Sachverhalt:
A.
A.a. Am 25. Februar 2011 vollzog das Betreibungsamt Zürich 11 in den Betreibungen Nr. aaa mit der Z._ als Gläubigerin sowie Nrn. bbb und ccc mit der Schweizerischen Eidgenossenschaft, vertreten durch die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV), als Gläubigerin gegenüber der Y._ AG die Pfändung (Nr. ddd). Am gleichen Tag vollzog das Betreibungsamt in der Betreibung Nr. eee gegenüber X._ die Pfändung (Nr. fff). Gegen die Pfändungen erhoben die Y._ AG und X._ betreibungsrechtliche Beschwerde (Urteil PS120111-O/Z04 des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs vom 22. Mai 2013).
A.b. Mit Eingabe vom 8. Dezember 2011 gelangten die Y._ AG und X._ an das Bundesgericht (Verfahren 5A_859/2011). Sie verlangten mit Beschwerde, es sei (wie bereits im kantonalen Verfahren beantragt) die Pfändung vom 25. Februar 2011 vollumfänglich aufzuheben, der gepfändete Geldbetrag zurückzubezahlen und "festzustellen, dass der Wohnungseinbruch des Betreibungsamtes zwecks Wohnungsdurchsuchung ohne Erwirkung eines Hausdurchsuchungsbefehls rechtsmissbräuchlich war".
A.c. Mit Urteil 5A_859/2011 vom 21. Mai 2012 hiess das Bundesgericht die Beschwerde der Y._ AG teilweise gut. Der Grund für die Gutheissung lag in einer Verletzung des rechtlichen Gehörs. Das Urteil der oberen Aufsichtsbehörde vom 18. November 2011 wurde insoweit aufgehoben, als die Vorinstanz die Beschwerde der Y._ AG gegen die Pfändung (Nr. ddd) mit Bezug auf die Betreibungen Nrn. bbb und ccc (Betreibungsgläubigerin: Schweizerische Eidgenossenschaft, ESTV) abgewiesen hatte. Die Sache wurde zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen (Dispositiv-Ziff. 1.1). Im Übrigen wurde die Beschwerde in Zivilsachen der Y._ AG und von X._ abgewiesen, soweit darauf einzutreten war (Dispositiv-Ziff. 1.2).
B.
B.a. Nach der Rückweisung stellte die obere Aufsichtsbehörde der Y._ AG zur Wahrung des rechtlichen Gehörs die Stellungnahme der Gläubigerin (Schweizerische Eidgenossenschaft, ESTV) am 19. Juni 2012 zu.
B.b. Mit Verfügung vom 23. Juli 2012 sistierte die obere Aufsichtsbehörde das Beschwerdeverfahren bis zur Beendigung des Verfahrens des Handelsregisteramtes zur Behebung des Organisationsmangels der Y._ AG. Am 15. Februar 2013 löste das Handelsgericht des Kantons Zürich die Y._ AG auf und ordnete die Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs gemäss <ref-law> an (SHAB vom 17. Mai 2013).
B.c. Mit Verfügung vom 22. Mai 2013 hob die obere Aufsichtsbehörde die Sistierung (vom 23. Juli 2012) auf und ordnete die Fortführung des Verfahrens an (Ziff. 1). Als Beschwerdeführerin bezeichnete es neu die Y._ AG in Liquidation, vertreten durch das Konkursamt Oerlikon-Zürich (Ziff. 2). Gleichzeitig gab es dem Konkursamt Gelegenheit zur Stellungnahme zur Vernehmlassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft (ESTV) als Gläubigerin (Ziff. 3). Sodann wurde die weitere Prozessleitung an die zuständige Ersatzoberrichterin delegiert (Ziff. 4).
C.
Gegen die Verfügung der oberen Aufsichtsbehörde vom 22. Mai 2013 hat X._ mit Eingabe vom 10. Juni 2013 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Der Beschwerdeführer verlangt die Ergänzung von Ziff. 2 der angefochtenen Verfügung dahingehend, dass er im Rubrum einzusetzen sei (Beschwerdebegehren 1). Sodann sei Ziff. 3 der angefochtenen Verfügung dahingehend zu ergänzen, dass ihm Gelegenheit zur Stellungnahme gewährt werde. Weiter beantragt er, dass die Vorinstanz anzuweisen sei, "über die Rückgabe der rechtsmissbräuchlich gestohlenen Gelder" zu entscheiden (Beschwerdebegehren 3).
Es sind keine Stellungnahmen zur Beschwerde eingeholt worden.
Mit Eingabe vom 5. August 2013 hat das Konkursamt Oerlikon-Zürich mitgeteilt, dass das Konkursverfahren mit Entscheid des Konkursrichters vom 11. Juli 2013 mangels Aktiven eingestellt worden sei. Innert Frist habe kein Gläubiger die Durchführung des Verfahrens verlangt und Kostenvorschuss geleistet; das Konkursverfahren sei per 30. Juli 2013 geschlossen worden.
X._ hat sich am 22. August 2013 vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Die vorliegende Beschwerde ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (<ref-law>). Die Beschwerde gegen den letztinstanzlichen Entscheid ist grundsätzlich zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer behauptet zu Recht nicht, dass er für die Y._ AG in Liquidation Beschwerde führen will. Das Konkursverfahren über die Y._ AG in Liquidation wird ausschliesslich vom Konkursamt durchgeführt, welches als Konkursverwaltung die Masse vor Gericht vertritt (<ref-law>; vgl. Lorandi, Konkursverfahren über Handelsgesellschaften zufolge Organisationsmängel [<ref-law>], in: BlSchK 2012 S. 1390; Schönbächler, Die Organisationsklage nach <ref-law>, 2013, S. 283). Der Beschwerdeführer verneint selber seine Befugnis, Eingaben für die Y._ AG in Liquidation zu machen. Er bestätigt, dass das Obergericht das Konkursamt als Vertreter der Y._ AG in Liquidation bezeichnet hat, und kritisiert nicht, dass es ihn als deren Vertreter gestrichen hat. Es besteht kein Grund zur Annahme, dass die Y._ AG in Liquidation Beschwerdeführerin ist.
1.3. Der Beschwerdeführer wendet sich nicht gegen die Aufhebung der Sistierung und die weiteren Anordnungen zur Fortführung des Verfahrens. Er verlangt die "Ergänzung" der angefochtenen Verfügung dahingehend, dass er ebenfalls im Rubrum eingesetzt werde und Gelegenheit zur Stellungnahme erhalte. Er sei ("als Privatperson") von der Streitsache betroffen.
1.3.1. Die Vorinstanz hat in der Verfügung vom 19. Juni 2012 (Lit. B.a), welche im angefochtenen Entscheid erwähnt wird, in den Akten liegt und dem Beschwerdeführer am 26. Juni 2012 zugestellt wurde, in Erwägung 2 und 3 (unter Hinweis auf das Urteil 5A_859/2011 vom 21. Mai 2011) dargelegt, dass sich nach der Rückweisung "nur noch die Beschwerdeführerin 1 [Y._ AG] und die Beschwerdegegnerin 2 [Schweizerische Eidgenossenschaft, EStV] gegenüberstehen". Aus der Verfügung vom 19. Juni 2012 konnte und musste der Beschwerdeführer erkennen, dass die Vorinstanz das Verfahren mit ihm beendete. Gegen diesen Entscheid ist jedoch die Beschwerde in Zivilsachen zulässig, sei es, weil es sich um einen verfahrensabschliessenden Entscheid handelt (<ref-law>), sei es, weil er als Teilentscheid aufgefasst wird, mit welchem das Verfahren für den Beschwerdeführer als einen "Streitgenossen" der Y._ AG in Liquidation abgeschlossen wird (<ref-law>).
1.3.2. Gegen die Verfügung vom 19. Juni 2012 ist der Beschwerdeführer jedoch nicht innert Frist (vgl. <ref-law>) an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführung zwölf Monate nach Zustellung des Entscheides stellt keine Anfechtung innert üblicher oder nützlicher Frist dar; die fehlende Rechtsmittelbelehrung in der Verfügung vom 19. Juni 2012 erlaubt nicht, Beschwerde ohne irgendwelche Frist zu erheben (<ref-ruling> E. 1c S. 334). Auf die Beschwerde kann infolge Fristversäumnis nicht eingetreten werden.
1.4. Selbst die Annahme rechtzeitiger Beschwerdeführung könnte am Ergebnis nichts ändern. Der Beschwerdeführer geht in der vorliegenden Beschwerde auf die Verfügung vom 19. Juni 2012 und deren Begründung betreffend Verfahrensparteien nicht ein (E. 1.3.1); die Eingabe genügt den Begründungsanforderungen nicht (<ref-law>).
1.5. Anhaltspunkte für eine (sinngemäss behauptete) Rechtsverzögerung bzw. -verweigerung der Vorinstanz im Sinne von <ref-law> bestehen nicht, da die obere Aufsichtsbehörde mit dem angefochtenen Entscheid die Fortsetzung des Verfahrens angeordnet hat.
2.
Auf die Beschwerde kann nicht eingetreten werden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Über eine Parteientschädigung ist nicht zu befinden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante