Sachverhalt:
A.
Unter der Firma A.X._, am 29. April 1978 umfirmiert in "Hotel & Restaurant E._, A.X._", bestand gemäss Handelsregister seit dem 24. November 1964 eine Einzelunternehmung mit Sitz in C._/VS. Zum Zweck der (stillen) Sanierung sprach die D._ AG im Jahr 2000 einen Forderungsverzicht in Höhe von Fr. 300'000.-- aus. Die damals für die Einzelunternehmung tätige Treuhandgesellschaft verbuchte diesen Vorgang in den Büchern derart, dass Erfolgsneutralität eintrat.
B.
Die Schlussbilanz 2002 der Einzelunternehmung wies Aktiven und Passiven von je Fr. xxx aus. Am 3. April 2003 gründete A.X._ zusammen mit weiteren Personen die Hotel E._ AG, auch sie mit Sitz in C._/VS. Die Gesellschaft übernahm sacheinlageweise und rückwirkend auf den 1. Januar 2003 das Geschäft der Einzelunternehmung. Gemäss Übernahmebilanz vom 31. Dezember 2002 handelte es sich um Aktiven von Fr. xxx und Fremdkapital von Fr. xxx, netto mithin Fr. xxx. Der Differenzbetrag wurde dem Aktienkapital (Konto 2300) gutgeschrieben.
C.
Die Eheleute X._-Y._ als Borger und F._ als Darleiher hatten am 21. November 1997 einen Darlehensvertrag über Fr. 300'000.-- geschlossen. Das Passivdarlehen gehörte unstreitig dem Geschäftsvermögen der Einzelunternehmung an und wurde als solches in den Büchern geführt. In der Folge begründeten die Parteien am 2. Februar 2002, seitens der Eheleute auch deren Kinder, einen öffentlich beurkundeten Erbvertrag. Der Darleiher/Erblasser verschied am 7. Juni 2002. Im Anschluss daran entspann sich ein Rechtsstreit um das Schicksal des Darlehens. Mit den Urteilen 5C.56/2005 und 5P.81/2005, je vom 15. Juli 2005, anerkannte das Bundesgericht den Anspruch der Erben von F._ auf Rückerstattung des Darlehens.
D.
Die Steuerverwaltung des Kantons Wallis unterzog im Mai 2004 die Bücher der Hotel E._ AG einer Prüfung. Dabei ergab sich, dass in der Schlussbilanz der Einzelunternehmung vom 31. Dezember 2002 das Passivdarlehen über Fr. 300'000.-- nicht (mehr) erschien, obwohl es nicht (z.B. zur Vornahme von Abschreibungen auf dem Anlagevermögen) verwendet worden war, und dass es ebenso wenig Eingang in die Eröffnungsbilanz der Hotel E._ AG fand. Am 29. Juni 2005 verfügte zunächst die Steuerverwaltung (für die direkte Bundessteuer und die Kantonssteuer), am 12. Juli 2005 fakturierte schliesslich auch die Gemeinde C._/VS (für die Gemeindesteuer) folgenden Liquidationsgewinn 2002:
+ Forderungsverzicht der D._ AG Fr. 300'000.--
- (noch nicht verrechneter) Verlust 2001 Fr. 12'266.--
- (noch nicht verrechneter) Verlust 2002 Fr. 68'651.--
+ Rechnung des Treuhänders vom 13.01.2000 Fr. 13'191.--
Liquidationsgewinn 2002 Fr. 232'274.--
Die dagegen gerichtete Einsprache vom 22. Juli 2005 blieb erfolglos. Die Steuerrekurskommission des Kantons Wallis hiess am 21. November 2012 die Beschwerde der Eheleute X._-Y._ vom 21. Juni 2007 teilweise gut, dies sowohl hinsichtlich der direkten Bundessteuer als auch der Kantons- und Gemeindesteuern des Kantons Wallis. Sie wies die Unterinstanz an, vom Liquidationsgewinn von Fr. 232'274.-- zusätzlich die an die Eidg. AHV geleisteten Beiträge in Abzug zu bringen.
E.
Mit Eingabe vom 30. Januar 2013 ersuchen A.X._ und B.X._ geb. Y._ (hiernach: die Steuerpflichtigen) das Bundesgericht um Aufhebung des angefochtenen Entscheids vom 21. November 2012 und Zurückweisung an die Vorinstanz, damit diese ihnen das rechtliche Gehör (Anhörung der Steuerpflichtigen und Bestellung einer büchersachverständigen Person) gewähre.
Während die Steuerverwaltung des Kantons Wallis beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, schliesst die Eidgenössische Steuerverwaltung bezüglich der direkten Bundessteuer (Verfahren 2C_105/2013) auf Abweisung und verzichtet sie bezüglich der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Wallis praxisgemäss auf einen Antrag (Verfahren 2C_104/2013). Die eingegangenen Stellungnahmen veranlassen die Steuerpflichtigen zu abschliessenden Ausführungen.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 44; <ref-ruling> E. 1 S. 369; <ref-ruling> E. 1 S. 475).
1.2. Die Vorinstanz hat die Verfahren betreffend direkte Bundessteuer und Kantonssteuern vereinigt und ein einziges Urteil gefällt. Die Steuerpflichtige ficht dieses Urteil mit einer einzigen Beschwerdeschrift an. Dies ist zulässig, sofern in der Beschwerde zwischen den beiden Steuerarten unterschieden wird und aus den Anträgen hervorgeht, inwieweit diese angefochten sind und wie zu entscheiden ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 264 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 559).
Das Bundesgericht eröffnet regelmässig zwei Verfahren, wenn sowohl die direkte Bundessteuer als auch die kantonalen Steuern streitig sind. Dabei geht es darum, die Fälle aller Kantone einheitlich zu erfassen. Das Bundesgericht behält sich aber vor, die beiden Verfahren zu vereinigen und nur ein Urteil zu fällen (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 465; Urteil 2C_95/2013 / 2C_96/2013 vom 21. August 2013 E. 1.2). Solches rechtfertigt sich, soweit es um denselben Sachverhalt geht und sich bundes- und kantonalrechtlich dieselben Rechtsfragen stellen. Davon ist auszugehen, falls harmonisiertes kantonales Recht betroffen ist, was ohnehin nach einer vertikalen Harmonisierung ruft (Urteile 2C_1151/2012 vom 3. Juni 2013 E. 3.2 [StHG/DBG], zur Publikation vorgesehen; 2C_407/2012 vom 23. November 2012 E. 1.3 [DBG/StHG], in: StE 2013 B 92.8 Nr. 17; <ref-ruling> E. 3.2 S. 116). Trifft dies zu, werden die beiden Verfahren vereinigt und wird die Beschwerde in einem einzigen Urteil erledigt (Urteile 2C_797/2012 / 2C_798/2012 vom 31. Juli 2013 E. 1.1; 2C_1086/2012 / 2C_1087/2012 vom 16. Mai 2013 E. 1.1).
Das Bundesgericht hat im vorliegenden Fall für die direkte Bundessteuer (2C_105/2013) und die Kantonssteuern (2C_104/2012) separate Dossiers angelegt. Die Verfahren sind zu vereinigen. Ob in der Beschwerdeschrift der Steuerpflichtigen hinreichend zwischen den beiden Steuern unterschieden wird, kann mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens offen bleiben.
1.3. Die Beschwerde richtet sich gegen einen (End-) Entscheid einer kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist grundsätzlich gegeben (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 BGG i.V.m. Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11] sowie Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]). Praxisgemäss erfüllt die Steuerrekurskommission des Kantons Wallis die Anforderungen an ein "oberes Gericht" im Sinne von <ref-law> (Urteile 2C_80/2012 vom 16. Januar 2013 E. 1.1; 2C_564/2008 vom 12. September 2008; 2C_491/2007 vom 30. April 2008 E. 1.3; zu den Voraussetzungen Urteil 2C_1158/2012 vom 27. August 2013 E. 1.2.2). Auf die Beschwerde ist damit einzutreten.
1.4. Fragen des Bundesrechts klärt das Bundesgericht mit freier Kognition (<ref-law>; Urteile 2C_1158/2012 vom 27. August 2013 E. 1.4; 2C_95/2013, 2C_96/2013 vom 21. August 2013 E. 1.5). Im Bereich des Steuerharmonisierungsrechts gilt dabei ein dreistufiges Konzept (vgl. Urteil 2C_95/2013 / 2C_96/2013 vom 21. August 2013 E. 1.6). Trotz der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Die Verletzung von Grundrechten (Art. 7-34 BV, nebst den übrigen verfassungsmässigen Rechten der BV [<ref-ruling> E. 6.1 S. 31; <ref-ruling> E. 2 S. 640] und den Rechtsansprüchen der EMRK [<ref-ruling> E. 4.3 S. 106]), von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht es in jedem Fall nur, soweit eine Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Solche Rügen sind klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen; auf rein appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 2.8 S. 494; Urteil 2C_678/2012 vom 17. Mai 2013 E. 1.5).
1.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die vorinstanzlichen Feststellungen können nur berichtigt werden, sofern sie entweder offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ermittelt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; zum Begriff der Willkür in der Rechtsanwendung: <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Zudem hat die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
1.6. Die Steuerpflichtigen rügen sinngemäss, die Vorinstanz habe das einschlägige Bundesrecht (insbesondere <ref-law> bzw. Art. 8 Abs. 1 StHG [Liquidationsgewinn]) unrichtig angewandt. Weiter machen sie geltend, die Vorinstanz habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) dadurch verletzt, dass diese - trotz mehrmaligen Antrags - weder eine büchersachverständige Person berufen noch ihnen die Möglichkeit der (mündlichen) Anhörung eingeräumt habe. Darauf ist vorab einzugehen.
II. Rechtliches Gehör
2.
2.1. Unter den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) fällt das Recht der betroffenen Person, sich vor Erlass eines in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zur Sache zu äussern sowie das Recht auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel (<ref-ruling> E. 2b S. 56). Es handelt sich dabei um ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 127; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 2b S. 102) im Sinn einer verfassungsmässigen Mindestgarantie (<ref-ruling> E. 2.2 S. 504 f. mit Hinweisen). Die bundesrechtliche Minimalgarantie kann durch kantonales Verfahrensrecht ausgedehnt werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 282; <ref-ruling> E. 5.2 S. 147).
2.2. Das Recht der betroffenen Person, sich vor Erlass des belastenden Entscheides zu äussern, schliesst keinen Anspruch auf mündliche Anhörungein (BGE <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f.; <ref-ruling> E. 1b S. 494; <ref-ruling> E. 9b S. 219). Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs kann freilich darin liegen, dass der Anspruch auf ( schriftliche ) Äusserung beeinträchtigt wird. Dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) lässt sich indes keine allgemeine Pflicht der Behörde zur Abnahme aller angebotenen Beweise und zur Würdigung sämtlicher Argumente entnehmen. Die Abweisung eines Beweisantrags erweist sich namentlich als zulässig, falls die Verwaltungs- oder Gerichtsbehörde sich ihre Meinung aufgrund zuvor erhobener Beweise bereits bilden konnte und sie ohne Willkür in vorweggenommener, antizipierter Beweiswürdigung annehmen darf, die gewonnene Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht erschüttert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157; Urteil 2C_545/2012 vom 22. Februar 2013 E. 2.2).
2.3. Im Bereich des harmonisierten Steuerrechts sind - über die verfassungsrechtlichen Vorgaben hinaus - die spezialgesetzlichen Verfahrensvorschriften zu beachten. Gemäss <ref-law> bzw. Art. 41 Abs. 2 StHG hat die Veranlagungsbehörde die von der steuerpflichtigen Person angebotenen Beweise abzunehmen, soweit sie geeignet sind, die für die Veranlagung erheblichen Tatsachen festzustellen (Urteil 2A.71/2006 vom 21. Juni 2006 E. 3.3.2). Diesem Recht steht im Verfahren der gemischten Veranlagung (Art. 123 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> Art. 46 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 1 StHG) die Pflicht der steuerpflichtigen Person gegenüber, auf Verlangen der Veranlagungsbehörde mündliche oder schriftliche Auskünfte zu erteilen (<ref-law>). Praxisgemäss ergibt sich auch unter diesem Gesichtspunkt kein Anspruch auf mündliche Anhörung im Veranlagungs- oder im Rechtsmittelverfahren (Urteile 2C_178/2011 vom 2. November 2011 E. 3.3, in: StE 2012 A 24.21 Nr. 23; 2A.389/2003 vom 10. März 2004 E. 2.3.2, in: StE 2004 A 21.13 Nr. 6; generell: BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f.; <ref-ruling> E. 9b S. 219; <ref-ruling> E. 4c S. 469). Selbst bei drohender reformatio in peius im Einspracheverfahren (<ref-law>) sieht das Gesetz lediglich eine (nicht zwingend mündliche) "Anhörung" vor (vgl. Urteil 2C_596/2012 vom 19. März 2013 E. 3.3, in: StE 2013 B 97.11 Nr. 28, StR 68/2013 S. 474).
2.4. Angesichts des Fehlens eines verfassungs- oder zumindest harmonisierungsrechtlichen Anspruchs auf mündliche Anhörung ist es Sache der steuerpflichtigen Person, ihre Anliegen im Veranlagungs- oder Einspracheverfahren rechtzeitig in schriftlicher Form vorzutragen. Dabei herrscht im Steuerrecht - in Konkretisierung des allgemeinen Grundsatzes von <ref-law>, der auch im öffentlichen Recht gilt (<ref-ruling> E. 6.8.2 S. 486; <ref-ruling> E. 6 S. 222) - die Normentheorie. Ihr zufolge trägt die Steuerbehörde die Beweislast für die steuerbegründenden und -erhöhenden Tatsachen, wogegen die steuerpflichtige Person für die steueraufhebenden und -mindernden Tatsachen beweisbelastet ist (Urteile 2C_95/2013 / 2C_96/2013 vom 21. August 2013 E. 2.2; 2C_1273/2012 vom 13. Juni 2013 E. 3.4; 2C_678/2012 vom 17. Mai 2013 E. 3.6). Insofern findet der im Verwaltungsverfahren herrschende Untersuchungsgrundsatz seine Grenze an der Mitwirkungspflicht der Parteien (allgemein auf Stufe Bund: Art. 13 des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren [VwVG; SR 172.021]; <ref-ruling> E. 5.2.3 S. 97; <ref-ruling> E. 2 S. 195; zitierte Urteile 2C_1273/2012 E. 3.3; 2C_678/2012 E. 3.5).
2.5. Die Steuerpflichtigen tragen vor, sie hätten sich mehrfach bemüht, von der Steuerbehörde und hernach der Steuerrekurskommission mündlich angehört zu werden. Dies sei ihnen verwehrt worden, ebenso wie die Bestellung einer büchersachverständigen Person, die sich zur Rechtmässigkeit der Buchführung hätte aussprechen können. Wie die Vorinstanz in für das Bundesgericht verbindlicher Weise (<ref-law>; vorne, E. 1.5) ausführt, hat die Steuerverwaltung den Steuerpflichtigen zunächst im Veranlagungs-, später auch im Einspracheverfahren mehrfach die Möglichkeit eingeräumt, sich vernehmen zu lassen und Beweismittel einzureichen. Davon haben die Steuerpflichtigen, wie den Akten entnommen werden kann, verschiedentlich Gebrauch gemacht. Dem Expertenbericht vom 27. September 2004 zufolge kam es am 27. Mai, 5. Juli und 13. September 2004 zu Besprechungen, in der Folge auch am 20. April 2005, was u.a. aus der Einsprache vom 22. Juli 2005 hervorgeht.
In der Einsprache beriefen die Steuerpflichtigen sich auf eine angebliche Vereinbarung mit dem Sachbearbeiter der Steuerverwaltung, wonach dieser die Angelegenheit mit dem Vorsteher besprechen und hernach die Steuerpflichtigen über den Ausgang orientieren werde. Die Steuerpflichtigen, vertreten durch ihre (neue) Treuhandstelle, räumen in materieller Hinsicht ein, bei der von der einstigen Treuhandstelle vorgenommenen Verbuchung des Forderungsverzichts handle es sich um eine "Fehlbuchung". Sie erklären, der Forderungsverzicht hätte "über das Anlagevermögen abgebucht werden sollen". Dementsprechend seien sie, die Steuerpflichtigen, nunmehr anzuhören.
Nachdem die Einsprachebehörde dem Verfahrensantrag nicht stattgegeben hatte, gelangten die Steuerpflichtigen in ihrer Beschwerde vom 21. Juni 2007 u.a. mit dem nochmaligen Antrag auf mündliche Anhörung an die Steuerrekurskommission. Sie rügten, die Steuerverwaltung habe die "verlangte Anhörung nie in Betracht gezogen". In der Replik vom 16. Oktober 2007 griffen sie diesen Aspekt ein weiteres Mal auf.
2.6. Der Sichtweise der Steuerpflichtigen kann nicht gefolgt werden. Aktenkundig sind vier Besprechungen. Zudem hatten sie spätestens im Einsprache- und Beschwerdeverfahren Gelegenheit, sich in ihren Eingaben schriftlich zu den bestrittenen Aufrechnungen zu äussern. Ihre schriftlichen Vorbringen beschränkten sich freilich darauf, in recht pauschaler Weise auf die angebliche Vereinbarung mit dem Sachbearbeiter hinzuweisen und u.a. daraus einen Anspruch auf eine weitere Besprechung abzuleiten. Für die Behauptung, es sei eine Besprechung (bzw. "Orientierung") vereinbart worden, konnten sie indes keinen Beweis erbringen. Unklar bleibt ohnehin, was mit dem weiteren Gespräch hätte bezweckt werden sollen. Die Standpunkte waren klar, nachdem die Steuerverwaltung von Anbeginn weg die Aufrechnung in Aussicht gestellt hatte; die Steuerpflichtigen hatten ebenso früh im Verfahren - jedenfalls in ihrer Einsprache vom 22. Juli 2005 - eingeräumt, es handle sich um eine "Fehlbuchung". Damit bestand in der Hauptsache an sich ein Konsens.
Die rechtliche Folge dieser "Fehlbuchung", die nach den verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen nie behoben wurde, schien der Veranlagungsbehörde festzustehen. Infolgedessen sah sie keinen weiteren Gesprächsbedarf. Diese (antizipierte) Würdigung der tatsächlichen Verhältnisse ist jedenfalls nicht willkürlich. Waren sich Steuerpflichtige und Steuerbehörde darin einig, dass der Forderungsverzicht zunächst erfolgsneutral verbucht, später aber nicht ebenso erfolgsneutral ausgebucht worden war, musste dies zu einer erfolgswirksamen Auflösung führen. Unter diesen Vorzeichen konnte die Vorinstanz aus haltbaren Gründen davon ausgehen, dass eine neuerliche Besprechung des Sachverhalts keine neuen Aufschlüsse versprach. Im Übrigen haben die Steuerpflichtigen - zuletzt auch vor Bundesgericht - nicht präzisiert, welche weiteren tatsächlichen Aspekte überhaupt zu verhandeln gewesen wären.
2.7. Von einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör kann infolgedessen keine Rede sein. Nach der zitierten Normentheorie wäre es vielmehr Sache der Steuerpflichtigen gewesen, die angeblichen neuen Tatsachen, die nach einer zusätzlichen Diskussion hätten rufen können, rechtzeitig und in geeigneter (schriftlicher) Form vorzubringen. Dies ist unterblieben. Die Steuerpflichtigen haben mithin zu vertreten, dass ihrer ungenügenden Mitwirkung zufolge der Verfahrensantrag abgewiesen wurde.
2.8. Mangels behaupteter und bewiesener neuer Tatsachen blieben damit lediglich noch Rechtsfragen zu beantworten. Infolgedessen haben die Unter- und die Vorinstanz den Sachverhalt willkürfrei gewürdigt und den Antrag auf Bestellung einer büchersachverständigen Person bundesrechtskonform abgewiesen. Reine Rechtsfragen sind durch die (Gerichts-) Behörden zu entscheiden. Veranlagungsbehörden und Steuerrekurskommissionen verfügen in aller Regel über die hierzu erforderliche Sachkompetenz, sodass der Beizug bzw. die Anhörung einer externen Fachperson keine neuen Aufschlüsse verspricht. Der verfassungsrechtliche Anspruch der Steuerpflichtigen auf rechtliches Gehör ist auch insoweit nicht verletzt.
2.9. Die bundesrechtliche Minimalgarantie kann im Wege des kantonalen Verfahrensrechts ausgedehnt werden (vorne, E. 2.1). Die Steuerpflichtigen rufen insbesondere eine Verletzung von Art. 131 Abs. 2 und Art. 151bis des Steuergesetzes (des Kantons Wallis) vom 10. März 1976 (StG/VS; SGS 642.1) an. Die erste Norm unter dem Titel "Aufgaben der Steuerbehörden" [im gemischten Verfahren] entspricht, abgesehen von der Kostenfrage, inhaltlich <ref-law> (vorne, E. 2.3). Art. 151bis StG/VS, der die von der Steuerrekurskommission zu treffenden Untersuchungen regelt, deckt sich weitgehend mit den bundesrechtlichen Vorgaben (insbesondere Art. 142 f. DBG, Art. 50 StHG). Weder im einen noch im andern Fall sieht das Gesetz einen Anspruch auf (mündliche) Anhörung bzw. die Bestellung einer büchersachverständigen Person vor. Geht das Steuergesetz des Kantons Wallis nicht weiter als das eidgenössische Verfassungs- und Gesetzesrecht, ergibt sich unter dem Blickwinkel des kantonalen Rechts keine vom Gesagten abweichende Beurteilung. Die Beschwerde ist insoweit abzuweisen.
II. Direkte Bundessteuer
3.
3.1. <ref-law> hält fest, die Einkommenssteuer für die erste Steuerperiode ["n"] nach dem Wechsel der zeitlichen Bemessung (zur Postnumerandobesteuerung mit einjähriger Gegenwartsbemessung; vgl. Art. 41 i.V.m. <ref-law> bzw. Art. 16 i.V.m. Art. 62 ff. StHG; <ref-ruling> E. 3.3 S. 67 f.) werde nach neuem Recht veranlagt. Absatz 2 ergänzt, ausserordentliche Einkünfte, die in den Jahren "n-1" und "n-2" oder in einem Geschäftsjahr erzielt werden, das in diesen Jahren abgeschlossen wird, unterlägen für das Steuerjahr, in dem sie zugeflossen sind, einer vollen Jahressteuer zu dem Satz, der sich für diese Einkünfte allein ergibt (...). Aufwendungen, die mit der Erzielung der ausserordentlichen Einkünfte unmittelbar zusammenhängen, könnten abgezogen werden. Schliesslich bestimmt <ref-law>, dass als ausserordentliche Einkünfte insbesondere Kapitalleistungen, aperiodische Vermögenserträge, Lotteriegewinne, sowie, in sinngemässer Anwendung von <ref-law>, ausserordentliche Einkünfte aus selbständiger Erwerbstätigkeit gelten.
3.2. Der Kanton Wallis ist per 1. Januar 2003 zur Postnumerandobesteuerung mit einjähriger Gegenwartsbemessung übergegangen (Art. 244 StG/VS, in der Fassung vom 13. September 2001 [Abl. Nr. 43/2001]). Demnach bildeten die Steuerjahre 2001 ("n-2") und 2002 ("n-1") die Übergangsperiode (Art. 247 Abs. 1 StG/VS). Diese zeitliche Abfolge ist auch für die Zwecke der direkten Bundessteuer massgebend.
3.3. In materieller Hinsicht ist vorab der Forderungsverzicht in Höhe von Fr. 300'000.-- strittig. Nach ergänzender Instruktion kam die Vorinstanz zum Schluss, die Bemessungsbasis des Liquidationsgewinns (Fr. 232'274.--) sei grundsätzlich korrekt ermittelt worden, wobei den Steuerpflichtigen zusätzlich der Abzug der an die Eidg. AHV geleisteten Beiträge zu gewähren sei. Die Vorinstanz ist der Auffassung, der Passiv- bzw. Minus-Aktivposten wäre von der neuen Aktiengesellschaft zu übernehmen oder zuvor über das Anlagevermögen auszubuchen gewesen. Beides sei unterblieben, was einen Kapitalgewinn (Liquidationsgewinn) bewirkt habe.
3.4. Das Handelsrecht beruht auf den anerkannten Grundsätzen der Betriebswirtschaftslehre, namentlich auch, was den Wertansatz von Aktiven und Verbindlichkeiten anbelangt (Urteil 2C_309/2013 / 2C_310/2013 vom 18. September 2013 E. 2.2.2). Das Steuerrecht beruht in der Folge (unmittelbar) auf dem Handelsrecht und (mittelbar auf der Betriebswirtschaftslehre (Art. 18 Abs. 3 [selbständige Erwerbstätigkeit] i.V.m. <ref-law> [Kapitalgesellschaften und Genossenschaften]; zitiertes Urteil 2C_309/2013 / 2C_310/2013 E. 2.4.1). Es gilt das Prinzip der Massgeblichkeit der Handelsbilanz ("le principe de l'autorité du bilan commercial ou de déterminance"; <ref-ruling> E. 6.2 S. 360 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 92; <ref-ruling> E. 2.2 S. 177 f.; <ref-ruling> E. 2c S. 115).
Der Forderungsverzicht betrifft das Fremdkapital. Da er das Eigenkapital einer Unternehmung unberührt lässt, gilt er als Anwendungsfall der "stillen" Sanierung. Der Gegenwert aus dem Forderungsverzicht begründet betriebswirtschaftlich einen betriebsfremden Ertrag. Dementsprechend ist er handelsrechtlich erfolgswirksam zu berücksichtigen und führt er auch steuerlich regelmässig zu einem "echten" Sanierungsertrag. Dies unterscheidet ihn vom "unechten" Sanierungsertrag, wie er sich namentlich im Fall von A-fonds-perdu-Beiträgen der Beteiligten einstellt (zum Ganzen Max Boemle/Carsten Stolz, Unternehmensfinanzierung, Band 2, 14. Aufl. 2012, S. 282 f., 287 und 293). Die Behandlung als steuerwirksamer Ertrag ist zumindest geboten, soweit es sich bei den verzichtenden Gläubigern um unbeteiligte Dritte handelt (Urteil 2C_224/2008 vom 1. April 2009 E. 2.2, in: RDAF 2009 II 555, StE 2009 B 28 Nr. 8; ausführlich <ref-ruling> E. 4b S. 272 f.; vgl. Boemle/Stolz, a.a.O., S. 287 f.; ferner Martin Kocher, Die "Corporate Governance"-Vorlage und der steuerrechtliche Sanierungsbegriff, in: ASA 77 S. 281, insb. S. 299 f. und 303 ff.).
3.5. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) wurde die Einzelunternehmung im Dezember 2000 einer Schuldensanierung unterzogen, wobei die Bank einen Forderungsverzicht in Höhe von Fr. 300'000.-- aussprach. Fest steht ebenfalls, dass der Eintritt des Forderungsverzichts erfolgsneutral verbucht wurde. Von keiner Bedeutung ist dabei, ob dies über ein Passivkonto ("Rückstellungen/Reserven Sanierung"; so die Auffassung der Vorinstanz) oder ein Minus-Aktivkonto ("Reserven Sanierung") geschah, wie die Steuerpflichtigen dartun. Forderungsverzichte seitens unbeteiligter Dritter sind nach dem Gesagten betriebswirtschaftlich, handels- und schliesslich auch steuerrechtlich in aller Regel erfolgswirksam zu erfassen. Im Gegenzug kann das Sanierungskonto ebenso erfolgswirksam belastet werden, namentlich durch den Ausgleich der Unterbilanz, die Vornahme von Abschreibungen oder die Bildung einer Sanierungs-Rückstellung.
3.6. Wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich feststellt, fand die (erfolgsneutral eingestellte) Sanierungs-Reserve keine Aufnahme in die Schlussbilanz 2002 der Einzelunternehmung und damit auch nicht in die Eröffnungsbilanz 2003 der AG. Nachdem die Buchprüfung ergab, dass zuvor keine Abschreibungen getätigt worden waren, gingen die Unter- und in der Folge die Vorinstanz davon aus, es handle sich um einen Realisationstatbestand. Die Steuerpflichtigen räumten schon im Einsprachestadium ein, es handle sich um eine "Fehlbuchung", um zu ergänzen, dass der Betrag richtigerweise "über das Anlagevermögen hätte abgebucht werden sollen". Im bundesgerichtlichen Verfahren machen sie (erstmals) geltend, das Minus-Aktivkonto 1301 ("Reserven Sanierung") sei nicht in die AG überführt worden, da im Gegenzug das Darlehen in Höhe von ebenfalls Fr. 300'000.-- (Konto 2108) auszubuchen gewesen sei. Das Darlehen sei zuvor zur Sanierung des Hotelgebäudes verwendet worden.
3.7. Es kann hier offen bleiben, ob diese quasi "konsolidierende" bzw. "saldierende" Betrachtungsweise buchhalterisch überhaupt angängig ist. Steuerrechtlich vermag sie jedenfalls nicht zu überzeugen. Sprechen die Steuerpflichtigen von einer "Fehlbuchung", anerkennen sie damit, dass der Forderungsverzicht spätestens im Zeitpunkt der Nicht-Überführung erfolgsneutral auszubuchen oder, bei Fehlen einer Abschreibung oder Verrechnung, erfolgswirksam zu behandeln gewesen wäre. Dies ist unterblieben, woraus die Vorinstanz in bundesrechtskonformer Weise schliesst, es liege ein Kapitalgewinn in der Form eines Sanierungserfolgs vor (<ref-law>). Ebenso wenig zu beanstanden ist die übergangsrechtliche Behandlung, d.h. die Erfassung mit einer vollen Jahressteuer zum Steuersatz, der sich für diese Einkünfte allein ergibt, abzüglich der Aufwendungen, die mit der Erzielung der ausserordentlichen Einkünfte unmittelbar zusammenhängen (Art. 218 Abs. 2 und 3 DBG).
3.8. Soweit die Steuerpflichtigen ihren Standpunkt unter Hinweis auf ihr Schreiben vom 20. März 2012 an die Steuerrekurskommission zu untermauern versuchen, muss auch dies fehlschlagen. Die notariell beurkundete Schlussbilanz vom 31. Dezember 2002 bzw. Eröffnungsbilanz vom 1. Januar 2003, die Bestandteil der Gründungsdokumente bilden, weisen weder einen Verlustvortrag (ehemals Konto 1300) noch eine "Reserve Sanierung" (Konto 1301) aus. Die Bilanzsummen belaufen sich in beiden Fällen auf rund Fr. 1,9 Mio. Wie es sich mit der "zweiten" Schlussbilanz vom 31. Dezember 2002, erstellt am 13. Februar 2003, also noch vor der Gründung der AG, verhält, ist demgegenüber völlig offen. Die Steuerpflichtigen scheinen darin eine Art Steuerbilanz zu erblicken, was nicht einleuchtet. Zum einen haben die Steuerpflichtigen noch in ihrer Eingabe an das Bundesgericht erklärt, es treffe zu, dass der Forderungsverzicht von Fr. 300'000.-- "in der [AG] nicht übernommen wurde". Zum andern verweisen sie auf eine Schluss- und eine Eröffnungsbilanz, die mit den Grundlagen der Umgründung nicht in Übereinstimmung zu bringen sind. Nach dem Gesagten ist das Handelsrecht für das Steuerrecht grundsätzlich massgebend (vorne, E. 3.4). Sollten die Steuerpflichtigen im Umgründungszeitpunkt eine Steuerbilanz geführt haben wollen, hätte dies die Verständigung mit der Veranlagungsbehörde vorausgesetzt. Eine solche Verständigung ist weder behauptet noch bewiesen. Abzustellen ist einzig auf die notariell beglaubigten Dokumente.
3.9. Unbegründet ist die Beschwerde schliesslich auch, was die Behandlung des Darlehens anbelangt. Die Passivierung des Darlehens war begrifflich erfolgsneutral vorzunehmen (Muster: Flüssige Mittel an Darlehen). Anerkannte das Bundesgericht später in den Urteilen 5C.56/2005 und 5P.81/2005, je vom 15. Juli 2005, den Anspruch der Erben des Darleihers auf Rückerstattung des Darlehens, musste sich dies in den Büchern der Einzelunternehmung ebenso erfolgsneutral niederschlagen (Muster: Darlehen an Flüssige Mittel). Wozu das Darlehen zuvor verwendet worden war, ist für die Ausbuchung von keiner Bedeutung. Ob der von den Steuerpflichtigen (erstmals) vorgetragene Mechanismus vor Bundesgericht überhaupt zu hören ist (echtes Novum i.S.v. <ref-law>), kann damit offenbleiben. Gleich verhält es sich mit der angeblichen Verrechnung mit dem Konto 1300 ("Unterbilanz"), worauf ebenfalls nicht einzugehen ist. Was schliesslich die Honorarrechnung vom 13. Januar 2000 des (heutigen) Treuhänders betrifft, fällt deren Erstellungsdatum klarerweise nicht in die Übergangsperiode. Auch wenn sich Treuhänder und Steuerpflichtige (erst) am 8. August 2002 auf eine Anerkennung und Verrechnung geeinigt haben sollten, vermag dies am Realisationszeitpunkt nichts zu ändern. Nach dem handelsrechtlichen Imparitätsprinzip war die Forderung in jedem Fall schon im Geschäftsjahr 2000 zu passivieren.
3.10. Die Beschwerde erweist sich damit bezüglich der direkten Bundessteuer als unbegründet. Sie ist abzuweisen und der angefochtene Entscheid ist zu bestätigen.
III. Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Wallis
4.
4.1. Art. 14 Abs. 2 und 4 StG/VS entspricht Art. 8 Abs. 1 StHG und damit auch Art. 18 Abs. 2 und 3 DBG. Aus diesem Grund kann in allen Teilen auf das zur direkten Bundessteuer Gesagte verwiesen werden (<ref-ruling> E. 9 S. 207 f.).
4.2. Die Beschwerde ist folglich auch bezüglich der Kantons- und Gemeindesteuer des Kantons Wallis abzuweisen.
IV. Kosten- und Entschädigungsfolgen
5.
Die Steuerpflichtigen haben aufgrund ihres Unterliegens die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG). Dem Kanton Wallis, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_104/2013 und 2C_105/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer 2002 (2C_105/2013) wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde betreffend die Kantons- und Gemeindesteuer 2002 des Kantons Wallis (2C_104/2013) wird abgewiesen.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der Steuerrekurskommission des Kantons Wallis und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27.September 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher