom 26. Oktober 2009, des Dr. med. O._, Spezialarzt FMH für Hals-, Nasen- und Ohrenchirurgie, Hals- und Gesichtschirurgie, vom 14. Januar und 26. Mai 2010 sowie Prof. Dr. med. P._, Leitender Arzt, Hals-Nasen-Ohren-Klinik, Universitätsspital Z._, vom 16. Juli 2010 ergebe sich, dass der Tinnitus natürlich unfallkausal sei. Das stehe auch im Einklang mit der Rechtsprechung gemäss Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 116/03 vom 6. Oktober 2003 (veröffentlicht in: RKUV 2004 Nr. U 505 S. 246). Sollten trotz dieser Arztberichte noch Zweifel bestehen, sei ein medizinisches Gutachten einzuholen.
3.2 Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232 mit Hinweis auf 125 V 351 E. 3a S. 352). Auch den Berichten und Gutachten versicherungsinterner Ärzte kommt Beweiswert zu, sofern sie als schlüssig erscheinen, nachvollziehbar begründet sowie in sich widerspruchsfrei sind und keine Indizien gegen ihre Zuverlässigkeit bestehen. Die Tatsache allein, dass der befragte Arzt in einem Anstellungsverhältnis zum Versicherungsträger steht, lässt nicht schon auf mangelnde Objektivität und auf Befangenheit schliessen. Es bedarf vielmehr besonderer Umstände, welche das Misstrauen in die Unparteilichkeit der Beurteilung objektiv als begründet erscheinen lassen. Im Hinblick auf die erhebliche Bedeutung, welche den Arztberichten im Sozialversicherungsrecht zukommt, ist an die Unparteilichkeit des Gutachters allerdings ein strenger Massstab anzulegen (<ref-ruling> E. 3b/ee S. 354 mit Hinweis). Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, so sind ergänzende Abklärungen vorzunehmen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 470 mit Hinweisen).
3.3 In den ärztlichen Beurteilungen des Dr. med. M._ wird einlässlich, überzeugend und widerspruchsfrei begründet, weshalb der hier geklagte Tinnitus nicht als natürlich unfallkausal zu betrachten ist. Es liegen auch keine Anhaltspunkte dafür vor, dass der Versicherungsmediziner in irgend einer Weise parteiisch Stellung genommen hat.
3.4 Zu prüfen bleibt, ob sich aus den vom Versicherten angerufenen Arztberichten Gesichtspunkte ergeben, welche die Aussagen des Dr. med. M._ in Frage stellen könnten.
Das kantonale Gericht hat dies gestützt auf eine eingehende Auseinandersetzung mit den medizinischen Akten verneint. Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Im Einzelnen gilt Folgendes:
3.4.1 Dem Bericht des Prof. Dr. med. P._ vom 16. Juli 2010 lässt sich keine Aussage zur Ursache des Tinnitus entnehmen. Soweit sich der Arzt zum fraglichen Ereignis äussert, besteht dies lediglich in einer Wiedergabe dessen, was ihr der Versicherte zum Geschehensablauf und den danach aufgetretenen Beschwerden angegeben hat. Dass der Tinnitus auf den Unfall zurückzuführen wäre, lässt sich dem Arztbericht aber nicht entnehmen.
3.4.2 Dr. med. O._ äussert sich vor allem im Bericht vom 26. Mai 2010 zur Kausalität des Tinnitus. Er führt zunächst aus, Tinnitus sei mit einem Organschaden verbunden. Soweit damit gesagt werden sollte, dies sei stets der Fall, könnte dem Arzt nicht gefolgt werden. Aus dem von diesem angesprochenen Urteil U 116/03 (oben bereits erwähnt in E. 3.1) lässt sich nichts anderes herleiten. Dort wurde zwar gesagt, beim Tinnitus handle es sich um ein körperliches Leiden, dessen eigentliche Ursache in einem kleineren oder grösseren Innenohrschaden zu suchen sei (Urteil U 116/03 E. 2.1). Das Bundesgericht hat sich indessen mit diesem Präjudiz im erwähnten Urteil 8C_498/2011 auseinandergesetzt und erkannt, gestützt auf die herrschende medizinische Lehre könne an der Annahme, Tinnitus sei ein körperliches Leiden oder zumindest (zwingend) auf eine körperliche Ursache zurückzuführen, nicht festgehalten werden (Urteil 8C_498/2011 E. 5.8). Im vorliegenden Fall ergibt sich sodann weder aus den Berichten des Dr. med. O._ noch aus den übrigen medizinischen Akten, dass ein Organschaden, welchen den Tinnitus erklären könnte, nachgewiesen worden wäre. Sämtliche Abklärungen ergaben vielmehr keine verlässlichen Hinweise auf einen solchen Gesundheitsschaden. Zwar führt Dr. med. O._ im Bericht vom 26. Mai 2010 weiter aus, dass das bei Dr. med. N._ und ihm aufgenommene Audiogramm normale Reintonwerte angegeben habe, spreche nicht gegen eine solche Innenohrschädigung als direkte Folge einer stumpfen Kontusion der linken Kopfseite. Damit ist aber nicht dargetan, dass der Tinnitus in einem organischen Gesundheitsschaden begründet liegt.
Die weitere Aussage im Bericht des Dr. med. O._ vom 26. Mai 2010, wonach die betreuende Psychiaterin ausser dem Tinnitus keine Aussage für eine Depression gefunden habe, lässt keine Rückschlüsse auf eine kausale Bedeutung des Unfalls vom 11. Juni 2009 für das Ohrgeräusch zu. Dr. med. O._ äussert sich sodann unter Hinweis auf das Urteil U 116/03 zur Frage des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und dem Tinnitus sowie dessen psychischer Kompensation. Die Adäquanz ist indessen als Rechtsfrage nicht vom Arzt, sondern von der rechtsanwendenden Behörde resp. vom Gericht zu beurteilen.
3.4.3 Dr. med. N._ äussert sich im Bericht vom 26. Oktober 2009 nur sehr kurz. Sie führt dabei aus, bezüglich Tinnitus sei "sicher das Symptomatischwerden des Problems auf den Unfall zurückzuführen", begründet dies aber nicht weiter. Vielmehr hält sie fest, ob der Tinnitus auf eine von ihr als Unfallfolge diagnostizierte Traumatisierung des linken Kiefergelenks oder auf eine vorbestehende Kieferasymmetrie mit vermutlich Bruxismus zurückzuführen sei, sei schwierig zu beurteilen. Hinzu kommt, dass Dr. med. Q._, Facharzt für Kiefer- und Gesichtschirurgie, an welchen Dr. med. N._ den Versicherten zur weiteren Abklärung überwiesen hat, im Bericht vom 1. Dezember 2009 zum Ergebnis gelangt ist, die bestehende, sehr diskrete Gelenkspathologie stehe nicht im Zusammenhang mit dem Unfall vom 11. Juni 2009, und es sei äusserst fraglich, ob ein kausaler Zusammenhang mit dem Auftreten des Tinnitus bestehe. Mit den Aussagen des Dr. med. N._ lässt sich eine natürlich kausale Bedeutung des Unfalls für den Tinnitus mithin ebenfalls nicht begründen.
3.4.4 Zusammenfassend ergeben sich aus den angeführten Arztberichten - wie im Übrigen auch aus den übrigen medizinischen Akten - keine Anhaltspunkte, welche Zweifel an der ärztlichen Beurteilung des Dr. med. M._ zu begründen vermöchten. Was der Versicherte vorbringt, rechtfertigt kein anderes Ergebnis. Mit der Vorinstanz ist auch davon auszugehen, dass auf weitere medizinische Abklärungen zu verzichten ist, da diese keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen. Das kantonale Gericht hat demnach eine Leistungspflicht der SUVA für den Tinnitus zu Recht mangels natürlichem Kausalzusammenhang zwischen diesem und dem Unfall vom 11. Juni 2009 verneint. Daraus ergibt sich ohne Weiteres, dass auch für die mit dem Tinnitus begründeten psychischen Beschwerden kein Leistungsanspruch gegenüber dem Unfallversicherer besteht. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
4. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Juli 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz