Faits:
A. X._ est locataire depuis le mois de janvier 1980 d'un appartement sis à Genève dans un immeuble qui a longtemps appartenu à une société immobilière. Cette dernière était en mains de trois syndicats immobiliers dont l'un, créé en 1968, disposait du droit d'usage exclusif de l'immeuble. Y._, qui avait acquis l'intégralité des parts de ce syndicat en 1972, s'est fait céder par la société immobilière la propriété de l'immeuble avec effet au 1er juillet 2002 à la suite de la liquidation du syndicat. Le 13 décembre 2002, il a résilié, en sa qualité de nouveau propriétaire, le bail de X._ pour le 31 janvier 2004, en invoquant son besoin personnel.
Après avoir saisi la Commission de conciliation en matière de baux et loyers qui a déclaré valable le congé mais a prolongé le bail jusqu'au 31 juillet 2004 (décision du 30 juin 2003), X._ a demandé au Département genevois de l'économie, de l'emploi et des affaires extérieures (ci-après: le Département) de constater que Y._, de nationalité italienne, était devenu propriétaire de l'immeuble abritant son appartement en violation de la loi fédérale du 16 décembre 1983 sur l'acquisition d'immeubles par des personnes à l'étranger (LFAIE; RS 211.412.41). Le 29 juillet 2003, il a déposé devant le Tribunal des baux et loyers une "demande en constatation de nullité de résiliation de bail, subsidiairement en annulation de résiliation de bail et plus subsidiairement en prolongation de bail". Il y soutenait notamment que, faute d'avoir régulièrement acquis l'immeuble litigieux, Y._ n'était pas habilité à résilier son contrat de bail; il demandait préalablement la suspension de la procédure jusqu'à droit connu sur le sort de sa requête au Département.
Après avoir mis en oeuvre les mesures d'instruction utiles, le Département a constaté, par décision du 23 juin 2004, que Y._ avait certes acheté les parts sociales du syndicat immobilier en violation des dispositions légales applicables aux personnes à l'étranger (dans leur teneur en vigueur au moment des faits pertinents), mais que l'action en rétablissement de l'état antérieur était prescrite, tandis que le transfert de la propriété de l'immeuble à son nom intervenu en 2002 n'était pas un acte juridique soumis à autorisation.
B. X._ a recouru auprès du Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) contre la décision précitée du Département. En bref, il faisait valoir que son droit d'être entendu n'avait pas été respecté et que la loi fédérale sur l'acquisition d'immeubles par des personnes à l'étranger avait été mal appliquée.
Lors d'une séance de comparution personnelle des parties organisée le 4 octobre 2004, Y._ a formellement retiré le congé qu'il avait signifié à son locataire, puis il a invité le Tribunal administratif à statuer sur la qualité pour recourir de ce dernier, notamment au regard de l'exigence d'un intérêt actuel. X._ a soutenu qu'en dépit du retrait du congé, il conservait un intérêt personnel, direct et actuel à recourir, car l'admission de son recours "le mettrait à l'abri de l'exercice, par M. Y._, des prérogatives appartenant au 'bailleur' qu'il n'est pas". Il invoquait également un "intérêt public évident" à ce que la loi fédérale en cause fût correctement appliquée.
Par arrêt du 8 mars 2005, le Tribunal administratif a, en application de l'art. 20 al. 2 lettre a LFAIE, déclaré irrecevable le recours dont il était saisi, au motif que X._ ne pouvait plus se prévaloir d'un intérêt actuel à recourir depuis que Y._ était revenu sur la résiliation du contrat de bail.
C. Agissant par les voies du recours de droit administratif et du recours de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt d'irrecevabilité rendu à son encontre par le Tribunal administratif. Il se plaint de violation de son droit d'être entendu et reprend, pour l'essentiel, les arguments qu'il avait formulés en instance cantonale pour établir l'existence d'un intérêt digne de protection à recourir.

Le Tribunal administratif renonce à déposer des observations sur le recours et déclare persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Office fédéral de la justice considère comme douteuse la qualité pour recourir de X._ mais s'en remet à justice sur ce point, tandis que le Département conclut au rejet du recours. Quant à Y._, il conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 60 et les arrêts cités).
1.1 Dans la mesure où le Tribunal administratif a déclaré irrecevable le recours dont il était saisi en raison de l'absence d'un intérêt digne de protection au sens de l'art. 20 al. 2 LFAIE, son arrêt peut faire l'objet d'un recours de droit administratif: il repose en effet sur le droit public fédéral (cf. art. 97 OJ en relation avec l'art. 5 PA) et émane d'une autorité cantonale statuant en dernière instance (cf. art. 98 lettre g OJ en relation avec l'art. 21 al. 1 lettre a LFAIE).
Par ailleurs, le recourant a un intérêt digne de protection, au sens de l'art. 103 let. a OJ, à demander l'annulation de la décision attaquée afin d'obtenir qu'il soit statué sur le fond de la cause (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 502; <ref-ruling> consid. 3a p. 317 et les arrêts cités), et cela indépendamment et sans préjudice du motif d'irrecevabilité retenu en procédure cantonale qui constitue l'objet de la contestation devant le Tribunal fédéral, à l'exclusion du fond de l'affaire.
Formé en temps utile et dans les formes prescrites, le recours est ainsi recevable comme recours de droit administratif.
1.2 En revanche, le recours de droit public formé en parallèle par le recourant est irrecevable, vu le caractère subsidiaire de ce moyen de droit (art. 84 al. 2 OJ). Le grief de violation du droit d'être entendu soulevé à ce titre peut néanmoins, en principe, être examiné, car le Tribunal fédéral revoit d'office, lorsqu'il est saisi d'un recours de droit administratif, l'application du droit fédéral (art. 104 lettre a OJ) qui englobe notamment - ce que semble ignorer le recourant - les droits constitutionnels des citoyens (cf. <ref-ruling> consid. 3.4 p. 188; <ref-ruling> consid. 2b p. 60 et les arrêts cités).
1.3 Lorsque le recours est dirigé, comme en l'occurrence, contre la décision d'une autorité judiciaire, le Tribunal fédéral est lié par les faits constatés dans la décision, sauf s'ils sont manifestement inexacts ou incomplets ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (art. 104 lettre b et 105 al. 2 OJ; <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 150; <ref-ruling> consid. 1 p. 198). En outre, le Tribunal fédéral ne peut pas revoir l'opportunité de la décision entreprise, le droit fédéral ne prévoyant pas un tel examen en la matière (art. 104 lettre c ch. 3 OJ). Par contre, il n'est pas lié par les motifs que les parties invoquent et peut admettre le recours pour d'autres raisons que celles avancées par le recourant ou, au contraire, confirmer la décision attaquée pour d'autres motifs que ceux retenus par l'autorité intimée (art. 114 al. 1 in fine OJ; <ref-ruling> consid. 1b p. 268; <ref-ruling> consid. 1b/aa p. 500).
2. Le recourant se plaint de violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), au motif que les premiers juges n'auraient pas répondu à certains de ses griefs et auraient insuffisamment motivé leur arrêt. De nature formelle, ce grief doit être examiné en premier lieu.
La jurisprudence n'impose pas au juge de discuter de manière détaillée tous les arguments soulevés par les parties ou de statuer séparément sur chacune de leurs conclusions. Il peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives, selon lui, pour l'issue du litige, en mentionnant, même brièvement, les motifs qui ont fondé son appréciation. En l'espèce, même si le Tribunal administratif n'a pas examiné en détail tous les arguments du recourant, sa motivation est suffisamment claire. En fait, le recourant reproche davantage aux premiers juges de n'avoir pas suivi son argumentation que de n'y avoir pas répondu. Le moyen tiré d'une violation de l'art. 29 al. 2 Cst. se révèle donc mal fondé.
3. 3.1 Aux termes de l'art. 20 al. 2 lettre a LFAIE, ont qualité pour recourir contre les décisions des autorités de première instance, l'acquéreur, l'aliénateur et toute autre personne ayant un intérêt digne de protection à ce que la décision soit annulée ou modifiée. Cette disposition a la même portée que les art. 48 lettre a PA et 103 lettre a OJ, même si, contrairement à ces normes, elle ne précise pas expressément que la qualité pour recourir suppose, en plus de l'existence d'un intérêt digne de protection, que l'intéressé soit "atteint" ou "touché" par la décision attaquée (cf. arrêts du Tribunal fédéral des 23 décembre 1994, 2A.284/1993, consid. 3, et 5 décembre 1990, 2P.49/1990, consid. 2a; Urs Mühlebach/Hanspeter Geissmann, Kommentar zum Bundesgesetz über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland, Brugg/Baden 1986, n. 3 ad art. 20).
Selon la jurisprudence, l'intérêt digne de protection consiste en l'utilité pratique que l'admission du recours apporterait au recourant, en lui évitant de subir un préjudice de nature économique, idéale, matérielle ou autre que la décision attaquée lui occasionnerait. Il implique que le recourant soit touché de manière directe, concrète et dans une mesure et avec une intensité plus grandes que la généralité des administrés. En outre, l'intérêt invoqué - qui n'est pas nécessairement un intérêt juridiquement protégé, mais peut être un intérêt de fait (cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 136) - doit se trouver, avec l'objet de la contestation, dans un rapport étroit, spécial et digne d'être pris en considération (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 202/203; <ref-ruling> consid. 1a p. 36 et les arrêts cités). Le recours d'un particulier formé dans l'intérêt général ou dans l'intérêt d'un tiers est exclu. Cette exigence a été posée de manière à empêcher l'action populaire au niveau de la juridiction administrative fédérale, notamment quand un particulier conteste une autorisation donnée à un autre particulier (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 304; <ref-ruling> consid. 2c/aa p. 43, 171 consid. 2b p. 174; <ref-ruling> consid. 2a p. 51 et les arrêts cités). D'une manière générale, la jurisprudence et la doctrine n'admettent que de manière relativement stricte la présence d'un intérêt propre et direct lorsqu'un tiers désire recourir contre une décision dont il n'est pas le destinataire (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 504-505 et les nombreuses références citées). Enfin, à moins de circonstances spéciales (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 286; <ref-ruling> consid. 2b p. 59, 182 consid. 2 p. 184/185), la qualité pour recourir suppose l'existence d'un intérêt actuel à obtenir l'annulation de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1b p. 36, 156 consid. 1c p. 159).
3.2 Le Tribunal administratif a considéré que le seul intérêt pratique du recourant à l'admission du recours résidait dans la perspective de pouvoir faire annuler la résiliation du bail. Du moment que le bailleur avait retiré le congé durant la procédure, le recours était ainsi devenu sans objet. Que le contrat de bail pût, à l'avenir, faire l'objet d'un nouveau congé, était une circonstance reposant, selon les premiers juges, "sur un fondement purement hypothétique, incompatible avec la notion d'intérêt actuel".
Selon le recourant, Y._ n'est revenu sur le congé que pour les besoins de la cause, afin que les procédures engagées contre lui aux plans civil et administratif deviennent sans objet et que, par voie de conséquence, la décision rendue en sa faveur par le Département acquière l'autorité de la chose jugée. Mais le recourant prétend qu'une fois ce but atteint par le bailleur, il s'expose à une nouvelle résiliation, car l'appartement que ce dernier occupe ne lui permet pas d'accueillir chez lui, comme il en avait manifesté le désir en procédure cantonale, son épouse malade qui vit, semble-t-il, en Italie, ainsi que de recevoir les visites de ses enfants et petits-enfants qui sont également établis à l'étranger. Le recourant en déduit qu'il bénéficie encore d'un intérêt actuel et pratique à l'admission du recours, car la constatation que le bailleur n'est pas devenu le légitime propriétaire de son appartement ne pourra que consacrer, "par relation de cause à effet", l'inexistence d'un contrat de bail entre lui et Y._ et, partant, le mettre à l'abri d'un nouveau congé de la part de ce dernier.
Y._ réfute cette argumentation, en exposant qu'il a trouvé un appartement présentant "les mêmes caractéristiques que celui du recourant", de sorte qu'il ne peut en tout cas pas invoquer un besoin personnel pour renouveler le congé. A son sens, le locataire encourt un risque de résiliation plus important en cas de vente aux enchères de l'immeuble, car le nouveau propriétaire pourra alors mettre fin au bail de manière anticipée aux conditions de l'art. 261 al. 2 CO.
3.3 Contrairement à l'opinion du Tribunal administratif, on peut admettre que, nonobstant le retrait du congé, le recourant dispose encore, comme locataire, d'un certain intérêt à ce que son appartement ne reste pas entre les mains de l'actuel bailleur. En dépit de ses dénégations, rien n'empêche en effet ce dernier de renouveler le congé, d'autant que les raisons pour lesquelles il a résilié le bail ne sont pas claires. Certes, il allègue que sa motivation résidait dans le projet, aujourd'hui prétendument révolu, d'occuper l'appartement pour ses besoins personnels. Le recourant a toutefois soulevé de nombreux éléments qui mettent en doute cette assertion et qui mériteraient à tout le moins d'être examinés avant de privilégier la version du bailleur.
Quoi qu'il en soit, l'existence d'un intérêt, fût-il actuel, n'est pas une condition suffisante pour fonder la qualité pour recourir. Il faut encore que le recourant soit touché de manière directe et concrète par la décision attaquée et que l'intérêt en cause s'inscrive dans un rapport étroit, spécial et digne d'être pris en considération avec l'objet de la contestation.
3.4 Le recourant veut exciper un tel intérêt de sa qualité de cocontractant (locataire) de la personne prétendument soumise au régime de l'autorisation (le bailleur); il renvoie à l'<ref-ruling>. Dans cet arrêt, le Tribunal fédéral a jugé que la qualité pour recourir au sens de l'art. 103 lettre a OJ appartient, en première ligne, à l'acheteur d'un immeuble soumis au régime de l'autorisation, mais que le vendeur a également un intérêt digne de protection à faire annuler une décision de refus d'autorisation. Bien qu'il soit également en relation contractuelle avec l'acheteur, le recourant ne se trouve cependant pas dans une situation comparable au vendeur. Au contraire de ce dernier, son recours n'est en effet pas destiné à lui permettre de finaliser le contrat en cause, mais vise à obtenir de l'autorité compétente une décision de refus d'autorisation, afin - et c'est le réel but recherché - de faire constater la nullité du contrat de bail et de pouvoir en conclure un nouveau avec un propriétaire supposé plus sûr ou plus accommodant que l'actuel. C'est donc seulement de manière indirecte que le succès de sa démarche peut permettre au recourant de retirer l'avantage convoité. De plus, cet avantage apparaît relativement incertain, dans la mesure où, l'acquéreur potentiel n'étant pas connu, rien n'autorise de penser que celui-ci se montrera plus conciliant avec l'intéressé que le propriétaire actuel. Au vrai, la situation du recourant se rapproche des états de fait à la base des arrêts non publiés 2A.261/1990 (du 6 juin 1991) et 2A.284/1993 (du 23 décembre 1994). Dans la première affaire, le Tribunal fédéral avait considéré que, n'étant qu'indirectement intéressé à l'opération soumise à autorisation, le créancier finançant l'acquisition d'un immeuble n'avait pas la qualité pour demander la révocation d'une charge (dans le même sens, cf. Mühlebach/Geissmann, op. cit., n. 30 ad art. 20; contra: Jean-Christophe Perrig, L'acquisition d'immeubles en Suisse par des personnes à l'étranger, thèse Lausanne 1990, p. 112). Dans la seconde affaire, il avait jugé que des justiciables qui faisaient seulement valoir des motifs de convenance personnelle à se porter acquéreurs d'un terrain voisin de leur parcelle, n'avaient pas la qualité pour recourir contre la décision approuvant la vente de ce terrain à un étranger, car ils n'avaient pas démontré un intérêt direct suffisant à l'admission de leur recours. Dans le même ordre d'idées, la jurisprudence a tranché qu'un actionnaire détenant près de la moitié du capital-actions d'une société anonyme à laquelle l'autorisation d'acquérir un immeuble avait été refusée n'était pas suffisamment (directement) touché par la décision et n'était donc pas légitimé à recourir (cf. ATF précité 101 Ib 383); il ne devrait pas en aller autrement pour l'actionnaire unique, même si le Tribunal fédéral s'est prononcé dans un sens différent dans un obiter dictum (cf. <ref-ruling> consid. 1d p. 110; Mühlebach/Geissmann, loc. cit.) qu'il a par la suite remis en cause (cf. <ref-ruling> consid. 1c p. 335/336).
En dépit de la relation contractuelle qui l'unit au destinataire de la décision, force est donc d'admettre que le recourant n'est pas autorisé à contester celle-ci, faute de pouvoir justifier d'un intérêt direct et concret suffisant au sens de la jurisprudence restrictive applicable aux tiers recourants (pour un exemple récent où l'intérêt digne de protection d'un tiers n'a pas été admis malgré les effets que la décision contestée pouvait avoir sur les obligations contractuelles de l'intéressé, cf. <ref-ruling> consid. 4, p. 566 ss).
A cela s'ajoute que le but recherché par le recourant sort manifestement des objectifs de la loi invoquée qui vise "à prévenir l'emprise étrangère sur le sol suisse" (art. 1er LFAIE). Que, d'une manière incidente ou accessoire, cette loi puisse également, le cas échéant, comme le relève le recourant en citant un avis de doctrine (cf. Joseph Voyame, L'acquisition d'immeubles par des étrangers et la société immobilière, in Etrangers en Suisse: recueil de travaux publié par la faculté de droit à l'occasion de l'assemblée de la Société suisse des juristes, Lausanne, 1982, p. 113), avoir pour but - ou plutôt pour effet - de faciliter l'accession des Suisses à la propriété en maintenant le prix du sol à un niveau raisonnable, voire de contribuer dans une certaine mesure à la stabilisation des loyers, ne saurait se confondre avec l'objectif du recourant de se défaire de son bailleur afin de pouvoir conserver l'usage de la chose louée. Les intérêts du locataire dans ses rapports avec le bailleur sont plus spécifiquement protégés par les dispositions spéciales du code des obligations en matière de droit du bail (cf. art. 253 ss CO, spéc. art. 271 ss CO s'agissant de la protection contre les congés abusifs) complétées, le cas échéant, par certaines règles de droit public cantonal. Dans cette mesure, l'intérêt invoqué par le recourant n'est pas dans un rapport suffisamment étroit, spécial et digne d'être pris en considération avec l'objet de la contestation.
3.5 Par conséquent, la décision attaquée n'a, dans son résultat, pas violé l'art. 20 al. 2 lettre a LFAIE, en déniant au recourant la qualité pour recourir.
4. Il suit de ce qui précède que, dans la mesure où il est recevable, le recours est mal fondé.
Succombant, le recourant supportera les frais judiciaires (art. 156 al. 1 OJ) et versera une indemnité de dépens à Y._ (art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 2'500 fr. est mis à la charge de X._.
3. X._ versera à Y._ une indemnité de dépens de 2'500 fr.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie au recourant, au mandataire de l'intimé, au Département de l'économie, de l'emploi et des affaires extérieures et au Tribunal administratif du canton de Genève, ainsi qu'au Département fédéral de justice et police.
Lausanne, le 7 septembre 2005
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: