Verlängerung der Ausschaffungshaft, hat sich ergeben:
A.-Nachdem er sich bereits früher illegal in der Schweiz aufgehalten hatte und am 9. April 1994 durch den Kanton Bern ausgeschafft worden war, wurde der algerische Staatsangehörige X._ am 7. Februar 1997 von der Polizei aufgegriffen. Am 10. Februar 1997 stellte er ein Asylgesuch. Mit Verfügung vom 10. Juli 1997 stellte das Bundesamt für Flüchtlinge fest, dass X._ die Flüchtlingseigenschaft nicht erfülle; es lehnte dessen Asylgesuch ab und wies ihn, unter Ansetzung einer Ausreisefrist, aus der Schweiz weg. Mit dem Wegweisungsvollzug wurde der Kanton Luzern beauftragt.
In der Folge war X._ für die Behörden nicht mehr auffindbar, wobei er nach eigenen Angaben die Schweiz aber nicht verliess, sondern an verschiedenen Orten schwarz arbeitete. Am 17. Mai 2001 wurde er von der Kantonspolizei Freiburg aufgegriffen; dabei erklärte er, er wolle erneut um Asyl ersuchen. Bis zum 27. Mai 2001 verbüsste er eine unbedingte Gefängnisstrafe von 10 Tagen wegen illegalen Aufenthalts und Erwerbstätigkeit ohne Bewilligung. Am 28. Mai 2001 nahm das Amt für Migration des Kantons Luzern X._ zur Sicherstellung der nie vollzogenen asylrechtlichen Wegweisung vom 10. Juli 1997 in Ausschaffungshaft.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, bestätigte mit Urteil vom 30. Mai 2001 die Haft bis 27. August 2001.
Das Bundesamt für Flüchtlinge trat am 25. Juni 2001 auf das neue Asylgesuch von X._ nicht ein und wies ihn wiederum, mit sofortiger Wirkung und unter Androhung der Ausschaffung im Unterlassungsfall, aus der Schweiz weg.
Einer allfälligen Beschwerde entzog es die aufschiebende Wirkung. Die Schweizerische Asylrekurskommission lehnte am 6. August 2001 das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab.
Mit Schreiben vom 7. August 2001 stellte X._ beim Verwaltungsgericht, Verwaltungsrechtliche Abteilung, des Kantons Luzern ein Haftentlassungsgesuch (Postaufgabe am 9. August, Eingang beim Verwaltungsgericht am 13. August 2001), worin insbesondere auf seinen (psychischen) Gesundheitszustand hingewiesen wurde. Auf Anordnung des Verwaltungsgerichts hin liess das Amt für Migration X._ am 17. August 2001 durch einen Psychiater untersuchen, welcher einen Bericht erstellte. Am 20. August 2001 verlängerte das Amt für Migration, nach Anhörung von X._, die Ausschaffungshaft um drei Monate; es ersuchte das Verwaltungsgericht (nachfolgend: Haftgericht) um entsprechende Bestätigung und um Abweisung des Haftentlassungsgesuchs. An der mündlichen Verhandlung vor dem Haftgericht am 22. August 2001 ersuchte X._ um eine neues psychiatrisches Gutachten.
Mit Urteil vom 22. August 2001 wies das Haftgericht das Haftentlassungsgesuch zur Zeit ab und bewilligte die Verlängerung der Ausschaffungshaft bis 27. November 2001. Es lehnte zudem den Antrag auf ein psychiatrisches Obergutachten zur Zeit ab, wies aber die Vollzugsbehörde an, bei einer Verschlechterung des psychischen Zustandes des Inhaftierten unverzüglich eine erneute psychiatrische Begutachtung zu veranlassen; eine solche habe spätestens in einem Monat nach dem Haftverlängerungsurteil zu erfolgen, wobei der Bericht dem Gericht und dem Rechtsvertreter von X._ von Amtes wegen zuzustellen sei. Die vollständige Ausfertigung des Urteils mit Begründung datiert vom 24. August 2001 und wurde vom Rechtsvertreter von X._ am 27. August 2001 entgegengenommen.
B.-Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 25. September 2001 beantragt X._, das Urteil des Haftgerichts sei aufzuheben, er sei aus gesundheitlichen Gründen unverzüglich freizulassen und es sei ihm die angemessene Pflege zukommen zu lassen, wobei er im Hinblick auf die Fortführung des am 17. Mai 2001 eingeleiteten Asylverfahrens vollumfänglich dem Bundesamt für Flüchtlinge zur Verfügung gestellt werden solle. Im Übrigen beantragt er, er sei vorläufig aufzunehmen und es sei zu veranlassen, dass er in den Genuss von denjenigen Massnahmen komme, welche das Gesetz für den Fall vorsehe, dass eine Wegweisung zur Zeit nicht zumutbar sei.
Das Amt für Migration beantragt vollumfängliche Abweisung der Beschwerde; das Haftgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten sei.
Innert der hierfür angesetzten Frist haben das Bundesamt für Ausländerfragen nicht Stellung genommen und der Beschwerdeführer sich nicht ergänzend geäussert.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-Sowohl Anträge wie Begründung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beziehen sich zu einem grossen Teil auf Fragen asylrechtlich relevanter Verfolgung und diesbezüglicher Rechtsfolgen. Für solche Belange ist die Zuständigkeit des Bundesgerichts nicht gegeben (vgl. Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 und 4 OG; sodann Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 OG betreffend die vorläufige Aufnahme).
Vielmehr befinden darüber ausschliesslich und abschlies-send die gemäss Asylgesetz vom 26. Juni 1998 (AsylG; SR 142. 31) zuständigen Bundesbehörden (Bundesamt für Flüchtlinge, Schweizerische Asylrekurskommission, vgl. Art. 25 und 44 bzw. <ref-law>).
Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens ist allein, ob die zur Sicherstellung der im Asylverfahren ergangenen zwei Wegweisungsverfügungen (vom 10. Juli 1997 und vom 25. Juni 2001) angeordnete bzw. aufrechterhaltene und verlängerte Ausschaffungshaft bundesrechtskonform ist.
Nur insofern kann auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingetreten werden. Dabei hat das Bundesgericht selbst in Berücksichtigung von Art. 13c Abs. 5 des Bundesgesetzes über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142. 20; in der Fassung des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht [Zwangsmassnahmengesetz; AS 1995 146 ff.]) keine Handhabe, auf die Frage einzugehen, ob der Vollzug der Wegweisung aus Gründen undurchführbar sei, die mit der behaupteten Gefährdung des Ausländers in seinem Heimatland zusammenhängen. Dies ist angesichts der vom 6. August 2001 datierenden Verfügung der Schweizerischen Asylrekurskommission, womit diese es ablehnte, die aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegen die Verfügung des Bundesamtes für Flüchtlinge vom 25. Juni 2001 in Bezug auf den Wegweisungsvollzug wieder herzustellen, zumindest im vorliegenden Fall zum Vornherein ausgeschlossen.
2.-a) Die zuständige Behörde kann einen Ausländer in Ausschaffungshaft nehmen, sofern die Voraussetzungen von Art. 13b ANAG erfüllt sind. Danach ist erforderlich, dass ein erstinstanzlicher, nicht notwendigerweise auch rechtskräftiger Weg- oder Ausweisungsentscheid vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 61; <ref-ruling> E. 3a S. 374; <ref-ruling> E. 1 S. 150), dessen Vollzug (z.B. wegen fehlender Reisepapiere) noch nicht möglich, jedoch absehbar ist (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 374, 377 E. 2a S. 379). Sodann muss einer der in Art. 13b Abs. 1 ANAG genannten Haftgründe bestehen (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 374, 377 E. 3a S. 381; <ref-ruling> E. 1 S. 3) und die Ausschaffung rechtlich und tatsächlich möglich sein (vgl. Art. 13c Abs. 5 lit. a ANAG; dazu <ref-ruling> E. 2 S. 220, 377 E. 5 S. 384). Auf Seiten der Behörden sind die für den Vollzug der Wegweisung notwendigen Vorkehrungen (wie Papierbeschaffung) umgehend zu treffen (Art. 13b Abs. 3 ANAG, Beschleunigungsgebot; vgl. <ref-ruling> ff.). Die Haft (bzw. deren Dauer) muss verhältnismässig sein (<ref-ruling> E. 4 S. 383; <ref-ruling> E. 2c S. 198; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3 S. 152 ff.). Zu beachten sind dabei die gesetzlichen Anforderungen an die Haftbedingungen (vgl.
Art. 13c Abs. 3 sowie Art. 13d ANAG; dazu <ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>), wobei insbesondere zu prüfen ist, ob der Ausländer hafterstehungsfähig ist.
Die Haft darf höchstens drei Monate dauern; stehen dem Vollzug der Weg- oder Ausweisung besondere Hindernisse entgegen, so kann die Haft mit Zustimmung der kantonalen richterlichen Behörde um höchstens sechs Monate verlängert werden (Art. 13b Abs. 2 ANAG). Gemäss Art. 13c Abs. 4 ANAG kann der inhaftierte Ausländer einen Monat nach der Haftüberprüfung ein Haftentlassungsgesuch einreichen. Über das Gesuch hat die richterliche Behörde innert acht Arbeitstagen aufgrund einer mündlichen Verhandlung zu entscheiden. Ein erneutes Gesuch um Entlassung aus der Ausschaffungshaft kann erst nach zwei Monaten gestellt werden.
b) Die Ausschaffungshaft wurde vorerst zur Sicherstellung der im ersten Asylverfahren verfügten, rechtskräftigen Wegweisung angeordnet. Mittlerweile hat das Bundesamt für Flüchtlinge erneut die Wegweisung verfügt. Die mit dem angefochtenen Urteil verlängerte Ausschaffungshaft dient damit dem vom Gesetz vorgeschriebenen Zweck.
Die kantonalen Behörden stützen die Haft auf den Haftgrund von Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG; danach kann Ausschaffungshaft angeordnet werden, wenn konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass der Ausländer sich der Ausschaffung entziehen will, insbesondere weil sein bisheriges Verhalten darauf schliessen lässt, dass er sich behördlichen Anordnungen widersetzt. Der Beschwerdeführer tauchte im Jahr 1997 nach dem negativen Asylentscheid unter, zugestandenermassen um den Vollzug der Wegweisung zu verhindern. Er blieb in der Folge in der Schweiz und arbeitete ohne entsprechende Bewilligung, wobei er sich behördlicher Kontrolle beharrlich zu entziehen wusste. Der geltend gemachte Haftgrund ist klarerweise erfüllt (<ref-ruling> E. 2a S. 50 f.). Da der Beschwerdeführer sich hiezu in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht äussert, kann diesbezüglich auf die zutreffenden Erwägungen des Haftgerichts verwiesen werden (angefochtenes Urteil E. 2, Urteil vom 30. Mai 2001 E. 4).
Die für den Wegweisungsvollzug notwendigen Pa-piere waren zum Zeitpunkt des Haftverlängerungsentscheids noch nicht eingetroffen. Damit hat das Haftgericht zu Recht das Vorliegen eines besonderen Hindernisses im Sinne von Art. 13b Abs. 2 ANAG bejaht, welches die Verlängerung der Haft grundsätzlich rechtfertigt. Die Verzögerung haben offensichtlich nicht die schweizerischen Behörden zu verantworten; vielmehr hat die kantonale Amtsstelle, in Zusammenarbeit mit dem Bundesamt für Flüchtlinge, die zweckdienlichen Massnahmen zur Papierbeschaffung getroffen, wobei noch zu berücksichtigen ist, dass beiden Behörden während der Hängigkeit des zweiten Asylverfahrens bis zum Vorliegen der verfahrensleitenden Verfügung der Schweizerischen Asylrekurskommission vom 6. August 2001 die Kontaktaufnahme mit algerischen Behörden weitgehend verwehrt war (vgl. <ref-law>). Im Übrigen liegen die Papiere in der Zwischenzeit vor, und ein erster Ausschaffungsversuch scheiterte am 4. Oktober 2001 aus Gründen, die ausserhalb des Einflussbereichs der zuständigen Behörde liegen. Dem Beschleunigungsgebot ist genügend Rechnung getragen worden.
Tatsächliche Gründe, die den Wegweisungsvollzug als in absehbarer Zeit undurchführbar erscheinen lassen würden, sind nicht erkennbar. Entsprechende rechtliche Gründe, die das Bundesgericht berücksichtigen könnte (vgl. E. 1), sind nicht geltend gemacht worden.
Die Voraussetzungen für eine Abweisung des Haftentlassungsgesuchs und auch für eine Haftverlängerung sind unter den erwähnten Gesichtspunkten erfüllt. Es ist nachfolgend noch zu prüfen, ob die Aufrechterhaltung und Weiterführung der Haft sich auch unter dem Gesichtspunkt des gesundheitlichen Zustandes des Beschwerdeführers rechtfertigt.
c/aa) Unmittelbar nach Eingang des Haftentlassungsgesuchs veranlasste das Haftgericht, dass der Beschwerdeführer psychiatrisch untersucht werde. Der beauftragte Psychiater stellte in seinem Bericht vom 17. August 2001 fest, dass der Beschwerdeführer ohne Zweifel hafterstehungsfähig sei; insbesondere erscheine eine plakativ vorgetragene Ankündigung einer Suizidhandlung als derzeit wenig glaubhaft.
Bei dieser Ausgangslage hatte das Haftgericht zum Zeitpunkt, als es über das Haftentlassungsgesuch bzw. über die Haftverlängerung entschied, bloss fünf Tage später, keinen Anlass, die Haft aus gesundheitlichen Gründen zu beenden.
Seine diesbezüglichen Erwägungen sind schlüssig (E. 5 des angefochtenen Urteils). Immerhin nahm das Haftgericht die im Haftentlassungsgesuch geltend gemachten gesundheitlichen Probleme sowie das Verhalten des Beschwerdeführers an der Verhandlung vom 22. August 2001 zum Anlass anzuordnen, dass im Fall einer Verschlechterung des psychischen Zustandes des Inhaftierten unverzüglich eine erneute psychiatrische Begutachtung zu veranlassen sei; eine solche habe in jedem Fall spätestens einen Monat nach dem Haftverlängerungsurteil zu erfolgen.
Gestützt auf diese Auflage beurteilte der Psychiater den Beschwerdeführer am 20. September 2001 erneut. In seinem Bericht vom 21. September 2001 hielt er fest, die Hafterstehungsfähigkeit scheine ihm im Moment schwierig zu beurteilen; Hinweise auf akute Suizidalität bestünden derzeit nicht; sicher sei das Vorliegen einer posttraumatischen Belastungsstörung mit deutlichem Krankheitswert, sodass eine psychiatrisch-psychotherapeutische Behandlung erforderlich sei; der Beschwerdeführer sei in der Lage, in Gefangenschaft zu leben, wobei aber die Länge des "Strafvollzug" deren Sinn und Zweck verdecke; im Hinblick auf die Ausschaffung scheine eine depressive Verschlechterung möglich, die dann auch mit selbstaggressivem Verhalten einhergehen könnte.
bb) Mit dem ärztlichen Bericht vom 21. September 2001 wird der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers dokumentiert, wie er sich am 20. September 2001 präsentierte.
Es handelt sich dabei um eine neue Tatsache, welche im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Entscheid einer richterlichen Vorinstanz grundsätzlich nicht berücksichtigt werden kann (Art. 105 Abs. 2 OG; vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 221). Neue Sachvorbringen sind in der Regel durch den kantonalen Richter, vorab bei der Prüfung eines Haftentlassungsgesuchs, zu berücksichtigen.
Besondere Gründe, es im vorliegenden Fall anders zu halten (vgl. <ref-ruling> E. 3b und 3c S. 222 ff.), liegen nicht vor: Einerseits lässt der neue ärztliche Bericht nicht darauf schliessen, dass die Haft des Beschwerdeführers wegen klarerweise fehlender Hafterstehungsfähigkeit zu beenden sei. Andererseits hat das Haftgericht dadurch, dass es eine neue Untersuchung und die Zustellung des entsprechenden Berichts anordnete, zu verstehen gegeben, dass es bereit ist, nötigenfalls einzugreifen. Es kann daher - dies im Unterschied zum vom Bundesgericht in <ref-ruling> behandelten Fall - davon ausgegangen werden, dass das Haftgericht auch vor Ablauf der Sperrfrist von zwei Monaten gemäss Art. 13c Abs. 4 Satz 3 ANAG auf ein Haftentlassungsgesuch eintreten würde, wenn eine negative Entwicklung der gesundheitlichen Situation konkret glaubhaft gemacht werden sollte (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3c/aa S. 224).
cc) Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist somit auch unter dem Gesichtspunkt der Hafterstehungsfähigkeit unbegründet.
Die für den Haftvollzug zuständigen kantonalen Behörden sind jedoch darauf hinzuweisen, dass dem Beschwerdeführer jederzeit angemessene ärztliche Betreuung garantiert sein muss. Insbesondere werden sie darauf achten müssen, dass in genügend kurzen Abständen psychiatrische Untersuchung und allenfalls Behandlung gewährleistet ist. Konkret ist eine weitere psychiatrische Begutachtung, sofern eine solche nicht schon nach dem Scheitern des Ausschaffungsversuchs vom 4. Oktober 2001 veranlasst worden sein sollte, jedenfalls nach einem allfälligen Scheitern eines zweiten Versuchs zu organisieren. Eine solche Begutachtung muss aber ohnehin spätestens so frühzeitig erfolgen, dass der ärztliche Bericht zum Zeitpunkt, da ein Haftentlassungsgesuch unter Einhaltung der Sperrfrist gestellt werden könnte (22. Oktober 2001), schon vorliegt.
d) Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist in jeder Hinsicht unbegründet und abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann (vgl. E. 1).
Das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen, welches mit Präsidialverfügung vom 26. September 2001 vorläufig abgewiesen worden ist, wird mit diesem Urteil gegenstandslos.
3.-Entsprechend dem Verfahrensausgang würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 OG). In Fällen der vorliegenden Art (unter anderem scheinen dem Beschwerdeführer weitgehend die finanziellen Mittel zu fehlen) rechtfertigt es sich jedoch, von der Erhebung einer Gerichtsgebühr abzusehen (vgl. Art. 154 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.-Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.-Es werden keine Kosten erhoben.
3.-Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und dem Verwaltungsgericht, Verwaltungsrechtliche Abteilung, des Kantons Luzern sowie dem Bundesamt für Ausländerfragen schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 9. Oktober 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: