Sachverhalt:
Der 1972 geborene I._ bezog im Gefolge einer Knieverletzung von August 1996 bis Januar 1999 eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Nachdem das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich eine Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich, welche auf ein Gesuch um erneute Ausrichtung einer Invalidenrente nicht eintrat, aufgehoben hatte (Entscheid vom 31. Oktober 2001), holte die Verwaltung ein Gutachten des Instituts X._ ein. Namentlich gestützt auf die vom 2. Juni 2003 datierende interdisziplinäre Expertise lehnte die IV-Stelle das Leistungsgesuch mit Einspracheentscheid vom 26. Februar 2004 ab. Das kantonale Gericht bestätigte diesen Entscheid am 21. Juni 2005. Auf eine Neuanmeldung des Versicherten hin holte die IV-Stelle ein psychiatrisches Gutachten des Dr. C._ ein, welches am 2. April 2008 erstattet wurde. Mit Verfügung vom 21. August 2008 verneinte die Verwaltung den Rentenanspruch. Im Vergleich zur letzten fachärztlichen Begutachtung im Jahr 2003 sei keine wesentliche Veränderung des Gesundheitszustandes eingetreten; der Invaliditätsgrad betrage nicht rentenbegründende 15 Prozent.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 24. Februar 2010).
I._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Das Bundesgericht weist das gleichzeitig gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab (Verfügung vom 29. April 2010).

Erwägungen:
1. 1.1 Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich erkannte, der psychische Gesundheitszustand des Versicherten habe sich im Zeitraum zwischen der Ablehnung des Anspruchs auf eine Invalidenrente anfangs 2004 und der strittigen Verfügung vom 21. August 2008 nicht in rentenbegründendem Ausmass verschlechtert. Gegenüber den (auf den psychischen Gesundheitszustand bezogenen) Feststellungen im Gutachten des Instituts X._ vom 2. Juni 2003 seien im psychiatrischen Gutachten des Dr. C._ vom 2. April 2008 keine massgebenden Änderungen ausgewiesen. Die beiden psychiatrischen Expertisen stimmten in den wesentlichen Punkten überein und vermittelten ein ähnliches Bild vom Versicherten.
1.2 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling>).
1.3 Die Vorinstanz hat die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs bei einer Neuanmeldung einschlägigen Rechtsgrundlagen und die dazu ergangene Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2. 2.1 In der Beschwerdeschrift wird geltend gemacht, der angefochtene Entscheid verkenne, dass die Folgen der Schmerzstörung nach gutachtlicher Einschätzung allenfalls nach einer längerdauernden stationären Behandlung überwindbar seien. Dieses Vorbringen des Beschwerdeführers bezieht sich auf vorinstanzliche Feststellungen über den Gesundheitsschaden und die Arbeitsfähigkeit, somit auf bundesgerichtlich nur eingeschränkt überprüfbare Tatfragen.
2.2 Der Sachverständige Dr. C._ berichtet zwar von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit. Gleichzeitig aber führt er aus, eine Schmerzüberwindung scheine aufgrund der massgebenden Kriterien (vgl. <ref-ruling>) nicht unzumutbar. Mit diesen beiden auf den ersten Blick widersprüchlichen Angaben brachte der Gutachter offenbar zum Ausdruck, dass eine allgemein medizinische und eine spezifisch versicherungsmedizinische Sichtweise zu je ganz unterschiedlichen Einschätzungen betreffend die funktionellen Folgen des Gesundheitsschadens führen. Dieser Thematik braucht indessen hier nicht weiter nachgegangen zu werden (vgl. dazu SVR 2008 IV Nr. 6 S. 14 E. 5.4, I 629/06, und 2007 IV Nr. 33 S. 117 E. 5.2, I 738/05). Im neuanmeldungsrechtlichen Zusammenhang ist für den Ausgang des Prozesses allein entscheidend, dass dem Gutachten vom 2. April 2008 wohl eine andere diagnostische Erfassung des Zustandsbildes, aber keine Verschlechterung gegenüber dem Vorzustand im Zeitpunkt der Begutachtung im Jahr 2003 zu entnehmen ist; der Grad der Arbeitsunfähigkeit sei seit September 2003 konstant geblieben (vgl. S. 84 des Gutachtens vom 2. April 2008). Das Vorbringen des Beschwerdeführers, die zur Überwindung der somatoformen Schmerzstörung notwendige Willensanstrengung setze nach gutachtlicher Einschätzung eine längerdauernde Therapie voraus, ändert daran nichts; der Sachverständige stellt lediglich klar, dass "zur Prognose und zur subjektiven Motivation und Willensanstrengung der versicherten Person, wieder einer Arbeitstätigkeit nachzugehen", erst nach einer "stationären langfristigen psychopharmakologischen Therapie auf einer psychosomatischen Abteilung" Stellung genommen werden könne (Gutachten vom 2. April 2008, S. 82 und 84). Dies beeinflusst die im Rahmen der massgeblichen Einzelfallumstände objektiviert zu betrachtende Frage der grundsätzlichen Überwindbarkeit nicht.
2.3 Die Feststellungen des kantonalen Gerichts, namentlich betreffend das Fehlen einer anspruchserheblichen Änderung des psychischen Gesundheitsschadens, sind nicht offensichtlich unrichtig. Die vorinstanzliche Würdigung des medizinischen Dossiers weist keine augenfälligen Mängel auf, welche eine offensichtliche Unrichtigkeit oder eine Unvollständigkeit der entsprechenden Feststellungen begründen könnten (vgl. oben E. 1.2). Mithin ist die vorinstanzliche Schlussfolgerung, eine anspruchserhebliche Änderung des Gesundheitsschadens sei nicht ausgewiesen, nicht zu beanstanden.
3. Die Beschwerde hatte keine Aussicht auf Erfolg, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> ohne Durchführung des Schriftenwechsels und mit summarischer Begründung erledigt wird (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG).
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. Juli 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub