<ref-law> (Staatshaftung aus ärztlicher Tätigkeit), hat sich ergeben:
A.- A._ (Beschwerdeführer) ist Arzt für Allgemeinmedizin. Er betreibt gemeinsam mit seiner Frau in ............. (Deutschland) eine Landarztpraxis. Bei einem Fahrradunfall in der Schweiz verletzte er sich am linken Fuss. Er wurde am 3. August 1991 in der Notfallabteilung des X._ Spitals untersucht und am gleichen Tag wieder entlassen mit der Empfehlung, den Bruch nicht operieren, sondern konservativ behandeln zu lassen und sich nach Ablauf von 4 Wochen einer Nachkontrolle zu unterziehen. Anlässlich dieser Kontrolle erkannten die Ärzte in Deutschland, dass das Gelenk beim Fersenbeinbruch erheblich in Mitleidenschaft gezogen worden war, was die Ärzte des X._ Spitals übersehen und deshalb von einem operativen Eingriff abgeraten hatten. Die deutschen Ärzte rieten von einer Operation ab, da das Risiko nach Ablauf von 4 Wochen zu hoch sei. Das zuständige Versorgungsamt Darmstadt bescheinigte dem Beschwerdeführer in der Folge eine 50%ige, ab 25. August 1993 eine 30%ige Gehbehinderung wegen schmerzhafter Funktionsminderung am linken Fuss.
B.- Mit Klage vom 19. Mai 1995 beantragte der Beschwerdeführer dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, die X._ Spitalstiftung (Beschwerdegegnerin) zur Zahlung von mindestens Fr. 2'317'319. 95 Schadenersatz und Genugtuung zu verurteilen, vorbehältlich abgeänderter Klagesumme infolge veränderter Wechselkurse. Diese Summe reduzierte der Beschwerdeführer im Laufe des Verfahrens auf Fr. 1'669'457.-- zuzüglich noch zu bestimmender Anwaltskosten. Das Verwaltungsgericht stellte mit Urteil vom 31. August 1998 zunächst fest, dass allfällige Ansprüche des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit der ärztlichen Behandlung im X._ Spital nicht verjährt seien. Mit Urteil vom 15. Februar 2000 verpflichtete es sodann die Beschwerdegegnerin, dem Beschwerdeführer eine Genugtuung von Fr. 16'700.-- nebst 5% Zins ab 3. August 1991 bis zum Zeitpunkt der Auszahlung zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage ab. Es gelangte zum Ergebnis, dass zwar ein Kunstfehler vorliege, welcher die Heilungschancen verringert habe. Die verantwortlichen Ärzte hätten bei richtiger Diagnose pflichtgemäss eine Operation verordnet, die mit erheblicher Wahrscheinlichkeit zu einem im Vergleich zum heutigen verbesserten Gesundheitszustand geführt hätte. Einen ersatzpflichtigen Schaden hat der Beschwerdeführer indessen nach Auffassung des Verwaltungsgerichts nicht erlitten.
C.- Sowohl die Beschwerdegegnerin als auch der Beschwerdeführer haben staatsrechtliche Beschwerde erhoben.
Auf die staatsrechtliche Beschwerde der Beschwerdegegnerin ist das Bundesgericht mit Urteil vom heutigen Tag nicht eingetreten.
Der Beschwerdeführer verlangt die Aufhebung des Urteils vom 15. Februar 2000. Die Beschwerdegegnerin und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-Der Beschwerdeführer beanstandet das angefochtene Urteil einzig mit Bezug auf die Berechnung seines Schadens.
Er ist der Ansicht, dass das Invalideneinkommen sowohl um die Löhne für die Assistenten als auch für die Haushaltshilfen zu reduzieren ist. Die Ausserachtlassung dieser Lohnkosten bei der Schadensberechnung sei sachlich nicht vertretbar.
Ebenso habe das Verwaltungsgericht die zu Lasten des Beschwerdeführers veränderte Gewinnaufteilung in der gemeinsamen Arztpraxis willkürlich nicht berücksichtigt, der tatsächlich geleistete und zur Schadensminderung notwendige Mehrarbeit der Ehefrau zugrunde liege.
2.-a) Das Verwaltungsgericht geht in seinem Entscheid davon aus, der Beschwerdeführer hätte ohne Unfall die Praxis im bisherigen Umfang weitergeführt. Da der Praxisgewinn gegenüber dem zuvor vom Beschwerdeführer allein erzielten auch nach Abzug der Löhne der Assistenten angestiegen sei, müssten diese das Leistungsvolumen ausgeweitet haben. Dazu wäre es ohne Unfall nicht gekommen, weshalb sich der Beschwerdeführer den betreffenden Gewinn anrechnen lassen müsse. Er habe seine Behauptung, die Gewinnzunahme sei auf Tariferhöhungen zurückzuführen, nicht belegt. Sie sei auch nicht glaubhaft, da überall in Europa Massnahmen zur Eindämmung der Kostensteigerung im Gesundheitswesen ergriffen würden.
b) Der Beschwerdeführer hat zum Beweis der Behauptungen, dass das Praxisvolumen nicht zugenommen habe, jeweils auf das Gutachten seines Steuerberaters verwiesen. In der Klageschrift bietet er unter dem Titel "Bestimmung des Schadenquantitativs" weitere Beweismittel an, insbesondere die Edition der Buchhaltungsabschlüsse für die Jahre 1991 bis 1994, und er verlangt eventuell, es sei sein Steuerberater als Zeuge einzuvernehmen und ein gerichtliches Gutachten über die Auswirkung seiner Invalidität auf sein Erwerbseinkommen anzuordnen. Ferner behält er sich die Nennung weiterer Beweismittel vor. Am Ende der Ergänzung der Klageschrift beantragt er nochmals die Anordnung eines Gutachtens und behält sich die Nennung weiterer Beweismittel vor.
Nach Ansicht des Beschwerdeführers verfiel das Verwaltungsgericht in Willkür, da es trotz Zweifeln an der Schlüssigkeit des Gutachtens des Steuerberaters in diesem Punkt die offerierten weiteren Beweismittel nicht abnahm und die Frage nicht von Amtes wegen durch Edition der Abrechnungsunterlagen der Praxis und Ansetzung einer gerichtlichen Expertise abklärte. Damit habe es in willkürliche Weise nicht nur <ref-law> sondern auch Art. 18 Abs. 1 und 2 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 23. Mai 1989 des Kantons Bern (VRPG) verletzt.
c) Gemäss Art. 18 VRPG, stellen die Behörden den Sachverhalt von Amtes wegen fest. Sie sind dabei an die Beweisanträge nicht gebunden. Bei der Erhebung und Abnahme von Beweisen steht ihnen ein weiter Ermessensspielraum zu. Diesen haben sie nach pflichtgemässem Ermessen auszuüben und bei Zweifeln an der Vollständigkeit und Richtigkeit des Sachverhaltes weitere Untersuchungen durchzuführen. Blosses Vermuten stellt keine genügende Sachverhaltsfeststellung dar (Merkli/Aeschlimann/Herzog, Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, Bern 1997, N 8 zu Art. 18 VRPG, S. 159). Der in Art. 18 VRPG verankerte Untersuchungsgrundsatz findet seine Grenzen in der Mitwirkungspflicht der Parteien (Art. 20 VRPG). Sofern diese aus einem Begehren eigene Rechte ableiten, sind sie verpflichtet, bei der Feststellung des Sachverhalts mitzuwirken. Auf aufwendige Beweismassnahmen kann verzichtet werden, wenn der Betroffene Unterlagen zum Beweis vorlegen könnte (Merkli/Aeschlimann/Herzog, a.a.O. N 1 zu Art. 20 VRPG, S. 179).
d) Das Verwaltungsgericht beanstandet, der Beschwerdeführer habe keine Unterlagen betreffend die behaupteten Tariferhöhungen beigebracht, und wirft ihm damit eine Verletzung seiner Mitwirkungspflicht vor.
aa) Das Verwaltungsgericht führt in seiner Vernehmlassung zur Beschwerde aus, es sei nicht verpflichtet gewesen, der unbelegten Behauptung des Beschwerdeführers von Amtes wegen nachzugehen. Eine solche Verpflichtung habe sich auch nicht aus der Untersuchungsmaxime ergeben, der in einem im Klageverfahren ausgetragenen Staatshaftungsprozess zwischen Privatperson und Kantonsspital ohnehin nur eine eingeschränkte Bedeutung zukommen könne.
bb) Das Verwaltungsgericht verkennt, dass primär nicht von ihm verlangt wird, von Amtes wegen weitere Abklärungen vorzunehmen, sondern vielmehr, die angebotenen Beweismittel abzunehmen. Im angefochtenen Entscheid finden sich weder Ausführungen zum eingereichten Parteigutachten noch dazu, wieso das Verwaltungsgericht auf die eventuell beantragte Anordnung eines gerichtlichen Gutachtens verzichtet hat.
cc) Wenn das Verwaltungsgericht der Untersuchungsmaxime im Klageverfahren nur eine eingeschränkte Bedeutung zumisst, hält dies im Grundsatz angesichts von Art. 20 VRPG dem Willkürvorwurf stand. Indessen hat sich das Verwaltungsgericht zur Anwendbarkeit der Untersuchungsmaxime bereits in seinem Teilurteil betreffend die Frage der Verjährung geäussert.
Dort hält es fest, dass es den Sachverhalt losgelöst von den Vorbringen der Parteien von Amtes wegen abzuklären habe und dass Art. 18 VRPG ausdrücklich auch für das hier interessierende Klageverfahren gelte. Von einer eingeschränkten Bedeutung der Untersuchungsmaxime im Klageverfahren ist nicht die Rede, auch nicht unter Bezug auf Art. 20 VRPG, obwohl dem Beschwerdeführer auch in jenem Verfahrensstadium dieselbe Mitwirkungspflicht oblag. Das vom Verwaltungsgericht beschriebene Vorgehen hätte nicht gegen zwingende Normen des kantonalen Rechts verstossen, und eine im Rahmen der Offizialmaxime ergangene Aufforderung an eine Partei, bestimmte Urkunden beizubringen, wäre durchaus zulässig gewesen. Im angefochtenen Entscheid ist das Verwaltungsgericht dann aber seiner eigenen Vorgabe nicht gefolgt.
Da es dem Beschwerdeführer keine Gelegenheit einräumte, weitere Beweise beizubringen, durfte er nach Treu und Glauben davon ausgehen, die eingereichten Beweismittel genügten zur Feststellung des Sachverhalts. Wenn das Verwaltungsgericht während laufendem Verfahren seine Interpretation der Verfahrensvorschriften ändert und die Untersuchungsmaxime restriktiver handhabt, verfällt es damit in Willkür.
dd) Auch den Anforderungen einer restriktiv ausgelegten Untersuchungsmaxime wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts nicht gerecht. Der Verzicht auf die Abnahme beantragter Beweismittel wäre nur gerechtfertigt, wenn der Beschwerdeführer seine Mitwirkungspflicht nach Art. 20 VRPG verletzt hätte. Das wäre der Fall, wenn der Beschwerdeführer dem Verwaltungsgericht hätte Unterlagen beibringen können, die das beantragte Gutachten obsolet gemacht hätten.
Der Beschwerdeführer ist dafür beweispflichtig, dass er die Gewinnsteigerung nicht durch eine Ausweitung der Praxistätigkeit erzielt hat. Das Vorliegen von Tarifänderungen reicht nicht aus, um diesen Beweis zu erbringen. Der Beschwerdeführer führt selbst aus, die Erhöhungen seien nur Arztpraxen mit bestimmter Schwerpunkttätigkeit zu Gute gekommen.
Auch ist denkbar, dass die Gewinnsteigerung sowohl auf eine Erhöhung der Tarife als auch auf eine Ausweitung des Leistungsumfangs der Arztpraxis zurückzuführen ist. Für die Schadensbemessung muss der Anteil beider Faktoren quantifiziert werden, was allein anhand von Tariflisten nicht möglich ist. Auch wenn der Beschwerdeführer die Tarifänderungen belegt hätte, hätte ein Gutachten über die konkreten Auswirkungen der Änderungen auf den Praxisgewinn angeordnet werden müssen. Unter diesen Umständen kann dem Beschwerdeführer ohne Willkür keine Verletzung seiner Mitwirkungspflicht vorgeworfen werden, wenn er statt der Unterlagen betreffend Tariferhöhungen, welche keinen hinreichenden Beweis erbringen, sogleich ein Gutachten beantragt, in dessen Rahmen die Tarifänderungen berücksichtigt und ihre Auswirkungen im konkreten Fall festgestellt werden können.
ee) Wenn das Verwaltungsgericht den Tariflisten eine derart zentrale Bedeutung zumisst, hätte es den Beschwerdeführer zumindest auf seine diesbezügliche Mitwirkungspflicht hinweisen (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 239) und entsprechende Unterlagen von ihm verlangen müssen. Erst wenn er dieser Aufforderung nicht nachgekommen wäre, könnte ohne Willkür von einer Verletzung der Mitwirkungspflicht ausgegangen werden. In Bezug auf die gerügte Verletzung von Art. 18 VRPG erweist sich die Beschwerde damit als begründet.
3.-a) Als willkürlich rügt der Beschwerdeführer weiter, das Verwaltungsgericht habe die der Ehefrau für Mehrarbeit in der Praxis zustehende höhere Gewinnbeteiligung nicht vollumfänglich berücksichtigt und die durch diese Mehrbelastung entstehenden Kosten für Haushaltshilfen ausser Acht gelassen. Er macht geltend, in seiner Landpraxis stehe die persönliche Beziehung im Vordergrund, weshalb seine Frau nicht durch einen anderen Arzt ersetzt werden könne, ohne dass Kundschaft verloren ginge und der Schaden dadurch erheblich vergrössert würde. Die Möglichkeit, weitere Assistenzärzte anzustellen, sei gesetzlich beschränkt. Es sei nicht anzunehmen, der Ehefrau würden Assistenten bewilligt, nachdem schon der Beschwerdeführer auf Assistenzärzte angewiesen sei. Die Erhöhung des Arbeitspensums der Ehefrau sei die einzig mögliche Lösung gewesen. Der dadurch vom Beschwerdeführer zu tragende zusätzliche Aufwand sei bei der Ermittlung des Schadens zu veranschlagen.
b) Der Beschwerdeführer verkennt, dass es bei der Bestimmung des Schadens einzig um die Differenz zwischen dem gegenwärtig erzielten Einkommen und dem mutmasslichen Valideneinkommen geht. Bei der Berechnung des Invalideneinkommens ist der für die Weiterführung der Praxis im bisherigen Umfang notwendige Aufwand abzuziehen. Wenn das Verwaltungsgericht nicht die vom Beschwerdeführer tatsächlich für den Ersatz seiner ausfallende Arbeitskraft getroffene Lösung, den vermehrten Einsatz seiner Ehefrau, in Rechnung stellt, sondern einen (tieferen) Lohn für eine Praxisvertretung, ist dies verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden. Dass eine derartige Lösung zu einem Verlust an Kundschaft führen müsste, vermag der Beschwerdeführer nicht überzeugend nahezulegen, zumal dabei sowohl er als auch seine Ehefrau der Praxis erhalten blieben. Er zeigt nicht auf, weshalb es einem geeigneten Stellvertreter oder einer Stellvertreterin unmöglich sein soll, das Vertrauen der Patienten zu gewinnen, zumal er auch nicht behauptet, wegen der Tätigkeit seiner Assistenten habe sich die Anzahl seiner Patienten verringert.
Was die in Deutschland geltenden Bestimmungen über die Zulässigkeit der Anstellung von Ärzten anbelangt, führt er nicht aus, inwiefern es ihm unmöglich gewesen sein soll, zu den vom Verwaltungsgericht angenommenen Konditionen einen Arzt anzustellen, der die Weiterführung der Praxis im bisherigen Umfang ermöglicht hätte. Dem Beschwerdeführer steht zwar frei, seinen Arbeitsausfall durch vermehrte Mitarbeit seiner Ehefrau auszugleichen. Indes durfte das Verwaltungsgericht ohne in Willkür zu verfallen die damit verbundenen Mehrkosten, eingeschlossen jene für Haushalthilfen, vom ersatzfähigen Schaden ausnehmen. Insoweit erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
4.- Der Beschwerdeführer beanstandet drei Posten der Schadensberechnung als willkürlich. Er dringt mit seiner Beschwerde nur bezüglich eines Postens durch, der allerdings im jährlichen Schnitt mehr als die Hälfte der Summe aller Posten ausmacht. Ob der Beschwerdeführer bezüglich dieses Postens Anspruch auf Schadenersatz erheben kann, ist noch ungewiss. Dies rechtfertigt die Gerichtskosten zu zwei Dritteln dem Beschwerdeführer und zu einem Drittel der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen und der Beschwerdegegnerin eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das angefochtene Urteil aufgehoben.
2.-Die Gerichtsgebühr von Fr. 15'000.-- wird zu zwei Dritteln dem Beschwerdeführer und zu einem Drittel der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.-Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht (Verwaltungsrechtliche Abteilung) des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 31. August 2000
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: