Nach Einsicht,
in die (gestützt auf Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG erhobene) Beschwerde (Eingang beim Bundesgericht: 1. Juli 2010) gegen den Entscheid vom 3. Juni 2010 der Psychiatrie-Rekurskommission Basel-Stadt, die einen Rekurs des Beschwerdeführers gegen seine am 29. Mai 2010 in Anwendung von <ref-law> angeordnete Einweisung in die Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel abgewiesen und die ärztliche Klinikleitung ermächtigt hat, den Beschwerdeführer ohne neuen Entscheid längstens bis zum 13. Juli 2010 in der Klinik zurückzubehalten,

In Erwägung,
dass die Psychiatrie-Rekurskommission Basel-Stadt - auf Grund ärztlicher Berichte und nach Anhörung des Beschwerdeführers - erwog, der an einer ... leidende Beschwerdeführer habe keine Krankheitseinsicht und müsse stationär behandelt werden, weil er bei sofortiger Entlassung die Medikamente wahrscheinlich umgehend absetzen und erneut sich selbst gefährden würde,
dass das Bundesgericht seinem Beschwerdeentscheid den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde zu legen hat (<ref-law>), es sei denn, die für den Verfahrensausgang entscheidenden Feststellungen sind offensichtlich unrichtig, d.h. unhaltbar und damit willkürlich nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398) oder beruhen auf einer anderweitigen Rechtsverletzung (<ref-law>),
dass die bundesgerichtliche Überprüfung eines verfassungswidrig festgestellten Sachverhalts voraussetzt, dass in der Beschwerdeschrift die Verfassungsverletzung gerügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen, 133 IV 286 E. 1.4 S. 287f.), d.h. neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellungen dargelegt wird, inwiefern diese verfassungswidrig, namentlich unhaltbar sind, weil sie den Tatsachen klar widersprechen, auf einem offenkundigen Versehen beruhen oder sich sachlich nicht vertreten lassen (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252),
dass im vorliegenden Fall der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht keine den erwähnten Begründungsanforderungen entsprechenden Sachverhaltsrügen erhebt,
dass somit das Bundesgericht von den tatsächlichen Feststellungen der Psychiatrie-Rekurskommission über den Krankheitszustand des Beschwerdeführers, seine Behandlungsbedürftigkeit und die drohende Selbstgefährdung auszugehen hat, zumal auch kein Grund besteht, den Sachverhalt von Amtes wegen zu berichtigen oder zu ergänzen (<ref-law>),
dass auf Grund des von der Psychiatrie-Rekurskommission festgestellten Sachverhalts die gestützt auf <ref-law> verfügte Zurückbehaltung des Beschwerdeführers in den Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel bundesrechtskonform ist,
dass nämlich gemäss dieser Bestimmung eine Person wegen Geisteskrankheit in eine geeignete Anstalt eingewiesen und darin zurückbehalten werden darf, wenn ihr die nötige persönliche Fürsorge nicht anders zuteil werden kann,
dass im vorliegenden Fall der zufolge des Krankheitszustandes des Beschwerdeführers nötige Schutz vor Selbstgefährdung nur durch die angeordnete stationäre Behandlung gewährleistet werden kann, bis das Zustandsbild des Beschwerdeführers nachhaltig stabilisiert ist,
dass im Übrigen auf die zutreffenden Erwägungen im Entscheid der Psychiatrie-Rekurskommission verwiesen wird (<ref-law>),
dass sich somit die Beschwerde, soweit sie zulässig ist, als offensichtlich unbegründet erweist,
dass keine Gerichtskosten erhoben werden,
dass das bundesgerichtliche Urteil im Verfahren nach <ref-law> ergeht,

erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, den Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel und der Psychiatrie-Rekurskommission Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann