Sachverhalt:
A. A.a A.X._ und B.X._ sind die Eltern der drei Kinder Z._ (geb. 1995), V._ (geb. 1996) und W._ (geb. 2001). Das Ehepaar X._ ist tamilischer Herkunft. Die Vormundschaftsbehörde E._ ist nach Eingang von Gefährdungsmeldungen seit dem Jahr 2006 mit Kindesschutzmassnahmen zugunsten der drei Kinder befasst. Hintergrund ist die Alkoholsucht des Vaters (A.X._), die sich in körperlicher Gewalt gegen die Kinder und seine Ehefrau niedergeschlagen hat. Zudem bestehen kulturelle Probleme, die die Durchsetzung der Kindesschutzmassnahmen erschweren.
A.b Nachdem bei Z._ unter anderem eine auditive Merkfähigkeitsschwäche bei ausgeprägter Vergesslichkeit verbaler Informationen diagnostiziert und festgestellt worden war, dass sein Entwicklungsstand und sein intellektuelles Potential unterhalb der Altersnorm liegen, wurden mit Verfügung vom 28. April 2011 sonderpädagogische Massnahmen (Besuch der Heilpädagogischen Sonderschule F._) für das 9. Schuljahr bewilligt, dies insbesondere mit Blick auf die berufliche Eingliederung. Z._ leidet zudem an einer Lebensmittelallergie, die sich ähnlich wie eine Neurodermitis auswirkt.
Bereits am 13. April 2011 hatte die Vormundschaftskommission E._ eine Erziehungsbeistandschaft für die drei Kinder errichtet. Zur Beiständin war S._ ernannt worden.
Mit Verfügung vom 30. Juni 2011 stellte die Vormundschaftskommission das Ungenügen einer blossen Erziehungsbeistandschaft fest. Die Kinder seien gefährdet, da sie von den Eltern nicht die nötige Unterstützung, z.B. für die Schule, erhielten. Die Kinder seien oft unpünktlich und hätten die Arbeitsutensilien nicht dabei. Die Eltern könnten die Freizeit nicht sinnvoll planen. Sie hielten auch die Therapie gegen die Allergie von Z._ nicht ein. Die Kinder hätten vor allem vor dem Vater Angst, schliefen deshalb sehr schlecht und seien in der Schule völlig übermüdet. Mit dem erklärten Ziel, eine Fremdplatzierung zu vermeiden, wurde daraufhin den Eltern die Weisung erteilt, mit der Sozialpädagogischen Familienbegleitung intensiv zusammenzuarbeiten und in administrativen und finanziellen Angelegenheiten Unterstützung anzunehmen. A.X._ habe die Termine zur wöchentlichen Alkoholkontrolle wahrzunehmen und eine Antabus-Kur zu beginnen.
Am 16. August 2011 trat Z._ in die Heilpädagogische Sonderschule in F._ ein.
Mit Beschluss vom 1. September 2011 wurde T._ zur neuen Beiständin der drei Kinder ernannt. In ihrem Schlussbericht führte S._ aus, dass der Zustand der Haut von Z._ sehr schlecht gewesen sei. Er befinde sich in einem Loyalitätskonflikt, da er den Eltern nicht in den Rücken fallen wolle. Der Vater habe die Alkoholabstinenz nicht einhalten können. Die Familienbegleiterin habe angegeben, dass die Eltern häufig streiten würden und der Vater nicht wolle, dass die Familienbegleiterin in der Familie sei. Die Familienbegleiterin schaffe es fast nicht, etwas Ordnung in die Familie zu bringen. Alle Hilfsmassnahmen hätten viel Druck erzeugt. Verbesserungen seien jeweils kurzfristig eingetreten, aber nie von Dauer gewesen.
Am 27. September 2011 führte ein Eingliederungsfachmann der IV-Stelle des Kantons Solothurn eine Interessen- und einfache Leistungsabklärung an Z._ durch (Bericht vom 10. November 2011). Z._ sei stark verhaltensauffällig und wirke psychisch instabil. Er sei berufswahlunreif und es sei unrealistisch, dass er im Sommer 2012 eine Lehre beginnen könne. Er müsse sich zuerst stabilisieren und persönlich entwickeln können. Aufgrund der angespannten psychosozialen Situation (familiäre Problematik) wäre es sinnvoll, wenn Z._ die weitere Schulzeit im Rahmen eines betreuten Wohnens verbringen könnte.
A.c Mit Vizepräsidialbeschluss der Vormundschaftskommission vom 10. Oktober 2011 wurde den Eltern gestützt auf <ref-law> die Obhut über Z._ entzogen und dieser per 17. Oktober 2011 im Zentrum für Sonderpädagogik in C._ platziert.
Mit Verfügung vom 9. November 2011 hob die Vormundschaftskommission den Obhutsentzug und die Platzierung im Zentrum für Sonderpädagogik per 11. November 2011 wieder auf. Sie ordnete an, dass Z._ ab diesem Zeitpunkt wieder bei der Familie wohne und die Heilpädagogische Schule in F._ besuche. Die Beiständin T._ wurde per sofort aus ihrem Amt entlassen und als neue Beiständin der drei Kinder U._ eingesetzt. Zur Begründung führte die Vormundschaftskommission aus, die Gründe seien nicht mehr vorhanden, um am Entscheid vom 10. Oktober 2011 festzuhalten. Die Alkoholprobleme des Vaters seien nicht mehr vorhanden. Er sei bereit, eine Antabus-Kur unter ärztlicher Kontrolle zu machen und habe damit bereits begonnen. Z._ leide unter der Trennung von Eltern und Geschwistern. Er sei weder kriminell noch suchtgefährdet und sei zuhause weder Gewalt noch sittenwidrigen Tätigkeiten ausgesetzt. Die Eltern und Z._ könnten den Entscheid vom 10. Oktober 2011 auch nach der Schnupperzeit im Zentrum für Sonderpädagogik nicht mittragen. Eine optimale heilpädagogische Betreuung des Kindes setze aber eine gute und enge Zusammenarbeit zwischen den Eltern und dem Zentrum für Sonderpädagogik voraus. Die definitive Aufnahme im Zentrum würde einen Aufenthalt von mindestens zwei Jahren voraussetzen. Die verzögerte Entwicklung von Z._ genüge für eine solche Massnahme nicht.
B. B.a Mit Schreiben vom 10. November 2011 gelangten T._ und R._, Leiter der Sozialregion Q._, an die vormundschaftliche Aufsichtsbehörde (Departement des Innern des Kantons Solothurn, vertreten durch das Oberamt P._ [fortan: Departement bzw. Aufsichtsbehörde]). Sie führten aus, sie könnten den Entscheid der Vormundschaftskommission vom 9. November 2011 fachlich nicht nachvollziehen und die Verantwortung dafür nicht übernehmen.
Mit Verfügung vom 11. November 2011 eröffnete das Departement hinsichtlich des Verfahrens zum Schutz der drei Kinder der Familie X._ ein Aufsichtsverfahren gegen die Vormundschaftsbehörde E._ zur Prüfung der bisherigen vormundschaftlichen Massnahmen und gegen ihren Präsidenten zur Prüfung eines möglichen Ausstands. Das Departement verfügte, das vormundschaftliche Verfahren während des Aufsichtsverfahrens selber zu führen. Es schob die Vollstreckung der Verfügung vom 9. November 2011 superprovisorisch und vollumfänglich auf. Der Obhutsentzug und die Platzierung blieben somit bestehen und auch T._ blieb berechtigt und verpflichtet, als Beiständin für die Kinder zu handeln. Das Departement erteilte den Eltern Weisungen im Zusammenhang mit der Platzierung unter Androhung der Ungehorsamsstrafe gemäss <ref-law>. Zur Begründung führte das Departement aus, es werde zu erwägen sein, die Verfügung vom 9. November 2011 als offensichtlich rechtswidrig aufsichtsrechtlich aufzuheben. Eine einmal vollzogene Platzierung sei für eine gewisse Mindestdauer beizubehalten, ausser sie erweise sich als offensichtlich unbegründet, was vorliegend nicht der Fall sei. Insbesondere sei die Begründung der Verfügung vom 9. November 2011, die Alkoholsucht sei nicht mehr vorhanden, absurd, da diverse Massnahmen den Vater jahrelang nicht hinreichend vom Alkohol abgehalten hätten. Tatsachenwidrig sei die Behauptung, das Kind sei zuhause keiner Gewalt ausgesetzt. Bis die nötigen Abklärungen vorgenommen seien, dürfe die nicht rechtskräftige Verfügung vom 9. November 2011 keine Wirkung haben.
Gegen die Verfügung des Departements vom 11. November 2011 erhoben A.X._ und B.X._ sowie Z._, alle vertreten durch Advokat Stefan Suter, am 21. November 2011 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie verlangten die Aufhebung der angefochtenen Verfügung und die Bestätigung derjenigen vom 9. November 2011. Am 2. Dezember 2011 erteilte das Verwaltungsgericht die beantragte aufschiebende Wirkung nicht und teilte zudem mit, es führe das Verfahren als Beschwerdeverfahren betreffend Platzierung im Sinne von <ref-law>. Advokat Suter wurde am 9. Dezember 2011 zum unentgeltlichen Rechtsbeistand der Beschwerdeführer ernannt.
B.b Am 14. Dezember 2011 verfügte das Departement in Bestätigung der Verfügung vom 11. November 2011, Z._ für die Dauer des weiteren Abklärungsverfahrens gemäss <ref-law> im Zentrum für Sonderpädagogik unterzubringen. Über die weiteren Abklärungen werde nach der Instruktionsverhandlung des Verwaltungsgerichts vom 20. Dezember 2011 befunden. Zugleich passte es die Weisungen an die Eltern an. Das Departement hielt insbesondere fest, es erwäge, für die Kindesschutzverfahren aller drei Kinder eine externe Fachperson mit der Prüfung der bisherigen und künftigen Massnahmen zu beauftragen.
Am 15. Dezember 2011 erhoben A.X._ und B.X._ sowie Z._, alle vertreten durch Advokat Suter, beim Verwaltungsgericht Beschwerde gegen diese Verfügung und verlangten deren Aufhebung.
B.c Am 20. Dezember 2011 führte das Verwaltungsgericht eine separate Anhörung von Z._ durch und gleichentags eine Instruktionsverhandlung mit den Beteiligten. Ein von A.X._ und B.X._ bei dieser Gelegenheit gegen den Instruktionsrichter gestelltes Ablehnungsbegehren blieb erfolglos (Urteil 5A_10/2012 vom 14. März 2012).
Am 23. Dezember 2011 zeigte Advokatin Sandra Sutter-Jeker an, dass sie nunmehr Z._ vertrete. Am 4. Januar 2012 wurde sie zu seiner unentgeltlichen Prozessbeiständin eingesetzt. Am 12. Januar 2012 beantragte sie im Namen von Z._ die Aufhebung der Verfügungen des Departements vom 11. November und 14. Dezember 2011 und die Bestätigung der Verfügung der Vormundschaftskommission vom 9. November 2011.
B.d Mit Urteil vom 25. Januar 2012 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerden ab, soweit es auf sie eintrat. Zugleich bestimmte es die Entschädigungen der unentgeltlichen Rechtsvertreter. Die Entschädigung von Advokatin Sutter-Jeker wurde auf Fr. 3'153.40 (inkl. Auslagen und MwSt) festgesetzt.
C. Am 17. Februar 2012 haben sowohl A.X._ und B.X._ (Verfahren 5A_166/2012) als auch Z._ (Verfahren 5A_167/2012) gegen dieses Urteil Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. A.X._ und B.X._ beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Anweisung an die Vorinstanz, Z._ umgehend den Eltern zurückzugeben. Zudem ersuchen sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Z._ beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Bestätigung der Verfügung der Vormundschaftskommission vom 9. November 2011. Zudem sei seiner Vertreterin für das Verfahren vor Verwaltungsgericht ein Honorar von Fr. 4'190.70 zuzusprechen. Schliesslich ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführer fechten dasselbe Urteil an und stellen im Wesentlichen identische Anträge. Die beiden Verfahren sind deshalb zu vereinigen (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273] e contrario).
2. 2.1 Die Beschwerde in Zivilsachen ist sowohl auf dem Gebiet des Kindesschutzes als auch der Aufsicht über die Vormundschaftsbehörden zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 und Ziff. 7 BGG).
2.2 Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Entscheid sowohl über die Beschwerde gegen die superprovisorische Verfügung vom 11. November 2011 wie auch über die Beschwerde gegen die Bestätigung dieser Verfügung vom 14. Dezember 2011 entschieden, ohne das gegenseitige Verhältnis der beiden Verfügungen genauer zu bestimmen. Soweit das verwaltungsgerichtliche Urteil die superprovisorische Verfügung über den Obhutsentzug vom 11. November 2011 betrifft, stellt es einen Zwischenentscheid gemäss <ref-law> (Urteil 5A_678/2007 vom 8. Januar 2008 E. 2) über eine vorsorgliche Massnahme gemäss <ref-law> dar. Der Verfügung vom 11. November 2011 kommt allerdings - soweit vorliegend von Interesse - keine Bedeutung mehr zu, da sie durch die Bestätigung der Massnahme in der Verfügung vom 14. Dezember 2011 ersetzt wurde. Ihr übriger Inhalt bezieht sich auf die Eröffnung des Aufsichtsverfahrens als solches. Die Beschwerdeführer haben zwar dem Wortlaut ihrer Anträge nach die Aufhebung der gesamten Verfügung vom 11. November 2011 verlangt. Dass das Departement ein Aufsichtsverfahren eröffnen darf, ist jedoch nicht bestritten. Es geht den Beschwerdeführern offenbar um die von der Aufsichtsbehörde angeordneten vormundschaftsrechtlichen Massnahmen bzw. die Kompetenz der Aufsichtsbehörde dazu und nicht um das Aufsichtsverfahren gegen die Vormundschaftsbehörde E._ als solches.
Gemäss Ziff. 1 des Dispositivs der Verfügung vom 14. Dezember 2011 wird Z._ für die Dauer des Abklärungsverfahrens platziert. Das Departement hat zugleich erwogen, zur Überprüfung aller Massnahmen eine Fachperson zu beauftragen. Die den Obhutsentzug und die Platzierung bestätigende Verfügung ist damit bloss eine vorsorgliche Massnahme (<ref-law>) zur Aufrechterhaltung des bisherigen Zustands für die Dauer des Abklärungsverfahrens. Da die Verfügung nicht im Rahmen eines eigenständigen Verfahrens ergangen ist, handelt es sich um einen Zwischenentscheid (<ref-ruling> E. 3.1 S. 86 f.), der allerdings einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil nach sich ziehen kann (<ref-law>). Zwar ist unklar, ob das Verwaltungsgericht die Rechtsnatur dieser Verfügung richtig aufgefasst hat: Es spricht an verschiedenen Orten (unter anderem in E. I.8) davon, die Verfügung sei definitiv. Da das Verwaltungsgericht jedoch nicht über den Anfechtungsgegenstand hinausgehen kann und insbesondere auch nicht bestimmt hat, dass es gar keiner weiteren Abklärungen bedarf, ist sein Entscheid als Zwischenentscheid über eine vorsorgliche Massnahme zu behandeln.
2.3 Die Angelegenheit untersteht keiner Streitwertgrenze (<ref-law>), der angefochtene Entscheid stammt von einer zulässigen Vorinstanz (<ref-law>) und alle Beschwerdeführer haben vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen und haben ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Urteils, soweit es um den Obhutsentzug und die Unterbringung geht (<ref-law>). Z._ ist unmündig, aber zur selbständigen Beschwerdeführung legitimiert (Art. 19 Abs. 2 und Art. 314a Abs. 2 ZGB).
2.4 Die Qualifikation als vorsorgliche Massnahme hat zur Folge, dass einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>). Es gilt demnach das strenge Rügeprinzip gemäss <ref-law>. Eine Verfassungsrüge muss präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen).
Die erhobenen Rügen müssen in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 400). Die vom Rechtsvertreter von A.X._ und B.X._ vorgenommene pauschale Verweisung auf seine Ausführungen in der Beschwerde im Verfahren 5A_10/2012 ist folglich unzulässig.
3. 3.1 Die Beschwerdeführer hatten vor der Vorinstanz vorgebracht, das Departement sei nicht berechtigt gewesen, die Vollstreckung der Verfügung der Vormundschaftsbehörde vom 9. November 2011 aufzuschieben und diese Verfügung aufzuheben, da gegen diese Verfügung kein ordentliches Rechtsmittel erhoben worden sei.
Dazu hat das Verwaltungsgericht erwogen, der Regierungsrat sei Aufsichtsbehörde des Departements und nicht das Verwaltungsgericht. Soweit die Beschwerdeführer aufsichtsrechtliche Einwände gegen die beiden Departementsverfügungen vom 11. November und 14. Dezember 2011 vorgebracht hätten, könne darauf nicht eingetreten werden. Sofern im Übrigen die Voraussetzungen von § 22 des solothurnischen Gesetzes vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (Verwaltungsrechtspflegegesetz; BGS 124.11 [fortan VRPG/SO]) erfüllt seien, sei das Departement zum Widerruf einer rechtskräftigen Verfügung berechtigt. Ob diese Voraussetzungen vorgelegen haben, wäre aber Gegenstand eines aufsichtsrechtlichen Verfahrens und vom Regierungsrat zu klären.
Für das Verfahren vor Verwaltungsgericht sei einzig relevant, dass ein beschwerdefähiges Anfechtungsobjekt vorliege. Dies sei der Fall, denn das Departement sei vormundschaftliche Aufsichtsbehörde und nach § 117 des Gesetzes vom 4. April 1954 über die Einführung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches (BGS 211.1 [fortan: EGZGB/SO]) berechtigt, Weisungen zu erlassen, von sich aus Massnahmen einzuleiten und die geeigneten Verfügungen zu treffen. Gemäss § 118 EGZGB/SO könnten Verfügungen des Departements in Vormundschaftssachen mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht weitergezogen werden.
3.2 Die Beschwerdeführer halten diese Erwägungen für willkürlich. Gegen die Verfügung der Vormundschaftskommission vom 9. November 2011 sei kein Rechtsmittel (gemäss <ref-law>), sondern bloss eine Aufsichtsbeschwerde eingereicht worden. Eine Aufsichtsbeschwerde könne nicht zur Aufhebung des Entscheids der Vormundschaftsbehörde führen. Vor Verwaltungsgericht sei es um diese verfahrensrechtliche Frage gegangen und nicht um die materielle, ob Z._ in einem Heim unterzubringen sei oder nicht. Die Aufsichtsbeschwerde könne sich zwar gegen eine Verfügung richten, doch sei sie subsidiär zu den ordentlichen Rechtsmitteln. Eine formell rechtskräftige Verfügung könne durch die Aufsichtsbehörde nur bei Nichtigkeit aufgehoben werden. Dies gelte auch im Rahmen von § 22 VRPG/SO.
3.3 Das Kindesschutzverfahren untersteht grundsätzlich kantonalem Recht und ist nur punktuell bundesrechtlich geregelt (allgemein <ref-law>; für die Unterbringung in einer Anstalt: Art. 314a i.V.m. <ref-law>). Die Vorinstanz hat für die von den Beschwerdeführern aufgeworfene Frage der Kompetenz des Departements zum Vollstreckungsaufschub bzw. zur Aufhebung der Verfügung der Vormundschaftsbehörde vom 9. November 2011 § 22 VRPG/SO und § 117 EGZGB/SO angewandt. § 22 Abs. 1 VRPG/SO sieht vor, dass Verfügungen und Entscheide durch die zuständige Behörde oder die Aufsichtsbehörde abgeändert oder widerrufen werden können, falls sich die Verhältnisse geändert haben oder, sofern Rückkommensgründe bestehen, überwiegende Interessen dies erfordern. Sie sieht somit ausdrücklich vor, dass auch eine Aufsichtsbehörde auf eine bereits erlassene Verfügung zurückkommen kann. § 117 EGZGB/SO räumt dem Departement als Aufsichtsbehörde die Kompetenz ein, die geeigneten Verfügungen zu treffen. Die Beschwerdeführer legen nicht detailliert dar, inwiefern in der Anwendung dieser Normen auf den vorliegenden Sachverhalt eine Verfassungsverletzung (z.B. eine Verletzung von Art. 9 oder Art. 49 Abs. 1 BV) liegen soll. Insbesondere legen sie nicht dar, weshalb die entsprechenden Normen nicht gelten sollten, wenn die Aufsichtsbehörde aufgrund einer Aufsichtsbeschwerde die Führung des Kindesschutzverfahrens an sich zieht und nicht auf anderem Wege mit dem Fall befasst worden ist. Auf die entsprechende Rüge kann demnach nicht eingetreten werden.
4. 4.1 Das Verwaltungsgericht hat sodann in der Sache den Obhutsentzug und die Unterbringung im Zentrum für Sonderpädagogik beurteilt. Es hat zunächst festgehalten, aus dem in den Akten dokumentierten Verlauf (gekürzt wiedergegeben oben in lit. A) ergebe sich, dass A.X._ seit etwa zehn Jahren übermässig Alkohol konsumiere und unter Alkoholeinfluss sehr aggressiv reagiere. Er schlage seine Ehefrau. Während gewisser Zeit habe er auch Z._ geschlagen, wobei unterschiedliche Angaben bestünden, ob dies weiterhin der Fall sei. Die Gewaltproblematik sei nicht nur für die physische Gesundheit von Z._ schädlich, sondern erzeuge auch grossen psychischen Stress. Zugleich befinde sich Z._ in einem Loyalitätskonflikt. Das Alkoholproblem des Vaters sei nicht gelöst. Die gegenteilige Erwägung in der Verfügung vom 9. November 2011 sei nicht nachvollziehbar, da damals bereits bekannt gewesen sei, dass er auf die Antabus-Kur nicht anspreche und die Ehefrau mitgeteilt habe, dass er weiterhin Alkohol trinke. Notwendig wäre ein vollkommener Entzug, der für längere Zeit durchgehalten werde. Vorher liege keine Veränderung der Verhältnisse vor. Das Kindswohl von Z._ bleibe aufgrund der Gewaltanwendung und der Alkoholproblematik ernstlich gefährdet.
Die Eltern seien zudem mit der Erziehung überfordert. Es bestünden finanzielle Schwierigkeiten und kulturelle Integrationsprobleme. Die Eltern sprächen oder verstünden kaum Deutsch, was die Zusammenarbeit mit Schule und Sozialbehörden stark erschwere. In organisatorischen Belangen schienen sie nicht in der Lage zu sein, die Kinder genügend zu unterstützen, obwohl Z._ laut diversen Fachmeinungen auf enge Führung und Unterstützung angewiesen wäre. Die Eltern wehrten sich zudem gegen sämtliche Hilfestellungen. Dass die Eltern den Anforderungen nicht gewachsen seien, zeige sich auch daran, dass sich die Mutter nicht an die Diät-Vorschriften halte, die Z._ aufgrund seiner Allergie einhalten müsste. Das Verwaltungsgericht hat offengelassen, ob die Verhaltensauffälligkeiten von Z._ durch die familiäre Situation oder ein Asperger-Syndrom bedingt seien. Fest stehe jedenfalls, dass er aufgrund seiner Defizite einer besonders intensiven Betreuung bedürfe.
Nachdem die milderen Massnahmen gescheitert seien, erscheine es als mildestes und einzig geeignetes Mittel, Z._ aus der Familie herauszunehmen und in einem Internat unterzubringen. Vorliegend könne nicht davon ausgegangen werden, dass sich die Verhältnisse inzwischen wesentlich verbessert hätten. Eine Änderung sei erst dann zu beachten, wenn der Zustand eine gewisse Zeitspanne andauere und eine gewisse Stabilität aufweise. Ein Hin und Her bei der Platzierung wäre dem Kindeswohl abträglich. Die Voraussetzungen von <ref-law> für einen Obhutsentzug und eine Platzierung seien somit erfüllt.
4.2 Die Beschwerdeführer wenden sich gegen den Obhutsentzug und die Fremdplatzierung. Sie machen geltend, das Verwaltungsgericht habe darüber nicht befinden dürfen, da dies nicht Verfahrensthema sei, sondern einzig die Zuständigkeit des Departements zum Aufschub bzw. zur Aufhebung der Verfügung der Vormundschaftsbehörde. Das Alkoholproblem des Vaters bestehe nicht mehr. Z._ wolle lieber bei den Eltern und nicht im Zentrum für Sonderpädagogik wohnen. Angesichts seines Alters müssten seine Aussagen ernst genommen werden und ein Interessenkonflikt sei auszuschliessen. Es liege zudem keine fachärztliche Untersuchung bzw. kein Gutachten für die Unterbringung von Z._ vor. Insbesondere genüge der Abklärungsbericht der IV-Stelle vom 10. November 2011 dazu nicht. Eine akute Gefährdung von Z._ liege nicht vor. Wäre Z._ gefährdet, wären es auch seine beiden Brüder, die aber nach wie vor zu Hause wohnen würden. Zudem verbringe Z._ die Ferien, die Wochenenden und den Mittwochnachmittag zu Hause, was bei einer akuten Kindswohlgefährdung nicht zu verantworten wäre. Das Verwaltungsgericht habe aufgrund älterer und nicht mehr aktueller Berichte geurteilt. Z._ leide an einem Asperger-Syndrom, das durch den Besuch der Heilpädagogischen Schule in F._ aufgefangen werden könne. Es sei viel zu wenig berücksichtigt worden, dass die Probleme von Z._ mit dem Asperger-Syndrom zusammenhingen und nicht mit den familiären Umständen. Die bisherigen vormundschaftlichen Massnahmen hätten schliesslich in ihrer Gesamtheit gegriffen.
4.3 Diese Rügen genügen den Begründungsanforderungen weitgehend nicht und sind im Übrigen unbegründet. Was zunächst die Kompetenz des Verwaltungsgerichts angeht, so setzen sich die Beschwerdeführer nicht mit den von der Vorinstanz angewandten Normen auseinander: Das Verwaltungsgericht hat nämlich ausgeführt, gemäss § 118 EGZGB/SO könnten Verfügungen des Departements in Vormundschaftssachen mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht gezogen werden. Im Übrigen beschränken sich die Beschwerdeführer weitgehend darauf, den Sachverhalt aus ihrer Sicht darzustellen und ihn zu ergänzen bzw. die von der Vorinstanz genannten Sachverhaltselemente anders zu gewichten. Ohne eine genügende Willkürrüge zu erheben, bestreiten sie z.B. den Fortbestand des Alkoholproblems des Vaters oder die Existenz eines Loyalitätskonflikts von Z._. Dass Z._ den Obhutsentzug und die Platzierung nicht wünscht, hat die Vorinstanz berücksichtigt, dabei aber ausführlich dargelegt, wieso die Massnahme dennoch erforderlich ist. Zudem hat sie die entsprechenden Äusserungen gerade auf seine Zerrissenheit zurückgeführt, welche von den Beschwerdeführern allerdings unsubstantiiert bestritten wird. Die Betonung des angeblichen Asperger-Syndroms von Z._ geht an der Sache vorbei: Das Verwaltungsgericht hat nämlich offengelassen, ob die Schwierigkeiten von Z._ auf die familiären Umstände oder dieses Syndrom zurückzuführen seien, hat aber als wesentlich erachtet, dass die Eltern so oder anders mit der Situation überfordert seien. Dass das Verwaltungsgericht einzig aufgrund veralteter Unterlagen entschieden habe, trifft nicht zu, hat es doch ausführlich Aktenstücke, die bis in die jüngste Vergangenheit reichen, zitiert und in seine Beurteilung einfliessen lassen. Zutreffend ist, dass im Zusammenhang mit der Platzierung bisher kein ärztliches Gutachten eingeholt worden ist. Wie die Anwältin von Z._ selber ausführt, hat das Departement des Innern mit Verfügung vom 3. Februar 2012 jedoch angekündigt, ein psychiatrisches Gutachten in Auftrag zu geben (zur Notwendigkeit solcher Gutachten bei Kindern, die schwer geschädigt sind <ref-ruling> E. 4.3 S. 410 f.). Es ist keine Verfassungsverletzung darin ersichtlich, dass dies noch nicht geschehen ist, zumal Z._ ohnehin nicht schwer geschädigt zu sein scheint. Dass die bisherigen Massnahmen gegriffen hätten, stellt wiederum bloss eine Wertung der Beschwerdeführer dar, mit der nicht konkret belegt werden kann, inwiefern der gegenteilige Schluss der Vorinstanz willkürlich wäre. Schliesslich kann auch nichts daraus abgeleitet werden, dass die Brüder von Z._ nach wie vor bei den Eltern wohnen. Sie sind nicht Gegenstand des Verfahrens und die Platzierung stützt sich auf eine Vielzahl von Gründen, die nicht notwendigerweise auch auf sie zuzutreffen brauchen. Schliesslich erscheint die Unterbringung auch nicht als unhaltbar angesichts der Tatsache, dass Z._ dennoch relativ viel Zeit zu Hause verbringen darf.
5. 5.1 Z._ wendet sich schliesslich dagegen, dass die Vorinstanz die von seiner Rechtsvertreterin geltend gemachte Entschädigung gekürzt hat.
5.2 Bei der unentgeltlichen Verbeiständung handelt es sich um ein öffentlich-rechtliches Verhältnis zwischen dem Staat und dem Rechtsanwalt (<ref-ruling> E. 5.1.4 S. 205), das einen Honoraranspruch des Rechtsbeistands gegenüber dem Staat und nicht gegenüber dem Vertretenen begründet. Entschädigt der Staat im Rahmen der gewährten unentgeltlichen Rechtspflege den amtlichen Vertreter, kann dieser keine weitergehende Honorarforderung an die von ihm vertretene Partei stellen (<ref-ruling> E. 1 S. 12 f.; <ref-ruling> E. 4e S. 26; <ref-ruling> E. 3b S. 325 f.). Die amtlich verbeiständete Partei hat kein schützenswertes Interesse (<ref-law>) an der Erhöhung der Entschädigung ihres amtlichen Anwalts. Dadurch würde einzig der Betrag erhöht, den sie gegebenenfalls dem Gemeinwesen zurückzuzahlen hätte, sofern nach dem massgebenden kantonalen Recht ein Nachforderungsanspruch des Staates besteht und die Partei nachträglich zu hinreichenden finanziellen Mitteln gelangt (Urteil 5A_451/2011 vom 25. Juli 2011 E. 1.2 mit Hinweisen). Es obliegt vielmehr dem amtlichen Anwalt, in eigenem Namen gegen eine seines Erachtens zu tief ausgefallene Entschädigung Beschwerde zu führen (Urteil 5D_67/2010 vom 6. September 2010 E. 1.3 mit Hinweis).
5.3 Die Anwältin von Z._ führt den die Entschädigung betreffenden Teil der Beschwerde nicht in eigenem Namen, sondern - wie den Rest der Beschwerde - im Namen von Z._. Auf diesen Punkt kann demnach nicht eingetreten werden.
6. Die Beschwerden sind folglich abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
7. Es rechtfertigt sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Den Beschwerdeführern wird das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege erteilt. A.X._ und B.X._ wird Advokat Dr. Stefan Suter als unentgeltlicher Rechtsvertreter und Z._ wird Advokatin Sandra Sutter-Jeker als unentgeltliche Rechtsvertreterin bestellt. Die Rechtsvertreter werden aus der Bundesgerichtskasse angemessen entschädigt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 5A_166/2012 und 5A_167/2012 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
3. Den Beschwerdeführern wird das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege erteilt. A.X._ und B.X._ wird Advokat Dr. Stefan Suter als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet. Z._ wird Advokatin Sandra Sutter-Jeker als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
4. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5. Den beiden Rechtsvertretern wird eine Entschädigung von je Fr. 1'500.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. April 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg