wird festgestellt und in Erwägung gezogen:
1.- Die Parteien sind seit 1983 verheiratet und Eltern zweier Töchter (Jahrgang 1985 und 1986). Ein erstes Eheschutzverfahren fand im Frühling 1996 statt und wurde durch gerichtlich genehmigte Trennungsvereinbarung beendet. Ab Juni 1997 führten die Ehegatten wieder einen gemeinsamen Haushalt.
X._ machte mit Gesuch vom 5. September 2000 ein neues Eheschutzverfahren rechtshängig und verlangte unter anderem die Regelung des Getrenntlebens. Was die geschuldeten Geldbeträge angeht, verpflichtete der Präsident im Gerichtskreis A._ X._, für die Dauer der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts seiner Ehefrau für sie und für die beiden gemeinsamen, unter ihre Obhut gestellten Töchter einen monatlich vorauszahlbaren Unterhaltsbeitrag von insgesamt Fr. 1'550.-- inkl. Kinderzulagen zu bezahlen; der Kinderanteil wurde dabei auf je Fr. 545.-- (ohne Kinderzulagen) festgesetzt.
Der Eheschutzrichter legte seinen Berechnungen das aktuelle und nicht das Einkommen zugrunde, das X._ bis 1996 als Betriebsleiter einer Firma erzielt hatte: X._ habe sich redlich bemüht, in seinem ursprünglichen Tätigkeitsbereich eine Stelle zu finden; seine Möglichkeit, effektiv mehr Einkommen zu erzielen, sei in Anbetracht seines Alters und seiner letzten beruflichen Erfahrungen nicht als von vornherein gegeben anzusehen (S. 10 und Ziffer 4 des Entscheids vom 11. Juni 2001).
Auf Antrag von X.-Y._ hin erhöhte der Appellationshof (II. Zivilkammer) des Kantons Bern den Unterhaltsbeitrag auf Fr. 2'435.-- inkl. Kinderzulagen und bezifferte den auf die Kinder entfallenden Anteil auf Fr. 1'430.-- (ohne Kinderzulagen); er ging vom Einkommen aus, das X._ bis 1996 erzielt hatte, mit der Begründung, X._ habe seine frühere Arbeitsstelle freiwillig aufgegeben (E. 7 S. 7 und Ziffer 2 des Entscheids vom 6. August 2001).
Mit staatsrechtlicher Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 (Schutz vor Willkür) und von Art. 29 Abs. 2 BV (Anspruch auf rechtliches Gehör) beantragt X._ dem Bundesgericht die Aufhebung des Appellationsentscheids. Für das Verfahren vor Bundesgericht stellt er Gesuche um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege.
Während der Appellationshof auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet hat, verlangt X.-Y._ dessen Abweisung und ersucht ihrerseits um unentgeltliche Rechtspflege.
Antragsgemäss ist der staatsrechtlichen Beschwerde die aufschiebende Wirkung in dem Umfang zuerkannt worden, in dem der zweitinstanzlich zugesprochene Unterhaltsbeitrag den erstinstanzlich festgelegten übersteigt (Präsidialverfügung vom 8. Oktober 2001). In der Sache schliesst X.-Y._ auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde; sie erneuert ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Der Appellationshof hat sich nicht mehr vernehmen lassen.
2.- Die Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen grundsätzlichen Bemerkungen Anlass, namentlich kann der Rechtsmittelentscheid im Eheschutzverfahren nicht mit eidgenössischer Berufung angefochten werden (Art. 84 Abs. 2 OG; <ref-ruling> E. 2 S. 476) und unterliegt auch nicht der Nichtigkeitsklage an das Plenum des Appellationshofs (Art. 86 f. OG; Art. 7 Abs. 1 i.V.m. Art. 314 ZPO/BE; Leuch/Marbach/Kellerhals/Sterchi, Die Zivilprozessordnung für den Kanton Bern,
5. A. Bern 2000, N. 1a zu Art. 314 ZPO/BE; anders noch die Urteile des Plenums vom 4. Februar und vom 7. Mai 1943, zitiert und kritisch kommentiert von Châtelain, Du pourvoi en nullité en procédure sommaire, ZBJV 84/1948 S. 70 ff., S. 76 ff.).
Auf weitere formelle Fragen wird im Sachzusammenhang zurückzukommen sein. Auf die staatsrechtliche Beschwerde kann eingetreten werden.
3.- Eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) erblickt der Beschwerdeführer darin, dass beide kantonalen Instanzen von ihm ausdrücklich gestellte Beweisanträge stillschweigend übergangen hätten. Die Verfahrensrüge ist teils unzulässig, teils unbegründet, wie auch die Beschwerdegegnerin darlegt.
a) Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung seines verfassungsmässigen Beweisanspruchs dem Eheschutzrichter vorwirft, ist seine Rüge unzulässig. Sie betrifft einen Verfahrensmangel im Sinne von Art. 359 Ziffer 3 ZPO/BE, der mit Appellation hätte vorgebracht werden können (Leuch/Marbach/ Kellerhals/Sterchi, N. 1a zu Art. 314 i.V.m. N. 2b Abs. 2 zu Art. 333 sowie N. 6c zu Art. 359 ZPO/BE) und müssen (Art. 86 OG; <ref-ruling> E. 2b S. 422; <ref-ruling> E. 1a S. 258).
b) Der Beschwerdeführer hat im Appellationsverfahren unstreitig die Einvernahme des Lebenspartners der Beschwerdegegnerin verlangt. Dieser Zeuge hätte einerseits zum bestehenden Konkubinatsverhältnis, andererseits zu seinem Beitrag an die Lebenskosten der Familie und darüber hinaus zum Umfang der beruflichen Tätigkeit der Beschwerdegegnerin befragt werden sollen. Dass der Appellationshof sich zu diesem Beweisantrag nicht geäussert hat, trifft zu. Wie die Beschwerdegegnerin zu Recht ausführt, hat der Beschwerdeführer allerdings kein Rechtsmittel gegen den Eheschutzentscheid ergriffen, im Appellationsverfahren dessen Bestätigung verlangt und die erstinstanzliche Festlegung des Bedarfs und des Einkommens der Beschwerdegegnerin in keiner Weise beanstandet. Dieser Sachverhalt, zu dessen Klärung der angerufene Zeuge hätte dienen sollen, ist im Appellationsverfahren nicht zum Nachteil des Beschwerdeführers verändert worden (vgl. E. 8 und 9 S. 7 f. des angefochtenen Entscheids). Es fehlt ihm aus diesen Gründen auch ein ausreichendes Interesse an der Beurteilung der gerügten Verfassungsverletzung (Art. 88 OG; zuletzt:
BGE 127 III 41 E. 2b S. 42).
c) Der Appellationshof hat sich ferner nicht zum Beweisantrag des Beschwerdeführers geäussert, durch Parteiverhör sei festzustellen, dass er seine Anstellung als Betriebsleiter einer Firma nicht aus eigenem Antrieb aufgegeben oder mutwillig aufs Spiel gesetzt, sondern wegen wirtschaftlichen Schwierigkeiten der Firma und späteren Umstrukturierungen verloren habe. Gegen die Rüge kann die Beschwerdegegnerin nicht mit Erfolg einwenden, der Beschwerdeführer habe sich zur aufgeworfenen Frage im kantonalen Verfahren ausgiebig äussern können. Denn nach der Berner ZPO ist das Parteiverhör ein echtes Beweismittel und dient im Gegensatz zur blossen Parteieinvernahme nicht bloss der Klärung von Parteistandpunkten oder der Aufstellung von Parteibehauptungen, sondern bezweckt den Beweis bestrittener Tatsachen (Leuch/Marbach/ Kellerhals/Sterchi, N. 2b zu Art. 89 und N. 1a und b zu Art. 273 ZPO/BE). Es steht das Recht auf Mitwirkung bei der Sachaufklärung und nicht auf Anhörung ganz allgemein in Frage.
Berechtigt ist hingegen der Einwand der Beschwerdegegnerin, der Appellationshof habe den Beweisanspruch des Beschwerdeführers deshalb nicht verletzt, weil er in Würdigung von Beweisen davon ausgegangen sei, der Beschwerdeführer habe seine Arbeitsstelle als Betriebsleiter freiwillig aufgegeben.
Der Appellationshof ist zu diesem Schluss in der Tat "beweiswürdigend" gekommen. Er hat die Darstellung des Beschwerdeführers für nicht glaubhaft erklärt, weil der Beschwerdeführer eine Bestätigung für die Kündigung durch den Arbeitgeber nicht vorgelegt habe, obwohl nur er dieses Dokument hätte beibringen können und angesichts dessen Wichtigkeit auch beigebracht hätte, falls es tatsächlich vorhanden gewesen wäre (E. 7 Abs. 2 S. 7 des angefochtenen Entscheids). Das Verhalten einer Partei kann Tatfragen beantworten (z.B. <ref-ruling> E. 6 S. 418) und unterliegt der freien Beweiswürdigung durch das Gericht (z.B. Leuch/Marbach/Kellerhals/Sterchi, N. 1a zu Art. 280 ZPO/BE). Gelangt das Gericht gestützt darauf zur Überzeugung, der strittige Sachverhalt sei erstellt, kann es auf die Abnahme weiterer Beweismittel verzichten, ohne dadurch den verfassungsmässigen Beweisanspruch einer Partei zu verletzen; von Verfassungs wegen stellte sich nur mehr die Frage, ob die vorweggenommene Beweiswürdigung dem Willkürverbot standhält (zuletzt: <ref-ruling> E. 1d S. 162; <ref-ruling> E. 4a S. 211).
Entgegen der Darstellung der Beschwerdegegnerin hat der Appellationshof die Ablehnung des beantragten Parteiverhörs nicht mit der summarischen Natur des Eheschutzverfahrens begründet, sondern überhaupt nicht. Dass ein kantonales Gericht sich mit einem Beweisantrag in keiner Weise auseinander setzt und ihn einfach mit Stillschweigen übergeht, ist mit dem Anspruch auf rechtliches Gehör im Grundsatz nicht vereinbar (<ref-ruling> E. 4d S. 552; <ref-ruling> E. 6, nicht veröffentlicht, sowie Urteil des Bundesgerichts I 235/98 vom 19.
Juli 2000 i.S. C. gegen IV-Stelle des Kantons Zürich, E. 2).
Die bundesgerichtliche Praxis ist streng, wo die Beweisanträge des Rechtsuchenden ohne jede Begründung übergangen werden und einfach auf die vorinstanzlichen Feststellungen abgestellt wird (z.B. Urteil 1P.414/1992 vom 21. Dezember 1992, E. 2a, in: ZBl. 94/1993 S. 318). Im Falle vorweggenommener Beweiswürdigung muss sich aus dieser zumindest implicite ergeben, weshalb das Gericht dem nicht abgenommenen Beweismittel jede Erheblichkeit oder Tauglichkeit abspricht (z.B. Urteil 1P.329/1989 vom 19. September 1989, E. 3b, in:
RDAT 1990 S. 107; Urteil 1A.217/1999 vom 8. Mai 2000 i.S.
A. SA gegen Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino, E. 3b/bb). Diese Voraussetzung kann hier als erfüllt betrachtet werden: Der Appellationshof durfte ohne Verletzung des Willkürverbots annehmen, ein Parteiverhör vermöge seine Überzeugung, der Beschwerdeführer hätte Unterlagen zu seinem Abgang als Betriebsleiter eingereicht, wenn er unfreiwillig erfolgt wäre, nicht zu ändern. Insoweit verletzt das Übergehen des gestellten Beweisantrags weder das rechtliche Gehör noch das Willkürverbot (vgl. zum Ganzen die Darstellung und die Nachweise bei Albertini, Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör im Verwaltungsverfahren des modernen Staates, Diss. Bern 1999, S. 378).
4.- Die Aufrechnung eines hypothetischen, höheren statt des tatsächlich erzielten Einkommens hat der Appellationshof für gerechtfertigt gehalten, weil der Beschwerdeführer seine frühere Stelle freiwillig aufgegeben habe (E. 7 S. 6 f. des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer wirft dem Appellationshof eine willkürliche Beurteilung der Voraussetzungen vor, deren Erfüllung ausnahmsweise das Abstellen auf ein hypothetisches Einkommen rechtfertigen kann; ob ihm ein höheres Einkommen tatsächlich möglich und auch zumutbar sei, habe der Appellationshof überhaupt nicht geprüft. Die Beschwerdegegnerin bestreitet diesen Einwand nicht grundsätzlich und versucht vielmehr zu belegen, dass die nicht beurteilten Voraussetzungen beim Beschwerdeführer gegeben seien.
a) Bei der Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen darf vom tatsächlichen Leistungsvermögen des Pflichtigen, das Voraussetzung und Bemessungsgrundlage der Beitragspflicht bildet, abgewichen und statt dessen von einem hypothetischen Einkommen ausgegangen werden, falls und soweit der Pflichtige bei gutem Willen bzw. bei ihm zuzumutender Anstrengung mehr zu verdienen vermöchte, als er effektiv verdient. Wo die reale Möglichkeit einer Einkommenssteigerung fehlt, muss eine solche jedoch ausser Betracht bleiben. Diesen Grundsatz hat das Bundesgericht für sämtliche Matrimonialsachen festgehalten (im Eheschutz: <ref-ruling> E. 1b S. 17; während der Dauer des Scheidungsprozesses: <ref-ruling> E. 4a S. 316; für Scheidungsalimente: <ref-ruling> E. 2a S. 139; bei der gerichtlichen Ehetrennung: <ref-ruling> E. 2a S. 117).
Aus welchem Grund ein Ehegatte auf das ihm angerechnete höhere Einkommen verzichtet, ist im Prinzip unerheblich (Sutter/Freiburghaus, Kommentar zum neuen Scheidungsrecht, Zürich 1999, N. 47 zu Art. 125 ZGB; nicht veröffentlichtes Urteil des Bundesgerichts 5C.177/2000 vom 19. Oktober 2000, E. 2a). Unterlässt es ein Ehegatte aus bösem Willen oder aus Nachlässigkeit oder verzichtet er freiwillig darauf, ein für den Familienunterhalt ausreichendes Einkommen zu erzielen, kann auf das Einkommen abgestellt werden, das er bei gutem Willen verdienen könnte (Bräm, Zürcher Kommentar, 1998, N. 83 zu Art. 163 ZGB; Schwenzer, in: Praxiskommentar Scheidungsrecht, Basel 2000, N. 16 zu Art. 125 ZGB; nicht veröffentlichtes Urteil des Bundesgerichts vom 2. September 1997 i.S.
Z. gegen Z., 5C.154/1996, E. 3b).
Die Anrechnung eines hypothetischen, höheren Einkommens hat keinen pönalen Charakter. Es geht vielmehr darum, dass der Unterhaltspflichtige das Einkommen zu erzielen hat, das ihm zur Erfüllung seiner Pflichten tatsächlich möglich und zumutbar ist. Selbst bei Beeinträchtigung der Leistungsfähigkeit in Schädigungsabsicht darf dem rechtsmissbräuchlich handelnden Ehegatten ein hypothetisches Einkommen nur angerechnet werden, wenn er die Verminderung seiner Leistungskraft rückgängig machen kann (Hausheer/Reusser/Geiser, Berner Kommentar, 1999, N. 22 und N. 59f zu Art. 163 sowie N. 20 zu Art. 176 ZGB, unter Hinweis auf die teilweise nicht veröffentlichte Rechtsprechung des Bundesgerichts). Die vom Appellationshof zitierten Autoren vertreten keinen anderen Standpunkt (Hausheer/Spycher, Handbuch des Unterhaltsrechts, Bern 1997, N. 01.62-. 64 S. 51 ff.).
Die gezeigten Grundsätze stützen sich auf die veröffentlichte Rechtsprechung des Bundesgerichts (z.B. für einen Fall der Vermögensentäusserung: <ref-ruling> E. 1b S. 17).
Vorab aus <ref-ruling> Nr. 61 und <ref-ruling> Nr. 60 kann nichts Abweichendes abgeleitet werden: Im ersten Urteil hat das Bundesgericht ausgeführt, ein freiwilliger Verzicht auf Erwerbstätigkeit sei gegebenenfalls unbeachtlich und es sei von der bisherigen Leistungskraft auszugehen, "sofern diese auch wieder erreicht werden kann"; strittig war alsdann nur mehr die Frage der Freiwilligkeit (<ref-ruling> E. 4a S. 317). Im zweiten Urteil ist es um die (verneinte) Frage gegangen, ob ein Unterhaltsbeitrag auf den Zeitpunkt hin abzustufen sei, in dem der Unterhaltspflichtige vorzeitig in Pension gehen wollte; da der Unterhaltspflichtige bei der Beitragsfestsetzung noch im Erwerbsleben stand, war nicht zu prüfen, ob ihm die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit tatsächlich möglich und zumutbar sei (<ref-ruling> E. 3b S. 299).
Der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist teilweise Kritik erwachsen (z.B. Bräm, N. 97 zu Art. 163 ZGB, betreffend Vermögensentäusserung). Es wird vertreten, dass dem Ehegatten, der sein Einkommen böswillig vermindert, ein hypothetisches Erwerbseinkommen selbst dann angerechnet werden soll, wenn sich die Verminderung nicht mehr rückgängig machen lässt (vgl. dazu Spycher, Unterhaltsleistungen bei Scheidung, Diss.
Bern 1996, S. 80/81; Sutter/Freiburghaus, N. 48 zu Art. 125 ZGB; unklar: Schwenzer, N. 32 zu Art. 137 ZGB). Die Frage kann hier aus nachstehendem Grund offen bleiben.
b) Der Appellationshof hat dem Beschwerdeführer statt des tatsächlich erzielten von ca. Fr. 4'050.-- ein hypothetisches Monatseinkommen von Fr. 5'300.-- angerechnet einzig mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe seine frühere Arbeitsstelle freiwillig aufgegeben. Von Mut- oder Böswilligkeit ist der Appellationshof angesichts der konkreten Umstände - Berufswechsel im Jahre 1996, gemeinsamer Haushalt ab 1997, Eheschutzgesuch vom September 2000 - selber nicht ausgegangen. Ein solcher Schluss wäre auf Grund der Beweislage auch nicht zulässig. Dennoch hat der Appellationshof in keiner Weise die Frage erörtert, ob dem Beschwerdeführer die Erzielung des angenommenen Einkommens tatsächlich möglich und zumutbar ist. In Anbetracht dessen ist die Willkürrüge des Beschwerdeführers begründet (Art. 9 BV). Der Appellationshof ist ohne Grundangabe von den in Lehre und Rechtsprechung entwickelten Grundsätzen (E. 4a soeben) abgewichen (<ref-ruling> E. 2b S. 56 und 60 E. 5a S. 70) und hat in seinen Ermessensentscheid Umstände nicht einbezogen, die hätten berücksichtigt werden müssen (<ref-ruling> E. 2c S. 109; <ref-ruling> E. 3c S. 10).
c) Mit ihren Vorbringen zur tatsächlichen Möglichkeit des Beschwerdeführers, das hypothetisch angenommene, höhere Einkommen zu erzielen, versucht die Beschwerdegegnerin den angefochtenen Appellationsentscheid wenigstens im Ergebnis zu rechtfertigen.
aa) Die Vorgehensweise der Beschwerdegegnerin ist zulässig; die Beschwerdeantwort hat dabei die formellen Anforderungen gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG zu erfüllen (<ref-ruling> E. 4a S. 30; bezüglich Noven: <ref-ruling> E. 2a S. 39). Da die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht auf Willkür beschränkt ist, genügt eine willkürfreie Ersatzbegründung (<ref-ruling> E. 3f S. 172), die vom Appellationshof allerdings nicht ausdrücklich verworfen worden sein darf (<ref-ruling> E. 3c/bb S. 355); letzteres ist hier nicht der Fall.
bb) Ob dem Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen in der angenommenen Höhe zugemutet werden kann, ist Rechtsfrage, ob dessen Erzielung auch als tatsächlich möglich erscheint, ist hingegen Tatfrage, die durch entsprechende Feststellungen oder durch die allgemeine Lebenserfahrung beantwortet wird (<ref-ruling> E. 2b S. 12); auch letzternfalls müssen aber jene Tatsachen als vorhanden festgestellt sein, die eine Anwendung von Erfahrungssätzen überhaupt erst ermöglichen (vgl. Kummer, Grundriss des Zivilprozessrechts,
4. A. Bern 1984, S. 225/226). Die Beschwerdegegnerin stützt ihre Vorbringen unter anderem auf die Lohnstrukturerhebung 1998 des Bundesamtes für Statistik. Das ist im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde zulässig, zumal Grundlage der Tatsachenfeststellung auch das Wissen des Gerichts über allgemein- oder gerichtsnotorische Tatsachen bildet; dazu können allgemein zugängliche Tatsachen gezählt werden, selbst wenn das Gericht sie ermitteln muss (vgl. Guldener, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3.A. Zürich 1979, S. 161 Ziffer II/1 und S. 320 Ziffer III/3).
cc) Die Lohnstrukturerhebung weist den monatlichen Bruttolohn nach Wirtschaftszweigen, Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes ("Kategorien") und Geschlecht aus. Die unbestrittenen Tatsachen, dass der Beschwerdeführer männlichen Geschlechts ist und vor nunmehr rund fünf Jahren die Funktion eines Betriebsleiters eingenommen hat, gestatten es von vornherein nicht - anhand welchen Erfahrungssatzes auch immer - ihn einem bestimmten Wirtschaftszweig mit konkret umschriebenem Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes zuzuweisen, solange weder über seine Ausbildung noch über seine Berufs- und Fachkenntnis irgendetwas festgestellt ist; die allgemeine Lebenserfahrung zeigt vielmehr, dass Betriebsleiter ihre berufliche Stellung oftmals in einer bestimmten Firma auf Grund ihrer spezifischen Fähigkeiten und Kenntnisse erreicht haben und alsdann nicht leichthin die gleiche Funktion in einer beliebigen anderen Firma übernehmen können. Die von der Beschwerdegegnerin vorgenommene Einreihung des Beschwerdeführers in eine bestimmte Kategorie beruht auf keinem Erfahrungssatz und ist ohne festgestellte Tatsachengrundlage zufällig.
Mangels Feststellungen oder nachprüfbaren Behauptungen über die berufliche Qualifikation des Beschwerdeführers kann sodann auch nach Erfahrungswissen nicht beurteilt werden, ob es sich bei ihm um eine eigentliche Fachkraft handelt, die auf dem Arbeitsmarkt verzweifelt gesucht wird, wie die Beschwerdegegnerin das darstellt. Die unbestrittene Tatsache schliesslich, dass der Beschwerdeführer bis zu seinem Auszug aus der gemeinsamen Wohnung im März 2000 einen Beitrag von Fr. 2'250.-- bezahlt haben soll, gestattet keine eindeutigen Rückschlüsse auf seinen damaligen Verdienst, da er bis zu jenem Zeitpunkt ja auch nicht für eine eigene Wohnung und einen eigenen Haushalt aufzukommen brauchte.
Insgesamt kann auf Grund der Ausführungen in der Beschwerdeantwort willkürfrei nicht angenommen werden, die Erzielung eines Einkommens von Fr. 5'300.-- sei dem Beschwerdeführer tatsächlich möglich. Dazu lässt sich auch den kantonalen Akten nichts entnehmen, zumal die zum Beweis verstellten Unterlagen den Parteien vor Einreichung der staatsrechtlichen Beschwerde retourniert worden sind (act. 135 f.). Der angefochtene Appellationsentscheid kann deshalb nicht auf eine willkürfreie Ersatzbegründung gestützt werden.
5.- Der obsiegende Beschwerdeführer trägt keine Kosten und hat Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 1 und 2 OG). Den Gesuchen beider Parteien um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (Art. 152 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Appellationshofs (II. Zivilkammer) des Kantons Bern vom 6. August 2001 wird aufgehoben.
2.- Den Gesuchen beider Parteien um unentgeltliche Rechtspflege wird entsprochen. Es werden Fürsprecher Andreas Bandi, Jurastrasse 31, Postfach 1659, 4900 Langenthal, als amtlicher Vertreter des Beschwerdeführers und Fürsprecher Bruno Habegger, Brauihof 2, Hübeligasse, Postfach 530, 4902 Langenthal, als amtlicher Vertreter der Beschwerdegegnerin bestellt.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.- Den amtlichen Vertretern der Parteien wird aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von je Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationshof (II. Zivilkammer) des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 30. November 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: