Erwägungen:
1. Das Amt für Landschaft und Natur des Kantons Zürich schloss X._ mit Verfügung vom 2. Oktober 2009 für die Dauer von zwei Jahren und zwei Monaten ab Inkrafttreten der Verfügung vom Besitz eines Jagdpasses aus; es verpflichtete ihn zur sofortigen Abgabe des Jagdpasses und entzog ihm den 1979 ausgestellten Fähigkeitsausweis als Jagdpächter; ferner wurde angeordnet, dass der Betroffene vor erneuter Zulassung als Jäger im Kanton Zürich nach Ablauf der Sperrfrist die kantonale Jägerprüfung abzulegen habe und dass erst nach Ablauf einer weiteren Frist die Zulassung zur Pächterprüfung erfolgen könne. Ein Rekurs an die Baudirektion des Kantons Zürich blieb erfolglos, und mit Entscheid vom 21. April 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Rekursentscheid der Baudirektion erhobene Beschwerde ab.
Am 28. Mai 2010 (Postaufgabe) liess X._ dem Bundesgericht ein vom 27. Mai 2010 datiertes, als "Beschwerde gegen den Entscheid vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich der 4. Kammer vom 21. April 2010" bezeichnetes Schreiben zukommen; er bat um Kenntnisnahme des Eingangs der Beschwerde und stellte in Aussicht, dem Bundesgericht die Begründung und die Anträge in den nächsten Tagen zuzustellen, da die Bearbeitung noch nicht abgeschlossen sei. Am 10. Juni 2010 (Postaufgabe) übermittelte er ein vom 8. Juni 2010 datiertes Schreiben mit Antrag und Begründung zu seiner Beschwerde vom 27. Mai 2010.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Gemäss <ref-law> haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). Dabei ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Abs. 2). Eine diesen Anforderungen genügende Rechtsschrift muss beim Bundesgericht innert der gesetzlich bestimmten und damit nicht erstreckbaren Beschwerdefrist von 30 Tagen, gerechnet ab Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des anzufechtenden Entscheids, eingereicht werden (Art. 100 Abs. 1 und 47 Abs. 1 BGG). Zur Fristwahrung genügt es nicht, eine Erklärung abzugeben, Beschwerde führen zu wollen, und das Nachreichen von Begehren und Begründung in Aussicht zu stellen.
Der Entscheid des Verwaltungsgerichts, den der Beschwerdeführer anfechten will, ist am 27. April 2010 versandt und ihm am 28. April 2010 ausgehändigt worden; die Beschwerdefrist endete somit am 28. Mai 2010. Bis zu diesem Datum hat der Beschwerdeführer das Bundesgericht bloss um Kenntnisnahme vom Eingang der Beschwerde ersucht (Schreiben vom 27./28. Mai 2010); eine Rechtsschrift mit Antrag und Begründung datiert vom 8./10. Juni 2010; sie kann wegen Verspätung nicht berücksichtigt werden. Rechtzeitig ist keine selbst den minimalsten Anforderungen von <ref-law> genügende Rechtsschrift eingereicht worden (vgl. <ref-law>). Auch die zweite Eingabe vermag den gesetzlichen Formerfordernissen kaum zu genügen. Darauf kommt es aber, da die Eingabe verspätet erfolgte, nicht mehr an. Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juni 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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