(Zivilprozess; unentgeltliche Rechtspflege), hat sich ergeben:
A.- Mit Urteil vom 6. Dezember 2000 verurteilte der Gerichtspräsident von Solothurn-Lebern W._ zur Zahlung von Fr. 7'750.-- nebst Zins sowie Fr. 100.-- Betreibungskosten an M._. Die Parteikosten wurden wettgeschlagen und die Gerichtskosten von Fr. 1'950.- den Parteien je zur Hälfte auferlegt. Beide Parteien appellierten an das Obergericht des Kantons Solothurn.
B.- Mit Eingabe vom 3. April 2001 ersuchte W._ das Obergericht um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Einsetzung des unterzeichnenden Anwalts als unentgeltlicher Rechtsbeistand. Der Eingabe wurde das von W._ ausgefüllte und unterzeichnete Formular "Gesuch und Zeugnis zur Erlangung der unentgeltlichen Rechtspflege" beigelegt, welches der Steuerregisterführer von Bellach mit Bezug auf die Steuerverhältnisse ergänzt und mitunterzeichnet hat. Mit Verfügung vom 16. Mai 2001 hat die Präsidentin der Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn das Gesuch abgewiesen.
C.- Gegen diesen Entscheid führt W._ staatsrechtliche Beschwerde und beantragt dessen Aufhebung. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Gegen selbständig eröffnete letztinstanzliche Vor- und Zwischenentscheide ist die staatsrechtliche Beschwerde von hier nicht vorliegenden Fällen abgesehen nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 87 Abs. 2 OG). Diese Voraussetzung ist bei der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege erfüllt (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2b). Die Beschwerde ist insoweit zulässig.
2.- Die Beschwerdeführerin rügt, das Obergericht habe gegen <ref-law> verstossen, indem es insbesondere überhöhte Anforderungen an die Geltendmachung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege gestellt habe.
a) Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege ergibt sich als Minimalgarantie direkt aus <ref-law> (Art. 4 aBV), soweit das kantonale Recht keine weitergehenden Ansprüche gewährt (<ref-ruling> E. 2a). Da die Beschwerdeführerin nicht behauptet, dass der in <ref-law>/SO verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege weiter gehe als der verfassungsrechtliche Minimalanspruch, kann sich die Prüfung darauf beschränken, ob <ref-law> verletzt worden ist. Das Vorliegen einer Verletzung dieser Norm prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei, in tatsächlicher Hinsicht dagegen nur unter dem Blickwinkel der Willkür (<ref-ruling> E. 2c).
b) Gemäss <ref-law> hat jede Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Bedürftigkeit liegt vor, wenn eine Person die Prozess- oder Parteikosten nur erbringen kann, wenn sie die Mittel angreift, die sie zur Deckung des Grundbedarfs für sich und ihre Familie benötigt (<ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 2a). Die Bedürftigkeit ist vom Gesuchsteller nachzuweisen. Es obliegt ihm grundsätzlich, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen. Dies bedeutet, dass der Gesuchsteller seine gesamte wirtschaftliche Situation zur Zeit der Einreichung des Gesuchs offen legen muss. Sämtliche finanziellen Verpflichtungen sowie alle Einkünfte und die Vermögenslage des Gesuchstellers sind dementsprechend massgeblich und von der entscheidenden Behörde zu beachten (<ref-ruling> E. 3a). Der Nachweis der Bedürftigkeit ist eine Voraussetzung für die Gutheissung des Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege. Ist bereits diese Voraussetzung nicht erfüllt, hat das Gericht das entsprechende Begehren abzuweisen.
Die Beschwerdeführerin verkennt die Anforderungen an den Nachweis der Bedürftigkeit wenn sie glaubt, mit der Einreichung des Formulars "Gesuch und Zeugnis zur Erlangung der unentgeltlichen Rechtspflege" sowie dem Zahlungsbefehl gegen ihren geschiedenen Ehemann habe sie ihrer Obliegenheit Genüge getan. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin erlauben es diese Dokumente dem Gericht nicht, sich den erforderlichen umfassenden Einblick in die finanzielle Situation, insbesondere die Einkommensverhältnisse, zu verschaffen.
Das Obergericht hat im angefochtenen Urteil festgehalten, dass die Angaben der Beschwerdeführerin über ihr monatliches Einkommen von insgesamt Fr. 1'250.-- (Bruttoeinkommen aus unselbständiger Tätigkeit von Fr. 1'000.--; aus selbständiger Tätigkeit Fr. 250.--) nicht belegt seien. Im Übrigen seien die Angaben widersprüchlich, da die Beschwerdeführerin ihre selbständige Erwerbstätigkeit gemäss Steuererklärung im Juni 2000 aufgegeben habe. Ebenso seien die Angaben nicht glaubhaft, weil die Beschwerdeführerin einen monatlichen Mietzins von Fr. 1'745.-- zu bezahlen habe. Das Obergericht hat festgestellt, dass die Beschwerdeführerin anstelle des erforderlichen Nachweises ihres Einkommens, nur einen Betrag behauptet hat, ohne einen Beleg einzureichen.
Die Beschwerdeführerin behauptet in ihrer Beschwerde nicht, dass die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts willkürlich sind. Dies ist im Übrigen auch nicht ersichtlich.
Das Obergericht durfte daher ohne Verletzung von <ref-law> davon ausgehen, dass die Beschwerdeführerin ihre Bedürftigkeit nicht hinreichend nachgewiesen hat. Die Rüge ist unbegründet.
3.- Weiter bringt die Beschwerdeführerin vor, das Obergericht habe <ref-law>/SO willkürlich angewandt, da es die Pflicht des Richters, "nötigenfalls weitere Erhebungen über die Vermögens- und Einkommensverhältnisse des Gesuchstellers anzustellen", nicht beachtet habe.
Wie bereits ausgeführt (E. 2), obliegt es dem Gesuchsteller, dem Gericht seine finanzielle Situation möglichst umfassend darzulegen. Der Gesuchsteller kann sich dieser Obliegenheit nicht entledigen, indem er dem Gericht den Ball zurückgibt und von diesem verlangt, dass es im Sinne von <ref-law>/SO "nötigenfalls weitere Erhebungen" anstellt. Das Gericht wird erst aus eigenem Antrieb tätig, wenn der Gesuchsteller seine finanziellen Verhältnisse dargelegt und die zum Beweis üblichen Belege eingereicht hat, aber dennoch Fragen offen geblieben sind.
Die reine Behauptung bestimmter Beträge ohne die Einreichung eines Beleges, wie dies die Beschwerdeführerin bezüglich ihrer Einkommenssituation gemacht hat, führt demnach nicht dazu, dass das Gericht selber dafür besorgt sein muss, die notwendigen Angaben und Belege zu erhalten. Die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin legt selbst in ihrer Beschwerde nicht dar, weshalb sie nicht dazu im Stande war, in nachprüfbarer Weise zu erklären und zu belegen was sie im Monat verdient. Eine willkürliche Anwendung der genannten Norm ist nicht auszumachen.
4.- Die staatsrechtliche Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird. Die Beschwerdeführerin stellt für das Verfahren vor dem Bundesgericht kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Ein solches Gesuch wird auch nicht sinngemäss gestellt. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Obergericht des Kantons Solothurn (Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 2. August 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: