Erwägungen:
1. X._, 1986 geborener Kosovare, heiratete am 2. März 2010 in der gemeinsamen Heimat eine Landsfrau, die über eine Niederlassungsbewilligung in der Schweiz verfügt. In der Folge reiste er in die Schweiz ein und erhielt gestützt auf Art. 43 Abs. 1 AuG eine (zuletzt) bis 30. Juni 2011 gültige Aufenthaltsbewilligung. Die eheliche Wohngemeinschaft wurde gegen Ende 2010 aufgegeben. Die Ehe ist am 26. März 2012 geschieden worden.
Am 4. Oktober 2011 lehnte das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Die gegen diese Verfügung erhobene Einsprache blieb erfolglos. Mit Urteil vom 3. Mai 2012 wies das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau die gegen den Einspracheentscheid vom 30. Januar 2012 erhobene Beschwerde ab.
Mit vom 6. Juni 2012 datierter Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Postaufgabe 8. Juni 2012) beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Rekursgerichts aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden. Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung (Anweisung an kantonale Behörde, auf Vollzugshandlungen vorläufig zu verzichten) gegenstandslos.
2. 2.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels zwar von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 499 mit Hinweisen). Ist jedoch die Zulässigkeit eines Rechtsmittels zweifelhaft, beschlägt die der Beschwerde führenden Partei obliegende Begründungspflicht gemäss <ref-law> grundsätzlich auch die Eintretensvoraussetzungen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404). Die für deren Vorliegen massgeblichen Aspekte müssen diesfalls aufgezeigt und das Bestehen eines Anspruchs muss in vertretbarer Weise geltend gemacht werden.
2.2 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), und betreffend die Wegweisung (Ziff. 4).
2.3 Der Beschwerdeführer war mit einer Ausländerin verheiratet, die über eine Niederlassungsbewilligung verfügt. Insofern hatte er einen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange er mit der Ehefrau zusammenlebte (Art. 43 Abs. 1 AuG). Die Ehe ist weniger als fünf Jahre nach der Heirat durch Scheidung aufgelöst worden (vgl. Art. 43 Abs. 2 AuG), sodass sich der Beschwerdeführer nicht mehr unmittelbar auf diesen gesetzlichen Anspruch berufen kann. Ein Weiterbestehen des Anspruchs wäre nur unter den Bedingungen von Art. 50 AuG möglich.
2.3.1 Offensichtlich ausser Betracht fällt die Möglichkeit einer Berufung auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG (Bestand der Ehegemeinschaft während mindestens drei Jahren bei erfolgreicher Integration), war doch der Beschwerdeführer nur rund zwei Jahre verheiratet, sodass unerheblich bleibt, ob für die ganze Ehedauer von einer Ehegemeinschaft im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG auszugehen wäre; die diesbezüglichen Ausführungen in der Beschwerdeschrift sind nicht nachvollziehbar.
2.3.2 Der Beschwerdeführer will sich zudem auf Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG berufen, wonach der Anspruch nach Art. 43 AuG nach Auflösung der Ehe auch dann weiter besteht, wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen. Er nennt zwar allgemein die diesbezüglichen Kriterien. Er unterlässt es aber, die besonderen konkreten Umstände zu nennen, die in seinem Fall auf das Vorliegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls (s. Art. 31 Abs. 1 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]) schliessen liessen. Auch aus den Akten ergeben sich keine solchen Umstände; ein Bewilligungsanspruch gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG ist nicht in vertretbarer Weise geltend gemacht worden (vgl. E. 2.1).
2.3.3 Der Beschwerdeführer erwähnt zusätzlich Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privatlebens). Er weist selber auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung hin, woraus sich namentlich ergibt, dass ein diesbezüglicher Anspruch höchstens bei vieljähriger Landesanwesenheit verbunden mit einer eigentlichen Verwurzelung in die hiesigen Verhältnisse anerkannt werden kann (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286 f.). Dies ist beim Beschwerdeführer offensichtlich nicht der Fall, sodass die Möglichkeit der Berufung auf die fragliche Konventionsnorm im Hinblick auf das ausländerrechtliche Bewilligungsverfahren entfällt; auch in dieser Hinsicht wird ein Bewilligungsanspruch nicht in vertretbarer Weise geltend gemacht.
2.4 Die Beschwerde ist mithin im Lichte von Art. 83 lit. c Ziff. 2 und 4 BGG offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.5 Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juni 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller