Sachverhalt:
A. Am 28. Oktober 2008 meldete ein Landwirt der Polizeistation Flawil, dass er bei seiner Scheune ein Vogelhäuschen mit einer versteckten Digitalkamera gefunden habe. Er übergab das Vogelhäuschen samt eingeschalteter Kamera den Polizeibeamten. Die Überprüfung der gespeicherten Fotos ergab, dass unzählige Aufnahmen von der Rückseite der Liegenschaft gemacht worden waren. Es bestand Grund zur Annahme, dass der Tierschützer X._ damit nachweisen wollte, dass der Landwirt seinen Kühen den gesetzlich vorgeschriebenen Auslauf im Freien nicht gewährt hatte.
Am 2. Januar 2009 erstattete der Verein Y._ Schweiz, der von X._ präsidiert wird, Anzeige bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen und beantragte, es sei festzustellen, dass das heimliche Abspeichern von angeblich 522 Fotoaufnahmen auf einer CD und das anschliessende Löschen der Aufnahmen auf der Speicherkarte der Fotokamera des Verein Y._ durch die Polizeistation Flawil rechtswidrig erfolgt seien.
Am 31. März 2009 eröffnete die Anklagekammer ein Strafverfahren gegen den Polizeibeamten Z._ wegen des Verdachts des Amtsmissbrauchs (<ref-law>). In der Folge hob das für die Strafuntersuchung zuständige Untersuchungsamt St. Gallen das Strafverfahren auf. Am 27. Januar 2010 trat die Anklagekammer auf eine Beschwerde des Verein Y._ gegen die Aufhebung der Strafuntersuchung wegen fehlender Legitimation nicht ein.
Am 2. März 2010 erstattete der Verein Y._ bei der Disziplinarkommission der St. Gallischen Staatsverwaltung Anzeige gegen Z._ und stellte den Antrag, gegen diesen seien angemessene Disziplinarmassnahmen zu verfügen. Am 23. Dezember 2011 ersuchte der Verein Y._ das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen um Orientierung über den Ausgang des Disziplinarverfahrens gegen Z._. Am 10. Januar 2012 teilte das Sicherheits- und Justizdepartement dem Verein Y._ mit, das Disziplinarverfahren sei mit Verfügung vom 29. Oktober 2010 abgeschlossen worden. Aus Gründen des Amtsgeheimnisses und des Persönlichkeitsschutzes des Polizeibeamten könnten inhaltlich keine genaueren Angaben gemacht werden. Nachdem der Verein Y._ um eine anfechtbare Verfügung ersucht hatte, wies das Sicherheits- und Justizdepartement das Gesuch um Orientierung über die Erledigung der Disziplinaranzeige am 16. Januar 2012 ab.
Diese Verfügung focht der Verein Y._ mit Beschwerde vom 6. Februar / 12. März 2012 beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen an. Das Sicherheits- und Justizdepartement nahm am 26. März 2012 Stellung und beantragte, die Beschwerde sei abzuweisen. Der Eingabe lag zur Orientierung die Verfügung des Sicherheits- und Justizdepartements vom 29. Oktober 2010 bei, mit welcher das Disziplinarverfahren gegen Z._ abgeschlossen worden war. Am 2. April 2012 teilte der Präsident des Verwaltungsgerichts dem Verein Y._ auf entsprechende Anfrage hin mit, die Disziplinarverfügung werde ihm nicht ausgehändigt. Mit Urteil vom 29. August 2012 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde des Verein Y._ vom 6. Februar / 12. März 2012 ab.
B. Der Verein Y._ führt mit Eingabe vom 1. Oktober 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und dieses sei anzuweisen, ihm Einsicht in das folgende, vom Sicherheits- und Justizdepartement dem Verwaltungsgericht eingereichte Aktenstück zu gewähren: "Entscheid des Sicherheits- und Justizdepartementes in Sachen Z._ vom 29. Oktober 2010". Eventualiter sei die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs (rechtsgenügliche Begründung) an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter sei das Sicherheits- und Justizdepartement anzuweisen, ihn über den Ausgang des gegen Z._ geführten Disziplinarverfahrens zu orientieren.
Das Sicherheits- und Justizdepartement und das Verwaltungsgericht beantragen in ihren Stellungnahmen die Abweisung der Beschwerde. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zugestellt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid des Verwaltungsgerichts in einem Verfahren betreffend die Einsichtnahme in Akten eines abgeschlossenen Disziplinarverfahrens gegen einen Polizeibeamten. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und macht geltend, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law> verletzt. Zu dieser Rüge ist er im bundesgerichtlichen Verfahren berechtigt (<ref-law>; vgl. Urteile des Bundesgerichts 1C_302/2007 vom 2. April 2008 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>, und 1B_370/2009 vom 19. März 2010 E. 1).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz habe ihm die Einsicht in die vom Sicherheits- und Justizdepartement als Gegenpartei eingereichte Verfügung vom 29. Oktober 2010 in Sachen Z._ zu Unrecht verweigert. Sein Anspruch auf rechtliches Gehör beinhalte das Recht, von jedem Aktenstück, welches die Gegenpartei dem Gericht einreiche, Kenntnis zu nehmen und sich dazu äussern zu können, soweit er dies für erforderlich halte. Unerheblich sei, ob ein Aktenstück neue Tatsachen oder Argumente enthalte oder ob es das Gericht tatsächlich zu beeinflussen vermöge oder nicht, denn es sei Sache der Parteien zu beurteilen, ob ein Dokument einen Kommentar erfordere oder nicht. Werde einer Partei keine Gelegenheit eingeräumt, zu einem von der Gegenpartei eingereichten Schriftstück Stellung zu nehmen, sei zugleich das Prinzip der Waffengleichheit verletzt, welches Bestandteil des Rechts auf ein faires Gerichtsverfahren bilde. Zudem habe die Vorinstanz insoweit ihre Begründungspflicht verletzt.
2.2 Die Vorinstanz hat erwogen, Streitgegenstand des Beschwerdeverfahrens bilde, ob der Beschwerdeführer als Erstatter der Anzeige einen Anspruch auf Einsicht in den Inhalt der Verfügung vom 29. Oktober 2010 im Disziplinarverfahren gegen Z._ habe. Wäre diese Verfügung dem Beschwerdeführer im Rahmen der Verfahrensleitung ausgehändigt worden, so wäre das Beschwerdeverfahren damit gegenstandslos geworden. Demzufolge sei dem Beschwerdeführer am 2. April 2012 zu Recht mitgeteilt worden, das Verwaltungsgericht werde darüber zu befinden haben, ob der Verein Y._ über den Ausgang des Disziplinarverfahrens orientiert werden müsse (angefochtenes Urteil E. 3).
2.3 Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> umfasst das Recht, von den beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können. Dieses Replikrecht gilt für alle gerichtlichen Verfahren, auch solche, die nicht in den Schutzbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK fallen. Die Verfahrensbeteiligten haben Anspruch auf Zustellung von Vernehmlassungen, unabhängig davon, ob diese neue und erhebliche Gesichtspunkte enthalten. Das Gericht muss vor Erlass seines Entscheids eingegangene Stellungnahmen den Beteiligten zustellen, damit sich diese darüber schlüssig werden können, ob sie sich dazu äussern wollen oder nicht (<ref-ruling> E. 2.3.3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197; je mit Hinweisen).
2.4 Die Vorinstanz ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ihrer Begründungspflicht nachgekommen. Sie hat in der Begründung ihres Urteils die Überlegungen genannt, von denen sie sich hat leiten lassen und auf die sie ihre Weigerung der Herausgabe der Disziplinarverfügung stützt. Dem Beschwerdeführer war es denn auch ohne Weiteres möglich, den abweisenden Entscheid sachgerecht anfechten zu können (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; je mit Hinweisen).
Die Ausführungen der Vorinstanz sind auch inhaltlich zutreffend. Streitgegenstand bildet die Frage, ob der Beschwerdeführer einen Anspruch auf Einsicht in den Inhalt der Disziplinarverfügung vom 29. Oktober 2010 in Sachen Z._ hat. Mit der Weigerung, die Verfügung dem Beschwerdeführer im Rahmen der Verfahrensleitung auszuhändigen, ist dessen Replikrecht nicht verletzt worden. Die strittige Disziplinarverfügung stellt keine Stellungnahme bzw. Vernehmlassung der Gegenpartei im vorinstanzlichen Verfahren dar. Die Beschwerdeantwort des Sicherheits- und Justizdepartements vom 26. März 2012 aber wurde dem Beschwerdeführer von der Vorinstanz am 27. März 2012 zugestellt und er konnte hierzu Stellung nehmen, was er mit Eingabe vom 5. April 2012 auch getan hat. Verletzungen seines Anspruchs auf rechtliches Gehör und des Prinzips der Waffengleichheit liegen nicht vor.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe die Anwendbarkeit von Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu Unrecht verneint. Diese Bestimmung, mithin auch das darin verankerte Öffentlichkeitsgebot, gelte auch für Disziplinarverfahren mit Strafcharakter. Diese Voraussetzung sei vorliegend erfüllt, da es um ein an sich strafbares Verhalten eines Polizeibeamten, nämlich um das unbefugte Kopieren und Löschen von beschlagnahmten Daten gehe. Die Vorinstanz begründe ihren gegenteiligen Standpunkt nicht und verletze (erneut) ihre Begründungspflicht.
3.2 Die Vorinstanz hat ausgeführt, es stehe nicht der Ausgang eines Strafverfahrens, sondern eines Disziplinarverfahrens zur Diskussion. Art. 6 Ziff. 1 EMRK gelte in der Regel aber nicht für Disziplinarverfahren, da es einem Staat frei stehe, einen bestimmten Sachverhalt auch disziplinarisch zu würdigen. Insbesondere könnten Mitglieder besonderer Institutionen (Schulen, Gefängnisse) oder Berufsgattungen (Rechtsanwälte, Ärzte, Beamte) bestimmten Verhaltensregeln unterstellt werden, ohne dass Disziplinarsanktionen die Anwendung der Garantien des Art. 6 EMRK bedingen würden. Der Beschwerdeführer könne sich daher nicht mit Erfolg auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK berufen (angefochtenes Urteil E. 4.2).
3.3 Gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen oder über eine gegen sie erhobene strafrechtliche Anklage von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird. Das Urteil muss öffentlich verkündet werden. Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankert damit das Prinzip der Justizöffentlichkeit.
Der Anspruch gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK setzt im vorliegenden Zusammenhang voraus, dass es sich um eine "strafrechtliche Anklage" handelt. Der EGMR prüft diese Frage nach den drei im Urteil "Engel" entwickelten Kriterien (vgl. Urteil des EGMR vom 21. Februar 1984 in Sachen Öztürk gegen Bundesrepublik Deutschland, Ziff. 50, in: EuGRZ 1985 S. 62). Massgeblich sind nach dieser Judikatur erstens die Zuordnung der Vorschrift im nationalen Recht, zweitens die wahre Natur des Vergehens sowie drittens die Art und Schwere der Sanktion (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 317; <ref-ruling> E. 4.2 S. 145).
Disziplinarische Massnahmen sind administrative Massnahmen und somit keine Strafen im Rechtssinn. Sie dienen der Aufrechterhaltung der Ordnung sowie der Wahrung des Ansehens und der Vertrauenswürdigkeit der Verwaltung und der Justiz. Sie sollen bewirken, dass diejenigen Personen, die dem Disziplinarrecht unterstehen, ihre Pflichten erfüllen (vgl. Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl. 2010, Rz. 1192). Disziplinarmassnahmen, welche sich gegen Mitglieder besonderer Institutionen oder Berufsgattungen richten, gelten grundsätzlich nicht als strafrechtliche Anklagen im Sinne von Art. 6 EMRK, ausser wenn das pönalisierte Verhalten zugleich ein vom allgemeinen Strafrecht erfasstes Delikt darstellt oder die angedrohte Sanktion nach Art und Schwere als strafrechtlich erscheint, namentlich wenn eine Freiheitsstrafe von mehr als bloss einigen Tagen in Aussicht steht (vgl. <ref-ruling> E. 3c/aa S. 381 f. mit Hinweisen; siehe zum Ganzen auch Arthur Haefliger/Frank Schürmann, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, 2. Aufl. 1999, S. 150 ff.; Mark E. Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention, 2. Aufl. 1999, S. 250 ff., insb. S. 254).
3.4 Im zu beurteilenden Fall wurde das gegen den Polizeibeamten Z._ wegen des Verdachts der Amtsgeheimnisverletzung (<ref-law>) geführte Strafverfahren aufgehoben (vgl. Sachverhalt lit. A.). Z._ hat damit kein Delikt im Sinne des Strafrechts begangen. Im Anschluss an die Strafuntersuchung wurde gegen Z._ in Anwendung des Gesetzes des Kantons St. Gallen vom 28. März 1974 über die disziplinarische Verantwortlichkeit der Behördemitglieder und öffentlichen Angestellten (Disziplinargesetz/SG; sGS 161.3) ein Disziplinarverfahren durchgeführt. Art. 5 des Disziplinargesetzes/SG nennt die möglichen Disziplinarmassnahmen; diese reichen von einem schriftlichen Verweis (Abs. 1 lit. a), über eine Geldleistung bis Fr. 2'000.-- (Abs. 1 lit. b) bis hin zur Entlassung aus dem Amt oder Dienst (Abs. 1 lit. i). Bei einem geringfügigen Disziplinarfehler tritt an die Stelle einer Disziplinarmassnahme die schriftliche oder mündliche Beanstandung durch den unmittelbaren Vorgesetzten (Art. 6 des Disziplinargesetzes/SG). Ob ein Disziplinarfehler zu verfolgen ist und welche Disziplinarmassnahmen zu verhängen sind, wird nach pflichtgemässem Ermessen entschieden (Art. 7 Abs. 1 des Disziplinargesetzes/SG). Zuständig zum Erlass von Disziplinarmassnahmen ist die Disziplinarbehörde (Disziplinarkommission; vgl. hierzu Art. 12 ff. des Disziplinargesetzes/SG). Wird im Lauf eines Disziplinarverfahrens wegen des gleichen Tatbestands gegen den Betroffenen ein Strafverfahren eröffnet, können die Disziplinaruntersuchung und die Verfügung einer Disziplinarmassnahme ausgesetzt werden (Art. 20 des Disziplinargesetzes/SG). Soweit dieses Gesetz nichts anderes bestimmt, wird das Gesetz des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (sGS 951.1) sachgemäss angewendet (Art. 24 des Disziplinargesetzes/SG).
Das Disziplinargesetz gilt, wie sich bereits aus dem Titel des Gesetzes ergibt, nicht für die Allgemeinheit, sondern erfasst ausschliesslich Behördemitglieder und öffentliche Angestellte. Das Disziplinarverfahren ist von einem allfälligen, wegen des gleichen Sachverhalts durchgeführten Strafverfahren unabhängig. Die Disziplinarkommission, welche zum Erlass von Disziplinarmassnahmen zuständig ist, ist denn auch keine Strafverfolgungsbehörde. Die ausdrückliche Bezeichnung der Sanktion gemäss Art. 5 Abs. 1 lit. b des Disziplinargesetzes/SG als Geldleistung und nicht als Busse oder Geldstrafe bringt ihrerseits zum Ausdruck, dass es sich um eine Disziplinarmassnahme und nicht um eine Strafe handelt (vgl. insoweit auch <ref-ruling> E. 2.2 S. 348). Zusammenfassend findet deshalb Art. 6 Ziff. 1 EMRK bzw. das darin verankerte Prinzip der Justizöffentlichkeit keine Anwendung auf das gegen den Polizeibeamten Z._ durchgeführte Disziplinarverfahren. Dies gilt ausgehend vom Katalog möglicher Disziplinarmassnahmen gemäss Art. 5 des Disziplinargesetzes/SG, welcher eine Freiheitsstrafe als Sanktion nicht vorsieht, unabhängig davon, ob im konkreten Fall eine Disziplinarmassnahme ausgesprochen oder davon abgesehen wurde (vgl. zum Ganzen auch <ref-ruling> E. 2.2.3 ff. S. 318 f.).
3.5 Klarstellend ist festzuhalten, dass der Beschwerdeführer aus den zur Untermauerung seines Standpunkts angeführten Entscheiden (<ref-ruling>; Urteil des Bundesgerichts 1B_256/2007 vom 27. Mai 2008; Urteil des EGMR vom 31. Juli 2012 in Sachen Shapovalov gegen Ukraine) nichts zu seinen Gunsten ableiten kann:
In <ref-ruling> entschied das Bundesgericht, dass ein Strafbescheid im abgekürzten Verwaltungsstrafverfahren (vgl. Art. 65 VStrR; SR 313.0) ein Entscheid über eine strafrechtliche Anklage im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK darstellt. Im Verwaltungsstrafrecht als Nebenstrafrecht ist Art. 6 Ziff. 1 EMRK somit anwendbar. Dem Urteil 1B_256/2007 vom 27. Mai 2008 lag eine Strafuntersuchung wegen verschiedener StGB-Tatbestände zugrunde, weshalb auch hier Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu berücksichtigen war. In beiden Fällen ging es damit in der Sache nicht um ein Disziplinarverfahren.
Nicht einschlägig ist auch das Urteil des EGMR vom 31. Juli 2012 in Sachen Shapovalov gegen Ukraine. Im genannten Urteil entschied der EGMR, dass es sich beim (aufgrund nationaler Rechtsvorschriften bestehenden) Recht eines Journalisten auf Zugang zu bestimmten behördlichen Dokumenten um ein "civil right", d.h. um einen zivilrechtlichen Anspruch im Sinne von Art. 6 EMRK handelt; der Gerichtshof gewichtete dabei entscheidend, dass der Journalist die Informationen für seine Berufsausübung benötigte. Im vorliegend zu beurteilenden Fall steht das Recht auf Einsichtnahme eines Dritten in einen Disziplinarentscheid gegen einen Polizeibeamten und nicht ein Anspruch auf Zugang eines Medienschaffenden zu bestimmten, für seine Berufsausübung notwendigen behördlichen Informationen zur Diskussion. Die beiden Fallkonstellationen sind somit nicht miteinander vergleichbar.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Dezember 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner