Sachverhalt:
A. In der Volksabstimmung vom 27. September 2009 wurde im Kanton St. Gallen die Gesetzesinitiative "Schutz vor Passivrauchen für alle" angenommen. Mit Schreiben vom 29. März 2010 erhob Z._ für die Y._ GmbH im Namen der Vereinigung X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht, der Regierung und der Rechtspflegekommission des Kantonsrates des Kantons St. Gallen. Er verlangte unter anderem, die Volksabstimmung vom 27. September 2009 sei ungültig zu erklären, und die Verordnung über den Schutz vor dem Passivrauchen vom 16. Februar 2010 (Systematische Gesetzessammlung des Kantons St. Gallen [sGS] 311.12) sei zu widerrufen.
Das Verwaltungsgericht und die Regierung des Kantons St. Gallen eröffneten je ein Verfahren und forderten Z._ bzw. die Vereinigung X._ zur Leistung eines Kostenvorschusses auf. Die Aufforderungen waren mit der Androhung verbunden, im Säumnisfall werde auf die Beschwerden nicht eingetreten. Da die Kostenvorschüsse innert der gesetzten Fristen nicht geleistet wurden, schrieben das Verwaltungsgericht und die Regierung die Verfahren ab. Die Rechtspflegekommission des Kantonsrates trat am 26. Mai 2010 auf die Angelegenheit nicht ein.
B. Am 1. Juni 2010 reichte Z._ für die Y._ GmbH im Namen der Vereinigung X._ bei der Regierung des Kantons St. Gallen eine Petition ein mit dem Inhalt, das Inkrafttreten der Verordnung über den Schutz vor dem Passivrauchen per 1. Juli 2010 sei zu verschieben, bis die Ergebnisse der Initiativen der Interessengemeinschaft Freies Rauchen und der Lungenliga bekannt seien.
Die Regierung behandelte die Petition an ihrer Sitzung vom 22. Juni 2010 und stellte den Petitionären am 28. Juni 2010 einen Protokollauszug zu. Die Regierung kam zum Schluss, ein Verschieben des Inkrafttretens der Verordnung sei nicht zulässig respektive nicht gerechtfertigt.
Unter Hinweis auf die abschlägige Petitionsantwort der Regierung beantragten die Petitionäre mit Eingabe vom 19. Juli 2010 an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die Aufhebung der Verordnung über den Schutz vor dem Passivrauchen mittels superprovisorischer Verfügung. Dieses Gesuch wies der Präsident des Verwaltungsgerichts gleichentags ab. Diese Präsidialverfügung fochten die Petitionäre mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 4. August 2010 beim Verwaltungsgericht an, welches die Begehren mit Urteil vom 16. September 2010 abwies, soweit es auf diese eintrat.
C. Z._ führt für die Y._ GmbH im Namen der Vereinigung X._ Beschwerde an das Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 16. September 2010 sei aufzuheben, und die Verordnung über den Schutz vor dem Passivrauchen vom 16. Februar 2010 sei ausser Kraft zu setzen. Eventuell sei die Inkraftsetzung der Verordnung bis zum 1. Juli 2012 oder bis zum Entscheid über die hängigen Initiativen der Interessengemeinschaft Freies Rauchen und der Lungenliga zu verschieben.
Die Regierung und das Verwaltungsgericht beantragen die Beschwerdeabweisung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde ist innert der gesetzlichen Frist (<ref-law>) eingereicht worden und richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>), die unter keinen Ausschlussgrund nach <ref-law> fällt. Die Beschwerdeführer sind grundsätzlich zur Beschwerdeführung berechtigt (<ref-law>).
2. 2.1 In ihren Eingaben an die Vorinstanz brachten die Beschwerdeführer insbesondere vor, die Art und Weise der Beantwortung der Petition durch die Regierung könne nicht akzeptiert werden.
Die Petitionsfreiheit nach <ref-law> und Art. 3 lit. d der Kantonsverfassung des Kantons St. Gallen (KV/SG; SR 131.225) gestattet es jeder Person, ungehindert Bitten, Vorschläge, Kritiken oder Beschwerden an die Behörden zu richten. Der Rechtsbehelf der Petition verschafft dem Einzelnen jedoch keinen Anspruch auf Erlass einer Verfügung oder eines Beschwerdeentscheids in der Sache selber (Urteil 2C_175/2009 vom 13. Juli 2009 E. 2.3; zum Rechtsbehelf der Petition vgl. auch die Urteile 1C_242/2010 vom 19. Juli 2010 E. 3 und 1P.36/2003 vom 11. August 2003 E. 2).
Gemäss Art. 59bis des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons St. Gallen (VRP/SG; sGS 951.1) beurteilt das Verwaltungsgericht Beschwerden gegen Verfügungen und Entscheide der Regierung, sofern kein ordentliches Rechtsmittel an eine Verwaltungsbehörde oder eine verwaltungsunabhängige Kommission des Bundes oder an das Bundesverwaltungsgericht offensteht. Mit Beschwerde anfechtbar sind mithin (nur) Verfügungen und Entscheide, die ein Rechtsverhältnis im Einzelfall regeln.
Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, stellt die abschlägige Petitionsantwort der Regierung vom 22. Juni 2010 weder eine Verfügung noch einen Entscheid im Sinne von Art. 59bis VRP dar, da hierdurch kein Rechtsverhältnis im Einzelfall geregelt wird. Folglich stand den Beschwerdeführern insoweit auch keine Beschwerdemöglichkeit an das Verwaltungsgericht offen.
2.2 Auf kantonaler Ebene sind keine weiteren die Beschwerdeführer betreffenden Verfahren mehr hängig, nachdem frühere Beschwerdeverfahren wegen Nichtleistens der Kostenvorschüsse abgeschrieben wurden (vgl. Sachverhalt lit. A). Haben es die Beschwerdeführer selber zu verantworten, dass die von ihnen angehobenen Beschwerdeverfahren abgeschrieben wurden, konnten sie im vorinstanzlichen Verfahren bereits aus diesem Grund aus der in Art. 77 Abs. 1 KV/SG verankerten Rechtsweggarantie keinen Anspruch auf einen Entscheid des Verwaltungsgerichts ableiten.
2.3 Da somit gegen die Antwort der Regierung auf die eingereichte Petition kein Rechtsmittel an die Vorinstanz offenstand und auch sonst keine die Beschwerdeführer betreffenden Verfahren hängig sind bzw. waren, hätte die Vorinstanz nicht auf die Eingabe der Beschwerdeführer eintreten müssen.
Soweit sich die Vorinstanz im angefochtenen Urteil trotzdem materiell mit den von den Beschwerdeführern geltend gemachten Schadenersatzforderungen befasst und diese abweist, sind ihre Ausführungen zutreffend. Insbesondere hat die Vorinstanz unter Bezugnahme auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung eine Verletzung der Wirtschaftsfreiheit gemäss <ref-law> zu Recht verneint. So hat das Bundesgericht im Urteil 2C_626/2009 vom 23. Februar 2010 eingehend begründet, weshalb das im Kanton St. Gallen geltende Rauchverbot als bundesverfassungskonform zu bewerten ist. In ihrer Beschwerde ans Bundesgericht bringen die Beschwerdeführer nichts vor, was diese Einschätzung in Frage stellen würde. Ihre Rügen, wonach die kantonale Verordnung über den Schutz vor dem Passivrauchen gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>), den Grundsatz von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV), das Rechtsgleichheitsgebot (<ref-law>), die Eigentumsgarantie (<ref-law>) und die Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>) verstosse, sind - soweit sie überhaupt den Begründungsanforderungen gemäss <ref-law> genügen - nicht stichhaltig.
Eine formelle Rechtsverweigerung (durch Nichtbehandlung der Petition) oder eine Verletzung der Petitionsfreiheit (<ref-law> bzw. Art. 3 lit. d KV/SG) machen die Beschwerdeführer im Übrigen zu Recht nicht geltend.
3. Zusammenfassend ist die Beschwerde damit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens tragen die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Regierung und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Stohner