Faits:
A. Par jugement du 19 avril 2012, le Tribunal de première instance de Genève a prononcé la faillite de X._ Sàrl à la requête de Y._, Caisse de pension, dans la poursuite n°aaa, avec effet au *** 2012 à 14 heures 15.
B. Par arrêt du 13 juin 2012, la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours interjeté par la faillie. Elle a considéré que si X._ Sàrl avait établi par titre que le montant de la poursuite n°aaa avait été payé, la seconde condition cumulative posée à l'<ref-law> pour permettre l'annulation du jugement de faillite n'était pas remplie, à savoir que la faillie n'avait pas rendu vraisemblable sa solvabilité. L'effet suspensif accordé n'a suspendu que la force exécutoire du jugement (<ref-law>).
C. Par acte posté le 20 juin 2012, la faillie interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Elle en demande la réforme, en ce sens que la déclaration de faillite soit annulée. En substance, elle invoque la violation de l'<ref-law> et l'arbitraire dans l'établissement des faits (art. 9 Cst.).
Le dépôt d'une réponse sur le fond n'a pas été requis.
D. L'effet suspensif, non pas de la force jugée mais de la seule force exécutoire, a été attribué au recours par ordonnance présidentielle du 6 juillet 2012, en ce sens qu'aucun acte d'exécution de la décision attaquée ne devait être entrepris, les mesures conservatoires demeurant toutefois en vigueur.

Considérant en droit:
1. Interjeté dans le délai légal (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2) qui confirme, en dernière instance cantonale et sur recours (<ref-law>), l'ouverture de la faillite de la recourante (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable, indépendamment de la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. d LTF); la faillie, qui a succombé devant la juridiction précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>).
2. 2.1 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral, lequel comprend les droits constitutionnels (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1, 462 consid. 2.3). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 2.2). Il ne connaît toutefois de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant ("principe d'allégation"; <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
2.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); le recourant ne peut critiquer les constatations de fait que si celles-ci ont été établies d'une manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui entend se plaindre d'un établissement manifestement inexact - c'est-à-dire arbitraire (art. 9 Cst.; <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 1.5) - des faits doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné, étant rappelé que l'appréciation des preuves n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2 et les références). Les critiques appellatoires sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2).
3. 3.1 La seule question litigieuse devant l'autorité cantonale était celle de savoir si la recourante avait rendu vraisemblable sa solvabilité, au sens de l'<ref-law>. Pour juger que tel n'était pas le cas, l'autorité cantonale s'est principalement appuyée sur l'état des poursuites du 4 mai 2012, dont il ressortait que l'intéressée faisait l'objet de dix-huit poursuites (non comprise la poursuite n°aaa) pour un total de 88'805 fr. 25. Elle a précisé que dix d'entre elles, d'un montant total de 57'879 fr. 85 (recte: 57'870 fr. 85), étaient exécutoires, à savoir que deux, notifiées sur requête de A._, étaient au stade de la commination de faillite pour la somme totale de 3'974 fr., trois, notifiées sur requête de la Caisse cantonale genevoise de compensation et l'Administration fédérale des contributions, se trouvaient au stade de la saisie pour la somme totale de 16'408 fr. 65; deux, notifiées sur requête de Y._et B._ SA, pour la somme totale de 10'219 fr. 85, étaient restées sans opposition et, dans quatre poursuites, des réquisitions de continuer la poursuite avaient été déposées par la Caisse cantonale genevoise de compensation, pour un montant total de 27'268 fr. 35. L'autorité cantonale s'est également appuyée sur le bilan et le compte de pertes et profits de la recourante au 31 décembre 2011, puis au 11 mai 2012, dont il ressort que ses actifs liquides étaient de 14'527 fr. à cette date, sur son budget du 31 décembre 2012 au 31 décembre 2013, ainsi que sur un courrier du 14 mai 2012 d'un cabinet d'expertises fiscales et comptables mandaté par la recourante.
Sur la base de ces pièces, l'autorité cantonale a, dans une première argumentation, jugé qu'aucun élément, ni aucun indice ne permettait de retenir que la perte reportée de 100'822 fr. qui ressortait du bilan à tout le moins depuis 2010, consistant en des arriérés de loyer, pourrait être rapidement résorbée, de telle sorte que la recourante puisse payer tous les créanciers et solder les poursuites en cours. Elle a précisé que le bénéfice net de la recourante au 31 décembre 2011, de 16'328 fr., était insuffisant pour lui permettre de résorber ces importants arriérés dans un avenir qui ne soit pas lointain et que le budget pour 2012/2013 ne laissait espérer que de faibles bénéfices nets, inférieurs aux arriérés et à la somme des poursuites en cours. L'autorité cantonale a, dans une seconde argumentation, jugé que la recourante, qui admettait devoir un montant total de 62'268 fr. 85 sur toutes les poursuites en cours, n'avait ni allégué ni démontré avoir mis fin à celles des poursuites qui étaient exécutoires, dont certaines avaient été notifiées à l'instance d'une caisse de compensation et du fisc, si ce n'était celles de l'intimée (2'492 fr. 20 dans la poursuite n°aaa non comprise dans les dix-huit poursuites précitées et 6'174 fr. dans la poursuite n°bbb d'un montant de 6'528 fr. 70, comprise dans les poursuites exécutoires de 57'870 fr. 85). Les arrangements prétendument en cours selon le courrier du cabinet fiscal ne reposaient sur aucun début de preuve et on pouvait dans tous les cas douter que ceux-ci puissent faire cesser et éviter les poursuites, vu la difficulté de la recourante à payer les charges sociales de ses employés ainsi que ses impôts.
3.2 La recourante se plaint à deux égards de la violation de l'<ref-law> et d'arbitraire, au sens de l'art. 9 Cst., dans l'établissement des faits. Premièrement, elle reproche à la cour cantonale d'avoir exigé d'elle d'apporter la preuve stricte de sa solvabilité, et non pas seulement la vraisemblance. A l'appui de son grief, elle avance qu'elle n'avait pas à démontrer qu'elle avait mis fin aux poursuites, mais qu'elle devait seulement rendre vraisemblable qu'elle arriverait à faire face à ses dettes exigibles. Deuxièmement, elle reproche à la cour cantonale d'avoir confondu la notion de solvabilité avec celle de rentabilité, en examinant si elle avait la capacité de résorber sa perte reportée depuis 2010. Troisièmement, elle reproche à la cour cantonale d'avoir retenu qu'elle n'avait pas rendu vraisemblable sa solvabilité alors qu'il ressort notamment des "états financiers" qu'elle a produits que ses liquidités sont passées de 2'354 fr. au 31 décembre 2010 à 56'912 fr. au 31 décembre 2011.
4. La question qui se pose est celle de savoir si la recourante a rendu vraisemblable sa solvabilité au sens de l'<ref-law>.
4.1 Aux termes de l'<ref-law>, l'autorité de recours peut annuler le jugement de faillite lorsque le débiteur rend vraisemblable sa solvabilité et qu'il établit par titre que l'une des conditions suivantes a été remplie: la dette, intérêts et frais compris, a été payée (ch. 1), la totalité du montant à rembourser a été déposée auprès de l'autorité de recours à l'intention du créancier (ch. 2) ou le créancier a retiré sa réquisition de faillite (ch. 3).
4.1.1 Un fait est rendu vraisemblable si le juge, en se basant sur des éléments objectifs, a l'impression que le fait invoqué s'est produit, sans pour autant devoir exclure la possibilité qu'il ait pu se dérouler autrement (<ref-ruling> consid. 3.1 et les références). Pour l'annulation du prononcé de faillite, cela signifie que la solvabilité du débiteur doit être plus probable que son insolvabilité. Dans ce domaine, il ne faut pas poser d'exigences trop sévères, en particulier lorsque la viabilité de l'entreprise endettée ne saurait être déniée d'emblée. Il incombe au débiteur d'offrir les moyens de preuve propres à rendre vraisemblable sa solvabilité, c'est-à-dire qu'il dispose de liquidités suffisantes pour acquitter ses dettes exigibles (arrêt 5A_328/2011 du 11 août 2011 consid. 2 et les références, publié in SJ 2012 I p. 25; Message du Conseil fédéral, du 8 mai 1991, concernant la révision de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, FF 1991 III p. 130 s.). En principe, s'avère insolvable le débiteur qui, par exemple, laisse des comminations de faillite s'accumuler, fait systématiquement opposition et ne paie pas même des montants peu élevés. De simples difficultés passagères de paiement ne font en revanche pas apparaître insolvable le débiteur, à moins qu'il n'y ait aucun indice important permettant d'admettre une amélioration de sa situation financière et qu'il semble manquer de liquidités pour une période indéterminée. L'appréciation de la solvabilité repose sur une impression générale fondée sur les habitudes de paiement du failli (arrêts 5A_328/2011 du 11 août 2011 consid. 2, publié in SJ 2012 I p. 25; 5A_642/2010 du 7 décembre 2010 consid. 2.4; 5A_350/2007 du 19 septembre 2007 consid. 4.3). Pour rendre vraisemblable qu'il est solvable, le débiteur doit notamment établir qu'aucune requête de faillite dans une poursuite ordinaire ou dans une poursuite pour effets de change n'est pendante contre lui et qu'aucune poursuite exécutoire n'est en cours (arrêts 5A_118/2012 du 20 avril 2012 consid. 3.1; 5A_115/2012 du 20 avril 2012 consid. 3; 5A_640/2011 du 4 janvier 2012 consid. 3.1; 5A_529/2008 du 25 septembre 2008 consid. 3.1; 5P.456/2005 du 17 février 2006 consid. 5.1; 5P.80/2005 du 15 avril 2005 consid. 3.2).
4.1.2 La question de savoir si l'autorité est partie d'une juste conception du degré de la preuve exigé par le droit fédéral, soit en l'occurrence la simple vraisemblance, relève du droit. En revanche, celle de savoir si le débiteur a, ou non, rendu vraisemblable sa solvabilité, soit si le degré de preuve exigé par le droit fédéral est atteint dans le cas particulier, relève du fait (<ref-ruling> consid. 5; en matière de prononcé de faillite, cf. arrêts 5A_118/2012 du 20 avril 2012 consid. 3.2; 5A_115/2012 du 20 avril 2012 consid. 3; 5A_328/2011 du 11 août 2011 consid. 3.3; 5A_642/2010 du 7 décembre 2010 consid. 4.4). Le recourant qui entend attaquer la décision cantonale sur ce dernier point doit ainsi présenter une motivation sur la base de l'art. 9 Cst., répondant aux exigences du principe d'allégation (cf. supra consid. 2.2).
4.2 En l'espèce, compte tenu du paiement de 6'174 fr. effectué dans la poursuite n°bbb notifiée à l'instance de l'intimée, il est incontesté que, sur le montant total de 82'631 fr. 25 des poursuites engagées contre elle au 4 mai 2012 (88'805 fr. 25 - 6'147 fr.), la recourante doit au moins le montant de 56'094 fr. 85 (62'268 fr.45 - 6'147 fr.). La recourante ne conteste ni l'exigibilité des dettes mises en poursuite, ni le caractère exécutoire de certaines poursuites en cours, engagées notamment à l'instance d'une caisse cantonale de compensation, d'un montant total de 51'696 fr. 85 (57'870 fr. 85 - 6'147 fr.). Elle n'invoque pas avoir apporté le moindre élément de preuve permettant d'admettre qu'elle avait rendu vraisemblable qu'elle aurait mis fin à ces poursuites exécutoires. De son bilan, il ressort que, au 11 mai 2012, la recourante dispose seulement, pour faire face à ses dettes mises en poursuite, d'actifs liquides d'un montant de 14'527 fr. (cf. poste "actifs mobilisés" du bilan au 11.05.2012). Pour toute argumentation sur la vraisemblance de sa solvabilité, qu'elle estime que la cour cantonale a arbitrairement niée, la recourante se contente de relever que ses liquidités sont passées de 2'345 fr. au 31 décembre 2010 à 56'912 fr. au 31 décembre 2011 et que "le créancier social lui-même a fait part à la Cour de justice de son souhait que la faillite définitive soit évitée".
Ce faisant, la recourante n'établit pas que les éléments essentiels sur lesquels se fonde l'arrêt attaqué ne sont pas à même de conduire au constat qu'elle n'a pas rendu vraisemblable sa solvabilité. Plus particulièrement, ses moyens disponibles, par 14'527 fr., sont manifestement insuffisants pour faire face aux poursuites exécutoires, par 51'696 fr. 85, dont la seule existence permet déjà d'exclure la vraisemblance de sa solvabilité, a fortiori pour faire face à court terme à l'entier de ses dettes exigibles déjà mises en poursuite, par 56'094 fr. 85. Le grief d'arbitraire dans l'application de l'<ref-law> est donc mal fondé.
Pour le reste, s'agissant du grief selon lequel la cour cantonale serait partie d'une fausse conception de la vraisemblance, il est infondé. La cour cantonale n'a en rien méconnu cette notion; si elle s'est contentée de relever que la recourante n'avait pas "démontré" qu'elle avait mis fin aux poursuites exécutoires, sans préciser le degré de preuve, c'est que la recourante n'avait pas amené le moindre élément de preuve à cet égard. S'agissant du grief selon lequel la cour cantonale a, dans la première partie de son argumentation, confondu la notion de solvabilité avec celle de la rentabilité en examinant si la recourante était en mesure de compenser sa perte reportée depuis 2010, il n'a plus d'objet, étant donné que, comme il vient d'être dit, la recourante n'est dans tous les cas pas parvenue à démontrer la vraisemblance de sa solvabilité.
5. En conséquence, le recours doit être rejeté, aux frais de son auteur (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office des faillites de Genève, au Registre foncier, au Registre du Commerce de Genève et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 22 août 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Achtari