Sachverhalt:
A. Mit Strafbefehl vom 23. März 2011 auferlegte die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) X._ wegen Angriffs und einfacher Körperverletzung eine Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu je Fr. 80.--. Dabei schob sie 130 Tagessätze bei einer Probezeit von 3 Jahren bedingt auf.
Dagegen erhob X._ am 5. April 2011 Einsprache.
B. Nach weiteren Beweiserhebungen hob die Staatsanwaltschaft am 5. August 2011 den Strafbefehl auf.
Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Aargau (Beschwerdekammer in Strafsachen) am 29. September 2011 gut und hob die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 5. August 2011 auf. Es erwog, die Strafprozessordnung sehe die "Aufhebung" des Strafbefehls durch Verfügung der Staatsanwaltschaft vor beabsichtigter Anklageerhebung nicht vor. Die Staatsanwaltschaft könne sich angesichts der abschliessenden gesetzlichen Regelung nicht auf den Grundsatz des allgemeinen Verwaltungsrechts berufen, wonach eine Behörde eine Verfügung bis zur Rechtskraft zurücknehmen könne.
C. Die Staatsanwaltschaft führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben.
D. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.
X._ hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen.

Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid stellt unstreitig einen Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG dar.
Gemäss Absatz 1 dieser Bestimmung ist gegen einen solchen Entscheid die Beschwerde zulässig: a) wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann; oder b) wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
Der Beschwerdeführer muss - sofern das nicht offensichtlich ist - im Einzelnen darlegen, weshalb diese Eintretensvoraussetzungen erfüllt sein sollen. Andernfalls genügt er seiner Begründungspflicht nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG nicht und kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 4 S. 95; je mit Hinweisen).
1.2 Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, weshalb die Variante nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG gegeben sein soll. Dies ist auch nicht offensichtlich. Auf die Beschwerde kann somit gestützt auf diese Bestimmung nicht eingetreten werden.
1.2 Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, weshalb die Variante nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG gegeben sein soll. Dies ist auch nicht offensichtlich. Auf die Beschwerde kann somit gestützt auf diese Bestimmung nicht eingetreten werden.
1.3 1.3.1 Nach der Rechtsprechung muss es sich beim nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG um einen solchen rechtlicher Natur handeln. Ein derartiger Nachteil liegt vor, wenn er auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht vollständig behoben werden kann. Ein lediglich tatsächlicher Nachteil wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382 mit Hinweisen).
1.3.2 Die Beschwerdeführerin bemerkt zu Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG lediglich, der angefochtene Entscheid habe es dem Beschwerdegegner ermöglicht, die Beschwerde zurückzuziehen. Dadurch entstehe der Beschwerdeführerin ein direkter, nicht wieder gutzumachender Nachteil (Beschwerde S. 2/3 Ziff. 1).
Die Beschwerdeführerin legt jedoch nicht - wozu sie nach der angeführten Rechtsprechung verpflichtet gewesen wäre - im Einzelnen dar, weshalb ihr wegen des Rückzugs der Einsprache ein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur erwachsen soll.
1.3.3 Dies ist auch nicht offensichtlich.
Anscheinend ist die Beschwerdeführerin heute der Auffassung, der Beschwerdegegner sei mit dem Strafbefehl zu milde bestraft worden.
Wie sie mit Schreiben vom 1. November 2011 dem Beschwerdegegner mitgeteilt hat, wird sie trotz des Rückzugs der Einsprache Anklage erheben. Das Obergericht habe dieses Vorgehen im angefochtenen Entscheid aufgezeigt. Es werde dann - so die Beschwerdeführerin weiter - Sache des erstinstanzlichen Gerichts sein, darüber zu entscheiden, ob der vor der Anklageerhebung erklärte Rückzug der Einsprache beachtlich sei (Vernehmlassungsbeilage 2).
Erachtet das erstinstanzliche Gericht den Rückzug der Einsprache als unbeachtlich, dürfte es sich mangels Rechtskraft des Strafbefehls als befugt ansehen, eine höhere Strafe auszusprechen. Damit entstünde der Beschwerdeführerin kein Nachteil. Erachtete das erstinstanzliche Gericht den Rückzug der Einsprache dagegen als beachtlich und hielte es sich wegen der Rechtskraft des Strafbefehls nicht befugt, eine höhere Strafe auszusprechen, könnte die Beschwerdeführerin dagegen den Rechtsmittelweg beschreiten, womit der ihr entstandene Nachteil beseitigt werden könnte.
1.3.4 Legt die Beschwerdeführerin demnach nicht in einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genügenden Weise dar, worin der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bestehen soll und ist dies auch nicht offensichtlich, kommt ein Eintreten gestützt auf diese Bestimmung ebenso wenig in Betracht.
2. Auf die Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden.
Kosten sind keine zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton hat dem Anwalt des Beschwerdegegners für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist damit hinfällig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Aargau hat dem Verteter des Beschwerdegegners, Rechtsanwalt Pascal Veuve, eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Februar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri