Sachverhalt:
A. Das Bezirksamt Kreuzlingen führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachts der versuchten Erpressung. Es wirft ihm vor, er habe am 25. März 2008 einen Brief an das Anwaltsbüro A._ und B._ verfasst. Darin habe er die Bezahlung von 350'000 Euro verlangt wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses durch Rechtsanwältin B._, welche diese angeblich im Jahre 2005 in einem Verfahren gegen X._ wegen Gewalt und Drohung begangen habe. Die Forderung um Bezahlung des genannten Betrages habe er verbunden mit der Androhung, im Falle des Zahlungsverzuges werde er jemanden vorbeischicken, der Rechtsanwalt A._ und Rechtsanwältin B._ oder deren Angestellten und Verwandten Gliedmassen abtrennen werde; ein Offizier aus fremden Diensten werde für eine "internationale Züchtigung" besorgt sein.
Am 22. April 2008 nahm die Kantonspolizei Bern X._ fest. Zwei Tage darauf wurde er in das Gefängnis Frauenfeld überführt. Am 29. April 2008 ordnete der Präsident der Anklagekammer des Kantons Thurgau die Untersuchungshaft an und befristete diese einstweilen bis zum 24. Mai 2008.
Mit Verfügung vom 6. Mai 2008 wies der Präsident der Anklagekammer ein Haftentlassungsgesuch von X._ ab.
Am 10. Juni 2008 verlängerte der Präsident der Anklagekammer die Untersuchungshaft bis zum 24. Juni 2008.
B. Am 11. Juni 2008 ersuchte X._ erneut um Haftentlassung.
Mit Eingabe vom 13. Juni 2008 beantragte das Bezirksamt die Abweisung des Haftentlassungsgesuchs. Gleichzeitig beantragte es die Verlängerung der Untersuchungshaft um drei Monate und die vorzeitige Verbringung von X._ in die psychiatrische Klinik Rheinau.
Mit Verfügung vom 20. Juni 2008 wies der Präsident der Anklagekammer das Haftentlassungsgesuch ab. Er verlängerte die Untersuchungshaft bis zum 20. September 2008. Für den weiteren Vollzug der Untersuchungshaft wies er X._ stationär in eine psychiatrische Klinik ein.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, die Verfügung des Präsidenten der Anklagekammer vom 20. Juni 2008 sei aufzuheben; er sei aus der Untersuchungshaft zu entlassen.
D. Das Bezirksamt hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.
Der Präsident der Anklagekammer hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
E. X._ hat keine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen. Der Begriff "Entscheide in Strafsachen" umfasst sämtliche Entscheidungen, denen materielles Strafrecht oder Strafprozessrecht zu Grunde liegt. Mit anderen Worten kann grundsätzlich jeder Entscheid, der die Verfolgung oder die Beurteilung einer Straftat betrifft und sich auf Bundesrecht oder auf kantonales Recht stützt, mit der Beschwerde in Strafsachen angefochten werden (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4313). Die Beschwerde in Strafsachen ist hier somit gegeben.
Ein kantonales Rechtsmittel gegen den angefochtenen Entscheid steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach Art. 80 i.V.m. <ref-law> zulässig.
Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde befugt.
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Untersuchungshaft verletze sein verfassungsmässiges Recht auf persönliche Freiheit.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Untersuchungshaft verletze sein verfassungsmässiges Recht auf persönliche Freiheit.
2.2 2.2.1 Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführer "zum weiteren Vollzug der Untersuchungshaft" in eine psychiatrische Klinik eingewiesen. Diese Verlegung erfolgte ohne die Zustimmung des Beschwerdeführers. Es handelt sich also nicht um einen freiwilligen vorzeitigen Massnahmenvollzug. Bei diesem steht der Betroffene nach der Rechtsprechung weiterhin unter dem Schutz der Unschuldsvermutung (<ref-law>, Art. 6 Ziff. 2 EMRK) und kann er sich auf die persönliche Freiheit nach <ref-law> sowie die Verfahrensgarantien von <ref-law> und Art. 5 EMRK berufen (<ref-ruling> E. 2 S. 275; <ref-ruling> E. 3a und b S. 174 f., mit Hinweisen). Bei vorzeitiger Verlegung des Betroffenen in eine psychiatrische Klinik ohne seine Zustimmung zum weiteren Vollzug der Untersuchungshaft muss das erst recht gelten. Der Beschwerdeführer kann sich somit weiterhin auf die persönliche Freiheit berufen und seine Entlassung verlangen. Die Verlegung in die psychiatrische Klinik ficht der Beschwerdeführer nicht an, weshalb sich das Bundesgericht dazu nicht zu äussern hat (<ref-law>).
2.2.2 Bei Beschwerden, die gestützt auf das verfassungsmässige Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, <ref-law>) wegen der Aufrechterhaltung der Untersuchungshaft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung des entsprechenden kantonalen Rechtes frei (<ref-ruling> E. 3.2.3, mit Hinweisen).
2.3 Gemäss <ref-law>/TG kann gegen Angeschuldigte ein Haftbefehl erlassen werden: 1. bei Fluchtgefahr; 2. wenn Gefahr besteht, dass der Angeschuldigte Spuren der Tat verwischen, Mitbeteiligte oder Zeugen beeinflussen oder sonst wie die Untersuchung beeinträchtigen könnte; 3. wenn die Fortsetzung der strafbaren Tätigkeit ernstlich zu befürchten oder die Freiheit des Angeschuldigten mit Gefahr für Dritte verbunden ist (...).
Die Vorinstanz bejaht den dringenden Tatverdacht (S. 13/14) und den Haftgrund der Fortsetzungsgefahr gemäss <ref-law>/TG. Ob zusätzlich die Haftgründe der Flucht- und der Kollusionsgefahr nach § 106 Abs. 1 Ziff. 1 und 2 StPO/TG gegeben seien, liess sie (S. 11 f. E. 6) offen.
Der Beschwerdeführer bestreitet (S. 3 Ziff. 3) den dringenden Tatverdacht ausdrücklich nicht. Er macht geltend, es fehle am Haftgrund der Fortsetzungsgefahr.
2.4 Sinn und Zweck der Anordnung von Haft wegen Fortsetzungsgefahr ist die Verhütung von Verbrechen. Die Haft ist somit überwiegend Präventivhaft. Die Notwendigkeit, den Angeschuldigten an der Begehung einer strafbaren Handlung zu hindern, anerkennt Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK ausdrücklich als Haftgrund (<ref-ruling> E. 2.1 S. 275, mit Hinweisen). Die Anordnung von Haft wegen Fortsetzungsgefahr dient auch dem strafprozessualen Ziel der Beschleunigung, indem verhindert wird, dass sich das Verfahren durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht (<ref-ruling> E. 2c S. 270; <ref-ruling> E. 3c S. 31).
Nach der Rechtsprechung ist die Anordnung von Untersuchungshaft wegen Fortsetzungsgefahr verhältnismässig, wenn die Rückfallprognose sehr ungünstig ist und die zu befürchtenden Delikte von schwerer Natur sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 276, mit Hinweisen).
2.5 Im Urteil 1P.30/2000 vom 11. Februar 2000 ging es um einen vergleichbaren Fall. Gegen den Beschuldigten bestand der dringende Verdacht, dass er den basellandschaftlichen Ombudsmann und dessen Mitarbeiterin mit mehrfachen Drohungen gegen Leib und Leben in Angst und Schrecken versetzte (E. 4.b). Die damalige Vorinstanz führte aus, es bestehe die konkrete Gefahr, der Beschuldigte könnte in einer heftigen Erregung seine Ankündigung wahr machen und entweder den Ombudsmann oder ihm nahe stehende Personen weiter ernsthaft bedrohen oder sogar an Leib und Leben gefährden. Das Bundesgericht beurteilte diese Einschätzung als haltbar. Diese vermochte es nach Auffassung des Bundesgerichts zu rechtfertigen, den Beschuldigten in Haft zu behalten. Es kam (E. 5b und d) zum Schluss, die Aufrechterhaltung der Haft wegen Fortsetzungs- bzw. Ausführungsgefahr verstosse nicht gegen das Recht auf persönliche Freiheit.
Nach der Rechtsprechung kommt somit die Bejahung des Haftgrundes der Fortsetzungsgefahr bei Drohungen gegen Leib und Leben in Betracht.
2.6 Dr. med. Michael Schlichting, Universitäre Psychiatrische Kliniken Basel, hat im Auftrag des Bezirksamtes am 6. Juni 2008 ein Kurzgutachten zur Frage erstattet, wieweit beim Beschwerdeführer Fortsetzungs- und Ausführungsgefahr gegeben sei.
Der Gutachter legt (S. 17 ff.) dar, bei der aktuellen psychiatrischen Untersuchung des Beschwerdeführers zeige sich klinisch ein akutes paranoides Zustandsbild mit einem weit verzweigten und hochdynamischen Wahnsystem, bestehend aus vielfältigen Verfolgung-, Beeinträchtigungs- und Verschwörungsideen. Dieses Krankheitsbild könne unter Berücksichtigung der aktenkundigen Informationen zur Vorgeschichte als paranoide Psychose bzw. (gemäss ICD-10) als "anhaltende wahnhafte Störung" klassifiziert werden.
Es sei mit hoher Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass sich diese (bereits in einem psychiatrischen Gutachten von 2005 als "wahnhafte Entwicklung" beschriebene) paranoide Psychose dynamisch aus der paranoiden Persönlichkeitsstörung herausgebildet habe, die auch zusätzliche fanatische und querulatorische Züge aufweise. Durch wiederholte Kränkungen und Erfahrungen des beruflichen und sozialen Scheiterns, durch eine zunehmende soziale Isolation sowie durch die fehlende bzw. völlig unzureichende psychiatrische Behandlung scheine sich diese paranoide Entwicklung in den letzten Jahren deutlich verstärkt zu haben. Bei der jetzigen Untersuchung des Beschwerdeführers sei deutlich zu erkennen gewesen, unter welch hoher innerer Anspannung er stehe und in welch hohem Ausmass sein gesamtes Erleben und Verhalten durch die Wahndynamik und die Wahninhalte bestimmt werde. Während dem Beschwerdeführer im Jahr 2005 offenbar noch eine gewisse Distanzierung von den verschiedenen, damals im Kern schon vorhandenen und lose zusammenhängenden paranoiden Inhalten gelungen sei, zeige er sich heute argumentativ nicht mehr erreichbar und unkorrigierbar davon überzeugt, dass die von ihm überall wahrgenommene Macht des "Bösen" zurückzuführen sei auf das Wirken und den Einfluss eines Nationalrats als der zentralen Figur eines weit verzweigten feindseligen Systems, das sich nicht nur des Schweizer Justiz-, Polizei- und Militärapparates, sondern auch ausländischer Geheimdienste (BND), der NATO, der Parapsychologie, eines ihm - dem Beschwerdeführer - implantierten Senders wie auch seiner ständigen Observation aus Flugzeugen heraus bediene, um ihn an der Gesundheit zu schädigen und existenziell zu vernichten. Subjektiv erlebe sich der Beschwerdeführer wie in einem Kriegszustand mit dem "Bösen", wodurch er nicht nur seine soziale Existenz und seine beruflichen Zukunftschancen, sondern auch seine Gesundheit und sein ganzes Leben bedroht fühle. Inzwischen gehe es dem Beschwerdeführer auch nicht mehr nur um querulatorische Rechthaberei, um eine Kompensation für vermeintlich erlittene Schäden oder andere Arten von narzisstischer Gratifikation, sondern er empfinde sein Leben selbst in Gefahr, womit nach klinisch-psychiatrischer Erfahrung auch das Risiko steige, dass sich hieraus zunehmend gewalttätige Vorstellungen und entsprechende fremdaggressive Verhaltensbereitschaften entwickelten.
Die vom Beschwerdeführer eingesetzten Abwehr- und Bewältigungsstrategien im Umgang mit seiner (seine psychische Integrität bedrohenden) psychischen Erkrankung beschränkten sich bisher auf fortgesetzt querulatorische und provokativ-drohende Aktivitäten, die aber bereits weitergehende Gewaltfantasien beinhalteten. Sollte die dadurch ermöglichte spannungsregulierende Ventilfunktion eines Tages nicht mehr ausreichen und sollte die erhoffte Resonanz ausbleiben, müsse bei einem weitern Voranschreiten der Wahndynamik mit einer weiteren kritischen Zuspitzung seines psychopathologischen Erlebens bis hin zum vollständigen psychotischen Zusammenbruch, aber auch mit akuter Suizidalität oder Fremdaggressivität (gerichtet auf den "Architekten des Bösen" oder andere Repäsentanten des ihn vermeintlich verfolgenden Systems) gerechnet werden. Das Risiko einer derartigen Eskalation dürfte sich insbesondere dann erhöhen, wenn seine gegenwärtig noch vorhandenen Hoffnungskonstrukte (wie z.B. internationale Gerichte und Menschenrechtskommissionen) ihn enttäuschen sollten, aber auch wenn seine erpresserische "Schadenersatzforderung" mit Gewaltandrohung keinerlei Wirkung erzielen sollte. Auch wenn der Beschwerdeführer in seinem bisherigen tatsächlichen Verhalten, soweit bekannt, noch nicht die Schwelle zu einem (wahnhaft motivierten) gezielten gewalttätigen Angriff auf die vermeintlichen Urheber oder Agenten des "Bösen" überschritten habe und offenbar noch ausreichend in der Lage sei, sich zu kontrollieren und seine fremdaggressiven, provokativ-drohenden Aktionen sehr genau zu dosieren, schienen gewalttätige Szenarien in seiner Fantasie bereits breiten Raum einzunehmen, so dass zu befürchten sei, dass bei voranschreitender psychotischer Dekompensation und bei Zunahme seiner paranoiden Bedrohungsgefühle diese (derzeit noch in der Fantasie bzw. den Wahninhalten gebundenen) aggressiven Impulse durchbrechen und zu entsprechenden Gewaltstraftaten führen könnten.
Es müsse betont werden, dass sich bei der jetzigen Untersuchung des Beschwerdeführers keine konkreten Anhaltspunkte für ein unmittelbar bevorstehendes gewalttätiges Verhalten oder für entsprechende ernsthafte Handlungsabsichten, auch nicht für die tatsächliche Ausführung der im Erpresserschreiben angedrohten Gewalthandlungen zum Nachteil der darin genannten Rechtsanwälte, ergeben hätten. Die hier skizzierte Gefährlichkeit des paranoiden Zustandes des Beschwerdeführers liege in erster Linie in dem hohen Risiko einer weiteren Progression der wahnhaften Krankheitsdynamik und der darin enthaltenen Feindseligkeit sowie in dem daraus dann resultierenden Risiko fremdaggressiver Handlungen.
Zusammenfassend führt der Gutachter (S. 21 f.) aus, prognostisch müsse aufgrund der beschriebenen Krankheitsdynamik von einem sehr hohen Risiko für (wahnhaft motivierte) provokativ-drohende oder auch andere, darüber hinausgehende fremdaggressive Handlungen ausgegangen werden, die sich in erster Linie auf die vermeintlichen Verursacher seines von ihm als existenzbedrohend erlebten Zustandes richteten. In welcher Weise sich die in der Wahndynamik enthaltene Feindseligkeit manifestieren könnte und welche konkreten Straftaten dann zu erwarten wären, sei in hohem Masse abhängig von den wahnimmanenten Inhalten des Bedrohungserlebens des Beschwerdeführers wie auch vom weiteren Krankheitsverlauf und könne derzeit nicht mit Bestimmtheit vorhergesagt werden. Bei der jetzigen Untersuchung hätten sich zwar keine konkreten Anhaltspunkte für die ernsthafte Absicht zur tatsächlichen Ausführung der in dem Erpresserbrief angedrohten Gewaltstraftaten, für andere ernsthaft geplante fremdaggressive Handlungen oder für entsprechende Tatvorbereitungen ergeben. Solche Taten könnten allerdings zukünftig - insbesondere bei fortschreitender Wahndynamik und sich weiter verschlechternder Realitätsanpassung - nicht ausgeschlossen werden.
2.7 Wie dargelegt, kann gemäss <ref-law>/TG gegen den Angeschuldigten ein Haftbefehl erlassen werden, wenn die Fortsetzung der strafbaren Tätigkeit ernstlich zu befürchten oder die Freiheit des Angeschuldigten mit Gefahr für Dritte verbunden ist. Ziffer 3 umschreibt damit, wie sich aus dem Wort "oder" ergibt, zwei verschiedene Haftgründe, nämlich einerseits - als erste Variante - die Fortsetzungsgefahr und anderseits - als zweite Variante - die Ausführungsgefahr. Diese Unterscheidung nimmt im Haftantrag vom 24. April 2008 (S. 3/4) und im Haftverlängerungsgesuch vom 13. Juni 2008 (S. 3 Ziff. 7) das Bezirksamt zutreffend vor; ebenso in der Vernehmlassung (S. 2 Ziff. V.) die Vorinstanz. Der Beschwerdeführer vermischt dagegen in der Beschwerde die beiden Arten von Haftgründen.
Der Beschwerdeführer steht unstreitig unter dem dringenden Verdacht, einem Anwaltsbüro einen erpresserischen Brief zugestellt zu haben. Wie der Gutachter überzeugend darlegt, muss beim Beschwerdeführer prognostisch von einem sehr hohen Risiko für wahnhaft motivierte provokativ-drohende oder auch andere darüber hinausgehende fremdaggressive Handlungen ausgegangen werden. Bereits im über den Beschwerdeführer erstellten psychiatrischen Gutachten vom 21. Dezember 2005 wurde ausgeführt, prognostisch müsse aus forensisch-psychiatrischer Sicht eine erhöhte Gefahr neuerlicher Straftaten angenommen werden. Wie sich dem psychiatrischen Kurzgutachten (S. 5) entnehmen lässt, ist der Beschwerdeführer einschlägig vorbestraft. Am 29. März 2007 verurteilte ihn das Obergericht des Kantons Thurgau wegen Drohung (begangen am 3. März 2005) sowie wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte (begangen am 15. Oktober 2005) zu einer bedingten Geldstrafe von 21 Tagessätzen zu Fr. 120.- und zu Fr. 170.-- Busse.
In Anbetracht dessen besteht ein sehr grosses Risiko, dass der Beschwerdeführer erneut schwere Drohungen, verbunden mit erpresserischen Forderungen, wie sie ihm hier vorgeworfen werden, begehen könnte. Dabei handelt es sich um keine Bagatellen. Bedroht der Täter bei einer Erpressung eine Person mit einer gegenwärtigen Gefahr für Leib und Leben, wird er gemäss Art. 156 Ziff. 3 in Verbindung mit <ref-law> mit Freiheitsstrafe bis zu 10 Jahren oder Geldstrafe nicht unter 180 Tagessätzen bestraft. Es geht insoweit nach <ref-law> um ein Verbrechen. Schon der Grundtatbestand der Erpressung nach <ref-law> stellt im Übrigen ein Verbrechen dar. Im Lichte der (E 2.4) dargelegten Rechtsprechung ist es damit verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz Fortsetzungsgefahr bejaht hat.
Damit kann dahingestellt bleiben, ob überdies Ausführungsgefahr besteht, d.h. ob gegenwärtig genügend Anhaltspunkte dafür vorhanden sind, dass der Beschwerdeführer die Drohungen verwirklichen könnte.
Ebenfalls offen bleiben kann, ob Flucht- oder Kollusionsgefahr besteht. Die Vorinstanz hat diese beiden Haftgründe in den Erwägungen des angefochtenen Entscheids (S. 11 E. 6) ebenfalls offen gelassen. Wenn sie in dessen Dispositiv festgehalten hat, der Haftgrund der Kollusionsgefahr sei gegeben, steht das im Widerspruch zu ihren Erwägungen und handelt es sich dabei offensichtlich um ein Versehen.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Dauer der Haft sei unverhältnismässig. Der Gutachter nehme (S. 21) eine Verminderung der Schuldfähigkeit in mittlerem Ausmass an. Unter den gegebenen Umständen könne der Beschwerdeführer mit einer Geldstrafe oder einer Freiheitsstrafe von wenigen Monaten rechnen. Damit bestehe die Gefahr von Überhaft. Die Vorinstanz habe die Frage nicht geprüft.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Dauer der Haft sei unverhältnismässig. Der Gutachter nehme (S. 21) eine Verminderung der Schuldfähigkeit in mittlerem Ausmass an. Unter den gegebenen Umständen könne der Beschwerdeführer mit einer Geldstrafe oder einer Freiheitsstrafe von wenigen Monaten rechnen. Damit bestehe die Gefahr von Überhaft. Die Vorinstanz habe die Frage nicht geprüft.
3.2 3.2.1 Gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich beurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Sie liegt dann vor, wenn die Haftfrist die mutmassliche Dauer der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion übersteigt. Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer ist namentlich der Schwere der untersuchten Straftaten Rechnung zu tragen. Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt. Nach der übereinstimmenden Rechtsprechung des Bundesgerichts und des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte ist die Frage, ob eine Haftdauer als übermässig bezeichnet werden muss, aufgrund der konkreten Verhältnisse des einzelnen Falles zu beurteilen. Für die Beurteilung der Verhältnismässigkeit der Haft spielt es jedoch grundsätzlich keine Rolle, dass für die in Aussicht stehende Freiheitsstrafe gegebenenfalls der bedingte oder teilbedingte Vollzug gewährt werden kann. Der grossen zeitlichen Nähe der konkret zu erwartenden Freiheitsstrafe ist aber auch besondere Beachtung zu schenken, weil der Strafrichter dazu neigen könnte, die Dauer der nach <ref-law> anrechenbaren Untersuchungshaft bei der Strafzumessung mitzuberücksichtigen (<ref-ruling> E. 3.4.2 S. 281 f., mit Hinweisen).
3.2.2 Nach der Rechtsprechung sind im Haftrichterentscheid sämtliche Gesichtspunkte, die für die Beurteilung der strafprozessualen Haft wesentlich sind, darzulegen. Nur auf diese Weise kann ein den verfassungs- und konventionsrechtlichen Grundsätzen genügender Entscheid erfolgen. Gerade weil es sich bei der Vorinstanz im einstufigen Thurgauer System um die einzige richterliche Haftprüfungsinstanz handelt, darf an die Begründungspflicht kein tiefer Massstab angelegt werden. Zu berücksichtigen ist auch, dass es bei der Frage der Zulässigkeit von Untersuchungshaft um einen äusserst schwerwiegenden Eingriff in die persönliche Freiheit geht. Zu einem verfassungsrechtlich einwandfreien Verfahren gehört, dass der Haftrichter die wesentlichen Tatsachen und Rechtsfragen umfassend erhebt und würdigt und diese Beurteilung in seinem Entscheid darlegt (<ref-ruling> E. 3.5.1 S. 283 f.).
Gemäss <ref-law> müssen Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, unter anderem die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art enthalten, insbesondere die Angabe der angewendeten Gesetzesbestimmungen (lit. b). Das Bundesgericht kann nach <ref-law> einen Entscheid, der den Anforderungen von Absatz 1 nicht genügt, an die kantonale Behörde zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben. Enthält der Haftrichterentscheid zu den massgeblichen Fragen keine Begründung, ist er in Anwendung von <ref-law> aufzuheben und die Sache an den Haftrichter zurückzuweisen, damit er einen Entscheid treffe, der den Anforderungen von <ref-law> genügt (Urteil 1B_61/2008 vom 3. April 2008 E. 2).
3.3 Die Vorinstanz hat die Haft bis zum 20. September 2008 verlängert. Wie der Beschwerdeführer zutreffend vorbringt, äussert sie sich im angefochtenen Entscheid nicht dazu, weshalb die Dauer der Haft bis zu jenem Zeitpunkt verhältnismässig sei. Trotz der entsprechenden Rüge sagt die Vorinstanz dazu auch in der Vernehmlassung nichts. Die Heilung des Begründungsmangels im bundesgerichtlichen Verfahren (vgl. <ref-ruling>) ist daher von vornherein ausgeschlossen.
Bei der Verhältnismässigkeit der Haftdauer handelt es sich um eine wesentliche Frage, zu der die Vorinstanz hätte Stellung nehmen müssen. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, sich dazu erstmals zu äussern. Die Frage kann allein gestützt auf die ihm von der Vorinstanz eingereichten Haftakten im Übrigen gar nicht seriös beantwortet werden; daraus geht insbesondere Näheres zu den Vorstrafen des Beschwerdeführers nicht mit hinreichender Klarheit hervor. Im Lichte der angeführten Rechtsprechung ist der angefochtene Entscheid daher aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie sich zur Frage der Verhältnismässigkeit der Haftdauer äussere.
3.4 Nach der Rechtsprechung darf auch Präventivhaft nur als "ultima ratio" angeordnet oder aufrechterhalten werden. Wo sie durch mildere Massnahmen ersetzt werden kann, muss von der Anordnung oder Fortdauer der Haft abgesehen und an ihrer Stelle eine Ersatzmassnahme angeordnet werden (<ref-ruling> E. 3.3 S. 279 f.; <ref-ruling> E. 2c S. 270 f., mit Hinweisen).
Die Vorinstanz äussert sich im angefochtenen Entscheid auch nicht dazu, ob hier allenfalls der Haftzweck mit Ersatzmassnahmen nach <ref-law>/TG erreicht werden kann. Auch dazu wird die Vorinstanz, sofern sie die Haftdauer als verhältnismässig erachtet, bei der Neubeurteilung Stellung zu nehmen haben.
3.5 Die Untersuchungshaft kann aufgrund der dem Bundesgericht zur Verfügung stehenden Akten jedenfalls nicht als offensichtlich unverhältnismässig bezeichnet werden. Die Haftentlassung durch das Bundesgericht kommt, da nach dem (E. 2.7) Gesagten ein Haftgrund gegeben ist, deshalb nicht in Betracht.
4. Der angefochtene Entscheid enthält verschiedene Mängel. Zunächst äussert er sich, wie dargelegt, zu wesentlichen Fragen nicht. Ausserdem enthält er, was den Haftgrund der Kollusionsgefahr betrifft, einen Widerspruch zwischen der Begründung und dem Dispositiv. Überdies zitiert die Vorinstanz das psychiatrische Kurzgutachten fehlerhaft. Sie springt (angefochtener Entscheid S. 13) von Seite 21 des Gutachtens unvermittelt auf Seite 23. Die wesentlichen Ausführungen auf Seite 22 des Gutachtens hat sie versehentlich weggelassen.
Auf all dies weist der Beschwerdeführer zutreffend hin. Angesichts der genannten Mängel hatte er Anlass zur Beschwerde. Es rechtfertigt sich deshalb, ihm keine Kosten zu auferlegen (<ref-law>) und den Kanton zu verpflichten, seinem Anwalt eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 4 i.V.m. <ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise abgewiesen. Im Übrigen wird die Verfügung des Präsidenten der Anklagekammer des Kantons Thurgau vom 20. Juni 2008 aufgehoben und die Sache zum neuen Entscheid an diesen zurückgewiesen.
2. Das Haftentlassungsgesuch wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Der Kanton Thurgau hat dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Erich Moser, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksamt Kreuzlingen und der Anklagekammer des Kantons Thurgau, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri