Sachverhalt:
A. Die 2005 geborene AX._ leidet an einem Geburtsgebrechen (komplexer Herzfehler mit Beeinträchtigung der Lungenfunktion) und bedarf umfangreicher spitalexterner Pflege. Die benötigten Pflegedienstleistungen wurden ihr von ihrem Kinderarzt verordnet und die Invalidenversicherung (IV) verfügte jeweils eine entsprechende Kostengutsprache.
Per 1. Oktober 2006 zog die Familie X._ nach Birmensdorf. Die Gemeinde Birmensdorf hat mit dem Spitex-Verein Birmensdorf-Aesch (Spitex-Verein) eine Leistungsvereinbarung geschlossen und ihm die Organisation der spitalexternen Krankenpflege übertragen. Der Spitex-Verein schloss seinerseits eine Vereinbarung mit der Kinder-Spitex des Kantons Zürich (Kispex ZH), mit welcher er ihr die spitalexterne Pflege von Kindern übertrug und im Gegenzug Kostenbeiträge von Fr. 37.80 pro geleisteter Pflegestunde zusicherte. Gestützt auf diese Leistungsvereinbarung sowie auf die Verordnungen des Kinderarztes und die Verfügungen der IV nahm die Kispex ZH die Pflege von AX._ wahr.
Bereits im November 2006 kam es zu Konflikten zwischen den Eltern von AX._ einerseits und der Kispex ZH, dem Spitex-Verein sowie der Gemeinde Birmensdorf andererseits. Gegenstand dieser Auseinandersetzungen waren die unterschiedlichen Ansichten der Parteien bezüglich der zu leistenden Pflegestunden. Mitte Januar 2007 beauftragten die Eltern eine andere Organisation mit der Pflege von AX._. Hierbei handelt es sich um die "Kinderspitex plus" der in M._ domizilierten Stiftung S._.
In der Folge ersuchten die Eltern von AX._ den Gemeinderat von Birmensdorf namens ihrer Tochter, sich mit Gemeindebeiträgen in Höhe von Fr. 37.80 pro geleisteter Pflegestunde an den Kosten der Kinderspitex plus zu beteiligen. Mit Beschluss vom 15. April 2008 trat der Gemeinderat auf dieses Ersuchen nicht ein.
B. Gegen den Beschluss des Gemeinderates von Birmensdorf rekurrierten die Eltern von AX._ und die Kinderspitex plus beim Bezirksrat Dietikon. Sie verlangten von der Gemeinde Birmensdorf sowie vom Spitex-Verein rückwirkend seit dem 15. Januar 2007 einen Gemeindebeitrag von Fr. 37.80/h für die insgesamt bereits angefallenen 4140 Pflegestunden, zuzüglich Zins von 5 % ab mittlerem Verfall. Sodann seien die Gemeinde Birmensdorf und der Spitex-Verein zu verpflichten, den geforderten Beitrag auch zukünftig zu entrichten, wobei der Pflegebedarf 52 Stunden pro Woche betrage. Überdies verlangten die Eltern von AX._ und die Kinderspitex plus vom Bezirksrat, aufsichtsrechtlich gegen die Gemeinde Birmensdorf und den Spitex-Verein vorzugehen.
Mit Beschluss vom 10. Juni 2009 hiess der Bezirksrat den Rekurs gut. Die Gemeinde Birmensdorf wurde verpflichtet, AX._ und der Kinderspitex plus rückwirkend ab 15. Januar 2007 die effektiv geleisteten Pflegestunden, jedoch maximal im von der IV verfügten Umfang, zu einem Stundenansatz von Fr. 37.80 zu vergüten, zuzüglich Zins zu 5 % ab dem 12. Oktober 2007 bzw. ab Fälligkeit der Teilforderungen. Zur Berechnung dieses Anspruchs wies der Bezirksrat die Angelegenheit an den Gemeinderat von Birmensdorf zurück. Weiter wies der Bezirksrat die Gemeinde Birmensdorf an, die Kinderspitex plus auch in der Zukunft mit der Pflege von AX._ im von der IV verfügten Umfang zu beauftragen. Der (subsidiären) Aufsichtsbeschwerde gab der Bezirksrat keine Folge.
C. Gegen den Beschluss des Bezirksrates Dietikon beschwerten sich die Gemeinde Birmensdorf und der Spitex-Verein beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde in seinem Urteil vom 3. Dezember 2009 ab, soweit es darauf eintrat.
D. Mit Eingabe vom 1. Februar 2010 führt die Gemeinde Birmensdorf Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts sowie der sie belastenden Ziffern des Beschlusses des Bezirksrates. Zudem ersucht sie um Feststellung, dass die Gemeinde Birmensdorf für die im Streit stehenden Pflegeleistungen keine Beiträge zu erbringen habe. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
AX._ sowie die Kinderspitex plus schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Bezirksrat Dietikon verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt, es sei die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) liess sich vernehmen, ohne einen Antrag zu formulieren.
Mit Replik vom 2. Juli 2010 äussert sich die Gemeinde Birmensdorf erneut zur Sache. AX._ und die Kinderspitex plus duplizieren mit Eingabe vom 7. September 2010.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 3).
Nicht zulässig ist die eingereichte Beschwerde insoweit, als sie sich gegen den Beschluss des Bezirksrates Dietikon vom 10. Juni 2009 richtet: Nach dem Prinzip des Devolutiveffekts wurde dieser prozessual durch das Urteil des Verwaltungsgerichtes des Kantons Zürich vom 3. Dezember 2009 ersetzt; Letzteres bildet alleiniger Anfechtungsgegenstand für den nachfolgenden Instanzenzug (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
Soweit das Urteil des Verwaltungsgerichtes des Kantons Zürich vom 3. Dezember 2009 angefochten wird, richtet sich die Beschwerde gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid einer oberen kantonalen Gerichtsbehörde und mithin gegen ein gesetzlich vorgesehenes Anfechtungsobjekt (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 86 Abs. 2 BGG). Ob die übrigen Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind, kann offen bleiben, zumal sich die Beschwerde als unbegründet erweist, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen.
2. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet (ausschliesslich) die Frage, ob und gegebenenfalls in welchem Ausmass die Gemeinde Birmensdorf verpflichtet ist, der Kinderspitex plus Beiträge zu leisten. Hierbei handelt es sich wohlverstanden nicht um die primäre Abgeltung der Pflegeleistung gegenüber AX._. Diese erfolgt vielmehr von der IV und richtet sich entweder nach den Tarifverträgen, welche die Spitex-Organisationen mit der IV ausgehandelt haben, oder - falls der Leistungserbringer keinen Tarifvertrag mit der IV abgeschlossen hat - nach dem vom Bundesrat festgesetzten Höchstansatz.
Im Zusammenhang mit der im Streit stehenden Beitragspflicht behauptet die Beschwerdeführerin die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten und Prinzipien sowie die willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts. Bezüglich dieser Rügen ist zu beachten, dass der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht gilt (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Vielmehr muss die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe präzise und in Auseinandersetzung mit den Ausführungen der Vorinstanz im Einzelnen darlegen, inwiefern der angefochtene Entscheid widerrechtlich sein soll ("qualifizierte Rügepflicht"; vgl. <ref-ruling> S. 1.4.2 S. 254). Die nachfolgende Überprüfung des vorinstanzlichen Urteils durch das Bundesgericht ist demzufolge nicht umfassender Natur, sondern sie beschränkt sich auf die Prüfung jener Vorbringen, die mittels der eingereichten Beschwerde (noch) geltend gemacht wurden. Obwohl an sich diskussionswürdig, verschliesst sich dem Bundesgericht daher insbesondere die nähere Prüfung der in den vorinstanzlichen Verfahren jeweils erhobenen Rüge, dass es an einer rechtlichen Grundlage für die umstrittene Beitragspflicht der Gemeinde fehle: Diese Rüge wurde von der Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht mehr rechtsgenüglich begründet vorgebracht.
3. Die Beschwerdeführerin führt an, dass der angefochtene Entscheid gegen den Grundsatz der derogatorischen Kraft des Bundesrechts (Art. 49 Abs. 1 BV) verstosse: Für die Behandlung von Geburtsgebrechen sei ausschliesslich die IV zuständig. Für allfällige kantonale Regelungen und Beiträge verbleibe kein Raum: Indem die Kinderspitex plus die zu Lasten der IV gehende Behandlung von AX._ übernommen habe, sei sie die Verpflichtung eingegangen, sich nach den tarifvertraglichen Bestimmungen zu richten. Es gelte diesbezüglich ein Tarifschutz, welcher es den Leistungserbringern verbiete, zusätzliche Vergütungen zu verlangen.
Diese Einwendung der Beschwerdeführerin überzeugt nicht: Zwar führt auch das BSV in seiner Stellungnahme aus, dass die tarifvertragliche Abgeltung einer Pflegeleistung abschliessend sei. Indessen ist der Vernehmlassung des BSV ebenfalls zu entnehmen, dass es sich hierbei um einen Tarifschutz für die versicherte Person handelt, welcher verhindern soll, dass die Leistungserbringer dem IV-Leistungsempfänger noch zusätzlich Rechnung stellen. Hier ist die Ausgangslage jedoch anders: Dass AX._ bzw. ihre Eltern einen Kostenbeitrag leisten müssen, wird von niemandem behauptet und es ist dies auch nicht ersichtlich. Wie bereits aufgezeigt, geht es ebenso wenig um die eigentliche Abgeltung der von der IV versicherten Pflegeleistung, sondern vielmehr um kommunale Unterstützungsbeiträge an die Spitex-Organisationen. Dass solche Beiträge durch das Bundesgesetz vom 19. Juni 1959 über die Invalidenversicherung (IVG; SR 831.20) von vornherein ausgeschlossen sein sollen, leuchtet nicht ein und ergibt sich jedenfalls nicht aus der vorgebrachten Rüge.
4. Sodann rügt die Beschwerdeführerin eine willkürliche Anwendung von § 59a Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 4. November 1962 über das Gesundheitswesen (in Kraft gewesen bis 30. Juni 2008; aGesG/ZH; Weitergeltung gemäss § 64 des Gesundheitsgesetzes des Kantons Zürich vom 2. April 2007 [in Kraft seit 1. Juli 2008; GesG/ZH]). Diese Bestimmung sieht vor, dass die Gemeinden für eine fachgerechte spitalexterne Kranken- und Gesundheitspflege ihrer Wohnbevölkerung sorgen, sei dies (a) durch eigene Spitex-Institutionen, (b) Mitgliedschaft in Zweckverbänden mit eigenen Spitex-Institutionen, (c) Beteiligung an der Trägerschaft von anderen Spitex-Institutionen oder (d) vertragliche Verpflichtung Dritter. Die Beschwerdeführerin behauptet vorliegend, dass dieser Versorgungsauftrag - entgegen der Rechtsauffassung der Vorinstanzen - nicht für jene Spitex-Leistungen gelte, welche durch die IV versichert sind.
Auch diese Rüge dringt nicht durch: Dem Wortlaut des Gesetzes kann die von der Beschwerdeführerin behauptete Einschränkung des Versorgungsauftrags nicht entnommen werden. Im Gegenteil: § 59a Abs. 2 aGesG/ZH bestimmt ausdrücklich, dass das [von den Gemeinden zu gewährleistende] Angebot neben dem Leistungsbereich der Pflege-Pflichtleistungen der Sozialversicherungsgesetzgebung auch die notwendigen Dienste im hauswirtschaftlichen und betreuerischen Bereich für Personen umfasst, die wegen Krankheit, Mutterschaft, Unfall oder Behinderung nicht in der Lage sind, ihren Haushalt selbständig zu führen. Diese Formulierung deutet klarerweise darauf hin, dass der zürcherische Gesetzgeber seinen Versorgungsauftrag an die Gemeinden auch auf Spitex-Leistungen bezog, für welche eine Kostengutsprache der IV besteht. Zwar führt die Beschwerdeführerin zutreffend aus, dass ein IV-Versicherter nur gegenüber der IV (nicht aber gegenüber Kanton und Gemeinde) einen direkten sozialversicherungsrechtlichen Leistungsanspruch hat. Jedoch steht dieser Umstand einem Versorgungsauftrag des Kantons an die Gemeinden nicht entgegen: Es erhellt ohne weiteres, dass ein Kanton ein grosses Interesse daran haben kann, die spitalexterne Pflege seiner Bevölkerung flächendeckend sicherzustellen - unabhängig davon, ob die entsprechenden Pflegeleistungen von einer Sozialversicherung des Bundes übernommen werden oder nicht.
Unbehelflich sind sodann die weiteren in diesem Zusammenhang vorgebrachten Argumente: Insbesondere erscheint es sehr fraglich, ob eine ausserhalb des Kantons Zürich wohnhafte versicherte Person tatsächlich mittels Beauftragung einer zürcherischen Spitex-Organisation eine Beitragspflicht des Kantons bzw. der Gemeinde erwirken könnte, wie dies die Beschwerdeführerin behauptet. Da im vorliegenden Fall jedoch offenkundig keine solche Konstellation vorliegt, muss auf diese Frage nicht näher eingegangen werden. Dass die Richtlinien des Zürcher Regierungsrates bezüglich der näheren Umschreibung des Versorgungsauftrages an die Gemeinden bzw. bezüglich Qualitätssicherungsmassnahmen offenbar auf die Ausführungsgesetzgebung zur Krankenversicherung verweisen, mag zutreffen. Daraus kann aber nicht abgeleitet werden, dass § 59a Abs. 1 aGesG/ZH auf die Spitex-Pflege zur Behandlung eines von der IV anerkannten Geburtsgebrechens nicht anwendbar wäre.
Bei dieser Sachlage ist es jedenfalls unter den hier massgeblichen Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanzen davon ausgingen, dass der Versorgungsauftrag gemäss § 59a Abs. 1 aGesG/ZH auch für Spitex-Leistungen gilt, die vom Versicherungsschutz der IV erfasst werden.
5. Ferner wendet die Beschwerdeführerin ein, die Vorinstanz habe rechtsungleich gehandelt und mithin Art. 8 BV verletzt: Das Verwaltungsgericht habe einerseits festgehalten, dass eine beitragspflichtige Gemeinde an der Abklärung des Pflegeleistungsbedarfs mitwirken könne, andererseits habe es nicht berücksichtigt, dass die Beschwerdeführerin im vorliegenden Fall keine Möglichkeit gehabt habe, "im Rahmen einer schriftlich festgehaltenen Bedarfsabklärung mitzuwirken".
Inwieweit die von der Beschwerdeführerin erhobene Rüge überhaupt den Schutzbereich und die Thematik des Rechtsgleichheitsgebotes berühren soll, ist unerfindlich. Zudem befindet sich in den Verfahrensakten eine Bedarfsabklärung der Kispex ZH vom 12. Dezember 2006. Demzufolge steht fest, dass die Beschwerdeführerin durch die Handlungen der von ihr (via Spitex-Verein) beauftragten Pflegeorganisation sehr wohl an der Abklärung des Pflegeleistungsbedarfs mitwirken konnte. Die Rüge geht daher fehl.
6. Abschliessend bezeichnet die Beschwerdeführerin die Festlegung eines Stundenansatzes von Fr. 37.80 als willkürlich und unhaltbar. Bei der Festsetzung von Staatsbeiträgen sei die Kostenstruktur der jeweiligen Spitex-Organisation massgebend. Es sei offensichtlich, dass eine ausserkantonale Institution wie die Kinderspitex plus nicht einfach den gleichen Ansatz erhalten könne, wie eine im Kanton Zürich domizilierte Organisation.
Die Auffassung der Beschwerdeführerin vermag erneut nicht zu überzeugen: Der Ansatz von Fr. 37.80/h entspricht der Vereinbarung zwischen dem Spitex-Verein und der Kispex ZH. Wie die Vorinstanz nachvollziehbar ausgeführt hat, bemisst sich dieser Stundenansatz nicht nach der Kostenstruktur des Leistungserbringers, sondern vielmehr nach der Finanzkraft der Gemeinde. Insofern ist nicht einzusehen, weshalb für einen ausserkantonalen Leistungserbringer ein anderer Ansatz gelten sollte.
7. Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin, welche Vermögensinteressen verfolgte, aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegnerinnen zudem eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten in Höhe von Fr. 2'000.-- werden der Gemeinde Birmensdorf auferlegt.
3. Die Gemeinde Birmensdorf hat den Beschwerdegegnerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von jeweils Fr. 1'500.-- zu entrichten.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Kammer, sowie dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Dezember 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Zähndler