Faits:
A. Par décision du 10 février 2009, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a nié le droit de G._ aux prestations de l'AI.
B. Le prénommé a déféré cette décision au Tribunal des assurances sociales de la République et canton de Genève en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. Dans sa réplique du 6 mai 2009, il a pris des conclusions subsidiaires tendant au renvoi de la cause à l'office AI.
A l'examen des procès-verbaux de l'audience d'enquêtes du 18 juin 2009 où l'office AI était représenté, le Service médical régional X._ a estimé que les avis médicaux produits en procédure de recours étaient convaincants et donnaient une autre image clinique de l'assuré (avis médical du 6 juillet 2009). Se fondant sur cette appréciation, l'office AI a proposé, par lettre du 16 juillet 2009, que la cause lui soit renvoyée afin qu'il complète l'instruction et rende une nouvelle décision.
La juridiction cantonale de recours a constaté que les parties et elle-même étaient d'accord pour dire que l'instruction de la cause nécessitait d'être complétée. Aussi par jugement du 30 juillet 2009 a-t-elle admis partiellement le recours, annulé la décision du 10 février 2009, et renvoyé la cause à l'office AI afin qu'il complète l'instruction et rende une nouvelle décision. Une indemnité de dépens de 3'500 fr. a été allouée à l'assuré.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause au tribunal cantonal des assurances sociales afin qu'il statue à nouveau. Le recourant sollicite l'octroi de l'effet suspensif.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. L'office recourant élève deux griefs à l'encontre du jugement de renvoi. D'une part, il reproche aux premiers juges d'avoir omis de lui transmettre la réplique de l'assuré intimé du 6 mai 2009, dont il n'a découvert l'existence qu'à la lecture du jugement du 30 juillet 2009. D'autre part, il soutient que le montant de l'indemnité de dépens (3'500 fr.) n'est pas motivé, de sorte qu'il ignore comment ceux-ci ont été fixés.
2. 2.1 Une décision de renvoi de première instance est une décision incidente contre laquelle un recours devant le Tribunal fédéral n'est admissible que si les conditions de l'<ref-law> sont remplies (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 481, 133 V 645 consid. 2.1 p. 647 et les références).
En l'espèce, le jugement de renvoi pour instruction complémentaire et nouvelle décision ne cause aucun dommage irréparable à l'administration, car il ne comporte pas d'instructions sur la manière dont elle devra trancher certains aspects du rapport litigieux. Sa latitude de jugement n'est pas restreinte (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 483).
2.2 Le défaut de communication de la réplique du 6 mai 2009 ne permet pas à l'office recourant qui s'en prévaut d'attaquer le jugement de renvoi pour ce seul motif. En effet, le recourant a lui-même demandé à être saisi à nouveau de l'affaire pour compléter l'instruction, sans connaître le point de vue de la partie adverse sur cette question, de sorte que son droit d'être entendu n'a pas été violé. De toute manière, le recourant ne soutient pas qu'il aurait pris d'autres conclusions (que le renvoi de la cause) s'il avait eu préalablement connaissance de la réplique du 6 mai 2009. Enfin, la juridiction cantonale a fait entièrement droit aux conclusions du recourant, si bien que ce dernier n'est ni particulièrement atteint (<ref-law>) par le jugement attaqué, ni même formellement lésé par le renvoi de l'affaire.
2.3 Selon la jurisprudence, le recours en matière de droit public est irrecevable contre une décision de renvoi (non-contestée sur le fond) en tant qu'il porte sur le bien-fondé, au regard du droit fédéral, du refus d'accorder l'assistance judiciaire gratuite pour la procédure d'opposition ainsi que sur celui de la fixation des dépens alloués pour la procédure cantonale et de l'indemnité corrélative versée au titre de l'assistance judiciaire gratuite (<ref-ruling> consid. 2 p. 647). En tant qu'il porte sur l'indemnité de dépens ou sur la justification du montant alloué, le recours est donc également manifestement irrecevable (<ref-law>).
3. Vu le sort de la cause, la demande d'attribution de l'effet suspensif au recours n'a plus d'objet.
4. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Président prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 19 octobre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud