Faits :
A.
Les sociétés anonymes A._ SA et B._ SA exploitent un pensionnat de jeunes filles à vocation internationale à l'enseigne de l'Institut "D._", dans le village des Avants, au-dessus de Montreux.
Le 17 juin 2009, la société anonyme C._ SA a déposé une demande de permis de construire visant à transformer et à agrandir l'ancien hôtel du même nom en une clinique privée haut de gamme, destinée à accueillir au maximum vingt-cinq patients souffrant d'addiction à l'alcool et aux drogues, équipée d'un spa et d'un parking souterrain de cinq places. A._ SA a notamment fait opposition à ce projet qu'elle considérait comme non conforme à la réglementation de la zone. Elle invoquait également les problèmes de sécurité, ainsi que l'atteinte à son avenir économique et la perte de valeur de son bien-fonds liés à l'exploitation de la clinique.
Par décision du 23 juillet 2013, la Municipalité de Montreux a délivré le permis de construire sollicité et levé l'opposition. Elle a considéré que la sécurité des habitants du village des Avants et du pensionnat de jeunes filles sera assurée car les résidents de la clinique seront systématiquement accompagnés lors de leurs promenades par le personnel soignant.
La Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud a déclaré irrecevable, faute de qualité pour agir, le recours formé contre cette décision par A._ SA et B._ SA au terme d'un arrêt rendu le 30 mai 2014.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ SA et B._ SA demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause à l'autorité inférieure pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures. Le Tribunal cantonal a produit le dossier de la cause.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt d'irrecevabilité rendu en dernière instance cantonale dans le cadre d'une contestation portant au fond sur l'octroi d'une autorisation de construire. Il est dès lors recevable comme recours en matière de droit public au sens des <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Les recourantes peuvent se prévaloir d'un intérêt digne de protection à faire contrôler que leur légitimation active ne leur a pas été déniée en violation de leurs droits de partie (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 301). Elles ont donc la qualité pour agir au sens de l'<ref-law>. Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont au surplus réunies.
2.
Les recourantes reprochent à la cour cantonale d'avoir déclaré à tort irrecevable, faute de qualité pour agir, le recours qu'elles avaient formé contre la décision municipale délivrant à l'intimée l'autorisation de transformer et d'agrandir l'ancien hôtel C._ pour en faire une clinique privée destinée au traitement de patients souffrant de dépendance à l'alcool et aux stupéfiants.
2.1. En vertu de l'art. 33 al. 3 let. a LAT, la qualité pour recourir devant les instances cantonales contre les décisions et les plans d'affectation fondés sur la présente loi et sur les dispositions cantonales et fédérales d'exécution doit être reconnue dans les mêmes limites que pour le recours en matière de droit public devant le Tribunal fédéral. Une exigence analogue ressort de manière générale de l'<ref-law>. L'<ref-law> précise au surplus que l'autorité qui précède immédiatement le Tribunal fédéral doit pouvoir examiner au moins les griefs visés aux art. 95 à 98 LTF. Il en résulte que la qualité pour recourir devant les autorités cantonales ne peut pas s'apprécier de manière plus restrictive que la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, les cantons demeurant libres de concevoir cette qualité de manière plus large (<ref-ruling> consid. 5 p. 149). La vocation pour agir devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal est définie à l'art. 75 de la loi vaudoise sur la procédure administrative (LPA-VD). Cette disposition reconnaît la qualité pour former recours à toute personne physique ou morale ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou ayant été privée de la possibilité de le faire, qui est atteinte par la décision attaquée et qui dispose d'un intérêt digne de protection à ce qu'elle soit annulée ou modifiée (let. a). Les recourantes, qui invoquent l'art. 75 LPA-VD, ne prétendent cependant pas que le droit cantonal serait plus large sur ce point que le droit fédéral. Il convient donc en définitive d'examiner la qualité pour recourir sous l'angle de l'<ref-law> qui correspond dans une large mesure à cette disposition. S'agissant de droit fédéral (<ref-law>), le Tribunal fédéral examine cette question librement (<ref-ruling> consid. 5 p. 149).
2.2. Aux termes de l'<ref-law>, la qualité pour recourir est reconnue à toute personne atteinte par la décision attaquée et qui dispose d'un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification. Selon la jurisprudence, l'intérêt digne de protection consiste dans l'utilité pratique que l'admission du recours apporterait au recourant en lui évitant de subir un préjudice de nature économique, idéale, matérielle ou autre que la décision attaquée lui occasionnerait. Il implique que le recourant soit touché de manière directe, concrète et dans une mesure et avec une intensité plus grandes que la généralité des administrés. L'intérêt invoqué, qui peut être un intérêt de fait, doit se trouver dans un rapport étroit, spécial et digne d'être pris en considération avec l'objet de la contestation (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 43 et les arrêts cités). Le voisin direct de la construction ou de l'installation litigieuse a en principe la qualité pour recourir. Le critère de la distance n'est toutefois pas le seul déterminant. S'il est certain ou très vraisemblable que l'installation litigieuse serait à l'origine d'immissions - bruit, poussières, vibrations, lumières ou autres - touchant spécialement les voisins, même situés à quelque distance, ces derniers peuvent aussi se voir reconnaître la vocation pour recourir (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 219; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 285; arrêt 1C_33/2011 du 12 juillet 2011 consid. 2.3 in DEP 2012 p. 9). Par ailleurs, la proximité avec l'objet du litige ne suffit pas à elle seule à leur conférer la qualité pour recourir contre l'octroi d'une autorisation de construire. Ils doivent en outre retirer un avantage pratique de l'annulation ou de la modification de la décision contestée qui permette d'admettre qu'ils sont touchés dans un intérêt personnel se distinguant nettement de l'intérêt général des autres habitants de la collectivité concernée de manière à exclure l'action populaire (<ref-ruling> consid. 2.2.3 et 2.3 p. 33-34; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 252, 468 consid. 1 p. 470). Pour apprécier la qualité pour agir, tous les éléments de fait pertinents doivent être pris en compte. Une atteinte particulière est reconnue lorsqu'il faut s'attendre avec certitude ou avec une grande vraisemblance à des immissions sur le fonds voisin en provenance de l'installation (<ref-ruling> consid. 2b p. 174; <ref-ruling> consid. 4c p. 387) ou que celle-ci représente un potentiel de danger particulier et que les habitants sont exposés à un risque particulier (ATF <ref-ruling> consid. 4d p. 388).
2.3. Comme l'a relevé la cour cantonale, le pensionnat de jeunes filles exploité par les recourantes se trouve dans le village des Avants et n'est pas directement voisin de la clinique projetée située en amont sur la crête de Sonloup, à une distance d'environ 600 mètres à vol d'oiseau. Le fait que les terrains qui séparent les deux établissements ne seraient que peu bâtis ne permet pas de considérer les recourantes comme des voisins immédiats. De plus, l'extension prévue en annexe du bâtiment principal est dissimulée à la vue des habitants du village des Avants par la forêt environnante. Le fait que l'établissement de l'intimé soit partiellement visible depuis le pensionnat de jeunes filles ne suffit pas pour reconnaître la qualité pour agir des recourantes car le bâtiment existant ne sera pas modifié sur la surface concernée, sous réserve de deux modestes ouvertures en toiture. La cour cantonale n'a ainsi pas méconnu les exigences découlant des art. 89 al. 1 et 111 LTF ou de l'art. 75 LPA-VD en considérant que, dans la configuration particulière des lieux, les recourantes n'étaient pas des voisins directs du projet qui seraient touchés de manière particulière et plus intense que le reste des administrés par la transformation, l'agrandissement et le changement d'affectation de l'ancien hôtel C._. L'affirmation des recourantes selon laquelle il n'y aurait aucune personne habilitée à recourir est au surplus inexacte puisque plusieurs parcelles bâties sont situées immédiatement au nord et à l'ouest de la clinique. L'absence de voisin direct susceptible de s'opposer au changement d'affectation de l'hôtel en clinique privée ne justifierait quoi qu'il en soit pas d'élargir le cercle des personnes admises à recourir à tout propriétaire sans égard à leur situation particulière par rapport au projet litigieux (cf. arrêt 1C_822/2013 du 10 janvier 2014 consid. 2.3).
2.4. Les recourantes reprochent à la cour cantonale d'avoir retenu de manière arbitraire que les nuisances idéales invoquées ne revêtaient pas le degré de vraisemblance ou de consistance nécessaire pour fonder leur qualité pour agir au sens de l'art. 75 let. a LPA-VD. La présence d'une clinique destinée au traitement de patients souffrant d'addiction aux drogues et à l'alcool créerait un risque évident pour leurs pensionnaires dans la mesure où des débordements, voire des incidents graves, ne pourront être évités. La clinique ne constitue pas un établissement fermé et les patients toxicomanes pourront aisément se balader dans les alentours et franchir les quelques centaines de mètres qui les séparent du village des Avants. La constructrice n'aurait fourni aucune garantie concrète pour assurer la sécurité des habitants et des pensionnaires de l'institut. Le projet de transformation de l'hôtel C._ en clinique de luxe pour le traitement des addictions à l'alcool et aux drogues porterait atteinte à leur image et compromettrait gravement leur activité économique. Il est à craindre que de nombreux parents retireront leurs filles de l'établissement dès qu'ils apprendront qu'à proximité immédiate, de nombreuses personnes se font traiter pour des troubles importants, en totale contradiction avec les principes prônés par l'institut.
2.5. Selon la jurisprudence, les voisins sont admis à recourir contre l'octroi d'un permis de construire lorsqu'ils sont touchés de manière certaine ou du moins avec une probabilité suffisante par les immissions que l'installation ou son exploitation peut provoquer (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 219). Lorsque des immissions de nature purement idéale ou immatérielle sont invoquées, les conditions de la qualité pour recourir doivent être remplies de manière plus stricte que pour les immissions matérielles (<ref-ruling> consid. 3 p. 159; arrêt 1A.98/1994 du 28 mars 1995 consid. 2c in ZBl 96/1995 p. 527; arrêt 1A.44/1988 du 3 novembre 1988 consid. 2b in ZBl 91/1990 p. 349). Les immissions ou les risques justifiant l'intervention d'un cercle élargi de personnes doivent présenter un certain degré d'évidence, sous peine d'admettre l'action populaire que la loi a précisément voulu exclure (<ref-ruling> consid. 3a p. 180; arrêt 1A.47/2002 du 16 avril 2002 consid. 3.5; arrêt 1A.98/1994 du 28 mars 1995 consid. 2c in ZBl 96/1995 p. 527). Plus le voisinage est éloigné plus l'immission doit être intensive ( PIERMARCO ZEN-RUFFINEN, La qualité pour recourir des tiers dans la gestion de l'espace, in: Tanquerel/Bellanger, Les tiers dans la procédure administrative, 2004, p. 184-185).
2.6. En l'occurrence, il est constant que l'exploitation de la clinique ne provoquerait pas en tant que telle des nuisances matérielles pour le voisinage. L'insécurité alléguée ou le risque de troubles doit présenter une certaine vraisemblance et une certaine consistance pour admettre que les recourantes sont touchées de manière particulière et plus intense que le reste de la population. En l'espèce, aucun élément au dossier ne permet d'affirmer ou de craindre que les patients séjournant dans la clinique pourraient se révéler dangereux pour autrui ou s'en prendre aux jeunes filles fréquentant l'Institut D._ voire qu'ils viendraient troubler la tranquillité des lieux et de ses habitants, s'agissant d'une clientèle aisée qui recherche avant tout le calme et la discrétion. Les recourantes ne précisent au demeurant pas la nature des débordements, voire des incidents graves, dont elles redoutent la survenance. Comme le relève la cour cantonale, sur la base des déclarations de l'intimée, les sorties seront encadrées et les visites des proches ne se dérouleront pas nécessairement dans le village des Avants. De plus, la clinique n'est pas située dans le voisinage immédiat de l'Institut. Pour descendre au village, les patients doivent emprunter le funiculaire ou la route de Sonloup. Ils pourraient certes traverser à pied la forêt et les pâturages qui les séparent en ligne droite du village. Vu la déclivité des lieux, une telle éventualité n'est guère vraisemblable. Le risque de fugue, s'il ne peut totalement être exclu, n'en reste pas moins faible. La cour cantonale n'a donc pas apprécié la situation de manière trop restrictive en considérant que les risques que ferait peser sur la tranquillité et la sécurité des pensionnaires de l'Institut D._ l'ouverture d'une clinique destinée à des patients souffrant d'addiction à l'alcool et aux drogues dans l'ancien hôtel C._ ne présentaient pas l'intensité requise pour justifier une atteinte à un intérêt digne de protection.
La Cour de droit administratif et public a retenu que l'appréciation du risque lié à une atteinte à la réputation ou à l'image de l'institut D._ devait se faire sur une base objective et ne pas se fonder sur la sensibilité particulière dont certains parents des jeunes filles scolarisées dans cet établissement pourraient faire preuve; cette approche est conforme à la jurisprudence (arrêt 1A.80/1994 du 18 janvier 1995 consid. 2c). Vu le résultat auquel elle est parvenue s'agissant des problèmes de sécurité, la cour cantonale pouvait également de manière soutenable admettre que la perte d'attractivité de l'établissement des recourantes que pourrait entraîner la présence d'une clinique privée destinée au traitement de patients souffrant d'addiction à l'alcool et aux stupéfiants dans les murs de l'ancien hôtel C._ ne revêtait pas davantage le degré de vraisemblance suffisant pour leur reconnaître un intérêt digne de protection à demander l'annulation du permis de construire délivré à l'intimée.
2.7. En définitive, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral ni fait une application arbitraire de l'art. 75 LPA-VD en déniant la qualité pour agir des recourantes et en déclarant irrecevable le recours formé contre la décision de la Municipalité de Montreux du 29 juillet 2013.
3.
Le recours doit par conséquent être rejeté, ce qui rend sans objet la requête d'effet suspensif présentée par les recourantes. Les frais du présent arrêt seront mis à la charge solidaire de ces dernières (art. 65 al. 1 et 66 al. 1 et 5 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée qui n'a pas été invitée à se déterminer.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge solidaire des recourantes.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à la Municipalité de Montreux et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 21 juillet 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Le Greffier :
Fonjallaz Parmelin