Sachverhalt:
A. A.a Mit Urteil des Amtsgerichts Luzern-Stadt vom 6. Januar 2004 wurde die Ehe von Z._ und X._-Y._ geschieden. Die Kinder S._ (geb. 1995) und T._ (geb. 1998) wurden unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt, welche nach der Scheidung wieder ihren angestammten Namen "Y._" annahm und seit der Heirat am 13. Mai 2005 den Familiennamen "X._" trägt.
A.b In der Folge reichte X._-Y._ als gesetzliche Vertreterin der beiden unmündigen Kinder bei der zuständigen Behörde ein Gesuch um Namensänderung gemäss <ref-law> ein, mit welchem sie die Änderung des Familiennamens der Kinder von "Z._" in "X._" verlangte. Das Gesuch wurde abgelehnt. Mit Urteil vom 16. Juni 2008 wies das Bundesgericht eine gegen diese Verweigerung der Namensänderung eingereichte Beschwerde in Zivilsachen der beiden Kinder ab, soweit darauf einzutreten war (5A_61/2008).
A.c Am 7. November 2006 gelangte Z._ an das Amtsgericht Luzern-Stadt und ersuchte um vorsorgliche Massnahmen zum Schutz seiner Persönlichkeit gemäss <ref-law>. Er beantragte im Wesentlichen, X._-Y._ sei zu verpflichten, es bis zum Abschluss des Namensänderungsverfahrens zu unterlassen, die Kinder mit dem Namen "X._" zu benennen. Mit Entscheid vom 5. Februar 2007 hiess der Amtsgerichtspräsident II von Luzern-Stadt das Begehren gut und setzte Z._ eine Frist von 30 Tagen zur Klageeinreichung an, ansonsten die angeordneten Massnahmen dahinfielen. Sowohl das Obergericht des Kantons Luzern wie auch das Bundesgericht schützten auf Rechtsmittel der X._-Y._ hin diesen Entscheid (Urteil 5A_190/2007 vom 10. August 2007).
B. B.a Am 2. Mai 2007 klagte Z._ beim Amtsgericht Luzern-Stadt gegen X._-Y._ mit dem Antrag, die schon in den vorsorglichen Massnahmen gestellten Begehren nunmehr als definitives Urteil zu erlassen.
B.b Nachdem mit Urteil des Bundesgerichts vom 16. Juni 2008 die Namensänderung endgültig abgewiesen worden war (5A_61/2008), hiess das Amtsgericht mit Urteil vom 15. Dezember 2008 die von Z._ angehobene Klage gut. Eine von X._-Y._ dagegen erhobene Appellation wies das Obergericht des Kantons Luzern am 10. November 2009 ab und verbot X._-Y._ unter Androhung der Bestrafung nach <ref-law> im Wiederhandlungsfall, "die Kinder S._ Z._ und T._ Z._ ausserhalb des privaten Bereichs im Sinne der Erwägungen gegenüber jeglichen Dritten, unabhängig ob es sich dabei um Private oder Behörden handelt, S._ X._ und T._ X._ zu nennen". Zudem verpflichtete es X._-Y._, "sämtliche aktuellen mit S._ X._ und T._ X._ bestehenden Informationen und Eintragungen in privaten Büchern und Registern sowie in öffentlich zugänglichen Büchern und Registern unverzüglich zu berichtigen sowie Eintragungen von S._ Z._ und T._ Z._ unter dem Namen X._ zu unterlassen". Überdies verhielt das Obergericht X._-Y._ dazu, Z._ eine Genugtuung von Fr. 1'000.- zu bezahlen.
C. Dagegen hat X._-Y._ beim Bundesgericht mit Eingabe vom 1. Februar 2010 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt im Wesentlichen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Klage abzuweisen.
Mit Präsidialverfügung vom 5. März 2010 ist das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung dem Antrag des Beschwerdegegners entsprechend abgewiesen worden.
Zur Sache selbst ist keine Vernehmlassung eingeholt worden.
D. Der Beschwerdegegner ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegenstand der Beschwerde ist eine Auseinandersetzung über die Verletzung von Persönlichkeitsrechten, d.h. eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1a S. 483). Die gegen den Entscheid der letzten kantonalen Instanz gerichtete Beschwerde ist somit zulässig (<ref-law>).
1.2 Mit Beschwerde in Zivilsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich verfassungsmässiger Rechte sowie von Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Ausserhalb der Teilbereiche von Art. 95 lit. c bis lit. e BGG bleibt die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts mit Bezug auf kantonales Recht gegenüber der Regelung unter dem alten Recht unverändert. Es kann nur geltend gemacht werden, die Anwendung kantonalen Rechts verletze Bundesrecht (z.B. Das Willkürverbot, <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 203; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 252). Die Beschwerdeführerin macht geltend, der angefochtene Entscheid verletze <ref-law> sowie Art. 12 des Übereinkommens über die Rechte des Kindes (KRK; SR 0.107); ferner habe die Vorinstanz das kantonale Prozessrecht willkürlich angewendet. Schliesslich rügt sie eine Aktenwidrigkeit der tatsächlichen Feststellungen. Sie erhebt damit zulässige Rügen, weshalb auf die Beschwerde grundsätzlich eingetreten werden kann.
2. 2.1 Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (BGE <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann sich mit anderen Worten nicht darauf beschränken, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Soweit die Beschwerdeführerin in ihren Darlegungen bloss von den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz abweicht, ist sie deshalb nicht zu hören (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
2.2 Die Beschwerdeführerin sieht eine Aktenwidrigkeit in den zusammenfassenden Ausführungen der Vorinstanz, wonach sie keine Interessen der beiden Kinder an der Verwendung des Familiennamens "X._" ausserhalb des privaten Bereichs aufgezeigt habe, die schwerer wögen als das Interesse des Beschwerdegegners am Gebrauch des angestammten Namens durch die Kinder. Die Auffassung sei mit Blick auf das Gutachten des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes (KJPD) aktenwidrig.
2.3 Die Beschwerdeführerin verkennt damit allerdings die Bedeutung einer Aktenwidrigkeit. Das Obergericht hat an der genannten Stelle im Urteil eine Wertung vorgenommen, die als solche nicht aktenwidrig sein kann, sondern allenfalls auf einem aktenwidrig festgestellten Sachverhalt beruhen könnte. Der genannten Stelle des Urteils ist aber nicht zu entnehmen, die Beschwerdeführerin habe keine Interessen der Kinder geltend gemacht. Die Vorinstanz bestreitet auch nicht, dass solche Interessen bestehen. Sie hält nur wertend fest, dass diese nicht stärker zu gewichten seien, als das Interesse des Beschwerdegegners. Eine Aktenwidrigkeit liegt somit nicht vor.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Obergericht werfe ihr vor, sich nicht ordentlich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandergesetzt, sondern sich mit pauschalen Einwendungen begnügt zu haben; auf ihre Vorbringen sei nur soweit einzugehen, als sie konkret auf einzelne Punkte der erstinstanzlichen Urteilsbegründung Bezug nähmen. Diese Auslegung der §§ 246 Abs. 1 und 249 Abs. 1 ZPO/LU sei willkürlich und verletze damit <ref-law>.
3.2 3.2.1 Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn ein Entscheid auf einem offensichtlichen Versehen beruht, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.2 S. 177; <ref-ruling> E. 3.1 S.473 f. mit Hinweisen).
3.2.2 Bereits die Ausführungen zur Auslegung des kantonalen Prozessrechts vermögen den Willkürvorwurf nicht zu begründen. Es ist nämlich nicht zu sehen, inwiefern die Erwägungen im angefochtenen Entscheid den in der Beschwerdeschrift zitierten Gesetzesbestimmungen und aufgeführten Zitaten widersprechen soll. Es entspricht konstanter Rechtsprechung und herrschender Lehre, dass sich ein Gericht nur mit rechtlichen Argumenten auseinandersetzen muss, die für die Entscheidung relevant sind. Daraus ergibt sich auch, dass eine obere Instanz nicht auf eine bloss allgemein gehaltene Kritik an einem vorinstanzlichen Entscheid eingehen muss, wenn die darin aufgeworfenen Fragen für den Ausgang des Verfahrens nicht relevant sind. Etwas anderes ist auch den §§ 246 und 249 ZPO/LU nicht zu entnehmen. Daraus ergibt sich nur, dass die Appellationsinstanz die Streitsache neu zu beurteilen hat und die Appellation zu begründen ist. Dass der Streitgegenstand durch das erstinstanzliche Verfahren bestimmt wird und die Appellationsinstanz das Recht von Amtes wegen anzuwenden hat, ist auch vom Obergericht im angefochtenen Entscheid nicht bestritten worden.
3.2.3 Zudem sind die Vorbringen der Beschwerdeführerin, auf die das Obergericht nicht eingegangen ist, für den konkreten Rechtsstreit offensichtlich ohne Bedeutung. Soweit die Beschwerdeführerin dem Amtsgericht Luzern-Stadt vorwirft, nicht "genauere Ausführungen genereller Natur zum Begriff der Mitwirkung im Sinne von <ref-law> zu tätigen" verkennt sie die Aufgabe eines Gerichts. Dieses hat nicht Ausführungen genereller Natur zu machen, sondern auf einen konkreten Fall einzugehen. Das gilt auch für den Vorwurf, das Obergericht habe nicht zur Frage Stellung genommen, ob Scheidungskinder durch andere Verhaltensweisen die Persönlichkeit der Eltern verletzen könnten. Um diese anderen Verhaltensweisen geht es vorliegend nicht.
3.2.4 Soweit die Beschwerdeführerin mit ihren Ausführungen in der Appellation das Verhältnis mehrerer Beteiligter an einer Persönlichkeitsverletzung anspricht, lässt sie unbeachtet, dass es vorliegend nicht um eine Persönlichkeitsverletzung geht, welche die Kinder angeblich begangen haben und an der die Beschwerdeführerin bloss mitgewirkt haben soll, sondern um die Frage, ob deren eigenes Verhalten die Persönlichkeit des Beschwerdegegners widerrechtlich verletzt. Zur Diskussion steht ihr Verhalten, nicht dasjenige der Kinder.
3.2.5 Indem die Beschwerdeführerin argumentiert, die Namensführungspflicht nach <ref-law> bestehe nur im amtlichen Verkehr, übersieht sie, dass im angefochtenen Urteil ausdrücklich festgehalten wird, dass es hier nicht um das Recht am eigenen Namen geht. Im angefochtenen Entscheid wird auch in keiner Weise behauptet, aus <ref-law> ergebe sich eine Verpflichtung zur Führung des amtlichen Namens. Das Obergericht durfte die diesbezüglichen Ausführungen der Beschwerdeführerin sehr wohl als unerheblich beiseitelassen.
4. Im Weiteren erblickt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von Art. 12 KRK darin, dass die Kinder im Verfahren betreffend Persönlichkeitsverletzung nicht angehört worden sind. Die genannte Bestimmung sieht vor, dass bei Anordnungen über Kinder diese in geeigneter Weise durch das Gericht oder durch eine beauftragte Drittperson persönlich anzuhören sind, soweit nicht ihr Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen. Diese Norm findet auf alle gerichtlichen Verfahren Anwendung, in denen Kinderbelange zu regeln sind (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 413; Urteil 5A_536/2007 vom 24. Januar 2008 E. 2, in Fampra.ch 2008 S. 438 f.).
4. Im Weiteren erblickt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von Art. 12 KRK darin, dass die Kinder im Verfahren betreffend Persönlichkeitsverletzung nicht angehört worden sind. Die genannte Bestimmung sieht vor, dass bei Anordnungen über Kinder diese in geeigneter Weise durch das Gericht oder durch eine beauftragte Drittperson persönlich anzuhören sind, soweit nicht ihr Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen. Diese Norm findet auf alle gerichtlichen Verfahren Anwendung, in denen Kinderbelange zu regeln sind (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 413; Urteil 5A_536/2007 vom 24. Januar 2008 E. 2, in Fampra.ch 2008 S. 438 f.).
4.1 4.1.1 Die Anhörung ist Ausfluss der Persönlichkeit des Kindes und somit ein höchstpersönliches Recht. Sobald das Kind urteilsfähig ist, nimmt es seinen Anspruch selbst wahr; ab diesem Stadium erhält der Gehörsanspruch die Komponente eines persönlichen Mitwirkungsrechts, welches das Kind insbesondere berechtigt, die Anhörung auch im Verfahren seiner Eltern zu verlangen, soweit es davon betroffen ist. Daneben dient die Anhörung unabhängig vom Alter des Kindes der Ermittlung des Sachverhalts, weshalb die Eltern die Anhörung des Kindes aufgrund ihrer Parteistellung als Beweismittel anrufen können. In dieser Hinsicht gehen die Art. 144 und 314 Ziff. 1 ZGB über Art. 12 KRK hinaus, der ein Meinungsäusserungsrecht in allen das Kind belangenden Verfahren gewährt, soweit dieses fähig ist, sich eine eigene Meinung zu bilden, was nach der Lehre mit der Urteilsfähigkeit im Sinn von <ref-law> gleichzusetzen ist. Artikel 144 Abs. 2 und <ref-law> stellen klar, dass Kinder grundsätzlich anzuhören sind, soweit nicht Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 554 f).
4.1.2 Soweit es um das Alter bzw. den Reifegrad des Kindes geht, unterscheiden Lehre und Rechtsprechung drei Altersstufen, wobei es sich allerdings nicht um feste Kategorien handelt. Vielmehr können sich im Einzelfall aufgrund des individuellen Entwicklungsstandes des Kindes erhebliche Abweichungen ergeben (vgl. <ref-ruling> E. 4c S. 499; Ruth Reusser, Vom alten zum neuen Scheidungsrecht, Bern 1999, S. 197 f.; Heinz Hausheer und andere, Das Familienrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, 4. Aufl., Bern 2010, Rz. 10.162 f.). Eine Anhörung der Kinder vor dem sechsten Lebensjahr fällt im Normalfall kaum je in Betracht. Vom sechsten bis zum zwölften Altersjahr ist grundsätzlich eine Anhörung durchzuführen (<ref-ruling>). Ab dem 12. Altersjahr sind gewöhnlich die Voraussetzungen für die diesbezügliche Urteilsfähigkeit gegeben, sodass eine umfassende Beweisaussage und die Ausübung des Persönlichkeitsrechts möglich sind (Hausheer und andere, a.a.O., Rz. 10.163). Einer der anderen wichtigen Gründe, weswegen von einer Anhörung im Verfahren abgesehen werden kann, liegt vor, wenn das Kind, namentlich im Rahmen von Gutachten, bereits mehrmals befragt worden ist und eine neuerliche Befragung es nur belasten, aber nichts Neues hervorbringen würde (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 413).
4.1.3 Die gesetzliche Regelung ist flexibel ausgestaltet und gewährleistet damit, dass die Anhörung stets in kindgerechter Form erfolgen kann. Mit der Anhörung darf eine Delegation des Gerichts oder eine Drittperson betraut werden, soweit es das Kindeswohl gebietet, und eine vorerst unterbliebene Anhörung kann in einem späteren Zeitpunkt nachgeholt werden (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 413). Sind die Voraussetzungen nach <ref-law> für die Anhörung des Kindes gegeben, so lässt sie sich nicht durch antizipierte Beweiswürdigung umgehen. Nichts anderes ergibt sich aus <ref-ruling> E. 4 S. 554, wo sich das Bundesgericht dahingehend äusserte, dass eine Anhörung um der Anhörung willen zu vermeiden sei; damit wollte lediglich klargestellt werden, dass von wiederholten Anhörungen abzusehen ist (Urteil 5A_536/2007 vom 24. Januar 2008 E. 2, in Fampra.ch 2008 S. 437).
4.1.3 Die gesetzliche Regelung ist flexibel ausgestaltet und gewährleistet damit, dass die Anhörung stets in kindgerechter Form erfolgen kann. Mit der Anhörung darf eine Delegation des Gerichts oder eine Drittperson betraut werden, soweit es das Kindeswohl gebietet, und eine vorerst unterbliebene Anhörung kann in einem späteren Zeitpunkt nachgeholt werden (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 413). Sind die Voraussetzungen nach <ref-law> für die Anhörung des Kindes gegeben, so lässt sie sich nicht durch antizipierte Beweiswürdigung umgehen. Nichts anderes ergibt sich aus <ref-ruling> E. 4 S. 554, wo sich das Bundesgericht dahingehend äusserte, dass eine Anhörung um der Anhörung willen zu vermeiden sei; damit wollte lediglich klargestellt werden, dass von wiederholten Anhörungen abzusehen ist (Urteil 5A_536/2007 vom 24. Januar 2008 E. 2, in Fampra.ch 2008 S. 437).
4.2 4.2.1 Das Obergericht hat auf eine Anhörung der Kinder verzichtet, weil diese bereits im Rahmen des Verfahrens auf Namensänderung durch den KJPD zur Namensfrage angehört worden sind. Wohl hat diese Anhörung in einem anderen Verfahren stattgefunden. Das Obergericht ist aber davon ausgegangen, dass sich die Einstellung der Kinder zur Namensfrage offensichtlich nicht geändert habe, was auch von der Beschwerdeführerin nicht bestritten wird. Insofern könne sich das Gericht aus den Akten ein genügendes Bild von der Meinung der Kinder machen.
4.2.2 Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, vermag nicht zu überzeugen. Zutreffend ist zwar, dass nicht in jedem Fall die Anhörung der Kinder durch einen Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst in einem Verfahren auch für ein anderes Verfahren zu genügen vermag, in dem es um die gleiche Grundproblematik geht. Zu beachten ist aber, dass die Kinder, welche beide bei Einleitung des vorliegenden Verfahrens noch nicht zwölf Jahre alt waren, nach den vorstehenden Ausführungen noch nicht als in der vorliegenden Sache urteilsfähig angesehen werden konnten. Die Anhörung hatte deshalb die Funktion einer Sachverhaltserhebung und nicht der Ausübung eines Persönlichkeitsrechts. Entsprechend liegt auch keine Verletzung von Art. 12 KRK vor, zumal diese Bestimmung die Urteilsfähigkeit des Kindes für die Anhörung voraussetzt. Überdies hat in einer offensichtlich konfliktreichen Situation das Argument grosse Bedeutung, die Kinder mit einer erneuten Anhörung nicht immer wieder in einen Konflikt hineinzuziehen. Zu beachten ist schliesslich, dass es vorliegend nicht um Anordnungen geht, welche die Kinder unmittelbar betreffen. Vielmehr werden diese nur mittelbar betroffen. Prozessgegenstand ist ausschliesslich das Verhalten der Beschwerdeführerin, nicht dasjenige der Kinder. Der konventionsrechtliche Anhörungsanspruch muss sich vernünftigerweise auf Verfahren beschränken, in denen persönlichkeitsrelevante essentielle eigene Interessen des Kindes unmittelbar auf dem Spiel stehen (Urteil 5A_61/2008 vom 16. Juni 2008 E. 2.3, in: FamPra.ch 2008 S. 883).
5. In der Sache selbst bemängelt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe <ref-law> falsch angewendet, indem sie die Interessen der Kinder nicht genügend gewürdigt habe.
5.1 Wer in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt wird, kann zu seinem Schutz gegen jeden, der an der Verletzung mitwirkt, das Gericht anrufen (<ref-law>). Eine Verletzung ist nach <ref-law> dann widerrechtlich, wenn sie nicht durch Einwilligung des Verletzten, durch ein überwiegendes privates oder öffentliches Interesse oder durch Gesetz gerechtfertigt ist. Aus der widerrechtlichen Persönlichkeitsverletzung können sich Ansprüche auf Unterlassung, Beseitigung und Feststellung ergeben (<ref-law>). Unter Umständen kann die Veröffentlichung des Urteils verlangt werden (<ref-law>); schliesslich bleiben weitere Ansprüche auf Schadenersatz, Genugtuung und Gewinnherausgabe vorbehalten (<ref-law>).
5.2 Zu den anerkannten Schutzbereichen der Persönlichkeit gehört auch das Gefühls- und Seelenleben (Pierre Tercier, Le nouveau droit de la personnalité, Zürich 1984, Rz. 413 ff.; Deschenaux/Steinauer, Personnes physiques et tutelle, Berne 2001, Rz. 549; Thomas Geiser, Die Persönlichkeitsverletzung insbesondere durch Kunstwerke, Basel 1990, Nr. 2.11.). Das Bundesgericht hatte den Schutz der Beziehung zu den Angehörigen insbesondere im Zusammenhang mit Störungen der Beziehung zum Ehegatten zu entscheiden (<ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>; 78 II 289). Dabei ging es auch um Fälle, in denen eine Drittperson die Abstammung eines Kindes vom Ehemann bestritt (<ref-ruling>). Zu Recht hat die Vorinstanz aber auch die Beziehung zu den eigenen Kindern zum geschützten Bereich gezählt. Dieses Recht wird dadurch gestört, dass die Mutter die unmündigen Kinder aus der Ehe mit dem Beschwerdegegner in der Öffentlichkeit mit einem anderen als mit dem gesetzlichen Familiennamen benennt. Dadurch wird nach Aussen der Eindruck geschaffen, die Kinder hätten eine andere Abstammung oder jedenfalls sei das Verhältnis zum Vater gestört und diese Störung sei durch die amtlichen Stellen sanktioniert. Zu Recht bestreitet die Beschwerdeführerin nicht, dass eine Persönlichkeitsverletzung vorliegt.
5.3 Die Beschwerdeführerin macht jedoch geltend, die Verletzung sei durch überwiegende Interessen gerechtfertigt. Ein überwiegendes Interesse ist zu bejahen, wenn das Opfer, das dem Betroffenen durch die Persönlichkeitsverletzung auferlegt wird, als weniger wichtig anzusehen ist als der Vorteil, den eine andere Person aus der Verletzung zieht (Tercier, a.a.O., Rz. 671; Geiser, a.a.O., Nr. 9.29.). Es ist somit eine sorgfältige Interessenabwägung im Einzelfall vorzunehmen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 532).
5.3.1 Die Beschwerdeführerin beruft sich nicht auf eigene Interessen, sondern auf das Interesse ihrer Kinder an einer abweichenden Namensführung. Dabei tritt sie aber nicht als Vertreterin der Kinder auf. Es erscheint fraglich, ob dies überhaupt möglich wäre. Wohl ist sie Inhaberin der elterlichen Sorge und diese erfasst grundsätzlich auch das Recht, die Kinder gegenüber Dritten im Rechtsverkehr zu vertreten (<ref-law>). Das Vertretungsrecht erlischt aber von Gesetzes wegen, wenn die Eltern in einer Angelegenheit eigene Interessen haben, die denjenigen der Kinder widersprechen (<ref-law>). Dabei ist abstrakt und nicht konkret zu entscheiden, ob eine Interessenkollision vorliegt (<ref-ruling> E. 4 S. 109; <ref-ruling> E. 4a S. 104; Cyril Hegnauer, Grundriss des Kindesrechts, 5. Aufl., Bern 1999, Rz. 26.30; Schnyder/Murer, Berner Kommentar, 1984, N. 84 f. zu <ref-law>; Ingeborg Schwenzer, Basler Kommentar, ZGB I, 3. Aufl. 2006, N. 4 zu <ref-law>). So ist unbestritten, dass für die Anfechtung der Vaterschaft dem Kind ein Beistand zu ernennen ist, weil die Inhaberin der elterlichen Sorge regelmässig in dieser Rechtsfrage eigene Interessen hat (<ref-ruling> E. 1c S. 293; <ref-ruling> E. 1a S.347). Mit Bezug auf Namensänderungsgesuche hat die Rechtsprechung bis anhin die Vertretung durch den Inhaber der elterlichen Sorge zugelassen, selbst wenn mit dem Gesuch das Kind dessen aktuellen Namen erhalten soll (<ref-ruling> E. 1b S. 7). Diese Rechtsprechung ist allerdings zum Teil in der Lehre kritisiert worden (Cyril Hegnauer, Berner Kommentar, 1997, N. 61 zu <ref-law> mit Hinweis auf Jean Guinand, Entwicklung der Rechtsprechung auf dem Gebiet der Namensänderung, ZZW 1980, S. 388; Hausheer/Aebi-Müller, Das Personenrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, Bern 2008, Rz. 16.40a; Geiser, Die neuere Namensänderungspraxis des schweizerischen Bundesgerichts, ZZW 1993, S. 382). Die Vertretung lässt sich auch kaum damit rechtfertigen, dass die Namensänderungsbehörde die Interessen des Kindes an der Namensänderung umfassend zu prüfen hat (so Stettler/Meier, Droit de la filiation, 4. Aufl. 2009, Rz. 638). Das Interesse des Kindes kann schon durch die Einleitung eines entsprechenden Verfahrens verletzt werden, sodass es sich sehr wohl rechtfertigt, dass ein Beistand zuerst die Interessen des Kindes klärt. Die Beistandschaft kann überdies zur Klärung der verschiedenen Rollen innerhalb des familiären Konfliktes beitragen. Entsprechend hat das Bundesgericht in seinem Entscheid, mit dem im vorliegenden Fall die Namensänderung endgültig verweigert wurde, die Frage des Vertretungsrechts zwar aufgeworfen, dann aber offen gelassen (Urteil 5A_61/2008 vom 16. Juni 2008 E. 1.2 in: FamPra.ch 2008 S. 883).
5.3.2 Die Frage kann auch hier offenbleiben, denn die Beschwerdeführerin ist gar nicht darauf angewiesen, die Interessen der Kinder in deren Namen geltend zu machen. Vielmehr kann sich der Verletzer zur Rechtfertigung nicht nur auf die eigenen Interessen, sondern auch auf diejenigen Dritter berufen (Geiser, a.a.O., Nr. 9.33 ff.). Das ergibt sich zwingend aus dem Umstand, dass der Verletzte gemäss <ref-law> gegen jeden vorgehen kann, der an der Verletzung mitgewirkt hat, unabhängig davon, wie bedeutend dessen Beitrag zur Handlung war. Der ins Recht gefasste muss somit auch die Interessen aller andern an der Verletzung beteiligten (oder auch nicht beteiligten) Personen anrufen können. Insofern kann die Beschwerdeführerin sehr wohl die Interessen der Kinder geltend machen, nicht bei ihrem amtlichen Namen genannt zu werden.
5.3.3 Die Vorinstanz hat dies auch nicht übersehen. Sie hat diese Interessen in ihre Erwägungen einbezogen und dabei zu Recht erkannt, dass das Ergebnis dieser Interessenabwägung teilweise schon durch die Ablehnung des Namensänderungsgesuches vorgegeben ist. In jenem Verfahren hatten die Behörden zu erwägen, welche Bedeutung eine Änderung des Namens für die Kinder hat. Allerdings deckt sich die damalige Interessenabwägung mit der hier vorzunehmenden nicht in allen Punkten. Im früheren Verfahren ging es um die Änderung des amtlichen Namens und nicht nur um dessen Verwendung im Alltag und insofern um einen stärkeren Eingriff in die Namensführung als im vorliegenden Fall. Sodann stand im früheren Verfahren das unmittelbare Verhalten der Kinder auf dem Spiel, während es vorliegend um dasjenige der Beschwerdeführerin geht. Das ist insofern von Bedeutung, als ein Interesse der Kinder an der Führung eines bestimmten amtlichen Namens nicht gleich zu gewichten ist wie ein Interesse daran, von ihrer Mutter, bei einem anderen als dem amtlichen Namen genannt zu werden. Ein Auseinanderklaffen des amtlichen Namens und des Namens, den die Inhaberin der elterlichen Sorge für das Kind verwendet, schafft in jedem Fall Komplikationen. Insofern ist schwierig zu sehen, welches besondere Interesse die Kinder an einem solchen Verhalten der Mutter haben sollten. Insofern kann der Interessenabwägung der Vorinstanz nur zugestimmt werden. Dass die Beschwerdeführerin ein eigenes Interesse daran haben kann, die Kinder nicht bei ihrem amtlichen Namen, sondern ihrem eigenen derzeitigen Familiennamen zu nennen, ist ohne weiteres einsichtig. Es liegt aber auch auf der Hand, dass diese Interessen diejenigen des Beschwerdegegners nicht überwiegen.
5.4 Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, vermag nicht zu überzeugen. Dass nicht nur Durchschnittsempfinden zu schützen ist, sondern unter Umständen auch eigene Wertungen einer Person, ist vorliegend ohne Bedeutung. Das von der Beschwerdeführerin (allerdings unvollständig) aufgeführte Zitat von Heinrich Hubmann (Das Persönlichkeitsrecht, Köln/Graz 1967, S. 258) bezieht sich auf die Verletzungstatbestände und nicht auf die Rechtfertigungsgründe. Soweit die Beschwerdeführerin dem Obergericht vorwirft, dieses habe die psychischen Interessen der Kinder nicht genügend gewürdigt, stellt sie bloss ihre eigene Betrachtungsweise derjenigen der Vorinstanz entgegen. Das Obergericht hat diese Interessen sehr wohl in Betracht gezogen. Wie aber auch das Verfahren bezüglich der Namensänderung zeigt, lässt sich kein hinreichendes Interesse der Kinder nachweisen, den Namen des Vaters weder amtlich noch privat zu führen.
Die Vorinstanz hat daher zu Recht im Verhalten der Beschwerdeführerin eine widerrechtliche Verletzung des Persönlichkeitsrechts des Beschwerdegegners gesehen und deshalb die Klage gutgeheissen.
6. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und muss abgewiesen werden. Die Beschwerdeführerin wird damit kostenpflichtig (<ref-law>). Da sich der Beschwerdegegner zum Gesuch um aufschiebende Wirkung hat vernehmen lassen, steht ihm dafür eine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Mit Blick auf diese Parteientschädigung und den Ausgang des Verfahrens ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden