Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die Beklagte (Bürgin), eine Schweizer Bank, ging gegenüber der Klägerin (Gläubigerin), einer ausländischen Gesellschaft mit Sitz in Dänemark, zwei Solidarbürgschaftsverpflichtungen für Schulden einer ihrer Kundinnen in der Schweiz ein. Die erste Bürgschaftsverpflichtung über DKK 1'250'000.-- wurde vorerst bis zum 31. Dezember 1998, die zweite über DKK 250'000.-- bis zum 30. Juni 1999 befristet. Beide wurden bis zum 30. Juni 2000 verlängert.
Die Kundin geriet in Zahlungsschwierigkeiten und bezahlte die im letzten Quartal 1999 und im ersten Quartal 2000 in Rechnung gestellten Lieferungen nicht. Mit Schreiben vom 27. Juni 2000 forderte die Klägerin von der Beklagten die Zahlung von DKK 1'500'000.--. Diese teilte der Klägerin am 5. Juli 2000 schriftlich mit, dass sie gemäss <ref-law> berechtigt und verpflichtet sei, ihr allfällige Einreden der Schuldnerin entgegenzusetzen, und dass sie Letzterer eine Frist bis spätestens 15. Juli 2000 zur Stellungnahme angesetzt habe. Am 13. Juli 2000 wurde über die Schuldnerin der Konkurs eröffnet. Am 24. August 2000 erkundigte sich die Klägerin bei der Beklagten nach dem Stand der Dinge und forderte sie erneut zur Bezahlung auf. Am 31. August 2000 antwortete die Beklagte, dass sie zur Überweisung der Geldsumme die Bestätigung ihrer juristischen Rechtsabteilung abwarte. Am 2. Oktober 2000 hielt die Beklagte schriftlich fest, dass zumindest ihr gegenüber eine rechtliche Geltendmachung der Bürgschaften nicht innert Frist im Sinne von <ref-law> erfolgt sei.
Die Kundin geriet in Zahlungsschwierigkeiten und bezahlte die im letzten Quartal 1999 und im ersten Quartal 2000 in Rechnung gestellten Lieferungen nicht. Mit Schreiben vom 27. Juni 2000 forderte die Klägerin von der Beklagten die Zahlung von DKK 1'500'000.--. Diese teilte der Klägerin am 5. Juli 2000 schriftlich mit, dass sie gemäss <ref-law> berechtigt und verpflichtet sei, ihr allfällige Einreden der Schuldnerin entgegenzusetzen, und dass sie Letzterer eine Frist bis spätestens 15. Juli 2000 zur Stellungnahme angesetzt habe. Am 13. Juli 2000 wurde über die Schuldnerin der Konkurs eröffnet. Am 24. August 2000 erkundigte sich die Klägerin bei der Beklagten nach dem Stand der Dinge und forderte sie erneut zur Bezahlung auf. Am 31. August 2000 antwortete die Beklagte, dass sie zur Überweisung der Geldsumme die Bestätigung ihrer juristischen Rechtsabteilung abwarte. Am 2. Oktober 2000 hielt die Beklagte schriftlich fest, dass zumindest ihr gegenüber eine rechtliche Geltendmachung der Bürgschaften nicht innert Frist im Sinne von <ref-law> erfolgt sei.
B. Mit Klage vom 7. (recte: 5.) März 2001 belangte die Klägerin die Bürgin auf Bezahlung von DKK 1'500'000.-- zuzüglich Zins.
Mit Urteil vom 18. Februar 2003 wies das Handelsgericht des Kantons Zürich die Klage ab. Es erwog im Wesentlichen, die Klägerin habe durch ihr Unterlassen einer rechtlichen Geltendmachung innert Frist ihre Rechte gegenüber der Beklagten verwirkt, deren Verhalten in diesem Zusammenhang nicht rechtsmissbräuchlich gewesen sei.
Mit Urteil vom 18. Februar 2003 wies das Handelsgericht des Kantons Zürich die Klage ab. Es erwog im Wesentlichen, die Klägerin habe durch ihr Unterlassen einer rechtlichen Geltendmachung innert Frist ihre Rechte gegenüber der Beklagten verwirkt, deren Verhalten in diesem Zusammenhang nicht rechtsmissbräuchlich gewesen sei.
C. Mit ihrer Berufung beantragt die Klägerin dem Bundesgericht, das Urteil des Handelsgerichts aufzuheben und die Beklagte zur Zahlung von DKK 1'500'000.-- zuzüglich Zins zu verpflichten, eventualiter das Urteil des Handelsgerichts aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung. Das Handelsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der identische Text der beiden am 5. Mai 1998 resp. am 2. März 1999 eingegangenen Bürgschaften bestimmt unter anderem:
"Diese Bürgschaft ist befristet bis und mit 31/12/1998 (neun acht) [bzw. 30/6/99 (neun neun)] und erlischt ohne weiteres, wenn der Gläubiger nicht binnen vier Wochen nach Ablauf dieser Frist seine Forderung gemäss Art. 510 Abs. 3 des Schweizerischen Obligationenrechtes geltend macht und dies der Bank innert der gleichen Frist durch eingeschriebenen Brief mitteilt. Ist die Forderung in diesem Zeitpunkt noch nicht fällig, so erlischt die Bürgschaft gleichwohl, wenn der Gläubiger seine Forderung nicht innerhalb derselben 4 Wochen unter genauer Angabe von Betrag und Fälligkeitstermin durch eingeschriebenen Brief bei der Bank anmeldet".
Beide Bürgschaften wurden bis zum 30. Juni 2000 verlängert. Aus ihrem Wortlaut ist ferner zu entnehmen, dass es sich um Solidarbürgschaften im Sinne von Art. 492 ff. handelt, was unumstritten ist.
1.2 Die Klägerin bringt zur Hauptsache vor, bei der Solidarbürgschaft könne der Gläubiger gemäss <ref-law> bereits auf den Bürgen greifen, wenn der Hauptschuldner mit Zahlungen im Rückstand und erfolglos gemahnt worden sei. Es bestehe somit beim Solidarbürgen, im Vergleich zum einfachen Bürgen, zu einem viel früheren Zeitpunkt Klarheit über Bestand und Umfang der Forderung, die ihm gegenüber geltend gemacht werden könne, nämlich im Zeitpunkt der entsprechenden Mitteilung durch den Gläubiger. Im Gegensatz zum einfachen Bürgen bedürfe der Solidarbürge demnach keines besonderen Schutzes. Bei der Solidarbürgschaft könne der Gläubiger wahlweise den Hauptschuldner oder den Bürgen belangen, und zwar mittels Mahnung (<ref-law>). Folglich müsse die in <ref-ruling> verlangte "blosse Anzeige" innert der in <ref-law> vorgesehenen vierwöchigen Frist genügen.
1.2 Die Klägerin bringt zur Hauptsache vor, bei der Solidarbürgschaft könne der Gläubiger gemäss <ref-law> bereits auf den Bürgen greifen, wenn der Hauptschuldner mit Zahlungen im Rückstand und erfolglos gemahnt worden sei. Es bestehe somit beim Solidarbürgen, im Vergleich zum einfachen Bürgen, zu einem viel früheren Zeitpunkt Klarheit über Bestand und Umfang der Forderung, die ihm gegenüber geltend gemacht werden könne, nämlich im Zeitpunkt der entsprechenden Mitteilung durch den Gläubiger. Im Gegensatz zum einfachen Bürgen bedürfe der Solidarbürge demnach keines besonderen Schutzes. Bei der Solidarbürgschaft könne der Gläubiger wahlweise den Hauptschuldner oder den Bürgen belangen, und zwar mittels Mahnung (<ref-law>). Folglich müsse die in <ref-ruling> verlangte "blosse Anzeige" innert der in <ref-law> vorgesehenen vierwöchigen Frist genügen.
2. 2.1 Bei der Solidarbürgschaft kann der Gläubiger die Forderung statt dem Hauptschuldner dem Solidarbürgen gegenüber geltend machen, sofern jener mit seiner Leistung im Rückstand und erfolglos gemahnt worden oder seine Zahlungsunfähigkeit offenkundig ist (<ref-law>). Der Solidarbürge übernimmt nicht bloss eine subsidiäre, sondern eine primäre Leistungspflicht. Dagegen ist seine Verpflichtung akzessorisch, von der Hauptschuld abhängig (Schnyder in: Guhl/Koller/Schnyder/Druey, Das Schweizerische Obligationenrecht, 9. Aufl., Zürich 2000, § 57, N. 37). Dem betriebenen Solidarbürgen steht die Möglichkeit des Begehrens auf Einstellung der gegen ihn gerichteten Betreibung gegen Leistung von Realsicherheit offen (<ref-law>). Kann sich die rechtliche Geltendmachung der durch Solidarbürgschaft gesicherten Gläubigerforderung statt gegen den Hauptschuldner auch gegen den Solidarbürgen richten, so ist dieses Vorgehen durch die zitierten Vorschriften eingeengt bzw. gehemmt (Giovanoli, Berner Kommentar, N. 14 zu <ref-law>).
2.2 Ist die Bürgschaft nur für eine bestimmte Zeit eingegangen, so erlischt die Verpflichtung des Bürgen, wenn der Gläubiger nicht binnen vier Wochen nach Ablauf der Frist seine Forderung rechtlich geltend macht und den Rechtsweg ohne erhebliche Unterbrechung verfolgt (<ref-law>). Leitet der Gläubiger die Geltendmachung nicht innert der Nachfrist von vier Wochen ein oder ist er in der Weiterverfolgung säumig, so erlischt die Bürgschaft ohne weiteres, unabhängig davon, ob der Gläubiger trotz rechtzeitigem Vorgehen keine Befriedigung erlangt hätte oder ob durch die Verzögerung eine Schädigung des Bürgen eingetreten ist (BGE 64 II 191 E. 4d; 4C.41/1988 vom 27. Juli 1988 E. 2c, SJ 1988 641).
<ref-law> findet nicht nur auf die einfache, sondern auch auf die Solidarbürgschaft Anwendung (Giovanoli, a.a.O., N. 14 zu <ref-law> mit weiteren Hinweisen; Oser/Schönenberger, Zürcher Kommentar N. 14 zu <ref-law>; Pestalozzi, Basler Kommentar, N. 9 zu Art. 510). Es handelt sich um eine im Sinne von <ref-law> zwingende Gesetzesvorschrift, von der nicht zu Ungunsten des Bürgen abgewichen werden darf (Giovanoli, a.a.O., Vorbem. zu Art. 492-512, N. 14; Oser/Schönenberger, a.a.O., N. 85 ff. zu Art. 492; Pestalozzi, a.a.O., N. 27 zu Art. 492).
2.3 Die in <ref-law> vorgesehene rechtliche Geltendmachung, worauf in den Bürgschaften hingewiesen wird, ist auch erforderlich bei der Solidarbürgschaft (vgl. zu <ref-law> BGE 54 II 289 E. 4 S. 292; Giovanoli, a.a.O., N. 14 zu <ref-law>; Oser/Schönenberger, a.a.O., N. 23 zu <ref-law>; Pestalozzi, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>). Die blosse Mahnung des Hauptschuldners oder des Bürgen reicht nicht aus. Es bedarf des Betreibungsbegehrens, der gerichtlichen Klage oder der Eingabe im Konkurs (zu Art. 503 aOR BGE 56 III 154 S.157; 4C.41/1988 vom 27. Juli 1988 E. 2c, SJ 1988 641;Giovanoli, a.a.O., N. 11 zu <ref-law>; Oser/Schönenberger, a.a.O., N. 20 und 23 zu Art. 510; Pestalozzi, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>; Schnyder, a.a.O, § 57, N. 71).
2.3 Die in <ref-law> vorgesehene rechtliche Geltendmachung, worauf in den Bürgschaften hingewiesen wird, ist auch erforderlich bei der Solidarbürgschaft (vgl. zu <ref-law> BGE 54 II 289 E. 4 S. 292; Giovanoli, a.a.O., N. 14 zu <ref-law>; Oser/Schönenberger, a.a.O., N. 23 zu <ref-law>; Pestalozzi, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>). Die blosse Mahnung des Hauptschuldners oder des Bürgen reicht nicht aus. Es bedarf des Betreibungsbegehrens, der gerichtlichen Klage oder der Eingabe im Konkurs (zu Art. 503 aOR BGE 56 III 154 S.157; 4C.41/1988 vom 27. Juli 1988 E. 2c, SJ 1988 641;Giovanoli, a.a.O., N. 11 zu <ref-law>; Oser/Schönenberger, a.a.O., N. 20 und 23 zu Art. 510; Pestalozzi, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>; Schnyder, a.a.O, § 57, N. 71).
3. 3.1 Gemäss <ref-ruling> gilt das Gebot, die Hauptforderung fristgerecht geltend zu machen und beschleunigt zu verfolgen, nicht für die Bürgschaftsforderung (E. 3a und 3b). Es genügt grundsätzlich, wenn der Gläubiger dem Bürgen binnen vier Wochen nach beendetem Vorgehen gegen den Hauptschuldner anzeigt, die Bürgschaft zu beanspruchen. Einer fristangebundenen Klageanhebung bedarf es nicht (E. 3c und 3d).
3.2 Aus dem durch die Vorinstanz festgestellten und für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhalt (Art. 63 Abs. 2 OG) ergibt sich, dass die Gläubigerin einige Tage vor Ablauf der Bürgschaftsfristen, nämlich am 27. Juni 2000, sich schriftlich an die Bürgin wandte. Ob in diesem Zeitpunkt - im Sinne von <ref-law> - die Schuldnerin sich bereits in Verzug befunden und die Gläubigerin sie erfolglos gemahnt hat oder ob sie offenkundig zahlungsunfähig war, wurde von der Vorinstanz nicht (abschliessend) festgestellt. Dies ist indessen nicht relevant, da die Gläubigerin mit ihrem Schreiben vom 27. Juni 2000 an die Solidarbürgin ihre Forderung ohnehin nicht wie gesetzlich vorgesehen rechtlich geltend gemacht hat. Auch nach Ablauf der Bürgschaftsfristen blieb die Gläubigerin während der gesetzlich massgebenden vierwöchigen Frist weiterhin untätig. Was sie in diesem Zusammenhang über den Wissensstand der Solidarbürgin in Bezug auf die finanzielle Lage der Schuldnerin vor ihrem Konkurs vorbringt, stösst im Übrigen auch deshalb ins Leere, weil es sich auf einen von der Vorinstanz nicht festgestellten Sachverhalt stützt (Art. 63 Abs. 2 OG; vgl. <ref-ruling> E. 3).
3.3 Die Klägerin kann aus <ref-ruling> nichts zu ihren Gunsten ableiten. Diese Rechtsprechung setzt eine rechtliche Geltendmachung der Hauptschuld und eine beschleunigte Rechtsverfolgung des Hauptschuldners voraus, damit eine blosse Anzeige an den (einfachen) Bürgen über die Geltendmachung der Bürgschaftsforderung genügen könnte. Mit anderen Worten muss der blossen Anzeige an den (einfachen) Bürgen eine (nicht notwendigerweise beendete) Belangung des Hauptschuldners vorausgehen (siehe dazu Schnyder, a.a.O., § 57, Rz. 72; Wolfgang Wiegand, Die privatrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts im Jahre 1999, ZBJV 2001 106 ff.). Gemäss dieser Rechtsprechung bedarf der (einfache) Bürge nach Bereinigung der Hauptforderung des ihm in <ref-law> gewährten Schutzes nicht mehr (<ref-ruling> E. 3b).
Das Erfordernis der Bereinigung der Hauptforderung erklärt sich aus der Subsidiarität der einfachen Bürgschaft. Die Solidarbürgschaft ist demgegenüber nur teilweise subsidiär (Giovanoli, a.a.O., N. 1 zu <ref-law>). Einer Bereinigung der Hauptforderung bedarf es bloss, wenn die in <ref-law> an die Beanspruchung des Solidarbürgen gesetzten Voraussetzungen zu klären sind (vgl. Schnyder, a.a.O., § 57, N. 72). Im vorliegenden Fall entfiel eine solche Bereinigung. Damit war die Bürgschaftsforderung innert der Frist von <ref-law> rechtlich geltend zu machen und genügte eine blosse Anzeige an die Solidarbürgin nicht.
Nach dem Gesagten erübrigen sich Erörterungen zu den weiteren Rügen der Klägerin. Insbesondere kann diese aus der Tatsache, dass die Gemeinschuldnerin im Konkursverfahren ihre Forderung allenfalls anerkannt hat (<ref-law>), nichts für das vorliegende Verfahren ableiten, geht es hier doch ausschliesslich um die rechtliche Geltendmachung ihrer Forderung gegenüber der Solidarbürgin.
Nach dem Gesagten erübrigen sich Erörterungen zu den weiteren Rügen der Klägerin. Insbesondere kann diese aus der Tatsache, dass die Gemeinschuldnerin im Konkursverfahren ihre Forderung allenfalls anerkannt hat (<ref-law>), nichts für das vorliegende Verfahren ableiten, geht es hier doch ausschliesslich um die rechtliche Geltendmachung ihrer Forderung gegenüber der Solidarbürgin.
4. Die Berufung wird abgewiesen. Die Klägerin ist kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Berufung wird abgewiesen.
1. Die Berufung wird abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 6'500.-- wird der Klägerin auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 6'500.-- wird der Klägerin auferlegt.
3. Die Klägerin hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
3. Die Klägerin hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2003
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: