Sachverhalt:
A. Der 1959 geborene W._ bezog ab 17. Dezember 2004 Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Das Regionale Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) wies ihn am 18. Januar 2006 an, vom 20. Februar bis 28. April 2006 den Kurs "JobIntensiv A" zu besuchen. Da W._ dem Kurs fernblieb, stellte ihn das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich (AWA) mit Verfügung vom 17. März 2006 wegen Nichtbefolgens von Weisungen mit Wirkung ab 21. Februar 2006 für 24 Tage in der Anspruchsberechtigung ein. Daran hielt das AWA auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 5. Juli 2006).
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab (Entscheid vom 5. Januar 2007).
C. W._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die Einstellung in der Anspruchsberechtigung sei "für unwirksam zu erklären".
Das AWA und das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung stellt eine vom Bundesgericht ebenfalls zu korrigierende Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> dar (Seiler/Von Werdt/Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N. 24 zu <ref-law>).
2. Die Vorinstanz hat die massgebenden Bestimmungen über die Pflicht der versicherten Person, auf Weisung der zuständigen Amtsstelle an arbeitsmarktlichen Massnahmen teilzunehmen, die ihre Vermittlungsfähigkeit fördern (<ref-law> in der seit 1. Juli 2003 geltenden Fassung), sowie über die Einstellung in der Anspruchsberechtigung, insbesondere wegen unentschuldbaren Nichtantretens einer arbeitsmarktlichen Massnahme (<ref-law>, ebenfalls in Kraft seit 1. Juli 2003), richtig wiedergegeben. Dasselbe gilt hinsichtlich der verschuldensabhängigen Dauer der Einstellung (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Darauf wird verwiesen.
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die Verwaltung den Versicherten zu Recht wegen Nichtbefolgens von Weisungen für die Dauer von 24 Tagen in der Anspruchsberechtigung eingestellt hat.
Als - vom Bundesgericht frei überprüfbare - Rechtsfragen gelten dabei die gesetzlichen und rechtsprechungsgemässen Regeln über die Einstellung in der Anspruchsberechtigung (<ref-law>). Überprüfbar ist insbesondere die falsche Rechtsanwendung (Seiler/von Werdt/Güngerich, a.a.O., N. 9 zu <ref-law>). Diese basiert auf einer grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsfeststellung. Die Höhe der Einstellungsdauer ist eine typische Ermessensfrage, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung vorliegt (BGE 8C_31/2007, E. 3.1).
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat mit zutreffender und überzeugender Begründung erkannt, dass keine Umstände ausgewiesen sind, die den Kursbesuch für den Beschwerdeführer als unzumutbar erscheinen liessen, und dass er mithin zu Recht in der Anspruchsberechtigung eingestellt worden ist.
4.2 Die in der Beschwerde dagegen erhobenen Einwände vermögen nicht zu einem anderen Ergebnis zu führen. Soweit der Versicherte geltend macht, er sei vor der Anmeldung zum Bezug von Arbeitslosenentschädigung während insgesamt vier Jahren in der Schweiz erwerbstätig gewesen, muss ihm entgegengehalten werden, dass dieser Umstand in Bezug auf die vorliegend strittige Frage der Einstellung in der Anspruchsberechtigung ohne Relevanz ist. Weiter rügt er, das AWA habe die Beschwerdeantwort im vorinstanzlichen Verfahren zu spät eingereicht, weshalb die von der Verwaltung vorgelegten Beweismittel unzulässig seien und seine Beschwerde hätte gutgeheissen werden müssen. Dazu ist zu bemerken, dass das AWA die 30-tägige Vernehmlassungsfrist mit seiner Eingabe vom 29. September 2006 ohne weiteres gewahrt hat, denn massgebend für die Fristeinhaltung ist das Postaufgabedatum und - entgegen der Auffassung des Versicherten - nicht der Eingang beim Gericht, so dass selbst eine Postaufgabe am 4. Oktober 2006 noch fristwahrend gewesen wäre, nachdem das AWA die gerichtliche Aufforderung zur Einreichung einer Beschwerdeantwort vom 29. August 2006 am 4. September 2006 empfangen hat. Da die Beschwerdeantwort am 4. Oktober 2006 beim kantonalen Gericht eingetroffen ist, kann an deren Rechtzeitigkeit nicht gezweifelt werden. Im Übrigen hätte eine verspätete Eingabe des AWA keine anderen Konsequenzen für den Ausgang des Beschwerdeverfahrens bewirken können, weil es gemäss <ref-law> dem Versicherungsgericht obliegt, unter Mitwirkung der Parteien die für den Entscheid erheblichen Tatsachen festzustellen und die notwendigen Beweise zu erheben.
Schliesslich wendet der Beschwerdeführer ein, die Aussage des RAV, wonach er Ende 2005 darüber informiert worden sei, dass der Kurs "JobIntensiv" ab Beginn des Jahres 2006 ins Auge zu fassen sei, falls er bis dann noch keine Arbeitsstelle gefunden haben sollte, entspreche nicht der Wahrheit und auch die Besprechungsprotokolle des RAV über den Inhalt der Beratungsgespräche widersprächen den tatsächlichen Gegebenheiten. Im Zusammenhang mit dem Kursbesuch steht - neben weiteren vom Versicherten verfassten und letztinstanzlich eingereichten Protokollen - einzig seine Richtigstellung vom 24. März 2006. Darin zitiert er aus dem Protokoll des RAV-Personalberaters über das Gespräch vom 10. März 2006: "... er möchte keine Bestätigung unterschreiben, dass er nicht am Kurs "JobIntensiv" vom 27.03.-29.05.06 teilnimmt, die Ferien möchte er wie gemeldet beziehen". Diese Passage sei grammatikalisch falsch. Auf die Frage, ob er eine Bestätigung über die Kursteilnahme unterschreibe, habe er in Wahrheit geantwortet: "Zum einen werde ich alles, was mir geboten wird, das der schnellstmöglichen Wiederaufnahme eines Arbeitsverhältnisses dient, annehmen und besuchen, allerdings werde ich die am 16. Januar 2006 schriftlich eingereichten, kontrollfreien Tage wahrnehmen. Zum anderen gibt es für mich nichts zu unterschreiben, da ich von einer Kursanweisung bzw. Kursverfügung noch keine Kenntnis habe". Fest steht, dass das RAV den Versicherten am 18. Januar 2006 schriftlich zum Kursbesuch in der Zeit vom 20. Februar bis 28. April 2006 aufgefordert hat. Damit der Versicherte sich seine Ferienwünsche zumindest teilweise erfüllen konnte, bot das RAV ihm am 30. Januar 2006 an, ihn stattdessen für den gleichen Kurs, durchgeführt in der Zeit vom 6. März bis 5. Mai 2006 von einem anderen Anbieter, anzumelden. Der Versicherte antwortete mit Schreiben vom 7. Februar 2006, er sei stets bereit gewesen, an Eingliederungsmassnahmen, "wie Englischkursen, einem mündlich zugesagten C#.NET Programmierkurs und an diversen Einsatzprogrammen" teilzunehmen. Diesen geplanten Massnahmen habe er im vergangenen Jahr alle seine persönlichen Interessen untergeordnet. Seine Bereitschaft liege auch für dieses Jahr vor. Sofern er "in Kürze eine Anstellung antreten sollte", werde er auf alle Ferien sofort verzichten. In der Folge hat der Versicherte weder den Kurs vom 20. Februar bis 28. April 2006 noch denjenigen vom 6. März bis 5. Mai 2006 besucht. Er hat zudem zu keiner Zeit belegen können, dass er im Zusammenhang mit seinen geplanten Ferien bereits Buchungen vorgenommen oder eine andere, nicht leicht rückgängig zu machende Disposition getroffen hätte. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz ohne weiteres annehmen, dass kein entschuldbarer Grund für das Fernbleiben vom Kurs vorlag. Es ist ihr weder eine unvollständige noch eine offensichtlich unrichtige oder auf einer Rechtsverletzung beruhende Sachverhaltsfeststellung vorzuwerfen.
5. Die vorinstanzlich bestätigte Einstellungsdauer von 24 Tagen ist nicht zu beanstanden, da nicht gesagt werden kann, das kantonale Gericht habe sein Ermessen missbraucht, unter- oder überschritten.
6. Die Gerichtskosten werden dem Beschwerdeführer als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Arbeitslosenkasse Unia, dem Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum Zürich Hardturmstrasse und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz