Sachverhalt:
A. J.Z._ wurde am xxxx 1995 geboren. Seine Eltern P.Z._ und C.Z._ geb. M._ liessen sich am xxxx 1997 scheiden. Die Mutter führt nach der Scheidung wieder ihren angestammten Namen M._. J._ lebt mit seiner Mutter und seiner älteren Schwester (geb. 1992) und seinem jüngeren Bruder (geb. 2002) zusammen. Seine Halbgeschwister tragen den Namen M._.
B. Am 10. November 2008 stellte J.Z._, gesetzlich vertreten durch seine Mutter, beim Amt für Migration und Personenstand (MIP) des Kantons Bern, Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst, ein Gesuch nach <ref-law> und beantragte, es sei ihm die Änderung des Namens "Z._" in "M._" zu bewilligen. Mit Verfügung des MIP vom 2. Juli 2009 wurde das Gesuch abgewiesen. Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern bestätigte auf Beschwerde hin am 4. Januar 2010 die Abweisung des Gesuchs. Gegen diesen Entscheid gelangte J.Z._ an das Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, welche die Weiterziehung mit Entscheid vom 6. Juli 2010 abwies.
C. Mit Eingabe vom 8. September 2010 führt J.Z._, gesetzlich vertreten durch seine Mutter, Beschwerde in Zivilsachen. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts vom 6. Juli 2010 aufzuheben und ihm die Änderung seines Namens "Z._" in "M._" zu bewilligen.
Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Regierung des Kantons und der Vater des Beschwerdeführers haben sich nicht vernehmen lassen.
Über die vorliegende Beschwerde wurde an der öffentlichen Beratung vom 17. März 2011 entschieden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Entscheid über die (verweigerte) Bewilligung der Namensänderung, welcher der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 3 BGG). Die Beschwerde gegen den letztinstanzlichen kantonalen und verfahrensabschliessenden Rechtsmittelentscheid (Art. 75, Art. 90 BGG) in einer nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit ist grundsätzlich zulässig.
1.2 Der Beschwerdeführer hat ein (im Rahmen von <ref-law>) rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheides, zumal das Recht auf den Namen bzw. dessen Änderung zu den (relativ) höchstpersönlichen Rechten gehört (<ref-ruling> E. 1b S. 7). Für eine urteilsunfähige Person kann ihr gesetzlicher Vertreter handeln. Vorliegend hat die Mutter als "gesetzliche Vertreterin" das Gesuch um Änderung des Namens des Beschwerdeführers gestellt und sämtliche Rechtsmittel erhoben. Der Beschwerdeführer war im Zeitpunkt des Erlasses des angefochtenen Entscheides und der Erhebung der vorliegenden Beschwerde allerdings 15 Jahre alt. Er hat daher in dieser Sache - als urteilsfähiges Kind - nach <ref-law> selber zu handeln (HEGNAUER, Grundriss des Kindesrechts, 5. Aufl. Bern 1999, Rz 16.13; MEIER/STETTLER, Droit de filiation, 4. Aufl. 2009, Rz 637; vgl. Urteil 5P.426/2000 vom 6. März 2001 E. 1, wo die Urteilsfähigkeit einer 14-jährigen betreffend Namensänderung bejaht wurde). In der Beschwerdeschrift wird immerhin eine (in den Akten liegende) Stellungnahme zum Namensänderungswunsch zuhanden der Behörden erwähnt, welche J.Z._ am 29. Dezember 2008, m.a.W. im Alter von 131⁄2 Jahren geschrieben hat. Es kann davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer seine Mutter wirksam bevollmächtigt bzw. ihr Vorgehen genehmigt hat.
1.3 Der Familienname des Beschwerdeführers wird nach dem in den Akten liegenden Ausweis über den registrierten Familienstand des Zivilstandsamts A._ vom 4. September 2008 mit einem Akzent auf dem letzten Buchstaben geschrieben. In diesem Sinne ist die ungenaue Parteibezeichnung zu korrigieren (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 336).
1.4 In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>).
1.5 Nach Ablauf der Beschwerdefrist (<ref-law>) kann die Beschwerdeschrift nicht ergänzt werden. Der Antrag des Beschwerdeführers auf weitere Sachvorbringen ist daher unzulässig und widerspricht zudem dem Novenverbot (<ref-law>).
2. Das Obergericht hat erwogen, in der Tatsache, dass der Beschwerdeführer als Scheidungskind einen anderen Namen als die soziale Familie trage, liege kein wichtiger Grund im Sinne von <ref-law>, um den Namen zu ändern. Der Umstand, dass er in seinem sozialen Umfeld wie Schule, Tennisclub, etc. unter dem Namen "M._" bekannt sei, ändere nichts daran. Der Beschwerdeführer habe keine konkreten Nachteile oder Beeinträchtigungen aufgezeigt, welche ihm aus der Führung des Namens "Z._" erwachsen würden. Das gelte auch betreffend die ausländische bzw. ungarische Herkunft des Namens. Er stehe zudem in einem guten Verhältnis zu seinem Vater, weshalb nach wie vor ein Bezug zu seinem Familiennamen vorliege. Das Obergericht hat geschlossen, dass die Verweigerung der Namensänderung nicht zu beanstanden sei.
3. Der bürgerliche Name einer Person ist grundsätzlich unveränderlich. Die Regierung des Wohnsitzkantons kann einer Person die Änderung des Namens bewilligen, wenn wichtige Gründe vorliegen (<ref-law>). Ob im einzelnen Fall ein Grund für eine Namensänderung vorliegt, ist eine Ermessensfrage, die von der zuständigen Behörde nach Recht und Billigkeit zu beantworten ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 162). Der Beschwerdeführer bestätigt die tatsächlichen Grundlagen des angefochtenen Entscheides, wirft dem Obergericht indessen eine Verletzung von <ref-law> vor, weil es auf die Würdigung der Gesamtsituation verzichtet sowie eine "formalistische" Beurteilung seines Interesses an der Namensänderung vorgenommen habe.
3.1 Ein wichtiger Grund im Sinne von <ref-law> ist gegeben, wenn das Interesse des Namensträgers an einem neuen Namen dasjenige der Allgemeinheit und der Verwaltung an der Unveränderlichkeit des einmal erworbenen und in die Register eingetragenen Namens sowie an der eindeutigen Kennzeichnung und Unterscheidung des Einzelnen überwiegt. Der Name soll dem Namensträger das Fortkommen ermöglichen und erleichtern; aus dem Namen sollen nicht wirkliche Nachteile oder erhebliche Unannehmlichkeiten erwachsen (<ref-ruling> E. 1 S. 277). Die Namensänderung hat den Zweck, ernstliche Nachteile, die mit dem bisherigen Namen verbunden sind, zu beseitigen, wobei vor allem moralische, geistige und seelische, aber auch wirtschaftliche oder administrative Interessen im Spiele stehen können (<ref-ruling> E. 5a S. 4; <ref-ruling> E. 2b S. 402). Diese Interessen sind jedoch nach objektiven Kriterien, mithin danach zu werten, wie der zu ändernde Name auf die Umwelt wirkt; subjektive, nicht nachvollziehbare Gründe des Namensträgers bleiben bei dieser Wertung grundsätzlich bedeutungslos (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 163 mit Hinweisen).
3.2 Der Beschwerdeführer lebt bei seiner Mutter, welche nach der Scheidung ihren angestammten Namen wieder angenommen hat, und verlangt die behördliche Änderung des angestammten Familiennamens ("Z._") in denjenigen der Mutter ("M._"), welchen auch seine beiden Halbgeschwister tragen. Er macht im Wesentlichen geltend, in seinem gesamten sozialen Umfeld den Namen "M._" zu tragen. Es liege in seinem Interesse, den gleichen Namen wie seine Mutter, Halbgeschwister und Grosseltern zu tragen, damit er sich zu seiner Familie zugehörig fühlen könne. Wenn er als einziger den Namen seines Vater tragen müsse, obwohl dieser eine Namensänderung unterstütze, fühle er sich ausgegrenzt.
3.3 Das Obergericht ist unter Berufung auf die jüngere Rechtsprechung des Bundesgerichts (<ref-ruling> ff.; <ref-ruling> ff.) zu Recht davon ausgegangen, die blosse Wiederherstellung der Namensidentität zwischen Kind und sorgeberechtigter Mutter vermöge eine Namensänderung nicht zu rechtfertigen (Urteil 5C.163/2002 vom 1. Oktober 2002 E. 2.3, in: AJP 2003 S. 703). Nach dieser Praxis ist entscheidend, dass den Kindern aufgrund der gewandelten gesellschaftlichen Verhältnisse nicht mehr allein deshalb ein sozialer Nachteil erwächst, weil sie nicht den Namen der sozialen Familie tragen, welcher sie aufgrund besonderer Umstände angehören (BGE <ref-ruling> E. 2b/bb S. 403; kritisch RIEMER, Personenrecht des ZGB, 2. Aufl. 2002, Rz. 234, sowie BUCHER, Natürliche Personen und Persönlichkeitsschutz, 4. Aufl. 2009, Rz. 805). Die Auffassung des Beschwerdeführers, wonach Scheidungen "heute kein Tabu-Thema" mehr seien, jedoch eine "gewisse Intoleranz" nicht auszuschliessen sei, gibt keinen Anlass, um von der dargelegten Rechtsprechung abzuweichen. Es bleibt dabei, dass der Beschwerdeführer konkret aufzuzeigen hat, inwiefern ihm durch die Führung des von Gesetzes wegen erworbenen Namens des leiblichen Vaters (Art. 160 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) ernsthafte Nachteile erwachsen, welche als wichtige Gründe für eine Namensänderung in Betracht gezogen werden können (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 148).
3.3.1 Der Beschwerdeführer führt aus, das Obergericht habe die Tatsache, dass ein ausländischer Name Nachteile (z.B. bei der Arbeits- oder Wohnungssuche) mit sich bringen könne, in der Gesamtbetrachtung unzureichend berücksichtigt. Der Einwand ist unbegründet. Wohl lässt der Name "Z._" auf eine ungarische Herkunft schliessen. Es ist - wie das Obergericht zu Recht festgehalten hat - jedoch nicht ersichtlich, dass ein ungarischer Name in der Schweiz negative Assoziationen wecken sollte, welche dem Namensträger nachteilig sein könnten (vgl. Urteil 5A_42/2008 vom 30.06.2008 E. 4.5, in: FamPra.ch 2009 S. 144).
3.3.2 Weiter macht der Beschwerdeführer wie bereits vor dem Obergericht geltend, dass er in der Schule seit deren Beginn im Jahre 2002 unter dem Familiennamen "M._" geführt werde, ebenso im übrigen sozialen Umfeld. Die Beibehaltung des faktisch getragenen Namens der Mutter sei höher als die Interessen der Öffentlichkeit an der Führung des amtlichen Namens zu gewichten. Der Beschwerdeführer kritisiert damit die Auffassung der Vorinstanz, wonach nicht erheblich sei, wenn er in seinem sozialen Umfeld (Schule, Tennisclub etc.) unter dem Namen M._ bekannt sei, und wonach er als 15-jähriger inner- und ausserhalb der Familie (noch immer) über den Vornamen, und nicht den Familiennamen identifiziert werde.
Die Vorbringen des Beschwerdeführers laufen zunächst darauf hinaus, es sei namensrechtlich nachzuvollziehen, was in der Schule und im weiteren Umfeld bereits eingelebter tatsächlicher Zustand sei. Dazu ist grundsätzlich festzuhalten, dass die Bewilligung zur Namensänderung in der Kompetenz der Kantonsregierung (<ref-law>), nicht im Belieben des Einzelnen oder der Schulbehörden steht (BÜHLER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 4. Aufl. 2010, N. 18 zu <ref-law>). Es ist allerdings nicht ausgeschlossen, dass die Rückkehr vom faktischen zum rechtlichen Namen unumkehrbar ist, wenn sie eine Person in ihrem Persönlichkeitsrecht in einschneidender Weise berühren würde (vgl. BREITSCHMID, Zulässigkeit "Schulischer Namensänderungen"? [...], ZZW 1996 S. 43, 45). Aus dem kantonalen Entscheid gehen genügend Anhaltspunkte hervor, um diese besondere Situation anzunehmen. Der Beschwerdeführer wurde - wohl ohne sein wesentliches Zutun - mit dem Namen der Mutter eingeschult, ist mit diesem Familiennamen aufgewachsen und besucht nun das Gymnasium. Die Wiederverwendung des amtlichen Namens zu diesem späten Zeitpunkt kann ihm kaum noch zugemutet werden. In der Tat tritt ein Jugendlicher im Alter von 15 Jahren in eine berufliche bzw. weiterführende schulische Ausbildung ein oder hat die entsprechenden Vorbereitungen getroffen. Die Auffassung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer - als Jugendlicher im Alter von 15 Jahren - werde inner- und ausserhalb seiner Familie noch vorwiegend mit dem Vornamen identifiziert, lässt sich nicht aufrecht halten. Vorliegend ist weniger entscheidend, den Namen des Beschwerdeführers demjenigen der Mutter bzw. Halbgeschwister anzupassen, als die bisherige faktische Namensführung und damit die namensmässige Kontinuität seiner Persönlichkeit für die Zukunft zu gewährleisten (vgl. BREITSCHMID, a.a.O., S. 43). Wenn das Obergericht angenommen hat, der vom Beschwerdeführer in seinem gesamten sozialen Umfeld geführte Name "M._" habe keine derartige faktische Wirkung erlangt, welche eine Namensänderung unvermeidlich werden lasse, ist dies unter Ermessensgesichtspunkten nicht vertretbar.
3.3.3 Der Beschwerdeführer erklärt, die aktuelle Situation verursache eine "tiefe seelische und psychische Unzufriedenheit" und es sei zu befürchten, dass dies langfristig zu einer Abnahme der Leistungsfähigkeit oder zu Störungen bei der Persönlichkeitsentfaltung führen könne. Nach der Rechtsprechung (BGE <ref-ruling> E. 3b/aa S. 404) sind dem Wunsch eines Kindes auf Namensänderung mögliche spätere Auswirkungen, welche sich aus der Verschleierung der Herkunft bzw. der Beziehung zum leiblichen Vater ergeben könnten, gegenüberzustellen. Der Beschwerdeführer im Alter eines Jugendlichen hat - nach den Sachverhaltsfeststellungen - ein gutes Verhältnis zu seinem Vater, und die Scheidung seiner Eltern liegt viele Jahre zurück. Die vorliegende Situation unterscheidet sich klar von einer üblichen Nach-Scheidungsdivergenz, aus welcher keine wichtigen Gründe zur Namensänderung abgeleitet werden können (vgl. Urteil 5A_61/2008 16. Juni 2008 E. 3.5.4; in: FamPra.ch 2008 S. 888; BREITSCHMID, AJP 2003 S. 706). Es bestehen auch keine Anhaltspunkte für mögliche negative Auswirkungen der Namensänderung auf die Beziehung zu seinem Vater oder die Persönlichkeitsentwicklung des Beschwerdeführers. Wenn das Obergericht aus der guten Beziehung des Beschwerdeführers zum Vater geschlossen hat, es liege ein Bezug zum Namen "Z._" vor, welcher gegen die Namensänderung spreche, gibt es hierfür im Rahmen der Ermessensbetätigung keinen hinreichenden sachlichen Grund.
3.4 Nach dem Dargelegten hat das Obergericht die konkreten Umstände (wie die faktische Wirkung des getragenen Namens und das Verhältnis des Beschwerdeführers zum Vater) in einer Weise gewichtet, welche das in <ref-law> gewährte Ermessen überschreitet. Der Beschwerdeführer kann sich auf "wichtige Gründe" zur Namensänderung berufen. Die Rüge einer Verletzung von Bundesrecht ist begründet, ohne dass seine weiteren Vorbringen zu erörtern sind, und die Beschwerde in Zivilsachen ist gutzuheissen.
4. Der weitere Antrag des Beschwerdeführers, es seien dem Zivilstandsamt die notwendigen Anweisungen betreffend die Namensänderung zu geben, ist überflüssig. Das vorliegende Urteil ist der kantonalen Aufsichtsbehörde mitzuteilen (Art. 40 lit. e, Art. 43 Abs. 2 ZStV), welche für die Beurkundung der mitgeteilten Personenstandsdaten verantwortlich ist (Art. 22 Abs. 3 ZStV).
5. Nach dem Dargelegten ist in Gutheissung der Beschwerde in Zivilsachen der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, vom 6. Juli 2010 aufzuheben und das Gesuch des Beschwerdeführers um Änderung seines Familiennamens von "Z._" in "M._" zu bewilligen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>); der Kanton Bern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).
Zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens ist die Sache an das Obergericht zurückzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. 1.1 Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, vom 6. Juli 2010 wird aufgehoben.
1.2 Das Gesuch des Beschwerdeführers um Änderung seines Familiennamens von Z._ in M._ wird bewilligt.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Bern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Obergericht zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, sowie der kantonalen Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante