Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Nach <ref-law> muss der Versicherte, unterstützt durch das Arbeitsamt, alles Zumutbare unternehmen, um Arbeitslosigkeit zu vermeiden oder zu verkürzen. Insbesondere ist er verpflichtet, Arbeit zu suchen, wenn nötig auch ausserhalb seines bisherigen Berufes. Er muss seine Bemühungen nachweisen können. Nach <ref-law> ist er in der Anspruchsberechtigung einzustellen, wenn er sich persönlich nicht genügend um zumutbare Arbeit bemüht.
<ref-law> sanktioniert eine Verletzung der in <ref-law> statuierten Schadenminderungspflicht, insbesondere auch der Pflicht, sich genügend um Arbeit zu bemühen. Mittels Einstellung in der Anspruchsberechtigung soll dieser Pflicht zum Durchbruch verholfen werden. Praxisgemäss handelt es sich dabei nicht um eine strafrechtliche, sondern um eine verwaltungsrechtliche Sanktion (<ref-ruling> Erw. 2b mit Hinweisen).
2.-a) Nach Art. 29 Abs. 2 der Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft vom 18. April 1999 (AS 1999 2556) haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Die unter der Marginalie "Allgemeine Verfahrensgarantien" stehende Regelung des <ref-law> bezweckt namentlich, verschiedene durch die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 4 der Bundesverfassung vom 29. Mai 1874 (nachfolgend: aBV) konkretisierte Teilaspekte des Verbots der formellen Rechtsverweigerung in einem Verfassungsartikel zusammenzufassen (Botschaft über eine neue Bundesverfassung vom 20. November 1996 [BBl 1997 I 181]). Hinsichtlich des in <ref-law> nicht näher umschriebenen Anspruchs auf rechtliches Gehör ergibt sich daraus, dass die unter der Herrschaft der aBV hiezu ergangene Rechtsprechung (vgl. etwa <ref-ruling> Erw. 3a, 242 Erw. 2, 124 II 137 Erw. 2b, 124 V 181 Erw. 1a, 375 Erw. 3b, je mit Hinweisen) nach wie vor massgebend ist (nicht veröffentlichtes Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 9. Mai 2000 in Sachen I., I 278/99). Die BV bringt insoweit keine materiellen Neuerungen, sondern eine Anpassung an die Verfassungswirklichkeit (Dieter Biedermann, Die neue Bundesverfassung: Übergangs- und Schlussbestimmungen sowie Anpassungen auf Gesetzesstufe, in: AJP 1999 S. 744; Jörg Paul Müller, Grundrechte in der Schweiz: im Rahmen der bundesverfassung von 1999, der UNO-Pakte und der EMRK, 3. Aufl. , Bern 1999, S. 493 ff.). Die diesbezügliche Nachführung war in den Räten denn auch unbestritten (Amtl. Bull. BV [Separatdruck 1998], N 234 und S 50 f.).
Die BV ist gemäss Art. 1 des Bundesbeschlusses vom 28. September 1999 (AS 1999 2555; BBl 1999 VIII 7922) auf den 1. Januar 2000 in Kraft getreten. Die aBV ist von einigen Ausnahmen abgesehen (vgl. Art. 2 des eben genannten Bundesbeschlusses, worin auf Ziff. II Abs. 2 des Bundesbeschlusses vom 18. Dezember 1998 verwiesen wird) formell aufgehoben worden. Ob die BV vorbehältlich abweichender Übergangsbestimmungen darüber hinaus auf sämtliche hängigen Verfahren Anwendung findet, ist nicht geregelt. Dagegen liesse sich anführen, die Rechtmässigkeit eines Verwaltungsaktes sei grundsätzlich nach der Rechtslage zur Zeit seines Erlasses zu beurteilen (<ref-ruling> Erw. 3 mit Hinweisen). Dies würde vorliegend zur Massgeblichkeit der aBV führen. Umgekehrt sind die Verhältnisse bei einer Verfassungsnovelle insoweit speziell, als die Natur der Verfassung als wichtigste und grundlegendste Rechtsquelle des innerstaatlichen Rechts indiziert, neues Recht - soweit keine abweichende Regelung besteht - grundsätzlich ab Inkrafttreten integral, mithin auch auf hängige Verfahren, zur Anwendung zu bringen. Da sich für den Anspruch auf rechtliches Gehör kein Unterschied daraus ergibt, ob die aBV oder die BV massgebend ist, kann diese Frage vorliegend indes offen bleiben (erwähntes Urteil I. vom 9. Mai 2000, I 278/99).
b) Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst die Rechte der Parteien auf Teilnahme am Verfahren und auf Einflussnahme auf den Prozess der Entscheidfindung. Bevor die Behörde einen Entscheid trifft, der in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift, hat sie ihn davon in Kenntnis zu setzen und ihm Gelegenheit zu geben, sich vorgängig zu äussern (<ref-ruling> Erw. 3b mit Hinweisen).
Das Recht, angehört zu werden, ist formeller Natur. Die Verletzung des rechtlichen Gehörs führt ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst zur Aufhebung der angefochtenen Verfügung. Es kommt mit andern Worten nicht darauf an, ob die Anhörung im konkreten Fall für den Ausgang der materiellen Streitentscheidung von Bedeutung ist, d.h. die Behörde zu einer Änderung ihres Entscheides veranlasst wird oder nicht (<ref-ruling> Erw. 3, 124 V 389 Erw. 1, 183 Erw. 4a mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung kann eine - nicht besonders schwer wiegende - Verletzung des rechtlichen Gehörs als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie die Rechtslage frei überprüfen kann. Die Heilung eines - allfälligen - Mangels soll aber die Ausnahme bleiben (<ref-ruling> Erw. 4c/aa, 124 V 392 Erw. 5a und 183 Erw. 4a, je mit Hinweisen).
3.- Der Beschwerdeführer macht in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde zur Hauptsache wie bereits im kantonalen Beschwerdeverfahren geltend, es sei ihm das rechtliche Gehör vor Erlass der Einstellungsverfügung nicht gewährt worden.
a) Aus den Akten geht hervor, dass der Beschwerdeführer am 29. Mai 1997 der Arbeitslosenkasse das Formular "Nachweis der persönlichen Arbeitsbemühungen" ohne Angabe einer Arbeitsbemühung unterschrieben eingereicht hat. Daraufhin hat ihn die Arbeitslosenkasse mit Verfügung vom 6. Juni 1997 für 9 Tage "wegen erstmals ungenügenden persönlichen Arbeitsbemühungen" in der Anspruchsberechtigung eingestellt, ohne ihn vor Erlass der Verfügung anzuhören. Arbeitslosenkasse und Vorinstanz sind im Wesentlichen der Auffassung, dem Beschwerdeführer sei das rechtliche Gehör durch das Einreichen des von ihm selbst ausgefüllten Formulars "Nachweis der persönlichen Arbeitsbemühungen" gewährt worden.
b) Die Einstellung in der Anspruchsberechtigung ist eine verwaltungsrechtliche Sanktion (vgl. Erw. 1 hievor), die erheblich in die Rechtsstellung der versicherten Person eingreift. Ob vor einer solchen Sanktion das rechtliche Gehör zu gewähren ist, regelt das AVIG nicht. Immerhin schreibt <ref-law> der zuständigen Amtsstelle vor, der versicherten Person Gelegenheit zur Stellungnahme zu geben, wenn sie abklärt, ob ein Einstellungsgrund in den in <ref-law> genannten Fällen im Zusammenhang mit der zumutbaren Arbeit vorliegt. Diese Vorschrift bezieht sich indessen lediglich auf einzelne Einstellungstatbestände. Die Arbeitslosenversicherung kennt im Unterschied zu anderen Sozialversicherungszweigen auch nicht ein Vorbescheid- oder ein Einspracheverfahren. Das Verwaltungsverfahren findet direkt mit dem Erlass einer (förmlichen) Verfügung seinen Abschluss (<ref-law>), so dass die Wahrung des rechtlichen Gehörs auch nicht in einem vorgeschalteten Verfahren erfolgen kann. Angesichts dieser verfahrensrechtlichen Ausgestaltung des Verwaltungsverfahrens in der Arbeitslosenversicherung gebietet der verfassungsrechtliche Anspruch auf rechtliches Gehör, dass einer betroffenen Person vor Erlass der Verfügung Gelegenheit gegeben wird, sich zur beabsichtigten Einstellung in der Anspruchsberechtigung zu äussern. Nach der Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts ist denn auch einer versicherten Person vor Erlass einer Einstellungsverfügung das rechtliche Gehör zu gewähren (nicht veröffentlichte Urteile in Sachen P. vom 27. Juni 1996, C 335/95, und G. vom 9. Oktober 1985, C 123/84). Im Schrifttum wird der Anspruch auf rechtliches Gehör angesichts des erheblichen Eingriffs in die Rechtsstellung der versicherten Person ebenfalls generell bei allen Einstellungstatbeständen bejaht (Thomas Nussbaumer, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Bd. Soziale Sicherheit, Rz 719; vgl. auch Thomas Locher, Grundriss des Sozialversicherungsrechts, 2. Aufl. , Bern 1997, S. 342 N 14).
c) Entgegen der Auffassung der Vorinstanz und der Arbeitslosenkasse ist die Einreichung des Formulars über die im vergangenen Monat getätigten Arbeitsbemühungen nicht gleichbedeutend mit der Gewährung des rechtlichen Gehörs. Abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer zuvor bereits mehrmals ein solches Formular eingereicht hatte, verlangt der Anspruch auf rechtliches Gehör, dass sich eine Person zur in Aussicht genommenen Sanktion - hier zur Einstellung in der Anspruchsberechtigung - äussern und gegebenenfalls zusätzliche entlastende Gründe vorbringen kann. Da es sich bei der verwaltungsrechtlichen Sanktion der Einstellung fraglos um einen erheblichen Eingriff in die Rechtsstellung der betroffenen Person handelt, stellt der Erlass einer Einstellungsverfügung ohne vorherige Anhörung eine schwer wiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs dar, welche im nachfolgenden Beschwerdeverfahren grundsätzlich nicht geheilt werden kann (vgl. Erw. 2b hievor). Die Sache geht daher an die Arbeitslosenkasse zurück, damit diese dem Beschwerdeführer das rechtliche Gehör gewähre und hernach erneut über eine allfällige Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen ungenügender Arbeitsbemühungen befinde.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde werden Ziff. 2 und 3 des Dispositivs des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 7. September 1998 und die Einstellungsverfügung Nr. 5343 vom 6. Juni 1997 aufgehoben und es wird die Sache an die Arbeitslosenkasse des Kantons Bern zurückgewiesen, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und hernach über die Einstellung in der Anspruchsberechtigung neu verfüge.
II. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Die Arbeitslosenkasse des Kantons Bern hat dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500. - (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
IV. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wird über eine Neuverlegung der Parteikosten für das kantonale Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses zu befinden haben.
V. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, dem Kantonalen Amt für Industrie, Gewerbe und Arbeit, Abteilung Arbeitsmarkt, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 5. Juni 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der I. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: