Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ (geb. 1972) stammt aus dem Kosovo. Sie kam am 24. August 1990 im Rahmen eines Familiennachzugs zu ihrem Gatten in die Schweiz. Aus der Beziehung gingen drei Kinder hervor (geb. 1991, 1994 und 1995). Am 14. März 2012 widerrief das Migrationsamt des Kantons St. Gallen die Niederlassungsbewilligung von A.A._, nachdem diese am 22. November 2011 wegen Gefährdung des Lebens, einfacher Körperverletzung (zum Nachteil einer wehrlosen/unter Obhut stehenden Person), fahrlässiger Körperverletzung sowie Tätlichkeiten gegenüber einem Kind zu einer bedingten Freiheitsstrafe von zwei Jahren und einer Busse von Fr. 500.-- verurteilt worden war. Die gegen den Widerruf der Niederlassungsbewilligung gerichteten Rechtsmittel blieben wegen der massiven körperlichen Übergriffe auf ihre minderjährige Tochter und ihrer Gewaltbereitschaft (Abbruch der entsprechenden psychotherapeutischen Betreuung) ohne Erfolg (Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 3. Dezember 2013 bestätigt durch das Urteil des Bundesgerichts 2C_84/2014 vom 8. Januar 2015).
1.2. A.A._ ersuchte in der Folge wiederholt um eine Verlängerung der Ausreisefrist. Am 5. Juni 2015 bzw. 15. Juni 2015 beantragte sie, die Verfügung des Migrationsamts vom 14. März 2012 in Wiedererwägung zu ziehen; ihr sei der weitere Aufenthalt in der Schweiz zu gestatten. Das Migrationsamt trat am 19. Juni 2015 auf das entsprechende Ersuchen nicht ein. Am 16. Juli 2015 lehnte das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen es ab, ihr den Aufenthalt während des Rekursverfahrens zu gestatten, wogegen sie erfolglos an den Präsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen gelangte. Am 29. Juli 2015 hat sich A.A._ - nach eigenen Angaben - unter anderem an den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) gewandt.
1.3. Mit Eingabe vom 23. September 2015 beantragt A.A._ vor Bundesgericht, den Entscheid des Präsidenten des Verwaltungsgerichts St. Gallen vom 7. August 2015 aufzuheben, worin dieser ihre Beschwerde kantonal letztinstanzlich abgewiesen hat. Sie macht unter anderem gestützt auf einen Arztbericht vom 18. September 2015 geltend, der Vollzug der Wegweisung sei aus gesundheitlichen Gründen zurzeit nicht vertretbar bzw. unzumutbar; der Präsident des Verwaltungsgerichts sei nicht sachgemäss auf ihre Ausführungen eingegangen (Rechtsverweigerung); der Vollzug des Wegweisungsentscheids sei unverhältnismässig (<ref-law>).
2.
2.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen Entscheide, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Sie ist zudem unzulässig gegen Entscheide über die vorläufige Aufnahme (<ref-law>) und die Wegweisung (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin beanstandet den Vollzug des mit dem negativen Bewilligungsentscheid verbundenen Wegweisungsentscheids. Hiergegen steht ausschliesslich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen, wobei die für dieses Rechtsmittel bestehenden besonderen Begründungsanforderungen zu berücksichtigen sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266, 571 E. 1.5 S. 576; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.2. In deren Rahmen genügt es nicht, einzig zu behaupten, der Vollzug der Wegweisung verstosse gegen das Willkürverbot bzw. sei unverhältnismässig; die betroffene Person muss vielmehr im Einzelnen darlegen, inwiefern der Vollzug der Wegweisung besondere verfassungsmässige Rechte (Folterverbot, unmenschliche Behandlung, Recht auf Leben usw.) verletzt (vgl. <ref-ruling> E. 1 u. 3 mit Hinweisen). Es dürfen dabei keine Rügen erhoben werden, die Gegenstand des Entscheids über den Widerruf bzw. über die Nichtverlängerung der Bewilligung gebildet haben oder hätten bilden können und müssen (<ref-ruling> E. 1). Dasselbe gälte, wenn die Eingabe als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen wäre: Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>).
2.3. Die Eingabe der Beschwerdeführerin erschöpft sich weitgehend in unzulässiger appellatorischer Kritik am vorinstanzlichen Entscheid (vgl. <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.8). Sie legt nicht in verfassungs- bzw. sachbezogener Auseinandersetzung mit den Überlegungen im angefochtenen Urteil dar, inwiefern die Vorinstanz (besondere) verfassungsmässige Rechte verletzt hätte. Sie beschränkt sich im Rahmen der "Star"-Praxis darauf, zu behaupten, die Vorinstanz habe ihren Entscheid nicht hinreichend begründet bzw. sich mit ihren Ausführungen nicht genügend auseinandergesetzt; inwiefern dies der Fall sein soll, legt sie indessen nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Der Präsident des Verwaltungsgerichts ist auf die einzelnen, von ihr aufgeworfenen wesentlichen Punkte eingegangen; wenn sie geltend macht, dass die Auseinandersetzung mit Art. 17 Abs. 2 AuG im angefochtenen Entscheid eine "Klemm-Argumentation" sei, da "eine beschwerdeweise Auseinandersetzung damit zum vornherein sinn- und nutzlos gewesen wäre", kann sie eine allfällige diesbezügliche Unvollständigkeit nicht der Vorinstanz vorwerfen. Soweit sie für ihren Standpunkt lediglich auf Ausführungen in anderen Eingaben bzw. auf die Akten verweist, genügt ihre Eingabe den gesetzlichen Begründungsanforderungen ebenfalls nicht; die Begründung muss in der Beschwerdeschrift an das Bundesgericht selber enthalten sein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 400; <ref-ruling> E. 3.2 S. 258). Bei dem von ihr eingereichten ärztlichen Zeugnis vom 18. September 2015 handelt es sich an sich um ein im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässiges Novum (<ref-law>); auch bei dessen Berücksichtigung erweist sich die Beschwerde indessen als unbegründet. Insgesamt genügt die vorliegende Beschwerdeschrift den gesetzlichen Begründungsanforderungen kaum; die Eingabe erwiese sich aber auch unter Berücksichtigung der verschiedenen appellatorischen Vorbringen als unbegründet (vgl. hierzu sogleich E. 3).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Beendigung ihres Aufenthalts sei wegen der damit verbundenen Suizidgefahr unverhältnismässig, was sinngemäss als Rüge einer Beeinträchtigung von Art. 2 (Recht auf Leben) oder Art. 3 EMRK (Verbot unmenschlicher Behandlung) gedeutet werden kann. Der Einwand überzeugt indessen nicht: Medizinische Gründe sprechen gegen die Zumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs (vgl. Art. 83 Abs. 4 AuG), wenn bei einer Rückkehr eine überlebensnotwendige Behandlung nicht erhältlich gemacht werden kann (medizinische Notlage); die fehlende Möglichkeit der (Weiter-) Behandlung mit anderen Worten eine drastische und lebensbedrohende Verschlechterung des Gesundheitszustands nach sich ziehen würde. Diesbezüglich gelten im Zusammenhang mit Art. 3 EMRK (unmenschliche Behandlung) relativ hohe Schwellen, da es dabei nicht unmittelbar um Handlungen oder Unterlassungen staatlicher oder privater Akteure geht, sondern um einen natürlichen Prozess (Krankheit), der zu den entsprechenden Konsequenzen (Tod, Verschlechterung des Gesundheitszustands usw.) führt (vgl. das EGMR-Urteil N. gegen Vereinigtes Königsreich vom 27. Mai 2008 [Grosse Kammer; Nr. 26565/05] § 29 f., 45 sowie das bundesgerichtliche Urteil 2C_1130/2013 vom 23. Januar 2015 E. 3).
3.2.
3.2.1. Die wegweisungs- oder krankheitsbedingte Gefahr, dass die betroffene Person bei einer Aufenthaltsbeendigung ihrem Leben ein Ende setzen könnte, genügt für sich allein praxisgemäss nicht, um die Wegweisung bzw. deren Vollzug bereits als unverhältnismässig bzw. unzulässig erscheinen zu lassen. Die schweizerischen Behörden sind gehalten, im Rahmen der konkreten Rückkehrmassnahmen alles ihnen Zumutbare vorzukehren, um medizinisch bzw. betreuungsmässig sicherzustellen, dass das Leben und die Gesundheit der betroffenen Person nicht beeinträchtigt wird; sie sind verfassungsrechtlich jedoch nicht verpflichtet, im Hinblick auf eine psychisch kritische Situation in Abweichung von den gesetzlichen Vorgaben dem Ansinnen auf Erteilung einer Anwesenheitsberechtigung zu entsprechen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 403; Urteil 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4.3). Der Vollzug der Wegweisung muss in solchen Fällen sorgfältig geplant und durchgeführt werden. Allenfalls ist die Möglichkeit einer vorgängigen fürsorgerischen Unterbringung (<ref-law>) in zeitlicher Nähe zur Wegweisung, eine ärztliche Begleitung auf dem Flug oder eine Übergabe an bzw. eine Kontaktaufnahme mit entsprechenden Spezialisten im Heimatland zu prüfen. Nur wenn der Vollzug der Wegweisung auch mit adäquater medizinischer Rückkehrhilfe und entsprechenden Vorsichtsmassnahmen längerfristig nicht möglich ist, stellt sich die Frage einer Unzumutbarkeit oder einer Unmöglichkeit des Wegweisungsvollzugs und der sich daraus ergebenden Konsequenzen (vgl. Art. 83 AuG).
3.2.2. In den bisherigen Verfahren hat die Beschwerdeführerin nie darauf hingewiesen, dass sie psychisch beeinträchtigt wäre und der Vollzug einer Wegweisung aus gesundheitlichen Gründen als unzumutbar zu gelten hätte; soweit ersichtlich, handelt es sich bei ihren derzeitigen psychischen Problemen und ihrer Depression um eine Reaktion auf den negativen Bewilligungsentscheid, wobei mit einer geeigneten Medikation bereits eine gewisse Besserung erreicht werden konnte. Nach dem letzten Gutachten reagiert sie auf Belastungssituationen mit starken depressiven Symptomen und Suizidalität. Nach den verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid gibt es im Kosovo indessen geeignete Einrichtungen sowohl für die Suizidprävention als auch die psychologische/psychiatrische Betreuung (vgl. das Urteil 2C_1130/2013 vom 23. Januar 2015 E. 3).
3.2.3. Es wird an den Ärzten liegen, festzulegen, wann und unter welchen Bedingungen die Beschwerdeführerin als reisefähig zu gelten hat und in ihre Heimat verbracht werden kann. Ein Anspruch auf eine Bewilligung besteht nicht, nachdem das Bundesgericht den Widerruf der Niederlassungsbewilligung wegen ihrer Straffälligkeit (wiederholte Gewalt gegen die Kinder und Beschimpfung einer Drittperson nach einem Unfall) geschützt hat. Der Umstand, dass ihr die Ausreise schwer fallen mag und diese sie psychisch belastet, begründet kein Anwesenheitsrecht. Nach Art. 17 AuG sind Bewilligungsentscheide grundsätzlich im Ausland abzuwarten, es sei denn die Zulassungsvoraussetzungen erwiesen sich als "offensichtlich" erfüllt. Dies muss auch für Fälle wie den vorliegenden gelten, in denen die Niederlassungsbewilligung aufgrund eines bundesgerichtlichen Urteils rechtskräftig widerrufen ist und nur wenige Tage danach aus gesundheitlichen Gründen neu beantragt wird, auf den Vollzug der mit dem negativen Bewilligungsentscheid verbundenen Wegweisung (vgl. Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG) zurückzukommen und die Anwesenheit der betroffenen Person weiter zu gestatten. In einer solchen Situation können die Bewilligungsvoraussetzungen zum Vornherein nicht als offensichtlich erfüllt gelten (Art. 17 Abs. 2 AuG), hat das Bundesgericht dies doch mit Blick auf das Vorliegen eines Widerrufsgrunds kurz zuvor gerade verneint.
3.2.4. Der Widerruf bzw. die Nichtverlängerung der Bewilligung beendet das bisherige Anwesenheitsrecht. Die Massnahme wirkt pro futuro, indem ab der Rechtskraft des Entscheids die Bewilligung nicht mehr besteht und der Aufenthalt der betroffenen Person in der Schweiz sich grundsätzlich als unzulässig erweist. Indessen kann - vorbehältlich eines rechtsmissbräuchlichen Verhaltens - an sich jederzeit ein neues Bewilligungsgesuch gestellt werden. Wird diesem entsprochen, lebt damit nicht die frühere, rechtskräftig aufgehobene bzw. nicht verlängerte Bewilligung wieder auf, sondern es erfolgt eine neue Beurteilung, die verlangt, dass die zur Erteilung erforderlichen Voraussetzungen erfüllt sind. Ein neues Gesuch darf - wie ein Wiedererwägungsgesuch - indessen nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen. Die Verwaltungsbehörde ist von Verfassungs wegen nur verpflichtet, auf ein solches einzugehen, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich verändert haben oder der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand; zudem muss bei ihrer Berücksichtigung eine andere Beurteilung als die frühere ernstlich in Betracht fallen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 181 ff.; Urteil 2C_876/2013 vom 18. November 2013 E. 3.1).
3.2.5. Die Beschwerdeführerin hat sich nur gerade wenige Tage nach dem bundesgerichtlichen Urteil mit neuen Eingaben an das Migrationsamt gewandt; ihre gesundheitlichen Probleme als Reaktion auf den negativen Entscheid bilden hinsichtlich der Bewilligungsfrage keine relevanten neuen Umstände. Über eine allfällige vorläufige Aufnahme wegen Unzumutbarkeit der Wegweisung hätte das Staatssekretariat für Migration auf Antrag des Kantons zu entscheiden, wobei aber Art. 83 Abs. 7 AuG (Ausschluss der vorläufigen Aufnahme bei Unzumutbarkeit bzw. Unmöglichkeit wegen Straffälligkeit) zu beachten wäre; ein entsprechendes Gesuch setzte voraus, dass die Wegweisung längerfristig als unzulässig gelten müsste, wovon zurzeit nicht auszugehen ist, weshalb der angefochtene Entscheid kein Bundesverfassungsrecht verletzt. Dies gilt auch insofern, als der Präsident des Verwaltungsgerichts darauf verzichtet hat, die kantonalen Vorinstanzen anzuhalten im Rahmen des Wiedererwägungsverfahrens der Beschwerdeführerin vorsorglich den Verbleib im Land zu gestatten.
4.
4.1. Die Beschwerde kann ohne Weiterungen im Verfahren nach <ref-law> abgewiesen werden, soweit darauf eingetreten wird. Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selber wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
4.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Oktober 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar