Sachverhalt:
A. Mit Klage vom 27. Juni 2005 beantragte B._ (Beschwerdegegner) beim Amtsgericht Sursee, A._ (Beschwerdeführer) habe ihm Fr. 8'533.90 nebst Zins zu 5 % seit 13. Dezember 2004 sowie Fr. 70.-- Zahlungsbefehls- und Fr. 210.-- Friedensrichterkosten zu bezahlen. Ferner sei der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. 000 im Umfang des eingeklagten Betrags aufzuheben.
Am 21. Dezember 2006 entschied das Amtsgericht Sursee, der Beschwerdeführer habe dem Beschwerdegegner Fr. 8'533.90 nebst Zins zu 5 % seit 13. Dezember 2004 zu bezahlen. Der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. 000 werde im Betrag von Fr. 8'533.90 nebst Zins zu 5 % seit 13. Dezember 2004 aufgehoben. Auf das weitergehende Begehren werde nicht eingetreten.
Gegen dieses Urteil appellierte der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Luzern und beantragte die vollumfängliche Abweisung der Klage. Mit Urteil vom 23. Oktober 2007 wies das Obergericht die Appellation ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil.
B. Der Beschwerdeführer begehrt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 23. Oktober 2007 aufzuheben und die Klage des Beschwerdegegners vollumfänglich abzuweisen.
Sowohl der Beschwerdegegner als auch die Vorinstanz schliessen auf Abweisung der Beschwerde, sofern darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
1.1 In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen - abgesehen von einem hier nicht vorliegenden arbeits- oder mietrechtlichen Fall (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG) - nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Vorliegend beträgt der Streitwert lediglich Fr. 8'533.90, weshalb sich die Beschwerde in Zivilsachen insofern als unzulässig erweist.
1.2 Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nicht, ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG). Der Beschwerdeführer beruft sich auf diese Bestimmung.
Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, so ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG). Der Beschwerdeführer bringt diesbezüglich vor, er rüge eine Verletzung bzw. Falschanwendung/Auslegung der Bestimmungen des OR, insbesondere von Art. 32 ff. OR. Es gehe um die Frage, ob vorliegend Art. 32 OR "greife" (direkte Stellvertretung) oder allenfalls eine Anscheins- oder Duldungsvollmacht vorliege. Weshalb diese Frage von grundsätzlicher Bedeutung sein soll, legt der Beschwerdeführer indes nicht dar und missachtet damit seine Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG).
Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist ohne weiteres zu verneinen. Eine solche liegt nicht vor, wenn es - wie vorliegend - lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf den konkreten Fall (<ref-ruling>) bzw. um die "Interpretation des Sachverhalts" geht. Die Beschwerde in Zivilsachen erweist sich somit als unzulässig.
2. Auf die Beschwerde in Zivilsachen kann nicht eingetreten werden. Eine Konversion in eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde fällt ausser Betracht, da der Beschwerdeführer nicht die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügt.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-ruling> E. 4 S. 446).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer als Appellationsinstanz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Corboz Sommer