Sachverhalt:
Mit Entscheid vom 12. August 2013 hat das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, eine Beschwerde des W._ gegen den Beschluss des Bezirksrats Zürich vom 30. Mai 2013 betreffend Rückerstattung von zu Unrecht bezogenen Unterstützungsleistungen (Krankheitskosten) im Betrag von Fr. 1513.20 abgewiesen.
W._ führt mit Eingabe vom 21. August 2013 (Poststempel) Beschwerde an das Bundesgericht, indem er die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides beantragt. - Nach einer Verfügung des Bundesgerichts vom 22. August 2013 betreffend Gültigkeitsanforderungen an Beschwerden und fehlende Beilage (vorinstanzlicher Entscheid) hat W._ dem Gericht am 11. September 2013 (Poststempel) eine erneute Beschwerdeeinschliesslich Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zugestellt sowie den angefochtenen Entscheid nachgereicht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 6 Ingress S. 320; <ref-ruling> E. 1.1 S. 3 mit Hinweisen). Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern in einer den gesetzlichen Anforderungen genügenden Weise geltend gemacht werden (Art. 42 ff. BGG; <ref-ruling> E. 4.1 S. 235; vgl. auch nachstehende E. 2.1 mit Hinweisen).
2.
Es ist unbestritten und steht nach den Akten fest, dass dem Beschwerdeführer Unterstützungsleistungen (Krankheitskosten) im Betrag von Fr. 1513.20 zufolge irrtümlicher Zahlung doppelt ausgerichtet wurden - und zwar unabhängig davon, von wem die Rechnungen eingereicht wurden - und dass insoweit ein ungerechtfertigter Leistungsbezug besteht. Der Beschwerdeführer macht indessen geltend, mit dem fraglichen Betrag Rechnungen der Krankenkasse sowie Wohnungsmiete bezahlt zu haben und deshalb nicht mehr bereichert zu sein (vgl. Art. 64 OR).
2.1 Diesbezüglich ist auf die Gültigkeitserfordernisse von Beschwerden - welche nach Art. 42 Abs. 2 BGG u.a. eine Begründung zu enthalten haben, bei der in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 95 f. BGG) - sowie auf die für die Anfechtung von in Anwendung kantonalen Rechts ergangenen Entscheiden geltende qualifizierte Rügepflicht hinzuweisen (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176, 136 I 65 E. 1.3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 1 S. 95; <ref-ruling> E. 1.4.2 f. S. 254 ff.; vgl. auch <ref-ruling> ff.), welche auch in Fällen wie dem vorliegenden gilt, in denen die Normen des OR kraft Verweises als subsidiäres öffentliches Recht des Kantons zur Anwendung gelangen (Urteile 8C_478/2012 vom 16. Juli 2012, 8C_247/2010 vom 25. Juni 2010 und 1C_68/2007 vom 14. September 2007 E. 2.3 mit zahlreichen Hinweisen). Das bedeutet, dass die Beschwerdeschrift die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung unter anderem darüber enthalten muss, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind; das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, wogegen es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 und 130 I 258 E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen).
Diesen Gültigkeitserfordernissen vermögen die beschwerdeführerischen Eingaben klarerweise nicht zu genügen. Insbesondere legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, bzw. welche verfassungsmässigen Rechte resp. Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein sollten. Hieran vermögen auch die in appellatorischer Weise vorgetragenen Ausführungen nichts zu ändern. Damit kann auf die Beschwerde hinsichtlich der materiellen Frage der Rückerstattungsforderung bezüglich der beim Beschwerdeführer nicht mehr gegebenen Bereicherung nicht eingetreten werden.
2.2 Soweit der Beschwerdeführer die (vorinstanzliche) "Behauptung" bestreitet, er habe die "fraglichen Rechnungen" "zweimal eingereicht", weshalb er an Stelle des kantonalen Entscheides ein "einwandfrei begründetes Urteil" verlange, ist folgendes festzuhalten: Nach Art. 105 Abs. 1 BGG ist das Bundesgericht an den von der letzten kantonalen Instanz festgestellten Sachverhalt gebunden; diesbezüglich kann einzig eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung oder die Verletzung eines anderen verfassungsmässigen Rechts geltend gemacht werden, wobei der betreffende Mangel überdies für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein muss (Art. 97 Abs. 1 BGG) und für all diese Elemente das strenge Rügeprinzip gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG gilt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 256). Auch insoweit liegt - wie in E. 2.1 hievor für die Frage der Rückerstattungspflicht als solche bereits dargelegt - offensichtlich keine rechtsgenügliche Beschwerde vor, woran auch die in bloss pauschaler Weise geltend gemachte "willkürliche Sachverhaltserfassung" des vorinstanzlichen Urteils nichts ändert: Diesbezüglich beschränkt sich der Beschwerdeführer ebenfalls auf rein appellatorische Ausführungen, ohne in substanziierter Weise die Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts geltend zu machen, wie das erforderlich wäre, damit die betreffenden Vorbringen überprüft werden könnten. Auf die Ausführungen zur vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung kann mithin ebenfalls nicht eingetreten werden (vgl. auch vorstehende E. 1 und 2.1), womit es bei den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der letzten kantonalen Instanz sein Bewenden haben muss (Art. 105 Abs. 1 BGG).
Insoweit zum gleichen Ergebnis führen auch folgende Überlegungen bezüglich des vom Beschwerdeführer verlangten "einwandfrei begründeten Urteils": Nach der Rechtsprechung ist grundsätzlich nur das Dispositiv, nicht aber die Begründung eines Entscheids selbstständig anfechtbar (<ref-ruling> E. 1a S. 237 mit Hinweis, 110 V 48 E. 3c S. 52 in fine, 102 V 92 E. 1), es sei denn, die Erwägungen würden an der Rechtskraft des Dispositivs infolge Verweises teilnehmen (<ref-ruling> E. 4a S. 477 f. mit Hinweisen; Heimgartner/Wiprächtiger, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 18 zu Art. 61 BGG; Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 9 zu Art. 61 BGG). Letzteres ist vorliegend nicht der Fall, weshalb es dem Beschwerdeführer - soweit er dem Sinne nach die selbstständige Feststellung der Unrichtigkeit der entsprechenden Begründung geltend machen sollte - an der Eintretensvoraussetzung des schutzwürdigen Interesses (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG) fehlt. Dies gilt umso mehr, als dem Beschwerdeführer - entgegen seinen im Verfahren vor dem Bezirksrat erhobenen Einwendungen - in keiner Weise vorgeworfen wird, "Belege...verleumderisch (mit) kriminellem Vorgehen" eingereicht zu haben. Vorliegend geht es denn auch einzig um das Vorliegen eines ungerechtfertigten Leistungsbezuges, wogegen die Frage eines allfälligen Verschuldens bzw. einer allenfalls vorwerfbaren Verhaltensweise an der erfolgten Auszahlung unerheblich ist.
3.
Demzufolge hat der Beschwerdeführer - trotz Nachreichung des vorinstanzlichen Entscheids gemäss Verfügung des Bundesgerichts vom 22. August 2013 - kein gültiges Rechtsmittel erhoben, weshalb auf die - offensichtlich unzulässige - Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht eingetreten werden kann. Von der Erhebung von Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzusehen (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG), womit sich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der unentgeltlichen Prozessführung als gegenstandslos erweist.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Oktober 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Batz