Sachverhalt:
A. Im Mai 2004 meldete sich M._ (geb. 1950) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 26. April 2007 sprach ihm die IV-Stelle Uri mit Wirkung ab 1. Juli 2004 eine halbe Rente der Invalidenversicherung (Invaliditätsgrad: 51 %) zu.
B. Die von M._ hiergegen mit dem Antrag auf Aufhebung der Verfügung und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz und dem Eventualantrag auf Zusprechung einer ganzen Invalidenrente erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Uri mit Entscheid vom 13. Mai 2008 ab, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung [armenrechtliche Entschädigung von Fr. 2500.-]).
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Es sei ihm eine höhere Rente zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zwecks weiterer medizinischer Abklärungen und zu neuem Entscheid (einschliesslich Neufestlegung der armenrechtlichen Entschädigung) an die Vorinstanz, eventualiter die IV-Stelle, zurückzuweisen. Des Weitern beanstandet er die Höhe der dem unentgeltlichen Rechtsbeistand zugesprochenen Entschädigung.
Das im letztinstanzlichen Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) wurde mit Verfügung vom 10. September 2008 wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens abgewiesen.
D. Mit Eingabe vom 25. September 2008 lässt M._ beantragen, die Bundesrichter U. Meyer, Lustenberger und Seiler sowie die Gerichtsschreiberin Keel Baumann hätten im vorliegenden Fall in Ausstand zu treten.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Ferner darf das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen gemäss <ref-law> nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt.
2. Soweit der Beschwerdeführer die Höhe der dem unentgeltlichen Rechtsbeistand im kantonalen Verfahren zugesprochenen Entschädigung beanstandet, kann auf das Rechtsmittel bereits mangels Beschwerdelegitimation nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2 S. 363 f.).
3. 3.1 Zur Begründung seines Ausstandsbegehrens führt der Versicherte an, die an der Verfügung vom 10. September 2008 mitwirkenden Gerichtspersonen könnten über die Beschwerde nicht mehr unbefangen befinden, weil sie sich in ihrem Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege festgelegt hätten. Er beruft sich damit sinngemäss auf den Ausstandsgrund des <ref-law>. Nach feststehender, kürzlich mit ausführlicher Begründung bestätigter Rechtsprechung erscheint eine Gerichtsperson indessen nicht schon deswegen als voreingenommen, weil sie an einem ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abweisenden Entscheid mitgewirkt hat, sofern nicht weitere konkrete für eine Befangenheit sprechende Gesichtspunkte hinzukommen (<ref-ruling> E. 3.7 S. 120 ff.). Derartige Gründe werden vom Beschwerdeführer nicht dargetan.
3.2 Nach <ref-law> entscheidet über ein Ausstandsbegehren die Abteilung unter Ausschluss der betroffenen Gerichtspersonen. Wird jedoch ein Ausstand ausschliesslich mit Gründen verlangt, die von vornherein untauglich sind, so ist ein solches Begehren unzulässig und es ist darauf nicht einzutreten. Bei diesem Nichteintretensentscheid dürfen auch die abgelehnten Gerichtspersonen mitwirken (Urteil 2F_2/2007 vom 25. April 2007, E. 3.2, unter Fortführung der unter dem OG geltenden Rechtslage, vgl. <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1c S. 304). Dieses Vorgehen kommt auch hier zum Zuge, da das Ausstandsbegehren ausschliesslich mit von vornherein untauglichen Argumenten begründet wird (E. 3.1).
4. Zu prüfen ist die Höhe der dem Beschwerdeführer zustehenden Invalidenrente, wobei einzig seine Restarbeitsfähigkeit umstritten ist.
4.1 Im angefochtenen Entscheid werden die Bestimmungen über den Umfang des Invalidenrentenanspruchs (<ref-law>) sowie die Rechtsprechung zur Bedeutung, zum Beweiswert und zur Würdigung der ärztlichen Berichte und Gutachten (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 352 ff., 122 V 157 E. 1b und 1c S. 158 ff., je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1 S. 400) zutreffend wiedergegeben. Darauf kann verwiesen werden.
4.2 Es steht fest und ist unbestritten, dass dem Beschwerdeführer die bisherige Arbeit als Monteur nicht mehr zugemutet werden kann. Während er sich selber in jeder Tätigkeit für vollständig arbeitsunfähig hält, gelangte die Vorinstanz nach eingehender Würdigung der medizinischen Akten zum Ergebnis, dass auf das Gutachten des Instituts P._ vom 17. August 2006 abgestellt werden könne, wonach der Beschwerdeführer bei chronischen Rückenschmerzen seit Juli 2003 in einer adaptierten Tätigkeit, d.h. ohne Rückenbelastung, unter Vermeidung monotoner repetitiver Tätigkeit bzw. unter Wechselbelastung und unter Berücksichtigung der Gelenksprobleme voll arbeitsfähig sei bei einer zeitweisen Minderung der Leistungsfähigkeit um 20 %.
Diese Beurteilung ist im Rahmen der gesetzlichen Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts (E. 1) nicht zu beanstanden. Die Einwendungen des Beschwerdeführers beschränken sich auf eine Wiederholung der im kantonalen Verfahren vorgetragenen und im angefochtenen Entscheid überzeugend entkräfteten Argumente. Soweit er in grundsätzlicher Hinsicht beanstandet, dass ein rheumatologisches Gutachten in einem Institut für forensische Psychiatrie und Psychotherapie eingeholt worden sei, ist ihm entgegenzuhalten, dass die beauftragte Gutachtensstelle nicht nur über Fachärzte in Psychiatrie und Psychotherapie, sondern auch über Spezialärzte in den Gebieten Rheumatologie/Physikalische Medizin und Orthopädie/Sportmedizin/Physikalische Therapie verfügt, welche ihn denn auch begutachtet haben. Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers gibt auch zu keinen Beanstandungen Anlass, dass die Ärzte als Diagnose mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit einzig die chronische lumbovertebrale Symptomatik bezeichnet haben. Denn sie haben sich mit den übrigen Beeinträchtigungen, namentlich den Beschwerden am rechten Knie und an der linken Schulter, einlässlich befasst und begründet, weshalb diese ihrer Auffassung nach nicht auch darunter fallen. Hinzu kommt, dass sich ihre Einschätzung mit den eigenen Angaben des Versicherten decken, wonach hauptsächlich chronische Kreuzschmerzen, Schmerzausstrahlungen in das Gesäss und in die Oberschenkel beidseits bestünden, die Funktion der linken Schulter leicht reduziert sei und er trotz rechtsseitigen Kniebeschwerden ohne weiteres ebenaus marschieren könne (während sich bergab und bergauf die Symptomatik verschlimmere). Was sodann die nach Auffassung des Beschwerdeführers völlig ausser Acht gelassene arterielle Verschlusskrankheit und die Meralgie anbelangt, ist aus den medizinischen Akten ersichtlich, dass nach medizinischen Interventionen im Jahre 2006 eine deutliche Besserung eingetreten ist, und der Versicherte selber anlässlich der Begutachtung keine diesbezüglichen Beschwerden mehr angab. Die Einwendungen des Beschwerdeführers lassen die vorinstanzliche Feststellung der Restarbeitsfähigkeit weder als offensichtlich unrichtig noch als unvollständig oder sonst wie rechtsfehlerhaft erscheinen.
Die im angefochtenen Entscheid vorgenommene antizipierte Beweiswürdigung, gemäss welcher keine weiteren medizinischen Abklärungen erforderlich sind, beschlägt Fragen tatsächlicher Natur und ist daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1 hievor), da von einer Rechtsfehlerhaftigkeit im Sinne von <ref-law> ebenfalls nicht die Rede sein kann. Nach dem Gesagten bleibt auch für die vom Beschwerdeführer mit Eventualbegehren verlangte Rückweisung an die Vorinstanz bzw. die IV-Stelle zur ergänzenden Abklärung kein Raum.
4.3 Damit hat es mit dem von der IV-Stelle auf dieser Grundlage ermittelten und abgesehen von der zugrunde gelegten Arbeitsunfähigkeit nicht bestrittenen Invalideneinkommen (Fr. 45'054.-) sein Bewenden. Eine Gegenüberstellung mit dem ebenso unbestritten gebliebenen Valideneinkommen von Fr. 92'200.- führt zum Anspruch auf eine halbe Rente (Invaliditätsgrad: 51 %), wie verfügt und durch die gerichtliche Vorinstanz bestätigt.
5. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, der Ausgleichskasse Hotela und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Dezember 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann