Sachverhalt:
A. Im Rahmen eines Verfahrens betreffend Änderung des Scheidungsurteils vor dem Bezirksgericht Weinfelden stellte B._ als Nebenpunkt ein Gesuch um Änderung seines Vornamens in A._. A._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) wurde vom Bezirksgericht mit Schreiben vom 3. Dezember 2008 empfohlen, das Gesuch zurückzuziehen und nach vollzogener Geschlechtsumwandlung das Verfahren betreffend Personenstands- und Vornamensänderung in der Schweiz durchzuführen und nach Abschluss des Verfahrens um Vornamensänderung in Deutschland beim Zivilstandsamt um Anerkennung des weiblichen Vornamens zu ersuchen. Mit Schreiben vom 5. Dezember 2008 zog die Beschwerdeführerin ihr Gesuch "unter dem Vorbehalt einer Verfassungsklage" zurück. Mit Verfügung vom 30. Dezember 2008/7. Januar 2009 schrieb der Präsident des Bezirksgerichts das Gesuch um Änderung des Vornamens zufolge Rückzug des Begehrens ab.
B. Mit als Verfassungsbeschwerde bezeichneter Eingabe vom 7. Januar 2009 rekurrierte die Beschwerdeführerin beim Obergericht des Kantons Thurgau und beantragte, es sei festzustellen, dass sie angesichts ihrer diagnostizierten Transsexualität durch die fehlende Gesetzesgrundlage in der Schweiz und durch die Ablehnung des Gesuchs um Änderung des Vornamens in ihren Grundrechten benachteiligt und verletzt werde. Ferner beantragte sie, es sei ihrem Gesuch um Änderung ihres Vornamens stattzugeben. Ausserdem ersuchte sie um unentgeltliche Prozessführung.
Mit Entscheid vom 26. Januar 2009 wies das Obergericht den Rekurs ab, soweit es darauf eintrat, und trat auf das Gesuch um Namensänderung nicht ein.
C. Mit als Verfassungsbeschwerde bezeichneter Eingabe vom 7. März 2009 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht die Feststellung der Verletzung verschiedener verfassungsmässiger Rechte durch die Ablehnung des Gesuchs um Änderung des Vornamens. Ferner ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Sodann reicht die Beschwerdeführerin mit neuer Eingabe vom 28. Mai 2009 u.a. den Entscheid des Departements für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau vom 14. April 2009 ein, mit welchem ihr bewilligt wurde, den Vornamen A._ zu führen. In dieser Eingabe macht sie geltend, dass die Frage der Vornamensänderung vor der geschlechtsangleichenden Operation als erledigt angesehen werde, die Diskriminierung durch die fehlende medizinische Behandlung der sekundären männlichen Geschlechsmerkmale vor dem vorgesehenen Operationstermin jedoch verstärkt werde.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in Zivilsachen, welcher einen Endentscheid darstellt und eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit betrifft (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
Sind die Voraussetzungen einer Beschwerde in Zivilsachen somit insoweit gegeben, ist die Beschwerdeschrift trotz der Bezeichnung als "Verfassungsbeschwerde" als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen.
2. Eine Beschwerde vor Bundesgericht hat unter anderem die Begehren sowie deren Begründung mit Angabe der Beweismittel zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG).
3. 3.1 Das Obergericht erwog, dass auf das im Rekursverfahren neu gestellte Feststellungsbegehren der Beschwerdeführerin (s. oben, Sachverhalt Bst. B) nicht eingetreten werden könne, da in zweitinstanzlichen Verfahren neue Anträge gemäss § 146 Abs. 1 des Gesetzes vom 6. Juli 1988 über die Zivilrechtspflege (Zivilprozessordnung, ZPO/TG; RB 271) grundsätzlich unzulässig seien.
Im Übrigen liess das Obergericht offen, ob die erste Instanz das Begehren der Beschwerdeführerin trotz angebrachten Vorbehalts zu Recht zufolge Rückzugs als gegenstandslos abgeschrieben hatte. Es betrachtete die Zivilgerichte für die Behandlung eines Gesuchs um Vornamensänderung im Vorfeld einer operativen Geschlechtsanpassung als sachlich nicht zuständig und führte aus, die erste Instanz hätte auf den Antrag der Beschwerdeführerin nicht eintreten dürfen. Vielmehr habe darüber gemäss Art. 30 Abs. 1 ZGB die Regierung des Wohnsitzkantons des Betroffenen zu entscheiden.
3.2 Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbständigen Begründungen, die je für sich den Ausgang des Rechtsstreits besiegeln, so hat der Beschwerdeführer darzulegen, dass jede von ihnen Recht verletzt; andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.).
Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, das Obergericht hätte auf ihre Feststellungsbegehren eintreten müssen. Auch bringt sie nicht vor, das Obergericht habe die Zivilgerichte zu Unrecht als nicht zuständig betrachtet. Insofern wendet sie sich nicht gegen die Begründung im vorinstanzlichen Entscheid.
Vielmehr stellt sie vor Bundesgericht erneut ein allgemeines Begehren auf Feststellung von Verfassungsverletzungen (s. oben, Sachverhalt Bst. C). Eine solche Rechtsschrift entspricht formal und inhaltlich keinem vor Bundesgericht zulässigen Rechtsmittel, zumal die Beschwerdeführerin kein besonderes Rechtsschutzinteresse i.S.v. Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG geltend macht, welches ausnahmsweise eine Prüfung ihrer Feststellungsbegehren zulassen würde, so wenn sich die gerügte Rechtsverletzung jederzeit wiederholen könnte und eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre (Urteil 5A_781/2008 vom 5. Dezember 2008 E. 1.2 mit Hinweisen).
Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4. Soweit die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht geltend macht, ihr sei die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren zu bewilligen, verkennt sie offensichtlich, dass das Obergericht ihr Gesuch nicht abgelehnt hat, sondern ausgeführt hat, aufgrund ihrer gerichtskundig engen finanziellen Verhältnisse werde auf die Erhebung einer Verfahrensgebühr verzichtet, womit sich auch die Behandlung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege erübrige. Somit geht auch ihre Rüge betreffend die unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Verfahren an der obergerichtlichen Argumentation vorbei und ist auf sie nicht einzutreten.
5. Insgesamt ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Wie die vorstehenden Ausführungen zeigen, konnte der Beschwerde von Anfang an kein Erfolg beschieden sein, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (Art. 64 Abs. 1 BGG) und das betreffende Gesuch der Beschwerdeführerin abzuweisen ist. Gemäss dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Rapp