Faits:
A. Le 3 juin 2007, une élection s'est déroulée dans la commune de Vernier (GE) pour la désignation d'un membre du conseil administratif (exécutif). A._, candidat du parti E._ a été élu avec 2'474 voix, soit 40,54% des suffrages valables. Ont également obtenu des voix C._ (2'290 voix - 37,52%) et F._ (1'339 voix - 21,94%).
Le 6 juin 2007, B._, citoyenne de la commune de Vernier, a recouru contre la régularité de cette élection auprès du Tribunal administratif du canton de Genève. Elle alléguait en particulier que des représentants du parti E._ s'étaient rendus chez les électeurs et s'étaient fait remettre leur matériel de vote lorsque ceux-ci avouaient ne pas l'utiliser. Le 11 juin 2007, C._ et l'Association D._ ont également déposé un recours en alléguant notamment que des bulletins et des cartes d'électeurs signées avaient été récoltés directement chez les électeurs.
B. Le 12 juin 2007, le Procureur général du canton de Genève a ordonné l'ouverture d'une instruction pénale contre inconnu, pour captation de suffrages au sens de l'<ref-law>. Le 19 septembre 2007, le juge d'instruction en charge du dossier a inculpé A._ de fraude électorale (<ref-law>), de captation de suffrage (<ref-law>) et, subsidiairement, d'infraction à l'art. 183 de la loi cantonale sur l'exercice des droits politiques (LEDP; RS/GE A 5 05).
C. Par arrêt du 5 février 2008, le Tribunal administratif a admis les recours et a annulé l'élection du 3 juin 2007. En substance, il a considéré que le résultat de cette élection n'était pas l'expression fidèle et sûre de la volonté des électeurs au sens de l'art. 34 Cst. Il s'est fondé sur une impression d'ensemble du scrutin, en retenant notamment les éléments suivants:
Avant le scrutin litigieux, des personnes qui n'ont pas pu être identifiées se sont présentées chez des électeurs pour collecter leur matériel de vote, en leur faisant préalablement signer leur carte d'électeur - voire également celles d'autres membres de leur famille - de sorte que les électeurs concernés ne pouvaient pas savoir sur quel candidat leur suffrage serait reporté. Dans certains cas, les individus en question faisaient croire aux électeurs dupés qu'ils agissaient ainsi pour le compte des autorités communales. Ces opérations paraissent s'être déroulées principalement dans des quartiers où vivent de nombreux électeurs d'origine étrangère, exerçant pour la première fois leur droit de vote et peu informés du système électoral suisse.
D. Le 14 mars 2008, le Procureur général a ordonné le classement de la procédure pénale. Il constatait que des infractions contre la volonté populaire avaient pu être démontrées mais que leurs auteurs n'avaient pas pu être identifiés.
E. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif. Il se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) et de violation des droits politiques (art. 34 Cst.). Il requiert en outre l'octroi de l'effet suspensif. Le Tribunal administratif et la Commune de Vernier ont renoncé à présenter des observations. Le Conseil d'Etat du canton de Genève ainsi que B._, C._ et l'Association D._ se sont déterminés; ils concluent au rejet du recours. Le parti E._ s'est également déterminé et conclut à l'admission du recours.
F. Par ordonnance du 22 avril 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1. En vertu de l'art. 82 let. c LTF, le Tribunal fédéral connaît des recours en matière de droit public concernant le droit de vote des citoyens ainsi que les élections et votations populaires. Citoyen actif dans la commune de Vernier, le recourant voit son élection au pouvoir exécutif de cette commune annulée par l'arrêt attaqué; il a donc la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 et 3 LTF). Interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Saisi d'un recours pour violation des droits politiques, le Tribunal fédéral revoit librement l'interprétation et l'application du droit fédéral et du droit constitutionnel cantonal, ainsi que des dispositions de rang inférieur qui sont étroitement liées au droit de vote ou en précisent le contenu et l'étendue. Il n'examine en revanche que sous l'angle restreint de l'arbitraire l'interprétation d'autres règles du droit cantonal. En présence de deux interprétations également défendables, il s'en tient en général à celle retenue par la plus haute autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4 p. 131 et les arrêts cités).
3. La majeure partie du recours est constituée d'un exposé de faits. Dans la partie "en droit" de son écriture, le recourant se plaint également d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et dans l'établissement des faits pertinents.
3.1 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). L'existence de faits constatés de manière inexacte ou en violation du droit doit en outre être susceptible d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure (art. 97 al. 1 in fine LTF). Selon la jurisprudence, l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits sont arbitraires (art. 9 Cst.; pour une définition de l'arbitraire cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153) lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2a p. 41).
3.2 En l'espèce, le recourant se borne à relever de multiples éléments du dossier et à présenter sa propre appréciation des faits, sans aucunement démontrer en quoi les constatations de l'autorité intimée seraient manifestement insoutenables. Il est vrai que l'arrêt attaqué reprend lui-même de nombreux éléments du dossier pénal sans distinguer clairement les faits établis par l'instruction des simples allégations et sans préciser quels sont les faits décisifs. Cela étant, le recourant ne se plaint pas d'un défaut de motivation au sens de l'art. 29 al. 2 Cst., de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner plus avant cette question.
Si le recourant entendait se plaindre d'un établissement inexact des faits au sens de l'<ref-law>, il lui appartenait à tout le moins de démontrer en quoi les faits repris dans la subsomption de l'arrêt querellé (consid. 8, p. 36 s.) auraient été constatés de manière arbitraire, ce qu'il ne fait pas. Le seul élément critiqué concrètement est l'affirmation du Tribunal administratif selon laquelle le service chargé des élections et votations avait envoyé du matériel de vote sur la base de demandes de duplicata non signées, sans s'assurer que les destinataires de ces envois souhaitaient effectivement les recevoir. Or, cette constatation se fonde sur les déclarations d'un fonctionnaire du service concerné et on ne voit pas en quoi elle serait manifestement insoutenable comme le recourant l'affirme. Il y a lieu de relever à cet égard que la question d'une éventuelle influence de cet élément sur le résultat du scrutin ne relève pas de la constatation des faits mais de l'appréciation juridique de ceux-ci, se confondant ainsi avec le grief de violation des droits politiques. Il en va de même des autres critiques relatives à l'influence des irrégularités sur le résultat du scrutin. Dans ces conditions, c'est en vain que le recourant expose de multiples éléments de faits à l'appui de ses arguments, sans démontrer l'arbitraire des constatations de l'autorité intimée; seul est donc déterminant l'état de fait de l'arrêt attaqué, dans la mesure où il ne présente pas de lacunes ou d'erreurs manifestes.
4. Le recourant se plaint également d'une violation de l'art. 34 Cst., au motif que les bulletins nuls n'avaient pas pu exercer une influence décisive sur l'issue du scrutin.
4.1 L'art. 34 al. 1 Cst. garantit de manière générale et abstraite les droits politiques, que ce soit sur le plan fédéral, cantonal ou communal. Selon l'art. 34 al. 2 Cst., qui codifie la jurisprudence du Tribunal fédéral établie sous l'empire de la Constitution fédérale du 29 mai 1874, cette garantie protège la libre formation de l'opinion des citoyens et des citoyennes et l'expression fidèle et sûre de leur volonté (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 108; <ref-ruling> consid. 2a p. 57 s.; <ref-ruling> consid. 3 p. 141, 187 consid. 3a p. 190). Cette disposition consacre la liberté de vote, dont la jurisprudence a notamment déduit le droit pour les électeurs de se former une opinion sur la base la plus libre et la plus complète possible (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 132; <ref-ruling> consid. 5 p. 192; <ref-ruling> consid. 2a p. 444), le droit de voter dans le secret et à l'abri de toute pression ou influence extérieure (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 132; <ref-ruling> consid. 2a p. 73) et le droit d'exiger qu'aucun résultat ne soit reconnu s'il n'exprime pas la libre volonté du corps électoral (ATF <ref-ruling> consid. 7.2 p. 199; <ref-ruling> consid. 4b p. 71; <ref-ruling> consid. 3 p. 141). De cette garantie découle notamment le droit à une exécution régulière du scrutin (ATF <ref-ruling> consid. 3 p. 141 et les arrêts cités; cf. Bernhard Maag, Urnenwahl von Behörden im Majorzsystem, thèse Zurich 2004, p. 64). Les prescriptions de forme ressortissent au droit cantonal, qui fixe notamment la procédure du vote par correspondance (art. 8 al. 1 de la loi fédérale sur les droits politiques [LDP; RS 161.1]; <ref-ruling> consid. 3 p. 190 ss).
Pour qu'un scrutin soit annulé, il n'est pas nécessaire de prouver qu'un vice de procédure a effectivement influencé le scrutin de façon décisive; il suffit que cela ait été possible (<ref-ruling> consid. 7a p. 59; <ref-ruling> consid. 3 p. 663; Andreas Auer/Giorgio Malinverni/Michel Hottelier, Droit constitutionnel suisse, Vol. 1., 2e éd., Berne 2006, p. 304). L'annulation n'interviendra toutefois que si le vice est important et de nature à influer sur le résultat du scrutin (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 449; <ref-ruling> consid. 5b/aa p. 12; <ref-ruling> consid. 3b p. 273; <ref-ruling> consid. 7a p. 59; Piermarco Zen-Ruffinen, L'expression fidèle et sûre de la volonté du corps électoral, in: Thürer/Aubert/ Müller (éd.), Droit constitutionnel suisse, Zurich 2001, n. 46 p. 361). La jurisprudence considère en particulier que la collecte par les représentants d'un parti de bulletins d'électeurs non astreints à la remise personnelle de leur vote est en soi inadmissible et qu'un tel comportement peut conduire, suivant son ampleur, à l'annulation de l'élection (ATF <ref-ruling> consid. 4 p. 664). Lorsque les irrégularités ne peuvent pas être chiffrées, il suffit que les circonstances fassent apparaître l'influence sur le résultat du scrutin comme possible. Il faut alors prendre en considération notamment l'importance de l'écart des voix, la gravité du vice constaté et son influence sur le vote dans son ensemble. Le Tribunal fédéral examine librement cette question (<ref-ruling> consid. 3a p. 134 et les références).
4.2 Le Tribunal administratif a retenu qu'un certain nombre d'électeurs avaient remis à des tiers leur carte de vote signée ainsi que, dans certains cas, les cartes de membres de leur famille. Il a considéré que ces comportements violaient non seulement l'art. 34 Cst., mais également l'art. 63 LEDP interdisant le vote par procuration et l'art. 21 du règlement d'application de la loi sur l'exercice des droits politiques (REDP; RS/GE A 5 05.01), qui prévoit que l'électeur doit signer sa carte de vote et y inscrire sa date de naissance avant de l'expédier avec une enveloppe fermée contenant son bulletin de vote. Se fondant sur une impression d'ensemble, le Tribunal administratif a considéré qu'une influence sur le résultat du scrutin était possible, de sorte qu'il ne représentait pas l'expression fidèle et sûre de la volonté des électeurs au sens de l'art. 34 al. 2 Cst.
4.3 En l'occurrence, l'instruction pénale a permis d'établir un certain nombre d'irrégularités. Ainsi, G._ a déclaré avoir reçu la visite d'un individu qui lui avait fait signer sa carte et celle de son fils avant de les emporter. H._ a affirmé que quelqu'un avait sonné à sa porte pour lui dire qu'il pouvait lui remettre son matériel électoral en se contentant de signer sa carte. I._ a déclaré avoir signé et remis les cartes de plusieurs membres de sa famille, à la demande d'individus s'étant présentés chez elle. J._ a dit que son épouse avait été incitée à signer sa carte de vote et celle de son mari avant de la remettre au tiers qui s'était présenté à sa porte. K._, L._, M._, N._, O._, P._, Q._, R._, S._ et T._ rapportent également que des individus se sont présentés à leur domicile pour leur demander de signer et de leur remettre leur carte d'électeur et celles des autres membres de leur famille. Les témoins K._, M._, N._, S._ et T._ mettent directement en cause le recourant ou des représentants de son parti. Quant aux témoins L._ et P._, elles disent avoir eu connaissance d'autres cas semblables.
Par ailleurs, U._ et V._ rapportent avoir vu un individu - qui appelait à voter pour le recourant - remplir le matériel de vote de personnes étrangères. De plus, le recourant a demandé à plusieurs concierges d'immeubles de récolter le matériel de vote qui aurait pu être jeté par les locataires. Le recourant reconnaît ce fait, en expliquant toutefois qu'il avait seulement l'intention d'aller trouver les personnes ayant jeté leur matériel de vote et que de toute façon aucun concierge ne l'avait rappelé. Des concierges ont en outre déclaré que des cartes de visite et des affiches appelant à voter pour le recourant avaient été disposées dans des immeubles, l'un d'eux précisant que l'affichage était interdit dans son immeuble. Il a également été constaté que des demandes de duplicata du matériel de vote ont été faites de manière irrégulière, le recourant ou ses représentants les ayant établies au nom d'électeurs qu'ils avaient abordés, sans que ceux-ci n'aient signé le formulaire de demande. Le service compétent a en outre admis avoir expédié du matériel de vote sur la base de demandes de duplicata non signées, sans s'assurer que les destinataires de ces envois souhaitaient effectivement les recevoir. Enfin, au terme de son rapport du 5 novembre 2007, l'expert mandaté par le juge d'instruction a conclu que les onze cartes de vote qui lui avaient été soumises avaient très vraisemblablement été remplies par le même individu.
4.4 Le recourant admet que des irrégularités ont pu être établies dans trente-quatre cas mentionnés par l'arrêt attaqué. Il soutient cependant que seules dix-huit de ces irrégularités peuvent être attribuées à l'intervention de tiers, les seize autres étant à mettre sur le compte d'une méconnaissance des modalités de vote. De plus, il relève qu'on ne peut pas affirmer que les suffrages en question lui aient été attribués. Il soutient enfin que le nombre d'irrégularités établies ne suffit pas à remettre en cause son élection avec cent-huitante-quatre voix d'avance.
Il est exact que les irrégularités n'ont pas pu être chiffrées précisément et que celles que l'instruction pénale a permis d'établir sont largement inférieures aux cent-huitante-quatre voix d'avance du recourant. Il est cependant manifeste que l'instruction n'a pas porté sur l'ensemble des suffrages exprimés par correspondance, le juge d'instruction ayant dû procéder par pointage, en retenant notamment les cartes d'électeurs présentant la même écriture. De plus, sur le vu des méthodes mises en lumière par l'enquête, on peut raisonnablement déduire des témoignages précités que la collecte illicite de matériel de vote a été organisée à une échelle dépassant la vingtaine de cas établis. Par ailleurs, même s'il n'a pas été possible d'identifier tous les auteurs des comportements susmentionnés, on ne peut pas exclure que la majorité de ces irrégularités aient profité au même candidat. S'il est vrai que le recourant et son parti sont les seuls mis en cause par les témoins interrogés, la question du bénéficiaire des voies détournées importe peu en définitive. En effet, l'objet du présent litige est uniquement la validité de l'élection et non pas le comportement du recourant à cette occasion.
Quoi qu'il en soit, il n'était pas indispensable de démontrer que les vices constatés avaient effectivement influencé le scrutin de façon décisive, car l'ensemble des irrégularités constatées suffisait à rendre plausible une telle influence. En effet, outre la collecte illicite de matériel de vote au domicile d'électeurs dupés, l'instruction a révélé d'autres comportements très discutables tels que la tentative de collecte de matériel de vote auprès des concierges, l'influence d'électeurs étrangers, l'affichage abusif dans des immeubles ou les demandes de duplicata irrégulières. Au demeurant, le seul fait de collecter des cartes d'électeurs signées dans le but de voter à la place des personnes dupées constitue une atteinte particulièrement grave à la liberté de vote au sens de l'art. 34 Cst. Compte tenu du nombre de voix relativement faible séparant le recourant de son dauphin, du nombre d'irrégularités découvertes par sondage et de la gravité de certaines d'entre elles, la possibilité d'une influence sur le résultat du scrutin ne peut qu'être reconnue. Dans ces circonstances, le Tribunal administratif n'a pas violé l'art. 34 Cst. en décidant d'annuler l'élection litigieuse.
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Avec l'entrée en vigueur de la LTF, la pratique consistant à renoncer au prélèvement d'un émolument judiciaire en matière de droit de vote des citoyens a été abandonnée (<ref-ruling> consid. 4 p. 142 s.). Le recourant, qui succombe, doit donc supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Les intimés, qui obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un avocat, ont droit à des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 1000 fr. est allouée à B._ à titre dépens, à la charge du recourant.
4. Une indemnité globale de 1500 fr. est allouée à C._ et à l'Association D._ à titre de dépens, à la charge du recourant.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, au parti E._, au mandataire de la Commune de Vernier, au Conseil d'Etat et au Tribunal administratif du canton de Genève.
Lausanne, le 29 mai 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener