Faits:
A. G._ a travaillé dès le 25 juin 2002 au service de la société F._ SA (ci-après: la société). Engagé pour une durée indéterminée à raison d'une soixantaine d'heures au maximum par mois, il accomplissait un travail à caractère irrégulier pour un salaire horaire de 22 fr. 75 brut, auquel s'ajoutait un supplément de 9% pour les vacances. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 9 juillet 2002, il a été victime d'un accident de la circulation dont les suites ont entraîné une incapacité de travail entière jusqu'au 13 avril 2003.
La CNA a instruit le cas. Dans l'attente de sa décision sur la prise en charge éventuelle de celui-ci, elle a invité la société Alpina Compagnie d'assurances SA (ci-après: Alpina), assureur en indemnités journalières en cas de maladie, à avancer provisoirement les indemnités en faveur de l'assuré. Au mois de janvier 2003, Alpina a versé une avance de 8'753 fr. 20 en mains de l'employeur. Selon un décompte du 16 janvier 2003 adressé à ce dernier, ce montant correspondait à 158 indemnités journalières (période du 16 juillet au 20 décembre 2002) d'un montant de 55 fr. 40. L'employeur a fait parvenir ces prestations à l'assuré le 4 février 2003.
Le 29 janvier 2003, la CNA a informé l'assuré qu'elle acceptait de prendre en charge les frais de traitement et d'allouer une indemnité journalière à compter du 15 juillet 2002. Le 11 février 2003, elle a payé à l'intéressé un montant de 2'301 fr. 80 correspondant au solde des prestations encore dues pour la période du 15 juillet 2002 au 31 janvier 2003. Selon un décompte du même jour, le montant de l'indemnité journalière était de 55 fr. Le 8 avril 2003, la CNA a encore versé un montant de 3'245 fr. correspondant à l'indemnité journalière due pour la période du 1er février au 31 mars 2003 (59 indemnités journalières à 55 fr.). Le 9 avril 2003, elle a informé l'assuré qu'elle allait procéder au calcul du montant exact de l'indemnité due.
Par décision du 28 août 2003, confirmée sur opposition le 16 décembre 2005, la CNA a réclamé à l'assuré la restitution d'un montant de 13'071 fr. 50 représentant des indemnités journalières indûment perçues. Elle a considéré que le montant de l'indemnité journalière à laquelle avait droit l'intéressé était de 4 fr. 50 et non pas de 55 fr. comme cela avait été fixé provisoirement. L'assuré n'a pas recouru contre la décision sur opposition.
Saisie d'une demande de remise de l'obligation de restituer, la CNA l'a rejetée par décision du 24 juillet 2006, confirmée sur opposition le 15 septembre suivant, motif pris que l'assuré n'était pas de bonne foi.
B. Statuant le 27 novembre 2007, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition du 15 septembre 2006.
C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant, sous suite de dépens, à la remise de son obligation de restituer les prestations indûment perçues.
La CNA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2. Le litige porte sur le point de savoir si la CNA était fondée à refuser la remise de l'obligation de restituer le montant de 13'071 fr. 50 représentant des indemnités journalières indûment perçues.
3. 3.1 Selon l'<ref-law>, les prestations indûment touchées doivent être restituées. La restitution ne peut être exigée lorsque l'intéressé était de bonne foi et qu'elle le mettrait dans une situation difficile. Les deux conditions matérielles énoncées à l'<ref-law> sont cumulatives et leur réalisation est nécessaire pour que la remise de l'obligation de restituer soit accordée (<ref-ruling> consid. 3c p. 53; DTA 2001 p. 160, C 223/00, consid. 5).
3.2 Selon une jurisprudence constante du Tribunal fédéral des assurances relative à l'<ref-law> (en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002; DTA 1998 n. 14 p. 70, consid. 4a), applicable par analogie en matière d'assurance-chômage (<ref-ruling> consid. 1b p. 50), l'ignorance, par le bénéficiaire des prestations, du fait qu'il n'avait pas droit aux prestations ne suffit pas pour admettre sa bonne foi. Il faut bien plutôt que l'assuré ne se soit rendu coupable, non seulement d'aucune intention malicieuse, mais aussi d'aucune négligence grave. Il s'ensuit que la bonne foi, en tant que condition de la remise, est exclue d'emblée lorsque les faits qui conduisent à l'obligation de restituer (violation du devoir d'annoncer ou de renseigner) sont imputables à un comportement dolosif ou à une négligence grave. En revanche, l'intéressé peut invoquer sa bonne foi lorsque l'acte ou l'omission fautifs ne constituent qu'une violation légère de l'obligation d'annoncer ou de renseigner (<ref-ruling> consid. 2c p. 103, 110 V 176 consid. 3c p. 180; DTA 2003 p. 258, C 295/02, consid. 1.2, 2002 p. 257, C 368/01, consid. 2a). Il y a négligence grave quand un ayant droit ne se conforme pas à ce qui peut raisonnablement être exigé d'une personne capable de discernement dans une situation identique et dans les mêmes circonstances (<ref-ruling> consid. 3d p. 181).
L'examen de l'attention exigible d'un ayant droit qui invoque sa bonne foi relève du droit et le Tribunal fédéral revoit librement ce point (<ref-ruling> consid. 3 p. 223, 102 V 245 consid. b p. 246).
4. 4.1 La juridiction cantonale a nié la bonne foi du recourant. Elle a constaté qu'en vertu du contrat oral le liant à son employeur, l'intéressé avait été engagé pour accomplir, de manière irrégulière, une soixantaine d'heures de travail par mois au maximum, moyennant un salaire horaire de 24 fr. 80, y compris une indemnité de vacances (22 fr. 75 x 109%), de sorte que son revenu mensuel brut ne pouvait excéder un montant de 1'488 fr. (24 fr. 80 x 60). Comme, par ailleurs, l'indemnité journalière de 55 fr. allouée à l'assuré correspondait à un montant mensuel de 1'673 fr. (55 fr. x 365 [jours] : 12 [mois]), l'intéressé n'a pas pu manquer de constater que le montant des indemnités journalières allouées était supérieur au revenu maximum réalisable en vertu du contrat de travail. Selon les premiers juges, on pouvait donc raisonnablement exiger de l'assuré qu'il « s'interroge » au sujet de cette différence et fasse part de ses doutes à l'assureur concerné, ce qu'il n'a pas fait. Dans la mesure où une telle obligation ne dépendait pas d'une formation particulière dans le domaine des assurances ni de la capacité de calculer les indemnités journalières en ce qui concerne une activité exercée irrégulièrement, la juridiction cantonale a nié la bonne foi de l'intéressé. Au demeurant, celui-ci était représenté depuis le 23 août 2002 par un avocat qui était en mesure de savoir que les indemnités journalières allouées avaient été calculées de manière erronée, de sorte que l'intéressé doit se laisser opposer l'éventuelle absence de bonne foi de son mandataire.
Le recourant conteste le point de vue de la juridiction cantonale en faisant valoir qu'il n'avait aucune raison de penser que les indemnités journalières perçues étaient trop élevées en comparaison du revenu maximum réalisable dans son activité lucrative. En effet, non seulement les montants de 1'488 fr. et 1'673 fr. reposent sur des moyennes calculées par la CNA et ne ressortent pas des fiches de salaire ni des décomptes d'indemnités mais encore ils sont si proches qu'ils ne pouvaient pas attirer son attention.
4.2 En l'occurrence, le recourant connaissait indéniablement le revenu mensuel maximum qu'il pouvait réaliser au service de la société. Les parties avaient convenu que l'intéressé n'accomplirait pas plus de soixante heures de travail par mois en raison de son état de santé et étant donné qu'il percevait une rente de l'assurance-invalidité. Compte tenu du salaire horaire convenu (22 fr. 75 auxquels s'ajoutait une indemnité de vacances de 9%, soit un montant total de 24 fr. 80), le recourant ne devait pas s'attendre à obtenir un salaire mensuel supérieur à 1'488 fr. (24 fr. 80 x 60).
Cela étant, la situation est différente en ce qui concerne la connaissance que pouvait avoir l'intéressé du montant de l'indemnité journalière allouée en raison de son incapacité de travail subie après l'accident du 9 juillet 2002. L'avance d'un montant de 8'753 fr. 20 effectuée par Alpina a été versée en mains de l'employeur au mois de janvier 2003, lequel l'a faite parvenir à l'assuré le 4 février suivant. Cette avance a fait l'objet d'un décompte adressé à l'employeur à titre confidentiel et selon lequel le montant de 8'753 fr. 20 correspondait à 158 indemnités journalières relatives à la période du 16 juillet au 20 décembre 2002, d'un montant unitaire de 55 fr. 40. Rien ne permet toutefois de considérer que le recourant a eu connaissance de ce décompte adressé à son employeur. En outre, il pouvait d'autant moins connaître le montant unitaire de l'indemnité journalière allouée que la somme en question ne lui est pas parvenue avant le 4 février 2003, ce qui pouvait le laisser supposer que le montant de 8'753 fr. 20 pouvait aussi concerner des périodes postérieures au 20 décembre 2002. Quant à la somme de 105 fr. 35 mentionnée dans la lettre de la CNA du 29 janvier 2003, elle ne permet pas de considérer que l'assuré connaissait le montant unitaire, puisqu'elle était deux fois plus élevée. C'est seulement le 11 février que la CNA a adressé à l'intéressé un décompte relatif au versement du montant de 2'301 fr. 80 représentant le solde des indemnités journalières encore dues pour la période du 15 juillet 2002 au 31 janvier 2003. A la lecture de ce décompte qui indiquait une indemnité journalière d'un montant de 55 fr., le recourant devait donc se rendre compte que la somme des indemnités journalières allouées pour une période d'un mois, soit 1'650 fr. environ, dépassait sensiblement le montant maximum du salaire réalisable durant une telle période. Dès lors, en s'abstenant de réagir à réception du paiement de 2'301 fr. 80 et du versement subséquent de 3'245 fr. le 8 avril 2003, le recourant ne s'est pas conformé à ce qui pouvait raisonnablement être exigé d'une personne capable de discernement dans une situation identique et dans les mêmes circonstances. Ce faisant, il a commis une négligence grave et sa bonne foi doit être niée lorsqu'il a perçu les montants de 2'301 fr. 80 et 3'245 fr. susmentionnés. La CNA était dès lors fondée à refuser la remise de l'obligation de restituer ces montants, soit la somme totale de 5'546 fr. 80.
En revanche, le recourant ne pouvait pas savoir qu'il n'avait pas droit au montant de 8'753 fr. 20 payé par l'employeur le 4 février 2003 et sa bonne foi doit être admise sur ce point. En ce qui concerne le solde du montant à restituer conformément à la décision sur opposition du 16 décembre 2005, à savoir 7'524 fr. 70 (13'071 fr. 50 - 5'546 fr. 80), la cause doit dès lors être renvoyée à l'intimée pour qu'elle rende une nouvelle décision après avoir instruit le point de savoir si la restitution de ce montant mettrait le recourant dans une situation difficile.
5. Chacune des parties n'obtenant que partiellement gain de cause, les frais judiciaires doivent être répartis entre elles à raison de la moitié (<ref-law>). Le recourant, qui est représenté par un avocat, a droit à une indemnité de dépens réduite (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis partiellement et le jugement du Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais du 27 novembre 2007 et la décision sur opposition de la CNA du 15 septembre 2006 sont réformés en ce sens que la remise de l'obligation de restituer est refusée à raison d'un montant de 5'546 fr. 80. La cause est en outre renvoyée à l'intimée pour nouvelle décision au sens des considérants au sujet de la remise éventuelle du solde de 7'524 fr. 70.
2. Les frais judiciaires, d'un montant de 1'200 fr., sont mis pour 600 fr. à la charge du recourant et pour 600 fr. à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera au recourant une indemnité de dépens de 1'300 fr.
4. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais pour qu'il statue sur les dépens de la procédure cantonale au regard de l'issue définitive du procès de dernière instance.
5. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 5 septembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd