Sachverhalt:
A. X._ war in der Zeit vom 15. November 2001 bis zum 19. November 2004 als Inhaber der Einzelfirma Y._ im Handelsregister des Kantons Luzern eingetragen. Aufgrund einer Mitteilung der Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein vom 26. April 2003 wurde er mit Wirkung ab dem 1. September 2001 ins Register für Mehrwertsteuerpflichtige der Eidgenössischen Steuerverwaltung (ESTV) eingetragen.
Nachdem X._ trotz Mahnung seiner Abrechnungspflicht nicht nachgekommen war, setzte die ESTV mit Ergänzungsabrechnung vom 11. März 2005 die geschuldete Steuer für die Zeit vom 3. Quartal 2001 bis zum 4. Quartal 2004 provisorisch auf Fr. 115'000.--, zuzüglich Verzugszins von 5 % ab dem 31. Oktober 2003, fest.
B. In der Folge wurde die Steuerpflicht durch X._ bestritten. Mit Schreiben vom 22. April 2005 machte er im Wesentlichen geltend, dass seine Einnahmen zum grössten Teil aus Versicherungsprovisionen bestanden hätten, welche er als Co-Makler von der Brokerunternehmung Z._ erhalten habe.
Am 12. Mai 2005 erliess die ESTV einen anfechtbaren Entscheid, mit welchem sie die Steuerforderung über Fr. 115'000.-- bestätigte. Dagegen erhob X._ fristgerecht Einsprache. Da er jedoch weder Abrechnungen noch Beweismittel beilegte, trat die ESTV auf die Einsprache nicht ein.
C. Nachdem X._ am 19. Januar 2006 Beschwerde bei der Eidgenössischen Steuerrekurskommission (SRK) erhoben und bei dieser Gelegenheit erstmals Angaben zu den erzielten Umsätzen gemacht hatte, wurde der Nichteintretensentscheid durch die ESTV in Wiedererwägung gezogen: Die eingereichte Einsprache wurde mit Entscheid vom 30. März 2006 teilweise gutgeheissen und die Mehrwertsteuerforderung auf Fr. 38'141.25, zuzüglich 5 % Verzugszins seit dem 1. November 2003, reduziert.
Ungeachtet dessen, erklärte X._, er wolle an seiner Beschwerde bei der SRK festhalten. Das Bundesverwaltungsgericht, welches die Aufgaben der SRK in der Zwischenzeit übernommen hatte, wies die Beschwerde mit Urteil vom 18. Mai 2010 ab, soweit diese nicht gegenstandslos geworden war.
D. Mit Eingabe vom 25. Juni 2010 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt nebst der vollumfänglichen Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils, dass das gegen ihn geführte Verfahren des Betreibungsamtes A._ gemäss Zahlungsbefehl Nr. _ vom 28. April 2005 einzustellen und die damit zusammenhängenden Einträge zu löschen seien.
Während das Bundesverwaltungsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet, schliesst die ESTV auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts auf dem Gebiet der Mehrwertsteuer ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zulässig (Art. 82 lit. a in Verbindung mit Art. 83 sowie Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Die im vorinstanzlichen Verfahren unterlegene Partei ist hierzu legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist demnach grundsätzlich einzutreten (unter Vorbehalt von E. 1.2 und E. 1.3 hiernach).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen gilt ferner nicht, soweit eine Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird (vgl. <ref-law>). Diesfalls muss der Beschwerdeführer in seiner Eingabe präzise und in Auseinandersetzung mit den Ausführungen der Vorinstanz im Einzelnen darlegen, inwiefern der angefochtene Entscheid widerrechtlich sein soll ("qualifizierte Rügepflicht"; vgl. <ref-ruling> S. 1.4.2 S. 254).
Sodann legt das Bundesgericht seinem Urteil die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zugrunde (<ref-law>). Mit einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können diese nur dann gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sind (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). In der Beschwerdeschrift ist zudem aufzuzeigen, dass die Behebung des behaupteten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
Das Vorbringen von neuen Tatsachen oder Beweismitteln ist nur insofern möglich, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gegeben hat (<ref-law>). Neue Begehren sind unzulässig (<ref-law>).
1.3 Die obengenannten Anforderungen an eine Beschwerde erfüllt die Eingabe des Beschwerdeführers jedenfalls insoweit nicht, als dem Bundesgericht damit verschiedene Beweismittel unterbreitet werden, die der Vorinstanz nicht vorgelegen haben: Es handelt sich dabei insbesondere um die Beilagen Nr. 4-6 zur Beschwerdeschrift, d.h. um drei Provisions- und Courtagenabrechnungen. Inwieweit erst das vorinstanzliche Urteil Anlass zur Einreichung dieser Unterlagen gegeben haben soll, wird vom Beschwerdeführer nicht substantiiert aufgezeigt und es ist dies auch nicht ersichtlich. Die besagten Belege stellen im bundesgerichtlichen Verfahren somit unzulässige Noven dar.
Von vornherein unzulässig ist nach dem Ausgeführten auch das neu gestellte Begehren um Einstellung des genannten Betreibungsverfahrens und um Löschung der damit zusammenhängenden Einträge.
Ob die Beschwerdeschrift im Übrigen den Rüge- und Begründungsanforderungen in jeder Hinsicht genügt, erscheint fraglich. Die Frage kann offen bleiben, zumal sich die Beschwerde als unbegründet erweist, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen.
2. Im Streit liegen Steuerforderungen, welche den Zeitraum vom 3. Quartal 2001 bis zum 4. Quartal 2004 betreffen. Auf diesen Zeitraum sind die Bestimmungen des bis am 31. Dezember 2009 in Kraft gewesenen Bundesgesetzes vom 2. September 1999 über die Mehrwertsteuer (aMWSTG; AS 2000 1300) anwendbar (Art. 112 des aktuellen Bundesgesetzes über die Mehrwertsteuer vom 12. Juni 2009 [Mehrwertsteuergesetz, MWSTG; SR 641.20], in Kraft seit dem 1. Januar 2010).
3. Der Beschwerdeführer rügt vorab, dass es die ESTV bei der Abklärung seiner Steuerpflicht unterlassen habe, ihn im Rahmen einer Parteibefragung zum Sachverhalt anzuhören und dass sowohl die ESTV als auch die Vorinstanz keine Zeugen einvernommen hätten.
Gemäss dem hier zur Anwendung gelangenden Prinzip der Selbstveranlagung (Art. 46 aMWSTG) ist jedoch davon auszugehen, dass die Pflicht zur richtigen und vollständigen Versteuerung seiner Umsätze beim Steuerpflichtigen liegt. Dieser hat sich unaufgefordert innert 30 Tagen nach Beginn der Steuerpflicht bei der ESTV zu melden (Art. 56 aMWSTG) und ist für die Abrechnung und Entrichtung der Steuer verantwortlich (Art. 46 und Art. 47 aMWSTG). Er hat auch selber zu prüfen, ob bei ihm die Voraussetzungen der subjektiven Steuerpflicht gegeben sind (CAMENZIND/HONAUER/VALLENDER, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 2. Aufl. 2003, Rz. 1659, S. 561 mit Hinweisen).
Wenn die Eidgenössische Steuerverwaltung im Entscheidverfahren tätig wird, so kommen gemäss Art. 63 Abs. 2 aMWSTG die Vorschriften des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (Verwaltungsverfahrensgesetz, VwVG; SR 172.021) zur Anwendung. <ref-law> sieht indes vor, dass die Artikel 12 - 19 sowie die Artikel 30 - 33 des Verwaltungsverfahrensgesetzes auf Steuerverfahren keine Anwendung finden. Daraus folgt, dass Parteiauskünfte und Zeugenbefragungen in Steuerverfahren ebenso wenig vorgesehen sind wie die Sachverhaltsermittlung von Amtes wegen (vgl. Art. 12 und Art. 14 VwVG).
Nach dem Ausgeführten sind die formellen Einwendungen des Beschwerdeführers unbegründet. Dass das neue, seit dem 1. Januar 2010 geltende Mehrwertsteuergesetz die Bestimmung von <ref-law> im Bereich der Mehrwertsteuerverfahren für nicht anwendbar erklärt (<ref-law>) und das Einholen von Parteiauskünften bzw. das Befragen von Zeugen deshalb neuerdings unter Umständen möglich ist, ändert für den hier massgeblichen Zeitraum nichts. Im Übrigen ist dem Beschwerdeführer entgegenzuhalten, dass er - soweit ersichtlich - gegenüber den Vorinstanzen nie einen Antrag auf Zeugenbefragung gestellt hat; die erst im bundesgerichtlichen Verfahren gemachten Beweisofferten sind verspätet und vor dem Hintergrund des Novenverbots von <ref-law> unbeachtlich (vgl. E. 1.2 hiervor). Überhaupt ist der Beschwerdeführer seinen Mitwirkungspflichten nicht oder nur unzureichend nachgekommen, und er hat es trotz verschiedenen Aufforderungen im Verfahren vor der ESTV und den darauffolgenden Rechtsmittelverfahren unterlassen, seinen Standpunkt mit den erforderlichen Beweismitteln zu belegen. Auch aus diesem Grund geht seine Rüge ins Leere.
4. 4.1 In der Hauptsache macht der Beschwerdeführer geltend, dass die von ihm im fraglichen Zeitraum ausgeübte Tätigkeit nicht als steuerbare Leistung qualifiziert werden könne; vielmehr habe er die Funktion eines sog. "Co-Maklers" ausgeübt und die so erzielten Umsätze seien von der Mehrwertsteuer ausgenommen.
4.2 Der Mehrwertsteuer unterliegen u.a. die entgeltlichen Lieferungen von Gegenständen, die entgeltlich erbrachten Dienstleistungen, der Eigenverbrauch sowie der entgeltliche Bezug von Dienstleistungen aus dem Ausland, wenn sie nicht ausdrücklich von der Besteuerung ausgenommen oder befreit sind (Art. 5 aMWSTG). Zu den von der Besteuerung ausgenommenen Umsätzen gehören u.a. die "Versicherungs- und Rückversicherungsumsätze einschliesslich der Umsätze aus der Tätigkeit als Versicherungsvertreter oder Versicherungsmakler" (Art. 18 Ziff. 18 aMWSTG), wobei sich diese Bestimmung nur auf berufstypische Umsätze bezieht: Die von der Besteuerung ausgenommenen Leistungen wurden von der ESTV abschliessend umschrieben (Branchenbroschüre Nr. 15 - Versicherungswesen [BB 15] Ziff. 2.2.5 S. 13): Darunter fallen (1) die Ermittlung des Versicherungsbedarfs, d.h. die Analyse der Risiken sowie die Erarbeitung eines Konzepts zur Risikobewältigung; (2) die Definition der Anforderungen an die Versicherungsbedingungen; (3) die Ausschreibung und Evaluation der Offerten samt Preis- und Leistungsvergleichen; (4) die Verhandlung mit den Versicherern; (5) die Ausarbeitung und Kontrolle der Vertragsdokumente; (6) die laufende Überprüfung des Konzepts; (7) die Unterstützung bei der Schadenabwicklung und (8) die Unterstützung im Zusammenhang mit dem Prämieninkasso. Mit Urteil 2C_612/2007 vom 7. April 2008 E. 6.3 hat das Bundesgericht die Praxis der ESTV ausdrücklich bestätigt und dabei festgestellt, dass auf jeden Fall die Leistungen derjenigen Personen nicht als Versicherungsumsätze im Sinne von Art. 18 Ziff. 18 aMWSTG gelten können, die sich auf die blosse Zuführung von potentiellen Kunden beschränken.
4.3 Der allgemeinen Beweislastverteilung folgend, trägt die Steuerbehörde die Beweislast für steuerbegründende und -erhöhende, der Steuerpflichtige dagegen für steueraufhebende und -mindernde Tatsachen (vgl. Urteil 2A.642/2004 vom 14. Juli 2005 E. 5.4). Demzufolge ist der Steuerpflichtige, der sich auf Art. 18 Ziff. 18 aMWSTG beruft, dafür beweispflichtig, dass es sich bei den von ihm erzielten Umsätzen um solche handelt, die im Sinne dieser Bestimmung von der Steuer ausgenommen sind.
4.4 Dem Partnervertrag zwischen der Z._ und der Einzelfirma Y._ ist zu entnehmen, dass sich die Y._ resp. der Beschwerdeführer im Wesentlichen verpflichtete, der Z._ Kunden zur Betreuung und Beratung in Finanz- und Versicherungsbelangen zu vermitteln. Die eigentliche Kundenbetreuung gegenüber der Versicherungsgesellschaft erfolgte gemäss dieser Vereinbarung durch die Z._ und nicht durch den Beschwerdeführer; insbesondere war die Z._ letztlich für die Offerteinholung verantwortlich. Dass diese vertragliche Kompetenzordnung auch tatsächlich angewandt wurde, bestätigt sich aufgrund verschiedener aktenkundiger Versicherungsofferten bzw. -anträge sowie Vollmachtsformulare, welche jeweils die Z._ und nicht etwa die Y._ bzw. den Beschwerdeführer als Ansprechspartnerin bzw. Bevollmächtigte bezeichnen. Dies lässt darauf schliessen, dass sich die Leistungen des Beschwerdeführers auf das (nicht von der Mehrwertsteuerpflicht ausgenommene) Zuführen von Kunden an die Z._ beschränkt haben.
Zwar ist richtig, dass der Partnervertrag dem Beschwerdeführer u.a. auch die Risikoberatung und Betreuung auferlegte und dass diese Leistungen gemäss der aufgezeigten Praxis der ESTV grundsätzlich berufstypisch für einen Versicherungsmakler sein können. Dass der Beschwerdeführer solche Aufgaben im Zusammenhang mit der Vermittlung von Versicherungsverträgen aber tatsächlich wahrgenommen hat, ergibt sich in keiner Weise aus den Akten bzw. aus den von ihm produzierten Belegen. Auch lässt sich nichts daraus ableiten, dass die von ihm vereinnahmten Entschädigungen offenbar in Form einer Courtage erfolgt sind, denn aus der Entschädigungsart ergibt sich nicht, für welche Tätigkeiten diese ausgerichtet wurde: Eine nach Anzahl der Kunden bzw. nach der Nettoprämie vorgenommene Abrechnung ist sowohl bei einer eigentlichen Maklertätigkeit als auch bei der blossen Zuführung von Kunden möglich.
Bei dieser Sachlage ist die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer den ihm obliegenden Nachweis nicht erbringen konnte, dass er Umsätze erzielt hatte, welche gemäss Art. 18 Ziff. 18 aMWSTG von der Steuer ausgenommen sind.
5. Schliesslich wendet der Beschwerdeführer ein, dass das sog. Co-Partner- bzw. Co-Maklermodell in der Versicherungsbranche weit verbreitet und es in vergleichbaren Fällen nie zu einer Mehrwertsteuererhebung gekommen sei. Der Einwand ist unbehelflich: Wollte der Beschwerdeführer aus dieser nicht weiter belegten Behauptung etwa eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebotes ableiten, so wäre es an ihm gewesen, die angebliche Ungleichbehandlung substantiiert aufzuzeigen und entsprechende Beweismittel vorzubringen (vgl. E. 1.2 hiervor). Dies tut er jedoch nicht, weshalb auf seine Ausführungen nicht näher einzugehen ist.
6. Aufgrund der obenstehenden Erwägungen erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet. Sie ist deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Verfahrensausgang entsprechend, sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Eidgenössischen Steuerverwaltung sowie dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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