Sachverhalt:
A. X._ wurde aufgrund verschiedener Entscheide in den Jahren 2000 und 2001 durch das Bezirksgericht Z._ unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Unter diesem Titel wurde ein Betrag von insgesamt rund 17'000 Franken für Gerichts- und Parteikosten vorgemerkt. Auf Ersuchen der Zentralen Inkassostelle des Obergerichts (Justizverwaltung) des Kantons Aargau ordnete der Gerichtspräsident von Z._ mit Verfügung vom 29. September 2009 an, dass X._ den im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege vorgemerkten Betrag von Fr. 17'312.65 zu bezahlen habe.
Das Obergericht (Zivilgericht, 4. Kammer) des Kantons Aargau wies am 18. November 2009 die von X._ gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde ab.
B. Mit Eingabe vom 12. Januar 2010 führt X._ Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde, und verlangt, den obergerichtlichen Entscheid vom 18. November 2009 aufzuheben und das Nachzahlungsbegehren der Zentralen Inkassostelle Justiz abzuweisen.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde ausdrücklich verzichtet.

Erwägungen:
1. Grundlage des angefochtenen Entscheids ist § 133 Abs. 1 der Aargauer Zivilprozessordnung (ZPO), wonach von einer Partei, der unentgeltliche Rechtspflege gewährt worden war, die ihr auferlegten Gerichtskosten und die ihrem Rechtsvertreter bezahlte Entschädigung eingefordert werden können, falls die Partei durch den Ausgang des Prozesses oder innerhalb von zehn Jahren seit der Rechtskraft des Urteils auf andere Weise in günstige wirtschaftliche Verhältnisse kommt (sog. Nachzahlung).
Das Obergericht hält diesen Tatbestand für gegeben: Der Beschwerdeführer sei mit einer Frau verheiratet, deren Vermögen er selbst auf 13 Mio. Franken beziffert habe; mit dem erstinstanzlichen Richter sei deshalb davon auszugehen, dass bei ihm wirtschaftliche Verhältnisse vorlägen, die eine Nachzahlung im Sinne von <ref-law> erlaubten.
2. 2.1 Im Gegensatz zu einem Entscheid über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, der einen Zwischenentscheid darstellt, handelt es sich hier um einen das (Nachzahlungs-)Verfahren abschliessenden Endentscheid (<ref-law>). Die Verpflichtung des Beschwerdeführers, dem Kanton nachträglich die (vorläufig) erlassenen Gerichtskosten und den von diesem als Entschädigung des Rechtsvertreters entrichteten Betrag zu zahlen, ist öffentlich-rechtlicher Natur. Der angefochtene Entscheid geht auf die Gewährung des Armenrechts in einem Zivilverfahren zurück, und <ref-law> sieht im Übrigen vor, dass für den Entscheid über eine allfällige Nachzahlung der Richter zuständig ist, bei dem seinerzeit das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege zu stellen gewesen war. Unter den angeführten Umständen ist davon auszugehen, dass der angefochtene Entscheid in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht und somit an sich die Beschwerde in Zivilsachen offen steht (<ref-law>).
2.2 Der in einem Fall der vorliegenden Art für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert von 30'000 Franken (<ref-law>) ist hier nicht erreicht. Die genannte Beschwerde ist unter solchen Umständen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>).
2.2.1 Das Bundesgericht bejaht das Vorliegen einer Frage von grundsätzlicher Bedeutung nur mit grosser Zurückhaltung. Es ist nämlich zu beachten, dass im Verlaufe der parlamentarischen Beratungen die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) eingeführt wurde, die im Entwurf zum Bundesgerichtsgesetz nicht vorgesehen war. Damit erscheint die Beschwerde in Zivilsachen in einem anderen Licht. Den in der Botschaft des Bundesrats (BBl 2001 S. 4309) erwähnten Anforderungen an eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung kommt daher nicht mehr das gleiche Gewicht zu. Soweit lediglich die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall zur Diskussion steht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage der genannten Art (<ref-ruling> E. 1.1 S. 494 f.; ferner <ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 1.2 S. 117).
2.2.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, es gehe im zur Beurteilung stehenden Fall um die Rechtsfrage, ob die eheliche Beistands- und Unterhaltspflicht nach den Art. 159 bzw. 163 ZGB so weit gehe, dass ein Ehegatte auch für voreheliche Schulden des anderen Ehegatten aufzukommen habe. Konkret sei hier darüber zu befinden, ob die Person, der im Rahmen unentgeltlicher Rechtspflege Prozesskosten vorgeschossen wurden, aufgrund der Schliessung einer Ehe und der damit verbundenen Unterhalts- und Beistandspflicht des Ehegatten als in günstigen wirtschaftlichen Verhältnissen lebend angesehen werden dürfe. Die Beantwortung dieser Rechtsfrage werde nicht nur im Rahmen der Nachzahlung von Prozesskosten, sondern - im Sinne einer Umschreibung des Umfangs der ehelichen Unterhalts- und Beistandspflicht - allgemein als Präjudiz für zahlreiche gleich- oder ähnlichgelagerte Fälle dienen.
2.2.3 Inwiefern es sich bei der angesprochenen Rechtsfrage um eine solche von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> handelt, braucht nicht abschliessend erörtert zu werden. Es ist davon auszugehen, dass die Tragweite der ehelichen Unterhalts- und Beistandspflicht jederzeit Gegenstand einer Beschwerde in einem Verfahren mit einem 30'000 Franken erreichenden Streitwert zu beurteilen sein wird. Unter den gegebenen Umständen sind die Voraussetzungen von <ref-law> für eine Zulassung der Beschwerde in Zivilsachen hier nicht gegeben. Die Eingabe ist deshalb - im Sinne des beschwerdeführerischen Eventualstandpunktes - als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) zu behandeln.
3. Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>).
3.1 Der Beschwerdeführer macht eine Missachtung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend: Das Obergericht habe gegen diese Bestimmung verstossen, indem es zur Begründung seines Entscheids einzig ausgeführt habe, seine Ehefrau sei aufgrund der ehelichen Unterhalts- und Beistandspflicht gehalten, auch für seine vorehelichen Schulden aufzukommen, und er sei demzufolge als in günstigen wirtschaftlichen Verhältnissen lebend zu betrachten.
3.2 In der Tat hat sich die Vorinstanz auf die (rechtliche) Argumentation beschränkt, die - über ein beträchtliches Vermögen verfügende - Ehefrau sei gehalten, dem Beschwerdeführer finanziell beizustehen, was dazu führe, dass dieser im Sinne von <ref-law> heute in günstigen wirtschaftlichen Verhältnissen lebe. Bei dieser Betrachtungsweise wird der Ehefrau zugemutet, (direkt) für sämtliche vorehelichen Verbindlichkeiten des Ehemannes aufzukommen. Die Annahme einer derart weit gehenden ehelichen Beistandspflicht verstösst gegen das Willkürverbot.
3.3 Das Obergericht hat aufgrund einer nach dem Gesagten unzutreffenden rechtlichen Auffassung davon abgesehen, die persönlichen Einkommens- und Vermögensverhältnisse des Beschwerdeführers - gegebenenfalls unter Berücksichtigung von Beiträgen der Ehefrau an den gemeinsamen Haushalt - betragsmässig zu ermitteln. Es fehlen demnach Grundlagen, ohne die sich nicht beurteilen lässt, ob die wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers persönlich es ihm ermöglichen, den geforderten Nachzahlungsbetrag tatsächlich aufzubringen. Auch darin liegt ein Verstoss gegen <ref-law>. Der angefochtene Entscheid ist deshalb aufzuheben und die Sache zur Ergänzung der tatsächlichen Feststellungen im Sinne der Erwägungen und zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (<ref-law>). Hingegen ist der Kanton Aargau zu verpflichten, den Beschwerdeführer für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. 1.1 Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
1.2 In teilweiser Gutheissung der subsidiären Verfassungsbeschwerde wird der Entscheid des Obergerichts (Zivilgericht, 4. Kammer) des Kantons Aargau vom 18. November 2009 aufgehoben und die Sache zur Ergänzung im Sinne der Erwägungen und zu neuem Entscheid an die kantonale Instanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Aargau wird verpflichtet, den Beschwerdeführer für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Obergericht des Kantons Aargau (Zivilgericht, 4. Kammer, und Zentrale Inkassostelle) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel