Faits:
A. A.a Y._ est propriétaire, à Meyrin (Genève), d'une villa assurée contre le risque d'incendie auprès de l'assurance Z._, devenue en 2005 X._ (ci après: l'assurance); cette maison était assurée à hauteur de 560'000 fr. en valeur à neuf, plus 27'000 fr. de frais de déblaiement, pour la période du 1er août 1990 au 31 juillet 2000.
A.b Le 9 novembre 1997, un incendie s'est déclaré dans la maison de Y._ et a causé d'importants dégâts.
L'assurance a chargé l'architecte A._ de l'évaluation du dommage consécutif au sinistre et lui a confié en outre la coordination des travaux de réfection de la villa.
Il ressort des échanges de courriers entre parties que Y._ s'est plainte à réitérées reprises des différents travaux effectués dans sa maison depuis le 9 novembre 1997.
Le 4 mars 1998, l'assurance a informé par écrit son assurée que, conformément à son souhait, A._ allait cesser avec effet immédiat sa tâche de coordination des travaux; elle a ajouté qu'elle réglerait directement les factures des entreprises actives sur le chantier, afférentes aux travaux exécutés à satisfaction, et qu'en ce qui concernait les travaux posant des problèmes, exécutés notamment par les entreprises V._ et, pour l'électricité, W._, elle ne paierait à ces entreprises que ce qui était admis et verserait le solde à dame Y._ selon un décompte définitif à établir ultérieurement.
Afin de déterminer le solde encore dû au titre de règlement du sinistre, l'assurance et Y._ ont mis en oeuvre la procédure d'expertise prévue par les conditions générales d'assurance. Les experts ont rédigé un rapport d'expertise final le 22 juin 1998 et dressé un décompte final du dommage le 25 mai 1999.
Selon la première partie dudit décompte, l'assurance s'était acquittée au 20 janvier 1999 d'un total d'indemnités de 215'510 fr.20, soit 118'789 fr.20 directement en mains des entreprises qui sont intervenues et 96'721 fr. en mains de Y._. Il a été constaté que le montant de 96'721 fr. payé à la précitée comprenait, d'une part, des postes à propos desquels celle-ci n'avait élevé aucune contestation et qui ne se rapportaient donc pas à la correction de malfaçons et, d'autre part, des versements effectués sur la base d'offres directement adressées à Y._ après le 4 mars 1998.
La seconde partie du décompte déterminait les indemnités correspondant à la contre-valeur des travaux qui n'avaient pas encore été effectués au 4 mars 1998, arrêtée à 29'573 fr.
B. B.a Par acte du 2 juin 2000, Y._ a assigné l'assurance devant le Tribunal de première instance de Genève en paiement de la somme de 356'322 fr., à savoir 198'322 fr. pour le coût des travaux encore à exécuter, 110'000 fr. pour le coût des travaux de réfection et 48'000 fr. pour la perte d'usage de la villa pendant une année; à titre subsidiaire, la demanderesse a requis la condamnation de la défenderesse à lui verser la somme de 198'322 fr., ainsi que la condamnation conjointe et solidaire de la compagnie d'assurances et de A._ à lui payer 158'000 fr.
Par jugement du 19 septembre 2002, le tribunal a débouté Y._ de toutes ses conclusions.
Par arrêt du 13 juin 2003 rendu sur appel de Y._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a annulé le jugement de première instance. Statuant à nouveau, elle a entièrement débouté la demanderesse de ses prétentions afférentes aux travaux non exécutés ainsi qu'au dommage déduit de la perte d'usage de la maison; s'agissant en revanche des prétentions relatives aux travaux de réfection, elle a jugé que dès l'instant où l'assurance avait choisi de transformer son obligation de paiement en une obligation de remise en état, la cause devait être renvoyée au tribunal afin qu'il nomme un expert pour évaluer le coût des travaux de correction des malfaçons liées aux travaux exécutés du 9 novembre 1997 au 4 mars 1998, puis rende une nouvelle décision.
L'assurance a formé un recours de droit public et un recours en réforme au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 13 juin 2003. Par arrêt du 21 mai 2004 (cause 4P.166/2003), la Ie Cour civile a admis très partiellement le recours de droit public en ce sens que seul le chiffre 4 de l'arrêt attaqué relatif aux dépens de première instance et d'appel a été annulé. Par un second arrêt du même jour (cause 4C.232/2003), la Ie Cour civile a rejeté le recours en réforme.
Par arrêt du 17 décembre 2004, la Cour de justice, statuant derechef sur le montant et la répartition des dépens de première instance et d'appel à la suite du dispositif de l'arrêt du Tribunal fédéral 4P.166/2003, a condamné Y._ au paiement des deux tiers des dépens partiels de première instance et à ceux totaux de seconde instance de l'assurance, comprenant une unique indemnité de procédure de 10'000 fr., et réservé le sort des autres dépens de première instance relatifs à la prétention de 110'000 fr. restant à juger.
B.b Reprenant l'instruction de la cause, le Tribunal de première instance a ordonné le 23 novembre 2005 une expertise de la villa de la demanderesse et désigné l'architecte B._ en qualité d'expert, avec mission de déterminer si l'exécution des travaux confiés aux entreprises entre le 9 novembre 1997 et le 4 mars 1998 avait entraîné des malfaçons, dans l'affirmative d'en établir la liste et d'estimer le coût des travaux de suppression de ces dernières.
Dans son rapport du 19 janvier 2007, l'expert a estimé à un total net de 84'000 fr. le coût des travaux de remise en état, soit 39'300 fr. pour l'électricité et le chauffage électrique, 13'250 fr. pour le « sanitaire », 3'950 fr. pour la menuiserie, 5'620 fr. pour les sols, 1'700 fr. pour les murs et plafonds, 2'250 fr. pour la peinture, 2'500 fr de frais de nettoyage, 15'000 fr. sous « divers » pour les frais ne pouvant être attribués à un corps de métier précis et 430 fr. sous la rubrique « arrondi ».
Dans ses dernières conclusions déposées le 6 juin 2008, Y._ a conclu à ce que la défenderesse lui verse la somme de 110'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 9 novembre 1997.
L'assurance a conclu à sa libération.
Par jugement du 18 septembre 2008, le Tribunal de première instance a débouté la demanderesse de toutes ses conclusions.
B.c Saisie d'un appel de la demanderesse et d'un appel incident de la défenderesse, la Chambre civile de la Cour de justice genevoise, par arrêt du 18 septembre 2009, a annulé le jugement du 18 septembre 2008 et, statuant à nouveau, dit que l'assurance devait verser à sa partie adverse le montant de 61'169 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 2 juin 2000, chaque partie étant condamnée au paiement de la moitié des dépens de première instance et d'appel après renvoi de la cause au Tribunal de première instance, comprenant une indemnité de procédure totale de 20'000 fr. relative à la participation aux honoraires des avocats des plaideurs, plus la moitié d'un émolument complémentaire de 5'000 fr.
Les motifs de cette décision seront exposés ci-dessous dans la mesure utile.
C. Invoquant l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.), X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 18 septembre 2009. Elle conclut au déboutement de la demanderesse.
L'intimée requiert, à la forme, que le recours soit déclaré irrecevable. Au fond, elle propose, principalement, le rejet du recours et que la défenderesse soit condamnée à lui verser un montant de 110'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 9 novembre 1997 ou qu'à défaut l'arrêt rendu le 18 septembre 2009 par la Cour de justice soit confirmé; subsidiairement, elle conclut à ce que l'assurance lui paye le montant de 5'000 fr. pour « préjudice moral ».

Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie défenderesse qui a partiellement succombé dans ses conclusions libératoires et qui a ainsi la qualité pour recourir (<ref-law>), dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. de l'<ref-law>, le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 et l'arrêt cité). Il s'en tient cependant d'ordinaire aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105). Il n'examine la violation de droits constitutionnels que s'il est saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée. Le recourant ne peut de toute manière demander une correction de l'état de fait que si celle-ci est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
1.3 Sans former elle-même un recours en matière civile contre l'arrêt déféré, l'intimée requiert dans sa réponse que cette décision soit modifiée à son avantage, en ce sens qu'il lui soit alloué l'entier de ses dernières conclusions du 6 juin 2008, voire, subsidiairement, une indemnité satisfactoire de 5'000 fr. Dès l'instant où le recours joint est désormais proscrit par la LTF, de telles conclusions sont irrecevables (BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, n° 29 et 33 ad <ref-law>).
2. Il résulte de l'arrêt attaqué que l'assurance ayant opté, après l'incendie du 9 novembre 1997, pour la transformation de son obligation de paiement en obligation de remise en état, les relations entre les parties ressortissent dorénavant au droit du contrat d'entreprise (<ref-law>). Il n'est pas contesté qu'en ce qui concerne l'exécution des travaux effectués dans sa villa à la suite du sinistre, la demanderesse a formé en temps utile un avis des défauts.
La Cour de justice a nié que le montant de 96'721 fr. versé en mains de la demanderesse l'ait été pour procéder à la correction des défauts ayant entaché les travaux réalisés jusqu'au 4 mars 1998, ainsi que l'avaient admis les premiers juges. Elle a considéré que ce montant a été payé à l'intéressée à titre de règlement de travaux déjà exécutés, étant donné qu'il se fondait sur les devis ou les factures émis par les entreprises sollicitées; de plus, la somme de 96'721 fr. incorporait des versements pour des postes n'ayant pas fait l'objet de contestations ou apparus postérieurement au 4 mars 1998.
Les juges cantonaux ont relevé que l'expertise judiciaire pouvait être suivie, sous quelques réserves. Tout d'abord, d'un point de vue méthodologique, même si l'expert B._ n'avait pas dressé la liste précise des travaux opérés entre le 9 novembre 1997 et le 4 mars 1998 et s'était limité à répertorier l'ensemble des malfaçons affectant la maison de la demanderesse, il était possible d'admettre, notamment sur la base des déclarations de la défenderesse et des devis établis, que les travaux concernés étaient ceux de menuiserie, sols, murs et plafonds, peinture, auxquels s'ajoutaient d'autres relatifs à l'électricité (y compris le chauffage électrique) et aux installations sanitaires.
La cour cantonale est partie du coût total net des travaux de remise en état arrêté par l'expert à 84'000 fr. Elle en a déduit 951 fr. correspondant au montant encaissé par la demanderesse en compensation de la pose d'un chauffe-eau de moindre qualité qu'avant l'incendie. Elle a soustrait ensuite les postes « peinture » et «murs et plafonds », par respectivement 2'250 fr. et 1'700 fr., car ils avaient fait l'objet d'une compensation au profit de la précitée dans une procédure parallèle que lui avait intentée l'entreprise ayant réalisé lesdits travaux et qu'au surplus la lésée avait perçu de l'assurance 3'356 fr. pour la réfection des seuls papiers peints, élément ayant échappé à l'expert. La Cour de justice n'a pas tenu compte du poste « nettoyage », par 2'500 fr., au motif qu'il ne se rapportait pas à des malfaçons liées à des travaux exécutés il y a une décennie, ainsi que du poste « divers », par 15'000 fr., car il était afférent à des travaux indéterminés ne pouvant être attribués spécifiquement à un corps de métier. Enfin, elle a écarté le poste « arrondi », par 430 fr., car il n'avait trait à aucun travail de réfection.
En définitive, l'ensemble des déductions représentant 22'831 fr., c'est la somme de 61'169 fr. qui devait être accordée à la demanderesse (84'000 fr. - 22'831 fr.), avec intérêts au taux légal de 5% dès la date du dépôt de la demande devant le Tribunal de première instance.
La cour cantonale a enfin considéré, à propos des dépens entraînés par la conclusion en paiement de 110'000 fr., que ceux-ci devaient être partagés également entre les parties, puisque la demanderesse avait obtenu à peu près la moitié de ce qu'elle réclamait.
3. Dans son premier moyen, la recourante prétend que la Cour de justice a sombré dans l'arbitraire en retenant que l'entier de la somme de 96'721 fr. qu'elle a versée directement en mains de l'intimée ne l'a pas été dans le but de faire procéder à la réfection des défauts apparus à la suite de l'exécution de travaux dans la villa sinistrée entre le 9 novembre 1997 et le 4 mars 1998. Elle affirme que c'est sans aucun fondement que la cour cantonale a émis à ce sujet une opinion diamétralement opposée à celle des premiers juges. La Cour de justice, sur la base de l'expertise judiciaire, n'aurait d'ailleurs pas été à même de déterminer la part des versements qui aurait bien été attribuée à la correction des travaux mal exécutés. De plus, on ne pourrait rien tirer de la circonstance - évoquée par l'autorité cantonale au considérant 3 de l'arrêt entrepris - que des devis ou des factures ont été émis, car cela ne signifie pas que ces documents se rapportent à des travaux correctement exécutés.
3.1 L'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 3.1).
Selon la jurisprudence relative aux recours formés pour violation de droits constitutionnels (art. 106 al. 2 ou 116 LTF), celui qui se plaint d'arbitraire doit indiquer de façon précise en quoi la décision qu'il attaque est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1b).
3.2 Le moyen, dont le caractère appellatoire est prédominant, ne semble pas répondre aux exigences strictes de motivation déduites de l'<ref-law>. La question peut rester indécise, car il est de toute manière privé de tout fondement.
Il résulte en effet du décompte final se rapportant au sinistre daté du 25 mai 1999, dressé dans le cadre de la procédure d'arbitrage initiée par les parties en vertu des conditions générales de la défenderesse, qu'une somme de 96'721 fr. avait été payée en mains de la demanderesse par l'assurance; ce montant, à dire d'experts, avait trait soit aux règlements de travaux qui n'avaient pas donné lieu à réclamation (et qui ne pouvaient ainsi concerner la correction de malfaçons), soit aux paiements opérés à la suite de la réception d'offres adressées directement à l'intimée après le 4 mars 1998.
A partir de cette pièce - à laquelle la recourante ne fait pas la plus petite allusion dans sa critique - , il n'y a rien d'insoutenable à admettre que le montant en cause de 96'721 fr. dans sa totalité ne correspond pas à des versements ayant un lien avec les travaux de réfection ayant été exécutés postérieurement au 4 mars 1998.
4. Le second moyen de la recourante a trait à l'appréciation prétendument arbitraire que les magistrats genevois ont fait de l'expertise judiciaire. Outre de s'être écartés à de nombreuses reprises et sans motifs valables des conclusions de l'expert, ceux-ci auraient encore substitué leur propre appréciation à celle de l'homme de l'art.
Ne craignant apparemment pas de se contredire, la recourante fait encore valoir que l'expertise comporte de graves défauts, ce qu'aurait admis la cour cantonale en ne s'y référant pas sur tous les points, si bien que cette dernière avait l'obligation de s'en écarter et ne pouvait pas faire usage des conclusions de l'expert.
4.1 Lorsque l'autorité cantonale juge une expertise concluante et en fait sien le résultat, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'arbitraire que si l'expert n'a pas répondu aux questions posées, si ses conclusions sont contradictoires ou si, d'une quelconque autre façon, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même sans connaissances spécifiques, que le juge ne pouvait tout simplement pas les ignorer. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de vérifier si toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire; sa tâche se limite bien plutôt à examiner si l'autorité intimée pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise (arrêt 4P.283/2004 du 12 avril 2005 consid. 3.1, in RDAF 2005 I p. 375; arrêt 4P.263/2003 du 1er avril 2004 consid. 2.1).
4.2 Le moyen repose sur des affirmations antinomiques. D'un côté, il est reproché à la Cour de justice de s'être écartée arbitrairement des conclusions de l'expert, de l'autre il lui est fait grief de s'y être fiée alors qu'elle était inutilisable. Un tel moyen ne saurait être considéré comme suffisamment motivé au regard des exigences légales.
Fût-il recevable qu'il devrait être déclaré privé de tout fondement.
4.2.1 La recourante semble tout d'un coup alléguer que l'intimée n'a jamais prouvé l'existence des défauts survenus après l'exécution des travaux entrepris entre le 9 novembre 1997 et le 4 mars 1998.
Il a été constaté que l'expert judiciaire, dans son rapport du 19 janvier 2007, a décrit précisément les travaux qui étaient défectueux. Or la recourante n'a pas requis un complément d'expertise ou une surexpertise, mais elle a au contraire admis, dans ses conclusions après enquêtes et expertise déposées devant le Tribunal de première instance le 6 juin 2008, que ces travaux avaient bien été réalisés dans la période susmentionnée.
Cette part du moyen est sans consistance.
4.2.2 La recourante s'en prend au coût de remise en état de l'électricité et du chauffage électrique, évalué par l'expert à 39'300 fr. Faisant référence au rapport d'expertise avant procès du 22 juin 1998, elle affirme que l'expert judiciaire n'a pas distingué entre les montants alloués pour l'électricité et ceux pour le chauffage.
On ne voit pas quelle grave erreur aurait commise l'architecte désigné comme expert pour n'avoir pas distingué entre les coûts des travaux d'électricité et de chauffage s'agissant d'une maison chauffée en tout cas en grande partie à l'électricité. Enfin, la recourante n'a pas fait valoir que c'est arbitrairement que les conclusions du rapport d'expertise avant procès, antérieures de huit ans et demi à celles du rapport d'expertise judiciaire, n'ont pas été mentionnées dans l'état de fait de l'arrêt critiqué.
4.2.3 La recourante prétend que la cour cantonale ne pouvait se rallier aux conclusions de l'expert quant à la réfection des travaux se rapportant aux installations sanitaires, dont il a estimé le coût à 13'250 fr. Et de renvoyer à nouveau au rapport d'expertise avant-procès, voire au jugement du Tribunal de première instance du 18 septembre 2008, annulé par l'arrêt attaqué.
La recourante ne fait pas la démonstration que s'agissant de la prise en compte du poste « sanitaire » dans les travaux à corriger, l'expert judiciaire a erré au point que même un profane dans l'art de construire l'aurait remarqué. Le Tribunal fédéral n'a pas à examiner les arguments d'une autorité inférieure, totalement écartés dans la décision de dernière instance faisant l'objet du recours (<ref-law>). Pour le reste, il suffit de renvoyer à ce qui vient d'être dit ci-dessus.
4.2.4 La recourante critique la cour cantonale pour s'être ralliée aux conclusions de l'expertise s'agissant du coût des travaux de correction des défauts appartenant au poste « menuiserie », par 3'950 fr., et « sols », par 5'620 fr.
A cet égard, elle se borne à exposer sa propre vision des choses, sans même tenter de démontrer en quoi les conclusions de l'expert seraient contradictoires, voire absurdes. Il n'est ainsi nul besoin de se pencher plus avant sur la question.
4.2.5 La recourante déclare ensuite ne pas comprendre pourquoi l'autorité cantonale a écarté le poste « murs et plafonds », par 1'700 fr., en se fondant sur l'expertise avant-procès qui a fait état d'un paiement direct par l'assurance à la demanderesse d'une somme de 3'356 fr. en rapport avec la réfection de papiers peints.
Cette critique n'a pas trait à l'appréciation arbitraire des preuves, mais à l'obligation de motivation de l'autorité cantonale déduite du droit du plaideur à être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Faute de l'invocation d'un grief constitutionnel motivé sous cet angle, le point n'a pas à être examiné.
5. Il suit de là que le recours doit être rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité. Vu l'issue de la querelle, les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 3'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 14 janvier 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet