Sachverhalt:
A.
A.a. X._ schloss sein in Bern absolviertes juristisches Studium im Sommer 2010 mit dem Titel Master of Law ab. Nachdem er im Rahmen seiner Anwaltsausbildung vom 1. Januar bis 31. Juli 2010 sowie vom 1. August bis 31. Oktober 2010 Praktika bei zwei Anwaltskanzleien absolviert hatte, beantragte er am 24. November 2010 beim Sozialdienst der Stadt Bern die Ausrichtung von Sozialhilfeleistungen. Mit Verfügung vom 20. Dezember 2010 beschied das Sozialamt der Stadt Bern (nachfolgend: Sozialamt) das Gesuch abschlägig. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland ab (Entscheid vom 12. Mai 2011). Als Praktikant war X._ in der Folge ab 1. Januar 2011 bei der Steuerverwaltung Y._ sowie vom 1. Juli bis 31. Dezember 2011 bei der Staatsanwaltschaft Z._ für die Verfolgung von Wirtschaftsdelikten tätig. Die gegen den Bescheid des Regierungsstatthalteramtes eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 6. Oktober 2011 ab. Das hierauf angerufene Bundesgericht hiess die Rechtsvorkehr teilweise gut, hob die Entscheide des Verwaltungsgerichts und des Regierungsstatthalteramtes sowie die Verfügung des Sozialamtes auf und wies die Sache an Letzteres zurück, damit es nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen über den Anspruch auf Sozialhilfe neu befinde; im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Urteil 8C_787/2011 vom 28. Februar 2012).
A.b. Das Sozialamt forderte daraufhin X._ auf, ihm sämtliche Bewerbungsunterlagen für den massgeblichen Beurteilungszeitraum aufzulegen. Am 21. Juni 2012 wurde auf Grund fehlender Bedürftigkeit abermals ablehnend verfügt. Daran hielt das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland fest (Entscheid vom 21. November 2012).
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 20. August 2013 insofern teilweise gut, als es den vorinstanzlichen Entscheid im Kostenpunkt (Auferlegung eines Anteils der Verfahrenskosten von Fr. 200.-) aufhob. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt im Wesentlichen, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei die Sache an das Sozialamt zurückzuweisen mit der Anweisung, ihm für den Zeitraum vom 24. November 2010 bis Ende Januar 2011 Sozialhilfe bzw. Nothilfe nach <ref-law> auszurichten samt Verzugszins. Ferner sei ihm für das letztinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Auf einen Schriftenwechsel wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht somit grundsätzlich auch auf dem Gebiet der kantonalen Sozialhilfe zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu in Art. 83 keinen Ausschlussgrund.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Der vorinstanzliche Entscheid stützt sich in der Sache auf kantonales Recht. Als Beschwerdegrund kommt zur Hauptsache die Verletzung von Bundesrecht, insbesondere von verfassungsmässigen Rechten der Bundesverfassung in Frage (<ref-law>). Die Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund. Überprüft werden kann insoweit nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung sonst wie gegen übergeordnetes Recht verstossen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262; <ref-ruling> E. 2.1 S. 120; je mit Hinweisen; Urteil 8C_294/2011 vom 29. Dezember 2011 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2. Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Die Voraussetzungen für eine Sachverhaltsrüge nach <ref-law> und für eine Berichtigung des Sachverhalts von Amtes wegen nach <ref-law> stimmen im Wesentlichen überein. Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensregel ermittelt worden ist, genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift darzulegen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von <ref-law>, die geradezu in die Augen springen (Urteil 8C_294/2011 vom 29. Dezember 2011 E. 2.2 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz den Anspruch des Beschwerdeführers auf Sozialhilfe für den Zeitraum vom 24. November 2010 (Gesuchseinreichung) bis längstens Ende Januar 2011 zu Recht verneint hat.
3.2. Die für die Beurteilung massgebenden Rechtsgrundlagen wurden im Urteil 8C_787/2011 vom 28. Februar 2012 einlässlich dargelegt (E. 3.1, 3.2.1, 3.2.2 und 5.1). Es kann vorliegend darauf verwiesen werden.
4.
Der Beschwerdeführer beanstandet den angefochtenen Entscheid zunächst in formeller Hinsicht. Darauf ist vorab einzugehen.
4.1. In der Beschwerde wird ein den vorinstanzlich einzelrichterlich entscheidenden Verwaltungsrichter Burkhard und die zuständige Gerichtsschreiberin Baerfuss Klossner betreffender Verstoss gegen die Ausstandspflichten geltend gemacht. Verfahrensrechtliche Einwendungen dieser Art müssen jedoch frühzeitig erhoben werden und dürfen nicht (für den Fall eines ungünstigen Ausgangs des Verfahrens) für das Rechtsmittelverfahren "aufgespart" werden. Wer den Mangel nicht unverzüglich vorbringt, wenn er davon Kenntnis erhält, sondern sich stillschweigend auf ein Verfahren einlässt, verwirkt den Anspruch auf spätere Anrufung der vermeintlich verletzten Bestimmungen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 336 mit Hinweisen; Urteil 1C_460/2012 vom 25. November 2013 E. 3.1). Nachdem der Beschwerdeführer am 18. Februar 2013 ein Ausstandsbegehren gegen die Verwaltungsrichterin Herzog und die Gerichtsschreiberin Mewes gestellt hatte, wurden die Akten mit Entscheid des Präsidenten der verwaltungsrechtlichen Abteilung der Vorinstanz vom 5. März 2013 zur weiteren Behandlung an den Verwaltungsrichter Burkhard überwiesen. Der Beschwerdeführer hatte spätestens nach Zustellung dieses Entscheids die Möglichkeit, Einwände gegen die Person des neu eingesetzten Verwaltungsrichters anzubringen. Er hat dies jedoch erst letztinstanzlich nach Ergehen des hier angefochtenen Entscheids getan, weshalb insoweit auf die Rüge nicht einzutreten ist. Soweit der Beschwerdeführer die Befangenheit des vorinstanzlichen Richters aus der Begründung seines Entscheides ableitet, ist darauf hinzuweisen, dass richterliche Verfahrensfehler die Unbefangenheit nur ausnahmsweise in Frage stellen können. Es muss sich um eine schwere Verletzung von Richterpflichten handeln (Urteil 5A_206/2008 vom 23. Mai 2008 E. 2.2). Davon kann hier keine Rede sein (vgl. nachfolgende E. 4.2 - 4.5 und 5).
4.2. Der Vorinstanz wird rechtsverweigerndes Verhalten vorgeworfen, da sie im Rahmen ihrer Entscheidfindung entgegen den Vorgaben des Rückweisungsurteils 8C_787/2011 vom 28. Februar 2012 lediglich die Stellenbemühungen des Beschwerdeführers im nichtjuristischen Bereich berücksichtigt habe. Dem ist entgegenzuhalten, dass das Bundesgericht im erwähnten Urteil die Unvollständigkeit und daher Mangelhaftigkeit des Sachverhalts nur mit Blick auf den Nachweis der beruflichen Einsatzmöglichkeiten in nichtjuristischen Tätigkeitsfeldern festgestellt und zur diesbezüglich vertieften Abklärung an die Beschwerdegegnerin zurückgewiesen hat (vgl. E. 5.2.2 des Urteils). Die Frage, ob der Beschwerdeführer seiner Pflicht zur Selbsthilfe Genüge getan hat, lässt sich letztlich zwar einzig auf Grund einer ganzheitlichen Betrachtungsweise, d.h. in Beachtung auch der berufsspezifischen Arbeitsbemühungen, beantworten. Kommen die rechtsanwendenden Behörden vor dem Hintergrund der vervollständigten Aktenlage indessen zum Schluss, dass bereits die Anstrengungen um ausserjuristische Beschäftigungen den Anforderungen nicht genügen - sei dies in qualitativer oder quantitativer Hinsicht -, erübrigen sich Weiterungen zur Stellensuche im angestammten Sektor. Von einer durch das kantonale Gericht begangenen Rechtsverweigerung kann mithin keine Rede sein. Ebenso wenig stellt dessen Begründung angesichts des gesamten Prozessverlaufs einen unerwartet eingenommenen neuartigen Rechtsstandpunkt dar, der es nach <ref-law> verpflichtet hätte, dem Beschwerdeführer vor der Entscheidfällung die Gelegenheit zu geben, sich dazu zu äussern.
4.3. Im Umstand, dass der angefochtene Entscheid auch die Thematik der zumutbaren Bildung von Rückstellungen für den Monat Januar 2011 anspricht, kann sodann keine Rechtsverweigerung erblickt werden. Dieser Aspekt wurde vielmehr bereits im Urteil 8C_787/2011 explizit erwähnt (vgl. E. 5.1) und hat daher ebenfalls in eine Gesamtbetrachtung einzufliessen.
4.4. Als ebenfalls unbehelflich erweist sich der Einwand des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe sich überspitzt formalistisch verhalten, indem sie insoweit auf sein Rechtsbegehren nicht eingetreten sei, als er um Ausrichtung von Sozialhilfe für den ganzen Monat November 2010 ersucht habe. Er räumt selber ein, seinen entsprechenden Antrag am 24. November 2010 gestellt zu haben, weshalb ihm erst ab diesem Datum allfällige Leistungen zustünden. Da ihm aus dem Nichteintretensentscheid im Übrigen keinerlei Kosten erwachsen sind, ist eine Beschwer nicht erkennbar. Auch verstösst das kantonale Gericht mit seiner Argumentation nicht gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne der ihm obliegende Begründungspflicht, sind die wesentlichen Überlegungen, von denen es sich hat leiten lassen und auf die sich der Entscheid stützt, doch klar ersichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 270; Urteil 9C_444/2013 vom 10. Dezember 2013 E. 3.3 mit Hinweisen). Gleiches hat in Bezug auf die bemängelte Dichte der vorinstanzlichen Ausführungen zu den Suchbemühungen des Beschwerdeführers zu gelten. Namentlich in Anbetracht der eingehenden Erläuterungen in der Verfügung der Beschwerdegegnerin vom 21. Juni 2012 und im regierungsstatthalteramtlichen Entscheid vom 21. November 2011 war es dem kantonalen Gericht erlaubt, sich auf das Essenzielle zu beschränken.
4.5. Was schliesslich die Rüge anbelangt, die Vorinstanz habe durch das Ausserachtlassen des Antrags um Gewährung von Nothilfe nach <ref-law> eine formelle Rechtsverweigerung begangen, ist auf die Ausführungen des Bundesgerichts in seinem Rückweisungsurteil 8C_787/2011 (E. 5.1) zu verweisen. Darin wurde ausdrücklich festgehalten hat, dass, wer objektiv befähigt wäre, sich insbesondere durch Annahme einer zumutbaren Erwerbstätigkeit aus eigener Kraft die für das Überleben erforderlichen Mittel zu verschaffen, rechtsprechungsgemäss weder die Voraussetzungen für den Anspruch auf Sozialhilfe noch auf finanzielle Nothilfe im Sinne von <ref-law> erfüllt. Das kantonale Gericht ist in seinem Entscheid zum Ergebnis gelangt, dass es dem Beschwerdeführer zumutbar gewesen wäre, seine finanzielle Notlage im Zeitraum vom 24. November 2010 bis Ende Januar 2011 durch entsprechende Arbeitsbemühungen zu überbrücken. Weitergehender Erläuterungen bedurfte es vor dem Hintergrund des bundesgerichtlichen Urteils nicht.
5.
Im materiellen Punkt moniert der Beschwerdeführer eine willkürliche Rechtsanwendung durch die Vorinstanz, indem diese die Anspruchsvoraussetzungen für die Ausrichtung von Sozialhilfe infolge Verletzung des Subsidiaritätsprinzips als nicht erfüllt betrachtet.
5.1. Das kantonale Gericht hat in Würdigung der gesamten Umstände, namentlich der durch die Beschwerdegegnerin erhobenen zusätzlichen Abklärungen in Bezug auf Stellenbemühungen im ausserberuflichen Sektor, erwogen, dass sich der Beschwerdeführer zu spät und in quantitativer Hinsicht ungenügend um eine Erwerbstätigkeit im nichtjuristischen Bereich beworben habe. Er habe folglich nicht alles ihm Zumutbare unternommen, um für die Monate November und Dezember 2010 eine Erwerbstätigkeit zu finden und damit die in diesem Zeitraum bestehende finanzielle Notlage aus eigenen Kräften abzuwenden. Dasselbe gelte auch für Januar 2011, welchen Monat er mittels vorgängig zu bildenden Rückstellungen oder eines Lohnvorschusses hätte überbrücken können.
5.2. Die letztinstanzlich dagegen vorgebrachten Einwendungen führen, zumal sie sich im Wesentlichen in einer Wiederholung der bereits im kantonalen Verfahren erhobenen und entkräfteten Rügen erschöpfen, zu keinem anderen Resultat. Im angefochtenen Entscheid wurde in für das Bundesgericht verbindlicher Weise festgestellt (vgl. E. 2.2 hievor), dass sich der Beschwerdeführer in der Zeit vom 1. August bis 30. November 2010 lediglich für zehn nichtjuristische Tätigkeiten beworben hat, was einem Durchschnitt von weniger als drei Bewerbungen pro Monat entspricht. Würden - so die Vorinstanz im Weiteren - auch dessen Stellenbemühungen im Juli 2010 berücksichtigt, käme der Beschwerdeführer auf maximal 17 und damit im Schnitt auf gut drei Bewerbungen monatlich. Auch im juristischen Sektor habe der Beschwerdeführer in derselben Zeitspanne insgesamt nur zwölf Bewerbungen verschickt. Diese Anzahl ist mit dem kantonalen Gericht als unzureichend zu werten, war der Beschwerdeführer doch gehalten, spätestens bei Absehbarkeit der drohenden finanziellen Situation - in casu ab Antritt der bekanntermassen auf Ende Oktober 2010 befristeten zweiten Anwaltspraktikumsstelle anfangs August 2010 - die Arbeitssuche aufzunehmen bzw. zu intensivieren. Nebst diesem quantitativem Aspekt verdeutlicht auch der Umstand, wonach ernsthafte Anstrengungen in Bezug auf ausserjuristische Einsatzmöglichkeiten erst für den Monat Oktober 2010 ausgewiesen sind, dass der Beschwerdeführer seine ihm als Sozialhilfeansprechendem obliegende Eigenverantwortung nicht in ausreichendem Masse wahrgenommen hat. Wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, sind die beiden Kurz-Arbeitseinsätze im November 2010 und die Praktikumsstelle ab 1. Januar 2011 (Steuerverwaltung) zwar positiv zu würdigen, sie vermögen aber die insgesamt ungenügenden Bemühungen nicht auszugleichen. Dies gilt umso mehr, als die Zusage für Letztere erst anfangs Dezember 2010 erging. Gründe dafür, dass es dem Beschwerdeführer nicht möglich gewesen wäre, sich früher um entsprechende Angebote zu kümmern, sind weder dargetan noch ersichtlich. Ebenso wenig verfängt das - bereits vorinstanzlich vorgebrachte - Argument, die zuständigen Behörden hätten ihn frühzeitig auf die erforderliche Mindestanzahl von Bewerbungen hinweisen müssen. Da er sich erst am 24. November 2010 zum Bezug von Sozialhilfeleistungen angemeldet hat, wäre eine diesbezügliche Information ohnehin bereits verspätet gewesen. Überdies hätte es ihm als Rechtskundigem klar sein müssen, dass die von ihm getätigten Anstrengungen nicht genügten, um seiner Verpflichtung zur Selbsthilfe nachzukommen. Das kantonale Gericht hat schliesslich einlässlich dargelegt, dass es dem Beschwerdeführer möglich und zumutbar gewesen wäre, hinreichende Rückstellungen zu äufnen, um den Monat Januar 2011 bis zur ersten Praktikumslohnauszahlung finanziell zu überbrücken. Was in der Beschwerde dagegen eingewendet wird, belegt keine willkürliche Ermittlung bzw. offensichtliche Unrichtigkeit des festgestellten Sachverhalts.
Es hat damit beim vorinstanzlichen Entscheid sein Bewenden.
6.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung steht ihm dem Ausgang des Verfahrens entsprechend weder für den vor- noch letztinstanzlichen Prozess zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung kann, da die Beschwerde insgesamt als aussichtslos einzustufen ist, nicht stattgegeben werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Dezember 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl