Sachverhalt:
A. X._ führt in der Gemeinde R._ seit 1998 zusammen mit seiner Ehefrau die Werk- und Heimstätte H._ für geistig behinderte Erwachsene. Gegen Entgelt gewährt er folgenden drei mündigen Personen Unterkunft, Verpflegung und Betreuung: A._ (geb. 1949, Eintritt 1996), B._ (geb. 1962, Eintritt 1991) und C._ (geb. 1979, Eintritt 2000).
Die genannten betreuten Erwachsenen leben zusammen mit der Familie X._ in einer Liegenschaft in T._; nachts steht ihnen je ein Einerzimmer zur Verfügung. Im 2. Obergeschoss befindet sich das Zimmer von A._ (Raumgrösse 5,37 m2, abgeschrägt), im Erdgeschoss dasjenige von C._ (8,08 m2 ) und im 1. Obergeschoss dasjenige von B._ (10,46 m2).
Den Tag verbringen die betreuten Erwachsenen auf dem von X._ geführten Landwirtschaftsbetrieb in S._ und erhalten dort eine Beschäftigung mit verschiedensten Arbeiten in Hof, Garten und Haushalt.
B. Seit dem 1. Oktober 2003 bedarf im Kanton Thurgau die Errichtung und der Betrieb von Betreuungsangeboten, in denen bis zu vier mündigen Personen gegen Entgelt Unterkunft, Verpflegung, Betreuung oder weitere Dienstleistungen gewährt werden, einer Bewilligung der Politischen Gemeinde. Solche Wohnstätten unterstehen ausserdem ihrer Aufsicht. Für die Heime sowie für die Betreuungs- und Pflegeangebote erlässt das kantonale Departement für Finanzen und Soziales die notwendigen Richtlinien (§§ 6c und 6d des thurgauischen Sozialhilfegesetzes vom 29. März 1984, Fassung vom 21. Mai 2003, in Kraft seit 1. Oktober 2003).
C. Im Zusammenhang mit diesen genannten Regelungen überprüften Vertreter der Politischen Gemeinde R._ am 10. Mai 2005 vor Ort unangemeldet das Betreuungsangebot von X._. Am Ortstermin mit dabei war auch Z._, der Leiter des Ressorts Heimwesen des kantonalen Fürsorgeamtes. Die Vertreter der Gemeinde stellten fest, dass neben den in der Heimstätte ständig betreuten drei Personen auch noch zwei ebenfalls betreuungsbedürftige Feriengäste anwesend waren. Sodann bemängelten die Gemeindevertreter den baulichen Zustand der Liegenschaften in T._ und S._ (u.a. die Grösse der zur Verfügung gestellten Zimmer), was sie X._ mit eingeschriebenem Brief vom 7. Juni 2005 mitteilten. Mit demselben Schreiben setzten sie X._ ferner Frist, um ein schriftliches Gesuch (samt Unterlagen) um Bewilligung des Betreuungsangebotes einzureichen; die Gemeindevertreter stellten darüber hinaus die Schliessung der Heimstätte in Aussicht, sollten die verlangten Massnahmen nicht bis zum 30. September 2005 umgesetzt werden.
In der Folge reichte X._ ein Gesuch um Erteilung einer Betriebsbewilligung für ein Betreuungsangebot für weniger als vier Personen ein. An seiner Sitzung vom 6. März 2006 wies der Gemeinderat R._ dieses Gesuch ab. In seinem tags darauf verfassten schriftlichen Entscheid erwog er im Wesentlichen, X._ habe keinen Nachweis für eine anerkannte Ausbildung des Bundesamtes für Berufsbildung und Technologie eingereicht, weswegen er die Ausbildungsvoraussetzungen für eine hauptverantwortliche Betreuungsperson nicht erfülle. Ausserdem seien die baulichen Anpassungen der Einzelzimmer nicht vorgenommen worden, was die Schliessung des Betreuungs- und Pflegeangebotes ab dem 1. Oktober 2006 zur Folge habe.
D. Gegen diesen Entscheid erhob X._ Rekurs beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau. Er reichte u.a. eine "rückwirkende Anerkennung" des Bundesamtes für Berufsbildung und Technologie ein, wonach er aufgrund seiner Ausbildung berechtigt sei, den Titel "dipl. Sozialpädagoge HFS" zu tragen. Im Übrigen verlangte er, es sei seinem Gesuch stattzugeben.
Am 26. Juni 2006 fand unter der Leitung des instruierenden Departementsjuristen E._ ein Augenschein in R._ statt. Als Vertreter der kantonalen Fachinstanz anwesend war wiederum der Leiter des Ressorts Heimwesen aus dem Fürsorgeamt, Z._. Dieser führte auch das Protokoll der Verhandlung, welches am 6. Juli 2006 - mit Gelegenheit zur Stellungnahme - an die Verfahrensbeteiligten versandt wurde.
Nachdem die Politische Gemeinde R._ am 13. Juli 2006 und X._ am 18. August 2006 zum Protokoll des Augenscheins Stellung genommen hatten, schloss der instruierende Departementsjurist am 6. September 2006 den Schriftenwechsel. Mit Entscheid vom 6. Oktober 2006 wies das Departement den Rekurs ab; gleichzeitig wies es X._ an, die Werk- und Heimstätte H._ bis zum 28. Februar 2007 zu schliessen und innert derselben Frist für die bedürfnisgerechte Umplatzierung der betreuten Personen zu sorgen.
E. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 25. Oktober 2006 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Im Rahmen der Beschwerdeergänzung liess er am 15. November 2006 vortragen, der Protokollführer des Augenscheins vom 26. Juni 2006, Z._, habe schon beim seinerzeitigen Entscheid der Gemeinde mitgewirkt und sei daher befangen gewesen. Sodann machte er geltend, das Betreuungsangebot sei zu bewilligen. Das Departement habe zu Unrecht einseitig auf die zur Verfügung gestellte Raumgrösse der Zimmer abgestellt und die tatsächlichen Bedürfnisse der seit Jahren in der Wohnstätte betreuten Personen unberücksichtigt gelassen. Diese Personen und ihre gesetzlichen Vertreter seien zu befragen und bei ihren Ärzten seien medizinische Berichte einzuholen. Ferner sei betreffend die Angemessenheit der Wohnsituation ein unabhängiges Fachgutachten zu erstellen und erneut ein Augenschein durchzuführen.
Nachdem das Verwaltungsgericht zusammen mit einem von ihm - im Einverständnis mit den Verfahrensbeteiligten - eingesetzten Sachverständigen, dem Sozialversicherungsfachmann und Sozialpädagogen F._, am 25. April 2007 einen weiteren Augenschein durchgeführt und vom Gutachter eine Expertise zur Situation in der Werk- und Heimstätte H._ (datiert vom 9. Oktober 2007) eingeholt hatte - wozu die Parteien wiederum Stellung nehmen konnten -, wies es die Beschwerde mit Entscheid vom 6. Februar 2008 ab.
F. Mit Eingabe vom 28. April 2008 führt X._ "Beschwerde" beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 6. Februar 2008 aufzuheben und den Kanton Thurgau anzuweisen, die beantragte Bewilligung zur Führung eines Kleinheimes zu erteilen, eventuell den Sachverhalt ergänzend abzuklären und einen neuen Entscheid in der Sache zu fällen.
Die Politische Gemeinde R._ beantragt sinngemäss, die Beschwerde abzuweisen ("Schutz unseres Entscheides"). Das kantonale Departement für Finanzen und Soziales schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragt, die Beschwerde abzuweisen.
G. Mit Verfügung vom 28. Mai 2008 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Die vorliegend mit "Beschwerde" bezeichnete Eingabe ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen und zu behandeln.
Der Beschwerdeführer, dem die anbegehrte Betriebsbewilligung zur Führung eines Kleinheims nicht erteilt worden ist und der am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und besitzt ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung, womit er zur Beschwerde legitimiert ist (<ref-law>).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287).
1.3 Das Bundesgericht legt sodann seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law> bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer beanstandet, dass der gleiche Beamte des kantonalen Fürsorgeamtes (Z._), auf dessen Anregung und unter dessen Mitwirkung (Anwesenheit an einem unangemeldeten Augenschein der Gemeindebehörden, vgl. vorne lit. C) der kommunale Entscheid ergangen sei, auch am anschliessenden Rekursverfahren vor dem Departement als "Fachinstanz" und als Protokollführer teilgenommen habe. Z._ sei klarerweise befangen gewesen, was in dem von ihm verfassten Augenscheinprotokoll - welches nicht nur den objektiven Sachverhalt wiedergebe, sondern auch Wertungen enthalten habe - zum Ausdruck komme. Indem weder das Departement noch das Verwaltungsgericht die Ausstandspflicht dieses Beamten bejaht hätten, sei <ref-law> (Anspruch auf ein gerechtes Verfahren) verletzt worden.
2.2 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts äussert sich zu diesem Vorwurf nicht explizit. Es übernimmt damit offenbar stillschweigend die Darstellung des Departementes für Finanzen und Soziales, welches in seiner Vernehmlassung an das Verwaltungsgericht eine Mitwirkung des Beamten beim Entscheid der Gemeinde überhaupt in Abrede stellte. Im Verfahren vor Bundesgericht erklärt das Departement, Z._ habe beim Augenschein der Gemeinde lediglich als Sachverständiger teilgenommen und sei in die Entscheidfindung nicht einbezogen worden. Seine Teilnahme sei damals deshalb notwendig gewesen, weil (noch) nicht klar gewesen sei, ob die Zuständigkeit für die beantragte Bewilligung bei der Gemeinde oder beim Kanton liege.
2.3 Ob durch das beanstandete Vorgehen Ausstandspflichten des kantonalen Verfahrensrechts oder unmittelbar aus der Verfassung folgende Verfahrensgarantien verletzt wurden, bedarf hier keiner weiteren Prüfung. Dem Beschwerdeführer ist entgegenzuhalten, dass Ausstandsbegehren sofort nach Kenntnis des behaupteten Ausstandsgrundes in unmissverständlicher Weise zu stellen sind (vgl. etwa <ref-ruling> E. 4.3 S. 496 sowie Urteil 2C_10/2007 vom 8. Oktober 2007, E. 2.4). Nach Treu und Glauben hätte der schon damals anwaltlich vertretene Beschwerdeführer bereits an der Augenscheinsverhandlung vom 26. Juni 2006 im Verfahren vor dem Departement gegen die Mitwirkung des betreffenden Beamten als Protokollführer protestieren und dessen Ausstand verlangen müssen. Ein solcher Antrag wurde nicht gestellt. Erst in seiner späteren schriftlichen Stellungnahme vom 18. August 2006 zum Protokoll dieser Augenscheinsverhandlung bezeichnete der Beschwerdeführer die Mitwirkung des betreffenden Beamten als Protokollführer wegen dessen vorangegangener Teilnahme am kommunalen Verfahren als "problematisch" und erachtete den Ausstandsgrund gemäss § 7 Abs. 1 Ziff. 3 (des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes) als "grundsätzlich" erfüllt, ohne jedoch ausdrücklich einen entsprechenden Antrag zu stellen. Seine nach Abweisung des Rekurses durch das Departement im Verfahren vor Verwaltungsgericht erhobene Rüge der Verletzung der Ausstandspflicht war damit verspätet. Wenn das Verwaltungsgericht diesen Einwand ohne nähere Begründung überging, liegt darin im Ergebnis keine Verfassungsverletzung. Das gilt umso mehr, als das Verwaltungsgericht für die Beurteilung der Streitsache nicht auf die Feststellungen im Augenscheinprotokoll des Departementes abgestellt, sondern selber einen Gutachter beigezogen und mit diesem eine nochmalige Augenscheinsverhandlung durchgeführt hat (vgl. vorne lit. E).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt eine unrichtige und unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes. Die diesbezüglich angebotenen Beweise seien nicht abgenommen bzw. willkürlich oder überhaupt nicht gewürdigt worden. Das Verwaltungsgericht habe zunächst mit Bezug auf die Raumgrösse der zur Verfügung gestellten Zimmer völlig einseitig auf die kantonalen Richtlinien zum Sozialhilfegesetz abgestellt, wonach allen Klienten ein Einerzimmer mit einer Mindestgrundfläche von 12 m2 zur Verfügung gestellt werden müsse. Die Betreuten selber seien aber zu ihrer Wohnsituation nie befragt worden; und auch die Befragung ihrer gesetzlichen Vertreter hätte sich zwingend aufgedrängt. Sodann sei dem angefochtenen Entscheid keine nachvollziehbare Begründung zu entnehmen, weshalb dem Antrag, bei den behandelnden Ärzten der betreuten Personen eine Meinungsäusserung einzuholen, nicht stattgegeben worden sei. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) liege auch darin, dass der Beschwerdeführer zu einer Eingabe des Departements vom 6. Dezember 2007, worin von einer angeblichen, vorher nie thematisierten "Überforderungssituation" der Betreuerfamilie die Rede sei, nicht habe Stellung nehmen können. Und schliesslich erweise es sich als klar überspitzt formalistisch, vom Beschwerdeführer - nach seinen diversen Eingaben an die Behörden - noch ein schriftliches Betreuungskonzept zu verlangen.
3.2 Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, anderseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2b S. 56, mit Hinweis). Nach der Rechtsprechung kann das Gericht das Beweisverfahren schliessen, wenn die Beweisanträge eine nicht erhebliche Tatsache betreffen oder offensichtlich untauglich sind oder wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offensichtlichen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1 S. 428; <ref-ruling> E. 4a S. 211).
3.2 Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, anderseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2b S. 56, mit Hinweis). Nach der Rechtsprechung kann das Gericht das Beweisverfahren schliessen, wenn die Beweisanträge eine nicht erhebliche Tatsache betreffen oder offensichtlich untauglich sind oder wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offensichtlichen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1 S. 428; <ref-ruling> E. 4a S. 211).
3.3 3.3.1 Das Verwaltungsgericht hat erwogen, gemäss der "eindeutigen Auffassung" des beigezogenen Experten vermöge das Angebot des Beschwerdeführers "hinsichtlich der erforderlichen Raumgrössen insgesamt den Betreuenden nicht zu genügen". Die kantonalen Richtlinien, welche sich am Richtraumprogramm der Bundesämter für Sozialversicherung und für Bauten und Logistik vom 1. Juli 1995 orientierten, schrieben für Einbettzimmer eine minimale Raumgrösse von 12 m2 vor. Zwar lasse diese kantonale Richtlinie den (für die Bewilligung von Kleinheimen zuständigen) Gemeinden durchaus einen Spielraum, doch seien vorliegend sowohl der beigezogene Experte als auch die Vertreter der Gemeinde zum Schluss gekommen, dass "die heutige Wohnsituation der Werk- und Heimstätte H._ dem Standard nicht zu genügen" vermöge (S. 9 des angefochtenen Entscheides). Der Gutachter habe auch die Lage von Menschen mit Behinderungen und ihre Bedürfnisse allgemein dargelegt. Er weise darauf hin, dass er diese Bedürfnisse aus objektiver Sicht zu beurteilen habe, weshalb auf eine individuelle Befragung der vom Beschwerdeführer betreuten Personen verzichtet worden sei. Auch aus der Sicht des Gerichts könne eine solche Befragung unterbleiben, zumal kaum anzunehmen sei, dass die Behinderten anderes als etwas Positives aussagten. Sie kennten nichts anderes; und zudem bestehe offensichtlich die Gefahr eines Loyalitätskonflikts zu ihren Betreuern.
3.3.2 Diese Ausführungen des Verwaltungsgerichts lassen sich verfassungsrechtlich nicht beanstanden: Vorweg ist dem Beschwerdeführer entgegenzuhalten, dass die Vorinstanz bei ihrer Gesamtbetrachtung der Verhältnisse nicht "völlig einseitig" auf die unzureichende Grösse der zur Verfügung gestellten Einerzimmer abgestellt hat; vielmehr sind nach den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen (<ref-law>) die von den Betreuten benutzten Räume zum Teil auch feuerpolizeilich nicht abgenommen (vgl. S. 9 des angefochtenen Entscheides), was der Erteilung einer Betriebsbewilligung ebenfalls entgegensteht (vgl. Ziff. 5.11 der erwähnten kantonalen Richtlinien). Das Gericht durfte sodann dem Umstand, dass die Werk- und Heimstätte H._ über kein schriftliches Betreuungs- und Pflegekonzept verfügt, ohne Willkür eine ebenfalls wesentliche Bedeutung für die Verweigerung der Bewilligung beimessen. Inwiefern es überspitzt formalistisch sein könnte, vom Beschwerdeführer ein solches Konzept zu verlangen, ist nicht ersichtlich, umso weniger, als die ihm bekannten kantonalen Richtlinien eine solche Vorschrift enthalten (Anhang 1) und er von den Gemeindebehörden bereits ganz zu Beginn des Verfahrens ausdrücklich dazu aufgefordert wurde, dieser Bewilligungsvoraussetzung nachzukommen (vgl. Schreiben vom 7. Juni 2005, Ziff. 4).
3.3.3 Auch die Rüge der Gehörsverletzung durch Nichtabnahme von Beweisen erscheint unbegründet: Das Verwaltungsgericht durfte ohne Willkür davon ausgehen, dass die Aussagen der behinderten Personen zu ihrer Befindlichkeit bzw. zu ihrer Wohnsituation in der Heimstätte am gesamten Beweisergebnis nichts mehr zu ändern vermöchten. Die Standpunkte ihrer gesetzlichen Vertreter wiederum sind schriftlich ins Verfahren eingeflossen und waren dem Verwaltungsgericht bekannt (vgl. Eingaben des Beschwerdeführers an die Vorinstanz vom 21. März und 11. April 2007); für eine persönliche Befragung bestand kein Anlass.
Ebenso wenig zu beanstanden ist, dass die kantonalen Behörden darauf verzichtet haben, im vorliegenden Verfahren - wo es allein um die Betriebsbewilligung für die Führung eines Kleinheimes ging - die behandelnden Ärzte der Behinderten beizuziehen und medizinische Gutachten einzuholen. Die medizinischen Aspekte werden von den Verantwortlichen vielmehr bei der notwendig werdenden sorgfältigen Vorbereitung bzw. dem umsichtigen Vollzug der Umplatzierung von A._, B._ und C._ zu berücksichtigen sein.
3.3.4 Der Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör (<ref-law>) ist auch dadurch nicht verletzt, dass er zu einer Eingabe des kantonalen Departementes für Finanzen und Soziales vom 6. November 2007, worin sich dieses gegenüber dem Verwaltungsgericht zum Gutachten des Experten Holenstein geäussert hat, offenbar nicht hat Stellung nehmen können: Diese Eingabe ist dem Beschwerdeführer vom Präsidenten des Verwaltungsgerichts am 5. Dezember 2007 mit dem Hinweis zur Kenntnisnahme zugestellt worden, das "weitere Vorgehen" sei nun "Sache des Gerichts". Das Verwaltungsgericht hat den Fall in der Folge am 6. Februar 2008, also rund zwei Monate später, entschieden. Hätte der Beschwerdeführer eine Stellungnahme zu der ihm zur Kenntnisnahme zugestellten Eingabe des Departementes für erforderlich gehalten, hätte er diese gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung unverzüglich einreichen oder zumindest beantragen müssen. Dies tat er nicht, weshalb das Verwaltungsgericht stillschweigend davon ausgehen durfte, dass er auf eine Stellungnahme verzichte (<ref-ruling> E. 4.8 S. 105 mit Hinweisen). Im Übrigen war die Frage, wie es sich mit der Betreuung der behinderten Personen verhalte, wenn der Beschwerdeführer oder seine Frau einen Unfall hätten oder erkrankten, bereits Thema der Augenscheinsverhandlung vom 25. April 2007, wozu sich der Beschwerdeführer hatte äussern können und dies auch getan hat (Eingabe vom 14. Mai 2007). Eine Verletzung von <ref-law> liegt auch unter diesem Aspekt nicht vor.
4. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 und 66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der politischen Gemeinde R._, dem Departement für Finanzen und Soziales und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2008
Im Namen der II. Öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein