Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
A.X._ war im Rahmen einer vom Jugendgericht Bülach angeordneten Unterbringung ab dem 17. Mai 2008 bei einer Pflegefamilie platziert. Am 10. April 2012 kehrte er zu seinem Vater, B.X._, zurück. Ab dem 3. September 2012 wurde die Unterbringung in eine persönliche Betreuung mit sozialpädagogischer Begleitung umgewandelt. Bis zum 6. Dezember 2012 entstanden der Jugendanwaltschaft Massnahmevollzugskosten in Höhe von Fr. 376'037.80.
Am 7. Dezember 2012 setzte die Oberjugendanwaltschaft des Kantons Zürich die Beiträge von A.X._ und dessen Vater an die Massnahmevollzugskosten auf monatlich je Fr. 487.-- bzw. Fr. 400.-- fest, rückwirkend ab 1. September 2011 bis 10. April 2012. Zudem wurde der Vater verpflichtet, an die Kosten der persönlichen Betreuung mit sozialpädagogischer Begleitung Beiträge von Fr. 184.-- im Monat zu bezahlen, rückwirkend ab 3. September 2012.
Dagegen reichte B.X._ für sich und als Vertreter von A.X._ Rekurs ein. Die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich wies das Rechtsmittel am 17. Dezember 2013 ab. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 4. Juni 2014 ab.
B.X._ gelangt für sich und seinen Sohn mit Beschwerde ans Bundesgericht und beantragt unter anderem, das Urteil vom 20. (recte 4.) Juni 2014 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies das Bundesgericht mit Verfügung vom 25. September 2014 ab, da die Bedürftigkeit nicht nachgewiesen wurde. In der Folge ging der verlangte Kostenvorschuss fristgerecht ein.
2.
Die Beschwerde ist nicht nur vom nicht befugten Vertreter, sondern auch vom Beschwerdeführer 2 persönlich unterzeichnet. Unter diesem Gesichtswinkel ist darauf einzutreten.
3.
Die Beschwerdeführer wissen seit dem Urteil 6B_845/2013 vom 9. Oktober 2013, dass die von ihnen beantragte Nachfrist zur Verbesserung bzw. Ergänzung der Beschwerde nicht in Betracht kommt. Ebenso bekannt ist ihnen, dass keine mündliche Verhandlung durchgeführt wird.
4.
In Bezug auf die Frage, ob die Vorinstanz hätte eine mündliche Verhandlung durchführen müssen (vgl. Beschwerde S. 17-21 lit. D.3), kann in Anwendung von <ref-law> auf deren Ausführungen verwiesen werden (vgl. Urteil S. 5 E. 1.2). Diesen ist nichts beizufügen.
5.
Die Frage, ob die Vorinstanz hätte einen unentgeltlichen Rechtsbeistand für das kantonale Rekursverfahren bestellen müssen, ist endgültig erledigt (vgl. Urteil des Bundesgerichts 6B_845/2013 vom 9. Oktober 2013). Darauf ist nicht zurückzukommen.
6.
In Bezug auf die Beitragspflicht der Beschwerdeführer an die Massnahmevollzugskosten des Beschwerdeführers 1 kann auf die zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. Urteil S. 6-8 E. 2). Diese hat sich zu den meisten Vorbringen der Beschwerdeführer geäussert, die diese vor Bundesgericht wiederholen (vgl. Beschwerde S. 22-25). Im Übrigen ist nicht ersichtlich, inwieweit eine Verletzung des Willkürverbotes vorliegen könnte, weil die Beschwerdeführer nicht im Rahmen des Strafverfahrens darüber aufgeklärt wurden, dass sie damit rechnen müssen, im Verwaltungsverfahren an den Massnahmevollzugskosten beteiligt zu werden (Beschwerde S. 25).
7.
In Bezug auf die Höhe der Beitragspflicht machen die Beschwerdeführer wie vor der Vorinstanz geltend, es dürfe beim Beschwerdegegner 2 nur dessen Renteneinkommen von Fr. 2'000.-- berücksichtigt werden, mit welchem er das Existenzminimum knapp erreiche (Beschwerde S. 26). Zur Berücksichtigung weiterer Einkommensbestandteile hat sich die Vorinstanz zutreffend geäussert, worauf hier verwiesen werden kann (vgl. Urteil S. 13/14 E. 4.3 und 4.4).
8.
Die Vorinstanz auferlegte den Beschwerdeführern die Kosten des Rekursverfahrens und wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. Sie ging dabei davon aus, dass die Voraussetzung der Mittellosigkeit nicht erfüllt sei (Urteil S. 15). Dem ist ohne Weiteres beizupflichten, denn auch gemäss Verfügung des Bundesgerichts vom 25. September 2014 kann von nachgewiesener Mittelosigkeit nicht die Rede sein.
9.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn