Sachverhalt:
A. A._ und B._ sind die unverheirateten Eltern des 1998 geborenen Sohnes C._. Das Kind untersteht der elterlichen Sorge von A._ (Mutter); B._ ist ein begleitetes Besuchsrecht (am ersten und dritten Sonntag im Monat von 13.30 Uhr bis 17.00 Uhr) zugesprochen. In ihrem Beschluss vom 3. September 2007 verpflichtete die Vormundschaftsbehörde R._ die beiden Eltern - namentlich im Hinblick auf die Ausübung des Besuchsrechts - zur Zusammenarbeit mit der für C._ eingesetzten Beiständin. A._ wurde aufgefordert, alles zu unterlassen, was das Verhältnis des Kindes zum Vater beeinträchtigen könnte, C._ angemessen auf die Besuche beim Vater vorzubereiten und den Sohn jeweils rechtzeitig bei der Pro Juventute in S._ abzugeben. Ausserdem wurde A._ darauf hingewiesen, dass ein Nichtbefolgen der erwähnten Anordnungen mit Strafanzeige im Sinne von <ref-law> geahndet werden würde.
Eine von A._ erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Schwyz am 22. Januar 2008 ab, wobei er A._ zusätzlich für jeden nicht erfüllten Besuchstag eine Ordnungsbusse von Fr. 300.-- während maximal 90 Tagen androhte. Das kantonale Verwaltungsgericht bestätigte den regierungsrätlichen Beschluss mit Entscheid vom 17. April 2008.
A._ führte gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts Beschwerde an das Bundesgericht. Mit Urteil vom 23. Dezember 2008 (5A_341/2008) hob die erkennende Abteilung den angefochtenen Entscheid (wegen Missachtung des Anspruchs auf rechtliches Gehör) insofern auf, als sie die Sache zu neuer Entscheidung hinsichtlich der angedrohten Ungehorsamsstrafe und Ordnungsbusse an die kantonale Instanz zurückwies.
In seinem neuen Entscheid vom 5. Februar 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die gegen den Beschluss des Regierungsrates vom 22. Januar 2008 erhobene Beschwerde erneut ab, soweit es darauf eintrat. Der Entscheid blieb unangefochten.
B. Mit der Begründung, B._ sei verweigert worden, am 15. März 2009 das ihm zustehende Besuchsrecht gegenüber C._ auszuüben, auferlegte die Vormundschaftsbehörde R._ A._ am 27. März 2009 eine Ordnungsbusse von Fr. 300.--. Gleichzeitig wurde beschlossen, gegen A._ wegen Nichtbefolgens der am 3. September 2007 verfügten Besuchsrechtsregelung beim zuständigen Bezirksamt Strafanzeige im Sinne von <ref-law> einzureichen.
Die von A._ gegen den vormundschaftsbehördlichen Entscheid vom 27. März 2009 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht (Kammer III) des Kantons Schwyz am 9. Juli 2009 ab, soweit es darauf eintrat.
C. Mit einer als Verfassungsbeschwerde bezeichneten Eingabe vom 14. September 2009 verlangt A._, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sowie die Dispositiv-Ziffern 1 und 2 (Ordnungsbusse und Frist zu deren Bezahlung) des vormundschaftsbehördlichen Beschlusses vom 27. März 2009 seien aufzuheben.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin verlangt die vollumfängliche Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Entscheids (Abweisen der gegen den Beschluss der Vormundschaftsbehörde vom 27. März 2007 erhobenen Beschwerde sowie Kosten- und Entschädigungsfolgen). Ihren weiteren Anträgen ist zu entnehmen, dass sie die Aufhebung der Dispositiv-Ziffern 1 und 2 des vormundschaftsbehördlichen Beschlusses anstrebt, worin ihr eine Ordnungsbusse von Fr. 300.-- auferlegt und für deren Bezahlung eine Frist von zehn Tagen angesetzt worden war. Nicht in Frage gestellt wird dagegen der Entscheid der Vormundschaftsbehörde, beim Bezirksamt gegen die Beschwerdeführerin Strafanzeige zu erheben.
2. Die Auferlegung einer Ordnungsbusse hat öffentlich-rechtlichen Charakter. Hier steht sie in engem Zusammenhang mit einem zivilrechtlichen Verfahren, so dass grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen steht (<ref-law>). Der in einem Fall der vorliegenden Art für eine solche Beschwerde erforderliche Streitwert von 30'000 Franken (<ref-law>) ist bezüglich der der Beschwerdeführerin auferlegten Ordnungsbusse nicht gegeben. In Betracht fällt damit einzig die (subsidiäre) Verfassungsbeschwerde, zumal keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> geltend gemacht wird. Als Verfassungsbeschwerde hat die Beschwerdeführerin ihre Eingabe - mit der sie eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) rügt - denn auch bezeichnet.
3. 3.1 Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Nach der gemäss <ref-law> auch für dieses Verfahren geltenden Bestimmung von <ref-law> prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist. Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Bei der Willkürrüge (<ref-law>) ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (<ref-ruling> E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
3.2 Nach <ref-law> legt das Bundesgericht (auch im Falle der subsidiären Verfassungsbeschwerde) seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann diese Sachverhaltsfeststellung nur dann berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>), d.h. gegen verfassungsmässige Rechte, namentlich gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstösst. Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
4. 4.1 Das Verwaltungsgericht geht davon aus, dass C._s Beiständin die Beschwerdeführerin mit Schreiben vom 3. Februar 2009 um einen Termin für ein persönliches Gespräch mit dem Kind zur Vorbereitung der Besuchsrechtsausübung durch den Vater ersucht habe. Die Beschwerdeführerin habe mit Schreiben vom 27. Februar 2009 geantwortet und erklärt, D._, praktischer Arzt, bei dem C._ sich in medizinischer Behandlung befinde, werde alles unternehmen, damit das Besuchsrecht wahrgenommen werden könne. Anfang März 2009 sei der Beschwerdeführerin sodann eine Kopie der Anmeldung zum begleiteten Besuchstag bei der Pro Juventute zugestellt worden. Mit Schreiben vom 6. März 2009, das die Beschwerdeführerin nach ihren Angaben (erst) am 11. März 2009 erhalten habe, sei sie vom Gemeinnützigen Frauenverein S._, der für die Pro Juventute die begleiteten Besuchstage organisiere und durchführe, aufgefordert worden, C._ am 15. März 2009 (dritter Sonntag des Monats) um 13.30 Uhr nach S._ zu bringen. Die Beschwerdeführerin habe dem Gemeinnützigen Frauenverein S._ alsdann durch Schreiben vom 12. März 2009 mitgeteilt, dass sie zu einer Terminkoordination nicht kontaktiert worden und auch nicht ordentlich informiert worden sei, dass, wie schon seit längerer Zeit feststehe, sie und C._ am fraglichen Wochenende abwesend sein würden und dass aus medizinischen Gründen das Kind zur Zeit nicht in der Lage sei, das begleitete Besuchsrecht wahrzunehmen.
Das Verwaltungsgericht hebt in seiner weiteren Begründung hervor, die Beschwerdeführerin habe seit langem gewusst, dass der erste und der dritte Sonntag im Monat Besuchstage seien; eine Terminkoordination mit den Behörden sei deshalb gar nicht notwendig gewesen. Die Vorinstanz hält der Beschwerdeführerin vor, dass sie nach ihren eigenen Erklärungen seit längerer Zeit von ihrem anderen Termin am fraglichen Wochenende gewusst habe und deshalb genügend Zeit gehabt hätte, mit dem Kindsvater einen anderen Besuchstermin zu vereinbaren und von sich aus die Vormundschaftsbehörde davon zu benachrichtigen. Soweit die Beschwerdeführerin eine Verhinderung mit gesundheitlichen Schwierigkeiten bei C._ begründe, habe sie unterlassen, rechtzeitig ein ärztliches Zeugnis einzureichen.
4.2 Die Beschwerdeführerin hatte (erst) im vorinstanzlichen Verfahren ein vom 13. März 2009 datiertes ärztliches Zeugnis eingereicht, worin D._, praktischer Arzt, bestätigte, dass es C._ aus medizinischen Gründen nicht möglich gewesen sei, in der Zeit vom 4. Februar bis 30. April 2009 dem Besuchsrecht Folge zu leisten. Nach Auffassung des Verwaltungsgerichts vermag dieses Schriftstück das Nichterscheinen zum Besuchstermin vom 15. März 2009 nicht zu entschuldigen. Im Schreiben der Beschwerdeführerin vom 12. März 2009 seien in erster Linie terminliche Gründe angeführt worden, was Ziffer 3 (des Schreibens), wonach C._ das Besuchsrecht (auch) aus medizinischen Gründen nicht wahrnehmen könne, zumindest als fragwürdig erscheinen lasse. Aus einer Aktennotiz des Sozialdienstes R._ vom 2. April 2009 gehe ausserdem hervor, dass D._ bis zu jenem Tag kein Arztzeugnis für C._ ausgestellt habe. Das eingereichte Zeugnis dieses Arztes trage jedoch das Datum vom 13. März 2009, so dass es mit grösster Wahrscheinlichkeit erst nachträglich erstellt und rückdatiert worden sei. Letzteres ergebe sich auch aus dem Wortlaut des Zeugnisses, wonach es C._ nicht möglich gewesen sei (Vergangenheitsform), dem Besuchsrecht Folge zu leisten.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass das Verwaltungsgericht bei der Auslegung des von ihr eingereichten Arztzeugnisses die Aktennotiz des Sozialdienstes vom 2. April 2009 beizog, die sich "nicht durch übermässige Präzision bzw. Sorgfalt" auszeichne, und daraus unhaltbare Schlüsse gezogen habe. Laut Aktennotiz solle an jenem Tag D._ (die Beiständin) angerufen haben, wogegen der vormundschaftsbehördlichen Stellungnahme vom 20. Mai 2009 zu entnehmen sei, dass es sich um ein Telefonat der Beiständin an den Arzt gehandelt habe. Die von der Vorinstanz angerufene Aktennotiz sei offensichtlich falsch.
In der erwähnten - von der Beiständin E._ erstellten - Aktennotiz vom 2. April 2009 wurde festgehalten, D._ habe angerufen und erklärt, er möchte sich nicht instrumentalisieren lassen, die Rechtslage sei ja klar, B._ und C._ hätten Anrecht auf Besuche; auf Nachfrage (der Beiständin) habe er verneint, ein ärztliches Zeugnis ausgestellt zu haben. In der von der Beschwerdeführerin angesprochenen Vernehmlassung führte die Vormundschaftsbehörde (ohne Hinweis auf ein Telefonat bzw. ohne Angaben zur anrufenden Person) aus, D._ solle am 2. April 2009 auf Nachfrage der Beiständin erklärt haben, er habe kein Zeugnis ausgestellt, ein solches sei nicht verlangt worden. Diese Ausführungen stehen zur Aktennotiz nicht in Widerspruch. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin stossen mithin ins Leere. Im Übrigen ist ohnehin nicht ersichtlich, was sich aus der geltend gemachten Ungereimtheit hätte ableiten lassen sollen.
5.2 Als unhaltbar bezeichnet die Beschwerdeführerin die vom Verwaltungsgericht aus dem ärztlichen Zeugnis vom 13. März 2009 gezogenen Schlüsse: In ihrem spitzfindigen Bemühen, eine Begründung für ihre aktenwidrige Spekulation (über die Urheberschaft des Zeugnisses) zu finden, habe die Vorinstanz "übersehen", dass die Aussagen des Arztes sich (auch) auf die Zeit ab dem 4. Februar 2009 bezogen hätten, so dass die Verwendung der Vergangenheitsform durchaus angebracht gewesen sei. Weiter wird ausgeführt, die Vorinstanz äussere sogar mit unverhohlener Voreingenommenheit und ohne nähere Abklärungen den Verdacht, das ärztliche Zeugnis könnte gar nicht von D._ verfasst worden sein.
Diese Vorbringen sind in einem Ton gehalten, der es rechtfertigt, die Beschwerdeführerin darauf hinzuweisen, dass nach <ref-law> ungebührliche Rechtsschriften zur Änderung zurückgewiesen werden können. In der Sache mag sodann zugestanden werden, dass die Vergangenheitsform im Arztzeugnis sich damit erklären lässt, dass die medizinisch begründete Unfähigkeit C._s, dem Besuchsrecht Folge zu leisten, sich auf eine eine gewisse Zeit zurückreichende Dauer erstreckte. Andererseits ist jedoch zu bemerken, dass das Zeugnis ein Datum trägt, das nur zwei Tage vor dem in Frage stehenden Besuchstag zurücklag, und die gewählte Zeitform aus dieser Sicht erstaunt. Das Zeugnis hätte eigentlich (auch) in der Zukunftsform abgefasst werden sollen. Von grösserer Bedeutung ist bei der Würdigung der Verhältnisse indessen die Aussage des Arztes vom 2. April 2009, er habe kein Zeugnis ausgestellt. Die Auffassung des Verwaltungsgerichts, die Beschwerdeführerin habe keinen schlüssigen Grund für das Nichtwahrnehmen des Besuchstermins vorzutragen vermocht, ist unter den festgehaltenen Gegebenheiten auf jeden Fall nicht willkürlich. Die Einwände der Beschwerdeführerin sind rein appellatorischer Natur.
5.3 Ferner bringt die Beschwerdeführerin vor, dem Verwaltungsgericht sei es bei seiner Argumentation zum Arztzeugnis offenbar selbst nicht ganz wohl gewesen, habe es doch zusätzlich erklärt, der Arzt verkenne, dass die Besuche jeweils unter fachkundiger Begleitung stattfänden; diese auf der Aktennotiz des Sozialdienstes vom 2. April 2009 beruhende Einschätzung stehe aber in klarem Widerspruch zu den übrigen Akten.
Inwiefern die beanstandete Feststellung des Verwaltungsgerichts bzw. deren Korrektur einen Einfluss auf die Frage einer Rechtfertigung des Verhaltens der Beschwerdeführerin bezüglich des Besuchsrechts vom 15. März 2009 haben soll, wird nicht dargelegt und ist auch nicht ersichtlich. Auf die Beschwerde ist in diesem Punkt daher von vornherein nicht einzutreten.
6. Die Beschwerdeführerin beanstandet schliesslich, dass das Verwaltungsgericht bei der Prüfung der Frage, ob allenfalls Entlastungsgründe für das Verhindern des Treffens vom 15. März 2009 zwischen C._ und seinem Vater vorgelegen hätten, darauf hingewiesen habe, in ihrem Schreiben vom 12. März 2009 seien die gesundheitlichen Schwierigkeiten des Kindes erst an dritter Stelle angeführt worden. Soweit die Vorinstanz den für eine Hinderung am Erscheinen zum Besuchstermin geltend gemachten medizinischen Gründen ein geringeres Gewicht beimass als den übrigen angeführten Punkten (fehlende Terminkoordination seitens der Behörden; Wahrnehmen eines anderweitigen Termins), sind die Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht geeignet, die vorinstanzliche Würdigung der Verhältnisse als willkürlich erscheinen zu lassen. Auch sonst ist nicht dargetan, dass angesichts der nach dem Gesagten verbindlichen tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts die Auferlegung der Ordnungsbusse verfassungswidrig wäre.
7. Die Beschwerde ist nach dem Ausgeführten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Deren Höhe richtet sich gemäss <ref-law> unter anderem nach der Art der Prozessführung. Das in der Beschwerde Vorgebrachte bewegt sich an der Grenze der Mutwilligkeit und zeugt von der fehlenden Einsicht der Beschwerdeführerin in ihre Pflicht, vorbehaltlos zur Ausübung des dem Kindsvater zustehenden Besuchsrechts Hand zu bieten. Die Haltung der Beschwerdeführerin gefährdet das Wohl von C._ in höchstem Masse und ruft die Behörden auf, (wie bisher) entschieden einzugreifen. In prozessualer Hinsicht rechtfertigt die Art der Beschwerdeführung eine Erhöhung der Gerichtskosten. Sodann ist die Beschwerdeführerin darauf hinzuweisen, dass bei mutwilliger Prozessführung Ordnungsbussen an Partei und Vertreter auferlegt werden können (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht (Kammer III) des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel