Faits :
A. A.a Le 4 septembre 1997, A._ a conclu auprès de X._ Assurances (ci-après: X._ ou l'assureur) un contrat pour l'assurance de voitures automobiles comprenant notamment une assurance accidents des occupants.
A.b Le 7 décembre 1999, à Bulle (FR), A._ a été happée par le véhicule d'un conducteur ivre alors qu'elle se trouvait près de sa voiture. Malgré plusieurs interventions chirurgicales, elle demeure entravée dans ses activités quotidiennes.
B. B.a L'assureur ayant décliné toute demande de prestations en arguant que l'accident n'avait pas eu lieu à la suite de l'utilisation du véhicule au sens des conditions générales d'assurance (CGA) applicables, A._ a ouvert action en paiement le 22 août 2001 devant le Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère. Elle a conclu à ce que X._ Assurances fût condamnée à lui payer la somme de 1'350 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 9 janvier 2001 à titre d'indemnités d'hospitalisation, ainsi que la somme de 18'880 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 30 novembre 2000 à titre d'indemnités journalières calculées jusqu'au 31 août 2001; elle a en outre conclu à ce que la défenderesse fût condamnée à lui reconnaître devoir ses prétentions en indemnités journalières et d'hospitalisation dès le 1er septembre 2001, ses prétentions tendant au versement de la somme d'assurance pour le cas d'invalidité ainsi que toutes autres prétentions découlant du contrat d'assurance. La défenderesse a conclu au rejet intégral de la demande.
B.b La défenderesse ayant obtenu le 7 mai 2002 qu'il fût statué préjudiciellement sur la question de savoir si elle était obligée contractuellement envers la demanderesse à la suite de l'accident du 7 décembre 1999, le Tribunal a rendu le 8 novembre 2002 un jugement incident admettant le principe de la responsabilité.
B.c En cours d'instance, une expertise médicale visant à déterminer le taux d'incapacité de travail de la demanderesse a été mise en oeuvre. L'expertise a été déposée le 1er septembre 2004, puis complétée le 28 décembre 2004. Une requête de contre-expertise a été rejetée le 4 avril 2005.
B.d Le 14 septembre 2005, la demanderesse a déposé un mémoire complémentaire, dans lequel elle a pris des conclusions chiffrées. Lors des débats, la défenderesse a conclu au rejet de ces conclusions et a soulevé l'exception de prescription.
B.e Par jugement du 23 février 2006, le Tribunal a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse les sommes de 1'350 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 8 février 2001 et de 930 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 14 mai 2003 au titre d'indemnités d'hospitalisation, la somme de 22'800 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 19 décembre 2000 à titre d'indemnités journalières et la somme de 195'000 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 12 novembre 2004 à titre d'indemnité d'invalidité.
B.f La défenderesse ayant recouru en appel tant contre le jugement incident du 8 novembre 2002 que contre le jugement final du 23 février 2006, la Ire Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg a confirmé ces jugements par arrêt du 22 mars 2007.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile et par celle du recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, la défenderesse conclut, avec suite de frais et dépens des instances cantonales et fédérale, principalement à la réforme de cet arrêt dans le sens du rejet entier des conclusions prises par la demanderesse et, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi du dossier à l'autorité précédente pour nouvelle décision. La défenderesse conclut avec suite de frais et dépens au rejet des recours.
La défenderesse a sollicité l'octroi de l'effet suspensif aux recours, que le Président de la Cour de céans a accordé par décision du 28 juin 2007 après avoir recueilli les déterminations de l'autorité cantonale et de la demanderesse.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. 1.1 Comme la décision attaquée a été rendue après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007 (RO 2006, 1242), de la loi fédérale sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours est régi par le nouveau droit (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1).
1.2 Interjeté par la partie défenderesse qui a succombé dans ses conclusions libératoires prises devant l'autorité précédente et a donc qualité pour recourir (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>). Portant sur une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>), le recours est donc en principe recevable, puisqu'il a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prévues par la loi (<ref-law>).
1.3 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF; à la différence de l'ancien recours en réforme (cf. art. 43 al. 1, 2e phrase, OJ), il peut ainsi être interjeté également pour violation des droits constitutionnels, qui font partie du droit fédéral au sens de l'<ref-law>. Le recourant peut donc se plaindre d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) du droit cantonal (<ref-ruling> consid. 1.2.1). Il s'ensuit qu'en l'espèce, le recours constitutionnel subsidiaire, déposé pour le cas où il serait retenu que le recours en matière civile n'est pas ouvert pour se plaindre d'une violation arbitraire du droit cantonal, est irrecevable.
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
2. 2.1 S'agissant de l'exception de prescription soulevée par la défenderesse, l'autorité précédente a retenu que, l'accident ayant eu lieu le 7 décembre 1999, la prescription de deux ans (<ref-law>) avait été interrompue à temps par le dépôt de la demande en justice du 22 août 2001 (<ref-law>) pour la totalité des prétentions de la demanderesse, et qu'elle avait ensuite été régulièrement interrompue par des actes judiciaires des parties et des ordonnances ou décisions du juge (<ref-law>), les 7 mai 2002 (ordonnance de restriction des débats), 8 novembre 2002 (jugement incident), 29 avril 2004 (ordonnance d'expertise), 4 avril 2005 (décision sur requête de contre-expertise) et 23 février 2006 (jugement au fond).
2.2 La défenderesse reproche à la cour cantonale d'avoir violé les dispositions en matière de prescription (<ref-law>) et d'interruption de la prescription (<ref-law>). Rappelant que les diverses prétentions découlant d'un rapport de droit se prescrivent en principe séparément, elle expose qu'il convient d'examiner séparément le cas de l'indemnité d'invalidité d'une part et celui des indemnités journalières et d'hospitalisation d'autre part.
2.2.1 En ce qui concerne le premier cas, la défenderesse soutient que lors du dépôt de la demande du 22 août 2001, la prescription relative à l'indemnité d'invalidité n'avait pas commencé à courir et n'a donc pas pu être interrompue. En effet, selon la jurisprudence, le délai de prescription de deux ans de l'<ref-law> court, en matière d'invalidité, du jour où l'invalidité est objectivement acquise (<ref-ruling> consid. 3). Or en l'espèce, selon la défenderesse, l'invalidité de la demanderesse aurait été acquise au plus tôt durant l'année 2002 et au plus tard lorsque le conseil de la demanderesse avait requis par courrier du 3 mars 2003 la mise en oeuvre d'une expertise afin de déterminer le taux d'incapacité de travail de sa cliente et produit le 14 avril 2003 une série de pièces en indiquant que sa cliente endurerait vraisemblablement une incapacité permanente. Or ce n'est que par son mémoire complémentaire du 14 septembre 2005 que la demanderesse a chiffré sa prétention relative à l'indemnité d'invalidité en prenant des conclusions à hauteur de 195'000 fr.
2.2.2 La défenderesse soutient que la prescription relative à l'indemnité d'hospitalisation aurait commencé à courir dès la fin de la période d'hospitalisation, soit dès le 17 octobre 2002. Quant à la prescription pour les indemnités journalières par 3'920 fr. (22'800 fr. - 18'880 fr.) relative à la période du 1er septembre 2001 au 31 décembre 2001, elle aurait commencé à courir dès la fin du droit aux indemnités journalières, soit dès le 31 décembre 2001. Or ce n'est que par son mémoire complémentaire du 14 septembre 2005 que le mandataire de la demanderesse a d'une part chiffré sa prétention relative à l'indemnité d'hospitalisation pour la dernière période d'hospitalisation du 17 septembre au 17 octobre 2002 en prenant des conclusions à hauteur de 930 fr., et d'autre part augmenté sa conclusion relative à l'indemnité journalière pour tenir compte de la période du 1er septembre 2001 au 31 décembre 2001.
2.2.2 La défenderesse soutient que la prescription relative à l'indemnité d'hospitalisation aurait commencé à courir dès la fin de la période d'hospitalisation, soit dès le 17 octobre 2002. Quant à la prescription pour les indemnités journalières par 3'920 fr. (22'800 fr. - 18'880 fr.) relative à la période du 1er septembre 2001 au 31 décembre 2001, elle aurait commencé à courir dès la fin du droit aux indemnités journalières, soit dès le 31 décembre 2001. Or ce n'est que par son mémoire complémentaire du 14 septembre 2005 que le mandataire de la demanderesse a d'une part chiffré sa prétention relative à l'indemnité d'hospitalisation pour la dernière période d'hospitalisation du 17 septembre au 17 octobre 2002 en prenant des conclusions à hauteur de 930 fr., et d'autre part augmenté sa conclusion relative à l'indemnité journalière pour tenir compte de la période du 1er septembre 2001 au 31 décembre 2001.
2.3 2.3.1 Aux termes de l'<ref-law>, les créances qui dérivent du contrat d'assurance se prescrivent par deux ans à dater du fait d'où naît l'obligation. Comme toute prescription, celle de l'<ref-law> peut être interrompue lorsque le débiteur reconnaît la dette (<ref-law>) ou lorsque le créancier fait valoir ses droits par l'une des voies énumérées par l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 4c p. 458). La prescription est notamment interrompue, avec pour effet qu'un nouveau délai commence à courir dès l'interruption (<ref-law>), lorsque le créancier fait valoir ses droits par une action devant un tribunal. Conformément à l'<ref-law>, elle est ensuite interrompue et recommence à courir, durant l'instance, à compter de chaque acte judiciaire des parties et de chaque ordonnance ou décision du juge (Pascal Pichonnaz, Commentaire romand, Code des obligations I, 2003, n. 8 ad <ref-law>).
Selon la jurisprudence, il faut considérer comme acte judiciaire d'une partie, au sens de l'<ref-law>, tout acte de procédure relatif au droit invoqué en justice et susceptible de faire progresser l'instance; l'acte devra être de nature formelle, de sorte que les deux parties puissent toujours le constater aisément et sans conteste (<ref-ruling> consid. 3.2 et les arrêts cités). La loi sanctionne ainsi l'inaction du créancier (<ref-ruling> consid. 3.2 et la jurisprudence citée). En revanche, aussi longtemps que le créancier fait connaître au débiteur son désir d'être satisfait, il ne se justifie pas de faire perdre au créancier son droit de créance (Robert K. Däppen, Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 4e éd. 2007, n. 1 ad <ref-law>; Pichonnaz, op. cit., n. 1 ad <ref-law>).
2.3.2 Lorsque le créancier fait valoir ses droits par des poursuites ou par une action devant un tribunal (<ref-law>), jurisprudence et doctrine s'accordent pour admettre que la prescription n'est interrompue que jusqu'à concurrence de la somme indiquée (<ref-ruling> consid. 1c et les références citées; Pichonnaz, op. cit., n. 27 ad <ref-law>). S'il entend sauvegarder ses droits, le créancier qui ne connaît pas encore le montant exact de sa créance doit donc soit interrompre la prescription pour le montant le plus élevé pouvant entrer en ligne de compte, soit accomplir un acte interruptif ne nécessitant pas l'indication d'un montant déterminé, tel que l'action en paiement non chiffrée (<ref-law>) ou l'action en constatation du fondement juridique de la prétention litigieuse (<ref-ruling> consid. 1c/aa et les références citées; Pichonnaz, op. cit., n. 27 ad <ref-law>; Däppen, op. cit., n. 20 ad <ref-law>).
Il convient enfin de rappeler que les diverses prétentions découlant d'un rapport de droit, notamment d'un contrat d'assurance, se prescrivent en principe séparément, hormis lorsque les divers chefs de réclamation, bien que distincts, ont un rapport étroit entre eux (<ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 3 in limine; cf. <ref-ruling> consid 1c/aa; Pichonnaz, op. cit., n. 28 ad <ref-law> et les références citées).
2.4 En l'espèce, il est constant que par acte d'ouverture d'action du 22 août 2001, la demanderesse a fait valoir ses prétentions chiffrées relatives au paiement des indemnités journalières et d'hospitalisation jusqu'au 31 août 2001, ainsi que des prétentions, non encore chiffrées, relatives d'une part aux indemnités journalières et d'hospitalisation dès le 1er septembre 2001, et d'autre part au versement de la somme d'assurance pour le cas d'invalidité. Dans cette instance qui portait ainsi sur l'ensemble des prétentions élevées par la demanderesse ensuite de l'accident du 7 décembre 1999, la prescription a été interrompue, par des actes judiciaires des parties et des ordonnances ou décisions du juge, les 7 mai 2002, 8 novembre 2002, 29 avril 2004, 4 avril 2005 et 23 février 2006 (cf. consid. 2.1 supra). Force est dès lors de constater que la durée de deux ans (<ref-law>) ne s'est jamais écoulée entre deux actes interruptifs de prescription. Les diverses prétentions de la demanderesse ne sont donc pas prescrites, quand bien même on devrait retenir que pour certaines de ces prétentions, la prescription n'a commencé à courir pour la première fois que postérieurement à l'ouverture d'action.
3. 3.1 Selon l'art. 302.1 CGA, sont couverts les accidents frappant les personnes assurées (à savoir, selon l'art. 301.1 CGA, les occupants) à la suite de l'utilisation du véhicule déclaré : - pendant qu'elles se trouvent dans le véhicule, y montent ou en descendent, - pendant qu'elles portent secours à d'autres occupants à la suite d'un accident ou d'une panne du véhicule déclaré, ainsi qu'en manipulant celui-ci en cours de route, - pendant qu'elles portent secours, en cours de route, à d'autres usagers de la route qui sont victimes d'un accident de la circulation ou d'une panne. Selon les constatations de fait de l'arrêt attaqué, la demanderesse a été happée alors qu'elle venait de descendre de son véhicule et de fermer la portière avant et s'apprêtait à ouvrir la portière arrière ou le coffre de son véhicule pour y prendre son sac afin de se rendre à la boulangerie. La question litigieuse en droit est donc celle de savoir si l'accident a frappé la demanderesse à la suite de l'utilisation du véhicule déclaré pendant qu'elle se trouvait dans le véhicule, y montait ou en descendait.
3.2 La défenderesse reproche aux juges cantonaux d'avoir méconnu les principes applicables en matière d'interprétation des contrats en considérant que les conditions d'application de l'assurance occupants étaient remplies. Elle soutient que sous réserve des cas énoncés aux trois alinéas de l'art. 301.1 CGA, qui seraient exhaustifs et devraient être appréciés en tenant compte du sens littéral du terme « occupant », il n'y a utilisation du véhicule que lorsque l'accident survient pendant que l'assuré (soit l'occupant) se trouve dans le véhicule. Or la demanderesse n'était pas dans le véhicule et n'était pas non plus en train d'y monter ou d'en descendre lorsque l'accident est survenu, l'action consistant à descendre du véhicule ayant pris fin lorsqu'elle avait fermé la portière avant. Selon la défenderesse, le fait que la demanderesse ait eu l'intention de prendre son sac sur le siège arrière ou dans le coffre ne suffirait pas pour retenir qu'elle avait l'intention de monter (à nouveau) dans son véhicule et encore moins qu'elle y montait effectivement lors de l'accident. Dès lors, en retenant que l'accident était survenu lors de l'utilisation du véhicule déclaré, l'autorité précédente aurait violé le droit fédéral.
3.3 Les conditions générales, lorsqu'elles ont été incorporées au contrat, en font partie intégrante; elles doivent être interprétées selon les mêmes principes que les autres dispositions contractuelles (<ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 6c).
En présence d'un litige sur l'interprétation d'une disposition contractuelle, le juge doit tout d'abord s'efforcer de déterminer la commune et réelle intention des parties, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention (<ref-law>); s'il y parvient, il s'agit d'une constatation de fait qui lie en principe le Tribunal fédéral conformément à l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.5 et les arrêts cités).
Si la volonté réelle des parties ne peut pas être établie ou si leurs volontés intimes divergent, le juge doit interpréter les déclarations faites et les comportements selon la théorie de la confiance; il doit donc rechercher comment une déclaration ou une attitude pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances; le principe de la confiance permet ainsi d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même s'il ne correspond pas à sa volonté intime (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.5). L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal fédéral peut examiner librement (<ref-law>); pour trancher cette question, il faut cependant se fonder sur le contenu de la manifestation de volonté et sur les circonstances, dont la constatation relève du fait (<ref-ruling> consid. 4.2.3.1; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.5).
Lorsque l'assureur, au moment de conclure, présente des conditions générales, il manifeste la volonté de s'engager selon les termes de ces conditions. Lorsqu'une volonté réelle concordante n'a pas été constatée, il faut donc se demander comment le destinataire de cette manifestation de volonté pouvait la comprendre de bonne foi. Cela conduit à une interprétation objective des termes contenus dans les conditions générales, même si celle-ci ne correspond pas à la volonté intime de l'assureur. Dans le domaine particulier du contrat d'assurance, l'<ref-law> précise d'ailleurs que l'assureur répond de tous les événements qui présentent le caractère du risque contre les conséquences duquel l'assurance a été conclue, à moins que le contrat n'exclue certains événements d'une manière précise, non équivoque. Il en résulte que le preneur d'assurance est couvert contre le risque tel qu'il pouvait le comprendre de bonne foi à la lecture des conditions générales; si l'assureur entendait apporter des restrictions ou des exceptions, il lui incombait de le dire clairement. Conformément au principe de la confiance, c'est à l'assureur qu'il incombe de délimiter la portée de l'engagement qu'il entend prendre et le preneur n'a pas à supposer des restrictions qui ne lui ont pas été clairement présentées.
3.4 En l'espèce, il ressort d'abord de l'art. 302.1 CGA que pour être couvert, l'accident doit survenir à la suite de l'« utilisation » du véhicule déclaré. Les CGA font usage de ce terme général, plutôt que de celui, plus spécifique, d'« emploi » de l'<ref-law>. La différence n'est pas négligeable: alors qu'un « emploi » implique la manifestation d'un danger dû à la réalisation du risque spécifique résultant de l'utilisation des organes proprement mécaniques du véhicule (cf. <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 1a), le terme « utilisation » a une portée plus générale et s'étend aussi à l'utilisation du véhicule alors qu'il est (encore ou déjà) stationné, c'est-à-dire non en emploi (Roland Brehm, L'assurance privée contre les accidents, 2001, n. 723 p. 324).
Dans le cas présent, il ne saurait être contesté que l'accident est survenu à la suite de l'utilisation du véhicule déclaré, puisque la demanderesse a été happée alors qu'elle venait de descendre de son véhicule et de fermer la portière avant et s'apprêtait à ouvrir la portière arrière ou le coffre de son véhicule pour y prendre son sac. La défenderesse soutient toutefois que la demanderesse n'était pas « occupante » du véhicule, dès lors qu'elle ne s'y trouvait pas et qu'elle n'était pas en train d'y monter ou d'en descendre.
Par « occupant », il faut comprendre le conducteur et les passagers du véhicule (Brehm, op. cit., n. 719 p. 322). Il ressort de l'art. 302.1 CGA que les occupants ne sont pas seulement couverts lorsqu'ils se trouvent dans le véhicule, mais aussi lorsqu'ils y montent ou en descendent, ou lorsqu'ils portent secours, à la suite d'un accident de la circulation ou d'une panne, à d'autres occupants du véhicule ou à d'autres usagers de la route. Dans ces cas, conducteur et passagers sont couverts par l'assurance lors même qu'ils ne se trouvent momentanément pas (encore) ou plus dans le véhicule. Dans ces conditions, c'est en vain que la défenderesse tente de se raccrocher à une acception purement littérale et étriquée du terme « occupant ».
En couvrant les accidents survenus lorsqu'un « occupant » ne se trouve pas encore ou plus dans le véhicule, mais y monte ou en descend, l'art. 302.1 CGA ne couvre pas seulement les assurés lorsque ceux-ci sont techniquement en train de monter dans le véhicule ou d'en descendre, mais aussi lorsqu'ils s'apprêtent à (re)devenir des « occupants » du véhicule en (ré)intégrant celui-ci (Brehm, op. cit., n. 724 p. 324 et la jurisprudence citée), ou lorsque, ayant terminé l'action proprement dite consistant à descendre du véhicule, ils s'apprêtent à quitter celui-ci.
C'est ainsi en vain que la défenderesse cherche à exploiter le fait qu'en l'espèce, la demanderesse avait terminé l'action proprement dite consistant à descendre du véhicule et ne s'apprêtait pas, techniquement parlant, à y remonter, mais seulement à ouvrir la portière arrière ou le coffre de son véhicule pour y prendre son sac. L'interprétation restrictive de l'art. 302.1 al. 1 CGA proposée par la défenderesse, consistant à exclure la couverture d'assurance dès que la personne assurée, étant techniquement descendue du véhicule, a refermé la portière, voire s'apprête seulement à la refermer, de même que lorsque la personne assurée s'apprête à ouvrir la portière pour monter dans le véhicule, voire l'a déjà ouverte mais n'a pas encore entrepris l'action d'y monter en posant un pied sur le véhicule, conduirait à une solution clairement inappropriée et ne peut raisonnablement correspondre à la volonté présumée des parties.
3.5 Il résulte de ce qui précède que la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en considérant que les conditions d'application de l'assurance occupants se trouvaient remplies en l'espèce.
4. 4.1 La défenderesse soutient que la demanderesse, qui avait le fardeau de l'allégation et de la preuve en ce qui concerne le fondement et l'importance de ses prétentions, n'aurait pas allégué dans les formes et les délais prévus par le droit cantonal le contenu de l'art. 306.2 ch. 6 CGA, qui permet de majorer l'indemnité d'invalidité en fonction du degré d'invalidité. En effet, la demande en justice du 22 août 2001 alléguait uniquement l'existence d'une créance de 100'000 fr. en cas d'invalidité, et ce n'est que dans son mémoire du 14 septembre 2005 que la demanderesse a allégué que l'expertise judiciaire avait conclu « à une invalidité médico-théorique de 90% de Madame A._ au sens de l'art. 306.2 CGA, taux entraînant l'application de l'art. 306.2 ch. 6 CGA », sans toutefois reproduire le contenu de cette disposition dans ses écritures. Dès lors, en rendant sa décision sur des faits qui résultaient certes des pièces du dossier, mais qui n'avaient pas été régulièrement allégués, respectivement, pour l'invalidité et le taux d'invalidité, qui avaient été introduits en procédure de manière tardive, la cour cantonale, à la suite du tribunal de première instance, aurait violé les règles fédérales, liées au fardeau de la preuve (<ref-law>), en matière d'allégation des faits sur lesquels repose une prétention fondée sur le droit civil fédéral. Elle aurait également fait une application arbitraire de l'<ref-law>/FR, selon lequel le juge ne peut fonder son jugement sur d'autres faits que ceux que les parties ont allégués en procédure, et de l'<ref-law>/FR, qui prévoit que les allégations de fait et les moyens de preuve peuvent encore être complétés après le début de l'administration des preuves si la production n'en était pas possible auparavant, si le retard est excusable ou si des faits nouveaux ressortent des preuves administrées d'office par le juge.
4.2 La défenderesse ne démontre pas que l'autorité précédente aurait violé l'<ref-law>/FR de manière arbitraire en retenant que l'art. 306.2 ch. 6 CGA, que la demanderesse avait expressément invoqué dans son mémoire du 14 septembre 2005 quand bien même elle n'en avait pas reproduit le contenu, avait été « allégué en procédure » au sens de cette disposition. On ne voit pas que le principe selon lequel les faits doivent être expressément allégués dans les écritures ou par dictée au procès-verbal (Fabienne Hohl, Procédure civile, tome I, 2001, n. 755) imposerait de considérer comme non régulièrement alléguée la teneur d'une disposition déterminée des CGA invoquée de manière précise par une partie, teneur qui ressort de manière univoque de la pièce correspondante versée au dossier.
En ce qui concerne la prétendue tardiveté des allégations de la demanderesse, les juges cantonaux ont exposé qu'avant l'administration de la preuve par expertise, l'invalidité permanente de la demanderesse et son taux n'étaient pas encore connus, si bien que la demanderesse n'avait pas non plus à se référer à l'art. 306.2 ch. 6 CGA, permettant de majorer l'indemnité d'invalidité en fonction du degré d'invalidité (arrêt attaqué, p. 11); la demanderesse avait allégué tous les éléments nécessaires à la détermination de l'indemnité d'invalidité dès qu'une expertise avait chiffré son taux d'invalidité, de sorte que ces allégués n'étaient pas tardifs au regard de l'<ref-law>/FR (arrêt attaqué, p. 12). La défenderesse échoue à démontrer en quoi cette motivation serait arbitraire et conduirait à un résultat arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 et les arrêts cités).
4.3 Selon la jurisprudence, c'est le droit fédéral qui détermine si les faits fondant une prétention déduite du droit fédéral, allégués en la forme prescrite et en temps utile selon les exigences cantonales de procédure, ont été allégués de manière suffisamment précise (<ref-ruling> consid. 2b; <ref-ruling> consid. 3e p. 188; <ref-ruling> consid. 2 et 3). Les exigences quant à la motivation en fait (Substanziierungspflicht) de la prétention dépendent des éléments de fait constitutifs de la norme invoquée, ainsi que du comportement procédural de la partie adverse; les faits doivent être énoncés de manière suffisamment précise pour pouvoir être prouvés et pour que la partie adverse puisse motiver sa contestation ou administrer la contre-preuve (<ref-ruling> consid. 2b et les références citées).
En l'espèce, l'énoncé des faits déterminants, que la simple lecture de l'art. 306.2 ch. 6 CGA permettait de découvrir, était parfaitement clair et précis. Il était prouvé par les conditions générales d'assurance produites et la défenderesse était mise en situation de faire valoir ses arguments à cet égard, si bien qu'on ne discerne aucune violation du droit fédéral.
5. 5.1 La défenderesse estime que les juges cantonaux ont violé son droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., en rejetant sa demande de contre-expertise. Elle fait valoir que l'expertise judiciaire fixant à 90% le taux d'invalidité médico-théorique de la demanderesse serait peu claire, insuffisamment motivée et peu convaincante dans la mesure où l'expert n'a pas justifié le taux retenu de 90% par comparaison avec les taux indiqués par l'art. 306.2 CGA. En effet, cette disposition prévoit par exemple un taux de 60% pour la perte d'une jambe à la hauteur du genou; or la demanderesse n'a pas perdu sa jambe. Au surplus, le taux retenu par l'expert n'est que de 10% inférieur à celui prévu pour les cas extrêmes de la paralysie ou de la perte des deux membres inférieurs, alors que la demanderesse peut se déplacer, certes avec difficulté, mais de manière autonome. Enfin, l'expertise serait incomplète dans la mesure où l'expert a répondu par la négative à la question de l'influence d'un état préexistant sous forme de surcharge pondérale, alors qu'il avait lui-même relevé dans son rapport que la demanderesse mesurait 165 cm pour 95 kg.
5.2 Le droit à la preuve - tel qu'il découle du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 2a/aa; <ref-ruling> consid. 4a, 109 consid. 2a) - n'empêche pas le juge de refuser une mesure probatoire par une appréciation anticipée des preuves, si celle-ci fait apparaître la preuve litigieuse comme impropre à modifier le résultat des preuves déjà administrées (<ref-ruling> consid. 2.6; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 3c; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 3b; <ref-ruling> consid. 2 p. 232 et les arrêts cités). Il ne confère ainsi pas à une partie le droit d'obtenir une contre-expertise, à moins qu'il apparaisse que le premier expert ne disposait pas des connaissances nécessaires ou qu'il était manifestement prévenu, ou que ses conclusions ne soient pas claires ou pas convaincantes (Max Guldener, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 1979, p. 352).
En l'espèce, les juges cantonaux ont constaté que l'expert, médecin chef de service auprès de la policlinique de chirurgie des Hôpitaux Universitaires de Genève, a dûment justifié le taux d'invalidité médico-théorique de 90% par comparaison avec les taux indiqués à l'art. 306.2 CGA, en cumulant les pertes ou incapacités fonctionnelles simultanées des deux membres inférieurs de la demanderesse. Ils ont constaté que les séquelles de l'accident étaient sévères, la demanderesse ayant subi de multiples interventions chirurgicales et ayant même dû envisager, dans un premier temps, l'amputation de sa jambe gauche; l'appréciation de l'expert, qui, par rapport à l'amputation d'une jambe à la hauteur du genou correspondant selon les CGA à un taux d'invalidité de 60%, avait réduit ce taux de 20% pour la jambe droite et de 10% pour la jambe gauche, était claire, suffisamment motivée et convaincante. L'autorité précédente a par ailleurs exposé que l'expert n'avait pas trouvé de facteurs influençant l'état de santé de la demanderesse, n'ayant en particulier pas mis la surcharge pondérale de la demanderesse au moment du dépôt du rapport d'expertise en relation de causalité avec l'invalidité consécutive à l'accident du 7 décembre 1999.
À la lumière de cette motivation, qui répond de manière claire et convaincante aux critiques de la défenderesse, on ne voit pas que les juges cantonaux aient violé le droit d'être entendu de cette dernière en rejetant sa requête de contre-expertise.
6. 6.1 Rappelant que le capital dû à titre d'indemnité d'invalidité doit être calculé et payé, d'après la somme assurée pour l'invalidité, dès que les conséquences probablement permanentes de l'accident ont été définitivement constatées (<ref-law>), l'autorité précédente a constaté qu'en l'espèce, l'expertise constatant l'invalidité avait été déposée le 8 octobre 2004. Elle a toutefois alloué l'intérêt sur le capital dès le 12 novembre 2004 pour ne pas statuer ultra petita.
6.2 La défenderesse invoque un arrêt du Tribunal fédéral (5C 18/2006 du 18 octobre 2006) dont il ressort que, quand bien même la somme assurée pour invalidité doit être payée dès que les conséquences probablement permanentes de l'accident ont été définitivement constatées, la demeure de l'assureur suppose une interpellation (<ref-law>). Elle fait valoir que la première mise en demeure, s'agissant tant de l'indemnité d'invalidité que du solde des créances en indemnités journalières et d'hospitalisation, résulterait du mémoire complémentaire du 14 septembre 2005 par lequel la demanderesse a chiffré pour la première fois ses prétentions, si bien que la cour cantonale aurait violé les art. 102 et 104 CO et 88 LCA en faisant courir les intérêts dès le 12 novembre 2004.
6.3 Dans plusieurs arrêts, le Tribunal fédéral a considéré qu'une interpellation par le créancier n'était pas nécessaire pour déclencher les effets de la demeure du débiteur prévus aux <ref-law>, dès lors que l'art. 88 al. LCA déroge à la réglementation de l'<ref-law> (voir les arrêts cités par Atilay Ileri, Basler Kommentar, Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, 2001, n. 39 ad <ref-law>). Dans l'arrêt invoqué par la défenderesse, le Tribunal fédéral a évoqué la nécessité d'une interpellation pour mettre l'assureur en demeure de verser l'indemnité d'invalidité; il a toutefois immédiatement précisé que si l'assureur refuse définitivement, à tort, d'allouer des prestations, une interpellation n'est pas nécessaire, l'exigibilité et la demeure étant alors immédiatement réalisées (5C.18/2006 du 18 octobre 2006, consid. 6.1; cf. Jürg Nef, Basler Kommentar, Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, 2001, n. 20 in fine ad <ref-law>). En effet, selon la jurisprudence, une interpellation n'est pas nécessaire, en vertu d'une application analogique de l'<ref-law>, lorsque le débiteur, par son comportement, a clairement manifesté qu'il ne s'exécuterait pas (<ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 3a et les références citées). Dans le cas d'espèce, la défenderesse avait refusé définitivement, à tort, d'allouer des prestations, si bien qu'elle était en demeure sans qu'il fût besoin d'une interpellation de la demanderesse. Dans ces conditions, son grief de violation des art. 102 et 104 CO et 88 LCA tombe à faux.
7. En définitive, le recours en matière civile, mal fondé, doit être rejeté, tandis que le recours constitutionnel subsidiaire doit être déclaré irrecevable (cf. consid. 1.3 supra). La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>) et versera à sa partie adverse une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est rejeté.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Un émolument judiciaire de 6'000 fr. est mis à la charge de la recourante.
4. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Ire Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 29 octobre 2007
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: