Sachverhalt:
A. Am 25. Juli 2010 um 18.52 Uhr fuhr X._ mit einem Personenwagen von Zufikon (AG) herkommend auf der Sädelstrasse in Richtung Berikon (AG). Als er einen Mähdrescher überholen wollte, kam ihm auf der Gegenfahrbahn Y._ mit einem Auto entgegen. Dieser leitete eine Vollbremsung ein und kollidierte in der Folge mit dem Mähdrescher. X._ konnte rechtzeitig abbremsen und hinter dem Mähdrescher wieder auf die eigene Fahrbahn wechseln. Ihm wird vorgeworfen, zum Überholen angesetzt zu haben, obwohl die Sicht nach vorne ungenügend gewesen sei.
B. Das Bezirksamt Bremgarten sprach X._ mit Strafbefehl vom 7. Oktober 2010 der groben Verletzung der Verkehrsregeln schuldig. Es bestrafte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 150.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren und einer Busse von Fr. 800.--. Gegen diesen Strafbefehl erhob X._ Einsprache.
Das Bezirksgericht Bremgarten verurteilte X._ am 27. April 2011 wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln und bestrafte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 120.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren und einer Busse von Fr. 450.--.
Die Berufung von X._ wies das Obergericht des Kantons Aargau am 2. Juli 2012 ab.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau sei aufzuheben, und er sei von Schuld und Strafe freizusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
D. Das Obergericht des Kantons Aargau und die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten haben auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer macht eine offensichtlich unrichtige und damit willkürliche Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>) sowie die Verletzung der Unschuldsvermutung (<ref-law>, Art. 6 Ziff. 2 EMRK und <ref-law>) geltend. Diese Rügen erhebt er im Zusammenhang mit der im Zeitpunkt des Überholmanövers überblickbaren Strecke, der von Y._ gefahrenen Geschwindigkeit und der Zeitspanne zwischen dem (hypothetischen) Abschluss des Manövers und dem Kreuzen der beiden Personenwagen. Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, die überblickbare Strecke habe 178 Meter betragen und das entgegenkommende Fahrzeug von Y._ habe sich ihm mit einer Geschwindigkeit von über 100 km/h genähert. Er hätte (unter der Hypothese, dass er das Manöver nicht abgebrochen hätte) Y._ knapp zwei Sekunden nach dem Wiedereinbiegen auf die rechte Fahrspur gekreuzt. Dieser habe nur deshalb gebremst, weil er den breiten Mähdrescher erblickt habe, und nicht aufgrund des ihm (dem Beschwerdeführer) vorgeworfenen Fahrverhaltens. Der Beschwerdeführer rügt zudem eine Verletzung von Art. 26, Art. 34 und <ref-law> (Beschwerde S. 3 ff.).
1.2 Überholen ist nur gestattet, wenn der nötige Raum übersichtlich und frei ist und der Gegenverkehr nicht behindert wird (<ref-law>). Ferner darf "im Bereich von unübersichtlichen Kurven" (<ref-ruling> E. 3 S. 136 f.) gemäss <ref-law> nicht überholt werden.
Das Überholen - vorab auf Strassen mit Gegenverkehr - gehört zu den gefährlichsten Fahrmanövern. Ein solches Manöver ist deshalb nur gestattet bzw. darf nur durchgeführt werden, wenn es nicht überhaupt verboten ist, der nötige Raum übersichtlich und frei ist und andere Verkehrsteilnehmer nicht behindert oder gefährdet werden (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 157 f. mit Hinweisen; RENÉ SCHAFFHAUSER, Grundriss des schweizerischen Strassenverkehrsrechts, Band I, Grundlagen, Verkehrszulassung und Verkehrsregeln, 2002, N. 716 f.). Der Überholende muss von Anfang an die Gewissheit haben, sein Überholmanöver sicher und ohne Gefährdung Dritter abschliessen zu können. Nicht nur die für den Überholvorgang benötigte Strecke muss übersichtlich und frei sein, sondern zusätzlich jene, die ein entgegenkommendes Fahrzeug bis zu jenem Zeitpunkt zurücklegt, wo der Überholende die linke Strassenseite freigegeben haben wird (<ref-ruling> E. 1b S. 237 f. mit Hinweisen). Erkennt der Überholende während des Überholmanövers, dass er es nicht gefahrlos zu Ende führen kann, so ist er verpflichtet, das Manöver abzubrechen und sich hinter dem zu Überholenden in den Verkehr einzufügen (<ref-ruling> E. 7 S. 777 f. mit Hinweisen).
1.3 Der Überholweg inklusive Aus- und Einbiegestrecke ist abhängig von den Geschwindigkeiten und den Längen des überholenden und des überholten Fahrzeugs. Anhand der für das Überholmanöver benötigten Zeit und der durchschnittlichen Geschwindigkeit eines entgegenkommenden Fahrzeugs lässt sich die Strecke ableiten, die dieses während der gleichen Zeitspanne (ab Beginn bis zum Abschluss des Überholvorgangs) zurücklegt. Der Überholweg und die vom entgegenfahrenden Fahrzeug zurückgelegte Distanz können nur zuverlässig berechnet werden, wenn die genannten Faktoren bekannt sind.
1.4 Beide kantonalen Instanzen gehen von einer überblickbaren Strecke von 162.9 m aus (ab Beginn des Überholmanövers beim Ende der Sicherheitslinie bis zur Höhe eines Baums, vgl. vorinstanzliche Akten act. 123 und 126).
1.4.1 Nach den Feststellungen des Bezirksgerichts Bremgarten betrug die durchschnittliche Geschwindigkeit des Beschwerdeführers 65 km/h und jene des Mähdreschers 20 km/h. Der Mähdrescher war 14 m und das Fahrzeug des Beschwerdeführers 5 m lang (erstinstanzlicher Entscheid S. 10 und 14 f.). Für die Berechnung der Aus- und Einbiegestrecke verweist die erste Instanz auf verschiedene Lehrmeinungen. Sie stellt gestützt darauf in einem ersten Schritt einen Überholweg von mindestens 56.33 m und maximal 121.33 m und in einem zweiten Schritt eine dafür beanspruchte Zeit von 5.12 bis 6.72 s fest. Daraus leitet sie in einem weiteren Schritt die vom entgegenkommenden Personenwagen (bei einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 90 km/h) zurückgelegte Strecke von mindestens 128 m und höchstens 168 m ab. Das Bezirksgericht Bremgarten stellt schliesslich fest, dass der Überholweg inklusive der vom entgegenkommenden Auto gefahrenen Strecke zwischen 184.33 m und 289.33 m und damit in jedem Fall mehr als die überblickbare Strecke betrug. Es zeigt ergänzend auf, dass jene Distanzen auch bei einer tieferen Geschwindigkeit des entgegenfahrenden Personenwagens (80 km/h) grösser als der sichtbare Weg ausgefallen wären (erstinstanzlicher Entscheid S. 14 ff.).
1.4.2 Die Vorinstanz trifft Feststellungen zur Geschwindigkeit des Mähdreschers (15-18 km/h). Weitere Faktoren zum inkriminierten Überholmanöver finden sich in der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung nicht. Die Vorinstanz verweist auf die Berechnungen des Beschwerdeführers im kantonalen Berufungsverfahren, wonach "zum Überholen des Mähdreschers, wenn dieser mit 18 km/h unterwegs war, 153.7 Meter erforderlich" waren. In der Folge berechnet die Vorinstanz die Zeit, die das entgegenkommende Fahrzeug von Y._ für die Strecke von 9.2 m (sichtbare Strecke von 162.9 m abzüglich 153.7 m) in Abhängigkeit verschiedener Geschwindigkeiten benötigt hätte (0.39 s bei 85 km/h, 0.37 s bei 90 km/h, 0.33 s bei 100 km/h). Entsprechende Berechnungen führt die Vorinstanz schliesslich bei einer überblickbaren Strecke von 178 m durch. Sie folgert, dass der Beschwerdeführer nur knapp eine Sekunde nach dem Wiedereinbiegen auf die rechte Fahrspur das Fahrzeug von Y._ gekreuzt hätte (Entscheid S. 9 f.).
1.4.3 Während das Bezirksgericht Bremgarten die wesentlichen Faktoren, insbesondere die überblickbare Strecke, den Überholweg des Beschwerdeführers und die gleichzeitig zurückgelegte Strecke des entgegenkommenden Fahrzeugs, feststellte, erschöpfen sich die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen mit wenigen Ausnahmen in einem Verweis auf die im kantonalen Verfahren deponierten Berechnungen des Beschwerdeführers. Der vorinstanzliche Entscheid ist in wesentlichen Punkten nicht nachvollziehbar. Massgebende Feststellungen tatsächlicher Art fehlen.
Der Beschwerdeführer bezog sich im kantonalen Verfahren auf die erstinstanzlichen Erwägungen respektive auf jene Berechnungsvariante, welche eine notwendige freie Strecke (die von ihm für das Manöver benötigte Strecke zuzüglich des gleichzeitig von Y._ zurückgelegten Weges) von 184.33 m ergeben hatte (vgl. erstinstanzlichen Entscheid S. 15 ff., 3. Variante). Ausgehend und abweichend davon machte er vor Vorinstanz (bei einer Geschwindigkeit des Mähdreschers von 18 km/h und einer um eine Sekunde reduzierten Zeit für den Überholvorgang) eine massgebliche Distanz von 153.7 m geltend. Nach seinem Dafürhalten sei nur für das Wiedereinbiegen eine zusätzliche Sekunde in Rechnung zu stellen (Berufung S. 9). Es geht aus dem angefochtenen Entscheid nicht hervor, ob und gegebenenfalls mit welchen Überlegungen sich die Vorinstanz diesen Ausführungen der Verteidigung anschliesst. Die Vorinstanz kann es nicht damit bewenden lassen, einzig auf die Behauptungen des Beschwerdeführers und Beschuldigten abzustellen, ohne diese zu prüfen (vgl. den strafprozessualen Untersuchungsgrundsatz in <ref-law>). Vielmehr ist es an ihr, die entsprechenden tatsächlichen Feststellungen nachvollziehbar darzutun und zu würdigen.
Für den Fall, dass sie in Anlehnung an die erstinstanzlichen Erwägungen die dort zitierte Literatur für die Feststellung der relevanten Strecken heranziehen sollte, ist zur Ergänzung Folgendes festzuhalten: Während GIGER für die Aus- und Einbiegestrecke je vom "halben Tacho" des Überholenden ausgeht, nimmt SCHAFFHAUSER bei einer Geschwindigkeit von 65 km/h eine leicht kürzere Aus- und Einbiegestrecke von je 30 m an (HANS GIGER, Kommentar Strassenverkehrsgesetz, 7. Aufl. 2008, N. 10 f. zu <ref-law>; SCHAFFHAUSER, a.a.O., N. 734 mit Hinweis auf BUSSY/RUSCONI, Code suisse de la circulation routière, 3. Aufl. 1996, N. 2.9 zu <ref-law>). Die Variante von BOLL schliesslich führt hier zum kürzesten Überholweg (JÜRG BOLL, Grobe Verkehrsregelverletzung: eine eingehende Darstellung der Praxis des Bundesgerichts, 1999, S. 80 ff.). Sie stellt jedoch entgegen der Annahme im erstinstanzlichen Entscheid und des Beschwerdeführers nicht allein auf den "halben Tacho" des Überholten ab, sondern für die Ausbiegestrecke auf den "halben Tacho" des Überholenden und für die Einbiegestrecke auf den "halben Tacho" des Überholten (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 135 mit Hinweisen). Dazu berechnet BOLL noch eine Sicherheitszeit von 2 Sekunden (siehe das Rechenbeispiel S. 84 in Verbindung mit S. 80 ff., worin sinngemäss beide Fahrzeuge kurz vor dem Manöver gleich schnell fahren). Grundsätzlich ergäbe dies, ausgehend von den erstinstanzlich festgestellten Faktoren, einen Überholweg von 88.83 m (65 km/h x [32.5 m + 14 m + 5 m + 10 m] : 45 km/h), eine dafür benötigte Zeit von 4.92 s (88.83 m : 18.05 m/s), eine vom entgegenkommenden Fahrzeug zurückgelegte Strecke von 173 m ([4.92 s + 2 s] x 25 m/s) und eine notwendige frei erkennbare Strecke von 261.83 m (88.83 m + 173 m).
Die vorinstanzlichen Erwägungen sind zudem widersprüchlich und nicht nachvollziehbar. Die Vorinstanz erwägt, gemäss "Berechnungen des Beschuldigten waren zum Überholen des Mähdreschers, wenn dieser mit 18 km/h unterwegs war, 153.7 Meter erforderlich (Berufung S. 9). Hätte sich das Fahrzeug von Y._ beim Abschluss des Überholmanövers auf der Höhe des erwähnten Baums befunden, hätte der Abstand zum Fahrzeug des Beschuldigten also noch 9.2 Meter betragen". Nach den tatsächlichen Feststellungen begann der Beschwerdeführer den Überholvorgang in einer Entfernung von 162.9 m zum fraglichen Baum (Entscheid S. 9). Hätten sich die Fahrzeuge beim Wiedereinbiegen des Beschwerdeführers auf die rechte Fahrspur in einem Abstand von 9.2 m zueinander befunden und wäre der Personenwagen von Y._ dannzumal auf der Höhe des fraglichen Baums gewesen, so hätte der Beschwerdeführer allein einen Überholweg von 153.7 m zurückgelegt. Es ist unklar, ob die Vorinstanz davon ausgeht. Will sie aber in der besagten Distanz auch den von Y._ zurückgelegten Weg berücksichtigt haben, so ist dies mit dem Hinweis auf den Standort von dessen Fahrzeug nicht vereinbar (vielmehr hätte Y._ den Baum bereits passiert).
Augenscheinlich unzutreffend sind schliesslich die vorinstanzlichen Erwägungen zur jeweiligen Zeitspanne zwischen dem Abschluss des Überholmanövers und dem Kreuzen beider Personenwagen. Die Vorinstanz lässt in Bezug auf die für die Entfernung von 9.2 m respektive 24.3 m benötigte Zeit ausser Acht, dass die Fahrzeuge aufeinander zufuhren.
1.4.4 Das Bezirksgericht Bremgarten stellte fest, dass der Überholweg und die vom entgegenfahrenden Fahrzeug zurückgelegte Distanz zusammen mindestens 184.33 m und höchstens 289.33 m betrugen. Es ist nicht ersichtlich, welche Feststellungen die Vorinstanz ihrerseits dazu trifft. Gleichzeitig setzt sie sich mit den erstinstanzlichen Erwägungen nicht ansatzweise auseinander. Ihre Schlussfolgerungen sind teilweise nicht nachvollziehbar.
1.5 Nach <ref-law> müssen beim Bundesgericht anfechtbare Entscheide die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art enthalten. Der vorinstanzliche Entscheid hat eindeutig aufzuzeigen, auf welchem festgestellten Sachverhalt und auf welchen rechtlichen Überlegungen er beruht (<ref-ruling> E. 8.2 S. 153 mit Hinweisen). Die Begründung ist insbesondere mangelhaft, wenn der angefochtene Entscheid jene tatsächlichen Feststellungen nicht trifft, die zur Überprüfung des eidgenössischen Rechts notwendig sind oder wenn die rechtliche Begründung des angefochtenen Entscheids so lückenhaft oder unvollständig ist, dass nicht geprüft werden kann, wie das eidgenössische Recht angewendet wurde. Die Begründung ist ferner mangelhaft, wenn einzelne Tatbestandsmerkmale, die für die Subsumtion unter eine gesetzliche Norm von Bedeutung sind, von der Vorinstanz nicht oder nicht genügend abgeklärt wurden (<ref-ruling> E. 5b S. 287 mit Hinweis).
1.6 Der angefochtene Entscheid genügt den Anforderungen von <ref-law> nicht. Das vorinstanzliche Sachverhaltsfundament ist unzureichend. Eine Prüfung des einschlägigen Bundesrechts, insbesondere <ref-law>, ist nicht möglich. Damit verletzt die Vorinstanz Bundesrecht (<ref-ruling> E. 8.2 S. 153 mit Hinweis).
2. Der angefochtene Entscheid ist in Anwendung von <ref-law> aufzuheben. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese einen Entscheid trifft, der den Anforderungen von <ref-law> genügt. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird gegenstandslos.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist weder von einem vollständigen Obsiegen noch von einem vollständigen Unterliegen des Beschwerdeführers auszugehen. Es rechtfertigt sich, keine Kosten aufzuerlegen (vgl. Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 sowie Abs. 4 in Verbindung mit <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 2. Juli 2012 wird aufgehoben. Die Sache wird zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Faga