Sachverhalt:
A. Am 7. August 2006 stellte X._ in der Gemeinde Suhr ein Gesuch um Einbürgerung. Mit Beschluss vom 30. November 2006 sicherte ihm die Gemeindeversammlung das Gemeindebürgerrecht zu. Am 14. Mai 2007 erteilte ihm das Bundesamt für Migration gemäss Art. 13 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (BüG; SR 141.0) die Bewilligung zur Einbürgerung im Kanton Aargau. Diese kam jedoch in der Folge nicht zu Stande, da die Kommission für Justiz des Grossen Rats des Kantons Aargau das Einbürgerungsgesuch mit Beschluss vom 6. November 2008 ablehnte. Am 2. Dezember 2008 genehmigte der Grosse Rat den Beschluss der Kommission, welcher X._ mit Schreiben vom 4. Dezember 2008 eröffnet wurde. Die Kommission für Justiz führte als Begründung an, die vorliegenden Informationen wiesen darauf hin, dass es zu häuslicher Gewalt gekommen sei. Insbesondere der Aufenthalt seiner Ehefrau im Frauenhaus, aber auch seine teilweise Verweigerung der Mitwirkung hätten zu diskutieren gegeben.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. Januar 2009 beantragt X._ im Wesentlichen und sinngemäss, der Beschluss der Kommission für Justiz sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zur Gutheissung seines Einbürgerungsgesuchs an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem listet er eine Anzahl "Beschwerdegegner" auf und stellt den Antrag, diese seien solidarisch zu verpflichten, ihm den Betrag von Fr. 100'000.-- zu bezahlen.
Mit Schreiben vom 19. Januar 2009 reicht der Gemeinderat von Suhr eine Vernehmlassung ein, ohne diese mit einem Antrag zu verbinden. Die Kommission für Justiz des Grossen Rats des Kantons Aargau beantragt in ihrer Vernehmlassung vom 3. Februar 2009, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Beschwerdeführer äussert sich mit Schreiben vom 22. und 29. April 2009 und stellt zusätzliche Anträge.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> ist gemäss <ref-law> gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ausgeschlossen. Eine andere ordentliche Beschwerde fällt nicht in Betracht. Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> im Grundsatz gegeben. Der angefochtene Entscheid der Kommission für Justiz kann mit keinem kantonalen Rechtsmittel angefochten werden und ist daher kantonal letztinstanzlich (<ref-law>). Auch insoweit erweist sich die Beschwerde als zulässig.
1.2 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nach <ref-law> die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden. Zur Beschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (lit. b). Zu prüfen ist insbesondere, zu welchen Rügen der Beschwerdeführer gemäss <ref-law> legitimiert ist.
Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse kann durch kantonales oder eidgenössisches Gesetzesrecht oder aber unmittelbar durch ein spezielles Grundrecht oder bundesverfassungsrechtliche Verfahrensgarantien begründet sein (<ref-ruling> E. 4 S. 191 und E. 6.2 S. 198 f. mit Hinweis). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass ihm nach dem kantonalen Bürgerrechtsgesetz ein Anspruch auf Einbürgerung zukomme. Er ist daher nicht zur Rüge berechtigt, der angefochtene Entscheid verletze das Willkürverbot nach <ref-law> (<ref-ruling> mit Hinweisen). Vom Ausschluss betroffen ist gleichermassen die Rüge der Verletzung des allgemeinen Rechtsgleichheitsgebotes nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.5 S. 118; Urteil 1D_6/2007 vom 25. Januar 2008 E. 1.2; je mit Hinweisen).
1.3 In der Replik vom 22. April 2009 und ihrer Ergänzung vom 29. April 2009 stellt der Beschwerdeführer Anträge, die in der Beschwerdeschrift nicht vorgebracht wurden. Er verlangt eine teilweise Rückerstattung der im Einbürgerungsverfahren erhobenen Gebühren, stellt ein Feststellungsbegehren, beantragt die Durchführung einer mündlichen Parteiverhandlung und die Einvernahme einer Anzahl namentlich aufgeführter Zeugen. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist eine Beschwerdeergänzung jedoch nach Ablauf der Beschwerdefrist, auf dem Weg der Replik nur insoweit statthaft, als die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten dazu Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 21 mit Hinweisen). Diese Voraussetzung ist vorliegend nicht erfüllt, so dass auf die genannten Anträge nicht einzutreten ist.
Die Durchführung einer mündlichen Parteiverhandlung gemäss <ref-law>, wie sie der Beschwerdeführer (verspätet) beantragt, ist im Übrigen grundsätzlich dem Ermessen des Abteilungspräsidenten anheim gestellt. Ein Anspruch darauf kann sich ausnahmsweise aus <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ergeben. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Bundesgericht als einzige Instanz entscheidet und Rechte im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK betroffen sind. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sind jedoch weder zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen noch eine gegen den Beschwerdeführer erhobene strafrechtliche Anklage im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (vgl. E. 2 hiernach). Der Antrag auf Durchführung einer Parteiverhandlung wäre somit auch bei rechtzeitiger Geltendmachung abzuweisen gewesen.
1.4 Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist ausschliesslich der Beschluss der Kommission für Justiz vom 6. November 2008. Nicht einzutreten ist auf die Anträge, der Beschwerdeführer sei durch die von ihm namentlich aufgeführten "Beschwerdegegner" mit Fr. 100'000.-- zu entschädigen und die Vernehmlassung der Kommission für Justiz sei teilweise aufzuheben. Auch fällt die Entgegennahme des Antrags auf Entschädigung als Klage gemäss <ref-law> ausser Betracht, denn die Voraussetzungen dieses Rechtsmittels sind offensichtlich nicht erfüllt.
1.5 Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt.
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 7, Art. 8 Abs. 2, Art. 29 Abs. 2, Art. 37 ff. und Art. 191 BV ohne darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen diese Bestimmungen verstösst. Darauf ist nicht einzutreten. Dasselbe gilt für die vom Beschwerdeführer erhobenen strafrechtlichen Vorwürfe, welche zudem im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde keine zulässigen Beschwerdegründe darstellen (vgl. <ref-law>).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt, dass der Kanton keine gerichtliche Rechtsmittelinstanz vorgesehen habe und beruft sich auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
2.2 Die Rüge der Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK geht von vornherein fehl. Diese Konventionsgarantie erstreckt sich auf zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen sowie strafrechtliche Anklagen. Auf Einbürgerungsverfahren gelangt sie nicht zur Anwendung (Urteile des Bundesgerichts 5A.23/2001 vom 11. Februar 2002 E. 2b/bb mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A.20/2003 vom 22. Januar 2004 E. 2.4.1 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>; CHRISTOPH GRABENWARTER, Europäische Menschenrechtskonvention, 3. Aufl. 2008, § 24 Rz. 13).
Weiter ist zu prüfen, ob dem Beschwerdeführer aus einem anderen verfassungsmässigen Recht (<ref-law>) ein Anspruch auf Zugang zu einem kantonalen Gericht erwächst.
Gemäss <ref-law> hat jede Person bei Rechtsstreitigkeiten Anspruch auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde (Satz 1). Bund und Kantone können durch Gesetz die richterliche Beurteilung in Ausnahmefällen ausschliessen (Satz 2). Eine Ausnahmebestimmung im Sinne von <ref-law> ist <ref-law>, wonach die Kantone für Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter anstelle eines Gerichts eine andere Behörde als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts einsetzen können. <ref-law> verlangt indessen, dass die Kantone Gerichtsbehörden einsetzen, die als letzte kantonale Instanzen Beschwerden gegen ablehnende Entscheide über die ordentliche Einbürgerung beurteilen. Durch den Erlass dieser Bestimmung brachte der Gesetzgeber zum Ausdruck, dass Entscheide im Bereich der ordentlichen Einbürgerung keinen vorwiegend politischen Charakter haben und deshalb vom Erfordernis einer kantonalen gerichtlichen Instanz erfasst werden (Bericht der Staatspolitischen Kommission des Ständerates vom 27. Oktober 2005 zur Änderung des Bürgerrechtsgesetzes, BBl 2005 6953 Ziff. 3). In zeitlicher Hinsicht ist <ref-law> zu beachten. Gemäss dieser Bestimmung erlassen die Kantone innert zwei Jahren nach Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes Ausführungsbestimmungen über die Zuständigkeit, die Organisation und das Verfahren der Vorinstanzen gemäss Art. 86 Abs. 2 und 3 sowie <ref-law>, einschliesslich der Bestimmungen, die zur Gewährleistung der Rechtsweggarantie nach <ref-law> erforderlich sind (siehe auch <ref-law>). Die Anpassungsfrist richtet sich auf den Zeitpunkt des Ergehens des angefochtenen Entscheids (Urteil 2C_35/2009 vom 13. Februar 2009 E. 1). Sie ist am 1. Januar 2009 abgelaufen. Ebenfalls am 1. Januar 2009 trat <ref-law> in Kraft. Der angefochtene Entscheid erging noch vor diesem Datum, weshalb sich die angeführten bundesrechtlichen Vorgaben zur Rechtsweggarantie als nicht verletzt erweisen.
3. 3.1 Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.2 Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Gemäss <ref-law> befreit das Bundesgericht eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind Begehren als aussichtslos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 616; je mit Hinweisen). Ob eine Beschwerde aussichtsreich ist, erschliesst sich aus den Begehren und ihrer Begründung durch den Beschwerdeführer (Urteil 6B_588/2007 vom 11. April 2008 E. 6.2, in: Pra 2008 Nr. 123 S. 766). Wie sich aus den vorangehenden Erwägungen ergibt, sind vorliegend die Begehren offensichtlich unbegründet bzw. ist auf sie schon gar nicht einzutreten. Infolge Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels entfällt deshalb der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law>. Der Beschwerdeführer trägt somit die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat zudem keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gemeinderat Suhr, dem Grossen Rat des Kantons Aargau, Kommission für Justiz, und dem Departement Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau, Justizabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold