Sachverhalt:
A. Die heute im Kanton Thurgau wohnhafte slowakische Staatsangehörige B._, geb. 1966, ist Mutter des 1986 geborenen Sohnes C._, der die gleiche Staatsangehörigkeit besitzt. Ohne ihren Sohn reiste sie 1994 erstmals in die Schweiz ein und arbeitete als Kurzaufenthalterin. Dabei kehrte sie mehrmals in ihre Heimat zurück. Während ihren Aufenthalten in der Schweiz lernte sie den italienischen Staatsangehörigen A._, geb. 1945, kennen. Dieser lebt seit 1961 in der Schweiz und verfügt über die Niederlassungsbewilligung. Beide heirateten im Dezember 1997. Hierauf erhielt B._ im Januar 1998 eine Aufenthaltsbewilligung. Am 15. Juni 2001 ersuchte sie um Familiennachzug für ihren Sohn C._. Das Ausländeramt des Kantons Thurgau lehnte das Gesuch am 16. Juli 2001 ab. Die Eheleute B._ und A._ wandten sich hiergegen erfolglos an das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (Rekursentscheid vom 24. Mai 2002) und anschliessend an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (Entscheid vom 22. Januar 2003).
B. Die Eheleute B._ und A._ haben mit Postaufgabe vom 6. März 2003 beim Bundesgericht eine auf den 12. Februar 2003 datierte Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingereicht. Sie beantragen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das Ausländeramt des Kantons Thurgau anzuweisen, "die nachgesuchte Familienzusammenführung zu gewähren" und dem Sohn C._ die anbegehrte "Bewilligung ordnungsgemäss zu erteilen".
C. Das Departement für Justiz und Sicherheit sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (IMES; vormals Bundesamt für Ausländerfragen) stellt den Antrag, "die Beschwerde sei im Sinne der Erwägungen gutzuheissen und an die kantonalen Behörden zu neuem Entscheid zurückzuweisen".
D. Mit Einreichung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde haben die Eheleute auch beantragt, dem Sohn C._ den Aufenthalt in der Schweiz bis zum Entscheid des Bundesgerichts "im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme" zu erlauben. Der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat dieses Gesuch mit Verfügung vom 21. März 2003 abgewiesen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hat vorliegend als letzte kantonale Instanz und ohne Weiterzugsmöglichkeit an eine andere Bundesbehörde gestützt auf öffentliches Recht des Bundes entschieden. Die frist- und formgerecht eingereichte Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist damit zulässig (Art. 97 OG in Verbindung mit <ref-law>, Art. 98 lit. g und Art. 108 OG), sofern kein gesetzlicher Ausschliessungsgrund gegeben ist.
1.2 Auf dem Gebiete der Fremdenpolizei ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde unzulässig gegen die Erteilung oder Verweigerung von fremdenpolizeilichen Bewilligungen, auf die das Bundesrecht keinen Anspruch einräumt (Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG). Gemäss Art. 4 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142.20) entscheiden die zuständigen Behörden, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts (einschliesslich Bundesverfassungsrecht) oder eines Staatsvertrages berufen (<ref-ruling> E. 1.1.1 S. 148; <ref-ruling> E. 1a S. 164, mit Hinweisen).
1.2.1 Ledige Kinder unter 18 Jahren haben nach Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG Anspruch auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung ihrer Eltern, wenn sie mit diesen zusammen wohnen. Ferner garantiert Art. 8 EMRK den Schutz des Familienlebens; gestützt darauf ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde des um die fremdenpolizeiliche Bewilligung ersuchenden Ausländers oder seiner hier anwesenden nahen Verwandten zulässig, wenn diese über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfügen und die familiäre Beziehung tatsächlich gelebt wird und intakt ist (<ref-ruling>; <ref-ruling> E. 1d/aa S. 64 f., mit Hinweisen).
1.2.2 Bei der Prüfung der materiellen Rechtmässigkeit eines fremdenpolizeilichen Entscheids sind für das Bundesgericht in der Regel die tatsächlichen Verhältnisse massgebend, wie sie zum Zeitpunkt des Entscheids der richterlichen Vorinstanz herrschten; dies ergibt sich aus Art. 105 Abs. 2 OG (BGE <ref-ruling> E. 1b S. 63; <ref-ruling> E. 3a S. 221; <ref-ruling> E. 1c S. 99 f.). Für die Eintretensfrage hingegen, d.h. für die Frage, ob ein Anspruch im Sinne von Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG vorliegt, stellt das Bundesgericht grundsätzlich auf die im Zeitpunkt seines Entscheids bestehende Rechts- und Sachlage ab (BGE <ref-ruling> E. 1b S. 63; <ref-ruling> E. 2b S. 148 f.; ferner <ref-ruling> E. 1f S. 262). Eine Ausnahme gilt für das Alter beim Nachzug von Kindern in Anwendung von Art. 17 Abs. 2 ANAG; insoweit ist auf den Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (<ref-ruling> E. 2 S. 13 , 249 E. 1.2 S. 252; <ref-ruling> E. 1b S. 156 f.) oder allenfalls der späteren Entstehung des Nachzugsanspruchs laut dieser Bestimmung abzustellen.
1.2.3 B._, Mutter von C._, besitzt lediglich eine Aufenthaltsbewilligung für die Schweiz. Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG geht indes davon aus, dass der Elternteil, von dem der Nachzugsanspruch abgeleitet wird, über eine Niederlassungsbewilligung verfügt. Anderseits könnte die Beschwerdeführerin inzwischen, nach fünfjähriger Ehedauer, einen Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung erworben haben (vgl. Art. 17 Abs. 2 Satz 2 ANAG; Urteil 2A.347/1995 vom 9. Oktober 1996, E. 1b; vgl. auch zum Beginn des Fristenlaufs <ref-ruling> E. 3b S. 147). Ihr Sohn C._ hat das 18. Lebensjahr noch nicht vollendet. Zudem verfügt die Beschwerdeführerin über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Art. 8 EMRK (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 382 f.; <ref-ruling> E. 2c S. 638; <ref-ruling> E. 1b S. 364). Als Ehefrau eines niedergelassenen Ausländers hat sie einen gesetzlichen Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung und inzwischen wohl auch der Niederlassungsbewilligung (Art. 17 Abs. 2 Satz 1 und 2 ANAG). Da davon ausgegangen werden kann, dass die Beziehung zwischen Mutter und Sohn tatsächlich gelebt wird und intakt ist, kann sich die Beschwerdeführerin somit auf Art. 8 EMRK berufen. Auf die Beschwerde ist daher auf jeden Fall unter diesem Gesichtswinkel einzutreten.
1.2.4 Ob das Verhältnis zwischen C._ und A._ als Stiefvater unter dem Schutz des Art. 8 EMRK sowie des Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG steht und ob A._ somit beschwerdelegitimiert ist, kann offen bleiben, da nach dem Gesagten ohnehin auf die Beschwerde einzutreten ist (vgl. <ref-ruling> E. 1c S. 389; Urteile 2A.522/1997 vom 26. Februar 1998, E. 5c, und 2A.484/1996 vom 26. Februar 1997, E. 1d).
1.3 Mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, sowie die unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts (Art. 104 lit. a und b OG), nicht jedoch die Unangemessenheit des angefochtenen Entscheids (vgl. Art. 104 lit. c OG) gerügt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 107, 521 E. 2a S. 523, mit Hinweisen). Das Bundesgericht wendet im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde das Bundesrecht von Amtes wegen an. Es ist gemäss Art. 114 Abs. 1 OG an die von den Parteien vorgebrachten Begründungen nicht gebunden und kann die Beschwerde auch aus anderen als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder abweisen (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 150 f.; <ref-ruling> E. 1b S. 268 mit Hinweisen).
2. 2.1 Das Verwaltungsgericht hat auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG und Art. 8 EMRK bei getrennten Elternteilen Bezug genommen. Es ist davon ausgegangen, der Nachzug des Sohnes habe sich nicht als zu dessen Pflege notwendig erwiesen. Die Beschwerdeführerin habe die Familientrennung ursprünglich selbst freiwillig herbeigeführt. C._ sei, obwohl ein Nachzug schon früher hätte begehrt werden können, bei den Grosseltern belassen worden. Die Grosseltern, welche ihn seit dem Auslandsaufenthalt der Mutter betreuen, könnten sich weiterhin um ihn in altersgerechter Weise kümmern. Es sei nicht geltend gemacht worden, deren Gesundheitszustand habe sich innert Kürze derart verschlechtert, dass eine andere Betreuungsmöglichkeit nun unumgänglich sei. Anlässlich der Einreichung des Nachzugsgesuchs habe die Beschwerdeführerin ausgeführt, es gehe ihr darum, ihrem Sohn eine gute Ausbildung zu ermöglichen, da eine solche in ihrer Heimat nicht geboten werde. Es entspreche jedoch nicht Sinn und Zweck des Instituts des Familiennachzugs, wenn ein Kind erst nach Absolvierung der Schulausbildung nachgezogen werde, um ihm in der Schweiz eine bessere berufliche Ausbildung zu ermöglichen (vgl. <ref-ruling> E. 2d S. 590).
2.2 Die Feststellungen und Schlussfolgerungen des Verwaltungsgerichts zur Anwendung und Auslegung von Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG bzw. von Art. 8 EMRK erweisen sich als im Wesentlichen zutreffend. Auf diese kann daher verwiesen werden. Für eine Änderung der bisherigen Verhältnisse bestehen keine überwiegenden familiären Interessen (zu dieser Voraussetzung vgl. <ref-ruling> E. 3.1 und 3.4 S. 14 f. und 17, 249 E. 2.1 und 2.4 S. 252 f. und 256; <ref-ruling> E. 2a/b und 3a S. 330 ff., mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer werden nicht daran gehindert, die bisherigen familiären Beziehungen fortzuführen.
Was die Beschwerdeführer einwenden, führt nicht zu einer anderen Beurteilung. Entgegen ihrer Ansicht ergibt sich aus dem von ihnen vorgelegten Arztzeugnis vom 31. Mai 2002 nicht, dass die Grosseltern den damals knapp 16-jährigen Sohn nicht mehr betreuen können. Im Übrigen war der Gesundheitszustand der Grosseltern bei Einreichung des Nachzugsgesuchs noch nicht geltend gemacht worden. Auch der Verweis auf einen Entscheid des Regierungsrates des Kantons Zürich ist unbehelflich. Dort ging es offensichtlich um den Kindernachzug durch die zusammenlebenden leiblichen Eltern. Insoweit hat das Bundesgericht anerkannt, dass keine besonderen stichhaltigen Gründe die beabsichtigte Änderung der Betreuungsverhältnisse rechtfertigen müssen; ein Nachzug ist in solchen Fällen grundsätzlich jederzeit zulässig; vorbehalten bleibt einzig das Missbrauchsverbot (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 14; <ref-ruling> E. 3b S. 332). Vorliegend ist aber eine der in <ref-ruling> E. 3.1.3 und 3.1.4 S. 14 f. beschriebenen Situationen gegeben, wonach nicht eine beide leiblichen Eltern und das Kind umfassende Gesamtfamilie hergestellt werden soll; ausserdem haben die Grosseltern die Betreuung bisher wahrgenommen, obwohl die Mutter den Nachzug schon früher hätte beantragen können. Somit durften die kantonalen Instanzen besondere stichhaltige Gründe für den Nachzug verlangen. Keine Rolle spielt, dass das Verwaltungsgericht den Sohn versehentlich als "jungen Erwachsenen" bezeichnet hat. Dem Gericht war klar, dass der Knabe im Zeitpunkt seines Entscheides noch nicht 18 Jahre alt und damit noch minderjährig war. Die Beschwerdeführer können auch nichts für sich daraus ableiten, dass ihnen die Gemeinde möglicherweise zu einem früheren Zeitpunkt mitgeteilt hat, der Nachzug könne bis zum sechzehnten Lebensjahr stattfinden. Diese Aussage ist nicht geeignet, einen Bewilligungsanspruch aus Vertrauensschutz zu vermitteln (vgl. zu den allg. Voraussetzungen des Vertrauensschutzes <ref-ruling> E. 2c S. 479; <ref-ruling> E. 2b S. 287; insbes. im Ausländerrecht Alain Wurzburger, La jurisprudence récente du Tribunal fédéral en matière de police des étrangers, RDAF 1997 I S. 305 f., mit Hinweisen). Nicht nur ist die Gemeinde für fremdenpolizeiliche Auskünfte erkennbar nicht zuständig. Das Vorbringen zeigt auch auf, dass es den Beschwerdeführern offenbar nicht um die Herstellung eines baldmöglichsten Zusammenlebens mit dem Kind ging, sie das Kind vielmehr - zumindest temporär - weiterhin von den Grosseltern erziehen lassen wollten. Schliesslich stellte diese Auskunft für die Beschwerdeführer kein Hindernis dar, den Familiennachzug schon früher zu beantragen.
2.3 Nach dem Gesagten verletzt der angefochtene Entscheid weder Art. 17 ANAG noch Art. 8 EMRK noch <ref-law> (vgl. hiezu <ref-ruling> E. 7 S. 394). C._ ist weder der (leibliche) Sohn des beschwerdeführenden italienischen Ehemannes noch hat er jemals mit ihm zusammengelebt. Mithin kommt auch eine Verletzung des Nachzugsanspruchs, der sich aus - dem von sämtlichen Beteiligten nicht erwähnten - Art. 13 des Abkommens vom 10. August 1964 zwischen der Schweiz und Italien über die Auswanderung italienischer Arbeitskräfte nach der Schweiz (sog. Italienerabkommen; SR 0.142.114.548) ergibt, nicht in Frage.
3. Am 1. Juni 2002 ist das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) in Kraft getreten. Dieses Abkommen gewährt Staatsangehörigen der Mitgliedstaaten der Europäischen Gemeinschaft und einem Teil ihrer Familienangehörigen ein Recht auf Aufenthalt in der Schweiz (vgl. Art. 4 und 7 FZA in Verbindung mit Anhang I zum Abkommen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 257 f. und Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG). Das IMES geht in seiner Vernehmlassung davon aus, dass dieses Abkommen vorliegend Anwendung findet.
3.1 Übergangsrechtlich gilt der Grundsatz, dass für Verfahren, die bei Inkrafttreten des Freizügigkeitsabkommens hängig sind, neues Recht zur Anwendung kommt (vgl. Art. 37 der Verordnung über die Einführung des freien Personenverkehrs [VEP; SR 142.203]; <ref-ruling> E. 3.3 S. 258 in fine). Auch wenn sich die Beschwerdeführer nicht auf das Abkommen berufen haben und das Verwaltungsgericht von sich aus keine entsprechende Prüfung vorgenommen hat, kann das Bundesgericht gemäss den Ausführungen in Erwägung 1.3 das Abkommen berücksichtigen; als der angefochtene Entscheid erging, war das Abkommen seit knapp acht Monaten in Kraft.
3.2 Art. 3 Abs. 1 und 2 Anhang I FZA lauten wie folgt:
1. Die Familienangehörigen einer Person, die Staatsangehörige einer Vertragspartei ist und ein Aufenthaltsrecht hat, haben das Recht, bei ihr Wohnung zu nehmen. Der Arbeitnehmer muss für seine Familie über eine Wohnung verfügen, die in dem Gebiet, in dem er beschäftigt ist, den für die inländischen Arbeitnehmer geltenden normalen Anforderungen entspricht; diese Bestimmung darf jedoch nicht zu Diskriminierungen zwischen inländischen Arbeitnehmern und Arbeitnehmern aus der anderen Vertragspartei führen.
2. Als Familienangehörige gelten ungeachtet ihrer Staatsangehörigkeit:
a) der Ehegatte und die Verwandten in absteigender Linie, die noch nicht 21 Jahre alt sind oder denen Unterhalt gewährt wird;
b) die Verwandten und die Verwandten des Ehegatten in aufsteigender Linie, denen Unterhalt gewährt wird;
c) im Falle von Studierenden der Ehegatte und die unterhaltsberechtigten Kinder.
(...)."
Das Freizügigkeitsabkommen gewährt mit Art. 3 Anhang I FZA teilweise weiter gehende Ansprüche auf Familiennachzug als Art. 17 Abs. 2 ANAG, Art. 8 EMRK und <ref-law>. Zwar ist gemäss Abkommen nicht wie bei den erwähnten Vorschriften eine Niederlassungs- oder eine Aufenthaltsbewilligung im Sinne des ANAG zu erteilen, sondern eine "Aufenthaltserlaubnis" (vgl.Art.2 Abs.3 und Art.3 Abs.3 AnhangI FZA, aber auch <ref-law>). Die Erteilung einer unbefristeten Niederlassungsbewilligung richtet sich auch für die unter das Freizügigkeitsabkommen fallenden Personen nach wie vor nach dem Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) sowie den von der Schweiz abgeschlossenen Niederlassungsverträgen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 258). Es ist aber davon auszugehen, dass das Begehren der Beschwerdeführer, das nur allgemein auf Gewährung der Familienzusammenführung lautet, auch die Familiennachzugsmöglichkeit gemäss Freizügigkeitsabkommen umfasst.
3.3 Das Freizügigkeitsabkommen hat - seinem Titel entsprechend - zum Ziel, die Freizügigkeit der Staatsangehörigen der Vertragsstaaten im Hoheitsgebiet der anderen Vertragspartei auf der Grundlage der in der Europäischen Gemeinschaft geltenden Bestimmungen zu verwirklichen (vgl. Präambel, Art. 1 und Art. 16 Abs. 1 FZA). Dementsprechend ist der im Abkommen geregelte Familiennachzug den in der Europäischen Gemeinschaft geltenden Regeln nachgebildet, namentlich Art. 10 der Verordnung Nr.1612/68 des Rates der Europäischen Wirtschaftsgemeinschaft (EWG) vom 15. Oktober 1968 über die Freizügigkeit der Arbeitnehmer innerhalb der Gemeinschaft (kurz: VO [EWG] Nr.1612/68), Amtsblatt der Europäischen Wirtschaftsgemeinschaft [ABl.] Nr.L 257 vom 19.Oktober 1968 S.2). Der im Folgenden interessierende erste Absatz dieser Bestimmung lautet:
"Bei dem Arbeitnehmer, der die Staatsangehörigkeit eines Mitgliedstaats besitzt und im Hoheitsgebiet eines anderen Mitgliedstaats beschäftigt ist, dürfen folgende Personen ungeachtet ihrer Staatsangehörigkeit Wohnung nehmen:
a) sein Ehegatte sowie die Verwandten in absteigender Linie, die noch nicht 21 Jahre alt sind oder denen Unterhalt gewährt wird;
b) seine Verwandten und die Verwandten seines Ehegatten in aufsteigender Linie, denen er Unterhalt gewährt."
3.4 Zunächst ist zu prüfen, ob der persönliche Anwendungsbereich des Freizügigkeitsabkommens die Beschwerdeführer erfasst: A._ ist Italiener und damit Staatsangehöriger einer Vertragspartei des Freizügigkeitsabkommens. Er verfügt über eine Niederlassungsbewilligung. Im Rahmen von Art. 3 Anhang I FZA ist aber entscheidend, dass er sich seit Inkrafttreten des Freizügigkeitsabkommens auf ein sich daraus ergebendes Aufenthaltsrecht berufen kann. Als in der Schweiz beschäftigter Arbeitnehmer kann er dies mit Blick auf Art. 2 Anhang I FZA in Verbindung mit Art. 10 Abs. 5 FZA. Der Anwendung von Art. 3 Anhang I FZA steht nicht entgegen, dass sich A._ bereits vor Inkrafttreten des Abkommens in der Schweiz aufgehalten hat und ein Arbeitsverhältnis eingegangen war (vgl. auch Art. 10 Abs. 5 FZA, <ref-law> und Ziff. 15 der Weisungen und Erläuterungen des Bundesamts für Ausländerfragen über die schrittweise Einführung des freien Personenverkehrs, Stand Februar 2002 [Weisungen VEP]; vgl. auch Urteil des Gerichtshofes der Europäischen Gemeinschaften [im Folgenden: Gerichtshof] vom 26. Mai 1993 in der Rechtssache C-171/91, Tsiotras, Slg. 1993, I-2925, Randnr. 9 ff.; Albrecht Randelzhofer/Ulrich Forsthoff, in: Eberhard Grabitz/Meinhard Hilf [Hrsg.], Das Recht der Europäischen Union, Bd.I, München 1990 ff., Stand April 2003, N.71 zu Art.39 EG-Vertrag).
3.5 Es stellt sich sodann die Frage, ob der Sohn der Beschwerdeführerin als Familienangehöriger im Sinne von Art. 3 Abs. 2 lit. a Anhang I FZA anzusehen ist. Aus den Akten ergibt sich nicht, dass er von A._ adoptiert worden wäre. Die Beschwerdeführer haben auch nichts dergleichen vorgetragen. Mangels Adoption gälte C._ somit nicht als gemeinsames Kind der Beschwerdeführer. Aus dem Wortlaut der erwähnten Bestimmung ergibt sich - im Gegensatz zur lit. b für Verwandte in aufsteigender Linie - nicht eindeutig, ob auch Nachkommen nur eines Ehepartners, gar desjenigen, der sich nicht auf das Freizügigkeitsabkommen berufen kann, insbesondere weil er nicht Staatsangehöriger eines Vertragsstaats ist, von der Bestimmung erfasst werden.
Der Gerichtshof hat in einem Urteil vom 17.September 2002 erstmals ausgeführt, der im Wesentlichen gleich lautende Art.10 VO (EWG) Nr.1612/68 (s. oben E.3.3) sei dahin auszulegen, dass er sowohl die Nachkommen des Arbeitnehmers als auch diejenigen seines Ehegatten mit umfasst. Eine enge Auslegung, wonach nur die gemeinsamen Kinder des Wanderarbeitnehmers und seines Ehegatten zum Aufenthalt bei diesen berechtigt wären, liefe der bezweckten Freizügigkeit der Arbeitnehmer zuwider (Rechtssache C-413/1999, Baumbast und R., Slg.2002, I-7091, Randnr.57; ebenso schon zuvor: Michael Funke-Kaiser, in: Gemeinschaftskommentar zum Ausländerrecht, Neuwied 1992 ff., Stand Juli 2002, N.91 zu II-§2 ; Jean-Claude Séché, in: Joly Communautaire, Paris 1995 ff., Stand März 2001, Bd.2, Thème 4, Entrée et séjour, N.26; Ulrich Wölker, in: Hans von der Groeben/Jochen Thiesing/Claus-Dieter Ehlermann, Kommentar zum EU-/EG-Vertrag, Bd.1, 5.Aufl., Baden-Baden 1997, N.69 zu Art.48 EG-Vertrag; Marcel Dietrich, Die Freizügigkeit der Arbeitnehmer in der Europäischen Union, 1995, S.324f.; Denis Martin, La libre circulation des personnes dans l'Union européenne, Bruxelles 1994, S.178 N.61; Pierre Garrone, La libre circulation des personnes, 1993, S.38; Jan Ziekow, Der gemeinschaftsrechtliche Status der Familienangehörigen, in: Die öffentliche Verwaltung [DÖV] 1991 S.364; abweichend und nicht eindeutig: Kay Hailbronner, Ausländerrecht, Heidelberg 1994ff., Stand August 2002, N.49 zu §1 Aufenthaltsgesetz/EWG, offenbar wegen des von Art.10 VO (EWG) Nr.1612/68 leicht abweichenden deutschen Gesetzestextes; im Ergebnis wie der Gerichtshof, jedoch zum FZA: Minh Son Nguyen, Droit public des étrangers, 2003, S.396; Marc Spescha, Lückenfüllung und Rechtsmissbrauch im Ausländerrecht, AJP 2002 S.1424; ders., Auswirkungen des Abkommens mit der EG über die Personenfreizügigkeit auf das allgemeine Ausländerrecht, in: Bernhard Ehrenzeller [Hrsg.], Aktuelle Fragen des schweizerischen Ausländerrechts, 2001, S.113, Fn.8; Marc Spescha/Peter Sträuli, Ausländerrecht, 2001, S.312; Philip Grant, La protection de la vie familiale et de la vie privée en droit des étrangers, Diss. Genf 2000, S.252; ehemaliges Bundesamt für Ausländerfragen [heute IMES] in seinen Rundschreiben vom 8.Juli 2002 zu "Grundsatzfragen bei der Umsetzung des Freizügigkeitsabkommens" und vom 5.Juni 2003 zur "Umsetzung des Freizügigkeitsabkommens, Auswirkungen beim Familiennachzug" in Bezug auf Art.3 Abs.1bis lit.a der Verordnung vom 6.Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer [BVO, SR823.21], der gleich lautet wie Art.3 Abs.2 lit.a Anhang I FZA).
Das erwähnte Urteil datiert indes aus der Zeit nach der Unterzeichnung des Abkommens am 21.Juni 1999, so dass die Interpretation durch den Gerichtshof laut Art.16 Abs.2 FZA für die Anwendung des Abkommens nicht verbindlich ist. Aus den Materialien zum Freizügigkeitsabkommen lässt sich nicht entnehmen, wie Art.3 Abs.2 lit.a Anhang I FZA zu verstehen ist (vgl. BBl 1999 6311; 1992 IV 221; 1992 V 336). Die Frage kann hier letztlich offen bleiben, da das Abkommen vorliegend aus einem anderen Grund nicht zur Anwendung gelangt.
3.6 Es ist weiter zu prüfen, ob das Freizügigkeitsabkommen auch für den Familiennachzug gilt, wenn sich der nachzuziehende Familienangehörige nicht in einem Mitgliedstaat der EU aufhält, mithin von ausserhalb des Gebiets der Mitgliedstaaten der EU in die Schweiz nachziehen soll.
3.6.1 Der Gerichtshof hat vor kurzem entschieden, der mit einem Unionsbürger verheiratete Drittstaatsangehörige müsse sich bereits rechtmässig in einem Mitgliedstaat aufhalten, um in den Genuss der Rechte aus Art.10 VO (EWG) Nr.1612/68 kommen zu können. Die Verordnung Nr.1612/68 betreffe nur die Freizügigkeit innerhalb der Gemeinschaft. Sie begründe keine Rechte auf Zugang zum Gemeinschaftsgebiet für Drittstaatsangehörige, die mit einem Unionsbürger verheiratet sind. Begebe sich ein in einem Mitgliedstaat ansässiger Unionsbürger, der mit einem zum Aufenthalt in diesem Mitgliedstaat berechtigten Drittstaatsangehörigen verheiratet ist, in einen anderen Mitgliedstaat, um dort eine unselbständige Berufstätigkeit auszuüben, so dürfe aufgrund dieses Ortswechsels nicht die Möglichkeit verloren gehen, rechtmässig zusammenzuleben, weshalb Art.10 VO (EWG) Nr.1612/68 dem Ehegatten das Recht verleihe, sich in diesem anderen Mitgliedstaat niederzulassen. Begebe sich dagegen ein in einem Mitgliedstaat ansässiger Unionsbürger, der mit einem zum Aufenthalt in diesem Mitgliedstaat nicht berechtigten Drittstaatsangehörigen verheiratet ist, in einen anderen Mitgliedstaat, um dort zu arbeiten, so könne in dem Umstand, dass seinem Ehegatten aus der genannten Bestimmung kein Recht erwachse, sich mit ihm in diesem anderen Mitgliedstaat niederzulassen, keine ungünstigere Behandlung liegen als die, die dem Ehepaar vor Inanspruchnahme der Freizügigkeit zuteil geworden sei. Dass ein solches Recht nicht bestehe, könne den Unionsbürger nicht davon abhalten, die Freizügigkeitsrechte wahrzunehmen. Gleiches gelte, wenn der mit einem Drittstaatsangehörigen verheiratete Unionsbürger in den Mitgliedstaat, dessen Staatsangehöriger er sei, zurückkehre. Verfüge sein Ehegatte über ein Recht zum Aufenthalt in einem anderen Mitgliedstaat, so finde Art.10 VO (EWG) Nr.1612/68 Anwendung, damit der Unionsbürger nicht davon abgehalten werde, von seiner Freizügigkeit durch Rückkehr in seinen Herkunftsstaat Gebrauch zu machen. Verfüge sein Ehegatte dagegen nicht bereits über ein Recht zum Aufenthalt in einem anderen Mitgliedstaat, so habe der Umstand, dass ihm aus der besagten Bestimmung kein Nachzugsrecht erwachse, insoweit keine abschreckende Wirkung; in diesem Fall müssten die zuständigen Behörden aber gleichwohl bei der Prüfung des Nachzugsgesuchs das Recht auf Achtung des Familienlebens im Sinne des Art.8 EMRK berücksichtigen (Urteil vom 23.September 2003 in der Rechtssache C-109/01, Secretary of State for the Home Department gegen Akrich, noch nicht in der amtlichen Sammlung des Gerichtshofs publiziert, jedoch in EuGRZ 2003 S.607, Randnr. 49-54 und 58 f.).
Der Gerichtshof hatte sich in früheren Urteilen, insbesondere vor dem gemäss Art.16 Abs.2 Satz1 FZA massgeblichen Zeitpunkt des 21.Juni 1999, hierzu nicht geäussert. Damit ist das Bundesgericht an die Interpretation der einschlägigen Bestimmungen durch den Gerichtshof im Urteil Akrich nicht gebunden. Trotzdem kann der Entscheid des Gerichtshofs -wie die seither ergangene Rechtsprechung überhaupt- bei der Auslegung von Art.3 AnhangI FZA mitberücksichtigt werden (vgl. in Bezug auf Art.16 FZA: Kay Hailbronner, Freizügigkeit nach EU-Recht und dem bilateralen Abkommen, Zeitschrift für Europarecht [EuZ] 5/2003 S.51f.; Susanne Leuzinger-Naef, Sozialversicherungsgerichtsbarkeit und Personenfreizügigkeitsabkommen Schweiz-EG, SJZ 99/2003 S.201f.; Thomas Cottier/Erik Evtimov, Probleme des Rechtsschutzes, in: Thomas Cottier/Matthias Oesch [Hrsg.], Die sektoriellen Abkommen Schweiz-EG, 2002, S.188f. und 200; Fabrice Filliez, Application des accords sectoriels par les juridictions suisses: quelques repères, in Daniel Felder/Christine Kaddous [Hrsg.], Bilaterale Abkommen Schweiz-EU, 2001, S.203-205; Alois Lustenberger/Raymond Spira, Das Verfahren in zwischenstaatlichen Fällen gemäss Abkommen, in Erwin Murer [Hrsg.], Das Personenverkehrsabkommen mit der EU und seine Auswirkungen auf die soziale Sicherheit der Schweiz, 2001, S.77 und 91; Tobias Jaag, Die Beziehungen zwischen der Schweiz und der Europäischen Union, ZSR 119/2000 I S.233 und 246f.).
3.6.2 In früheren Entscheiden, in denen es ebenfalls um den Nachzug von Familienangehörigen ging, die als sog. Drittstaatsangehörige unmittelbar von ausserhalb der EU zuziehen sollten, hat der Gerichtshof auf etwas anderem Boden argumentiert als im Urteil Akrich, ohne aber die in diesem Urteil entwickelte Abgrenzung auszuschliessen (vgl. Urteile vom 27.Oktober 1982 in den Rechtssachen 35/1982 und 36/1982, Morson und Jhanjan, Slg.1982, 3723, Randnr.15-18, vom 18.Oktober 1990 in den Rechtssachen 297/1988 und C-197/1989, Dzodzi, Slg.1990, I-3763, Randnr.23-28, und vom 25.Juli 2002 in der Rechtssache C-459/1999, MRAX, Slg.2002, I-6591, Randnr.73-80). Zwar hat der Gerichtshof mit Urteil vom 11.Juli 2002 erkannt, dass Art.49 des EG-Vertrages (Recht auf freie Dienstleistung) im Lichte des Grundrechts auf Achtung des Familienlebens unter Umständen verbiete, dass der Herkunftsmitgliedstaat eines in diesem Staat ansässigen Dienstleistungserbringers, der Dienstleistungen in anderen Mitgliedstaaten erbringt, dessen Ehegatten den Aufenthalt in seinem Hoheitsgebiet verwehrt (Rechtssache C-60/2000, Carpenter, Slg.2002, I-6279). In dieser Sache stand fest, dass der Ehepartner, der nicht Staatsangehöriger eines EU-Landes war, sich illegal in Grossbritannien aufhielt und auch in keinem anderen Mitgliedstaat aufenthaltsberechtigt war. Das deutet jedoch noch nicht auf eine vom Urteil Akrich abweichende Rechtsprechung hin. Es ging dort nämlich nicht darum, die Rechte aus Art.10 VO (EWG) Nr.1612/68 oder aus ähnlichen Regelungen (wie Art.1 Abs.1 lit.c in Verbindung mit Art.4 der Richtlinie 73/148/EWG vom 21.Mai 1973 zur Aufhebung der Reise- und Aufenthaltsbeschränkungen, ABl. L 172 vom 28.Juni 1973, S.14) zu gewähren, sondern in erster Linie um das in Art.8 EMRK garantierte Recht auf Familienleben.
3.6.3 Aus dem Wortlaut des Art.3 Abs.1 Anhang I FZA ergibt sich die vom Gerichtshof vorgenommene Einschränkung nicht. Das Gleiche gilt aber auch für den - vom Gerichtshof ausgelegten - Art.10 VO (EWG) Nr.1612/68. In weiten Teilen der Verwaltungspraxis bis hin zur Kommission der Europäischen Gemeinschaft ist offenbar eher davon ausgegangen worden, Art.10 VO (EWG) Nr. 1612/68 komme auch Familienangehörigen aus Drittstaaten zugute, die sich noch nicht rechtmässig in einem Mitgliedstaat der Europäischen Gemeinschaft aufhalten. Auch das IMES hat dies betreffend Art.3 Anhang I FZA bisher wohl angenommen. Die Botschaft zum Freizügigkeitsabkommen behandelt die vorliegende Problematik nicht (vgl. BBl 1999 S.6128, insbes. S.6309ff.), ebenso wenig die darin mehrmals erwähnte Botschaft zur Genehmigung des Abkommens über den Europäischen Wirtschaftsraum (BBl 1992 IV 1, insbes. S.214ff.; vgl. auch BBl 1992 V 336ff.).
3.6.4 Hintergrund des Entscheids in der Rechtssache Akrich ist der Umstand, dass das Recht auf Einwanderung in die Mitgliedstaaten der Europäischen Gemeinschaft bei Erlass der Regelung des Art. 10 VO (EWG) Nr. 1612/68 nahezu vollständig in die Zuständigkeit der Mitgliedstaaten fiel (vgl. auch Schlussanträge des Generalanwalts in dieser Rechtssache, Randnr. 2 und 38). Denkbar waren Eingriffe der Europäischen Gemeinschaft in diese Kompetenzaufteilung zwar etwa dann, wenn sie sich als zur Gewährleistung der Grundfreiheiten, wie hier der Freizügigkeit, notwendig erwiesen. Die Europäische Gemeinschaft hatte aber im Übrigen nur beschränkte Befugnisse zum Beschluss von Massnahmen betreffend die Einreise und den Aufenthalt von aus Drittstaaten stammenden Personen. Entsprechende Erweiterungen im Kompetenzbereich sind erst mit dem Vertrag von Amsterdam vom 2. Oktober 1997 (ABl. Nr. C 340 vom 10. November 1997, S. 1 und 173), der am 1. Mai 1999 in Kraft getreten ist, eingeführt worden. Namentlich gestützt auf den neuen Art. 63 Abs. 1 Ziff. 3 und 4 des EG-Vertrages können seither im Rahmen der Europäischen Gemeinschaft Massnahmen betreffend die Einreise und den Aufenthalt von Drittstaatsangehörigen in die Mitgliedstaaten beschlossen werden (vgl. auch Vorschlag der Europäischen Kommission vom 1. Dezember 1999 für eine Richtlinie des Rates betreffend das Recht auf Familienzusammenführung, insbes. Ziff. 1 der dortigen Begründung). Unter diesen Prämissen ist die Feststellung des Gerichtshofs zu verstehen, die EWG-Verordnung Nr. 1612/68 - vom 15. Oktober 1968 - betreffe nur die Freizügigkeit innerhalb der Gemeinschaft und sage nichts im Hinblick auf den Zugang zum Gemeinschaftsgebiet. Art. 3 Anhang I FZA, der Inhalt und Tragweite des Art. 10 VO (EWG) Nr. 1612/68 im Wesentlichen übernimmt, um die Freizügigkeit wie in der Europäischen Gemeinschaft zu realisieren, ist im gleichen Sinne auszulegen. Es sind keine stichhaltigen Gründe ersichtlich, diese Bestimmung des Freizügigkeitsabkommens in einem anderen, weiteren Sinne anzuwenden. Zwar mag sie - wie erwähnt - aufgrund ihres Wortlauts teilweise umfassender verstanden worden sein. Eine Interpretation über die Bedeutung hinaus, wie sie der Gerichtshof mit dem Urteil in der Rechtssache Akrich präzisiert hat, ist indes nicht erforderlich, um die mit dem Freizügigkeitsabkommen beabsichtigte Freizügigkeit zwischen der Schweiz und den Mitgliedstaaten der Europäischen Gemeinschaft zu gewährleisten. Kann ein Staatsangehöriger eines Vertragsstaats in seinem Herkunftsstaat nach den für ihn relevanten nationalen Regelungen (vgl. erwähnte Urteile in den Rechtssachen Dzodzi sowie Morson und Jhanjan und <ref-ruling> E. 4 S. 258 ff.) den begehrten Familiennachzug nicht erreichen, so steht der Übersiedlung in einen anderen Vertragsstaat nicht entgegen, wenn er sich auch dort lediglich auf das in diesem Staat geltende nationale Recht und nicht auf Art. 10 VO (EWG) Nr. 1612/68 bzw. Art. 3 Anhang I FZA berufen kann. Der Unionsbürger wird dadurch nicht schlechter gestellt, als wenn er von der Freizügigkeit keinen Gebrauch gemacht hätte. Will er anschliessend in einen weiteren Vertragsstaat ziehen oder in seine Heimat zurückkehren, besteht nur dann Anlass, die zuletzt erwähnten Bestimmungen anzuwenden, wenn er seine Familienangehörigen zwischenzeitlich rechtmässig (nach nationalem Recht) in den Aufenthaltsstaat nachholen konnte. Ist ihm dies nicht gelungen, steht die weitere Nichtanwendung der interessierenden Vorschriften der Ausübung des Freizügigkeitsrechts nicht entgegen.
Das Gleiche muss im Übrigen gelten, wenn die Familienbande - etwa durch Heirat - erst nach dem Wechsel eines Unionsbürgers in einen anderen Vertragsstaat begründet werden, sofern die Familienangehörigen nicht bereits über ein Recht zum Aufenthalt in einem Vertragsstaat verfügen. Sollte im Heimatland oder in einem anderen Vertragsstaat als dem Aufenthaltsstaat des Unionsbürgers im nationalen Recht eine für ihn günstigere Familiennachzugsregelung gelten, so könnte dies den Unionsbürger zwar dazu bewegen, den aktuellen Aufenthaltsstaat zu verlassen und sich in das andere Land mit dem günstigeren (Nachzugs-)Regime zu begeben. Das wäre dem Unionsbürger - bezüglich anderer Mitgliedstaaten - aufgrund der ihm gewährten Freizügigkeit möglich. Dass er dann in einem anderen Vertragsstaat eine bessere Behandlung in Bezug auf den Familiennachzug erfahren könnte, käme aber nur einer Reflexwirkung gleich bzw. wäre allein auf den Umstand unterschiedlicher nationaler Regelungen oder Praktiken zurückzuführen.
3.7 Nach dem Gesagten können sich die Beschwerdeführer vorliegend für den Nachzug ihres (Stief-)Sohnes, der sich nicht rechtmässig in einem Vertragsstaat des Freizügigkeitsabkommens aufhält, sondern in der Slowakei lebt, nicht auf Art.3 Anhang I FZA berufen. Aus Art.8 EMRK können die Beschwerdeführer, wie vorn in Erwägung2 ausgeführt wurde, ebenfalls keinen durchsetzbaren Nachzugsanspruch ableiten.
4. Demnach erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Beschwerdeführer unter Solidarhaft kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 und 7 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (Art. 159 OG)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird den Beschwerdeführern unter Solidarhaft auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement für Justiz und Sicherheit und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. November 2003
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: