Sachverhalt:
A. Am 19. August 2010 hiess das Bundesgericht eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten des Kantons Aargau gegen M._ und Z._ gut und hob den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 23. Oktober 2009 auf (Dispositiv-Ziffer 1). Es gewährte den Beschwerdegegnerinnen die unentgeltliche Rechtspflege (Dispositiv-Ziffer 2-4) und wies die Sache zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zurück (Dispositiv-Ziffer 5; 8C_1025/2009).
B. Am 27. Oktober 2010 entschied das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 4. Kammer, neu wie folgt:
B. Am 27. Oktober 2010 entschied das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 4. Kammer, neu wie folgt:
"1. Die verwaltungsgerichtlichen Verfahrenskosten bestehend aus einer Staatsgebühr von Fr. 800.00 sowie der Kanzleigebühr und den Auslagen von Fr. 260.00, gesamthaft Fr. 1'060.00, sind von den Beschwerdeführerinnen unter solidarischer Haftbarkeit zu bezahlen. Der Betrag wird zufolge unentgeltlicher Rechtspflege einstweilen und unter Vorbehalt späterer Rückforderung vorgemerkt.
2. Dem unentgeltlichen Rechtsvertreter der Beschwerdeführerinnen ist für das verwaltungsgerichtliche Verfahren eine Entschädigung in richterlich festgesetzter Höhe von Fr. 2'480.60 (inkl. Fr. 175.20 MWSt) durch die Obergerichtskasse auszurichten."
C. Mit Eingabe vom 16. November 2010 lassen M._ und Z._ dem Bundesgericht folgendes Berichtigungs-, eventuell Erläuterungsbegehren stellen: (1.) "Ziffer 1 des Dispositivs des Urteils des Bundesgerichts vom 19. August 2010 sei zu berichtigen und die Sache sei zur vollständigen Neubeurteilung gemäss den bundesgerichtlichen Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zurückzuweisen." (2.) "Eventualiter: In Erläuterung des Dispositivs des Urteils des Bundesgerichts vom 19. August 2010 sei festzuhalten, dass das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau im Rahmen der Rückweisung einen Entscheid über die von den Gesuchstellerinnen mit Beschwerde vom 9. Juli 2009 geltend gemachten Rechtsbegehren zu fällen hat." Zudem ersuchen sie um unentgeltliche Rechtspflege.
D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 19. November 2010 lassen M._ und Z._ beantragen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 27. Oktober 2010 sei aufzuheben, und es sei die Sache zur vollständigen Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Überdies wird um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.

Erwägungen:
1. Dem angefochtenen kantonalen Gerichtsentscheid und dem Bundesgerichtsurteil vom 19. August 2010 sowie den Eingaben in den Verfahren 8G_4/2010 und 8C_869/2010 liegt derselbe Sachverhalt zu Grunde und es stellen sich die gleichen Rechtsfragen, weshalb die beiden Verfahren zu vereinigen sind.
2. 2.1 Ist das Dispositiv eines bundesgerichtlichen Entscheids unklar, unvollständig oder zweideutig, stehen seine Bestimmungen untereinander oder mit der Begründung im Widerspruch oder enthält es Redaktions- oder Rechnungsfehler, so nimmt das Bundesgericht auf schriftliches Gesuch einer Partei oder von Amtes wegen die Erläuterung oder Berichtigung vor (<ref-law>; zum möglichen Gegenstand einer Erläuterung vgl. Pierre Ferrari, Commentaire de la LTF, 2009, N. 4 zu <ref-law>). Die Erläuterung eines Rückweisungsentscheids ist nur zulässig, solange die Vorinstanz nicht den neuen Entscheid getroffen hat (<ref-law>). Diesfalls besteht die Möglichkeit der Anfechtung des neuen Entscheids. In diesem Rahmen kann das Bundesgericht die Bedeutung seines Rückweisungsentscheids klarstellen und überprüfen, ob der neue Entscheid der Vorinstanz dieser entspricht (Elisabeth Escher, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 5 zu <ref-law>; vgl. zur gleichen Regelung in Art. 145 OG auch Poudret/Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, 5. Band, 1992, N. 5 zu Art. 145 OG). Das Gleiche gilt, wenn das Bundesgericht ohne ausdrückliche Rückweisung einen Kassationsentscheid fällt, in dessen Folge die Vorinstanz neu zu entscheiden hat (Urteil 4G_1/2009 vom 5. Mai 2009 E. 1.2).
2.2 Vorliegend hat das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau im Nachgang zum Urteil des Bundesgerichts vom 19. August 2010 den Entscheid vom 27. Oktober 2010 gefällt. Eine Erläuterung oder Berichtigung sowohl von Amtes wegen wie auch auf Gesuch hin erweist sich somit nach <ref-law> als unzulässig.
2.3 Auf das Berichtigungs- bzw. Erläuterungsgesuch kann demnach - ohne Durchführung eines Schriftenwechsels (Art. 129 Abs. 3 in Verbindung mit <ref-law>) - nicht eingetreten werden.
3. Zu prüfen bleibt die gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 27. Oktober 2010 gerichtete Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten.
3.1 Im angefochtenen Entscheid hat das kantonale Gericht erwogen, das Bundesgericht habe mit seinem Urteil vom 19. August 2010 den kantonalen Gerichtsentscheid vom 23. Oktober 2009 vollumfänglich aufgehoben und die Sache nur zum neuen Entscheid über die Kosten des kantonalen Verfahrens zurückgewiesen. Aus dem Urteilsdispositiv und den bundesgerichtlichen Erwägungen folge, dass die Beschwerde gegen die Entscheide der Sozialbehörden und des Regierungsrates als abgewiesen zu betrachten seien. Daraus schloss das Verwaltungsgericht, dass es einzig die Verteilung der Verfahrenskosten für das kantonale Verfahren vorzunehmen habe, ohne in der Sache selber einen neuen Entscheid fällen zu müssen. Es hiess daher lediglich das im früheren vorinstanzlichen Verfahren gestellte Gesuch der Beschwerdeführerinnen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gut, bestellte Rechtsanwalt Markus Weber zum unentgeltlichen Rechtsvertreter und verlegte die Verfahrenskosten neu.
3.2 Die Beschwerdeführerinnen wenden ein, der angefochtene Entscheid sei unvollständig und stelle aufgrund der damit unbeurteilt gebliebenen Anträge gemäss Beschwerde vom 9. Juli 2009 betreffend Bemessung der Sozialhilfe eine Rechtsverweigerung dar.
Wie die Beschwerdeführerinnen in diesem Zusammenhang zu Recht vorbringen, bildete lediglich die Rechtsgrundlage des Anspruchs auf Sozialhilfe Gegenstand des bundesgerichtlichen Urteils. Gemäss den bundesgerichtlichen Erwägungen ist für den Umfang des Anspruchs auf Unterstützungsleistungen nicht der Status der vorläufigen Aufnahme der ausländischen Personen massgebend, sondern ob sie als "vorläufig aufgenommen" oder als "vorläufig aufgenommen mit Flüchtlingseigenschaft" gelten. Laut Bundesgerichtsurteil verstösst es gegen Bundesrecht, wenn das Verwaltungsgericht vorläufig aufgenommene Ausländer, die nicht gleichzeitig als Flüchtlinge anerkannt sind und vorläufig aufgenommene Flüchtlinge fürsorgerechtlich gleichstellt und den Kanton damit verpflichtet, diesen im gleichen Umfang Sozialhilfe zu gewähren wie den anerkannten Flüchtlingen. Dies führte zur Gutheissung des Beschwerde des Kantons Aargau, welcher vor Bundesgericht die Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts vom 23. Oktober 2009 und die Rückweisung der Streitsache an die Vorinstanz beantragt hatte.
3.3 Über die in der Beschwerde gegen den Regierungsratsentscheid vom 17. Juni 2009 gerichteten Anträge wurde damit jedoch noch nichts entschieden. Aus diesem Grund stellt das Bundesgerichtsurteil vom 19. August 2010 sinngemäss auch in der Sache selbst nicht einen End- sondern einen Rückweisungsentscheid dar. Das kantonale Gericht hätte daher nicht allein über die Neuverlegung der Kosten, sondern auch über die weiteren, bisher unbeurteilt gebliebenen Rechtsbegehren der Beschwerdeführerinnen gemäss Beschwerde vom 9. Juli 2009 betreffend den Anspruch auf Sozialhilfe befinden müssen.
3.4 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit gutzuheissen und die Sache in diesem Sinne an das kantonale Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Auf die Durchführung eines Schriftenwechsels kann ausnahmsweise verzichtet werden, nachdem die Rückweisung dem ursprünglichen Antrag des Kantons Aargau entspricht (E. 3.2)
4. Das mit der Beschwerde verbundene Gesuch um aufschiebende Wirkung wird mit dem vorliegenden Urteil gegenstandslos.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>) und die Beschwerdeführerinnen (8C_869/2010) bzw. Gesuchstellerinnen (8G_4/2010) sind für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 8G_4/2010 und 8C_869/2010 werden vereinigt.
2. Auf das Erläuterungsgesuch 8G_4/2010 wird nicht eingetreten.
3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten 8C_869/2010 wird gutgeheissen und die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen, damit es in Nachachtung des bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheids vom 19. August 2010 über die Beschwerde vom 9. Juli 2009 gegen den Regierungsratsentscheid vom 17. Juni 2009 im Sinne der Erwägungen vollumfänglich neu entscheide.
4. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5. Die Beschwerdeführerinnen bzw. Gesuchstellerinnen werden aus der Bundesgerichtskasse für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- entschädigt.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer