Faits:
A.
Par jugement du 16 mars 2011, le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève a déclaré irrecevable la requête que le bailleur X._ avait déposée le 13 janvier 2011 en vue d'obtenir l'expulsion de la Banque Y._ SA, locataire, d'un appartement pris à bail dans un immeuble sis à Genève.
Saisie d'un appel du bailleur, la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice (ci-après: la Chambre des baux et loyers) a confirmé ledit jugement par arrêt du 18 juin 2012.
B.
Le 27 juin 2012, X._, par l'entremise de son conseil, a adressé à la Chambre des baux et loyers une demande de récusation dirigée contre le juge assesseur A._, l'un des cinq membres de la juridiction d'appel ayant rendu l'arrêt précité.
Par lettre du 2 juillet 2012, la Chambre des baux et loyers lui a répondu qu'elle n'était plus saisie du dossier depuis qu'elle avait prononcé son arrêt dans la cause en litige.
Relancée par l'intéressé, la cour cantonale lui a confirmé, dans un courrier du 5 juillet 2012, qu'elle était dessaisie de la procédure en question. Elle lui a indiqué que la voie d'un recours au Tribunal fédéral restait ouverte.
C.
Le 16 juillet 2012, X._ (ci-après: le recourant) a formé simultanément un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire, assortis d'une requête d'effet suspensif, aux fins d'obtenir l'annulation de l'arrêt du 18 juin 2012 et des décisions des 2 et 5 juillet 2012. Il y invite le Tribunal fédéral, à titre principal, à ordonner à la cour cantonale de traiter sa demande de récusation du 27 juin 2012 et, subsidiairement, à prononcer la récusation du juge assesseur A._. En tout état de cause, le recourant conclut à ce que le canton de Genève soit condamné à lui verser une équitable indemnité de procédure.
L'intimée Banque Y._ SA a renoncé à se déterminer sur le recours. La Chambre des baux et loyers se réfère, quant à elle, aux considérants de son arrêt.
L'effet suspensif a été accordé au recours par ordonnance présidentielle du 15 août 2012.
En annexe à un courrier du 11 octobre 2012, le recourant a communiqué au Tribunal fédéral une copie, caviardée, d'un arrêt du 8 octobre 2012. La Cour de justice genevoise a admis, dans cet arrêt, une demande de récusation visant A._ en sa qualité de juge assesseur dans une autre procédure à laquelle le recourant se réfère dans son mémoire.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 et les arrêts cités).
1.1. Le recours en matière civile et le recours constitutionnel subsidiaire soumis au Tribunal fédéral visent trois décisions distinctes. La première est l'arrêt du 18 juin 2012 par lequel la Chambre des baux et loyers a confirmé le jugement du Tribunal des baux et loyers du 16 mars 2011 déclarant irrecevable la requête d'expulsion déposée par le recourant à l'encontre de l'intimée. Il s'agit d'une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). La deuxième décision consiste dans le refus, signifié le 2 juillet 2012 au recourant par la cour cantonale, d'entrer en matière sur sa demande de récusation du 27 juin 2012 dirigée contre le juge assesseur A._. Du fait qu'elle est intervenue après la notification de la décision finale du 18 juin 2012, on peut hésiter à la qualifier de décision incidente au sens de l'art. 92 LTF. Cela étant, que ce soit sur la base de cette disposition ou de l'art. 90 LTF, cette décision pouvait faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral. Il en va également ainsi, pour la même raison, de la troisième décision, datée du 5 juillet 2012, dans laquelle la Chambre des baux et loyers s'est bornée à confirmer la décision qu'elle avait prise trois jours plus tôt.
L'autorité intimée a fixé correctement la valeur litigieuse de la cause au fond à 46'800 fr. Cette valeur litigieuse, applicable aux trois décisions attaquées (art. 51 let. a et c LTF), atteint le seuil fixé à l'art. 74 al. 1 let. a LTF pour la recevabilité du recours en matière civile dans les affaires pécuniaires concernant le droit du bail à loyer. En vertu de l'art. 113 LTF, le recours constitutionnel subsidiaire formé simultanément par le recourant est, dès lors, irrecevable.
1.2. Le recourant a pris part à la procédure devant l'autorité précédente. Débouté tant de sa demande au fond que de sa double requête de récusation, il est particulièrement touché par les décisions attaquées et a donc un intérêt digne de protection à l'annulation de celles-ci. Aussi sa qualité pour recourir n'est-elle pas sujette à caution (art. 76 al. 1 LTF).
Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le présent recours en matière civile est donc recevable. Demeure réservé l'examen ultérieur de certaines conditions de recevabilité propres au recours ayant pour objet l'arrêt du 18 juin 2012 (cf. consid. 3.1 ci-après).
1.3. Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties, apprécie librement la portée juridique des faits, mais s'en tient, d'ordinaire, aux questions juridiques soulevées dans le mémoire de recours (art. 42 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254); il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que si le grief correspondant a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
2.
En vertu de l'adage lata sententia iudex desinit esse iudex, le juge est dessaisi de la cause à partir du moment où il a rendu son jugement. Sous réserve de diverses exceptions, il voit alors sa compétence s'éteindre relativement à la cause jugée (arrêt 4A_14/2012 du 2 mai 2012 consid. 3.1.1 et les références; FABIENNE HOHL, Procédure civile, tome I, 2001, n° s 1265 à 1268). En particulier, il n'est plus habilité à statuer sur une demande de récusation formulée ultérieurement dans le cadre de la même procédure (arrêt 4A_451/2012 du 1er novembre 2012 consid. 2). Conformément à l'art. 51 al. 3 CPC, si un motif de récusation n'est découvert qu'après la clôture de la procédure, les dispositions sur la révision (art. 328 ss CPC) sont applicables.
En refusant d'entrer en matière sur la demande de récusation que le recourant lui avait soumise le 2 juillet 2012, postérieurement à la notification de l'arrêt du 18 juin 2012, et qu'il avait renouvelée le 5 juillet 2012, la Chambre des baux et loyers a fait une application correcte du principe ainsi codifié.
Il suit de là que le recours en matière civile doit être rejeté dans la mesure où il a trait aux décisions prises les 2 et 5 juillet 2012 par l'autorité intimée. Partant, ces deux décisions ne seront pas annulées et la Chambre des baux et loyers ne sera pas invitée à traiter la demande de récusation du 27 juin 2012.
3.
Le présent recours porte encore sur l'arrêt rendu le 18 juin 2012 par la Chambre des baux et loyers. Avant d'examiner ses mérites, il sied d'apporter quelques précisions quant à sa recevabilité.
3.1.
3.1.1. Selon l'art. 75 al. 1 LTF, le recours est recevable contre les décisions rendues par les autorités cantonales de dernière instance, ce qui implique que les griefs soulevés en instance fédérale ne soient pas susceptibles d'un recours au niveau cantonal (<ref-ruling> consid. 2.1).
L'art. 51 al. 3 CPC, on l'a vu, déclare applicables les dispositions sur la révision si un motif de récusation n'est découvert qu'après la clôture de la procédure. En vertu de l'art. 328 al. 1 CPC, seule une décision "entrée en force" peut faire l'objet d'une demande de révision auprès du tribunal qui a statué en dernière instance. A contrario, si le motif de récusation est découvert après la clôture de la procédure (i.e. une fois la décision attaquable rendue) mais avant l'écoulement du délai de recours, autrement dit avant que la décision litigieuse soit revêtue de la force de chose jugée formelle, il doit être invoqué dans le cadre de ce recours (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 704; DENIS TAPPY, in Code de procédure civile commenté, 2011, n° 16 ad art. 51 CPC; Mark Livschitz, in Schweizerische Zivilprozessordnung, (ZPO), Baker & M c Kenzie [éd.], 2010, n° 6 ad art. 51 CPC; Stephan Wullschleger, in Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO), Sutter-Somm/ Hasenböhler/Leuenberger [éd.], 2010, n° 10 ad art. 51 CPC; David Rüetschi, in Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, n° 8 ad art. 51 CPC).
En l'espèce, le recourant a découvert le motif de révision à réception de l'arrêt du 18 juin 2012. Partant, c'est à juste titre qu'il l'invoque dans son recours en matière civile. Quoi qu'il en soit, le Tribunal fédéral a jugé récemment, dans une cause comparable, que, pour admettre la recevabilité d'un tel recours formé devant lui, il n'était pas nécessaire que la partie recourante ait fait usage de la possibilité de demander la révision du jugement attaqué (arrêt 4A_733/2011 du 16 juillet 2012 consid. 1.2 et les arrêts cités).
Force est d'admettre, dans ces conditions, que l'arrêt déféré constitue une décision prise par une autorité cantonale de dernière instance, au sens de l'art. 75 al. 1 LTF.
3.1.2. Dans un recours au Tribunal fédéral, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). L'exclusion des faits et moyens de preuve nouveaux est la règle. Aussi bien, le Tribunal fédéral est juge du droit, et non du fait. Cette règle connaît une exception lorsque c'est la décision de l'autorité précédente qui, pour la première fois, a rendu pertinents ces faits ou moyens de preuve. Il peut s'agir, notamment, de faits et moyens de preuve qui se rapportent à la procédure conduite devant l'instance précédente, telle une prétendue irrégularité affectant la composition de l'autorité ayant rendu la décision querellée (arrêt 4A_18/2010 du 15 mars 2010 consid. 2.1). En revanche, le Tribunal fédéral ne peut pas tenir compte de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement au prononcé de la décision entreprise, c'est-à-dire de véritables nova (<ref-ruling> consid. 2.1 et les arrêts cités). Il appartient, le cas échéant, au recourant d'exposer les raisons pour lesquelles il considère être en droit de présenter exceptionnellement des faits ou des moyens de preuve nouveaux (<ref-ruling> consid. 3).
Sans être contredit, le recourant soutient qu'il n'a appris qu'à la lecture de l'arrêt du 18 juin 2012 que le juge A._ faisait partie de la composition de la Cour ayant statué sur son appel alors que, selon lui, ce magistrat aurait dû se récuser. Comme c'est l'arrêt cantonal qui justifie de présenter, pour la première fois, les faits et moyens de preuve nouveaux concernant le juge A._, ceux-ci sont recevables. Tel n'est pas le cas, en revanche, s'agissant d'un véritable novum, de la copie caviardée de l'arrêt du 8 octobre 2012. Abstraction sera donc faite, ci-après, de ce moyen de preuve.
3.2. Le recourant soutient que, du fait de la présence en son sein du juge assesseur A._, l'autorité intimée ne constituait pas un tribunal indépendant et impartial.
3.2.1. La garantie minimale d'un tribunal indépendant et impartial, telle qu'elle résulte des art. 30 al. 1 Cst. et 6 ch. 1 CEDH - lesquels ont, de ce point de vue, la même portée - permet, indépendamment du droit de procédure (en l'occurrence l'art. 47 CPC), de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Elle vise à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, parce qu'une disposition relevant du for intérieur ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence d'une prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Cependant, seules les circonstances objectivement constatées doivent être prises en compte, les impressions purement subjectives de la partie qui demande la récusation n'étant pas décisives (<ref-ruling> consid. 2.2 et les arrêts cités).
L'avocat qui exerce les fonctions de juge apparaît objectivement partial non seulement lorsque, dans le cadre d'une autre procédure, il représente ou a représenté l'une des parties à la procédure dans laquelle il siège, mais également lorsqu'il représente ou a représenté récemment la partie adverse de cette partie (<ref-ruling> consid. 4.1-4.3 confirmé par l'<ref-ruling> consid. 5.4).
Selon un principe général, la partie qui a connaissance d'un motif de récusation doit l'invoquer aussitôt, sous peine d'être déchue du droit de s'en prévaloir ultérieurement (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 4 et les arrêts cités; voir aussi l'art. 49 al. 1 CPC). Il est, en effet, contraire aux règles de la bonne foi de garder en réserve le moyen tiré de la composition irrégulière du tribunal pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable de la procédure (<ref-ruling> consid. 3.2.2). Cela ne signifie toutefois pas que l'identité des juges appelés à statuer doive nécessairement être communiquée de manière expresse au justiciable; il suffit que le nom de ceux-ci ressorte d'une publication générale facilement accessible, par exemple l'annuaire officiel. La partie assistée d'un avocat est en tout cas présumée connaître la composition régulière du tribunal. En revanche, un motif de prévention concernant un juge suppléant peut, en principe, encore être valablement soulevé dans le cadre d'une procédure de recours, car le justiciable pouvait partir de l'idée que la juridiction inférieure statuerait dans sa composition ordinaire. Cette jurisprudence au sujet des juges suppléants doit s'appliquer de la même manière quand il s'agit d'examiner si un justiciable devait ou non s'attendre à la présence d'un assesseur qui est appelé à fonctionner, de cas en cas, dans la composition du tribunal saisi de l'affaire (<ref-ruling> consid. 2b et les références).
3.2.2. En l'espèce, le recourant n'a appris qu'à réception de l'arrêt attaqué, rendu le 18 juin 2012 par la Chambre d'appel des baux et loyers, que l'avocat A._ avait statué sur son appel, conjointement avec quatre autres juges, en tant que juge assesseur représentant les groupements de locataires, conformément à l'art. 121 al. 1 de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire du 26 septembre 2010 (LOJ; RS E 2 05). Il s'est prévalu sans tarder, dans le cadre de sa double demande de récusation, puis dans ses recours simultanés au Tribunal fédéral, de la composition irrégulière de la juridiction d'appel cantonale, en raison de la participation du juge assesseur prénommé. Dès lors, son droit d'invoquer pareil moyen n'est pas périmé.
Sans être contredit ni par la cour cantonale ni par l'intimée, le recourant allègue et prouve par pièces que le juge assesseur A._ est intervenu, en 2010, comme conseil des parties adverses dans deux autres procédures contentieuses non connexes auxquelles lui, le recourant, est partie et qui sont toujours pendantes, l'une devant la Chambre des baux et loyers, l'autre devant le Tribunal des baux et loyers. Selon la jurisprudence susmentionnée (cf. consid. 3.2.1, 2e §), de telles circonstances sont objectivement de nature à susciter des doutes quant à l'impartialité du juge assesseur en question à l'égard du recourant. L'expérience enseigne, en effet, qu'une partie à un procès reporte souvent ses sentiments négatifs contre sa partie adverse sur l'avocat de celle-ci au point de le considérer comme un adversaire, à l'égal de cette partie. Aussi est-il compréhensible qu'une partie n'attende pas d'un juge assesseur qu'il se comporte soudainement en toute impartialité envers elle, alors qu'il la combat ou l'a combattue dans une autre procédure en sa qualité de représentant de sa partie adverse (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 18). L'apparence de prévention était si évidente, en l'occurrence, que le juge assesseur A._ aurait dû se récuser spontanément (cf. art. 48 CPC).
Partant, le moyen tiré de la violation de la garantie d'un tribunal indépendant et impartial s'avère fondé. Cette garantie revêtant un caractère formel, sa violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès de la thèse que le recourant soutient dans la procédure au fond (consid. 6, non publié, de l'<ref-ruling>).
En conclusion, il y a lieu d'admettre partiellement le recours en matière civile, d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause à la Chambre des baux et loyers pour qu'elle statue à nouveau sur l'appel du recourant sans la participation du juge assesseur A._.
4.
4.1. En procédure civile, un principe de base veut que les frais et dépens soient répartis d'après le sort des conclusions. Suivant ce principe, la LTF prévoit qu'en règle générale, la partie qui succombe supporte les frais judiciaires et verse une indemnité de dépens à la partie ayant obtenu gain de cause (cf. art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF). La partie qui succombe est celle dont les conclusions devant le Tribunal fédéral sont écartées ou rejetées. Dans certains cas, une partie qui s'abstient de prendre position peut être considérée comme la partie perdante dès lors que la décision attaquée est modifiée à son détriment (arrêt 4A_518/2012 du 8 janvier 2013 consid. 3.1 et les références).
4.2. En l'espèce, le recourant obtient gain de cause puisque l'arrêt attaqué par lui est annulé. Quant à l'intimée, ayant renoncé à se déterminer sur le recours, elle ne saurait être considérée comme la partie qui succombe. La décision entreprise n'a du reste pas été modifiée à son détriment, car son annulation a pour origine une circonstance étrangère à cette partie et sur laquelle celle-ci n'avait pas de prise. En vertu de l'art. 66 al. 4 LTF, le canton de Genève, dont dépend l'autorité intimée, ne peut se voir imposer de frais judiciaires. Aussi convient-il de renoncer à en percevoir.
Conformément à l'art. 68 al. 1 LTF, le recourant a droit à des dépens. Il appartiendra au canton de Genève de les lui verser, dès lors que c'est l'un de ses tribunaux qui, en ne s'avisant pas de sa composition irrégulière, a donné lieu à l'annulation de l'arrêt dont est recours.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière civile est partiellement admis. En conséquence, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève pour qu'elle statue à nouveau sur l'appel du recourant sans la participation du juge assesseur A._.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le canton de Genève versera au recourant une indemnité de 3'500 fr. à titre de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 26 février 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo