Sachverhalt:
A.
Das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Aargau (AWA) erteilte am 21. Februar 2011 der X._ AG, eine Bewilligung für die private Arbeitsvermittlung sowie für den Personalverleih gemäss Art. 2 und 12 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1989 über die Arbeitsvermittlung und den Personalverleih (Arbeitsvermittlungsgesetz, AVG; SR 823.11). Nachdem beim AWA verschiedene Mitteilungen und Hinweise auf mögliche Verstösse gegen gesetzliche Bestimmungen eingegangen waren, führte das AWA mehrere Prüfungen und Besprechungen mit der X._ AG durch. Mit Verfügung vom 5. Juni 2013 entzog es der X._ AG die Bewilligungen für die private Arbeitsvermittlung und den Personalverleih. Alle Aktivitäten seien "auf den nächstmöglichen Termin einzustellen" und es dürften "ab sofort keine neuen Arbeits- und Verleihverträge abgeschlossen werden und die bestehenden Arbeits- und Verleihverträge sind unverzüglich auf den nächst möglichen Termin zu kündigen."
B.
Dagegen erhob die X._ AG Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Aargau und stellte das Begehren, die Bewilligungen seien per 30. September 2013 zu entziehen. Am 3. Juli 2013 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
Gegen diesen Entscheid erhob die X._ AG am 11. Juli 2013 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau und erneuerte das beim Regierungsrat gestellte Begehren. Zudem beantragte sie Erteilung der aufschiebenden Wirkung und superprovisorische Wiedererteilung der aufschiebenden Wirkung. Der Instruktionsrichter stellte am 12. Juli 2013 superprovisorisch die aufschiebende Wirkung der Beschwerde wieder her, wies aber am 29. Juli 2013 das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab. Am 6. November 2013 teilte die X._ AG dem Verwaltungsgericht mit, sie wünsche einen Entscheid; gegen sie laufe ein Strafverfahren, so dass sie ein Interesse an der Frage habe, ob sie die Arbeitsvermittlung bis zum 30. September 2013 rechtmässig habe betreiben dürfen. Mit Urteil vom 19. November 2013 schrieb das Verwaltungsgericht die Beschwerde als gegenstandslos geworden von der Geschäftskontrolle ab. Die Kosten auferlegte es der X._ AG; eine Parteientschädigung sprach es nicht zu.
C.
Mit Eingabe vom 16. Januar 2014 erhebt die X._ AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei die Sache zur materiellen Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Amt für Wirtschaft und Arbeit beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Generalsekretariat des Departements Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau verzichtet auf Vernehmlassung. Das Verwaltungsgericht äussert sich zur Beschwerde, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen. Die X._ AG repliziert.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) und die Beschwerdeführerin ist dazu legitimiert (<ref-law>). Insbesondere hat die Beschwerdeführerin ein aktuelles und praktisches Interesse an der Beschwerde, da sie geltend macht, die Vorinstanz habe sich zu Unrecht nicht materiell mit ihrem Rechtsmittel befasst. Das Bundesgericht prüft frei die richtige Anwendung von Bundesrecht mit Einschluss des Verfassungsrechts (<ref-law>), die Anwendung kantonalen Rechts aber nur darauf hin, ob dadurch Bundesrecht verletzt wurde, namentlich durch willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts.
2.
2.1. Streitgegenstand vor der Vorinstanz war die Rechtmässigkeit des Bewilligungsentzugs in zeitlicher Hinsicht. Die Beschwerdeführerin hatte nicht gegen den Entzug opponiert, sondern bloss beantragt, die Bewilligungen seien nicht per sofort, sondern erst per 30. September 2013 zu entziehen. Mit Ablauf dieses Datums ist das Rechtsbegehren grundsätzlich gegenstandslos geworden. Die Vorinstanz hat deshalb in Anwendung von § 42 lit. a des Gesetzes [des Kantons Aargau] vom 4. Dezember 2007 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/AG; SAR 271.200) das Verfahren mangels eines aktuellen praktischen Rechtsschutzinteresses abgeschrieben.
2.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Anwendung von § 42 lit. a VRG/AG sowie eine Verletzung von <ref-law> unter zwei Aspekten: Zum einen sei ihr durch den sofortigen Bewilligungsentzug die mit dem AWA vereinbarte Schonfrist bis zum 30. September 2013 überraschend verweigert worden. Zum anderen habe der Bewilligungsentzug die Beschwerdeführerin und ihre Organe der strafrechtlichen Verfolgung ausgesetzt, zumal es ihr unmöglich gewesen sei, die Geschäftstätigkeit inmitten der Hochsaison sofort zu beenden. Es sei ein Strafverfahren wegen Widerhandlung gegen Art. 39 Abs. 1 AVG im Gange; sie habe daher ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung der Frage, ob ein allfälliger Personalverleih zwischen dem 5. Juni und dem 30. September 2013 ohne Bewilligung erfolgt sei.
2.3. Ist das Streitobjekt während der Dauer des Verfahrens entfallen, schreibt das Gericht ein Verfahren als gegenstandslos geworden ab. Das gilt auch dann, wenn die Gegenstandslosigkeit darauf zurückzuführen ist, dass infolge Entzugs der aufschiebenden Wirkung einer Beschwerde der Streitgegenstand während des noch laufenden Rechtsmittelverfahrens entfallen ist (vgl. Urteil 2C_11/2012 vom 25. April 2012). Vorliegend hatten das AWA und der Regierungsrat einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung entzogen und das Verwaltungsgericht hat das Gesuch der Beschwerdeführerin um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen. Damit wurde der für die Dauer des Verfahrens provisorisch massgebliche Rechtszustand festgelegt. Der Entscheid wäre im Rahmen der Art. 93 und 98 BGG beim Bundesgericht anfechtbar gewesen. Die Beschwerdeführerin hat auf eine Anfechtung verzichtet. Der Umstand allein, dass der sofortige Entzug der Bewilligung für die Beschwerdeführerin überraschend gewesen sei und einer (vom AWA bestrittenen) Vereinbarung widersprochen habe, begründet für sich allein noch kein praktisches und aktuelles Rechtsschutzinteresse an einer nachträglichen Beurteilung des sofortigen Entzugs.
2.4. Fraglich ist, ob das drohende Strafverfahren daran etwas ändert:
2.4.1. Die Vorinstanz hat dies verneint mit der Begründung, das Strafverfahren ändere nichts an der Tatsache, dass die beantragte Frist bis Ende September 2013 verstrichen sei; zudem falle die Frage eines strafbaren Verhaltens nicht in die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts, sondern des Strafrichters.
2.4.2. Nach Art. 39 Abs. 1 lit. a AVG wird bestraft, wer ohne die erforderliche Bewilligung Arbeit vermittelt oder Personal verleiht. Das Fehlen einer Bewilligung ist Tatbestandsmerkmal des Delikts. Hat die Beschwerdeführerin in der Zeit vom 5. Juni bis 30. September 2013 Arbeit vermittelt oder Personal verliehen, so ist somit rechtserheblich, ob eine Bewilligung vorlag oder nicht. Das begründet aber noch kein Rechtsschutzinteresse an einer verwaltungsgerichtlichen Beurteilung: Nach ständiger Rechtsprechung kann nämlich ein Strafgericht auch verwaltungsrechtliche Vorfragen beurteilen, soweit die Verwaltungsjustiz darüber nicht entschieden hat (<ref-ruling> E. 2 S. 249 f.; Urteil 1P.730/2003 vom 22. März 2004 E. 2.3.1, in: SJ 2004 I S. 459). Ein schutzwürdiges Interesse an einer verwaltungsgerichtlichen Beurteilung kann deshalb nicht mit Hinblick auf ein allfälliges Strafverfahren begründet werden (Urteil 2C_596/2010 vom 11. März 2011 E. 3.2). Hinzu kommt, dass für die strafrechtliche Beurteilung wesentlich sein wird, ob eine allfällige Gutheissung der Beschwerde zur Folge gehabt hätte, dass dieser nachträglich festgestellte Rechtszustand auch auf die Dauer des Verfahrens zurückzubeziehen ist, während der infolge Entzugs der aufschiebenden Wirkung die bewilligungspflichtigen Handlungen vorläufig nicht ausgeübt werden durften (vgl. für die umgekehrte Konstellation: <ref-ruling> E. 2b S. 76). Diese strafrechtliche Frage hätte das Verwaltungsgericht in seinem Entscheid ohnehin nicht beantworten können.
2.5. Die Vorinstanz hat somit weder Art. 29 Abs. 1 bzw. <ref-law> verletzt noch § 42 lit. a VRG/AG willkürlich angewendet, indem sie das Verfahren als gegenstandslos abgeschrieben hat.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Die Beschwerdeführerin trägt die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Winiger