Sachverhalt:
A. A.a Die 1970 geborene G._ war bei der Firma N._ tätig und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 26. Januar 1998 beim Herunternehmen eines Weinharasses rückwärts stolperte und auf den Boden fiel. Wegen Rückenbeschwerden konnte sie die bisherige Tätigkeit in der Folge nicht mehr vollumfänglich ausüben, weshalb das Arbeitsverhältnis auf Ende Januar 1999 aufgelöst wurde. Die SUVA richtete Taggelder aus und kam für die Heilbehandlung auf. Gestützt auf den Bericht des Spitals X._ vom 27. März 2000, welcher ab 1. Juni 2000 eine volle Arbeitsfähigkeit attestierte, stellte sie mit Verfügung vom 6. April 2000 das Unfalltaggeld auf diesen Zeitpunkt hin ein. Diese Verfügung blieb unangefochten.
A.b Am 19. Juni 2002 stolperte G._ auf einer Stufe, worauf sie unter vermehrten Rückenschmerzen litt. Zu diesem Zeitpunkt war sie bei S._ angestellt und damit bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Mobiliar) unfallversichert, welche die gesetzlichen Leistungen erbrachte. Mit Schreiben vom 25. April 2003 teilte diese der Versicherten gestützt auf den vom behandelnden Arzt bestätigten Abschluss der Behandlung im August 2002 den Fallabschluss mit. Daran hielt sie mit Verfügung vom 3. Oktober 2003 fest. Sowohl die SUVA wie auch die Versicherte erhoben dagegen Einsprache. Am 12. November 2003 teilte die Mobiliar der SUVA mit, sie werde auf ihre Einsprache nicht eintreten, da die angefochtene Verfügung keine Auswirkungen auf ihre Leistungspflicht habe. Nachdem die Verfügung auch der Swica Gesundheitsorganisation (nachfolgend: Swica) in deren Eigenschaft als Krankenversicherer zugestellt worden war, erhob diese ebenfalls Einsprache. Mit Einspracheentscheid vom 11. Februar 2004 wies die Mobiliar die Einsprachen der Versicherten und der Swica ab.
B. Die Swica und G._ reichten gegen den Einspracheentscheid beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde ein. Dessen Präsident sistierte das Verfahren mit Schreiben vom 10. Juni 2004. Mit Verfügung vom 1. Oktober 2004 lud das kantonale Gericht die SUVA zum Prozess bei. Nach Eingang des im Einverständnis der Verfahrensbeteiligten von der Mobiliar in Auftrag gegebenen medizinischen Gutachtens der Klinik Y._ vom 25. August 2006 wurde die Verfahrenssistierung aufgehoben. In der Folge vereinigte die Vorinstanz die beiden Beschwerdeverfahren. Mit Entscheid vom 15. Oktober 2008 hiess sie die Beschwerden gut, hob den Einspracheentscheid vom 11. Februar 2004 auf und wies die Sache zur Abklärung und Festlegung der weiteren Leistungen aufgrund des Unfalls vom 26. Januar 1998 an die Mobiliar zurück.
C. Die SUVA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Zudem reicht sie die ärztliche Beurteilung des Dr. med. M._ von der SUVA-Versicherungsmedizin vom 5. November 2008 ein.
Die Swica und G._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Mobiliar beantragt Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) ist zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (Art. 90 BGG) sowie gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren (Art. 92 Abs. 1 BGG). Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde nach Art. 93 BGG zulässig, sofern - alternativ - der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1.2 In <ref-ruling> hat sich das Bundesgericht mit den in Art. 90 bis 93 BGG geregelten End-, Teil- sowie Vor- und Zwischenentscheiden befasst und erwogen, ein Rückweisungsentscheid schliesse das Verfahren nicht ab und sei somit nach der Regelung des BGG kein Endentscheid. Rückweisungsentscheide, welche eine materielle Grundsatzfrage entscheiden, sind keine Teilentscheide im Sinne von Art. 91 lit. a BGG, da es sich dabei nicht um Entscheide über Begehren handelt, die unabhängig von den anderen Fragen beurteilt werden können, sondern sie stellen ebenfalls Zwischenentscheide dar, welche unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG selbständig angefochten werden können (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 mit Hinweis). Weiter hat das Bundesgericht entschieden, in der Verpflichtung der Versicherungsträger zur Vornahme weiterer oder ergänzender Abklärungen und neuer Entscheidung durch das kantonale Gericht liege kein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG (und zwar selbst dann nicht, wenn die vorinstanzliche Feststellung, der rechtserhebliche Sachverhalt sei ungenügend abgeklärt, offensichtlich unrichtig wäre oder auf einer qualifiziert unrichtigen oder sogar willkürlichen Beweiswürdigung beruhte; Urteil 9C_613/2007 vom 23. Oktober 2007, E. 2.1). Schliesslich ist nach der Rechtsprechung auf Beschwerden gegen vorinstanzliche Rückweisungsentscheide, mit denen einzig eine ergänzende Sachverhaltsabklärung angeordnet wird, auch unter dem - letztinstanzlich frei überprüfbaren - Blickwinkel von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG in der Regel nicht einzutreten, da die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn sie einen Zwischenentscheid nicht selbst anfechten, zumal ihnen immer noch dessen Anfechtung mit dem Endentscheid offen steht, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (Art. 93 Abs. 3 BGG). Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden aus prozessökonomischen Gründen ist daher eine Ausnahme, die restriktiv zu handhaben ist (Urteil 9C_446/2007 vom 5. Dezember 2007, E. 3; zum Ganzen: HANSJÖRG SEILER, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, 2009, S. 9 ff.).
2. Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab, sondern weist die Sache zur Neubeurteilung an die Mobiliar zurück. Das kantonale Gericht hat dabei erwogen, es liege ein Anwendungsfall von Art. 100 Abs. 2 UVV vor. Die Mobiliar habe als für den zweiten Unfall vom 19. Juni 2002 gemäss Art. 77 Abs. 1 UVG zuständiger Versicherer - mangels einer abweichenden Vereinbarung der beiden Unfallversicherer über die Zuständigkeit gemäss Art. 100 Abs. 2 Satz 3 UVV - auch die Leistungen für den früheren Unfall vom 26. Januar 1998 zu übernehmen. Gemäss Gutachten der Klinik Y._ vom 25. August 2006 sei sodann von einer ursprünglichen und andauernden Kausalität der Diskushernie L5/S1 zum Unfall vom Januar 1998 auszugehen. Aufgrund der Tatsache, dass es sich beim zweiten Unfall vom Juni 2002 um ein banales Ereignis gehandelt habe, die ärztliche Behandlung nach zwei Monaten habe abgeschlossen werden können, die vor dem Unfall bestandene Arbeitsfähigkeit wieder hergestellt gewesen sei sowie mit Blick auf die medizinischen Erfahrungswerte bei Prellungen, Verstauchungen oder Zerrungen der Wirbelsäule, seien die Folgen des Unfalls vom Juni 2002 bereits im Herbst 2002 abgeheilt gewesen und die weiteren Beschwerden auf den Unfall vom Januar 1998 zurückzuführen. Die Mobiliar bleibe daher Ansprechpartnerin der Versicherten für die Ausrichtung weiterer Leistungen. Betreffend Umfang der Leistungen an die Versicherte über die am 3. Oktober 2003 verfügte und mit Einspracheentscheid vom 11. Februar 2004 bestätigte Einstellung per 18. August 2002 hinaus sei die Angelegenheit nicht spruchreif. Die Streitsache sei daher an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Erbringung weiterer Heilungskosten und allfälliger Taggelder bzw. Vergütung der Vorleistungen an die Swica, zur Abklärung der Erwerbseinbusse sowie zur Verfügung einer allfälligen Invalidenrente und der Integritätsentschädigung. Das Gericht verband dies mit dem Hinweis, Mobiliar und SUVA sei es unbenommen, nachträglich eine Abmachung gemäss Art. 100 Abs. 2 Satz 3 UVV zu treffen und die Angelegenheit der SUVA zu übertragen.
3. 3.1 In der Beschwerde wird nicht dargetan - und es ist auch nicht ersichtlich -, inwiefern der SUVA durch den Rückweisungsentscheid des kantonalen Gerichts ein nicht wiedergutzumachender Nachteil droht oder ein bedeutender Aufwand an Zeit und Kosten erspart werden könnte. Von vornherein nicht auf einen grossen Aufwand berufen kann sich, wer - wie gestützt auf den angefochtenen Rückweisungsentscheid die SUVA - gar nicht selber die angeordneten Massnahmen treffen muss (Urteil 9C_349/2008 vom 6. Mai 2008).
3.2 Nach der Rechtsprechung können Rückweisungsentscheide, welche den Versicherer anweisen, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BG bewirken (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff; SVR 2008 IV Nr. 31 S. 100 E. 1.2, I 126/07). Das gilt ebenso für eine beschwerdeberechtigte Stelle, die insoweit nicht selber zu verfügen hat, weil dafür eine andere Behörde zuständig ist, es sei denn, diese Stelle kann die auf einen Rückweisungsentscheid hin getroffene neue Verfügung der anderen Behörde bei der dem Bundesgericht vorgelagerten Instanz anfechten (Urteil 2C_275/2008 vom 19. Juni 2008 E. 1.2). Der Grund liegt darin, dass der Versicherer nicht einen von ihm als rechtswidrig erachteten Gerichtsentscheid umsetzen und gestützt darauf in rechtswidriger Weise Leistungen ausrichten muss, zumal er seine eigene Verfügung mangels formeller Beschwer nicht anfechten kann (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 484).
3.3 Eine solche Sachlage ist vorliegend indessen nicht gegeben. Zwar hat die Vorinstanz in ihren Erwägungen konkrete und weitreichende materielle Vorgaben gemacht. Diese umzusetzen und eine neue Verfügung zu erlassen ist indessen nicht Aufgabe der Beschwerde führenden SUVA, sondern der Mobiliar, deren Einspracheentscheid vom 11. Februar 2004 aufgehoben worden ist. Die SUVA wird mit dem vorinstanzlichen Entscheid weder verpflichtet, gegenüber der Versicherten irgendwelche Leistungen zu erbringen, noch eine ihrer Ansicht nach unrichtige Verfügung zu erlassen. Anfechtungsgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildete - trotz der teils unklaren, auf "die interne Aufteilung weiterer Leistungen an die Versicherte unter den beteiligten Unfallversicherungen" Bezug nehmenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid - einzig der Einspracheentscheid der Mobiliar vom 11. Februar 2004, mit welchem diese gegenüber der Versicherten ihre weitere Leistungspflicht verneint hat. Weil die SUVA bei einer solchen Konstellation nicht Leistungen im eigenen Namen, sondern zu Gunsten der versicherten Person geltend macht, kommt Art. 78a UVG nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 4d S. 181 f.; SVR 2009 UV Nr. 5 S. 16, 8C_606/2007 E. 10).
3.4 Nach der Rechtsprechung ist der durch die leistungsablehnende Verfügung berührte Unfallversicherer zur Anfechtung "pro Adressat" befugt. Er hat ein selbständiges, eigenes Rechtsschutzinteresse an der Einsprache- bzw. Beschwerdeerhebung, da er damit zu rechnen hat, fortan für die Ausrichtung von Versicherungsleistungen hinsichtlich der noch bestehenden gesundheitlichen Beschwerden von der versicherten Person in Anspruch genommen zu werden (SVR 2009 UV Nr. 5 S. 16, 8C_606/2007 E. 9.2; Urteil 8C_857/2008 vom 17. Dezember 2008). Die SUVA wird die neue Verfügung der Mobiliar daher gegebenenfalls anfechten können.
3.5 Bei einem neuen Entscheid wird das kantonale Gericht an seinen Rückweisungsentscheid gebunden sein, nicht aber das Bundesgericht, an welches der Endentscheid weitergezogen werden kann (Art. 93 Abs. 3 BGG). Dabei wird auch das noch angefochten werden können, was das kantonale Gericht in seinem ersten Entscheid beurteilt hat (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 484).
4. Die Mobiliar hat den kantonalen Gerichtsentscheid nicht innerhalb der Frist von 30 Tagen nach Art. 100 Abs. 1 BGG mittels Beschwerde angefochten. Sie kann daher im letztinstanzlichen Verfahren keinen selbständigen Antrag stellen und hat sich damit zu begnügen, zur Beschwerde der Gegenpartei Stellung zu nehmen. Soweit sie in ihrer Vernehmlassung Einwände gegen vorinstanzliche Erwägungen erhebt und beantragt, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben, ist dieses Begehren nicht zulässig, da das Bundesgerichtsgesetz die Anschlussbeschwerde nicht kennt (<ref-ruling> E. 2.5 S. 335; ULRICH MEYER, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, S. 1000 N. 4 zu Art. 102). Bei ihrer neu zu erlassenden Verfügung ist die Mobiliar an die Vorgaben des kantonalen Gerichts gebunden und wird diese darauf zu stützen haben (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 484).
5. Unter diesen Umständen kann dahingestellt bleiben, ob erst der kantonale Entscheid Anlass zur Auflegung der ärztlichen Beurteilung des Dr. med. M._ vom 5. November 2008 im bundesgerichtlichen Verfahren gegeben hat (Art. 99 Abs. 1 BGG). Die SUVA wird allenfalls in einem neu durchzuführenden Verfahren Gelegenheit haben, diese einzureichen.
6. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die SUVA die Gerichtskosten zu tragen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG). Sie fällt nicht unter den Ausnahmetatbestand von Art. 66 Abs. 4 BGG (vgl. <ref-ruling>). Die Versicherte hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG), während die Swica als Organisation mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis handelt, keinen Anspruch auf Parteientschädigung hat (Art. 68 Abs. 3 BGG; Urteil 8C_601/2007 vom 10. Januar 2008 E. 4.2). Die Mobiliar hat ebenfalls keinen Anspruch auf Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat G._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. März 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer