Sachverhalt:
A.
Die B._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) führte vor dem Richteramt Solothurn-Lebern einen Forderungsprozess gegen A._ (Beklagter, Beschwerdeführer). Mit Urteil vom 31. Januar 2013 verpflichtet das Amtsgericht den Beklagten, der Klägerin den Betrag von Fr. 215'200.-- nebst Zins zu bezahlen. Die darüber hinausgehende Klage wies es ab.
Dagegen legte der Beklagte am 26. April 2013 Berufung ein.
Mit Verfügung vom 2. Mai 2013 forderte der Präsident der Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn den Beklagten auf, bis 23. Mai 2013 für das Verfahren vor dem Obergericht einen vorläufigen Kostenvorschuss von Fr. 22'500.-- zu bezahlen.
Daraufhin reichte der Beklagte ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren ein. Dieses wies der Präsident mit Verfügung vom 17. Juni 2013 ab, soweit er darauf eintrat. Gleichzeitig setzte er dem Beklagten eine Frist bis 8. Juli 2013 an, um für das Berufungsverfahren einen Kostenvorschuss von Fr. 22'500.-- zu bezahlen unter Androhung des Nichteintretens auf die Berufung, falls der Kostenvorschuss nicht geleistet wird.
Da der Beklagte den Kostenvorschuss nicht bezahlte, wurde ihm mit Verfügung vom 10. Juli 2013 eine Nachfrist bis 19. August 2013 zur Bezahlung des Kostenvorschusses von Fr. 22'500.-- angesetzt unter Androhung des Nichteintretens auf die Berufung im Unterlassungsfall.
Am 19. August 2013 erhob der Beklagte gegen die Verfügung vom 17. Juni 2013 Beschwerde an das Bundesgericht. Dieses trat am 11. November 2013 auf die Beschwerde mangels hinlänglicher Begründung nicht ein (Verfahren 4A_373/2013).
Mit Beschluss vom 9. Dezember 2013 trat das Obergericht mangels Leistung des Kostenvorschusses innert der gesetzten Nachfrist auf die Berufung nicht ein.
B.
Der Beschwerdeführer erhebt gegen den Beschluss des Obergerichts vom 9. Dezember 2013 Beschwerde in Zivilsachen mit dem Antrag, seitens des Obergerichts sei eine neue Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses anzusetzen.
Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Nichteintretensbeschluss des Obergerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG. Sodann übersteigt der Streitwert die Grenze nach <ref-law>. Der von einem juristischen Laien formulierten Beschwerde ist das sinngemässe Begehren zu entnehmen, den angefochtenen Nichteintretensbeschluss aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, eine neue Frist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen. Die Formulierung dieses Begehrens kann als hinlänglich betrachtet werden in Berücksichtigung, dass der Beschwerdeführer nicht anwaltlich vertreten ist (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer bringt vor, es hätte ihm nach dem Urteil des Bundesgerichts, mit dem über sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren endgültig (abschlägig) entschieden wurde, eine neue Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses angesetzt werden müssen.
2.1. Der Beschwerdeführer reichte am 16. Mai 2013 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren ein, nachdem ihm Frist bis 23. Mai 2013 zur Leistung eines "vorläufigen" Kostenvorschusses von Fr. 22'500.-- angesetzt worden war. Daraufhin entschied der Präsident der Zivilkammer zunächst über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren und wies es mit Verfügung vom 17. Juni 2013 ab, soweit er darauf eintrat (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 und in <ref-ruling> E. 4.2). Erst dann setzte er dem Beschwerdeführer gleichzeitig Frist zur Leistung des Kostenvorschusses bis 8. Juli 2013 und - nach unbenutztem Ablauf derselben - eine Nachfrist bis 19. August 2013 an.
2.2. Der Beschwerdeführer erhob am letzten Tag der Nachfrist gegen die sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ablehnende Verfügung vom 17. Juni 2013 Beschwerde an das Bundesgericht (Verfahren 4A_373/2013).
Es stellt sich demnach die Frage, welchen Einfluss die Erhebung einer Beschwerde an das Bundesgericht gegen die Abweisung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege auf den Lauf der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses hat. Der Beschwerdeführer meint offenbar, die Zahlungsfrist sei bis zum Entscheid des Bundesgerichts über die unentgeltliche Rechtspflege gehemmt gewesen und müsse nach dem Entscheid neu angesetzt werden. Die Beschwerdegegnerin ist gegenteiliger Ansicht, da die Beschwerde an das Bundesgericht von Gesetzes wegen keine aufschiebende Wirkung habe und dieselbe vorliegend auch nicht erteilt worden sei.
2.2.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht hat in der Regel keine aufschiebende Wirkung (<ref-law>). Der Instruktionsrichter oder die Instruktionsrichterin kann über die aufschiebende Wirkung von Amtes wegen oder auf Antrag einer Partei eine andere Anordnung treffen (<ref-law>).
Dies bedeutet im Falle einer Beschwerde an das Bundesgericht gegen die Abweisung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege, dass der Beschwerdeführer um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ersuchen muss, um den Aufschub der angeordneten Frist für die Leistung des Kostenvorschusses zu erwirken. Wird die aufschiebende Wirkung erteilt, ist nach dem (abschlägigen) Entscheid des Bundesgerichts eine neue Frist bzw. Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen. So wurde beispielsweise im Urteil 5A_486/2011 vom 25. August 2011 vorgegangen: Das Bundesgericht erteilte der Beschwerde gegen die Abweisung der unentgeltlichen Rechtspflege die ersuchte aufschiebende Wirkung zur Vermeidung der Säumnisfolgen wegen Nichtleistung des Vorschusses innert angesetzter Frist. Nach Abweisung der Beschwerde setzte es diese Frist neu an.
2.2.2. Diese Rechtslage hilft dem Beschwerdeführer im vorliegenden Fall nicht, weil der Beschwerde im bundesgerichtlichen Verfahren 4A_373/2013 keine aufschiebende Wirkung gewährt wurde. Die vom Beschwerdeführer erhobene Beschwerde an das Bundesgericht gegen die Abweisung der unentgeltlichen Rechtspflege vermochte demnach die von der Vorinstanz angesetzte Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses bis 19. August 2013 nicht aufzuschieben. Da der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss nicht innert Frist bezahlte, erging der angefochtene Nichteintretensbeschluss zu Recht.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. September 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer