Faits:
A. Depuis 2009, la société X._ a effectué, pour le compte de l'Aéroport international de Genève, différentes tâches destinées à assurer la sécurité et l'accueil des passagers. Le 28 juin 2010, l'Aéroport a mis un terme à cette relation contractuelle avec effet au 30 avril 2011 dans l'intention de soumettre ces prestations de sécurité à une procédure de marché public. Cette résiliation a été reportée à deux reprises, la dernière fois jusqu'au 31 octobre 2011.
Après une première procédure d'appel d'offres interrompue, l'Aéroport a procédé à un nouvel appel d'offres publié le 27 juin 2011. Le délai de clôture pour le dépôt des offres était fixé au 8 août 2011. Le 5 août 2011, X._ a déposé une offre. Par courrier du 30 août 2011, l'Aéroport a informé X._ que le marché était adjugé à la société Z._ (ci-après Z._ ou l'adjudicataire). L'offre de X._ avait été classée au cinquième rang sur les six offres évaluées.
B. Le 12 septembre 2011, X._ a interjeté un recours contre cette adjudication auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après la Cour de justice). A titre préalable, elle a demandé que l'effet suspensif soit accordé à son recours.
Par décision du 28 septembre 2011, la Cour de justice a rejeté la demande d'effet suspensif au motif que le recours paraissait avoir peu de chances de succès et qu'il n'était pas suffisamment étayé pour faire prévaloir les intérêts privés de X._ sur ceux de l'Aéroport de disposer d'équipes assurant la sécurité des passagers.
C. Par acte du 4 octobre 2011, X._ a déposé un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre la décision de la Cour de justice du 28 septembre 2011. Elle conclut, principalement, à ce que la décision attaquée soit annulée et l'effet suspensif accordé à son recours interjeté contre la décision d'adjudication du 30 août 2011, subsidiairement à ce que la cause soit renvoyée à la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants, le tout avec suite de dépens. X._ requiert par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif devant le Tribunal fédéral.
Par courrier du 7 octobre 2011, l'Aéroport a informé le Tribunal fédéral qu'il avait conclu avec Z._, le 3 octobre 2011, le contrat portant sur le marché objet de l'adjudication querellée. Invitée à se déterminer, X._ a déclaré maintenir son recours et sollicité la production intégrale du contrat.
L'Aéroport conclut principalement, à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet, à l'instar de Z._. La Cour de justice a déclaré s'en remettre à justice quant à la recevabilité du recours et persister dans les considérants et le dispositif de sa décision.
Par ordonnance du 21 octobre 2011, le Président de la IIe Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif formée par X._.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 275 et les arrêts cités).
1.1 Pour déterminer si, au moment où il se prononce, les conditions de recevabilité sont réunies, le Tribunal fédéral peut prendre en compte des faits postérieurs à l'arrêt attaqué (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 et les arrêts cités); il s'agit d'exceptions à l'interdiction des faits nouveaux prévue à l'<ref-law> (cf. BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2009, nos 20 et 22 ad <ref-law>).
En l'espèce, l'Aéroport a signalé qu'il avait signé le contrat avec l'adjudicataire le 3 octobre 2011, produisant un extrait de ce document. Ce fait nouveau, non contesté, peut être tenu pour établi et il en sera tenu compte s'agissant de l'examen de la recevabilité des présents recours.
1.2 S'agissant d'un arrêt émanant d'une autorité judiciaire cantonale et relevant du droit des marchés publics, deux voies de droit sont envisageables, à savoir le recours en matière de droit public ou le recours constitutionnel subsidiaire (art. 83 let. f LTF; <ref-ruling> consid. 2 et 3). La recourante a déposé ces deux recours, mais la question de savoir quelle voie de droit est ouverte en l'espèce peut demeurer indécise, car tout recours au Tribunal fédéral suppose un intérêt actuel (cf. pour le recours constitutionnel subsidiaire, arrêt 2D_15/2011 du 31 octobre 2011 consid. 1.3; pour le recours en matière de droit public, <ref-ruling> consid. 2.1). L'intérêt actuel doit exister non seulement au moment du dépôt du recours, mais encore au moment où l'arrêt est rendu (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 103).
1.3 La présente procédure a pour objet le refus de la Cour de justice d'accorder à la recourante l'effet suspensif à son recours. Selon l'art. 17 al. 1 de l'Accord intercantonal sur les marchés publics du 25 novembre 1994 (AIMP; RSG L 6 05), dont le principe est repris à l'art. 58 al. 1 du règlement genevois du 17 décembre 2007 sur la passation des marchés publics (RMP; RSG L 6 05.01), le recours contre une adjudication n'a pas d'effet suspensif. L'autorité de recours peut toutefois l'accorder à certaines conditions (cf. art. 17 al. 2 AIMP et art. 28 al. 2 RMP). Lorsque l'effet suspensif est accordé, le pouvoir adjudicataire n'est pas en droit de conclure le contrat avec le soumissionnaire désigné de sorte que, s'il obtient gain de cause, le soumissionnaire évincé à tort pourra obtenir l'attribution du marché. Par conséquent, tant qu'aucun contrat n'a été conclu, le soumissionnaire évincé conserve un intérêt à se plaindre du refus d'accorder l'effet suspensif à son recours. En revanche, une fois le contrat conclu, cet intérêt tombe, puisque l'effet indésirable que visait à empêcher la demande d'effet suspensif (à savoir la conclusion du contrat) s'est produit. Le soumissionnaire évincé conserve cependant un intérêt à continuer la procédure au fond, car il peut alors obtenir la constatation de l'illicéité de la décision attaquée (cf. art. 9 al. 3 de la loi fédérale du 6 octobre 1995 sur le marché intérieur [LMI; RS 943.02]) de nature à lui ouvrir le droit à des dommages et intérêts (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 317; <ref-ruling> consid. 5b p. 97 s.; arrêt 2D_15/2011 du 31 octobre 2011 consid. 1.3).
Il en découle que le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les recours dirigés contre une décision refusant d'octroyer l'effet suspensif au soumissionnaire évincé lorsque le contrat a été conclu (cf. récemment, arrêt 2C_611/2011 du 16 décembre 2011 consid. 2.1). Tout au plus, la jurisprudence considère-t-elle que le soumissionnaire évincé peut se plaindre du refus de donner suite à une demande de mesures provisionnelles en vue de bloquer l'exécution du contrat, car les conséquences juridiques d'un contrat conclu en violation des règles sur les marchés publics sont encore incertaines. Cette possibilité est cependant réservée aux cas où le contrat a certes été conclu, mais n'a pas encore été exécuté intégralement et qu'il peut se scinder en plusieurs parties, par exemple lorsqu'il porte sur des travaux qui doivent s'effectuer par étapes (cf. arrêts 2C_611/2011 du 16 décembre 2011 consid. 2.2 et 4; 2C_446/2011 du 10 octobre 2011 consid. 1.2; 2C_339/2010 et 434/2010 du 11 juin 2010 consid. 2.3 et 2.4).
1.4 En l'espèce, la procédure concerne exclusivement une demande d'effet suspensif tendant à empêcher la conclusion du contrat entre l'Aéroport et l'adjudicataire. Dès lors que le contrat a été conclu, la recourante a perdu tout intérêt actuel à ce que le Tribunal fédéral statue sur l'effet suspensif. En outre, le contrat conclu porte sur des tâches liées à la sécurité et à l'accueil des passagers qui doivent être assurées sans discontinuer et suppose une exécution immédiate. On ne se trouve donc pas non plus dans une situation où la requête de la recourante pourrait être interprétée comme une demande de mesures provisionnelles tendant à bloquer l'exécution du contrat, dès lors qu'elle ne serait pas non plus légitimée à former une telle requête.
1.5 La recourante conteste que la conclusion du contrat le 3 octobre 2011 lui ait fait perdre son intérêt actuel à recourir. Elle soutient que, si le contrat contenait une clause prévoyant qu'il ne prendrait effet qu'à l'issue de la procédure (condition suspensive; cf. à ce sujet, JEAN-BAPTISTE ZUFFEREY, in Le "Combat" entre l'effet suspensif et le contrat en droit des marchés publics, in L'homme et l'État, Mélanges pour Thomas Fleiner, 2003, p. 702), elle conserverait un intérêt à ce qu'il soit statué sur sa requête d'effet suspensif. Elle demande partant la production du contrat du 3 octobre 2011 dans son intégralité.
Une telle position ne peut être suivie. En effet, si, comme l'envisage la recourante, les parties au contrat du 3 octobre 2011 avaient soumis leur accord à une conclusion suspensive liée à l'issue de la procédure introduite par le soumissionnaire évincé, cela signifie que le contrat ne déploierait de toute façon aucun effet avant droit jugé dans la cause introduite par la recourante; partant sa demande d'effet suspensif n'aurait aucune portée et serait sans objet. Même si le contrat du 3 octobre 2011 contenait une telle clause, la recourante ne conserverait donc pas un intérêt actuel à ce qu'il soit statué sur sa demande d'effet suspensif. Ne portant pas sur un élément déterminant, il n'y a ainsi pas lieu de donner suite à la requête visant à la production dudit contrat.
1.6 Enfin, les conditions dans lesquelles le Tribunal fédéral fait exceptionnellement abstraction de l'exigence d'un intérêt actuel, ne sont pas remplies en l'occurrence (cf. à ce sujet <ref-ruling> consid. 1.1 p. 103; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 81). En effet, la conclusion du contrat ne rend pas le recours à l'encontre de la décision d'adjudication sans objet et n'empêche pas la recourante d'obtenir réparation sous forme de dommages-intérêts. Dans le cadre de l'action au fond, elle pourra d'ailleurs se plaindre du caractère abusif de la conclusion du contrat, de sorte que la perte de son intérêt actuel liée à la procédure sur effet suspensif ne l'empêche pas de faire trancher cette question.
2. Lorsque l'intérêt juridique fait défaut au moment du dépôt du recours, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur le recours et le déclare irrecevable; en revanche, si cet intérêt juridique disparaît en cours de procédure, le litige est déclaré sans objet et la cause radiée du rôle (cf. <ref-ruling> consid. 1a p. 490; arrêt 6B_131/2011 du 26 avril 2011 consid. 3.2.3). En l'occurrence, le contrat ayant été conclu le 3 octobre 2011, soit un jour avant le dépôt des recours, ceux-ci doivent être déclarés irrecevables.
3. Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 66 aI. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>). Aucune indemnité à titre de dépens ne sera accordée à l'Aéroport et à Z._, dès lors que ceux-ci ont procédé eux-mêmes, sans faire appel à un mandataire (arrêt 2C_899/2008 du 18 juin 2009 consid. 5.2 non publié aux <ref-ruling>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les recours sont irrecevables.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à CHF 3'000.-, sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à Z._ et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lausanne, le 5 janvier 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Beti