Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1966) und Z._ (geb. 1971) sind die unverheirateten Eltern eines Sohnes (geb. 2006). Die Mutter arbeitet als Ärztin und der Vater ist Pilot bei einer ausländischen Fluggesellschaft.
Mit Beschluss vom 28. September 2006 übertrug die zuständige Vormundschaftsbehörde den Eltern die gemeinsame elterliche Sorge über den Sohn und genehmigte ihre Vereinbarung über die Anteile an der Betreuung und die Verteilung der Unterhaltskosten. Die Eltern vereinbarten darin, dass der Vater für den Fall der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts monatliche Kinderunterhaltsbeiträge bis zum vollendeten 6. Altersjahr des Sohnes von Fr. 1'306.--, bis zum vollendeten 12. Altersjahr von Fr. 1'374.-- und anschliessend von Fr. 1'400.-- zu leisten hat.
Ende 2008 zog X._ aus dem gemeinsamen Haushalt aus.
B. B.a Am 3. November 2010 stellte Z._ das Gesuch an das kantonale Vormundschaftsamt Basel-Landschaft, es sei die gemeinsame elterliche Sorge über den Sohn aufzuheben und ihr das alleinige Sorgerecht zuzuteilen. X._ widersetzte sich am 31. Januar 2011 diesem Antrag und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
B.b Mit Entscheid vom 15. März 2011 stellte das kantonale Vormundschaftsamt den Sohn der Parteien unter die alleinige elterliche Sorge von Z._ und wies das Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels Bedürftigkeit ab.
C. C.a Dagegen erhob X._ am 15. April 2011 sowohl in der Sache als auch gegen die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung Beschwerde an das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht. Zugleich ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren.
C.b Mit Verfügung vom 16. August 2011 wies die Präsidentin des Kantonsgerichts, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren ab, da sich die Beschwerde vom 15. April 2011 als aussichtslos erweise.
D. D.a Dagegen erhob X._ am 19. August 2011 Einsprache an die Kammer der Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht des Kantonsgerichts.
D.b Mit Beschluss vom 7. September 2011 wies die Kammer in Abweisung der Einsprache das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (wiederum wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde vom 15. April 2011) ab.
E. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Eingabe vom 15. November 2011, es sei der Beschluss vom 7. September 2011 aufzuheben und ihm für das Beschwerdeverfahren vor dem Kantonsgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Kantonsgericht hat auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet (Schreiben vom 21. November 2011). Mit Verfügung vom 25. November 2011 hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Kantonsgericht hat dem Bundesgericht die Vorakten zugestellt. In der Sache hatte es mit Schreiben vom 12. Januar 2012 auf eine Vernehmlassung verzichtet, reichte jedoch dem Bundesgericht am 23. Januar 2012 ein Schreiben von Z._ vom 20. Januar 2012 sowie einen Entscheid des Bezirksgerichts Liestal vom 6. Januar 2012 nach, in welchem dem Beschwerdeführer in einem anderen Verfahren (Herabsetzung der Unterhaltsbeiträge) die zuvor gewährte unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit entzogen wurde.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>) über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131).
1.2 Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 3 S. 144). In der Hauptsache geht es um die Neuregelung der elterlichen Sorge gemäss <ref-law> und damit um eine Zivilsache in einer nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 Abs. 1 BGG; vgl. Urteil 5A_645/2008 vom 27. August 2009 E. 1, in: Pra 2010 Nr. 71 S. 517).
1.3 Der Beschwerdeführer hat übereinstimmend mit der Rechtsmittelbelehrung des angefochtenen Beschlusses eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht. Die falsche Bezeichnung des Rechtsmittels schadet dem Beschwerdeführer nicht, sofern bezüglich des jeweils statthaften Rechtsmittels sämtliche Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 3.1 S. 499; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit vorliegend als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen.
2. Vor Bundesgericht dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die vom Kantonsgericht mit Vernehmlassung vom 23. Januar 2012 eingereichten Beweismittel sind erst nach dem angefochtenen Beschluss entstanden. Solche Beweismittel sind - jedenfalls soweit sie wie vorliegend den angefochtenen Entscheid in der Sache betreffen - unbeachtlich, da für diese von vornherein nicht der angefochtene Entscheid Anlass zur Einreichung vor Bundesgericht geben kann (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229).
3. 3.1 Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Es ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3.3 S. 60).
Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und gehörig begründet wird (<ref-law>). Der Beschwerdeführer muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde und substanziiert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur ausdrücklich vorgebrachte, klar und detailliert erhobene sowie, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 310; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
3.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig und damit willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweisen). Das Vorliegen dieser Voraussetzungen hat der Beschwerdeführer genau darzulegen. Auf rein appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung oder Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
4. 4.1 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird in erster Linie durch das anwendbare Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon besteht ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung unmittelbar aufgrund von <ref-law>.
Der Beschwerdeführer rügt vor Bundesgericht einzig eine Verletzung dieser Verfassungsbestimmung.
4.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen). Dabei ist Rechtsfrage, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Tatumstände erstellt sind (<ref-ruling> E. 2c S. 307).
Geht es wie hier um die Beurteilung der Erfolgsaussichten eines kantonalen Rechtsmittels, ist zu beachten, dass ein erstinstanzliches Urteil vorliegt, das mit den gestellten Rechtsmittelanträgen verglichen werden kann. Der Rechtsmittelinstanz wird dadurch die summarische Prüfung der Erfolgsaussichten erleichtert. Wird dem erstinstanzlichen Urteil nichts Substanzielles entgegengesetzt, besteht die Gefahr, dass das Rechtsmittel als aussichtslos beurteilt wird. Ob der Beschwerdeführer tatsächlich Aussicht darauf hat, mit seinen Rechtsmittelanträgen vollumfänglich durchzudringen, ist nicht massgebend (Urteile 5A_145/2010 vom 7. April 2010 E. 3.3; 1B_296/2008 vom 11. Dezember 2008 E. 2.4).
5. 5.1 Vorliegend geht es um die Beurteilung der Prozessaussichten der Beschwerde gegen den Entscheid des kantonalen Vormundschaftsamtes. Darin hat dieses die gemeinsame elterliche Sorge neu geregelt (<ref-law>) und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (für das Verfahren vor dem Vormundschaftsamt) abgewiesen (vgl. Lit. B.b oben).
5.2 Wurde nach <ref-law> den unverheirateten Eltern die gemeinsame elterliche Sorge übertragen, ist die Zuteilung der elterlichen Sorge nach <ref-law> neu zu regeln, wenn dies wegen wesentlicher Veränderung der Verhältnisse zum Wohl des Kindes geboten ist.
Die gemeinsame Sorge kann nicht einfach gekündigt werden. Es gelten indes nicht so strenge Voraussetzungen wie beim Entzug der elterlichen Sorge nach <ref-law>. Notwendig, aber auch ausreichend ist, dass die wesentlichen Grundlagen für eine gemeinsame Elternverantwortung nicht mehr vorhanden sind, so dass das Kindeswohl die Übertragung der elterlichen Sorge an einen Elternteil gebietet. Allein schon der Antrag eines Elternteils oder des Kindes auf Neubeurteilung der elterlichen Sorge ist in der Regel ein Indiz dafür, dass die gemeinsame elterliche Sorge nicht mehr dem Kindeswohl entspricht. Letzteres trifft rechtsprechungsgemäss jedenfalls dann zu, wenn Kooperationswille und Kooperationsfähigkeit der Eltern nicht mehr bestehen. Steht fest, dass die elterliche Sorge nicht mehr gemeinsam ausgeübt werden kann, so ist sie einem Elternteil zuzuteilen, wobei wiederum das Kindeswohl entscheidet (<ref-law>; vgl. zum Ganzen Urteil 5A_638/2010 vom 10. November 2010 E. 2.1 mit Hinweisen, in: FamPra.ch 2011 S. 502 f.).
5.3 Das kantonale Vormundschaftsamt hielt in seinem Entscheid vom 15. März 2011 (vgl. Lit. B.b oben) in tatsächlicher Hinsicht fest, der Beschwerdeführer leiste zurzeit keine Kinderunterhaltsbeiträge und habe auch nicht versucht, die Unterhaltsfrage neu zu regeln. Die Eltern seien darüber hinaus nicht in der Lage, die mit Hilfe der zuständigen Vormundschaftsbehörde ausgehandelte Besuchsrechtsregelung umzusetzen, wobei sich der Beschwerdeführer nicht genau an die Abmachungen halte. Die Besuchsrechtsregelung gestalte sich gerade auch durch die unregelmässigen Arbeitszeiten beider Eltern und die ausländische Wohnsituation des Beschwerdeführers als schwierig.
Zwischen den Parteien fehle es an Kommunikations- und Kooperationsfähigkeit, was sich aus den Akten ergebe (diverse Korrespondenz zwischen den Eltern) und sich auch am Einigungsgespräch vor dem kantonalen Vormundschaftsamt vom 2. März 2011 gezeigt habe. Eine Mediation sei bereits an der Terminplanung gescheitert.
Das kantonale Vormundschaftsamt kam deshalb zum Schluss, ein Zusammenwirken der Eltern im Interesse des Kindes sei nicht mehr möglich, weshalb sich eine Neuregelung der Zuteilung der elterlichen Sorge aufdränge. Es ging im Ergebnis davon aus, die alleinige Zuteilung der elterlichen Sorge an die Mutter liege im Kindeswohl.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wies es mangels Bedürftigkeit des Beschwerdeführers ab.
5.4 In seiner Beschwerde vom 15. April 2011 (vgl. Lit. C.a oben) an das Kantonsgericht machte der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law> geltend, da keine wesentliche Veränderung im Sinne dieser Bestimmung vorliege. Er wandte sich sodann hauptsächlich gegen die erstinstanzlichen Tatsachenfeststellungen zur fehlenden Kommunikationsfähigkeit, zur Nichteinhaltung des Besuchsrechts, zum Verhalten der Kindsmutter und zu den ausstehenden Kinderunterhaltsbeiträgen. Er beantragte zudem, es sei ein Gutachten einzuholen zur Frage, ob mit Blick auf das Kindswohl eine Neuregelung der elterlichen Sorge geboten sei.
Gegen die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung legte der Beschwerdeführer detailliert dar, dass ihm entgegen den erstinstanzlichen Berechnungen kein Einkommensüberschuss verbleibe.
Gegen die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung legte der Beschwerdeführer detailliert dar, dass ihm entgegen den erstinstanzlichen Berechnungen kein Einkommensüberschuss verbleibe.
5.5 5.5.1 Das Kantonsgericht ist im angefochtenen Beschluss (vgl. Lit. D.b oben) zum Ergebnis gelangt, die Beschwerde gegen den Entscheid des kantonalen Vormundschaftsamts besitze sowohl in der Sache als auch gegen das abgewiesene Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege keine ernsthaften Erfolgsaussichten.
Der Antrag der Mutter auf alleinige Zuteilung der elterlichen Sorge stelle ein Indiz dafür dar, dass die gemeinsame elterliche Sorge nicht mehr funktioniere. Die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts der Eltern sei eine einschneidende Veränderung. Was die vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen betreffend fehlender Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit betrifft, mache eine auszugsweise Durchsicht des aufgezeichneten E-Mail-Verkehrs zwischen den Eltern klar, dass eine vernünftige Kooperation und Kommunikation fehle. Dies trage in keiner Weise zum Wohl des Kindes bei und stelle eine wesentliche Veränderung der Verhältnisse dar. Die Eltern seien massiv zerstritten. Ein konstruktives Zusammenwirken sei nicht mehr möglich. Die Mutter habe sich seit der Geburt und seit der Trennung der Eltern fast ausschliesslich um den Sohn gekümmert.
5.5.2 Durch sinngemässen Verweis auf die Verfügung der Kantonsgerichtspräsidentin vom 16. August 2011 (zur Zulässigkeit solcher Verweise vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 34) erachtete die Vorinstanz auch die Beschwerde gegen das abgewiesene Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung als aussichtslos. Der Beschwerdeführer habe seine Bedürftigkeit im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs nicht nachgewiesen. Im Übrigen hätte die erste Instanz das Gesuch auch wegen Aussichtslosigkeit abweisen können.
6. 6.1 Der Beschwerdeführer rügt vor Bundesgericht neben der Verletzung von <ref-law> ebenfalls eine Verletzung des Gleichheitsgebots (<ref-law> und insbesondere <ref-law>) und des Willkürverbots (<ref-law>).
6.2 Die Beschwerde erweist sich über weite Teile als unzulässig, da eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid fehlt (<ref-law>; vgl. E. 3.1 oben).
6.3 Das Kantonsgericht hat nicht nur die Beschwerde in der Sache, sondern auch die Beschwerde gegen die erstinstanzlich abgewiesene unentgeltliche Rechtspflege als aussichtslos betrachtet hat (vgl. E. 5.5.2 oben). Dies beanstandet der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht.
6.4 Der Beschwerdeführer wendet sich vor Bundesgericht wiederholt gegen den erstinstanzlichen Entscheid (Ziff. 10 am Ende, 13 und 14 der Beschwerde). Anfechtungsobjekt vor Bundesgericht ist jedoch einzig der Beschluss des Kantonsgerichts vom 7. September 2011 und damit die Frage, ob das Kantonsgericht zurecht von der Aussichtslosigkeit der Beschwerde gegen den erstinstanzlichen Entscheid ausging. Auf Rügen, die sich unmittelbar gegen den erstinstanzlichen Sachentscheid (Entzug der gemeinsamen elterlichen Sorge und Zuweisung der elterlichen Sorge an die Kindsmutter) richten, ist damit von vornherein nicht einzutreten.
6.5 Das Kantonsgericht hat bereits die fehlende Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit als wesentliche Veränderung erachtet, welche die Neuregelung der elterlichen Sorge zum Wohl des Kindes nötig mache.
Der Beschwerdeführer führt insoweit aus, er sei als fürsorgender Vater sehr wohl kooperationsfähig und -willig. Es bestünden zwischen den Eltern keine konkreten, unüberbrückbaren Meinungsverschiedenheiten (Ziff. 10 und 14 der Beschwerde). Damit wendet er sich gegen die kantonsgerichtliche Sachverhaltsfeststellung, ohne jedoch insoweit eine substanziierte Rüge vorzubringen (<ref-law>; vgl. E. 3.2 oben). Darauf ist ebenfalls nicht einzutreten.
6.6 Der Beschwerdeführer bringt mehrere Rügen gegen die kantonsgerichtliche Erwägung vor, wonach der Antrag eines Elternteils auf Neuregelung ein Indiz darstelle, dass die gemeinsame elterliche Sorge nicht mehr dem Kindeswohl entspreche (Ziff. 8 f. der Beschwerde).
Erachtete das Kantonsgericht wie erwähnt bereits die fehlende Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit für sich als ausschlaggebend und kann auf die dagegen gerichteten Rügen des Beschwerdeführers nicht eingetreten werden (vgl. E. 6.5 oben), erübrigt es sich, auf die Erwägungen des Kantonsgerichts einzugehen, wonach der Antrag ein Indiz im wiedergegebenen Sinne darstelle. Blosse Erwägungen bedeuten keine Beschwer, weshalb sich diese Rügen von vornherein als unzulässig erweisen (<ref-ruling> E. 6 S. 328).
6.7 Weiter legt er dar, die kantonsgerichtliche Sachverhaltsfeststellung, wonach er seiner Unterhaltspflicht nur unregelmässig nachgekommen sei, sei willkürlich (Ziff. 12 der Beschwerde). Auf diese Rüge gegen die kantonsgerichtliche Sachverhaltsfeststellung ist ebenfalls nicht einzutreten. Wie soeben erwähnt, hat das Kantonsgericht bereits die fehlende Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit für ausschlaggebend erachtet. Ist damit die Sachverhaltsfeststellung zur Zahlungsmoral des Beschwerdeführers nicht entscheidwesentlich, ist auf die dagegen gerichtete Rüge nicht einzutreten (<ref-law>; vgl. E. 3.2 oben).
6.7 Weiter legt er dar, die kantonsgerichtliche Sachverhaltsfeststellung, wonach er seiner Unterhaltspflicht nur unregelmässig nachgekommen sei, sei willkürlich (Ziff. 12 der Beschwerde). Auf diese Rüge gegen die kantonsgerichtliche Sachverhaltsfeststellung ist ebenfalls nicht einzutreten. Wie soeben erwähnt, hat das Kantonsgericht bereits die fehlende Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit für ausschlaggebend erachtet. Ist damit die Sachverhaltsfeststellung zur Zahlungsmoral des Beschwerdeführers nicht entscheidwesentlich, ist auf die dagegen gerichtete Rüge nicht einzutreten (<ref-law>; vgl. E. 3.2 oben).
6.8 6.8.1 Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, mit der geplanten Revision des elterlichen Sorgerechts des ZGB werde der Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge unabhängig vom Zivilstand der Eltern statuiert. Damit setze er sich mit seiner Beschwerde für die Beibehaltung eines Zustands ein (gemeinsame elterliche Sorge), der zukünftig dem gesetzlichen Regelfall entsprechen werde. Seine Beschwerde könne demnach von vornherein nicht als aussichtslos bezeichnet werden und das Kantonsgericht verletze <ref-law>.
6.8.2 Art. 298a des Entwurfs des Bundesrats zu Änderung des ZGB im Bereich der elterliche Sorge (BBl 2011 9117) sieht vor, dass bei nicht verheirateten Eltern, wenn der Vater das Kind anerkannt hat, die gemeinsame elterliche Sorge aufgrund einer gemeinsamen Erklärung der Eltern zustande kommt. Weigert sich ein Elternteil, die Erklärung über die gemeinsame elterliche Sorge abzugeben, so kann der andere Elternteil die Kindesschutzbehörde anrufen (Art. 298b Abs. 1 E-ZGB); diese verfügt die gemeinsame elterliche Sorge, sofern nicht zur Wahrung der Interessen des Kindes an der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter festzuhalten oder die alleinige Sorge dem Vater zu übertragen ist (Art. 298b Abs. 2 E-ZGB).
Gemäss der Botschaft vom 16. November 2011 zur Änderung des ZGB im Bereich der elterlichen Sorge (BBl 2011 9105 Ziff. 2.1 zu Art. 298b E-ZGB) soll "ungeachtet der vorgeschlagenen Terminologie" von Art. 298b Abs. 2 E-ZGB einem Elternteil die gemeinsame elterliche Sorge nur dann vorenthalten werden können, wenn die Kindesschutzbehörde Anlass hätte, sie ihm andernfalls gleich wieder zu entziehen. Der Massstab, den die Kindesschutzbehörde ihrem Entscheid zugrunde legen müsse, decke sich damit neu mit jenem von <ref-law>.
Die Voraussetzungen für die Verweigerung der gemeinsamen elterlichen Sorge sowie für deren späteren Entzug wären demnach nach dem neuen Recht höher (Voraussetzungen nach <ref-law>) als nach geltendem Recht (<ref-law>; vgl. auch E. 5.2 oben).
6.8.3 Vorauszuschicken ist, dass der Gehalt von Art. 298b Abs. 2 E-ZGB noch nicht relativ sicher festzustehen scheint (vgl. E. 6.8.2 Abs. 2 oben).
Zwar kann eine laufende Gesetzesrevision bei der Auslegung einer Norm des geltenden Rechts in gewissen Fällen berücksichtigt werden. Dies gilt aber nur, wenn anders als vorliegend das geltende System nicht grundsätzlich geändert, sondern nur eine Konkretisierung des bestehenden Rechtszustands angestrebt wird oder Lücken des geltenden Rechts ausgefüllt werden sollen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 404; <ref-ruling> E. 5d S. 201). Soll künftiges Recht eine Änderung von geltendem Recht bewirken, kann aus dem künftigen abzuändernden Recht vielmehr gerade geschlossen werden, wie das geltende Recht zu verstehen ist (<ref-ruling> E. 1g S. 529; vgl. auch RIEMER, Neuer privatrechtliche Bundesgerichtsentscheide zur Vorwirkung von Gesetzen, recht 1993, S. 224). Nichts Anderes ergibt sich aus <ref-law> sowie aus Art. 12 Abs. 4 SchlT E-ZGB (BBl 2011 9119; vgl. auch die Botschaft zur Änderung des ZGB im Bereich der elterlichen Sorge, BBl 2011 9105 Ziff. 2.1 zu Art. 298b Fn. 35).
6.8.4 Beurteilt sich damit das Gesuch der Kindsmutter um Neuregelung der elterlichen Sorge ausschliesslich nach geltendem Recht, kann der Beschwerdeführer für die Beurteilung der Aussichtslosigkeit seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege aus der geplanten Gesetzesrevision nichts für sich ableiten. Diese Rüge der Verletzung von <ref-law> erweist sich demnach als unbegründet.
7. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Das Kantonsgericht wird dem Beschwerdeführer eine neue Frist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen haben.
Der Beschwerdeführer wird kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 66 und 68 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann nicht entsprochen werden, zeigen doch die vorstehenden Erwägungen auf, dass seine Beschwerde von Beginn weg keinen Erfolg haben konnte (<ref-law>). An der Beurteilung der Erfolgsaussichten ändert die Bewilligung der aufschiebenden Wirkung nichts, die lediglich zur Aufrechterhaltung des bestehenden Zustandes während der kurzen Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens und somit nicht aufgrund einer positiven Hauptsacheprognose erteilt wurde (<ref-ruling> E. 2.2 S. 155).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Kammer der Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bettler