Sachverhalt:
A. Der 1947 geborene P._ war vom 1. März 1976 bis 31. Dezember 2001 als Kundenmaurer bei der Firma B._ angestellt gewesen. Am 25. Juni 2002 stellte er Antrag auf Arbeitslosenentschädigung und gab an, er sei bereit und in der Lage, teilzeitlich, höchstens im Umfang von 50 % einer Vollzeitbeschäftigung, erwerbstätig zu sein. Die Arbeitslosenkasse GBI (ab 1. Januar 2005: Unia Arbeitslosenkasse) richtete ihm für die Monate Juli bis November 2002 Arbeitslosentaggelder, basierend auf einem versicherten Verdienst von Fr. 2'641.- (50 % des im letzten Arbeitsverhältnis erzielten Lohnes), aus.
Nachdem sich P._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet hatte, sprach ihm die zuständige IV-Stelle des Kantons Solothurn mit Wirkung ab 1. April 2001 eine halbe Invalidenrente, basierend auf einem Invaliditätsgrad von 61 %, zu (Verfügung vom 18. Dezember 2002).
Die Arbeitslosenkasse kürzte den versicherten Verdienst entsprechend der Höhe des Invaliditätsgrades auf Fr. 2'060.- (39 % des versicherten Verdienstes für eine Vollzeitstelle), stellte fest, dass der Versicherte die fünf allgemeinen Wartetage nicht zu bestehen hatte, was für den Monat Juli 2002 eine Nachzahlung von Fr. 208.70 ergab, und forderte für die Monate August bis November 2002 zu viel ausbezahlte Taggelder im Umfang von Fr. 1'500.40 (Fr. 1'709.10 abzüglich der Nachzahlung für den Monat Juli 2002 im Betrag von Fr. 208.70) zurück, was sie vollumfänglich mit Leistungen der Invalidenversicherung verrechnete (Verfügung vom 13. Dezember 2002).
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn sistierte das von P._ gegen die Verfügung vom 13. Dezember 2002 angehobene Beschwerdeverfahren "bis der Invaliditätsgrad des Beschwerdeführers gemäss IVG feststeht". Die im IV-rechtlichen Verfahren von P._ gegen die Verfügung der IV-Stelle vom 18. Dezember 2002 erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn in dem Sinne gut, dass es die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit sie ergänzende Abklärungen vornehme (Entscheid vom 7. Mai 2005). Nach einer erneuten Verfügung vom 26. August 2005 und zwei Verfügungen vom 28. Oktober 2005 hielt die IV-Stelle mit - in Rechtskraft erwachsenem - Einspracheentscheid vom 7. Dezember 2005 fest, P._ stehe bei einem Invaliditätsgrad von 65 % ab 1. April 2001 bis 31. Dezember 2003 eine halbe Rente und ab 1. Januar 2004 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zu. Gestützt auf diesen Einspracheentscheid erhöhte die Arbeitslosenkasse ihre Rückforderung mit Verfügung vom 26. September 2005 auf Fr. 6'241.50. In der Folge hob das kantonale Gericht die Rückforderungsverfügung der Arbeitslosenkasse vom 13. Dezember 2002 in Gutheissung der Beschwerde auf (Entscheid vom 10. April 2006).
C. Die Arbeitslosenkasse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der kantonale Gerichtsentscheid vom 10. April 2006 sei aufzuheben.
P._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) verzichtet auf eine Stellungnahme.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Damit wurden das Eidgenössische Versicherungsgericht (EVG) und das Bundesgericht in Lausanne zu einem einheitlichen Bundesgericht (an zwei Standorten) zusammengefügt (SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, S. 10 Rz. 75) und es wurde die Organisation und das Verfahren des obersten Gerichts umfassend neu geregelt. Dieses Gesetz ist auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist (<ref-law>). Da der kantonale Gerichtsentscheid am 10. April 2006 - und somit vor dem 1. Januar 2007 - erlassen wurde, richtet sich das Verfahren nach dem bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) vom 16. Dezember 1943 (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Streitig und zu prüfen ist, letzt- wie vorinstanzlich, ob und allenfalls in welchem Umfang der Versicherte hinsichtlich der von Juli bis November 2002 formlos erbrachten Taggeldleistungen rückerstattungspflichtig ist, nachdem ihm eine Rente der Invalidenversicherung zugesprochen worden ist. Nach dem Prinzip des Devolutiveffekts ist mit der Rechtshängigkeit der erstinstanzlichen Beschwerde (vom 13. Januar 2003) die Befugnis und Pflicht zum Entscheid betreffend Rückforderung in der Zeit von Juli bis November 2002 erbrachter Taggeldleistungen von der Verwaltung auf das kantonale Gericht übergegangen. Der während der Litispendenz des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens erlassenen Verfügung vom 26. September 2005 kam somit lediglich der Charakter eines Antrags an das erkennende Gericht zu (<ref-ruling> E. 4.2 S. 142 ff.; Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts H 298/92 vom 9. Mai 1994, publ. in: AHI 1994 S. 270 E. 4a).
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zur Vermittlungsfähigkeit behinderter Personen (Art. 8 Abs. 1 lit. f in Verbindung mit <ref-law>) sowie zur Rückforderung unrechtmässig bezogener Leistungen der Arbeitslosenversicherung (<ref-law> [in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung: Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts C 88/04 vom 23. August 2006, publ. in: SVR 2007 ALV Nr. 2 S. 3]; <ref-ruling> E. 3 S. 368) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Ergänzend ist anzuführen, dass die Kompetenz zur Regelung der Koordination mit der Invalidenversicherung in <ref-law> dem Bundesrat übertragen worden ist. Dieser hat in <ref-law> festgelegt, dass ein Behinderter, der unter der Annahme einer ausgeglichenen Arbeitsmarktlage nicht offensichtlich vermittlungsunfähig ist, und der sich bei der Invalidenversicherung (oder einer anderen Versicherung nach <ref-law>) angemeldet hat, bis zum Entscheid der anderen Versicherung als vermittlungsfähig gilt.
3.2 Als versicherter Verdienst gilt der im Sinne der AHV-Gesetzgebung massgebende Lohn, der während eines Bemessungszeitraumes aus einem oder mehreren Arbeitsverhältnissen normalerweise erzielt wurde; eingeschlossen sind die vertraglich vereinbarten regelmässigen Zulagen, soweit sie nicht Entschädigung für arbeitsbedingte Inkonvenienzen darstellen (<ref-law>). Bei Versicherten, die unmittelbar vor oder während der Arbeitslosigkeit eine gesundheitsbedingte Beeinträchtigung ihrer Erwerbsfähigkeit erleiden, ist gemäss <ref-law> der Verdienst massgebend, welcher der verbleibenden Erwerbsfähigkeit entspricht. Unter "Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit" ist die Invalidität, somit die voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde ganze oder teilweise Erwerbsunfähigkeit, zu verstehen (Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts C 140/05 vom 1. Februar 2006).
4. Nach der Rechtsprechung stellt die rückwirkende Zusprechung einer Invalidenrente hinsichtlich formlos erbrachter Taggeldleistungen der Arbeitslosenversicherung eine neue erhebliche Tatsache dar, deren Unkenntnis die Arbeitslosenkasse nicht zu vertreten hat, weshalb ein Zurückkommen auf die ausgerichteten Leistungen auf dem Wege der prozessualen Revision im Allgemeinen als zulässig erachtet wird (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen).
4.1 Im vorliegenden Fall steht auf Grund der Abklärungen der Invalidenversicherung fest und ist unbestritten, dass der Beschwerdegegner im zu beurteilenden Zeitraum von Juli bis November 2002 seinen Leiden angepasste Tätigkeiten im Umfang eines 50%igen Pensums ausüben konnte (und auch wollte). Es bestand demgemäss Vermittlungsfähigkeit. Dies bedeutet aber entgegen der Auffassung der Vorinstanz noch nicht, dass die Ausrichtung von Arbeitslosenentschädigung - namentlich in Bezug auf die Höhe der Taggelder - rechtmässig gewesen ist.
4.1.1 Das kantonale Gericht nimmt gestützt auf die Unterlagen der Invalidenversicherung an, der Versicherte sei spätestens seit April 2001 in der Erwerbsfähigkeit eingeschränkt. Mit Blick darauf sei davon auszugehen, dass sich bis zum Zeitpunkt der Anmeldung zum Bezug von Arbeitslosentaggeldern im Juni 2002 und auch bis zum Erlass der Rückforderungsverfügung im Dezember 2002 keine gesundheitsbedingte Änderung der Leistungsfähigkeit ergeben habe. Der Versicherte habe somit weder unmittelbar vor noch während der am 1. Juli 2002 eingetretenen Arbeitslosigkeit eine gesundheitsbedingte Beeinträchtigung seiner Erwerbsfähigkeit erlitten, weshalb <ref-law> nicht anwendbar sei. Die neue Tatsache der nachträglich zugesprochenen Invalidenrente führe nicht zu einer anderen rechtlichen Beurteilung im Sinne der prozessualen Revision und es ändere sich nichts an der Bemessungsgrundlage des versicherten Verdienstes. Demzufolge könne die Arbeitslosenkasse den versicherten Verdienst nicht nachträglich um das Mass der von der Invalidenversicherung zwischenzeitlich festgestellten Resterwerbsfähigkeit herabsetzen.
4.1.2 <ref-law> sieht eine Anpassung des versicherten Verdienstes in Ausnahmefällen vor. Im Regelfall wird der versicherte Verdienst auf der Basis des im Sinne der AHV-Gesetzgebung massgebenden Lohnes bemessen, der während eines Bemessungszeitraumes aus einem oder mehreren Arbeitsverhältnissen normalerweise erzielt wurde (<ref-law>). Der Bundesrat hat in <ref-law> den Bemessungszeitraum für den versicherten Verdienst festgelegt. In aller Regel entspricht der auf diese Weise definierte Lohn der aktuellen Leistungsfähigkeit der arbeitslosen Person. Allfällige gesundheitsbedingte Leistungseinbussen können sich naturgemäss nur im Lohn niederschlagen, wenn sie nicht unmittelbar vor oder sogar erst während der Arbeitslosigkeit entstanden sind. Tritt mit anderen Worten eine gesundheitsbedingte Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit unmittelbar vor oder während der Arbeitslosigkeit ein, so entspricht die aktuelle Leistungsfähigkeit nicht mehr derjenigen vor der Arbeitslosigkeit, welche die Lohnbasis bildete. Weil der Lohn vor Eintritt der Arbeitslosigkeit aber Bemessungsgrundlage für den versicherten Verdienst darstellt, muss in diesen Fällen eine Anpassung nach <ref-law> erfolgen. Eine Korrektur gemäss <ref-law> ist daher durchzuführen, wenn der versicherte Verdienst auf einem Lohn basiert, den die versicherte Person im Zeitpunkt der Arbeitslosigkeit auf Grund einer zwischenzeitlich eingetretenen Invalidität nicht mehr erzielen könnte. Unmittelbarkeit im Sinne von <ref-law> liegt also dann vor, wenn sich die gesundheitsbedingte Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit (noch) nicht im Lohn niedergeschlagen hat, welcher gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> Bemessungsgrundlage für den versicherten Verdienst bildet. Soweit sich aus dem vom kantonalen Gericht zitierten Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts C 349/00 vom 12. Februar 2004 etwas anderes ergibt, kann daran nicht festgehalten werden.
4.2 Im zu beurteilenden Fall war der Versicherte bereits über 20 Jahre im gleichen Betrieb als Kundenmaurer tätig gewesen, als sich - gemäss Bericht des Hausarztes vom 4. Mai 2001 - ab 29. April 2000 gesundheitliche Probleme einstellten, welche die Arbeitsfähigkeit zunehmend beeinträchtigten. Dennoch sah die damalige Arbeitgeberin bis zur Beendigung des Arbeitsverhältnisses auf den 31. Dezember 2001 davon ab, den Grundlohn der verminderten Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners anzupassen. Der versicherte Verdienst, welcher den Taggeldabrechnungen für die Monate Juli bis November 2002 zu Grunde liegt, basiert demgemäss auf diesem Grundlohn, welcher die Einbusse in der Erwerbsfähigkeit nicht berücksichtigt. Eine gewisse Korrektur wurde nur deshalb erreicht, weil sich der Versicherte bereits vor Erlass der Rentenverfügung der Invalidenversicherung der Arbeitsvermittlung lediglich im Umfang von 50 % einer Vollzeitbeschäftigung zur Verfügung gestellt und die Arbeitslosenkasse demgemäss den versicherten Verdienst auf die Hälfte des im letzten Arbeitsverhältnis erzielten Lohnes festgesetzt hat. Wie sich nun nachträglich ergeben hat, beträgt die Invalidität 65 % (Einspracheentscheid der IV-Stelle vom 7. Dezember 2005). Demzufolge führt die neue Tatsache der rückwirkend zugesprochenen Invalidenrente unter den vorliegenden Umständen zu einer anderen rechtlichen Beurteilung im Sinne der prozessualen Revision, und die Bemessungsgrundlage des versicherten Verdienstes ändert sich.
5. Die pendente lite ergangene Rückforderungsverfügung vom 26. September 2005 ist rechtsprechungsgemäss auf Grund des Devolutiveffekts nichtig (sie hatte lediglich die Bedeutung eines Antrags an das kantonale Gericht: E. 2 hiervor und dortige Hinweise auf die Praxis). Die Sache geht daher an die Arbeitslosenkasse zurück, damit sie den versicherten Verdienst im Sinne von <ref-law> korrigiere und über die Rückforderung erneut verfüge. Im vorliegenden Fall ergibt sich der berichtigte versicherte Verdienst aus dem in der letzten Anstellung als Kundenmaurer erzielten Einkommen, multipliziert mit dem Faktor, der aus der Differenz zwischen 100 % und dem Invaliditätsgrad in der Höhe von 65 % (gemäss Einspracheentscheid der IV-Stelle vom 7. Dezember 2005) resultiert (<ref-ruling> E. 3.2.4.2 S. 360).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 10. April 2006 und die Verfügung vom 13. Dezember 2002 aufgehoben werden und die Sache an die Unia Arbeitslosenkasse zurückgewiesen wird, damit sie die Rückforderung im Sinne der Erwägungen berechne und neu verfüge.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 18. Juli 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
i.V.