Fatti:
A.
I fratelli A.A._, C.A._ e D.A._ hanno sottoscritto il 26 giugno 2003 un "contratto di conferma di mutuo" in cui si sono riconosciuti debitori solidali nei confronti di E._ (alias F._, nome che verrà utilizzato qui di seguito) di fr. 120'000.--, importo che fruttava un interesse annuo del 10 %. Il mutuante è caduto in uno stato di gravissima depressione e il suo tutore ha ceduto la pretesa a B._, che ha invano chiesto con scritto 19 gennaio 2009 ai fratelli A._ di rimborsare il mutuo e di pagare gli interessi scaduti di fr. 60'000.--.
L'opposizione interposta al precetto esecutivo fatto notificare da B._ a A.A._è stata rigettata in via provvisoria dal Pretore del distretto di Bellinzona l'8 luglio 2009, decisione confermata il 7 settembre 2009 dalla Camera di esecuzione e fallimenti del Tribunale di appello ticinese.
Il 25 settembre 2012 il Pretore del distretto di Bellinzona ha respinto l'azione di disconoscimento del debito inoltrata da A.A._. Il Giudice di primo grado non ha ritenuto "attendibili" le convenzioni 19 agosto 2003 e 5 novembre 2003 di cui si era prevalsa l'attrice. Il primo contratto, concluso tra la G._ SA e F._, contiene una clausola concernente la compravendita della metà delle azioni di una società italiana con una penale di fr. 200'000.--, il secondo indica quali parti i fratelli A._ - che rinunciavano alla menzionata penale - e F._ che abbandonava il suo credito di fr. 120'000.--. Il Pretore ha pure considerato che il Procuratore pubblico - a cui è stato trasmesso il caso dopo l'eccezione di falso sollevata dalla convenuta con la risposta - ha emanato il 25 maggio 2011 un decreto di abbandono, rilevando tuttavia che non è stato possibile emettere un preavviso concludente in relazione alle citate convenzioni.
B.
A.A._ è insorta alla II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone con reclamo (recte: appello) del 30 ottobre 2012. Il 23 maggio 2013 la Presidente della menzionata Camera ha respinto la richiesta di acquisire agli atti un " rapporto di accertamento tecnico " sull'autenticità delle firme apposte sulle predette convenzioni da F._ e prodotto dall'appellante il giorno precedente. Con sentenza 17 febbraio 2014 la Corte cantonale ha respinto nella misura in cui era ammissibile l'appello. Essa ha segnatamente ritenuto che l'insorgente non aveva dimostrato l'autenticità della convenzione del 5 novembre 2003.
C.
Con ricorso in materia civile del 26 marzo 2014 A.A._ postula, previo conferimento dell'effetto sospensivo al gravame, la riforma della sentenza impugnata nel senso che il debito di fr. 60'000.-- sia integralmente disconosciuto e l'opposizione interposta al precetto esecutivo confermata. La ricorrente si duole della mancata assunzione del referto peritale sull'autenticità delle firme, che produce pure in questa sede. Sostiene poi che non è possibile escludere la validità della convenzione del 5 novembre 2003 unicamente in base a criteri temporali. Contesta infine di aver aggirato l'<ref-law>/TI chiedendo che la deposizione resa in sede penale da suo padre sia considerata.
Con osservazioni 4 aprile 2014 B._ propone la reiezione del ricorso e della domanda di misure d'urgenza, mentre la Corte cantonale ha rinunciato a determinarsi.
La Presidente della Corte adita ha respinto con decreto 2 giugno 2014 la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo al ricorso.

Diritto:
1.
Il ricorso è presentato dalla parte soccombente nella sede cantonale (<ref-law>), è tempestivo (<ref-law>) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) con un valore di lite superiore alla soglia prevista dall'<ref-law>. Il rimedio esperito si rivela pertanto in linea di principio ammissibile.
Irricevibile si rivela per contro la produzione in questa sede della perizia di parte sull'autenticità delle firme apposte su due convenzioni. Contrariamente a quanto affermato nel gravame, essa non costituisce un nuovo mezzo di prova nel senso dell'<ref-law>, poiché la ricorrente l'ha già addotta innanzi all'autorità inferiore e la decisione che ha rifiutato di assumerla agli atti è oggetto dell'impugnativa in esame.
2.
In linea di massima il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene o completarlo solo se è stato effettuato in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto (<ref-law>). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
Se rimprovera all'autorità cantonale un accertamento dei fatti manifestamente inesatto - che significa arbitrario (<ref-ruling> consid. 4.2 con rinvii; <ref-ruling> consid. 1.2.2) - il ricorrente deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.5 pag. 314; <ref-ruling> consid. 2.2). Il giudice cantonale fruisce di un grande potere discrezionale nel campo dell'apprezzamento delle prove (e dell'accertamento dei fatti in genere). Il ricorrente che invoca l'arbitrio deve pertanto spiegare e dimostrare con precisione, sotto pena di inammissibilità della censura, che la sentenza impugnata ha ignorato il senso e la portata di un mezzo di prova pertinente, ha omesso senza ragioni valide di tenere conto di una prova importante suscettibile di modificare l'esito della lite, oppure ha ammesso o negato un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (<ref-ruling> consid. 4.1.2 pag. 62; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62; <ref-ruling> consid. 2.1).
3.
Giusta l'<ref-law> nuovi mezzi di prova sono considerati soltanto se vengono immediatamente addotti (lett. a) e se dinanzi alla giurisdizione inferiore non era possibile addurli nemmeno con la diligenza ragionevolmente esigibile tenuto conto delle circostanze (lett. b).
3.1. La Presidente della II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha respinto con decisione del 23 maggio 2013 la richiesta di acquisire agli atti il " rapporto di accertamento tecnico " del 21 maggio 2013 sull'autenticità delle firme, perché tale tema era noto all'appellante già quando ha ricevuto la decisione di primo grado il 27 settembre 2012, ragione per cui la produzione della nuova prova non rispetta i limiti temporali fissati dall'<ref-law>.
3.2. La ricorrente afferma di essersi prevalsa immediatamente della perizia calligrafica, avendola prodotta il giorno dopo averla ricevuta.
3.3. Il Codice di procedura civile richiede una produzione immediata dei nuovi mezzi di prova per impedire manovre dilatorie (Messaggio del 28 giugno 2006 concernente il Codice di diritto processuale civile svizzero, FF 2006 6713 ad art. 224-230). Nella fattispecie la ricorrente non spiega per quale motivo la perizia di parte è unicamente stata allestita 8 mesi dopo aver ricevuto la sentenza di prima istanza. Ora, per quanto attiene alla messa in atto di misure dilatorie non sussiste alcuna differenza fra non produrre immediatamente un mezzo di prova esistente o attendere di far allestire un mezzo di prova. Ne segue che l'autorità inferiore non ha violato la lettera a del citato articolo ritenendo la nuova prova irricevibile. In queste circostanze non occorre esaminare se la condizione posta dalla lettera b dell'<ref-law> sia in concreto soddisfatta.
4.
4.1. La Corte cantonale ha ritenuto che l'attrice non aveva provato - nemmeno sulla sola base di una serie d'indizi convergenti - l'autenticità della convenzione del 5 novembre 2003, non essendo a tale proposito sufficiente che la lettera del 27 ottobre 2003 e la convenzione del 19 agosto 2003 fossero autentiche, atteso che questi documenti sono anteriori alla convenzione in cui F._ avrebbe rinunciato alla pretesa posta in esecuzione. Non ha inoltre neppure considerato sufficiente l'esistenza di una similitudine fra la firma risultante sulla convenzione 5 novembre 2003 e quella apposta da F._ innanzi al Ministero pubblico.
4.2. La ricorrente afferma che la Corte cantonale sarebbe caduta nell'arbitrio per essersi limitata a un ragionamento di ordine temporale invece di stabilire l'autenticità della convenzione del 5 novembre 2003 mediante elementi intrinseci al documento, quali la firma di F._, identica a quella apposta sui verbali della Procura pubblica, tanto più che la procedura penale si è conclusa con un decreto di abbandono.
4.3. Nella fattispecie la ricorrente non contesta di essere gravata dall'onere di provare l'autenticità della convenzione. Per il resto essa si limita a formulare un'inammissibile critica appellatoria dell'apprezzamento degli atti effettuato dall'autorità inferiore senza nemmeno tentare di dimostrare che questa sia caduta nell'arbitrio. Insistendo sull'esistenza di un decreto d'abbandono, la ricorrente pare poi dimenticare che neppure nella procedura penale è stata accertata l'autenticità della convenzione di rinuncia.
5.
Infine, riferendosi al rimprovero mosso al Pretore di non aver tenuto conto della testimonianza resa dal padre della debitrice innanzi al Procuratore pubblico, i Giudici d'appello hanno considerato che la censura è irricevibile perché l'attrice non si era mai prevalsa prima di tale testimonianza. Essi hanno inoltre aggiunto che il divieto di testimoniare previsto dall'<ref-law>/TI non può essere aggirato mediante il richiamo di una deposizione resa in altra sede.
La ricorrente afferma di aver unicamente fatto proprie le risultanze dell'interrogatorio penale, senza eludere le norme della legge processuale. Tuttavia, limitandosi a tale argomentazione, ella non si avvede che la Corte di appello ha in primo luogo dichiarato l'argomentazione ricorsuale irricevibile perché nuova. In queste circostanze la censura sollevata nel rimedio in esame si rivela inammissibile, poiché se una sentenza cantonale - o parte di essa - si fondi su più motivazioni alternative ed indipendenti, occorre contestarle tutte con censure che soddisfano le esigenze di motivazione, sotto pena appunto d'inammissibilità (<ref-ruling> consid. 3.4; <ref-ruling> consid. 4.1.4).
6.
Da quanto precede discende che il ricorso si rivela, nella misura in cui è ammissibile, infondato e come tale va respinto. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 3'000.-- sono poste a carico della ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 3'500.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.