Sachverhalt:
R._, geboren 1956, meldete sich (nach erfolglosen Eingaben in den Jahren 2002 und 2009) am 27. April 2011 erneut bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Leistungen an. Die IV-Stelle Basel-Stadt veranlasste bei Dr. med. J._, Facharzt FMH für Rheumatologie, sowie Innere Medizin, Manuelle Medizin X._, und bei PD Dr. med. S._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, ein bidisziplinäres (rheumatologisches, psychiatrisches) Gutachten (vom 9. Mai 2012). Mit Vorbescheid vom 26. Juli 2012 und Verfügung vom 3. Oktober 2012 verneinte sie den Anspruch auf eine Invalidenrente (Invaliditätsgrad von 35 %).
Die hiegegen gerichtete Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 12. Februar 2013 gut. Es sprach R._ ab 1. Mai 2012 eine Viertelsrente zu (Invaliditätsgrad von 41 %).
Die IV-Stelle Basel-Stadt führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und der Rentenanspruch zu verneinen.

Erwägungen:
1.
Streitig und zu prüfen ist nur mehr die Frage, ob der von der Vorinstanz gewährte Abzug von 10 % vom Tabellenlohn entgegen der erhobenen Rüge angebracht und verhältnismässig war.
1.1. Ob und in welcher Höhe statistische Tabellenlöhne herabzusetzen sind, hängt nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid von sämtlichen persönlichen und beruflichen Umständen des Einzelfalles ab, die nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen sind. Relevante Merkmale sind leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 80). Ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Abzug vom hypothetischen Invalideneinkommen vorzunehmen sei, ist eine Rechtsfrage. Demgegenüber stellt die Höhe des Abzuges eine typische Ermessensfrage dar, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur mehr dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, d.h. bei Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung (<ref-ruling> E. 5.1 S. 72 f. mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.3 in fine S. 399).
1.2. Bei der gebotenen Gesamtbetrachtung (E. 1.1) ist die Gewährung eines Tabellenlohnabzuges bei einem im Verfügungszeitpunkt bald 57-jährigen, seit zehn Jahren nicht mehr arbeitstätigen, früheren Schwerarbeiter, der gemäss der Feststellung des kantonalen Gerichts auch bei leichten bzw. mittelschweren Tätigkeiten eingeschränkt einsatzfähig ist, nicht grundsätzlich unstatthaft, wie die Beschwerdeführerin es darstellt (s.a. Urteil 9C_386/2012 vom 18. September 2012 E. 5.2 mit Hinweisen). Es liegt keine Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> vor.
1.3. Was die Abzugshöhe von 10 % betrifft, steht dem kantonalen Versicherungsgericht als Sachgericht ein erheblicher Ermessensspielraum zu (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 40). Inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht haben soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261). Das von der Beschwerdeführerin Vorgebrachte belegt dies indes nicht. Es wird dazu lediglich angeführt, es sei von Bedeutung, dass der Beschwerdegegner vollschichtig, wenn auch mit eingeschränktem Leistungsvermögen, arbeiten könne. In dem hiezu aufgeführten Urteil 8C_99/2013 vom 5. April 2013 E. 4.1.3 wurde in konstanter Rechtsprechung bestätigt, dass der Umstand, dass eine grundsätzlich vollzeitlich arbeitsfähige Person gesundheitlich bedingt lediglich reduziert leistungsfähig ist, an sich keinen Abzug vom Tabellenlohn rechtfertigt. Es ging dort somit nicht wie hier um die Frage nach der nach pflichtgemässem Ermessen festzusetzenden Höhe eines grundsätzlich zulässigen (E. 1.2) Abzuges.
2.
Zudem hat die Vorinstanz entgegen der beschwerdeführerischen Rüge keine Bindungswirkung der Verfügung vom 24. Juni 2004 angenommen. Sie hat lediglich erwogen, dass dem Versicherten in der erwähnten Verfügung aufgrund der Rückenproblematik ein Abzug von 10 % gewährt worden sei, weshalb es als gerechtfertigt erscheine, auch vorliegend dieses Kriterium zu berücksichtigen. Die in der Beschwerde angerufene Rechtsprechung zum Wegfall einer Bindungswirkung (Urteil I 862/05 vom 13. Juni 2006 E. 4) ist nicht einschlägig: Dort war eine wesentliche gesundheitliche Verbesserungeingetreten, was den Wegfall rechtfertigte. Hier liegt bei einem aktuellen Invaliditätsgrad von 41 % (bei 10%igem Abzug) eine wesentliche Verschlechterung vor, denn laut der genannten Verfügung betrug der Invaliditätsgrad bei Gewährung desselben Abzuges erst 27 %.
3.
Die Beschwerde hatte keine Aussicht auf Erfolg, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt wird.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>).
5.
Mit dem Urteil wird der Antrag auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Juni 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Schmutz