Sachverhalt:
A. Der Kanton Appenzell Innerrhoden holte im Einladungsverfahren bei zwölf Firmen Offerten für ein elektronisches Archivsystem ein. In die Schlussevaluation kamen vier Anbieter, darunter die Y._ AG, St. Gallen, und die X._ GmbH, Zürich.
Im Auftrag von Landammann und Standeskommission erteilte der Ratschreiber den Zuschlag für das elektronische Archivsystem am 25. Februar 2005 zum Preis von Fr. 243'396.-- an die Y._ AG. Die X._ GmbH, deren Offerte unberücksichtigt blieb, erhob hiegegen am 6. März 2005 Beschwerde beim Kantonsgericht (Abteilung Verwaltungsgericht). Das Gericht befand, die Beschwerde genüge den gesetzlichen Anforderungen nicht und räumte der X._ GmbH Frist ein, um die Rechtsschrift zu verbessern. Dies tat die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 22. März 2005, worauf der Kantonsgerichtspräsident der Beschwerde mit Verfügung vom 24. März 2005 zunächst aufschiebende Wirkung gewährte. Diese Verfügung hob er am 12. April 2005 wieder auf und entzog der Beschwerde die aufschiebende Wirkung, wogegen sich die X._ GmbH bis vor Bundesgericht zur Wehr setzte. Die am 25. April 2005 gegen diesen Zwischenentscheid des Kantonsgerichtspräsidenten erhobene staatsrechtliche Beschwerde blieb jedoch ohne Erfolg; sie wurde vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben, nachdem sich herausgestellt hatte, dass der Vertrag mit der berücksichtigten Konkurrentin, der Y._ AG, bereits am 15./22. April 2005 abgeschlossen worden war (vgl. Beschluss 2P.116/2005 vom 24. Mai 2005, insbesondere E. 1).
B. Inzwischen hatte die X._ GmbH ihre Beschwerde beim Kantonsgericht noch einmal ergänzt und erneut um aufschiebende Wirkung nachgesucht (Eingabe vom 19. April 2005 [Postaufgabe]), welches Begehren vom Gericht am 22. April 2005 mangels Rechtsschutzinteresse als hinfällig erklärt wurde. Auch in der Hauptsache blieb die Beschwerde der X._ GmbH ohne Erfolg: Mit Urteil vom 6. September 2005 trat das Kantonsgericht des Kantons Appenzell Innerrhoden (Abteilung Verwaltungsgericht) darauf nicht ein.
C. Mit Eingabe vom 7. Oktober 2005 führt die X._ GmbH staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht mit dem sinngemässen Antrag, das Urteil des Kantonsgerichts vom 6. September 2005 aufzuheben. Sodann sei festzustellen, dass der Vergabeentscheid nicht korrekt bzw. die Zuschlagsverfügung vom 25. Februar 2005 rechtswidrig sei.
Der Ratschreiber des Kantons Appenzell Innerrhoden hat sich im Auftrag von Landammann und Standeskommission vernehmen lassen, ohne einen konkreten Antrag zu stellen. Das Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden beantragt Abweisung der Beschwerde. Die Y._ AG hat auf Vernehmlassung verzichtet.
D. Mit Verfügung vom 28. Oktober 2005 hat der Abteilungspräsident dem von der Beschwerdeführerin gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung (betreffend die Verurteilung zur Leistung einer Parteientschädigung an die Y._ AG) entsprochen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid, der sich auf kantonales Submissionsrecht stützt und gegen den mangels Zulässigkeit eines anderen eidgenössischen Rechtsmittels nur die staatsrechtliche Beschwerde offen steht (Art. 84 Abs. 2, Art. 86 und Art. 87 OG). Die Beschwerdeführerin, die am vorliegenden kantonalen Submissionsverfahren beteiligt war und als übergangene Bewerberin zur staatsrechtlichen Beschwerde legitimiert ist (Art. 88 OG), kann allerdings nur rügen, das Kantonsgericht sei in verfassungswidriger Weise auf ihre Beschwerde nicht eingetreten. Das ebenfalls gestellte Begehren um bundesgerichtliche Feststellung der Rechtswidrigkeit des Vergabeentscheides steht zwar aufgrund des Wortlautes (vgl. E. 2) von Art. 9 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1995 über den Binnenmarkt (Binnenmarktgesetz, BGBM; SR 943.02) mit der grundsätzlich kassatorischen Natur der staatsrechtlichen Beschwerde (<ref-ruling> E. 1.5 mit Hinweisen) nicht im Widerspruch, doch ist bezüglich dieser Frage der kantonale Instanzenzug nicht erschöpft (Art. 86 Abs. 1 OG), weshalb auf die staatsrechtliche Beschwerde insoweit nicht eingetreten werden kann.
2. Der Kanton Appenzell Innerrhoden ist mit Grossratsbeschluss vom 27. März 2000 der Interkantonalen Vereinbarung über das öffentliche Beschaffungswesen vom 25. November 1994 (IVöB) beigetreten. Deren Artikel 18 hat folgenden Wortlaut:
1 Ist der Vertrag noch nicht abgeschlossen, kann die Beschwerdeinstanz die Aufhebung der Verfügung beschliessen und in der Sache selbst entscheiden oder sie an die Auftraggeberin oder den Auftraggeber mit oder ohne verbindliche Anordnungen zurückweisen.
2 Ist der Vertrag bereits abgeschlossen und erweist sich die Beschwerde als begründet, stellt die Beschwerdeinstanz fest, dass die Verfügung rechtswidrig ist.
<ref-law> lautet sodann:
Erweist sich ein kantonales Rechtsmittel oder eine staatsrechtliche Beschwerde im Bereich des öffentlichen Beschaffungswesens als begründet und ist mit der Anbieterin oder dem Anbieter bereits ein Vertrag abgeschlossen worden, so stellt die kantonale Rekursinstanz oder das Bundesgericht lediglich fest, inwiefern die angefochtene Verfügung Bundesrecht verletzt.
3. 3.1 Das Kantonsgericht trat mit dem angefochtenen Urteil auf die bei ihm gegen den Vergebungsentscheid erhobene Beschwerde nicht ein mit der Begründung, gemäss Art. 18 Abs. 1 IVöB sei eine Aufhebung der Zuschlagsverfügung oder eine Neuverfügung durch das Gericht nur möglich, solange der streitige Vertrag noch nicht abgeschlossen sei. Damit sei vorliegend das Rechtsschutzinteresse bezüglich der Anträge auf Aufhebung der Zuschlagsverfügung bzw. auf gerichtliche Neuverfügung oder Rückweisung dahingefallen, weshalb auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten sei. Für die in Art. 18 Abs. 2 IVöB für diesen Fall vorgesehene Feststellung der Rechtswidrigkeit der Zuschlagsverfügung bestehe kein Raum: Gemäss dem kantonalen Gesetz vom 29. April 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen (Art. 5 Abs. 2) sei das Konkordat nur sinngemäss anwendbar. Massgebend bleibe die kantonale Praxis, wonach Feststellungsklagen subsidiärer Natur seien, wenn das schutzwürdige Interesse ebenso gut mit einer Leistungsklage gewahrt werden könne. Für die Geltendmachung eines Schadens, wie Art. 4 des kantonalen Beschaffungsgesetzes dies vorsehe (Ersatz der dem Anbieter im Zusammenhang mit dem Rechtsmittelverfahren entstandenen Aufwendungen), reichten die Vorbringen in der Beschwerdeschrift vom 6. März 2005 nicht aus. Die Beschwerdeführerin habe in dieser Eingabe nicht geltend gemacht, dass ihr die im Zusammenhang mit dem Rechtsmittelverfahren entstandenen Aufwendungen zu ersetzen seien bzw. dass über die Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Gegenpartei zu entscheiden sei. Sie habe es damit unterlassen, innert der - in Submissionssachen nicht erstreckbaren - Rechtsmittelfrist ihr Begehren mittels Leistungsklage geltend zu machen. Damit entfalle auch das schutzwürdige Interesse an einer "Feststellungsklage" im Sinne von Art. 18 Abs. 2 IVöB.
3.2 Diese Argumentation ist nicht haltbar. Ob und unter welchen Voraussetzungen ein Anbieter aus Mängeln eines öffentlichrechtlich geordneten Vergebungsverfahrens Schadenersatzansprüche herleiten kann, bestimmt sich (unter Vorbehalt der Verpflichtungen aus dem hier mangels Erreichung der Betragsschwelle nicht anwendbaren Übereinkommen vom 15. April 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (GATT/WTO-Übereinkommen, SR 0.632.231.422 [vgl. Art. XX Ziff. 7 lit. c]) nach dem einschlägigen kantonalen Recht (Urteil 2P.218/2001 vom 31. Januar 2002, in: SJ 2002 I S. 421, E. 2.3, mit Hinweisen; Manfred Wagner, Das Bundesgesetz über den Binnenmarkt, in: Schweizerisches Aussenwirtschafts- und Binnenmarktrecht, Basel 1999, S. 27 Rz. 73). Die Kantone können in ihren Submissionserlassen hierüber eine spezielle Regelung treffen oder aber in dieser Frage das allgemeine (Staats-)Haftungsrecht zum Zuge kommen lassen (vgl. Martin Beyeler, Öffentliche Beschaffung, Vergaberecht und Schadenersatz, Diss. Freiburg 2004, Rz. 566). Nach Art. 4 des innerrhodischen Gesetzes vom 29. April 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen haftet der Auftraggeber dem Anbieter für Schaden, den er durch eine rechtswidrige Verfügung verursacht hat, wobei sich die Haftung auf Aufwendungen beschränkt, die dem Anbieter "im Zusammenhang mit dem Rechtsmittelverfahren erwachsen sind". Wie diese Bestimmung auszulegen ist und in welchem kantonalen Verfahren die entsprechenden Ansprüche geltend zu machen sind, braucht hier nicht weiter erörtert zu werden. Die Kantone sind aufgrund von <ref-law> verpflichtet, für die Anfechtung von Vergebungsentscheiden eine Beschwerdemöglichkeit vorzusehen; sie sind dabei auch der Vorgabe unterworfen, dass das Beschwerdeverfahren durch den allfälligen Abschluss des streitigen Vertrages nicht gegenstandslos wird, sondern dass in diesem Falle die angerufene Rechtsmittelinstanz - anstelle der Aufhebung des angefochtenen Zuschlages - feststellt, inwiefern der Vergebungsentscheid Bundesrecht verletzt. Eine entsprechende prozessuale Vorschrift findet sich nicht nur in <ref-law>, sondern auch in Art. 18 IVöB, deren Vollzug das kantonale Beschaffungsgesetz bezweckt (Art. 1 lit. b) und welche gemäss Art. 5 des Gesetzes im kantonalen Rechtsmittelverfahren "sinngemäss" anwendbar ist. Diese sowohl bundesrechtlich wie auch konkordatsrechtlich verankerte prozessuale Regel ist auf die besondere Interessenlage bei Submissionsstreitigkeiten zugeschnitten. Sie will sicherstellen, dass die Rechtmässigkeit von angefochtenen Vergebungsentscheiden auch dann noch überprüft werden kann, wenn der betreffende Vertrag bereits abgeschlossen worden ist und damit das Verfahren, soweit die Beschwerdebegehren auf die Erwirkung des Zuschlages abzielten, an sich als gegenstandslos zu betrachten wäre. Der Anspruch auf Feststellung der Rechtswidrigkeit des Zuschlages ist zwar auf die Möglichkeit der Geltendmachung von Schadenersatzansprüchen ausgerichtet und will dem übergangenen Bewerber die Durchsetzung solcher Ansprüche erleichtern (vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 97 f.). Er besteht aber nach Wortlaut und Sinn von <ref-law> unabhängig davon, ob bzw. auf welcher Rechtsgrundlage und in welchem Verfahren nach dem betreffenden kantonalen Recht Haftungsansprüche gegen den öffentlichen Auftraggeber geltend gemacht werden können. Wer legitimiert gewesen ist, den Zuschlagsentscheid anzufechten, behält den Anspruch auf Überprüfung der Rechtmässigkeit des Zuschlages auch dann, wenn dieser infolge Vertragsabschluss nicht mehr aufgehoben werden kann. Ein dahingehendes Eventualbegehren braucht nicht notwendigerweise bereits in der Beschwerde gegen den (noch nicht vollzogenen) Zuschlag gestellt zu werden; der Antrag auf Feststellung der Rechtswidrigkeit gilt als im Begehren um Aufhebung des Zuschlages sinngemäss mitenthalten.
3.3 Die Auffassung des Kantonsgerichtes, es habe die gegen den streitigen Vergebungsentscheid erhobene Beschwerde der X._ GmbH mangels Rechtsschutzinteresses nicht mehr zu behandeln, da der Vertrag mit der Konkurrenzfirma bereits abgeschlossen worden sei und die Beschwerdeführerin nicht schon in ihrer (vor Abschluss des Vertrages eingereichten) Beschwerdeeingabe ihre Schadenersatzansprüche geltend gemacht und beziffert habe, steht nach dem Gesagten in klarem Widerspruch zu <ref-law> wie auch zur entsprechenden Regelung des Konkordates, auf welche im angefochtenen Entscheid einzig Bezug genommen wird. Das Kantonsgericht hätte sich richtigerweise mit den gegen den Vergebungsentscheid erhobenen Einwendungen auseinandersetzen und in Form eines Feststellungsentscheides über diese Rügen befinden müssen, unabhängig davon, ob die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerdeeingabe bereits Schadenersatzansprüche geltend gemacht und begründet hatte.
4. 4.1 Die staatsrechtliche Beschwerde, welche das Vorgehen des Kantonsgerichts zu Recht beanstandet (vgl. Ziff. 3.2 der Beschwerdeeingabe), ist daher gutzuheissen und das angefochtene Urteil wegen Verletzung des Willkürverbotes (<ref-law>) aufzuheben.
Was die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Mängel der Ausschreibung betrifft, bleibt im Hinblick auf die vorzunehmende neue Entscheidung festzuhalten, dass die Ausschreibung des Auftrages als selbständig anfechtbare Verfügung gilt (vgl. Art. 41 lit. b der kantonalen Verordnung vom 1. Oktober 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen). Soweit Mängel der Ausschreibung auf Anhieb und nicht erst im Zeitpunkt des Zuschlags erkennbar gewesen waren, mussten sie innert der in Art. 5 des Beschaffungsgesetzes festgelegten Frist von zehn Tagen gerügt werden. Die Neubeurteilung kann sich insoweit nur auf Punkte beziehen, welche die Beschwerdeführerin gemäss dieser Regelung rechtzeitig angefochten hat.
Die Frage der Akteneinsicht hat sich insofern erledigt, als die Beschwerdeführerin nach eigener Darstellung jedenfalls nachträglich ausreichend in die Akten Einsicht nehmen konnte (vgl. Ziff. 3.3 S.8 der staatsrechtlichen Beschwerde).
4.2 Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Kanton Appenzell Innerrhoden aufzuerlegen, der im vorliegenden Verfahren Vermögensinteressen wahrgenommen hat (vgl. Art. 156 Abs. 2 OG). Der Beschwerdegegnerin, die keine Vernehmlassung eingereicht hat, ist in diesem Verfahren kein Aufwand entstanden; ihr ist deshalb keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 159 Abs. 2 OG analog). Auch für die Beschwerdeführerin, die in eigener Sache ohne Beizug eines Rechtsvertreters gehandelt hat, besteht kein Anspruch auf Parteikostenersatz, da der Arbeitsaufwand für die Abfassung der Beschwerdeschrift den Rahmen des Üblichen und Zumutbaren nicht überschreitet (vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 519 f.).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Kantonsgerichts Appenzell Innerrhoden vom 6. September 2005 aufgehoben.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird dem Kanton Appenzell Innerrhoden auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Standeskommission des Kantons Appenzell Innerrhoden und dem Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden, Abteilung Verwaltungsgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2006
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: