Faits:
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A. Par un arrêt rendu le 5 avril 2000, la Cour correctionnelle avec jury de la République et canton de Genève a condamné A.X._ à la peine de deux ans et demi de réclusion pour actes d'ordre sexuel avec une enfant et contrainte sexuelle (art. 187 ch. 1 et 189 ch. 1 CP). Elle a en résumé retenu les faits suivants:
Au cours des années 1996 et 1997, l'enfant Y._, née le 20 août 1990, se rendait régulièrement, une ou deux fois par mois, au domicile de A.X._ (né en 1936) et de son épouse, cette dernière étant sa grand-mère maternelle (la mère de Y._, Z._, est la fille de Mme X._, mais elle est née avant que celle-ci n'épouse A.X._). A l'occasion de ces visites, l'après-midi, A.X._ faisait la sieste avec Y._ dans le lit conjugal, tandis que son épouse était au salon; il fermait les rideaux et la porte de la chambre à coucher. Dans ces circonstances, en 1996 et jusqu'en août 1997, A.X._ s'est livré à réitérées reprises à des actes d'ordre sexuel sur l'enfant, notamment en la caressant sur les parties génitales, en la léchant sur tout le corps, en introduisant son sexe dans sa bouche et en tentant, sans résultat, de la pénétrer. Il a profité de sa force physique et de son autorité sur l'enfant pour lui imposer ces actes, auxquels elle tentait de s'opposer en lui demandant sans cesse d'arrêter. A la fin de l'été 1997, Y._ s'est confiée à sa mère, qui n'a pas alerté aussitôt les autorités. Le 13 janvier 1998, Y._ a déclaré à une infirmière du service de santé de la jeunesse qu'elle était victime d'attouchements de la part de A.X._; des médecins ainsi que la police ont eu connaissance de ces déclarations et sont intervenus.
Y._ a été hospitalisée au cours des mois de janvier et février 1998; le Dr Magnenat, pédopsychiatre, l'a entendue et a estimé ses propos parfaitement crédibles. Y._ s'est exprimée dans le même sens auprès de l'inspectrice de police et de l'expert désigné par le Juge d'instruction, la psychologue-psychothérapeute Caroline Moutia, du Département de psychiatrie (clinique de psychiatrie infantile) des Hôpitaux Universitaires de Genève (rapport d'expertise du 14 octobre 1998, signé également par le Prof. Cramer). La Cour correctionnelle a considéré qu'aucun élément ou indice convaincant ne permettait de s'écarter des avis des personnes précitées, l'enfant n'ayant aucune raison d'accuser faussement A.X._, envers qui elle éprouvait un profond sentiment d'attachement. La motivation du verdict mentionne encore un certificat médical produit à l'audience par l'accusé, faisant état d'une libido fortement diminuée, problème lié à une pathologie de la prostate; pour le jury, cela n'excluait pas la possibilité d'une érection et, partant, cela n'était pas de nature à créer un doute.
Y._ a été hospitalisée au cours des mois de janvier et février 1998; le Dr Magnenat, pédopsychiatre, l'a entendue et a estimé ses propos parfaitement crédibles. Y._ s'est exprimée dans le même sens auprès de l'inspectrice de police et de l'expert désigné par le Juge d'instruction, la psychologue-psychothérapeute Caroline Moutia, du Département de psychiatrie (clinique de psychiatrie infantile) des Hôpitaux Universitaires de Genève (rapport d'expertise du 14 octobre 1998, signé également par le Prof. Cramer). La Cour correctionnelle a considéré qu'aucun élément ou indice convaincant ne permettait de s'écarter des avis des personnes précitées, l'enfant n'ayant aucune raison d'accuser faussement A.X._, envers qui elle éprouvait un profond sentiment d'attachement. La motivation du verdict mentionne encore un certificat médical produit à l'audience par l'accusé, faisant état d'une libido fortement diminuée, problème lié à une pathologie de la prostate; pour le jury, cela n'excluait pas la possibilité d'une érection et, partant, cela n'était pas de nature à créer un doute.
B. Le 11 mars 1998, au début de la procédure pénale, le Tribunal tutélaire de la République et canton de Genève avait désigné Me Lorella Bertani, avocate à Genève, en qualité de curatrice de l'enfant Y._, aux fins de la représenter dans cette procédure.
B. Le 11 mars 1998, au début de la procédure pénale, le Tribunal tutélaire de la République et canton de Genève avait désigné Me Lorella Bertani, avocate à Genève, en qualité de curatrice de l'enfant Y._, aux fins de la représenter dans cette procédure.
C. A.X._ - qui a constamment nié être l'auteur des actes retenus contre lui - s'est pourvu en cassation contre l'arrêt de la Cour correctionnelle, en concluant à son acquittement. Le Procureur général de la République et canton de Genève et Y._ ont conclu au rejet du pourvoi.
La Cour de cassation de la République et canton de Genève a, par un arrêt rendu le 2 février 2001, admis les conclusions de A.X._, et a donc annulé l'arrêt de la Cour correctionnelle en prononçant son acquittement. La Cour de cassation a interprété l'expertise dite de crédibilité (à savoir le rapport rédigé par la psychologue Caroline Moutia) pour retenir l'absence de certitude que la version des faits donnée par Y._ correspondait à la réalité.
La Cour de cassation de la République et canton de Genève a, par un arrêt rendu le 2 février 2001, admis les conclusions de A.X._, et a donc annulé l'arrêt de la Cour correctionnelle en prononçant son acquittement. La Cour de cassation a interprété l'expertise dite de crédibilité (à savoir le rapport rédigé par la psychologue Caroline Moutia) pour retenir l'absence de certitude que la version des faits donnée par Y._ correspondait à la réalité.
D. Y._ a formé un recours de droit public contre l'arrêt du 2 février 2001 de la Cour de cassation cantonale, en se plaignant d'une appréciation arbitraire de l'expertise. Par un arrêt rendu le 13 novembre 2001, la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis le recours de droit public, dans la mesure où il était recevable, et annulé l'arrêt attaqué (arrêt 1P.199/2001). Selon cet arrêt, il était arbitraire de s'écarter des véritables conclusions de l'expertise - une conviction suffisante quant à la crédibilité ou à la véracité des déclarations de la victime - pour revoir l'appréciation des preuves effectuée en première instance.
D. Y._ a formé un recours de droit public contre l'arrêt du 2 février 2001 de la Cour de cassation cantonale, en se plaignant d'une appréciation arbitraire de l'expertise. Par un arrêt rendu le 13 novembre 2001, la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis le recours de droit public, dans la mesure où il était recevable, et annulé l'arrêt attaqué (arrêt 1P.199/2001). Selon cet arrêt, il était arbitraire de s'écarter des véritables conclusions de l'expertise - une conviction suffisante quant à la crédibilité ou à la véracité des déclarations de la victime - pour revoir l'appréciation des preuves effectuée en première instance.
E. La Cour de cassation cantonale a dès lors statué à nouveau sur le pourvoi formé par A.X._, en le rejetant le 22 février 2002. La motivation de cette décision consistait uniquement en une référence à l'arrêt du Tribunal fédéral du 13 novembre 2001. A.X._ a formé un recours de droit public contre ce nouvel arrêt de la Cour de cassation. Le 2 septembre 2002, le Tribunal fédéral a admis ce recours et annulé l'arrêt attaqué, pour violation du droit d'être entendu (arrêt 1P.179/2002).
E. La Cour de cassation cantonale a dès lors statué à nouveau sur le pourvoi formé par A.X._, en le rejetant le 22 février 2002. La motivation de cette décision consistait uniquement en une référence à l'arrêt du Tribunal fédéral du 13 novembre 2001. A.X._ a formé un recours de droit public contre ce nouvel arrêt de la Cour de cassation. Le 2 septembre 2002, le Tribunal fédéral a admis ce recours et annulé l'arrêt attaqué, pour violation du droit d'être entendu (arrêt 1P.179/2002).
F. La Cour de cassation cantonale a rendu, le 13 décembre 2002, un nouvel arrêt sur le pourvoi formé par A.X._ contre le jugement de la Cour correctionnelle. Elle l'a rejeté, avec suite de frais et dépens.
F. La Cour de cassation cantonale a rendu, le 13 décembre 2002, un nouvel arrêt sur le pourvoi formé par A.X._ contre le jugement de la Cour correctionnelle. Elle l'a rejeté, avec suite de frais et dépens.
G. Agissant par la voie du recours de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de cassation cantonale. Invoquant les art. 9 Cst., 32 Cst. et 6 CEDH, il se plaint d'arbitraire dans la constatation des faits et l'appréciation des preuves ainsi que de violations de la présomption d'innocence.
Y._ conclut à l'irrecevabilité ou au rejet du recours. Le Procureur général conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. La Cour de cassation, se référant à son arrêt, n'a pas déposé d'observations.
Y._ conclut à l'irrecevabilité ou au rejet du recours. Le Procureur général conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. La Cour de cassation, se référant à son arrêt, n'a pas déposé d'observations.
H. L'intimée requiert la mise au bénéfice de l'assistance judiciaire.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. La décision attaquée, qui rejette un pourvoi formé par le recourant et confirme donc un jugement de condamnation, est une décision finale, prise en dernière instance cantonale (cf. art. 86 al. 1 et art. 87 OJ); elle peut faire l'objet d'un recours de droit public au sens de l'art. 84 al. 1 let. a OJ, dès lors que le recourant se plaint d'une violation de ses droits constitutionnels (cf. également art. 269 al. 2 PPF). Le condamné a manifestement un intérêt personnel et juridiquement protégé à ce que cette décision soit annulée et il a, par conséquent, qualité pour recourir selon l'art. 88 OJ.
1. La décision attaquée, qui rejette un pourvoi formé par le recourant et confirme donc un jugement de condamnation, est une décision finale, prise en dernière instance cantonale (cf. art. 86 al. 1 et art. 87 OJ); elle peut faire l'objet d'un recours de droit public au sens de l'art. 84 al. 1 let. a OJ, dès lors que le recourant se plaint d'une violation de ses droits constitutionnels (cf. également art. 269 al. 2 PPF). Le condamné a manifestement un intérêt personnel et juridiquement protégé à ce que cette décision soit annulée et il a, par conséquent, qualité pour recourir selon l'art. 88 OJ.
2. Le recourant critique à plusieurs égards le jugement de la Cour de cassation à propos de la constatation des faits et l'appréciation des preuves. Il dénonce une décision arbitraire, prise en violation de la présomption d'innocence.
2.1 Saisi d'un recours de droit public pour arbitraire - c'est-à-dire pour violation de l'art. 9 Cst. -, le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que si elle méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. En d'autres termes, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale - en ce qui concerne notamment l'appréciation des preuves - que si elle est insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, si elle a été adoptée sans motif objectif ou en violation d'un droit certain. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9, 49 consid. 4 p. 58; <ref-ruling> consid. 2a p. 41, 54 consid. 2b p. 56, 60 consid. 5a p. 70; <ref-ruling> consid. 3 p. 440 et les arrêts cités).
S'agissant de l'appréciation des preuves, la maxime "in dubio pro reo" n'a pas une portée plus étendue. Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral en effet, la présomption d'innocence, garantie aux art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH, interdit au juge de prononcer une condamnation alors qu'il éprouve des doutes sur la culpabilité. Des doutes abstraits ou théoriques, qui sont toujours possibles, ne suffisent cependant pas à exclure une condamnation; la présomption d'innocence n'est donc invoquée avec succès que s'il apparaît, à l'issue d'une appréciation exempte d'arbitraire de l'ensemble des preuves, que le juge aurait dû éprouver des doutes sérieux et irréductibles sur la culpabilité de l'intéressé (ATF <ref-ruling> consid. 2a p. 40; <ref-ruling> consid. 2a p. 87; <ref-ruling> consid. 2 p. 33).
Dans le cas particulier, la Cour de cassation cantonale a, elle aussi, revu sous l'angle de l'arbitraire les constatations de fait et l'appréciation des preuves par la Cour correctionnelle. Il ne s'ensuit pas, pour le Tribunal fédéral, l'obligation de se limiter à examiner sous l'angle de l'arbitraire si l'autorité cantonale de recours a elle-même rendu une décision arbitraire; ce mode de faire réduirait pratiquement à néant le rôle assigné dans ce domaine au juge constitutionnel. Il appartient bien plutôt à celui-ci de revoir sans réserve l'usage que l'autorité cantonale de recours a fait de son pouvoir d'examen limité en matière d'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 1a/cc p. 494; <ref-ruling> consid. 1b p. 355).
2.2 Le recourant reproche à la Cour cantonale de n'avoir pas déduit des variations dans le récit de la victime qu'il existait un doute sur la réalité des actes litigieux.
2.2.1 L'arrêt attaqué mentionne que les informations recueillies auprès de l'intimée par sa mère à la fin de l'été 1997, par l'infirmière scolaire et la pédopsychiatre au début de l'année 1998 puis par l'auteur de l'expertise de crédibilité entre mai et juillet 1998, ne sont pas en tous points identiques. Il relève cependant les points essentiels pour les expert et médecins: le discours était cohérent dans le temps et la victime ne présentait pas de tendance pathologique à l'affabulation; par ailleurs, il est habituel, d'après eux, que les victimes d'inceste puissent varier dans leurs déclarations. La Cour de cassation a encore considéré qu'il ressortait de l'arrêt du Tribunal fédéral du 13 novembre 2001 (1P.199/2001) que l'expertise de crédibilité concluait sans doute possible à la véracité des déclarations de la victime.
2.2.2 Dans son arrêt du 13 novembre 2001, le Tribunal fédéral a considéré que les véritables conclusions de l'expertise étaient que les éléments du dossier, soigneusement analysés, fondaient une conviction suffisante quant à la crédibilité ou à la véracité des déclarations de la victime; le rapport lui-même ne fournissait aucun motif de s'en écarter (arrêt 1P.199/2001, consid. 2.2). Le recourant ne formule pas, à l'encontre de l'expertise, de critiques d'ordre méthodologique (cf. <ref-ruling>). Les variations et prétendus mensonges qu'il dénonce portent sur des points qui sont objectivement d'importance secondaire: certains détails vestimentaires, la description précise des attouchements et la relation d'un épisode sans rapport direct avec les actes imputés au recourant (la présence d'un exhibitionniste aux abords de l'école). La Cour de cassation pouvait, sans arbitraire, considérer que ces variations n'entamaient pas la cohérence du récit et n'étaient pas décisives pour apprécier la crédibilité de la victime. Le rapport d'expertise explique du reste pourquoi, à certains moments, l'enfant a pu avoir la tentation de se rétracter (à cause de la situation familiale), et il indique également que la difficulté d'évoquer les scènes d'abus - donc de les décrire de façon détaillée devant chaque intervenant - allait "plutôt dans le sens de la véracité du récit" (p. 17 du rapport). En d'autres termes, les variations sur des points secondaires ont été prises en compte par l'expert et elles ne justifient pas une autre appréciation de ses conclusions.
2.3 Le recourant fait valoir que la victime souffrait de certains problèmes ou symptômes - difficultés scolaires, énurésie, masturbation excessive ou compulsive - avant le mois d'août 1996, soit à une période où on ne lui impute pas d'activité délictueuse. Ces symptômes peuvent aussi se manifester auprès d'enfants qui n'ont pas été victimes d'abus sexuels. Il serait dès lors arbitraire de retenir ces éléments à l'appui de la crédibilité du récit de la victime.
Dans l'arrêt attaqué, la Cour cantonale expose que les symptômes précités ne sont, pour les médecins entendus et pour l'expert, pas déterminants. Certains de ces symptômes sont un signe de troubles de la personnalité ayant également leur origine dans le milieu familial; d'autres peuvent avoir une explication psychologique liée au passé de l'enfant. En admettant le caractère non déterminant de ces symptômes, la Cour cantonale n'était manifestement pas tenue d'en déduire que leur préexistence excluait la survenance d'un abus sexuel. La persistance de ces troubles pendant plusieurs années pourrait au contraire être un élément à prendre en considération de ce point de vue. Quoi qu'il en soit, l'appréciation de la Cour cantonale au sujet de la crédibilité de la victime, fondée sur un ensemble d'éléments, n'est pas arbitraire.
2.4 Le recourant prétend, en s'appuyant sur l'avis de son médecin, qu'il aurait une libido nulle depuis 1994 ou 1995, et ne pourrait plus avoir d'érection.
L'arrêt attaqué se borne à retenir une "forte diminution de l'intensité sexuelle", sans exclure la possibilité d'une érection ni, surtout, la capacité de commettre des attouchements. D'après le procès-verbal des débats de la Cour correctionnelle, le médecin du recourant n'avait pas fait d'autres déclarations, ayant purement et simplement confirmé la teneur d'un certificat écrit établi en juillet 1998 évoquant une "libido fortement diminuée" mais pas d'autres symptômes physiques. Le recours de droit public propose une autre interprétation de cet avis médical, sans parvenir à démontrer que l'appréciation de la Cour cantonale serait arbitraire.
2.5 Le recourant soutient enfin que la durée de la période pénale aurait été constatée de manière arbitraire: la victime n'ayant plus séjourné seule chez lui à partir du mois de juin 1997, les agissements qu'on lui impute n'auraient pas pu se poursuivre en juillet et août 1997.
Il est néanmoins constant que le recourant a reçu occasionnellement sa victime à son domicile durant ces deux derniers mois. A défaut d'autres éléments, il n'est pas arbitraire de considérer que l'activité délictueuse a pris fin au moment où l'enfant s'est confiée à sa mère, laquelle a dès lors pris les dispositions nécessaires pour éviter de nouveaux abus sexuels.
2.6 Il s'ensuit que le recours de droit public, en tous points mal fondé, doit être rejeté.
2.6 Il s'ensuit que le recours de droit public, en tous points mal fondé, doit être rejeté.
3. L'émolument judiciaire doit être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 153 al. 1, 153a et 156 al. 1 OJ). Celui-ci aura en outre à verser à l'intimée une indemnité, à titre de dépens, pour ses frais occasionnés par la procédure de recours de droit public, en l'occurrence ses frais de représentation par son avocate et curatrice (art. 159 al. 1 et 2 OJ). L'allocation de dépens rend sans objet la demande d'assistance judiciaire.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit public est rejeté.
1. Le recours de droit public est rejeté.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie au mandataire du recourant, à la curatrice de l'intimée, au Procureur général et à la Cour de cassation de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 14 avril 2003
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: