Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 25. Juli 2007 erklärte die Gerichtspräsidentin 14 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen X._ der Vernachlässigung von Unterhaltspflichten schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe sowie zur Bezahlung der Zivilforderung des Sozialamts der Stadt Bern und der Verfahrenskosten.
Gegen dieses Urteil appellierte X._ an das Obergericht des Kantons Bern. Dessen 1. Strafkammer gab ihm am 12. November 2007 die urteilenden Gerichtsmitglieder bekannt mit dem Hinweis, allfällige Ablehnungsgründe seien innert 20 Tagen geltend zu machen.
Mit Eingabe vom 11. Dezember lehnte X._ sämtliche Mitglieder des Obergerichts ab. Das Obergericht hat dieses Begehren am 21. Dezember 2007 zuständigkeitshalber dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern zukommen lassen.
Mit Urteil vom 22. Januar 2008 trat der Einzelrichter der Verwaltungsrechtlichen Abteilung des Verwaltungsgerichts auf das von ihm als rechtsmissbräuchlich erachtete Ablehnungsgesuch nicht ein.
Gegen dieses Urteil vom 22. Januar 2008 erhob X._ mit Eingabe vom 3. März 2008 der Sache nach Beschwerde in Strafsachen. Mit Urteil vom 7. März 2008 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein (Verfahren 1B_62/2008).
2. Mit Beschluss vom 28. Mai 2008 behandelte die 1. Strafkammer des Obergerichts sodann die weiteren von X._ mit Eingabe vom 11. Dezember 2007 gestellten Begehren. Im Einzelnen entschied sie:
1. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Die Anträge auf Zustellung sämtlicher Akten etc. betreffend Verweigerung des gegenseitigen Besuchsrechts mit Y._ seit 26. August 1986 sowie auf deren Erklärung zum integrierten Bestandteil des vorliegenden Verfahrens (...) werden abgewiesen.
3. Auf die übrigen Anträge in der Eingabe vom 11. Dezember 2007 wird nicht eingetreten."
Gegen diesen Beschluss führte X._ wiederum Beschwerde in Strafsachen. Mit Urteil vom 26. Juni 2008 trat das Bundesgericht auf diese Beschwerde nicht ein (Verfahren 1B_158/2008).
3. Am 12. Juni 2008 reichte X._ dem Obergericht ein weiteres Ablehnungsbegehren ein. Mit Beschluss vom 20. Juni 2008 trat die 1. Strafkammer des Obergerichts auch auf dieses Begehren nicht ein mit der Begründung, es sei eine blosse - grösstenteils wörtlich mit gleichlautenden Argumenten/Schlagworten versehene - Wiederholung früherer Ablehnungsbegehren und daher als rechtsmissbräuchlich zu erachten. Sodann ist die 1. Strafkammer auf die zusätzlichen mit der Eingabe vom 12. Juni 2008 gestellten Anträge nicht eingetreten.
Mit Eingabe vom 5. Juli 2008 führt X._ auch gegen den Beschluss vom 20. Juni 2008 der Sache nach Beschwerde in Strafsachen, wie er damit wiederum verschiedene weitere, früher ergangene Entscheide anficht. Soweit hier wesentlich, verlangt er die Aufhebung des Beschlusses vom 20. Juni 2008.
4. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offenstehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch <ref-ruling> insb. E. 1.4 S. 254).
Der Beschwerdeführer kritisiert den angefochtenen obergerichtlichen Beschluss vom 20. Juni 2008 nur auf ganz allgemeine Weise. Er beschränkt sich weitgehend darauf, Bestimmungen namentlich der Bundesverfassung und des Völkerrechts sowie verschiedene eidgenössische und kantonale prozessuale Bestimmungen zu zitieren, die er pauschal als verletzt erachtet, wie er dies bereits in früheren bundesgerichtlichen Verfahren tat. Dabei unterlässt er es, sich sachbezogen mit den dem Beschluss vom 20. Juni 2008 zugrunde liegenden Erwägungen auseinanderzusetzen. Insbesondere legt er nicht im Einzelnen dar, inwiefern die Begründung des Beschlusses bzw. dieser im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Schon mangels genügender Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Dies gilt insbesondere auch in Bezug auf das vom Beschwerdeführer erneut gestellte Ablehnungsbegehren, mit dem er einmal mehr verschiedene Mitglieder des kantonalen Obergerichts in Missachtung der prozessualen Anstandsregeln (vgl. <ref-law>) kritisiert. Auch dieses Begehren ist nicht konkret begründet; allein im Umstand, dass ein Richter in früheren Verfahren eine Angelegenheit derselben Person behandelte, kann nach der Rechtsprechung keine Verletzung des Anspruchs auf den verfassungsmässigen Richter erblickt werden (<ref-ruling> E. 3 S. 227; vgl. nunmehr auch <ref-law> in Bezug auf das bundesgerichtliche Verfahren).
In Bezug auf die Mitanfechtung weiterer, früher ergangener Entscheide kann hier im Übrigen auf die dem bundesgerichtlichen Urteil vom 26. Juni 2008 zugrunde liegenden Erwägungen verwiesen werden (Verfahren 1B_158/2008).
Auf die Beschwerde ist somit bereits aus den genannten Gründen offensichtlich nicht einzutreten, weshalb über sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
5. Wegen Aussichtslosigkeit ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (<ref-law>). Die bundesgerichtlichen Kosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Sozialamt der Stadt Bern und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Bopp