Faits :
A.
Elu au Conseil communal de La Chaux-de-Fonds en 2010, A._ était en charge du dicastère "Infrastructures et Energies". Vu les dysfonctionnements constatés au sein dudit dicastère, le Conseil communal a confié un mandat, le 16 avril 2013, à une personne externe à l'administration visant à établir la nature des conflits et à dégager les responsabilités des personnes impliquées afin de permettre d'adopter les mesures appropriées pour restaurer un climat de travail serein. La consultante juridique mandatée a établi un rapport provisoire le 11 juillet 2013, lequel a notamment mis en cause "le management inapproprié et parfois constitutif d'actes illicites" de A._. Le rapport définitif a été déposé le 16 août 2013.
Après avoir demandé à A._ de se récuser et de quitter la séance, le Conseil communal a retiré au prénommé la direction de son dicastère, des services qui lui sont rattachés, des délégations et représentations y relatives, ainsi que la présidence du Conseil communal et la direction des services liés à celle-ci, par décision du 14 août 2013. Le prénommé a été informé oralement de ce qui précède, à l'issue de la séance. A sa demande, le procès-verbal de cette séance lui a été communiqué le 21 août 2013.
Le 17 septembre 2013, A._ a formé un recours contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal). Le 7 octobre 2013, celle-ci a déclaré irrecevables, dans la mesure où elles n'étaient pas sans objet, les conclusions du prénommé concernant l'effet suspensif du recours.
B.
A._ a déposé un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre la décision du 7 octobre 2013 auprès du Tribunal fédéral (cause 1C_834/2013). Le Conseil communal de La Chaux-de-Fonds a conclu principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet. Le Tribunal cantonal a proposé de rejeter le recours pour autant qu'il soit recevable.
C.
Par arrêt du 25 novembre 2013, le Tribunal cantonal a admis le recours et annulé la décision du 14 août 2013. Il n'a pas donné suite à sa conclusion tendant à ce qu'il puisse reprendre immédiatement l'ensemble de ses fonctions au sein de son dicastère.
Le 8 janvier 2014, le Conseil communal a attribué le dicastère de la sécurité, des énergies et du tourisme à A._, ce que celui-ci n'a pas contesté.
D.
Le 10 janvier 2014, agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, la Ville de La Chaux-de-Fonds (ci-après: la recourante) demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 25 novembre 2013 et de déclarer le recours cantonal de A._ irrecevable, voire mal fondé (cause 1C_14/2014). Elle conclut subsidiairement au renvoi de l'affaire au Tribunal cantonal pour nouvel arrêt, voire au Conseil communal pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle se plaint en substance d'une violation de son autonomie communale, de la séparation des pouvoirs et d'une application arbitraire de l'art. 3 de la loi sur la procédure et la juridiction administratives du 27 juin 1979 (LPJA; RSN 152.130) et de l'art. 9 de la loi sur les communes du 21 décembre 1964 (LCo; RSN 171.1).
L'intimé a conclu principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. La recourante a répliqué par courrier du 17 mars 2014.

Considérant en droit :
1.
Le recours de A._ et celui de la Ville de La Chaux-de-Fonds se réfèrent à la même affaire. Le premier concerne l'effet suspensif requis pour la durée de la procédure de recours cantonale et le second est dirigé contre l'arrêt au fond. Il se justifie donc, pour des motifs d'économie de procédure, de joindre les causes 1C_834/2013 et 1C_14/2014 et de statuer sur celles-ci dans un seul arrêt (cf. <ref-law> applicable par renvoi de l'<ref-law>).
2.
A la suite de l'arrêt au fond rendu le 25 novembre 2013 par le Tribunal cantonal, il n'y a plus d'intérêt juridique à statuer sur la conformité au droit fédéral de la décision du 7 octobre 2013 de cette juridiction au sujet de l'effet suspensif requis pour la durée de la procédure de recours cantonale. L'intérêt actuel ayant disparu après le dépôt du recours, celui-ci doit être déclaré sans objet et la cause 1C_834/2013 rayée du rôle (<ref-ruling> consid. 1a p. 490).
Il y a lieu de statuer sur les frais de la procédure, en tenant compte de l'état de fait existant avant le fait qui met fin au litige et de l'issue probable du recours (<ref-law> et 72 PCF applicable par renvoi de l'<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 375). S'il n'est pas possible de le faire au vu du dossier, il faut alors appliquer les principes généraux du droit de procédure; ceux-ci commandent de mettre les frais et dépens à la charge de la partie qui a provoqué la procédure devenue sans objet ou chez qui résident les motifs pour lesquels elle a pris fin de la sorte. Cette règle a pour but d'éviter que celui qui forme de bonne foi un recours ne soit pénalisé par des circonstances ultérieures auxquelles il est étranger et qui rendent ce recours sans objet (<ref-ruling> consid. 4a p. 494).
En application de ces principes et vu le sort réservé par la cour cantonale au recours formé par A._ dans sa décision au fond, il convient de statuer sans frais (art. 66 al. 1 et 4 LTF) et d'allouer des dépens au prénommé à la charge de la Ville de La Chaux-de-Fonds (art. 68 al. 3 et 6 LTF).
3.
S'agissant de la cause 1C_14/2014, le recours, dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public de l'organisation d'une commune (<ref-law>), est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Le recours constitutionnel subsidiaire est ainsi exclu (<ref-law>).
Aux termes de l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière de droit public quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a), est particulièrement atteint par la décision attaquée (let. b) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (let. c). L'art. 89 al. 2 let. c LTF s'applique en particulier aux communes qui invoquent la garantie de leur autonomie communale, ancrée au niveau fédéral à l'art. 50 al. 1 Cst. La Ville de La Chaux-de-Fonds, qui invoque l'autonomie dont elle bénéficie en matière d'organisation de l'administration communale, apparaît touchée par l'arrêt attaqué en tant que détentrice de la puissance publique et a ainsi qualité pour agir. La question de savoir si elle est réellement autonome dans ce domaine relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.1.3 p. 407).
3.1. La qualité pour recourir auprès du Tribunal fédéral au sens de l'<ref-law> suppose en outre un intérêt actuel et pratique à obtenir l'annulation de la décision attaquée. Si l'intérêt actuel disparaît en cours de procédure, le recours devient sans objet, alors qu'il est irrecevable si l'intérêt actuel faisait déjà défaut au moment du dépôt du recours (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 208 et la jurisprudence citée). De cette manière, les tribunaux sont assurés de trancher uniquement des questions concrètes et non de prendre des décisions à caractère théorique, ce qui répond à un souci d'économie de procédure (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 276). Ainsi, une partie qui n'est pas concrètement lésée par la décision ne possède pas la qualité pour recourir.
Le Tribunal fédéral fait exceptionnellement abstraction de l'exigence d'un intérêt actuel, lorsque la contestation peut se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, que sa nature ne permet pas de la trancher avant qu'elle ne perde son actualité et que, en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 208 et la jurisprudence citée).
3.2. En l'occurrence, dans une décision postérieure à l'arrêt attaqué et antérieure à son recours au Tribunal fédéral, le Conseil communal a attribué un autre dicastère à l'intimé. La recourante n'a donc plus d'intérêt actuel au recours, dans la mesure où l'objet de la contestation porte sur le retrait d'un département et où l'intimé s'est depuis lors vu attribuer un département, ce qu'il n'a pas contesté. La recourante ne soutient pas que l'admission éventuelle du présent recours pourrait conduire à la confirmation de la décision de retrait du dicastère et de la présidence du 14 août 2013. Elle n'a donc aucun intérêt juridique actuel à obtenir l'annulation de l'arrêt attaqué; l'admission de son recours ne lui procurerait aucun avantage de droit matériel.
La mention, dans le procès-verbal de la séance du 8 janvier 2014, que "l'organisation du Conseil communal pourrait être revue une fois connus les résultats des investigations [confiées à une personne externe à l'administration] et/ou selon la décision du Tribunal fédéral dans le cadre du recours qui sera déposé par le Conseil communal contre l'arrêt [du 25 novembre 2013]" n'y change rien. Cette indication ne suffit pas à procurer un intérêt actuel au présent recours dans la mesure où l'exécutif communal peut procéder à une nouvelle répartition des dicastères, indépendamment de l'issue du recours.
La recourante prétend enfin que l'intérêt à recourir demeure intact dans la mesure où, en cas de réorganisation du Conseil communal, la présente contestation pourrait se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues et pourrait se poser à nouveau dans des termes semblables. Elle fait aussi valoir qu'en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse. Or, résoudre la question du contrôle judiciaire exercé sur la décision de retrait d'un département prise par un exécutif communal concernant un de ses membres ne revêt ici pas une portée de principe. Cela est d'autant plus vrai que cette question relève de l'application du droit cantonal relatif à l'organisation des communes, que le Tribunal de céans ne revoit que sous l'angle restreint de l'arbitraire. Dès lors, l'examen de cette question est dénué d'un intérêt public suffisamment important.
Enfin, rien n'indique qu'un litige de ce genre est susceptible de se reproduire en tout temps dans des circonstances semblables. S'il devait toutefois se répéter, le Tribunal fédéral serait en mesure de se prononcer avant que la question perde de son actualité pour autant que la personne exclue ne soit pas réintégrée dans un département.
3.3. Il s'ensuit que le recours en matière de droit public doit être déclaré irrecevable.
Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires, la recourante ayant agi dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial soit en cause (<ref-law>). La Ville de La Chaux-de-Fonds versera néanmoins une indemnité à titre de dépens à l'intimé, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 1C_834/2013 et 1C_14/2014 sont jointes.
2.
La cause 1C_834/2013, devenue sans objet, est rayée du rôle.
3.
Les recours de la cause 1C_14/2014 sont irrecevables.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Une indemnité de 2'500 francs est allouée à l'intimé à titre de dépens, à la charge de la Ville de La Chaux-de-Fonds.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires de la Ville de La Chaux-de-Fonds et de l'intimé ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lausanne, le 4 juin 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : La Greffière :
Fonjallaz Tornay Schaller