Sachverhalt:
A.
M._ war ab 1. August 2009 an der Kreisschule X._ als Realschullehrer angestellt. Am 27. Januar 2011 sprach die Kreisschule unter Hinweis auf finanzielle Verfehlungen die fristlose Kündigung des Arbeitsverhältnisses aus. Das in der Folge eingeleitete Schlichtungsverfahren vor der kantonalen Schlichtungskommission für Personalfragen endete mit deren Empfehlung vom 23. Juni 2011, die fristlose Kündigung sei zu bestätigen. Mit "Verfügung" vom 31. Oktober 2011 bestätigte die Kreisschule die fristlose Kündigung vom 27. Januar 2011.
B.
M._ erhob hierauf Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, die Kreisschule sei zu verpflichten, ihm wegen zu Unrecht ausgesprochener fristloser Kündigung Fr. 34'233.35 (Entschädigung/Lohn brutto, abzüglich der gesetzlichen Sozialabzüge) zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Februar 2012 sowie eine angemessene Pönalentschädigung im Sinne von <ref-law> zu bezahlen. Das Personalrekursgericht des Kantons Aargau nahm die Beschwerde als Klage entgegen. Mit Entscheid vom 5. Dezember 2012 verpflichtete es die Kreisschule, M._ infolge Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör eine Pönalentschädigung im Sinne von <ref-law> in Höhe von Fr. 9'767.- zu bezahlen; im Übrigen wies es die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt M._ sein vorinstanzliches Rechtsbegehren betreffend Entschädigung/Lohn nebst Zins erneuern und die Zusprechung einer - nunmehr auf Fr. 9'767.- bezifferten - Pönalentschädigung im Sinne von <ref-law> zu Lasten der Kreisschule beantragen.
Die Kreisschule schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, welcher nicht beim Bundesverwaltungsgericht anfechtbar ist (Art. 86 Abs. 1 lit. d) und ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis (§ 3 Abs. 1 GAL), d.h. eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts betrifft (<ref-law>). Der auf dem Gebiet öffentlich-rechtlicher Arbeitsverhältnisse zu beachtende Ausschlussgrund (<ref-law>) kommt nicht zur Anwendung, da der zu beurteilende Streit um eine Kündigung und damit einhergehende finanzielle Forderungen vermögensrechtlicher Natur ist und die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (Art. 85 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit <ref-law>) erreicht wird. Die übrigen Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde sind - mit dem in E. 6 hienach behandelten Vorbehalt - ebenfalls erfüllt.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Die Verletzung kantonaler Bestimmungen bildet - abgesehen von den hier nicht gegebenen Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur dann einen zulässigen Beschwerdegrund, wenn eine derartige Rechtsverletzung einen Verstoss gegen Bundesrecht im Sinne von <ref-law>, beispielsweise das Willkürverbot (<ref-law>), oder gegen Völkerrecht im Sinne von <ref-law> zur Folge hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.; ARV 2009 S. 311, 8C_340/2009 E. 1.2; Urteil 8C_594/2010 vom 25. August 2011 E. 1.2). Dies gilt auch im Bereich der öffentlich-rechtlichen Anstellungsverhältnisse, wenn das kantonale Personalrecht - wie im vorliegenden Fall - auf das Obligationenrecht verweist. Das Bundesprivatrecht gelangt diesfalls als ergänzendes kantonales Recht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.4 S. 236 f.; erwähnte Urteile ARV 2009 E. 1.2 und 8C_594/2010 E. 1.2; sodann Urteil 8C_294/2011 vom 29. Dezember 2011 E. 3.4, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, insbesondere des hier angerufenen Willkürverbots, gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.
Willkür in der Rechtsanwendung liegt dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 319 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; je mit Hinweisen).
4.
4.1. Der angefochtene Entscheid stützt sich auf § 12 f. des aargauischen Gesetzes über die Anstellung von Lehrpersonen vom 17. Dezember 2002 (GAL; SAR 411.200). Danach gilt als Grund für die fristlose Auflösung (des Anstellungsverhältnisses der Lehrperson) für beide Parteien jeder Umstand, der nach Schweizerischem Obligationenrecht (nachfolgend: OR) als wichtig gilt (§ 12 GAL). Erweist sich eine Kündigung nachträglich als widerrechtlich, hat die Lehrperson Anspruch auf Entschädigung. Diese bemisst sich nach den Bestimmungen über die missbräuchliche Kündigung des OR (§ 13 Abs. 1 GAL). Ein Anspruch auf Wiederanstellung besteht nicht (§ 13 Abs. 2 GAL).
4.2.
4.2.1. Gemäss <ref-law> gilt als wichtiger Grund für die fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses namentlich jeder Umstand, bei dessen Vorhandensein dem Kündigenden nach Treu und Glauben die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht mehr zugemutet werden darf. Diese Regelung gelangt gestützt auf § 12 GAL als ergänzendes kantonales Recht zur Anwendung.
4.2.2. Das OR regelt die missbräuchliche (ordentliche) Kündigung und deren Folgen in Art. 336-<ref-law>. Die Vorinstanz geht in ihrem diesbezüglich nicht umstrittenen Entscheid sodann davon aus, dass gestützt auf § 13 Abs. 1 GAL auf eine widerrechtliche fristlose Kündigung des öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisses <ref-law> analog Anwendung findet (vgl. dazu auch die in AGVE 2010 Nr. 79 S. 381 und 2009 Nr. 94 S. 419 publizierten Entscheide der Vorinstanz). Sie hat denn auch eine Entschädigung nach Abs. 3 dieser Bestimmung zugesprochen.
Nach <ref-law> gilt Folgendes: Entlässt der Arbeitgeber den Arbeitnehmer fristlos ohne wichtigen Grund, so hat dieser Anspruch auf Ersatz dessen, was er verdient hätte, wenn das Arbeitsverhältnis unter Einhaltung der Kündigungsfrist oder durch Ablauf der bestimmten Vertragszeit beendigt worden wäre (Abs. 1). Der Arbeitnehmer muss sich daran anrechnen lassen, was er infolge der Beendigung des Arbeitsverhältnisses erspart hat und was er durch anderweitige Arbeit verdient oder zu verdienen absichtlich unterlassen hat (Abs. 2). Der Richter kann den Arbeitgeber verpflichten, dem Arbeitnehmer eine Entschädigung zu bezahlen, die er nach freiem Ermessen unter Würdigung aller Umstände festlegt; diese Entschädigung darf jedoch den Lohn des Arbeitnehmers für sechs Monate nicht übersteigen (Abs. 3).
5.
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es liege ein wichtiger Grund im Sinne von § 12 GAL in Verbindung mit <ref-law> vor, welcher die fristlose Kündigung vom 27. Januar 2011 rechtfertige. Die Kündigung sei zudem entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht verspätet ausgesprochen worden. Der Antrag, diesem sei gestützt auf <ref-law> eine Entschädigung für entgangenen Lohn im Zeitraum von Februar bis Juli 2011 zuzusprechen, werde daher abgewiesen.
Die Vorinstanz hat sodann erkannt, die Beschwerdegegnerin habe den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt. Dieser formelle Mangel rechtfertige die Zusprechung einer Pönalentschädigung nach <ref-law> im Betrag von einem Monatslohn in der Höhe von Fr. 9'767.- (inkl. Anteil 13. Monatslohn).
In der Beschwerde wird die vorinstanzliche Beurteilung in verschiedener Hinsicht als willkürlich gerügt.
6.
Der Beschwerdeführer beantragt wie schon im kantonalen Verfahren gestützt auf <ref-law> eine Pönalentschädigung, welche er nunmehr auf Fr. 9'767.- beziffert.
Wie soeben dargelegt, wurde nun aber eine solche Strafzahlung im angefochtenen Entscheid bereits zugesprochen. Auf die Beschwerde ist daher diesbezüglich mangels eines schutzwürdigen Interesses (<ref-law>) nicht einzutreten.
7.
Streitig und zu prüfen ist als erstes, ob ein wichtiger Grund für die fristlose Kündigung vorliegt und ob diese rechtzeitig erfolgt ist.
7.1.
7.1.1. Das kantonale Gericht hat vorab erkannt, der Beschwerdeführer habe am 22. Juli und 4. November 2011 über einen speziellen Kundenzugang für Lehrpersonen der Beschwerdegegnerin zwei Reisen nach A._ resp. B._ gebucht. Es sei davon auszugehen, dass er die Reise nach A._ gegenüber den SBB gezielt als Rekognoszierungsreise deklariert habe, um auf diese Weise eine Reise buchen zu können, ohne diese sofort bezahlen zu müssen. Es bestünden aber keine ernsthaften Zweifel daran, dass es sich bei der Reise nach A._ um eine private Vergnügungsreise gehandelt habe. Zudem müsse dem Beschwerdeführer von Anfang bewusst gewesen sein, dass er eine solche Reise nicht über den SBB-Zugang der Schule hätte buchen dürfen. Zumindest hätte er vorgängig das Einverständnis der Schule einholen müssen. Sodann sei das Vorgehen des Beschwerdeführers hinsichtlich der zweiten Buchung (Reise nach B._) zumindest als unüblich zu bewerten. Das Verhalten des Beschwerdeführers insbesondere im Zusammenhang mit der Reise nach A._ erscheine somit, unabhängig davon, ob der Schule deswegen ein finanzieller Schaden entstanden sei, objektiv geeignet, das Vertrauensverhältnis zwischen ihm und der Schule nachhaltig zu stören.
7.1.2. Die Vorinstanz hat weiter erwogen, der Beschwerdeführer habe am 18. November 2010 unter Verwendung eines Schulstempels eine auf "1. Realschule B z.Hd. von Q._" lautende Kunden- und Kreditkarte der Y._ beantragt. Mit dieser Karte habe er in der Folge private Warenbezüge in Höhe von über Fr. 5'000.- getätigt. Im Januar 2011 habe er auf die gleiche Weise einen weiteren Antrag gestellt, dieses Mal für eine Karte Z._ für Firmen, lautend auf "Realschule R._ Q._ Reallehrerin". Schliesslich habe der Beschwerdeführer offenbar über die Schule ein privates I-Pad bestellt und im Laden D._ unbezahlt gebliebene Warenkäufe getätigt. Zwar habe er überzeugend dargelegt, dass die anfänglich unbezahlt gebliebenen Warenbezüge von ca. Fr. 800.- im Laden D._ ein privates Kundenkonto betroffen hätten, welches dort für ihn geführt worden sei, weil die Mutter einer seiner Schülerinnen dort als Filialleiterin tätig gewesen sei. Die Beschwerdegegnerin sei somit durch diesen Zahlungsausstand nicht direkt betroffen gewesen. Das Verhalten des Beschwerdeführers sei aber symptomatisch dafür, wie er seine Position als Lehrperson bei der Beschwerdegegnerin dazu benutzt habe, um sich finanzielle Vorteile zu verschaffen. Diese Schlussfolgerung gelte auch in Bezug auf die private Bestellung eines i-Pad über die Schule, für welche der Beschwerdeführer keine vorgängige Einwilligung eingeholt habe und von der die Beschwerdegegnerin offenbar erst mit der Zustellung der Mahnung an ihre Adresse Kenntnis erhalten habe. Bei der Antragsstellung für die Y._- und die Z._-Karte habe das Fehlverhalten des Beschwerdeführer schliesslich noch ein weit gravierenderes Ausmass erreicht. Durch die Verwendung des Namens seiner Mutter Q._ sowie eines Stempels der Schule habe er ganz klar kriminelle Energie erkennen lassen. Dass ein solches Verhalten geeignet sei, das Vertrauensverhältnis zwischen den Parteien nachhaltig zu stören, liege auf der Hand. In diesem Zusammenhang spiele es letztlich auch keine Rolle, ob der Beschwerdeführer die Absicht gehabt habe, die Beschwerdegegnerin oder Dritte finanziell zu schädigen und ob es in dem gegen ihn laufenden Strafverfahren zu einer Verurteilung komme.
7.1.3. Zusammenfassend hält das kantonale Gericht fest, es sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer während seiner Anstellung wiederholt, in erheblichem Umfang und - mit Ausnahme der Reisebuchung nach B._ - ohne vorgängige Absprache resp. teils gar durch Falschangaben unter Ausnutzung seiner Position bei der Beklagten finanzielle Transaktionen abgewickelt resp. dies versucht habe, die ausschliesslich privaten Zwecken gedient hätten. Die geschilderten Verfehlungen seien ohne Weiteres geeignet, die notwendige Vertrauensbasis zwischen den Parteien zu zerstören. Das gelte unabhängig davon, dass der Beschwerdegegnerin dank der Kontrolle der eingehenden Rechnungen schlussendlich kein Schaden entstanden sei.
7.1.4. Der Beschwerdeführer bestreitet die ihm angelasteten Vorgänge nicht. Er macht aber geltend, diese Sachverhalte rechtfertigten keine fristlose Kündigung, zumal er auf die entsprechende Aufforderung der Beschwerdegegnerin hin keine weiteren Reisen über den Kundenzugang der SBB gebucht habe, keine Schädigungsabsicht gegenüber seiner Arbeitgeberin gehabt habe, ihm kein strafrechtlich geahndetes Verschulden angelastet werden könne und der Schule kein finanzieller Schaden erwachsen sei.
Ein Vertrauensverlust des Arbeitgebers gegenüber dem Arbeitnehmer setzt nicht zwingend voraus, dass ersterer finanziell geschädigt wurde resp. hätte finanziell geschädigt werden sollen oder dass letzterer strafrechtlich belangt wird. Sodann lässt auch die Beendigung eines beanstandeten Verhaltens dieses nicht als ungeschehen erscheinen. Dass die Vorinstanz diese Einwände verworfen und die Verhaltensweisen des Beschwerdeführers, insbesondere hinsichtlich der Kartenanträge und -verwendung, als grob treuwidrig gegenüber dem Arbeitgeber gewürdigt hat, ist jedenfalls nicht willkürlich.
7.2. Das kantonale Gericht hat sich sodann mit der Frage befasst, ob die fristlose Kündigung verspätet ausgesprochen wurde und deshalb als verwirkt anzusehen sei. Es ist zum Ergebnis gelangt, zumindest in Bezug auf die Kartenanträge und -verwendung treffe dies nicht zu. Denn davon habe die Beschwerdegegnerin erst am 20. Januar 2011 resp. unmittelbar vor der Kündigungseröffnung am 27. Januar 2011 erfahren. Es bestehe sodann kein Zweifel, dass diese gravierende Verfehlung des Beschwerdeführers, insbesondere in Verbindung mit den übrigen Vorkommnissen, sowohl in objektiver als auch in subjektiver Hinsicht geeignet gewesen sei, das Vertrauensverhältnis zwischen den Parteien zu zerstören. Damit sei ein wichtiger Grund für die fristlose Kündigung gesetzt worden. Diese sei unter den gegebenen Umständen auch als verhältnismässig anzusehen.
Die Einwände des Beschwerdeführers lassen diese Beurteilung nicht als willkürlich erscheinen. Namentlich war keine vorgängige Verwarnung erforderlich. Auch handelt es sich beim Gesichtspunkt der Kartenanträge und -verwendung nicht um einen - gegebenenfalls rechtsmissbräuchlich - nachgeschobenen Kündigungsgrund. Das kantonale Gericht hat hiezu erwogen, dieser Aspekt sei der fristlosen Kündigung mit zugrunde gelegen. Das ist im Rahmen der Willkürprüfung nicht zu beanstanden.
Unter den Gesichtswinkeln der Begründetheit, Verhältnismässigkeit und Rechtzeitigkeit der fristlosen Kündigung ist diese mithin nicht widerrechtlich.
8.
Zu prüfen bleibt der Aspekt der Verletzung des rechtlichen Gehörs.
8.1. Der Gehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör wird in erster Linie von den kantonalen Verfahrensbestimmungen geregelt, die durch das Bundesgericht nur unter dem begrenzten Gesichtswinkel der Willkür überprüft werden können; in jedem Fall muss jedoch die kantonale Behörde die direkt aus <ref-law> abgeleiteten Mindestgarantien beachten. Das gilt uneingeschränkt auch im öffentlichen Personalrecht (Ursprung/Riedi Hunold, Schwerpunkte der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung zum öffentlichen Personalrecht, in: ZBl 2013 S. 295 ff., S. 306; vgl. auch <ref-ruling>) und wird vom Bundesgericht mit freier Kognition geprüft (<ref-ruling> E. 2.2 S. 281 mit Hinweis).
Im vorliegenden Fall beruft sich der Beschwerdeführer nicht auf eine kantonale Bestimmung betreffend den Anspruch auf rechtliches Gehör, weshalb die Rüge allein im Lichte von <ref-law> zu prüfen ist.
8.2. Das kantonale Gericht hat erkannt, die Beschwerdegegnerin habe im Zusammenhang mit der fristlosen Kündigung den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers verletzt. Damit sei die Kündigung formell widerrechtlich, weshalb dem Beschwerdeführer im Sinne von § 13 GAL in Verbindung mit <ref-law> die besagte Pönalentschädigung zuzusprechen sei.
Das ist insoweit nicht umstritten. Es steht sodann nicht zur Diskussion, dass die Kündigung wegen dieses Verfahrensmangels aufzuheben wäre; ein entsprechender Antrag wird nicht gestellt. Streitig ist vielmehr, ob wie vom Beschwerdeführer postuliert, zusätzlich zur Pönalentschädigung auch Lohnausfallersatz nach <ref-law> zuzusprechen ist.
8.3. Die Vorinstanz geht davon aus, nur ein inhaltlicher Mangel der fristlosen Kündigung vermöchte gegebenenfalls die Zusprechung von Lohnausfallersatz zu rechtfertigen. Einem Verfahrensmangel allein sei mittels Pönalentschädigung Rechnung zu tragen. Anders wäre nur zu entscheiden, wenn der formelle Mangel derart gravierend sei, dass die fristlose Kündigung deswegen ausnahmsweise auch als inhaltlich unrechtmässig bezeichnet werden müsste. Ein so schwerer Verfahrensfehler liege hier nicht vor.
In der Beschwerde wird nicht dargelegt, inwiefern eine so schwere Gehörsverletzung vorliegen soll, dass dies im Sinne der - nicht umstrittenen - grundsätzlichen Erwägungen der Vorinstanz ausnahmsweise die Zusprechung von Lohnausfallersatz rechtfertigen könnte. Vorgebracht wird einzig, das kantonale Gericht sei zu Unrecht davon ausgegangen, die fristlose Kündigung sei für den Beschwerdeführer nicht unvermittelt gekommen. Das genügt nicht, um die vorinstanzliche Beurteilung als willkürlich zu betrachten. Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
9.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin obsiegt in ihrem amtlichen Wirkungskreis als öffentlich-rechtliche Organisation und hat daher entgegen ihrem Antrag keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Personalrekursgericht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. September 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz