Faits:
A. X._, né en 1962, et dame X._, née en 1966, se sont mariés à Lausanne en 1993. Deux enfants sont issus de cette union: A._, né en 1998, et B._, né en 2001.
Le 13 septembre 2005, l'épouse a ouvert action en divorce devant le juge de paix des districts de Morges, Aubonne et Cossonay. Par convention conclue entre les conjoints à l'audience de mesures provisionnelles du 2 décembre 2005, un notaire a été désigné pour la liquidation du régime matrimonial. Une expertise a en outre été confiée à un médecin afin qu'il formule des propositions concernant l'attribution de l'autorité parentale, la garde et les modalités du droit de visite; l'expert a déposé son rapport le 18 avril 2007.
La contribution à l'entretien de la famille due par le mari a fait l'objet de plusieurs décisions. Fixée dans un premier temps à 6'000 fr. par mois (selon convention ratifiée pour valoir ordonnance de mesures provisionnelles à l'audience du 23 août 2005), son montant a ensuite été arrêté à 7'500 fr. dès le 1er novembre 2005 (par ordonnance du 23 décembre 2005), puis à 6'375 fr. dès le 1er janvier 2006 (par jugement d'appel sur mesures provisionnelles du 10 octobre 2006).
B. Par ordonnance de mesures provisionnelles du 24 juillet 2007, le montant de la contribution d'entretien a été ramené à 3'250 fr. dès le 1er janvier 2007.
Par jugement du 4 juillet 2008, le Tribunal d'arrondissement de La Côte a partiellement admis l'appel interjeté par l'épouse et a modifié en conséquence l'ordonnance du 24 juillet 2007 en ce sens que le montant de la contribution due par le mari pour l'entretien de sa famille est fixé à 4'500 fr. par mois dès le 1er janvier 2007.
C. Contre ce jugement, le mari exerce un recours en matière civile assorti d'un recours constitutionnel subsidiaire. Il conclut à la réforme de la décision entreprise en ce sens que l'appel est rejeté et l'ordonnance du 24 juillet 2007 confirmée. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
L'intimée propose le rejet des recours.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 117).
1.1 La décision de mesures provisoires selon l'<ref-law> est une décision en matière civile au sens de l'<ref-law>. Bien qu'elle soit prise alors qu'une procédure (principale) de divorce est pendante, elle est finale au sens de l'<ref-law>, car elle tranche définitivement, dans une procédure distincte, des points qui ne pourront plus être revus avec la décision sur le divorce et ses effets accessoires (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 431/432 et les arrêts cités). Comme le litige porte uniquement sur la contribution d'entretien, le recours a pour objet une décision rendue dans une affaire pécuniaire (<ref-ruling> consid. 2 p. 395), dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, art. 74 al. 1 let. b LTF). En outre, le recourant a qualité pour recourir puisqu'il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de l'arrêt attaqué (<ref-law>). Enfin, le recours a été interjeté dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Au regard de ces conditions, le recours en matière civile est ainsi ouvert. Par conséquent, le recours constitutionnel subsidiaire ne l'est pas (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1 in fine p. 87; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382).
1.2 Dès lors que la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles (<ref-ruling> consid. 5.1 in fine p. 397), seule peut être dénoncée la violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Lorsque le recourant invoque l'interdiction de l'arbitraire prévue par l'art. 9 Cst., le Tribunal fédéral examine si la décision attaquée est manifestement insoutenable (Message du Conseil fédéral du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale [ci-après: Message], in FF 2001 p. 4000 ss, p. 4135). Il ne connaît de la violation de droits fondamentaux - notion qui englobe les droits constitutionnels en général (<ref-ruling> consid. 2 p. 640) - que si un tel moyen est invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), les exigences de motivation de l'acte de recours correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254).
Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente, mais il doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision se fonde sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 400); les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2 p. 591 et les arrêts cités).
1.3 Selon l'<ref-law>, le recours n'est recevable qu'à l'encontre des décisions prises en dernière instance cantonale, ce qui signifie que le recourant doit avoir épuisé toutes les voies de droit cantonales, ordinaires ou extraordinaires, pour les griefs qu'il entend soulever devant le Tribunal fédéral (Message, in FF 2001 p. 4000 ss, p. 4115; cf. pour l'ancien art. 86 al. 1 OJ: <ref-ruling> consid. 1a p. 258; <ref-ruling> consid. 2b p. 422; <ref-ruling> consid. 2 et les arrêts cités). Dans le canton de Vaud, l'arrêt sur appel en matière de mesures provisionnelles peut faire l'objet d'un recours en nullité pour tous les motifs prévus par l'<ref-law>/VD, à savoir pour déni de justice formel, ainsi que pour arbitraire dans l'appréciation des preuves (<ref-ruling>; arrêt 5A_182/2008 consid. 1.3 et les références citées). En tant qu'il est interjeté, non pour ces motifs, mais pour arbitraire dans l'application du droit civil fédéral, le recours est recevable de ce chef.
2. Le recourant reproche au Tribunal d'arrondissement d'avoir appliqué la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent à raison de deux tiers pour l'intimée et les enfants contre un tiers pour lui, alors que les revenus des époux totalisent 22'500 fr. par mois environ - ce qui représente une situation financière particulièrement favorable - et qu'il bénéficie d'un droit de visite élargi.
2.1 Conformément à l'<ref-law>, le juge ordonne, sur requête, les mesures provisoires nécessaires pour la durée de la procédure de divorce; les dispositions régissant la protection de l'union conjugale - à savoir les <ref-law> - sont applicables par analogie.
D'après l'<ref-law>, le juge fixe, en application de l'<ref-law>, la contribution pécuniaire à verser par l'une des parties à l'autre. Tant que dure le mariage, les conjoints doivent donc contribuer, chacun selon ses facultés (<ref-law>), aux frais supplémentaires engendrés par l'existence parallèle de deux ménages. Chaque époux peut prétendre à participer d'une manière identique au train de vie antérieur (<ref-ruling> consid. 4b/aa p. 318). Le montant de la contribution d'entretien due selon l'<ref-law> se détermine en fonction des facultés économiques et des besoins respectifs des conjoints. Le législateur n'a pas arrêté de mode de calcul à cette fin. L'une des méthodes préconisées par la doctrine et considérée comme conforme au droit fédéral est celle dite du minimum vital, avec répartition de l'excédent. Selon cette méthode, lorsque le revenu total des conjoints dépasse leur minimum vital de base du droit des poursuites (<ref-law>), auquel sont ajoutées les dépenses non strictement nécessaires, l'excédent est en règle générale réparti par moitié entre eux (<ref-ruling>), à moins que l'un des époux doive subvenir aux besoins d'enfants mineurs communs (<ref-ruling> consid. 3c p. 9/10 et les arrêts cités) ou que des circonstances importantes ne justifient de s'en écarter (<ref-ruling> consid. 4b/bb p. 318). En cas de situation financière favorable, il convient plutôt de se fonder sur les dépenses indispensables au maintien des conditions de vie antérieures (<ref-ruling>; arrêts 5A_732/2007 du 4 avril 2008 consid. 2.2; 5P.138/2001 du 10 juillet 2001 consid. 2a/bb, in FamPra.ch 2002 p. 333). Le train de vie mené jusqu'à la cessation de la vie commune constitue la limite supérieure du droit à l'entretien (<ref-ruling> consid. 20b p. 378). Le principe de l'égalité de traitement des époux en cas de vie séparée ne doit en effet pas conduire à ce que, par le biais d'un partage par moitié du revenu global, se produise un déplacement de patrimoine qui anticiperait sur la liquidation du régime matrimonial (<ref-ruling> consid. 8 p. 31 s.). Pour que le juge puisse s'écarter d'une répartition par moitié de l'excédent, il faut donc qu'il soit établi que les époux n'ont pas consacré, durant la vie commune, la totalité du revenu à l'entretien de la famille (<ref-ruling> consid. 4b p. 317 ss). Pour la fixation de la contribution d'entretien destinée aux enfants, la maxime inquisitoire est applicable en vertu de l'<ref-law>, par renvoi de l'<ref-law>.
2.2 Selon l'autorité cantonale, les revenus respectifs des époux s'élevant à 22'207 fr.35 (16'000 fr. pour le mari et 6'207 fr.35 pour l'épouse) et leurs charges, à 19'161 fr.50 (10'300 fr. pour le mari et 8'861 fr.50 pour l'épouse), il en résulte un excédent disponible de 3'045 fr.85 par mois, dont il convient d'attribuer environ les deux tiers à la mère pour tenir compte des enfants, soit 2'030 fr.60. Comme celle-ci subit un déficit, arrondi, de 2'654 fr. (6'207 fr.35 - 8'861 fr.50), le montant global devant lui être attribué est donc de 4'500 fr. par mois (2/3 de l'excédent, arrondi: 2'030 fr. + déficit de l'épouse: 2'654 fr. = 4'684 fr.).
2.3 Ce résultat n'apparaît pas arbitraire, c'est-à-dire manifestement insoutenable (sur la notion d'arbitraire: <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153); en tout cas, le recourant ne démontre pas que tel serait le cas (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254; <ref-ruling> consid. 6 p. 397, 589 consid. 2 p. 591/592).
Selon l'autorité cantonale, la méthode dite du minimum vital avec répartition de l'excédent, dans le cadre de laquelle, en cas de situation financière favorable, il convient de se fonder sur les dépenses indispensables au maintien du train de vie mené jusqu'à la suspension de la vie commune, doit être appliquée ici, car elle n'a manifestement pas pour résultat de faire bénéficier l'épouse d'un niveau de vie supérieur à celui mené par le couple durant la vie commune. Le recourant soutient dès lors à tort que l'autorité cantonale aurait appliqué strictement la méthode du minimum vital sans tenir compte des conditions de vie antérieures du couple. De plus, s'il prétend que les juges précédents ne se sont pas fondés sur un calcul concret des dépenses nécessaires au maintien du train de vie de l'intimée, il se contente de cette pure affirmation, sans l'accompagner de la moindre démonstration fondée sur des pièces précisément désignées du dossier, qui permettrait d'admettre que la contribution mensuelle allouée à l'intimée pour son entretien et celui des deux enfants du couple excède de manière insoutenable le train de vie mené par les époux durant le mariage.
Le recourant reproche en outre à l'autorité cantonale de ne pas avoir tenu compte, dans la répartition du solde disponible entre les parties, de son droit de visite élargi, qui - à son avis - justifierait une réduction de la contribution d'entretien. Sur ce point, l'autorité précédente a considéré que l'exercice d'un droit de visite élargi par le parent non gardien engendrait certes des frais de nourriture et de vêtements supplémentaires, dont le recourant n'avait pas précisé le montant, mais qui ne devaient guère être importants, de sorte qu'il n'y avait pas lieu de les prendre en considération dans le calcul de son minimum vital. En ne tenant pas compte de ce droit de visite supérieur à la moyenne - dont le jugement entrepris ne précise pas l'étendue sans que le recourant ne se plaigne d'un état de fait lacunaire -, l'autorité cantonale n'est pas tombée dans l'arbitraire dès lors que la mère assume l'ensemble des frais fixes relatifs aux besoins des enfants et qu'au demeurant, une répartition stricte de l'excédent disponible à raison de deux tiers pour l'épouse et les enfants conduirait à leur allouer une contribution d'entretien d'un montant de 4'684 fr. par mois, soit 184 fr. de plus que les 4'500 fr. fixés par le jugement entrepris. Enfin, la jurisprudence citée par le recourant (5P.327/2005 du 27 février 2006 consid. 4.4.2) ne lui est d'aucun secours, les circonstances de fait étant différentes de celles de la présente espèce et le Tribunal fédéral ayant considéré dans cet arrêt que le poids de l'entretien de l'enfant restait pour l'essentiel supporté par le parent gardien nonobstant le droit de visite supérieur à celui usuellement accordé dont bénéficiait l'autre parent.
3. En conclusion, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Les frais judiciaires seront donc supportés par le recourant (<ref-law>), qui versera en outre des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 2'000 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal civil d'arrondissement de La Côte.
Lausanne, le 1er décembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot