Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Die beiden angefochtenen Beschlüsse betreffen Strafsachen. Folglich ist die als "Verfassungsbeschwerde" überschriebene Eingabe als Beschwerde im Sinne von <ref-law> entgegenzunehmen.
2. Die Bundesrichter Féraud, Aemisegger und Aeschlimann wirken am vorliegenden Verfahren nicht mit. Das entsprechende Ausstandsgesuch (Antrag 2) ist deshalb gegenstandslos.
3. Im vorliegenden Verfahren geht es nicht um gegen den Beschwerdeführer erlassene Administrativmassnahmen. Auf den Antrag auf deren Aufhebung (Antrag 8) ist nicht einzutreten.
4. Im Beschluss vom 20. Mai 2008 wurde auf einen Rekurs des Beschwerdeführers nicht eingetreten, weil die Vorinstanz sich als nicht zuständig zur Behandlung des Rechtsmittels erachtete, und der Beschwerdeführer die Weiterleitung an die zuständige Stelle explizit ablehnte (Beschluss S. 3). Sein Hinweis auf § 22 Abs. 6 der Strafprozessordnung des Kantons Zürich (Beschwerde S. 6) geht an der Sache vorbei. Diese Bestimmung regelt die Frage, welche Instanz für die Behandlung eines Rekurses gegen eine Überweisungsverfügung der Staatsanwaltschaft zuständig ist, nicht. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, der angefochtene Beschluss verstosse gegen <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK (a.a.O.), genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht.
5. Im Beschluss vom 28. Mai 2008 wurde auf eine Strafanzeige des Beschwerdeführers gegen zwei Polizeibeamte, die ihn zu einer amtsärztlichen Untersuchung angemeldet und dadurch ihre Befugnisse überschritten haben sollen, nicht eingetreten, weil keine Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung ersichtlich seien. Der Beschwerdeführer ist als angeblich Geschädigter, der nicht Opfer im Sinne des Opferhilfegesetzes ist, in Bezug auf diesen Beschluss zur Beschwerde nicht legitimiert (<ref-ruling>).
6. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung und andere vorsorgliche Massnahmen (Antrag 1) gegenstandslos geworden. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, Anklagekammer, und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Juli 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn