Sachverhalt:
A. Der 1951 geborene K._ verletzte sich am ... bei der Arbeit am linken Vorderarm. Die obligatorische Unfallversicherung erbrachte die gesetzlichen Leistungen (u.a. Heilbehandlung, Taggeld und eine Invalidenrente [Invaliditätsgrad 10 %] ab 1. Januar 2003). Im April 2002 meldete sich K._ bei der Invalidenversicherung an und beantragte besondere medizinische Eingliederungsmassnahmen und eine Rente. Im Rahmen der Abklärung der gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse wurde er u.a. im Medizinischen Abklärungszentrum Y._ untersucht (Expertise vom 31. März 2009). Im Anschluss an die dazu ergangene Stellungnahme ihres regionalen ärztlichen Dienstes (RAD) vom 10. September 2009 sowie in Berücksichtigung des Berichts des behandelnden Psychiaters (Dr. med. W._) vom 5. November 2009 wies die IV-Stelle Bern mit Verfügung vom 17. März 2010 das Leistungsbegehren ab.
B. Die Beschwerde des K._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 21. September 2010 ab.
C. K._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 21. September 2010 sei aufzuheben und ihm ab Mai 2001 eine halbe, ab Juli 2002, spätestens ab Februar 2005, eine ganze Rente zuzusprechen, eventualiter die Sache zu ergänzender Abklärung und neuer Verfügung über den Rentenanspruch an die IV-Stelle zurückzuweisen, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Der zum Verfahren beigeladene Regionale Sozialdienst X._ schliesst sich den Anträgen in der Beschwerde an. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann unter Berücksichtigung der den Parteien obliegenden Begründungs- resp. Rügepflicht eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254; BGE 9C_448/2010 vom 16. August 2010 E. 2.2).
2. Ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung nach ICD-10 F45.4 einen invalidisierenden Gesundheitsschaden im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG sowie Art. 3 Abs. 1 und Art. 6 ATSG darstellt, beurteilt sich danach, ob und inwiefern, allenfalls bei geeigneter therapeutischer Behandlung, bei objektiver Betrachtungsweise von der versicherten Person trotz ihrer Schmerzen willensmässig erwartet werden kann zu arbeiten (<ref-ruling> E. 4b/cc in fine und E. 5a S. 297 ff.). Umstände, welche bei Vorliegen dieses Krankheitsbildes die Verwertung der verbliebenen Arbeitskraft auf dem Arbeitsmarkt als unzumutbar erscheinen lassen können, sind die erhebliche Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer des psychischen Leidens, chronische körperliche Begleiterkrankungen mit mehrjährigem Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission, sozialer Rückzug, ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn), unbefriedigende Ergebnisse von konsequent durchgeführten Behandlungen (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) und gescheiterte Rehabilitationsmassnahmen bei vorhandener Motivation und Eigenanstrengung der versicherten Person (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 71; <ref-ruling> E 2.2.3 S. 353 ff.; Urteil 9C_1061/2009 vom 11. März 2010 E. 5.4.3.1.1). Gegen den invalidisierenden Charakter einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung spricht, wenn u.a. eine erhebliche Diskrepanz zwischen den geschilderten Schmerzen und dem gezeigten Verhalten oder der Anamnese besteht, intensive in der Umschreibung vage Schmerzen angegeben oder schwere Einschränkungen im Alltag behauptet werden, das psychosoziale Umfeld jedoch weitgehend intakt ist (<ref-ruling> E. 2. 1 S. 51).
3. In dem von der IV-Stelle eingeholten Gutachten des Medizinischen Abklärungszentrums Y._ vom 31. März 2009 wurden als Diagnosen (mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit) u.a. eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung, eine leichtgradige depressive Episode, ein Schmerzsyndrom der linken oberen Extremität und eine feinnoduläre Pneumopathie aufgeführt. Aus psychiatrischer Sicht bestand (auch) in körperlich leichten, adaptierten Tätigkeiten eine Arbeitsunfähigkeit von zu mindestens 70 %. Die Gutachter führten dazu u.a. Folgendes aus: "Die ungenügenden Schmerzverarbeitungsstrategien führten zu einem ungünstigen Verlauf. Krankheitsfremde Faktoren wie die transkulturelle Problematik, mangelnde Sprachkenntnisse und einfache Strukturierung des Versicherten interferieren mit der psychosomatischen Entwicklung. Das Leiden ist chronifiziert und fixiert, es besteht eine Komorbidität mit einer unter antidepressiver Psychopharmakatherapie aktuell leichtgradigen Depression, der Lebensvollzug des Versicherten mit sozialem Rückzug ist stark eingeschränkt, die Therapiemassnahmen ausgeschöpft, beziehungsweise gescheitert, sodass nach den Prognosekriterien nach Foerster genügend Invaliditätsfaktoren vorhanden sind". Der psychiatrische Gutachter des Medizinischen Abklärungszentrums Y._ hielt überdies fest: "Wegen der Chronifizierung und Fixierung des Leidens sind wohl auch nicht mehr genügend psychische Ressourcen vorhanden, welche dem Versicherten erlauben würden, vermehrte Willensanstrengungen zur Gesundung aufzubringen".
4. 4.1 Die Vorinstanz hat festgestellt, dem Beschwerdeführer seien angepasste, körperlich leichte Tätigkeiten aus somatischer Sicht uneingeschränkt zumutbar. Gemäss dem Gutachten des Medizinischen Abklärungszentrums Y._ vom 31. März 2009 bestehe in solchen Tätigkeiten aus psychiatrischer Sicht eine Arbeitsunfähigkeit von 70 %. Diese Einschätzung könne indessen nicht unbesehen übernommen werden. Vielmehr sei dem Beschwerdeführer zumutbar, die Schmerzen zu überwinden und angepasste, körperlich leichte Tätigkeiten ohne Einschränkung auszuüben. Unter diesen Umständen könne ein rentenbegründender Invaliditätsgrad ohne Durchführung eines konkreten Einkommensvergleichs verneint werden.
4.2 Der Beschwerdeführer rügt u.a., es sei nicht zulässig und verstosse auch gegen die anerkannten Beweiswürdigungsregeln, den invalidisierenden Charakter einer somatoformen Schmerzstörung zu verneinen, wenn die Gutachter, wie vorliegend, mit ausführlicher und überzeugender Begründung darlegten, dass die versicherte Person nicht in der Lage sei, die für die Überwindung ihrer Beschwerden zumutbare Willensanstrengung aufzubringen und damit eine höhere Arbeitsfähigkeit zu erlangen. Darauf und auch auf die weiteren Vorbringen in der Beschwerde gegen den vorinstanzlichen Entscheid braucht aus nachstehenden Gründen nicht eingegangen zu werden.
5. Die Psychiaterin des RAD erachtete das Gutachten des Medizinischen Abklärungszentrums Y._ vom 31. März 2009 nicht als schlüssig und liess daher den Versicherten zu einer eigenen Untersuchung aufbieten, was dieser mangels Notwendigkeit einer erneuten Abklärung jedoch ablehnte. In ihrem Bericht vom 10. September 2009 hielt die Fachärztin ausdrücklich fest, der Versicherte müsse (in Anbetracht der mangelhaften Qualität des Gutachtens des Medizinischen Abklärungszentrums Y._ vom 31. März 2009) "psychiatrisch neu beurteilt werden"; ein "definitives Zumutbarkeitsprofil" könne (mangels Kooperation des Versicherten und seines juristischen Beraters) somit nicht erstellt werden. In der Folge erliess die IV-Stelle den Vorbescheid und die vorinstanzlich angefochtene rentenablehnende Verfügung. Aus den Akten ist nicht ersichtlich, aus welchen Gründen sie auf die vom eigenen ärztlichen Dienst als notwendig erachtete Abklärungsmassnahme verzichtet hatte. Dass der Versicherte eine psychiatrische Untersuchung ablehnte, stellt keinen solchen Grund dar, solange jedenfalls das Mahn- und Bedenkzeitverfahren nach Art. 21 Abs. 4 ATSG nicht durchgeführt worden ist (SVR 2005 IV Nr. 30 S. 113, I 605/04 E. 2). Unter diesen Umständen leidet die vorinstanzlich bestätigte Sachverhaltsermittlung durch die IV-Stelle an einem inneren Widerspruch, was Bundesrecht verletzt (E. 1). Die Sache ist daher an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit sie im dargelegten von der RAD-Ärztin empfohlenen Sinne verfahre.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die IV-Stelle die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist somit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 21. September 2010 und die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 17. März 2010 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Verwaltung zurückgewiesen, damit sie im Sinne von E. 5 verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle Bern auferlegt.
3. Die IV-Stelle Bern hat den Beschwerdeführer mit Fr. 2'800.- für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen.
4. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hat die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Regionalen Sozialdienst X._, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. März 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler