Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führt eine Strafuntersuchung wegen des Verdachts von ungetreuer Geschäftsbesorgung und weiteren Delikten zum Nachteil der Privatklägerin Y._ AG. Mit Verfügung vom "25. Februar" (recte: Januar) 2013 gewährte die Staatsanwaltschaft der Privatklägerin Einsicht in diverse Untersuchungsakten. Auf eine von der X._ AG am 7. Februar 2013 dagegen erhobene Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, mit Beschluss vom 26. April 2013 nicht ein.
B.
Gegen den Nichteintretensentscheid des Obergerichtes gelangte die X._ AG mit Beschwerde vom 23. Mai 2013 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Sache zur materiellen Behandlung der Beschwerde.
Die Staatsanwaltschaft beantragt mit Stellungnahme vom 6. Juni 2013 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, während das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet hat. Die Privatstrafklägerin beantragt mit Eingabe vom 2. Juli 2013, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Am 22. Juli 2013 verzichtete die Staatsanwaltschaft auf eine zusätzliche Stellungnahme. Weitere Vernehmlassungen sind innert angesetzter Frist nicht eingegangen.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Nichteintretensentscheid betrifft materiell eine strafprozessuale Zwischenverfügung betreffend Akteneinsicht. Im Falle des Nichteintretens auf eine StPO-Beschwerde besteht der drohende nicht wieder gutzumachende Nachteil (i.S.v. <ref-law>) in der Verweigerung des Rechtsschutzes zulasten der rechtsuchenden Person. Insofern ist die Beschwerdeführerin auch beschwerdelegitimiert (<ref-law>; vgl. Urteil des Bundesgerichtes 1B_351/2012 vom 20. September 2012 E. 1.2.1 mit Hinweisen = Pra 2012 Nr. 134).
Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> sind erfüllt.
2.
Im angefochtenen Entscheid wird Folgendes erwogen: Die streitige Akteneinsichtsverfügung sei am 31. Januar 2013 vollzogen worden. Die Beschwerdeführerin, die nicht Partei des Strafverfahrens ist, habe am 7. Februar 2013 gegen die (der Privatklägerin gewährte) Akteneinsicht Beschwerde erhoben und die Verletzung von eigenen Geschäftsgeheimnissen geltend gemacht. Neben der Verweigerung der Akteneinsicht habe die Beschwerdeführerin (im Eventualstandpunkt) beantragt, es sei festzustellen, dass die Herausgabe von Aktenkopien (jedenfalls ohne teilweise Unkenntlichmachung von gewissen Dokumenten) nicht rechtmässig gewesen sei. Soweit beantragt werde, die Akteneinsicht sei zu verweigern, fehle es an einem aktuellen Rechtsschutzinteresse. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes könne auf dieses Sachurteilserfordernis zwar ausnahmsweise verzichtet werden, sofern sich eine streitige grundsätzliche Rechtsfrage jederzeit unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen könnte, an ihrer Beantwortung ein hinreichendes öffentliches Interesse besteht und eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre. Die betreffenden Voraussetzungen seien hier jedoch nicht erfüllt. Ebenso wenig bestehe ein selbstständiges schutzwürdiges Interesse an der nachträglichen Feststellung einer allfälligen Rechtswidrigkeit der Akteneinsicht. Die StPO-Beschwerde diene nicht dazu, Feststellungen zu treffen im Hinblick auf irgendwelche von der Beschwerdeführerin nicht näher genannte Interessen oder weitere Rechtsbehelfe.
3.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe keine Möglichkeit gehabt, den Rechtsweg wirksam zu beschreiten, da sie erst nach Einreichung ihrer Beschwerde am 7. Februar 2013 (aus der Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft im kantonalen Beschwerdeverfahren) erfahren habe, dass die streitige Akteneinsicht am 31. Januar 2013 bereits erfolgt war, und zwar am gleichen Tag, als ihr die streitige Akteneinsichtsverfügung der Staatsanwaltschaft "zugegangen" sei. Diesbezüglich könne (entgegen der Ansicht der kantonalen Instanzen) nicht auf die (frühere) Zustellung an einen der Beschuldigten abgestellt werden. Im Ergebnis sei ihr Anspruch auf Rechtsschutz und Fairness (gemäss Art. 29 und 29a BV, Art. 3 Abs. 2 lit. a-c StPO) verletzt worden. Auch habe die Vorinstanz das Vorhandensein eines aktuellen Rechtsschutzinteresses (insbesondere im Hinblick auf die gestellten Feststellungsbegehren) zu Unrecht verneint und damit Art. 382 i.V.m. Art. 102 Abs. 1 und <ref-law> falsch angewendet. Und selbst bei weggefallenem Rechtsschutzinteresse dränge sich hier (im Sinne der bundesgerichtlichen Praxis) ein Ausnahme von dem Sachurteilserfordernis auf, da andernfalls kaum je die Möglichkeit einer gerichtlichen Überprüfung solcher Akteneinsichtsfälle bestünde.
4.
4.1. Die StPO-Beschwerde ist zulässig gegen Verfügungen der Staatsanwaltschaft (<ref-law>). Jede Partei, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheides hat, kann Beschwerde erheben (Art. 382 Abs. 1 i.V.m. Art. 379 und 393 ff. StPO). Den durch Verfahrenshandlungen beschwerten Dritten stehen (als "anderen Verfahrensbeteiligten") die zur Wahrung ihrer Interessen erforderlichen Verfahrensrechte einer Partei zu, sofern sie in ihren Rechten unmittelbar betroffen sind (Art. 105 Abs. 1 lit. f i.V.m. Abs. 2 StPO).
4.2. Unbestrittenermassen wurde die hier streitige Akteneinsicht an die Privatklägerin schon vor Einreichung der StPO-Beschwerde gewährt, weshalb es an einem aktuellen praktischen Rechtsschutzinteresse der Beschwerdeführerin fehlte (Art. 382 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Dass sich das Obergericht bei der Prüfung, ob sich hier eine Ausnahme vom Erfordernis des aktuellen Rechtsschutzinteresses aufdrängt, an der einschlägigen Praxis des Bundesgerichtes zum Rechtsschutz im Rahmen der Bundesrechtspflege orientiert hat (insbesondere an <ref-ruling> E. 1.1 S. 81), hält vor dem Bundesrecht ebenfalls stand (vgl. Urteil des Bundesgerichtes 1B_351/2012 vom 20. September 2012 E. 2.3.3 = Pra 2012 Nr. 134; Patrick Guidon, Die Beschwerde gemäss Schweizer Strafprozessordnung, Diss. BE, Zürich 2011, Rz. 245; Niklaus Schmid, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 2. Aufl., Zürich 2013, Rz. 1458 Fn. 51). Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz die betreffenden Kriterien (im Lichte der von der Beschwerdeführerin angerufenen Geheimnisschutzgründe) sachgerecht und im Ergebnis bundesrechtskonform angewendet hat.
4.2.1. Die Parteien des Strafverfahrens haben Anspruch auf rechtliches Gehör; dazu gehört namentlich das Recht, die Akten einzusehen (<ref-law>; s. auch <ref-law> und <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Bevor die Verfahrensleitung Akteneinsicht an Parteien gewährt, trifft sie die erforderlichen Massnahmen, um berechtigte Geheimhaltungsinteressen zu schützen (<ref-law>). Falls es zur Wahrung von öffentlichen oder privaten Geheimhaltungsinteressen erforderlich ist, darf das rechtliche Gehör der Parteien entsprechend eingeschränkt werden (<ref-law>).
4.2.2. Zwar hat die Staatsanwaltschaft als untersuchungsleitende Behörde im Vorverfahren nicht von Amtes wegen nach irgendwelchen nicht verfahrensbeteiligten Personen zu fahnden, die von einer Akteneinsicht durch Parteien indirekt betroffen sein könnten. Damit der bundesrechtlich vorgesehene Rechtsschutz bei drohender Verletzung von Geheimnisinteressen Dritter gewährleistet werden kann (vgl. Art. 102 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 und Art. 108 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 248 Abs. 1 sowie Art. 264 Abs. 1 lit. d und Abs. 3 StPO), ist jedoch grundsätzlich zu verlangen, dass die Staatsanwaltschaft (vor einer Akteneinsicht oder Durchsuchung) auch erkennbar mitbetroffene dritte Personen benachrichtigt, sofern die Verfahrensleitung Grund zur Annahme hat, dass geschützte Geheimnisinteressen Dritter tangiert sein könnten. Wer die Akteneinsicht durch eine Partei des Strafverfahrens beschwerdeweise anfechten will, hat seine (angeblichen) berechtigten Geheimhaltungsinteressen ausreichend zu substanziieren, zumal die Partei einen gesetzlichen und verfassungsmässigen Anspruch auf Akteneinsicht hat und deren Beschränkung die Ausnahme bildet (vgl. <ref-law>, <ref-law>).
4.2.3. Im vorliegenden Fall kann offen bleiben, ob die Staatsanwaltschaft von Bundesrechts wegen überhaupt verpflichtet gewesen wäre, die Beschwerdeführerin vorgängig über die anstehende Akteneinsicht zu informieren. Um die Einsicht in Anwaltsakten der Beschwerdeführerin (<ref-law>) ging es jedenfalls nicht. Wie sich aus den Akten ergibt, hat die Staatsanwaltschaft ihre Verfügung vom "25. Februar" (recte: Januar) 2013 nicht nur den Beschuldigten und der Privatklägerin förmlich zugestellt, sondern auch der Beschwerdeführerin. Da sowohl einer der Beschuldigten als auch die Beschwerdeführerin den gleichen Rechtsvertreter hatten und dieser Beschuldigte zudem unbestrittenermassen einziges Gesellschaftsorgan und Eigentümer der Beschwerdeführerin war, wurde ihr die Verfügung faktisch am 28. Januar 2013 (07.40 Uhr) zugestellt. Damit hätte sie noch vor dem Vollzug der (dringlichen) Akteneinsichtsverfügung eine Beschwerde ankündigen bzw. superprovisorisch aufschiebende Wirkung (im Hinblick auf die in Aussicht stehende Beschwerde) beantragen können. Dass sie weder dies getan, noch die Staatsanwaltschaft über angebliche konkrete Geheimnisschutzinteressen rechtzeitig informiert hat, kann nicht den Strafbehörden angelastet werden. Auch in der Beschwerde an das Bundesgericht werden keine schutzwürdigen Privatgeheimnisse näher substanziiert. Den kantonalen Instanzen wird lediglich kursorisch ein "allzu sorgloser Umgang mit Geschäftsgeheimnissen" vorgeworfen.
4.3. Nach dem Gesagten besteht hier weder ein aktuelles Rechtsschutzinteresse, noch ist im Sinne der dargelegten Praxis zu befürchten, dass geheimnisberechtigten Dritten ein wirksamer Rechtsschutz vorenthalten bliebe. Ebenso wenig besteht im vorliegenden Fall ein erhebliches öffentliches Interesse an einer materiellen Vertiefung der betreffenden Rechtsfragen im Hinblick auf künftige ähnliche Fälle. Das Obergericht hat die genannten Kriterien der einschlägigen Rechtsprechung sachgerecht angewendet und auch das Bestehen eines selbstständigen nachträglichen Feststellungsinteresses zurecht verneint. In diesem Zusammenhang werden auch keine offensichtlich unrichtigen relevanten Sachverhaltserwägungen der Vorinstanz (i.S.v. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) dargetan.
5.
Der angefochtene Nichteintretensentscheid erweist sich als bundesrechtskonform, weshalb die Beschwerde als unbegründet abzuweisen ist.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Ausserdem hat sie die anwaltlich vertretene private Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat der privaten Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Januar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster