Faits:
A. Le 6 juin 2012, A._ a été arrêté dans le cadre d'une instruction ouverte contre lui par le Ministère public de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: le Ministère public) pour vol, tentative de vol, violation de domicile, tentative de violation de domicile et dommages à la propriété. Il lui est reproché d'avoir commis avec des comparses quatre vols par effraction et une tentative de vol par effraction entre le 25 mai et le 6 juin 2012. Il a été placé en détention provisoire. Par ordonnance du 31 août 2012, le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Vaud (ci-après: le Tmc) a prolongé cette détention jusqu'au 6 décembre 2012, en raison de risques de fuite et de collusion.
A._ a contesté cette ordonnance auprès de la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté son recours par arrêt du 18 septembre 2012. Relevant qu'il existait des charges suffisantes à l'encontre du prénommé, le Tribunal cantonal a considéré que le maintien en détention était justifié en raison de risques de fuite et de réitération, le principe de proportionnalité étant en outre respecté.
B. Par recours du 9 octobre 2012, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que sa libération immédiate est ordonnée, subsidiairement d'ordonner sa libération moyennant l'obligation de se présenter tous les deux jours au poste de police le plus proche du centre zurichois d'accueil des migrants où il résiderait. Il requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt. Le Ministère public conclut au rejet du recours. Le 25 octobre 2012, le recourant a renoncé à présenter des observations complémentaires.

Considérant en droit:
1. Selon l'<ref-law>, le recours en matière pénale est ouvert contre les décisions rendues en matière pénale, dont font partie les décisions relatives à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 23). Selon l'art. 81 al. 1 let. a et let. b ch. 1 LTF, l'accusé a qualité pour agir. Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2. Le recourant critique d'abord le fait que le Ministère public n'a apparemment communiqué qu'un extrait du dossier au juge de la détention. Il se borne à affirmer que ce procédé n'est "pas normal", sans exposer les normes juridiques qui pourraient être violées à cet égard. Il ne s'agit dès lors pas d'un grief conforme aux exigences minimales de motivation déduites de l'<ref-law>. Il en va de même de la critique relative à une motivation prétendument insuffisante de la prolongation de la détention provisoire. Le reste du recours ne comporte pas davantage de motivation juridique, de sorte que sa recevabilité apparaît douteuse au regard des exigences précitées. On comprend néanmoins que le recourant conteste que les conditions de son maintien en détention provisoire sont réalisées, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière à cet égard.
Dans son écriture, le recourant présente des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué. Il perd ainsi de vue que, conformément à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente. L'<ref-law> ne permet de s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>. Le recourant peut critiquer les constatations de fait aux mêmes conditions, si la correction du vice soulevé est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Il lui appartient de démontrer que ces conditions sont réalisées, par une argumentation répondant aux exigences de motivation de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). Une telle démonstration faisant défaut en l'espèce et une constatation inexacte des faits n'étant pas d'emblée évidente, il n'y a pas lieu de s'écarter des faits retenus dans l'arrêt attaqué. Les allégués de fait qui ne ressortent pas de celui-ci sont dès lors irrecevables.
3. Une mesure de détention préventive n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 2c p. 270). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (cf. art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP). Préalablement à ces conditions, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (<ref-law>; art. 5 par. 1 let. c CEDH; arrêt 1B_63/2007 du 11 mai 2007 consid. 3 non publié in <ref-ruling>). Le Tribunal fédéral examine librement ces questions, sous réserve toutefois de l'appréciation des faits, revue sous l'angle restreint des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 73 s. et les références).
4. Le recourant admet que les charges sont suffisantes mais il conteste l'existence des risques motivant son maintien en détention, notamment le risque de fuite.
4.1 Le risque de fuite doit s'analyser en fonction d'un ensemble de critères tels que le caractère de l'intéressé, sa moralité, ses ressources, ses liens avec l'État qui le poursuit ainsi que ses contacts à l'étranger, qui font apparaître le risque de fuite non seulement possible, mais également probable (<ref-ruling> consid. 4a p. 70 et la jurisprudence citée). La gravité de l'infraction ne peut pas, à elle seule, justifier la prolongation de la détention, même si elle permet souvent de présumer un danger de fuite en raison de l'importance de la peine dont le prévenu est menacé (<ref-ruling> consid. 3a p. 62; <ref-ruling> consid. 4a p. 70; <ref-ruling> consid. 3 p. 67). Il est sans importance que l'extradition du prévenu puisse être obtenue (<ref-ruling> consid. 3d p. 36 s.).
4.2 Le Tribunal cantonal retient que le recourant, ressortissant tunisien ayant déposé une demande d'asile le 27 février 2012, n'a aucune attache avec la Suisse. Il est domicilié en Tunisie et a, selon ses dires, un frère établi en France. Le risque existe donc de voir l'intéressé se réfugier dans ce pays voisin pour échapper à une éventuelle condamnation. L'instance précédente relève également que le placement du recourant dans un centre pour requérants d'asile à Zurich ne l'a pas empêché de venir dans la région lausannoise pour commettre des infractions. Dans ces conditions, il existe un risque concret que la peine encourue en cas de condamnation incite le recourant à prendre la fuite ou à disparaître dans la clandestinité pour se soustraire à la procédure pénale.
Le recourant ne conteste pas véritablement cette appréciation, qui apparaît au demeurant bien fondée. Il affirme cependant que le risque de fuite peut être paré par une mesure de substitution consistant en une obligation de se présenter - tous les jours ou tous les deux jours - au poste de police le plus proche du centre d'accueil des migrants où il est logé. Cette mesure n'apparaît toutefois pas de nature à empêcher le recourant de passer la frontière ou de disparaître dans la clandestinité. On ne voit au demeurant pas quelle autre mesure pourrait atteindre le même but que la détention, dont la durée respecte en outre le principe de la proportionnalité. Quant aux considérations du recourant sur les prisons préventives "débordées", sur les motifs qui l'ont conduit à commettre des vols et sur une prétendue prise de conscience, elles ne sont pas étayées et sont dénuées de pertinence pour la résolution du présent litige. Enfin, le maintien en détention étant justifié par un risque de fuite, il n'y a pas lieu d'examiner s'il peut également être motivé par un risque de récidive, comme le retient l'arrêt attaqué.
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Il n'y a pas lieu d'accorder l'assistance judiciaire, dès lors que les conclusions du recours apparaissaient d'emblée vouées à l'échec (<ref-law>). Dès lors que le recourant est dans le besoin, il se justifie néanmoins de statuer sans frais (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Ministère public de l'arrondissement de Lausanne, par le Ministère public central du canton de Vaud, et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale.
Lausanne, le 29 octobre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Rittener