Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 5. April 2006 entzog das Strassenverkehrsamt des Kantons Graubünden dem 1956 geborenen X._ den Führerausweis auf unbestimmte Zeit. Die Wiedererteilung des Führerausweises wurde von einer mindestens 12-monatigen kontrollierten Psychosefreiheit und einem verkehrspsychologischen Gutachten abhängig gemacht.
Dieser Verfügung ging die Mitteilung des damaligen Arztes von X._ voraus, wonach dieser aus gesundheitlichen Gründen die gesetzlichen Mindestanforderungen zum Lenken eines Motorfahrzeuges nicht mehr erfülle (Schreiben an das Strassenverkehrsamt vom 13. September 2005). Im Auftrag des Strassenverkehrsamtes hielten die Psychiatrischen Dienste Graubünden, Klinik Beverin, Forensischer Dienst, mit Gutachten vom 6. März 2006 fest, die Fahreignung von X._ sei aus neuropsychologischer Sicht derzeit nicht gegeben. Die Leistungstests hätten vor allem im Bereich der Aufmerksamkeit mittelgradig beeinträchtigte Resultate gezeitigt, und die charakterliche Fahreignung erscheine ebenfalls fraglich.
B. Mit Verfügung vom 22. Januar 2007 wies das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden die Beschwerde von X._ ab.
Mit Urteil vom 18. April 2007 wies das Kantonsgericht von Graubünden, Kantonsgerichtsausschuss, die Berufung von X._ ab.
C. Mit Eingabe vom 10. September 2007 führt X._ Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts vom 18. April 2007 sowie die mitangefochtenen Verfügungen der Vorinstanzen seien aufzuheben. Ferner beantragt er Beschwerdeergänzung nach Zustellung der Akten der Vorinstanzen, Zusprechung einer angemessenen Parteientschädigung für die vorinstanzlichen Verfahren sowie unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Kantonsgericht und das Strassenverkehrsamt haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das kantonale Departement und das - ebenfalls zur Stellungnahme eingeladene - Bundesamt für Strassen beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Alle Stellungnahmen wurden X._ am 23. Oktober 2007 zur Kenntnisnahme zugestellt. Auf Gesuch von X._ wurden ihm am 31. Oktober 2007 die vom Kantonsgericht Graubünden eingereichten Akten zur Einsicht überlassen. Er hat die Akten am 12. Dezember 2007 ohne weitere Stellungnahme zur Sache zurückgesandt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen Führerausweisentzug gemäss Strassenverkehrsgesetz (SVG, SR 741.01). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 ff., Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG); ein Ausnahmegrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Für die Behandlung von Beschwerden betreffend den Strassenverkehr ist die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts zuständig (Art. 29 Abs. 1 lit. e Reglement für das Bundesgericht vom 20. November 2006, SR 173.110.131). Die Beschwerde wurde rechtzeitig eingelegt (<ref-law>). Die Sachurteilsvoraussetzungen sind grundsätzlich erfüllt.
1.2 Der Beschwerdeführer hat in der Beschwerde vom 10. September 2007 einen Antrag auf Beschwerdeergänzung nach Zustellung der Akten der "Berufungsbeklagten" und der Vorinstanzen gestellt. Der Antrag auf Beschwerdeergänzung wurde jedoch nicht begründet. Auf ein späteres Ersuchen um Zustellung der vorinstanzlichen Akten vom 24. Oktober 2007 wurden ihm am 31. Oktober 2007 die kantonalen Akten zur Einsicht zugesandt. Der Beschwerdeführer hat die Akten am 12. Dezember 2007 zurückgesandt, ohne eine weitere Stellungnahme abzugeben. Bei dieser Sachlage ist anzunehmen, der Beschwerdeführer habe auf eine Beschwerdeergänzung verzichtet.
2. In einem Grossteil der Beschwerdebegründung wiederholt der Beschwerdeführer - zumeist wortwörtlich - die bereits vor Kantonsgericht vorgetragenen Argumente, ohne auf das angefochtene Urteil Bezug zu nehmen.
Gemäss <ref-law> ist in der Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Angefochtener Akt ist das Urteil des Kantonsgerichts vom 18. April 2007. Nach Vorschrift des Bundesgerichtsgesetzes sind die geltend gemachten Beschwerdegründe auf dieses Urteil zu beziehen. Es reicht nicht aus, die Vorbringen der kantonalen Beschwerde wörtlich zu wiederholen, denn das Kantonsgericht hat diese im angefochtenen Urteil behandelt. Der Beschwerdeführer ist gehalten, sich diesbezüglich mit dem angefochtenen Urteil auseinander zu setzen.
In diesem Sinne unbegründet sind namentlich die Rügen der mehrfachen Verletzung des rechtlichen Gehörs (verweigerte Stellungnahme zum Bericht der Klinik Beverin, Umfang der Begründung der Verfügung des Strassenverkehrsamts, unvollständige Zustellung der Verfahrensakten), des unrechtmässigen und unverhältnismässigen Führerausweisentzuges gemäss <ref-law>, der Verletzung der Ausstandspflicht durch die Klinik Beverin und des fehlenden Einverständnisses für die Weitergabe und Verwendung höchstsensibler Daten. Das Wiederholen der vorinstanzlichen Einwendungen, ohne Bezugnahme auf den inzwischen ergangenen Entscheid des Kantonsgerichts, ist keine rechtsgenügliche Darlegung im Sinne von <ref-law>. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Zu den übrigen Vorbringen ist auszuführen, was folgt.
3. 3.1 Im Falle des Beschwerdeführers stützt sich der Führerausweisentzug auf <ref-law>. Diese Bestimmung ist überschrieben mit "Führerausweisentzug wegen fehlender Fahreignung" und lautet: "Der Lernfahr- oder Führerausweis wird einer Person auf unbestimmte Zeit entzogen, wenn ihre körperliche und geistige Leistungsfähigkeit nicht oder nicht mehr ausreicht, ein Motorfahrzeug sicher zu führen."
3.2 Der Entzug des Führerausweises wegen fehlender Fahreignung ist ein Entzug zu Sicherungszwecken (sog. Sicherungsentzug). Bei Streitigkeiten über einen Sicherungsentzug besteht nach der Rechtsprechung - anders als beim Entzug zu Warnzwecken (sog. Warnungsentzug; <ref-ruling> und 219 E. 2a S. 221) - grundsätzlich kein Anspruch auf eine öffentliche mündliche Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Dies gilt jedenfalls soweit der Führerausweis nicht - wie bei Berufschauffeuren - unbedingt zur Berufsausübung notwendig ist und das Gericht somit nicht über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen zu entscheiden hat. Wer sein Fahrzeug beispielsweise lediglich benutzt, um sich an seinen Arbeitsort zu begeben, kann sich somit nicht auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK berufen (<ref-ruling> E. 3b und c S. 466 f.; <ref-ruling> [6A.48/2002] unpublizierte E. 7.4.2; Urteil 6A.30/2005 vom 3. November 2005 E. 2.3). Der Sicherungsentzug wegen fehlender Fahreignung wird angeordnet, um die zu befürchtende Gefährdung der Verkehrssicherheit durch einen ungeeigneten Fahrzeugführer in der Zukunft zu verhindern, nicht um den Betroffenen wegen einer begangenen Verkehrsregelverletzung zu bestrafen. Er setzt keine schuldhafte Widerhandlung im Strassenverkehr voraus (<ref-ruling> E. 9.1 S. 351).
3.3 Der Beschwerdeführer hat im kantonalen Verfahren nicht vorgebracht, dass er für eine Berufsausübung auf einen Führerausweis angewiesen ist. Wie das Kantonsgericht gestützt auf die Rechtsprechung des Bundesgerichts zutreffend ausführt, ist vorliegend nicht über einen zivilrechtlichen Anspruch im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu entscheiden. Der Führerausweis wurde dem Beschwerdeführer nicht wegen eines Strassenverkehrsdelikts entzogen, sondern aufgrund mangelnder Fahreignung. Dies kann nicht als strafrechtliche Anklage im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK betrachtet werden. Die Rügen, es handle beim vorliegenden Sicherungsentzug des Führerausweises um eine Präventivstrafe und um eine Verletzung der Unschuldsvermutung, gehen fehl.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Ungleichbehandlung und Diskriminierung eines angeblich psychisch Behinderten (<ref-law> und Art. 14 EMRK) und eine Verletzung des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes. Die Vorinstanzen hätten seinen Fall nicht individuell und als Einzelfall behandelt, sondern zu unrecht starre Richtlinien angewandt. Er sei im Strassenverkehr während 30 Jahren praktisch nicht auffällig geworden und er besitze nachweislich einen guten automobilistischen Leumund. Mit Verweis auf Literaturstellen macht er geltend, von einem schizophrenen Patienten gehe keine erhöhte Gefährdung des Strassenverkehrs aus. Autofahrer ohne psychiatrische Diagnose mit dem gleich guten automobilistischen Leumund wie der Beschwerdeführer hätten keinen sofortigen Sicherungsentzug zu gewärtigen.
4.2 Gemäss dem psychologischen Gutachten der Psychiatrischen Dienste Graubünden vom 6. März 2006 ist die Fahreignung des Beschwerdeführers aus Gründen der Aufmerksamkeit und des Charakters zu verneinen. Es handelt sich demnach um einen Entzug wegen ungenügender Leistungsfähigkeit im Sinne von <ref-law>. Dieser Entzug beruht auf einer gesetzlichen Grundlage. Mit dem psychologischen Gutachten wurde die Fahreignung im Einzelfall abgeklärt. Der Beschwerdeführer hat sich gemäss Angabe im Gutachten am 5. Januar 2006 einer testpsychologischen Begutachtung von 2 1⁄2 Stunden Dauer unterzogen. Demgegenüber sind die vom Beschwerdeführer zitierten Literaturmeinungen allgemeiner Natur und nehmen nicht auf den Einzelfall Bezug. Der Vorwurf, der Beschwerdeführer werde nicht als Einzelfall behandelt und zu Unrecht als behindert betrachtet bzw. aufgrund einer angeblichen Behinderung diskriminiert, ist unbegründet.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, indem die Vorinstanzen ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verweigert hätten. Seine Beschwerde sei nicht aussichtslos, da die Rechtslage unklar sei und amtlich publizierte Entscheide zum Sicherungsentzug bei angeblich psychotischen Personen fehlten. Zudem hätte der gemäss den Akten psychisch kranke Beschwerdeführer nicht selbst handeln können.
5.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.). Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist nicht einschlägig, da die vorliegende Beschwerde keine zivilrechtliche Streitigkeit oder strafrechtliche Anklage betrifft (hiervor E. 3).
5.3 Das Kantonsgericht hat einen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im Verfahren vor dem Departement und dem Kantonsgericht wegen Aussichtslosigkeit verneint. Die Aussichtslosigkeit des Verfahrens gründe auf dem fundierten und schlüssigen Gutachten vom 6. März 2006. Im Kantonsgerichtsverfahren wurde der ablehnende Entscheid zusätzlich damit begründet, dass der Beschwerdeführer seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse nicht dargelegt habe. Nach Ansicht des Kantonsgerichts hätte der Beschwerdeführer wegen des Gutachtens erkennen müssen, dass das Verfahren aussichtslos war. Der Befund der fehlenden Fahreignung ist dem Gutachten deutlich zu entnehmen. Das Kantonsgericht hält die Einwände, die der Beschwerdeführer gegen das Gutachten vorbringt, für unbegründet. Dieser legt vor Bundesgericht nicht dar, dass das angefochtene Urteil diesbezüglich Recht verletzt. Ausgehend von der Zulässigkeit des Gutachtens mit der darin festgestellten fehlenden Fahreignung ist der Schluss der fehlenden Erfolgsaussichten verfassungsrechtlich haltbar. Es ist nicht zu beanstanden, wenn das Kantonsgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das kantonale Verfahren ablehnte. Die Rüge ist unbegründet und der Antrag auf Zusprechung einer Parteientschädigung für die vorinstanzlichen Verfahren ist abzuweisen.
6. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann nicht bewilligt werden, da die Voraussetzungen gemäss <ref-law> nicht erfüllt sind. Zum einen erscheint die Beschwerde aussichtslos. Zum anderen unterbleibt der Nachweis, dass der Beschwerdeführer nicht über die erforderlichen Mittel zur Prozessführung verfügt. Es ist Sache des Beschwerdeführers, über sein Vermögen und Einkommen Auskunft zu geben. Die Behauptung, die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sei in einem anderen Verfahren 2006/2005 vom Bezirksgerichtspräsidium Prättigau/ Davos bewilligt worden, reicht nicht aus, da Angaben über die aktuelle Einkommens- und Vermögenslage fehlen (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.). Der Beschwerdeführer hat demnach die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>), und es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Graubünden, dem Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden, dem Kantonsgericht von Graubünden, Kantonsgerichtsausschuss, und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Januar 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Thönen