Faits:
A.
A.a. Le 19 juin 2007, la police cantonale neuchâteloise a été appelée à la maison communale de Thielle-Wavre car un automobiliste bloquait la sortie des autres automobiles avec son véhicule. Sur les lieux, les gendarmes ont rencontré A._, lequel avait une discussion houleuse avec plusieurs personnes, dont le président du Conseil communal. Les gendarmes ont interrogé les membres présents du Conseil communal ainsi que du Conseil général et ont procédé aux tests à l'éthylomètre de A._ qui accusait un taux de 1,90 o/oo à 22h25 et 1,91 o/oo à 22h35; le prénommé a refusé de se soumettre à la prise de sang.
Auditionné par la police, A._ a nié avoir conduit en état d'ivresse, affirmant que c'était son amie qui était au volant du véhicule. Cette dernière a d'abord confirmé la version de l'intéressé, puis est revenue sur ses dires avant de se rétracter à nouveau au moment de ratifier son procès-verbal d'audition. La police a alors interrogé plusieurs témoins qui ont déclaré avoir vu A._ conduire, respectivement se tenir debout contre la portière avant gauche de son véhicule, le moteur allumé.
A.b. Le Service cantonal des automobiles et de la navigation de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le SCAN) a indiqué à A._ que, sur la base des faits dénoncés dans le rapport de police, il envisageait de prendre une mesure administrative de retrait de permis. A la demande de l'intéressé, le SCAN a accepté de suspendre la procédure administrative jusqu'à droit connu sur le plan pénal.
A.c. Le 4 décembre 2007, A._ a retiré l'opposition qu'il avait formée contre l'ordonnance pénale du 20 juillet 2007 qui le reconnaissait coupable de conduite en état d'ivresse et de menaces.
A.d. La procédure administrative ayant été reprise, A._ a formulé de nouvelles observations le 4 novembre 2009. Par décision du 18 novembre 2009, le SCAN a retiré le permis de conduire du prénommé pour une durée de trois mois, retenant une infraction grave (conduite en état d'ivresse).
A.e. Cette décision a été confirmée le 26 août 2011 par le Département de la gestion du territoire de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Département).
B.
Par arrêt du 15 janvier 2013, la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois (ci-après: le Tribunal cantonal ou la cour cantonale) a rejeté le recours formé par A._. La cour cantonale a confirmé l'existence d'une infraction grave, relevant par ailleurs que la durée du retrait du permis correspondait au minimum légal.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public par lequel il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le SCAN et l'Office fédéral des routes se réfèrent aux considérations de l'arrêt entrepris, sans former d'observations. Le Service juridique du canton de Neuchâtel s'en remet à justice. La cour cantonale n'a pas déposé de déterminations sur le fond.

Considérant en droit:
1.
La voie du recours en matière de droit public, au sens des <ref-law>, est ouverte contre une décision de dernière instance cantonale relative à une mesure administrative de retrait du permis de conduire. Déposé en temps utile (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celui-ci (<ref-law>), le présent recours est en principe recevable.
2.
Le recourant se plaint d'une constatation erronée des faits pertinents par la cour cantonale. Il invoque également une violation du principe in dubio pro reo, l'instance précédente ayant, selon lui, fondé sa culpabilité en matière de LCR sur des indices non avérés ainsi que sur l'admission acritique de l'ordonnance pénale. En substance, l'intéressé fait grief à la cour cantonale d'avoir retenu à tort qu'il était au volant de son véhicule lorsqu'il était arrivé à Thielle-Wavre et que son taux d'alcoolémie au moment des faits dénoncés (21h00) tombait sous le coup d'une infraction à la LCR. Enfin, le recourant voit une violation de son droit d'être entendu dans le refus des juges cantonaux de procéder à l'audition de B._ en tant que témoin.
2.1.
2.1.1. En principe, l'autorité administrative statuant sur un retrait du permis de conduire ne peut pas s'écarter des constatations de fait d'un jugement pénal entré en force. La sécurité du droit commande en effet d'éviter que l'indépendance du juge pénal et du juge administratif ne conduise à des jugements opposés, rendus sur la base des mêmes faits (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 368 et les références).
L'autorité administrative ne peut s'écarter du jugement pénal que si elle est en mesure de fonder sa décision sur des constatations de fait inconnues du juge pénal ou qui n'ont pas été prises en considération par celui-ci, s'il existe des preuves nouvelles dont l'appréciation conduit à un autre résultat, si l'appréciation à laquelle s'est livré le juge pénal se heurte clairement aux faits constatés, ou si le juge pénal n'a pas élucidé toutes les questions de droit, en particulier celles qui touchent à la violation des règles de la circulation (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 101 s. et les références). Cela vaut non seulement lorsque le jugement pénal a été rendu au terme d'une procédure publique ordinaire au cours de laquelle les parties ont été entendues et des témoins interrogés, mais également, à certaines conditions, lorsque la décision a été rendue à l'issue d'une procédure sommaire, même si la décision pénale se fonde uniquement sur le rapport de police. Il en va notamment ainsi lorsque la personne impliquée savait ou aurait dû prévoir, en raison de la gravité des faits qui lui sont reprochés, qu'il y aurait également une procédure de retrait de permis. Dans cette situation, la personne impliquée est tenue, en vertu des règles de la bonne foi, de faire valoir ses moyens dans le cadre de la procédure pénale, le cas échéant en épuisant les voies de recours à sa disposition. Elle ne peut pas attendre la procédure administrative pour exposer ses arguments (<ref-ruling> consid. 3c/aa p. 104; <ref-ruling> consid. 3a p. 217 s.).
2.1.2. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits qui importent pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law>. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s. et les arrêts cités).
2.2. En l'espèce, par courrier du 20 juin 2007, le SCAN a indiqué au recourant qu'il envisageait de prononcer un retrait du permis de conduire pour les faits dénoncés par le rapport de police. A la demande du recourant, le SCAN a suspendu la procédure administrative jusqu'à droit connu sur le plan pénal. Le 20 juillet 2007, le Ministère public a condamné l'intéressé pour ivresse au volant. Le recourant soutient à cet égard, à tort et de manière purement appellatoire, que le prononcé pénal le sanctionne pour soustraction à une prise de sang plutôt que pour conduite en état d'ivresse. L'ordonnance pénale se fonde en effet sur le rapport de police qui expose que l'intéressé a conduit sous l'influence de l'alcool; l'ordonnance pénale fait de plus expressément référence à l'<ref-law> qui prescrit notamment que toute personne prise de boisson est tenue de s'abstenir de conduire. En l'occurrence, si le recourant désapprouvait les faits établis au pénal, il lui appartenait de faire valoir ses moyens dans le cadre de la procédure pénale conformément à la jurisprudence précitée. C'est dans ce cadre uniquement qu'il pouvait remettre en cause la crédibilité des constatations de la police cantonale. Dans la mesure où le recourant a retiré en date du 4 décembre 2007 l'opposition qu'il avait formée contre l'ordonnance pénale du 20 juillet 2007, il n'était plus possible de revenir sur les faits constatés au pénal. Par conséquent, c'est en vain que le recourant affirme qu'il n'était pas au volant de son véhicule lors de son arrivée à Thielle-Wavre devant la maison de commune et qu'il n'était pas sous l'influence de l'alcool.
Pour le reste, le recourant ne remet pas en cause le fait qu'à 22h25 il présentait un taux d'alcoolémie de 1,90 o/oo. Il reproche cependant à la cour cantonale d'avoir déduit de ce constat qu'il devait nécessairement présenter "déjà un taux supérieur à la limite autorisée à son arrivée à Thielle-Wavre vers 21h00". Telle qu'elle est formulée, la critique du recourant est irrecevable (cf. consid. 2.1.2 supra). Celui-ci se contente en effet d'affirmer de manière purement appellatoire que l'appréciation de l'instance précédente est pour le moins fantaisiste. Il ne propose aucune démonstration du caractère arbitraire de l'appréciation de la cour cantonale qui a exposé le calcul rétrospectif auquel elle a procédé pour retenir qu'au moment déterminant le recourant présentait un taux alcoolémie qualifié.
2.3. Dans ces circonstances, on ne saurait reprocher à l'autorité administrative de s'être considérée comme étant liée par l'état de fait à la base du jugement pénal retenant une conduite en état d'ivresse. Son refus d'instruire, à savoir de procéder à l'audition du témoin B._ qui devait infirmer les constatations pénales en remettant en cause la légitimité de la mesure d'alcoolémie effectuée, ne viole pas le droit d'être entendu du recourant (cf. art. 29 al. 2 Cst.). Au demeurant, telle qu'elle était formulée, sa critique tirée de la violation de son droit d'être entendu ne satisfaisait pas aux exigences stricte de motivation de l'<ref-law> s'agissant de la violation d'un droit constitutionnel (cf. <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2.2).
3.
Dans la dernière partie de son écriture, le recourant indique reprendre intégralement le contenu de son mémoire de recours adressé auprès de l'instance précédente afin que celui-ci fasse partie intégrante du présent recours. Ce procédé est irrecevable dès lors que l'art. 42 al. 1 et 2 LTF exige que le recourant discute au moins de manière succincte les considérants de la décision entreprise (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 60). Il doit exister un lien entre la motivation et la décision attaquée, condition qui fait défaut si le recourant se contente de reprendre mot pour mot la même motivation que celle présentée devant l'instance inférieure (ATF <ref-ruling> consid. 2.1 - 2.3 p. 245 ss). Dans cette mesure le recours est irrecevable.
4.
Le recourant reproche enfin à la cour cantonale d'avoir violé le principe de célérité, mettant en exergue le fait que presque six années se sont écoulées entre le comportement qui lui est reproché et l'arrêt cantonal.
4.1. L'art. 29 al. 1 Cst. garantit à toute personne, dans une procédure judiciaire ou administrative, le droit à ce que sa cause soit traitée dans un délai raisonnable. Cette disposition prohibe le retard injustifié à statuer (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 331 s.).
4.2. La durée de la présente procédure - depuis les faits incriminés jusqu'à l'arrêt du Tribunal fédéral - s'élève à près de 6 années et demie. La longueur de la procédure est certes due en partie au fait que le recourant n'a informé le SCAN du dénouement de la procédure pénale que deux ans après avoir retiré son opposition, violant ainsi son devoir de collaboration; conformément à la décision de suspension de la procédure administrative, il lui incombait en effet d'informer le SCAN quant au dénouement de la procédure pénale (cf. décision de suspension de la procédure). Quoi qu'il en soit, même en tenant compte de cet élément, la durée totale de la présente procédure contrevient au principe de célérité dès lors que la cause ne revêtait aucune difficulté particulière.
La durée du retrait a été fixée au minimum légal de trois mois prévu pour l'infraction commise (cf. <ref-law> et 16c al. 2 let. a LCR). La durée minimale du retrait de permis de conduire ne peut en principe pas être abaissée en raison d'une violation du droit d'être jugé dans un délai raisonnable ancré aux art. 29 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 336). Le Tribunal fédéral a toutefois réservé les cas où cette durée était gravement dépassée de sorte que la mesure de retrait aurait perdu tout effet éducatif ou d'amendement (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 336). Cette hypothèse n'est pas réalisée dans le cas particulier, de sorte que le retrait de permis de trois mois doit être confirmé. La violation du principe de célérité peut être réparée - au moins partiellement - par la constatation de cette violatio n et la mise à la charge de l'Etat d'une partie des frais de justice (<ref-ruling> consid. 3 p. 337; arrêts 1C_370/2013 du 14 octobre 2013 consid. 6.2 et 1C_445/2010 du 30 novembre 2010 consid. 2.5).
5.
Le recours doit par conséquent être admis partiellement. Le Tribunal fédéral constate la violation du principe de célérité. Comme le droit du recourant d'être jugé dans un délai raisonnable n'a pas été respecté par les instances précédentes, il se justifie de réformer l'arrêt de la cour cantonale en ce sens que les frais judiciaires pour la procédure devant le Tribunal cantonal sont réduits à 300 francs (au lieu de 770 francs) et mis à la charge du recourant. Compte tenu des circonstances, il n'est pas perçu de frais judiciaires pour la procédure devant le Tribunal fédéral.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis. La violation du principe de célérité est constatée et le chiffre 2 du dispositif de l'arrêt du 15 janvier 2013 de la Cour de droit public du Tribunal cantonal est réformé en ce sens que les frais de procédure devant le Tribunal cantonal - réduits à 300 francs - sont mis à la charge du recourant.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service cantonal des automobiles et de la navigation, au Département de la gestion du territoire et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, ainsi qu'à l'Office fédéral des routes.
Lausanne, le 9 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Arn