Erwägungen:
1. 1.1 Der ägyptische Staatsangehörige X._ (geb. 1978) reiste am 18. Juni 2008 in die Schweiz ein und heiratete hier die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1964), worauf ihm eine bis zum 10. Juli 2009 gültige Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Am 5. Oktober 2009 kam der gemeinsame Sohn Z._ zur Welt. Im Januar 2010 wurde der gemeinsame Haushalt des Ehepaars (erstmals) aufgehoben und Z._ unter die Obhut der Mutter gestellt. Gegen X._ liegen diverse Anzeigen wegen Konsums und Besitzes von Betäubungsmitteln und Vermögensdelikten vor.
1.2 Mit Verfügung vom 11. März 2010 verweigerte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ und wies diesen aus der Schweiz weg. Die dagegen bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern und schliesslich beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos.
1.3 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 5. September 2011 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 4. August 2011 aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 12. September 2011 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Auf die Anordnung eines Schriftenwechsels wurde verzichtet.
2. Nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer das verwaltungsgerichtliche Urteil insofern anficht, als es subsidiär die Rechtmässigkeit prüft, ihm allenfalls selbst ohne Anspruch eine Aufenthaltsbewilligung im behördlichen Ermessen zu verweigern. Für solche Ermessensbewilligungen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gerade nicht offen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Überdies fehlt es dem Beschwerdeführer für die Erhebung einer subsidiären Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG gegen die Bewilligungsverweigerung als solche am erforderlichen rechtlich geschützten Interesse gemäss Art. 115 lit. b BGG. Die Verletzung von Parteirechten, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinauslaufen würde, für welche die subsidiäre Verfassungsbeschwerde allenfalls zulässig wäre, wird nicht geltend gemacht (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 199).
3. Der Beschwerdeführer macht einen Anspruch auf Aufenthalt nach Art. 42 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG (Ausländergesetz; SR 142.20), Art. 8 EMRK und Art. 13 BV geltend. Dabei beruft er sich auf die Beziehung zu seinem Sohn.
3.1 Auf das im Juni 2009 eingereichte Verlängerungsgesuch ist unbestrittenermassen das am 1. Januar 2008 in Kraft getretene Ausländergesetz anzuwenden (vgl. Art. 126 AuG). Gemäss Art. 42 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten von Schweizern Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Das Erfordernis des Zusammenwohnens besteht nicht, wenn für getrennte Wohnorte wichtige Gründe geltend gemacht werden und die Familiengemeinschaft weiter besteht (Art. 49 AuG). Gemäss Art. 50 AuG besteht nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft der Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 42 AuG weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration gegeben ist (lit. a) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (lit. b).
3.2 Auch wenn die Ehe bisher offenbar noch nicht rechtskräftig geschieden worden ist bzw. klare Angaben hierzu fehlen, steht fest, dass die Eheleute getrennt leben und mit einer Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft nicht mehr gerechnet werden kann. Der Beschwerdeführer bringt dazu einzig vor, in dieser Ehe könne "nie eine bestimmte Entwicklung mit hoher Wahrscheinlichkeit angenommen werden". Wichtige Gründe für die Trennung im Sinne von Art. 49 AuG sind nicht ersichtlich und werden auch nicht geltend gemacht. Zudem bestand die Ehegemeinschaft in der Schweiz weniger als drei Jahre. Daher kommt ein Anspruch auf Erneuerung der Bewilligung nach Art. 42 Abs. 1, Art. 49 sowie Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG nicht in Betracht.
3.3 Der Beschwerdeführer kann sich insoweit einzig auf eine Bewilligungsverlängerung nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG berufen. Ein persönlicher, nachehelicher Härtefall gemäss dieser Bestimmung setzt aufgrund der gesamten Umstände des Einzelfalls eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben voraus. Dem Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK und Art. 13 BV ist im Rahmen von Art. 50 AuG Rechnung zu tragen. Insoweit ist namentlich zu berücksichtigen, ob der Ausländer Kinder in der Schweiz hat (vgl. Urteile 2C_195/2010 vom 23. Juni 2010 E. 6; 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011 E. 3; je mit Hinweisen). Nach der ständigen Praxis zu den erwähnten Verfassungs- und Konventionsbestimmungen ist dem ausländischen Elternteil, der nicht mit seinen Schweizer Kindern zusammenlebt, der Aufenthalt dann zu gewähren, wenn zwischen ihm und den Kindern in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht, die wegen der Distanz zu seinem Herkunftsland praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte, und wenn zusätzlich das bisherige Verhalten des Ausländers zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat (zu Art. 8 EMRK: <ref-ruling> E. 3c S. 5, 22 E. 4a und b S. 25 f.; zu Art. 50 AuG: erwähntes Urteil 2C_195/2010 E. 6.6).
3.4 Die Vorinstanz hat hierzu festgestellt, eine besonders enge gefühlsmässige Beziehung zu seinem Sohn sei nicht dargetan. Auch in wirtschaftlicher Hinsicht bestehe keine besonders enge Beziehung (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.4). Diese Ausführungen sind nicht zu beanstanden: Der Umstand, dass nur ein Mal pro Monat an einem Sonntag begleitete Besuche stattfinden, ist entgegen seiner Auffassung keineswegs geeignet darzutun, dass eine (besonders) enge Beziehung zu seinem Sohn besteht (vgl. Urteil 2C_335/2009 vom 12. Februar 2010 E. 2.2.3). Wohl auch bedingt durch den Drogenkonsum des Beschwerdeführers ist es diesem nicht gelungen, wesentliche Betreuungsfunktionen zu übernehmen und ein kontinuierlich gepflegtes Verhältnis zu seinem Sohn aufzubauen.
Ein tadelloses Verhalten hat der Beschwerdeführer ebenfalls nicht an den Tag gelegt: So bestreitet er nicht, mehrfach gegen die schweizerische Rechtsordnung verstossen zu haben (diverse Anzeigen wegen Konsums und Besitzes von Betäubungsmitteln sowie Vermögensdelikten). Auch wenn noch keine rechtskräftigen Verurteilungen zu verzeichnen sind, durfte die Vorinstanz dieses Verhalten berücksichtigen. Die Ausführungen, wonach das Verhalten seiner Ehefrau ihn in den Drogenkonsum getrieben habe, vermögen daran nichts zu ändern. Auch war er über einen beträchtlichen Zeitraum seines Aufenthaltes in der Schweiz auf Sozialhilfe angewiesen und der Beschwerdeführer räumt selbst ein, die Bemühungen um einen Wiedereingliederung in den Arbeitsprozess seien leider nicht erfolgreich verlaufen. Mit Blick darauf hatte er denn auch nie Unterhaltszahlungen für seinen Sohn geleistet.
Dem Dargelegten zufolge hat er trotz seiner Besuchskontakte zu seinem Sohn keinen Anspruch auf Aufenthalt gemäss der zu Art. 8 EMRK und Art. 13 BV zitierten Praxis. Es sind ausserdem keine weiteren Umstände ersichtlich oder geltend gemacht worden, die im Rahmen der Gesamtwürdigung nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG zu einer anderen Beurteilung führen würden. Namentlich ist der Beschwerdeführer erst als Erwachsener in die Schweiz gelangt und hat seine prägenden Kinder- und Jugendjahre in seinem Heimatland verbracht. Auch ist er weder beruflich noch privat überdurchschnittlich integriert. Ergänzend wird auf die Ausführungen in den Entscheiden der Polizei- und Militärdirektion und des Verwaltungsgerichts vom 30. Mai 2011 und 4. August 2011 verwiesen.
3.5 Demzufolge erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet. Sie wird deshalb im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG mit summarischer Begründung abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4. Diesem Ausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 f. BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ist nach Art. 64 BGG wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen. Bei der Bemessung der Gerichtsgebühr wird indessen seiner finanziellen Lage Rechnung getragen (Art. 65 Abs. 2 BGG). Parteientschädigungen werden nicht zugesprochen (vgl. Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Polizei- und Militärdirektion, dem Amt für Migration und Personenstand und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger