Sachverhalt:
A. X._ (Ehemann) (geb. 1947) und Y._ (Ehefrau) (geb. 1944) haben 1997 in A._ geheiratet. X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) brachte seinen Sohn Z._ in die Ehe ein. Seit 1. April 2003 leben die Parteien getrennt.
B. Am 1. April 2005 verlangte X._ die Scheidung. Mit Urteil des Präsidenten des Bezirksgerichts Zurzach vom 9. Januar 2006 wurde die Ehe geschieden und der Beschwerdeführer verpflichtet, Y._ (nachfolgend: Beschwerdegegnerin) nachehelichen Unterhalt von monatlich Fr. 1'960.-- bis zu seinem Eintritt in die AHV-Berechtigung, d.h. bis und mit Mai 2012 zu bezahlen.
Der Beschwerdeführer reichte dagegen beim Obergericht des Kantons Aargau Appellation ein. In teilweiser Gutheissung des Rechtsmittels wurde der Beschwerdeführer mit Urteil vom 19. Dezember 2007 verpflichtet, der Beschwerdegegnerin bis und mit Mai 2012 monatlich Fr. 1'480.-- zu bezahlen.
C. Mit Eingabe vom 15. Februar 2008 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Er rügt, <ref-law> sei verletzt worden, weil er zur Bezahlung eines Unterhaltsbeitrages an die Beschwerdegegnerin verpflichtet worden sei.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist der in einem kantonal letztinstanzlichen Scheidungsurteil festgesetzte nacheheliche Unterhalt in einem Fr. 30'000.-- übersteigenden Umfang; auf die Beschwerde ist somit einzutreten (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
2. 2.1 Gemäss <ref-law> besteht Anspruch auf nachehelichen Unterhalt, soweit einem Ehegatten nicht zuzumuten ist, für den ihm gebührenden Unterhalt unter Einschluss einer angemessenen Altersvorsorge selbst aufzukommen. Absatz 2 zählt - wenn auch nicht abschliessend - die für die Beantwortung dieser Frage massgebenden Kriterien auf, die auch bei der Bemessung des Beitrages zu berücksichtigen sind. Absatz 3 nennt die Voraussetzungen, unter denen ein Beitrag "ausnahmsweise versagt oder gekürzt werden" kann. Der nacheheliche Unterhalt soll insbesondere den durch die Ehescheidung verursachten Veränderungen Rechnung tragen. Einerseits hat jeder Ehegatte - soweit immer möglich - für seinen Unterhalt selbst zu sorgen; anderseits ist der eine Ehegatte zur Leistung von Geldbeiträgen an den anderen verpflichtet, wenn dieser seine durch die Ehe allenfalls beeinträchtigte wirtschaftliche Selbstständigkeit nicht erreichen kann (dazu zuletzt: <ref-ruling> E. 9.1 S. 600 mit Hinweisen).
Bei der Festlegung des gebührenden Unterhalts steht dem Richter ein Ermessensspielraum zu (<ref-law>), bei dessen Überprüfung das Bundesgericht Zurückhaltung übt. Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Rechtsprechung und Lehre anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Umstände berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat (<ref-ruling> E. 3a S. 141; nicht publizierte E. 5.3 in <ref-ruling>).
2.2 2.2.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, das Obergericht habe den Begriff der "ökonomischen Selbstständigkeit" im Sinne von <ref-law> verkannt, indem es trotz der kurzen Ehedauer gefolgert habe, die ökonomische Selbstständigkeit der über 50-jährigen Beschwerdegegnerin sei durch die Ehe beeinträchtigt worden.
2.2.2 Als lebensprägend betrachtet die Praxis (im Sinne einer Vermutung) Ehen, die mehr als 10 Jahre gedauert haben (Urteil des Bundesgerichts vom 29. Juni 2001 [5C.111/2001] E. 2c = FamPra 2002 144; vgl. auch <ref-ruling> E. 9.3 S. 601; HEINZ HAUSHEER/ANNETTE SPYCHER, Handbuch des Unterhaltsrechts, Bern 1997, Rz. 05.121, S. 287). Die Dauer der Ehe (<ref-law>) stellt eines der wichtigsten Kriterien dar. Sie entscheidet, ob an die ehelichen Lebensverhältnisse oder an den vorehelichen Lebensstandard anzuknüpfen ist und ob Unterhalt auch in Fällen zu leisten ist, in denen keine ehebedingten Nachteile vorliegen. Entscheidend ist, ob eine Ehe lebensprägend geworden ist (INGEBORG SCHWENZER, FamKommentar Scheidung, Bern 2005, N. 47 zu <ref-law>, S. 253). Demgegenüber gelten (wiederum im Sinne einer Vermutung) als nicht lebensprägende Kurzehen solche unter 5 Jahre (Urteil des Bundesgerichts vom 4. April 2001 [5C.278/2000] E. 3c; INGEBORG SCHWENZER, a.a.O., N. 48 zu <ref-law>).
Die Rechtsprechung bejaht allerdings auch unabhängig von der Ehedauer eine Lebensprägung bzw. ein schutzwürdiges Vertrauen, wenn aus der Ehe Kinder hervorgegangen sind, lässt doch die Kinderbetreuung dem erziehenden Ehegatten bis zu einer bestimmten Alterslimite keine oder nur eine beschränkte Erwerbstätigkeit zu (<ref-ruling> E. 3c S. 10). Das trifft auch auf den Fall zu, dass ein Ehegatte die Aufgabe übernommen hat, für das Kind des andern Ehegatten zu sorgen und deshalb seine Erwerbstätigkeit aufgegeben oder eingeschränkt hat. Denkbar ist aber auch, dass ein Ehegatte, obwohl keine Kinder zu betreuen sind, seine Erwerbstätigkeit - in Absprache mit dem anderen Ehegatten - aufgibt oder einschränkt, um sich ganz dem Haushalt zu widmen.
Ist die Lebensprägung der Ehe bejaht, bildet hinsichtlich des nachehelichen Unterhalts der eheliche Lebensstandard den Anknüpfungspunkt, es sei denn, dass der Scheidung eine lange Trennungszeit vorausgegangen ist. Diesfalls ist ausnahmsweise am Standard anzuknüpfen, wie er während der Trennungszeit bestand (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 9). Das wurde bejaht bei einer rund 10 Jahre dauernden Trennungszeit (<ref-ruling> E. 2.3 S. 540), ebenso bei einer 12-jährigen Trennungszeit (Urteil des Bundesgerichts vom 17. Februar 2004 [5C.230/2003] E. 4.2]), nicht aber bei einer 4 Jahre dauernden Trennungszeit, die als kurz qualifiziert wurde und demzufolge als Anknüpfungspunkt nicht in Betracht fallen konnte (Urteil des Bundesgerichts vom 15. Juli 2004 [5C.90/2004] E.4.2.1).
2.2.3 Aufgrund der dargestellten Rechtsprechung ist von vornherein der Einwand des Beschwerdeführers unzutreffend, dass sich der nacheheliche Unterhalt am Standard des Trennungsurteils orientiere. Das ist nur ausnahmsweise der Fall. Dabei ist nach der Rechtsprechung eine lange Trennungszeit nicht auf die Ehedauer anzurechnen (<ref-ruling> E. 9.2).
2.3 An die Rechtsprechung anknüpfend, wonach eine kurze Trennungszeit bei der massgebenden Ehedauer berücksichtigt wird (<ref-ruling> E. 9.2), ist die vorliegend knapp 3 Jahre dauernde Trennungszeit (vom 1. April 2003 bis 9. Januar 2006) bei der Ehedauer miteinzubeziehen. Insoweit kommt zwar die Vermutung einer Kurzehe nicht zum Tragen, umgekehrt aber auch nicht die Vermutung einer lebensprägenden Ehe, betrug doch die Ehedauer auch unter Berücksichtigung der Trennungszeit weniger als 10 Jahre (vom 14. August 1997 bis 9. Januar 2006). Es fragt sich deshalb, ob sich unabhängig von der Ehedauer lebensprägende Elemente finden.
Nach den verbindlichen Feststellungen (<ref-law>) der Vorinstanz hat die Beschwerdegegnerin im Alter von 53 Jahren ihre Vollzeitstelle aufgegeben, um sich um den Sohn des Beschwerdeführers zu kümmern. Soweit der Beschwerdeführer das bestreitet und behauptet, sein Sohn sei in einem Heim untergebracht und die Beschwerdegegnerin habe ihre ökonomische Unabhängigkeit nicht wegen der Heirat aufgegeben, kann er nicht gehört werden, zumal er nicht die (substantiierte) Rüge erhebt, der Sachverhalt sei offensichtlich falsch, d.h. willkürlich festgestellt worden (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 6.2 S. 288). Es ist daher von einer lebensprägenden Ehe auszugehen, in welchem Fall grundsätzlich an den ehelichen Lebensstandard anzuknüpfen ist.
2.4 Bei einer lebensprägenden Ehe ist in folgenden drei Schritten vorzugehen: Vorab ist der gebührende Unterhalt zu bestimmen, wofür die massgebenden Lebensverhältnisse der Parteien festzustellen sind; bei lebensprägender Ehe bemisst sich der gebührende Unterhalt an dem in der Ehe zuletzt gemeinsam gelebten Standard (zuzüglich scheidungsbedingter Mehrkosten), auf dessen Fortführung bei genügenden Mitteln beide Teile Anspruch haben (<ref-ruling> E. 3.2 S. 594 f.), der aber gleichzeitig auch die Obergrenze des gebührenden Unterhalts bildet (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 8; <ref-ruling> nicht publ. E. 2.2). Sodann ist zu prüfen, inwiefern die Ehegatten diesen Unterhalt je selber finanzieren können; der Vorrang der Eigenversorgung ergibt sich direkt aus dem Wortlaut von <ref-law>. Ist diese einem Ehegatten vorübergehend oder dauerhaft nicht möglich bzw. zumutbar, so dass er auf Unterhaltsleistungen des anderen angewiesen ist, muss in einem dritten Schritt dessen Leistungsfähigkeit ermittelt und ein angemessener Unterhaltsbeitrag festgesetzt werden; dieser beruht auf dem Prinzip der nachehelichen Solidarität (<ref-ruling> E. 4 mit weiteren Hinweisen).
2.4.1 Weiter trägt der Beschwerdeführer vor, die Beschwerdegegnerin sei bis Ende 1997 vollzeitig bei U._ tätig gewesen. Nachher habe sie als Putzfrau gearbeitet und damit monatlich Fr. 1'500.-- bis Fr. 1'600.-- verdient. Im Jahre 2001 habe sie einen Hirnschlag erlitten und sei deshalb nur mehr zu 50 % arbeitsfähig, weshalb sie eine IV-Rente erhalte. Es sei jedoch nicht einzusehen, weshalb die Beschwerdegegnerin die verbleibende Erwerbstätigkeit von 50 % nicht weiterhin als Putzfrau einsetzen könne.
Die Beschwerdegegnerin verfügt offenbar über kein anderes Einkommen als eine IV-Rente von knapp Fr. 2'000.--. Es stellt sich somit die Frage, ob es ihr zumutbar gewesen wäre, ab dem Zeitpunkt der Trennung (31. März 2003) wieder einer Erwerbstätigkeit nachzugehen und ihr infolgedessen ein hypothetisches Erwerbseinkommen anzurechnen. Die Vorinstanz hat diesbezüglich erwogen, es sei der Beschwerdegegnerin unzumutbar, selbst für ihren gebührenden Unterhalt aufzukommen, sei doch eine Stellensuche gesundheits- und altersbedingt mit Schwierigkeiten verbunden. Mit dieser Einschätzung hat das Obergericht kein Bundesrecht verletzt, entspricht es doch allgemeiner Lebenserfahrung, dass eine (im Trennungszeitpunkt) gesundheitlich angeschlagene 59-jährige Frau auf dem Arbeitsmarkt keine reellen Chancen hat. Im Übrigen widerspricht sich der Beschwerdeführer selber, hat er doch vor Obergericht erklärt, es sei unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin heute nicht mehr arbeitsfähig sei.
2.4.2 Ein hypothetisches Einkommen aus der Vermietung einer der Beschwerdegegnerin gehörenden Liegenschaft hat die Vorinstanz ebenfalls verneint, weil die Tochter (Mieterin) die Schuldzinsen für die Hypothek von Fr. 403'000.-- übernehme und der Beschwerdeführer nicht substantiiere, weshalb ein hypothetisches Einkommen aus der Vermietung anzurechnen sei. Bereits das erstinstanzliche Gericht hatte dem Beschwerdeführer fehlende Substantiierung vorgeworfen, dem er vor Appellationsgericht entgegengehalten hat, es wäre Sache der Beschwerdegegnerin gewesen, entsprechende Unterlagen vorzulegen. Das bringt er heute nicht mehr vor, macht dafür aber Ausführungen zu dem die Hypothek übersteigenden Schätzungswert der Liegenschaft. Auf diese erstmals vorgebrachten Darlegungen ist nicht einzutreten (<ref-law>). Kann der Beschwerdegegnerin aber kein hypothetisches Einkommen angerechnet werden und ist sie demzufolge nicht in der Lage, selber vollumfänglich für ihren gebührenden Unterhalt aufzukommen, ist der Beschwerdeführer grundsätzlich unterhaltspflichtig, weshalb sein (Haupt-)Antrag auf Aufhebung der Rente abzuweisen ist, zumal es der Beschwerdegegnerin nicht zumutbar ist, ihr Vermögen anzuzehren. Im Übrigen hat die Vorinstanz zu Letzterem verbindlich festgestellt und erwogen, den Betrag von Fr. 25'000.-- habe die Beschwerdegegnerin im Rahmen der güterrechtlichen Auseinandersetzung erhalten, womit nicht ehebedingte Nachteile abgegolten würden. Eine hinreichend begründete Rüge der Verletzung von Bundesrecht wird dazu nicht erhoben (zu den Begründungsanforderungen: <ref-ruling> E. 1.4); und dass die Beschwerdegegnerin über weiteres Vermögen im Umfang von insgesamt Fr. 66'000.-- verfügen soll, kann nicht gehört werden, da in der Beschwerde nicht substantiiert gerügt wird, der Sachverhalt sei offensichtlich falsch, d.h. willkürlich festgestellt worden (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 6.2 S. 288).
2.5 Mit Bezug auf seine Leistungsfähigkeit macht der Beschwerdeführer Folgendes geltend:
2.5.1 Er wirft dem Obergericht vor, seine Erkrankung - entgegen <ref-law> - nicht berücksichtigt zu haben. Abgesehen davon, dass er nicht geltend macht, dass die Erkrankung überhaupt Einfluss auf seine Erwerbsfähigkeit hat, behauptet der Beschwerdeführer auch nicht, das bereits vor der Vorinstanz geltend gemacht zu haben und diese sei diesbezüglich von einem offensichtlich falschen Sachverhalt ausgegangen. Darauf ist nicht einzutreten.
2.5.2 Ferner rügt der Beschwerdeführer, sein Sohn Z._ werde durch die Sozialhilfe der Stadt B._ unterstützt. Am 6. September 2007 sei ihm angekündigt worden, dass für die erbrachte Sozialhilfe im Rahmen der Verwandtenunterstützung auf ihn Rückgriff genommen werde. Im angefochtenen Urteil ist indessen die Rede von Sozialhilfe, die der Tochter zugekommen sein soll. Für wen der Beschwerdeführer Verwandtenunterstützung gemäss Art. 328/329 ZGB leisten soll, ist nicht von Belang, denn die Erwägung der Vorinstanz, dass ein allfälliger Rückgriff keine Berücksichtigung findet, solange nicht feststehe, ob der Beschwerdeführer mit einem solchen zu rechnen habe, ist bundesrechtskonform. Die bloss mit dem Argument begründete Rüge, die Tatsache sei im Moment des Urteils bekannt gewesen und hätte deshalb berücksichtigt werden müssen, geht deshalb an der Sache vorbei.
2.5.3 Mit Blick auf die vom Beschwerdeführer hinsichtlich seiner Leistungsfähigkeit vorgetragenen Argumente rechtfertigt sich auch nicht die eventualiter beantragte Herabsetzung der Rente auf Fr. 500.--.
3. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig (<ref-law>). Hingegen schuldet er der Beschwerdegegnerin keine Parteientschädigung, da sie nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden ist und ihr demzufolge kein Aufwand entstanden ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett