Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1968) ist kamerunische Staatsangehörige. In ihrem Heimatland heiratete sie im Jahr 2001 den Schweizer Bürger B._ (geb. 1947) und reiste in der Folge in die Schweiz ein. Im Jahr 2003 zog sie die beiden Kinder C._ (geb. 1990) und D._ (geb. 1997) nach. Wie eine DNA-Analyse ergeben hat, ist Letztere nicht das leibliche Kind von A._, doch wurde ihr dennoch eine Aufenthaltsbewilligung zwecks "Verbleib bei der Mutter" erteilt. Seit dem Jahr 2006 verfügt A._ über eine Niederlassungsbewilligung.
Am 15. Dezember 2010 verurteilte das Kantonsgericht St. Gallen A._ wegen schweren Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Freiheitsstrafe von 4 1/4 Jahren; sie hatte zwischen Sommer 2007 und Frühling 2008 ein Kokaingemisch von insgesamt 1,4 kg bzw. mindestens 560 g reinen Kokains verkauft und ein Kokaingemisch von ca. 300 g bzw. 120 g reinen Kokains transportiert. Zugleich widerrief das Gericht eine im November 2005 ebenfalls wegen Betäubungsmitteldelikten ausgesprochene, bedingte Freiheitsstrafe von drei Monaten.
B.
Mit Verfügung vom 14. Februar 2012 widerrief das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern (MIP) die Niederlassungsbewilligung von A._ und wies sie aus der Schweiz weg. Diesen Entscheid bestätigten auf Beschwerde hin zunächst die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (POM) und, mit Urteil vom 11. Juli 2013, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern.
C.
Mit Eingabe vom 12. September 2013 erhebt A._ (Beschwerdeführerin) beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts und stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sowie anwaltliche Verbeiständung. Die Beschwerdeführerin macht eine Verletzung von Art. 96 AuG, Art. 13 und Art. 36 BV sowie Art. 8 EMRK geltend.
Das Verwaltungsgericht, die POM sowie das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 19. September 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid betreffend den Widerruf einer Niederlassungsbewilligung ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 [e contrario], Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist durch den vorinstanzlichen Entscheid ausserdem besonders berührt (<ref-law>) und damit zur Anfechtung beim Bundesgericht befugt. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4; Urteile 2C_828/2011 vom 12. Oktober 2012 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.; 2C_872/2013 vom 1. Mai 2014 E. 1.1; 2C_207/2014 vom 6. März 2014 E. 2.1; 2C_235/2012 vom 13. März 2013 E. 1.1).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zugrunde (<ref-law>), soweit diese nicht offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Zudem ist von der beschwerdeführenden Partei aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen ausserdem nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; dazu <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f., je mit Hinweisen). Um solche unzulässigen Noven handelt es sich bei den beiden Arztberichten vom 16. und vom 29. August 2013 der Universitätsklinik für Infektiologie des Inselspitals Bern sowie beim Schreiben der Beschwerdeführerin vom 18. November 2013, mit welchem sie mitteilt, ihr Ehemann habe D._ adoptiert.
2.
2.1. Gemäss Art. 51 Abs. 1 lit. b AuG erlöschen die Ansprüche nach Art. 42 AuG unter anderem, wenn Widerrufsgründe nach Art. 63 AuG vorliegen. Einen derartigen Widerrufsgrund setzt eine Ausländerin unter anderem dann, wenn sie "zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde" (Art. 63 Abs. 1 lit. a AuG in Verbindung mit Art. 62 lit. b AuG). Als längerfristig im Sinne von Art. 62 lit. b AuG gilt eine Freiheitsstrafe, wenn ihre Dauer ein Jahr überschreitet (<ref-ruling> E. 4.2 und E. 4.5 S. 379 ff.). Diese Voraussetzung ist bei der Beschwerdeführerin unstreitig erfüllt.
2.2. Wenn eine Ausländerin durch ihr Verhalten einen Widerrufsgrund gesetzt hat, bleibt zu prüfen, ob diese Massnahme auch als verhältnismässig erscheint (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2 S. 19 ff.; <ref-ruling> E. 4.3 und 4.5 S. 381 ff., je mit zahlreichen Hinweisen). Gemäss Art. 96 Abs. 1 AuG berücksichtigen die zuständigen Behörden bei der Ermessensausübung generell die öffentlichen Interessen und die persönlichen Verhältnisse sowie den Grad der Integration der Ausländerinnen und Ausländer. Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit des Widerrufs sind nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts namentlich die Dauer der bisherigen Anwesenheit, das Alter bei der Einreise in die Schweiz, die sozialen, familiären und beruflichen Beziehungen sowie die der Betroffenen im Falle seiner Rückkehr drohenden Nachteile zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 19; <ref-ruling> E. 4.3 S. 381; Urteile 2C_682/2012 vom 7. Februar 2013 E. 5.1; 2C_401/2012 vom 18. September 2012 E. 4.1; 2C_54/2012 vom 23. Juli 2012 E. 4.2).
3.
3.1. Wie in der obenstehenden E. 2.1 ausgeführt, gilt eine Freiheitsstrafe als längerfristig im Sinne von Art. 62 lit. b AuG, wenn ihre Dauer ein Jahr überschreitet. Die Beschwerdeführerin ist zu einer mehr als vierjährigen Freiheitsstrafe verurteilt worden, sodass sie nicht nur einen Widerrufsgrund gesetzt hat, sondern ein ausgesprochen gewichtiges Interesse der hiesigen Gesellschaft daran besteht, die Beschwerdeführerin aus der Schweiz wegzuweisen. Dies gilt umso mehr, als deren Straftaten - der Drogenhandel - nach der bundesgerichtlichen Praxis eine schwerwiegende Gefahr für die öffentliche Ordnung darstellt und einer strengen Beurteilung unterliegt, zumal wenn kein enger Zusammenhang mit einer Betäubungsmittelabhängigkeit besteht (<ref-ruling> E. 5.3 S. 126 betr. Art. 67 Abs. 3 AuG). Dies trifft vorliegend zu, war die Beschwerdeführerin doch nach den vorinstanzlichen Feststellungen - die sich wiederum auf die strafgerichtliche Beurteilung abstützen - eine nichtsüchtige Drogenhändlerin, die aus blossem Gewinnstreben delinquiert hat. Erschwerend kommt hinzu, dass es trotz einer früheren, bedingt ausgesprochenen Verurteilung wegen Verstosses gegen das Betäubungsmittelgesetz zu diesen Straftaten gekommen ist, was sich auf die Legalprognose der Beschwerdeführerin negativ auswirkt. Die Vorinstanz ist zurecht von einer relevanten Rückfallgefahr ausgegangen, zumal das familiäre Umfeld sie nicht von der Delinquenz abhalten konnte und die Beschwerdeführerin auch beruflich nicht gut integriert ist.
3.2. Die Vorinstanz hat die zugunsten der Beschwerdeführerin sprechenden Umstände ebenfalls korrekt erfasst. Für eine Verlängerung der Anwesenheitserlaubnis spricht zunächst ihr langer, im Zeitpunkt der Verfügung des Migrationsamts bereits rund 11 Jahre dauernder Aufenthalt in der Schweiz, wobei zu berücksichtigen ist, dass sie sich seit Anfang 2011 im Strafvollzug befand. Zudem leben ihr Ehemann und ihre Kinder in der Schweiz; angesichts der intakten und engen Beziehung der Beschwerdeführerin zu D._ spielt es im vorliegenden Zusammenhang keine Rolle, dass es sich bei dieser nicht um ihr leibliches Kind handelt. Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung und die damit verbundene Wegweisung der Beschwerdeführerin würde zu deren Trennung von ihrer Familie führen; ihren Angehörigen ist es auch nach Auffassung der Vorinstanz kaum zuzumuten, ihr nach Kamerun nachzufolgen und es ist auch unbestritten und von der kantonalen Migrationsbehörde anerkannt, dass das Anwesenheitsrecht des noch minderjährigen Kindes D._ durch die Wegweisung der Beschwerdeführerin nicht tangiert würde. Zu beachten ist zudem das Interesse der Beschwerdeführerin, aus gesundheitlichen Gründen in der Schweiz bleiben zu können. Sie leidet neben verschiedenen anderen Erkrankungen namentlich an einer HIV-Infektion und benötigt eine spezifische und teure Medikation.
4.
4.1. Die Vorinstanz hat festgehalten, die Beschwerdeführerin befinde sich in einer fortgeschrittenen Phase der HIV-Infektion (B3), doch sei diese zurzeit stabil. Sie sei auf Medikamente der sog. zweiten Linie angewiesen und müsse sich alle drei bis vier Monate routinemässig einer Blutuntersuchung unterziehen. Nach Angaben des behandelnden Arztes brauche sie Zugang zu einem auf HIV-Erkrankungen spezialisierten medizinischen Zentrum; die übrigen Erkrankungen der Beschwerdeführerin (namentlich Hepatitis B und Arthritis) bedürften keiner (engeren) ärztlichen Betreuung. In Kamerun seien für die Behandlung von HIV-Erkrankungen geeignete medizinische Institutionen vorhanden. Die Vorinstanz hat sodann ausgeführt, in Kamerun müssten die Patientinnen und Patienten in der Regel selbst für die Behandlungskosten aufkommen. Die von der Beschwerdeführerin benötigten Medikamente seien dort nur teilweise verfügbar. Sie könnten zwar in privaten Apotheken bestellt werden, doch sei dies mit zusätzlichen Kosten verbunden. Die Beschwerdeführerin sei in ihrer Lebensführung trotz HIV-Infektion nicht wesentlich eingeschränkt. Eine Weiterbehandlung sei in Kamerun grundsätzlich möglich, wobei die Beschwerdeführerin für die Beschaffung der benötigten Medikamente auf die (finanzielle und logistische) Hilfe ihres Ehemannes werde zurückgreifen können. Sie stamme aus einer der grössten Städte Kameruns, wo medizinische Einrichtungen vorhanden seien und auch Geschwister lebten, sodass sie dort über ein soziales Netz verfüge.
4.2. Diese Feststellungen tatsächlicher Natur sind für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich und seinem Urteil zugrunde zu legen, sofern sie nicht offensichtlich unrichtig sind (<ref-law>; oben E. 1.2). Dies macht die Beschwerdeführerin mit Bezug auf die praktische Erhältlichkeit der von ihr benötigten Medikamente geltend: Deren Kosten belaufe sich auf Fr. 4'200.-- pro Monat, was sie, auch mithilfe des geringen Einkommens ihres Ehemannes, unmöglich aufbringen könne. Ein Versand der Medikamente aus der Schweiz sei zudem aus praktischen Gründen (Rezeptpflicht, Zollhindernisse, Temperatur usw.) nicht realistisch. Faktisch bleibe ihr in Kamerun die benötigte medizinische Versorgung verwehrt, sodass die Wegweisung gravierende, lebensbedrohende gesundheitliche Folgen für sie hätte.
4.3. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist die Vorinstanz nicht davon ausgegangen, sie könne sich für längere Zeit von der Schweiz aus mit den nötigen Medikamenten versorgen lassen. Das Verwaltungsgericht hat vielmehr bloss erwogen, sie könne für eine Übergangsperiode einen angemessenen Medikamentenvorrat aus der Schweiz nach Kamerun mitnehmen, um eine lückenlose Fortsetzung der Therapie zu garantieren. Für die Beurteilung der zu erwartenden medizinischen Versorgung hat sich das Verwaltungsgericht sodann auf die von der Beschwerdeführerin selbst ins Recht gelegte Stellungnahme der Schweizerischen Flüchtlingshilfe (SFH) vom 18. Dezember 2012 abgestützt. Demnach sind die Medikamente mit den Wirkstoffen, welche die Beschwerdeführerin benötigt, entweder in Kamerun direkt erhältlich oder sie können in privaten Apotheken bestellt werden, wobei sie diesfalls oft aus dem Ausland eingeführt werden müssen. Angesichts dieser plausiblen und von der Beschwerdeführerin selbst ins Recht gelegten Einschätzung der Medikamentenversorgung in Kamerun durch eine fachkundige Organisation erscheint die Einschätzung der Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig, die von der Beschwerdeführerin benötigten Medikamente seien in ihrem Heimatland erhältlich. Ebenso wenig ist zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht sachverhaltlich nicht auf die von der Beschwerdeführerin namhaft gemachten Medikamentenkosten in der Schweiz abgestellt hat. Vielmehr ist aufgrund der Angaben im Bericht der SFH davon auszugehen, dass antiretrovirale Medikamente der sog. zweiten Linie, welche die Beschwerdeführerin - wegen der Entwicklung von Resistenzen - benötigt, in Kamerun etwa 700 - 1'000 Dollar pro Jahr kosten. Darüber hinaus fallen Aufwendungen für Folgeuntersuchungen an, die alle drei bis sechs Monate erforderlich sind und für die je zwischen 10 und 150 Euro zu bezahlen sind. Somit hat die Beschwerdeführerin mit Gesundheitskosten von jährlich etwas mehr als ca. Fr. 1'500.-- bzw. monatlich weniger als Fr. 150.-- auszugehen, wobei darin sowohl die Kosten für die benötigten Medikamente als auch diejenigen für die erforderlichen Untersuchungen enthalten sind. Für das Bundesgericht sind diese vorinstanzlichen Feststellungen verbindlich (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
5.
5.1. Schwere gesundheitliche Probleme können als wichtige persönliche Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG anerkannt werden, wenn sie so gravierend sind, dass eine Rückkehr ins Herkunftsland in medizinischer Hinsicht unhaltbar erscheint. Ob dies der Fall ist, hängt dabei im Wesentlichen von den Behandlungsmöglichkeiten im Herkunftsland ab (Urteile 2C_268/2013 vom 21. Juni 2013 E. 3.4; 2C_1051/2011 vom 29. Juni 2012 E. 3.2; 2C_316/2011 vom 17. Oktober 2011 E. 3.3). Soweit die medizinische Versorgung im Heimatland gewährleistet ist, kann allein der Umstand, dass das Gesundheits- oder Sozialversicherungswesen in einem anderen Staat allenfalls nicht mit demjenigen in der Schweiz vergleichbar ist und die hiesige medizinische Versorgung einem höheren Standard entspricht, nicht die Unzumutbarkeit der Rückreise zur Folge haben (<ref-ruling> E. 6 S. 403; <ref-ruling> E. 5.3 S. 209; Urteile 2C_268/2013 vom 21. Juni 2013 E. 3.4; 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 3.3.2 mit zahlreichen Hinweisen). Dies gilt auch mit Bezug auf Personen, die mit dem HI-Virus infiziert sind (Urteil 2C_268/2013 vom 21. Juni 2013 E. 3.6 mit Hinweisen auf weitere Urteile). Mit Bezug auf die Beschwerdeführerin steht für das Bundesgericht verbindlich fest, dass die erforderliche medizinische Versorgung gewährleistet ist und weniger als Fr. 150.-- pro Monat kostet. Sodann ist sachverhaltlich unbestritten, dass der Gatte der Beschwerdeführerin ein Einkommen von gut Fr. 4'000.-- erzielt. Aufgrund seiner eherechtlichen Beistandspflicht (<ref-law>) ist er verpflichtet, seine Ehefrau auch finanziell zu unterstützen. Angesichts dieser Umstände durfte die Vorinstanz schliessen, die Beschwerdeführerin werde in der Lage sein, mit der finanziellen Hilfe ihres Ehemannes die benötigten Medikamente sowie die erforderlichen Untersuchungen zu bezahlen (vgl. Urteil 2C_932/2011 vom 7. Juni 2012 E. 5.3; 2C_268/2013 vom 21. Juni 2013 E. 3.3-3.5). Ausserdem ist die Beschwerdeführerin zurzeit in der Schweiz erwerbstätig, sodass mit der Vorinstanz von einem - den Umständen entsprechend - guten Gesundheitszustand auszugehen ist. Daher vermag die HIV-Infektion der Beschwerdeführerin (und die damit einhergehenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen) für sich allein die Rückkehr nach Kamerun nicht als unzumutbar erscheinen lassen.
5.2. Wie bereits eingehend dargelegt, besteht angesichts der bisherigen Delinquenz der Beschwerdeführerin und der Rückfallgefahr ein sehr grosses Interesse, die Beschwerdeführerin von der Schweiz fernzuhalten (E. 3.1 hiervor). Demgegenüber hat deren Anliegen zurückzustehen, in der Schweiz in den Genuss einer optimalen und für sie unentgeltlichen Gesundheitsversorgung zu gelangen. An diesem Ergebnis vermögen auch die familiären Anliegen der Beschwerdeführerin selbst und ihres Gatten sowie der Kinder nichts zu ändern. Zum einen weist die Vorinstanz zurecht darauf hin, dass die Familie aufgrund des Vollzugs der gegen die Beschwerdeführerin verhängten Freiheitsstrafe ohnehin weitgehend ohne sie auskommen musste, zum andern besteht kein eigentliches Abhängigkeitsverhältnis, das unter dem Blickwinkel von Art. 8 EMRK relevant wäre. Dies gilt auch mit Bezug auf D._; das Mädchen war zwar im massgeblichen Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils erst 16-jährig, wurde aber in den letzten Jahren, wiederum wegen des Gefängnisaufenthalts der Beschwerdeführerin, überwiegend von deren Ehemann betreut. Dieser hat ausserdem die Adoption des Kindes in die Wege geleitet, sodass die Betreuung des Mädchens durch einen faktischen Elternteil gewährleistet bleibt. Schliesslich hat die Beschwerdeführerin bis zum Alter von 33 Jahren in Kamerun gelebt; sie kennt die dortigen Verhältnisse sehr gut und verfügt in ihrem Heimatland auch über Angehörige, auf deren Unterstützung sie bei der Bewältigung ihrer neuen Lebenssituation wird zurückgreifen können.
6.
Nach dem Gesagten erweist sich der gegenüber der Beschwerdeführerin angeordnete Widerruf der Niederlassungsbewilligung insgesamt als bundesrechts- und konventionskonform. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens würde die Beschwerdeführerin an sich kostenpflichtig (<ref-law>). Sie hat indessen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gestellt. Da ihre Bedürftigkeit offensichtlich ist und die Beschwerde angesichts der schwierigen gesundheitlichen Situation auch nicht als aussichtslos bezeichnet werden kann, ist ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu entsprechen (<ref-law>). Rechtsanwältin lic. iur. Evelyne Suter reicht für das bundesgerichtliche Verfahren eine Honorarnote von Fr. 5'701.80 ein. Zu berücksichtigen ist, dass sie die Beschwerdeführerin bereits über zwei Instanzen vertreten hat und die Parteientschädigung im Armenrecht gemäss Art. 10 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor Bundesgericht (SR 173.110.210.3) reduziert wird. Eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- aus der Gerichtskasse erscheint angemessen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Der Beschwerdeführerin wird Rechtsanwältin Evelyne Suter als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben und dieser aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni