Sachverhalt:
A. A.a Y._, niederländischer Staatsangehöriger mit Wohnsitz in A._, kaufte am 8. Juni 2007 das Grundstück Nr. zzz (Grundbuch B._) und verkaufte es am 21. Dezember 2007 an die X._ AG mit Sitz in A._, deren einziger Verwaltungsrat und Aktionär er ist. Mit Entscheid vom 17. Dezember 2010 stellte der Regierungsstatthalter der Ämter Hochdorf und Luzern fest, dass beide Veräusserungsgeschäfte der Bewilligungspflicht nach dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 1983 über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland (BewG; SR 211.412.41) unterstehen würden. Gleichzeitig verweigerte er diese Bewilligungen. Y._ und die X._ AG erhoben dagegen Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, welches diese mit Urteil vom 9. Juni 2011 abwies, soweit darauf einzutreten war.
A.b Y._ und die X._ AG erhoben dagegen am 28. Juni 2011 Beschwerde ans Bundesgericht. Dieses hiess das Rechtsmittel mit Urteil vom 13. Januar 2012 (2C_557/2011) gut und wies die Angelegenheit zu ergänzenden Abklärungen im Sinne der Erwägungen sowie zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurück.
B. In der Folge wies das Verwaltungsgericht die Sache zu ergänzenden Abklärungen im Sinne der Erwägungen sowie zu neuem Entscheid an den Regierungsstatthalter zurück. Mit Entscheid vom 12. Juli 2012 stellte der Regierungsstatthalter erneut fest, dass der Grundstückerwerb der Bewilligungspflicht unterstehe, und verweigerte die Bewilligung. Eine dagegen erhobene Beschwerde wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 10. Dezember 2012 abgewiesen.
C. Die "X._ AG, Y._" erheben mit Eingabe vom 16. Januar 2013 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts und der Entscheid des Regierungsstatthalters seien "unter schlechthin allen in Frage kommenden Aspekten zu prüfen" und aufzuheben. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist grundsätzlich zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Legitimiert zur Beschwerde ist prinzipiell nur, wer bereits vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat (<ref-law>). Gemäss Rubrum des angefochtenen Urteils war nur die X._ AG Partei des vorinstanzlichen Verfahrens. In der Beschwerdeschrift an das Bundesgericht sind im Titel und beim Unterschriftsvermerk "X._ AG, Y._" genannt. Es ist nicht ganz klar ersichtlich, ob die Beschwerde auch für Y._ persönlich erhoben wird oder nur für die X._ AG. Angesichts des Ausgangs des Verfahrens kann dies indessen offen bleiben.
1.2 Aufgrund des Devolutiveffekts ist das vorinstanzliche Urteil an die Stelle des Entscheids des Regierungsstatthalters getreten, so dass einzig jenes angefochten werden kann, wobei der unterinstanzliche Entscheid inhaltlich als mit angefochten gilt (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
1.3 Der angefochtene Entscheid erging aufgrund des Rückweisungsentscheids des Bundesgerichts vom 13. Januar 2012. Weist das Bundesgericht eine Sache zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück, so sind diese Erwägungen sowohl für die untere Instanz als auch - in einem nachfolgenden Umgang - für das Bundesgericht selber verbindlich (<ref-ruling> E. 2.1 S. 335 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 208). Weder das kantonale Gericht noch das Bundesgericht dürfen sich deshalb in ihrem neuen Entscheid auf Erwägungen stützen, welche das Bundesgericht im Rückweisungsurteil ausdrücklich oder sinngemäss verworfen hat. Der neue Gerichtsentscheid darf mit Erwägungen begründet werden, welche im letztinstanzlichen Rückweisungsurteil noch nicht angeführt wurden oder zu denen sich das Bundesgericht noch nicht geäussert hat; hingegen kann der neue Entscheid der unteren Instanz insoweit nicht angefochten werden, als eine Anfechtung bereits hinsichtlich des ersten Urteils möglich und nach Treu und Glauben zumutbar gewesen wäre (Urteil 2C_163/2012 vom 12. November 2012 E. 1.4; 2C_227/2010 vom 5. August 2010 E. 3.2; <ref-ruling> E. 5.2 S. 94). Der Antrag, das angefochtene Urteil sei "unter schlechthin allen in Frage kommenden Aspekten zu prüfen", ist deshalb unzulässig und es ist darauf nicht einzutreten. Einzutreten ist auf die Beschwerde aber insoweit, als sie das nach dem Rückweisungsentscheid noch verbleibende Streitthema betrifft (E. 2).
1.4 Die Beschwerdeführer kritisieren eine Befangenheit des Regierungsstatthalters. Es ist unklar, ob sie daraus eine Ausstandspflicht ableiten; jedenfalls stellen sie nicht ausdrücklich ein Ausstandsbegehren. Selbst wenn dies der Fall sein sollte, wäre dieses verspätet: Ausstandsbegehren müssen nach Treu und Glauben gestellt werden, sobald der Ausstandsgrund für die Parteien erkennbar ist und geltend gemacht werden kann (<ref-ruling> E. 2.2 S. 74; <ref-ruling> E. 3.4 S. 211). Die Beschwerdeführer bringen zwar vor, sie hätten eine mehrmalige "Bitte um andere Ansprechpersonen/Sachbearbeitung/Beurteilungsperson" kundgetan, worauf aber keine Instanz eingegangen sei (vgl. S. 5 der Beschwerdeschrift). Diese Aussage wird aber nicht belegt; namentlich legen die Beschwerdeführer nicht dar, dass sie konkret ein Ausstandsgesuch gegen den Regierungsstatthalter gestellt oder vor Verwaltungsgericht eine Verletzung von Ausstandspflichten gerügt hätten. Unter diesen Umständen könnte auf ein erst vor Bundesgericht gestelltes Ausstandsbegehren nicht mehr eingetreten werden.
1.5 Das Bundesgericht prüft die Anwendung des Bundesrechts frei und von Amtes wegen (Art. 95 lit. a und Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht prüft es nur auf entsprechende Rüge hin (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf genügend begründete Rüge hin (<ref-law>) oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Zu prüfen ist, was nach dem Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts vom 13. Januar 2012 noch Streitthema bildet (E. 1.3).
2.1 Nach <ref-law> bedürfen Personen im Ausland für den Erwerb von Grundstücken einer Bewilligung der zuständigen kantonalen Behörde. Keiner Bewilligung bedarf nach Abs. 2 lit. a BewG der Erwerb, wenn das Grundstück als ständige Betriebsstätte eines Handels-, Fabrikations- oder eines anderen nach kaufmännischer Art geführten Gewerbes, eines Handwerksbetriebes oder eines freien Berufes dient. Als Personen im Ausland gelten u.a. juristische Personen oder vermögensfähige Gesellschaften ohne juristische Persönlichkeit, die ihren statutarischen und tatsächlichen Sitz in der Schweiz haben und in denen Personen im Ausland eine beherrschende Stellung innehaben (<ref-law>). Die Beherrschung einer juristischen Person durch Personen im Ausland wird u.a. vermutet, wenn diese der juristischen Person rückzahlbare Mittel zur Verfügung stellen, die mehr als die Hälfte der Differenz zwischen den Aktiven der juristischen Person und ihren Schulden gegenüber nicht bewilligungspflichtigen Personen ausmachen (<ref-law>).
2.2 Im ersten Urteil vom 9. Juni 2011 hatte das Verwaltungsgericht erwogen, die Beschwerdeführerin sei aufgrund ausländischer Finanzierung eine Person im Ausland im Sinne von Art. 5 lit. c i.V.m. <ref-law>, so dass die subjektiven Voraussetzungen der Bewilligungspflicht gegeben seien. Damit seien auch die objektiven Voraussetzungen der Bewilligungspflicht erfüllt, weil die Beschwerdeführer die erstmals vor Verwaltungsgericht geltend gemachten Ausnahmetatbestände von Art. 2 Abs. 2 lit. a oder b BewG nicht substanziiert hätten; zudem erscheine die behauptete Nutzung als Betriebsstätte ohnehin nicht realistisch.
In der ersten Beschwerde an das Bundesgericht wurde ausschliesslich geltend gemacht, das Grundstück sei als Betriebsstätte vorgesehen. Zu den subjektiven Voraussetzungen der Bewilligungspflicht äusserte sich die Beschwerde nicht. Das Bundesgericht stellte denn auch ausdrücklich fest, die Beschwerdeführer würden die beherrschende Stellung der ausländischen Darlehensgeber vor Bundesgericht nicht mehr bestreiten, sondern einzig einwenden, das Grundstück sei als Betriebsstätte vorgesehen. Unter diesen Umständen muss die Frage der ausländischen Beherrschung als rechtskräftig entschieden gelten.
Das Bundesgericht erwog im Urteil 2C_557/2011 vom 13. Januar 2012 sodann, die Auffassung des Verwaltungsgerichts, wonach die Nutzung als Betriebsstätte nicht realistisch erscheine, könne nicht überzeugen; den Beschwerdeführern könne auch nicht vorgeworfen werden, sie hätten sich zu spät auf die Nutzung als Betriebsstätte berufen. Es sei deshalb noch abzuklären, ob die Beschwerdeführer die Liegenschaft tatsächlich für eine Betriebsstätte benötigten. Daraus ergibt sich, dass Streitthema des neuen Verfahrens vor den Vorinstanzen einzig die Frage bilden konnte, ob die Liegenschaft eine Betriebsstätte im Sinne von <ref-law> ist. Soweit in der Beschwerde andere Aspekte aufgegriffen werden, kann darauf nicht mehr eingegangen werden.
3. 3.1 Die kantonalen Instanzen hatten somit im neuen Umgang zu prüfen, ob das Grundstück als Betriebsstätte im Sinne von <ref-law> diene. Diese Prüfung erfolgt grundsätzlich von Amtes wegen, doch unterliegt der Erwerber eines Grundstücks einer Auskunfts- und Mitwirkungspflicht; die Behörde kann zu seinen Ungunsten entscheiden, wenn er die notwendige und zumutbare Mitwirkung verweigert (<ref-law>; Urteil 2C_1021/2011 vom 18. April 2012 E. 4.2; 2C_118/2009 vom 15. September 2009 E. 4.2).
3.2 Die Vorinstanz hat festgestellt, der Regierungsstatthalter habe im neuen Umgang die Beschwerdeführer insgesamt dreimal - zweimal unter Fristansetzung mit Schreiben vom 1. Mai und 12. Juni 2012 - aufgefordert, mittels entsprechender Unterlagen die Nutzung des Grundstücks als Betriebsstätte zu belegen, unter ausdrücklichem Hinweis auf die Folgen der Verweigerung der Mitwirkungspflicht. Die Beschwerdeführerin mache nicht geltend, dieser Aufforderung nachgekommen zu sein, sondern habe sich vielmehr mit Schreiben vom 18. April und 29. Mai 2012 ausdrücklich geweigert, entsprechende Unterlagen zu liefern. Sie habe nur eine schriftliche Absichtserklärung betreffend Überbauung des Grundstücks zwecks Ausübung einer wirtschaftlichen Tätigkeit in Aussicht gestellt und nach Ablauf der letztmals gesetzten Frist per Mail mitgeteilt, sie könne die einverlangten Unterlagen nicht vollständig und innert Frist einreichen; in der Folge habe sie weder die angekündigte schriftliche Erklärung noch andere Unterlagen eingereicht.
3.3 Diese Sachverhaltsfeststellungen sind nicht offensichtlich unrichtig (vorne E. 1.5). Die Beschwerdeführer machen zu Unrecht geltend, sie hätten die notwendigen Unterlagen eingereicht bzw. weitere Unterlagen einzureichen wäre nicht möglich oder notwendig gewesen: Mit Schreiben vom 1. März 2012 hatte das Regierungsstatthalteramt insbesondere einen genauen Nutzungs- und Belegungsplan für die gesamte Nutzfläche des Objekts einverlangt, ferner einen Stellenplan mit verbindlichen Angaben über Anzahl und Funktion der ständigen Mitarbeitenden (bei Teilzeitbeschäftigung umgerechnet auf Vollzeitstellen), sodann Rechnungsabschlüsse 2009-2011 mit Kontrollstellenbericht und eine schriftliche Bestätigung der Baubewilligungsbehörde, dass die vorgesehene Nutzung der massgebenden Zone entspricht. Anstatt diese Unterlagen einzureichen, stellten sich die Beschwerdeführer im Schreiben vom 18. April 2012 auf den offensichtlich falschen Standpunkt, gemäss Urteil des Bundesgerichts sei der Erwerb bewilligungsfrei, weshalb keine nachträgliche Bewilligungspflicht festzustellen sei; sie führten weiter aus, sie würden bloss jene Unterlagen einreichen, welche gesetzeskonform seien und bei der Gemeinde das Baugesuch einreichen. Im Schreiben vom 29. Mai 2012 führten sie erneut aus, die verlangten Unterlagen seien nicht nötig. Es steht somit fest, dass die vom Regierungsstatthalteramt eingeforderten Papiere nicht eingereicht wurden.
3.4 Diese in E. 3.3 genannten Belege waren entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer aber geeignet und notwendig, um gemäss den Vorgaben des Bundesgerichts den Betriebsstättencharakter der Liegenschaft darzulegen; insbesondere konnten sie nicht ersetzt werden durch diejenigen, welche bereits im Zeitpunkt des Kaufs beigebracht worden waren, ebenso wenig durch eine blosse Absichtserklärung, die Liegenschaft als Betriebsstätte nutzen zu wollen. Es war auch ohne weiteres zumutbar, die entsprechenden Belege beizubringen bzw. bei der Baubewilligungsbehörde einzuholen. Angesichts der klaren Auflistung der einverlangten Dokumente im Schreiben des Regierungsstatthalters vom 1. März 2012 ist der Einwand der Beschwerdeführer trölerisch, sie hätten den Regierungsstatthalter "mehrmals schriftlich um Unterlagen/Gesetzestexte usw." gebeten, "worin festgehalten werde, welche genauen Unterlagen in einem Feststellungsverfahren zur Bewilligungspflicht (...) beizubringen" seien.
3.5 Die Vorinstanz hat deshalb mit Recht auf eine Verletzung der Mitwirkungspflicht geschlossen. Sie konnte auf dieser Grundlage zu Ungunsten des Erwerbers entscheiden (vorne E. 3.1) und davon ausgehen, dass der Betriebsstättencharakter nicht nachgewiesen ist. Eine Befreiung von der Bewilligungspflicht (vorne E. 2.1) stand damit ausser Frage.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang tragen die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Regierungsstatthalter der Ämter Hochdorf und Luzern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein