Sachverhalt:
A. Der aus dem Kosovo stammende X._ heiratete am 13. Januar 1997 in Konstanz (Deutschland) die Schweizer Bürgerin Y._. Er reiste im September 1997 in die Schweiz ein und erhielt im Kanton Thurgau eine Aufenthaltsbewilligung. Die Ehegatten lebten in der Folge in Kreuzlingen.
Am 18. September 2002 stellte X._ ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im Einbürgerungsverfahren unterzeichneten die Eheleute am 18. September 2002, am 25. November 2002 und schliesslich am 10. Juni 2003 je eine gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und wonach weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Gleichzeitig nahmen sie zur Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt habe oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr bestehe. Ebenfalls am 10. Juni 2003 unterzeichnete X._ eine Erklärung zur Beachtung der Rechtsordnung. Er bestätigte darin insbesondere, dass er weder ungelöschte Vorstrafen habe noch ein hängiges Strafverfahren bestehe und dass er in den letzten fünf Jahren die Rechtsordnung der Schweiz und anderer Aufenthaltsstaaten beachtet habe. Mit seiner Unterschrift nahm er ebenfalls Kenntnis davon, dass diesbezügliche falsche Angaben zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen können. Am 18. Juni 2003 wurde X._ das Schweizer Bürgerrecht verliehen.
Am 16. Juni 2004 wurde X._ von den deutschen Behörden festgenommen. Am 10. Dezember 2004 sprach ihn das Landgericht Konstanz der unerlaubten, teils bandenmässigen Einfuhr und des unerlaubten, teils bandenmässigen Handelns mit Betäubungsmitteln (Kokain) in nicht geringer Menge schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von vier Jahren und sechs Monaten. Nach Verbüssung der Hälfte der Strafe wurde X._ bedingt aus dem Strafvollzug entlassen. Er kehrte in die Schweiz zurück, wo er auf den 31. Oktober 2006 einen von seiner Ehefrau getrennten Wohnsitz anmeldete. Am 15. Juni 2007 bzw. am 12. Juli 2007 unterzeichneten die Ehegatten ein gemeinsames Begehren auf Ehescheidung. Mit Urteil des Bezirksgerichts Winterthur vom 5. Februar 2008 wurde die Ehe geschieden.
Mit Verfügung vom 13. Juni 2008 erklärte das Bundesamt für Migration (BFM) die erleichterte Einbürgerung für nichtig. X._ focht diese Verfügung an. Mit Urteil vom 7. Januar 2011 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 23. Juni 2010 beantragt X._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts und der Entscheid des BFM seien aufzuheben.
Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das BFM beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 22. März 2011 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), betrifft die Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung gestützt auf Art. 27 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (BüG; SR 141.0), somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss <ref-law> erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist beschwerdelegitimiert (<ref-law>).
1.2 Unzulässig ist der Antrag des Beschwerdeführers, auch den Entscheid des BFM aufzuheben. Dieser ist durch das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Voraussetzungen der Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung nach <ref-law> seien nicht erfüllt. Er habe die Einbürgerung nicht erschlichen.
2.2 Gemäss <ref-law> kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einem Schweizer Bürger ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit dem Schweizer Bürger lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern eine tatsächliche Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist. Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin oder eines Schweizer Bürgers die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern.
Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom Bundesamt für Migration mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist. Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 2 S. 164 f. mit Hinweisen).
2.3 In verfahrensrechtlicher Hinsicht richtet sich die erleichterte Einbürgerung nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021). Danach gilt der Untersuchungsgrundsatz, wonach die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen hat (<ref-law>). Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden. Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig.
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung. Da sie keine Umkehrung der Beweislast bewirkt, muss der Betroffene nicht den Beweis des Gegenteils erbringen. Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung. Die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr besteht, liegt deshalb bei der Verwaltung.
Begründet die kurze Zeitspanne zwischen der erleichterten Einbürgerung einerseits und der Trennung oder Einleitung einer Scheidung andererseits die tatsächliche Vermutung, es habe schon bei der Einbürgerung keine stabile eheliche Gemeinschaft mehr bestanden, so muss der Betroffene somit nicht das Gegenteil beweisen. Es genügt, dass er einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit dem Schweizer Ehepartner in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und dass er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder die betroffene Person kann darlegen, aus welchem Grund sie die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als sie die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (<ref-ruling> E. 3 S. 165 f. mit Hinweisen).
2.4 Das Bundesverwaltungsgericht hat festgestellt, dass der Beschwerdeführer am 15. Dezember 2002, das heisst rund sechs Monate vor seiner erleichterten Einbürgerung, als Alleinmieter einen Mietvertrag über eine in Kreuzlingen gelegene 21⁄2-Zimmer-Attikawohnung unterzeichnete, wobei als Mietbeginn der 1. Januar 2003 vereinbart war. Das Mietobjekt sei im Vertrag nicht als Familienwohnung deklariert worden. Die geschiedene Ehefrau des Beschwerdeführers habe zwar anlässlich ihrer Einvernahme vom 10. Juni und 29. Juli 2005 eine gemeinsame Zweitwohnung der Ehegatten erwähnt. Sie sei jedoch nicht in der Lage gewesen, die Adresse dieser Wohnung zu benennen, obwohl sie lange Jahre in Kreuzlingen gelebt habe und die angemietete Wohnung nur etwa 200 m von der ehelichen Wohnung entfernt liege. Die Miete von monatlich Fr. 1'400.-- hätte von den Ehegatten ohnehin kaum finanziert werden können. Das steuerbare Einkommen für das Jahr 2001 habe Fr. 13'400.-- betragen, steuerbares Vermögen habe nicht bestanden. Der Verwendungszweck der Attikawohnung werde durch die Ergebnisse der kriminalpolizeilichen Ermittlungen erhellt, welche die Kantonspolizei Thurgau im Zeitraum zwischen dem 17. Dezember 2003 und der Festnahme des Beschwerdeführers am 16. Juni 2004 rechtshilfeweise für ein Strafverfahren in Deutschland durchführte. Die Kriminalpolizei habe festgestellt, dass der Beschwerdeführer nicht, wie bei der Gemeinde gemeldet, bei seiner Ehefrau lebte, sondern zusammen mit einer anderen Frau in der von ihm gemieteten Attikawohnung. Seine Wohnungspartnerin sei eine norwegische Studentin gewesen, die sich ab Mietbeginn ohne Anmeldung in Kreuzlingen aufgehalten habe. Während der verschiedenen Überwachungen sei der Beschwerdeführer nie zusammen mit seiner Ehefrau gesehen worden. Auch habe sein Fahrzeug nie an der ehelichen Adresse festgestellt werden können. Vielmehr habe beobachtet werden können, dass der Beschwerdeführer die Attikawohnung jeweils am Nachmittag verlassen habe, vielfach in Begleitung der norwegischen Studentin, und dann mit dem Fahrzeug nach Konstanz gefahren sei. In der Regel sei er in den frühen Morgenstunden zurückgekehrt, habe sein Fahrzeug in der zur Attikawohnung gehörenden Einstellhalle parkiert und sich anschliessend in die Attikawohnung begeben. Nachdem der Beschwerdeführer am 16. Juni 2004 beim Grenzübertritt nach Deutschland verhaftet worden war, seien an den beiden Adressen rechtshilfeweise Hausdurchsuchungen durchgeführt worden. Dabei seien in der ehelichen Wohnung praktisch keine Gegenstände des Beschwerdeführers aufgefunden worden. Alle seine Habe sei an der Zweitadresse deponiert gewesen.
Aus diesen Sachverhaltselementen schliesst das Bundesverwaltungsgericht, dass der Beschwerdeführer bereits einige Zeit vor seiner Festnahme im Juni 2004 nicht mehr in einer Haushaltsgemeinschaft an der ehelichen Adresse mit seiner Ehefrau lebte, sondern in einer ausserehelichen Beziehung zur erwähnten norwegischen Studentin stand und mit ihr zusammen die gemietete Attikawohnung bewohnte. In Anbetracht der Tatsache, dass der Beschwerdeführer die Attikawohnung im Dezember 2002 für zwei Personen mietete und die norwegische Studentin dort seit dem 1. Januar 2003 lebte, könne davon ausgegangen werden, dass die Beziehung zu ihr bereits im Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung bestanden habe.
Der Beschwerdeführer stellt die aussereheliche Beziehung gemäss dem angefochtenen Urteil zwar nicht in Abrede, doch behauptet er, sie habe während des Einbürgerungsverfahrens noch nicht bestanden. Die Attikawohnung habe er nur deshalb gemietet, weil er damit seiner Bekannten, die in Konstanz studiert und dringend eine Wohnung benötigt habe, einen Gefallen habe erweisen wollen. Zu diesem Zweck habe er im Einverständnis mit dem Vermieter den Vertrag als Alleinmieter unterzeichnet und die Wohnung an die norwegische Bekannte untervermietet. Zur Zeit des Einbürgerungsverfahrens sei die norwegische Studentin eine blosse Bekannte gewesen. Aus dieser Bekanntschaft habe sich dann eine Freundschaft entwickelt, die sich zunächst nicht als eine aussereheliche Beziehung dargestellt habe.
Das Bundesverwaltungsgericht weist darauf hin, dass die geschiedene Ehefrau kaum Konkretes über den Beschwerdeführer berichten konnte, namentlich nichts über die Gründe seines Gefängnisaufenthaltes. Sie habe nicht einmal gewusst, ob er einen Rechtsvertreter habe. Vom Umstand, dass er bis September 2006 im Strafvollzug bleiben werde, habe sie gemäss eigener Aussage von seiner Freundin erfahren.
Das Bundesverwaltungsgericht legt dar, es sei nicht ersichtlich, weshalb der Beschwerdeführer die Attikawohnung für zwei Personen gemietet habe und weshalb sich seine geschiedene Ehefrau veranlasst gesehen habe, tatsachenwidrig von einer gemeinsamen Zweitwohnung zu sprechen. Undurchsichtig sei auch die Konstruktion des Mietverhältnisses. In der Beschwerdeschrift an das Bundesverwaltungsgericht sei ausgeführt worden, der Anstoss sei vom Vermieter ausgegangen, der gewollt habe, dass der Beschwerdeführer als Vertragspartei des Mietvertrags auftrete und für den Mietzins hafte. Der Vermieter habe bei einer Vermietung an eine Person im Ausland die Sorge gehabt, dass die Mietzahlungen nicht gesichert seien. Nachdem das BFM darauf hingewiesen habe, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner ungünstigen wirtschaftlichen Situation kaum geeignet gewesen sein könne, um dem Vermieter gegenüber für die Mietzinszahlungen einzustehen, habe der Beschwerdeführer in seiner Replik kommentarlos nachgeschoben, es sei seine norwegische Bekannte gewesen, die wegen vermuteter finanzieller und aufenthaltsrechtlicher Nachteile nicht als Hauptmieterin habe auftreten wollen, was vom Vermieter akzeptiert worden sei. Aussagekräftige Belege für den behaupteten Sachverhalt würden indessen fehlen.
Das Bundesverwaltungsgericht legt dar, es sei nicht ersichtlich, weshalb der Beschwerdeführer die Attikawohnung für zwei Personen gemietet habe und weshalb sich seine geschiedene Ehefrau veranlasst gesehen habe, tatsachenwidrig von einer gemeinsamen Zweitwohnung zu sprechen. Undurchsichtig sei auch die Konstruktion des Mietverhältnisses. In der Beschwerdeschrift an das Bundesverwaltungsgericht sei ausgeführt worden, der Anstoss sei vom Vermieter ausgegangen, der gewollt habe, dass der Beschwerdeführer als Vertragspartei des Mietvertrags auftrete und für den Mietzins hafte. Der Vermieter habe bei einer Vermietung an eine Person im Ausland die Sorge gehabt, dass die Mietzahlungen nicht gesichert seien. Nachdem das BFM darauf hingewiesen habe, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner ungünstigen wirtschaftlichen Situation kaum geeignet gewesen sein könne, um dem Vermieter gegenüber für die Mietzinszahlungen einzustehen, habe der Beschwerdeführer in seiner Replik kommentarlos nachgeschoben, es sei seine norwegische Bekannte gewesen, die wegen vermuteter finanzieller und aufenthaltsrechtlicher Nachteile nicht als Hauptmieterin habe auftreten wollen, was vom Vermieter akzeptiert worden sei. Aussagekräftige Belege für den behaupteten Sachverhalt würden indessen fehlen.
2.5 2.5.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Soweit ein Beschwerdeführer die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen beanstandet und eine mangelhafte Sachverhaltsfeststellung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist, kann er nur geltend machen, die Feststellungen seien offensichtlich unrichtig oder beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law>). Vorbehalten bleibt die Sachverhaltsberichtigung von Amtes wegen nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.5 S. 129 f.; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; Urteil des Bundesgerichts 1C_412/2008 vom 24. März 2009 E. 2.1; je mit Hinweisen).
2.5.2 Der Beschwerdeführer kritisiert die Schlussfolgerung des Bundesverwaltungsgerichts, er habe bereits einige Zeit vor seiner Festnahme im Juni 2004 nicht mehr in einer Haushaltsgemeinschaft mit seiner Ehefrau gelebt. Diese Sachverhaltsfeststellung sei willkürlich, weil sie einseitig und nicht das Ergebnis einer ausgewogenen Gesamtbeurteilung sei.
Mit seiner Kritik zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, welche Elemente die Vorinstanz unberücksichtigt gelassen hat oder worin sonst konkret die Willkür der Sachverhaltsfeststellung besteht. Auf die Rüge ist nicht einzutreten.
2.5.3 Der Beschwerdeführer stellt sich weiter auf den Standpunkt, er habe von Anfang an klar kommuniziert, dass die Attikawohnung nicht einem gemeinsamen Zweck der Ehegatten gedient habe. Dass das Bundesverwaltungsgericht aus der Aussage der Ehefrau aber darauf schliesse, er habe damals eine aussereheliche Beziehung vorbereitet, sei willkürlich. Es sei durchaus nachvollziehbar, dass ihn seine damalige Ehefrau mit ihren unzutreffenden Angaben habe schützen wollen. Er habe im Übrigen nie bestritten, während der Observation durch die Kriminalpolizei eine Freundschaft mit seiner Untermieterin gepflegt zu haben. Diese habe sich jedoch erst im Lauf der Zeit entwickelt und es sei willkürlich anzunehmen, dass eine aussereheliche Beziehung bereits im Zeitpunkt der Einbürgerung bestanden habe. Ebenso sei willkürlich, aus den mangelnden Kenntnissen der Ehefrau über das Strafverfahren auf den Zeitpunkt der Zerrüttung der Ehe zu schliessen.
Ob der Beschwerdeführer durch die Miete der Wohnung eine aussereheliche Beziehung "vorbereitet" hat und ob die Beziehung schon im Zeitpunkt der Einbürgerung bestand, ist im Ergebnis nicht von Bedeutung, wie sogleich darzulegen ist. Mangels Relevanz ist den Sachverhaltsrügen des Beschwerdeführers der Boden entzogen (vgl. <ref-law> am Ende).
2.6 Entscheidend ist, ob der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Einbürgerung einen intakten Ehewillen besass und ob er auf das Fortbestehen einer stabilen ehelichen Gemeinschaft vertrauen durfte. Da der Beschwerdeführer spätestens im Zeitpunkt des Beginns der kriminalpolizeilichen Observation, somit sechs Monate nach der erleichterten Einbürgerung, zu seiner ausserehelichen Partnerin gezogen war, geht das Bundesverwaltungsgericht zutreffend von der Vermutung aus, dass dies nicht zutraf.
Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, das Bundesverwaltungsgericht habe verkannt, dass die Scheidung erst im Februar 2008 stattfand. Zur Zerrüttung der Ehe habe der lange Gefängnisaufenthalt geführt, also ein Ereignis, welches erst nach Abschluss des Einbürgerungsverfahrens eingetreten sei.
Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers kommt es nicht nur auf den Zeitpunkt der Scheidung an. Vielmehr ist von Bedeutung, dass der Beschwerdeführer nur wenige Monate nach der erleichterten Einbürgerung eine feste aussereheliche Beziehung aufnahm und sogar bei seiner neuen Partnerin einzog. Ab diesem Zeitpunkt kann aus objektiver Sicht auf eine Zerrüttung der Ehe geschlossen werden. Dass zwischen der Einbürgerung und diesem Zeitpunkt ein ausserordentliches Ereignis eingetreten wäre, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf. Unbehelflich ist der Einwand, dass die Beziehung zu seiner damaligen Ehefrau in der Folge auch durch den Gefängnisaufenthalt belastet wurde. Die Rüge der Verletzung von <ref-law> ist unbegründet.
3. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Dold