Sachverhalt:
A. Die 1950 geborene H._ ist als kaufmännische Angestellte in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 3. Februar 2004 glitt sie beim Aussteigen aus dem Auto auf Glatteis aus und stürzte rückwärts auf den Hinterkopf und den Rücken. Der wegen danach auftretender Beschwerden aufgesuchte Hausarzt diagnostizierte einen Status nach Schädelprellung mit reaktivem Cervicalsyndrom mit cephaler Begleitsymptomatik. Weiter bestätigte er eine Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfallzeitpunkt (hausärztlicher Bericht vom 12. März 2004). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 2. November 2004 eröffnete sie der Versicherten die Einstellung der Leistungen auf den 31. Oktober 2004; zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Begründet wurde dies damit, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis. Daran hielt die SUVA mit Einspracheentscheid vom 13. April 2005 fest.
B. Die von H._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau gut. Es hob den Einspracheentscheid auf und verpflichtete die SUVA, weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Zur Begründung führte das Gericht im Wesentlichen aus, der adäquate Kausalzusammenhang dürfe erst geprüft werden, wenn der normale, unfallbedingt erforderliche Heilungsprozess abgeschlossen sei. Dieser Zeitpunkt sei hier noch nicht eingetreten, weshalb die Leistungseinstellung nicht geschützt werden könne (Entscheid vom 2. März 2006).
C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben.
H._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Unfall vom 3. Februar 2004 über den 31. Oktober 2004 hinaus.
2.1 Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Bestimmung über die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers bei Berufsunfällen, Nichtberufsunfällen und Berufskrankheiten (<ref-law>) richtig wiedergegeben. Gleiches gilt für die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch nebst anderem erforderlichen natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; <ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen). Ebenfalls zutreffend dargelegt ist die Rechtsprechung über den zusätzlich zum natürlichen Kausalzusammenhang erforderlichen adäquaten Kausalzusammenhang. Danach spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen). Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (<ref-ruling> E. 6 S. 366 ff. und 369 E. 4 S. 382 ff., 115 V 133 E. 6 S. 138 ff.). Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140), während bei Schleudertraumen (<ref-ruling> E. 6a S. 367) und äquivalenten Verletzungen der HWS (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) sowie Schädel-Hirntraumen (<ref-ruling> E. 4b S. 383) auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (vgl. zum Ganzen auch <ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 und SVR 2007 UV Nr. 8 S. 27, E. 2 ff., U 277/04, je mit Hinweisen).
2.2 Im jüngst ergangenen, noch nicht in der Amtlichen Sammlung veröffentlichten Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 hat das Bundesgericht die Praxis zur Kausalitätsprüfung bei Unfall mit Schleudertrauma, äquivalenter Verletzung der HWS oder Schädel-Hirntrauma ohne organisch objektiv ausgewiesene Beschwerden (sog. Schleudertrauma-Praxis) in mehrfacher Hinsicht präzisiert. Gemäss diesem Urteil ist am Erfordernis einer besonderen Adäquanzprüfung bei Unfällen mit solchen Verletzungen festzuhalten (E. 7-9 des erwähnten Urteils). Auch besteht keine Veranlassung, die bewährten Grundsätze über die bei dieser Prüfung vorzunehmende Einteilung der Unfälle nach deren Schweregrad und den abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls erforderlichen Einbezug weiterer Kriterien in die Adäquanzbeurteilung zu ändern (E. 10.1). Das Bundesgericht hat aber die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigt, erhöht (E. 9) und die adäquanzrelevanten Kriterien teilweise modifiziert (E. 10).
3. Das kantonale Gericht hat in Bezug auf die streitige Leistungsberechtigung erwogen, die persistierenden Beschwerden seien natürlich kausal auf das Unfallereignis zurückzuführen, könnten aber nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen erklärt werden. Der für eine Leistungsberechtigung nebst dem natürlichen erforderliche adäquate Kausalzusammenhang müsste daher grundsätzlich einer besonderen Prüfung unterzogen werden, was nach der Schleudertrauma-Praxis zu erfolgen habe. Die Adäquanzbeurteilung könne aber noch nicht erfolgen, da der normale, unfallbedingt erforderliche Heilungsprozess nicht abgeschlossen sei. Daher sei der Einspracheentscheid vom 13. April 2005, mit welchem die SUVA eine weitere Leistungspflicht mit der Begründung, die noch geklagten Beschwerden seien nicht adäquat unfallkausal, verneinte, aufzuheben.
Nach Auffassung des Verwaltungsgerichtsbeschwerde führenden Unfallversicherers ist die Adäquanzprüfung nicht verfrüht erfolgt. Weiter wird, zumindest in einem Teil der Rechtsmittelbegründung, das Vorliegen einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis zu begründen vermöchte, sinngemäss in Frage gestellt. Demgegenüber erachtet die Versicherte den angefochtenen Entscheid für rechtmässig.
4. 4.1 Im erwähnten Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 hat sich das Bundesgericht auch kritisch mit dem verschiedentlich erhobenen Einwand auseinandergesetzt, mit der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhanges bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden müsse bis zur Beendigung des normalen, unfallbedingten Heilungsprozesses zugewartet werden. Es hat erkannt, dass nicht danach zu fragen ist, in welchem Zeitpunkt die Adäquanzprüfung vorzunehmen ist, sondern wann der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat (erwähntes Urteil, E. 3.2). Dies hat gestützt auf <ref-law> in dem Zeitpunkt zu geschehen, in welchem von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind. Das Bundesgericht hat klargestellt, der Fallabschluss dürfe nicht mit der Begründung, der adäquate Kausalzusammenhang könne noch nicht geprüft werden, über diesen Zeitpunkt hinausgezögert werden (erwähntes Urteil, E. 3 und 4).
Aus dem Gesagten erhellt, dass der von der SUVA auf den 31. Oktober 2004 vorgenommene Fallabschluss nicht mit der Begründung der verfrühten Adäquanzprüfung für unrechtmässig erklärt werden kann. Die Rechtmässigkeit des Fallabschlusses beurteilt sich, da keine Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung zur Diskussion stehen, danach, ob von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung über den 31. Oktober 2004 hinaus noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden konnte. Die SUVA bestreitet dies.
4.2 Was unter einer namhaften Besserung des Gesundheitszustandes im Sinne von <ref-law> zu verstehen ist, hat das Bundesgericht im Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 näher umschrieben. Danach bestimmt sich dies namentlich nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit unfallbedingt beeinträchtigt, wobei die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss. Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht (besagtes Urteil, E. 4.3 mit Hinweisen).
4.3 Aus den medizinischen Akten (insbesondere Untersuchungsbericht Frau Dr. V._, Fachärztin FMH für Neurologie, vom 6. Oktober 2004 und Ärztliche Beurteilung Kreisarzt Dr. med. W._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 31. März 2005 ergibt sich, dass die von den Fachärzten noch empfohlenen Therapien dazu dienen sollten, die Schmerzen zu lindern und die Versicherte ihre Situation besser verstehen zu lassen. Eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes konnte davon aber nicht erwartet werden. Dass die begonnene Akupunktur-Behandlung einen solchen Effekt erbringen könne, entsprach sodann zwar der Hoffnung der Versicherten. Es liegt aber keine zuverlässige ärztliche Bestätigung dafür vor, dass diese Erwartungshaltung berechtigt war. Was sodann die mehrfach verordnete Physiotherapie betrifft, ist festzustellen, dass entsprechende Massnahmen zunehmend der Eigenverantwortung der Versicherten (Selbsttraining) übertragen wurden und eine ärztliche/ physiotherapeutische Begleitung sich mithin auf allenfalls noch erforderliche Anleitungen beschränkte. Die SUVA hat demnach den Fall nicht zu früh abgeschlossen und den Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung nicht zu früh beurteilt.
Die Vorbringen der Versicherten führen zu keiner anderen Betrachtungsweise. Das gilt auch für den neu aufgelegten Bericht der Klinik Y._ vom 15. August 2006 über eine stationäre Behandlung, zumal diese erst am 8. Februar 2006 begonnen wurde. Der Klinikaufenthalt erfolgte mithin deutlich nach dem vom Versicherer ausgesprochenen Fallabschluss, aber auch nach dem Erlass des Einspracheentscheides vom 13. April 2005, welcher rechtsprechungsgemäss die zeitliche Grenze der gerichtlichen Überprüfungsbefugnis bildet (<ref-ruling> E. 1 S. 169 mit Hinweis auf 121 V 362 E. 1b S. 366).
4.4 Der Entscheid der Vorinstanz ist daher aufzuheben und die Sache an diese zurückzuweisen, damit sie über die materielle Richtigkeit des Einspracheentscheides vom 13. April 2005 hinsichtlich des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung befinde. Die Parteien können im kantonalen Verfahren ihre diesbezüglichen Standpunkte ergänzend erläutern, sofern sie sich dazu aufgrund der mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 präzisierten bundesgerichtlichen Praxis veranlasst sehen.
5. Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 OG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 159 in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 2. März 2006 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen über die Beschwerde neu entscheide.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. März 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz