Sachverhalt:
A.
Mit Beschluss vom 27. Februar 2012 entzog die Vormundschaftsbehörde E._ und M._, damals wohnhaft in der Gemeinde X._, vorläufig die elterliche Obhut über ihre am 9. September 2009 geborene Tochter R._. Zugleich wurde das Kind im Rahmen einer vorsorglichen Kindesschutzmassnahme in einer SOS-Pflegefamilie platziert. Auf Empfehlung der am 8. Juni 2012 erstellten Expertise der Kinder- und Jugendpsychiatrie (KJP) Graubünden verfügte die Vormundschaftsbehörde am 6./28. Juni 2012 den definitiven Obhutsentzug und die dauernde Fremdplatzierung des Mädchens woraufhin am 23. Juli 2012 ein Dauerpflegeverhältnis bei einer Familie in Q._ begründet wurde. Die Eltern des Kindes, zwischenzeitlich getrennt und in Y._ (E._) bzw. Z._ (M._) lebend, vereinbarten am 30. September 2012 (eheschutzrichterlich am 15. Oktober 2012 genehmigt), dass M._ für seine Tochter einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 320.- direkt an die Pflegefamilie leiste; ferner wurden die Besuchsmodalitäten der weiterhin als Inhaber der elterlichen Sorge fungierenden Elternteile geregelt. Mit Schreiben vom 29. August 2012 gelangte die Vormundschaftsbehörde an die Gemeinde X._ und ersuchte um Begleichung der seit 23. Juli 2012 in Zusammenhang mit R._ angefallenen Pflege- und Nebenkosten. Am 9. November 2012 beschied der Gemeindevorstand das Ansinnen abschlägig.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden gut, hob die angefochtene Verfügung mit der Feststellung auf, dass R._ einen eigenen Unterstützungswohnsitz im Sinne von Art. 7 Abs. 3 lit. c des Bundesgesetzes vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1) in der Gemeinde X._ begründet habe, und wies die Angelegenheit zu erneutem Entscheid an die Gemeinde zurück (Entscheid vom 18. Juni 2013).
C.
Die Gemeinde X._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die gegen ihre Verfügung vom 9. November 2012 gerichtete Beschwerde abzuweisen.
Das kantonale Gericht und R._ lassen auf Abweisung der Beschwerde schliessen, soweit darauf einzutreten sei. Letztere ersucht zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) sowie um superprovisorische Anweisung der Gemeinde X._, sie umgehend sozialhilferechtlich zu unterstützen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 417 mit Hinweisen); immerhin muss die Eingabe auch bezüglich der Eintretensvoraussetzungen hinreichend begründet sein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 121; Urteil 8C_500/2012 vom 22. November 2012 E. 1 mit Hinweisen).
1.1.1. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich - die Rückweisung dient einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten im Sinne der frankenmässigen Berechnung der seit 23. Juli 2012 angefallenen und inskünftig zu erstattenden Pflege- und Nebenkosten - um einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz gemäss Art. 86 Abs. 1 lit. d in Verbindung mit <ref-law> (Urteil 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007 E. 1.1 mit Hinweisen, in: SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131).
1.1.2. Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht somit grundsätzlich auch auf dem Gebiet der kantonalen Sozialhilfe zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu in Art. 83 keinen Ausschlussgrund.
1.1.3. Die Beschwerdeführerin beruft sich für ihre Legitimation auf <ref-law> und somit auf das allgemeine Beschwerderecht. Danach ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten befugt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Diese Regelung ist in erster Linie auf Privatpersonen zugeschnitten, doch kann sich auch das Gemeinwesen darauf stützen, falls es durch einen angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie ein Privater oder aber in spezifischer Weise in der Wahrnehmung einer hoheitlichen Aufgabe betroffen wird und nicht bloss das allgemeine Interesse an der richtigen Rechtsanwendung geltend macht (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 149; <ref-ruling> E. 1.4 S. 273 f.; <ref-ruling> E. 1.4 S. 268; Urteil 8C_500/2012 vom 22. November 2012 E. 2.2.1). Das ist namentlich der Fall, wenn es um Eingriffe in das Finanz- oder Verwaltungsvermögen geht, indem die Gemeinde als Verfügungsadressatin zu finanziellen Leistungen verpflichtet wird (Urteil 1P.481/1998 vom 11. März 1999 E. 1c). Vorinstanzlich wurde entschieden, dass die Beschwerdeführerin die in Zusammenhang mit der Fremdplatzierung der Beschwerdegegnerin seit 23. Juli 2012 angefallenen und künftigen Pflege- sowie Nebenkosten zu übernehmen hat. Sie ist daher zur Beschwerdeführung legitimiert.
1.2. Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde ist nach dem Gesagten einzutreten (<ref-law>).
2.
2.1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Ausserhalb des Anwendungsbereichs von Art. 95 lit. c-e BGG, welche Vorschriften hier nicht zum Tragen kommen, bleibt die Kognition des Bundesgerichts bezüglich des kantonalen Rechts unter dem Bundesgerichtsgesetz im Vergleich zum früheren Recht unverändert. Die Verletzung kantonaler Bestimmungen bildet nur dann einen zulässigen Beschwerdegrund, wenn eine derartige Rechtsverletzung einen Verstoss gegen Bundesrecht im Sinne von <ref-law> oder gegen Völkerrecht im Sinne von <ref-law> zur Folge hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.; Urteil 8C_1053/2009 vom 16. August 2010 E. 2.2). Dies gilt im Bereich der Sozialhilfe auch, soweit das massgebliche kantonale Unterstützungsrecht - wie im vorliegenden Fall (vgl. E. 3.2 hiernach) - auf Normen des ZUG verweist. Letztere gelangen dadurch als ergänzendes kantonales Recht zur Anwendung.
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht gilt demgegenüber eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid die Grundrechte oder kantonales und interkantonales Recht verletzt, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; die erhobenen Rügen müssen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3.2 S. 400; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262; <ref-ruling> E. 2.1 S. 120; je mit Hinweisen; Urteil 8C_451/2013 vom 20. November 2013 E. 2.3 mit Hinweisen).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Willkür in der Rechtsanwendung liegt dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.1 S. 51, 305 E. 4.3 S. 319; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Bedürftige werden von ihrem Wohnkanton unterstützt (Art. 115 erster Satz BV). Der Bund regelt die Ausnahmen und Zuständigkeiten (Art. 115 zweiter Satz BV). Das ZUG präzisiert in dem durch die Verfassung vorgegebenen Rahmen, welcher Kanton für die Fürsorge zuständig ist, und es regelt den Ersatz von Unterstützungskosten unter den Kantonen (vgl. Art. 1 Abs. 1 und 2 ZUG).
3.2. Im innerkantonalen Verhältnis ist gemäss Art. 5 Abs. 1 des graubündnerischen Gesetzes vom 3. Dezember 1978 über die Unterstützung Bedürftiger (Kantonales Unterstützungsgesetz, BR 546.250) diejenige politische Gemeinde unterstützungspflichtig, in welcher die bedürftige Person ihren Wohnsitz hat. Die Begründung und Aufgabe des Wohnsitzes richten sich kraft des in Art. 6 Abs. 1 des Kantonalen Unterstützungsgesetzes normierten Verweises nach den Grundsätzen, die gemäss ZUG im interkantonalen Verhältnis gelten.
3.2.1. Die unterstützungsbedürftige Person hat ihren Wohnsitz im Sinne des ZUG (Unterstützungswohnsitz), welcher nicht zwingend identisch ist mit dem zivilrechtlichen Wohnsitz (Urteil 2A.134/2006 vom 29. Juni 2006 E. 4.1 mit Hinweis), in dem Kanton, in dem sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Dieser Kanton wird als Wohnkanton bezeichnet (<ref-law>). Wer aus dem Kanton wegzieht, verliert nach <ref-law> den bisherigen Unterstützungswohnsitz (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 435).
3.2.2. Für minderjährige Kinder gelangt bezüglich des Unterstützungswohnsitzes die folgende Spezialregelung gemäss <ref-law> zur Anwendung: Das minderjährige Kind teilt, unabhängig von seinem Aufenthaltsort, den Unterstützungswohnsitz der Eltern oder jenes Elternteils, unter dessen elterlicher Sorge es steht (Abs. 1). Wenn die Eltern keinen gemeinsamen zivilrechtlichen Wohnsitz haben, teilt es den Unterstützungswohnsitz jenes Elternteils, bei dem es wohnt (Abs. 2). Es hat demgegenüber einen eigenen Unterstützungswohnsitz am letzten Unterstützungswohnsitz nach den Abs. 1 und 2, wenn es dauernd nicht bei den Eltern oder einem Elternteil wohnt (Abs. 3 lit. c).
3.2.2.1. Letzteres ist der Fall bei Unmündigen, welche unter elterlicher Sorge stehen, wirtschaftlich unselbstständig sind und dauerhaft nicht bei den Eltern oder einem Elternteil leben. Erfasst werden durch diese Bestimmung freiwillige und behördliche Fremdplatzierungen ohne Entzug der elterlichen Sorge (Urteil 2A.134/2006 vom 29. Juni 2006 E. 4.3.1; Werner Thomet, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl. 1994, Rz. 125). Als eigener Unterstützungswohnsitz des minderjährigen Kindes gemäss Art. 7 Abs. 3 lit. c in Verbindung mit Abs. 1 und 2 ZUG gilt der Ort, an dem es unmittelbar vor der Fremdplatzierung gemeinsam mit den Eltern oder einem Elternteil gelebt bzw. Wohnsitz gehabt hat. Der derart definierte Unterstützungswohnsitz bleibt künftig für die gesamte Dauer der Fremdplatzierung der gleiche, auch wenn die Eltern oder der sorgeberechtigte Elternteil den Wohnsitz wechseln. Ziel der damaligen, auf 1. Juli 1992 in Kraft getretenen Gesetzesrevision war es, jeder unmündigen Person rasch und eindeutig einen Unterstützungswohnsitz zuweisen zu können, der bei dauernd Fremdplatzierten im Interesse der Standortgemeinden von Heimen und anderen sozial-pädagogischen Einrichtungen möglichst nicht am Aufenthaltsort sein sollte. Ein eigener Unterstützungswohnsitz am Aufenthaltsort soll nur bestehen, wenn kein "letzter gemeinsamer Wohnsitz" mit den Eltern oder einem Elternteil vorhanden ist (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 436 mit Hinweisen).
3.2.2.2. Als lediglich vorübergehend - und damit keinen eigenen Unterstützungswohnsitz des minderjährigen Kindes nach Art. 7 Abs. 3 lit. c in Verbindung mit Abs. 1 und 2 ZUG begründend - gelten Fremdaufenthalte in auswärtigen Institutionen, die entweder nur von kurzer Dauer sind oder bei denen ein enger Kontakt zwischen Kindern und Eltern aufrecht erhalten wird und die Absicht besteht, dass die Kinder nach einer bestimmten Zeit wieder zu den Eltern ziehen. Kümmern sich die Eltern hingegen nicht ernstlich um ihre Kinder bzw. nehmen sie ihre elterliche Sorge nicht wahr und erfolgt die Fremdplatzierung auf unbestimmte Zeit oder für mehr als sechs Monate, spricht dies in der Regel für die Dauerhaftigkeit des Fremdaufenthaltes (vgl. Thomet, a.a.O., Rz. 132). Ob dabei die elterliche Sorge entzogen wird oder entsprechende Bestrebungen bestehen, ist nicht massgeblich. Genauso wenig kommt es auf die tatsächliche Dauer des Fremdaufenthaltes an. Entscheidend ist einzig, ob bei Beginn der Fremdplatzierung von Dauerhaftigkeit auszugehen oder nur eine vorübergehende Lösung beabsichtigt war. Andernfalls könnte immer erst nach einer bestimmten Dauer des Fremdaufenthalts darüber entschieden werden, welcher Kanton letztlich die Kosten zu tragen hat, was nicht dem Sinn des Gesetzes entsprechen kann, will dieses doch gerade für klare Verhältnisse bei der interkantonalen Zuständigkeitsausscheidung sorgen (vgl. <ref-law> und Botschaft des Bundesrates vom 17. November 1976 zu einem Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [BBl 1976 III 1193 ff., insb. 1201]; Urteil 2A.134/2006 vom 29. Juni 2006 E. 4.3.1). Vorübergehend nicht bei den Eltern lebt ein Kind beispielsweise im Rahmen von Ferien, Spital- oder Kuraufenthalten, Abklärungen der Invalidenversicherung, für die Dauer der Unpässlichkeit eines Elternteils oder bei auswärtiger Schul- oder Berufsausbildung. Wenn die Eltern ihr gesundheitlich versehrtes Kind selbst in einem Sonderschulheim untergebracht haben, sich regelmässig um es kümmern, das Kind mit allem Nötigen versorgen, es häufig besuchen oder es zu sich auf Besuch und in die Ferien nehmen, nach Möglichkeit die Schul- und Heimkosten oder wenigstens Beiträge daran direkt bezahlen und die Absicht haben, das Kind nach einer bestimmten Zeit bzw. nach Beendigung der Sonderschulbedürftigkeit wieder zu sich zurückzunehmen, lebt das Kind nur vorübergehend nicht bei den Eltern. Dies gilt insbesondere beim sog. "Wocheninternat", bei welchem das Kind die Wochenenden regelmässig bei den Eltern verbringt. Anders verhält es sich, wenn die Eltern oder ein Elternteil sich nicht ernstlich um das fremdplatzierte Kind kümmern bzw. die elterliche Sorge faktisch nicht wahrnehmen. In diesem Fall sind in der Regel auch die Voraussetzungen zur Entziehung der elterlichen Sorge nach <ref-law> gegeben. Dass die elterliche Sorge tatsächlich entzogen wurde, ist indessen für die Begründung des eigenen Unterstützungswohnsitzes nach <ref-law> nicht erforderlich. Erfolgt eine Fremdplatzierung demgegenüber auf unbestimmte Zeit oder für mehr als sechs Monate, so kann grundsätzlich von ihrer Dauerhaftigkeit ausgegangen werden. Zudem ist der Zweck des Aufenthaltes massgebend: Therapeutische und der Abklärung dienende Massnahmen sprechen gegen und Kindesschutzmassnahmen tendenziell für eine dauernde Fremdplatzierung (vgl. Thomet, a.a.O., Rz. 132).
4.
4.1. Fraglich ist, ob die Beschwerdegegnerin seit dem 27. Februar 2012 (vorläufiger Entzug der elterlichen Obhut, Fremdplatzierung im Sinne einer vorsorglichen Kindesschutzmassnahme in einer SOS-Pflegefamilie) oder aber erst seit dem definitiven Obhutsentzug und der Begründung des Dauerpflegeverhältnisses als dauerhaft fremdplatziert im Sinne des Art. 5 Abs. 1 und Art. 6 Abs. 1 des Kantonalen Unterstützungsgesetzes in Verbindung mit <ref-law> zu gelten hat.
4.1.1. Das kantonale Gericht hat den eigenständigen Unterstützungswohnsitz der Beschwerdegegnerin in der Gemeinde X._ im Wesentlichen damit begründet, es sei nicht entscheidend, dass die Vormundschaftsbehörde mit Präsidialverfügung vom 27. Februar 2012 eine "vorläufige Massnahme" angeordnet habe. Massgebend sei vielmehr, dass die Beschwerdegegnerin seit diesem Zeitpunkt nachweislich nicht mehr bei den Eltern wohne, sondern fremdplatziert sei. Mit einstweiligem Schutz sei nicht gemeint, dass die Fremdplatzierung nicht dauerhaft sein solle. Es sei vorliegend darum gegangen, die Beschwerdegegnerin unmittelbar auf unbestimmte Zeit fremd zu platzieren und dieses Vorgehen durch kinderpsychologische Abklärungen nachträglich als richtig bestätigen zu lassen. Der Präsident der Vormundschaftsbehörde habe mit seinem Entscheid vom 27. Februar 2012 auf Grund der akuten Kindswohlgefährdung die elterliche Obhut klarerweise ohne Befristung und ohne jegliche Bedingung aufgehoben und die Fremdplatzierung veranlasst.
4.1.2. In der Beschwerde wird dieser Argumentation im Kern entgegengehalten, die nach Massgabe von <ref-law> dauerhafte Fremdplatzierung sei erst durch Beschluss der Vormundschaftsbehörde vom 6./28. Juni 2012 angeordnet und durch die anschliessende Dauerplatzierung am 23. Juli 2012 bei der Pflegefamilie in Q._ umgesetzt worden. Zu diesem Zeitpunkt habe kein Elternteil mehr Wohnsitz in X._ gehabt. X._ könne daher nicht der abgeleitete selbstständige Unterstützungswohnsitz der Beschwerdegegnerin bilden. Indem die Vorinstanz vor diesem Hintergrund zu einem abweichenden Ergebnis gelangt sei, habe sie kantonales Recht (Art. 5 Abs. 1 und Art. 6 Abs. 1 des Kantonalen Unterstützungsgesetzes in Verbindung mit <ref-law>) willkürlich ausgelegt und angewendet und dadurch gegen Art. 115 und 9 BV verstossen.
4.2.
4.2.1. Auf Gefährdungsmeldung vom 25. Februar 2012 hin, welche der Vormundschaftsbehörde mit Situationsbericht und Antrag der zuständigen Berufsbeiständin zuging, verfügte deren Präsident am 27. Februar 2012 gestützt auf Art. 53 Abs. 1 des Einführungsgesetzes des Kantons Graubünden vom 12. Juni 1994 zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch (EGzZGB, BR 210.100) im Rahmen einer vorläufigen Massnahme den Entzug der elterlichen Obhut gemäss <ref-law> und die über den Verein für familienergänzende Kinderbetreuung organisierte Platzierung der Beschwerdegegnerin bis auf Weiteres in einer SOS-Kinderfamilie. Einen Tag später wurde über das Kind eine Erziehungsbeistandschaft errichtet. Als Grund für diese Vorkehren nannte die Behörde die akute Gefährdungslage, in der sich das Mädchen im damaligen Zeitpunkt befand (gewalttätiger älterer Bruder, finanziell angespannte Lage der Eltern, deren Trennungsabsichten etc.). Mit Beschluss vom 6./28. Juni 2012 ordnete die Vormundschaftsbehörde, nach Durchführung des ordentlichen Verfahrens im Sinne der Einholung eines Gutachtens der KJP Graubünden vom 8. Juni 2012, den definitiven Obhutsentzug und die dauerhafte Fremdplatzierung der Beschwerdegegnerin an.
4.2.2. Für die Frage der Dauerhaftigkeit der Fremdplatzierung im Sinne des <ref-law> entscheidwesentlich ist nach dem hievor Dargelegten, ob bereits bei Beginn der Fremdplatzierung von einer anhaltenden Vorkehr ausgegangen worden war. In casu erfolgte der elterliche Obhutsentzug sowie die Fremdplatzierung der Beschwerdegegnerin durch die Vormundschaftsbehörde anfänglich gestützt auf Art. 53 Abs. 1 EGzZGB. Danach kann in Fällen, in denen Gefahr in Verzug liegt und die Vormundschaftsbehörde zum Einschreiten befugt ist, der Präsident von sich aus die erforderlichen vorläufigen Massnahmen treffen. Es handelte sich somit zwar um auf unbestimmte Zeit angelegte Kindesschutzmassnahmen, welcher Umstand eher eine dauerhafte Fremdplatzierung annehmen liesse (vgl. E. 3.2.2.2 in fine). Zu beachten gilt es jedoch, dass die akute familiäre Gefährdungssituation, in der sich die Beschwerdegegnerin damals befand, ein rasches Einschreiten seitens der zuständigen Behörden notwendig machte, ohne dass vorgängig die für die endgültige Klärung der Sachlage unabdingbaren vertieften Erhebungen hatten vorgenommen werden können. Die im Februar 2012 verfügte Fremdplatzierung stellte demnach eine einstweilige vorsorgliche Vorkehr dar, um die Beschwerdegegnerin raschestmöglich vor weiteren schädlichen Einflüssen durch die Familienmitglieder zu schützen. Eine diesbezüglich dauerhafte Lösung konnte zu Beginn indessen noch gar nicht beabsichtigt sein, fehlte es dafür doch klarerweise am vertieften Wissen um die Sachumstände, insbesondere die Prognose hinsichtlich der Entwicklung der innerfamiliären Verhältnisse. Die in der Folge mit der kinderpsychologischen Begutachtung betrauten Experten der KJP Graubünden hatten denn auch u.a. die Frage zu beantworten, ob für die Beschwerdegegnerin eine Platzierung in einer geeigneten Institution in Betracht gezogen werden müsse oder ob sie im bisherigen familiären Rahmen weiterleben könne. Erst die betreffenden Fachpersonen waren nach eingehenden Untersuchungen zur Auskunft befähigt, auf Grund der instabilen Wohn-, Arbeits- und Milieuverhältnisse sei ein Leben der Beschwerdegegnerin bei ihren Eltern und ihrem Bruder aktuell nicht denkbar, wohingegen ein weiterer Verbleib bei der bisherigen SOS-Pflegefamilie in jeder Hinsicht unterstützenswert und anzustreben sei, da das Mädchen vor emotional traumatisierenden Beziehungsabbrüchen geschützt werden müsse. Mit dieser Beurteilung entpuppte sich die angeordnete provisorische Fremdplatzierung als adäquate, weiterhin aufrecht zu erhaltende Massnahme. Die Auffassung von Vorinstanz und Beschwerdegegnerin, die von Beginn weg dauerhaft konzipierte Fremdplatzierung sei lediglich noch zu Bestätigungszwecken, gleichsam resolutiv bedingt, gutachterlich zu überprüfen gewesen, überzeugt vor diesem Hintergrund nicht. Dies hat umso mehr zu gelten, als es sich bei der Fremdplatzierung aus Sicht aller Verfahrensbeteiligten um einen erheblichen Eingriff in die Rechtsstellung der Direktbetroffenen handelt und deshalb regelmässig erst nach gründlichen Abklärungen zur dauerhaften Massnahme erklärt werden kann.
Zusammenfassend wurde die Beschwerdegegnerin mit Präsidialverfügung vom 27. Februar 2012 zunächst vorsorglich ausserfamiliär platziert. Diese Vorkehr diente dem vorläufigen Schutz der Beschwerdegegnerin und eröffnete die Möglichkeit, allfällige weitere Kindesschutzmassnahmen (so auch die dauerhafte Unterbringung bei einer Pflegefamilie) näher abzuklären und zu prüfen. Erst nach erfolgter Begutachtung sah sich die Vormundschaftsbehörde in die Lage versetzt, die anfänglich provisorischen Charakter aufweisende Betreuungssituation in einen dauerhaften Fremdplatzierungsstatus zu überführen.
4.3. Nach dem vorstehend Ausgeführten gilt die Beschwerdegegnerin erst ab Beschluss der Vormundschaftsbehörde vom 6./28. Juni 2012 (definitiver Obhutsentzug, Anordnung der dauerhaften Fremdplatzierung) als "dauernd nicht bei den Eltern oder einem Elternteil" wohnend im Sinne des <ref-law> (in Verbindung mit Art. 5 Abs. 1 und Art. 6 Abs. 1 des Kantonalen Unterstützungsgesetzes). Während des vorangegangenen Zeitraums der vorläufigen Unterbringung in einer SOS-Kinderfamilie hatte die Beschwerdegegnerin demgegenüber noch keinen eigenen Unterstützungswohnsitz begründet, sondern teilte diesen nach Massgabe von Abs. 1 des <ref-law> mit ihren Eltern (in diesem Sinne auch die Beschwerdeführerin: vgl. deren Verfügung vom 9. November 2012, S. 4).
4.3.1. Auf Grund der entsprechenden Mietverträge ist davon auszugehen, dass E._ und M._ ihre Wohnsitze frühestens am 16. Juni bzw. 1. Juli 2012 von X._ nach Y._ bzw. Z._ verlegt hatten. Daraus folgert, dass sich der relevante Unterstützungswohnsitz im Zeitpunkt des mit Beschluss vom 6. Juni 2012 behördlich angeordneten und am 28. Juni 2012 mitgeteilten Dauerpflegeverhältnisses noch in X._ befand. Die Beschwerdeführerin trifft mithin so oder anders eine Kostentragungspflicht. Daran ändert der Umstand nichts, dass die dauerhafte Fremdplatzierung mit der Unterbringung der Beschwerdegegnerin in der Pflegefamilie in Q._ am 23. Juli 2012 umgesetzt wurde bzw. der zugrunde liegende Pflegevertrag als Beginn des Pflegeverhältnisses dieses Datum nennt. Ebenso wenig erweist sich als entscheidwesentlich, dass erst für den Zeitraum ab 23. Juli 2012 zu entschädigende Pflegekosten geltend gemacht werden. Schliesslich ergäbe sich auch kein anderes Ergebnis, würde mit der Beschwerdeführerin angenommen, dass E._ bereits am 10. Juni 2012 aus X._ weggezogen wäre (vgl. Verfügung vom 9. November 2012, S. 1 unten und 4 Mitte).
4.3.2. Darauf hinzuweisen bleibt, dass, sofern die Familie von R._ während weniger als zwei Jahren Wohnsitz in der Gemeinde X._ hatte, hinsichtlich der Pflegekosten allenfalls eine Ersatzpflicht des Heimatkantons bzw. der Heimatgemeinde zu prüfen wäre (<ref-law> in Verbindung mit Art. 5 Abs. 1 und Art. 6 Abs. 1 des Kantonalen Unterstützungsgesetzes; so ebenfalls das Schreiben der Beiständin vom 29. August 2012, S. 2).
5.
Mit dem Urteil in der Hauptsache wird das Ersuchen der Beschwerdegegnerin, die Beschwerdeführerin sei während des hängigen Verfahrens superprovisorisch anzuweisen, ihr umgehend sozialhilferechtliche Unterstützung zu gewähren, hinfällig (Urteil 9C_922/2008 vom 16. Januar 2009 E. 5 mit Hinweis [zur aufschiebenden Wirkung]).
6.
Die Gerichtskosten sind dem Ausgang des Verfahrens entsprechend der Beschwerdeführerin zu überbinden (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit <ref-law>). Da es um ihr Vermögensinteresse geht, kann sie sich nicht auf <ref-law> berufen (vgl. Urteil 8C_79/2010 vom 24. September 2010 E. 8 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>). Sie hat der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin zudem eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. März 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl