Sachverhalt:
A.
A.a. A._, türkischer Staatsangehöriger, geboren am 3. August 1984, reiste am 31. Juli 1989 zusammen mit seiner Familie in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei den Eltern. Seine Aufenthaltsbewilligung wurde wiederholt verlängert, zuletzt mit Gültigkeit bis zum 31. Januar 2011. Eine Umwandlung in eine Niederlassungsbewilligung wurde im Januar 2006 abgelehnt. Er ist ledig und kinderlos; seine Eltern und Geschwister leben in der Schweiz. Er hat keine berufliche Ausbildung abgeschlossen, hat verschiedene - teilweise sehr kurze - berufliche Tätigkeiten ausgeübt, war immer wieder arbeitslos und zeitweise auf Fürsorgeleistungen angewiesen.
A.b. A._ wurde mit Entscheid der Jugendanwaltschaft Aarau vom 28. Februar 2003 verurteilt zu vier Tagen Einschliessung und Busse wegen mehrfachen, teilweise versuchten Diebstahls und Hausfriedensbruchs. Es folgten fünf Strafbefehle mit Verurteilungen zu Busse wegen Widerhandlung gegen das Transportgesetz oder Benützung der Nationalstrasse ohne gültige Vignette. Mit Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 27. Juli 2010 wurde A._ sodann verurteilt zu einer Freiheitsstrafe von 21 Monaten, bedingt vollziehbar, sowie zu einer Busse von Fr. 300.--, wegen versuchter schwerer Körperverletzung, mehrfacher Tätlichkeit, mehrfachen, teilweise versuchten und teilweise geringfügigen Diebstahls, mehrfacher Sachbeschädigung, versuchter Nötigung, mehrfachen Hausfriedensbruchs, mehrfachen Fahrens eines Motorfahrzeugs in angetrunkenem Zustand, mehrfacher grober Verletzung von Verkehrsregeln sowie mehrfacher Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, begangen zwischen Januar 2006 und Juni 2008.
A.c. Gestützt auf diese Verurteilungen lehnte das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau mit Verfügung vom 27. Mai 2011 und Einspracheentscheid vom 24. Oktober 2011 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde wurde vom Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau am 24. Mai 2012 wegen Gehörsverletzung gutgeheissen und die Sache an das Amt zurückgewiesen.
A.d. Im Jahr 2011 nahm die Staatsanwaltschaft gegen A._ Ermittlungen auf wegen Vergewaltigung, Verbreitung menschlicher Krankheiten, einfacher und/oder schwerer Körperverletzung, Betrug, Drohung, Nötigung, grober Verletzung der Verkehrsregeln, Fahrens in angetrunkenem Zustand sowie Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz. A._ war vom 28. März bis 2. November 2011 in Untersuchungshaft. Nach seiner Entlassung aus der Untersuchungshaft wurde er zweimal mit Busse bestraft wegen Strassenverkehrsdelikten. Am 26. März 2012 wurde A._ erneut festgenommen; seither befindet er sich in Untersuchungs- bzw. Sicherheitshaft.
A.e. Am 29. November 2012 wies das Amt für Migration und Integration die Einsprache gegen die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung erneut ab.
B.
B.a. A._ erhob dagegen wiederum Beschwerde beim Rekursgericht, welches per 1. Januar 2013 in das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau integriert wurde.
B.b. Mit Urteil des Bezirksgerichts Baden vom 19. September 2013 wurde A._ verurteilt zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren und einer Geldstrafe von 360 Tagessätzen zu Fr. 30.-- wegen gewerbsmässigen Betrugs, mehrfachen versuchten Verbreitens menschlicher Krankheiten, versuchter Erpressung, Nötigung, mehrfacher einfacher Körperverletzung, Diebstahls, Veruntreuung, mehrfacher Sachbeschädigung sowie grober Verletzung der Verkehrsregeln. Zugleich wurde der am 27. Juli 2010 gewährte bedingte Vollzug der damals ausgesprochenen Freiheitsstrafe von 21 Monaten widerrufen. Gegen dieses Urteil meldeten sowohl A._ als auch eine Zivil- und Strafklägerin Berufung an.
B.c. Mit Urteil vom 25. März 2014 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde gegen die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab.
C.
A._ erhebt mit Eingabe vom 16. April 2014 Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache an das Amt für Migration und Integration zurückzuweisen. Zudem beantragt er Sistierung des Verfahrens bis zum rechtskräftigen Ausgang des Strafverfahrens.
Das Amt für Migration und Integration und das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau sowie das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde.
Mit Eingabe vom 12. Mai 2014 reicht A._ weitere Unterlagen ein.

Erwägungen:
1.
Streitgegenstand ist nicht der Widerruf einer Bewilligung, sondern die Nicht-Verlängerung einer abgelaufenen Bewilligung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher nur zulässig, wenn auf diese Verlängerung ein Anspruch besteht (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Andernfalls ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig (Art. 113 ff. BGG). Der ledige und kinderlose Beschwerdeführer hat keinen landesrechtlichen Anspruch auf die beantragte Bewilligung. Er beruft sich jedoch in vertretbarer Weise auf Art. 8 EMRK, so dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314 mit Hinweisen), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung oder der Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356.). Neue Tatsachen oder neue Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Nachträglich eingetretene Tatsachen und entsprechende Beweismittel ("echte Noven") bleiben im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unberücksichtigt (<ref-ruling> E. 3.5 S. 397; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
3.
Der Beschwerdeführer beantragt die Sistierung des Verfahrens bis zum rechtskräftigen Strafurteil. Indessen könnte das Bundesgericht dieses Urteil als echtes Novum ohnehin nicht berücksichtigen (Art. 99 Abs. 1 BGG; vorne E. 2, am Ende), so dass es keinen Grund für eine Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens darstellen kann.
4.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 8 EMRK und Art. 13 BV.
4.1. Die Europäische Menschenrechtskonvention verschafft praxisgemäss keinen Anspruch auf Einreise und Aufenthalt oder auf einen besonderen Aufenthaltstitel (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 250; <ref-ruling> E. 4.1.1 S. 249; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 f.). Sie hindert die Konventionsstaaten nicht daran, die Anwesenheit auf ihrem Staatsgebiet zu regeln und den Aufenthalt ausländischer Personen unter Beachtung überwiegender Interessen des Familien- und Privatlebens gegebenenfalls auch wieder zu beenden (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 250 mit Hinweisen). Dennoch kann es das in Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens verletzen, wenn einer ausländischen Person, deren Familienangehörige sich hier aufhalten, die Anwesenheit untersagt und damit ihr Zusammenleben vereitelt wird. Das entsprechende, in Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV geschützte Recht ist berührt, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme eine nahe, echte und tatsächlich gelebte familiäre Beziehung einer in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigten Person beeinträchtigt, ohne dass es dieser möglich bzw. zumutbar wäre, das entsprechende Familienleben andernorts zu pflegen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 336). Art. 8 EMRK schützt in diesem Zusammenhang in erster Linie die Kernfamilie, d.h. die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Kindern (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146; <ref-ruling> E. 2 S. 14). Andere familiäre Beziehungen, namentlich diejenige zwischen Eltern und erwachsenen Kindern, stehen nur ausnahmsweise unter dem Schutz von Art. 8 EMRK, wenn ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis besteht (<ref-ruling> E. 5.1 S. 402; <ref-ruling> E. 3.1 S. 148; <ref-ruling> E. 2 S. 13 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 260 f.). Bei Personen, die schon sehr lange in der Schweiz leben, kann die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung ungeachtet familiärer Beziehungen einen Eingriff in das durch Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Privatleben darstellen (Urteil des EGMR i.S. Gezginci gegen Schweiz vom 9. Dezember 2010 [16327/05] § 57).
4.2. Nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK ist ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er einen Akt bildet, der sich in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung, für das wirtschaftliche Wohl des Landes und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutz der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Freiheiten anderer als nötig erweist. Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte stützt sich bei der Beurteilung der Zulässigkeit aufenthaltsbeendender Massnahmen im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK (Schutz des Privat- und Familienlebens) auf die gleichen Aspekte wie die bundesgerichtliche Praxis, nämlich: (1) Die Art und Schwere der vom Betroffenen begangenen Straftaten, wobei besonders ins Gewicht fällt, ob er diese als Jugendlicher oder als Erwachsener begangen und es sich dabei um Gewaltdelikte gehandelt hat oder nicht; (2) die Dauer des Aufenthalts im Land, (3) die seit der Tatbegehung verstrichene Zeit und das Verhalten des Betroffenen während dieser, (4) die sozialen, kulturellen und familiären Bindungen zum Aufenthaltsstaat und zum Herkunftsland, (5) sein gesundheitlicher Zustand sowie (6) die mit der aufenthaltsbeendenden Massnahme verbundene Dauer der Fernhaltung (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 20 f., 31 E. 2.3.3 S. 34 ff.).
5.
Mit der rechtskräftigen Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von 21 Monaten ist ein gesetzlicher Grund für die Nichtverlängerung der Bewilligung erfüllt (Art. 33 Abs. 3 i.V.m. Art. 62 lit. b AuG). Umstritten ist die Verhältnismässigkeit der Massnahme.
5.1. Der Beschwerdeführer ist ledig und kinderlos, hat mithin keine Kernfamilie. Er beruft sich auf die Beziehung zu seinen hier lebenden Eltern, Geschwistern sowie Nichten und Neffen, ohne aber darzulegen, dass ein über die normalen familiären Bindungen hinausgehendes Abhängigkeitsverhältnis (vgl. vorne E. 4.1) vorliegen würde. Sein Recht auf Familienleben ist daher nicht berührt.
5.2. Die Vorinstanz hat gewürdigt, dass der Beschwerdeführer seit seinem 17. Lebensjahr wiederholt straffällig geworden war. Das Verwaltungsgericht erwog, bei den Taten, die der Verurteilung vom 27. Juli 2010 zugrunde lagen, habe es sich um gravierende Verstösse gegen die Rechtsordnung gehandelt, da der Beschwerdeführer die körperliche Integrität anderer verletzt respektive gefährdet habe. Erschwerend komme dazu, dass er wiederholt und erst noch während laufender Probezeit und nach Entlassung aus der Untersuchungshaft delinquiert habe. Entsprechend hoch sei das öffentliche Interesse an einer Entfernung des Beschwerdeführers aus der Schweiz. Daran vermöge auch das Gutachten vom 10. August 2012 nichts zu ändern, attestiere es doch dem Beschwerdeführer höchstens eine leichte Verminderung der Schuldfähigkeit. Gemäss diesem Gutachten sei zudem eine erhebliche Erhöhung der Rückfallgefahr zu erwarten; dass nach einer erfolgreichen Therapie keine Rückfallgefahr mehr bestehen würde, lasse sich dem Gutachten nicht entnehmen; zudem stehe der Beschwerdeführer gemäss Gutachten einer stationären Therapie ablehnend gegenüber. Die nunmehr in der Beschwerde erklärte Therapiebereitschaft sei kaum ernsthaft gemeint. Auch nach dieser Verurteilung vermöge der Beschwerdeführer kein Wohlverhalten vorzuweisen, welches geeignet wäre, das öffentliche Interesse an der Nichtverlängerung der Bewilligung geringer erscheinen zu lassen; die Vorinstanz erwähnt in diesem Zusammenhang die erneuten Ermittlungen der Staatsanwaltschaft mit Untersuchungs- und Sicherheitshaft, die Sachbeschädigungen und das renitente und mühsame Verhalten während der Untersuchungshaft sowie die zwei Strafbefehle nach der Haftentlassung. Es könne somit nicht auf ein relevantes Wohlverhalten geschlossen werden; dies umso weniger, als er inzwischen mit Urteil des Bezirksgerichts Baden vom 19. September 2013 erstinstanzlich zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren verurteilt worden sei.
Das Verwaltungsgericht fügte im Zusmmenhang mit dem genannten Urteil an: "Mit Blick auf die Frage des Wohlverhaltens ist dabei nicht relevant, dass dieses Urteil noch nicht in Rechtskraft erwachsen ist. Klar zu stellen ist, dass dem Beschwerdeführer hier nicht die noch nicht rechtskräftige Verurteilung zur Last gelegt, sondern aus der Verurteilung lediglich auf ein fehlendes Wohlverhalten geschlossen wird."
Zu Gunsten des Beschwerdeführers gewichtete die Vorinstanz, dass dieser - unter Abzug der in Unfreiheit verbrachten Zeit - seit rund 211⁄2 Jahren ununterbrochen in der Schweiz lebt und auch seine Familie (Eltern, Geschwister) hier leben. Eine besondere Abhängigkeit zu ihnen bestehe aber nicht. Auch genüge das familiäre Umfeld gemäss psychiatrischem Gutachten vom 10. August 2012 nicht, um ihn für die Behandlung seiner dissozialen Persönlichkeitsstörung genügend zu unterstützen. Es bestehe auch keine erfolgreiche berufliche Integration in der Schweiz. Der Beschwerdeführer beherrsche zwar deutsch, habe aber auch genügende Kenntnisse der türkischen Sprache; sein Vorbringen, seine Muttersprache sei nicht türkisch, sondern kurdisch, stehe im Widerspruch zu den Akten, wonach er stets angegeben habe, türkischer Muttersprache zu sein. Insgesamt stünden dem Beschwerdeführer keine unüberwindbaren Hindernisse für eine Wiedereingliederung in der Türkei im Wege.
5.3. Der Beschwerdeführer kritisiert das psychiatrische Gutachten vom 10. August 2012, legt aber nicht dar, dass es bzw. die darauf gestützten Folgerungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig wären. Dasselbe gilt für seine Behauptung, seine Muttersprache sei nicht türkisch, sondern kurdisch. Auch die übrigen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz werden von ihm nicht substantiiert bestritten, so dass sie für das Bundesgericht verbindlich sind (vorne E. 2).
5.4. Bei dieser Sachlage ist die Verhältnismässigkeitsprüfung der Vorinstanz nicht zu beanstanden. Ins Gewicht fällt namentlich, dass der Beschwerdeführer nicht nur einmalig delinquiert hat, sondern während längerer Zeit immer wieder, und zwar nicht nur als Jugendlicher, sondern auch als längst Erwachsener. Erschwerend kommt hinzu, dass sich unter den von ihm begangenen Straftaten auch Gewalt- und Betäubungsmitteldelikte befinden. Die Vorinstanz hat zu Gunsten des Beschwerdeführers seine Aufenthaltsdauer in der Schweiz und die geringen Bezüge zur Heimat gewichtet. Entsprechend seiner langen Aufenthaltsdauer verwundert es nicht, dass sich sein Bekannten- und Freundeskreis in der Schweiz befindet. Trotzdem kann er jedenfalls beruflich nicht als besonders integriert betrachtet werden.
5.5. In Bezug auf das Verhalten seit der Delinquenz kritisiert der Beschwerdeführer in verschiedener Hinsicht das Strafurteil des Bezirksgerichts Baden und macht geltend, wenn er im dagegen angehobenen Berufungsverfahren vollumfänglich freigesprochen werde, habe er sich in der Freiheit bewährt, so dass ihm die Bewilligung zu erteilen wäre. Zudem dürfe ihm dieses noch nicht rechtskräftige Urteil aufgrund der Unschuldsvermutung nicht entgegengehalten werden.
Es trifft zu, dass ein nicht rechtskräftiges Urteil auch ausländerrechtlich dem Beschwerdeführer nicht entgegengehalten werden kann. Insofern ist die Formulierung der Vorinstanz, wonach aus der erstinstanzlichen Verurteilung auf fehlendes Wohlverhalten geschlossen werde, nicht unproblematisch; wenn nämlich der Beschwerdeführer - wie von ihm beantragt - oberinstanzlich vollumfänglich freigesprochen wird, entfällt insoweit der Vorwurf des fehlenden Wohlverhaltens. Das ändert aber nichts daran, dass der Beschwerdeführer sich seit Frühjahr 2011 mehrheitlich in Untersuchungshaft befindet, so dass sein Wohlverhalten in dieser Zeit nicht beurteilt werden kann. Zudem hat er während seiner kurzen zwischenzeitlichen Entlassung aus der Untersuchungshaft bereits wieder zweimal - wenn auch geringfügig - delinquiert, wofür er rechtskräftig verurteilt wurde (vgl. vorne lit. A.d).
6.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 25 Abs. 3 BV. Er bringt vor, in der Türkei würde er wegen Militärdienstverweigerung und wegen seiner kurdischen Herkunft und alevitischen Religion mit Polizei und Militär in Konflikt kommen und der Folter oder unmenschlicher Behandlung ausgesetzt sein, zumal er in der Schweiz an Aktivitäten der PKK teilgenommen habe. Eine Rückkehr in die Türkei ist jedoch grundsätzlich keine Verletzung von Art. 25 Abs. 3 BV (<ref-ruling> E. 6.4 S. 76 f.), auch für Kurden nicht (Urteile 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 3.4; 2C_87/2007 vom 18. Juni 2007 E. 4.2.3). Der Beschwerdeführer beschränkt sich darüber hinaus auf allgemeine Ausführungen zur Lage von Kurden in der Türkei, ohne darzulegen, dass und inwiefern er selber spezifisch bedroht oder gefährdet wäre.
7.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Kosten des Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein