Fatti:
A. A.a M._, nato nel 1965 - attivo quale muratore presso la ditta C._ SA - in data 18 luglio 2002 ha inoltrato una prima richiesta all'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) tendente all'assegnazione di prestazioni AI per le conseguenze di due infortuni occorsigli nel 1999 (trauma distorsivo/contusivo al ginocchio sinistro) e nel 2001 (frattura della base del V metatarso). Con delibera 27 luglio 2005 - non sfociata tuttavia, per svista, in una decisione formale - l'UAI ha riconosciuto all'assicurato il diritto a una rendita intera d'invalidità - stante un'incapacità di guadagno del 100% - dal 1° settembre 2002 al 31 luglio 2003, e di una mezza rendita - stante un tasso d'invalidità del 50% - dal 1° agosto al 31 ottobre 2003. A partire dal 1° novembre 2003 l'amministrazione ha per contro negato ogni ulteriore diritto a prestazioni in quanto il grado di invalidità del 27% non raggiungeva il minimo di legge (40%).
Con decisione 8 febbraio 2006, cresciuta incontestata in giudicato, la SUVA ha riconosciuto al ricorrente una indennità per menomazione dell'integrità (IMI) del 10% e una rendita di invalidità dell'assicurazione infortuni per incapacità lucrativa del 25% con effetto dal 1° novembre 2005.
A.b L'assicurato ha continuato la sua attività di muratore per la C._ SA con un grado di occupazione del 75% (causa un rendimento ridotto del 25%) fino al 15 settembre 2007, data alla quale a seguito di un incidente stradale ha riportato segnatamente la frattura del polso destro e una contusione alla spalla destra. Il 13 febbraio 2008 M._ ha quindi presentato una seconda richiesta di prestazioni AI lamentando una inabilità addebitabile agli esiti (soprattutto, ma non solo) dell'infortunio del 2007.
A.c Preso atto della documentazione medica ed economica agli atti come pure del rapporto 12 novembre 2008 del Centro X._, l'UAI, pur dando atto di un'incapacità lavorativa totale nell'attività di muratore, ha accertato una piena capacità lavorativa in attività (molto leggere) adeguate al suo stato di salute - quali quella di magazziniere-venditore di merci leggere, agente di sorveglianza e custode manutentore - e rispettose dei limiti funzionali indicati (evitare frequenti e ripetuti movimenti di rotazione, supinazione/pronazione del polso destro, evitare movimenti di forza con la mano destra, evitare vibrazioni e colpi con la mano destra, nessuna attività su scale o impalcature). Effettuato il raffronto dei redditi, l'amministrazione per decisione 31 marzo 2009 ha respinto la domanda di rendita per carenza d'invalidità di grado pensionabile. Stabilito un guadagno senza invalidità di fr. 66'321.- (anno di riferimento: 2007) e un reddito da invalido di fr. 43'304.- (ottenuto dopo avere applicato sul reddito base una deduzione del 20% per tenere conto della riduzione di rendimento [segnatamente per la necessità di inserire più pause brevi, per un totale di un'ora al giorno] e di una deduzione del 10% per le particolarità personali e professionali del caso [5% per attività leggera e 5% per cambio di attività]), l'UAI ha infatti accertato un grado di incapacità di guadagno del 34,71%.
B. Assistito dall'avv. Rosangela Locatelli, l'assicurato si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino al quale ha chiesto di considerare anche le conseguenze invalidanti del suo stato psicosomatico e di conseguenza, in annullamento della decisione impugnata, di concedere con effetto retroattivo una rendita pari almeno al 50% o dell'ordine che la perizia neutra avrebbe indicato.
Con giudizio 13 ottobre 2009, la Corte cantonale, statuendo per giudice unico, ha respinto il gravame. Dopo avere premesso che la lite verteva unicamente sulla nuova domanda di rendita presentata il 13 febbraio 2008 e non anche sul diritto a prestazioni - ancora da definire con una decisione formale normalmente impugnabile - conseguente alla prima domanda, il primo giudice ha confermato la piena esigibilità medica di un'attività leggera rispettosa dei limiti funzionali suindicati e ha ammesso una deduzione del 10% dal reddito base da invalido per le particolarità personali e professionali del caso, concludendo per un grado di invalidità del 19% (stante un reddito da valido, non contestato, di fr. 67'647.- [anno di riferimento: 2008] e un reddito da invalido di fr. 55'111.90). In via abbondanziale, il giudice di prime cure ha osservato che anche applicando, per ipotesi, una doppia deduzione del 20% (per riduzione di rendimento) e del 15% (per le particolarità personali e professionali del caso, come invocato dall'assicurato) dal reddito base da invalido, il grado di invalidità finale non avrebbe comunque raggiunto il minimo di legge ma si sarebbe attestato al 38%.
C. Patrocinato ora dalla Consulenza giuridica andicap, M._ ha presentato ricorso al Tribunale federale, al quale chiede di annullare il giudizio cantonale e di riconoscergli - previa applicazione della media retrospettiva per il calcolo dell'invalidità - un quarto di rendita AI dal 1° novembre 2007 al 31 gennaio 2008, una rendita intera dal 1° febbraio al 31 ottobre 2008 e un quarto di rendita dal 1° novembre 2008 in poi. Chiede inoltre di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
Chiamati a pronunciarsi sul gravame, l'UAI ne propone la reiezione, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.

Diritto:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per contro, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF) e vi si può scostare solo qualora questo accertamento sia avvenuto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF). A prescindere dai casi in cui tale inesattezza sia lampante (cfr. <ref-ruling> consid. 4.3. pag. 62, 133 IV 286 consid. 6.2 pag. 288 in fine), la parte che intende contestare i fatti accertati dall'autorità inferiore deve spiegare, in maniera circostanziata, per quale motivo ritiene che le condizioni di una delle citate eccezioni previste dall'art. 105 cpv. 2 LTF sarebbero realizzate; in caso contrario non si può tener conto di uno stato di fatto diverso da quello posto a fondamento della decisione impugnata (cfr. <ref-ruling> consid. 1.4.3 pag. 254 con riferimento).
2. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, l'autorità giudiziaria cantonale ha correttamente esposto le norme e i principi giurisprudenziali disciplinanti la materia, ricordando in particolare la nozione d'invalidità (art. 4 cpv. 1 LAI, art. 7 e 8 LPGA), i presupposti e l'estensione del diritto alla rendita (art. 28 LAI), il sistema di confronto dei redditi per la determinazione del grado di invalidità di assicurati esercitanti un'attività lucrativa (art. 16 LPGA), i compiti del medico ai fini di tale valutazione e il valore probatorio generalmente riconosciuto ai referti medici fatti allestire da un tribunale o dall'amministrazione conformemente alle regole di procedura applicabili (<ref-ruling> consid. 4 pag. 261, 353 consid. 3b/ee; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 3c pag. 314).
A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione non senza tuttavia ricordare che, mentre il medico è chiamato a porre un giudizio sullo stato di salute, a indicare in quale misura e in quali attività l'assicurato è incapace al lavoro come pure a fornire un importante elemento di giudizio per determinare quali lavori siano ancora ragionevolmente esigibili dall'assicurato, spetta al consulente professionale, avuto riguardo alle indicazioni sanitarie, valutare quali attività professionali siano concretamente ipotizzabili (<ref-ruling> consid. 2b pag. 20). Per il resto se la persona interessata non sfrutta in maniera completa e ragionevolmente esigibile la capacità lavorativa residua, il reddito da invalido va determinato alla luce dei dati forniti dalle statistiche salariali come risultano segnatamente dall'inchiesta svizzera sulla struttura dei salari edita dall'Ufficio federale di statistica (<ref-ruling> consid. 3b pag. 76 con riferimenti).
3. Oggetto del contendere è il diritto a una rendita AI a dipendenza dell'inabilità lavorativa cagionata (essenzialmente) dall'infortunio del 15 settembre 2007.
3.1 Preliminarmente, ricordando come anche prima della presentazione (il 13 febbraio 2008) della seconda domanda di prestazioni AI perdurasse una incapacità lavorativa (del 25%) riconosciuta dall'assicuratore infortuni e come questa fosse diventata completa dalla data dell'infortunio del settembre 2007 fino almeno al 30 luglio 2008 - data di uscita dalla Clinica Y._ e alla quale i suoi responsabili avevano definito la capacità lavorativa residua -, il ricorrente rimprovera al giudice cantonale una grave violazione del diritto per non avergli, in applicazione della media retrospettiva e del fatto che l'anno di attesa (art. 29 cpv. 1 lett. b LAI, nella versione in vigore fino al 31 dicembre 2007) sarebbe terminato il 18 novembre 2007, quantomeno riconosciuto un 1⁄4 di rendita dal 1° novembre 2007 al 31 gennaio 2008 e una rendita intera dal 1° febbraio al 31 ottobre 2008 (3 mesi dopo il miglioramento rilevato dai responsabili di Y._).
La censura è fondata. In considerazione della preesistente incapacità lavorativa parziale superiore al 20% - che può essere quantificata al 25% in ragione del 25% di rendita LAINF versata dalla SUVA e del tasso di occupazione (75%) con il quale l'assicurato ha continuato a lavorare fino al 15 settembre 2007 - e della piena inabilità instauratasi dopo tale data, operando una media retrospettiva il diritto alla rendita - e più precisamente a un quarto di prestazione - è sorto nel mese di dicembre 2007 (art. 29 cpv. 1 lett. b LAI, nella versione in vigore fino al 31.12.2007; [9 mesi x 25%] + [3 mesi x 100%] : 12 mesi = grado d'incapacità di guadagno medio del 43.75%). Sempre per le medesime considerazioni, all'assicurato va inoltre riconosciuto il diritto a tre quarti di rendita dal 1° marzo 2008 ([6 mesi x 25%] + [6 mesi x 100%] : 12 mesi = 62.5%; art. 88a cpv. 2 OAI; <ref-ruling>) e alla rendita intera dal 1° giugno 2008 ([3 mesi x 25%] + [9 mesi x 100%] : 12 mesi = 81.25%), e questo fino al 31 ottobre 2008, ossia fino a 3 mesi dopo il miglioramento rilevato dai responsabili di Y._ (cfr. sotto consid. 3.2; art. 88a cpv. 1 OAI). La circostanza che la SUVA abbia versato fino al 31 marzo 2009 prestazioni a titolo di spese di cura e di indennità giornaliera per l'infortunio del 15 settembre 2007 è per contro irrilevante per il decorso del periodo di attesa secondo il diritto dell'AI. Similmente non si registra nessuna interruzione del periodo di attesa poiché nel lasso di tempo determinante l'interessato non è stato interamente atto al lavoro durante almeno 30 giorni consecutivi (art. 29ter OAI).
3.2 Rimane a questo punto da verificare il controverso diritto alla rendita dopo il 31 ottobre 2008, vale a dire tre mesi dopo l'accertamento della capacità residua da parte dei sanitari della Clinica Y._ (art. 88a cpv. 1 OAI).
3.2.1 Il Tribunale cantonale delle assicurazioni - fondando sostanzialmente la propria pronunzia sulle valutazioni dei medici del Servizio medico regionale dell'AI (SMR; sui compiti e il valore probatorio attribuito ai rapporti interni del SMR cfr. art. 59 LAI e art. 49 OAI, nonché SVR 2009 IV n. 56 pag. 174 [9C_323/2009]) che hanno ampiamente considerato i rapporti del reumatologo G._, della Clinica Y._, del chirurgo della mano F._, dello psichiatra D._ nonché del Centro X._ - ha ritenuto il ricorrente pienamente inabile al lavoro nella sua precedente attività di muratore ma totalmente abile (a partire dal mese di agosto 2008) in attività (molto) leggere e rispettose dei limiti funzionali suindicati. Questo accertamento non è sostanzialmente più contestato in sede federale. In particolare, il ricorrente non solleva più - come invece fatto dalla precedente patrocinatrice in sede cantonale - il tema di una limitazione invalidante dovuta a ragioni psichiche. Per quel che concerne invece la valutazione della capacità funzionale in relazione allo stato fisico e la riduzione di rendimento evidenziata dal Centro X._, essa, per quanto si vedrà in seguito, non è di rilievo.
3.2.2 L'insorgente contesta il calcolo dell'invalidità effettuato dal Tribunale cantonale delle assicurazioni.
Nell'accertare i redditi di riferimento, la Corte cantonale ha fissato al 18,53% il tasso d'incapacità di guadagno determinando un reddito da valido per il 2008 di fr. 67'647.- (corrispondente al salario accertato dalla SUVA per il 2006, adeguato al 2007 e aggiornato al 2008) e un reddito ipotetico da invalido di fr. 55'111.90 annui (61'235.44 ./. 10% [per tenere conto degli impedimenti funzionali]). L'autorità giudiziaria cantonale, in via abbondanziale, ha poi proceduto a una seconda valutazione dei redditi che tenesse conto delle riduzioni del 20%, suggerita dal Centro X._ per rendimento ridotto anche nelle attività sostitutive di riferimento, e del 15%, stabilita dal precedente consulente in integrazione professionale dell'AI nel suo rapporto del 4 luglio 2005, valutando al 38% il tasso d'invalidità complessivo, insufficiente per il diritto a una rendita.
Da parte sua, l'insorgente sostiene di aver diritto a un quarto di rendita d'invalidità dopo il 31 ottobre 2008 in quanto a fronte di un reddito da valido per il 2008 di fr. 71'690.- (v. tuttavia ricorso, pag. 6, in cui tale importo è indicato in fr. 71'513.-) e di un reddito da invalido di fr. 43'085.- ([61'200 ./. 12% [per rendimento ridotto e più precisamente per la necessità di inserire più pause brevi per un totale di circa 1 ora al giorno] ./. 20% [per le circostanze personali e professionali del caso: 10% per attività molto leggere, 5% per ulteriori limiti funzionali, e 5% per primo impiego]) risulterebbe un tasso d'invalidità, arrotondato, del 40%.
Contrariamente a quanto pretende il ricorrente, però, l'accertamento del primo giudice in merito al reddito senza invalidità non può dirsi manifestamente inesatto. Il dato di partenza di fr. 65'277.-, sul quale si sono basate le istanze precedenti, corrisponde al guadagno che l'assicurato avrebbe potuto realizzare nel 2006 senza gli esiti dell'infortunio del 2001 ed è stato determinato dall'assicuratore infortuni con la decisione dell'8 febbraio 2006, cresciuta incontestata in giudicato. Tale importo, adeguato al 2007, è poi stato quantificato dall'UAI in fr. 66'321.- senza che abbia fatto l'oggetto della benché minima contestazione da parte dell'assicurato in sede di osservazioni al progetto di decisione del 7 gennaio 2009 e in sede di ricorso al Tribunale cantonale delle assicurazioni. In tali condizioni, il primo giudice poteva, senza arbitrio, basarsi su questo importo e adeguarlo al 2008. Per quanto è degli importi fatti valere in questa sede dal ricorrente, essi costituiscono inammissibili nova in quanto non sono stati allegati in precedenza né fanno parte degli accertamenti della pronuncia impugnata (Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, 2009, n. 13 e 15 ad art. 99). In tali condizioni, anche volendo per ipotesi considerare il reddito da invalido indicato dal ricorrente (fr. 43'085.-), il grado di invalidità (arrotondato al 36%) non raggiungerebbe comunque la soglia minima di legge per pretendere un diritto a una rendita.
3.3 Quanto alla richiesta ricorsuale di accertare in ogni caso il grado preciso di invalidità in considerazione di un possibile peggioramento futuro e della necessità di procedere a una media retrospettiva, rispettivamente nell'ottica di una eventuale rendita della previdenza professionale sovraobbligatoria, essa va disattesa. Da un lato perché per il calcolo della media retrospettiva non è determinante il grado di invalidità esatto, quanto piuttosto quello dell'incapacità lavorativa. Dall'altro perché gli accertamenti degli organi AI esplicano effetto vincolante nei confronti degli istituti di previdenza solo limitatamente a quegli aspetti che nella procedura AI si sono dimostrati decisivi per la fissazione del diritto a una rendita d'invalidità (cfr. a tal proposito <ref-ruling> consid. 3.1 pag. 273; SVR 2007 IV n. 3 pag. 8 consid. 3 [I 808/05]). L'accertamento di un grado d'invalidità che non raggiunge il limite di legge del 40% (art. 28 LAI) non esplica per contro effetto vincolante perché in una simile evenienza gli organi dell'AI non hanno (avuto) motivo di determinare esattamente il tasso d'invalidità (cfr. pure sentenze 8C_696/2008 del 3 giugno 2009 consid. 11 e 9C_8/2009 del 30 marzo 2009 consid. 3.2 con riferimenti).
4. 4.1 Ne consegue che il ricorso dev'essere parzialmente accolto e che all'insorgente va riconosciuto il diritto a un quarto di rendita dal 1° dicembre 2007, a tre quarti di rendita dal 1° marzo 2008 e alla rendita intera dal 1° giugno al 31 ottobre 2008.
4.2 Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e andrebbero ripartite a metà fra le parti (art. 66 cpv. 1 LTF). Il ricorrente ha però chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. In considerazione delle particolari circostanze del caso, della situazione economica del ricorrente come pure del fatto che le sue conclusioni non risultavano a priori prive di probabilità di successo, l'istanza tendente alla concessione dell'assistenza giudiziaria (dispensa dal pagamento delle spese giudiziarie e designazione dell'avv. Isabella Fajetti Zanni quale rappresentante legale) va accolta (art. 64 cpv. 1 LTF; v. <ref-ruling>), nella misura in cui non è priva d'oggetto. Il ricorrente viene però reso attento che qualora fosse più tardi in grado di pagare, sarà tenuto a risarcire la cassa del Tribunale (art. 64 cpv. 4 LTF). Parzialmente vincente in causa M._, rappresentato da una legale, ha diritto ad un'indennità di parte ridotta (art. 68 cpv. 1 LTF). La sua istanza tendente al riconoscimento del gratuito patrocinio è in tale misura priva di oggetto.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è parzialmente accolto. Il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 13 ottobre 2009 e la decisione dell'Ufficio dell'assicurazione invalidità del Cantone Ticino del 31 marzo 2009 sono modificati nel senso che al ricorrente è riconosciuto il diritto a un quarto di rendita dal 1° dicembre 2007, a tre quarti di rendita dal 1° marzo 2008 e a una rendita intera dal 1° giugno al 31 ottobre 2008. Per il resto, il ricorso è respinto.
2. Nella misura in cui non è divenuta priva d'oggetto, la domanda di assistenza giudiziaria del ricorrente è accolta.
3. Le spese giudiziarie di fr. 500.-, sono poste per fr. 250.- a carico del ricorrente e per fr. 250.- a carico dell'opponente. La quota del ricorrente è per il momento assunta dalla cassa del Tribunale.
4. L'opponente verserà al ricorrente la somma di fr. 1400.- a titolo di indennità di parte per la procedura d'ultima istanza federale.
5. L'avv. Isabella Fajetti Zanni, Consulenza giuridica andicap viene designata patrocinatrice del ricorrente per la procedura innanzi al Tribunale federale. La Cassa del Tribunale le verserà un'indennità di fr. 1400.-.
6. La causa viene rinviata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino per nuova ripartizione delle spese e della indennità di parte nella procedura precedente.
7. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.