Faits:
A.
Depuis le 5 juillet 2012, le Ministère public de la Confédération (MPC) instruit une enquête pour blanchiment d'argent et faux dans les titres à l'encontre de quatre ressortissants ouzbeks, dont A._. Ce dernier, prévenu de complicité de blanchiment d'argent, a été placé en détention provisoire le 30 juillet 2012.
Le 23 août 2012, le Procureur a procédé, en présence de A._ et de son avocat, à la perquisition à la banque X._, à Genève, des coffres n o xxx et yyy liés au compte bancaire n o zzz de la société B._ et pour lesquels A._ bénéficiait d'une procuration individuelle. Le mandataire du prévenu a requis immédiatement la mise sous scellés des documents trouvés dans le coffre n o xxx (n°_60), alléguant que ceux-ci pouvaient appartenir et/ou concerner D._, fille du Président de la République d'Ouzbékistan et alors représentante de la mission permanente de ce pays auprès de l'Organisation des Nations Unies (ONU). Quant aux pièces découvertes dans le "safe" n o yyy, elles n'ont été ouvertes par le MPC, en présence de A._ ainsi que de son mandataire, que le 27 août 2012 et placées lors de cette séance sous scellés par le Procureur en raison de leurs possibles liens avec D._ (n o _62, n o _61, n o _162, n o _63, n o _64 et n o _65).
B.
Par requêtes du 12 et du 17 septembre 2012, le MPC a déposé devant le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Berne (Tmc) des demandes de levée des scellés. A._ et le MPC se sont déterminés à plusieurs reprises. La qualité de partie lui ayant été refusée dans ces procédures, la République d'Ouzbékistan a recouru au Tribunal fédéral, qui - après avoir suspendu les procédures devant le Tmc - a admis sa requête par arrêt du 10 janvier 2013 (cause 1B_588/2012). Dès le 25 janvier 2013, le premier juge a donc ordonné de nouveaux échanges d'écritures entre les parties. A._ et la République d'Ouzbékistan ont notamment été invités à se déterminer jusqu'au 9 août 2013, délai prolongé au 16 août 2013, sur les informations - reçues par le MPC du Département fédéral des affaires étrangères (DFAE) - relatives à la fin de l'activité diplomatique de D._ le 9 juillet 2013 (cf. le courrier du DFAE du 10 juillet 2013), ainsi que sur celles adressées directement par le DFAE au Tmc (cf. le courrier du DFAE du 23 juillet 2013). Le 19 août 2013, le premier juge a refusé d'accorder à A._ un délai complémentaire pour se déterminer.
Par ordonnances du 21 août 2013, l'instance précédente a admis les deux requêtes de levée des scellés.
C.
Par actes du 23 septembre 2013, A._ forme deux recours en matière pénale contre ces décisions, concluant à l'annulation de celles-ci, au rejet des requêtes de levée des scellés et, subsidiairement, au renvoi des causes à l'autorité précédente pour nouvelles décisions au sens des considérants. Il sollicite aussi l'octroi de l'effet suspensif aux recours.
Invités à se déterminer, le Ministère public et le Tmc ont conclu au rejet des recours dans la mesure de leur recevabilité; le second a en particulier précisé que, selon, lui, A._ ne serait pas légitimé à invoquer l'immunité diplomatique pour s'opposer à la levée des scellés. La République d'Ouzbékistan a appuyé les recours. Le premier juge, le Procureur, la République d'Ouzbékistan et le recourant - notamment pour ce dernier, dans des écritures du 11 novembre, puis du 2 décembre 2013 - ont déposé des déterminations complémentaires, persistant dans leurs conclusions.
Par ordonnances du 15 octobre 2013, l'effet suspensif a été accordé dans les deux procédures.

Considérant en droit:
1.
Vu la connexité des causes et la similarité des recours, tant dans leurs motivations que dans leurs conclusions, il y a lieu de joindre les deux procédures.
2.
Conformément à l'<ref-law> (RS 312.0), le Tmc statue définitivement sur la demande de levée des scellés. Le recours au Tribunal fédéral est ainsi directement ouvert (<ref-law>).
2.1. Les décisions attaquées, de nature incidente, sont susceptibles de causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (arrêt 1B_595/2011 du 21 mars 2012 consid. 1 et les références, publié in Pra 2012 n° 69 p. 467), puisqu'en levant les scellés qui sont apposés sur les documents saisis, leur contenu sera révélé et pourrait être utilisé dans la procédure pénale ouverte à l'encontre du recourant.
2.2. S'agissant de la qualité pour recourir, le recourant ne dispose d'aucun statut diplomatique (cf. le courrier du DFAE du 23 août 2013). Dès lors que seuls l'Etat accréditant et/ou ses agents diplomatiques sont titulaires des privilèges et immunités découlant de la Convention de Vienne du 18 avril 1961 sur les relations diplomatiques (Convention de Vienne, CVRD; RS 0.191.01; arrêt 1B_588/2013 du 10 janvier 2013 consid. 2.2; Robert Zimmermann, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 3e éd. 2009, no 693, p. 645; Daillier/Forteau/Pellet, Droit international public, 8e éd. 2009, no 289, p. 497; Pierre-Marie Dupuy, Droit international public, 7e éd. 2004, no 118, p. 124; Amadeo Perez, Le système des privilèges et immunités applicable aux organisations internationales en Suisse et aux délégations permanentes étrangères à Genève, 1997, p. 25, 33, 34 et 4), le recourant ne peut pas s'en prévaloir pour s'opposer à la levée des scellés, que ce soit d'ailleurs avant ou après la fin du statut diplomatique de la représentante ouzbek le 9 juillet 2013 (art. 39 al. 2 CVRD). Tout reproche tendant à soutenir que le Tmc aurait attendu cette date pour statuer en violation du principe de la bonne la foi (art. 5 al. 3 Cst. et 3 al. 2 let. a et b CPP) est donc dénué de fondement.
Cependant, le recourant, qui a la qualité de prévenu (art. 81 al. 1 let. b ch. 1 LTF; ATF 133 IV consid. 2.3 p. 231), invoque des violations du droit de procédure à l'appui de ses recours. La capacité pour recourir de l'intéressé doit dès lors être admise dans cette mesure (<ref-law>).
2.3. Pour le surplus, les recours ont été déposés en temps utile (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables (<ref-law>). La procédure relative à des demandes de levée des scellés ne saurait être assimilée à une procédure de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> et le recourant n'est donc pas limité dans ses griefs, qui peuvent se rapporter au droit fédéral, constitutionnel et/ou international (art. 95 let. a et b LTF). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
3.
Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 29 al. 1 Cst. Il reproche au premier juge d'avoir fait preuve de formalisme excessif en lui refusant, par ordonnance du 19 août 2013, une seconde prolongation de délai pour déposer ses observations.
3.1. Le formalisme excessif est un aspect particulier du déni de justice prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. Il est réalisé lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi, complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 183 s. et les arrêts cités). L'excès de formalisme peut résider dans la règle de comportement qui est imposée au plaideur ou dans la sanction qui est attachée à cette règle (<ref-ruling> consid. 5 p. 253). En tant qu'elle sanctionne un comportement répréhensible de l'autorité dans ses relations avec le justiciable, l'interdiction du formalisme excessif poursuit le même but que le principe de la bonne foi consacré aux art. 5 al. 3 et 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
3.2. En l'espèce, il y a tout d'abord lieu de rappeler que la procédure pénale ne connaît pas de féries judiciaires (cf. <ref-law>) et ainsi, contrairement à ce que soutient le recourant, le premier juge n'avait pas à tenir compte de la période estivale pour fixer les échéances des délais impartis aux parties.
Le recourant, assisté d'un mandataire professionnel, a été avisé expressément par l'autorité que le délai imparti le 29 juillet 2013 pour déposer ses observations était prolongé "une ultime fois" jusqu'au 16 août 2013, indication en outre mise en évidence dans le texte (cf. l'ordonnance du 12 août 2013). Le recourant en était d'ailleurs conscient puisque le 16 août 2013, il ne s'est pas contenté de demander une seconde prolongation, mais a indiqué persister dans les conclusions et observations déjà déposées, notamment le 30 avril 2013. S'agissant de celles-ci, ayant bénéficié à ce moment-là de plus de deux mois pour se déterminer sur les informations transmises en date du 25 février 2013, le recourant n'avait pourtant pas produit d'observations plus détaillées. Il s'était alors limité à renvoyer aux conclusions prises par la République d'Ouzbékistan, relevant uniquement que "l'objet du litige port[ait] essentiellement sur le respect de[s] droits diplomatiques" de cette dernière. Dès lors qu'il avait identifié la principale problématique du cas d'espèce et que les documents mis à sa connaissance à fin juillet 2013 concernaient en substance et en majeure partie la fin de la mission diplomatique de D._ au 9 juillet 2013, les quelques quinze jours accordés par le premier juge pour se déterminer paraissaient suffisants. Cela vaut d'autant plus que la question en résultant - soit la portée de la fin du statut diplomatique sur la procédure de levée des scellés - est de caractère essentiellement juridique, pouvant ainsi être examinée par un avocat sans que celui-ci ait forcément besoin de consulter longuement son client.
Partant, le Tmc n'a pas fait preuve de formalisme excessif en refusant une seconde prolongation de délai et ce grief doit donc être écarté.
4.
Le recourant reproche à l'autorité précédente une violation de son droit d'être entendu (art. 6 CEDH et 29 al. 2 Cst.). Il soutient qu'il n'aurait pas eu accès au dossier de la procédure pénale, notamment aux pièces qui y auraient été versées depuis le 12 septembre 2013, respectivement le 17 suivant. Or, selon le recourant, le Tmc en aurait tenu compte dans sa décision.
Si le droit d'être entendu comprend notamment le droit pour l'intéressé de prendre connaissance du dossier avant le prononcé d'une décision (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 418; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 41; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 88 s.; <ref-ruling> consid. 2b p. 10), le recourant ne motive pas son grief de manière conforme aux exigences posées par l'<ref-law> et, en matière de droits constitutionnels, par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 176 et les arrêts cités). En effet, il n'indique pas quelles constatations des considérants 5.2 des ordonnances attaquées seraient fondées sur des pièces qui ne figureraient pas dans les dossiers des procédures de levée des scellés, accès auxquels il ne prétend pas avoir été privé. En particulier, ce reproche ne peut découler de la seule mention faite par le premier juge que "la procédure pénale a évolué depuis le dépôt, le 12 [respectivement le 17] septembre 2012, de la demande de levée des scellés". La procédure devant le Tmc ne suspendant pas nécessairement l'instruction pénale, celle-ci peut être poursuivie en parallèle; cela pouvait d'autant plus être le cas en l'occurrence au regard du temps écoulé entre les demandes de levée des scellés (septembre 2012) et les prononcés sur cette question (août 2013). Enfin, si le recourant n'a toujours pas eu accès à l'intégralité du dossier de l'instruction pénale, cela ne peut être reproché au Tmc, autorité à qui il n'appartient pas de statuer sur cette question (cf. notamment l'<ref-law>) ou sur un éventuel refus du Ministère public à ce sujet (<ref-law>).
En conséquence, ce grief doit être écarté.
5.
Il s'ensuit que les deux recours doivent être rejetés dans la mesure de leur recevabilité. Le recourant qui succombe supporte les frais de procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Les causes 1B_328/2013 et 1B_329/2013 sont jointes.
2.
Les recours sont rejetés dans la mesure de leur recevabilité.
3.
Les frais, arrêtés à 3'000 fr. pour l'ensemble des procédures, sont mis à la charge du recourant.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la République d'Ouzbékistan, au Ministère public de la Confédération et au Tribunal des mesures de contrainte du canton de Berne.
Lausanne, le 20 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf