Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Y._, geboren am 20. August 1985, wurde mit Entscheid des Jugendstrafgerichts des Kantons Basel-Stadt (Jugendstrafkammer) vom 6. Januar 1999 in ein Erziehungsheim eingewiesen. In diesem Verfahren wurde er von lic. iur. Sabine Bürgisser, Advokatin, unentgeltlich verteidigt. Gegen die gewählte Institution, das Jugendheim A._, wehrte sich X._, die Mutter des massnahmebedürftigen Jugendlichen, vehement. Prägend wirkten auf Y._ unter anderem zwei Aufenthalte auf dem in den Gewässern der Weltmeere kreuzenden Jugendschiff Ruach, einem Angebot für Jugendliche, die eine besonders intensive individuelle Betreuung benötigen. Am 19. April 2002 verfügte die Präsidentin des Jugendstrafgerichts, Y._ sei in Abänderung des Entscheides der Jugendstrafkammer vorsorglich in der Anstalt für Nacherziehung B._ unterzubringen. Dabei führte sie zum weiteren Vorgehen aus, nach Vorliegen eines jugendpsychiatrischen Gutachtens werde das Jugendstrafgericht nach persönlicher Anhörung von Y._ und seiner Mutter darüber zu befinden haben, ob die Massnahme definitiv in der Anstalt B._ weiterzuführen sei. Mit Überweisung vom 21. November 2002 beantragte die Jugendanwaltschaft dem Jugendstrafgericht aufgrund von mutmasslich zwischen dem 14. Januar 2001 und dem 7. Februar 2002 verübten Straftaten die Einweisung in eine Anstalt für Nacherziehung nebst besonderer Behandlung.
A. Y._, geboren am 20. August 1985, wurde mit Entscheid des Jugendstrafgerichts des Kantons Basel-Stadt (Jugendstrafkammer) vom 6. Januar 1999 in ein Erziehungsheim eingewiesen. In diesem Verfahren wurde er von lic. iur. Sabine Bürgisser, Advokatin, unentgeltlich verteidigt. Gegen die gewählte Institution, das Jugendheim A._, wehrte sich X._, die Mutter des massnahmebedürftigen Jugendlichen, vehement. Prägend wirkten auf Y._ unter anderem zwei Aufenthalte auf dem in den Gewässern der Weltmeere kreuzenden Jugendschiff Ruach, einem Angebot für Jugendliche, die eine besonders intensive individuelle Betreuung benötigen. Am 19. April 2002 verfügte die Präsidentin des Jugendstrafgerichts, Y._ sei in Abänderung des Entscheides der Jugendstrafkammer vorsorglich in der Anstalt für Nacherziehung B._ unterzubringen. Dabei führte sie zum weiteren Vorgehen aus, nach Vorliegen eines jugendpsychiatrischen Gutachtens werde das Jugendstrafgericht nach persönlicher Anhörung von Y._ und seiner Mutter darüber zu befinden haben, ob die Massnahme definitiv in der Anstalt B._ weiterzuführen sei. Mit Überweisung vom 21. November 2002 beantragte die Jugendanwaltschaft dem Jugendstrafgericht aufgrund von mutmasslich zwischen dem 14. Januar 2001 und dem 7. Februar 2002 verübten Straftaten die Einweisung in eine Anstalt für Nacherziehung nebst besonderer Behandlung.
B. Am 29. April 2002 teilte Sabine Bürgisser der Präsidentin des Jugendstrafgerichts mit, X._ habe sie mit der Wahrung ihrer Interessen beauftragt. Sobald die notwendigen Unterlagen vorhanden seien, werde X._ ein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung einreichen. Am 6. Mai 2002 gelangte Dr. Beat Schmidli, Advokat, ebenfalls an die Präsidentin des Jugendstrafgerichts. Gemäss Vollmachten vertrete er die Interessen von Y._; er ersuche sie darum, ihn zu dessen unentgeltlichem Rechtsbeistand zu ernennen. Mit Schreiben vom 2. Dezember 2002 bewilligte die Präsidentin in Bezug auf Y._ die unentgeltliche Verteidigung. Demgegenüber lehnte sie am 3. Dezember 2002 das Gesuch von X._ um unentgeltliche Verbeiständung ab. Sie verneinte einen auf <ref-law> gestützten Anspruch; die Notwendigkeit, einen Rechtsbeistand beizuziehen, sei nicht gegeben. Es habe sich klar gezeigt, dass zwischen den Interessen des Angeschuldigten und seiner Mutter keine Kollision bestanden habe, indem beide den Wunsch nach Rückkehr von Y._ zur Mutter geäussert hätten. Daran habe sich bis heute nichts geändert.
B. Am 29. April 2002 teilte Sabine Bürgisser der Präsidentin des Jugendstrafgerichts mit, X._ habe sie mit der Wahrung ihrer Interessen beauftragt. Sobald die notwendigen Unterlagen vorhanden seien, werde X._ ein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung einreichen. Am 6. Mai 2002 gelangte Dr. Beat Schmidli, Advokat, ebenfalls an die Präsidentin des Jugendstrafgerichts. Gemäss Vollmachten vertrete er die Interessen von Y._; er ersuche sie darum, ihn zu dessen unentgeltlichem Rechtsbeistand zu ernennen. Mit Schreiben vom 2. Dezember 2002 bewilligte die Präsidentin in Bezug auf Y._ die unentgeltliche Verteidigung. Demgegenüber lehnte sie am 3. Dezember 2002 das Gesuch von X._ um unentgeltliche Verbeiständung ab. Sie verneinte einen auf <ref-law> gestützten Anspruch; die Notwendigkeit, einen Rechtsbeistand beizuziehen, sei nicht gegeben. Es habe sich klar gezeigt, dass zwischen den Interessen des Angeschuldigten und seiner Mutter keine Kollision bestanden habe, indem beide den Wunsch nach Rückkehr von Y._ zur Mutter geäussert hätten. Daran habe sich bis heute nichts geändert.
C. Mit Gesuch vom 21. November 2002 beantragte Y._ seine Versetzung in eine halb offene Gruppe. X._ machte dazu am 10. Dezember 2002 geltend, bei einem Übertritt von Y._ in die Wohngruppe würde das Ziel der Heimkehr zur Mutter in noch weitere Ferne rücken. Y._ hielt mit Eingabe vom 16. Dezember 2002 trotz des fehlenden Einverständnisses seiner Mutter an seinem Gesuch fest. Dieses bewilligte die Präsidentin des Jugendstrafgerichts am 7. Januar 2003. Sie erwog unter anderem, dadurch werde die Verhandlung vor Jugendstrafgericht vom 21. Mai 2003 nicht präjudiziert.
C. Mit Gesuch vom 21. November 2002 beantragte Y._ seine Versetzung in eine halb offene Gruppe. X._ machte dazu am 10. Dezember 2002 geltend, bei einem Übertritt von Y._ in die Wohngruppe würde das Ziel der Heimkehr zur Mutter in noch weitere Ferne rücken. Y._ hielt mit Eingabe vom 16. Dezember 2002 trotz des fehlenden Einverständnisses seiner Mutter an seinem Gesuch fest. Dieses bewilligte die Präsidentin des Jugendstrafgerichts am 7. Januar 2003. Sie erwog unter anderem, dadurch werde die Verhandlung vor Jugendstrafgericht vom 21. Mai 2003 nicht präjudiziert.
D. Gegen die Verfügung der Präsidentin des Jugendstrafgerichts vom 3. Dezember 2002 betreffend Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung erhob X._ Beschwerde. Sie machte vor dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (Ausschuss) unter anderem geltend, es bestehe eine Interessenkollision zwischen Mutter und Sohn, was auch die Verbeiständung der Mutter notwendig mache. Mit Urteil vom 29. Januar 2003 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab. Ein Interessenkonflikt sei im vorliegenden Fall entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführerin "nicht in Sicht". Damit sei die Notwendigkeit der unentgeltlichen Verbeiständung der Beschwerdeführerin zu verneinen. Das Begehren um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren wurde wegen offensichtlicher Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels ebenfalls abgewiesen.
D. Gegen die Verfügung der Präsidentin des Jugendstrafgerichts vom 3. Dezember 2002 betreffend Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung erhob X._ Beschwerde. Sie machte vor dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (Ausschuss) unter anderem geltend, es bestehe eine Interessenkollision zwischen Mutter und Sohn, was auch die Verbeiständung der Mutter notwendig mache. Mit Urteil vom 29. Januar 2003 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab. Ein Interessenkonflikt sei im vorliegenden Fall entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführerin "nicht in Sicht". Damit sei die Notwendigkeit der unentgeltlichen Verbeiständung der Beschwerdeführerin zu verneinen. Das Begehren um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren wurde wegen offensichtlicher Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels ebenfalls abgewiesen.
E. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 13. März 2003 gelangt X._ ans Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids vom 29. Januar 2003 sowie die Rückweisung der Sache an das Appellationsgericht zur Neubeurteilung. Zudem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung. Sie rügt nebst einer Verletzung des Gleichbehandlungsgebots insbesondere die Missachtung des Willkürverbots (<ref-law>) und des Anspruchs auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand gemäss <ref-law>. Ausserdem werde im angefochtenen Entscheid auf eine Verfügung Bezug genommen, die gar nicht existiere.
Das Jugendstrafgericht des Kantons Basel-Stadt verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Appellationsgericht beschränkt seine Vernehmlassung vom 4. April 2003 auf die Rüge, es sei auf eine nicht existierende Verfügung Bezug genommen worden. Es entspreche der Praxis, dass der für den Entscheid betreffend die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege allein zuständige Referent im Rahmen seines Urteilsentwurfs darüber entscheide. Diese Verfügung werde mit dem Entscheid in der Sache selbst eröffnet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Gegen Zwischenentscheide ist die staatsrechtliche Beschwerde gemäss Art. 87 Abs. 2 OG nur zulässig, wenn diese einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken können. Eine Ausnahme gilt lediglich für Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren, die ihrer Natur nach endgültig zu beurteilen sind, bevor das Verfahren weitergeführt werden kann (Art. 87 Abs. 1 OG). Nach der Praxis des Bundesgerichts liegt in aller Regel ein nicht wiedergutzumachender Nachteil unter anderem vor, wenn - wie hier - kantonal letztinstanzlich (Art. 86 Abs. 1 OG) entschieden wird, der Beschwerdeführerin bzw. dem Beschwerdeführer könne die unentgeltliche Verbeiständung nicht gewährt werden (<ref-ruling> E. 2a S. 210 f.; <ref-ruling>, nicht publizierte E. 1; <ref-ruling> E. 28b S. 278 f.).
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten. Soweit die Beschwerdeführerin sich indessen auf das Gebot der Gleichbehandlung zwischen Mutter und Sohn in Verbindung mit Art. 9 Abs. 2 des Übereinkommens über die Rechte des Kindes beruft, um ihren Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung zu begründen, ist auf ihre Rüge mangels hinreichender Begründung nicht einzugehen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten. Soweit die Beschwerdeführerin sich indessen auf das Gebot der Gleichbehandlung zwischen Mutter und Sohn in Verbindung mit Art. 9 Abs. 2 des Übereinkommens über die Rechte des Kindes beruft, um ihren Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung zu begründen, ist auf ihre Rüge mangels hinreichender Begründung nicht einzugehen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
2. Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, das Appellationsgericht sei durch die Weigerung, eine Bestimmung des kantonalen Gesetzes über die Jugendstrafrechtspflege vom 20. Mai 1999 (JuStG; SG 257.500) analog anzuwenden, in Willkür verfallen.
2.1 Ausgangspunkt jeder Auslegung ist der Wortlaut der Bestimmung. Ist der Text nicht ganz klar und sind verschiedene Auslegungen möglich, so muss nach seiner wahren Tragweite gesucht werden unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente, wobei es namentlich auf den Zweck der Regelung, die dem Text zugrunde liegenden Wertungen sowie auf den Sinnzusammenhang ankommt, in dem die Norm steht (<ref-ruling> E. 3 S.118; <ref-ruling> E. 3 S. 58 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 196; <ref-ruling> E. 2a S. 403 f., je mit Hinweisen). Beim Analogieschluss ist nicht immer leicht zu entscheiden, ob sich dieser im Bereich der Auslegung oder demjenigen der Lückenfüllung bewegt (David Dürr, in: Zürcher Kommentar, N 525 zu <ref-law>).
Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht weicht vom Entscheid der kantonalen Instanz nur ab, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 5a S. 70; <ref-ruling> E. 4a S. 5, je mit Hinweisen).
2.2 Nach § 12 JuStG wird angeschuldigten Jugendlichen ein Verteidiger beigegeben, sobald ersichtlich ist, dass sie sich wegen der schwierigen Sach- oder Rechtslage oder aus anderen Gründen nicht selbst verteidigen können, und wenn anzunehmen ist, dass die Verbeiständung durch die gesetzliche Vertreterin bzw. den gesetzlichen Vertreter nicht genügt. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei willkürlich, diese Bestimmung nicht analog auf den sorgeberechtigten Elternteil des Angeschuldigten anzuwenden. Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, es ergebe sich aus dem Gesetz und sei offensichtlich, dass den Eltern im Jugendstrafverfahren eine besondere Stellung zukomme. Da sie gemäss § 46 Abs. 1 JuStG auch zur Erhebung von Rechtsmitteln legitimiert seien, sei davon auszugehen, dass sie als Partei zu behandeln seien. Damit wäre es zwar denkbar, für die Fälle der notwendigen Verteidigung des Jugendlichen per analogiam auch auf die Notwendigkeit der Verbeiständung der Eltern zu schliessen. Die gegenteilige, sich am Wortlaut von § 12 JuStG orientierende Auffassung des Appellationsgerichts, wonach das Jugendstrafrechtspflegegesetz nur den Rechtsbeistand der angeschuldigten Person regeln soll, ist aber keinesfalls willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 88).
2.2 Nach § 12 JuStG wird angeschuldigten Jugendlichen ein Verteidiger beigegeben, sobald ersichtlich ist, dass sie sich wegen der schwierigen Sach- oder Rechtslage oder aus anderen Gründen nicht selbst verteidigen können, und wenn anzunehmen ist, dass die Verbeiständung durch die gesetzliche Vertreterin bzw. den gesetzlichen Vertreter nicht genügt. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei willkürlich, diese Bestimmung nicht analog auf den sorgeberechtigten Elternteil des Angeschuldigten anzuwenden. Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, es ergebe sich aus dem Gesetz und sei offensichtlich, dass den Eltern im Jugendstrafverfahren eine besondere Stellung zukomme. Da sie gemäss § 46 Abs. 1 JuStG auch zur Erhebung von Rechtsmitteln legitimiert seien, sei davon auszugehen, dass sie als Partei zu behandeln seien. Damit wäre es zwar denkbar, für die Fälle der notwendigen Verteidigung des Jugendlichen per analogiam auch auf die Notwendigkeit der Verbeiständung der Eltern zu schliessen. Die gegenteilige, sich am Wortlaut von § 12 JuStG orientierende Auffassung des Appellationsgerichts, wonach das Jugendstrafrechtspflegegesetz nur den Rechtsbeistand der angeschuldigten Person regeln soll, ist aber keinesfalls willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 88).
3. Des Weiteren wirft die Beschwerdeführerin den kantonalen Instanzen vor, willkürlich einen Interessenkonflikt zwischen ihr und ihrem Sohn verneint zu haben.
3.1 Willkür in der Tatsachenfeststellung ist einerseits gegeben, wenn entscheiderhebliche tatsächliche Feststellungen offensichtlich falsch sind. Andererseits ist es ebenso unhaltbar, wenn eine Behörde Sachverhaltselementen Rechnung trägt, die keinerlei Bedeutung haben, oder entscheidende Tatsachen ausser Acht lässt (<ref-ruling> E. 3b S. 307). Weitere Hinweise lassen sich aus den Regeln zur Bindung des Bundesgerichts an die Sachverhaltsfeststellungen der kantonalen Behörden im Rahmen der staatsrechtlichen Beschwerde gewinnen. Demnach prüft das Bundesgericht den Sachverhalt betreffende Rügen darauf hin, ob die Vorinstanz diesen in Verletzung der rechtsstaatlichen Mindestanforderungen offensichtlich unvollständig oder unrichtig, somit willkürlich festgestellt hat (<ref-ruling> E. 2c S. 397; <ref-ruling> E. 2a S. 190 f. mit Hinweisen).
3.2 Das Appellationsgericht führt aus, ein Interessenkonflikt zwischen Mutter und Kind sei entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführerin nicht in Sicht. Diese Annahme stützt sie auf die tatsächliche Feststellung, sowohl X._ als auch Y._ hätten anlässlich der Überweisungsverhandlung vor der Jugendanwältin vom 15. Mai 2002 und damit Monate vor Stellung des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung übereinstimmend den Wunsch nach Rückkehr des Sohnes zur Mutter geäussert. Diese Angaben finden sich denn auch im Protokoll der Überweisungsverhandlung, wobei Y._ auch die Frage, ob "eine Lehre in der Anstalt B._" möglich wäre, bejaht, die Mutter hingegen einen weiteren Heimaufenthalt als ungerechtfertigt bezeichnet hat. Die isoliert wiedergegebenen Äusserungen der Beteiligten lassen indessen wesentliche Aspekte des vorliegenden Falles ausser Acht, wie die nachfolgende Aufarbeitung des Sachverhalts zeigt.
3.3 Mit Schreiben vom 15. Februar 2000 gelangte das Jugendheim A._ an die Amtsvormundschaft des Kantons Basel-Stadt. Die Heimleitung sehe kaum eine Chance für eine Zusammenarbeit mit der Beschwerdeführerin. Mit Bericht vom 6. März 2000 wurde gleichzeitig festgehalten, Y._ habe sich aus freien Stücken entschieden, länger auf dem Jugendschiff zu bleiben. Y._ sei sich bewusst, dass dieser Entscheid in der Schweiz wieder hohe Wellen schlagen werde. Im Bericht vom 15. April 2002 erwähnte das Jugendheim A._, dass X._ die Institution in Gegenwart von Y._ bezichtigt habe, bei der Wegnahme ihres älteren Sohnes Z._ massgeblich beteiligt gewesen zu sein. Dieses lasse sie sich nicht ein zweites Mal bieten. Aufgrund mehrerer Vorfälle wurde Y._ vom Jugendheim A._ am 21. März 2002 als dort nicht mehr tragbar bezeichnet und entlassen. Mit Verfügung der Präsidentin des Jugendstrafgerichts vom 19. April 2002 wurde er vorsorglich in die Anstalt B._ eingewiesen. X._ hatte zuvor mit Schreiben vom 17. April 2002 erklärt, sie könne dieser Massnahme nicht zustimmen. Die Jugendanwaltschaft hielt mit Aktennotiz vom 16. September 2002 fest, es werde berichtet, dass die Beschwerdeführerin ihren Sohn auffordere, nach Hause zu kommen.
3.4 Am 21. November 2002 ersuchte Y._ um Versetzung in eine halb offene Wohngruppe. Das Jugendheim erwähnte in der das Gesuch befürwortenden Stellungnahme vom gleichen Tage, dass Y._ den Übertritt in eine Folgeeinrichtung bisher unter Hinweis auf die ausstehende Gerichtsverhandlung abgelehnt habe. Die Beschwerdeführerin liess mit Eingabe vom 10. Dezember 2002 ausführen, es sei versucht worden, die Beziehung zwischen Mutter und Sohn möglichst zu torpedieren und die Autorität der Mutter zu untergraben. Sie habe zu keiner Zeit ihr Einverständnis zur Einweisung in die Anstalt B._ erklärt. Bei einem Übertritt von Y._ in die Wohngruppe würde das Ziel der Heimkehr zur Mutter in noch weitere Ferne rücken; der grössere Einbezug der Beschwerdeführerin in das Leben ihres Sohnes werde ad infinitum verschoben. Schliesslich führe der Übertritt zu einer Zementierung eines Lebensweges in einer Anstalt, die der Mutter nicht als geeignet erscheine. Mit Schreiben vom 16. Dezember 2002 teilte Y._ hierauf mit, dass seine Mutter ihn über ihr Nichteinverständnis zum Wechsel persönlich informiert habe. Er halte am Gesuch trotzdem fest. Sein Fernziel sei jedoch auch weiterhin die Rückkehr zu seiner Mutter nach C._. Durch die Wahl des Wortes Fernziel wird auch die im Gesuch vom 21. November 2002 gemachte Aussage, dieses bedeute nicht, dass er in diesem Heim bleiben wolle, relativiert. Am 7. Januar 2003 gab die Präsidentin des Jugendstrafgerichts dem Gesuch um Versetzung statt. Sie hielt unter anderem fest, der Antrag werde von der Heimleitung und vom Aufsichtsorgan unterstützt, während die Mutter von Y._ dem Wechsel ablehnend gegenüberstehe. Diese nicht deckungsgleichen Positionen sind auch darum von nicht zu unterschätzender Bedeutung, weil das von den Universitären Psychiatrischen Diensten (UPD) Bern am 20. September 2002 erstattete Gutachten unter anderem die Frage beantworten sollte, ob eine Rückkehr zur Mutter sinnvoll oder hinderlich sei für die Entwicklung des Jugendlichen. Entsprechend bemüht sich X._ um ein Gegengutachten. Schliesslich hat sie im Unterschied zu ihrem Sohn bzw. dessen Rechtsvertreter die örtliche Zuständigkeit des Jugendstrafgerichts des Kantons Basel-Stadt, zuletzt mit Eingabe an das EJPD vom 17. Januar 2003, in Frage gestellt.
3.5 Dem Appellationsgericht ist zuzustimmen, wenn es festhält, es sei grundsätzlich - und dies sei auch die Konzeption des Gesetzgebers - davon auszugehen, dass Eltern und straffällig gewordene Jugendliche "am gleichen Strick" ziehen. Nach dem Gesagten erscheint demgegenüber die im angefochtenen Entscheid getroffene Aussage, auch im vorliegenden Fall sei eine Interessenkollision "nicht in Sicht", als schlechterdings unhaltbar. Bei der diesbezüglichen Sachverhaltsfeststellung ist generell Vorsicht geboten. So wird denn in der Lehre zur Frage, ob der gesetzliche Vertreter in der Lage sei, die Interessen des straffälligen Jugendlichen wahrzunehmen (vgl. dazu § 12 JuStG sowie E. 2.2 hiervor), ausgeführt, es sei zu berücksichtigen, dass es den Eltern an der nötigen Distanz zum eigenen Kind fehle. Diese würden als erziehungsberechtigte Personen durch das laufende Verfahren gleichsam in Frage gestellt (Sabine Herrmann, Die Rolle der Verteidigung in der Jugendstrafrechtspflege, Diss. Basel 1996, S. 49 f. mit Hinweisen). Dies gilt insbesondere dann, wenn Behördenvertreter - wie im vorliegenden Fall mehrfach geschehen - einem Elternteil vorwerfen, sein Verhalten sei der Entwicklung des Jugendlichen nicht förderlich. Die Eingaben vom 21. November und vom 16. Dezember 2002 zeigen das subtile Bemühen von Y._, seine Interessen entgegen der ablehnenden Stellungnahme der Beschwerdeführerin wahrzunehmen, ohne dadurch den Standpunkt seiner Mutter und damit sie selbst zu desavouieren. Demnach gibt es durchaus Anhaltspunkte für nicht kongruente Interessen der Verfahrensbeteiligten, die sich auch auf die Verhandlung vor Jugendgericht auswirken könnten.
3.5 Dem Appellationsgericht ist zuzustimmen, wenn es festhält, es sei grundsätzlich - und dies sei auch die Konzeption des Gesetzgebers - davon auszugehen, dass Eltern und straffällig gewordene Jugendliche "am gleichen Strick" ziehen. Nach dem Gesagten erscheint demgegenüber die im angefochtenen Entscheid getroffene Aussage, auch im vorliegenden Fall sei eine Interessenkollision "nicht in Sicht", als schlechterdings unhaltbar. Bei der diesbezüglichen Sachverhaltsfeststellung ist generell Vorsicht geboten. So wird denn in der Lehre zur Frage, ob der gesetzliche Vertreter in der Lage sei, die Interessen des straffälligen Jugendlichen wahrzunehmen (vgl. dazu § 12 JuStG sowie E. 2.2 hiervor), ausgeführt, es sei zu berücksichtigen, dass es den Eltern an der nötigen Distanz zum eigenen Kind fehle. Diese würden als erziehungsberechtigte Personen durch das laufende Verfahren gleichsam in Frage gestellt (Sabine Herrmann, Die Rolle der Verteidigung in der Jugendstrafrechtspflege, Diss. Basel 1996, S. 49 f. mit Hinweisen). Dies gilt insbesondere dann, wenn Behördenvertreter - wie im vorliegenden Fall mehrfach geschehen - einem Elternteil vorwerfen, sein Verhalten sei der Entwicklung des Jugendlichen nicht förderlich. Die Eingaben vom 21. November und vom 16. Dezember 2002 zeigen das subtile Bemühen von Y._, seine Interessen entgegen der ablehnenden Stellungnahme der Beschwerdeführerin wahrzunehmen, ohne dadurch den Standpunkt seiner Mutter und damit sie selbst zu desavouieren. Demnach gibt es durchaus Anhaltspunkte für nicht kongruente Interessen der Verfahrensbeteiligten, die sich auch auf die Verhandlung vor Jugendgericht auswirken könnten.
4. In der Hauptsache macht die Beschwerdeführerin geltend, das Appellationsgericht habe mit dem angefochtenen Entscheid ihren verfassungsmässigen Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung verkannt.
4.1 Die wirksame Wahrung von Rechten soll nach heutiger rechtsstaatlicher Auffassung nicht davon abhängen, ob ein Verfahrensbeteiligter vermögend ist oder nicht. Gemäss <ref-law> hat die bedürftige Partei in einem für sie nicht aussichtslosen Verfahren Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und auf Ernennung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes, sofern sie eines solchen zur gehörigen Wahrung ihrer Interessen bedarf (<ref-ruling> E. 2.3 S. 227). Diesen verfassungsrechtlichen Mindeststandard haben Lehre und Praxis bereits aus Art. 4 aBV abgeleitet (Urteil 1A.225/1999 vom 13. März 2000, publiziert in: Pra 89/2000 Nr. 151, E. 2a; <ref-ruling> E. 3b S. 163). Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege besteht für jedes staatliche Verfahren, in welches der Gesuchsteller einbezogen wird oder welches zur Wahrung seiner Rechte notwendig ist. Nicht entscheidend ist dabei die Rechtsnatur der Entscheidungsgrundlagen oder jene des in Frage stehenden Verfahrens (<ref-ruling> E. 2.3 S. 227 mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat in einem den Kanton Basel-Stadt betreffenden Fall erkannt, dass auch im Jugendstrafverfahren die Rechtsverbeiständung des straffälligen Jugendlichen unter Umständen bereits im Untersuchungsverfahren geboten sein könne. Dabei hat es festgehalten, es sei im Jugendstrafprozess schwierig festzulegen, wann ein Anspruch auf Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes bestehe. Die Dauer der drohenden Strafe könne im Hinblick auf die Elastizität des für Jugendliche geltenden Straf- und Massnahmensystems keinen allgemein gültigen Massstab bilden. Hingegen könne in Anlehnung an die das Strafverfahren für Erwachsene betreffende Rechtsprechung des Bundesgerichts als Richtlinie aufgestellt werden, die Verteidigung sei in schweren oder komplizierten Fällen notwendig (<ref-ruling> E. 3c S. 85 f.).
4.2 Vorliegend ist unbestritten, dass Y._ Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung hat. Das Appellationsgericht führt dazu aus, es leide keinen Zweifel, dass der zu treffende Entscheid, ob die am 6. Januar 1999 beschlossene Massnahme einer Änderung (Verschärfung) bedürfe, für den betroffenen Jugendlichen von einiger Tragweite sei. Daher sei Y._ die unentgeltliche Verbeiständung durch Dr. Beat Schmidli bewilligt worden. Es stelle sich damit die Frage, ob vor diesem Hintergrund eine anwaltliche Vertretung auch der Beschwerdeführerin sachlich notwendig sei.
4.3 In anderem Zusammenhang führt das Appellationsgericht aus, es rechtfertige sich, die Eltern im Jugendstrafverfahren als Partei zu behandeln (vgl. E. 2.2 hiervor). Die Massnahmen, die im Rahmen eines derartigen Verfahrens gemäss <ref-law> gegen einen Jugendlichen angeordnet werden können, bedeuten gemäss dem angefochtenen Entscheid de facto einen ähnlichen Eingriff in die Elternrechte wie der Entzug der elterlichen Obhut nach <ref-law>. Die Tatsache, dass die Eltern das Recht haben, sich im Jugendstrafverfahren anwaltlich vertreten zu lassen, spricht demzufolge dafür, dass auch die unentgeltliche Verbeiständung unter gewissen Voraussetzungen als notwendig erscheint. Wäre dem nicht so, würden unbemittelte Eltern benachteiligt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3d S. 86).
Y._ blickt auf mehrere Fremdplatzierungen von insgesamt mehr als drei Jahren Dauer zurück. Prägend war die mehrfache Unterbringung in geschlossener Umgebung. Insbesondere auf dem Jugendschiff Ruach waren die Kontaktmöglichkeiten - namentlich aus der Sicht der Mutter - sehr eingeschränkt. Der Eingriff in die Sphäre der Beschwerdeführerin wird noch dadurch verstärkt, dass mehrere ihrer Kinder von vormundschaftlichen Massnahmen bis zur zeitweisen Fremdplatzierung betroffen waren. Die Auseinandersetzung mit Behörden und der "Kampf um ihre Kinder" prägen ihr Leben in hohem Masse. Zudem spricht das Verhalten des Jugendlichen während dieser Zeit für eine besonders schwierige Charakterstruktur, welche die Natur der zu verhängenden Massnahme mitbestimmt. Des Weiteren müssen neue Delikte in die Beurteilung miteinbezogen werden. Dies gibt dem Jugendstrafgericht zusätzliche Möglichkeiten, wobei die Abänderbarkeit der Massnahme an sich der zuständigen Behörde bereits einen grossen Gestaltungsspielraum eröffnet (Marie Boehlen, Kommentar zum schweizerischen Jugendstrafrecht, Bern 1975, Art. 93 N 2 i.V.m. Art. 86 N 3). Zudem ist das Akteneinsichtsrecht der Eltern nach § 14 Abs. 1 des Jugendstrafrechtspflegegesetzes eingeschränkt. Gemäss § 14 Abs. 2 haben demgegenüber mit der Verteidigung beauftragte Anwältinnen und Anwälte auch Einsicht in die vertraulichen Akten zur Person der von ihnen vertretenen Angeschuldigten. Diese dürfen vom Inhalt nur in allgemeiner Form und ohne Namensnennung Kenntnis geben und nur in diesem Sinne auf den Inhalt der Akten verweisen. Sie dürfen diese Akten weder ganz noch auszugsweise aushändigen. Gestützt auf diese Bestimmung hat auch die Vertreterin der Beschwerdeführerin vollständige Akteneinsicht erhalten.
Nach dem Gesagten erweist sich die Verbeiständung der Mutter entgegen der Auffassung des Appellationsgerichts als notwendig. Auf sich allein gestellt wäre die Beschwerdeführerin einer derartigen Situation nicht gewachsen. Durch den angefochtenen Entscheid wird demnach in den Schutzbereich einer Grundrechtsgarantie eingegriffen. Festzuhalten ist aber auch, dass der in <ref-law> gewährleistete Anspruch unter Wahrung der Verhältnismässigkeit eingeschränkt werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2b S. 291; Reinhold Hotz, St. Galler Kommentar zur schweizerischen Bundesverfassung, Zürich usw. 2002, Art. 29 N 38). Es stellt sich demnach im vorliegenden Fall die Frage, ob die Wahrnehmung der Interessen der Beschwerdeführerin durch den Rechtsvertreter ihres Sohnes genügen würde. In diesem Punkt ist entscheidend, dass es entgegen der Annahme des Appellationsgerichts Anzeichen für einen Interessenkonflikt zwischen Mutter und Sohn gibt (vgl. E. 4 hiervor). Dies kompliziert den Fall zusätzlich und wirft neue Rechtsfragen auf. Nur die Beschwerdeführerin bemüht sich um ein Gegengutachten über ihren Sohn mit Blick auf die Verhandlung vor Jugendstrafgericht und stellt den Gerichtsstand Basel-Stadt in Frage. Die Interessenlage verbietet es demnach, die Vertretung von Mutter und Sohn einem gemeinsamen Anwalt aufzutragen. Damit erweist sich die Wahrnehmung der Interessen der Beschwerdeführerin durch eine eigene Rechtsvertreterin bzw. einen eigenen Rechtsvertreter als erforderlich. Demnach hat sie, da ihre Bedürftigkeit ebenso wie diejenige ihres Sohnes ausgewiesen und unbestritten ist, Anspruch auf separate unentgeltliche Rechtsverbeiständung.
Nach dem Gesagten erweist sich die Verbeiständung der Mutter entgegen der Auffassung des Appellationsgerichts als notwendig. Auf sich allein gestellt wäre die Beschwerdeführerin einer derartigen Situation nicht gewachsen. Durch den angefochtenen Entscheid wird demnach in den Schutzbereich einer Grundrechtsgarantie eingegriffen. Festzuhalten ist aber auch, dass der in <ref-law> gewährleistete Anspruch unter Wahrung der Verhältnismässigkeit eingeschränkt werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2b S. 291; Reinhold Hotz, St. Galler Kommentar zur schweizerischen Bundesverfassung, Zürich usw. 2002, Art. 29 N 38). Es stellt sich demnach im vorliegenden Fall die Frage, ob die Wahrnehmung der Interessen der Beschwerdeführerin durch den Rechtsvertreter ihres Sohnes genügen würde. In diesem Punkt ist entscheidend, dass es entgegen der Annahme des Appellationsgerichts Anzeichen für einen Interessenkonflikt zwischen Mutter und Sohn gibt (vgl. E. 4 hiervor). Dies kompliziert den Fall zusätzlich und wirft neue Rechtsfragen auf. Nur die Beschwerdeführerin bemüht sich um ein Gegengutachten über ihren Sohn mit Blick auf die Verhandlung vor Jugendstrafgericht und stellt den Gerichtsstand Basel-Stadt in Frage. Die Interessenlage verbietet es demnach, die Vertretung von Mutter und Sohn einem gemeinsamen Anwalt aufzutragen. Damit erweist sich die Wahrnehmung der Interessen der Beschwerdeführerin durch eine eigene Rechtsvertreterin bzw. einen eigenen Rechtsvertreter als erforderlich. Demnach hat sie, da ihre Bedürftigkeit ebenso wie diejenige ihres Sohnes ausgewiesen und unbestritten ist, Anspruch auf separate unentgeltliche Rechtsverbeiständung.
5. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde gutzuheissen und das angefochtene Urteil vom 29. Januar 2003 aufzuheben ist. Da die Beschwerdeführerin mit ihren materiellen Rügen durchdringt, kann offen bleiben, ob dem Appellationsgericht (Ausschuss) überdies eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) vorzuwerfen ist. Dasselbe gilt für die Behauptung, das behördliche Verhalten stelle im vorliegenden Fall eine Vertrauensbasis dar, auf die der geltend gemachte Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung gestützt werden könnte (<ref-law>). Auch wenn die Beschwerde im Hauptpunkt abzuweisen wäre, müsste eine Verletzung der Verfassung dennoch bejaht werden. Dies insoweit, als das Appellationsgericht das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Verbeiständung im kantonalen Beschwerdeverfahren abgelehnt hat, und zwar mit der Begründung, die kantonale Beschwerde sei offensichtlich aussichtslos. Somit braucht ebenfalls nicht erörtert zu werden, in welcher Form die entsprechende Verfügung des Referenten im Verfahren vor Appellationsgericht hätte eröffnet werden müssen.
5. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde gutzuheissen und das angefochtene Urteil vom 29. Januar 2003 aufzuheben ist. Da die Beschwerdeführerin mit ihren materiellen Rügen durchdringt, kann offen bleiben, ob dem Appellationsgericht (Ausschuss) überdies eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) vorzuwerfen ist. Dasselbe gilt für die Behauptung, das behördliche Verhalten stelle im vorliegenden Fall eine Vertrauensbasis dar, auf die der geltend gemachte Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung gestützt werden könnte (<ref-law>). Auch wenn die Beschwerde im Hauptpunkt abzuweisen wäre, müsste eine Verletzung der Verfassung dennoch bejaht werden. Dies insoweit, als das Appellationsgericht das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Verbeiständung im kantonalen Beschwerdeverfahren abgelehnt hat, und zwar mit der Begründung, die kantonale Beschwerde sei offensichtlich aussichtslos. Somit braucht ebenfalls nicht erörtert zu werden, in welcher Form die entsprechende Verfügung des Referenten im Verfahren vor Appellationsgericht hätte eröffnet werden müssen.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 156 Abs. 2 OG). Der Kanton Basel-Stadt hat der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (Art. 159 OG). Damit erweist sich der Antrag betreffend unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung vor Bundesgericht als gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt (Ausschuss) vom 29. Januar 2003 wird aufgehoben.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt (Ausschuss) vom 29. Januar 2003 wird aufgehoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
3. Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin sowie dem Jugendstrafgericht, Präsidentin, und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. April 2003
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: