Faits:
A.
B._ a travaillé pour X._. Elle a été affiliée à la CIA Caisse de prévoyance du personnel enseignant de l'instruction publique et des fonctionnaires de l'administration du canton de Genève (la Caisse de prévoyance de l'État de Genève depuis le 1er janvier 2014). Elle a présenté une incapacité totale de travail à partir du 28 mars 2008. Elle a démissionné de son poste pour le 31 août suivant. Elle a requis des prestations de l'assurance-invalidité le 9 janvier 2009. Son droit à une rente entière d'invalidité depuis le 1er juillet 2009 a été reconnu par décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité le 6 juillet 2011.
La caisse de prévoyance a informé l'assurée le 16 avril 2012 qu'elle lui reconnaissait le droit à une rente d'invalidité LPP d'un taux égal à celui admis par les organes de l'assurance-invalidité. Elle lui en a communiqué le montant le 30 juillet 2012. Dans la mesure où les prestations allouées semblaient limitées à celles découlant de la prévoyance professionnelle obligatoire, l'intéressée a demandé à la CIA de lui verser des prestations statutaires. La caisse de prévoyance a refusé dès lors que, selon ses statuts, seul un salarié invalide avait droit à une pension statutaire de sorte que, l'invalidité étant en l'occurrence survenue après la fin des rapports de service, B._ n'en remplissait pas les conditions d'octroi. L'assurée a contesté cette interprétation et persisté à réclamer le versement de prestations statutaires d'invalidité.
B.
L'intéressée a déposé une demande en paiement contre la CIA devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève le 21 novembre 2012. Elle considérait que les statuts de la caisse de prévoyance se contentaient de définir de façon autonome la notion d'invalidité et ne concernaient nullement la définition de l'événement assuré de sorte que le paiement de prestations statutaires ne pouvait être subordonné à la survenance d'une invalidité pendant la période d'assurance. Elle concluait à la condamnation de la CIA à lui octroyer une rente statutaire d'invalidité dès le 1er juillet 2009. La caisse de prévoyance a conclu au rejet de la demande. Elle prétendait que seule une invalidité constatée au moment où l'assuré durablement atteint dans sa santé durant l'exercice de ses fonctions était toujours salarié donnait droit à des prestations statutaires. Les parties ont développé leurs interprétations de la notion statutaire d'invalidité et ont maintenu leurs conclusions lors d'un second échange d'écritures.
Le tribunal cantonal a débouté B._ (jugement du 10 octobre 2013). Il a estimé que le libellé parfaitement clair des statuts exigeait que la qualité de salarié soit remplie à la naissance de l'invalidité et a écarté toute autre interprétation.
C.
L'assurée recourt contre ce jugement. Elle demande son annulation et, sous suite de dépens, conclut à la condamnation de la CIA à lui verser une rente statutaire d'invalidité dès le 1er juillet 2009 ou au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire.
La caisse de prévoyance conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (cf. <ref-law>) interjeté pour violation du droit fédéral (comprenant les droits fondamentaux) au sens de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), revoit librement les dispositions de droit public cantonal ou communal en matière de prévoyance professionnelle (<ref-ruling>; voir également Markus Schott, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2ème éd. 2011, n° 46 ad <ref-law>), statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>) qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes ou des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (<ref-law>), examine en principe seulement les griefs allégués et motivés (<ref-law>), spécialement s'il portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>), et ne peut trancher ultra petita (<ref-law>). Le recourant n'est habilité à critiquer la constatation des faits qui influent sur le sort du litige que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle. Compte tenu du dispositif du jugement attaqué et de ses considérants, des griefs de l'assurée et de ses conclusions, ainsi que des exigences de motivation et d'allégation de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; voir aussi Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad <ref-law>), il s'agit d'examiner si la recourante a droit à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle plus étendue, singulièrement de déterminer la portée de la notion statutaire d'invalidité.
3.
3.1. L'art. 28 al. 1 des statuts de l'institution de prévoyance intimée définit l'invalidité comme étant «[l']atteinte durable à la santé physique ou mentale du salarié entraînant une incapacité partielle ou totale de remplir sa fonction ou toute autre fonction analogue au service de l'État ou d'une institution externe».
3.2. L'assurée fait en substance grief aux premiers juges d'avoir procédé à une interprétation insoutenable de la disposition mentionnée. Elle conteste singulièrement la conclusion de la juridiction cantonale, selon laquelle ladite disposition exigerait que la qualité de salarié soit encore remplie lors de la naissance de l'invalidité. Elle estime qu'une interprétation correcte de l'art. 28 al. 1 des statuts conduit à la constatation du fait que la qualité de salarié ne doit exister que lorsque commence l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité.
4.
4.1. Les institutions de prévoyance participant à l'application du régime obligatoire de la prévoyance professionnelle (<ref-law>) doivent respecter les exigences minimales que fixent les art. 7 à 47 LPP (<ref-law>). Elle peuvent néanmoins prévoir des prestations supérieures aux exigences évoquées (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 179 sv. et les références). Celles qui étendent la prévoyance au-delà desdites exigences (prévoyance surobligatoire ou plus étendue) sont dites enveloppantes (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 180 et les références) et offrent en principe un plan de prestations unique, qui inclut les prestations minimales et les améliore sans faire de différence entre prévoyance obligatoire et plus étendue (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 180 et les références).
4.2. En l'espèce, la lecture du chapitre II (prestations) des statuts de la caisse de prévoyance intimée, notamment des art. 28 à 32 concernant les pensions d'invalidité, suffit pour démontrer que celle-ci est une institution enveloppante dans la mesure où elle n'opère pas de distinction entre prestations découlant de la prévoyance obligatoire et prestations découlant de la prévoyance plus étendue. En outre, elle est constituée en corporation de droit public dont le but est d'assurer à ses membres, ou à leurs ayants droit, les prestations prévues dans ses statuts (art. 1 al. 1 des statuts). Le sens de ces derniers doit donc être recherché selon les règles applicables en matière d'interprétation des lois (cf. p. ex. arrêt 9C_613/2013 du 30 décembre 2013 consid. 5.1).
5.
5.1. La loi s'interprète en premier lieu selon sa lettre. Ce n'est que si le texte n'est pas absolument clair qu'il faut rechercher la véritable portée de la norme en la dégageant des travaux préparatoires, de son but, de son esprit, des valeurs qui la sous-tendent ou de sa relation avec d'autres dispositions légales (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 484 et les références).
5.2. Le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de s'exprimer sur le contenu de l'art. 28 al. 1 des statuts de l'institution de prévoyance intimée. Il a alors constaté que la notion statutaire d'invalidité était plus large que celle qui résultait de la LAI dans la mesure où elle établissait une invalidité de fonction qui n'exigeait pas la prise en considération d'une activité raisonnablement exigible sur l'ensemble du marché du travail pertinent pour l'intéressé, si bien que celui-ci pouvait être mis au bénéfice d'une rente statutaire d'invalidité sans forcément remplir les conditions fixées dans la LAI (cf. arrêts 9C_388/2009 du 10 mai 2010 consid. 4.2, non publié in <ref-ruling> ou B 146/06 du 3 décembre 2007 consid. 7).
5.3. Comme l'a donc constaté le Tribunal fédéral, l'art. 28 al. 1 des statuts controversé définit la notion d'invalidité. Le texte de cet article statutaire est clair. A la différence de l'<ref-law>, il assimile l'invalidité à l'atteinte à la santé et pas à l'incapacité de gain. Si cette atteinte affecte la santé physique ou mentale d'un salarié, si elle peut être qualifiée de durable et si elle génère une incapacité partielle ou totale à remplir la fonction exercée précédemment ou toute autre fonction analogue au service de l'État ou d'une institution externe, alors on parle d'invalidité. Le salarié souffrant d'une atteinte durable à la santé qui cause chez lui une incapacité à remplir son travail habituel doit donc être qualifié d'invalide.
Toutes les conditions énoncées sont en l'espèce réunies. Il ressort en effet de la décision de l'office AI que, conformément à la définition statutaire, l'atteinte à la santé (dont on ignore la nature [somatique ou mentale] qui n'est toutefois pas déterminante dès lors que les organes de l'assurance-invalidité l'ont admise et que ceux-ci reconnaissent toute atteinte à la santé physique, mentale ou psychique) a frappé durablement (puisqu'aucune période de rémission n'a été observée entre le moment de son objectivation en mars 2008 et celui de sa reconnaissance officielle en juillet 2011) la recourante à une date antérieure à la démission du poste occupé au sein de X._ (qui a pris effet au 31 août 2008) et a entraîné chez elle une incapacité totale à exercer sa fonction et toute autre fonction au service de l'État depuis le 29 mars 2008 (dans la mesure où l'incapacité de travail ne concerne pas uniquement l'activité habituelle, mais aussi toute autre activité professionnelle). L'assurée doit donc être qualifiée d'invalide selon la définition statutaire. Aucun terme de cette définition ne permet par ailleurs de relier la qualité de salarié à la naissance du droit à la rente, qui correspond en l'espèce à celle du droit à la rente de l'assurance-invalidité (cf. art. 28 al. 4 des statuts; arrêt 9C_388/2009 du 10 mai 2010 consid. 4.2, non publié in <ref-ruling>), contrairement à ce qu'a fait le tribunal cantonal sans justification d'aucune sorte, ni de déterminer de manière autonome par rapport à la LPP ce qu'est l'événement ou le risque assuré. On ne voit pas en quoi l'évocation par analogie d'un arrêt dans lequel la disposition statutaire interprétée liait le droit de l'assuré à une rente d'invalidité à l'apparition avant l'âge de la retraite d'une incapacité de gain d'au moins 25% (arrêt B 33/03 du 23 janvier 2004) peut être utile aux premiers juges pour justifier leurs conclusions, dès lors qu'il a été constaté que cette clause statutaire définissait l'événement assuré comme étant l'incapacité de gain ou l'invalidité et que celui-ci était survenu postérieurement à la fin des rapports de travail, ce qui ne correspond absolument en rien aux circonstances du cas particulier.
5.4. Par conséquent, il ressort de l'interprétation du texte de l'art. 28 al. 1 à 4 des statuts de la caisse de prévoyance intimée que la recourante peut prétendre une rente statutaire d'invalidité. Il n'est pas nécessaire de recourir à une autre méthode d'interprétation pour rechercher la véritable portée de cette disposition (cf. consid. 5.1), d'autant moins que, dans ses différentes prises de position, l'institution de prévoyance évoquée n'a fait état d'aucune raison pertinente résultant des travaux préparatoires, du but et du sens de l'article ou de la systématique des statuts qui jetterait un doute sur le bien-fondé de l'interprétation à laquelle il a été procédé. On relèvera qu'elle s'est essentiellement bornée à citer des principes jurisprudentiels tirés de cas particuliers qui ne correspondaient pas à celui de la recourante sans même dire en quoi ceux-ci étaient susceptibles d'étayer son interprétation personnelle (cf., p. ex., arrêt B 146/06 du 3 décembre 2007 qui porte sur la définition de l'invalidité selon une ancienne version des statuts de la caisse de prévoyance intimée; arrêt B 33/03 du 17 mai 2005 qui concerne une disposition statutaire définissant l'événement ou le risque assuré et non la notion d'invalidité; arrêts 9C_780/2007 du 12 février 2009 et 9C_54/2008 du 9 octobre 2008 qui concernent une disposition statutaire exigeant la constatation d'une incapacité de travail permanente durant la période d'affiliation). La reprise des actifs et des passifs de la CIA par la Caisse de prévoyance de l'État de Genève ne change rien à ce qui précède.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires et les dépens doivent être mis à la charge de l'institution de prévoyance intimée (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis Le jugement rendu par la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, le 10 octobre 2013 est annulé. B._ a droit à une rente statutaire d'invalidité dès le 1er juillet 2009.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la Caisse de prévoyance de l'État de Genève.
3.
La Caisse de prévoyance de l'État de Genève versera à B._ la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour qu'elle rende une nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton