Sachverhalt:
A. Y._ verletzte sich am xxx und xxx bei der Arbeit am rechten Ellenbogen. Für die gesundheitlichen und erwerblichen Folgen beider Ereignisse erbrachte die obligatorische Unfallversicherung die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Im März 2002 meldete sich Y._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Einholung des Gutachtens Dr. med. R._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 14. Februar 2006) sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 10. März 2006 eine ganze Rente ab 1. April 2002 zu. Die Verfügung wurde auch der Pensionskasse Swiss Dairy Food AG eröffnet. Diese richtete ab 1. Mai 2009 Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge im Rahmen des BVG-Obligatoriums aus.
Auf Veranlassung der Pensionskasse Swiss Dairy Food AG wurde Y._ am 21. September 2010 durch Dr. med. S._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, begutachtet (Expertise vom 9. November 2010). Mit Schreiben vom 4. März 2011 teilte die Pensionskasse mit, dass die Invalidenleistungen auf Ende Februar 2011 eingestellt würden. Ende März 2011 leitete die IV-Stelle ein Revisionsverfahren ein. Mit Mitteilung vom 28. Oktober 2011 stellte sie fest, dass mangels einer Änderung des Invaliditätsgrades weiterhin Anspruch auf die bisherige Invalidenrente bestehe. Eine Kopie des Schreibens ging auch an die Pensionskasse Swiss Dairy Food AG, die damit nicht einverstanden war und den Erlass einer beschwerdefähigen Verfügung verlangte.
B. Am 27. Februar 2012 liess Y._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, Klage gegen die Pensionskasse Swiss Dairy Food AG einreichen mit den Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm Invalidenleistungen seit 1. September 2005 von monatlich mindestens Fr. 3'938.85 (Fr. 2'599.15 [Hauptrente] zuzüglich 2 x Fr. 519.85 [Kinderrenten]) abzüglich bereits gewährter Leistungen von Fr. 30'015. 70 zu bezahlen sowie Zinsen von 5 % auf den nachzuzahlenden Leistungen seit deren Fälligkeit bzw. Klageeinleitung zu entrichten.
Das angerufene Gericht holte die Antwort der Beklagten ein, liess die IV- und UV-Akten sowie die einschlägigen Vorsorgereglemente edieren und führte einen zweiten Schriftenwechsel durch. Mit Entscheid vom 23. November 2012 hiess es die Klage gut und verpflichtete die Pensionskasse Swiss Dairy Food AG, Y._ basierend auf einem Invaliditätsgrad von 100 % ab 1. September 2005 die vollen gesetzlichen und reglementarischen Leistungen bei Invalidität zu erbringen, zuzüglich 5 % Verzugszins ab 27. Februar 2012 für die bis zur Klageeinleitung fällig gewordenen Betreffnisse und auf den seither fällig gewordenen ab dem jeweiligen Fälligkeitsdatum, unter Überweisung der Sache an die Vorsorgeeinrichtung zur Festsetzung der Rente.
C. Die Pensionskasse Swiss Dairy Food AG führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 23. November 2012 sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass der IV-Entscheid keine Bindungswirkung entfalte und sie nicht zuständig sei für die Ausrichtung von Invaliditätsleistungen; eventualiter seien der Invaliditätsgrad und die Rentenhöhe festzulegen.
In einer nachträglichen Eingabe hat die Beschwerdeführerin die Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens beantragt. Y._ hat sich dazu geäussert.

Erwägungen:
1. Das Hauptbegehren in der Beschwerde ist zulässig, soweit damit die Abweisung der Klage beantragt wird. Soweit weitergehend, ist darauf nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 48 zur Zulässigkeit von Feststellungsbegehren im Bereich der beruflichen Vorsorge) ebenso wenig wie auf den nachträglich - nach Ablauf der Rechtsmittelfrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) - gestellten Antrag auf Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens. Darüber hätte gegebenenfalls die Vorinstanz zu entscheiden (vgl. Urteil 9C_430/2012 vom 6. Dezember 2012 E. 4).
2. Die Vorinstanz hat die grundsätzliche Leistungspflicht der beklagten Vorsorgeeinrichtung und heutigen Beschwerdeführerin im Wesentlichen mit folgender Begründung bejaht: Die hauptsächlich auf das psychiatrische Gutachten des Dr. med. R._ vom 14. Februar 2006 gestützte Zusprechung einer ganzen Rente der Invalidenversicherung ab 1. April 2002 mit Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 10. März 2006 könne (bezüglich Invaliditätsgrad und Leistungsbeginn) nicht als offensichtlich unhaltbar bezeichnet werden und sei daher für die Beklagte bindend (unter Hinweis auf Art. 23 BVG, in der bis 31. Dezember 2004 in Kraft gewesenen Fassung). Eine Verbesserung des Gesundheitszustandes seit der Begutachtung sei nicht ausgewiesen. Im Übrigen hätte die Beklagte diesbezügliche Einwendungen gegenüber der Invalidenversicherung geltend zu machen und gegebenenfalls die noch ausstehende Revisionsverfügung anzufechten.
3. Die Vorinstanz hat in ihren Erwägungen nicht nach Invalidenleistungen der obligatorischen oder der überobligatorischen beruflichen Vorsorge differenziert. Die Bindungswirkung der IV-Rentenzusprechung insbesondere in Bezug auf den Invaliditätsgrad gilt für den weiter gehenden Vorsorgebereich indessen nur, soweit das Vorsorgereglement vom selben Invaliditätsbegriff wie die Invalidenversicherung ausgeht (<ref-ruling> E. 2c S. 212; Urteil 9C_689/2008 vom 25. Februar 2009 E. 1.2). Dies trifft hier nicht zu. Nach Art. 3 Ziff. 3 Satz 2 des anwendbaren Personalvorsorgereglements (Fassungen vom 1. Januar oder 1. Dezember 2002) kann der Stiftungsrat im ausserobligatorischen Bereich aufgrund eines Berichts eines Vertrauensarztes einen [vom Entscheid der Eidgenössischen Invalidenversicherung (IV); Satz 1] abweichenden Invaliditätsgrad festlegen. Weiter hat das kantonale Berufsvorsorgegericht unberücksichtigt gelassen, dass die Beschwerdeführerin ab 1. Mai 2009 Leistungen im Rahmen der obligatorischen beruflichen Vorsorge ausgerichtet hatte. Darauf konnte sie in sinngemässer Anwendung der bei Renten der Invalidenversicherung geltenden Bestimmungen (Art. 17 Abs. 1 ATSG [materielle Revision] sowie Art. 53 Abs. 1 und 2 ATSG [prozessuale Revision, Wiederwägung]) zurückkommen und die Leistungen mit Wirkung ex nunc oder allenfalls ex tunc herabsetzen oder aufheben (<ref-ruling> E. 3.1-3 S. 414 ff.).
4. 4.1 Die Beschwerde führende Vorsorgeeinrichtung vermag keine zweifellose Unrichtigkeit ("Unvertretbarkeit"; SVR 2011 IV Nr. 71 S. 213, 9C_994/2010 E. 3.2.1) der IV-Rentenzusprechung im wiedererwägungsrechtlichen Sinne darzutun. Ihre Vorbringen sind in weiten Teilen appellatorischer Natur, indem lediglich die eigene bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgetragene Sichtweise dargelegt wird und eine Auseinandersetzung mit den diesbezüglichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid fehlt oder nicht hinreichend substanziiert erfolgt, was nicht genügt (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; Urteil 4A_65/2008 vom 3. August 2009 E. 3.1 und 3.2 mit Hinweisen). So erwähnt die Beschwerdeführerin zwar die Rechtsprechung, wonach in Fällen, wo verschiedene Gesundheitsschädigungen zur Invalidität beitragen, je gesondert zu prüfen ist, ob die jeweilige Arbeitsunfähigkeit während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses eingetreten ist (<ref-ruling> E. 6.3 S. 419 f. mit Hinweis). Sie legt indessen nicht dar, inwiefern die Vorinstanz diese Rechtsprechung zu Unrecht nicht oder in bundesrechtswidriger Weise angewendet hat. Aufgrund der Akten ist zwar davon auszugehen, dass bei Ablauf der Wartezeit im April 2002 aus orthopädischer Sicht (noch) keine Arbeitsfähigkeit gegeben war. Gemäss Feststellung der Vorinstanz bestand indessen seit der Operation vom 14. Dezember 2001 aus psychischen Gründen eine Arbeitsunfähigkeit von 100%. Die Zusprechung der ganzen Rente der Invalidenversicherung erfolgte denn auch wegen der psychiatrischen Diagnosen. Es ist nicht ersichtlich und die Vorsorgeeinrichtung legt auch nicht dar, inwiefern es von Bedeutung ist, dass allenfalls auch aus somatischer Sicht eine Invalidität bestand, zumal das Vorsorgeverhältnis bzw. die Versicherungsdeckung frühestens am 28. Februar 2003 endete (Art. 10 Abs. 3 BVG). Aus dem Gesagten ergibt sich auch, dass entgegen ihren Vorbringen der Beschwerdegegner nicht zwei Jahre nach dem (zweiten) Unfall vom 23. Juni 2000 vollzeitig im Einsatz stand. Weiter erwähnt die Beschwerdeführerin den Grundsatz "Eingliederung vor Rente" (vgl. dazu Urteil 9C_108/2012 vom 5. Juni 2012 E. 2.2.1). Sie unterlässt es indessen darzutun, inwiefern die Feststellung der Vorinstanz, die IV-Stelle habe bei Erlass der Verfügung vom 10. März 2006 und auch im Anschluss darnach diesem Grundsatz entsprechend Eingliederungsmassnahmen geprüft, offensichtlich unrichtig ist (Art. 97 Abs. 1 BGG und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
Die Beschwerdeführerin rügt die vorinstanzliche tatsächliche Feststellung, eine Verbesserung des Gesundheitszustandes seit der Begutachtung sei nicht ausgewiesen, nicht ausdrücklich als offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG). Mit ihren Vorbringen macht sie jedoch zumindest sinngemäss geltend, der Gesundheitszustand habe sich erheblich verbessert bzw. heute sei von nicht mehr invalidisierenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen auszugehen. Dabei beruft sie sich namentlich auf das von ihr eingeholte psychiatrische Gutachten vom 9. November 2010 und das im Unfallversicherungsverfahren erstellte Gutachten der Neurologischen Klinik und Poliklinik, Spital X._, vom 23. Juni 2010. Indessen legt sie nicht dar, inwiefern die Vorinstanz diese medizinischen Unterlagen willkürlich gewürdigt (Urteil 9C_106/2013 vom 4. März 2013 E. 2.1) und gestützt darauf Bundesrecht verletzende tatsächliche und rechtliche Schlüsse gezogen hat. Dies betrifft die Erwägungen im angefochtenen Entscheid zur Frage einer allfälligen Aggravation ebenso wie zum Beweiswert der Expertise vom 9. November 2010. Die weiteren Vorbringen, etwa die Vorinstanz habe die bei Schmerzkrankheiten zu beachtenden "Foerster-Kriterien" (vgl. SVR 2012 IV Nr. 32 S. 127, 9C_776/2010 E. 2.4) nicht geprüft, nehmen allesamt nicht Bezug auf die betreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid. Das kantonale Gericht hat eine psychische Komorbidität von erheblicher Schwere angenommen; die weiteren Kriterien hat es nicht geprüft. Darin ist kein Verstoss gegen die bundesgerichtliche Praxis bei somatoformen Schmerzstörungen zu erblicken (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354).
4.2 Die Vorinstanz hat den Anspruch des Klägers und heutigen Beschwerdegegners auf die vollen gesetzlichen und reglementarischen, d.h. (auch) auf die überobligatorischen Leistungen bei Invalidität im Grundsatz bejaht. Die Beschwerdeführerin bestreitet unter Hinweis auf Art. 3 Ziff. 3 Satz 2 des Personalvorsorgereglements eine über das BVG-Minimum hinausgehende Leistungspflicht. Sie rügt, das kantonale Berufsvorsorgegericht habe diese Bestimmung in willkürlicher Weise nicht angewendet. Diese Rüge ist von vornherein insofern unbegründet, als die Vorsorgeeinrichtung im vorinstanzlichen Verfahren keinen in Art. 3 Ziff. 3 Satz 2 des Personalvorsorgereglements vorgesehenen Stiftungsratsbeschluss einreichte. Bei dieser Rechtslage kann offenbleiben, ob und inwieweit der Bericht eines Vertrauensarztes im Sinne dieser Bestimmung - gestützt auf das im überobligatorischen Bereich u.a. geltende Willkürverbot und Gleichbehandlungsgebot (<ref-ruling> E. 3.2 S. 416) - den Anforderungen gemäss <ref-ruling> E. 3a S. 352 zu genügen hat.
4.3 Der vorinstanzlich festgesetzte reglementarische Leistungsbeginn ist unbestritten, ebenso die Verzugszinsen. Es besteht kein Anlass zu einer näheren Prüfung.
Die Beschwerde ist, soweit zulässig, unbegründet.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Mai 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Fessler