Faits :
A.
Le 4 avril 2014, A._ a adressé à la Commission du barreau du canton de Genève (ci-après: la Commission) le formulaire en vue de son inscription au registre des avocats stagiaires. L'intéressé a indiqué qu'il avait réussi les examens de l'Ecole d'avocature, prêté le serment professionnel d'avocat devant le Conseil d'Etat le 26 mars 2014 et commencé son stage d'avocat sous la responsabilité de Me B._ à partir du 1er avril 2014.
Après avoir, le 10 avril 2014, invité A._ à payer un émolument de 100 fr. pour son inscription au registre, la Commission a informé l'intéressé, par courrier du 29 avril 2014, qu'il ne pouvait pas à nouveau être inscrit au registre, dans la mesure où il avait déjà été inscrit au registre des avocats stagiaires en 2001, puis radié après avoir échoué définitivement à l'examen final du brevet d'avocat en 2004.
B.
Par décision du 28 mai 2014, la Commission a rejeté la demande d'inscription de A._ au registre des avocats stagiaires. Le recours de l'intéressé auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a été rejeté par arrêt du 6 janvier 2015.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, d'annuler l'arrêt de la Cour de justice du 6 janvier 2015 et de donner ordre à la Commission de l'inscrire au registre cantonal genevois des avocats stagiaires avec effet rétroactif au 10 avril 2014 et, subsidiairement, de renvoyer la cause à la Commission pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'autorité précédente s'en remet à justice quant à la recevabilité du recours et persiste au surplus dans les considérants et le dispositif de son arrêt. La Commission se réfère à sa décision du 28 mai 2014.

Considérant en droit :
1.
Le jugement attaqué confirme le refus d'inscrire l'intéressé au registre des avocats stagiaires. Il s'agit donc d'une cause de droit public (cf. <ref-law>) qui ne tombe pas sous le coup de l'une des exceptions prévues par l'<ref-law>. Au surplus, le recours est dirigé contre un jugement final (cf. <ref-law>) rendu par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Il a été interjeté par le destinataire du prononcé attaqué, qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (cf. <ref-law>). Déposé dans le délai prévu par la loi (cf. <ref-law>), le recours est en principe recevable.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine d'office le droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF). Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), l'on ne peut invoquer la violation du droit cantonal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (<ref-law> a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 314; arrêt 2C_1138/2014 du 29 avril 2015 consid. 2.1).
2.2. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 401) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 104; arrêt 2C_1138/2014 du 29 avril 2015 consid. 2.2).
3.
Le recourant se plaint d'arbitraire dans l'application des art. 24 ss de la loi genevoise du 26 avril 2002 sur la profession d'avocat, dans sa teneur au 1er janvier 2011 (LPAv/GE; RS/GE E 6 10).
3.1. Une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51 et les arrêts cités).
3.2. Le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir arbitrairement appliqué l'art. 55 al. 8 LPAv/GE intitulé "droit transitoire" à sa situation. Aux termes de cette disposition, les avocats stagiaires s'étant déjà présentés, avant le 1er janvier 2011, à une tentative ou plus de l'examen final de brevet d'avocat terminent leur parcours sous le régime du règlement d'application de la présente loi, dans sa teneur au 1er janvier 2009.
Contrairement à ce que prétend le recourant, cette disposition n'exclut pas expressément les personnes ayant entièrement terminé leur parcours sous l'ancien régime. Le recourant ne peut dès lors être suivi lorsqu'il soutient que c'est de manière arbitraire que l'instance précédente a retenu qu'il était soumis au Règlement d'application de la loi sur la profession d'avocat, dans sa teneur au 1er janvier 2009 (ci-après: aRPAv/GE). En effet, dans la mesure où le recourant s'est présenté - et a échoué - à trois reprises à l'examen final de brevet d'avocat, on ne saurait qualifier d'insoutenable le fait de conclure que l'intéressé s'est déjà présenté "à une tentative ou plus de l'examen final de brevet d'avocat" au sens de l'art. 55 al. 8 LPAv/GE.
La Cour de justice pouvait dès lors sans arbitraire conclure que le parcours de l'intéressé devait être analysé à l'aune de l'aRPAv/GE, qui stipule à son art. 30 al. 4 que le candidat dispose de trois tentatives. Comme le relève l'instance précédente, lorsque le recourant a échoué à l'examen de fin de stage pour la troisième fois en 2004, la Commission a radié son inscription du registre, conformément à l'ancien art. 28 al. 3 LPAv/GE, applicable à l'époque (ci-après: aLPAv/GE).
3.3. C'est dès lors en vain que le recourant soutient qu'il remplit les exigences posées par l'art. 26 LPAv/GE relatives aux conditions d'admission au stage, lequel renvoie notamment à l'art. 25 LPAv/GE et invoque une inégalité de traitement par rapport aux autres personnes qui remplissent également les conditions. Il perd en effet de vue que, contrairement aux autres candidats, il a déjà échoué à trois reprises à l'examen final du brevet d'avocat et a été radié du registre des avocats stagiaires en application de l'ancien art. 28 al. 3 aLPAv/GE. Il y a d'ailleurs lieu de préciser que sous l'angle de la version actuelle de la LPAv/GE, dont se prévaut le recourant, la Commission ne peut pas procéder à l'inscription d'un avocat stagiaire lorsque celui-ci a échoué définitivement à l'examen final, dans la mesure où l'art. 29 al. 2 LPAv/GE prévoit expressément la radiation du registre des avocats stagiaires "dans le cas où l'intéressé [...] a échoué définitivement à l'examen approfondi ou final."
3.4. Enfin, le recourant soutient qu'il est arbitraire de retenir qu'une personne ayant échoué à trois reprises aux examens sous l'ancien régime pourrait être admise à la formation de l'Ecole d'avocature, mais non au stage d'avocat. Le raisonnement du recourant ne peut être suivi. En effet, le fait que la Cour de justice ait considéré que la loi ne restreignait pas l'accès à la formation de l'Ecole d'avocature pour les étudiants ayant échoué définitivement sous l'ancien régime ne signifie pas que l'intéressé doit automatiquement être admis à l'inscription au registre des avocats stagiaires. Il ne ressort en effet pas de la loi que toute personne qui aurait suivi et réussi la formation de l'Ecole d'avocature aurait un droit à être inscrit au registre des avocats stagiaires.
Compte tenu de ce qui précède, la Cour de justice n'a pas procédé à une application arbitraire de la LPAv/GE en confirmant le refus de la Commission d'inscrire le recourant au registre des avocats stagiaires.
4.
Le recourant se prévaut encore de la liberté économique garantie par l'art. 27 Cst. Il considère que la mesure litigieuse emporte une restriction inadmissible à sa liberté économique, dans la mesure où elle ne serait pas prévue par une base légale, ne poursuivrait aucun intérêt public et ne serait pas conforme au principe de la proportionnalité.
4.1. La liberté économique comprend notamment le libre choix de la profession, le libre accès à une activité économique lucrative privée et son libre exercice (art. 27 al. 2 Cst.). Elle protège toute activité économique privée, exercée à titre professionnel et tendant à la production d'un gain ou d'un revenu (<ref-ruling> consid. 4c/aa p. 29 s.; arrêt 1C_35/2013 du 16 mai 2014 consid. 7.1). La liberté économique n'est toutefois pas absolue. Les restrictions cantonales doivent reposer sur une base légale, être justifiées par un intérêt public prépondérant et, selon le principe de la proportionnalité, se limiter à ce qui est nécessaire à la réalisation des buts d'intérêt public poursuivis (art. 36 al. 1 à 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 4.5 p. 42 s.; <ref-ruling> consid. 3a p. 9 s., et les arrêts cités). Sous l'angle de l'intérêt public, sont autorisées les mesures de police ou de politique sociale, de même que les mesures dictées par la réalisation d'autres intérêts publics (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 326; arrêt 2C_793/2014 du 24 avril 2015 consid. 4.1). Sont en revanche prohibées les mesures de politique économique ou de protection d'une profession qui entravent la libre concurrence en vue de favoriser certaines branches professionnelles ou certaines formes d'exploitation (cf. <ref-ruling> consid. 6.2 p. 228 s.; <ref-ruling> consid. 4.5 p. 43; arrêt 2C_819/2014 du 3 avril 2015 consid. 5.1).
La profession d'avocat bénéficie de la liberté économique, de sorte que toute limitation de son exercice doit respecter les exigences de l'art. 36 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 3 p. 92; <ref-ruling> consid. 3a p. 133 et les arrêts cités; arrêt 2P.205/2006 du 19 décembre 2006 consid. 4.2).
4.2. Le recourant soutient que la confirmation du refus de la Commission de l'inscrire au registre des avocats stagiaires constitue une atteinte grave à sa liberté économique qui ne se fonde sur aucune base légale.
Selon la jurisprudence, le Tribunal fédéral revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal effectuées par les autorités cantonales sous l'angle restreint de l'arbitraire lorsque l'atteinte à une liberté constitutionnelle n'est pas particulièrement grave (<ref-ruling> consid. 4c p. 423; <ref-ruling> consid. 4a p. 32; <ref-ruling> consid. 4a p. 244). A contrario, lorsque l'atteinte est grave, le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation et l'application de ce droit (<ref-ruling> consid. 8.2 p. 42 s.; arrêt 2C_889/2013 du 20 octobre 2014 consid. 6.2.2). Cette question peut en l'occurrence demeurer indécise dans la mesure où même lors d'un examen libre par le Tribunal fédéral du droit cantonal - auquel il sera procédé ci-après - le grief du recourant est de toute manière infondé.
4.2.1. En effet, l'arrêt entrepris se fonde sur l'art. 55 al. 8 LPAv/GE, lequel renvoie à l'ancien droit pour les candidats s'étant déjà présentés à un examen avant le 1er juillet 2011, et sur l'art. 30 al. 4 aRPAv/GE qui prévoit expressément que le candidat ne dispose que de trois tentatives. En outre, aux termes de l'art. 28 al. 3 aLPAv/GE, "la commission du barreau radie du registre l'inscription de l'avocat stagiaire [...] dans le cas où l'intéressé a échoué définitivement à l'examen [...] final." En l'espèce, le recourant a précisément été radié du registre des avocats stagiaires en application de l'ancien art. 28 al. 3 aLPAv/GE, après avoir échoué à sa troisième tentative. Or, il découle de cette disposition légale que la Commission ne peut pas procéder à l'inscription au registre d'un candidat qui a échoué définitivement à l'examen final alors qu'elle doit, selon le texte légal, procéder à sa radiation.
A supposer même que l'on suive l'argumentation du recourant selon laquelle le droit actuel devrait lui être appliqué, le résultat serait identique. En effet, comme sous l'ancien droit, l'art. 29 al. 2 LPAv/GE prévoit - à l'instar de l'art. 28 al. 3 aLPAv/GE et en des termes identiques - qu'en cas d'échec définitif à l'examen de fin de stage, l'inscription de l'avocat stagiaire est radiée. De même, l'art. 33a al. 4 LPAv/GE prévoit - à l'instar de l'art. 30 al. 4 aRPAv/GE - que le candidat dispose de trois tentatives.
4.2.2. En outre, il convient de relever qu'à suivre le raisonnement du recourant, tous les candidats qui auraient échoué à trois reprises à l'examen final du brevet d'avocat et dont l'inscription au registre des avocats stagiaires aurait été radiée sous l'ancien régime pourraient à nouveau être inscrit au registre des avocats stagiaires, suivre un stage et se présenter à l'examen final du brevet d'avocat, le cas échéant, à trois reprises (cf. art. 33A al. 4 LPAv/GE) - et cela uniquement en raison d'une modification des dispositions légales genevoises relatives à l'obtention du brevet d'avocat, ce qui serait - comme le relève la Cour de justice - contraire à la logique du système genevois.
4.2.3. Pour le surplus, l'argumentation du recourant selon laquelle "l'art. 25 LPAv ne contient nullement l'obligation de ne pas avoir échoué de manière définitive à l'examen du barreau" (cf. mémoire de recours, p. 12) n'est pas pertinente en l'espèce. En effet, cette disposition concerne les conditions d'admission à la formation approfondie dispensée par l'Ecole d'avocature mais ne réglemente ni l'inscription à l'examen final du brevet, ni celle au registre des avocats stagiaires.
4.3. C'est également en vain que le recourant soutient que "la possibilité [qui lui serait] donnée [...] d'effectuer un nouveau stage d'avocat ne porte en rien atteinte à l'intérêt public" (cf. mémoire de recours, p. 14). En effet, selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, la protection des justiciables impose de s'assurer que l'avocat, qui jouit d'un certain monopole de la représentation des parties en justice, dispose des compétences nécessaires pour exercer sa profession (arrêt 2P.205/2006 du 19 décembre 2006 consid. 4.3). Il est requis des candidats à l'exercice de la profession d'avocat qu'ils disposent des connaissances de base de la profession qu'ils entendent exercer. La vérification de ces connaissances est opérée au travers de diverses épreuves pratiques, dont le but est de les confronter à des situations qu'ils rencontreront dans l'exercice de leur métier. Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral relative à la réglementation genevoise en matière d'examens professionnels en vue de l'obtention du brevet, le candidat qui échoue à trois reprises à de telles épreuves ne peut pas prétendre avoir les qualités et le profil requis pour la pratique du barreau. L'opiniâtreté à se représenter aux examens ne saurait pallier l'absence de maîtrise des bases du métier, évaluée à trois reprises (cf. arrêt 2P.205/2006 du 19 décembre 2006 consid. 4.3).
Le recourant ne peut être suivi lorsqu'il affirme que cette jurisprudence ne peut pas être transposée au présent cas. En effet, qu'il effectue, le cas échéant, un nouveau stage d'avocat et acquiert de nouvelles connaissances juridiques ne change rien au fait qu'il a échoué à trois reprises à l'examen final et qu'il ne remplit pas les conditions pour être inscrit au registre cantonal des avocats stagiaires.
Pour le surplus, l'argument selon lequel d'autres cantons suisses autorisent les candidats, en cas d'échec, à se représenter après un délai de plusieurs années tombe à faux. En effet, comme l'a relevé avec raison l'instance précédente, l'<ref-law> réserve expressément le droit des cantons de fixer, dans le cadre de cette loi, les exigences pour l'obtention du brevet d'avocat. Cette réserve permet aux cantons de définir les conditions de formation et les exigences personnelles que doit remplir le candidat au brevet d'avocat (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 332 s.).
4.4. Le recourant soutient encore que la mesure n'est pas proportionnée. Il invoque notamment le fait que, depuis son échec définitif sous l'ancien système, soit il y a dix ans, ses capacités personnelles et professionnelles se sont améliorées notamment grâce à son travail en qualité de juriste et sa formation à l'Ecole d'avocature.
4.4.1. En réalité et contrairement à ce qu'il prétend, le recourant s'en prend à la réglementation genevoise relative à l'examen final du brevet d'avocat. Il soutient que celle-ci est disproportionnée dans la mesure où elle lui "interdit à vie d'accéder à la profession d'avocat" (cf. mémoire de recours, p. 17).
Comme relevé précédemment, le Tribunal fédéral a déjà jugé que, d'une manière générale, la réglementation genevoise organisant les modalités d'examens professionnels en vue de l'obtention du brevet d'avocat n'était pas contraire au principe constitutionnel de la liberté économique (arrêts 2C_501/2007 du 18 février 2008 consid. 6 et 2P.205/2006 du 19 décembre 2006, consid. 4.3). En particulier, il a relevé que le candidat qui échoue à trois reprises ne peut pas prétendre avoir les qualités et le profil requis pour la pratique du barreau (arrêt 2P.205/2006 du 19 décembre 2006, consid. 4.3). En effet, la protection du justifiable serait plus faible si le nombre de tentatives à l'examen était multiplié à l'infini. Il suffirait au candidat de se représenter jusqu'à ce que le hasard lui permette d'être confronté à une question juridique qu'il a déjà examinée de manière approfondie ou, de manière plus générale, à une matière qu'il maîtrise mieux qu'une autre (arrêt 2P.205/2006 du 19 décembre 2006, consid. 4.3).
4.4.2. Le recourant critique en particulier le fait que la réglementation genevoise ne donne pas aux candidats qui ont échoué définitivement la possibilité de se représenter après un certain laps de temps. Il explique que, depuis son échec définitif sous l'ancien système, soit il y a dix ans, il a travaillé à temps partiel au sein d'une étude d'avocats lausannoise et a suivi avec succès la formation de l'Ecole d'avocature genevoise. A cet égard, il se prévaut du fait que, dans certains cantons, la législation cantonale prévoit qu'après deux échecs à l'examen d'avocat, il est interdit pour un candidat de se présenter pendant un délai de cinq ans (cf. dans le canton d'Appenzell Rhodes-Intérieures: art. 11 al. 4 Reglement über die Prüfungen für die Zulassung zum Anwaltsberuf vom 20. September 2002; RS/AI 177.301) ou pendant une durée fixée par la Commission cantonale (cf. dans le canton d'Appenzell Rhodes-Extérieures: art. 7 al. 3 et 9 Verordnung über die Anwaltsprüfung vom 31. August 1993; RS/AR 145.521). Le recourant considère que ces dispositions légales cantonales - qui permettent aux candidats qui ont échoué à deux reprises de se présenter une nouvelle fois après l'écoulement d'un délai - sont "moins incisives pour atteindre le but visé" que la réglementation genevoise (mémoire de recours, p. 18 s.).
Le raisonnement du recourant n'emporte pas conviction. En effet, les différences entre les législations cantonales dont se prévaut le recourant résultent de l'<ref-law> qui, comme relevé précédemment, permet aux cantons de définir les conditions de formation et les exigences personnelles que doit remplir le candidat au brevet d'avocat (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 332 s.). Il en découle nécessairement des différences entre les réglementations cantonales en la matière. En effet, comme le relève le recourant, selon certaines législations cantonales, les candidats peuvent se présenter à deux reprises à l'examen final du brevet d'avocat, puis ont l'interdiction de se présenter pendant un certain délai ou un délai fixé par la Commission cantonale des avocats. D'autres cantons, tels que le canton de Genève, autorisent les candidats à se présenter à trois reprises (cf. également pour le canton de Vaud: art. 29 al. 2 de la loi sur la profession d'avocat du 24 septembre 2002; 177.11) mais dans un délai de cinq ans depuis la fin du stage (cf. l'art. 33B al. 1 LPAv/GE; à ce sujet cf. arrêt 2C_32/2015 du 28 mai 2015 consid. 4; cf. également pour le canton de Neuchâtel: art. 25 al. 3 du Règlement d'exécution de la loi sur la profession d'avocat ou d'avocate du 21 mai 2003; RS/NE 165.101 qui prévoit que "le candidat ou la candidate qui ne s'est pas inscrit-e ou réinscrit-e dans le délai fixé, ou qui a échoué trois fois, n'est plus admis-e à l'examen" ). Il n'appartient pas au Tribunal de céans de se prononcer dans le cas d'espèce sur la question de savoir laquelle de ces réglementations cantonales est "la plus conforme" au principe de proportionnalité. En effet, la question qui se pose dans le présent cas est de savoir si la décision de la Cour de justice du canton de Genève qui confirme le refus d'inscription du recourant au registre des avocats stagiaires constitue une atteinte disproportionnée à sa liberté économique.
En l'espèce, le recourant a échoué une première fois à l'examen final d'avocat et s'est présenté une deuxième fois à l'examen, auquel il a également échoué. Contrairement à ce qui est le cas dans d'autres cantons (cf. supra consid. 4.4.2; voir également l'art. 20 al. 1 de l'Ordonnance du canton de Berne du 25 octobre 2006 sur l'examen d'avocat: RS/BE 168.221.1), le recourant a pu, en application à l'art. 30 al. 4 aRPAv/GE (cf. art. 33A al. 4 LPAv/GE qui a la même teneur), se présenter une troisième fois mais a échoué à nouveau. Il a dès lors été radié du registre des avocats stagiaires en 2004. A ce moment-là, le recourant savait ou devait savoir qu'il avait échoué définitivement et ne pourrait plus se représenter à l'examen du brevet d'avocat genevois. Il n'a pas contesté cette décision à l'époque. Ce n'est que lorsque les modalités d'examen ont changé que le recourant a tenté de se présenter une nouvelle fois à l'examen final, en se prévalant notamment du fait que son échec date d'il y a dix ans et qu'il est prêt à effectuer un nouveau stage d'avocat.
En réalité, le recourant cherche, par ce biais, à pouvoir se représenter à de multiples reprises à l'examen du brevet du canton de Genève, ce qui, selon la jurisprudence précitée, n'est pas dans l'intérêt de la protection du justiciable (cf. supra consid. 4.4.1). En l'occurrence, en refusant la réinscription du recourant au registre des avocats stagiaires du simple fait que les modalités d'examen ont changé, les autorités genevoises limitent la possibilité pour l'intéressé de se représenter à nouveau à l'examen final. Ce faisant, l'arrêt attaqué vise dès lors précisément à empêcher cette multiplication à l'infini du nombre de tentatives à l'examen, de sorte qu'on ne saurait, sous cet angle-là, y voir une atteinte disproportionnée à la liberté économique du recourant.
4.4.3. Le recourant soutient encore que l'arrêt attaqué confirmant le refus de l'inscrire à nouveau au registre des avocats stagiaires genevois est disproportionné car il lui "interdit à vie d'accéder à la profession d'avocat" (mémoire de recours, p. 17).
Cet argument tombe à faux. En effet, l'arrêt attaqué ne fait que limiter la possibilité pour le recourant d'obtenir, le cas échéant, un brevet d'avocat dans le canton de Genève. Rien ne l'empêche, cependant, de se présenter dans un autre canton suisse si la législation cantonale l'y autorise. En effet, comme le relève d'ailleurs le recourant lui-même, si certaines législations cantonales excluent l'admission au stage d'avocat des personnes qui ont échoué de manière définitive à l'examen du barreau dans un autre canton (cf. p. ex. art. 14 let. b de la loi neuchâteloise du 19 juin 2002 sur la profession d'avocat ou d'avocate; RS/NE 165.10), d'autres législations cantonales (cf. p. ex. les cantons de Vaud ou du Valais) ne prévoient pas expressément une telle limitation.
Dans ces conditions, le refus d'inscrire à nouveau le recourant au registre des avocats stagiaires genevois ne constitue pas une atteinte disproportionnée à la liberté économique du recourant.
4.5. Au vu de ce qui précède, l'instance précédente n'a pas violé l'art. 27 Cst. en confirmant le refus d'inscription du recourant au registre des avocats stagiaires.
5.
Le recourant se plaint encore d'une violation du principe de la bonne foi. Il considère qu'en l'admettant à la formation de l'Ecole d'avocature les autorités genevoises ont "donné au recourant une assurance implicite quant à la faculté de pouvoir accomplir un stage d'avocat par la suite" (cf. mémoire de recours, p. 22). Il reproche également à la Commission d'avoir adopté un comportement contradictoire.
5.1. Aux termes de l'art. 5 al. 3 Cst., les organes de l'État et les particuliers doivent agir de manière conforme aux règles de la bonne foi. Cela implique notamment qu'ils s'abstiennent d'adopter un comportement contradictoire ou abusif (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 312 s.). De ce principe général découle notamment le droit fondamental du particulier à la protection de sa bonne foi dans ses relations avec l'État, consacré à l'art. 9 in fine Cst. (<ref-ruling> consid. 8.3.1 p. 53 et les arrêts cités). Selon la jurisprudence, un renseignement ou une décision erronés de l'administration peuvent obliger celle-ci à consentir à un administré un avantage contraire à la réglementation en vigueur, à condition que (1) l'autorité soit intervenue dans une situation concrète à l'égard de personnes déterminées, (2) qu'elle ait agi ou soit censée avoir agi dans les limites de ses compétences et (3) que l'administré n'ait pas pu se rendre compte immédiatement de l'inexactitude du renseignement obtenu. Il faut encore (4) qu'il se soit fondé sur les assurances ou le comportement dont il se prévaut pour prendre des dispositions auxquelles il ne saurait renoncer sans subir de préjudice et (5) que la réglementation n'ait pas changé depuis le moment où l'assurance a été donnée (<ref-ruling> consid. 2.5.1 p. 72; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 637; arrêt 2C_745/2014 du 27 mars 2015 consid. 4.1).
A ces mêmes conditions, le droit à la protection de la bonne foi peut aussi être invoqué en présence simplement d'un comportement de l'administration, pour autant que celui-ci soit susceptible d'éveiller chez l'administré une attente ou une espérance légitime (cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 381; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 170; <ref-ruling> consid. 3a p. 387 et les arrêts cités; arrêts 2C_108/2011 du 29 août 2011 consid. 4.1 et 2C_212/2008 du 3 septembre 2008 consid. 11, non publié in <ref-ruling>). La précision que l'attente ou l'espérance doit être "légitime" est une autre façon de dire que l'administré doit avoir eu des raisons sérieuses d'interpréter comme il l'a fait le comportement de l'administration et d'en tirer les conséquences qu'il en a tirées. Tel n'est notamment pas le cas s'il apparaît, au vu des circonstances, qu'il devait raisonnablement avoir des doutes sur la signification du comportement en cause et se renseigner à ce sujet auprès de l'autorité (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 203; arrêt 2C_108/2011 du 29 août 2011 consid. 4.1).
5.2. En l'occurrence, il ne ressort pas du dossier que le recourant aurait reçu des promesses, des garanties ou des renseignements personnels l'assurant explicitement qu'en dépit de sa radiation du registre des avocats stagiaires en raison de son échec définitif à l'examen final du brevet d'avocat sous l'ancien système, il aurait un droit à être à nouveau inscrit au registre cantonal des avocats stagiaires et à se présenter à nouveau à l'examen final du brevet d'avocat. Le recourant ne le prétend d'ailleurs pas. Pour le surplus, il ne démontre pas en quoi le fait qu'il ait été admis à la formation de l'Ecole d'avocature ou qu'il ait été invité à prêter serment constituerait "une assurance implicite" qui remplirait les conditions de la jurisprudence susmentionnée. Il ressort au contraire du dossier que le recourant ne s'est à aucun moment renseigné auprès des autorités compétentes pour savoir si son échec définitif et sa radiation du registre des avocats stagiaires l'empêchaient d'être inscrit à nouveau au registre des avocats stagiaires et de se présenter une nouvelle fois à l'examen final du brevet. Rien dans le dossier ne laisse apparaître que les autorités cantonales avaient connaissance de l'échec définitif du recourant sous l'ancien système, le recourant s'étant bien gardé d'informer les autorités compétentes de ce fait. Or, il pouvait et devait bien se douter qu'en raison de son échec définitif et de sa radiation du registre des avocats stagiaires en application de l'ancien art. 28 al. 3 aLPAv/GE, il risquait fortement de voir sa nouvelle demande d'inscription refusée.
5.3. Enfin, on ne voit pas en quoi le comportement de la Commission aurait été contradictoire. En effet, il apparaît clairement qu'à réception du dossier du recourant et lors de l'invitation par le greffe de la Commission faite à l'intéressé de payer l'avance de frais relative à sa demande d'inscription au registre cantonal des avocats stagiaires, la Commission n'était pas au courant de l'échec définitif du recourant à l'examen final. Ce n'est qu'au moment de procéder à son inscription qu'il est apparu que l'intéressé avait été radié du registre en 2004; la Commission a dès lors immédiatement informé l'intéressé et son maître de stage.
Le grief tiré de la bonne foi est donc également mal fondé.
6.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Les frais seront mis à la charge du recourant qui succombe (<ref-law>). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la Commission du Barreau et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 2 ème section.
Lausanne, le 6 août 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : Thalmann