Faits:
A. A.a S._, née en 1964, a acquis auprès de la Croix-Rouge une formation d'aide-soignante. Elle a été engagée en qualité d'aide-infirmière par l'Hôpital X._, où elle a travaillé à partir du 1er mai 1997. Le 29 août 2002, elle a été victime d'un accident professionnel, à la suite duquel elle a présenté une incapacité totale de travail. La Vaudoise Assurances a pris le cas en charge. Elle a confié une expertise aux médecins du Centre Multidisciplinaire de la Douleur (CMD) de G._, qui a été effectuée le 29 avril 2004 par les docteurs R._ (spécialiste FMH en orthopédie) et S._ (spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie). Dans un rapport du 8 juin 2004, ces médecins ont posé les diagnostics de troubles fonctionnels du genou droit consécutif à une entorse de celui-ci (rupture du ligament croisé antérieur), en mentionnant une chondropathie du condyle fémoral interne droit, une amyotrophie de la cuisse droite et une instabilité rotulienne. La Vaudoise Assurances a confié une nouvelle expertise au Centre d'expertise médicale (CeMed) de N._, laquelle a été effectuée par les docteurs O._ (spécialiste FMH en orthopédie) et R._ (spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie), qui ont conclu dans un rapport du 19 mai 2006 qu'il n'y avait pas de changement manifeste sur le plan locomoteur depuis l'expertise précédente.
A.b Le 7 octobre 2003, S._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 4 février 2004, le docteur M._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et traumatologie et médecin du Centre Z._, a posé les diagnostics de gonalgies droites persistantes sur Sudeck, de status post-plastie du ligament croisé antérieur du genou droit (du 19 septembre 2002), de status post-greffe de cartilage (du 20 février 2003) et d'état dépressif réactionnel. Dans un rapport du 6 février 2004, le docteur I._, spécialiste FMH en médecine interne, a donné des renseignements analogues à ceux communiqués par le docteur M._. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a confié une expertise multidisciplinaire au COMAI de G._. Celle-ci a été effectuée par les docteurs C._ (spécialiste FMH en chirurgie orthopédique) et B._ (spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie), qui ont examiné l'assurée le 26 mai 2005. Dans un rapport du 18 août 2005, ces médecins ont considéré que l'arthrose fémoro-patellaire sur subluxation bilatérale et la gonarthrose interne débutante du côté droit justifiaient l'abstention de tout mouvement d'accroupissement ou mise à genou, l'abstention de port de charge ou de marche prolongée avec notamment des descentes dans les escaliers. Relevant que sur le plan orthopédique, dans une activité adaptée, l'activité professionnelle pourrait être "sub-totale" à totale, en tenant compte peut-être, s'il s'agissait d'une station assise essentiellement, de la nécessité de déverrouillage régulier par des déplacements, ils estimaient qu'étant donné l'amélioration de l'état de santé depuis début 2005 la capacité de travail de l'assurée était pleine depuis le jour de l'expertise.
Dans un rapport du 16 septembre 2005, le docteur A._, médecin SMR, a retenu sur la base des conclusions des experts du COMAI que la capacité de travail exigible de S._, nulle dans l'activité d'aide-infirmière, était de 100 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles. L'office AI, dans un préavis du 4 octobre 2006, a informé l'assurée que son état de santé s'était amélioré et que depuis le 26 mai 2005 on pouvait exiger de sa part qu'elle exerce une activité adaptée, qu'elle avait droit à une rente entière pour une invalidité de 100 % pendant la période du 1er août 2003 au 31 juillet 2005 et qu'elle présentait une invalidité de 15 % dès le 1er août 2005. Le 23 novembre 2006, l'assurée, représentée par un avocat, a fait part à l'office AI de ses observations. L'office AI, tout en reprenant le 5 mars 2007 la motivation de son préavis du 4 octobre 2006, a notifié à S._ une décision du 4 mai 2007, par laquelle il lui a alloué une rente entière d'invalidité du 1er août 2003 au 31 juillet 2005. Le 17 mars 2008, il a communiqué au mandataire de l'assurée la décision du 4 mai 2007, ainsi que la motivation du 5 mars 2007.
B. S._ a formé recours contre la décision de l'office AI devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui: la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud), en concluant, sous suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité au-delà du 31 juillet 2005. Produisant un rapport du 14 décembre 2007 du docteur B._ (spécialiste FMH en chirurgie orthopédique), un certificat médical du 25 avril 2008 où ce médecin indiquait qu'il avait procédé le 26 mars 2008 à une ostéotomie de valgisation tibiale proximale et à une méniscectomie par arthroscopie et une lettre du 3 octobre 2008 où il relevait que les douleurs avaient nettement régressé et considérait que la patiente était capable de travailler dans une profession adaptée comme aide-infirmière à 50 %, S._ demandait à titre subsidiaire qu'une expertise médicale soit ordonnée en vue d'évaluer la capacité de travail exigible dans une activité adaptée et que celle-ci soit confiée au docteur B._.
Les parties ont eu la possibilité de se déterminer sur les propositions d'experts formulées par la juridiction cantonale. Le 5 octobre 2009, celle-ci a confié une expertise au docteur L._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin-chef de l'Hôpital Y._. Dans un rapport du 20 juillet 2010, l'expert a posé les diagnostics de status post-rupture du ligament croisé antérieur du genou droit, de status post probable lésion post-traumatique cartilagineuse du condyle fémoral interne du genou droit, de status post-reconstruction du ligament croisé antérieur du genou droit au tiers central du tendon rotulien sous contrôle arthroscopique, de probable Sudeck post-traumatique ou postopératoire, de syndrome du cyclope postopératoire après plastie du ligament croisé antérieur (réséqué), de status post-plastie mosaïque du condyle fémoral interne, arthrotomie et section de l'aileron externe, de status post-ostéotomie de valgisation du tibia proximal droit, de status post-résection d'une lésion dégénérative méniscale interne, de status post-ablation du matériel d'ostéosynthèse du tibia proximal droit, de troubles dégénératifs fémoro-tibiaux internes et fémoro-patellaires externes, d'état anxio-dépressif réactionnel suite à l'évolution de genou droit et de diabète insulino-dépendant. Il indiquait que les diagnostics principaux à retenir ayant une répercussion sur la capacité de travail étaient la rupture du ligament croisé antérieur mais aussi les douleurs postopératoires, le déficit de mobilité dans le décours de la première intervention chirurgicale (du 19 septembre 2002), le surcroît de la décompensation douloureuse suite à la deuxième intervention chirurgicale (du 20 février 2003) et enfin, le développement progressif d'une décompensation dégénérative du compartiment fémoro-patellaire et ensuite fémoro-tibial interne ayant nécessité la troisième intervention chirurgicale (du 26 mars 2008). En ce qui concerne les limitations fonctionnelles en relation avec les troubles constatés, le docteur L._ a relevé que la patiente pouvait se déplacer en terrain plat mais ne pouvait pas faire d'activités avec transport de charges lourdes (maximum 5 kg), sur sol irrégulier ou en hauteur, déplacements fréquents en montée et descente, en position sur les genoux ou accroupie. En ce qui concerne la capacité de travail de l'assurée, l'expert a répondu qu'il y avait du point de vue médical une incapacité de travail de 20 % au moins depuis le 29 août 2002 dans l'activité exercée jusque-là et depuis le 3 octobre 2008 dans une activité adaptée (travail de bureau ou secrétariat, manutention légère, éventuellement travail d'aide-soignante à temps partiel [maximum 50 %]). S'agissant de l'évolution du degré d'incapacité de travail, il a répondu que l'assurée avait présenté une incapacité de travail de 100 % à partir du 29 août 2002 et de 50 % à partir du 3 octobre 2008 dans l'activité exercée jusque-là et retenu la même date et le même taux d'incapacité de travail dans une activité adaptée, compte tenu des déclarations de la patiente et du docteur B._.
Dans ses observations du 26 août 2010, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, se fondant sur un avis médical SMR du 12 août 2010 qui contestait l'estimation par l'expert de la capacité de travail de 50 % dans une activité adaptée, a déclaré qu'il ne pouvait adhérer aux conclusions du docteur L._, dont il a considéré qu'elles n'étaient pas motivées et qu'elles étaient contradictoires. Le 6 septembre 2010, S._ a déposé ses observations, en se ralliant aux conclusions de l'expert.
Par arrêt du 2 décembre 2010, la juridiction cantonale a admis le recours (ch. I du dispositif) et réformé la décision rendue le "5 mars 2007" par l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud en ce sens que S._ avait droit à une rente entière d'invalidité du 1er août 2003 au 31 décembre 2008 et à une demi-rente d'invalidité dès le 1er janvier 2009 (ch. II du dispositif).
C. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation, la cause étant renvoyée à la juridiction cantonale pour nouveau jugement conformément aux considérants. Il a également sollicité l'octroi de l'effet suspensif au recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 22 juin 2011.
S._ conclut au rejet du recours. Dans un préavis du 17 juin 2011, l'Office fédéral des assurances sociales propose l'admission du recours.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La correction du vice doit être susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>).
2. Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir élargi le procès au-delà de l'objet de la contestation déterminé par la décision de rente du 4 mai 2007, sans que soient réalisées les conditions pour une extension de la procédure à un état de fait survenu après la décision administrative litigieuse.
2.1 Selon une jurisprudence constante, le juge des assurances sociales apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment de la clôture de la procédure administrative. Les faits survenus postérieurement et ayant modifié cette situation doivent faire l'objet d'une nouvelle décision administrative (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 243; <ref-ruling> consid. 1b p. 366). Pour des motifs d'économie de procédure, la procédure juridictionnelle administrative peut être étendue à une question en état d'être jugée qui excède l'objet de la contestation, lorsque cette question est si étroitement liée à l'objet initial que l'on peut parler d'un état de fait commun, et à la condition que l'administration se soit exprimée à son sujet dans un acte de procédure au moins (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 503, 122 V 34 consid. 2a p. 36 et les références). Les conditions auxquelles un élargissement du procès au-delà de l'objet de la contestation est admissible vont nettement plus loin que le lien matériel étroit exigé pour l'extension de la procédure au-delà de l'objet du litige. Celles-ci doivent être réalisées cumulativement; la question qui excède l'objet de la contestation particulièrement doit être en état d'être jugée (cf. ULRICH MEYER/ISABEL VON ZWEHL, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, in: Mélanges Pierre Moor, 2005, n° 27 p. 446; arrêt 9C_694/2009 du 31 décembre 2010 consid. 3.1).
2.2 Il convient de préciser à propos du ch. II du dispositif du jugement entrepris, qui parle de la décision rendue le "5 mars 2007" par l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, que l'objet de la contestation est déterminé par la décision de rente du 4 mai 2007, dont la motivation du 5 mars 2007 ne fait que reprendre celle du préavis du 4 octobre 2006, et qu'il s'agit là de la décision administrative litigieuse.
2.3 Le droit de l'intimée à une rente d'invalidité jusqu'au 4 mai 2007, et plus particulièrement la suppression d'une telle prestation à partir du 1er août 2005, constitue ainsi l'objet de la contestation.
La juridiction cantonale, retenant que l'intimée avait présenté une incapacité totale de travail du 29 août 2002 à fin septembre 2008 et une incapacité de travail de 50 % dès le mois d'octobre 2008 - soit six mois après l'opération chirurgicale effectuée le 26 mars 2008 par le docteur B._ - dans son activité d'aide-infirmière ainsi que dans toute autre activité adaptée, a prononcé que l'intimée avait droit à une rente entière d'invalidité du 1er août 2003 au 31 décembre 2008 et à une demi-rente d'invalidité dès le 1er janvier 2009.
Le point de savoir si l'intimée a présenté une incapacité totale de travail jusqu'à fin septembre 2008 et une incapacité de travail de 50 % dès octobre 2008 et si elle a droit à une rente entière d'invalidité jusqu'au 31 décembre 2008 et à une demi-rente d'invalidité dès le 1er janvier 2009 sont des questions qui excèdent l'objet de la contestation. Il convient donc d'examiner si les conditions auxquelles un élargissement du procès au-delà de l'objet de la contestation étaient réalisées. En particulier, chacune des questions mentionnées ci-dessus excédant l'objet de la contestation devait être en état d'être jugée. Du jugement entrepris, il ressort que la juridiction cantonale n'a procédé à aucune instruction en ce qui concerne la situation économique effective de l'intimée au-delà du 4 mai 2007. On ne saurait présumer, comme le fait l'intimée, que sa situation est restée la même qu'auparavant. L'office recourant relève que selon ses informations, l'assurée travaillerait depuis quelques années, ce que l'intimée ne discute pas. On ne peut rien déduire non plus de la comparaison des revenus à laquelle a procédé l'office AI dans la motivation du 5 mars 2007 en ce qui concerne la situation de l'intimée au-delà du 4 mai 2007. Il apparaît ainsi que la capacité de gain de l'intimée au-delà du 4 mai 2007 n'était pas en état d'être jugée étant donné que la situation économique effective de l'assurée n'était pas connue. Vu que les questions excédant l'objet de la contestation n'étaient pas toutes en état d'être jugées, les conditions cumulatives auxquelles un élargissement du procès au-delà de l'objet de la contestation était admissible ne sont pas réalisées dans le cas particulier. Le jugement entrepris, dans la mesure où il étend l'objet de la contestation au-delà du 4 mai 2007, est ainsi contraire au droit fédéral (supra, consid. 2.1). Le recours est bien fondé de ce chef.
3. Reste dès lors à examiner le droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité pendant la période du 1er août 2005 au 4 mai 2007, singulièrement le point de savoir si l'intimée a présenté depuis le 26 mai 2005 une pleine capacité de travail dans une activité adaptée et si les conditions étaient réunies pour que l'office AI supprime à partir du 1er août 2005 son droit à une rente d'invalidité.
3.1 Ainsi que le relève le jugement entrepris, auquel on peut renvoyer, les règles et principes jurisprudentiels sur la révision du droit à une rente d'invalidité (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.5 p. 349; voir également <ref-ruling>) sont applicables lorsque la décision de l'assurance-invalidité accordant une rente avec effet rétroactif prévoit en même temps la suppression de cette rente (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 165, 125 V 413 consid. 2d p. 417 s. et les références). Les principes jurisprudentiels en matière de libre appréciation des preuves et de valeur probante de rapports médicaux sont exposés correctement dans le jugement entrepris, auquel on peut aussi renvoyer.
3.2 Lorsque, comme en l'espèce, l'autorité cantonale juge l'expertise judiciaire concluante et en fait sien le résultat, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire que si l'expert n'a pas répondu aux questions posées, si ses conclusions sont contradictoires ou si, d'une quelconque autre façon, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même sans connaissances spécifiques, que le juge ne pouvait tout simplement pas les ignorer. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de vérifier si toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire; sa tâche se limite bien plutôt à examiner si l'autorité cantonale pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise (arrêt 9C_256/2011 du 23 novembre 2011, consid. 3.1 et la référence à l'arrêt 4P.263/2003 du 1er avril 2004 consid. 2.1).
3.3 L'office recourant conteste que l'expertise du docteur L._ du 20 juillet 2010 remplisse les critères jurisprudentiels permettant de reconnaître à un rapport médical pleine valeur probante, essentiellement pour le motif que les limitations fonctionnelles et la capacité de travail de l'assurée n'ont pas fait l'objet d'une étude approfondie et que les conclusions de l'expert sont contradictoires dans la mesure où il retient la même capacité de travail dans l'activité d'aide-infirmière et dans une activité adaptée. Il fait valoir également que dans son rapport du 20 juillet 2010, le docteur L._ a procédé à une appréciation différente d'une situation qui est restée la même sur le plan ostéo-articulaire que celle décrite par les experts du COMAI dans leur rapport du 18 août 2005 et par les médecins du CeMed dans leur rapport du 19 mai 2006 et reproche à la juridiction cantonale d'avoir établi les faits de manière manifestement insoutenable en se ralliant aux conclusions de l'expert judiciaire en ce qui concerne l'évolution de la capacité de travail de l'intimée.
3.4 Les moyens invoqués ci-dessus par le recourant ne sont pas de nature à mettre en doute la valeur probante de l'expertise du docteur L._ du 20 juillet 2010, dont la juridiction cantonale a admis avec raison qu'elle remplissait les critères jurisprudentiels permettant de reconnaître à un rapport médical pleine valeur probante (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232, 125 V 351 consid. 3a p. 352). L'autorité précédente a relevé que l'expertise judiciaire avait été établie sur la base d'examens complets et que le status clinique décrit par le docteur L._ l'avait été de manière condensée, sans omettre de tenir compte d'éléments pertinents que les expertises antérieures auraient mis en évidence de manière plus circonstanciée. Il n'est non plus nullement démontré que le rapport du 20 juillet 2010 n'ait pas été établi en pleine connaissance de l'anamnèse. Enfin, telles qu'on peut comprendre les conclusions de l'expert judiciaire et telles qu'elles ont été comprises par la juridiction cantonale, il ressort de l'expertise que l'incapacité de travail de 50 % retenue par le docteur L._ se comprend effectivement, mais pour les mêmes limitations fonctionnelles, dans l'activité d'aide-soignante à temps partiel que dans une activité adaptée plus sédentaire; compte tenu de cette précision, on ne saurait voir là une contradiction dans les conclusions de l'expert.
3.5 L'office recourant ne démontre pas que l'appréciation des preuves à laquelle l'autorité précédente a procédé soit insoutenable ou arbitraire. S'agissant du point de savoir si l'assurée a présenté une pleine capacité de travail du 26 mai 2005 au 4 mai 2007, la juridiction cantonale pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise judiciaire quant à l'incapacité de travail de 100 % de l'intimée dans l'activité d'aide-infirmière et dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles; les affirmations du recourant ne permettent pas de considérer que l'autorité précédente, en retenant une incapacité totale de travail de l'intimée dans toute activité, ait établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Il convient de relever à propos de la souffrance du compartiment fémoro-tibial interne dont a fait état le docteur B._ dans son rapport du 14 décembre 2007 que le docteur L._, dans son expertise du 20 juillet 2010, a indiqué que les troubles dégénératifs du compartiment interne du genou droit étaient déjà bien présents sur les clichés d'IRM du 16 novembre 2006. Avec la juridiction cantonale, il y a lieu de considérer que l'appréciation par les experts du COMAI dans leur rapport du 18 août 2005 selon laquelle l'intimée avait présenté une pleine capacité de travail dans une activité adaptée dès le 26 mai 2005 a été infirmée par l'évolution défavorable du compartiment interne du genou droit attestée par les docteurs B._ et L._, dont il ressort de l'expertise judiciaire du 20 juillet 2010 qu'elle remonte à une époque antérieure à la décision administrative litigieuse du 4 mai 2007 et qu'elle entraînait une incapacité totale de travail due aux troubles dégénératifs du compartiment interne.
Il s'ensuit qu'au moment déterminant, soit lors de la décision administrative litigieuse du 4 mai 2007, les conditions n'étaient pas réunies pour que l'office AI procède par la voie de la révision à la suppression du droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité à partir du 1er août 2005. En ce qui concerne le droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité du 1er août 2005 au 4 mai 2007, le jugement entrepris est dès lors conforme au droit fédéral. Sur ce point, le recours est mal fondé.
4. Cela étant, il se justifie d'annuler le ch. II du dispositif du jugement entrepris en ce qui concerne le droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité au-delà du 4 mai 2007 et à une demi-rente d'invalidité dès le 1er janvier 2009, d'annuler la décision administrative litigieuse et de transmettre le dossier au recourant pour qu'il examine le droit de l'intimée à une rente d'invalidité pour la période postérieure au 4 mai 2007 et rende une décision à cet égard.
Vu l'issue du litige, l'office recourant obtient partiellement gain de cause. Il se justifie de répartir les frais judiciaires à raison de la moitié à la charge du recourant et de la moitié à la charge de l'intimée (<ref-law>). L'office recourant versera à l'intimée des dépens réduits dans la même proportion (<ref-law>). Etant donné l'issue du litige en procédure fédérale, l'assurée apparaissait fondée à recourir contre la décision de l'office AI, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'annuler les ch. III et IV du dispositif du jugement cantonal.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis, en ce sens que le ch. II du dispositif du jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 2 décembre 2010 est annulé en ce qui concerne le droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité au-delà du 4 mai 2007 et à une demi-rente d'invalidité dès le 1er janvier 2009, et que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 4 mai 2007 est annulée.
2. Le dossier est transmis à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud pour qu'il procède conformément aux considérants.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 250 fr. à la charge de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud et pour 250 fr. à la charge de l'intimée.
4. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud versera à l'intimée la somme de 1'400 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 31 janvier 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Wagner