Faits:
A.
S._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 29 juin 2010; elle a indiqué qu'elle souffrait du dos et de dépression. Dans deux rapports des 13 juillet et 4 novembre 2010, la doctoresse A._, généraliste et médecin traitant de l'assurée, a fait état d'importants troubles du rachis lombaire et d'état anxio-dépressif, notamment. De son côté, dans ses rapports des 6 septembre et 11 octobre 2010, la doctoresse C._, psychiatre traitant, a attesté la présence d'un état dépressif majeur sévère, récurrent, en rémission partielle.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a confié un mandat d'expertise au docteur B._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie. Dans son rapport du 24 janvier 2011, ce médecin a posé le diagnostic, avec répercussion sur la capacité de travail, de lombalgies chroniques sur une hernie discale L3-L4 droite présente depuis 2010. La capacité de travail était de 60 % dans la profession de lingère et de 100 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles (pas de port de charges de plus de 5kg, pas de mouvements répétés du rachis, avec la possibilité de changer la position toutes les heures). Le docteur B._ a préconisé de mettre en oeuvre une expertise psychiatrique.
L'Office AI a mandaté le docteur R._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport d'expertise du 29 août 2011, le docteur R._ a posé le diagnostic de dysthymie; il a attesté que la capacité de travail de l'assurée était entière sur le plan psychique.
Par décision du 16 août 2012, l'office AI a rejeté la demande (mesures professionnelles et rente).
B.
S._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant à son annulation, à la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique et à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité au moins.
Par jugement du 12 juin 2013, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C.
S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation avec suite de frais et dépens. Elle conclut au renvoi de la cause aux premiers juges, afin qu'ils ordonnent une nouvelle expertise psychiatrique et fixent à nouveau le degré d'invalidité. Par ailleurs, elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit:
1.
Le litige porte sur le taux d'invalidité de la recourante. Singulièrement, est contestée l'incidence du trouble dépressif sur la capacité de travail.
2.
Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige, si bien qu'il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
3.
A propos du volet psychiatrique, la recourante reproche aux juges cantonaux de s'être fondés à tort sur le rapport d'expertise du docteur R._ du 29 août 2011, dont les conclusions lui paraissent hâtives et erronées. Elle soutient que l'expert, qui a quitté le domaine de l'objectivité la plus élémentaire, aurait préalablement dû s'entretenir avec la doctoresse C._ à propos de la régularité du traitement médicamenteux prescrit. La recourante estime que le simple oubli de suivre son traitement, durant les deux jours qui ont précédé l'expertise, a faussé les analyses sanguines et le diagnostic de l'expert, de sorte que le refus des prestations de l'assurance-invalidité auxquelles elle prétend avoir droit, en raison des très longues périodes d'état dépressif sévère qu'elle a subies, est injustifié.
4.
La recourante n'énonce pas les règles de droit que la juridiction cantonale aurait enfreintes. Toutefois, dans la mesure où elle remet en cause l'appréciation des preuves ainsi que les constatations de fait auxquelles les juges cantonaux ont procédé, la recourante se prévaut implicitement d'une mauvaise application de l'art. 61 let. c LPGA, soit d'une violation du droit fédéral (<ref-law>).
Ce grief ne résiste pas à l'examen. En particulier, en ce qui concerne la question de l'oubli momentané du traitement médical, les premiers juges ont considéré, à juste titre, que cela ne remettait pas en cause le diagnostic de l'expert R._ ni son appréciation de la capacité de travail (consid. 10c p. 19 du jugement). Pour le surplus, la recourante, qui n'adresse que de vagues critiques à l'expert, oppose en définitive simplement l'avis de sa psychiatre à celui de l'expert, sans expliquer en quoi les conclusions de l'expertise seraient erronées, ni exposer les raisons pour lesquelles il conviendrait de préférer l'avis de la doctoresse C._ à celui du docteur R._. Elle échoue ainsi à démontrer en quoi la juridiction cantonale aurait établi les faits déterminants de manière manifestement inexacte ou violation du droit (cf. <ref-law>), singulièrement en jugeant la cause en l'état sans ordonner le complément d'instruction qu'elle requiert.
Dès lors que le taux de la capacité de travail (100 %) résulte d'une appréciation soutenable de l'ensemble des documents médicaux probants, ainsi que d'un examen non arbitraire de ceux-ci, le Tribunal fédéral est lié par celui-ci (<ref-law>). Le calcul de l'invalidité n'est derechef pas contesté en tant que tel (cf. consid. 12 du jugement attaqué), si bien qu'il n'y a pas matière à l'examiner.
5.
Vu les circonstances, il se justifie de renoncer à la perception de frais de procédure (<ref-law>, 2 e phrase).
Comme les conclusions du recours en matière de droit public étaient vouées à l'échec, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). La requête est sans objet dans la mesure où elle porte sur les frais de procédure.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Berthoud