Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 6. Mai 2009 sprach die IV-Stelle Uri dem 1954 geborenen A._ gestützt auf ein psychiatrisches Gutachten von Dr. med. B._, das vom 7. Juli 2008 datiert, eine Viertelsrente zu (Invaliditätsgrad: 47 %). Ein Revisionsgesuch vom September 2011 blieb ohne Erfolg (Verfügung vom 24. Juli 2012). Am 10. Februar 2014 beantragte A._ wegen einer Artheriopatie, psychischen Beschwerden, einer koronaren Herzkrankheit und einer zunehmenden Rückenproblematik erneut eine Rentenrevision, worauf die IV-Stelle mit Verfügung vom 1. Juli 2014 nicht eintrat.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Uri mit Entscheid vom 4. September 2015 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei die IV-Stelle zu verpflichten, auf das Leistungsbegehren einzutreten, dieses in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht auf der Grundlage eines versicherungsexternen polydisziplinären Gutachtens umfassend zu prüfen und anschliessend über den Anspruch auf eine höhere Invalidenrente zu entscheiden.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Wurde eine Rente wegen eines zu geringen Invaliditätsgrades verweigert, so wird eine neue Anmeldung nur geprüft, wenn damit glaubhaft gemacht wird, dass sich der Grad der Invalidität in einer für den Anspruch erheblichen Weise geändert hat (Art. 87 Abs. 3 in Verbindung mit Abs. 2 IVV).
Die zeitliche Vergleichsbasis für die Frage, ob eine rentenrelevante Veränderung des Sachverhalts glaubhaft ist, bildet der Zeitpunkt der letzten umfassenden materiellen Prüfung. Der Vergleichszeitraum erstreckt sich grundsätzlich bis zur Prüfung und Beurteilung des Gesuchs, d.h. bis zum Erlass der Verfügung betreffend die Neuanmeldung. Für die beschwerdeweise Überprüfung einer Nichteintretensverfügung ist somit der Sachverhalt, wie er sich der Verwaltung bot, respektive die Aktenlage bei Erlass dieser Verfügung massgeblich ( <ref-ruling> E. 5.4 S. 11; <ref-ruling> E. 5.2.5 S. 68 f.; Urteil 9C_683/2013 vom 2. April 2014 E. 3.3.1).
2.2. Mit dem Beweismass des Glaubhaftmachens sind herabgesetzte Anforderungen an den Beweis verbunden; die Tatsachenänderung muss nicht nach dem im Sozialversicherungsrecht sonst üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5b S. 360) erstellt sein. Es genügt, dass für das Vorhandensein des geltend gemachten rechtserheblichen Sachumstandes wenigstens gewisse Anhaltspunkte bestehen, auch wenn durchaus noch mit der Möglichkeit zu rechnen ist, bei eingehender Abklärung werde sich die behauptete Änderung nicht erstellen lassen (Urteile I 724/99 vom 5. Oktober 2001 E. 1c/aa, nicht publiziert in <ref-ruling>, aber in SVR 2002 IV Nr. 10; 8C_746/2013 vom 10. Juni 2014 E. 2).
2.3. Ob eine anspruchserhebliche Änderung nach <ref-law> glaubhaft gemacht ist, stellt eine vom Bundesgericht nur unter dem Blickwinkel von <ref-law> überprüfbare Tatfrage dar. Um eine Frage rechtlicher Natur handelt es sich hingegen, wenn zu beurteilen ist, wie hohe Anforderungen an das Glaubhaftmachen im Sinne von <ref-law> zu stellen sind (Urteil 9C_760/2014 vom 12. Januar 2015 E. 2.3 mit Hinweisen).
3.
3.1. Das kantonale Obergericht hat das Nichteintreten der IV-Stelle auf die Neuanmeldung des Versicherten vom 10. Februar 2014 mangels Glaubhaftmachen einer Verschlechterung des Gesundheitszustands bestätigt. Zu vergleichen ist unbestritten der Zeitraum (E. 2.1) zwischen dem 6. Mai 2009 (Zusprache einer Viertelsrente) und dem 1. Juli 2014 (Nichteintreten auf die Neuanmeldung).
3.2. Die Vorinstanz hat einzig in Bezug auf den hausärztlichen Bericht von Dr. med. C._ vom 18. April 2014 auf die Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 24. Juni 2014 abgestellt. Sowohl der Hausarzt des Versicherten als auch der RAD-Arzt Dr. med. D._ sind Fachärzte für Innere Medizin. Dass es dem beurteilenden RAD-Arzt im Vergleich zum behandelnden Arzt an einem einschlägigen Facharzttitel fehlen soll (zur Beweiskraft v on RAD-Aktenbeurteilungen vgl. SVR 2009 IV Nr. 50 S. 153, 8C_756/2008; Urteil 9C_692/2014 vom 22. Januar 2015 E. 3.3), trifft somit nicht zu. Abgesehen davon genügt das Fehlen einer einschlägigen Facharztqualifikation allein grundsätzlich nicht, um einer RAD-Stellungnahme den Beweiswert abzusprechen (vgl. Urteil 9C_196/2014 vom 18. Juni 2014 E. 5.1.2 mit Hinweisen). Insoweit ist der Einwand auch hinsichtlich des psychiatrischen Berichts von Dr. med. E._ vom 11. März 2014 unberechtigt. Dies gilt umso mehr, als die Vorinstanz diesbezüglich gar nicht auf eine RAD-Einschätzung abgestellt hat (vgl. nachfolgend E. 3.3.1).
3.3.
3.3.1. Das kantonale Obergericht hat festgestellt, die Beinschmerzen des Versicherten seien bereits 2004 bekannt gewesen. Im Bericht betreffend Wirbelsäulendegenerationen würden eine absolute spinale Stenose sowie eine Myelopathie verneint; klinisch werde von bekannten degenerativen Veränderungen gesprochen, welche somit nicht neu seien. Neue Diagnosen nenne auch Dr. med. E._ im Bericht vom 7. März 2014 keine. Dieser habe vielmehr bereits im Jahre 2011 eine volle Arbeitsunfähigkeit attestiert. Ebenfalls keine Verschlechterung ergebe sich aus den Ausführungen von Dr. med. E._, wonach es seit 2012 immer wieder zu einer Zunahme der depressiven Symptomatik gekommen sei. Dazu halte er nämlich weiter fest, eine weitere Verschlechterung habe durch adäquate Massnahmen abgewendet und eine erneute Stabilisierung erreicht werden können. Schliesslich enthalte auch der Bericht von Dr. med. C._ vom 18. April 2014 keine objektivierbare Verschlechterung.
3.3.2. Die Vorinstanz hat sowohl die perhiphere arterielle Verschlusskrankheit (Berichte des Spitals F._ vom 1./7. April und 16. Dezember 2011) als auch die Herzerkrankung (Berichte des Herzzentrums G._ vom 29. November/11. Dezember 2012 und 21. Januar 2013) des Versicherten berücksichtigt. Was die in diesem Zusammenhang geltend gemachten Bein- und Thoraxschmerzen anbelangt, so sind diese in der Tat schon vor 2009 dokumentiert (vgl. Berichte der neurologischen Praxis K._ vom 11. Mai 2006 [Beinschmerzen] und der Reha L._ vom 1. Juli 2005 [Thoraxschmerzen]). Im Übrigen konnte ein Zusammenhang zwischen der Venenbypass-Operation vom April 2011 und den diffusen Beinschmerzen bzw. zwischen der Herzoperation vom Januar 2013 und den Thoraxschmerzen selbst von den behandelnden Ärzten nicht hergestellt werden, sodass nichts auf eine dadurch bedingte, dauerhafte Verschlechterung hindeutet (vgl. Berichte des Spitals F._ vom 16. Dezember 2011und des Spitals H._ vom 29. April 2013). Hinsichtlich der Rückenbeschwerden hat das kantonale Obergericht die in der Klinik I._ erfolgte MRI-Bildgebung vom 29. Januar 2014 herangezogen. Die dort erhobenen Befunde stimmen - den vorinstanzlichen Feststellungen entsprechend (E. 3.3.1) - im Wesentlichen mit der früheren Bildgebung überein (vgl. Bericht der neurologischen Praxis K._ vom 6. Juni 2006), wobei nach wie vor weder eine Fraktur noch eine Osteolyse oder eine Bandscheibenhernie nachweisbar ist. Dass aufgrund der Rückenschmerzen des Versicherten trotz des altersbedingten Fortschreitens der degenerativen Veränderungen unbestritten keine (weitergehende) Arbeitsunfähigkeit ausgewiesen ist, stimmt mit den Akten überein; eine vorweggenommene materielle Beurteilung hat das kantonale Obergericht diesbezüglich nicht vorgenommen.
Mit Blick auf die Beurteilung des behandelnden Psychiaters Dr. med. E._ vom 7. März 2014 räumt der Beschwerdeführer selber ein, dass bereits in den Berichten der Klinik M._ vom Februar/März 2007 eine (mittelgradige) depressive Störung diagnostiziert wurde (vgl. Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri vom 4. April 2008 E. 3.s und 3.t S. 12 f.). Dies stützt die Auffassung der Vorinstanz, zumal psychiatrisch weder neue Diagnosen noch ein wesentlich anderes Beschwerdebild erkennbar sind. Dass die Berichte der Klinik M._ sowie die psychiatrische Begutachtung durch Dr. med. B._ (Gutachten vom 7. Juli 2008) sieben bis acht Jahre zurückliegen und seither beim Versicherten verschiedene körperliche Erkrankungen hinzugetreten sind, ändert nichts, sind vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellungen doch nicht schon offensichtlich unrichtig, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. Urteil 9C_858/2014 vom 3. September 2015 E. 2.1). In Bezug auf die Einschätzungen von Dr. med. E._ ist zudem dem Unterschied zwischen Behandlungs- und Begutachtungsauftrag Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 3b/cc S. 353; Urteil 8C/740 vom 29. September 2011 E. 6).
3.3.3. Insgesamt können die vorinstanzlichen Feststellungen nicht als offensichtlich unrichtig oder sonst wie bundesrechtswidrig bezeichnet werden. Die vom kantonalen Obergericht gezogene Schlussfolgerung, wonach die beigebrachten Verlaufsberichte keine neuen medizinischen Aspekte enthalten, die eine wesentliche Verschlechterung des Gesundheitszustands nachvollziehbar machen, hält vor Bundesrecht stand (E. 1). Es ist nicht ersichtlich, inwiefern das kantonale Gericht überhöhte Anforderungen an den Begriff des Glaubhaftmachens gestellt haben soll.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Oktober 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder