Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ AG ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._, welche die Überlassung von Fahrzeugen an Dritte, insbesondere auf Grundlage von Leasinggeschäften, sowie alle damit zusammenhängenden Geschäfte bezweckt.
Die C._ AG war eine Aktiengesellschaft mit Sitz in V._, die Versicherungs-, Steuer-, Vorsorge-, Finanz- und Unternehmensberatung anbot. Sie wurde am 26. Oktober 2011 gegründet und am 28. Oktober 2013 gestützt auf Art. 731b OR richterlich aufgelöst. Das Konkursverfahren wurde mit Entscheid des zuständigen Einzelgerichts vom 25. Februar 2014 mangels Aktiven eingestellt. Am 5. Juni 2014 wurde die Gesellschaft in Anwendung von Art. 159 Abs. 5 lit. a HRegV von Amtes wegen im Handelsregister gelöscht.
B._ ist Inhaber des im Handelsregister eingetragenen Einzelunternehmens "D._" mit Sitz in W._, welches das Coaching im Bereich der Aus- und Weiterbildung, das Anbieten von Workshops sowie Vermittlungen von Verkaufsmandaten und -aufträgen bezweckt. B._ war zudem einzelzeichnungsberechtigtes Verwaltungsratsmitglied der C._ AG.
A.b. Am 25. Mai 2012 schloss die C._ AG mit der A._ AG u.a. den Leasingvertrag Nr. xxx ab.
B._ unterzeichnete dabei in eigenem Namen eine Solidaritätserklärung, die sich auf den genannten Leasingvertrag bezieht und wie folgt lautet:
"Der/die Unterzeichnete, B._, bestätigt hiermit der A._ AG, dass er/sie sich neben dem nachstehend genannten Leasingnehmer als Solidarschuldner zu folgenden Bedingungen erklärt.
[···]
Die vorliegende Erklärung beinhaltet ausdrücklich die Begründung eines Solidarschuldnerverhältnisses mit selbständiger Schuldpflicht des Erklärenden und stellt nicht bloss eine Bürgschaft dar."
Am 19. Februar 2013 zedierte die A._ AG Forderungen an die E._ AG, darunter auch eine Forderung aus dem Leasingvertrag Nr. xxx über Fr. 41'125.--. Diese Forderung stand im Zusammenhang mit der Solidaritätserklärung von B._ gegenüber der A._ AG vom 25. Mai 2012. Mit Retrozession vom 6. November 2013 zedierte die E._ AG diese Forderung wieder an die A._ AG zurück.
B.
B.a. Mit Klage vom 2. April 2011 beantragte die A._ AG dem Handelsgericht des Kantons Aargau, B._ sei zur Zahlung von Fr. 41'125.00 nebst Zins zu 12 % seit dem 1. Juli 2012 zu verurteilen.
Zur Begründung führte die Klägerin im Wesentlichen aus, der Beklagte habe eine Solidaritätserklärung unterzeichnet, aufgrund derer er für die ausstehenden Raten des Leasingfahrzeugs solidarisch hafte. 47 von insgesamt 48 Leasingraten seien durch die C._ AG nicht mehr beglichen worden, weshalb nunmehr der Beklagte dafür aufzukommen habe.
Der Beklagte beantragte in seiner Klageantwort die Abweisung der Klage. Zur Begründung führte er im Wesentlichen aus, er habe nicht einen Schuldbeitritt, sondern eine Solidarbürgschaftserklärung unterzeichnet, die jedoch mangels öffentlicher Beurkundung ungültig sei.
B.b. Mit Urteil vom 27. April 2015 wies das Handelsgericht die Klage ab.
Zur Begründung führte es aus, dass sich ein übereinstimmender tatsächlicher Parteiwille hinsichtlich des Inhalts der Solidaritätserklärung nicht ermitteln liesse, weshalb diese objektiviert nach dem Vertrauensprinzip auszulegen sei. Dabei sei zu berücksichtigen, dass der Beklagte im Umgang mit Sicherungsgeschäften nicht geschäftserfahren und von der Klägerin auch nicht hinreichend über die in der Solidaritätserklärung verwendeten Fachbegriffe und deren Tragweite aufgeklärt worden sei. Es könne daher nicht einfach auf den Wortlaut dieser Erklärung abgestellt, sondern es müsse vielmehr aufgrund des rechtlichen und wirtschaftlichen Zwecks des Sicherungsgeschäfts untersucht werden, ob eine Schuldübernahme oder eine Solidarbürgschaft vereinbart worden sei. Da die Klägerin ein die Schuldübernahme kennzeichnendes Eigeninteresse des Beklagten am Leasingvertrag nicht substanziiert habe, stelle die Solidaritätserklärung keine Solidarschuld, sondern eine Solidarbürgschaft dar. Diese sei aber mangels öffentlicher Beurkundung (Art. 493 Abs. 2 OR) sowie mangels schriftlicher Zustimmung der Ehegattin des Beklagten (Art. 494 Abs. 1 OR) nichtig, weshalb die Klage abzuweisen sei.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die A._ AG dem Bundesgericht, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben und B._ sei zur Zahlung von Fr. 41'125.00 nebst Zins zu 12 % seit dem 1. Juli 2012 zu verurteilen; eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner und die Vorinstanz beantragen in ihren Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil betrifft eine Zivilsache (Art. 72 BGG) und ist von einem oberen kantonalen Gericht erlassen worden, das als Fachgericht für handelsrechtliche Streitigkeiten als einzige kantonale Instanz eingesetzt ist (Art. 75 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerdeführerin ist mit ihren Begehren unterlegen (Art. 76 BGG), die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) und ist innert der Beschwerdefrist eingereicht worden (Art. 100 BGG). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist unter Vorbehalt einer gehörigen Begründung (Art. 42 Abs. 2 BGG und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht keinen subjektiv übereinstimmenden Parteiwillen hinsichtlich des Inhalts der Solidaritätserklärung festgestellt.
2.1. Der Inhalt eines Vertrags bestimmt sich in erster Linie durch subjektive Auslegung, das heisst nach dem übereinstimmenden wirklichen Parteiwillen, während die unrichtige Bezeichnung oder Ausdrucksweise, die von den Parteien aus Irrtum oder in Absicht gebraucht wird, die wahre Beschaffenheit des Vertrages zu verbergen, unbeachtlich ist (Art. 18 Abs. 1 OR). Diese subjektive Vertragsauslegung beruht auf Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3.1 S. 632 m.H.). Stellt die Vorinstanz einen von einem übereinstimmenden wirklichen Parteiwillen getragenen Vertragsinhalt fest, so handelt es sich dabei um eine Sachverhaltsfeststellung, welche für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich ist (Art. 105 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht kann eine subjektive Vertragsauslegung lediglich unter dem Blickwinkel der willkürlichen Beweiswürdigung überprüfen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.2 S. 413, 133 III 675 E. 3.3 S. 681; vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 611; <ref-ruling> E. 2.5 S. 122).
Willkür im Sinne von Art. 9 BV liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er im Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; je mit Hinweisen). Zudem steht dem Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Die Beweiswürdigung ist daher nur willkürlich, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, indem es zum Beispiel offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht oder erhebliche Beweise übersieht (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweisen).
Wer die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, kann sich demnach nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 466 f.).
2.2. Die Vorinstanz kam zum Schluss, dass sich hinsichtlich des Inhalts der Solidaritätserklärung kein tatsächlich übereinstimmender Parteiwille nachweisen lasse.
Mit den Vorbringen in ihrer Beschwerdeschrift vermag die Beschwerdeführerin diese Feststellung nicht als willkürlich auszuweisen: In ihrer Begründung beschränkt sie sich darauf, einige Zitate aus den Protokollen der Parteibefragung herauszugreifen. Daraus soll hervorgehen, dass sich der Beschwerdegegner vor der Unterzeichnung der Solidaritätserklärung von einem befreundeten Versicherungsberater über deren Risiken habe beraten lassen. Weiter sollen die Zitate belegen, dass der Beschwerdegegner selber von einer Haftung ausgegangen sei, falls die Zahlungen der Leasingnehmerin ausbleiben.
Aus den angeführten Zitaten geht indessen lediglich hervor, dass der Beschwerdegegner in dem für ihn "dümmsten Fall ", d.h. bei Nichtzahlung einer Leasingrate, damit rechnete, dass das Auto wieder der Leasinggeberin zurückzugeben sei. Aus den zitierten Protokollauszügen lässt sich gerade kein tatsächlicher Wille des Beschwerdegegners nachweisen, eine unbeschränkte solidarische Haftung für mehr als eine Leasingrate einzugehen. Eine willkürliche Beweiswürdigung vermag die Beschwerdeführerin nicht zu belegen; die Rüge, die Vorinstanz habe eine offensichtlich unrichtige Tatsachenfeststellung getroffen, ist unbegründet.
3.
Die Beschwerdeführerin macht sodann geltend, dass auch die objektivierte Auslegung der Vorinstanz unrichtig sei. Bei zutreffender Auslegung nach dem Vertrauensprinzip handle es sich bei der Solidaritätserklärung nicht um eine Bürgschaft, sondern um einen Schuldbeitritt.
3.1. Bürgschaft wie kumulative Schuldübernahme (auch Schuldbeitritt oder Schuldmitübernahme genannt) bewirken eine Verstärkung der Position des Gläubigers. Sie unterscheiden sich indes namentlich in den Formerfordernissen. Während die Schuldübernahme formfrei gültig ist, gelten für die Bürgschaft zum Schutz der sich verpflichtenden Partei strenge Formvorschriften (<ref-ruling> E. 2.2. S. 705 mit Hinweisen). Mit der Bürgschaft übernimmt der Interzedent gegenüber dem Gläubiger die Pflicht, für die Erfüllung der Schuld eines Dritten, des Hauptschuldners, einzustehen (Art. 492 Abs. 1 OR). Die Bürgschaftsverpflichtung setzt den Bestand einer anderen (der sicherzustellenden) Verpflichtung voraus. Sie ist dieser beigeordnet und hängt in Bestand und Inhalt notwendigerweise von ihr ab; die Bürgschaft ist akzessorisch. Sie sichert die Zahlungsfähigkeit des Schuldners oder die Erfüllung eines Vertrages (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b S. 307; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2b).
Die kumulative Schuldübernahme ist dadurch gekennzeichnet, dass der Schuldübernehmer eine eigene, zur Verpflichtung eines Schuldners hinzutretende, selbständige Verpflichtung begründet, somit die Drittschuld persönlich und direkt mitübernimmt. Die kumulative Schuldübernahme hängt zwar ebenfalls vom Bestand der mitübernommenen Schuld ab, ist aber insofern nicht akzessorisch, als nicht jeder Wegfall der Verpflichtung des Hauptschuldners diejenige des Mitschuldners untergehen lässt. Ob die Solidarverpflichtung bei Wegfall der Primärschuld dahinfällt, beurteilt sich nach den Regeln der Solidarität (Art. 147 OR; <ref-ruling> E. 2.1 S. 704 mit Hinweisen).
Im Gegensatz zur Bürgschaft darf bei der Schuldübernahme die Sicherung des Gläubigers nicht das wesentliche Element im Rechtsgrund der Schuld aus Mitübernahme darstellen, wenngleich in jeder Schuldmitübernahme ein gewisser Sicherungseffekt liegt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 705 mit Hinweisen). Die akzessorische Bürgschaft unterscheidet sich von der kumulativen Schuldübernahme als selbständiger Verpflichtung indiziell darin, dass der sich Verpflichtende bei der Schuldübernahme, nicht aber bei der Bürgschaft regelmässig ein erkennbares eigenes Interesse am Geschäft hat, das zwischen dem Hauptschuldner und dem Gläubiger geschlossen wurde. Darin, dass bei der Bürgschaft ein solches Eigeninteresse fehlt und es sich um ein uneigennütziges Geschäft handelt, das typischerweise zur Sicherstellung einer Verpflichtung von Familienangehörigen oder engen Freunden eingegangen wird, liegt denn auch der Grund, dass sie besonderen Formvorschriften unterstellt wurde, und damit ein zentrales Unterscheidungsmerkmal (<ref-ruling> E. 2.6. S. 710 f. mit Hinweisen; Urteil 4A_420/2007 vom 19. Dezember 2007 E. 2.4.2).
3.2. Wenn sich - wie hier - ein übereinstimmender tatsächlicher Parteiwille nicht nachweisen lässt, so ist für die Bestimmung des Inhalts des Sicherungsvertrags der mutmassliche Parteiwille relevant, zu dessen Ermittlung die Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips auszulegen sind (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 4 S. 27 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 611; <ref-ruling> E. 3.2). Diese sind so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 4 S. 27 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 611; <ref-ruling> E. 3.2).
Das Bundesgericht überprüft diese objektivierte Auslegung von Willenserklärungen als Rechtsfrage, wobei es an Feststellungen des kantonalen Richters über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten grundsätzlich gebunden ist (Art. 105 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 67 mit Hinweisen).
Davon ausgehend, dass die gewählten Bezeichnungen von den Vertragsparteien gewöhnlich in ihrer objektiven Bedeutung verwendet werden und den korrekten Sinn der Erklärung wiedergeben, hat ein klarer Wortlaut bei der Auslegung nach dem Vertrauensprinzip Vorrang vor weiteren Auslegungsmitteln. Auch wenn der Wortlaut auf den ersten Blick klar erscheint, darf es allerdings nicht bei einer reinen Wortauslegung sein Bewenden haben (Art. 18 Abs. 1 OR). So kann sich aus den anderen Vertragsbestimmungen, aus dem von den Parteien verfolgten Zweck und aus weiteren Umständen ergeben, dass der Wortlaut der strittigen Bestimmung nicht genau den Sinn der Vereinbarung unter den Parteien wiedergibt. Sofern keine ernsthaften Gründe für eine solche Annahme bestehen, ist aber im Allgemeinen vom klaren Wortlaut einer Vertragsbestimmung nicht abzuweichen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 302; <ref-ruling> E. 4.2 S. 611 f.; <ref-ruling> E. 2.4.1, je mit Hinweisen). Insbesondere müssen nach der Rechtsprechung geschäftsgewandte Vertragsparteien einen klaren Wortlaut eines Vertrages über ein Sicherungsgeschäft, in dem präzise juristische Bezeichnungen verwendet wurden, gegen sich gelten lassen (<ref-ruling> E. 2.4.1/2 S. 707 f.).
3.3. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Beschwerdegegner zu Unrecht nicht als geschäftsgewandt im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung qualifiziert.
3.3.1. Als mit Blick auf die Eingehung einer Sicherungsverpflichtung geschäftsgewandt gilt nach der Rechtsprechung, wer sich in der täglichen Praxis mit Sicherungsgeschäften befasst, z.B. international tätige Firmengruppen oder schweizerische Bankinstitute, Verwaltungsräte oder Direktoren, die oft mit Sicherungsverträgen gekoppelte Geschäfte behandeln, und die von ihnen vertretene Gesellschaft. Den objektiven juristischen Sinn der verwendeten Ausdrücke muss sich sodann auch entgegenhalten lassen, wer über eine in der Schweiz erworbene juristische Ausbildung verfügt oder beim Vertragsabschluss von einer solchen Person beraten wird, sofern feststeht, dass diese den Sinn der verwendeten Begriffe klar gemacht hat (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 708 mit Hinweisen). Ebenfalls wurde ein Geschäftsmann als geschäftserfahren angesehen, der Verwaltungsratspräsident einer Gesellschaft war, die sich mit der Beratung und der Beschaffung von finanziellen Mitteln für ihre Kunden befasste, und der erklärt hatte, "persönlich, kumulativ neben" der Gesellschaft haften zur wollen (Urteil 4C.154/2002 vom 10./17. Dezember 2002, E. 3.3). Keine Geschäftsgewandtheit wurde dagegen aufgrund des blossen Umstandes angenommen, dass eine Privatperson für eine kleine Einzelfirma, die im täglichen Geschäft nichts mit Sicherungsgeschäften zu tun hatte, als einzelzeichnungsberechtigt im Handelsregister eingetragen war (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 708).
3.3.2. Der Beschwerdegegner war im Moment der Unterzeichnung der Solidaritätserklärung einzelzeichnungsberechtigtes Verwaltungsrats-mitglied der C._ AG. Die Vorinstanz will aus diesem Umstand allerdings noch keine Geschäftsgewandtheit in Bezug auf Sicherungsgeschäfte ableiten. Anders wäre es ihrer Auffassung nach nur, wenn die betreffende Gesellschaft z.B. als Bank oder Kreditunternehmen in einem entsprechenden Geschäftsbereich tätig wäre. Aus dem Zweck der C._ AG lasse sich gemäss der Vorinstanz aber nicht darauf schliessen, dass der Beschwerdegegner regelmässig mit Verträgen zu tun habe, die eine Sicherungskomponente enthalten. Er könne daher nicht als geschäftsgewandt im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung betrachtet werden.
Diese Erwägungen überzeugen nicht. Die C._ AG bot ausweislich des Handelsregisterauszugs u.a. Versicherungs-, Steuer-, Vorsorge-, Finanz- und Unternehmensberatung an. Bei dieser Umschreibung des Geschäftsportfolios durfte die Beschwerdeführerin nach Treu und Glauben davon ausgehen, dass es sich beim Beschwerdegegner um eine Person handelt, die sich u.a. auch mit Finanz- und Kreditgeschäften auskennt. Denn von einem Verwaltungsrat einer Gesellschaft, die u.a. Finanzberatung anbietet, darf im Geschäftsverkehr erwartet werden, dass er sich wenigstens in den Grundzügen mit gängigen Instrumenten der Kreditsicherung auskennt. Ob dies auch tatsächlich zutrifft, ist irrelevant, da es bei der objektivierten Vertragsauslegung nur auf die berechtigten Erwartungen der Vertragsparteien ankommt. Die Beschwerdeführerin durfte sich darauf verlassen, dass der Beschwerdegegner als Verwaltungsrat eines Finanzberatungsunternehmens die Bedeutung von Begriffen wie "Solidarschuldner" und "selbständige Schuldpflicht" zutreffend einordnen kann. Ebenfalls durfte sie von ihm erwarten, dass er die Wendung, wonach es sich bei der vorliegenden Erklärung eben gerade "nicht bloss um eine Bürgschaft" handle, richtig deuten kann, bzw. davon ausgehen, dass er die Bedeutung solcher Begriffe und Formulierungen zumindest zur Diskussion stellen würde, sollten sie ihm nicht klar sein. Dies hat der Beschwerdegegner indessen gerade nicht getan. Der Vorinstanz kann mithin nicht gefolgt werden, wenn sie den Beschwerdegegner hinsichtlich der Bedeutung der Solidaritätserklärung als nicht geschäftsgewandt qualifiziert. Unter den erwähnten Umständen durfte die Beschwerdeführerin vielmehr von einer Geschäftsgewandtheit des Beschwerdegegners ausgehen.
3.4. Damit muss sich der Beschwerdegegner nach Treu und Glauben beim klaren Wortlaut der Solidaritätserklärung, der grammatikalisch keinen Spielraum zugunsten einer Bürgschaft offen lässt, behaften lassen. Die entsprechende Klausel enthält nicht nur den Begriff der Solidarschuldnerschaft, sondern führt auch erklärend aus, dass der Unterzeichnende eine "selbständige Schuldpflicht" bzw. eben gerade "nicht bloss eine Bürgschaft" eingehe. Unterzeichnet eine als geschäftsgewandt anzusehende Person eine solche Erklärung, muss sie sich einen derart klaren Wortlaut entgegen halten lassen. Alles andere liefe der Rechtssicherheit im Geschäftsverkehr entgegen und wäre unvereinbar mit einer auf dem Grundsatz der Privatautonomie fussenden Vertragsrechtsordnung.
3.5. Dies gilt vorliegend umso mehr, als beim Beschwerdegegner entgegen der Auffassung der Vorinstanz durchaus ein potentielles Eigeninteresse am durch die Solidaritätserklärung abgesicherten Leasinggeschäft erkennbar war. Denn wie erwähnt, war der Beschwerdegegner im Zeitpunkt des Vertragsschlusses - zusammen mit einer weiteren Person - Mitglied des Verwaltungsrats der C._ AG, die sich damals im Aufbau befand. Unter diesen Umständen durfte die Beschwerdeführerin nach Treu und Glauben und ohne weitere Abklärungen davon ausgehen, dass der Beschwerdegegner auch persönlich am Zustandekommen eines für den Betrieb der Gesellschaft möglicherweise wichtigen Leasinggeschäfts interessiert ist. Angesichts dessen, dass die Beschwerdeführerin von einer Geschäftsgewandtheit des Beschwerdegegners ausgehen durfte, musste sie - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - ein entsprechendes Eigeninteresse nicht etwa dahingehend näher abklären, ob die Statuten der C._ AG die Ausrichtung von Tantiemen an ihre Verwaltungsräte vorsah. Allein die Stellung als einzelzeichnungsberechtigtes Verwaltungsratsmitglied musste unter den gegebenen Umständen genügen, damit die Leasinggeberin auf ein gewisses Eigeninteresse des Beschwerdegegners schliessen durfte.
Die Beschwerdeführerin durfte mithin davon ausgehen, dass der Beschwerdegegner einen (form) gültigen Schuldbeitritt erklärt hatte und nicht lediglich eine Bürgschaft eingehen wollte, welche ohne notarielle Beurkundung ungültig wäre. Daran ändert auch nichts, dass der Geschäftsführer der Beschwerdeführerin, der die Solidaritätserklärung mit dem Beschwerdegegner besprach, die rechtlichen Unterschiede zwischen Bürgschaft und Schuldbeitritt ausweislich der vorinstanzlichen Feststellungen wohl selber nicht im Einzelnen kannte. Denn gemäss der im angefochtenen Entscheid zitierten Aussage hat der Geschäftsführer die Solidaritätserklärung jedenfalls so verstanden, dass der Beschwerdegegner die ausstehenden Raten bezahlen müsse, wenn die C._ AG nicht mehr zahle. Nach dem Gesagten durfte er von diesem Verständnis auch nach Treu und Glauben ausgehen.
3.6. Die Rüge, die Vorinstanz habe die Solidaritätserklärung zu Unrecht nicht als Schuldbeitritt ausgelegt, erweist sich als begründet und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Bei zutreffender vertrauenstheoretischer Auslegung muss sich der Beschwerdegegner beim klaren Wortlaut der Solidaritätserklärung behaften lassen. Diese ist mithin als Schuldbeitritt zu qualifizieren.
4.
Gemäss Art. 107 Abs. 2 BGG entscheidet das Bundesgericht bei Gutheissung der Beschwerde in der Sache selbst oder weist diese zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück.
Die Vorinstanz durfte vorliegend die Klage der Beschwerdeführerin nicht mit der Begründung abweisen, bei der Solidaritätserklärung handle es sich um eine formnichtige Bürgschaft. Ob die Klage damit begründet ist, lässt sich gestützt auf die Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid freilich nicht abschliessend beurteilen. Es fehlen die notwendigen Feststellungen dazu, aus denen sich der Bestand der eingeklagten Forderung, namentlich deren Fälligkeit und Höhe, bestimmen liessen. Die Sache ist damit zur Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdegegner kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, der angefochtene Entscheid wird aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Aargau, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni