Sachverhalt:
A. M._ (geb. 1946), seit Juni 2000 als Giessereimitarbeiter in der Firma X._ beschäftigt, meldete sich im März 2005 wegen der Folgen eines am 2. November 2003 erlittenen Unfalles bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen und erwerblichen Abklärungen teilte ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente von November 2004 bis Februar 2005 und einer halben Invalidenrente von März bis August 2005 mit (Vorbescheid vom 11. August 2006). In diesem Sinne verfügte die IV-Stelle am 2. Mai 2007.
B. Im Rahmen des hiegegen eingeleiteten Beschwerdeverfahrens vor dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich reichte der Versicherte ein Aufgebot vom 15. Juni 2007 des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ ins Recht, worauf der Prozess mit Verfügung vom 4. Juli 2007 bis zum Vorliegen des entsprechenden Gutachtens sistiert wurde. Am 14. September 2007 reichte er das Gutachten des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ vom 5. September 2007 ein. Das Gericht hob die Sistierung auf und führte den Schriftenwechsel durch, in welchem die IV-Stelle die teilweise Gutheissung der Beschwerde durch Zusprechung einer ganzen Invalidenrente vom 1. März 2005 bis 31. Dezember 2006 und einer halben Invalidenrente von Januar bis April 2007 beantragte (Beschwerdeantwort vom 19. Oktober 2007), dies verbunden mit entsprechender wiedererwägungsweiser Aufhebung der Verfügung vom 2. Mai 2007 durch Verfügungen vom 19. Oktober 2007/16. März 2009. Replikweise hatte der Versicherte an seinen Beschwerdebegehren um Zusprechung einer unbefristeten Invalidenrente festgehalten; ferner um Vergütung der Kosten des Gutachtens des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ in Höhe von Fr. 3228.- (Rechnung des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ vom 5. September 2007) durch die IV-Stelle ersucht. Soweit nicht gegenstandslos geworden (Zeit vom 1. März 2005 bis 31. Dezember 2006), hiess das Gericht die Beschwerde teilweise gut, indem es in Ergänzung der Wiedererwägungsverfügungen vom 16. März 2009 den Anspruch auf eine Viertels-Invalidenrente mit Wirkung ab 1. Mai 2007 anerkannte. Die IV-Stelle wurde verpflichtet, dem Versicherten eine Prozessentschädigung von Fr. 1600.- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffern 1 und 3 des Beschlusses und Urteils vom 29. Dezember 2009).
C. Vertreten durch CAP Rechtsschutz, führt M._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren:
"Ziffer 3 des Beschlusses und Urteils vom 29. Dezember 2009 des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben und die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine Prozessentschädigung von Fr. 1600.- auszurichten sowie zuzüglich die Kosten des Gutachtens des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ von CHF 3228.00 zu ersetzen."
D. Während die IV-Stelle auf Abweisung schliesst, verzichten kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Einziger Streitpunkt bildet die Frage, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, indem es die Verpflichtung zur Vergütung der Gutachtenskosten des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ durch die IV-Stelle verneint hat. Dazu hat das kantonale Gericht erwogen:
"5.3 Entsprechend dem Prozessausgang ist die Beschwerdegegnerin zur Bezahlung einer angemessenen, ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache, der Schwierigkeit des Prozesses und dem Mass des Obsiegens festzusetzenden reduzierten Prozessentschädigung in Höhe von Fr. 1600.- (inkl. Barauslagen und Mehrwertsteuer [MWSt]) an den anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer zu verpflichten (<ref-law> in Verbindung mit § 34 GSVGer und § 7 f. der Verordnung über die Gebühren, Kosten und Entschädigungen vor dem Sozialversicherungsgericht [GebV SVGer]).
Zu den entschädigungsfälligen Parteikosten gehören neben den Vertretungskosten besondere Auslagen, die für Abklärungsmassnahmen entstanden sind, welche durch den Versicherer beziehungsweise das kantonale Versicherungsgericht anzuordnen und durchzuführen gewesen wären, an deren Stelle jedoch durch die Partei veranlasst wurden. Praxisgemäss sind solche Kosten zu ersetzen, wenn das eingeholte Gutachten massgebend für die Beurteilung der Streitfrage war (vgl. etwa Kieser, Kommentar zum Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts, Zürich 2009, Rz. 113 zu <ref-law> mit Hinweisen auf die auch ausserhalb des Anwendungsbereichs des ATSG einschlägige Rechtsprechung). Dies ist vorliegend zwar der Fall. Da der Beschwerdeführer jedoch selbst einräumt, dass die konkret in Frage stehenden Kosten für die Privatbegutachtung des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ von seiner Rechtsschutzversicherung (CAP Rechtsschutz-Versicherungsgesellschaft AG) übernommen worden sind (Urk. 21 S. 7), besteht seinerseits kein Anspruch auf deren Ersatz, und zwar unbesehen darum, dass 'Rechtsschutzkosten seine Police belasten'."
2. Diese Auffassung wird in der (zulässigen; <ref-law>) Beschwerde zutreffend als bundesrechtswidrig (<ref-law>) gerügt. In der Tat hält der vorinstanzliche Entscheid im Lichte des Urteils 9C_475/2009 vom 23. Oktober 2009 (<ref-ruling>) nicht Stand. Wenn, wie das Bundesgericht in diesem Urteil entschied, das Vorhandensein einer Rechtsschutzversicherung, welche die anwaltlichen Vertretungskosten übernimmt, keinen Grund darstellt, der durch einen Anwalt einer Rechtsschutzversicherung (oder einen Rechtsanwalt, dessen Honorar die Rechtsschutzversicherung vergütet) vertretenen, obsiegenden versicherten Person die Parteientschädigung nach <ref-law> zu verweigern, ist kein sachlich haltbarer Grund ersichtlich, warum es sich für die Kosten eines Parteigutachtens anders verhalten soll. Denn die Rechtsprechung hat die notwendigen Expertenkosten seit <ref-ruling> stets als Bestandteil des Parteientschädigungsanspruches betrachtet. Voraussetzung ist stets, dass die Privatbegutachtung notwendig und einen unerlässlichen Bestandteil der materiellen Beurteilung bildete, was hier jedoch nach ausdrücklicher Feststellung des kantonalen Gerichts zutrifft (und nach der Aktenlage nicht weiter in Frage zu stellen ist). Daher ist die Beschwerde im Grundsatz begründet. Da das Gutachten des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ bei den Akten liegt und, einschliesslich der separaten psychiatrischen Expertise, mit Fr. 3000.-, zuzüglich Mehrwertsteuer, korrekt fakturiert wurde, steht nichts entgegen, der Sache durch Zusprechung der Fr. 3228.- an den Beschwerdeführer zu Lasten der Beschwerdegegnerin ein Ende zu machen.
3. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der unterliegenden IV-Stelle aufzuerlegen, welche das Prozessrisiko trägt (<ref-law>). Ferner steht dem Beschwerdeführer eine aufwandgemässe Parteientschädigung zu (<ref-law>; <ref-ruling>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 3 des Urteils des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Dezember 2009 wird aufgehoben. Die IV-Stelle des Kantons Zürich wird verpflichtet, dem Beschwerdeführer den Betrag von Fr. 3228.- zu bezahlen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 700.- werden der IV-Stelle des Kantons Zürich auferlegt.
3. Die IV-Stelle des Kantons Zürich hat dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 700.- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. April 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Scartazzini