Sachverhalt:
A. Ein von X._ anlässlich einer Strafuntersuchung eingereichtes Ausstandsbegehren gegen den Untersuchungsbeamten Y._ vom Statthalteramt des Bezirks Z._ im Kanton Basel-Landschaft wies das Verfahrensgericht in Strafsachen des Kantons Basel-Landschaft mit Beschluss vom 18. Januar 2010 ab. Dagegen erhob X._ am 23. Februar 2010 Beschwerde beim Kantonsgericht Basel-Landschaft.
B. Am 27. April 2010 und am 10. Juli 2010 erhob X._ Einsprachen gegen zwei verfahrensleitende Verfügungen der Präsidentin der Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht des Kantonsgerichts. Mit Entscheid vom 14. Juli 2010 wies das Kantonsgericht die Einsprache vom 27. April 2010 ab, soweit es darauf eintrat. Die Einsprache vom 10. Juli 2010 wurde als gegenstandslos abgeschrieben.
C. Am 24. September 2010 wies die Präsidentin der Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht des Kantonsgerichts die Beschwerde von X._ vom 23. Februar 2010 ab. Gegen diesen Entscheid hat X._ am 11. Oktober 2010 eine Beschwerde beim Kantonsgericht eingereicht. Das Kantonsgericht stellte die Beschwerde am 12. Oktober 2010 dem Bundesgericht zu. X._ beantragt, seinen Begehren vom 23. Februar 2010 und vom 27. April 2010 sei zu entsprechen. Das Urteil vom 24. September 2010 sowie der Beschluss des Verfahrensgerichts in Strafsachen vom 18. Januar 2010 seien aufzuheben und die Befangenheit des Untersuchungsbeamten Y._ sei festzustellen. Ihm sei gemäss Opferhilfegesetz die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und er sei von den Verfahrenskosten zu befreien.
D. Die Präsidentin der Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht des Kantonsgerichts verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Verfahrensgericht in Strafsachen und Y._ beantragen die Abweisung der Beschwerde.
E. Mit Eingabe vom 2. November 2010 hält X._ an den gestellten Rechtsbegehren fest und beantragt weiter, eventualiter sei die Sache mit Anweisung zur Durchführung einer mündlichen Verhandlung an das Kantonsgericht zurückzuweisen.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid. Die Beschwerde in Strafsachen gegen den selbstständig eröffneten strafprozessualen Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren ist zulässig (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1 und Art. 92 BGG). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde (vorbehältlich rechtsgenügender Rügen; Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) grundsätzlich einzutreten. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit die Aufhebung des Entscheids des Verfahrensgerichts in Strafsachen vom 18. Januar 2010 beantragt wird. Dieser Entscheid ist durch den Entscheid des Kantonsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
2. Die Beschwerde ist nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig. Dieser wird durch den Gegenstand des angefochtenen Entscheids und durch die Parteibegehren bestimmt, wobei der angefochtene Entscheid den möglichen Streitgegenstand begrenzt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 189). Gegenstand des vorinstanzlichen Entscheids war die Frage, ob das Verfahrensgericht in Strafsachen das vom Beschwerdeführer gestellte Ausstandsbegehren gegen den Untersuchungsbeamten zu Recht abgewiesen hat. Soweit das Kantonsgericht am 14. Juli 2010 über Einsprachen gegen zwei verfahrensleitende Verfügungen der Präsidentin des Kantonsgerichts entschieden hat, bildeten die in diesem Entscheid behandelten Fragen nicht Gegenstand des vorliegend angefochtenen Entscheids, weshalb auf entsprechende Ausführungen des Beschwerdeführers nicht einzutreten ist. Nicht einzutreten ist demzufolge insbesondere auf den Antrag des Beschwerdeführers, es sei seinen Begehren vom 27. April 2010 zu entsprechen, sowie auf die Rügen, das Urteil vom 14. Juli 2010 sei in Verletzung von <ref-law> zustande gekommen und ihm sei in Verletzung von <ref-law> keine Einsicht in ein Gutachten gewährt worden.
Unter Hinweis auf <ref-law> macht der Beschwerdeführer sinngemäss geltend, es widerspreche Treu und Glauben und sei willkürlich, sich zunächst für die Durchführung einer Parteiverhandlung zu entscheiden und - nachdem er mit einem ärztlichen Zeugnis belegt habe, am vorgesehenen Termin wegen einer Erkrankung daran nicht teilnehmen zu können - auf die Durchführung der Parteiverhandlung zu verzichten. Aus dem vorinstanzlichen Entscheid ist indessen zu schliessen, dass der Beschwerdeführer auch damit nicht das Vorgehen der Vorinstanz im Beschwerdeverfahren gegen den Beschluss des Verfahrensgerichts in Strafsachen vom 18. Januar 2010 rügt. Vielmehr betrifft dieser Einwand ebenfalls die Einspracheverfahren, welche vom Kantonsgericht mit Urteil vom 14. Juli 2010 erledigt worden sind. Damit ist auch auf diese Rüge nicht einzutreten.
3. Der Beschwerdeführer bezeichnet die Begründung, mit welcher die Vorinstanz die Durchführung einer Parteiverhandlung im Beschwerdeverfahren gegen das abgewiesene Ausstandsbegehren abgelehnt hat, als wirklichkeitsfremd und widersprüchlich. Darin könnte eine sinngemässe Rüge der Verletzung des Anspruchs auf Behandlung ohne Willkür und nach Treu und Glauben (<ref-law>) erblickt werden. Soweit der Beschwerdeführer eine solche Rüge im Hinblick auf <ref-law> überhaupt genügend substanziiert und begründet und darauf einzutreten ist, ist sie offensichtlich unbegründet.
Die Vorinstanz hat nachvollziehbar und widerspruchsfrei erwogen, dass es nach § 15 Abs. 1 des Gesetzes über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung des Kantons Basel-Landschaft vom 16. Dezember 1993 (VPO) in ihrem pflichtgemäss auszuübenden Ermessen liegt, auf eine Parteiverhandlung zu verzichten. Wie die Vorinstanz zu Recht festhält, hat der Beschwerdeführer nicht dargelegt, welche gesetzlichen Bestimmungen ihm einen Anspruch auf eine mündliche Verhandlung verschaffen würden und weshalb er auf eine solche angewiesen sei. Nicht zu beanstanden ist die Feststellung der Vorinstanz, ihr erstelle sich der entscheidrelevante Sachverhalt und die Sichtweisen des Beschwerdeführers aus den vorhandenen Akten sowie aus den zahlreichen Eingaben des Beschwerdeführers rechtsgenüglich. Im Gegensatz zum Einwand des Beschwerdeführers ist auch die Feststellung der Vorinstanz nicht falsch, die Folgen einer angeblich rechtswidrigen Operation seien nicht Gegenstand des Ausstandsverfahrens. Die Vorinstanz hat offensichtlich nicht gegen Bundesrecht verstossen, indem sie zum Schluss gekommen ist, dass die Durchführung des schriftlichen Verfahrens dem konkret zu entscheidenden Fall besser entspreche.
4. Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, dass der Untersuchungsbeamte, gegen den sich das Ausstandsbegehren richtet, ihm wegen Befangenheit die Gelegenheit verweigere, für gewisse Anschuldigungen den Wahrheitsbeweis zu erbringen, so seien dies mehr als ausreichende Gründe für den Anschein einer Voreingenommenheit. Darin könnte eine sinngemässe Rüge der Verletzung des Anspruchs auf gleiche und gerechte Behandlung in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen (<ref-law>) erblickt werden. Soweit der Beschwerdeführer eine solche Rüge im Hinblick auf <ref-law> überhaupt genügend substanziiert und begründet und darauf einzutreten ist, erweist sie sich aus den nachfolgenden Überlegungen als offensichtlich unbegründet.
4.1 Für den allgemeinen grundrechtlichen Anspruch auf Unabhängigkeit und Objektivität von Untersuchungs- und Anklagebehörden ist nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts <ref-law> massgeblich. Die angeschuldigte Person hat keinen Anspruch darauf, dass der Untersuchungsrichter mit qualifizierter richterlicher Unabhängigkeit im Sinne von <ref-law> ausgestattet ist. Der Unvoreingenommenheit des Untersuchungsrichters kann unter gewissen Gesichtspunkten eine ähnliche Bedeutung zukommen wie der richterlichen Unabhängigkeit und Unparteilichkeit. Die Grundsätze von <ref-law> dürfen jedoch nicht unbesehen auf nicht richterliche Behörden bzw. auf <ref-law> übertragen werden (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 198; mit Hinweisen). Unter Berücksichtigung der verfahrensmässigen und gesetzlich vorgesehenen Konstellationen ist den unterschiedlichen Funktionen der Strafverfolgungsorgane Rechnung zu tragen. Von Untersuchungsrichtern sind Sachlichkeit, Unbefangenheit und Objektivität namentlich insofern zu erwarten, als sie sich vor Abschluss der Untersuchung grundsätzlich nicht darauf festlegen sollen, ob der angeschuldigten Person ein strafbares Verhalten zur Last zu legen oder ein strafbares Verhalten auszuschliessen sei. Auch haben sie den entlastenden Indizien und Beweismitteln ebenso Rechnung zu tragen wie den belastenden (vgl. <ref-ruling> E. 3e S. 282). So können Staatsanwälte oder Untersuchungsrichter abgelehnt werden, wenn Umstände wie etwa strafprozessual unzulässige vorverurteilende Äusserungen vorliegen, welche nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 2b S. 198 f.; mit Hinweis). In der Regel vermögen allgemeine Verfahrensmassnahmen, seien sie nun richtig oder falsch, als solche keine Voreingenommenheit der verfügenden Justizperson zu begründen. Soweit konkrete Verfahrensfehler eines Untersuchungsrichters beanstandet werden, sind in erster Linie die entsprechenden Rechtsmittel zu ergreifen. Als Ablehnungsgrund fallen nur besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Versäumnisse und Mängel in Betracht (vgl. die Rechtsprechung zu <ref-law>: <ref-ruling> E. 3e S. 124; <ref-ruling> E. 3b S. 404; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158).
4.2 Die Vorinstanz hat festgehalten, der Untersuchungsbeamte, gegen den sich das Ausstandsbegehren richtet, habe sich gegenüber dem Beschwerdeführer nie so verhalten, dass von einer Befangenheit desselben ausgegangen werden müsse. Die Strafanzeigen beider Beteiligten seien korrekt entgegengenommen und es sei ein entsprechendes Verfahren eröffnet worden. Der vom Beschwerdeführer beschuldigte Arzt sei zu einem späteren Zeitpunkt einvernommen worden, weil aus verfahrenstechnischen Gründen zuerst der Beschwerdeführer habe einvernommen und ein Bericht habe abgewartet werden müssen. Aus den Akten gehe hervor, dass sich der Untersuchungsbeamte an die gesetzlichen Vorgaben gehalten und verhältnismässig gehandelt habe. Eine unzulässige Ungleichbehandlung der beiden Verfahrensbeteiligten könne nicht gefunden werden, vielmehr sei unter Beachtung des Beschleunigungsgebots und der Verfahrensökonomie auf beide Beteiligten und die jeweiligen Umstände, soweit möglich und erforderlich, Rücksicht genommen worden.
4.3 Diese nachvollziehbaren Ausführungen und Schlussfolgerungen der Vorinstanz vermag der Beschwerdeführer mit seinen Einwänden nicht zu entkräften. Inwiefern der Untersuchungsbeamte, gegen den sich das Ausstandsbegehren richtet, es dem Beschwerdeführer verunmöglicht haben soll, den Wahrheitsbeweis für gewisse Anschuldigungen zu erbringen, ist nicht ersichtlich. Soweit der Beschwerdeführer die Art und Weise der polizeilichen Zuführung vom 20. August 2009 rügt, bestehen keine Hinweise auf ein unrechtmässiges bzw. unverhältnismässiges Vorgehen. Der sinngemäss erhobene Einwand, auf eine Anzeige des Beschwerdeführers hin sei zu Unrecht keine Strafuntersuchung eröffnet, ist nicht nachvollziehbar. Besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Verfahrensfehler des Untersuchungsbeamten, gegen den sich das Ausstandsbegehren richtet, vermag der Beschwerdeführer jedenfalls nicht aufzuzeigen. Daran ändern auch seine ergänzenden Ausführungen vom 2. November 2010 nichts, soweit es sich dabei nicht ohnehin um unzulässige neue Vorbringen im Sinne von <ref-law> handelt. Die Vorinstanz hat offensichtlich nicht gegen Bundesrecht verstossen, wenn sie zum Schluss gekommen ist, dass eine Befangenheit des Untersuchungsbeamten nicht angenommen werden könne.
5. Offensichtlich unbegründet ist auch die Rüge des Beschwerdeführers, der angefochtene Entscheid sei in Verletzung von <ref-law> zustande gekommen, zumal diese Bestimmung dem Rechtsuchenden in der vorliegenden Ausstandsfrage keinen Anspruch auf eine öffentliche Verhandlung vor Gericht vermittelt (vgl. <ref-ruling> E. 2.6 S. 293 f.).
6. Soweit der Beschwerdeführer mit seinem Antrag, ihm sei gemäss dem Opferhilfegesetz vom 23. März 2007 (OHG; SR 312.5) die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und er sei von den Verfahrenskosten zu befreien, die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und die Auferlegung von Verfahrenskosten durch die Vorinstanz rügen will, ist darauf in Anwendung von <ref-law> mangels entsprechender Begründung nicht einzutreten.
7. Die Beschwerde erweist sich somit als offensichtlich unbegründet und ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos. Der Beschwerdeführer beantragt, ihm sei gemäss Art. 30 Abs. 1 und Art. 19 Abs. 3 OHG die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und er sei von Verfahrenskosten zu befreien. Diese Bestimmungen des OHG sind vorliegend indessen nicht anwendbar. Da auch die Voraussetzungen nach <ref-law> nicht erfüllt sind, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen und die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verfahrensgericht in Strafsachen des Kantons Basel-Landschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Mattle