Faits:
A.
K._ a obtenu un diplôme de l'Ecole Z._ en juillet 1999. A partir de cette année-là, elle a travaillé au service de plusieurs employeurs.
Le 1 er octobre 2005, K._ a débuté un emploi à plein temps au service de X._ en qualité d'assistante pour le responsable du planning et du contrôle de la partie francophone d'un département dès le 1 er octobre 2005. Elle a été totalement incapable de travailler à compter du 16 janvier 2006 en raison d'affections psychiques. Le 18 janvier 2006, la Caisse de pensions de X._ a émis une réserve de santé pour l'octroi des prestations d'assurance surobligatoire libellée comme suit: "en cas d'incapacité de gain consécutive aux affections psychiques et à leurs conséquences, aucune prestation d'assurance ne sera accordée", la réserve étant valable trois ans.
Par décision du 24 novembre 2008, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a alloué à K._ une rente entière d'invalidité à compter du 1 er avril 2007 (demande tardive). L'office AI a retenu que la capacité de travail de l'assurée était considérablement restreinte depuis janvier 2006.
Le 22 septembre 2009, K._, agissant par son curateur, a demandé à la Caisse de pensions de X._ de lui verser une rente d'invalidité. L'institution de prévoyance a opposé un refus, motivé par le fait que K._ était incapable de travailler avant son affiliation. L'intéressée a contesté ce point de vue; elle a fait valoir qu'elle n'avait jamais été incapable de travailler en raison des troubles qui avaient justifié l'octroi de la rente de l'assurance-invalidité, en particulier le trouble bipolaire sévère mixte et le trouble déficitaire de l'attention avec hyperactivité, l'incapacité survenue en janvier 2006 ayant été déclenchée par un burn-out.
B.
Le 21 décembre 2011, K._ a saisi la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant à ce que la Caisse de pensions de X._ fût condamnée à lui verser une rente d'invalidité à 100 % dès le 1 er janvier 2007, avec intérêts. La défenderesse a conclu au rejet de la demande.
La juridiction cantonale a entendu plusieurs médecins et témoins. Elle a ordonné l'appel en cause de deux institutions de prévoyance auprès desquelles l'assurée avait précédemment été affiliée, soit AXA Fondation LPP Suisse romande, ainsi que la "Pensionskasse Y._".
Par jugement du 4 juin 2013, le tribunal cantonal a rejeté la demande.
C.
K._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant derechef à ce que la Caisse de pensions de X._ soit condamnée à lui verser une rente d'invalidité de 100 % à partir du 1 er janvier 2007. Subsidiairement, elle dirige ses prétentions contre Y._, plus subsidiairement contre AXA Fondation LPP Suisse romande. Elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Les intimées ont conclu au rejet du recours avec suite de frais. A l'exception de la Caisse de pensions de X._, les deux autres institutions intimées ont demandé des dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle dès le 1 er janvier 2007, à charge de l'une ou l'autre des trois institutions de prévoyance professionnelle intimées.
Les avis des parties divergent quant au début de l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité, le degré de celle-ci (100 %) n'étant pas contesté.
2.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313; <ref-ruling> consid 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y sont pas contenus (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 187; <ref-ruling> consid. 1.4 et 6.2 p. 287 s.).
3.
3.1. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales sur le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire, ainsi que sur la notion d'incapacité de travail et le double critère de la connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail et l'invalidité exigé par la jurisprudence pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance à laquelle était affiliée l'intéressé (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 275 et les arrêts cités). Il suffit d'y renvoyer.
3.2. On rappellera cependant que la relation de connexité temporelle suppose qu'après la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité, la personne assurée n'ait pas à nouveau été capable de travailler pendant une longue période. L'existence d'un tel lien doit être examinée au regard de l'ensemble des circonstances du cas d'espèce, tels la nature de l'atteinte à la santé, le pronostic médical, ainsi que les motifs qui ont conduit la personne assurée à reprendre ou ne pas reprendre une activité lucrative. Pour la survenance de l'incapacité de travail au sens de l'<ref-law>, c'est la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement dans la profession exercée jusque-là ou dans le champ des activités habituelles qui est déterminante (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 23 et les références). La connexité temporelle avec l'invalidité ultérieure - en tant que condition supplémentaire du droit aux prestations d'invalidité de l'institution de prévoyance concernée - se définit en revanche d'après l'incapacité de travail, respectivement la capacité résiduelle de travail dans une activité raisonnablement exigible adaptée à l'atteinte à la santé. Une telle activité doit cependant permettre de réaliser, par rapport à l'activité initiale, un revenu excluant le droit à une rente (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 27; arrêt 9C_98/2013 du 4 juillet 2013 consid. 2.2, in SVR 2014 BVG n° 1 p. 2 et les références citées).
Parmi les circonstances à prendre en compte pour apprécier la relation de connexité temporelle, il y a également les rapports perçus vers l'extérieur par les tiers dans le monde du travail, tel le fait qu'un assuré perçoit pendant une longue période des indemnités journalières de l'assurance-chômage en tant que personne à la recherche d'un emploi qui dispose d'une aptitude entière au placement (arrêts du Tribunal fédéral des assurances B 100/02 du 26 mai 2003 consid. 4.1, B 18/06 du 18 octobre 2006 consid. 4.2.1 in fine et les références). On ne peut cependant accorder la même valeur à ces périodes qu'à celles pendant lesquelles l'intéressé a effectivement exercé une activité lucrative (arrêt du Tribunal fédéral des assurances B 23/01 du 21 novembre 2002 consid. 3.3). En ce qui concerne la durée de la capacité de travail interrompant le rapport de connexité temporelle, on peut s'inspirer de la règle de l'<ref-law> comme principe directeur ("Richtschnur"). Conformément à cette disposition, il y a lieu de prendre en compte une amélioration de la capacité de gain ayant une influence sur le droit des prestations lorsqu'elle a duré trois mois, sans interruption notable, et sans qu'une complication prochaine soit à craindre. Lorsque l'intéressé dispose à nouveau d'une pleine capacité de travail pendant au moins trois mois et qu'il apparaît ainsi probable que la capacité de gain s'est rétablie de manière durable, il existe un indice important en faveur de l'interruption du rapport de connexité temporelle. Il en va différemment lorsque l'activité en question, d'une durée éventuellement plus longue que trois mois, doit être considérée comme une tentative de réinsertion ou repose de manière déterminante sur des considérations sociales de l'employeur et qu'une réadaptation durable apparaissait peu probable (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 22 s. et les références; <ref-ruling> consid. 1c p. 264; <ref-ruling> consid. 2c/aa p. 117; arrêt 9C_335/2008 du 30 septembre 2008 consid. 3.2).
3.3. Les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé (survenance, degré, durée, pronostic) relèvent d'une question de fait et ne peuvent être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint dans la mesure où elles reposent sur une appréciation des circonstances concrètes du cas d'espèce (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF). Les conséquences que tire l'autorité cantonale de recours des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (arrêt 9C_98/2013 du 4 juillet 2013 consid. 2.3, in SVR 2014 BVG n° 1 p. 2 et les références citées).
4.
4.1. Les premiers juges ont admis que la recourante a toujours souffert d'un trouble de l'attention, auquel s'est ajouté un trouble bipolaire depuis 2001 en tout cas; ces deux affections expliquent l'ensemble des symptômes et limitations (troubles sévères de l'attention, de la concentration, de la mémoire, fragilité émotionnelle avec alternance d'effondrement et de logorrhée avec fuite des idées), ce qui a conduit l'assurance-invalidité à reconnaître l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité de la recourante. Les juges ont ainsi retenu que le lien de connexité matérielle devait être admis, car les diverses incapacités de travail et l'invalidité étaient dues au trouble de l'attention et au trouble bipolaire.
En ce qui concerne l'étendue de la capacité de travail médicalement établie, les juges cantonaux ont constaté que seules les périodes durant lesquelles la recourante avait travaillé à plein temps avaient donné lieu à des certificats d'arrêts de travail (du 11 juin au 30 juillet 2004, puis du 16 janvier au 31 décembre 2006). A défaut d'avis médical circonstancié sur la capacité de travail entre 2000 et 2006, contemporain à cette époque, les juges se sont référés aux avis médicaux émis a posteriori et nécessairement fondés sur l'anamnèse. Ils sont parvenus à la conclusion que l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité remontait à une date antérieure au premier arrêt de travail prescrit en juin 2004.
4.2. Les premiers juges ont ensuite examiné le parcours professionnel de la recourante depuis la fin de sa scolarité obligatoire. Compte tenu notamment de la brièveté des emplois occupés, des rémunérations obtenues et des taux d'occupation, les juges ont considéré qu'il n'était pas établi que la recourante ait disposé d'une pleine capacité de travail durant plus de trois mois consécutifs, de juillet 1999 à la fin 2003. Ils ont admis, au degré de la vraisemblance prépondérante, que la recourante avait présenté une incapacité de travail due à un trouble de l'attention et à un trouble bipolaire qui avait débuté en 1999-2000. L'atteinte à la santé s'était ainsi manifestée de façon durable, acquérant une pertinence en droit du travail depuis l'année 2000 en tout cas.
La juridiction cantonale a constaté que la recourante avait travaillé durant trois mois et dix jours au service de Y._, à compter du 1 er mars 2004, dans le cadre d'un contrat de travail de durée indéterminée. Cette activité professionnelle avait pris fin en raison des problèmes psychiques. Compte tenu de la brièveté de cet emploi, les juges ont estimé qu'il n'y avait pas eu d'interruption entre l'incapacité de travail initiale et celle de juin 2004, de sorte qu'il n'appartenait pas à Y._ de prester.
Par ailleurs, les juges cantonaux ont constaté que la recourante avait occupé un emploi à mi-temps auprès d'une étude d'avocats, du 1 er novembre 2004 au 30 septembre 2005, pendant lequel elle avait été affiliée auprès de AXA Fondation LPP Suisse romande. Parallèlement à cette activité, elle avait suivi les cours du collège du soir depuis la rentrée d'août 2004 jusqu'à la fin de l'année 2004. Bien que la recourante ait été pleinement capable de travailler à mi-temps du 1 er août 2004 au 30 septembre 2005, les juges ont considéré que cela ne suffisait pas pour retenir qu'elle disposait d'une capacité de travail de 80 % au moins avec un plein rendement ou d'une capacité de travail de 100 % avec un rendement de 80 % pour une période de plus de trois mois consécutifs. Dès lors, il n'était pas possible de retenir une interruption du lien de connexité temporelle entre l'incapacité initiale et l'invalidité, si bien qu'il n'appartenait pas non plus à AXA Fondation LPP Suisse romande d'allouer ses prestations.
Finalement, la juridiction cantonale a constaté que la recourante avait travaillé à plein temps au service de X._, du 1 er octobre 2005 au 16 janvier 2006, jour à partir duquel elle s'était trouvée en incapacité totale de travailler en raison des graves troubles de l'attention et de la mémoire. Les juges ont admis que la recourante n'avait pas recouvré une pleine capacité de travail durant une période suffisamment longue pour retenir que le lien de connexité temporelle aurait été interrompu à l'occasion de cet emploi. Dans ces conditions, la Caisse de pension de X._ n'était pas non plus tenue de prester.
4.3. Sur la base des faits constatés, le tribunal cantonal a retenu, au degré de la vraisemblance prépondérante, que le trouble de l'attention et le trouble bipolaire dont la recourante souffrait depuis 1996, voire 2000 en tout cas, avait sérieusement affecté sa capacité de travail depuis lors. Cette capacité n'a jamais été durablement d'au moins 80 % et les tentatives de reprise à plein temps, de trois mois en 2004 et de trois mois et demi à fin 2005, n'avaient pas été assez longues pour que l'on puisse admettre que la capacité de travail et de gain s'étaient durablement rétablies. En l'absence d'interruption du lien de connexité temporelle entre le début de l'incapacité de travail en 2000, à l'origine de l'invalidité et la reconnaissance de celle-ci, aucune des institutions de prévoyance défenderesses n'était redevable de prestations d'invalidité.
5.
La recourante se prévaut d'une violation de l'<ref-law> et soulève trois griefs principaux à l'encontre du jugement cantonal.
En premier lieu, elle reproche aux premiers juges d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits pertinents, consécutive à une mauvaise appréciation des preuves, en ayant retenu à tort que l'incapacité de travail à l'origine de son invalidité aurait débuté en 1999-2000. Dans un deuxième moyen, pour le cas où une incapacité de travail aurait débuté en 1999-2000, la recourante fait grief à la juridiction cantonale d'avoir admis un lien de connexité matérielle entre cette incapacité de travail et l'invalidité. Dans un dernier moyen, la recourante soutient qu'une incapacité de travail survenue en 1999-2000 ne serait plus en relation de connexité temporelle avec l'incapacité de travail survenue en janvier 2006, l'incapacité ayant été interrompue de janvier 2002 à juin 2004, puis d'août 2004 à janvier 2006.
6.
6.1. Dans le domaine des assurances sociales, le juge fonde généralement sa décision sur les faits qui, faute d'être établis de manière irréfutable, apparaissent comme les plus vraisemblables, c'est-à-dire qui présentent un degré de vraisemblance prépondérante. Il ne suffit donc pas qu'un fait puisse être considéré seulement comme une hypothèse possible; la vraisemblance prépondérante suppose que, d'un point de vue objectif, des motifs importants plaident pour l'exactitude d'une allégation, sans que d'autres possibilités ne revêtent une importance significative ou n'entrent raisonnablement en considération (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 186 et les références).
6.2. L'instruction de la cause par les premiers juges leur a permis d'établir que la recourante avait toujours souffert d'un trouble de l'attention, puis d'un trouble bipolaire depuis 2000 en tout cas. Le diagnostic, suffisamment documenté, n'était pas remis en cause.
En revanche, en ce qui concerne l'incidence de ces affections psychiques sur la capacité de travail entre les années 2000 et 2006, le dossier ne contient pas d'avis médical circonstancié. Pour la période antérieure au 16 janvier 2006, seul est attesté un arrêt de travail du 23 au 27 juin 2004 à 100 %, puis à 50 % du 28 juin au 30 juillet 2004 (certificat du docteur L._ du 10 février 2011). Cela a conduit les juges cantonaux à se référer aux avis médicaux émis a posteriori, nécessairement fondés sur l'anamnèse, pour établir les faits déterminants (cf. jugement attaqué, consid. 12a in fine). A l'issue de leur examen, ils ont retenu, au degré de la vraisemblance prépondérante, que la capacité de travail de la recourante était sérieusement et durablement affectée depuis l'année 1996, voire 2000 en tout cas, soit antérieurement à son affiliation à l'une des trois institutions de prévoyance défenderesses.
6.3. La reconnaissance d'une incapacité de travail depuis l'année 2000, fondée sur la règle de la vraisemblance prépondérante, soulève assurément des interrogations. En effet, l'assurance-chômage avait admis que la recourante était disponible au placement, de janvier 2002 à septembre 2003, donnant ainsi aux tiers l'impression qu'elle disposait d'une capacité de travail entière, facteur dont les juges cantonaux n'ont pas vraiment tenu compte. Cette impression était concrètement renforcée par le fait que la recourante avait occupé plusieurs emplois, certes épisodiquement dès l'année 2001 lorsqu'elle alternait également divers cours de secrétariat et de gestion, mais de manière beaucoup plus constante depuis 2004, travaillant parfois à temps complet. Si l'occupation successive d'emplois de courte durée peut résulter de difficultés d'adaptation, ainsi que les juges cantonaux l'ont admis, pareille situation peut tout aussi bien s'expliquer par le simple fait que la recourante ne disposait pas de titre professionnel et qu'il lui était dès lors difficile de se positionner sur le marché du travail et d'y trouver une occupation adéquate. D'ailleurs, dans ce contexte, aucun employeur ne l'a licenciée en raison d'un rendement insuffisant et tous les certificats de travail rapportent une excellente appréciation de la qualité du travail effectué.
En pareilles circonstances, l'existence d'une incapacité de travail à compter de l'année 2000 ne demeure qu'une simple possibilité, l'éventualité inverse étant tout aussi plausible, voire vraisemblable. L'incapacité de travail retenue par les premiers juges ne présente dès lors pas un degré de vraisemblance suffisante, au sens où la jurisprudence en matière de preuve le requiert, pour que l'on doive admettre qu'elle prévalait déjà en 2000, à tout le moins dans une mesure importante. Avec la recourante, la Cour de céans retiendra que la fixation du début de l'incapacité de travail en 2000 résulte d'une mauvaise application de la règle de la vraisemblance prépondérante (consid. 6.1 supra), en d'autres termes que ce constat de fait procède de la violation d'une règle de preuve consacrée par le droit fédéral (<ref-law>). Il sied de le rectifier (<ref-law>), la correction de ce vice étant susceptible d'influer sur le sort de la cause, ainsi que la recourante l'a démontré (<ref-law>).
6.4. En l'espèce, l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité est clairement attestée et survenue pour la première fois en janvier 2006, ainsi que l'assurance-invalidité l'a admis (voir la décision de l'office AI du 24 novembre 2008, de même que le rapport du docteur C._, psychiatre au SMR, du 19 mars 2010). Il s'ensuit que les prestations d'invalidité sont dues, pour autant que toutes les autres conditions soient remplies, par la Caisse de pensions de X._ auprès de laquelle la recourante était affiliée lorsqu'elle est devenue entièrement incapable de travailler.
A cet effet, la cause sera renvoyée aux premiers juges afin qu'ils statuent à nouveau sur la demande du 21 décembre 2011, en examinant à cette occasion aussi la validité de la réserve concernant les prestations de la prévoyance professionnelle surobligatoire.
7.
La Caisse de pensions de X._, qui succombe, supportera les frais de la procédure fédérale (<ref-law>). Pour le même motif, elle est débitrice d'une indemnité de dépens en faveur de la recourante qui était représentée par un avocat lors du dépôt du recours (<ref-law>); la demande d'assistance judiciaire n'a dès lors plus d'objet.
Les deux autres institutions de prévoyance intimées n'ont pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis. Le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 4 juin 2013, est annulé, la cause lui étant renvoyée pour nouveau jugement au sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la Caisse de pensions de X._.
3.
La Caisse de pensions de X._ versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4.
Il n'est pas alloué de dépens à AXA Fondation LPP pour la Suisse romande et à la Caisse de pension Y._.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Berthoud