Sachverhalt:
A. Anfangs Mai 2006 bestellte die in Frankreich domizilierte Gesellschaft Y._ 24 Motorfahrzeuge der Marke Toyota bei der X._ AG in Zug und überwies ihr in der Folge EUR 55'243.20 als Anzahlung an den Kaufpreis. Der Vertrag wurde später aufgelöst und die Käuferin verlangte erfolglos die Rückerstattung der Anzahlung. Die X._ AG erhob Rechtsvorschlag gegen den ihr zugestellten Zahlungsbefehl.
B. Am 17. Februar 2009 reichte die Y._ beim Kantonsgericht Zug Klage gegen die X._ AG ein. Die Beklagte sollte verpflichtet werden, der Klägerin Fr. 88'803.44 nebst Zins zu 5 % pro Jahr seit 11. Mai 2006 als Rückerstattung der Anzahlung, Fr. 3'260.59 nebst Zins seit 12. September 2008 als weiteren Schaden, sowie die Betreibungskosten im Betrag von Fr. 100.-- zu bezahlen. Der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. vvv._ des Betreibungsamtes Zug sollte beseitigt werden.
Die Beklagte beantragte die Klageabweisung. Sie machte geltend, dass ihr die Passivlegitimation fehle, da sie nur als Vermittlerin gehandelt habe.
Das Kantonsgericht Zug hiess die Klage am 16. September 2010 gut. Es verpflichtete die Beklagte, der Klägerin EUR 55'243.20 nebst Zins zu 5 % seit 11. Mai 2006, EUR 2'028.36 nebst Zins zu 5 % seit 12. September 2008 (vorprozessuale Anwaltskosten) sowie CHF 100.-- Zahlungsbefehlskosten zu bezahlen. Der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. vvv._ des BA Zug für CHF 88'803.44 nebst Zins zu 5 % seit 11. Mai 2006 und CHF 3'260.59 nebst Zins zu 5 % seit 12. September 2008 wurde beseitigt. Das Kantonsgericht verwarf den Einwand fehlender Passivlegitimation der Beklagten und gab dem Begehren der Klägerin auf Rückerstattung der Kaufpreisanzahlung statt. Es sprach der Klägerin entgegen deren Rechtsbegehren EUR 55'243.20 (anstatt CHF 88'803.44) und EUR 2'028.36 (anstelle von CHF 3'260.59) zu. Zur Begründung führte das Kantonsgericht aus, die Beklagte könne nach der Praxis des Bundesgerichts im Erkenntnisverfahren nur zu einer Zahlung in der Fremdwährung verpflichtet werden. Das Kantonsgericht vertrat den Standpunkt, die Dispositionsmaxime sei beim derzeitigen Umrechnungskurs nicht tangiert.
Die Beklagte reichte beim Obergericht des Kantons Zug Berufung ein. Sie hielt am Einwand der fehlenden Passivlegitimation fest; sie rügte dagegen nicht, dass das angefochtene Urteil hinsichtlich der betroffenen Währung vom klägerischen Rechtsbegehren abwich.
Das Obergericht des Kantons Zug wies die Berufung mit Urteil vom 2. September 2011 ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Forderungsklage abzuweisen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Klägerin beantragt, es sei die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Endentscheid (<ref-law>) vom 2. September 2011 betrifft eine Zivilsache (<ref-law>) und ist von einem oberen kantonalen Gericht als Rechtsmittelinstanz ergangen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist mit ihren Anträgen unterlegen (<ref-law>), die vermögensrechtliche Angelegenheit übersteigt den erforderlichen Streitwert (<ref-law>) und die Beschwerde ist fristgerecht eingereicht worden (<ref-law>). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist unter Vorbehalt zulässiger (<ref-law>) und hinreichend begründeter Rügen (Art. 42 Abs. 1 i.V.m. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
2. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - jedoch nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; siehe auch <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen). Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 400; <ref-ruling> E. 3 S. 749). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht gemäss <ref-law> nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389).
Da die Beschwerde in Zivilsachen nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig ist (<ref-law>), kann auf Rügen nicht eingetreten werden, die sich direkt gegen den erstinstanzlichen kantonalen Entscheid richten (<ref-ruling> E. 2 S. 144). Vielmehr verlangt die Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs, dass insbesondere Rügen über die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vor der letzten kantonalen Instanz erhoben werden.
3. Im bundesgerichtlichen Verfahren stellt die Beklagte nicht mehr in Abrede, dass sie mit der Gegenpartei einen Kaufvertrag abgeschlossen hat. Es steht auch fest, dass dieser Vertrag vom Übereinkommen der Vereinten Nationen vom 11. April 1980 über Verträge über den internationalen Warenkauf (CISG; SR 0.221.211.1) geregelt wird. Der Vertrag ist im Sinne von Art. 81 ff. CISG aufgehoben worden. Die Klägerin darf ihre Anzahlung mit Zinsen gemäss Art. 81 Abs. 2 und 84 Abs. 1 CISG zurückfordern; in Folge der Vertragsverletzung der Vertragspartnerin kann sie auch Schadenersatz gemäss Art. 74 CISG verlangen.
Die Beschwerdeführerin rügt, die kantonalen Gerichte hätten mit der Gutheissung der Klage bzw. Abweisung der Berufung Art. 53 CISG und <ref-law> falsch angewendet. Sie bestreitet dabei nicht, dass die Forderungen der Beschwerdegegnerin zu Recht in der Fremdwährung EUR zugesprochen worden sind und dass die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt hat, wenn sie den erstinstanzlichen Entscheid schützte. Sie beruft sich allein auf den Umstand, dass das Begehren der Beschwerdeführerin auf Bezahlung in Schweizer Franken gelautet hatte. Sie verkennt damit, dass Anfechtungsobjekt der Beschwerde an das Bundesgericht nur Entscheide des oberen kantonalen Gerichts bilden (<ref-law>), nicht Rechtsbegehren der Parteien an das erstinstanzliche kantonale Gericht. Weder <ref-law> noch Art. 53 CISG regeln die prozessrechtliche Frage der Bindung des Gerichts an Parteibegehren. Die Rügen der Beschwerdeführerin, deren Begründung sich nicht gegen den angefochtenen Entscheid richtet, sind unzulässig.
4. Das massgebende Prozessrecht bestimmt, ob eine Forderung gestützt auf ein auf Schweizer Franken lautendes Rechtsbegehren in eigentlich geschuldeter Fremdwährung zugesprochen werden kann (<ref-ruling> E. 2.4 in fine S. 156). Da die Klage und die Berufung vor Inkrafttreten der eidgenössischen Zivilprozessordnung (ZPO) eingereicht worden sind, gilt im vorliegenden Fall das bisherige Recht des Kantons Zug bis zum Abschluss des Berufungsverfahrens (<ref-law>), wovon die Beschwerdeführerin zutreffend ausgeht.
Die Beschwerdeführerin beruft sich auf <ref-law> und bemängelt eine willkürliche Handhabung der in <ref-law>/ZG verankerten Dispositionsmaxime: "Der Richter darf einer Partei weder mehr noch anderes zusprechen, als sie selbst verlangt, in diesem Umfang aber auch nicht weniger, als die Gegenpartei anerkannt hat". Sie gibt zu, dass sie vor Obergericht die Verletzung dieser Bestimmung nicht gerügt hat. Sie bezieht sich jedoch auf <ref-law>/ZG, der den allgemeinen Rechtssatz jura novit curia für den Zivilprozess statuiert, und behauptet, das Obergericht hätte die Verletzung der Dispositionsmaxime von Amtes wegen beseitigen müssen.
Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die Auslegung kantonalen Rechts, das vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird. Sie hat den kantonalen Instanzenzug schon deshalb nicht erschöpft, weil gemäss <ref-law>/ZG die Berufung zu begründen, und anzugeben ist, in welchen Punkten das erstinstanzliche Urteil angefochten wird, welche neuen Vorbringen angerufen und welche Anträge gestellt werden. Ihre Rüge, die Vorinstanz habe das massgebende kantonale Prozessrecht willkürlich angewendet, ist unzulässig.
5. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Die Beschwerdeführerin hat die Gerichts- und Parteikosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Thélin