Erwägungen:
1. Der 1961 geborene X._ reiste 1967 zusammen mit seiner Mutter von Brasilien in die Schweiz zurück. Die zuständige Behörde der Einwohnergemeinde Biberist veranlasste ab 1968 für ihn einen Heimaufenthalt in einer Solothurner Gemeinde (ab Oktober 1968); später (ab Oktober 1969) war er in einem Kinderheim in Luzern untergebracht. Wegen der Behandlung, die ihm und seinen Eltern in diesem Zusammenhang zuteil geworden war, gelangte er am 30. August 2010 je mit einer Klage an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern; er forderte von der Gemeinde Biberist und der Stadt Luzern einen Betrag von 3 Mio Franken "aufgrund des Handelns ohne rechtliche Grundlagen und das daraus resultierende unermessliche Leid, welches meiner Familie und mir durch die Behörden zugefügt wurde." Mit Urteil vom 2. September 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die gegen die Einwohnergemeinde Biberist erhobene Klage ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 20. September 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, die Einwohnergemeinde Biberist und die Stadt Luzern seien zur Zahlung von 3 Mio Franken an ihn zu verurteilen, die beiden Gemeinwesen seien zu einer öffentlichen Entschuldigung gegenüber seiner Mutter und ihm gegenüber zu verpflichten und es seien die durch die beiden Gemeinwesen begangenen Menschenrechtsverletzungen festzustellen.
2. 2.1 Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn war nur insofern zuständig zur Behandlung der Klage, als sie sich gegen eine solothurnische Gemeinde richtete; sein Urteil beschlägt nur allfällige Forderungen gegenüber der Einwohnergemeinde Biberist, nicht auch gegenüber der Stadt Luzern. Der die Letztere betreffende Beschwerdeantrag ist unzulässig.
2.2 Gemäss <ref-law> haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). Dabei ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Abs. 2). Gerügt werden kann die Verletzung von schweizerischem Recht (<ref-law>). Beruht der Entscheid wie vorliegend auf kantonalem Recht, fällt praktisch nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte in Betracht (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; 134 I 349 E. 3 S. 351; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382 f.), welche spezifischer Begründung bedarf (<ref-law>); namentlich genügt appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht. Die Beschwerdebegründung muss sachbezogen sein, erforderlich ist eine Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz.
Das Klagebegehren des Beschwerdeführers wurde nach dem Solothurner Gesetz vom 26. Juni 1966 über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter (Verantwortlichkeitsgesetz [VG]) beurteilt. Das Verwaltungsgericht hat die Klage gestützt auf § 11 Abs. 3 VG abgewiesen. Danach erlischt die Haftung des Staates (bzw. des Gemeinwesens, vgl. § 1 Abs. 3 und § 2 VG), wenn der Geschädigte sein Begehren auf Schadenersatz oder Genugtuung nicht innert eines Jahres seit Kenntnis des Schadens einreicht, auf alle Fälle nach zehn Jahren seit dem Tage der schädigenden Handlung. Das Verwaltungsgericht hält dem Beschwerdeführer vor, dass er spätestens 1981, als er mündig geworden war, den angeblich durch das Verhalten der Behörden der Einwohnergemeinde Biberist während seiner Kindheits- und Jugendzeit zugefügten Schaden in groben Zügen gekannt haben musste; die relative und (ohnehin) die absolute Verwirkungsfrist von zehn Jahren seien längst abgelaufen. Der Beschwerdeführer schildert im Einzelnen, wie er das behördliche Verhalten ab 1968 bis zum Ende der Jugendzeit erlebt hat und das darauf zurückgeführte erlittene Leid. Er rügt dabei die Verletzung verschiedener Grundrechte (Art. 13 und 14 BV bzw. Art. 8 EMRK, von <ref-law> bzw. Art. 5 EMRK, von Art. 8 und 9 BV sowie von <ref-law> bzw. 14 EMRK). Auf die gesetzlichen Voraussetzungen für die haftungsrechtliche Beanspruchung des Gemeinwesens geht er nicht ein; es fehlt insbesondere jegliche Auseinandersetzung mit der gemäss angefochtenem Urteil allein für den Verfahrensausgang massgeblichen Verwirkungs- bzw. Verjährungsproblematik und mithin offensichtlich an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (<ref-law>), weshalb auf die Beschwerde mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten ist.
2.3 Die Umstände rechtfertigen es, für das bundesgerichtliche Verfahren auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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