Sachverhalt:
A. X._ ist diplomierte Krankenschwester und seit 1974 im Spital Davos angestellt. Am 1. März 1999 wurde sie zur Assistentin Pflegedienstleitung gewählt. Ihr Aufgabenbereich umfasste die Patientendispositionen der ambulanten und stationären Patienteneintritte. Zudem war sie Stellvertreterin des Leiters Einkauf und der Apotheke sowie für die Leistungserfassung in der Pflege samt Qualitätsmanagement verantwortlich. Seit November 2001 war A._ als Pflegedienstleiterin ihre Vorgesetzte. In der Folge kam es zwischen X._ und A._ zunehmend zu Meinungsverschiedenheiten und Spannungen, wobei sich einige Spitalmitarbeiter wegen Problemen ihrerseits mit der neuen Pflegedienstleiterin bei X._ beschwerten.
Im Juli 2005 ersuchte X._ den Spitaldirektor um eine gemeinsame Aussprache mit allen Beteiligten. Nachdem die Aussprache nicht zustande gekommen war, regte A._ ihrerseits ein Treffen zwischen der Spitalleitung und den Kadermitarbeitern inkl. X._ an. Dieses Treffen fand am 1. September 2005 statt. Dabei wurden allen Beteiligten freie Meinungsäusserung ohne Strafsanktionen zugesichert.
Mit Schreiben vom 11. Oktober 2005 wies X._ die Spitalleitung erneut auf die belastende Arbeitssituation mit der unmittelbaren Vorgesetzten hin, wobei sich der Chefarzt anlässlich eines Gesprächs vom 14. Oktober 2005 bereit erklärt haben soll, sich der aufgeworfenen Problematik anzunehmen.
Am 1. November 2005 wurde X._ zu einem Treffen mit dem Spitaldirektor und ihrer Vorgesetzten eingeladen, an dem ihr eröffnet wurde, dass eine weitere Zusammenarbeit infolge zerrütteten Vertrauensverhältnisses in der Pflegedienstabteilung nicht mehr möglich sei, sie aber die Stelle als "Leiterin Einkauf" übernehmen könne. Für eine Antwort wurde ihr Bedenkzeit bis Ende Monat eingeräumt.
Am 3./4. November 2005 unterbreitete X._ der Spitalleitung den Vorschlag, direkt dem Chefarzt unterstellt zu werden. Der Vorschlag wurde an der Sitzung der Spitalleitung vom 28. November 2005 geprüft.
Mit Schreiben vom 29. November 2005 kündigte der Spitaldirektor das Anstellungsverhältnis mit X._ per 28. Februar 2006 wegen Zerrüttung des Vertrauensverhältnisses zwischen dieser und der Pflegedienstleiterin. Er bot X._ aber an, ab 1. Mai 2006 als "Leiterin Einkauf" (mit Zusatzaufgaben als Stellvertreterin Apotheke sowie als Fachkraft für die Führung der Qualitätsdokumente unter Aufsicht der Pflegedienstleitung) im Spital beschäftigt zu werden.
Mit Einwandschreiben vom 28. Dezember 2005 setzte sich die Gekündigte bei der Spitalkommission gegen die Kündigung zur Wehr, wobei sie beantragte, die Vorkommnisse auf dem örtlichen Spitalplatz sowie insbesondere das wiederholte und massive "Mobbing" gegenüber ihr (als auch anderen Kadermitarbeitern) seit Herbst 2001 bzw. vor allem seit 2005 (spitalextern) genauer untersuchen zu lassen und bis dahin die ausgesprochene Kündigung bzw. Stellenversetzung zu sistieren.
Im Entscheid vom 1. Juni 2006 legte die Spitalkommission den Ablauf der Kündigungsfrist neu auf den 31. März 2006 fest. Im Übrigen wies sie aber die spitalinterne Beschwerde von X._ ab. Der Kleine Landrat Landschaft Davos Gemeinde (Gemeindevorstand) schützte den Entscheid der Spitalkommission und wies die Einsprache von X._ am 7. November 2006 ab. Mit Urteil vom 5. Februar 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden den von X._ erhobenen Rekurs gegen den Entscheid des Kleinen Landrates ebenfalls ab.
B. X._ hat gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragt dessen Aufhebung und die Feststellung, dass die Kündigung rechtswidrig sei, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der Beschwerdegegnerin zuzüglich 7,6 % Mehrwertsteuer.
C. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Landschaft Davos Gemeinde schliesst ebenfalls auf Beschwerdeabweisung. Die Beschwerdeführerin verzichtet auf Replik.

Erwägungen:
1. Das angefochtene, kantonal letztinstanzliche Urteil des Verwaltungsgerichts betrifft die Abweisung eines Gesuchs um Feststellung der Rechtswidrigkeit der ausgesprochenen Kündigung im Rahmen eines öffentlich-rechtlichen Dienstverhältnisses, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, da bei einer allfälligen Beschwerdegutheissung entweder die Kündigung zurückgenommen wird oder ein Anspruch auf Entschädigung besteht. Dieser kann im Falle einer missbräuchlichen Kündigung einem Betrag bis zu sechs Monatslöhnen entsprechen (vgl. Art. 1a Abs. 3 der im Zeitpunkt der Kündigung geltenden kantonalen Personalverordnung vom 27. September 1989 in Verbindung mit <ref-law>). Die Beschwerdeführerin verdiente monatlich brutto CHF 8'090.--, woraus ein maximaler Entschädigungsanspruch von CHF 48'540.-- resultieren könnte. Die Streitwertgrenze von CHF 15'000.-- ist damit erreicht (Art. 51 Abs. 1 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen Folgendes geltend: Sie sei für das Spital Davos 32 Jahre lang stets klaglos und mit guter Leistung tätig gewesen. Der Grund für ihre Entlassung habe darin gelegen, dass sie eine Lösung im angespannten Arbeitsklima mit der Pflegedienstleiterin gesucht und sich für die anderen Mitarbeiter eingesetzt habe. Der Kleine Landrat der Gemeinde Davos habe die Kündigung zwar gutgeheissen, aber dennoch umfassende Abklärungen über die Verhältnisse im Spital Davos gesucht. Die Abklärungen hätten bestätigt, dass dort ein Klima der Angst und Repression geherrscht habe und der Pflegedienstleiterin von verschiedener Seite Mobbing vorgeworfen werde. Diese habe nach dem Erscheinen des Mobbing-Berichts vom 28. März 2007 das Spital Davos konsequenterweise verlassen. Das Spital Davos habe in der Folge damit begonnen, die Leitung neu zu strukturieren und das Reglement betreffend sexueller und sexistischer Belästigung, gegen Mobbing und Diskriminierung am Arbeitsplatz umzusetzen.
Im Einzelnen beanstandet die Beschwerdeführerin, die Verantwortlichen des Spitals Davos hätten das genannte Reglement gegen Mobbing nicht umgesetzt, keine anderen Massnahmen gegen die Störung des Betriebsklimas getroffen und somit die vom Arbeitgeber erwartete Fürsorgepflicht verletzt. Des Weitern sei vor dem Aussprechen der Kündigung keine Abwägung des öffentlichen Interesses an der Auflösung des Arbeitsverhältnisses und des privaten Interesses an der Weiterbeschäftigung vorgenommen worden. Es gebe erstens keine Hinweise dafür, dass der Konflikt auf den Spitalbetrieb einen Einfluss gehabt hätte. Zweitens sei das Interesse der Beschwerdeführerin an einer Weiterbeschäftigung gross, da sie als 57-jährige Krankenschwester keine andere Stelle mehr finden könne. Hinzu komme, dass man ihr nichts vorwerfen könne. Sie sei stets loyal gewesen und habe zwischen den Mitarbeitern und der Pflegedienstleiterin lediglich zu vermitteln versucht. Ausserdem verkenne die Vorinstanz den Grundsatz der schonenden Rechtsausübung, da sie nicht geprüft habe, ob weniger einschneidende Massnahmen (Verwarnung, Versetzung) nicht auch zum Ziel geführt hätten. Zwar sei ihr eine Stelle als "Leiterin Einkauf" angeboten worden, jedoch seien ihr die Anstellungsbedingungen nicht bekannt gegeben worden und wäre die neue Anstellung erst per 1. Mai 2006 erfolgt. Schliesslich betrachtet es die Beschwerdeführerin als unhaltbar, dass dem Mobbing-Bericht vom 28. März 2007 jegliche Beweis- und Aussagekraft abgesprochen worden sei, da diese Expertise für die Beurteilung der Erfüllung der Fürsorgepflicht ihr gegenüber und der Pflicht zur Abwägung des öffentlichen gegen das private Interesse von entscheidender Bedeutung sei. Die Beschwerdeführerin wirft dem Verwaltungsgericht Willkür vor.
2.2 Laut angefochtenem Urteil des Verwaltungsgerichts sieht das kantonale Personalrecht vor, dass die Anstellungsbehörde das Arbeitsverhältnis jederzeit unter Fristeinhaltung kündigen kann, wenn die Weiterbeschäftigung eines Mitarbeiters aufgrund nachgewiesener Tatsachen mit dem öffentlichen Interesse nicht vereinbar ist. Das Obligationenrecht, hier die Vorschriften über den Schutz gegen Mobbing, komme als subsidiäres kantonales Recht zur Anwendung.
Ausgangspunkt des Konflikts zwischen der Beschwerdeführerin und der ihr vorgesetzten Pflegedienstleiterin sei ein vom 2. Februar 2005 datierender Kaderrapport gewesen. Die Beschwerdeführerin und die Pflegedienstleiterin hätten sich vor versammeltem Mitarbeiterstab einen "offenen Schlagabtausch" geliefert. Seit diesem Vorfall hätten sich die Spannungen zwischen den beiden zunehmend verschärft. Die Beschwerdeführerin habe sich zusätzlich für ihre Kollegen eingesetzt, die sich mit dem Führungsstil der Vorgesetzten ebenfalls nicht hätten identifizieren können.
Im Sommer 2005 habe die aufgeheizte Stimmung zum Wunsch geführt, mit der Spitalleitung eine Aussprache über die Unzulänglichkeiten betreffend Führung der Pflegeabteilung zu führen. Der dafür angesetzte Termin sei vorerst geplatzt. Auf Anregung der Pflegedienstleiterin habe am 1. September 2005 eine Aussprache stattgefunden. Dabei seien die unüberbrückbaren Differenzen zwischen der Beschwerdeführerin und der Pflegedienstleiterin offensichtlich geworden. Dies habe dazu geführt, dass die Beschwerdeführerin ihre direkte Unterstellung unter den Chefarzt beantragt habe. Die Behandlung dieses am 14. Oktober 2005 unterbreiteten Vorschlags habe betriebsintern eine zeitliche Verzögerung erfahren, wobei nicht zuletzt die 14-tägige Ferienabwesenheit der Beschwerdeführerin der Grund dafür gewesen sei. Danach hätten sich die Ereignisse überschlagen. Bereits anlässlich des Treffens mit dem Spitaldirektor am 1. November 2005 sei der Beschwerdeführerin eröffnet worden, dass ihr die bisherige Stelle als Assistentin der Pflegedienstleitung infolge des zerrütteten Vertrauensverhältnisses mit ihrer Vorgesetzten gekündigt werde. Als Ersatz werde ihr aber die Stelle "Leiterin Einkauf" angeboten und bis Ende Monat eine Bedenkzeit eingeräumt.
Am geschilderten Vorgehen sei nichts Rechtswidriges zu erkennen, da die betriebsinterne "Chemie" zwischen der Pflegedienstleiterin und der Beschwerdeführerin offensichtlich bereits ab Frühling 2005 stark gestört gewesen sei und alle Einigungs- und Aussöhnungsversuche seit Sommer 2005 fehlgeschlagen hätten. Die Verantwortungsträger hätten sich im öffentlichen Interesse entscheiden müssen, welche der beiden Mitarbeiterinnen zu entlassen sei. Die Spitalleitung habe sich zugunsten der Vorgesetzten und gegen die Beschwerdeführerin entschieden. An diesem Vorgehen gebe es weder unter Berücksichtigung von Art. 10 der kommunalen Personalverordnung (Bejahung eines sachlichen Rechtfertigungsgrundes für die Kündigung) noch Art. 9 der kantonalen Personalverordnung (Unvereinbarkeit der Weiterbeschäftigung mit dem öffentlichen Interesse an möglichst störungsfreien und raschen Betriebsabläufen) etwas auszusetzen. Daran ändere nichts, dass sich die Pflegedienstleiterin gegenüber der Beschwerdeführerin speziell seit Mitte 2005 angeblich nicht mehr sehr vorbildlich verhalten habe. Der Kündigungsgrund der unheilbaren Zerrüttung habe nicht auf die Bestrafung der einen oder der anderen Pflegefachfrau abgezielt, sondern die Kündigung sei einzig und allein zur Wiederherstellung geordneter Verhältnisse im durch den Konflikt massiv beeinträchtigten Spitalbetrieb notwendig gewesen. Dabei sei die Vorinstanz in ihrem Grundsatzentscheid, welcher von beiden Angestellten sie aufgrund der angespannten Situation zur Wiederherstellung von Ruhe und Ordnung im Spitalbetrieb kündigen wolle, absolut frei gewesen. In diesem Sinne gelte die allgemeine Kündigungsfreiheit auch bei öffentlich-rechtlichen Dienstverhältnissen. Persönliche Animositäten zwischen einzelnen Angestellten wie auch der verständliche Wunsch nach höherer Wertschätzung (Gerechtigkeit) am Arbeitsplatz müssten im Vergleich zum Interesse an der Aufrechterhaltung der Funktionstüchtigkeit des Spitalbetriebs als deutlich weniger wichtig eingestuft werden.
An dieser Güterabwägung ändere auch nichts, dass der externe Fachbericht vom 28. März 2007 zur Abklärung von Mobbing im Spital Davos im Nachhinein diverse Mängel in der Organisations- und Führungsstruktur aufgezeigt habe, da dieser Bericht einzig den Zweck gehabt habe, allfällige Schwachstellen und unnötiges Konfliktpotential für die Zukunft auszumerzen.
Soweit die Rechtswidrigkeit der Kündigung damit begründet werde, der Beschwerdeführerin sei keine Ersatzstelle angeboten worden, so sei dem entgegenzuhalten, dass das Spital dazu nicht verpflichtet gewesen sei und im Übrigen eine vernünftige Alternative offeriert habe. Der Beschwerdeführerin sei es innerhalb der Bedenkzeit ohne Weiteres möglich gewesen, sich über die Konditionen des Stellenangebots (Stellenbeschrieb, Lohn) zu informieren.
2.3 Willkür liegt nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Damit ein Entscheid aufgehoben wird, muss nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar sein (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133, mit Hinweisen). Der Anspruch des Individuums, von den Behörden ohne Willkür behandelt zu werden (<ref-law>), gilt namentlich auch für das öffentlich-rechtliche Anstellungsverhältnis.
2.4 Gemäss der damals geltenden, subsidiär zum kommunalen Personalrecht zur Anwendung kommenden kantonalen Personalverordnung kann ein öffentlich-rechtliches Anstellungsverhältnis vom Arbeitgeber gekündigt werden, wenn die Weiterbeschäftigung eines Mitarbeiters aufgrund nachgewiesener Tatsachen mit dem öffentlichen Interesse nicht vereinbar ist. Es entspricht allgemeiner Erfahrung, dass ein gravierend gestörtes Arbeitsklima sich über kurz oder lang negativ auf den Betrieb selber auswirkt. Die Aussprechung der Kündigung liegt in einem solchen Fall grundsätzlich im öffentlichen Interesse.
Die Anstellungsbehörde hat beim Entscheid, welchem der streitbetroffenen Mitarbeiter zu kündigen ist, eine Wahl zu treffen. Dabei kann sie auf betriebliche Interessen abstellen und demjenigen Mitarbeiter kündigen, den sie als für den Betrieb entbehrlicher betrachtet. Die betrieblichen Interessen sind ein sachliches Kriterium, das bei der Wahl, wem zu kündigen ist, berücksichtigt werden darf. Das ihr in diesem Rahmen zustehende Ermessen hat die Behörde aber nicht völlig frei, sondern pflichtgemäss auszuüben. Sie ist dabei an die höherrangigen Wertvorstellungen der Verfassung, insbesondere an das Willkürverbot, das Diskriminierungsverbot und das Verhältnismässigkeitsgebot gebunden. Bedenken erweckt daher die Auffassung der Vorinstanz, dass "völlig unerheblich" sei, ob die Schuld am Konflikt bei der Gekündigten oder deren Vorgesetzten lag, weil die Gemeinde beim Entscheid "selbstverständlich absolut frei war, welcher von beiden Angestellten sie ... kündigen möchte" (vgl. angefochtenes Urteil E. 2c S. 13 Mitte). Bedenken erweckt die Begründung namentlich auch angesichts der Fürsorgepflicht des Arbeitgebers gegenüber den Arbeitnehmenden (<ref-law> i.V.m. Art. 1a Abs. 3 der kantonalen Personalverordnung), die verlangt, im Falle einer Störung des Arbeitsklimas alle zumutbaren Massnahmen zu ergreifen, um die Lage zu entspannen (<ref-ruling> E. 2c S. 74). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts kann ein Arbeitgeber, der einen Konflikt zwischen seinen Mitarbeitern in Verletzung seiner Fürsorgepflicht schwelen lässt, in der Folge nicht geltend machen, der Konflikt schade der Arbeit, um die am Konflikt beteiligten Mitarbeiter zu entlassen (vgl. die Urteile 1C_245/2008 vom 2. März 2009 E. 4; 4C.189/2003 vom 23. September 2003 E. 5.1; 4C.253/2001 vom 18. Dezember 2001 E. 2 und 3).
2.5 Gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz wurde der Konflikt zwischen der Pflegedienstleiterin und der Beschwerdeführerin beim "offenen Schlagabtausch" am 2. Februar 2005 sichtbar. Eine Aussprache, an der die Konfliktbeteiligten und weitere Vertreter der Spitalleitung teilnahmen, fand am 1. September 2005 statt. Am 14. Oktober 2005 schlug die Beschwerdeführerin ihre Direktunterstellung unter den Chefarzt vor. Danach war die Beschwerdeführerin während 14 Tagen ferienhalber abwesend. Nach ihrer Rückkehr wurde ihr am 1. November 2005 mitgeteilt, dass das Arbeitsverhältnis wegen Zerrüttung des Vertrauensverhältnisses gekündigt werde. Im Anschluss an die Kündigung bemühte sich die Spitalkommission um Abklärung der von der Beschwerdeführerin und weiteren Mitarbeitern erhobenen Mobbing-Vorwürfe, indem sie eine externe Fachstelle mit einer entsprechenden Untersuchung beauftragte. Diese legte ihren Bericht am 28. März 2007 vor.
Mit dem geschilderten Vorgehen sind die Verantwortlichen des Spitals Davos ihrer Fürsorgepflicht unzureichend nachgekommen. Es fand bloss eine einzige, im Hinblick auf die Entspannung der Betriebsatmosphäre überdies viel zu spät angesetzte Aussprache statt. Dass weitere Massnahmen zur Beilegung des Konflikts ergriffen worden wären, geht aus dem angefochtenen Urteil nicht hervor, weshalb sich die Spitalleitung im Nachhinein nicht einfach auf den Konflikt berufen konnte, um der daran beteiligten Beschwerdeführerin zu kündigen. So vorzugehen rechtfertigt auch nicht das Interesse an der Aufrechterhaltung der Funktionstüchtigkeit des Spitals, zumal die Sorge darum nahelegen würde abzuklären, wer denn für die Störung des Betriebsklimas in erster Linie verantwortlich ist.
Damit ein Entscheid aufgehoben wird, muss er indessen nicht bloss hinsichtlich der Begründungselemente, sondern auch im Ergebnis willkürlich sein (E. 2.3). Im vorliegenden Fall gilt es zu berücksichtigen, dass die Spitalleitung der Beschwerdeführerin am 1. November 2005 eine neue Stelle als "Leiterin Einkauf" anbot. Dieses Angebot hielt sie während der bis zum 31. März 2006 dauernden Kündigungsfrist aufrecht. Bei diesem Angebot handelte es sich zwar nicht um eine eigentliche Versetzung, sondern um eine neue Anstellung. Jedoch kam dieses Stellenangebot einer Versetzung annähernd gleich. Indem die Beschwerdeführerin vage ausführt, die Konditionen der neuen Stelle seien trotz mehrmaliger Nachfrage unklar geblieben, vermag sie nicht darzulegen, dafür ernsthaft Interesse gezeigt und sich entsprechend darum bemüht zu haben. Richtig ist, dass der Antritt der neuen Stelle auf den 1. Mai 2006 vorgesehen war und die Beschwerdeführerin somit einen Monat allenfalls ohne Arbeit gewesen wäre. Der angefochtene Entscheid enthält indessen keine Angaben dazu, ob eine Zwischenlösung hätte gefunden werden können. Damit ist unklar, ob die Beschwerdeführerin mit einem Unterbruch ihrer Erwerbstätigkeit überhaupt hätte rechnen müssen.
Das der Beschwerdeführerin unterbreitete Angebot einer Anstellung als "Leiterin Einkauf" war geeignet, den Konflikt zwischen den beiden Mitarbeiterinnen zu beenden. Die Massnahme lässt die ausgesprochene Kündigung als Assistentin Pflegedienstleitung in einem milderen Licht erscheinen. Zumindest im Ergebnis kann die Kündigung trotz vernachlässigter Fürsorgepflicht daher nicht als krasse Verletzung des kantonalen und kommunalen Personalrechts und des Verhältnismässigkeitsprinzips qualifiziert werden. Dies gilt insbesondere auch deshalb, weil der Anstellungsbehörde in der Auswahl der zu treffenden Konfliktlösungsmassnahmen ein Ermessensspielraum zustehen muss. Dass die Beschwerdeführerin das Stellenangebot ausschlug, kann nicht der Spitalleitung angelastet werden. Das Willkürverbot ist im Ergebnis somit nicht verletzt.
3. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist demnach abzuweisen. Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Zusprechung einer Parteientschädigung fällt ausser Betracht (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Landschaft Davos Gemeinde und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder