Faits:
A.
A._, aide de cuisine, percevait des indemnités de l'assurance-chômage. Elle s'est annoncée à l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) le 8 juillet 2005 en raison principalement des séquelles incapacitantes de troubles psychiques.
Entre autres mesures d'instruction, l'administration a recueilli l'avis des médecins traitants et confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur B._. L'expert a fait état d'épisodes dépressifs majeurs (actuellement de gravité légère) et d'une personnalité histrio-limite permettant la reprise de l'activité habituelle ou toute autre activité adaptée à 70 % à partir du 1er janvier 2008 (rapport du 8 mai 2008). L'office AI a octroyé à l'assurée une rente entière pour la période allant du 8 janvier 2006 au 31 mars 2008 en se fondant sur le rapport d'expertise uniquement (décision du 24 octobre 2008). Saisi d'un recours de l'intéressée, le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales a implicitement annulé la décision attaquée en tant qu'elle portait sur la période postérieure au 31 mars 2008 et renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire dans la mesure où les documents rassemblés ne permettaient pas de conclure à une amélioration de la situation médicale au début de l'année 2008 (jugement du 10 décembre 2009). Désignée par l'office AI pour mettre en oeuvre le complément d'instruction requis, la Clinique C._ a évoqué un trouble dépressif récurrent (épisode actuel moyen) et un syndrome somatoforme douloureux persistant permettant l'exercice à mi-temps dès le 1er avril 2008 de toute activité adaptée (rapport du 19 avril 2011). Invitée à compléter son rapport eu égard aux critiques émises par le service médical régional de l'administration, elle a fait état d'une péjoration du trouble dépressif récurrent (épisode actuel moyen à sévère) engendrant une incapacité totale de travail (rapport du 17 avril 2012).
Ayant vainement sollicité des informations complémentaires auprès du psychiatre traitant, l'office AI a averti A._ qu'elle allait organiser une nouvelle expertise psychiatrique (décision du 16 mai 2013).
B.
L'assurée a requis de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, qu'elle annule ladite décision dès lors que le dernier rapport d'expertise était complet et probant et qu'au besoin, des renseignements ampliatifs pouvaient être obtenus auprès du psychiatre traitant ou de la Clinique C._. L'administration a proposé le rejet de ce recours.
Le tribunal cantonal a admis le recours et annulé la décision du 16 mai 2013 (jugement du 19 décembre 2013). Il a estimé que le rapport d'expertise existant et son complément étaient probants de sorte que l'office AI disposait de suffisamment d'éléments pour statuer sur le droit de l'intéressée postérieurement au 31 mars 2008.
C.
L'administration recourt contre ce jugement. Elle en demande l'annulation et conclut à la confirmation de sa décision.

Considérant en droit:
1.
La décision administrative décrit les conditions de réalisation d'une expertise dans le cadre d'une procédure principale relative au droit à une rente de l'assurance-invalidité. Il s'agit là d'une décision incidente d'ordonnancement de la procédure (à ce sujet, cf. UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2ème éd. 2009, n° 30 ad <ref-law>). L'acte attaqué se borne à annuler cette décision. Il ne tranche pas de manière définitive le rapport de droit principal, mais constitue uniquement une étape vers le jugement final. Il s'agit donc d'un jugement incident (à cet égard, cf. <ref-ruling> consid. 4.1.3 p. 481; voir également <ref-ruling> consid. 2.1 p. 602) contre lequel un recours immédiat au Tribunal fédéral n'est recevable qu'aux conditions de l'<ref-law>. Dès lors que le tribunal cantonal a annulé la décision administrative au motif que le rapport d'expertise à disposition et son complément avaient valeur probante et permettaient de statuer rapidement sur le droit de l'intimée à une rente de l'assurance-invalidité, la condition du préjudice irréparable évoquée par l'<ref-law> (sur cette notion, cf. notamment <ref-ruling> consid. 2.1 p. 190 et les références) est remplie. L'office recourant se voit effectivement obligé de rendre une décision fondée sur les conclusions de la dernière expertise, qui faisait état d'une capacité résiduelle de travail de 50 % depuis le 1er avril 2008 et d'une incapacité totale de travail depuis le 3 avril 2012, au moins. Sa latitude de jugement est ainsi fortement réduite de sorte que son recours est recevable (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 483).
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public (cf. <ref-law>) interjeté pour violation du droit fédéral (comprenant les droits fondamentaux) au sens de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (<ref-law>) qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il n'examine en principe que les griefs allégués et motivés (<ref-law>) surtout s'il portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant n'est habilité à critiquer la constatation des faits influant sur le sort du litige que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
3.
Le litige porte sur le droit de l'assurée à une rente de l'assurance-invalidité, singulièrement sur le bien-fondé de la décision administrative du 16 mai 2013. Eu égard aux critiques émises par l'administration contre le jugement cantonal, ainsi qu'aux exigences d'allégation et de motivation de l'<ref-law> (Florence Aubry Girardin, in: Commentaire de la LTF, 2014, n° 24 ad <ref-law> et la jurisprudence citée), il convient plus particulièrement de déterminer si l'acte attaqué repose sur un état de fait manifestement inexact et une appréciation arbitraire des preuves.
4.
Le tribunal cantonal a écarté les critiques du service médical de l'office recourant contre le rapport d'expertise. Il a considéré que ce rapport et son complément remplissaient les critères jurisprudentiels pour se voir reconnaître une pleine valeur probante et que, partant, l'administration disposait d'assez d'éléments pour se prononcer valablement et rapidement sur le droit de l'assurée.
5.
L'office recourant fait grief à la juridiction cantonale d'avoir passé sous silence les trois correspondances adressées au psychiatre traitant restées sans réponse. Il rappelle que les questions soumises à ce médecin avaient pour objectif de déterminer l'évolution de l'état de santé de l'intimée depuis le début de l'année 2008 et que la nouvelle expertise envisagée était précisément motivée par l'absence de réponses à ce sujet. Il soutient que l'annulation de la décision du 16 mai 2013, au motif que le but du complément d'instruction était de recueillir "une seconde opinion" et non de remédier au manque d'informations médicales, constitue une appréciation arbitraire des preuves.
6.
Le raisonnement de l'administration est infondé. Il est vrai que, conformément à ce que celle-ci allègue, le tribunal cantonal n'a pas mentionné le fait qu'elle s'était vainement adressée au psychiatre traitant à différentes reprises et qu'elle tentait d'obtenir ainsi des précisions sur l'évolution de la santé de l'assurée depuis le mois de janvier 2008 (cf. en particulier le courrier du 18 septembre 2012 de son service médical au psychiatre traitant). Cet élément n'a toutefois pas l'importance que l'office recourant voudrait bien lui conférer. S'il est correct que, conformément à ce que celui-ci affirme, le but de la lettre du 18 septembre 2012 était essentiellement d'obtenir des précisions relatives à l'évolution depuis le début de l'année 2008 des problèmes psychiques dont souffrait l'intimée, la mise en oeuvre de la nouvelle expertise psychiatrique, telle qu'elle découle de la décision du 16 mai 2013, ne poursuit à l'évidence pas le même but. En effet, il suffit pour s'en convaincre de comparer la liste des questions ressortant des deux documents mentionnés. La notion d'évolution de la situation dans un laps de temps déterminé apparaissant dans la lettre adressée au psychiatre traitant a totalement disparu du mandat d'expertise qui se contente de solliciter de l'expert une appréciation générale de ladite situation ou, autrement dit, une seconde opinion. Dès lors que l'administration n'a mentionné aucun élément pouvant justifier cette seconde opinion et que la juridiction cantonale a exclu que le manque de valeur probante du dernier rapport d'expertise puisse constituer un tel élément, on ne peut pas reprocher à cette dernière d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves (à cet égard, cf. notamment <ref-ruling> consid. 4.3 p. 319) ni d'avoir omis de prendre en considération des faits pertinents pour la résolution du litige (cf. <ref-law>).
7.
Etant donné l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par l'office recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires arrêtés à 500 fr. sont mis à la charge de l'office recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 26 mai 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Le Greffier :
Kernen Cretton