Sachverhalt:
A. Die 1951 geborene R._ war als Büroangestellte der Firma B._ bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (heute AXA Versicherungen AG, nachstehend: AXA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 9. August 2003 beim Rasensprengen in einen Lichtschacht fiel und sich an der Wirbelsäule verletzte. Die AXA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen, stellte diese jedoch mit Verfügung vom 20. Juni 2006 und Einspracheentscheid vom 25. Januar 2007 per 30. Juni 2006 ein, da die über dieses Datum hinaus anhaltend geklagten Beschwerden nicht mehr in einem rechtsgenüglichen Kausalzusammenhang zum Unfallereignis stünden.
Die von R._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 5. Dezember 2007 teilweise gut, hob den angefochtenen Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur Veranlassung eines Gutachtens im Sinne der Erwägungen sowie zum anschliessenden Erlass einer neuen Verfügung an die AXA zurück.
Auf eine dagegen erhobene Beschwerde der AXA trat das Bundesgericht nicht ein (Urteil 8C_78/2008 vom 9. Juli 2008).
B. Nach Einholung des daraufhin in Koordination mit der IV-Stelle des Kantons Aargau veranlassten interdisziplinären Gutachtens des medizinischen Zentrums X._ vom 1. Dezember 2009 hielt die AXA mit Verfügung vom 8. März 2010 namentlich an der Leistungseinstellung per 30. Juni 2006 fest, was mit Einspracheentscheid vom 8. März 2011 bestätigt wurde.
Eine dagegen von R._ eingereichte Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau teilweise gut, hob den angefochtenen Einspracheentscheid vom 8. März 2011 auf und wies die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen im Sinne der Erwägungen - d.h. zur Einholung eines Obergutachtens - sowie zum anschliessenden Neuentscheid an die AXA zurück (Entscheid vom 31. Mai 2012).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die AXA, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei der Einspracheentscheid vom 8. März 2011 zu bestätigen; eventualiter sei in Aufhebung des kantonalen Entscheides die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese, allenfalls nach Durchführung medizinischer Abklärungen, über den Anspruch der Beschwerdegegnerin neu befinde; ferner sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Verfahrensakten wurden beigezogen. Es wurde keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) ist zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>). Nach <ref-law> ist die Beschwerde gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide (zu den letzten gehören namentlich Rückweisungsentscheide; <ref-ruling> E. 4.3 S. 482) zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Sind diese Voraussetzungen nicht erfüllt oder wurde keine Beschwerde erhoben, sind die betreffenden Vor- und Zwischenentscheide durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken (<ref-law>).
2. Das kantonale Gericht hat die Sache unter Aufhebung des Einspracheentscheides zu weiteren medizinischen Abklärungen (Einholung eines Obergutachtens) an die Beschwerdeführerin zurückgewiesen. Praxisgemäss bewirkt ein solcher Rückweisungsentscheid in der Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> (vgl. statt vieler z.B. Urteile 8C_509/2012 vom 25. Juli 2012 und 8C_502/2012 vom 10. August 2012 mit Hinweisen); er führt in der Regel lediglich zu einer (dieses Kriterium nicht erfüllenden) Verlängerung des Verfahrens. Anderes gilt nur, wenn durch materiellrechtliche Anordnungen im Rückweisungsentscheid der Beurteilungsspielraum der unteren Instanz wesentlich eingeschränkt und sie gezwungen wird, eine ihres Erachtens rechtswidrige neue Verfügung zu erlassen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 484 und Urteil 8C_362/2007 vom 16. Januar 2008, E. 2.2). So verhält es sich hier - entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin - nicht, denn die AXA hat vorliegend nach Einholung eines medizinischen Gutachtens über die Kausalität der geklagten Beschwerden und deren Behandlungsnotwendigkeit bzw. -möglichkeit zu befinden und hernach über den Leistungsanspruch der Beschwerdegegnerin neu zu entscheiden, ohne dass der angefochtene Entscheid präjudizierende Wirkung entfaltet (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 484).
Die Eintretensvoraussetzung des <ref-law> ist damit nicht erfüllt. Dies gilt nach ständiger Rechtsprechung - im Gegensatz zu dem, was die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint -, selbst wenn die vorinstanzliche Feststellung, der rechtserhebliche Sachverhalt sei ungenügend abgeklärt, offensichtlich unrichtig wäre oder auf einer qualifiziert unrichtigen oder sogar willkürlichen Beweiswürdigung beruhte. Auch eine solche Rechtsverletzung (Art. 95 lit. a und Art. 97 Abs. 1 BGG) vermöchte dem Nachteil an sich unnötiger Abklärungen nicht rechtlichen Charakter zu geben (statt vieler: Urteile 8C_78/2008 vom 9. Juli 2008, E. 2, und 9C_301/2007 vom 28. September 2007, E. 2.2). Zudem kann in der - nach Auffassung der Beschwerdeführerin ungerechtfertigten - Rückweisung der Sache an die Verwaltung für die Beschwerdeführerin kein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> erblickt werden, wie das Bundesgericht nunmehr in dem zur Publikation vorgesehenen Urteil 8C_760/2011 vom 26. Januar 2012 (vgl. SVR 2012 UV Nr. 19 S. 71) entschieden hat (Beantwortung der in <ref-ruling> E. 4.4.1.4 S. 265 offengelassenen Frage). Von einer in diesem Zusammenhang gegebenen Rechtsverweigerung bzw. -verzögerung kann - im Gegensatz zu den Vorbringen der Beschwerdeführerin - offensichtlich nicht die Rede sein.
3. Eine Gutheissung der Beschwerde würde zwar einen sofortigen Endentscheid herbeiführen (vgl. <ref-law>); mit der Aufhebung kantonaler Rückweisungsentscheide, welche einzig eine ergänzende Sachverhaltsabklärung anordnen, kann indessen praxisgemäss kein nach der Rechtsprechung bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren im Sinne der genannten Bestimmung erspart werden, zumal auch insoweit die selbstständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme darstellt, die restriktiv zu handhaben ist und die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, da sie die mit dem Zwischenentscheid zusammenhängenden Fragen mit dem Endentscheid anfechten können (dazu statt vieler nunmehr Urteile 8C_400/2012 vom 28. Juni 2012, 8C_302/2009 vom 24. April 2009 und 8C_1038/2008 vom 20. April 2009 E. 2.2 mit Hinweisen). Auch vorliegend ist - entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin - nicht ersichtlich, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt wären, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
4. Die - insgesamt offensichtlich unzulässige - Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren (<ref-law>) ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) zu erledigen. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Mit diesem Nichteintretensentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. September 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Batz