(Berufsausübung; Disziplinarmassnahme), hat sich ergeben:
A.- Rechtsanwalt A._ hatte in ein an die Mieter eines Mandanten adressiertes Schreiben vom 4. April 2000 folgenden Satz aufgenommen:
"Im übrigen darf ich Sie in Kenntnis setzen, dass
sich mein Mandant - entsprechend ihrem 'Vorbild' - vorbehält, Kopien dieses Schreibens an die interessierten
Personen zu versenden.. "
Auf Anzeige der Mieter hin sprach das Obergericht des Kantons Schaffhausen (im Folgenden: Obergericht) mit Entscheid vom 19. Januar 2001 eine Verwarnung gegen A._ aus. Mit jenem "Hinweis" habe er sich "ein aufsichtsrechtlich unzulässiges Verhalten zu Schulden kommen lassen".
Als nicht standeswidrig erachtete das Obergericht hingegen die Übernahme des (betreffenden) Mandates gegenüber den Anzeigern als ehemaligen Klienten, hielt indessen fest, dies bewege sich "zumindest am Rande des standesrechtlich verpönten Verhaltens". Einen weiteren gleichartigen Vorwurf befand es als nicht erwiesen. Es auferlegte A._ die Verfahrenskosten, reduzierte sie aber auf Fr. 400.--, weil "zwei von drei erhobenen Rügen aufsichtsrechtlich nicht relevant" gewesen seien.
B.- A._ hat am 15. Februar 2001 staatsrechtliche Beschwerde "wegen Verletzung von <ref-law> (Rechtsgleichheit), <ref-law> (Verletzung des Willkürverbotes), Art. 16 Abs. 1 und 2 BV (Meinungsfreiheit), Art. 27 (Wirtschaftsfreiheit) sowie <ref-law> (Verletzung des rechtlichen Gehörs)" eingereicht mit dem Antrag, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben.
C.- Das Obergericht des Kantons Schaffhausen hat, unter Hinweis "auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid" auf eine Stellungnahme verzichtet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die ausgesprochene Verwarnung ist eine Disziplinarmassnahme ("Ordnungsstrafe"). Damit erweist sich der angefochtene Entscheid als Hoheitsakt. Da es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid handelt und auf Bundesebene kein anderes Rechtsmittel offen steht, ist die staatsrechtliche Beschwerde zulässig (Art. 86 Abs. 1 und Art. 87 in Verbindung mit Art. 84 Abs. 2 OG). Der Beschwerdeführer wird durch die umstrittene Massnahme und die Kostenfolge in rechtlich geschützten eigenen Interessen betroffen und ist daher zur Beschwerde legitimiert (Art. 88 OG; vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 428 f.). Auf seine fristgerechte Eingabe ist somit unter Vorbehalt von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG einzutreten: Danach prüft das Bundesgericht auf staatsrechtliche Beschwerde hin nur klar und detailliert erhobene Rügen hinsichtlich konkreter Verletzungen verfassungsmässiger Rechte; auf nicht substantiierte Vorbringen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 495, mit Hinweisen). Dabei genügt nicht, wenn der Betroffene einfach im Rahmen pauschaler Vorbringen behauptet, der angefochtene Entscheid sei verfassungswidrig; er muss vielmehr deutlich und in Auseinandersetzung mit der Begründung der kantonalen Instanz dartun, inwiefern dies der Fall sein soll (<ref-ruling> E. 2a S. 3 f.). Rügt der Beschwerdeführer - wie hier -, das Willkürverbot sei verletzt, kann er sich nicht damit begnügen, den angefochtenen Entscheid einfach als unhaltbar zu bezeichnen und ihm seine Sicht der Dinge entgegenzustellen; er hat vielmehr anhand der beanstandeten Subsumtion im Einzelnen klar darzulegen, inwiefern dieser an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 250). Soweit die Eingabe diesen Anforderungen nicht genügt, ist auf die Vorbringen des Beschwerdeführers nicht einzugehen.
2.- a) Das Obergericht beaufsichtigt die Berufsausübung der im Kanton praktizierenden Anwälte (§ 16 Abs. 1 des Dekrets vom 30. Juni 1930 betreffend das Anwaltswesen, Anwaltsdekret, AD; Fassung gemäss Änderung vom 13. Dezember 1999).
Es kann gemäss § 17 AD folgende Ordnungsstrafen aussprechen:
"Verwarnung, Rüge, Ordnungsbusse bis zu Fr. 5'000.--, vorübergehende Einstellung im Beruf, Entzug des Patents. " Das Schaffhauser Anwaltsrecht umschreibt die Berufspflichten des Anwalts nicht im Einzelnen, sondern in § 16 Abs. 2 AD mittels einer Generalklausel, die wie folgt lautet:
"Der Anwalt übt seinen Beruf gewissenhaft aus, wird
der Achtung und der Vertrauenswürdigkeit gerecht,
die sein Beruf voraussetzt, und befolgt die allgemein
anerkannten Regeln seines Berufsstandes und
des kollegialen Verhaltens.. "
b) Das Obergericht wertet die streitige Passage im Schreiben des Beschwerdeführers vom 4. April 2000 als Verstoss gegen diese Bestimmung. Damit habe Druck auf die Adressaten ausgeübt werden sollen, die zuvor im Schreiben geltend gemachten pekuniären Forderungen anzuerkennen. Es sei "aber klarerweise nicht erlaubt, dem (Prozess)Gegner anzudrohen, er werde bei unbeteiligten Dritten angeschwärzt, um ihn in der Sache selbst gefügiger zu machen. " Dies sei "Einsatz eines unerlaubten Mittels zur Erreichung eines an sich erlaubten Zweckes" (E. 2e/bb des angefochtenen Entscheids).
3.- Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht habe die sich aus dem rechtlichen Gehör ergebende Begründungspflicht verletzt. Auch wenn die Begründung des Entscheids durch das Obergericht eher knapp gehalten ist, kann im Rahmen der nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG (vgl. E. 1) rechtsgenüglich erhobenen Rügen nicht gesagt werden, dass sie den sich aus <ref-law> abzuleitenden Anforderungen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 149) nicht entspricht; sie enthält insbesondere Ausführungen zur Rechtswidrigkeit des Verhaltens des Beschwerdeführers.
4.- Der Beschwerdeführer rügt weiter, für eine Disziplinarmassnahme fehle es an einer genügenden gesetzlichen Grundlage. Überdies habe das Obergericht § 16 Abs. 2 AD willkürlich ausgelegt und angewendet. Auch verletze der angefochtene Entscheid die Wirtschaftsfreiheit und die Meinungsfreiheit.
a) Wird ein Anwalt für Äusserungen, die er im Rahmen seiner beruflichen Tätigkeit macht, mit einer Sanktion belegt, so kann er sich auf die Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>) und insbesondere auch auf die Meinungsfreiheit (<ref-law>) berufen (<ref-ruling> E. 3b und 4a S. 422; <ref-ruling> E. 3a S. 313; <ref-ruling> E. 2 S. 318, je mit Hinweis).
Allerdings sind Einschränkungen zulässig, sofern sie auf einer genügenden gesetzlichen Grundlage beruhen, im öffentlichen Interesse liegen und verhältnismässig sind (<ref-law>).
b) Um als gesetzliche Grundlage für die Einschränkung von Grundrechten gelten zu können, muss eine Vorschrift so präzise formuliert sein, dass der Bürger sein Verhalten danach ausrichten kann. Er muss die Folgen eines bestimmten Verhaltens mit einem den Umständen entsprechenden Grad von Gewissheit erkennen können. Es ist aber zu beachten, dass sich absolute Genauigkeit bei der Formulierung von Gesetzen nicht erreichen lässt. Deshalb, aber auch um veränderten Verhältnissen Rechnung tragen zu können, sind Gesetze mitunter unausweichlich mehr oder weniger vage formuliert, ohne dass dies zu beanstanden wäre. Dies gilt namentlich für das Disziplinarrecht der Rechtsanwälte (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b/aa S. 319; Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte vom 26. April 1991 i.S. Ezelin, Série A, Vol. 202, Ziff. 45).
Der Beschwerdeführer wendet ein, das Bundesgericht habe in diesem Zusammenhang - etwa in BGE <ref-ruling> - erklärt, was ein Anwalt tun dürfe, ergebe sich im Einzelnen aus den Standesregeln, der Praxis der Aufsichtsbehörden und der Rechtsprechung des Bundesgerichts. Zu dem ihm vorgeworfenen Verhalten bestünden jedoch weder derartige Regeln noch eine bekannte Praxis. § 16 Abs. 2 AD stelle daher keine genügende gesetzliche Grundlage dar.
Diese Rüge geht fehl. Zu gleichartigen Regelungen in anderen Kantonen hat das Bundesgericht wiederholt ausgeführt, es sei nicht verfassungswidrig, die Berufspflichten im Gesetz nur generalisierend zu umschreiben, da es nicht möglich sei, die verschiedenen auf die Wahrung der Vertrauenswürdigkeit des Anwalts hinzielenden Obliegenheiten einzeln und abschliessend aufzuzählen (<ref-ruling> E. 7a S. 107; <ref-ruling> E. 2b/aa S. 319). Eine andere, nachfolgend zu behandelnde Frage (siehe insbes. E. 4c/cc) ist, ob das dem Beschwerdeführer angelastete Verhalten gegen die in § 16 Abs. 2 AD generalklauselartig umschriebenen Berufsregeln verstösst.
c) Der Beschwerdeführer rügt, das Obergericht habe den Sachverhalt willkürlich "verdreht". Die beanstandete Textpassage habe nicht als Drohung gegolten. Seine Vorgehensweise sei mit den in § 16 Abs. 2 AD umschriebenen Berufsregeln vereinbar.
Vorliegend geht es um einen leichten Eingriff in die genannten Grundrechte; der Beschwerdeführer wird weder in seiner Tätigkeit als Rechtsanwalt noch in seiner Äusserungsfreiheit empfindlich eingeschränkt. Daher untersucht das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts nur unter dem beschränkten Gesichtswinkel der Willkür (<ref-ruling> E. 4c S. 423, mit Hinweis; zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 2a S. 168; <ref-ruling> E. 5b S. 134, je mit Hinweisen).
aa) Im Schreiben vom 4. April 2000 machte der Beschwerdeführer für seinen Mandanten vor allem eine Schadenersatzforderung über Fr. 15'000.-- geltend. Unmittelbar vor dem strittigen Satz führte er dazu aus:
"Mein Mandant lädt sie ein, diesen Betrag bis
11. April 2000 auf das ihnen bekannte Konto zu überweisen oder aber ihm eine Kopie Ihrer Schadenmeldung an Ihre Versicherung zukommen zu lassen.
Sollte fristgerecht keine Zahlung bzw. Anmeldung
an Ihre Versicherung erfolgen, behält sich mein
Mandant die Einleitung eines Verfahrens gegen Sie
ausdrücklich vor.
Zudem dürfte Ihnen nicht entgangen sein, dass die
beiden bei Mietantritt vollen Tänke praktisch
leer sind. Ich darf Sie daher einladen, zusätzlich
zum vorgenannten Betrag Fr. 1'738.-- (4'000 l
à Fr. 43.45) bis 11. April 2000 zu überweisen.. "
Im daran anschliessenden Absatz folgte auf den dem Beschwerdeführer vorgehaltenen Textteil:
"Um ihnen sodann im Hinblick auf die postalische
Abholfrist jedenfalls rechtzeitig Kenntnis von
diesem Schreiben zu ermöglichen, erfolgt dieses
nebst eingeschriebener Sendung auch mit einfacher
Post.
Abschliessend erlaube ich mir, Ihnen mitzuteilen,
dass mein Mandant Sie einlädt, von jeder telefonischen
oder anderweitigen Kontaktaufnahme mit ihm
Abstand zu nehmen und sich ausschliesslich an den
Unterzeichneten zu halten. Besten Dank.. "
bb) Der Beschwerdeführer bringt vor, der beanstandete Satz habe keinerlei Zusammenhang mit dem Zahlungsbegehren gehabt, vor allem sei nicht gedroht worden, das Schreiben bei unterbleibender Zahlung an interessierte Dritte weiterzugeben. Es habe sich um eine blosse Mitteilung gehandelt, dass sich sein Mandant die Weitergabe des Schreibens an Dritte als "Retorsionsverhalten" überlege, nachdem die Mieter etwa die Bank des Mandanten dauernd mit inhaltlich unwahren Schreiben bedient hätten. Damit habe einzig erreicht werden sollen, dass es die Gegner ihrerseits künftig unterlassen, Schreiben an Geschäftspartner seines Mandanten weiterzugeben. Demgegenüber erblickte das Obergericht aus dem Gesamtzusammenhang des Schreibens und der Satzeinleitung "Im übrigen" eine Verbindung zwischen den erhobenen Forderungen und dem inkriminierten Passus.
Die vom Obergericht vorgenommene Interpretation ist nicht willkürlich: Wie bei Äusserungsdelikten ist entscheidend, wie der fragliche Satz vom unbefangenen Leser im Gesamtzusammenhang verstanden wird (vgl. <ref-ruling> E. 3b/bb S. 167, mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3 S. 198 ff.).
Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers kann der als Satzeinleitung verwendete Terminus "Im übrigen" nicht einzig als "Hinweis auf etwas Anderes, bei welchem es an der Nähe" zum Vorstehenden fehlt, verstanden werden. Gerade eine der vom Beschwerdeführer zitierten Fundstellen aus Wörterbüchern macht deutlich, dass mit der betreffenden Einleitung auch ein enger Zusammenhang zu den vorangegangenen Ausführungen bestehen kann im Sinne von "was sonst noch davon zu sagen übrig ist". Der Eindruck der Verbindung wird alsdann dadurch bestärkt, dass der inkriminierte Passus unmittelbar nach den Fristansetzungen bezüglich der verschiedenen Forderungen folgt, ja sogar als einziger Satz zwischen den genannten Terminen und dem im gleichen Absatz befindlichen Hinweis steht, dass angesichts der angesetzten Fristen das Schreiben auch per einfache Post zugestellt werde.
Ausserdem wird gerade die Weitergabe des Schreibens des Beschwerdeführers vorbehalten, in welchem es im Grunde ausschliesslich um jene Geldforderungen geht; ein direkter Bezug zu von den Mietern angeblich früher Dritten vorgelegten Schriftstücken ist nicht ersichtlich. Schliesslich hat der Beschwerdeführer im Schreiben vom 4. April 2000 auch nicht explizit erklärt, die Gegner sollten es unterlassen, sich künftig an Geschäftspartner des Mandanten zu wenden. Bei der vom Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift behaupteten Interpretation hätte ein solcher ausdrücklicher Hinweis indes, vor allem bei Formulierung durch einen Anwalt, nahe gelegen; das Fehlen einer entsprechenden Aufforderung spricht gegen die Darstellung des Beschwerdeführers und für die vom Obergericht vorgenommene Auslegung des Satzes. Damit ist die vom Obergericht vorgenommene Deutung als Drohung, um den Gegner in Bezug auf die erhobenen Geldforderungen gefügiger zu machen, haltbar. Wie das Obergericht richtig festgestellt hat, ist hierbei unbeachtlich, dass das Untersuchungsrichteramt des Kantons Schaffhausen mit Einstellungsverfügung vom 26. April 2000 den Passus anders interpretierte. Insbesondere kommt es nicht darauf an, dass dem Beschwerdeführer ein strafrechtlich relevantes Verhalten nachgewiesen wird. Die Disziplinaraufsicht dient nicht dazu, begangenes strafrechtliches Unrecht zu vergelten, sondern soll das rechtsuchende Publikum bzw. die Rechtspflege schützen und die anwaltliche Standeswürde wahren (Felix Wolffers, Der Rechtsanwalt in der Schweiz, Diss. Bern 1986, S. 173 ff.; Handbuch über die Berufspflichten des Rechtsanwaltes im Kanton Zürich [im Folgenden:
Handbuch], 1988, S. 3 ff. u. S. 20). Zu keiner anderen Wertung führt auch der Umstand, dass das streitige Schreiben nach Ablauf der genannten Frist angeblich nicht an Dritte versandt wurde.
cc) Die Aufnahme des inkriminierten Satzes in das Schreiben vom 4. April 2000 hat das Obergericht sodann als gegen die in § 16 Abs. 2 AD umschriebenen Berufspflichten verstossend betrachtet, weil es sich um den "Einsatz eines unerlaubten Mittels" handelte. Es wäre einzig zulässig gewesen, den Mietern eine Klage auf Schadenersatz anzudrohen.
Der Beschwerdeführer wendet dagegen sinngemäss ein, es gebe weder Standesregeln noch eine Praxis, die das ihm vorgeworfene Verhalten untersagen würden.
Der Anwalt ist zur Wahrung der Standeswürde verpflichtet und hat insoweit die geschriebenen und ungeschriebenen Regeln zu beachten, die im Interesse des rechtsuchenden Publikums und des geordneten Ganges der Rechtspflege das Vertrauen in seine Person und in die Anwaltschaft insgesamt gewährleisten sollen (<ref-ruling> E. 6b S. 104 f.). Verlangt wird nicht nur die Beachtung der geltenden Gesetze.
Vielmehr sollen keine Zweifel hinsichtlich der Ehrenhaftigkeit, der Unbescholtenheit und der Rechtschaffenheit des Anwalts bestehen (vgl. Ziff. 2.2. der Standesregeln der Rechtsanwälte der Europäischen Gemeinschaft vom 28. Oktober 1988; Walter Fellmann/Oliver Sidler, Standesregeln des Luzerner Anwaltsverbandes, 1996, N. 3a zu Art. 4, S. 19).
Diese traditionellen Werte des Anwaltsstandes sind daher für den Anwalt gleichzeitig Standespflichten (Fellmann/Sidler, a.a.O., S. 20). Demnach hat der Anwalt nicht nur ungesetzliche Mittel zu unterlassen, sondern auch gesetzeskonforme Vorkehren, wenn sie im konkreten Fall in rechtsmissbräuchlicher, nicht dem eigentlichen Zweck entsprechender oder unverhältnismässiger Weise ausgeübt werden (Martin Sterchi, Kommentar zum bernischen Fürsprecher-Gesetz, 1992, N. 5e zu Art. 11, S. 51). Zu Letzteren werden u.a. Drohungen gegenüber der Gegenpartei gerechnet, wenn zwischen dem angedrohten Nachteil und dem angestrebten Ziel kein sachlicher Zusammenhang besteht (Sterchi, a.a.O., N. 5e/bb, S. 52; Handbuch, a.a.O., S. 170 ff.). Diese Verhaltensweise ist nämlich geeignet, das Vertrauen in die Anwaltschaft zu erschüttern.
Nach dem Gesagten ist nicht willkürlich, wenn das Obergericht die Drohung, die Gegner bei Dritten anzuschwärzen, als unerlaubtes Mittel betrachtete, um die Geldforderungen durchzusetzen. Dass die Gegner ihrerseits den Mandanten angeblich auch schon bei Dritten in Misskredit zu bringen versucht hatten, rechtfertigte nicht ein entsprechendes Verhalten des Beschwerdeführers; als Anwalt ist diesem bekannt, wie dagegen gegebenenfalls in geeigneter und gezielter Weise vorgegangen werden kann. Nicht relevant ist, ob der Beschwerdeführer "an die Wirkungen der (angeblichen) Drohung selber glaubte", weshalb das Obergericht entgegen dessen Ansicht weder zu klären hatte, wie es sich damit verhielt, noch hiezu eine gesonderte Begründung abzugeben hatte. Auch das Argument, der Beschwerdeführer sei nicht in der Lage gewesen, sein Verhalten als rechtswidrig zu erkennen, weshalb von einem entschuldbaren Rechtsirrtum auszugehen sei, vermag nicht durchzudringen. Zum einen darf grundsätzlich vorausgesetzt werden, dass einem Anwalt die sich aus den Standespflichten ergebenden Verhaltensregeln geläufig sind (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b/aa S. 319). Zum andern sieht der Beschwerdeführer selbst das Einbeziehen von Dritten als verpöntes Verhalten an. Ihm musste demnach klar sein, dass das In-Aussicht-Stellen der Weitergabe des Schreibens vom 4. April 2000 an Dritte im vorliegenden Zusammenhang nicht mit der Standeswürde zu vereinbaren war.
Ausserdem kann nicht nur die vorsätzliche, sondern auch die fahrlässige Begehungsweise geahndet werden (vgl. Handbuch, a.a.O., S. 28). Wenn dem Beschwerdeführer nicht bewusst gewesen wäre, dass er sich standeswidrig verhielt, so wäre ihm zumindest anzulasten, dass er dann nicht die Vorsicht beobachtete, zu der er nach den Umständen und nach seinen persönlichen Verhältnissen als Anwalt verpflichtet war.
Neben der Sache liegt ferner der Einwand, die Gegner hätten "durch entsprechende zivilrechtliche Schritte" gegen die Drohung vorgehen können (vgl. Sterchi, a.a.O., S. 93, N. 1).
dd) Der Beschwerdeführer wendet schliesslich ein, das Obergericht habe übersehen, dass nicht er selbst, sondern sein Mandant sich vorbehielt, das betreffende Schreiben an Dritte zu versenden. Es habe sich um einen von seinem Mandanten gewünschten Hinweis gehandelt, den er "ausdrücklich als entsprechendes Statement seines Mandanten" weiterleitete. Damit scheint der Beschwerdeführer der Auffassung zu sein, die erwähnten Berufspflichten träfen ihn nicht, wenn er nicht aus eigenem Antrieb, sondern instruktionsgemäss handle. Der Anwalt ist jedoch nicht das willenlose Werkzeug seines Klienten. Wohl ist er Verfechter von Parteiinteressen und als solcher einseitig für seinen jeweiligen Mandanten tätig. Das Unabhängigkeitsgebot ist für die Ausübung des Anwaltsberufs aber grundlegende Voraussetzung, und es ist auch im Verhältnis zum eigenen Klienten massgebend.
Der Anwalt, der seine Unabhängigkeit dem Klienten gegenüber nicht zu wahren vermag, ist auch den Behörden der Rechtspflege gegenüber nicht vertrauenswürdig. Diese können, wenn dem Anwalt die Unabhängigkeit abgeht, nicht darauf vertrauen, dass er seine Tätigkeit korrekt ausüben und seine Stellung nicht zu verfahrensfremden Zwecken missbrauchen würde (<ref-ruling> E. 6b S. 105). Den Standespflichten seines Berufes kann der Anwalt jedenfalls nicht dadurch entgehen, dass er geltend macht, den Instruktionen des Klienten gemäss gehandelt zu haben.
ee) Im Hinblick auf obige Ausführungen geht auch die Rüge des Beschwerdeführers fehl, das Obergericht habe die beantragten Beweise bezüglich seines entsprechenden Vorbringens nicht erhoben: Da es unter anderem nicht darauf ankam, ob der Beschwerdeführer auf Weisung seines Mandanten handelte, und ausserdem entscheidend ist, wie der Passus vom unbefangenen Leser verstanden wird, brauchte das Obergericht insbesondere nicht den Mandanten als Zeugen einzuvernehmen.
d) Zu prüfen bleibt, ob die als willkürfrei erkannte Auslegung und Anwendung des Gesetzes unter den konkreten Umständen vor der Wirtschaftsfreiheit und Meinungsfreiheit standhält, d.h. ob sie sich auf ein hinreichendes öffentliches Interesse stützen kann und verhältnismässig ist. Dies untersucht das Bundesgericht im Rahmen der rechtsgenüglich erhobenen Rügen (vgl. E. 1) frei (<ref-ruling> E. 5 S. 425, mit Hinweis).
Zu den öffentlichen Interessen, denen die Berufspflichten und die zu deren Einhaltung bestimmte öffentlichrechtliche Aufsicht über die Rechtsanwälte dienen sollen, gehört in Verbindung mit dem Schutz des Publikums und der Wahrung der Funktionsfähigkeit der Justiz auch die Gewährleistung der Vertrauenswürdigkeit des Anwaltsstandes (Wolffers, a.a.O., S. 111 f.; Handbuch, a.a.O., S. 3 ff.; vgl. auch E. 4c/cc hiervor). Unter diesem Gesichtspunkt hält es vor Art. 16 und Art. 27 in Verbindung mit <ref-law> stand, das vom Obergericht gerügte Verhalten des Beschwerdeführers als pflichtwidrig anzusehen. Nachdem die Annahme der Verletzung einer Berufspflicht verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden ist und das Obergericht dem Beschwerdeführer die mildeste Disziplinarmassnahme auferlegte, erweist sich die Verwarnung weder als unverhältnismässig noch ist darin ein Ermessensmissbrauch zu erblicken.
Der Beschwerdeführer wiederholt in diesem Zusammenhang im Wesentlichen seine zur Auslegung und Anwendung von § 16 Abs. 2 AD erhobenen Rügen. Diese kommen hier jedoch insbesondere im Hinblick auf das Mass der Disziplinierung nicht mehr zum Tragen. Bei festgestellter Pflichtwidrigkeit kann der Betroffene nicht verlangen, dass es allein mit dem Verfahren vor der Aufsichtsbehörde ohne jegliche Disziplinarmassnahme sein Bewenden hat. Damit würde er ohne triftigen Grund demjenigen gleichgestellt, gegen den ein aufsichtsrechtliches Verfahren eingeleitet wurde, bei dem sich die erhobenen Vorwürfe jedoch als unbegründet herausstellen. Zu keinem anderen Ergebnis führt, dass der zusätzliche Vorwurf der Mandatsübernahme fallen gelassen wurde; es bleibt bei dem einen Verstoss gegen Berufspflichten. Die Verwarnung trifft den Beschwerdeführer auch nicht schwer, erweist sich aber als geeignet und notwendig, um den Pflichtverstoss zu ahnden und die Disziplin innerhalb des Anwaltsstandes aufrechtzuerhalten (vgl. Sterchi, a.a.O., S. 93, N. 1).
5.- Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, das Obergericht verletze die Rechtsgleichheit (<ref-law>), weil es keine standesrechtlichen Sanktionen gegen die Vertreterin der Anzeiger ergriffen habe, welche angeblich etwas "wider besseres Wissen behauptet" haben soll. Diese Rüge stösst ins Leere. Unter anderem handelt es sich nicht um einen gleichartigen Vorwurf gegen die Vertreterin der Anzeiger, wie derjenige gegen den Beschwerdeführer, und es wurde deswegen zudem keine Beschwerde im Sinne von § 17 Abs. 1 AD eingereicht. Ausserdem hat der Beschwerdeführer nicht hinreichend dargelegt (vgl. Art. 90 Abs. 1 lit. b OG und E. 1), dass die Vertreterin der Anzeiger tatsächlich wider besseres Wissen gehandelt hätte. Das Obergericht hat in diesem Zusammenhang auch nicht die Begründungspflicht und das rechtliche Gehör (<ref-law>) verletzt, weil es auf die Anregung des Beschwerdeführers hin, "von Amtes wegen zu prüfen", die Anzeiger und ihre Vertreterin "mit einer Busse wegen trölerischer Prozessführung i.S.v. <ref-law> zu belegen", nicht zumindest eine abweisende Ziffer ins Dispositiv aufgenommen hat. Abgesehen davon, dass das Verhalten der Anzeiger und ihrer Vertreterin nicht Verfahrensgegenstand war und es dem Beschwerdeführer insoweit zudem an einem rechtlich geschützten Interesse fehlt, hat das Obergericht in seiner Begründung (S. 10) ausgeführt, dass und warum die Anzeige gegen den Beschwerdeführer keineswegs als mutwillig bezeichnet werden könne.
6.- Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich damit als unbegründet, soweit auf sie einzutreten ist. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1, Art. 153 und Art. 153a OG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (vgl. Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 20. August 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: