Faits:
A.
A.X._, né en 1978, et B.X._, née en 1977, se sont mariés le 28 avril 2007. Un enfant est issu de leur union, C.X._, né en 2009.
Le 23 mai 2012, lors d'une l'audience de mesures protectrices de l'union conjugale, les époux sont notamment convenus de vivre séparés jusqu'au 31 mai 2013 et de confier la garde de l'enfant à la mère. Par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 18 juin 2012, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne a ratifié la convention précitée et condamné l'époux à contribuer à l'entretien des siens par le versement de 1'800 fr. par mois.
Statuant le 12 septembre 2012 sur appel de l'époux, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a réduit le montant de la pension à 1'570 fr., allocations familiales en sus. L'époux a interjeté un recours au Tribunal fédéral contre cet arrêt le 2 novembre 2012. Le recours a été déclaré irrecevable le 12 novembre 2012 (dossier n° 5A_823/2012).
B.
Le 9 novembre 2012, l'époux a déposé une " requête de mesures superprovisionnelles et protectrices de l'union conjugale " tendant à la réduction de la contribution d'entretien à 500 fr. par mois, dès le 1 er novembre 2012. Par procédé écrit du 26 novembre 2012, l'épouse a conclu à ce que la pension soit fixée à 1'700 fr. par mois, dès le 1 er janvier 2013, les allocations familiales devant être versées en sus. Par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 28 décembre 2012, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne a condamné l'époux à verser 1'250 fr. par mois pour l'entretien de sa famille, allocations familiales en sus, dès et y compris le 1 er novembre 2012.
L'époux a interjeté appel le 11 janvier 2013. Il a conclu à ce que la contribution d'entretien soit fixée à dire de justice, mais en tout cas à un montant inférieur à 1'250 fr. Par acte du 14 janvier 2013, l'épouse a également formé appel, concluant à ce que la pension soit fixée à 1'500 fr. par mois, dès le 1 er novembre 2012, et à 1'800 fr. par mois, dès le 1 er juillet 2013. Par arrêt du 29 mai 2013, notifié aux parties le 18 juin 2013, le Juge délégué de la Cour d'appel civile a fixé la pension à 1'130 fr., dès le 1 er novembre 2012, 1'050 fr., dès le 1 er janvier 2013 et 1'460 fr., dès le 1 er juillet 2013, les allocations familiales étant dues en sus.
C.
Par acte du 18 juillet 2013, l'époux dépose un " recours constitutionnel subsidiaire " au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt entrepris, en ce sens que la contribution d'entretien est fixée à 1'460 fr., dès le 1 er juillet 2013, aucune contribution n'étant due pour la période antérieure. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue dans le sens des considérants. Le recourant requiert en outre l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'intimée n'a pas été invitée à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
1.1. L'arrêt de mesures protectrices de l'union conjugale (<ref-law>) est une décision en matière civile au sens de l'<ref-law>; elle est finale selon l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4 p. 395 s.).
1.2. Dès lors qu'il a pour objet le montant de la contribution d'entretien en faveur de la famille, le litige est de nature pécuniaire (<ref-ruling> consid. 2 p. 395), de sorte que le recours en matière civile est ouvert pour autant que la valeur litigieuse atteigne 30'000 fr. (<ref-law>). Celle-ci est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (<ref-law>). En l'occurrence, devant l'autorité d'appel, la valeur litigieuse dépassait le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>). Il s'ensuit que le recours en matière civile est recevable, si bien que la voie du recours constitutionnel subsidiaire choisie par le recourant est fermée (<ref-law>). L'acte déposé par le recourant sera donc traité comme un recours en matière civile.
1.3. Le recours a été interjeté dans le délai (art. 46 al. 2 et 100 al. 1 LTF) et dans la forme (<ref-law>) prévus par la loi, contre une décision prise sur recours par un tribunal supérieur statuant sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF), par une partie ayant qualité pour recourir (<ref-law>). Le recours en matière civile est en principe recevable.
2.
2.1. Le fait que le recours soit traité comme un recours en matière civile, et non comme un recours constitutionnel subsidiaire, ne change rien à la cognition de la Cour de céans, dès lors que les mesures protectrices de l'union conjugale sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5 p. 396), partant que seule la violation des droits constitutionnels peut être invoquée (arrêt 5A_791/2011 du 23 mars 2012 consid. 1.2; 5A_667/2010 du 10 décembre 2010 consid. 1.2; HOHL, Procédure civile, tome II, 2 ème éd., 2010, n° 3057).
2.2. Conformément à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux - notion qui englobe les droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2 p. 638) - que si un tel moyen a été invoqué et motivé par le recourant, à savoir exposé de manière claire et détaillée (principe d'allégation, <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246 et 349 consid. 3 p. 351 s. et les références). Le recourant doit ainsi indiquer quelle disposition constitutionnelle aurait été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid. 6 p. 397). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2 p. 591 s.).
2.3. En matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves dans le cadre de mesures provisionnelles, le Tribunal fédéral se montre réservé vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux autorités cantonales. Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que s'il apparaît que le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause.
3.
Le recours a pour objet le montant de la contribution d'entretien allouée à l'épouse et aux enfants, en particulier quant à la question de l'imputation d'un revenu hypothétique à l'époux, correspondant à un taux d'activité de 100%, alors qu'il ne travaille en réalité qu'à 80%. Devant la Cour de céans, cette question demeure litigieuse uniquement en ce qui concerne la période du 1 er novembre 2012 au 30 juin 2013.
En substance, l'autorité de première instance a pris en compte le revenu que le recourant percevait pour son activité à 100%, bien que depuis le 1er octobre 2012, il travaille à 80% seulement, pour le motif qu'il n'a pas établi avoir fait les efforts que l'on pouvait raisonnablement attendre de lui pour compenser la diminution de son activité.
Il ressort de l'arrêt entrepris que l'époux a travaillé à plein temps jusqu'au 30 septembre 2012 pour un salaire mensuel net de 5'185 fr. 45, treizième salaire compris. Son taux d'activité ayant été réduit à 80% à compter du 1er octobre 2012, son salaire a été réduit à 3'835 fr. 12 nets par mois. Selon le Juge délégué, à l'audience du 29 novembre 2012, l'époux ne semblait pas exclure de pouvoir augmenter son taux d'activité rapidement. En outre, les pièces du dossier ne permettaient pas d'établir qu'il aurait été contraint de diminuer son taux d'activité à 80%. Par ailleurs, la réduction de son activité lui avait été signifiée le 26 septembre 2012, alors que le dispositif de l'arrêt du 12 septembre 2012 de la Cour d'appel civile lui avait déjà été communiqué. Quant aux " prétendues " recherches d'emploi alléguées par l'époux dans sa requête du 9 novembre 2012, la cour cantonale a constaté qu'elles sont postérieures à l'audience de mesures protectrices de l'union conjugale du 29 novembre 2012. Dès lors, elle a confirmé la décision du premier juge s'agissant de la prise en compte d'un revenu hypothétique de 5'185 fr. 45 correspondant à un taux d'activité de 100%.
Finalement, le Juge délégué a condamné l'époux à s'acquitter d'une contribution d'entretien de 1'130 fr. en faveur de sa famille dès le 1er novembre 2012, allocations familiales en sus. A compter du 1er janvier 2013, en raison d'une augmentation de sa prime d'assurance-maladie, la pension a été réduite à 1'050 fr. Enfin, dès le 1er juillet 2013, le montant dû a été fixé à 1'460 fr., pour tenir compte du fait que le recourant aurait alors terminé sa formation, pour laquelle il assumait des frais à hauteur de 50 fr. par mois, et qu'il aurait également achevé de rembourser des arriérés d'impôts dus pour l'année 2011 et remontant à la vie commune des époux.
4.
Le recourant fait grief à l'autorité cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans la constatation des faits et l'appréciation des preuves qui l'ont conduite à retenir un revenu hypothétique.
4.1. Selon le recourant, il serait arbitraire de considérer qu'aucune pièce du dossier n'établirait qu'il a été contraint de réduire son taux d'activité à 80 %. Il expose que cette modification de sa situation professionnelle, qu'il n'a pas souhaitée, ressort clairement d'un courrier de son employeur du 26 septembre 2012. En outre, contrairement à ce qui a été retenu, le dispositif de l'arrêt du 12 septembre 2012 ne lui aurait pas été communiqué le 14 septembre 2012, mais le 8 octobre 2012 seulement - ceci étant dû à son déménagement -, soit après que son employeur lui ait signifié la baisse de son taux d'activité. Le courrier que lui a adressé la Cour d'appel le 5 octobre 2012, et dont l'autorité précédente n'aurait, à tort, pas tenu compte, en constituerait la preuve. Dès lors, on ne saurait laisser " planer le doute qu' [il] aurait pris la décision unilatérale de baisser son taux d'activité après avoir pris connaissance dudit dispositif ". Le recourant se plaint également du fait que les juges cantonaux ont douté de l'effectivité de ses recherches d'emploi. Il indique qu'il n'aurait pas hésité à changer d'emploi s'il avait trouvé du travail à plein temps. Enfin, l'arrêt attaqué serait arbitraire dans son résultat, dès lors que le recourant a été condamné à s'acquitter d'une contribution d'entretien conséquente en faveur de sa famille, alors que ses revenus effectifs ne permettraient pas même de couvrir son propre minimum vital.
4.2. En tant qu'il s'appuie sur le courrier du 5 octobre 2012 pour prouver qu'il a été informé de la baisse de son taux de travail avant d'avoir pris connaissance du dispositif de l'arrêt de la Cour d'appel civile du 12 septembre 2012, le recourant se méprend. La lettre du 8 octobre 2012 ne concerne pas l'envoi du dispositif de cet arrêt, mais celui de l'arrêt motivé. Il ressort uniquement de cette pièce que l'arrêt du 12 septembre 2012 - à savoir l'arrêt motivé, non pas le seul dispositif - a été envoyé pour notification aux parties le 27 septembre 2012 et que, comme l'époux a téléphoné au Tribunal cantonal le 4 octobre 2012 pour se plaindre de ne pas avoir reçu cet arrêt, il lui serait réexpédié à sa nouvelle adresse. Ainsi, par son argumentation, le recourant ne démontre pas qu'il était arbitraire de retenir que le dispositif lui avait été communiqué le 14 septembre 2012.0.
Au surplus, il ressort de l'arrêt attaqué que l'autorité cantonale reproche essentiellement au recourant d'avoir tardé à chercher un nouvel emploi. Dès lors, peu importe de savoir si la baisse de son taux d'activité lui a été ou non imposée par son employeur. Il s'est vu signifier la baisse de son taux de travail par courrier du 26 septembre 2012. Il a commencé ses recherches d'emploi le 30 novembre 2012 seulement, soit près de deux mois plus tard. Certes, il ressort de l'état de fait tel qu'il a été établi par l'autorité précédente que, dans sa requête du 9 novembre 2012, le recourant alléguait déjà avoir entrepris des démarches en ce sens; les recherches d'emploi produites sont toutefois datées postérieurement à l'audience du 29 novembre 2012. Il n'a ainsi jamais prouvé avoir effectué des recherches avant le 30 novembre 2012. Dans son argumentation, le recourant se contente d'alléguer, de manière purement appellatoire (cf. supra consid. 2.2), que son revenu ne suffirait pas à couvrir son minimum vital et que, pour cette raison, il n'aurait pas hésité à accepter un emploi à plein temps si l'occasion s'était présentée; en revanche, il ne conteste nullement le fait que ses démarches étaient tardives. De surcroît, le recourant ne s'en prend pas non plus aux constatations de la cour cantonale, selon lesquelles lors de l'audience du 29 novembre 2012, il ne semblait pas exclure de pouvoir augmenter son taux d'activité rapidement. Pour tous ces motifs, en tant qu'elle prend en considération un revenu hypothétique du recourant correspondant à un taux de travail de 100% pour la période litigieuse, soit du 1er novembre 2012 au 30 juin 2013, la décision entreprise ne saurait être qualifiée d'insoutenable, à tout le moins dans son résultat.
Dès lors, le grief doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
5.
En conclusion, le recours est rejeté. Comme les conclusions du recourant étaient d'emblée vouées à l'échec, sa requête d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant qui succombe (<ref-law>). La partie intimée n'ayant pas été invitée à se déterminer sur le recours, il n'y a pas lieu de lui allouer une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 8 octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Hohl
La Greffière: Bonvin