Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft Mannheim führt gegen den in der Schweiz wohnhaften X._ ein Ermittlungsverfahren wegen des Verdachts der Hinterziehung insbesondere von Einfuhrumsatzsteuern.
Mit Rechtshilfeersuchen vom 27. Dezember 2010, ergänzt am 28. Februar 2011, bat sie die schweizerischen Behörden um Durchsuchungen und Zeugeneinvernahmen.
Am 25. Januar 2011 übertrug das Bundesamt für Justiz die Ausführung des Rechtshilfeersuchens der Eidgenössischen Zollverwaltung (im Folgenden: Oberzolldirektion).
Mit Verfügung vom 11. April 2011 trat diese auf das Rechtshilfeersuchen mitsamt Ergänzung ein und beauftragte die Zollkreisdirektion Lugano, Sektion Zollfahndung (im Folgenden: Zollfahndung), mit der Durchführung der Rechtshilfemassnahmen.
Am 4. Mai 2011 nahm die Zollfahndung am Sitz der X._ SA in Lugano eine Hausdurchsuchung vor. Dabei wurden verschiedene Dokumente sichergestellt. Ein Karton mit Unterlagen, welche zwei liechtensteinische Firmen betreffen, wurde versiegelt.
B. Am 30. Mai 2011 ersuchte die Oberzolldirektion die II. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts um Entsiegelung.
Am 22. August 2011 trat die II. Beschwerdekammer darauf nicht ein. Sie verneinte ihre Zuständigkeit.
Die von der Oberzolldirektion und dem Bundesamt für Justiz dagegen erhobenen Beschwerden hiess das Bundesgericht am 6. Januar 2012 gut und wies die Angelegenheit zum Entscheid über das Entsiegelungsgesuch an das Bundesstrafgericht zurück. Es erachtete dessen Beschwerdekammer als zuständig (<ref-ruling>).
C. Mit Beschluss vom 21. März 2012 trat die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts auf das Entsiegelungsgesuch erneut nicht ein. Sie wies die Oberzolldirektion an, die versiegelten Unterlagen der X._ SA zurückzugeben.
Die Beschwerdekammer befand, die Oberzolldirektion hätte gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> das Entsiegelungsgesuch innert 20 Tagen stellen müssen. Diese Frist habe die Oberzolldirektion verpasst.
D. Das Bundesamt für Justiz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der Beschluss der Beschwerdekammer vom 21. März 2012 sei aufzuheben; es sei die Entsiegelung der bei der X._ SA beschlagnahmten Unterlagen anzuordnen, damit die Oberzolldirektion eine Triage vornehmen könne.
Das Bundesamt bringt vor, nach dem bundesgerichtlichen Urteil vom 6. Januar 2012 seien für die Behandlung des vorliegenden Entsiegelungsgesuchs Art. 50 und Art. 25 Abs. 1 VStrR massgebend. Danach müsse die Oberzolldirektion das Entsiegelungsgesuch nicht innert 20 Tagen stellen.
E. Die Beschwerdekammer hat unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid auf Vernehmlassung verzichtet.
Die Oberzolldirektion schliesst sich der Argumentation des Bundesamts ohne weitere Bemerkungen an.
Die X._ SA hat sich vernehmen lassen. Sie beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, da kein besonders bedeutender Fall nach <ref-law> vorliege.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> wird das bundesgerichtliche Verfahren in einer der Amtssprachen geführt, in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids.
Der angefochtene Entscheid erging in deutscher Sprache. Von der Regel nach <ref-law> abzuweichen besteht kein Anlass. Das bundesgerichtliche Urteil wird deshalb in deutscher Sprache verfasst, auch wenn das Bundesamt seine Beschwerde in italienischer Sprache eingereicht hat.
2. 2.1 Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen als unzulässig, so fällt es gemäss <ref-law> - abgesehen von einem hier nicht gegebenen Ausnahmefall - den Nichteintretensentscheid innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels.
2.2 Nach der Rechtsprechung muss der Beschwerdeführer die Beschwerde auch bezüglich der Prozessvoraussetzungen gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG hinreichend begründen (<ref-ruling> E. 1 S. 121). Genügt er dieser Begründungspflicht nicht und sind die Prozessvoraussetzungen nicht offensichtlich gegeben, tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein. Der Beschwerdeführer hat insbesondere darzulegen, weshalb ein nach <ref-law> anfechtbarer Zwischenentscheid vorliegen soll (<ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 4 S. 95; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632 und E. 2.4.2 S. 633; je mit Hinweisen).
2.3 <ref-law> regelt die anfechtbaren Entscheide. Der Beschwerdeführer äussert sich nicht dazu, weshalb hier ein solcher Entscheid gegeben sein soll.
Im bundesgerichtlichen Urteil vom 6. Januar 2012 ging es um die Frage, ob die Vorinstanz zum Entscheid über das Entsiegelungsgesuch zuständig sei. Das Bundesgericht bejahte die Zulässigkeit der Beschwerden, da der damals angefochtene Entscheid einen nach <ref-law> anfechtbaren Zwischenentscheid darstellte (E. 1.3.5).
Im nunmehr angefochtenen Entscheid geht es nicht mehr um die Zuständigkeit, sondern darum, ob die Oberzolldirektion das Entsiegelungsgesuch innert 20 Tagen nach <ref-law> hätte stellen müssen. Der angefochtene Entscheid schliesst das Rechtshilfeverfahren nicht ab. Es handelt sich um einen "anderen Zwischenentscheid" im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 497 f.). Danach ist gegen einen solchen Zwischenentscheid die Beschwerde zulässig: a) wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann; oder b) wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1). Auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen sind Vor- und Zwischenentscheide nicht anfechtbar. Vorbehalten bleiben Beschwerden gegen Entscheide über die Auslieferungshaft sowie über die Beschlagnahme von Vermögenswerten und Wertgegenständen, sofern die Voraussetzungen von Absatz 1 erfüllt sind (Abs. 2). Ist die Beschwerde nach den Absätzen 1 und 2 nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, so sind die betreffenden Vor- und Zwischenentscheide durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken (Abs. 3).
Bei der Beschwerdegegnerin wurden schriftliche Unterlagen sichergestellt. Dabei handelt es sich um keine Vermögenswerte und Wertgegenstände (vgl. Urteil 1A.156/1997 vom 11. August 1997 E. 1b/cc). Die Beschwerde ist gemäss <ref-law> somit unzulässig.
2.4 Äussert sich demnach der Beschwerdeführer nicht dazu, weshalb ein anfechtbarer Entscheid vorliegen soll und ist dies auch keineswegs offensichtlich, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
3. Mit dem vorliegenden Entscheid braucht über das Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht mehr befunden zu werden.
Kosten sind keine zu erheben (<ref-law>). Die Eidgenossenschaft (Bundesamt für Justiz) hat der privaten Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Eidgenossenschaft (Bundesamt für Justiz) hat der Beschwerdegegnerin eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Eidgenössischen Zollverwaltung, Oberzolldirektion, und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Mai 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri