Sachverhalt:
A.
Der 1951 geborene A._ meldete sich im Mai 2006 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihm die IV-Stelle Bern zunächst eine halbe Rente ab 1. Mai 2005 und eine Dreiviertelsrente ab 1. Februar 2008 zu bei einem Invaliditätsgrad von 54 resp. 63 % (Verfügung vom 19. Mai 2009). In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Verfügung vom 19. Mai 2009 auf und wies die Sache zum weiteren Vorgehen im Sinne der Erwägungen an die Verwaltung zurück (Entscheid vom 14. Dezember 2009). Nach zusätzlichen Untersuchungen und erneuter Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte die IV-Stelle einen Invaliditätsgrad von 16 % und verneinte folglich mit Verfügung vom 10. Januar 2012 einen Rentenanspruch.
B.
Mit Entscheid vom 6. September 2013 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde des Versicherten teilweise gut und änderte die Verfügung vom 10. Januar 2012 dahingehend ab, als es ihm vom 1. Mai 2005 bis 30. September 2009 eine halbe und vom 1. Oktober 2009 bis Ende September 2011 eine ganze Invalidenrente zusprach. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, es sei Dispositiv-Ziff. 1 des Entscheids vom 6. September 2013 insoweit aufzuheben, als die vorinstanzliche Beschwerde abgewiesen wurde, und es sei ihm ab 1. Oktober 2011 weiterhin eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Ferner sei festzustellen, dass der angefochtene Entscheid betreffend Zusprechung einer Invalidenrente sowie bezüglich Verfahrenskosten und Parteientschädigung in Rechtskraft erwachsen sei.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht darf nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (<ref-law>); vorbehalten bleibt höchstens, entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Verfahrens, eine Neuverteilung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG; vgl. THOMAS GEISER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 5 f. zu <ref-law> und N. 24 f. zu <ref-law>). Der vorinstanz-liche Entscheid wird lediglich vom Versicherten und nur in Bezug auf den Rentenanspruch ab 1. Oktober 2011 angefochten. Auf die Feststellungsbegehren ist daher mangels eines schutzwürdigen Interesses (<ref-law>) nicht einzutreten.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist - wozu auch Unvollständigkeit gehört (Urteil 9C_395/2009 vom 16. März 2010 E. 2.4) - oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Folglich ist das Bundesgericht weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140).
3.
Die Vorinstanz hat dem Gutachten des Spitals B._ vom 10. Juni 2011 Beweiskraft beigemessen. Gestützt darauf hat sie für leidensangepasste Tätigkeiten eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % ab 1999 und von 100 % ab Juni 2009 sowie eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit ab Juni 2011 festgestellt. Dementsprechend hat sie einen Invaliditätsgrad von (maximal) 55 % resp. von 100 % und 18 % ermittelt. Folglich hat sie dem Versicherten eine halbe Invalidenrente ab Mai 2005 und - unter Berücksichtigung der Dreimonatsfrist von <ref-law> (SR 831.201) - eine ganze Rente vom 1. Oktober 2009 bis Ende September 2011 zugesprochen, indessen einen Anspruch ab Oktober 2011 verneint.
Streitig und zu prüfen ist die Arbeitsfähigkeit für den Zeitraum von Juni 2011 bis zum Erlass der Verfügung vom 10. Januar 2012 (vgl. <ref-ruling> E. 2.1.2.1 S. 412; <ref-ruling> E. 1a S. 248). Der Beschwerdeführer stellt diesbezüglich die Beweiskraft des Gutachtens des Spitals B._ in Abrede und macht eine unvollständige Beweiswürdigung geltend.
4.
4.1.
4.1.1. Für die Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, welche von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Aufgabe des Arztes oder der Ärztin ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Im Weiteren sind die ärztlichen Auskünfte eine wichtige Grundlage für die Beurteilung der Frage, welche Arbeitsleistungen der Person noch zugemutet werden können (<ref-ruling> E. 4 S. 99 f.). Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
4.1.2. Ein nach altem Standard, d.h. noch ohne Gewährung der in <ref-ruling> statuierten Beteiligungsrechte in Auftrag gegebenes (MEDAS-) Gutachten bildet zwar grundsätzlich eine massgebende Entscheidungsgrundlage. Das Manko wird jedoch bei der Beweiswürdigung berücksichtigt; ähnlich wie bei versicherungsinternen medizinischen Entscheidungsgrundlagen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4-4.7 S. 469 ff.) genügen schon relativ geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der (verwaltungsexternen) ärztlichen Feststellungen, um eine neue Begutachtung anzuordnen (Urteile 9C_495/2012 vom 4. Oktober 2012 E. 2.2 und 2.3 sowie 9C_148/2012 vom 17. September 2012 E. 1.3 und 1.4; ferner SVR 2012 IV Nr. 32 S. 127, 9C_776/2010 E. 3.3 in fine; Urteile 9C_942/2011 vom 6. Juli 2012 E. 5.2 und 8C_360/2011 vom 13. Februar 2012 E. 4.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 6 Ingress S. 266).
4.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 2). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (<ref-law>).
4.3.
4.3.1. In formeller Hinsicht weist der Beschwerdeführer zutreffend darauf hin, bereits im Einsprache- wie auch im kantonalen Beschwerdeverfahren im Zusammenhang mit der Begutachtung am Spital B._ eine Verletzung der Mitwirkungsrechte (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2.9 S. 258) gerügt zu haben. Er bemängelte namentlich, dass vorgängig weder der genaue Auftrag und der Fragekatalog noch die fachliche Qualifikation des Experten bekannt gegeben worden und dass Ergänzungs- oder Erläuterungsfragen nicht möglich gewesen seien. Abgesehen von der Mitteilung vom 23. September 2010, mit welcher die Anordnung einer spezialärztlichen Untersuchung bei der rheumatologischen Klinik C._ des Spitals B._ angekündigt wurde, finden sich keine Hinweise in den Akten, die dieser Darstellung widersprechen.
4.3.2. Auch aus materieller Sicht birgt das Gutachten des Spitals B._ Unklarheiten: So erkannte etwa Dr. med. D._, Facharzt für Orthopädie beim Regionalen Ärztlichen Dienst, "höchstens einfachste Arbeiten mit Wechselposition für kurze Zeit (Wechsel alle 15 Minuten) " als zumutbar, wobei er bezüglich der Schulterbeschwerden einschränkte, dass "Gegenstände bis fünf Kilogramm max. auf Tischhöhe gehoben" werden könnten, was nicht repetitiv möglich sei. Die Ärzte des Spitals B._ hingegen hielten sämtliche Tätigkeiten ausser körperlich schwere Arbeiten "wie zum Beispiel (...) Heben von mehr als 10 kg, Heben von Taille zu Kopfhöhe oder Überkopfarbeiten" für möglich; eine einleuchtende Erklärung für diese unterschiedliche Einschätzung fehlt indessen. Auch mit abweichenden Auffassungen anderer Ärzte, namentlich des Dr. med. E._, setzten sie sich nicht auseinander. Weiter übernahmen sie die vom Hausarzt ab Herbst 2008 (recte wohl: Juni 2009) attestierte vollständige Arbeitsunfähigkeit, legten jedoch keine seitherige gesundheitliche Verbesserung dar. Sodann fanden die Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit (EFL) und die ärztliche Untersuchung im Spital B._ bereits am 11. resp. 18. November 2010 statt. Ein daraufhin am 4. Dezember 2010 erfolgter Unfall wurde im Gutachten vom 10. Juni 2011 zwar erwähnt, ebenso eine "bevorstehende" operative Sanierung der rechten Schulter, die am 14. März 2011 durchgeführt worden war. Auf diese gesundheitliche Entwicklung gingen die Experten aber nur soweit ein, als sie auf ein MRI der rechten Schulter (vom 17. Januar 2011) verwiesen, was mit Blick auf die Nachvollziehbarkeit nicht genügt. Zudem scheint die medizinische Beurteilung weitgehend auf der EFL resp. dem Verhalten des Versicherten in diesem Zusammenhang zu beruhen; die EFL wurde indessen nicht vollständig durchgeführt und die im entsprechenden Bericht enthaltene medizinisch-theoretische Arbeitsfähigkeitsschätzung, die mit jener im Gutachten übereinstimmt, ist auch nicht überzeugender als diese begründet, zumal eine erkannte Symptomausweitung allein bei der gegebenen Aktenlage (mit u.a. objektiv ausgewiesenen Beeinträchtigungen an Schultern, Wirbelsäule und Knien) nicht auf (zeitlich) uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit schliessen lässt.
4.3.3. Damit sind Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der Expertise des Spitals B._ unter formellen wie materiellen Aspekten begründet. Sie genügen (vgl. E. 4.1), um deren Beweiskraft zu erschüttern und grundsätzlich die Anordnung einer neuen Begutachtung zu verlangen.
4.4. Was den Zeitraum nach Erstellung des Gutachtens des Spitals B._ vom 10. Juni 2011 betrifft, so ist zu berücksichtigen, dass am 4. Juli 2011 eine Operation des rechten Knies durchgeführt wurde (Bericht Dr. med. F._ vom 6. August 2012). Zudem wurde mit dem Aufklärungsprotokoll vom 24. Januar 2012 beim gleichen Knie die Einsetzung einer Totalprothese am 5. März 2012 vorbereitet (vgl. dazu auch den im angefochtenen Urteil nicht erwähnten Bericht des Dr. med. G._ vom 31. Januar 2012). Damit war eine gesundheitliche Verschlechterung klar dokumentiert, was die Vorinstanz bei der Beweiswürdigung und Feststellung der Arbeitsfähigkeit nicht berücksichtigt hat. Der Beschwerdeführer rügt diesbezüglich zu Recht eine mangelhafte Beweiswürdigung.
4.5. Bei diesem Ergebnis wäre es grundsätzlich angezeigt, die Sache zur erneuten Abklärung des Gesundheitszustandes und der Arbeitsfähigkeit an das kantonale Gericht zurückzuweisen, wobei die vorinstanzliche Rentenzusprache bis Ende September 2011 jedenfalls verbindlich bleibt (vgl. E. 1).
Angesichts des Alters des am 15. Januar 1951 geborenen Versicherten und der übrigen Umstände erübrigt sich eine Rückweisung: Im Zeitpunkt, zu dem die Restarbeitsfähigkeit (medizinisch) feststünde (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 und 3.4 S. 461 f.), würde dem Versicherten bestenfalls eine Aktivitätsdauer von rund eineinhalb Jahren verbleiben. Weiter ist unbestritten, dass ihm, der seit 1989 selbstständig erwerbend war, die bisherige Tätigkeit als Fitnesstrainer nicht mehr uneingeschränkt möglich ist (vgl. E. 4.3.2). Damit fehlt es an der wirtschaftlichen Verwertbarkeit einer allfälligen Restarbeitsfähigkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 460; vgl. Urteile 9C_734/2013 vom 13. März 2014 E. 3.4; 8C_482/2010 vom 27. September 2010 E. 4.2 und 4.3; 9C_437/2008 vom 19. März 2009 E. 4.3, in: SVR 2009 IV Nr. 35 S. 97) und liegt folglich eine vollständige Erwerbsunfähigkeit vor. Der Beschwerdeführer hat deshalb ab 1. Oktober 2011 weiterhin Anspruch auf eine ganze Invalidenrente.
5.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Dispositiv-Ziff. 1 des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 6. September 2013 wird insoweit abgeändert, als dem Beschwerdeführer über den 30. September 2011 hinaus weiterhin eine ganze Invalidenrente zugesprochen wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Mai 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann