Art. 9 und 29 BV (Baubewilligung), hat sich ergeben:
A.- Am 14. Dezember 1998 reichte die Couvra-Treuhand AG bei der Baukommission Biberist ein Baugesuch zur Errichtung eines Dreifamilienhauses mit angebautem Zweifamilienhaus auf Parzelle GB Biberist Nr. 109 ein. Das Baugesuch wurde publiziert.
Gegen das Bauvorhaben erhoben die Miethaus Solothurn AG, Eigentümerin der Parzelle GB Biberist Nr. 112, und die Erbengemeinschaft Felber, Eigentümerin der Parzelle GB Biberist Nr. 111, Einsprache. Am 25. Mai 1999 wies die Baukommission die Einsprachen ab und erteilte die Baubewilligung.
Gegen diesen Entscheid der Baukommission legten die Einsprecher Beschwerde beim Baudepartement des Kantons Solothurn ein. Sie machten geltend, das Bauvorhaben entspreche nicht den Vorschriften. Die Erschliessung sei ungenügend, die Parkplätze führten zu übermässigen Immissionen, das Vorhaben sei nicht zonenkonform, der Nachweis des Kehrichtcontainers fehle und die Ausnützungsziffer (AZ) sei nicht eingehalten. Das Baudepartement kam nach Prüfung des Baugesuchs zum Schluss, dass die private Erschliessung genüge.
Es bestünden Wegrechte über die Parzelle Nr. 112 von 2.5 m und über die Parzelle Nr. 111 von 0.5 m Breite. Das Bauvorhaben sei zonenkonform. Die von der Parkierung ausgehenden Immissionen seien nicht übermässig. Hingegen fehle ein Kehrichtcontainer und die Ausnützungsziffer werde überschritten.
Das Baudepartement hiess daher die Beschwerde der Miethaus Solothurn AG am 30. November 1999 im Sinne der Erwägungen gut und hob den Entscheid der Baukommission auf.
B.- Die Bauherrschaft verbesserte daraufhin die Baueingabe, indem der Standort des Kehrichtcontainers bestimmt und der notwendige Transport der Ausnützungsziffer im Grundbuch eingetragen wurden. Für das im Übrigen unveränderte Bauvorhaben erteilte die Baukommission ohne nochmalige Publikation am 7. April 2000 die Baubewilligung, welche unter anderem auch der Miethaus Solothurn AG eröffnet wurde.
Die Miethaus Solothurn AG erhob gegen die Baubewilligung beim Baudepartement Beschwerde und beantragte, es sei ein ordentliches Baubewilligungsverfahren durchzuführen, eventuell sei das Bauvorhaben nicht zu bewilligen.
Mit Entscheid vom 30. Juni 2000 wies das Baudepartement die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es verneinte eine neuerliche Publikationspflicht mit der Begründung, dass die Publikation nur bei wesentlichen Änderungen erforderlich sei. Der Standort des Containers sei nachgewiesen und die Ausnützungsziffer eingehalten. Zu den weiteren Beschwerdepunkten hielt das Baudepartement fest, es habe hierüber bereits in der Verfügung vom 30. November 1999 rechtskräftig entschieden. Im Wesentlichen sei ein unverändertes Projekt bewilligt worden.
Gegen diesen Beschwerdeentscheid erhob die Miethaus Solothurn AG Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie machte geltend, die Baubehörde habe ihr rechtliches Gehör verletzt, indem das Bauvorhaben vor der zweiten Bewilligung nicht publiziert worden sei. Die Frage der Zufahrt, der Mehrbelastung des Wegrechts und der Zonenkonformität seien entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht schon im ersten Beschwerdeverfahren definitiv entschieden worden. Sie halte die Einwände in der früheren Beschwerde aufrecht.
Das Verwaltungsgericht hat erwogen, dass das bewilligte Projekt dem bereits im ersten Verfahren publizierten entspricht. Der Transport der Ausnützungsziffer habe das Projekt nicht verändert und der Standort des Containers habe auch ohne erneute Publikation festgelegt werden können. Durch den Verzicht auf eine zweite Publikation sei das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin nicht verletzt worden. Es widersprach dem Baudepartement jedoch insoweit, als dieses die Auffassung vertrat, sein im ersten Beschwerdeverfahren gefällter Entscheid sei in Rechtskraft erwachsen und daher im vorliegenden Verfahren bindend. Allein die Klausel im Entscheiddispositiv, es sei im Sinne der Erwägungen entschieden worden, könne nicht dazu führen, dass die Begründung zum Bestandteil des Dispositivs werde, mit der Wirkung einer res iudicata für ein geändertes Baugesuch.
Das Verwaltungsgericht trat daher auf die materiellen Einwände der Beschwerdeführerin ein, hielt diese jedoch in allen Punkten für unbegründet und wies die Beschwerde mit Urteil vom 6. Dezember 2000 ab.
C.- Gegen diesen Entscheid des Verwaltungsgerichts führt die Miethaus Solothurn AG staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 und 29 Abs. 2 BV. Sie beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und das Verwaltungsgericht sei anzuweisen, das Baugesuch der Couvra-Treuhand AG nicht zu bewilligen.
Die Couvra-Treuhand AG sowie das Baudepartement und das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Gemeinde Biberist hat keine Stellungnahme eingereicht.
D.- Mit Verfügung vom 5. Februar 2001 hat der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung ein Gesuch der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Beim angefochtenen Urteil des Verwaltungsgerichts handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid. Insoweit ist die staatsrechtliche Beschwerde zulässig (Art. 84 Abs. 2, Art. 86 Abs. 1 und Art. 87 OG).
b) Die staatsrechtliche Beschwerde ist - von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen - rein kassatorischer Natur. Soweit die Beschwerdeführerin mehr verlangt als die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, ist darauf nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1b S. 107).
c) Die Beschwerdeführerin ist Eigentümerin der Parzelle GB Biberist Nr. 112, welche unmittelbar an die Parzelle Nr. 109 der Beschwerdegegnerin angrenzt. Sie ficht die der Beschwerdegegnerin erteilte Baubewilligung wegen Verletzung von Art. 9 und 29 Abs. 2 BV an.
Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 88 OG sind Eigentümer benachbarter Grundstücke befugt, eine Baubewilligung mit staatsrechtlicher Beschwerde anzufechten, soweit sie die Verletzung von Bauvorschriften geltend machen, die ausser den Interessen der Allgemeinheit auch oder in erster Linie dem Schutze des Nachbarn dienen.
Zusätzlich müssen sie dartun, das sie sich im Schutzbereich der Vorschriften befinden und durch die behaupteten widerrechtlichen Auswirkungen der Baute betroffen werden (<ref-ruling> E. 2a S. 116, 232 E. 1a S. 234; <ref-ruling> E. 2c S. 46, je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Auslegung von § 12 Abs. 3 der Bauverordnung des Kantons Solothurn vom 3. Juli 1978 (KBV), welcher die Publikation von Baugesuchen regelt. Diese Bestimmung dient neben öffentlichen Interessen auch dem Schutz der Nachbarn, um ihre Interessen gegenüber einem Bauvorhaben wirksam wahrnehmen zu können. Zudem macht die Beschwerdeführerin geltend, das Verwaltungsgericht sei bei der Beurteilung der Erschliessung in Willkür verfallen. Auch die Vorschriften über die genügende Zufahrt dienen neben dem Schutz öffentlicher Interessen jenen der Nachbarn (<ref-ruling> E. 1c/bb S. 353; <ref-ruling> E. 1 S. 90, je mit Hinweisen).
d) Die Beschwerdeführerin bringt unter anderem vor, die umstrittene Erschliessungsstrasse sei als Verbindungsstrasse und nicht als Grundstückszufahrt zu qualifizieren.
Diese falle daher nicht in den Geltungsbereich der VSS-Norm 640 050. Indem das Verwaltungsgericht trotzdem darauf abgestellt habe, sei es in Willkür verfallen. Willkür erblickt die Beschwerdeführerin sodann darin, dass die Vorinstanz die Erschliessung als hinreichend qualifizierte, obwohl Ziff. 8 der erwähnten VSS-Norm für die Zufahrt eine grössere Dimensionierung vorsehe.
Gemäss § 53 Abs. 1 KBV dürfen Gebäude nur auf Grundstücken errichtet werden, die von einer öffentlichen Strasse oder von einem öffentlichen Platz her eine genügende Zufahrt haben. Weil es sich beim Erfordernis der "genügenden Zufahrt" um einen unbestimmten Rechtsbegriff handelt, dessen Anwendung die Würdigung technischer Fragen voraussetzt, billigt das Bundesgericht den Verwaltungsbehörden bei seiner Auslegung und Anwendung einen gewissen Beurteilungsspielraum zu (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 117). Als Entscheidungshilfe ziehen die Behörden in der Regel die Normblätter der Vereinigung Schweizerischer Strassenfachleute (VSS) bei. Diese legen die Anforderungen fest, denen eine Erschliessungsstrasse zu genügen hat. Es handelt sich indessen lediglich um Richtlinien, deren Anwendung im Einzelfall vor den allgemeinen Rechtsgrundsätzen, insbesondere vor dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit, standhalten müssen. Sie dürfen daher nicht unbesehen der konkreten Verhältnisse der Entscheidung zugrunde gelegt werden (vgl. Urteil des Bundesgerichts vom 15. November 1978 in ZBl 80/1979 S. 223 f.).
Die Beschwerdeführerin setzt sich weder mit der den Normalien zukommenden Bedeutung noch mit dem der Baubewilligungsbehörde bei der Beurteilung einer hinreichenden Zufahrt im Sinne von § 53 Abs. 1 KBV zustehenden Beurteilungsspielraum auseinander. Inwiefern das Verwaltungsgericht unter Berücksichtigung dieser Gesichtspunkte in Willkür verfallen sein soll, weil sie als Entscheidungshilfe die VSSNorm 640 050 beizog und weil sie von der in Ziff. 8 erwähnten Dimensionierung abwich, wird in der Beschwerde nicht rechtsgenüglich dargelegt. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin beschränken sich auf eine appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil. Auf diesen Beschwerdepunkt ist demnach nicht einzutreten (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 1c S. 76, 417 E. 6b,c S. 429; <ref-ruling> E. 2b S. 172 f., je mit Hinweisen).
e) Im Übrigen sind die Sachurteilsvoraussetzungen der staatsrechtlichen Beschwerde erfüllt, weshalb darauf unter Vorbehalt der Ausführungen in E. 1d hiervor einzutreten ist.
2.- Das Verwaltungsgericht hat erwogen, dass die Baubehörde gestützt auf § 12 Abs. 3 KBV zu Recht auf eine erneute Publikation des Bauvorhabens verzichtet habe, da das bewilligte Projekt bereits dem im ersten Verfahren publizierten entsprochen habe. Nur bei wesentlichen Änderungen eines Baugesuches müsse erneut publiziert werden. Die Beschwerdeführerin hält dem entgegen, diese Bestimmung beziehe sich ausschliesslich auf den Fall, in welchem der Bauherr von "genehmigten" Plänen abweiche. Nur in diesem Fall könne die Baubehörde bei unwesentlichen Änderungen auf eine erneute Publikation verzichten. Im vorliegenden Fall existierten jedoch keine genehmigten Pläne. Mangels gesetzlicher Grundlage könne in einem "neuen" Baugesuchsverfahren jedoch auf eine Publikation nicht verzichtet werden. Das Urteil des Verwaltungsgerichts sei damit willkürlich im Sinne von Art. 9 BV. Nicht mehr geltend macht die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang und im Gegensatz zum verwaltungsgerichtlichen Verfahren eine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV.
Die Beschwerdeführerin stützt ihre Argumentation ausschliesslich auf den Wortlaut von § 12 Abs. 3 KBV ab.
Wohl bildet Ausgangspunkt jeder Auslegung der Wortlaut einer Bestimmung. Hingegen verkennt die Beschwerdeführerin, dass dieser allein nicht massgebend sein kann. Vom Wortlaut kann abgewichen werden, wenn triftige Gründe für die Annahme bestehen, dass er nicht den wahren Sinn einer Bestimmung wiedergibt. Solche Gründe können sich aus der Entstehungsgeschichte, aus Sinn und Zweck der Norm oder aus dem Zusammenhang mit anderen Gesetzesbestimmungen ergeben (<ref-ruling> E. 3c/aa, 192 E. 3a S. 196, 113 E. 3a S. 117).
Die vom Verwaltungsgericht vorgenommene Auslegung von § 12 Abs. 3 KBV erscheint vertretbar. Auch aus der Argumentation der Beschwerdeführerin ergibt sich nicht, dass die Auslegung des Verwaltungsgerichts dem Sinn und Zweck dieser Norm in stossender Weise zuwiderläuft und im Ergebnis unhaltbar wäre. Die Rüge der Verletzung des Willkürverbots wird von der Beschwerdeführerin somit zu Unrecht erhoben.
Bei dieser Rechtslage vermag auch die Rüge der Beschwerdeführerin, das Verwaltungsgericht habe gar kein rechtsgültiges Urteil fällen können, weil kein heilbarer Mangel, sondern ein Verfahrensfehler vorliege, nicht durchzudringen.
3.- a) Unbesehen der Legitimation in der Sache selbst kann ein Beschwerdeführer eine Verletzung von Verfahrensgarantien geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Das nach Art. 88 OG erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls nicht aus einer Berechtigung in der Sache, sondern aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Eine solche besteht dann, wenn dem Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren Parteistellung zukommt. Ist dies der Fall, kann er die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihm nach dem kantonalen Verfahrensrecht oder unmittelbar aufgrund von Verfassungsbestimmungen wie Art. 9 und 29 BV zustehen. Dabei prüft das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung der kantonalen Verfahrensvorschriften auf Willkür hin; frei prüft es hingegen, ob im Rahmen der dem Beschwerdeführer nach kantonalem Recht eingeräumten Parteistellung im Verfahren die durch die Bundesverfassung bzw. das Konventionsrecht gewährleisteten Minimalansprüche respektiert wurden (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 3 S. 309 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 438).
b) Die Beschwerdeführerin erblickt in zwei Punkten eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV. Sie macht geltend, der Präsident des Verwaltungsgerichts habe den Parteien mit Verfügung vom 4. Dezember 2000 eine Kopie der VSSNorm 640 050 und eine Kopie des Dienstbarkeitsvertrages vom 14. Juni 1961 zukommen lassen. Diese Urkunden seien erst am 8. Dezember 2000 bei ihr eingegangen. Weil das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 6. Dezember 2000 datiere, habe ihre Stellungnahme zu diesen Urkunden im Urteil nicht mehr berücksichtigt werden können. Das Verwaltungsgericht habe damit seinem Urteil Urkunden zugrunde gelegt, welche ihr erst nachträglich zugestellt worden seien. Ihr Anspruch auf Gewährung des rechtlichen Gehörs sei dadurch verletzt worden.
aa) Die VSS-Normen sind wie erwähnt ein Regelwerk der Vereinigung Schweizerischer Strassenfachleute.
Derartigen Richtlinien geht jegliche Beweisfunktion und -eignung ab. Es handelt sich hierbei nicht um Akten, welche dazu dienen, einen strittigen Sachverhalt unter Beweis zu stellen. Bereits aus diesem Grund ist nicht ersichtlich, inwiefern der Beschwerdeführerin durch die Zustellung der erwähnten VSS-Norm erst am Tage der Urteilsfällung durch das Verwaltungsgericht das rechtliche Gehör verletzt worden sein soll. Hinzu kommt, dass diese Normen von jedermann bezogen werden können und dass deren Kenntnis von einem sich mit Bau- und Planungsfragen befassenden Juristen vorausgesetzt werden darf. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin ist in diesem Zusammenhang auch darauf hinzuweisen, dass das Baudepartement bereits in seinem ersten Beschwerdeentscheid vom 30. November 1999 bei der Frage einer hinreichenden Zufahrt auf die VSS-Norm 640 050 Bezug genommen hatte. Er musste sich daher bereits zum damaligen Zeitpunkt im Klaren sein, dass diese Norm als Entscheidungshilfe dient. Wenn er dessen ungeachtet diese Norm in der Folge weder für sich selbst beschaffte noch sie im zweiten Beschwerdeverfahren zur Edition aus Händen des Baudepartements verlangte, so hat er dies selbst zu vertreten.
Des Weiteren ist der Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts an das Bundesgericht zu entnehmen, dass jenes anlässlich des Augenscheins die einschlägige VSS- Norm den Parteien vorgelegt und mit ihnen besprochen hatte.
Dabei habe der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin den Referenten am Augenschein gebeten, ihm eine Kopie der Norm zu schicken, da seine Ausgabe möglicherweise veraltet sei. Eine Frist zur Stellungnahme sei nicht vereinbart worden.
Diese Darstellung stimmt mit dem Protokoll des Augenscheins überein. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör liegt unter diesen Umständen nicht vor.
bb) Nicht anders verhält es sich, soweit die Beschwerdeführerin auch in Bezug auf die Zustellung des Dienstbarkeitsvertrags vom 13. Juni 1961 eine Verletzung des rechtlichen Gehörs rügt. Das darin begründete Wegrecht lautet zu Gunsten der Parzelle Nr. 109 der Beschwerdegegnerin und zu Lasten der Parzelle Nr. 112 der Beschwerdeführerin.
Auch wenn offenbar die Rechtsvorgängerin der Beschwerdeführerin diesen Dienstbarkeitsvertrag unterzeichnete, darf davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin mit dem Erwerb dieser Parzelle vom Bestand der Dienstbarkeit Kenntnis erhielt. Jedenfalls war ihr der Dienstbarkeitsvertrag schon geraume Zeit vor dessen Zustellung durch das Verwaltungsgericht am 6. Dezember 2000 bekannt. So bezog sie sich bereits im Jahre 1999 in verschiedenen Eingaben an Behörden auf den Wegdienstbarkeitsvertrag aus dem Jahre 1961, wobei sie sich jeweils zum Grund für die eingeräumten Wegbreite äusserte. Die Beschwerdegegnerin legte alsdann ihrer Vernehmlassung vom 15. September 1999 an das Baudepartement ein Exemplar des Dienstbarkeitsvertrags bei. Davon konnte die Beschwerdeführerin jederzeit Kenntnis nehmen. Dieser Vertrag ist denn auch identisch mit demjenigen, den sie vom Verwaltungsgericht per Fax erhalten und im bundesgerichtlichen Verfahren eingelegt hat. Von einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör kann unter diesen Umständen keine Rede sein.
4.- Es ergibt sich somit, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit auf sie eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Der nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin ist praxisgemäss keine Parteientschädigung auszurichten (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.- Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien, der Baukommission der Einwohnergemeinde Biberist sowie dem Baudepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 3. Mai 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: