Sachverhalt:
A. Unter dem Namen "Berufsbildungsstiftung X._" (im Folgenden: Stiftung) besteht eine Stiftung im Sinne von <ref-law>, die ihren Sitz seit 30. November 1993 in Solothurn hat. Gemäss Art. 2 der Stiftungsurkunde bezweckt die Stiftung die Förderung des Aus- und Weiterbildungswesens im Sattler-, Reiseartikel-, Karosseriesattler-, Tapezierer-, Bodenleger-, Innenausstatter- und Möbeldetailhandelgewerbe sowie in weiteren branchenverwandten Berufen auf dem Gebiet der schweizerischen Eidgenossenschaft und des Fürstentums Liechtenstein. Das Stiftungsvermögen besteht insbesondere aus Grundeigentum, einem Bankguthaben und einem Darlehen gegenüber dem Ausbildungszentrum des Branchenverbandes und betrug Ende 2005 ca. Fr. 615'000.--. Die jährlichen Erträge betrugen im Jahr 2005 Fr. 31'165.25, davon stammten zwei Drittel aus Anlagen und ein Drittel aus Mietzinsen.
B. Mit Schreiben vom 17. Februar 2005 ersuchte die Stiftung um Steuerbefreiung wegen Gemeinnützigkeit für die Staats- und Gemeindesteuern (mit Einschluss der Handänderungs- und Erbschaftssteuer) sowie für die direkte Bundessteuer. Mit Verfügung vom 7. Juli 2005 lehnte das Steueramt des Kantons Solothurn das Gesuch ab. Auf Einsprache der Stiftung hin hielt es mit Einspracheentscheid vom 23. Februar 2006 an seiner ablehnenden Haltung fest. Zur Begründung wurde vorgebracht, die Stiftung verfolge bei den Einführungskursen öffentliche Zwecke, im Rahmen der Förderung der Weiterbildung handle sie hingegen nicht uneigennützig; mangels rechnungsmässiger Trennung der beiden Funktionen komme eine Steuerbefreiung nicht in Betracht.
Dagegen erhob die Stiftung Rekurs und Beschwerde, welche das Steuergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 17. März 2008 abwies. Das Steuergericht erwog, die Stiftung unterstütze lediglich mit Geld die Tätigkeiten des Gründerverbandes und anderer Organisationen. Der Verband X._ sei als Branchenverband nicht steuerbefreit, weshalb die Stiftung im Wesentlichen eine nicht steuerbefreite Organisation unterstütze. Soweit sich allerdings die Unterstützung auf Bereiche des Branchenverbandes beziehe, die an sich privilegierungsfähig wären, könne eine Steuerbefreiung gleichwohl erwogen werden. Die Förderung von Aus- und Weiterbildung sei aber weder gemeinnützig noch verfolge man damit einen ausschliesslich öffentlichen Zweck, lägen doch diese Aufgaben primär im Interesse der entsprechenden Betriebe und der Personen, die sich ausbilden liessen. Dies gelte selbst für die Lehrlingsausbildung bzw. die Einführungskurse, welche die Vorinstanz als öffentliche Aufgabe anerkannt habe. Im Übrigen fehle es an der rechnungsmässigen Aussonderung dieses Teils.
C. Gegen diesen Entscheid des Steuergerichts führt die Stiftung mit Eingabe vom 18. August 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Steuergerichts vom 17. März 2008 sei aufzuheben und die Stiftung sei von der Bundes-, Staats- und Gemeindesteuer wie auch von der Handänderungs- und Erbschaftssteuer zu befreien. Sie rügt die Verletzung von Bundesrecht sowie einen Verstoss gegen das Gebot der Gleichbehandlung.
D. Das Steuergericht sowie das Steueramt des Kantons Solothurn beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Den gleichen Antrag stellt die Eidgenössische Steuerverwaltung.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1. 1.1 Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid über die direkten Steuern des Kantons und des Bundes. Dagegen steht gemäss <ref-law> in Verbindung mit Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG; SR 642.11) sowie Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG; SR 642.14) die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen. Die Beschwerdeführerin ist gestützt auf <ref-law> zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten (vgl. aber nachfolgend E. 1.3).
1.2 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Deren Sachverhaltsfeststellungen können nur berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
1.3 Gemäss <ref-law> hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Die Vorbringen müssen sachbezogen sein, damit aus der Beschwerdeschrift ersichtlich ist, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird. Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Eine diesen Anforderungen genügende Begründung ist in der vorliegenden Beschwerde nur teilweise zu erkennen, insbesondere soweit die Beschwerdeführerin beantragt, von der kantonalen Handänderungssteuer (vgl. §§ 205 ff. StG/SO) und der kantonalen Erbschaftssteuer (vgl. §§ 223 ff. StG/SO) befreit zu werden. Soweit eine solche qualifizierte Begründung fehlt, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (vgl. auch E. 4.4).
II. Direkte Bundessteuer
2. Nach <ref-law> sind juristische Personen, die öffentliche oder gemeinnützige Zwecke verfolgen, für den Gewinn, der ausschliesslich und unwiderruflich diesen Zwecken gewidmet ist, von der Steuerpflicht befreit. Unternehmerische Zwecke sind grundsätzlich nicht gemeinnützig (<ref-law>).
2.1 Für die Steuerbefreiung wegen Gemeinnützigkeit muss die Tätigkeit der juristischen Person im Interesse der Allgemeinheit liegen und uneigennützig erfolgen (vgl. Kreisschreiben Nr. 12 der EStV vom 8. Juli 1994, in: ASA 63 S. 130 ff.). Die Tätigkeit muss aus der jeweils geltenden Gesamtsicht als fördernswert erscheinen. Mit der gemeinnützigen Zielsetzung dürfen nicht Erwerbszwecke oder sonst eigene - unmittelbare wirtschaftliche oder persönliche - Interessen der juristischen Person oder ihrer Mitglieder verbunden sein (<ref-ruling> ff.). Je enger der Kreis der Destinatäre definiert ist, desto eher rechtfertigt es sich, an der Uneigennützigkeit zu zweifeln. Diese fehlt praxisgemäss bei wirtschaftlichen oder beruflichen Vereinigungen, deren Interessen allein auf die Förderung des Berufsstandes oder eines oder mehrerer (beschränkter) Wirtschaftszweige gerichtet ist (StE 1987 B 71.63 Nr. 4; vgl. auch das Urteil 2A.408/1990 vom 2. Juli 1991 E. 3a, in: ASA 60 S. 623 ff.). Die steuerbefreite Zwecksetzung muss tatsächlich verfolgt und verwirklicht werden; die hierzu bestimmten Mittel haben unwiderruflich dem gemeinnützigen Zweck zu dienen (vgl. MARCO GRETER, in: Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht I/2a, Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer [DBG], 2. Aufl. 2008, N. 23 ff. zu <ref-law>; PETER LOCHER, Kommentar zum DBG, II. Teil, 2004, N. 83 ff. zu <ref-law>; NICOLAS URECH, in: Commentaire romand, Impôt fédéral direct, 2008, N. 52 ff. zu <ref-law>).
2.2 Neben dem gemeinnützigen Zweck nennt <ref-law> auch die öffentliche Zweckverfolgung als steuerprivilegierte Zielsetzung. Da in <ref-law> die "öffentlichen Zwecke" neben der Gemeinnützigkeit aufgeführt sind, kann es sich bei ihnen nur um eine begrenzte - und somit restriktiv zu fassende - Kategorie von Aufgaben handeln, die sich eng an die Staatsaufgaben anlehnen müssen. Juristische Personen, die in erster Linie Erwerbs- oder Selbsthilfezwecke verfolgen, haben grundsätzlich keinen Anspruch auf Steuerbefreiung, auch wenn sie zugleich öffentlichen Zwecken dienen (vgl. das Urteil 2A.408/1990 vom 2. Juli 1991 E. 3b, in: ASA 60 S. 623 ff.). Vorbehalten bleibt eine (gegebenenfalls teilweise) Steuerbefreiung, falls eine juristische Person durch einen öffentlich-rechtlichen Akt mit der Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe betraut wurde, eine gewisse Aufsicht des Gemeinwesens vorgesehen ist und darüber hinaus die ausschliessliche und unwiderrufliche (dauernde) Widmung des Eigenkapitals für den öffentlichen Zweck in den Statuten stipuliert wird. Auch in diesem Fall muss die vorgegebene Zwecksetzung konkret und überprüfbar tatsächlich verwirklicht werden; es genügt nicht, die steuerbefreite, im öffentlichen Zweck liegende Tätigkeit bloss statutarisch zu proklamieren (Urteile 2A.42/2007 vom 11. Juni 2008 E. 2.2; 2A.254/2000 vom 2. April 2001 E. 2c, in: ASA 70 S. 294 ff.). Liegt diese überwiegend im privaten Interesse - so etwa wenn der Erwerbszweck im Vordergrund steht - ist auch eine teilweise Steuerbefreiung nicht mehr gerechtfertigt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 u. E. 3.4 S. 6 ff. mit Hinweisen).
2.3 <ref-law> wird durch das Kreisschreiben Nr. 12 der Eidgenössischen Steuerverwaltung vom 8. Juli 1994 (ASA 63, S. 130 ff.) konkretisiert. Damit eine juristische Person von der Steuerpflicht befreit werden kann, müssen die folgenden allgemeinen Voraussetzungen kumulativ erfüllt sein: (a) Die Mittelverwendung muss ausschliesslich auf die öffentliche Aufgabe oder das Wohl Dritter ausgerichtet sein, (b) die der Zweckbindung gewidmeten Mittel müssen unwiderruflich steuerbefreiten Zwecken verhaftet sein und (c) die vorgegebene Zwecksetzung gemäss Statuten muss tatsächlich verwirklicht werden.
Bei juristischen Personen mit gemeinnütziger Zwecksetzung müssen sodann die Voraussetzungen des Allgemeininteresses sowie der Uneigennützigkeit gegeben sein; besondere Voraussetzungen müssen bei juristischen Personen mit öffentlicher Zwecksetzung erfüllt sein (ASA 63, S. 131 ff.).
3. Die Vorinstanzen und die Beschwerdeführerin setzen sich hauptsächlich mit den spezifischen Voraussetzungen einer Steuerbefreiung wegen gemeinnütziger resp. öffentlicher Zwecksetzung auseinander. Vorab ist aber zu prüfen, ob die allgemeinen Voraussetzungen für eine Steuerbefreiung gemäss Ziffer 2 des erwähnten Kreisschreibens Nr. 12 im vorliegenden Fall erfüllt sind. Fraglich erscheint insbesondere, ob die tatsächliche Tätigkeit dem statutarischen Zweck der Stiftung entspricht. Die Beschwerdeführerin überweist rund zwei Drittel ihrer Erträge dem Stifterverband mit dem Vermerk "Unterstützung Berufsbildung". Allerdings weist die Verbandsrechnung betreffend das "Ausbildungszentrum Y._" nicht dieselben Beträge unter dem Titel "Berufsbildungsstiftungs-Beitrag" aus. Vielmehr ergibt sich aus den Akten folgendes Bild:
Geschäfts-jahr
Auszahlung durch Stiftung
Einnahme beim Verband
2002
Fr. 30'000.--
Beim Verband nicht besonders ausgewiesen
2003
Fr. 20'000.--
Beim Verband nicht besonders ausgewiesen
2004
Fr. 20'000.--
Beim Verband nicht besonders ausgewiesen
2005
Fr. 20'250.--
Fr. 20'000.--
2006
Fr. 23'360.--
Fr. 22'000.--
2007
Fr. 28'250.--
Fr. 22'000.--
Während somit bis 2004 die Zahlungen der Stiftung offenbar in die allgemeine Rechnung des Stifterverbandes flossen, wurden diese ab 2005 in der Rechnung des Ausbildungszentrums Y._ grösstenteils gesondert ausgewiesen. Es steht aber nicht fest, wofür die restlichen Beträge verwendet wurden. Ebenfalls offen bleibt, ob der sogenannte "Berufsbildungsstiftungs-Beitrag" effektiv diesem Zweck zugeführt wurde, denn der Stifterverband, der als Berufsverband klarerweise nicht steuerbefreit ist (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.3 S. 207 mit Hinweisen), unterliegt keiner aufsichtsrechtlichen Kontrolle. Aus diesem Grund muss die Frage offen gelassen werden, ob die tatsächliche Tätigkeit der Stiftung dem statutarischen Zweck entspricht. Die Beschwerdeführerin geht auf jeden Fall fehl, wenn sie meint, allein durch die Spezifizierung ihrer Zahlungen ab dem Jahr 2005 im Rechnungswesen des Ausbildungszentrums Y._ erfülle sie damit schon die Voraussetzungen für eine Steuerbefreiung ab diesem Jahr.
4. 4.1 Zu prüfen bleibt im Folgenden, ob die Stiftung gemeinnützige Zwecke verfolgt, d.h. ob sie im Allgemeininteresse tätig ist und uneigennützig handelt (vgl. E. 2.1). Nach Ziffer 3a des Kreisschreibens Nr. 12 kann das Gemeinwohl gefördert werden durch Tätigkeiten in karitativen, humanitären, gesundheitsfördernden, ökologischen, erzieherischen, wissenschaftlichen und kulturellen Bereichen. Als das Gemeinwohl fördernd erscheinen beispielsweise die soziale Fürsorge, Kunst und Wissenschaft, Unterricht, die Förderung der Menschenrechte, Heimat-, Natur- und Tierschutz sowie die Entwicklungshilfe. Ob eine bestimmte Tätigkeit im Interesse der Allgemeinheit liegt, beurteilt sich nach der jeweils massgebenden Volksauffassung. Wichtige Erkenntnisquellen bilden dazu die rechtsethischen Prinzipien, wie sie in der Bundesverfassung und in den schweizerischen Gesetzen und Präjudizien zum Ausdruck kommen. Dabei wird ein Allgemeininteresse regelmässig nur dann angenommen, wenn der Kreis der Destinatäre, denen die Förderung bzw. Unterstützung zukommt, grundsätzlich offen ist. Ein allzu enger Destinatärskreis (z.B. Begrenzung auf den Kreis der Familie, die Mitglieder eines Vereins oder die Angehörigen eines bestimmten Berufes) schliesst eine Steuerbefreiung wegen Gemeinnützigkeit aus (ASA 63, S. 131 f.).
4.2 Entgegen der Ansicht der Vorinstanz ist hier nicht von vornherein eine Tätigkeit der Beschwerdeführerin im Allgemeininteresse ausgeschlossen. Sowohl die Grundausbildung als auch die Weiterbildung fördern das Gemeinwohl (GRETER, a.a.O., N. 25 zu <ref-law>). Hingegen hat die Beschwerdeführerin in den letzten Jahren nur einen einzigen Destinatär, nämlich den Stifterverband, berücksichtigt. Die Beschwerdeführerin stellt unzulässigerweise eine "integrierte Betrachtungsweise" an und rechnet die Tätigkeiten des Stifterverbandes im Ausbildungsbereich ihren eigenen zu. Die Frage der Steuerbefreiung ist jedoch für jede selbständig steuerpflichtige juristische Person (allenfalls auch nur für einen Teil einer solchen) gesondert zu beurteilen und nicht aus der Optik des übergeordneten Branchenverbandes (vgl. auch Urteil 2A.263/2003 vom 19. November 2003 E. 2.3 in: ASA 74, S. 660 ff. mit Hinweisen). Selbst wenn der Destinatärskreis der Beschwerdeführerin im Zweckartikel ihrer Statuten recht weit gefasst ist, existiert hier faktisch nur ein "Alleindestinatär". Die Beschwerdeführerin ist im Grunde nichts anderes als ein Finanzierungsinstrument für die Ausbildungstätigkeiten des Verbandes. Darin liegt aber keine Uneigennützigkeit, und damit fehlt es auch an der Gemeinnützigkeit. Aber auch wenn eine "integrierte Betrachtungsweise" zulässig wäre, würde sich der Destinatärskreis der Beschwerdeführerin auf wenige Berufszweige erstrecken, welche Anrecht auf eine Unterstützung haben, so dass er selbst aus dieser Optik als zu eng bezeichnet werden müsste.
4.3 Damit stellt sich noch die Frage, ob die Beschwerdeführerin allenfalls Steuerbefreiung wegen Verfolgung öffentlicher Zwecke beanspruchen kann (vgl. E. 2.2). Die Beschwerdeführerin unterstützt wie erwähnt ausschliesslich die Tätigkeiten des Stifterverbandes in Aus- und Weiterbildungsbelangen. Damit verfolgt sie vorab gleichfalls Selbsthilfezwecke des Verbandes, selbst wenn dieser auch öffentliche Zwecke anvisiert. Bei der öffentlichen Zweckverfolgung verhält es sich jedoch gleich wie beim Destinatärskreis: Isoliert betrachtet leistet die Beschwerdeführerin nur einen finanziellen Beitrag an den Stifterverband. Darin liegt - formal betrachtet - überhaupt kein öffentlicher Zweck. Selbst wenn man nicht auf die neuerdings vorgeschlagenen, strengen Kriterien für die Steuerbefreiung von juristischen Personen, welche öffentliche Zwecke verfolgen (DANIEL IMTHURN, Die Praxis der Steuerbefreiung bei privatrechtlich organisierten juristischen Personen mit öffentlichen Zwecken, StR 63/2008, S. 760 ff., insb. S. 769 ff.), abstellt, lässt sich eine Steuerbefreiung aus diesem Grunde nicht rechtfertigen.
4.4 Was schliesslich die nur rudimentär begründete Rüge der rechtsungleichen Behandlung anbetrifft, so zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, inwiefern die Weiterbildung bei der Stiftung A._ gleich konzipiert und strukturiert sein soll wie bei der Beschwerdeführerin. Mangels genügender Substantiierung kann auf diese Rüge nicht eingetreten werden.
5. Damit erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die direkte Bundessteuer als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
III. Staats- und Gemeindesteuern
6. 6.1 § 90 Abs. 1 lit. i des Steuergesetzes [des Kantons Solothurn] vom 1. Dezember 1985 (StG/SO; BGS 614.11) entspricht im Wesentlichen Art. 23 Abs. 1 lit. f StHG, welcher seinerseits mit <ref-law> harmoniert. Daraus folgt, dass die Erwägungen zur direkten Bundessteuer für die Staats- und Gemeindesteuer analog massgebend sind. Damit ergibt sich für die Staats- und Gemeindesteuer dasselbe Ergebnis wie bei der direkten Bundessteuer.
6.2 Demnach erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die Staats- und Gemeindesteuern gleichermassen als unbegründet und ist ebenfalls abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
IV. Kosten und Entschädigung
7. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die direkte Bundessteuer wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die Staats- und Gemeindesteuern wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Steueramt sowie dem Steuergericht des Kantons Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Februar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Winiger