Faits :
A.
A.a. A._, domiciliée à B._, est mariée et mère de trois enfants. Elle bénéficie d'une formation de laborantine en chimie acquise dans son pays d'origine. Le 15 mai 2003, elle a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à une rente, en mentionnant que son activité principale consistait à être mère au foyer. En complément à cette requête, elle a indiqué qu'elle travaillerait en dehors du ménage à 100 % si elle était en bonne santé.
Après avoir instruit le cas en recueillant divers avis médicaux et une enquête économique sur le ménage, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a retenu que l'assurée avait un statut mixte (active sur le marché du travail à 50 %, ménagère à 50 %) et qu'elle présentait trois affections ayant des répercussions sur la capacité de travail, à savoir des lombosciatalgies à gauche, un status une année après une cure de hernie discale (L5-S1 à gauche) et une scoliose idiopathique dorsolombaire. Il a estimé que l'intéressée avait une capacité de travail de 50 % dans son activité habituelle de nettoyeuse et de 100 % dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Procédant à l'évaluation de l'invalidité de l'assurée selon la méthode mixte, l'administration a fixé le degré de l'invalidité à 33,19 %, insuffisant pour ouvrir le droit à une rente de l'assurance-invalidité, par décision du 7 décembre 2007.
Le recours déposé par A._ contre cette décision a été admis par le Tribunal des assurances sociales du canton de Vaud par jugement du 23 avril 2008. La cause a été renvoyée à l'office AI pour qu'il mette en oeuvre une expertise psychiatrique de l'assurée et rende une nouvelle décision.
A.b. Mandaté par l'administration, le docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a indiqué, dans un rapport du 14 février 2009, qu'il ne retenait aucun diagnostic d'ordre psychiatrique et que l'assurée ne présentait aucune incapacité de travail, ni diminution de rendement. Après avoir encore complété l'instruction du cas par d'autres avis médicaux, l'office AI a rendu une nouvelle décision de refus de prestations, le 24 février 2010.
Contestant être en mesure de travailler, A._ a porté la décision du 24 février 2010 devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, en concluant à l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité. La juridiction cantonale a soumis l'assurée à une expertise médicale pluridisciplinaire qu'elle a confiée au Centre d'expertises D._. Dans leur rapport du 5 avril 2011, les doctoresses E._ et F._, spécialistes en médecine interne, et le docteur G._, spécialiste en psychiatre et psychothérapie, ont retenu les diagnostics suivants ayant une influence essentielle sur la capacité de travail: lombosciatalgies gauches avec failed back surgery syndrom, status après cure de hernie discale L5-S1 à deux reprises, en février 2004 et le 7 avril 2009 pour récidive, discopathie L5-S1 gauche. Les experts ont estimé que l'activité habituelle de nettoyeuse exercée par A._ n'était plus possible du tout en raison des lomboscialgies. Ils ont ajouté qu'à la suite des opérations de hernie discale subies, elle avait présenté une incapacité totale de travail durant six mois environ. L'assurée était affectée des limitations suivantes: les mouvements nécessitant une flexion antérieure du tronc de manière répétée, le levage régulier et répétitif de charges égales ou supérieures à 10 kg, les mouvements en porte-à-faux répétitifs, les activités monotones et l'exposition à des vibrations corporelles. Les médecins du Centre D._ ont estimé que l'assurée pourrait exercer une activité adaptée à son état de santé à 100 %, avec un rendement diminué de 50 %, ou à 50 % avec un rendement normal. Ils ont indiqué que le pronostic global quant à une reprise d'activité professionnelle quelconque dans le circuit économique, même adaptée, restait très réservé en tenant compte de tous les facteurs de risque non médicaux présentés par l'assurée, à savoir la longue période d'incapacité de travail durant presque dix ans, la chronification des douleurs, l'absence d'effet de toutes les thérapies entreprises et le fait que son mari bénéficiait d'une rente entière d'invalidité. Dans un rapport complémentaire du 11 octobre 2011, les experts ont notamment précisé qu'ils avaient constaté chez l'assurée un état dépressif d'intensité légère à modérée; ils ont expliqué que si les problèmes psychiques participaient aux limitations dans une moindre mesure, ils rendaient une activité possible à 50 %. A._ a déposé un rapport du 11 novembre 2011 émanant de sa psychiatre traitante, la doctoresse H._, qui faisait état chez sa patiente d'un épisode dépressif moyen et d'une capacité de travail nulle dans toute activité, même de caractère occupationnel.
Par jugement du 19 juin 2012, la cour cantonale a admis le recours de A._ et annulé la décision de l'office AI du 24 février 2010, renvoyant une nouvelle fois la cause à l'administration pour instruction complémentaire sur l'aptitude de l'assurée à tenir son ménage. L'office AI a été chargé de préciser les empêchements ménagers de l'intéressée dans les différentes tâches de cette activité et d'effectuer une nouvelle comparaison des revenus pour trois périodes, à savoir avant avril 2009, pendant les six mois d'incapacité totale de travail dès avril 2009 et après la fin de cette incapacité de travail. L'instance de recours a notamment relevé que A._ ne contestait ni le statut d'active à 50 % sur le marché du travail ni celui de ménagère à 50 %, ni les empêchements de 50 % retenus pour la part active. Elle a en outre reconnu pleine valeur probante aux pièces médicales sur lesquelles l'administration s'était fondée pour constater, jusqu'en avril 2009, une capacité de travail de 50 % dans l'activité de nettoyeuse, puis une incapacité de travail totale pendant six mois et enfin une capacité de travail de 50 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles.
A.c. Sur la base d'une nouvelle enquête économique sur le ménage (rapports des 14 et 17 décembre 2012) et de la comparaison des revenus, auxquels il a été procédé en exécution du jugement du 19 juin 2012, l'office AI a retenu que l'assurée présentait un degré d'invalidité de 25 % jusqu'en avril 2009, puis un taux d'invalidité moyen de 41,25 %, lui ouvrant le droit à un quart de rente du 1 er juillet 2009 au 31 janvier 2010. Dès lors que ce degré d'invalidité se situait à 33,53 % dès la mi-octobre 2009, aucun droit à une rente ne pouvait être reconnu à A._ après le 1 er février 2010.
L'office AI a rendu une décision en ce sens le 31 janvier 2014.
B.
A._ a déféré cette décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, en concluant à son annulation et à l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité dès le 9 mai 2003, avec intérêts. Elle a sollicité la mise en oeuvre d'une nouvelle enquête économique sur le ménage et soutenu qu'elle devait se voir reconnaître le statut de personne active à plein temps, tout en contestant l'abattement retenu par l'office AI sur le revenu d'invalide. L'intéressée a estimé que le degré de son invalidité devait être fixé à 60,5 % jusqu'en avril 2009, à 100 % du 7 avril au 8 juillet 2009 et à 60,8 % dès le 9 juillet 2009.
Par jugement du 27 mai 2015, la juridiction cantonale a rejeté le recours et confirmé la décision du 31 janvier 2014.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande la réforme, en ce sens que le droit à une rente entière de l'assurance-invalidité lui soit reconnu à partir du 1 er juillet 2009 compte tenu d'un degré d'invalidité de 87,5 %, subsidiairement qu'une demi-rente lui soit octroyée depuis la même date en fonction d'un degré d'invalidité de 52,98 %. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des <ref-law>) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (<ref-law>), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (<ref-law>). En principe, il n'examine que les griefs motivés (<ref-law>), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente de l'assurance-invalidité. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence relatives à la notion d'invalidité et à son évaluation pour les personnes exerçant, pleinement ou partiellement, une activité lucrative, de même qu'à l'évolution de la législation topique dans le temps déterminant en la cause. Il suffit donc d'y renvoyer.
3.
3.1. La recourante soutient qu'en raison d'une capacité résiduelle de travail de 40 à 50 % dans le cadre d'un emploi adapté à son état de santé, physique et psychique, son retour dans le monde professionnel est totalement irréaliste.
3.2.
La notion de marché équilibré du travail est une notion théorique et abstraite qui sert de critère de distinction entre les cas tombant sous le coup de l'assurance-chômage et ceux qui relèvent de l'assurance-invalidité. Elle implique, d'une part, un certain équilibre entre l'offre et la demande de main d'oeuvre et, d'autre part, un marché du travail structuré de telle sorte qu'il offre un éventail d'emplois diversifiés, tant au regard des exigences professionnelles et intellectuelles qu'au niveau des sollicitations physiques.
Lorsqu'il s'agit d'examiner dans quelle mesure un assuré peut encore exploiter économiquement sa capacité résiduelle de gain sur le marché du travail entrant en considération pour lui (<ref-law>), on ne saurait subordonner la concrétisation des possibilités de travail et des perspectives de gain à des exigences excessives. Il s'ensuit que pour évaluer l'invalidité, il n'y a pas lieu d'examiner la question de savoir si un invalide peut être placé eu égard aux conditions concrètes du marché du travail, mais uniquement de se demander s'il pourrait encore exploiter économiquement sa capacité résiduelle de travail lorsque les places de travail disponibles correspondent à l'offre de la main d'oeuvre. On ne saurait toutefois se fonder sur des possibilités de travail irréalistes. Ainsi, on ne peut parler d'une activité exigible au sens de l'<ref-law>, lorsqu'elle ne peut être exercée que sous une forme tellement restreinte qu'elle n'existe pratiquement pas sur le marché général du travail ou que son exercice suppose de la part de l'employeur des concessions irréalistes et que, de ce fait, il semble exclu de trouver un emploi correspondant (arrêt 9C 804/2014 du 16 juin 2015 consid. 7.2 et les références).
Comme le rappelle la recourante, le Tribunal fédéral a admis dans un arrêt 9C_984/2008 du 4 mai 2009 que les modifications structurelles que peut connaître le marché du travail sont des circonstances dont il y a lieu de tenir compte en matière d'assurance-invalidité lorsque la nature et l'importance de la pathologie constituent des obstacles irrémédiables à la reprise d'une activité lucrative, dans la mesure où un employeur ne prendrait pas le risque d'engager une personne fortement atteinte dans sa santé. Dans ce cas, l'assuré souffrait d'un grave trouble de la personnalité, ne disposait d'aucune capacité de travail et ne pouvait exercer d'activités qu'en milieu protégé. Selon les rapports probants des médecins qui l'avaient examiné, sa capacité de travail ne pouvait être mise en valeur que dans des conditions particulièrement restreintes, soit dans un environnement confiné et protégé, en dehors de tout stress professionnel et social (arrêt 9C_984/2008 du 4 mai 2009 consid. 5.2 et 6.2; arrêt 9C_659/2014 du 13 mars 2015 consid. 5.3.3).
3.3. En l'espèce cependant, aucune réserve n'a jamais été exprimée par les experts consultés au sujet de la capacité de la recourante à exercer une activité sur le marché équilibré de l'emploi. En particulier, il n'a jamais été question d'une activité exigible uniquement dans un milieu protégé. Une restriction de l'exigibilité retenue par les instances précédentes ne saurait découler de la simple diminution de la capacité de travail de l'intéressée. Par ailleurs, l'état dépressif de cette dernière, de degré moyen, n'empêche pas une certaine activité professionnelle à dire d'experts. En effet, les docteurs F._ et G._, dans leur rapport d'expertise complémentaire du 11 octobre 2011, ont estimé qu'en l'absence d'idée suicidaire et avec une anxiété globalement améliorée par la prise régulière d'un médicament, il n'y avait pas lieu de retenir une incapacité de travail totale et définitive pour raison psychique. Les experts prénommés ont en outre pris en considération le retrait social et la difficulté de l'accessibilité thérapeutique, rendant réservé le pronostic global quant la reprise d'activité professionnelle quelconque dans le circuit économique, avant de conclure qu'une activité adaptée à 40-50 % leur paraissait exigible de la part de la recourante. Cette appréciation, en tant que telle, n'est pas remise en cause par la recourante qui tente seulement de substituer sa propre appréciation à celle des juges cantonaux, ce qui ne suffit pas à faire apparaître celle-ci comme arbitraire.
Enfin, la jurisprudence invoquée sur ce point par la recourante ne lui est d'aucun secours. En particulier, dans trois des causes qu'elle cite (arrêts 8C_22/2009 du 22 décembre 2009, 9C_695/2010 du 15 mars 2011 et 9C_659/2014 du 13 mars 2015), les assurés étaient proches de l'âge de la retraite (ce qui n'est pas son cas), circonstance dans laquelle il faut procéder à une analyse globale spécifique pour évaluer si l'assuré est en mesure, de manière réaliste, de retrouver un emploi sur un marché équilibré du travail, notamment en fonction des contributions patronales à la prévoyance professionnelle obligatoire et de la durée prévisible des rapports de travail (arrêt 9C_716/2014 du 19 février 2015, consid. 4 et les références). Sur ce point, le recours est donc mal fondé.
4.
Par ailleurs, la recourante remet en cause l'appréciation par les premiers juges de sa capacité résiduelle de travail. Relevant que les experts F._ et G._ avaient précisé, dans leur rapport complémentaire du 11 octobre 2011, que ses problèmes psychiques n'empêchent pas l'exercice d'une activité lucrative au taux de 50 % (jugement attaqué, consid. 6 in fine), la cour cantonale s'en est tenue à ce taux (ibid. consid. 7). La recourante voudrait que celui-ci soit fixé à 45 %, c'est-à-dire à la moyenne de la fourchette indiquée par les experts précités. Toutefois, elle n'indique aucun motif susceptible de faire apparaître comme insoutenable l'appréciation des juges précédents.
5.
Enfin, la recourante voudrait que, dans son activité de ménagère, ses empêchements soient évalués à 75 %, au lieu des 50 % retenus par les autorités précédentes. Par une motivation toute subjective, elle critique notamment les conclusions de la dernière enquête économique sur le ménage menée dans son cas, perdant de vue que l'administration, puis la cour cantonale, n'ont pas suivi ces conclusions. En réalité, la recourante entend seulement substituer sa propre appréciation à celle des premiers juges, sans cependant exposer en quoi les considérations de ces derniers seraient arbitraires.
6.
Comme la recourante ne conteste pas les autres éléments sur lesquelles les autorités précédentes se sont basées pour établir le degré de son invalidité et l'évolution de celui-ci dans le temps, le recours se révèle mal fondé.
7.
Les frais afférents à la présente procédure seront supportés par la recourante qui succombe (<ref-law>). Elle a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires et à la désignation d'un avocat d'office. Dès lors que les conditions d'octroi sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. La recourante est toutefois rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral, si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est admise pour la procédure devant le Tribunal fédéral et Maître David Métille est désigné comme avocat d'office de la recourante.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2'800 fr. est allouée à l'avocat de la recourante à titre d'honoraires à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 octobre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Berthoud