Sachverhalt:
A.
S._, geboren 1985, erlitt unmittelbar nach dem dritten Realschuljahr im September 2001 bei einem Verkehrsunfall eine Unterschenkelfraktur. In der Folge war sein Gesundheitszustand mehrere Jahre stabil. S._ absolvierte erfolgreich eine zweijährige Verkäuferlehre in einem Baumarkt. In der Folge liess er sich im Sicherheitsbereich ausbilden und anstellen; schliesslich absolvierte er bei der X._ AG ab August 2006 eine Maurerlehre, die er mit Auszeichnung abgeschlossen hat. Bei dieser Firma arbeitete er nach seiner Lehre weiter als Maurer. Wegen zunehmender Schmerzen im durch den Unfall betroffenen Unterschenkel unterzog sich S._ 2008 einer Operation, die nicht die erhoffte Besserung brachte. Es verblieb eine Fussheberschwäche, die körperlich schwere Arbeiten auf dem Bau als nicht mehr geeignet erscheinen liess (Gutachten des Dr. R._, FMH Chirurgie und Intensivmedizin vom 30. November 2008; Bericht der Dres. L._ und H._, Zentrum für Fusschirurgie an der Klinik Y._, vom 27. Oktober 2010). Der Unfallversicherer meldete S._ im Mai 2010 bei der Invalidenversicherung an und beantragte "Umschulung zu weniger körperlicher Tätigkeit"; bei längerer körperlicher Arbeit träten Ermüdungserscheinungen auf. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau führte erwerbliche Abklärungen durch und zog die medizinischen Unterlagen des Unfallversicherers bei.
Mit Verfügung vom 23. August 2010 stellte die Verwaltung S._ Arbeitsvermittlung in Aussicht und lud ihn zu Standortgesprächen ein, in denen die Option "Besuch der Baupolierschule" aufgeworfen wurde. Nach entsprechenden Vorbescheiden verneinte indes die IV-Stelle mit Verfügung vom 2. September 2011 unter anderem einen Anspruch auf Kostengutsprache für Umschulung. Der Versicherte sei in einer angepassten Tätigkeit zu 100 % arbeitsfähig; er erleide keine Erwerbseinbusse von mindestens 20 %, da das Arbeitsverhältnis bei der Baufirma X._ AG im bisherigen Rahmen und mit derselben Entlöhnung fortgesetzt werde. Die Arbeitgeberin ermögliche dem Versicherten den Besuch der Baupolierschule. Gleichzeitig verfügte die IV-Stelle den Abschluss der Arbeitsvermittlung und verneinte einen Rentenanspruch.
B.
Gegen die Verfügung vom 2. September 2011 betreffend Ablehnung des Umschulungsanspruchs (Besuch Baupolierschule) führte S._ Beschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 21. Dezember 2011 abwies.
C.
S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie "die gesetzlichen Eingliederungsmassnahmen, insbesondere eine Umschulung". Eventuell sei die IV-Stelle anzuweisen, weitere Abklärungen zur invaliditätsbedingten Notwendigkeit einer Massnahme beruflicher Art vorzunehmen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde; Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Stellungnahmen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist der Anspruch des Beschwerdeführers auf Umschulung. Die hiefür massgeblichen Rechtsgrundlagen (<ref-law>; vgl. auch <ref-law> und <ref-law>) hat die Vorinstanz zutreffend dargelegt (angefochtener Entscheid, E. 2; vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 489 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Das kantonale Gericht erwog in seiner Hauptbegründung, der Versicherte sei als Maurer zweifellos zu 50 % arbeitsunfähig. Im Ergebnis sei dies aber nicht von Bedeutung, weil der Anspruch auf Umschulung (zum Baupolier) wegen fehlender Gleichwertigkeit verneint werden müsse. Ziel einer Umschulung sei es, dem Versicherten eine im Vergleich zu seiner früheren Arbeit annähernd gleichwertige Erwerbsmöglichkeit zu vermitteln. Beim Baupolier handle es sich um eine Führungsfunktion, welche durch einen Kaderlehrgang erreicht werde. Ein Baupolier erziele entsprechend seiner höheren Verantwortung ein klar höheres Einkommen als ein gelernter Maurer, weshalb diese Tätigkeiten nicht gleichwertig seien. Zudem erscheine wenig plausibel, dass der Versicherte als Maurer zu 50 % arbeitsunfähig, als Baupolier hingegen voll oder doch in grösserem Umfang arbeitsfähig sein solle. Im Übrigen würde dem Versicherten, der auch eine Ausbildung zum Verkäufer absolviert habe, zusätzlich eine Erwerbstätigkeit im Gross- oder Detailhandel offenstehen, wo das Tragen schwerer Lasten eher vermeidbar wäre als bei der Tätigkeit als Polier.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht eine Gleichwertigkeit der Tätigkeit als Maurer einerseits und als Baupolier anderseits verneint. Mit der Umschulung zum Baupolier erreiche er nur einen relativ kleinen lohnmässigen Aufstieg. Dies gelte umso mehr, als ihm nur ein Teil der Stellen als Baupolier offenstünden, nämlich ausschliesslich jene, welche einen geringen Anteil an eigentlicher handwerklicher Tätigkeit mit längerem Stehen bzw. mit schweren Arbeiten beinhalteten. Der Mindestlohn für einen ausgebildeten Baupolier betrage Fr. 81'705.- (für das Jahr 2009). Berücksichtige man die Tatsache, dass er aufgrund seiner leidensbedingten Einschränkung Lohneinbussen in Kauf nehmen müsse, könne ohne Weiteres noch von annähernder Gleichwertigkeit gesprochen werden. Im Übrigen sei der Mindestlohn eines (gesunden) Baupoliers im Vergleich zu seinem Lohn bei der Firma X._ von Fr. 71'552.- nicht erheblich höher. Soweit das kantonale Gericht annehme, er könne auch als Verkäufer im Handel einen annähernd gleich hohen Verdienst erzielen, sei dies nicht zutreffend, da er auch dort wegen seiner Behinderung eingeschränkt wäre und daher weniger als einen durchschnittlichen Lohn erreichen könne. Schliesslich habe das kantonale Gericht nicht geprüft, ob im Rahmen einer Austauschbefugnis wenigstens Anspruch bestehe auf Umschulungsmassnahmen in der Höhe von Kosten einer Ausbildung, die auf eine dem Maurer gleichwertige Tätigkeit hinführe.
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat festgestellt, der Beschwerdeführer leide nach dem Unfall im Jahr 2001 und den nach der Operation 2008 aufgetretenen Komplikationen unter einer Fussheberschwäche und unter dadurch bedingten Überbelastungsschmerzen, weshalb die Ärzte eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit als Maurer und eine volle Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit als realistisch betrachteten, wie dies auch im Verlaufsbericht (Case Report) der IV-Stelle korrekt wiedergegeben worden sei. Diese Feststellung lässt sich auf die übereinstimmenden medizinischen Akten stützen; sie ist für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>). Die Vorinstanz hat ihr indes zu Unrecht keine entscheidende Bedeutung zugemessen. Vielmehr ist damit eine erste Voraussetzung für die Gewährung einer Umschulung erfüllt: Der Versicherte ist wegen der Art und Schwere des eingetretenen Gesundheitsschadens nicht nur in der bisher ausgeübten Tätigkeit als Maurer ausgewiesenermassen in einem erheblichen Masse eingeschränkt; somit wird, wie sogleich zu zeigen sein wird, die rechtsprechungsgemässe quantitative Hürde für die Gewährung einer Umschulung überwunden. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer in seiner Lehrfirma, wie er im Mai 2010 angegeben hatte, einstweilen weiterhin den bisherigen Maurerlohn bezieht.
4.2. Zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer in einer leidensangepassten Tätigkeit einen massgebenden invaliditätsbedingten Minderverdienst erleidet. Dies trifft zu, wenn in den für ihn ohne zusätzliche Ausbildung offenstehenden, noch zumutbaren Erwerbstätigkeiten eine bleibende oder längere Zeit dauernde Erwerbseinbusse von rund 20 % besteht (<ref-ruling> E. 2b S. 110; vgl. auch <ref-ruling>). In einer Eventualbegründung hat das kantonale Gericht diese Frage verneint und erwogen, der Beschwerdeführer könne in seinem Erstberuf als Verkäufer im Handel annähernd viel verdienen wie als Maurer; zudem seien das berufliche Fortkommen und damit die Erwerbsaussichten als gelernter Verkäufer im Vergleich zum gelernten Maurer gleichwertig.
4.2.1. Die Festlegung der - für den Einkommensvergleich nach <ref-law> massgebenden - hypothetischen Vergleichseinkommen beschlägt eine letztinstanzlich unter dem eingeschränkten Blickwinkel von Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG überprüfbare Tatfrage, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht; eine frei zu prüfende Rechtsfrage hingegen, soweit sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet. Letzteres betrifft etwa die Frage, ob statistische Tabellenlöhne anwendbar sind, welches die massgebliche Tabelle ist und ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Leidensabzug vorzunehmen sei (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399; in <ref-ruling> nicht publizierte E. 1.2 des Urteils 8C_255/2007 vom 12. Juni 2008; ferner SVR 2009 IV Nr. 34 S. 95, 9C_24/2009 E. 1.2; SVR 2009 IV Nr. 6 S. 11, 9C_189/2008 E. 1 und 4).
4.2.2. Bei der Bestimmung der mutmasslichen Erwerbseinbusse bezifferte das kantonale Gericht den Invalidenlohn gestützt auf statistische Angaben in der Lohnstrukturerhebung des Bundesamts für Statistik (LSE) 2010 (Tabelle A1) als Verkäufer im Grosshandel auf Fr. 76'387.90 bzw. im Detailhandel auf Fr. 63'503.65. Verglichen mit dem (Validen-) Lohn als Maurer ergebe sich ein Invaliditätsgrad von 0 % (Grosshandel) bzw. von 12 % (Detailhandel). Einen Leidensabzug nahm die Vorinstanz nicht vor; dies zu Unrecht. In jenem Bereich des Detailhandels, in dem der Beschwerdeführer tätig gewesen war (Bau und Hobby), mussten, wie er plausibel vorbringt, mitunter schwere Lasten getragen werden. Dies ist dem Beschwerdeführer nicht mehr möglich. Besteht aber auch in der Verweisungstätigkeit nur eine beschränkte Einsatzmöglichkeit (hier: kein schweres Tragen, kein langes Stehen), rechtfertigt es sich, einen leidensbedingten Abzug zu gewähren. Dieser ist auf mindestens 10 % zu veranschlagen. Bei einem Valideneinkommen von Fr. 71'552.- (Lohn als Maurer) und einem Invalideneinkommen von Fr. 57'153.- (Verkäufer im Detailhandel abzüglich 10 %) besteht eine - voraussichtlich bleibende (SVR 2010 IV Nr. 52 S. 160, 9C_125/2009 E. 5) - massgebliche Einbusse von etwas über 20 %. Mittels Verweisung des Beschwerdeführers auf seine frühere Tätigkeit als Verkäufer kann somit der Umschulungsanspruch nicht verneint werden.
4.2.3. Die Erwerbseinbusse wäre auch bei einer erneuten Beschäftigung im Sicherheitsbereich nicht geringer: Der Beschwerdeführer hat gemäss seinem Lebenslauf von November 2006 bis November 2008 in dieser Branche gearbeitet; in dieser Zeit ist er auch ausgebildet worden. Die kurze Zeit dieser Anstellung - parallel zur Maurerlehre - weist indes auf eine wenig vertiefte bzw. relativ kurze Ausbildungszeit hin. Jedenfalls kann nicht gesagt werden, der Beschwerdeführer weise auf diesem Gebiet eine Ausbildung aus, die einer Berufslehre gleichkommt. Dementsprechend beschränkter wären in diesem Tätigkeitsbereich denn auch die Möglichkeiten der zukünftigen Lohnentwicklung (vgl. <ref-ruling>). Die Durchschnittslöhne im Bereich Persönliche Dienstleistungen bewegen sich in einem tieferen Rahmen; sie betragen im Jahr 2008 rund Fr. 4'300.- (LSE, Tabelle A1 und A3, Anforderungsniveau 4, Bereiche 90-93). Ohnehin ist fraglich, ob der Beschwerdeführer in diesem Berufsfeld, wo meist längeres Stehen und Gehen erforderlich ist, dauerhaft erwerbstätig sein könnte.
5.
Das kantonale Gericht hat die Gleichwertigkeit der bisherigen und der mit beantragter Umschulung angestrebten Tätigkeit hauptsächlich mit dem Argument verneint, es handle sich beim Baupolier - im Unterschied zum Maurer - um eine Führungsfunktion, welche durch einen Kaderlehrgang erreicht werde. Der Baupolier erziele entsprechend seiner höheren Verantwortung auch klar ein höheres Einkommen.
5.1. Ob eine annähernde Gleichwertigkeit der Erwerbsmöglichkeit in der alten und neuen Tätigkeit vorliegt, beschlägt eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (E. 4.2.1 hievor).
5.2. Die annähernde Gleichwertigkeit der beiden Tätigkeiten ist aus den folgenden Gründen gegeben.
5.2.1. Im Einzelfall kann selbst eine Ausbildung, die eine - verglichen mit der Arbeit vor Invaliditätseintritt - anspruchsvollere Tätigkeit erlaubt, übernommen werden, wenn Art und Ausmass der Invalidität und deren berufliche Auswirkungen so schwerwiegend sind, dass die Arbeitsleistung nur auf dieser höheren Berufsstufe optimal verwertet werden kann (Urteil I 104/87 vom 10. März 1988 E. 2c [ZAK 1988 S. 467]). Hingewiesen sei in diesem Zusammenhang auf den per 1. Januar 2012 in Kraft gesetzten Art. 6 Abs. 1bis IVV, wonach auch Ausbildungsmassnahmen als Umschulung gelten, die zu einer höherwertigen als die vorhandene Ausbildung führen, sofern sie zur Erhaltung oder Verbesserung der Erwerbsfähigkeit notwendig sind.
Die Fussheberschwäche behindert den Beschwerdeführer bei körperlich anstrengenden Tätigkeiten, beim längeren Gehen und Stehen. Wie erwähnt ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer längerfristig den Beruf als Maurer nicht mehr oder höchstens zu 50 % ausüben könnte. Ebenso ist er in der Ausübung seiner früher erlernten und ausgeübten Tätigkeiten als Verkäufer und Sicherheitsangestellter deutlich eingeschränkt. Bei dieser Ausgangslage ist der Beschwerdeführer erst nach einer beruflichen Massnahme in der Lage, einen mit dem Valideneinkommen vergleichbaren Lohn zu erzielen. Fraglich ist nun, ob die beantragte Umschulung - Besuch der Baupolierschule im Gewerblichen Berufs- und Weiterbildungszentrum St. Gallen, Baukaderschule, Höhere Fachschule für Technik, St. Gallen (www.gbssg.ch) -, die der Beschwerdeführer offenbar mit Unterstützung seines Arbeitgebers Ende 2010 mit einem Praktikum bereits begonnen hat, eine wesentliche Verbesserung der zukünftigen Erwerbsmöglichkeiten darstellt. Nach der Profilbeschreibung des Berufsberaters der IV-Stelle vom 4. November 2010 erledigt ein Polier zwar auch administrative Arbeiten (wie Bauabrechnung, Kostenkontrolle, Qualitätsnachweis, Planung von Einsatzabläufen), die sitzend verrichtet werden. Jedoch muss er in seiner Eigenschaft als Baustellenchef zusätzlich Präsenz auf dem Bau zeigen; bei der Ausübung dieses wesentlichen Teils des Pflichtenhefts wäre der Versicherte deutlich eingeschränkt. Indessen kann von der Weiterbildung zum Polier, welche an die Berufserfahrung des Beschwerdeführers im Baubereich knüpft, gleichwohl eine nachhaltige Eingliederung erwartet werden: Nach Feststellung des Berufsberaters der IV-Stelle eröffnet das betreffende Fähigkeitszeugnis dem Beschwerdeführer Erwerbsmöglichkeiten wie diejenige eines Aussendienstmitarbeiters Baustoffe oder eines Projektmitarbeiters; weiter könnte er sich in den Bereichen Administration, Personal- und Bauplanung, Organisation und Disposition sowie Controlling betätigen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass es sich beim Beschwerdeführer um einen relativ jungen Versicherten handelt. Je länger die noch bevorstehende Aktivitätsdauer, desto eingliederungswirksamer ist eine Massnahme (vgl. Art. 8 Abs. 1bis zweiter Satz IVG).
Was die annähernde Gleichwertigkeit der Verdienstmöglichkeiten in den erwähnten Tätigkeiten anbelangt, so ist davon auszugehen, dass sich dieses Erfordernis in erster Linie auf die nach erfolgter Eingliederung zu erwartende Verdienstmöglichkeit bezieht (<ref-ruling> E. 4.2 S. 489). Die Lohn-Grössenordnungen verhalten sich wie folgt: Als Aussendienstmitarbeiter Baustoffe oder Projektmitarbeiter usw. könnte der Beschwerdeführer gemäss den Erhebungen des Bundesamts für Statistik (Schweizerische Lohnstrukturerhebung 2010, Tabelle A1, Baugewerbe, Anforderungsniveaus 1+2 [Verrichtung höchst anspruchsvoller und schwierigster [1] resp. selbständiger und qualifizierter [2] Arbeiten]) mit einem Einkommen von Fr. 6'500.- (standardisierter Monatslohn: 41 /3 Wochen à 40 Arbeitsstunden) rechnen. In der angestammten Tätigkeit eines gelernten Maurers liegt der Medianlohn bezogen auf Anforderungsniveau 3 (Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt) bei Fr. 5'742.-. Die Lohndifferenz beläuft sich insoweit auf 11,7 Prozent. Selbst die Minimallöhne für Poliere und Werkmeister (nach Baukadervertrag im Durchschnitt der Lohnzonen Fr. 6'316.- [2013]) liegen derzeit bloss 12,4 Prozent über den Basislöhnen für gelernte Bau-Facharbeiter von durchschnittlich Fr. 5'533.- (Landesmantelvertrag 2013 für Baustellenpersonal; vgl. zu allen Zahlen: www.baumeister.ch, Basislöhne [Minimallöhne] im Bauhauptgewerbe). Da die hier in Betracht fallenden Tätigkeiten - wie etwa diejenige eines Aussendienstmitarbeiters Baustoffe - im Unterschied zu derjenigen des Poliers nicht per se mit Führungsfunktionen verbunden sind, ist der effektiv zu erwartende Lohn überwiegend wahrscheinlich tiefer anzusiedeln. Jedenfalls mit Blick auf die verbleibende lange Aktivitätsdauer und die Eingliederungswirksamkeit der strittigen Massnahme ist damit auch das Erfordernis der Gleichwertigkeit gegeben.
5.2.2. Nicht ersichtlich ist, inwiefern die in den Gesprächsnotizen des Eingliederungsverantwortlichen der IV-Stelle vom 4. November 2010 thematisierte Option eines Quereinstiegs in ein neues Berufsfeld ohne entsprechende Qualifikationen eine zweckmässigere Alternative sein könnte. Der Beschwerdeführer verfügt nicht bereits über eine ausreichend solide kaufmännische Ausbildung und IT-Kenntnisse, um als Quereinsteiger beispielsweise im Bereich Innendienst oder Sekretariat ohne Weiteres einen Lohn zu erzielen, der demjenigen eines ausgewiesenen Fachmanns in der Baubranche nahekommt.
6.
Sind die Voraussetzungen für die beantragte Umschulung nach dem Gesagten erfüllt, so erübrigen sich Ausführungen zur Austauschbefugnis.
7.
Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin auferlegt (<ref-law>). Dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer stehen Parteientschädigungen zu (Art. 68 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 21. Dezember 2011 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Thurgau vom 2. September 2011 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass der Beschwerdeführer Anspruch auf Umschulungsmassnahmen in Form des Besuchs der Baupolierschule St. Gallen hat.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. Juni 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub