Sachverhalt:
A. Die 1965 geborene C._ absolvierte eine Coiffeuseausbildung und war danach in diversen Berufen erwerbstätig. Am 5. Januar 2006 meldete sie sich wegen Panikattacken und Agoraphobie bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug (Berufsberatung, Umschulung, Arbeitsvermittlung) an. Mit Verfügungen vom 1. Juni 2006 sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Thurgau Beratung und Unterstützung bei der Stellensuche zu, lehnte aber eine Umschulung ab. Am 13. September 2006 gewährte sie der Versicherten Kostengutsprache für ein vom 18. September bis 30. November 2006 dauerndes Praktikum in einer Firma. Mit Vorbescheid vom 13. Oktober 2006 schloss sie die Arbeitsvermittlung ab, wogegen die Versicherte opponierte. Am 5. Januar 2007 bejahte die IV-Stelle erneut den Anspruch auf Beratung und Unterstützung bei der Stellensuche. Am 13. Februar 2007 stellte die Versicherte ein Rentengesuch. Die IV-Stelle holte diverse Arztberichte sowie ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. S._ vom 10. Oktober 2007 ein. Dieser stellte folgende Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit: Panikstörung (ICD-10: F41.0) und Agoraphobie (ICD-10: F40.0) mit Begleitdepression auf dem Hintergrund von akzentuierten Persönlichkeitszügen (ICD-10: Z73.1). Vom 4. März bis 6. Mai 2008 weilte die Versicherte in der Klinik L._, die im Austrittsbericht vom 19. Mai 2008 eine Panikstörung mit Agoraphobie (ICD-10: F40.01) bei Zügen einer ängstlich-vermeidenden Persönlichkeit diagnostizierte. Mit Vorbescheid vom 17. März 2008 sprach ihr die IV-Stelle ab 1. März 2007 eine Viertelsrente (Invaliditätsgrad 40 %) und ab 1. Juni 2007 eine halbe Invalidenrente (Invaliditätsgrad 54 %) zu. Am 18. Juni 2006 verlangte die Gemeinde G._ für die Versicherte die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente, da sich ihr Gesundheitszustand verschlechtert habe. Aus gleichem Grund stellte der Psychiater Dr. med. T._ am 8. August 2008 einen Antrag auf Rentenrevision; seit 20. Februar 2008 sei die Versicherte zu 100 % arbeitsunfähig. Mit Vorbescheid vom 26. August 2008 wies die IV-Stelle das Leistungsbegehren vom 18. Juni 2008 bzw. eine Rentenerhöhung ab, wogegen die Versicherte am 10. September 2008, die Gemeinde am 15. September 2008 und Dr. med. T._ am 16. September 2008 opponierten. Mit Schreiben vom 16. September 2008 stellte die IV-Stelle die Prüfung der Einwände der Gemeinde vom 15. September 2008 gegen den Vorbescheid vom 26. August 2008 in Aussicht. Mit zwei unangefochten in Rechtskraft erwachsenen Rentenverfügungen vom 22. Oktober 2008 bestätigte die IV-Stelle - ohne Bezugnahme auf die Renten-Erhöhungsgesuche - ihren Vorbescheid vom 17. März 2008. Mit Revisionsverfügung vom 15. Dezember 2008 lehnte sie - unter Bezugnahme auf das Gesuch der Gemeinde vom 18. Juni 2008 und ihren Einwand vom 15. September 2008 gegen den Vorbescheid vom 26. August 2008 - eine Rentenerhöhung ab.
B. Die gegen die Verfügung vom 15. Dezember 2008 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 20. Mai 2009 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, es seien der kantonale Entscheid aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen, unter Berücksichtigung der seit dem Erlass des ersten Vorbescheids von 17. März 2008 eingereichten neuen Beweismittel, insbesondere der ärztlichen Berichte der Dres. med. R._ vom 15. September 2008 und T._ vom 16. September 2008 sowie der Vorbringen der Versicherten. Sie verlangt die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das kantonale Gericht schliesst auf Beschwerdeabweisung, während die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen auf Vernehmlassung verzichten.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 99). Die Beschwerdeschrift hat unter anderem die Begehren und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel zu enthalten, wobei im Rahmen der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Die Beschwerde ans Bundesgericht ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Daher darf sich die Beschwerde führende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Sie muss demnach angeben, welche Punkte des Entscheides angefochten und welche Abänderungen beantragt werden. Grundsätzlich ist ein materieller Antrag erforderlich. Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig, es sei denn, das Bundesgericht wäre im Fall der Beschwerdegutheissung nicht in der Lage, in der Sache selbst zu entscheiden (<ref-ruling> E. 1.3, 133 III 489 f. E. 3.1, je mit Hinweisen). Das Begehren kann sich auch aus der Begründung in der Rechtsschrift ergeben (vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 336; Urteil 8C_119/2009 vom 27. Juli 2009 E. 2.1 mit Hinweis).
1.2 Die Beschwerdeführerin beantragt unter dem Titel "Rechtsbegehren" die Aufhebung des kantonalen Entscheides und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuem Entscheid; einen materiellen Antrag stellt sie hier nicht. Indessen geht aus der Beschwerdebegründung insgesamt hervor, dass sie die Zusprechung einer höheren Invalidenrente verlangt. Zudem wäre das Bundesgericht aufgrund der Akten nicht in der Lage, bei Beschwerdegutheissung in der Sache selbst zu entscheiden. Auf die Beschwerde ist demnach einzutreten.
2. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Urteil 8C_806/2008 vom 5. Januar 2009 E. 1.1). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dies ist auf Grund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen (nicht. publ. E. 1 des Urteils BGE 8C_763/2008 vom 19. Juni 2009).
Tatsächlicher Natur sind die gestützt auf medizinische Untersuchungen getroffenen Feststellungen zur Arbeits(un)fähigkeit. Bei der Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen aufgrund allgemeiner Lebenserfahrung geht es um eine Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 43 Abs. 1 bzw. <ref-law> sowie der bundesrechtlichen Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten ist Rechtsfrage. Die konkrete Beweiswürdigung betrifft Tatfragen (Urteil 8C_736/2008 vom 4. Juni 2009 E. 3).
3. Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen über die Arbeitsunfähigkeit (<ref-law>), die Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>) und die Invalidität (<ref-law>) sowie die Rechtsprechung zur invalidisierenden Wirkung psychischer Gesundheitsschäden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 50 f. mit Hinweisen) richtig dargelegt. Gleiches gilt zu den Voraussetzungen und zum Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law>), zur Rentenrevision (<ref-law>; vgl. <ref-ruling>, 130 V 343 E. 3.5 S. 349 ff.), zum Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>; <ref-ruling> E. 5 S. 374, 130 V 64 E. 5.2.5 S. 68 f.) und zum Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> f. E. 5.1). Darauf wird verwiesen.
4. Die Vorinstanz hat erwogen, die Rentenverfügungen vom 22. Oktober 2008 - mit Zusprechung einer Viertelsrente ab 1. März 2007 (Invaliditätsgrad 40 %) und einer halben Invalidenrente ab 1. Juni 2007 (Invaliditätsgrad 54 %) - seien unangefochten in Rechtskraft erwachsen. Beschwerdeweise mache die Versicherte insbesondere gestützt auf den Bericht des Dr. med. T._ vom 16. September 2008 geltend, ihr Gesundheitszustand habe sich seit anfangs 2008 verschlechtert; seit der Einlieferung in die Klinik L._ am 4. März 2008 sei sie zu 100 % arbeitsunfähig. Weiter legte die Vorinstanz dar, in formeller Hinsicht hätte auf die mit Eingabe der Gemeinde G._ vom 18. Juni 2008 geltend gemachte Verschlechterung des Gesundheitszustandes der Versicherten bereits in den Verfügungen vom 22. Oktober 2008 eingegangen werden müssen, zumal dies einen Zeitraum vor deren Erlass betroffen habe und auch bereits die Vorbescheide vom 17. März und 26. August 2008 eröffnet gewesen seien. Dies ändere allerdings nichts daran, dass diese Verfügungen unangefochten in Rechtskraft erwachsen seien. Mit anderen Worten sei über den bis 22. Oktober 2008 eingetretenen Sachverhalt - ungeachtet dessen, dass in den Verfügungs-Erwägungen mit keinem Wort auf das Begehren um Rentenerhöhung bzw. die behauptete Verschlechterung des Gesundheitszustandes eingegangen worden sei - formell bereits entschieden worden. Der 22. Oktober 2008 sei somit Bezugszeitpunkt für die Beurteilung, ob eine rentenrelevante Verschlechterung des Gesundheitszustandes der Versicherten vorliege. Nur neue Elemente bzw. Veränderungen tatsächlicher Natur, die seit 22. Oktober 2008 bis zum Erlass der streitigen Revisionsverfügung vom 15. Dezember 2008 (<ref-ruling> E. 1b S. 366) eingetreten seien, seien zu berücksichtigen. Da dieser Zeitraum nicht einmal zwei Monate betrage, müsse eine rentenwirksame Verschlechterung des Gesundheitszustandes bereits gestützt auf <ref-law> verneint werden; denn nach dieser Norm sei bei einer Verschlechterung der Erwerbsfähigkeit die anspruchsbeeinflussende Änderung erst zu berücksichtigen, sobald sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate angedauert habe. Im Übrigen werde für diese kurze Zeitspanne von der Versicherten eine Veränderung der tatsächlichen Verhältnisse nicht geltend gemacht und sei auch nicht aus den Akten ersichtlich. Die Verschlechterung des Gesundheitszustandes werde von ihr vielmehr auf Frühjahr 2008 bzw. März 2008, mithin auf Zeitpunkte vor Erlass der Verfügungen vom 22. Oktober 2008, terminiert. Unter diesen Umständen sei das Revisionsbegehren zu Recht abgewiesen worden. Zwar müsse sich die IV-Stelle vorwerfen lassen, auf die geltend gemachte Verschlechterung des Gesundheitszustandes nicht bereits in den Verfügungen vom 22. Oktober 2008 eingegangen zu sein. Diesen Umstand habe die IV-Stelle noch während der gegen diese Verfügungen laufenden Rechtsmittelfrist bemerkt, habe sich aber nicht veranlasst gesehen, sie noch vor Rechtskrafteintritt in Wiedererwägung zu ziehen und das Revisionsbegehren in einer neuen Verfügung ebenfalls mitzubeurteilen. Zwar ändere dieses Vorgehen der IV-Stelle nichts am Verfahrensausgang, da kein Rechtsanspruch auf eine Wiedererwägung bestehe (SVR 2008 IV Nr. 54 S. 179 E. 3.1 [I 896/06]); jedoch sei diesem Umstand bei der Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolge Rechnung zu tragen.
5. Anfechtungsgegenstand des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens war das durch die streitige Verwaltungsverfügung vom 15. Dezember 2008 geregelte Rechtsverhältnis (hiezu vgl. <ref-ruling> f. E. 2.1). Aus dem im Sachverhalt geschilderten Verfahrensablauf ist ersichtlich, dass die IV-Stelle das ursprüngliche Rentengesuch vom 13. Februar 2007 und das Gesuch vom 18. Juni 2008 um Erhöhung der mit erstem Vorbescheid vom 17. März 2008 zugesprochenen Invalidenrente (ab 1. März 2007 einer Viertelsrente und ab 1. Juni 2007 einer halben Invalidenrente) in zwei separaten Verfahren - nämlich mit dem zweiten Vorbescheid vom 26. August 2008 sowie den Rentenverfügungen vom 22. Oktober 2008 (betreffend den Vorbescheid vom 17. März 2008) und der Revisionsverfügung vom 15. Dezember 2008 (betreffend den Vorbescheid vom 26. August 2008) - geprüft und entschieden hat. Mit den unangefochten in Rechtskraft erwachsenen Rentenverfügungen vom 22. Oktober 2008 bestätigte die IV-Stelle - ohne Bezugnahme auf die Renten-Erhöhungsgesuche - ihren Vorbescheid vom 17. März 2008. Mit der Revisionsverfügung vom 15. Dezember 2008 lehnte sie - unter Bezugnahme auf das Erhöhungsgesuch der Gemeinde vom 18. Juni 2008 und ihren Einwand vom 15. September 2008 gegen den Vorbescheid vom 26. August 2008 - eine Rentenerhöhung ab. Zuvor hatte die IV-Stelle mit Schreiben vom 16. September 2008 die Prüfung des Einwandes der Gemeinde vom 15. September 2008 gegen den Vorbescheid vom 26. August 2008 in Aussicht gestellt. Die behauptete Verschlechterung des Gesundheitszustandes der Versicherten war damit tatsächlich nicht Gegenstand der rechtskräftig gewordenen Rentenverfügungen vom 22. Oktober 2008, sondern einzig der Revisionsverfügung vom 15. Dezember 2008, gegen die rechtzeitig Beschwerde erhoben wurde. Die Beschwerdeführerin durfte sich nach Treu und Glauben (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.) auf dieses Vorgehen der IV-Stelle verlassen, auch wenn diese richtigerweise die allfällige Verschlechterung des Gesundheitszustandes im Rahmen der Verfügungen vom 22. Oktober 2008 hätte prüfen und beurteilen müssen.
Die Sache ist in diesem Sinne an die Vorinstanz zu neuem Entscheid über die Revisionsverfügung vom 15. Dezember 2008 zurückzuweisen, wobei es der Beschwerdeführerin - entgegen der vorinstanzlichen Auffassung - nicht entgegengehalten werden kann, falls die allfällige Verschlechterung ihres Gesundheitszustandes vor den Rentenverfügungen vom 22. Oktober 2008 eingetreten ist.
6. Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuem Entscheid (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung als volles Obsiegen der Beschwerdeführerin nach Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_346/2009 vom 3. Juli 2009 E. 6). Somit hat die IV-Stelle die Gerichtskosten zu tragen und der Versicherten eine Parteientschädigung zu bezahlen. Ihr Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 20. Mai 2009 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen über die Beschwerde neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. September 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar