Faits:
A.
A._ est propriétaire de la parcelle n° 242 du cadastre de la commune de Genève, quartier des Eaux-Vives, sise à l'angle de l'avenue de la Grenade 28 et de la rue Sillem 3; sur ce bien-fonds sont érigés une maison d'habitation (bâtiment B 184) composée d'un entrepôt, d'un atelier au rez-de-chaussée, d'un premier étage et de combles affectés au logement, ainsi que deux garages privés. C._ est propriétaire de la parcelle n° 243, à l'adresse rue de l'Avenir 17, sur laquelle est érigé un immeuble d'habitation (bâtiment B 186); le rez-de-chaussée est affecté à des activités, alors que les premier et deuxième étages, ainsi que les combles, servent à l'habitat. B._ est, quant à lui, propriétaire de la parcelle n° 244, qui comprend le bâtiment B 187, situé rue de l'Avenir 19/rue Sillem 1, comportant un rez-de-chaussée voué à des activités et un premier étage et des combles affectés à l'habitat.
La Ville de Genève est propriétaire de la parcelle n° 2725 comportant un immeuble sis rue Sillem 2, faisant face aux bâtiments de A._ et B._.
B.
Le 14 août 2008, A._, C._ et B._ ont déposé deux demandes définitives en autorisation de construire et de démolir auprès du Département des constructions et des technologies de l'information, devenu le Département de l'urbanisme (ci-après: le Département). Le projet consiste à démolir les bâtiments existants pour les remplacer par un bâtiment unique de 5 étages sur rez-de-chaussée plus attique (12 logements) avec 3 étages de parking en sous-sol.
Dans le cadre de l'instruction, le Département a recueilli les préavis nécessaires (Service des monuments et des sites, Service juridique LDTR, etc.). La Ville de Genève a émis des préavis négatifs les 10 et 14 octobre 2008. La Commission d'architecture a en revanche préavisé positivement le projet en date du 20 janvier 2009.
Le 9 avril 2010, le Conseil d'Etat a adopté une carte indicative relative au secteur 15 (Eaux-Vives), dont il ressort notamment que les immeubles concernés par le projet litigieux sont susceptibles d'être surélevés.
Par décisions du 13 janvier 2011, publiées en janvier 2011 dans la Feuille d'avis officielle de la République et canton de Genève, le Département a délivré les autorisations de démolir et de construire sollicitées, en se référant à l'art. 11 de la loi cantonale sur les constructions et les installations diverses du 14 avril 1988 (LCI, RSG L 5 05).
C.
Le Tribunal administratif de première instance (ci-après: TAPI) a confirmé ces autorisations au terme de son jugement rendu le 13 septembre 2011. Il a notamment admis une dérogation au sens de l'art. 11 al. 4 LCI pour la partie du bâtiment qui dépassait le gabarit légal fixé par l'art. 23 LCI.
Par arrêt du 30 octobre 2012, la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice ou la cour cantonale) a, après avoir procédé à une inspection locale en présence des parties en février 2012, rejeté les recours déposés par la Ville de Genève et l'Association genevoise de défense des locataires (ci-après: l'ASLOCA). Elle a confirmé l'autorisation de construire litigieuse moyennant l'octroi d'une dérogation selon l'art. 11 al. 4 LCI, expressément réservé par l'art. 23 al. 7 LCI.
D.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la Ville de Genève demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt de la Cour de justice du 30 octobre 2012 ainsi que les autorisations de démolir et construire octroyées aux intimés. Elle se plaint d'une violation de son droit d'être entendue ainsi que d'une application arbitraire du droit cantonal.
La Cour de justice renonce à déposer des observations et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Aux termes de leurs déterminations respectives, le Département et les intimés proposent de déclarer le recours irrecevable, subsidiairement de le rejeter.

Considérant en droit:
1.
Dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public des constructions (art. 82 let. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée.
2.
La qualité pour former un recours en matière de droit public est régie par l'art. 89 LTF. Aux termes de l'alinéa premier de cette disposition, a qualité pour recourir quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a), est particulièrement atteint par la décision attaquée (let. b) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (let. c). Conformément à l'art. 89 al. 2 LTF, ont aussi la qualité pour recourir, à certaines conditions, les communes et les autres collectivités de droit public (let. c) et les personnes, organisations et autorités auxquelles une autre loi fédérale accorde un droit de recours (let. d).
2.1. En l'espèce, dès lors que la Ville de Genève ne peut se prévaloir d'aucune autonomie en matière de police des constructions, elle ne saurait fonder sa qualité pour recourir sur l'art. 89 al. 2 let. c LTF (cf. arrêt 1C_362/2011 du 14 février 2012 consid. 2.1 et les références).
Par ailleurs, dans la mesure où le présent litige concerne l'application de dispositions réglant l'octroi d'autorisations de construire en zone à bâtir, il ne correspond à aucun des cas visés par l'art. 34 al. 2 LAT. La commune n'a donc pas non plus la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 2 let. d LTT.
2.2. Une collectivité publique peut également fonder sa qualité pour recourir sur l'art. 89 al. 1 LTF si l'acte attaqué l'atteint de la même manière qu'un particulier ou de façon analogue, dans sa situation matérielle (patrimoine administratif ou financier) ou juridique et qu'elle a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification. Un intérêt général à une correcte application du droit n'est cependant pas suffisant au regard de cette disposition (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 158; <ref-ruling> consid. 2.4.2 p. 406; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 62 et les références citées).
Selon la jurisprudence, le voisin a qualité pour agir lorsque son terrain jouxte celui du constructeur ou se trouve à proximité immédiate de celui-ci (<ref-ruling> consid. 2b p. 174; <ref-ruling> consid. 5c p. 511). La distance par rapport à l'objet du litige ne constitue toutefois pas l'unique critère pour déterminer la qualité pour agir du voisin. S'il est certain ou très vraisemblable que l'installation litigieuse sera à l'origine d'immissions - bruit, vibrations, lumières ou autres - touchant spécialement les voisins, même situés à quelque distance, ces derniers peuvent avoir qualité pour recourir (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 285; arrêt 1C_565/2012 du 23 janvier 2013 consid. 2.1 in SJ 2013 I 526). Le voisin doit en outre retirer un avantage pratique de l'annulation ou de la modification de la décision contestée qui permette d'admettre qu'il est touché dans un intérêt personnel se distinguant nettement de l'intérêt général des autres habitants de la collectivité concernée de manière à exclure l'action populaire; il doit ainsi invoquer des dispositions du droit public des constructions susceptibles d'avoir une incidence sur sa situation de fait ou de droit (<ref-ruling> consid. 2.2.3 et 2.3 p. 33 s.; <ref-ruling> consid. 1.3.1 s. p. 252 s.).
En l'espèce, la Ville de Genève a pris part à la procédure de recours devant la Cour de justice. Elle est particulièrement touchée par l'arrêt cantonal qui confirme le projet de construction sis sur les parcelles directement voisines de la sienne. Elle se prévaut en outre de prescriptions de droit des constructions relatives à la hauteur maximale des bâtiments et prétend que cette surélévation entraînerait certaines restrictions à ses droits de propriété (cf. ATF <ref-ruling> consid. 1.3.3 p. 253 s.). Elle dispose ainsi de la qualité pour recourir en vertu de l'art. 89 al. 1 LTF.
Il convient dès lors d'entrer en matière.
3.
Dans un grief formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, la recourante se plaint d'une violation de l'art. 29 al. 2 Cst. Elle fait grief à l'instance précédente de ne pas avoir motivé sa décision.
3.1. Le droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., implique pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Pour satisfaire à cette exigence, il suffit qu'elle mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Elle n'est pas tenue d'exposer et de discuter tous les griefs invoqués par les parties, mais elle peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 237; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 188).
3.2. La recourante fait grief à l'instance précédente, à l'instar de la Commission d'architecture, de ne pas s'être prononcée sur les conditions de l'art. 11 al. 4 LCI permettant un dépassement du gabarit prescrit par la loi. Cette critique tombe à faux. En effet, dans son préavis favorable à l'octroi d'une dérogation au sens de l'art. 11 LCI, la Commission d'architecture a exposé avoir apprécié la création d'un ensemble cohérent qui, au vu de sa situation au bout d'un système, supportait d'être plus haut que les immeubles voisins, relevant en outre la qualité et la flexibilité des typologies qui entretenaient une certaine diversité. L'instance précédente a considéré qu'il n'y avait pas lieu de s'écarter de l'appréciation de la Commission d'architecture et a donc confirmé l'autorisation de construire sur la base de la clause dérogatoire de l'art. 11 al. 4 LCI. Cette motivation était en l'occurrence suffisante et permettait à l'intéressée de recourir en connaissance de cause, ce qu'elle a d'ailleurs fait. L'instance précédente n'avait par ailleurs pas à se prononcer spécifiquement sur les conditions que la recourante n'avait pas contestées en procédure cantonale, telle celle relative à l'indice d'utilisation du sol (art. 11 al. 4 let. b LCI).
Le grief de violation du droit d'être entendu doit dès lors être écarté.
4.
Sur le fond, la recourante se plaint d'une application arbitraire de l'art. 23 al. 1, 3 et 5 LCI ainsi que de l'art. 11 al. 4 LCI.
4.1. Le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal que sous l'angle de l'arbitraire. Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain, ce qu'il appartient au recourant de démontrer par une argumentation qui réponde aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid de 1.4.2 p. 254 et les références). Le recourant doit ainsi indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et démontrer par une argumentation précise en quoi consiste la violation. En outre, si l'interprétation défendue par la cour cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 17).
4.2. Le gabarit de hauteur de l'immeuble litigieux, situé en 2ème zone, est réglé par les art. 22 ss LCI. Selon l'art. 23 al. 1 LCI, à front ou en retrait des voies publiques ou privées, la hauteur du gabarit ne peut dépasser de plus de 3 mètres la distance fixée entre alignements (H ≤ D + 3). L'alinéa 2 de cette même disposition stipule que la hauteur du gabarit est calculée par rapport aux limites de propriétés privées conformément aux dispositions de l'art. 25 al. 1 (H < 2D + 3).
Le 22 février 2008, le Grand Conseil a adopté une modification de l'art. 23 LCI (loi 10088) selon laquelle le département peut autoriser le dépassement du gabarit d'un immeuble afin de permettre la création de logements supplémentaires, à condition que cela ne compromette pas l'harmonie urbanistique de la rue; il est notamment tenu compte du gabarit des immeubles voisins (al. 3). Après consultation de la commune et de la commission des monuments, de la nature et des sites, le département établit des cartes indicatives, par quartier, des immeubles susceptibles d'être surélevés; la délivrance d'une autorisation en application de l'alinéa 3 est subordonnée à l'adoption par le Conseil d'Etat de la carte applicable à l'immeuble concerné (al. 4). A front ou en retrait des voies publiques ou privées, la hauteur du gabarit ne peut toutefois pas dépasser de plus de 6 mètres la distance fixée entre alignements (H ≤ D + 6); la hauteur du gabarit est calculée, par rapport aux limites de propriétés privées, conformément aux dispositions de l'art. 25 al. 2 LCI (al. 5). La hauteur de la ligne verticale du gabarit ne peut dépasser nulle part 24 mètres; afin de permettre la construction de logements supplémentaires au sens des alinéas 3 à 5, la hauteur de la ligne verticale du gabarit ne peut dépasser nulle part 30 mètres (al. 6). Enfin, l'alinéa 7 réserve un certain nombre de dispositions qui restent applicables, dont les art. 10 et 11 LCI.
L'art. 11 al. 4 LCI, qui se trouve dans les dispositions générales de cette loi, prescrit que le département peut, après consultation de la commission d'architecture, autoriser un dépassement du gabarit prescrit par la loi lorsque les constructions prévues:
a) sont édifiées sur des terrains dont la surface libre est suffisante pour préserver les voisins des inconvénients que pourrait impliquer le supplément de hauteur;
b) n'excèdent pas l'indice d'utilisation du sol qui résulterait de la stricte application de la loi;
c) ne nuisent pas à l'harmonie de la silhouette de l'agglomération ni à la perception de sa topographie;
d) se justifient par leur aspect esthétique et leur destination et sont compatibles avec le caractère, l'harmonie et l'aménagement du quartier. L'article 4, alinéa 1, de la loi sur les commissions d'urbanisme et d'architecture, du 24 février 1961, est réservé.
4.3. Il n'est pas contesté que la hauteur à la corniche du bâtiment projeté est de 17,66 m. et que celui-ci culmine à 22,93 m. (hauteur au faîte). Les immeubles adjacents au bâtiment projeté ont une hauteur à la corniche de 15 m. et culminent au faîte à 19,50 m.; les mêmes hauteurs sont relevées pour les bâtiments en vis-a-vis côté rue de l'Avenir et côté rue Sillem; en revanche, côté avenue Grenade, la hauteur à la corniche est de 18 m. et la hauteur au faîte à 22 m. Il ressort par ailleurs de l'arrêt cantonal que la distance entre alignements des bâtiments de part et d'autre de la rue Sillem est de 12,28 m. alors qu'elle n'est que de 7,74 m. si on la calcule en tenant compte de la distance entre les limites de propriétés (cf. arrêt entrepris consid. 8 p. 16).
4.4. En l'espèce, la cour cantonale a retenu que le bâtiment litigieux se trouvait à front des voies publiques. Par ailleurs, tous les bâtiments du côté pair de la rue Sillem étaient érigés en retrait de la limite de propriété sur une même ligne jusqu'à la rue du Clos et constituaient ainsi un alignement de fait. Il convenait dès lors, pour calculer la hauteur du gabarit autorisé par la loi (cf. art. 23 al. 5 première phrase LCI), de prendre en compte la distance entre alignements de fait, soit 12,28 m. Par conséquent, avec une hauteur de 17,66 m., le gabarit projeté - à front de voies publiques - respectait l'art. 23 al. 3 ss LCI. La cour cantonale a ensuite considéré que le dépassement du gabarit de toiture - dans lequel s'inscrivait l'attique du bâtiment litigieux qui s'élevait à plus de 22,93 m. - pouvait être autorisé par le biais de la clause dérogatoire de l'art. 11 al. 4 LCI, expressément réservée par la nouvelle teneur de l'art. 23 al. 7 LCI. Selon les modifications apportées en 2008 par la loi n° 10088, la hauteur au faîte de l'immeuble litigieux pouvait en effet être au maximum de 22,37 m. (cf. arrêt TAPI consid. 11 en droit).
4.5. La recourante soutient que, compte tenu de la largeur de la rue Sillem qu'elle fixe à 7,75 m., le gabarit admissible de l'immeuble en application de la LCI était de 10,75 m. (art. 23 al. 1 LCI), voire de 13,75 mètres (art. 23 al. 5 LCI). Elle fait grief à la cour cantonale de s'être référée à la distance existant entre les alignements des bâtiments (alignement de fait). Or dans la mesure où il n'existerait pour ce secteur aucun plan d'alignement au sens de l'art. 34 LExt (RSG L1 40) valant plan d'affectation, l'instance précédente ne pouvait prendre en considération la distance existant entre les bâtiments; elle devait au contraire se référer aux limites parcellaires.
Ces critiques ne sont en l'occurrence pas de nature à démontrer le caractère manifestement insoutenable de l'argumentation de l'instance précédente. De l'aveu même de la recourante, il n'existerait aucun plan d'alignement. Dans ces circonstances, il n'apparaît pas arbitraire de tenir compte des distances entre alignements des constructions plutôt qu'entre les limites de propriétés. La jurisprudence cantonale (arrêt du Tribunal administratif genevois du 21 janvier 1976 publié in SJ 1977 p. 72 ss) citée par la recourante ne se prononce d'ailleurs pas sur cette question. En outre, le croquis n° III figurant dans les annexes du règlement d'application du 27 février 1978 de la LCI (RCI, RSG L 5 05.01) paraît confirmer l'appréciation de l'instance précédente s'agissant in casu de bâtiments situés à front des voies publiques.
La recourante soutient encore que la cour cantonale a fait une application arbitraire de l'art. 23 al. 3 LCI en ne tenant pas compte du gabarit des immeubles voisins. Avec une hauteur à la corniche de 3 m. plus élevée que celles des bâtiments voisins, l'immeuble projeté compromettrait selon elle l'harmonie urbanistique de la rue. L'intéressée reprend cette critique lorsqu'elle se plaint d'une violation de l'art. 11 al. 4 let. c et d LCI. Elle soutient en effet que les conditions d'octroi d'une dérogation au sens de cette disposition ne seraient pas remplies, précisant qu'une telle dérogation doit demeurer exceptionnelle. En l'occurrence, les critiques - essentiellement appellatoires - de la recourante ne permettent pas de remettre en cause l'appréciation de la Commission d'architecture, reprise par l'instance précédente, étant relevé que le Tribunal fédéral s'impose une certaine retenue s'agissant d'une question d'appréciation des circonstances locales (cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 181; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 344 et les arrêts cités). La recourante se contente en effet d'opposer sa propre appréciation à celle de l'instance précédente, sans chercher à démontrer le caractère arbitraire du jugement porté par la Commission d'architecture qui a considéré que l'ensemble était cohérent et que, au vu de sa situation au bout d'un îlot, le bâtiment projeté supportait d'être plus haut que les immeubles voisins; la Commission a également mis en avant la qualité et la flexibilité des typologies qui entretenaient une certaine diversité. La recourante omet par ailleurs de mentionner que la hauteur des immeubles sis de l'autre côté de l'avenue de la Grenade est quasiment identique à celle de la construction litigieuse (cf. supra consid. 4.3). Il n'apparaît au demeurant pas insoutenable de considérer que l'harmonie du quartier n'impose pas nécessairement que chaque immeuble ait la même hauteur de gabarit. De plus, la carte indicative du Conseil d'état du 9 avril 2010 identifiant les immeubles des intimés comme étant susceptibles d'être surélevés eu égard à l'harmonie urbanistique de la rue, plaide également pour la conformité du projet à la loi.
Par ailleurs, soulevée pour la première fois devant le Tribunal fédéral, la critique - au demeurant purement appellatoire - selon laquelle le projet de construction excéderait l'indice d'utilisation du sol résultant de la stricte application de la loi (cf. art. 11 al. 4 let. b LCI), est irrecevable; le bien-fondé de cette critique apparaît de surcroît douteuse dès lors que la recourante concède expressément que la LCI ne fixe pas d'indice d'utilisation du sol pour la deuxième zone de construction. Enfin, l'argument de la recourante selon lequel la construction litigieuse privera, en violation de l'art. 11 al. 4 let. a LCI, les habitants de l'immeuble voisin d'air et de lumière, part de la prémisse erronée que le gabarit du bâtiment ne peut dépasser 10,75 m., voire 13,75 m. (cf. supra). Sa critique - au demeurant appellatoire - tombe dès lors à faux.
Dans ces circonstances, la cour cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en considérant que le projet litigieux pouvait être autorisé en application de l'art. 11 LCI.
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Succombant, la Commune de Genève, qui agit en tant que propriétaire voisine du projet en cause (cf. consid. 2.2), doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF). Elle versera en outre une indemnité à titre de dépens aux intimés qui obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais de justice, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la Ville de Genève.
3.
Une indemnité de 2'000 fr. est allouée aux intimés à titre de dépens, à la charge de la Ville de Genève.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Département de l'urbanisme ainsi qu'à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 5 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Arn