Faits:
A.
A.a. Le 14 avril 2011, l'Etat de Vaud, représenté par le Département de l'intérieur, Service juridique et législatif, Secteur Recouvrement (ci-après: Service juridique et législatif), a requis la poursuite (poursuite n° xxxx) de A._ (ci-après: la poursuivie ou débitrice) pour une créance d'un montant de xxxx fr., indiquant comme cause de l'obligation des frais pénaux dus en vertu d'un arrêt du Tribunal d'accusation, d'un jugement correctionnel et d'un arrêt de la Cour de cassation pénale, rendus respectivement en 2008, 2009 et 2010.
A.b. L'opposition formée par la poursuivie au commandement de payer qui lui a été notifié le 11 mai 2011 a été levée par décision du 20 octobre 2011. La procédure a dès lors été poursuivie jusqu'à la délivrance le 5 mars 2012 d'un procès-verbal de saisie valant acte de défaut de bien pour le montant de xxxx fr. plus xxxx fr. de frais.
B.
B.a. Un extrait du registre des poursuites établi le 24 octobre 2012 à la demande de A._ faisait état notamment de la poursuite n° xxxx susmentionnée indiquant sous la rubrique "représentant": "Service juridique & législatif, Secteur recouvrement, Notes de frais pénaux, St-Martin 8, CP, 1014 Lausanne, Adm cant VD".
B.b. Par courriers adressés les 29 octobre, 8 et 19 novembre 2012 au Service juridique et législatif ainsi qu'à l'Office des poursuites du district de Lausanne, A._ a demandé, dans un premier temps, la radiation de la poursuite n° xxxx, puis, uniquement la radiation de la mention "Notes de frais pénaux", invoquant que cette mention lui causait de graves préjudices, la stigmatisait et l'empêchait de trouver un emploi. Le Service juridique et législatif lui a opposé une fin de non-recevoir au motif que la mention "Notes de frais pénaux" sur le registre des poursuites faisait partie intégrante des coordonnées du créancier; l'Office des poursuites en a fait de même expliquant être tenu de retranscrire scrupuleusement les informations fournies par le créancier afin de permettre au débiteur de l'identifier et de le localiser. Par courrier du 21 juillet 2013, A._ a encore requis de l'Office des poursuites que l'extrait du registre des poursuites la concernant ne puisse être communiqué à des tiers sans qu'elle n'en soit informée au préalable et n'y consente. L'Office l'a informée par courrier du 26 juillet 2013 ne pas pouvoir donner une suite favorable à cette requête.
B.c. Le 5 juillet 2013, le Tribunal d'arrondissement de Lausanne, statuant en qualité d'autorité inférieure de surveillance en matière de poursuites pour dettes et de faillite, a rejeté la plainte au sens de l'<ref-law> formée le 26 mai 2013 par A._ pour contester le refus de radier la mention "Notes de frais pénaux" du registre des poursuites.
B.d. Par prononcé du 29 août 2013, le Président de la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud a déclaré le recours interjeté le 25 juillet 2013 par A._ contre la décision de l'autorité inférieure de surveillance tardif et par conséquent irrecevable.
C.
Par acte du 16 septembre 2013, A._ forme, d'une part, un recours en matière civile contre la décision du 29 août 2013 dans la mesure où elle déclare irrecevable son recours contre le refus de supprimer la mention "Notes de frais pénaux" de l'extrait du registre des poursuites la concernant et, d'autre part, elle forme un recours de droit public contre cette même décision en tant qu'elle déclare irrecevable son recours contre "l'organigramme officiel du SLJ". Elle conclut principalement à l'admission du recours en matière civile et du recours de droit public, à l'annulation de l'arrêt entrepris, à ce que l'affaire soit renvoyée à l'autorité précédente pour examen au fond de son recours et nouvelle décision au sens des considérants ou à ce que le Tribunal de céans statue lui-même sur le fond en vertu de son "pouvoir réformatoire"; subsidiairement, dans l'hypothèse où son recours de droit public ne serait pas ouvert, elle conclut à l'admission du recours constitutionnel subsidiaire également formé dans la même écriture, à l'annulation de l'arrêt entrepris et à ce que le Tribunal fédéral statue au sens de l'<ref-law>. Elle sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire, ainsi que l'anonymisation des données la concernant dans le cadre de la présente procédure. La requête d'effet suspensif formée parallèlement a été rejetée.

Considérant en droit:
1.
1.1. En ce qui concerne le recours en matière civile, il a été interjeté dans le délai (<ref-law>) et la forme prévus par la loi, par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente (<ref-law>). Il est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue en matière de poursuite pour dettes et faillite (<ref-law>), par une autorité cantonale (supérieure) de surveillance statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>). Le recours en matière civile est ainsi recevable, et ce indépendamment de la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. c LTF). Il importe dès lors peu de savoir si la contestation soulève également une question juridique de principe (<ref-law>). Les développements de la recourante sur ce point sont par conséquent sans pertinence.
1.2. En tant que la recourante a formé dans la même écriture également un recours de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire, il faut relever que, dans la mesure où le recours porte sur une décision rendue en matière de poursuite pour dettes et faillite, le recours en matière civile est ouvert et le recours de droit public formé parallèlement par la recourante est irrecevable. Au surplus, dans la mesure où la recourante entendait par ce biais s'en prendre à l' "organigramme officiel du SJL", il y a lieu de relever que cette question n'est pas l'objet de la décision entreprise, laquelle a déclaré le recours irrecevable pour cause de tardiveté, de sorte que cette question ne peut être portée devant le Tribunal de céans.
En outre, la voie du recours en matière civile étant ouverte en l'espèce, le recours constitutionnel subsidiaire est d'emblée irrecevable (<ref-law>). Cela étant, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies (<ref-ruling> consid. 1.2 et les arrêts cités). Dans ces conditions, les griefs soulevés dans la partie du recours intitulée "recours constitutionnel subsidiaire" peuvent être traités dans le cadre du recours en matière civile.
2.
En l'espèce, la seule question sur laquelle le Tribunal fédéral peut et doit entrer en matière et exercer son contrôle est celle portant sur le respect par la recourante du délai de dix jours pour recourir à l'autorité supérieure de surveillance.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, toute décision de l'autorité inférieure peut être déférée à l'autorité cantonale supérieure de surveillance dans les dix jours à compter de sa notification.
S'agissant de la computation et de l'observation des délais, l'<ref-law> précise que, sauf disposition contraire de la présente loi - à savoir en particulier les art. 56 et 63 LP -, les règles du CPC s'appliquent.
En vertu de l'<ref-law>, le principe de la réception d'un acte judiciaire est applicable et l'acte envoyé par recommandé et non retiré est réputé notifié à l'expiration d'un délai de sept jours à compter de l'échec de la remise pour autant que le destinataire dût s'attendre à recevoir la notification. La fiction de la notification suppose en outre que l'avis de retrait ait été déposé dans la boîte aux lettres ou la case postale du destinataire. Le premier jour du délai de garde de sept jours est celui qui suit la présentation infructueuse, respectivement le dépôt dans la case postale. La fiction de notification au septième jour vaut également lorsque le septième jour du délai tombe sur un samedi ou un autre jour férié reconnu (arrêt 8C_655/2012 du 22 novembre 2012 consid. 3.4 et la jurisprudence citée). Le fait que l'office postal ait gardé le pli au-delà du délai de sept jours et le remette ensuite au destinataire n'a pas d'incidence sur la fiction de notification au septième jour, y compris dans l'hypothèse où celle-ci aurait lieu un samedi (arrêt 2C_649/2012 du 23 octobre 2012 consid. 1.1 et la jurisprudence citée).
En outre, la décision d'une autorité de surveillance qui statue uniquement sur le bien-fondé d'une plainte n'est pas un acte de poursuite au sens de l'<ref-law>, de sorte que les féries prévues à l'<ref-law> n'entrent pas en considération dans la computation du délai de recours (arrêt 5A_166/2013 du 6 août 2013 consid. 4.2 et la jurisprudence citée) et qu'il n' y a a fortiori pas non plus de report du délai si celui-ci échoit pendant les féries (<ref-law>).
2.2. En l'espèce, l'autorité supérieure de surveillance a déclaré le recours irrecevable pour cause de tardiveté. La décision de l'autorité inférieure de surveillance du 5 juillet 2013 a fait l'objet d'un avis de retrait déposé dans la case postale de la recourante le 6 juillet 2013, de sorte que le délai de garde de sept jours a expiré le 13 juillet 2013. La décision étant dès lors censée avoir été notifiée le 13 juillet 2013 - même si la recourante n'en a obtenu délivrance que le 15 juillet 2013 - le délai de recours de dix jours a expiré le 23 juillet 2013, de sorte que son recours déposé le 25 juillet 2013 est tardif.
Cette appréciation est conforme à la jurisprudence, étant en outre rappelé que les féries de poursuite du 15 au 31 juillet (<ref-law>) ne s'appliquent pas aux décisions des autorités de surveillance, de sorte que le délai de dix jours échéant un 23 juillet n'est pas reporté conformément à l'<ref-law>.
3.
En tant que la recourante reproche ensuite à l'autorité supérieure de surveillance d'avoir "fait preuve de formalisme excessif et de déni de justice à [son] encontre en utilisant un procédé de procédure (l'irrecevabilité) pour ne pas devoir statuer sur [son] recours (et les divers moyens qu'[elle] exposai[t]) et sur [sa] plainte", la recourante méconnaît que les autorités de recours ne statuent que sur les recours interjetés dans les délais légaux et n'ont par conséquent pas à se prononcer sur les griefs contenus dans l'écriture lorsque le recours est déclaré irrecevable car tardif. Ses griefs de violation du droit d'être entendue, de violation du droit à l'administration des preuves et à ce que sa cause soit examinée par le tribunal tombent par conséquent à faux.
Quant aux moyens qu'elle fait valoir par surabondance quant aux indications qui peuvent figurer sur un extrait du registre des poursuites, ils concernent le fond de la cause, que l'autorité supérieure de surveillance n'avait pas à examiner et que le Tribunal fédéral ne peut par conséquent revoir.
En outre, depuis l'entrée en vigueur de la LTF le 1er janvier 2007, le Tribunal fédéral n'exerce plus la haute surveillance en matière de poursuite et de faillite (<ref-law>), comme il le faisait par le passé (art. 15 aLP; cf. arrêt 5A_39/2013 du 24 juillet 2013 consid. 3), de sorte que la recourante ne peut en appeler à son pouvoir particulier de surveillance pour tenter de faire prévaloir son point de vue.
4.
Enfin, la conclusion de la recourante tendant à l'anonymisation des données la concernant dans la présente procédure n'a pas de portée propre, dès lors que, conformément à l'<ref-law> et à la pratique en la matière, cet arrêt sera rendu accessible sous une forme anonyme (arrêt 4A_669/2012 du 17 avril 2013 consid. 2.3).
5.
En définitive, le recours en matière civile doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Comme il était par ailleurs manifestement voué à l'échec, l'assistance judiciaire ne saurait être accordée (<ref-law>). La recourante qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière de droit public est irrecevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Le recours en matière civile est rejeté.
4.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
5.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office des poursuites du district de Lausanne et à la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal vaudois, en qualité d'autorité supérieure de surveillance.
Lausanne, le 6 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Hildbrand