Faits:
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A. A.a Au printemps 1991, les frères F.X._ et G.X._ ont donné en location à X._ AG des locaux professionnels, à Berne, pour un loyer forfaitaire de 215'000 fr. l'an. Le bail a été consenti pour une durée de dix ans à compter du 1er avril 1991, soit jusqu'au 31 mars 2001. Les frères X._ ont signé le contrat aussi bien comme bailleurs qu'en qualité d'administrateurs de la société locataire. H.Y._ et I.Y._ ont également signé ce contrat. Ils étaient les associés de la société en nom collectif Y._ & Fils, active dans le domaine des articles de boucherie, qui avait acquis la totalité du capital-actions de X._ AG en mars 1991. Le contrat de bail prévoyait l'ouverture d'un compte de garantie de loyer ou la constitution d'une garantie bancaire d'un montant de 107'500 fr.
Le 22 avril 1992, la banque B._, à Lausanne, a créé, en faveur de F.X._ et G.X._, une lettre de garantie ainsi libellée:
"(...)Nous vous informons que, d'ordre et pour le compte de Messieurs Y._ & Fils (...), nous nous portons garants vis-à-vis de vous, à concurrence de la somme de 107'500 fr. (...) à titre de cautionnement solidaire, au sens des art. 492 et suivants CO, pour assurer le paiement régulier du loyer d'une boucherie à Berne."
A la même date, la banque B._ a adressé à Y._ & Fils un document ayant notamment le contenu suivant:
"(...) Pour faire suite à votre demande, nous vous confirmons que nous délivrons, pour votre compte, une lettre de garantie (...), à titre de cautionnement solidaire au sens des art. 492 et suivants CO, de 107'500 fr. (...) en faveur de Messieurs F.X._ et G.X._ (...) , pour assurer le paiement régulier du loyer d'une boucherie à Berne.
(...)
Validité: pour toute la durée du bail et ses renouvellements éventuels.
(...)"
I.Y._ et H.Y._ ont tous deux contresigné ce document.
A.b Le 27 décembre 1994, Y._ & Fils a revendu toutes les actions de X._ AG qu'elle possédait. Elle a admis, en procédure, n'être plus partie au contrat de bail précité depuis le 1er janvier 1995. Il est établi que les loyers de la boucherie ont été intégralement payés jusqu'à cette date. Ladite boucherie a fermé ses portes en décembre 1994 pour être remplacée, en mars 1995, après quelques travaux de transformation, par une boulangerie.
Au cours de l'année 1995, X._ AG a pris du retard dans le paiement des loyers dus à F.X._ et G.X._. Le 17 novembre 1995, la gérance s'est adressée à la banque B._ pour l'informer d'un arriéré de près de 50'000 fr. et en exiger le paiement sur la base de l'engagement pris le 22 avril 1992. La banque a accusé réception de ce courrier mais on ignore si elle s'est déterminée à son sujet. En revanche, le 23 septembre 1996, la banque A._, qui avait repris les actifs et passifs de la banque B._, a informé F.X._ et G.X._ que la lettre de garantie émise le 22 avril 1992 était nulle du fait que le contrat de bail ne liait pas Y._ & Fils, qui n'avait jamais été débitrice des bailleurs. Le 30 septembre 1996, en réponse à une nouvelle demande de la gérance portant sur un arriéré de loyers supérieur à 50'000 fr., la banque A._ a signifié à celle-ci son refus d'obtempérer, motif pris de la nullité de l'engagement litigieux. Elle a confirmé son refus dans un courrier du 9 octobre 1996. Enfin, dans une lettre du 10 avril 1997 adressée au conseil des bailleurs, elle a précisé sa position en invoquant formellement l'erreur essentielle quant à l'identité du locataire, lequel n'était pas Y._ & Fils, une cliente bien connue d'elle, mais X._ AG, une société qui lui était inconnue.
A.c Au 30 avril 1997, les loyers en souffrance dus par X._ AG s'élevaient à 151'992 fr. En vertu d'un accord passé avec les bailleurs, E._ ont versé à ceux-ci la somme de 100'000 fr., réduisant ainsi le solde des loyers arriérés à 51'992 fr.
Le 12 décembre 1997, F.X._ est devenu l'unique propriétaire de l'immeuble abritant la boulangerie.
Le 12 décembre 1997, F.X._ est devenu l'unique propriétaire de l'immeuble abritant la boulangerie.
B. Le 18 septembre 1998, F.X._ a assigné la banque A._ en paiement d'un montant arrêté en cours d'instance à 51'992 fr., intérêts en sus.
La défenderesse a conclu au rejet de la demande. Elle a appelé en cause Y._ & Fils afin qu'elle la relève de tous les montants éventuellement mis à sa charge.
L'appelée en cause a conclu au rejet tant des conclusions du demandeur que de celles de la défenderesse dirigées contre elle.
Par jugement du 4 avril 2002, la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté la demande principale de même que les conclusions prises par la défenderesse à l'encontre de l'appelée en cause. Les juges cantonaux ont admis la validité du cautionnement litigieux, mais ils ont retenu que la banque avait invalidé son engagement en invoquant à bon droit son erreur sur la personne du débiteur principal. Selon eux, cette erreur était certes fautive, au sens de l'<ref-law>; toutefois, les conditions justifiant l'allocation de dommages-intérêts de ce chef n'étaient pas réalisées en l'espèce.
Par jugement du 4 avril 2002, la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté la demande principale de même que les conclusions prises par la défenderesse à l'encontre de l'appelée en cause. Les juges cantonaux ont admis la validité du cautionnement litigieux, mais ils ont retenu que la banque avait invalidé son engagement en invoquant à bon droit son erreur sur la personne du débiteur principal. Selon eux, cette erreur était certes fautive, au sens de l'<ref-law>; toutefois, les conditions justifiant l'allocation de dommages-intérêts de ce chef n'étaient pas réalisées en l'espèce.
C. Le demandeur interjette un recours en réforme au Tribunal fédéral. Il y reprend les conclusions qu'il avait soumises à la cour cantonale. Selon lui, le cautionnement en cause n'est pas entaché d'erreur et le solde des loyers arriérés déterminé, de sorte que la défenderesse doit honorer son engagement.
La défenderesse et l'appelée en cause concluent toutes deux au rejet du recours.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1.1 Interjeté par la partie demanderesse qui a succombé dans ses conclusions condamnatoires et dirigé contre un jugement final rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 48 al. 1 OJ) sur une contestation civile dont la valeur litigieuse dépasse le seuil de 8'000 fr. (art. 46 OJ), le recours en réforme est en principe recevable, puisqu'il a été déposé en temps utile (art. 54 al. 1 OJ) dans les formes requises (art. 55 OJ)
1.2 Le recours en réforme est ouvert pour violation du droit fédéral, mais non pour violation directe d'un droit de rang constitutionnel (art. 43 al. 1 OJ) ou pour violation du droit cantonal (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2a, 370 consid. 5).
Saisi d'un recours en réforme, le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement sur la base des faits contenus dans la décision attaquée, à moins que des dispositions fédérales en matière de preuve n'aient été violées, qu'il y ait lieu à rectification de constatations reposant sur une inadvertance manifeste (art. 63 al. 2 OJ) ou qu'il faille compléter les constatations de l'autorité cantonale parce que celle-ci n'a pas tenu compte de faits pertinents, régulièrement allégués et clairement établis (art. 64 OJ; <ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2a). Il ne peut être présenté de griefs contre les constatations de fait, ni de faits ou de moyens de preuve nouveaux (art. 55 al. 1 let. c OJ). Le recours n'est pas ouvert pour remettre en cause l'appréciation des preuves et les constatations de fait qui en découlent (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 3a).
Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties, mais il n'est pas lié par les motifs qu'elles invoquent (art. 63 al. 1 OJ), ni par l'argumentation juridique retenue par la cour cantonale (art. 63 al. 3 OJ; <ref-ruling> consid. 2e/cc; <ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2a).
Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties, mais il n'est pas lié par les motifs qu'elles invoquent (art. 63 al. 1 OJ), ni par l'argumentation juridique retenue par la cour cantonale (art. 63 al. 3 OJ; <ref-ruling> consid. 2e/cc; <ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2a).
2. Il n'est pas contesté ni contestable que le contrat conclu le 22 avril 1992 par la banque B._ avec le demandeur et son frère doit être qualifié de cautionnement.
2.1 Aux termes de l'<ref-law>, le cautionnement est un contrat par lequel une personne s'engage envers le créancier à garantir le paiement de la dette contractée par le débiteur. L'objet du cautionnement porte sur la garantie d'une créance principale. Le cautionnement se caractérise ainsi par sa nature accessoire: l'obligation de la caution dépend de l'existence et du contenu de la dette principale, laquelle doit être déterminée ou, en tout cas, déterminable dès la conclusion du contrat. Dire quelle est la créance garantie est une question d'interprétation du contrat (<ref-ruling> consid. 3a et les références; voir aussi: Tercier, Les contrats spéciaux, 3e éd., n. 6008 ss).
2.2 En l'espèce, il ressort clairement de la déclaration faite le 22 avril 1992 par la caution (la banque B._) aux créanciers (les frères X._, en leur qualité de bailleurs et bénéficiaires de la garantie afférente au paiement du loyer) que la banque agissait en faveur des Y._. Sans doute la formulation de cette déclaration ne permet-elle pas de dire si la dette garantie était une dette personnelle des Y._ ou une dette de la société en nom collectif Y._ & Fils. Toutefois, seule est décisive, pour l'issue du présent litige, la circonstance que la dette visée par ladite déclaration était bien une dette des Y._.
Force est en outre de souligner que, dans la déclaration litigieuse, la dette principale était définie concrètement comme étant celle relative au loyer d'une boucherie, à Berne.
On ne saurait admettre, sur le vu des constatations faites par la cour cantonale, que les bénéficiaires de la garantie, c'est-à-dire les frères X._, auraient pu attribuer de bonne foi à la déclaration du 22 avril 1992 une autre signification que celle qui résulte du texte de cet écrit. A cet égard, il convient d'observer que le nom de la société X._ AG n'apparaît jamais, à l'époque, entre la banque B._, d'une part, et les frères X._ ou même les Y._, d'autre part. Au demeurant, comme ces derniers étaient des clients de la banque actifs dans le commerce de boucherie, les précisions figurant dans la déclaration de cautionnement quant à l'affectation des locaux loués revêtaient de l'importance. Rien ne permet, en effet, de penser qu'il eût été indifférent à la banque de s'engager en faveur d'une autre société (X._ AG) que celle mentionnée dans cette déclaration ou d'un autre type de commerce que celui qui y est indiqué en toutes lettres (une boucherie). D'ailleurs, le demandeur n'avance aucun élément concret dont on pourrait inférer que, en dépit de la formulation de la déclaration de cautionnement, les bénéficiaires de la garantie pouvaient raisonnablement partir de l'idée que la caution n'attachait pas d'importance à la personne du débiteur principal et à l'affectation des locaux loués.
Il suit de là que, contrairement à l'opinion erronée des premiers juges, la banque B._ n'a pas commis d'erreur sur la personne du débiteur principal puisqu'elle a entendu garantir une dette des personnes - les Y._ ou la société en nom collectif éponyme - nommément désignées dans la déclaration de cautionnement.
2.3 Il appert des constatations de la cour cantonale que la dette impayée, pour laquelle le demandeur se retourne contre la caution, est une dette de la société X._ AG se rapportant à des arriérés de loyer pour les locaux d'une boulangerie exploitée, à Berne. Le demandeur lui-même reproduit du reste, dans son recours, l'affirmation de l'appelée en cause voulant que cette dernière n'ait plus été locataire desdits locaux pendant la période durant laquelle les loyers sont demeurés impayés.
Ainsi, il est évident que la dette invoquée par le demandeur à l'égard de la caution n'est pas celle dont le cautionnement litigieux garantissait le paiement. La cour cantonale a donc eu raison de rejeter la demande. La solution qu'elle a retenue, sinon les motifs censés la justifier, n'est en rien contraire au droit fédéral. Par conséquent, le recours en réforme du demandeur ne peut qu'être rejeté.
Ainsi, il est évident que la dette invoquée par le demandeur à l'égard de la caution n'est pas celle dont le cautionnement litigieux garantissait le paiement. La cour cantonale a donc eu raison de rejeter la demande. La solution qu'elle a retenue, sinon les motifs censés la justifier, n'est en rien contraire au droit fédéral. Par conséquent, le recours en réforme du demandeur ne peut qu'être rejeté.
3. Dès lors qu'il succombe, le demandeur devra payer les frais de la procédure fédérale (art. 156 al. 1 OJ) et indemniser ses parties adverses (art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à la défenderesse une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens et à l'appelée en cause une indemnité de 1'000 fr. au même titre.
3. Le recourant versera à la défenderesse une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens et à l'appelée en cause une indemnité de 1'000 fr. au même titre.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 28 mars 2003
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: