Sachverhalt:
A.
Zwischen X._ (geb. 1948, deutscher Staatsangehöriger) und Y._ (geb. 1966) ist ein Scheidungsverfahren vor dem Bezirksgericht Horgen hängig. In diesem Rahmen ersuchte die Ehefrau um Erlass vorsorglicher Massnahmen bezüglich Obhuts- und Besuchsrecht für den Sohn der Parteien (geb. 1997) und Unterhalt. Der zuständige Einzelrichter A._ lud die Parteien am 28. Februar 2013 zu einer mündlichen Verhandlung betreffend vorsorgliche Massnahmen.
B.
B.a. Am 5. März 2013 verlangte der Ehemann beim Bezirksgericht Horgen den Ausstand von Bezirksrichter A._. Ungeachtet dessen führte der Letztgenannte das Verfahren fort und urteilte am 27. März 2013 über die vorsorglichen Massnahmen.
B.b. Gegen das Urteil vom 27. März 2013 gelangte der Ehemann am 8. April 2013 an das Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte, der Entscheid sei aufzuheben und die Verhandlung über die vorsorglichen Massnahmen sei neu durchzuführen. Nur (sub-) eventualiter, das heisst für den Fall, dass der Entscheid nicht aufgehoben würde, stellte er Anträge in der Sache.
B.c. Mit Urteil vom 15. Mai 2013 wies das Bezirksgericht Horgen das Ausstandsbegehren ab. Auch diesen Entscheid zog der Ehemann mit Eingabe vom 1./6. Juni 2013 an das Obergericht weiter. Daraufhin sistierte das Obergericht das Berufungsverfahren gegen das Urteil betreffend vorsorgliche Massnahmen mit Verfügung vom 8. Juli 2013 bis zum Entscheid im Ausstandsverfahren.
B.d. Mit Urteil vom 23. Juli 2013 hiess das Obergericht das Ausstandsbegehren gegen Richter A._ gut und hob den gegenteiligen Entscheid des Bezirksgerichts Horgen vom 15. Mai 2013 auf.
C.
C.a. In der Folge wurde das Berufungsverfahren betreffend vorsorgliche Massnahmen wieder aufgenommen. Die Ehefrau verlangte die Abweisung der gegnerischen Anträge vom 8. April 2013.
C.b. Mit Entscheid vom 23. August 2013 hob das Obergericht den Einzelrichterentscheid vom 27. März 2013 auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Bezirksgericht zurück. Auf den Antrag des Ehemanns, die Verhandlung über die vorsorglichen Massnahmen sei neu durchzuführen, trat es nicht ein. Die Kosten für das Berufungsverfahren auferlegte es den Parteien hälftig, gewährte dem Ehemann aber die unentgeltliche Rechtspflege. Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen.
D.
Diesen Entscheid zieht der Ehemann (Beschwerdeführer) mit Beschwerde vom 26. September 2013 an das Bundesgericht weiter. Er verlangt die Abweisung der von der Ehefrau im Massnahmeverfahren gestellten Begehren sowie die Verpflichtung der Ehefrau den früheren Vergleich einzuhalten und an einer Scheidungskonvention mitzuarbeiten (Ziff. 1 und 2). Weiter beantragt er, es sei auf eine Rücküberweisung des Verfahrens an das Bezirksgericht Horgen zu verzichten (Ziff. 5) und dringlichst dafür zu sorgen, dass eine kompetente Beratung stattfinde, welche nicht von der Kindsmutter behindert werden dürfe (Ziff. 6). Während er für sich selbst (weiterhin) die unentgeltliche Rechtspflege beantragt (Ziff. 4), sei das der Ehefrau gewährte Armenrecht zu überprüfen und (rückwirkend) abzusprechen (Ziff. 3).
E.
Das Bundesgericht hat die Akten der Vorinstanzen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 216; <ref-ruling> E. 1 S. 117; je mit Hinweisen).
1.2. Angefochten ist ein Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, mit welchem dieses kantonal letztinstanzlich und auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) einen erstinstanzlichen Entscheid aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die erste Instanz zurückgewiesen hat, mithin ein Zwischenentscheid (Urteil 4A_485/2010 vom 3. Februar 2011 E. 1.2, mit weiteren Hinweisen). Selbständig eröffnete Zwischenentscheide können - von hier nicht gegebenen weiteren Ausnahmen abgesehen (Art. 92 und 93 Abs. 1 lit. b BGG) - nur dann mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>).
Ein im Sinne von <ref-law> drohender nicht wieder gutzumachender Nachteil muss nach der von sämtlichen Abteilungen des Bundesgerichts befolgten Rechtsprechung rechtlicher Natur und somit auch mit einem für die Beschwerde führende Partei günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar sei n (<ref-ruling> E. 2.1 S. 190). Die Erfüllung dieser Voraussetzung ist in der Beschwerde darzut un (<ref-ruling> E. 1.2 in fine S. 429). Ist die Beschwerde nicht zulässig, so ist der Zwischenentscheid mit Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>).
2.
2.1. Soweit die vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht gestellten Begehren überhaupt berücksichtigt werden können (<ref-law>: Im bundesgerichtlichen Verfahren sind neue Begehren unzulässig), vermag er nicht aufzuzeigen, dass ihm durch die Rückweisung an das Bezirksgericht zwecks Neuentscheidung durch dieses ein nicht wieder gutzumachender Nachteil gemäss <ref-law> drohen würde.
2.2. Seine Abwehrhaltung gegen eine Rückweisung an das Bezirksgericht begründet der Beschwerdeführer damit, dass er im bisherigen Verfahrensverlauf gegen zwei Richter dieses Gerichts Ausstandsbegehren sowie Strafanzeigen eingereicht habe. Die erste Richterin sei von sich aus zurückgetreten, der Zweite (Bezirksrichter A._) durch das Obergericht in den Ausstand gesetzt worden. Es sei daher unwahrscheinlich, dass das Gericht noch unbefangen sei. Ausserdem sei es problematisch, wenn das Verfahren ohne neue Verhandlung geführt werden solle. Es sei inzwischen mehr als genug Schaden angerichtet worden und es sei an der Zeit, die Schritte einzuleiten die notwendig seien, um diesen Schaden zu vermeiden.
2.3. Gemäss den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz hatte der Beschwerdeführer den Ausstand von Richter A._ verlangt, weil dieser anlässlich der Verhandlung über die vorsorglichen Massnahmen alleine mit der Ehefrau gesprochen habe, dies ohne entsprechenden Vermerk im Protokoll und ohne ihn über den Inhalt des Gesprächs zu informieren. Danach habe der Richter ihm mitgeteilt, dass er gegen den Ehemann zu entscheiden gedenke. Der Ausstandsgrund lag damit im konkreten Verhalten des befassten Richters. Dass der Beschwerdeführer bereits davor eine Richterin abgelehnt habe, welche von sich aus in den Ausstand getreten sei, geht aus dem angefochtenen Entscheid nicht hervor. Jedenfalls bleibt aber festzuhalten, dass die Betreffenden nicht mehr mit dem Verfahren betraut sind. Damit ist kein drohender Nachteil im Sinne von <ref-law> ersichtlich, wenn das Bezirksgericht neu entscheidet. Es entspricht vielmehr der Praxis, nach der Aufhebung eines erstinstanzlichen Urteils infolge eines Ausstandsfalles, dieselbe Instanz aufzufordern, das (erstinstanzliche) Verfahren zu Ende zu führen.
Die Vorinstanz ist auf das Begehren des Beschwerdeführers, die Verhandlung sei zu wiederholen, nicht eingetreten, weil dieses im Lichte von <ref-law> zu spät erfolgt sei. Diesbezüglich ist darauf hinzuweisen, dass zwischen der Ergreifung eines Rechtsbehelfs nach <ref-law> und der Ergreifung eines Rechtsmittels zu unterscheiden ist (zur Abgrenzung siehe ausführlich <ref-ruling> E. 3.4 S. 703 f.). Die Frage ist vorliegend jedoch insofern ohne Belang, als die Vorinstanz den strittigen Entscheid infolge von Mängeln der erstinstanzlichen Parteiverhandlung aufgehoben hat. Für das Verfahren gelten die Untersuchungs- und Offizialmaxime. Ausserdem hat der Beschwerdeführer Anspruch auf rechtliches Gehör. Diesen Grundsätzen wird auch im weiteren Verfahren Rechnung zu tragen sein.
Soweit der Beschwerdeführer sich sodann gegen eine Verlängerung des Verfahrens wehrt, handelt es sich ebenfalls nicht um einen Nachteil im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632).
2.4. Zusammengefasst ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.
Bei Nichteintreten werden der beschwerdeführenden Partei praxisgemäss reduzierte Gerichtsgebühren auferlegt. Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, zeigen doch die vorstehenden Erwägungen auf, dass die Beschwerde von Beginn weg keinen Erfolg haben konnte (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist mangels Einholung einer Vernehmlassung kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, sowie dem Bezirksgericht Horgen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann