Sachverhalt:
A.
B.A._ und A.A._ sind die Eltern der Kinder C.A._ (geb. 1995), D.A._ (geb. 1998), E.A._ (geb. 2001) und F.A._ (geb. 2005).
B.
B.a. Gemäss Trennungsvereinbarung der Parteien vom 19. August 2009 wurden die Kinder unter die Obhut der Mutter gestellt. Mit Entscheid vom 24. Januar 2011 beauftragte das Regionalgericht Berner Jura-Seeland die Vormundschaftsbehörde U._, für die Kinder eine Erziehungsbeistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB zu errichten. Es wurde die Möglichkeit vorgesehen, das bisher begleitete Besuchsrecht des Vaters nach Anhörung der Kinder auszudehnen. In der Folge wurde ein Gutachten bei der Poliklinik der Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienste (UPD) V._ in Auftrag gegeben, welches am 13. Juli 2011 erstattet wurde.
B.b. Am 19. September 2011 schlossen die Kindseltern beim Regionalgericht Berner Jura-Seeland eine Vereinbarung über die Nebenfolgen der Scheidung. Sie beantragten, die Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter zu stellen, und verpflichteten sich, dass therapeutische Gespräche zwischen dem Kindsvater und den drei grösseren Kindern über einen Zeitraum eines halben Jahres ab Januar 2012 aufzunehmen seien. Gleichzeitig verzichtete der Vater betreffend diese bis auf Weiteres auf die Ausübung eines minimalen Besuchs- und Ferienrechts. Betreffend das jüngste Kind (F.A._) wurde vereinbart, dass monatliche Besuche à drei Stunden im Besuchstreff W._ stattzufinden hätten.
B.c. Im Scheidungsurteil des Regionalgerichts Berner Jura-Seeland vom 21. Oktober 2011 (mit der Vereinbarung vom 19. September 2011 als integrierendem Bestandteil) wurden die Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt und die Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB beibehalten.
B.d. Am 27. Juni 2013 reichte die Beiständin ihren Rechenschafts- bzw. Schlussbericht ein. Darin berichtete sie unter anderem, dass die Entwicklungsverläufe der vier Kinder grundsätzlich positiv seien. Die beiden ältesten Kinder hätten eine Ausbildung begonnen bzw. würden diese im August 2013 beginnen. Die drei Mädchen hätten zwar die Therapiegespräche wie vereinbart absolviert. Sie würden sich jedoch konsequent einem gemeinsamen Gespräch mit dem Vater verweigern und hätten das Besuchsrecht bei diesem nicht wieder aufgenommen. Die Beiständin beantragte, die Massnahme gegenüber C.A._ aufzuheben, da diese mittlerweile volljährig geworden sei. Demgegenüber sei die Massnahme gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB für die übrigen Kinder weiterzuführen. Der Kindsmutter sei zudem die Weisung zu erteilen, diese bei G._, Psychologin lic. phil. und Psychotherapeutin FSP für Kinder, Jugendliche und Erwachsene, für eine psychologische Unterstützung betreffend den Kontakt zum Kindsvater anzumelden.
B.e. Am 30. September 2013 traf die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ (im Folgenden: KESB U._) den folgenden Entscheid:
"1. Der Antrag von Frau A.A._ vom 26. August 2013 auf eine Weisungserteilung für die psychologische Begleitung von Herrn B.A._ wird abgewiesen.
2. Frau A.A._ wird gemäss <ref-law> die Weisung erteilt, ihre Kinder E.A._, geb. 2011 [recte: 2001] und F.A._, geb. 2005, für eine psychologische Begleitung bei Frau G._, im Zusammenhang mit der Beziehung zum Vater bzw. der Ausübung des Besuchsrechts anzumelden und darauf zu achten, dass diese Termine während eines Zeitraums von mindestens sechs Monaten eingehalten werden.
3. Frau A.A._ wird gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> angewiesen, bei ihren Kindern auf eine positive Einstellung gegenüber deren Vater hinzuwirken.
4. Das Besuchsrecht für F.A._ wird auf ein Wochenende pro Monat erweitert; die Termine finden zeitgleich wie der Begleitete Besuchstreff (W._) statt. Der Vater holt F.A._ jeweils am Freitagmittag, um 11.40 Uhr in der Schule X._, ab und bringt ihn am Sonntag, um 16.30 Uhr, in den W._ zurück."
C.
A.A._ focht den Entscheid der KESB U._ beim Obergericht des Kantons Bern an. Sie verlangte die Aufhebung der Ziff. 1-3 des Entscheids der KESB U._. Bezüglich Ziff. 4 sei anzuordnen, dass der Vater den Sohn F.A._ jeweils am Freitagmittag um 12.00 Uhr an ihrem Domizil abhole.
D.
Am 24. März 2014 entschied das Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit sie auf die Weisung an den Vater zielte, sich psychologisch begleiten zu lassen. Einen Nichteintretensentscheid fällte das Obergericht auch hinsichtlich der angeordneten psychologischen Begleitung von F.A._ (Ziff. 1). Soweit die Beschwerde die angeordnete psychologische Begleitung von E.A._ und die Anweisung an die Mutter betreffend Förderung einer positiven Einstellung gegenüber dem Vater zum Gegenstand hatte, wies das Obergericht die Beschwerde ab (Ziff. 2). Der Übergabeort für F.A._ wurde bestätigt und die Beiständin wurde mit der Überwachung und allfälliger Modifizierung der Übergabemodalitäten beauftragt (Ziff. 3).
E.
Mit Beschwerde vom 15. Mai 2014 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, Ziff. 2 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern aufzuheben. Auf die Erteilung der Weisung an die Beschwerdeführerin, die Tochter E.A._ für eine psychologische Begleitung anzumelden, sei zu verzichten. Eventuell sei Ziff. 2 des Entscheids des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten beigezogen, auf die Einholung von Vernehmlassungen aber verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin wehrt sich gegen den Endentscheid eines oberen Gerichts, das als letzte kantonale Instanz die Weisung der KESB U._ bestätigt hat, ihre Tochter E.A._ für eine psychologische Begleitung im Zusammenhang mit dem Kontakt zum Vater anzumelden (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6, Art. 75 und 90 BGG). Als sorgerechtsberechtigte Mutter ist die Beschwerdeführerin durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und verfügt sie über ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Angelegenheit ist nicht vermögensrechtlicher Natur. Auf die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten.
1.2. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Unter Vorbehalt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte wendet das Bundesgericht das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft frei, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Was die Tatsachen angeht, die dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegen, ist das Bundesgericht an die vorinstanzlichen Feststellungen gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin kritisiert, dass E.A._ nicht zur Anordnung der psychologischen Begleitung angehört worden sei. Damit sei der rechtserhebliche Sachverhalt lückenhaft festgestellt worden.
Die Beschwerdeführerin erhebt mithin eine Sachverhaltsrüge, wofür das Rügeprinzip gilt (vorstehend E. 1.2). Sie führt indes nicht in rechtsgenüglicher Weise aus, welche Punkte von der Vorinstanz qualifiziert falsch festgestellt worden seien resp. was eine erneute Anhörung der Tochter konkret hätte ergeben sollen. Damit ist keine Willkür darzutun. Überdies übte die Beschwerdeführerin zwar bereits in ihrer Beschwerde an die Vorinstanz vom 30. Oktober 2013 Kritik an der Art und Weise, wie die KESB U._ den Sachverhalt ermittelt hatte; die unterlassene Kindesanhörung war dabei aber kein Thema. Die Beschwerdeführerin bringt auch nicht vor, dass die Vorinstanz entsprechende Ausführungen oder gar einen Antrag auf Kindesanhörung im Berufungsverfahren ignoriert hätte. Damit hat sie den Instanzenzug nicht ausgeschöpft (<ref-law>) und sie legt auch nicht dar, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt wären.
2.2. Soweit der Vorwurf der fehlenden Anhörung sinngemäss darauf zielt, der Vorinstanz vorzuwerfen, die fehlende Kindesanhörung nicht von Amtes wegen festgestellt zu haben, um anschliessend die persönliche Anhörung entweder nachzuholen oder die Sache zur weiteren Instruktion an die KESB U._ zurückzuweisen, übersieht die Beschwerdeführerin, dass sich <ref-law>, der die Anhörung des Kindes regelt, an die Kindesschutzbehörde richtet und damit im Grunde genommen nur für die erste Instanz gilt. Die betroffene Tochter wurde, wie die Beschwerdeführerin selbst ausführt, im Rahmen des Eheschutz- und Scheidungsverfahrens einmal von der Kinderschutzgruppe des Spitals H._ angehört, als sie achteinhalb Jahre alt gewesen sei, und einmal von den UPD V._ (vgl. auch Bst. B.a), als sie zehneinhalb gewesen sei.
Eine Befragung im Rahmen einer Begutachtung - wie vorliegend geschehen - ist zulässig, stehen gemäss Rechtsprechung doch die Anhörung des Kindes durch den Richter selbst und jene durch eine beauftragte Drittperson auf gleicher Stufe. Von wiederholten Anhörungen ist abzusehen, wo dies für das Kind eine unzumutbare Belastung bedeuten würde, was namentlich bei akuten Loyalitätskonflikten der Fall sein kann, und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären oder der erhoffte Nutzen in keinem vernünftigen Verhältnis zu der durch die erneute Befragung verursachten Belastung stünde (zu den Voraussetzungen ausführlich <ref-ruling> E. 4 S. 554 f. mit weiteren Hinweisen). Nach den erwähnten Anhörungen durch Fachpersonen fanden die Standpunkte der Tochter weiterhin Eingang in das Verfahren durch die Eingaben und Berichte ihrer Mutter, der Psychologin und der Beiständin. Es kann nicht erwartet werden, dass eine weitere Anhörung des Mädchens gänzlich neue Aspekte hervorgebracht hätte. Vielmehr hätte die Gefahr bestanden, dieses unnötig zusätzlich zu belasten. Vor diesem Hintergrund durfte die Vorinstanz von einer persönlichen Anhörung absehen.
3.
3.1. In der Sache hat sich die Vorinstanz die Auffassung der KESB U._ zu eigen gemacht, wonach die Anordnung einer psychologischen Begleitung von E.A._ nicht nur sinnvoll, sondern auch erforderlich und zumutbar sei. Die Trennungsgeschichte der Kindseltern sei weiterhin als intransparent zu bezeichnen und der von E.A._ gewünschte Kontaktabbruch mit dem Vater sei jedenfalls nicht ohne Weiteres mit den aktenkundigen Vorfällen erklärbar. Insbesondere falle auf, dass das negativ besetzte Bild, welches E.A._ von ihrem Vater habe, geradezu versteinert sei. Die psychologische Begleitung solle ihr die Chance geben, dass der Vater trotz des bestehenden Kontaktunterbruchs präsent bleibe und nicht je länger je mehr zu einem Konstrukt werde. Die Aufrechterhaltung einer minimalen Beziehung zum Vater dürfte trotz der gegenwärtigen Haltung des 12-jährigen Kindes nicht nur im Interesse des Vaters, sondern längerfristig auch in demjenigen des Kindes sein. Dafür sprächen auch die Feststellungen im Kinderzuteilungsgutachten der UPD V._ vom 13. Juli 2011, wonach der Kontakt zum Kindsvater als sehr unterstützenswert angesehen und bei E.A._ bei fehlender Förderung der sich entwickelnden eigenen Sicht für einen Vater von einer Entwicklungsgefährdung ausgegangen werde.
Soweit die Beschwerdeführerin vorbringe, der fehlende Kontakt habe sich nicht negativ auf die Entwicklung der Mädchen ausgewirkt, sei darauf hinzuweisen, dass ein Kontaktabbruch eine Verletzung des Rechts des Vaters auf persönlichen Verkehr darstelle, was nicht im Belieben der Kinder stehe, sondern wichtige Gründe erfordere. Da bei vorliegender Konstellation nicht ausgeschlossen werden könne, dass das negative Vaterbild von E.A._ stark von demjenigen der Mutter und der beiden älteren Schwestern geprägt werde, scheine die Anordnung einer psychologischen Begleitung, welche durch eine neutrale erwachsene Person ins Spiel gebracht werde und in deren Rahmen eine Aufarbeitung vergangener Vorfälle stattfinden könne, äusserst sinnvoll und, um einer Entwicklungsgefährdung zu begegnen, auch erforderlich. In Anbetracht, dass lediglich eine psychologische Begleitung und kein direkter Kontakt mit dem Kindsvater angeordnet werde, sei es E.A._ ausserdem zumutbar, dieser Anordnung auch gegen ihren gegenwärtigen Willen zu folgen.
3.2. Die Beschwerdeführerin vertritt die Meinung, dass es erschreckend sei, feststellen zu müssen, in welch geringem Masse im Rahmen aller in dieser Sache bisher geführten Verfahren den Aussagen insbesondere der beiden älteren Töchter der Beschwerdeführerin Rechnung getragen worden sei. Dies obwohl es offensichtlich sei, dass diese beiden Mädchen über einen längeren Zeitraum während des Zusammenlebens der Eltern und nach der Trennung jener im Rahmen der Ausübung des Besuchsrechts des Vaters von diesem in nicht mehr als harmlos zu bezeichnender Weise körperlich und sexuell missbraucht worden seien. Es scheine bis heute von den Behörden - und hierbei besonders stossend auch nicht von den Kindesschutzbehörden - als entwicklungsschädigend erachtet zu werden, wenn Mädchen von einem Vater in dieser inadäquaten Art und Weise behandelt würden, solange nicht ein manifester körperlicher Übergriff einer gewissen Intensität nachgewiesen sei.
Dass ein solches Verhalten eines Vaters, wie es der Kindsvater dieser Mädchen an den Tag gelegt habe, aber für die Entwicklung eines Mädchens, insbesondere in Bezug auf seine späteren Beziehungen zu Männern, fatal sei, dürfte einleuchten. Weshalb hier der Vater Schutz erhalten soll, um erneut Gelegenheit zu erlangen, sich in dieser Weise seinen Töchtern gegenüber zu verhalten, wovon auszugehen sei, solange Solches keine Sanktion erfahre, sei nicht einsehbar und geradezu erschütternd. Dass durch behördlich sanktionierte Banalisierung eines solchen väterlichen Verhaltens bei den betroffenen Töchtern noch grösserer Schaden angerichtet werde, scheine überhaupt nicht zu interessieren.
3.3.
3.3.1. Gemäss <ref-law> haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das unmündige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr. Dabei handelt es sich um ein gegenseitiges Pflichtrecht, wobei es in erster Linie dem Interesse des Kindes dient und oberste Richtschnur für seine Ausgestaltung das Kindeswohl ist, welches anhand der Umstände des konkreten Einzelfalles zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 3a/bb S. 232 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 406 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 212). Der aus <ref-law> fliessende Anspruch kann gestützt auf <ref-law> verweigert oder entzogen werden, wenn das Wohl des Kindes durch den persönlichen Verkehr gefährdet wird, wenn ihn der betreffende Elternteil pflichtwidrig ausgeübt hat, wenn sich dieser nicht ernsthaft um das Kind gekümmert hat oder wenn andere wichtige Gründe vorliegen. Eine Gefährdung des Wohls des Kindes im genannten Sinn liegt dann vor, wenn dessen ungestörte körperliche, seelische oder sittliche Entfaltung durch ein auch nur begrenztes Zusammensein mit dem nicht obhutsberechtigten Elternteil bedroht ist (BGE <ref-ruling> E. 3b S. 407; Urteile 5C.293/2005 vom 6. April 2006 E. 3; 5A_505/2013 vom 20. August 2013 E. 2.3).
3.3.2. Die Kindesschutzbehörde kann Eltern, Pflegeeltern oder das Kind ermahnen und ihnen Weisungen erteilen, wenn sich die Ausübung oder Nichtausübung des persönlichen Verkehrs für das Kind nachteilig auswirkt oder wenn eine Ermahnung oder eine Weisung aus anderen Gründen geboten ist (<ref-law>). Die Kindesschutzbehörde ist befugt, unter anderem auch eine Weisung zur Durchführung einer Therapie zu erlassen; die Kann-Vorschrift räumt dabei dem Richter und der Behörde einen grossen Ermessensspielraum ein (Urteil 5A_457/2009 vom 9. Dezember 2009 in: FamPra 2010, S. 474 mit Hinweisen). Das Bundesgericht überprüft die Ausübung richterlichen Ermessens durch die letzte kantonale Instanz mit Zurückhaltung; es schreitet nur dann ein, wenn grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung entwickelten Grundsätzen abgegangen wird, wenn Tatsachen berücksichtigt werden, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn umgekehrt Umstände ausser Betracht geblieben sind, die zwingend hätten beachtet werden müssen (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 2.1 S. 50 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 227 f.).
3.3.3. Vorliegend hat die KESB U._ im Entscheid vom 30. September 2013 eine Weisung gemäss <ref-law> erlassen, welche vom Obergericht im angefochtenen Entscheid geschützt wurde. So hat die Vorinstanz bloss über eine psychologische Begleitung von E.A._ entschieden, jedoch zum vorneherein nicht über ein Besuchsrecht.
Damit gehen die von der Beschwerdeführerin vorgetragenen Argumente an der Sache vorbei, richten sich diese doch grundsätzlich nicht gegen eine psychologische Betreuung der Tochter. Die Beschwerdeführerin begründet vielmehr, weshalb aus ihrer Sicht eine Wiederaufnahme des Kontakts zwischen der betroffenen Tochter und dem Vater nicht ins Auge gefasst werden dürfte. Eine Wiederaufnahme des Kontakts war, wie ausgeführt, indes nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids. Die psychologische Begleitung legt bestenfalls die Grundlage dafür, dass es später wieder einmal zu einem Vater-Tochter-Kontakt kommen könnte. Sich gegen die angeordnete Massnahme auszusprechen, käme nur dann in Frage, wenn eine solche spätere Kontaktaufnahme zum vorneherein als unmöglich oder unzumutbar erscheinen würde. Davon kann aufgrund des willkürfrei festgestellten Sachverhalts (vgl. E. 2) im vorliegenden Fall aber keine Rede sein. Den Kontaktabbruch mit Übergriffen des Vaters auf die beiden älteren Schwestern zu rechtfertigen, reicht als Begründung nicht aus. Mit einer Banalisierung dieser Übergriffe, die im Übrigen nicht Gegenstand dieses Verfahrens sind, durch die Vorinstanz oder durch eine andere Behörde hat dies nichts zu tun.
4.
Aufgrund des Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird damit grundsätzlich kostenpflichtig. Wegen der besonderen Umstände des Falls verzichtet das Bundesgericht darauf, Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der KESB U._ kommt als verfügende Behörde im Verfahren vor Bundesgericht keine Parteistellung zu; ihr ist auch keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>). Nachdem auf das Einholen von Vernehmlassungen verzichtet worden ist (s. Sachverhalt Bst. E), ist auch B.A._ keine Parteientschädigung geschuldet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, B.A._, dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, und der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann