Sachverhalt:
A. B._ arbeitete ab 1. Oktober 1997 in der Firma H._ AG als Schreiner. Am 10. Dezember 2003 kündigte ihm die Arbeitgeberin mit Wirkung auf 29. Februar 2004 unter Angabe betriebswirtschaftlicher Gründe. Während der Dauer des Arbeitsverhältnisses war er bei der Berna Schweizerische Personalfürsorge- und Hinterbliebenen-Stiftung, Bern, welche im Juni 2004 mit der Sammelstiftung BVG der Allianz Schweiz, Lebensversicherungs-Gesellschaft, Zürich, fusionierte, vorsorgeversichert.
Am 8. April 2004 meldete sich B._ bei der Sammelstiftung zum Leistungsbezug an. Sein Hausarzt, Dr. med. E._, Allgemeine Medizin FMH, bescheinigte ihm eine volle Arbeitsunfähigkeit ab 10. Dezember 2003 (Zeugnis vom 12. Mai 2004). Mit Schreiben vom 2. Juli 2004 bestätigte die Sammelstiftung die Beitragsbefreiung ab 17. März 2004.
Von der Invalidenversicherung bezog B._ ab 1. Dezember 2004 eine Dreiviertelsrente (Invaliditätsgrad: 65 %) und ab 1. November 2005 aufgrund einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes eine ganze Rente (Invaliditätsgrad: 100 %). Die Sammelstiftung teilte B._ mit, dass ihm aufgrund des Invaliditätsgrades von 65 % ab 1. Dezember 2004 eine halbe reglementarische Invalidenrente ausgerichtet werde; eine Erhöhung derselben wurde abgelehnt mit der Begründung, die von der IV-Stelle vorgenommene Rentenerhöhung beruhe nicht auf der gleichen Ursache, aufgrund welcher mit Wirkung ab 1. Dezember 2004 auf eine Erwerbsunfähigkeit von 65 % erkannt worden sei (Schreiben vom 28. April 2008).
B. B._ liess Klage erheben und beantragen, die Sammelstiftung sei zu verpflichten, ihm ab 1. Dezember 2005 eine volle Invalidenrente von Fr. 9'795.- pro Jahr auszurichten; die nachzuzahlenden Beträge seien zu 5 % zu verzinsen. Die Sammelstiftung sei anzuweisen, das Alterskapital neu zu berechnen, unter Berücksichtigung der Prämienbefreiung auf dem gesamten Alterskapital.
Mit Entscheid vom 10. März 2010 hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Klage in dem Sinne gut, dass es die Sammelstiftung verpflichtete, B._ nach Beendigung der Krankentaggeldzahlungen der ehemaligen Arbeitgeberin eine volle reglementarische Invalidenrente zuzüglich 5 % Zins ab 22. Januar 2009 auf den ausstehenden Leistungen auszurichten.
C. Die Sammelstiftung erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und stellt das Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Klage des B._ abzuweisen.
Während B._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>).
2. 2.1 Der Leistungsanspruch aus obligatorischer beruflicher Vorsorge wegen Invalidität setzt voraus, dass die Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) eingetreten ist (Versicherungsprinzip; Art. 23 BVG in der bis Ende 2004 gültig gewesenen Fassung; Art. 23 lit. a BVG in der seit 1. Januar 2005 geltenden Fassung; <ref-ruling> E. 2.6 S. 17, 134 V 20 E. 3 S. 21 ff., 123 V 262 E. 1c S. 264). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn - wie hier der Fall - das Reglement oder die Statuten nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 69, 123 V 262 E. 1b S. 264). Unter Arbeitsunfähigkeit ist die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich zu verstehen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23 mit Hinweisen). Sie muss mindestens 20 Prozent betragen (Urteil 9C_127/2008 vom 11. August 2008 E. 2.3, in: SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143 mit Hinweisen).
2.2 Die Leistungspflicht einer Vorsorgeeinrichtung für eine erst nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses eingetretene oder verschlimmerte Invalidität setzt voraus, dass zwischen relevanter Arbeitsunfähigkeit und nachfolgender Invalidität ein enger sachlicher und zeitlicher Zusammenhang besteht. Der sachliche Zusammenhang ist zu bejahen, wenn der der Invalidität zu Grunde liegende Gesundheitsschaden im Wesentlichen derselbe ist, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat (<ref-ruling> E. 1c S. 265, 120 V 112 E. 2c/aa S. 117 f. mit Hinweisen). Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig wurde (<ref-ruling> E. 1c S. 265, 120 V 112 E. 2c/aa S. 117 f. mit Hinweisen).
2.3 Die Bezeichnung des Zeitpunktes des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, ist eine Tatfrage. Diesbezügliche Feststellungen der Vorinstanz sind daher vom Bundesgericht lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar, soweit sie auf einer Würdigung konkreter Umstände beruhen (Art. 97 Abs. 1 sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.1.1, in: SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126). Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt (Urteil 9C_127/2008 vom 11. August 2008 E. 2.2, in: SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143).
3. Die Vorinstanz hat eine Leistungspflicht der Beschwerdeführerin bejaht mit der Begründung, es sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit anzunehmen, dass beim Beschwerdegegner vor Ablauf der Nachdeckungsfrist Ende Januar 2005 ein psychisches Leiden in Erscheinung getreten sei oder das Krankheitsgeschehen erkennbar mitgeprägt habe. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin liegen dem angefochtenen Entscheid damit unrichtige Festlegungen des Ablauftermins der Nachdeckungsfrist (dazu E. 4) und zum andern des Zeitpunkts der objektiven Erkennbarkeit des psychischen Leidens (dazu E. 5) zugrunde.
4. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Nachdeckungsfrist gemäss Art. 10 Abs. 3 BVG sei bereits Ende September 2004 abgelaufen.
4.1 Die Kündigung des Arbeitsverhältnisses erfolgte mittels Schreiben vom 10. Dezember 2003 mit Wirkung auf den 29. Februar 2004. In Anwendung von Art. 40 Abs. 2 des allgemeinverbindlich erklärten Gesamtarbeitsvertrages (GAV) für das Schreinergewerbe 2001/2003 wurde die Beendigung des Arbeitsverhältnisses bis Ende August 2004 hinausgeschoben, womit die Nachfrist grundsätzlich Ende September 2004 abgelaufen wäre. Unter Bezugnahme auf die Bestimmung des Art. 40 Abs. 4 GAV nehmen Vorinstanz und Beschwerdegegner nun aber einen Ablauf der Versicherungsdeckung Ende Dezember 2004 bzw. Ende Januar 2005 (unter Berücksichtigung der Nachdeckungsfrist) an.
4.2 Die Beschwerdeführerin bringt vor, der GAV habe aufgrund der Kündigung durch den Verband Schweizerischer Schreinermeister und Möbelfabrikanten (VSSM) nur noch bis 11. Oktober 2004 gegolten und die Allgemeinverbindlicherklärung mit diesem Datum ihre Wirkung verloren.
4.2.1 Zu Unrecht macht der Beschwerdegegner geltend, es handle sich dabei um eine nach <ref-law> unzulässige neue Tatsache. Denn die Allgemeinverbindlicherklärung ist nicht eine Tatsache, sondern eine normative Regelung mit Rechtsetzungscharakter (Art. 4 des Bundesgesetzes vom 28. September 1956 über die Allgemeinverbindlicherklärung von Gesamtarbeitsverträgen [AVEG]; SR 221.215.311), welche im Bundesblatt publiziert wird (<ref-law>) und demzufolge als bekannt vorausgesetzt wird. Dasselbe gilt für die Ausserkraftsetzung der Allgemeinverbindlichkeit (<ref-law>), hier gemäss Bundesratsbeschluss vom 21. September 2004 mit Wirkung auf 11. Oktober 2004, wie in BBl 2004 5263 publiziert.
4.2.2 Letztlich kann aber offen bleiben, ob es sich um ein unzulässiges Novum handelt. Denn zumindest nach einem Teil der Lehre bildet der Einzelarbeitsvertrag mit allen sich daraus ergebenden Rechten und Pflichten ein Ganzes, weshalb die GAV-Normen nach dem effektiven Willen der Vertragsparteien auch Inhalt des Einzelarbeitsvertrages werden, sofern die Parteien nicht zulässigerweise einen abweichenden Inhalt vereinbart haben. Die Bestimmungen des jeweils geltenden GAV sind damit integrierender Bestandteil der Einzelarbeitsverträge. Sie haben eine doppelspurige Wirkung, indem sie einerseits gesetzlich normative Geltung erlangen und andererseits dem übereinstimmenden wirklichen Willen der Parteien des Einzelarbeitsvertrages entsprechen (Eugen X. Haener, Das Arbeitsverhältnis nach der ersatzlosen Beendigung des Gesamtarbeitsvertrages, 1984, S. 114 f.; Frank Vischer, Der Arbeitsvertrag, in: Schweizerisches Privatrecht, Bd. VII/4, 3. Aufl. 2005, S. 369; vgl. auch Rehbinder/Portmann, Basler Kommentar, 3. Aufl. 2003, N. 10 zu <ref-law> und N. 37 zu <ref-law>). Nach der ersatzlosen Beendigung des GAV gelten dessen Bestimmungen nur noch - aber immerhin - als vereinbarter Inhalt des Einzelarbeitsvertrages (Vischer/Albrecht, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 2006, N. 46 zu <ref-law>; Vischer, a.a.O., S. 369; Haener, a.a.O., S. 128; <ref-ruling> E. 3.1.2.2 in fine S. 23). Zwar gilt diese Nachwirkung der normativen Bestimmungen des GAV nicht ohne weiteres für Arbeitsverträge, die - wie hier - vor Inkrafttreten des GAV geschlossen worden sind (<ref-ruling> E. 3.1.2.2 S. 24), doch geht im vorliegenden Fall aus den Akten hervor, dass auch die Arbeitgeberin mindestens bis Ende Dezember 2004 von einem fortbestehenden Arbeitsverhältnis ausging. Das lässt keinen anderen Schluss zu, als dass zumindest stillschweigend die Fortgeltung der Bestimmungen des GAV vereinbart wurde.
4.2.3 Gemäss Art. 40 Abs. 4 GAV darf bei gänzlicher Arbeitsunfähigkeit infolge Krankheit oder Unfall beim überjährigen Arbeitsverhältnis frühestens auf den Termin gekündigt werden, in welchem der Anspruch auf das Kranken- oder Unfallversicherungsgeld erlischt oder Anspruch auf eine mindestens halbe Invalidenrente besteht.
4.2.4 Die normativen Bestimmungen eines GAV sind wie Gesetze auszulegen (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 284; <ref-ruling> E. 4.2 S. 214 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2a S. 322; Rehbinder/Portmann, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>). Ausgangspunkt der Auslegung einer Gesetzesnorm bildet ihr Wortlaut. Vom daraus abgeleiteten Sinne ist jedoch abzuweichen, wenn sich aus der Entstehungsgeschichte der Norm, aus ihrem Zweck oder aus dem Zusammenhang mit anderen Vorschriften ergibt, dass der Gesetzgeber diesen Sinn nicht gewollt haben kann. Bei der Auslegung einer Norm sind daher neben dem Wortlaut die so genannten historischen, teleologischen und systematischen Auslegungselemente zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 265 mit Hinweisen).
4.2.4.1 Bei einer Auslegung nach dem Wortlaut ist unklar, worauf sich das Wort "bei" bezieht. Die von der Beschwerdeführerin vertretene Auffassung, wonach die Arbeitsunfähigkeit im Zeitpunkt der Kündigung gegeben sein müsse, ist nicht die einzig mögliche. Vielmehr könnte sich der Passus auch auf den Zeitpunkt des Termins beziehen, auf welchen gekündigt wurde.
4.2.4.2 Von der Systematik her entsprechen die Absätze 1-3 des Art. 40 GAV <ref-law>, während Abs. 4 eine abweichende Regelung darstellt, welche einem anderen Gesichtspunkt folgt. Die Normierung in Abs. 4 weicht von Abs. 2 ab, was aber kein Widerspruch ist, sondern auch als ergänzende Regelung ausschliesslich für den Fall gänzlicher Arbeitsunfähigkeit verstanden werden kann, während Abs. 2 die Grundregel sowohl für gänzliche als auch für teilweise Arbeitsunfähigkeit darstellt.
4.2.4.3 Der Sinn und Zweck der Norm liegt offensichtlich darin, über die Annahme der Weitergeltung des Anstellungsverhältnisses während der Dauer der Krankentaggeldzahlung (Art. 24 GAV) zu vermeiden, dass der Arbeitnehmer zwecks Aufrechterhaltung des Versicherungsschutzes in eine KVG-Taggeld-Einzelversicherung übertreten muss (vgl. <ref-law>; Urteil K 100/96 vom 23. September 1997 E. 5, in: SVR 1998 KV Nr. 5 S. 13). Mit Blick auf diese Zielsetzung ist es unerheblich, ob die Kündigung vor oder nach Beginn der Arbeitsunfähigkeit ausgesprochen wurde, zumal diese Unterscheidung für den Arbeitgeber keine Rolle spielt, muss doch nicht er, sondern die Taggeldversicherung den Lohn bezahlen.
4.2.5 Die Berücksichtigung sämtlicher Auslegungselemente ergibt, dass die Norm des Art. 40 Abs. 4 GAV nicht nur bei Arbeitsunfähigkeit im Zeitpunkt der Kündigung, sondern auch bei Arbeitsunfähigkeit im Zeitpunkt des Termins, auf welchen gekündigt wurde, Anwendung findet. Im vorliegenden Fall führt diese Interpretation zum Ergebnis, dass Versicherungsdeckung jedenfalls (unter Berücksichtigung der Nachdeckungsfrist) bis Ende Januar 2005 bestand.
5. Selbst in diesem Fall hat sich nach Auffassung der Beschwerdeführerin das psychische Leiden des Beschwerdegegners nicht vor Beendigung des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich Ende Januar 2005 ablaufender Nachfrist) manifestiert.
5.1 Die Vorinstanz stellte im Wesentlichen gestützt auf das Gutachten des Dr. med. L._, Eidg. Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, Akupunktur TCM, vom 15. August 2007, fest, dass das Schmerzsyndrom bzw. die somatischen Gesundheitsstörungen, welche vorerst zur Zusprechung einer Teilrente führten, die psychische Befindlichkeit des Beschwerdegegners bereits vor 2005 beeinflusst hätten. Es sei überwiegend wahrscheinlich, dass während des streitigen Vorsorgeverhältnisses, d.h. vor Ende Dezember 2004 oder unter Einrechnung der Nachdeckungsfrist vor Ende Januar 2005, ein psychisches Leiden mit Krankheitswert erkennbar in Erscheinung getreten sei oder das Krankheitsgeschehen erkennbar mitgeprägt habe. Bei dieser Sachlage sei ein enger sachlicher Zusammenhang mit überwiegender Wahrscheinlichkeit gegeben und eine Leistungspflicht der Vorsorgeeinrichtung für die Erhöhung des Invaliditätsgrades ab 1. November 2005 zu bejahen.
5.2 Die Feststellung der Vorinstanz, dass während des streitigen Vorsorgeverhältnisses einschliesslich Nachdeckungsfrist ein psychisches Leiden mit Krankheitswert das Krankheitsgeschehen zumindest erkennbar mitgeprägt habe, ist nicht offensichtlich unrichtig oder willkürlich. Der Gutachter Dr. med. L._ ging davon aus, dass beim Beschwerdegegner primär ein chronisches muskoloskelettales Schmerzsyndrom vorliege, das in den letzten Jahren (mindestens seit 2003) zunehmend psychogen überlagert worden sei und zwar mit undifferenzierten Somatisierungssymptomen und mit dem anhaltenden Gefühl von Angst. Aus psychiatrischer Sicht habe die Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdegegners seit der Kündigung allmählich zugenommen; spätestens seit August 2005 sei der Versicherte alleine aus psychiatrischer Sicht zu 75 % arbeitsunfähig (auch für körperlich adaptierte Tätigkeiten; Gutachten vom 15. August 2007). Mit Blick auf diese medizinischen Ausführungen und die damit übereinstimmenden, nicht offensichtlich unrichtigen Überlegungen der Vorinstanz, wonach sich psychische Krankheiten während Monaten oder Jahren entwickelten, ist es nicht unhaltbar, entsprechend dem angefochtenen Entscheid für die Zeit ab Dezember 2004 eine relevante psychische Mitprägung anzunehmen. Dass entsprechende echtzeitliche Dokumente fehlen, worauf die Beschwerdeführerin hinweist, vermag unter diesen Umständen nicht zu schaden.
6. Zusammenfassend verletzt es Bundesrecht nicht, dass die Vorinstanz eine Leistungspflicht der Beschwerdeführerin für die beim Beschwerdegegner eingetretene Verschlechterung des Gesundheitszustandes bejaht hat.
7. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. September 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann