Sachverhalt:
A. An der Bürgerversammlung der politischen Gemeinde Oberriet vom 27. März 2009 lehnte die Bürgerschaft entgegen dem Antrag ihres Einbürgerungsrates das Einbürgerungsgesuch von X._ ab. Die von dieser eingereichte Abstimmungsbeschwerde wies das Departement des Innern des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 11. Dezember 2009 ab.
Gegen diesen Entscheid erhob X._ mit Eingabe ihres Rechtsvertreters vom 28. Dezember 2009 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Zugleich beantragte sie die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung und reichte mit Beschwerdeergänzung vom 22. Januar 2010 das entsprechende Gesuchsformular ein.
Mit Verfügung vom 25. Januar 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung ab und setzte X._ Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.--.
B. Mit Verfassungsbeschwerde vom 15. Februar 2010 beantragt X._, die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. Januar 2010 sei aufzuheben, und es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. In ihrer Stellungnahme zur Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts hält X._ an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> ist gemäss <ref-law> gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ausgeschlossen. Eine andere ordentliche Beschwerde fällt nicht in Betracht. Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> im Grundsatz gegeben. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts kann mit keinem kantonalen Rechtsmittel angefochten werden und ist daher kantonal letztinstanzlich (<ref-law>).
1.2 Anfechtungsobjekt ist die Verfügung des Verwaltungsgerichts, mit welcher der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung verweigert worden ist. Hierbei handelt es sich um einen selbstständig eröffneten, kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid, welcher einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (<ref-ruling> E. 4; Urteil 2C_143/2008 vom 10. März 2008 E. 2). Der Zwischenentscheid kann mit Verfassungsbeschwerde angefochten werden, soweit dieses Rechtsmittel, wie vorliegend der Fall, auch gegen den Endentscheid erhoben werden kann (vgl. <ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie bezahle nicht einzig die Krankenkassenprämien für ihren behinderten Sohn Y._, sondern finanziere dessen gesamten Lebensunterhalt. Dies gehe insbesondere aus der im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Bestätigung der Sozialen Dienste der Gemeinde Oberriet vom 8. Januar 2010 hervor, wonach sie und ihre Familie immer als Einheit unterstützt worden seien. Aufgrund dieses Schreibens sei ihre Bedürftigkeit offensichtlich. Die Vorinstanz habe ihr daher die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu Unrecht verweigert. Jedenfalls aber hätte die Vorinstanz sie vor ihrem abweisenden Entscheid nach Treu und Glauben zur Ergänzung des Gesuchs auffordern müssen. Das Vorgehen der Vorinstanz verletze den Grundsatz der Verfahrensfairness, sei überspitzt formalistisch und führe zu einer haltlosen Situation.
2.2 Die Vorinstanz erwägt, aus den zusammen mit dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung eingereichten Unterlagen ergebe sich, dass die Beschwerdeführerin ein Erwerbseinkommen von Fr. 1'359.-- pro Monat erziele und eine Rente der AHV/IV samt Ergänzungsleistungen von Fr. 1'020.-- pro Monat ausgerichtet erhalte. Weiter lasse sich den Unterlagen entnehmen, dass die Miete für die Wohnung, in welcher die Beschwerdeführerin gemeinsam mit fünf Angehörigen wohne, Fr. 1'750.-- betrage. Gemäss ihren eigenen Angaben auf dem Formular habe sie jedoch neben den Krankenkassenprämien für sich und ihren Sohn von insgesamt Fr. 545.-- keine Auslagen für Miete und Lebensunterhalt. Dementsprechend sei es ihr durchaus möglich aus den monatlichen Einkünften von Fr. 2'379.-- die voraussichtlichen Gerichts- und Parteikosten innerhalb eines Jahres zu bezahlen, weshalb ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung mangels Bedürftigkeit nicht stattgegeben werden könne.
2.3 Der Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon garantiert <ref-law> einen Mindestanspruch der bedürftigen Partei auf unentgeltliche Rechtspflege. Als bedürftig gilt eine Person, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, derer sie zur Deckung des notwendigen Lebensunterhalts für sich und ihre Familie bedarf. Dieser Anspruch umfasst einerseits die Befreiung von den Verfahrenskosten und andererseits - soweit notwendig - das Recht auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Das Bundesgericht prüft frei, ob die direkt aus <ref-law> hergeleiteten Ansprüche verletzt sind, während es die Anwendung des kantonalen Gesetzesrechts unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots prüft (<ref-ruling> E. 2c).
Grundsätzlich obliegt es der Gesuchstellerin, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen. Dabei dürfen umso höhere Anforderungen an eine umfassende und klare Darstellung der finanziellen Situation gestellt werden, je komplexer die finanziellen Verhältnisse sind. Aus den eingereichten Belegen hat der aktuelle Grundbedarf der Gesuchstellerin hervorzugehen. Die Belege haben zudem über die finanziellen Verpflichtungen sowie über die Einkommens- und Vermögensverhältnisse Aufschluss zu geben. Wenn die Gesuchstellerin ihren Obliegenheiten nicht nachkommt, ist das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (<ref-ruling> E. 4a). Erfüllt sie ihre Obliegenheiten, ohne dass es ihr in der ersten Eingabe gelingt, ihre Bedürftigkeit zur Zufriedenheit des Gerichts nachzuweisen, so hat dieses sie zur Klärung aufzufordern (Urteil des Bundesgerichts 2P.195/2000 vom 9. April 2001 E. 4c/bb; siehe auch Urteil des Bundesgerichts 2C_758/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 2.2.2).
Grundsätzlich obliegt es der Gesuchstellerin, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen. Dabei dürfen umso höhere Anforderungen an eine umfassende und klare Darstellung der finanziellen Situation gestellt werden, je komplexer die finanziellen Verhältnisse sind. Aus den eingereichten Belegen hat der aktuelle Grundbedarf der Gesuchstellerin hervorzugehen. Die Belege haben zudem über die finanziellen Verpflichtungen sowie über die Einkommens- und Vermögensverhältnisse Aufschluss zu geben. Wenn die Gesuchstellerin ihren Obliegenheiten nicht nachkommt, ist das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (<ref-ruling> E. 4a). Erfüllt sie ihre Obliegenheiten, ohne dass es ihr in der ersten Eingabe gelingt, ihre Bedürftigkeit zur Zufriedenheit des Gerichts nachzuweisen, so hat dieses sie zur Klärung aufzufordern (Urteil des Bundesgerichts 2P.195/2000 vom 9. April 2001 E. 4c/bb; siehe auch Urteil des Bundesgerichts 2C_758/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 2.2.2).
2.4 2.4.1 Die Beschwerdeführerin erachtet die Minimalgarantie von <ref-law> als verletzt. Eine willkürliche Anwendung kantonalen Gesetzesrechts (vgl. Art. 99 VRP/SG i.V.m. Art. 281 Abs. 2 lit. a ZPG/SG) rügt sie nicht. Es ist deshalb nicht zu prüfen, ob und inwieweit die kantonale Regelung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege verfassungskonform gehandhabt worden ist.
2.4.2 Die Vorinstanz verneint, wie dargelegt, die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin. Dieser Schluss verletzt Bundesrecht.
Die Beschwerdeführerin hat im Verfahren vor der Vorinstanz ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung verschiedene Unterlagen beigelegt. So hat sie insbesondere eine Bestätigung der Sozialen Dienste der Gemeinde Oberriet vom 8. Januar 2010 betreffend offene Sozialhilfeleistungen eingereicht. Hieraus geht hervor, dass die Familie der Beschwerdeführerin als Einheit unterstützt worden ist und insgesamt Fr. 11'399.81 an Sozialhilfe ausgerichtet erhalten hat. Die offenen Sozialhilfeleistungen gegenüber der Gemeinde Oberriet belaufen sich auf Fr. 11'303.26. Die Sozialen Dienste halten im erwähnten Schreiben ausdrücklich fest, dass aufgrund der finanziellen Situation der Beschwerdeführerin eine Rückerstattungsforderung derzeit nicht geprüft werde. Des Weiteren hat die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren eine Verfügung der Sozialversicherungsanstalt St. Gallen vom 28. Dezember 2009 ins Recht gelegt, wonach die ihr zustehende ordentliche monatliche Ergänzungsleistung auf Fr. 842.-- festgesetzt wird.
Durch die Einreichung der Belege über die offenen Sozialhilfeleistungen und die festgesetzten Ergänzungsleistungen wie auch von weiteren Unterlagen (insbesondere von Lohnabrechnungen und der Steuerveranlagung 2008) ist die Beschwerdeführerin ihrer Obliegenheit zur Darlegung ihrer finanziellen Verhältnisse nachgekommen.
Es ist ohne Weiteres nachvollziehbar, dass die Beschwerdeführerin, wie vorgebracht, davon ausgegangen ist, ihre Prozessarmut werde keine besonderen Fragen aufwerfen, zumal ihre Bedürftigkeit in den bis ins Jahr 2002 zurückreichenden Einbürgerungsverfahren nie in Frage gestellt worden ist und ihre finanziellen Verhältnisse einfach gelagert sind. Zu beachten ist insoweit namentlich, dass Ergänzungsleistungen von Gesetzes wegen (einzig) zur Deckung des Existenzbedarfs ausgerichtet werden (vgl. hierzu Art. 2 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2006 über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung [ELG; SR 831.30]). Deshalb sind Empfängerinnen und Empfänger von Ergänzungsleistungen in aller Regel als bedürftig im Sinne von <ref-law> zu betrachten (vgl. zum Ganzen Urteil des Bundesgerichts 2P.195/2000 vom 9. April 2001 E. 4b). Gleiches gilt für Sozialhilfeempfängerinnen und -empfänger.
Angesichts der offenen Sozialhilfeleistungen und der ausgerichteten Ergänzungsleistungen erscheint die Prozessarmut der Beschwerdeführerin zumindest naheliegend. Zudem hätte die Vorinstanz nicht ohne weitere Nachfrage davon ausgehen dürfen, die Beschwerdeführerin habe ausser den geltend gemachten Krankenkassenkosten keinerlei Auslagen für ihren Lebensunterhalt und denjenigen ihres Sohnes. Aktenkundig ist nämlich, dass der Sohn der Beschwerdeführerin, Y._ (Jahrgang 1973), ebenfalls ein Einbürgerungsgesuch gestellt hat, welches gleichzeitig behandelt worden ist (Verfügung des Präsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. Januar 2010). Der Sohn der Beschwerdeführerin, der im gleichen Haushalt lebt, ist aufgrund einer Nervenverletzung an der Wirbelsäule auf einen Rollstuhl angewiesen und geht keiner Erwerbstätigkeit nach. Vor diesem Hintergrund hätte die Vorinstanz die Beschwerdeführerin auf die Missverständlichkeit ihrer Angaben, wonach ihre einzigen Auslagen in der Bezahlung der Krankenkassenprämien bestünden, hinweisen und ihr Gelegenheit geben müssen, zusätzliche Erklärungen und Belege einzureichen.
2.4.3 Das Gesuch trotz Kenntnis der gesamten Umstände - ohne Rückfrage - wegen fehlender Bedürftigkeit abzuweisen, verstösst gegen <ref-law>. Denn diese Bestimmung wird nicht nur verletzt, wenn die unentgeltliche Rechtspflege zu Unrecht verweigert wird, sondern bereits, wenn an die Geltendmachung des Anspruchs ungebührlich hohe Anforderungen gestellt werden und trotz gewichtiger Indizien für eine bestehende Bedürftigkeit keine Möglichkeit zur Verbesserung eines als missverständlich oder unvollständig qualifizierten Gesuchs gegeben wird (vgl. zum Ganzen Urteil des Bundesgerichts 2P.195/2000 vom 9. April 2001 E. 4c; siehe ferner <ref-ruling> E. 4c).
3. Die Vorinstanz hat somit die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin vorschnell verneint und hierdurch <ref-law> verletzt. Die Verfassungsbeschwerde ist gutzuheissen. Der angefochtene Zwischenentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. Januar 2010 ist aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung im Sinne der vorstehenden Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton St. Gallen hat dem Anwalt der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. Januar 2010 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton St. Gallen hat dem Vertreter der Beschwerdeführerin, Rechtsanwalt Fredy Fässler, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner