Sachverhalt:
A.
Mit Beschluss vom 13. März 2012 erteilte die Bausektion des Stadtrats Zürich E._, Baurechtsnehmer auf dem Grundstück Kat.- Nr. AA8054, die baurechtliche Bewilligung für den Abbruch des auf diesem Grundstück stehenden Wohnhauses Winkelwiese 10 in Zürich und für den Neubau eines Einfamilienhauses mit Einliegerwohnung anstelle der abzubrechenden Baute.
Gegen das Vorhaben erhoben unter anderen die Nachbarn des Bauvorhabens A.A._ und B.A._, C._ und D._ Rekurs an das Baurekursgericht des Kantons Zürich. Sie beantragten, den angefochtenen Baurechtsentscheid aufzuheben, eventuell diesen mit Auflagen hinsichtlich des obersten Geschosses (5. Vollgeschoss) und der Unterniveaugarage zu ergänzen. Gegen die baurechtliche Bewilligung vom 13. März 2012 erhob auch die Zürcherische Vereinigung für Heimatschutz (ZVH) Rekurs und beantragte die Aufhebung der Bewilligung. Mit Rekursentscheid vom 5. Oktober 2012 wies das kantonale Baurekursgericht die beiden Rekurse ab.
Mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragten unter anderen A.A._ und B.A._, C._ und D._ im Wesentlichen die Aufhebung des Entscheids des Rekursgerichts, soweit damit ihr Rekurs abgewiesen wurde. In einer weiteren Beschwerde an das Verwaltungsgericht beantragte auch die Zürcherische Vereinigung für Heimatschutz (ZVH), den Entscheid des Rekursgerichts aufzuheben. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerden mit Urteil vom 29. Mai 2013 ab.
B.
Mit zwei separaten Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. Juli 2013 beantragen sowohl A.A._ und B.A._, C._ und D._ wie auch die Zürcherische Vereinigung für Heimatschutz (ZVH), das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 29. Mai 2013 sei aufzuheben. Die Beschwerde führenden Nachbarn stellen zudem die Anträge, Dispositiv II des Urteils des Rekursgerichts und die baurechtliche Bewilligung für die Neuüberbauung der Liegenschaft Winkelwiese 10 seien aufzuheben; eventuell seien der angefochtene Entscheid sowie der Entscheid des Rekursgerichts und die Baubewilligung aufzuheben und das Verfahren an die Bausektion der Stadt Zürich zurückzuweisen mit der Anweisung, das oberste Geschoss des projektierten Gebäudes gegenüber den Liegenschaften Winkelwiese 5 und 6 als Attikageschoss auszugestalten.
C.
Der private Beschwerdegegner, die Bausektion der Stadt Zürich und das Verwaltungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerden. Die Beschwerdeführer halten an ihren Anträgen fest. In einer weiteren Eingabe nehmen die Beschwerde führenden Nachbarn zu einer vorgesehenen Änderung von Art. 46 der kommunalen Bau- und Zonenordnung betreffend die Profilerhaltungspflicht Stellung.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 23. August 2013 wurde den Beschwerden auf Gesuch der Beschwerdeführer hin aufschiebende Wirkung beigelegt.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden richten sich gegen den Entscheid der kantonal letzten Instanz über dieselbe baurechtliche Bewilligung der Bausektion des Stadtrats Zürich vom 13. März 2012. Sie werfen teilweise die gleichen Rechtsfragen auf und sind aus prozessökonomischen Gründen zu vereinigen.
2.
2.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über eine Baubewilligung. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d und 90 BGG). Die Beschwerdeführer im Verfahren 1C_629/2013 sind als Adressaten des angefochtenen Entscheids und unmittelbare Nachbarn des Baugrundstücks zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>).
2.2. Die Zürcherische Vereinigung für Heimatschutz (ZVH) ist als Partei im kantonalen Verfahren zur Wahrnehmung ihrer Verfahrensrechte berechtigt. Sie macht die Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend, wozu sie legitimiert ist (<ref-law>; vgl. Urteil des Bundesgerichts 1C_68/2009 vom 17. Juli 2009 E. 1).
2.3. Die Anwendung von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nicht frei, sondern unter dem Blickwinkel des Bundesrechts (<ref-law>), namentlich des Verfassungsrechts und insbesondere des Willkürverbots. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht weicht vom Entscheid der kantonalen Instanz nur ab, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f. mit Hinweisen).
Die Verletzung von Grundrechten - einschliesslich die willkürliche Anwendung von kommunalem Recht - wird vom Bundesgericht geprüft, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Hierfür gelten qualifizierte Begründungsanforderungen (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
2.4. Nicht einzutreten ist auf die Anträge der Beschwerde führenden Nachbarn, das Urteil des Rekursgerichts und die baurechtliche Bewilligung für die Neuüberbauung der Liegenschaft Winkelwiese 10 seien aufzuheben. Diese unterinstanzlichen Entscheide werden durch das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt und gelten als mitangefochten (sog. Devolutiveffekt; <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
2.5. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist somit unter Vorbehalt der Ausführungen in E. 2.3 und 2.4 hiervor einzutreten.
3.
Die Beschwerde führenden Nachbarn beantragen einen Augenschein durch eine Delegation des Bundesgerichts. Der rechtserhebliche Sachverhalt ergibt sich aus den Akten, weshalb ein Augenschein nicht nötig ist.
4.
4.1. Die ZVH stellte im kantonalen Verfahren den Antrag, die Stadt Zürich sei anzuweisen, die vollständige Vorstudie von Pfister Schiess Tropeano & Partner Architekten AG im Rahmen des Wettbewerbs- und Studienauftragsverfahrens des Amts für Hochbauten zu den Akten zu geben. Zur Begründung des Antrags machte sie geltend, die genannte Vorstudie sei Grundlage zur Definition eines "an dieser städtebaulich und landschaftlich einzigartigen Lage inmitten der Zürcher Altstadt angemessenen Bauvolumens" (Studienauftrag vom Juni 2004). Ebenso gehe aus der Abstimmungszeitung zur Gemeindeabstimmung vom 28. September 2008 hervor, dass diese Vorstudie die Grundlage des Studienauftragsverfahrens gebildet habe, mit welchem die Qualität des Neubaus und dessen Einpassung in den städtebaulichen Kontext sichergestellt werden sollte.
4.2. Die Vorinstanzen lehnten den Beizug der genannten Vorstudie ins Baubewilligungsverfahren ab. Das Verwaltungsgericht weist darauf hin, dass das umstrittene Neubauprojekt gemäss Erwägung E lit. g der angefochtenen Baubewilligung vom 13. März 2012 aus einem zweistufigen Wettbewerb als Sieger hervorgegangen sei. Den Studienauftrag der Stadt Zürich, vertreten durch die Liegenschaftenverwaltung, vom Juni 2004 hat die ZVH im Rekursverfahren eingereicht. Die in diesem Studienauftrag (S. 15) erwähnte Vorstudie des Architekturbüros Pfister Schiess Tropeano & Partner Architekten AG bildete nach den Ausführungen des Verwaltungsgerichts nicht Grundlage der Beurteilung der Baubewilligung, weshalb sie nicht ins Baubewilligungsverfahren miteinbezogen worden sei.
4.3. Die Bausektion der Stadt Zürich führt in ihrer Stellungnahme zur Beschwerde aus, die Vorstudie scheine mit Blick auf die Baurechtsvergabe im Auftrag der städtischen Liegenschaftsverwaltung, die von der Baubehörde organisatorisch und funktional unabhängig sei, durch ein privates Architekturbüro erstellt worden zu sein und werde in den Wettbewerbsunterlagen erwähnt. Indessen sei die Vorstudie nicht Grundlage der Baubewilligung und werde deshalb auch im Bauentscheid nicht erwähnt. Im Baubewilligungsverfahren gehe es einzig darum, die massgebenden öffentlich-rechtlichen Vorschriften auf das zu beurteilende Projekt anzuwenden. Bei der Anwendung und Auslegung der Bauvorschriften sowie bei der Würdigung der örtlichen Verhältnisse sei die Baubehörde nicht an die Ergebnisse von Studien und Vorstudien gebunden.
Die Beschwerdeführerin hält den Ausführungen der Baubehörde entgegen, dass sich die Vorinstanzen ganz wesentlich auf das zweistufige Wettbewerbsverfahren abgestützt hätten, um die Vorgaben von § 238 Abs. 2 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes (PBG/ZH; Rücksichtnahme auf Objekte des Natur- und Heimatschutzes) und Art. 43 der kommunalen Bau- und Zonenordnung (BZO; Wahrung des typischen Quartiercharakters und das Erzielen einer guten Gesamtwirkung) zu begründen. Die Vorstudie habe unbestrittenermassen einen Teil der Rahmenbedingungen für den Wettbewerb erarbeitet und festgelegt.
4.4. § 8 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG/ZH) gewährt den Parteien eines verwaltungsrechtlichen Verfahrens ein umfassendes Akteneinsichtsrecht. Dieses Recht bezieht sich auf sämtliche verfahrensbezogenen Akten, die geeignet sind, Grundlage des Entscheids zu bilden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 389). Die ZVH beschwert sich über eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör bzw. Akteneinsicht.
Aus den Akten ergibt sich, dass der Vorinstanz der Studienauftrag vom Juni 2004 sowie der Studienauftrag vom April 2006 und der Bericht des Beurteilungsgremiums vom Dezember 2006 vorlagen. Damit wurden die wesentlichen Unterlagen zum Wettbewerbsverfahren, auf das in Erwägung lit. E/g des Bauentscheids hingewiesen wird, zu den Akten genommen. In den genannten Dokumenten wird zwar teilweise auf die von der Beschwerdeführerin verlangte Vorstudie von 2004 Bezug genommen, was indessen nicht bedeutet, dass auch die Vorstudie zu den Akten des Baubewilligungsverfahrens gehört. Die genannten bei den Akten befindlichen Dokumente des zweistufigen Wettbewerbs enthalten eine eingehende Auseinandersetzung mit den Fragen der räumlichen Gestaltung und der städtebaulichen Einordnung des Neubaus sowie dessen Rücksichtnahme auf die Umgebung. Dass der Wettbewerb auf einer Vorstudie eines privaten Architekturbüros aufbaut, macht diese Vorstudie selbst nicht zu den Wettbewerbsunterlagen, die im Baubewilligungsverfahren beizuziehen waren, nachdem sich die Dokumente des Wettbewerbs selbst mit den wesentlichen Fragen inhaltlich kompetent auseinandersetzen. Es ist somit nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den Beizug der Vorstudie ablehnte. Die Beschwerde der ZVH ist damit abzuweisen.
5.
Die umstrittene Baubewilligung der Bausektion Zürich vom 13. März 2012 umfasst den Neubau eines Einfamilienhauses samt Einliegerwohnung mit zwei Untergeschossen und vier Obergeschossen einschliesslich Umgebungsgestaltung anstelle des abzubrechenden Wohnhauses Winkelwiese 10. Dieses wird nach seinem früheren Bewohner, dem ehemaligen Stadtpräsidenten Emil Landolt, "Villa Landolt" genannt. Das Baugrundstück mit einer Fläche von 2'792 m2 ist nach der Bau- und Zonenordnung der Stadt Zürich (BZO) der Kernzone Altstadt zugeteilt mit einem vorgeschriebenen Wohnanteil von 90%. Erschlossen wird es über die vom Hirschengraben abzweigende Stichstrasse Winkelwiese. Das Baugrundstück ist das hinterste der an dieser Strasse liegenden Grundstücke. Das Neubauprojekt übernimmt in etwa die Grundrisse der abzubrechenden Baute, und der grosszügige Garten der Villa Landolt, der grösstenteils unter Schutz steht, bleibt erhalten. Das projektierte Gebäude besteht aus fünf über dem gewachsenen Boden in Erscheinung tretenden Geschossen, wobei das Erdgeschoss geringfügig in den Boden hineinragt und damit nach den nicht beanstandeten Ausführungen der Vorinstanz rechtlich ein Untergeschoss bildet (§ 275 Abs. 3 PBG/ZH). Das oberste Geschoss wird vom Verwaltungsgericht rechtlich als Vollgeschoss qualifiziert. Es soll indessen aufgrund seiner deutlich kleineren Grundfläche und der gegenüber den darunterliegenden Geschossen abweichenden Gestaltung einem Attikageschoss vergleichbar in Erscheinung treten. Die Gebäudehöhe, welche mangels eines eigentlichen Attikageschosses zugleich die grösste Höhe darstellt, liegt bei 16,15 m.
Die benachbarten Gebäude Winkelwiese 5, Winkelwiese 6 und Winkelwiese 4 (Villa T._) werden im Rekursentscheid des Baurekursgerichts (intern: E. 4.2.2) wie folgt beschrieben: Das Gebäude Winkelwiese 5 besteht aus einem als Gebäudesockel in Erscheinung tretenden Kellergeschoss, drei Vollgeschossen und einem Dachgeschoss. Die Gebäudehöhe beträgt ca. 11 m und die Gesamthöhe (Summe von Gebäude- und Firsthöhe) ca. 16 m. Das Gebäude Winkelwiese 6 besteht aus ebenfalls einem als Gebäudesockel in Erscheinung tretenden Kellergeschoss, drei Vollgeschossen und einem Dachgeschoss. Die Gebäudehöhe beträgt ca. 11,5 m und die Gesamthöhe ca. 16 m. Das Gebäude Winkelwiese 4 weist eine Gebäudehöhe von 14,3 m und eine Gesamthöhe von 18,1 m auf. Diese Höhe wird durch die Gesamthöhe des Turms um weitere rund 8 m überschritten. Das Gebäude verfügt über ein einen vergleichsweise hohen Sockel bildendes Unterschoss, drei Vollgeschosse und ein Dachgeschoss. Im Turmbereich sind fünf Vollgeschosse festzustellen; der Turm bildet keine Dachaufbaute, sondern einen fassadenbündigen, zwei der sieben Fensterachsen umschliessenden eigenen Gebäudeabschnitt.
6.
Die Beschwerdeführer im Verfahren 1C_629/2013 rügen eine Verletzung der Begründungspflicht durch das Verwaltungsgericht. Sie machten im vorinstanzlichen Verfahren geltend, das Bauvorhaben verstosse aus verschiedenen Gründen gegen die in der Zürcher Altstadt nach Art. 46 BZO für Ersatzbauten geltende Profilerhaltungspflicht. Im bundesgerichtlichen Verfahren führen sie aus, das Verwaltungsgericht habe sich mit den Begründungen ihrer Rüge nur teilweise auseinandergesetzt, was eine Verletzung der Begründungspflicht und damit ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK) darstelle.
6.1. Die Begründungspflicht ist ein wesentlicher Bestandteil des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Sie soll verhindern, dass sich die Behörde von unsachlichen Motiven leiten lässt, und dem Betroffenen ermöglichen, die Verfügung gegebenenfalls sachgerecht anzufechten. Dies ist nur möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheids ein Bild machen können. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Dies bedeutet indessen nicht, dass sie sich ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.1 S. 277; je mit Hinweisen).
6.2. Die kommunalen Zusatzvorschriften für die Zürcher Altstadt regeln die Neubauten (Art. 45 BZO) und die Ersatzbauten (Art. 46 BZO). Im kantonalen Verfahren war umstritten, welche dieser beiden Bestimmungen auf das Bauvorhaben anzuwenden ist.
Art. 45 und 46 BZO lauten wie folgt:
Art. 45 Zusatzvorschriften Altstadt: Neubauten
1 Die Gebäudehöhe und die Vollgeschosszahl von Neubauten hat sich an der
bestehenden Bebauung sowie an den Strukturmerkmalen des Strassenzugs
zu orientieren.
2 Die folgenden Vorschriften dürfen jedoch nicht überschritten werden:
Vollgeschosse max. 5
Anrechenbare Geschosse
(inkl. Dach- und Untergeschoss) max. 6
Grundgrenzabstand min. (m) 5
3 Das Bauen auf die Strassen-, Platz- oder Weggrenze ist gestattet.
Art. 46 Zusatzvorschriften Altstadt: Ersatzbauten
1 Ersatzbauten sind Neubauten, die ganz oder teilweise im bisherigen Gebäudeumfang
neu erstellt werden. Zur Erhaltung der Quartier-, Strassen- und
Platzbilder können Ersatzbauten vorgeschrieben werden.
2 Abweichungen von Absatz 1 können bewilligt oder angeordnet werden, wenn
dies im Interesse des Quartiercharakters oder der hygienischen Verhältnisse
liegt und keine schutzwürdigen nachbarlichen Interessen verletzt werden.
6.4. Das Bauvorhaben ist nach dem angefochtenen Entscheid gestützt auf Art. 45 BZO zu beurteilen. Die Vorinstanz geht bei ihrer Beurteilung von der Umschreibung des Gebietscharakters der Altstadt in Art. 44 BZO aus. Danach umfasst die Altstadt "den Bereich innerhalb der ehemaligen mittelalterlichen Stadtmauern. Hohes Alter und kleinmassstäbliche Baustruktur kennzeichnen die Architektur und prägen das Gassenbild. Die einzelnen Bauetappen einer kontinuierlichen Entwicklung vom Wohnturm zum Bürgerhaus sind in vielen Bauten ablesbar. Brandmauern trennen parzellenweise die Gebäudeeinheiten". Weiter legt das Verwaltungsgericht dar, das Baugrundstück mit der Villa Landolt sei in eine weite Gartenlandschaft eingebettet und weise eine Fläche von 2'792 m2 auf. Ohne Schutzanordnung könnte (auch) der bisher unüberbaute Teil des Grundstücks nach Art. 45 BZO überbaut werden. Die freistehende Villa Landolt, erbaut im Jahr 1932, habe weder ein hohes Alter noch eine kleinmassstäbliche Baustruktur, sei kein Schutzobjekt und dürfe grundsätzlich abgerissen werden. Die Bebauung mit der Villa Landolt sei somit völlig atypisch zur Umschreibung des Gebietscharakters von Art. 44 BZO. Städtebaulich stelle diese Situation genau das Gegenteil dessen dar, was in der übrigen Altstadt festzustellen und als altstadttypisch zu bezeichnen sei, nämlich eine kleinräumige, geschlossene Bauweise mit an die Strassen-, Gassen- oder Platzgrenze gestellten schmalen Gebäuden, die im Profil und in der Regel auch in der Substanz zu erhalten seien. Wenn die Vorinstanz unter diesen Voraussetzungen zum Schluss gekommen sei, der Baubehörde stehe es zu, auf die Anwendung von Art. 46 BZO (Ersatzbau) und damit auf die Profilerhaltung zu verzichten, so sei dies nicht rechtsverletzend. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführenden im verwaltungsgerichtlichen Verfahren handle es sich dabei um die Anwendung kompetenzgemäss erlassenen kommunalen Rechts, nämlich der Kernzonenvorschriften, durch eine kommunale Behörde, welche nach ständiger Rechtsprechung dann zu schützen sei, wenn sie vertretbar und nicht rechtsverletzend sei. Dies auch wenn die Baubewilligungsbehörde Art. 46 Abs. 1 Satz 2 BZO nicht explizit angerufen habe. Dieser Auslegung stehe <ref-law>, wonach Einschränkungen von Grundrechten einer gesetzlichen Grundlage bedürften, nicht entgegen, denn eine solche liege hier vor (§ 50 PBG/ZH; Art. 45 und 46 BZO). Entgegen dem Einwand der Beschwerdeführenden stehe diese Auslegung auch nicht in Widerspruch zu Art. 46 Abs. 2 BZO. Art. 46 Abs. 2 BZO regle Abweichungen bei Ersatzbauten und die Profilerhaltungspflicht, während Art. 46 Abs. 1 BZO die Frage berühre, ob überhaupt eine solche eingreife.
6.5. Die Beschwerdeführer im Verfahren 1C_629/2013 halten der Argumentation der Vorinstanz entgegen, sie habe sich mit bestimmten triftigen Einwänden, die sie erhoben hätten, inhaltlich nicht auseinandergesetzt. So hätten sie im vorinstanzlichen Verfahren darauf hingewiesen, dass nach § 50 Abs. 2 PBG/ZH die Profilerhaltung in der Bau- und Zonenordnung selbst geregelt werden müsse, und dies nicht durch eine einzelfallweise Ermessensentscheidung ersetzt werden dürfe. Weiter hätten sie argumentiert, Art. 46 Abs. 1 Satz 2 BZO verleihe der Baubehörde die Befugnis zu verhindern, dass im Gebiet der Altstadt durch ersatzlosen Abbau oder durch Zerstörung von Gebäuden städtebaulich ungewollte Lücken entstehen, indem sie den Grundeigentümern die Errichtung eines Ersatzbaus vorschreibe. Damit hätten sie die Behauptung widerlegt, dass Art. 46 Abs. 1 Satz 2 BZO nur die Bedeutung haben könne, dass die Baubehörde zur einzelfallweisen Anordnung der Profilerhaltung befugt sei. Das Verwaltungsgericht sei auf diese Argumentation im angefochtenen Urteil mit keinem Wort eingegangen und habe damit ihr rechtliches Gehör verletzt.
6.6. Der Kritik der Beschwerdeführer kann nicht gefolgt werden. Aus den in E. 6.4 hiervor wiedergegebenen Erwägungen ergibt sich, dass das Verwaltungsgericht in § 50 Abs. 2 PBG/ZH in Verbindung mit den Art. 45 und 46 BZO eine genügende gesetzliche Grundlage erkennt, damit die Baubehörde unter den gegebenen Voraussetzungen zur Erhaltung der Quartier-, Strassen- und Platzbilder Ersatzbauten und damit die Profilerhaltung verlangen kann. Die Anwendung dieses Rechts hat es geschützt, weil sie aus seiner Sicht vertretbar und nicht rechtsverletzend ist, was nicht zu beanstanden ist. Nach dem angefochtenen Entscheid steht es im Übrigen nicht im freien Ermessen der Baubehörde, ob sie eine Profilerhaltung verlangt. Die Anordnung der Profilerhaltung richtet sich nach dem Gebietscharakter im Sinne von Art. 44 BZO. Ist jedoch wie hier ein Bauvorhaben in einem Teil der Altstadt zu prüfen, der nicht dem in Art. 44 BZO umschriebenen Gebietscharakter entspricht, so erscheint ein Verzicht auf die Profilerhaltung gestützt auf die genannten gesetzlichen Grundlagen zulässig. Damit hat das Verwaltungsgericht die Rügen der Beschwerdeführer beantwortet. Von einer Verletzung der Begründungspflicht kann keine Rede sein.
7.
Die Beschwerdeführer im Verfahren 1C_629/2013 machen weiter eine willkürliche Verletzung von § 238 Abs. 2 PGB/ZH geltend.
7.1. Gemäss der allgemeinen Gestaltungsvorschrift für Kernzonen von Art. 43 Abs. 1 BZO sind Bauten Anlagen und Umschwung im ganzen und in ihren einzelnen Teilen so zu gestalten, dass der typische Gebietscharakter gewahrt bleibt und eine gute Gesamtwirkung erzielt wird. Nach § 238 PBG/ZH sind Bauten, Anlagen und Umschwung für sich und in ihrem Zusammenhang mit der baulichen und landschaftlichen Umgebung im Ganzen und in ihren einzelnen Teilen so zu gestalten, dass eine befriedigende Gesamtwirkung erreicht wird (Abs. 1). Auf Objekte des Natur- und Heimatschutzes ist besondere Rücksicht zu nehmen (Abs. 2).
Der örtlichen Baubewilligungsbehörde kommt bei der Beurteilung der Gesamtwirkung eine besondere Entscheidungs- und Ermessensfreiheit zu, welche die Rekursbehörde zurückhaltend überprüft. Beruht der kommunale Entscheid auf einer vertretbaren Würdigung der massgebenden Umstände, so hat ihn die Rekursinstanz zur respektieren. Auch das Baurekursgericht darf - trotz umfassender Überprüfungsbefugnis - nur dann einschreiten, wenn die ästhetische Würdigung der kommunalen Behörde sachlich nicht mehr vertretbar ist, und es kann eine vertretbare ästhetische Würdigung nicht einfach durch seine eigene ersetzen. Das Verwaltungsgericht nimmt im Gegensatz zu seinen Vorinstanzen einzig eine Rechtskontrolle vor (§ 50 Abs. 1 in Verbindung mit § 20 Abs. 1 lit. a und b VRG/ZH). Es überprüft, ob die Rekursinstanz die ästhetische Würdigung durch die kommunale Baubehörde zu Recht für vertretbar halten durfte bzw., wenn sie davon abweicht, ob dies ohne Verletzung der Gemeindeautonomie zulässig war. Dagegen ist es nicht Aufgabe des Verwaltungsgerichts, eine eigene umfassende Beurteilung der Gestaltung und der Einordnung des Bauvorhabens vorzunehmen (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1P.678/2004 vom 21. Juni 2005, E. 3.2, in: ZBl 107/2006, S. 430 ff.). Im bundesgerichtlichen Verfahren ist anhand der erhobenen Rügen zu prüfen, ob der angefochtene Entscheid im Ergebnis das Willkürverbot (<ref-law>) verletzt (s. E. 2.3 hiervor).
7.2. Die Beschwerdeführer im Verfahren 1C_629/2013 bringen zur gestalterischen Einordnung wie bereits im kantonalen Verfahren vor, das Bauprojekt nehme entgegen der ausdrücklichen Pflicht gemäss § 238 Abs. 2 PBG/ZH keine besondere Rücksicht auf die unter Denkmalschutz gestellten Häuser Winkelwiese 5 und 6. Der Neubau dränge sich mit 7,5 m Abstand und mit 5 Vollgeschossen an das bloss 3 Vollgeschosse aufweisende Schutzobjekt Winkelwiese 5 heran. Im Verhältnis zum minimalen Gebäudeabstand von 7,5 m sei die Nord- und Ostfassade mit 16,2 m übermässig hoch. Auch gegenüber dem Haus Winkelwiese 6 samt dem unter Schutz gestellten Garten und der geschützten Blutbuche entspreche das Projekt nicht der gesetzlich verlangten besonderen Rücksichtnahme. Die Verletzung von § 238 Abs. 2 PBG/ZH liege im Zusammentreffen zwischen dem zu geringen Gebäudeabstand zwischen der Nordostkante und den Schutzobjekten Winkelwiese 5 und 6. Die Auffassung, aus der Vorschrift von § 238 Abs. 2 PBG/ZH könnten keine weiteren Anforderungen bezüglich Gebäudehöhe und Geschosszahl abgeleitet werden, als sich aus Art. 45 Abs. 1 BZO ergebe, überzeuge nicht. Eine kommunale Vorschrift könne nicht den Schutzumfang der kantonalen Bestimmung von § 238 Abs. 2 PBG/ZH einschränken. Das klassizistische Schutzobjekt Winkelwiese 5 habe einen eigenen einzelfallweisen Anspruch auf Rücksichtnahme, unabhängig von der Architektursprache des projektierten Gebäudes.
7.3. Aus den Akten ergibt sich, dass der umstrittene Neubau als Ersatz für die "Villa Landolt" in der Kernzone von zahlreichen denkmalpflegerisch wertvollen Objekten umgeben ist und der Eingriff in städtebaulicher und architektonischer Hinsicht hohen Ansprüchen genügen muss. Das Projekt ist aus einem zweistufigen Wettbewerb als Siegerprojekt hervorgegangen. Es ordnet sich nach Auffassung der örtlichen Baubehörde bezüglich Körnung in die bestehende Bebauung ein und passe in den grundlegenden Abmessungen gut in den Kontext der Altstadt. Das Volumen verfüge über zwei sehr unterschiedliche Ausprägungen zur Stadt und zum Park. Während die Kubatur auf der Nordwestseite eher kubisch und weitgehend orthogonal gestaltet sei, finde die freie geometrische Gestaltung an der Südseite eine Vermittlungsposition zum Park. Die vorgelagerten Terrassen und Treppenverbindungen bildeten eine eigene Aussenraum-Landschaft. Eine Beruhigung der Erscheinung könne sowohl die Innenräumlichkeiten als auch die aussenräumlichen Qualitäten stärken. Die Lage des Gebäudes am Ende einer Sackgasse und der grössere "Fussabdruck" im Vergleich zum Bestand schränke die Zugänglichkeit ein. Dank eines Autolifts könne auf eine Garageneinfahrt verzichtet werden. Die topographischen Übergänge seien sorgfältig gestaltet. Der alte Baumbestand bleibe erhalten. Die vorgesehene Fassadengestaltung sei im Grundprinzip verwandt mit den quartiertypischen Fassaden. Ergänzend wies das Baurekursgericht darauf hin, dass jedes Geschoss einen polygonalen und zudem unterschiedlichen Grundriss aufweise, wobei sich der Gebäudekörper nach oben stark verjünge, namentlich auf der Süd- und der Westseite, also gegen die unüberbauten Flächen hin, während Stufung und Polygonalität nach Norden und Osten weniger ausgeprägt seien. Die Längsseiten des Gebäudes seien nach Westen, Osten und Süden ausgerichtet, die Schmalseite nach Norden. Die Terrassen bildenden einzelnen Geschosse seien insbesondere im südwestlichen Bereich mit Treppen untereinander verbunden, was den Eindruck des Kaskadenhaften noch verstärke. Besagte Elemente in jenem Bereich - Verzicht auf Orthogonalität, Stufung und Treppen - gäben dem Gebäude zusammen mit den unregelmässig gesetzten Fenstern mit ausgeprägt breiten Einfassungen, mit unterschiedlichen Grössen und mit unterschiedlichen Proportionen sein markantes, bewegtes Gepräge.
In Bezug auf die von den Beschwerdeführern kritisierte fehlende Rücksichtnahme auf die benachbarten unter Denkmalschutz stehenden Gebäude an der Winkelwiese, legt die Vorinstanz dar, die Bausektion des Stadtrats Zürich habe ihr Ermessen bei der Beurteilung der Einordnung rechtmässig ausgeübt. Auch das Baurekursgericht halte richtig fest, dass mit dem Projekt gestalterisch ein ganz erheblicher Gegensatz zu den Gebäuden Winkelwiese 4 und insbesondere 5 und 6 geschaffen werde. Die Anforderungen an eine gute Gestaltung verlangten indessen keineswegs zwingend eine baustilistische Angleichung.
7.4. Die vorinstanzliche Beurteilung ist auch unter Berücksichtigung der im bundesgerichtlichen Verfahren erhobenen Kritik nicht zu beanstanden. Das umstrittene Gebäude ist in etwa am gleichen Standort wie die bestehende Villa geplant und weist zum Haus Winkelwiese 5 einen Abstand von 7,5 m auf. Die beiden Gebäude sind indessen zueinander verschoben, wie dies bereits im Verhältnis zur abzubrechenden Villa zutraf. Beim besagten Abstand handelt es sich mithin um die Distanz zwischen der Nordostecke des geplanten Neubaus und der Südwestecke des Gebäudes Winkelwiese 5 und nicht etwa um den Abstand zweier Fassaden, die sich gegenüberstehen. Dadurch wird die Nähe der beiden Bauten - wie im angefochtenen Entscheid festgehalten wird - wesentlich entschärft. Der Abstand des Neubaus zum Gebäude Winkelwiese 6 beträgt bereits rund 30 m. Wenn die Vorinstanzen in dieser Lage des Neubaus keine Verletzung der anzuwendenden Einordnungsvorschriften erblickten, liegt darin keine Willkür.
Zur Beanstandung der Gebäudehöhe und der Geschosszahl im Verhältnis zum Haus Winkelwiese 5 ist zu beachten, dass dessen Gebäudehöhe ca. 11 m und die Gesamthöhe (Summe von Gebäude- und Firsthöhe) ca. 16 m beträgt. Der Vergleich allein der Gebäudehöhen wird nach den Ausführungen des Verwaltungsgerichts der tatsächlichen Situation indessen nicht gerecht, weil das oberste Geschoss des Neubaus wegen dessen Ausgestaltung rechtlich ein Vollgeschoss darstelle und damit dessen Gebäudehöhe von 16.15 m der Gesamthöhe entspreche. Die Gesamthöhe als solche sei (nur) rund 2 m höher als jene des Gebäudes Winkelwiese 5. Das oberste Geschoss sei zwar rechtlich ein Vollgeschoss, vermittle aber optisch infolge der konkreten Ausgestaltung den Eindruck eines Attikageschosses, weshalb auch hinsichtlich der Anzahl Geschosse keine Verletzung der Einordnungsvorschriften vorliege. Weiter berücksichtigte die Vorinstanz, dass das umstrittene Projekt als Siegerprojekt aus einem zweistufigen Wettbewerb hervorgegangen ist. Die Durchführung eines Wettbewerbs erhöhe generell die Qualität des Bauprojekts und erlaube der Bewilligungsbehörde, ihren Entscheid auf eine breite, fachlich abgestützte Entscheidungsgrundlage zu stellen. Die Überlegungen der Bausektion der Stadt Zürich zur Einordnung und Gestaltung des streitigen Bauprojekts in der Baubewilligung seien auf jeden Fall nachvollziehbar und überzeugten. Es liege keine Rechtsverletzung vor.
7.5. Die Beschwerdeführer im Verfahren 1C_629/2013 beanstanden, mit den vorinstanzlichen Ausführungen werde keine besondere Rücksichtnahme im Sinne von § 238 Abs. 2 PBG/ZH dargetan. Mit Blick auf die sehr kurze Distanz zur Winkelwiese 5 müssten sehr hohe Anforderungen an die Rücksichtnahme gestellt werden, die hier nicht erfüllt seien. Das oberste Geschoss erscheine nur zur West- und Südseite als Attikageschoss, während es gegen Norden und Osten zum Schutzobjekt Winkelwiese 5 hin wie ein Vollgeschoss wirke.
Die wiedergegebenen Erwägungen der Vorinstanzen sind grundsätzlich haltbar. In Bezug auf die Erscheinung des obersten Stockwerks als Attikageschoss ergibt sich aus dem Entscheid des Baurekursgerichts, dass dieses Stockwerk sich aufgrund seiner Farbe und/oder Materialisierung sowie der bandartigen Fensteranordnung von den darunter liegenden Stockwerken abhebt. Das Baurekursgericht erwägt, die Baubehörde gehe zu Recht davon aus, dass diese Gestaltungselemente im Verein mit dem reduzierten Grundriss zum Erscheinungsbild eines Attikageschosses führten. An diesem Eindruck ändere auch nichts, dass dieses Stockwerk nicht unbedingt leichter als der darunter liegende Baukörper in Erscheinung trete. Massgebend sei einzig, dass es sich gestalterisch abhebe und damit ein eigenes, vom Rest abgehobenes Gebäudesegment, eben den Attikabereich, markiere.
Diese Erläuterungen, denen das Verwaltungsgericht im Ergebnis gefolgt ist, sind jedenfalls haltbar und belegen, dass die Vorinstanzen die Frage der besonderen Rücksichtnahme sowie der guten Einordnung und Gesamtwirkung an einer städtisch empfindlichen Lage detailliert und umfassend geprüft haben. Sie haben der bestehenden besonderen Situation der grossen Solitärbauten an der Winkelwiese mit ihrer versetzten Anordnung und den im Vergleich zur Gebäudehöhe relativ kleinen Gebäudeabständen Rechnung getragen und geprüft, ob entsprechend den rechtlichen Vorgaben eine sorgfältige, repräsentative Gestaltung vorliegt. Das Ergebnis dieser Prüfung ist im Hinblick auf die erhobenen Rügen unter dem Gesichtspunkt des Willkürverbots nicht zu beanstanden.
8.
Schliesslich beschweren sich die Beschwerdeführer im Verfahren 1C_629/2013 darüber, dass weder das Baurekursgericht noch das Verwaltungsgericht einen Augenschein durchgeführt hat. Das Baurekursgericht nahm keinen Augenschein vor, weil es die Örtlichkeiten aufgrund eines Augenscheins im Verfahren betreffend die Unterschutzstellung des Gartens der Villa Landolt kannte. Im Übrigen sind die tatsächlichen Verhältnisse in den Akten sehr gut dokumentiert, so dass kein Anlass für einen Augenschein des Verwaltungsgerichts bestand. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) wegen des Verzichts auf einen Augenschein liegt nicht vor.
9.
Es ergibt sich, dass die Beschwerden abzuweisen sind, soweit darauf eingetreten werden kann. Damit werden die unterliegenden Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Sie haben dem anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 und 4 BGG). Den kommunalen und kantonalen Behörden steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die bundesgerichtlichen Verfahren 1C_629/2013 und 1C_630/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde der Zürcherische Vereinigung für Heimatschutz (Verfahren 1C_630/2013) wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_629/2013 wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 6'000.-- werden zu 1/3 der Zürcherische Vereinigung für Heimatschutz und zu 2/3 den privaten Beschwerdeführern auferlegt.
5.
Die Zürcherische Vereinigung für Heimatschutz hat dem privaten Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen. Die privaten Beschwerdeführer (Verfahren 1C_629/2013) haben dem privaten Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- unter solidarischer Haftbarkeit zu bezahlen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Bausektion der Stadt Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Haag