Sachverhalt:
A. Der 1965 geborene H._ war als Lagerarbeiter in der Firma X._ AG tätig. Nachdem er sich bereits im Jahr 1997 ein Distorsionstrauma am rechten Handgelenk zugezogen hatte, welches folgenlos verheilte, verletzte er sich am 14. Juli 2000 bei einem Berufsunfall erneut am rechten Arm und an der rechten Hand. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), bei welcher er über die Arbeitgeberin obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert war, erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Ab 25. Juni 2001 war der Versicherte wieder voll arbeitsfähig. Am 28. Mai 2002 erlitt H._ bei einem weiteren Unfall am Arbeitsplatz ein Trauma am rechten Handgelenk. Die SUVA gewährte wiederum Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach medizinischen Abklärungen (unter anderem Einholung des polydisziplinären Gutachtens des Begutachtungsinstituts Z._ vom 22. Januar 2004 und kreisärztliche Beurteilung des Integritätsschadens vom 20. Februar 2004) stellte die SUVA die gesetzlichen Leistungen auf den 31. August 2004 ein. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2004 sprach sie dem Versicherten eine ab 1. September 2004 laufende Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 14 % und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 5 % zu. Daran hielt sie auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 6. Oktober 2005).
B. Die von H._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt unter Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung mit Entscheid vom 19. Dezember 2006 ab.
C. H._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (Art. 132 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ausserhalb der Invalidenversicherung ist die Überprüfungsbefugnis des Gerichts nicht auf die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens beschränkt, sondern sie erstreckt sich auch auf die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung; das Gericht ist dabei nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden und kann über die Begehren der Parteien zu deren Gunsten oder Ungunsten hinausgehen (Art. 132 OG in der ab 1. Juli 2006 gültig gewesenen Fassung).
2. Der Beschwerdeführer lässt die massliche Festsetzung der für die Invalidenrente massgeblichen Erwerbsunfähigkeit und der die Integritätsentschädigung bestimmenden Integritätseinbusse beanstanden. Weiter wird geltend gemacht, der Fallabschluss mit Einstellung der Taggeldleistungen hätte ohnehin nicht bereits per 31. August 2004 erfolgen dürfen; allenfalls bestehe ab diesem Zeitpunkt Anspruch auf eine Übergangsrente. Auf diese letzteren Vorbringen ist vorab einzugehen.
3. 3.1 Der Zeitpunkt des Fallabschlusses bestimmt sich nach Art. 19 Abs. 1 UVG. Danach fallen die Heilbehandlung und die Taggeldleistungen mit dem Rentenbeginn dahin (zweiter Satz). Der Rentenanspruch wiederum entsteht, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) abgeschlossen sind (erster Satz). Der Bundesrat erlässt nähere Vorschriften über die Entstehung des Rentenanspruchs, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr zu erwarten ist, der Entscheid der IV über die berufliche Eingliederung jedoch erst später gefällt wird (Art. 19 Abs. 3 UVG).
3. 3.1 Der Zeitpunkt des Fallabschlusses bestimmt sich nach Art. 19 Abs. 1 UVG. Danach fallen die Heilbehandlung und die Taggeldleistungen mit dem Rentenbeginn dahin (zweiter Satz). Der Rentenanspruch wiederum entsteht, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) abgeschlossen sind (erster Satz). Der Bundesrat erlässt nähere Vorschriften über die Entstehung des Rentenanspruchs, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr zu erwarten ist, der Entscheid der IV über die berufliche Eingliederung jedoch erst später gefällt wird (Art. 19 Abs. 3 UVG).
3.2 3.2.1 Dass von weiterer ärztlicher Behandlung über den 31. August 2004 hinaus eine namhafte gesundheitliche Besserung erwartet werden konnte, wird - nach Lage der Akten zu Recht - nicht geltend gemacht. Der Beschwerdeführer opponiert dem Fallabschluss auf den besagten Zeitpunkt vielmehr mit der Begründung, die Vorinstanz habe in einem parallelen, ebenfalls ihn betreffenden Verfahren die IV-Stelle Basel-Stadt angewiesen, berufliche Massnahmen durchzuführen.
3.2.2 Rechtsprechungsgemäss kann sich der in Art. 19 Abs. 1 erster Satz UVG vorbehaltene Abschluss allfälliger Eingliederungsmassnahmen der IV, soweit es um berufliche Massnahmen geht, nur auf Vorkehren beziehen, welche geeignet sind, den der Invalidenrente der Unfallversicherung zu Grunde zu legenden Invaliditätsgrad zu beeinflussen (RKUV 2004 Nr. U 508 S. 265, U 105/03, E. 5.2.2; Urteil U 90/01 vom 21. Oktober 2002, E. 2.3).
Derartige Eingliederungsmassnahmen waren indessen am 31. August 2004 ebenso wenig wie beim - die zeitliche Grenze der richterlichen Überprüfungsbefugnis bildenden (<ref-ruling> E. 1 S. 11, 130 V 445 E. 1.2 S. 446 je mit Hinweisen) - Erlass des Einspracheentscheides der SUVA vom 6. Oktober 2005 im Gange und standen daher dem Fallabschluss durch den Unfallversicherer nicht entgegen. Hieran ändert nichts, dass das kantonale Gericht mit separatem Urteil vom 19. Dezember 2006, welches im Übrigen ebenfalls beim Bundesgericht angefochten wurde (vgl. Urteil I 137/07 vom heutigen Tag), die zuständige IV-Stelle verpflichtete, berufliche Massnahmen in Form von Berufsberatung durchzuführen und den Anspruch auf Umschulung zu prüfen. Keine andere Betrachtungsweise ergibt sich auch aus der zwischenzeitlich mit Verfügung der IV-Stelle vom 16. Oktober 2007 erfolgten Zusprechung von Arbeitsvermittlung.
3.3 Die vom Beschwerdeführer aufgeworfene Frage einer Übergangsrente gemäss der auf Art. 29 Abs. 3 UVG gestützten Regelung des Art. 30 UVV stellt sich bei genauer Betrachtung nicht, hat doch die SUVA die definitive Rente mit Wirkung anschliessend an die Beendigung der vorübergehenden Leistungen zugesprochen.
4. Mit Blick auf die massliche Festsetzung von Erwerbsunfähigkeit und Integritätsschaden hat die Vorinstanz zunächst erkannt, dass als anspruchsrelevante Unfallfolgen Gesundheitsschäden im Bereich der rechten Hand zu berücksichtigen seien. Die daneben festgestellte psychische Problematik hingegen stünde, selbst wenn sie als natürlich kausale Unfallfolge zu anerkennen wäre, bei den gegebenen leichten Unfällen nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zu diesen und vermöchte daher keine Leistungspflicht der SUVA zu begründen.
Diese Beurteilung ist sachlich begründet und hält sich an die von der Rechtsprechung entwickelten Grundsätze (vgl. <ref-ruling>). Das ist auch nicht umstritten.
5. Die Bestimmungen über den Anspruch auf eine Invalidenrente der obligatorischen Unfallversicherung mit der dazu ergangenen Rechtsprechung sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
5.1 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, der Versicherte könne aufgrund der unfallbedingten Schädigung am rechten Handgelenk die angestammte Tätigkeit eines Lagermitarbeiters nicht mehr verrichten. Hingegen sei die Ausübung einer leidensangepassten Tätigkeit (leichte Arbeiten mit nur begrenztem Einsatz der rechten Hand, wie leichte Überwachungs- oder Kontrolltätigkeiten, auch mit gelegentlichen handschriftlichen Notizen, oder Botengänge und Portiertätigkeit) vollumfänglich zumutbar.
Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Sie stützt sich namentlich auf die Expertise des Begutachtungsinstituts Z._ vom 22. Januar 2004, welche mit der Vorinstanz hinsichtlich der Aussagen zur gesundheitsbedingten Einschränkung der Arbeitsfähigkeit als beweiswertig (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 353) zu betrachten ist, und den mit den Aussagen der Experten des Begutachtungsinstituts Z._ übereinstimmenden IV-Arztbericht der Orthopädischen Klinik des Spitals Y._ vom 24. Februar 2003.
Was in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vorgetragen wird, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Die eingeschränkte Gebrauchsfähigkeit der rechten Hand wurde von den medizinischen Berichterstattern angemessen berücksichtigt, indem die zeitlich volle Arbeitsfähigkeit auf leidensangepasste Tätigkeiten beschränkt wurde. Aufgrund der von den Ärzten genannten und im angefochtenen Entscheid aufgenommenen Verweistätigkeiten besteht auch eine hinreichende Grundlage, um eine zuverlässige Invaliditätsbemessung mittels Einkommensvergleich vornehmen zu können. Bei dem breiten Spektrum der Verweistätigkeiten kann davon ausgegangen werden, dass der massgebende ausgeglichene Arbeitsmarkt hinreichend Stellen bietet. Dies gilt selbst dann, wenn, wie der Beschwerdeführer geltend machen lässt, Botengänge mittels Auto mangels Führerschein nicht möglich sein sollten.
5.2 Die SUVA setzte das ohne unfallbedingte Gesundheitsschädigung im Jahr 2004 mutmasslich erzielte Einkommen (Valideneinkommen) aufgrund von Angaben des früheren Arbeitgebers auf Fr. 53'725.- fest. Das trotz der bestehenden Gesundheitsschädigung zumutbarerweise noch erzielbare Einkommen (Invalideneinkommen) bemass sie anhand von Lohnangaben aus ihrer Dokumentation von Arbeitsplätzen (DAP) auf Fr. 46'302.-. Der Vergleich der Einkommen ergibt eine unfallbedingte Erwerbsunfähigkeit von 14 %.
Der Beschwerdeführer wandte vorinstanzlich in Bezug auf das Valideneinkommen ein, der Arbeitgeber hätte die Stundenlöhne erhöht, wenn die Unfälle nicht eingetreten wären. Das kantonale Gericht hat dies zum Anlass genommen, das Valideneinkommen anhand von Tabellenlöhnen zu bestimmen. Es hat sodann den Einwänden des Versicherten zur Ermittlung des Invalideneinkommens durch die SUVA dadurch Rechnung getragen, dass sie hiefür ebenfalls statistische Lohnangaben heranzog.
Dieses Vorgehen ist aufgrund der gegebenen Verhältnisse nicht zu beanstanden. Es werden dagegen auch keine begründeten Einwände erhoben.
5.3 Mit dem kantonalen Gericht ist für beide Vergleichseinkommen vom in der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) für einfache und repetitive Tätigkeiten (Anforderungsniveau 4) von Männern im gesamten privaten Sektor genannten Durchschnittslohn von Fr. 4588.- im Monat (LSE 2004 Tabelle TA1 S. 53) auszugehen. Da die beiden Vergleichseinkommen auf demselben Tabellenlohn basieren, kann eine Umrechnung dieses auf 40 Arbeitsstunden pro Woche beruhenden Wertes auf die betriebsübliche Wochenarbeitszeit ebenso unterbleiben wie die Hochrechnung auf ein Jahreseinkommen (vgl. Urteil I 1/03 vom 15. April 2003, E. 5.2, auch zum Folgenden). Der Invaliditätsgrad entspricht demnach dem Grad der Arbeitsunfähigkeit unter Berücksichtigung eines allfälligen leidensbedingten Abzuges (vgl. <ref-ruling>) beim Invalideneinkommen.
Die Vorinstanz hat einen leidensbedingten Abzug von 15 % vorgenommen. Bei der gegebenen vollen Arbeitsfähigkeit für leidensangepasste Tätigkeiten beträgt der Invaliditätsgrad demnach 15 %.
Soweit in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde überhaupt begründete Einwände erhoben werden, beschränken sich diese auf die Höhe des leidensbedingten Abzuges. Es wird aber nichts vorgebracht, was einen höheren Abzug zu rechtfertigen vermöchte. Auch trifft nicht zu, dass das kantonale Gericht den vorgenommenen Abzug ungenügend begründet hat, verwies es doch diesbezüglich ausdrücklich auf die gesundheitsbedingte Einschränkung auf Tätigkeiten mit nur begrenztem Einsatz der rechten Hand. Es kann im Übrigen vollumfänglich auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden. Dies gilt namentlich auch, soweit die Vorinstanz erkannt hat, bei der nur geringen Differenz vom anhand von Tabellenlöhnen ermittelten Erwerbsunfähigkeitsgrad von 15 % zum von der SUVA festgesetzten Wert von 14 % sei nicht in das Ermessen des Versicherers einzugreifen. Es bleibt daher bei einer dem Rentenanspruch zu Grunde zu legenden Erwerbsunfähigkeit von 14 %.
6. Zu beurteilen bleibt die Höhe des Integritätsschadens, welcher dem Anspruch auf Integritätsentschädigung zu Grunde zu legen ist.
6.1 Die Integritätsentschädigung wird entsprechend der Schwere des Integritätsschadens abgestuft (Art. 25 Abs. 1 UVG). Massgeblich für die Beurteilung der Schwere des Schadens ist der medizinische Befund (<ref-ruling> E. 1 S. 147, 113 V 218 E. 4b S. 221 mit Hinweisen; RKUV 2004 Nr. U 514 S. 415 E. 5.2 in fine, U 134/03; Jean-Maurice Frésard/Margit Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2. Aufl., S. 917 Rz 235). Für die Bemessung der Entschädigung gelten die Richtlinien des Anhanges 3 zur UVV (Art. 25 Abs. 2 UVG in Verbindung mit Art. 36 Abs. 2 UVV). Darin sind häufig vorkommende und typische Schäden innerhalb einer Skala prozentual gewichtet. Die Entschädigung für spezielle oder nicht aufgeführte Integritätsschäden wird nach dem Grad der Schwere vom Skalenwert abgeleitet (Anhang 3 zur UVV, Ziff. 1 Abs. 2). Die völlige Gebrauchsunfähigkeit eines Organs wird dem Verlust gleichgestellt; bei teilweisem Verlust und bei teilweiser Gebrauchsunfähigkeit wird der Integritätsschaden entsprechend geringer, wobei die Entschädigung ganz entfällt, wenn der Integritätsschaden weniger als 5 % des Höchstbetrages des versicherten Verdienstes ergäbe (Ziff. 2).
Davon ausgehend hat die SUVA weitere Bemessungsgrundlagen in tabellarischer Form (sog. Feinraster) erarbeitet. Soweit diese Tabellen lediglich Richtwerte enthalten, mit denen die Gleichbehandlung der Versicherten gewährleistet werden soll, sind sie mit Anhang 3 zur UVV vereinbar (<ref-ruling> E. 1c S. 32, 209 E. 4a/cc S. 211, je mit Hinweis; RKUV 2004 Nr. U 514 S. 415 E. 5.1, U 134/03).
6.2 In der kreisärztlichen Beurteilung vom 20. Februar 2004 wird der unfallbedingte Integritätsschaden auf 5 % geschätzt. Begründet wird dies damit, die refraktären neuropathischen Beschwerden im rechten distalen Radialishautast entsprächen einer partiellen distalen Radialisparese nach der - die Integritätsschäden bei Funktionsstörung an den oberen Extremitäten betreffenden - SUVA-Tabelle 1. Der Kreisarzt stützt sich dabei namentlich auf die Schlussfolgerung der Kommission für medizinische Begutachtung in der Expertise des Begutachtungsinstituts Z._ vom 22. Januar 2004, wonach die Festsetzung des Integritätsschadens auf 5 % der bestehenden sensiblen Endastschädigung der nervi ulnaris und radialis gerecht werde.
SUVA und Vorinstanz haben auf diese ärztlichen Aussagen abgestellt. In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird wie schon im kantonalen Verfahren eingewendet, die Gebrauchsfähigkeit der rechten Hand sei gemäss der Expertise des Begutachtungsinstituts Z._ vom 22. Januar 2004 erheblich herabgesetzt. Diesem teilweisen Verlust der Gebrauchsfähigkeit des Organs werde mit der allein auf die Schädigung des Radialis gestützten Annahme eines Integritätsschadens von 5 % zu wenig Rechnung getragen.
6.3 In der Tat bestätigt Dr. med. S._ in der Expertise des Begutachtungsinstituts Z._ vom 22. Januar 2004 aus orthopädisch-handchirurgischer Sicht eine Verminderung der Einsatzfähigkeit der rechten Hand um ca. 65 %. Damit stellt sich die Frage, ob SUVA und Vorinstanz den Integritätsschaden an der rechten Hand zu Recht unter dem Gesichtspunkt einer (teilweisen) Radialislähmung gemäss SUVA-Tabelle 1 beurteilt und auf 5 % festgesetzt haben. Denn gemäss der Skala in Anhang 3 zur UVV beträgt die Integritätsentschädigung bei Verlust der Hand oder bei deren vollständiger Gebrauchsunfähigkeit 40 % und fällt bei nur teilweiser Gebrauchsunfähigkeit entsprechend geringer aus (vgl. E. 6.1 hievor). Weder die Expertise des Begutachtungsinstituts Z._ vom 22. Januar 2004 noch die kreisärztliche Beurteilung vom 20. Februar 2004 bieten hiefür eine überzeugende Antwort. Zwar stellt die Kommission für ärztliche Beurteilung in der Expertise des Begutachtungsinstituts Z._ vom 22. Januar 2004 bei der Festsetzung des Integritätsschadens auf die von Dr. med. S._ erhobenen Befunde betreffend die Schädigung der Nerven ab. Mit dessen Aussage zur um ca. 65 % eingeschränkten Gebrauchsunfähigkeit der Hand setzt sie sich aber ebenso wenig auseinander wie der Kreisarzt in der Beurteilung vom 20. Februar 2004, die SUVA im Einspracheentscheid und die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid. In Letzterem wird lediglich ausgeführt, die in der Tabelle 1 mit einer Integritätseinbusse von 10 % verknüpfte Radialislähmung distal habe auch eine Verminderung der Gebrauchsfähigkeit zur Folge. Es sei daher davon auszugehen, dass dies bei der tabellarischen Einschätzung berücksichtigt worden und in der - bei vollständiger Lähmung des Radialis - 10%igen Entschädigung enthalten sei. Zu der sich aufgrund der Äusserung des Dr. med. S._ stellenden Frage, ob der Integritätsschaden nicht eher nach der Skala in Anhang 3 zur UVV zu prüfen wäre, ist damit nichts gesagt.
Unter den gegebenen Umständen hätte vor dem Abstellen auf die SUVA-Tabelle 1 zumindest eine Stellungnahme des Dr. med. S._ resp. aus orthopädisch-handchirurgischer Sicht zur Frage der Integritätseinbusse aufgrund der eingeschränkten Gebrauchsfähigkeit der Hand eingeholt werden müssen. Dies ist nicht erfolgt. Gemäss Expertise des Begutachtungsinstituts Z._ vom 22. Januar 2004 hat Dr. med. S._ auch nicht in der Kommission für medizinische Beurteilung mitgewirkt, welche die abschliessende Beurteilung vorgenommen und dabei den Integritätsschaden bestimmt hat. Damit lässt sich der für die Schwere des Integritätsschadens massgebliche medizinische Befund (E. 6.1 hievor) nicht zuverlässig beurteilen. Die Sache wird an den Unfallversicherer zurückgewiesen, damit er den Sachverhalt ergänze und über die Integritätsentschädigung neu befinde.
7. Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 OG). Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten ist somit gegenstandslos. Die unentgeltliche Verbeiständung kann dem Beschwerdeführer für die die Parteientschädigung übersteigenden Anwaltskosten gewährt werden (Art. 152 in Verbindung mit Art. 135 OG), da die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung geboten war (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 152 Abs. 3 OG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 19. Dezember 2006 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt vom 6. Oktober 2005 werden, soweit die Integritätsentschädigung betreffend, aufgehoben. Die Sache wird an die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch auf Integritätsentschädigung neu verfüge. Im Übrigen wird die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Verbeiständung gewährt.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1000.- zu entschädigen.
5. Advokat Dr. Marco Biaggi, Basel, wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1000.- ausgerichtet.
6. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zurückgewiesen.
7. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Februar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz