Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft Wien führt ein Strafverfahren gegen Verantwortliche einer Gesellschaft mit beschränkter Haftung und verdächtigt sie, Vermögen veruntreut und der Gesellschaft dadurch einen Schaden von 45 Millionen USD verursacht zu haben.
Am 27. Dezember 2011 ersuchte die Staatsanwaltschaft Wien die Schweiz um Rechtshilfe.
Mit Schlussverfügung vom 4. Mai 2012 entsprach die Schweizerische Bundesanwaltschaft dem Ersuchen und ordnete die Herausgabe von Unterlagen zu einem Bankkonto der A._ AG an die ersuchende Behörde an.
B. Auf die von der A._ AG, B._, C._ und D._ hiergegen erhobene Beschwerde trat das Bundesstrafgericht (Beschwerdekammer) am 25. Juli 2012 nicht ein. Es befand, die A._ AG sei aufgelöst worden, weshalb sie nicht mehr Beschwerde führen könne. B._, C._ und D._ fehle die Beschwerdelegitimation.
C. Die A._ AG, B._, C._ und D._ führen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der Entscheid des Bundesstrafgerichts sei aufzuheben und festzustellen, dass B._, C._ und D._ zur Beschwerde gegen die Schlussverfügung der Bundesanwaltschaft legitimiert seien. Eventualiter sei der Entscheid des Bundesstrafgerichts aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung unter Berücksichtigung sämtlicher relevanter Informationen und Akten an dieses zurückzuweisen. Das Bundesstrafgericht sei anzuweisen, B._, C._ und D._ die volle Akteneinsicht zu gewähren und diesen eine Nachfrist von 30 Tagen, beginnend mit der Zustellung der Verfahrensakten, anzusetzen, um die Begründung der Beschwerde vom 6. Juni 2012 an das Bundesstrafgericht zu ergänzen.
D. Das Bundesstrafgericht hat Gegenbemerkungen eingereicht, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen.
Die Bundesanwaltschaft und das Bundesamt für Justiz haben sich vernehmen lassen je mit dem Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Sie halten dafür, es fehle an der Eintretensvoraussetzung des besonders bedeutenden Falles nach <ref-law>.
Die Beschwerdeführer haben eine Replik eingereicht. Sie halten an ihren Anträgen fest.
Das Bundesstrafgericht hat auf weitere Bemerkungen ausdrücklich verzichtet; ebenso stillschweigend die Bundesanwaltschaft und das Bundesamt für Justiz.

Erwägungen:
1. Gegen den angefochtenen Entscheid kommt gemäss <ref-law> die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Betracht.
Gemäss <ref-law> ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn er unter anderem eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
Im vorliegenden Fall geht es um die Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach <ref-law> insoweit möglich ist. Wie sich aus den folgenden Erwägungen ergibt, hat die Vorinstanz den Anspruch der Beschwerdeführer 2-4 auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt. Dabei handelt es sich um einen elementaren Verfahrensgrundsatz. Die besondere Bedeutung des Falles ist daher gemäss <ref-law> zu bejahen.
Auf die Beschwerde der Beschwerdeführer 2-4 ist einzutreten.
Anders verhält es sich in Bezug auf die Beschwerdeführerin 1. Wie sich der öffentlichen Urkunde über die Auflösung der Beschwerdeführerin 1 vom 22. August 2006 und dem Firmenindex des Grundbuch- und Öffentlichkeitsregisteramtes der Liechtensteinischen Landesverwaltung entnehmen lässt, trat die Beschwerdeführerin 1, vormals eine Gesellschaft mit Sitz in Y._/FL, am 22. August 2006 in Liquidation und wurde am 30. März 2007 im Öffentlichkeitsregister gelöscht. Existiert die Beschwerdeführerin 1 demnach nicht mehr, ist sie nicht parteifähig und kann sie nicht Beschwerde führen (vgl. <ref-law>).
2. 2.1 Die Beschwerdeführer 2-4 rügen, die Vorinstanz habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
2.2 Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieser dient einerseits der Klärung des Sachverhalts, anderseits stellt er ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Der Anspruch gewährt den Parteien insbesondere das Recht, erhebliche Beweise beizubringen und mit solchen Beweisanträgen gehört zu werden. Dem entspricht die Pflicht der Behörde, die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 127; <ref-ruling> E. 3.2 S. 272; <ref-ruling> E. 2.2 S. 190; je mit Hinweisen).
2.3 Nach der Rechtsprechung zu <ref-law> (SR 351.1) und <ref-law> (SR 351.11) ist einzig der Kontoinhaber zur Beschwerde gegen die Herausgabe von Unterlagen zu seinem Konto an den ersuchenden Staat berechtigt (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 138 mit Hinweisen). Ausnahmsweise erkennt die Rechtsprechung - unter Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs - die Beschwerdebefugnis dem bloss wirtschaftlich an einer Gesellschaft Berechtigten zu, wenn diese aufgelöst worden ist und daher nicht mehr selber Beschwerde führen kann (<ref-ruling> E. 2c und d S. 157 f.). Der wirtschaftlich Berechtigte muss die Auflösung der Gesellschaft mit amtlichen Dokumenten beweisen. Die Bescheinigung über die Auflösung der Gesellschaft muss überdies den wirtschaftlich Berechtigten klar als Begünstigten bezeichnen (Urteile 1C_183/2012 vom 12. April 2012 E. 1.4; 1C_440/2011 vom 17. Oktober 2011 E. 1.4; je mit Hinweisen).
2.4 Die Vorinstanz erwägt, auf dem von den Beschwerdeführern eingereichten Formular A der Bank vom 23. Dezember 2003 seien die Beschwerdeführer 2-4 als wirtschaftlich Berechtigte am Konto der Beschwerdeführerin 1 aufgeführt. Einem bei den Akten liegenden Schreiben der Beschwerdeführerin 1 vom 14. Februar 2007 an die Bank sei zu entnehmen, dass nach Saldierung des Kontos der Beschwerdeführerin 1 die betreffenden Vermögenswerte auf ein Konto (Nr. X.) bei der gleichen Bank, lautend auf die E._ Corp., zu überweisen seien. Nach den Ausführungen der Beschwerdeführer solle es sich bei der E._ Corp. um eine damals durch den Beschwerdeführer 2 kontrollierte Gesellschaft gehandelt haben. Die Beschwerdeführer 2-4 seien nicht Inhaber des betreffenden Kontos Nr. X. und es werde auch nicht geltend gemacht, dass sie an diesem Konto wirtschaftlich Berechtigte gewesen seien. Damit sei nicht dargetan, dass die Beschwerdeführer 2-4 Begünstigte des saldierten Kontos der erloschenen Beschwerdeführerin 1 gewesen seien. Daran vermöchten auch die für das Gericht angefertigten Bestätigungen der Beschwerdeführer 2-4 vom 2. Juli 2012, wonach zwischen diesen eine Abmachung bestanden habe, dass der Beschwerdeführer 2 stellvertretend für die anderen Beschwerdeführer den Erlös des saldierten Kontos entgegennehmen solle, nichts zu ändern. Eine Begünstigung der Beschwerdeführer 2-4 hätte allenfalls durch das Formular A der Bank, auf dem die wirtschaftlich Berechtigten am Konto der E._ Corp. aufgeführt seien, oder durch eine entsprechende Erklärung der E._ Corp. selber erbracht werden können. Die Beschwerdeführer seien auf die Notwendigkeit eines derartigen Beweises anlässlich ihres Akteneinsichtsgesuchs bereits durch die Bundesanwaltschaft aufmerksam gemacht worden. Die Beschwerdeführer hätten es in der Hand gehabt, den von der Rechtsprechung geforderten Beleg zu liefern.
2.5 Die Vorinstanz verweist auf das bundesgerichtliche Urteil 1C_183/2012 vom 12. April 2012, wo eine ähnliche Sachlage gegeben gewesen sei.
In jenem Urteil führte das Bundesgericht aus, die Vorinstanz habe anerkannt, dass die Beschwerdeführer die wirtschaftlich am Konto Berechtigten gewesen seien und die Gesellschaft, welche Kontoinhaberin gewesen sei, aufgelöst und liquidiert worden sei. Die Vorinstanz habe jedoch befunden, die Tatsache, dass die Gesellschaft zugunsten der wirtschaftlich Berechtigten liquidiert worden sei, sei nicht bewiesen worden. Das Bundesgericht erwog dazu, die Beschwerdeführer behaupteten, der Liquidationserlös sei zugunsten einer Gesellschaft überwiesen worden, deren wirtschaftlich Berechtigter einer der Beschwerdeführer sei. Die Beschwerdeführer brächten jedoch keinen Beweis bei, der diese Behauptung stützen würde (E. 1.5). Das Bundesgericht kam deshalb zum Schluss, die Verneinung der Beschwerdelegitimation durch die Vorinstanz verletze kein Bundesrecht (E. 1.6).
Im Urteil 1C_440/2011 vom 17. Oktober 2011 erwog das Bundesgericht, es gehe aus den Akten hervor, dass der Beschwerdeführer der wirtschaftlich Berechtigte am Konto gewesen sei und die Gesellschaft, welche Kontoinhaberin gewesen sei, aufgelöst und liquidiert worden sei. Dazu habe die Vorinstanz vom Beschwerdeführer keine weiteren Beweise zu verlangen gehabt. Die für die Beurteilung der Beschwerdelegitimation wesentliche Tatsache, dass die Gesellschaft zugunsten des wirtschaftlich Berechtigten liquidiert worden sei, sei dagegen aus den Akten nicht hervorgegangen. Die Beschwerde an die Vorinstanz habe dazu keinerlei Behauptung oder Beweisangebot enthalten. Es sei keineswegs missbräuchlich gewesen, vom Beschwerdeführer insoweit den Beweis zu verlangen (E. 1.5).
Im Urteil 1C_161/2011 vom 11. April 2011 legte das Bundesgericht dar, nach den Feststellungen der Vorinstanz sei der Saldo des Kontos der aufgelösten Gesellschaft zugunsten einer dritten Gesellschaft überwiesen worden, so dass der Beschwerdeführer nicht Begünstigter gewesen sei. Das Bundesgericht erwog, der Beschwerdeführer sei nicht daran gehindert gewesen, mittels Unterlagen ("pièces à l'appui") zu beweisen, dass er in Wahrheit Begünstigter der Liquidation gewesen sei. Diesen Beweis habe er nicht erbracht (E. 1.3.2 und 1.4).
2.6 Die Beschwerdeführer haben am 6. Juni 2012 Beschwerde bei der Vorinstanz eingereicht. Am 2. Juli 2012 haben sie die Beschwerde ergänzt. In der Ergänzung äusserten sie sich eingehend zur Beschwerdelegitimation. Sie führten insbesondere aus, bei der E._ Corp. habe es sich um eine vom Beschwerdeführer 2 kontrollierte Gesellschaft gehandelt. Das dieser gehörende Konto sei für die Überweisung des Restsaldos des Kontos der Beschwerdeführerin 1 verwendet worden. In diesem Zusammenhang verwiesen die Beschwerdeführer auf Beschwerdebeilage 24. Diese enthält eine Erklärung des Beschwerdeführers 2 betreffend die Liquidation der Beschwerdeführerin 1. In Ziffer 4 der Erklärung führt der Beschwerdeführer 2 insbesondere aus, seine wirtschaftliche Berechtigung an dem von der E._ Corp. unterhaltenen Konto werde durch das beiliegende Formular A der Bank belegt. Der Beschwerdebeilage 24 ist dieses Formular A beigefügt. Darin wird festgehalten, dass der Beschwerdeführer 2 der an den Vermögenswerten der E._ Corp. wirtschaftlich Berechtigte ist.
Wie dargelegt, bemerkt die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid, eine Begünstigung der Beschwerdeführer 2-4 hätte allenfalls durch das Formular A der Bank erbracht werden können. Das Formular A wäre also nach den eigenen Darlegungen der Vorinstanz für ihren Entscheid bedeutsam gewesen. Sie hat es, wie sie in der Vernehmlassung einräumt, übersehen. Damit hat sie den Anspruch der Beschwerdeführer 2-4 auf rechtliches Gehör verletzt.
2.7 Im genannten Formular A haben zwei namentlich genannte Direktoren der E._ Corp. unterschriftlich bestätigt, dass der Beschwerdeführer 2 der wirtschaftlich Berechtigte der auf dem Konto der E._ Corp. liegenden Vermögenswerte ist; dies, nachdem sie im Formular ausdrücklich darauf hingewiesen worden sind, dass vorsätzliche falsche Angaben unter den Tatbestand der Urkundenfälschung gemäss <ref-law> fallen und mit bis zu fünf Jahren Freiheitsstrafe geahndet werden. Letzteres entspricht der bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Danach kommt dem Formular A eine erhöhte Glaubwürdigkeit zu und stellt es - auch was den Inhalt der Erklärung betrifft - eine Urkunde dar (Urteil 6S.346/1999 vom 30. November 1999 E. 4c, publ. in: SJ 2000 I S. 234; bestätigt im Urteil 6S.293/2005 vom 24. Februar 2006 E. 8.2). Gemäss <ref-law> sind Urkunden unter anderem Schriften, die bestimmt und geeignet sind, eine Tatsache von rechtlicher Bedeutung zu beweisen. Die Beweiseignung der im Formular A enthaltenen Erklärung ist damit gegeben.
Die bundesgerichtliche Rechtsprechung ist in dem Sinne klarzustellen, dass der Beweis des Zuflusses des Liquidationserlöses der aufgelösten Gesellschaft an den wirtschaftlich Berechtigten nicht nur mit der Bescheinigung über die Auflösung erbracht werden kann. Vielmehr kann dieser Beweis - wie hier - auch mit anderen Mitteln geleistet werden. Die Erwägungen des Bundesgerichts zum jeweiligen Einzelfall in den oben (E. 2.5) erwähnten, in der amtlichen Sammlung nicht publizierten Urteilen, sind bereits in diesem Sinne zu verstehen. Wie der Beweis erbracht wird, kann keine Rolle spielen; entscheidend ist, dass er erbracht wird.
2.8 Die Beschwerde ist demnach, soweit darauf einzutreten ist, gutzuheissen. Die Vorinstanz wird die Beschwerdelegitimation des Beschwerdeführers 2 zu bejahen haben. Damit wird sie - sofern die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind - die bei ihr erhobene Beschwerde in der Sache grundsätzlich behandeln müssen.
2.9 Wie sich aus dem angefochtenen Entscheid (S. 3 lit. E) ergibt, wird die Vorinstanz bei Bejahung der Legitimation den betreffenden Beschwerdeführern Akteneinsicht gewähren und ihnen eine Nachfrist zur (nochmaligen) Ergänzung der Beschwerde einräumen. Über den entsprechenden Verfahrensantrag braucht hier deshalb nicht befunden zu werden. Die Festlegung der Dauer der Nachfrist liegt im Ermessen der Vorinstanz.
3. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Kosten gänzlich zu verzichten (<ref-law>). Die Eidgenossenschaft hat den Beschwerdeführern 2-4 für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese wird auf insgesamt Fr. 2'500.-- (inkl. Mehrwertsteuer) festgesetzt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird, soweit darauf eingetreten werden kann, gutgeheissen, der Entscheid des Bundesstrafgerichts vom 25. Juli 2012 aufgehoben und die Sache an dieses zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Eidgenossenschaft (Bundesanwaltschaft) hat den Beschwerdeführern 2-4 eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Schweizerischen Bundesanwaltschaft, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Oktober 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri