Sachverhalt:
A.
A._ und B.B._ sind die Eltern von C.B._ (geb. 2003). Die Familie lebte anfänglich zusammen in Wien. Im Jahr 2007 trennten sich die Eltern. Mit Urteil eines österreichischen Gerichts wurde die Ehe per 29. Dezember 2009 geschieden. Die elterliche Sorge wurde der Mutter zugeteilt. Seit dem 22. Dezember 2012 lebt A._ zusammen mit C.B._ in U._ (SO). Der Vater lebt weiterhin in Wien.
B.
Am 21. Oktober 2013 stellte B.B._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein verschiedene Anträge betreffend die Neuregelung des persönlichen Verkehrs. A._ beantragte, die Begehren abzuweisen. Am 3. Juni 2014 hörte Sandra Rigassi, die damalige Vizepräsidentin und heutige Präsidentin der erwähnten KESB, die Kindseltern getrennt an. Die Anhörung von C.B._ erfolgte am 23. Juli 2014 durch D._ von der KESB Solothurn. Am 19. September 2014 fand eine erneute Anhörung des Kindsvaters statt.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 21. Oktober 2014 stellte A._ bei der KESB den Antrag, Sandra Rigassi als befangen zu bezeichnen und zu ersetzen. Ferner verlangte sie, unverzüglich ein psychiatrisches Gutachten über den Kindsvater u.a. zu seiner Gefährlichkeit in Bezug auf C.B._ einzuholen. Das Schreiben wurde an das kantonale Departement des Innern, Amt für soziale Sicherheit, überwiesen. Mit Entscheid vom 11. November 2014 wies das Departement das Ausstandsbegehren ab. Einer Aufsichtsbeschwerde gab es keine Folge. Verfahrenskosten wurden keine erhoben, Parteientschädigungen nicht zugesprochen.
C.b. A._ gelangte an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und beharrte auf ihrem Ausstandsbegehren. Zudem verlangte sie für das Verfahren vor dem Departement eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.--. Beide Begehren wies das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 3. Januar 2015 ab. Die Kosten des Verfahrens vor dem Verwaltungsgericht von Fr. 1'000.-- wurden A._ auferlegt.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. Februar 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben, und hält an ihrem Ausstandsbegehren gegen Sandra Rigassi (Beschwerdegegnerin) fest (Ziff. 1). Ferner verlangt sie für das Verfahren vor dem Departement des Innern eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.--; eventualiter sei die Sache zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 2). Ausserdem stellt die Beschwerdeführerin das Begehren, die Gerichtskosten für das verwaltungsgerichtliche Verfahren von Fr. 1'000.-- der KESB, eventualiter dem Departement oder subeventualiter der Staatskasse anzulasten. Sodann sei ihr für das verwaltungsgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- (inkl. MwSt) zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 3).
E.
Mit Schreiben vom 25. Februar 2015 teilte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht mit, die Beschwerdegegnerin sei von der Fallführung entbunden worden, weshalb sie auch bei der Beschlussfassung nicht mitwirken werde. Ihrem Ausstandsbegehren sei damit nachträglich entsprochen worden. Mithin sei ihr Beschwerdeantrag Ziff. 1 vor Bundesgericht gegenstandslos geworden. An den übrigen Beschwerdeanträgen werde jedoch festgehalten.
F.
Zur Vernehmlassung eingeladen, beantragt das Verwaltungsgericht, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Den gleichen Antrag stellt die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein. Sie bestätigt ferner, dass die KESB "ohne Präjudiz" beschlossen habe, die Beschwerdegegnerin von der Fallführung zu entbinden und durch Frau E._ zu ersetzen. In der Zwischenzeit habe die Beschwerdeführerin auch gegen diese ein Ausstandsbegehren gestellt. Die Sache sei vor dem Verwaltungsgericht hängig. Die Beschwerdeführerin reagierte darauf mit Schreiben vom 14. Juli 2015. Sie verwahrte sich gegen den Vorwurf, das Verfahren verzögern oder verschleppen zu wollen. Das Schreiben wurde der Beschwerdegegnerin zur Kenntnis gebracht. Unaufgefordert wandte sich mit Eingabe vom 22. Juli 2015 (Datum der Postaufgabe) schliesslich B.B._ mit dem Antrag an das Bundesgericht, die Beschwerde abzuweisen. Das Schreiben wurde der Beschwerdeführerin zugestellt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid über ein Ausstandsbegehren. Das ist ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid im Sinn von <ref-law>, der ohne Weiteres der Beschwerde unterliegt. Der Rechtsweg zur Anfechtung des Zwischenentscheides folgt jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Diese beschlägt die Anordnung von Kindesschutzmassnahmen und fällt damit unter Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG. Der Streit ist nicht vermögensrechtlicher Natur. Die Beschwerdeführerin ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen (Art. 76 Abs. 1 Bst. a BGG). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>).
2.
2.1. Nach Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 157). Am Erfordernis des praktischen Interesses fehlt es insbesondere dann, wenn der Rechtsstreit gegenstandslos geworden ist. Liegt das praktische Interesse im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung vor, fällt es aber nachträglich weg, ist der Rechtsstreit gemäss <ref-law> (SR 273) in Verbindung mit <ref-law> als gegenstandslos geworden abzuschreiben. Ist das schutzwürdige Interesse hingegen schon bei Einreichung der Beschwerde nicht gegeben, tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 500 mit Hinweisen; Urteil 5A_675/2013 vom 25. Oktober 2013 E. 3.1).
2.2. Im konkreten Fall steht fest, dass die Beschwerdegegnerin nicht mehr in die Entscheidfindung der KESB involviert ist (s. Sachverhalt Bst. E). Wie die Beschwerdeführerin richtig festhält, ist ihre Beschwerde damit nachträglich gegenstandslos geworden. Das Rechtsmittel ist daher als gegenstandslos abzuschreiben. Zuständig dafür ist der Instruktionsrichter (<ref-law>).
Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin an ihren Anträgen betreffend die Kosten- und Entschädigungsfolgen im kantonalen Verfahren festhält (s. Sachverhalt Bst. D). Allein das Interesse einer Partei an der Kosten- und Entschädigungsregelung rechtfertigt die Fortsetzung eines gegenstandslos gewordenen Rechtsstreits nicht. Das Bundesgericht kann gemäss Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorangegangenen Verfahrens nur modifizieren, wenn es auch den angefochtenen Entscheid ändert. Dies ist bei einer Abschreibung zufolge Gegenstandslosigkeit des Rechtsstreits gerade nicht der Fall (<ref-ruling> E. 3 S. 150). Vorbehalten bleibt der Fall, da der Kostenpunkt eigenständig und nicht bloss mittelbar über die Sache angefochten wurde (Urteil 5A_657/2010 vom 17. März 2011 E. 3.5). Die Beschwerdeführerin tut nicht dar, inwieweit der vorinstanzliche Kostenentscheid auch dann Bundesrecht verletzt hätte, wenn die Vorinstanz das Ausstandsgesuch zu Recht abgewiesen hätte. Es fehlt damit an einer Begründung für eine selbständige Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids, was die Kosten- und Entschädigungsregelung betrifft (<ref-law>).
2.3. Hinsichtlich des Verfahrens vor dem Bundesgericht richtet sich der Entscheid über die Prozesskosten nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>. Dieser Vorschrift zufolge entscheidet das Gericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes. Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen. Lässt sich dieser im konkreten Fall nicht feststellen, so sind allgemeine prozessrechtliche Kriterien heranzuziehen: Danach wird diejenige Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst hat oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Prozesses geführt haben (<ref-ruling> E. 4a S. 494).
3.
Bevor er gegenstandslos wurde, drehte sich der Streit um die Befangenheit der Beschwerdegegnerin in ihrer Funktion als Vizepräsidentin der KESB Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein.
3.1. Steht - wie hier - nicht die Unbefangenheit einer Gerichts- sondern diejenige einer Verwaltungsbehörde zur Diskussion, so folgt das Gebot der Unbefangenheit nicht aus <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK (dazu <ref-ruling> E. 6.2 S. 6), sondern aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung gemäss <ref-law>. Im Kern der Garantie der Unbefangenheit steht für Richter wie für Verwaltungsbeamte, dass sie sich in Bezug auf die Beurteilung des Sachverhalts nicht bereits festgelegt haben. Die für Gerichte geltenden Anforderungen an die Unbefangenheit können allerdings nicht unbesehen auf das Verwaltungsverfahren übertragen werden. Gerade die systembedingten Unzulänglichkeiten des verwaltungsinternen Verfahrens haben zur Schaffung unabhängiger richterlicher Instanzen geführt. Ob eine systembedingt vorbefasste Amtsperson tatsächlich voreingenommen erscheint, entscheidet sich nach den konkreten Umständen des Einzelfalls. Dabei ist vorab je nach Verfahrensart, Funktion oder Streitgegenstand des betreffenden Verfahrens zu unterscheiden (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 5.2 S. 329 f. mit zahlreichen Hinweisen).
3.2. Der vorinstanzliche Entscheid verweist auf den Sozialbericht der F._ GmbH vom Mai 2014 und auf das Gutachten von Dr. G._ vom November 2012. Zur dort abgegebenen Empfehlung einer Beratung der Eltern habe die Beschwerdegegnerin den Eltern das rechtliche Gehör gewähren müssen. Nach der Meinung des Verwaltungsgerichts kann der Beschwerdegegnerin auch nicht vorgehalten werden, sich nicht um eine Lösung bemüht zu haben, die den Kontakt zwischen Vater und Tochter ermöglicht. Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdegegnerin das Telefongespräch mit der behandelnden Psychologin (absichtlich) falsch wiedergegeben hätte, bestünden keine. Einer Aktennotiz zu einem Telefongespräch der Beschwerdegegnerin mit der Psychologin lasse sich einzig entnehmen, dass nach der Meinung der Psychologin wohl nicht vor Frühling 2015 klar sein werde, ob es mit allfälligen Besuchen klappen werde. Den Anschein der Befangenheit erwecke schliesslich auch nicht der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin kein Gutachten über die Gefährlichkeit des Kindsvaters angeordnet und auf der Beratung durch die Fachstelle Familienrecht beharrt habe. Es gelte das Prinzip der freien Beweiswürdigung und es liege im Ermessen der Behörde, ob sie ein solches Gutachten für die Besuchsregelung als notwendig erachte.
3.3. Die Beschwerdeführerin widerspricht der vorinstanzlichen Einschätzung, wonach die Aussage der Beschwerdegegnerin, dass eine Familienberatung anzuordnen sei, lediglich eine "vorläufige Auffassung" oder eine "vorläufige Meinung" sei. Sie bestreitet auch, dass es gerade Aufgabe der Referentin sei, sich eine solche "vorläufige Meinung" zu bilden. Insofern seien die vorinstanzlichen Feststellungen aktenwidrig und daher willkürlich (<ref-law>). Unter Hinweis auf Protokollstellen hält die Beschwerdeführerin daran fest, dass die Beschwerdegegnerin ihr anlässlich der Anhörung vom 3. Juni 2014 unmissverständlich und vorbehaltslos eröffnet habe, dass sie eine Familienberatung beantragen werde. Auch das Protokoll der Anhörung des Kindsvaters vom 19. September 2014 lasse keinen Zweifel daran, dass nach der Meinung der Beschwerdegegnerin "im Ergebnis ... eine Beratungsstelle einbezogen werden" soll. Wie die Vorinstanz in Kenntnis dieser Protokollnotizen zur Auffassung gelangen könne, dass es sich bei diesen Äusserungen der Beschwerdegegnerin lediglich um eine vorläufige Meinung handeln soll, bleibe schleierhaft. Vielmehr stehe angesichts der eigenhändig notierten Äusserungen der Beschwerdegegnerin fest, dass diese noch vor Abschluss der Sachverhaltsabklärungen eine unabänderliche Meinung gefasst und somit voreingenommen sei.
3.4. Der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde kommt eine besondere Stellung zu, wenn sie bei nicht miteinander verheirateten oder geschiedenen Eltern über den persönlichen Verkehr des Kindes zu entscheiden hat (Art. 134 Abs. 4 und 275 ZGB). Die Behörde agiert in diesem Fall ähnlich dem Richter, der in einem familienrechtlichen Prozess über Kinderbelange befindet. Gleichzeitig hat die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde aber die Rolle einer verfügenden Behörde, die bei einer Gefährdung des Kindeswohls grundsätzlich von Amtes wegen tätig werden muss. Bei bloss summarischer Prüfung der Rechts- und Sachlage erweist sich der Befangenheitsvorwurf als unbegründet. Vielmehr lag es nahe und ist nicht zu beanstanden, dass die Beschwerdegegnerin die Beschwerdeführerin darüber informierte, welche Massnahme sich in ihren Augen aufdrängte. Dass sich die Beschwerdegegnerin deshalb nicht verstanden fühlte, vermag keinen Befangenheitsvorwurf zu begründen. Für die Beurteilung der vorliegenden Beschwerde ohne Belang ist schliesslich, dass die Beschwerdegegnerin den Fall nachträglich abgegeben hat (s. Sachverhalt Bst. E). Weder hat das Bundesgericht Kenntnis von den Gründen, die zu dieser Entwicklung geführt haben, noch beurteilt das Bundesgericht einen anderen Sachverhalt als denjenigen, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
3.5. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, wäre der Beschwerde voraussichtlich kein Erfolg beschieden gewesen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens muss die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten aufkommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>), ebenso wenig B.B._, der sich unaufgefordert zu Wort gemeldet hat.

Demnach verfügt der Instruktionsrichter:
1.
Die Beschwerde wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Diese Verfügung wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und B.B._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. August 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Instruktionsrichter: Schöbi
Der Gerichtsschreiber: V. Monn