Sachverhalt:
A.
Der Vater von A._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) war ein Mitarbeiter von B._ Inc. (Beklagte, Beschwerdegegnerin). Durch dieses Anstellungsverhältnis war die Klägerin im Jahr 2011 bei der Versicherung C._ krankenversichert. Die Klägerin wirft der Beklagten vor, den neuen Zivilstand ihres Vaters nach dessen Scheidung der Krankenversicherung nicht gemeldet zu haben bzw. keine Erklärung abgegeben zu haben, damit diese direkt mit der Klägerin hätte abrechnen können. Daraus sei ihr ein Schaden entstanden. Die Mutter der Klägerin habe - da diese selber noch nicht volljährig gewesen sei - Arztrechnungen der Klägerin für das Jahr 2011 bezahlt und von der Krankenversicherung die entsprechende Rückerstattung im Betrag von Fr. 6'850.95 verlangt. Bis heute sei der Betrag jedoch nicht eingegangen, weshalb davon auszugehen sei, dass die Überweisung an den Vater der Klägerin getätigt worden sei.
B.
Mit Klage vom 16. April 2014 beim Bezirksgericht Zürich beantragte die Klägerin, die Beklagte sei kostenfällig zu verpflichten, ihr Fr. 6'850.95 nebst Zins zu 5% seit 15. Oktober 2013 zu bezahlen. Das Bezirksgericht (Einzelgericht) wies die Klage mit Urteil vom 3. Dezember 2014 und das Obergericht des Kantons Zürich die gegen dieses Urteil gerichtete Beschwerde mit Urteil vom 4. Mai 2015 ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 4. Mai 2015 sei aufzuheben und das Verfahren an das Obergericht zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin stellt das Begehren, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da sowohl die Beschwerde in Zivilsachen wie die subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht reformatorische Rechtsmittel sind (Art. 107 Abs. 2 und <ref-law>), darf sich die beschwerdeführende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 490). Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung ohnehin nicht selbst in der Sache entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.2 S. 135; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383).
Die Beschwerdeführerin verlangt lediglich die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung an die Vorinstanz. Sie rügt jedoch in mehrfacher Hinsicht eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Das Bundesgericht könnte, sollte es die Rechtsauffassung der Beschwerdeführerin in diesen Punkten teilen, nicht selbst entscheiden, sondern müsste die Sache zur Behebung der angeblichen Verfahrensmängel und zur weiteren Abklärung der tatsächlichen Grundlagen an die Vorinstanz zurückweisen. Der Rückweisungsantrag der Beschwerdeführerin genügt daher (vgl. auch Urteil des Bundesgericht 4D_64/2014 vom 20. Januar 2015 E. 1.2).
3.
Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Der für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert wird offensichtlich nicht erreicht. Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nicht, ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Dieser Begriff ist restriktiv auszulegen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 495). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 1.2 S. 117). Die Voraussetzung von <ref-law> ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 236; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Die Frage muss von allgemeiner Tragweite sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 269). Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich, wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4).
Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, hat die beschwerdeführende Partei in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (<ref-ruling> E. 2.2.2.1 S. 442).
3.1. Die Vorinstanz wies die Klage mangels Schadens ab. Sie führte aus, Voraussetzung für die Zusprechung von Schadenersatz sowohl gemäss <ref-law> als auch gemäss <ref-law> sei das Vorliegen eines Schadens. Eine Forderung gehöre dabei solange zum Vermögen der Gläubigerin, als die Leistung (noch) möglich sei. Durch eine blosse Nicht-Leistung (der geschuldeten möglichen Leistung) trete noch keine Vermögensverminderung ein. Ein Schaden könne daher vorliegend nur bestehen, wenn die gemäss den Ausführungen der Beschwerdeführerin notwendige und immer noch mögliche Erklärung der Beschwerdegegnerin gegenüber der Krankenversicherung nicht (mehr) zu einer Rückerstattung der Arztrechnungen führe. Ansonsten führe der (noch mögliche) Anspruch der Beschwerdeführerin auf Abgabe der entsprechenden Erklärung ihren eigenen Ausführungen zufolge nämlich zu einem Forderungsrecht von ihr gegenüber der Krankenversicherung. Die offenbare Ansicht der Beschwerdeführerin, bereits der Umstand, dass ihr kein direktes Forderungsrecht gegenüber der Krankenversicherung zustehe, begründe ihren Schaden gemäss <ref-law>, sei falsch.
3.2. Die Beschwerdeführerin begründet das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung damit, dass unklar sei, ob von einem Schaden im Sinn der bundesgerichtlichen Differenztheorie auszugehen sei, wenn die verspätete Abgabe einer geschuldeten Willenserklärung bewirke, dass ein Vermögenszufluss planwidrig ausbleibe, aber die hypothetische Möglichkeit der zukünftigen Leistung durch einen Dritten bestehe.
Diese Argumentation verfängt nicht. Es ist nicht ersichtlich, was mit dem "planwidrigen " Ausbleiben eines Vermögenszuflusses gemeint ist. Massgeblich ist, von welchen tatsächlichen Verhältnissen vorliegend auszugehen ist (vgl. E. 6 hiernach). Im Übrigen geht es lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall und nicht um eine Rechtsfrage von allgemeiner, grundsätzlicher Bedeutung.
3.3. Da der notwendige Streitwert nicht erreicht wird und sich auch keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, steht die Beschwerde in Zivilsachen nicht offen. Daher ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig (<ref-law>).
4.
4.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur, wenn diese Rüge gemäss den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> ausdrücklich vorgebracht und klar und detailliert begründet wird (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). In einer Verfassungsbeschwerde muss rechtsgenügend dargelegt werden, welche verfassungsmässigen Rechte durch das kantonale Gericht inwiefern verletzt worden sind, und solche Rügen sind unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert zu begründen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 334; <ref-ruling> E. 2 S. 591 f.). Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 116 mit Hinweis).
Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen).
4.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>). Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich, sein soll (<ref-ruling> E. 2.2 S. 334; <ref-ruling> E. 7.1 S. 396, 585 E. 4.1 S. 588 f.). Wird eine verfassungswidrige Nichtberücksichtigung von behaupteten, im angefochtenen Entscheid aber nicht festgestellten Tatsachen geltend gemacht, ist mit Aktenhinweisen darzulegen, dass diese rechtsrelevanten Tatsachen bereits bei der Vorinstanz prozessrechtskonform eingebracht wurden, indessen von jener unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts unberücksichtigt gelassen worden seien. Ansonsten gelten sie als neu und daher unzulässig (Art. 99 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; Urteil 4D_41/2009 vom 14. Mai 2009 E. 2.2; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 90 für die Beschwerde in Zivilsachen).
Wie nachstehend aufzuzeigen ist, genügt die vorliegende Beschwerdeschrift diesen Anforderungen in weiten Teilen nicht.
5.
Es ist nicht nachvollziehbar, inwiefern die Vorinstanz in Willkür (<ref-law>) verfallen sein soll, indem sie von einem falschen Schadenbegriff ausgegangen wäre. Die Vorinstanz hat begründet, dass entgegen der Beschwerdeführerin kein Verspätungsschaden gemäss <ref-law> besteht, solange noch möglich ist, dass die Krankenversicherung zahlt. Die Beschwerdeführerin wiederholt diesbezüglich einfach ihre bereits vor Vorinstanz vorgetragene Argumentation. Das ist keine genügende Willkürrüge; darauf ist nicht einzutreten. Aber selbst wenn darauf einzutreten wäre, könnte von Willkür keine Rede sein. Wenn die Beschwerdeführerin die Zahlung durch den Krankenversicherer wegen der nicht abgegebenen Erklärung durch die Beschwerdegegnerin später bekommt, ist der dadurch verursachte Schaden nicht der zu leistende Betrag selber, sondern Nachteile aus der Verspätung wie entgangener Nutzen und Gewinn etc. Die Beschwerdegegnerin hätte einen Schaden verursacht, wenn nachgewiesen wäre, dass für die Auszahlung durch die Krankenversicherung eine Erklärung der Beschwerdegegnerin notwendig ist, dass die Beschwerdeführerin einen Anspruch auf Abgabe dieser Erklärung hat und dass die Beschwerdegegnerin die Erfüllung dieser Verpflichtung verweigert. Ein durch die Beschwerdegegnerin verursachter Schaden könnte sodann auch vorliegen, wenn die Beschwerdegegnerin eine solchermassen geschuldete Erklärung nicht abgegeben hat und deshalb zwischenzeitlich die Auszahlung an den von der Mutter der Beschwerdeführerin geschiedenen Vater ausbezahlt wurde. Davon ging sinngemäss auch die Vorinstanz aus, auch wenn sie dies nicht ausdrücklich so festhielt.
6.
Der angefochtene Entscheid beruht wie erwähnt darauf, dass die Beschwerdeführerin ihren (behaupteten) Anspruch gegenüber der Beschwerdegegnerin auf Abgabe der erforderlichen Erklärung noch durchsetzen kann und dass eine Zahlung durch die Krankenversicherung nach wie vor möglich ist. Die Beschwerdeführerin rügt diesbezüglich eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung und damit eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>).
6.1. Die Vorinstanz bezog sich in ihrer Begründung zuerst auf das erstinstanzliche Urteil. Danach sei im erstinstanzlichen Verfahren nicht substanziiert behauptet worden, dass die Krankenversicherung den geltend gemachten Betrag (nach erfolgter Erklärung durch die Beschwerdegegnerin) nicht rückerstatten werde. Sie verwies sodann darauf, dass die Beschwerdeführerin im Verfahren vor Bezirksgericht gemäss Protokoll der Hauptverhandlung ebenfalls festgehalten habe, dass die Beschwerdegegnerin die ganze Angelegenheit mit einer einzigen Anweisung an die Krankenversicherung regeln könne, womit die Beschwerdeführerin selber davon ausgegangen sei, dass die entsprechende Erklärung zur Rückerstattung führen würde. Sie habe auch selbst festgehalten, dass diese Erklärung immer noch möglich sei. Schliesslich stellte die Vorinstanz fest, die Beschwerdeführerin gehe in ihrer Beschwerdeschrift darauf und auf die Argumentation des Bezirksgerichts, wonach davon auszugehen sei, dass sie ihren Anspruch gegenüber der Krankenversicherung immer noch geltend machen könne, nicht ausreichend ein.
6.2. Die Beschwerdeführerin beanstandet namentlich das Abstellen der Vorinstanz auf die zitierte einleitende Bemerkung an der Hauptverhandlung als überspitzt formalistisch. Gleichzeitig habe sie an der erstinstanzlichen Hauptverhandlung nämlich darauf verwiesen, sie müsse - mangels Zahlungseingang - davon ausgehen, dass der Betrag dem geschiedenen Ehemann überwiesen worden sei und sie habe diesen hierfür als Zeugen angeboten. Die Vorinstanz habe zwar auch auf diese ihre (erstinstanzlichen) Ausführungen verwiesen, diese dann aber vollständig "ausgeblendet".
Die Vorinstanz erachtete die erstinstanzlichen Ausführungen der Beschwerdeführerin offenbar als widersprüchlich. Denn wäre der Betrag bereits an den Vater der Beschwerdeführerin bezahlt worden, könnte er nicht immer noch bei der Krankenversicherung geltend gemacht werden. Entscheidend ist daher die Feststellung der Vorinstanz, die Beschwerdeführerin sei in ihrer Beschwerdeschrift nicht "ausreichend" (substanziiert) auf die Argumentation des Bezirksgerichts eingegangen, wonach die Zahlung immer noch möglich sei. Die Beschwerdeführerin müsste somit im Einzelnen mit Hinweisen auf ihre Beschwerdeschrift darlegen, inwiefern diese das Bundesgericht grundsätzlich bindende Feststellung zum Prozesssachverhalt (vgl. E. 4.2 hiervor) willkürlich ist. Sie verweist unter dem Titel "Offensichtlich unrichtige/willkürliche Sachverhaltsfeststellung" aber vor allem auf ihre Vorbringen vor dem Bezirksgericht und auf das erstinstanzliche Urteil. Letzteres ist aber nicht Anfechtungsgegenstand. Es ist daher jedenfalls nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz davon ausging, eine Rückerstattung durch die Krankenversicherung wäre (nach erfolgter Erklärung durch die Beschwerdegegnerin) immer noch möglich.
6.3. Die Beschwerdeführerin macht indessen überdies, nun mit konkretem Hinweis auf ihre Beschwerdeschrift geltend, die Feststellung der Vorinstanz, sie habe dort behauptet, eine Erklärung der Beschwerdegegnerin gegenüber der Krankenversicherung sei "nach wie vor möglich", sei falsch und der (Prozess-) Sachverhalt damit willkürlich festgestellt.
Die Vorinstanz bezog sich an der zitierten Stelle auf Randziffer 17 der kantonalen Beschwerde. Dort führte die Beschwerdeführerin unter dem Titel "Unrichtige Rechtsanwendung " aus: "Vorliegend geht die Primärleistungspflicht der Beschwerdegegnerin auf Abgabe einer Erklärung an die C._, dass infolge der Ehescheidung [...] nicht länger über D._, sondern direkt mit den Begünstigten abzurechnen ist (Plädoyernotizen Rz 23, Rz 25). Die Erfüllung dieser Pflicht ist nach wie vor möglich, sodass <ref-law> nicht zur Anwendung kommt ". Und in ihren Plädoyernotizen, auf die sie hier verwies, führte sie aus, die Beschwerdegegnerin wäre verpflichtet, der Krankenversicherung nach der Scheidung die erforderlichen Instruktionen zu erteilen und habe sich geweigert, diese Pflicht zu erfüllen. Diese Tatsachenbehauptung ist wie dargelegt entscheidwesentlich. Denn auch wenn die Rückerstattung durch die Krankenversicherung grundsätzlich noch möglich ist, führt die Weigerung der Beschwerdegegnerin, die hierfür notwendige Erklärung abzugeben (sofern eine solche tatsächlich notwendig ist), trotzdem zu einem Schaden (vgl. E. 5 hiervor). Die Formulierung der Beschwerdeführerin, die Abgabe einer Willenserklärung sei nach wie vor möglich, kann nur zusammen mit ihrer - allerdings falschen - Vorstellung verstanden werden, es handle sich um einen Schaden gestützt auf Art. 103 und nicht gestützt auf <ref-law>. Indem sie aber unmissverständlich auf die Weigerung der Beschwerdegegnerin verwies, eben diese Erklärung abzugeben, behauptete sie eine entsprechende schadensbegründende Pflichtverletzung. Die Vorinstanz mass der zitierten Formulierung somit eine offensichtlich falsche Bedeutung zu. Damit ist auch die Rüge einer Verletzung von <ref-law> begründet, wonach die Vorinstanz auf die "entscheidrelevanten Behauptungen und Beweisanträge zum gegenüber der Beschwerdegegnerin geltend gemachten Primärleistungsanspruch auf Abgabe der Erklärungen an die C._ und zu dessen pflichtwidriger Verletzung" nicht eingegangen ist.
7.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Sache wird an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung zurückgewiesen. Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens wird die Beschwerdegegnerin dafür kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Sache wird zu neuer Beurteilung an das Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Luczak