Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
X._ wird insbesondere gestützt auf die Aussagen des Geschädigten vorgeworfen, er habe zu dessen Nachteil in der Zeit von ca. August 2008 bis Februar 2009 in Oberburg und anderswo sexuelle Handlungen begangen, indem er ihn mehrmals am Oberschenkel und im Genitalbereich über den Kleidern berührte und streichelte. Zudem habe er ihn einmal - vermutlich am 1. Dezember 2008 - im Auto in Oberburg bei der Kirche auf dem Parkplatz bis zum Samenerguss manuell befriedigt und ihm dafür Geld gegeben (angefochtenes Urteil S. 10, 27).
Das Obergericht des Kantons Bern sprach X._ am 24. Mai 2013 im Berufungsverfahren der mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern schuldig und verurteilte ihn deswegen sowie wegen weiterer Straftaten zu einer Geldstrafe von 300 Tagessätzen zu Fr. 30.--, unter Anrechnung der Untersuchungshaft im Umfang von 28 Tagessätzen, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von vier Jahren.
X._ beantragt beim Bundesgericht, das Urteil vom 24. Mai 2013 sei aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sinngemäss strebt er einen Freispruch an.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt (S. 2). Zudem seien der Anklagegrundsatz verletzt (S. 3), das rechtliche Gehör verweigert, das Fairnessgebot und der Grundsatz von Treu und Glauben missachtet (S. 4/5) sowie auf unverwertbare Beweismittel abgestellt worden (S. 12). Letztlich geht es bei den Vorbringen fast ausschliesslich um die Würdigung der Beweise und damit um die Feststellung des Sachverhalts.
Der Sachverhalt kann vor Bundesgericht angefochten werden, wenn er durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV festgestellt wurde. Willkür liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.4). Die angebliche Willkür ist in der Beschwerde unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid präzise zu rügen, und die Rüge ist zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG). Kritik, wie sie vor einer Instanz mit voller Kognition vorgebracht werden kann, genügt nicht. Soweit die Beschwerde unzulässige appellatorische Kritik enthält, ist darauf nicht einzutreten.
Die Vorinstanz hat sich ausführlich mit der Beschuldigung des Beschwerdeführers durch den Geschädigten sowie den Aussagen der Beteiligten und von Zeugen sowie mit Chat-Protokollen befasst und die Beweise eingehend gewürdigt (Urteil S. 11-27). Was daran willkürlich sein könnte, ergibt sich aus der weitschweifigen Beschwerde nicht.
So stellt die Vorinstanz fest, der Vorfall vom 1. Dezember 2008 habe sich in Oberburg bei der Kirche auf dem Parkplatz ereignet (Urteil S. 27 mit Hinweis auf S. 11). Der Beschwerdeführer verweist auf KA act. 851 und macht geltend, im Gegensatz zur Annahme der Vorinstanz habe der Geschädigte die Örtlichkeit an der Verhandlung vor der ersten Instanz vom 3. November 2011 nicht bestätigt (Beschwerde S. 2). Es trifft zu, dass der Geschädigte auf Nachfragen angab, der Vorfall habe sich nicht auf den Parkplätzen ereignet, die auf der polizeilichen Fotodokumentation zu sehen sind. Er hat indessen an der fraglichen Befragung zweimal bestätigt, dass sich der Vorfall bei der Kirche in Oberburg abspielte (KA act. 850 und 851). Letztlich ist es nicht entscheidend, wo genau bei der Kirche dies war. Zum einen sind die Aussagen des Geschädigten insgesamt z.B. wegen seines zurückhaltenden Aussageverhaltens als glaubhaft einzustufen (vgl. angefochtenes Urteil S. 20/21). Überdies spricht ein Chat-Protokoll eines Gesprächs zwischen dem Beschwerdeführer und dem Geschädigten vom 1. Dezember 2008 dafür, dass sich der Vorfall bei der Kirche in Oberburg tatsächlich ereignet hat (vgl. übernächsten Absatz). Unter diesen Umständen ändert es an der Glaubwürdigkeit des Geschädigten nichts, dass er den genauen Tatort in der nahen Umgebung der Kirche in Oberburg nicht angeben kann.
Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang eine Verletzung des Anklagegrundsatzes geltend macht und vorbringt, dass die Anklage in Bezug auf den genauen Tatort hätte abgeändert werden müssen (Beschwerde S. 3), ist darauf in Anwendung von Art. 99 Abs. 1 BGG nicht einzutreten. Er hat das Argument im Berufungsverfahren noch nicht vorgetragen (vgl. angefochtenes Urteil S. 14/15), und er wurde nicht erst durch den angefochtenen Entscheid dazu veranlasst.
Neben der generellen Glaubwürdigkeit des Geschädigten bildet das Chat-Protokoll vom 1. Dezember 2008 ein Indiz dafür, dass seine Beschuldigung des Beschwerdeführers zutrifft (vgl. angefochtenen Entscheid S. 25). Dieser hatte im kantonalen Verfahren noch geltend gemacht, es sei bei dem Chat um den möglichen Kauf von Marihuana gegangen (angefochtener Entscheid S. 15). Vor Bundesgericht führt er demgegenüber aus, er habe sexuelle Avancen gegenüber den Jugendlichen und Zweideutigkeiten in den Protokollen nie bestritten, weshalb diese zwar zeigen mögen, dass er allenfalls moralische Grenzen überschreite, nicht aber die Grenzen des gesetzlich Erlaubten (vgl. Beschwerde S. 11). Die Geschichte mit dem Marihuana ist angesichts des Gesprächsinhalts offensichtlich abwegig ("heute war es cool ... easy ... danke mann ... aber heute hatte ich die ganze Arbeit ... easy ... es hat Spass gemacht"). Der Wortlaut spricht dafür, dass es vor dem Chat zu mehr als nur zu den vom Beschwerdeführer eingeräumten sexuellen Avancen und Zweideutigkeiten kam. Davon, dass der Beschwerdeführer in sexuellen Belangen die gesetzlichen Grenzen einhalten würde, ist demgegenüber in dem Chat nicht die Rede.
Ohne dass sich das Bundesgericht zu allen Ausführungen der Beschwerde ausdrücklich äussern müsste, ist festzuhalten, dass daraus nicht ersichtlich ist, inwieweit die Vorinstanz in Willkür verfallen sein könnte.
3.
Soweit der Beschwerdeführer beantragt, die Ziff. V.5 und V.6 des angefochtenen Entscheids (Entschädigung des Verteidigers) seien aufzuheben, enthält die Beschwerde keine Begründung. Folglich kann sich das Bundesgericht damit nicht befassen.
4.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Strafabteilung, 1. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. August 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn