Faits:
A. A._, né en 1963, et dame A._, née en 1968, sont les parents de B._, né le 23 juillet 1998. Le couple s'est séparé au mois de janvier 2008, la mère ayant quitté le domicile conjugal avec l'enfant.
Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 26 février 2009, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, notamment, attribué l'autorité parentale et la garde de l'enfant à la mère, accordé au père un droit de visite à exercer dans un point de rencontre un après-midi toutes les deux semaines, droit de visite dont la durée et la fréquence pourraient être progressivement élargies avec l'aval du curateur ad hoc, et instauré une curatelle de surveillance et d'organisation du droit aux relations personnelles au sens de l'<ref-law>. Selon ce jugement, le père, qui avait subi un grave accident vasculaire cérébral en 2006, était dépressif et souffrait d'une dépendance à l'alcool. Ses problèmes de santé se traduisaient par des comportements psychiquement et physiquement inadéquats à l'égard de son fils, qui avait peur de lui et ressentait en outre de la colère à son égard, tout en étant inquiet pour lui.
La Chambre pénale de la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 15 février 2010, reconnu le père coupable de lésions corporelles simples sur l'enfant pour avoir infligé à celui-ci une forte fessée en 2007.
Par ordonnance du Tribunal tutélaire du canton de Genève du 3 juin 2010, le droit de visite du père a été modifié en ce sens qu'il a été fixé à une visite de quatre heures tous les quinze jours, à l'extérieur du point de rencontre, avec passage en ce lieu. Cette autorité a par ailleurs donné acte aux parents de leur accord concernant les appels téléphoniques prévus le lundi soir, un mercredi soir sur deux, le jeudi soir et le dimanche soir.
B. La mère a formé une requête unilatérale en divorce le 9 juillet 2010. Le 28 janvier 2011, le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) a rendu un rapport d'évaluation sociale, après avoir entendu l'enfant.
Par jugement de divorce du 22 septembre 2011, le Tribunal de première instance a, entre autres points, attribué l'autorité parentale et la garde de l'enfant à la mère (ch. 2 du dispositif), réservé au père un droit de visite devant s'exercer, en l'état, à raison d'un repas par semaine, soit le mercredi et le samedi alternativement (ch. 3), limité en l'état les relations téléphoniques entre le père et le fils à un appel par semaine (ch. 4) et maintenu la curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles (<ref-law>), à charge pour le curateur de réévaluer régulièrement la situation et de proposer, dès que possible, un élargissement du droit de visite (ch. 5). Le Tribunal a en outre ordonné l'exécution provisoire, nonobstant appel, des chiffres 3, 4 et 5 du dispositif de son jugement et transmis celui-ci au Tribunal tutélaire pour exécution (ch. 6).
Statuant le 11 mai 2012 sur l'appel interjeté par le père, la Cour de justice du canton de Genève a, notamment, confirmé les chiffres 3 à 5 du jugement de première instance.
C. Par acte du 15 juin 2012, le père exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 11 mai 2012. Il conclut à l'annulation de cette décision et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants de l'arrêt du Tribunal fédéral.
Des réponses n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (<ref-law>), dans une affaire de nature non pécuniaire puisqu'elle porte sur la question des relations personnelles. Le recourant, qui a été débouté de ses conclusions par l'autorité précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>).
1.2 Le recours en matière civile des <ref-law> étant une voie de réforme (<ref-law>), le recourant ne peut, en principe, se borner à demander l'annulation de la décision attaquée et le renvoi de la cause à l'instance cantonale; il doit également, sous peine d'irrecevabilité, prendre des conclusions sur le fond du litige. Il n'est fait exception à cette règle que lorsque le Tribunal fédéral, en cas d'admission du recours, ne serait de toute manière pas en situation de statuer lui-même sur le fond et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 1.2; arrêt 5A_466/2012 du 4 septembre 2012 et les références).
En l'occurrence, cette exception est réalisée dans la mesure où le recourant, invoquant la violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), de l'<ref-law> et du principe de la maxime inquisitoire, reproche en substance aux juges précédents d'avoir refusé d'instruire le dossier en dépit de la survenance, postérieurement à son appel, de vrais faits nouveaux, déterminants quant au sort des conclusions. L'admission de ces griefs impliquerait nécessairement l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale. Les conclusions cassatoires du recourant sont donc exceptionnellement admissibles.
1.3 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.1). En outre, il ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été soulevé et motivé par la partie recourante (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 1.4.2). Si celle-ci se plaint de la violation de tels droits, elle doit ainsi satisfaire au principe d'allégation, en indiquant précisément quelle disposition constitutionnelle a été violée et en démontrant, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.4.2). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 3.1).
1.4 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La partie recourante ne peut se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable (<ref-ruling> consid. 2.8; <ref-ruling> consid. 2 et la jurisprudence citée).
2. Se référant à son courrier du 25 janvier 2012, le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir refusé d'ordonner la comparution personnelle des parties et un nouveau rapport du SPMi en dépit de la survenance, postérieurement à son appel, de vrais faits nouveaux, consistant dans le prétendu refus - contesté - de l'enfant de voir son père, l'intention de la mère de placer son fils dans un foyer et la dépendance de celui-ci au cannabis. L'autorité cantonale aurait ainsi violé «de manière choquante» son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst. et 6 CEDH), l'<ref-law> et le principe de la maxime inquisitoire.
2.1 Les juges précédents n'ont pas fait application de l'<ref-law>, selon lequel les parties ne peuvent pas invoquer de faits nouveaux en appel, sous réserve de remplir les conditions cumulatives prévues par cette disposition. Ils ont considéré qu'il n'y avait pas lieu de donner suite à la demande de comparution personnelle des parties, celles-ci ayant eu l'occasion de s'exprimer par écrit devant l'autorité d'appel, y compris sur les événements nouveaux, et que l'hospitalisation de l'enfant en décembre 2011 était un événement isolé, qui ne justifiait pas à lui seul l'établissement d'un nouveau rapport par le SPMi. En conclusion, ils ont estimé qu'ils étaient suffisamment renseignés sur la situation de la famille et que la cause était en état d'être jugée.
Il appert ainsi que l'autorité précédente n'a pas ordonné d'instruction complémentaire à la suite d'une appréciation anticipée des preuves, procédé qui ne viole pas le droit d'être entendu (<ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 2.6; <ref-ruling> consid. 3c; <ref-ruling> consid. 5b), pas plus que la maxime inquisitoire (<ref-ruling> consid. 2.2.3). En effet, le juge peut renoncer à ordonner une mesure d'instruction pour le motif qu'elle est manifestement inadéquate, porte sur un fait non pertinent ou n'est pas de nature à ébranler la conviction qu'il a acquise sur la base des éléments déjà recueillis. Savoir si l'autorité cantonale n'a pas pris en compte un moyen de preuve propre à modifier la décision relève de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits (art. 9 Cst.; arrêt 5A_726/2009 du 30 avril 2010 consid. 3.1, non publié in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 4a). De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en la matière, vu le large pouvoir qu'il reconnaît dans ce domaine aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 9 et les arrêts cités). II n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables; encore faut-il que la décision en soit viciée dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.2 et les arrêts cités). La prohibition de l'arbitraire étant de rang constitutionnel, la partie recourante doit expressément soulever le grief et exposer de manière claire et circonstanciée, si possible documentée, en quoi ce droit fondamental a été violé (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 2.2).
2.2 En l'occurrence, le recourant ne cherche pas à démontrer que l'appréciation des preuves effectuée par l'autorité cantonale serait arbitraire. Il se borne à soutenir, en substance, que rien ne permet d'affirmer qu'il aurait une influence négative sur l'état de santé de son fils, ni que celui-ci refuserait de le voir. Il se plaint de n'avoir pas pu s'exprimer à ce sujet, pas plus que sur la volonté de la mère de placer l'enfant dans un foyer et sur la dépendance de celui-ci au cannabis. En revanche, il ne critique pas les éléments sur lesquels la Cour de justice s'est fondée pour forger sa conviction. Selon cette autorité, le père s'était, il est vrai, toujours conformé aux limitations qui lui avaient été imposées concernant son droit de visite et rien ne justifiait encore les modalités mises en place lors de la séparation des parents. Cependant, il ressortait du rapport du SPMi du 28 janvier 2011 que la relation entre le père et le fils était encore fragile et que le lien de confiance entre eux se reconstruisait peu à peu. Pour les juges précédents, un droit de visite consistant en un repas par semaine, tel que préconisé par le SPMi, apparaissait adéquat en l'état. L'enfant verrait certes son père moins longtemps que précédemment mais de manière plus fréquente, ce qui favoriserait une consolidation de leur relation. Une telle réglementation s'inscrivait dans une évolution progressive de la relation père-fils et répondait aux besoins actuels de l'enfant. Afin de favoriser la reconstruction de liens solides entre eux ainsi que la qualité de leurs rapports, il convenait par ailleurs de limiter les téléphones du père, vécus de manière très pesante par l'enfant, à un appel par semaine, comme le conseillait le SPMi. Enfin, il était prématuré de prévoir une échéance pour un nouvel élargissement du droit de visite car l'enfant, qui souffrait d'un trouble psychotique, suivait actuellement un traitement neuroleptique au sein de l'Unité psychiatrique des HUG. En tout état de cause, il convenait de ne pas brusquer l'enfant, qui traversait actuellement une période difficile.
Vu ce qui précède, la cour cantonale pouvait admettre, sans arbitraire, que la conviction qu'elle avait acquise sur la base des autres preuves dont elle disposait ne serait pas ébranlée par le résultat, même favorable au recourant, de l'administration des mesures probatoires requises. Le grief du recourant tombe dès lors à faux. Au surplus, le droit de visite prévu par l'<ref-law> doit servir en premier lieu l'intérêt de l'enfant (<ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 3b p. 451); dans chaque cas, la décision doit donc être prise de manière à répondre le mieux possible aux besoins de celui-ci (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 4a et 317 consid. 2). L'appréciation des circonstances de fait pour fixer le droit aux relations personnelles, c'est-à-dire la détermination de leur portée juridique, est une question de droit. Le Tribunal fédéral s'impose toutefois une certaine retenue dans ce domaine, le juge du fait qui, par son expérience en la matière, connaît mieux les parties et le milieu dans lequel l'enfant évolue, disposant d'un large pouvoir d'appréciation en vertu de l'<ref-law>. Le Tribunal fédéral n'intervient que si le juge, sans aucun motif, a écarté des critères essentiels ou, à l'inverse, s'est fondé sur des éléments dépourvus d'importance au regard du bien de l'enfant ou contrevenant aux principes du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 4a; cf. aussi arrêts 5A_188/2012 du 15 mai 2012 consid. 6.1; 5C.17/1991 du 19 juin 1991 consid. 2, non publié in <ref-ruling>). Or, tel n'est manifestement pas le cas en l'espèce. Le recourant ne le prétend du reste pas.
3. En conclusion, le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les frais de la présente procédure seront dès lors supportés par le recourant, qui succombe (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens, des réponses n'ayant pas été requises.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 14 septembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Mairot