Faits:
A. Le 5 juillet 2012, M. B.X._, ressortissant italien, représenté par Me Michel Montini, avocat à Neuchâtel, a déposé devant la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal de Neuchâtel (ci-après: Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte) une requête de retour immédiat de ses deux filles, C._ et D.X._, en Italie.
Par courrier du 11 août 2012, la mère de C._ et D.X._, Mme A.Y._, a annoncé à la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte qu'elle se trouvait en Sardaigne avec ses deux filles.
A.a Le 13 août 2012, le Président de la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte a avisé les parties par courrier que la procédure d'enlèvement d'enfants était devenue sans objet et que l'audience appointée au 15 août 2012 était annulée. Il a fixé un délai de dix jours aux parties pour déposer des observations.
Par lettre du 14 août 2012, le requérant a admis que la procédure était devenue sans objet, concluant à la mise des frais à la charge de la mère, à l'octroi d'une indemnité de 3'000 fr., et au remboursement de ses frais de déplacement de 830 fr. en raison du renvoi de l'audience prévue initialement le 19 juillet 2012 et reportée au 15 août 2012.
La mère s'est opposée au paiement des frais et au versement d'une indemnité de dépens, par courrier du 24 août 2012. Elle a indiqué qu'elle n'avait pas enlevé les filles, étant titulaire de la garde de celles-ci en vertu de l'ordonnance du Tribunal de Cagliari du 19 janvier 2012, et précisé qu'elle était retournée en Italie pour se conformer à la procédure mise en ?uvre par le tribunal susdésigné dans l'ordonnance du 19 janvier 2012, non en raison de la procédure d'enlèvement international.
A.b Par ordonnance du 30 août 2012, le Président de la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte a prononcé le classement de la cause, laissé les frais de la procédure à la charge de l'Etat et condamné la mère à verser au requérant une indemnité de dépens de 1'000 fr.
B. Par "opposition" remise à un bureau de Poste suisse le 10 septembre 2012 et parvenue au Tribunal fédéral le lendemain, la mère conteste sa condamnation à verser une indemnité de dépens au requérant pour la procédure d'enlèvement d'enfants.
Des observations n'ont pas été demandées.

Considérant en droit:
1. La recevabilité du recours dirigé contre une question accessoire, dont fait partie l'allocation de dépens à une partie, se détermine en fonction du fond du litige, dans la mesure où aucune procédure spéciale n'est prévue (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 140 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 160; arrêt 5D_86/2012 du 14 septembre 2012 consid. 1).
1.1 En l'occurrence, le recours est dirigé contre une ordonnance, qui a pour objet le classement d'une demande portant sur le retour d'enfants en application de la Convention de La Haye sur les aspects civils de l'enlèvement international d'enfants du 25 octobre 1980 (RS 0.211.230.02; CLaH80), à savoir une décision finale (<ref-law>) prise en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil, singulièrement en matière d'entraide administrative entre les États contractants pour la mise en oeuvre du droit civil étranger (art. 72 al. 2 let. b ch. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 584 s., 120 II 222 consid. 2b p. 224; arrêts 5A_537/2012 du 20 septembre 2012 consid. 1, 5A_479/2012 du 13 juillet 2012 consid. 1). Le Président de la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a statué en instance cantonale unique conformément à l'art. 7 al. 1 de la loi fédérale sur l'enlèvement international d'enfants et les Conventions de La Haye sur la protection des enfants et des adultes du 21 décembre 2007 (LF-EEA, RS 211.222.32); il y a ainsi exception légale au principe du double degré de juridictions cantonales (<ref-law>; arrêts 5A_537/2012 du 20 septembre 2012 consid. 1 5A_479/2012 du 13 juillet 2012 consid. 1, 5A_346/2012 du 12 juin 2012 consid. 1.1).
1.2 Lorsque la cause au fond devient sans objet devant l'autorité cantonale, la valeur litigieuse du recours au Tribunal fédéral qui ne porte plus que sur les frais et dépens est celle de la cause au fond (arrêt 5D_126/2012 du 26 octobre 2012 consid. 1.1). En l'occurrence, la procédure de retour des enfants, devenue sans objet à la suite du retour de la mère et des filles dans leur pays d'origine, est de nature non pécuniaire (<ref-ruling> consid. 2a p. 380). Dans ces circonstances, le recours en matière civile portant sur la question des frais et dépens est recevable indépendamment de la valeur litigieuse (<ref-law> a contrario).
1.3 Le recours a été interjeté dans la forme (<ref-law>) et le délai de dix jours (art. 100 al. 2 let. c LTF) prévus par la loi, par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et justifiant d'un intérêt digne de protection à la modification ou à l'annulation de la décision attaquée (<ref-law>).
1.4 A lui seul, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions d'une conversion en la voie de droit adéquate soient réunies (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382 et les arrêts cités). En conséquence, il convient de traiter l'écriture de la mère comme un recours en matière civile.
1.5 Selon l'<ref-law>, les mémoires de recours doivent contenir des conclusions. Le recourant doit donc indiquer sur quels points la décision est attaquée et quelles sont les modifications demandées. Si les conclusions font défaut ou sont, dans leur ensemble, insuffisantes, le recours est irrecevable. Toutefois, l'interdiction du formalisme excessif impose de ne pas se montrer trop strict dans la formulation des conclusions si, à la lecture du mémoire, on comprend clairement ce que veut le recourant (arrêts 5A_441/2011 du 16 décembre 2011 consid. 1.3.1; 4A_321/2009 du 15 janvier 2010 consid. 2; 1C_100/2008 du 18 juin 2008 consid. 1); tel est en particulier le cas lorsque le but et l'objet du recours ressortent sans aucun doute des motifs invoqués (ATF 56 I 195 consid. 1 p. 197 s.; 52 I 222 consid. 1 p. 224; arrêt 5P.29/1991 du 17 mai 1991, jurisprudence rendue sous l'empire de l'OJ encore valable sous la LTF: <ref-ruling> consid. 2 p. 236 s.).
En l'espèce, bien que dépourvue de conclusions formelles, l'écriture de la recourante permet de déterminer ses intentions, à savoir qu'elle requiert que l'ordonnance entreprise soit annulée en ce qui concerne sa condamnation aux dépens ("Je ne suis pas d'accord de payer les frais que mon ex-mari M. B.X._ a provoqués inutilement") et à sa réforme en ce sens que le requérant supporte seul ses dépens ("veuillez vous adresser au requérant pour qu'il s'acquitte de ces frais"). Au regard de ce qui précède, il y a donc lieu d'entrer en matière sur le recours, en dépit de l'absence de conclusions formelles.
2. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF, comprenant notamment la violation de conventions internationales auxquelles la Suisse a adhéré au sens de l'<ref-law> (arrêts 5A_537/2012 du 20 septembre 2012 consid. 1, 5A_840/2011 du 13 janvier 2012 consid. 1.2). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il ne connaît cependant de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant conformément au principe d'allégation ("Rügeprinzip", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 310 s.; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254).
3. Le recours concerne l'indemnité de dépens due au requérant mise à la charge de la mère, dans le contexte d'un enlèvement international d'enfants, alors que la procédure, devenue sans objet, a été classée par l'autorité cantonale.
L'autorité précédente a considéré que la cause devait être liquidée sans frais en vertu des <ref-law> et 26 CLaH80. Elle a cependant admis que la partie qui obtenait gain de cause et qui était représentée dans la procédure par un mandataire professionnel avait droit à des dépens (art. 26 al. 4 CLaH80). Le Président de la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte a estimé, dans le cas d'espèce, qu'en rentrant dans son pays d'origine, la mère se soumettait implicitement aux conclusions de la requête déposée par le père. L'autorité cantonale a en outre relevé que le juge civil du Tribunal de Cagliari avait, par ordonnance du 19 janvier 2012, suspendu la demande de la mère relative à l'autorisation de s'établir à l'étranger, en sorte qu'a priori la mère n'était pas autorisée à déménager à l'étranger avec ses deux filles. Au vu de ses constatations, le juge cantonal a considéré que le requérant avait droit à des dépens et a fixé cette indemnité due par la mère à 1'000 fr., eu égard à la brièveté de la procédure.
4. La recourante se plaint et requiert une explication quant à la mise à sa charge d'une indemnité de dépens en faveur du requérant. Elle expose qu'elle s'est rendue en Suisse pour des raisons professionnelles. Elle considère que le père des filles a ouvert une procédure d'enlèvement international uniquement dans le but de la déstabiliser, de lui provoquer un dommage économique et de la persécuter. Elle conteste devoir assumer les frais que le père "a provoqués inutilement". Elle précise en outre qu'elle n'est pas rentrée en Italie avec ses filles afin de se soumettre aux conclusions déposées par le requérant, mais pour respecter l'ordonnance du 19 janvier 2012 du Tribunal de Cagliari. Elle conclut en priant la cour de céans de s'adresser au père "pour qu'il s'acquitte de ces frais".
4.1 La recourante, qui semble se plaindre de la violation de son droit à une motivation découlant de la garantie du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), se limite toutefois à solliciter des explications, sans développer plus avant sa critique, en sorte que dans cette mesure son grief, faute de satisfaire au principe d'allégation, est d'emblée irrecevable (<ref-law>, cf. supra consid. 2). Quoi qu'il en soit, le Président de la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte a succinctement exposé les constatations et la base légale (art. 26 al. 4 CLaH80) l'ayant conduit à allouer des dépens au requérant à charge de la mère et à fixer le montant de cette indemnité à 1'000 fr.
4.2 Implicitement, la recourante critique également la violation des art. 26 CLaH80 et 14 LF-EEA, estimant que le juge cantonal a appliqué le droit sans tenir compte des circonstances du cas d'espèce.
4.2.1 Selon l'art. 26 al. 2 CLaH80, les autorités judiciaires et administratives des Etats contractants n'imposeront aucun frais en relation avec les demandes introduites en application de la Convention; notamment, ils ne peuvent réclamer du demandeur le paiement des frais et dépens du procès ou, éventuellement, des frais entraînés par la participation d'un avocat. Cette disposition, qui s'applique aux frais de la procédure de conciliation et de la médiation et à ceux des procédures judiciaires et des procédures d'exécution menées aux niveaux cantonal et fédéral (<ref-law>), exige en principe la gratuité absolue de la procédure de retour pour la partie requérante. Si la requête tendant au retour de l'enfant est rejetée, le demandeur ne peut être condamné à payer les frais de procédure de la partie adverse, à moins que l'Etat dont elle est ressortissante ait fait une réserve au sens de l'art. 26 al. 3 CLaH80 (arrêts 5A_840/2011 du 13 janvier 2012 consid. 6, 5A_25/2010 du 2 février 2010 consid. 3). Or, ni la Suisse, ni l'Italie n'ont fait de réserve en ce sens (arrêt 5A_119/2011 du 29 mars 2011 consid. 8.3). En revanche, si la requête est admise et le retour de l'enfant ordonné, l'autorité judiciaire ou administrative peut mettre à la charge de la personne qui a déplacé l'enfant, le paiement de tous frais nécessaires engagés par le demandeur ou en son nom, notamment des frais de voyage, des frais de représentation judiciaire du demandeur et de retour de l'enfant, ainsi que de tous les coûts et dépenses faits pour localiser l'enfant (art. 26 al. 4 CLaH80; arrêts 5A_537/2012 du 20 septembre 2012 consid. 7, 5A_550/2012 du 10 septembre 2012 consid. 5.2).
4.2.2 En l'occurrence, il ressort des constatations de l'ordonnance entreprise que la recourante s'est conformée aux conclusions prises par le requérant, ou à tout le moins, à l'ordonnance du 19 janvier 2012 du Tribunal de Cagliari - ce qu'elle admet elle-même -, avant que l'autorité saisie ne statue sur la requête tendant au retour des filles en Italie. Il s'ensuit que le père a matériellement obtenu gain de cause. En allouant une indemnité de dépens au requérant pour ses frais de représentation judiciaire et en tenant compte de la procédure brève constituée uniquement d'un échange de courriers, le Président de la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte a fixé à 1'000 fr. l'indemnité de dépens due au requérant à charge du parent succombant. Le juge cantonal a en outre considéré qu'il n'y avait pas lieu de mettre à la charge de la recourante les frais de transport du requérant, dès lors que celle-ci n'était pas responsable du report d'audience. Il apparaît en définitive que l'autorité précédente n'a pas méconnu les circonstances particulières de l'espèce dans l'application du droit, singulièrement des art. 26 al. 4 CLaH80 et 14 LF-EEA, en condamnant la partie succombante à verser au requérant, qui a obtenu gain de cause avec l'assistance d'un mandataire professionnel, une allocation de dépens pour ses frais de représentation judiciaire. Le grief est donc mal fondé.
5. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Conformément à l'art. 26 al. 2 et 3 CLaH80, il n'est pas perçu de frais judiciaires devant le Tribunal fédéral. Il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité de dépens pour la procédure fédérale à l'intimé qui n'a pas été invité à se déterminer (art. 26 al. 4 CLaH80).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 3 décembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Carlin