Sachverhalt:
A. C._, geboren 1964, arbeitete seit 1. Januar 1997 als Maschinenoperateur in der Firma Y._ AG. Am 2. Mai 2006 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Aargau zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Er gab an, seit einem Autoauffahrunfall am 16. Mai 2005 unter den Folgen eines HWS-Schleudertraumas zu leiden. Die IV-Stelle klärte die medizinischen und wirtschaftlichen Verhältnisse ab und gab beim Institut Z._ ein interdisziplinäres psychiatrisches und rheumatologisches Gutachten vom 18. August 2008 in Auftrag. Als Eingliederungsmassnahme gewährte die IV-Stelle C._ eine achtmonatige Einarbeitung am angestammten Arbeitsplatz mit monatlich abgestuften wöchentlichen Arbeitszeiten zwischen 14 Stunden (März 2009) und 40 Stunden (Oktober 2009). Dabei wurde eine 50%ige Arbeitsfähigkeit erreicht (Abschlussbericht Arbeitsvermittlung vom 4. November 2009). Per Ende Juni 2010 wurde dem Versicherten die Stelle gekündigt. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle C._ ab 1. August 2006 bis 31. Dezember 2007 eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 29. März 2011).
B. Die von C._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau gut; es hob die Verfügung auf und sprach dem Versicherten ab 1. August 2006 bis 31. Januar 2007 eine ganze, ab 1. Februar 2007 bis 31. März 2008 eine Dreiviertels-, ab 1. April 2008 bis 31. Januar 2010 eine Viertels- und ab 1. Februar 2010 eine halbe Rente zu (Entscheid vom 16. Mai 2012).
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 16. Mai 2012 sei aufzuheben und die Verfügung vom 29. März 2011 zu bestätigen; zudem ersucht sie, dem Rechtsmittel sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
C._ beantragt Abweisung der Beschwerde. Vorinstanz, Bundesamt für Sozialversicherungen und Vorsorgeeinrichtung X._ verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Streitig ist, ob der Beschwerdegegner Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung hat. Laut dem Gutachten des Instituts Z._ vom 18. August 2008 litt er (mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit) rheumatologisch an einem chronifizierten zervikozephalen Schmerzsyndrom und psychiatrisch an einer leichtgradig ausgeprägten chronifizierten depressiven Störung mit somatischem Syndrom. Das Versicherungsgericht ging davon aus, der Versicherte sei seit April 2008 bis auf weiteres in einer angepassten Tätigkeit wieder zu 80 % arbeitsfähig und sprach ihm gestützt auf einen Einkommensvergleich ab 1. August 2006 zeitlich gestaffelt eine ganze, eine Dreiviertels- und eine Viertelsrente sowie ab 1. Februar 2010 eine unbefristete halbe Rente zu. Demgegenüber vertritt die Beschwerdeführerin die Auffassung, das nach der Rechtsprechung zur Annahme einer Invalidität erforderliche medizinische Substrat, das die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit wesentlich beeinträchtige, liege nicht vor. Die attestierte somatoforme Schmerzstörung vermöge keine unüberwindbare Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu bewirken.
2. Das Vorliegen eines fachärztlich ausgewiesenen psychischen Leidens mit Krankheitswert - worunter anhaltende somatoforme Schmerzstörungen grundsätzlich fallen - ist aus rechtlicher Sicht wohl Voraussetzung, nicht aber hinreichende Basis für die Annahme einer invalidisierenden Einschränkung der Arbeitsfähigkeit (Urteil I 667/01 vom 17. Februar 2003 E. 3; ULRICH MEYER-BLASER, Der Rechtsbegriff der Arbeitsunfähigkeit und seine Bedeutung in der Sozialversicherung, namentlich für den Einkommensvergleich in der Invaliditätsbemessung, in: RENÉ SCHAFFHAUSER/FRANZ SCHLAURI [Hrsg.], Schmerz und Arbeitsunfähigkeit, St. Gallen 2003, S. 64 f. mit Anm. 93). Namentlich vermag nach der Rechtsprechung eine diagnostizierte anhaltende somatoforme Schmerzstörung als solche in der Regel keine langdauernde, zu einer Invalidität führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG zu bewirken (hierzu eingehend MEYER-BLASER, a.a.O., S. 76 ff., insb. S. 81 f.). Ein Abweichen von diesem Grundsatz fällt nur in jenen Fällen in Betracht, in denen die festgestellte somatoforme Schmerzstörung nach Einschätzung des Arztes eine derartige Schwere aufweist, dass der versicherten Person die Verwertung ihrer verbleibenden Arbeitskraft auf dem Arbeitsmarkt bei objektiver Betrachtung - und unter Ausschluss von Einschränkungen der Leistungsfähigkeit, die auf aggravatorisches Verhalten zurückzuführen sind (vgl. AHI 2002 S. 150 E. 2b; Urteile I 518/01 vom 24. Mai 2002 E. 3b/bb und I 53/02 vom 2. Dezember 2002 E. 2.2; siehe auch MEYER-BLASER, a.a.O., S. 83, 87 f.), - sozial-praktisch nicht mehr zumutbar oder dies für die Gesellschaft gar untragbar ist (<ref-ruling>; AHI 2001 S. 228 E. 2b mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 4c in fine; hinsichtlich somatoformer Störungen siehe insb. Urteile I 53/02 vom 2. Dezember 2002 E. 2.2, I 266/00 vom 5. Juni 2001 E. 1c, I 650/99 vom 2. März 2001 E. 2c, I 529/00 vom 8. Februar 2001 E. 3c und I 410/00 vom 19. Oktober 2000 E. 2b).
Die - nur in Ausnahmefällen anzunehmende - Unzumutbarkeit einer willentlichen Schmerzüberwindung und eines Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess setzt jedenfalls das Vorliegen einer mitwirkenden, psychisch ausgewiesenen Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer oder aber das Vorhandensein anderer qualifizierter, mit gewisser Intensität und Konstanz erfüllter Kriterien voraus. So sprechen für die ausnahmsweise Unüberwindlichkeit der somatoformen Schmerzstörung unter Umständen (1) chronische körperliche Begleiterkrankungen und mehrjähriger Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission, (2) ein ausgewiesener sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens, (3) ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn ["Flucht in die Krankheit"]) oder schliesslich (4) unbefriedigende Behandlungsergebnisse trotz konsequent durchgeführter ambulanter und/oder stationärer Behandlungsbemühungen (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) und gescheiterte Rehabilitationsmassnahmen bei vorhandener Motivation und Eigenanstrengung der versicherten Person (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 353 ff.).
Ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten, ist als Rechtsfrage frei überprüfbar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 65 f.).
3. Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt, es könne nicht wie von der Vorinstanz erwogen dahingestellt bleiben, ob und wieweit die dem Beschwerdegegner attestierte 20%ige Arbeitsunfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit auf die depressive Symptomatik oder auf die Schmerzstörung zurückzuführen sei. Die Vorinstanz habe mit dieser Feststellung Bundesrecht verletzt. Nach der Rechtsprechung brauche es zur Annahme einer Invalidität in jedem Fall ein medizinisches Substrat, das (fach)ärztlicherseits schlüssig festgestellt werde und nachgewiesenermassen die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit wesentlich beeinträchtige. Denn ein Versicherter könne mit einer zumutbaren Willensanstrengung die Überzeugung überwinden, krank und arbeitsunfähig zu sein. In casu liege kein unüberwindbarer Gesundheitsschaden vor und es sei von einer vollen Arbeitsfähigkeit in einer den körperlichen Beschwerden optimal angepassten Tätigkeit auszugehen.
4. 4.1 Im Gutachten des Instituts Z._ vom 18. August 2008 wurden mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit ein chronifiziertes zervikozephales Schmerzsyndrom (ICD-10 M53.0) sowie eine leichtgradig ausgeprägte chronifizierte depressive Störung mit somatischem Syndrom (ICD-10 F32.01) diagnostiziert. Bei letzterem Krankheitsbild beurteilt sich die Frage, inwieweit eine Arbeitsunfähigkeit aus medizinisch-psychiatrischer Sicht als invalidisierend auch im rechtlichen Sinne (Art. 4 Abs. 1 IVG sowie Art. 3 Abs. 1 und Art. 6 ATSG) anzuerkennen ist, nach der mit <ref-ruling> begründeten Rechtsprechung. Wie das Bundesgericht wiederholt dargelegt hat, stellt eine leichte depressive Störung, wie sie im vorliegenden Fall diagnostiziert wurde, keine Komorbidität (von erheblicher Schwere und Ausprägung) im Sinne der Rechtsprechung dar (SVR 2012 IV Nr. 1 S. 1, 9C_1040/2010; vgl. auch Urteil 9C_210/2012 vom 9. Juli 2012). Laut Gutachten sprach im August 2008 eine nur leicht gedrückte Stimmungslage bei ungestörten kognitiven Funktionen gegen das Vorliegen einer schweren psychischen Störung. Ein ausgewiesener sozialer Rückzug lag nicht vor. Die Gutachter verwiesen in diesem Zusammenhang auf Aussenkontakte, Restaurantbesuche und Teilzeitarbeit des Versicherten. Zudem war die Frequenz der ambulanten psychiatrisch-psychotherapeutischen Behandlung zu wenig engmaschig. Ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn; vgl. E. 2.2) war nicht gegeben, vielmehr gingen die Experten von einem sekundären Krankheitsgewinn (Entlastung) aus. Im Hinblick auf die sozialen Interaktionen erachteten sie die Leistungsfähigkeit des Exploranden nicht als vermindert. Sie schätzten im Untersuchungszeitpunkt die Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht in einer den Fähigkeiten entsprechenden Arbeitstätigkeit auf 80 % und erklärten, bei der Beurteilung der medizinisch-theoretischen Zumutbarkeit seien invaliditätsfremde Faktoren nicht mit eingeflossen.
4.2 Nach <ref-ruling> E. 5.3 und 6 S. 398 f. (= von der Vorinstanz angerufenes Urteil I 457/02 vom 18. Mai 2004) setzt die Annahme eines Gesundheitsschadens im Sinne von IVG und ATSG grundsätzlich voraus, dass im psychiatrischen Gutachten eine lege artis auf die Vorgaben eines anerkannten Klassifikationssystems abgestützte Diagnose gestellt wird. Nach der darauf bezogenen Rechtsprechung vermögen psychische Störungen der hier vorliegenden Art (ICD-10 F32.0 [leichte depressive Episode]) keine Arbeitsunfähigkeit zu begründen (Urteil 9C_323/2009 vom 14. Juli 2009 E. 5.4 mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat demnach im Einkommensvergleich zumindest ab dem Begutachtungszeitpunkt (August 2008) grundsätzlich zu Unrecht eine Arbeitsunfähigkeit in einer leidensadaptierten Tätigkeit von 20 % berücksichtigt. Das wirkt sich aber nicht als rechtswidrige Leistungszusprechung aus, weil vorerst die Wiedereingliederung am angestammten Arbeitsplatz versucht wurde, sodass der Versicherte solange nicht auf den allgemeinen Arbeitsmarkt und die Selbsteingliederung verwiesen werden konnte. Daher rechtfertigt es sich aufgrund der konkreten Gegebenheiten, in zeitlicher Hinsicht für die zumutbare Verwertung der Arbeitsfähigkeit an das Scheitern der Eingliederung am Arbeitsplatz (Ende Oktober 2009) anknüpfen. Die bis dahin weitergeführte angestammte Tätigkeit hat der gesundheitlichen Problematik nicht in optimaler Weise Rechnung getragen, weshalb dort nach dem Gutachten die Arbeitsunfähigkeit noch 30 % betragen hat. Nach dem Scheitern der Eingliederungsmassnahme konnte indes nicht mehr auf den langjährigen Arbeitsplatz Bezug genommen werden, weshalb der von der Vorinstanz erwogene Wechsel der Bemessungsgrundlage gerechtfertigt war und in Anwendung von Art. 88a Abs. 1 IVV die geänderte Entwicklung drei Monate später, d.h. auf den 1. Februar 2010 zu berücksichtigen war. Nach dem Gesagten verletzt die Beurteilung der Vorinstanz bis und mit Abschluss der gescheiterten Eingliederung Bundesrecht nicht.
4.3 Anders als durch die Vorinstanz entschieden, war die Rente indessen auf diesen Zeitpunkt nicht von einer Viertels- auf eine halbe Rente zu erhöhen, sondern hatte der Rentenanspruch bei einer dem Rückenleiden angepassten Tätigkeit gegenteils dahinzufallen, weil dem Versicherten bei einer attestierten psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit von 20 % die Willensanstrengung zumutbar war, seine Überzeugung zu überwinden, krank und arbeitsunfähig zu sein (vorne E. 2). Ab diesem Zeitpunkt ist IV-rechtlich von einer vollen Arbeitsfähigkeit in leidensadaptierten Verweistätigkeiten auszugehen. Dabei resultiert selbst bei Beachtung des von der Vorinstanz berücksichtigten Teilzeitabzuges von 5 % kein rentenbegründender Invaliditätsgrad von mindestens 40 % (Art. 28 Abs. 2 IVG). Nachdem sich der Invaliditätsgrad mit dem Scheitern der Eingliederung am Arbeitsplatz Ende Oktober 2009 in einer für den Rentenanspruch erheblichen Weise geändert hatte (vgl. aArt. 87 Abs. 2 IVV, in Kraft bis 31. Dezember 2011), verletzte die Vorinstanz insoweit Bundesrecht, als sie dem Beschwerdegegner ab 1. Februar 2010 trotz Fehlens eines anspruchserheblichen Invaliditätsgrades weiterhin eine Rente zusprach. Was die ihm bis 31. Januar 2010 zuerkannte abgestufte Rente betrifft, ist die Beschwerde hingegen nach dem Gesagten unbegründet.
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten verhältnismässig zu verlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist eine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 16. Mai 2012 wird insoweit, als dem Beschwerdegegner ab 1. Februar 2010 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zugesprochen wurde, aufgehoben. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden zu Fr. 300.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 200.- dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1000.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, der Vorsorgeeinrichtung X._, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. März 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Schmutz