Sachverhalt:
A. A.a B._ bezog seit März 2003 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Verfügungen vom 19. Juli und 5. Oktober 2005). Im Rahmen einer Überprüfung des Leistungsanspruchs (nach <ref-law>) beauftragte die IV-Stelle des Kantons Luzern am 12. September 2011 das Institut X._ mit einer interdisziplinären medizinischen Begutachtung. Mit Schreiben vom 22. November 2011 bot das Institut X._ B._ zur Untersuchung am 20. Dezember 2011 auf. Gleichzeitig gab die Begutachtungsstelle der Versicherten die untersuchenden Sachverständigen namentlich bekannt. Der Rechtsvertreter der Versicherten rügte mit Eingaben vom 2. und 7. Dezember 2011 unter anderem, die IV-Stelle habe die Vorgabe nicht befolgt, sich mit der versicherten Person über die Gutachterstelle zu einigen (<ref-ruling> E. 3.4.2.6 S. 256). Er verlange eine Begutachtung bei einer anderen Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS). Zur Begründung, weshalb er das Institut X._ als Gutachterstelle ablehne, verwies er auf eine Expertise dieses Instituts aus dem Jahr 2007; in einem Zweitgutachten habe eine andere MEDAS festgehalten, nach der Beurteilung bekomme man fast den Eindruck, es handle sich um eine andere Patientin. Ausserdem habe er bislang keine Gelegenheit zur Einreichung ergänzender Fragen erhalten.
A.b Die IV-Stelle verfügte am 15. Dezember 2011, sie halte an einer medizinischen Abklärung durch das Institut X._ fest. Das Gutachteninstitut werde zu gegebener Zeit einen neuen Termin festlegen und gleichzeitig die Namen der begutachtenden Fachärzte mitteilen. Unter Hinweis auf die beiliegenden Gutachterfragen machte die Verwaltung die Versicherte darauf aufmerksam, dass sie innert zehn Tagen "allfällige sachdienliche Ergänzungsfragen" stellen könne; binnen gleicher Frist seien allfällige "triftige Gründe gegen die Sachverständigen" vorzubringen und begründete Gegenvorschläge zu machen.
B. B._ erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Beschwerde mit den Rechtsbegehren, die Verfügung der IV-Stelle vom 15. Dezember 2011 sei aufzuheben und es sei von einer Begutachtung beim Institut X._ abzusehen. Das kantonale Gericht wies das Rechtsmittel ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 16. März 2012).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erneuert B._ das vorinstanzlich gestellte materielle Begehren. Zudem beantragt sie, die IV-Stelle sei zu verpflichten, mit ihrem Rechtsvertreter "Konsensgespräche betreffend Gutachterwahl zu führen"; eventuell - bei Ablehnung der Ausstandsgründe - sei unter Angabe der beteiligten Fachärzte erneut zu verfügen.

Erwägungen:
1. 1.1 Soweit der vor Bundesgericht angefochtene Entscheid eines kantonalen Gerichts oder des Bundesverwaltungsgerichts betreffend die Einholung von medizinischen Gutachten durch die Invalidenversicherung die Ausstandspflicht einer sachverständigen Person betrifft, bleibt jener selbständig anfechtbar (<ref-law>). Sofern jedoch nicht formelle Ablehnungsgründe beurteilt worden sind, können erstinstanzliche Beschwerdeentscheide nicht an das Bundesgericht weitergezogen werden (Urteil 9C_950/2011 vom 9. Mai 2012 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen).
1. 1.1 Soweit der vor Bundesgericht angefochtene Entscheid eines kantonalen Gerichts oder des Bundesverwaltungsgerichts betreffend die Einholung von medizinischen Gutachten durch die Invalidenversicherung die Ausstandspflicht einer sachverständigen Person betrifft, bleibt jener selbständig anfechtbar (<ref-law>). Sofern jedoch nicht formelle Ablehnungsgründe beurteilt worden sind, können erstinstanzliche Beschwerdeentscheide nicht an das Bundesgericht weitergezogen werden (Urteil 9C_950/2011 vom 9. Mai 2012 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen).
1.2 1.2.1 Die Beschwerdeführerin begründet ihre Ablehnung des Gutachtensinstituts X._ namentlich mit einem ihr bekannten Fall, in welchem in einer Zweitexpertise Kritik vor allem an der Diagnosestellung im Gutachten des Instituts X._ geübt wurde. Zwar kann der Beschwerdeführerin nicht bloss entgegengehalten werden, in früheren Fällen gemachte schlechte Erfahrungen seien unerheblich, weil die Gerichte die betreffenden Gutachten ja auf ihre Beweistauglichkeit und Nachvollziehbarkeit hin überprüften. Die Möglichkeiten der rechtsanwendenden Behörden, materielle Mängel im Gutachten zu erkennen, sind begrenzt. Die - neu - vor Erstellung der Expertise eingreifenden Mitwirkungsrechte stellen eine Antwort auf diese Problematik dar (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 241, E. 3.4.2.4 f. S. 253 f. und E. 3.4.2.7 S. 256).
Jedoch sind die Vorbringen der Beschwerdeführerin zu allgemein gehalten, als dass sie unter dem Titel formeller Ablehnungsgründe behandelt werden könnten. Die formelle Ablehnung eines Sachverständigen kann regelmässig nicht allein mit strukturellen Umständen begründet werden, wie sie in <ref-ruling> behandelt worden sind. Wenn sich die Beschwerdeführerin darauf beruft, in einer anderen Versicherungssache seien mit der in Aussicht genommenen MEDAS schlechte Erfahrungen gemacht worden, so besteht diese Rüge - mangels weiterführender Begründung - letztlich einzig in der Behauptung, es manifestierten sich hier systemimmanente Gefährdungen der Verfahrensfairness (BGE a.a.O. E. 2.4 S. 237 und E. 3.4.2.6 S. 256; Urteil 9C_950/2011 vom 9. Mai 2012, zur Publikation vorgesehen).
1.2.2 In diesem Zusammenhang bleibt daran zu erinnern, dass auf die MEDAS - als Institution - ohnehin die Rechtsprechung sinngemäss anwendbar ist, wonach nur die für eine Behörde tätigen Personen, nicht die Behörde als solche, befangen sein können (<ref-ruling> E. 1.3.3 S. 226 mit Hinweisen). Unter dem Aspekt einer wirtschaftlichen Abhängigkeit der MEDAS ist im Übrigen festzuhalten, dass aufgrund der Neuerungen gemäss <ref-ruling> kein Exponent einer Gutachtenstelle mehr hoffen könnte, ein grösseres Auftragsvolumen zu generieren, indem er entgegen den Anforderungen der Objektivität und der Fach- und Sachgerechtigkeit auf tatsächliche oder vermeintliche Erwartungen der Auftraggeberschaft Rücksicht nimmt (Urteil 9C_113/2012 vom 14. März 2012 E. 2.2).
1.3 In den vorinstanzlichen Erwägungen kommen die Vorbringen der Beschwerdeführerin bezüglich unterlassener Einigungsbemühungen nicht ausdrücklich zur Sprache. Es fragt sich, ob deswegen - obgleich es sich nicht um eine Ausstandsproblematik handelt (oben E. 1.1) - der Rechtsweg zum Bundesgericht geöffnet und die Sache an die Vorinstanz zur Behandlung dieses Punktes zurückgewiesen werden muss. Die Frage ist zu verneinen, weil dieser Aspekt in die Beurteilung einer allfälligen Beschwerde gegen den Endentscheid einbezogen werden könnte (<ref-law>).
2. Die Beschwerdeführerin beantragt, im Falle der Verneinung von Ablehnungsgründen habe die IV-Stelle unter Angabe der beteiligten Fachärztinnen und -ärzte erneut zu verfügen. Sie wird nach Bekanntgabe der zur Begutachtung konkret vorgesehenen Fachpersonen eine Verfügung verlangen können, um spezifische Ausstandsgründe oder materielle Einwendungen gegen diese geltend zu machen (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2.8 S. 257). Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die gegen das Institut erhobenen Einwendungen träfen eo ipso auch auf sämtliche dort tätigen Fachärzte zu, ist auf das in E. 1.2 Gesagte zu verweisen.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. Juni 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub