Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil vom 4. Mai 2010 des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt (Ausschuss), das eine Beschwerde der Beschwerdeführerin gegen die erstinstanzliche Abweisung ihres Rechtsöffnungsgesuchs (bezüglich einer auf ein Mieterspardepot einbezahlten Sicherheit der Beschwerdeführerin nach <ref-law>) abgewiesen hat,
in das nachträgliche Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Entscheid des Appellationsgerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe der Beschwerdeführerin als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Appellationsgericht im Urteil vom 4. Mai 2010 erwog, der von der Beschwerdeführerin eingereichte Kontoauszug (ohne Unterschrift des Schuldners) stelle keinen Rechtsöffnungstitel im Sinne von <ref-law> dar, weil der Auszug weder eine öffentliche Urkunde noch eine durch Unterschrift bekräftigte Schuldanerkennung darstelle,
dass das Appellationsgericht weiter erwog, die Herausgabe der Sicherheit stehe unter der Bedingung, dass der Vermieter gegenüber dem Mieter keine Ansprüche geltend mache (<ref-law>), die Beschwerdegegnerin bestreite indessen den Eintritt dieser Bedingung, weil der Vermieter Ansprüche geltend mache, die Beschwerdeführerin vermöge ihrerseits den bestrittenen Eintritt dieser Bedingung nicht zu beweisen, weshalb die von der Beschwerdeführerin beantragte Rechtsöffnung (für die bedingte und ausserdem noch nicht fällige Forderung) selbst dann nicht gewährt werden könnte, wenn der Forderung ein vollkommen zweiseitiger Vertrag zu Grunde läge und dieser als Rechtsöffnungstitel anerkannt würde,
dass die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe an das Bundesgericht zwar das Urteil des Appellationsgerichts als willkürlich bezeichnet,
dass sie jedoch nicht in nachvollziehbarer Weise auf die einlässlichen Erwägungen des Appellationsgerichts eingeht,
dass sie erst recht nicht nach den erwähnten Anforderungen, d.h. klar und detailliert anhand dieser Erwägungen aufzeigt, inwiefern das Urteil des Appellationsgerichts vom 4. Mai 2010 verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass das nachträgliche Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen ist (<ref-law>),
dass die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig wird (<ref-law>) und keinen Anspruch auf Parteientschädigung hat,
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Der Beschwerdeführerin wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann