Sachverhalt:
Mit Urteil U 1/06 vom 30. Mai 2007 wies das Bundesgericht die von U._ erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. November 2005 ab. Darin hatte das kantonale Gericht eine Erhöhung der von der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) für die Folgen des am 14. Juni 1999 erlittenen Unfalls zugesprochenen Leistungen (Invalidenrente und Integritätsentschädigung) abgelehnt.
U._ lässt am 19. September 2008 unter Hinweis auf das psychiatrische Gutachten des Dr. med. K._ vom 2. Juni 2008 um Revision des Urteils vom 30. Mai 2007 ersuchen. Zudem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Am 4. November 2008 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.

Erwägungen:
1. Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zugrunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der im Gesetz abschliessend aufgeführten Revisionsgründe (<ref-law>) vorliegt.
2. Der Gesuchsteller ruft unter Hinweis auf das psychiatrische Gutachten vom 2. Juni 2008 den Revisionsgrund von <ref-law> an.
Nach dieser Bestimmung kann die Revision in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid - mithin dem Urteil, um dessen Revision ersucht wird - entstanden sind. Als in diesem Sinne neu gelten Tatsachen, welche sich bis zum Zeitpunkt, da im Hauptverfahren noch tatsächliche Vorbringen prozessual zulässig waren, verwirklicht haben, jedoch der um Revision ersuchenden Person trotz hinreichender Sorgfalt nicht bekannt waren; es handelt sich somit um unechte Noven; die Geltendmachung echter Noven, also von Tatsachen, die sich erst nach Ausfällung des Urteils, das revidiert werden soll, zugetragen haben, ist ausgeschlossen. Erheblich sind Tatsachen, die geeignet sind, die tatbeständliche Grundlage des angefochtenen Urteils zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung zu einem andern Ergebnis zu führen (statt vieler: Urteile 9F_9/2007 vom 15. September 2008 E. 2.2 und 8F_4/2007 vom 14. Juli 2008 E. 2.2, je mit Hinweisen).
3. 3.1 Ob das erst nach dem Urteil des Bundesgerichts erstellte Gutachten vom 2. Juni 2008 ein "neues" Beweismittel im Sinne des <ref-law> ist, erscheint fraglich (vgl. Urteil 9F_9/2007 vom 15. September 2008 E. 3 mit Hinweisen), braucht hier aber nicht abschliessend geprüft zu werden; denn wie im Folgenden darzulegen ist, sind darin keine neuen erheblichen Tatsachen dargetan.
3. 3.1 Ob das erst nach dem Urteil des Bundesgerichts erstellte Gutachten vom 2. Juni 2008 ein "neues" Beweismittel im Sinne des <ref-law> ist, erscheint fraglich (vgl. Urteil 9F_9/2007 vom 15. September 2008 E. 3 mit Hinweisen), braucht hier aber nicht abschliessend geprüft zu werden; denn wie im Folgenden darzulegen ist, sind darin keine neuen erheblichen Tatsachen dargetan.
3.2 3.2.1 In seinem Urteil vom 30. Mai 2007 ist das Bundesgericht zum Ergebnis gelangt, das kantonale Gericht habe im Entscheid vom 9. November 2007 zutreffend erkannt, dass der Gesuchsteller ausschliesslich an somatischen Folgen des Unfalles vom 14. Juni 1999 leide und keine psychische Störung mit Krankheitswert vorliege, die als Unfallfolge betrachtet werden könnte. Das kantonale Gericht hatte sich hiebei namentlich auch auf die psychiatrische Expertise des Instituts X._ vom 3. September 2002 gestützt.
Im Revisionsgesuch wird geltend gemacht, gemäss dem psychiatrischen Gutachten des Dr. med. K._ vom 2. Juni 2008 liege eine posttraumatische Belastungsstörung (PTBS) mit rezidivierenden ängstlich-depressiven Syndromen vor, welche bereits seit 2000 eine Arbeitsunfähigkeit von 30 % auch in Verweisungstätigkeiten bewirkt habe. Die PTBS sei bei den medizinischen Abklärungen, auf welche das Bundesgericht im Urteil vom 30. Mai 2007 abgestellt habe, übersehen worden. Der adäquate Kausalzusammenhang zum Unfall vom 14. Juni 1999 sei gegeben.
3.2.2 Dr. med. K._ führt im Gutachten vom 2. Juni 2008 aus, in der Expertise des Instituts X._ vom 3. September 2002 sei eine Anpassungsstörung diagnostiziert und das Vorliegen einer PTBS unter Hinweis auf das Ausmass der beschriebenen Beschwerden verneint worden.
Das Vorliegen einer PTBS wurde mithin schon bei den damaligen medizinischen Abklärungen diskutiert. Von einer hiebei übersehenen Diagnose eines gegebenenfalls relevanten Leidens kann demnach keine Rede sein. Bei der fachärztlichen Beurteilung des Dr. med. K._ handelt es sich lediglich um eine andere Würdigung des unveränderten Sachverhaltes, was keine neue erhebliche Tatsache im Sinne von <ref-law> darstellt und eine Revision des Urteils vom 30. Mai 2007 daher nicht zu rechtfertigen vermag (E. 2 hievor; vgl. auch Urteil 8F_16/2007 vom 17. März 2008 E. 3.2).
4. Das offensichtlich unbegründete Revisionsgesuch ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Dezember 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz