Faits:
A. X._ a déposé sa candidature en vue d'une formation dans la filière Soins infirmiers de la Haute école de la santé de Genève.
Le 19 mai 2009, le prénommé a eu un premier entretien d'évaluation à l'issue duquel l'évaluatrice a émis un préavis défavorable et a demandé un second entretien, en invitant X._ à réfléchir sur son attitude et ses motivations. Le second entretien d'évaluation s'est tenu le 25 mai 2009 en présence d'une autre examinatrice, qui a émis un préavis "réservé". X._ a également rédigé une autobiographie qui a été évaluée le 24 juin 2009, obtenant l'appréciation B (bon) pour deux critères et D (insuffisant) pour un troisième, les autres critères ayant reçu l'appréciation C (suffisant).
B. Ces différentes évaluations ont été discutées par la Commission d'admission Soins infirmiers (ci-après: la Commission d'admission), qui a refusé la candidature de X._ et l'en a informé le 3 juillet 2009, en lui indiquant qu'il avait la possibilité de se représenter deux fois à la procédure d'admission, mais au plus tôt dans un délai d'une année.
Le 31 juillet 2009, X._ a recouru contre le refus de son admission auprès de la Direction de la Haute école de Genève, qui a rejeté son recours par décision du 14 septembre 2009.
Le recours formé contre cette décision par X._ a été rejeté par la Commission de recours HES-S2 (ci-après: la Commission de recours), par arrêt du 5 mars 2010.
C. Contre cet arrêt, X._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, dans lesquels il prend les mêmes conclusions. A titre principal, il demande l'annulation de l'arrêt entrepris et que l'Autorité de céans l'admette à la formation au sein de la HES-S2 dans la filière Soins Infirmiers. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause à la Commission de recours pour nouvelle décision dans le sens des considérants et, plus subsidiairement encore, à ce que les appréciations des entretiens de candidature des 19 et 25 mai 2009, de même que le rapport de l'entretien de refus du 10 juillet 2009, soient détruits. Il demande par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Renonçant à formuler des observations, la Commission de recours conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité et à la confirmation de l'arrêt attaqué. La Direction de la Haute école de Genève a produit une réponse au terme de laquelle elle propose de rejeter le recours dans la mesure de sa recevabilité et de confirmer l'arrêt attaqué.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement sa compétence, respectivement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 p. 37). Pour déterminer la recevabilité du recours, il peut tenir compte de faits qui ne ressortent pas de la décision attaquée (Bernard Corboz, Commentaire de la LTF, 2009, nos 20 ss ad <ref-law> et no 23 ad <ref-law>).
1.1 Le recourant a déposé, dans la même écriture (cf. <ref-law>), à la fois un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Ce dernier n'étant ouvert qu'à la condition que la décision attaquée ne puisse faire l'objet d'aucun recours ordinaire (cf. <ref-law>), il convient d'examiner en premier lieu la recevabilité du recours en matière de droit public.
1.2 En vertu de l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public n'est pas ouvert à l'encontre des décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. Le motif d'irrecevabilité contenu dans cette disposition dépend en principe de la matière et non du grief soulevé (voir notamment arrêts 2C_40/2010 du 28 mai 2010 consid. 1.1; 2C_762/2009 du 11 février 2010 consid. 1.1; 2D_57/2009 du 3 décembre 2009 consid. 1.2). L'art. 83 let. t LTF vise non seulement le résultat d'examens au sens étroit, mais encore toutes les évaluations de capacité qui reposent sur une appréciation des aptitudes intellectuelles ou physiques du candidat (<ref-ruling> consid. 1.1.1 p. 63; arrêts 2C_762/2009 précité consid. 1.1; 2C_438/2008 du 16 octobre 2008 consid. 2.1).
En l'espèce, l'arrêt entrepris confirme le refus d'admettre un candidat en vue d'une formation en soins infirmiers auprès de la Haute école de la santé. Le recourant a été soumis à un test d'aptitudes personnelles prévu par l'art. 11 des Directives d'admission en Bachelor dans le domaine Santé HES-SO (ci-après: les Directives d'admission; celles-ci sont disponibles sur le site Internet de la Haute école spécialisée de Suisse occidentale, à l'adresse www.hes-so.ch), dans sa version du 6 mars 2009. Ce test est réservé aux candidats qui ne sont pas porteurs d'un CFC du domaine d'études visé complété par la maturité professionnelle santé-social ni titulaires d'une maturité spécialisée santé. Il sert à démontrer que les candidats possèdent des aptitudes personnelles leur permettant d'exercer ultérieurement la profession à laquelle la formation prépare (art. 11 al. 1 in fine Directives d'admission). Il en découle que la décision attaquée porte sur l'évaluation des capacités du recourant et que, par voie de conséquence, elle tombe sous le coup de l'exception de l'art. 83 let. t LTF et ne peut être attaquée par la voie du recours en matière de droit public. Contrairement à ce que soutient le recourant, le fait que cette évaluation n'ait pas eu lieu dans le cadre d'un examen aboutissant à un diplôme n'y change rien.
1.3 Reste à se demander si le recours constitutionnel subsidiaire est recevable.
1.3.1 Selon l'art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF, applicable par analogie au recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>), pour que le recours soit recevable, la décision attaquée doit émaner d'une autorité judiciaire cantonale supérieure statuant en dernière instance, pour autant que le recours devant le Tribunal administratif fédéral ne soit pas ouvert. Les autorités instituées par le droit intercantonal font partie des autorités cantonales au sens de cette dernière disposition (Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, no 3001; Hansjörg Seiler, in Bundesgerichtsgesetz, 2007, no 10 ad <ref-law>; arrêt 2P.113/2003 du 15 septembre 2003 consid. 1.1). La Commission de recours trouve son fondement à l'art. 52 de la convention intercantonale du 6 juillet 2001 créant la Haute école spécialisée santé-social de Suisse romande (ci-après: la Convention intercantonale ou la Convention; celle-ci figure dans les recueils de la législation cantonale, cf. notamment RS/GE C 1 29). Il s'agit ainsi d'une autorité cantonale. L'art. 52 al. 2 de la Convention intercantonale renvoie, pour la composition et le fonctionnement de la commission de recours, à un règlement, en l'occurrence le règlement de la Commission de recours HES-S2, adopté par le Comité stratégique de la HES-S2 le 21 février 2003 (ci-après: le Règlement de la Commission de recours ou le Règlement; celui-ci est disponible sur le site Internet de la Haute école spécialisée de Suisse occidentale, à l'adresse www.hes-so.ch). Ni la Convention ni le Règlement n'indiquent la voie de recours ouverte à l'encontre des décisions rendues par la Commission de recours. Cependant, dès lors qu'il s'agit d'une instance intercantonale, qui intervient après qu'une décision a été rendue sur recours par l'instance cantonale du canton-siège du site de formation concerné (cf. art. 42 de la Convention intercantonale), on peut admettre que la Commission de recours statue en dernière instance cantonale. Le recours devant le Tribunal administratif fédéral n'est par ailleurs pas ouvert, du moment qu'aucune loi fédérale ne prévoit de recours auprès de cette autorité à l'encontre des décisions de la Commission de recours (cf. art. 33 de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal administratif fédéral; RS 173.21). En outre, la Commission de recours, nommée par le Comité stratégique et composée de juristes, en l'occurrence de juges provenant de tribunaux cantonaux, ne dépend pas du point de vue hiérarchique d'une autre autorité judiciaire cantonale (sur cette exigence, cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 97 s.; <ref-ruling> consid. 3.5 p. 135). L'instance cantonale précédente n'étant pas une instance judiciaire, il faut encore que la Commission de recours ait le pouvoir d'examiner librement les faits et d'appliquer d'office le droit déterminant conformément à l'<ref-law> (cf. arrêt 1C_434/2009 du 1er mars 2010 consid. 4.2; voir aussi arrêt 2C_733/2009 du 16 mars 2010, destiné à la publication, consid. 2.1), ce qui est le cas en vertu de l'art. 49 de la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative (RS 172.021), applicable par renvoi de l'art. 6 du Règlement de la Commission de recours. L'autorité précédente satisfait ainsi aux exigences de l'art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF.
1.3.2 Selon l'<ref-law>, le recourant ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente (let. a) a qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire s'il possède un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b). Selon la jurisprudence, la seule protection contre l'arbitraire ne constitue pas un intérêt juridique protégé par l'<ref-law>, de nature à ouvrir la voie du recours constitutionnel subsidiaire. La qualité pour soulever le grief d'arbitraire dans le cadre d'un recours constitutionnel subsidiaire suppose que le recourant puisse se prévaloir d'une situation juridique protégée par la loi ou par un droit fondamental spécifique (<ref-ruling> consid. 5 et 6 p. 193 ss; en matière d'évaluation des capacités, cf. arrêt 2D_76/2009 du 14 mai 2010, destiné à la publication, consid. 3.2).
En l'espèce, le recourant n'est pas titulaire d'une maturité, mais seulement d'un certificat option santé décerné par l'Ecole de culture générale de Genève. Le candidat ne venant pas des voies de formation habituelles, son admission en cycle Bachelor dans le domaine Santé HES-SO ne peut donc se faire sans examen et est soumise à des conditions d'admission particulières (cf. art. 5 de la loi fédérale du 6 octobre 1995 sur les hautes écoles spécialisées - LHES; RS 414.71 -, complété par l'art. 4 de l'ordonnance du Département fédéral de l'économie du 2 septembre 2005 concernant l'admission aux études dans les hautes écoles spécialisées - Ordonnance du DFE; RS 414.715). Le recourant ne peut ainsi être admis que sur dossier (cf. art. 12 Directives d'admission) et notamment à la suite d'un test d'aptitude (cf. règlement d'admission en Bachelor HES-SO, adopté par les Comités stratégiques de la HES-SO et de la HES-S2 le 18 septembre 2008; ci-après: le Règlement d'admission; voir aussi art. 11 Directives d'admission). Une telle procédure laisse une grande marge de manoeuvre à l'école en ce qui concerne l'acceptation ou le refus d'un candidat, en fonction de sa motivation, de sa formation et de ses expériences professionnelles. Par conséquent, on peut se demander si la réussite du test d'aptitude litigieux par le recourant lui conférerait à elle seule un droit à intégrer la Haute école de la santé et si, partant, celui-ci dispose d'un intérêt juridiquement protégé au sens de l'<ref-law> à recourir contre la décision attaquée (cf. arrêt 2D_14/2009 du 2 avril 2009 consid. 2.2). En effet, le recourant ne fait valoir que la protection contre l'arbitraire, sans se plaindre de la violation d'autres droits constitutionnels, tels que ses droits de partie, qui pourraient lui ouvrir, à certaines conditions, la voie du recours constitutionnel subsidiaire (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.2 in fine p. 253; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 198 ss). La question peut demeurer indécise pour les motifs qui suivent.
2. Invoquant exclusivement la protection contre l'arbitraire, le recourant conteste l'appréciation des examinatrices entre elles; il reproche en outre à la Commission d'admission d'avoir tenu essentiellement compte d'éléments subjectifs (notamment son physique) qui n'ont aucun lien avec ses qualités pour entrer dans la filière Soins infirmiers. Enfin, il soutient que la Commission de recours a apprécié arbitrairement les preuves, en ne se fondant que sur l'avis des deux examinatrices, bien que celui-ci ne soit pas conforme à la réalité, sans tenir compte d'autres pièces démontrant ses capacités et compétences.
2.1 S'agissant de la violation d'un droit constitutionnel, le recours est soumis aux exigences de motivation accrues de l'<ref-law> (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine en particulier les critiques relevant de l'arbitraire que si elles ont été expressément soulevées et exposées de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 88). Il n'entre pas en matière sur des critiques appellatoires concernant l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves opérés par l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322; <ref-ruling> consid 1.4 p. 400, 133 II 249 consid. 1.4 p. 254 s.). En outre, comme pour tout type de recours, les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>).
2.2 Une bonne partie de l'argumentation développée dans les 39 pages du mémoire de recours ne répond pas à ces exigences et est donc irrecevable. Premièrement, le recourant perd de vue que le Tribunal fédéral ne revoit pas la cause dans son ensemble, mais uniquement l'arrêt attaqué, soit la décision rendue par la Commission de recours. Partant, il ne sera pas pris position sur les critiques qui portent directement sur l'appréciation des examinatrices ou sur l'avis de la Commission d'admission, sans que le moindre lien soit tiré avec la décision entreprise et le raisonnement tenu par les juges à ce propos. Deuxièmement, le recourant présente sa version des faits, sans se plaindre d'arbitraire dans l'établissement des constatations cantonales. Troisièmement, les reproches du recourant consistent majoritairement à opposer sa propre appréciation de ses capacités à celle retenue par la Commission de recours, sans démontrer que cette dernière serait insoutenable. Ce faisant, il oublie que le Tribunal fédéral n'est pas une instance d'appel et qu'il ne sert à rien, sous le couvert d'arbitraire, de discuter librement les faits devant lui. Le Tribunal de céans n'entrera donc en matière plus avant sur les critiques du recourant que dans la mesure où celles-ci remplissent les exigences de motivation précitées.
2.3 Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, mais il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 4; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 265). S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9). Lorsqu'il s'agit de vérifier l'évaluation de la prestation d'un candidat lors d'un examen - ou, comme en l'espèce, l'appréciation de ses capacités à exercer une profession -, effectuée par une autorité qui dispose elle-même des connaissances spécifiques pour le faire, les juges peuvent faire preuve de retenue et n'intervenir qu'en cas de méconnaissance crasse des principes d'évaluation (cf. arrêt 2D_76/2009, précité, consid. 5.4.1).
2.4 En l'occurrence, le recourant a passé deux entretiens d'évaluation, la première évaluatrice ayant demandé un deuxième avis, car son préavis était défavorable. La seconde évaluatrice s'est pour sa part montrée réservée. Selon l'arrêt attaqué, ces deux évaluations ont été faites avec beaucoup de soin. Ensuite, la Commission d'admission a examiné attentivement les analyses des entretiens d'évaluation et l'appréciation de l'autobiographie du recourant. L'arrêt attaqué retranscrit un extrait de la position de la Commission d'admission. Cette dernière s'est fondée sur la motivation récente du recourant pour la profession, qui représente pour lui un second choix, et a émis des doutes sur son adaptation intellectuelle, car le candidat avait montré en cours d'entretien des difficultés à élaborer sa pensée et à prendre de la distance. Enfin, sur le plan de l'adaptation sociale, un équilibre personnel insuffisant a été mis en évidence. Les juges ont ensuite examiné dans le détail les critiques du recourant. Ils lui ont concédé qu'il n'était pas déterminant que sa motivation soit récente ni que son autobiographie comporte un grand nombre de fautes d'orthographe. Quant aux remarques sur son physique (le recourant mesure plus de 1,90 m.), les juges ont retenu qu'aucune remarque discriminatoire n'avait été faite à ce propos. Ils ont souligné que la vision que le recourant avait de la profession était réductrice et que son adaptation sociale était problématique. Enfin, ils ont estimé que, même si l'appréciation du recourant lors de son stage à l'armée avait été positive et ses compétences personnelles et sociales jugées bonnes, cela ne justifiait pas, compte tenu du pouvoir de cognition de la Commission de recours qui ne revoit pas l'opportunité de la décision, de s'écarter de l'appréciation des deux évaluatrices et de l'appréciation finale de la Commission d'admission.
On ne voit pas qu'un tel raisonnement procède d'un abus du pouvoir d'appréciation des juges.
2.5 Le recourant ne le démontre du reste nullement.
Celui-ci soutient que sa motivation à embrasser la profession d'infirmier n'était pas récente, alors que cet élément n'a finalement pas été pris en compte par la Commission de recours. Il conteste avoir une vue réductrice de la profession, relevant qu'à 19 ans, il est compréhensible d'avoir une vision peu élaborée d'un métier. Interrogé à ce sujet, le recourant a déclaré qu'il s'agissait d'une profession sans monotonie avec du travail en équipe, un apport aux autres sous forme d'aide, mais qui peut être pénible physiquement et psychiquement. On ne voit pas qu'il apparaisse choquant de considérer que cette vue semble assez réductrice s'agissant d'évaluer la motivation d'un candidat pour se lancer dans cette voie. Le fait que le rapport de stage à l'armée ait été positif et que seule l'une des évaluatrices ait critiqué sa vision de la profession ne rend pas insoutenable l'appréciation de la Commission de recours sur ce point. Au demeurant, la vision de la profession du recourant ne constitue qu'un élément d'appréciation parmi d'autres, qui n'a du reste pas joué un rôle déterminant.
Lorsque le recourant reproche à la Commission de recours d'avoir limité son pouvoir d'examen, il perd de vue que, s'agissant d'une instance judiciaire, le Tribunal fédéral admet qu'elle ne se prononce qu'avec réserve et ne substitue pas sa propre appréciation à celle de l'autorité qui détient les compétences sur le fond, soit en l'occurrence la Commission d'admission (cf. supra consid. 2.3 in fine).
En ce qui concerne le comportement social du recourant, on ne voit pas que la Commission de recours, qui a donné plus de poids aux deux évaluations des examinatrices et à l'analyse détaillée de la Commission d'admission plutôt qu'au rapport de stage effectué par le recourant dans le cadre de l'armée, soit insoutenable. Certes, le fait que le rapport de l'armée qualifie le stage d'excellent en indiquant que le recourant s'était investi totalement est un élément positif. Il n'est cependant pas insoutenable de s'en écarter au profit d'analyses détaillées effectuées par des professionnels, étant rappelé qu'il ne suffit pas, pour retenir l'arbitraire, qu'une autre appréciation soit aussi concevable (cf. supra consid. 2.3). Quant aux autres critiques liées à l'appréciation de son caractère, le recourant présente une argumentation appellatoire, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'entrer en matière plus avant à ce propos.
Au demeurant, lorsque le recourant indique que la décision attaquée le prive d'accéder à la profession de son choix, il oublie qu'en vertu de l'art. 11 al. 4 des Directives d'admission, il peut encore présenter son dossier deux fois en vue de l'admission à la Haute école de la santé, le délai d'un an devant séparer les candidatures étant arrivé à expiration.
Il n'y a donc pas lieu d'annuler l'arrêt du 5 mars 2010, pas plus que de donner suite aux conclusions subsidiaires du recourant tendant à la destruction des appréciations des entretiens de candidature et du rapport de l'entretien de refus.
3. Dans ces circonstances, le recours en matière de droit public doit être déclaré irrecevable et le recours constitutionnel subsidiaire rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Les recours étant dénués de chance de succès, la demande d'assistance judiciaire sera rejetée (cf. <ref-law>). Les frais seront mis à la charge du recourant, mais ils seront fixés en tenant compte de sa situation (cf. art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (cf. <ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est irrecevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Des frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
5. Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, à la Haute école de la santé, à la Direction de la Haute école de Genève et à la Commission de recours HES-S2.
Lausanne, le 13 juillet 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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