Faits:
A.
Par jugement du 13 novembre 2012, le Tribunal criminel de la République et canton de Genève a acquitté A._ du chef de prévention de tentative d'assassinat. Sa libération immédiate a été ordonnée et il lui a été imparti un délai de trente jours pour faire valoir ses éventuelles prétentions en indemnisation pour la détention avant jugement subie pendant 421 jours.
B.
Le Ministère public et les parties plaignantes ont formé appel contre ce jugement.
B.a. Lors de l'audience du 29 mai 2013 - à laquelle A._ a comparu -, la Présidente de la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise a d'entrée de cause décerné un mandat d'amener à l'encontre de celui-ci.
B.b. La Chambre pénale d'appel, agissant par sa Présidente, a ensuite rendu le dispositif de son arrêt. Elle a annulé le jugement du 13 novembre 2012 et reconnu A._ coupable de tentative d'assassinat. La libération conditionnelle qui lui avait été accordée le 28 septembre 2010 a été révoquée et il a été condamné à une peine privative de liberté d'ensemble de six ans et six mois.
B.c. Après une suspension d'audience d'une dizaine de minutes, la Présidente de la Chambre pénale, siégeant alors seule, a donné la parole aux parties afin qu'elles se déterminent sur la question de la détention pour des motifs de sûreté. Le Ministère public, puis la mandataire de A._ ont plaidé, puis répliqué, respectivement dupliqué. Quant à A._, il s'est encore exprimé personnellement au sujet de la détention.
L'audience, suspendue vers 15h35, a repris à 16h30 et la direction de la procédure a ordonné le placement en détention pour des motifs de sûreté de A._, invoquant un risque de fuite très concret, un danger de réitération d'infractions impliquant de la violence envers autrui et l'absence de mesure de substitution pour pallier ces risques.
C.
Par mémoire du 23 juin 2013, A._ forme recours au Tribunal fédéral contre cette décision. Il conclut à l'annulation de l'ordonnance cantonale et à sa mise en liberté immédiate, cas échéant, au bénéfice de mesures de substitution qu'il plaira au Tribunal fédéral de fixer. Il requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer, le Ministère public et la Présidente de la Chambre pénale d'appel ont conclu au rejet du recours. Le recourant a déposé des observations complémentaires le 11 juillet 2013, persistant dans ses conclusions.

Considérant en droit:
1.
Selon l'<ref-law>, le recours en matière pénale est ouvert contre les décisions rendues en matière pénale, notamment celles relatives à la détention pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law>.
1.1. L'<ref-law> prévoit que la décision sur la détention pour motifs de sûreté prise par la direction de la procédure de la juridiction d'appel n'est pas sujette à recours (<ref-law>). Statuant ainsi en instance cantonale unique, cette décision ne peut être contestée que devant le Tribunal fédéral (art. 80 al. 2 in fine LTF).
1.2. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF, le recourant a qualité pour agir et a formé recours en temps utile (<ref-law>). Les conclusions tendant à l'annulation de l'arrêt entrepris et au prononcé de la mise en liberté immédiate - avec, cas échéant, des mesures de substitution - sont recevables (<ref-law>).
2.
Le recourant reproche tout d'abord à l'autorité précédente d'avoir violé l'<ref-law> en prononçant le placement en détention postérieurement au verdict de culpabilité. Selon lui, la détention pour des motifs de sûreté ne pourrait être ordonnée qu'au moment du prononcé du jugement.
2.1. Dès que la juridiction d'appel est saisie (<ref-law>), les art. 231 à 233 CPP confèrent à la direction de la procédure de cette juridiction différentes compétences en matière de détention pour des motifs de sûreté : elle peut revenir sur la libération ordonnée par le tribunal de première instance après un jugement d'acquittement (<ref-law>), ordonner une mise en détention en raison de faits nouveaux apparus pendant la procédure d'appel (<ref-law>) et statuer sur les demandes de libération formées durant la procédure d'appel (<ref-law>). A teneur de la jurisprudence, elle est également compétente pour maintenir le prévenu en détention si l'autorité de première instance a omis de se prononcer sur ce point (arrêt 1B_683/2011 du 5 janvier 2012 consid. 2.3 publié in Pra 2012 p. 791).
S'agissant en particulier d'un cas d'application de l'<ref-law>, dès la connaissance de la survenance d'une cause de détention pour motifs de sûreté, la direction de la procédure décerne immédiatement un mandat d'amener (<ref-law>) ou de recherche (<ref-law>), cela afin que le prévenu soit tenu à sa disposition. Aussitôt que celui-ci lui est déféré, la direction de la procédure l'interroge (<ref-law>) et lui donne le droit d'être entendu afin de s'exprimer sur les motifs de détention retenus à son encontre. L'autorité doit rendre ensuite sa décision dans les quarante-huit heures à partir du moment où le prévenu lui a été amené par la police ( LOGOS, in Commentaire romand CPP, 2011, no 4 ss ad <ref-law>; Forster, in BSK StPO, 2011, no 3 ss ad <ref-law>; Hug, in DONATSCH / HANSJAKOB / LIEBER, Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung (SPO), 2010, n o 3 ss ad <ref-law>). L'<ref-law> s'applique jusqu'au moment du prononcé du jugement par la juridiction d'appel, qui peut donc encore ordonner la détention pour motifs de sûreté à ce moment-là ( LOGOS, op. cit., n o 1 ad <ref-law>; F ORSTER, op. cit., n o 2 ad <ref-law>).
Dans tous les cas où la direction de la procédure de la juridiction d'appel se prononce sur une question relative à la détention pour motifs de sûreté, elle doit rendre, par référence à l'<ref-law>, une décision écrite et sommairement motivée (<ref-ruling> consid. 2.5). Il n'est ainsi pas suffisant de prononcer la mesure de détention dans le dispositif du jugement sur appel, si la motivation de celui-ci n'est pas notifiée immédiatement. Il y a donc lieu de prendre une décision séparée sur la détention afin que le condamné soit en mesure de la contester en temps utile (<ref-ruling> consid. 2.2 ss p. 84).
2.2. En l'occurrence, la Présidente a décerné un mandat d'amener à l'encontre du recourant - alors présent - au début de l'audience du 29 mai 2013. Elle a ensuite prononcé le dispositif de l'arrêt de la Chambre pénale d'appel, accompagné d'une brève motivation orale, puis l'a notifié aux parties. Après dix minutes de suspension, les parties ont plaidé devant la Présidente - siégeant alors seule en tant que direction de la procédure - la question de la détention et la parole a également été donnée au recourant avant que la séance ne soit une seconde fois suspendue. La Présidente a ensuite prononcé la mise en détention pour des motifs de sûreté du recourant et lui a notifié aussitôt la décision motivée y relative.
Si quelques minutes, voire quelques heures, séparent le prononcé du dispositif du jugement d'appel de celui de la décision de mise en détention, cette manière de faire ne peut pas être critiquée. En effet, vu le déroulement de la procédure - acquittement en première instance, puis condamnation à une peine privative de liberté en appel -, l'une des hypothèses nécessaires pour prononcer une détention pour motifs de sûreté (risque de fuite, de collusion ou de réitération [art. 221 al. 1 let. a à c CPP]) peut n'être apparue en l'espèce qu'à la suite des délibérations de l'autorité d'appel. Or, à ce moment-là, la procédure d'appel est toujours pendante. Ainsi en prononçant le mandat d'amener au début de l'audience du 29 mai 2013 et avant le prononcé du verdict de culpabilité, la Présidente n'a pas violé le droit fédéral. Elle a en outre pris les mesures nécessaires au respect des droits de la défense, puisqu'elle n'a statué sur la question de la détention qu'après avoir donné à celle-ci le droit de s'exprimer. Enfin, elle a procédé sans délai, entendant les parties et rendant une décision motivée sur la détention le jour même.
3.
Dans un deuxième grief, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir violé les <ref-law> et 6 CEDH. Il soutient que la Présidente de la Chambre pénale d'appel, à la suite de sa participation au prononcé de condamnation du 29 mai 2013 avec la Chambre in corpore, aurait dû se récuser et ne pas trancher la question relative à la détention.
3.1. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH - qui ont, de ce point de vue, la même portée - permet de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité (<ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 428).
Conformément à l'<ref-law>, la demande de récusation doit être présentée à la direction de la procédure sans délai, soit dans les jours qui suivent la connaissance du motif de récusation (arrêt 1B_203/2011 du 18 mai 2011 consid. 2.1). Celui qui omet de se plaindre immédiatement de la prévention d'un magistrat en laissant la procédure se dérouler sans intervenir agit contrairement à la bonne foi et voit son droit se périmer (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 4; <ref-ruling> consid. 4.3.1 et les références).
3.2. En l'occurrence, il ne ressort pas des allégués du recourant qu'une demande de récusation ait été déposée au cours de la procédure et en particulier aucune requête dans ce sens ne figure au procès-verbal du 29 mai 2013, notamment au moment de la première reprise d'audience. Or, à ce moment-là, il ne pouvait plus y avoir de doute quant à l'autorité appelée à statuer sur la question de la détention, soit la Présidente de la Chambre pénale d'appel, autorité qui avait prononcé peu avant et in corpore le dispositif du jugement d'appel. Le recourant devait alors agir sans tarder et ne pas attendre de déposer son mémoire de recours au Tribunal fédéral pour demander la récusation de la Présidente. Soulevé ainsi tardivement, ce grief doit être écarté.
3.3. Au demeurant, la situation qui prévaut en l'espèce est similaire à celle qui résulte de l'application de l'<ref-law> relatif au prononcé de la détention à l'issue du jugement de première instance. Le législateur a estimé qu'à ce stade de la procédure, l'intervention du tribunal des mesures de contrainte n'était plus nécessaire, car le risque que la décision de détention pour motifs de sûreté soit considérée comme un motif de récusation n'existait plus à ce moment-là (Message du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de procédure pénale, FF 2005 1216). L'union personnelle du juge du fond et de la détention telle que voulue par le droit fédéral à ce stade de la procédure n'est pas critiquable; étant par ailleurs rappelé que le prononcé du jugement au fond ne dispense pas le juge qui entend ordonner un placement en détention pour motifs de sûreté d'examiner si l'une des hypothèses de l'<ref-law> est réalisée (cf. <ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 424 s.).
4.
Le recourant reproche enfin à l'autorité cantonale une violation des art. 5 CEDH et 32 Cst. Selon lui, le placement en détention serait disproportionné et ce serait à tort qu'un risque de fuite aurait été retenu à son égard. Il soutient également que ses condamnations antérieures, notamment celle pour rixe en 2010, ne permettraient pas de conclure à l'existence d'un risque de réitération.
4.1. Une mesure de détention pour motifs de sûreté n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 182; <ref-ruling> consid. 2c p. 270 s.). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite, un danger de collusion ou de réitération (art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP). Préalablement à ces conditions, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (<ref-law>; art. 5 par. 1 let. c CEDH; arrêt 1B_63/2007 du 11 mai 2007 consid. 3 non publié in <ref-ruling>). Le Tribunal fédéral examine librement ces questions, sous réserve toutefois de l'appréciation des faits, revue sous l'angle restreint des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 73 s. et les références).
Conformément à l'<ref-law>, la détention pour des motifs de sûreté peut être ordonnée s'il y a sérieusement lieu de craindre que le prévenu se soustraie à la procédure pénale ou à la sanction prévisible en prenant la fuite. Selon la jurisprudence, le risque de fuite doit s'analyser en fonction d'un ensemble de critères tels que le caractère de l'intéressé, sa moralité, ses ressources, ses liens avec l'État qui le poursuit ainsi que ses contacts à l'étranger, qui font apparaître le risque de fuite non seulement possible, mais également probable (<ref-ruling> consid. 3a p. 62; <ref-ruling> consid. 4a p. 70 et la jurisprudence citée). La gravité de l'infraction ne peut pas, à elle seule, justifier la prolongation de la détention, même si elle permet souvent de présumer un danger de fuite en raison de l'importance de la peine dont le prévenu est menacé (<ref-ruling> consid. 3a p. 62; <ref-ruling> consid. 4a p. 70; <ref-ruling> consid. 3 p. 67). Il est enfin sans importance que l'extradition du prévenu puisse être obtenue (<ref-ruling> consid. 3d p. 36 s.).
4.2. En l'espèce, il n'est pas contesté que le recourant est de nationalité étrangère et que son statut, en particulier professionnel, en Suisse est illégal. Quant à la résidence du recourant, elle était peut-être effectivement à Gland pendant la procédure d'appel - durant laquelle il s'est présenté aux actes de procédure, ainsi qu'au prononcé du dispositif -, mais cela ne suffit pas à remettre en cause l'appréciation du risque de fuite effectuée par l'autorité précédente. En effet, celle-ci se fonde sur les déclarations faites par le recourant lui-même au cours de la procédure et desquelles il ressort une volonté de déménager à l'étranger. Il a ainsi indiqué vouloir retrouver son amie à Annecy (France) et y trouver du travail. Il a de plus confirmé durant la procédure d'appel que sa compagne - de nationalité française et qui attendait leur enfant - cherchait à déménager à Annecy où habitaient ses parents. En conséquence, vu l'absence d'attache à long terme en Suisse, le chef d'infraction reproché et la durée de la peine privative de liberté prononcée en appel à son encontre, la Présidente de la Chambre pénale d'appel a considéré à juste titre qu'il existait un risque concret que le recourant quitte la Suisse afin de se soustraire aux autorités pénales; cela vaut d'autant plus que, selon elle, il n'aurait peut-être pas donné sa véritable identité. Il en résulte que le recours doit être rejeté sur ce point.
4.3. Le recourant soutient également que le placement en détention serait disproportionné, sous-entendant ainsi que des mesures de substitution auraient permis de pallier le risque de fuite. Toutefois, il ne fait aucune proposition sur le type de mesures envisageables dans son cas et aucune de celles prévues aux <ref-law> ne semble envisageable. En effet, le recourant reconnaît dans son mémoire de recours que son séjour en Suisse est illégal, pouvant donc à tout moment s'enfuir à l'étranger ou disparaître dans la clandestinité. Cela semble d'autant plus aisé en l'espèce qu'il ne peut être exclu que la véritable identité du recourant soit toujours ignorée des autorités. En conséquence et au regard de ces circonstances, on ne voit pas quelle autre mesure que la détention pour motifs de sécurité pourrait éviter le risque de fuite.
4.4. La détention provisoire peut aussi être ordonnée lorsqu'il y a lieu de craindre que le prévenu "compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre" (art. 221 al. 1 let. c CPP). La Présidente a retenu l'existence d'un tel risque en raison de la condamnation du recourant pour rixe, infraction supposant un comportement violent envers autrui; ce que le recourant conteste.
Toutefois, étant donné que les hypothèses prévues par l'<ref-law> sont alternatives (Moreillon/Parein-Reyemond, Code de procédure pénale, 2013, no 7 ad <ref-law>; Forster, op. cit., no 1 ad <ref-law>) et que le risque de fuite au sens de l'<ref-law> est avéré en l'espèce (cf. consid. 4.3), la détention pour motifs de sûreté est ainsi déjà justifiée, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner la question du risque de récidive.
5.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Yaël Hayat et Me Romain Jordan en qualité d'avocats d'office et de fixer leurs honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Yaël Hayat et Me Romain Jordan sont désignés comme avocats d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. leur est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant, au Ministère public et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre pénale d'appel et de révision.
Lausanne, le 16 juillet 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf