Faits:
A.
O._, placé sous tutelle, a bénéficié de prestations complémentaires à une rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er janvier 2010 (décision du Service des prestations complémentaires de la République et canton de Genève [ci-après: le SPC] du 26 mai 2010). Ces prestations de droit cantonal et fédéral ont été déterminées en fonction d'une prestation d'invalidité versée par la Caisse X._, prise en compte à titre de revenu déterminant à hauteur de 55'135 fr. 20 par année.
Informé au cours de l'année 2010 par le Service des tutelles d'adultes du canton de Genève (STA; depuis le 1er janvier 2013, Service de protection de l'adulte) des modifications régulières du montant de la rente de la Caisse X._, le SPC a, par décision du 17 novembre 2010, modifié le montant des prestations complémentaires en fonction de ces changements, avec effet rétroactif au moment où ils étaient intervenus.
Par courriers datés du 3 mai 2011, puis du 5 août suivant, le STA a communiqué au SPC que les prestations de la Caisse X._ s'étaient modifiées à partir du 1er avril, respectivement du 1er juillet 2011, de sorte que celui-ci a, par décision du 19 octobre 2011, procédé à une adaptation rétroactive des prestations complémentaires à compter des mois de mai et août 2011 et déterminé les prestations complémentaires dues à partir du 1er novembre 2011. Par courrier du 31 octobre 2011, le STA s'est opposé à cette décision, en demandant que les nouveaux montants de la rente soient pris en compte dès le moment où les modifications étaient intervenues (soit avril et juillet 2011) et non à partir de la date où il avait informé l'administration de celles-ci.
Par décision du 17 avril 2012, tenant derechef compte des modifications de la rente de la Caisse X._ (valables dès le 1er octobre 2011, respectivement le 1er janvier 2012) signalées par le STA par envoi des 3 novembre 2011 et 30 mars 2012, le SPC a modifié les prestations complémentaires avec effet rétroactif au 1er novembre 2011, respectivement au 1er janvier 2012. Cette adaptation laissait apparaître un solde de 1008 fr. en faveur du SPC, dont celui-ci a demandé le remboursement. Le SPC a par ailleurs fixé le montant des prestations complémentaires à partir du 1er mai 2012. Le STA s'est opposé à cette décision.
Le 30 octobre 2012, le SPC a rejeté les deux oppositions formées par le STA. Il a joint à sa décision sur opposition deux plans de calculs rétroagissant au 1er avril 2012 et tenant compte de changements dans le montant de la rente de la Caisse X._ communiqués par courriers datés des 11 mai et 15 août 2012. Il résultait du nouveau calcul qu'un montant de 2170 fr. avait été versé à tort à O._ du 1er avril au 31 octobre 2012, dont le SPC a réclamé la restitution. L'administration a également fixé à 3724 fr. le montant des prestations complémentaires auxquelles avait droit O._ à partir du 1er novembre 2012.
B.
Pour son pupille, le STA a déféré la décision du 30 octobre 2012 à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Cour des assurances sociales. Par jugement du 13 juin 2013, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours au sens des considérants (ch. 2 du dispositif) et annulé la décision du 30 octobre 2012 en tant qu'elle réclamait la restitution du montant de 2170 fr. (ch. 3 du dispositif).
C.
Le SPC interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation en tant qu'il concerne les prestations complémentaires fédérales.
Le Service de protection de l'adulte conclut au rejet du recours et sollicite l'assistance judiciaire pour O._.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recourant a correctement limité ses conclusions aux prestations complémentaires de droit fédéral dans la mesure où il n'a pas qualité pour former un recours en matière de droit public portant sur de telles prestations prévues par le droit cantonal (<ref-ruling> consid. 2.3.4 p. 60).
1.2. Saisi d'un recours en matière de droit public (<ref-law>), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (<ref-law>) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il examine en principe seulement les griefs motivés (<ref-law>) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
2.1. La juridiction cantonale a constaté qu'il s'agissait en l'occurrence d'adapter les prestations complémentaires de l'ayant droit aux variations de la rente perçue de la part de la Caisse X._, de sorte qu'était applicable l'art. 25 al. 1 let. c OPC-AVS/AI (RS 831.301), qui avait trait à l'éventualité d'une diminution ou d'une augmentation d'un revenu déterminant. Les revenus du bénéficiaire avaient diminué à compter du 1er avril 2011, puis du 1er juillet 2011, entraînant à chaque fois une augmentation de l'excédent des dépenses, et donc une augmentation des prestations complémentaires. Aussi, en application de l'<ref-law>, le SPC avait-il à juste titre pris en compte ces modifications seulement à partir du début du mois auquel ces changements avaient été annoncés, soit début mai et début août 2011; la décision du 19 octobre 2011 était correcte. Il en allait de même de la baisse de revenus intervenue en octobre 2011 et annoncée le mois suivant, qui ne devait être prise en considération qu'à compter du mois de novembre 2011, comme l'avait fait le SPC dans sa décision du 17 avril 2012. En revanche, le SPC ne pouvait réclamer la restitution du montant versé en trop au bénéficiaire, dès lors qu'il n'y avait pas eu de violation du devoir de renseigner, condition à laquelle une restitution était possible en vertu de l'art. 25 al. 2 let. c et d OPC-AVS/AI. La décision (sur opposition) de l'administration ne pouvait donc produire ses effets qu' ex nuncet pro futuro, et devait être annulée sur ce point.
2.2. Invoquant une violation du droit fédéral, le recourant fait valoir qu'il n'avait pas connaissance des augmentations successives des rentes de l'ayant droit, que celui-ci avait annoncées après leur survenance. La situation était donc similaire à celle qui avait été tranchée par l'<ref-ruling>, de sorte que le nouveau calcul des prestations auquel il avait procédé avec effet ex tunc était conforme au droit. Par le biais de la décision du 17 avril 2012 et de la décision sur opposition du 30 octobre 2012, il avait pris en considération les augmentations successives des rentes avec effet ex tunc, afin d'éviter que l'intimé ne fût doublement indemnisé, respectivement ne perçût pour la même période des rentes de la prévoyance professionnelle d'un certain montant et des prestations complémentaires calculées sur la base de "rentes LPP" d'un montant inférieur. De l'avis du recourant, il était ainsi fondé, conformément à l'<ref-law>, à demander le remboursement des prestations indûment versées pour un montant total de 3178 fr. (demande de remboursement de 1008 fr. comprise dans la décision du 17 avril 2012 et demande de remboursement de 2170 fr. comprise dans la décision sur opposition du 30 octobre 2012).
3.
3.1. Compte tenu des motifs et conclusions du recours, le recourant ne s'en prend au jugement entrepris qu'en tant qu'il nie l'obligation de l'intimé de lui restituer les prestations qu'il a, de son avis, versées en trop à celui-ci. Dans le jugement entrepris, les premiers juges n'ont fait mention que du montant de 2170 fr. en lien avec la restitution, tel que réclamé par le recourant dans la décision sur opposition du 30 octobre 2012 à titre de prestations versées en trop pour la période du 1er avril au au 31 octobre 2012. Ils n'ont en revanche pas fait état de la demande de restitution comprise dans la décision du 17 avril 2012 et portant sur un montant de 1008 fr., que le recourant soutient avoir versé en trop à l'intimé pour la période courant du 1er novembre 2011 au 30 avril 2012.
3.2. En ce qui concerne tout d'abord la restitution portant sur 2170 fr., on constate que la manière de procéder du recourant n'est pas conforme au droit. Alors qu'il était saisi de deux oppositions de l'intimé contre ses décisions des 19 octobre 2011 et 17 avril 2012, il a, dans la décision sur opposition du 30 octobre 2012, statué d'une part sur celles-ci en les rejetant. D'autre part, il a réclamé pour la première fois la restitution de 2170 fr. correspondant aux prestations versées en trop du 1er avril au 31 octobre 2012 ("décision en remboursement supplémentaire", selon les termes du recours) en fonction des nouveaux plans de calcul qu'il a établis pour la période courant depuis le 1er avril 2012 ("Plan[s] de calcul et décompte[s] sur opposition). Ce faisant, le recourant s'est prononcé dans la décision sur opposition sur un rapport de droit et un état de fait qui n'avaient pas fait l'objet des décisions auxquelles s'était opposé l'intimé; celles-ci modifiaient le droit aux prestations complémentaires de l'assuré avec effet ex nuncet pro futuro à partir du 1er mai 2011, respectivement du 1er novembre 2011, et n'impliquaient pas l'examen de l'obligation de restituer des prestations pour la période courant à partir du 1er avril 2012.
Le recourant n'a par conséquent pas procédé conformément aux règles de procédure de la LPGA (RS 830.1), qui impose à l'organe d'exécution du régime des prestations complémentaires de rendre d'abord une décision (<ref-law>), avant de se prononcer à nouveau, si celle-ci est contestée par l'intéressé, par une décision sur opposition (<ref-law>; <ref-law>). Aussi, le recourant ne pouvait-il valablement statuer sur l'obligation de restitution en cause dans la décision sur opposition du 30 octobre 2012. Si c'est à juste titre que la juridiction cantonale a en conséquence annulé ledit prononcé sur ce point, elle n'aurait en revanche pas dû entrer en matière et statuer sur l'obligation de restitution des prestations pour la période courant à partir du 1er avril 2012 au 31 octobre 2012. Tant le jugement entrepris que la décision sur opposition du 30 octobre 2012 doivent donc être annulés en tant qu'ils se prononcent sur l'obligation de restitution pour ladite période.
3.3. En ce qui concerne ensuite la demande de remboursement de 1008 fr. pour des prestations versées en trop du 1er novembre 2011 au 30 avril 2012, laquelle a fait l'objet de la décision du 17 avril 2012, elle n'a pas été examinée par la juridiction cantonale, qui n'en a pas fait mention dans son jugement. Les conclusions dont l'avaient saisie le STA portaient certes sur la date à partir de laquelle les modifications de la rente versée à son pupille devaient être prises en compte, et non sur le principe de la restitution du montant de 1008 fr., tel que fixé par la décision du 17 avril 2012. Le point de savoir à partir de quand les changements intervenus devaient être pris en considération avait cependant une influence sur l'obligation éventuelle de restitution de prestations versées en trop de la part de l'ayant droit, respectivement sur l'étendue de cette obligation. Aussi, la juridiction cantonale aurait-elle dû, après avoir statué sur l'adaptation des prestations en cause, examiner l'obligation de restitution de 1008 fr., confirmée par le recourant avec le rejet de l'opposition formée à l'encontre de la décision du 17 avril 2012. A défaut de toute considération et constatation sur cet aspect du litige dans le jugement entrepris, il convient de renvoyer la cause aux premiers juges pour qu'ils se prononcent sur ce point.
3.4. Il résulte de ce qui précède que le jugement entrepris et la décision sur opposition du 30 octobre 2012 doivent être annulés dans la mesure où ils se prononcent sur l'obligation de restitution du 1er avril 2012 au 31 octobre 2012. La cause doit par ailleurs être renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour qu'elle statue sur l'obligation de restitution pour la période de novembre 2011 à avril 2012. Le recours est partiellement admis dans ce sens.
4.
Vu l'issue de la procédure, dans lequel le recourant n'obtient que partiellement gain de cause, dans la mesure où il conclut à l'annulation du jugement entrepris, il convient de mettre à sa charge les frais judiciaires y afférents. Il est par ailleurs statué sans dépens, l'intimé étant représenté par le Service de protection de l'adulte. Sa demande d'assistance judiciaire est sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis en ce sens que la décision de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 13 juin 2013 et la décision sur opposition du Service des prestations complémentaires du 30 octobre 2012 sont annulées dans la mesure où elles se prononcent sur l'obligation de restitution de prestations complémentaires pour la période courant du 1er avril au 31 octobre 2012. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour qu'elle statue sur l'obligation de restituer les prestations complémentaires pour la période courant de novembre 2011 à avril 2012.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless