Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 30. Oktober 2002 forderte die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt (im Folgenden: ÖAK) von B._ (geb. 1971) die von Juli bis September 2002 zu Unrecht ausgerichteten Taggelder in Höhe von Fr. 12'990.30 zurück. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 23. März 2004 ab. Ein Erlassgesuch lehnte das Amt für Wirtschaft und Arbeit Basel-Stadt (im Folgenden: AWA) ab (Verfügung vom 25. Februar 2005 und Einspracheentscheid vom 31. Mai 2005), da der Versicherten die Gutgläubigkeit beim Leistungsbezug nicht zugebilligt werden könne.
A. Mit Verfügung vom 30. Oktober 2002 forderte die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt (im Folgenden: ÖAK) von B._ (geb. 1971) die von Juli bis September 2002 zu Unrecht ausgerichteten Taggelder in Höhe von Fr. 12'990.30 zurück. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 23. März 2004 ab. Ein Erlassgesuch lehnte das Amt für Wirtschaft und Arbeit Basel-Stadt (im Folgenden: AWA) ab (Verfügung vom 25. Februar 2005 und Einspracheentscheid vom 31. Mai 2005), da der Versicherten die Gutgläubigkeit beim Leistungsbezug nicht zugebilligt werden könne.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt ab (Entscheid vom 15. Dezember 2005).
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt ab (Entscheid vom 15. Dezember 2005).
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt B._, es sei ihr die Rückerstattungsschuld ganz, eventuell teilweise, zu erlassen.
Das AWA schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Über die Rückerstattungspflicht der Beschwerdeführerin für die zu Unrecht bezogene Arbeitslosenentschädigung im Betrag von Fr. 12'990.30 hat die Vorinstanz am 23. März 2004 rechtskräftig entschieden. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob der Beschwerdeführerin die Rückerstattung zu erlassen ist.
1.2 Das kantonale Gericht hat hinsichtlich der am 25. Februar 2005 verfügten, mit Einspracheentscheid vom 31. Mai 2005 bestätigten Ablehnung des Erlassgesuchs <ref-law> (in der seit 1. Januar 2003 geltenden Fassung) in Verbindung mit Art. 25 Abs. 1 Satz 2 des auf den 1. Januar 2003 in Kraft getretenen Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) angewendet. Mit Blick darauf, dass die Gutgläubigkeit während des Leistungsbezugs vom 1. Juli bis 30. September 2002 streitig ist, mithin ein Sachverhalt vorliegt, der sich vor In-Kraft-Treten des ATSG verwirklicht hat, ist fraglich, ob der Erlass der Rückerstattungsschuld gegenüber der Arbeitslosenversicherung nicht aufgrund des <ref-law> in der bis Ende 2002 geltenden Fassung zu beurteilen ist. Dieser Frage kommt insoweit keine ausschlaggebende Bedeutung zu, als die nach dem ATSG für die Rückerstattung massgeblichen Grundsätze aus der früheren Regelung und Rechtsprechung hervorgegangen sind (<ref-ruling>). Dasselbe hat auch für die von der Praxis entwickelten Kriterien zur Beurteilung der für einen Erlass unter anderem vorausgesetzten Gutgläubigkeit des Leistungsbezügers (<ref-ruling> Erw. 3, 112 V 103 Erw. 2c, 110 V 180 f. Erw. 3c; AHI 2003 S. 161 f. Erw. 3a [Urteil S. vom 28. Juni 2002, I 553/01]; ARV 2001 Nr. 18 S. 162 Erw. 3b [Urteil P. vom 5. Februar 2001, C 223/00]) zu gelten (Urteil R. vom 27. April 2005 [C 174/04] Erw. 1.2; vgl. auch Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, Kommentar zum Bundesgesetz vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts, Zürich 2003, Rz. 23 zu Art. 25).
1.2 Das kantonale Gericht hat hinsichtlich der am 25. Februar 2005 verfügten, mit Einspracheentscheid vom 31. Mai 2005 bestätigten Ablehnung des Erlassgesuchs <ref-law> (in der seit 1. Januar 2003 geltenden Fassung) in Verbindung mit Art. 25 Abs. 1 Satz 2 des auf den 1. Januar 2003 in Kraft getretenen Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) angewendet. Mit Blick darauf, dass die Gutgläubigkeit während des Leistungsbezugs vom 1. Juli bis 30. September 2002 streitig ist, mithin ein Sachverhalt vorliegt, der sich vor In-Kraft-Treten des ATSG verwirklicht hat, ist fraglich, ob der Erlass der Rückerstattungsschuld gegenüber der Arbeitslosenversicherung nicht aufgrund des <ref-law> in der bis Ende 2002 geltenden Fassung zu beurteilen ist. Dieser Frage kommt insoweit keine ausschlaggebende Bedeutung zu, als die nach dem ATSG für die Rückerstattung massgeblichen Grundsätze aus der früheren Regelung und Rechtsprechung hervorgegangen sind (<ref-ruling>). Dasselbe hat auch für die von der Praxis entwickelten Kriterien zur Beurteilung der für einen Erlass unter anderem vorausgesetzten Gutgläubigkeit des Leistungsbezügers (<ref-ruling> Erw. 3, 112 V 103 Erw. 2c, 110 V 180 f. Erw. 3c; AHI 2003 S. 161 f. Erw. 3a [Urteil S. vom 28. Juni 2002, I 553/01]; ARV 2001 Nr. 18 S. 162 Erw. 3b [Urteil P. vom 5. Februar 2001, C 223/00]) zu gelten (Urteil R. vom 27. April 2005 [C 174/04] Erw. 1.2; vgl. auch Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, Kommentar zum Bundesgesetz vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts, Zürich 2003, Rz. 23 zu Art. 25).
2. Nach ständiger Rechtsprechung betreffen Streitigkeiten über den Erlass einer Rückerstattungsschuld nicht die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen im Sinne von Art. 132 OG (<ref-ruling> Erw. 1 und 222 Erw. 2, je mit Hinweisen). Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat demnach lediglich zu prüfen, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzt hat, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
Hinsichtlich der Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts ist praxisgemäss zu unterscheiden zwischen dem guten Glauben als fehlendem Unrechtsbewusstsein und der Frage, ob sich jemand unter den gegebenen Umständen auf den guten Glauben berufen kann oder ob er bei zumutbarer Aufmerksamkeit den bestehenden Rechtsmangel hätte erkennen sollen. Die Frage nach dem Unrechtsbewusstsein gehört zum inneren Tatbestand und ist daher Tatfrage, die nach Massgabe von Art. 105 Abs. 2 OG von der Vorinstanz verbindlich beurteilt wird. Demgegenüber gilt die Frage nach der gebotenen Aufmerksamkeit als frei überprüfbare Rechtsfrage, soweit es darum geht, festzustellen, ob sich jemand angesichts der jeweiligen tatsächlichen Verhältnisse auf den guten Glauben berufen kann (<ref-ruling> Erw. 3; AHI 2003 S. 161 f. Erw. 3a mit Hinweisen; ARV 2001 Nr. 18 S. 162 Erw. 3b mit Hinweisen).
Hinsichtlich der Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts ist praxisgemäss zu unterscheiden zwischen dem guten Glauben als fehlendem Unrechtsbewusstsein und der Frage, ob sich jemand unter den gegebenen Umständen auf den guten Glauben berufen kann oder ob er bei zumutbarer Aufmerksamkeit den bestehenden Rechtsmangel hätte erkennen sollen. Die Frage nach dem Unrechtsbewusstsein gehört zum inneren Tatbestand und ist daher Tatfrage, die nach Massgabe von Art. 105 Abs. 2 OG von der Vorinstanz verbindlich beurteilt wird. Demgegenüber gilt die Frage nach der gebotenen Aufmerksamkeit als frei überprüfbare Rechtsfrage, soweit es darum geht, festzustellen, ob sich jemand angesichts der jeweiligen tatsächlichen Verhältnisse auf den guten Glauben berufen kann (<ref-ruling> Erw. 3; AHI 2003 S. 161 f. Erw. 3a mit Hinweisen; ARV 2001 Nr. 18 S. 162 Erw. 3b mit Hinweisen).
Hinsichtlich der Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts ist praxisgemäss zu unterscheiden zwischen dem guten Glauben als fehlendem Unrechtsbewusstsein und der Frage, ob sich jemand unter den gegebenen Umständen auf den guten Glauben berufen kann oder ob er bei zumutbarer Aufmerksamkeit den bestehenden Rechtsmangel hätte erkennen sollen. Die Frage nach dem Unrechtsbewusstsein gehört zum inneren Tatbestand und ist daher Tatfrage, die nach Massgabe von Art. 105 Abs. 2 OG von der Vorinstanz verbindlich beurteilt wird. Demgegenüber gilt die Frage nach der gebotenen Aufmerksamkeit als frei überprüfbare Rechtsfrage, soweit es darum geht, festzustellen, ob sich jemand angesichts der jeweiligen tatsächlichen Verhältnisse auf den guten Glauben berufen kann (<ref-ruling> Erw. 3; AHI 2003 S. 161 f. Erw. 3a mit Hinweisen; ARV 2001 Nr. 18 S. 162 Erw. 3b mit Hinweisen).
3.1 3.1.1 Das Kantonsspital X._, bei welchem die Beschwerdeführerin seit 1. Oktober 2001 als Krankenschwester angestellt war, löste das Arbeitsverhältnis mit Schreiben vom 28. Mai 2002 per Ende Juni 2002 auf. Die Versicherte focht diese Kündigung am 5. Juni 2002 an. In der Folge meldete sie sich am 14. Juni 2002 zum Bezug von Leistungen ab 1. Juli 2002 bei der Arbeitslosenversicherung an. Mit Verfügung vom 27. Juni 2002 bestätigte das Kantonsspital X._ die Auflösung des Arbeitsvertrages, wogegen die Beschwerdeführerin am 3. Juli 2002 Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Y._ einreichte. Die Parteien schlossen Ende September 2002 einen Vergleich ab, in welchem sich der Arbeitgeber verpflichtete, den Lohn von August bis Oktober 2002 nachzuzahlen. Das Personalamt des Kantons Y._ schrieb die Beschwerde am 4. Oktober 2002 als durch Rückzug erledigt ab.
3.1.2 Diese nach Art. 105 Abs. 2 OG für das Eidgenössische Versicherungsgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz sind in Bezug auf den im Juli 2002 vorgelegenen Sachverhalt unvollständig. Aus den Unterlagen geht hervor, dass das Arbeitsverhältnis - sei es wegen krankheitsbedingter Abwesenheit der Beschwerdeführerin im Monat Juni (wovon das kantonale Gericht laut rechtskräftigem Entscheid vom 23. März 2004 ausgegangen ist), sei es wegen der vom Arbeitgeber anerkannten Ungültigkeit der formell unkorrekten Kündigung vom 28. Mai 2002 (wie die Beschwerdeführerin in der Replikschrift vom 22. April 2003 im Verfahren betreffend Rückerstattung zu Unrecht bezogener Arbeitslosenentschädigung vorbrachte) - bis Ende Juli 2002 verlängert wurde. Gemäss dem im Einspracheverfahren aufgelegten Postenauszug aus dem Privatkonto der Beschwerdeführerin bei der Basler Kantonalbank für die Zeit vom 1. Juli bis 31. Dezember 2002 ist der Lohn für den Monat Juli am 31. Juli 2002 gutgeschrieben worden.
3.2 Die Vorinstanz hat den guten Glauben mit der Begründung verneint, die Beschwerdeführerin sei von Anfang an nicht gewillt gewesen, die Kündigung hinzunehmen. Sie habe sich mit mehreren Eingaben dagegen gewehrt und sich durch die Gewerkschaft und im weiteren Verlauf sogar anwaltlich vertreten lassen. Auch wenn die Sach- und Rechtslage verworren gewesen sei, habe die Beschwerdeführerin doch damit rechnen müssen, Lohnnachzahlungen zu erhalten. Spätestens nach Abschluss des Vergleichs mit dem Arbeitgeber habe ihr bewusst sein müssen, dass sie für denselben Zeitraum Lohnzahlungen und Arbeitslosenentschädigung bezogen hatte.
3.3 Mit diesen Darlegungen hat die Vorinstanz die Frage nach einem allfälligen Unrechtsbewusstsein der Beschwerdeführerin nicht für den gesamten Zeitraum des Leistungsbezugs der nunmehr zurückgeforderten Taggelder festgestellt. Der angefochtene kantonale Entscheid enthält demnach insofern keine für das Eidgenössische Versicherungsgericht verbindlichen Feststellungen, sodass einer freien Überprüfung im letztinstanzlichen Verfahren nichts im Wege steht.
3.3.1 Laut <ref-law> (in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2002) müssen Leistungsempfänger u.a. den Kassen alle erforderlichen Auskünfte erteilen und die nötigen Unterlagen vorlegen (Abs. 1). Solange der Versicherte Leistungen bezieht, muss er der Kasse unaufgefordert alles melden, was für die Anspruchsberechtigung oder für die Leistungsbemessung von Bedeutung ist (Abs. 2).
3.3.2 Die Beschwerdeführerin hat ihre Auskunftspflicht gegenüber der Arbeitslosenkasse wiederholt verletzt: Zunächst hat sie den Umstand, dass das Arbeitsverhältnis bis Ende Juli 2002 verlängert und der Lohn am 31. Juli ausbezahlt worden ist, nicht mitgeteilt. Sodann hat sie es unterlassen, die ÖAK über den Verlauf des beim Regierungsrat des Kantons Y._ hängigen Beschwerdeverfahrens in Kenntnis zu setzen. Für die Annahme einer Meldepflichtverletzung ist entgegen der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde anscheinend vertretenen Auffassung nicht entscheidend, inwieweit die von der versicherten Person in einem Prozessverfahren gegenüber ihrem bisherigen Arbeitgeber geltend gemachten Lohn- und Entschädigungsansprüche voraussichtlich mit Erfolg durchgesetzt werden können. Es ist gemäss <ref-law> Sache der Kasse, darüber zu befinden, ob für die Zeit des Arbeitsausfalls begründete Zweifel am Bestand von Lohn- und Entschädigungsansprüchen im Sinne von <ref-law> oder an deren Einbringlichkeit vorliegen. Schliesslich hat die Beschwerdeführerin auch das Ergebnis der Vergleichsverhandlungen mit dem Arbeitgeber und den Abschluss des Beschwerdeverfahrens beim Regierungsrat des Kantons Y._ verschwiegen.
Unter diesen Umständen kann nicht bloss eine leichte, die Berufung auf den guten Glauben nicht ausschliessende Fahrlässigkeit angenommen werden. Die Beschwerdeführerin war von allem Anfang an während der gesamten Bezugsdauer von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung, nicht gutgläubig, wie aus der Chronologie der als grobfahrlässig zu bezeichnenden Meldepflichtverletzungen ersichtlich ist, weshalb ein (auch nur teilweiser) Erlass der Rückforderung ausser Frage steht, ohne dass geprüft werden müsste, ob eine grosse Härte vorliegt.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt und mit dem geleisteten Kostenvorschuss verrechnet.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt und mit dem geleisteten Kostenvorschuss verrechnet.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der Öffentlichen Arbeitslosenkasse Basel-Stadt und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 2. Oktober 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber:
i.V.