Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung,
1. X._, welcher damals die 4. Klasse der Kantonsschule Oerlikon Zürich besuchte, wurde von der Schulkommission am 12. April 2005 disziplinarisch ausgeschlossen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hob diese Massnahme am 12. August 2005 wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs auf. Die Schulbehörde schloss daraufhin X._ bis zur neuen Entscheidung provisorisch von der Schule aus, was auf Rechtsmittel hin am 25. Januar 2006 letztinstanzlich vom Verwaltungsgericht geschützt wurde. Aufgrund von Ausstandsbegehren des Betroffenen, welche zu weiteren Rechtsmittelverfahren führten, überwies die Bildungsdirektion des Kantons Zürich den Fall am 14. Juli 2006 dem Mittelschul- und Berufsbildungsamt zur Beurteilung, welches X._ am 19. April 2007 erneut definitiv aus der Schule ausschloss. Die Bildungsdirektion wies den hiegegen erhobenen Rekurs am 29. August 2007 ab. Der Betroffene, welcher inzwischen an einer Privatschule erfolgreich die eidgenössische Matura bestanden hatte, focht diesen Entscheid beim Verwaltungsgericht an mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass sein Ausschluss nicht berechtigt gewesen sei; eventuell dass nur ein befristeter Ausschluss von drei Monaten angemessen gewesen wäre. Mit Beschluss vom 7. November 2007 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde im Sinne der Erwägungen nicht ein; gleichzeitig wies es das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ab und auferlegte ihm die Verfahrenskosten von Fr. 2'060.--.
2. X._ führt hiegegen mit Eingabe vom 17. Dezember 2007 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 7. November 2007 aufzuheben und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventuell sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und das Verfahren vor Verwaltungsgericht infolge Gegenstandslosigkeit abzuschreiben. Ferner wird für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung beantragt.
Das Verwaltungsgericht sowie die Bildungsdirektion des Kantons Zürich (Mittelschul- und Berufsbildungsamt) haben die Akten eingereicht und auf eine Vernehmlassung verzichtet.
3. Gegen den angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts ist, da er unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig. Das Rechtsmittel erweist sich jedoch als offensichtlich unbegründet und kann im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> (summarische Begründung) abgehandelt werden.
4. Dass das Verwaltungsgericht das Rechtschutzinteresse in der Sache als dahingefallen ansehen durfte, wird vom Beschwerdeführer nicht in Frage gestellt. Er stösst sich jedoch daran, dass die Vorinstanz auf seine Beschwerde nicht eingetreten ist. Richtigerweise müsse das Rechtsmittel, wenn das Rechtsschutzinteresse während der Hängigkeit des Verfahrens dahinfalle, als gegenstandslos abgeschrieben werden; andernfalls erwachse der angefochtene Schulausschluss in formelle Rechtskraft, was alsdann der beabsichtigten Geltendmachung einer Schadenersatzforderung gegen den Kanton entgegenstehen würde. Der Beschwerdeführer übersieht, dass das Verwaltungsgericht auf die bei ihm erhobene Beschwerde "im Sinne der Erwägungen" nicht eingetreten ist, wobei in den Erwägungen seines Entscheides (S. 4, E. 2.1, letzter Absatz) festgestellt wird, die "Ausgangsverfügung" könne aufgrund der prozessualen Sachlage "nicht in Rechtskraft erwachsen". Diese Feststellung bildet aufgrund der Formulierung des Dispositivs Teil der Entscheidung, weshalb die Einwendungen des Beschwerdeführers ins Leere stossen.
5. Soweit der Beschwerdeführer den vorinstanzlichen Kostenspruch bzw. die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Begehren überhaupt in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise beanstandet, dringt er damit ebenfalls nicht durch. Sein Hauptbegehren um Feststellung der Rechtswidrigkeit des Schulausschlusses war, wie das Verwaltungsgericht mit Grund annehmen durfte (E. 2.2, S. 5 des angefochtenen Entscheides), wegen der offen stehenden Möglichkeit eines Leistungsbegehrens (Schadenersatzklage) zum Vornherein unzulässig. Das allfällige blosse Ziel, den Nichteintritt der formellen Rechtskraft feststellen zu lassen, vermochte diesen unzulässigen Antrag nicht zu rechtfertigen.
6. Schliesslich ist auch nicht ersichtlich, inwiefern durch den Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts die Unschuldsvermutung gemäss Art. 6 Ziff. 2 EMRK verletzt sein soll. Der angefochtene Entscheid lässt die Frage, ob der Beschwerdeführer zu Recht disziplinarisch bestraft worden ist, offen.
7. Die vorliegende Beschwerde erweist sich damit als offensichtlich unbegründet. Wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels kann dem für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden (<ref-law>). Der wirtschaftlichen Lage des Beschwerdeführers wird bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein