Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 11. September 2007 stellte die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) ihre Leistungen an den Versicherten D._ für die Folgen eines Unfallereignisses vom 20. Mai 2003 rückwirkend auf den 3. Juli 2003 ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 4. Dezember 2007 fest.
B. Der Versicherte liess beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Beschwerde erheben. Gleichzeitig stellte er ein Gesuch um Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Dieses Gesuch wies das Gericht mit Verfügung vom 20. Mai 2008 mangels Bedürftigkeit ab.
C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen. Er stellt das Rechtsbegehren, es sei die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 20. Mai 2008 aufzuheben und ihm "die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung im SUVA-Verfahren vor Verwaltungsgericht Luzern zu erteilen". Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Das kantonale Gericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Mit der Verfügung vom 20. Mai 2008 wurde einzig über die Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands entschieden. Soweit letztinstanzlich überdies die unentgeltliche Prozessführung im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten für das - gemäss Art. 61 lit. a ATSG ohnehin grundsätzlich kostenlose - kantonale Beschwerdeverfahren verlangt wird, fehlt es an einem Anfechtungsgegenstand. Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
2. 2.1 Bei der vorinstanzlichen Verfügung, mit welcher dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Verbeiständung für das kantonale Beschwerdeverfahren verweigert wurde, handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid. Die Beschwerde ist daher - abgesehen vom hier nicht gegebenen Ausnahmefall gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG - nur zulässig, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG).
2.2 Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat in seiner Rechtsprechung zu Art. 97 Abs. 1 des auf Ende 2006 aufgehobenen OG (in Verbindung mit Art. 5 sowie Art. 45 Abs. 1 und 2 VwVG) den nicht wieder gutzumachenden Nachteil bei einer Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung im kantonalen Verfahren jeweils bejaht (SVR 2004 AHV Nr. 5 S. 17 E. 1.1, H 106/03; Urteil U 266/04 vom 28. September 2005, E. 1.3). Im Urteil 9C_167/2007 vom 21. Juni 2007 liess das Bundesgericht offen, ob diese Praxis unter der Geltung des BGG weiterzuführen sei. Es wies darauf hin, dass im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde - im Gegensatz zu jenem der Verwaltungsgerichtsbeschwerde (<ref-ruling> E. 1c S. 99 f.) - ein bloss tatsächlicher Nachteil nicht genügt hatte, sondern ein Nachteil rechtlicher Natur (der auch durch einen späteren günstigen Endentscheid nicht gänzlich behoben werden konnte) erforderlich gewesen war (<ref-ruling> E. 1.1 S. 131, 281 E. 1.1 S. 283; <ref-ruling> E. 2a und c S. 210 ff.).
2.3 Nach der mittlerweile ergangenen Rechtsprechung der zivil- und öffentlich-rechtlichen Abteilungen des Bundesgerichts begründet die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung im kantonalen Verfahren einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG (<ref-ruling> E. 4 S. 338; Urteile 2C_143/2008 vom 10. März 2008, E. 2; 4A_350/2007 vom 3. Oktober 2007, E. 2; 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2). Es besteht kein Anlass, diese Frage für den Zuständigkeitsbereich der sozialrechtlichen Abteilungen anders zu beantworten. Auch hier ist die Aufgabe des Vertreters oder der Vertreterin mit dem Verfassen und Einreichen der Beschwerdeschrift nicht abgeschlossen, sondern es können im weiteren Verlauf zusätzliche Interventionen notwendig oder zumindest angezeigt sein. Das Fehlen einer amtlich beigeordneten Rechtsvertretung während eines laufenden Verfahrens bildet daher einen relevanten Nachteil. Dieser lässt sich später nicht wieder gutmachen (vgl. <ref-ruling> E. 338). Es verhält sich insoweit anders als in der <ref-ruling> zugrunde liegenden Konstellation, wo die in einem kantonalen Rückweisungsentscheid enthaltene Bemessung der Parteientschädigung für das gerichtliche Beschwerdeverfahren (und damit zusammenhängend der Entschädigung für den unentgeltlichen Rechtsbeistand) sowie die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das vorangegangene Einspracheverfahren zu beurteilen waren: Die dort zur Diskussion stehenden Entschädigungen bezogen sich auf bereits - in der jeweiligen Instanz - abgeschlossene Verfahren, so dass die betroffene Partei nicht (mehr) Gefahr lief, diese teilweise ohne amtlich beigeordnete Rechtsvertretung führen zu müssen. Im durch den Rückweisungsentscheid ausgelösten erneuten Verwaltungsverfahren bestand wieder die Möglichkeit, ein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung zu stellen.
2.4 Nach dem Gesagten bewirkt die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung durch eine Zwischenverfügung im Rahmen des erstinstanzlichen sozialversicherungsrechtlichen Beschwerdeverfahrens einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
3. Gemäss Art. 61 Abs. 1 lit. f ATSG muss im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht das Recht, sich verbeiständen zu lassen, gewährleistet sein. Wo die Verhältnisse es rechtfertigen, wird der Beschwerde führenden Person ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt. Nach der Praxis sind die Voraussetzungen für die Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung erfüllt, wenn der Prozess nicht aussichtslos erscheint sowie die Partei bedürftig und die anwaltliche Verbeiständung notwendig oder doch geboten ist (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135; <ref-ruling> E. 2.5 S. 232 ff.; <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen).
4. Zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht die prozessuale Bedürftigkeit des Beschwerdeführers zu Recht verneint hat.
4.1 Eine Person ist bedürftig, wenn sie nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne dass sie Mittel beanspruchen müsste, die zur Deckung des Grundbedarfs für sie und ihre Familie notwendig sind (BGE <ref-ruling> E. 2.5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3b S. 205 mit Hinweisen). Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs. Dazu gehören einerseits sämtliche finanziellen Verpflichtungen, andererseits die Einkommens- und Vermögensverhältnisse (<ref-ruling> E. 3a S. 181; <ref-ruling> E. 2a S. 2; Urteil 9C_234/2008 vom 4. August 2008, E. 4.1). Bei der Beurteilung der Bedürftigkeit ist das Einkommen beider Ehegatten zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 3a S. 195; <ref-ruling> E. 3 S. 10; <ref-ruling> E. 4 S. 101; Urteil U 545/06 vom 9. Januar 2008, E. 8).
4.2 Wer Ergänzungsleistungen bezieht, ist nach der Rechtsprechung nicht ohne weiteres bedürftig im Sinne von Art. 61 Abs. 1 lit. f ATSG (Urteil 8C_630/2007 vom 10. März 2008, E. 7.2 mit Hinweis). Die Bejahung wirtschaftlicher Not durch die den Anspruch auf Ergänzungsleistungen prüfende Behörde kann ein Indiz für das Vorliegen prozessualer Bedürftigkeit bilden; sie bindet aber das Gericht bei der Beurteilung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nicht (Urteil P 48/06 vom 5. Februar 2007 E. 5.2.1). Es lässt sich daher nicht beanstanden, wenn das kantonale Gericht eine separate Bedarfsrechnung vorgenommen hat.
4.2 Wer Ergänzungsleistungen bezieht, ist nach der Rechtsprechung nicht ohne weiteres bedürftig im Sinne von Art. 61 Abs. 1 lit. f ATSG (Urteil 8C_630/2007 vom 10. März 2008, E. 7.2 mit Hinweis). Die Bejahung wirtschaftlicher Not durch die den Anspruch auf Ergänzungsleistungen prüfende Behörde kann ein Indiz für das Vorliegen prozessualer Bedürftigkeit bilden; sie bindet aber das Gericht bei der Beurteilung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nicht (Urteil P 48/06 vom 5. Februar 2007 E. 5.2.1). Es lässt sich daher nicht beanstanden, wenn das kantonale Gericht eine separate Bedarfsrechnung vorgenommen hat.
4.3 4.3.1 Die Vorinstanz hat für die Bedarfsberechnung Einnahmen der Ehefrau des Beschwerdeführers aus IV-Rente (Fr. 926.-) plus Kinderrente (Fr. 370.-), Pensionskasse (Fr. 1'364.40) sowie Ergänzungsleistungen (Fr. 2'063.-) berücksichtigt. Diese Beträge, welche auf dem Berechnungsblatt für die jährliche Ergänzungsleistung vom 15. Dezember 2007 beruhen und deren Höhe nicht bestritten wird, ergeben insgesamt Einnahmen von Fr. 4'723.40.
4.3.2 Als Ausgaben berücksichtigte das kantonale Gericht den Grundbetrag für ein Ehepaar von Fr. 1'550.- und für ein Kind über 12 Jahren von Fr. 500.-, jeweils gemäss den Richtlinien der Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts des Kantons Luzern vom 9. Januar 2001 (nachfolgend: Richtlinien SchKG), sowie einen Zuschlag auf diesen Beträgen von 20%, entsprechend Fr. 410.-. Anrechnung fand weiter die Wohnungsmiete von Fr. 1'250.- zuzüglich eine ausgewiesene Nachzahlung für Nebenkosten von Fr. 23.45 pro Monat, wobei hiervon ein Beitrag des Sohns A._ (geboren 1989) aus seinem Lehrlingslohn (Fr. 600.- brutto) von Fr. 185.- in Abzug gebracht wurde. Überdies anerkannte die Vorinstanz Auslagen für die Krankenkassenprämien von Fr. 757.60 (Beschwerdeführer, Ehefrau und Sohn), für die Prämie einer Risiko-Lebensversicherung von Fr. 7.70, für eine Mobiliar- und Hausratversicherung von Fr. 30.05 sowie für "Abokosten öffentlicher Verkehr" von Fr. 48.-. Insgesamt resultierte ein prozessualer Notbedarf von Fr. 4'391.80.-. Im Vergleich mit den Einnahmen von Fr. 4'723.40 ergab sich ein monatlicher Überschuss von Fr. 331.60, welchen das kantonale Gericht als ausreichend ansah, um die mutmasslichen Anwaltskosten für das unfallversicherungsrechtliche Verfahren innerhalb eines absehbaren Zeitraums zu bezahlen.
4.4 Die in der Beschwerdeschrift erhobenen Einwände sind wie folgt zu beurteilen:
4.4.1 Die Ehefrau des Beschwerdeführers ist Bezügerin einer IV-Rente und einer jährlichen Ergänzungsleistung. In deren Berechnung werden der Beschwerdeführer und der Sohn A._, der Anspruch auf eine IV-Kinderrente begründet, einbezogen (vgl. Art. 9 Abs. 2 ELG in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung). Parallel zur jährlichen Ergänzungsleistung besteht auch ein Anspruch auf Vergütung von Krankheits- und Behinderungskosten. Diese sind innerhalb eines bundesrechtlich vorgegebenen Rahmens durch die Kantone zu bezeichnen (Art. 14 Abs. 1 und 2 ELG). Gemäss § 3 der Verordnung über die Ergänzungsleistungen zur AHV/IV des Kantons Luzern vom 30. November 2007 (erlassen gestützt auf § 6 Abs. 2 des Gesetzes über die Ergänzungsleistungen zur AHV/IV vom 10. September 2007) gelten für die Vergütung von Krankheits- und Behinderungskosten die bundesrechtlichen Bestimmungen. Damit wird auf die Art. 14 f. ELG verwiesen. Dementsprechend sind die Krankheits- und Behinderungskosten der EL-beziehenden Person und der in die Berechnung der jährlichen EL einbezogenen Versicherten zu übernehmen (Rz. 5002 der vom Bundesamt für Sozialversicherungen herausgegebenen Wegleitung über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV [WEL]). Damit scheidet die Berücksichtigung entsprechender Kosten (Selbstbehalte, Franchisen) für die Ermittlung des prozessualen Notbedarfs aus.
4.4.2 Der Grundbetrag für Kinder über 12 Jahre von Fr. 500.- (Richtlinien SchKG, Ziffer I.4) bezieht sich in erster Linie auf unmündige Kinder dieses Alters, in zweiter Linie aber auch auf mündige Kinder in Schul- oder Lehrausbildung (Urteil 5C.150/2005 vom 11. Oktober 2005, E. 4.2.2; Georges Vonder Mühll, in: Staehelin/Bauer/Staehelin [Hrsg.], SchKG II, Basel 1999, Art. 92 N 24; Alfred Bühler, Die Prozessarmut, in: Gerichtskosten, Parteikosten, Prozesskaution, unentgeltliche Prozessführung, Bern 2001, S. 131 ff., 161; ders., Betreibungs- und prozessrechtliches Existenzminimum, AJP 2002 S. 644 ff., 660). Es lässt sich daher nicht beanstanden, wenn die Vorinstanz diesen Betrag (plus Zuschlag) in die Berechnung eingesetzt hat. Dies wird denn auch in der Beschwerdeschrift ausdrücklich anerkannt. Damit scheidet ein Abstellen auf die Werte des Jugendamtes des Kantons X._ aus.
4.4.3 In die Existenzminimums-Berechnung wird regelmässig ein Beitrag des im Haushalt der Eltern wohnenden mündigen Kindes an die Wohnkosten von rund einem Drittel des Netto-Lehrlingslohns eingesetzt (Richtlinien SchKG, Ziffer IV.2; Vonder Mühll, a.a.O., N 35). Der vorinstanzlich berücksichtigte Beitrag von Fr. 185.- wird dieser Vorgabe bei einem Nettolohn von Fr. 548.70 gerecht, so dass sich keine Korrektur aufdrängt. Da beide Elternteile keiner Erwerbstätigkeit nachgehen, sind die vom kantonalen Gericht berücksichtigten Fr. 48.- für "Abokosten öffentlicher Verkehr" auf den Sohn zu beziehen. Der entsprechende Ausgabenposten ist somit in der vorinstanzlichen Berechnung bereits enthalten.
4.4.4 Der Beschwerdeführer weist des Weiteren darauf hin, dass neben dem vorliegenden UV-rechtlichen auch noch ein IV-rechtliches Verfahren vor der Vorinstanz hängig ist. Dieses ist kostenpflichtig (Art. 69 Abs. 1bis IVG) und verursacht zusätzliche Anwaltskosten. Dem Beschwerdeführer ist darin beizupflichten, dass es nicht anginge, die Bedürftigkeit in beiden Verfahren unter Ausblendung des jeweils anderen zu beurteilen: Soweit der ermittelte Überschuss für die Bestreitung der Kosten des UV-Verfahrens aufgewendet werden muss, steht er für dasjenige über Leistungen der Invalidenversicherung nicht mehr zur Verfügung. Ebenso wenig wäre es jedoch gerechtfertigt, diese Konstellation in beiden Prozessen zu berücksichtigen, denn dadurch würde der Beschwerdeführer gegenüber einer Partei mit nur einem hängigen Verfahren privilegiert. Es verstösst daher nicht gegen Bundesrecht, die Kosten des IV-Prozesses bei der vorliegenden Bedarfsberechnung unberücksichtigt zu lassen. Umgekehrt wird aber im Parallelverfahren zu beachten sein, dass der errechnete Überschuss (ganz oder teilweise) bereits für den UV-Prozess verwendet werden muss.
4.5 Zusammenfassend lassen sich die Ermittlung eines Überschusses von Fr. 331.60 durch das kantonale Gericht und die darauf gestützte Verneinung der Bedürftigkeit mit Bezug auf das erstinstanzliche unfallversicherungsrechtliche Beschwerdeverfahren nicht beanstanden. Die Beschwerde ist abzuweisen.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Der als unterliegende Partei zur Kostentragung verpflichtete (Art. 66 Abs. 1 BGG) Beschwerdeführer hat auch für das letztinstanzliche Verfahren um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ersucht. Der durch die Vorinstanz errechnete Überschuss muss (zumindest weitgehend) für die Kosten des kantonalen Verfahrens aufgewendet werden und steht daher nicht mehr zur Verfügung. Die Bedürftigkeit ist daher zu bejahen (vgl. Urteil 9C_234/2007 vom 4. August 2008, E. 5.2.2). Da die Beschwerde überdies nicht aussichtslos und die Vertretung geboten war (BGE <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen), kann dem Gesuch entsprochen werden. Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Dr. Bruno Häfliger, Luzern, wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. September 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger