Sachverhalt:
A. Am 2. Mai 2003 und erneut am 29. Januar 2004 ersuchte die auf privater Basis mit Hausbetreuung und -pflege vorwiegend betagter Menschen befasste Spitex-Organisation X._ GmbH, bei santésuisse (ehemals: Konkordat der Schweizerischen Krankenversicherer), Abteilung Zulassungen, um Erteilung einer sog. Zahlstellen-Register-Nummer (ZSR-Nr.). Mit Schreiben vom 3. März 2004 lehnte santésuisse das Gesuch mangels Erfüllung der gesetzlichen Voraussetzungen für die Zulassung zur Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung - namentlich wegen fehlenden Nachweises des erforderlichen Fachpersonals - ab; aufgrund des gesamten Sachverhaltes seien die Versicherer zurzeit nicht verpflichtet, Rechnungen der X._ GmbH an die Patienten zurückzuerstatten, was der Klientschaft mitzuteilen sei.
B. Am 2. Juni 2004 (Posteingang) erhob die X._ GmbH beim Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Zürich Klage gegen santésuisse mit dem Antrag, diese sei zur Erteilung einer ZSR-Nr. zu verpflichten. In Verneinung seiner sachlichen Zuständigkeit trat das angerufene Gericht mit einzelrichterlicher Verfügung vom 4. Oktober 2004 darauf nicht ein.
C. Die X._ GmbH führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid sei aufzuheben und die Streitsache zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, eventualiter an die zuständige Instanz zu überweisen.
Die santésuisse schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Das Bundesamt für Gesundheit hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Beim angefochtenen Nichteintretensentscheid handelt es sich um einen kantonalen Endentscheid (SVR 1999 KV Nr. 13 S. 29 mit Hinweisen [= Urteil F. vom 9. Dezember 1997, K 87/97]), der sich, insoweit in Auslegung und Anwendung von <ref-law> ergangen, auf Bundesrecht stützt. Da mithin eine Verfügungsgrundlage im Sinne von Art. 128 OG in Verbindung mit Art. 97, 98 lit. b-h und 98a OG und <ref-law> gegeben ist und auch die übrigen Zulässigkeitsvoraussetzungen erfüllt sind (Art. 103 f., 106 und 108 OG), ist auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde einzutreten (siehe auch <ref-law>).
2. 2.1 Da die Streitigkeit nicht die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen zum Gegenstand hat, beschränkt sich die Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts auf die Frage, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt wurde (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
2.2 Hinsichtlich der von Amtes wegen vorzunehmenden Prüfung der vorinstanzlichen Sachurteilsvoraussetzungen ist kognitionsrechtlich zu präzisieren, dass das Eidgenössische Versicherungsgericht die Auslegung und Anwendung des anwendbaren kantonalen Gesetzesrechts unter dem eingeschränkten Blickwinkel der Willkür (<ref-law>) beurteilt, dagegen frei und ohne Bindung an die erhobenen Einwände überprüft, ob die - als vertretbar erkannte - Auslegung des kantonalen Prozessrechts mit der in <ref-law> gewährleisteten Garantie eines durch Gesetz geschaffenen, zuständigen, unabhängigen und unparteiischen Gerichts und mit dem übrigen Bundesrecht, namentlich <ref-law>, vereinbar ist (vgl. <ref-ruling> Erw. 1.3.2 mit Hinweisen).
3. 3.1 Der in Verneinung der sachlichen Zuständigkeit ergangene Nichteintretensentscheid der Vorinstanz erging mit einzelrichterlicher Verfügung des stellvertretenden leitenden Mitglieds des Schiedsgerichts in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Zürich. Ob die einzelrichterliche Besetzung im Lichte der einschlägigen bundes- und kantonalrechtlichen Organisations- und Verfahrensbestimmungen standhält, ist im Folgenden - unabhängig von den Parteianträgen von Amtes wegen (Erw. 2.2. hievor) - zu prüfen.
3.2 Zur einzelrichterlichen Zuständigkeit wird im kantonalen Entscheid ausgeführt, <ref-law> sowie § 24 der Verordnung über das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten vom 10. Dezember 1964 (SchiedsV; OS 832.11; zwischenzeitlich ersetzt durch die Verordnung über das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten [SGVo, OS 212.814] vom 26. Oktober 2004; in Kraft seit 1. April 2005), wonach das leitende Mitglied u.a. bei Streitigkeiten, die ihrer Natur nach einer vermögensrechtlichen Schätzung nicht unterliegen oder den Ausschluss von der Kassenpraxis betreffen, vier Schiedsrichter beizieht, seien primär auf materielle Entscheidungen zugeschnitten; ob bei Zuständigkeitsfragen, "zumal wenn diese offensichtlich sind", das leitende Mitglied des Schiedsgerichts allein zu entscheiden befugt sei, werde vom Bundesrecht und vom kantonalen Recht offen gelassen. Vorliegend würden zwei Gründe für eine einzelrichterliche Entscheidkompetenz sprechen: Zum einen handle es sich bei der Zuständigkeitsfrage um ein rein prozessrechtliches Thema, dessen Beantwortung in erster Linie juristisches Wissen und keine medizinischen oder ökonomischen Fachkenntnisse voraussetze, welche von beizuziehenden Schiedsrichtern beizubringen wären. Zum andern gebiete das Gebot der Raschheit des Verfahrens den Verzicht auf die zeitaufwendige Ernennung von Schiedsrichtern, soweit es nur um die Frage der Zuständigkeit gehe.
3.2 Zur einzelrichterlichen Zuständigkeit wird im kantonalen Entscheid ausgeführt, <ref-law> sowie § 24 der Verordnung über das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten vom 10. Dezember 1964 (SchiedsV; OS 832.11; zwischenzeitlich ersetzt durch die Verordnung über das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten [SGVo, OS 212.814] vom 26. Oktober 2004; in Kraft seit 1. April 2005), wonach das leitende Mitglied u.a. bei Streitigkeiten, die ihrer Natur nach einer vermögensrechtlichen Schätzung nicht unterliegen oder den Ausschluss von der Kassenpraxis betreffen, vier Schiedsrichter beizieht, seien primär auf materielle Entscheidungen zugeschnitten; ob bei Zuständigkeitsfragen, "zumal wenn diese offensichtlich sind", das leitende Mitglied des Schiedsgerichts allein zu entscheiden befugt sei, werde vom Bundesrecht und vom kantonalen Recht offen gelassen. Vorliegend würden zwei Gründe für eine einzelrichterliche Entscheidkompetenz sprechen: Zum einen handle es sich bei der Zuständigkeitsfrage um ein rein prozessrechtliches Thema, dessen Beantwortung in erster Linie juristisches Wissen und keine medizinischen oder ökonomischen Fachkenntnisse voraussetze, welche von beizuziehenden Schiedsrichtern beizubringen wären. Zum andern gebiete das Gebot der Raschheit des Verfahrens den Verzicht auf die zeitaufwendige Ernennung von Schiedsrichtern, soweit es nur um die Frage der Zuständigkeit gehe.
3.3 3.3.1 Das für Streitigkeiten zwischen Versicherern und Leistungserbringern zuständige (<ref-law>; lex specialis [RKUV 2005 Nr. KV 329 S. 201 Erw. 3 = Urteil i.S. H+ Die Spitäler der Schweiz vom 15. April 2005, K 16/04]), von den Kantonen zu bezeichnende (<ref-law>) Schiedsgericht setzt sich gemäss <ref-law> aus einer neutralen Person, die den Vorsitz innehat, und aus je einer Vertretung der Versicherer und der betroffenen Leistungserbringer in gleicher Zahl zusammen. Übertragen die Kantone die Aufgaben des Schiedsgerichts dem kantonalen Versicherungsgericht, wozu sie gemäss Art. 89 Abs. 4 Satz 3 (1. Halbsatz) KVG befugt sind, ist dieses durch je einen Vertreter oder eine Vertreterin der Beteiligten zu ergänzen (Art. 89 Abs. 4 Satz 3 [2. Halbsatz] KVG). Diese Bestimmung über die Zusammensetzung des Schiedsgerichts stellt eine bundesrechtliche Minimalvorschrift dar, an welche die Kantone gebunden sind (<ref-law>).
Im Rahmen der bundesrechtlichen Vorgaben ist die nähere Ausgestaltung des schiedsgerichtlichen Verfahrens grundsätzlich Sache der Kantone, wobei dieses einfach und rasch sein muss (<ref-law>; vgl. RKUV 2003 Nr. KV 250 S. 220 Erw. 3.2 mit Hinweisen [= Urteil X. vom 24. April 2003, K 9/00]; zu altArt. 25 Abs. 4 KUVG s. <ref-ruling> Erw. 2c; ferner Alfred Maurer, Das neue Krankenversicherungsrecht, Basel 1996, S. 174). Auf das Verfahren vor dem kantonalen Schiedsgericht gemäss <ref-law> keine Anwendung findet das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts vom 6. Oktober 2000 (<ref-law>).
3.3.2 Die in <ref-law> vorgeschriebene paritätische Besetzung mit Vorsitz einer neutralen Person ist gleichsam Wesensmerkmal des Schiedsgerichts (vgl. auch Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, S. 232 Rz 413; ferner Regina Kiener, Richterliche Unabhängigkeit. Verfassungsrechtliche Anforderungen an Richter und Gerichte, Bern 2001, S. 120 f.). Inwieweit die Bestimmung vor diesem Hintergrund Raum lässt für einzelrichterliche Entscheidbefugnisse, bedarf hier keiner umfassenden und abschliessenden Prüfung. Jedenfalls könnte sich eine Einzelrichterbesetzung höchstens auf rein formelle Entscheide beziehen wie etwa Prozesserledigungen zufolge Rückzug oder Vergleich. Dagegen fallen Nichteintretensentscheide mangels sachlicher Zuständigkeit des Schiedsgerichts nach <ref-law> entgegen der Auffassung der Vorinstanz grundsätzlich nicht in die Kategorie der Einzelrichter-Befugnisse. Die aufgrund zwingender Gesetzesvorschriften sowie unter Berücksichtigung der aus <ref-law> fliessenden grundrechtlichen Ansprüche zu beurteilenden Fragen der Sachzuständigkeit sind generell - auch mit Blick auf die Interessenlage der Beteiligten - als gewichtig einzustufen. Weiter greift die vorinstanzliche Argumentation, wonach die sachliche Zuständigkeit des Schiedsgerichts nach <ref-law> als "rein prozessrechtliches Thema" einzustufen ist, zu kurz. Ob eine im KVG gründende Streitigkeit zwischen "Versicherer" und "Leistungserbringer" im Sinne von <ref-law> vorliegt, lässt sich nicht losgelöst von mitunter komplexen materiellrechtlichen Erwägungen wie beispielsweise über die Natur des betroffenen Rechtsverhältnisses, dessen konkrete Rechtswirkungen und die Zuordnung der ihm zu Grunde liegenden Rechtsnormen zum Privatrecht oder öffentlichen Recht beurteilen (vgl. auch Rhinow/Koller/Kiss, a.a.O., S. 185 Rz 957). Dies trifft namentlich auch für den hier zu beurteilenden Rechtsstreit betreffend Verweigerung einer Zahlstellennummer durch santésuisse zu (vgl. Erw. 4 hernach). Schliesslich setzt die Prüfung der sachlichen Zuständigkeit nach <ref-law> zwar in der Tat - wie die Vorinstanz hervorhebt - primär juristisches Fachwissen voraus. Dies trifft jedoch gleichermassen auch auf andere vom Schiedsgericht zu beurteilende Streitlagen formell- wie materiellrechtlicher Art zu; es liegt darin kein triftiger Grund für ein Absehen von der ordentlichen, paritätischen Besetzung des Schiedsgerichts gemäss <ref-law> und den die Bundesnorm konkretisierenden kantonalen Bestimmungen.
3.4 Im Kanton Zürich waren vor Inkrafttreten der am 30. August 2004 beschlossenen - gemäss Übergangsbestimmung hier nicht anwendbaren - Revision des Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht vom 7. März 1993 (GSVG; OS 212.81) am 1. Januar 2005 wesentliche Organisations- und Verfahrensbestimmungen betreffend die Schiedsgerichtsbarkeit in Sozialversicherungsstreitigen lediglich auf Verordnungsstufe (SchiedsV; siehe vorne Erw. 3.2) normiert. Das GSVG in der bis 31. Dezember 2004 gültig gewesenen Fassung (aGSVG) enthält bloss rudimentäre Vorgaben und delegiert namentlich die Regelung der Zusammensetzung des Schiedsgerichts und des Verfahrens an den Regierungsrat (§ 37 aGSVG). Weder Gesetz noch Verordnung enthalten Bestimmungen über die einzelrichterliche Zuständigkeit im Verfahren vor dem Schiedsgericht; dies im Unterschied zum Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht. Mit Bezug auf letzteres hält § 11 aGSVG ausdrücklich fest, dass Streitigkeiten mit Streitwert bis Fr. 20'000.- in die einzelrichterliche Zuständigkeit fallen (Abs. 1). Die einzelrichterliche Entscheid-Kompetenz erstreckt sich dabei sowohl auf Sachurteile als auch - anders als bei Kollegialgerichtsfällen (§ 10 Abs. 2 aGSVG) - auf Nichteintretensentscheide (Christian Zünd, Kommentar zum Gesetz über das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich vom 7. März 1993, Zürich 1999, S. 60 Rz 2; zu § 10 Abs. 2 a.a.O., S. 57 Rz 12). Vor dem Hintergrund der Tatsache, dass das aGSVG die Einzelrichter-Zuständigkeit für Streitigkeiten vor dem Sozialversicherungsgericht ausdrücklich (formell-)gesetzlich regelt, muss das Fehlen einer entsprechenden Normierung für das Verfahren vor dem Schiedsgericht als qualifiziertes Schweigen des Gesetzgebers verstanden werden, und zwar in dem Sinne, dass verfahrensabschliessende Entscheide des Schiedsgerichts in ordentlicher, paritätischer Besetzung gemäss <ref-law> bzw.- konkretisierend - § 24 SchiedsV (vgl. Erw. 3.2 hievor) zu fällen sind. Diese Schlussfolgerung findet Bestätigung in § 37 des revidierten GSVG, der zahlreiche der für das Sozialversicherungsgericht geltenden organisatorischen und verfahrensrechtlichen Bestimmungen (soweit angebracht; vgl. Antrag des Regierungsrates des Kantons Zürich vom 30. April 2003 [4070], Weisung zu § 37) auch für das kantonale Schiedsgericht für anwendbar erklärt (§§ 4,5,8-10, 12-32), § 11 GSVG als einschlägige Bestimmung über die Einzelrichterzuständigkeit aber davon ausnimmt. Auch wenn es, wie vorinstanzlich angenommen, gerechtfertigt erscheinen mag, gewisse Erledigungsverfügungen in Relativierung des oben dargelegten Grundsatzes in die alleinige Zuständigkeit des leitenden Mitglieds des Schiedsgerichts zu legen, fallen Nichteintretensentscheide nach kantonalem Recht - in Einklang mit den bundesrechtlichen Vorgaben (Erw. 3.3.1 hievor) - jedenfalls nicht darunter. Zu verweisen ist auf den das Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht betreffenden § 10 Abs. 2 aGSVG, wonach das vorsitzende Mitglied formelle Erledigungsverfügungen, "ausgenommen Nichteintretensentscheide", erlässt (vgl. neu § 9 Abs. 3 GSVG). Diese Regelung muss a fortiori auch für das Schiedsgericht gelten (so heute ausdrücklich § 42 lit. c GSVG), wo ein Abweichen von der ordentlichen (Kollegial-) Besetzung deutlicher noch als beim Sozialversicherungsgericht nur in wenigen, gesetzlich zu regelnden (vgl. Art. 30 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 36 Abs. 1 und Art. 5 Abs. 1 BV; siehe auch Art. 58 KV/ZH) Ausnahmefällen in Betracht fällt (vgl. Erw. 3.3.2 hievor). Eine abweichende Auslegung des hier massgebenden kantonalen Organisations- und Verfahrensrechts hält vor <ref-law> (Willkürverbot) nicht stand.
3.5 Der in willkürlicher Auslegung der kantonalgesetzlichen Organisations- und Verfahrensordnung in einzelrichterlicher Besetzung gefällte Nichteintretensentscheid der Vorinstanz verletzt zugleich <ref-law>, welcher auch im Bereich der Schiedsgerichtsbarkeit nach <ref-law> gilt (vgl. etwa RKUV 2005 Nr. KV 318 S. 71 ff.; Urteile S. vom 20. Oktober 2004 [K 27/04] Erw. 2.2.1, H. vom vom 29. Juli 2004 [K 29/04] Erw. 2.2, B. vom 15. April 2004 [K 153/03] Erw. 2.1.2; vgl. auch Kiener, a.a.O., S. 317) und den Anspruch auf eine nach Massgabe des anwendbaren Rechts (numerisch) richtige Besetzung des Gerichts beinhaltet. Bereits aufgrund dieses Verfahrensmangels ist der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid - von Amtes wegen - aufzuheben. Eine formell-rechtlich begründete Rückweisung an die Vorinstanz zu erneuter Entscheidung ohne Klärung der unter den Parteien letztinstanzlich hauptsächlich umstrittenen Frage der sachlichen Zuständigkeit des kantonalen Schiedsgerichts ist indessen aus prozessökonomischen Gründen nicht angezeigt. Nachdem sich die Parteien im Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht ausführlich zur Sachzuständigkeit des kantonalen Schiedsgerichts geäussert haben, ist es gerechtfertigt, nachfolgend abschliessend über diese Frage zu befinden.
4. 4.1 Gemäss <ref-law> entscheidet das kantonale Schiedsgericht "Streitigkeiten zwischen Versicherern und Leistungserbringern". Gesetz und Verordnung umschreiben nicht näher, was unter Streitigkeiten im Sinne der genannten Bestimmung zu verstehen ist. Nach der zum altrechtlichen Art. 25 Abs. 1 KUVG ergangenen und auch unter dem neuen Recht massgebenden Rechtsprechung ist von einer weiten Begriffsumschreibung auszugehen, indem die sachliche Zuständigkeit für alle Streitigkeiten zwischen Krankenversicherern und Leistungserbringern zu bejahen ist, wenn und soweit sie Rechtsbeziehungen zum Gegenstand haben, die sich aus dem KVG ergeben oder auf Grund des KVG eingegangen worden sind (<ref-ruling> Erw. 2, 114 V 323 Erw. 3b, 112 V 310 f. Erw. 3b; <ref-ruling> Erw. 3b, 112 V 310 f. Erw. 3b). Des Weitern muss es sich um eine Streitigkeit zwischen Versicherungsträgern und leistungserbringenden Personen handeln, was sich danach bestimmt, welche Parteien einander in Wirklichkeit gegenüberstehen (RKUV 2004 Nr. KV 287 S. 301 Erw. 2.2 [Urteil vom 30. April 2004, K 124/02]). Der Streitgegenstand muss mit andern Worten die besondere Stellung der Versicherer oder Leistungserbringer im Rahmen des KVG betreffen. Liegen der Streitigkeit keine solchen Rechtsbeziehungen zu Grunde, ist sie nicht nach sozialversicherungsrechtlichen Kriterien zu beurteilen, mit der Folge, dass nicht die Schiedsgerichte, sondern allenfalls die Zivilgerichte zum Entscheid sachlich zuständig sind (zum Ganzen RKUV 2005 Nr. KV 330 S. 206 Erw. 2 [Urteil vom 18. April 2005, K 79/04], 2004 Nr. KV 286 S. 295 Erw. 3 und 4 [Urteil vom 26. April 2004, K 36/03], je mit Hinweisen).
4.2 Nach Auffassung der Vorinstanz fällt die sachliche Zuständigkeit des Schiedsgerichts nach <ref-law> bereits deshalb ausser Betracht, weil es sich bei der Beschwerdegegnerin nicht um einen "Versicherer" handle. Die santésuisse fügt dem vernehmlassungsweise bei, die hier umstrittene Zuteilung einer ZSR-Nummer stelle keinen rechtlichen Entscheid über die Zulassung eines Leistungserbringers zur Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung dar, welcher den Versicherern vorbehalten bleibe; die Erteilung einer ZSR-Nummer sei im KVG nicht vorgesehen und erfolge allein im Rahmen einer privatrechtlichen Rechtsbeziehung (Kassenverband - Leistungserbringer). Somit fehle es an einem das Klagerecht nach <ref-law> begründenden krankenversicherungsrechtlichen Sachverhalt. Der Beschwerdeführer hält dem sinngemäss entgegen, mit der Erteilung einer ZSR-Nummer nehme die santésuisse gleichsam stellvertretend für die Versicherer - deren "Sprachrohr" sie sei - die Prüfung der gesetzlichen Voraussetzungen der Zulassung zur Kassenpraxis vor; indem sie ihre Mitglieder anweise, nur bei Vorlage einer solchen abzurechnen, stehe ihr Handeln in direktem Bezug zum KVG.
4.3 Bei der Beurteilung der Frage, ob die Streitigkeit über die Verweigerung einer ZSR-Nummer durch santésuisse in die Zuständigkeit des Schiedsgerichts nach <ref-law> fällt, ist folgende Sach- und Rechtslage zu berücksichtigen:
4.3.1 Das KVG bezeichnet zwar die materiellen Voraussetzungen der Zulassung von Organisationen der spitalexternen Krankenpflege - um eine solche handelt es sich bei der Beschwerdeführerin - zur Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenversicherung (Art. 35 Abs. 2 lit. e und Art. 38 KVG in Verbindung mit <ref-law>), kennt hingegen für diese (wie auch andere) Leistungserbringer kein formelles Zulassungsverfahren. Die Kontrolle der gesetzlichen Zulassungsvoraussetzungen - zu unterscheiden von der in den Gesundheitsgesetzgebungen der Kantone vorgesehenen, polizeilich motivierten Berufsausübungsbewilligung - obliegt hier grundsätzlich den Versicherern. Verweigern diese eine konkrete Kostenvergütung mit dem Argument, ein bestimmter Leistungserbringer erfülle die gesetzlichen Voraussetzungen für die Zulassung zur Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenversicherung nicht, kann der Leistungserbringer diese Streitigkeit vor das Schiedsgericht nach <ref-law> bringen (vgl. auch in RKUV 2005 Nr. KV 328 S. 186 ff. nicht publizierte Erw. 1.1. des Urteils U. vom 18. März 2005 [K 97/03]; Eugster, a.a.O., Rz 413).
4.3.2 Santésuisse als Branchenverband der Krankenversicherer führt in Luzern (Geschäftsstelle "Abteilung Zulassungen"; neu: "Ressort ZSR") das - im KVG selbst nicht vorgesehene - Zahlstellenregister (ZSR-Register). Auf Gesuch hin erteilt sie einem Leistungserbringer gegen einmalige Gebühr die sogenannte ZSR-Nummer (Zahlstellen-Registernummer), sofern er die nach Gesetz, Verordnung, Gerichts- und Verwaltungspraxis (einschliesslich der Empfehlungen und Weisungen der Aufsichtsbehörde) erforderlichen Voraussetzungen der Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung erfüllt und er zudem den gesetzlich vorgesehenen Beitritt zum (sachbezüglichen) Tarifvertrag (vgl. Art. 43 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 4 KVG) erklärt hat. Das Zahlstellen-Register mit entsprechender Nummern-Vergabe ist nach Darstellung der santésuisse "ein Angebot der Versicherer auf vertraglicher Basis", wobei der Vertrag zwischen santésuisse - deren Geschäftsstelle "Zulassungen", Luzern, entsprechende Gesuche entgegennimmt und behandelt - und dem jeweiligen Leistungserbringer besteht (www.santesuisse.ch/de/kli_showall.html; "Kostengünstige und einfache Leistungsabwicklung dank der ZSR-Nr.", Eintrag vom 14. Mai 2003]). Der Zweck der ZSR-Nummer liegt vor allem in der erleichterten Abrechnung zwischen Leistungserbringer und Versicherer. So darf der Versicherer grundsätzlich davon ausgehen, dass der über eine ZSR-Nummer verfügende Rechnungssteller die Voraussetzungen der Zulassung als Leistungserbringer zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung erfüllt. Das System der Zahlstellen-Registernummern entlastet damit den Versicherer von der aufwändigen Prüfung der Zulassungsvoraussetzungen im Einzelfall - sie wird in der Praxis nur noch bei Anhaltspunkten für Fehlerhaftigkeiten durchgeführt - und ermöglicht ihm aufgrund sofortiger Identifizierung des Leistungserbringers und dessen Bankadresse eine effiziente Abwicklung des Zahlungsverkehrs. Der Leistungserbringer seinerseits profitiert von rascher und kosteneinsparender Geschäftserledigung und hat vor allem den Vorteil, dass er dem jeweiligen Versicherer nicht in jedem Fall neu das Vorhandensein der für die Zulassung als Leistungserbringer zur obligatorischen Krankenpflegeversicherung notwendigen Ausbildung, Bewilligungen, etc. nachweisen muss. Angesichts der erheblichen administrativen Erleichterungen und damit verbundenen Kosteneinsparungen enthalten die meisten Tarifverträge Bestimmungen, wonach der Leistungserbringer seine ZSR-Nummer in den Rechnungen, Kostengutsprache-Gesuchen und Verordnungen) aufführen muss; die dem Vertrag beigetretenen Leistungserbringer sind mit andern Worten verpflichtet, eine ZSR-Nummer zu führen. Entsprechend verfügen denn auch praktisch alle Leistungserbringer (ca. 99 %) über eine ZSR-Nummer (www.santesuisse.ch/de/kli_showall.html, "Kostengünstige und einfache Leistungsabwicklung dank der ZSR-Nr."; Eintrag vom 14. Mai 2003; s. auch www.bag.admin. ch/kv/projekte/d/a55_komplett_d.pdf, S. 5.).
4.3.2 Santésuisse als Branchenverband der Krankenversicherer führt in Luzern (Geschäftsstelle "Abteilung Zulassungen"; neu: "Ressort ZSR") das - im KVG selbst nicht vorgesehene - Zahlstellenregister (ZSR-Register). Auf Gesuch hin erteilt sie einem Leistungserbringer gegen einmalige Gebühr die sogenannte ZSR-Nummer (Zahlstellen-Registernummer), sofern er die nach Gesetz, Verordnung, Gerichts- und Verwaltungspraxis (einschliesslich der Empfehlungen und Weisungen der Aufsichtsbehörde) erforderlichen Voraussetzungen der Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung erfüllt und er zudem den gesetzlich vorgesehenen Beitritt zum (sachbezüglichen) Tarifvertrag (vgl. Art. 43 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 4 KVG) erklärt hat. Das Zahlstellen-Register mit entsprechender Nummern-Vergabe ist nach Darstellung der santésuisse "ein Angebot der Versicherer auf vertraglicher Basis", wobei der Vertrag zwischen santésuisse - deren Geschäftsstelle "Zulassungen", Luzern, entsprechende Gesuche entgegennimmt und behandelt - und dem jeweiligen Leistungserbringer besteht (www.santesuisse.ch/de/kli_showall.html; "Kostengünstige und einfache Leistungsabwicklung dank der ZSR-Nr.", Eintrag vom 14. Mai 2003]). Der Zweck der ZSR-Nummer liegt vor allem in der erleichterten Abrechnung zwischen Leistungserbringer und Versicherer. So darf der Versicherer grundsätzlich davon ausgehen, dass der über eine ZSR-Nummer verfügende Rechnungssteller die Voraussetzungen der Zulassung als Leistungserbringer zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung erfüllt. Das System der Zahlstellen-Registernummern entlastet damit den Versicherer von der aufwändigen Prüfung der Zulassungsvoraussetzungen im Einzelfall - sie wird in der Praxis nur noch bei Anhaltspunkten für Fehlerhaftigkeiten durchgeführt - und ermöglicht ihm aufgrund sofortiger Identifizierung des Leistungserbringers und dessen Bankadresse eine effiziente Abwicklung des Zahlungsverkehrs. Der Leistungserbringer seinerseits profitiert von rascher und kosteneinsparender Geschäftserledigung und hat vor allem den Vorteil, dass er dem jeweiligen Versicherer nicht in jedem Fall neu das Vorhandensein der für die Zulassung als Leistungserbringer zur obligatorischen Krankenpflegeversicherung notwendigen Ausbildung, Bewilligungen, etc. nachweisen muss. Angesichts der erheblichen administrativen Erleichterungen und damit verbundenen Kosteneinsparungen enthalten die meisten Tarifverträge Bestimmungen, wonach der Leistungserbringer seine ZSR-Nummer in den Rechnungen, Kostengutsprache-Gesuchen und Verordnungen) aufführen muss; die dem Vertrag beigetretenen Leistungserbringer sind mit andern Worten verpflichtet, eine ZSR-Nummer zu führen. Entsprechend verfügen denn auch praktisch alle Leistungserbringer (ca. 99 %) über eine ZSR-Nummer (www.santesuisse.ch/de/kli_showall.html, "Kostengünstige und einfache Leistungsabwicklung dank der ZSR-Nr."; Eintrag vom 14. Mai 2003; s. auch www.bag.admin. ch/kv/projekte/d/a55_komplett_d.pdf, S. 5.).
4.4 4.4.1 Nach dem Gesagten handelt es sich bei der Erteilung einer ZSR-Nummer durch santésuisse nicht um einen Zulassungsentscheid im Rechtssinne (vgl. auch Urteil vom 6. Oktober 2005 [K 119/04] Erw. 5); dieser bleibt formell- wie materiell-rechtlich letztlich den "Versicherern" als bundesrechtlich vorgesehenen Organen zur Durchführung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung vorbehalten, mithin den anerkannten Krankenkassen (Art. 11 lit. a in Verbindung mit <ref-law>) oder den privaten, dem Versicherungsaufsichtsgesetz (VAG) unterstehenden Versicherungseinrichtungen, welche die obligatorische Krankenpflegeversicherung berechtigterweise betreiben (Art. 13 in Verbindung mit <ref-law>). Den Status eines Versicherers im Sinne von <ref-law> besitzt santésuisse nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz nicht. Dies allein rechtfertigt es - in Anbetracht der rechtsprechungsgemäss weiten Umschreibung von "Streitigkeiten zwischen Versicherern und Leistungserbringern" (Erw. 4.1 hievor) - indessen nicht, die sachliche Zuständigkeit des kantonalen Schiedsgerichts (<ref-law>) in Streitigkeiten betreffend ZSR-Nummernvergabe zu verneinen.
4.4.2 Die Einrichtung eines Zahlstellenregisters ebenso wie die Befugnis der santésuisse zur Erteilung einer ZSR-Nummer gründet in einer vertraglichen Vereinbarung zwischen dem Kassenverband als Privatrechtssubjekt und seinen mehrheitlich ebenfalls privatrechtlich organisierten Mitgliedern im Sinne von <ref-law>. Daraus folgt nicht ohne Weiteres, dass der gegenüber den Leistungserbringern - hier: eine private Spitex-Organisation - wirksame Entscheid des Kassenverbandes über die Vergabe oder Verweigerung einer entsprechenden Registernummer selbst rein privatrechtlicher Natur ist, mithin keinen Bezug zum KVG aufweist, wie die Beschwerdegegnerin behauptet. Ob eine Rechtsbeziehung dem Privatrecht oder dem öffentlichen Recht zuzuordnen ist, beurteilt sich nicht allein danach, ob die Beteiligten als Privatrechtssubjekte konstituiert sind und als solche auftreten. Vielmehr werden in der Rechtsprechung - in Anbetracht dessen, dass der Unterscheidung zwischen privatem und öffentlichem Recht je nach Regelungsbedürfnissen und den im Einzelfall in Betracht fallenden Rechtsfolgen ganz verschiedene Funktionen zukommt (<ref-ruling> Erw. 1b) - mitunter verschiedene, einander nicht ausschliessende Abgrenzungskriterien herangezogen (vgl. <ref-ruling> Erw. 2a mit Hinweisen); zu nennen sind nebst der auch Subjektionstheorie genannten Subordinationstheorie, welche das Gewicht auf die Gleich- oder Unterordnung der Beteiligten bzw. die Ausübung von hoheitlichem Zwang legt, namentlich auch die Interessen- und Funktionstheorie, die danach unterscheiden, ob private oder öffentliche Interessen verfolgt bzw. öffentliche Aufgaben erfüllt werden (<ref-ruling> Erw. 2a mit Hinweisen; vgl. auch Ulrich Häfelin/Georg Müller, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Auflage, Zürich/Basel/Genf 2002, S. 52 ff., Rz 250 ff.).
Mit dem Auftrag zur Erteilung einer ZSR-Nummer (siehe oben) haben die Mitglieder des Kassenverbandes ihre gesetzliche Verpflichtung zur Prüfung der Voraussetzungen der Zulassung eines Leistungserbringers zur Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung aus praktischen Gründen weitestgehend an den Verband delegiert. Dieser beurteilt materiell-rechtlich eingehend sämtliche gesetzlichen Zulassungsvoraussetzungen, sodass mit der Nummernvergabe deren Erfüllung zumindest vermutet werden kann und die Kasse nur noch bei ersichtlichen Ungereimtheiten im Einzelfall eine eigene Zulassungsprüfung vornehmen muss. Santésuisse nimmt damit - wenn auch mangels gesetzlicher Ermächtigungsgrundlage (theoretisch) nicht abschliessend - eine den Versicherern kraft öffentlichen Rechts obliegende Pflicht wahr bzw. übt in der Sache eine öffentlich-rechtliche, spezifisch sozialversicherungsrechtliche Funktion aus. Zu berücksichtigen ist sodann, dass die ZSR-Nummer nur auf "Gesuch" hin "erteilt" wird, und ihre Verweigerung keine vertraglichen Elemente im Sinne privatautonomer Gestaltung aufweist, sondern vielmehr einen einseitigen, mit hoheitlichen Zügen behafteten Akt darstellt. Des Weitern wurzeln die materiell-rechtlichen Voraussetzungen zur Erteilung der ZSR-Nummer allesamt im öffentlichen Recht, konkret: im KVG. Schliesslich verfolgt die Nummernvergabe in erster Linie öffentliche Interessen, namentlich das Interesse sämtlicher Akteure im System der obligatorischen Krankenpflegeversicherung - der Versicherer als bundesrechtlich vorgesehene Durchführungsorgane ebenso wie der Versicherten und Leistungserbringer - an einer transparenten, effizienten und preisgünstigen Kostenabwicklung unter gleichzeitiger Wahrung der (zwingenden) öffentlich-rechtlichen Vorgaben. Vor diesem Hintergrund sprechen überwiegende Gründe dafür, die mittels Gesuch um eine ZSR-Nummer eingegangene Rechtsbeziehung zwischen einzelnen Leistungserbringern und santésuisse als öffentlich-rechtliches, im KVG fussendes Rechtsverhältnis einzustufen.
4.4.3 Der formal der santésuisse obliegende Entscheid über die ZSR-Nummernvergabe oder -verweigerung beeinflusst die Rechtsbeziehung zwischen Leistungserbringer und Versicherer sowohl tatsächlich wie rechtlich: Dem Leistungserbringer, dessen Gesuch um Zuteilung einer ZSR-Nummer abgelehnt wurde, bleibt es zwar theoretisch möglich, zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung tätig zu sein, zumal keine gesetzliche Pflicht zum Besitz einer ZSR-Nummer besteht. Er ist jedoch faktisch stark benachteiligt, indem er als Rechnungssteller im Einzelfall sämtliche für die Beurteilung der Zulassungsvoraussetzungen erforderlichen Unterlagen - verbunden mit einem mitunter erheblichen zeitlichen und administrativen Aufwand - beibringen muss und er im Übrigen mit einer erheblichen beruflichen und wirtschaftlichen Schlechterstellung zu rechnen hat. Selbst wenn aber der Leistungserbringer dem konkreten Versicherer fallspezifisch darzutun vermag, dass er die gesetzlichen Zulassungsvoraussetzungen erfüllt, kann er mit Letzterem nicht ohne Weiteres eine Rechtsbeziehung eingehen und zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung abrechnen. Denn hierzu ist erforderlich, dass er nebst der grundsätzlichen Zulassung zur Kassenpraxis mit dem Versicherer bzw. dessen Verband einen Tarifvertrag nach <ref-law> eingegangen ist, sich einem solchen angeschlossen hat oder einem behördlichen Ersatztarif nach Art. 47 oder 48 KVG unterstellt ist (vgl. Eugster, a.a.O., Rz 265). Der Leistungserbringer, welcher über keine ZSR-Nummer verfügt, kann nun aber der in den meisten Fällen bestehenden tarifvertraglichen Pflicht zur Rechnungsstellung mittels Angabe der ZSR-Nummer von vornherein nicht nachkommen, sodass ihm der Beitritt zu einem bestehenden Tarifvertrag praktisch verwehrt ist und es ihm bis zur Unterstellung unter einen für ihn geltenden Vertrags- oder Behördentarif (<ref-law>) an einer grundlegenden Voraussetzung fehlt, um in eine Rechtsbeziehung mit den Versicherern einzutreten.
4.5 Aus den vorangehenden Erwägungen erhellt, dass die Erteilung oder Verweigerung einer ZSR-Nummer - im Unterschied etwa zu der in RKUV 2001 Nr. KV 166 (Urteil vom 23. Januar 2001, K 111/00) beurteilten Konstellation - durchaus normative Wirkungen entfaltet, welche die besondere Stellung der Beschwerdeführerin als Leistungserbringerin gegenüber den Versicherern und ihre konkrete Tätigkeit im Rahmen des KVG betreffen. Die sachliche Zuständigkeit des kantonalen Schiedsgerichts zur Beurteilung von Streitigkeiten über den diesbezüglichen Entscheid der santésuisse ist daher zu bejahen. Da der Leistungserbringer im Übrigen an der Zuteilung einer ZSR-Nummer als solcher ein eminentes Interesse hat und er dann, wenn ein Versicherer im Einzelfall eine bestimmte Kostenvergütung unter Hinweis auf die fehlenden Zulassungsvoraussetzungen verneint, zwar gegen diesen auf Zahlung der konkreten Leistung (vgl. Erw. 4.3.1 hievor), nicht aber auf Erteilung einer ZSR-Nummer durch santésuisse klagen kann, ist auch das erforderliche Rechtsschutzinteresse an der Prüfung der Rechtmässigkeit des Entscheids des Kassenverbandes zu bejahen.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Dem Prozessausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin auferlegt (Art. 135 in Verbindung mit 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der vorinstanzliche Entscheid vom 4. Oktober 2004 aufgehoben, und es wird die Sache an das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Zürich zurückgewiesen, damit es über die Klage vom 2. Juni 2004 materiell entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 500.- wird der Beschwerdeführerin zurückerstattet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Zürich, der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 27. März 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der I. Kammer: Die Gerichtsschreiberin: