Faits:
A. A.a Le 2 novembre 2006, la commune de X._ et le Département cantonal neuchâtelois de la Justice, de la Sécurité et des Finances (DJSF) ont conclu un contrat de prestations concernant la prise en charge et la gestion des activités de police sur le territoire de cette commune. Ce contrat contient notamment les dispositions suivantes :
Art. 6 - Le personnel de la police communale de X._ est transféré à la police cantonale sous réserve de l'article 7.
Art. 7 - La police cantonale n'est tenue d'intégrer dans son corps que les membres aptes à servir dans la police au sens du Règlement d'exécution de la Loi sur la police cantonale du 25 mai 2005, sous réserve de l'accomplissement réussi d'une formation complémentaire.
Art. 8 - Le personnel transféré est rémunéré selon l'échelle des traitements cantonale. Le salaire réalisé au moment du transfert est pris en considération.
A.b C._ a été engagé le 1er février 2005 en qualité d'agent au sein de la police locale de X._. Dès le 1er juillet 2006, il a été promu au grade d'appointé. Le 6 octobre 2006, le Conseil communal a ordonné avec effet immédiat sa suspension provisoire en raison de l'ouverture d'une enquête pénale à son encontre pour infraction à l'art. 197 du Code pénal suisse (en l'occurrence téléchargement et enregistrement de documents ayant comme contenu des actes d'ordre sexuel sur des enfants). Le 27 décembre 2006, le Conseil communal a signifié à l'intéressé que son poste d'agent de police communale serait supprimé au 30 juin 2007, en raison de la signature du contrat susmentionné. Le Conseil précisait qu'il appartiendrait à la police cantonale de se prononcer sur une éventuelle incorporation de l'intéressé au sein de la gendarmerie cantonale, une fois connue l'issue de la procédure pénale en cours et conformément à l'art. 7 du contrat de prestations.
A.c Par jugement du 6 juin 2007, le Tribunal de police du district de Y._ a exempté de peine C._. Il a considéré que le prévenu, bien qu'ayant commis les actes reprochés alors qu'il n'était pas dans l'exercice de sa fonction de policier, avait agi pour un mobile honorable, savoir lutter contre la pédophile sur internet. Sur le plan pénal, la culpabilité du prévenu, ainsi que les conséquences négatives de ses actes, étaient cependant peu importantes, raison pour laquelle il se justifiait de renoncer à lui infliger une peine. Le tribunal a mis à sa charge les frais de la cause, arrêtés à 2'300 fr.
A.d A la suite de ce jugement, C._ a demandé à être intégré dans le corps de la police cantonale. Par lettre du 14 janvier 2008, le conseiller d'Etat, chef du DJSF, lui a communiqué qu'une telle intégration n'était pas envisageable, dans la mesure où il ne présentait pas le profil requis pour l'exercice de la fonction de policier. Rappelant la teneur du règlement d'exécution de la loi sur la police cantonale, selon lequel l'une des conditions d'aptitude suppose une bonne réputation et l'absence de condamnation pénale incompatible avec l'exercice de la fonction, il a considéré que, même si l'intéressé avait été exempté de toute peine par le juge pénal, les faits retenus à sa charge ne permettaient pas de se forger une appréciation positive de sa personnalité.
B. C._ a recouru devant le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel en lui demandant d'ordonner son intégration dans les rangs de la gendarmerie cantonale, conformément au contrat de prestations du 2 novembre 2006. Il a également conclu à la restitution de supports informatiques séquestrés par la police au cours de l'enquête pénale dirigée à son encontre.
Statuant le 25 janvier 2010, le Tribunal administratif a déclaré le recours irrecevable, au motif que le courrier du chef du DJSF ne pouvait pas être considéré comme une décision. En ce qui concerne la conclusion relative à la restitution des supports informatiques, le tribunal l'a également déclarée irrecevable.
C. C._ exerce un recours en matière de droit public et, subsidiairement, un recours constitutionnel subsidiaire. Il conclut, principalement, à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause au Tribunal administratif pour nouvelle décision. Subsidiairement, il demande la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il doit être intégré dans le corps de la police cantonale neuchâteloise.
Le DJSF conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre une décision finale d'irrecevabilité prise en dernière instance cantonale. Sur le fond, le litige porte sur l'intégration du recourant au sein de la police cantonale neuchâteloise. La décision attaquée concerne donc des rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF et 85 al. 1 let. b LTF. Il s'agit d'une affaire pécuniaire, dès lors que l'incorporation du recourant est directement liée au droit au traitement. La contestation porte sur le traitement de plusieurs mois, voire de plusieurs années. La valeur litigieuse est supérieure au seuil de 15'000 fr. fixé par l'<ref-law>.
2. Le recourant indique par ailleurs qu'il a retrouvé un emploi d'appointé de police dans le canton de Vaud (commune de Z._) dès le 1er septembre 2009. Il déclare toutefois avoir conservé son domicile à X._, là où lui, son épouse et ses enfants souhaitent vivre, où ces derniers suivent leur scolarité et où il a tout son tissu social. Il souhaite travailler près de chez lui, sans devoir faire des trajets jusqu'à Z._ et sans avoir à y louer une chambre en raison de ses horaires irréguliers. Sur cette base, on doit admettre qu'il a conservé un intérêt actuel, à tout le moins de fait, à son recours (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 404, 409 consid. 1.3 p. 413, 81 consid. 3 p. 84; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 365).
3. Le recours en matière de droit public est donc recevable. La décision attaquée pouvant ainsi faire l'objet d'un recours selon les <ref-law>, le recours constitutionnel est irrecevable (<ref-law>), étant d'ailleurs précisé que le droit fédéral dont la violation peut être invoquée à l'appui d'un recours en matière de droit public (<ref-law>) comprend les droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3 p. 466).
4. Sous réserve d'exceptions (cf. art. 95 let. c et d LTF), non réalisées en l'espèce, la violation du droit cantonal ne constitue pas un motif de recours (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382). Le recourant peut donc uniquement se plaindre de ce que la violation du droit cantonal par l'autorité précédente consacrerait simultanément une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law>, en particulier l'interdiction de l'arbitraire garantie par l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382 s.; <ref-ruling> consid. 1 p. 203; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466).
5. 5.1 Les premiers juges ont considéré qu'une communication par laquelle l'autorité écarte une candidature ne revêt pas de caractère décisionnel, le droit cantonal en matière de fonction publique ne prévoyant pas la notification d'une décision aux personnes dont la candidature est écartée. Le fait que le recourant était précédemment employé au service de la commune de X._ ne permet pas de déroger à cette règle. En effet, son poste ayant été supprimé par son ancien employeur et aucun recours n'ayant été interjeté contre la décision y relative, l'intéressé se trouvait sans emploi lorsque le DJSF lui a signalé ne pas vouloir l'intégrer dans le corps de la police cantonale le 14 janvier 2008. Il se trouvait dès lors dans la situation d'un simple candidat à un poste dans la fonction publique. Les premiers juges relèvent par ailleurs que les conventions passées entre collectivités publiques, en particulier les contrats de prestations de service, sont des contrats de droit administratif qui ne créent de droits qu'entre les parties concernées. Le recourant ne pouvait dès lors déduire aucun droit du contrat conclu entre la commune et le DJSF le 2 novembre 2006, quand bien même ce contrat prévoyait que le personnel de la police communale était transféré à la police cantonale, sous la réserve qu'il fût apte à servir. Partant, le courrier du DJSF ne pouvait pas être considéré comme une décision, de sorte que le recours devait être déclaré irrecevable. S'agissant de la conclusion prise par le recourant visant à ce que des supports informatiques lui soient restitués, la juridiction cantonale a retenu qu'elle était également irrecevable. En effet, aucune décision à ce sujet n'avait été prise par le DJSF, à supposer au demeurant qu'il fût compétent pour statuer.
5.2 Le recourant ne conteste pas l'irrecevabilité de cette dernière conclusion, de sorte que, sur ce point, le jugement attaqué est entré en force.
5.3 Entre autres griefs, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir arbitrairement déclaré son recours irrecevable au motif que la communication du 14 janvier 2008 ne répondait pas à la notion de décision. Il se plaint d'une application arbitraire de l'art. 3 de la loi neuchâteloise sur la procédure et la juridiction administratives du 27 juin 1979 (LPJA; RS/NE 152.130).
6. 6.1 En droit public, la notion de «décision» au sens large vise habituellement toute résolution que prend une autorité et qui est destinée à produire un certain effet juridique ou à constater l'existence ou l'inexistence d'un droit ou d'une obligation; au sens étroit, c'est un acte qui, tout en répondant à cette définition, intervient dans un cas individuel concret (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 331). Selon la teneur de l'art. 3 al. 1 LPJA, est considérée comme une décision au sens de cette loi toute mesure prise par les autorités dans des cas d'espèce, fondée sur le droit public fédéral, cantonal ou communal, ayant pour objet de créer, de modifier ou d'annuler des droits ou des obligations (let. a); de constater l'existence, l'inexistence ou l'étendue de droits ou d'obligations (let. b); de rejeter ou de déclarer irrecevables les demandes tendant à créer, modifier, annuler ou constater des droits ou des obligations (let. c). Cette disposition définit la notion de décision de la même manière que l'art. 5 al. 1 de la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative (PA; ROBERT SCHAER, Juridiction administrative neuchâteloise, Commentaire de la loi sur la procédure et la juridiction administratives [LPJA] du 27 juin 1979,1995, p. 20). La notion de décision implique donc un rapport juridique obligatoire et contraignant entre l'autorité et l'administré (cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 477). En revanche, de simples déclarations, comme des opinions, des communications, des prises de position, des recommandations ou des renseignements n'entrent pas dans la catégorie des décisions, faute de caractère juridique contraignant (voir par exemple arrêt 1C_358/2008 du 28 janvier 2009 consid. 2.2; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6ème éd., 2010, no 867 ss; PIERRE MOOR, Droit administratif, vol. II, 2002, no 2.1.2.1 p. 156 s.; BENOÎT BOVAY, Procédure administrative, 2000, p. 259 ss). De même, ne sont pas des décisions les actes internes ou d'organisation, qui visent les situations à l'intérieur de l'administration; il peut y avoir des effets juridiques, mais ce n'en est pas l'objet. C'est pourquoi ils ne sont en règle générale pas susceptibles de recours (ATF 8D_8/2009 du 16 août 2010 consid. 4.4; MOOR, op. cit., no 2.1.2.3 p. 164; BOVAY, op. cit., p. 261).
6.2 Dans sa demande au DJSF, puis devant la juridiction cantonale, le recourant entendait déduire de la convention entre la commune de X._ et le DJSF un droit à son intégration dans la police cantonale après qu'il eut été exempté de toute peine par le Tribunal de police du district de Y._. Le chef du DJSF a rejeté sa demande au motif qu'il ne remplissait pas les exigences requises par les art. 14 al. 1 let. d de la loi cantonale sur la police neuchâteloise du 20 février 2007 (LPol; RS/NE 561.1) et 45 let. a de son règlement d'exécution (celui-ci dans sa version en vigueur jusqu'au 30 juin 2009). Il ressort de ces dispositions que pour être admis dans la gendarmerie, il faut notamment jouir d'une bonne réputation et ne pas avoir encouru de condamnations pénales incompatibles avec l'exercice de la fonction. L'acte litigieux du chef du DJSF répond indubitablement à la notion de décision. Le refus d'intégrer un agent municipal dans la police cantonale en application de la convention doit nécessairement être concrétisé par une décision formelle qui se fonde sur la réglementation de droit public précitée à laquelle la convention fait référence. Ce refus fait obstacle à une prétention - justifiée ou non - de l'agent et doit ainsi être considéré comme une décision négative au sens de l'art. 3 al. 1 let. c LPJA et 5 al. 1 let. c PA.
6.3 Contrairement à ce que suggèrent les considérants du jugement attaqué, le caractère décisionnel d'une mesure ne dépend pas d'un intérêt juridiquement protégé de son destinataire. Un intérêt de fait peut suffire (cf. MOOR, op. cit., no 2.1.2.2 p. 162; voir également à propos de la notion de décision susceptible de faire l'objet d'un recours en matière de droit public, ALAIN WURZBURGER, in Commentaire de la LTF, 2009, no 39 ad art. 82). Le point de savoir si le recourant pouvait ou non déduire un droit de la convention précitée est une question qui doit être examinée avec le fond du litige.
6.4 Le fait que le recourant n'a pas attaqué la décision de la commune de mettre fin à ses rapports de service ne saurait être décisif dans ce contexte. La décision de la commune était la conséquence logique du transfert des agents de la police communale à la police cantonale. Elle relevait de la réglementation sur le personnel communal. Elle ne concernait en rien l'incorporation du recourant au sein de la police cantonale et les conditions requises pour cela. Cette décision et celle du DJSF avaient deux objets distincts et l'exception de la chose jugée ne pouvait être opposée à la prétention litigieuse.
6.5 En conclusion, les premiers juges ne pouvaient, sans tomber dans l'arbitraire, nier tout caractère décisionnel à la communication en question du chef du DJSF. Le grief soulevé est dès lors bien fondé.
7. 7.1 A ce stade, le Tribunal fédéral n'a pas à examiner le fond de la contestation, mais doit en principe renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement. Il est vrai que les premiers juges, dans le contexte de l'analyse du caractère de l'acte litigieux, se sont indirectement exprimés sur le fond en considérant que la convention ne conférait aucun droit pour les agents concernés à être intégrés dans la police cantonale. Mais ce point de vue ne s'impose pas d'emblée comme une évidence.
7.1.1 Comme le relève le Tribunal administratif, le contrat de prestations en question est un contrat de droit administratif, soumis au droit public dans la mesure où il tend directement, dans l'intérêt public, à l'accomplissement de tâches publiques (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 301; THIERRY TANQUEREL, La nature juridique des contrats de prestations in François Bellanger/Thierry Tanquerel [édit.], Les contrats de prestations, 2002, p. 22; MINH SON NGUYEN, Le contrat de collaboration en droit administratif, 1998, p. 12 ss). Un contrat de prestations ne peut en principe pas être contesté par des tiers (FRANÇOIS BELLANGER, Le contentieux des contrats de prestations, in Les contrats de prestations, p. 50 s.). En l'espèce, le recourant ne remet pas en cause le contrat de prestations en tant que tel. Il soutient toutefois que la convention a créé des droits en faveur des agents communaux au moyen d'une stipulation pour autrui. Cette argumentation n'apparaît de prime abord pas dépourvue de tout fondement. Conformément à l'<ref-law>, le tiers obtient aussi une créance en exécution contre le débiteur lorsque telle est la volonté des parties au contrat ou l'usage (stipulation pour autrui parfaite). Par ailleurs, la stipulation pour autrui peut en principe s'appliquer à n'importe quel type de contrat (PATRICK KRAUSKOPF, Der Vertrag zugunsten Dritter, 2000, no 331 p. 83 et les références citées) et donc en particulier aux contrats de prestations, bien que ceux-ci, à l'instar des contrats de droit privé, ne déploient en règle ordinaire d'effets juridiques qu'entre les parties (cf. NGUYEN, op. cit., p. 146).
7.1.2 Dans le cas particulier, le contrat de prestations contient des règles précises et contraignantes pour l'Etat de Neuchâtel en faveur des policiers municipaux. Selon les termes des art. 6 et 7 de la convention, le transfert de la police municipale à la police cantonale s'opère de manière quasi automatique pour les agents qui sont aptes à servir dans la police au sens du Règlement d'exécution de la loi sur la police cantonale du 25 mai 2005 et sous réserve de l'accomplissement réussi d'une formation complémentaire. L'autorité ne procède pas à une mise au concours. Dans une certaine mesure, les conditions salariales de l'agent transféré sont déjà précisées dans le contrat. On peut dès lors sérieusement s'interroger sur le point de savoir si l'intention des parties n'était pas de garantir aux agents concernés un droit propre et directement invocable au maintien de leur emploi sous la forme d'un transfert dans un nouveau corps de police et ce pour autant que les conditions en fussent remplies. Cette garantie, du reste, peut être considérée comme la concrétisation du principe de proportionnalité, qui s'applique même en l'absence de normes idoines et qui commande que l'Etat (ou une commune), lorsqu'il supprime un poste en raison notamment d'une restructuration, doit proposer si possible à l'agent concerné une autre place correspondant à ses capacités (arrêts 8C_176/2009 du 14 septembre 2009 consid. 7.2 et 1C_309/ 2008 du 28 janvier 2009 consid. 2.2; PETER HÄNNI, La fin des rapports de service en droit public, in RDAF 1995 p. 407 ss, spéc. p. 429). Dans sa décision, le chef du DJSF semble également être parti de l'idée que la convention confère un droit propre aux agents visés par celle-ci, puisqu'il a procédé à un examen détaillé des conditions mises par la convention à une intégration au sein de la police cantonale et qu'il est parvenu à la conclusion que celles-ci n'étaient pas réalisées.
7.2 En l'état de la procédure, il n'y a toutefois pas lieu de trancher définitivement la question. Les premiers juges n'y ont pas prêté une attention particulière, puisqu'ils ont d'emblée déclaré le recours irrecevable pour un motif d'ordre purement formel. De même, il n'est pas nécessaire de se prononcer sur les autres griefs du recourant sur le fond. Il convient bien plutôt de retourner l'affaire à la juridiction cantonale pour qu'elle statue à nouveau, celle-ci étant invitée à un nouvel examen du cas compte tenu du caractère décisionnel de la mesure prise à l'encontre du recourant. La conclusion principale du recours se révèle dès lors bien fondée.
8. Vu l'issue du litige, les frais de la cause sont mis à la charge de l'intimé qui succombe (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 8.1.4 p. 41). Le recourant, assisté d'un avocat, a droit à des dépens, à la charge de l'intimé (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est admis. Le jugement du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel du 25 janvier 2010 est annulé dans la mesure où il porte sur la prétention du recourant à être intégré au sein de la police cantonale.
3. La cause est renvoyée au Tribunal administratif pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
5. L'intimé versera au recourant la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lucerne, le 12 octobre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: La Greffière:
Leuzinger von Zwehl