Faits :
A.
A._, ressortissante suisse originaire de V._, est née en 1953 et réside à Genève. B._, ressortissant iranien né en 1979, est domicilié à Téhéran (Iran). Les intéressés se sont mariés en 2013 à Istanbul (Turquie).
Le 6 octobre 2013, B._ s'est rendu à l'Ambassade de Suisse à Téhéran pour faire enregistrer son mariage avec A._ et demander des renseignements sur l'obtention d'un visa, afin de rejoindre cette dernière en Suisse.
Le 31 octobre 2013, A._ a déposé une requête auprès de la Direction de l'état civil du canton de Vaud, en vue de la reconnaissance et de la transcription dans le registre suisse de l'état civil de son mariage avec B._.
B.
Par décision du 10 octobre 2014, le Département de l'économie et du sport du canton de Vaud a rejeté la demande de reconnaissance et de transcription du mariage.
Par arrêt du 14 avril 2015, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours interjeté contre la décision précitée.
C.
Par acte du 5 mai 2015, A._ et B._ déposent un " recours " au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à l'annulation de celui-ci et de la décision de première instance, ainsi qu'à la reconnaissance de leur mariage, partant à son inscription dans les registres suisses d'état civil.
Par ordonnance du 1er juillet 2015, un délai a été fixé à B._ pour apposer sa signature manuscrite sur l'acte de recours. Ce dernier n'a pas réagi.
Des déterminations n'ont pas été demandées.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué, qui porte sur le refus, par l'autorité de surveillance en matière d'état civil, de reconnaître un mariage célébré à l'étranger et de le transcrire dans un registre d'état civil (<ref-law>), constitue une décision finale (<ref-law>), de nature non pécuniaire (<ref-law> a contrario), prise sur recours par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil (<ref-law>), partant susceptible de recours en matière civile, le " recours " étant dès lors traité comme tel; déposé par ailleurs par écrit (<ref-law>) et en temps utile (<ref-law>), il est recevable au regard de ces dispositions.
Seule la recourante a signé l'acte de recours. En tant qu'il émane du recourant, qui ne saurait être représenté par la recourante (<ref-law>), le défaut de signature originale manuscrite (<ref-law>), nonobstant délai fixé pour remédier à l'irrégularité, entraîne d'emblée l'irrecevabilité du recours à son égard (<ref-law>). Dans ces circonstances, il n'est pas nécessaire de se prononcer sur l'admission de l'intéressé comme partie en procédure cantonale, ni sur la validité de sa représentation par la recourante devant ces autorités.
Pour sa part, la recourante, qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a succombé dans ses conclusions prises devant celle-ci, dispose de la qualité pour recourir (<ref-law>).
1.2. Seule la décision de l'autorité de dernière instance cantonale fait l'objet du recours (<ref-law>). En tant que les conclusions tendent à l'annulation de la décision de l'autorité inférieure, en l'occurrence du Département de l'économie et du sport du canton de Vaud du 10 octobre 2014, elles sont d'emblée irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 104).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est circonscrit par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cependant, vu l'exigence de motivation contenue à l'<ref-law>, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2 p. 89 et les citations). Cette norme impose à la partie recourante de discuter succinctement les motifs de l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 246); il suffit néanmoins que, à la lecture de son argumentation, on puisse comprendre aisément quelles règles juridiques auraient été violées par l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 2 p. 89). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant, c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 232 et les références). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 10.1 p. 445 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 61). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte (<ref-law>), à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste cette violation (<ref-law>); les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 589). Enfin, aucun fait nouveau ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2.3. Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec retenue l'exercice du pouvoir d'appréciation dont dispose l'autorité cantonale. Ce n'est que lorsque celle-ci a excédé son pouvoir d'appréciation ou en a abusé, et a abouti à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante, qu'il intervient (<ref-ruling> consid. 9.2 p. 70 avec la jurisprudence citée).
3.
Le recours a pour objet le refus de la reconnaissance d'un mariage conclu à l'étranger, ainsi que de sa transcription dans le registre d'état civil suisse (<ref-law>). La recourante invoque l'excès du pouvoir d'appréciation de la cour cantonale et la violation des art. 13 et 14 Cst., ainsi que 8 et 12 CEDH.
3.1. L'art. 8 CEDH exprime notamment le principe du droit de toute personne au respect de sa vie privée et familiale, alors que l'art. 12 CEDH (droit au mariage) consacre, à partir de l'âge nubile, le droit de l'homme et de la femme de se marier et de fonder une famille selon les lois nationales régissant l'exercice de ce droit; ces garanties sont reprises, respectivement par les art. 13 et 14 Cst. Le droit au mariage n'est toutefois pas absolu et des mesures destinées à lutter contre les mariages de complaisance sont admissibles, pour autant qu'elles soient raisonnables et proportionnées et qu'elles visent à déterminer si l'intention matrimoniale des futurs époux est réelle et sincère, soit repose sur la volonté de fonder une communauté conjugale (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 357, citant l'arrêt de la CourEDH du 14 décembre 2010 dans la cause O'Donoghue et consorts contre Royaume-Uni, requête no 34848/07).
3.2. Après avoir confirmé la compétence de l'autorité de surveillance en matière d'état civil du canton d'origine des personnes concernées (<ref-law> en relation avec les <ref-law> et 23 OEC), la cour cantonale a, dans son raisonnement au fond, conclu à un mariage de complaisance, non protégé par l'ordre juridique suisse. Elle a retenu, sur la base des éléments au dossier démontrant le caractère abusif du mariage conclu en Turquie, qu'il y avait lieu de douter sérieusement de l'intention du recourant de fonder une véritable communauté conjugale avec la recourante, justifiant ainsi le refus de la reconnaissance et de la transcription du mariage. Se référant encore aux directives de l'Office fédéral de l'état civil sur le sujet, elle a procédé à une appréciation sur la base d'un faisceau d'indices. Elle a ainsi tenu compte : des contradictions dans les déclarations des intéressés (fait que la recourante ait ou non été surprise par la demande en mariage; affirmation du recourant - finalement non avérée - selon laquelle la soeur de la recourante était au courant du mariage; méconnaissance de la fratrie de l'intéressé par l'intéressée); de la teneur des échanges initiaux sur le réseau Facebook, dont le contenu portait sur des éléments propres à la personne du recourant alors que celui-ci se disait intéressé à prendre des cours de français; de la rapidité de la demande en mariage après deux mois d'échanges plus fréquents sur internet; du fait que les intéressés se sont physiquement rencontrés pour la première fois, en Turquie, le 2 août 2013, que le mariage a été célébré à Istanbul douze jours plus tard, soit le 14 août 2013 et que le séjour en Turquie a pris fin le 20 août 2013, après quoi ils ne se sont plus revus physiquement; du fait que chacun d'eux ne connaissait ni la famille ni les amis de l'autre; du fait que la recourante, atteinte dans sa santé, est âgée de 26 ans de plus que le recourant; du fait que les intéressés ont évoqué l'idée - difficilement réalisable - d'adopter un ou des enfants, mais n'ont en définitive pas montré avoir de vrais projets de couple; qu'ils communiquent par internet en anglais et que l'intéressé - pourtant désireux d'apprendre le français et de trouver un travail à Genève - n'a pas fait d'efforts particuliers en ce sens durant près de trois ans, si ce n'est - aux dires de la recourante - qu'il aurait finalement suivi des cours depuis fin octobre 2014, alors que la décision négative de première instance venait d'être rendue et qu'il avait, par le passé, prétendu que de tels cours coûtaient trop cher; du fait que les intéressés proviennent de milieux culturels différents et n'ont pas informé leurs familles de leur mariage; du fait que celui-ci n'a pas été enregistré en Iran, le recourant faisant valoir que celui-ci n'y serait pas reconnu, ce que l'Ambassade de Suisse à Téhéran dément, la cour cantonale en concluant que l'intéressé ne semble pas vouloir donner de publicité à son mariage en Iran, ce qui fait sérieusement douter de son intention de vouloir fonder une véritable communauté conjugale avec la recourante.
3.3. La recourante expose que le recourant n'ignore rien de sa vie, qu'elle se porte mieux et que grâce à son soutien, elle se nourrit mieux et a cessé de fumer. Elle indique que " c'est par pure coquetterie féminine qu' [elle a] laissé croire à [s]on mari qu' [elle] était très surprise par sa demande en mariage ", qu'elle s'est simplement trompée dans le calcul du nombre de frères du recourant et, de manière générale, que le procès-verbal d'audition du recourant contient des erreurs imputables à la traductrice. Sur le lien et la relation sentimentale qui l'unit au recourant, elle se réfère à plusieurs études diffusées sur internet par des psychanalystes, respectivement une doctorante en sociologie, qui démontrent que les sentiments peuvent très bien naître et perdurer dans le contexte d'une relation initiée par une rencontre sur internet. Elle explique que c'est en raison de problèmes financiers qu'elle n'a pas rencontré le recourant avant le mariage et qu'ils n'ont pas non plus rencontré leurs familles et amis. Quant à leur différence d'âge, elle ne pose pas de problème, à l'instar de la situation du nouveau Ministre français de l'Economie et des Finances, Emmanuel Macron, dont l'épouse a au moins 20 ans de plus que lui. Elle se réfère par ailleurs au fait qu'elle a un projet commun avec le recourant, savoir celui de vivre ensemble, lui désirant travailler alors qu'elle prendra sa retraite en août. Elle conteste l'absence d'effort du recourant pour apprendre le français, évoquant un cours suivi avant leur rencontre en Inde, ainsi que quelques exercices qu'elle a corrigés dans le contexte de leurs échanges de courriels, même si ceux-ci ont surtout eu lieu en anglais, car " converser en français est laborieux ". Sur un autre point évoqué par la cour cantonale, elle expose qu'il n'y avait pas de raison d'informer beaucoup de monde de leur mariage, celui-ci n'ayant toujours pas été reconnu. Enfin, la recourante se réfère à son intuition féminine, suffisamment développée pour lui indiquer que le recourant éprouve de l'amour pour elle et précisant qu'il serait intéressant de disposer d'un détecteur de sentiments. Elle allègue encore qu'elle n'aurait " sans doute pas été hospitalisée " s'il avait été auprès d'elle, son médecin traitant certifiant que sa présence à ses côtés est nécessaire.
La critique de la recourante, largement appellatoire (cf. supra consid. 2.1) et essentiellement fondée sur des faits nouveaux, voire qui ne ressortent pas du dossier sans que le grief de leur établissement arbitraire n'ait été soulevé (cf. supra consid. 2.2), n'est pas de nature à démontrer que la cour cantonale aurait abusé de son pouvoir d'appréciation dans l'examen des circonstances et indices entourant le mariage des recourants (cf. supra consid. 2.3). Ne peuvent ainsi pas être prises en considération les allégations sur l'amélioration de l'état de santé de la recourante, sur les imprécisions dans la traduction de l'audition du recourant, sur les études relatives aux relations nouées sur internet, sur ses problèmes financiers, sur le couple du Ministre Macron, sur la date de la retraite de la recourante, sur les efforts du recourant pour apprendre le français et sur la possibilité d'éviter une hospitalisation si le recourant avait été à ses côtés. Par ailleurs, la recourante ne remet pas en cause le raisonnement de la cour cantonale, notamment en tant qu'elle tient compte de différents indices déterminants selon elle, comme la teneur des courriels initiaux, la rapidité de la conclusion du mariage en Turquie, l'absence faussement justifiée de reconnaissance de celui-ci en Iran et la discrétion voulue de la démarche. Autant que recevables, les griefs sont ainsi infondés.
4.
Au vu de ce qui précède, le recours est irrecevable en tant qu'il émane du recourant; celui de la recourante est rejeté, dans la faible mesure de sa recevabilité. Les frais de la procédure sont mis solidairement à la charge des recourants qui succombent (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens (<ref-law>), des déterminations n'ayant au demeurant pas été demandées.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours de B._ est irrecevable.
2.
Le recours de A._ est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., s ont mis solidairement à la charge des recourants.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Département de l'économie et du sport du canton de Vaud et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 13 juillet 2015
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Bonvin