Faits:
A.
Une procédure pénale est pendante à l'encontre de X._, né en 1991, prévenu d'homicide par négligence, de plusieurs infractions à la LCR, d'infraction à la LStup, de mise en danger de la vie d'autrui, d'entrave à la circulation publique et de meurtre par dol éventuel. Le prévenu a constitué Me Eve Dolon comme défenseur de choix lors de la première audience devant le Ministère public le 30 décembre 2012. Le 4 janvier 2013, il a sollicité que celle-ci soit désignée en qualité de défenseur d'office, indiquant ne pas disposer des moyens nécessaires pour assumer sa rémunération. Après une première ordonnance de refus de l'assistance judiciaire et sur demande de reconsidération de l'intéressé, le Ministère public a, par ordonnance du 6 mai 2013, rejeté la demande en se fondant sur la situation financière des parents du prévenu, celui-ci, étudiant âgé de 22 ans, étant à leur charge. Le Ministère public n'a pas tenu compte de la situation financière du père du prévenu, indépendant qui déclare un revenu de l'ordre de 1'500 francs par mois pour l'exercice 2012. Il a considéré, au vu du revenu mensuel réalisé par la mère du prévenu et des charges familiales (comprenant le loyer, les primes d'assurance maladie de base, les impôts et taxes personnelles, le forfait véhicule - leasing, assurance, frais d'entretien, - l'abonnement aux transports public du prévenu, l'entretien selon normes d'insaisissabilité majorées de 20 %), que le disponible de la famille dépassait mensuellement de 1'698 fr. 35 le minimum vital élargi. Le prévenu disposait ainsi des moyens nécessaires pour se faire assister à ses frais, respectivement à ceux de ses parents.
B.
Par arrêt du 28 juin 2013, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et du canton de Genève a rejeté le recours déposé par le prévenu contre cette ordonnance. Elle a en substance confirmé que, compte tenu du revenu de la mère du prévenu et de la capacité de gain de son père, voire de sa propre capacité de gain, le solde disponible de la famille permettait au prévenu de s'acquitter des honoraires de son conseil sur deux ans. En l'absence d'indigence, c'était à juste titre que l'assistance judiciaire lui avait été refusée.
C.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal, de lui accorder le bénéfice de l'assistance judiciaire et de nommer Me Eve Dolon en qualité de défenseur d'office, subsidiairement de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. Il demande en tout état à être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral. La cour cantonale se réfère à son arrêt. Le Ministère public conclut au rejet du recours. Le recourant a répliqué et confirme ses conclusions.

Considérant en droit:
1.
Conformément à l'<ref-law>, une décision relative à la défense d'office dans une cause pénale peut faire l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, prévenu et auteur de la demande de désignation d'un défenseur d'office, a qualité pour agir (<ref-law>).
Le Ministère public doute de la recevabilité du recours sous l'angle du caractère irréparable du préjudice allégué. A teneur de l'<ref-law>, les décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable. Selon la jurisprudence, le refus de désigner un avocat d'office au prévenu est susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4 p. 338; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 131). En l'espèce, le recourant est certes déjà pourvu d'un défenseur de choix. Un refus erroné d'octroi de l'assistance judiciaire aurait toutefois des conséquences sur la prise en charge des coûts de sa défense, ce qui exposerait le recourant à une résiliation du mandat s'il ne pouvait en assumer le paiement. La condition de l'<ref-law> est donc remplie.
Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2.
Le recourant se plaint d'une constatation incomplète des faits par la cour cantonale. Il demande que ceux-ci soient complétés par la mention de la note d'honoraires de son conseil au 21 mai 2013, qui atteste de 110 heures facturées, dont 51 passées en audience du Ministère public; ce total comprend aussi 16 heures 45 en relation avec les dix jours de détention préventive du prévenu (visites à la prison, conférences avec les parents, procédures devant le Tmc).
Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 314) et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Si le recourant entend se prévaloir de constatations de faits différentes de celles de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104 et les arrêts cités).
La cour cantonale a tenu compte de la pièce invoquée par le recourant dans une certaine mesure, puisqu'elle a retenu que le montant des honoraires facturés par son conseil à la date du recours cantonal était de 48'961 fr. 75 et, à la date de la demande de reconsidération, de plus de 30'000 francs. En revanche, la cour cantonale n'a pas examiné le détail de cette note. Cela étant, elle n'a pas remis en cause son bien-fondé, mais celui du montant prévisible des honoraires pour la suite de la procédure, ce que le recourant critique à juste titre sous l'angle du droit. Il n'y a dès lors pas lieu de compléter l'état de fait.
3.
3.1. En vertu de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. L'<ref-law> concrétise cette disposition. Il prévoit que la direction de la procédure ordonne une défense d'office si le prévenu ne dispose pas des moyens nécessaires et que l'assistance d'un défenseur est justifiée pour sauvegarder ses intérêts. En application de l'<ref-law>, le prévenu condamné à supporter les frais de procédure est tenu de rembourser au canton les frais d'honoraires de son défenseur d'office dès que sa situation financière le permet. Selon la jurisprudence, une personne est dans le besoin lorsqu'elle ne bénéficie pas de moyens lui permettant d'assumer les frais de procédure prévisibles, sans porter atteinte à son minimum vital ou à celui de sa famille. Pour déterminer l'indigence, il convient de prendre en considération l'ensemble de la situation financière du requérant au moment où la demande est présentée, celui-ci devant indiquer de manière complète et établir autant que possible ses revenus, sa situation de fortune et ses charges (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 223 s. et les arrêts cités). La part des ressources excédant ce qui est nécessaire à la couverture des besoins personnels doit être comparée, dans chaque cas, aux frais prévisibles de la procédure pour laquelle l'assistance judiciaire est demandée. Le soutien de la collectivité publique n'est en principe pas dû, au regard de l'art. 29 al. 3 Cst., lorsque cette part disponible permet d'amortir les frais judiciaires et d'avocat en une année au plus pour les procès relativement simples, et en deux ans pour les autres (ibidem, p. 224). S'agissant, comme en l'espèce, d'enfants majeurs, la jurisprudence retient que l'obligation d'entretien des parents s'étend aussi à la prise en charge des frais judiciaires. La prise en compte de la situation financière de ceux-ci est donc déterminante pour statuer sur l'indigence de l'ayant droit (<ref-ruling> consid. 3b p. 205).
3.2. La cour cantonale a confirmé le refus d'octroi de l'assistance judiciaire. Elle a considéré que le montant des honoraires prévisibles annoncé par le conseil du prévenu était "totalement extravagant" et en a par conséquent fait abstraction. Elle a en revanche retenu la note d'honoraires de plus de 30'000 francs au 7 mars 2013 - date de la demande de reconsidération d'octroi de l'assistance judiciaire. Selon les juges cantonaux, les frais d'avocat supplémentaires ne devraient pas excéder quelques dizaines de milliers de francs. Cette formulation est extrêmement vague et ne répond pas à la question de savoir si le recourant est en mesure de les acquitter - au demeurant, une fois imputé le coût des opérations déjà passées que la cour cantonale ne semble pas remettre en cause (30'000 fr. au 7 mars 2013, et près de 50'000 fr. au 21 mai 2013). L'arrêt n'expose pas les opérations encore prévisibles dans le cas d'espèce. Il ne donne aucune précision quant au stade auquel se trouve l'enquête ni quant aux mesures d'instruction encore nécessaires. On ignore également tout d'une probable audience de jugement et du temps qui devrait y être consacré. Aussi, en dépit de l'absence de tout détail relatif au montant de 120'000 francs annoncé par le conseil du recourant pour honoraires futurs, et compte tenu de frais déjà encourus relativement élevés, la cour cantonale devait-elle motiver son appréciation, à tout le moins par une évaluation des frais de défense prévisibles.
L'arrêt attaqué n'indique pas non plus le tarif horaire retenu pour déterminer les honoraires prévisibles mis à charge du recourant en cas de rejet de l'assistance judiciaire. Le Ministère public, dans ses déterminations, préconise une prise en considération des montants arrêtés par le règlement genevois sur l'assistance juridique et l'indemnisation des conseils juridiques et défenseurs d'office en matière civile, administrative et pénale. Cette manière de voir ne saurait être suivie. En effet, tant que l'assistance judiciaire n'est pas accordée, on ne saurait exiger du conseil qu'il abaisse son tarif usuel, pour autant que, comme en l'espèce, celui-ci ne soit pas excessif. C'est donc bien sur cette base que doit être déterminé le montant dont le prévenu devrait être en mesure de s'acquitter en l'absence d'octroi de l'assistance judiciaire.
Les juges cantonaux ont également souligné qu'au vu de la capacité de gain du père du prévenu, on devait attendre de lui qu'il réalise des revenus supplémentaires. L'ordonnance litigieuse n'en avait, à la faveur du recourant, pas tenu compte. Le Ministère public avait en effet renoncé à une instruction plus poussée de cette question, jugeant que, même abstraction faite de tout revenu du père, le recourant n'était pas indigent. Ainsi, les revenus hypothétiques du père du recourant sur lesquels s'appuie la cour cantonale ne sont fondés que sur de simples suppositions. Or, ici encore, si elle entendait intégrer un revenu hypothétique du père du prévenu à son raisonnement - et ainsi remettre en cause les pièces produites par le recourant -, la cour cantonale devait approfondir son instruction sur ce point.
Enfin, les juges cantonaux ont considéré que le prévenu pourrait s'assumer financièrement dans un avenir proche et qu'il pouvait parfaitement réaliser un revenu accessoire parallèlement à ses études. Le recourant le conteste. Comme le relève le Ministère public dans ses observations, on peut à tout le moins attendre de l'intéressé qu'il s'attache à démontrer ses allégations, ce qu'il n'a pas fait en l'espèce: il ne se réfère par exemple à aucun horaire ni plan d'études. Il apparaît toutefois que l'ordonnance attaquée avait tenu pour constant qu'en tant qu'étudiant, le prévenu ne réalisait aucun revenu et que la demande d'assistance judiciaire devait dès lors être examinée à la lumière de la situation financière des parents. Revenant sur cette appréciation, la cour cantonale ne pouvait, sans aucune mesure d'instruction, considérer que le recourant était en mesure de réaliser un revenu faute pour lui d'avoir pu démontrer le contraire, puisqu'à aucun moment il ne lui a été demandé de fournir des informations en ce sens (cf. arrêt 1B_288/2010 du 2 novembre 2010 consid. 3.4).
3.3. En résumé, alors même qu'après quelques mois de procédure seulement, les frais de défense pour les opérations déjà passées s'élevaient à un montant relativement proche de la part avérée du disponible biennal du recourant, l'autorité cantonale a confirmé un refus de l'octroi de l'assistance judiciaire. Elle a fondé ce refus d'une part sur le montant des opérations encore nécessaires à la défense du prévenu et d'autre part sur ses revenus supplémentaires supposés. Or aucun de ces motifs n'est détaillé dans l'arrêt attaqué (ni n'a fait l'objet d'une instruction particulière), de sorte qu'ils ne peuvent être retenus avec suffisamment de vraisemblance.
En définitive, dans un cas aussi peu évident, il appartient à l'autorité saisie de déterminer avec précision, et non sur la base de simples hypothèses, quels sont les moyens de l'intéressé et les coûts estimés de sa défense. Lorsque, comme en l'espèce, le prévenu n'est pas indigent, mais que les frais de la procédure peuvent se révéler particulièrement élevés, il y a lieu d'examiner - dans l'esprit de l'<ref-law> qui prévoit un remboursement des frais de la part du prévenu dont la situation financière le permet - si un octroi à tout le moins partiel de l'assistance judiciaire se justifie. Le dossier doit dès lors être retourné à la cour cantonale pour complément d'instruction.
4.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être admis. L'arrêt entrepris est annulé et la cause est renvoyée à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
En vertu de l'art. 68 al. 1 et 2 LTF, le recourant, qui obtient gain de cause avec l'aide d'une avocate, a droit à des dépens à la charge du canton de Genève. Conformément à l'<ref-law>, il n'est pas perçu de frais judiciaires. La demande d'assistance judiciaire pour la présente procédure est par conséquent sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis; l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Une indemnité de dépens de 1'500 francs est allouée à l'avocate du recourant, à la charge du canton de Genève.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 14 novembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Sidi-Ali