Sachverhalt:
A. Am 2. August 2008 ereignete sich auf der Verzweigung Zurlindenstrasse / Manessestrasse in Zürich eine Kollision zwischen dem Personenwagen von X._ und dem Motorroller von A._. X._ fuhr von der Zurlindenstrasse in die Manessestrasse. Dabei kollidierte er mit dem auf der Manessestrasse stadtauswärts fahrenden Motorroller. A._ sowie seine Mitfahrerin zogen sich verschiedene Verletzungen zu und stellten Strafantrag wegen fahrlässiger Körperverletzung.
B. Die Einzelrichterin in Strafsachen des Bezirkes Zürich sprach X._ mit Urteil vom 21. September 2009 vom Vorwurf der fahrlässigen Körperverletzung frei. Die von der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl dagegen erhobene Berufung hiess das Obergericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 25. Februar 2010 gut. Es verurteilte X._ wegen fahrlässiger Körperverletzung zu einer bedingten Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu Fr. 30.-- bei einer Probezeit von drei Jahren sowie zu einer Busse in der Höhe von Fr. 500.--. Zudem wies es sein Gesuch um Bestellung eines amtlichen Verteidigers ab.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt im Wesentlichen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der fahrlässigen Körperverletzung freizusprechen. Des Weiteren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und um amtliche Verteidigung.
D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine willkürliche Beweiswürdigung (<ref-law>) und die Verletzung der Unschuldsvermutung (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) vor.
1.2 Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 39).
Ebenfalls unter dem Gesichtspunkt der Willkür prüft das Bundesgericht, inwiefern das Sachgericht den Grundsatz "in dubio pro reo" als Beweiswürdigungsregel verletzt hat. Diese aus der Unschuldsvermutung (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) abgeleitete Maxime wurde wiederholt dargelegt, worauf zu verweisen ist (<ref-ruling> E. 2a S. 40 f. mit Hinweisen).
Wird die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) gerügt, gelten qualifizierte Anforderungen an die Begründung. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur, wenn eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und substanziiert begründet worden ist. Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234; je mit Hinweisen).
1.3 Unbestritten ist, dass der Verkehr an der Kreuzung Zurlindenstrasse / Manessestrasse mit Lichtsignalanlagen geregelt wird. Ebenfalls unbestritten ist, dass die vom Beschwerdeführer und vom Geschädigten A._ benutzten Fahrstreifen folgende Phasenabläufe aufwiesen: Der Geschädigte hatte nach Ende einer Grünphase während drei Sekunden ein oranges Licht. Darauf folgte auf beiden Spuren eine Rotphase von zwei Sekunden, worauf das Lichtsignal auf dem Fahrstreifen des Beschwerdeführers auf Rot+Gelb und nach weiteren zwei Sekunden auf Grün schaltete. Zwischen dem Ende der Grünphase des Geschädigten bis zum Beginn des Grünlichts des Beschwerdeführers verstrichen somit sieben Sekunden.
1.4 Die Vorinstanz legt dem Beschwerdeführer zur Last, das Rotlicht missachtet und deshalb mit dem Motorroller des Geschädigten kollidiert zu sein. Sie würdigt verschiedene Beweismittel, wie die Aussagen von A._, seiner Mitfahrerin und des Zeugen B._. Sie beurteilt die Aussagen des Geschädigten als in sich geschlossen, frei von Widersprüchen und konstant sowie den von ihm geschilderten Ablauf als nachvollziehbar und logisch. Ebenso schätzt die Vorinstanz die Schilderungen des Zeugen, der sich mit einem Personenwagen hinter dem Roller befand, als glaubhaft ein. Danach habe der Geschädigte bei "tief Orange bzw. Rot-Orange" und somit im Grenzbereich zwischen Orange und Rot die Ampel passiert, und der Beschwerdeführer sei sehr schnell in die Kreuzung gefahren. Gleichzeitig lässt die Vorinstanz die Ausführungen des Beschwerdeführers in ihre Beweiswürdigung einfliessen. Sie zeigt verschiedene Widersprüche in seinen Schilderungen auf (wie beispielsweise, dass sein Fahrzeug bei Rot stillgestanden habe respektive stets langsam gerollt sei) und schätzt seine Darstellung als unglaubhaft ein (angefochtener Entscheid S. 11 ff.).
Gestützt auf eine Fotodokumentation sowie auf ein sogenanntes "geographisches Informationssystem des Kantons Zürich" nimmt die Vorinstanz an, der Beschwerdeführer habe vom Haltebalken bis zur Kollisionsstelle rund 16 m und der Geschädigte rund 16.5 m zurückgelegt. Ausgehend von der Hypothese, wonach der Beschwerdeführer erst bei Grünlicht losgefahren sei, trifft die Vorinstanz betreffend die durchschnittlichen Geschwindigkeiten des Beschwerdeführers (10 km/h respektive 40 km/h) und des Geschädigten (50 km/h respektive 30 km/h) insgesamt vier verschiedene Annahmen. Sie zeigt auf, dass unter Berücksichtigung der unbestrittenen Phasen der Lichtsignalanlagen der Geschädigte die Ampel mindestens 3.4 Sekunden und maximal 8.5 Sekunden nach dem Wechsel auf Rot hätte überfahren müssen, damit es zur Kollision gekommen wäre. Dies stehe im Widerspruch zum Beweisergebnis, wonach der Motorroller das Lichtsignal eine Sekunde nach dem Wechsel zur Rotphase (und nicht später) passiert habe. Gestützt darauf verwirft die Vorinstanz die ihren Berechnungen zu Grunde liegende Hypothese und gelangt zur Überzeugung, dass der Beschwerdeführer das Rotlicht missachtet habe (angefochtener Entscheid S. 23 ff.).
Gestützt auf eine Fotodokumentation sowie auf ein sogenanntes "geographisches Informationssystem des Kantons Zürich" nimmt die Vorinstanz an, der Beschwerdeführer habe vom Haltebalken bis zur Kollisionsstelle rund 16 m und der Geschädigte rund 16.5 m zurückgelegt. Ausgehend von der Hypothese, wonach der Beschwerdeführer erst bei Grünlicht losgefahren sei, trifft die Vorinstanz betreffend die durchschnittlichen Geschwindigkeiten des Beschwerdeführers (10 km/h respektive 40 km/h) und des Geschädigten (50 km/h respektive 30 km/h) insgesamt vier verschiedene Annahmen. Sie zeigt auf, dass unter Berücksichtigung der unbestrittenen Phasen der Lichtsignalanlagen der Geschädigte die Ampel mindestens 3.4 Sekunden und maximal 8.5 Sekunden nach dem Wechsel auf Rot hätte überfahren müssen, damit es zur Kollision gekommen wäre. Dies stehe im Widerspruch zum Beweisergebnis, wonach der Motorroller das Lichtsignal eine Sekunde nach dem Wechsel zur Rotphase (und nicht später) passiert habe. Gestützt darauf verwirft die Vorinstanz die ihren Berechnungen zu Grunde liegende Hypothese und gelangt zur Überzeugung, dass der Beschwerdeführer das Rotlicht missachtet habe (angefochtener Entscheid S. 23 ff.).
1.5 1.5.1 Der Unfallhergang wurde nicht gutachterlich rekonstruiert. Insbesondere liegen keine genauen Angaben zu den Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Bremsverzögerungen der Fahrzeuge vor. Auch trifft es mit dem Beschwerdeführer zu, dass die Unfallstelle nicht vermessen wurde. Die Vorinstanz zieht deshalb verschiedene Schätzungen und Varianten herbei. Dieser Umstand allein lässt ihre Feststellungen hingegen nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen.
Was der Beschwerdeführer betreffend die vorinstanzlichen Berechnungen vorbringt, geht teilweise an der Sache vorbei und überzeugt nicht. Er macht geltend, die von der Vorinstanz angenommene Strecke, welche er ab dem Lichtsignal bis zum Kollisionspunkt zurückgelegt habe (16 m), sei offensichtlich zu lang. Auch seien die Geschwindigkeiten der Fahrzeuge (40 km/h des Personenwagens respektive 50 km/h des Motorrollers) klarerweise zu hoch (Beschwerde S. 9). Mit diesen Ausführungen und einer Karte, worauf der Beschwerdeführer beide Haltebalken sowie den Unfallort skizziert, vermag er keine Willkür darzutun. Insbesondere verkennt er, dass die vorinstanzlichen Berechnungen auch anhand tieferer Geschwindigkeiten durchgeführt werden. Im Übrigen wirkte sich eine zu hohe Geschwindigkeit des Personenwagens ausschliesslich zu seinen Gunsten aus. Ebenso wenig überzeugt, was der Beschwerdeführer betreffend seine von der Vorinstanz angenommene minimale Geschwindigkeit (10 km/h) rügt. Er bringt vor, die effektive Beschleunigung seines Fahrzeugs betrage 11.4 Sekunden auf 100 km/h, und er lege in einer Sekunde 8.77 m zurück. Diese Ausführungen sind augenscheinlich unzutreffend. Aus der vom Beschwerdeführer genannten (minimalen) Zeit, um auf 100 km/h zu beschleunigen (dabei beträgt die von ihm behauptete Beschleunigung 2.43 m/s2), kann offensichtlich nicht abgeleitet werden, er lege pro Sekunde 8.77 m zurück (was einer Geschwindigkeit von 31.57 km/h entspräche).
Der Beschwerdeführer stellt den vorinstanzlichen Berechnungen einzig seine davon abweichende Auffassung gegenüber, indem er anhand einer Gleichung respektive verschiedener Berechnungen aufzuzeigen versucht, dass er die Ampel bei Grün überfahren habe. Die Beschwerde genügt aus verschiedenen Gründen den Anforderungen von <ref-law> nicht. Zum einen setzt sich der Beschwerdeführer mit den Kalkulationen im angefochtenen Entscheid nicht rechtsgenügend auseinander. Zum andern begnügt er sich damit, auf insgesamt 64 eigene Berechnungen zu verweisen. Es ist nicht Sache des Gerichts, über die Aussagen von Tabellen zu mutmassen, welche der Beschwerdeführer zu einem grossen Teil nicht erläutert. Zu den vorgebrachten Berechnungen und Tabellen ist der Vollständigkeit wegen dennoch Folgendes anzumerken: Die Berechnungen basieren auf Angaben in Kilometern pro Stunde, Metern und Sekunden, wobei die Einheiten nicht bezeichnet werden und dem Gericht überlassen wird, diese nachzuvollziehen. Nicht verständlich ist, weshalb der Beschwerdeführer beim Motorroller auf den Zeitpunkt abstellt, in dem das Lichtsignal auf seiner Fahrspur von Grün auf Orange umschaltete. Der Beschwerdeführer verkennt, dass er ab diesem Moment noch während sieben (und nicht vier) Sekunden eine Rotphase hatte. Seine Schlussfolgerung ist deshalb bereits aus diesem Grund unzutreffend. Zudem nimmt der Beschwerdeführer an, der Geschädigte hätte bis maximal 27.8 Sekunden benötigt, um sein Motorrad zum Stillstand zu bringen. Diese Berechnungen sind wenig plausibel. Sie basieren auf der Annahme, die Bremsverzögerung des Motorrollers betrage lediglich -0.5 m/s2. Weshalb diese so klein sein sollte, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist nicht ersichtlich.
1.5.2 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Vorinstanz habe bei der Beurteilung seiner Glaubwürdigkeit und der Glaubhaftigkeit seiner Aussagen im Vergleich zum Geschädigten ungleiche Massstäbe angewendet (Beschwerde S. 14 ff.), legt er einzig dar, wie die entsprechenden Aussagen seiner Auffassung nach richtigerweise zu würdigen gewesen wären. Dieses appellatorische Vorbringen vermag keine Willkür darzutun. Der Beschwerdeführer bringt beispielsweise vor, der Geschädigte habe behauptet, nicht bei Rot gefahren zu sein. Demgegenüber habe sich der Geschädigte laut Zeuge B._ noch am Unfallort erkundigt, ob er die Ampel bei Orange oder Rot überfahren habe. Dieser Widerspruch sei nicht in die Beweiswürdigung eingeflossen. Die Vorinstanz stellt gestützt auf die Aussagen des Geschädigten und des Zeugen dazu fest, dass das Lichtsignal bereits während einer Sekunde Rot gezeigt habe, als der Geschädigte die Ampel überfahren habe. Der Beschwerdeführer vermag insgesamt keine Willkür respektive keine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" darzutun (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 40 f.; je mit Hinweisen). Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet, soweit sie den Begründungsanforderungen von <ref-law> überhaupt zu genügen vermag.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend (<ref-law>). Die Vorinstanz habe sich mit verschiedenen vorgetragenen Standpunkten nicht auseinandergesetzt. Nicht beantwortet habe sie beispielsweise die Frage, ob sich der Unfall auch ereignet hätte, wenn der Geschädigte die Ampel bei Rot und (sinngemäss) er bei Grün überfahren hätten. Er habe zudem beantragt, die Diagrammscheibe des Fahrtenschreibers auszuwerten. Dies habe die Vorinstanz in Verletzung seiner Mitwirkungsrechte abgelehnt (vgl. Beschwerde S. 8, 17 f. und 20).
2.2 Die Begründungspflicht ist nicht verletzt. Der in <ref-law> gewährleistete Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörden die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hören, prüfen und in der Entscheidfindung berücksichtigen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677 mit Hinweisen). Dies ist ohne Weiteres der Fall, soweit die Vorinstanz aufzeigt, dass es bei Grünlicht des Beschwerdeführers nur zur Kollision gekommen wäre, wenn der Geschädigte mindestens 3.4 Sekunden nach Beginn der Rotphase das Lichtsignal überfahren hätte. Zudem legt die Vorinstanz entgegen dem Dafürhalten des Beschwerdeführers dar, weshalb die ihm gestellten Fragen verständlich gewesen seien. Ebenso wenig verletzt die Vorinstanz das rechtliche Gehör, soweit sie die Schilderung des Beschwerdeführers (grünes Licht auf der Zurlindenstrasse und gleichzeitig fahrende Autos auf der Manessestrasse) als unglaubhaft würdigt. Die Behörde darf sich in ihrem Entscheid auf die wesentlichen Gesichtspunkte und Leitlinien beschränken und braucht sich nicht mit jedem sachverhaltlichen oder rechtlichen Einwand auseinanderzusetzen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677 mit Hinweisen). Die vorinstanzliche Begründung ermöglicht den Prozessparteien respektive der Rechtsmittelinstanz, sich über die Tragweite des Entscheids ein Bild zu machen und diesen gegebenenfalls sachgerecht anzufechten. Dies war dem Beschwerdeführer denn auch möglich, und Gegenteiliges wird von ihm auch nicht vorgebracht.
Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs rügt, da die Vorinstanz die Auswertung der Diagrammscheibe verweigert habe, ist auf die Rüge nicht einzutreten. Die Vorinstanz legt eingehend und überzeugend dar, weshalb sie auf eine entsprechende Beweisabnahme verzichtet (angefochtener Entscheid S. 21 ff.). Der Beschwerdeführer setzt sich damit mit keinem Wort auseinander. Die Beschwerde genügt den qualifizierten Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht.
3. Der Beschwerdeführer macht sinngemäss geltend, die Vorinstanz hätte ihm gestützt auf § 11 Abs. 2 Ziff. 5 des Gesetzes [des Kantons Zürich] vom 4. Mai 1919 betreffend den Strafprozess (StPO; LS 321) einen amtlichen Verteidiger beigeben müssen. Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts behauptet er nicht, und mit den vorinstanzlichen Erwägungen setzt er sich nicht auseinander (angefochtener Entscheid S. 6 ff.). Seine Rüge ist nicht genügend begründet im Sinne von <ref-law>, weshalb sie nicht zu hören ist.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>). Er stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verteidigung. Das Bundesgerichtsgesetz sieht in <ref-law> die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung vor. Nach Abs. 2 dieser Bestimmung bestellt das Bundesgericht der (bedürftigen) Partei einen Anwalt oder eine Anwältin, wenn dies zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist. Der Antrag, es sei dem Beschwerdeführer eine amtliche Verteidigung zu bestellen, ist deshalb sinngemäss als Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung entgegenzunehmen. Indessen ist das Gesuch abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war. Seinen angespannten finanziellen Verhältnissen ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, und dem Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich, Abteilung Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Faga