Sachverhalt:
A. Der 1968 geborene F._ war ab September 2009 als LKW-Chauffeur bei der E._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen und Berufskrankheiten versichert. Am 24. Juli 2010 wollte er einen Bremsschlauch am LKW befestigen. Dabei rutschte er von einem Tritt ab und stürzte. Er klagte danach namentlich über Nackenbeschwerden und Kopfschmerzen. Es wurde nebst einer Prellung im unteren Rückenbereich ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. In der Folge machte F._ geltend, auch an Beschwerden an den Ellbogen zu leiden. Diesbezüglich diagnostizierten Dr. med. K._ mit Bericht vom 10. Januar 2011 eine rechtsseitige Epicondylitis ulnaris humeri und Dr. med. W._ mit Bericht vom 31. Januar 2011 eine beidseitige Epicondylitis medialis humeri. Anlässlich einer Hospitalisation in der Klinik X._ vom 22. bis 23. März 2011 wurde gestützt auf die Diagnose einer Epicondylitis humeri ulnaris rechts ein operativer Eingriff (Neurolyse des Nervus ulnaris, Ablösen des Flexor carpi ulnaris und Denervierung nach Wilhelm) vorgenommen. Mit Verfügung vom 27. April 2011 eröffnete die SUVA dem Versicherten, die bis dahin erbrachten Versicherungsleistungen würden mangels eines rechtserheblichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 24. Juli 2010 und den noch geklagten Beschwerden per 30. April 2011 eingestellt. Sie verneinte überdies jeglichen Leistungsanspruch bezüglich der Ellbogenbeschwerden, da diese nicht natürlich unfallkausal seien. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest. Sie verneinte dabei hinsichtlich der Ellbogenbeschwerden auch eine unfallähnliche Körperschädigung (Entscheid vom 9. August 2011).
B. Beschwerdeweise beantragte F._, in Aufhebung des Einspracheentscheids vom 9. August 2011 sei ein medizinisches Gutachten einzuholen resp. anzuordnen und sei festzustellen, dass die SUVA aus Unfall resp. unfallähnlicher Körperschädigung, eventuell aus Berufskrankheit, ab 1. Mai 2011 weitere Leistungen, insbesondere Heilbehandlung und Taggeld, zu erbringen habe. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft gewährte ihm die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 3. Mai 2012 ab. Es verneinte dabei namentlich auch eine Berufskrankheit.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt F._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und eventualiter die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Gericht beantragen sowie seine vorinstanzlichen Beweis- und Leistungsbegehren wiederholen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 317 f. mit Hinweis). Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in ihrer Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 584; je mit Hinweisen).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Prellung im unteren Rückenbereich stand schon im vorinstanzlichen Verfahren nicht mehr zur Diskussion. Das kantonale Gericht hat sodann entschieden, aus der HWS-Problematik ergebe sich kein weiterer Leistungsanspruch. Das ist letztinstanzlich nicht umstritten.
Streitig und zu prüfen ist, ob Unfallversicherer und Vorinstanz hinsichtlich der Ellbogenbeschwerden zu Recht jeglichen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung verneint haben.
3. Umstritten ist zunächst, ob sich ein solcher Leistungsanspruch unter dem Titel einer Unfallfolge oder einer unfallähnlichen Körperschädigung ergibt.
Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen zum Leistungsanspruch bei Unfall resp. unfallähnlicher Körperschädigung (Art. 6 Abs. 1 und 2 UVG; <ref-law>) sowie die Grundsätze bezüglich der erforderlichen kausalen Zusammenhänge und der massgeblichen Beweisregeln zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.1 Das kantonale Gericht hat erkannt, die Ellbogenbeschwerden seien nicht natürlich kausal auf den Unfall vom 24. Juli 2010 zurückzuführen. Es liege daher keine leistungsbegründende Unfallfolge vor.
Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen und überzeugenden Würdigung der Akten. Hervorzuheben ist hier namentlich, dass sich der Unfall gemäss Bericht vom 25. Mai 2011 der Klinik X._, an welcher der rechte Ellbogen operiert wurde, aus unfallchirurgischer Sicht nicht eindeutig mit der posttraumatischen Epicondylitis humeri ulnaris in Zusammenhang bringen lässt. Hiefür wäre gemäss den Klinikärzten ein direktes Trauma im Bereich des medialen Ellbogens mit ausgeprägtem Hämatom und direkten posttraumatischen Schmerzen erforderlich. Eine solche Symptomatik war hier nicht zu verzeichnen. Vielmehr unterzog sich der Versicherte nach dem Unfall verschiedenen medizinischen Untersuchungen und Behandlungen, ohne dass in den entsprechenden Arztberichten Ellbogenbeschwerden auch nur erwähnt wurden. Solche wurden nach Lage der Akten erst geraume Zeit nach dem Unfall angegeben.
Was der Versicherte vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Dass er schon gleich nach dem Unfall Ellbogenbeschwerden hatte, wird durch die Akten nicht gestützt. Es ist davon auszugehen, dass solche Beschwerden in den Arztberichten erwähnt worden wären, wenn sie geklagt und von ärztlicher Seite für relevant erachtet worden wären. Sämtlichen medizinischen Akten, auch den in der Beschwerde angerufenen, lassen sich keine verlässlichen Anhaltspunkte dafür entnehmen, dass es beim Unfall zu einer Schädigung an den Ellbogen gekommen ist. Von der beantragten medizinischen Abklärung ist kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zu erwarten. Gleiches gilt für die zum Beweis offerierte Befragung mit dem Versicherten.
Es bleibt somit dabei, dass die Ellbogenbeschwerden zu Recht nicht als Unfallfolge qualifiziert wurden.
3.2 Die unfallähnlichen Körperschädigungen, welche einen Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung zu begründen vermögen, sind in <ref-law> abschliessend aufgezählt. Entscheidend ist dabei entgegen der Auffassung des Versicherten nicht, welche Beschwerden aus einer gesundheitlichen Schädigung resultieren, sondern ob eine der in <ref-law> genannten Körperschädigungen vorliegt. Eine Epicondylitis, wie sie hier diagnostiziert wurde, zählt nicht zu diesen Verletzungen (Urteil U 42/94 vom 13. September 1994 E. 2b). Abgesehen davon, müsste auch eine solche Körperschädigung u.a. natürlich unfallkausal sein, was hier nach dem zuvor Gesagten nicht zutrifft. Eine unfallähnliche Körperschädigung wurde daher ebenfalls zu Recht verneint.
4. 4.1 Der Versicherte hat erstmals in der vorinstanzlichen Beschwerde den Eventualstandpunkt vertreten, bei der diagnostizierten Epicondylitis handle es sich um eine von seiner Tätigkeit als LKW-Chauffeur herrührende Berufskrankheit. Die SUVA hat sich dazu vernehmen lassen und eine Berufskrankheit verneint.
Das kantonale Gericht hat dann im angefochtenen Entscheid die Frage der Berufskrankheit mitbeurteilt, obschon sich der Einspracheentscheid dazu noch nicht geäussert hat. Das ist verfahrensrechtlich zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 415 ff.; Urteil U 209/04 vom 25. November 2004 E. 4.1), was denn auch von keiner Seite bestritten wird.
4.2 Das Gesetz unterscheidet in <ref-law> zwischen zwei Arten von Berufskrankheiten: Gemäss Abs. 1 der Bestimmung gelten als Berufskrankheiten Krankheiten (<ref-law>), die bei der beruflichen Tätigkeit ausschliesslich oder vorwiegend durch schädigende Stoffe oder bestimmte Arbeiten verursacht worden sind. Der Bundesrat erstellt die Liste dieser Stoffe und Arbeiten sowie der arbeitsbedingten Erkrankungen. Nach Abs. 2 gelten als Berufskrankheiten auch andere Krankheiten, von denen nachgewiesen wird, dass sie ausschliesslich oder stark überwiegend durch berufliche Tätigkeit verursacht worden sind.
Der Bundesrat hat die schädigenden Stoffe und arbeitsbedingten Erkrankungen im Sinne von <ref-law> im Anhang 1 zur UVV aufgeführt (vgl. auch <ref-law>).
4.3 Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, es liege keine Berufskrankheit im Sinne von Art. 9 Abs. 1 oder 2 UVG vor.
4.4 In der Beschwerde wird zunächst geltend gemacht, die Epicondylitis könne wohl bereits unter die Liste gemäss Anhang 1 zur UVV subsumiert und damit zu den Berufskrankheiten gemäss <ref-law> gezählt werden.
Dem kann nicht gefolgt werden. Gemäss geltender Rechtsprechung (<ref-ruling> Sachverhalt A S. 184 und E. 2a S. 186; SVR 2010 UV Nr. 11 S. 44, 8C_740/2008 E. 3; 2010 UV Nr. 12 S. 47, 8C_410/2009 E. 2; RKUV 2000 Nr. U 408 S. 407, U 235/99; erwähntes Urteil U 209/04 E. 4.2; vgl. auch: PETRA FLEISCHANDERL, Begriff der Berufskrankheit in der Unfallversicherung am Beispiel der Epikondylitis, SZS 2010 S. 459 ff., 459) zählt die Epicondylitis nicht zu den Krankheiten gemäss <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law> und Anhang 1 zur UVV). Es besteht kein Anlass, davon hier abzuweichen. Die Epicondylitis lässt sich auch nicht unter eine der vom Beschwerdeführer genannten Positionen der bundesrätlichen Liste subsumieren. Die dazu beantragte medizinische Expertise lässt keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten. Von ihrer Einholung ist daher abzusehen.
4.5 Zu prüfen bleibt, ob eine Berufskrankheit nach <ref-law> vorliegt, wie dies der Versicherte subsidiär postuliert.
Die Voraussetzung des ausschliesslichen oder stark überwiegenden Zusammenhanges im Sinne dieser Bestimmung ist rechtsprechungsgemäss erfüllt, wenn die Krankheit mindestens zu 75 % durch die berufliche Tätigkeit verursacht worden ist (<ref-ruling> E. 2b S. 186 mit Hinweisen).
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es fehle am Nachweis, dass die Epicondylitis des Versicherten in dieser qualifizierten Weise durch seine berufliche Tätigkeit als LKW-Chauffeur verursacht worden sei. Insbesondere liessen sich den vorliegenden medizinischen Unterlagen keine Aussagen entnehmen, welche verlässlich den Schluss auf eine 75 %ige Verursachung des Leidens durch die Berufstätigkeit gestatteten. Unter diesen Umständen bestehe kein Anlass zu weiteren Abklärungen. Eine Berufskrankheit liege daher nicht vor.
Diese Beurteilung ist rechtmässig. Umstände, welche für die erforderliche massgebliche Bedeutung der Berufstätigkeit für die Epicondylitis sprechen könnten, werden vom Beschwerdeführer auch nicht ansatzweise dargetan und sind auch sonst nicht ersichtlich. Hervorzuheben ist vielmehr, dass der Versicherte die Tätigkeit als LKW-Fahrer nach dem Unfall vom 24. Juli 2010 nicht mehr aufgenommen hat. Ellbogenbeschwerden wurden aber erstmals im Bericht des Neurologen Dr. med. L._ vom 29. November 2010 erwähnt. Es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass solche Beschwerden bereits davor in Erscheinung traten. Andernfalls wäre dies in den diversen Arztberichten aus dieser Zeit erwähnt worden. Dass die Beschwerden erst mehrere Monate nach Beendigung der fraglichen Tätigkeit aufgetreten sind, spricht dagegen, dass sie in der hier erforderlichen qualifizierten Weise auf diese Berufsausübung zurückzuführen sind. Von weiteren Abklärungen ist kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zu erwarten, weshalb die Vorinstanz darauf zu Recht verzichtet hat. Es liegt somit keine Berufskrankheit vor. Die Beschwerde ist daher auch diesbezüglich unbegründet.
5. Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Philipp Simonius wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. März 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz