Erwägungen:
1.
X._ (geb. 1969) stammt aus Algerien und durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren (Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 5. Februar 2010). In der Folge weigerte er sich, in seine Heimat zurückzukehren. Am 2. April 2014 wurde X._ für 96 Stunden in Ausschaffungshaft genommen, nachdem von den algerischen Behörden ein Laissez-passer zugesichert worden war. Am 3. April 2014 weigerte sich X._, freiwillig in seine Heimat zurückzukehren, worauf die ursprüngliche Ausschaffungshaft aufgehoben und am 4. April 2014 ab dem 6. April 2014 eine "kleine Ausschaffungshaft" nach Art. 77 AuG (SR 142.20) angeordnet worden ist, welche der Einzelrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 9. April 2014 genehmigte. Am 4. April 2014 leitete er eine Eingabe von X._ gegen seinen Entscheid an das Bundesgericht weiter, welches das Verfahren in der Folge instruierte. Am 8. Mai 2014 wurde das Gericht darüber informiert, dass X._ sich nicht mehr in Haft befinde und am 5. Mai 2014 in seine Heimat verbracht worden sei.
2.
2.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur legitimiert, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung seiner Eingabe hat (lit. c). Dieses muss nicht nur bei Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 286 f.). Fällt das schutzwürdige Interesse im Laufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen). Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise dann auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt bzw. eine Verletzung von Art. 5 EMRK in vertretbarer Weise geltend gemacht wird (<ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 103; <ref-ruling> E. 1.1 S. 81).
2.2. Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens bildet ausschliesslich die Rechtmässigkeit der ausländerrechtlichen Festhaltung, nicht die Bewilligungs-, Asyl- oder Wegweisungsfrage (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 198; Urteil 2C_749/2102 vom 28. August 2012 E. 2). Mit der Beendigung der Haft fällt das schutzwürdige Interesse an deren Prüfung - wie hier - regelmässig nachträglich dahin, womit das Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben ist (vgl. <ref-ruling> ff.). Die Eingaben des Beschwerdeführers werfen haftrechtlich keine Fragen auf, die es rechtfertigen würden, vorliegend ausnahmsweise auf seine Beschwerde einzutreten. Das Verfahren ist als gegenstandslos geworden abzuschreiben.
3.
Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 2. Satz BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach verfügt der Präsident:
1.
Das Verfahren 2C_382/2014 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Mai 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar