Sachverhalt:
A. Der aus der Türkei stammende X._ (geb. 1972) reiste im April 1996 in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Sein Gesuch wies das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration) am 17. August 1999 ab. Gleichzeitig verfügte es die vorläufige Aufnahme des Gesuchstellers, weil es den Vollzug der Wegweisung "in Würdigung sämtlicher Umstände und unter Berücksichtigung der Aktenlage, so auch der gesundheitlichen Probleme" im damaligen Zeitpunkt als nicht zumutbar erachtete.
X._ wurde in der Schweiz wiederholt straffällig und wie folgt verurteilt:
am 5. August 1998 und 29. März 1999 zu Bussen von Fr. 1'000.-- und Fr. 300.-- wegen Strassenverkehrsdelikten,
am 31. Oktober 2002 (zweitinstanzlich) vom Obergericht des Kantons Zürich wegen Raubes und der Gehilfenschaft zu Raub, versuchter Erpressung, Hehlerei usw. zu zwei Jahren und acht Monaten Zuchthaus (Entlassung aus dem bedingten Strafvollzug: am 8. August 2004),
am 23. September 2003 (zweitinstanzlich) vom Obergericht des Kantons Bern wegen einfacher Körperverletzung, Sachentziehung und Drohung zu einem Monat Gefängnis (als Zusatzstrafe zum Urteil vom 31. Oktober 2002),
am 12. Januar 2006 wegen Widerhandlungen gegen das Zollgesetz zu einer Busse von Fr. 500.-- (Umwandlung in 16 Tage Haft am 24. November 2006).
B. Am 14. November 2003 heiratete X._ die seit 1983 in der Schweiz lebende türkische Staatsangehörige Y._ (geb. 1976). Mit ihr, die bereits Mutter von A._ (geb. 1999) war, hatte er die Tochter B._ (geb. am 30. September 2002) gezeugt. Mutter und Kinder sind im Besitz der Niederlassungsbewilligung.
Am 1. Dezember 2003 stellte das Bundesamt für Flüchtlinge fest, aufgrund des durch Heirat erworbenen Anspruchs auf die Aufenthaltsbewilligung sei die vorläufige Aufnahme von X._ erloschen.
C. Mit Verfügung vom 31. August 2004 wies die Direktion für Sicherheit und Soziales des Kantons Zürich (Migrationsamt) das von X._ gestellte Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ab. Zur Begründung führte das Amt im Wesentlichen aus, aufgrund der gegen den Betreffenden ergangenen Strafurteile sei dessen Anwesenheit im Kanton Zürich unerwünscht.
Einen hiegegen erhobenen Rekurs - soweit dieser nicht gegenstandslos geworden war - wies der Regierungsrat des Kantons Zürich am 26. September 2007 ab, soweit er darauf eintrat, und mit Urteil vom 5. März 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den regierungsrätlichen Beschluss erhobene Beschwerde ebenfalls ab. Der begründete Entscheid ging am 10. März 2008 beim damaligen Rechtsvertreter von X._ ein.
D. Mit Eingabe vom 2. April 2008 gelangte X._ ans Bundesgericht und erklärte, gegen einen Entscheid des Verwaltungsgerichts Zürich Beschwerde führen zu wollen. Mit Schreiben vom 4. April 2008 wurde er aufgefordert, den angefochtenen Entscheid umgehend, spätestens jedoch bis zum 18. April 2008 einzureichen, ansonsten das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht eintreten werde.
Mit Schreiben vom 17. April 2008 erklärte X._, nicht in seine Heimat zurückkehren zu können; den angefochtenen Entscheid legte er nicht bei.
Am 21. April 2008 stellte der neu mandatierte Rechtsvertreter von X._ - unter gleichzeitiger Nachreichung des angefochtenen Urteils - ein Fristwiederherstellungsgesuch, da sich sein Klient in stationärer psychiatrischer Behandlung befinde. Mit Eingabe vom 23. April 2008 erhob er Beschwerde mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 5. März 2008 aufzuheben und X._ gestützt auf Art. 17 Abs. 2 ANAG bzw. Art. 8 EMRK eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; eventuell sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt - für den Regierungsrat - Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
Mit unaufgefordert eingereichten Eingaben vom 14. Juli 2008 und 22. Januar 2009 wandte sich der Rechtsvertreter von X._ zwei weitere Male an das Bundesgericht.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> sind Urkunden, auf die sich die Partei als Beweismittel beruft, der Rechtsschrift beizulegen, soweit die Partei sie in Händen hat; richtet sich die Rechtsschrift gegen einen Entscheid, ist auch dieser beizulegen. Fehlen die vorgeschriebenen Beilagen, so wird eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels angesetzt mit der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer hat die ihm am 4. April 2008 gesetzte Frist für die Einreichung des angefochtenen Urteils (18. April 2008) nicht eingehalten. Sein nachträglich beigezogener Anwalt stellte hierfür am 21. April 2008 ein Wiederherstellungsgesuch (vgl. vorne lit. D). Ob der am 17. April 2008 erfolgte Eintritt des Beschwerdeführers in eine psychiatrische Klinik als hinreichend entschuldbarer Grund für die Nichteinhaltung der gesetzten Frist genügt, kann dahingestellt bleiben; der Beschwerdeführer war am genannten Termin jedenfalls noch in der Lage, eine weitere Eingabe an das Bundesgericht zu richten, die erkennen lässt, dass er die Aufforderung vom 4. April 2008 verstanden haben musste. Sein Rechtsanwalt hat dem Bundesgericht aber noch innert der aufgrund des Fristenstillstandes von 7 Tagen vor und nach Ostern noch nicht abgelaufenen Beschwerdefrist nebst dem angefochtenen Entscheid auch eine neue Rechtsmitteleingabe zukommen lassen. Die Beschwerde gilt daher als rechtzeitig eingereicht (Art. 46 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit <ref-law>).
2. 2.1 <ref-law> schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
2.2 Das streitige Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wurde vor Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) am 1. Januar 2008 eingereicht und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen (Art. 126 Abs. 1 AuG).
2.3 Gemäss Art. 4 ANAG entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Rechtsanspruch auf Erteilung oder Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts (einschliesslich Bundesverfassungsrecht) oder eines Staatsvertrages berufen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 189; <ref-ruling> E. 2 S. 284; <ref-ruling> E. 1.1.1 S. 148, mit Hinweisen).
2.4 Gemäss Art. 17 Abs. 2 Satz 1 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990) hat der ausländische Ehegatte eines niedergelassenen Ausländers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange die Ehegatten zusammen wohnen.
Der Beschwerdeführer ist mit einer in der Schweiz niederlassungsberechtigten türkischen Staatsangehörigen verheiratet und lebt mit ihr zusammen. Damit steht ihm gestützt auf die erwähnte Bestimmung im Grundsatz ein Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung zu. Ein analoger Anspruch besteht zudem aufgrund des in Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> garantierten Rechts auf Achtung des Familienlebens, wenn - wie vorliegend die Ehefrau und die Kinder - nahe Angehörige über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht (insbesondere die Niederlassungsbewilligung) in der Schweiz verfügen und die familiäre Beziehung tatsächlich gelebt wird und intakt ist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 f.; <ref-ruling> E. 5.3.1 S. 211, je mit Hinweisen).
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich damit als zulässig (<ref-law>).
2.5 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law> bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die vom Beschwerdeführer neu geltend gemachten Tatsachen (u.a. die Geburt einer weiteren Tochter am 1. Juni 2008, handgreifliche Konflikte am Arbeitsplatz im Juli 2008, ein am 9. November 2008 begangener Suizidversuch, der Wiedereintritt in die psychiatrische Klink und die Entlassung am 26. November 2008) und die eingereichten Unterlagen, welche die Zeit nach dem angefochtenen Urteil betreffen (u. a. ärztliche Berichte) bleiben als echte Noven im vorliegenden Verfahren daher unbeachtlich.
3. 3.1 Ein gemäss Art. 17 Abs. 2 ANAG bestehender Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung erlischt, wenn der Anspruchsberechtigte gegen die öffentliche Ordnung verstossen hat (Satz 4). Die betreffenden Voraussetzungen sind weniger streng als im Fall des ausländischen Ehegatten eines Schweizer Bürgers, in welchem ein Ausweisungsgrund im Sinne von Art. 10 ANAG vorliegen müsste. Die Verweigerung der Bewilligung muss jedoch verhältnismässig sein. Weil aber bereits geringere öffentliche Interessen für ein Erlöschen des Anspruches genügen, sind auch die privaten Interessen des betroffenen Ausländers weniger stark zu werten als bei einer Ausweisung (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 130 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 390).
Eine vergleichbare Interessenabwägung setzt im Übrigen gemäss Art. 8 Ziff. 2 EMRK auch ein Eingriff in das Recht auf Achtung des Familienlebens voraus (<ref-ruling> E. 2 S. 5 f. mit Hinweisen). Unter diesem Gesichtswinkel ist namentlich zu fragen, ob den nahen Familienangehörigen zugemutet werden kann, dem Ausländer, der keine Bewilligung erhält, ins Ausland zu folgen. Die Zumutbarkeit der Ausreise für nahe Familienangehörige ist umso eher zu bejahen, als sein Verhalten seinen Aufenthalt in der Schweiz als unerwünscht erscheinen lässt. Eine allfällige Unzumutbarkeit der Ausreise ist mitabzuwägen, führt aber nicht für sich allein zur Unzulässigkeit einer Bewilligungsverweigerung (<ref-ruling> E. 4b S. 131).
3.2 Mit von Bedeutung ist vorliegend auch die so genannte, auf Ehegatten von Schweizerinnen zugeschnittene und für Ehegatten von Niedergelassenen verschärft zum Zuge kommende "Zweijahresregel", wonach einem Ausländer, der erstmals um eine Bewilligung ersucht oder nach bloss kurzer, ordnungsgemässer Aufenthaltsdauer deren Erneuerung beantragt, in der Regel selbst dann keine Bewilligung mehr erteilt wird, wenn dem Ehepartner die Ausreise un- oder nur schwer zumutbar ist. Es bedarf in solchen Fällen aussergewöhnlicher Umstände, um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung noch zu rechtfertigen (sog. Reneja-Praxis, <ref-ruling>). Bei der Limite von zwei Jahren handelt es sich allerdings nur um einen Richtwert und nicht um eine feste Grenze (<ref-ruling> E. 4.1 S. 185 mit Hinweisen). Entscheidend kommt es auf die sich gegenüberstehenden Interessen an.
3.3 Der Beschwerdeführer hat sich in der Schweiz u.a. des Raubes und der Gehilfenschaft zu Raub, der versuchten Erpressung, der Hehlerei (usw.) schuldig gemacht und wurde hiefür gerichtlich verurteilt, ebenso u.a. wegen einfacher Körperverletzung, Sachentziehung und Drohung. Er hat durch seine strafrechtlichen Verfehlungen nicht bloss wiederholt gegen die öffentliche Ordnung verstossen (Art. 17 Abs. 2 ANAG), sondern sogar einen Ausweisungsgrund gesetzt (Art. 10 Abs. 1 lit. a ANAG). Entsprechend gewichtig erscheint das öffentliche Interesse, dem Beschwerdeführer den weiteren Aufenthalt in der Schweiz zu versagen.
3.4 Den öffentlichen Interessen sind im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung die privaten Interessen des Beschwerdeführers und seiner Angehörigen an einem Verbleib in der Schweiz gegenüberzustellen: Für den Beschwerdeführer selber, der erst als Erwachsener (mit 24 Jahren) in die Schweiz gekommen ist, erscheint die Rückkehr in sein Heimatland zumutbar. Er ist beruflich hier nicht integriert, er und seine Familie mussten zudem bereits in erheblichem Mass von der Sozialhilfe unterstützt werden (vgl. S. 9 des angefochtenen Entscheides in Verbindung mit E. 5b des regierungsrätlichen Beschlusses vom 26. September 2007). Über besonders intensive private Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. über entsprechende vertiefte soziale Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich, welche ihm allenfalls ein Anwesenheitsrecht gestützt auf die Garantie der Achtung des Privatlebens (Art. 8 EMRK) verschaffen könnte (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.2.1), verfügt der Beschwerdeführer klarerweise nicht. Seiner Ehefrau, welche die Ehe in Kenntnis des hängigen Strafverfahrens eingegangen ist und die über die drohenden ausländerrechtlichen Folgen im Bild sein musste (vgl. Urteile 2A.570/2005 vom 9. November 2005, E. 3.2, und 2A.50/2004 vom 4. Juni 2004, E. 2.3.1), ist es zuzumuten, ihrem Ehemann in die Türkei zu folgen, dasselbe gilt für die Kinder, die noch in einem anpassungsfähigen Alter sind (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 67 f., 122 II 289 E. 2c S. 298). Aus dem in diesem Zusammenhang angerufenen Urteil D-7298/2006 des Bundesverwaltungsgerichts vom 2. November 2007, in dem es um den Vollzug einer Wegweisung nach Russland ging, welche das Gericht für die betroffenen Kinder u.a. wegen "der zu befürchtenden rassistisch motivierten Behelligungen" (S. 13 des genannten Urteils) als nicht zumutbar erachtete, lässt sich jedenfalls kein Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Aufenthaltsbewilligung ableiten. Ebenso wenig hilft ihm der Hinweis auf zwei neuere Urteile des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte: Diese beiden Fälle betreffen Ausländer, die nicht - wie der Beschwerdeführer - erst als Erwachsene, sondern bereits im Kindesalter ins Gastland gekommen und dort aufgewachsen sind (vgl. Urteile des EGMR i.S. Maslov c. Österreich vom 23. Juni 2008, Req. 1638/03 Ziff. 86, sowie i. S. Emre c. Schweiz vom 22. August 2008, Req. 42034/04 Ziff. 77).
3.5 Damit hält die im angefochtenen Urteil vorgenommene Interessenabwägung (E. 3.5) bundesgerichtlicher Prüfung stand. Die geltend gemachte schlechte psychische Verfassung des Beschwerdeführers, der gemäss den vorliegenden Arztberichten an Depressionen leidet, welche durch die drohende Wegweisung verstärkt würden, vermag an diesem Ergebnis nichts zu ändern (vgl. zu den medizinischen Behandlungsmöglichkeiten in der Türkei auch Urteil 2A.511/2001 vom 10. Juni 2002, E. 4.1 und 4.2, in Pra 2002 Nr. 163 S. 874). Der Beschwerdeführer hat durch seine wiederholten, zum Teil schweren strafrechtlichen Verfehlungen den Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung gemäss Art. 17 ANAG verwirkt. Entsprechendes gilt auch für das aus Art. 8 EMRK ableitbare Aufenthaltsrecht.
4. Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (Art. 65/66 BGG). Da der angefochtene Entscheid mit der veröffentlichten Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 17 ANAG und Art. 8 EMRK in Einklang steht, kann seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels Erfolgs-aussicht der Beschwerde nicht entsprochen werden (<ref-law>). Der wirtschaftlichen Lage des Beschwerdeführers wird bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Sicherheitsdirektion, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht (4. Kammer) des Kantons Zürich sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen
Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Klopfenstein