Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wurde mit Verfügung vom 24. August 2010 aufgefordert, dem Bundesgericht spätestens am 14. September 2010 einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- einzuzahlen. Der Beschwerdeführer reagierte darauf nicht.
Weil der Kostenvorschuss innert Frist nicht einging, wurde dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 21. September 2010 die in <ref-law> gesetzlich vorgeschriebene Nachfrist bis 11. Oktober 2010 angesetzt, um den Kostenvorschuss einzuzahlen, ansonsten auf die Rechtsvorkehr nicht eingetreten werde.
Mit am 23. September 2010 beim Bundesgericht eingegangenen Fax teilte der Beschwerdeführer mit, er werde als Opfer einer Straftat keinen Vorschuss von Fr. 2'000.-- zahlen, zumal es ihm finanziell nicht möglich sei.
Das Bundesgericht teilte dem Beschwerdeführer mit Schreiben vom 24. September 2010 mit, gemäss <ref-law> hätten auch Opfer ei-nen Kostenvorschuss zu zahlen. Sein Fax könne als nachträgliches Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entgegengenommen werden. Ein solches Gesuch müsse indessen eingehend begründet und belegt werden. Der Beschwerdeführer erhalte Gelegenheit, seine aktuellen Einkommens- und Vermögensverhältnisse sowie seine Lebenshal-tungskosten bis zum 15. Oktober 2010 umfassend darzulegen und zu belegen.
2. Am 11. Oktober 2010 ging per Fax des Beschwerdeführers eine "Aufstellung zur Vermögenslage" beim Bundesgericht ein. Da er gerade umziehe, könne er die Belege erst nachreichen. Daher mache er von seinem Recht Gebrauch, eine angemessene Zeit zur Vorbereitung eingeräumt zu erhalten.
Eine Nachfrist gemäss <ref-law> kann indessen nicht mehr erstreckt werden. Dazu kommt, dass ein Umzug für sich allein ohnehin keinen Grund für eine Fristerstreckung darstellt. Das sinngemässe Gesuch um eine Nachfrist ist folglich abzuweisen. Die "Aufstellung zur Vermögenslage" enthält im Übrigen keine hinreichenden Angaben zum aktuellen Einkommen des Beschwerdeführers, weshalb nicht davon ausgegangen werden kann, dass er bedürftig ist. Da der Kostenvorschuss nicht bezahlt wurde, ist auf die Beschwerde androhungsgemäss im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil der Beschwerdeführer seine Bedürftigkeit nicht nachwies. Folglich kommt auch eine Reduktion der Gerichtskosten nicht in Betracht.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Das Gesuch um Einräumung einer Nachfrist wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn