Sachverhalt:
A. In der Betreibung Nr. 1 stellte das Betreibungsamt Z._ am 2. Dezember 2009 der X._ GmbH in Liquidation die Konkursandrohung zu.
Die von Y._, Gesellschafter und Liquidator der Betriebenen, gegen die Konkursandrohung erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Freiburg (Schuldbetreibungs- und Konkurskammer) als Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen am 18. Januar 2010 ab, soweit es darauf eintrat.
B. Mit Eingabe vom 22. Januar 2010 führt Y._ Beschwerde in Zivilsachen und verlangt, das kantonsgerichtliche Urteil aufzuheben und festzustellen, dass die Konkursandrohung nichtig sei. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid stammt von der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Als Beschwerdeentscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde über eine Konkursandrohung, d.h. eine betreibungsamtliche Verfügung im Sinne von <ref-law>, stellt er einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 351). Er ist unabhängig von einem allfälligen Streitwert anfechtbar (<ref-law>).
2. Zur Beschwerde in Zivilsachen ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der kantonalen Instanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
2.1 Y._ hat die Eingabe unter dem Stempel der X._ GmbH, die von der strittigen Konkursandrohung denn auch unmittelbar betroffen ist, unterzeichnet; mit anderen Worten handelt er nicht für sich persönlich, sondern als Gesellschafter der Betriebenen. Im Rubrum des Urteils ist daher die X._ GmbH in Liquidation als Beschwerdeführerin aufzuführen.
2.2 Die kantonale Aufsichtsbehörde weist darauf hin, dass die Beschwerde bei einer gegen eine juristische Person gerichteten Betreibungshandlung von deren Vertretungsberechtigten auszugehen habe. Im Falle der hier betriebenen Gesellschaft seien dies die beiden kollektiv zeichnungsberechtigten Gesellschafter Y._ und A._ zusammen.
2.3 In der Beschwerde werden die vorinstanzlichen Feststellungen zu den Vertretungsverhältnissen an sich nicht in Frage gestellt. Es wird einzig auf Fälle verwiesen, bei denen eine GmbH auf eine einzige Person reduziert sei. Damit werden die im angefochtenen Entscheid gestützt auf den Handelsregistereintrag festgehaltenen Gegebenheiten übergangen. Das allgemeine Vorbringen ist nicht darzutun geeignet, dass Y._ ermächtigt wäre, die Betriebene einzeln zu vertreten. Dass etwa ein Verfahren, dem zweiten Gesellschafter (im Sinne von Art. 814 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>) die Vertretungsbefugnis zu entziehen, hängig wäre (vgl. BGE 65 III 72 S. 74), wird nicht geltend gemacht.
2.4 Unter den dargelegten Umständen ist davon auszugehen, dass die X._ GmbH in Liquidation durch Y._ allein nicht gültig vertreten ist. Auf deren Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden.
3. Der Beschwerde wäre im Übrigen kein Erfolg beschieden gewesen: Die kantonale Aufsichtsbehörde hat die Konkursandrohung mit der Begründung geschützt, eine Gesellschaft mit beschränkter Haftung unterliege nach <ref-law> der Konkursbetreibung; die X._ GmbH befinde sich zwar in Liquidation, was jedoch am Bestand ihrer juristischen Rechtspersönlichkeit nichts ändere; erst nach Beendigung der Liquidation sei gemäss <ref-law> von den Liquidatoren das Erlöschen der Firma beim Handelsregisteramt anzumelden, was nicht mit der Anmeldung der Auflösung (<ref-law>) zu verwechseln sei; in dem für die strittige Konkursandrohung massgebenden Zeitpunkt der Einreichung des gegen die X._ GmbH in Liquidation gerichteten Fortsetzungsbegehrens sei die Betriebene im Handelsregister eingetragen gewesen. (Beizufügen wäre im Übrigen, dass nach <ref-law> Personen, die im Handelsregister eingetragen waren, noch während sechs Monaten nach Bekanntmachung der Streichung im Schweizerischen Handelsamtsblatt der Konkursbetreibung unterliegen.)
Die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz zu den Eintragungsgegebenheiten werden nicht beanstandet. Es wird in der Beschwerde einzig ausgeführt, es sei nicht einzusehen, weshalb eine sich in Liquidation befindende GmbH solle auf Konkurs betrieben werden können, zumal bei einer Gesellschaft, die wegen Überschuldung liquidiert werde, ohnehin keine Aktiven mehr vorhanden seien. Diese Vorbringen sind insofern von vornherein unbehelflich, als die Durchführung eines Konkurses nicht von der finanziellen Lage des Gemeinschuldners, d.h. von dem (zu erwartenden) Ergebnis der Zwangsvollstreckung, abhängig sein kann. Inwiefern die angefochtene Konkursandrohung nichtig sein, d.h. gegen Vorschriften verstossen soll, die im öffentlichen Interesse oder im Interesse von am Verfahren nicht beteiligten Personen erlassen worden sind (<ref-law>), wird in keiner Weise dargelegt.
4. Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt; rechtfertigen es die Umstände, kann das Bundesgericht die Kosten anders verteilen oder auf die Erhebung von Kosten verzichten (<ref-law>). Die vorliegende Beschwerde erschien aufgrund des Ausgeführten von vornherein als aussichtslos, so dass das von Y._ mit Eingaben vom 1. Februar 2010 und vom 19. Februar 2010 gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen ist (<ref-law>). Im Übrigen können juristische Personen grundsätzlich ohnehin kein Armenrecht beanspruchen (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 326 mit Hinweisen). Die Tatsache, dass Y._ auch die Beschwerde an das Bundesgericht allein erhoben hat, obschon bereits von der Vorinstanz auf die Vertretungsregeln hingewiesen worden war, rechtfertigt es, die (unnötigen) Kosten ihm aufzuerlegen (<ref-law>). Bei deren Bemessung ist den prekären finanziellen Verhältnissen von Y._ Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden Y._ auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, Y._ persönlich, dem Betreibungsamt Z._ und dem Kantonsgericht Freiburg (Schuldbetreibungs- und Konkurskammer) als Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel