Sachverhalt:
A.
A._ (Versicherter, Kläger, Beschwerdeführer) wurde von der Personalverleihung C._ AG als EDV-Fachmann seit dem 1. Oktober 2013 bei der D._ AG in einem befristeten Einsatzvertrag bis 31. März 2014 eingesetzt und war dadurch bei der B._ AG (Versicherung, Beklagte, Beschwerdegegnerin) im Rahmen einer Kollektiv-Krankenversicherung nach dem Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag (VVG) gegen Erwerbsausfall bei Krankheit versichert. Mit Krankenmeldung vom 31. Oktober 2013 wurde der Versicherung mitgeteilt, dass der Versicherte aufgrund einer psychischen Erkrankung seit dem 25. Oktober 2013 vollständig arbeitsunfähig sei. In der Folge richtete die Versicherung ihm Taggelder aus, welche sie jedoch nach durchgeführten Abklärungen, insbesondere gestützt auf ein psychiatrisches Gutachten, per 18. Mai 2014 einstellte.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 11. August 2014 erhob der Versicherte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Teilklage gegen die Beklagte und verlangte:
" 1. Es sei die Beklagte zu verpflichten, dem Kläger Fr. 20'000.-- nebst Zins zu 5 % p.a. ab 19. Mai 2014 (ein Anteil des dem Kläger zwischen dem 19. Mai 2014 und dem 31. August 2014 entstandenen Anspruchs auf Tag- geldleistungen) zu bezahlen.
2. Es sei davon Vormerk zu nehmen, dass es sich bei der vorliegenden Klage um eine Teilklage (ein Anteil des dem Kläger zwischen dem 19. Mai 2014 und dem 31. August 2014 entstandenen Anspruchs auf Taggeld- leistungen) handelt und dass weitere Forderungen aus der Police Nr. xxx vorbehalten bleiben.
3. Unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der Beklagten."
Die Klagebegründung und die Klageantwort wurden an der mündlichen Hauptverhandlung vorgetragen. Im Rahmen der Hauptverhandlung vom 15. Oktober 2014 nannte der Kläger neu als relevanten Zeitraum die Zeit zwischen dem 19. Mai 2014 und dem 15. Oktober 2014.
Mit Eingabe vom 22. Januar 2015 änderte der Kläger seine Teilklage erneut in zeitlicher Erweiterung dahingehend ab, dass die Beklagte zu verpflichten sei, ihm Fr. 20'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 19. Mai 2014 als ein Anteil des ihm zwischen dem 19. Mai 2014 und dem 23. Januar 2015 entstandenen Anspruchs auf Taggeldleistungen zu bezahlen.
B.b. Die Beklagte richtete dem Kläger noch während dem hängigen Verfahren gestützt auf eine vollständige Arbeitsunfähigkeit für die Zeit vom 8. August bis 19. August 2014 und gestützt auf eine solche von 60 % vom 22. September bis 9. Dezember 2014 Taggelder im Betrag von insgesamt Fr. 16'737.90 aus.
B.c. Mit Urteil vom 15. Juli 2015 schützte die Einzelrichterin des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich die Klage im Betrag von Fr. 3'262.10 zuzüglich Zins von 5 % seit 18. September 2014. Sie erachtete die vorgenommene Erweiterung des massgeblichen Zeitraums als zulässig und nahm an, der Kläger sei vom 8. August bis 9. Dezember 2014 vollständig arbeitsunfähig gewesen und habe somit Anspruch auf 124 Taggelder à Fr. 281.78, somit insgesamt Fr. 34'940.70. Damit habe er Anspruch auf Taggelder im eingeklagten Betrag von Fr. 20'000.--. Zu berücksichtigen sei aber, dass die Beklagte für den genannten Zeitraum bereits Taggelder im Umfang von Fr. 16'737.90 ausgerichtet habe, weshalb sich der klägerische Anspruch auf Fr. 3'262.10 reduziere.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Juli 2015 sei aufzuheben und die Beklagte zu verpflichten, ihm Fr. 20'000.-- nebst Zins als Anteil seines Taggeldanspruchs im Zeitraum vom 19. Mai 2014 bis zum 23. Januar 2015 zu bezahlen, sowie davon Vormerk zu nehmen, dass es sich bei der vorliegenden Klage um eine Teilklage handelt. Eventuell sei das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Sache zur Fortführung des Verfahrens, insbesondere zur Erstattung der Replik im mündlichen, eventuell im schriftlichen Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge für das Verfahren vor der Vorinstanz mit einer Parteientschädigung zu Lasten der Beschwerdegegnerin von Fr. 10'078.34 und unter Kosten- und Entschädigungsfolge für das Verfahren vor Bundesgericht zu Lasten der Beschwerdegegnerin, evtl. der Vorinstanz.
Die Beschwerdegegnerin beantragt Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in Zivilsachen sind erfüllt. Unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (<ref-law>) ist auf die Beschwerden einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Dispositionsmaxime (<ref-law>) und der Bestimmungen über die Klageänderung (<ref-law>).
2.1. Er macht geltend, er habe am 22. Januar 2015 eine gemäss <ref-law> zulässige Klageänderung vorgenommen. Diese sei erfolgt, nachdem die Beklagte die Zahlung über Fr. 16'737.90 geleistet habe. Am 22. Januar 2015 sei somit Streitgegenstand gewesen, dass die Beklagte Fr. 20'000.-- unter Berücksichtigung der bereits bezahlten Fr. 16'737.90 leiste. Nachdem sich gemäss Feststellung der Vorinstanz sein Anspruch auf 124 Taggelder bzw. insgesamt Fr. 34'940.70 belaufen und die Zinsrechnung per Urteilstag einen Betrag von Fr. 3'024.50 ergeben habe, hätte daher die Klage im gesamten Umfang von Fr. 20'000.-- geschützt werden müssen.
2.2. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz nicht festgestellt, dass die Klageänderung nacherfolgter Zahlung des Betrages von Fr. 16'737.90 erfolgte. Sie hat in Ziffer 1.4 zum Sachverhalt lediglich auf die Klageänderung vom 22. Januar 2015 hingewiesen und unter Hinweis auf act. 55 ausgeführt, die Beklagte habe eine Zahlung von Fr. 16'737.90 geleistet. Bei act. 55 handelt es sich um eine Taggeldabrechnung der Beklagten vom 26. Januar 2015 an die Sozialen Dienste der Stadt Zürich, denen der Beschwerdeführer seine Ansprüche abgetreten hatte und die den Hinweis enthält, der Betrag werde in den nächsten Tagen überwiesen.
Die Vorinstanz musste das Rechtsbegehren des Beschwerdeführers vom 22. Januar 2015 so auffassen, wie er es formuliert hatte, nämlich dass die Beklagte für die Zeit vom 19. Mai 2014 bis zum 23. Januar 2015 Fr. 20'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 19. Mai 2014 leisten müsse. Aufgrund dieses Wortlauts musste sie nicht davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer seine Klage nicht nur zeitlich erweitert hatte, sondern auch hinsichtlich des verlangten Betrages. Dafür gaben auch die weiteren Ausführungen in der Eingabe vom 22. Januar 2015 keinen Anlass. Der Beschwerdeführer verlangte nicht, die Beschwerdegegnerin sei zu einer Zahlung von Fr. 20'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 19. Mai 2014 über allenfalls vor der Urteilsfällung bereits geleistete Teilzahlungen bzw. anerkannte Ansprüche hinaus zu verpflichten. Mit andern Worten konnte sie davon ausgehen, die Klage sei in Bezug auf den zugrunde gelegten Lebenssachverhalt, nicht jedoch in Bezug auf das Rechtsbegehren geändert worden.
Indem die Beschwerdegegnerin im Laufe des Verfahrens für bestimmte zeitliche Abschnitte eine ganze bzw. teilweise Arbeitsunfähigkeit anerkannte und ihre Verpflichtung aus der Taggeldversicherung im Betrag von Fr. 16'737.90 erfüllte, wurde die Klage in diesem Betrag gegenstandslos (GEORG NAEGELI/ROMAN RICHERS, in: ZPO, Oberhammer/Domej/Haas [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 4 zu <ref-law>; DANIEL STECK, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 8 zu <ref-law>; PASCAL LEUMANN LIEBSTER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO), Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 4 zu <ref-law>). Die Vorinstanz hat denn auch lediglich entschieden, dass die Klage in dem Sinn gutgeheissen wird, dass die Beklagte zur Zahlung von Fr. 3'262.10 zuzüglich Zins verpflichtet wird; sie hat aber nicht die Klage im Mehrbetrag abgewiesen. Richtigerweise hätte sie zusätzlich festhalten müssen, dass die Klage im Mehrbetrag gegenstandslos geworden ist. Dass sie dies im Dispositiv unterliess - es ergibt sich aber aus der Begründung -, ändert nichts daran, dass die Dispositionsmaxime und auch <ref-law> betreffend Klageänderung nicht verletzt wurden.
3.
Offensichtlich unbehelflich ist vor diesem Hintergrund auch die Rüge einer Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) und des Replikrechts gemäss <ref-law>, weil dem Beschwerdeführer nach der an der Hauptverhandlung mündlich vorgetragenen Klageantwort keine Gelegenheit geboten worden sei, zu den dort gemachten Ausführungen und Beilagen und weiteren im Laufe des Verfahrens eingebrachten Unterlagen Stellung zu nehmen, insbesondere zu den Berichten von Dr. E._ und Dr. F._.
Wenn ein gerügter Rechtsfehler ohne praktische Relevanz ist, fehlt es an einem Rechtsschutzinteresse (Urteil 5A_241/2012 vom 3. Mai 2012 E. 2.2 a.E.). Nachdem der Beschwerdeführer mit seiner Klage durchgedrungen ist, soweit sie nicht gegenstandslos wurde, besteht daher kein Rechtsschutzinteresse mehr. Seinem Eventualbegehren auf Aufhebung des angefochtenen Urteils und Rückweisung an die Vorinstanz zur Erstattung der Replik ist nicht stattzugeben.
4.
Die Vorinstanz hat die Kostennote des Beschwerdeführers über Fr. 10'078.34 im Rahmen der Festsetzung der Parteientschädigung auf Fr. 3'500.-- gekürzt. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Begründungspflicht; <ref-law>) und des Willkürverbots (<ref-law>).
4.1. Das rechtliche Gehör nach <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtslage betroffenen Person auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt.
4.1.1. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 355; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
4.1.2. Diesen Anforderungen genügt die vorinstanzliche Begründung. Die Vorinstanz stellte fest, die Entschädigung richte sich nach § 34 des Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht (GSVGer) des Kantons Zürich. Gemäss § 34 Abs. 3 GSVGer sei die Höhe der Entschädigung nach der Bedeutung der Streitsache, der Schwierigkeit des Prozesses und dem Mass des Obsiegens, jedoch ohne Rücksicht auf den Streitwert festzusetzen. Sie ging von einem Stundenansatz von Fr. 200.-- bzw. ab 1. Januar 2015 von Fr. 220.-- aus, den sie als gerichtsüblich bezeichnete. Sie kürzte, weil sie den vom Beschwerdeführer in seiner Kostennote ausgewiesenen Aufwand von 30.2 Stunden als der Bedeutung der Streitsache und der Schwierigkeit des Prozesses nicht angemessen erachtete. Gerichtsüblich sei für die Mandatseröffnung und das erste Instruktionsgespräch eine Stunde. Überhöht sei auch ein Aufwand von sechs Stunden für die unbegründete Klageschrift, der Aufwand für das Aktenstudium und eine Beschwerde gegen die Vorinstanz. Ebenfalls unnötig seien Erinnerungsschreiben an das Gericht. Schliesslich kürzte sie den Aufwand für die Hauptverhandlung von vier auf zwei Stunden. Sie erachtete im Ergebnis somit ungefähr die Hälfte des geltend gemachten Aufwands als vertretbar. Diese Begründung genügt den dargelegten Grundsätzen. Die Rüge der Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör erweist sich demnach als unbegründet.
4.2. Die kantonalen Instanzen verfügen bei der Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands über ein weites Ermessen. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn die Vorinstanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen willkürlichen Gebrauch gemacht hat (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 2; <ref-ruling> E. 2b S. 134).
4.2.1. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist, das heisst, wenn die der unentgeltlichen Rechtsbeiständin zugesprochene Entschädigung gesamthaft gesehen als willkürlich erscheint (BGE <ref-ruling> E. 2b S. 134; <ref-ruling> E. 3d S. 112), was der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde aufzuzeigen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 219; <ref-ruling> E. 4 S. 270).
4.2.2. Der Beschwerdeführer erachtet als willkürlich, dass die Vorinstanz nicht den vom ihm geltend gemachten Honoraransatz von Fr. 300.-- zugrunde legte, sondern Fr. 200.-- bzw. Fr. 220.--. Er macht geltend, das Bundesgericht (Urteil 4A_429/2013 vom 11. Februar 2014 E. 4.2.1) habe in einem Personenschadenfall im Kanton Basel-Landschaft einen Ansatz von Fr. 300.-- als ortsüblich bezeichnet. Daraus lässt sich indessen nichts ableiten. In jenem Verfahren ging es um eine vorsorgliche Beweisführung in einem komplexen Fall einer möglichen ärztlichen Fehlbehandlung. Das Bundesgericht hielt denn auch fest - namentlich im Hinblick auf die damals noch nicht ausgebildete Praxis zum neuen Institut der vorsorglichen Beweisführung -, der Ansatz sei ortsüblich "für derartige Verfahren mit nicht tagtäglich auftretenden Fragestellungen". Demgegenüber ging es hier um einen vor der Einzelrichterin im vereinfachten Verfahren (<ref-law>) durchgeführten wenig komplexen Fall. Wenn die Vorinstanz ebenfalls den - in ihren Worten - "gerichtsüblichen" Stundenansatz für ein solches Verfahren anwendete, ist dies nicht willkürlich.
4.2.3. Es kann offen bleiben, inwiefern die einzelnen Begründungen der Vorinstanz zu bestimmten Kürzungen zutreffen. Denn insgesamt ist die Kürzung auf rund 15 Stunden nicht willkürlich. Der Gesetzgeber hat mit der Schaffung des vereinfachten Verfahrens bewusst auch verfahrensökonomische Ziele verfolgt. Der Prozess sollte einfach und kostengünstig sein (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7237; LAURENT KILLIAS, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 1 und 3 Vorb. zu <ref-law>). Entsprechend einfach gestaltete er sich auch vorliegend. Das eigentliche Verfahren beschränkte sich auf die mündliche Verhandlung, an der die Klage begründet wurde, eine Stellungnahme zu einem Eventualantrag der Beschwerdegegnerin und das Studium einer Stellungnahme der Beschwerdegegnerin zu medizinischen Unterlagen (vgl. Sachverhalt Ziff. 1.3). Hinzu kam ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege, das jedoch sehr einfache finanzielle Verhältnisse betraf. Auch wenn rund fünfzehn Stunden hierfür als sehr knapp erscheinen, so kann die vorinstanzliche Einschätzung doch nicht als geradezu willkürlich bezeichnet werden.
5.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens wird der Beschwerdeführer dafür kostenpflichtig (<ref-law>). Der durch ihren Rechtsdienst vertretene Beschwerdegegnerin ist praxisgemäss keine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 446; ferner das Urteil 4A_678/2011 vom 2. Mai 2012 E. 4, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Reitze-Page