Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Kläger, Beschwerdeführer) war ab dem 1. Januar 1993 bei der X._ AG als Produktmanager tätig. Mit Schreiben vom 18. Oktober 1995 kündigte die X._ AG das Arbeitsverhältnis fristlos. A._ beauftragte in der Folge Rechtsanwalt B._ (Beklagter, Beschwerdegegner) mit der Wahrung seiner Interessen.
A.b. Mit Vereinbarung vom 9. November 1995 hoben A._ und die X._ AG den Arbeitsvertrag per 31. Dezember 1995 auf und stellten fest, die Arbeitgeberin nehme die fristlose Kündigung zurück, gewähre A._ auf dessen Wunsch hin einen unbezahlten Sonderurlaub vom 18. Oktober bis 31. Dezember 1995 und habe ihm gegenüber keinerlei Zahlungsverpflichtungen mehr. B._ teilte A._ mit, er schliesse vereinbarungsgemäss das Mandat ab.
A.c. Mit Schreiben vom 21. Dezember 1995 wandte sich Dr. D._, Chefarzt der Stiftung Z._, an B._. Er teilte ihm mit, A._ sei in stationärer Behandlung und es sei bei ihm eine "schwere psychische Störung" festgestellt worden, weshalb ihm "aus deutscher Sicht" Krankentaggeld zustehe und dessen Kündigung wegen der bestehenden psychischen Krankheit nicht "durchführbar" gewesen sei.
A.d. Am 7. Februar 1996 gelangte B._ an die Kollektiv-Krankentaggeldversicherung (nachfolgend: Versicherung) der X._ AG und machte geltend, A._ habe wegen der während der Anstellungszeit eingetretenen Krankheit Anspruch auf Krankentaggelder. Die Versicherung teilte am 19. April 1996 mit, es bestehe keine Leistungspflicht. A._ habe einen unbezahlten Sonderurlaub bezogen, weshalb kein Erwerbsausfall infolge Krankheit entstanden sei. Zudem habe er nach Art. 8 Abs. 2 der Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) den Anspruch auf Versicherungsleistungen verloren, weil er ohne Zustimmung der Versicherung die Schweiz verlassen habe. Schliesslich müssten in der Annahme, dass A._ die Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz verloren habe, auch gestützt auf Art. 8 Abs. 3 AVB keine Leistungen ausbezahlt werden, weil die gesetzliche Lohnfortzahlungspflicht der Arbeitgeberin spätestens mit Dienstaustritt per Ende Dezember 1995 erloschen sei.
A.e. Am 24. April 1996 stellte B._ die Antwort der Versicherung A._ zu. Er teilte ihm mit, er rate von einer gerichtlichen Klage ab. Es sei davon auszugehen, dass die AVB vor Gericht standhalten würden. Ohne ausdrücklichen Gegenbericht schliesse er daher das Mandat ab. Am 5. Mai 1996 stellte er A._ die Honorarnote für seine Bemühungen vom 21. Dezember 1995 bis zum 30. April 1996 zu.
A.f. Am 29. Mai 1996 wandte sich Rechtsanwalt C._ (Litisdenunziat) aus Hamburg an die Versicherung. Er teilte mit, A._ habe ihn als Freund um Rat gefragt und ihm das Schreiben der Versicherung vom 19. April 1996 mit der Bitte um rechtliche Beurteilung vorgelegt. Er habe auch mit B._ noch einmal über diese Angelegenheit gesprochen. Seiner Auffassung nach bestehe auch unter Berücksichtigung von Art. 8 Abs. 2 und 3 AVB ein Anspruch auf Versicherungsleistungen. Die Versicherung hielt mit Schreiben vom 5. Februar 1997 an ihrem Standpunkt fest.
A.g. Mit Klage vom 22. April 2005 beantragte A._ dem Bezirksgericht Kreuzlingen, die X._ AG sei (im Sinne einer Teilklage) zur Zahlung von Fr. 38'989.50 nebst Zins zu verpflichten. Mit Urteil vom 20. November 2006 wies das Bezirksgericht Kreuzlingen die Klage mit der Begründung ab, die Parteien hätten am 9. November 1995 einen Aufhebungsvertrag abgeschlossen und sich damit per Saldo aller Ansprüche geeinigt.
Auf die dagegen erhobene Berufung des anwaltlich vertretenen A._ trat das Obergericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 25. Januar 2007 nicht ein, weil die Berufungserklärung zu spät eingereicht worden war. Ein Wiedererwägungsgesuch wies das Obergericht am 22. Mai 2007 ab. Auch mit einem Revisionsbegehren blieb A._ zunächst vor dem Bezirksgericht Kreuzlingen und danach vor dem Obergericht des Kantons Thurgau erfolglos.
Die Haftpflichtversicherung des betroffenen Rechtsanwalts entschädigte A._ nach Vergleichsverhandlungen mit Fr. 200'000.--.
B.
B.a. Mit Weisung vom 9. November 2010 klagte A._ beim Bezirksgericht Kreuzlingen gegen B._ unter Vorbehalt des Nachklagerechts auf Bezahlung von Fr. 12'577.20 nebst Zins (10 % der Gesamtschadenersatzforderung von Fr. 125'771.80). B._ liess Rechtsanwalt C._, Hamburg, den Streit verkünden. Dieser erklärte, "dem Rechtsstand auf Seiten des Klägers" beizutreten.
Mit Urteil vom 11. November 2011/5. April 2012 wies der Einzelrichter des Bezirksgerichts Kreuzlingen die Klage ab.
B.b. Dagegen erhob A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Thurgau und beantragte, B._ sei zur Zahlung von Fr. 12'577.20 zu verpflichten. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Bezirksgericht zurückzuweisen.
Mit Entscheid vom 30. August 2012 wies das Obergericht die Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 12. Dezember 2012 beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts aufzuheben und der Beschwerdegegner unter Vorbehalt des Nachklagerechts zur Zahlung von Fr. 12'577.20 nebst Zins zu verpflichten. Eventuell sei die Sache an das Obergericht oder an das Bezirksgericht zu neuer Entscheidung zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde in Zivilsachen sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sei abzuweisen, eventualiter sei nicht darauf einzutreten. C._ reichte eine Vernehmlassung ein, verzichtete aber auf einen Antrag. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Parteien reichten unaufgefordert Replik und Duplik ein. Mit Schreiben vom 21. und 22. März 2013 reichte der Beschwerdeführer zudem weitere Beweismittel ein.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
1.1. Bei der vorliegenden Streitsache handelt es sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit. Demnach ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig, sofern der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Da der angefochtene Entscheid ein Endentscheid (<ref-law>) ist, bestimmt sich der Streitwert nach den Begehren, die vor der Vorinstanz strittig geblieben sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1). Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ist bei einer Teilklage nicht die Gesamtschadenersatzforderung massgebend, sondern einzig der eingeklagte Betrag (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 174). Der Streitwert beträgt somit Fr. 12'577.20 und erreicht den von <ref-law> geforderten Mindestbetrag nicht.
1.2. Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nicht, ist die Beschwerde in Zivilsachen u.a. dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> ist sehr restriktiv auszulegen (<ref-ruling> E. 1.1). Die Voraussetzung von <ref-law> ist erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4, 397 E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.4 S. 648 f.). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 1.2 S. 496).
Der Beschwerdeführer bringt vor, dem Beschwerdegegner werde eine Niederlegung des Mandats zur Unzeit vorgeworfen. In Bezug auf das Verschulden gelte eine Beweislastumkehr. Das Gericht sei verpflichtet gewesen, dazu ein Beweisverfahren durchzuführen. Die Frage der praktischen Umsetzung der Beweislastumkehr im Zusammenhang mit anwaltshaftpflichtrechtlichen Fällen sei nach seiner Kenntnis vom Bundesgericht bislang nicht geprüft worden.
Der Beschwerdeführer verkennt, dass die Beweislastumkehr hinsichtlich des Verschuldens keineswegs eine Besonderheit bei anwaltshaftpflichtrechtlichen Fällen darstellt, sondern sich aus <ref-law> ergibt und nicht umstritten ist (vgl. nur <ref-ruling> E. 3.1 S. 124). Ob ein Beweisverfahren durchzuführen ist, muss jeweils im konkreten Fall entschieden werden und stellt ebenfalls keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung dar. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist folglich nicht einzutreten. Damit erweist sich zugleich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als grundsätzlich zulässig (<ref-law>).
1.3. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und präzise begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 und Art. 117 BGG). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.; je mit Hinweisen).
Soweit der Beschwerdeführer keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügt, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Dies gilt einerseits für die Rüge, die Vorinstanz habe kantonales Recht nicht richtig angewandt, und andererseits für diverse Rügen im Zusammenhang mit der behaupteten Sorgfaltspflichtverletzung und der behaupteten Mandatsniederlegung zur Unzeit.
1.4. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (<ref-law>). Die Replik darf nicht dazu verwendet werden, die Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.3.4). Soweit sich der Beschwerdeführer mit seiner Replik und seinen Eingaben vom 21. und 22. März 2013 nicht an diesen Grundsatz hält, bleiben diese unberücksichtigt.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4).
Wird Willkür in der Ermittlung des Sachverhalts geltend gemacht, ist zu beachten, dass dem Sachrichter in der Beweiswürdigung ein breiter Ermessensspielraum zusteht; die beschwerdeführende Partei hat daher darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweise übersehen oder willkürlich ausser Acht gelassen habe (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4b S. 40; <ref-ruling> E. 1b S. 30). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, namentlich auf bloss appellatorische Vorbringen, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.3, 396 E. 3.1 S. 399).
2.2. Diese Grundsätze verkennt der Beschwerdeführer in mehrfacher Hinsicht.
2.2.1. So stellt er seiner Beschwerde eine Darstellung des Sachverhalts aus eigener Sicht voran, ohne dabei substanziierte Sachverhaltsrügen zu erheben. Die entsprechenden Ausführungen sind für das Bundesgericht unbeachtlich.
2.2.2. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe in ihrer Erwägung 3 verschiedentlich den Sachverhalt willkürlich festgestellt. Er lässt dabei unberücksichtigt, dass die Vorinstanz in dieser Erwägung einzig die Ausführungen des erstinstanzlichen Gerichts wiedergibt. Die vom Beschwerdeführer dagegen erhobenen Sachverhaltsrügen behandelt die Vorinstanz in Erwägung 4. Dass die Vorinstanz die Erwägungen des erstinstanzlichen Gerichts falsch wiedergegeben hätte, bringt der Beschwerdeführer nicht vor. Die Rüge geht somit fehl.
2.2.3. Der Beschwerdeführer rügt weiter, entgegen der Ansicht der Vorinstanz würden seine Sachverhaltsrügen gegen das erstinstanzliche Urteil entscheidrelevante Tatsachen betreffen. Insbesondere sei relevant, dass eine Vertreterin der Haftpflichtversicherung des Beschwerdegegners mehrfach geäussert habe, dieser hätte die Krankentaggelder ohne Weiteres einfordern können und er habe den Fall aus Desinteresse nicht weiter betreut.
Die Ausführungen des Beschwerdeführers beschränken sich grösstenteils auf appellatorische Kritik und die Darstellung seiner eigenen Sichtweise. Dabei geht er in wichtigen Punkten nicht auf die Erwägungen der Vorinstanz ein. So hat diese etwa ausgeführt, die Meinungsäusserungen einer Sachbearbeiterin der Haftpflichtversicherung seien für die Urteilsfindung nicht bindend. Das Gericht habe im Rahmen der richterlichen Rechtsfindung eigene Erwägungen darüber anzustellen, ob der Beschwerdegegner seine Sorgfaltspflicht verletzt habe. Gegen diese Erwägungen bringt der Beschwerdeführer nichts vor. Damit genügt er den Begründungsanforderungen nicht.
3.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz mehrfache Verletzungen seines rechtlichen Gehörs vor.
3.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Gerichte die rechtserheblichen Vorbringen der Parteien anhören und bei der Entscheidfindung berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2 S. 242). Diese Garantien umfassen das Recht, von allen bei Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können, unabhängig davon, ob die Eingaben neue und/oder wesentliche Vorbringen enthalten. Es ist Sache der Parteien zu beurteilen, ob eine Entgegnung erforderlich ist oder nicht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 485 f., 154 E. 2.3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197; <ref-ruling> E. 4.3-4.6 S. 102 ff.; je mit Hinweisen). Aus <ref-law> wird zudem die Pflicht der Behörden abgeleitet, ihre Entscheide zu begründen. Die Begründung muss kurz die Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; je mit Hinweisen). Es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 3.2 S. 236).
3.2.
3.2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, er habe vor der Vorinstanz 18 Fälle von Gehörsverletzungen durch das erstinstanzliche Gericht gerügt. Auch eine Anzahl weniger gewichtiger Verfahrensfehler könne dazu führen, dass das Verfahren insgesamt als derart mangelhaft bezeichnet werden müsse, dass eine Heilung des rechtlichen Gehörs im Rechtsmittelverfahren ausgeschlossen sei. Dies habe die Vorinstanz verkannt.
3.2.2. Der Beschwerdeführer führt die 18 angeblichen Verletzungen seines rechtlichen Gehörs stichwortartig in einer Liste auf. Weitere Ausführungen zu allen aufgeführten Punkten enthält die Beschwerde nicht. Der Beschwerdeführer weist lediglich "stellvertretend" auf einen Punkt hin, den die Vorinstanz nicht berücksichtigt habe. Dies genügt nicht, um eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Vorinstanz nachzuweisen. Die Rüge ist unbegründet, soweit darauf überhaupt einzutreten ist.
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz weiter eine Gehörsverletzung im Zusammenhang mit einem Novum vor, das der Beschwerdegegner in seiner Duplik im erstinstanzlichen Verfahren vorgebracht haben soll. Der Beschwerdegegner habe in der Duplik neu behauptet, der Beschwerdeführer habe mit ihm zwischen dem 24. April und dem 5. Mai 1996 Kontakt aufgenommen und ihm seine Bankverbindung mitgeteilt. Mit Schreiben vom 21. November 2011 an den Einzelrichter habe der Beschwerdeführer jegliche Kontaktnahme bestritten, dies mit Verweis auf sein Schreiben vom 2. November 2011, wo er dies bereits festgehalten habe. Die Vorinstanz habe zu seiner Rüge, wonach das erstinstanzliche Gericht nicht auf sein Schreiben vom 21. November 2011 eingegangen sei, ebenfalls nicht ausdrücklich Stellung genommen. Damit liege eine klare Gehörsverletzung über beide Instanzen vor.
3.3.2. Der Beschwerdeführer hatte vor der Vorinstanz gerügt, das erstinstanzliche Gericht habe es unterlassen, ihn zu einer Stellungnahme zu der in der Duplik neu vorgebrachten Tatsachenbehauptung aufzufordern. Die Vorinstanz hat dazu ausgeführt, die Duplik sei dem Beschwerdeführer am 24. Oktober 2011 zugestellt worden. Es sei ihm freigestanden, auch ohne entsprechende Anordnung zu allfälligen Noven Stellung zu nehmen. Dies habe er denn auch in einem Punkt mit Schreiben vom 2. November 2011 getan. Abgesehen davon habe der Beschwerdegegner die vom Beschwerdeführer beanstandeten Äusserungen zumindest sinngemäss bereits in der Klageantwort vorgetragen. Schliesslich würde eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs im Berufungsverfahren geheilt.
3.3.3. Auch wenn die Vorinstanz das Schreiben des Beschwerdeführers vom 21. November 2011 nicht ausdrücklich erwähnt hat, so hat sie sich doch mit seiner Rüge befasst. Das erstinstanzliche Urteil wurde am 11. November 2011 gefällt, mithin nach Zugang des Schreibens vom 2. November 2011. Es wäre dem Beschwerdeführer ohne Weiteres frei gestanden, seine im Schreiben vom 21. November 2011 enthaltenen Ausführungen bereits zu diesem Zeitpunkt ohne ausdrückliche Aufforderung durch das erstinstanzliche Gericht vorzubringen. Der Beschwerdeführer führt denn auch selbst aus, er habe die angeblich neu vorgebrachte Tatsachenbehauptung des Beschwerdegegners bereits mit Schreiben vom 2. November 2011 bestritten. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist somit nicht dargetan.
3.4. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe die Ausführungen des erstinstanzlichen Gerichts betreffend die Gültigkeit und den Zeitpunkt der Unterzeichnung der Aufhebungsvereinbarung mit seiner ehemaligen Arbeitgeberin als zutreffend bezeichnet, ohne sich mit seinen ausführlich begründeten Argumenten auseinandergesetzt zu haben.
3.4.1. Die Vorinstanz hat ausgeführt, auf die Einwände des Beschwerdeführers gegen die zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz zur Aufhebungsvereinbarung brauche nicht eingegangen zu werden. Diese Fragen würden keine rechtliche Relevanz aufweisen, da es vorliegend ausschliesslich um die Vorgehensweise des Beschwerdegegners gegenüber dem Krankentaggeldversicherer gehe.
3.4.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Umstände des Zustandekommens der Aufhebungsvereinbarung seien nicht völlig irrelevant. So habe der Beschwerdegegner die Arbeitgeberin über die Schwere des Gesundheitszustands des Beschwerdeführers ins Bild gesetzt, die schwere Erkrankung aber bei der Mandatsniederlegung offensichtlich nicht mehr gewichtet. Zudem sei beachtlich, dass der Beschwerdegegner explizit auch zur Anspruchsdurchsetzung gegenüber der Arbeitgeberin mandatiert gewesen sei.
3.4.3. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers liegt auch hier keine Verletzung der Begründungspflicht vor. Die Vorinstanz hat seine Vorbringen zur Kenntnis genommen und sich mit ihnen befasst. Sie hat sich bewusst nicht inhaltlich mit seinen Argumenten auseinandergesetzt und hat begründet, weshalb sie dies nicht getan hat. Dies genügt den Anforderungen an die Begründungspflicht. Die Rüge ist unbegründet.
4.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Willkürverbots im Zusammenhang mit den vorinstanzlichen Erwägungen zur Mandatsniederlegung zur Unzeit.
4.1. Die Vorinstanz hat zum Kenntnisstand des Beschwerdegegners bei Mandatsabschluss ausgeführt, es könne nicht davon ausgegangen werden, dass dieser hätte annehmen müssen, der Beschwerdeführer wäre vollständig unfähig gewesen, die Ausführung der Dienstleistungen auf andere Weise vornehmen zu lassen. Das sei denn auch tatsächlich gar nicht der Fall gewesen. Der stationäre Klinikaufenthalt des Beschwerdeführers habe unbestrittenermassen am 23. April 1996 geendet. Der Beschwerdegegner habe zudem aufgrund des mit dem Litisdenunziaten anerkanntermassen geführten Telefonates davon ausgehen dürfen, dass der Beschwerdeführer bereits anderweitig um (auch rechtliche) Hilfe nachgesucht habe. Damit sei dieser nachweislich sehr wohl in der Lage gewesen, allenfalls mit Unterstützung durch seine Lebenspartnerin anderweitig um Unterstützung in seinen Angelegenheiten nachzusuchen, und der Beschwerdegegner habe davon auch ausgehen dürfen. Die Vorinstanz wies zudem darauf hin, dass die Verjährung der Leistungsansprüche gegenüber der Krankentaggeldversicherung erst ab Herbst 1997 eingetreten sei. Folglich verneinte die Vorinstanz eine Mandatsniederlegung zur Unzeit.
4.2. Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor, der Beschwerdegegner habe in der Korrespondenz mit der Arbeitgeberin im Dezember 1995 selbst auf die Schwere der Krankheit des Beschwerdeführers Bezug genommen. Entsprechend sei die Beurteilung der Vorinstanz widersprüchlich und willkürlich, der Beschwerdegegner habe nicht annehmen müssen, der Beschwerdeführer sei vollständig unfähig sich um Unterstützung zu kümmern. Willkürlich sei auch die Folgerung, dass die Lebenspartnerin und der Litisdenunziat sich um die Angelegenheit hätten kümmern können und müssen und dass der Beschwerdegegner damit von seinen Sorgfaltspflichten befreit gewesen sei.
4.3. Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399). Willkür liegt nicht schon vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist. Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen).
4.4. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers liegt im Umstand, dass der Beschwerdegegner selbst auf die Schwere der Krankheit des Beschwerdeführers Bezug genommen habe, kein Widerspruch zu den Erwägungen der Vorinstanz. Die entsprechende Korrespondenz datiert vom Dezember 1995. Der Beschwerdegegner hat sein Mandat Ende April 1996 niedergelegt. Der Beschwerdeführer hatte noch bis Herbst 1997 Zeit, seine Ansprüche gegenüber der Krankentaggeldversicherung einzufordern. Unter diesen Voraussetzungen ist die vorinstanzliche Erwägung, der Beschwerdegegner habe nicht annehmen müssen, der Beschwerdeführer sei vollständig unfähig, die Ausführung der Dienstleistungen auf andere Weise vornehmen zu lassen, nicht willkürlich. Der Beschwerdeführer bestreitet zudem nicht, dass der Litisdenunziat zumindest im Sinne einer Gefälligkeit die Rechtslage in Bezug auf die Taggelder geprüft, in dieser Sache mit dem Beschwerdegegner telefoniert und sich schriftlich an die Versicherung gewandt hat. Es ist nicht willkürlich, dies in die Beurteilung einzubeziehen und damit auch die Möglichkeiten des Beschwerdeführers zu berücksichtigen, sich bei seinen Angelegenheiten unterstützen zu lassen. Die Rügen erweisen sich damit als unbegründet.
5.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._ und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Mai 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Schreier