A.- Spécialisée dans l'achat, la fabrication et la vente de bracelets et pièces se rapportant à la bijouterie, Z._ S.A. a modifié sa raison sociale en X._ S.A. en avril 1988. Peu avant, soit en juin 1987, le président de son conseil d'administration, A._, avait été remplacé par B._ et C._. A la même époque D._ et E._ ont été inscrits au Registre du commerce en qualité, respectivement d'administrateur délégué et de secrétaire de la société. Celle-ci disposait d'un immeuble, à Meyrin.
Dès 1986, L._, architecte, a été approché par A._ en vue d'examiner la possibilité de modifier le bâtiment, notamment en procédant à sa surélévation de deux, voire trois étages. Dans un premier temps, il a procédé à une étude de gabarit pour déterminer les possibilités légales d'agrandissement de l'immeuble. Par la suite, il a effectué des relevés du bâtiment existant et visité celui-ci pour déterminer ce qui pouvait être utilisé. Un premier projet de surélévation et d'agrandissement a été établi.
En automne 1987, L._, sur la base de cette première étude, a fait établir des devis par les entreprises intéressées afin de procéder à une première estimation du coût du projet. Cette première estimation, évaluée à 3'078'000 fr., a été transmise à X._ S.A., soit à son administrateur D._, le 19 novembre 1987.
A la suite de discussions, un second projet a été réalisé, conforme aux exigences de X._ S.A. Les plans ont été signés par D._ en vue du dépôt de la requête d'autorisation de construire.
Entre novembre et décembre 1988, plusieurs séances de travail ont eu lieu entre L._ et X._ S.A. A l'issue de ces rencontres, L._ a établi de nouveaux plans, modifiés selon les indications et désirs de X._ S.A. Pour ces travaux, il était assisté par l'architecte G._ qui travaillait en qualité de sous-traitant.
Le 12 décembre 1988, L._ a adressé à D._ un dossier de plans déjà mis à jour ainsi qu'une lettre détaillée à laquelle était annexé un exemplaire des normes SIA 102 incluant le tarif 1988.
Le 18 janvier 1989, X._ S.A. a sollicité un planning détaillé des travaux, requête à laquelle L._ a répondu en date du 21 février 1989 en réclamant le paiement d'un premier acompte de 80'000 fr.
Après avoir pris contact avec l'ingénieur qui avait réalisé le bâtiment d'origine et un chauffagiste, L._ a estimé que les travaux s'élèveraient à environ 4'000'000 fr. au regard des nouvelles spécifications de X._ S.A.
Un devis plus précis a été adressé à X._ S.A. le 15 mars 1989, établissant le coût des travaux à 4'410'000 fr. Les derniers plans communiqués, visés par D._, étaient prêts pour le dépôt de la demande d'autorisation de construire.
Le 24 avril 1989, L._ a réclamé le paiement de 108'000 fr. d'honoraires en application du tarif prévu par la norme SIA 102. Faute de réaction, L._ a avisé X._ S.A., le 30 mai 1989, de la résiliation de son mandat.
Dans une lettre du 2 juin 1989, X._ S.A. a informé L._ qu'elle considérait ses propositions comme un devis ne pouvant pas être accepté par elle et qu'elle lui retournait ses projets de construction.
Le 5 août 1994 L._ a fait notifier un commandement de payer à X._ S.A., qui y a fait opposition.
B.- Par demande déposée le 16 juin 1997, L._ a conclu à ce que X._ S.A. soit condamnée à lui payer, pour son activité d'architecte, la somme de 108'000 fr. avec intérêts à 6 % dès le 24 avril 1989 et à ce que l'opposition à la poursuite soit définitivement enlevée.
A l'issue des enquêtes, le Tribunal de première instance du canton de Genève a ordonné une expertise pour fixer l'ampleur exacte de la rémunération de L._ et il a désigné F._, architecte, pour y procéder. En se basant sur les dispositions de la norme SIA 102, relativement au coût de l'ouvrage devisé à 4'100'000 fr., l'expert est arrivé à un montant d'honoraires de 113'952 fr. Il a encore procédé à une autre évaluation en tenant compte des heures consacrées par le demandeur à l'exécution de son mandat. Sur cette base, l'expert judiciaire est arrivé à un montant d'honoraires et de débours de 118'765 fr. Il a confirmé ses conclusions lors de son audition du 13 décembre 1999. Le 9 mars 2000, le Tribunal de première instance, statuant sur incident, a débouté X._ S.A. de ses conclusions visant à la mise en oeuvre d'une contre-expertise.
Par jugement du 21 septembre 2000, le Tribunal de première instance a condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme de 108'000 fr. avec intérêts à 6 % dès le 24 avril 1989, rejetant toutes autres conclusions.
Par arrêt du 16 mars 2001, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, statuant sur appel de la défenderesse, a confirmé le premier jugement sauf en ce qui concerne le dies a quo des intérêts et le taux de ceux-ci.
Elle a décidé que la somme allouée porterait intérêts à 5 % dès le 30 mai 1989.
C.- La défenderesse a formé un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant l'interdiction de l'arbitraire, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au rejet intégral de la demande.
L'intimé propose le rejet du recours. La Cour de justice déclare se référer aux considérants de la décision attaquée.
Par ordonnance du 10 juillet 2001, le Président de la Ie Cour civile a rejeté la demande de sûretés en garantie des dépens présentée par l'intimé.
Considerant en d r o i t:
1.- Interjeté en temps utile contre une décision finale prise en dernière instance cantonale, le recours est en principe recevable au regard des art. 84 ss OJ. Il convient toutefois de préciser qu'hormis certaines exceptions qui ne sont pas réalisées en l'espèce, le recours de droit public n'a qu'un caractère cassatoire (<ref-ruling> consid. 1b p. 282; <ref-ruling> consid. 1b p. 526). Les conclusions de la recourante allant au-delà de la simple annulation de la décision attaqué sont donc irrecevables.
2.- La recourante reproche à la Cour de justice une appréciation arbitraire de l'expertise.
a) Le Tribunal fédéral se montre réservé dans le domaine de l'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale. Il n'y a violation de l'art. 9 Cst. que lorsque cette appréciation est manifestement insoutenable ou en contradiction flagrante avec les pièces du dossier (<ref-ruling> consid. 4b p. 40; <ref-ruling> consid. 1b p. 30 et les arrêts cités). Lorsque l'autorité cantonale juge une expertise concluante et en fait sien le résultat, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire que si l'expert n'a pas répondu aux questions posées, si ses conclusions sont contradictoires ou si, de quelqu'autre façon, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même sans connaissances spécifiques, que le juge ne pouvait tout simplement pas les ignorer. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de vérifier si toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire; sa tâche se limite plutôt à examiner si l'autorité cantonale pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise (cf. arrêt non publié du 20 avril 2001, dans la cause U. S.A. c/ P. & Cie, 5P.457/2000, consid. 4a).
b) En substance, la recourante fait valoir que les heures retenues par l'expert équivalent à sept mois de travail à temps complet. Selon elle, ce chiffre serait exorbitant et ne correspondrait à aucune réalité. Il serait établi que l'architecte indépendant G._ aurait consacré 254 heures au projet. L'instruction de la cause aurait permis de déterminer que cet architecte avait mis en place le programme correspondant aux besoins de la recourante et dressé l'intégralité des plans définitifs, à savoir aussi bien ceux de décembre 1988 que ceux de février 1989. Dans ces circonstances, il serait inexplicable que l'expert ait retenu pour la période considérée un nombre total de 715 heures. Une telle différence serait insoutenable et ne reposerait sur aucun élément concret du dossier.
Ce grief est mal fondé. L'architecte G._ a déclaré au Tribunal de première instance avoir seulement assisté le demandeur dans son activité entre novembre 1988 et mai 1989 et n'avoir pas travaillé seul. De surcroît les 715 heures estimées par l'expert couvrent non seulement cette période mais toute la durée de l'année 1988 (490 h) et de l'année 1989 (225 h; cf. expertise, p. 10). Partant, l'estimation de l'expert n'est pas en contradiction avec les heures de travail effectuées par l'architecte G._.
La recourante prétend en outre que l'erreur flagrante de l'expertise serait également démontrée par un simple calcul mathématique. Suivant la norme SIA 102 retranscrite dans l'expertise (p. 6), le travail de l'architecte G._, lors de la phase 4.1.2. (phase du projet définitif et estimation du coût), correspondait à un pourcentage de 12,5 % au regard du pourcentage total retenu de 21,5 %. Comme l'architecte G._ avait facturé 19'050 fr. pour 12,5 % de la prestation, l'intimé aurait dû facturer un montant maximum de 32'766 fr. pour l'exécution des 21,5 % de la prestation. Dans le même ordre d'idées, l'exécution des 21,5 % de la prestation ne pouvait permettre à l'intimé d'y consacrer plus de 437 heures de travail, compte tenu du fait que 254 heures seulement avaient été nécessaires à l'architecte G._ pour effectuer 12,5 % de la prestation.
Contrairement à ce que prétend la recourante, l'architecte G._ n'a pas fourni tout seul le travail de la phase 4.1.2. qui correspond à un pourcentage de 12,5 % de la prestation. Les calculs de la recourante sont donc privés de fondement.
Pour démontrer le caractère erroné de l'expertise, la recourante invoque à nouveau une pièce établie sur papier à en-tête de H._, datée du 15 août 1989, et un courrier rédigé par l'intimé le 30 mai 1989. Or, la recourante n'indique pas en quoi les arguments que la Cour de justice lui a déjà opposés à ce sujet seraient insoutenables. Faute de répondre aux exigences de motivation posées par l'art. 90 al. 1 let b OJ, son recours est dès lors irrecevable sur ce point (<ref-ruling> consid. 1b et la jurisprudence citée).
Comme la recourante n'a pas pu prouver des erreurs manifestes dont serait entachée l'expertise, elle ne peut pas faire valoir que la Cour de justice aurait dû ordonner une contre-expertise.
3.- La recourante soutient enfin que le rapport d'expertise serait lacunaire dans la mesure où il ne se prononcerait pas sur la qualité matérielle de l'étude livrée par l'intimé. Au surplus, la décision attaquée serait insoutenable dans son résultat car elle oblige la recourante à payer une somme considérable à un architecte pour un travail inutilisable, commandé par l'ancien propriétaire de l'entreprise.
Ces questions, qui relèvent du droit matériel, auraient pu faire l'objet d'un recours en réforme (<ref-ruling> consid. 1a/aa p. 46 et 229 consid. 2b p. 232). Compte tenu de la subsidiarité absolue du recours de droit public (art. 84 al. 2 OJ), les griefs précités sont par conséquent irrecevables.
4.- En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Vu l'issue du litige, les frais et dépens seront mis à la charge de la recourante (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ).


Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable;
2. Met un émolument judiciaire de 5000 fr. à la charge de la recourante;
3. Dit que la recourante versera à l'intimé une indemnité de 6000 fr. à titre de dépens;
4. Communique le présent arrêt en copie aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
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Lausanne, le 10 décembre 2001 ECH
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président,
Le Greffier,