A.- Mit Verfügung vom 4. November 1996 lehnte die Berner Allgemeine Versicherung (nachfolgend: Berner) als obligatorische Unfallversicherung ihre Leistungspflicht ab mit der Begründung, dass die heute geltend gemachten Beschwerden im rechten Knie nicht mehr als kausal zum Unfall vom Oktober 1993 bezeichnet werden können. Auf Einsprache des Versicherten hin hielt die Berner nach Beizug eines Gutachtens des Dr. med. K._, Spezialarzt für Chirurgie FMH (vom 17. Juni 1997) an ihrem ablehnenden Standpunkt fest (Entscheid vom 8. Juli 1997). Die Krankenkasse Helvetia hatte ihre Einsprache vorgängig zurückgezogen.
B.- Gegen den Einspracheentscheid liess J._ Beschwerde erheben mit den Begehren, es seien die gesetzlichen Leistungen zu erbringen und die Vorinstanz zu verhalten, zusätzliche medizinische Abklärungen vorzunehmen. Im Weitern ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung. Mit (einzelrichterlichem) Entscheid vom 3. November 1997 lehnte das Verwaltungsgericht des Kantons Bern das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung zufolge Aussichtslosigkeit ab. Die dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Eidgenössische Versicherungsgericht mit Urteil vom 21. April 1998 als offensichtlich unbegründet ab.
In der Folge wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Einspracheentscheid vom 8. Juli 1997 erhobene Beschwerde ab unter Auferlegung der Verfahrenskosten im Betrag von Fr. 1000.- (Entscheid vom 20. August 1999).
C.- J._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen u.a. mit den Rechtsbegehren, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und die Berner zu verhalten, weitere ärztliche Abklärungen durchzuführen. Zudem sei die Vorinstanz zu verpflichten, dem Versicherten keine Gerichtskosten aufzuerlegen.
Während die Berner auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen lässt, hat sich das Bundesamt für Sozialversicherung nicht vernehmen lassen.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Sowohl in tatsächlicher als auch in rechtlicher Hinsicht kann auf den kantonalen Gerichtsentscheid vom 20. August 1999 verwiesen werden, wo mit überzeugender Begründung, welcher das Eidgenössische Versicherungsgericht nichts beizufügen hat, dargelegt wird, dass dem Beschwerdeführer kein Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung mehr zusteht. In zutreffender Würdigung der medizinischen Aktenlage hat die Vorinstanz zu Recht erkannt, dass zwischen dem Unfall vom Oktober 1993 und den heute vorhandenen Beschwerden ein natürlicher Kausalzusammenhang nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt ist. Sämtliche Einwendungen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern. Insbesondere lässt sich den angeführten Gutachten des Dr. med. O._, Spezialarzt Chirurgie FMH (vom 3. März und 20. Juli 1999) nichts Gegenteiliges entnehmen; vielmehr stehen sie in Einklang mit der massgebenden Beurteilung des Dr. med. K._ (vom 17. Juni 1997).
b) Nicht zu beanstanden ist zudem, dass die Vorinstanz dem Beschwerdeführer wegen mutwilliger Prozessführung die Verfahrenskosten auferlegt hat (vgl. <ref-ruling> Erw. 3b mit Hinweisen). So ist sie zu Recht davon ausgegangen, dass die beschwerdeführerische Seite den Prozess geführt hat, obwohl sie die Aussichtslosigkeit der Beschwerde bei der ihr zumutbaren vernunftgemässen Überlegung ohne weiteres erkennen konnte. Dies trifft umso mehr zu, als selbst der von ihr beauftragte Gutachter Dr. med. O._ die strittige Kausalität nicht als überwiegend wahrscheinlich beurteilte.
c) Aus den gleichen Gründen rechtfertigt es sich, im vorliegenden Verfahren von der Regel der Kostenfreiheit gemäss Art. 134 OG abzuweichen und dem Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu überbinden (SZS 1999 S. 69 Erw. 7; RSKV 1981 Nr. 441 S. 63 Erw. 6).
2.- Da sich die Verwaltungsgerichtsbeschwerde als offensichtlich unbegründet erweist, wird sie im Verfahren nach Art. 36a OG erledigt.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
II. Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden dem Beschwer-
deführer auferlegt.
III. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsge-
richt des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche
Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherung
zugestellt.
Luzern, 8. November 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer:
Die Gerichtsschreiberin: