Faits :
A.
A.a. A._ travaillait pour l'Entreprise B._. Souffrant de lombalgies chroniques, il a bénéficié d'une mesure d'ordre professionnel de l'assurance-invalidité consistant en un apprentissage de dessinateur en génie civil. Après avoir obtenu en 2001 son certificat fédéral de capacité, il a réintégré un poste au sein de B._ jusqu'au 28 février 2003, date à laquelle il a été licencié.
A.b. Alléguant toujours souffrir de douleurs au dos, A._ a déposé le 24 octobre 2003 une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant cette fois-ci à l'octroi d'une rente. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) a recueilli l'avis du médecin traitant de l'assuré, le docteur C._, spécialiste en médecine interne générale (rapport du 7 décembre 2003), et confié la réalisation d'une expertise rhumatologique au docteur D._ (rapport du 3 octobre 2004). Considérant que l'assuré présentait un trouble somatoforme douloureux sans élément psychopathologique ayant valeur de maladie, l'office AI a rejeté la demande de prestations par décision du 17 décembre 2004. L'assuré a formé opposition contre cette décision, produisant à son appui deux rapports médicaux des docteurs E._, spécialiste en médecine physique et réadaptation (du 11 janvier 2005), et F._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (du 25 avril 2005). Du 1 er juin au 20 juillet 2005, il a séjourné à la Clinique G._, sans que ledit séjour n'apporte d'amélioration à ses douleurs chroniques. L'office AI a alors décidé de confier la réalisation d'un examen clinique pluridisciplinaire à son Service médical régional (SMR). Dans leur rapport du 30 décembre 2005, les docteurs H._, spécialiste en médecine physique et réadaptation, et I._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, ont constaté que l'assuré présentait sur le plan ostéoarticulaire des troubles dégénératifs et statiques du rachis dorso-lombaire induisant des limitations fonctionnelles dans le cadre d'une activité à forte charge physique et aux positions statiques prolongées; sur le plan psychiatrique, il ne présentait en revanche aucune atteinte à la santé qui pouvait porter préjudice à sa capacité de travail; sur un plan général, la capacité de travail était entière dans l'activité pour laquelle il avait été réadapté.
Malgré les doutes exprimés par le docteur C._ quant au bien-fondé de cette évaluation (rapport du 30 janvier 2006), l'office AI a, par décision du 1 er février 2006, rejeté l'opposition de l'assuré.
Par jugement du 25 octobre 2006, la Chambre des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition du 1 er février 2006, rejet confirmé par le Tribunal fédéral le 19 décembre 2007 (arrêt I 1021/06).
A.c. Par courrier du 15 août 2011, A._ a déposé une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans le cadre de l'instruction de celle-ci, l'office AI a recueilli des renseignements médicaux auprès de la psychiatre traitante de l'assuré, la doctoresse O._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 13 octobre 2011), des médecins de la Clinique J._ (rapport du 18 novembre 2011) et du docteur C._ (rapport du 20 novembre 2011).
Compte tenu de ces nouveaux éléments, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise bidisciplinaire (rhumatologique et psychiatrique) au Centre K._. Dans leur rapport du 13 juillet 2012, les docteurs L._, spécialiste en rhumatologie, et M._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, ont retenu le diagnostic - avec répercussion sur la capacité de travail - de lombalgies chroniques sur troubles dégénératifs étagés avec protrusion discale marquée L2-L3, L4-L5 et L5-S1 avec Scheuermann dorsolombaire et ceux - sans répercussion sur la capacité de travail - d'obésité de type II, de probable maladie de Forestier et de dysthymie à début tardif; compte tenu de l'aggravation de l'état de son dos, l'assuré présentait désormais une diminution de sa capacité de travail de 50 % dans toute activité adaptée à ses limitations fonctionnelles.
Du 22 juillet au 9 août 2012, l'assuré a séjourné à l'Unité hospitalière médico-psychologique de l'Hôpital N._, en raison d'une décompensation psychotique avec tentative de suicide.
Malgré les objections de la doctoresse O._, pour qui son patient présentait un trouble schizo-affectif (type maniaque) qui l'empêchait d'exercer toute activité lucrative, l'office AI a fait siennes les conclusions de l'expertise du Centre K._ et a, par décision du 6 septembre 2013, alloué à l'assuré une demi-rente d'invalidité à compter du 1 er février 2012.
B.
A._ a déféré la décision du 6 septembre 2013 devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura. En cours de procédure, il a produit un rapport de la doctoresse O._ (du 13 novembre 2013) attestant qu'il présentait désormais les symptômes d'une schizophrénie paranoïde ainsi qu'un rapport du docteur P._, spécialiste en neurochirurgie (du 23 mai 2014), selon lequel il souffrait de la maladie de Baastrup. Par jugement du 20 août 2014, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé par l'assuré contre cette décision.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande la réforme, voire l'annulation. Il conclut principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité et subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle statue à nouveau au sens des considérants. Il sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées, sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2.
2.1. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité supérieure à la demi-rente reconnue à compter du 1er février 2012, singulièrement sur le degré d'invalidité qu'il présente depuis cette date.
2.2. Le jugement entrepris expose correctement les règles applicables à la résolution du cas. Il rappelle notamment que lorsque l'administration entre en matière sur une nouvelle demande (cf. l'ancien <ref-law>, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2011 [RO 1961 50]; aujourd'hui: <ref-law>), elle doit procéder de la même manière que dans les cas de révision au sens de l'<ref-law> et comparer les circonstances prévalant lors de la nouvelle décision avec celles existant lors de la dernière décision entrée en force et reposant sur un examen matériel du droit à la rente (cf. <ref-ruling>) pour déterminer si une modification notable du taux d'invalidité justifiant la révision du droit en question est intervenue. La révision du droit à la rente au sens de l'<ref-law> suppose un changement dans les circonstances personnelles de l'assuré, relatives à son état de santé, à des facteurs économiques ou aux circonstances (hypothétiques) ayant déterminé le choix de la méthode d'évaluation de l'invalidité, qui entraîne une modification notable du degré d'invalidité (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 546 et 7.1 p. 548).
3.
3.1. Se fondant sur les conclusions de l'expertise réalisée par le Centre K._, la juridiction cantonale a constaté que le recourant présentait une aggravation de son état de santé sur le plan somatique, quand bien même il restait difficile de faire la part des choses entre les éléments organiques et les éléments psychosomatiques; sur le plan psychique, le diagnostic de dysthymie à début tardif, soit une symptomatologie dépressive chronique de faible intensité, n'était en revanche pas incapacitante. L'atteinte à la santé dont souffrait le recourant entraînait une incapacité de travail de 50 %, sans diminution de rendement, dans toute activité respectant les limitations fonctionnelles reconnues (pas de ports de charges supérieures à 5 kilos; pas de flexions antérieures du tronc répétées ou prolongées; pas de mouvements répétitifs en rotation ou en extension).
3.2. Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits pertinents consécutive à une mauvaise appréciation des preuves et, partant, d'avoir violé le droit fédéral. En substance, il lui fait grief d'avoir ignoré le rapport médical établi par le docteur P._, rapport qui mettait en évidence l'existence d'une maladie de Baastrup, et d'avoir écarté sans motif pertinent les affections diagnostiquées par la doctoresse O._ (troubles schizo-affectifs, puis schizophrénie paranoïaque). Compte tenu de la situation, la juridiction cantonale aurait dû à tout le moins ordonner la mise en oeuvre d'un complément d'instruction.
4.
4.1. Pour remettre en cause le résultat de l'appréciation des preuves faite par l'autorité précédente, il ne suffit pas de prétendre qu'un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion différente et contradictoire; il faut bien plutôt établir, par une argumentation précise et étayée, l'existence d'éléments objectivement vérifiables qui auraient été ignorés dans le cadre de cette appréciation et qui seraient suffisamment pertinents pour remettre en cause le bien-fondé des conclusions de celle-ci ou en établir le caractère objectivement incomplet, ou, à tout le moins, pour justifier la mise en oeuvre d'une mesure d'instruction complémentaire (arrêt 9C_578/2009 du 29 décembre 2009 consid. 3.2).
4.2. En ce qui concerne le volet somatique de la problématique médicale, il n'y a pas de raison de s'écarter des conclusions de l'expertise du Centre K._. S'il est vrai qu'il existe une divergence entre les experts et le docteur P._ quant au diagnostic retenu pour qualifier les troubles lombaires du recourant, la présente procédure n'est pas le lieu pour examiner le bien fondé du diagnostic de maladie de Baastrup posé par le docteur P._. En effet, il n'appartient pas au juge de trancher la question du diagnostic médical, en tant que celui-ci est contesté. Dans le contexte spécifique de l'évaluation de l'incapacité de travail, le débat médical relatif à la dénomination diagnostique la mieux appropriée pour décrire l'état de souffrance du patient ne joue qu'un rôle secondaire. Ce qui importe pour juger du droit aux prestations d'un assuré, c'est la répercussion concrète de l'atteinte à la santé diagnostiquée sur la capacité de travail (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 69 et les références). Comme l'a relevé la juridiction cantonale, aussi bien les experts du Centre K._ que le docteur P._ retiennent l'existence d'une importante limitation de la mobilité dans les mouvements du rachis. Faute d'éléments précis et objectivement vérifiables, on ne saurait déduire du rapport du docteur P._ que les limitations décrites seraient plus importantes que celles retenues par les experts et entraîneraient une incapacité de travail plus importante que celle retenue par les experts (50 %) ou justifieraient à tout le moins la mise en oeuvre d'une mesure d'instruction complémentaire.
4.3. En ce qui concerne la sphère psychiatrique, deux appréciations médicales diamétralement différentes s'opposent, que ce soit au niveau des diagnostics retenus ou au niveau de l'évaluation de la capacité résiduelle de travail. Alors que les experts du Centre K._ ont mis en évidence de légers troubles de la lignée anxio-dépressive, la doctoresse O._ a fait état de troubles de la lignée schizophrénique en constante aggravation et de troubles affectifs bipolaires. A l'aune des éléments allégués par le recourant, il n'y a toutefois pas lieu de s'écarter des conclusions de l'expertise établie par le Centre K._. Les experts ont relevé qu'il n'existait aucune symptomatologie pouvant évoquer un trouble psychotique ou une hypomanie, notamment pas de délire de persécution. Le recourant se contente de renvoyer aux différentes attestations établies par la doctoresse O._ au cours de la procédure, sans toutefois mettre en évidence des éléments cliniques précis ou avancer des arguments permettant d'expliquer en quoi les signes d'irritation exprimés par le recourant au cours de la procédure - considérés par les expert comme la traduction d'un sentiment d'injustice et de révolte - dépassent le seuil de la simple réponse émotionnelle aux difficultés rencontrées pour constituer une véritable affection de nature psychiatrique. Quant aux reproches formulés à l'encontre de l'expertise (durée insuffisante de l'entretien clinique psychiatrique; ignorance de la lourde médication consommée quotidiennement), ils ne justifient pas de renvoyer la cause pour procéder à un complément d'instruction, le recourant ne démontrant pas concrètement en quoi l'éventuelle correction des vices allégués serait susceptible d'influer sur le résultat de l'expertise.
5.
5.1. Mal fondé, le recours doit être rejeté et le jugement entrepris confirmé.
5.2. Les frais afférents à la présente procédure seront supportés par le recourant qui succombe (<ref-law>). Les conditions d'octroi étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. Il est toutefois rendue attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal, s'il retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise. Maître Charles Poupon est désigné comme avocat d'office du recourant.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Une indemnité de 2'800 fr. est allouée à l'avocat du recourant à titre d'honoraires à payer par la caisse du Tribunal.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 29 avril 2015
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Piguet