Faits:
A. A.a J.X._, né le 23 juillet 1967, est au bénéfice d'un contrat d'assurance conclu avec Z._ Caisse maladie SA (ci-après: Z._ ou l'assureur) qui porte sur l'assurance obligatoire des soins, ainsi que sur diverses assurances complémentaires, en particulier une assurance qui le couvre pour les frais d'hospitalisation en division demi-privée, sans franchise hospitalière. Dans le cadre de cette assurance des frais d'hospitalisation, le «Panorama des prestations » de l'assureur prévoit en cas d'hospitalisation, si l'assuré choisit de plein gré la division commune au lieu de la division privée ou demi-privée et s'il communique son choix par écrit à l'assureur avant l'entrée à l'hôpital, une bonification en espèces en faveur de l'assuré (prestation dite « payback »), qui se monte pour les assurés en demi-privé à 100 fr. par jour d'hospitalisation, mais au maximum à 1'000 fr. par année civile.
L'assuré, qui souffre de troubles psychiques, a désigné sa mère, A.X._, comme représentante thérapeutique et mandataire dans ses rapports avec les médecins et les hôpitaux. L'assuré a été hospitalisé en division commune à la clinique psychiatrique de A._, à ... (GE), du 28 août 2007 au 15 septembre 2007 et du 4 juin 2008 au 18 juin 2008.
Du 28 octobre 2008 au 4 novembre 2008, l'assuré a été hospitalisé en raison de troubles psychiques à la clinique de B._, à ... (VD). Le 9 novembre 2008, la mère de l'assuré a informé Z._ qu'elle avait dû l'amener en voiture à ladite clinique depuis Verbier (VS) où ils séjournaient alors tous deux; après s'être rendue quotidiennement durant l'hospitalisation de son fils de son domicile de P._ (GE) à la clinique, elle a expliqué avoir effectué le trajet aller-retour depuis son domicile pour aller le chercher dans cet établissement, avant de retourner depuis P._ sur leur lieu de séjour à Verbier.
A.X._ a établi une note de frais et réclamé à l'assureur le remboursement de ses frais de transport, qu'elle a estimés à la somme de 300 fr. au total. La prénommée, agissant au nom de son fils, a également demandé à l'assureur le remboursement d'un médicament (Bioflorin). Z._ a refusé d'effectuer les deux remboursements demandés.
A.b Du 20 avril 2009 au 28 avril 2009, l'assuré a été hospitalisé en division commune à la clinique de A._. Il a été retenu que cette clinique est un établissement public ne proposant que des chambres en division commune.
Le 21 avril 2009, A.X._ a annoncé à l'assureur l'hospitalisation libre de son fils à cette clinique en division commune et requis, en invoquant les termes de l'assurance complémentaire de ce dernier, le paiement d'une indemnité « payback » atteignant le total de 900 fr.
Z._ a répondu que les conditions pour obtenir cette prestation n'étaient pas satisfaites.
A.c De nombreux courriers ont été échangés à propos de ces différends entre Z._ et A.X._, laquelle avait mandaté son assurance de protection juridique pour défendre les intérêts de son fils.
Par décision formelle du 3 mars 2010, Z._ a refusé la prise en charge des frais de transport de l'assuré correspondant à la note de frais rédigée par la mère de celui-ci. L'assureur a confirmé sa position par décision sur opposition rendue le 14 juillet 2010.
B. B.a Le 14 septembre 2010, l'assuré a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales de Genève (auquel a succédé la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise) d'un recours contre la décision sur opposition susmentionnée; cette cause a été enregistrée sous la cote A/3118/2010. Expliquant qu'il existait plusieurs litiges l'opposant à la Z._, relevant tant de l'assurance-maladie sociale que de l'assurance complémentaire, il a demandé la jonction de ces affaires devant l'autorité saisie et conclu à la condamnation de l'assureur au paiement du 50% des frais encourus pour son transport en voiture entre Verbier et la clinique de B._ et au renvoi de l'affaire à Z._ pour détermination sur les autres frais de déplacement supportés par sa mère.
Z._ a conclu au rejet du recours et à la confirmation de la décision sur opposition.
B.b Le 20 février 2011, l'assuré, représenté par sa mère, a déposé auprès de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice une demande contre Z._ concernant ses assurances complémentaires; cette affaire a été enregistrée sous la cote A/490/2011. Il a conclu à ce que l'assureur couvre, dans le cadre des assurances complémentaires qu'il a souscrites, les frais de déplacement de sa mère entre le 28 octobre 2008 et le 4 novembre 2008, à ce qu'il lui rembourse le Bioflorin prescrit et à ce qu'il lui verse, au titre du « payback », un montant de 900 fr.
Dans sa réponse du 21 mars 2011, Z._ a conclu au rejet entier de la demande.
Lors d'une audience de comparution des mandataires des parties tenue le 23 mars 2011, Z._ a déclaré accepter de prendre en charge, au moyen d'une police d'assurance complémentaire, le 90% du coût du Bioflorin, ce qui a satisfait le demandeur. Le remboursement de ce médicament n'est ainsi désormais plus litigieux, ce que la cour cantonale a relevé.
Un nouvel échange d'écritures a été ordonné, dans lequel chaque partie a maintenu sa position juridique.
Par arrêt du 24 août 2011, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice a entièrement rejeté la demande du 20 février 2011, sans frais, après avoir refusé de joindre cette cause (cotée A/490/2011), relevant du droit des assurances privées, à l'affaire A/3118/2010 qui concernait le droit des assurances sociales, à liquider par un arrêt séparé. Les motifs de l'arrêt du 24 août 2011 seront exposés ci-dessous dans la mesure utile.
C. J.X._, représenté par sa mère, exerce un « recours de droit civil » au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Il conclut à ce qu'il soit dit qu'il a droit au « payback », par 900 fr., pour son séjour à A._ du printemps 2009, au remboursement, par ses assurances complémentaires, de 50%, voire 100%, des frais de transport générés par son hospitalisation à la clinique de B._ en 2008 et à l'octroi d'une « indemnité pour ses frais et dépens ».
L'assureur propose le rejet du recours.
Les parties ont répliqué et dupliqué.

Considérant en droit:
1. 1.1 En tant que partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement - sauf sur un point tout à fait secondaire (prise en charge du Bioflorin) -, l'assuré a qualité pour recourir (<ref-law>).
Selon l'art. 12 al. 2 de la loi fédérale du 18 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10), les caisses-maladie ont le droit de pratiquer, en plus de l'assurance-maladie sociale, des assurances complémentaires. L'<ref-law> précise que ces assurances sont régies par la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1). Il n'est pas douteux que le demandeur fonde ses prétentions sur des contrats d'assurance privée soumis à la LCA, de sorte que la décision attaquée est rendue en matière civile au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 441 s.). Cette décision n'est susceptible que du recours en matière civile; toutefois, l'intitulé erroné du présent recours par son auteur ne fait pas obstacle à sa recevabilité (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382).
1.2 Selon l'art. 7 du Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272), les cantons peuvent instituer un tribunal qui statue en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale selon la LAMal. Le canton de Genève a fait usage de cette faculté en prévoyant, à l'art. 134 al. 1 let. c de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire du 26 septembre 2010 (LOJ; E 2 05), que la Chambre des assurances sociales connaît en instance cantonale unique des contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie obligatoire.
Avec l'entrée en vigueur du CPC, les art. 74 al. 2 let. b et <ref-law> ont été modifiés en ce sens que la formule "une loi fédérale prescrit une instance cantonale unique" a été remplacée par la phrase "une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique". Il ressort clairement des travaux préparatoires que la volonté du législateur, en adoptant cette modification, était d'englober non seulement les cas où le droit fédéral impose une instance cantonale unique, mais aussi les cas où il permet au droit cantonal de prévoir une instance cantonale unique (procès-verbal de la séance du 3 avril 2008 de la Commission des affaires juridiques du Conseil national, p. 9).
Il résulte donc de l'<ref-law> que l'on se trouve bien en présence d'un cas où, selon la nouvelle formulation de la LTF, une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique.
En conséquence, la cour cantonale a valablement statué en instance unique (<ref-law>) et le recours est recevable sans égard à la valeur litigieuse (<ref-law>).
1.3 Dirigé pour le reste contre un arrêt final (<ref-law>), le recours est en principe recevable à ce stade de l'examen, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.4 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 317 s; <ref-ruling> consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389; <ref-ruling> consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
1.5 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. ( <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.4) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 187; <ref-ruling> consid. 1.4 et 6.2). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.6 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
2. Le premier moyen du recourant est dirigé contre le refus de lui accorder la prestation « payback » à la suite de son hospitalisation du 20 au 28 avril 2009 à la clinique A._. Il admet que ce pan du litige porte sur l'interprétation d'une des conditions posées par le « Panorama des prestations » de l'intimée, qui impose à l'assuré d'avoir choisi de plein gré la division commune au lieu de la division privée ou demi-privée. Selon lui, le choix de plein gré de la division commune, s'agissant de patients psychiques, doit se comprendre comme le fait d'opter entre deux établissements psychiatriques (hôpital public sans section privée plutôt que clinique psychiatrique privée), et non entre deux divisions d'un même établissement psychiatrique, à moins de vouloir discriminer lesdits patients. Il fait valoir que l'assureur, qui a changé son personnel cadre, a décidé désormais arbitrairement d'interpréter de manière restrictive toutes ses clauses statutaires.
2.1 Dans l'arrêt déféré, l'autorité cantonale a retenu que la prestation de services « payback », prévue dans le « Panorama des prestations » de l'assureur, s'adressait à tous les clients ayant souscrit une assurance des frais d'hospitalisation en division privée ou demi-privée, sans franchise hospitalière. En cas d'hospitalisation, si un tel assuré choisit de plein gré la division commune (au lieu de la division privée ou demi-privée) et qu'il fait part de son choix à l'assureur avant l'entrée à l'hôpital, une bonification de 100 fr. par jour d'hospitalisation lui est accordée (s'il est assuré en demi-privé), mais au maximum de 1'000 fr. par année civile.
Interprétant la condition du choix « de plein gré » selon le principe de la confiance (cf. ci-dessous sur cette notion) - à défaut d'avoir déterminé la volonté réelle et concordante des parties à ce propos -, la cour cantonale a considéré que l'assuré qui veut être hospitalisé dans un hôpital public ne proposant que des chambres en division commune ne dispose pas, de bonne foi, d'un réel choix de division, la division commune lui étant alors imposée par les circonstances. Dès l'instant où cette prestation « payback » est offerte en sus des prestations habituelles d'une assurance couvrant les frais d'hospitalisation, a-t-elle ajouté, l'assuré doit s'attendre à ce que les conditions permettant son octroi soient appliquées strictement.
2.2 Selon l'<ref-law>, l'assureur répond, sauf disposition contraire de la loi, de tous les événements qui présentent le caractère du risque contre les conséquences duquel l'assurance a été conclue, à moins que le contrat n'exclut certains événements d'une manière précise, non équivoque.
Il est de jurisprudence que les dispositions d'un contrat d'assurance, de même que les conditions générales qui ont été expressément incorporées, doivent être interprétées selon les mêmes principes que les autres dispositions contractuelles. Le juge doit tout d'abord s'efforcer de déterminer la commune et réelle intention des parties, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention (<ref-law>); s'il y parvient, il s'agit d'une constatation de fait qui lie en principe le Tribunal fédéral conformément à l'<ref-law>. Si la volonté réelle des parties ne peut pas être établie ou si leurs volontés intimes divergent, le juge doit interpréter les déclarations faites et les comportements selon la théorie de la confiance. Il doit donc rechercher comment une déclaration ou une attitude pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances; le principe de la confiance permet ainsi d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même s'il ne correspond pas à sa volonté intime. L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal fédéral peut examiner librement (<ref-law>); cependant, pour trancher cette question, il doit se fonder sur le contenu de la manifestation de volonté et sur les circonstances, dont la constatation relève du fait. Lorsqu'un assureur, au moment de conclure, présente des conditions générales, il manifeste la volonté de s'engager selon les termes de ces conditions; lorsqu'une volonté réelle concordante n'a pas été constatée, il faut se demander comment le destinataire de cette manifestation de volonté pouvait la comprendre de bonne foi. L'<ref-law> précise que c'est à l'assureur qu'il incombe de délimiter avec précision la portée de l'engagement qu'il entend prendre (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 681 s. et les références citées).
2.3 L'interprétation opérée par la Chambre des assurances sociales du « Panorama des prestations » de l'intimée, lequel prévoit la prestation litigieuse, respecte le droit fédéral.
En effet, selon le sens ordinaire des mots, les termes « de plein gré » se comprennent comme « volontairement » (cf. Grand Robert de la langue française sous le vocable « gré »). Partant, si l'assuré est hospitalisé dans un établissement ne comportant pas de divisions privées, il doit raisonnablement comprendre qu'il ne renonce pas « de plein gré » à une hospitalisation dans une division privée ou demi-privée. Cette interprétation objective est parfaitement conforme aux règles de la bonne foi.
Il a été constaté en fait (<ref-law>) que la clinique A._ est un établissement public n'offrant que l'hospitalisation en chambre commune. En choisissant librement d'être hospitalisé dans cet hôpital, le recourant n'a ainsi pas opté délibérément pour la division commune, puisqu'il n'y disposait d'aucun choix quant à la division d'hospitalisation.
C'est donc à bon droit que la cour cantonale a jugé que le recourant n'avait pas droit à la prestation de « payback », qui suppose un choix réel de divisions dans le même établissement.
Dans la mesure, enfin, où le recourant semble reprocher à la cour cantonale d'avoir consacré une entorse au principe constitutionnel de non-discrimination du fait d'une déficience mentale ou psychique (cf. art. 8 al. 2 in fine Cst.), il ne motive pas le grief conformément aux exigences de l'<ref-law>.
Le moyen doit être rejeté en tant qu'il est recevable.
3. Le recourant s'en prend, dans son deuxième moyen, au refus de lui accorder le remboursement des frais de transport en voiture supportés par sa mère lors de son hospitalisation à la clinique de B._ du 28 octobre 2008 au 4 novembre 2008. Renvoyant pour l'essentiel à un recours en matière de droit public qu'il a adressé à une Cour de droit social du Tribunal fédéral, il allègue que les assurances complémentaires ne doivent pas être plus restrictives que l'assurance de base. Il soutient qu'il était en droit de penser, s'agissant des frais de transport, « qu'il y a bel et bien des circonstances où seules les assurances complémentaires entrent en ligne de compte ».
3.1 La cour cantonale a retenu que tant l'art. 3 des conditions spéciales de l'intimée relatives à l'assurance des soins « Plus » que l'art. 9 des conditions spéciales de celle-ci afférentes aux frais d'hospitalisation reprenaient la notion de transport médicalement nécessaire ancrée à l'<ref-law> et définie à l'art. 26 al. 1 de l'ordonnance du DFI du 29 septembre 1995 sur les prestations dans l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie (OPAS; RS 832.112.31). Elle en a déduit que, selon les règles de la bonne foi, les parties devaient considérer que le transport médicalement nécessaire pris en charge par les assurances complémentaires au sens desdites conditions spéciales d'assurance obéissait aux conditions posées par la LAMal. A partir de là, elle a admis en particulier qu'aucun des trajets effectués par la mère du recourant ne satisfaisait à l'exigence d'urgence résultant du droit des assurances sociales.
3.2 A teneur de l'<ref-law>, le mémoire adressé au Tribunal fédéral doit contenir les motifs du recours; en conséquence, les renvois à une écriture antérieure n'y sont pas admis (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 387/388; <ref-ruling> consid. 1d p. 201).
Le recourant ne s'en prend pas de manière intelligible au raisonnement exposé par l'autorité cantonale au considérant 7 de l'arrêt attaqué. Il se limite à présenter sa propre version des choses sans même se référer à une seule disposition légale. Le grief est manifestement irrecevable, à défaut d'être motivé selon les réquisits de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF.
Fût-il recevable que le grief serait infondé.
D'après l'<ref-law>, l'assurance obligatoire des soins prend en charge les coûts des prestations qui servent à diagnostiquer ou à traiter une maladie et ses séquelles; ces prestations comprennent notamment une contribution aux frais de transport médicalement nécessaires ainsi qu'aux frais de sauvetage (art. 25 al. 2 let. g LAMal).
Selon la jurisprudence, ce qui importe sous cet angle, c'est que le transport soit nécessaire en vue de dispenser des soins lorsqu'il existe une menace grave pour la santé ou pour la vie de l'assuré (arrêt du Tribunal fédéral des assurances K 88/01 du 26 septembre 2001 consid. 3, in RAMA 2001 no KV 193 p. 520).
Comme les conditions spéciales d'assurance de l'intimée reprennent sans aucune restriction la notion de transport médicalement nécessaire de l'<ref-law>, il est conforme au droit fédéral de retenir que les parties devaient raisonnablement admettre que cette notion devait correspondre à celle qui a cours dans l'assurance de base (interprétation selon les règles de la bonne foi).
Or il n'a jamais été constaté en fait, d'une manière à lier le Tribunal fédéral (<ref-law>), que les transports opérés par la mère du recourant l'avaient été dans un contexte où la santé (voire la vie) de ce dernier avaient été gravement menacées.
4. Dans un dernier grief, le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas lui avoir accordé une indemnité pour frais et dépens en instance cantonale, nonobstant la loi genevoise d'application du code civil suisse et autres lois fédérales en matière civile du 28 novembre 2010 (LaCC; E 1 05). Il allègue que son représentant (i. e. sa mère) a défendu ses intérêts avec professionnalisme en consacrant à cette activité un temps tout à fait considérable.
4.1 Il résulte de l'arrêt déféré que la cour cantonale a considéré que la mère du recourant n'était pas un mandataire professionnellement qualifié au sens de l'art. 19 LaCC. Elle a ajouté que si cette dernière avait peut-être consacré un temps important à cette affaire, cette activité était disproportionnée.
4.2 La demande ayant été déposée le 20 février 2011, soit après l'entrée en vigueur du CPC, le droit à une indemnité pour frais d'avocat découle ainsi du droit fédéral (cf. arrêt 4C_1/2011 du 3 mai 2011 consid. 6.2, in Pra 2011 no 88 p. 623).
Le recourant n'invoque la violation d'aucune norme du CPC. Il ne soutient pas, à bon droit, devoir être assimilé à la partie qui a obtenu gain de cause, puisqu'il a entièrement succombé dans sa demande, hormis sur la question totalement accessoire de la prise en charge d'un médicament. Le recourant ne prétend pas plus que les frais et dépens d'instance cantonale auraient dû être répartis en équité, au motif qu'une des conditions de l'<ref-law> était satisfaite.
Le grief est irrecevable.
5. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires de la procédure fédérale doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, qui n'est pas représentée par un avocat et n'a pas fait état de dépenses particulières (cf <ref-ruling> consid. 4 p. 446).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr. sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales.
Lausanne, le 13 février 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet