Sachverhalt:
A. Y._ (Beschwerdegegner) verrichtete von August 2004 bis November 2004 zusammen mit seinem Bruder und weiteren Personen Elektroinstallationsarbeiten bei einem Umbau in T._. X._ (Beschwerdeführer) war der örtliche Bauleiter. Am 17. März 2006 forderte der Vertreter des Beschwerdegegners vom Beschwerdeführer die Zahlung von Fr. 13'107.-- für die vom Beschwerdegegner und dessen Bruder geleisteten Arbeitsstunden sowie für Materialkosten. Der Beschwerdeführer bestritt, dass der Beschwerdegegner und dessen Bruder Auftragnehmer von ihm gewesen seien. Sie hätten die Arbeiten für Z._ ausgeführt. Dieser sei ihr Auftraggeber gewesen.
B. Am 3. August 2006 reichte der Beschwerdegegner (sein Bruder hatte ihm zuvor seine Forderung gegen den Beschwerdeführer abgetreten) beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen den Beschwerdeführer ein und beantragte, dieser sei zu verpflichten, ihm Fr. 13'899.37 nebst Zins zu 5% seit wann rechtens zu bezahlen. Der Einzelrichter befragte Z._ und den Bruder des Beschwerdegegners als Zeugen und hiess die Klage mit Urteil vom 9. November 2006 gut. Dagegen gelangte der Beschwerdeführer erfolglos an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses hiess die Klage am 22. Juni 2007 ebenfalls gut. In Gutheissung einer vom Beschwerdeführer erhobenen kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde hob das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 5. Mai 2008 das Obergerichtsurteil vom 22. Juni 2007 auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurück.
Nach Ergänzung des Beweisverfahrens (ergänzende Zeugeneinvernahme von Z._) verpflichtete das Obergericht den Beschwerdeführer mit Urteil vom 23. Oktober 2008 erneut, dem Beschwerdegegner Fr. 13'899.37 nebst Zins zu 5 % seit 10. April 2006 zu bezahlen. Eine dagegen vom Beschwerdeführer erhobene kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht mit Zirkulationsbeschluss vom 21. Dezember 2009 ab, soweit es darauf eintrat.
C. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 21. Dezember 2009 und das Urteil des Obergerichts vom 23. Oktober 2008 aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner sowie das Kassationsgericht und das Obergericht verzichteten auf eine Vernehmlassung.
Mit Präsidialverfügung vom 11. März 2010 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1. Der Streitwert beträgt weniger als Fr. 30'000.-- (<ref-law>). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> stellt. Die Beschwerde in Zivilsachen ist demzufolge nicht gegeben, womit sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als zulässig erweist (<ref-law>).
Nach <ref-law> beginnt die Beschwerdefrist, wenn der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts mit einem Rechtsmittel, das nicht alle Rügen nach den Artikeln 95-98 zulässt, bei einer zusätzlichen kantonalen Gerichtsinstanz angefochten worden ist, erst mit der Eröffnung des Entscheids dieser Instanz. Die innert 30 Tagen seit Eröffnung des Kassationsgerichtsbeschlusses eingereichte Beschwerde ist damit auch rechtzeitig erfolgt, soweit sie sich gegen das Urteil des Obergerichts richtet (<ref-law>).
2. Das Urteil des Obergerichts ist allerdings nur insofern der Beschwerde zugänglich, als es das Erfordernis der Letztinstanzlichkeit erfüllt, mithin für die gegen dieses erhobenen Rügen kein kantonales Rechtsmittel mehr offen stand (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 93 f., 524 E. 1.3 S. 527). Gegen es konnte kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich nach <ref-law>/ZH erhoben werden. Es ist daher insoweit nicht kantonal letztinstanzlich, als es vom Kassationsgericht überprüft werden konnte. Nach <ref-law>/ZH kann mit Nichtigkeitsbeschwerde geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid beruhe zum Nachteil des Nichtigkeitsklägers auf einer Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes (Ziff. 1), auf einer aktenwidrigen oder willkürlichen tatsächlichen Annahme (Ziff. 2) oder auf einer Verletzung klaren materiellen Rechts (Ziff. 3). Ausgeschlossen ist die Nichtigkeitsbeschwerde, wenn das Bundesgericht einen Mangel frei überprüfen kann, wobei sie stets zulässig ist, wenn eine Verletzung von Art. 8, 9, 29 oder 30 BV oder von Art. 6 EMRK geltend gemacht wird (<ref-law>/ZH; vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2 S. 586 f. mit Hinweisen).
Das angefochtene Urteil des Obergerichts stellt demnach insoweit keinen kantonal letztinstanzlichen Entscheid dar, als geltend gemacht wird, das Obergericht habe eine willkürliche Beweiswürdigung vorgenommen, mithin gegen <ref-law> verstossen, oder den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt. Entsprechende Rügen waren zwecks Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs vor dem Kassationsgericht geltend zu machen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 640); insofern diese vom Kassationsgericht nicht bzw. nicht richtig beurteilt wurden, hat dies der Beschwerdeführer in der Beschwerde gegen den kassationsgerichtlichen Beschluss zu rügen. Auf entsprechende Rügen gegen das Urteil des Obergerichts kann nicht eingetreten werden.
3. Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechts nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 6, 589 E. 2 S. 591 f.; je mit Hinweisen). Macht er beispielsweise eine Verletzung von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262). Zu beachten ist, dass dem Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zusteht (<ref-ruling> E. 4b S. 40). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399). Soweit sich die Beschwerde gegen den Entscheid einer ausserordentlichen Rechtsmittelinstanz, wie hier des Kassationsgerichts, richtet, der dieselben Rügen unterbreitet werden konnten wie dem Bundesgericht im vorliegenden Verfahren, ist unter Auseinandersetzung mit deren Erwägungen aufzuzeigen, inwiefern diese Instanz die gerügte Verfassungsverletzung durch das vorher entscheidende Gericht, vorliegend das Obergericht, zu Unrecht verneint haben soll. Das Gebot, den kantonalen Instanzenzug auszuschöpfen (<ref-law>; vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 2 S. 640 und die vorstehende Erwägung 2), hätte wenig Sinn, wenn das Bundesgericht die selben Rügen, die bereits im kantonalen Rechtsmittelverfahren geprüft worden sind, einfach nochmals behandeln würde, ohne dass die Begründung des letztinstanzlichen kantonalen Entscheides in der Beschwerde substanziiert gerügt wird (<ref-ruling> E. 1a/cc und E. 1b S. 494 ff.).
4. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung des Willkürverbots und des rechtlichen Gehörs geltend. Indessen verfehlt er die oben dargelegten Begründungsanforderungen an solche Rügen weitestgehend.
4.1 Soweit er diese Rügen direkt gegenüber dem Urteil des Obergerichts erhebt und diesem vorwirft, sich mit gewissen Argumenten des Beschwerdeführers nicht auseinander gesetzt zu haben, kann darauf mangels Letztinstanzlichkeit nicht eingetreten werden (Erwägung 2).
4.2 Nicht zielführend ist auch der Vorwurf an die Vorinstanzen, sie hätten die Frage unbeachtet gelassen, weshalb der Beschwerdegegner und sein Bruder gemäss den Arbeitsberichten vom 14. bis 21. August 2004 gleichwohl noch während über 30 Stunden Demontagearbeiten verrichtet hätten. Darin kann keine rechtsgenügliche Willkür- oder Gehörsrüge erblickt werden. Soweit der Beschwerdeführer eine Gehörsverletzung geltend machen will, zeigt er nicht mit präzisen Aktenhinweisen auf, dass er diese Frage bzw. entsprechende Behauptungen im kantonalen Verfahren rechtzeitig und prozesskonform vorgebracht hätte; er verweist lediglich pauschal auf das Protokoll des Bezirksgerichts. Zudem und vor allem legt er nicht dar, inwiefern die Beantwortung dieser Frage für den Entscheid wesentlich sein bzw. welche von ihm prozessrechtskonform eingebrachte, eine entscheiderhebliche Tatsache betreffende Behauptung bei Beantwortung der Frage im einen oder anderen Sinn geklärt werden soll (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 242; <ref-ruling> E. 3c S. 2 f., je mit Hinweisen).
4.3 Der Beschwerdeführer wirft den Vorinstanzen vor, den Vertrauensgrundsatz missachtet zu haben. Sie seien in Willkür verfallen, indem sie ohne Begründung von einem übereinstimmenden Parteiwillen ausgegangen seien. Auch hätten sie sein rechtliches Gehör verletzt, weil sie seine Vorbringen, womit er seine fehlende Passivlegitimation begründet habe, völlig unbeachtet gelassen hätten, namentlich, dass er den Willen gehabt habe, den Auftrag nicht in eigenem Namen und nicht auf eigene Rechnung zu erteilen.
Der Vorwurf ist unbegründet. Das Zustandekommen eines Vertrags bestimmt sich, wie sein Inhalt, in erster Linie durch subjektive Auslegung, das heisst nach dem übereinstimmenden wirklichen Parteiwillen (<ref-law>). Erst wenn dieser unbewiesen bleibt, sind zur Ermittlung des mutmasslichen Parteiwillens die Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 1a S. 73; <ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. II/5a; vgl. auch <ref-ruling> E. 4 S. 27 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 611). Die Vorinstanzen schlossen in ausführlicher Würdigung der Vorbringen und Beweise, dass der Beschwerdeführer dem Beschwerdegegner den streitbetroffenen Auftrag erteilt habe, stellten mithin mit eingehender Begründung einen übereinstimmenden wirklichen Parteiwillen fest. Wenn sie angesichts dieses Beweisergebnisses dafür hielten, es erübrige sich eine Auslegung nach dem Vertrauensprinzip, ist darin keine willkürliche Rechtsanwendung zu sehen.
4.4 Ob ein übereinstimmender wirklicher Parteiwille besteht, kann das Bundesgericht, da die tatsächlichen Verhältnisse betreffend, in jedem Verfahren nur unter dem Blickwinkel der Willkür prüfen (<ref-law>; Art. 116 und Art. 118 BGG). Der Beschwerdeführer verfehlt diesbezüglich jedoch die Anforderungen an eine Willkürrüge, indem er nicht im Einzelnen aufzeigt, inwiefern die Erwägungen der Vorinstanzen geradezu willkürlich sein sollen, und sich vor allem überhaupt nicht mit den diesbezüglichen Ausführungen des Kassationsgerichts auseinander setzt (vgl. Erwägung 3), sondern lediglich darlegt, welche Schlüsse seiner Auffassung nach aus der Rechnung Z._s vom 13. September 2006 und aus dessen Zeugenaussagen zu ziehen seien. Aufgrund der Vorbringen des Beschwerdeführers besteht für das Bundesgericht kein Anlass, in die Beweiswürdigung der Vorinstanzen einzugreifen.
5. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit angesichts der weitestgehend rechtsungenüglichen Begründung überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Nachdem der Beschwerdegegner auf eine Vernehmlassung verzichtet hat, ist keine Parteientschädigung zu sprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer