Sachverhalt:
A. Die italienischen Behörden ersuchten am 15. April 2011 die Schweiz und andere an das Schengener Informationssystem angeschlossene Staaten um vorläufige Inhaftnahme von X._ zwecks Auslieferung an Italien.
Am 2. August 2011 wurde X._ in Zürich festgenommen. Anschliessend versetzte ihn das Bundesamt für Justiz (im Folgenden: Bundesamt) in Auslieferungshaft.
Am 16. September 2011 ersuchte die italienische Botschaft in Bern formell um die Auslieferung von X._ zur Vollstreckung einer Freiheitsstrafe von drei Jahren wegen Raubes.
Am 30. Januar 2012 bewilligte das Bundesamt die Auslieferung.
B. Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht (Beschwerdekammer) am 3. August 2012 ab. Es ordnete Folgendes an:
"Die Auslieferung von X._ an Italien erfolgt unter der Bedingung, dass die ersuchende Behörde vorab eine ausreichende Garantieerklärung abgibt, wonach die unangemessene Dauer des Verfahrens durch kompensatorische Massnahmen berücksichtigt wird" (Dispositiv Ziffer 3).
C. Das Bundesamt führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der Entscheid des Bundesstrafgerichts sei aufzuheben. Wie das Bundesamt in der Begründung der Beschwerde (S. 4) präzisiert, richtet sich diese einzig gegen Ziffer 3 des Dispositivs des angefochtenen Entscheids.
D. Das Bundesstrafgericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.
X._ hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. Er hält dafür, es fehle an der Eintretensvoraussetzung des besonders bedeutenden Falles nach Art. 84 BGG.
Das Bundesamt hat auf eine Stellungnahme hierzu verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 84 BGG ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn er unter anderem eine Auslieferung betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
Art. 84 BGG bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweisen). Ein besonders bedeutender Fall ist mit Zurückhaltung anzunehmen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 144 mit Hinweis).
Ein besonders bedeutender Fall kann auch bei einer Auslieferung nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich insoweit keine Rechtsfragen, die der Klärung durch das Bundesgericht bedürfen, und kommt den Fällen auch sonst wie keine besondere Tragweite zu (<ref-ruling> E. 1.3.4 S. 161).
Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis).
Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach Artikel 84 vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist.
Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen als unzulässig, so fällt es gemäss Art. 107 Abs. 3 BGG - abgesehen von einem hier nicht gegebenen Ausnahmefall - den Nichteintretensentscheid innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels.
Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
1.2 1.2.1 Es geht hier um eine Auslieferung und damit ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach Art. 84 Abs. 1 BGG insoweit möglich ist. Es stellt sich die Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben sei.
1.2.2 Der Beschwerdegegner beging den ihm vorgeworfenen Raub am 3. Oktober 1995. Am 4. April 1997 erging in Italien das erstinstanzliche Strafurteil, am 11. März 2004 - also rund 7 Jahre später - das zweitinstanzliche. Am 25. September 2009, also mehr als weitere 5 Jahre später, trat die Corte di Cassazione auf die vom Beschwerdegegner gegen das zweitinstanzliche Urteil erhobene Beschwerde nicht ein.
Mit Zwischenentscheid vom 26. April 2012 wies die Vorinstanz das Bundesamt an, die italienischen Behörden einzuladen, sich dazu zu äussern, wie sie der überlangen Verfahrensdauer Rechnung zu tragen gedächten. Die Vorinstanz sistierte das Beschwerdeverfahren bis zum Eingang des entsprechenden Berichts.
Mit dem angefochtenen Entscheid hob die Vorinstanz die Sistierung auf. Sie erwog (S. 6 E. 2.3), die ersuchende Behörde mache geltend, der Beschwerdegegner habe durch seine Abwesenheit an den Prozessen die lange Verfahrensdauer selbst verschuldet. Die Vorinstanz bemerkt, dieses Argument bringe die ersuchende Behörde zum ersten Mal vor und sie führe nicht weiter aus, inwiefern sich die Abwesenheit auf die Verfahrensdauer hätte auswirken können. Die ersuchende Behörde erkläre ausdrücklich, dass die Verfahrensdauer bei der Strafzumessung nicht berücksichtigt worden sei. Daher äussere sie sich auch nicht dazu, wie sie der Verfahrensdauer Rechnung zu tragen gedenke. Implizit lehne sie daher auch jegliche Kompensation im Sinne der Legge Pinto ab (wonach auf Antrag Entschädigungen für materielle und immaterielle Schäden, welche die Betroffenen durch eine überlange Verfahrensdauer erlitten haben, gewährt werden). Die ergänzenden Ausführungen der ersuchenden Behörde enthielten keine stichhaltigen Begründungen bezüglich der Verfahrensdauer im Sinne der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte und könnten die Zweifel nicht ausräumen, dass eine Verletzung des in Art. 6 EMRK gewährleisteten Beschleunigungsgebots vorliege. Daher sei von Art. 80p IRSG Gebrauch zu machen und die Rechtshilfe an die Auflage zu knüpfen, wonach Italien explizit eine Garantieerklärung abzugeben habe, die unangemessene Dauer des Verfahrens durch kompensatorische Massnahmen zu berücksichtigen. Das Bundesamt habe somit die italienischen Behörden einzuladen, innert angemessener Frist eine entsprechende Garantieerklärung abzugeben. Alsdann habe es zu prüfen, ob die Antwort des ersuchenden Staates den verlangten Auflagen genügt (Art. 80p Abs. 3 IRSG). Diese Verfügung könne mit Beschwerde beim Bundesstrafgericht angefochten werden (Art. 80p Abs. 4 IRSG).
1.2.3 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung prüft die Schweiz die Auslieferungsvoraussetzungen des Europäischen Auslieferungsübereinkommens vom 13. Dezember 1957 (EAUe, SR 0.353.1) auch im Lichte ihrer grundrechtlichen völkerrechtlichen Verpflichtungen. Bei heiklen Konstellationen bestehen die schweizerischen Behörden beim ersuchenden Staat regelmässig auf förmlichen Garantieerklärungen bezüglich der Einhaltung der Grund- und Menschenrechte. Der ersuchende Staat kann in einem konkreten Einzelfall zur Einhaltung bestimmter Garantien als Bedingung für eine Auslieferung ausdrücklich verpflichtet werden. Das gilt auch bei Anwendbarkeit des Europäischen Auslieferungsübereinkommens (<ref-ruling> E. 6.3 f. S. 164 f. mit Hinweisen), und zwar auch dann, wenn es um die Auslieferung zum Vollzug eines vollstreckbaren Strafurteils geht (Urteil 1A.234/1997 vom 22. Oktober 1997 E. 2). Die Möglichkeit der Gewährung von Rechtshilfe unter Auflagen sieht Art. 80p IRSG ausdrücklich vor. Diese Bestimmung ist auch bei einer Auslieferung anwendbar (<ref-ruling> E. 6.10 S. 171 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was es rechtfertigen könnte, auf diese Rechtsprechung zurückzukommen. Der angefochtene Entscheid steht damit in Einklang und er beruht mit Art. 80p IRSG auf einer gesetzlichen Grundlage. Die Zeitspannen zwischen den Urteilen im italienischen Verfahren erscheinen als ausserordentlich lange. Die italienischen Behörden haben dafür, was der Beschwerdeführer nicht substanziiert in Frage stellt, keine plausible Erklärung gegeben. Wenn die Vorinstanz unter diesen Umständen vom ersuchenden Staat die erwähnte Garantieerklärung verlangt hat, ist das nachvollziehbar. Es geht um einen Entscheid im Einzelfall ("cas d'espèce"). Rechtliche Grundsatzfragen stellen sich nicht. Inwiefern der angefochtene Entscheid, wie der Beschwerdeführer behauptet, widersprüchlich sein soll, führt dieser nicht näher aus und ist nicht ersichtlich.
Angesichts dessen besteht für das Bundesgericht - im Lichte der auch bei Auslieferungen restriktiven Praxis (oben E. 1.1) - kein Anlass, den vorliegenden Fall als besonders bedeutend einzustufen. Der Beschwerdegegner legt das (Vernehmlassung S. 3 ff.) zutreffend dar.
Die Beschwerde ist danach unzulässig.
2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Die Eidgenossenschaft hat der Vertreterin des Beschwerdegegners für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Der mit Rechnung vom 30. August 2012 geltend gemachte Betrag von Fr. 1'375.90 (inkl. Mehrwertsteuer) ist angemessen und zuzusprechen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Eidgenossenschaft (Bundesamt für Justiz) hat der Vertreterin des Beschwerdegegners, Rechtsanwältin Astrid David Müller, eine Entschädigung von Fr. 1'375.90 zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. September 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri