Sachverhalt:
A.
A._ wurde der Führerausweis gemäss Massnahmenregister mehrmals entzogen:
- mit Verfügung vom 27. August 2012 für einen Monat wegen einer mittelschweren Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften (Vollzug vom 28. August bis 27. September 2012);
- mit Verfügung vom 29. November 2012 bzw. 6. September 2013 für sieben bzw. sechs Monate wegen einer schweren Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften (Vollzug vom 8. April bis 7. Oktober 2013);
- mit Verfügung vom 28. Mai 2014 für einen Monat wegen einer leichten Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften (Vollzug vom 21. August bis 20. September 2014).
B.
Am 10. Mai 2013 um ca. 23:05 Uhr kam es am Ritterquai 10 in Solothurn zu einem Verkehrsunfall. Gemäss Unfallprotokoll der Kantonspolizei Solothurn fuhr B._ (Freundin von A._) mit einem Personenwagen in Fahrtrichtung Altstadt auf der Höhe des Restaurants "Solheure" frontal auf einen Poller auf. A._ war als Beifahrer am Unfall beteiligt. Anlässlich der Einvernahme gab er zu Protokoll, seine Freundin sei nach dem Unfall weggelaufen. Nach der Kollision habe er versucht, das Auto rückwärts wegzufahren, was ihm aber nicht gelungen sei.
C.
Mit Strafbefehl vom 24. Juni 2014 verurteilte die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn A._ wegen Führen eines Motorfahrzeugs trotz Führerausweisentzug gestützt auf <ref-law> und <ref-law> zu einer Geldstrafe von 10 Tagessätzen zu je Fr. 110.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren. Der Strafbefehl ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen.
Das von A._ gestellte Gesuch um Wiederherstellung der (Einsprache-) Frist wies die Staatsanwaltschaft am 17. Oktober 2014 ab.
D.
Mit Verfügung vom 3. Oktober 2014 entzog die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn (nachfolgend: MFK), namens des Bau- und Justizdepartements, A._ den Führerausweis in Anwendung von Art. 16c Abs. 1 lit. f, Abs. 2 lit. c und <ref-law> sowie Art. 33 der Verkehrszulassungsverordnung (VZV; SR 741.51) wegen schwerer Widerhandlung für 11 Monate.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 24. Februar 2015 ab.
E.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. Februar 2015 und die Verfügung der MFK vom 3. Oktober 2014 seien aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die MFK und das Bundesamt für Strassen ASTRA beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen.
Der Beschwerdeführer hält in der Replik an seinen Anträgen fest.
Mit Präsidialverfügung vom 29. April 2015 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung betreffend Führerausweisentzug gutgeheissen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. offen; ein Ausnahmegrund ist nicht gegeben (<ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht grundsätzlich von Amtes wegen an ( iura novit curia; <ref-law>). Es kann daher eine Beschwerde aus anderen als den vom Beschwerdeführer vorgetragenen Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer von der Vorinstanz abweichenden Begründung bestätigen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 200; <ref-ruling> E. 2b S. 36 mit Hinweisen). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
1.3. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde insoweit, als sie sich gegen den Entscheid der Vorinstanz des Verwaltungsgerichts richtet. Dieser ist im Rahmen des Streitgegenstands durch dessen Urteil ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
2.
Strittig ist, ob der Beschwerdeführer ein Motorfahrzeug trotz Ausweisentzug im Sinne von <ref-law> geführt hat.
2.1. Das Verwaltungsgericht bejahte dies mit der Begründung, die versuchte Tatbegehung reiche, um den Tatbestand von <ref-law> zu erfüllen. Gemäss <ref-law> seien die allgemeinen Bestimmungen des Strafgesetzbuches anwendbar, soweit das SVG keine abweichenden Vorschriften enthalte. Wenn der blosse Versuch strafrechtlich zu sanktionieren sei, müsse dies auch eine administrativrechtliche Sanktion zur Folge haben. Laut rechtskräftigem Strafbefehl habe sich der Beschwerdeführer schuldig gemacht, weil er versucht habe, den Motor beim aufgebockten Personenwagen zu starten und das Fahrzeug rückwärts vom Poller zu fahren. Da sich das Motorfahrzeug nicht bewegen liess, liege das objektive Tatbestandsmerkmal nicht vor. Indes sei unbestritten, dass der Beschwerdeführer das Fahrzeug habe führen wollen und dieses "mittels Zündung anzulassen" versuchte. Die Untauglichkeit des Versuchs sei ebenso zu verneinen wie das Vorliegen eines Rechtfertigungsgrundes: Die Verkehrssicherung hätte anders als durch das Wegfahren des Motorfahrzeugs erfolgen können, so z.B. durch Verkehrssicherung mittels Handzeichen oder durch das Anbringen eines Pannensignals.
2.2. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, <ref-law> spreche vom Führen eines Motorfahrzeugs, weshalb das "versuchte Führen" nicht davon erfasst werde. Eine gegenteilige Folgerung lasse sich nicht mittels Auslegung herleiten und würde gegen das Legalitätsprinzip verstossen. <ref-law> finde auf <ref-law> keine Anwendung, da diese Bestimmung systematisch unter dem Titel "Strafbestimmungen" (<ref-law>) aufgeführt sei. Ausserdem sei ein strafrechtlich relevantes Verhalten nicht zwingend administrativ zu sanktionieren. Auch sei es nicht mit dem Sinn und Zweck von <ref-law> vereinbar, wenn ihm in unverhältnismässiger Weise der Führerausweis entzogen werde, nachdem er versucht habe, das aufgebockte Auto vom Poller herunter zu bewegen, um die Verkehrssicherheit wieder herzustellen. Von ihm sei nie eine Gefahr für Leib und Leben der anderen Verkehrsteilnehmer ausgegangen. Dass sich <ref-law> nicht zum versuchten Führen eines Motorfahrzeugs äussere, könne deshalb nur im Sinne eines qualifizierten Schweigens verstanden werden, weshalb der Führerausweis nicht entzogen werden könne. Im Übrigen treffe ihn als Unfallbeteiligter gemäss <ref-law> i.V.m. Art. 54 Abs. 1 der Verkehrsregelnverordnung (VRV; SR 741.11) eine Pflicht, für die Sicherung des Verkehrs zu sorgen; dabei sei unter den gegebenen Umständen das Wegfahren des Autos das mildeste Mittel gewesen, weshalb sein Verhalten gerechtfertigt sei. Auch könne der Sachverhalt nicht unter <ref-law> subsumiert werden, da er nicht rücksichtslos gehandelt habe.
3.
Zu prüfen ist demnach, was unter dem Begriff des Führens eines Motorfahrzeugs zu verstehen ist. Gemäss vorinstanzlicher Sachverhaltsfeststellung, an die das Bundesgericht gebunden ist (vgl. E. 1.2 vorne), fuhr die Freundin des Beschwerdeführers dessen Fahrzeug und verursachte dabei den Zusammenstoss mit dem Poller. Erst danach wechselte der Beschwerdeführer vom Beifahrer- auf den Fahrersitz. Wie in der Beschwerdeschrift dargelegt, habe er nach dem Aufprall versucht, das Fahrzeug mittels Zündung anzulassen, um zu prüfen, ob der Motor noch funktioniere und um es rückwärts vom Poller herunterzufahren. Das Auto habe sich aber nicht starten lassen, da - wie im Nachhinein festgestellt worden ist - der Motor durch die Kollision einen Totalschaden erlitten habe. Unbestritten ist dabei, dass dem Beschwerdeführer im Zeitpunkt des Vorfalls der Führerausweis zu Warnzwecken entzogen war.
3.1. Ausgangspunkt jeder Auslegung bildet der Wortlaut der massgeblichen Bestimmung. Ist der Text nicht ganz klar und sind verschiedene Interpretationen möglich, so muss nach seiner wahren Tragweite gesucht werden unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente (sog. Methodenpluralismus, vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 34; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 178). Dabei kommt es namentlich auf den Sinn und Zweck der Regelung, die dem Text zugrunde liegenden Wertungen sowie auf den Sinnzusammenhang an, in dem die Norm steht (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 225; <ref-ruling> E. 3 S. 234 f.; je mit Hinweisen).
3.2. Das Gesetz verwendet den Begriff des Führens im Sinne von <ref-law> nicht in allen Amtssprachen einheitlich: Während die deutsche Fassung vom "Führen" eines Motorfahrzeugs trotz Ausweisentzug spricht, ist in der französischen und italienischen Version von "conduit" resp. "guida" die Rede, was im Vergleich zum allgemeinen, weit gefassten deutschen Begriff direkt auf den Akt des Fahrens bzw. Lenkens hindeutet. Nach dem gewöhnlichen Sprachgebrauch besteht das Führen eines Fahrzeugs denn auch darin, dieses am Steuer sitzend zu fahren, das heisst es in Bewegung zu setzen und zu lenken (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 128). Dass dieser Normalbegriff des Führens indes zu kurz greift, wurde bereits früh erkannt, weshalb ihm die Rechtsprechung insbesondere im Bereich der Strafbestimmungen des SVG Konturen verliehen hat. So erklärte das Bundesgericht in BGE 60 I 160, dass dem Fahrzeuglenker derjenige gleichzustellen ist, der tatsächlich einen Akt der Führung auf seine Verantwortung unternimmt, wie z.B. der Beifahrer, der von sich aus in die Führung eingreift (E. 1 S. 163 f.). Aus ähnlichen Überlegungen gilt auch der Begleiter eines Fahrschülers nach der Rechtsprechung als an der Führung des Motorfahrzeugs beteiligt (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 148 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 273). In <ref-ruling> präzisierte das Bundesgericht, dass für die Frage des Führens belanglos ist, ob das Fahrzeug durch die eigene Motorkraft, die Schwerkraft oder eine Zugkraft in Bewegung gesetzt wird. Da die Anforderungen an den Lenker eines geschleppten oder gestossenen Motorfahrzeugs jenen eines selbstständigen Fahrers entsprechen, gilt auch Ersterer als "Führer" (E. 3 S. 201). Davon abzugrenzen ist indes der Fall, in dem eine Person unter Aufwendung der eigenen Muskelkraft und ohne den Motor anzulassen ein Fahrzeug auf einem ebenen, öffentlichen Parkplatz in Bewegung setzt und es durch die geöffnete Seitentüre lenkt. Obwohl bei diesem Vorgang - wie für das Führen eines Motorfahrzeugs notwendig - die technischen Einrichtungen des Personenwagens mindestens zum Teil betätigt worden sind, gehen davon aufgrund der geringen Geschwindigkeit nicht die üblichen dem Betrieb innewohnenden Gefahren für den Strassenverkehr aus, weshalb der Tatbestand des "Führens" nicht erfüllt wird (<ref-ruling> E. 2d S. 96). Sodann befand das Bundesgericht in einem weiteren Entscheid, der in der Lehre kritisiert wurde (vgl. YVAN JEANNERET, Les dispositions pénales de la Loi sur la circulation routière (LCR), 2007, Définitions N. 65), dass dem Fahrer, der die Tür des soeben von ihm parkierten Fahrzeugs nicht mit der gebotenen Sorgfalt öffnet und dadurch den Verkehr gefährdet, der Führerausweis entzogen werden kann, da er noch als Fahrzeugführer gilt (<ref-ruling> E. 3b S.527 f.). Die im Schrifttum dargelegten Umschreibungen des Begriffs des Führens eines Motorfahrzeugs orientieren sich im Wesentlichen an der vorerwähnten Judikatur (vgl. ADRIAN BUSSMANN, in: Basler Kommentar zum Strassenverkehrsgesetz, 2014, N. 19 zu <ref-law>; CÉDRIC MIZEL, Droit et pratique illustré du retrait du permis de conduire, 2015, S. 225 f.; Hans Giger, Kommentar SVG, 8. Auflage 2014, N. 1 zu <ref-law>; HANS SCHULTZ, Die Strafbestimmungen des SVG, 1964, S. 186; PHILIPPE WEISSENBERGER, Kommentar Strassenverkehrsgesetz und Ordnungsbussengesetz, 2. Auflage 2015, N. 17 zu <ref-law>; GERHARD FIOLKA, in: Basler Kommentar zum Strassenverkehrsgesetz, 2014, N. 32 zu <ref-law>). Punktuell wird diese dahingehend ergänzt, dass der Lenker durch das Warten an einem Rotlicht mit ausgeschaltetem Motor oder durch das vorübergehende Anhalten infolge Staus nicht seine Stellung als Fahrzeugführer verliere (vgl. DORIS BÜHLMANN, in: Basler Kommentar zum Strassenverkehrsgesetz, 2014, N. 29 zu <ref-law>; JEANNERET, a.a.O., Définitions N. 63).
3.3. Für den vorliegenden Fall lässt sich aus der soeben erwähnten Rechtsprechung ableiten, dass ein Motorfahrzeugführer nicht zwingend auf der Fahrerseite sitzen muss, um als solcher zu gelten. Indes ist hier nicht das Verhalten des Beschwerdeführers als Beifahrer vor dem Vorfall zu beurteilen, sondern vielmehr dasjenige, nachdem er sich in den Führerstand begeben hat. Ein wesentliches, den genannten Entscheiden gemeinsames Merkmal ist dabei, dass als Motorfahrzeugführer gilt, wer die der Fortbewegung und Lenkung dienenden technischen Einrichtungen mindestens teilweise betätigt. Der Beschwerdeführer räumt ein, die Zündung des Fahrzeugs bedient zu haben mit dem Ziel, dieses rückwärts vom Poller herunterzufahren. Es ist deshalb anzunehmen, dass er ebenso die Kupplung gedrückt und den Schalthebel betätigt hatte (in die neutrale Position oder den Rückwärtsgang). Diese Verrichtungen bilden allesamt Voraussetzung für die Ingangsetzung des Fahrzeugs und stellen damit wichtige Vorgänge zur Führung eines Motorfahrzeugs dar. Zum tatsächlichen Fahren des Fahrzeugs fehlte einzig, dass sich dieses in Bewegung setzte. Nach der Rechtsprechung kann zwar auch ein Fahrzeug, dessen Motor abgestellt oder nicht mehr funktionsfähig ist oder sogar ein stillstehendes Fahrzeug geführt werden. Insbesondere letztere Konstellation beschlägt aber die Frage, bis zu welchem Zeitpunkt der Lenker noch ein Fahrzeug führt. Im Gegensatz dazu interessiert hier die Frage, ab wann eine Person als Motorfahrzeugführer zu betrachten ist.
3.4. Die Lehre trifft hierzu in Anlehnung an das Strafrecht Unterscheidungen zwischen (straflosen) Vorbereitungshandlungen, dem Versuch und der vollendeten Tat. So stelle etwa noch keinen Versuch dar, wenn sich eine Person ohne Absicht zu fahren auf den Fahrersitz begebe, sich dort ausruhe und dabei den Motor zu Heizzwecken anlasse (vgl. MIZEL, a.a.O., S. 225 Fn. 1057; FAHRNI/HEIMGARTNER, in: Basler Kommentar zum Strassenverkehrsgesetz, 2014, N. 64 zu <ref-law>). Demgegenüber handle es sich um einen Versuch, wenn sich eine Person mit der Absicht des Wegfahrens und in vollem Bewusstsein über den vorgängig ausgesprochenen Ausweisentzug in den Führerstand begebe und den Motor zu starten versuche (vgl. Jeanneret, a.a.O., N. 86 zu <ref-law> und Définitions N. 63; vgl. auch Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 23. März 1965, in: ZBJV 1970 S. 158; Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. Oktober 1960, in: Blätter für Zürcherische Rechtsprechung 1962, Nr. 164 S. 358 f.; Urteil des Obergerichts des Kantons Basel-Landschaft vom 28. Mai 1955, in: JdT 1955 I 435 Nr. 40; in denen die zustandsbedingte Unfähigkeit oder eine kontrollierende Polizeistreife die Person daran hinderten, das Fahrzeug in Bewegung zu setzen). Die Tat sei vollendet, wenn sich das Fahrzeug auch nur über eine kurze Strecke auf einer öffentlichen Strasse bewege (vgl. FAHRNI/HEIMGARTNER, a.a.O., N. 64 zu <ref-law>).
3.5. Die Staatsanwaltschaft verurteilte den Beschwerdeführer wegen Führens eines Motorfahrzeugs trotz Ausweisentzug gestützt auf Art. 10 Abs. 2 und <ref-law>, weil er versucht hat, beim aufgebockten Personenwagen den Motor zu starten und das Fahrzeug rückwärts vom Poller herunter zu fahren. Es schloss mithin das Vorliegen eines straflosen untauglichen Versuchs gemäss <ref-law> aus.
Dem Beschwerdeführer ist zwar darin beizupflichten, dass nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung das Strafurteil die Verwaltungsbehörde grundsätzlich nicht zu binden vermag. Insbesondere in der rechtlichen Würdigung des Sachverhalts ist sie - abgesehen von einer hier nicht weiter interessierenden Ausnahme - frei. Allerdings gebietet der Grundsatz der Einheit der Rechtsordnung, widersprüchliche Entscheide im Rahmen des Möglichen zu vermeiden (<ref-ruling> E. 3.1 S. 451; <ref-ruling> E. 1a S. 19 f.; Urteil 1C_413/2014 vom 30. März 2015 E. 2.2; je mit Hinweisen). Die den Ausweisentzug veranlassenden Widerhandlungen weisen denn auch einen Bezug zu den strafrechtlichen Bestimmungen des SVG auf (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 226; <ref-ruling> E. 3 S. 237) : So bildet <ref-law> das strafrechtliche Gegenstück zu <ref-law> (vgl. RÜTSCHE/WEBER, in: Basler Kommentar zum Strassenverkehrsgesetz, 2014, N. 41 zu <ref-law>). Ausserdem hat das Bundesgericht zur Beantwortung verschiedener, sich im Zusammenhang mit Warnungsentzügen stellenden Fragen die Regeln des allgemeinen Teils des StGB herangezogen. Grundlage dafür bildete, wie auch vom ASTRA in der Vernehmlassung vorgebracht, unter anderem der strafähnliche Charakter des Warnungsentzugs (vgl. <ref-ruling> E. 2a/bb S. 228 f. betr. Additionsverbot bei der Festsetzung der Dauer des Führerausweisentzuges wegen Fahrens trotz Ausweisentzug; <ref-ruling> E. 3d S. 300 betr. Verjährung) oder <ref-law>, wonach die allgemeinen Bestimmungen des StGB anwendbar sind, soweit das SVG keine abweichenden Vorschriften enthält (vgl. z.B. Urteil 6A.80/2004 vom 31. Januar 2005 E. 3.2 betr. Verjährung). Zudem wandte das Bundesgericht in zahlreichen Fällen die einschlägigen Strafbestimmungen analog oder sinngemäss an (vgl. z.B. <ref-ruling> E. 2c S. 89 f. und 118 Ib 229 E. 3 S. 233 betr. Betroffenheit des Täters durch seine Tat; Urteile 1C_345/2012 vom 17. Januar 2013 E. 2.1 betr. Notstand; 6A.113/2006 vom 30. April 2007 E. 6.2.4 betr. Verwendung von Zufallsfunden; 1C_471/2011 vom 9. Februar 2012 E. 3.3 betr. Irrtum).
3.6. Vor diesem Hintergrund rechtfertigt es sich, unter den konkreten Umständen den Begriff des Führens eines Motorfahrzeugs gemäss <ref-law> weit zu verstehen, in Übereinstimmung mit der strafrechtlichen Qualifikation eines strafbaren Versuchs des Fahrzeugführens im Sinne von <ref-law>. Dadurch wird zunächst dem Bestreben, widersprüchliche Urteile nach Möglichkeit zu vermeiden, Rechnung getragen. Vor allem aber führen die folgenden Überlegungen dazu, das Verhalten des Beschwerdeführers im Blick auf die Zielsetzung der Administrativmassnahmen als Führen eines Motorfahrzeugs zu qualifizieren: Es bestehen keine Zweifel daran, dass ihm im Zeitpunkt des Vorfalls bewusst war, einem administrativen Warnungsentzug zu unterliegen. Trotzdem hat er sich nach der Kollision mit dem Poller auf die Fahrerseite begeben, um rückwärts von diesem herunterzufahren, wodurch er seine Absicht, ein Fahrzeug führen zu wollen, klar manifestiert hat. Hinzu kommt, dass er die zur Ingangsetzung des Fahrzeugs dienenden technischen Einrichtungen betätigt und die mit den dem Führen eines Motorfahrzeugs verbundenen Verrichtungen soweit möglich vorgenommen hat. Dass sich der Motor nicht starten liess und sich das Fahrzeug deshalb nicht fortbewegte, vermag daran nichts zu ändern. Denn der weitere Verlauf des in die Wege geleiteten Manövers wurde allein durch technisches Versagen und nicht durch bessere Einsicht bestimmt. Der Warnungsentzug dient der Besserung des Fahrers und der Bekämpfung von Rückfällen (Spezialprävention); er erweist sich als eine um der Verkehrssicherheit willen angeordnete Verwaltungsmassnahme mit primär präventivem und erzieherischem Charakter, die teilweise auch strafähnliche Züge aufweist (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 224 mit Hinweisen). Indem der Beschwerdeführer mit der Absicht des Wegfahrens das Fahrzeug vom Poller herunterzufahren versuchte, setzte er sich über den verfügten Warnungsentzug und dessen Zweck hinweg und brachte damit die Bereitschaft zur Missachtung der Massnahme zum Ausdruck. Zudem leuchtet nicht ein, weshalb die Freundin des Beschwerdeführers, die zuvor bereits den Personenwagen geführt hatte und gemäss Einvernahmeprotokoll auch noch nach dem Aufprall (für kurze Zeit) anwesend war, nicht selber hätte versuchen können, das Fahrzeug vom Poller herunterzufahren (vgl. Urteil 6A.152/1991 vom 30. Januar 1992 E. 2b). Dass der Versuch, das Fahrzeug wegzufahren, aufgrund der Gegebenheiten am Unfallort das mildeste Mittel zur Sicherung des Verkehrs dargestellt habe und somit gerechtfertigt sei, überzeugt nicht. Neben den von der Vorinstanz vorgeschlagenen Massnahmen (Verkehrssicherung durch Handzeichen oder Anbringen eines Pannensignals) wäre es dem Beschwerdeführer ein Leichtes gewesen, zusammen mit seiner Freundin oder mit dem zu Hilfe geeilten Besucher des nahegelegenen Restaurants bis zum Eintreffen der Polizei resp. des Abschleppdienstes für die Verkehrssicherung zu sorgen.
3.7. Eine Gesamtwürdigung der Umstände lässt nach dem Gesagten darauf schliessen, dass der Beschwerdeführer ein Motorfahrzeug trotz Ausweisentzug geführt hat. Indes ist bei der Festlegung der Entzugsdauer <ref-law> zu beachten, wonach die Dauer des Ausweisentzugs nach Abs. 1 lit. f an die Stelle der noch verbleibenden Dauer des laufenden Entzugs tritt. Die Vorinstanz hat zwar zu Recht eine Entzugsdauer von 12 Monaten im Sinne von <ref-law> bestätigt. Diese beginnt (und ersetzt damit den damals laufenden Warnungsentzug) allerdings an demjenigen Tag, an dem der Beschwerdeführer das Fahrzeug trotz Ausweisentzug geführt hat, mithin am 10. Mai 2013 (vgl. Urteil 1C_579/2014 vom 15. Juli 2015 E. 3.1). Die damals verbliebene (und verbüsste) Entzugsdauer vom 10. Mai bis zum 7. Oktober 2013 (fünf Monate abzüglich drei Tage) ist somit an die neue, 12 Monate dauernde Entzugsdauer anzurechnen, womit der neue Entzug gemäss <ref-law> noch 7 Monate und 3 Tage dauert. Die kantonalen Behörden haben zwar einen später verhängten, weiteren Entzug von einem Monat in Anwendung der soeben genannten Vorschrift an den 12-monatigen Entzug angerechnet und die neue Entzugsdauer noch auf 11 Monate bestimmt. Indessen lief der einmonatige Entzug im Zeitpunkt der hier in Frage stehenden Widerhandlung (10. Mai 2013) noch nicht (die ihm zugrunde liegende Widerhandlung wurde nach den Akten erst am 28. März 2014 begangen) und war im Zeitpunkt der Verfügung betreffend den 12-monatigen Entzug (3. Oktober 2014) bereits verbüsst, so dass es unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> diesbezüglich nichts anzurechnen gibt. Der Beschwerdeführer hat die Berechnung der Entzugsdauer zwar nicht gerügt, doch ist diese - zu seinen Gunsten - von Amtes wegen zu berichtigen (vgl. E. 1.2 hiervor).
4.
Die Beschwerde ist demnach insoweit teilweise gutzuheissen, als die Dauer des verbleibenden Führerausweisentzugs auf 7 Monate und 3 Tage festzusetzen ist. Im Übrigen ist sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind dem Beschwerdeführer leicht reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Parteikosten sind keine zu sprechen. Es erscheint auch nicht als gerechtfertigt, auf die vorinstanzliche Kostenliquidation zurückzukommen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird dahin teilweise gutgeheissen, als die Dauer des verbleibenden Führerausweisentzugs auf 7 Monate und 3 Tage festgesetzt wird. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Beschwerdeführer werden reduzierte Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- auferlegt.
3.
Es werden keine Parteikosten gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau- und Justizdepartement, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Strassen ASTRA schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Pedretti