Sachverhalt:
A.
F._, geboren 1965, arbeitete von 1981 bis zur von ihm selbst veranlassten Kündigung per Ende August 2006 bei der X._ AG und war in dieser Eigenschaft bei der Gemini Sammelstiftung berufsvorsorgeversichert. Anschliessend bezog er bis Ende Januar 2007 Taggelder der Arbeitslosenversicherung und unterstand der obligatorischen Berufsvorsorgeversicherung der Stiftung Auffangeinrichtung BVG. Vom 1. Februar bis 31. Dezember 2007 (letzter effektiver Arbeitstag: 22. Juni 2007) war er bei der Firma Y._ angestellt, welche der Luzerner Pensionskasse (LUPK) angehört. Mit Verfügung vom 26. Mai 2009 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich F._ gestützt auf medizinische und erwerbliche Abklärungen eine Dreiviertelsrente ab 1. Februar 2008 sowie eine ganze Rente ab 1. Mai 2008 zu. Diese Verfügung wurde der LUPK sowie der Arbeitslosenversicherung, nicht aber der Stiftung Auffangeinrichtung BVG und der Gemini Sammelstiftung zugestellt.
B.
Nachdem sowohl die Gemini Sammelstiftung als auch die LUPK ihre Leistungspflicht verneint hatten, erhob F._ gegen diese beiden Vorsorgeeinrichtungen sowie gegen die Stiftung Auffangeinrichtung Klage. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich verpflichtete die LUPK mit Entscheid vom 22. April 2013 zur Ausrichtung einer Dreiviertelsrente ab 1. Februar 2008 sowie einer ganzen Rente ab 1. Mai 2008 (nebst Zins). Im Übrigen wies es die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die LUPK die Aufhebung des angefochtenen Entscheides sowie die Feststellung, dass sie F._ keine Rente aus beruflicher Vorsorge auszurichten habe. F._ beantragt die Verpflichtung der Gemini Sammelstiftung zur Ausrichtung der Invalidenleistungen und die Gutheissung der Beschwerde, eventualiter deren Abweisung, subeventualiter die Verpflichtung der Stiftung Auffangeinrichtung zur Zusprechung einer Dreiviertelsrente ab 1. Februar 2008 und einer ganzen Rente ab 1. Mai 2008.
Die Gemini Sammelstiftung schliesst auf Abweisung der Beschwerde und Bestätigung des vorinstanzlichen Entscheides. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit diese gegen sie selbst gerichtet sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
1.2. Auf den in der Beschwerdeantwort gestellten Antrag, es sei die Gemini Sammelstiftung zur Ausrichtung der Invalidenleistungen zu verpflichten, sowie auf das subeventualiter gestellte Rechtsbegehren, die Stiftung Auffangeinrichtung sei zur Zusprechung einer Dreiviertelsrente zu verpflichten, ist nicht einzutreten, weil das Bundesgerichtsgesetz die Anschlussbeschwerde nicht vorsieht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 335; Meyer/Dormann, in: Basler Kommentar zum BGG, Basel 2011, N. 4 zu <ref-law>). Das Bundesgericht darf nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (<ref-law>), wobei Ausgangspunkt der Bindungswirkung das Rechtsbegehren der beschwerdeführenden Partei, nicht jenes des Beschwerdegegners ist (Meyer/Dormann, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>).
2.
2.1. Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, welcher der Ansprecher bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, angeschlossen war (Art. 23 lit. a BVG). Die Leistungspflicht setzt einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit (Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf von zumindest 20 Prozent) und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23; <ref-ruling> E. 4.1 S. 275).
2.2. Zum rechtsgenüglichen Nachweis einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen wird nicht zwingend eine echtzeitlich ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit verlangt. Nachträgliche Annahmen und spekulative Überlegungen, wie etwa eine erst nach Jahren rückwirkend festgelegte medizinisch-theoretische Arbeitsunfähigkeit, reichen aber nicht aus. Die gesundheitliche Beeinträchtigung muss sich nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz auf das Arbeitsverhältnis sinnfällig auswirken oder ausgewirkt haben; die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen muss mit anderen Worten arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten sein, etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle. Nur bei Vorliegen besonderer Umstände darf die Möglichkeit einer von der arbeitsrechtlich zu Tage getretenen Situation abweichenden Lage in Betracht gezogen werden, etwa in dem Sinne, dass ein Arbeitnehmer zwar zur Erbringung einer vollen Arbeitsleistung verpflichtet war und auch entsprechend entlöhnt wurde, tatsächlich aber doch keine volle Arbeitsleistung erbringen konnte (Urteil 9C_162/2013 vom 8. August 2013 E. 2.1 mit Hinweisen; zu den bei Schubkrankheiten, zu welchen auch die Multiple Sklerose gehört, bestehenden Besonderheiten vgl. Urteil 9C_126/2013 vom 13. August 2013 E. 4.1 mit Hinweis).
2.3. Eine Reduktion des Arbeitspensums aus gesundheitlichen Gründen ist ein gewichtiges Indiz für das Vorliegen einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit, genügt allein in der Regel jedoch nicht für den Nachweis einer funktionellen Leistungseinbusse. Dies gilt insbesondere, wenn die Reduktion aus einem subjektiven Krankheitsgefühl heraus erfolgt oder wenn konkurrierende Gründe bestehen (z.B. der Wunsch nach mehr Zeit für bestimmte [Freizeit-] Aktivitäten oder für eine berufsbegleitende Weiterbildung). Es braucht grundsätzlich eine echtzeitliche ärztliche Bestätigung, dass die Pensenreduktion gesundheitlich bedingt notwendig ist (Urteil 9C_394/2012 vom 18. Juli 2013 E. 3.1.2 mit weiteren Verweisen), weil beispielsweise die weitere Verrichtung der Berufsarbeit nur unter der Gefahr der Verschlimmerung des Gesundheitszustandes möglich wäre (<ref-ruling> E. 3.1 S. 345; Urteil 9C_452/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 4.1 f.). Von einer echtzeitlichen Bestätigung kann abgesehen werden, wenn andere Umstände, wie etwa krankheitsbedingte Absenzen vor der Arbeitszeitreduktion, den Schluss nahelegen, dass die Reduktion des Arbeitspensums auch objektiv betrachtet aus gesundheitlichen Gründen erfolgt und insoweit eine arbeitsrechtlich in Erscheinung getretene (sinnfällige) Leistungseinbusse zu bejahen ist (Urteil 9C_340/2010 vom 23. November 2010 E. 5.2.2).
2.4. Wie das kantonale Gericht ebenfalls korrekt dargelegt hat, ist ein Entscheid der IV-Stelle für eine Einrichtung der beruflichen Vorsorge verbindlich, sofern sie in das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren einbezogen wurde, die konkrete Fragestellung für die Beurteilung des Rentenanspruchs gegenüber der Invalidenversicherung entscheidend war und die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheint (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69; <ref-ruling> E. 3.1 S. 273). Diese Bindungswirkung findet ihre positivrechtliche Grundlage in den Art. 23, 24 Abs. 1 und 26 Abs. 1 BVG, welche an die Regelung des IVG anknüpfen oder diese übernehmen. Die Orientierung an der Invalidenversicherung bezieht sich insbesondere auf die sachbezüglichen Voraussetzungen des Rentenanspruchs, die Rentenhöhe und den Rentenbeginn (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69).
3.
3.1. Unbestritten wurde beim Beschwerdegegner im Oktober 2006 eine Multiple Sklerose diagnostiziert. Es steht fest, dass diese Erkrankung einen invalidisierenden Gesundheitsschaden bewirkte und dem Beschwerdegegner seit 25. Juni 2007 keine Arbeitstätigkeit mehr zumutbar ist. Die IV-Stelle legte ihrer Verfügung vom 26. Mai 2009 einen Invaliditätsgrad von 20 Prozent ab 1. Februar 2007 respektive 100 Prozent ab 25. Juni 2007 zugrunde und setzte den Rentenbeginn auf den 1. Februar 2008 fest. Die Beschwerdeführerin (wie auch die Gemini Sammelstiftung und die Stiftung Auffangeinrichtung BVG) verzichtete (n) auf eine Anfechtung dieser Verfügung (wobei der Gemini Sammelstiftung und der Stiftung Auffangeinrichtung BVG die Verfügung nicht zugestellt worden war). Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht die Beschwerdeführerin zu Recht verpflichtet hat, für die Invalidenleistungen zu Gunsten des Beschwerdegegners aufzukommen.
3.2. Von den vorinstanzlichen Feststellungen zu entscheiderheblichen Tatfragen darf das Bundesgericht nur abweichen, soweit sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Verletzung bundesrechtlicher Grundsätze beruhen (vorangehende E. 1). Verbindlich sind somit (u.a.) die Feststellungen des kantonalen Gerichts, wonach im Oktober 2006 ärztlicherseits eine Behandlungsbedürftigkeit der Multiplen Sklerose noch verneint, in der Folge aber eine sukzessive gesundheitliche Verschlechterung dokumentiert worden war. Die Vorinstanz erwog nach Würdigung der medizinischen Unterlagen, es sei naheliegend, dass die per 1. Februar 2007 erfolgte Pensumsreduktion auf 80 Prozent gesundheitliche Gründe hatte. Auch scheine plausibel, dass die relevante Arbeitsunfähigkeit am 1. Februar 2007 eingetreten sei, zumindest könne der von der IV-Stelle am 26. Mai 2009 verfügte Rentenbeginn (1. Februar 2008) nicht als offensichtlich unrichtig bezeichnet werden, weshalb die (letztinstanzliche) Beschwerdeführerin an die Feststellungen der IV-Stelle gebunden sei. Eine selbständige Prüfung des Arbeitsunfähigkeitseintritts falle ausser Betracht und die LUPK werde leistungspflichtig.
3.3. Die Beschwerdeführerin wendet insbesondere ein, die Arbeitsfähigkeit sei nicht erst ab 1. Februar 2007 dauerhaft um 20 Prozent reduziert gewesen. Andernfalls hätte der Beschwerdegegner eine vollzeitliche Erwerbstätigkeit gesucht und eine Pensumsreduktion wäre erst nachträglich erfolgt. Vielmehr ergebe sich aus allen ärztlichen Zeugnissen, namentlich des behandelnden Dr. med. S._, Facharzt Allgemeine Medizin FMH, dass die relevante Arbeitsunfähigkeit bereits während der Versicherungszeit bei der Gemini Sammelstiftung eingetreten sei. Über die Wahrnehmung der vormaligen Arbeitgeberin (X._ AG) hinsichtlich einer allfälligen Leistungseinbusse sei nichts bekannt, die diesbezügliche Sachverhaltsannahme des kantonalen Gerichts beruhe auf einer willkürlichen Beweiswürdigung. Der Bezug voller Taggelder der Arbeitslosenversicherung lasse nicht auf eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit schliessen. Gemäss den Arztzeugnissen sei die Arbeitsunfähigkeit nie unterbrochen worden.
3.4. Der Beschwerdegegner beruft sich ebenfalls auf die Beurteilungen des Dr. med. S._ sowie auf die von diesem beigezogenen Spezialisten und wiederholt hauptsächlich seine im vorinstanzlichen Verfahren vorgebrachten Argumente zur Begründung einer Leistungspflicht der Gemini Sammelstiftung. Die Gemini Sammelstiftung ihrerseits bringt im Wesentlichen vor, die nicht offensichtlich unrichtige Verfügung der IV-Stelle vom 26. Mai 2009 sei für die Beschwerdeführerin bindend und eine relevante Arbeitsunfähigkeit während des Arbeitsverhältnisses mit der X._ AG nicht rechtsgenüglich erstellt.
4.
4.1. Ausweislich der Akten traten erste Symptome der Multiplen Sklerose (in Form von Gehörsminderung, Kopfschmerzen, Konzentrationsschwierigkeiten, Müdigkeit) bereits im Frühjahr 2006 auf; in seiner IV-Anmeldung gab der Beschwerdegegner an, es seien schon im Herbst 2005 Anzeichen spürbar gewesen. Ob er nach mehr als 25 Jahren im gleichen Betrieb sein Arbeitsverhältnis bei der X._ AG Ende Mai 2006 deswegen kündigte, weil er "einmal etwas anderes machen" wollte oder ob gesundheitliche Gründe zumindest mitentscheidend gewesen sind, lässt sich den Akten nicht eindeutig entnehmen, ist letztlich aber für die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin gar nicht entscheidend. Es steht fest, dass während der Dauer des Arbeitsverhältnisses mit der X._ AG keine relevante Arbeitsunfähigkeit und kein vom Arbeitgeber wahrgenommener Leistungsabfall dokumentiert sind und der Beschwerdegegner keine krankheitsbedingten Absenzen zu verzeichnen hatte. Die Vorinstanz hat nicht gegen Bundesrecht verstossen, indem sie das zuhanden der Arbeitslosenversicherung ausgestellte Zeugnis des behandelnden Dr. med. S._ vom 29. August 2006, wonach die Kündigung bei der Firma X._ AG aus gesundheitlichen Gründen erfolgt sei, für nicht beweiskräftig erachtete. Zu Recht hat sie berücksichtigt, dass die Kündigung bereits Ende Mai 2006 erfolgt war, weshalb das Zeugnis - wie auch das spätere Attest des Dr. med. S._ vom 14. Juli 2010, wonach die Arbeitsfähigkeit bei Stellenantritt bei der Firma Y._ am 1. Februar 2007 nurmehr 25 bis 50 Prozent betragen habe - aus der Rückschau erfolgte. Ebenfalls nicht zu beanstanden ist, wenn das kantonale Gericht dem Umstand Rechnung trug, dass das Attest vom 29. August 2006 im Hinblick auf das Leistungsgesuch des Beschwerdegegners bei der Arbeitslosenversicherung ausgestellt wurde. Dr. med. S._ wird damit nicht unterstellt, er habe ein unzutreffendes (Gefälligkeits-) Zeugnis ausgestellt. Es war ihm aber bereits deshalb nicht möglich, eine echtzeitliche Beurteilung der gesundheitlichen Situation und insbesondere einer allfälligen Leistungseinschränkung des Beschwerdegegners im Vorfeld der Kündigung vom 26. Mai 2006 vorzunehmen, weil sich der Letzte erst Ende Juni 2006 wegen der Symptome der später diagnostizierten Multiplen Sklerose in ärztliche Behandlung begeben hatte. Es ist zwar durchaus möglich und aufgrund der Akten sogar überwiegend wahrscheinlich, dass während des mit der Gemini Sammelstiftung bestandenen Vorsorgeverhältnisses gewisse Anzeichen der später diagnostizierten Multiplen Sklerose bereits vorhanden waren. Damit ist aber nicht erstellt, dass diese sich bereits augenfällig auf die Arbeitsfähigkeit ausgewirkt und eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 Prozent bewirkt hätten, was für eine Leistungspflicht der Gemini Sammelstiftung vorausgesetzt wäre. Auch der Beschwerdegegner selbst bringt vor, es sei ihm offensichtlich gelungen, "seine Beschwerden soweit zu kompensieren, dass der Arbeitgeber sie nicht offensichtlich wahrnehmen konnte".
4.2. Vom 1. September 2006 bis Ende Januar 2007 war der Beschwerdegegner bei der Arbeitslosenversicherung als zu 100 Prozent vermittelbar gemeldet; am 1. Februar 2007 trat er bei der Firma Y._ die Stelle mit einem Pensum von 80 Prozent an. Es trifft zu, dass die gegenüber der Arbeitslosenversicherung deklarierte und von dieser akzeptierte uneingeschränkte Vermittlungsfähigkeit nicht eo ipso den Schluss auf eine vollständige Arbeitsfähigkeit zulässt (z.B. Urteil 9C_162/2013 vom 8. August 2013 E. 2.3.2). Dies gilt in besonderem Masse, wenn - wie hier - der Leistungsansprecher die gesundheitlichen Einschränkungen einer schwerwiegenden Erkrankung aus verständlichen Gründen (noch) nicht wahrhaben will. Es ist in der Tat nicht zweifelsfrei auszuschliessen dass eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von mindestens 20 Prozent bereits während des Vorsorgeverhältnisses mit der Stiftung Auffangeinrichtung BVG eingetreten war, eine solche lässt sich aber aufgrund der Akten nicht mit dem notwendigen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit belegen. Nach dem Gesagten kann nicht unbesehen auf die Atteste des behandelnden Dr. med. S._ abgestellt werden (E. 4.1 hievor). Ausserdem gilt es zu berücksichtigen, dass gemäss Auskunft der Firma Y._ der Beschwerdegegner bis zur krankheitsbedingten Aufgabe der Erwerbstätigkeit am 25. Juni 2007 den Anforderungen - bezogen auf das Pensum von 80 Prozent - vollauf zu genügen vermochte. Damit aber kann eine Arbeitsfähigkeit von 80 Prozent oder mehr nicht ausgeschlossen werden (während die von Dr. med. S._ am 14. Juli 2010 attestierte Arbeitsfähigkeit von nurmehr 25 Prozent bis maximal 50 Prozent nicht überzeugt).
4.3. In Würdigung aller Umstände kann die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht als unhaltbar und die Feststellung, wonach die anspruchsbegründende Arbeitsunfähigkeit am 1. Februar 2007 eingetreten war, keineswegs als offensichtlich unrichtig bezeichnet werden. Von einer offensichtlichen Unrichtigkeit kann nicht schon dann gesprochen werden, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn eine Sachverhaltsfeststellung eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf, während nicht genügt, dass eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (Urteil 9C_938/2012 vom 3. Juli 2013 E. 2.2.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Willkür im soeben dargelegten Sinn ist in Zusammenhang mit den vorinstanzlichen Feststellungen klar zu verneinen. Dass gewisse Unsicherheiten mit Bezug auf den Eintritt der leistungsauslösenden Arbeitsunfähigkeit vorhanden sind, vermag zu keinem anderen Schluss zu führen. Auch aus beweisrechtlichen Gründen besteht keine Veranlassung, vom vorinstanzlichen Entscheid abzugehen. Die Behauptung, der Beschwerdegegner sei bereits vor dem Stellenantritt bei der Firma Y._ und seither ununterbrochen erheblich arbeitsunfähig gewesen, stellt eine rechtsaufhebende Tatsache (vgl. <ref-law>) dar. Dass diese - wie dargelegt - nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt ist, wirkt sich zu Ungunsten der Beschwerdeführerin aus, welche die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen hat (vgl. Urteil 9C_1034/2012 vom 5. April 2013 E. 3.4 mit Hinweisen).
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Anschlussbeschwerde des Beschwerdegegners wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der GEMINI Sammelstiftung, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Januar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Bollinger Hammerle