Faits:
A. A._ est chauffeur de bus professionnel auprès de la compagnie des Transports publics du Littoral neuchâtelois. Il est titulaire d'un permis de conduire des véhicules de cette catégorie depuis le 22 janvier 1997 et n'a pas d'antécédents en matière de circulation routière. Le vendredi 3 mars 2006, vers 17h40, il circulait au volant de son trolleybus sur la Grand-Rue à Peseux, en direction de Cormondrèche, lorsqu'un véhicule automobile a débouché d'une cour intérieure sans visibilité, en empiétant légèrement sur sa voie de circulation. Il a klaxonné puis s'est déporté sur la gauche pour éviter l'obstacle, franchissant la ligne de sécurité centrale. Alors qu'il se rabattait, il a heurté avec l'avant gauche de son véhicule un motocycliste qui survenait en sens inverse, le blessant mortellement. Son permis de conduire a été saisi sur-le-champ avant de lui être restitué le 31 mai 2006.
Le 21 décembre 2006, le Procureur général de la République et canton de Neuchâtel a ordonné le classement de la procédure pénale ouverte à raison de ces faits contre A._ pour insuffisance de charges. Il a considéré qu'aucune faute relevant de la négligence ne pouvait être retenue à l'encontre de l'intéressé.
Par décision du 29 janvier 2007, la Commission administrative du Service des automobiles et de la navigation de la République et canton de Neuchâtel a retiré le permis de conduire de A._ pour une durée d'un mois "réputé subi". Elle a estimé que l'intéressé avait commis une infraction moyennement grave en opérant une manoeuvre d'évitement qui l'avait amené à franchir la ligne de sécurité centrale alors qu'il aurait pu éviter la collision avec le véhicule automobile empiétant sur sa voie de circulation en effectuant un freinage d'urgence.
Statuant sur recours de l'intéressé, le Département de la gestion du territoire, puis le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif ou la cour cantonale) ont confirmé la mesure de retrait du permis de conduire par décision du 15 juin 2007, respectivement par arrêt du 16 juin 2008.
B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 16 juin 2008 ainsi que les décisions du Département de la gestion du territoire du 15 juin 2007 et de la Commission administrative du Service des automobiles et de la navigation du 29 janvier 2007.
Le Tribunal administratif, le Service cantonal des automobiles et de la navigation et l'Office fédéral des routes concluent au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public, au sens des art. 82 ss LTF, est ouverte contre les décisions prises en dernière instance cantonale au sujet de mesures administratives de retrait du permis de conduire. Le recourant est particulièrement atteint par l'arrêt attaqué qui confirme le retrait de son permis de conduire pour une durée d'un mois. Il est à cet égard sans importance qu'il ait déjà subi la mesure incriminée étant donné les conséquences qu'elle pourrait avoir en cas de nouvelle infraction aux règles de la circulation routière. Sa qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF est à l'évidence donnée. Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont par ailleurs réunies.
2. Le recourant prétend que les conditions posées par la jurisprudence pour admettre que l'autorité administrative s'écarte de la décision de classement prise par le Procureur général ne seraient pas réalisées.
2.1 Le jugement pénal ne lie en principe pas l'autorité administrative. Afin d'éviter dans la mesure du possible des décisions contradictoires, la jurisprudence a admis, s'agissant de se prononcer sur l'existence d'une infraction, que l'autorité administrative ne devait pas s'écarter sans raison sérieuse des faits constatés par le juge pénal ni de ses appréciations juridiques qui dépendent fortement de l'établissement des faits, en particulier lorsque le jugement pénal a été rendu au terme d'une procédure publique ordinaire au cours de laquelle les parties ont été entendues et des témoins interrogés (<ref-ruling> consid. 1c/bb p. 106; <ref-ruling> consid. 3c/aa p. 100; <ref-ruling> consid. 3a p. 217; <ref-ruling> consid. 3c/aa p. 164). L'autorité administrative ne peut dès lors s'écarter du jugement pénal que si elle est en mesure de fonder sa décision sur des constatations de fait que le juge pénal ne connaissait pas ou qu'il n'a pas prises en considération, s'il existe des preuves nouvelles dont l'appréciation conduit à un autre résultat, si l'appréciation à laquelle s'est livré le juge pénal se heurte clairement aux faits constatés ou si ce dernier n'a pas élucidé toutes les questions de droit, en particulier celles qui touchent à la violation des règles de la circulation (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 315 et les arrêts cités). Cette dernière hypothèse recouvre notamment le cas où le juge pénal a rendu sa décision sur la seule base du dossier, sans procéder lui-même à des débats (<ref-ruling> consid. 4b p. 315).
2.2 En l'espèce, le classement de la procédure sur le plan pénal n'a pas été prononcé à l'issue d'une procédure ordinaire avec audition contradictoire des protagonistes, mais sur la base du dossier établi par le juge d'instruction, qui concluait au renvoi du recourant en jugement. L'appréciation juridique ne dépend donc pas étroitement de faits que le Procureur général connaîtrait de manière plus approfondie que l'autorité administrative, parce qu'il aurait procédé personnellement à des mesures probatoires. Le Service cantonal des automobiles et de la navigation était libre de procéder à sa propre appréciation juridique des faits pertinents, tels qu'ils résultent du dossier, et de combler le cas échéant une lacune du jugement pénal s'agissant de savoir si une infraction aux règles de la circulation routière a été commise.
3. A._ reproche à la cour cantonale d'avoir violé le droit fédéral en retenant à sa charge une faute non excusable là où le juge pénal n'en a pas trouvé.
3.1 Il n'est pas contesté que le recourant a contrevenu aux art. 27 al. 1 LCR, 34 al. 2 LCR et 73 al. 6 let. a OSR en franchissant la ligne de sécurité pour éviter le véhicule qui empiétait sur sa voie de circulation. Du point de vue objectif, pareille manoeuvre représente une violation grave des règles de la circulation routière en raison du danger notoirement important qu'elle comporte pour la sécurité du trafic et, en particulier, des usagers de la route circulant en sens inverse (<ref-ruling> consid. 3d/bb p. 247; arrêt 6S.416/2003 du 10 février 2004 consid. 2.3). Il ne peut être dérogé à l'interdiction de franchir les lignes de sécurité que pour des motifs impérieux, par exemple lorsqu'un véhicule en panne ou momentanément abandonné par le conducteur bloque le passage pour une certaine durée de sorte que l'on ne saurait exiger du conducteur d'un véhicule gêné dans sa progression qu'il attende que la voie soit dégagée (<ref-ruling> et les arrêts cités), ou encore lorsque cette manoeuvre est la seule qui permette d'éviter un accident ou d'en rendre les conséquences moins graves (<ref-ruling> consid. 3d/bb précité; 63 I 53 consid. 2 p. 58/59; 63 II 209 consid. 2b/bb p. 215; 61 I 218 consid. 4 p. 222; 38 II 487 consid. 2 p. 488). Le recourant soutient précisément s'être trouvé dans une telle situation lorsque le véhicule a débouché d'une cour intérieure sans visibilité sur sa voie de circulation. Le parti pris en l'occurrence de contourner l'obstacle par la gauche en empiétant sur la voie de circulation opposée ne s'est pas révélé le plus adéquat pour parer au danger, eu égard aux conséquences tragiques auquel il a abouti et à la possibilité que le recourant aurait eue, selon le rapport d'expertise technique, de s'arrêter à temps en opérant un freinage d'urgence. Reste à savoir si ce choix est imputable à faute au recourant. La jurisprudence tient, suivant les circonstances, pour excusable le fait d'avoir choisi la manoeuvre qui se révèle après coup ne pas être la plus appropriée pour éviter l'accident (<ref-ruling> consid. 2 p. 29; <ref-ruling> consid. 3c p. 83; <ref-ruling>; 66 I 317 consid. 2 p. 320; 63 I 53 consid. 2 p. 59; 61 I 429 consid. 2 p. 432; arrêt du Tribunal fédéral du 11 mars 1976 in Revue valaisanne de jurisprudence (RVJ) 1976 p. 460). Cette excuse ne sera pas justifiée si le conducteur s'est mis lui-même dans une situation dangereuse, par exemple en circulant à une vitesse excessive. Elle ne sera pas davantage admise lorsque, parmi plusieurs manoeuvres, l'une s'imposait de telle manière qu'elle pouvait être reconnue comme la plus évidente et la plus utile, même dans une situation exigeant une décision très rapide (ATF <ref-ruling>; Bussy/Rusconi, Code suisse de la circulation routière, 3e éd., 1996, n. 3 ad art. 31 LCR).
3.2 En l'occurrence, le recourant roulait légèrement en-deçà de la vitesse maximale autorisée. Lorsque le véhicule s'est engagé sur la chaussée et que le danger a été reconnaissable pour lui, il a klaxonné puis donné un coup de volant sur la gauche afin de contourner l'obstacle. Aucun élément au dossier ne permet de retenir qu'il aurait réagi tardivement. Certes, selon l'expertise technique versée au dossier pénal, il aurait été en mesure de freiner vu la distance le séparant du véhicule incriminé. Outre que ce constat ne s'imposait pas d'emblée comme une évidence, il devait cependant également tenir compte des risques de chute et de lésions auxquels un freinage d'urgence exposait les passagers du trolleybus, dont certains étaient debout dans l'attente de descendre au prochain arrêt. Par ailleurs, aucun véhicule automobile ne survenait en sens inverse lorsqu'il a entrepris sa manoeuvre suivant les témoignages recueillis dans la procédure pénale. Il est vrai que le contact visuel avec le motocycliste était alors possible d'après l'expertise technique. Les éléments du dossier ne permettent toutefois pas de connaître les raisons pour lesquelles le recourant n'a pas vu le motocycliste lorsqu'il a pris la décision de contourner le véhicule en empiétant partiellement sur la voie de circulation inverse et, en particulier, de retenir qu'il serait le résultat d'une inattention fautive susceptible de lui être imputée à faute. Cette question peut en définitive rester indécise.
3.3 Le Tribunal administratif a également considéré qu'en raison du risque que le franchissement, sans avertissement, d'une ligne de sécurité faisait courir aux usagers de la route venant en sens inverse, le recourant aurait dû, aussi longtemps qu'il n'avait pas achevé de se rabattre sur sa voie de circulation, porter une attention accrue sur le trafic plutôt que dans son rétroviseur droit pour vérifier que l'arrière du bus ne touche pas la voiture empiétant. Cette considération échappe à toute critique.
Le conducteur doit vouer à la route et au trafic toute l'attention possible (art. 3 al. 1 OCR). Le degré de cette attention s'apprécie au regard des circonstances de l'espèce, telles que la densité du trafic, la configuration des lieux, l'heure, la visibilité et les sources de danger prévisibles (<ref-ruling> consid. 2b p. 228). Dans le cas particulier, les conditions de circulation étaient difficiles; il pleuvait et la chaussée était mouillée. La rue sur laquelle est survenu l'accident est bordée de maisons contiguës, avec des ruelles latérales et des cours intérieures sans visibilité. Le recourant circulait au volant d'un bus articulé, dont la maniabilité et le temps de réaction ne sont pas comparables à ceux d'un véhicule automobile léger, à l'approche d'une double intersection lorsqu'il a entrepris la manoeuvre d'évitement. Celle-ci n'était pas d'emblée visible ou compréhensible de la part des autres usagers de la route. Elle était au surplus particulièrement dangereuse, notamment pour les véhicules circulant sur la voie opposée (<ref-ruling> consid. 3d/bb précité), voire pour d'éventuels usagers en provenance de la rue du Lac et de la place de la Fontaine. Cela étant, le recourant devait consacrer une attention accrue aux autres usagers de la route non seulement avant d'entamer sa manoeuvre, mais également tout au long de celle-ci. Si l'on ne saurait lui reprocher d'avoir jeté un rapide coup d'oeil dans son rétroviseur droit avant de se rabattre pour s'assurer qu'il ne touchait pas le véhicule empiétant sur sa voie de circulation, il n'était en revanche pas dispensé pour autant de garder son attention sur la voie de circulation inverse de manière à s'assurer qu'aucun usager de la route ne vienne à sa rencontre ou ne débouche sur cette artère depuis une rue latérale. Or, il ne conteste pas n'avoir vu le motocycliste qu'au dernier moment, soit lorsque celui-ci a touché l'avant gauche du trolleybus qu'il conduisait. Cela étant, il a détourné son attention du trafic plus que de raison. Si cette faute peut être qualifiée de légère, la mise en danger de la sécurité des autres usagers de la route était en revanche sérieuse. Il importe peu que le motocycliste ait lui-même adopté un comportement doublement fautif en circulant au-delà de la vitesse autorisée, sur la partie gauche de sa voie de circulation. Un conducteur attentif au trafic doit en effet faire tout son possible pour éviter qu'un dommage ne se produise (freinage, manoeuvre d'évitement ou avertissement) lorsqu'il s'aperçoit qu'un autre usager de la route commet une faute qui pourrait créer un risque d'accident.
Dans ces conditions, le Tribunal administratif n'a pas violé le droit fédéral en retenant que le recourant avait fait preuve d'une inattention fautive et en qualifiant la faute commise de légère. Ce dernier ne prétend pas que la cour cantonale aurait fait une application erronée du droit fédéral en retenant l'existence d'une infraction moyennement grave et en lui infligeant un retrait du permis de conduire d'une durée d'un mois en lieu et place d'un avertissement (cf. arrêt 6A.16/2006 du 6 avril 2006 in JdT 2006 I 442). En l'absence de tout grief à ce sujet, il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'examiner d'office ce qu'il en est.
4. Le recours doit par conséquent être rejeté aux frais de son auteur (art. 65 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Département de la gestion du territoire et au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel ainsi qu'à l'Office fédéral des routes.
Lausanne, le 18 novembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Parmelin