Sachverhalt:
A. Das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern entzog X._ am 9. Juli 2007 den Führerausweis für eine Dauer von drei Monaten, nämlich vom 1. November 2007 bis zum 26. Januar 2008.
Wegen Fahrens eines Personenwagens trotz Entzugs des Führerausweises am 9. November 2007 entzog das Strassenverkehrsamt X._ mit Verfügung vom 23. Januar 2008 den Führerausweis erneut, nunmehr für eine Dauer von zwölf Monaten, wirksam für den Zeitraum vom 9. November 2007 bis zum 22. August 2008.
Hiergegen rekurrierte X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und ersuchte gleichzeitig um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung (Verzicht auf Kostenvorschuss und unentgeltliche Verbeiständung).
Mit Zwischenentscheid vom 8. April 2008 lehnte das Verwaltungsgericht das Gesuch um Gewährung der unentgeltliche Prozessführung mangels Bedürftigkeit ab und forderte X._ zur Zahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 600.-- auf, zahlbar in drei Raten zu bestimmten Fälligkeitsdaten. Ausdrücklich wurde auf die Säumnisfolgen (Nichteintreten auf die Beschwerde) hingewiesen, wenn eine der Raten nicht oder nicht rechtzeitig bezahlt wird.
Das Verwaltungsgericht trat mit Urteil vom 23. Mai 2008 androhungsgemäss auf die Beschwerde nicht ein, nachdem die erste geschuldete Ratenzahlung innert Frist nicht geleistet worden war.
B. Mit Gesuch vom 6. Juni 2008 stellte X._ beim Verwaltungsgericht ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist und beantragte, es sei das Urteil vom 23. Mai 2008 aufzuheben, eine Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses in drei Raten einzuräumen und auf seine ursprüngliche Beschwerde materiell einzutreten.
Mit Verfügung vom 26. Juni 2008 wies der Präsident der Abgaberechtlichen Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern das Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses ab. Er hielt fest, dass X._ nicht unverschuldet von der rechtzeitigen Leistung des Kostenvorschusses abgehalten worden sei. Aus der Bestimmung von Art. 62 Abs. 3 BGG könne für das kantonale Verfahren keine Pflicht zur Einräumung einer Nachfrist abgeleitet werden.
C. Gegen diesen Entscheid des Abteilungspräsidenten hat X._ beim Bundesgericht am 18. Juli 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben und beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und das Verwaltungsgericht sei anzuweisen, auf seine kantonale Beschwerde einzutreten. Er rügt Verletzungen von Art. 8 und Art. 29a BV und macht geltend, dass ihm das Verwaltungsgericht entsprechend Art. 62 Abs. 3 BGG vor dem Nichteintretensentscheid eine Nachfrist hätte einräumen müssen. Der Beschwerdeführer ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Strassenverkehrsamt und das Verwaltungsgericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten. Es ist im entsprechenden Sachzusammenhang zu prüfen, ob die Beschwerdeschrift den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG genügt und was Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet. In Anbetracht der aufschiebenden Wirkung im verwaltungsgerichtlichen Verfahren (Schreiben des Verwaltungsgerichts vom 15. Februar 2008 und des Strassenverkehrsamtes vom 18. Februar 2008) ist die Beschwerdesache trotz des Umstandes, dass der Führerausweis bis zum 22. August 2008 entzogen worden war, nicht gegenstandslos geworden.
2. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bilden einzig das Fristwiederherstellungsverfahren und der angefochtene Entscheid. Soweit der Beschwerdeführer unter Hinweis auf die Praxis anderer Kantone geltend macht, die zugrunde liegende Verfügung vom 23. Januar 2008 sei materiell betrachtet mit dem Anspruch auf Gleichbehandlung im Sinne von Art. 8 (Abs. 1) BV nicht vereinbar, ist auf die Beschwerde von vornherein nicht einzutreten. Gleichermassen ist nicht zu prüfen, ob die Verfügung des Strassenverkehrsamtes vor dem Willkürverbot (Art. 9 BV) standhalte und dem Anspruch auf hinreichende Begründung (Art. 29 Abs. 2 BV) genüge. Schliesslich hat ungeprüft zu bleiben, ob der nicht angefochtene Entscheid vom 8. April 2008, mit dem das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abgewiesen und der Beschwerdeführer zur Bezahlung eines Kostenvorschusses (in Raten) aufgefordert wurde, vor der Verfassung standhält.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 29a BV in dem Sinne, als er durch den Nichteintretensentscheid vom 23. Mai 2008 und den angefochtenen Entscheid keine Gelegenheit hatte, seine Rechtsstreitigkeit einem Gericht zu unterbreiten.
Mit der vorliegenden Beschwerde wird zu Recht nicht geltend gemacht, der am 23. Januar 2008 verfügte Führerausweisentzug hätte dem Verwaltungsgericht und damit einer richterlichen Behörde überhaupt nicht unterbreitet werden können. Vielmehr stand der Rechtsmittelweg ans Verwaltungsgericht tatsächlich offen. Der von Art. 29a BV garantierte Rechtsweg unterliegt indessen dem Verfahrensrecht und besteht nur im Rahmen der jeweils geltenden Prozessordnung. Die Garantie verbietet nicht, das Eintreten auf eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde von der Einhaltung der üblichen Sachurteilsvoraussetzungen abhängig zu machen. Insbesondere dispensiert sie nicht von der rechtzeitigen Bezahlung von gerichtlich festgelegten Kostenvorschüssen (vgl. Andreas Kley, St. Galler BV-Kommentar, 2. Aufl. 2008, Art. 29a Rz. 9). Soweit es der Beschwerdeführer unterlassen hatte, den einverlangten Kostenvorschuss - bzw. die entsprechenden Raten - (rechtzeitig) zu bezahlen, kann er daher keine Verletzung von Art. 29a BV geltend machen.
3.2 Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, der Abteilungspräsident habe im angefochtenen Entscheid kantonale Bestimmungen über die Wiederherstellung in Verletzung des Willkürverbotes unrichtig angewendet. Er wendet vielmehr ein, es hätte berücksichtigt werden müssen, dass nach unbenütztem Ablauf der Zahlungsfrist - im Sinne von Art. 62 Abs. 3 BGG - eine Nachfrist eingeräumt werden muss.
Diese Rüge betrifft im Grunde genommen eine Frage des Verbotes der formellen Rechtsverweigerung bzw. des überspitzten Formalismus gemäss Art. 29 Abs. 1 BV. Es kann offen bleiben, ob diese Rüge nicht bereits im Anschluss an den Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts vom 23. Mai 2008 hätte erhoben werden müssen und ob die Begründung hierfür den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügt.
Wie im angefochtenen Entscheid dargelegt, sind die Kantone in der Ausgestaltung der Gerichtsorganisation und des Verfahrensrechts im Rahmen der Bundesverfassung frei. Im Gegensatz zur Zivil- und Strafrechtspflege (vgl. Art. 122 und 123 BV) steht dem Bund für den Bereich der Verwaltungsrechtspflege keine Ordnungskompetenz zu. Es kann für den vorliegenden Bereich nicht angenommen werden, dass das Bundesrecht die kantonale Vollzugsordnung und das kantonale Verfahrensrecht direkt mitbestimmt (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 129 und E. 3.5 S. 134). Ferner ist unbestritten, dass die Regelung von Art. 62 Abs. 3 BGG für das kantonale Verfahren keine unmittelbare Wirkung zeitigt.
Insoweit sind die Kantone frei, die Folgen der Nichtleistung eines Kostenvorschusses zu ordnen. In diesem Sinne bestimmt § 195 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRG), dass ein Kostenvorschuss einverlangt werden kann und dass bei Nichtleistung des Kostenvorschusses auf die Rechtsvorkehr nicht eingetreten werde. Das Verwaltungsrechtspflegegesetz sieht nicht vor, dass bei unbenützter Frist zur Kostenvorschussleistung eine Nachfrist eingeräumt werden könnte oder müsste.
Bei dieser Sachlage liesse sich einzig fragen, ob es einem verfassungsmässigen Grundsatz entspricht, dass bei unbenutztem Ablauf einer Frist zur Zahlung eines Kostenvorschusses eine (kurze) Nachfrist einzuräumen sei. Dies kann nicht angenommen werden. Das bisherige Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege sah in Art. 150 Abs. 4 OG die Einräumung einer Nachfrist nicht vor. Gleichermassen bestimmen zahlreiche kantonale Verfahrensordnungen, dass bei Versäumnis auf die Rechtsvorkehr nicht eingetreten wird. Überdies handelt es sich bei der Leistung des Kostenvorschusses nur um eine prozessuale Handlung neben andern, für welche im Allgemeinen ebenfalls keine Nachfristen vorgesehen sind.
Vor diesem Hintergrund stellt es keine formelle Rechtsverweigerung und keinen überspitzten Formalismus dar, wenn dem Beschwerdeführer keine Nachfrist eingeräumt worden ist, das Verwaltungsgericht auf dessen Beschwerde nicht eingetreten ist und der Abteilungspräsident das Fristwiederherstellungsgesuch abgewiesen hat. Daran ändert der Umstand nichts, dass gewisse Prozessordnungen - wie auch das Bundesgerichtsgesetz in Art. 62 Abs. 3 Satz 3 - die Einräumung einer Nachfrist vorsehen oder vorschreiben. Das Bundesgericht hat denn auch erkannt, dass die Anwendung von kantonalen Verfahrensbestimmungen, die der Regelung von § 195 VRG entsprechen, nicht gegen Bundesverfassungsrecht verstösst (vgl. Urteil 2C_304/2008 und 2C_305/2008 vom 15. August 2008, E. 2.2.3, mit Hinweisen).
Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet.
4. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Diese kann nach Art. 63 BGG bewilligt werden, soweit das Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Im Lichte der vorstehenden Erwägungen erweist sich die Beschwerde von vornherein als aussichtslos. Demnach ist das Gesuch abzuweisen. Die Umstände rechtfertigen es, auf eine Kostenauflage zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Strassenverkehrsamt und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Abgaberechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann