Sachverhalt:
A. Der 1974 geborene D._ war als Lackierer bei der Firma C._ AG tätig, als er am 18. Juni 2000 beim Inline-Skaten von einem Personenwagen angefahren wurde. Gemäss Bericht des Spitals S._ vom 10. Juli 2000 zog er sich dabei eine Tibiaschaft-Trümmerfraktur rechts sowie Verletzungen am linkem Daumen und Vorderarm sowie am Schädel zu. Am 13. Januar 2004 verunfallte D._, nunmehr als Hilfslackierer bei der Firma I._ AG angestellt, erneut. Ein entgegenkommendes Motorfahrzeug kollidierte mit dem von ihm gelenkten Personenwagen. Laut Bericht des Spitals R._ vom 14. Januar 2004 erlitt D._ dabei eine Schulterkontusion links, eine Kniekontusion rechts und eine Schürfwunde an der Stirn. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als für beide Ereignisse zuständiger obligatorischer Unfallversicherer gewährte jeweils Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Im Jahr 2005 machte der Versicherte neu als Unfallfolge Beschwerden am linken Knie geltend, welche in der Folge u.a. operativ behandelt wurden. Mit Verfügung vom 9. Juli 2008 verneinte die SUVA ihre Leistungspflicht hiefür mit der auf kreisärztliche Berichte gestützten Begründung, es bestehe kein sicherer oder wahrscheinlicher Kausalzusammenhang zwischen diesen Beschwerden und den beiden Unfällen von 2000 und 2004. Die vom Krankenpflegeversicherer des D._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA mit Entscheid vom 20. Januar 2009 ab.
B. D._ reichte Beschwerde ein, welche das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 12. Juli 2010 abwies.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt D._ beantragen, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, für die Kniebeschwerden links die gesetzlichen Leistungen zu erbringen; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung und Neubeurteilung an die Vorinstanz oder den Versicherer zurückzuweisen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 20. Oktober 2010 lässt D._ einen Arztbericht vom 9. September 2010 einreichen.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Der erst im letztinstanzlichen Verfahren - und überdies nach Ablauf der Rechtsmittelfrist - mit Eingabe vom 20. Oktober 2010 eingereichte Arztbericht stellt ein unzulässiges Novum dar und ist daher ausser Acht zu lassen (Art. 99 Abs. 1 BGG).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob aus den Unfällen von 2000 und 2004 ein Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung für die Beschwerden am linken Knie besteht.
Die Bestimmungen und Grundsätze über den Leistungsanspruch im Grundfall sowie bei Rückfällen und Spätfolgen und über die erforderlichen kausalen Zusammenhänge zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden sind im angefochtenen Entscheid und im Einspracheentscheid, auf welchen die Vorinstanz verweist, zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die zu beachtenden beweisrechtlichen Regeln, namentlich für den für Tatsachenfeststellungen erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181) und für den Grundsatz der freien Beweiswürdigung, insbesondere im Hinblick auf Berichte und Gutachten von versicherungsexternen und -internen Ärzten (<ref-ruling> E. 4.4 ff. S. 469 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 352 ff.). Darauf wird verwiesen.
4. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es lasse sich nicht mit der erforderlichen überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachweisen, dass die linksseitigen Kniebeschwerden anlässlich eines der beiden Unfälle oder als deren direkte oder indirekte Folge entstanden seien. Diese Beurteilung stützt sich namentlich auf die Berichte des Kreisarztes Dr. med. M._, Facharzt FMH für Chirurgie, speziell Allgemein- und Unfallchirurgie, und des Kreisarzt-Stellvertreters Dr. med. U._, Facharzt Allgemeine Medizin.
Der Beschwerdeführer wendet ein, es könne nicht auf die kreisärztlichen Berichte abgestellt werden. Gestützt auf die weiteren Arztberichte sei ein unfallkausaler Gesundheitsschaden am linken Knie, welcher die Beschwerden zu erklären vermöge, zu bejahen oder aber zumindest durch ein biomechanisches und ein versicherungsexternes medizinisches Gutachten weiter abzuklären.
4.1 Nach dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung haben Versicherungsträger und Sozialversicherungsgericht die Beweise frei, d.h. ohne Bindung an förmliche Beweisregeln, sowie umfassend und pflichtgemäss zu würdigen. Für das Beschwerdeverfahren bedeutet dies, dass das Sozialversicherungsgericht alle Beweismittel, unabhängig davon, von wem sie stammen, objektiv zu prüfen und danach zu entscheiden hat, ob die verfügbaren Unterlagen eine zuverlässige Beurteilung des streitigen Rechtsanspruches gestatten. Insbesondere darf es bei einander widersprechenden medizinischen Berichten den Prozess nicht erledigen, ohne das gesamte Beweismaterial zu würdigen und die Gründe anzugeben, warum es auf die eine und nicht auf die andere medizinische These abstellt. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist also entscheidend, ob der Bericht für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind. Ausschlaggebend für den Beweiswert ist grundsätzlich somit weder die Herkunft eines Beweismittels noch die Bezeichnung der eingereichten oder in Auftrag gegebenen Stellungnahme als Bericht oder Gutachten (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 352).
Auch wenn die Rechtsprechung den Berichten versicherungsinterner medizinischer Fachpersonen stets Beweiswert zuerkannt hat, so ist doch zu betonen, dass ihnen praxisgemäss nicht dieselbe Beweiskraft wie einem gerichtlichen oder einem im Verfahren nach Art. 44 ATSG vom Versicherungsträger in Auftrag gegebenen Gutachten zukommt. Zwar lässt ein Anstellungsverhältnis der medizinischen Fachperson zum Versicherungsträger alleine nicht schon auf mangelnde Objektivität und Befangenheit schliessen. Soll ein Versicherungsfall jedoch ohne Einholung eines externen Gutachtens entschieden werden, so sind an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, so sind ergänzende Abklärungen vorzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 469 f. mit Hinweisen).
Zu prüfen ist im Lichte dieser Grundsätze, ob Versicherer und Vorinstanz eine ursächliche Bedeutung der Unfälle von 2000 und 2004 für die linksseitigen Kniebeschwerden zu Recht verneint haben oder ob die Frage der Unfallkausalität zu bejahen ist resp. ergänzender Abklärung bedarf.
Zu prüfen ist im Lichte dieser Grundsätze, ob Versicherer und Vorinstanz eine ursächliche Bedeutung der Unfälle von 2000 und 2004 für die linksseitigen Kniebeschwerden zu Recht verneint haben oder ob die Frage der Unfallkausalität zu bejahen ist resp. ergänzender Abklärung bedarf.
4.2 4.2.1 Linksseitige Kniebeschwerden werden aktenkundig erstmals im Untersuchungsbericht des Kreisarztes Dr. med. M._ vom 7. Juni 2005 erwähnt. Demnach gab der Versicherte an, er habe seit ein paar Monaten auch etwas Beschwerden im linken Knie, welche der Hausarzt mit einer eventuellen Überlastung wegen der Schonung des rechten Beines erkläre. Der Kreisarzt führte hiezu aus, diese Beschwerden seien unklar. Es finde sich eine gewisse Weichteilirritation peripatellär. Eine indirekte Unfallfolge sei unwahrscheinlich. Der Kreisarzt nahm überdies zu weiteren Beschwerden (u.a. im Bereich der Brustwirbelsäule) Stellung. Am 2. Februar 2006 ergänzte Dr. med. M._ den Bericht vom 7. Juni 2005. Er hielt hiebei an seinen Ausführungen fest, ohne sich aber konkret zum linken Knie zu äussern. Am 15. März 2006 nahm der Kreisarzt nochmals Stellung, erneut ohne Bezugnahme auf das linke Knie.
Kreisarzt-Stellvertreter Dr. med. U._ beantwortete am 17. Oktober 2007 eine versicherungsinterne Anfrage dahingehend, dass er die Auffassung des Dr. med. M._ teile, wonach eine indirekte Unfallfolge am linken Knie unwahrscheinlich sei. Er verneinte überdies die Notwendigkeit weiterer Abklärungen. In seiner ärztlichen Beurteilung vom 19. Oktober 2007 begründete Dr. med. U._ dies im Wesentlichen damit, dass die echtzeitlichen medizinischen und administrativen Dokumenten keine Hinweise auf eine Knieverletzung links enthielten. Am 27. Juni 2008 nahm der Kreisarzt-Stellvertreter nochmals kurz Stellung. Es bleibe bei seiner Beurteilung vom 17. Oktober 2007. Eine Unfallkausalität sei weder sicher noch wahrscheinlich.
4.2.2 Der Beschwerdeführer beruft sich zur Begründung seiner abweichenden Meinung auf Berichte des Dr. med. G._, FMH für Innere Medizin, speziell Rheumaerkrankungen, und des Spitals S._.
Am Spital S._ wurden die Beschwerden am linken Knie wiederholt abgeklärt und zweimal - am 7. Januar 2008 und 2. März 2010 - operativ behandelt. Im Bericht vom 29. September 2007 diagnostizierten die Spitalärzte u.a. therapieresistente Knieschmerzen beidseits bei Status nach Polytrauma vom 18. Juni 2000 und Re-Unfall vom 13. Januar 2004. Weiter wurde festgehalten, im MRI des linken Knies sei eine grossvolumige polyglobulierte Geröllzyste am lateralen Tibiaplateau nachgewiesen worden. Zusätzlich finde sich ein leicht deformiertes laterales Tibiaplateau als Ausdruck eines posttraumatischen Residualzustandes.
Dr. med. G._ nahm erstmals mit Bericht vom 18. Oktober 2005 Stellung. Darin äussert er sich überwiegend zu Restbeschwerden am rechten Bein sowie im Bereich des Nackens und der oberen Brustwirbelsäule. Der Rheumatologe erwähnte aber auch, dass neu Kniegelenksschmerzen links geklagt würden, "wo der Patient zur Entlastung rechts in der letzten Zeit überlastet hat". Kürzlich sei das linke Knie deswegen vom Hausarzt infiltriert worden. In den Folgeberichten vom 12. und 13. Juni 2008 beurteilte Dr. med. G._ die linksseitigen Kniebeschwerden als sehr wahrscheinlich unfallbedingt. Er verwies dabei auf die Feststellungen am Spital S._ - gemeint ist offenbar dessen obgenannter Bericht vom 29. September 2007 - und auf die Ergebnisse einer histopathologischen Untersuchung vom 15. Januar 2008. Am 5. Dezember 2008 erstattete der Rheumatologe auch der Invalidenversicherung Bericht, ohne sich aber weiter zur Kausalitätsfrage zu äussern.
4.2.3 Die Aussagen der Spitalärzte sprechen eher dafür, dass einer oder beide der Unfälle von 2000 und 2004 eine mindestens teilursächliche Bedeutung für die linksseitigen Kniebeschwerden aufweist. Dies wird aber in den Spitalberichten nicht klar so gesagt und auch nicht nachvollziehbar begründet. Den Spitalärzten war denn auch offenbar die Frage nach der Unfallkausalität nicht gestellt worden.
Klar für die Unfallkausalität der Beschwerden am linken Knie spricht sich Dr. med. G._ aus. Dessen Aussagen sind aber insofern zu relativieren, als der Rheumatologe davon ausgegangen ist, es sei beim Unfall von 2004 zu beidseitigen Kniekontusionen gekommen und der Versicherte klage seither an Knieschmerzen links (namentlich Bericht vom 12. Juni 2008). Diese Annahmen werden durch die echtzeitlichen Akten nicht bestätigt. Der Rheumatologe hat die fehlenden echtzeitlichen Anhaltspunkte zwar damit zu begründen versucht, die Knieverletzung links sei aufgrund der übrigen unfallbedingten Gesundheitsschädigungen in den Hintergrund gerückt (Berichte vom 12. und 13. Juni 2008). Das vermag aber nach derzeitiger Lage der Akten nicht zu überzeugen.
4.2.4 Eine ursächliche Bedeutung der Unfälle von 2000 und 2004 für die linksseitigen Kniebeschwerden lässt sich bei der dargelegten Aktenlage nicht verlässlich bejahen. Darin ist dem kantonalen Gericht zu folgen. Anderseits gestatten die einander widersprechenden Arztberichte aber auch nicht, die Unfallkausalität der Beschwerden endgültig zu verneinen. Die kreisärztlichen Stellungnahmen genügen hiefür entgegen dem angefochtenen Entscheid nicht. Dr. med. M._ hat nicht weiter begründet, weshalb er einen kausalen Zusammenhang ausschliesst. Das lässt sich auch damit erklären, dass sich im Zeitpunkt seiner Äusserungen wohl noch nicht erkennen liess, dass eine Knieproblematik ernsthafterer Natur bestand oder im Entstehen begriffen war. Dr. med. U._ wiederum hat sich offenbar seine Meinung lediglich aufgrund der ihm vorgelegten Akten gebildet. Er begründet sie zudem im Wesentlichen nur damit, dass echtzeitlich keine unfallbedingte Verletzung am linken Knie bestätigt wurde. Dazu, ob es allenfalls aufgrund der unfallbedingten Schädigung am rechten Knie zu einer Schonung dieses Körperteils und konsekutiv zu einer Schädigung am - entsprechend mehrbelasteten - linken Knie gekommen ist, äussert sich der Kreisarzt-Stellvertreter nicht. Hinzu kommt, dass Dr. med. U._ Allgemeinmediziner ist. Zwar kann angenommen werden, dass Kreisärzte und deren Stellvertreter, zumindest wenn sie einige Berufserfahrung aufweisen, geübt sind in der versicherungsmedizinischen Beurteilung von Gesundheitsschäden nach Unfällen. Bei der hier gegebenen Problematik ist aber eine medizinische Abklärung durch einen auf derartige Gesundheitsschäden spezialisierten Facharzt angezeigt. Die Sache wird daher an die SUVA zurückgewiesen, damit diese zur Unfallkausalität der linksseitigen Knieproblematik ein - versicherungsexternes - fachärztliches Gutachten einholt und anschliessend neu über den streitigen Leistungsanspruch befindet. Hingegen ist von der in der Beschwerde überdies beantragten biomechanischen Expertise abzusehen. Von einer solchen Beweismassnahme sind keine entscheidrelevanten neuen Aufschlüsse über die Erkenntnisse hinaus, welche die medizinische Begutachtung zu erbringen vermag, zu erwarten.
5. Bei diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 1 BGG, BGG 133 V 642).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 12. Juli 2010 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt vom 20. Januar 2009 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch betreffend das linke Knie neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz