Sachverhalt:
A. Der mazedonische Staatsangehörige A._ (geb. 1968) reiste im Jahre 1991 für eine Tätigkeit in der Landwirtschaft in die Schweiz ein. 1993 wurde er wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand und Führens eines nichtbetriebssicheren Fahrzeugs zu 21 Tagen Gefängnis und zu einer Busse verurteilt. 1992 sowie 1994 ergingen gegen ihn Strafverfügungen wegen Missachtung fremdenpolizeilicher Vorschriften. Deshalb sprach die Fremdenpolizei des Kantons Thurgau im August 1994 eine erste Verwarnung aus. Am 17. November 1998 wurde A._ erneut wegen Missachtung fremdenpolizeilicher Vorschriften bestraft. Seit dem 7. Januar 2001 ist er im Besitz der Niederlassungsbewilligung. Aufgrund der Höhe der hängigen Betreibungen (Stand März 2003) von Fr. 51'661.-- beziehungsweise Fr. 64'395.-- wurde A._ am 11. April 2003 zum zweiten Mal fremdenpolizeilich verwarnt. Wegen erneuter Verstösse gegen das Ausländerrecht sowie wegen hängiger Betreibungen im Umfange von Fr. 79'817.-- (Stand 14. März 2005) erfolgte am 14. März 2005 eine dritte fremdenpolizeiliche Verwarnung.
A._ ist seit 1987 mit seiner Landsfrau B._ (geb. 1968) verheiratet. Die Eheleute sind Eltern von zwei Söhnen (C._, geb. 1. Februar 1989, und D._, geb. 17. Dezember 1990).
B. Am 8. November 2005 stellte A._ für seine Ehefrau und seine beiden Söhne beim Ausländeramt des Kantons Thurgau (heute Migrationsamt) ein Familiennachzugsgesuch.
Mit Verfügung vom 14. Februar 2006 wies das Ausländeramt das Gesuch ab mit der Begründung, der Aufenthalt von A._ könne nicht als gefestigt betrachtet werden. Während Jahren sei er seinen finanziellen Verpflichtungen nicht nachgekommen. Obwohl er im Hinblick auf den geplanten Familiennachzug seine Schulden beglichen habe, könne keine günstige Prognose in Bezug auf eine dauerhafte gute Zahlungsmoral gestellt werden. Es entspreche nicht dem Sinn und Zweck des Familiennachzugs, Kinder erst nach Absolvieren der obligatorischen Schulpflicht beziehungsweise kurz vor der Volljährigkeit nachzuziehen. Das Vorgehen von A._ sei rechtsmissbräuchlich.
Der von A._, B._, C._ und D._ dagegen erhobene Rekurs beim Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau blieb ohne Erfolg. Zur Begründung führte das Departement im Wesentlichen aus, der Nachzug der Kinder in einem so späten Zeitpunkt erweise sich als rechtsmissbräuchlich. Weiter ging das Departement aufgrund von Hinweisen in den Akten davon aus, dass zwischen A._ und seiner Ehegattin keine lebendige Beziehung mehr bestehe und er sie einzig aus fremdenpolizeilichen Gründen zusammen den Kindern nachziehen wolle, was ebenfalls rechtsmissbräuchlich erscheine. Mit Urteil vom 5. Dezember 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die gegen den Entscheid des Departements für Justiz und Sicherheit vom 13. August 2007 erhobene Beschwerde ab. Sein begründetes Urteil versandte das Verwaltungsgericht am 24. Januar 2008.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 22. Februar 2008 beantragen A._, B._, C._ und D._, das Urteil des Verwaltungsgerichtes des Kantons Thurgau vom 5. Dezember 2007 aufzuheben und den beantragten Familiennachzug zu bewilligen.
Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Migration schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
1.2 Am 1. Januar 2008 ist das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, SR 142.20) in Kraft getreten. Vorliegend ist jedoch noch das Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) massgebend (Art. 126 Abs. 1 AuG).
1.3 Gemäss Art. 17 Abs. 2 Satz 1 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990) hat der ausländische Ehegatte eines niedergelassenen Ausländers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange die Ehegatten zusammen wohnen. Ledige Kinder von Ausländern, die in der Schweiz niedergelassen sind, haben Anspruch auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung ihrer Eltern, wenn sie mit diesen zusammenwohnen und noch nicht 18 Jahre alt sind (Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG).
Der Beschwerdeführer, welcher über die Niederlassungsbewilligung verfügt, besitzt nach dem Gesagten einen grundsätzlichen Anspruch auf Nachzug seiner Ehefrau, mit der er künftig zusammen zu wohnen beabsichtigt. Da die beiden gemeinsamen Kinder im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung, auf welchen es im Rahmen von Art. 17 Abs. 2 ANAG für die Eintretensfrage ankommt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen), noch nicht 18 Jahre alt waren, steht auch ihnen im Grundsatz ein Nachzugsanspruch bzw. ein solcher auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung ihres Vaters zu. Der Beschwerdeführer kann sich zudem - soweit eine intakte und gelebte Beziehung besteht - im Verhältnis zu seiner Ehefrau und zu seinem Sohn D._ (nicht mehr jedoch zu seinem inzwischen volljährig gewordenen Sohn C._ [vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 13 f., 249 E. 1.2 S. 252]), auf das in Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law> garantierte Recht auf Achtung des Familienlebens berufen.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist insoweit zulässig und die Beschwerdeführer sind hierzu legitimiert (<ref-law>).
1.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 105 Abs. 2 bzw. 97 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Zweck des Familiennachzugs ist es, das Leben in der Familiengemeinschaft zu ermöglichen. Nach der Rechtsprechung ist der nachträgliche Familiennachzug durch Eltern, die sich beide in der Schweiz niedergelassen haben und einen gemeinsamen ehelichen Haushalt führen, möglich, ohne dass besondere stichhaltige Gründe die verzögerte Geltendmachung des Nachzugsrechtes rechtfertigen müssen. Innerhalb der allgemeinen Schranken von Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG ist der Nachzug von gemeinsamen Kindern grundsätzlich jederzeit zulässig, vorbehalten bleibt einzig das Rechtsmissbrauchsverbot (<ref-ruling> E. 3.1 S. 8; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 14; <ref-ruling> E. 3b S. 332).
2.2 Der Beschwerdeführer lebt zwar noch nicht mit seiner Ehefrau zusammen, doch bezweckt sein Nachzugsgesuch gerade die Vereinigung beider Elternteile mitsamt den Kindern, also die Zusammenführung der Gesamtfamilie. Damit lässt sich der vorliegende Fall unter die Kategorie des (nachträglichen) Familiennachzugs von zusammenlebenden Eltern subsumieren (vgl. Urteile 2C_ 448/2007 vom 20. Februar 2008, E. 2.2; 2A.31/2005 vom 26. Mai 2005 E. 2.3). Für die verzögerte Ausübung des Nachzugsrechtes bedarf es mithin keiner besonderer stichhaltiger Gründe (<ref-ruling> E. 3.1 S. 12). Zu prüfen ist jedoch, ob sich die Berufung auf Art. 17 Abs. 2 ANAG - wie vom Verwaltungsgericht angenommen - als rechtsmissbräuchlich erweist.
3. 3.1 Rechtsmissbrauch liegt insbesondere dann vor, wenn ein Rechtsinstitut zweckwidrig zur Verwirklichung von Interessen verwendet wird, die dieses Rechtsinstitut nicht schützen will (<ref-ruling> E. 3.2 S. 12 mit Hinweisen). Beim Nachzug von Ehegatten ist dies der Fall, wenn ein Ausländer sich im Verfahren um Erteilung einer fremdenpolizeilichen Anwesenheitsbewilligung auf eine Ehe beruft, welche nur (noch) formell und ohne Aussicht auf Aufnahme bzw. Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft besteht (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 117 mit Hinweisen). Beim Nachzug von Kindern liegt Rechtsmissbrauch vor, wenn nicht die Herstellung der Familiengemeinschaft in der Schweiz beabsichtigt, sondern Art. 17 Abs. 2 ANAG zweckwidrig für die Erlangung einer Niederlassungsbewilligung allein im Hinblick auf eine künftige selbständige Anwesenheit als Erwachsener und eine Erwerbsaufnahme in der Schweiz, d.h. zwecks Verschaffung besserer wirtschaftlicher Zukunftsaussichten angerufen wird (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 13; <ref-ruling> E. 3b S. 333). Rechtsmissbrauch kann selbst dann vorliegen, wenn das Leben in der Familiengemeinschaft allenfalls noch eine gewisse Rolle spielen könnte, jedoch als Motiv für die Gesuchseinreichung von verschwindend geringer Bedeutung ist (Urteile 2A.31/2005 vom 26. Mai 2005, E. 3.1; 2A.314/2001 vom 10. Dezember 2001, E. 3d; 2A.273/2000 vom 25. August 2000, E. 3c). Das gesetzgeberische Ziel von Art. 17 Abs. 2 ANAG, das familiäre Zusammenleben zu ermöglichen und rechtlich abzusichern, wird nicht erreicht, wenn der in der Schweiz niedergelassene Ausländer jahrelang von seinem Kind getrennt lebt und dieses erst kurz vor Vollendung des 18. Altersjahrs in die Schweiz holt. Etwas anderes kann nur gelten, wenn die Familiengemeinschaft in der Schweiz aus guten Gründen erst nach Jahren hergestellt wird; solche Gründe müssen sich aus den Umständen des Einzelfalles ergeben ((vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 13; <ref-ruling> E. 2.1 S. 253; <ref-ruling> E. 3a S. 88).
3.2 Grundsätzlich haben die Fremdenpolizeibehörden den Rechtsmissbrauch nachzuweisen. Erforderlich sind zunächst konkrete Hinweise für einen Rechtsmissbrauch (vgl. Urteil 2A.455/2004 vom 13. Dezember 2004, E. 2.1). Ob die Eltern die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer umgehen wollen und nicht wirklich die Zusammenführung der Familie anstreben, entzieht sich aber in der Regel einem direkten Beweis und ist oft nur durch Indizien zu erstellen (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 56 f. mit Hinweisen). Bevor wegen Beweislosigkeit zugunsten des Ausländers zu entscheiden ist, muss dieser seiner Mitwirkungspflicht (vgl. Art. 3 Abs. 2 und Art. 13f ANAG) Genüge getan haben; es kann nicht Sache der Behörden sein, selbständig über Beweggründe und Absichten der Gesuchsteller Beweis zu führen (Urteile 2A.273/2000 vom 25. August 2000, E. 3c, und 2A.314/2001 vom 10. Dezember 2001, E. 3a, 2A.715/2005 vom 13. Februar 2006 E. 2.4).
3.3 Das Verwaltungsgericht stellte fest, dass der Beschwerdeführer seit 1991 getrennt von seiner Familie lebe. Den eingereichten Unterlagen könne entnommen werden, dass er bereits 1996 einen Lohn (mit Spesen) verdient habe, der ihm den Nachzug der Familie ermöglicht hätte. Der Beschwerdeführer habe aber erst 2005 ein Nachzugsgesuch gestellt, obwohl er spätestens seit Erteilung der Niederlassungsbewilligung im Jahre 2001 einen Rechtsanspruch auf Familiennachzug hätte geltend machen können. Wenn der Beschwerdeführer den finanziellen Aspekt anspreche, so falle auf, dass er in der Zeit der Anwesenheit in der Schweiz bis zum Jahre 2005 einen ganz erheblichen Schuldenberg erwirtschaftet habe. Ausser einer Erklärung eines früheren Arbeitgebers, der Beschwerdeführer schulde einem Schlepper noch Fr. 7'000.--, könne A._ nicht erklären, wie es zu einer solchen Häufung von Schulden gekommen sei. Er habe auch nicht dargelegt, wie er es geschafft habe, diese Schulden innerhalb von weniger als einem Jahr zurückzuzahlen. Unter diesen Umständen liege die Vermutung nahe, dass er bei privaten Gläubigern Geld aufgenommen und die offenen Forderungen so beglichen habe. Ansonsten hätte der Beschwerdeführer aufzeigen müssen, wie es ihm möglich gewesen sei, innerhalb so kurzer Zeit auf legalem Weg und ohne Aufnahme eines Darlehens die Schulden abzubezahlen.
Das Verwaltungsgericht erwog weiter, für die Beurteilung des Familiennachzugsgesuches sei jedoch die Tatsache massgebend, dass der Beschwerdeführer trotz genügendem Einkommen freiwillig 14 Jahre darauf verzichtet habe, seine Familie nachzuziehen, obwohl dies im Interesse einer rechtzeitigen Integration dringend geboten gewesen wäre und die Möglichkeit hiezu bestanden hätte. Unter diesen Umständen sowie unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der Beschwerdeführer ein eigenes Gipsergeschäft betreibe, liege die Vermutung mehr als nahe, dass der Nachzug den beiden Söhne die Arbeit in der väterlichen Firma ermöglichen und damit den Zugang zum Schweizer Arbeitsmarkt eröffnen solle. Gerade dies sei aber rechtsmissbräuchliches Handeln.
3.4 Die Beschwerdeführer halten dem entgegen, dass 1996 die beide Söhne 6 und 7 Jahre alt gewesen seien und sich in der Heimat in der Einschulung befunden hätten. Zudem sei es dem Beschwerdeführer aus finanziellen Gründen nicht möglich gewesen, bereits in diesem Zeitpunkt ein Familiennachzugsgesuch zu stellen. Der Beschwerdeführer sei im fraglichen Zeitraum daran gewesen, seine Selbständigkeit als Gipser/Bauunternehmer aufzubauen. Der Betrieb und damit auch der Beschwerdeführer selber sei in eine Schieflage geraten, da zufolge des Konkurses eines Auftraggebers sowie der Rückstellung einer öffentlichen Bauvergabe Liquidationsengpässe entstanden seien. Nach und nach seien Ausstände wieder eingegangen und so habe eine gewisse Gesundung der Situation erreicht werden können. Dem Beschwerdeführer sei auch daran gelegen gewesen, dass die Söhne Gelegenheit erhalten hätten, ihre Grundschulausbildung abzuschliessen. Aus diesem Grund sei die Gattin mit den beiden Buben im Heimatland geblieben.
3.5 Der Beschwerdeführer hatte im Jahre 1994 Betreibungen im Umfange von Fr. 18'000.-- offen, die im März 2003 auf Fr. 64'395.-- anstiegen und am 14. März 2005 schliesslich den Betrag von Fr. 79'817.-- erreichten. Im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (8. November 2005) hatte der Beschwerdeführer seine Schulden beglichen, wobei er mit Schreiben vom 12. Dezember 2005 dem Ausländeramt des Kantons Thurgau gegenüber bestätigte, dass er über keine Fremdkapitalien in Form von Darlehen, Hypotheken, Leasing, Krediten und anderen Schulden verfüge und dass er keine Darlehens-, Hypothekar-, Leasing-, Kredit- und Schuldzinsen entrichten müsse. Mit Blick auf die Einkommenssituation des Beschwerdeführers - er bezog nach eigenen Angaben im Jahre 2005 einen Netto-Monatslohn (inkl. Spesen und Kinderzulagen) von Fr. 5'645.88 plus einen 13. Monatslohn von Fr. 5'108.--) - ist schwer nachvollziehbar, inwiefern es dem Beschwerdeführer gelungen ist, ohne fremde Hilfe - wie er geltend macht - innert weniger als 6 Monaten einen Schuldenberg von nahezu Fr. 80'000.-- abzutragen. Die vorgebrachte Begründung, wonach Ausstände nach und nach eingegangen seien, vermag dies nicht plausibel zu erklären, zumal der Beschwerdeführer es unterlassen hat, entsprechende Belege und Unterlagen beizubringen. Es stellt sich daher die Frage, ob sich die finanzielle Situation des Beschwerdeführers wirklich dauerhaft geändert hat bzw. ob der plötzlichen Schuldentilgung nicht allenfalls ein Verstoss gegen die öffentliche Ordnung zugrunde liegen könnte. Die Vorinstanz hat solches angedeutet, ohne ihre Vermutungen einer vertieften Prüfung zu unterziehen. Ohne nähere Abklärungen durfte die Vorinstanz bei der gegebenen Sachlage aber nicht zum Vornherein auf einen Rechtsmissbrauch schliessen. Der Umstand allein, dass der Beschwerdeführer offensichtlich schon früher über ein genügendes Einkommen verfügte, rechtfertigt noch nicht die Annahme, dass der Beschwerdeführer - der im Übrigen erst seit 2001 im Besitz der Niederlassungsbewilligung ist - freiwillig viele Jahre lang darauf verzichtet hatte, seine Familie nachzuziehen, zumal diese Argumentation ausser Acht lässt, dass sich der Beschwerdeführer in all diesen Jahren immer mehr verschuldet hatte und damit objektive Gründe gegen einen Familiennachzug sprachen. Ein Fortkommen der Gesamtfamilie wäre unter diesen Umständen in der Schweiz, wenn überhaupt, nur unter erheblichen Schwierigkeiten möglich gewesen. Hinzu kommt, dass ab einem gewissen Zeitpunkt ein weiterer Aufschub des Nachzuges der Kinder, die im Jahre 2001 11 bzw. 10 Jahre alt waren, auch aus schulischen Gründen plausibel erscheinen konnte.
3.6 Nach dem Gesagten erscheint der Vorwurf des Rechtsmissbrauches, für welchen die Fremdenpolizeibehörden grundsätzlich beweispflichtig sind (E. 3.2), ungenügend abgeklärt. Der angefochtete Entscheid ist daher aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Es obliegt alsdann den kantonalen Behörden, anhand von Steuererklärungen, Buchhaltungsunterlagen und weiteren Unterlagen des Beschwerdeführers und seiner Firma abzuklären bzw. abklären zu lassen, was es mit der plötzlichen Schuldentilgung für eine Bewandtnis hatte, wobei den Beschwerdeführer eine Mitwirkungspflicht trifft (vorne E. 3.2). Die Mitwirkungspflicht gilt vorab gerade für solche Tatsachen, welche eine Partei besser kennt als die Behörden und welche diese ohne ihre Mitwirkung gar nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand erheben können (<ref-ruling> E. 2b S. 365). Je nach Ausgang dieser Prüfung stellt sich unter Umständen auch die Frage, ob der Familiennachzug allenfalls die Gefahr einer Fürsorgeabhängigkeit für die Beteiligten mit sich bringen könnte (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 641).
Geeignete Beweismassnahmen des Verwaltungsgerichts werden auch erhellen, ob und inwiefern der Beschwerdeführer - was von der ersten Rechtsmittelinstanz aufgrund verschiedener Hinweise in den Akten bezweifelt wurde (vgl. S. 7/8 des Departementsentscheides vom 13. August 2007) - mit seiner Ehefrau überhaupt (noch) eine intakte und lebendige Beziehung pflegt (vgl. vorne E. 1.3).
4. Die Beschwerde ist in diesem Sinne gutzuheissen, und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Die Sache ist zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen (<ref-law>).
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Hingegen hat der Kanton Thurgau die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Sache des kantonalen Verwaltungsgerichts wird es sein, über die Kosten der kantonalen Rechtsmittelverfahren neu zu entscheiden (vgl. Art. 67 sowie Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 5. Dezember 2007 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Prüfung und materiellem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Thurgau hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'800.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Hungerbühler Klopfenstein