Sachverhalt:
A.
A._ (1973) und B._ (1974) heirateten im Jahr 2000. Sie sind die Eltern der Kinder C._ (geb. 2005) und D._ (geb. 2008). Seit Februar 2009 leben die Parteien getrennt. Die Mutter zog mit den Kindern aus der gemeinsamen Wohnung in U._ (ZH) aus und kehrte an ihren früheren Wohnort V._ (VS) zurück. Der Vater lebt in Zürich, wo er als Berufsmusiker im Opernorchester und im Zürcher Kammerorchester arbeitet. Im Rahmen des Eheschutzverfahrens, das mit einem Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 25. August 2011 seinen Abschluss fand, wurde die Obhut über die Kinder der Mutter zugeteilt.
B.
B.a. Seit Februar 2011 tragen die Parteien das Scheidungsverfahren aus. Mit Urteil vom 3. Dezember 2012 schied das Bezirksgericht Zürich die Ehe. Es stellte die Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter und regelte die weiteren Nebenfolgen der Scheidung, unter Genehmigung einer Teilvereinbarung. Die Besuchsbeistandschaft, die das Tribunal de Martigny et St-Maurice am 16. September 2009 errichtet hatte, wurde beibehalten und gestützt auf Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB bezüglich der Abwicklung des Besuchsrechts ergänzt.
B.b. A._ legte beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung ein. Er verlangte, die Kinder unter seine alleinige elterliche Sorge zu stellen und der Mutter ein praxisübliches Besuchsrecht einzuräumen. Mit Urteil vom 23. September 2013 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung des Vaters ab, unter ausdrücklichem und begründetem Verzicht auf eine Anhörung der Kinder. A._ erhob Beschwerde beim Bundesgericht. Dieses hob das obergerichtliche Urteil auf und wies die Sache zur Anhörung der Kinder und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück (Urteil 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014).
B.c. Im Mai 2014 hörte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde W._ die Kinder und die Eltern ein weiteres Mal an. Mit Entscheid vom 28. Mai 2014 hob diese Behörde die Beistandschaft per 4. Juni 2014 auf, weil mit dem Beistand keine Lösung in der Besuchsproblematik habe gefunden werden können.
B.d. Im Rückweisungsverfahren vor dem Obergericht des Kantons Zürich hörte eine Delegation die Kinder am 17. September 2014 gemeinsam an. Das Obergericht informierte die Parteien darüber, dass die Akten der Kindesschutzbehörde W._ beigezogen würden, und gab ihnen Gelegenheit, zum Ergebnis der Kinderanhörung Stellung zu nehmen. Hierauf stellte A._ u.a. den Antrag, die Kinder nochmals, und zwar getrennt anzuhören. Ausserdem wiederholte er seine Anträge, die Mutter psychiatrisch/psychologisch abzuklären, einen aktuellen Sozialbericht sowie Berichte von Schulen und Kindergarten einzuholen und einen Kindesvertreter zu bestellen. Mit Eingabe vom 2. Dezember 2014 machte der Vater Noven geltend und wies darauf hin, dass er sich am 20. Februar 2015 mit einer neuen Partnerin verheiraten werde. Neu stellte er in dieser Eingabe neben dem Antrag auf Erteilung des Sorgerechts an ihn auch ein Begehren auf Erteilung bzw. Beibehaltung des gemeinsamen Sorgerechts. Ein weiterer Schriftenwechsel dreht sich namentlich um die Bericht erstattende Kinderpsychologin.
B.e. Am 31. März 2015 fällte das Obergericht sein neues Urteil. Den Antrag, die Kinder ein weiteres Mal in Einzelgesprächen anzuhören, wies es ab. In der Sache bestätigte es seinen früheren Entscheid, die elterliche Sorge der Mutter zu übertragen. Das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters wurde neu geregelt und ab Mai 2015 auf stundenweise Besuche am Wohnort der Kinder beschränkt. Ab den Sommerschulferien 2017 soll der Vater die Kinder einmal pro Monat auch zu sich zu Besuch nehmen und zwei einzeln zu beziehende Ferienwochen mit ihnen verbringen dürfen.
C.
Mit Eingabe vom 12. Mai 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Beschwerde gutzuheissen und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 1). Eventualiter sei ihm die alleinige elterliche Sorge zuzuteilen; (sub-) eventualiter verlangt er ein gemeinsames Sorgerecht (Ziff. 2.1). Im Eventualbegehren Ziff. 2.2 verlangt er, ihm die Obhut über die Kinder zuzuteilen, unter Einräumung eines angemessenen Besuchsrechts zugunsten von B._ (Beschwerdegegnerin).
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist binnen Frist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend eine nicht vermögensrechtliche Nebenfolge einer Scheidung; dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen (s. Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 sowie Art. 100 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG).
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) mit freier Kognition. Bei der Überprüfung von Ermessensentscheiden (<ref-law>) auferlegt es sich aber Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 162). Weiter ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Behebung der erwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
3.1. Weist das Bundesgericht die Streitsache an die kantonale Instanz zurück, so hat diese die rechtliche Beurteilung, mit der das Bundesgericht die Zurückweisung begründet, ihrer neuen Entscheidung zugrunde zu legen. Die kantonale Instanz ist an die Feststellungen und rechtlichen Überlegungen im Rückweisungsentscheid gebunden. Vom Bundesgericht bereits entschiedene Fragen können dem Bundesgericht nicht ein weiteres Mal unterbreitet werden. Demnach musste die kantonale Instanz im nunmehr angefochtenen Entscheid vom Sachverhalt ausgehen, den sie in ihrem ersten Entscheid festgestellt hatte, und auch an ihren bisherigen rechtlichen Erwägungen festhalten, soweit das Bundesgericht diese nicht als unzutreffend bezeichnete bzw. soweit dessen Erwägungen diejenigen im ersten kantonalen Entscheid nicht ersetzen oder dahinfallen lassen (Urteil 5A_296/2014 vom 24. Juni 2015 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.2. Der vorliegende Fall liegt insofern besonders, als am 1. Juli 2014 und damit zwischen dem ersten und zweiten Urteil des Obergerichts vom 23. September 2013 bzw. 31. Mai 2015 die revidierten Bestimmungen des Zivilgesetzbuches über die elterliche Sorge in Kraft getreten sind (Schweizerisches Zivilgesetzbuch [Elterliche Sorge], Änderung vom 21. Juni 2013, AS 2014, 357). Die Vorinstanz war gehalten, ihr Urteil vom 31. Mai 2015 auf der Grundlage des neuen Rechts zu fällen (<ref-law>). Vor diesem Hintergrund war das Obergericht auch befugt, den Fall über die Anhörung der Kinder hinaus neu zu instruieren. Sie tat dies namentlich dadurch, dass sie sich die Akten der Kindesschutzbehörden W._ verschaffte (s. Sachverhalt Bst. B.d ).
4.
Mit Blick auf die Frage, ob die gemeinsame elterliche Sorge der Parteien aufzuheben und einem Elternteil zuzuteilen sei, stellt die Vorinstanz fest, in den letzten eineinhalb Jahren bzw. seit dem Entscheid vom 23. September 2013 (s. Sachverhalt Bst. B.b ) habe sich der Kontakt zwischen dem in Zürich lebenden Beschwerdeführer und seinen Kindern verschlechtert. Seit dem Jahre 2014 hätten nur noch selten Besuche am Wohnort der Kinder stattgefunden; diese Besuche seien von kurzer Dauer gewesen. Das Obergericht hält diese Entwicklung für schwer erklärbar. Der Beschwerdeführer habe im ersten Berufungsverfahren nicht vorgebracht, dass die Beschwerdegegnerin die Beziehung der Kinder zu ihm seit der Trennung nicht respektiert bzw. sich in einer Weise verhalten hätte, die der Aufrechterhaltung dieser Beziehung abträglich gewesen sei. Heute werfe er ihr vor, die Kinder zu instrumentalisieren und zu manipulieren; diese würden unter der egoistischen Abschirmungshaltung der Beschwerdegegnerin leiden. Die Beschwerdegegnerin wiederum beteuere, sich in einer schwierigen Situation zu befinden und alle Anfragen des Beschwerdeführers höflich und vernünftig zu beantworten. Sie halte die Kinder stets an, ihren Vater zu sehen. Sie könne die Kinder aber nicht gegen deren Willen zwingen, Zeit mit dem Beschwerdeführer zu verbringen.
Dem angefochtenen Entscheid zufolge war die damals knapp 35-jährige Beschwerdegegnerin nach der Trennung im Februar 2009 mit den ein- bzw. dreijährigen Kindern in ihre Heimat ins Wallis zurückgekehrt. Das dortige Umfeld sei der inzwischen zehn Jahre alten C._ und dem 7-jährigen D._ vertraut geworden. Die Kinder seien erfolgreiche Schüler, gut integriert und gäben zumindest schulisch zu keinen Sorgen Anlass. Der Beschwerdeführer sei mit dem französischsprachigen Teil der Schweiz vertraut, da seine Schwester in Genf wohne. Als Berufsmusiker könne er seine frei verfügbare Zeit flexibel einteilen. Die wirtschaftlichen Verhältnisse seien geordnet. Mit Blick auf das Verhältnis zwischen den Eltern hält das Obergericht fest, die seit der Trennung bestehenden grossen Spannungen zwischen den Eltern, die sich in den vergangenen sechs Jahren vor diversen Gerichten gegenüber gestanden seien, hätten nicht beigelegt werden können. Die Schuldfrage zu entscheiden sei müssig. Mit seiner immer wieder neu vorgebrachten Darstellung, die Beschwerdegegnerin sei psychisch nicht gesund bzw. bewege sich im Dunstkreis von Sekten, drehe der Beschwerdeführer an der "Eskalationsschraube". Einer Entspannung der Situation abträglich sei auch, wenn der Beschwerdeführer seinen Antrag auf Zuteilung des alleinigen Sorgerechts mit Ausführungen seiner neuen Ehefrau untermauern wolle, die zu den Kindern gar nicht in enger Beziehung stehe, oder wenn er die Kinder im November 2014 in der Schule mit einem Besuch überrascht habe. Dieser unangekündigte Besuch habe sogar ein Nachspiel mit der Schulleitung gehabt.
Was den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Kindern angeht, fällt dem Obergericht auf, dass deren ablehnende Haltung, die seit Ende 2013 wiederholt (beim Gericht, beim Beistand und bei der Psychologin) zum Ausdruck komme, mit dem Ergebnis der Abklärungen aus dem Jahre 2010 kontrastiere. Die damaligen Abklärungen hätten ergeben, dass die Kinder den Kontakt mit dem Vater wollten. Dass die mittlerweile eingetretene Ablehnung tatsächlich dem inneren Willen der Kinder entspricht, bezweifelt das Obergericht angesichts der Heftigkeit, mit der sie ihren Willen äussern würden. Es schliesst nicht aus, dass die Kinder unter dem unmittelbaren Einfluss der Beschwerdegegnerin stünden und ihren Wunsch aus Solidarität und Loyalität der Mutter gegenüber entwickelt hätten. Die Eltern würden mittlerweile nur noch auf sehr kurz angebundene Art mittels elektronischer Nachrichten miteinander kommunizieren, vornehmlich ohne Anrede und Grussformel. Selbst ein Treffen der Kinder mit dem Vater am Tag der gerichtlichen Anhörung vo m 17. September 2014 (Sachverhalt Bst. B.d) sei mit einem Hin und Her der Eltern verbunden gewesen.
Im Weiteren verweist das Obergericht auf ein Schreiben des Beistandes vom 20. Februar 2014, wonach sich die grossen Spannungen zwischen den Eltern auf die Kinder niederschlagen, die Einstellung der Eltern sich direkt auf das Wohl der Kinder auswirkt und die Eltern kaum in der Lage sind, ihre Kinder aus dem Konflikt herauszuhalten. Laut Entscheid vom 28. Mai 2014 betreffend die Aufhebung der Beistandschaft (Sachverhalt Bst. B.c) habe der Beistand ausgeführt, dass sich die Situation seit vier Jahren nicht verbessert und die Kindesschutzbehörde alles versucht hat und auch die Eltern eine neue Mediation nicht für sinnvoll erachten. Bei dieser Sachlage - schwerer und anhaltender Elternkonflikt, insbesondere fehlende Kommunikations- und Kooperationsbereitschaft trotz bestehender Beistandschaft, mit nachteiligen Auswirkungen auf die noch kleinen Kinder (Loyalitätskonflikt) - sei die Basis für eine gemeinsame elterliche Sorge auch nach Massgabe der neuen Sorgerechtsbestimmungen nicht (mehr) gegeben.
Schliesslich weist die Vorinstanz darauf hin, dass sich die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge nur rechtfertige, wenn damit der Elternkonflikt zumindest gemildert werden könne. Im vorliegenden Fall sei davon auszugehen, dass mit einer Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge die Zahl der Streitpunkte in den Kinderbelangen abnehmen, jedenfalls aber nicht noch zunehmen werde. Eine klare Zuweisung von Entscheidkompetenzen an eine der Parteien könne entlastend wirken. Die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge erscheine somit angemessen und verhältnismässig, auch wenn nicht sicher vorausgesagt werden könne, ob diese Massnahme tatsächlich zu einer Entspannung des Elternkonflikts führe. Diese Unsicherheit liege in der Natur der Sache und sei im Interesse der Kinder hinzunehmen.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, in keiner Weise auf die Gesetzesrevision mit Erteilung des gemeinsamen Sorgerechts an beide Eltern einzugehen. Das Obergericht wende das neue Recht nicht an und mache dazu auch keine Ausführungen. Damit verletze es nicht nur <ref-law>, sondern auch seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) .
5.2. Die Kritik des Beschwerdeführers ist offensichtlich unbegründet. Wie sich aus Erwägung 2.1 des angefochtenen Entscheids ergibt, legt die Vorinstanz ihrem Urteil sehr wohl die neuen, am 1. Juli 2014 in Kraft getretenen Bestimmungen über die elterliche Sorge zugrunde. Wenn sie gestützt auf diese Vorschriften zu einer anderen Beurteilung gelangt als der Beschwerdeführer, berührt dies nicht dessen Anspruch auf rechtliches Gehör, sondern die Frage der korrekten Handhabung des neuen Rechts (dazu E. 7). Soweit der Beschwerdeführer mit dieser Gehörsrüge auf eine Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zielt, sind seine Begehren abzuweisen.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer will die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht gelten lassen. Zwar bestünden zwischen ihm und der Beschwerdegegnerin zweifelsohne Spannungen. Diese würden sich aber "im üblichen eingeschränkten Rahmen bei einer gerichtlichen Auseinandersetzung" um Kinderbelange bewegen. Den Parteien müsse in einem Gerichtsverfahren erlaubt sein, ihren Standpunkt darzulegen. Der Beschwerdeführer beharrt darauf, dass seine Vorbringen betreffend die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin begründet seien. Die Beschwerdegegnerin habe den gemeinsamen Wohnsitz eigenmächtig verlassen und sei mit den Kindern in den Kanton Wallis gezogen. Als Berufsmusiker sei er verpflichtet, vor allem an den Wochenenden zu arbeiten. Mit dem Wohnsitzwechsel habe die Beschwerdegegnerin "offensichtlich die Grundlage" dafür geschaffen, dass die Ausübung des Besuchsrechts mit Problemen behaftet sei oder gar vereitelt werde.
Was die Person der Beschwerdegegnerin angeht, wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, im Expertenbericht des Instituts E._ vom 18. Juni 2010 enthaltene Feststellungen zu unterschlagen, die er in der Berufungsschrift vorgetragen habe und die für den Ausgang des Verfahrens im Sinne von <ref-law> entscheidend seien. Der Beschwerdeführer reproduziert verschiedene Stellen aus dem besagten Bericht. Dort ist unter anderem davon die Rede, dass die Mutter eine "fusionierende Beziehung mit ihren Kindern" habe, diese "in ihrer Entwicklung bremse" und ihnen "ein negatives Vaterbild" übertrage. Weitere Textstellen schildern die Beschwerdegegnerin als "ängstliche" Frau, die sich auf einen "irrationellen Glauben" stütze, den Beschwerdeführer "unter dem Einfluss des schlechten Auges" sehe und zwecks Verringerung der Ängste sowie zur Verbesserung des negativen Vaterbildes und zur Vermeidung von zukünftigen Beschuldigungen eine "psychotherapeutische Behandlung" benötige. Besonders hebt der Beschwerdeführer die Passage hervor, die einen Wechsel des Obhutsberechtigten empfiehlt, falls die Kinder nicht in derselben Stadt wie ihr Vater leben können.
6.2. Soweit der Beschwerdeführer es darauf absieht, die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin ins Wanken zu bringen, vermag er vor Bundesgericht nichts auszurichten. Um mit einer Sachverhaltsrüge durchzudringen, genügt es nicht, diverse Zitate aus einem mehrere Jahre zurückliegenden Expertenbericht aneinander zu reihen und ohne weitere Erklärungen einfach zu behaupten, die zitierten Feststellungen seien für den Ausgang des Verfahrens entscheidend. Schon in seinem ersten Urteil vom 23. September 2013 (Sachverhalt Bst. B.b) wies das Obergericht ausdrücklich darauf hin, der Beschwerdeführer liefere keine konkreten Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdegegnerin noch unter allfälligen Wahnvorstellungen leiden würde (vgl. Urteil 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 E. 5). Inwiefern diese Beurteilung bereits wenige Monate später überholt sein soll, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Insbesondere weiss er auch nicht zu erklären, weshalb das Obergericht mit Blick auf die Erziehungsfähigkeit der Eltern fünf Jahre später in geradezu zwingender Weise zulasten der Beschwerdegegnerin auf die Expertenmeinungen aus dem Jahre 2010 hätte abstellen müssen. Mithin bringt der Beschwerdeführer nichts vor, was nicht bereits Gegenstand der bundesgerichtlichen Beurteilung im Urteil 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 war. Insofern ist die Beschwerde unbegründet.
7.
7.1. In rechtlicher Hinsicht ist als erstes zu prüfen, ob die Vorinstanz vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge abweichen durfte. Gemäss <ref-law> stehen die Kinder, solange sie minderjährig sind, unter der gemeinsamen elterlichen Sorge von Vater und Mutter. In einem Scheidungs- oder Eheschutzverfahren überträgt das Gericht einem Elternteil aber die alleinige elterliche Sorge, wenn dies zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist. In seinem zur Publikation vorgesehenen Urteil 5A_923/2014 vom 27. August 2015 befasst sich das Bundesgericht mit dieser seit dem 1. Juli 2014 gültigen Rechtslage. Eine Ausnahme vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge ist demnach nur zulässig, wenn die Eltern in einem schwerwiegenden Dauerkonflikt stehen oder in Kinderbelangen anhaltend kommunikationsunfähig sind. Vorausgesetzt ist weiter, dass das Verhältnis zwischen den Eltern das Kindeswohl konkret in einer negativen Weise beeinträchtigt und dass Aussicht darauf besteht, mit der Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil eine Entlastung der Situation herbeizuführen (Urteil 5A_923/2014 vom 27. August 2015 E. 4.6 f.).
7.2. Aufgrund des von der Vorinstanz willkürfrei festgestellten Sachverhalts steht fest: Die Parteien stehen einander in einem langjährigen Scheidungsprozess gegenüber. Seit mehr als der Hälfte des Lebens von C._ und D._ streiten sie sich auch um die Kinder. Der Konflikt hat sich in den letzten Jahren akzentuiert und beschlägt namentlich die Ausübung des Besuchsrechts. Der Beschwerdeführer stellt die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin in Frage. Er macht geltend, sie sei psychisch angeschlagen und stehe Sekten nahe. Überdies wirft er ihr vor, die Kinder zu instrumentalisieren bzw. gegen ihn aufzubringen. Die Beschwerdegegnerin läuft aufgrund ihrer Einstellung dem Beschwerdeführer gegenüber Gefahr, unbewusst auch bei den Kindern eine ablehnende Haltung zu provozieren. Das Gemeinwesen hat sich darum bemüht, die Eltern bei der Regelung und Durchführung der persönlichen Kontakte zwischen Vater und Kindern zu unterstützen. Diese Versuche sind gescheitert. Wegen der fehlenden Kommunikations- und Kooperationsbereitschaft der Eltern wurde die Beistandschaft aufgehoben. Die Eltern vermögen die Kinder aus ihrem Konflikt kaum herauszuhalten. Die andauernden Spannungen wirken sich ungünstig auf das Wohl der Kinder aus. Dass C._ und D._ unter dem Dauerkonflikt der Eltern leiden, zeigt auch ihre Anhörung vom 17. September 2014 (s. Sachverhalt Bst. B.d). Den vorinstanzlichen Feststellungen zufolge wünschen sich die Kinder, "Ruhe vor dem Elternkonflikt" zu haben.
Dass die Streitparteien in ihrem Scheidungsprozess bezüglich der elterlichen Sorge gegenteilige Rechtsbegehren stellen bzw. der Beschwerdeführer in erster Linie die alleinige elterliche Sorge für sich beantragt (s. Sachverhalt Bst. B.d ), kann in einem kontradiktorischen Gerichtsverfahren kaum überraschen und ist daher für sich allein genommen auch noch kein Grund, von einer Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge abzusehen. Ebenso wenig erscheint es als aussergewöhnlich, dass der gegenseitige Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr immer wieder zum Streit führt, wenn die Kinder - wie hier - mehrere Stunden entfernt vom nicht obhutsberechtigten Vater wohnen und sich dessen Berufstätigkeit nicht ohne Weiteres mit der Wochenplanung seiner schulpflichtigen Kinder verträgt. Auch wenn sich diese wiederkehrenden Auseinandersetzungen um die Ausübung des Besuchs- und Ferienrechts hier offensichtlich zu einem Dauerkonflikt verhärtet haben, hängen sie doch nur indirekt mit dem Sorgerechtsstreit zusammen. Es ist nämlich denkbar, dass die Eltern sich trotz eines anhaltenden Besuchsrechtskonflikts über die zu treffenden grundsätzlichen Belange des Kindes einig und insofern fähig sind, ein gemeinsames Sorgerecht zum Wohl des Kindes auszuüben. Vorliegend aber lässt sich diese andauernde Zwietracht über die Ausübung des Besuchsrechts, gegen die auch eine Beistandschaft nichts ausrichten konnte, als Symptom der tiefer wurzelnden Spannungen verstehen, welche die Eltern hinsichtlich der Frage der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin dauerhaft entzweien. Wie die vorinstanzlichen Feststellungen und auch die Ausführungen in der Beschwerde an das Bundesgericht zeigen, stellt der Beschwerdeführer die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin mit grosser Beharrlichkeit kategorisch in Abrede. Es ist aber nicht erkennbar, wie die Eltern im vorliegenden Fall, bei welchem in tatsächlicher Hinsicht ein chronischer, sich zunehmend verfestigender und die Kinder einbindender Konflikt erstellt und überdies mit Blick auf deren Erziehung kein minimaler Nenner zwischen den Eltern ersichtlich ist, ein gemeinsames Sorgerecht zum Wohl der Kinder ausüben könnten. Der Konflikt zwischen den Eltern ist längst nicht mehr punktueller Natur. Er hat sich zunehmend auch vom familienrechtlichen Verfahren gelöst. In der vorliegenden, als aussergewöhnlich zu bezeichnenden Situation kann nicht mit einem Abklingen des Konfliktes nach der Verfahrensbeendigung gerechnet werden; vielmehr ist zu erwarten, dass er sich bei einem gemeinsamen Sorgerecht fast zwangsläufig auf die Erziehungsfragen ausweiten und auch in diesem Bereich verfestigen würde. Aktenkundig ist zudem, dass sich der chronische Elternkonflikt unmittelbar negativ auf das Wohl der Kinder auswirkt. Der Beschwerdeführer bestreitet denn auch nicht, dass die Kinder unter dem gegenwärtigen Zustand leiden und die Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil zur Entlastung der Konfliktsituation beitragen kann. Nach alledem hält es vor Bundesrecht stand, wenn die Vorinstanz mit Rücksicht auf das Kindeswohl eine Ausnahme vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge bejaht.
8.
8.1. Zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz die alleinige elterliche Sorge zu Recht der Beschwerdegegnerin überlassen hat. Für die Vorinstanz ist die Umplatzierung der Kinder keine Option, da sich die Kinder an ihrem neuen Wohnort längst eingelebt hätten und sich bei ihrer Mutter wohl fühlen würden. Zudem habe die Beschwerdegegnerin dort noch ihre Familie. Der Beschwerdeführer kritisiert diesen Entscheid hauptsächlich mit den erwähnten Zweifeln an der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin sowie damit, dass diese den gemeinsamen Haushalt im Jahre 2009 verlassen und ins Wallis gezogen ist.
8.2. Die vorinstanzliche Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Gilt es darüber zu entscheiden, welchem Elternteil das Sorgerecht übertragen wird, hat das Wohl des Kindes nach der Rechtsprechung Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern (<ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.). Soweit der Beschwerdeführer die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin in Abrede stellt, kommt er vor Bundesgericht nicht gegen den angefochtenen Entscheid auf (E. 6). Mithin steht fest, dass sowohl der Beschwerdeführer als auch die Beschwerdegegnerin für die alleinige Ausübung der elterlichen Sorge in Frage kommen. In diesem Fall ist die Aussicht auf Stabilität in den örtlichen und familiären Verhältnissen von besonderer Bedeutung (zum Ganzen Urteil 5A_720/2013 vom 4. März 2014 E. 2 mit Hinweisen). Der Vorinstanz ist im Ergebnis darin beizupflichten, dass diese Aussicht deutlich besser ist, wenn die alleinige elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin übertragen wird. Mit ihr zusammen haben die Kinder ihr ganzes bisheriges Leben verbracht, die letzten sechs Jahre ohne den Beschwerdeführer. Für Verschuldensüberlegungen, wie sie der Beschwerdeführer anstellt, ist bei der Zuteilung der elterlichen Sorge und Obhut kein Platz, sieht man davon ab, dass auch die so genannte Bindungstoleranz in den Entscheid einfliessen kann (vgl. Urteil 5A_138/2012 vom 26. Juni 2012 E. 3-5). Die Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin im Jahr 2009 gegen den Willen des Beschwerdeführers in den Kanton Wallis gezogen ist und den Beschwerdeführer vor vollendete Tatsachen gestellt hat, ist daher ohne Belang. Ebenso wenig spielt eine Rolle, dass der vom Beschwerdeführer kritisierte Wegzug der Beschwerdegegnerin mit den Mitteln des neuen Rechts möglicherweise hätte verhindert werden können (<ref-law>). Allein daraus folgt kein Anspruch des Beschwerdeführers darauf, die im Jahr 2009 erfolgte Verlegung des Wohnorts der Kinder in den Kanton Wallis rückgängig zu machen.
9.
9.1. Umstritten ist schliesslich die Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen dem Beschwerdeführer und seinen Kindern. Die Vorinstanz führt in diesem Zusammenhang Folgendes aus: "Das vom Bezirksgericht angeordnete recht ausgedehnte Besuchsrecht des Klägers kann in Berücksichtigung der im zweiten obergerichtlichen Verfahren zutage getretenen Schwierigkeiten nicht bestätigt werden. Ein behutsamer Aufbau erscheint aufgrund der konkreten Ausgangslage angebracht und sachgerecht. Er verbessert auch die Chancen, dass ein solches Besuchsrecht tatsächlich umgesetzt wird." Im Anschluss daran regelte sie im Detail, wann der Beschwerdeführer seine Kinder sehen kann. (vgl. Sachverhalt Bst. B.e).
9.2. Der Beschwerdeführer stört sich daran, dass die Vorinstanz sein Besuchsrecht gegenüber ihrem ersten Entscheid vom 23. September 2013 (s. Sachverhalt Bst. B.b) "neu und einschränkend" geregelt habe. Diese Neuregelung sei ohne Ankündigung im Verfahren vor der Vorinstanz, ohne entsprechende Anträge, ohne Begründungen und völlig überraschend gekommen. Das erste Urteil habe ihm insbesondere ein Besuchsrecht von einem Wochenende alle zwei Wochen mit der Möglichkeit eingeräumt, die Kinder mit sich nach Hause zu nehmen; neu würden ihm nur noch halbe Tage eingeräumt. Gleich verhalte es sich mit dem Ferienrecht, das neu erst ab Juli 2017 gelte. Nach der Meinung des Beschwerdeführers wäre das Obergericht verpflichtet gewesen, ihm einen solchen Schritt anzuzeigen und ihm Gelegenheit zu einer Stellungnahme zu geben. Die Vorinstanz habe dies pflichtwidrig unterlassen und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt (<ref-law>).
9.3. Es stimmt, dass die Vorinstanz den Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts zum Anlass genommen hat, den persönlichen Verkehr des Beschwerdeführers zu seinen Kindern restriktiver zu regeln, als dies im Urteil vom 23. September 2013 der Fall war. Nicht zutreffend ist hingegen, dass die Vorinstanz ihren Entscheid diesbezüglich nicht begründet hätte (s. E. 9.1). Im Übrigen gilt für Kinderbelange die Untersuchungs- und Offizialmaxime (<ref-law>). Die Vorinstanz war daher nicht nur berechtigt, sondern verpflichtet, den persönlichen Verkehr in Abweichung zum ersten Urteil neu zu regeln, sofern die zusätzliche Instruktion ergab, dass die ursprüngliche Regelung nicht dem Wohl der Kinder entsprach. Gewiss folgt aus <ref-law> das Recht eines jeden, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zur Sache zu äussern (<ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 2 S. 242). Allein daraus folgt nicht, dass die Vorinstanz von Verfassungs wegen verpflichtet gewesen wäre, den anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer zur Frage des Besuchs- und Ferienrechts auch noch speziell anzuhören oder ihm anzukündigen, dass auch diese Kinderbelange neu geregelt werden könnten. Es reichte aus, dass die Vorinstanz ihm anzeigte, die Akten der Kindesschutzbehörden beizuziehen, und ihm die Gelegenheit bot, sich zur Anhörung der Kinder zu äussern. Soweit der Beschwerdeführer die getroffene Regelung des Besuchsrechts inhaltlich kritisiert, genügen seine Vorbringen den Begründungsanforderungen (<ref-law>) nicht. Hierzu reicht es nicht aus, wenn er einfach eine andere Regelung des Besuchsrechts verlangt bzw. darauf hinweist, dass er seine Kinder erst im Jahre 2017 zu sich in die Ferien nehmen kann.
10.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt grundsätzlich der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wegen der besonderen Umstände des Falls wird auf solche verzichtet. Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn