Sachverhalt:
A. Das Bezirksgericht schied mit Urteil vom ... 1986 die Ehe von H._ und W._ und genehmigte eine Vereinbarung über scheidungsrechtliche Nebenfolgen, in welcher sich H._ (geb. 1943) unter anderem verpflichtete, W._ (geb. 1943) nach ihrem Eintritt in das zu Leistungen der Alters- und Hinterlassenenversicherung berechtigende Lebensjahr (abhängig von seinem Nettoeinkommen) lebenslänglich eine an die Teuerung anzupassende monatliche Unterhaltsersatzrente von mindestens Fr. 2'400.- zu bezahlen, dies abzüglich den Betrag einer künftigen AHV-Rente und vorbehältlich allfälliger weitergehender Herabsetzungsansprüche. Mit Vereinbarung vom 6./17. Oktober 2001 passten die geschiedenen Eheleute den Unterhaltsbeitrag mit Wirkung ab Oktober 2001 auf - wiederum um den AHV-Rentenbetrag sowie allfällige weitergehende Herabsetzungsansprüche zu reduzierende - Fr. 4'000.- monatlich an. Am 2./5. Juni 2008 vereinbarten die geschiedenen Eheleute, dass H._ ab Juli 2008 bis zur Aufgabe seiner Erwerbstätigkeit, längstens aber bis zum 1. Juni 2013 einen (unabänderlichen und nicht indexierten) Unterhaltsbeitrag von noch Fr. 500.- monatlich leiste. Ausserdem verpflichtete sich H._, bis zum 10. August 2008 einen Alimentenrückstand von Fr. 25'000.- zu begleichen.
Am 2. April 2008 meldete sich W._ zum Bezug von Ergänzungsleistungen zur Altersrente an. Die Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Gemeinde X._ rechnete die gerichtlich festgesetzte, an die Teuerung angepasste und um die AHV-Rente der W._ reduzierte Unterhaltsrente in der Höhe von jährlich Fr. 20'004.- als Einkommen (wovon den vom geschiedenen Ehemann nicht bezahlten Teil als Verzichtseinkommen) an und lehnte den mit Wirkung ab April 2008 geltend gemachten Anspruch ab; die anrechenbaren Einnahmen überstiegen die anerkannten Ausgaben um jährlich Fr. 9'547.- (mit Einspracheentscheid vom 6. August 2008 bestätigte Verfügung vom 17. Juni 2008).
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen eingereichte Beschwerde ab (Entscheid vom 26. Februar 2010).
C. W._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, es seien ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, dem Grundsatz nach Ergänzungsleistungen zuzuerkennen; die Sache sei zur Festsetzung der Leistung an die Verwaltung oder an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) zu gewähren.
Die Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Gemeinde X._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen über die Berechnung der jährlichen Ergänzungsleistung (Art. 9 Abs. 1 ELG) und über die Anrechenbarkeit von familienrechtlichen Unterhaltsbeiträgen (Art. 11 Abs. 1 lit. h ELG) sowie von Einnahmen und Vermögenswerten, auf die verzichtet worden ist (Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG), zutreffend dargelegt. Darauf kann verwiesen werden.
1.2 Strittig und zu prüfen ist, ob die aufgrund der am 2./5. Juni 2008 abgeschlossenen Vereinbarung reduzierten, auf Scheidungsurteil und früherer Parteivereinbarung beruhenden Unterhaltsbeiträge des geschiedenen Ehemannes bei der Berechnung der Ergänzungsleistung zu berücksichtigen sind.
2. Streitgegenstand bildet der Anspruch auf Ergänzungsleistungen von April 2008 (Datum der Gesuchseinreichung; Art. 12 Abs. 1 ELG) bis zum Abschluss des Verwaltungsverfahrens (Einspracheentscheid vom 6. August 2008; <ref-ruling> E. 2.1 S. 243 mit Hinweis). In einer Noveneingabe hat die Beschwerdeführerin dem kantonalen Gericht am 22. Oktober 2009 mitgeteilt, ihr geschiedener Ehemann werde ab Oktober 2009 keine Unterhaltsbeiträge mehr bezahlen, da er ab September 2009 zufolge einer Reduktion seines Arbeitspensums nur noch Fr. 1'400.- brutto verdiene. Die Vorinstanz ist darauf mit Recht nicht eingegangen, da diese Tatsachenänderung den zeitlich massgebenden Sachverhalt nicht mehr betrifft.
3. 3.1 Zweck der Ergänzungsleistungen ist eine angemessene Deckung des Existenzbedarfs. Bedürftigen Rentnern der Alters- und Hinterlassenen- sowie der Invalidenversicherung soll ein regelmässiges Mindesteinkommen gesichert werden. Die Einkommensgrenzen haben dabei die doppelte Funktion einer Bedarfslimite und eines garantierten Mindesteinkommens. Deshalb sind bei der Anspruchsberechnung nur tatsächlich vereinnahmte Einkünfte und vorhandene Vermögenswerte zu berücksichtigen, über die der Leistungsansprecher ungeschmälert verfügen kann. Dieser Grundsatz gilt nicht, wenn die versicherte Person ohne rechtliche Verpflichtung und ohne adäquate Gegenleistung auf Einkünfte oder Vermögen verzichtet hat, wenn sie einen Rechtsanspruch auf bestimmte Einkünfte und Vermögenswerte hat, davon aber faktisch nicht Gebrauch macht oder ihre Rechte nicht durchsetzt, oder wenn sie aus von ihr zu verantwortenden Gründen von der Ausübung einer möglichen und zumutbaren Erwerbstätigkeit absieht (Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG; zum Ganzen: in <ref-ruling> nicht publizierte E. 1b [Urteil P 14/94 vom 8. Juli 1994] mit Hinweisen).
3.2 Die geschiedene Ehefrau hat sich nicht die tatsächlich geleisteten, sondern die vereinbarten oder gerichtlich zugesprochenen Unterhaltsbeiträge des früheren Ehemannes anrechnen zu lassen, solange deren objektive Uneinbringlichkeit nicht erstellt ist. Uneinbringlichkeit der geschuldeten Unterhaltsbeiträge kann in der Regel erst angenommen werden, wenn sämtliche rechtlichen Möglichkeiten ausgeschöpft sind (ZAK 1988 S. 255 E. 2b, P 21/87). Von dieser Regel kann ausnahmsweise abgewichen und Uneinbringlichkeit der Unterhaltsbeiträge auch ohne vorgängiges Beschreiten des Rechtsweges angenommen werden, wenn klar ausgewiesen ist, dass der Unterhaltspflichtige nicht in der Lage ist, seinen Zahlungsverpflichtungen nachzukommen (ZAK 1992 S. 255 E. 2 und 3, P 62/91). Dieser Nachweis kann insbesondere mittels amtlicher Bescheinigungen über die Einkommens- und Vermögensverhältnisse des Unterhaltspflichtigen (beispielsweise der Steuerveranlagungsbehörde, des Betreibungsamtes oder des Sozialdienstes; vgl. ZAK 1992 S. 255 E. 2b) erbracht werden. Ist aufgrund solcher Beweismittel erstellt, dass die der unterhaltsberechtigten Person rechtlich zustehenden Beiträge uneinbringlich sind, kann von ihr nicht verlangt werden, gegen den geschiedenen Partner die Betreibung einzuleiten oder einen Zivilprozess anzustrengen, wenn dies lediglich zu einem unnötigen Leerlauf führte und an der Uneinbringlichkeit der Forderung mit grösster Wahrscheinlichkeit nichts änderte (<ref-ruling> E. 2 S. 443; vgl. auch SVR 2009 EL Nr. 2 S. 5 E. 5, P 40/06, sowie Pra 1998 Nr. 12 S. 72 E. 4c, P 46/95).
4. 4.1 Der unbestrittene Umstand, dass keine amtlichen Dokumente über die Uneinbringlichkeit der Unterhaltsbeiträge vorliegen, schadet der Beschwerdeführerin nicht per se. Der Nachweis der Uneinbringlichkeit (bei Fehlen rechtlicher Schritte) kann nach der zitierten Rechtsprechung insbesondere mittels amtlicher Bescheinigungen erbracht werden (<ref-ruling> E. 2 S. 443); ein Nachweis auf anderem Wege ist damit nicht ausgeschlossen. Die Nachweisproblematik sowie die Frage, ob eine Verfolgung der Unterhaltsansprüche auf dem Rechtsweg zumutbar sei, spielen allerdings dann keine Rolle, sofern nach Lage der Akten feststeht, dass der Pflichtige in der Lage ist, die Unterhaltsbeiträge zu bezahlen (dazu unten E. 5).
4.2 In der Beschwerde wird die nachvollziehbare Auffassung vertreten, dass ein Anwalt für seine Klientin mit einem unterhaltsrechtlichen Vergleich vielfach ein faktisch besseres Ergebnis erreicht als dies auf dem Klage- und Betreibungsweg der Fall wäre. Dies ändert indessen nichts daran, dass solche Überlegungen - mit Blick auf die Gefahr missbräuchlicher Inanspruchnahme von Ergänzungsleistungen - nur mit grosser Zurückhaltung berücksichtigt werden dürfen. Es gilt zu verhindern, dass die geschiedenen Ehegatten auf dem Wege einer gütlichen Einigung zu Gunsten des Unterhaltsschuldners Unterhaltszahlungen reduzieren mit dem Ziel, den Ausfall beim Unterhaltsgläubiger durch Ergänzungsleistungen kompensieren zu lassen. Der Einwand der Beschwerdeführerin, die Rechtsprechung über die Anrechnung von Verzichtseinkommen führe zu einer erheblichen Erschwerung der privatrechtlich zulässigen aussergerichtlichen Anpassung von Unterhaltsbeiträgen, mag zutreffen. Der Grundsatz der freien Gestaltbarkeit privater Rechtsbeziehungen im Rahmen der Zivilrechtsordnung vermag die Geltung der in zwingendem Recht wurzelnden EL-rechtlichen Anspruchsvoraussetzungen, hier der subsidiären Natur der Leistung, indessen nicht zu beeinflussen.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, im Vorfeld der die Unterhaltsbeiträge herabsetzenden Vereinbarung vom 2./5. Juni 2008 sei absehbar gewesen, dass eine Abänderungsklage auf Aufhebung der Unterhaltsverpflichtung angesichts der Einkommens- und Vermögensverhältnisse des Schuldners gutgeheissen würde. Unter diesen Umständen habe die Vereinbarung von Juni 2008 als grosses Zugeständnis des geschiedenen Ehemanns gewertet werden müssen. Unterhaltsschuldner könnten, insbesondere bei fehlendem Vermögen, über das Erreichen des AHV-Alters hinaus grundsätzlich nicht zur weiteren Leistung von Unterhaltsbeiträgen verpflichtet werden. Das Pensionierungsargument wird jedoch frühestens mit Beginn des AHV-Rentenanspruchs des geschiedenen Ehemanns im Juli 2008 relevant. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern eine Abänderungsklage des Unterhaltsverpflichteten bereits vor diesem Zeitpunkt hätte erfolgreich sein können. Insbesondere hätte er sich damals im Falle rechtlicher Schritte gegen ihn seiner Verpflichtung (noch) nicht mit einer Aufgabe der Erwerbstätigkeit entschlagen können. Geht nämlich eine Einkommensverminderung auf eine freiwillige und einseitige Entscheidung des Unterhaltspflichtigen zurück, so wird im Zusammenhang mit einer Abänderungsklage von der bisherigen höheren Leistungsfähigkeit ausgegangen, es sei denn, die getroffenen Dispositionen könnten nicht mehr rückgängig gemacht werden (Urteil 5C.163/2001 vom 18. Oktober 2001 E. 2c).
5.2 Der geschiedene Ehemann hat seine Erwerbstätigkeit über das Pensionierungsalter hinaus weitergeführt; erst auf September 2009 hat er sie erheblich reduziert. Nach betreibungsrechtlichen Kriterien hätten die Einkommensverhältnisse des geschiedenen Ehemannes - im für die Verzichtsfrage massgebenden Zeitpunkt der Herabsetzungsvereinbarung von Juni 2008 - die Bezahlung der Unterhaltsbeiträge zugelassen. Die bei den Akten liegenden Steuerunterlagen weisen für die Jahre 2005 und 2006 ein Jahreserwerbseinkommen von jeweils über Hunderttausend Franken aus. Der Umstand, dass die im Juni 2008 abgeschlossene Vereinbarung eine Bezahlung des Alimentenrückstandes im Umfang von Fr. 25'000.- "bis spätestens am 10. August 2008" vorsieht, legt nahe, dass sich die Einkommens- und Vermögenssituation des Unterhaltsschuldners bis dahin jedenfalls noch nicht dramatisch verschlechtert hat. Eine gegenüber der Arbeitgeberin bestehende Schuld von gut Fr. 90'000.- (Stand Ende 2006) ändert daran nichts, weil die monatlichen Abzahlungsbetreffnisse von etwa 700 Franken das betreibungsrechtliche Existenzminimum kaum tangieren. Schuldrückzahlungen an den Arbeitgeber stehen in der betreibungsrechtlichen Rangordnung dem familienrechtlichen Unterhaltsanspruch ohnehin nach (vgl. <ref-law>).
5.3 Nach dem Gesagten bestanden im Zeitpunkt der für die Beurteilung der Verzichtshandlung im Sinne von Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG massgebenden Vereinbarung von Juni 2008 nicht genügend Anhaltspunkte zur Annahme, die der Beschwerdeführerin aufgrund von Scheidungsurteil und früherer Vereinbarung von Oktober 2001 zustehenden höheren Unterhaltsbeiträge seien uneinbringlich, rechtliche Schritte somit aussichtslos. Der Verzicht wirkte sich sodann mit Bezug auf die in den streitigen Zeitraum (oben E. 2) fallende Anspruchsperiode aus, zumal der geschiedene Ehemann nach Eintritt der AHV-Rentenberechtigung vorerst weiter erwerbstätig war. Die vorinstanzliche Annahme, es sei Verzichtseinkommen gegeben, ist mithin jedenfalls im Ergebnis richtig.
Die vorinstanzlichen Akten lassen eine Beurteilung der entscheidrelevanten Fragen zu. Die eventualiter beantragte Einholung ergänzender Beweise ist daher nicht erforderlich.
6. Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Ihr kann jedoch die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung gewährt werden (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Dr. Oliver Frei wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'973.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Juni 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub