Sachverhalt:
A.
Der 1963 geborene A._ zog sich bei einem Sturz in eine Baugrube Kopfverletzungen (leichte traumatische Hinverletzung; Contusio labyrinthii) zu. Am 6. Juli 2009 meldete er sich wegen Kopfschmerzen und Schwindel bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Das Center B._ führte im Auftrag der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft ein psychiatrisches Assessment durch (Bericht vom 18. Februar 2010). Die IV-Stelle Zürich zog die entsprechenden Unterlagen bei und gab beim Institut C._ein polydisziplinäres Gutachten in Auftrag, das vom 26. Oktober 2011 datiert. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie einen Rentenanspruch des Versicherten mit Verfügung vom 31. Mai 2013 (Invaliditätsgrad: 25 %).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. Januar 2015 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei das Gutachten des Instituts C._ vom 26. Oktober 2011 als nichtig zu erklären; die Angelegenheit sei an die IV-Stelle zurückzuweisen, und er sei durch unabhängige Experten interdisziplinär zu begutachten. Weiter beantragt A._ eine Rentenzusprache, eventualiter sei ihm bis September 2011 eine befristete Invalidenrente auszurichten, und ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_967/2008 vom 5. Januar 2009 E. 5.1).
2.
Die Vorinstanz hat dem polydisziplinären Gutachten des Instituts C._ vom 26. Oktober 2011, wonach beim Versicherten für körperlich leichte und mittelschwere, adaptierte Tätigkeiten eine uneingeschränkte Arbeits- und Leistungsfähigkeit besteht, Beweiskraft beigemessen.
Der Beschwerdeführer stellt eine neutrale Begutachtung durch die psychiatrische Gutachterin des Instituts C._ Dr. med. D._ in Abrede, weil diese seinen Gesundheitszustand bereits im Rahmen des Centers B._ beurteilt hat (Bericht vom 18. Februar 2010); er ist der Auffassung, dass die Gutachterin eine "Aufklärungspflicht" bezüglich ihrer früheren Beurteilung getroffen hätte, und erachtet die Explorationsdauer im Institut C._ als nicht ausreichend . Der Versicherte rügt sodann, dass sich Dr. med. D._ mit den abweichenden Einschätzungen der behandelnden Psychiater unzureichend auseinandersetzte (Berichte von Dr. med. E._ vom 12. Dezember 2009/10. Oktober 2010, der Klinik F._ vom 6. Mai 2010 und der Klinik G._ vom 21. Dezember 2010). Er bestreitet schliesslich die retrospektive Einschätzung der Gutachter des Instituts C._, wonach vor dem Begutachtungszeitpunkt im September 2011 keine rentenbegründende Arbeitsunfähigkeit bestanden habe.
3.
3.1. Ob es sich beim Antrag betreffend Nichtigkeit des Gutachtens des Instituts C._ (Voreingenommenheit der psychiatrischen Gutachterin Dr. med. D._) um ein unzulässiges neues Rechtsbegehren (<ref-law>) handelt, kann offen bleiben. So oder anders trifft den Versicherten die Pflicht, einen Ausstandsgrund sofort zu rügen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 4; Urteil 9C_629/2013 vom 13. Dezember 2013 E. 4.3 mit Hinweisen), was vorliegend unterblieben ist. Somit besteht schon mit Blick darauf kein Grund für eine psychiatrische Neubegutachtung.
3.2. Wie der Beschwerdeführer im Übrigen selber einräumt, schliesst der Umstand, dass ein Sachverständiger sich schon einmal mit einer Person befasst hat, dessen späteren Beizug als Gutachter nicht zum Vornherein aus (vgl. <ref-ruling> E. 7.2.2 S. 110 mit Hinweisen). Im Bericht über das Center B._ vom 18. Februar 2010 ging Dr. med. D._ explizit von einem unklaren diagnostischen Bild aus und stellte keine definitiven Diagnosen. Dass sie im Gutachten des Instituts C._ diesbezüglich den Begriff "Differenzialdiagnosen" verwendete, führt nicht zur Unverwertbarkeit der Expertise, zumal die psychiatrische Expertin des Instituts C._ zu ihrer früheren Beurteilung des Centers B._ detailliert Stellung nahm. Es ist nicht ersichtlich, inwieweit sie versucht haben soll, diese ohne sachliche Begründung zu relativieren. Im Rahmen der polydisziplinären Begutachtung des Instituts C._ war Dr. med. D._ sodann lediglich eine von drei medizinischen Experten, deren Beurteilung im Gesamtkonsens erfolgte. Die Konstellation war insoweit eine grundlegend andere als beim Center B._ vom 17. Februar 2010. Insgesamt liegen keine Umstände vor, die den Anschein der Befangenheit objektiv zu begründen vermögen. Ob eine "Aufklärungspflicht" der psychiatrischen Gutachterin des Instituts C._ bestand, kann vor diesem Hintergrund dahingestellt bleiben, zumal auch der Inhalt einer solchen Pflicht nicht weiter substantiiert ist und dem Beschwerdeführer Dr. med. D._ bereits vor der (persönlichen) Untersuchung anlässlich des Centers B._ bekannt war.
4.
