Sachverhalt:
A. Der 1953 geborene M._ erlitt am 2. Februar 2005 und am 15. Januar 2007 Unfälle, für deren Folgen ihm die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Allianz) als obligatorischer Unfallversicherer Heilbehandlung gewährte und Taggeld ausrichtete. Die Allianz gab sodann - nebst anderen Sachverhaltsabklärungen - beim Zentrum X._ ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten in Auftrag, welches am 26. März 2009 erstattet wurde. M._ erhob Befangenheitsvorwürfe gegenüber zwei der hieran beteiligten Experten (Dr. med. B._, Neurologie und Psychiatrie; Dr. phil. D._, Neuropsychologie FSP). Am 7. Dezember 2009 erliess die Allianz eine Verfügung mit folgendem Dispositiv:
1. Die Versicherungsleistungen werden rückwirkend per 4. April 2007 eingestellt.
2. Es liegen keine Ausstands- und Ablehnungsgründe (<ref-law> und <ref-law>) vor.
3. Einer allfälligen Einsprache wird die aufschiebende Wirkung entzogen (<ref-law>).
4. Es werden keine Kosten erhoben.
Die Allianz wies den Versicherten darauf hin, gegen die Ziffern 1, 3 und 4 des Verfügungsdispositivs könne Einsprache bei ihr, gegen Ziffer 2 Beschwerde beim zuständigen Versicherungsgericht geführt werden.
M._ reichte entsprechend dieser Rechtsmittelbelehrung Einsprache beim Versicherer und - betreffend Befangenheit der zwei medizinischen Experten - Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ein. Er ersuchte überdies um Sistierung des Einspracheverfahrens bis zur rechtskräftigen Erledigung des Beschwerdeverfahrens, welchem Begehren die Allianz am 15. März 2010 entsprach.
B. Mit Entscheid vom 5. August 2010 hiess das Sozialversicherungsgericht die Beschwerde teilweise gut und hob Dispositiv-Ziffer 2 der Verfügung vom 7. Dezember 2009 auf, soweit darin eine Befangenheit des Dr. phil. D._ verneint werde. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und Ziffer 2 der Verfügung vom 7. Dezember 2009 zu bestätigen.
M._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 24. November 2010 äussert sich die Allianz nochmals.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Ebenfalls zulässig ist die Beschwerde u.a. nach <ref-law> gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren.
Selbst wenn der vorinstanzliche Entscheid als Zwischenentscheid qualifiziert wird, ist, da er ein Ausstandsbegehren beschlägt, seine Anfechtbarkeit in Anwendung von <ref-law> gegeben (vgl., auch zum Folgenden, Urteil 8C_699/2009 vom 22. April 2010 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Die übrigen Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde sind ebenfalls erfüllt.
2. Das Bundesgericht prüft, ungeachtet dessen, dass die Beschwerdeführerin diesbezüglich keine Einwände erhebt, von Amtes wegen die formellen Gültigkeitserfordernisse des vorinstanzlichen Verfahrens, insbesondere auch die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht auf die Beschwerde eingetreten ist (<ref-ruling> E. 2 Ingress S. 9 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.2 S. 95 mit Hinweis).
2.1 Das kantonale Gericht ist davon ausgegangen, die Verfügung der Allianz vom 7. Dezember 2009 sei, soweit darin über Ausstands- und Ablehnungsgründe befunden wurde, in Anwendung von <ref-law> mit Beschwerde und im Übrigen mit Einsprache anfechtbar.
2.2 Nach <ref-law> kann gegen Einspracheentscheide oder Verfügungen, gegen welche eine Einsprache ausgeschlossen ist, Beschwerde erhoben werden. Verfügungen des UVG-Versicherers sind, anders etwa als Verfügungen der IV-Stellen (vgl. <ref-law>), gestützt auf Art. 52 Abs. 1 erster Satzteil ATSG grundsätzlich mit Einsprache anfechtbar. Die Beschwerde ist demnach nicht gegeben. Sie kann erst gegen den Einspracheentscheid erhoben werden. Art. 52 Abs. 1 zweiter Satzteil ATSG sieht indessen - im UVG-Verfahren als Ausnahme von der genannten Regel - vor, dass gegen prozess- und verfahrensleitende Verfügungen die Einsprache unzulässig ist, was nach <ref-law> wiederum den Beschwerdeweg öffnet.
2.3 Aus verfahrensrechtlichen, insbesondere prozessökonomischen Gründen ist über Ausstandsgründe möglichst vorab und nicht erst zusammen mit dem Entscheid in der Sache zu befinden. Ein solches Vorgehen trägt zugleich der Pflicht der Verfahrensbeteiligten Rechnung, Ausstandsgründe zu rügen, sobald sie von diesen Kenntnis erlangt haben. Andernfalls läuft die anordnende Behörde Gefahr, dass ihr Sachentscheid in einem anschliessenden Rechtsmittelverfahren wegen der Verletzung der Ausstandsvorschriften als Ganzes aufgehoben wird (BGE <ref-ruling> E. 6.2 S. 106 f.).
Indem die Beschwerdeführerin über den Ausstand und die Sache gleichzeitig befunden hat, hat sie gegen dieses Verfahrensprinzip verstossen. Es stellt sich die Frage, was dies bezüglich Anfechtbarkeit der Verfügung zur Folge hat.
2.4 Die vorinstanzliche Beurteilung beruht auf dem Verständnis, die Verfügung vom 7. Dezember 2009 stelle bezüglich Ausstands- und Ablehnungsgründen eine prozess- resp. verfahrensleitende Verfügung im Sinne von Art. 52 Abs. 1 zweiter Satzteil ATSG dar, weshalb die Einsprache ausgeschlossen sei und kraft <ref-law> der Beschwerdeweg offen stehe.
Art. 52 Abs. 1 zweiter Satzteil ATSG kann nach Wortlaut und Systematik des Gesetzes nur Zwischenverfügungen betreffen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 6.1 S. 106 mit Hinweis), mithin Verfügungen, welche vor der verfahrensabschliessenden Verfügung (Endverfügung) prozess- resp. verfahrensleitende Anordnungen treffen (vgl. UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 30 zu Art. 52; siehe auch: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 1a/bb S. 492 mit Hinweisen; RHINOW/KRÄHENMANN, Schweizerische Verwaltungsrechtsprechung, Ergänzungsband, 1990, Nr. 35/B/VI/b S. 105).
Eine solche Zwischenverfügung liegt hier nicht vor. Ob das kantonale Gericht dennoch zu Recht auf die Beschwerde eingetreten ist kann aus folgenden Gründen offen bleiben. Die unterschiedlichen Standpunkte der Parteien zu den erhobenen Befangenheitsrügen sind ebenso bekannt wie die Auffassung der Vorinstanz hiezu. Es ist zudem offensichtlich allen Verfahrensbeteiligten daran gelegen, über diesen Punkt Klarheit zu gewinnen, damit das (Einsprache-)Verfahren um die streitigen Leistungsansprüche weitergeführt werden kann. Würde der vorinstanzliche Entscheid einfach aufgehoben und die Sache bezüglich der Befangenheitsfrage an die Allianz zurückgewiesen, käme das unter den gegebenen Umständen einem formellen Leerlauf gleich, welcher dem Gebot der Prozessökonomie zuwiderliefe (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 495 f.; <ref-ruling> S. 116; SVR 2008 IV Nr. 46 S. 155, I 143/06 E. 5.3.4; 2006 IV Nr. 20 S. 71, I 525/03 E. 3.2; 2006 AHV Nr. 15 S. 56, H 289/03 E. 2.2). Es rechtfertigt sich daher, die streitige Befangenheitsfrage im nun eingeschlagenen Verfahren zu beurteilen.
3. Das kantonale Gericht hat die Rechtsgrundlagen hiefür zutreffend dargelegt. Hervorzuheben ist, dass für Sachverständige grundsätzlich die gleichen Ausstands- und Ablehnungsgründe gelten, wie sie für Richter vorgesehen sind. Danach ist Befangenheit anzunehmen, wenn Umstände vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit zu erwecken. Bei der Befangenheit handelt es sich allerdings um einen inneren Zustand, der nur schwer bewiesen werden kann. Es braucht daher für die Ablehnung nicht nachgewiesen zu werden, dass die sachverständige Person tatsächlich befangen ist. Es genügt vielmehr, wenn Umstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Bei der Beurteilung des Anscheins der Befangenheit und der Gewichtung solcher Umstände kann jedoch nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abgestellt werden. Das Misstrauen muss vielmehr in objektiver Weise als begründet erscheinen. Im Hinblick auf die erhebliche Bedeutung, welche den Arztgutachten im Sozialversicherungsrecht zukommt, ist an die Unparteilichkeit des Gutachters ein strenger Massstab anzusetzen (BGE <ref-ruling> E. 7.1 S. 109 f. mit Hinweis; SVR 2010 IV Nr. 36 S. 112, 9C_893/2009 E. 1.1 und 1.2 Ingress; 2010 IV Nr. 2 S. 3, 9C_500/2009 E. 1; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 210; Urteil 1B_22/2007 vom 29. Mai 2007 E. 3.3 und 3.4).
4. Das kantonale Gericht hat erkannt, der Befangenheitsvorwurf gegenüber dem Experten Dr. med. B._ sei unbegründet. Bezüglich Dr. phil. D._ hingegen bestehe der Anschein der Befangenheit und damit ein Ausstandsgrund. Dies ergebe sich daraus, dass der Experte - nebst allfälligen weiteren, nicht zu beanstandenden Aussagen - gegenüber dem Versicherten und dessen Ehefrau so oder ähnlich erklärt habe, dass die Beschwerdeführerin als Unfallversicherer nicht zahlungspflichtig sei, wenn oder weil die bildgebenden Untersuchungen keine Befunde ergeben hätten. Es sei nicht Aufgabe eines Gutachters, zu den rechtlichen Folgen der medizinischen Abklärungsergebnisse Stellung zu beziehen. Dies obliege allein dem involvierten Sozialversicherungsträger. Mit derartigen Aussagen könne bei der zu begutachtenden Person der Eindruck erweckt werden, der Experte habe sich möglicherweise bereits eine Meinung zur gesundheitlichen Situation gebildet und bemühe sich nicht mehr um eine unvoreingenommene Abklärung. Die von einem Gutachter verlangte neutrale Haltung gegenüber allen involvierten Parteien werde daher vom Versicherten bei Dr. phil. D._ zu Recht in Frage gestellt. Der Anschein der Befangenheit sei nicht von der Hand zu weisen, weshalb bei diesem Experten ein Ausstandsgrund gegeben sei.
Die Allianz bestreitet entsprechende Äusserungen durch den Experten. Jedenfalls hätten diese nicht ohne weitere Sachverhaltsabklärungen als erwiesen betrachtet werden dürfen. Im Übrigen wäre eine solche Aussage ohnehin nicht geeignet, den Gutachter als befangen erscheinen zu lassen.
Der Beschwerdegegner lässt geltend machen, das kantonale Gericht habe zu Unrecht weitere Aspekte, welche den Befangenheitsvorwurf gegenüber den beiden Experten stützten, unberücksichtigt gelassen.
5. Soweit der Beschwerdegegner mit seinen Ausführungen erneut darauf zielt, Dr. med. B._ als befangen zu betrachten, hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass der vorinstanzliche Entscheid diesbezüglich nicht angefochten worden ist.
Bezüglich Dr. phil. D._ wird u.a. auf ein e-mail der Beschwerdeführerin verwiesen. Daraus geht aber entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung nicht hervor, dass der Gutachter in einem besonders engen Verhältnis zur Allianz stünde und ihn dies als befangen erscheinen liesse.
6. 6.1 Das kantonale Gericht hat die Feststellung, Dr. phil. D._ habe sich entsprechend geäussert, im Wesentlichen damit begründet, es habe den Gutachter aufgefordert, zu den Vorwürfen des Versicherten Stellung zu nehmen. Der Experte habe sich aber zum Befangenheitsvorwurf aus unbekannten Gründen nicht vernehmen lassen. Aufgrund des bisherigen Schweigens erscheine eine weitere schriftliche oder mündliche Befragung nicht sinnvoll, wären doch davon kaum neue Erkenntnisse zu erwarten, zumal die fragliche Äusserung nunmehr eineinhalb Jahre zurückliege. Die betreffende Bemerkung solle der Gutachter gegenüber dem Versicherten wie auch gegenüber dessen Ehefrau gemacht haben. Die Aussagen dieser beiden stimmten diesbezüglich überein, weshalb davon auszugehen sei, dass sich Dr. phil. D._ in dieser oder ähnlicher Weise über die Leistungspflicht der Allianz geäussert habe.
6.2 Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz kann das Bundesgericht nur auf offensichtliche Unrichtigkeit und auf Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> hin überprüfen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Als solche Rechtsverletzung gilt u.a. die unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts (<ref-ruling> E. 4.3 S. 62 mit Hinweisen; SVR 2011 AHV Nr. 5 S. 14, 9C_627/2009 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
6.3 Die Vorinstanz stützt ihre Beurteilung auf das Schreiben des Rechtsvertreters des Beschwerdegegners vom 4. März 2009 sowie insbesondere auf die im kantonalen Verfahren aufgelegte schriftliche Erklärung der Ehefrau des Versicherten vom 21. Januar 2010.
6.4 Der Anschein der Befangenheit kann u.a. in einem persönlichen Interesse an der Sache, in enger verwandtschaftlicher oder freundschaftlicher Verbundenheit zu einer Partei (vgl. SVR 2010 IV Nr. 2 S. 3, 9C_500/2009 E. 1 mit Hinweis), aber auch in einem bestimmten Verhalten des Richters resp. Gutachters (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 6; Urteil 1B_365/2009 vom 22. März 2010 E. 2.2) begründet sein. Ein solches Verhalten muss indessen objektiv belegt sein. Das ist besonders wichtig, wenn es sich um mündliche Aussagen handelt, zumal diese unter Umständen verschieden gedeutet werden können. Liegen diesbezüglich widersprüchliche Darstellungen der Verfahrensbeteiligten vor, bedarf es einer verlässlichen Beweiserhebung, um auf die geltend gemachten Aussagen schliessen und deren Bedeutungsgehalt im Hinblick auf den Befangenheitsvorwurf erfassen zu können. Das Vorgehen der Vorinstanz überzeugt diesbezüglich nicht. Sie beschränkte sich darauf, beim Experten eine schriftliche Stellungnahme einzuverlangen. Dieses Beweismittel war aber unter den gegebenen Umständen von vornherein ungeeignet. Denn es hätte kaum gestattet, verlässlich festzustellen, welche Aussagen der Experte in welchem Zusammenhang gemacht hat, und damit deren Bedeutungsgehalt zu erfassen. Dass der Gutachter keine Stellungnahme eingereicht hat, ist daher nicht entscheidend und gestattet insbesondere nicht, alleine auf die besagte Darstellung des Rechtsvertreters und der Ehefrau des Versicherten abzustellen, zumal letzterer wie auch seine Gattin ein Interesse am Verfahrensausgang haben. Hinzukommt, dass sich die Ehefrau lediglich schriftlich erklärt hat und vom Beschwerdegegner sogar nur indirekte, durch die Ehefrau und den Rechtsvertreter beschriebene Aussagen vorliegen. Zudem äussert sich die Ehefrau in ihrer Darstellung an zwei Stellen unterschiedlich zu den behaupteten Aussagen des Gutachters. Es kann unter diesen Umständen auch die ihrerseits umstrittene Frage offen gelassen werden, ob die Aufforderung zur Stellungnahme dem Experten überhaupt rechtsgültig zugestellt wurde.
Bei dieser Sachlage wäre die Vorinstanz gehalten gewesen, zum unvollständig festgestellten Sachverhalt geeignetere Beweismassnahmen zu treffen, wie sie denn auch beantragt waren. Im Vordergrund stehen dabei Zeugen- bzw. Parteibefragungen/-einvernahmen mit dem Gutachter sowie mit dem Versicherten und dessen Ehefrau. Das ist nachzuholen. Die Sache wird hiefür und zum neuen Entscheid an das kantonale Gericht zurückgewiesen.
7. Die ergänzenden Beweismassnahmen sollen Klarheit darüber verschaffen, welche Aussagen der Experte in welchem Zusammenhang gemacht hat. Dies soll als Grundlage für die Beurteilung dienen, ob sich aufgrund solcher Aussagen zumindest der Anschein der Befangenheit ergibt.
7.1 Dabei gilt es zu beachten, dass zunächst Äusserungen des Sachverständigen zur Person und zum Verhalten einer Partei die Unabhängigkeit in Frage stellen können, wenn sie inhaltlich oder der Art der Kommunikation nach besondere Sympathien oder Antipathien zum Ausdruck bringen. Auf die Form der Äusserung kommt es nicht an; sie kann mündlich oder schriftlich, mittels Mimik oder Gestik erfolgen. Eine Ausstandspflicht lässt sich sowohl auf Äusserungen vor, während oder nach der Begutachtung als auch auf Formulierungen im Gutachten selber zurückführen (Kiener/Krüsi, Die Unabhängigkeit von Gerichtssachverständigen, in: ZSR 2006 S. 487 ff., S. 504; vgl. auch Urteil 1P.431/2002 vom 6. November 2002 E. 2.3.1). Auf eine unzulässige Voreingenommenheit lässt auch schliessen, wenn der Gutachter dem Exploranden ohne hinreichenden Anlass mangelnde Glaubwürdigkeit anlastet und dies zu einer entscheidenden Grundlage der Begutachtung macht (<ref-ruling> E. 3b S. 366 f.). Von Beginn weg nicht ausstandsbegründend ist hingegen der Umstand, dass Sachverständige in einem Gutachten ungünstige Schlussfolgerungen für eine Partei ziehen oder dies in einer früheren Expertise getan haben (Kiener/Krüsi, a.a.O., S. 504; BGE <ref-ruling> E. 7.2.2 S. 110 mit Hinweis; erwähntes Urteil 1P.431/2002 E. 2.3.1 und 2.6.2). Eine Vorbefassung des Experten infolge einer vorangegangener Begutachtung begründet denn auch nicht zwingend den Anschein der Befangenheit. Vielmehr ist danach zu fragen, ob das Ergebnis der Begutachtung nach wie vor als offen und nicht vorherbestimmt erscheint. Kann die Offenheit bejaht werden, ist die Besorgnis der Voreingenommenheit trotz Vorbefassung unbegründet (Kiener/Krüsi, a.a.O., S. 506; BGE <ref-ruling> E. 7.2.2 S. 110 mit Hinweis; erwähntes Urteil 1P.431/2002 E. 2.6.1; vgl. auch SVR 2009 IV Nr. 16 S. 41, 8C_89/2007 E. 6.2).
Aus der Rechtsprechung zu Richterpersonen ergeben sich sodann folgende, mutatis mutandis auch auf Sachverständige anwendbare Grundsätze: Zu den Umständen und Gegebenheiten, welche den Anschein der Befangenheit eines Richters zu erwecken vermögen, zählen Äusserungen, die den Schluss zulassen, dass sich dieser bereits eine feste Meinung über den Ausgang des Verfahrens gebildet hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen). So darf sich der Untersuchungsrichter vor Abschluss der Untersuchung grundsätzlich nicht darauf festlegen, dass dem Angeschuldigten ein strafbares Verhalten zur Last zu legen sei. Entsprechend hat er sich vorverurteilender Äusserungen zu enthalten (<ref-ruling> E. 2d S. 200 mit Hinweis). Legt der Untersuchungsrichter bereits vor Abschluss des Verfahrens seine - aufgrund des jeweiligen Verfahrensstandes vorläufig gebildete - Meinung offen, darf und muss, sofern nicht besondere, anders lautende Anzeichen vorhanden sind, vorausgesetzt werden, dass er in der Lage ist, seine Beurteilung des Prozessstoffes im Verlaufe des Verfahrens entsprechend dem jeweils neuesten Stand des Verfahrens ständig neu zu überprüfen und bei Vorliegen neuer Tatsachen und Argumente auch zu revidieren (<ref-ruling> E. 2d S. 200 mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 93). Eine solche, jeder untersuchungsrichterlichen Tätigkeit innewohnende - vorläufige - Verarbeitung und Wertung des im betreffenden Verfahrensstadium vorhandenen Prozessstoffes vermag grundsätzlich keine Vorverurteilung oder Befangenheit zu begründen (vgl. <ref-ruling> E. 2d S. 200 mit Hinweis). Weiter wurde erkannt, es sei offensichtlich nicht zu beanstanden, wenn sich ein Bezirksgericht in der Urteilsberatung eine Meinung von der Sach- und Rechtslage gebildet habe, liegt darin doch gerade der Zweck der Urteilsberatung nach durchgeführter Hauptverhandlung. Es könne dem Gericht daher nicht schon deswegen Befangenheit vorgeworfen werden, weil es das Ergebnis seiner bisherigen Urteilsberatung mit der Formulierung bekanntgegeben habe, eine Konkretisierung der Anklage müsste mit "hoher Wahrscheinlichkeit" zu einer Verurteilung des Beschwerdeführers führen. Unzulässig wäre eine solche Feststellung selbstverständlich dann, wenn sie vor Abschluss des Beweisverfahrens gemacht worden wäre, beispielsweise in einem Beschluss zur Anordnung von weiteren Beweismassnahmen, da ein Richter, dessen Überzeugung vor der Würdigung aller Beweise bereits feststehe, kein unbefangener Richter sein könnte (<ref-ruling> E. 3b S. 74).
7.2 Im vorliegenden Fall stehen keine abschätzigen Äusserungen des Experten gegenüber dem Versicherten zur Diskussion. Es geht vielmehr darum, ob Dr. phil. D._ in anderer Weise Aussagen gemacht hat, welche den Anschein erwecken, das Ergebnis der von ihm vorzunehmenden Begutachtung sei nicht offen, sondern vorbestimmt gewesen. Dabei spielt auch eine Rolle, wie sich aus der dargelegten Rechtsprechung ergibt, in welchem Zeitpunkt der Untersuchung allfällige Aussagen zu deren Ergebnis erfolgten.
8. Die Allianz hat, ungeachtet ihres formellen Obsiegens, die Gerichtskosten zu tragen, da sie diese durch ihr fehlerhaftes Vorgehen (E. 2.3) in wesentlichem Masse verursacht hat (Art. 66 Abs. 1, 3 und 4 BGG). Sie hat überdies dem Beschwerdegegner für das letztinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1, 3 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 5. August 2010 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1000.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. März 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz