Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung:
1. X._ rekurrierte am 12. April 2007 gegen das Nichtbestehen des ersten Teils der schriftlichen Lizentiatsprüfungen an der Rechtswissenschaftlichen Fakultät der Universität Zürich (Mitteilung des Dekans vom 4. April 2007) an die Rekurskommission der Zürcher Hochschulen. Mit Präsidialverfügung vom 4. Dezember 2007 wies diese das gleichzeitig gestellte Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und unentgeltliche Rechtsverbeiständung ab. X._ zog diese Zwischenverfügung an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich weiter, welches die Beschwerde am 3. September 2008 wegen Aussichtslosigkeit des bei der Rekurskommission eingelegten Rechtsmittels kostenfällig abwies. Gegen dieses Urteil erhebt X._ beim Bundesgericht mit Eingabe vom 2. Oktober 2008 subsidiäre Verfassungsbeschwerde.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Rechtsmittelverfahrens beigezogen. Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet.
2. Da es in der Sache um das Ergebnis einer Prüfung geht, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (Art. 83 lit. t BGG); damit steht das Rechtsmittel der subsidiären Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff BGG offen.
3. Gegenstand des angefochtenen Entscheides bildet einzig die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Soweit der Beschwerdeführer im Verfahren vor Bundesgericht Fragen aufwirft und Anträge stellt, welche ausserhalb dieses Prozessgegenstandes liegen, ist darauf nicht einzutreten.
Das gilt vorab für die Rüge, die Universitätsorgane hätten durch die angeblich unzulässige Forderung, die Begründetheit seines Begehrens um Abmeldung bzw. Verschiebung der Prüfung durch ein Arztzeugnis zu belegen, Art. 10 und Art. 13 BV verletzt (S. 4-7 der Beschwerdeschrift). Diese materielle Frage bildet nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides, der sich einzig über die Zulässigkeit der Ablehnung des Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ausspricht. Das Verwaltungsgericht hielt sich für die Beurteilung der Frage, ob dem bei der Rekurskommission erhobenen Rekurs die erforderliche Erfolgsaussicht abgesprochen werden durfte, an die in den betreffenden Rechtsmitteleingaben erhobenen Rügen. Der Beschwerdeführer macht die - im angefochtenen Urteil nicht behandelte - Frage, ob und unter welchen Voraussetzungen dem Gesuch um Abmeldung von der Prüfung hätte entsprochen werden müssen, zum Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens, ohne zu behaupten und darzutun (vgl. <ref-law>), dass ein entsprechender Einwand bereits Gegenstand des kantonalen Rechtsmittelverfahrens gebildet hatte und daher bei der Beurteilung der Prozessaussichten mitzuprüfen gewesen wäre. Die beanstandete Verweigerung der Verschiebung des Prüfungstermins hätte im Übrigen ohnehin gesondert angefochten werden müssen. Wer sich auf eine Prüfung einlässt, kann sich nicht im Nachhinein auf diesbezügliche Hinderungsgründe berufen.
Die Beschwerdeschrift enthält auch sonst keine Vorbringen, welche geeignet wären, die Erwägungen des Verwaltungsgerichts zur fehlenden Erfolgsaussicht des bei der Rekurskommission erhobenen Rekurses schlüssig zu entkräften. Die Beschwerde vermag in diesem Punkt nicht durchzudringen.
4. Das Verwaltungsgericht durfte bei der gegebenen Sachlage die unentgeltliche Prozessführung zulässigerweise auch für das bei ihm eingelegte Rechtsmittel verweigern. Zudem wurde ein entsprechender Antrag im vorinstanzlichen Verfahren gar nicht ausdrücklich gestellt.
5. Schliesslich beanstandet der Beschwerdeführer die Dauer des kantonalen Rechtsmittelverfahrens, welches mit Rekurs vom 12. April 2007 eingeleitet und vom Verwaltungsgericht trotz der behaupteten offensichtlichen Aussichtslosigkeit erst am 12. September 2008 (Versanddatum des Urteils) abgeschlossen worden sei.
Wie es sich mit der sachlichen Berechtigung dieses Einwandes verhält, kann dahingestellt bleiben. Die Feststellung einer verfassungswidrigen Rechtsverzögerung würde jedenfalls voraussetzen, dass der Beschwerdeführer die beteiligten Rechtsmittelinstanzen erfolglos um eine raschere Abwicklung des Verfahrens ersucht und sein entsprechendes Interesse dargetan hätte (<ref-ruling> E. 2b/bb und 2b/cc S. 376). Solches wird vorliegend nicht behauptet.
6. Soweit auf die Vorbringen des Beschwerdeführers überhaupt einzutreten ist, erweisen sie sich als offensichtlich unbegründet, weshalb der Entscheid im Verfahren nach <ref-law> (Verzicht auf Schriftenwechsel, summarische Begründung) ergehen kann.
7. Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Mangels Erfolgsaussicht kann dem gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden (<ref-law>). Der wirtschaftlichen Lage des Beschwerdeführers wird bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Universität Zürich (Rechtswissenschaftliche Fakultät), der Rekurskommission der Zürcher Hochschulen sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (4. Kammer) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Oktober 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein