Sachverhalt:
A. A.a Im schweizerischen Zivilstandsregister ist Z._, geboren am xxxx 1979 in den Vereinigten Staaten (Northern Mariana Islands, Tinian, San Jose) als einziges Kind von W._, ledig und Bürger von A._, und V._, kanadische Staatsangehörige, eingetragen. W._ verstarb am 18. April 1979.
A.b Der Eintragung von Z._ im Zivilstandsregister liegt die Verfügung des Zivilstands- und Bürgerrechtsdienstes des Kantons Bern vom 15. Juni 2001 zugrunde. Die Eintragungsverfügung (nach <ref-law>) der kantonalen Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen mit dem Vermerk "Kindesverhältnis durch Registrierung der Geburt entstanden" stützte sich auf die Geburtsurkunde ("Delayed Registration - Certificate of live Birth") vom 17. November 2000, ausgestellt vom Zivilstandsamt des zu den USA gehörenden Commonwealth of the Northern Mariana Islands (CNMI; Nördliche Marianen). In der Geburtsurkunde wird W._ als Vater aufgeführt. Der kantonalen Aufsichtsbehörde lag weiter u.a. das Bestätigungsdokument der Behörden des CNMI (Manager Health Planning and Statistics, Office of Health Planning and Statistics, und Chief Recorder, Recorder's Office, Superior Court) vom 12. April 2001 vor.
A.c Am 8. Juni 2009 gelangten X._ und Y._, die beiden Brüder des verstorbenen W._, an die kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen. Sie verlangten im Wesentlichen, dass die Eintragung von Z._ (als Sohn ihres Bruders) zufolge offensichtlichen Fehlers rückgängig gemacht werde. Mit Verfügung der Aufsichtsbehörde vom 7. August 2009 wurde das Gesuch um administrative Berichtigung des Zivilstandsregisters abgewiesen.
B. Gegen diese Verfügung erhoben X._ und Y._ Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, welche am 2. März 2010 abgewiesen wurde. Das Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, wies die Weiterziehung mit Entscheid vom 29. Juni 2010 ebenfalls ab.
C. X._ und Y._ führen mit Eingabe vom 7. September 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführer beantragen dem Bundesgericht im Wesentlichen, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, vom 29. Juni 2010 aufzuheben und die Eintragung von Z._ im Zivilstandsregister zu löschen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegenstand der Beurteilung durch das Obergericht ist die Bereinigung des Zivilstandsregisters durch die Zivilstandsbehörden gemäss <ref-law>. Der angefochtene Entscheid über die Führung des Zivilstandsregisters unterliegt gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG der Beschwerde in Zivilsachen.
1.2 Die Befugnis zur Beschwerde in Zivilsachen richtet sich nach <ref-law> (in der bis zum 31. Dezember 2010 geltenden Fassung, da der angefochtene Entscheid vor der Gesetzesänderung ergangen ist; vgl. <ref-law>). Nach Art. 29 Abs. 4 ZStV können die "betroffenen Personen" an die Zivilstandsbehörden gelangen, um die Bereinigung des Zivilstandsregisters zu verlangen. Vorliegend haben die beiden Brüder (Beschwerdeführer) des verstorbenen Vaters der im Zivilstandsregister eingetragenen Person die Bereinigung beantragt. Sie haben ein (mit ihrem Hinweis auf erbrechtliche Aspekte hinreichendes) rechtlich geschütztes Interesse an der Änderung des angefochtenen Entscheides und sind zur Beschwerdeführung legitimiert. Die Beschwerde gegen den kantonal letztinstanzlichen, verfahrensabschliessenden Entscheid in einer nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit ist grundsätzlich zulässig (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG).
1.3 Mit vorliegender Beschwerde kann die Verletzung von u.a. Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
2. Das Obergericht hat festgehalten, dass mit der anbegehrten Bereinigung des Zivilstandsregisters durch die Zivilstandsbehörden gemäss <ref-law> nur Fehler behoben werden können, die auf einem offensichtlichen Versehen oder Irrtum beruhen. Es hat geprüft, ob ein derartiger Fehler vorliege, wenn Z._ als Sohn von W._ im Zivilstandsregister eingetragen ist. Weil der Widerstand von Z._, der eingetragenen Person, nicht auszuschliessen sei, wenn es um die Rückgängigmachung der Eintragung gehe, liege von vornherein keine völlig klare Situation vor. Daran könnten "Ungereimtheiten" bei der Entstehung des Kindesverhältnisses oder ein hängiges Strafverfahren wegen Falschbeurkundung (<ref-law>) nichts ändern. Das Obergericht hat geschlossen, die kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen habe das Vorliegen eines offensichtlichen Versehens oder Irrtums zu Recht verneint, und bestätigt, dass die Eintragung von Z._ als Sohn von W._ im Zivilstandsregister von den Beschwerdeführern nicht auf administrativem Weg in Frage gestellt werden könne.
Die Beschwerdeführer machen im Wesentlichen geltend, dass es vorliegend um die Prüfung des Bestehens des Kindesverhältnisses von Z._ zu W._ gehe. Es liege eine offensichtlich fehlerhafte Eintragung vor, weil diese ohne Vorlage einer Anerkennungserklärung des Vaters erfolgt sei.
3. Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die - nach Auffassung der Beschwerdeführer zu Unrecht erfolgte - Eintragung der amerikanischen Geburtsurkunde in das schweizerische Zivilstandsregister gestützt auf die Eintragungsverfügung der kantonalen Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen (<ref-law>). Zu Recht ist unbestritten, dass gegenüber solchen Einträgen die allfällige Berichtigung nach <ref-law> (durch das Gericht) und <ref-law> (durch die Zivilstandsbehörden) sowie die Anhebung von Statusklagen vorbehalten bleibt (<ref-ruling> E. 4 S. 471; <ref-ruling> E. 4b S. 260; Urteil 5A_519/2008 vom 12. Oktober 2009 E. 3.1; vgl. Tuor/Schnyder/Schmid, Das schweizerische Zivilgesetzbuch, 13. Aufl. 2009, § 13 Rz 22; A. Bucher, Natürliche Personen und Persönlichkeitsschutz, 4. Aufl. 2009, Rz 304 u. 305). Umstritten ist vorliegend, ob die Eintragung der Geburt in das schweizerische Zivilstandsregister des im Ausland geborenen Z._ als Sohn von W._ auf einem Fehler beruht, welcher nach <ref-law> durch die Zivilstandsbehörden zu berichtigen sei.
3.1 Beruht die unrichtige Eintragung im Register auf einem offensichtlichen Versehen oder Irrtum, so kann die Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen die Berichtigung anordnen (<ref-law>, Art. 29 ZStV; sog. administrative Bereinigung). Die Unrichtigkeit muss offensichtlich und unbestritten sein und aus den dem Zivilstandsbeamten zur Zeit der Eintragung zur Verfügung stehenden Urkunden und Informationen hervorgehen (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 91; bereits BGE 76 I 229 S. 231; Bucher, a.a.O., Rz 296 u. 297). Die Berichtigung einer Eintragung auf dem Verwaltungsweg kann keinesfalls in Frage kommen, wenn von irgend einer Seite mit einem Widerspruch zu rechnen ist oder wenn die Eintragung den Angaben entspricht, über die der Zivilstandsbeamte verfügte (<ref-ruling> E. 2 S. 12; Urteil 5A_224/2010 vom 9. Juli 2010 E. 3.1; Tuor/Schnyder/Schmid, a.a.O., § 13 Rz 23).
3.2 Die Beschwerdeführer machen geltend, ihr Bruder W._ habe keine schriftliche Zustimmung zur Eintragung in das Geburtsregister gegeben und damit keine Kindesanerkennung erklärt. Nach den kantonalen Sachverhaltsfeststellungen ist W._ allerdings fünf Monate vor der Geburt von Z._ gestorben. Mit ihrer Frage zur Entstehung des Kindesverhältnisses durch Abstammung oder Anerkennung im Fall, dass der Kindsvater vor der Geburt stirbt und keine schriftliche Anerkennungserklärung vorliegt, verlangen die Beschwerdeführer Auskunft zum massgebenden (vom IPRG bezeichneten) materiellen Recht. Es kann keine Rede von einer Rechtsverletzung durch die Vorinstanz sein, wenn sie die Rechtsfragen der Beschwerdeführer nicht beantwortet hat bzw. auf entsprechend Anträge im Verfahren nach <ref-law> nicht eingetreten ist. Das Gleiche gilt für die Ausführungen in der Beschwerdeschrift zum Gegenstand des von ihnen eingeleiteten Verfahrens und zur Entstehung des Kindesverhältnisses nach ZGB.
3.3 Die Beschwerdeführer verweisen im Zusammenhang mit der Eintragung der Geburtsurkunde bzw. des Kindesverhältnisses auf das Kreisschreiben des Eidgenössischen Amtes für das Zivilstandswesen (EAZW) vom 15. Januar 2008 betreffend Nachweis der Entstehung des Kindesverhältnisses nach ausländischem Recht. Sie übergehen, dass für die Eintragung eines Kindesverhältnisses je nach Umständen und massgebendem Recht bei Vorliegen einer ausländischen Geburtsurkunde eine schriftliche Anerkennungserklärung nicht vorausgesetzt ist bzw. werden kann. Die Umstände der Eintragung im konkreten Fall sind hier jedenfalls nicht zu erörtern. Entscheidend ist, dass für die anbegehrte Löschung - wie das Obergericht zu Recht angenommen hat - ohne weiteres mit einem Widerspruch von Z._ zu rechnen ist, zumal er sich nach den vorinstanzlichen Feststellungen als Sohn von W._ betrachtet. Eine administrative Berichtigung ist damit ausgeschlossen (E. 3.1).
3.4 An diesem Ergebnis vermögen die weiteren Ausführungen der Beschwerdeführer nichts zu ändern. Sie behaupten unter dem Titel "Ergänzung des Sachverhaltes", dass Z._ im Jahre 2005 beim Erbgang ihrer Mutter von der zur Eröffnung der letztwilligen Verfügung zuständigen Behörde nicht als gesetzlicher Erbe ihrer Mutter aufgeführt worden sei. Diese Vorbringen sind unerheblich, weil es in der Kompetenz der Zivilstandsbehörden liegt, eine Eintragung wegen Vorliegens eines offensichtlichen Fehlers oder Versehens (gemäss <ref-law>) zu berichtigen. Von einer Sachverhaltsfeststellung, die gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstösst, kann insoweit keine Rede sein. Die übrigen Anträge und Ausführungen (wie betreffend die Eintragungsverfügung der Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen vom 15. Juni 2001 sowie den "Vorbehalt zu einer Staatshaftungsklage") haben mit dem Verfahrensgegenstand nichts zu tun.
3.5 Nach dem Dargelegten kann die Berichtigung bzw. Löschung der Eintragung der Geburt in das schweizerische Zivilstandsregister des im Ausland geborenen Z._ als Sohn von W._ auf dem Verwaltungsweg nicht in Frage kommen (<ref-ruling> E. 4 S. 472/473, betreffend Löschung einer im Ausland erfolgten und im Zivilstandsregister eingetragenen Scheidung). Es ist nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht die Abweisung des Gesuchs um Berichtigung nach <ref-law> durch die kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen bestätigt hat. Nicht zu prüfen ist (wie in <ref-ruling> E. 4 S. 472 f.), welches die Aussichten einer allfälligen Berichtigungsklage nach <ref-law> (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3 S. 391) oder einer Statusklage der Beschwerdeführer sind.
4. Der Beschwerde in Zivilsachen ist kein Erfolg beschieden. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer unter solidarischer Haftung kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Das Urteil ist den zuständigen Bundesbehörden mitzuteilen (Art. 90 Abs. 4 und 5 ZStV).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, sowie dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement (Eidgenössisches Amt für das Zivilstandswesen) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante