Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen das Urteil vom 27. Mai 2015 des Obergerichts des Kantons Zürich, das u.a. den Beschwerdeführer zur Zahlung von Unterhaltsbeiträgen an die Beschwerdegegnerin (2013 geborene Tochter) von Fr. 410.-- (für Mai und Juni 2015) und von Fr. 955.-- (ab 1. Juli 2015 bis zur Volljährigkeit) verpflichtet hat,

in Erwägung,
dass das Obergericht erwog, der Unterhaltsbedarf der Beschwerdegegnerin könne bei weitem nicht gedeckt werden, weshalb sich die Unterhaltsbeiträge aus der Gegenüberstellung des Nettoeinkommens und des Existenzminimums des Beschwerdeführers ergäben, das vorinstanzlich angenommene Einkommen (Fr. 3'614.-- für Mai und Juni 2015 sowie ein hypothetisches Einkommen von Fr. 4'609.-- für die Folgezeit) sei unangefochten geblieben und erscheine als angemessen, für die erwähnten Perioden betrage der Notbedarf Fr. 3'200.-- bzw. Fr. 3'652.--, die Unterhaltsbeiträge entsprächen der gerundeten Differenz,
dass die Beschwerde nach <ref-law> nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (<ref-law>), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.),
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auf die obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass es insbesondere nicht genügt, sich auf Rückenprobleme zu berufen, eine momentan eingeschränkte Arbeitsfähigkeit von 70% geltend zu machen und ein realisierbares Einkommen von 2'000 bis 3'000 Franken zu behaupten, zumal das Einkommen des Beschwerdeführers im obergerichtlichen Verfahren unbestritten geblieben war,
dass der Beschwerdeführer erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand der Erwägungen des Obergerichts aufzeigt, inwiefern dessen Urteil vom 27. Mai 2015 rechts- oder verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und der Abteilungspräsident zuständig ist,

erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Füllemann