Sachverhalt:
A.
Mit Eheschutzverfügung vom 15. April 2010 stellte die Gerichtspräsidentin von Baden die Tochter von X._ und A._, B._ (geb. xx.xx.2003), unter Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB und betraute den Gemeinderat von Y._ als Vormundschaftsbehörde mit der Ernennung des Beistands. Diese Behörde bestimmte eine Beiständin in der Person von C._, Soziale Dienste Y._. Mit Urteil vom 22. November 2010 stellte die Gerichtspräsidentin Baden die Tochter für die Dauer der Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes der Eltern unter die Obhut des Vaters, X._, wobei die Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB aufrechterhalten blieb.
B.
Mit Beschluss vom 20. August 2012 genehmigte der Gemeinderat von Y._ Bericht und Rechnung der Beiständin vom 31. Juli 2012 für die Periode vom 3. Mai 2010 bis 31. Juli 2012 und bestätigte C._ in ihrem Amt. Mit Entscheid vom 22. Mai 2013 wies das Obergericht des Kantons Aargau, Kammer Kindes- und Erwachsenenschutz, die gegen die Bestätigung der Beiständin erhobene Beschwerde von X._ ab.
C.
Gegen dieses Urteil hat X._ (Beschwerdeführer) mit Eingabe vom 5. Juli 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt zur Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Urteils sowie die Entlassung der Beiständin aus dem Amt. Eventualiter sei die Sache zur Durchführung einer Verhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Verfahren sei zu sistieren, bis die Staatsanwaltschaft Baden über die gegen die Beiständin und andere Personen eingereichte Strafanzeige wegen Aktenunterdrückung, Amtsgeheimnisverletzung und Begünstigung entschieden habe.
D.
Das Gesuch um Sistierung des Verfahrens wurde mit Präsidialverfügung vom 9. September 2013 abgewiesen.
E.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts, mit dem eine Beschwerde gegen die Bestätigung der Beiständin abgewiesen worden ist. Dabei handelt es sich um einen Endentscheid (Art. 90 BGG) in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Voraussetzungen von Art. 76 BGG sind erfüllt. Auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten (vgl. zum Ganzen: Urteil 5A_340/2012 vom 23. Juli 2012 E. 1).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund bzw. mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; siehe auch 136 III 518 E. 3 S. 519). Verfassungsverletzungen werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287; <ref-ruling> E. 3.2. S. 88 mit Hinweisen). Wer eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift darlegen, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es nicht aus, die Situation aus eigener Sicht zu schildern und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
2.1. Nach § 65d Abs. 1 EGZGB/AG ist das Obergericht des Kantons Aargau als einzige Instanz für die Behandlung von Beschwerden (im Kindes- und Erwachsenenschutz) zuständig. Der Beschwerdeführer erachtet diese Regelung in Fällen wie dem vorliegenden für problematisch, in dem die beanstandete Massnahme durch eine Verwaltungsbehörde (Gemeinderat als Vormundschaftsbehörde) getroffen worden ist.
2.2. Das Bundesrecht sieht im Bereich des Kindes- und Erwachsenenschutzes eine einzige Beschwerdeinstanz vor (Art. 450 ZGB in der Fassung vom 19. Dezember 2008). Zudem ist das am 1. Januar 2013 in Kraft getretene revidierte Kindes- und Erwachsenenschutzrecht gemäss Art. 14 Abs. 1 SchlTZGB unmittelbar auf alle Verfahren anwendbar; zuständig war damit kraft Bundesrechts (Art. 450, 450a ZGB, Art. 110 BGG) bzw. kantonalen Rechts (§ 65d Abs. 1 EGZGB/AG) die Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz als einzige Beschwerdeinstanz, und zwar ungeachtet des Umstandes, dass der strittige Entscheid von einer Verwaltungsbehörde nach altem Recht getroffen worden ist. Eine Bundesrechtsverletzung bzw. eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts ist nicht ersichtlich.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe in seiner Beschwerde vom 2. September 2012 sowie in seiner Eingabe vom 11. März 2013 (recte: 11. Februar 2013) eine Beweisverhandlung verlangt, weil er die Gegenpartei, d.h. den Gemeinderat Y._, noch habe befragen wollen. Die Vorinstanz habe die Verhandlung ohne Gegenpartei durchgeführt und damit Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt.
3.2. Wie der Beschwerdeführer selbst einräumt und sich aus den Akten ergibt, ist die öffentliche Verhandlung durchgeführt worden. Im Ergebnis beanstandet er somit, ihm sei trotz entsprechenden Beweisantrages die Befragung der Gegenpartei verweigert worden. Der Beschwerdeführer hat in seiner Beschwerde vom 2. September 2012 zwar die Durchführung einer Beschwerdeverhandlung verlangt, ohne darin allerdings einen konkreten Beweisantrag betreffend Befragung von Zeugen oder anderen Personen zu stellen. Desgleichen enthält auch die Eingabe an das Obergericht vom 11. Februar 2013 keinen konkreten entsprechenden Antrag. Wie sich zudem der Beschwerde entnehmen lässt, hat der Präsident der Vorinstanz anlässlich der Verhandlung die Befragung des Vertreters des Gemeinderates Y._ als nicht notwendig erachtet, da die Aktenlage nach Ansicht des Gerichts klar war. Insoweit liegt demnach antizipierte Beweiswürdigung vor, die der Beschwerdeführer nicht sachgerecht als willkürlich anficht (E. 1.2). Eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist nicht ersichtlich.
4.
4.1. Das Obergericht hat die Kritik des Beschwerdeführers an der Arbeit der Beiständin als unbegründet erachtet und hat zur Begründung im Wesentlichen erwogen, was die Berichterstattung der Beiständin zu Handen des Eheschutzverfahrens und im Auftrag der Gerichtspräsidentin anbelange, gingen die Einwände des Beschwerdeführers an der Sache vorbei: Der besagte Bericht sei im Rahmen eines Zivilverfahrens zu würdigen gewesen; abgesehen davon habe dazu Stellung genommen werden können, wobei dieser Bericht für die Arbeit der Beiständin ohnehin nicht von Belang sei. Mit dem Rechenschaftsbericht, welcher der Bestätigung der Beiständin in ihrem Amt zugrunde liege, setze sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Aus diesem Bericht sei ersichtlich, dass die Beiständin über die Entwicklung von B._ Bescheid wisse und sich mit der problematischen Elternbeziehung befasse. Dass die Beiständin dabei im Interesse von B._ gelegentlich auch Stellung zu beziehen habe, gehöre zur gewissenhaften Aufgabenführung der Beiständin und kompromittiere keineswegs deren Aufgabenerfüllung. Die ohnehin nicht genügend substanziierte Behauptung der Oberflächlichkeit sei mit dem Rechenschaftsbericht nicht zu bekräftigen, sondern erscheine im Gegenteil dadurch widerlegt. Fehl gehe auch der Vorwurf mangelnder Gewährung der Akteneinsicht, zumal diese nicht zum Aufgabenbereich der Beiständin gehöre. Der Beiständin lasse sich auch nicht vorwerfen, Kopien ihrer Akten oder Handnotizen angefertigt zu haben, wenn sie die Ausführung ihres Amtes ernst nehmen wolle. Der Vorwurf fehlerhaften Umgangs mit dem Datenschutz erweise sich mangels konkreter Anhaltspunkte als haltlos. Zur ordentlichen Erhebung der familiären Verhältnisse gehöre, auch neue Beziehungen der Kindseltern in die Abklärung mit einzubeziehen; von daher sei nicht zu beanstanden, dass im Rahmen der Berichterstattung zum Eheschutzverfahren auch mit dem neuen Partner der Kindsmutter Kontakt aufgenommen worden sei und sich Angaben bezüglich dieser Person in den Akten befinden.
4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe ihren Entscheid nicht begründet. Sie lege nicht dar, dass der Vater des Freundes der Ehefrau des Beschwerdeführers durch die Beiständin empfangen worden sei. Des weiteren würden weder die Aktenunterdrückung erwähnt, noch seien die Akten beigezogen worden, die sich noch bei der Beiständin befänden.
4.2.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV dient einerseits der Klärung des Sachverhaltes, anderseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines ihn belastenden Entscheides zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis äussern zu können, wenn dieses geeignet ist, den Ausgang des Verfahrens zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 190; <ref-ruling> E. 2b S. 56). Aus Art. 29 Abs. 2 BV ergibt sich ferner die Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung des Entscheids muss so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dabei muss sich die Begründung nicht mit jeder tatsächlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand ausdrücklich auseinandersetzen. Es genügt vielmehr, wenn die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte genannt werden (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540).
4.2.2. Der Beschwerdeführer legt nicht substanziiert dar, dass er die genannten Einwände bezüglich des Empfangs des Vaters des Freundes seiner Ehefrau durch die Beiständin, der angeblichen Aktenunterdrückung und der angeblich nicht eingereichten Akten bereits vor der letzten kantonalen Instanz ordnungsgemäss geltend gemacht hat. Insoweit ist eine Verletzung des rechtlichen Gehörs nicht dargetan. Haltlos ist ferner der Vorwurf, das Obergericht habe den Entscheid ungenügend begründet: Wie in E. 4.1 dargelegt, hat das Obergericht ausführlich erörtert, weshalb die Bestätigung der Beiständin in ihrem Amt kein Bundesrecht verletzt. Die Begründung lässt sich nachvollziehen und hat es dem Beschwerdeführer ermöglicht, den Entscheid sachgerecht anzufechten.
5.
5.1. Das Obergericht hat erwogen, im hängigen Verfahren sei die vom Beschwerdeführer bei der Vormundschaftsbehörde Y._ erstattete Aufsichtsanzeige gegen die Beiständin nicht zu überprüfen, zumal die Vormundschaftsbehörde dieses Anliegen behandelt und der formlose Rechtsbehelf keinen Anspruch auf einen formellen Entscheid vermittle. Der Beschwerdeführer beanstandet den angefochtenen Entscheid insoweit als willkürlich, zumal aufgrund der Aktenlage die Beiständin den Gemeinderat belogen und sich überdies der Aktenunterdrückung schuldig gemacht habe.
5.2. Dem angefochtenen Urteil lassen sich keine Feststellungen bezüglich angeblicher Lügen der Beiständin und der behaupteten Aktenunterdrückung ausmachen und es ist auch nicht ersichtlich, wie das eingeleitete aufsichtsrechtliche Verfahren ausgegangen ist. Der Beschwerdeführer legt nicht substanziiert dar, dass er Erkenntnisse und Feststellungen der Aufsichtsbehörde der Beiständin ordnungsgemäss in das vor dem Obergericht hängige Verfahren eingebracht hätte, die den Entscheid des Gemeinderates, die Beiständin in ihrem Amt zu bestätigen, infrage stellen könnten. Im Übrigen setzt sich der Beschwerdeführer mit der Erwägung des Obergerichts nicht sachgerecht auseinander (E. 1.2). In diesem Punkt ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
6.
Soweit der Beschwerdeführer des weiteren die Feststellung des Obergerichts, die Oberflächlichkeit der Beiständin sei nicht genügend substanziiert, als willkürlich beanstandet, erschöpft sich die Beschwerde in einer Behauptung des Gegenteils dessen, was das Obergericht festgestellt hat. Auf diese appellatorische Kritik ist nicht einzutreten. Gleich verhält es sich, soweit der Beschwerdeführer die Feststellung der Vorinstanz, der Bericht der Beiständin sei präzise abgefasst, als willkürlich hinstellt oder die Ausführungen des Obergerichts zum Akteneinsichtsrecht kritisiert.
7.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat den Gemeinderat für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gemeinderat Y._ und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden