Sachverhalt:
A. Der 1953 geborene K._ verrichtete für die O._ AG von Juli 1979 bis August 2006 Maurer- und Kernbohrarbeiten. Ab 1. September 2006 war er als Maurer für die A._ AG tätig. Die Arbeitgeberin löste den Anstellungsvertrag durch schriftliche Kündigung vom 27. November 2006 per Ende November 2006 auf, wobei sich das Arbeitsverhältnis infolge der während der Kündigungsfrist aufgetretenen Krankheit des K._ bis Ende Dezember 2006 verlängerte. K._ bezog im Anschluss daran bis zum 28. November 2008 unter anderem direkt Krankentaggelder aus der Kollektivtaggeldversicherung der letzten Arbeitgeberin.
Am 2. Dezember 2006 stellte K._ erstmals Antrag auf Arbeitslosenentschädigung für die Zeit ab 1. Dezember 2006. Das Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Aargau verfügte am 20. Juni 2007, die generelle Vermittlungsfähigkeit könne ab 1. Dezember 2006 im Ausmass einer Vollzeitstelle als ausgewiesen betrachtet werden, und stellte fest, die ab 30. November 2006 bestehende 100%ige Arbeitsunfähigkeit weise keinen dauerhaften Charakter auf. Das Regionale Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) meldete K._ am 20. November 2007 auf den 31. Oktober 2007 unter Hinweis auf eine längere Krankheit von der Arbeitsvermittlung ab.
K._ beantragte am 6. Oktober 2008 (mit Ergänzung vom 24. November 2008) erneut die Ausrichtung von Arbeitslosentaggeldern, dieses Mal für die Zeit ab 1. Dezember 2008, mit der Bemerkung, er sei bereit und in der Lage, im Ausmass von 30 % einer Vollzeitbeschäftigung erwerbstätig zu sein. Das AWA lud die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Aargau daraufhin ein, die Auszahlungen ab 1. Dezember 2008 "im Sinne einer Vorleistung gemäss Art. 15 AVIV in Verbindung mit Art. 70 ATSG vorzunehmen" (Verwaltungsakt vom 14. Januar 2009). Mit Verfügung vom 16. März 2009 verneinte die Arbeitslosenkasse einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. Januar 2009 mit der Begründung, K._ habe weder die Beitragszeit erfüllt, noch liege ein Befreiungsgrund vor. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 7. Juli 2009).
B. In teilweiser Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde verpflichtete das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Kasse, K._ für die Zeit vom 1. bis 31. Dezember 2008 Arbeitslosentaggelder, "basierend auf einer 30%igen Arbeitslosigkeit", zu entrichten; im darüber hinausgehenden Umfang (Anspruch ab 1. Januar 2009) wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 27. April 2010).
C. K._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, der kantonale Gerichtsentscheid sei insoweit aufzuheben, als festzustellen sei, dass ab 1. Januar 2009 die Anspruchsvoraussetzungen für den Bezug von Arbeitslosenentschädigung erfüllt seien.
Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen zur Erfüllung der Beitragszeit (Art. 13 Abs. 1 AVIG) als eine der Voraussetzungen für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung (Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG), zu den Rahmenfristen (Art. 9 Abs. 1, 2 und 3 AVIG) und zur Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit (Art. 14 Abs. 1 AVIG) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Es steht fest und ist letztinstanzlich unbestritten, dass das Arbeitsverhältnis mit der A._ AG am 31. Dezember 2006 endete und der Versicherte bis zu diesem Zeitpunkt Lohn bezogen hatte, die erste Rahmenfrist für den Leistungsbezug somit vom 1. Januar 2007 bis 31. Dezember 2008 dauerte. Das kantonale Gericht ging in diesem Zusammenhang davon aus, dass in der ersten Leistungsrahmenfrist für die Dauer vom 1. bis 31. Dezember 2008 sämtliche Anspruchsvoraussetzungen erfüllt seien und dem Beschwerdeführer mit Blick auf seine Bereitschaft, eine Teilzeitanstellung im Umfang von 30 % zu suchen, Arbeitslosentaggelder auf der Basis einer "30%igen Arbeitslosigkeit" auszurichten seien. Dies wird letztinstanzlich nicht mehr in Frage gestellt. Einigkeit besteht sodann auch, dass der Versicherte innerhalb der zweiten Rahmenfrist für die Beitragszeit vom 1. Januar 2007 bis 31. Dezember 2008 (Art. 9 Abs. 3 und 4 AVIG) nicht während mindestens zwölf Monaten eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hat (Art. 13 Abs. 1 AVIG). Streitig ist im Verfahren vor Bundesgericht einzig noch, ob er in der - gegebenenfalls zu eröffnenden - zweiten Rahmenfrist für den Leistungsbezug (mit Beginn ab 1. Januar 2009) wegen Krankheit nach Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG von der Erfüllung der Beitragszeit befreit ist und ob er demnach auch ab 1. Januar 2009 die Voraussetzungen zum Bezug von Arbeitslosentaggeldern erfüllt.
3.2 Nach dem klaren Wortlaut von Art. 14 Abs. 1 AVIG muss die versicherte Person durch einen der in dieser Bestimmung genannten Gründe an der Ausübung einer beitragspflichtigen Beschäftigung gehindert worden sein. Zwischen dem Befreiungsgrund und der Nichterfüllung der Beitragszeit muss ein Kausalzusammenhang bestehen. Dabei muss das Hindernis während mehr als zwölf Monaten bestanden haben (<ref-ruling> E. 2b S. 387). Denn bei kürzerer Verhinderung bleibt der versicherten Person während der zweijährigen Rahmenfrist genügend Zeit, um eine ausreichende beitragspflichtige Beschäftigung auszuüben. Da eine Teilzeitbeschäftigung mit Bezug auf die Erfüllung der Beitragszeit einer Vollzeitbeschäftigung gleichgestellt ist (Art. 11 Abs. 4 Satz 1 AVIV), liegt die erforderliche Kausalität zudem nur vor, wenn es der versicherten Person aus einem der in Art. 14 Abs. 1 lit. a bis c AVIG genannten Gründe auch nicht möglich und zumutbar war, ein Teilzeitarbeitsverhältnis einzugehen (<ref-ruling> E. 2b S. 387; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 232).
4. 4.1 Das kantonale Gericht stellt gestützt auf die medizinischen Unterlagen fest, in der Zeit vom 18. Juli 2007 bis 1. April 2008 und vom 22. Mai bis 31. Dezember 2008 habe eine teilweise Arbeitsfähigkeit von mindestens 30 % in einer leidensangepassten Beschäftigung bestanden. Während der (zweiten) Rahmenfrist für die Beitragszeit wäre es dem Versicherten somit zumutbar gewesen, während rund 14 Monaten einer teilzeitlichen Erwerbstätigkeit nachzugehen. Auf den Befreiungsgrund des Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG könne sich der Beschwerdeführer demnach nicht berufen. Da er nicht sämtliche Anspruchsvoraussetzungen erfülle, habe die Verwaltung den Antrag auf Ausrichtung von Arbeitslosentaggeldern für die Zeit ab 1. Januar 2009 zu Recht abgelehnt.
4.2 Der Versicherte lässt dagegen einwenden, er sei während mindestens eines Jahres in seiner bisherigen Tätigkeit als Maurer erheblich eingeschränkt gewesen, weshalb er behindert im Sinne des Art. 15 Abs. 3 AVIV sei. Es dürften damit nur Einsatzmöglichkeiten in Betracht gezogen werden, bei denen auf die gesundheitlichen Leistungsdefizite Rücksicht genommen werde. Die Kriterien der Vermittlungsfähigkeit seien aber vorliegend gar nicht geprüft worden. Die Kasse habe zwar zu keinem Zeitpunkt Arbeitslosentaggelder ausgerichtet, weil die Krankentaggeldversicherung während der fraglichen Zeit ununterbrochen Leistungen erbracht habe. Die Beschwerdegegnerin habe den Versicherten allerdings per Ende Oktober 2007 bei der Arbeitslosenkasse abgemeldet mit dem Vermerk, dass die Vermittlungsfähigkeit wegen dauernder Krankheit nicht gegeben sei. Wenn sie nun rückwirkend die von ihr damals festgestellte Vermittlungsunfähigkeit bestreite, sei dies widersprüchlich und stelle klar eine "Verletzung des Vertrauensschutzes" dar. Dem Versicherten seien aufgrund seiner Behinderung bei der Auswahl eines Arbeitsplatzes so enge Grenzen gesetzt, dass das Finden einer Stelle äusserst ungewiss sei. In einem solchen Fall müsse während der Rahmenfrist für die Beitragszeit Vermittlungsunfähigkeit angenommen werden. Die mit der Krankheit verbundene geringe Restarbeitsfähigkeit habe den Beschwerdeführer gehindert, eine beitragspflichtige Teilzeitbeschäftigung zu finden und auszuüben.
4.2.1 Gemäss Art. 8 Abs. 1 lit. f AVIG in Verbindung mit Art. 15 Abs. 1 AVIG hat der Versicherte Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung, wenn er (unter anderem) vermittlungsfähig ist, d.h. wenn er bereit, in der Lage und berechtigt ist, eine zumutbare Arbeit anzunehmen und an Eingliederungsmassnahmen teilzunehmen. Nach Art. 15 Abs. 2 Satz 1 AVIG gilt der körperlich oder geistig Behinderte als vermittlungsfähig, wenn ihm bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage, unter Berücksichtigung seiner Behinderung, auf dem Arbeitsmarkt eine zumutbare Arbeit vermittelt werden könnte. Ein Behinderter, der unter der Annahme einer ausgeglichenen Arbeitsmarktlage nicht offensichtlich vermittlungsunfähig ist, und der sich bei der Invalidenversicherung (oder einer anderen Versicherung nach Art. 15 Abs. 2 AVIV) angemeldet hat, gilt bis zum Entscheid der anderen Versicherung als vermittlungsfähig (Art. 15 Abs. 3 AVIV). Art. 70 Abs. 1 ATSG sieht vor, dass die berechtigte Person Vorleistung verlangen kann, wenn ein Versicherungsfall einen Anspruch auf Sozialversicherungsleistungen begründet, aber Zweifel darüber bestehen, welche Sozialversicherung die Leistungen zu erbringen hat. Gemäss Art. 70 Abs. 2 lit. b ATSG ist die Arbeitslosenversicherung für Leistungen, deren Übernahme durch die Arbeitslosenversicherung, die Krankenversicherung, die Unfallversicherung oder die Invalidenversicherung umstritten ist, vorleistungspflichtig.
4.2.2 Auf diese in Erwägung 4.2.1 hiervor erwähnten Bestimmungen stützt sich der Beschwerdeführer bei seiner Argumentation teils ausdrücklich, teils implizit. Dabei übersieht er allerdings, dass für Versicherte, welche nach Ablauf der Rahmenfrist für den Leistungsbezug wieder Arbeitslosenentschädigung beanspruchen, erneut zweijährige Rahmenfristen für den Leistungsbezug und die Beitragszeit gelten, sofern das AVIG nichts anderes vorsieht (Art. 9 Abs. 4 AVIG). Schliesst sich die neue Rahmenfrist für den Leistungsbezug - wie vorliegend - unmittelbar an die alte an, so entspricht die neue Rahmenfrist für die Beitragszeit der früheren Rahmenfrist für den Leistungsbezug. Die Bedeutung des Aufeinanderfolgens von Rahmenfristen liegt darin, dass eine Neuüberprüfung aller Anspruchsvoraussetzungen stattfindet. So hat die versicherte Person unter anderem die einjährige Mindestbeitragszeit oder die Befreiung von deren Erfüllung erneut nachzuweisen (<ref-ruling>; THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2. Aufl. 2007, S. 2218 Rz. 126 f.).
Weil der Beschwerdeführer für einen Leistungsbezug ab 1. Januar 2009 die (kumulativ erforderliche) Anspruchsvoraussetzung des Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG (Beitragszeit bzw. Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit) nicht erfüllt, hatte das kantonale Gericht - im Zusammenhang mit dem letztinstanzlich einzig umstrittenen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung in der zweiten Rahmenfrist zum Leistungsbezug - keinen Anlass, die Vermittlungsfähigkeit zu prüfen. Eine zweite Rahmenfrist für den Leistungsbezug konnte nicht eröffnet werden.
Soweit der Versicherte sodann geltend macht, aufgrund seiner Behinderung sei es gänzlich unrealistisch gewesen, dass er eine leidensangepasste Teilzeitstelle finden würde, weshalb davon auszugehen sei, dass die Krankheit ihn gehindert habe, eine beitragspflichtige Beschäftigung zu finden, kann er daraus bezüglich Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit nichts zu seinen Gunsten ableiten. Das Vorliegen des Befreiungstatbestandes Krankheit, Unfall oder Mutterschaft gemäss Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG bestimmt sich nämlich grundsätzlich nach objektiver Betrachtungsweise. Ob sich eine versicherte Person nach eigener Einschätzung gesundheitsbedingt ausser Stande sieht, eine beitragspflichtige (Teilzeit-)Beschäftigung auszuüben, ist demgegenüber nicht massgebend (Urteil 8C_655/2009 vom 22. Februar 2010 E. 6.1.1). Das kantonale Gericht hat sich bei seiner Feststellung, der Beschwerdeführer sei in der zweiten Rahmenfrist für die Beitragszeit (welche zugleich der ersten Rahmenfrist für den Leistungsbezug entspricht) zumindest vom 18. Juli 2007 bis 1. April 2008 und vom 22. Mai bis 31. Dezember 2008 teilweise arbeitsfähig gewesen, auf die vorhandenen ärztlichen Unterlagen abgestützt. Aus den medizinischen Berichten ergibt sich, dass in der besagten Zeit zwar die ursprüngliche Tätigkeit als Maurer nicht mehr möglich, eine körperlich leichte Beschäftigung ohne Belastung des rechten Armes aber zumindest in einem 30%igen Teilzeitpensum zumutbar war (Arztzeugnisse des Hausarztes Dr. med. S._, Allgemeine Medizin FMH, in Verbindung mit dessen Stellungnahme vom 12. März 2009; Berichte der Orthopädischen Klinik X._ vom 4. April 2008 sowie ärztlicher Bericht und ärztliches Zeugnis des Spitals Y._ vom 23. April und 21. Dezember 2007). Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, wonach während über eines Jahres innert der Rahmenfrist für die Beitragszeit vom 1. Januar 2007 bis 31. Dezember 2008 die Ausübung einer beitragspflichtigen Teilzeiterwerbstätigkeit möglich gewesen wäre, ist nicht mangelhaft im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG und die rechtliche Würdigung ist bundesrechtskonform.
Ein Widerspruch zur vom RAV während der ersten Rahmenfrist für den Leistungsbezug vorgenommenen Abmeldung des Versicherten von der Arbeitsvermittlung vom 20. November 2007 mit dem Abmeldegrund "längere Krankheit" besteht entgegen der Auffassung des Versicherten nicht. Denn für diese Zeit war die Anspruchsvoraussetzung des Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG erfüllt, weil sich der Beschwerdeführer im Sinne von Art. 13 Abs. 1 AVIG in der (ersten) Rahmenfrist für die Beitragszeit (vom 1. Januar 2005 bis 31. Dezember 2006) über eine mindestens zwölfmonatige beitragspflichtige Beschäftigung ausweisen konnte. Die Verwaltung hatte demgemäss im Zusammenhang mit der Frage der Anspruchsberechtigung während der ersten Leistungsrahmenfrist Anlass, sich mit der weiteren Voraussetzung der Vermittlungsfähigkeit (Art. 8 Abs. 1 lit. f AVIG) zu befassen. In diesem Zusammenhang ist in Erinnerung zu rufen, dass das AWA, unter ausdrücklicher Bejahung der Vermittlungsfähigkeit, ab 1. Dezember 2008 einen Anspruch des Versicherten auf Vorleistung der Arbeitslosenversicherung festgestellt hat (Verfügung vom 14. Januar 2009). Die Verweigerung von Arbeitslosentaggeldern ab 1. Januar 2009 steht dazu nicht im Widerspruch, weil aus der zufolge Ablaufs der ersten Leistungsrahmenfrist erneut notwendigen Prüfung der Anspruchsvoraussetzungen resultiert, dass in der Rahmenfrist vom 1. Januar 2007 bis 31. Dezember 2008 die Beitragszeit nicht erfüllt wurde und ein Befreiungsgrund im Sinne von Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG nicht vorliegt, weshalb eine zweite Leistungsrahmenfrist gar nicht eröffnet werden konnte. Aus dem vom Versicherten ohne weitere Begründung angerufenen Vorrang des Grundsatzes des Versicherungsschutzes gegenüber demjenigen der Beitragspflicht (<ref-ruling>) lässt sich nichts Gegenteiliges ableiten.
4.3 Die Ausführungen in der Beschwerdeschrift sind nicht geeignet, die Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts als offensichtlich unrichtig oder unvollständig erscheinen zu lassen. Von einer willkürlichen Beweiswürdigung kann ohnehin nicht gesprochen werden (<ref-ruling> E. 4.1 S. 400). Demgemäss muss davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer die erforderliche Beitragszeit durch Ausübung einer beitragspflichtigen (Teilzeit-)Beschäftigung innerhalb der massgebenden Rahmenfrist hätte erfüllen können, womit ein Befreiungsgrund im Sinne von Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG nicht vorliegt. Es ist nicht möglich, fehlende Zeiten der Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit mit Beitragszeiten aufzufüllen (THOMAS NUSSBAUMER, a.a.O., S. 2256 Rz. 254). Die Ablehnung des Anspruchs auf Taggelder der Arbeitslosenversicherung durch Verwaltung und Vorinstanz ab 1. Januar 2009 infolge nicht erfüllter Beitragszeit bzw. fehlender Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit (Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG) in der zweiten Rahmenfrist für die Beitragszeit ist demzufolge nicht zu beanstanden.
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Aargau und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. August 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz