Sachverhalt:
A. A.a B._, geboren 1980, war Geschäftsführerin der Filiale X._ und in dieser Eigenschaft bei der SWICA Gesundheitsorganisation (nachfolgend: SWICA oder Beschwerdegegnerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Anlässlich einer Heckauffahrkollision vom 1. August 2003 zog sie sich eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) zu. Die SWICA kam für die Heilbehandlung auf und entrichtete ein Taggeld. Per 30. Juni 2005 stellte sie sämtliche Versicherungsleistungen ein (Verfügung vom 25. August 2005) und hielt mit Einspracheentscheid vom 13. März 2006 daran fest. Die hiegegen erhobene Beschwerde der B._ hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 27. September 2007 in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid vom 13. März 2006 aufhob und die Sache zur weiteren Abklärung im Sinne der Erwägungen und Neuverfügung an die SWICA zurückwies. Diese führte dagegen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, auf welche das Bundesgericht nicht eintrat (Urteil 8C_742/2007 vom 4. April 2008).
A.b Die SWICA beauftragte daraufhin die Klinik Z._ mit der zusätzlichen Abklärung allfälliger Unfallfolgen. Letztere erstattete das bidisziplinäre psychiatrisch-rheumatologische Gutachten am 6. Mai 2009 (nachfolgend: Gutachten Z._) und nahm am 5. Juni 2009 zu Ergänzungsfragen der SWICA Stellung. Gestützt darauf bestätigte die SWICA mit Verfügung vom 25. September 2009 erneut den folgenlosen Fallabschluss per 30. Juni 2005. Die hiegegen gerichteten Einsprachen der B._ und ihres zuständigen Krankenpflegeversicherers (Progrès Versicherungen AG, Dübendorf; nachfolgend: Progrès) hiess die SWICA teilweise gut, verschob den Zeitpunkt der Leistungsterminierung um einen Monat auf den 31. Juli 2005 und wies die Einsprachen im Übrigen ab (Einspracheentscheid vom 9. Dezember 2009).
B. Dagegen beantragten B._ und die Progrès beschwerdeweise, die SWICA habe unter Aufhebung des Einspracheentscheides vom 9. Dezember 2009 über den Zeitpunkt der Leistungseinstellung hinaus weiterhin die gesetzlichen Leistungen nach UVG zu erbringen. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies die Beschwerde mit Entscheid vom 14. Februar 2011 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erneuert B._ ihr vorinstanzliches Rechtsbegehren.
Während die SWICA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichten das Bundesamt für Gesundheit (BAG) und die Progrès auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Strittig ist, ob die SWICA die in der Folge des Unfalles vom 1. August 2003 erbrachten Leistungen zu Recht per 31. Juli 2005 eingestellt und den Fall folgenlos abgeschlossen hat.
3. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid unter Verweis auf den in Rechtskraft erwachsenen Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 27. September 2007 die nach der Rechtsprechung für den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (Art. 6 Abs. 1 UVG) geltenden Voraussetzungen des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden generell (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 u. 3.2 S. 181) sowie bei psychischen Unfallfolgen (<ref-ruling> E. 6 S. 138 ff.; ferner <ref-ruling> und 119 V 335) und Folgen eines Unfalls mit Schleudertrauma der HWS (oder einer diesem äquivalenten Verletzung) ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle im Speziellen (<ref-ruling>; <ref-ruling>) zutreffend dargelegt. Darauf - wie auch auf die Erwägungen zu dem im Sozialversicherungsrecht massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 1 S. 338; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) - wird verwiesen.
4. 4.1 Gemäss angefochtenem Entscheid steht aufgrund des beweiskräftigen Gutachtens Z._ in Verbindung mit dem rheumatologischen Teilgutachten vom 23. März 2009 mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit fest, dass ab Juli 2005 von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes (vgl. Art. 19 Abs. 1 UVG) mehr zu erwarten war und sich keine Hinweise auf anhaltende, organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolgen finden liessen. Das kantonale Gericht hat sodann in unbestrittener Anwendung der mit <ref-ruling> präzisierten Adäquanzkriterien den Kausalzusammenhang der anhaltend geklagten Beschwerden zum Unfall vom 1. August 2003 geprüft und verneint.
4.2 Die Beschwerdeführerin erhebt zu Recht weder gegen die volle Beweiskraft des Gutachtens Z._ noch gegen den gestützt darauf festgesetzten Heilbehandlungsabschluss per 31. Juli 2005 substantiierte Einwände. Vielmehr vertritt sie die Auffassung, sie leide auch seit 1. August 2005 weiterhin an dauerhaften Folgen des Unfalles vom 1. August 2003, welche ihr einen Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung vermitteln würden. Sie behauptet nicht, es handle sich bei diesen Folgen um organisch objektiv ausgewiesene Beschwerden. Sie macht jedoch geltend, Verwaltung und Vorinstanz hätten die Unfalladäquanz dieser anhaltend geklagten Gesundheitsstörungen in Verletzung der nach <ref-ruling> anwendbaren Praxis verneint.
5. Fest steht, dass die Prüfung der Unfalladäquanz der über den 31. Juli 2005 hinaus geklagten, organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nach der mit <ref-ruling> präzisierten sog. "Schleudertrauma-Praxis" zu erfolgen hat und dass die Heckauffahrkollision vom 1. August 2003 praxisgemäss bei den mittelschweren Ereignissen im Grenzbereich zu den leichten Unfällen einzustufen ist. Damit die Adäquanz bejaht werden könnte, müsste von den in die Beurteilung einzubeziehenden Adäquanzkriterien somit entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise vorliegen oder hätten mehrere gehäuft erfüllt zu sein (<ref-ruling> E. 10.1 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 6a S. 367).
5.1 Unbestrittenermassen kann weder von besonders dramatischen Begleitumständen noch von einer besonderen Eindrücklichkeit des Unfallereignisses gesprochen werden. Ebenso wenig ist im Lichte der medizinischen Akten eine ärztliche Fehlbehandlung ausgewiesen. Weiter hat das kantonale Gericht zu Recht auch das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzung verneint.
5.2 Die Vorinstanz hat zutreffend erkannt, dass zwischen dem Unfall vom 1. August 2003 und dem Fallabschluss per 31. Juli 2005 keine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung durchgeführt wurde. Abklärungsmassnahmen und blosse ärztliche Kontrollen sind im Rahmen dieses Kriteriums nicht zu berücksichtigen (Urteile 8C_421/2009 vom 2. Oktober 2009 E. 5.3, 8C_698/2008 vom 27. Januar 2009 E. 4.4 und 8C_126/2008 vom 11. November 2008 E. 7.3). Entgegen der Beschwerdeführerin lassen weder die Therapieversuche mit verschiedenen alternativen Behandlungsmethoden (u.a. Farb- und Kraniosakraltherapie sowie chinesische Heilkunst) noch die physiotherapeutischen und medikamentösen Massnahmen und auch nicht der knapp einmonatige Rehabilitationsaufenthalt auf eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung schliessen (Urteil 8C_749/2010 vom 6. Januar 2011 E. 6.3.2 mit Hinweisen; vgl. auch SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81, U 479/05 E. 8.3.3 mit Hinweisen).
5.3 Das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und der erheblichen Komplikationen (<ref-ruling> E. 10.2.6 S. 129) erfordert nicht, dass diese beiden Teilaspekte kumulativ erfüllt sein müssen (BGE <ref-ruling> E. 7b S. 369). Aus der ärztlichen Behandlung und den erheblichen Beschwerden - welche im Rahmen des jeweils spezifischen Adäquanzkriteriums zu berücksichtigen sind - darf nicht auf einen schwierigen Heilungsverlauf und/oder erhebliche Komplikationen geschlossen werden. Es bedarf hiezu besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (Urteile 8C_421/2009 vom 2. Oktober 2009 E. 5.6, 8C_1020/2008 vom 8. April 2009 E. 5.7 und 8C_623/2007 vom 22. August 2008 E. 8.6). Die Einnahme vieler Medikamente und die Durchführung verschiedener Therapien genügen nicht zur Bejahung dieses Kriteriums. Gleiches gilt für den Umstand, dass trotz regelmässiger Therapien weder eine Beschwerdefreiheit noch eine (vollständige) Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit erreicht werden konnten (Urteil 8C_421/2009 vom 2. Oktober 2009 E. 5.6 mit Hinweisen). Im Vergleich mit anderen Fällen von HWS-Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen hält sich der Verlauf im Rahmen des nach derartigen Ereignissen Üblichen. Das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und der erheblichen Komplikationen ist mit dem kantonalen Gericht zu verneinen. Zu keinem anderen Ergebnis führt der einzige Hinweis der Versicherten, wonach sie bis heute an diesen Beschwerden leide und nach wie vor auf regelmässige Behandlung und Therapie angewiesen sei.
5.4 Von den verbleibenden beiden Kriterien der erheblichen Beschwerden und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen müsste für die Bejahung der Adäquanz mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Das trifft nach Lage der Akten nicht zu und wurde auch nicht geltend gemacht. Damit kann offen bleiben, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form vorliegen. Denn auch wenn es sich so verhielte, würde dies nicht genügen, um den adäquaten Kausalzusammenhang zu bejahen (SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100 [8C_897/2009 E. 4.5] und Urteil 8C_416/2010 vom 29. November 2010 E. 5.2.5 mit Hinweisen).
5.5 Fehlt es nach dem Gesagten an der Unfalladäquanz der ab 1. August 2005 anhaltend geklagten Beschwerden, hat das kantonale Gericht den von der SWICA mit Einspracheentscheid vom 9. Dezember 2009 auf den 31. Juli 2005 festgesetzten folgenlosen Fallabschluss zu Recht bestätigt. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
6. Die Gerichtskosten sind der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 65 Abs. 4 lit. a und Art. 66 Abs. 1 BGG). Ein Parteikostenersatz steht der Beschwerdegegnerin, da sie als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, gemäss Art. 68 Abs. 3 BGG nicht zu (Urteile 8C_419/2010 vom 17. August 2010 E. 4 und 8C_606/2007 vom 27. August 2008 E. 11 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Progrès Versicherungen AG, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juli 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli