Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft Florenz führt gegen verschiedene Personen ein Ermittlungsverfahren wegen Steuerbetrugs und weiterer Delikte.
Mit Rechtshilfeersuchen vom 11. März 2011 bat sie die schweizerischen Behörden unter anderem um die Herausgabe von Bankunterlagen.
Am 15. April 2011 übertrug das Bundesamt für Justiz die Ausführung des Rechtshilfeersuchens der Eidgenössischen Zollverwaltung (im Folgenden: Oberzolldirektion).
Mit Verfügung vom 4. Mai 2011 trat diese auf das Rechtshilfeersuchen ein und beauftragte die Sektion Zollfahndung Zürich (im Folgenden: Zollfahndung) mit der Durchführung der Rechtshilfemassnahmen.
Am 16. Mai 2011 forderte die Zollfahndung die Banz Y._ in Zürich zur Herausgabe von Kontounterlagen auf.
Auf Antrag vom 3. Juni 2011 von X._ hin wurden Unterlagen betreffend ein auf ihn lautendes Konto versiegelt.
B. Am 22. Juni 2011 ersuchte die Oberzolldirektion die II. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts um Entsiegelung.
Am 22. August 2011 trat die II. Beschwerdekammer darauf nicht ein. Sie verneinte ihre Zuständigkeit.
C. Die Oberzolldirektion führt beim Bundesgericht Beschwerde mit dem Antrag, das Bundesstrafgericht sei als zuständig zu bezeichnen und anzuweisen, in der Sache zu entscheiden. Eventualiter sei als zuständiges Gericht das betreffende Zwangsmassnahmengericht des Kantons Zürich zu bezeichnen.
D. Das Bundesamt für Justiz führt gegen den Entscheid der II. Beschwerdekammer beim Bundesgericht ebenfalls Beschwerde. Es beantragt, die Sache sei an das Bundesstrafgericht zurückzuweisen, damit dieses über das Entsiegelungsgesuch in der Sache befinde.
E. Die II. Beschwerdekammer, das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Bern, das Obergericht des Kantons Zürich (Zwangsmassnahmengericht) und X._ haben auf Gegenbemerkungen je verzichtet.
Die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts verweist unter Verzicht auf weitere Bemerkungen auf ihre Stellungnahme vom 20. Juli 2011 im vorinstanzlichen Verfahren, worin sie die Zuständigkeit beider Beschwerdekammern des Bundesstrafgerichts verneinte.

Erwägungen:
1. 1.1 Die beiden Beschwerden richten sich gegen das gleiche Urteil. Es stellt sich dieselbe Rechtsfrage der Zuständigkeit für den Entsiegelungsentscheid. Es rechtfertigt sich deshalb, die Beschwerdeverfahren zu vereinigen.
1.2 Gemäss <ref-law> wird das bundesgerichtliche Verfahren in einer der Amtssprachen geführt, in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids.
Der angefochtene Entscheid erging in deutscher Sprache. Von der Regel nach <ref-law> abzuweichen besteht kein Anlass, zumal die Oberzolldirektion ihre Beschwerde ebenfalls in deutscher Sprache eingereicht hat. Das bundesgerichtliche Urteil wird deshalb in dieser Sprache verfasst, auch wenn das Bundesamt seine Beschwerde in italienischer Sprache eingereicht hat.
Der angefochtene Entscheid erging in deutscher Sprache. Von der Regel nach <ref-law> abzuweichen besteht kein Anlass, zumal die Oberzolldirektion ihre Beschwerde ebenfalls in deutscher Sprache eingereicht hat. Das bundesgerichtliche Urteil wird deshalb in dieser Sprache verfasst, auch wenn das Bundesamt seine Beschwerde in italienischer Sprache eingereicht hat.
1.3 1.3.1 Die Vorinstanz hat in Nachachtung von <ref-ruling> einen Nichteintretensentscheid gefällt. Dagegen ist gemäss <ref-law> die Beschwerde an das Bundesgericht gegeben (<ref-ruling> lit. B S. 141 und E. 2.4 S. 143 f.).
Im Lichte der Rechtsprechung ist fraglich, ob hier in jeder Hinsicht die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> gelten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 47). Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben, da diese jedenfalls erfüllt wären.
1.3.2 Gemäss <ref-law> ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn er unter anderem eine Beschlagnahme betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
Bei der Entsiegelung geht es darum, wieweit Schriftstücke durchsucht und beschlagnahmt werden dürfen (vgl. <ref-law>). Sie steht somit in engem Zusammenhang mit der Beschlagnahme. Die Beschwerde ist hier deshalb unter dem Gesichtspunkt des Sachgebiets nach <ref-law> als zulässig anzusehen.
Wie sich aus dem Wort "insbesondere" ergibt, umschreibt <ref-law> den besonders bedeutenden Fall nicht abschliessend. Ein solcher kann auch angenommen werden, wenn sich eine rechtliche Grundsatzfrage stellt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 144 mit Hinweisen). So verhält es sich hier. Die Frage, welche Behörde zum Entscheid über das Entsiegelungsgesuch zuständig ist, ist von grundsätzlicher Bedeutung und bedarf - wie das Bundesamt (Beschwerde S. 2/3 Ziff. 1) zutreffend darlegt - der Klärung durch das Bundesgericht. Die Beschwerde ist deshalb auch insoweit zulässig.
1.3.3 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen Entscheide des Bundesstrafgerichts gegeben.
1.3.4 Die Oberzolldirektion ist gemäss <ref-law> i.V.m. Art. 4 Abs. 1 und Art. 14 Abs. 2 lit. d der Organisationsverordnung vom 17. Februar 2010 für das Eidgenössische Finanzdepartement (SR 172.215.1) sowie <ref-law> (SR 351.1) zur Beschwerde berechtigt.
Das Bundesamt ist gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> ebenfalls zur Beschwerde befugt.
1.3.5 Der angefochtene Entscheid stellt einen nach <ref-law> anfechtbaren Zwischenentscheid dar.
1.3.6 Beide Beschwerdeführer haben die Beschwerdefrist von 10 Tagen gemäss <ref-law> gewahrt.
1.3.7 Die Eintretensvoraussetzungen sind demnach erfüllt.
2. 2.1 Die Beschwerdeführer bringen vor, das Bundesstrafgericht sei zum Entscheid über das Entsiegelungsgesuch zuständig.
2. 2.1 Die Beschwerdeführer bringen vor, das Bundesstrafgericht sei zum Entscheid über das Entsiegelungsgesuch zuständig.
2.2 2.2.1 Gemäss <ref-law> kann das Bundesamt die Ausführung eines Ersuchens der Bundesbehörde übertragen, die bei Begehung der Tat in der Schweiz für die Ahndung zuständig wäre. Gestützt auf diese Bestimmung hat das Bundesamt die Ausführung des Rechtshilfeersuchens der Oberzolldirektion übertragen.
2.2.2 Gemäss <ref-law> wenden, wenn dieses Gesetz nichts anderes bestimmt, die Bundesverwaltungsbehörden das Bundesgesetz vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021), die kantonalen Behörden die für sie geltenden Vorschriften sinngemäss an. Für Prozesshandlungen gilt das in Strafsachen massgebende Verfahrensrecht.
Ist die Verfolgung und Beurteilung von Widerhandlungen einer Verwaltungsbehörde des Bundes übertragen, so findet gemäss Art. 1 des Bundesgesetzes vom 22. März 1974 über das Verwaltungsstrafrecht (VStrR; SR 313.0) dieses Gesetz Anwendung. Das für die Oberzolldirektion in Strafsachen massgebende Verfahrensrecht gemäss <ref-law> ist demnach im VStrR enthalten.
Gemäss Art. 50 VStrR sind Papiere mit grösster Schonung der Privatgeheimnisse zu durchsuchen; insbesondere sollen Papiere nur dann durchsucht werden, wenn anzunehmen ist, dass sich Schriften darunter befinden, die für die Untersuchung von Bedeutung sind (Abs. 1). Bei der Durchsuchung sind das Amtsgeheimnis sowie Geheimnisse, die Geistlichen, Rechtsanwälten, Notaren, Ärzten, Apothekern, Hebammen und ihren beruflichen Gehilfen in ihrem Amte oder Beruf anvertraut wurden, zu wahren (Abs. 2). Dem Inhaber der Papiere ist wenn immer möglich Gelegenheit zu geben, sich vor der Durchsuchung über ihren Inhalt auszusprechen. Erhebt er gegen die Durchsuchung Einsprache, so werden die Papiere versiegelt und verwahrt, und es entscheidet die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts über die Zulässigkeit der Durchsuchung (Abs. 3).
Art. 50 Abs. 3 VStrR verweist auf Art. 25 Abs. 1 VStrR. Danach entscheidet die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts über die ihr nach diesem Gesetz zugewiesenen Beschwerden und Anstände.
2.2.3 Gemäss <ref-law> gelten das VwVG und hier das VStrR nur, wenn das IRSG nichts anderes bestimmt. Letzteres geht also vor.
Nach <ref-law> - der im Abschnitt "Besondere Bestimmungen" enthalten ist - gelten für die Durchsuchung von Aufzeichnungen und die Siegelung die Artikel 246-248 StPO sinngemäss.
Gemäss <ref-law> sind Aufzeichnungen und Gegenstände, die nach Angaben der Inhaberin oder des Inhabers wegen eines Aussage- oder Zeugnisverweigerungsrechts oder aus anderen Gründen nicht durchsucht oder beschlagnahmt werden dürfen, zu versiegeln und dürfen von den Strafbehörden weder eingesehen noch verwendet werden (Abs. 1). Stellt die Strafbehörde nicht innert 20 Tagen ein Entsiegelungsgesuch, so werden die versiegelten Aufzeichnungen und Gegenstände der berechtigten Person zurückgegeben (Abs. 2). Stellt sie ein Entsiegelungsgesuch, so entscheidet darüber innerhalb eines Monats endgültig: a) im Vorverfahren das Zwangsmassnahmengericht; b) in den anderen Fällen das Gericht, bei dem der Fall hängig ist (Abs. 3).
Es stellt sich die Frage, ob <ref-law> i.V.m. <ref-law> zu einem von Art. 50 Abs. 3 und Art. 25 Abs. 1 VStrR abweichenden Ergebnis führt.
2.2.4 Das vorliegende Rechtshilfeverfahren führt die Oberzolldirektion. Es ist bei keinem Gericht hängig. Bei sinngemässer Anwendung von <ref-law> entscheidet über das Entsiegelungsgesuch daher das Zwangsmassnahmengericht.
Gemäss <ref-law> ist das Zwangsmassnahmengericht zuständig für die Anordnung der Untersuchungs- und der Sicherheitshaft und, soweit in diesem Gesetz vorgesehen, für die Anordnung oder Genehmigung weiterer Zwangsmassnahmen. Gestützt auf diese Bestimmung haben die Kantone Zwangsmassnamengerichte eingerichtet. Der Bund hat kein eigenes Zwangsmassnahmengericht geschaffen (THOMAS HOFER, in: Arn und andere [Hrsg.], Organisation der kantonalen und eidgenössischen Strafbehörden, 2011, S. 82 N. 25; HANSPETER USTER, in: Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2011, N. 2 zu <ref-law>). Insoweit hat der Gesetzgeber in <ref-law> (SR 173.71) eine Sonderlösung getroffen. Danach entscheiden die kantonalen Zwangsmassnahmengerichte am Sitz der Bundesanwaltschaft oder ihrer Zweigstellen in Fällen der Bundesgerichtsbarkeit über alle Zwangsmassnahmen gemäss <ref-law> (Abs. 1). Zuständig ist das kantonale Zwangsmassnahmengericht am Ort, wo das Verfahren geführt wird (Abs. 2).
<ref-law> betrifft nach seinem klaren Wortlaut die Bundesanwaltschaft und Fälle der Bundesgerichtsbarkeit (Art. 23 f. StPO), nicht die Oberzolldirektion und die von ihr geführten Verwaltungsstrafverfahren. Gemäss <ref-law> ist dieses Gesetz zudem auf die Oberzolldirektion nicht anwendbar. Im Rahmen von <ref-law> erfüllen die kantonalen Zwangsmassnahmengerichte vom Bund übertragene Aufgaben (Botschaft vom 10. September 2008 zum Bundesgesetz über die Organisation der Strafbehörden des Bundes, BBl 2008 8174; USTER, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>). Eine derartige Aufgabenübertragung bedarf einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage. Dies ergibt sich aus <ref-law>. Danach sind alle wichtigen rechtsetzenden Bestimmungen in der Form des Bundesgesetzes zu erlassen. Dazu gehören nach Bst. f, der an <ref-law> anschliesst, insbesondere die grundlegenden Bestimmungen über die Verpflichtungen der Kantone bei der Umsetzung und beim Vollzug des Bundesrechts. Die Lehre spricht insoweit von einem föderalistischen Legalitätsprinzip zum Schutz der Kantone (PIERRE TSCHANNEN, in: Ehrenzeller und andere [Hrsg.], Die Schweizerische Bundesverfassung, Kommentar, 2. Aufl. 2008, N. 27 zu <ref-law>; GEORG MÜLLER, Die Umschreibung des Inhalts der Bundesgesetze und die Delegation von Rechtsetzungsbefugnissen, LeGes 2000/3 S. 32). Diese sind davor geschützt, unversehens mit zusätzlichen Aufgaben belastet zu werden (URS STEIMEN, Die Umsetzung von Bundesrecht durch die Kantone gemäss Art. 46 Abs. 1 und 2 der neuen Bundesverfassung, in: Gächter/Bertschi [Hrsg.], Neue Akzente in der "nachgeführten" Bundesverfassung, 2000, S. 170). Mit Blick darauf geht es nicht an, <ref-law> entgegen dem Wortlaut auf die Oberzolldirektion anzuwenden. Die Zuständigkeit der Zwangsmassnahmengerichte der Kantone Zürich oder Bern zum Entscheid über das vorliegende Entsiegelungsgesuch gestützt auf <ref-law> ist daher zu verneinen. Dass sonst wie eine gesetzliche Grundlage für die Anrufung eines kantonalen Zwangsmassnahmengerichts bestünde, legt die Vorinstanz nicht dar und ist nicht ersichtlich.
Kann demnach die Oberzolldirektion kein kantonales Zwangsmassnahmengericht um Entsiegelung ersuchen und besteht kein Zwangsmassnahmengericht des Bundes, führt die sinngemässe Anwendung von <ref-law> gemäss <ref-law> zu keinem Ergebnis. Gemäss <ref-law> bleibt es damit bei der Anwendbarkeit des VStrR. Danach ist die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts zum Entscheid über das vorliegende Entsiegelungsgesuch zuständig.
Kann demnach die Oberzolldirektion kein kantonales Zwangsmassnahmengericht um Entsiegelung ersuchen und besteht kein Zwangsmassnahmengericht des Bundes, führt die sinngemässe Anwendung von <ref-law> gemäss <ref-law> zu keinem Ergebnis. Gemäss <ref-law> bleibt es damit bei der Anwendbarkeit des VStrR. Danach ist die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts zum Entscheid über das vorliegende Entsiegelungsgesuch zuständig.
2.3 2.3.1 Gemäss <ref-law> unterliegt die Verfügung (...) der ausführenden Bundesbehörde, mit der das Rechtshilfeverfahren abgeschlossen wird, zusammen mit den vorangehenden Zwischenverfügungen der Beschwerde an die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts (Abs. 1). Der Schlussverfügung vorangehende Zwischenverfügungen können selbstständig angefochten werden, sofern sie einen unmittelbaren und nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken: a) durch die Beschlagnahme von Vermögenswerten und Wertgegenständen; oder b) durch die Anwesenheit von Personen, die am ausländischen Prozess beteiligt sind (Abs. 2).
Der Entscheid über die Entsiegelung von Papieren stellt eine nicht selbstständig anfechtbare Zwischenverfügung im Rechtshilfeverfahren dar. Sie kann zusammen mit der Schlussverfügung angefochten werden (vgl. <ref-ruling> E. 4c/bb S. 156; <ref-ruling>; ROBERT ZIMMERMANN, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 3. Aufl. 2009, S. 366/367 N. 401).
2.3.2 Die Vorinstanz bemerkt, hätte sie über die Entsiegelung zu entscheiden, müsste sie auf Beschwerde gegen die Schlussverfügung hin gegebenenfalls ihre eigene Zwischenverfügung überprüfen.
Dieses Problem stellte sich, wie die Vorinstanz in TPF 2008 7 (E. 2.4 am Schluss) selber darlegte, im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids nicht. Über Gesuche um Entsiegelung von Bundesverwaltungsbehörden entschied gemäss Art. 19 Abs. 1 des Organisationsreglements vom 31. August 2010 für das Bundesstrafgericht (BStGerOR; SR 173.713.161) in der bis zum 31. Dezember 2011 geltenden Fassung die I. Beschwerdekammer, über Beschwerden gegen Schlussverfügungen in Rechtshilfeangelegenheiten gemäss aArt. 19 Abs. 2 BStGerOR die II. Beschwerdekammer. Dass eine Kammer bzw. Abteilung eines Gerichts den Entscheid einer anderen überprüft, ist als grundsätzlich zulässig anzusehen. So war vor der Schaffung des Bundesstrafgerichts in Bellinzona gegen Urteile des Bundesstrafgerichts, das gemäss Art. 12 Abs. 1 lit. f der damaligen Fassung des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) eine Abteilung des Bundesgerichts bildete, die Beschwerde an den ausserordentlichen Kassationshof des Bundesgerichts gegeben (Art. 12 Abs. 2 aOG; Art. 1 Ziff. 6, Art. 12 Abs. 2 und Art. 220 ff. der alten Fassung des Bundesgesetzes vom 15. Juni 1934 über die Bundesstrafrechtspflege). Ebenso war nach dem Strafprozessrecht des Kantons Bern gegen Urteile des Wirtschaftsstrafgerichts, das eine Kammer des Obergerichts bildete und erstinstanzlich entschied, die Appellation an den obergerichtlichen Kassationshof gegeben (THOMAS MAURER, Das bernische Strafverfahren, 2. Aufl. 2003, S. 92 f.). Soweit in einer derartigen Konstellation, was als selbstverständlich vorausgesetzt werden kann, andere Richter mitwirken, stellt sich das Problem der Vorbefassung nicht. Von den Richtern kann sodann erwartet werden, dass sie in der Lage sind, den Entscheid der anderen Kammer bzw. Abteilung unvoreingenommen zu prüfen. Gegen den Beschwerdeentscheid der Beschwerdekammer kann im Übrigen unter den Voraussetzungen von <ref-law> beim Bundesgericht Beschwerde geführt werden. Wiche die Beschwerdekammer von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Entsiegelung ohne überzeugende Gründe ab, führte das zur Aufhebung ihres Entscheids (vgl. <ref-ruling>, wonach ein besonders bedeutender Fall gemäss <ref-law> angenommen werden kann, wenn die Vorinstanz von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung abgewichen ist [E. 1.2 S. 218]).
2.3.3 Das Bundesstrafgericht hat mit Wirkung ab dem 1. Januar 2012 unter Änderung von <ref-law> die beiden Beschwerdekammern zusammengelegt.
Gemäss <ref-law> besteht das Bundesstrafgericht aus einer oder mehreren Beschwerdekammern. Es geht mit Blick auf die verfassungsmässige Garantie des unvoreingenommenen und damit nicht vorbefassten Gerichts (<ref-law>) nicht an, dass die Beschwerdekammer auf Beschwerde gegen die Schlussverfügung hin ihren eigenen Entsiegelungsentscheid überprüft. Folglich muss das bis zum 31. Dezember 2011 geltende System mit zwei Beschwerdekammern in dieser besonderen Situation beibehalten werden. Zumindest muss sich die Beschwerdekammer im Beschwerdeverfahren aus anderen Richtern zusammensetzen. Nur so lässt sich die gesetzliche Regelung, wonach in einem Fall wie hier die Beschwerdekammer zum Entsiegelungsentscheid zuständig ist, umsetzen. Das Bundesstrafgericht muss sich so organisieren, dass es seine ihm vom Gesetz übertragenen Aufgaben in verfassungsmässiger Weise nachkommen kann. Bei <ref-law> handelt es sich um eine offene Gesetzesbestimmung. Eine solche ist so zu handhaben, dass sie mit dem Verfassungsrecht in Einklang steht. Spielräume, welche sie eröffnet, können dadurch eingeschränkt werden (vgl. YVO HANGARTNER, in: Ehrenzeller und andere [Hrsg.], Die schweizerische Bundesverfassung, Kommentar, 2. Aufl. 2008, N. 22 zu <ref-law>).
3. Die Beschwerden sind danach gutzuheissen.
Der Beschwerdegegner hat keinen förmlichen Antrag gestellt, weshalb er nicht unterliegt. Im Übrigen hat er den angefochtenen Entscheid nicht zu vertreten. Es werden ihm daher keine Kosten auferlegt (vgl. <ref-law>).
Den obsiegenden Behörden steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Ebenso wenig dem Beschwerdegegner, da er grundsätzlich auf Gegenbemerkungen verzichtet hat und zudem mangels Antrags nicht obsiegt (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 1C_367/2011 und 1C_373/2011 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden gutgeheissen und die Angelegenheit zum Entscheid über das Entsiegelungsgesuch der Oberzolldirektion an das Bundesstrafgericht zurückgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesstrafgericht, I. und II. Beschwerdekammer, dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Bern und dem Obergericht des Kantons Zürich, Zwangsmassnahmengericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Januar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri