Sachverhalt:
A. Im Verlaufe des Jahres 2008 wandten sich verschiedene im Ortsteil R._ der Gemeinde Schwyz ansässige Eltern, worunter X._ und Y._ sowie AZ._ und BZ._, an die zuständige Schulbehörde mit dem Ersuchen, im R._ einen Schulbusbetrieb einzuführen, da der Schulweg für die Kinder nicht zumutbar sei.
Mit Beschluss vom 16. Juli 2008 lehnte der Schulrat der Gemeinde Schwyz dieses Ersuchen ab, wobei er in Aussicht stellte, die Lage erneut zu beurteilen, "wenn die Schülerzahlen vom R._ in ein paar Jahren ansteigen". Gleichzeitig entschied der Schulrat, den betroffenen Familien (nebst einer viermal wöchentlich auszurichtenden Mittagsentschädigung von Fr. 4.50 pro Schulkind) eine Kilometerentschädigung von Fr. -.70 pro Fahrzeug für die effektiv durchgeführten täglichen Hin- und Rückfahrten zur und von der Schule zu vergüten.
Hiegegen führten X._ und Y._ sowie AZ._ und BZ._ Verwaltungsbeschwerde beim Regierungsrat des Kantons Schwyz, welcher das Rechtsmittel in Bestätigung des angefochtenen Beschlusses am 10. Dezember 2008 abwies.
B. Mit Entscheid vom 10. Juni 2009 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, eine hiegegen von X._, Y._, AZ._ und BZ._ eingereichte Beschwerde insoweit gut, als es die Sache in Aufhebung des Schulratsbeschlusses vom 16. Juli 2008 und des Regierungsratsbeschlusses vom 10. Dezember 2008 zur ergänzenden Sachverhaltsabklärung und Neubeurteilung an den Schulrat zurückwies. In seiner Urteilsbegründung kam auch das Verwaltungsgericht zum Ergebnis, dass eine Pflicht der Gemeinde zur Einrichtung eines Schulbusbetriebes im vorliegenden Fall trotz unzumutbarem Schulweg nicht bestehe. Der Anspruch könne sich vielmehr einzig auf Übernahme der Transportkosten richten, wobei die vorgesehene Höhe der Entschädigung für die von den Eltern vorzunehmenden bzw. zu organisierenden Schülertransporte jedoch als klar ungenügend zu qualifizieren und daher neu festzusetzen sei.
C. Mit Eingabe vom 24. August 2009 erheben X._, Y._, AZ._ und BZ._ beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und den Schulrat Schwyz zu verpflichten, auf Kosten der Gemeinde und per sofort einen Schülertransport für den Besuch des Kindergartens und der Primarschule in Rickenbach einzurichten. Eventualiter sei die Angelegenheit "zu neuem Entscheid (Einrichtung des Schülertransportes)" an den Schulrat zurückzuweisen.
Der Schulrat der Gemeinde Schwyz, der Regierungsrat und das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit der bei ihm erhobenen Rechtsmittel von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 31, 22 E. 1 S. 24).
1.2 Zu prüfen ist zunächst die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law>, welche gegenüber der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) das primäre Rechtsmittel darstellt: Beim angefochtenen Urteil des Verwaltungsgerichts handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), welche unter keine der Ausnahmebestimmungen von <ref-law> fällt. Die als subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichnete Eingabe des Beschwerdeführers ist mithin als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu behandeln. Die unrichtige Bezeichnung des Rechtsmittels schadet nicht, sofern bezüglich des jeweils statthaften Rechtsmittels sämtliche Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 1.3 S. 296).
1.3 Der angefochtene Entscheid weist die Sache in (teilweiser) Gutheissung im Sinne der Erwägungen an den Schulrat der Gemeinde Schwyz zurück. Es liegt damit kein Endentscheid im Sinne von <ref-law> vor. Ebenso wenig kann darin ein anfechtbarer Teilentscheid im Sinne von <ref-law> erblickt werden: Zwar betrifft die Rückweisung einzig die Höhe der Entschädigung für den von den Eltern vorzunehmenden bzw. zu organisierenden Schülertransport, während über das Hauptanliegen der Beschwerdeführer, die Gemeinde zur Einrichtung eines Transportdienstes zu verpflichten, im Grundsatz bereits in abweisendem Sinne entschieden wurde. Der Schulrat wurde jedoch damit betraut, im Zuge der Neufestsetzung der Entschädigung an die Eltern abzuklären, wie diese aufgrund der persönlichen Verhältnisse den Schülertransport im Einzelnen organisieren können (E. 5.7 in fine des angefochtenen Urteils). Über die Höhe der Entschädigung kann damit nicht unabhängig vom Anspruch auf Einrichtung eines Transportdienstes entschieden werden und es lagen diesbezüglich auch keine getrennt erhobenen Rechtsbegehren vor, womit es an den Voraussetzungen für eine Anfechtung als Teilentscheid gemäss <ref-law> fehlt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 216 ff.; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 480 f., je mit Hinweisen).
1.4 Handelt es sich damit beim angefochtenen Rückweisungsentscheid um einen blossen (materiellrechtlichen) Zwischenentscheid (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 140 f.; <ref-ruling> E. 4.1.3 und 4.2 S. 481 f.), ist die Beschwerde nach Massgabe von <ref-law> nur zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Dass diese Voraussetzungen vorliegend erfüllt sind, ist weder in einer den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügenden Weise seitens der Beschwerdeführer dargetan worden noch ersichtlich. Damit erweist sich die Beschwerde gegen das angefochtene Urteil als unzulässig. Der betreffende Zwischenentscheid kann gegebenenfalls später durch Beschwerde gegen den Endentscheid angefochten werden (vgl. <ref-law>).
2. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Beschwerdeführern aufzuerlegen, unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Auf die Zusprechung einer Parteientschädigung besteht kein Anspruch (<ref-law>); dies gilt insbesondere auch für die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegende Gemeinde Schwyz (<ref-ruling> E. 7).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Schulrat der Gemeinde Schwyz, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht (Kammer III) des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Moser