Faits:
A.
Dans le cadre d'une procédure matrimoniale opposant les conjoints A.X._ et B.X._, parents de trois enfants mineurs, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine a chargé le Dr Y._, médecin psychiatre à Fribourg, d'expertiser l'épouse. Ce dernier a rendu son rapport le 7 novembre 2011.
B.
Le 16 mai 2012, A.X._ a saisi la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et patientes de l'Etat de Fribourg (ci-après: la Commission de surveillance) d'une plainte dirigée contre le Dr Y._, reprochant en substance à ce dernier de ne pas avoir respecté les règles de l'art ni fait preuve de la diligence requise dans l'établissement de son rapport d'expertise, ce qui l'aurait conduit à fournir des réponses erronées, et cela notamment au péril du développement des relations que A.X._ souhaitait entretenir avec ses enfants dont il n'avait pas la garde.
Par décision du 29 mai 2012, la Commission de surveillance a retenu que A.X._ n'avait pas la qualité de partie dans le contexte d'une procédure de dénonciation au sens de la législation cantonale sur la santé, au motif qu'il n'était pas le patient du professionnel de la santé mis en cause, et l'a informé qu'aucune suite ne serait donnée à sa dénonciation; dans une décision séparée adressée au psychiatre, elle a exposé les raisons pour lesquelles elle n'entrait pas en matière sur la dénonciation. Le 23 juillet 2012, A.X._ s'est à nouveau adressé à la Commission de surveillance, qui, traitant son écriture comme un recours contre sa décision du 29 mai 2012, l'a transmise à la III e Cour administrative du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 3 mai 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours formé par A.X._ et confirmé la décision du 29 mai 2012.
C.
A.X._ conteste l'arrêt du 3 mai 2013 devant le Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à son annulation, à ce que lui-même soit considéré comme patient du Dr Y._ et acquière la qualité de partie dans la procédure engagée contre cet expert, et à ce que la question de l'applicabilité de la loi cantonale sur la protection des données soit tranchée sur le fond par le Tribunal fédéral. Le Tribunal cantonal et la Commission de surveillance n'ont pas formulé d'observations. A.X._ a maintenu ses conclusions dans un mémoire du 16 août 2013, dans lequel il a en outre requis la récusation de différents membres des autorités cantonales concernées.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 417; <ref-ruling> consid. 1 p. 472).
1.1. Le recourant n'a pas qualifié son recours auprès du Tribunal fédéral. Toutefois, cette imprécision ne saurait lui nuire si son écriture remplit les exigences de la voie de droit en principe ouverte (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 491; arrêt 2C_84/2012 du 15 décembre 2012 consid. 1.1).
1.2. Le présent litige porte sur le seul point de savoir si c'est à tort que la qualité de partie du recourant a été niée par les instances cantonales précédentes. Dans une procédure administrative, l'auteur d'un recours déclaré irrecevable pour défaut de qualité pour agir est habilité à contester l'arrêt d'irrecevabilité par un recours en matière de droit public lorsque l'arrêt au fond de l'autorité intimée aurait pu être déféré au Tribunal fédéral par cette voie (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 149; arrêt 2C_642/2011 du 20 février 2012 consid. 1, non publié in <ref-ruling>).
En l'occurrence, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>) ne tombant pas sous le coup des exceptions de l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte.
Déposé en temps utile (art. 45 et 100 al. 1 LTF) par le destinataire de l'acte attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, de sorte qu'il faut lui reconnaître la qualité pour recourir (<ref-law>), le présent recours, traité en tant que recours en matière de droit public, est en principe admissible, sous réserve des précisions qui suivent.
1.3. On peut se demander si le recours, tel qu'il est motivé, remplit les exigences de recevabilité prévues par la LTF. En effet, selon l'<ref-law>, les motifs doivent notamment exposer succinctement et de façon compréhensible en quoi l'acte attaqué viole le droit. Le mémoire doit donc s'en tenir à l'essentiel, ne pas être inutilement long et présenter une certaine cohérence quant à son argumentation (cf. arrêt 4A_709/2011 du 31 mai 2012 consid. 1.2). En l'occurrence, le recourant a déposé un recours de septante-quatre pages auprès du Tribunal fédéral (complété le 16 août 2013 par des observations de vingt pages), alors que la problématique juridique, qui se limite à la qualité pour agir de l'intéressé dans la procédure de dénonciation contre l'expert désigné par la justice civile cantonale, ne pose guère de difficultés et que l'arrêt attaqué ne fait que six pages. Par ailleurs, le mémoire se perd par endroits dans des explications et analogies obscures et se réfère aussi à des procédures qui sont étrangères au présent litige. Une telle écriture est partant prolixe et rédigée de façon peu cohérente, à la limite de l'inintelligible. Elle aurait pu être renvoyée à son auteur pour qu'il remédie à l'irrégularité (cf. <ref-law>). Compte tenu de l'issue évidente du litige, la Cour de céans a cependant choisi d'entrer en matière (arrêt 2C_285/2013 du 23 avril 2013 consid. 1.1).
1.4. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral. Toute conclusion nouvelle est irrecevable (cf. <ref-law>). En tant qu'elle ne ressortirait pas déjà du dossier cantonal, la pièce que le recourant a jointe à ses observations du 16 août 2013 est donc irrecevable. Sont en outre irrecevables (et échappent de plus à l'objet du présent litige) les conclusions que le recourant a prises dans ses observations au sujet de la récusation de différents membres d'autorités cantonales.
1.5. Le litige portant sur l'irrecevabilité, le recourant ne peut prendre de conclusions sur le fond (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 47 s.; arrêt 2C_45/2011 du 3 octobre 2011 consid. 1.3, non publié in <ref-ruling>). Dans la mesure où le recourant y procède, ces conclusions sont donc irrecevables. Il en va de même des griefs relatifs au fond qui dépassent l'objet de la présente procédure. En particulier, en tant que les griefs et les conclusions du recourant ont trait aux nombreux manquements que ce dernier impute à l'expert psychiatre, au statut dudit expert (autorisation de pratiquer; prétendue usurpation du rôle du juge), voire à l'appréciation que la justice fribourgeoise a faite ou fera encore du rapport d'expertise du 7 novembre 2011 dans le cadre des procédures dont elle a été ou est actuellement saisie, ils sont irrecevables. De même, le litige familial opposant le recourant à son épouse, le contenu et l'appréciation des anamnèses et diagnostics établis au sujet de cette dernière et des enfants communs, ainsi que la question du respect des droits de la personnalité du recourant et des règles sur la protection et le traitement des données sur la santé des patients ne font pas non plus l'objet de la présente procédure.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique d'office le droit fédéral (<ref-law>). Toutefois, à moins que la décision attaquée ne contienne des vices juridiques manifestes, il s'en tient aux arguments juridiques soulevés dans le recours (cf. art. 42 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105). Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), l'on ne peut en revanche invoquer la violation du droit cantonal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (<ref-law> e contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 314; arrêt 2C_990/2012 du 7 mai 2013 consid. 3.1).
2.2. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergeant de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 104; arrêt 2C_197/2013 du 31 juillet 2013 consid. 2). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 3 p. 104).
3.
Le recourant reproche pêle-mêle au Tribunal cantonal, en particulier, d'avoir abusé de son pouvoir d'appréciation et enfreint ses droits d'être entendu et à un procès équitable devant un tribunal impartial et indépendant, d'être tombé dans l'arbitraire et le formalisme excessif, d'avoir violé les principes de l'égalité de traitement et de la bonne foi ainsi qu'omis de considérer différents faits reprochés à l'expert psychiatre (en particulier l'omission alléguée d'annoncer sa pratique médicale à titre d'indépendant), en confirmant le défaut de qualité de partie dans la procédure de dénonciation contre cet expert. Il estime de plus que l'arrêt querellé serait constitutif d'un déni de justice formel, dans la mesure où il l'aurait renvoyé à agir devant d'autres autorités pour se plaindre de la violation de ses droits de la personnalité. En outre, l'arrêt aurait été rendu dans un délai déraisonnable, faisant douter de l'impartialité objective des juges cantonaux.
3.1. Sont irrecevables les griefs que le recourant tire du déni de justice formel en relation avec ses droits de la personnalité et de la protection des données du patient, ainsi que du droit d'être entendu en relation avec la prise en compte des faits reprochés au psychiatre. En effet, ces arguments sont intrinsèquement liés à des questions qui sont exorbitantes au présent litige concernant la qualité de partie (cf. consid. 1.5 supra).
3.2. En tant que le recourant reproche au Tribunal cantonal de ne pas avoir reconnu sa qualité de partie dans la procédure de dénonciation, ses griefs portent de façon prépondérante, dans la mesure où ils sont formulés de manière compréhensible (consid. 1.3 supra) et satisfont au devoir de motivation accrue en matière de droits fondamentaux (<ref-law>), sur l'application excessivement formaliste ou arbitraire du droit cantonal définissant la notion de patient et la qualité de partie dans le cadre de la loi fribourgeoise du 16 novembre 1999 sur la santé (LSan/FR; RS/FR 821.0.1). Ces griefs seront abordés subséquemment (consid. 4 infra).
3.3. Dans la mesure où son raisonnement peut être compris, le recourant se plaint de ce que, en ne lui donnant pas l'occasion de se déterminer quant au défaut de la qualité de partie et de patient retenu, le Tribunal cantonal aurait violé son droit d'être entendu.
3.3.1. Le droit d'être entendu, qui est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 282). Le droit d'être entendu se rapporte en principe à la constatation des faits. A titre exceptionnel, il convient d'interpeller les parties lorsque le juge s'apprête à fonder sa décision sur une norme ou un principe juridique non évoqué dans la procédure antérieure et dont aucune des parties en présence ne s'est prévalue et ne pouvait supputer la pertinence in casu (<ref-ruling> consid. 5 p. 39 s.; arrêt 2C_839/2010 du 25 février 2011 consid. 5.2). En outre, les garanties minimales en matière de droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. ne comprennent en principe pas le droit d'être entendu oralement (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 148; arrêt 2C_300/2013 du 21 juin 2013 consid. 3.1).
3.3.2. La question de la qualité de partie relève du droit et non de l'établissement des faits. Contrairement à la position que semble défendre le recourant, ce point n'a pas été abordé pour la première fois ou de façon inattendue devant le Tribunal cantonal, mais se trouvait à la base même de la décision d'irrecevabilité que la Commission de surveillance avait rendue le 29 mai 2012. L'intéressé ne s'y est d'ailleurs pas trompé, dès lors que, tant dans son écriture du 23 juillet 2012 à l'attention de la Commission de surveillance que dans son recours corrigé du 14 septembre 2012 auprès du Tribunal cantonal, il avait consacré de nombreux paragraphes à sa qualité de patient et de partie dans la procédure de dénonciation. Le recourant a partant eu tout loisir de contester la position adoptée par la Commission de surveillance dans ses écritures devant le Tribunal cantonal; de surcroît, il n'a avancé aucun élément qui eût fondé une quelconque obligation de la part des précédents juges de l'entendre oralement. Son grief est ainsi écarté.
3.4. Il reste à examiner le reproche selon lequel les précédents juges auraient tardé indûment avant de rendre l'arrêt querellé dans ce litige "d'apparence simplissime", aux fins de "rallonger la procédure" (recours, p. 9).
3.4.1. L'art. 29 al. 1 Cst. garantit notamment à toute personne, dans une procédure judiciaire ou administrative, le droit à ce que sa cause soit traitée dans un délai raisonnable. Viole la garantie ainsi accordée, l'autorité qui ne rend pas une décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans le délai que la nature de l'affaire et les circonstances font apparaître comme raisonnable. Le caractère raisonnable du délai s'apprécie selon les circonstances particulières de la cause, eu égard notamment à la complexité de l'affaire, au comportement du requérant et à celui des autorités compétentes, ainsi qu'à l'enjeu du litige pour l'intéressé (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 277; arrêt 2C_455/2011 du 5 avril 2012 consid. 4.6).
Selon le principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 Cst.), qui préside aux relations entre organes de l'Etat et particuliers, le justiciable ne peut se plaindre des lenteurs de la procédure s'il n'est pas intervenu auprès de l'autorité concernée pour s'inquiéter de son avancement. Il serait en effet contraire à ce principe qu'un justiciable puisse valablement soulever ce grief devant l'autorité de recours, alors qu'il n'a entrepris aucune démarche auprès de l'autorité précédente afin de remédier à cette situation (cf. arrêt 2C_979/2011 du 12 juin 2012 consid. 2.2.2, RDAF 2012 II 472; <ref-ruling> consid. 2b/aa p. 375 s.).
3.4.2. En l'occurrence, il n'apparaît pas, et son mémoire déposé auprès du Tribunal fédéral ne l'allègue d'ailleurs point (cf. <ref-law>), que le recourant se serait expressément plaint auprès du Tribunal cantonal du temps pris pour statuer dans sa cause. Il est partant douteux que l'intéressé puisse de bonne foi soulever ce grief devant la Cour de céans.
Quoi qu'il en soit, son grief doit être déclaré mal fondé. Il résulte en effet du dossier qu'à la suite de la décision de la Commission de surveillance du 29 mai 2012 lui déniant la qualité de partie, le recourant a, le 23 juillet 2012, adressé une nouvelle "plainte" de trente-quatre pages, à laquelle était joint un bordereau de septante-neuf pièces numérotées, à cette autorité. Traitant cette plainte comme un recours contre la décision du 29 mai 2012, cette dernière instance lui a annoncé par courrier du 31 juillet 2012 qu'elle transmettait la cause au Tribunal cantonal. Le 27 août 2012, le juge délégué du Tribunal cantonal a accusé réception de l'écriture du recourant du 23 juillet 2012, en lui impartissant un délai pour remédier aux carences constatées dans cette écriture. Par lettre du 30 août 2012, le même juge délégué a pris note de la missive du recourant du 27 août 2012, par laquelle ce dernier confirmait recourir contre la décision du 29 mai 2012, et lui a imparti un délai au 1 er octobre 2012 pour s'acquitter d'une avance de frais. A la demande du recourant, le Tribunal cantonal a prolongé au 15 septembre 2012 le délai imparti pour compléter son recours du 23 juillet 2012, ce à quoi l'intéressé a procédé par l'envoi d'un mémoire de recours de trente-quatre pages au Tribunal cantonal, reçu par ce dernier le 18 septembre 2012. L'avance de frais requise par le Tribunal cantonal ne lui étant parvenue que le 3 octobre 2012, ce dernier a invité le recourant à prouver qu'il s'en était acquitté en temps utile, ce que le recourant a fait par courrier du 13 octobre 2012, reçu le 16 octobre 2012. Par la suite, le Tribunal cantonal a, par courrier du 23 octobre 2012, imparti un délai de trente jours à la Commission de surveillance pour qu'elle se détermine sur le recours, ce que celle-ci a fait le 6 novembre 2012. Par courrier du 13 avril 2013 auquel étaient jointes des annexes, le recourant a saisi le Tribunal cantonal d'une requête en mesures provisionnelles en vue de la production de moyens de preuve relatifs au respect du secret médical par l'expert psychiatre. Les juges cantonaux ont rendu l'arrêt ici querellé le 3 mai 2013.
En pareilles circonstances, on ne voit pas que l'on puisse, globalement, reprocher aux précédents juges de ne pas avoir statué dans un délai raisonnable. Il ne faut en effet pas perdre de vue que la durée de la première phase de la procédure de recours (du 23 juillet au 16 octobre 2012) est presque entièrement imputable au recourant, dont le mémoire déjà volumineux devant la Commission de surveillance a dû être transmis à la juridiction cantonale et adapté par le recourant en conformité avec les exigences légales. En outre, le paiement de l'avance n'a été effectué qu'à la dernière date impartie, de sorte à nécessiter la vérification qu'il soit intervenu dans les délais. S'ajoute à cela que le recours cantonal contenait une multitude de griefs dont le traitement par le Tribunal cantonal, indépendamment de leur pertinence, pouvait s'avérer chronophage. Le cours de la procédure devant le Tribunal cantonal ne dénote par ailleurs aucune partialité objective ou subjective, ni une quelconque volonté de procrastination de la part de cette autorité. En tant que recevables, ces griefs doivent donc être écartés.
4.
Se prévalant en particulier des griefs de l'interdiction de l'arbitraire et du formalisme excessif (cf. consid. 3.2 supra), le recourant affirme en substance et à moultes reprises que les précédents juges ont à tort nié que l'expertise psychiatrique de son épouse recelait également, à son insu, des éléments d'expertise à son sujet. Il estime ainsi entrer dans la catégorie des patients, auxquels la qualité de partie dans la procédure de dénonciation à l'égard d'un médecin est reconnue au sens de l'art. 127c al. 1 LSan/FR.
4.1. Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560), ce qu'il appartient à la partie recourante de démontrer en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 239; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400).
Le formalisme excessif est un aspect particulier du déni de justice prohibé par les art. 9 et 29 al. 1 Cst. Il est réalisé lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi, complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux (cf. <ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 183; arrêt 2C_835/2012 du 1er avril 2013 consid. 4.1).
4.2. En droit cantonal fribourgeois, la qualité de partie dans le cadre d'une dénonciation à l'encontre d'un professionnel de la santé est réglée par l'art. 127c LSan/FR, dont la teneur est la suivante:
Art. 127c - c) Qualité de partie
al. 1 Le patient ou la patiente qui se plaint de la violation d'un droit qui lui est reconnu par la présente loi ainsi que le ou la professionnel-le ou l'institution mis-e en cause ont qualité de partie.
al. 2 Dans les procédures qui ne concernent pas une violation d'un droit reconnu aux patients et patientes, seul-e le ou la professionnel-le et/ou l'institution concerné-e ont qualité de partie. Le dénonciateur ou la dénonciatrice est cependant informé-e du fait qu'une suite a été donnée à sa dénonciation ou non.
Selon l'art. 127c LSan/FR précité et comme l'a à juste titre relevé le Tribunal cantonal, la qualité de partie dans la procédure de dénonciation auprès de la Commission de surveillance dépend de la question de savoir si le recourant doit être considéré comme patient du psychiatre qui a expertisé son épouse et s'il fait valoir un droit qui lui est reconnu par la LSan/FR. A ce titre, l'art. 39 LSan/FR considère comme patients "les personnes recevant des soins de la part de professionnels de la santé ou d'une institution de santé (...) ". Quant à la notion de "soins", elle est définie à l'art. 1 al. 2 LSan/FR, aux termes duquel on entend par soins "tout service fourni à une personne, à un groupe de personnes ou à la population, dans le but de promouvoir, d'améliorer, de protéger, d'évaluer, de surveiller, de maintenir ou de rétablir la santé".
4.3. Il convient d'examiner si, en interprétant les dispositions de la LSan/FR et en appliquant ces notions de droit cantonal à la situation du recourant, le Tribunal cantonal est tombé dans l'arbitraire (cf. consid. 2.1 supra) ou dans le formalisme excessif.
4.3.1. Les précédents juges ont, en s'appuyant notamment sur le Message n° 142 du Conseil d'Etat du 23 mars 1999 (in: Bulletin officiel des séances du Grand Conseil du canton de Fribourg, t. 151, p. 545 ss; ci-après: le Message) accompagnant le projet de loi sur la santé, considéré que le terme de "patient" ne devait pas s'interpréter de manière restrictive. Il n'en demeurait pas moins, à teneur de l'arrêt attaqué, que cette notion devait rester dans le cadre des définitions légales, qui impliquaient notamment que la personne revendiquant le statut de partie dans la procédure de dénonciation reçoive des "soins", respectivement qu'elle soit le destinataire direct de prestations médicales, ce qui n'était pas le cas du recourant.
4.3.2. Au vu du dossier, notamment du rapport d'expertise psychiatrique du 7 novembre 2011, et des travaux préparatoires concernant la LSan/FR, l'interprétation de cette loi cantonale et l'appréciation de la situation du recourant à son aune, telles qu'elles ont été effectuées par le Tribunal cantonal, n'apparaissent ni arbitraires, ni indûment formalistes.
Il résulte certes du Message que les conditions d'accès pour se plaindre d'un professionnel de la santé auprès de la Commission de surveillance ont été conçues avec souplesse; néanmoins, une distinction claire a été introduite dans la LSan/FR entre le simple dénonciateur et le patient auquel la qualité de partie (ouvrant la possibilité d'un recours) est reconnue (comp. arrêt 2C_260/2007 du 26 novembre 2007 consid. 1.3). De même, la notion de "patient", ainsi que celle de "soins" doivent se comprendre de manière large (cf. Message, p. 546 et 550). Il n'est dès lors pas arbitraire d'assimiler l'épouse du recourant à une patiente (cf. art. 1 al. 2 LSan/FR: "évaluer"; Message, p. 546). De même, en considérant qu'à l'inverse, le recourant n'était pas un patient dans le présent contexte, dans la mesure où le rapport d'expertise ne posait aucun diagnostic à son sujet, le Tribunal cantonal n'a manifestement pas appliqué le droit cantonal de façon choquante. En effet, tel que l'ont retenu les précédents juges, le rapport d'expertise litigieux est exclusivement axé sur la personnalité et le vécu de l'épouse du recourant, en vue de "répondre à des questions [posées par la juridiction civile cantonale] concernant l'aptitude de l'expertisée à assumer la garde et/ou le droit de visite envers ses enfants" (rapport d'expertise, p. 7). Lorsque l'expert mentionne le recourant, il y procède, dans un des trois contextes suivants:
Premièrement, le psychiatre relate au mode conditionnel - soulignant le caractère de discours indirect desdits propos (cf. aussi les locutions telles que "l'expertisée relève aussi", "l'expertisée décrit" [rapport d'expertise, p. 5 et 8]) - les éléments anamnestiques que l'épouse du recourant lui a fournis au sujet de sa vie de couple et des troubles du comportement qu'elle lui attribue. S'il est exact que le style indirect et ses concordances ne sont pas toujours respectés avec une rigueur parfaite, il résulte toutefois univoquement du contexte du rapport que l'expert s'abstient d'établir ou de confirmer toute forme d'appréciation psychiatrique au sujet du recourant (cf., par ex., rapport d'expertise, p. 5: "traumatismes relationnels et sexuels subis", cependant entouré par les verbes au conditionnel "apporterait" et "n'aurait jamais été perturbée").
Deuxièmement, l'expertise récapitule les traumatismes allégués ou ressentis par l'épouse du recourant, qui figurent dans l'anamnèse, en vue de poser un diagnostic et de répondre aux questions posées par le tribunal civil cantonal. Or, une telle démarche ne revient pas à confirmer la matérialité des comportements décrits par l'épouse en la personne de son mari; elle se propose d'expliquer, en tenant compte desdits fondements hypothétiques ou allégués, l'état de santé psychique de l'expertisée (cf., notamment, rapport d'expertise, p. 7 s.: "Sur la base des déclarations de l'expertisée mais aussi des témoignages des enfants..., il est possible de postuler que..."). Contrairement à ce que prétend le recourant (recours, p. 56, par. 161), l'expertise n'opère donc pas de glissement de l'hypothèse d'un comportement donné au profit d'un fait avéré le concernant.
Troisièmement, l'expertise opère certaines déductions de faits et comportements qui sont soit objectivement avérés (faits se trouvant dans les dossiers pénal et civil mis à sa disposition, notamment quant au déroulement des procédures), soit qui ont été reconnus par le recourant (à l'inverse, l'expertise [p. 7] rend également compte des allégués de l'expertisée que le recourant a contestés), afin de mesurer leur impact sur l'état de santé de l'expertisée et émettre quelques recommandations (cf., notamment, rapport d'expertise, p. 2 et 7 s.). Il en va ainsi de la reconnaissance de pratiques sexuelles particulières par le recourant et de sa difficulté à respecter les mesures provisionnelles émises par les juges cantonaux, que l'expert considère comme étant à la base d'une réactivation des éléments de stress post-traumatiques modérés constatés chez l'expertisée. La recommandation que le couple se soumette à une thérapie familiale (p. 8), que le recourant reproche à l'expert, s'insère également dans les mesures préconisées pour garantir la stabilité de l'état psychique de l'expertisée, retenue apte à assumer la garde des enfants; elle ne consiste ainsi point à prodiguer des soins au recourant, mais énonce les conditions dans lesquelles son épouse pourra remplir pleinement son rôle de détentrice du droit de garde.
4.4. Par conséquent, les juges cantonaux n'ont pas versé dans l'arbitraire et n'ont pas transgressé l'interdiction du formalisme excessif en interprétant le droit cantonal comme conférant la qualité de partie au seul patient médical, en refusant d'assimiler la situation du recourant à celle d'un patient (expertisé), puis en déniant à celui-ci la qualité de partie dans le cadre de la dénonciation du médecin psychiatre désigné par la juridiction civile cantonale aux fins d'expertiser l'épouse du recourant.
5.
Au vu des considérants qui précèdent, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Les frais, qui tiennent également compte de la nature prolixe, répétitive et par endroits difficilement intelligible du recours, seront mis à la charge du recourant qui succombe (art. 65 al. 2 et art. 66 al. 1 LTF; cf. arrêt 4A_104/2011 du 27 septembre 2011 consid. 4). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et patientes du canton de Fribourg, ainsi qu'au Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, III e Cour administrative.
Lausanne, le 22 août 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton