Sachverhalt:
A.
X._ ist Eigentümer der Parzelle Nr. W1983 an der Strasse K._ in St. Gallen. Diese liegt in der Wohnzone W2a an einem gegen Westen abfallenden Hang und grenzt an ihrer Ostseite an den Wendekreis der Strasse K._. Südlich der Parzelle von X._ befindet sich die Parzelle Nr. W4269. Östlich davon, bergseits des Wendekreises, liegen die Parzellen Nrn. W4270, Nr. W4316 und Nr. 4317.
X._ reichte am 10. April 2007 ein Baugesuch ein, das vorsah, das bestehende Einfamilienhaus auf der Parzelle Nr. W1983 abzubrechen und ein Dreifamilienhaus mit Autolift zu errichten. Gegen das Gesuch wurden verschiedene Einsprachen erhoben. Mit Beschluss vom 24. August 2007 erteilte die Baubewilligungskommission der Stadt St. Gallen die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Dagegen erhoben D._ (Eigentümerin der Parzelle Nr. 4269), A._ (Eigentümerin der Parzelle Nr. W4270), F.G._ und E.G._ (Eigentümer der Parzelle Nr. W4316) sowie H._ (damaliger Eigentümer der Parzelle Nr. W4317) Rekurs ans Baudepartement des Kantons St. Gallen. Dieses hiess das Rechtsmittel mit Entscheid vom 14. August 2008 gut und hob die Baubewilligung auf. Zur Begründung führte es insbesondere aus, dass verschiedene Bestimmungen der Bauordnung der Stadt St. Gallen vom 29. August 2000/15. November 2005 (im Folgenden: BO) das kantonale Gesetz vom 6. Juni 1972 über die Raumplanung und das öffentliche Baurecht (sGS 731.1; Baugesetz, im Folgenden: BauG) verletzten und deshalb nicht anwendbar seien. Das Bauprojekt überschreite unter anderem die zulässige Gebäudehöhe um mindestens 1.5 m, weil der Niveaupunkt falsch bestimmt worden sei. Zudem würden die Vorschriften über die Situierung und Höhe von Attikageschossen verletzt sowie jene über die Gebäudelänge und den grossen Grenzabstand, da der geplante Autolift nicht als Anbaute qualifiziert werden könne. In der Folge erhoben sowohl die Politische Gemeinde St. Gallen als auch X._ Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Mit Urteil vom 14. Mai 2009 entschied das Verwaltungsgericht im Wesentlichen, die beiden Beschwerden seien teilweise im Sinne der Erwägungen gutzuheissen, im Übrigen abzuweisen und die Sache zur neuen Beurteilung aufgrund ergänzter Gesuchsunterlagen an die Baubewilligungskommission zurückzuweisen. Es führte aus, die vom Baudepartement beanstandeten Bestimmungen der städtischen Bauordnung verletzten das kantonale Baugesetz nicht. Ob der Niveaupunkt der geplanten Baute richtig bestimmt worden sei, könne offen bleiben, denn die Gebäudehöhe sei aufgrund von Art. 19 f. BO in jedem Fall zulässig. Indessen sei das Erdgeschoss von 727.34 m ü. M. auf 727.30 m ü. M. zu senken. Zudem überschreite das Attikageschoss die zulässige Höhe und Grundfläche und der Autolift verletze den Grenzabstand. Auf eine gegen den Rückweisungsentscheid gerichtete Beschwerde trat das Bundesgericht nicht ein (<ref-law>; Urteil 1C_331/2009 vom 3. November 2009).
Am 17. Juni 2010 reichte X._ ein überarbeitetes Baugesuch ein. D._, A._, F.G._ und E.G._ sowie H._ erhoben wiederum Einsprache. Die Baubewilligungskommission wies die Einsprache am 15. Oktober 2010 ab und erteilte die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Auf Rekurs der unterlegenen Nachbarn hin hob das Baudepartement den Baubewilligungsentscheid am 25. März 2011 auf. Wie bereits die Baubewilligungskommission hielt es fest, Verfahrensgegenstand könne nur sein, worüber das Verwaltungsgericht noch nicht befunden habe. Anders als diese kam es dagegen zum Schluss, die Tiefgarage könne nicht mehr als unterirdische Baute gelten, da sie mehr als 1 m über das gewachsene Terrain hinausrage. Eine von X._ in der Folge gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 20. März 2012 ab.
Am 22. Juni 2012 reichte X._ ein weiteres überarbeitetes Baugesuch ein, in welchem insbesondere die geplante Tiefgarage kleiner dimensioniert ist. Dagegen erhoben D._, A._, F.G._ und E.G._ sowie B._ und C._ Einsprache. Letztere hatten am 1. Juni 2011 H._ die Parzelle Nr. W4317 abgekauft. Mit Beschluss vom 14. September 2012 wies die Baubewilligungskommission die Einsprache ab und erteilte die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. Oktober 2012 beantragen D._, A._, F.G._ und E.G._ sowie B._ und C._ im Wesentlichen, der Baubewilligungsbeschluss vom 14. September 2012 und das ihm zugrunde liegende Urteil des Verwaltungsgerichts vom 14. Mai 2009 (betreffend die Gebäudehöhe und die Niveaupunktberechnung) seien aufzuheben und die Baubewilligung sei zu verweigern. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung ans Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Zudem sei das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 14. Mai 2009 im Kostenpunkt aufzuheben und die Sache insofern ebenfalls zur neuen Beurteilung ans Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht und die Baubewilligungskommission beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Baudepartement hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden könne. Die Beschwerdeführer halten in ihrer Stellungnahme dazu an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest.
Mit Präsidialverfügung vom 8. November 2012 hat das Bundesgericht das Gesuch der Beschwerdeführer um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> steht auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts zur Verfügung.
Der Beschluss der Baubewilligungskommission vom 14. September 2012 stützt sich auf das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 14. Mai 2009, welches seinerzeit als Zwischenentscheid vor Bundesgericht nicht anfechtbar war (Urteil 1C_331/2009 vom 15. Juli 2009 E. 1 mit Hinweisen). Inhaltlich richtet sich die Kritik der Beschwerdeführer ausschliesslich gegen jenen kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid; gegen die im Beschluss der Baubewilligungskommission beurteilten Punkte haben sie nichts einzuwenden. Ein erneutes Durchlaufen des kantonalen Instanzenzugs wäre unter diesen Umständen eine nutzlose Formalität, zumal das Verwaltungsgericht die Baubewilligung, soweit hier wesentlich, bereits gebilligt hat. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Beschwerde gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil deshalb zulässig (<ref-ruling> E. 4 S. 236; Urteile 1C_563/2012 vom 26. April 2013 E. 2; 1C_109/2007 vom 30. August 2007 E. 2.5.2; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und sind als direkte Nachbarn nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert (Urteil 1C_346/2011 vom 1. Februar 2012 E. 2.3 und 2.4, in: URP 2012 692; <ref-ruling> E. 2.3 S. 284 ff.; je mit Hinweisen). Dies gilt insbesondere auch für B._ und C._, die noch während des kantonalen Verfahrens die Parzelle Nr. W4317 gekauft haben und nach kantonalem Recht an der Stelle des Veräusserers ins Verfahren eingetreten sind (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 138 f.; Urteil 1C_124/2008 vom 17. November 2008 E. 1.2; je mit Hinweisen).
Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerdeführer machen geltend, das kantonale Recht definiere in Art. 60 BauG abschliessend, wie die Gebäudehöhe zu bestimmen sei. Die Gemeinden könnten deshalb zwar die Gebäudehöhe festlegen, nicht aber die Messweise. Art. 19 und 20 BO erlaubten, bei guter Einfügung des Erdgeschosses in das Strassen- und Siedlungsbild die zulässige Gebäudehöhe (gemessen vom Niveaupunkt) ohne Weiteres zu überschreiten. Wenn das Verwaltungsgericht auf diese Bestimmungen abstelle, wende es aber gleichzeitig Art. 60 BauG nicht an und verletze dadurch das Willkürverbot (<ref-law>). Hinzu komme, dass die kantonalrechtliche Ästhetiknorm von Art. 93 BauG keinen Raum für positive Gestaltungsvorschriften im kommunalen Recht lasse. Wenn jedoch Art. 19 Abs. 1 BO auf die gute Einfügung in das Strassen- und Siedlungsbild abstelle, komme dies einer derartigen positiven Gestaltungsvorschrift gleich. Auch insoweit sei der angefochtene Entscheid willkürlich. Schliesslich berufen sich die Beschwerdeführer darauf, sie würden als Nachbarn in ihrer Eigentumsgarantie verletzt, da es nach dem Gesagten an einer gesetzlichen Grundlage für den Grundrechtseingriff fehle und dieser darüber hinausgehe, was zur guten Einfügung der Baute ins Strassen- und Siedlungsbild notwendig sei.
2.2. Das Verwaltungsgericht legt dar, Art. 19 und 20 BO seien nicht primär gestalterische Vorschriften. Sie enthielten keine allgemeinen Bestimmungen über die Gestaltung und die Ästhetik der Bauten. Insbesondere verlange Art. 19 Abs. 1 BO nicht, dass sich die Baute gut in das Strassen- und Siedlungsbild einfüge. Es handle sich somit nicht um eine Vorschrift, die an das gesamte Gebäude erhöhte gestalterische Anforderungen stelle. Das Baugesetz belasse die Festlegung der Vorschriften über die Höhe der Bauten, die Anzahl der Geschosse und deren Höhe den Gemeinden. Art. 19 und 20 BO modifizierten letztlich die Höhe der Bauten und die Zahl der Geschosse. Art. 19 Abs. 1 BO ermögliche es, die Gebäudehöhe gesondert festzulegen, indem bei guter Einfügung des Erdgeschosses in das Strassen- und Siedlungsbild die - gemessen am Niveaupunkt - zulässige Gebäudehöhe überschritten werden dürfe.
2.3. Die zur Diskussion stehenden kantonalen und kommunalen Bestimmungen haben folgenden Wortlaut:
Art. 60 BauG
1 Die Gebäudehöhe bezeichnet den senkrechten Abstand zwischen dem Niveaupunkt und dem ausgemittelten Schnittpunkt der Fassade mit der Dachoberkante in der Fassadenmitte.
2 Als Niveaupunkt gilt der Schwerpunkt des Gebäudegrundrisses auf dem gewachsenen Boden.
Art. 93 BauG
1 Bauten und Anlagen, Ablagerungen und andere Eingriffe in das Gelände, die das Orts- oder Landschaftsbild verunstalten, sind untersagt.
[...]
4 Die Gemeinde kann für bestimmte Teile ihres Gebietes strengere Vorschriften aufstellen.
Art. 19 BO - Höhenlage
1 Die Höhenlage des untersten der nach Art. 13 zulässigen Geschosse ist so festzulegen, dass sich die Baute gut in das Strassen- und Siedlungsbild einfügt.
2 Ergibt sich die Höhenlage nicht aus dem Strassen- und Siedlungsbild, so darf der Fussboden des untersten der nach Art. 13 zulässigen Geschosse 1,2 m über dem Niveaupunkt liegen.
3 Dieses Mass darf in Hanglagen soweit überschritten werden, bis das unterste der nach Art. 13 zulässigen Geschosse im Ausmass der ordentlichen Gebäudetiefe über dem gewachsenen Terrain liegt.
Art. 20 BO - Gebäudehöhe
1 Die Gebäudehöhe bemisst sich nach Art. 60 BauG.
2 Die zulässige Gebäudehöhe darf überschritten werden, soweit die Bestimmungen zur Höhenlage (Art. 19) es erfordern.
2.4. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
2.5. Art. 19 Abs. 1 BO hat die Höhenlage des untersten nach Art. 13 BO zulässigen Geschosses zum Gegenstand. Indem die Bestimmung verlangt, dass die Höhenlage dieses Geschosses so festzulegen ist, dass sich die Baute gut in das Strassen- und Siedlungsbild einfügt, stellt sie auf ein ästhetisches Kriterium ab. Insofern ist den Beschwerdeführern zuzustimmen. Die Höhenlage des untersten zulässigen Geschosses hat zudem zwangsläufig Auswirkungen auf die Höhenlage der weiteren Geschosse und damit auf jene der gesamten Baute. Dennoch erscheint die Auffassung des Verwaltungsgerichts, Art. 19 Abs. 1 BO sei mit Art. 93 BauG vereinbar, nicht als willkürlich. Zwar erlaubt Art. 93 BauG explizit in Abs. 4 strengere kommunale Vorschriften nur für bestimmte Teile des Gemeindegebiets. Die Bestimmung schliesst jedoch auch darüber hinaus nicht jeden Bezug auf ästhetische Kriterien in der kommunalen Bauordnung aus, zumal wenn es sich um einen im Kompetenzbereich der Gemeinden liegenden Regelungsgegenstand handelt. Ähnlich wie es den Gemeinden des Kantons St. Gallen gestattet ist, die Höhe der Bauten sowie die Zahl und Höhe der einzelnen Geschosse zu regeln und sich dabei auch von ästhetischen Kriterien leiten zu lassen, kann es auch als zulässig betrachtet werden, für die Bestimmung der Höhenlage des ersten Vollgeschosses direkt auf solche ästhetische Kriterien zurückzugreifen. Der Anwendungsbereich von Art. 19 BO ist zudem beschränkt. Wie das Verwaltungsgericht zu Recht dargelegt hat, betrifft er nur einen Teilaspekt des Gebäudes - eben die Höhenlage des ersten Vollgeschosses - und stellt nicht für die gesamthafte Gestaltung Anforderungen auf, die über Art. 93 Abs. 1 BauG hinausgehen. Die Rüge der Willkür ist insoweit unbegründet.
2.6. In Bezug auf die Rüge der willkürlichen Auslegung von Art. 60 BauG sind die Beschwerdeführer nach dem Gesagten der Auffassung, mit dieser Norm werde die Berechnungsweise der Gebäudehöhe in abschliessender Weise geregelt. Indessen kann sie willkürfrei auch so verstanden werden, dass sie lediglich insofern eine einheitliche Definition bereitstellt, als die Gemeinden die Gebäudehöhe in ihren Bauordnungen nach Metern und Zentimetern festgelegt haben. Bei dieser Lesart ist eine Ausnahmebestimmung, bei der die zulässige Gebäudehöhe nicht mit absoluten Zahlen vorgegeben wird, sondern sich im Ergebnis aus der Höhenlage, der Anzahl zulässiger Geschosse und deren Höhe ergibt, nicht ausgeschlossen. Art. 20 Abs. 2 und Art. 19 Abs. 1 BO, die gerade auf Hanglagen wie die hier zur Diskussion stehende zugeschnitten sind, scheinen unter diesem Gesichtswinkel mit Art. 60 BauG vereinbar. Die Rüge der Willkür ist auch insoweit unbegründet.
2.7. Schliesslich ist vor dem Hintergrund der Ausführungen in der Beschwerdeschrift (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) auch nicht ersichtlich, inwiefern eine unverhältnismässiger Eingriff in die Eigentumsgarantie (<ref-law>) vorliegen soll. Die Beschwerdeführer argumentieren, die Auslegung von Art. 20 Abs. 2 und Art. 19 Abs. 1 BO durch das Verwaltungsgericht gehe über das hinaus, was zur guten Einfügung der Baute in das Strassen- und Siedlungsbild notwendig sei. Dies ist jedoch nicht entscheidend, da Art. 19 und 20 BO, wie bereits ausgeführt, ohnehin nicht eine primär gestalterische Zweckrichtung haben, sondern der Festlegung von Gebäudehöhe und -lage dienen. Die Rüge der Verletzung der Eigentumsgarantie erweist sich deshalb ebenfalls als unbegründet.
3.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den unterliegenden Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdeführer haben dem obsiegenden Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde St. Gallen, dem Baudepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. August 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold