Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Beschluss vom 17. September 2007 errichtete der Bürgerrat A._ für die verwitwete X._, geboren am xx.xx.1923, eine Beiratschaft auf eigenes Begehren nach aArt. 395 ZGB. Er ernannte lic. iur. Y._ zur Beirätin und übertrug ihr die Aufgabe, die finanziellen sowie administrativen Angelegenheiten von X._ zu regeln und ihr Vermögen zu verwalten. Y._ liess sich zusätzlich zur Beiratschaft von X._ mit einer allgemeinen "Generalvollmacht" privat mandatieren.
A.b. Ein Begehren von zwei der drei Kinder X._s, die Beirätin unverzüglich ihres Amtes zu entheben, wies der Bürgerrat A._ am 22. September 2009 ab. Auf Beschwerde der beiden Kinder enthob der Regierungsrat des Kantons Zug mit Beschluss vom 31. Mai 2011 Y._ ihres Amtes als Beirätin und wies den Bürgerrat A._ an, einen neuen Beirat zu ernennen. Einer Beschwerde von Y._ und des Bürgerrates A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug war kein Erfolg beschieden (Abweisungsentscheid vom 25. Oktober 2012). Schon mit Beschluss vom 16. August 2011 hatte der Bürgerrat A._ die kombinierte Beiratschaft aufgehoben und B._ zum neuen Beirat ernannt. Gleichzeitig hatte er den Antrag der dritten Tochter von X._ abgewiesen, sie zur Beirätin ihrer Mutter zu ernennen. Auf Beschwerde dieser Tochter hin bestätigte der Regierungsrat Zug mit Beschluss vom 21. Februar 2012 den Beiratswechsel, formulierte aber in teilweiser Gutheissung der Beschwerde die Aufgaben des Beirates neu.
B.
B.a. Mit Schreiben vom 27. Juni 2012 ersuchte X._ den Bürgerrat A._ darum, die Bereitschaft sofort aufzuheben. Der Bürgerrat A._ bzw. die seit dem 1. Januar 2013 zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Zug ordnete verschiedene Abklärungen an. Mit Entscheid vom 12. Februar 2013 beauftragte die KESB des Kantons Zug den Beirat B._ überdies im Sinne einer vorsorglichen Massnahme gemäss Art. 445 Abs. 1 und 2 ZGB, X._ in der Personensorge begleitend zu unterstützen und sie bei der Erledigung von administrativen Angelegenheiten und bei Rechtsgeschäften zu vertreten, die über die alltäglichen Handlungen hinausgehen. Der Auftrag zur vorsorglichen Vertretung erstreckte sich auch auf die Erledigung finanzieller Angelegenheiten, insbesondere auf die Einkommens- und Vermögensverwaltung. In den entsprechenden Bereichen entzog die KESB des Kantons Zug X._ gestützt auf <ref-law> vorläufig die Handlungsfähigkeit. Schliesslich widerrief die KESB vorsorglich per sofort auch alle von X._ ausgestellten Vollmachten.
B.b. Nachdem der Ambulante Psychiatrische Dienst des Kantons Zug ein Gutachten über X._ erstattet hatte, hob die KESB des Kantons Zug am 25. Juni 2013 die nach altem Recht gemäss aArt. 395 Abs. 1 und 2 ZGB errichtete kombinierte Beiratschaft per sofort auf und entliess den bisherigen Beistand unter Verdankung seiner Tätigkeit aus seinem Amt. Die Behörde hob auch die vorsorglichen Massnahmen auf und ordnete für X._ eine umfassende Beistandschaft im Sinne von <ref-law> an (Ziffer 3). Als neue Beiständin ernannte die KESB C._.
B.c. Gegen diesen Entscheid gelangte Y._ mit Beschwerde vom 29. Juli 2013 an das Verwaltungsgericht des Kantons Zug. Soweit vor Bundesgericht noch von Bedeutung, stellte sie in Vertretung von X._ das Begehren, die Nichtigkeit von Ziffer 3 des Entscheids der KESB betreffend die Errichtung der umfassenden Beistandschaft festzustellen; eventualiter verlangte sie, Ziffer 3 aufzuheben. Mit Urteil vom 17. Oktober 2013 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 20. November 2013 gelangt Y._ als Vertreterin von X._ an das Bundesgericht. Sie verlangt, in Aufhebung des angefochtenen Urteils des Verwaltungsgerichts die Nichtigkeit der Errichtung einer umfassenden Beistandschaft für X._ festzustellen; eventualiter sei die Errichtung einer umfassenden Beistandschaft aufzuheben. Subeventualiter beantragt sie, die Sache zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 476).
2.
Angefochten ist binnen Frist der Endentscheid eines oberen Gerichts, das als letzte kantonale Instanz auf die Beschwerde gegen den Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde auf dem Gebiet der Anordnung einer Erwachsenenschutzmassnahme nicht eintritt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6, Art. 75, 90 und 100 BGG). Nach der Rechtsprechung sind Angelegenheiten wie die vorliegende nicht vermögensrechtlicher Natur (5A_702/2013 vom 10. Dezember 2013 E. 1).
3.
Y._ reicht die Beschwerde in Zivilsachen im Namen, das heisst als Vertreterin von X._ ein. Aus ihrer Beschwerdeschrift geht klar hervor, dass sie nicht selbst Partei sein und das bundesgerichtliche Verfahren auch nicht in sinngemässer Anwendung von <ref-law> als nahestehende Person von X._ führen will, auch wenn sie in den Sachverhaltsschilderungen hin und wieder für sich selbst die Bezeichnung "Beschwerdeführerin" verwendet. Die streitige Erwachsenenschutzmassnahme wurde über X._ errichtet. Sie allein hat somit auch im vorliegenden Verfahren als Prozesspartei zu gelten.
4.
Zu prüfen ist nun, ob Y._ im Namen von X._ ein bundesgerichtliches Beschwerdeverfahren führen kann.
4.1. Für das Verfahren vor Bundesgericht besteht kein Anwaltszwang. Jede Partei kann ein Verfahren vor Bundesgericht auch ohne Prozessvertretung führen. Wer sich aber vor Bundesgericht in einer Angelegenheit vertreten lassen will, die der Beschwerde in Zivilsachen im Sinne von <ref-law> unterliegt, kann dies nur mit Anwälten tun, die nach dem Anwaltsgesetz vom 23. Juni 2000 (SR 935.61) oder nach einem Staatsvertrag berechtigt sind, Parteien vor schweizerischen Gerichtsbehörden zu vertreten (sog. Anwaltsmonopol; <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 523). Die vorliegende Angelegenheit unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (vgl. E. 2), weshalb das Anwaltsmonopol zum Tragen kommt. Nun ist Y._ aber unbestrittenermassen nicht Anwältin im Sinne des Anwaltsgesetzes. Sie behauptet auch nicht, nach einem Staatsvertrag berechtigt zu sein, X._ vor schweizerischen Gerichtsbehörden zu vertreten. Damit ist Y._ im vorliegenden Verfahren nicht vertretungsberechtigt und die Beschwerde nicht gültig eingereicht.
4.2. Sodann anerkennt Y._ selbst, keine separat für die vorliegende Beschwerde ausgestellte schriftliche Vollmacht von X._ vorlegen zu können. Sie stützt ihre Vertretungsmacht auf eine "Generalvollmacht", die ihr X._ vor Ausbruch des Rechtsstreits ausgestellt und welche die KESB, wie Y._ selbst ausführt, zunächst vorsorglich und im streitigen Entscheid vom 25. Juni 2013 endgültig widerrufen habe. In diesem Punkt wurde der Entscheid der KESB aber nicht angefochten. Der behördliche Widerruf aller Vollmachten ist also in Rechtskraft erwachsen. Ausserdem führt Y._ aus, keinen Kontakt mit X._ mehr gehabt zu haben, weil sie gerichtlich mit einem "absoluten Kontaktverbot" belegt worden sei. Sie verlangt, eine schriftliche Vollmacht gerichtlich zu edieren und die Vertretung nachträglich durch X._ oder durch einen von ihr oder vom Gericht für dieses Geschäft beauftragten unabhängigen Rechtsanwalt "nachträglich zu genehmigen".
4.3. Mithin hat Y._ die Beschwerde ohne Wissen der angeblich Vertretenen als nicht zur Vertretung berechtigte Person eingereicht. Eine allfällige Genehmigung der Prozesshandlung der vollmachtlosen Vertreterin hätte zwar zur Folge, dass die Vertreterin zur Stellvertreterin wird. Soweit im Verfahren vor Bundesgericht - wie hier (E. 4.1) - aber das Anwaltsmonopol gilt, kann eine Nichtanwältin gar nicht Stellvertreterin sein, auch nicht aufgrund einer nachträglichen Genehmigung ( MAX GULDENER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 1979, S. 138). Deshalb liegt kein Mangel vor, der im Sinne von <ref-law> behoben werden könnte. Unter diesen Umständen besteht kein Anlass, X._ Gelegenheit zu geben, die Beschwerde persönlich zu unterzeichnen.
4.4. Der weiteren Behauptung, die Frage der Bevollmächtigung sei eine "doppelrelevante Tatsache" und auf die Beschwerde sei allein aus diesem Grund einzutreten, ist angesichts der vorigen Erwägungen die Grundlage entzogen. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
5.
Im Ergebnis ist auf die Beschwerde mangels gültiger Prozessvertretung nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat Y._ für den prozessualen Aufwand einzustehen, den sie dem Bundesgericht durch ihr vollmachtloses Handeln verursacht hat. Sie allein - und nicht X._ - hat deshalb für die Gerichtskosten aufz ukommen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden Y._ auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird Y._, C._, als gesetzlicher Vertreterin von X._, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Zug und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. April 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn