Faits:
A. A._ a été engagé par l'Office du personnel de l'Etat de Genève (ci-après: OPE) au service de l'Office des poursuites et des faillites (ci-après: OPF). Le contrat conclu le 28 février 2007 prévoyait un engagement d'une durée maximale de dix mois à compter du 1er mars 2007. Ce contrat a été renouvelé le 21 novembre 2007 pour une durée maximale de douze mois dès le 1er janvier 2008.
Le 10 novembre 2008, un entretien a eu lieu entre A._ et B._, C._, ainsi que D._. A cette occasion, l'intéressé a été informé que le contrat de travail ne serait pas reconduit le 1er janvier 2009. Par lettre recommandée du 10 novembre 2008, l'OPF a confirmé cette information en indiquant que l'intéressé était libéré de son obligation de travailler avec effet immédiat afin de pouvoir rechercher un emploi.
B. A._ a recouru devant le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (aujourd'hui, Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative) en concluant préalablement au paiement par l'Etat de Genève de son salaire pour les mois de janvier et février 2009, soit 10'040 fr. 50 avec intérêt à 5 % l'an dès le 28 février 2009, principalement, à sa réintégration au sein du personnel de l'Etat de Genève et subsidiairement, au paiement d'une indemnité de 33'121 fr. 50 correspondant à six mois de salaire brut avec intérêt à 5 % l'an dès le 28 février 2009. L'intéressé faisait valoir notamment que son contrat de travail avait reconduit oralement le 26 septembre 2008, de sorte que la lettre du 10 novembre suivant constituait une décision de résiliation des rapports de travail contraire au droit.
Par jugement du 31 août 2010, la juridiction cantonale a déclaré le recours irrecevable, motif pris que le courrier du 10 novembre 2008 constituait un simple rappel de la fin des rapports de travail et non une décision sujette à recours.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en prenant les conclusions suivantes:
Plaise au Tribunal fédéral
Préalablement
Constater que les rapports de travail ne pouvaient être interrompus avant le 28 février 2009, fin du délai légal de 3 mois pour la fin d'un mois;
Condamner en conséquence l'Etat de Genève à verser l'intégralité de ses salaires de janvier et février 2009 à M. A._, soit 10'040 fr. 50 avec intérêts de 5 % dès le 28 février 2009;
Principalement
Annuler la décision de la Direction de l'Office des poursuites du 10 novembre 2008;
Inviter l'Etat de Genève à réintégrer M. A._ en lui proposant un poste correspondant à ses capacités professionnelles et compétences;
En cas de refus de la réintégration
Condamner l'Etat de Genève à verser au recourant une indemnité de 33'121 fr. 50, équivalant à six mois de salaire brut pour licenciement contraire au droit avec intérêts à 5 % dès le 28 février 2009;
Condamner l'Etat de Genève en tous les frais et dépens de la procédure, lesquels comprendront une équitable indemnité à titre de participation aux honoraires d'avocat;
Subsidiairement
Renvoyer la cause au Tribunal administratif;
Condamner l'Etat de Genève en tous les frais et dépens de la procédure, lesquels comprendront une équitable indemnité à titre de participation aux honoraires d'avocat.
L'OPF, agissant par l'OPE, conclut au rejet du recours sous suite de frais.

Considérant en droit:
1. Selon l'<ref-law>, les mémoires doivent indiquer les conclusions et les motifs. Les conclusions sur le fond dirigées contre un prononcé d'irrecevabilité ne sont pas recevables devant le Tribunal fédéral (arrêts 8C_571/2010 du 5 novembre 2010; 8C_843/2009 du 9 novembre 2009).
En l'occurrence, le jugement attaqué est un prononcé d'irrecevabilité. Aussi, en tant qu'elles constituent des conclusions sur le fond, les conclusions préalables et principales du recours sont-elles irrecevables.
Par sa conclusion subsidiaire, le recourant demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale. Dans la mesure où la motivation du recours se rapporte notamment au refus de la juridiction cantonale d'entrer en matière, il y a lieu d'interpréter cette conclusion subsidiaire comme tendant au renvoi de la cause à ladite juridiction pour jugement sur le fond. Cette conclusion est dès lors en principe admissible, sous réserve des autres conditions de recevabilité.
2. Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. Le litige soumis à l'autorité cantonale porte sur le versement de sommes d'argent, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération.
En outre, la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (<ref-law>) est atteinte.
Pour le surplus, le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) et il a été déposé dans le délai prévu par la loi (<ref-law>).
La conclusion subsidiaire du recours est dès lors recevable.
3. La juridiction cantonale a constaté qu'un contrat d'auxiliaire a été conclu par les parties pour une durée maximale de dix mois à compter du 1er mars 2007, qu'il a été renouvelé pour une durée maximale de douze mois dès le 1er janvier 2008 et que, contrairement à ce qu'il soutient, le recourant n'a jamais obtenu de l'employeur la promesse orale que le contrat de travail serait renouvelé à partir du 1er janvier 2009. Les premiers juges relèvent qu'au demeurant, il n'est pas possible de renouveler oralement un tel contrat, du moment que, selon l'art. 62 du règlement d'application de la loi générale genevoise relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux (RPAC; RS-GE B 5 05.01), un engagement dont la durée excède une semaine doit faire l'objet d'une lettre. Aussi, la juridiction cantonale a-t-elle considéré que la lettre adressée au recourant le 10 novembre 2008 constituait un simple rappel de la fin des rapports de travail à l'expiration de la durée maximale prévue, et non une décision de résiliation sujette à recours.
4. Par un premier moyen, le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu en alléguant que le jugement attaqué n'est pas suffisamment motivé dans la mesure où il ne relate pas les témoignages de toutes les personnes entendues par la juridiction cantonale lors des audiences d'enquêtes des 13 mars et 6 novembre 2009.
La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, consacré à l'art. 29 al. 2 Cst., le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision; elle n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 2b p. 102 s.).
En l'occurrence, le grief du recourant est mal fondé, dès lors que le jugement attaqué indique de manière suffisamment claire les motifs retenus, même s'il ne mentionne pas le contenu de tous les témoignages en question.
5. 5.1 Par un deuxième moyen, le recourant invoque un déni de justice, ainsi que la violation des art. 29a Cst. et 6 par. 1 CEDH. Il allègue qu'en refusant de statuer sur ses conclusions en les déclarant irrecevables, la juridiction cantonale lui a refusé l'accès à un tribunal indépendant pour examiner le bien-fondé de la décision de licenciement.
5.2 L'art. 6 par. 1 CEDH donne à toute personne le droit à ce que sa cause soit entendue équitablement, publiquement et dans un délai raisonnable, par un tribunal indépendant et impartial établi par la loi, qui décidera soit des contestations sur ses droits et obligations de caractère civil, soit du bien-fondé de toute accusation en matière pénale dirigée contre elle. La jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme a étendu le champ d'application de cette disposition en ce qui concerne les employés publics. Elle s'est écartée de l'ancien "critère fonctionnel", selon lequel étaient soustraits au champ d'application de l'art. 6 par. 1 CEDH "les litiges des agents publics dont l'emploi était caractéristique des activités spécifiques de l'administration publique dans la mesure où celle-ci agit comme détentrice de la puissance publique chargée de la sauvegarde des intérêts généraux de l'Etat ou des autres collectivités publiques" (arrêt Pellegrin contre France du 8 décembre 1999, Recueil CourEDH 1999-VIII § 66). Désormais, il y a une présomption que l'art. 6 par. 1 CEDH s'applique dans les contestations relatives aux employés publics. Pour que ces litiges soient soustraits à la protection offerte par cette norme, deux conditions doivent être remplies. En premier lieu, le droit interne de l'Etat concerné doit avoir expressément exclu l'accès à un tribunal s'agissant du poste ou de la catégorie de salariés en question. En second lieu, cette dérogation doit reposer sur des motifs objectifs liés à l'intérêt de l'Etat. Le simple fait que l'intéressé relève d'un secteur ou d'un service qui participe à l'exercice de la puissance publique n'est pas en soi déterminant. Il faut encore que l'objet du litige soit lié à l'exercice de l'autorité étatique, de sorte que les conflits ordinaires du travail - tels ceux portant sur un salaire, une indemnité ou d'autres droits de ce type - ne sont en principe pas soustraits aux garanties de l'article 6 CEDH (arrêt Vilho Eskelinen et autres contre Finlande du 19 avril 2007, § 62).
5.3 En l'occurrence, la juridiction cantonale n'est pas entrée en matière sur le recours au motif que l'une des conditions mises à l'examen du fond du litige - soit l'existence d'une décision au sens de l'art. 4 de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA; RS-GE E 5 10) - faisait défaut. Toutefois, bien qu'elle ait déclaré le recours irrecevable, elle a examiné et rejeté les arguments du recourant, selon lesquels la lettre du 10 novembre 2008 était une décision de résiliation du contrat de travail qui aurait été reconduit à partir du 1er janvier 2009. Contrairement à ce que soutient le recourant, la juridiction cantonale ne l'a dès lors pas privé de la possibilité de faire valoir ses droits garantis aux art. 29a Cst. et 6 par. 1 CEDH.
5.4 En ce qui concerne les constatations des premiers juges, selon lesquelles le recourant n'a pas obtenu de l'employeur la promesse orale que le contrat de travail, d'une durée maximale de douze mois à compter du 1er janvier 2008, serait reconduit à partir du 1er janvier 2009, le recours ne contient d'ailleurs aucune démonstration de leur caractère arbitraire. En effet, l'intéressé n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par la juridiction cantonale est manifestement insoutenable. Son argumentation tend plutôt à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. En particulier, le recourant reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas tenu compte des témoignages de E._, de C._ et de G._. Toutefois, ces témoignages ne permettent pas d'établir que le recourant a reçu, au cours d'un entretien dans le bureau de D._, le 26 septembre 2008, l'assurance que le contrat de travail serait renouvelé. En effet, d'une part, les témoins E._ et F._ n'étaient pas présents à cet entretien. D'autre part, il ne ressort pas du témoignage de G._, présent audit entretien, que celui-ci a porté sur le renouvellement, à partir du 1er janvier 2009, du contrat de travail, mais sur la candidature du recourant à un poste d'assistant volant, pour lequel un autre candidat a été retenu. On doit ainsi admettre que le contrat a pris fin automatiquement au 31 décembre 2008 (cf. arrêt 8C_166/2011 du 13 juillet 2011 consid. 4.1, 5.1 et 5.2.1).
6. Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et la conclusion subsidiaire du recours se révèle mal fondée.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). L'intimé n'a pas droit à des dépens en sa qualité d'organisation chargée de tâches de droit public (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 18 août 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd