Sachverhalt:
A. Die 1976 geborene B._ war seit 1. Oktober 1998 als Krankenschwester im Spital X._ tätig und in dieser Eigenschaft bei den Elvia Versicherungen (ab 1. Januar 2002: Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft; nachfolgend: Allianz) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 23. Juni 2000 wurde sie in einen Auffahrunfall verwickelt und zog sich eine leichte Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) (Arztzeugnis UVG des Dr. med. H._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH, vom 31. Juli 2000) zu. Als Beifahrerin im Auto ihres Lebenspartners erlitt sie bei einer Kollision mit einem Motorrad am 24. Juli 2001 gemäss Arztzeugnis UVG der Frau Dr. med. K._, Ärztin für Allgemeine Medizin FMH, vom 27. August 2001 eine HWS-Distorsion und eine Beckenkontusion. Die Allianz erbrachte für die Folgen beider Unfallereignisse Versicherungsleistungen. Mit zwei Verfügungen vom 25. April 2007 stellte sie ihre Leistungen für das Unfallereignis vom 23. Juni 2000 auf den 23. Juli 2001 und für das Unfallereignis vom 24. Juli 2001 per 31. Januar 2007 ein; zur Begründung wies sie jeweils auf den jedenfalls fehlenden adäquaten Kausalzusammenhang zwischen Gesundheitsbeschwerden und Unfallereignissen hin. Die gegen beide Verfügungen erhobenen Einsprachen wies die Allianz ab (Einspracheentscheide vom 1. Februar 2008).
B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen erhobenen Beschwerden in Vereinigung der beiden Beschwerdeverfahren in dem Sinne gut, dass sie die zwei Einspracheentscheide aufhob und die Sache zur Prüfung des Renten- und Integritätsentschädigungsanspruchs im Sinne der Erwägungen an die Allianz zurückwies (Entscheid vom 10. Oktober 2008).
C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des kantonalen Gerichts vom 10. Oktober 2008 sei aufzuheben.
B._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat erwogen, es liesse sich zwar im Grunde - bei Anwendung der sogenannten Schleudertrauma-Praxis - nicht beanstanden, dass der Unfallversicherer die adäquate Unfallkausalität der Wirbelsäulenbeschwerden für die Zeit ab 23. Juli 2001 bzw. 31. Januar 2007 verneint habe, allerdings sei im Gutachten der MEDAS vom 4. Dezember 2006 ein unfallbedingter organischer Gesundheitsschaden an der Wirbelsäule grundsätzlich bejaht worden, auch wenn dessen Ausmass die geltend gemachten Schmerzen nicht zu erklären vermöge. Insoweit sei das Vorhandensein eines adäquat-kausalen Gesundheitsschadens ohne weiteres zu bejahen, weshalb sich die Frage stelle, ob allenfalls eine unfallbedingte Erwerbsunfähigkeit vorliege. Die Sache werde darum an die Allianz zurückgewiesen, damit sie einen Einkommensvergleich vornehme und "eine entsprechende Verfügung" erlasse sowie über die Integritätsentschädigung befinde.
1.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (vgl. dazu Urteil [des Bundesgerichts] 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007 E. 1.1 mit Hinweisen, in: SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131), um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f. mit Hinweisen). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (vgl. dazu Urteil [des Bundesgerichts] 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007 E. 1.1 mit Hinweisen, in: SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131), um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f. mit Hinweisen). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1.2 1.2.1 Rechtsprechungsgemäss bewirkt ein Rückweisungsentscheid in der Regel keinen irreversiblen Nachteil im Sinne von <ref-law>, da der Rechtsuchende ihn später zusammen mit dem neu zu fällenden Endentscheid wird anfechten können (vgl. <ref-law>). Anders verhält es sich allerdings für die Verwaltung bzw. den Versicherungsträger, wenn diese durch den Rückweisungsentscheid gezwungen werden, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen. Diesfalls kann bereits dieser Entscheid angefochten werden, ohne dass der Endentscheid abgewartet werden müsste (<ref-ruling> E. 5.2, 5.2.1-5.2.4 S. 483 ff.; Urteil [des Bundesgerichts] 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1.2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2008 UV Nr. 31 S. 115).
1.2.2 Im Umstand, dass der vorinstanzliche Gerichtsentscheid in casu materiell verbindliche Anordnungen hinsichtlich des Vorliegens eines unfallbedingten organischen Gesundheitsschadens (MEDAS-Gutachten vom 4. Dezember 2006) enthält, welche den Unfallversicherer verpflichten, eine Berechnung der Rente und der Integritätsentschädigung vorzunehmen, obwohl die Allianz der Auffassung ist, eine Leistungspflicht der Unfallversicherung bestehe nicht mehr, ist offenkundig ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne des <ref-law> zu erblicken. Indem die Vorinstanz den grundsätzlichen Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung bejaht, wird der Beurteilungsspielraum der Beschwerdeführerin wesentlich eingeschränkt. Die Unfallversicherung wird aufgrund des angefochtenen Entscheides verpflichtet, eine Leistungsberechnung vorzunehmen, obwohl sie eine persistierende organische Unfallfolge wie auch einen rechtserheblichen Kausalzusammenhang zwischen den anhaltenden gesundheitlichen Störungen und den Unfallereignissen verneint. Dazu kommt, dass sie sich ausser Stande sähe, ihre eigene Verfügung anzufechten, und die Gegenpartei wird in der Regel kein Interesse haben, dem möglicherweise zu ihren Gunsten lautenden Endentscheid zu opponieren, sodass der kantonale Vor- oder Zwischenentscheid nicht mehr korrigiert werden könnte (Urteil [des Bundesgerichts] 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2008 UV Nr. 31 S. 115). Auf die Beschwerde der Allianz ist daher einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. In den Einspracheentscheiden, auf welche das kantonale Gericht verweist, und im vorinstanzlichen Entscheid werden die Bestimmungen über den Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung (<ref-law> [in Verbindung mit <ref-law>]; <ref-law> in der bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassung) richtig wiedergegeben. Gleiches gilt für die Grundsätze zu dem für einen Leistungsanspruch nebst anderem vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfall und eingetretenem Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen), zu der im Weiteren erforderlichen Adäquanz des Kausalzusammenhangs generell (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181) sowie bei psychischen Unfallfolgen (<ref-ruling> E. 6 S. 138 ff.; ferner <ref-ruling> und 119 V 335) und Folgen eines Unfalls mit Schleudertrauma der HWS ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle im Speziellen (<ref-ruling>; <ref-ruling>). Darauf - wie auch auf die Erwägungen zu dem im Sozialversicherungsrecht massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 1 S. 338; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) und den nach der Praxis bei der beweismässigen Auswertung medizinischer Berichte zu beachtenden Regeln (<ref-ruling> E. 3a und b S. 352 ff. mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 9.5 S. 125 mit Hinweisen) - wird verwiesen.
4. Streitig und zu prüfen ist, ob die über den 23. Juli 2001 bzw. 31. Januar 2007 hinaus als Folge der Unfälle vom 23. Juni 2000 und 24. Juli 2001 geklagten Beschwerden in einem rechtsgenüglichen, die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin begründenden Zusammenhang zu den Unfallereignissen stehen. Stellt sich heraus, dass ein organisches Leiden in einem natürlichen Kausalzusammenhang zu den Unfallereignissen steht, erübrigt sich insoweit eine separate Adäquanzprüfung (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen).
5. 5.1 Die Vorinstanz entnimmt dem MEDAS-Gutachten vom 4. Dezember 2006, dass die Versicherte an einem unfallbedingten organischen Gesundheitsschaden an der Wirbelsäule leide und deswegen im Beruf als Krankenschwester nicht mehr tätig sein könne. Unfallfremde Ursachen seien von den medizinischen Experten ausgeschlossen worden. Demgemäss müsse der Unfallversicherer mittels eines Einkommensvergleichs prüfen, ob eine Erwerbsunfähigkeit vorliege und auch über die Integritätsentschädigung befinden.
5.2 Die Beschwerdegegnerin lässt vorbringen, dass ihre gesundheitlichen Probleme gemäss der Schlussfolgerung der MEDAS-Gutachter zu 100 % durch die beiden Unfälle verursacht worden seien. Die Osteochondrose C5/6 sei von den Experten ebenfalls berücksichtigt worden, habe sie jedoch nicht zur Einschätzung veranlasst, dass die gesundheitlichen Störungen teilweise unfallfremd seien. Die Kausalität sei somit jedenfalls gegeben. Selbst wenn die Adäquanz nach den Kriterien der Schleudertrauma-Praxis zu prüfen wären, müsste ein Leistungsanspruch bejaht werden, weil mehrere der massgebenden Kriterien gemäss <ref-ruling>, einige sogar in erhöhtem Masse, erfüllt seien.
5.3 Die Allianz wendet ein, das kantonale Gericht habe zu Unrecht erkannt, dass die nachweislich degenerative Osteochondrose C5/6 ein unfallbedingtes organisches Korrelat habe. Die Rückweisung zur Prüfung des Renten- und Integritätsentschädigungsanspruchs sei fälschlicherweise erfolgt, weil die festgestellte Osteochondrose nicht Unfallfolge sein könne und im Übrigen nach Auffassung der medizinischen Sachverständigen weder einen Einfluss auf die Arbeits- und letztlich auf die Erwerbsfähigkeit habe, noch grundsätzlich der Behandlung bedürfe. Das kantonale Gericht hätte die Adäquanz nach Ansicht der Beschwerdeführerin unter Einbezug des gesamten Beschwerdebildes verneinen müssen.
6. 6.1 Im MEDAS-Gutachten vom 4. Dezember 2006 werden als Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit ein chronifiziertes zerviko-thorakovertebrales Schmerzsyndrom mit teils lumbovertebralen Schmerzanteilen und nicht-radikulären Schmerzausstrahlungen im Bereich von Beckenkamm und Brustkorb beidseits bei Status nach HWS-Distorsion anlässlich der Verkehrsunfälle vom 23. Juni 2000 und 24. Juli 2001 und minimaler segmentaler Bandscheibendegeneration C5/6 sowie - ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit - ein Status nach Adnexitis und Laparoskopie 18-jährig und eine Thalassaemia minor angegeben. Auf ausdrückliche Frage der Unfallversicherung nach einem objektivierbaren organischen Substrat wird ausgeführt, aus muskuloskelettärer Sicht fänden sich organisch-klinisch verspannte und druckdolente parazervikale Nackenmuskeln sowie dolente lumbale Weichteile inklusive Insertionstendopathien gluteal beidseits. Es bestehe eine minimale Bewegungseinschränkung lumbal wie zervikal, die jedoch inkonstant erscheine. Radiomorphologisch finde sich im MRI aus dem Jahr 2005 eine minimale Osteochondrose C5/6. Insgesamt sei mit diesen Befunden ein fassbares Beschwerdekorrelat vorhanden, wobei das Ausmass der geltend gemachten Schmerzen und der daraus abgeleiteten Behinderung mit Blick auf diese objektivierbaren organischen Befundsubstrate inadäquat erscheine. Die Bewegungseinschränkungen und die Weichteildolenzen seien "muskuloskelettär" Ausdruck des organischen Gesundheitsschadens. Die Beschwerden seien zu 25 % auf den ersten und zu 75 % auf den zweiten Unfall zurückzuführen. Aus dem Umstand, dass den Experten kein Vorzustand bekannt war, leiten sie ab, unfallfremde Faktoren würden keine Rolle spielen. Für die erlernte Beschäftigung als Krankenschwester bestehe weiterhin und bleibend eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit. Körperlich leichte Tätigkeiten, welche in wechselnden Positionen und ohne Zwangshaltung (insbesondere der HWS), ohne Überkopfarbeiten und ohne Tragen und Heben von Lasten über 5 kg ausgeübt werden könnten, seien hingegen zu 100 % zumutbar.
6.2 Die MEDAS-Gutachter begründen nicht, weshalb sie die Osteochondrose C5/6, welche sie dazu noch als minimal einstufen, als Unfallfolge qualifizieren, obwohl es sich bei diesem Leiden um eine Knochen- und Knorpeldegeneration (Pschyrembel, Klinisches Wörterbuch, 261. Aufl. 2007, S. 1400) handelt. In der Expertise wird auch nicht erklärt, inwiefern dem diagnostizierten Schmerzsyndrom, abgesehen von der Bandscheibendegeneration, ein organisches Substrat zu Grunde liegt. Jedenfalls lassen klinische Befunde wie Verhärtungen und Verspannungen der Muskulatur, eine Druckdolenz im Nacken oder eine Einschränkung in der Beweglichkeit nicht auf ein klar fassbares unfallbedingtes organisches Korrelat des geklagten Beschwerdebildes schliessen (Urteile [des Bundesgerichts] 8C_303/2008 vom 20. Oktober 2008 E. 3.2, 8C_89/2008 vom 3. Oktober 2008 E. 5.1). Andere medizinische Berichte, welche die Gesundheitssituation umfassend beleuchten, liegen - abgesehen vom MEDAS-Vorgutachten vom 4. Dezember 2002, dessen Schlussfolgerungen gemäss Angaben der MEDAS-Sachverständigen vom 4. Dezember 2006 nach wie vor gültig seien - nicht vor. Auch Prof. Dr. med. V._, Spezialarzt für Chirurgie FMH, gibt in seinen Berichten vom 16. März und 6. Juli 2004 an, dass die aktuellen Restbeschwerden auf die beiden Unfallereignisse zurückzuführen seien und die volle und dauernde Arbeitsunfähigkeit als Krankenschwester unfallbedingt sei. Zur Frage der Organizität der Leiden äussert er sich nicht. Damit lässt sich nicht abschliessend feststellen, ob tatsächlich ein unfallbedingter organischer Gesundheitsschaden vorliegt. Dafür spricht, dass die MEDAS-Experten unfallfremde Faktoren vollständig ausschliessen und den Umstand, dass die Versicherte nicht mehr in ihrer angestammten Tätigkeit beschäftigt werden kann, ohne Einschränkung allein auf die Unfallereignisse vom 23. Juni 2000 und 24. Juli 2001 zurückführen. Zweifel an einer unfallbedingten organischen Schädigung bleiben zurück, weil im MEDAS-Gutachten vom 4. Dezember 2006 das organische Substrat des Leidens nicht klar umrissen - die Experten gehen von einem "insgesamt" fassbaren Beschwerdekorrelat aus - und nicht erklärt wird, weshalb in concreto degenerative Erscheinungen im Zusammenhang mit den Unfallereignissen stehen. Zudem kann auf Grund der Formulierung in der Expertise nicht ausgeschlossen werden, dass die Ärzte in Bezug auf die Unfallfolgen einen unzulässigen "post hoc, ergo propter hoc"-Schluss (<ref-ruling> E. 2b/bb S. 341 f.; Urteil [des Bundesgerichts] 8C_1051/2008, E. 3.2) ziehen, wenn sie angeben, unfallfremde Faktoren würden keine Rolle spielen, weil ein Vorzustand nicht bekannt sei. Bei dieser Aussage wäre grundsätzlich auch möglich, dass sich das Beschwerdebild in den letzten Jahren unabhängig von den Unfallereignissen entwickelt hat. Im MEDAS-Gutachten vom 4. Dezember 2006 wird schliesslich ein Integritätsschaden "aus muskuloskelettärer Sicht" von 10 % festgestellt. Inwiefern die von den Experten in diesem Zusammenhang erwähnten starken Dauerbeschwerden ohne Zusatzbelastungsmöglichkeit und mit minimaler segmentaler Bandscheibendegeneration auf die Unfallereignisse zurückzuführen sind, lässt sich anhand der vorhandenen Unterlagen aus denselben Gründen nicht klären.
7. Ohne Beantwortung der in Erwägung 6.2 hiervor aufgeworfenen Fragen kann über die Leistungspflicht der Unfallversicherung nicht entschieden werden, weshalb die vorinstanzlich angeordnete Rückweisung im Ergebnis zu bestätigen ist. Die Beschwerdeführerin wird demgemäss in diesem Rahmen ergänzende medizinische Abklärungen zu veranlassen haben und hernach über ihre Leistungspflicht erneut verfügen.
8. Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit <ref-law>). Die vorliegende Beschwerde wird abgewiesen, weil es bei der vorinstanzlichen Rückweisung an den Unfallversicherer bleibt. Indessen lässt sich - entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts - erst nach zusätzlichen medizinischen Abklärungen prüfen, ob die Allianz über den 23. Juli 2001 bzw. 31. Januar 2007 hinaus eine Leistungspflicht trifft. Es ist deshalb von einem hälftigen Obsiegen der Beschwerdeführerin auszugehen. Die Gerichtskosten sind dementsprechend den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine hälftige Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Von den Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin und der Beschwerdegegnerin je Fr. 375.- auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1400.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. April 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz