Sachverhalt:
A.
Die E._ AG (Gesuchsgegnerin und Beschwerdegegnerin 3) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._, die den Import und Export sowie den Handel mit Edelstahl und Erzeugnissen aus Edelstahl und verwandten Produkten bezweckt.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 7. November 2014 teilten C._ (Gesuchstellerin 1 und Beschwerdegegnerin 1) und die D._ mbh (Gesuchstellerin 2 und Beschwerdegegnerin 2) dem Bezirksgericht Appenzell I.Rh. mit, dass die E._ AG seit der ordentlichen Generalversammlung vom 31. Oktober 2014 über keinen Verwaltungsrat mehr verfüge, und beantragten gestützt auf <ref-law> die Anordnung der zur Beseitigung des Organisationsmangels notwendigen Massnahmen.
Am 20. Januar 2015 verfügte der Bezirksgerichtspräsident von Appenzell I.Rh. das Folgende:
"1. Rechtsanwalt Dr.iur. Michael Werder, c/o Werder Viganò AG, Zürich, wird superprovisorisch als Sachwalter der 'E._ AG' ernannt und mit der Führung der Geschäfte der Gesellschaft bis zum Abschluss des Verfahrens betraut. Die dafür anfallenden Kosten sind von der Gegenpartei zu tragen; vorab überweist ihm das Gericht einen Vorschuss von CHF 2'000.00.
2. Den Parteien wird eine Frist zur schriftlichen Stellungnahme bis Donnerstag, 5. Februar 2015 eingeräumt.
3. Die Entscheidgebühr von CHF 500.00 geht zu Lasten der 'E._ AG' und wird bei der Hauptsache belassen."
Mit prozessleitender Verfügung vom 22. Januar 2015 bewilligte der Bezirksgerichtspräsident das Gesuch von A._ und B._ um Nebenintervention auf Seiten der E._ AG.
Mit Verfügungen vom 29. Januar 2015 und 20. März 2015 verlängerte der Bezirksgerichtspräsident das Sachwaltermandat von Herrn Dr. Werder.
Mit prozessleitender Verfügung vom 6. Mai 2015 bewilligte der Bezirksgerichtspräsident das Gesuch von F._ um Nebenintervention auf Seiten der E._ AG. Alle Nebenintervenienten geben an, Aktionäre der E._ AG zu sein.
Anlässlich der Instruktionsverhandlung vom 8. Mai 2015 forderte der Bezirksgerichtspräsident den Rechtsvertreter von F._ auf, den Nachweis der Aktionärseigenschaft zu erbringen. Mit Schreiben vom 11. Mai 2015 reichte der Rechtsvertreter einen Aktien- und Übertragungsvertrag zwischen Dr. G._ als Verkäufer und A._, B._ sowie F._ als Käufer ein, wobei gewisse Passagen abgedeckt waren.
Mit Schreiben vom 19. Mai 2015 stellte der Sachwalter der E._ AG dem Bezirksgericht den Antrag, die Nebenintervenienten seien aufzufordern, eine nicht abgedeckte Version dieses Vertrags vorzulegen. Zur Begründung führte er an, dass ein wirtschaftliches Treuhandverhältnis nicht ausgeschlossen werden könne und es wegen der international-steuerrechtlichen Verflechtungen wichtig sei, Gewissheit zu haben, dass allfällige Ausschüttungen nur an die wirtschaftlich Berechtigten und nicht etwa an Treuhänder erfolgten.
Mit Verfügung vom 8. Juni 2015 ordnete der Bezirksgerichtspräsident Folgendes an:
"1. Das am 20./29. Januar 2015 sowie am 20. März 2015 superprovisorisch verfügte Mandat von Rechtsanwalt Dr.iur. Michael Werder, c/o Werder Viganò AG, Zürich, als einziger Zeichnungsberechtigter und einzelzeichnungsberechtigter Sachwalter der 'E._ AG' wird bis Donnerstag, 31. Dezember 2015 verlängert, mit Berechtigung zum Abschluss der Jahresrechnung bis Montag, 1. Februar 2016. Es wird dem Sachwalter die Befugnis erteilt, die finanziellen Interessen der 'E._ AG' bezüglich ihrer Beteiligung an der 'H._ BV' zu prüfen, inkl. allfälligem Verkauf dieser Beteiligung.
2. Die Nebenintervenienten A._, B._ und F._ werden aufgefordert, bis Freitag, 19. Juni 2015 den Aktienkauf- und Übertragungsvertrag vollständig offenzulegen, mit Ausnahme des Kaufpreises als Geldfluss.
3. Die 'E._ AG' wird verpflichtet, einen weiteren Kostenvorschuss in der Höhe von CHF 8'000.00 zu bezahlen.
4. Die Entscheidgebühr von CHF 500.00 geht zu Lasten der 'E._ AG' und wird bei der Hauptsache belassen."
B.b. Gegen diese Verfügung legten A._ und B._ am 19. Juni 2015 Berufung beim Kantonsgericht Appenzell I.Rh. mit folgenden Anträgen ein:
"1. Die 'superprovisorische' (sic!) Verfügung vom 8. Juni 2015 (E 176-2014) des Bezirksgerichts Appenzell l. Rh. sei vollumfänglich aufzuheben;
2. Rechtsanwalt Dr.iur. Michael Werder sei als einzelzeichnungsberechtigter Sachwalter der E._ AG mit Sitz in U._ abzuberufen;
3. Gestützt auf <ref-law> sei ein unabhängiger Sachwalter für die E._ AG mit Sitz in U._ einzusetzen;
4. Eventualantrag: Die Angelegenheit sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen;
5. Subeventualantrag: Bei Nichteintreten auf die Berufung sei das Bezirksgericht Appenzell I.Rh. anzuweisen, eine anfechtbare Verfügung betreffend die Einsetzung von Rechtsanwalt Dr.iur. Michael Werder als Sachwalter der E._ AG mit Sitz in U._ sowie die Vorlage des Aktienkauf- und Übertragungsvertrags zu erlassen. "
Auch F._ legte gegen die Verfügung vom 8. Juni 2015 Berufung mit gleichlautenden Anträgen ein.
Mit Berufungsantwort vom 13. Juli 2015 beantragte der Sachwalter im Namen der E._ AG, es sei auf die Berufungen nicht einzutreten, eventualiter seien sie abzuweisen.
Mit Berufungsantwort vom 13. Juli 2015 beantragten C._ und die D._ mbh ebenfalls, es sei auf die Berufung nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen.
Mit Entscheid vom 11. August 2015 trat das Kantonsgericht auf die Berufung nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellen die beiden Nebenintervenienten A._ und B._ dem Bundesgericht folgende Anträge:
"1. Der angefochtene Entscheid sei insofern aufzuheben, als darin Ziffer 2 des Dispositivs der 'superprovisorischen' (sic!) Verfügung des Bezirksgerichtspräsidenten Appenzell l.Rh. im Verfahren E 176-2014 vom 8. Juni 2015 geschützt wird;
eventuell sei der angefochtene Entscheid an die Vorinstanz zur Beurteilung der Ziffer 2 des Dispositivs der 'superprovisorischen' (sic!) Verfügung des Bezirksgerichtspräsidenten Appenzell I.Rh. im Verfahren E 176-2014 vom 8. Juni 2015 zurückzuweisen;
subeventuell sei die Sache an die erste Instanz (Bezirksgerichtsgerichtspräsidium AppenzeIl I.Rh.) zur Beurteilung der Ziffer 2 des Dispositivs der 'superprovisorischen' (sic!) Verfügung des Bezirksgerichtsprasidenten Appenzell I.Rh. im Verfahren E 176-2014 vom 8. Juni 2015 zurückzuweisen;
2. unter Kosten- und Entschädigungsfolgen."
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
1.1. Mit dem angefochtenen Entscheid ist die Vorinstanz auf eine Berufung gegen eine vorsorgliche Massnahme in einem Organisationsmängelverfahren nach <ref-law> nicht eingetreten. Dabei handelt es sich weder um einen End- noch um einen Teilentscheid i.S. von Art. 90 f. BGG, sondern um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid, der weder die Zuständigkeit noch ein Ausstandsbegehren betrifft (<ref-law>).
Da die Gutheissung der Beschwerde vorliegend keinen Endentscheid herbeiführen würde (<ref-law>), ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>).
Dabei muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden kann. Rein tatsächliche Nachteile wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2 S. 80; <ref-ruling> E. 1.2.1; <ref-ruling> E. 2.3.1). Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll. Die Ausnahme ist restriktiv zu handhaben (<ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.1 S. 631).
Es obliegt dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich in die Augen springt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 4 S. 95; <ref-ruling> E. 1.2 S. 429).
1.2. Die Beschwerdeführer richten sich vor Bundesgericht gegen den angefochtenen Entscheid nur insoweit, als dieser die Anordnung des Bezirksgerichtspräsidenten schützt, wonach die Beschwerdeführer einen Aktienkauf- und Übertragungsvertrag mit Ausnahme des Kaufpreises offenzulegen hätten. Damit ist ihrer Auffassung nach der nicht wieder gutzumachende Nachteil "ohne weiteres dargelegt". Denn wenn "der Vertrag offengelegt" sei, sei "er offengelegt - und für alle Parteien des Verfahrens E 176-2014 einsehbar".
Entgegen ihrer Auffassung tun die Beschwerdeführer damit gerade keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil dar. Hierfür müssten sie im Einzelnen darlegen, welchen konkreten Nachteil die vollständige Offenlegung des Vertrags zur Folge hätte, was sie indessen nicht ansatzweise dartun. Sie behaupten namentlich nicht, dass das erwähnte Vertragswerk in irgendeiner Weise streng vertrauliche Informationen, also objektiv schützenswerte Geheimnisse, enthalte, geschweige denn, inwiefern gegenüber den anderen Parteien überhaupt ein aktuelles Geheimhaltungsinteresse bestehen soll. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil ist damit weder dargetan noch ersichtlich.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Damit werden die Beschwerdeführer für das vorliegende Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>). Den Beschwerdegegnern ist in diesem Verfahren kein Aufwand entstanden, womit ihnen kein Anspruch auf Parteientschädigung zusteht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt (unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen).
3.
Es wird keine Parteientschädigung gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Appenzell I.Rh., Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni