Sachverhalt:
A. Die 1972 geborene C._ verletzte sich am ........ bei einem Autounfall am Rücken. Noch am selben Tag wurde sie notfallmässig operiert. Mit Verfügung vom 4. Mai 2005 sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Thurgau eine halbe Rente samt einer Kinderrente zu, vom 1. April bis 30. November 2003 sowie ab 1. August 2004. Am 22. Mai 2008 ersuchte C._ unter Hinweis auf einen weiteren 2005 erlittenen Unfall um eine Erhöhung der Rente. Mit Verfügung vom 30. Juni 2008 übernahm die IV-Stelle die leihweise Abgabe eines Rollstuhls als Hilfsmittel. Vom 1. September bis 18. Oktober 2008 hielt sich C._ (ein zweites Mal) zur neurologischen Rehabilitation in der Klinik X._ auf. Am ........ 2009 wurde aufgrund einer massiven Progredienz der Querschnittssymptomatik ein zweiter Eingriff am Rücken durchgeführt. Am 20. Oktober 2009 teilte die IV-Stelle mit, sie habe keine Änderung festgestellt, die sich auf die Rente auswirke. Es bestehe deshalb weiterhin Anspruch auf eine halbe Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 51 %).
Mit Schreiben vom 3. Februar 2010 ersuchte C._ die IV-Stelle um Überprüfung des aktuellen Invaliditätsgrades. Im Rahmen der Abklärungen wurde sie von Dr. med. B._, Spezialarzt FMH für Rheumatologie und Physikalische Medizin, Arbeitsmedizinisches Zentrum Y._, untersucht und begutachtet (Expertise vom 19. November 2010 mit Bericht über die Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit [EFL] vom 21. Dezember 2010). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach ihr die IV-Stelle mit zwei Verfügungen vom 6. Juli 2011 eine ganze Rente vom 1. Juli 2009 bis 31. Juli 2010 und eine halbe Rente vom 1. August 2010 bis 31. August 2011 samt einer Kinderrente zu.
B. Die Beschwerde der C._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht mit Entscheid vom 14. Dezember 2011 in dem Sinne teilweise gut, dass es bereits ab 1. Mai 2008 (befristet bis 31. Juli 2010) den Anspruch auf eine ganze Rente bejahte, den Antrag auf Ausrichtung einer solchen auch ab 1. August 2010 dagegen abwies.
C. C._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 14. Dezember 2011 und die Verfügung vom 6. Juli 2011 seien insoweit aufzuheben als ihr ab 1. August 2010 keine Invalidenrente mehr zugesprochen worden sei und es sei ihr ab diesem Zeitpunkt eine ganze Invalidenrente zuzusprechen, eventualiter die Sache zur Neuabklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, desgleichen das kantonale Verwaltungsgericht. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. In ihrer Stellungnahme zu den Eingaben der IV-Stelle und des kantonalen Gerichts hält C._ an der Beschwerde fest und bestätigt die gestellten Rechtsbegehren.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid spricht der Beschwerdeführerin eine ganze Invalidenrente vom 1. Mai 2008 bis 30. Juni 2009 zu und bestätigt die von der IV-Stelle zugesprochene ganze Rente vom 1. Juli 2009 bis 31. Juli 2010 sowie die halbe Rente vom 1. August 2010 bis 31. August 2011. Es geht somit um die rückwirkende Zusprechung einer abgestuften und befristeten Invalidenrente (vgl. dazu Art. 17 Abs. 1 ATSG und Art. 88a IVV; Urteil 8C_670/2011 vom 10. Februar 2012 E. 5.1).
2. Die Vorinstanz hat festgestellt, dem umfassenden, schlüssigen und nachvollziehbaren Gutachten des Zentrums Y._ vom 19. November/14. Dezember 2010 sei eine anspruchsrelevante Verbesserung des Gesundheitszustandes ab 1. Mai 2010 zu entnehmen. Aufgrund der ausreichend aussagekräftigen EFL bestehe eine Arbeitsfähigkeit von 80 % für eine sitzende Tätigkeit an Ort bei ergonomischer Ausgestaltung des Arbeitsplatzes mit der Möglichkeit für stündliche Pausen. Gestützt darauf hat sie durch Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG in Verbindung mit Art. 28a Abs. 2 IVG) einen nach Art. 88a Abs. 1 IVV grundsätzlich ab 1. August 2010 zu berücksichtigenden, nicht mehr anspruchsbegründenden Invaliditätsgrad von rund 24 % (Art. 28 Abs. 2 IVG) ermittelt.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin rügt, das Gutachten des Zentrums Y._ sei weder nachvollziehbar noch werde darin begründet, wieso davon ausgegangen werden müsse, dass ihr seit ca. einem halben Jahr vor der Begutachtung (Untersuchung vom 19. November und EFL vom 13. Dezember 2010) eine 80 %-Leistung in ergonomischer Sitzposition mit der Möglichkeit, stündliche Pausen einzulegen, zumutbar sei. Diese Annahme widerspreche sämtlichen Berichten der behandelnden Ärzte, mit denen sich der Experte nicht auseinandergesetzt habe, und beruhe zudem nicht auf einer echten Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit.
3.2 Einem ärztlichen Bericht kommt Beweiswert zu, wenn er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt und in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, wenn die Beschreibung der medizinischen Situation und Zusammenhänge einleuchtet und die Schlussfolgerungen des Arztes begründet sind (<ref-ruling> E. 3a S. 352; Urteil 9C_179/2011 vom 16. Mai 2011 E. 3.1.1).
3.2.1 Es trifft zu, dass sich der Gutachter des Zentrums Y._ nicht mit den Berichten der behandelnden Ärzte auseinandersetzte. Dies allein vermag jedoch unter den gegebenen Umständen den Beweiswert der Expertise nicht zu mindern. Zu beachten ist vorab, dass dem Gutachter diese Berichte bekannt waren; sie wurden im Aktenauszug erwähnt. Sodann hat die Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig und somit für das Bundesgericht verbindlich festgestellt (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG), die erwähnten Berichte stünden der gutachterlichen Einschätzung der Arbeitsfähigkeit nicht entgegen, da sie sich auf einen Zeitraum vor Mai 2010 bezögen.
3.2.2 Zur Zeitspanne nach der Operation vom ........ 2009 hat die Vorinstanz sodann festgestellt, im Bericht der Klinik X._ vom 29. August 2009 sei festgehalten worden, dass der aktuelle Mobilitätsgrad "fast wieder den präoperativen Stand" erreicht habe und das Zustandsbild "sehr gut mit dem präoperativen Zustand sowie mit dem zu erwartenden Resultat nach der Operation" übereinstimmen würde. Der rheumatologische Gutachter des Zentrums Y._ hielt unter "Beurteilung und Prognose" aufgrund der erhobenen Befunde sowie der subjektiven Angaben der Beschwerdeführerin fest, nach dem operativen Eingriff vom ........ mit Relaminektomie, Duraerweiterungsplastik und Spondylodese C4 bis B3 sei es zu einer wesentlichen Verbesserung der Paraspastik gekommen. Kurze Strecken Gehen an den Stöcken sei wieder möglich sowie selbständiges Stehen an einer Theke. Das zervikoradikuläre Syndrom C8 rechts sei deutlich regredient. Dass die Vorinstanz unter diesen Umständen auf die Beurteilung des Gutachters des Zentrums Y._ abgestellt und eine wesentliche Verbesserung des Gesundheitszustandes ab 1. Mai 2010 angenommen hat, stellt keine unhaltbare Beweiswürdigung dar (Urteil 9C_735/2010 vom 21. Oktober 2011 E. 3 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin verweist auf den Bericht des Spitals Z._, Medizinische Klinik Neurologie und klinische Neurophysiologie, vom 22. April 2010, wonach ihr Zustand im Verlaufe der Jahre immer schlechter geworden und sie mittlerweile "rollstuhlpflichtig" sei, ohne indessen hinreichend genau anzugeben, inwiefern die gerügten Feststellungen der Vorinstanz rechtswidrig oder mit einem klaren Mangel behaftet sind.
3.2.3 Im Weitern hat die Vorinstanz die Gründe dargelegt, weshalb die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit als kaufmännische Angestellte mit Aufgaben in der Kundenbetreuung von 50 % im Gutachten des Zentrums Y._ nachvollziehbar ist und die Ergebnisse der EFL trotz nur eines von zwei absolvierten Testtagen ausreichend aussagekräftig sind. Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht zum ersten Punkt. Unter diesen Umständen kann ihre Rüge, es bestehe ein Widerspruch zur Einschätzung der Arbeitsfähigkeit in leidensangepassten Tätigkeiten, kein Erfolg haben (Art. 41 Abs. 2 BGG). In Bezug auf die EFL bringt sie einzig vor, zumindest die Tests "Handkraft" und "Handkoordination" wären ausserordentlich wichtig gewesen. Sie legt indessen nicht dar, inwiefern sie diesbezüglich in funktioneller Hinsicht besonders eingeschränkt wäre.
3.3 Die Rügen betreffend das Gutachten des Zentrums Y._ sind somit nicht stichhaltig. Dass die Vorinstanz darauf abgestellt hat, verletzt daher weder den Untersuchungsgrundsatz noch den Grundsatz der freien Beweiswürdigung (Art. 61 lit. c ATSG) oder Beweiswürdigungsregeln.
4. Die vorinstanzliche Invaliditätsbemessung ist nicht bestritten. Es besteht im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG) kein Anlass zu einer näheren Prüfung. In zeitlicher Hinsicht ist die Vorinstanz aufgrund der wesentlichen Verbesserung des Gesundheitszustandes spätestens seit 1. Mai 2010 von einer anspruchsrelevanten Änderung des Invaliditätsgrades ab 1. August 2010 ausgegangen. Dies bedeutet, dass ab diesem Zeitpunkt kein Anspruch mehr besteht. Die Vorinstanz hat indessen von einer reformatio in peius für die Zeit bis 31. August 2011 bzw. von der Aufhebung der diesen Zeitraum betreffenden Verfügung vom 6. Juli 2011 abgesehen mit der Begründung, es sei wieder die ursprünglich zugesprochene halbe Rente ausgerichtet worden und eine Meldepflichtverletzung im Sinne von Art. 88bis Abs. 2 lit. b IVV könne kaum angenommen werden. Angesichts von Art. 107 Abs. 1 BGG erübrigen sich Weiterungen.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, der Ausgleichskasse Milchwirtschaft, Bern, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. April 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler