Faits:
A. B._ est propriétaire de la parcelle n° 11357 du registre foncier de la commune de Sion, au lieu-dit "Sous le Scex". Cette parcelle de 687 mètres carrés est classée en zone mixte 1 dans le plan d'aménagement local homologué par le Conseil d'Etat du canton du Valais le 28 juin 1989. Elle supporte une maison individuelle qui abrite un logement de quatre pièces.
Le 12 avril 2006, B._ a requis l'autorisation de construire sur cette parcelle, après démolition du bâtiment existant, un immeuble d'habitation comportant dix-sept appartements, un garage souterrain de treize places et quatre places de parc extérieures. L'accès au nouvel immeuble depuis l'avenue de Tourbillon se ferait par une route privée sans issue, de trois mètres de large, d'une longueur d'environ 90 mètres, formant un angle droit après les trente premiers mètres. Ce projet a suscité l'opposition de A._, propriétaire de la parcelle voisine, qui invoquait l'inadéquation de la voie d'accès par rapport à l'utilisation prévue, aux prescriptions de sécurité en matière d'incendie et à la sécurité des piétons.
Par décision du 6 juillet 2006, notifiée le 19 janvier 2007, le Conseil municipal de Sion a délivré l'autorisation de construire sollicitée et levé l'opposition. Le Conseil d'Etat du canton du Valais a rejeté le recours formé contre cette décision par A._ au terme d'une décision prise le 24 octobre 2007 que la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal ou la cour cantonale) a confirmée, sur recours de l'intéressé, par arrêt du 22 février 2008.
B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il reproche à la cour cantonale d'avoir admis l'aptitude du chemin d'accès à desservir l'immeuble litigieux au terme d'une appréciation arbitraire des preuves et en violation de l'art. 19 al. 1 de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700).
Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer. B._ conclut au rejet du recours. Le Conseil d'Etat propose également de le rejeter dans la mesure où il est recevable. La Ville de Sion se réfère à l'arrêt attaqué.
C. Par ordonnance du 7 mai 2008, le juge instructeur a rejeté la demande d'effet suspensif présentée par le recourant.

Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué a été rendu en dernière instance cantonale, dans une cause de droit public. Il peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public au sens de l'<ref-law>. Le recourant a participé à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. Il est touché plus que quiconque par l'octroi de l'autorisation de construire litigieuse, qui implique une utilisation plus intensive et jugée excessive de la route privée servant d'accès à sa parcelle. Il peut se prévaloir d'un intérêt digne de protection à l'annulation de cette autorisation et a qualité pour recourir. Les autres conditions de recevabilité du recours sont réunies.
2. Le recourant considère que la route privée ne répondrait pas aux exigences requises pour la qualifier de suffisante au regard de l'art. 19 al. 1 LAT. Il se plaint à cet égard d'une appréciation arbitraire des faits.
2.1 Aux termes de l'art. 22 al. 2 let. b LAT, une autorisation de construire ne peut être délivrée que si le terrain est équipé. Tel est le cas selon l'art. 19 al. 1 LAT, dont l'art. 20 du règlement de construction et de zones de la Ville de Sion reprend la teneur, lorsqu'il est desservi d'une manière adaptée à l'utilisation prévue par des voies d'accès et par des conduites auxquelles il est possible de se raccorder sans frais disproportionnés pour l'alimentation en eau et en énergie, ainsi que pour l'évacuation des eaux usées. Une voie d'accès est adaptée à l'utilisation prévue lorsqu'elle est suffisante d'un point de vue technique et juridique pour accueillir tout le trafic de la zone qu'elle dessert (<ref-ruling> consid. 3a p. 68 et les arrêts cités). Il faut aussi que la sécurité des usagers soit garantie sur toute sa longueur, que le revêtement soit adéquat en fonction du type de véhicules qui vont l'emprunter, que la visibilité et les possibilités de croisement soient suffisantes et que l'accès des services de secours (ambulance, service du feu) et de voirie soit assuré (arrêt 1C_221/2007 du 3 mars 2008 consid. 7.2; arrêt 1P.115/1992 du 6 mai 1993 consid. 4 publié in ZBl 95/1994 p. 89 et les références citées). Enfin, son utilisation ne doit pas provoquer de nuisances incompatibles avec les exigences de la loi fédérale sur la protection de l'environnement et de ses ordonnances d'exécution (<ref-ruling> consid. 2 p. 241 et l'arrêt cité). Les autorités communales et cantonales disposent en ce domaine d'un important pouvoir d'appréciation, que le Tribunal fédéral doit respecter (<ref-ruling> consid. 3a in fine p. 68; <ref-ruling> consid. 4 p. 373). Elles peuvent également se fonder sur les normes édictées en la matière par l'Union des professionnels suisses de la route (cf. art. 42 let. a du règlement de construction et de zones de la Ville de Sion), étant précisé que ces normes doivent être appliquées en fonction des circonstances concrètes et en accord avec les principes généraux du droit, dont celui de la proportionnalité (arrêt 1P.40/2004 du 26 octobre 2004 consid. 3.2.1; arrêt P.124/1977 du 15 novembre 1978 consid. 3b publié in ZBl 80/1979 p. 223; sur l'ensemble de ces questions, voir aussi DFJP/OFAT, Etude relative à la loi fédérale sur l'aménagement du territoire, Berne 1981, §§ 12-14 ad art. 19, p. 236/237; André Jomini, Commentaire de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire, Zurich 1999, n. 18 ss ad art. 19; Piermarco Zen-Ruffinen/Christine Guy-Ecabert, Aménagement du territoire, construction expropriation, Berne 2001, n. 700 ss, p. 324-328).
2.2 L'aptitude d'une voie d'accès à assurer la desserte d'une parcelle ou d'un quartier dépend ainsi de nombreux éléments qui varient dans chaque cas. On ne saurait dès lors reprocher à la cour cantonale d'avoir examiné si la route privée destinée à desservir l'immeuble litigieux était suffisante au regard de l'art. 19 al. 1 LAT en fonction des caractéristiques propres de l'espèce, sans égard aux références jurisprudentielles mentionnées par le recourant. Ces arrêts ne sont au demeurant pas pertinents. L'arrêt du Tribunal administratif vaudois publié à la RDAF 1988 p. 105 portait certes sur un chemin rectiligne de même gabarit mais long de cent mètres, soit de près du double de la route privée sur son tronçon litigieux. Si elle l'a considéré comme insuffisant pour desservir quatre unités de logement supplémentaires, cette juridiction a précisé qu'un tel chemin pourrait éventuellement être admissible sur une distance suffisamment courte pour que les usagers puissent prévenir à temps toute situation critique. Dans l'arrêt reproduit à la RJN 1990 p. 187, le Tribunal administratif neuchâtelois a certes jugé insuffisant un chemin d'une largeur moyenne de 3,50 mètres qui ne permettait que difficilement le passage des véhicules lourds des services de secours. Dans un arrêt ultérieur paru à la RDAF 2006 I 319, il a toutefois considéré qu'il n'était pas arbitraire de retenir qu'un chemin du même gabarit sur une longueur de 130 mètres, limité à 30 km/h, bordé de murs de vigne, rectiligne, disposant d'une bonne visibilité et de place d'évitement à chacune de ses extrémités était suffisant pour absorber le trafic engendré par un nouveau lotissement de huit logements. Enfin, dans l'arrêt du Tribunal fédéral publié aux <ref-ruling>, la largeur de cinq mètres préconisée pour la desserte d'un quartier d'habitation d'une douzaine de villas familiales était fixée par le règlement communal et ne s'impose donc pas nécessairement de manière générale pour toute desserte de ce type.
2.3 L'accès à l'immeuble litigieux se ferait par une route privée sans issue, dont l'usage est juridiquement garanti sur une largeur de trois mètres en faveur de la parcelle n° 11357 par une servitude de passage régulièrement inscrite au registre foncier. Suivant l'arrêt attaqué, cette route présente une longueur d'environ 90 mètres depuis son embranchement sur l'avenue de Tourbillon jusqu'à son extrémité au nord-ouest de la parcelle de l'intimée. Sur son premier tiers d'une trentaine de mètres, elle permet le croisement entre véhicules de tourisme, même en cas d'occupation des places de parc privées qui la bordent, et présente les caractéristiques d'une route d'accès au sens de la norme SN 640 045, apte à desservir jusqu'à 150 logements. Sur son deuxième tiers, la route ne permet le croisement de véhicules de tourisme qu'en empiétant sur la place privée qui la jouxte au sud-est sur la parcelle n° 904; elle n'est donc, sur cette portion, assimilable à une route de desserte de quartier que pour les ayants droit de cette place qui bénéficient seuls d'une possibilité de croisement juridiquement garantie. Pour les autres usagers, ce tronçon d'une trentaine de mètres doit être considéré comme un simple chemin d'accès où le croisement de véhicules légers n'est pas assuré en droit. Il en va de même sur la vingtaine de mètres suivants où la largeur est juridiquement et pratiquement limitée aux trois mètres de l'assiette de la servitude de passage. Sur ses derniers mètres, la route confinera à la future place de rebroussement à aménager sur la parcelle de l'intimée et aura à nouveau le gabarit d'une route d'accès.
2.4 Le recourant ne conteste pas l'arrêt attaqué en tant qu'il examine l'aptitude de la route privée litigieuse à desservir la parcelle de l'intimée en fonction des différents tronçons qui la caractérise. Les critiques qu'il formule en rapport avec le premier tronçon ne respectent pas les contraintes de motivation requises (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 254). La présence de places de stationnement à l'est du chemin privé et d'une place surélevée sur la parcelle n° 852 rendrait certes plus difficile, mais non pas impossible le croisement des véhicules sur ses trente premiers mètres en utilisant les espaces libres résiduels entre bâtiments. L'accès existant est donc suffisant sur son premier tronçon pour permettre le croisement des véhicules et absorber le trafic automobile résultant d'une utilisation conforme du quartier qu'elle est destinée à desservir au regard de la norme SN 640 045.
2.5 La cour cantonale distingue, s'agissant du second tronçon bordant la parcelle n° 904 entre les usagers de ce bien-fonds, qui peuvent utiliser les espaces libres disponibles sur cette parcelle pour croiser, et les usagers des parcelles nos 906, 11849 et 11357, qui ne bénéficient juridiquement pas d'une telle possibilité. Ce tronçon présenterait les caractéristiques d'une route de desserte de quartier pour les premiers et d'un chemin d'accès pour les seconds. Le recourant ne prétend pas qu'il serait insoutenable de qualifier un même accès de manière différenciée selon le titre juridique dont peuvent se prévaloir les usagers qui l'empruntent. Selon lui, il serait techniquement impossible d'utiliser les espaces libres pour croiser en raison de la présence quotidienne d'une vingtaine de voitures en stationnement sur cette parcelle. Les pièces versées au dossier ne confirment nullement cette affirmation. La présence de véhicules parqués le long du chemin laisserait en effet subsister un espace libre suffisant pour permettre aux usagers de la parcelle n° 904 d'entrer et de sortir, respectivement de laisser passer un véhicule déjà engagé sur le chemin privé. Cet élément n'est pas de nature à remettre en cause la qualification de route de desserte de quartier donnée au chemin privé pour les usagers de la parcelle n° 904. Il en va de même de l'augmentation de trafic due à la construction alléguée d'un parking souterrain d'une capacité de 25 places sur cette parcelle.
2.6 Pour le surplus, le Tribunal cantonal a à juste titre admis que sur son dernier tronçon rectiligne, long d'une cinquantaine de mètres, la route privée était suffisante pour desservir les constructions existantes et futures sur les parcelles nos 906, 11849 et 11357 malgré l'impossibilité de croiser. En raison de son gabarit, ce tronçon doit être qualifié de chemin d'accès selon la norme SN 640 045 pour les usagers de ces parcelles. De telles voies d'accès sont considérées par les professionnels de la route comme aptes à desservir jusqu'à 30 unités de logement à raison de 50 véhicules par heure. Leur longueur devrait être limitée entre 40 et 80 mètres environ selon la hauteur des bâtiments. Il suffit que le croisement des voitures de tourisme et des piétons et cyclistes soit possible à vitesse très réduite. Pour les rares cas de croisement entre des véhicules à moteur, on peut utiliser les accotements et les autres espaces libres.
L'immeuble litigieux accueillerait 17 appartements. Il serait possible de réaliser une construction comparable sur la parcelle du recourant. En revanche, la parcelle n° 11849, actuellement non bâtie, ne dispose d'une surface suffisante que pour accueillir une maison individuelle selon l'arrêt attaqué qui se fonde sur les affirmations des autorités communales. Le recourant ne démontre pas qu'elle pourrait accueillir un bâtiment plus important compte tenu des distances aux limites à respecter, comme il l'affirme sans autre. Le nombre de logements susceptibles d'être réalisés dans la zone que ce tronçon est destiné à desservir est donc légèrement supérieur à celui de 30 unités admis par les professionnels de la route pour ce type de desserte. De plus, la présence d'un muret le long de la parcelle n° 852, d'une haie de thuyas en bordure de la parcelle n° 906 et d'un grillage le long de la parcelle n° 11849 ne ménage aucune possibilité d'emprunter les bas-côtés pour croiser comme le prévoient la norme SN 640 045 pour ce type de chemin. Cela ne signifie pas pour autant que le projet devrait être refusé pour ces raisons. Les normes de l'Union des professionnels suisses de la route sont en effet des lignes directrices qui doivent être appliquées en fonction des circonstances concrètes du cas et dans le respect du principe de la proportionnalité (cf. consid. 2.2 ci-dessus). Les véhicules aborderont ce tronçon à une vitesse nécessairement très réduite en raison du coude formé à cet endroit depuis l'avenue de Tourbillon. La visibilité est bonne et permet à un conducteur attentif et respectueux des règles usuelles de circulation de constater la présence d'un autre véhicule survenant en sens inverse suffisamment tôt pour s'arrêter à l'entrée du tronçon et le laisser passer, respectivement pour faire marche arrière jusqu'à la place de rebroussement prévue par le projet sur la parcelle de l'intimée.
Dans ces conditions, la cour cantonale pouvait encore de manière soutenable admettre que le chemin litigieux était suffisant sur son dernier tronçon pour desservir les parcelles riveraines alors même que le nombre de logements maximal toléré par l'Union des professionnels suisses de la route était légèrement dépassé selon les possibilités de construire autorisées dans la zone et que les accotements ne peuvent pas être utilisés pour croiser.
2.7 L'accès à la parcelle de l'intimée par les ambulances est en outre garanti pour autant qu'elles présentent le même gabarit qu'un véhicule de tourisme. L'Office cantonal du feu a délivré en date du 29 juin 2006 un préavis favorable au projet sous diverses conditions faisant partie intégrante de l'autorisation de construire et non litigieuses en l'occurrence. Il a constaté la présence d'un borne hydrante à moins de 100 mètres de l'immeuble projeté, conformément aux exigences de l'art. 20 du règlement organisant l'exécution du service de protection contre l'incendie et les éléments naturels du 12 décembre 2001. Il a estimé les accès extérieurs suffisants pour les manoeuvres des véhicules et des engins des sapeurs-pompiers. La Ville de Sion a par ailleurs attesté que l'accès à la parcelle était garanti pour les véhicules de la voirie. Les autorités cantonales et communales sont à cet égard les mieux placées pour dire si l'accès à la parcelle de l'intimée est de ce point de vue assuré d'une manière suffisante. Le recourant n'élève d'ailleurs aucune objection à ce propos.
2.8 A._ prétend enfin que la sécurité des piétons et des cyclistes ne serait pas garantie sur le dernier tronçon du chemin privé en raison de la configuration des lieux.
La route privée n'est certes en principe pas dimensionnée sur ses trente derniers mètres pour permettre le croisement d'un véhicule de tourisme et d'un cycliste ou d'un piéton avec une voiture d'enfant selon la norme SN 640 201, compte tenu des marges horizontales de mouvement propres à chaque catégorie d'usager. Ces marges sont cependant tributaires de la vitesse des véhicules et peuvent donc être moins élevées lorsque celle-ci est réduite. Selon le Tribunal cantonal, une largeur de trois mètres suffirait, à faible allure, au croisement d'une voiture de tourisme et d'un piéton ou d'un cycliste. Pour le recourant en revanche, la photographie versée au dossier cantonal démontrerait au contraire qu'un tel croisement serait extrêmement dangereux vu le peu d'espace existant entre le véhicule et le grillage édifié le long de la parcelle n° 11849 et la haie bordant sa parcelle. Il n'y a pas lieu d'approfondir cette question. Le chemin privé forme en effet un angle droit après les trente premiers mètres, propre à garantir que les conducteurs d'un véhicule automobile rouleront à une vitesse très réduite à l'approche du tronçon litigieux et constateront la présence d'un cycliste ou d'un piéton venant dans leur direction suffisamment tôt pour adapter leur conduite en conséquence en s'arrêtant à la hauteur de la parcelle n° 904 pour les laisser passer, dans les rares cas où la largeur du véhicule pourrait présenter des difficultés de croisement.
Cela étant, compte tenu du large pouvoir d'appréciation dont disposent les autorités communales et cantonales (voir consid. 2.1 ci-dessus), la cour cantonale pouvait admettre, sans violer l'art. 19 al. 1 LAT, que la sécurité des piétons et des cyclistes était suffisamment garantie.
3. Le recours doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable, aux frais de son auteur (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Ce dernier versera une indemnité de dépens à l'intimée qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 2'000 fr. à payer à B._, à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à la Commune de Sion, ainsi qu'au Conseil d'Etat et au Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 10 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Le Greffier:
Aemisegger Parmelin