Sachverhalt:
A.
A._ (Kunde, Kläger, Beschwerdeführer) war Kunde bei der Bank B._ (Beklagte). Er kaufte am 13. April 2011 70'000 Stück " Put-Optionssch.xxx auf C._ " (Put-Optionen).
Am 4. Oktober 2011 schrieb A._ per E-Mail an seinen Kundenberater D._:
"bok pane D._
Wir waren 10 Tage auf dem polootok (Halbinsel) Peljesesac. Die Luft hatte noch angenehme 28 und das Wasser 24 Grad. Wir waren voellig off the record, wie man so schoen sagt.
Sollten Sie mich aber nicht informieren, sobald C._ unter 50 faellt?
Wie viel wert sind denn mittlerweile meine Puts?
So, nun gehe ich Mandarinen pfluecken.
Haben Sie eigentlich meine Postkarte aus Hvar erhalten?
Beste Gruesse
A._".
Am 5. Oktober 2011 antwortete E._ und teilte mit, Herr D._ sei leider krank und eine Überprüfung des Kurses der C._-Aktie könne die Bank B._ in Abwesenheit von Herrn D._ nicht anbieten. Der letzte Kurs der Put-Optionen (gestriger Schlusskurs) betrage EUR 0.52. Der CHF-Wert der Anlage betrage per gestern CHF 44'487.--.
In der Folge entspann sich ein E-Mail-Verkehr zwischen den Herren Koutek und E._. Am 13. Dezember 2011 verkaufte die Bank B._ die Put-Optionen im Auftrag des Kunden.
Der Kunde stellte sich auf den Standpunkt, er hätte die Put-Optionen am 4. Oktober 2011 verkauft, wenn seine E-Mail sofort beantwortet worden wäre. Zum Zeitpunkt, als er die E-Mail von Herrn E._ erhalten habe, seien die angegebenen Preise nicht mehr realisierbar und damit eine einmalige Gelegenheit verpasst gewesen.
B.
B.a. Mit Klage vom 16. April 2012 stellte A._ unter Beilage der Weisung des Friedensrichteramts Zürich vom 8. März 2012 das Begehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm CHF 44'487.-- zu bezahlen.
Zur Begründung führte er an, er hätte diesen Betrag realisieren können, wenn sein Kundenberater am 4. Oktober 2011 per E-Mail erreichbar gewesen wäre. Die Bank B._ bestritt die Forderung mit der Begründung, der Kläger habe sich mit E-Mail vom 4. Oktober 2011 lediglich nach dem Aktienkurs erkundigt und keinen Verkaufsauftrag erteilt. Auch sei sie nicht verpflichtet gewesen, umgehend auf E-Mails zu reagieren, zumal der Kläger lediglich einen Depot-, Kredit- und Pfandvertrag abgeschlossen habe und die Beklagte Kaufs- und Verkaufsaufträge grundsätzlich nicht per E-Mail entgegennehme, sofern eine entsprechende Vereinbarung wie hier fehle. Der Kläger bestritt dies unter Hinweis auf seinen Verkaufsauftrag vom 13. Dezember 2011, in dessen Vorfeld er genau die gleichen Worte gewählt habe, was innert zwei Stunden zum Verkauf der Put-Optionen geführt habe.
Mit Urteil vom 20. August 2013 wies das Bezirksgericht Zürich die Klage ab.
In der Prozessgeschichte stellte das Gericht dar, dass der Kläger nach Abweisung eines Gesuchs um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege den Kostenvorschuss von Fr. 5'200.-- geleistet habe. Materiell verneinte das Bezirksgericht eine Vertragsverletzung durch die Beklagte mit der Begründung, der Kläger habe eine vertragliche Vereinbarung nicht behauptet, wonach die Beklagte jederzeit per E-Mail hätte erreichbar sein müssen und die angebliche Vereinbarung mit seinem Kundenberater, dass dieser ihm den Kurs bekannt gebe, wenn die C._-Aktie auf unter 50 falle, sei für den eingeklagten Schaden nicht kausal, nachdem der Kläger den Kurs selbst gekannt habe. Das Gericht verneinte auch, dass der Kläger vor dem 13. Dezember 2011 einen Verkaufauftrag erteilt hatte, während er an diesem Termin gemailt hatte: " Versuchen Sie doch, diese zu verschrotten, sprich zu verkaufen ", was die Beklagte zur Rückfrage veranlasst habe, ob sie einen Verkaufsauftrag auszuführen habe.
B.b. Mit Berufung vom 18. Oktober 2013 stellte der nunmehr anwaltlich vertretene Kläger dem Obergericht des Kantons Zürich die folgenden Anträge:
"Es sei das Urteil vom 20. August 2013 vollumfänglich aufzuheben und es sei die Berufungsbeklagte zu verpflichten, dem Berufungskläger CHF 44'487.00 zu bezahlen.
Eventualiter sei die Berufungsbeklagte zu verpflichten, dem Berufungskläger nach Feststellung der streitgegenständlichen Put-Optionen der C._ am 4. November 2011 (sic!) den entsprechenden Betrag zu vergüten."
Mit Verfügung vom 3. Dezember 2013 forderte das Obergericht den Kläger zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 5'200.-- auf; nachdem der Kläger um Fristerstreckung ersucht und sich vorbehalten hatte, ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu stellen, reichte er am 3. Januar 2014 dem Obergericht ein solches Gesuch ein.
Mit Beschluss vom 20. Januar 2014 wies das Obergericht des Kantons Zürich das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und setzte dem Kläger eine letzte, nicht erstreckbare Frist für die Leistung des Kostenvorschusses. Das Gericht verneinte die Mittellosigkeit mit der Begründung, der Kläger sei zwar ausgesteuert und vermöge mit seinem Einkommen der Sozialhilfe U._ den Prozess nicht zu führen, verfüge jedoch gemäss der letzten Steuererklärung über ein Vermögen von Fr. 29'962.00, mit dem er auch unter Berücksichtigung eines Notgroschens die mutmasslichen Prozesskosten bezahlen könne. Ausserdem verneinte das Obergericht die Erfolgsaussichten der Berufung und erachtete insbesondere die Erwägungen der Vorinstanz für überzeugend, dass der Kläger keinen Verkaufsauftrag nachgewiesen habe. Die Vorbringen des Klägers in der Berufung seien zum Teil neu und unzulässig, zum Teil irrelevant.
Mit Beschluss vom 5. Februar 2014 wies das Obergericht des Kantons Zürich ein Wiedererwägungsgesuch des Klägers vom 3. Februar 2014 ab und setzte ihm eine letzte, nicht erstreckbare Frist zur Leistung des Kostenvorschusses. Zur Begründung erwog das Gericht, aus dem neu eingereichten Protokoll der Sozialkommission der Gemeinde U._ ergebe sich zu Gunsten des klägerischen Standpunktes nichts, sondern es stehe im Gegenteil nunmehr fest, dass der Kläger eine Arbeitsstelle gefunden habe, weshalb mangels Offenlegung seines Einkommens zu schliessen sei, dass er daraus den Prozess zu finanzieren vermöge; im Übrigen bestätigte das Gericht die Einschätzung der Prozesschancen und wies den Kläger ausdrücklich darauf hin, dass unter den gegebenen Voraussetzungen keine neuen Vorbringen in der Berufung zulässig seien.
C.
Mit Beschwerde vom 18. Februar 2014 stellt der Kläger dem Bundesgericht die Begehren, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen (Ziffer 1), es sei der Beschluss vom 20. Januar 2014 des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, aufzuheben und dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsvertretung zu gewähren, von der Zahlung eines Kostenvorschusses abzusehen und es sei in der Person des Unterzeichneten die unentgeltliche Rechtsvertretung zuzugestehen (Ziffer 2).
Er rügt im Wesentlichen, seine Mittellosigkeit sei willkürlich verneint und die Prozessaussichten zu Unrecht als nicht ernsthaft erachtet worden. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung begründet er damit, dass er sonst in die Lage versetzt würde, mit grösster Wahrscheinlichkeit gegen einen Nichteintretensentscheid ein Parallelverfahren führen zu müssen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch ein oberes kantonales Gericht (Art. 75 BGG) und damit gegen einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge haben kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Sie ist in einer Zivilstreitigkeit (Art. 72 BGG) mit einem Streitwert von über Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) fristgerecht eingereicht worden und der Beschwerdeführer ist zur Erhebung der Beschwerde legitimiert (Art. 76 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
2.
Das Bundesgericht ist in tatsächlicher Hinsicht an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann der Beschwerdeführer nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG), das heisst sie seien willkürlich (s. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen.
Neue tatsächliche Vorbringen sind überdies unzulässig, sofern nicht ausnahmsweise erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 BGG).
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe seine finanziellen Verhältnisse willkürlich festgestellt. Die Vorinstanz hat insofern festgestellt, dass der Beschwerdeführer in der letzten Steuererklärung ein Vermögen von Fr. 29'962.00 auswies und neuere Zahlen zu seinem Vermögen nicht bekannt seien (E. 4b S. 3). Inwiefern diese Feststellung willkürlich sein sollte, ergibt sich aus der Begründung der Beschwerde nicht. Insbesondere wird damit nicht aufgezeigt, inwiefern sich aus dem " als Beilage 2 eingereichten Protokoll der Sozialbehörde "ergeben sollte, dass diese Feststellung schlechterdings nicht vertretbar sein sollte. Das als Beilage 2 zur Beschwerde eingereichte Protokoll der Sozialkommission datiert vom 27. Januar 2014 und wurde der Vorinstanz im Zusammenhang mit dem Wiedererwägungsgesuch vom 3. Februar 2014 eingereicht. Den Entscheid vom 5. Februar 2014, in dem dieses Gesuch abgewiesen wurde, hat der Beschwerdeführer nicht angefochten und es ist seiner Rechtsschrift folgerichtig auch nicht zu entnehmen, inwiefern die Abweisung dieses Gesuchs auf willkürlicher Sachverhaltsfeststellung beruhen sollte. In Bezug auf den allein angefochtenen Beschluss vom 20. Januar 2014 handelt es sich beim " Protokoll der Sozialbehörde" um ein unzulässiges Novum. Die Willkürrüge ist offensichtlich unbegründet, soweit darauf überhaupt einzutreten ist.
2.2. Der Beschwerdeführer rügt unter Berufung auf ein Schreiben seines Rechtsvertreters vom 16. Dezember 2013 ausserdem, die Vorinstanz habe aktenwidrig festgestellt, er habe keinen Antrag auf unentgeltliche Rechtsvertretung gestellt. Die Vorinstanz hat festgestellt, der Beschwerdeführer habe in seiner Berufung keinen Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtsvertretung gestellt. Die Berufung datiert vom 18. Oktober 2013. Auch diese Rüge zielt ins Leere. Die Rüge gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz über die Vermögensverhältnisse des Beschwerdeführers im Zeitpunkt seines Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege bei der Vorinstanz ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.
3.1. Nach Art. 117 ZPO hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die für die Prozessführung erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Wer diese Bedingungen erfüllt, hat ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand, soweit dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist (Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO). Mit diesen Regeln wird der verfassungsrechtliche Anspruch nach Art. 29 Abs. 3 BV (<ref-ruling> E. 2.1 S. 133) auf Gesetzesstufe gewährleistet, weshalb die zu Art. 29 Abs. 3 BV ergangene Rechtsprechung auch insoweit einschlägig ist (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218; vgl. Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7302, Ziff. 5.8.4 zu Art. 115 E-ZPO; Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4304 Ziff. 4.1.2.10 zu Art. 60 E-BGG). Danach sind die Voraussetzungen der Bedürftigkeit einerseits und der fehlenden Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren andererseits kumulativ erforderlich. Fehlt eine dieser Voraussetzungen, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen.
3.2. Bedürftig ist ein Gesuchsteller, der die Leistung der erforderlichen Prozess- und Parteikosten nur erbringen kann, wenn er die Mittel angreift, deren er zur Deckung des Grundbedarfs für sich und seine Familie bedarf (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223 mit Hinweisen). Prozessarmut ist mithin gegeben, wenn die betreffende Person nicht über die notwendigen Mittel (Einkommen und Vermögen) verfügt, um ohne erhebliche Beeinträchtigung ihrer Existenz für die Prozesskosten aufzukommen (Botschaft ZPO, BBl 2006 7301, Ziff. 5.8.4 zu Art. 115 E-ZPO).
In der Beschwerde wird nicht dargetan, dass die Vorinstanz die Grundsätze zur Beurteilung der Bedürftigkeit verkannt oder falsch angewendet haben soll, wenn sie erwog, der Beschwerdeführer könne die mutmasslichen Prozesskosten angesichts des Streitbetrages aus seinem Vermögen von Fr. 29'962.00 auch dann bezahlen, wenn ein Notgroschen von Fr. 10'000.-- bis Fr. 15'000.-- berücksichtigt wird. Da jegliche Begründung fehlt, inwiefern die Vorinstanz aufgrund der willkürfrei festgestellten Vermögensverhältnisse des Beschwerdeführers die Voraussetzung der Bedürftigkeit rechtsfehlerhaft verneint haben soll, ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
3.3. Die Vorinstanz hat auch die Prozessaussichten als nicht ernsthaft erachtet. Auf die Rügen des Beschwerdeführers dagegen braucht nicht eingegangen zu werden. Schliesslich ist auch die Höhe des von der Vorinstanz verlangten Kostenvorschusses mangels entsprechender Rügen nicht weiter zu überprüfen.
4.
Das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung wird mit dem Entscheid von heute insoweit nicht gegenstandslos, als die Folgen der Nichtleistung des Kostenvorschusses innert der durch die Vorinstanz gesetzten Frist in Frage stehen. Denn die Vorinstanz hat in Ziffer 2 ihres Beschlusses eine 10-tägige Frist ab Zustellung ihres Beschlusses gesetzt, welche abgelaufen ist. Die 10-tägige, nicht erstreckbare Frist ist daher neu ab Zustellung des vorliegenden Urteils anzusetzen.
5.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG als offensichtlich unbegründet abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Da die Beschwerde offensichtlich keine Aussicht auf Erfolg hat, ist auch der Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer zu auferlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Beschwerdeführer läuft eine letzte, nicht erstreckbare Nachfrist von 10 Tagen ab Zustellung dieses Urteils, um bei der Obergerichtskasse, Hirschengraben 13/15, 8001 Zürich, Briefadresse: Postfach 2401, 8021 Zürich (Postkonto 80-10210-7) den verfügten Kostenvorschuss von Fr. 5'200.-- zu leisten, unter Androhung der Folgen des Nichteintretens auf die kantonale Berufung.
3.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und der Bank B._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Mai 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni