Sachverhalt:
A.
A.a. V._ ist ausgebildete Hotelfachfrau und Inhaberin eines Handelsdiploms sowie eines kaufmännischen Fähigkeitszeugnisses. Sie leidet an einer schizoaffektiven Störung (ICD-10 Ziff. F25.1). Am 26. Mai 2008 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Basel-Stadt sprach ihr mit Wirkung ab Mai 2007 eine halbe und ab Mai 2009 eine ganze Invalidenrente zu (Verfügung vom 23. Dezember 2010). Von Dezember 1999 bis Juni 2008 war sie bei verschiedenen Arbeitgebern erwerbstätig und bezog wiederholt Arbeitslosenentschädigung. Dadurch war V._ im angegebenen Zeitraum bei folgenden Vorsorgeeinrichtungen versichert:
- Personalvorsorgestiftung X._ (Tätigkeit bei der Firma P._ vom 1. Dezember 1999 bis 8. Februar 2005);
- Stiftung 2. Säule swissstaffing (Tätigkeit für die E._ AG vom 9. Februar bis 4. Mai 2005);
- Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Bezug von Arbeitslosenentschädigung vom 5. Mai bis 18. Dezember 2005);
- Personalvorsorgestiftung X._ (Tätigkeit bei der Firma A._ vom 19. Dezember 2005 bis 19. März 2006);
- Stiftung 2. Säule swissstaffing (Tätigkeit für die E._ AG vom 20. März 2006 bis 19. Januar 2007);
- Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Bezug von Arbeitslosenentschädigung vom 20. Januar bis 28. Februar 2007);
- Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge (Tätigkeit bei der N._ AG vom 1. März 2007 bis 31. Oktober 2007);
- Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Bezug von Arbeitslosenentschädigung vom 1. November bis 9. Dezember 2007);
- Pensionskasse Basel-Stadt (Tätigkeit beim Departement B._ vom 10. Dezember 2007 bis 30. Juni 2008).
Alle beteiligten Vorsorgeversicherer lehnten je für sich eine Zuständigkeit hinsichtlich Invalidenleistungen ab.
A.b. Mit Klage vom 11. Oktober 2011 beantragte V._ dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt, die Pensionskasse Basel-Stadt sei zu verpflichten, Vorleistungen zu erbringen. Am 7. März 2012 verpflichtete das Sozialversicherungsgericht die Pensionskasse Basel-Stadt, der Versicherten als Vorleistung mit Wirkung ab Mai 2007 eine halbe und ab Mai 2009 eine ganze Invalidenrente gemäss gesetzlichem Obligatorium zu entrichten (noch ohne betragsmässige Festsetzung). Auf Beschwerde der Pensionskasse hin erkannte das Bundesgericht, diese erleide durch den angefochtenen Zwischenentscheid, der als solcher nicht vollstreckbar sei, unter anderem im Hinblick auf die Verjährung einer allfälligen Regressforderung keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil. Demgemäss trat es auf die Beschwerde der Pensionskasse Basel-Stadt nicht ein (Urteil 9C_392/2012 vom 17. Dezember 2012). Das kantonale Gericht verpflichtete die Pensionskasse Basel-Stadt mit Entscheid vom 28. Mai 2013, der Klägerin mit Wirkung ab 9. Dezember 2010 als Vorleistung eine Invalidenrente von monatlich Fr. 804.90 zuzüglich Zins seit 11. Oktober 2011 zu entrichten.
B.
Am 26. April 2012 hatte V._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt gegen die erwähnten Vorsorgeeinrichtungen Klage erhoben. Die Personalvorsorgestiftung X._ - respektive eventuell die Stiftung 2. Säule swissstaffing, subeventuell die Stiftung Auffangeinrichtung BVG, sub-subeventuell die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge oder sub-sub-subeventuell die Pensionskasse Basel-Stadt - sei zu verurteilen, ihr für den Zeitraum ab Mai 2007 gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 50 Prozent und ab Mai 2009 gestützt auf einen solchen von 100 Prozent eine Invalidenrente nach Reglement auszurichten, zuzüglich Verzugszinsen.
Das kantonale Gericht verpflichtete die Pensionskasse Basel-Stadt, der Klägerin die gesetzlichen und reglementarischen Invalidenleistungen zu erbringen. Die Klage gegen die übrigen Beklagten wies es ab (Entscheid vom 22. Mai 2013).
C.
C.a. Die Pensionskasse Basel-Stadt führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben; es sei jegliche sie treffende Leistungspflicht zu verneinen. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Rechtsbegehren Ziff. 1). Zudem sei die Sache in Bezug auf die Leistungspflicht der übrigen ins Recht gefassten Vorsorgeeinrichtungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dabei sei die Klage gegen die Personalvorsorgestiftung X._, eventuell gegen die Stiftung 2. Säule swissstaffing, subeventuell gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG und sub-subeventuell gegen die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge in dem Umfang, als die Beschwerdeführerin dannzumal Vorleistungen an die Klägerin erbracht haben würde, abzuweisen (Rechtsbegehren Ziff. 2). Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
C.b. V._ und die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Personalvorsorgestiftung X._ beantragt ebenfalls Abweisung der Beschwerde; eventuell sei die gegen sie gerichtete Klage abzuweisen. Die Stiftung 2. Säule swissstaffing, die Stiftung Auffangeinrichtung BVG sowie das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 aBVG; seit 1. Januar 2005: Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6 S. 17). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn Reglement oder Statuten nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 69). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit ist eine erhebliche und dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich massgebend. Diese muss mindestens 20 Prozent betragen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23; Urteile 9C_98/2013 vom 4. Juli 2013 E. 4.1 [SVR 2014 BVG Nr. 1 S. 1], 9C_297/2010 vom 23. September 2010 E. 2.1 [SVR 2011 BVG Nr. 14 S. 51], 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2; Jürg Brühwiler, Obligatorische berufliche Vorsorge, in: Meyer [Hrsg.], Soziale Sicherheit, Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Band XIV, Basel 2007, S. 2042 Rz. 105).
1.2. Der Anspruch auf Invalidenleistungen setzt einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während andauerndem Vorsorgeverhältnis (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus.
1.2.1. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22).
1.2.2. Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war. Eine nachhaltige, den zeitlichen Zusammenhang unterbrechende Erholung liegt grundsätzlich nicht vor, solange eine Arbeitsfähigkeit (von über 80 Prozent [vgl. oben E. 1.1]) weniger als drei Monate gedauert hat. Eine drei Monate oder länger andauernde (annähernd) vollständige (Urteil 9C_98/2013 vom 4. Juli 2013 E. 4.1 [SVR 2014 BVG Nr. 1 S. 1]) Arbeitsfähigkeit ist ein gewichtiges Indiz für eine Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs, sofern sich eine dauerhafte Wiedererlangung der Erwerbsfähigkeit als objektiv wahrscheinlich darstellt. Der zeitliche Zusammenhang kann daher auch bei einer länger als drei Monate dauernden Tätigkeit gewahrt sein, wenn eine dauerhafte berufliche Wiedereingliederung unwahrscheinlich war, etwa weil die Tätigkeit (allenfalls auch erst im Rückblick; vgl. unten E. 5.3) als Eingliederungsversuch zu werten ist oder massgeblich auf sozialen Erwägungen des Arbeitgebers beruhte (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22; Urteil 9C_169/2009 vom 1. Dezember 2009 E. 4 [SVR 2010 BVG Nr. 18 S. 70]).
2.
Entscheidungserhebliche Feststellungen der Vorinstanz zur Art des Gesundheitsschadens und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, binden das Bundesgericht, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law> sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397). Dies gilt auch für den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG; Urteil 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.1.1 [SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126]). Frei zu prüfende Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt (Urteil 9C_91/2013 vom 17. Juni 2013 E. 4.3.2 mit Hinweisen [SVR 2013 BVG Nr. 49 S. 206]) und ob diese auf einer genügenden Beweislage beruht (Urteil 9C_752/2008 vom 9. April 2009 E. 1.2 und 2.3).
3.
3.1. Strittig ist, während welchem der in Frage kommenden Vorsorgeverhältnisse erstmalig eine Arbeitsunfähigkeit eingetreten ist, die in einem zeitlichen Zusammenhang mit dem Eintritt der Invalidität steht.
3.2. Das kantonale Gericht erwog, die IV-Stelle sei in ihrer Rentenverfügung vom 23. Dezember 2010 gestützt auf ein psychiatrisches Gutachten des Dr. W._ vom 9. Februar 2010 davon ausgegangen, die Klägerin sei seit November 2004 im Wesentlichen wegen der schizoaffektiven Störung durchgehend, aber in unterschiedlichem Ausmass, arbeitsunfähig gewesen. Die Einschätzung des Sachverständigen, die Klägerin sei ab November 2004 durchschnittlich zu 50 Prozent arbeitsfähig gewesen, könne indes für die Frage nach der zeitlichen Konnexität nicht massgebend sein. Die einzelnen Phasen ärztlich attestierter Arbeitsunfähigkeit seien dokumentiert; so liessen sich auch die dazwischen liegenden Zeiten ohne dokumentierte Arbeitsunfähigkeit bestimmen. Die Frage, welche der Beklagten leistungspflichtig werde, sei daher ohne Bindung an Feststellungen der IV-Stelle zu prüfen (E. 2.4).
Hernach untersuchte die Vorinstanz eingehend den Verlauf der Arbeitsfähigkeit während der einzelnen Anstellungen resp. Phasen von Arbeitslosigkeit (E. 3). Die Vorinstanz identifizierte mehrere Intervalle mit mehr als dreimonatiger Arbeitsfähigkeit, welche den zeitlichen Zusammenhang jeweils unterbrochen hätten. Die massgebliche Arbeitsunfähigkeit sei während der Anstellung beim Departement B._ eingetreten (E. 4.2), als die Klägerin bei der Pensionskasse Basel-Stadt versichert war (E. 6).
4.
Gemäss Verfügung der IV-Stelle vom 23. Dezember 2010 trat die rentenbegründende Invalidität im Mai 2007 ein. Die beschwerdeführende Pensionskasse Basel-Stadt macht geltend, dass die Klägerin erst später bei ihr vorsorgeversichert wurde, weshalb sie von vornherein nicht leistungszuständig sein könne. Die Personalvorsorgestiftung X._ wendet in ihrer Beschwerdeantwort ein, sie sei nicht als präsumtiv haftender Vorsorgeversicherer in das Rentenverfahren der Invalidenversicherung einbezogen worden; deshalb sei der Entscheid der IV-Stelle hinsichtlich des Eintritts des Versicherungsfalls Invalidität für die berufliche Vorsorge unverbindlich (vgl. <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2.6 S. 17).
Die Frage, ob mit Blick auf den Eintritt des versicherten Risikos in der Invalidenversicherung eine Leistungspflicht der Pensionskasse Basel-Stadt überhaupt denkbar ist, muss indes nicht beantwortet werden: Wie sich aus dem Folgenden ergibt, bestand bei Beginn der Vorsorgeverhältnisse mit der beschwerdeführenden Pensionskasse Basel-Stadt und mit jeder anderen der ins Recht gefassten Vorsorgeeinrichtungen (ausgenommen der Vorsorgestiftung X._) eine Arbeitsunfähigkeit, welche keinen Raum mehr für eine Versicherung dieses Risikos liess (Versicherungsprinzip: <ref-ruling>; Urteil B 35/05 vom 9. November 2005 E. 3; für die weitergehende Vorsorge vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 168).
5.
5.1. Nach der psychiatrischen Expertise des Dr. W._ vom 9. Februar 2010 leidet die Klägerin an einer schizoaffektiven Störung. Im Rahmen dieser Krankheit ereigneten sich wiederholt, meist infolge von Belastungen am Arbeitsplatz, depressive Einbrüche und psychotische Schübe paranoider Art. Beschäftigungsmöglichkeiten mit einem leidensangepassten Profil gebe es im allgemeinen Arbeitsmarkt nicht, so dass sich die Arbeitsfähigkeit auch in einfachen und überschaubaren Büroarbeiten ungefähr seit Anfang 2009 auf 30 Prozent beschränke. Davor habe die Arbeitsfähigkeit (seit der ersten psychischen Dekompensation im November 2004) durchschnittlich 50 Prozent betragen. Auch die Psychiaterin Dr. H._, welche die Klägerin seit Sommer 2006 behandelt, schilderte eine Patientin, die bei beruflichen Einsätzen anfangs sehr motiviert und zuversichtlich sei, später aber rasch in eine Überforderungssituation gerate, was zu depressiven und paranoid gefärbten Zuständen führe. Weitere Arbeitsversuche müssten daher in einem geschützten Rahmen erfolgen (Bericht vom 7. April 2009). In ihrem Bericht vom 3. November 2011 bestätigt Frau Dr. H._, dass bereits "unter alltäglichen Belastungen wie z.B. durch die üblichen Anforderungen am Arbeitsplatz" die Erkrankung immer wieder akut geworden ist. Nach dem Stellenverlust bei der Firma P._ 2005 sei es der Patientin wiederholt gelungen, Beschäftigung als kaufmännische Angestellte im freien Arbeitsmarkt zu finden. Jedes Mal sei es jedoch binnen Wochen und Monaten zu erheblichen Problemen gekommen. Diese Schwierigkeiten hätten zweifellos allein mit der psychischen Erkrankung zusammengehangen, seien jedoch vor Stellenantritt nicht absehbar gewesen.
Diese Beurteilungen decken sich mit den praktischen Beobachtungen anlässlich eines von der IV finanzierten Arbeitstrainings bei einer spezialisierten Einrichtung. Danach schienen sich konkrete Eingliederungsbemühungen negativ auf den Gesundheitszustand auszuwirken (Bericht vom 28. Mai 2009). Die Klägerin bringe an sich gute Anlagen mit. Sobald jedoch Anforderungen gestellt würden, wie sie im ersten Arbeitsmarkt üblich seien, breche sie leistungsmässig ein. Verschiedene Personen, die sie aus früheren Arbeitssituationen kennten, hätten ein gleichartiges Bild - zunehmende "Lähmung" am Arbeitsplatz bei normalen Anforderungen - gezeichnet (Bericht vom 20. März 2009).
5.2. Der psychiatrische Befund war nicht von Beginn weg klar. Als die Klägerin Ende des Jahres 2004 erstmals im Rahmen einer beruflichen Überforderung und verschiedenen psychosozialen Belastungsfaktoren behandelt wurde, gingen die Ärzte von einem noch ungeklärten psychiatrischen Krankheitsbild aus (Verdacht auf bipolare Störung, differentialdiagnostisch: organisch bedingte affektive Störung; Bericht der Psychiatrischen Klinik U._ vom 14. Dezember 2004). Nach einer weiteren Hospitalisation Ende 2005 wurde in erster Linie eine schwere depressive Episode mit psychotischen Symptomen vermutet und eine Erkrankung aus dem schizophrenen Formenkreis erst differentialdiagnostisch erwogen (Austrittsbericht der Klinik S._ vom 23. Januar 2006). Angesichts der Ungewissheit über die Diagnose und der hohen Leistungsbereitschaft der Klägerin stellten die beteiligten Fachleute über eine längere Zeit hinweg gute Prognosen, auch um aus damaliger Sicht bestehende Eingliederungschancen nicht zu kompromittieren (vgl. Bericht der Frau Dr. H._ vom 9. Juni 2008). Noch bis 2007 habe die berechtigte Hoffnung bestanden, dass die Patientin zumindest mit einem Teilpensum wieder im regulären Arbeitsmarkt Fuss fassen könnte; im weiteren Verlauf sei jedoch immer deutlicher geworden, dass sie krankheitsbedingt diesem Druck nicht mehr standzuhalten vermochte (Bericht der Frau Dr. H._ vom 3. November 2011).
Ein derartiger Wandel in der medizinischen Beurteilung muss bei der Würdigung der Arbeitsunfähigkeitsatteste berücksichtigt werden. Im vorliegenden Fall galt es jeweils, erst einmal die Belastbarkeit der Klägerin auszuloten. Die Wirksamkeit der Wiedereingliederungsversuche konnte erst nachträglich beurteilt werden, zumal die Diagnose - und damit die Tragweite des Gesundheitsschadens - während längerer Zeit ungewiss war.
5.3. Diese Ausgangslage macht deutlich, dass eine zuverlässige Einschätzung des zeitlichen Zusammenhangs nur möglich ist, wenn die Entwicklung gesamthaft betrachtet wird. Die Frage, ob eine nachhaltige Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit möglich war, ist somit auch im Lichte von erst später gewonnenen Erkenntnissen zu beurteilen (vgl. [bezogen auf den sachlichen Zusammenhang] Urteil 9C_752/2008 vom 9. April 2009 E. 2.3.2). Die in der Rechtsprechung anzutreffende Wendung, der Zeitpunkt des Eintritts der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit müsse grundsätzlich " echtzeitlich " nachgewiesen sein (Urteil 9C_91/2013 vom 17. Juni 2013 E. 4.1.2 mit Hinweisen [SVR 2013 BVG Nr. 49 S. 206]), schliesst jedoch eine Beweiskraft nachträglicher Annahmen und spekulativer Überlegungen aus (Urteile 9C_273/2012 vom 20. November 2012 E. 4.1.1).
6.
6.1. Nach der Rechtsprechung ist für Zeiträume, während welcher formal keine Arbeitsunfähigkeit ausgewiesen wurde, eine solche nur anzunehmen, wenn besondere Umstände vorliegen. Eine berufsvorsorgerechtlich relevante Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen kann sich etwa aus einem vom Arbeitgeber dokumentierten Leistungsabfall ergeben (vgl. Urteil 9C_127/2008 vom 11. August 2008 E. 2.3 mit Hinweisen [SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143]). Hiebei ist auch die Eigenart des gesundheitlichen Geschehens massgebend (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22). So ist bei Schubkrankheiten zu prüfen, ob eine länger als drei Monate dauernde, isoliert betrachtet unauffällige Phase von Erwerbstätigkeit tatsächlich mit der Perspektive einer dauerhaften Berufsausübung verbunden war (vgl. Urteil B 63/04 vom 28. Dezember 2004 E. 3.3.3). Selbst eine längerdauernde Phase der Erwerbstätigkeit zeigt keine gesundheitliche Erholung mit weitgehender Wiederherstellung des Leistungsvermögens an, wenn jegliche berufliche Belastung nach einer gewissen Zeit regelhaft zu schweren Krankheitssymptomen mit erheblicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit führt. Auch im Rahmen des Art. 23 BVG ist zu berücksichtigen, dass arbeitsunfähig nicht nur ist, wer gesundheitsbedingt die bisherige Tätigkeit nicht mehr oder nur noch beschränkt ausüben kann, sondern auch eine Person, welcher die weitere Verrichtung ihrer Berufsarbeit nur unter der Gefahr, ihren Gesundheitszustand zu verschlimmern, möglich ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 345; erwähntes Urteil 9C_127/2008 vom 11. August 2008 E. 3.3).
6.2. Nach gutachtlicher Beurteilung ist gegen Ende 2004, also während der Anstellung bei der Firma P._ (von Dezember 1999 bis Februar 2005), eine Beeinträchtigung des Leistungsvermögens eingetreten, die eine dauerhafte Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit - im Rückblick - unwahrscheinlich machte (oben E. 5). Diese Einschätzung ist anhand der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nachvollziehbar:
6.2.1. Auch das kantonale Gericht ging davon aus, dass bei der Klägerin seit 2003 Ängste und Depressionen auftraten. Vom 20. November bis 13. Dezember 2004 ist sie in der Psychiatrischen Klinik U._ stationär behandelt worden. Wenn zwischen Mitte Dezember 2004 und Ende April 2005 keine Arbeitsunfähigkeit mehr attestiert worden ist, so bedeutet dies keine längerdauernde Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, weil die Klägerin, wie die Beschwerdeführerin zu Recht geltend macht, ab dem 14. Januar 2005 (bis Ablauf des Arbeitsvertrages Ende Februar 2005) freigestellt war.
6.2.2. Während der vom 9. Februar bis 4. Mai 2005 dauernden Anstellung bei der E._ AG hat die Klägerin nach dem Bericht des Psychiaters Dr. M._ vom 20. Januar 2012 knapp drei Monate nach Stellenantritt, am 29. April 2005, erneut "psychotisch imponiert". Der behandelnde Psychiater attestierte für den Zeitraum vom 2. bis 30. Mai 2005 eine vollständige Arbeitsunfähigkeit. In der folgenden Phase von Arbeitslosigkeit habe die Versicherte am 30. Mai 2005 zunächst gesagt, es gehe ihr gut; sie habe bereits einen Termin beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) wahrgenommen; für die Zeit vom 18. Juni bis 10. Juli 2005 habe er sie jedoch erneut zu 100 Prozent krankgeschrieben. Am 13. Juli 2005 hielt Dr. M._ ein anhaltendes psychotisches Syndrom fest, bescheinigte ungeachtet dessen ab 11. Juli 2005 aber wieder eine Arbeitsfähigkeit. Bis zum 9. November 2005 hatte sich der Gesundheitszustand wieder soweit verschlechtert, dass die Klägerin bis 14. Dezember 2005 in der Klinik S._ stationär hospitalisiert werden musste (Austrittsbericht vom 23. Januar 2006). Die Vorinstanz hob hervor, der ambulant nachbehandelnde Klinikpsychologe lic. phil. J._ dokumentiere für die Folgezeit vom 15. Dezember 2005 bis Anfang April 2006 keine Arbeitsunfähigkeit mehr. Damals trat die Klägerin eine temporäre Stelle im Bereich Kreditorenbuchhaltung bei der Firma A._ an (19. Dezember 2005 bis 19. März 2006). Aus der Bemerkung des Therapeuten, diese Arbeit habe für die Klägerin keine allzu grosse Belastung dargestellt und ihr (zunächst) Stabilität verliehen, schloss die Vorinstanz, es habe keine medizinisch begründete Arbeitsunfähigkeit vorgelegen. Die Beschwerdeführerin macht zutreffend geltend, dass die Aussage im Kontext gelesen werden muss: Aus dem Bericht des Psychologen geht nämlich hervor, dass sich bald wieder deutliche Krankheitssymptome eingestellt haben, nachdem die Medikation reduziert resp. abgesetzt wurde.
6.2.3. Es folgte eine Anstellung bei der E._ AG (20. März 2006 bis 19. Januar 2007). Nach einer kürzeren Phase attestierter Arbeitsunfähigkeit vom 5. bis 17. April 2006 konnte die Klägerin Mitte April 2006 - wohl auch dank der anfangs April 2006 wieder etablierten Medikation - die Arbeit für etwa ein halbes Jahr fortsetzen. Nachdem sie sich indes schon im Sommer 2006 bei der Psychiaterin Dr. H._ in Behandlung begeben hatte, wurde die Klägerin vom 27. November bis 5. Dezember 2006 wiederum vollständig, vom 6. Dezember 2006 bis 30. Januar 2007 zu 50 Prozent krankgeschrieben.
Nach einer gut einmonatigen Phase der Arbeitslosigkeit (20. Januar bis 28. Februar 2007) war die Klägerin vom 1. März bis 31. Oktober 2007 bei der N._ AG beschäftigt. Auch hier ergab sich nach einigen Monaten, ab dem 9. Juli 2007, eine attestierte Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent. Im Fragebogen für Arbeitgebende der Invalidenversicherung macht die Arbeitgeberin deutlich, dass das Arbeitsverhältnis auch wegen Überforderung der Klägerin aufgelöst wurde sowie, dass die Mitarbeiterin hinsichtlich Selbständigkeit, Koordination, Überblick, Umgang mit Hektik den Anforderungen nicht entsprechen konnte.
6.2.4. Dieser krankheitsbedingte Mechanismus kam während der Anstellung beim Departement B._ (10. Dezember 2007 bis 30. Juni 2008) erneut zum Tragen: Nach etwa viereinhalbmonatiger Tätigkeit setzte gemäss Dr. H._ eine zwischen 20 und 100 Prozent schwankende, bis zur Berichterstattung am 3. November 2011 anhaltende Arbeitsunfähigkeit ein. Der Arbeitgeber gab seinerseits explizit gesundheitliche Kündigungsgründe an.
6.3. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Leistungsfähigkeit der Klägerin - nach zutreffender Definition von Arbeitsunfähigkeit (vgl. oben E. 6.1) - im gesamten Beurteilungszeitraum immer in erheblichem Ausmass beeinträchtigt war. Aus dem Krankheitsverlauf ergibt sich klar, dass eine dauerhafte berufliche Eingliederung zu keinem Zeitpunkt realistisch war. Es lässt sich ein im diagnostizierten Leiden begründetes Muster feststellen, wonach die Versicherte nach Antritt einer neuen Stelle jeweils alle verfügbaren Ressourcen mobilisierte, diese jedoch stets relativ bald erschöpft waren. Verschiedene Beschäftigungen endeten denn auch in gesundheitsbedingter Überforderung und letztlich in einem psychotischen Zustand. Es bestand konstanter Therapie- und Medikationsbedarf. Phasen der Erwerbstätigkeit erwiesen sich als letztlich erfolglose Arbeitsversuche. Unter diesen Umständen ist der zeitliche Zusammenhang (zur Anstellung bei der Firma P._) fern jeglicher Spekulationen und Mutmassungen zu bejahen.
7.
Der sachliche Zusammenhang ergibt sich ohne Weiteres aus dem in E. 5 Gesagten. Der gegen Ende des Jahres 2004 eingetretenen Arbeitsunfähigkeit lag in der Substanz dasjenige Leiden zugrunde, welches später zur invalidisierenden Einschränkung der Arbeitsfähigkeit führen sollte.
8.
Nach dem Gesagten ist während der Vorsorgeversicherung bei der Personalvorsorgestiftung X._ bei der Klägerin eine anhaltende wesentliche Einschränkung der Arbeitsunfähigkeit eingetreten, die in einem sachlichen und zeitlichen Zusammenhang mit der unbestrittenen Invalidität steht. Somit hat die genannte Einrichtung der Klägerin auf gesetzlicher und reglementarischer Grundlage Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge auszurichten; vorbehalten sind Leistungsperioden, für welche die Klägerin von der Beschwerdeführerin Vorleistungen im Sinne von Art. 26 Abs. 4 BVG bezogen hat (vgl. sogleich E. 9). Nichts spricht dagegen, den Anspruchsbeginn gemäss Klagebegehren - der Rente der Invalidenversicherung folgend - auf Mai 2007 festzusetzen (Art. 26 Abs. 1 und Art. 41 Abs. 2 BVG).
9.
Das kantonale Gericht verpflichtete die Pensionskasse Basel-Stadt, der Klägerin mit Wirkung ab 9. Dezember 2010 Vorleistungen (Art. 26 Abs. 4 BVG) von monatlich Fr. 804.90 zuzüglich Zins seit 11. Oktober 2011 zu entrichten (Entscheid vom 28. Mai 2013). Die Vorsorgeeinrichtung, welche Vorleistungen erbracht hat, hat in diesem Umfang von Gesetzes wegen einen unmittelbaren Regressanspruch gegen die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung (<ref-ruling> E. 3.6 S. 140). Vor dem Hintergrund dieser Rechtslage zielt das Rechtsbegehren Ziff. 2 der Beschwerde auf die ungefährdete Wahrung des Regressanspruchs ab (Vermeidung von Doppelzahlungen der leistungszuständigen Vorsorgeeinrichtung). Das ergibt sich auch aus dem Hauptantrag (Ziff. 1), mit welchem die Pensionskasse Basel-Stadt jegliche Leistungspflicht in Abrede stellt. Die Ansicht der leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung, die Beschwerdeführerin habe damit im Rahmen erbrachter Vorleistungen eine definitive Leistungspflicht anerkannt, ist unbegründet.
10.
Angesichts des Verfahrensausgangs tragen die (Abweisung der Beschwerde beantragende) Klägerin und die leistungspflichtige Personalvorsorgestiftung X._ die Verfahrenskosten zu gleichen Teilen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG; vgl. <ref-ruling>). Parteientschädigungen fallen keine an (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 22. Mai 2013 wird aufgehoben. Die Klage ist gutzuheissen, soweit sie sich gegen die Personalvorsorgestiftung X._ richtet.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Personalvorsorgestiftung X._ und V._ je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung im vorangegangenen Verfahren an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird der Pensionskasse Basel-Stadt, V._, der Personalvorsorgestiftung X._, der Stiftung 2. Säule swissstaffing, der Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Februar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub