Sachverhalt:
A.
X.A._ griff am frühen Morgen des 21. November 2009 B._ unvermittelt von hinten an und stiess ihn zu Boden. Anschliessend schlugen und traten er, sein Bruder Y.A._ und Z._ mehrmals mit Fäusten und Fusstritten auf Kopf und Oberkörper des am Boden liegenden B._ ein. Zudem schlug Z._ der Lebenspartnerin von B._, C._, seitlich ins Genick und trat ihr mehrmals in die Rippen. C._ trug Schwellungen der Kopfhaut, eine leichte Verfärbung am Jochbein, Hautunterblutungen an der rechten Oberschenkelinnenseite sowie zwei Rippenbrüche davon. B._ rief den sich entfernenden Angreifern Beschimpfungen nach, woraufhin diese ihn erneut attackierten. Y.A._ versetzte ihm einen K.o.-Schlag oder -Fusstritt. B._ fiel rückwärts auf den Hinterkopf und blieb bewusstlos liegen. Z._ versetzte dem am Boden liegenden noch einen Tritt. B._ erlitt eine Schwellung und Schürfwunde sowie Weichteilquetschungen am Hinterkopf, Schürfwunden an den Handinnenflächen und Knien und einen Bruch der Elle. Anschliessend traten Y.A._ und Z._ mehrmals auf den am Boden von X.A._ im Schwitzkasten gehaltenen D._ ein, der B._ zur Hilfe geeilt war. D._ blieb unverletzt.
Auf seinem Heimweg wurde D._ von Z._ und den Brüdern A._ erkannt und verfolgt. Als sie D._ eingeholt hatten, schlug Z._ ihm ins Gesicht. D._ wurde zu Boden geworfen und von den drei Angreifern mit zahlreichen Faustschlägen und Fusstritten, vor allem gegen den Kopf und ins Gesicht, traktiert. Sie liessen erst von ihm ab, als E._ Hilfe leistete. D._ erlitt Brüche des rechten Jochbeins, des rechten Augenhöhlenbogens und des Nasenbeins. Es bestand keine unmittelbare Lebensgefahr für ihn.
B.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt verurteilte X.A._ und Y.A._ sowie Z._ im Berufungsverfahren am 19. Oktober 2012 unter anderem wegen mehrfach versuchter schwerer und einfacher Körperverletzung zu unbedingten Freiheitsstrafen. Es bestätigte die mit erstinstanzlichem Urteil vom 15. Dezember 2010 angeordnete Einweisung von Z._ in eine Einrichtung für junge Erwachsene und den damit verbundenen Aufschub der Freiheitsstrafe.
C.
Gegen das Urteil des Appellationsgerichts führen sowohl die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt (6B_754/2012) als auch Y.A._ (separates Verfahren 6B_45/2013) Beschwerde in Strafsachen. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt beantragt sinngemäss, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. X.A._, Y.A._ und Z._ seien wegen versuchten Mordes, zumindest aber wegen versuchter vorsätzlicher Tötung schuldig zu sprechen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Subsumtion des dem angefochtenen Urteils zugrunde liegenden Sachverhalts verletze Bundesrecht. Die Vorinstanz habe die im Urteil aufgeführten äusseren Umstände bzw. die vorsatzintendierenden Argumente nicht genügend oder gar nicht gewürdigt und zu Unrecht einen Eventualvorsatz der Beschwerdegegner in Bezug auf ein Tötungsdelikt verneint.
2.
Die Vorinstanz erwägt, die Beschwerdegegner hätten bei allen drei Angriffen eine Schädigung der Opfer beabsichtigt bzw. in Kauf genommen, die über die tatsächlichen (einfachen) Körperverletzungen hinaus gehe. Ihnen sei bekannt, dass stumpfe Gewalteinwirkung gegen Kopf und Rumpf zu Verletzungen der inneren Organe und in der Folge zu lebensbedrohlichen Blutungen oder Beeinträchtigungen der Organfunktionen führen könne. Wer einen am Boden liegenden Menschen Fusstritte gegen Kopf und Bauch bzw. "einfach überall hin" versetze, müsse mit lebensgefährlichen Verletzungen rechnen. Ein Tötungsvorsatz könne jedoch nicht angenommen werden. Die Beschwerdegegner hätten lediglich leichtes Schuhwerk (Turnschuhe) getragen, aus einer spontanen Laune ohne vorherige Planung angegriffen und die Opfer nicht bis zur Regungslosigkeit geschlagen. Die verursachten Verletzungen stellten in rechtlicher Hinsicht ausschliesslich einfache Körperverletzungen dar. Zu keinem Zeitpunkt habe eine akute Lebensgefahr für die Opfer bestanden. Die Beschwerdeführer hätten bei ihrem Vorgehen nicht mit einem unmittelbaren Todeseintritt rechnen müssen. Aufgrund der äusseren Umstände könne im Lichte der bundesgerichtlichen und kantonalen Rechtsprechung nicht davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführer den Tod der Opfer in Kauf genommen hätten.
3.
3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 2.2.1).
3.2.
3.2.1. Vorsätzlich begeht ein Verbrechen oder Vergehen, wer die Tat mit Wissen und Willen ausführt oder wer die Verwirklichung der Tat für möglich hält und in Kauf nimmt (<ref-law>), aber dennoch handelt, weil er sich mit dem Erfolg abfindet, mag er ihm auch unerwünscht sein (<ref-ruling> E. 4.2.3 mit Hinweis).
3.2.2. Was der Täter weiss, will und in Kauf nimmt, betrifft eine innere Tatsache und ist Tatfrage. Rechtsfrage ist hingegen, nach welchen tatsächlichen Voraussetzungen bewusste Fahrlässigkeit, Eventualvorsatz oder direkter Vorsatz gegeben ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 8.5). Es ist allerdings nicht zu übersehen, dass sich insoweit Tat- und Rechtsfragen teilweise überschneiden. Das Sachgericht hat daher die in diesem Zusammenhang relevanten Tatsachen möglichst erschöpfend darzustellen, damit erkennbar wird, aus welchen Umständen es auf Eventualvorsatz geschlossen hat. Denn der Sinngehalt der dazu entwickelten Formeln lässt sich nur im Lichte der tatsächlichen Umstände des Falls erschliessen. Das Bundesgericht kann in einem gewissen Ausmass die richtige Bewertung dieser Umstände im Hinblick auf den Rechtsbegriff des Eventualvorsatzes überprüfen (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.1; je mit Hinweisen), tut dies jedoch mit einer gewissen Zurückhaltung (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen).
3.2.3. Der Eventualvorsatz auf Tötung unterscheidet sich vom Gefährdungsvorsatz dadurch, dass der Täter bei der Lebensgefährdung darauf vertraut, der Tod des Opfers werde nicht eintreten. Bleibt dem Zufall überlassen, ob die Gefahr sich verwirklicht oder nicht, liegt (versuchte) eventualvorsätzliche Tötung vor (Urteil 6B_655/2012 vom 15. Februar 2013 E. 3.5 mit Hinweisen).
3.2.4. Für den Nachweis des Vorsatzes darf der Richter vom Wissen des Täters auf den Willen schliessen, wenn sich diesem die Verwirklichung der Gefahr als so wahrscheinlich aufdrängte, dass die Bereitschaft, sie als Folge hinzunehmen, vernünftigerweise nur als Inkaufnahme des Erfolgs ausgelegt werden kann (<ref-ruling> E. 4.2.3 mit Hinweis). Je grösser die Wahrscheinlichkeit der Tatbestandsverwirklichung ist und je schwerer die Rechtsgutsverletzung wiegt, desto näher liegt die Schlussfolgerung, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen (<ref-ruling> E. 2.3.2; <ref-ruling> E. 5.3). Allerdings kann nicht unbesehen aus dem Wissen des Täters um die Möglichkeit des Erfolgseintritts auf dessen Inkaufnahme geschlossen werden. Sicheres Wissen um die unmittelbare Lebensgefahr, also um die Möglichkeit des Todes, ist nicht identisch mit sicherem Wissen um den Erfolgseintritt und kann sowohl mit (eventuellem) Tötungsvorsatz als auch bewusster Fahrlässigkeit bezüglich der Todesfolge einhergehen. Ein Tötungsvorsatz ist zu verneinen, wenn der Täter trotz der erkannten möglichen Lebensgefahr handelt, aber darauf vertraut, die Todesgefahr werde sich nicht realisieren. Zur Annahme eines Tötungsvorsatzes müssen zum Wissenselement weitere Umstände hinzukommen (<ref-ruling> E. 4.1; zur Verneinung des Eventualvorsatzes vgl. Urteil 6B_775/2011 vom 4. Juni 2012 E. 2.4). Solche Umstände liegen namentlich vor, wenn der Täter das ihm bekannte Risiko in keiner Weise kalkulieren und dosieren kann und der Geschädigte keinerlei Abwehrchancen hat (BGE <ref-ruling> E. 4.5; <ref-ruling> E. 2.2).
4.
4.1. Soweit die Beschwerdeführerin ihrer Beschwerde einen anderen oder erweiterten Sachverhalt zugrunde legt, als die Vorinstanz feststellt, ohne darzutun, inwiefern die tatsächlichen Feststellungen willkürlich sind, erschöpfen sich ihre Rügen in appellatorischer Kritik. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn sie vorbringt, sie gehe davon aus, dass "auf das Opfer "eingekickt" wurde, als es bereits offensichtlich verletzt und regungslos am Boden lag," und darin einen weiteren Umstand sieht, der einen über die Verursachung einer schweren Körperverletzung hinausgehenden Vorsatz indiziere (Beschwerde S. 9 a.E.). Auf eine solche Kritik ist nicht einzutreten (Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen).
4.2. Die Vorinstanz setzt sich zur Beurteilung der Frage, ob die Beschwerdegegner mit Lebensgefährdungs- oder Tötungsvorsatz gehandelt haben, mit zahlreichen einschlägigen bundesgerichtlichen und kantonalen Entscheiden auseinander. Sie legt detailliert dar, warum sie unter Berücksichtigung der einschlägigen Rechtsprechung im zu beurteilenden Fall aufgrund der äusseren Umstände und Abläufe des Tatgeschehens einen Tötungsvorsatz der Beschwerdeführer verneint. Die Beschwerdeführerin geht auf die vorinstanzlichen Erwägungen weitgehend nicht ein. Sie beschränkt sich darauf, abstrakte Ausführungen zur potenziellen (Lebens-) Gefährlichkeit von Fusstritten gegen Kopf und Rumpf eines Menschen zu machen, ohne jedoch aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz aufgrund der konkreten Tathandlungen und -abläufe einen Tötungsvorsatz der Beschwerdegegner hätte bejahen müssen.
Der Ansicht der Beschwerdeführerin, bei potenziell lebensgefährlichen Körperverletzungshandlungen sei zwingend von einem Tötungsvorsatz auszugehen, kann nicht gefolgt werden. Wäre dies der Fall, müsste immer (auch) von einem versuchten Tötungsdelikt ausgegangen werden, wenn der Täter die Möglichkeit einer Lebensgefahr erkennt, aber darauf vertraut, diese werde sich nicht realisieren. <ref-law> und <ref-law> würden im Wege der Konkurrenz stets hinter das eventualvorsätzliche Tötungsdelikt zurücktreten und hätten keine (eigenständige) Bedeutung. Dies widerspricht der gesetzlichen Konzeption und gefestigten Rechtsprechung. Ein Tötungsvorsatz kann nicht leichthin angenommen werden, sondern es müssen weitere objektive Umstände hinzutreten, die es rechtfertigen, diesen zu bejahen. Derartige Umstände legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Die Vorinstanz durfte aufgrund des Tatgeschehens und der Verletzungen der Opfer darauf schliessen, dass die Beschwerdeführer die Verwirklichung des Todesrisikos nicht einfach leichtfertig ignoriert haben und deren Handeln die Inkaufnahme von Todesfolgen nicht indiziert. Der Schuldspruch wegen mehrfacher versuchter schwerer Körperverletzung verletzt kein Bundesrecht. Die Beschwerde ist unbegründet, soweit überhaupt auf sie eingetreten werden kann.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Den Beschwerdegegnern ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da ihnen im Verfahren vor Bundesgericht keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Held