4.1. Die vorinstanzliche Feststellung, wonach der Versicherte der psychiatrischen Gutachterin des Instituts C._ gegenüber erklärt habe, alle seine Beschwerden seien vollständig erfasst, stimmt mit den Akten überein. Der Beschwerdeführer benennt diesbezüglich keine konkreten sachrelevanten Missverständnisse zwischen ihm und der Gutachterin bzw. dem Dolmetscher, die auf eine Unverwertbarkeit der psychiatrischen Exploration hindeuten oder die Ausführungen des kantonalen Gerichts zu diesem Punkt sonst wie offensichtlich unrichtig erscheinen lassen. Die Vorinstanz hat alsdann zu Recht erwogen, dass auch eine eher kurz bemessene Explorationsdauer, die grundsätzlich im Ermessen des medizinischen Experten liegt (vgl. Urteile 9C_246/2010 vom 11. Mai 2011 E. 2.2.2; 9C_664/2009 vom 6. November 2009 E. 3), am Aussagegehalt der psychiatrischen Expertise des Instituts C._ nichts ändert, zumal diese inhaltlich den Beweiskriterien (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 352; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232) genügt. Die Dauer sämtlicher Untersuchungen des Instituts C._ war im Voraus auf zwei Stunden veranschlagt. Dass die psychiatrische Exploration demgegenüber lediglich 15 Minuten angehalten haben soll, wie der Beschwerdeführer geltend macht, erscheint angesichts der Ausführlichkeit von (erfragter) Anamnese und (persönlicher) Untersuchung sowie aufgrund des Umstands, dass die Angaben des Versicherten übersetzt werden mussten, nicht überwiegend wahrscheinlich.
4.2.
4.2.1. Das kantonale Sozialversicherungsgericht hat sodann beweiswürdigend festgestellt, wie dem Center B._ vom 17. Februar 2010 sei auch den übrigen psychiatrischen Berichten bezüglich der Arbeitsfähigkeit des Versicherten nichts abzugewinnen. Dies gelte zum einen für die kaum bzw. nicht begründeten Berichte des behandelnden Psychiaters Dr. med. E._, zum anderen sei in den Berichten der Klinik F._ und der Klinik G._ nebst anderem wohl eine somatoforme Schmerzstörung diagnostiziert worden, welche Diagnose aber von den Gutachtern des Instituts C._ verworfen worden sei.
In Bezug auf die retrospektive Beurteilung der Arbeitsfähigkeit hat die Vorinstanz festgestellt, objektiv fassbare Gesichtspunkte, welche konkrete Zweifel an der rückblickenden Beurteilung der Sachverständigen des Instituts C._ auslösen könnten und darauf hindeuteten, dass nach Ablauf der einjährigen Wartezeit eine rentenbegründende Arbeits- bzw. Erwerbsunfähigkeit vorgelegen hätte, seien nicht aktenkundig. Ferner sei auch keine relevante Verschlechterung des beruflichen Leistungsvermögens des Versicherten seit der Exploration im Institut C._ am 26./27. September 2011 bis zum Verfügungszeitpunkt am 31. Mai 2013 erstellt.
4.2.2. Einem Abstellen auf die Stellungnahmen des behandelnden Psychiaters Dr. med. E._ vom 12. Dezember 2009/10. Oktober 2010 steht - den Angaben der psychiatrischen Expertin des Instituts C._ entsprechend - in der Tat entgegen, dass die Arbeitsfähigkeit darin nicht (Bericht vom 12. Dezember 2009) oder nur in Bezug auf die bisherige Tätigkeit des Versicherten als Kranführer (Bericht vom 10. Oktober 2010) beurteilt wurde. Die Vorinstanz hat sodann die Tatsache, dass sich der Beschwerdeführer in der Klinik F._ und in der Klinik G._ in stationäre psychiatrische Behandlung begeben hat, gewürdigt. Die im Rahmen dieser Hospitalisationen diagnostizierte depressive Störung lag gemäss der psychiatrischen Gutachterin des Instituts C._ - wie die somatoforme Schmerzstörung - nicht (mehr) vor. Der hausärztliche Bericht von Dr. med. H._ vom 14. Februar 2010 stützt sich weitgehend auf die subjektiven Angaben des Versicherten und enthält keine Beurteilung der Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit (zum Unterschied zwischen Behandlungs- und Begutachtungsauftrag vgl. Urteile 8C_260/2011 vom 25. Juli 2011 E. 5.2 und 8C_567/2010 vom 19. November 2010 E. 3.2.2); auch diese Stellungnahme hat das kantonale Gericht einbezogen . Die Vorinstanz durfte demgemäss, ohne Bundesrecht zu verletzen (E. 1), zum Schluss gelangen, dass die Berichte der behandelnden Ärzte die Beweiskraft des (psychiatrischen) Gutachtens des Instituts C._ (zum Beweiswert von gemäss <ref-law> eingeholten Gutachten vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 470; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 353) nicht in Zweifel zu ziehen vermögen.
In Bezug auf die Schlussfolgerung, dass retrospektiv keine rentenbegründende Arbeits- bzw. Erwerbsunfähigkeit vorliegt, hat sich das kantonale Sozialversicherungsgericht auf die relevanten Punkte gestützt. Was der Beschwerdeführer - unter erneuter Berufung auf die Berichte seiner behandelnden Ärzte - dagegen vorbringt, erschöpft sich im Wesentlichen in appellatorischer Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung, was nicht genügt. Insbesondere führt der Umstand, dass die Gutachter des Instituts C._ die rückwirkende Beurteilung der Arbeitsfähigkeit als schwierig bezeichneten, nicht zur offensichtlichen Unrichtigkeit der diesbezüglichen Tatsachenfeststellungen (vgl. E. 1).
4.3. Insgesamt legt der Versicherte nicht schlüssig dar, inwiefern die Feststellungen des kantonalen Sozialversicherungsgerichts offensichtlich unrichtig oder sonst wie bundesrechtswidrig sind (E. 1). Im vorinstanzlichen Verzicht auf weitere Abklärungen liegt keine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (antizipierende Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 4b S. 94). Die übrigen Faktoren der Invaliditätsbemessung werden nicht beanstandet und geben keinen Anlass zu Weiterungen. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Seinem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwältin Dr. Barbara Wyler als Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Dr. Barbara Wyler wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Oktober 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder