Sachverhalt:
A. X._ (Ehemann) und Y._ (Ehefrau) heirateten 2002 in Wien. Sie sind die Eltern von Z._, geboren 2003. Y._ verliess am 30. August 2007 den gemeinsamen Haushalt in A._ und liess sich in Wien nieder.
B. B.a Auf Gesuch von X._ erliess der Gerichtspräsident von A._ am 19. November 2007 einen Eheschutzentscheid. Dabei stellte er insbesondere den Sohn Z._ unter die Obhut der Mutter und regelte das Besuchsrecht des Vaters. X._ wurde zu einem Unterhaltsbeitrag an seinen Sohn und an seine Ehefrau verpflichtet.
B.b Das Obergericht des Kantons Aargau wies die von X._ dagegen erhobene Beschwerde am 12. Februar 2008 ab, soweit sie sich gegen die Obhutszuteilung über Z._ gerichtet hatte. Es hiess sie bezüglich der Unterhaltsbeiträge teilweise gut und legte diese neu fest.
C. X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) ist am 25. März 2008 mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Abnahme der Beweise und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er stellt das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. In ihrer Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung ersuchte die Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege.
D. Mit Verfügung vom 14. April 2008 gewährte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen.

Erwägungen:
1. 1.1 Zwar verlangt der Beschwerdeführer die Aufhebung des ganzen obergerichtlichen Urteils. Aus seiner Begründung folgt indessen, dass ausschliesslich die Obhutszuteilung über das Kind Anlass zur vorliegenden Beschwerde bildet. Dagegen steht die fristgerecht erhobene Beschwerde in Zivilsachen zur Verfügung, zumal das angefochtene Urteil letztinstanzlich ergangen ist (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2 Eheschutzentscheide gelten nach der Rechtsprechung als vorsorgliche Massnahmen, womit einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5). Dabei hat der Beschwerdeführer klar und einlässlich darzulegen, weshalb der angefochtene Entscheid verfassungswidrig, insbesondere willkürlich (<ref-law>) sein soll. Macht er die Verletzung des Willkürverbotes geltend, muss er anhand der vorinstanzlichen Begründung dartun, weshalb der Entscheid an einem qualifizierten Mangel leidet und zudem im Ergebnis unhaltbar ist. Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 6).
1.3 Neue Tatsachen und Beweise sind nur zulässig, soweit der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat darzutun, inwiefern die erwähnte Voraussetzung erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3). Er reicht ein Schreiben des Kantonsspitals B._ vom 4. März 2008 ein, von dem er lediglich behauptet, erst der vorinstanzliche Entscheid habe Anlass zu dessen Einreichung gegeben. Damit genügt er den Begründungsanforderungen an die Berücksichtigung von Noven nicht. Das erwähnte Schreiben bleibt daher unbeachtlich.
2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz die Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, da sie ihr Urteil unter anderem aufgrund von neuen Belegen der Beschwerdegegnerin gefällt habe, welche ihm nicht zugestellt worden seien und zu welchen er sich vorgängig nicht habe äussern können.
2.1 Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Daraus folgt insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zur Sache äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis vernehmen zu lassen, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2b).
2.2 In ihrer kantonalen Beschwerdeantwort vom 21. Dezember 2007 bezieht sich die Beschwerdegegnerin auf eine Reihe von Belegen, die sie jeweils näher umschreibt. Konkret geht es um die Bestätigung von Dr. med. R._, leitende Ärztin Pädiatrische Onkologie am Kantonsspital B._, vom 18. Dezember 2007 betreffend die Genesung von Z._, ein Schreiben von Rechtsanwältin Lanz-Bosshard vom 27. September 2007 an Rechtsanwalt Bischofberger zum Kontakt von Mutter und Kind, den Dienstzettel der S._ vom 22. Oktober 2007 über das Anstellungsverhältnis der Beschwerdegegnerin, die Lohn-/Gehaltsabrechnung der genannten Arbeitgeberin per Oktober 2007 sowie die Bestätigung der T._ GmbH vom 18. Dezember 2007 über den Bezug einer Wohnung in Wien durch die Beschwerdegegnerin. Ein Doppel der Beschwerdeantwort vom 21. Dezember 2007 ging dem Beschwerdeführer direkt zu. Zudem übermittelte ihm der Gerichtspräsident mit Verfügung vom 14. Januar 2008 diese Eingabe zur Kenntnisnahme und wies darauf hin, dass die Akten nun an das Obergericht überwiesen würden, welches für das Rechtsmittelverfahren allein zuständig sei. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass die Zustellung der Beschwerdeantwort durch den Gerichtspräsidenten auch die Beilagen umfasste. Wie es sich damit verhält, geht aus den Akten nicht hervor. Ebenfalls lässt sich nicht mit Sicherheit feststellen, ob die Beschwerdegegnerin das Doppel ihrer Beschwerdeantwort mit den Beilagen versehen hatte. Sollte der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer die Beilagen tatsächlich nicht erhalten haben, so hätte von ihm erwartet werden dürfen, dass er sich diesbezüglich mit der Beschwerdegegnerin oder dem Gericht in Verbindung setzt.
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Fest steht auf jeden Fall, dass dem Beschwerdeführer im kantonalen Rechtsmittelverfahren keine Frist angesetzt worden war, um zur Beschwerdeantwort und den neuen Belegen Stellung zu nehmen. Will ein Beschwerdeführer jedoch eine Replik einreichen, so ist er gehalten, diese nach Treu und Glauben umgehend zu beantragen bzw. einzureichen (<ref-ruling> E. 3.3.4 mit Hinweis ). Im vorliegenden Fall hat der Beschwerdeführer weder um die Ansetzung einer Frist ersucht noch spontan eine Replik eingereicht. Da er seinen prozessualen Obliegenheiten nicht nachgekommen ist, kann er sich nicht mit Erfolg auf die Verletzung des rechtlichen Gehörs berufen.
3. Im Weiteren macht der Beschwerdeführer die Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend, da die Vorinstanz seine in der kantonalen Beschwerde gestellten Beweisanträge abgelehnt habe.
3.1 Der Vorwurf, beantragte Beweise nicht abgenommen zu haben, beschlägt <ref-law> (Beweisführungsanspruch) und ist daher grundsätzlich als Verletzung dieser Bestimmung geltend zu machen (Urteil 5A_403/2007 vom 25. Oktober 2007, E. 3). Eine Ausnahme drängt sich indes auf, wenn - wie hier - einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt (E. 1.2) und somit ein Verstoss gegen <ref-law> im Gegensatz zur Verletzung von <ref-law> nicht frei geprüft werden kann. Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> schliesst die Nichtberücksichtigung weiterer Beweismittel nicht in jedem Fall aus. Der Richter kann das Beweisverfahren schliessen, wenn die Beweisanträge eine nicht erhebliche Tatsache betreffen oder offensichtlich untauglich sind oder wenn er auf Grund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert. Nur wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft, ist durch die Nichtabnahme eines Beweismittels das rechtliche Gehör verletzt (<ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 2.1).
3.2 Die Vorinstanz kam zum Schluss, dass die Erziehungsfähigkeit beim Beschwerdeführer mindestens in gleicher Weise wie bei der Beschwerdegegnerin gegeben sei. Damit stehe die Bereitschaft und Möglichkeit der unmittelbar persönlichen Betreuung im Vordergrund, welche bei der Beschwerdegegnerin in stärkerem Masse vorhanden sei. Die Wohnsituation des Beschwerdeführers und seine Betreuungsfähigkeit trete dagegen zurück, weshalb die Einholung eines Berichts der Vormundschaftsbehörden A._ und C._ hierüber zur Entscheidfindung über die Obhutszuteilung nichts beitragen könne. Auch ein Bericht der Kindergärtnerin könne die vorliegend wesentlichen Fragen nicht weiter klären. Auf die Befragung der Eltern des Beschwerdeführers sei ebenso zu verzichten wie auf eine erneute Einvernahme der Parteien. Zum Gesundheitszustand des Kindes liege ein aktuelles Arztzeugnis vor.
3.3 Dass die Vorinstanz bei der Obhutszuteilung von nicht zutreffenden Kriterien ausgegangen sei, wird vom Beschwerdeführer zu Recht nicht vorgebracht (vgl. Urteil 5P.507/2006 vom 5. April 2007, E. 4.2).
3.3.1 Hingegen besteht er darauf, dass seine bisherige Bereitschaft und Möglichkeit der unmittelbaren Betreuung des Kindes durch einen Bericht der Vormundschaftsbehörden abgeklärt werde, da die Vorinstanz die seinerzeit gelebte Verantwortung auch auf Seiten der Beschwerdegegnerin als massgeblich erachtet habe. Dass der Sohn der Parteien insbesondere während seinen Spitalaufenthalten vorrangig von der Beschwerdegegnerin betreut worden war und sie daher eine stärkere persönliche Bindung zu ihm hat, wurde von der Vorinstanz festgestellt und ist unangefochten geblieben. Im Hinblick auf die Obhutszuteilung geht es aber nicht nur um die Bereitschaft zur Betreuung des Kindes, wobei auch auf die tatsächliche Situation vor Aufhebung des Haushaltes abgestellt werden darf, sondern im Weiteren um die Möglichkeit der unmittelbaren Betreuung. Diese ist vor allem anhand der aktuellen Situation zu prüfen. Hier besteht bei der Beschwerdegegnerin angesichts ihrer Teilzeitstelle mehr Spielraum, welcher Umstand vom Beschwerdeführer nicht in Frage gestellt wird. Damit ist nicht nachvollziehbar, weshalb die Vormundschaftsbehörden abklären sollten, inwieweit der Beschwerdeführer bisher das Kind betreut bzw. die Möglichkeit dazu hatte. Auf diese Vorbringen ist nicht einzutreten.
3.3.2 Im Weiteren hatte der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren einen Bericht der Kindergärtnerin seines Sohnes zwecks Klärung seiner aktuellen Bereitschaft zur Kinderbetreuung verlangt. Die Vorinstanz lehnte diesen Beweisantrag ab, da nicht dargetan werde, wozu sich die Kindergärtnerin genau äussern solle. Dieser Begründung hält der Beschwerdeführer lediglich entgegen, dass der verlangte Bericht unverständlicherweise nicht eingeholt worden sei. Damit genügt er seiner Begründungspflicht in keiner Weise, weshalb auf diese Rüge ebenfalls nicht einzutreten ist.
3.3.3 Zudem wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, auf einen ärztlichen Bericht des Kantonsspitals B._ abgestellt zu haben, statt ein Zeugnis des behandelnden Kinderarztes einzuholen. Im angefochtenen Urteil wird mit Blick auf das ärztliche Zeugnis von Dr. med R._ vom 18. Dezember 2007 festgehalten, dass sich bei Z._ seine im Kleinkindesalter vorhandene Neutropenie normalisiert habe. Selbst der Beschwerdeführer habe vor der Erstinstanz gesagt, das Kind sei gesund. Aufgrund dieses aktuellen Arztzeugnisses bestehe kein Hindernis für eine Übersiedlung des Kindes nach Wien. Zu diesen Ausführungen lässt sich der Beschwerdeführer nicht vernehmen. Er legt auch nicht dar, weshalb sich der Kinderarzt kompetenter als die Kinderklinik eines Kantonsspitals zum gesundheitlichen Zustand des Kindes sollte äussern können und weshalb eine Übersiedlung nach Wien für das Kind angesichts der dortigen medizinischen Infrastruktur eine gesundheitliche Gefahr darstellen sollte. Die auch hier nicht rechtsgenügliche Begründung führt zum Nichteintreten auf die Rüge.
3.3.4 Schliesslich legt der Beschwerdeführer dar, seine Eltern hätten zur Frage der Betreuung von Z._ während seiner Arbeitszeit befragt werden müssen. Wer das Kind betreuen werde, wenn die Beschwerdegegnerin ihrem Erwerb nachgehe, sei nicht geklärt worden. Die Vorinstanz lehnte diesen Beweisantrag ab, da die Frage, wie die Eltern des Beschwerdeführers ihren Enkel betreuen würden, für die Obhutszuteilung nicht massgeblich sei. Sie ging bei der Prüfung der Frage, wo das Kind besser aufgehoben sei, auch von der Möglichkeit der unmittelbaren Betreuung aus. Diese sei angesichts der kürzeren Arbeitszeit der Beschwerdegegnerin bei ihr in grösserem Masse vorhanden. Dass dem so ist, wird vom Beschwerdeführer nicht bestritten (E. 3.3.1). Ebensowenig stellt er in Frage, dass es sich hiebei um ein massgebliches Beurteilungskriterium für die Zuteilung eines Kindes handelt. Damit durfte die Vorinstanz diesen Beweisantrag als nicht erheblich abweisen, ohne das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers zu verletzen (E. 3.1).
4. Nach dem Gesagten ist der Beschwerde insgesamt kein Erfolg beschieden. Da sie von vornherein aussichtslos war, ist das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen, ohne dass seine finanzielle Situation näher zu prüfen ist (<ref-law>). Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens (<ref-law>). Da die Beschwerdegegnerin zu einer Vernehmlassung in der Sache nicht eingeladen wurde, ist ihr hier kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Für ihre Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung ist sie vom Beschwerdeführer dem Ausgang der Hauptsache folgend zu entschädigen, womit ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 400.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden