Sachverhalt:
A. Die 1990 geborene J._ leidet an einer angeborenen Sehbehinderung im Sinne des Geburtsgebrechens Nr. 427 GgV-Anhang. Die Invalidenversicherung gewährte Sonderschul- sowie medizinische Massnahmen und sprach verschiedene Hilfsmittel zu. J._ durchlief die obligatorische Schulzeit an der Schule X._ für sehgeschädigte Kinder und Jugendliche. Danach absolvierte sie ab August 2006 im Brückenangebot ein kombiniertes Zwischenjahr (Schule/praktische Einsätze). Im August 2007 begann J._ bei der Schulungsstätte Y._ die zweijährige Ausbildung zur Hauswirtschaftspraktikerin. Die Invalidenversicherung trug die Mehrkosten im Rahmen einer beruflichen Massnahme. Im Juni 2009 schloss J._ die Ausbildung erfolgreich mit dem Attest "Hauswirtschaftspraktikerin EBA" ab (Notenausweis vom 18. Juni 2009; Berufsattest vom 12. August 2009). Die Schulungsstätte Y._ erstattete am 30. Juni 2009 ihren Schlussbericht. J._ fand in der Folge keine Festanstellung. Die IV-Stelle Zug prüfte die Rentenfrage. Mit Verfügung vom 19. April 2011 sprach sie der Versicherten rückwirkend ab 1. August 2009 bei einem Invaliditätsgrad von 44 % eine Viertelsrente zu.
B. J._ erhob Beschwerde auf Zusprechung einer ganzen Rente; eventuell sei die Sache zur Neuabklärung und -verfügung an die Verwaltung zurückzuweisen. Sie legte im Beschwerdeverfahren den Bericht der Institution Z._ vom 17. Mai 2011 (über ein vom 28. März bis 21. April 2011 absolviertes Schnupperpraktikum GAP [geschützter Arbeitsplatz]) und den am 5. Mai 2011 mit der Institution Z._ geschlossenen Arbeitsvertrag (über eine am 26. April 2011 beginnende Anstellung in deren Wäscherei) auf. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug gewährte J._ die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 27. Oktober 2011 hiess es die Beschwerde insofern gut, dass es die Verfügung der IV-Stelle vom 19. April 2011 aufhob und feststellte, die Versicherte habe ab 1. August 2009 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente und ab 1. November 2009 Anspruch auf eine Dreiviertelsrente.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Verwaltungsverfügung vom 19. April 2011 zu bestätigen.
J._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen zu den Begriffen Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und Erwerbsunfähigkeit (<ref-law> in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung), zur Entstehung des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 lit. b und c IVG), zu dessen Abstufung nach dem Grad der Invalidität (<ref-law> in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung), zur Ermittlung des Invaliditätsgrades bei Erwerbstätigen mittels Einkommensvergleichs (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und bei Versicherten ohne Ausbildung unter Bezugnahme auf den Medianwert der bundesamtlichen Lohnstrukturerhebung (<ref-law>) sowie zur Abklärungspflicht des Versicherungsträgers (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Rechtsprechung zur Aufgabe des Arztes im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 4 S. 261; vgl. auch <ref-ruling> E. 4 S. 99 f.). Darauf wird verwiesen.
3. Die Vorinstanz hat erkannt, dass entgegen dem von der Versicherten im kantonalen Verfahren vertretenen Standpunkt kein Sachverhalt im Sinne des <ref-law> vorliege und der Invaliditätsgrad mithin nach den allgemeinen Grundsätzen des <ref-law> zu bestimmen sei. Das ist letztinstanzlich nicht umstritten.
4. Gemäss <ref-law> wird für die Bestimmung des Invaliditätsgrades das Erwerbseinkommen, das die versicherte Person nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung der medizinischen Behandlung und allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte (Invalideneinkommen), in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das sie erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre (Valideneinkommen).
4.1 Die IV-Stelle hat das Valideneinkommen auf Fr. 46'800.- festgesetzt. Sie ging dabei von der Tätigkeit einer Fachfrau Hauswirtschaft aus. Das kantonale Gericht ist davon namentlich mit der Begründung, die Versicherte verfüge nicht über den Titel "Fachfrau Hauswirtschaft", abgewichen. Es hat das Valideneinkommen gestützt auf Lohnempfehlungen gemäss www.hauswirtschaft.ch, Rubrik "Aus-/ Weiterbildung", für eine "Hauswirtschaftspraktikerin EBA als Mitarbeiterin im Team" auf Fr. 41'600.- angesetzt. Das wird letztinstanzlich von keiner Seite in Frage gestellt und gibt keinen Anlass zu Weiterungen.
4.2 Zu prüfen bleibt das Invalideneinkommen.
Die IV-Stelle hat dieses gestützt auf die Leistungseinschätzung und die Angabe zum erzielbaren Lohn gemäss Schlussbericht der Schulungsstätte Y._ vom 30. Juni 2009 auf Fr. 26'000.- (Fr. 2'000.- im Monat x 13) im Jahr festgesetzt.
Das kantonale Gericht ist demgegenüber gestützt auf den Bericht der Institution Z._ vom 17. Mai 2011 zum Ergebnis gelangt, die Versicherte sei nicht in der freien Wirtschaft einsetzbar, sondern auf eine Arbeit in geschütztem Rahmen angewiesen. Da sie gemäss Anstellungsvertrag vom 5. Mai 2011 eine solche Arbeitstätigkeit in der Wäscherei der Institution Z._ aufgenommen habe, sei das Invalideneinkommen nach Massgabe des hiebei erzielten Lohnes auf anfänglich Fr. 8'151.- und ab dem dritten Monat auf Fr. 15'301.- pro Jahr (inkl. 13. Monatslohn) festzusetzen. Aus der Gegenüberstellung mit dem Valideneinkommen von Fr. 41'600.- ergebe sich eine jährliche Erwerbseinbusse von Fr. 33'449.- resp. (ab dem dritten Monat) von Fr. 26'299.-, entsprechend einem Invaliditätsgrad von (gerundet) 80 % resp. 63 %. Damit bestehe Anspruch zunächst auf eine ganze und dann auf eine Dreiviertelsrente.
Die Beschwerde führende Verwaltung macht geltend, das kantonale Gericht habe damit <ref-law>, welche Bestimmung den ausgeglichenen Arbeitsmarkt als Massgabe für das Invalideneinkommen festlege, verletzt. Die Versicherte sei nicht auf einen geschützten Arbeitsplatz angewiesen. Der ausgeglichene Arbeitsmarkt biete für sie geeignete Nischenarbeitsplätze. Das dabei realisierbare Einkommen sei höher als das bei der Institution Z._ erzielte. Es sei daher nicht auf den tatsächlichen Lohn, sondern auf die Lohnangabe gemäss Schlussbericht der Schulungsstätte Y._ vom 30. Juni 2009 abzustellen.
Die Beschwerdegegnerin erachtet die vorinstanzliche Beurteilung für rechtmässig.
4.3 Für die Festsetzung des Invalideneinkommens ist primär von der beruflich-erwerblichen Situation auszugehen, in welcher die versicherte Person konkret steht. Übt sie nach Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung eine Erwerbstätigkeit aus, gilt grundsätzlich der damit erzielte Verdienst als Invalideneinkommen, wenn besonders stabile Arbeitsverhältnisse gegeben sind, weiter anzunehmen ist, dass sie die ihr verbliebene Arbeitsfähigkeit in zumutbarer Weise voll ausschöpft, und wenn das Einkommen aus der Arbeitsleistung als angemessen und nicht als Soziallohn erscheint (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301 mit Hinweisen; SVR 2011 IV Nr. 55 S. 163, 8C_671/2010 E. 6.1).
4.3.1 Umstritten ist, ob mit der Tätigkeit bei der Institution Z._ die verbliebene Arbeitsfähigkeit wirtschaftlich genügend verwertet wird. Das kantonale Gericht hat dies bejaht. Diese Beurteilung fusst auf der Überlegung, die freie Wirtschaft, an welcher sich der Begriff des ausgeglichenen Arbeitsmarkts orientiere, biete keine Stellen an, welche dem Leistungsprofil der Versicherten entsprächen. Diese sei daher auf einen geschützten Arbeitsplatz angewiesen.
Kognitionsrechtlich gilt diesbezüglich Folgendes: Die vorinstanzliche Beurteilung, welches Leistungsprofil (auch: Zumutbarkeits- oder Anforderungsprofil) eine versicherte Person aufgrund ihres Gesundheitszustandes aufweist, ist als Sachverhaltsfeststellung vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbar (E. 1 hievor). Eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage hingegen ist, ob der ausgeglichene Arbeitsmarkt dem Zumutbarkeitsprofil entsprechende Stellen kennt, falls die Vorinstanz hiebei auf die allgemeine Lebenserfahrung abgestellt hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 399; Urteil 9C_365/2009 vom 6. Januar 2010 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2010 IV Nr. 39 S. 123), was hier zutrifft.
4.3.2 Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, bezüglich Sehbehinderung befinde sich als jüngster Arztbericht derjenige des Dr. med. R._, Augenarzt FMH, vom 9. August 2004 bei den Akten. Im damaligen Zeitpunkt habe die Versicherte noch die Schule besucht, weshalb sich der Arztbericht auch nicht zur Arbeitsfähigkeit äussere. Weiterer medizinischer Abklärung bedürfe es nicht. Denn dass die Versicherte in psychischer und physischer Hinsicht in einem Vollzeitpensum, d.h. zu 100 %, arbeitsfähig sei, stehe nicht zur Diskussion. Entscheidend sei, wie sich die Sehbehinderung im Arbeitsalltag in den verschiedenen Arbeitsbereichen und in der Leistung auswirke. Die tatsächlichen Auswirkungen des Geburtsgebrechens hätten über längere Zeit detailliert und genügend beobachtet bzw. abgeklärt werden können.
4.3.3 Die Vorinstanz bezieht sich bei der letztgenannten Feststellung namentlich auf die Berichte der Schulungsstätte Y._ vom 30. Juni 2009 und der Institution Z._ vom 17. Mai 2011.
Im Schlussbericht der Schulungsstätte Y._ vom 30. Juni 2009 wird die Leistungsfähigkeit der Versicherten im Vergleich zu einer Lehrabgängerin ohne Beeinträchtigung auf ca. 60 % geschätzt. Weiter wird ausgeführt, das lasse ein monatliches Einkommen von Fr. 2'000.- erwarten. Wenn es der Versicherten gelinge, eine geeignete Nischentätigkeit zu finden, in der ihre Stärken gefragt seien, könne sie durchaus eine höhere Leistung erbringen.
Im Bericht der Institution Z._ vom 17. Mai 2011 wird festgehalten, in zeitlicher Hinsicht sei ein volles Pensum (100 %) möglich. Dabei schwanke der Leistungsgrad in der Ausführung der Arbeiten je nach Sehbeeinträchtigung zwischen 40 und 60 %. Weiter äussert sich die Institution Z._ dahingehend, aus ihrer Sicht sei zurzeit eine Tätigkeit in einem geschützten Rahmen (Wäscherei) das richtige Angebot. Die geringe Belastbarkeit (Termindruck) der Versicherten lasse einen Einsatz auf dem 1. Arbeitsmarkt nicht zu. An einem geschützten Arbeitsplatz innerhalb der Institution Z._ könne derzeit ein Monatslohn von Fr. 627.- (mit einer Anpassung von 5 - maximal 35 % nach Ablauf der Probezeit) erzielt werden.
4.3.4 Die Einschätzungen des Leistungsvermögens durch die Schulungsstätte Y._ und die Institution Z._ unterscheiden sich demnach masslich, wenn auch - mit 60 % im Vergleich zu zwischen 40 und 60 % schwankend - nicht in sehr grossem Umfang. Eine wesentliche Differenz zwischen den berichterstattenden Institutionen liegt aber darin, dass die Institution Z._, anders als die Schulungsstätte Y._, postuliert, die Restarbeitsfähigkeit sei lediglich an einem geschützten Arbeitsplatz verwertbar.
Das kantonale Gericht ist dieser Betrachtungsweise gefolgt. Es hat dazu erwogen, das Hauptproblem aufgrund der Sehbehinderung liege beim Arbeitstempo, das in der Regel nicht nur ein Arbeitgeber, sondern die zu verrichtende Tätigkeit bzw. der Arbeitsablauf selber bestimme. Insofern könne ein Arbeitgeber noch so fürsorglich und verständnisvoll sein, gebe es in der freien Wirtschaft doch stets einen gewissen Termin- und Leistungsdruck, der nicht zu vermeiden sei. Reagiere die Versicherte darauf aber unflexibel und mit Stress bzw. Überforderung, so werde man dieser Tatsache mit einer in der Schulungsstätte Y._ festgestellten Leistungsverminderung von 40 % alleine nicht gerecht. Müsse es nämlich eine Arbeit ohne Zeit- und Termindruck, eher im Hintergrund und in wohlwollendem und konfliktarmem Umfeld sein, so handle es sich klar um einen geschützten Arbeitsplatz.
Die IV-Stelle opponiert der vorinstanzlichen Beurteilung.
4.3.5 Der für die Bestimmung des Invalideneinkommens massgebliche ausgeglichene Arbeitsmarkt ist gekennzeichnet durch ein gewisses Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage nach Arbeitskräften und weist einen Fächer verschiedenster Tätigkeiten auf (<ref-ruling> E. 4b S. 276 und seitherige Entscheide). Das gilt sowohl bezüglich der dafür verlangten beruflichen und intellektuellen Voraussetzungen wie auch hinsichtlich des körperlichen Einsatzes. Dabei ist nicht von realitätsfremden Einsatzmöglichkeiten auszugehen. Es können nur Vorkehren verlangt werden, die unter Berücksichtigung der gesamten objektiven und subjektiven Gegebenheiten des Einzelfalles zumutbar sind (SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203, 9C_830/2007 E. 5.1 mit Hinweis). Der ausgeglichene Arbeitsmarkt (<ref-law>) umfasst auch sogenannte Nischenarbeitsplätze, also Stellen- und Arbeitsangebote, bei welchen Behinderte mit einem sozialen Entgegenkommen von Seiten des Arbeitgebers rechnen können (statt vieler: Urteile 9C_910/2011 vom 30. März 2012 E. 3.1 und 9C_95/2007 vom 29. August 2007 E. 4.3 mit Hinweisen). Von einer Arbeitsgelegenheit kann nicht mehr gesprochen werden, wenn die zumutbare Tätigkeit nurmehr in so eingeschränkter Form möglich ist, dass sie der ausgeglichene Arbeitsmarkt praktisch nicht kennt oder sie nur unter nicht realistischem Entgegenkommen eines durchschnittlichen Arbeitgebers möglich wäre und das Finden einer entsprechenden Stelle daher von vornherein ausgeschlossen erscheint (statt vieler: erwähntes Urteil 9C_910/2011 E. 3.2 mit Hinweis).
4.3.6 Im vorliegenden Fall gestattet der Gesundheitszustand der Versicherten unbestrittenermassen eine vollzeitliche Erwerbstätigkeit im erlernten Beruf einer Hauswirtschaftspraktikerin, wobei gemäss Einschätzung der Schulungsstätte Y._ und der Institution Z._ eine Leistung von 60 % resp. zwischen 40 und 60 % erbracht werden kann. Bei diesen Aussagen zur Restarbeitsfähigkeit haben die berichterstattenden Institutionen bereits berücksichtigt, dass die Versicherte aufgrund ihrer Sehbehinderung einzelne Verrichtungen nicht (Arbeiten an der Nähmaschine) oder nur mit verlangsamtem Arbeitstempo vornehmen kann und infolge der in höherem Masse erforderlichen Konzentration schneller müde wird, was auch die Belastbarkeit beeinflusst. Zu beachten ist sodann, dass die Beschwerdegegnerin immerhin trotz der gesundheitsbedingten Beeinträchtigung in der Lage war, die Abschlussprüfung als Hauswirtschafterin EBA mit dem guten Notendurchschnitt von 5.1 zu absolvieren. Gemäss Schlussbericht der Schulungsstätte Y._ vom 30. Juni 2009 weist sie denn auch ein gutes intellektuelles Niveau auf, das ihr ermöglicht, recht selbstständig zu arbeiten, eigenständige Entscheidungen zu treffen und flexibel auf neue Aufgabenstellungen zu reagieren. Diese Faktoren sind sicher dienlich, wenn es darum geht, eine Stelle zu finden. Zwar ist es zweifellos dennoch so, dass die durch die Sehbehinderung bedingte Beeinträchtigung ein Entgegenkommen des Arbeitgebers erfordert. Es ist aber insgesamt entgegen der Vorinstanz nicht davon auszugehen, dass der ausgeglichene Arbeitsmarkt keine passenden Stellen bereithält und die Restarbeitsfähigkeit deswegen nurmehr an einem geschützten Arbeitsplatz verwertet werden kann. Das gilt unabhängig davon, ob die Restarbeitsfähigkeit nun 40 % beträgt oder aber zwischen 40 und 60 % schwankt.
Dass die Institution Z._ einen geschützten Arbeitsplatz empfiehlt, steht dieser Beurteilung nicht zwingend entgegen, zumal die Institution bei der Verneinung anderer Arbeitsmöglichkeiten vom sog. 1. Arbeitsmarkt ausgegangen ist, mithin eher vom aktuellen als vom - hier massgeblichen - ausgeglichenen Arbeitsmarkt. Abgesehen davon wendet die IV-Stelle zu Recht ein, dass sich die Institution Z._ lediglich gestützt auf ein knapp einmonatiges Schnupperpraktikum geäussert hat, während der Schlussbericht der Schulungsstätte Y._, in welchem nicht von der Notwendigkeit eines geschützten Arbeitsplatzes ausgegangen wird, auf den Erkenntnissen aus einer immerhin zweijährigen Ausbildung beruht.
4.3.7 Nach dem Gesagten ist die Beschwerdegegnerin trotz ihrer Sehbehinderung nicht auf einen geschützten Arbeitsplatz angewiesen. Die Beschwerde der IV-Stelle ist somit insoweit begründet. Mit dieser Feststellung ist es indessen noch nicht getan. Es gilt zu prüfen, welches Erwerbseinkommen die Versicherte trotz Behinderung zumutbarerweise auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt erzielen kann. Nur wenn dieses Einkommen höher ist als das bei der Institution Z._ erzielte, vermag dies zu einem anderen, als dem von der Vorinstanz angenommenen Invaliditätsgrad und daraus folgenden Rentenanspruch zu führen.
Ausgangslage für die Bestimmung des Invalideneinkommens bildet die gegebene Restarbeitsfähigkeit. Hier weichen die Einschätzungen der Schulungsstätte Y._ und der Institution Z._ wie dargelegt voneinander ab. Das kantonale Gericht hat, ausgehend von der Notwendigkeit eines geschützten Arbeitsplatzes, nicht entschieden, wie hoch die Restarbeitsfähigkeit anzusetzen ist. Es hat aus dem nämlichen Grund auch nicht geprüft, ob der von der Schulungsstätte Y._ angenommene Invalidenlohn realistisch ist. Die Sache ist daher an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die Gesichtspunkte der Restarbeitsfähigkeit und des damit erzielbaren Einkommens neu beurteilt und darauf gestützt einen neuen Einkommensvergleich vornimmt. Nötigenfalls sind dazu ergänzende Abklärungen, wie etwa die Einholung eines aktuellen ärztlichen Berichtes oder Gutachtens zur Sehbehinderung und zu deren Auswirkungen auf das Leistungsvermögen, vorzunehmen. Ferner wird die Vorinstanz zu entscheiden haben, ob eine Verifizierung oder Bestimmung des Invalideneinkommens anhand von Tabellenlöhnen, unter Einbezug von Verweistätigkeiten, erforderlich ist. In diesem Sinne ist die Beschwerde gutzuheissen.
5. Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu weiterer Abklärung und neuem Entscheid (mit noch offenem Ausgang) gilt praxisgemäss für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch einer Parteientschädigung als Obsiegen der Beschwerde führenden Partei im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG. Das gilt unabhängig davon, ob die Rückweisung überhaupt beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 235 mit Hinweisen; Urteil 8C_78/2009 vom 31. August 2010 E. 12.1, nicht publ. in: <ref-ruling> mit weiterem Hinweis). Die Gerichtskosten sind daher der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Die Frage einer Parteientschädigung an die IV-Stelle stellt sich ungeachtet deren Obsiegens nicht (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, vom 27. Oktober 2011 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, der Ausgleichskasse Zug und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. April 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz