Sachverhalt:
A. Am 14. Dezember 1998 meldete sich der 1970 geborene G._ unter Hinweis auf die Folgen eines Unfalls bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Das Verfahren mündete vorerst in ein Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 19. März 2004. Dieses wies die IV-Stelle des Kantons Solothurn an, den (medizinischen) Sachverhalt näher abzuklären. Am 4. August 2006 erhob G._ Rechtsverzögerungsbeschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn. Letzteres verpflichtete die IV-Stelle, umgehend eine Verfügung (Sistierung, Leistungsverfügung oder Anhandnahme weiterer Abklärungen) zu erlassen (Entscheid vom 5. Dezember 2006). Die Verwaltung sistierte das Verfahren (Verfügung vom 4. Januar 2007). Nachdem das Bundesgericht im Parallelverfahren betreffend Unfallversicherung unter anderem erkannt hatte, die SUVA habe dem Versicherten mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen Unfall und geltend gemachten Folgen keine Invalidenrente auszurichten (Entscheid vom 18. September 2009), setzte die IV-Stelle die Abklärung fort.
In der Folge entspann sich zwischen Verwaltung und Versichertem eine Auseinandersetzung über die von ersterer in Aussicht genommene psychiatrische Begutachtung an sich sowie über die bezeichnete Gutachterstelle (Universitäre Psychiatrische Dienste Y._). Mit Verfügung vom 17. November 2011 hielt die IV-Stelle daran fest, die Universitären Psychiatrischen Dienste Y._ mit der Abklärung zu beauftragen. Gesetzliche Ablehnungsgründe hinsichtlich der Institution lägen nicht vor; die Sachverständigen der Universitären Psychiatrischen Dienste Y._ seien noch nicht bestimmt.
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 11. Dezember 2012).
C. G._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, über die mit kantonaler Beschwerde gestellten Rechtsbegehren (Leistungsanspruch aufgrund eines Invaliditätsgrades von mindestens 50 Prozent seit Dezember 2008; eventuell weitere Abklärung und neue Beurteilung, nebst "Übergangsleistungen") unverzüglich zu entscheiden. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die IV-Stelle zurückzuweisen, wobei ihm ab Dezember 1998 und während einer allfälligen Abklärungszeit eine Übergangsrente oder Wartetaggelder nach Massgabe einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 50 Prozent auszurichten seien; im Falle einer erneuten Begutachtung sei die IV-Stelle anzuweisen, seine Ergänzungsfragen zur Beantwortung zuzulassen. Subeventuell sei die Sache zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Auch im bundesgerichtlichen Verfahren sei eine öffentliche Verhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK mit Publikums- und Presseanwesenheit sowie mit zusätzlicher Parteibefragung durchzuführen. Des Weiteren sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Schliesslich wird die unentgeltliche Rechtspflege beantragt.

Erwägungen:
1. Mit strittiger Zwischenverfügung vom 17. November 2011 verwarf die IV-Stelle Einwände des Versicherten gegen eine Begutachtung durch die Universitären Psychiatrischen Dienste Y._. Die Verfügung bestimmt den Rahmen des Streitgegenstandes im folgenden Beschwerdeverfahren (vgl. <ref-ruling>). Sämtliche Rechtsbegehren, die sich auf einen materiellen Leistungsanspruch beziehen, können daher nicht an die Hand genommen werden (vgl. für das vorinstanzliche Verfahren E. 1.2 des angefochtenen Entscheids). Das gilt auch unter dem Aspekt der geltend gemachten Rechtsverzögerung seitens der Verwaltung (unten E. 5); eine Rechtsverweigerung durch das kantonale Gericht, das seinerseits nicht auf materielle Leistungsbegehren eingetreten ist, scheidet schon von daher aus.
2. Das kantonale Gericht prüfte, ob die Verwaltung zu Recht eine Begutachtung des Beschwerdeführers durch die Universitären Psychiatrischen Dienste Y._ angeordnet und zu Recht dessen Ergänzungsfragen nicht berücksichtigt habe; weiter, ob seit Dezember 2006 eine übermässige Verzögerung des Verfahrens eingetreten sei, weil die IV-Stelle seither nicht materiell über das Rentenbegehren entschieden respektive eine neue Begutachtung angeordnet habe; und schliesslich, ob das Verhalten der IV-Stelle als Verstoss gegen das Verbot unmenschlicher Behandlung (Art. 3 EMRK) erscheine und ob der Beschwerdeführer Anspruch auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK habe (angefochtener Entscheid, E. 2 in fine).
3. Nicht vor Bundesgericht getragen werden kann der Rechtsstreit insoweit, als es um Fragen im Zusammenhang mit der Anordnung einer Administrativbegutachtung geht; der angefochtene Entscheid betrifft nicht den Ausstand einer sachverständigen Person im konkreten Fall (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 277). Was die Befangenheitsrüge gegenüber der Universitären Psychiatrischen Dienste Y._ (als Institution) angeht, sei auf E. 4 des angefochtenen Entscheids verwiesen (vgl. auch <ref-ruling> a.a.O.; Urteil 9C_260/2012 vom 5. Juni 2012 E. 1.2).
Von der Nichtanhandnahme der soeben erwähnten Punkte ist nur soweit eine Ausnahme geboten, als es zur Behandlung der Rechtsverzögerungsbeschwerde nötig ist (unten E. 5).
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt zunächst, das kantonale Gericht habe seinen Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung zur Unrecht abgewiesen. Dabei handelt es sich um eine vom Bundesgericht frei überprüfbare formelle Rechtsfrage.
Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass (unter anderem) über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird (Satz 1). Durch die Anwesenheit der Öffentlichkeit an der Gerichtsverhandlung soll den am Prozess Beteiligten eine korrekte und gesetzmässige Behandlung gewährleistet werden. Darüber hinaus soll der allgemeinen Öffentlichkeit ermöglicht werden, Kenntnis davon zu erhalten, wie das Recht verwaltet und die Rechtspflege ausgeführt wird; sie soll die Prozesse unmittelbar verfolgen und dadurch eine Kontrollfunktion wahrnehmen können. Demgemäss bezieht sich der Öffentlichkeitsgrundsatz sowohl auf die Parteiöffentlichkeit als auch auf die Publikums- und Presseöffentlichkeit (<ref-ruling> E. 2.2 S. 18; <ref-ruling> E. 3b S. 7; <ref-ruling> E. 4a S. 104).
Im vorinstanzlichen Verfahren stellte der Beschwerdeführer Antrag auf öffentliche Gerichtsverhandlung, damit in diesem Rahmen eine Parteibefragung durchgeführt werden kann (vgl. E. 8 des angefochtenen Entscheids). Er bezweckte somit in erster Linie eine Beweisabnahme. Der Öffentlichkeitsgrundsatz beinhaltet indessen keinen Anspruch darauf, dass bestimmte Beweismittel öffentlich und in Anwesenheit der Parteien abgenommen werden (vgl. Urteil 9C_559/2007 vom 17. Dezember 2007 E. 1.2 und 1.3). Die Vorinstanz hat den Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Parteiverhandlung daher zu Recht abgewiesen.
Mithin kann offen bleiben, ob sich der Geltungsbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK überhaupt auf das zu beurteilende Zwischenverfahren (oben E. 1) erstreckt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 70; verneinend die Vorinstanz in E. 8).
4.2 Damit entfällt ohne Weiteres auch eine öffentliche Gerichtsverhandlung vor Bundesgericht. Ohnehin wäre der Öffentlichkeitsgrundsatz primär im erstinstanzlichen Rechtsmittelverfahren zu gewährleisten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 54 mit Hinweisen). Das gälte auch für den - hier nicht gegebenen - Fall einer vom Bundesgericht sanktionierten Konventionsverletzung durch die Vorinstanz (erwähntes Urteil 9C_559/2007 E. 1.4).
5. Zu prüfen bleibt, ob das Rechtsverweigerungs- oder Rechtsverzögerungsverbot verletzt ist (vgl. Art. 6 Ziff. 1 EMRK und <ref-law>). Derartige Zwischenentscheide können beim Bundesgericht auch dann angefochten werden, wenn kein nicht wieder gutzumachender Nachteil (vgl. <ref-law>) droht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 261; <ref-ruling> E. 2.2 S. 45).
5.1 Eine Gerichts- oder Verwaltungsbehörde muss jeden Entscheid binnen einer Frist fassen, die nach der Natur der Sache und nach den gesamten übrigen Umständen als angemessen erscheint (vgl. <ref-law>). Wenn der Versicherungsträger entgegen dem Begehren der betroffenen Person innert angemessener Frist keine Verfügung oder keinen Einspracheentscheid erlässt, so kann Beschwerde erhoben werden (<ref-law>). Bei der Rechtsverzögerungsbeschwerde fehlt es grundsätzlich an einem Anfechtungsobjekt, weil die zum Entscheid berufene Behörde untätig bleibt. Ausnahmsweise kann aber auch eine positive Anordnung zu einer Rechtsverzögerung führen; zu denken ist an Verfahrensverlängerungen durch unnötige Beweismassnahmen oder an die Einräumung überlanger Fristen. Zwar tritt die Rechtsverzögerung in solchen Fällen nicht schon mit der Verfügung ein; sie wird erst in Aussicht gestellt. Die betreffende Rüge wird dennoch bereits zu diesem Zeitpunkt zugelassen, so dass die betroffene Person nicht abwarten muss, bis die Rechtsverzögerung tatsächlich eintritt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 409 mit Hinweisen).
5.2 Das kantonale Gericht hat zu Recht erkannt, dass eine psychiatrische Begutachtung nach Lage der Akten notwendig und die betreffende Beweismassnahme somit richtigerweise angeordnet worden ist. Auf die diesbezüglichen Erwägungen kann verwiesen werden (<ref-law>; vgl. E. 3 und 6 des angefochtenen Entscheids). Insoweit liegt keine Rechtsverweigerung bzw. -verzögerung vor. Die Vorinstanz hat weiter dargelegt, inwiefern die IV-Stelle seit Wiederaufnahme des Verfahrens das Leistungsgesuch stetig behandelt hat. Mit ihr ist auch in der Art und Weise der Verfahrensführung nach Dezember 2006 (Gutheissung einer Rechtsverzögerungsbeschwerde durch Entscheid des kantonalen Gerichts vom 5. Dezember 2006) keine Rechtsverzögerung zu erblicken. Sobald die Begutachtung durchgeführt ist, steht einem Verwaltungsentscheid über den Leistungsanspruch nichts mehr entgegen.
6. Unter diesen Umständen ist der weiterhin gerügte Verstoss gegen das Verbot unmenschlicher Behandlung (Art. 3 EMRK) ohne Weiteres zu verneinen.
7. Mit dem Entscheid in der Sache ist der Verfahrensantrag auf aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
8. 8.1 Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann daher nicht entsprochen werden (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135).
8.2 Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird umständehalber verzichtet (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher gegenstandslos, soweit es sich auf die Befreiung von den Gerichtskosten bezieht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. März 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub