Sachverhalt:
A. A.a Am 3. März 2006 leitete die Y._ AG (Klägerin) gegen die X._ AG (Beklagte) beim Gerichtskreis Z._ ein Verfahren auf Einräumung eines Überbaurechtes ein, in welchem Verfahren die Fortsetzungsverhandlung auf den 23. April 2007 anberaumt war. Am Morgen des Verhandlungstages rief A._, Mitglied des Verwaltungsrates der Beklagten, die Gerichtskanzlei an und teilte mit, er sei krankheitshalber nicht in der Lage, an der Verhandlung teilzunehmen, weshalb er um deren Verschiebung ersuche. Daraufhin begab er sich zum Arzt, um sich die Krankheit bescheinigen zu lassen. In der Folge sprach ihm die Kanzleisekretärin auf die Combox und ersuchte um Einreichung eines Arztzeugnisses, wobei nur ein vom Arzt direkt eingereichtes Zeugnis akzeptiert werde, welches überdies bis zum Mittag des Verhandlungstages vorzuliegen habe. Das verlangte Zeugnis wurde nicht bis Mittag, sondern erst nachträglich eingereicht. Es bescheinigt eine 100 %ige Arbeitunfähigkeit ab dem 23. April 2007. A._ blieb der Verhandlung fern.
A.b Mit Säumnisurteil vom 23. April 2007 wies der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises Z._ der Klägerin zulasten der Beklagten ein dingliches Überbaurecht zu, regelte die Modalitäten des Grundbucheintrages, verurteilte die Klägerin zur Leistung einer Entschädigung für das Überbaurecht an die Beklagte und regelte die Kosten des Verfahrens.
B. In der Folge ersuchte A._ im Namen der Beklagten um Wiedereinsetzung, welche ihr der Gerichtspräsident mit Entscheid vom 27. November 2007 verweigerte. Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde der Beklagten wies das Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, am 12. Februar 2008 ab.
C. Die Beklagte führt Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht mit dem Begehren, das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 12. Februar 2008 aufzuheben.
Der Gerichtspräsident 1 und das Obergericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>) betreffend Abweisung des Wiedereinsetzungsgesuchs. Da hiermit das Verfahren abgeschlossen wird, handelt es sich um einen Endentscheid (<ref-law>). Der Streit geht um die Einräumung eines privatrechtlich begründeteten Überbaurechts, mithin um eine Zivilsache, deren Streitwert den Betrag von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) bei weitem nicht erreicht. Infolgedessen steht gegen den Entscheid nur die Verfassungsbeschwerde offen (<ref-law>), mit der einzig eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Verfassungsbeschwerde ist somit einzutreten.
2. 2.1 Die säumige Partei kann sich gegen einen durch die Versäumung eines Termins oder einer durch den Richter anberaumten Frist entstandenen Prozessnachteil wieder in den vorigen Stand einsetzen lassen, wenn sie glaubhaft machen kann, dass sie, ihr Bevollmächtigter oder Anwalt durch erhebliche Hindernisse wie Krankheit, Staatsdienst, höhere Gewalt oder dergleichen an der Rechtsbesorgung gehindert und die Vertretung durch einen Substituten ausgeschlossen oder nicht tunlich war (<ref-law>/BE).
2.2 Das Obergericht hat der Beschwerde gegen den das Gesuch um Wiedereinsetzung abweisenden erstinstanzlichen Entscheid vom 27. November 2007 nicht stattgegeben und im Wesentlichen erwogen, die Vorbringen der Beschwerdeführerin seien nicht geeignet, die urteilende Kammer von einer Gesetzesverletzung zu überzeugen. Ihre Darlegungen erschöpften sich in Ausführungen zur Krankheit von A._; die Beschwerdeführerin erläutere auch nicht ansatzweise, weshalb es ihrem Verwaltungsratspräsidenten B._ nicht möglich gewesen wäre, am Verhandlungstag zu erscheinen oder weshalb sie keinen anderen Vertreter hätte bestellen können. Der pauschale Hinweis auf das äusserst komplexe Verfahren verfange nicht, zumal der Gerichtspräsident in seinem Entscheid überzeugend darlege, dass eine Vertretung alleweil möglich und auch tunlich gewesen wäre.
2.3 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 9 und 29 Abs. 2 BV und macht zur Begründung geltend, sie habe im Wiedereinsetzungsverfahren und auch vor dem Obergericht dargetan, dass es für den mit der Sache nicht vertrauten B._ (das zweite Mitglied des Verwaltungsrates) unmöglich gewesen wäre, die Sache vor den Schranken zu vertreten. Im Übrigen sei die Krankheit von A._ nicht voraussehbar gewesen; aufgrund der kurzfristig aufgetretenen Krankheit, die durch ein Arztzeugnis dokumentiert werde, sei es dem Verwaltungsratsmitglied B._ erst recht unmöglich gewesen, sich in die Sache einzuarbeiten und vor Gericht für die Beschwerdeführerin zu handeln.
2.4 Das dürftig ausgefallene Arztzeugnis lautet auf eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit, enthält aber keine näheren Hinweise über die Art der Krankheit. Der Appellationshof hinterfragt dieses Zeugnis aber nicht und stellt sich insbesondere nicht auf den Standpunkt, A._ sei nicht krankheitshalber verhindert gewesen. Ebensowenig wird im angefochtenen Entscheid die Interpretation der Beschwerdeführerin in Frage gestellt, A._ habe die Combox-Mitteilung dahingehend verstanden, dass die Verhandlung bei einer Einreichung des Zeugnisses bis Mittag verschoben werde, wobei er, was ebenso unbestritten ist, die Comboxmitteilung nicht rechtzeitig abzuhören vermochte. Sodann gilt als erstellt, dass A._ weder, als morgens um 10.00 Uhr die Gerichtskanzlei anrief, noch später auf die Combox mitgeteilt worden ist, dass ein Arztzeugnis die Beschwerdeführerin ohnehin nicht zu dispensieren vermöge, da sie sich durch das andere Verwaltungsratsmitglied vertreten lassen könne. Im weiteren ist der Beschwerdeführerin darin beizupflichten, dass sich die Krankheit nicht voraussehen liess, so dass A._ auch nicht zum Vorwurf gereichen kann, dass er im Hinblick auf die Sitzung keinen Stellvertreter der Beschwerdeführerin bestimmt hat. Zudem erwies sich die Sache denn auch nicht als einfach, ging es doch um die Gewährung eines privatrechtlichen Überbaurechtes, mit welcher sich B._ bis anhin nicht befasst hatte. Dass dieser über die nötige Erfahrung zur Vertretung der Beschwerdeführerin in einem Gerichtsverfahren verfügt hätte, wird nicht erstellt. Die Auffassung der kantonalen Instanzen, A._ hätte innert der ihm verbleibenden kurzen Zeit einen sachkundigen, zur sachgerechten Vertretung der Beschwerdeführerin fähigen Vertreter bestimmen können, vermag nicht einzuleuchten, zumal eine den Umständen entsprechende Vertretung auch für einen kurz vor der Verhandlung beigezogenen Anwalt nicht möglich gewesen wäre. Der angefochtene Entscheid erweist sich daher sowohl in der Begründung als auch im Ergebnis als unhaltbar und damit willkürlich (<ref-ruling> E. 2.1).
3. Damit ist die Verfassungsbeschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Das Gesuch um Wiedereinsetzung ist gutzuheissen und die Sache zum Entscheid über die Kosten und Entschädigungen der kantonalen Verfahren betreffend die Wiedereinsetzung und für die weiteren Anordnungen im Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. Dem Kanton Bern dürfen keine Kosten auferlegt werden (<ref-law>). Hingegen hat er die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfassungsbeschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Kammer, vom 12. Februar 2008 aufgehoben. Das Gesuch um Wiedereinsetzung wird gutgeheissen und die Sache zur Regelung der Kosten und Entschädigungen der kantonalen Verfahren betreffend die Wiedereinsetzung und für die weiteren Anordnungen im Verfahren an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Bern hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden