Erwägungen:
1. Am 25. Januar 2008 stellte der Beschwerdeführer beim Betreibungsamt der Gemeinde A._ ein Betreibungsbegehren für den Betrag von Fr. 2'220.40 nebst Zins gegen die Stadtgemeinde A._, worauf ihm das Betreibungsamt am 19. Februar 2008 Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 83.-- setzte. Dagegen beschwerte sich der Beschwerdeführer beim Bezirksgericht A._ als untere Aufsichtsbehörde über die Betreibungsämter. Am 13. März 2008 teilte das Betreibungsamt dem Beschwerdeführer mit, von der Erhebung des Kostenvorschusses werde abgesehen, und die Verfügung vom 19. Februar 2008 werde aufgehoben. Das Bezirksgericht schrieb daraufhin am 17. März 2008 die Beschwerde als gegenstandslos ab und erklärte dem Beschwerdeführer, das Beschwerdeverfahren sei grundsätzlich kostenlos und Parteientschädigungen würden nicht zugesprochen. Dagegen gelangte der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbtreibungs- und Konkurssachen, welches den Rekurs mit Beschluss vom 23. Juni 2008 abwies, soweit es darauf eintrat. Der Beschwerdeführer erhebt dagegen Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht mit dem sinngemässen Begehren um Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses und um Zusprechung einer Entschädigung für das kantonale Beschwerdeverfahren. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 113 i.V.m. <ref-law>). Es gilt das sogenannte Rügeprinzip (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat in der Beschwerdeschrift darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. die Rechtsprechung zur staatsrechtlichen Beschwerde, statt vieler <ref-ruling> E. 2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 201). Wie unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) müssen die erhobenen Rügen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1).
2.1 Das Obergericht hat erwogen, aufgrund von <ref-law> dürfe im Beschwerdeverfahren keine Parteientschädigung zugesprochen werden. Sodann liege keine Kostenregelung vor, weshalb der Rekurs insoweit unzulässig sei.
2.2 Der Beschwerdeführer beschränkt sich in seinen Ausführungen im Wesentlichen auf das Zitieren von Bundesgerichtsentscheiden und Bestimmungen der EMRK und der Verfassung, ohne aber in einer detaillierten Auseinandersetzung mit den massgebenden Erwägungen des angefochtenen Beschlusses aufzuzeigen, inwiefern die EMRK und die Verfassung verletzt worden sein sollen. Auf die offensichtlich unzulässige Verfassungsbeschwerde ist daher in Anwendung von <ref-law> i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).
4. Nach dem Gesagten hat sich die Verfassungsbeschwerde von Anfang an als aussichtslos erwiesen, so dass dem Begehren um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden kann (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Zbinden