Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführerin), geboren am 1. Juli 1939, stürzte am 6. April 2001 auf einem Parkplatz und erlitt eine laterale Schenkelhalsfraktur. Sie wurde ins Spital K._ eingewiesen, wo notfallmässig eine Gammanagel-Osteosynthese an der rechten Hüfte durchgeführt wurde. Postoperativ wurde die Patientin mit relativer Vollbelastung am Böckli mobilisiert. In der Folge traten Schmerzen auf und es wurde eine Wanderung der Schraube im Fermurkopf festgestellt.
Auf ihren Wunsch wurde die Beschwerdeführerin daraufhin ins Bürgerspital nach Solothurn verlegt, wo eine Re-Operation mit Metallentfernung und Ersatz des gesamten rechten Hüftgelenks durch eine Totalprothese erfolgte. Unmittelbar nach der Operation fiel eine Fussheberschwäche rechts auf, die als Teilparese des Ischiadicus oder lokale Schädigung des Nervus peroneus bezeichnet wurde. Später wurde der Beschwerdeführerin eine Heidelbergerprothese rechts angelegt und sie lernte am Böckli gehen. Am 2. November 2002 wurde die Patientin von einem Postauto angefahren. Es wurde zuerst eine Beckenkontusion und später eine beidseitige Beckenfraktur diagnostiziert. Der rechte Fuss ist nach Angabe der Beschwerdeführerin gefühllos und könne nicht angehoben werden. Sie müsse immer eine Schiene tragen. Sie ist im täglichen Leben stark eingeschränkt.
B. Die Beschwerdeführerin erhob am 22. Oktober 2003 beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Klage gegen den Kanton Solothurn. In der Folge anerkannten die Stiftung XK._ und später deren Rechtsnachfolgerin, die Spitäler des Kantons W._ AG (Beschwerdegegnerin), ihre Passivlegitimation. Das Verfahren wurde zunächst auf Antrag der Beschwerdeführerin zwecks Vornahme medizinischer Abklärungen sistiert und im Jahre 2006 wieder aufgenommen. Auf Anträge der Parteien wurde es auf die Fragen der Verjährung/Verwirkung, der Widerrechtlichkeit und der Kausalität beschränkt.
Anlässlich der Hauptverhandlung vom 17. Dezember 2009 stellte die Beschwerdeführerin die folgenden Rechtsbegehren:
"1. Es sei festzustellen, dass die Ansprüche der Klägerin [Beschwerdeführerin] weder verjährt noch verwirkt sind.
2. Es sei festzustellen, dass die heutige Beeinträchtigung der körperlichen Integrität der Klägerin auf die Behandlung im Spital K._ zurückzuführen ist.
3. Es sei festzustellen, dass die Behandlung im Spital K._ nicht mit der erforderlichen Sorgfalt durchgeführt wurde und daher widerrechtlich ist.
4. Das Verfahren sei fortzusetzen und es sei der Klägerin Frist zur Einreichung des Schadensquantitativs anzusetzen, (...)."
Zur Begründung von Sorgfaltspflichtverletzungen machte die Beschwerdeführerin im verwaltungsgerichtlichen Verfahren im Wesentlichen geltend, es hätte von Anfang an eine Vollprothese des Hüftgelenks einsetzt werden müssen, das am 9. April 2001 (d.h. drei Tage nach der Operation, vor Beginn der Belastung des rechten Beins) aufgenommene Röntgenbild sei nicht sorgfältig analysiert und falsch interpretiert worden; der Wechsel von der Teilbelastung zur Vollbelastung hätte in der Rehabilitation nicht erfolgen dürfen.
Das Verwaltungsgericht wies die Klage am 17. Dezember 2009 ab. Es entschied, die auf das Verantwortlichkeitsgesetz des Kantons Solothurn (Gesetz vom 26. Juni 1966 über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter, VG, BGS 124.21) gestützten Ansprüche seien weder verjährt noch verwirkt. Hingegen könne dem Spital K._ keine Sorgfaltspflichtverletzung in der Behandlung der Beschwerdeführerin vorgeworfen werden und fehle es mithin an der Haftungsvoraussetzung der Widerrechtlichkeit der vorgenommenen Handlungen. Ausführungen zur Frage der Kausalität erübrigten sich damit.
C. Die Beschwerdeführerin erhob gegen dieses Urteil Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den folgenden Anträgen:
"1. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 17. Dezember 2009 sei aufzuheben.
2. a) Es sei festzustellen, dass die heutige Beeinträchtigung der körperlichen Integrität der Klägerin auf die Behandlung im Spital K._ zurückzuführen ist. Es sei festzustellen, dass die Behandlung im Spital K._ nicht mit der erforderlichen Sorgfalt durchgeführt wurde und daher widerrechtlich ist. Die Rechtsstreitsache sei an die kantonale Vorinstanz zurückzuweisen, damit das Verfahren fortgesetzt werden und der Klägerin Frist zur Einreichung des Schadensquantitativs angesetzt werden kann.
b) Eventualiter: Die Rechtsstreitsache sei an die kantonale Vorinstanz zurückzuweisen, damit weitere Abklärungen insbesondere zur Frage nach der Methodenwahl (Osteosynthese oder Endoprothese) und zur Frage der geeigneten postoperativen Therapie vorgenommen werden können, worauf das Gericht neu zu entscheiden habe.
3. (...)."
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, allenfalls sie abzuweisen.
Die Beschwerdeführerin reichte am 12. März 2010 unaufgefordert eine Replik ein, die der Gegenpartei zur Kenntnisnahme zugestellt wurde.
Der Beschwerde wurde mit Präsidialverfügung vom 3. März 2010 die aufschiebende Wirkung gewährt.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegenstand des angefochtenen Entscheids sind Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, kann dagegen nach Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465).
Die von der Beschwerdeführerin gestützt auf die unrichtige Rechtsmittelbelehrung der Vorinstanz als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bezeichnete Eingabe ist daher als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen, soweit sie die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 466).
1.2 Das Verwaltungsgericht wies die Klage ab, nachdem es die Haftungsvoraussetzung der Widerrechtlichkeit verneinte. Sein Entscheid stellt damit einen verfahrensabschliessenden Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG dar. Das Verwaltungsgericht fällte diesen als kantonalrechtlich einzige Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Der Umstand, dass das Verwaltungsgericht die Anforderungen des BGG an die kantonalen Vorinstanzen (Art. 75 Abs. 2 Satz 2 BGG) insofern nicht erfüllt, als es nicht als Rechtsmittelinstanz entschied, hindert das Eintreten auf die Beschwerde nicht, da die Frist für die kantonalen Ausführungsvorschriften (Art. 130 Abs. 2 BGG) noch läuft (<ref-ruling> E. 2.2.2.2 und 2.2.2.3).
1.3 Die vorliegende Streitsache beschlägt eine vermögensrechtliche Angelegenheit. Die Beschwerde in Zivilsachen kommt daher nur in Betracht, sofern der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG); dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stelle, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend (Art. 42 Abs. 2 und Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
Die Vorinstanz äusserte sich entgegen der Vorschrift in Art. 112 Abs. 1 lit. d BGG nicht zum Streitwert und traf auch keine tatsächlichen Feststellungen, die dem Bundesgericht eine Bestimmung des Streitwerts nach Art. 51 Abs. 1 BGG erlauben würden. Die Beschwerdegegnerin bestreitet, dass die Streitwertgrenze von 30'000 Franken erreicht werde, da es im vorliegenden Prozess nur um die Erstbehandlung in K._ gehe, die den Schenkelhalsbruch betraf. Da dieser heute als geheilt angesehen werden dürfe, könnten als Streitwert lediglich die Kosten der Erstoperation, die sich später als unnütz erwiesen habe, bzw. der entsprechenden Krankenbettzeit gelten, soweit diese überhaupt der Beschwerdeführerin angefallen seien. Die Folgen der Re-Operation in Solothurn bzw. der Nervenverletzung, die sich dabei ereignete, beträfen das Spital K._ nicht und stellten Gegenstand eines separaten Prozesses dar. Die Beschwerdeführerin bestreitet in ihrer Replik, dass die Streitwertgrenze von 30'000 Franken nicht erreicht werde. Die Frage kann allerdings vorliegend mit Blick auf den Umstand offen gelassen werden, dass die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde nicht - jedenfalls nicht rechtsgenüglich (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287) - geltend macht, es sei Bundeszivilrecht verletzt, sondern einzig die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten rügt. Die Begründungsanforderungen an solche Rügen und die Kognition des Bundesgerichts bei deren Beurteilung unterscheiden sich im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen und im Rahmen der - bei Nichterreichen der Streitwertgrenze nach Art. 113 BGG gegebenen - subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht (vgl. Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 117 BGG sowie Art. 95 und 116 BGG).
1.4 Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 107 Abs. 2 BGG), darf sich die Beschwerdeführerin grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.). Diese Voraussetzung ist vorliegend offensichtlich erfüllt, nachdem die Vorinstanz lediglich über die Frage einer Sorgfaltspflichtverletzung bzw. der Widerrechtlichkeit entschieden und zu den übrigen Haftungsvoraussetzungen keine tatsächlichen Feststellungen getroffen hat. Der gestellte Beschwerdeantrag ist somit genügend, soweit die Beschwerdeführerin die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache zur Sachverhaltsergänzung und Neubeurteilung beantragt.
Auf die gestellten Feststellungsbegehren kann nicht eingetreten werden, da den beantragten Feststellungen keine eigenständige Bedeutung zukommt. Diese betreffen vielmehr Vorfragen, die sich im Rahmen der Beurteilung der erhobenen - und gegebenenfalls im späteren Verfahren zu beziffernden - Schadenersatzansprüche stellen, und die in der Begründung des vorliegenden Urteils im Falle einer Gutheissung und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz soweit erforderlich verbindlich beurteilt werden (<ref-ruling> E. 2).
1.5 Auf die Beschwerde, die von der mit ihren Anträgen im kantonalen Verfahren unterlegenen Partei (Art. 76 Abs. 1 BGG) fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereicht wurde, ist unter Vorbehalt der vorstehenden Ausführungen und der rechtsgenügenden Begründung einzutreten.
2. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Es ist unerlässlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2). Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, kann sich nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Wird Willkür in der Ermittlung des Sachverhalts geltend gemacht, ist zu beachten, dass dem Sachrichter in der Beweiswürdigung ein breiter Ermessensspielraum zusteht; der Beschwerdeführer hat daher darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweise übersehen oder willkürlich ausser Acht gelassen habe (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4b S. 40; <ref-ruling> E. 1b S. 30). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, namentlich auf bloss appellatorische Vorbringen, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.3, 396 E. 3.1 S. 399). Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozessrechtskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_526/2008 vom 21. Januar 2009 E. 3.2).
Diese Grundsätze lässt die Beschwerdeführerin über weite Strecken ausser Acht. So stellt sie ihren rechtlichen Ausführungen zunächst eine ausführliche eigene Sachverhaltsdarstellung voran. Darin - wie auch in ihrer weiteren Beschwerdebegründung - ergänzt sie die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nach Belieben bzw. weicht von diesen in vielfacher Hinsicht ab, ohne dazu jedoch rechtsgenügliche Sachverhaltsrügen zu erheben, die dem Bundesgericht gegebenenfalls eine Korrektur oder Ergänzung des im angefochtenen Urteil festgestellten Sachverhalts erlauben könnten. In ihren rechtlichen Ausführungen unterbreitet sie dem Bundesgericht zu grossen Teilen bloss in appellatorischer Weise ihre im kantonalen Verfahren eingenommenen Standpunkte zu tatsächlichen Fragen (falsche Methodenwahl beim operativen Eingriff [Osteosynthese statt Vollprothese], Nichterkennen des postoperativen Mangels bzw. Diagnosefehler, Unterlassen der gebotenen postoperativen Therapie), wobei sie sich unter freier Ergänzung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts direkt auf die ihr günstig scheinenden Passagen aus im Prozess aufgelegten medizinischen Gutachten oder aus der medizinischen Literatur stützt, ohne sich aber hinlänglich mit den entscheidrelevanten Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen und darzulegen, inwiefern deren darauf gestützten Schlüsse bundesrechtswidrig sein sollen. Mit ihren weitgehend appellatorischen Vorbringen scheint sie zu verkennen, dass das Bundesgericht keine letzte Appellationsinstanz ist, die von den Parteien mit vollkommenen Rechtsmitteln angerufen werden könnte. Auf solche Ausführungen ist nicht einzutreten.
Soweit sich der Beschwerde überhaupt Rügen von Bundesrechtsverletzungen entnehmen lassen, ist dazu was folgt auszuführen:
3. Die Vorinstanz prüfte zunächst, ob die Beschwerdeführerin aufgrund einer ausreichenden ärztlichen Aufklärung in die Operation vom 6. April 2001 eingewilligt hatte. Sie erwog dazu, nach dem gerichtlichen Gutachten der Klinik Y._ erbringe die Frühbehandlung von Frakturen bessere Ergebnisse, mithin sei eine rasche Operation nach dem Unfall angezeigt gewesen und könnten an die ärztliche Aufklärungspflicht nicht allzu hohe Anforderungen gestellt werden. Den effektiven Beweis, dass die Beschwerdeführerin präoperativ ausreichend über die Art und die Risiken der Operation aufgeklärt worden sei, erachtete die Vorinstanz allerdings als gescheitert. Hingegen ging sie von deren hypothetischer Einwilligung aus. Sie hielt es für erwiesen, dass die Beschwerdeführerin beim Eintritt ins Spital K._ unter starken Schmerzen litt, deswegen unter dem Einfluss von starken bis sehr starken Schmerzmitteln (Morphin, Pethidin) stand und in ihrer Kognitionsfähigkeit massiv eingeschränkt ("benebelt") war. Eine detaillierte Aufklärung sei deshalb gar nicht möglich und sinnvoll gewesen. Es habe sich zwar nicht um einen eigentlichen Notfall gehandelt, bei dem es um Leib und Leben gehe. Da bei einer Schenkelhalsfraktur die frühestmögliche Behandlung empfohlen werde und die Beschwerdeführerin unter starken Schmerzen gelitten habe, sei aber trotzdem Eile geboten und die sofortige Operation angezeigt gewesen. Auch die Implantierung eines künstlichen Hüftgelenks habe nicht zur Diskussion stehen können, habe die Beschwerdeführerin doch vorher mit ihrem rechten Hüftgelenk nicht das geringste Problem gehabt.
Die Beschwerdeführerin rügt, die vorinstanzliche Feststellung, dass sie am 6. April 2001 hypothetisch in den erfolgten operativen Eingriff eingewilligt habe, beruhe auf einer willkürlichen Beweiswürdigung. Sie bringt indessen nichts vor, was die vorinstanzliche Beweiswürdigung die zum beanstandeten Schluss führte, als offensichtlich unhaltbar erscheinen liesse. Sie setzt sich kaum mit dieser auseinander und legt nicht dar, weshalb die Vorinstanz damit in Willkür verfallen sein soll, sondern behauptet zunächst lediglich in appellatorischer Weise gestützt auf verschiedene Urkunden sowie im angefochtenen Urteil keine Stütze findende Umstände, sie sei bei der Einlieferung ins Spital bei klarem Bewusstsein und in der Lage gewesen, Entscheidungen zu treffen. Dabei übersieht sie, dass es dem Willkürverbot nicht widerspricht, wenn das Sachgericht einzelne Beweise oder Indizien anders gewichtet als eine der Parteien oder Schlüsse zieht, die in vertretbarer Weise auch anders hätten ausfallen können (vgl. 124 I 170 E. 4 S. 175; <ref-ruling> E. 1c S. 51; <ref-ruling> E. 4b/c). Auch soweit die Beschwerdeführerin den vorinstanzlichen Schluss beanstandet, dass vorliegend eine sofortige Operation angezeigt gewesen sei, beschränkt sie sich auf bloss appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Begründung, indem sie dieser im Wesentlichen entgegenhält, frühestmöglich müsse nicht "innert Stunden", sondern könne auch "innert Tagen" bedeuten. Damit vermag sie keine Willkür darzutun. Die Beschwerde ist insoweit unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
4. Der Vorinstanz lagen drei Gutachten zur Frage vor, ob eine fehlerhafte Behandlung der Beschwerdeführerin stattgefunden hatte, die eine Re-Operation notwendig machte: Ein Gutachten von Dr. med. B._ vom Kantonsspital Aarau, das am 3. Januar 2005 im Auftrag der die Beschwerdeführerin vertretenden Z._-advocare und mit Einverständnis der Beschwerdegegnerin erstellt und von beiden Parteien als Beweismittel angerufen wurde. Ein Gutachten von Prof. Dr. med. C._ vom 30. März 2007, das auf Veranlassung des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin und im Auftrag des Instituts für Interdisziplinäre Medizinische Begutachtungen ausgearbeitet wurde. Ferner ein von der Vorinstanz selber bei der Y._ Klinik in Auftrag gegebenes gerichtliches Gutachten von Dr. med. D._ und Dr. med. E._, datierend vom 16. Januar 2009. Prof. C._ vertrat die Auffassung, es sei zu früh voll belastet worden, worin eine Sorgfaltspflichtverletzung liege. Demgegenüber kamen die Gutachten von Dr. B._ und der Y._ Klinik zum Schluss, es seien dem Spital K._ bzw. der Beschwerdegegnerin keine Sorgfaltspflichtverletzung vorzuwerfen bzw. Behandlungsfehler, die auf eine Sorgfaltspflichtverletzung schliessen liessen. Die Vorinstanz würdigte die drei Gutachten eingehend und folgte im Wesentlichen den beiden letztgenannten, insbesondere, weil sie diese im Gegensatz zu demjenigen von Prof. C._ als vollständig, nachvollziehbar und schlüssig betrachtete.
4.1 Die Beschwerdeführerin vertritt die Ansicht, um ihrem Alter und Vorzustand (Osteoporose, Multiple Sklerose [MS]) gerecht zu werden, hätte anstelle der am 6. April 2001 vorgenommenen Osteosynthese ein künstliches Hüftgelenk eingesetzt werden müssen. Sie rügt in diesem Zusammenhang, die Vorinstanz habe sich "von möglichen plausiblen Deutungen leiten lassen, die indessen einen anderen medizinischen Verlauf nicht ausschliessen" würden, und daher dazu keine verbindliche Tatsachenfeststellung im Sinne von Art. 105 Abs. 1 BGG getroffen. Sie wirft der Vorinstanz vor, ihren Antrag, es sei den Gutachtern der Y._ Klinik eine diesbezügliche Ergänzungsfrage zu unterbreiten, unter Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör abgewiesen zu haben. Ferner habe sie einen Fehler in der Methodenwahl unter willkürlicher Ausserachtlassung eines diesbezüglichen "Schuldeingeständnisses" der Beschwerdegegnerin verneint.
Damit vermag sie keine auf einer Verletzung von Bundesrecht beruhende unvollständige oder offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung aufzuzeigen.
4.1.1 Die Vorinstanz erwähnte den Standpunkt der Beschwerdeführerin, es hätte von allem Anfang an eine Vollprothese eingebaut werden müssen in ihrer Begründung und überging diesen mithin nicht. Keiner der drei Gutachter hielt aber in den von der Vorinstanz im angefochtenen Urteil wiedergegebenen Passagen seiner Ausführungen dafür, es stelle ein aus medizinischer Sicht nicht vertretbares Vorgehen dar, dass nicht von Anfang an eine Endoprothese eingesetzt worden sei. Dies gilt auch für Prof. C._, dessen Objektivität von der Vorinstanz stark in Frage gestellt wurde, weil sein Gutachten von Seiten der Beschwerdeführerin veranlasst worden sei und er nur deren Standpunkt, nicht aber denjenigen der Beschwerdegegnerin gekannt habe. Dieser hielt fest, über die zu frühe Vollbelastung des rechten Beines hinaus seien keine zusätzlichen Fehler in der Behandlung der Beschwerdeführerin evident. Zur Methodenwahl führte er lediglich aus, es hätte "schon anlässlich des ersten Eingriffes, Schenkelhalsfraktur bei schwerer Osteoporose" die Behandlungsalternative einer Totalprothese in die therapeutischen Überlegungen einfliessen können; auch dann wäre allerdings vom grundsätzlichen Risiko eines möglichen Nervenschadens postoperativ auszugehen gewesen. Angesichts dieser gutachterlichen Befunde durfte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, dass im gewählten Vorgehen mittels Osteosynthese keine nach den Regeln der ärztlichen Kunst nicht vertretbare bzw. eine fehlerhafte Methodenwahl lag (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4a S. 413; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 124).
4.1.2 Der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende Anspruch auf Abnahme und Würdigung rechtzeitig und formrichtig angebotener Beweismittel (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 242; <ref-ruling> E. 4a mit Hinweisen) schliesst eine vorweggenommene Beweiswürdigung nicht aus, verbietet dem Gericht also nicht, einem beantragten Beweismittel die Erheblichkeit oder Tauglichkeit abzusprechen oder auf die Abnahme von Beweisen zu verzichten, wenn das Gericht aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und willkürfrei davon ausgehen darf, diese würde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.1 S. 429).
Die Vorinstanz wies den Antrag auf Stellung von Ergänzungsfragen an die Gutachter der Y._ Klinik mit entsprechender Begründung ab. Sie verwies in ihrem Urteil auf die Verfügung vom 27. April 2009, mit der der Vizepräsident 17 beantragte Ergänzungsfragen im Wesentlichen mit der Begründung ablehnte, Differenzen in den Gutachten C._ und D._/E._ (Y._ Klinik) vermöge das Verwaltungsgericht ohne weitere Ergänzungen der gerichtlichen Experten (Y._ Klinik) zu würdigen und die Antworten auf weitere Fragen ergäben sich aus dem Gesamtzusammenhang; weiteren Fragen komme keine Relevanz zu oder diese bezögen sich auf die Behandlung im Bürgerspital. Die Beschwerdeführerin zeigt nicht rechtsgenüglich auf und es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz angesichts des in der vorstehenden Erwägung 4.1.1 Ausgeführten in Willkür verfallen sein soll, wenn sie einen (Kunst)Fehler in der Methodenwahl unter antizipierter Würdigung der möglichen Antworten auf die entsprechende Ergänzungsfrage, welche die Beschwerdeführerin den Gutachtern der Y._ Klinik vorzulegen beantragt hatte, verneinte. Ihre Ausführungen, in denen sie in rein appellatorischer Weise und unter freier Ergänzung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts, ohne dazu hinreichend begründete Sachverhaltsrügen zu erheben, geltend macht, das Gutachten der Y._ Klinik sei lückenhaft und beantworte entscheidende Fragen nicht, ohne darzulegen, weshalb die gegenteilige Ansicht der Vorinstanz offensichtlich unhaltbar sein soll, sind nicht zu hören (vorstehende Erwägung 2). Die Rüge, die Vorinstanz habe den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie den Antrag auf Stellung der entsprechenden Ergänzungsfrage abwies, erweist sich damit als unbegründet, soweit sie überhaupt genügend motiviert ist.
4.1.3 Den Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Urteil lassen sich sodann keine Umstände entnehmen, aus denen die Vorinstanz auf ein tatsächliches Schuldeingeständnis der Beschwerdegegnerin in dem Sinn hätte schliessen müssen, dass infolge der bei der Beschwerdeführerin bestehenden MS von allem Anfang an eine Endoprothese hätte eingesetzt werden müssen. Die Beschwerdeführerin beruft sich für das Vorliegen eines solchen Eingeständnisses zum einen auf die von der Beschwerdegegnerin eingereichte Urkunde 8 vom 6. April 2001, aus der hervorgehe, dass die seit fünf Jahren bestehende MS im Zeitpunkt des Spitaleintritts der Beschwerdeführerin bekannt war, und zum anderen auf den Austrittsbericht des Spitals K._ vom 24. April 2001, wo nach Feststellung der Dislokation der Schraube festgehalten wurde, es sei die Indikation zum Verfahrenswechsel auf eine belastungsstabile zementierte Kopfendoprothese gestellt worden, da wegen MS eine Mobilisation ohne Belastung nicht möglich sei. Die Beschwerdeführerin hält dafür, dass damit implizit bestätigt werde, dass eine Totalprothese der Hüfte von Anfang an die bessere Lösung gewesen wäre. Damit tut sie indessen nicht dar und es ist auch nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz in Willkür verfallen wäre, indem sie aus den genannten Urkunden kein Schuldeingeständnis einer ursprünglich falschen Methodenwahl ableitete. Es ist nicht offensichtlich unhaltbar, wenn die Vorinstanz den Grund für den Verfahrenswechsel nicht in der vorbestehenden MS, sondern in der erfolgten Dislokation der Schraube erblickte, die eine erneute Belastung ohne Einsatz einer Endoprothese nicht erlaubte.
4.2 Die Vorinstanz verneinte auch das Vorliegen von postoperativen Behandlungsfehlern, wie sie von Prof. C._ befürwortet worden waren. Sie widersprach zunächst den Ausführungen dieses Gutachters, es seien im Spital K._ in Bezug auf die Frage, wann nach der Operation eine Vollbelastung der Hüfte stattfinden dürfe, widersprüchliche Anordnungen des Operationsarztes und einer unbekannten Person im "Kurvenblatt" erfolgt, in dem vermerkt worden sei "Teilbelastung -> wenn k(eine) Schmerzen Vollbelastung". So übersehe der Gutachter, dass auch in der Pflegeanleitung des Operateurs vermerkt sei, dass eine Vollbelastung erfolgen könne, wenn die Patientin keine Schmerzen habe. Insbesondere hielt die Vorinstanz aber dafür, es gehe aus der Krankengeschichte eindeutig hervor, dass die Beschwerdeführerin immer wieder über Schmerzen geklagte habe, also nie eigentlich schmerzfrei gewesen sei. Es sei deshalb höchst unwahrscheinlich, dass die vom Gutachter angenommene Vollbelastung tatsächlich stattgefunden habe. Jedenfalls sei durch nichts erwiesen, dass die Vollbelastung tatsächlich stattgefunden habe. Wenn die Vorinstanz an anderer Stelle des angefochtenen Urteils auch davon sprach, die Beschwerdeführerin sei mit relativer Vollbelastung mobilisiert worden, verneinte sie damit doch klar, dass eine effektive Vollbelastung erfolgt sei.
Es ist unbehelflich, wenn die Beschwerdeführerin, ohne sich mit diesen Ausführungen auseinanderzusetzen und darzulegen, weshalb die entsprechende Beweiswürdigung der Vorinstanz willkürlich sein soll, unter freier Ergänzung des von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalts behauptet, es habe am 10. April 2001 auf eine den Instruktionen des Operateurs widersprechende Anweisung hin tatsächlich eine Vollbelastung stattgefunden, nachdem in fehlerhafter Interpretation eines Röntgenbildes vom 9. April 2001 die erkennbare Dislokation der Schraube nicht erkannt worden sei. Auf diese rein appellatorischen Vorbringen ist nicht einzutreten.
4.3 Die Beschwerdeführerin rügt auch in allgemeiner Weise, die Vorinstanz habe den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie ihre Ergänzungsfragen zum Gutachten der Y._ Klinik nicht beantworten liess, obwohl sie mit Verfügung vom 4. Februar 2009 die Beschwerdeführerin noch ausdrücklich aufgefordert habe, Ergänzungsfragen zu stellen. Der Antrag sei mit Verfügung des Gerichts vom 27. April 2009 mit einer floskelhaften Begründung abgewiesen worden, wonach sich die Antworten ohnehin bereits aus dem Gutachten der Y._ Klinik ergäben. Indessen sei das Gutachten insbesondere auch im Hinblick auf die Methodenwahl und in Bezug auf die Frage der medizinischen Indikation (Osteosynthese oder Endoprothese) unvollständig und somit lückenhaft und habe jede der insgesamt 17 gestellten Ergänzungsfragen ihre Berechtigung.
Zum unbegründeten, soweit überhaupt rechtsgenüglich motivierten, Vorwurf an die Vorinstanz, die Ergänzungsfragen zur Beantwortung der Frage nach einer Sorgfaltspflichtverletzung bei der Methodenwahl unter Verletzung des Gehörsanspruchs nicht zugelassen zu haben, wurde vorstehend (Erwägung 4.1.2) bereits Stellung genommen. Inwiefern es willkürlich sein soll, die in anderem Zusammenhang gestellten Ergänzungsfragen unter vorweggenommener Beweiswürdigung abzuweisen, legt die Beschwerdeführerin nicht, jedenfalls nicht rechtsgenüglich dar. So zeigt sie nicht hinreichend auf, bezüglich welchen konkreten und wesentlichen Fragen die Schlüsse offensichtlich unhaltbar sein sollen, welche die Vorinstanz aufgrund der vorhandenen Beweise zog, und weshalb die Vorinstanz in Willkür verfallen sein soll, wenn sie annahm, weitere Beweiserhebungen würden an ihrer durch die bereits vorliegenden Expertenäusserungen gewonnenen Überzeugung nichts ändern. Auf die entsprechende Gehörsrüge kann mangels rechtsgenügender Begründung nicht eingetreten werden.
Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs ist es nicht zulässig, formelle Rügen, die in einem früheren Prozessstadium hätten geltend gemacht werden können, bei ungünstigem Ausgang noch später vorzubringen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4b; <ref-ruling> E. 5b S. 155, je mit Hinweisen). Die Beschwerdegegnerin macht geltend, die Beschwerdeführerin hätte die Möglichkeit gehabt, einen Antrag auf mündliche Befragung der Experten anlässlich der Hauptverhandlung einzubringen oder den Antrag auf Stellung von Ergänzungsfragen an der Hauptverhandlung vor dem Kollegialgericht zu wiederholen. Nach dem vorstehend Ausgeführten kann offen bleiben, wie es sich damit verhält, und ob allenfalls auf die Gehörsrüge auch wegen Verwirkung nicht eingetreten werden kann.
4.4 Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz sodann vor, den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt zu haben, indem sie sich nicht mit der Stellungnahme von Prof. C._ vom 24. Juli 2009 zum gerichtlichen Gutachten der Y._ Klinik auseinandergesetzt habe, obwohl die darin gezogenen Schlussfolgerungen zwingend zur Nichtverwertbarkeit des Gutachtens der Y._ Klinik hätten führen müssen.
Damit vermag sie indessen keine Gehörsverletzung darzutun. Die Vorinstanz nahm das privat veranlasste Gutachten von Prof. C._ als Parteivorbringen entgegen, das in der Beweiswürdigung zu beachten sei. Dies beanstandet die Beschwerdeführerin zu Recht nicht (vgl. <ref-ruling> E. 3.6). Entsprechend hat auch die unbestrittenermassen ebenfalls zu den Beweismitteln genommene Stellungnahme von Prof. C._ vom 24. Juli 2009 die Bedeutung einer blossen Parteibehauptung. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt unter anderem, dass das Gericht die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die grundsätzliche Pflicht des Gerichts, den Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 3.2 S. 236, je mit Hinweisen). Diesen Anforderungen an die Begründung genügt das angefochtene Urteil. So legte die Vorinstanz darin eingehend dar, weshalb es der Meinung von Prof. C._ nicht folgte, sondern den Schlussfolgerungen der gerichtlichen Experten, deren Gutachten sie als formal und inhaltlich vollständig sowie nachvollziehbar und schlüssig beurteilte und in dem sie die für die Entscheidfindung wesentlichen Fragen beantwortet sah. Damit genügte sie dem Anspruch auf rechtliches Gehör.
5. Nach dem Ausgeführten verneinte die Vorinstanz die Haftungsvoraussetzung der Widerrechtlichkeit bzw. einer Sorgfaltspflichtverletzung ohne gegen Bundesrecht zu verstossen. Sie wies mithin die Klage zu Recht ab, so dass sich eine Beurteilung der übrigen Haftungsvoraussetzungen erübrigte. Auch das Bundesgericht braucht auf die Vorbringen der Beschwerdeführerin zur Frage der Kausalität nicht einzugehen.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. April 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer