Sachverhalt:
A. Mit Schreiben vom 6. sowie vom 8. März 2012 forderte die X._ AG A.A._ und B.A._ auf, die ausstehenden Mietzinsen für die Liegenschaft Q._ innert 30 Tagen zu bezahlen. Zugleich drohte sie ihnen an, dass bei nicht vollständiger Bezahlung des Mietzinsausstandes innert der gesetzten Frist die ausserordentliche Kündigung des Mietvertrages nach <ref-law> ausgesprochen werde. Am 19. April 2012 teilte die X._ AG A.A._ und B.A._ je einzeln mit, sie kündige das Mietverhältnis. In der Folge reichten A.A._ und B.A._ beim Friedensrichteramt der Stadt Zürich (Kreise 1 und 2) ein Schlichtungsgesuch gegen die X._ AG ein mit dem Antrag, es sei festzustellen, dass zwischen den Parteien kein Mietverhältnis bestehe (im Folgenden: Feststellungsklage).
B. Gleichzeitig stellten A.A._ und B.A._ bei der Schlichtungsstelle für Miet- und Pachtverhältnisse des Gerichtskreises See-Gaster vorsorglich ein "Begehren um Kündigungsschutz" für den Fall, dass das für die Feststellungsklage zuständige Gericht den Bestand eines Mietverhältnisses wider Erwarten bejahen sollte. Sie begehrten damit, es sei die Nichtigkeit der Kündigung vom 19. April 2012 festzustellen, eventualiter sei die Kündigung als missbräuchlich aufzuheben, subeventualiter das Mietverhältnis zu erstrecken. Sodann stellten sie den prozessualen Antrag, das Verfahren sei bis zum rechtskräftigen Entscheid über die (in Zürich anhängige) negative Feststellungsklage zu sistieren. Die X._ AG beantragte, es sei festzustellen, dass die Kündigung gültig (eventualiter nicht missbräuchlich) sei. Das Mietverhältnis sei nicht zu erstrecken. Gleichzeitig erhob sie Widerklage auf Zahlung von Mietzinsausständen sowie auf Ausweisung.
Die Schlichtungsstelle lud daraufhin die Parteien zur Schlichtungsverhandlung auf den 5. Juli 2012 vor. Nachdem die Schlichtungsstelle ein Verschiebungsgesuch von A.A._ und B.A._ abgewiesen hatte, fand die Schlichtungsverhandlung statt, worauf die Schlichtungsstelle das Verfahren wegen Ausbleibens der klagenden Partei als gegenstandslos abschrieb und der X._ AG für die Widerklage die Klagebewilligung erteilte.
Den Abschreibungsbeschluss der Schlichtungsstelle vom 9. Juli 2012 fochten A.A._ und B.A._ mit Berufung beim Kantonsgericht St. Gallen an. Das Kantonsgericht forderte sie in der Folge auf, für die Gerichtskosten einen Vorschuss von Fr. 3'000.-- zu leisten und zum Gesuch der X._ AG um Sicherheitsleistung für die Parteientschädigung Stellung zu nehmen, worauf A.A._ und B.A._ um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchten. Mit Entscheid vom 23. Oktober 2012 wies das Kantonsgericht das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab (Dispositiv-Ziffer 1) und verpflichtete A.A._ und B.A._ unter solidarischer Haftbarkeit, innert 10 Tagen für das Berufungsverfahren einen Gerichtskostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu leisten (Dispositiv-Ziffer 2). Das Gesuch der X._ AG um Sicherheitsleistung für die Parteientschädigung wies es ab (Dispositiv-Ziffer 4).
C. A.A._ und B.A._ (Beschwerdeführer) verlangen mit Beschwerde in Zivilsachen, die Ziffern 1 und 2 des Entscheids des Kantonsgerichts vom 23. Oktober 2012 seien aufzuheben, und es sei den Beschwerdeführern die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Sodann stellen sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
D. Mit Präsidialverfügung vom 11. Januar 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1. Der Entscheid, mit dem die Vorinstanz das Gesuch der Beschwerdeführer um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung abgewiesen hat, ist ein letztinstanzlicher (<ref-law>) kantonaler Zwischenentscheid, der das Verfahren nicht abschliesst. Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde nach Art. 93 Abs. 1 lt. a BGG zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können. Zwischenentscheide, mit denen die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wird, haben in der Regel einen solchen Nachteil zur Folge (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2a S. 210 mit Hinweisen). Dies trifft auch im vorliegenden Fall zu.
Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Diese betrifft vorliegend eine mietrechtliche Angelegenheit, mithin eine Zivilsache im Sinne von <ref-law>. Der Streitwert übersteigt ausserdem die Grenze von Fr. 15'000.-- (<ref-law>). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen vorliegend zulässig.
2. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Soweit er den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2, 467 E. 3.1). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche grundlos ausser Acht lässt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4b). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b).
3. Die Vorinstanz setzte sich eingehend mit dem Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege auseinander. Sie kam nach ausführlicher Würdigung der von den Beschwerdeführern zur Begründung gemachten Angaben und der eingereichten Unterlagen zum Schluss, die Beschwerdeführer hätten ihre finanzielle Situation nicht klar und umfassend dargestellt, und es sei daher nicht möglich, ihre wirtschaftliche Situation zu beurteilen. Die Beschwerdeführer hätten ihre Mittellosigkeit damit nicht glaubhaft gemacht. Im Übrigen erscheine das Verhalten der Beschwerdeführer als rechtsmissbräuchlich. In Betracht falle zudem, dass die für das vorliegende Berufungsverfahren zu erwartenden Prozesskosten von ca. Fr. 5'500.-- verglichen mit dem Lebensstil der Beschwerdeführer als gering erschienen. Die Vorinstanz wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege daher ob, ohne auf die Prozessaussichten einzugehen.
4. Die Beschwerdeführer rügen eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts.
4.1 Sie wenden sich mit ihrer Kritik hauptsächlich gegen die von der Vorinstanz auf verschiedene Umstände (namentlich die Wohnsituation und die Krankenversicherungen der Familie der Beschwerdeführer) gestützte Einschätzung, dass die Beschwerdeführer "in sehr guten finanziellen Verhältnissen leben". Um diese Umschreibung als willkürlich auszuweisen, greifen sie einzelne Sachverhaltselemente und Erwägungen des angefochtenen Entscheids heraus und bezeichnen diese als aktenwidrig respektive unhaltbar.
Dabei verkennen die Beschwerdeführer die Begründungsanforderungen an eine Sachverhaltsrüge (Erwägung 2): So fehlt etwa jegliche Auseinandersetzung mit der Frage, weshalb der beschwerdeseits ins Zentrum gerückte Satz, die Beschwerdeführer lebten in sehr guten finanziellen Verhältnissen, für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein soll. Inwiefern dies der Fall wäre, liegt denn auch nicht auf der Hand, leitete die Vorinstanz doch daraus nicht ab, die Beschwerdeführer seien nicht bedürftig. Vielmehr erwähnte sie die finanziellen Verhältnisse der Beschwerdeführer bloss, um deren Lebensstil zu umschreiben und damit die Erwägung zu stützen, wonach das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege "im Übrigen" rechtsmissbräuchlich erscheine (vgl. dazu auch Erwägung 7). Es läge an den Beschwerdeführern, aufzuzeigen, dass diese Beurteilung anders ausgefallen wäre, wenn die Vorinstanz die finanziellen Verhältnisse der Beschwerdeführer insgesamt anders gewürdigt respektive umschrieben hätte. Sodann präsentieren die Beschwerdeführer zur Begründung ihrer Rüge eigene Darstellungen der tatsächlichen Situation und weichen dabei wiederholt von den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ab oder erweitern diese. Darauf kann nicht abgestellt werden, zumal die Beschwerdeführer diesbezüglich keine substanziierten Sachverhaltsrügen im oben beschriebenen Sinn erheben. Es ist durchwegs vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat, und die Beschwerdeführer können nicht gehört werden, soweit sie ihre Argumentation auf einen Sachverhalt stützen, der von den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht.
4.2 Soweit auf die im Einzelnen erhobene Kritik nach dem Gesagten überhaupt eingetreten werden kann, erweist sie sich als unbegründet:
Die Beschwerdeführer beanstanden vor allem, die Vorinstanz habe, was die von ihnen angeblich bezahlten hohen Mietzinsen angehe, unbesehen die Behauptungen der X._ AG (Beschwerdegegnerin) übernommen, wonach unter den Parteien ein Mietverhältnis bestehe und von den Beschwerdeführern in der Vergangenheit auch tatsächlich Mietzinsen bezahlt worden seien. Die "Mieterkontoauszüge", auf welche die Vorinstanz ihren Entscheid in diesem Punkt im Wesentlichen stütze, sei eine von der Beschwerdegegnerin eigens zwecks Nachweises des von ihr behaupteten Mietverhältnisses erstellte Urkunde, der lediglich die Beweiskraft von Parteibehauptungen zukomme. Sie (die Beschwerdeführer) bestritten ausdrücklich, dass die darin enthaltenen Angaben korrekt seien. Damit vermögen die Beschwerdeführer keine Willkür aufzuzeigen: Denn sie beschränken sich darauf, die Richtigkeit dieser Aufstellung vor Bundesgericht pauschal zu bestreiten. Dagegen unterlassen sie es, mit Aktenhinweisen darzutun, dass sie zu diesem Thema bereits vor der Vorinstanz substanziierte Ausführungen gemacht hätten. Es fehlen jegliche Angaben der Beschwerdeführer dazu, wie sie denn tatsächlich für ihre Wohnkosten aufkommen. Zu solchen Erläuterungen hätten sie aber Anlass gehabt, zumal gemäss dem Grundbuchauszug vom 5. Juni 2012 die Beschwerdegegnerin Eigentümerin der von den Beschwerdeführern bewohnten Liegenschaft ist. Wenn die Vorinstanz unter diesen Umständen aus den von der Beschwerdegegnerin eingereichten "Mieterkontoauszügen" den Schluss zog, die Beschwerdeführer hätten für die Familienwohnung (ein Haus mit 8 1⁄2 Zimmern und einer Nutzfläche von insgesamt 335 Quadratmetern) "sehr hohe Beträge" auf das Mieterkonto überwiesen, was sie als Beleg für die mit der Wohnsituation der Beschwerdeführer einhergehenden beträchtlichen Kosten und als Indiz für einen gehobenen Lebensstandard wertete, ist dies unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden.
5. Sodann verfangen auch die weiteren von den Beschwerdeführern in diesem Zusammenhang erhobenen Sachverhaltsrügen nicht, die hauptsächlich die vorinstanzlichen Ausführungen zu den Einkommensverhältnissen der Beschwerdeführer betreffen:
5.1 In der Beschwerde wird ausgeführt, die Bedürftigkeit müsse zur Zeit der Gesuchstellung gegeben sein. Selbst wenn die Beschwerdeführer also in den vergangenen Jahren ein hohes Einkommen erzielt hätten, dürfe daraus nicht auf die finanziellen Verhältnisse im jetzigen Zeitpunkt geschlossen werden.
Die Vorinstanz stellte indessen bei der Würdigung des Gesuchs der Beschwerdeführer nicht kurzerhand auf frühere Verhältnisse ab, und sie nahm auch nicht an, die Beschwerdeführer verfügten nach wie vor über das in den Jahren 2009 und 2010 erzielte Einkommen. Vielmehr zog sie die Steuerentscheide aus diesen Jahren lediglich bei, um die Vollständigkeit und Glaubhaftigkeit der Behauptungen der Beschwerdeführer zu beurteilen, wonach sie heute weder ein Erwerbseinkommen noch sonstige Einkünfte erzielten: Sie führte aus, die Steuerbehörden hätten in den Jahren 2009 und 2010 die Einkünfte aus unselbständigem Haupterwerb mit Fr. 200'000.-- veranlagt und das Reinvermögen auf Fr. 100'000.-- festgesetzt. Da die Beschwerdeführer nicht behaupteten, sie hätten diese Ermessensveranlagungen angefochten, sei davon auszugehen, dass sie von einer zu tiefen Veranlagung profitiert hätten. Auch für das Jahr 2011 hätten die Beschwerdeführer keine Steuererklärung zu den Akten gegeben; gemäss der vorläufigen Steuerrechnung vom 13. Januar 2011 betrage das steuerbare Einkommen für 2011, wie in den Jahren zuvor, rund Fr. 180'000.--. Die Beschwerdeführer - so die Vorinstanz weiter - unterliessen es, in ihrem Gesuch plausibel zu erklären, weshalb sie 2011 ein steuerbares Einkommen von mindestens Fr. 180'000.-- erzielt hätten, heute dagegen gemäss ihrer Behauptung über keinerlei Einkommen - weder aus selbständiger noch aus unselbständiger Tätigkeit - verfügen sollten. Dazu stehe im Übrigen die Angabe der Beschwerdeführer im Widerspruch, A.A._ benutze für die Fahrt zur Arbeit das Firmenfahrzeug.
Inwiefern der aus diesen Umständen gezogene Schluss der Vorinstanz, die Angaben der Beschwerdeführer zu ihren Einkommensverhältnissen erwiesen sich als unvollständig respektive unglaubhaft, unhaltbar sein soll, tun die Beschwerdeführer nicht dar. Jedenfalls genügt es hierzu nicht, wenn sie in Ergänzung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts ausführen, aufgrund der Akten stehe fest, dass sie 2010 und in den folgenden Jahren gar nicht in der Lage gewesen seien, die Steuerschulden und die Krankenkassenprämien zu bezahlen, ohne entsprechende hinreichend begründete Sachverhaltsrügen zu erheben (Erwägung 2). Entgegen den Beschwerdeführern ist es jedenfalls auch nicht geradezu unhaltbar, wenn die Vorinstanz aus dem Nichtanfechten der Ermessensveranlagungen 2009 und 2010 folgerte, die Beschwerdeführer hätten in den letzten Jahren ein hohes Einkommen erzielt, zumal sie diesen Schluss namentlich auch auf die bezahlten Mietzinse für die Jahre 2006-2009 abstützte (dazu bereits Erwägung 4.2). Die Beschwerdeführer vermögen die vorinstanzliche Würdigung auch nicht aus den Angeln zu heben, indem sie ausführen, angesichts ihrer ausweglosen finanziellen Situation sei es nicht weiter erstaunlich, dass sie den entsprechenden "Veranlagungsverfügungen nicht die üblicherweise zu erwartende Bedeutung" zugemessen hätten. Dabei handelt es sich um blosse Behauptungen, die im angefochtenen Entscheid keine Stütze finden. Sodann hilft den Beschwerdeführern auch der Hinweis nicht weiter, aus dem Umstand, dass sie für das Jahr 2011 keine Steuererklärung zu den Akten gegeben hätten, lasse sich nichts zu ihrem Nachteil ableiten, zumal die Fristen zur Einreichung der Steuererklärung 2011 noch offen seien. Denn die Vorinstanz erwähnte die fehlende Steuererklärung 2011 in diesem Zusammenhang lediglich, um zu begründen, weshalb sie sich für dieses Jahr auf die vorläufige Steuerrechnung bezog. Dies macht den Entscheid nicht willkürlich.
5.2 Sodann kritisieren die Beschwerdeführer die Erwägung der Vorinstanz, A.A._ sei in der Firma "Y._ AG in Liquidation" seit dem 8. August 2012 als Liquidator und in der Firma "Z._ AG in Liquidation" seit dem 18. Februar 2011 als Mitglied des Verwaltungsrats mit Einzelunterschrift im Handelsregister eingetragen, und es sei "eher nicht anzunehmen", dass er diese Funktionen unentgeltlich ausübe. Sie schloss auch aus diesem Umstand beweiswürdigend, es bestehe der Verdacht, dass die Beschwerdeführer ihre Einkünfte nicht vollständig offengelegt hätten.
Die Beschwerdeführer rügen, die genannten Handelsregistereinträge bezeugten bestenfalls den geschäftlichen Misserfolg von A.A._. Dass A.A._ aus den genannten konkursiten Gesellschaften ein Einkommen erziele, treffe nicht zu und könne auch nicht ernsthaft angenommen werden. Die Beschwerde erschöpft sich insofern in einer vom angefochtenen Entscheid abweichenden Würdigung in tatsächlicher Hinsicht und genügt insofern bereits den Begründungsanforderungen nicht (Erwägung 2). Sie vermag jedenfalls keine Willkür zu belegen: Wenn die Vorinstanz aus dem Umstand, dass der 47-jährige - gemäss den Angaben in der Beschwerde auf Unternehmensübernahmen und -restrukturierungen, insbesondere Sanierungen, spezialisierte - A.A._ im Handelsregister als Organ von zwei Aktiengesellschaften in Liquidation eingetragen ist und er gleichzeitig angibt, ein Firmenfahrzeug zu benutzen, auf eine Erwerbstätigkeit des Beschwerdeführers schloss und angesichts dieser Würdigung den Verdacht erhob, dass die Beschwerdeführer ihre Einkünfte nicht vollständig angegeben hätten, ist dies zumindest nicht unhaltbar.
5.3 Nach dem Gesagten vermögen die Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, dass die Vorinstanz den angefochtenen Entscheid auf eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung stützte, wenn sie annahm, die Beschwerdeführer hätten ihre Einkünfte nicht vollständig offengelegt.
6. Die Beschwerdeführer rügen sodann, die Vorinstanz habe gegen Bundesrecht verstossen, indem sie ihnen eine Verletzung ihrer Mitwirkungsobliegenheit nach <ref-law> [SR 272] vorgeworfen habe: In Wirklichkeit seien sie ihren Pflichten nämlich hinreichend nachgekommen. Auch diese Rüge erweist sich als unbegründet:
Die Beschwerdeführer wenden sich auch in diesem Punkt inhaltlich gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz. Gemäss diesen unterliessen es die anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer, mit ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege das entsprechende Formular samt den Belegen einzureichen. Daraufhin wurden sie von der Vorinstanz aufgefordert, das Formular "unentgeltliche Rechtspflege" vollständig auszufüllen und mit den verlangten Beilagen zurückzusenden. Innert erstreckter Frist reichten die Beschwerdeführer je ein - identisch ausgefülltes - Gesuchsformular sowie verschiedene Unterlagen ein. Die eingereichten Unterlagen - so die Vorinstanz - seien indessen nach wie vor unvollständig gewesen. Im Gesuchsformular führten die Beschwerdeführer aus, weder ein Erwerbseinkommen noch sonstige Einkünfte zu erzielen und kein Post- oder Bankkonto zu besitzen. Weder bei den Vermögenswerten noch bei den Schulden seien Konten aufgeführt. Die Beschwerdeführer gäben an, zur Zeit von einem Darlehen zu leben, das A.A._ zur Gründung einer Gesellschaft erhalten habe. Letztere Darstellung hätten sie jedoch in keiner Weise substanziiert. Unklar sei, von wem und wann sie ein Darlehen erhalten hätten, und es fehlten auch Angaben darüber, welche Beträge ihnen aus dem geltend gemachten Darlehen zur Bestreitung des Lebensunterhalts monatlich zur Verfügung stünden. Es seien keine entsprechenden Belege eingereicht worden. Weiter sei im Gesuchsformular in der Rubrik "Schulden", "Kreditschulden", kein Darlehen aufgeführt gewesen. Auch in diesem Punkt - so die Schlussfolgerung der Vorinstanz - seien die Auskünfte der Beschwerdeführer unvollständig und erschienen kaum als glaubwürdig.
Die Beschwerdeführer kritisieren diese vorinstanzlichen Feststellungen und die darauf basierende Würdigung, ohne hinreichend darzutun, inwiefern sie willkürlich sein sollen. Im Wesentlichen beschränken sie sich darauf, auszuführen, sie hätten zum erwähnten Darlehen keine näheren Angaben machen können und müssen, ohne indessen nachvollziehbar zu begründen, aus welchem Grund ihnen überhaupt keine Erläuterungen zur Art und zum Umfang der Unterstützung durch einen Dritten möglich gewesen wären. Somit bleibt es bei der Feststellung, dass die Beschwerdeführer ihre finanzielle Situation nicht klar und umfassend dargestellt haben, was die Vorinstanz übrigens wie gesehen nicht bloss auf die Angaben der Beschwerdeführer zum Darlehen, sondern auch auf diejenigen zu ihren Einkünften bezog (Erwägung 5).
Sodann kann auch aus der Behauptung der Beschwerdeführer, es sei durch die von ihnen eingereichten Akten erstellt, dass gegen sie Betreibungen und Verlustscheine in beträchtlichem Umfang bestünden, entgegen den Beschwerdeführern nicht ohne Weiteres darauf geschlossen werden, dass sie mit Einreichung der Betreibungsregisterauszüge ihrer Mitwirkungsobliegenheit nachgekommen wären und den Nachweis ihrer Bedürftigkeit bereits dadurch erbracht hätten. Die Vorinstanz ging auf die entsprechenden Angaben der Beschwerdeführer ein und führte aus, das Vorliegen von Betreibungen schliesse das Vorhandensein eines bedarfsdeckenden Einkommens nicht aus. Inwiefern diese Erwägung und die von der Vorinstanz getroffene Beurteilung angesichts der übrigen Sachverhaltsfeststellungen willkürlich sein soll, tun die Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich (vgl. Urteil 5P.426/2002 vom 17. Januar 2003 E. 2.2).
Bei dieser Sachlage gelingt es den Beschwerdeführern nicht, eine Verletzung von <ref-law> durch die Vorinstanz zu belegen. Die Vorinstanz war nicht verpflichtet, die Beschwerdeführer mittels einer weiteren Verfügung "zur punktuellen Auskunftserteilung" aufzufordern, wie diese in der Beschwerde verlangen (vgl. <ref-ruling> E. 4a; Urteil 5P.426/2002 vom 17. Januar 2003 E. 4.2). Es ist nicht zu bemängeln, wenn die Vorinstanz den Beschwerdeführern zur Last legte, sie hätten ihre finanzielle Situation nicht klar und umfassend dargestellt.
7. Aufgrund des Ausgeführten ist der Schluss der Vorinstanz, die Mittellosigkeit der Beschwerdeführer sei nicht ausgewiesen, von Bundesrechts wegen nicht zu beanstanden. Nachdem sich diese Begründung als tragfähig erweist, braucht nicht auf die - von den Beschwerdeführern zu Recht (<ref-ruling> E. 6.3) ebenfalls angefochtene - Alternativbegründung eingegangen zu werden, wonach das Gesuch der Beschwerdeführer überdies als rechtsmissbräuchlich erscheine.
8. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Begehren der Beschwerdeführer waren von vornherein aussichtslos (<ref-ruling> E. 5), weshalb ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden kann (<ref-law>). Bei dieser Sachlage braucht nicht auf das von den Beschwerdeführern zum Beweis ihrer Bedürftigkeit eingereichte Bestätigungsschreiben vom 7. November 2012 eingegangen zu werden, gemäss dem A.A._ seit dem 1. Januar 2011 von einem Dritten in Form eines ungebundenen Darlehens finanziell unterstützt wird. Die Beschwerdeführer werden ausgangsgemäss kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da ihr mangels Einholung einer Beschwerdeantwort kein Aufwand erwachsen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführer um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt, in solidarischer Haftbarkeit.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz