Sachverhalt:
A.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt bestrafte am 9. April 2013 X._ wegen einfacher Körperverletzung (mit gefährlichem Gegenstand) gemäss <ref-law> zu 12 Monaten Freiheitsstrafe und sprach ihn in einem weiteren Punkt von der Anklage der versuchten einfachen Körperverletzung frei. Es erklärte eine am 7. September 2011 vom Appellationsgericht Basel-Stadt im Umfange von 12 Monaten (von insgesamt 18) bedingt ausgesprochene Freiheitsstrafe mit einer Probezeit von vier Jahren als nicht vollziehbar (Art. 46 Abs. 2 und 3 StGB), verwarnte ihn und verlängerte die Probezeit um zwei Jahre. Es verwies die Schadenersatzforderung von A._ auf den Zivilweg. Die Genugtuungsforderung wies es ab.
Das Strafgericht sah es als erstellt, dass X._ und A._ am Morgen des 16. Oktober 2011 gegen 06.15 Uhr in einem Club in Basel aneinandergerieten und X._ dem Kontrahenten einen harten Gegenstand (vermutlich einen Aschenbecher) an den Kopf schlug und ihm damit eine ca. 2 cm lange Rissquetschwunde temporal rechts zufügte.
B.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte am 20. August 2014 X._ auf dessen Berufung und die Anschlussberufung der Staatsanwaltschaft hin wegen einfacher Körperverletzung gemäss <ref-law> zu 7 Monaten Freiheitsstrafe und bestätigte im Übrigen das erstinstanzliche Urteil.
C.
X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das appellationsgerichtliche Urteil aufzuheben, ihn vom Vorwurf der einfachen Körperverletzung freizusprechen und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seiner Verteidigungsrechte. A._ und B._ hätten ausgesagt, dass C._ und D._ beim behaupteten Schlag "unmittelbar neben dran gestanden seien" (Beschwerde Ziff. 9). E._ habe die beiden Frauen und den Beschwerdeführer nach Hause gefahren (Beschwerde Ziff. 6). Die Staatsanwaltschaft habe seinen Beweisanträgen, C._, D._, E._ und den Security-Angestellten F._ einzuvernehmen, stattgegeben. Der Verteidiger sei jedoch zu keinen weiteren Einvernahmen aufgeboten worden. Der polizeiliche Sachbearbeiter habe ihm lediglich mitgeteilt, die Einvernahmen hätten stattgefunden und keine neuen Ergebnisse gezeitigt. Die Staatsanwaltschaft habe seine Beweisanträge auf Konfrontationseinvernahme mit der Begründung abgelehnt, die Verteidigungsrechte könnten an der Hauptverhandlungen wahrgenommen werden. Die Strafgerichtspräsidentin habe die Beweisanträge auf Einvernahme der Zeuginnen abgelehnt mit dem Argument, diese hätten nichts gesehen (Beschwerde Ziff. 6 - 10). Bei der Befragung an der Hauptverhandlung hätten A._ und B._ bestätigt, dass die Zeuginnen "daneben gestanden seien". Gegen das Vorbringen der Verteidigung, "dass wenn die Frauen nichts von einem Schlag gesehen haben, dann auch kein solcher stattgefunden hat", habe das Strafgericht zum wiederholten Mal beschieden, die beiden Zeuginnen könnten nichts zur Sachverhaltsklärung beitragen (Beschwerde Ziff. 11). Die Vorinstanz habe aufgrund der Beweisanträge D._ und E._ angehört, nicht aber C._, weil diese wegen des gemeinsamen Kindes sicherlich ihre Aussage nicht ändern und den Beschwerdeführer schützen wolle (Beschwerde Ziff. 13).
1.2. Das Strafgericht führte aus, der Beschwerdeführer wiederhole an der Hauptverhandlung seinen Beweisantrag, es seien C._ und D._ als Zeuginnen vorzuladen. Der Antrag sei im Rahmen des Beweisverfahrens abgelehnt worden. Die Zeuginnen seien bereits im Vorverfahren einvernommen worden. Zwar treffe es zu, dass der Verteidiger "diesen Einvernahmen nicht beiwohnen konnte, womit prinzipiell sein Teilnahmerecht verletzt wäre". Allerdings habe es sich nicht um Belastungszeuginnen gehandelt. Beide hätten ausgesagt, von der Auseinandersetzung nichts mitbekommen zu haben. Es bestehe daher keine Notwendigkeit, dem Beschwerdeführer oder seinem Verteidiger die Gelegenheit zu geben, Ergänzungsfragen zu stellen.
Das Strafgericht hielt bezüglich des Zeugen E._ fest, dieser sei unentschuldigt ferngeblieben. Er habe im Vorverfahren keine konkreten Angaben machen können. Wenn er sich nicht einmal konkret erinnere, ob er C._, D._ und den Beschwerdeführer nach Hause gefahren habe, dann wohl auch nicht wann respektive in welchem Zustand. Auf eine neue Ladung könne verzichtet werden.
1.3. An der vorinstanzlichen Verhandlung wurden der Beschwerdeführer, A._, D._ und E._befragt.
D._ hatte im Untersuchungsverfahren erklärt, sie habe von einem Streit zwischen dem Beschwerdeführer und A._ nichts mitbekommen. Die Vorinstanz kommt aufgrund ihrer eigenen Befragung zum Ergebnis, dass diese Zeugin nach wie vor zum Tatgeschehen nichts aussagen könne oder wolle. Sie hinterlasse bei der Befragung den Eindruck, dass sie die Darstellung des Beschwerdeführers stützen wolle. Die Aussage sei nicht glaubhaft (Urteil E. 2.4.3).
E._ habe bei der Befragung wie bereits im Vorverfahren zum eigentlichen Vorfall keine Angaben machen können. Seine Aussagen brächten nichts zur Klärung bei (Urteil E. 2.4.4).
Betreffend die Zeugin C._ führt die Vorinstanz aus, diese sei von der Staatsanwaltschaft einvernommen worden. Sie habe erklärt, eine tätliche Auseinandersetzung habe sie nicht beobachten können. Sie sei sicher, dass der Beschwerdeführer den anderen nicht geschlagen habe. Sie könne nur sagen, dass sie selbst betrunken gewesen sei. Die Vorinstanz verzichtet auf eine erneute Befragung der Zeugin. Diese habe den Beschwerdeführer entlastet, und es sei davon auszugehen, dass sie ihre frühere Aussage bestätigen werde. Von ihrer Seite sei keine unbefangene Aussage zu erwarten. Sie sei selber Auslöser der Auseinandersetzung gewesen (Urteil E. 2.4.2).
1.4. Nach der Feststellung des Strafgerichts wurden die Entlastungszeugen nicht in Anwesenheit des Verteidigers befragt (oben E. 1.2). Die Vorinstanz nimmt dazu nicht Stellung. In dieser Hinsicht macht der Beschwerdeführer grundsätzlich zutreffend eine Verletzung der Begründungspflicht gemäss <ref-law> geltend (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2). Er konnte indessen diese Tatsache ohne Weiteres vor Bundesgericht vorbringen. Wie sich nachfolgend ergibt, führt die Verletzung des Teilnahmerechts (Art. 147 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) nicht zur Aufhebung des Urteils. Der Beschwerdeführer macht keine Unregelmässigkeit (etwa durch Druckausübung seitens des befragenden Polizeibeamten) infolge fehlender anwaltlicher Fürsorge geltend (vgl. Urteil 6B_336/2013 vom 14. Februar 2014 E. 2.4). Es geht entgegen der Beschwerde nicht um das Konfrontationsrecht mit Belastungszeugen und kommt nicht im besonderen Masse auf den unmittelbaren Eindruck einer Zeugenaussage an (vgl. Urteil 6B_98/2014 vom 30. September 2014 E. 3.8 betreffend Vergewaltigungsvorwurf). Die Vorinstanz konnte von den beantragten Entlastungszeugen, mit einer Ausnahme, einen persönlichen Eindruck gewinnen.
1.5. Der Anspruch, Entlastungszeugen zu laden und zu befragen, ist relativer Natur. Das Gericht hat insoweit nur solche Beweisbegehren, Zeugenladungen und Fragen zu berücksichtigen und zuzulassen, die nach seiner Würdigung rechts- und entscheiderheblich sind (<ref-ruling> E. 3.1 S. 154). Der Untersuchungsgrundsatz verpflichtet die Strafbehörden, den Sachverhalt von Amtes wegen zu ermitteln und die belastenden und entlastenden Umstände mit gleicher Sorgfalt zu untersuchen (Art. 6 Abs. 1 und 2 StPO). Über Tatsachen, die unerheblich, offenkundig, der Strafbehörde bekannt oder bereits rechtsgenügend erwiesen sind, wird nicht Beweis geführt (<ref-law>; Urteil 6B_859/2013 vom 2. Oktober 2014 E. 2.1). Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) umfasst auch die Pflicht der Behörde, die Argumente und Verfahrensanträge der Parteien entgegenzunehmen und zu prüfen sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen (<ref-ruling> E. 2.1; Urteil 6B_492/2012 vom 22. Februar 2013 E. 5.3). Das hindert das Gericht nicht, einen Beweisantrag abzulehnen, wenn es in willkürfreier Würdigung der bereits abgenommenen Beweise zur Überzeugung gelangt, der rechtlich erhebliche Sachverhalt sei genügend abgeklärt, und es überdies in willkürfreier antizipierter Würdigung der zusätzlich beantragten Beweise annehmen kann, seine Überzeugung werde dadurch nicht mehr geändert (<ref-ruling> E. 5.3; Urteil 6B_441/2013 vom 4. November 2013 E. 6.1). Diese Rechtsprechung gilt ebenso hinsichtlich Beweisanträgen auf Ladung von Entlastungszeugen unter dem Gesichtspunkt von Art. 6 Ziff. 3 lit. d EMRK (Urteil 6B_662/2014 vom 5. Februar 2015 E. 2.2.2).
Die beantragten Entlastungszeugen wurden mit Ausnahme der Zeugin C._ von der Vorinstanz in Anwesenheit des Beschwerdeführers und seines Verteidigers befragt. Damit wurde selbst dem für den ausschlaggebenden Belastungszeugen massgebenden Grundsatz Rechnung getragen, dass der Beschuldigte wenigstens einmal während des Verfahrens angemessene und hinreichende Gelegenheit haben muss, das Zeugnis in Zweifel zu ziehen und Ergänzungsfragen zu stellen (Urteile 6B_16/2015 vom 12. März 2015 E. 1.3.2 und 6B_662/2014 vom 5. Februar 2015 E. 2.2.1). In formeller Hinsicht ist unter den konkreten Umständen von einer Heilung des Verfahrensmangels auszugehen. Betreffend die Zeugin C._ nimmt die Vorinstanz einerseits eine entlastende Aussage an, und konnte sie andererseits aufgrund ihrer vorliegenden Angaben (oben E. 1.2 und 1.3) willkürfrei in antizipierter Beweiswürdigung auf eine weitere Befragung verzichten (<ref-law>).
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Beweiswürdigung unter Verletzung des Grundsatzes in dubio pro reo.
2.1. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.2.3; <ref-ruling> E. 1.4.1; zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2.4). Die Willkürrüge muss in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert begründet werden (<ref-law>). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2.3; <ref-ruling> E. 2.8).
Gemäss der nunmehr in <ref-law> normierten Maxime "in dubio pro reo" ist bis zum gesetzlichen Nachweis ihrer Schuld zu vermuten, dass die einer strafbaren Handlung beschuldigte Person unschuldig ist (<ref-law>). Die Maxime besagt, dass sich das Strafgericht nicht nach rein subjektivem Empfinden von einem für den Angeklagten ungünstigen Sachverhalt überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung Zweifel an der Erfüllung der tatsächlichen Voraussetzungen der angeklagten Tat bestehen. Bloss abstrakte und theoretische Zweifel genügen aber nicht. Es müssen vielmehr erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel vorliegen. Relevant sind mithin nur unüberwindliche, sich nach der objektiven Sachlage aufdrängende Zweifel (Urteil 6B_768/2014 vom 24. März 2015 E. 1.3). Soweit sich der Beschwerdeführer auf den Grundsatz in dubio pro reo als Beweiswürdigungsmaxime beruft, kommt ihm keine über das Willkürverbot hinausgehende Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 7; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2d S. 38).
2.2. Die Vorbringen erweisen sich als nicht substanziiert im Sinne der Rechtsprechung, weshalb insoweit darauf nicht einzutreten ist, und im Übrigen als unbegründet. Der vorinstanzliche Schuldspruch beruht auf Aussagen von A._ und B._. Die Vorinstanz geht willkürfrei davon aus, dass die Depositionen der Entlastungszeugen diese Belastungen nicht zu erschüttern vermögen. Wie die Vorinstanz weiter willkürfrei annimmt, finden sich für die Theorie der Verteidigung, der Security-Angestellte F._ habe A._ die Verletzung beigebracht, keine Anhaltspunkte.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Hinsichtlich der Verletzung des Teilnahmerechts (oben E. 1.4) kann das Rechtsbegehren nicht als von vornherein aussichtslos (vgl. <ref-ruling> E. 2.2) bezeichnet werden, wohl aber bezüglich der Kritik an der Beweiswürdigung. Eine Mittellosigkeit lässt sich bejahen (Beschwerde S. 10). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann daher teilweise gutgeheissen werden. Entsprechend sind herabgesetzte Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>) und eine herabgesetzte Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse auszurichten (<ref-law>), und zwar praxisgemäss an den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers (vgl. Urteile 6B_768/2014 vom 24. März 2015 E. 4 und 6B_98/2014 vom 30. September 2014 E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird teilweise gutgeheissen und im Übrigen abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. April 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Briw