Faits:
A. Par contrat du 24 janvier 1994, A.X._ a pris à bail un appartement de trois pièces, situé au quatrième étage d'un immeuble à Genève. En ce qui concerne la destination des locaux loués, le contrat comporte la mention: «Usage d'habitation, exclusivement». Conclu pour une durée de trois ans débutant le 1er février 1994, il était ensuite renouvelable d'année en année, moyennant un délai de résiliation de trois mois. Le loyer a été fixé à 410 fr. par mois, charges comprises.
Depuis 1975, A.X._ louait un appartement de quatre pièces au même étage du même immeuble. Elle occupait ce logement avec ses fils issus d'un précédent mariage, A.Z._ et B.Z._, alors que son époux, B.X._, utilisait principalement l'appartement de trois pièces. Les deux appartements formaient le logement de la famille.
A.X._ et B.X._ ont fondé l'école W._, laquelle dispense un enseignement destiné à l'obtention du diplôme de shiatsu et à la formation continue des praticiens.
En août 1993, A.X._ a demandé à la régie chargée de la gestion de l'immeuble l'autorisation de mentionner son domicile privé comme adresse de l'école W._, entreprise en raison individuelle de son époux inscrite au registre du commerce. Par courrier du 31 août 1993, la gérance a accordé l'autorisation requise, en précisant que celle-ci ne modifiait en rien la destination d'habitation de l'appartement, qui ne pouvait en aucun cas servir de bureau à l'époux de la locataire, ni de lieu de cours de yoga.
A une date indéterminée, l'immeuble de la rue ... a été soumis au régime de la propriété par étages. Le 6 septembre 2006, A._, B._, C._ Sàrl, D._ Sàrl, E._ Sàrl et F._ SA ont acquis les quinze appartements situés dans les cinq premiers étages de l'immeuble.
B.X._ est décédé en octobre 2006.
Par lettre du 14 février 2007, la police des constructions a demandé à A.X._ de lui communiquer dans les quinze jours ses observations au sujet de l'utilisation des deux appartements qu'elle louait dans l'immeuble de la rue .... L'autorité cantonale précisait que les propriétaires de l'immeuble l'avait informée d'une utilisation des deux appartements du quatrième étage à des fins commerciales. Elle expliquait à la locataire que le droit public cantonal prohibait en principe tout changement d'affectation ayant pour effet de remplacer des locaux à destination de logement par des locaux à usage commercial; l'octroi de dérogation était réservé; par ailleurs, à certaines conditions, une tolérance pouvait être admise lorsque le locataire utilisait l'une des pièces de son appartement pour l'exercice d'une activité professionnelle. Par courrier du 27 février 2007, A.X._ a répondu qu'à l'heure actuelle, elle effectuait des massages shiatsu dans une des pièces de l'appartement de trois pièces. Lors d'une visite datant du 19 mars 2007, la police des constructions a constaté que l'une des pièces du logement de trois pièces était effectivement affectée à des activités de massage. Par lettre du 21 mars 2007, elle a informé A.X._ qu'elle ne voyait pas d'objection à ce que la locataire utilise à cette fin une pièce de l'appartement de trois pièces; cette tolérance ne constituait toutefois en aucun cas une autorisation en changement d'affectation du logement en cause.
Par courrier du 18 octobre 2007 mentionnant l'école W._ sous rubrique, la nouvelle régie chargée de la gestion de l'immeuble a fait savoir à A.X._ qu'elle avait constaté récemment qu'elle exerçait une activité commerciale dans l'appartement de trois pièces, ce qui était absolument interdit; en conséquence, un délai de trente jours lui était imparti pour mettre fin à toute activité commerciale lucrative, à défaut de quoi la régie se verrait contrainte de résilier le bail.
Dans sa réponse du 16 novembre 2007, A.X._ a précisé que les cours de l'école W._ n'avaient pas lieu dans l'appartement précité, mais étaient dispensés dans différentes salles louées à cet effet, à Genève, Colombier et Grandvaux; elle a joint à son courrier les copies de fiches de location ainsi que des prospectus. La locataire ajoutait que l'ancienne régie lui avait accordé le droit d'inscrire son adresse privée au registre du commerce pour la raison individuelle de son époux.
Par avis notifié à la locataire le 13 décembre 2007, les bailleurs ont résilié le bail avec effet au 31 janvier 2009; le motif de congé figurant sur l'avis était un «changement d'affectation non autorisé en local commercial».
B. A.X._ a contesté la résiliation devant la Commission de conciliation en matière de baux et loyers. L'affaire n'a pu être conciliée. Par décision du 25 juin 2008, la commission a validé le congé.
B.Z._, fils de la locataire, et sa compagne ont emménagé dans l'appartement de trois pièces en juin 2008; le loyer est assumé par A.X._.
La locataire a porté l'affaire devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève par requête du 25 juillet 2008.
Par jugement du 9 septembre 2009, le Tribunal des baux et loyers a déclaré le congé valable et refusé toute prolongation de bail.
Statuant le 14 février 2011 sur appel de A.X._, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève a annulé le congé notifié le 13 décembre 2007.
C. A._, B._, C._ Sàrl, D._ Sàrl, E._ Sàrl et F._ SA interjettent un recours en matière civile. Ils concluent à l'annulation de l'arrêt cantonal et à la confirmation du congé notifié le 13 décembre 2007.
A.X._ propose le rejet du recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 En matière de droit du bail à loyer, le recours en matière civile n'est recevable que si la valeur litigieuse s'élève à 15'000 fr. au moins (<ref-law>). Selon le considérant 4 de l'arrêt attaqué, cette valeur litigieuse n'est pas atteinte en l'espèce, ce que les recourants réfutent.
Lorsque la résiliation d'un bail de durée indéterminée est contestée, la valeur litigieuse équivaut au loyer de la période pendant laquelle le contrat subsiste nécessairement en supposant que le congé n'est pas valable, période qui s'étend jusqu'à la date pour laquelle un nouveau congé peut être donné (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 197; <ref-ruling> consid. 1 p. 386; cf. également <ref-ruling> consid. 1 p. 149). Si la contestation émane du locataire, la durée déterminante pour le calcul de la valeur litigieuse ne saurait être inférieure à la période de trois ans pendant laquelle l'art. 271a al. 1 let. e CO consacre l'annulabilité d'une résiliation signifiée après l'annulation d'un congé (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 197 et les arrêts cités; cf., sous l'AMSL, ATF <ref-ruling> consid. 1 p. 386).
En l'espèce, le loyer mensuel avec les charges (cf. PETER HIGI, Zürcher Kommentar, 4e éd. 1996, n° 27 ad <ref-law>) a été fixé initialement à 410 fr.; il ne ressort pas des faits constatés par la cour cantonale qu'il aurait été modifié depuis lors. Si l'on prend en considération uniquement la durée de protection de trois ans, la valeur litigieuse s'élève à 14'760 fr. (410 x 36). Il faut toutefois tenir compte du fait que la période de trois ans précitée est une durée minimale pour le calcul de la valeur litigieuse. Selon le principe rappelé ci-dessus, la période déterminante à cet égard est celle qui va jusqu'à l'échéance pour laquelle un nouveau congé peut être donné. Quant au dies a quo, il ne saurait être fixé en supputant la date du futur arrêt fédéral. En effet, la valeur litigieuse doit être déterminable lors du dépôt du recours et la recevabilité de celui-ci ne peut logiquement dépendre d'un élément postérieur à ce moment. En définitive, il convient de se référer à la date de la décision cantonale, dès lors que la situation existant devant l'autorité précédente est celle qui prévaut en général pour la détermination de la valeur litigieuse (cf. <ref-law>).
Dans le cas présent, la période de trois ans serait échue le 14 février 2014; à ce moment-là, un congé ne serait possible que pour le 31 janvier 2015, le contrat ne prévoyant qu'un terme de résiliation par an (cf. HIGI, op. cit., n° 30 ad <ref-law>). Il s'ensuit que la durée déterminante pour le calcul de la valeur litigieuse est en l'occurrence de 47 mois et demi, ce qui correspond à un loyer en jeu de 19'475 fr. Le seuil fixé par l'<ref-law> est ainsi atteint de sorte que le recours en matière civile est ouvert ratione valoris.
1.2 Au surplus, dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), le recours, déposé par les parties qui ont succombé devant l'autorité précédente (<ref-law>), est en principe recevable puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.3 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 674; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400 s.).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 314; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
S'il entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> sont réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 187 et les arrêts cités). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 3 p. 104 s. et les arrêts cités). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
2. La Chambre d'appel a considéré comme abusif le congé notifié le 13 décembre 2007 et l'a annulé sur la base de l'<ref-law>. Selon l'état de fait cantonal, le motif de congé invoqué par les bailleurs réside dans l'activité commerciale exercée par la locataire. Les juges genevois ont estimé contraire aux règles de la bonne foi de se prévaloir de ce motif. En effet, la régie, représentante des bailleurs, avait, par lettre du 18 octobre 2007, mis la locataire en demeure de cesser les activités lucratives liées à son école et l'intimée avait alors répondu que les cours de l'école W._ n'étaient pas dispensés dans l'appartement litigieux, mais dans des salles louées à cet effet, y compris à Genève. En outre, lors de l'audience de comparution personnelle, la locataire avait précisé avoir tenu une réunion avec des élèves dans le logement en cause pour la dernière fois en juillet 2007. Enfin, ni les pièces produites, ni les enquêtes ne démontraient que l'intimée continuait à faire de l'appartement litigieux un usage contraire au bail à l'époque de la mise en demeure du 18 octobre 2007 ou de la notification du congé le 13 décembre 2007.
3. Dans un premier grief, les recourants reprochent à la cour cantonale d'avoir apprécié les preuves de manière arbitraire. A leur sens, deux éléments suffisaient pour démontrer les activités professionnelles de l'intimée dans l'appartement litigieux, à savoir l'apposition du nom de l'école W._ sur la porte d'entrée du logement en question, attestée par huissier judiciaire le 6 mars 2007, et le fait que, dans ses requêtes à la Commission de conciliation et au Tribunal des baux, l'intimée a reconnu recevoir des élèves de l'école W._ une fois par semaine.
3.1 Selon la jurisprudence, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
Le recourant qui se prévaut d'arbitraire doit montrer de manière précise en quoi la décision attaquée serait insoutenable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246).
3.2 Dans les mémoires invoqués par les recourants, l'intimée a allégué que d'anciens élèves de l'école W._, qui étaient devenus des amis, se réunissaient une fois par semaine dans l'appartement litigieux afin d'échanger des conseils et des expériences. On ne saurait manifestement tirer de cet allégué l'aveu d'une quelconque activité professionnelle de la part de la locataire dans le logement en cause, liée en particulier à un enseignement rémunéré.
Par ailleurs, il est établi que l'intimée avait obtenu de l'ancienne gérance l'autorisation - non révoquée à ce jour - de domicilier l'école W._ à son adresse privée, sans que cela suppose le droit de donner des cours dans l'appartement. Comme la cour cantonale l'observe à juste titre, la seule domiciliation à une adresse privée ne démontre pas que les activités liées à l'entreprise sont effectivement exercées à ladite adresse. Quant à l'attestation de l'huissier judiciaire datée du 6 mars 2007, elle constate l'apposition d'une étiquette en papier comportant la mention "Ecole W._ Suisse romande" sur la porte de l'appartement litigieux, sous les noms de la locataire et de son mari. Là non plus, ce seul élément n'est manifestement pas à même d'établir qu'à l'époque de la résiliation intervenue neuf mois plus tard, des activités d'enseignement de l'école W._ avaient lieu dans le logement de trois pièces loué par l'intimée.
En conclusion, le grief tiré d'une appréciation arbitraire des preuves se révèle mal fondé.
4. Dans un second moyen, les recourants invoquent un abus de droit de la part de la locataire qui s'est opposée au congé. Celle-ci n'aurait eu, au moment de la résiliation, aucun intérêt à l'exercice du droit de protection du locataire dans la mesure où elle n'occupait alors qu'une seule pièce de l'appartement pour méditer. En outre, l'intimée aurait adopté une attitude contradictoire en affirmant ne plus exercer d'activité professionnelle dans l'appartement litigieux après le décès de son mari, tout en admettant que des élèves de l'école W._ y venaient une fois par semaine. Enfin, la locataire aurait exercé son droit sans ménagement en installant son fils dans l'appartement après la résiliation du bail.
4.1 Aux termes de l'<ref-law>, l'abus manifeste d'un droit n'est pas protégé par la loi. La règle prohibant l'abus de droit permet au juge de corriger les effets de la loi dans certains cas où l'exercice d'un droit allégué créerait une injustice manifeste. L'existence d'un abus de droit se détermine selon les circonstances concrètes du cas, en s'inspirant des diverses catégories mises en évidence par la jurisprudence et la doctrine. Les cas typiques sont l'absence d'intérêt à l'exercice d'un droit, l'utilisation d'une institution juridique contrairement à son but, la disproportion manifeste des intérêts en présence, l'exercice d'un droit sans ménagement et l'attitude contradictoire (<ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 169; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 58; <ref-ruling> consid. 5.1 et les arrêts cités).
Il n'est pas exclu qu'un locataire commette un abus de droit en demandant l'annulation d'un congé. Cependant, le recours à l'<ref-law> dans ce domaine doit intervenir avec prudence, sous peine de rendre inopérant le but de protection des art. 271 et 271a CO (RICHARD BARBEY, Protection contre les congés concernant les baux d'habitation et de locaux commerciaux, 1991, n° 257 p. 193).
4.2 Il ne ressort pas des faits établis par la cour cantonale que l'intimée n'occupait pas la chose louée et n'en avait aucune utilité au moment où le bail a été résilié. Que la locataire fasse de la méditation, de la gymnastique ou regarde la télévision dans l'une ou l'autre des pièces de l'appartement apparaît totalement dénué de pertinence à cet égard. Le moyen tiré d'un défaut d'intérêt à la protection contre les congés abusifs est manifestement mal fondé.
En outre, on ne voit pas en quoi la prétendue attitude contradictoire attribuée à l'intimée consacrerait un abus de droit à s'opposer au congé. Pour tomber éventuellement sous le coup de l'<ref-law>, l'attitude contradictoire doit être en rapport avec le droit exercé lui-même, comme cela pourrait être le cas, selon les circonstances, si un locataire s'opposait à un congé qu'il avait d'abord accepté. Or, le comportement contradictoire invoqué par les bailleurs - qui n'est de toute manière pas prouvé - n'a rien à voir avec l'exercice du droit à demander l'annulation du congé garanti par les art. 271 et 271a CO.
En dernier lieu, l'appréciation d'un éventuel abus de droit doit s'effectuer au moment où le droit en question a été exercé. Le fait que la locataire ait décidé, pendant la procédure, de loger son fils dans l'appartement de trois pièces, à ses frais à elle, n'est dès lors pas un élément à prendre en considération à ce propos.
En conclusion, l'intimée n'a pas commis d'abus de droit en se prévalant de la protection contre les congés des <ref-law>.
5. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Les recourants, qui succombent, prendront solidairement à leur charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 5 LTF) ainsi que les dépens de l'intimée (art. 68 al. 1, 2 et 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis solidairement à la charge des recourants.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à titre de dépens à l'intimée, est mise solidairement à la charge des recourants.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 9 juin 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Godat Zimmermann