Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1965 geborene A._ lebt seit über sieben Jahren mit ihrem Lebenspartner B._ und teilweise sechs Kindern (drei von A._, zwei von B._, je aus früheren Verbindungen, sowie ein im Jahre 2010 geborenes gemeinsames) in Zürich zusammen, wobei zwei Kinder im Verlaufe des Jahres 2013 aus dem gemeinsamen Haushalt ausgezogen sind. A._ wurde ab 1997 mit Unterbrüchen und seit Mai 2010 erneut von den Sozialen Diensten der Stadt Zürich unterstützt. Ihrem Unterstützungsbudget wurde jeweils ein Konkubinatsbeitrag ihres Lebenspartners in unterschiedlicher Höhe angerechnet, zuletzt bis April 2013 in der Höhe von Fr. 1'548.40.
A.b. Mit Leistungsentscheid vom 17. April 2013 für die Zeit vom 1. Mai 2013 bis 30. April 2014 wurde der Konkubinatsbeitrag auf Fr. 2'755.50 festgesetzt und gestützt auf die Gegenüberstellung von Ausgaben von Fr. 4'249.95 und Einnahmen von Fr. 3'961.50 ein Anspruch von A._ auf wirtschaftliche Hilfe im Umfang von Fr. 288.45 pro Monat ermittelt. Die hiegegen erhobene Einsprache wies die Sonderfall- und Einsprachekommission mit Entscheid vom 29. August 2013 ab, soweit sie darauf eintrat. Rekursweise liess A._ beantragen, es sei das Verfahren an die Sozialbehörde der Stadt Zürich zurückzuweisen, damit diese den tatsächlich von B._ erbrachten Konkubinatsbeitrag ermittle und es sei der Sozialbehörde zu verbieten, einen hypothetischen Konkubinatsbeitrag im Budget einzusetzen. Mit Beschluss vom 3. Juli 2014 wies der Bezirksrat Zürich den Rekurs ab.
B.
Gegen den Beschluss des Bezirksrates liess A._ Beschwerde erheben und hauptsächlich beantragen, die Sozialbehörde habe den Konkubinatsbeitrag im Sozialhilfebudget auf Fr. 1'300.- pro Monat zu reduzieren, eventualiter sei das Verfahren an die Sozialbehörde zurückzuweisen, damit diese den tatsächlich von B._ erbrachten Konkubinatsbeitrag ermittle. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 29. Januar 2015 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei von einem rechtlich erzielbaren Einkommen auszugehen, eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung ans Verwaltungsgericht, subeventualiter an die Sozialbehörde zurückzuweisen. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde macht A._ zudem geltend, es sei auf eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, etwa des Willkürverbots (<ref-law>), des Rechts auf wirtschaftliche Hilfe (<ref-law>) und des Grundsatzes der Rechtsgleichheit (<ref-law>) zu erkennen. Schliesslich ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit der Beschwerde lässt A._ neue Akten einreichen.
Die Sozialbehörde der Stadt Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht somit grundsätzlich auch auf dem Gebiet der kantonalen Sozialhilfe zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu in Art. 83 keinen Ausschlussgrund. Da alle Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten (<ref-law>). Insofern bleibt kein Raum für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Soweit sich der angefochtene Entscheid auf Quellen des kantonalen Rechts stützt, welche nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannt werden, beschränkt sich die Überprüfung durch das Bundesgericht demgegenüber thematisch auf die erhobenen und begründeten Rügen (<ref-law>) und inhaltlich auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Vordergrund steht dabei eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots nach <ref-law>. Was die Feststellung des Sachverhalts anbelangt, kann gemäss <ref-law> nur gerügt werden, diese sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1 S. 95 mit Hinweis).
2.2. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht, weshalb insofern eine qualifizierte Rügepflicht besteht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerde führende Person muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt worden sind. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 10.1 S. 445; je mit Hinweisen).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen laut <ref-law> nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (vgl. <ref-ruling>). Solche Umstände können in formell-rechtlichen Mängeln des angefochtenen Entscheides liegen, mit denen die Partei nicht rechnete und nach Treu und Glauben auch nicht zu rechnen brauchte, oder darin, dass die Vorinstanz materiell in einer Weise urteilt, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals rechtserheblich werden. Der Verfahrensausgang vor Vorinstanz allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass für die Zulässigkeit so genannter unechter Noven, die ohne Weiteres auch schon im kantonalen Verfahren hätten vorgebracht werden können. Inwiefern die Voraussetzung für ein nachträgliches Vorbringen von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein soll, ist in der Beschwerde darzutun (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 3 S. 395; Urteil 8C_273/2015 vom 12. August 2015 E. 1.2 mit Hinweisen).
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht hat festgestellt, die Beschwerdeführerin lebe seit mehr als sieben Jahren mit ihrem Partner sowie den Kindern zusammen. Im Jahre 2010 sei der gemeinsame Sohn zur Welt gekommen und der Lebenspartner habe bereits in der Vergangenheit Konkubinatsbeiträge geleistet. Aufgrund dieser Umstände sei ein stabiles Konkubinat zu vermuten. Der Beschwerdeführerin - so die Vorinstanz - sei es nicht gelungen, diese Vermutung zu widerlegen. Von ihrem Lebenspartner könne daher erwartet werden, dass er die Beschwerdeführerin weiterhin in eheähnlicher Art und Weise soweit nötig unterstütze. Auch wenn keine rechtliche Möglichkeit bestehe, den Betrag einzufordern, komme es bei einem stabilen Konkubinat nicht darauf an, ob sich der Partner der Beschwerdeführerin ausdrücklich bereit erkläre, den festgelegten Unterstützungsbeitrag auch tatsächlich zu leisten. Die Berechnung des umstrittenen Konkubinatsbeitrages nach den SKOS-Richtlinien (vgl. E. 4.1 in fine) sei korrekt erfolgt und werde von der Beschwerdeführerin auch nicht weiter beanstandet, weshalb die Anrechnung des monatlichen Betrages von Fr. 2'755.50 bestätigt werde.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen geltend, der vorinstanzliche Entscheid verstosse gegen das Willkürverbot, indem er auf Tatsachen basiere, die mit den Akten in klarem Widerspruch stünden. Bei ihrem Konkubinat handle es sich um eine weniger intensive bzw. nicht so stabile Beziehung, weshalb kein gegenseitiger Beistand wie in einer Ehe zu erwarten sei. Die Beschwerdeführerin übernehme nicht die Hauptbetreuung des gemeinsamen Sohnes, sondern dieser werde seit September 2012 teilweise bis ganz in einer Krippe betreut. Die massive Erhöhung des Konkubinatsbeitrages habe sodann dazu geführt, dass sich ihr Partner weigere, mehr als den Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'300.- für den gemeinsamen Sohn zu leisten, ohne dass sie rechtliche Möglichkeiten dagegen hätte. Durch die Erhöhung des Beitrages werde dem Lebenspartner der Beschwerdeführerin faktisch zugemutet, dass er auch deren Kinder aus erster Beziehung unterhalte, für welche er jedoch keine Beistandspflicht habe. Zudem weise die Berechnung des Konkubinatsbeitrages offensichtliche Mängel auf. Das Konkubinatsverhältnis der Beschwerdeführerin sei keine Ehe und auch nicht mit einer Ehe vergleichbar.
3.3. Streitig und zu prüfen ist, ob die Anrechnung des Konkubinatsbeitrages durch die Vorinstanz Bundesrecht verletzt.
4.
4.1. Gemäss Sozialhilfegesetz des Kantons Zürich vom 14. Juni 1981 (SHG; LS 851.1) sorgen die politischen Gemeinden nach Massgabe dieses Gesetzes für die notwendige Hilfe an Personen, die sich in einer Notlage befinden (§ 1 Abs. 1 SHG). Die Hilfe richtet sich nach den Besonderheiten und Bedürfnissen des Einzelfalls und den örtlichen Verhältnissen (§ 2 Abs. 1 SHG). Anspruch auf wirtschaftliche Hilfe hat, wer für seinen Lebensunterhalt und den seiner Familienangehörigen mit gleichem Wohnsitz nicht hinreichend oder nicht rechtzeitig aus eigenen Mitteln aufkommen kann (§ 14 SHG; § 16 Abs. 1 der kantonalzürcherischen Verordnung vom 21. Oktober 1981 zum Sozialhilfegesetz [SHV; LS 851.11]). Sie soll das soziale Existenzminimum gewährleisten, das neben den üblichen Aufwendungen für den Lebensunterhalt auch individuelle Bedürfnisse angemessen berücksichtigt (§ 15 Abs. 1 SHG), und trägt insbesondere den persönlichen und örtlichen Verhältnissen Rechnung (§ 17 Abs. 1 Satz 1 SHV). Die wirtschaftliche Hilfe bemisst sich nach den Richtlinien der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe (SKOS-Richtlinien; § 17 Abs. 1 Satz 2 SHV). Zu den eigenen Mitteln, die für die Bestreitung des Lebensunterhalts herangezogen werden sollen, gehören alle Einkünfte und das Vermögen der hilfesuchenden Personen und der mit ihnen zusammen lebenden Ehegatten bzw. eingetragenen Partner (§ 16 Abs. 2 SHV).
4.2. Die Sozialhilfe wird vom Subsidiaritätsprinzip beherrscht. Als Grundprinzip im Sozialhilferecht meint die Subsidiarität, dass Sozialhilfe prinzipiell nur gewährt wird, soweit der Einzelne keinen Zugang zu einer anderweitigen, zumutbaren Hilfsquelle hat. Es ist damit Ausdruck der Pflicht zur Mitverantwortung und Solidarität gegenüber der Gemeinschaft, wie sie in <ref-law> verankert ist. Das Bestehen eines Anspruchs auf Sozialhilfe ist daher mit Blick auf den Subsidiaritätsgrundsatz zu klären (Urteil 8C_110/2014 vom 28. März 2014 E. 3.1.3; vgl. dazu CLAUDIA HÄNZI, Die Richtlinien der schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe, 2011, S. 114 f.; CHRISTOPH HÄFELI, Prinzipien der Sozialhilfe, in: Das Schweizerische Sozialhilferecht, 2008, S. 73 ff.).
4.3. Die in einer familienähnlichen Gemeinschaft zusammenlebenden Personen werden in der Regel nicht als Unterstützungseinheit erfasst (SKOS-Richtlinien vom April 2005 [4. überarbeitete Ausgabe] in der ab 1. Januar 2013 geltenden Fassung, Kapitel F.5.1). Leben die Partner jedoch in einem stabilen Konkubinat und wird nur eine Person unterstützt, dürfen Einkommen und Vermögen des nicht unterstützten Konkubinatspartners angemessen berücksichtigt werden (SKOS-Richtlinien Kap. F.5.3; <ref-ruling> E. 3.4.3 S. 55; <ref-ruling> E. 6.1 und 6.2 S. 134 f.; <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 6 f.). Ein Konkubinat gilt als stabil, wenn es mindestens zwei Jahre andauert oder die Partner mit einem gemeinsamen Kind zusammenleben (SKOS-Richtlinien Kap. F.5.1). Diese Vermutung ist widerlegbar.
5.
5.1. Das Gebot der Rechtsgleichheit wird verletzt, wenn ein Erlass rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen. Das Rechtsgleichheitsgebot ist insbesondere verletzt, wenn Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich und Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird, was beispielsweise zutrifft, wenn hinsichtlich einer entscheidwesentlichen Tatsache rechtliche Unterscheidungen getroffen werden, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn Unterscheidungen unterlassen werden, die aufgrund der Verhältnisse hätten getroffen werden müssen (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 80; <ref-ruling> E. 9.1 S. 42; je mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5.1 S. 570 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 103).
5.2. Das Konkubinat führt im Gegensatz zur Ehe zu keinen rechtlichen Unterhalts- und Beistandsansprüchen zwischen den Partnern. Trotzdem ist es nach der Rechtsprechung zur Sozialhilfe zulässig bzw. gar geboten und nicht willkürlich, den Umstand eines stabilen Konkubinats in der Bedarfsrechnung zu berücksichtigen. So lässt sich gemäss langjähriger Rechtsprechung die Frage, ob der haushaltführende Partner in einem Konkubinat mit gemeinsamem Kind wirtschaftliche Not leidet und der Unterstützung durch die Allgemeinheit bedarf, nicht unabhängig von den finanziellen Verhältnissen des erwerbstätigen Partners beurteilen, sondern drängt es sich gar auf, für die Beurteilung des Anspruchs auf Sozialhilfe die Einkünfte beider Partner zu berücksichtigen (vgl. Urteil 8C_356/2011 vom 17. August 2011 E. 2.2 mit Hinweisen; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 6.2 S. 134 f.). Diesbezüglich bestehen in den Kantonen unterschiedliche Lösungen, wobei es gemäss Rechtsprechung nicht einmal willkürlich ist, die Einkommen der beiden Partner zu addieren (vgl. BGE <ref-ruling> E. 6.2 S. 134 f. mit Hinweisen). Die Berücksichtigung des Einkommens des Partners in einem stabilen Konkubinat heisst nicht, dass dieses einer Ehe gleichgestellt wird. Trotzdem ist es im Rahmen einer wirtschaftlichen Betrachtungsweise, welche bei Personengemeinschaften in der Sozialhilfe angewendet wird, unter dem Gesichtspunkt der Rechtsgleichheit geboten, die Eigenmittel des gefestigten Konkubinatspartners zu berücksichtigen, andernfalls würde der Gedanke der Solidarität und des gemeinsamen Wirtschaftens in den beiden Gemeinschaften ohne hinreichenden Grund ungleich behandelt. Diese Betrachtungsweise basiert auf der tatsächlich gelebten Solidarität in einem gefestigten Konkubinat (vgl. GUIDO WIZENT, Die sozialhilferechtliche Bedürftigkeit: Ein Handbuch, 2014, S. 466 f.; kritisch: CLAUDIA KAUFMANN, Beauftragte in Beschwerdesachen, Ombudsfrau der Stadt Zürich, und KARIN ANDERER, beide im Tätigkeitsbericht der Ombudsfrau 2014, S. 46 ff.; HÄNZI, a.a.O., S. 397 ff.). So können aus der Erfahrungstatsache, dass sich Konkubinatspartner gegenseitig im Rahmen ihrer Möglichkeiten unterstützen, vom Recht anerkannte Ansprüche abgeleitet werden (z.B. Versorgerschaden, Lebenspartnerrente in der beruflichen Vorsorge, vgl. <ref-ruling> E. 3.4, allerdings nur, wenn der Unterhalt tatsächlich geleistet wurde). Eine Verletzung des Gebotes der Rechtsgleichheit ist dabei nicht auszumachen.
6.
6.1. Die Vorinstanz ist - wie bereits erwähnt - vom Vorliegen eines stabilen Konkubinats ausgegangen. Bezüglich Bemessung des Konkubinatsbeitrages hat sie das Vorgehen der Sozialbehörde bestätigt, welche gemäss SKOS-Richtlinien von einem erweiterten SKOS-Budget des Konkubinatspartners ausgegangen ist, das u.a. auch Einkommensfreibeträge, laufende Steuern und Schuldentilgungsraten berücksichtigt.
6.2. Diese Vorgehensweise stellt entgegen den von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Einwänden kein bundesrechtswidriges Verhalten dar.
6.2.1. Angesichts des Umstandes, dass die Beschwerdeführerin seit mehr als sieben Jahren mit ihrem Partner zusammenlebt, sie ein gemeinsames Kind haben und im Unterstützungsbudget seit 2010 ein monatlicher Konkubinatsbeitrag in der Höhe von Fr. 1'043.90 bis 1'864.65 angerechnet worden ist, erscheint es nicht willkürlich, von einem stabilen Konkubinat auszugehen und weiterhin einen Konkubinatsbeitrag anzurechnen. Die erneut vorgebrachte Behauptung der Beschwerdeführerin, ihr Konkubinat sei in wirtschaftlicher Hinsicht nicht so stabil, vermag daran nichts zu ändern, fehlen dafür doch jegliche Anhaltspunkte. Mit der Vorinstanz kann nach Gesagtem nicht entscheidend sein, ob der leistungsfähige Partner der Beschwerdeführerin sich ausdrücklich bereit erklärt, den Unterstützungsbeitrag tatsächlich zu leisten oder nicht. Andernfalls würde die Aussicht auf Sozialhilfe des einen Partners dazu führen, dass der andere weniger beiträgt, als er ohne diese Aussicht leisten würde, zumal er von der Sozialhilfe für die bedürftige Partnerin ebenfalls profitieren würde. Dies widerspricht dem im Sozialhilferecht geltenden Subsidiaritätsprinzip und der zur Anwendung kommenden wirtschaftlichen Betrachtungsweise. Vielmehr ist die bedürftige Partnerin gehalten, die Unterstützung des leistungsfähigen Partners weiterhin erhältlich zu machen. Namentlich kann es in concreto nicht angehen, lediglich noch den Betrag von Fr. 1'300.- pro Monat anzurechnen, welchen der Konkubinatspartner für den gemeinsamen Sohn zu leisten hat und den er sich noch zu zahlen bereit erklärt. Selbst wenn der gemeinsame Sohn seit September 2012 mindestens teilweise in einer Krippe betreut wird, hat die Beschwerdeführerin im massgebenden Zeitpunkt des Einspracheentscheids als hauptsächlich haushaltführende Partnerin zu gelten, was die Berücksichtigung eines angemessenen Konkubinatsbeitrages nicht als willkürlich erscheinen lässt.
6.2.2. Die Berechnung des Konkubinatsbeitrages nach den SKOS-Richtlinien unter Berücksichtigung eines erweiterten SKOS-Budgets des nicht unterstützten Partners verstösst nicht gegen Bundesrecht. Daran ändert nichts, dass neben dem gemeinsamen Sohn noch Kinder aus den ersten Beziehungen der Konkubinatspartner im gemeinsamen Haushalt leben. Namentlich wird dadurch nicht eine Unterstützungspflicht des Konkubinatspartners für nicht gemeinsame Kinder geschaffen. Ein Teil des Grundbedarfs der aus erster Ehe der Beschwerdeführerin stammenden Kinder wird nämlich durch Alimentenbevorschussung und Kinderzulagen abgedeckt; zudem hat der Lebenspartner der Beschwerdeführerin in der Steuererklärung 2012 selber angegeben, er unterstütze auch die Kinder aus der ersten Ehe der Beschwerdeführerin. Die Berücksichtigung dieser Beiträge ist mit Blick auf die Tatsache, dass die Konkubinatspartner sich zur Gründung eines Haushaltes mit nicht gemeinsamen Kindern entschlossen haben, ebenfalls nicht willkürlich (vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 4).
6.3. Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich die konkrete Berechnung des Konkubinatsbeitrages rügt und neue Urkunden auflegen lässt, stellt dies eine neue Tatsachenbehauptung und somit ein unzulässiges Novum im Sinne von <ref-law> dar. Diese Erklärungen hätte die Beschwerdeführerin bereits vor der Vorinstanz vortragen können, waren die entsprechenden Faktoren doch schon in der Berechnung des Konkubinatsbeitrages ersichtlich und der Beschwerdeführerin erläutert worden. Es hat somit nicht erst der Entscheid der Vorinstanz zu den nun vorgebrachten Tatsachen Anlass gegeben. Insoweit die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht die konkrete Berechnung des Konkubinatsbeitrages rügt, ist ihr Vorbringen somit unzulässig.
6.4. Zusammenfassend erweist sich die Beschwerde als unbegründet, weshalb es beim vorinstanzlichen Entscheid sein Bewenden hat.
7.
Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird mit dem Entscheid in der Sache gegenstandslos.
8.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind der unterliegenden Beschwerdeführerin zu überbinden (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten; <ref-law>) kann gewährt werden. Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. September 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch