A.- H._ a travaillé pour X._ S.A.
(ci-après: X._)à partir de 1979. Il a été promu sous-directeur en 1990. A ce titre, il était notamment responsable de la caisse de l'entreprise.
Outre son salaire, H._ a perçu un bonus de 25 000 fr. en 1991 et de 20 000 fr. en 1992. Le bonus des années suivantes est l'un des objets de la contestation opposant travailleur et employeur.
Le 1er janvier 1993, la totalité du capital-actions de X._ a été repris par le groupe Y._ S.A. Dès cette date, H._ a assumé seul la direction commerciale de l'entreprise; il était directement rattaché à la direction générale de Y._ S.A. Son salaire mensuel s'élevait alors à 10 000 fr.
Des différences de caisse importantes sont apparues lors de la vérification des comptes de l'exercice 1994. A la suite d'un audit, le conseil d'administration de X._ a adopté en 1995 des directives concernant l'organisation de la comptabilité de l'entreprise. Il en résultait notamment que le solde en caisse ne devait jamais excéder 5000 fr. et que le responsable de la caisse était H._, seul à détenir les clés du coffre; les directives instituaient également la remise mensuelle des notes de frais et de leurs justificatifs.
Au début 1996, X._ et H._ ont signé un document fixant les objectifs à atteindre et prévoyant les conditions nécessaires à l'octroi de bonus.
Le 8 juillet 1996, X._ a prêté à H._ une somme de 40 000 fr., portant intérêts à 6% l'an et remboursable par acomptes mensuels de 500 fr. ainsi que par un montant à définir lors de l'attribution de la prime annuelle.
En automne 1997, H._ a prié X._ de lui remettre copie d'une correspondance échangée par elle avec UBS à propos d'un chèque encaissé en 1994. A la suite du refus de l'employeur, le sous-directeur s'est adressé directement à la banque, qui n'est pas entrée en matière. Lorsqu'elle a appris cette démarche, X._ a écrit le 6 novembre 1997 à H._ pour le sommer de mettre fin à ses investigations, qualifiées de "faute extrêmement grave", et pour lui adresser un avertissement.
En février 1998, il est apparu que plusieurs dysfonctionnements dans la comptabilité subsistaient, notamment au niveau des dépenses de caisse et des frais de représentation de H._; ce dernier s'est vu impartir un délai au 20 février 1998 pour produire les justificatifs de ses notes de frais pour juillet, octobre, novembre et décembre 1997.
A la suite de plaintes de collaboratrices de l'entreprise,
X._ a infligé un blâme à H._ par lettre du 12 mars 1998. Le sous-directeur était invité à cesser de proférer des remarques désobligeantes.
En avril 1998, X._ a constaté derechef que H._ n'avait pas remis ses notes de frais à temps; elle lui a imparti un nouveau délai de quatre jours. Lors d'une séance tenue le 26 mai 1998, H._ a déclaré ne pas être encore en mesure de remettre ses notes de frais pour l'exercice 1997. Par télécopie du 28 mai 1998, l'administrateur-délégué de X._ a demandé à H._ de lui faire parvenir sans délai les justificatifs de ses frais. Toujours par télécopie, il l'a relancé le 4 juin 1998, l'enjoignant à déposer sur son bureau les pièces requises au plus tard le lendemain matin. Dans un courrier recommandé du 15 juin 1998, X._ a fait savoir à H._ que sa fiduciaire lui réclamait pour le 19 juin 1998 les justificatifs relatifs aux avances de frais non régularisées pour les années 1996 à 1998; elle l'invitait à lui adresser ces documents au plus tard le matin du 19 juin 1998.
Par lettre du 18 juin 1998, H._ a répondu qu'il n'était pas en possession des justificatifs requis et qu'il attendait d'un certain Monsieur A._ qu'il lui apporte les quittances lui permettant de faire les recherches nécessaires.
Le 23 juin 1998, X._ a écrit à H._ les lignes suivantes:
"Malgré nos rappels des 4 février, 2 avril, 26 mai, 28
mai, 4 juin, 15 juin 1998 et les délais sans cesse renouvelés
que nous vous avons fixés pour obtenir les justificatifs
des avances de frais non régularisées pour les
années 1996, 1997 et 1998, vous n'avez pas été en mesure
de nous remettre ces pièces pourtant essentielles.
Votre courrier du 18 juin 1998 n'apporte aucun élément
nouveau. Vous nous dites attendre des justificatifs alors
qu'une copie de votre compte d'avances vous avait déjà été
remise lors de la séance du 2 avril 1998 sans suite de
votre part. Nous joignons néanmoins à la présente une
copie des pièces demandées à Monsieur A._ lors de
sa visite du 22 ct. (...)
Compte tenu des motifs sans cesse différents que vous avez
invoqués et de l'importance des montants pour lesquels
vous êtes aujourd'hui incapable de produire un justificatif
quelconque, voire une explication sérieuse (CHF
5'500.-- pour 1996 et CHF 12'853. 90 pour 1997), notre
confiance en vous est désormais ébranlée et il va sans
dire que, s'il se confirmait cette semaine que vous n'êtes
pas en mesure de produire les justificatifs demandés, il
en résulterait un manquement grave de votre part. (...)
Nous vous sommons de préparer pour [la] séance, qui aura
lieu vendredi 26 juin 1998, l'entier des justificatifs
requis, sans quoi il sera procédé à votre licenciement
avec effet immédiat. Notre confiance, déjà sérieusement
ébranlée, ne résisterait en effet pas à une nouvelle dérobade
de votre part. "
Lors de la séance du 26 juin 1998, H._ a produit une note manuscrite dans laquelle il admettait avoir prélevé en trop 5500 fr. pour 1996 et 14 136 fr.35 pour 1997-1998, sommes dont il se déclarait redevable envers son employeur; il considérait avoir ainsi régularisé la situation.
Par lettre datée du 25 juin et expédiée le 26 juin 1998, X._ a licencié H._ avec effet immédiat en ces termes:
"Malgré nos mises en garde répétées, nous devons constater
que vous n'avez pas été en mesure de nous remettre les
justificatifs de vos frais que nous vous réclamons depuis
plus de six mois et pour la remise desquels nous vous
avions fixé un ultime délai.
Les promesses que vous nous avez faites n'ont donc pas été
tenues et votre attitude viole manifestement la confiance
que nous avons placée en vous et que nous avons maintenue
malgré divers incidents antérieurs dus à votre comportement
avec la clientèle ou aux détournements effectués par
votre secrétaire en 1995 et jamais véritablement élucidés.
La désinvolture dont vous faites preuve s'agissant de vos
obligations de justifier les prétendus frais professionnels
qui ont été les vôtres a désormais rompu définitivement
les relations de confiance à votre égard.. "
A la même occasion, X._ a dénoncé au remboursement pour le 7 août 1998 le prêt consenti le 8 juillet 1996.
En août 1998, X._ a mis H._ en demeure de lui rembourser les montants de 15 957 fr.40, correspondant aux prélèvements injustifiés, et de 22 004 fr.45, représentant le solde du prêt à rembourser. Elle lui a également adressé une facture de 1586 fr.85 pour la livraison d'un parasol et d'une douille de sol.
B.- Par demande du 26 novembre 1998, H._ a assigné X._ en paiement de 257 996 fr.85 (recte:
257 996 fr.60), plus intérêts. Ses prétentions se décomposaient de la manière suivante:
-67 740 fr. à titre de salaire pendant le délai de congé;-67 740 fr. à titre d'indemnité pour licenciement immédiat
injustifié;- 5375 fr. à titre de treizième salaire pour les six
derniers mois de 1998;-47 700 fr. à titre de vacances;-99 500 fr. à titre de primes;
le tout sous imputation d'un montant de 30 058 fr.40.
X._ a conclu au déboutement du demandeur et à ce qu'il lui soit donné acte de ce qu'elle reconnaissait devoir à H._ la somme de 39 234 fr.50 à titre de solde de vacances. Elle a formé par ailleurs une demande reconventionnelle portant sur le paiement d'un montant de 45 548 fr.70, plus intérêts, se divisant ainsi:
-15 957 fr.40 en remboursement des sommes prélevées
indûment dans la caisse de l'entreprise;-22 004 fr.45 en remboursement du prêt du 8 juillet 1996;- 6000 fr. en remboursement de l'avance permanente
consentie;- 1586 fr.85 correspondant à la facture impayée du 31 août
1998.
Par jugement du 26 septembre 2000, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a donné acte à X._ de ce qu'elle reconnaissait devoir à H._ la somme de 39 234 fr.50, avec intérêts à 5% dès le 26 juin 1998 et l'y a condamnée en tant que de besoin; par ailleurs, il a condamné H._ à verser à X._ la somme de 39 548 fr.70, avec intérêts à 5% sur 15 957 fr.40 dès le 26 juin 1998 et sur 22 004 fr.45 dès le 8 août 1998 et à 8% sur 1586 fr.85 dès le 1er octobre 1998; enfin, il a dit que les sommes précitées seraient compensées à due concurrence.
Statuant le 20 mars 2001 sur appel de H._ et appel incident de X._ la Cour d'appel des prud'hommes a confirmé le jugement de première instance. Cette décision a été expédiée pour notification le 13 juin 2001.
C.- H._ interjette un recours en réforme au Tribunal fédéral. Il y reprend les conclusions en paiement formulées en première instance, sauf sur les primes qu'il réduit à un montant global de 79 500 fr.
A titre principal, X._ propose l'irrecevabilité du recours; elle conclut subsidiairement à son rejet.

Considérant en droit :
1.- a) Saisi d'un recours en réforme, le Tribunal fédéral fonde son arrêt sur les faits tels qu'ils ont été constatés par la dernière autorité cantonale, à moins que des dispositions fédérales en matière de preuve n'aient été violées, qu'il y ait lieu de rectifier des constatations reposant sur une inadvertance manifeste (art. 63 al. 2 OJ) ou qu'il faille compléter les constatations de l'autorité cantonale parce que celle-ci n'a pas tenu compte de faits pertinents et régulièrement allégués (art. 64 OJ; <ref-ruling> consid. 2c p. 252; <ref-ruling> consid. 2a et les arrêts cités).
Ces exceptions mises à part, il ne peut être présenté de griefs contre les constatations de fait; de même, la juridiction de réforme ne tiendra pas compte de faits ou de moyens de preuve nouveaux (art. 55 al. 1 let. c OJ). Le recours en réforme ne permet pas de remettre en cause l'appréciation des preuves à laquelle l'autorité cantonale s'est livrée (<ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 3a).
Au demeurant, s'il ne saurait aller au-delà des conclusions des parties, le Tribunal fédéral n'est lié ni par les motifs qu'elles invoquent (art. 63 al. 1 OJ), ni par les considérants de la décision cantonale (art. 63 al. 3 OJ; <ref-ruling> consid. 2c p. 252/253; <ref-ruling> consid. 2a).
b) Faisant fi de ces règles qu'il cite pourtant, le demandeur présente un état de fait émaillé d'éléments qui ne ressortent nullement de l'arrêt attaqué ou même qui contredisent les constatations cantonales. Se référant à des pièces ou à des témoignages, il entend procéder à sa propre appréciation des preuves sur de nombreux points, comme par exemple la responsabilité de la tenue de la caisse, le versement des primes, le montant des avances perçues au titre de frais de représentation ou encore l'existence d'un prétendu complot fomenté à son encontre. Conformément aux principes rappelés ci-dessus, la cour de céans ne tiendra pas compte des faits allégués dans le recours dans la mesure où ils s'écartent des constatations cantonales.
2.- a) A l'instar des juges de première instance dont l'argumentation la convainc, la cour cantonale estime que la défenderesse était fondée à résilier sur-le-champ le contrat de travail la liant au demandeur. En effet, malgré l'octroi de plusieurs délais, le sous-directeur n'a pas remis à son employeur les justificatifs de ses notes de frais, alors que rien n'explique pour quelle raison il aurait été empêché de fournir ces documents. Une telle attitude était propre à ruiner la confiance de l'employeur envers son collaborateur, d'autant plus que ce dernier s'était déjà vu infliger, à juste titre, un avertissement en novembre 1997 et un blâme en mars 1998.
Le demandeur se plaint d'une violation de l'<ref-law>. Il affirme s'être trouvé, sans faute de sa part, dans l'impossibilité de fournir les documents exigés; lors de la séance du 26 juin 1998, il a toutefois donné toutes explications utiles sur ce retard et sur l'état des avances au 30 juin 1998. Le demandeur observe du reste qu'il a toujours scrupuleusement comptabilisé les avances; dès lors, le rapport de confiance entre les parties ne saurait être mis en cause en l'occurrence. En outre, dans son appréciation du cas, la cour cantonale aurait omis de prendre en considération que le demandeur avait travaillé plus de vingt ans dans l'entreprise et qu'il avait toujours donné pleine satisfaction à ses employeurs, aux fournisseurs et aux clients. Par ailleurs, selon le demandeur, la date du 25 juin 1998 figurant sur la lettre de licenciement ne résulterait pas d'une erreur, comme la cour cantonale l'aurait retenu à tort. La rédaction d'une telle lettre un jour avant l'échéance fixée pour la remise des justificatifs démontrerait que la cause était déjà entendue et que les motifs invoqués à l'appui de la résiliation immédiate n'étaient que prétextes, l'employeur cherchant notamment à ne pas payer un arriéré de primes. Enfin, le blâme infligé à la suite du pseudo-mobbing ne pouvait être pris en compte par les juges, dès l'instant où cet épisode, formellement contesté par le demandeur, n'a pas été évoqué dans le cadre du licenciement.
b) Selon l'<ref-law>, l'employeur et le travailleur peuvent résilier immédiatement le contrat pour de justes motifs. Sont notamment considérées comme de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail (<ref-law>).
Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive (Brunner/Bühler/Waeber, Commentaire du contrat de travail, 2e éd., n. 1 ad <ref-law>, p. 235; Streiff/von Kaenel, Leitfaden zum Arbeitsvertragsrecht, 5e éd., n. 3 ad <ref-law>, p. 368 et les références). D'après la jurisprudence, seul un manquement particulièrement grave du travailleur justifie un licenciement immédiat. Si le manquement est moins grave, il ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement (<ref-ruling> consid. 1a, 310 consid. 3, 351 consid. 4a). Par manquement du travailleur, on entend la violation d'une obligation découlant du contrat, comme par exemple l'obligation d'exécuter le travail ou le devoir de fidélité (<ref-ruling> consid. 4d p. 472 et les arrêts cités).
Le juge apprécie librement s'il existe de justes motifs (<ref-law>). Il applique les règles du droit et de l'équité (<ref-law>). A cet effet, il prendra en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position et la responsabilité du travailleur, la nature et la durée des rapports contractuels, ainsi que la nature et l'importance des manquements. Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 1a, 310 consid. 3, 351 consid. 4a).
c) Selon les termes clairs de la lettre du 25 juin 1998, la défenderesse a licencié le demandeur parce que celui-ci, après plusieurs rappels, se révélait incapable de produire les justificatifs d'avances de frais qu'il avait prélevées durant de nombreux mois. Contrairement à ce que le demandeur prétend, aucun élément retenu dans l'arrêt attaqué ne permet de qualifier le motif invoqué de prétexte. Les juges cantonaux ont établi de manière à lier la cour de céans que la date du 25 juin 1998 figurant sur la lettre de licenciement résultait d'une erreur et que ce courrier a bel et bien été expédié le 26 juin 1998, à l'issue de la séance au cours de laquelle le demandeur n'a pas été en mesure de fournir les justificatifs requis. Quant au prétendu arriéré de primes qui aurait motivé la résiliation immédiate selon le travailleur, il ne ressort pas des faits constatés souverainement dans l'arrêt attaqué. Cela étant, il reste à examiner si le comportement reproché au demandeur constitue un juste motif de licenciement immédiat.
d) A raison de son obligation de fidélité, le travailleur est tenu de sauvegarder les intérêts légitimes de son employeur (<ref-law>) et, par conséquent, de s'abstenir de tout ce qui peut lui nuire (<ref-ruling> consid. 3a p. 27 et l'arrêt cité). Il doit en particulier veiller à ne pas porter atteinte aux intérêts pécuniaires de l'employeur (<ref-ruling> consid. 4a p. 74, 560 consid. 3a p. 561). Le comportement des cadres s'apprécie avec une rigueur accrue, eu égard au crédit particulier et à la responsabilité que leur fonction dans l'entreprise leur confère (<ref-ruling> consid. 1; arrêt non publié du 11 octobre 1994 dans la cause 4C.246/1994, reproduit in SJ 1995 p. 809 ss, consid. 3; Staehelin, Zürcher Kommentar, n. 8 ad <ref-law>; Rehbinder, Berner Kommentar, n. 9 ad <ref-law>; cf.
également <ref-ruling> consid. 3a).
Aux termes de l'<ref-law>, l'employeur rembourse au travailleur tous les frais imposés par l'exécution du travail et, lorsque le travailleur est occupé en dehors de son lieu de travail, les dépenses nécessaires pour son entretien.
En respectant la forme écrite, les parties peuvent prévoir une indemnisation forfaitaire, pour autant qu'elle couvre tous les frais nécessaires (<ref-law>). Le remboursement a lieu sur la base d'un décompte établi par le travailleur (cf. <ref-law>). Lorsque l'accomplissement de ses obligations contractuelles impose régulièrement des frais au travailleur, l'employeur lui fait une avance convenable pour les frais à couvrir, à intervalles déterminés et en tous (sic) cas chaque mois (<ref-law>). En toute hypothèse, le travailleur doit établir la nécessité des dépenses et prouver leur montant (Rehbinder, op. cit. , n. 9 ad <ref-law>); il présentera un décompte détaillé et, si possible (<ref-ruling> consid. 6b p. 150; <ref-ruling> consid. 12 p. 385), les justificatifs (Staehelin, op. cit. , n. 9 ad <ref-law>). Si le travailleur bénéficie d'avances et qu'un trop-perçu résulte du décompte, la différence sera immédiatement exigible (Staehelin, op. cit. , n. 4 ad <ref-law>; Rehbinder, op. cit. , n. 3 ad <ref-law>).
La présentation d'une note comportant des fausses indications au sujet de frais de déplacement ne constitue pas nécessairement un juste motif de résiliation immédiate du contrat de travail; il convient en effet de prendre en considération toutes les circonstances de l'espèce (<ref-ruling> consid. 6b p. 151/152; cf. également <ref-ruling> consid. 3a p. 27/28). Dans le cas particulier, le procédé incorrect du travailleur, qui ne traitait pas des rapports pécuniaires de l'entreprise avec les tiers, apparaissait comme un événement isolé; de plus, contrairement à son engagement de rembourser les frais sur une base forfaitaire, l'employeur avait exigé après coup une note détaillée (<ref-ruling> consid. 6b p. 151/152).
e) En l'occurrence, le demandeur a prélevé régulièrement des montants à titre d'avances pour ses frais professionnels.
Son droit de procéder ainsi n'est pas contesté. Au surplus, les parties n'avaient pas convenu d'un forfait. Le problème réside dans la justification d'une partie de ces dépenses; la somme en jeu est considérable, l'employeur articulant, dans sa lettre du 23 juin 1998, des montants non régularisés de 5500 fr. pour 1996 et de 12 853 fr.90 pour 1997.
L'impossibilité à justifier de telles dépenses est un manquement grave de la part d'un sous-directeur, assumant non seulement la direction commerciale de l'entreprise, mais encore la responsabilité de la caisse. Dans son recours, le demandeur prétend avoir donné à la défenderesse toutes explications utiles à propos des avances litigieuses. Force est toutefois de constater qu'aucune raison à cette absence de justificatifs ne ressort de l'arrêt attaqué. Au contraire, il apparaît que le demandeur a toujours tergiversé et ne s'est jamais expliqué clairement à ce sujet. Ainsi, après avoir été interpellé en février et en avril 1998, il déclare, le 26 mai 1998, ne pas être encore en mesure de remettre ses notes de frais pour l'exercice 1997. On ne comprend pas les raisons d'un pareil retard. C'est le lieu de rappeler que les directives adoptées à la suite de l'audit de 1995 prévoyaient la remise mensuelle des notes de frais et de leurs justificatifs.
Après que la défenderesse lui a encore réclamé les documents manquants les 28 mai, 4 juin et 15 juin 1998, le demandeur rédige la lettre du 18 juin 1998, dans laquelle il inverse les rôles, n'hésitant pas à exiger de l'employeur les quittances lui permettant d'effectuer des recherches alors qu'il dispose déjà d'une copie de son compte d'avances. A juste titre, l'employeur pouvait considérer une telle attitude comme désinvolte, ce qui l'a conduit à fixer au sous-directeur un ultime délai au 26 juin 1998 avec menace de licenciement immédiat. Finalement, faute de pouvoir justifier les prélèvements litigieux, le demandeur reconnaît, lors de la séance du 26 juin 1998, avoir perçu des montants en trop, soit 5500 fr. pour 1996 et 14 136 fr.35 pour l'exercice 1997-1998.
Contrairement au cas envisagé dans l'<ref-ruling> précité, les circonstances de l'espèce ne plaident pas en faveur du travailleur. La grande légèreté avec laquelle le demandeur a répondu aux nombreuses demandes d'explications de son employeur et l'importance des prélèvements finalement admis comme indus rendaient inéluctable la rupture des rapports de confiance entre les parties. Cela est d'autant plus vrai que le travailleur occupait une position dirigeante et était précisément en charge de la caisse. Dans ces conditions, on ne pouvait exiger de l'employeur qu'il se contente d'un simple avertissement parce que le sous-directeur, acculé, reconnaissait sa dette au bout du compte.
C'est en février 1998 que la défenderesse s'est aperçue qu'il manquait des justificatifs pour des avances prélevées en juillet, octobre, novembre et décembre 1997.
Plus tard, elle a également fait état de montants non régularisés perçus en 1996. Même si les directives internes instituaient la remise mensuelle des notes de frais et de leurs justificatifs, il n'apparaît pas que l'employeur ait tardé à agir. En effet, il appartenait en premier lieu au demandeur de respecter et de faire respecter ces prescriptions. En outre, sa position n'impliquait pas une surveillance constante de ses actes de la part de ses supérieurs. Au surplus, l'employeur a réagi dès qu'il a appris l'absence de justification de certaines avances et n'a jamais donné à croire qu'il s'accommodait de la situation, interpellant le demandeur sur le sujet à sept reprises en cinq mois.
Le comportement pour le moins négligent du sous-directeur était, à lui seul, de nature à détruire les rapports de confiance qui sont à la base du contrat de travail.
Il n'est dès lors pas nécessaire d'examiner si ceux-ci étaient déjà ébranlés auparavant pour d'autres motifs, comme les manquements antérieurs évoqués dans la lettre de licenciement.
De même, il n'y a pas lieu de revenir sur le blâme pour mobbing auquel les instances cantonales se réfèrent.
Sur le vu de ce qui précède, la Cour d'appel n'a pas violé le droit fédéral en admettant la validité du licenciement immédiat pour justes motifs signifié au demandeur. Il s'ensuit que ce dernier ne peut prétendre au paiement de son salaire pendant le délai de congé, ni à une indemnité pour licenciement injustifié, pas plus qu'au versement d'un treizième salaire pro rata temporis.
3.- a) Selon l'arrêt attaqué, le demandeur a droit à un solde de vacances de 69,5 jours. Comme les juges de première instance, la cour cantonale s'est fondée sur le calcul précis établi par la défenderesse.
Invoquant son relevé de salaire de juin 1998, le demandeur entend obtenir le paiement de 84,5 jours de vacances.
b) Le solde de vacances dû au travailleur repose sur l'appréciation des preuves soumises aux juges cantonaux. Comme, par ailleurs, le demandeur ne se plaint pas d'une inadvertance manifeste, le moyen se révèle irrecevable.
Au demeurant, le sous-directeur bénéficiait de trente jours de vacances par année, soit de quinze jours en 1998 puisque son contrat a pris fin le 30 juin. Comme il lui restait un solde de 59,5 jours à fin 1997 et qu'il avait déjà pris cinq jours en 1998, les vacances à payer représentent bien 69,5 jours. Le solde de 84,5 jours figurant sur la dernière fiche de paie, soit quinze jours de plus, s'explique par le fait que le départ du demandeur à fin juin n'avait pas encore été pris en compte.
4.- a) En ce qui concerne les bonus, la cour cantonale se réfère à l'analyse des premiers juges. Selon ces derniers, la défenderesse a prouvé le versement d'une prime de 20 000 fr. en 1993. Pour 1994, une gratification de 15 000 fr. a été payée sous forme d'acomptes mensuels. L'absence de bonus en 1995 est justifiée par la perte de plus de 90 000 fr. enregistrée en raison de la tenue déficiente de la caisse, dont le demandeur assumait la responsabilité organique.
Pour 1996, le demandeur a reçu une prime de 25 000 fr.
En revanche, rien ne lui a été versé en 1997, car les objectifs définis préalablement n'avaient pas été atteints. Aucune prime n'a été allouée non plus en 1998, les rapports de travail ayant pris fin pour justes motifs.
Le demandeur se plaint de n'avoir, depuis 1993, pratiquement plus reçu les primes jusqu'alors versées pendant plus de quinze ans. Dans le détail, il ne remet plus en cause le versement du bonus pour 1993. Il prétend en revanche que le montant de 15 000 fr. versé par acomptes en 1994 était une augmentation de salaire, et non une prime. Il nie par ailleurs sa responsabilité dans les problèmes de caisse rencontrés en 1994; à suivre le demandeur, l'employeur ne pouvait donc le priver de bonus pour 1995. La prime 1996 n'est pas critiquée. Pour 1997 et 1998, le demandeur prétend à un montant de 30 000 fr.; il se réfère à un rapport établi par lui-même, qui expliquerait les raisons indépendantes de sa volonté ayant conduit au non-respect du budget.
b) La gratification, au sens de l'<ref-law>, est une rétribution spéciale accordée à des occasions particulières et dépendant, dans une certaine mesure en tout cas, de l'employeur, si ce n'est dans son principe, à tout le moins dans son montant. N'est dès lors pas une gratification la rétribution dont le montant et l'échéance inconditionnelle sont fixés d'avance par le contrat de travail, telle le treizième mois de salaire ou une autre rétribution semblable entièrement déterminée par le contrat (<ref-ruling> consid. 5c). L'engagement de l'employeur de verser une gratification peut être prévu dans le contrat de travail ou résulter, pendant les rapports de travail, d'actes concluants, comme le versement régulier et sans réserve d'une gratification (Brunner/Bühler/Waeber, op. cit. , n. 5 ad <ref-law>, p. 55); il est ainsi admis qu'une gratification est due lorsque l'employeur l'a versée au moins trois fois sans interruption, c'est-à-dire trois années consécutives (arrêt non publié du 7 octobre 1997 dans la cause 4P.284/1996, consid. 2a in fine; Staehelin, op. cit. , n. 9 ad <ref-law>; Rehbinder, op.
cit. , n. 6 ad <ref-law>). Si les parties se sont entendues uniquement sur le principe, le montant de la gratification pourra dépendre de la qualité des prestations du travailleur (Staehelin, op. cit. , n. 24 ad <ref-law>; Rehbinder, n. 16 ad <ref-law>). Les parties peuvent également soumettre, expressément ou tacitement, le versement de la gratification à des conditions (Staehelin, op. cit. , n. 25 ad <ref-law>).
c) En l'espèce, le contrat de travail ne prévoyait pas le versement d'une prime annuelle. Cependant, un bonus a été payé en tout cas trois années de suite, soit en 1991, 1992 et 1993, de sorte que l'engagement de l'employeur résulte d'actes concluants. Le montant de la gratification était variable; selon les constatations cantonales, il dépendait, déjà en 1991, de la performance, par quoi il faut entendre les prestations du travailleur (cf. pièce n° 12 chargé X._; art. 64 al. 2 OJ). En 1996, les parties ont fixé par écrit les conditions auxquelles le versement de la prime était dû.
S'agissant de la prime versée pour 1994, il est effectivement peu courant qu'une gratification soit payée sous la forme d'acomptes mensuels. Le demandeur n'explique toutefois pas pour quelle raison un tel mode de procéder serait exclu; il se borne à alléguer que lesdits acomptes correspondaient en réalité à une augmentation de son salaire, sans étayer sa thèse. Faute de motivation suffisante du grief (art. 55 al. 1 let. c et art. 63 al. 2 OJ), il n'y a pas lieu d'examiner plus avant la question.
Selon les faits constatés par la cour cantonale, la suppression du bonus en 1995 était motivée par la mauvaise tenue de la caisse, constatée dans l'audit commandé par la défenderesse. Les dysfonctionnements enregistrés sont établis; contrairement à ce que le demandeur laisse entendre, ils ne se réduisaient pas à l'"épisode des chèques". Il ressort également des faits que le demandeur assumait la responsabilité organisationnelle de la caisse. Dès lors, puisqu'elle était fonction de la performance du travailleur, la prime pouvait ne pas être versée cette année-là, sans que ladite sanction ne suppose un comportement malhonnête de la part du demandeur.
A partir de 1996, les parties avaient posé par écrit les conditions auxquelles la prime serait versée. En 1997, le sous-directeur ne s'est pas vu accorder un bonus parce que ces conditions n'étaient pas réunies, les objectifs fixés n'ayant pas été atteints. C'est en vain que le demandeur prétend que tel n'était pas le cas en se référant à un document dont il est l'auteur. Le grief est irrecevable (art. 55 al. 1 let. c et art. 63 al. 2OJ).
Pour 1998, l'employeur n'a payé aucune gratification au sous-directeur, à juste titre. En effet, comme on l'a vu plus haut, le licenciement immédiat du demandeur était fondé.
Dès lors qu'elle disposait de justes motifs pour mettre fin immédiatement au contrat, la défenderesse n'était nullement tenue de verser au travailleur un montant à titre de gratification (Staehelin, op. cit. , n. 23 ad <ref-law>).
En résumé, les moyens soulevés par le demandeur contre l'analyse des primes opérée en instance cantonale se révèlent mal fondés ou irrecevables.
5.- a) La cour d'appel a admis la demande reconventionnelle à concurrence de 39 548 fr.70, soit 15 957 fr.40 représentant les avances perçues en trop par le demandeur, 22 004 fr.45 correspondant au prêt du 8 juillet 1996 avec les intérêts et 1586 fr.85 pour la facture du 31 août 1998.
Fondé sur un relevé de la défenderesse du 26 août 1998, le demandeur entend que la prétention reconventionnelle soit ramenée à 30 058 fr.40.
b) Le moyen est dépourvu de toute motivation de sorte qu'il n'y a pas lieu d'entrer en matière. Il convient d'observer néanmoins que le montant repris par le demandeur résulte d'une inadvertance manifeste, l'addition des deux prétentions inscrites dans le relevé invoqué aboutissant à un total de 38 058 fr.40, et non de 30 058 fr.40. En outre, le document en question ne comprend pas le montant de 1586 fr.85 facturé pour le parasol et la douille de sol.
Cela étant, la prétention reconventionnelle de la défenderesse ne peut être que confirmée.
6.- Les conclusions de la demande dépassant 30 000 fr., la procédure n'est pas gratuite (<ref-law> dans sa teneur en vigueur depuis le 1er juin 2001). Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires seront mis à la charge du demandeur (art. 156 al. 1 OJ). Ce dernier versera en outre à la défenderesse une indemnité à titre de dépens (art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable et confirme l'arrêt attaqué;
2. Met un émolument judiciaire de 6500 fr. à la charge du demandeur;
3. Dit que le demandeur versera à la défenderesse une indemnité de 6500 fr. à titre de dépens;
4. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
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Lausanne, le 22 janvier 2002 ECH
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président,
La Greffière,