Sachverhalt:
A. Über ein Call-Center trat die Y._ AG, heute X._ AG, (Beschwerdeführerin, Beklagte) mit Sitz in Appenzell im Jahr 2002 an die Ehefrau von A.F._ (Beschwerdegegner, Kläger), wohnhaft in Lohmar, Deutschland, heran. Sie konnte das Ehepaar F._ überzeugen, in der Schweiz Kapital anzulegen. Im Juni 2005 kündigte das Ehepaar sämtliche abgeschlossenen Vereinbarungen und verlangte Schadenersatz.
Am 30. Mai 2007 fällte das Landgericht Bonn folgendes Urteil:
"1. Die Beklagte wird verurteilt, an den Kläger 39'100.00 Euro nebst Zinsen in Höhe von 5 Prozentpunkten über dem Basiszinssatz seit dem 16. Juni 2005 zu zahlen, Zug um Zug gegen Abtretung sämtlicher Ansprüche und Rechte aus den Versicherungsverträgen Nr. 50275024 und 50273468 der B._ Personenversicherung, Zürich.
2. Die Beklagte wird verurteilt, an den Kläger 1'592.68 Euro nebst Zinsen in Höhe von 5 Prozentpunkten über dem Basiszinssatz seit dem 8. August 2006 zu zahlen.
3. Die Beklagte wird verurteilt, an den Kläger zusätzliche 212.24 Euro nebst Zinsen in Höhe von 5 Prozentpunkten über dem Basiszinssatz seit dem 27. Oktober 2006 zu zahlen.
4. Die Beklagte wird verurteilt, an den Kläger Zinsen in Höhe von jährlich 3 Prozentpunkten hinsichtlich eines Betrags in Höhe von 38'000.00 Euro seit dem 23. August 2002 bis zum 10. Juni 2005 zu zahlen. Im Übrigen wird die Klage abgewiesen.
5. Die Hilfswiderklage wird abgewiesen."
Dagegen reichte die Beschwerdeführerin beim Oberlandesgericht Köln Berufung ein, welche dieses am 3. September 2007 abwies. Die Revision an den Bundesgerichtshof wurde vom Oberlandesgericht Köln nicht zugelassen. Mit Beschluss vom 13. Februar 2008 nahm das Bundesverfassungsgericht die von der Beschwerdeführerin erhobene Verfassungsbeschwerde nicht zur Entscheidung an.
B. Mit Zahlungsbefehl Nr. 2080180 des Betreibungsamtes Appenzell vom 28. Februar 2008 betrieb der Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin über Fr. 82'360.01 nebst Zins zu 8.32 % seit dem 19. Januar 2008. Grundlage des Zahlungsbefehls bildeten das rechtskräftige Urteil des Landgerichts Bonn vom 30. Mai 2007 und ein Umrechnungskurs von 1 Euro = Fr. 1.60.
Aufgrund des erhobenen Rechtsvorschlags stellte der Beschwerdegegner beim Bezirksgerichtspräsidenten von Appenzell Innerrhoden ein Gesuch um definitive Rechtsöffnung. Mit Urteil vom 4. Juli 2008 erteilte der Bezirksgerichtspräsident die definitive Rechtsöffnung und erklärte das Urteil des Landgerichts Bonn vom 30. Mai 2007 für vollstreckbar.
Gegen die Vollstreckbarerklärung erhob die Beschwerdeführerin beim Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden den Rechtsbehelf nach <ref-law>. Diesen wies das Kantonsgericht mit Urteil vom 17. März 2009 ab, soweit es darauf eintrat.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 17. März 2009 aufzuheben und das Urteil des Landgerichts Bonn vom 30. Mai 2007 als in der Schweiz nicht vollstreckbar zu erklären. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen und das angefochtene Urteil zu bestätigen. Das Kantonsgericht reichte keine Vernehmlassung ein.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid erging in einem Verfahren zur Vollstreckung eines ausländischen Urteils in Zivilsachen. Solche Entscheide unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 1 BGG). Es gilt demnach auch für sie das Streitwerterfordernis nach <ref-law>. Vorliegend übersteigt der Streitwert die Grenze von Fr. 30'000.--. Der angefochtene Entscheid geht zudem von einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) aus und schliesst das kantonale Verfahren ab. Er stellt einen anfechtbaren Endentscheid dar (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist mit ihren Anträgen vor der Vorinstanz unterlegen und somit zur Einreichung der Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Die Frist (<ref-law>) wurde eingehalten. Auf die Beschwerde ist demnach einzutreten.
2. Das Urteil des Landgerichts Bonn vom 30. Mai 2007 erging in einem Vertragsstaat (Deutschland) des Übereinkommens vom 16. September 1988 über die gerichtliche Zuständigkeit und die Vollstreckung gerichtlicher Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen (LugÜ; SR 0.275.11). Seine Anerkennung und Vollstreckung in der Schweiz wird daher durch dieses Übereinkommen geregelt (Art. 26 und 31 LugÜ).
Die in einem Vertragsstaat des Lugano-Übereinkommens ergangenen Entscheidungen, die in diesem Staat vollstreckbar sind, werden in einem anderen Vertragsstaat vollstreckt, wenn sie dort auf Antrag eines Berechtigten für vollstreckbar erklärt worden sind (<ref-law>). Der Antrag kann nur aus einem der in den Art. 27 und 28 LugÜ angeführten Gründe abgelehnt werden (<ref-law>). Die ausländische Entscheidung darf keinesfalls in der Sache selbst nachgeprüft werden (<ref-law>).
3. Die Beschwerdeführerin beanstandet als Verstoss gegen den schweizerischen Ordre public zunächst, dass das Landgericht Bonn seine Zuständigkeit gestützt auf <ref-law> (unerlaubte Handlung) in willkürlicher Anwendung dieser Bestimmung bejaht habe.
3.1 <ref-law> sieht vor, dass die Zuständigkeit der Gerichte des Ursprungsstaats, unter Vorbehalt der Bestimmungen der Absätze 1 und 2, nicht nachgeprüft werden darf und die Vorschriften über die Zuständigkeit nicht zur öffentlichen Ordnung im Sinne von Art. 27 Ziffer 1 LugÜ gehören.
Die Beschwerdeführerin behauptet nicht, die Zuständigkeit des Landgerichts Bonn sei aufgrund einer Bestimmung der Absätze 1 oder 2 von <ref-law> zu überprüfen. Der vorliegend angerufene <ref-law>, der gemäss Beschwerdeführerin krass verletzt worden sein soll, fällt nicht unter die in Art. 28 Abs. 1 und 2 LugÜ aufgeführten Bestimmungen. Es greift somit das Prinzip des Nachprüfungsverbots hinsichtlich der Zuständigkeit des Ursprungsstaats nach <ref-law>.
Die Beschwerdeführerin vertritt jedoch die Auffassung, dass nur die einfache falsche Anwendung der Zuständigkeitsordnung unter <ref-law> falle. Die willkürliche Annahme eines Gerichtsstandes nach dem LugÜ dagegen, namentlich durch rein nationale Auslegung der staatsvertraglichen Rechtsbegriffe und vollständige Missachtung der vertragsautonomen Auslegung, könne ein Vollstreckungshindernis darstellen.
Dem kann nicht gefolgt werden. Der Zusatz in <ref-law>, wonach die Vorschriften über die Zuständigkeit nicht zur öffentlichen Ordnung im Sinne von Art. 27 Ziffer 1 LugÜ gehören, macht deutlich, dass selbst bei krassen Verstössen die Zuständigkeit des Erstrichters nicht unter Berufung auf den Ordre public nachgeprüft werden darf (Donzallaz Yves, La Convention de Lugano, Volume II, 1997, N. 3154; Geimer/Schütze, Europäisches Zivilverfahrensrecht, 2. Aufl. 2004, N. 3 zu Art. 35 EuGVO; Kropholler Jan, Europäisches Zivilprozessrecht, 8. Aufl. 2005, N. 3 zu Art. 35 EuGVO; Walter Gerhard, Internationales Zivilprozessrecht der Schweiz, 4. Aufl. 2007, S. 440; Walther Fridolin, in: Dasser/Oberhammer [Hrsg.], Kommentar zum Lugano-Übereinkommen, Bern 2008, N. 2 zu <ref-law>). Bei dieser Regelung handelt es sich - im Vergleich zu den bilateralen Vollstreckungsabkommen - um die eigentliche Novität des LugÜ. Die Vertragsstaaten gingen davon aus, dass sie sich hinsichtlich der richtigen Anwendung der einheitlichen Zuständigkeitsordnung gegenseitig vertrauen können (Walther, a.a.O., N. 1 f. zu <ref-law>). Das Bundesgericht hatte bereits Gelegenheit festzuhalten, dass dem Gericht im Anerkennungs- und Vollstreckungsverfahren nach <ref-law> selbst bei krassen Verstössen verwehrt ist, die Zuständigkeit des Ursprungsgerichts zu überprüfen (Urteil 4P.48/2002 vom 4. Juni 2002 E. 3. a/bb). Die Vorinstanz hat dies ihrem Entscheid zutreffend zugrunde gelegt. Es nützt der Beschwerdeführerin demnach nichts, wenn sie eine angeblich qualifiziert falsche Anwendung von <ref-law> durch Ausserachtlassung der gebotenen vertragsautonomen Auslegung geltend macht. Ihre diesbezüglichen Vorbringen können im Verfahren der Vollstreckbarerklärung nicht gehört werden.
3.2 Unter Berufung auf <ref-ruling> behauptet die Beschwerdeführerin, das Prinzip des Nachprüfungsverbots der Zuständigkeit des Erstrichters kenne weitere Ausnahmen als diejenigen nach den Absätzen 1 und 2 von <ref-law>. Der Einwand beruht auf einer ungenauen Lektüre dieses Bundesgerichtsentscheids. Das Bundesgericht führte in <ref-ruling> E. 2a S. 378 zwar aus, dass sich Ausnahmen vom Überprüfungsverbot der internationalen Zuständigkeit insbesondere aus Art. 28 Abs. 1 und 2 LugÜ ergeben. Mit "insbesondere" öffnete das Bundesgericht aber nicht Raum für etwelche weitere Ausnahmen, sondern für die anschliessend im Entscheid erwähnten Hinweise auf den - damals noch geltenden - Vorbehalt nach Art. 1a des Protokolls Nr. 1 und den übergangsrechtlichen Fall nach <ref-law>. Die Beschwerdeführerin kann demnach aus <ref-ruling> nichts für ihren Standpunkt, bei willkürlicher Anwendung der Zuständigkeitsvorschriften greife das Überprüfungsverbot nicht, ableiten. Die in Art. 28 Abs. 1 und 2 LugÜ genannten Ausnahmen sind - abgesehen von den Übergangsfällen nach <ref-law> - abschliessend (Kropholler, a.a.O., N. 5 zu Art. 35 EuGVO; Walter, a.a.O., S. 441; Walther, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>).
4. Die Beschwerdeführerin rügt als Verstoss gegen den formellen Ordre public im Sinne von <ref-law>, dass am Oberlandesgericht eine befangene Richterin mitgewirkt habe. Oberlandesrichterin C._ schrieb am 18. Juli 2007 den Parteien: "In dem Rechtsstreit Y._ AG gegen F._ habe ich beim Aktenstudium festgestellt, dass mir die Zedentin Frau F._ bekannt ist. Wir sind beide Mitglieder des Chors D._ in E._ und begegnen uns in der Regel einmal wöchentlich bei den Chorproben. Darüber hinaus bestehen keine näheren Beziehungen. Insbesondere habe ich von Frau F._ keine Informationen über das vorliegende Verfahren erhalten. Der Kläger ist mir persönlich unbekannt. Ich fühle mich unbefangen. Etwaige Bedenken gegen meine Mitwirkung im Berufungsverfahren bitte ich bis zum 3.8.2007 mitzuteilen." Die Beschwerdeführerin erhob keine Einwände.
Erst mit Verfassungsbeschwerde an das Bundesverfassungsgericht erhob sie den Vorwurf der Befangenheit von Oberlandesrichterin C._. Die Beschwerdeführerin liess laut ihren Ausführungen in der Verfassungsbeschwerde die Befangenheit der Vorsitzenden nach dem Beschluss des Oberlandesgerichts nochmals prüfen. Sie habe feststellen müssen, dass Oberlandesrichterin C._ eine erheblich engere Bindung zu Frau F._ habe, als im Schreiben vom 18. Juli 2007 mitgeteilt worden sei. Die beiden würden in der gleichen Stimmgruppe (Sopran) singen. Beim Chor D._ handle es sich um ein semiprofessionelles Unternehmen, welches häufig auftrete. Das Bundesverfassungsgericht nahm die Beschwerde nicht zur Entscheidung an.
4.1 Die Verletzung wesentlicher Grundsätze des schweizerischen Verfahrensrechts kann als Verstoss gegen den verfahrensrechtlichen Ordre public der Anerkennung einer Entscheidung im Sinne von Art. 27 Ziffer 1 LugÜ entgegenstehen. Ein Verstoss gegen den verfahrensrechtlichen Ordre public liegt aber nach schweizerischem Verständnis nur vor bei einer Verletzung von fundamentalen und allgemein anerkannten Verfahrensgrundsätzen, deren Nichtbeachtung zum Rechtsempfinden in einem unerträglichen Widerspruch steht, so dass die Entscheidung als mit der in den Kulturstaaten geltenden Rechts- und Wertordnung schlechterdings unvereinbar erscheint (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 392; <ref-ruling> E. 3b mit Hinweisen). Dies gilt erst recht im Zusammenhang mit der Anerkennung und Vollstreckung ausländischer Urteile, wo die Tragweite des Vorbehalts der öffentlichen Ordnung noch eingeschränkter zu verstehen ist als bei der direkten Anwendung ausländischen Rechts (<ref-ruling> E. 2b). Zu den fundamentalen Verfahrensgrundsätzen gehört insbesondere der Anspruch auf Unabhängigkeit und Unparteilichkeit des Gerichts (Donzallaz, a.a.O., N. 2844; Geimer/Schütze, a.a.O., N. 25 zu Art. 34 EuGVO; Walther, a.a.O., N. 22 zu <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 272).
Die Beschwerdeführerin kann demzufolge im Verfahren der Vollstreckbarerklärung geltend machen, im erststaatlichen Verfahren sei ihr Anspruch auf Unparteilichkeit des Gerichts verletzt worden. Dass sie dabei die Befangenheit einer Richterin des Oberlandesgerichts, mithin des Rechtsmittelgerichts, behauptet, spielt keine Rolle, da die Vollstreckbarerklärung des Urteils des Landgerichts Bonn auch dann verweigert werden müsste, wenn das Rechtsmittelgericht nicht unabhängig und unparteilich war.
4.2 Die Rüge ist indessen unbegründet. Die Vorinstanz hielt dafür, die Beschwerdeführerin habe ihr Recht zur Ablehnung von Oberlandesrichterin C._ verwirkt, da sie die Internet-Recherchen zur Zusammensetzung des Chors D._ schon aufgrund des Briefs von Oberlandesrichterin C._ vom 18. Juli 2007 hätte tätigen können. Dem ist beizupflichten. Treuwidrig und rechtsmissbräuchlich handelt die Partei, welche Ablehnungsgründe gleichsam in "Reserve" hält, um diese bei ungünstigem Prozessverlauf und voraussehbarem Prozessverlust nachzuschieben. Wer einen Ablehnungsgrund nicht unverzüglich nach dessen Kenntnisnahme geltend macht, verwirkt seine spätere Anrufung (<ref-ruling> E. 4.3.1; <ref-ruling> E. 4.3 S. 496 f. mit Hinweisen).
Die Tatsache, dass Oberlandesrichterin C._ im gleichen Chor wie Frau F._ singt, wurde der Beschwerdeführerin mitgeteilt. Sie hätte ohne weiteres die Möglichkeit gehabt, im Internet Recherchen zu diesem Chor, namentlich zu dessen Zusammensetzung und Konzerttätigkeit, vorzunehmen, wie sie dies denn auch nach dem Beschluss des Oberlandesgerichts getan hat. Ihre Behauptung, dass ihr von dritter Seite zugetragen worden sei, Oberlandesrichterin C._ habe in ihrem Schreiben vom 18. Juli 2007 nicht die ganze Wahrheit offen gelegt, woraufhin sie erst Anlass gehabt habe, die Internet-Recherchen vorzunehmen, ist neu (<ref-law>) und findet im vorinstanzlich verbindlich festgestellten Sachverhalt (<ref-law>) keine Stütze. Darauf kann nicht abgestellt werden. Auszugehen ist davon, dass Oberlandesrichterin C._ den Parteien die wesentliche Mitteilung machte, dass sie im gleichen Chor wie Frau F._ singe und in der Regel einmal in der Woche Proben stattfinden würden. Diese Mitteilung war weder unwahr noch musste sie ausführlicher sein, da es aufgrund der Angaben ein Leichtes war, im Internet über den Chor D._ weitere Informationen zu erhalten, wenn dies für nötig befunden wurde. Die Beschwerdeführerin muss sich daher entgegenhalten lassen, dass sie die angerufenen Umstände (gleiche Stimmgruppe, Auftritte des Chores D._) ohne weiteres hätte zur Kenntnis nehmen können, um rechtzeitig im hängigen Verfahren vor Oberlandesgericht einen allfälligen Ablehnungsgrund geltend zu machen. Indem sie damit bis nach dessen Abschluss zuwartete, verwirkte sie die Möglichkeit zur Ablehnung von Oberlandesrichterin C._.
4.3 Ohnehin wäre aber auch die Eventualbegründung der Vorinstanz zutreffend, dass die vorgebrachten Umstände keinen Grund zur Ablehnung von Oberlandesrichterin C._ gebildet hätten. Allein die Tatsache, dass eine Richterin mit der Ehefrau einer Partei im gleichen Chor und der gleichen Stimmgruppe singt und dieser Chor häufige Auftritte hat, indiziert noch keine Befangenheit der Richterin. Besondere Anhaltspunkte dafür, dass aufgrund der Zugehörigkeit zum gleichen Chor tatsächlich eine engere persönliche Beziehung zwischen der Oberlandesrichterin C._ und der Ehefrau des Beschwerdegegners bestand, die objektiv den Anschein der Befangenheit erwecken würde, sind nicht dargetan.
5. Die Beschwerdeführerin macht sodann eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend, weil die Vorinstanz nicht auf "die detaillierten Vorbringen der Beschwerdeführerin zu Art und Umfang der Tätigkeit des Chors" eingegangen sei. Die entsprechenden Vorbringen seien relevant, da es nicht bloss um die gemeinsame formale Vereinszugehörigkeit gehe, sondern um die effektive, gelebte Beziehungsnähe.
Auch dieser Einwand verfängt nicht. Die Beschwerdeführerin zeigt nicht auf, dass sie im kantonalen Verfahren über die formale Zugehörigkeit zum gleichen Chor und zur gleichen Stimmgruppe sowie der angeblich häufigen Auftritte des Chores hinaus Umstände dargelegt hätte, die auf eine effektive, gelebte Beziehungsnähe zwischen Frau F._ und Oberlandesrichterin C._ hätten schliessen lassen müssen. Der Vorinstanz kann daher auch nicht vorgeworfen werden, sich mit entscheidrelevanten Vorbringen nicht auseinandergesetzt und damit das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin verletzt zu haben.
6. Die Beschwerde ist demzufolge abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Appenzell I.Rh., Abteilung Zivil- und Strafgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Oktober 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Klett Sommer