Fatti:
A. C._, nato nel 1923, vedovo, è domiciliato nel Comune di X._. Dal mese di maggio 2004 è collocato presso la casa di cura per anziani O._ a G._. Egli è titolare di una rendita di vecchiaia nonché di un assegno per grandi invalidi dell'AVS. Beneficia inoltre di una prestazione complementare alla rendita AVS. C._ è padre di due figli, M._, nata nel 1964, domiciliata a I._, e A._, nato nel 1968, domiciliato a Y._. La prestazione complementare, ammontante a fr. 263.- mensili, è calcolata in funzione, segnatamente, di una sostanza di fr. 105'195.-. Quest'ultima è composta di un importo (ipotetico) di fr. 104'198.-, computato a titolo di sostanza ceduta ai figli nel 1997, e di un deposito di risparmio di fr. 997.-. Dedotta la franchigia di fr. 25'000.-, si giunge ad una sostanza netta di fr. 80'195.-. La stessa è considerata nella misura di un quinto, pari a fr. 16'039.-, per il reddito determinante.
In data 29 aprile 2005, C._, tramite il Servizio sociale M._, ha presentato al Comune di X._ una domanda di assistenza pubblica, poi confermata e precisata il 19 aprile 2006. La domanda era volta all'assunzione, da parte del Comune, di un contributo mensile di fr. 1'284.- per le spese di soggiorno non coperte presso l'istituto O._. Tale importo corrispondeva alla differenza fra il fabbisogno (fr. 4'133.-) e i redditi (fr. 2'849.-).

Con decisione del 12 luglio 2006 il Comune ha respinto la richiesta, considerando innanzitutto che i redditi imponibili dei figli dell'istante, vale a dire fr. 58'000.- per M._ e fr. 23'500.- per A._, non fossero tali, a quel momento, da giustificare un obbligo di assistenza fondato sul diritto di famiglia. Esso però, fondandosi sulla decisione relativa alle prestazioni complementari, ha constatato che il richiedente aveva ceduto sostanza per un importo di fr. 105'195.- (recte: fr. 104'198.-). Senza questa cessione, la prestazione complementare sarebbe ammontata a fr. 1'555.- mensili. Tenuto conto della sostanza ceduta, l'importo mensile dei redditi superava di fr. 95.- quello delle spese, secondo il calcolo seguente:
Redditi:
a. rendita AVS fr. 1'726.-
b. assegno per grandi invalidi fr. 860.-
c. prestazione complementare fr. 263.-
d. rinuncia alla sostanza fr. 1'336.- (fr. 16'039.- : 12)
e. interessi su fr. 1'336.- fr. 43.-
totale fr. 4'228.-
Spese:
a. premio assicurazione-malattia fr. 228.-
b. Importo forfettario per persona collocata fr. 255.-
c. spese di ricovero fr. 3'650.-
totale fr. 4'133.-
B. Per giudizio del 16 gennaio 2007 il Tribunale amministrativo del Cantone dei Grigioni ha respinto il ricorso contro questa decisione di C._, patrocinato dall'avv. Paola Bottinelli Raveglia.
C. Sempre tramite l'avv. Bottinelli Raveglia, C._ ha interposto un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, al quale chiede di accogliere la sua domanda e di condannare il Comune di X._ al versamento della somma di fr. 1'284.- mensili dal 1° febbraio 2006, oltre interessi del 5% a partire dall'inoltro della domanda. Subordinatamente, postula il rinvio della causa all'istanza precedente per nuova pronuncia.
Il Comune di X._ ha proposto la reiezione del gravame.
Diritto:
1. 1.1 Essendo la decisione impugnata stata pronunciata dopo l'entrata in vigore, il 1° gennaio 2007 (RU 2006 1241), della legge sul Tribunale federale (LTF; RS 173.110), il ricorso è disciplinato dal nuovo diritto (<ref-law>).
1.2 Interposto da una parte particolarmente toccata dalla decisione e avente un interesse degno di protezione al suo annullamento o alla sua modifica (<ref-law>), il ricorso, diretto contro una decisione finale (<ref-law>) pronunciata in una causa di diritto pubblico (<ref-law>) da un'autorità cantonale di ultima istanza (art. 86 cpv. 1 lett. d LTF), è di principio ricevibile essendo stato depositato entro il termine (<ref-law>) e nella forma (<ref-law>) di legge senza che si realizzi un'eccezione ai sensi dell'<ref-law>.
1.3 Il ricorso può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (<ref-law>). Esso non è vincolato né dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità inferiore; può dunque accogliere un ricorso per motivi diversi da quelli invocati dalla parte insorgente e respingerlo adottando un'argomentazione differente da quella esposta nel giudizio impugnato (v. <ref-ruling> consid. 1.4.1 pag. 254 con riferimenti). Tenuto conto dell'esigenza di motivazione di cui all'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, sotto pena d'inammissibilità (<ref-law>), il Tribunale federale esamina in linea di principio solo le censure sollevate; esso non è tenuto a esaminare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono se queste ultime non sono più oggetto di discussione in sede federale. Il Tribunale non può entrare nel merito sulla pretesa violazione di un diritto costituzionale o su questioni attinenti al diritto cantonale o intercantonale se la censura non è stata sollevata né motivata in modo preciso dalla parte ricorrente (<ref-law>).
1.4 Per il resto, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>) e vi si può scostare solo qualora questo accertamento sia avvenuto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>).
1.5 A prescindere dai casi in cui tale inesattezza sia lampante (cfr. <ref-ruling> consid. 6.2 pag. 288 in fine), la parte ricorrente che intende contestare i fatti accertati dall'autorità inferiore deve spiegare, in maniera circostanziata, per quale motivo ritiene che le condizioni di una delle citate eccezioni previste dall'<ref-law> sarebbero realizzate; in caso contrario non si può tener conto di uno stato di fatto diverso da quello posto a fondamento della decisione impugnata (cfr. <ref-ruling> consid. 1.4.3 pag. 254 con riferimento). Possono inoltre essere addotti nuovi fatti e mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore (<ref-law>).
2. 2.1 Secondo i primi giudici, il principio di sussidiarietà, pur non essendo esplicitamente sancito dalla legge, impone di considerare la sostanza alla quale il richiedente ha rinunciato volontariamente. Per la determinazione del relativo importo, è opportuno riferirsi, per analogia, alle disposizioni della LPC, applicabili in tutti gli ambiti delle prestazioni a carattere sociale. I primi giudici riconoscono che l'insorgente versa in una situazione di bisogno. Secondo essi, la questione centrale è quella di sapere se l'obbligo di assumersi le spese di mantenimento dell'interessato incomba al Comune oppure, in virtù del principio di sussidiarietà, ai figli. I giudici cantonali rilevano come in concreto l'insorgente, mediante atto di cessione a titolo di anticipo ereditario del 22 settembre 1997, abbia ceduto la sua casa di abitazione, libera da ipoteche, al figlio, riservandosi, per sé e per la moglie, nel frattempo scomparsa, un diritto d'usufrutto. Malgrado ciò, il figlio avrebbe locato la casa a terzi, che pagherebbero una pigione annuale di fr. 7'200.-. Anche ai beni ceduti alla figlia dell'insorgente andrebbe attribuito un valore commerciale. I giudici cantonali ritengono che, riprendendo i calcoli operati dagli organi competenti in materia di prestazioni complementari, il Comune non avrebbe fatto altro che tener conto dei valori effettivi. Spetterebbe quindi alle persone che hanno beneficiato, senza controprestazione, della cessione di sostanza da parte dell'insorgente fornirgli la dovuta assistenza. Soltanto quando queste fonti saranno esaurite, il Comune dovrà assumersi le prestazioni pubbliche sociali di cui l'interessato ancora necessiterà.
2.2 Il ricorrente lamenta un accertamento dei fatti e una valutazione delle prove arbitrari (<ref-law>). Egli riconosce di avere ceduto nel 1997 parte dei propri beni ai figli a titolo di anticipo ereditario. Al figlio A._ avrebbe ceduto la casa di abitazione a X._, alla figlia M._ una stalla, pure a X._, nonché una quota di comproprietà (1/3) di una casa sita a R._. I due figli avrebbero inoltre ricevuto dei boschi privi di valore di mercato. A mente dell'insorgente, la casa di abitazione non sarebbe stata ceduta senza controprestazione, poiché la cessione era combinata con un diritto di usufrutto in suo favore e in favore della moglie. Tale diritto è stato cancellato con effetto dal 13 aprile 2005, in seguito al suo ricovero alla casa di cura per anziani O._. Sempre secondo l'insorgente, è vero che la casa di abitazione a X._ è locata a terzi per una pigione annuale di fr. 7'200.-. Tuttavia, i primi giudici non avrebbero tenuto conto del fatto che la casa stessa è gravata da una prima ipoteca e da un prestito ipotecario per complessivi fr. 148'000.-. L'onere ipotecario complessivo ammonterebbe a fr. 15'200.- annui, somma, questa, superiore al reddito locativo. La quota di comproprietà della figlia M._, infine, sarebbe stata messa in vendita, ma senza successo.
Il ricorrente fa quindi valere la violazione dell'<ref-law>, dei principi di legalità e di proporzionalità, nonché l'applicazione arbitraria del diritto cantonale da parte dell'autorità di primo grado.
3. 3.1 Giusta l'<ref-law>, chi è nel bisogno e non è in grado di provvedere a sé stesso ha diritto d'essere aiutato e assistito e di ricevere i mezzi indispensabili per un'esistenza dignitosa. L'aiuto in situazioni di bisogno è subordinato al rispetto del principio di sussidiarietà, nel senso che non può prevalersene colui che, oggettivamente, è in misura di procurarsi con le proprie forze i mezzi indispensabili alla sua sopravvivenza. Una tale persona non è considerata versare in una situazione di bisogno, presupposto necessario per poter beneficiare di un aiuto (<ref-ruling> consid. 4.1 pag. 173, 130 I 71 consid. 4.3 pag. 75). Inoltre, la Costituzione federale garantisce soltanto il diritto a un minimo d'esistenza, lasciando al legislatore federale, cantonale o comunale il compito di fissarne la portata e le modalità. Nel Cantone dei Grigioni, l'aiuto sociale è segnatamente disciplinato dalla legge sull'assistenza alle persone nel bisogno del 3 dicembre 1978 (RS/GR 546.250).
3.2 In materia di prestazioni complementari, a norma dell'art. 3c cpv. 1 lett. g LPC, i redditi determinanti comprendono le entrate e le parti di sostanza a cui l'assicurato ha rinunciato. Una rinuncia ai sensi di questa disposizione è data, segnatamente, allorquando una persona assicurata rinuncia, senza obbligo giuridico, a elementi di sostanza, o può pretendere determinati elementi di reddito e di sostanza, senza però far valere i relativi diritti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 37 con riferimenti; Raymond Spira, Transmission de patrimoine et dessaisissement au sens de la loi fédérale sur les prestations complémentaires à l'AVS/AI [LPC], RSAS 1996 pag. 210 segg.). Affinché una rinuncia a elementi di reddito o di sostanza possa essere presa in considerazione, occorre che essa sia avvenuta «senza obbligo giuridico», rispettivamente «senza controprestazione adeguata», queste due condizioni non essendo da intendere cumulativamente, bensì alternativamente (<ref-ruling> consid. 4.3 pag. 334).
3.3 A differenza di quanto vale in materia di prestazioni complementari (vedi per esempio sentenza P 55/05 del 26 gennaio 2007, nella quale questo Tribunale ha giudicato che la perdita di un importo di fr. 120'000.- nell'ambito di un investimento a rischio, legato ad una truffa, costituisce sostanza cui l'assicurato ha rinunciato), l'aiuto in situazioni di bisogno nel senso dell'<ref-law> non può essere ridotto o rifiutato ad una persona indigente, anche se quest'ultima è personalmente responsabile di questo suo stato; si tratta di una concretizzazione del principio di sussidiarietà dell'aiuto sociale, che costituisce l'ultima ancora di salvataggio dell'individuo (vedi per esempio <ref-ruling> consid. 3b pag. 375; Jean-François Aubert/ Pascal Mahon, Petit Commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse du 18 avril 1999, n. 5 all'<ref-law>; Andreas Auer/Giorgio Malinverni/Michel Hottelier, Droit constitutionnel suisse, vol. II, pag. 683, n. 1532; Jörg Paul Müller, Grundrechte in der Schweiz, 3a ed., Berna 1999, pag. 178; Kathrin Amstutz, Das Grundrecht auf Existenzsicherung, tesi Berna 2002, pag. 304). questo riguardo, è unicamente determinante la situazione attuale ed effettiva dell'interessato al momento dell'esame del suo diritto a condizioni minime di esistenza (Müller, op. cit., pag. 170). In altri termini, i motivi che hanno condotto all'indigenza sono irrilevanti dal profilo della protezione offerta dall'<ref-law> (vedi pure <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 174 e i riferimenti ivi citati). Fermi questi presupposti, il Comune non poteva rifiutare la richiesta dell'insorgente applicando per analogia i principi validi in materia di rinuncia a elementi di reddito o di sostanza nell'ambito delle prestazioni complementari.
4. Diversa è la questione di sapere se ai figli dell'insorgente incomba un obbligo di assistenza nei confronti del padre in virtù degli art. 328 e 329 CC.
4.1 I primi giudici e il Comune ritengono che i beni ceduti a titolo di anticipo ereditario debbano essere principalmente destinati al mantenimento dell'insorgente. È vero, da questo profilo, che per prestare l'assistenza necessaria al mantenimento del parente bisognoso, il parente obbligato è tenuto a intaccare il suo patrimonio, a meno che questo non debba rimanere intatto per garantire a lungo termine il suo sostentamento e segnatamente la sua previdenza per la vecchiaia (<ref-ruling> consid. 3 pag. 104). È altrettanto esatto che la dottrina permette di valutare ed apprezzare la capacità contributiva del parente obbligato con minor riserbo quando si tratti di sostanza ereditata (vedi Thomas Koller, Commento basilese, n. 15c agli art. 328/329 CC; cfr. pure <ref-ruling> consid. 3.2 pag. 106).
4.2 Secondo le direttive della Conferenza svizzera dell'azione sociale ([COSAS] 4a ed., Berna 2005), alle quali il Comune fa riferimento, si rinuncia a verificare la capacità contributiva di parenti il cui reddito imponibile (compresa la parte di sostanza convertita in reddito) è inferiore a fr. 60'000.- per persone sole. Dalla sostanza imponibile si può dedurre una quota liberamente disponibile (fr. 100'000.- per persone sole). La somma rimanente deve essere convertita in reddito sulla base dell'aspettativa di vita media (importo annuale) e in quanto tale conteggiata secondo la relativa tavola di conversione.
4.3 Rispetto alle succitate disposizioni del Codice civile, l'aiuto sociale è sussidiario (Koller, op. cit., n. 36 agli art. 328/329 CC). Tuttavia, anche persone con pretese fondate sugli art. 328 e 329 CC possono trovarsi in una situazione di necessità, se queste pretese non sono esigibili nell'immediato (Müller, op. cit., pag. 170). Nella decisione in lite, il Comune opponente ha negato che fossero dati i presupposti per l'applicazione delle menzionate disposizioni, vista la capacità economica dei due figli (redditi imponibili di fr. 23'500.- rispettivamente fr. 58'000.-). Così il Comune non può ora invocare il principio della sussidiarietà e rimproverare al ricorrente di avere rinunciato ad esigere per via giudiziaria un contributo dai figli. D'altronde, conformemente alle direttive emanate dalla COSAS (n. F.4), per quanto riguarda il contributo dei parenti, nel limite del possibile è auspicabile negoziare un accordo tra le parti, atteso che i possibili rischi di ripercussioni sul beneficiario e sul suo progetto sociale non sono trascurabili. In caso di litigio, sarà l'autorità cui spetta l'obbligo e/o gli oneri di assistenza giusta l'art. 25 della legge federale sulla competenza ad assistere le persone nel bisogno (LAS; RS 851.1) a dover procedere per le vie legali e richiedere i contributi per il futuro e quelli retroattivi al massimo per un anno prima dell'avvio dell'azione legale (Judith Widmer, Verhältnis der Verwandtenunterstützungspflicht zur Sozialhilfe in Theorie und Praxis, Zurigo 2001, pag. 78 segg.). L'autorità subentra in tal caso nei diritti della persona assistita fino a concorrenza dei propri anticipi (art. 329 cpv. 3 in relazione con l'<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5.2 pag. 510; Koller, op. cit., n. 36 agli art. 328/329 CC). Di conseguenza, nella concreta evenienza, l'aiuto non poteva essere rifiutato al ricorrente con l'argomento che quest'ultimo vantava una eventuale pretesa di mantenimento dalla realizzazione dei beni ceduti ai figli. Se il Comune (o l'autorità cantonale eventualmente competente) reputasse, tenendo conto di eventuali aumenti di sostanza e dei redditi immobiliari, essere questi beni destinati al mantenimento del ricorrente, può inoltrare un'azione fondata sugli art. 328 e 329 CC. In presenza di beni immobili la cui realizzazione, anche parziale, non è possibile o non può essere ragionevolmente pretesa, l'autorità potrà concludere con i parenti tenuti al sostentamento una convenzione speciale sull'esigibilità degli averi a seguito di alienazione o dopo il decesso dell'obbligato (direttive COSAS n. F.4).
5. Il Comune invoca un abuso di diritto del ricorrente.
5.1 In maniera generale, vi è abuso di diritto laddove un determinato istituto giuridico viene invocato per realizzare degli interessi che il medesimo istituto non si prefigge di tutelare (vedi per esempio <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 151). La giurisprudenza non ha finora scartato l'ipotesi che il diritto costituzionale all'aiuto in situazioni di bisogno possa essere esercitato in modo abusivo, con conseguente rifiuto o riduzione del sostegno sociale (vedi per esempio <ref-ruling> consid. 6.2 pag. 178, 130 I 71 consid. 4.3 pag. 76, 122 II 193 consid. 2c/ee pag. 198). La dottrina è invece praticamente unanime nell'affermare che non esiste spazio per abusi di diritto nell'ambito dell'esercizio dei diritti derivanti dall'<ref-law>, questa norma garantendo un minimo di esistenza intangibile (v. fra gli altri Amstutz, op. cit., pag. 304 segg.; Gabriela Riemer-Kafka, Das Verhältnis zwischen Grundrecht auf Hilfe in Notlagen und Eigenverantwortung, in: Carlo Tschudi [ed.], Das Grundrecht auf Hilfe in Notlagen, 2005, pag. 147 seg.; ibidem: Peter Uebersax, Die bundesgerichtliche Rechtsprechung zum Recht auf Hilfe in Notlagen im Überblick, pag. 55; Thomas Gächter, Rechtsmissbrauch im öffentlichen Recht, unter besonderer Berücksichtigung des Bundessozialversicherungsrechts, Zurigo/Basilea/Ginevra, 2005, pag. 330; cfr. pure <ref-ruling> consid. 6.2 pag. 178).
5.2 Nel caso di specie, si può prescindere dall'esaminare la questione. In effetti, un abuso di diritto presuppone necessariamente che la persona indigente abbia intenzionalmente provocato la propria situazione al solo fine di potere in seguito prevalersi del diritto all'aiuto in situazioni di bisogno (<ref-ruling> consid. 3d pag. 377). Questa volontà deve essere accertata in modo chiaro e indiscutibile. L'abuso deve essere pertanto manifesto (<ref-ruling> consid. 3d pag. 378). Semplici sospetti e indizi non sono sufficienti (Amstutz, op. cit., pag 311).
5.3 La cessione di patrimonio è in concreto intervenuta nel 1997. Non si può ora seriamente sostenere che l'insorgente abbia ceduto i propri beni nell'intento di eludere, diversi anni più tardi, le disposizioni sull'aiuto sociale. È vero che il diritto di usufrutto di cui beneficiava è stato cancellato nel 2005, anno nel corso del quale ha inoltrato la sua domanda al Comune. Il giudizio impugnato non contiene tuttavia nessun accertamento che permetta di concludere che l'insorgente abbia rinunciato deliberatamente al suo diritto d'usufrutto nell'unico intento di ottenere prestazioni dell'aiuto sociale. Più probabile appare che il ricorrente, allora 82enne, grande invalido, abbia rinunciato al diritto di usufrutto in favore del figlio, ben sapendo che egli non avrebbe in ogni modo più potuto occupare la propria abitazione in seguito al collocamento in una casa di cura e in considerazione degli oneri di manutenzione della casa. Non si può certo affermare che l'insorgente abbia necessariamente previsto, a quell'epoca, i vantaggi di questa sua operazione dal profilo dell'aiuto sociale.
5.4 Di conseguenza, in assenza di abuso manifesto, il rifiuto del Comune non potrebbe intaccare il minimo esistenziale garantito dall'<ref-law>. Ci si può certo chiedere se le prestazioni eccedenti tale minimo siano suscettibili di essere ridotte nel caso concreto a dipendenza di un'eventuale responsabilità del ricorrente nell'insorgenza della sua situazione d'indigenza (vedi per esempio <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 174; Carlo Tschudi, Die Auswirkungen des Grundrechts auf Hilfe in Notlagen auf sozialhilferechtliche Sanktionen, in: Carlo Tschudi, op. cit., pag. 117 segg.). La questione può essere lasciata indecisa, la causa dovendo, per i motivi che seguono, comunque essere rinviata al Comune.
6. Ne consegue, quindi, per quanto riguarda la protezione garantita dall'<ref-law>, che il Comune non era legittimato a rifiutare le proprie prestazioni adducendo che l'insorgente avrebbe rinunciato ai propri beni in favore dei suoi figli.
7. Nell'evenienza concreta, è pacifico che i redditi attuali dell'insorgente non gli permettono di far fronte integralmente alle spese necessarie al suo collocamento in una casa di cura. Neppure è contestato che queste spese facciano parte dell'aiuto sociale che il Comune intimato può essere chiamato a fornire ad una persona in situazione di bisogno. Dal momento che non spetta al Tribunale federale statuire sulle prestazioni assistenziali da concedere al ricorrente, la pronunzia querelata e il provvedimento amministrativo da essa tutelato devono essere annullati, la causa essendo rinviata per nuova decisione al Comune (<ref-law>), il quale esaminerà, se del caso, le eventuali possibilità di un collocamento più vantaggioso dal profilo economico. Sarà inoltre opportuno chiarire la questione della sostanza computata a titolo di rinuncia dalle autorità competenti in materia di prestazioni complementari, in quanto decisiva ai fini della prestazione erogatagli.
8. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico del Comune di X._ (<ref-law>). Vincente in lite, il ricorrente, patrocinato da un legale, ha diritto a ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è accolto nel senso che, annullati il giudizio del Tribunale amministrativo del Cantone dei Grigioni del 16 gennaio 2007 e la decisione 12 luglio 2006 del Comune di X._, la causa è rinviata al Comune affinché renda un nuovo provvedimento nel senso dei considerandi.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico del Comune di X._.
3. Il Comune di X._ verserà al ricorrente la somma di fr. 2'500.- (comprensiva dell'imposta sul valore aggiunto) a titolo di indennità di parte per la procedura federale.
4. Il Tribunale amministrativo del Cantone dei Grigioni statuirà nuovamente sulla questione delle spese ripetibili di prima istanza, tenuto conto dell'esito del processo in sede federale.
5. Comunicazione alle parti e al Tribunale amministrativo del Cantone dei Grigioni.