Sachverhalt:
A. Mit separaten Entscheiden vom 29. August 2008 wies die Krankenkasse KPT AG (nachfolgend: KPT) die Einsprachen ihres Versicherten I._ gegen die Kassenverfügungen vom 2. Oktober 2007 und vom 22. April 2008 betreffend ausstehende KVG-Prämien ab. Sie stellte fest, dass I._ der KPT den Betrag von Fr. 3'609.20 für die Prämien der Monate Januar bis Dezember 2006 (à je Fr. 278.50, zuzüglich Fr. 20.- Mahnspesen, Fr. 202.25 Zins und Fr. 91.- Betreibungskosten; abzüglich Zahlung vom 13. September 2006 in der Höhe von Fr. 46.05) und den Betrag von Fr. 1'130.- für die Prämien der Monate August bis Dezember 2007 (à Fr. 167.35/August und à je Fr. 189.90/September bis Dezember, zuzüglich Fr. 100.- Mahnspesen, Fr. 79.- Betreibungskosten und Fr. 25.80 Zinsen) schuldet. Zugleich hob sie die Rechtsvorschläge des I._ gegen die entsprechenden Zahlungsbefehle der Betreibungen Nr. ... und Nr. ... des Betreibungsamtes auf.
B. Gegen die Einspracheentscheide vom 29. August 2008 erhob I._ beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde mit den Anträgen, die beiden Verfahren zu vereinigen, die angefochtenen Entscheide aufzuheben (Rechtsbegehren, Ziff. 1) und die Sache an die KPT zur Neubeurteilung "im Sinne der rechtlich korrekten Berechnungen, des Zinses und der Prämien, sowie die Gewährung des rechtlichen Gehörs" zurückzuweisen (Rechtsbegehren, Ziff. 2); zudem sei festzustellen, "dass die Klägerin wiederholt gegen Bundesrecht verstossen hat, indem sie ggf. anteilsweise Prämiengelder der Grundversicherung zu Ungunsten des Versicherten zweckentfremdet und für politische bzw. unverhältnismässig für Marketing u.a. Ziele verwendet hat; demgemäss seien die Prämien für das Jahr 2006 sowie für die Monate August bis Dezember 2007 neu festzusetzen (Rechtsbegehren, Ziff. 3), wobei vorgängig "alle Fakten der Berechnungen" der Kasse zuhanden des Verfahrens zu edieren seien (S. 5 der Beschwerde ["Editionsbegehren"]). Das Versicherungsgericht gab dem Antrag auf Verfahrensvereinigung statt und wies die Beschwerde, soweit die beanstandete Erhebung von Verzugszinsen auf den ausstehenden Prämien betreffend, ab. Im Übrigen trat es auf die Beschwerde nicht ein (Entscheid vom 3. Juni 2009).
C. I._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, soweit darin auf Nichteintreten erkannt werde, und es sei die Sache diesbezüglich zur materiellen Behandlung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Des Weitern beantragt er:
"(...)
2. Eventualiter sei durch das Gericht festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin wiederholt gegen Bundesrecht verstossen hat, in dem sie anteilsweise Prämiengelder der Grundversicherung zu Ungunsten des Versicherten zweckentfremdet und damit den Interessenverband der Krankenversicherer, Namens Santésuisse, finanziert.
3. Eventualiter sei durch das Bundesgericht festzustellen, dass die Beiträge an die Santésuisse, welche in den OKP-Prämien enthalten sind, durch den Versicherten nicht geschuldet sind. Dem gemäss seien die Prämien durch den Versicherten für das Jahr 2006 (...) und die selben für die Monate August bis Dezember (...) [2007] neu festzusetzen."

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. 2.1 Soweit das Nichteintreten des kantonalen Gerichts auf die Feststellungsbegehren gemäss Ziff. 3 Satz 1 der vorinstanzlichen Beschwerdeanträge und auf die damit zusammenhängenden Editionsbegehren beanstandet wird, ist die Beschwerde unbegründet.
2.1.1 Die Vorinstanz hat die gerügte Verwendung von Prämiengeldern der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (vgl. Art. 13 Abs. 2 lit. a zweiter Teilsatz (KVG) - nach den Behauptungen des Beschwerdeführers namentlich für politische Abstimmungskämpfe - zu Recht als aufsichtsrechtliche Frage ausserhalb ihres Zuständigkeitsbereichs qualifiziert; nicht entscheidend ist hier, ob sich die dem Bundesrat respektive - delegationsweise - dem Bundesamt für Gesundheit obliegende staatliche Aufsicht (<ref-law>; <ref-law> und <ref-law>) gemäss Gesetz allein auf die Krankenversicherer erstreckt oder auch deren Branchenverband santésuisse erfasst, soweit dieser faktisch öffentlich-rechtliche Aufgaben im Rahmen der sozialen Krankenversicherung wahrnimmt (vgl. in diese Richtung PROF. DR. IUR. RENÉ RHINOW/PROF. DR. IUR. REGULA KÄGI-DIENER, Gutachten vom 7. November 2006 betreffend Aufsicht über die santésuisse, erstattet zuhanden der Consano - Vereinigung für eine faire und soziale Medizin, S. 17 ff.); abrufbar auf: www.consano.ch; vgl. auch Eidgenössisches Justiz- und Polizeidepartement EJPD, Bundesamt für Justiz, Gutachten/Avis de droit vom 21. Juni 2007, "Surveillance sur les organisations faîtières dans l'assurance-maladie, VPB 2007, S. 352 ff., insbesondere S. 363 ff., 372 f.); so oder anders untersteht die umstrittene Frage dem Aufsichtsrecht, welches Versicherten, nach deren Auffassung gewisse Tatschen im öffentlichen Interesse ein Einschreiten der Aufsichtsbehörde erfordern, die Möglichkeit der Aufsichtsbeschwerde im Sinne von <ref-law> offenhält (vgl. auch <ref-ruling> E. 7.3 [in fine] S. 47). Dementsprechend ist mangels Sachzuständigkeit auch letztinstanzlich nicht auf die Beschwerde einzutreten, soweit darin die im kantonalen Verfahren gestellten Feststellungs- und Editionsbegehren als Eventualanträge erneuert werden.
2.1.2 Auch bei grundsätzlich gegebener Sachzuständigkeit wäre der umstrittene Nichteintretensentscheid als bundesrechtlich korrekt zu beurteilen: Feststellungsverfügungen (vgl. <ref-law>) können nur Feststellungen über individuelle Rechte und Pflichten, d.h. konkrete Rechtsfolgen beinhalten; eine abstrakte Rechtslage, wie sie sich aus einem Rechtssatz für eine Vielzahl von Personen und Tatbeständen ergibt, ist nicht feststellungsfähig, ebenso wenig sind es reine Tatsachenfeststellungen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 392; Urteile 2A.178/2004 vom 30. November 2004 E. 2.2 und 1A.188/2006 vom 8. Februar 2007 E. 3; s. auch FRITZ GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl., Bern 1983, S. 144; ULRICH ZIMMERLI/WALTER KÄLIN/ REGINA KIENER, Grundlagen des öffentlichen Verfahrensrechts, Bern 2004, S. 38 f.). Das Feststellungsbegehren gemäss Ziff. 3 Satz 1 der vorinstanzlichen Beschwerdeanträge ist daher, zumal es genau genommen eine abstrakte Feststellung über die Auslegung des KVG und dessen angeblich falsche Anwendung gegenüber sämtlichen Versicherten der Beschwerdegegnerin zum Gegenstand hat, unzulässig.
2.2 In Ziff. 3 Satz 2 des vorinstanzlichen Rechtsbegehrens hat der Beschwerdeführer ausdrücklich auch die Neufestsetzung der verfügten Prämienbeiträge für das Jahr 2006 und die Monate August bis Dezember 2007 beantragt.
2.2.1 In der - bei der Auslegung des Rechtsbegehrens nach Treu und Glauben mitzuberücksichtigenden (SVR 2004 IV Nr. 25 S. 95 E. 3.2.1, I 138/02, mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 9C_251/2009 vom 15. Mai 2009 E. 3.1) - Beschwerdebegründung vom 3. Oktober 2008 hat sich der Beschwerdeführer nur zur Verwendung der Prämiengelder durch die Beschwerdegegnerin, nicht aber zur konkreten Höhe der betriebenen Prämienforderungen geäussert. Erst in der Replik vom 5. Januar 2009 hat er - sinngemäss - seine Auffassung erkennen lassen, wonach die jährliche Prämienschuld um insgesamt Fr. 2.90 zu kürzen sei; es handelt sich dabei um den (Mitglieder-)Beitrag, den sämtliche der santésuisse angeschlossenen Krankenversicherer gemäss Statuten des Branchenverbands pro Jahr und versicherter Person an diesen zu entrichten haben (vgl. santésuisse, Geschäftsbericht 2006, S. 35 und Geschäftsbericht 2007, S. 33), und der kassenseitig als Ausgabeposten im Rahmen der "Verwaltungskosten" (vgl. <ref-law>, <ref-law>) zu Buche schlägt.
2.2.2 In den vorinstanzlichen Eingaben hat der Beschwerdeführer keinerlei Anhaltspunkte dafür geliefert, dass der erwähnte Mitgliederbeitrag von Fr. 2.90 (rund 25 Rappen pro Monat) ihm im Rahmen der hier umstrittenen individuell-konkreten Prämienforderungen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (ganz oder anteilsmässig) persönlich in Rechnung gestellt respektive im Falle der ordnungsgemässen Zahlung derselben exakt von diesem abgezweigt worden wäre. Daher ist fraglich, ob überhaupt von einer - grundsätzlich möglichen (<ref-ruling>; deutsche Übersetzung in: Pra 2006 Nr. 73 S. 515 ff.) - Anfechtung des individuell-konkret angewandten Prämientarifs die Rede sein kann. Selbst wenn aber Letzteres im Grundsatz zu bejahen wäre, hielte das vorinstanzliche Nichteintreten vor Bundesrecht stand: Bei Anfechtung einer im Einzelfall in Anwendung eines Prämientarifs der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ergangenen Verfügung beschränkt sich der zulässige richterliche Prüfungsgegenstand gemäss <ref-ruling> zum einen auf die Frage, ob eine Person in die richtige Prämienregion und in die passende Altersgruppe eingeteilt worden ist und die Franchise sowie der Prämienrabatt dem vom Bundesrat gestützt auf <ref-law> genehmigten Prämientarif entsprechend im Einzelfall richtig angewandt worden sind, und zum andern auf die Kontrolle, ob das Ausgabenumlageverfahren (<ref-law>) und der Grundsatz der selbsttragenden Finanzierung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (Art. 60 Abs. 2 und 3 KVG) eingehalten worden sind (<ref-ruling> E. 5.2.2 und 5.3 S. 74 ff.). In <ref-ruling> hat das Bundesgericht präzisiert, dass dem Richter/der Richterin keine weitergehende Überprüfungsbefugnis zusteht als diejenige der für die Genehmigung der Prämien zuständigen Behörden. Das Gericht kann namentlich nicht auf Kritiken allgemeiner Natur eintreten, welche ein Versicherter gegen seine Versicherungsprämien oder das System der sozialen Krankenversicherung richtet. Es obliegt dem Versicherten zu erläutern, inwiefern die umstrittene Tarifklausel Bundesrecht verletzt, d.h. gegen die gesetzliche Regelung über die Finanzierung und die Festsetzung der Prämienbeträge erstellt wurde (<ref-ruling> E. 4.3 und E. 7.3; deutsche Übersetzung in: Pra 2009 Nr. 128, S. 867 ff.). Hierzu äussern sich die vorinstanzlichen Eingaben nicht. Im Übrigen setzt richterliches Einschreiten in jedem Fall voraus, dass eine schwere Regelwidrigkeit - mit Bezug auf Verwaltungskosten: ein offensichtlicher Missbrauch - gegeben ist und die Beseitigung des Mangels im konkreten Fall zu einer erheblichen Prämienkorrektur geführt hätte (siehe im Einzelnen: <ref-ruling>, insbesondere E. 6.3 und 7.3). Letzteres aber fiel im hier zu beurteilenden Fall von vornherein ausser Betracht; auch aus diesem Grund hatte sich das kantonale Gericht mit dem Antrag auf Neufestsetzung der umstrittenen Prämien nicht zu befassen. Zu einer Nachfristansetzung nach <ref-law> war es nicht gehalten, nachdem die Beschwerde vom 3. Oktober 2008 die grundsätzlichen Formerfordernisse erfüllte und die fragliche Belastung der Prämienforderung mit Fr. 2.90 pro Jahr und Versicherter erst in der Replik vom 5. Januar 2009 (drei Monate nach Ablauf der Beschwerdefrist) angesprochen wurde, ohne als solche als bundesrechtswidrig gerügt worden zu sein.
2.3 Materiellrechtlich (einzig) beurteilt hat die Vorinstanz die Rüge des Beschwerdeführers, auf den betriebenen Prämienforderungen seien rechtsfehlerhaft Verzugszinsen (<ref-law>) erhoben worden. Mangels diesbezüglicher Parteivorbringen (<ref-law>) und ins Auge springender Sachverhalts- oder Rechtsfehler (Art. 105 Abs. 2 und <ref-law>) besteht kein Anlass, letztinstanzlich darauf zurückzukommen.
3. Die Gerichtskosten (<ref-law>) gehen ausgangsgemäss zu Lasten des Beschwerdeführers (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Dezember 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Amstutz