Sachverhalt:
A.
A.A._ (Beschwerdeführerin) ist die Mutter von B.A._. Für das Kind bestand bis zu dessen Eintritt in die Volljährigkeit Anfang 2015 eine Beistandschaft nach <ref-law>.
B.
B.a. Mit Entscheid vom 3. März 2015 genehmigte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Region Solothurn den Schlussbericht des Beistands, erteilte dem Beistand Entlastung und entliess ihn aus seinem Amt.
B.b. Am 15. April 2015 erhob die Beschwerdeführerin beim Verwaltungsgericht Solothurn Beschwerde gegen diesen Entscheid. Gleichzeitig ersuchte sie um eine Erstreckung der Frist zur Begründung ihrer Beschwerde bis zum 11. Mai 2015.
B.c. Das Verwaltungsgericht setzte ihr mit Verfügung vom 16. April 2015 Frist bis zum 27. April 2015, um präzise Anträge zu stellen und eine vollständige Begründung einzureichen. Die Frist bis zum 27. April 2015 wurde in der Verfügung damit begründet, dass nach § 146 lit. c EG ZGB (recte: § 146 Abs. 1 lit. c EG ZGB) "eine nicht erstreckbare Frist von 10 Tagen zur Verbesserung" der Beschwerde gewährt werden könne. Für den Unterlassungsfall wurde der Beschwerdeführerin ein Nichteintreten angedroht.
B.d. Am 27. April 2015 ersuchte die Beschwerdeführerin das Verwaltungsgericht um eine weitere Fristerstreckung bis zum 20. Mai 2015.
B.e. Mit Urteil vom 28. April 2015 hielt das Verwaltungsgericht fest, die Frist könne nicht erneut erstreckt werden. Es trat auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte der Beschwerdeführerin Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 100.--.
C.
Die Beschwerdeführerin gelangt mit Beschwerde vom 4. Juni 2015 (Postaufgabe: 5. Juni 2015) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei nur Ziffer 2 aufzuheben und die Beschwerdeführerin sei von der Bezahlung von Kosten zu entbinden. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
D.
Das Bundesgericht hat die Akten der Vorinstanz, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine bei ihm eingereichte Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 475).
1.2. Anders als dies die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde teilweise schreibt, hat das Verwaltungsgericht ihre kantonale Beschwerde nicht "abgewiesen", sondern das Gericht ist überhaupt nicht auf die Beschwerde eingetreten. Es hat somit kein Sachurteil, sondern einen Nichteintretensentscheid gefällt. Einzig zulässig vor Bundesgericht sind deshalb Anträge auf Aufhebung des Nichteintretensentscheides und Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz zur Beurteilung in der Sache (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 239; <ref-ruling> E. 1.2 S. 48). Die Beschwerdeführerin beantragt dies zumindest sinngemäss in ihrem Rechtsbegehren Ziffer 1.
1.3. Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 287). Verfassungsverletzungen und die Verletzung kantonalen Rechts werden in höchster Instanz nur geprüft, wenn sie in der Beschwerde an das Bundesgericht gerügt und gehörig begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2. S. 88; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287; je mit Hinweisen). Ausserhalb des Anwendungsbereichs von <ref-law>, was vorliegend nicht geltend gemacht wird, bildet die Verletzung kantonaler Bestimmungen nur dann einen zulässigen Beschwerdegrund, wenn eine derartige Rechtsverletzung einen Verstoss gegen Bundesrecht im Sinne von <ref-law> - auf Verfassungsstufe beispielsweise das Willkürverbot (<ref-law>) - zur Folge hat (<ref-ruling> E. 2.4 S. 249; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.; je mit Hinweisen).
2.
Das Verwaltungsgericht hat erwogen, der Beschwerdeführerin sei in der Verfügung vom 16. April 2015 mitgeteilt worden, dass eine Beschwerde im Bereich des Kindes- und Erwachsenenschutzes gemäss Art. 450 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> innert 30 Tagen schriftlich und begründet einzureichen sei. Dies bedeute gemäss § 68 Abs. 1 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes (VRG), dass präzise Anträge zu stellen, diese zu begründen und die Beweismittel anzugeben seien. Genüge die Beschwerde den Anforderungen nicht, so könne nach § 146 Abs. 1 lit. c des kantonalen Gesetzes über die Einführung des ZGB (EG ZGB) eine nicht erstreckbare Frist von zehn Tagen zur Verbesserung angesetzt werden. Die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 15. April 2015 habe weder Anträge noch eine Begründung enthalten, weshalb ihr mit Verfügung vom 16. April 2015 unter Androhung des Nichteintretens im Unterlassungsfall Frist bis zum 27. April 2015 gesetzt worden sei, die Beschwerdeschrift zu verbessern. Dabei sei auf die Unerstreckbarkeit der Frist hingewiesen worden. Die Beschwerdeführerin habe innerhalb der gesetzen Frist die Beschwerde aber nicht verbessert, sondern ein erneutes Fristerstreckungsgesuch gestellt. Aufgrund der gesetzlichen Verbesserungsfrist gemäss § 146 Abs. 1 lit. c EG ZGB könne die Frist nicht erneut erstreckt werden. Die Beschwerdeführerin habe in der Eingabe vom 27. April 2015 erwähnt, dass sie eine mehrfache Verletzung der Informationspflicht rügen wolle, in der Sache habe sie aber auch hier weder Anträge noch eine Begründung formuliert, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten sei.
3.
Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass sie vor der Vorinstanz weder Anträge gestellt noch eine rechtsgenügliche Begründung eingereicht hat. Ebensowenig rügt sie eine Verletzung der bundesrechtlichen Vorschriften zur Beschwerdefrist in Kindes- und Erwachsenenschutzsachen. Sie ist aber der Ansicht, sie hätte gemäss der Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 16. April 2015(mindestens) das Recht auf eine zusätzliche Nachfrist von zehn Tagen gehabt. Die Rüge der Beschwerdeführerin bezieht sich damit auf die Anwendung von § 146 Abs. 1 lit. c EG ZGB, d.h. auf kantonales Verfahrensrecht (vgl. <ref-law>). Die Annahme der Beschwerdeführerin, sie hätte Anspruch auf eine (weitere) Fristverlängerung von zehn Tagen gehabt, basiert dabei offensichtlich darauf, dass sie den Hinweis der Vorinstanz auf § 146 Abs. 1 lit. c EG ZGB falsch verstanden hat. Wie aus dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (<ref-law>) erhellt, wurde ihr die strittige zehntägige Nachfrist bereits in besagter Verfügung vom 16. April 2015 gewährt (durch Einräumung der Nachbesserungsfrist bis zum 27. April 2015; vgl. Sachverhalt lit. B.c). Zusätzlich bringt die Beschwerdeführerin vor, erfahrungsgemäss und üblicherweise würden Fristerstreckungsgesuche bewilligt. Das Argument ist ebenfalls unbehelflich, da sich die Beschwerdeführerin hierbei nur auf richterliche Fristen beziehen kann, nicht jedoch auf die vorliegend zu beurteilende gesetzliche Frist, zumal gesetzliche Fristen in aller Regel nicht erstreckt werden können (vgl. beispielsweise Art. 144Abs. 1 ZPO).
Zusammengefasst zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, inwiefern die Vorinstanz durch die Verweigerung einer weiteren Fristverlängerung Bundesrecht verletzt, insbesondere willkürlich gehandelt hätte. Sie kommt damit den Begründungs- und Rügeanforderungen (E. 1.3) nicht nach. Dasselbe gilt für das Eventualbegehren betreffend Kosten, in dessen Zusammenhang sie auf ihre Mittellosigkeit und Schulden hinweist, aber keine Rechtsverletzung geltend macht. Entsprechend kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>), da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden hingegen nicht entschädigungspflichtig. Weil die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden muss, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. August 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann