Faits:
A. A._ a été engagé par la Municipalité de la commune de X._ (ci-après: la municipalité) comme employé communal polyvalent à partir du 1er septembre 1988 sur la base d'un "contrat de droit privé", conformément à ce que prévoyait un règlement communal alors en vigueur. Dès le 1er mars 1999, il a été promu en qualité de chef d'équipe communale. A compter du 1er mai 2000, il a été soumis à un nouveau statut du personnel communal adopté par le conseil communal le 27 mai 1999 et approuvé ensuite par le Conseil d'Etat du canton de Vaud. Ce statut s'applique à tous les collaborateurs salariés de la commune (art. 1.1). Il prévoit la compétence de la municipalité pour l'engagement et la promotion (art. 3 ss) ainsi que pour le licenciement (art. 8) et le renvoi pour justes motifs (art. 9). Sur ce dernier point, le règlement communal est ainsi libellé:
"9.1 La Municipalité peut en tout temps renvoyer un employé pour justes motifs.
9.2 Constituent notamment de justes motifs, toutes circonstances qui rendent le maintien en fonction préjudiciable à la bonne marche ou à la bonne réputation de l'administration ou qui font que, selon la bonne foi, la poursuite des rapports de service ne peut plus être exigée.
9.3 A moins que les faits ne justifient un renvoi immédiat, le renvoi doit être précédé d'un avertissement écrit.
9.4 Le renvoi pour justes motifs ne peut être prononcé qu'après audition de l'employé qui peut se faire assister.
9.5 La décision de renvoi est communiquée par écrit avec indication des motifs."
B. Par une décision du 21 décembre 2006, la municipalité a signifié à A._ son renvoi pour justes motifs, conformément à l'art. 9 du statut du personnel. Il a été ainsi mis fin immédiatement aux rapports de travail, la municipalité retenant à l'encontre de A._ qu'il avait réalisé, sur les heures de travail, une activité de sciage de bois de feu à la demande de plusieurs habitants de la commune, en encaissant directement et en conservant la rémunération pour le travail fourni. Il lui était également reproché de n'avoir jamais exposé cette manière de faire à la municipalité.
A._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif du canton de Vaud. Il a conclu à sa réforme, en ce sens qu'il n'était pas licencié et continuait à être employé communal en qualité de chef de l'équipe de voirie. A titre subsidiaire, il a conclu à l'annulation de la décision attaquée et au renvoi de la cause à la municipalité pour nouvelle instruction et nouvelle décision. La municipalité a conclu au rejet du recours.
Le Tribunal administratif a statué après une audience qui a eu lieu le 16 mai 2007. Par un arrêt rendu le 19 juillet 2007, il a admis le recours et annulé la décision de la municipalité du 21 décembre 2006. En substance, il a considéré que les motifs invoqués par l'employeur étaient assurément sérieux mais pas d'une importance telle qu'ils eussent pu justifier un licenciement avec effet immédiat, sans aucun avertissement (consid. 2a). En outre, selon cet arrêt, la municipalité, qui avait eu connaissance des faits litigieux avant le mois de novembre 2006, a tardé à prononcer le licenciement immédiat; c'est un autre motif de considérer que la décision n'est pas valable (consid. 2b).
C. Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, la commune de X._ (représentée par sa municipalité) demande au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal administratif en ce sens que le recours déposé par A._ à l'encontre de la décision de la municipalité du 21 décembre 2006 est rejeté, cette dernière décision étant confirmée. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif puis au renvoi de l'affaire à cette autorité pour complément d'instruction et nouvelle décision. La commune recourante se plaint de violations de l'art. 9 Cst., en dénonçant une application arbitraire par le Tribunal administratif de l'art. 9 du statut de son personnel, et en reprochant à la juridiction cantonale des lacunes dans les constatations de fait ainsi qu'une appréciation arbitraire de certains moyens de preuve.
A._ et le Tribunal administratif concluent au rejet du recours.
D. Par une ordonnance du 14 décembre 2007, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif présentée par la commune recourante.
E. L'intimé A._ demande l'assistance judiciaire, à savoir la dispense des frais de justice et la désignation de Me Dovat, l'auteur de son mémoire de réponse, comme avocat d'office.

Considérant en droit:
1. La commune recourante a choisi la voie du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>). En introduction de son mémoire, elle soutient que la voie du recours en matière de droit public (<ref-law>) n'est pas ouverte, la contestation n'étant pas de nature pécuniaire.
1.1 Il n'est pas contesté que les rapports de travail en cause sont régis par le droit public (soit, depuis 2000, par un statut du personnel communal qui est une réglementation de droit public). En matière de rapports de travail de droit public - lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause -, la recevabilité du recours ordinaire en matière de droit public dépend, selon l'art. 83 let. g LTF, du caractère pécuniaire ou non de la contestation; puis, si la contestation est pécuniaire, il faut encore en principe que la valeur litigieuse minimale soit atteinte, en vertu de l'<ref-law> (15'000 fr.). Il existe de nombreuses situations, dans la fonction publique, où des litiges peuvent surgir sans que la contestation soit pécuniaire (cf. Thomas Häberli, Basler Kommentar BGG, Bâle 2008, art. 83 n. 170). Dans les contestations pécuniaires, lorsque la valeur litigieuse n'est pas atteinte, il est possible d'agir par la voie du recours ordinaire des <ref-law>, pour autant que la contestation soulève une question juridique de principe (<ref-law>).
Devant le Tribunal fédéral, la recourante ne prend pas de conclusions tendant au paiement d'une somme d'argent déterminée et, affirmant que la contestation n'a pas de caractère pécuniaire, elle ne fournit dans son mémoire aucune indication au sujet d'une valeur litigieuse. Elle ne prétend pas non plus que la contestation soulève une question juridique de principe; or il incombe au recourant qui se prévaut de l'<ref-law> d'exposer en quoi l'affaire remplit cette condition (art. 42 al. 2, 2ème phrase LTF). L'arrêt attaqué, qui se borne à annuler la décision municipale du 21 décembre 2006, ne condamne au demeurant pas la commune à payer à l'intimé une somme d'argent; aucune valeur litigieuse n'a non plus été mentionnée en tant que telle dans cet arrêt. Il n'y a donc aucun motif, à première vue, de traiter le recours constitutionnel comme un recours en matière de droit public.
1.2 Le recours a été déposé en temps utile et selon les formes prescrites; il est dirigé contre une décision finale prise en dernière instance cantonale (art. 90, 100 et 117 LTF, notamment). Il reste à examiner si la commune a qualité pour recourir.
La qualité pour recourir, par la voie du recours constitutionnel, est définie à l'<ref-law>. Le recourant doit avoir pris part à la procédure devant l'autorité précédente, ou avoir été privé de la possibilité de le faire (let. a), et il doit avoir un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b). La commune recourante a été partie à la procédure devant le Tribunal administratif cantonal; il reste donc à examiner si elle peut se prévaloir d'un intérêt juridique.
D'après la jurisprudence (<ref-ruling> consid. 3 p. 190 et 6.3 p. 200; <ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 253), la notion d'intérêt juridique, à l'<ref-law>, correspond à celle d'intérêt juridiquement protégé, dont le recourant devait pouvoir se prévaloir pour que lui fût reconnue la qualité pour agir par la voie du recours de droit public, conformément à l'art. 88 de l'ancienne loi d'organisation judiciaire (OJ), applicable jusqu'à l'entrée en vigueur de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF) le 1er janvier 2007.
Sous l'empire de l'OJ, une commune pouvait saisir le Tribunal fédéral par la voie du recours de droit public en se plaignant d'une violation de son autonomie (pour autant qu'elle fût atteinte par l'acte attaqué en tant que détentrice de la puissance publique). Un tel recours était traité comme un recours pour violation de droits constitutionnels des citoyens, au sens de l'art. 84 al. 1 let. a OJ, et les conditions légales de recevabilité des art. 84 ss OJ s'y appliquaient. Les communes pouvaient donc invoquer dans ce cadre la garantie de leur autonomie, définie par le droit constitutionnel cantonal (cf. art. 50 al. 1 Cst.), et critiquer l'application, par l'autorité cantonale, des normes du droit cantonal et communal régissant la matière; elles se prévalaient ainsi à l'évidence d'un intérêt juridiquement protégé au sens de l'art. 88 OJ.
Avec l'entrée en vigueur de la LTF, les communes conservent le droit de saisir le Tribunal fédéral pour défendre leur autonomie, aussi bien dans la procédure du recours en matière de droit public (art. 89 al. 2 let. c LTF) que dans celle du recours constitutionnel subsidiaire, où la garantie de l'autonomie est un "droit constitutionnel" dont la violation peut être dénoncée en vertu de l'<ref-law>. L'art. 189 Cst., qui définit au niveau constitutionnel les compétences du Tribunal fédéral, prévoit du reste le recours pour violation de l'autonomie communale (art. 189 al. 1 let. e Cst.). La commune qui invoque son autonomie peut donc se prévaloir d'un intérêt juridique à l'annulation de la décision cantonale attaquée, au sens de l'<ref-law>.
En l'espèce, la commune recourante déclare agir en tant qu'employeur de l'intimé. Elle s'affirme en outre touchée comme un particulier, en raison de sa qualité d'employeur. La seule norme constitutionnelle qu'elle invoque est l'art. 9 Cst., en se plaignant d'une application arbitraire de son statut du personnel, puis en dénonçant l'arbitraire dans la constatation des faits et l'appréciation des preuves. Son mémoire ne contient aucune référence expresse aux normes du droit cantonal garantissant l'autonomie des communes.
Cela étant, la jurisprudence concernant la recevabilité du recours en matière de droit public (<ref-law>, notamment <ref-law>) retient que la collectivité publique, en tant qu'employeur, n'agit certes pas au même titre qu'un particulier dans une contestation découlant de rapports de travail régis par le droit public, mais qu'elle a néanmoins un intérêt spécifique digne de protection à l'annulation ou à la modification d'une décision d'un tribunal favorable à son agent; la collectivité publique se trouve en effet dans une situation juridique analogue à celle d'un employeur privé parce que les prestations qu'elle conteste devoir fournir pourraient être dues par tout employeur, dans une situation comparable (arrêt 1C_183/2007 du 5 février 2008 destiné à la publication, consid. 2.3; cf. également arrêts non publiés 1C.450/2007 du 26 mars 2008, consid. 1, et 1C_341/2007 du 6 février 2008, consid. 1.1). On peut dès lors se demander si, après avoir reconnu la qualité pour recourir à la collectivité publique en tant qu'employeur dans la procédure du recours ordinaire (<ref-law>), même dans les cas où l'autonomie communale n'est pas invoquée, le Tribunal fédéral doit également l'admettre pour le recours constitutionnel subsidiaire. Ces questions de recevabilité peuvent cependant demeurer indécises dans la présente affaire, vu le sort à réserver aux griefs sur le fond.
2. La recourante critique l'une et l'autre motivations du Tribunal administratif, qu'elle qualifie toutes deux d'arbitraires. La première motivation se rapporte à l'importance des motifs de licenciement (consid. 2a de l'arrêt attaqué), tandis que la seconde traite du retard à prononcer le renvoi (consid. 2b de l'arrêt attaqué).
2.1 L'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, si elle méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités).
2.2 Dans la première motivation de son arrêt, le Tribunal administratif a considéré que les motifs invoqués par l'employeur étaient assurément sérieux mais pas d'une importance telle qu'ils eussent pu justifier un licenciement avec effet immédiat, sans aucun avertissement. Il a qualifié le renvoi pour justes motifs, prévu à l'art. 9 du statut du personnel communal, de mesure exceptionnelle à admettre de façon restrictive. Il a en effet rappelé que ce règlement communal prévoyait à son art. 8 un licenciement ordinaire, qui peut être prononcé en tout temps, moyennant le respect des délais des art. 335b et 335c CO et après un avertissement oral puis un avertissement écrit. La commune recourante ne conteste pas que son règlement lui offre ces deux possibilités pour licencier un employé et elle ne prétend pas qu'il serait arbitraire de considérer que l'application de l'art. 9 du statut doit avoir un caractère exceptionnel.
2.3 Selon l'arrêt attaqué, les faits qui peuvent être retenus à l'encontre de l'intimé sont les suivants: il a scié, sans y avoir été autorisé, des bûches de 33 cm durant les heures de travail, pendant un peu plus d'une année (à partir de la fin de l'année 2004 jusqu'au début de l'année 2006), et il a accepté d'être rémunéré directement pour le sciage par les habitants de la commune qui achetaient le bois scié, à raison de 20 fr. par stère. Durant cette période, il a bénéficié pour cette activité non autorisée de l'aide de B._, qui était rémunéré (comme mandataire) par la commune sur la base de décomptes établis par l'intimé. Le Tribunal administratif a retenu que l'intimé et B._ divergeaient quant à l'évaluation du volume annuel de bois scié en bûches (50 stères selon le premier, 50 à 100 selon le second).
Il ressort en outre du dossier que l'intimé était notamment chargé, en tant que chef d'équipe communale, de travaux forestiers ainsi que de la vente, aux habitants de la commune qui passaient commande au bureau communal, de bois en stères ou en bûches d'une longueur de 1 m. Dans sa première écriture au Tribunal administratif, la municipalité a indiqué qu'à une date indéterminée, des citoyens ont demandé à l'intimé de scier ces longues bûches en trois tronçons de 33 cm (sciage complémentaire), ce qu'il faisait en dehors de ses heures de travail. Dès le printemps 2006, la municipalité a décidé de vendre du bois déjà coupé en bûches de 33 cm; la préparation de ces bûches était donc désormais une prestation à fournir par l'équipe d'employés communaux.
Sur la base de ces faits, le Tribunal administratif a considéré que l'intimé avait violé le devoir de fidélité le liant à son employeur et lui imposant de consacrer à sa fonction l'entier de son temps de travail. Il a cependant estimé que les manquements n'étaient pas d'une importance propre à justifier un licenciement immédiat sans avertissement, compte tenu d'une appréciation de différentes circonstances: l'intimé n'occupait pas, dans l'administration communale, une position dans laquelle la confiance et l'intégrité jouent un rôle particulier (il en irait différemment pour un policier); ses antécédents, en vingt années de service, sont dans l'ensemble bons; il a pu avoir l'impression que son activité était en quelque sorte tolérée par les autorités communales, dans la mesure où le greffe municipal communiquait son numéro de téléphone aux personnes souhaitant passer des commandes de sciage en bûches de 33 cm et où des membres des autorités communales faisaient appel à lui pour ce service.
2.4 La commune recourante fait d'abord valoir, à l'appui de son grief d'arbitraire, que la commission d'un vol, d'une gestion déloyale ou d'une escroquerie au préjudice d'un employeur est dans tous les cas un fait grave. Dans le cas particulier, elle soutient que le comportement de l'intimé devrait probablement être qualifié de gestion déloyale. Toutefois, le dossier ne fait aucune référence à une procédure pénale en cours et, dans une écriture au Tribunal administratif du 19 juin 2007, la municipalité avait précisé avoir renoncé à déposer une plainte pénale. Dans ces conditions, l'éventuelle qualification pénale des faits litigieux n'est pas un élément pertinent et la juridiction cantonale pouvait, sans arbitraire, renoncer à aborder cette question.
La commune recourante reproche au Tribunal administratif d'avoir retenu de manière arbitraire que les conditions fixées à l'art. 9 du statut du personnel communal n'étaient pas réunies. Elle insiste sur le fait que l'intimé a violé plusieurs obligations en matière de rapports de service et en s'enrichissant de manière illicite, il a causé un dommage à la collectivité publique (au moins 2'325 fr. par année, montant tenant compte de la rémunération perçue par son collaborateur). Elle fait encore valoir que le Tribunal administratif a retenu de manière arbitraire que l'activité illicite ne se serait déployée que pendant guère plus d'une année; selon elle, cette activité a duré quatre ans (de 2002 à 2005), ce qui résulterait du témoignage du collaborateur B._.
Il ressort ainsi des griefs de la recourante qu'elle ne conteste pas l'ensemble des éléments retenus par le Tribunal administratif (notamment que l'intimé n'occupait pas une position avec un rapport de confiance qualifié, qu'il avait globalement de bons antécédents et que, en l'absence d'avertissement, il avait pu avoir l'impression d'une certaine tolérance de la part de son employeur), mais seulement l'appréciation de l'importance des manquements. S'agissant de la durée de la période pendant laquelle le sciage de bûches a été effectué sur les heures de travail, elle est nécessairement difficile à déterminer - puisque la fourniture de bois de feu faisait partie des prestations communales, que le sciage de petites bûches était admis auparavant hors des heures de travail et que, comme cela ressort du dossier, les horaires de travail de l'intimé étaient variables compte tenu d'heures supplémentaires à reprendre (après diverses tâches accomplies hors des heures ordinaires de travail). Aussi le Tribunal administratif pouvait-il, sans arbitraire, ne pas déduire du témoignage de B._ que le sciage des bûches de 33 cm était toujours, dès 2002, intervenu pendant les heures de service. Ce témoin s'est en effet borné à déclarer que cette activité était exercée "pendant la journée, exceptionnellement le samedi", ce qui ne signifie pas nécessairement que ces heures diurnes correspondaient à des heures que l'intimé devait consacrer à la commune (vu les compensations dues aux heures supplémentaires). La détermination de la période litigieuse dans l'arrêt attaqué (fin 2004 à début 2006) n'est donc pas insoutenable.
Sur cette base, l'appréciation, par le Tribunal administratif, de l'importance des manquements et des autres circonstances à prendre en considération selon l'art. 9 du statut du personnel communal, n'apparaît pas insoutenable. La juridiction communale n'a pas méconnu gravement la réglementation communale sur les rapports de service, au point que cela violerait les garanties minimales de l'art. 9 Cst. Dans ces conditions, il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'examiner plus en détail les manquements reprochés à l'intimé.
2.5 Dès lors que la première motivation de l'arrêt attaqué n'est pas arbitraire, et que par conséquent cette décision n'est pas arbitraire dans son résultat, il est superflu d'examiner les griefs dirigés contre la seconde motivation, et ainsi de déterminer s'il est arbitraire de retenir que l'autorité communale a en outre tardé à prononcer le licenciement immédiat (cf. consid. 2b de l'arrêt attaqué).
3. Il s'ensuit que le recours, mal fondé, doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le présent arrêt doit être rendu sans frais, la commune recourante s'étant adressée au Tribunal fédéral dans l'exercice de ses attributions officielles (<ref-law>). Cette commune, qui succombe, aura toutefois à verser des dépens à l'intimé, représenté par un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Dès lors, la demande d'assistance judiciaire présentée par l'intimé devient sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à l'intimé A._ à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante commune de X._.
4. La demande d'assistance judiciaire est sans objet.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud (Cour de droit administratif et public).
Lausanne, le 15 mai 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Jomini