Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdegegnerin) war im Jahr 2006 bei der X._ SA (Beschwerdeführerin) für die Leistungen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung versichert. Ausserdem verfügte die Beschwerdegegnerin bei der Beschwerdeführerin über eine Zusatzversicherung mit einer Kostendeckung (einschliesslich Unfalldeckung und abzüglich einer Franchise von Fr. 2'000.--) für Aufenthalte in der halbprivaten Abteilung aller öffentlichen und privaten Spitäler.
Nach einem Aufenthalt in einer Klinik trat die Beschwerdegegnerin am 8. November 2005 in eine Wohngruppe ein, eine Institution der B._. Dort stürzte sie am 17. Februar 2006 aus dem Fenster ihres Zimmers im dritten Stock und zog sich dabei multiple Frakturen zu. Vom 17. Februar bis 20. April 2006 war die Beschwerdegegnerin in der halbprivaten Abteilung des Spitals C._ hospitalisiert. Zur Weiterbehandlung trat sie anschliessend in die Klinik D._ über.
Am 21. Februar 2006 hatte das Spital C._ die Beschwerdeführerin um Kostengutsprache für die Behandlung der Beschwerdegegnerin ersucht, und am 6. März 2006 wurde der Beschwerdeführerin eine Unfallanzeige erstattet. Auf mehrmalige Anfrage der Beschwerdeführerin verfasste das Spital C._ am 6. April 2006 einen Bericht über die Befunde und Umstände des Sturzes. Am 13. April 2006 teilte die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin mit, dass sie die Behandlung im Spital C._ nur im Umfang der Kosten eines Aufenthalts in der allgemeinen Abteilung übernehme, da diese Behandlung gemäss dem Überweisungszeugnis an die Klinik D._ auf einen Suizidversuch zurückzuführen sei. Am 26. April 2006 erhob das Spital C._ im Namen der Beschwerdegegnerin Einwendungen gegenüber der Beschwerdeführerin. Diese hielt mit Schreiben vom 29. Juni 2006 an ihrem Entscheid betreffend Leistungsbeschränkung fest.
B. Am 19. September 2006 erhob die Beschwerdegegnerin Klage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und beantragte im Wesentlichen, die Beschwerdeführerin sei zu verpflichten, die Leistungen der Behandlung vom 17. Februar bis 20. April 2006 im Spital C._ gemäss Zusatzversicherung zu übernehmen. Mit Urteil vom 30. Mai 2008 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage gut und verpflichtete die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin Fr. 37'527.85 zu bezahlen, abzüglich der Franchise von Fr. 2'000.--, soweit dieser Abzug nicht bereits an anderer Stelle vorgenommen worden sei.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. Mai 2008 sei aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventualiter sei sie zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin maximal Fr. 7'105.60 zu bezahlen.
Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1. Das Verfahren wird in einer Amtssprache geführt, in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids (Art. 54 Abs. 1 BGG). Dieser ist in deutscher Sprache abgefasst. Es besteht kein Grund, von dieser Regel abzuweichen, auch wenn die Beschwerdeführerin die Beschwerde in französischer Sprache verfasst hat. Das Urteil wird daher auf Deutsch ausgefertigt.
2. 2.1 Streitig sind im vorliegenden Fall Leistungen aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 des Krankenversicherungsgesetzes (KVG; SR 832.10) dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f.).
2.2 Der angefochtene Entscheid wurde vom Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gefällt. Dieses entscheidet gemäss kantonalem Recht als einzige kantonale Instanz. Es nimmt zwar von der Einbettung in die zürcherische Gerichtsorganisation her die Stellung eines oberen Gerichts ein (<ref-ruling> E. 2.2.2.2 S. 444), fungiert aber vorliegend nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von Art. 75 Abs. 2 BGG. Da das Bundesrecht für Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen nicht eine einzige kantonale Instanz vorschreibt, muss die kantonale Ordnung gemäss Art. 130 Abs. 2 BGG zu gegebener Zeit angepasst werden (<ref-ruling> E. 2.2.2.2 S. 443 f.).
2.3 Der Streitwert übersteigt Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 BGG). Die rechtzeitig eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. b sowie Art. 45 Abs. 1 BGG) ist grundsätzlich zulässig. Unter Vorbehalt zulässiger Rügen (Art. 95 ff. BGG) sowie gehöriger Begründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) ist daher auf die Beschwerde einzutreten.
3. 3.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
3.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substanziiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss Art. 105 Abs. 2 BGG gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden. Der Beschwerdeführer kann sich dabei nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f., 393 E. 7.1 S. 398).
4. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, indem sie die Beweislast nach Art. 8 ZGB falsch verteilt habe.
4.1 Gemäss Art. 8 ZGB hat, wo es das Gesetz nicht anders bestimmt, derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableitet. Demgemäss hat die Partei, die einen Anspruch geltend macht, die rechtsbegründenden Tatsachen zu beweisen, während die Beweislast für die rechtsaufhebenden bzw. -hindernden Tatsachen bei der Partei liegt, die den Untergang des Anspruchs behauptet oder dessen Entstehung oder Durchsetzbarkeit bestreitet. Diese Grundregel kann durch abweichende gesetzliche Beweislastvorschriften verdrängt werden und ist im Einzelfall zu konkretisieren (<ref-ruling> E. 2a/aa S. 273 mit Hinweisen). Sie gilt auch im Bereich des Versicherungsvertrags (<ref-ruling> E. 3.1 S. 323).
Nach der erwähnten Grundregel hat der Anspruchsberechtigte - in der Regel der Versicherungsnehmer, der versicherte Dritte oder der Begünstigte - die Tatsachen zur "Begründung des Versicherungsanspruches" (Marginalie zu Art. 39 VVG) zu beweisen, also namentlich das Bestehen eines Versicherungsvertrags und den Eintritt des Versicherungsfalls; ebenso hat er den Umfang des Anspruchs darzutun. Den Versicherer trifft die Beweislast für Tatsachen, die den Versicherungsvertrag gegenüber dem Anspruchsberechtigten unverbindlich machen (z.B. infolge betrügerischer Begründung des Versicherungsanspruchs nach Art. 40 VVG) oder die ihn zu einer Kürzung oder Verweigerung der vertraglichen Leistung berechtigen (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.1 S. 323). Dies ist nach Art. 14 VVG der Fall bei schuldhafter Herbeiführung des Versicherungsfalls ("des befürchteten Ereignisses") durch den Versicherungsnehmer. Kann diesem absichtliches Handeln vorgeworfen werden, haftet der Versicherer nicht (Abs. 1); bei grobfahrlässiger Herbeiführung des Versicherungsfalls durch den Versicherungsnehmer ist der Versicherer berechtigt, seine Leistung in einem dem Grade des Verschuldens entsprechenden Verhältnisse zu kürzen (Abs. 2).
4.2 Die Vorinstanz erwog, dass eine Leistungsverweigerung durch den Versicherer ein absichtliches Handeln der Beschwerdegegnerin voraussetze und zwar sowohl gemäss Art. 14 Abs. 1 VVG als auch nach Art. 21 lit. e der allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) der Beschwerdeführerin, wonach Kosten als Folge einer absichtlich herbeigeführten Selbstverstümmelung oder eines Selbsttötungsversuchs von der Deckung ausgeschlossen sind. Gewisse Hinweise könnten zwar dafür sprechen, dass die Beschwerdegegnerin mit dem Sprung den Tod oder die Verletzung willentlich angestrebt habe, aber aufgrund anderer Hinweise erachtete die Vorinstanz dies nicht als überwiegend wahrscheinlich, sondern nur mit dem Beweisgrad der Möglichkeit als erwiesen. Da die Beweislast für die anspruchshindernden Tatsachen bei der Beschwerdeführerin liege, könne sie die Leistungen für die strittigen Zusatzkosten nicht unter Berufung auf Art. 14 Abs. 1 VVG und Art. 21 lit. e ihrer AVB verweigern.
4.3 Die Beschwerdeführerin anerkennt, dass der Versicherer die Beweislast zu tragen hat für Tatsachen, die ihn zu einer Verweigerung der vertraglichen Leistung nach Art. 14 Abs. 1 VVG berechtigen, führt aber aus, dass diese Bestimmung dispositiver Natur sei. Art. 3 lit. d ihrer AVB definiere einen Unfall als plötzliche, nicht beabsichtigte schädigende Einwirkung eines ungewöhnlichen äusseren Faktors auf den menschlichen Körper, die eine Beeinträchtigung der körperlichen und geistigen Gesundheit zur Folge habe. Da die Unfreiwilligkeit somit Merkmal des Unfallbegriffs bilde, habe die Versicherte neben dem schädigenden Ereignis auch dessen Unfreiwilligkeit zu beweisen. Indem die Vorinstanz der Beschwerdeführerin die Beweislast für die Unfreiwilligkeit des Ereignisses auferlegt habe, sei Art. 8 ZGB verletzt.
4.4 Die von der Beschwerdegegnerin bei der Beschwerdeführerin abgeschlossene Zusatzversicherung deckt die Kosten für krankheits- und unfallbedingte Behandlungen in der halbprivaten Abteilung von allen öffentlichen oder privaten Spitälern. Indem die Beschwerdeführerin aus der Definition des Unfallbegriffs in ihren AVB eine Beweislastumkehr ableiten will, verkennt sie, dass das versicherte Risiko vorliegend nicht - wie in dem von ihr angeführten BGE 51 II 83 - ein Unfall ist. Gemäss der Zusatzversicherung sind vielmehr die Kosten gedeckt, die aufgrund eines Aufenthalts in einer halbprivaten Abteilung eines Spitals entstehen und zwar unabhängig davon, ob es sich um eine unfall- oder krankheitsbedingte Behandlung handelt; die Leistung ist in beiden Fällen identisch. Demnach ist es unerheblich, ob die Kosten aufgrund einer Krankheit oder eines Unfalls entstanden sind. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin sind demnach nicht stichhaltig.
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt hat, indem sie die Beweislast für den Ausschlussgrund der Leistungspflicht der Beschwerdeführerin auferlegt hat. Die Beschwerdeführerin macht zu Recht nicht geltend, dass die Vorinstanz das Beweismass falsch bestimmt habe.
4.5 Soweit die Beschwerdeführerin ausführt, die medizinischen Gutachten, die Umstände des Sturzes sowie die Feststellungen der Vorinstanz liessen auf eine absichtliche Handlung der Beschwerdegegnerin schliessen, übt sie blosse Kritik an der Beweiswürdigung durch die Vorinstanz, ohne damit eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts (Art. 97 Abs. 1 BGG) darzutun. Auf die Beschwerde ist daher insoweit nicht einzutreten.
5. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Grundsatzes der Rechtsanwendung von Amtes wegen ("iura novit curia"). Die Vorinstanz habe nicht geprüft, ob Art. 14 Abs. 2 VVG anwendbar sei, mit dem Argument, eine Leistungsreduktion wegen Grobfahrlässigkeit einschliesslich Eventualvorsatzes sei von beiden Parteien nicht zur Sprache gebracht worden. Die Anwendbarkeit von Art. 14 Abs. 2 VVG sei jedoch eine reine Rechtsfrage, welche die Vorinstanz aufgrund des von ihr festgestellten Sachverhalts hätte klären können und müssen.
5.1 Sowohl der kantonale Richter als auch das Bundesgericht sind verpflichtet, die Rechtswirkungen des prozessual gültig vorgetragenen und festgestellten Sachverhalts im Rahmen der prozesskonform gestellten Anträge von Amtes wegen zu beurteilen, ohne an die Auffassungen der Parteien gebunden zu sein (<ref-ruling> E. 3.4 S. 212; <ref-ruling> E. 3 S. 85). Das kantonale Gericht verletzt Bundesrecht, wenn es sich in einem Prozess über Ansprüche aus dem Bundeszivilrecht mit prozessual ordnungsgemäss aufgestellten Rechtsbehauptungen der Parteien nicht auseinandersetzt (<ref-ruling> E. 8 S. 266).
5.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe festgestellt, dass der Sturz kein Missgeschick, sondern eine aktive Handlung der Beschwerdegegnerin gewesen sei, die so gehandelt habe, um die Aufmerksamkeit von Dritten auf sich zu ziehen sowie um Hilfe zu erhalten. Diese behaupteten tatsächlichen Grundlagen gehen aus dem angefochtenen Entscheid nicht hervor. So führte die Vorinstanz lediglich aus, der Umstand, dass sich die Beschwerdegegnerin kurz vor dem Sturz aus eigenem Antrieb auf den Boden geworfen habe, deute darauf hin, dass der Sturz auf einen Sprung, mithin eine aktive Handlung der Beschwerdegegnerin zurückzuführen sei. Die Vorinstanz erwog sodann, dass der Entschluss zum Sprung aus dem Fenster vom Motiv, Aufmerksamkeit zu erhalten, gelenkt gewesen sein könnte, erachtete dies aber in der Folge nicht als überwiegend wahrscheinlich. Die Vorinstanz hat somit keine tatsächlichen Feststellungen getroffen, die auf eine grobfahrlässige Herbeiführung des Ereignisses durch die Beschwerdegegnerin schliessen lassen könnten.
Dasselbe gilt für das Vorbringen der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe selber eventualvorsätzliches Handeln der Beschwerdegegnerin in Erwägung gezogen. Die Vorinstanz führte bei der Prüfung, ob die Beschwerdegegnerin das befürchtete Ereignis absichtlich herbeigeführt habe, im Sinne einer Eventualbegründung aus, dass - selbst wenn die Beschwerdegegnerin aufgrund des Gefährdungspotentials ihrer Handlung mit Verletzungen habe rechnen müssen und diese auch in Kauf genommen habe - erst Eventualvorsatz nachgewiesen sei. Dass die Beschwerdegegnerin aber tatsächlich mit Verletzungen rechnen musste und diese in Kauf genommen hat, stellte die Vorinstanz damit nicht fest. Vielmehr entkräftete die Vorinstanz einen allfälligen Eventualvorsatz der Beschwerdegegnerin sogleich mit der Erwägung, dass gemäss Berichten der Klinik die Beschwerdegegnerin aber auch erfahren habe, dass sie durch die provozierten Stürze die angeforderte Aufmerksamkeit erhalten habe, ohne verletzt zu sein.
5.3 Da die Beschwerdeführerin ihrer Rüge einen von der Vorinstanz nicht festgestellten Sachverhalt zugrunde legt und nicht geltend macht, der Sachverhalt sei insoweit bundesrechtswidrig festgestellt worden, ist die Rüge der Verletzung des Grundsatzes "iura novit curia" unbegründet. Die als erwiesen erachteten Umstände des Sturzes sind nicht ausreichend, um auf eine grobfahrlässige bzw. eventualvorsätzliche Herbeiführung der Schädigung sowie einen entsprechenden Kürzungsgrund zu schliessen. Folglich war die Vorinstanz auch nicht veranlasst, die Voraussetzungen von Art. 14 Abs. 2 VVG zu prüfen.
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in Zivilsachen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Corboz Feldmann