Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ heirateten 1952. Seit 2008 ist ihr Scheidungsverfahren hängig.
Das Kantonsgericht Schaffhausen schied die Ehe der Parteien mit Urteil vom 5. Juni 2012. A.A._ wurde verpflichtet, B.A._ in Abgeltung ihrer güterrechtlichen Ansprüche Fr. 240'293.90 zu bezahlen. Die Verfahrenskosten wurden zu drei Vierteln A.A._ und zu einem Viertel B.A._ auferlegt und A.A._ wurde verpflichtet, B.A._ mit Fr. 4'000.-- (entsprechend der Hälfte ihrer Anwaltsrechnung) zu entschädigen.
B.
Gegen dieses Urteil erhob A.A._ am 11. Juli 2012 Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Er verlangte die Aufhebung der Verurteilung zur güterrechtlichen Zahlung und der Gerichtskostenauflage sowie der Verpflichtung zur Bezahlung der Prozessentschädigung. Er sei zu verpflichten, B.A._ in Abgeltung ihrer güterrechtlichen Ansprüche Fr. 90'078.20 zu bezahlen. Mit Entscheid vom 27. Mai 2014 wies das Obergericht die Berufung ab (Besetzung: C._, Vizepräsident, D._ und E._, Oberrichterinnen, F._, Gerichtsschreiberin).
C.
Am 26. Juni 2014 (Postaufgabe) hat A.A._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und das Obergericht anzuweisen, die Sache neu zu beurteilen, unter Ausschluss von Oberrichter C._ und der Oberrichterinnen D._ und E._. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung. Er rügt die Gerichtszusammensetzung und die Berechnung der güterrechtlichen Ersatzforderung.
Das Obergericht hat am 2. Juli 2014 auf Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. B.A._ (Beschwerdegegnerin) hat sich dem Gesuch am 4. Juli 2014 widersetzt. Mit Präsidialverfügung vom 8. Juli 2014 hat das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen. In der Sache hat das Obergericht bereits in der Eingabe vom 2. Juli 2014 zur Rüge der fehlerhaften Gerichtszusammensetzung Stellung genommen. Im Übrigen hat es mit Eingabe vom 29. September 2014 auf Stellungnahme verzichtet und auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen. In ihrer Beschwerdeantwort vom 7. Oktober 2014 beantragt die Beschwerdegegnerin, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75, Art. 76, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG). Zwar enthält die Beschwerde keinen materiellen Antrag in der Sache, wie dies grundsätzlich erforderlich wäre (<ref-law>), sondern bloss einen Aufhebungs- und Rückweisungsantrag. Der Beschwerdeführer rügt jedoch in erster Linie die unrichtige Zusammensetzung des Spruchkörpers (<ref-law>), so dass aufgrund der formellen Natur der Rüge bei ihrer Begründetheit eine Rückweisung erfolgen müsste und das Bundesgericht nicht selber in der Sache urteilen könnte. Insoweit ist der blosse Rückweisungsantrag demnach ausnahmsweise zulässig (<ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, der angefochtene Entscheid sei gemäss Rubrum unter Mitwirkung von Gerichtsschreiberin F._ gefällt worden. Der Entscheid sei unleserlich "i.V." unterschrieben worden. F._ sei jedoch zum Urteilszeitpunkt (27. Mai 2014) gar nicht mehr am Obergericht tätig gewesen, sondern nur bis Ende April 2014. Sie habe deshalb am Entscheid nicht selber mitwirken können und da sie nicht mehr am Obergericht tätig gewesen sei, habe auch niemand in ihrer Vertretung unterschreiben können. Damit sei sein Anspruch auf ein gesetzliches Gericht (<ref-law>) verletzt worden.
Das Obergericht hat in seiner Eingabe vom 2. Juli 2014 diesen Sachverhalt grundsätzlich bestätigt und Folgendes ergänzt: Das Urteil basiere auf einem Referat (vollständiger Urteilsentwurf) von Gerichtsschreiberin F._ vom 16. April 2014, die bis Ende April am Obergericht angestellt gewesen sei. Dieser Entwurf habe anschliessend bei der zuständigen Gerichtsbesetzung zirkuliert, wobei sich der Vorsitzende (Oberrichter C._) und die beisitzenden Richterinnen (Oberrichterinnen D._ und E._) mit dem Urteilsantrag ohne Gegenbemerkungen oder Abänderungsanträge am 22. April, 6. Mai und 20. Mai 2014 einverstanden erklärt hätten. Nach der Zirkulation sei der Urteilsantrag wie üblich ohne weitere Beratung und ohne materielle Änderungen zum Urteil erhoben und auf den 27. Mai 2014 datiert worden, wobei das Urteil vom Vorsitzenden und anstelle von F._ durch die a.o. Gerichtsschreiberin G._ unterschrieben worden sei.
2.2. Nach <ref-law> hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. <ref-law> gewährleistet insbesondere die gehörige Besetzung des Gerichts nach den geltenden Vorschriften. Das Gericht muss richtig zusammengesetzt sein und in vollständiger Besetzung und ohne Mitwirkung Unbefugter entscheiden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 342; <ref-ruling> E. 4.1 S. 198; <ref-ruling> E. 4b S. 131; <ref-ruling> E. 2a S. 501; GEROLD STEINMANN, in: Die schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, N. 12 zu <ref-law>). Der Anspruch auf ein auf Gesetz beruhendes Gericht ist namentlich verletzt, wenn ein Richter nach Ablauf seiner Amtszeit an einem Entscheid mitwirkt (<ref-ruling> E. 5.6 S. 218; Urteile 1C_235/2008 vom 13. Mai 2009 E. 3.2.1; 2A.575/2005 vom 17. Januar 2006 E. 2.1.3). Nach der Rechtsprechung sind die Garantien von <ref-law> auch auf die Gerichtsschreiberinnen und Gerichtsschreiber einer richterlichen Behörde anwendbar, sofern sie an der Willensbildung des Spruchkörpers mitwirken. Dies ist der Fall, wenn sie im Hinblick auf ihre Redaktionstätigkeit an der Beratung teilnehmen und ihre Auffassung äussern können, weil sie so, auch wenn sie nicht stimmberechtigt sind, unter Umständen auf den Entscheid des Gerichts Einfluss nehmen können (BGE <ref-ruling> E. 2b S. 501; <ref-ruling> E. 4c S. 262; Urteile 4P.35/2006 vom 24. März 2006 E. 2.3, in: Pra 2007 Nr. 14 S. 81; 9C_836/2008 vom 30. Oktober 2008 E. 4.1). Dies trifft gemäss Art. 51 Abs. 1 des Schaffhauser Justizgesetzes vom 9. November 2009 (SHR 173.200) zu, denn die Gerichtsschreiber und -schreiberinnen wirken danach bei der Instruktion und Entscheidfindung mit und haben beratende Stimme.
Gerichtsschreiberin F._ hat das Referat zwar noch zur Zeit ihrer Anstellung verfasst und insoweit zu diesem Zeitpunkt ihre beratende Stimme ausgeübt. Allerdings kommt es für die Frage der ordnungsgemässen Besetzung nicht auf den Zeitpunkt an, in dem ein Urteilsvorschlag verfasst oder die Zustimmung zu einem solchen erteilt wird, sondern einzig auf denjenigen Zeitpunkt, in dem das Urteil gefällt wird (Urteil 6B_113/2010 vom 22. März 2010 E. 1.3; vgl. auch Urteil 9C_185/2009 vom 19. August 2009 E. 2.1.5, in: Plädoyer 2009 6 S. 62). Dies lässt sich damit rechtfertigen, dass der zeitliche und organisatorische Ablauf der internen Entscheidfindung für die Parteien nicht ersichtlich ist. Demgegenüber kann etwa mithilfe des Staatskalenders kontrolliert werden, ob die Gerichtspersonen zum Urteilszeitpunkt berechtigt sind, an der Entscheidfindung mitzuwirken. Der angefochtene Entscheid ist somit aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dabei besteht allerdings kein Anlass, die am angefochtenen Entscheid beteiligten Richter und Richterinnen im Vorfeld für befangen zu erklären. Bei diesem Ausgang des Verfahrens erübrigt es sich, auf die das Güterrecht betreffenden Rügen des Beschwerdeführers einzugehen.
3.
Es rechtfertigt sich, ausnahmsweise au f die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 27. Mai 2014 wird aufgehoben. Die Sache wird an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg