Sachverhalt:
A. A.a Am 30. November 2004 unterzog sich die 1937 als Max geborene Nadine Schlumpf einer Geschlechtsanpassungsoperation. Mit Verfügung vom 23. Dezember 2004 und bestätigendem Einspracheentscheid vom 16. Februar 2005 verneinte die SWICA Gesundheitsorganisation (nachfolgend: SWICA) - wie auf Gesuch um Kostengutsprache hin bereits mit Schreiben vom 29. November 2004 mitgeteilt - ihre Kostenvergütungspflicht aus obligatorischer Krankenpflegeversicherung. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die dagegen erhobene Beschwerde der Versicherten gut, hob den Einspracheentscheid vom 16. Februar 2005 auf und wies die Sache an die SWICA zurück, damit sie zusätzliche Abklärungen im Sinne der Erwägungen treffe (Entscheid vom 21. Juni 2005). Auf die Durchführung der im kantonalen Verfahren ursprünglich beantragten öffentlichen Verhandlung hatte die Versicherte verzichtet, nachdem ihr das Versicherungsgericht zu erkennen gegeben hatte, dass es die Angelegenheit zwecks ergänzender Beweisvorkehren an den Versicherer zurückzuweisen gedenke; die Gültigkeit des Verzichts war explizit ausgeschlossen worden für den Fall, dass die Beschwerdesache an das Eidgenössische Versicherungsgericht oder den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte resp. nach erneutem Entscheid des Versicherers abermals an das kantonale Versicherungsgericht gelangen würde.
A.b Gegen den Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 21. Juni 2005 erhob die SWICA am 25. Juli 2005 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim damaligen Eidgenössischen Versicherungsgericht (EVG), welches die Beschwerde mit Urteil vom 5. Dezember 2005 guthiess und den angefochtenen Entscheid aufhob (Verfahren K 110/05); dem Antrag von Nadine Schlumpf auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung gab das Gericht nicht statt.
B. Am 7. Juli 2006 liess Nadine Schlumpf gegen das EVG-Urteil vom 5. Dezember 2005 beim Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte (nachfolgend: EGMR) Beschwerde nach Art. 34 EMRK einreichen (Verfahren 29002/06). Die erste Kammer des EGMR stellte mit Urteil vom 8. Januar 2009 eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 und Art. 8 EMRK fest und sprach der Versicherten eine Entschädigung von 15'000 Euro als Genugtuung ("dommage moral") sowie 8'000 Euro Kostenersatz zu.
Die Schweiz beantragte am 8. April 2009 die Verweisung der Rechtssache an die Grosse Kammer, was deren Ausschuss am 5. Juni 2009 ablehnte.
C. Am 5. Oktober 2009 liess Nadine Schlumpf beim Bundesgericht ein Revisionsgesuch stellen mit dem Rechtsbegehren, es sei das Urteil des EVG vom 5. Dezember 2005 aufzuheben (Antrag Ziff. 1) und festzustellen, dass die Voraussetzungen für die Übernahme der Kosten der Geschlechtsangleichungsoperation der Antragstellerin durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung erfüllt seien (Antrag Ziff. 2); eventualiter sei das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 21. Juni 2005 zu bestätigen (Antrag Ziff. 3); zudem sei eine öffentliche Parteiverhandlung anzuordnen.
Das Bundesamt für Gesundheit, das Versicherungsgericht des Kantons Aargau sowie die SWICA haben auf eine Stellungnahme verzichtet.
D. Am 15. September 2010 führte das Bundesgericht eine öffentliche Parteiverhandlung und Urteilsberatung durch.

Erwägungen:
1. Die Gesuchstellerin ersucht um Revision des unter Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) ergangenen Urteils des ehemaligen Eidgenössischen Versicherungsgerichts K 110/05 vom 5. Dezember 2005. Mit Inkrafttreten des BGG am 1. Januar 2007 wurde das Eidgenössische Versicherungsgericht in zwei Abteilungen des Bundesgerichts überführt (<ref-law>; Art. 26 Abs. 2 und Art. 34 und 35 BGerR), sodass heute das Bundesgericht für die anbegehrte Revision zuständig ist. Massgebend für die Beurteilung des nach dem 1. Januar 2007 eingereichten Gesuchs sind die einschlägigen Verfahrensbestimmungen des BGG, obwohl Revisionsgegenstand ein vorher gefälltes Urteil ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 162, mit Hinweis).
2. 2.1 Die Gesuchstellerin beruft sich auf den Revisionsgrund gemäss <ref-law>. Danach kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn der EGMR in einem endgültigen Urteil festgestellt hat, dass die EMRK oder die Protokolle dazu verletzt worden sind (lit. a), eine Entschädigung nicht geeignet ist, die Folgen der Verletzung auszugleichen (lit. b), und die Revision notwendig ist, um die Verletzung zu beseitigen (lit. c). Revisionsgesuche gestützt auf <ref-law> sind innert 90 Tagen einzureichen, nachdem das Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte nach Art. 44 EMRK rechtskräftig geworden ist (<ref-law>).
2.2 Das die Gesuchstellerin betreffende Urteil der I. Kammer des EGMR Schlumpf gegen Schweiz vom 8. Januar 2009 ist mit der am 5. Juni 2009 erfolgten Ablehnung des Antrags auf Verweisung an die Grosse Kammer endgültig geworden (Art. 42 und Art. 44 Ziff. 2 lit. c EMRK). Mit der Gesuchseinreichung am 5. Oktober 2009 ist die 90-tägige Frist unter Berücksichtigung des Fristenstillstands gemäss <ref-law> gewahrt. Da auch die übrigen Prozessvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf das Revisionsgesuch einzutreten.
3. 3.1 <ref-law> steht in direktem Bezug zu Art. 46 Ziff. 1 EMRK: Diese Bestimmung verpflichtet die Vertragsstaaten, die endgültigen Urteile des Europäischen Gerichtshofs zu befolgen; der betreffende Staat muss eine festgestellte Konventionsverletzung, soweit sie fortdauert, beseitigen und die beschwerdeführende Partei soweit möglich in die Lage versetzen, in der sie sich ohne die Konventionsverletzung befände ("restitutio in integrum"; <ref-ruling> E. 2.3 und 3 S. 164; <ref-ruling> E. 3b/cc S. 159; Urteile des EGMR Verein gegen Tierfabriken gegen Schweiz vom 30. Juni 2009, § 85 f.; Assanidzé gegen Georgien vom 8. April 2004, Recueil CourEDH 2004-II, S. 55 § 198; Frowein/Peukert, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 6 zu Art. 46 EMRK; Jörg Polakiewicz, The execution of Judgements of the European Court of Human Rights, in: Blackburn/Polakiewicz, Fundamental Rights in Europe - The European Convention and its Member States 1950-2000, 2005, S. 57 ff.). Das Ministerkomitee überwacht den Vollzug der Urteile des Gerichtshofs (Art. 46 Ziff. 2 EMRK; Urteil Verein gegen Tierfabriken, § 61, 84); die konkrete Art und Weise der Wiederherstellung des konventionskonformen Zustands bleibt jedoch grundsätzlich Sache des innerstaatlichen Rechts (Urteil Verein gegen Tierfabriken, § 88; Unzulässigkeitsentscheid Lyons und Andere gegen Vereinigtes Königreich vom 8. Juli 2003, Recueil CourEDH 2003-IX S. 431; Christoph Grabenwarter, Europäische Menschenrechtskonvention, 4. Aufl. 2009, S. 93 f. Nr. 3; Solveig Hass, Die Urteile des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte, 2006, S. 71 f.; Heiko Sauer, Die neue Schlagkraft der gemeineuropäischen Grundrechtsjudikatur, ZaöRV 65 [2005] S. 35 ff., 39 f.; Mark E. Villiger, Das Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte, ZSR 127 [2008] I S. 453 ff., 469). Mit der Möglichkeit der innerstaatlichen Revision bundesgerichtlicher Urteile nach <ref-law> (vor 1. Januar 2007: Art. 139a OG) verfügt die Schweiz über ein autonomes landesrechtliches Instrument zur Umsetzung der völkerrechtlichen Befolgungspflicht gemäss Art. 46 Ziff. 1 EMRK.
3. 3.1 <ref-law> steht in direktem Bezug zu Art. 46 Ziff. 1 EMRK: Diese Bestimmung verpflichtet die Vertragsstaaten, die endgültigen Urteile des Europäischen Gerichtshofs zu befolgen; der betreffende Staat muss eine festgestellte Konventionsverletzung, soweit sie fortdauert, beseitigen und die beschwerdeführende Partei soweit möglich in die Lage versetzen, in der sie sich ohne die Konventionsverletzung befände ("restitutio in integrum"; <ref-ruling> E. 2.3 und 3 S. 164; <ref-ruling> E. 3b/cc S. 159; Urteile des EGMR Verein gegen Tierfabriken gegen Schweiz vom 30. Juni 2009, § 85 f.; Assanidzé gegen Georgien vom 8. April 2004, Recueil CourEDH 2004-II, S. 55 § 198; Frowein/Peukert, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 6 zu Art. 46 EMRK; Jörg Polakiewicz, The execution of Judgements of the European Court of Human Rights, in: Blackburn/Polakiewicz, Fundamental Rights in Europe - The European Convention and its Member States 1950-2000, 2005, S. 57 ff.). Das Ministerkomitee überwacht den Vollzug der Urteile des Gerichtshofs (Art. 46 Ziff. 2 EMRK; Urteil Verein gegen Tierfabriken, § 61, 84); die konkrete Art und Weise der Wiederherstellung des konventionskonformen Zustands bleibt jedoch grundsätzlich Sache des innerstaatlichen Rechts (Urteil Verein gegen Tierfabriken, § 88; Unzulässigkeitsentscheid Lyons und Andere gegen Vereinigtes Königreich vom 8. Juli 2003, Recueil CourEDH 2003-IX S. 431; Christoph Grabenwarter, Europäische Menschenrechtskonvention, 4. Aufl. 2009, S. 93 f. Nr. 3; Solveig Hass, Die Urteile des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte, 2006, S. 71 f.; Heiko Sauer, Die neue Schlagkraft der gemeineuropäischen Grundrechtsjudikatur, ZaöRV 65 [2005] S. 35 ff., 39 f.; Mark E. Villiger, Das Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte, ZSR 127 [2008] I S. 453 ff., 469). Mit der Möglichkeit der innerstaatlichen Revision bundesgerichtlicher Urteile nach <ref-law> (vor 1. Januar 2007: Art. 139a OG) verfügt die Schweiz über ein autonomes landesrechtliches Instrument zur Umsetzung der völkerrechtlichen Befolgungspflicht gemäss Art. 46 Ziff. 1 EMRK.
3.2 3.2.1 Gemäss <ref-law> führt nicht jede Verurteilung der Schweiz durch den EGMR ohne Weiteres zu einer Aufhebung des betreffenden letztinstanzlichen (vgl. Art. 35 Ziff. 1 EMRK), mit seiner Ausfällung rechtskräftig (<ref-law>) gewordenen bundesgerichtlichen Urteils. Nach dem unter E. 2.1 Gesagten tritt diese innerstaatliche Wirkung - auf dem Wege der Revision - nur ein, soweit eine Entschädigung nicht geeignet ist, die Folgen der Verletzung auszugleichen, und die Revision notwendig ist, um die vom EGMR festgestellte Verletzung der EMRK - im Sinne der "restitutio in integrum" (E. 3.1 hievor) - zu beseitigen (Art. 122 lit. b und c BGG; vgl. auch SZS 2007 S. 71, B 57/06 E. 2.1).
3.2.2 Eine Entschädigung im Sinne von <ref-law> ist namentlich die "gerechte Entschädigung" nach Art. 41 EMRK, welche der EGMR zusprechen kann, wenn er eine Konventionsverletzung festgestellt hat und das innerstaatliche Recht nur eine unvollkommene Wiedergutmachung gestattet. Hat der EGMR eine die Folgen der Konventionsverletzung ausgleichende Entschädigung zugesprochen, besteht für die Revision des bundesgerichtlichen Urteils kein Anlass mehr; möglich bleibt diese nur insoweit, als sie geeignet und erforderlich ist, um über die finanzielle Abgeltung hinaus fortbestehende, konkrete nachteilige Auswirkungen der Konventionsverletzung im Rahmen des ursprünglichen Verfahrens zu beseitigen. Stehen materielle Interessen zur Diskussion, bezüglich welcher die Konventionsverletzung zwar mit einer Entschädigung grundsätzlich vollständig gutgemacht werden könnte, hat der EGMR aber eine Entschädigung abgelehnt, weil ein Schaden fehlt, oder hat er sich mangels eines entsprechenden Begehrens über das Vorliegen eines Schadens nicht ausgesprochen, so kommt die Revision durch das Bundesgericht nicht mehr in Frage (vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3 S. 188; <ref-ruling> E. 3a S. 287; Pra 2007 Nr. 49 S. 311, 6S.362/2006 E. 2; Urteil 2A.363/2001 vom 6. November 2001 E. 3a/bb; Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, N. 4682 zu <ref-law>; Elisabeth Escher, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 5 zu <ref-law>; Pierre Ferrari, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 8 zu <ref-law>; Botschaft des Bundesrates zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, BBl 2001 4202 ff., 4353).
3.2.3 "Notwendig" im Sinne von <ref-law> ist die Revision, sofern das Verfahren vor Bundesgericht ohne Konventionsverletzung einen andern Verlauf genommen hätte oder hätte nehmen können (vgl. Escher, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>).
4. Anfechtungsgegenstand im Verfahren vor dem EGMR war das EVG-Urteil K 110/05 vom 5. Dezember 2005. Strittig war dort nicht die Durchführung der Geschlechtsanpassung als solche, sondern einzig der Anspruch der Versicherten auf Übernahme der entsprechenden Operationskosten durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung. Mit dem erwähnten EVG-Urteil wurde - ohne vorgängige öffentliche Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK - der auf Rückweisung der Streitsache an die Krankenkasse lautende Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 21. Juni 2005 aufgehoben und der umstrittene Kostenvergütungsanspruch abschliessend verneint. Übereinstimmend mit der Krankenkasse begründete das EVG die definitive Leistungsverweigerung damit, der operative Eingriff sei vor Ablauf der gemäss - (damals) zuletzt mit RKUV 2004 Nr. KV 301 S. 392 f. K 142/03 E. 2.2 bestätigter - Rechtsprechung des EVG vorausgesetzten zweijährigen Beobachtungszeit vorgenommen worden (Urteil K 110/05 vom 5. Dezember 2005, E. 3.3 und 3.5); letztere soll nach konstanter Praxis mittels Alltagstests, medizinischer Untersuchungen und Massnahmen (insbesondere psychiatrisch-psychotherapeutischer und endokrinologischer Art) zuverlässig Gewissheit darüber verschaffen, dass ein schwerer Fall von echtem - d.h. gemäss <ref-law> krankheitswertigem - Transsexualismus vorliegt, der mit Psychotherapie und Hormontherapie allein nicht angegangen werden kann und somit den chirurgischen Eingriff - im Sinne der Leistungsvoraussetzungen der Wirksamkeit und Zweckmässigkeit (<ref-law>) - tatsächlich erfordert (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 167). Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hatte in seinem vom EVG aufgehobenen Entscheid vom 21. Juni 2005 argumentiert, die zweijährige Beobachtungszeit dürfe nicht als conditio sine qua non für die Diagnose des echten Transsexualismus und die Bejahung der Operationsnotwendigkeit verstanden werden. Im erwähnten Urteil K 110/05 hielt das EVG dagegen, es bestehe auch unter Berücksichtigung des aktuellen Standes der Medizin kein Anlass, vom generellen Erfordernis der zweijährigen Beobachtungszeit abzurücken; dieses trage der Schwere und Irreversibilität einer Geschlechtsanpassung angemessen Rechnung und biete überdies Gewähr für die notwendige Rechtssicherheit im Spannungsfeld zwischen dem Leidensdruck der Betroffenen einerseits und dem zwingenden Gebot, ungerechtfertigte derartige Operationen zu vermeiden, andererseits (Urteil K 110/05 vom 5. Dezember 2005, E. 3.4).
5. Nach den Feststellungen des EGMR im Urteil Schlumpf gegen Schweiz vom 8. Januar 2009 hat die Schweiz mit dem EVG-Urteil vom 5. Dezember 2005 sowohl Art. 6 Ziff. 1 EMRK (Recht auf ein faires Verfahren) als auch Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privatlebens) verletzt:
5.1 Eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK liegt gemäss EGMR im Umstand, dass im EVG-Verfahren trotz des ausdrücklichen Antrags der Versicherten keine öffentliche Verhandlung durchgeführt worden war. Die Antragstellerin habe im Verfahren vor dem kantonalen Gericht wohl auf eine öffentliche Verhandlung verzichtet, dabei jedoch klar zum Ausdruck gebracht, dass dieser Verzicht nur für den Fall der Rückweisung der Streitsache an die Krankenkasse zwecks weiterer Abklärung und jedenfalls nicht für ein eventuelles Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht gelte. Des Weitern sei die für die umstrittene Kostenübernahme der Krankenkasse entscheidende Frage der Notwendigkeit einer Geschlechtsumwandlung nicht rein rechtlicher oder technischer Natur (was den ausnahmsweisen Verzicht auf eine öffentliche Verhandlung rechtfertigte; vgl. Urteil Schuler-Zgraggen gegen Schweiz vom 24. Juni 1993, § 58; Döry gegen Schweden vom 12. November 2002, §§ 37 ff.; Urteil Miller gegen Schweden vom 8. Februar 2005, § 29 und §§ 31 ff.; Urteil des Bundesgerichts 1C_457/2009 vom 23. Juni 2010 E. 3.2); dies gelte umso mehr, als die Parteien sich hinsichtlich der Zweckmässigkeit der zweijährigen Wartefrist (E. 4 hievor) uneins gewesen seien. Unter diesen Umständen verletze die Ablehnung des Antrags der Versicherten das durch Art. 6 Ziff. 1 EMRK gewährleistete Recht, vor mindestens einer Instanz öffentlich angehört zu werden (Urteil Schlumpf gegen Schweiz vom 8. Januar 2009, §§ 67-69).
5.2 Des Weitern erblickte der EGMR in der Ablehnung des Beweisantrags der Versicherten auf Anhörung der von ihr genannten Zeugen und medizinischen Experten eine Verletzung des aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK fliessenden Anspruchs auf rechtliches Gehör. Der Entscheid über die Notwendigkeit einer Geschlechtsumwandlungsoperation sei, wie im Urteil Van Kück gegen Deutschland vom 12. Juni 2003 (Recueil CourEDH 2003-VII S. 37 § 54 f.) dargelegt, auf der Basis medizinischer Spezialkenntnisse und Expertisen zu treffen; dementsprechend hätte der Versicherten die Erbringung des Beweises ermöglicht werden müssen, dass die Geschlechtsumwandlungsoperation in ihrem Fall vor Ablauf der rechtsprechungsgemäss verlangten zweijährigen Beobachtungszeit (E. 4 hievor) medizinisch indiziert gewesen war. Ihr diesen Nachweis unter Verweis auf eine abstrakte, im Gesetz selbst nicht genannte Regel zu verwehren, sei unverhältnismässig; dies gelte umso mehr, als die Zweijahresfrist gemäss EVG-Rechtsprechung im Wesentlichen zum Ziel habe, Gewissheit über das Vorliegen eines "echten Transsexualismus" zu gewinnen, die entsprechende Diagnose im konkreten Fall jedoch gesichert gewesen sei (Urteil Schlumpf gegen Schweiz, §§ 53-57).
5.3 Schliesslich stellte der Gerichtshof (mit 5 zu 2 Stimmen) eine Verletzung von Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privatlebens) fest: Diese Bestimmung schütze gemäss EGMR-Rechtsprechung u.a. das Recht auf geschlechtliche Identität und sexuelle Selbstbestimmung; sie garantiere namentlich auch die persönliche Entfaltung sowie die psychische und geistige Integrität der Transsexuellen (Urteil Schlumpf gegen Schweiz, §§ 77, 100 f. mit Hinweisen auf die EGMR-Rechtsprechung). Mit Bezug auf den konkreten Fall anerkannte der Gerichtshof, dass der Beschwerdeführerin weder die Geschlechtsumwandlungsoperation als solche noch die juristische Anerkennung ihres neuen Geschlechts verwehrt worden war, Art. 8 EMRK mithin insoweit nicht tangiert ist. Er stellte ebenfalls ausdrücklich klar, dass sich aus dem Recht auf Privatleben - und aus allen übrigen Konventionsgarantien - kein Anspruch auf Rückerstattung der Kosten einer Geschlechtsumwandlung ergibt (Urteil Schlumpf gegen Schweiz, §§ 77). Unter dem Blickwinkel von Art. 8 EMRK sei im zu beurteilenden Fall zentrale Frage einzig
"... celle de l'application faite par le Tribunal fédéral des assurances des conditions de prise en charge des frais médicaux lorsqu'il a eu à se prononcer sur la demande de la requérante de se faire reconnaître un droit au remboursement pour les frais liés à une opération de conversion sexuelle" (a.a.O., § 108; Hervorhebung nicht im Original).
In dieser Hinsicht führte der EGMR aus, Fragen betreffend Bestimmung des eigenen Geschlechts berührten einen der intimsten Aspekte des Privatlebens. Der Staat habe sie daher - im Sinne einer positiven Verpflichtung - unter Abwägung der Interessen der Allgemeinheit und jener des betroffenen Individuums zu beurteilen und diesbezüglich einen gerechten Ausgleich ("juste équilibre") herbeizuführen; dabei stehe ihm ein gewisser Ermessensspielraum zu (Urteil Schlumpf gegen Schweiz, § 103 f.). Im Falle der Beschwerdeführerin sei die umstrittene Übernahme der Operationskosten durch die Krankenkasse ohne solche Abwägung, namentlich ohne Berücksichtigung der spezifischen Umstände des Einzelfalls, sondern einzig wegen Nichteinhaltung der zweijährigen Beobachtungsfrist verweigert worden. Diese zu rigide Anwendung (a.a.O., § 111) eines Kriteriums, das - so der EGMR - ohne Grundlage im Gesetz durch die EVG-Rechtsprechung etabliert worden sei (a.a.O., § 109), verletze Art. 8 EMRK (a.a.O., §§ 105-116). Zusammenfassend stellte der Gerichtshof fest:
"115. Le respect de la vie privée de la requérante aurait exigé la prise en compte des réalités médicale, biologique et psychologique, exprimées sans équivoque par l'avis des experts médicaux, pour éviter une application mécanique du délai de deux ans. La Cour en conclut que, eu égard à la situation très particulière dans laquelle se trouvait la requérante - âgée de plus de 67 ans au moment de sa demande de prise en charge des frais liés à l'opération -, et compte tenu de la marge d'appréciation étroite dont l'Etat défendeur bénéficiait s'agissant d'une question touchant à l'un des aspects les plus intimes de la vie privée, un juste équilibre n'a pas été ménagé entre les intérêts de la compagnie d'assurance, d'une part, et les intérêts de la requérante, d'autre part" (a.a.O.; Hervorhebungen nicht im Original).
5.4 Die in der Beschwerde ebenfalls geltend gemachte Verletzung von Art. 14 EMRK prüfte der EGMR nicht gesondert. Er begründete dies damit, dass die Rüge in der Substanz mit derjenigen betreffend Art. 6 und 8 EMRK zusammenfalle (Urteil Schlumpf gegen Schweiz, §§ 117 f.).
5.5 Unter dem Titel der "gerechten Entschädigung" gemäss Art. 41 EMRK (E. 3.2 hievor) stellte der EGMR fest, die Beschwerdeführerin habe keinen materiellen Schaden geltend gemacht, sondern die Zusprechung von Fr. 43'000.- (im Urteilszeitpunkt: rund 28'841 Euro) unter dem Titel des immateriellen Schadens (dommage moral) verlangt. Der Gerichtshof prüfte daher das Vorliegen eines materiellen Schadens nicht näher. Er erachtete es jedoch als indiskutabel, dass die Versicherte durch den Verfahrensmangel und die Beeinträchtigung des Privatlebens jedenfalls einen immateriellen Schaden erlitten hat; hierfür stehe ihr unter Würdigung der Umstände eine Entschädigung von 15'000 Euro zu. Zusätzlich verpflichtete der EGMR die Schweiz, der Gesuchstellerin 8'000 Euro Kosten- und Auslagenersatz zu leisten (Urteil Schlumpf gegen Schweiz, § 120 ff.).
5.6 Nachfolgend ist im Lichte der unter E. 3 dargelegten Grundsätze zu prüfen, ob das EVG-Urteil vom 5. Dezember 2005 aufgrund der im EGMR-Urteil vom 8. Januar 2009 festgestellten Konventionsverletzungen zu revidieren ist (<ref-law>).
6. Hinsichtlich der vom EGMR festgestellten Verletzung des Anspruchs auf öffentliche Verhandlung gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK vertritt die Gesuchstellerin den Standpunkt, mit der vom EGMR für moralische Unbill zugesprochenen Entschädigung in der Höhe von 15'000 Euro (E. 5.5 hievor) sei der konventionskonforme Zustand nicht vollumfänglich wiederhergestellt. Ob es sich tatsächlich so verhält, bedarf keiner abschliessenden Prüfung. Mit der im Rahmen des bundesgerichtlichen Revisionsverfahrens am heutigen Datum durchgeführten Parteiverhandlung vor dem Bundesgericht ist die Gesuchstellerin - ihrem Antrag im Revisionsgesuch entsprechend - in ihrer Sache öffentlich angehört worden. Sie hat sich zur Zulässigkeit und materiellrechtlichen Begründetheit des Revisionsgesuchs äussern und namentlich auch die rechtlichen und medizinischen Gründe mündlich vorbringen können, die ihres Erachtens für die ursprünglich und aktuell in Frage stehende Kostenübernahmepflicht der Krankenkasse sprechen. Die Gesuchstellerin macht in ihrem Revisionsgesuch nicht geltend, die festgestellte Konventionsverletzung bedürfe noch weiterer Korrekturen. In diesem Punkt ist daher - was der Rechtsvertreter der Gesuchstellerin anlässlich der öffentlichen Anhörung anerkannt hat - der mit dem EVG-Urteil vom 5. Dezember 2005 geschaffene konventionswidrige Zustand beseitigt, sodass insoweit kein Grund für eine weitergehende Revision besteht (E. 3.1 hievor; vgl. etwa auch Urteil 2A.318/2006 vom 25. April 2007, E. 2.3).
7. 7.1 Ob die im EGMR-Urteil weiter festgestellten Verletzungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK und des Anspruchs auf Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK (E. 5.2 und 5.3 hievor) einen - zusätzlich zur entschädigten moralischen Unbill - auszugleichenden materiellen Schaden der Versicherten bewirkt haben, hat der EGMR nicht geprüft. Er begründete dies damit, ein materieller Schaden sei im Verfahren vor dem EGMR nicht geltend gemacht worden (E. 5.5 hievor). Wäre dem so, fiele die beantragte, auf Übernahme der Operationskosten zielende und damit ausschliesslich vermögensrechtlich motivierte innerstaatliche Revision nach <ref-law> ausser Betracht (E. 3.2 hievor). Die Feststellung des EGMR, im Verfahren vor dem EGMR sei kein materieller Schaden behauptet worden, ist indessen aktenwidrig. In ihrer Beschwerde an den EGMR (S. 11 Ziff. V.19) hatte die Gesuchstellerin ausdrücklich die Zusprechung einer Entschädigung für materiellen Schaden in der Höhe von Fr. 42'730.- verlangt, resultierend daraus, dass sie die Operationskosten in dieser Höhe mangels Übernahme durch den Krankenversicherer selber habe bezahlen müssen; (nur) eventualiter für den Fall, dass gemäss EGMR nicht mit Bestimmtheit gesagt werden könne, die Verfahren betreffend Kostenübernahme wären ohne Konventionsverletzung zu ihren Gunsten entschieden worden, beantragte sie als Ausgleich für die von ihr erlittenen immateriellen Schäden eine Entschädigung in der Höhe von Fr. 43'000.-. Dass der EGMR die ausdrücklich geltend gemachte Vermögensschädigung nicht geprüft hat, darf der Versicherten - auch mit Blick darauf, dass das Zusammenspiel des nationalen und internationalen Rechts insgesamt zu einer sinnvollen und zweckmässigen Wiederherstellung eines konventionskonformen Zustands führen und damit den effektiven Schutz der in der Konvention verankerten Garantien gewährleisten soll (Urteile 2A.318/ 2006 vom 25. April 2007, E. 2.1; 2A.93/2001 vom 31. Oktober 2001, E. 2b/aa; Pra 2001 Nr. 92 S. 531, 2A.232/2000 E. 2b/aa) - nicht zum Nachteil gereichen. Die Revision des EVG-Urteils kann ihr mithin nicht mit der formalen Begründung verweigert werden, ein materieller Schaden sei im EMRK-Verfahren nicht behauptet worden; letztere offensichtlich aktenwidrige Sachverhaltsfeststellung des EGMR bindet das Bundesgericht nicht.
7.2 Die Gesuchstellerin ist durch die definitive Leistungsverweigerung im EVG-Urteil vom 5. Dezember 2005 in ihren materiellen Interessen insoweit tangiert, als sie die Kosten der am 30. November 2004 durchgeführten Geschlechtsanspassung definitiv nicht von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung vergütet erhielt. Dieser vermögensrechtliche Nachteil wird durch die vom EGMR allein für immateriellen Schaden (moralische Unbill) zugesprochene Entschädigung nicht ausgeglichen. Im Hinblick auf die Wiederherstellung des konventionskonformen Zustands ist indessen zu beachten, dass Gegenstand der erwähnten Konventionsverletzungen (E. 7.1) nicht die Leistungsverweigerung gemäss EVG-Urteil vom 5. Dezember 2005 als solche ist; sie betreffen mithin nicht den Verfahrensausgang selbst. Ebensowenig hat der EGMR die Voraussetzung einer zweijährigen Beobachtungszeit für die Kassenpflichtigkeit von Geschlechtsumwandlungsoperationen per se als konventionswidrig erachtet (Urteil Schlumpf gegen Schweiz, § 113). Die Konventionsverletzungen liegen nach den Feststellungen des EGMR einzig in der Beweiserhebung und -würdigung, d.h. in der Art und Weise, wie es zum definitiv leistungsverweigernden EVG-Urteil gekommen ist (E. 5.2 und 5.3 hievor). Allein darauf erstreckt sich die völkerrechtliche Vollzugspflicht nach Art. 46 EMRK und ein allfälliger Revisionsbedarf resp. Wiedergutmachungsanspruch nach <ref-law> (vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3c/bb S. 159).
7.2 Die Gesuchstellerin ist durch die definitive Leistungsverweigerung im EVG-Urteil vom 5. Dezember 2005 in ihren materiellen Interessen insoweit tangiert, als sie die Kosten der am 30. November 2004 durchgeführten Geschlechtsanspassung definitiv nicht von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung vergütet erhielt. Dieser vermögensrechtliche Nachteil wird durch die vom EGMR allein für immateriellen Schaden (moralische Unbill) zugesprochene Entschädigung nicht ausgeglichen. Im Hinblick auf die Wiederherstellung des konventionskonformen Zustands ist indessen zu beachten, dass Gegenstand der erwähnten Konventionsverletzungen (E. 7.1) nicht die Leistungsverweigerung gemäss EVG-Urteil vom 5. Dezember 2005 als solche ist; sie betreffen mithin nicht den Verfahrensausgang selbst. Ebensowenig hat der EGMR die Voraussetzung einer zweijährigen Beobachtungszeit für die Kassenpflichtigkeit von Geschlechtsumwandlungsoperationen per se als konventionswidrig erachtet (Urteil Schlumpf gegen Schweiz, § 113). Die Konventionsverletzungen liegen nach den Feststellungen des EGMR einzig in der Beweiserhebung und -würdigung, d.h. in der Art und Weise, wie es zum definitiv leistungsverweigernden EVG-Urteil gekommen ist (E. 5.2 und 5.3 hievor). Allein darauf erstreckt sich die völkerrechtliche Vollzugspflicht nach Art. 46 EMRK und ein allfälliger Revisionsbedarf resp. Wiedergutmachungsanspruch nach <ref-law> (vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3c/bb S. 159).
7.3 7.3.1 Die Revision des EVG-Urteils ist nur angezeigt, sofern das ursprüngliche Verfahren ohne die im EGMR-Urteil festgestellten Konventionsverletzungen einen andern Verlauf hätte nehmen können (E. 3.2.3 hievor) resp. die Gesuchstellerin durch die Konventionswidrigkeit einer realen Chance (vgl. auch Frowein/Peukert, EMRK-Kommentar, N. 9 zu Art. 41 EMRK) auf einen für sie positiven Leistungsentscheid (Bejahung der Kostenübernahmepflicht der Krankenkasse) beraubt wurde; nur diesfalls kann von fortbestehenden nachteiligen Auswirkungen der Konventionsverletzung die Rede sein, die gemäss <ref-law> durch Wiederaufnahme des ursprünglichen Verfahrens beseitigt werden müssen.
7.3.2 Der EGMR hat in § 122 seines Urteils die Frage nach dem Ausgang des EVG-Verfahrens ohne Konventionsverletzung offengelassen. Er hat aber, wie ausgeführt, für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, das EVG hätte der Versicherten nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK den Nachweis ermöglichen müssen, dass die Geschlechtsanpassung vor Ablauf der von der Rechtsprechung verlangten zweijährigen Beobachtungsphase medizinisch notwendig war, und das EVG habe die Zweijahres-Regel in einer Art. 8 EMRK zuwiderlaufenden mechanischen Weise angewandt resp. es konventionswidrig unterlassen, im Hinblick auf eine mögliche Ausnahme von der Regel eine Einzelfallprüfung vorzunehmen (E. 5.2 und 5.3 hievor). Damit unterstellt der EGMR zwingend, dass das EVG-Verfahren bei konventionskonformem Vorgehen zu Gunsten der Versicherten hätte ausfallen können. Dies hat das Bundesgericht so entgegenzunehmen (Art. 46 EMRK; vgl. E. 7.3.4 hernach), wirft aber - wie nachfolgend verdeutlicht - grundsätzliche Fragen nach der Grenzziehung zwischen der Rechtsprechungszuständigkeit des EGMR und der schweizerischen Gerichtsbarkeit im Bereich sozialversicherungsrechtlicher Leistungsansprüche auf.
7.3.3
7.3.3.1 Der EGMR ist gemäss seiner eigenen, konstanten Rechtsprechung nicht zuständig für die richtige Auslegung und Anwendung des nationalen Rechts; es steht ihm namentlich nicht zu, eine (willkürfreie) innerstaatliche Interpretation des Landesrechts durch seine eigene zu ersetzen (so ausdrücklich Urteil Schlumpf gegen Schweiz, § 111 und § 51 mit zahlreichen Hinweisen auf die Rechtsprechung). Der EGMR hat nur, aber immerhin, zu überprüfen, ob das nationale Recht, so wie es von den letztinstanzlichen innerstaatlichen Behörden (Art. 35 Abs. 1 EMRK) ausgelegt und angewendet wird, die in der Konvention festgelegten Rechte verletzt (Art. 32 und 34 EMRK).
7.3.3.2 Es steht ausser Frage, dass Art. 8 EMRK den Anspruch Transsexueller auf sexuelle Identität und Selbstbestimmung über den eigenen Körper, einschliesslich das Recht auf Geschlechtsumwandlung und deren juristische Anerkennung schützt (Urteile Christine Goodwin gegen Vereinigtes Königreich vom 11. Juli 2002, Recueil CourEDH 2002-VI S. 45 §§ 71 ff.; Grant gegen Vereinigtes Königreich vom 23. Mai 2006, Recueil CourEDH 2006-VII S. 19 § 39 ff.; L. gegen Litauen vom 11. September 2007, § 56 ff.; Van Kück gegen Deutschland vom 12. Juni 2003, § 69 ff.; Frowein/Peukert, EMRK-Kommentar, N. 13 f. zu Art. 8 EMRK; Grabenwarter, a.a.O., S. 200 Nr. 8; Stephan Breitenmoser, Die neuere Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte zu Art. 8 EMRK, in: Daniel Thürer (Hrsg.), EMRK: neuere Entwicklungen, Zürich 2005, S. 125 ff.). Der im EVG-Verfahren einzig umstrittene sozialversicherungsrechtliche Kostenvergütungsanspruch aus obligatorischer Krankenpflegeversicherung ergibt sich hingegen - auch nach Auffassung des EGMR (vgl. E. 5.3 hievor ) - nicht aus Art. 8 EMRK und auch nicht aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK; letztere Verfahrensnorm hat insbesondere nicht die Ausgestaltung der konkreten materiellrechtlichen Voraussetzungen sozialversicherungsrechtlicher Leistungsansprüche zum Gegenstand. Das EVG hatte daher die damalige Rechtsstreitigkeit materiellrechtlich allein aufgrund der einschlägigen innerstaatlichen Vorschriften des Art. 25 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> zu beurteilen, wonach die obligatorische Krankenpflegeversicherung die Kosten für Leistungen bei Krankheit zu übernehmen hat, sofern die Massnahmen wirksam, zweckmässig und wirtschaftlich sind (vgl. auch Urteil Schlumpf gegen Schweiz, § 55). Ebendiese Gesetzesbestimmungen hat das EVG in seinem Urteil vom 5. Dezember 2005 angewandt, als es die umstrittene Kostenübernahme unter Verweis auf die Nichterfüllung der zweijährigen Beobachtungsphase gemäss der (bereits mit <ref-ruling> E. 4a S. 159 begründeten) EVG-Rechtsprechung verweigerte. Letztere "Zweijahres-Regel" stellt keineswegs eine aussergesetzliche Ergänzung (so aber unzutreffend das EGMR-Urteil; E. 5.2 hievor), sondern vielmehr eine im Bereich sozialversicherungsrechtlicher Leistungsansprüche typische, bis zu einem gewissen Grade unumgängliche konkretisierende Ausgestaltung der in Art. 25 und <ref-law> relativ offen formulierten gesetzlichen Leistungsvoraussetzungen dar. Gemäss Grundsatzurteil <ref-ruling> ist das Erfordernis der mindestens zweijährigen Beobachtungszeit Ergebnis einer - gestützt auf eingehende medizinische Darlegungen zahlreicher Spezialärzte im Bereich der Psychiatrie, der Endokrinologie sowie der Plastischen und Wiederherstellungs-Chirurgie vorgenommenen - gerichtlichen Abwägung zwischen dem persönlichkeitsnahen und vitalen Interesse der Transsexuellen an sexueller Identität und Selbstbestimmung einerseits und den Interessen der Einzelnen wie der gesamten Versichertengemeinschaft andererseits daran, dass insbesondere die gesetzlichen Kriterien der Wirksamkeit und Zweckmässigkeit (<ref-law>) bei einem derart folgenschweren und auch erheblich kostenrelevanten Eingriff wie der Geschlechtsanpassung sehr sorgfältig geprüft und ungerechtfertigte Operationen auf Kosten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung vermieden werden (vgl. auch E. 4 hievor in fine). Das Erfüllen der zweijährigen Beobachtungsphase als Voraussetzung nicht einer Geschlechtsumwandlungsoperation als solcher, aber des krankenversicherungsrechtlichen Kostenvergütungsanspruchs - erachtet die im Urteil K 110/05 zitierte Rechtsprechung ungeachtet der konkreten persönlichen Umstände als eine verhältnismässige, insbesondere auch als für die je betroffenen Personen zumutbare Konkretisierung der gesetzlichen Leistungsvoraussetzungen. Ihre Einhaltung generell-abstrakt für alle Transsexuellen zu fordern, stellt - so die zu Grunde liegende Überzeugung - einen sozialstaatlich angemessenen Interessenausgleich (vgl. Urteil Schlumpf gegen Schweiz, § 104: "mise en balance des intérêts concurrents") unter gleichzeitiger Wahrung der auch im Sozialversicherungsrecht zentralen Gebote der Rechtsgleichheit und Rechtssicherheit dar. Es verhält sich mit diesem Leistungserfordernis insoweit nicht anders als in zahlreichen andern Fällen des Sozialversicherungsrechts, in welchem für Betroffene gleichermassen geltende versicherungsrechtliche Leistungsvoraussetzungen die private Lebensführung - etwa den konkreten Zeitpunkt einer medizinischen Massnahme oder die Wahl eines bestimmten Leistungserbringers - beeinflussen können.
7.3.3.3 Nach dem vorstehend Gesagten konnte und musste sich das EVG im Urteil vom 5. Dezember 2005 mit den von der Versicherten angebotenen Beweisen und geltend gemachten Umständen nicht befassen, da ihnen im Lichte der konkretisierenden innerstaatlichen Auslegung des Art. 25 in Verbindung mit <ref-law> die Rechtserheblichkeit abzusprechen war, sie mithin auch nicht dem Recht, zum Beweis zugelassen zu werden (<ref-law>), unterstanden (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157 mit Hinweisen; Urteil 4A_479/2009 vom 23. Dezember 2009, E. 3.1; ferner - mit Bezug auf <ref-law> - <ref-ruling> E. 2.6 S. 24, mit Hinweisen). Indem der EGMR im Urteil vom 8. Januar 2009 gestützt auf Art. 6 Ziff. 1 und Art. 8 EMRK eine an den spezifischen Umständen des Einzelfalls orientierte Betrachtungsweise verlangt, die allenfalls eine Ausnahme von der "Zweijahres-Regel" zu begründen vermöchte, hat er in concreto über eine (juristische) Frage der Rechtserheblichkeit entschieden, deren Beantwortung im versicherungsrechtlichen Kontext von den massgebenden innerstaatlichen Rechtsnormen abhängt. Im Ergebnis hat er damit - auch als Konsequenz einer fliessenden Grenzziehung zwischen Verfahrensansprüchen nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK einerseits und positiven Verpflichtungen aus Art. 8 EMRK andererseits (vgl. dazu Gerold Steinmann, Der Schweizer Praktiker vis-à-vis von EMRK und EGMR, in: Breitenmoser/Ehrenzeller [Hrsg.], EMRK und die Schweiz, St. Gallen 2010, S. 252 ff.) - materiellrechtlich Einfluss genommen auf die landesrechtliche Ausgestaltung einer obligatorischen Sozialversicherungsleistung, auf welche die EMRK selbst keinen Anspruch gibt. Man könnte sich fragen, ob der EGMR damit nicht seine ihm in den Art. 19 und 34 EMRK übertragenen Zuständigkeiten überschritten hat.
7.3.4 Das Bundesgericht hat die im EGMR-Urteil vom 8. Januar 2009 festgestellten Konventionsverletzungen nach Massgabe von Art. 46 EMRK und <ref-law> auch dann zu beseitigen, wenn es von der Richtigkeit der Herleitung und Begründung durch den EGMR nicht überzeugt ist. Die im EGMR-Urteil geforderte Einzelfallprüfung hat bis heute nicht stattgefunden; die Gesuchstellerin bleibt weiterhin - gemäss EGMR zu Unrecht - kategorisch vom umstrittenen Kostenvergütungsanspruch ausgeschlossen. Abgesehen vom Anspruch auf öffentliche Verhandlung (E. 6 hievor) dauern die festgestellten Konventionsverletzungen somit an. Sie sind erst beseitigt, wenn aufgrund konkreter medizinischer Stellungnahmen abschliessend geklärt worden ist, ob im Falle der Versicherten die Geschlechtsumwandlungsoperation - unter Berücksichtigung der besonderen, vom EGMR erwähnten Gegebenheiten (wie persönliche und familiäre Vorgeschichte, Alter von 67 Jahren im Operationszeitpunkt, ...) - vor Ablauf der zweijährigen Beobachtungs- und Behandlungsphase gerechtfertigt war, mit andern Worten bereits im Operationszeitpunkt (November 2004) ein nur noch mittels operativem Eingriff wirksam und zweckmässig behandelbarer Transsexualismus feststand. Die Revision ist daher im Sinne von <ref-law> notwendig, um den konventionskonformen Zustand wiederherzustellen. Das Revisionsgesuch ist demnach gutzuheissen und das EVG-Urteil vom 5. Dezember 2005 aufzuheben. Damit wird das ursprüngliche Verfahren wieder aufgenommen und die Gesuchstellerin in den Zustand ex tunc ohne die vom EGMR festgestellten Konventionsverletzungen versetzt; die vor dem EVG hängig gewesene Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist - nach damaliger Sach- und Rechtslage unter Beachtung der Vorgaben gemäss im EGMR-Urteil vom 8. Januar 2009 - zu beurteilen, wie wenn das Urteil K 110/05 nicht existiert hätte (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 164; Urteil 2F_11/2008 vom 6. Juli 2009, E. 4.1 mit Hinweis).
8. 8.1 Für den hier eingetretenen Fall der Gutheissung des Revisionsgesuchs beantragt die Gesuchstellerin in der Hauptsache die bundesgerichtliche Feststellung, "dass die Voraussetzungen für die Übernahme der Kosten der Geschlechtsangleichungsoperation der Antragstellerin durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung erfüllt sind" (Revisionsgesuch, S. 2; Antrag Ziff. 2); der Nachweis hierfür sei durch die vorhandenen medizinischen Akten und den im Revisionsgesuch dokumentierten Stand der medizinischen Wissenschaft hinreichend erbracht.
8.2 Dem im Grunde nicht auf ein letztinstanzliches Feststellungs-, sondern auf ein direktes Leistungsurteil zielenden Antrag der Gesuchstellerin ist nicht stattzugeben: Beschwerdeführende Partei im EVG-Ausgangsverfahren war die Krankenkasse SWICA, welche die Aufhebung des Rückweisungsentscheids vom 21. Juni 2005 (E. 4 hievor) und Bestätigung ihres leistungsverweigernden Einspracheentscheids vom 16. Februar 2005 beantragt hatte. Die heutige Gesuchstellerin hatte darauf verzichtet, ihrerseits Beschwerde zu führen. Da das für das Ausgangsverfahren massgebende Bundesrechtspflegegesetz (OG) - wie heute das Beschwerdeverfahren nach <ref-law> (SVR 2009 FZ Nr. 5 S. 17, 8C_156/ 2009 E. 4 mit Hinweis; Urteile 8C_531/2008 vom 8. April 2009 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; 8C_231/2008 vom 3. April 2009 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen) - die Anschlussbeschwerde nicht vorsah (<ref-ruling> E. 2 S. 328, mit Hinweis), beschränkte sich ihr vernehmlassungsweise gestellter Antrag - mit Blick auf den durch die Verwaltungsgerichtsbeschwerde bestimmten Streitgegenstand zutreffend (<ref-ruling> E. 2a S. 244, mit Hinweisen) - auf die Bestätigung des angefochtenen kantonalen Entscheids und die Abweisung der dagegen gerichteten Beschwerde der SWICA. Wie nachfolgend gezeigt, besteht im Lichte des nunmehr ergangenen EGMR-Urteils kein Anlass, über die damaligen Anträge der Parteien im Sinne der im Revisionsgesuch verlangten (unter Herrschaft des OG [anders als heute] grundsätzlich zulässigen; Art. 132 lit. c OG; RKUV 2004 Nr. U 520 S. 442, U 202/03 E. 3.2) reformatio in peius zu Lasten der Krankenkasse hinauszugehen; eine erneute Konventionsverletzung im Ausgangsverfahren kann anderweitig abgewendet werden.
8.3 In seinem Entscheid vom 21. Juni 2005 hat das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Sache an die SWICA Krankenversicherung AG zurückgewiesen. Es ordnete ergänzende medizinische Abklärungen an zur seines Erachtens nicht rechtsgenüglich geklärten Frage, ob im Zeitpunkt der Geschlechtsumwandlungsoperation im November 2004 ein Transsexualismus vorgelegen habe, der mit Psychotherapie und Hormontherapie nicht angegangen werden könne. Die SWICA habe abzuklären, ob der chirurgische Eingriff die einzige Möglichkeit zur namhaften Verbesserung des psychischen Gesundheitszustandes gewesen war. Dazu sei entweder bei einem unabhängigen Sachverständigen aus dem Fachbereich des Transsexualismus ein Gutachten anzuordnen, oder es seien von den behandelnden Ärzten ergänzende Berichte einzuverlangen, welche sich zu den vom Gericht im Einzelnen formulierten Fragen zu äussern hätten. Mit seinem Rückweisungsentscheid hat das kantonale Versicherungsgericht genau das getan, was der EGMR von den schweizerischen Gerichtsinstanzen verlangt: Keine "application mécanique" (Urteil Schlumpf gegen Schweiz, § 115) der für die Anerkennung des Pflichtleistungscharakters grundsätzlich geforderten zweijährigen Wartezeit, sondern vielmehr - unter Wahrung der gesetzlichen Verfahrensrechte der Versicherten (insb. <ref-law>) - Abklärung der medizinischen Gegebenheiten im Einzelfall, die allenfalls eine vorzeitige Vornahme der Operation und Vergütung der Operationskosten durch die Gesuchsgegnerin verlangten. Die von der beschwerdeführenden SWICA gegen die geforderte Einzelfallprüfung vorgebrachten prinzipiellen Einwände müssen mit Blick auf das EGMR-Urteil vom 8. Januar 2009 als unbegründet zurückgewiesen werden (E. 7.3.4). Was die einzelfallbezogene Beweiswürdigung des kantonalen Gerichts, insbesondere die von ihm bejahte Notwendigkeit weiterer Abklärungen betrifft, ist darin keine Verletzung bundesrechtlicher Beweisgrundsätze (<ref-law>; <ref-law>) zu erkennen; dass zusätzliche Beweisvorkehren zufolge Zeitablaufs keine neuen, rechtserheblichen Erkenntnisse zum psychischen Gesundheitszustand der Versicherten vor der Operation mehr zutage fördern vermöchten, kann entgegen dem Einwand der SWICA nicht gesagt werden. Die Beschwerde des Krankenversicherers ist daher vollumfänglich abzuweisen und der im Ausgangsverfahren angefochtene Entscheid zu bestätigen. Damit ist den Vorgaben des EGMR-Urteils vom 8. Januar 2009 Genüge getan und wird die Gesuchstellerin so gestellt, wie sie es im Anschluss an den ihre Beschwerde gutheissenden - und von ihr akzeptierten - kantonalen Entscheid des aargauischen Versicherungsgerichts war und wie es ihrem im Revisionsgesuch ausdrücklich gestellten Eventualantrag entspricht.
9. 9.1 Mit der Bestätigung des kantonalen Rückweisungsentscheids vom 21. Juni 2005 hat die Verwaltung gemäss Dispositiv-Ziff. 1 des Erkenntnisses "im Sinne der Erwägungen zu verfahren". Der Verweis auf die Erwägungen bezieht sich auf die in E. 3b/ee und E. 3c des Entscheids angeordneten Beweisvorkehren (vgl. E. 8.3 hievor) und die gestützt auf das Beweisergebnis erneut zu treffende Entscheidung in der Sache. Soweit das kantonale Gericht in E. 2 seines Entscheids allgemein festhält, das Erfordernis der zweijährigen Beobachtungsphase vor einer Geschlechtsumwandlungsoperation sei nicht "conditio sine qua non" für die obligatorische Leistungspflicht der Krankenkasse" (E. 2d/dd), gilt dies verbindlich für den konkret zu beurteilenden Fall, andernfalls ein unüberbrückbarer Widerspruch zwischen Entscheid-Dispositiv und Begründung des Urteils bestünde.
9.2 Aus der bundesgerichtlichen Bestätigung des kantonalen Entscheids folgt indessen nicht ohne Weiteres eine Abkehr von der in <ref-ruling> (vgl. <ref-ruling>) begründeten Rechtsprechung dahingehend, dass in Fällen der operativen Behandlung des Transsexualismus die "Zweijahres-Regel" unter dem Blickwinkel von Art. 25 in Verbindung mit <ref-law> künftig hinfällig wäre. Dazu verpflichtet namentlich das EGMR-Urteil vom 8. Januar 2009 nicht (E. 7.2 hievor). Wohl hat der Gerichtshof in § 113 seines Urteils seine Überzeugung zum Ausdruck gebracht, dass die Medizin seit dem im Jahre 1988 ergangenen <ref-ruling> Fortschritte in der Feststellung der "Echtheit" ("veracité") des Transsexualismus einer Person gemacht hat, welchen das EVG-Urteil nicht Rechnung getragen habe. Er hat aber zugleich auch klargestellt, dass mit der zweijährigen Wartefrist ein sowohl aus Sicht der betroffenen Personen wie auch der Versicherungen legitimes Ziel - die Verhinderung übereilter irreversibler Geschlechtsumwandlungen - verfolgt wird (Urteil Schlumpf gegen Schweiz, § 111). Prüft man das Erfordernis einer insgesamt (unter Einschluss von Alltagstests in der angestrebten Geschlechtsrolle sowie begleitenden psychiatrischen und endokrinologischen Behandlungen) mindestens zweijährigen Beobachtungsphase im Lichte aktueller - namentlich der im Revisionsgesuch sowie im heutigen öffentlichen Parteivortrag zitierten - Behandlungsrichtlinien, zeigt sich folgendes Bild: Gemäss Vorgaben der Psychiatrischen Poliklinik Zürich soll aus medizinischer Sicht eine geschlechtsangleichende Operation "frühestens" nach eineinhalb Jahren psychotherapeutischer Behandlung, eineinhalb Jahren Alltagstest und sechs Monaten Hormonbehandlung erfolgen (Universitätsspital Zürich, Psychiatrische Klink, Infoblatt Transsexualismus, S. 1; http://www.psychiatrie.usz.ch/PatientenUnd Besucher/Spezialangebot/Transsexualismus/Seiten/default.aspx). Die im deutschsprachigen Raum verbreitet beachteten "Standards der Behandlung und Begutachtung von Transsexuellen" der Deutschen Gesellschaft für Sexualforschung, der Akademie für Sexualmedizin und der Gesellschaft für Sexualwissenschaft aus dem Jahre 1997 (Zentralblatt für Gynäkologie 119 [1997] S. 398-401) fordern u.a., dass der Patient/die Patientin - nach gesicherter psychiatrischer Diagnose des Transsexualismus - das Leben in der gewünschten Geschlechterrolle "mindestens" seit eineinhalb Jahren kontinuierlich erprobt (Alltagstest) hat und sich seit "mindestens" einem halben Jahr hormonell hat behandeln lassen. Der Therapeut muss den Patienten/die Patientin in der Regel mindestens eineinhalb Jahre kennen; erfolgt die Indikationsstellung zur Transformationsoperation nicht durch den Psychotherapeuten, so überzeugt sich der in diesen Fällen hinzugezogene Therapeut/Gutachter, dass sämtliche Operationsvoraussetzungen erfüllt sind und die Psychotherapie stattgefunden hat. Stets muss die Indikationsstellung in Form einer gutachterlichen Stellungnahme durch einen qualifizierten Therapeuten erfolgen (Standards, a.a.O., Ziff. 4.2), was nach Ablauf der eineinhalbjährigen Behandlungszeit seinerseits eine gewisse Zeit beanspruchen dürfte. Gemäss "The Harry Benjamin International Gender Dysphoria Association's Standards Of Care For Gender Identity Disorders [heute: The World Professional Association for Transgender Health, WPATH], Sixth Version, February, 2001" (http://www.wpath.org/Documents2/socv6. pdf) sind die relevanten Kriterien für die Vornahme einer geschlechtsangleichenden Operation:
"XII. Genital Surgery
Eligibility Criteria. These minimum eligibility criteria for various genital surgeries equally apply to biologic males and females seeking genital surgery. They are:
Legal age of majority in the patient's nation;
Usually 12 months of continuous hormonal therapy for those without a medical contraindication (...);
12 months of successful continuous full time real-life experience. Periods of returning to the original gender may indicate ambivalence about proceeding and generally should not be used to fulfill this criterion;
If required by the mental health professional, regular responsible participation in psychotherapy throughout the real-life experience at a frequency determined jointly by the patient and the mental health professional. Psychotherapy per se is not an absolute eligibility criterion for surgery;
(...).
Readiness Criteria. The readiness criteria include:
Demonstrable progress in consolidating one's gender identity;
Demonstrable progress in dealing with work, family, and interpersonal issues resulting in a significantly better state of mental health (this implies satisfactory control of problems such as sociopathy, substance abuse, psychosis, suicidality, for instance)" (a.a.O.).
Die Richtlinien der amerikanischen "Endocrine Society" (2009) sehen ebenfalls eine - erst nach erstellter Diagnose des Transsexualismus gemäss DSM IV-TR oder ICD einsetzende - zwölfmonatige Hormontherapie (vorbehältlich Kontraindikation) und einen erfolgreichen zwölfmonatigen Alltagstest vor, der (sofern psychiatrisch indiziert) von regelmässiger psychotherapeutischer Behandlung begleitet ist (The Endocrine Society, Endocrine Treatment of Transsexual Persons: An Endocrine Society Clinical Practice Guideline, Table 17; http://www. endo-society.org/guidelines/Current-Clinical-Practice-Guidelines.cfm). Zu beachten ist, dass gemäss den beiden zuletzt genannten Richtlinien noch vor Beginn der Hormontherapie entweder eine mindestens dreimonatige "real-life-experience" (Alltagstest) oder eine gewöhnlich ebenfalls mindestens dreimonatige Psychotherapie durchzuführen ist (Endocrine Society Clinical Practice Guideline, a.a.O., Table 4; Harry Benjamin International Gender Dysphoria Association's Standards, a.a.O., Ziff. VII [Eligibility Criteria]); damit verlängert sich die aus ärztlicher Sicht geforderte Behandlungsdauer faktisch auf mindestens fünfzehn Monate.
Der nach den erwähnten, fachärztlicherseits als Mindeststandards verstandenen Richtlinien vor einer Geschlechtsumwandlung gebotene Behandlungszeitraum liegt nicht wesentlich unter der von der EVG-Rechtsprechung im Jahre 1988 (aufgrund des damaligen Standes der medizinischen Wissenschaft) geforderten Beobachtungszeit von insgesamt mindestens zwei Jahren. Am Erfordernis der mindestens zweijährigen medizinisch-praktischen Beobachtungsphase ist daher grundsätzlich festzuhalten, da damit nach wie vor eine verlässliche faktische Basis sichergestellt ist für die abschliessende Beurteilung der Frage, ob im konkreten Fall die folgenschwere Geschlechtsanpassungsoperation die einzige wirksame und zweckmässige Behandlungsmassnahme zur namhaften Verbesserung des psychischen Gesundheitszustands der betroffenen Person bilde und die obligatorische Krankenpflegeversicherung deshalb gestützt auf Art. 25 in Verbindung mit <ref-law> kostenvergütungspflichtig sei. Mit Blick auf die Vorgaben im EGMR-Urteil vom 8. Januar 2009, aber auch im Lichte der oben erwähnten, ihren blossen Richtwertcharakter hervorhebenden Richtlinien muss allerdings im Einzelfall ein ausnahmsweises (vgl. Urteil Schlumpf gegen Schweiz, §§ 56 und 112) Abweichen vom Grundsatz möglich bleiben: Ist aufgrund der verfügbaren, in Beachtung anerkannter medizinischer Behandlungsstandards abgegebenen spezialärztlichen Stellungnahmen und gutachterlichen Expertenmeinungen bereits vor Ablauf der zweijährigen Beobachtungsphase erwiesen, dass eine Geschlechtsangleichungsoperation unter den gegebenen Umständen die einzige Möglichkeit zur namhaften Verbesserung des psychischen Gesundheitszustands ist, kann die Kostenübernahme aus obligatorischer Krankenpflegeversicherung nicht unter Verweis auf die "Zweijahres-Regel" verneint werden.
10. Im Ausgangsverfahren K 115/05 sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 134 OG) und ist die unterliegende Beschwerdeführerin gegenüber der Versicherten entschädigungspflichtig (Art. 135 in Verbindung mit 159 Abs. 2 OG).
Die Gerichtskosten für das Revisionsverfahren gehen zu Lasten der Gesuchsgegnerin (<ref-law>). Diese hat zudem die Gesuchstellerin angemessen zu entschädigen (<ref-law>); aufgrund des angemessenen Mehraufwands ist eine Abweichung vom praxisgemässen Normaltarif (Fr. 2'800.-; Beschluss der I. und II. sozialrechtlichen Abteilung vom 22. Dezember 2008) gerechtfertigt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird gutgeheissen.
2. Das Urteil K 110/05 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 5. Dezember 2005 in der Sache SWICA Krankenversicherung AG gegen Nadine Schlumpf wird aufgehoben.
3. In der Sache K 110/05 ergeht neu folgendes Urteil:
3.1 Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde der SWICA Krankenversicherung AG wird abgewiesen.
3.2 Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.3 Die beschwerdeführende SWICA Krankenversicherung AG hat der Beschwerdegegnerin Nadine Schlumpf eine Parteientschädigung für das letztinstanzliche Verfahren von Fr. 2'500.- zu bezahlen.
4. Die Gerichtskosten des Revisionsverfahrens in Höhe von Fr. 500.- werden der Gesuchsgegnerin auferlegt.
5. Die Gesuchsgegnerin hat der Gesuchstellerin im Revisionsverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 4'000.- zu bezahlen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, dem Bundesamt für Gesundheit und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. September 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Amstutz