Sachverhalt:
A. In der von Y._ gegen X._ erhobenen Betreibung Nr. xxx des Betreibungs- und Konkursamtes des Kantons Glarus gewährte der Kantonsgerichtspräsident des Kantons Glarus am 25. Februar 2008 die definitive Rechtsöffnung über Fr. 2'500.-- nebst Zins zu 5% ab 6. Juni 2007 sowie die Kosten.
B. Gegen diese Verfügung gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Glarus. Am 27. März 2008 erteilte der Obergerichtspräsident der Nichtigkeitsbeschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung. Er versah seinen Entscheid mit der Bedingung, dass X._ innert 20 Tagen auf der Gerichtskasse den Betrag von Fr. 2'500.-- hinterlege. Über die Verwendung der Sicherheitsleistung werde mit dem Entscheid in der Sache befunden.
C. X._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. April 2008 an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt, ihr im vorinstanzlichen Verfahren die aufschiebende Wirkung ohne Sicherheitsleistung zu gewähren. Zudem sei ihr für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdeführerin stellt das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Y._ (nachfolgend: Beschwerdegegner) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat sich vernehmen lassen, ohne einen formellen Antrag zu stellen.
In ihrer unaufgefordert eingereichten Replik vom 13. Juni 2008 hat die Beschwerdeführerin den Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Verfahren zurückgezogen. Der Beschwerdegegner hat am 18. Juni 2008 unaufgefordert eine Duplik eingereicht.
D. Mit Verfügung vom 22. Mai 2008 gewährte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1. 1.1 Anlass zur Beschwerde gibt ein Entscheid über die aufschiebende Wirkung in einem Rechtsmittelverfahren gegen die Gewährung der definitiven Rechtsöffnung, mithin eine Zwangsvollstreckungssache mit Vermögenswert (<ref-law>). Die gesetzliche Streitwertgrenze wird vorliegend nicht erreicht (<ref-law>), womit die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben ist. Zulässig ist hingegen in einem solchen Fall die subsidiäre Verfassungsbeschwerde.
1.2 Die strittige Verfügung kann als selbständig eröffneter Zwischenentscheid angefochten werden, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1). Dies ist vorliegend insoweit der Fall, als dem kantonalen Rechtsmittel der Beschwerdeführerin die aufschiebende Wirkung versagt bleibt und das Vollstreckungsverfahren seinen Fortgang nimmt, wenn die Sicherheitsleistung nicht fristgerecht aufgebracht werden kann. Sie stellt zudem eine vorsorgliche Massnahme dar, womit einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft deren Verletzung nur auf rechtsgenüglich begründete Rüge hin, was bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides klar und einlässlich darzulegen ist, inwiefern dies der Fall sein sollte (<ref-ruling> E. 3.2).
2. 2.1 Nach <ref-law>/GL kann die Erteilung der aufschiebenden Wirkung von einer Sicherheitsleistung abhängig gemacht werden. Die Vorinstanz sah in dieser Möglichkeit eine geeignete Lösung für die von ihr zu behandelnde Nichtigkeitsbeschwerde, zumal ein gerichtlicher Entscheid als Rechtsöffnungstitel im Recht liege. Über die spätere Verwendung der Kaution werde mit dem Entscheid in der Sache befunden.
2.2 Dagegen bringt die Beschwerdeführerin vor, die aufgrund von kantonalem Verfahrensrecht verlangte Sicherheitsleistung verbinde die Gewährung der aufschiebenden Wirkung mit der Erfüllung der dem Rechtsstreit zugrunde liegenden Forderung. Sie stelle daher einen Arrest dar, welcher mit der im SchKG abschliessend geregelten Sicherstellung und Zwangsvollstreckung von Geldforderungen nicht vereinbar sei. Der Vorrang des Bundesrechts werde hier missachtet.
2.3 Die Zwangsvollstreckungen, welche auf eine Geldzahlung oder eine Sicherheitsleistung gerichtet sind, werden auf dem Wege der Schuldbetreibung durchgeführt (<ref-law>). Die Realexekution richtet sich hingegen nach kantonalem Recht. Beim Erlass vorsorglicher Massnahmen ist die Abgrenzung von Bundesrecht und kantonalem Recht von grosser Bedeutung. Neben dem bundesrechtlich geregelten Arrest (<ref-law>) bleibt kein Raum für eine vorsorgliche Massnahme des kantonalen Rechts zur Sicherung der Vollstreckung einer Geldforderung. Unzulässig ist daher auch die vorläufige Verurteilung zur Bezahlung einer streitigen Schuld durch eine einstweilige Verfügung nach kantonalem Recht. Eine solche Anordnung würde den Vorrang des Bundesrechts nach <ref-law> missachten (Urteil 5C.235/1994 vom 11. Juli 1995 mit Hinweisen auf die bundesgerichtliche Praxis; Acocella, Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, SchKG I, N. 5 zu <ref-law>).
2.4 Zwar wird im vorliegenden Fall über die Verwendung der Sicherheitsleistung erst später entschieden. Dies ändert indes nichts an der Verpflichtung, eine solche vorab zu erbringen, um für die Nichtigkeitsbeschwerde die aufschiebende Wirkung zu erhalten. Die Vorinstanz weist zudem in der angefochtenen Verfügung und in der Vernehmlassung darauf hin, dass die Höhe der Sicherheitsleistung genau dem strittigen Rechtsöffnungstitel entspreche. Damit bekräftigt sie, die Gewährung der aufschiebenden Wirkung an die Sicherstellung des strittigen Betrages zu knüpfen. Die konkrete Anwendung von 321 Abs. 2 ZPO/GL stellt im vorliegenden Fall eine verfassungsmässig unzulässige Sicherstellung einer Geldforderung dar. Die Verfassungsbeschwerde ist daher wegen Verletzung von <ref-law> gutzuheissen, ohne dass die weiteren Rügen noch zu prüfen sind. Die Vorinstanz wird über die Gewährung der aufschiebenden Wirkung neu zu befinden haben.
3. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdegegner die Gerichtskosten und schuldet der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfassungsbeschwerde wird gutgeheissen, die Ziffern 1-3 der Verfügung des Obergerichtspräsidenten des Kantons Glarus vom 27. März 2008 werden aufgehoben und die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinn der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergerichtspräsidenten des Kantons Glarus schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden