Sachverhalt:
A. Der 1964 geborene M._ war seit 1990 als Monteur von Klimageräten bei der Firma S._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am frühen Morgen des 18. Juli 2002 war er auf der Autobahn in Ungarn als Beifahrer von einem Verkehrsunfall betroffen. Dabei zog er sich gemäss Bericht des am Folgetag aufgesuchten Gesundheitszentrums in L._ vom 12. August 2002 Verletzungen an der rechten Schulter, an der Halswirbelsäule (HWS) sowie am linken Ellenbogen zu. Die SUVA holte Auskünfte des Versicherten vom 30. August 2002 ein. Zudem zog sie diverse Berichte des Hausarztes Dr. med. F._, des Spitals X._ und der Klinik Y._ (MR-Arthro rechte Schulter vom 7. Mai 2003) bei. Des Weiteren holte die Anstalt einen Austrittsbericht der Rehaklinik Z._ vom 2. Juli 2003 (über einen vom 30. April bis 4. Juni 2003 dauernden Aufenthalt) sowie Stellungnahmen des Dr. med. G._, SUVA-Abteilung Arbeitsmedizin, vom 25. Februar und 22. August 2003 und des Dr. med. P._, SUVA-Abteilung Versicherungsmedizin, vom 8. August 2003 ein. Ausserdem veranlasste sie am 24. Juli 2003 und am 15. Januar 2004 Untersuchungen durch den Kreisarzt Dr. med. B._. Am 11. Februar 2004 teilte die SUVA dem Versicherten schliesslich mit, sie stelle die Heilkostenleistungen "mit dem Erhalt dieses Schreibens" und das Taggeld auf Ende März 2004 ein. Mit Verfügung vom 19. März 2004 sprach die Anstalt dem Versicherten für die Zeit ab 1. April 2004 eine Invalidenrente auf Grund einer Erwerbsunfähigkeit von 15% und eine Integritätsentschädigung von Fr. 16'020.-, entsprechend einer Integritätseinbusse von 15%, zu. Daran wurde mit Einspracheentscheid vom 8. Juni 2004 festgehalten.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde mit dem Antrag auf Zusprechung einer Rente von 70% wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Beizug der Akten der Eidgenössischen Invalidenversicherung und der Arbeitslosenversicherung ab (Entscheid vom 28. November 2006). Zuvor hatte das Gericht mit Zwischenentscheid vom 14. Juli 2005 ein Ausstandsgesuch abgewiesen, was das Eidgenössische Versicherungsgericht mit Urteil vom 26. Mai 2006 (U 305/05) bestätigte.
C. M._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm ab 1. April 2004 eine Rente bei einem Invaliditätsgrad von 70% zuzusprechen. Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Auf eine entsprechende Anfrage des Gerichts hielt der Beschwerdeführer mit Schreiben vom 13. November 2007 am Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung fest.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Damit wurden das Eidgenössische Versicherungsgericht in Luzern und das Bundesgericht in Lausanne zu einem einheitlichen Bundesgericht (an zwei Standorten) zusammengefügt (Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, S. 10 Rz. 75) und es wurde die Organisation und das Verfahren des obersten Gerichts umfassend neu geregelt. Dieses Gesetz ist auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist (Art. 132 Abs. 1 BGG). Da der kantonale Gerichtsentscheid am 28. November 2006 und somit vor dem 1. Januar 2007 erlassen wurde, richtet sich das Verfahren nach dem bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) vom 16. Dezember 1943 (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Streitig und zu prüfen ist der Rentenanspruch. Das kantonale Gericht hat - unter Verweisung auf den Einspracheentscheid vom 8. Juni 2004 - die für dessen Beurteilung massgebenden Bestimmungen über den Anspruch auf eine Invalidenrente der obligatorischen Unfallversicherung (Art. 18 Abs. 1 UVG), die Begriffe der Invalidität (Art. 8 ATSG) und der Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG) sowie die Ermittlung des Invaliditätsgrades (Art. 16 ATSG; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4 S. 348, 128 V 29 E. 1 S. 30, 104 V 135 E. 2a und b S. 36) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 In Bezug auf die Arbeitsfähigkeit gelangte das kantonale Gericht, der SUVA folgend, zum Ergebnis, dem Beschwerdeführer könne eine leidensangepasste Tätigkeit (ohne Schläge und Vibrationen auf die rechte Schulter, ohne Einsatz der rechten Schulter über der Horizontalen sowie unter Berücksichtigung einer Gewichtslimite von maximal 15 kg und unter Vermeidung von Tätigkeiten mit ungünstigen Hebelarmen, vor allem Aussen-/Innenrotation) ohne zeitliche Einschränkungen ganztägig zugemutet werden.
Der Beschwerdeführer lässt dagegen einwenden, die Beurteilung durch das kantonale Gericht widerspreche insbesondere den anlässlich des Aufenthalts in der Rehaklinik Z._ gewonnenen Erkenntnissen. Ausserdem leide er auf Grund des Unfalls nicht nur an Beschwerden im Bereich der Schulter, sondern auch an einem HWS-Schleudertrauma und den dafür typischen Beschwerden (insbesondere Kopf- und Nackenschmerzen) sowie an einem Tinnitus und an Schwerhörigkeit.
3.2 Die Zumutbarkeitsbeurteilung durch den Kreisarzt Dr. med. B._ (Bericht vom 15. Januar 2004) berücksichtigt, wie der Beschwerdeführer mit Recht festhält, einzig die Schulterbeschwerden. Insoweit lässt sich jedoch nicht beanstanden, dass die Vorinstanz bei ihrer Beurteilung der Arbeitsfähigkeit auf die Aussagen des Kreisarztes abgestellt hat. Diese basieren auf einer eigenen Untersuchung sowie auf der Kenntnis der Vorakten, einschliesslich der MR-Arthro der rechten Schulter in der Klinik Y._ vom 7. Mai 2003 und des Austrittsberichts der Rehaklinik Z._ vom 2. Juli 2003. Die Einschätzung des Kreisarztes lässt sich mit diesen Stellungnahmen ebenso vereinbaren wie mit den Ergebnissen der verschiedenen Untersuchungen im Spital X._ (AthroskopieZentrum Orthopädie und Traumatologie AZOT). Entgegen der Argumentation in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird aus dem Bericht des Kreisarztes (insbesondere in Verbindung mit dessen früherer Stellungnahme vom 24. Juli 2003 und derjenigen des Dr. med. P._ vom 8. August 2003) ohne weiteres deutlich, dass dieser nicht von einem optimalen Zustand ausgeht, wie er nach einer Schultermobilisation hätte eintreten können, sondern von den tatsächlichen Gegebenheiten.
3.3 Zu prüfen bleibt, ob neben der Schulterproblematik weitere Einschränkungen hätten berücksichtigt werden müssen. Was die unmittelbar nach dem Unfall bestehende Symptomatik anbelangt, bezieht sich die Vorinstanz diesbezüglich zu Unrecht auf das bei den Akten liegende Ambulanzblatt des Krankenhauses U._ vom 18. Juli 2002, denn dieses betrifft nicht den Beschwerdeführer, sondern dessen Ehefrau V._, welche den Personenwagen gelenkt hatte. Ebenso wenig handelt es sich beim Bericht des Gesundheitszentrums L._, Krankenanstalt K._, um einen "ungarischen Arztbericht". Die Stadt/Gemeinde L._ befindet sich vielmehr in Serbien, und der Versicherte hatte gegenüber der SUVA am 30. August 2002 angegeben, er sei am Tag nach dem Unfall als Mitfahrer in sein Heimatland gereist. Bezüglich der Würdigung des medizinischen Sachverhalts ist dem kantonalen Gericht jedoch vollumfänglich beizupflichten: Der Bericht der Krankenanstalt K._ erwähnt neben Verletzungen der rechten Schulter und des Ellenbogens auch eine solche im Bereich der HWS. Gemäss den Angaben des Beschwerdeführers gegenüber der SUVA vom 30. August 2002 traten jedoch Nackenschmerzen nur beim "nach-oben-Schauen" auf, und er litt gelegentlich an einem Stechen an der linken Schläfe, aber nicht an Dauerkopfweh. Das für ein Schleudertrauma der HWS oder eine gleichgestellte Verletzung charakteristische "bunte" Beschwerdebild (vgl. <ref-ruling> oben E. 1) ist nach Lage der Akten nicht aufgetreten. Somit können die geklagten, organisch nicht nachweisbaren Kopfschmerzen keiner spezifischen HWS-Verletzung zugeordnet werden. Die in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhobene Behauptung, der Versicherte habe nach dem Unfall "Scherben im Kopf" gehabt, findet in den Akten keine Stütze. Es war einzig von einer Schnittverletzung am Ellenbogen die Rede. Die am 19. September 2002 erstmals gegenüber dem Hausarzt Dr. med. F._ angegebenen Symptome Tinnitus und Schwerhörigkeit rechts stehen gemäss der Beurteilung des Dr. med. G._ vom 22. August 2003 in keinem kausalen Zusammenhang mit dem Unfallereignis. Derselbe Arzt hatte sich in einer ersten Stellungnahme vom 25. Februar 2003 noch nicht abschliessend geäussert und das Ergebnis noch ausstehender Abklärungen vorbehalten. Die weitere, einen operativen Eingriff beinhaltende Behandlung ergab gemäss dem Austrittsbericht der Klinik für Hals-, Nasen-, Ohren- und Gesichts-Chirurgie des Spital X._ vom 31. März 2003 die Diagnose einer chronischen Tubenbelüftungsstörung beidseits bei Adenoidhyperplasie. Auf dieser Grundlage konnte Dr. med. G._ die Kausalität beurteilen. Ein Bedarf nach zusätzlichen Abklärungen besteht nicht. Dies gilt auch bezüglich der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde erneut verlangten Einholung eines Gutachtens zur Unfalldynamik und Biomechanik des Unfalls. Nach der Rechtsprechung vermag eine derartige Expertise allenfalls Anhaltspunkte für die Beurteilung der Schwere des Unfallereignisses zu liefern; sie bildet jedoch in keinem Fall eine hinreichende Grundlage für die Kausalitätsbeurteilung (RKUV 2003 Nr. U 489 S. 357 E. 3.2 S. 359, U 193/01).
4. Der Ermittlung des Invaliditätsgrades legte die SUVA ein Valideneinkommen von Fr. 53'170.- zu Grunde. Dieser Wert, der sich auf die Angaben der Arbeitgeberin vom 27. Januar 2004 stützt, ist unbestrittenermassen korrekt. Beim Invalideneinkommen ist auf Grund des Zumutbarkeitsprofils von einer relativ breiten Palette möglicher Tätigkeiten auszugehen. Deshalb ging die SUVA zu Recht von den Ergebnissen der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) aus. Bei der Anwendung der entsprechenden Werte trug die Anstalt dem Umstand Rechnung, dass der Versicherte ein unterdurchschnittliches Einkommen erzielt hatte. Weiter berücksichtigte sie einen prozentualen Abzug von 15% (dazu <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481, 126 V 75 E. 5b S. 79 f.), der sich im Rahmen der Angemessenheitskontrolle (<ref-ruling> E. 6 S. 81) nicht beanstanden lässt. Das kantonale Gericht hat den auf diese Weise ermittelten Invaliditätsgrad von 15% zu Recht bestätigt.
5. 5.1 Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 Satz 1 OG in der vom 1. Juli bis 31. Dezember 2006 gültig gewesenen Fassung; vgl. E. 1). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten ist daher gegenstandslos.
5. 5.1 Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 Satz 1 OG in der vom 1. Juli bis 31. Dezember 2006 gültig gewesenen Fassung; vgl. E. 1). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten ist daher gegenstandslos.
5.2 5.2.1 Die unentgeltliche Verbeiständung ist zu gewähren, wenn die ersuchende Person bedürftig ist, das Rechtsmittel nicht als aussichtslos bezeichnet werden muss und die Vertretung geboten war (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen). Bedürftig im Sinne von Art. 152 Abs. 1 OG ist eine Person, wenn sie ohne Beeinträchtigung des für sie und ihre Familie nötigen Lebensunterhaltes nicht in der Lage ist, die Prozesskosten zu bestreiten (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 232, 127 I 202 E. 3b S. 205, 125 IV 161 E. 4a S. 164). Massgebend sind die wirtschaftlichen Verhältnisse im Zeitpunkt der Entscheidung über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-ruling> E. 4 S. 269). Bei der Beurteilung der Bedürftigkeit ist das Einkommen beider Ehegatten zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 3a S. 195, 108 Ia 9 E. 3 S. 10, 103 Ia 99 E. 4 S. 101 mit Hinweisen).
5.2.2 Mit Schreiben vom 22. Januar 2007 liess der Beschwerdeführer den Erhebungsbogen für die unentgeltliche Rechtspflege einreichen. Daraus ist ersichtlich, dass er selbst eine monatliche Rente von Fr. 563.- bezieht, während sich der Nettolohn der Ehefrau auf Fr. 2'919.- pro Monat (zuzüglich 13. Monatslohn) plus Kinderzulagen von Fr. 430.- beläuft. Als Auslagen werden der Hypothekarzins (inkl. Nebenkosten) von Fr. 358.- pro Monat, Krankenkassenprämien von Fr. 596.- pro Monat sowie Auslagen für Strom (Fr. 60.-), Telefon (Fr. 150.-) und eine "Haushalt-Versicherung" (Fr. 507.-) genannt. Zum Vermögen des Beschwerdeführers gehört insbesondere eine Eigentumswohnung mit einem amtlichen Wert von Fr. 168'000.-, welchem Hypothekarschulden von Fr. 50'000.- gegenüber stehen. Der Beschwerdeführer verfügt somit über ein Vermögen in der Grössenordnung von mehr als Fr. 100'000.-. Ein Vergleich mit den Angaben im Verfahren U 305/05 zeigt, dass die Schulden damals noch auf Fr. 135'000.- beziffert worden waren und in der Zwischenzeit massiv reduziert werden konnten. Unter diesen Umständen ist die prozessuale Bedürftigkeit nicht erstellt. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist deshalb abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird abgewiesen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 5. Dezember 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger