Sachverhalt:
A. Durch Urteil des Familienrichters am Bezirksgericht B._ vom 18. Januar 2001 wurde die Ehe von Z._ und X._ geschieden und wurden die beiden gemeinsamen Kinder S._, geboren 1997, und T._, geboren 1999, unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. Gleichzeitig wurde eine Vereinbarung über die Nebenfolgen richterlich genehmigt, wonach Z._ das Recht zustand, die beiden Kinder bis Ende 2002 jeweils am ersten Wochenende und ab Januar 2003 jeweils am ersten und am dritten Wochenende jeden Monats zu sich auf Besuch zu nehmen und ausserdem mit beiden jährlich 14 Tage Ferien zu verbringen.
Am 11. Juli 2001 erstattete X._ gegen Z._ Anzeige wegen angeblicher sexueller Übergriffe gegenüber der Tochter S._. Während des hierauf gegen ihn eingeleiteten Strafverfahrens verzichtete Z._ freiwillig auf das Besuchsrecht. Mit Urteilen vom 23. April 2004 und vom 23. November 2005 wurde er durch das Kreisgericht K._ bzw. durch das Kantonsgericht von der Anklage mehrfacher sexueller Handlungen mit einem Kind und der Schändung freigesprochen.
B. Mit Eingabe vom 2. Juni 2006 reichte X._ bei der Vormundschaftsbehörde von A._ das Begehren ein, das Z._ gemäss Scheidungsurteil zustehende Besuchsrecht gegenüber den beiden Kindern sei aufzuheben.
Am 5. September 2007 beschloss die Vormundschaftskommission A._, das im Scheidungsurteil genehmigte Besuchs- und Ferienrecht werde aufgehoben und Z._ werde für die nächsten zwölf Monate ein begleitetes Besuchsrecht zugesprochen; die Besuche würden jeden Monat einmal, abwechselnd an einem Sonntag- bzw. an einem Samstagnachmittag, während jeweils längstens vier Stunden und unter fachlicher Begleitung in einem institutionellen Rahmen stattfinden. Gleichzeitig wurde für die beiden Kinder eine Besuchsrechtsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 2 und 3 ZGB angeordnet und Amtsvormund Y._ als Beistand eingesetzt. Diesem wurde aufgegeben, die weiteren Kontaktmodalitäten festzulegen, die Kontakte zu überwachen und spätestens vor Ablauf von sechs Monaten sowie vor Ablauf der Jahresfrist Bericht zu erstatten und Antrag zu stellen.
X._ gelangte an den Regierungsrat des Kantons Appenzell Ausserhoden, der die Beschwerde am 1. April 2008 abwies. Mit Urteil vom 17. Dezember 2008 wies das Verwaltungsgericht (2. Abteilung) von Appenzell Ausserhoden seinerseits die von X._ erhobene Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. Februar 2009 beantragt X._, das verwaltungsgerichtliche Urteil - mit Ausnahme der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege - und das Z._ (Beschwerdegegner) gemäss Scheidungsurteil vom 18. Januar 2001 zustehende Besuchsrecht aufzuheben. Ausserdem ersucht sie darum, ihr auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Die Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen dem Beschwerdegegner und den unter der elterlichen Sorge der Beschwerdeführerin stehenden beiden Kinder der Parteien (<ref-law>) ist eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur (<ref-law>), so dass die Beschwerde in Zivilsachen offen steht (vgl. <ref-law>). Das Urteil des Verwaltungsgerichts stammt von der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) und stellt einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar. Auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist daher auch aus dieser Sicht ohne Weiteres einzutreten.
2. Eltern, denen die persönliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das unmündige Kind haben gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr (<ref-law>). Dieser dient in erster Linie dem Interesse des Kindes, ist aber zugleich auch ein Recht und eine Pflicht des betroffenen Elternteils. Oberste Richtschnur für die Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs ist immer das Kindeswohl, das anhand der Umstände des konkreten Einzelfalles zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 5 S. 212 mit Hinweisen). In der Entwicklung des Kindes sind dessen Beziehungen zu beiden Elternteilen wichtig, da sie bei seiner Identitätsfindung eine entscheidende Rolle spielen können (dazu <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 590 mit Hinweisen).
Falls das Wohl des Kindes durch den persönlichen Verkehr gefährdet wird, die Eltern diesen pflichtwidrig ausüben oder sich nicht ernsthaft um das Kind gekümmert haben oder andere wichtige Gründe vorliegen, kann jenen das Recht auf persönlichen Verkehr verweigert oder entzogen werden (<ref-law>). Gefährdet ist das Wohl des Kindes, wenn dessen ungestörte körperliche, seelische oder sittliche Entfaltung durch ein auch nur begrenztes Zusammensein mit dem nicht obhutsberechtigten Elternteil bedroht ist. Erforderlich ist auf Grund des Gebots der Verhältnismässigkeit, dem Verweigerung oder Entziehung des persönlichen Verkehrs als Kindesschutzmassnahme unterliegen, dass der dargelegten Bedrohung nicht durch geeignete andere Vorkehren begegnet werden kann. Im Interesse des Kindes darf ein Elternteil vom persönlichen Verkehr nur dann gänzlich ausgeschlossen werden, wenn die nachteiligen Auswirkungen des persönlichen Kontakts sich nicht anderweitig in für das Kind vertretbaren Grenzen halten lassen (<ref-ruling> E. 3b S. 407 mit Hinweisen). Können die befürchteten Auswirkungen durch die persönliche Anwesenheit einer Drittperson (sog. begleitetes Besuchsrecht) hinreichend begrenzt werden, so verbieten das Persönlichkeitsrecht des nicht obhutsberechtigten Elternteils, der Grundsatz der Verhältnismässigkeit, aber auch Sinn und Zweck des persönlichen Verkehrs dessen gänzliche Unterbindung (<ref-ruling> E. 3c S. 407 f.).
3. Vorab verweist das Verwaltungsgericht auf die Erwägungen seiner Vorinstanzen (Vormundschaftskommission A._ und Regierungsrat). Seinerseits hatte der Regierungsrat festgehalten, T._ habe anlässlich seiner Befragung durch die Vormundschaftskommission am 15. August 2007 angegeben, dass er keine Erinnerung an seinen Vater (den Beschwerdegegner) habe. S._ habe ihrerseits erklärt, sie würde den Vater sofort wieder erkennen, obschon sie ihn seit drei bis vier Jahren nicht mehr gesehen habe; sie traue ihm aber nicht und hätte bei einem Treffen Angst, er könnte ihr etwas antun; eigentlich wolle sie den Vater nicht sehen, in einem geschützten Rahmen könne er sie aber "einmal anschauen". Der Regierungsrat räumte ein, dass es schwer sei, ein Besuchsrecht, selbst begleitet in einem institutionellen Rahmen, gegen den Willen von Kindern im Alter von S._ und T._ durchzusetzen. Es sei zu bedenken, dass S._ und T._ ihren Vater seit Juni 2001 nicht mehr gesehen hätten; T._ habe ihn somit im Alter von knapp zwei Jahren letztmals gesehen und demzufolge auch kein eigenes Bild von ihm; all sein Wissen und seine Eindrücke über ihn stammten von Drittpersonen; auch wenn er eine eher ablehnende Haltung gegenüber seinem Vater zeige, könne diese nicht von eigenen Wahrnehmungen stammen und seien seine Aussagen zu einem allfälligen Besuchsrecht entsprechend zu würdigen.
Mit der Feststellung, der vollständige Entzug des Besuchsrechts, wie er von der Beschwerdeführerin verlangt wird, bilde "ultima ratio", und dem Hinweis auf das Verhältnismässigkeitsprinzip hielt der Regierungsrat dafür, dass es sich nicht rechtfertige, dem Beschwerdegegner den persönlichen Verkehr mit den beiden Kindern vollständig zu verweigern, und das von der Vormundschaftsbehörde angeordnete begleitete Besuchsrecht als angemessene Massnahme erscheine. Eine vollständige Aufhebung des Besuchsrechts dränge sich insbesondere auch bezüglich T._ nicht auf; T._ habe ein Recht darauf, seinen für ihn unbekannten Vater kennenzulernen und sich von ihm ein eigenes Bild zu machen. Dr. med. R._ habe in seiner Stellungnahme vom 20. August 2007 zwar Bedenken hinsichtlich einer erfolgreichen Kontaktherstellung mit dem Vater geäussert, gleichzeitig aber die Auffassung vertreten, es könne ein Versuch gemacht werden.
Ergänzend weist das Verwaltungsgericht darauf hin, dass die Beschwerdeführerin die Aufhebung des Besuchsrechts verlangt habe, weil sie nach wie vor glaube, der Beschwerdegegner habe die Tochter sexuell missbraucht. Die Vorinstanz erklärt, dass bei begründetem Verdacht auf sexuellen Missbrauch das Besuchsrecht grundsätzlich auszuschliessen sei, falls nicht ein begleitetes Besuchsrecht in Frage komme. Von einem begründeten Verdacht der genannten Art könne hier aber entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht (mehr) gesprochen werden. Kreis- und Kantonsgericht hätten den Beschwerdegegner von der Anklage sexueller Handlungen mit der Tochter freigesprochen. Dieser Freispruch sei auch für das Verwaltungsgericht beachtlich, zumal ihm die Strafakten nicht zur Verfügung stünden, aus denen sich allenfalls etwas in der von der Beschwerdeführerin geäusserten Richtung ableiten liesse. Ausserdem sei die Unschuldsvermutung ein verfassungs- und konventionsmässig geschütztes Grundrecht, das jede Behörde bei der Rechtsanwendung zu beachten habe. Dem Verwaltungsgericht sei es demzufolge verwehrt, den Sachverhalt, wie er in der Anklageschrift vom 15. April 2003 dargestellt worden sei, als zutreffend zu verwenden.
Das Verwaltungsgericht hält weiter dafür, dem Umstand, dass der Beschwerdegegner seit mehreren Jahren mit S._ und T._ keinen Kontakt mehr gehabt habe, sei damit Rechnung getragen worden, dass vorerst für eine Versuchsphase von einem Jahr ein eingeschränktes begleitetes Besuchsrecht festgelegt worden sei, das zudem durch einen Erziehungsbeistand überwacht werde. Es liege offensichtlich auch im Interesse der beiden heute elf- und achtjährigen Kinder, die in ihrer Persönlichkeit gereift seien, wenn mit behördlicher Hilfe versucht werden soll, wieder eine tragfähige Beziehung zwischen ihnen und ihrem Vater aufzubauen.
4. 4.1 Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
4.2 Unter Berufung auf die Einschätzung von Dr. med. R._ bringt die Beschwerdeführerin vor, es bestehe die Gefahr, dass die beiden Kinder durch einen Kontakt mit dem Beschwerdegegner (wieder) traumatisiert werden könnten. Sie habe zur näheren Abklärung dieser Gefahr eine kinderpsychiatrische Begutachtung verlangt. Das Verwaltungsgericht habe das Einholen eines solchen Gutachtens abgelehnt, wodurch es seine Abklärungspflicht verletzt habe. Dem Sinne nach macht sie damit eine Verletzung von <ref-law> bzw. der in <ref-law> (Abklärung der Kindesverhältnisse im Scheidungsprozess) zum Ausdruck gebrachten und grundsätzlich für alle Zivilverfahren, die unmündige Kinder betreffen, wirksamen Untersuchungsmaxime (dazu THOMAS SUTTER/DIETER FREIBURGHAUS, Kommentar zum neuen Scheidungsrecht, Zürich 1999, N. 9 zu <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 183) geltend.
4.2.1 <ref-law> verleiht der beweispflichtigen Partei einen bundesrechtlichen Anspruch auf Abnahme von Beweisen, die zum Nachweis rechtserheblicher Tatsachen - nach Massgabe des kantonalen Prozessrechts frist- und formgerecht - anerboten worden sind (<ref-ruling> E. 7.1 S. 299 mit Hinweisen). Das Bundesrecht bestimmt indessen nicht, wie der Sachrichter das Ergebnis der Beweiserhebungen zu würdigen habe, und verbietet ihm somit namentlich nicht, einem beantragten Beweismittel auf Grund einer vorweggenommenen Beweiswürdigung, weil er seine Überzeugung bereits aus anderen Beweisen gewonnen hat und davon ausgeht, dass weitere Abklärungen am massgeblichen Beweisergebnis nichts mehr zu ändern vermöchten, die Tauglichkeit abzusprechen (dazu <ref-ruling> E. 5.4 S. 601 f.; <ref-ruling> E. 2.6. S. 24 f.; je mit Hinweisen).
4.2.2 Nach <ref-law> erforscht das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen und würdigt die Beweise nach freier Überzeugung. Nötigenfalls zieht es Sachverständige bei und erkundigt sich bei der Vormundschaftsbehörde oder einer in der Jugendhilfe tätigen Stelle (<ref-law>). Sind Fragen rund um den persönlichen Verkehr zwischen einem Elternteil und seinem Kind zu beantworten, so liegt der Entscheid darüber, ob allenfalls ein kinderpsychiatrisches oder kinderpsychologisches Gutachten einzuholen sei, mithin im pflichtgemässen Ermessen des Gerichts. Lässt der massgebliche Sachverhalt sich auf andere Weise abklären, verstösst der Verzicht auf ein Gutachten nicht gegen Bundesrecht (Urteil 5C.22/2005 vom 13. Mai 2005, E. 2.2, veröffentlicht in: FamPra.ch 2005, S. 951 f. mit Hinweisen).
4.2.3 Das Verwaltungsgericht hält einerseits fest, Vormundschaftsbehörde und Regierungsrat hätten den Sachverhalt sorgfältig abgeklärt und seien sich bewusst gewesen, dass der Wiederaufbau einer Beziehung zwischen den Kindern und ihrem Vater nach so langer Zeit der Kontaktlosigkeit schwierig sein werde. Andererseits weist die Vorinstanz auf das (Glaubwürdigkeits-)Gutachten hin, das Dr. phil. U._ am 12. Oktober 2001 (im Rahmen der Strafuntersuchung gegen den Beschwerdegegner) erstellt hatte: Die Gutachterin, bei der es sich um eine erfahrene Psychotherapeutin handle, die schon in verschiedenen familien- und strafrechtlichen Verfahren im Kanton Appenzell A.Rh. tätig gewesen sei, sei von der Glaubwürdigkeit von S._ und damit von der Täterschaft des Beschwerdegegners ausgegangen, habe aber gleichwohl ein vorläufiges begleitetes Besuchsrecht empfohlen.
Der Verzicht des Verwaltungsgerichts, ein kinderpsychiatrisches Gutachten einzuholen, beruht nach dem Gesagten auf einer antizipierten Beweiswürdigung. Dass diese willkürlich wäre, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Statt dessen begnügt sie sich mit dem unbehelflichen Hinweis auf <ref-ruling> E. 3d S. 408 f., wonach in umstrittenen Fällen der vorliegenden Art sich die Einholung eines Sachverständigengutachtens in der Regel als unumgänglich erweise.
4.3 Unter Hinweis auf <ref-law> macht die Beschwerdeführerin ferner geltend, der Zivilrichter sei an eine strafrichterliche Beurteilung von Schuld oder Nichtschuld oder an einen strafrichterlichen Freispruch nicht gebunden. Sie wirft dem Verwaltungsgericht vor, das strafrechtliche Prinzip der Unschuldsvermutung der materiellen Wahrheit gleichgesetzt zu haben, statt aus dem Sachverhalt eigene zivilrechtliche Schlüsse zu ziehen. Von einem (begründeten) Verdacht sexueller Handlungen des Beschwerdegegners gegenüber S._ spricht auch die Beschwerdeführerin selbst nicht ausdrücklich. Die Rede ist von einem Verdacht auf eine schwerwiegende Persönlichkeitsverletzung bzw. auf eine weitere Gefährdung. Zur Begründung ihrer Vorbringen verweist die Beschwerdeführerin einzig auf die Tatsache, dass die kantonalen Instanzen das Besuchsrecht drastisch eingeschränkt und mehrfach Massnahmen zum Schutz der Kinder getroffen hätten.
Wie den Ausführungen des Verwaltungsgerichts klar zu entnehmen ist, liegen sowohl die Einschränkung des Besuchsrechts als auch die angeordnete Erziehungsbeistandschaft allein darin begründet, dass zwischen den beiden Kindern und dem Beschwerdegegner seit mehreren Jahren kein Kontakt mehr bestand. Der Frage, ob der Beschwerdegegner seine Tochter sexuell missbraucht habe, kommt im Übrigen insofern keine entscheidende Bedeutung zu, als auch die Beschwerdeführerin nicht etwa davon ausgeht, dass in einem solchen Fall ein Besuchsrecht von vornherein ausser Betracht fiele. Vielmehr spricht sie unter Berufung auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung selbst von der grundsätzlichen Möglichkeit der Anordnung eines begleiteten Besuchsrechts. Dass die Voraussetzungen für eine Berichtigung der tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz erfüllt wären, ist nach dem Gesagten nicht dargetan.
5. Was die Beschwerdeführerin in rechtlicher Hinsicht gegen die vom Verwaltungsgericht getroffene Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen dem Beschwerdegegner und den beiden Kindern der Parteien vorbringt, ist nicht geeignet, die von ihr geltend gemachte Verletzung von <ref-law> bzw. des Prinzips des Kindeswohls darzutun:
5.1 Dem Verwaltungsgericht wird vorgeworfen, es habe übergangen, dass sich S._ vehement gegen einen persönlichen Kontakt mit dem Beschwerdegegner ausgesprochen habe und dass auch bei T._ keine Bereitschaft zu Besuchskontakten bestehe. Für T._ sei der Beschwerdegegner eine unbekannte Person, die bei ihm, da er sich mit den Leiden von Mutter und Schwester identifiziere, tief greifende Ängste auslöse, was zu einer für die Schule und das Elternhaus untragbaren Aggressivität geführt habe. Ferner erklärt die Beschwerdeführerin, dass der Beschwerdegegner die Möglichkeit, sich während des mehrjährigen Kontaktunterbruchs bei den Kindern mit Briefen und Geschenken in Erinnerung zu rufen, nicht genutzt habe.
5.1.1 Dass die Person des Beschwerdegegners bei T._ Ängste hervorgerufen haben soll und diese wiederum eine unverhältnismässige Aggressivität bewirkt haben sollen, findet in den Feststellungen des Verwaltungsgerichts keine Stütze. Der von der Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang angebrachte Hinweis auf die kantonalen Akten ist unbeachtlich. Ebenso wenig ist dem angefochtenen Entscheid sodann zu entnehmen, dass der Beschwerdegegner versäumt habe, eine minimale Beziehung zu den beiden Kindern aufrechtzuerhalten. Die betreffenden Vorbringen der Beschwerdeführerin sind daher nicht weiter zu erörtern.
5.1.2 Inwiefern der Meinung des betroffenen Kindes bei der Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs zwischen ihm und dem nicht obhutsberechtigten Elternteil Rechnung zu tragen ist, bestimmt sich nach dessen Alter. Die Anhörung des Kindes setzt nicht voraus, dass es im Sinne von <ref-law> urteilsfähig ist. So kann das urteilende Gericht durchaus auch Kinder jüngeren Alters befragen, um sich ein persönliches Bild machen zu können und über ein zusätzliches Element bei der Sachverhaltsfeststellung und Entscheidfindung zu verfügen (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 557 mit Hinweisen). Allgemein ist davon auszugehen, dass hinsichtlich der Frage der Zuteilung der elterlichen Sorge ein Kind ab dem 12. Altersjahr urteilsfähig ist (FELDER/STAUB/ STRUSS/PFEIFFER/ZOLLINGER, Kinder und ihre Familien in schwierigen psychosozialen Verhältnissen, in: REGULA GERBER JENNI/CHRISTINA HAUSAMMANN [Hrsg.], Die Rechte des Kindes - Das UNO-Übereinkommen und seine Auswirkungen auf die Schweiz, Basel 2001, S. 207). Auch wenn bezüglich der Frage des Besuchsrechts die Urteilsfähigkeit schon in einem etwas tieferen Alter vorhanden sein dürfte (vgl. FELDER/ STAUB/STRUSS/PFEIFFER/ZOLLINGER, a.a.O.), ist zu bedenken, dass S._ und T._ im Zeitpunkt ihrer Befragung durch die Vormundschaftsbehörde (August 2007) erst zehn- bzw. achtjährig waren. Sie standen somit in einem Alter, in dem ihren Äusserungen nicht ausschlaggebendes Gewicht zukommen konnte, zumal sie wohl nicht ansatzweise abzuschätzen vermochten, was das Fehlen eines persönlichen Kontakts mit dem Vater mittel- und längerfristig für Folgen haben könnte. Dies gilt ganz besonders für T._, der übrigens lediglich angab, keine Erinnerung an den Vater zu haben, sich jedoch einer Kontaktherstellung nicht ausdrücklich widersetzte. S._, die sich wesentlich zurückhaltender zeigte, erklärte sich immerhin zu einer Begegnung in einem geschützten Rahmen bereit. Die Äusserungen der beiden Kinder vermögen auf jeden Fall nicht zu rechtfertigen, dem Beschwerdegegner jedes Besuchsrecht zu verweigern.
5.2 Die Beschwerdeführerin erklärt sodann, es sei kaum zu erwarten, dass ein Besuchsrecht von vier Stunden im Monat, das ausserdem räumlich festgelegt und durch Dritte begleitet sei, die Entwicklung einer einigermassen spontanen Beziehung zulasse. Die Kinder würden nach dem achtjährigen Kontaktunterbruch vor allem Beklemmung und Befangenheit erleben und es dürfte ihnen kaum entgehen, dass zwischen den Bemühungen der Behörde um Kontaktanknüpfung und dem Misstrauen, das die getroffenen Massnahmen signalisierten, ein tief greifender Widerspruch bestehe. Bei den Kindern könnte dies zu Verstörungen führen, liege doch eine in der Kinderpsychiatrie verpönte Doppelbindung vor.
Mit ihren Mutmassungen zieht die Beschwerdeführerin die Anordnung eines begleiteten Besuchsrechts in grundsätzlicher Hinsicht in Zweifel. Ihre Vorbringen sind indessen nicht geeignet, die ständige Rechtsprechung in diesem Punkt in Frage zu stellen.
Mit ihren Mutmassungen zieht die Beschwerdeführerin die Anordnung eines begleiteten Besuchsrechts in grundsätzlicher Hinsicht in Zweifel. Ihre Vorbringen sind indessen nicht geeignet, die ständige Rechtsprechung in diesem Punkt in Frage zu stellen.
5.3 5.3.1 Schliesslich beanstandet die Beschwerdeführerin, dass der angefochtene Entscheid keine Kriterien für den Erfolg oder Misserfolg der angeordneten Massnahmen enthalte. Insbesondere werde auch nicht angegeben, durch wen und wie die Frage der Rückfallgefahr beurteilt werden solle. Ebenso fehlten Richtlinien darüber, wie die Weiterentwicklung des Besuchsrechts zu gestalten sei und wie lange die Massnahmen überhaupt dauern sollen. Für sie und die Kinder sei der weitere Verlauf der Besuchsrechtsregelung völlig unabsehbar. Eine derart offene Gestaltung widerspreche der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, wonach Besuchsrechtsregelungen definitiv und dauerhaft getroffen werden sollten.
5.3.2 In dem von der Beschwerdeführerin angerufenen <ref-ruling> (E. 3 S. 205) hatte das Bundesgericht festgehalten, der Scheidungsrichter regle die persönlichen Beziehungen der Eltern zu den Kindern nach Massgabe der zur Zeit der Urteilsfällung gegebenen und der für die Zukunft voraussehbaren tatsächlichen Verhältnisse, demnach nicht bloss temporär, sondern grundsätzlich endgültig und dauerhaft. Es war in jenem Fall zur Auffassung gelangt, die kantonale Instanz sei ihrer Aufgabe nicht gerecht geworden, indem sie - angesichts des von ihr angenommenen begründeten Verdachts sexuellen Missbrauchs des Kindes - für unbeschränkte Zeit angeordnet habe, das Besuchsrecht dürfe nur in Anwesenheit einer Drittperson ausgeübt werden.
Anders als dort ist das begleitete Besuchsrecht aufgrund des vom Verwaltungsgericht geschützten Beschlusses der Vormundschaftskommission A._ hier auf zwölf Monate begrenzt. Diese - im Interesse einer behutsamen Annäherung einstweilig getroffene - Massnahme ist angesichts der gegebenen besonderen Verhältnisse, namentlich des mehrjährigen Kontaktunterbruchs, nicht zu beanstanden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 590), zumal dem mit der Überwachung der Kontakte betrauten Beistand aufgegeben wurde, (im Hinblick auf einen rechtzeitigen Entscheid über das weitere Vorgehen) einen ersten Bericht bereits spätestens vor Ablauf der ersten sechs Monate und einen zweiten Bericht vor Ablauf der Jahresfrist zu erstatten. Ebenso wenig zu bemängeln ist, dass der eingesetzte Beistand, der als Amtsvormund sachkundig ist, nicht detailliert auf die massgebenden Punkte hingewiesen wurde. Schliesslich ist nicht ersichtlich, wie Richtlinien für die weitere Regelung des persönlichen Kontakts ohne erste Erfahrungen mit dem angeordneten Besuchsrecht hätten festgelegt werden können.
6. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Sie erschien unter den dargelegten Umständen von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. <ref-law>), und es sind die Gerichtskosten ausgangsgemäss der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Bei ihrer Bemessung ist den prekären finanziellen Verhältnissen der Beschwerdeführerin Rechnung zu tragen (<ref-law>). Da keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt worden und dem Beschwerdegegner somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht (2. Abteilung) von Appenzell Ausserrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel