Faits:
A.
M. A.X._ (1973) et Mme B.X._ (1981), tous deux de nationalité tunisienne, se sont mariés le 6 juillet 2009 en Tunisie. Aucun enfant n'est issu de cette union.
B.
Le 25 juillet 2012, l'épouse a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale.
B.a. Par prononcé du 21 mars 2013, la Présidente du Tribunal d'arrondissement de La Côte a ratifié la convention partielle de mesures protectrices de l'union conjugale signée par les parties et condamné l'époux à contribuer à l'entretien de son épouse par le versement d'une pension mensuelle de 1'600 fr., dès et y compris le 1 er août 2012.
L'époux a formé appel contre cette ordonnance et requis l'octroi de l'effet suspensif.
B.b. Par décision du 5 avril 2013, la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: Juge déléguée) a rejeté la requête d'effet suspensif.
C.
Par acte du 6 mai 2013, l'époux interjette un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Il conclut à ce que la décision querellée du 5 avril 2013 soit réformée en ce sens que l'effet suspensif à son appel est immédiatement restitué jusqu'à droit connu sur le sort de l'action en annulation du mariage qu'il a déposée. Au préalable, le recourant requiert l'octroi de l'effet suspensif à son recours et d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invitées à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, la Juge déléguée a déclaré s'en remettre à justice et l'intimée, qui a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire dans le cadre de la procédure fédérale, a conclu à son rejet.

Considérant en droit:
1.
La décision attaquée refusant de suspendre l'exécution d'un jugement de mesures protectrices de l'union conjugale condamnant le recourant à contribuer à l'entretien de son épouse par le versement d'une pension mensuelle de 1'600 fr., objet d'un appel de celui-ci, est une décision incidente au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2b p. 264; arrêt 5A_609/2012 du 21 septembre 2012 consid. 1).
1.1. Le recours contre une décision incidente est soumis à la même voie de droit que celle qui est ouverte contre la décision principale (arrêts 5D_55/2011 du 23 septembre 2011 consid. 1.2; 5A_491/2007 du 15 novembre 2007, consid. 1.2). La cause pour laquelle l'effet suspensif est requis se rapporte en l'espèce à une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale selon l'<ref-law>, à savoir une décision en matière civile (<ref-law>), portant sur la contribution d'entretien due à l'épouse, contestée en appel. Partant, le litige a pour objet une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse excède manifestement le seuil de 30'000 fr. fixé à l'<ref-law> (art. 51 al. 1 let. c et al. 4 LTF). La voie du recours en matière civile étant ouverte en l'espèce, le recours constitutionnel subsidiaire interjeté est d'emblée irrecevable (<ref-law>). Cela étant, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382 et les arrêts cités).
Le présent recours, traité comme recours en matière civile, a au surplus été interjeté dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt à l'annulation ou à la modification de l'arrêt entrepris (<ref-law>). La Juge déléguée n'a pas statué sur recours mais en qualité d'instance cantonale unique sur l'effet suspensif requis dans le cadre d'une procédure d'appel; le recours est cependant admissible en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 42).
1.2.
1.2.1. La recevabilité du recours en matière civile suppose en outre que la décision incidente puisse être attaquée directement. Hormis les décisions mentionnées à l'<ref-law>, sur des questions non pertinentes en l'espèce, une décision préjudicielle ou incidente peut notamment être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>; arrêts 5A_371/2012 du 22 août 2012 consid. 2; 5A_870/2011 du 23 février 2012 consid. 1.2).
Le recourant ayant apparemment méconnu la nature de la décision dont est recours, il n'a en conséquence pas démontré que les conditions de recevabilité posées par l'<ref-law> étaient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 429 et les références). Or, lorsqu'il n'est pas manifeste que les conditions d'entrée en matière prévues à l'<ref-law> soient remplies, il appartient au recourant de le démontrer ou du moins de l'alléguer, faute de quoi le recours est déclaré irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 429; <ref-ruling> consid. 2.4.2 p. 633; arrêt 4A_144/2007 du 29 août 2007 consid. 2.3.1 et les références). En l'espèce toutefois, le recourant, qui soulève le grief d'application arbitraire de l'<ref-law>, expose qu'il risque de subir un préjudice difficilement réparable, en sorte qu'il convient donc d'examiner si le recours est ouvert en vertu de l'<ref-law>.
1.2.2. Un préjudice ne peut être qualifié d'irréparable au sens de l'<ref-law> que s'il cause un inconvénient de nature juridique; tel est le cas lorsqu'une décision finale même favorable à la partie recourante ne le ferait pas disparaître entièrement (arrêts 5A_556/2012 du 11 septembre 2012 consid. 4.1, 5A_780/2011 du 23 février 2012 consid. 1.2). Le point de savoir si un préjudice irréparable existe s'apprécie par rapport aux effets de la décision incidente sur la cause principale, respectivement la procédure principale (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 382).
Le recourant fait valoir qu'il a ouvert action en annulation du mariage, son épouse n'ayant jamais eu la volonté de former une communauté conjugale. Il affirme que, à l'issue de cette procédure, son épouse sera probablement renvoyée de Suisse par les autorités administratives compétentes en matière de droit des étrangers et qu'il sera alors confronté à des " difficultés insurmontables " sur le territoire tunisien pour répéter les contributions d'entretien versées indûment, dès lors qu'il lui appartiendra de " retrouver la trace " de celle-ci pour ouvrir une action en répétition de l'indu et que répéter une somme aussi importante relève de "l'impossibilité absolue", la contribution d'entretien fixée correspondant à 2'775 dinars, à savoir " dix fois le smic outre Mare Nostrum " ( sic !).
En l'occurrence, l'octroi de l'effet suspensif a été requis dans le cadre d'une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale ( cf. supra consid. 1.2), non dans celui de l'action en annulation de mariage pendante. Dans le cadre des mesures protectrices de l'union conjugale, même lorsqu'on ne peut plus sérieusement compter sur la reprise de la vie commune, l'<ref-law> demeure la cause de l'obligation d'entretien réciproque des époux (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 386 s.). Or, il ressort du dossier de la cause et des allégations du recourant que celui-ci a toujours subvenu aux besoins de son épouse, laquelle n'a pas exercé d'activité lucrative durant la vie commune. Il s'ensuit qu'il n'est pas manifeste que le versement d'une contribution d'entretien en faveur de l'épouse soit indu, partant que le recourant soit exposé à un dommage, a fortiori irréparable. Par conséquent, une entrée en matière fondée sur l'<ref-law> est exclue.
Cela étant, l'argument tiré de l'action en annulation du mariage, à considérer que l'effet suspensif a été requis eu égard à ce contexte, n'est pas pertinent, dès lors que, jusqu'au jugement d'annulation, le mariage vicié a tous les effets d'un mariage valable et que les dispositions relatives au divorce s'appliquent par analogie aux effets du jugement d'annulation en ce qui concerne les époux (art. 109 al. 1 et 2 CC).
1.2.3. Il découle de ce qui précède que le présent recours contre une décision incidente ne satisfait pas aux conditions de recevabilité posées à l'<ref-law>.
2.
En définitive, le recours est irrecevable. La requête d'effet suspensif du recourant pour la procédure devant le Tribunal fédéral devient ainsi sans objet. Vu l'issue - d'emblée prévisible - du litige, la requête d'assistance judiciaire du recourant ne saurait être agréée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Une indemnité de dépens est due à l'intimée qui a été invitée à se déterminer sur la requête d'effet suspensif pour la durée de la présente procédure (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La demande d'assistance judiciaire de celle-ci devient ainsi sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La requête d'effet suspensif du recourant est sans objet.
3.
La demande d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
4.
La demande d'assistance judiciaire de l'intimée est sans objet.
5.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
6.
Une indemnité de 500 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 10 juin 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Carlin