Sachverhalt:
Mit Verfügung vom 1. Dezember 2009 stellte das Arbeitsamt des Kantons Schaffhausen K._ für 45 Tage in der Anspruchsberechtigung ein, weil er sich nicht weisungsgemäss um die vom Personalberater des Regionalen Arbeitsvermittlungszentrums (RAV) angegebene Stelle als Projektleiter Depot bei den Betrieben X._ beworben habe. Mit einer gleichentags erlassenen Verfügung wurde K._ für die Dauer von 50 Tagen in der Anspruchsberechtigung eingestellt, weil er sich nicht fristgerecht um die ihm zugewiesene Arbeit als "Gesamtprojektleiter Immobilien" beim Unternehmen Y._ bemüht habe. Die gegen beide Verfügungen erhobenen Einsprachen wies das kantonale Arbeitsamt mit zwei Einspracheentscheiden vom 5. Januar 2010 ab.
In Gutheissung der von K._ dagegen gerichteten Beschwerden hob das Obergericht des Kantons Schaffhausen die beiden angefochtenen Einspracheentscheide vom 5. Januar 2010 und die damit bestätigten Verfügungen vom 1. Dezember 2009 nach erfolgter Verfahrensvereinigung mit Entscheid vom 3. September 2010 auf.
Das kantonale Arbeitsamt führt Beschwerde mit den Begehren, den kantonalen Entscheid insoweit abzuändern, als die Beschwerde gegen die Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen unterlassener Bewerbung um die Stelle als Projektleiter Depot bei den Betrieben X._ abzuweisen und die zugesprochene Parteientschädigung entsprechend zu reduzieren seien. Zudem ersucht das Amt, seiner Beschwerde ans Bundesgericht aufschiebende Wirkung zu erteilen.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Im Übrigen wendet es das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft indessen - unter Beachtung der allgemeinen Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, und ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgegriffen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat die für die Beurteilung der bei ihm angefochtenen Einstellungen in der Anspruchsberechtigung nach Gesetz und Rechtsprechung massgebenden Grundlagen zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird. Es betrifft dies nebst der Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen Nichtbefolgens von Kontrollvorschriften oder Weisungen der zuständigen Amtsstelle, namentlich wegen Nichtannahme einer zumutbaren Arbeit (<ref-law>), die Verpflichtung der Arbeitslosenentschädigung beanspruchenden Person, zwecks Schadenminderung grundsätzlich jede Arbeit unverzüglich anzunehmen (Art. 16 Abs. 1 und Art. 17 Abs. 3 Satz 1 AVIG) und mit Unterstützung des zuständigen Arbeitsamtes alles Zumutbare zu unternehmen, um Arbeitslosigkeit zu vermeiden oder zu verkürzen (<ref-law>).
2.2 Im bundesgerichtlichen Verfahren wird nebst der zugesprochenen Parteientschädigung nurmehr die Aufhebung der Einstellung in der Anspruchsberechtigung für die Dauer von 45 Tagen angefochten, die seinerzeit verfügt worden ist, weil sich der Beschwerdegegner nicht weisungsgemäss um die Stelle als Projektleiter Depot bei den Betrieben X._ beworben habe. Dass die Vorinstanz in diesem Zusammenhang den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> festgestellt hätte, wird nicht geltend gemacht, sodass einzig zu prüfen bleibt, ob darin eine Verletzung von Bundesrecht zu erblicken ist, dass das Ausbleiben einer Stellenbewerbung des Beschwerdegegners bis zur vom RAV auf den 20. Oktober 2009 angesetzten Frist von der Vorinstanz nicht als hinreichender Sanktionsgrund anerkannt wird. Das Beschwerde führende Arbeitsamt begründet dies unter Berufung auf mehrere Urteile des ehemaligen, auf den 1. Januar 2007 hin mit dem Bundesgericht fusionierten Eidgenössischen Versicherungsgerichts (seither: I. und II. sozialrechtliche Abteilungen des Bundesgerichts). Es mag zwar grundsätzlich zutreffen, dass nach der Rechtsprechung die Sanktionierung eines Fehlverhaltens im Rahmen einer Stellenbewerbung nicht - wie von der Vorinstanz angenommen - zwingend einen kausalen Zusammenhang zwischen diesem und der Verlängerung der Arbeitslosigkeit, mithin dem (auch) der Arbeitslosenversicherung entstandenen Schaden voraussetzt (vgl. dazu bezüglich des Einstellungstatbestandes des <ref-law>: <ref-ruling> E. 2b S. 227 f.). Insoweit lässt sich die vorinstanzliche Argumentation mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung tatsächlich kaum vereinbaren. Letzterer kann indessen auch nicht die von der Verwaltung dargelegte Bedeutung absoluten Charakters beigemessen werden. Die Einstellung in der Anspruchsberechtigung als Sanktion für ein fehlerhaftes Verhalten bei der Bemühung um eine Anstellung kann nicht gänzlich ungeachtet der für das bemängelte Vorgehen ursächlichen Gründe Platz greifen.
2.3 Anders als in den vom Beschwerde führenden Arbeitsamt angerufenen Urteilen (C 30/06 vom 8. Januar 2007 [E. 5], C 33/06 vom 15. Dezember 2006, C 213/03 vom 6. Januar 2004 [E. 2] und C 152/01 vom 21. Februar 2002 [E. 4]) kann hier nicht davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdegegner den Verzicht auf eine Stellenbewerbung beabsichtigt oder deren Ausbleiben auch nur bewusst in Kauf genommen hätte. Nachdem ihn das RAV am 13. Oktober 2009 auf die mögliche Anstellung als Projektleiter Depot bei den Betrieben X._ aufmerksam gemacht hatte, setzte er schon am folgenden Tag ein - wenn auch kurzes - Bewerbungsschreiben auf und versuchte, dieses per E-Mail an die Betriebe X._ zu senden. Dabei gelang ein erster Versuch nicht, weil er in die E-Mail-Adresse statt des Vornamens "Renata" der für die Personalrekrutierung zuständigen Person den Namen "Renate" eingab, womit eine Zustellung unmöglich war. Als er dies noch am selben Vormittag bemerkte und zu korrigieren versuchte, gab er die E-Mail-Adresse nochmals ein, vertippte sich jedoch an deren Ende, indem er statt des Kürzels ".ch" als Landeszahl ".vh" wählte (die Buchstaben v und c liegen auf der Tastatur unmittelbar nebeneinander). Auch so konnte sein E-Mail nicht an den beabsichtigten Bestimmungsort gelangen. Die beiden ganz offensichtlich aus Versehen falsch eingegebenen E-Mail-Adressen lassen das Verschulden des Beschwerdegegners nicht als derart gravierend erscheinen, dass es eine mit über 40 Tagen doch recht massive Einstellung in der Anspruchsberechtigung zu rechtfertigen vermöchte. In Nachachtung des auch bei Sanktionen zu beachtenden Verhältnismässigkeitsgrundsatzes ist angesichts der beiden dem Beschwerdegegner widerfahrenen Missgeschicke selbst das vorinstanzliche Absehen von jeglicher Einstellung in der Anspruchsberechtigung nicht als bundesrechtswidrig zu bezeichnen, womit der vom kantonalen Arbeitsamt erhobenen Beschwerde im Ergebnis jedenfalls kein Erfolg beschieden sein kann. Inwiefern eine Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen eines bei einer konkreten Stellenbewerbung im Kontrollmonat Oktober 2009 unterlaufenen Fehlers neben einer Einstellung wegen für denselben Zeitraum vorgehaltener ungenügend nachgewiesener persönlicher Arbeitsbemühungen (vgl. Urteil 8C_813/2010 vom heutigen Tag) überhaupt Bestand haben könnte, muss damit nicht geprüft werden.
3. 3.1 Die Beschwerde kann unter diesen Umständen ohne Durchführung eines Schriftenwechsels (<ref-law>) abgewiesen werden. Das Ersuchen um aufschiebende Beschwerdewirkung wird mit dem heutigen Urteil hinfällig.
3.2 Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-ruling> E. 4 S. 640). Beim Beschwerdegegner wurde keine Vernehmlassung eingeholt, sodass ihm diesbezüglich keine Kosten erwachsen sind und ihm daher auch keine Parteientschädigung zusteht (vgl. <ref-law>). Da es beim angefochtenen Entscheid bleibt, besteht andererseits kein Anlass für die beantragte Reduktion der vorinstanzlich zugesprochenen Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, dem Staatssekretariat für Wirtschaft und der Kantonalen Arbeitslosenkasse Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Oktober 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl