Faits:
A.
A._ exerce la profession d'expert-comptable. Dès le 1er juillet 1999, il est entré au service de la fiduciaire Z._ SA en qualité de directeur et il a peu après été élu en qualité d'administrateur de cette société. A fin juin 2004, celle-ci a fusionné avec la fiduciaire X._ SA, dont A._ est devenu administrateur et directeur.
Le 20 juillet 2006, lors d'un entretien avec le président du conseil d'administration, A._ a fait part de son intention de quitter la société. Il a alors été convenu que le contrat de travail prendrait fin à l'issue d'un délai de préavis de six mois, le 31 janvier 2007. Le 28 juillet, A._ a confirmé la résiliation du contrat de travail et il a annoncé la mise à disposition de ses actions de l'employeuse. Son salaire mensuel brut s'élevait alors à 11'491 fr. 85, payable douze fois par an. Il percevait en outre des honoraires d'administrateur au montant de 2'000 fr. par année.
Dès le 26 octobre 2006 et au plus tôt jusqu'à fin janvier 2007, A._ s'est trouvé en incapacité totale de travailler pour cause de maladie.
D'une assurance perte de gain, il a perçu des indemnités journalières au total de 18'836 francs. Il a souscrit une couverture individuelle auprès de la même compagnie, pour la période du 1er novembre 2006 au 31 janvier 2007, et versé une prime au montant de 2'634 fr.30.
B.
Le 26 octobre 2006, par l'intermédiaire d'un avocat, une cliente de l'employeuse a réclamé des explications au sujet de retraits et virements injustifiés, exécutés sur ses avoirs de 2002 à 2004 pour un total de plus de 160'000 fr.; la cliente déclarait compenser ce préjudice avec les honoraires encore dus.
Précédemment, le 14 septembre 2006, A._ avait rédigé une note à l'intention des dirigeants de l'employeuse, d'où il ressort que le dossier contenant la comptabilité de la cliente pour l'année 2003 demeurait introuvable et qu'il serait par conséquent impossible de justifier certains prélèvements opérés en son nom.
Le 17 novembre 2006, l'employeuse a invité A._ à fournir des explications claires et circonstanciées sur les opérations critiquées par la cliente, dans un délai qu'elle fixait au 24 du même mois. Le 30, n'ayant reçu aucune réponse, elle a fait savoir qu'elle tenait les rapports contractuels pour terminés depuis le 31 octobre et que, dans l'hypothèse où ils se poursuivraient encore, elle déclarait les résilier avec effet immédiat.
C.
Le 22 avril 2010, A._ a ouvert action contre X._ SA devant le Tribunal de prud'hommes de l'arrondissement de Lausanne. La défenderesse devait être condamnée à payer 30'000 fr. avec intérêts au taux de 5% par an dès le 31 janvier 2007.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action. Elle a intenté une action reconventionnelle tendant au paiement de 3'904 francs.
Le demandeur a conclu au rejet de l'action reconventionnelle.
Le tribunal a interrogé divers témoins.
Le tribunal s'est prononcé le 3 février 2011. Accueillant partiellement l'action principale, il a condamné la défenderesse à payer 18'235 fr.20 avec intérêts selon les conclusions de la demande; il a rejeté l'action reconventionnelle.
D.
La défenderesse ayant appelé du jugement, le demandeur a usé de l'appel joint. Selon ses conclusions, la défenderesse devait être condamnée à payer 29'047 fr.50 avec intérêts au taux de 5% par an dès le 31 janvier 2007.
La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a statué le 21 septembre 2011. Elle a rejeté l'appel principal; elle a accueilli l'appel joint et condamné la défenderesse à payer 34'475 fr.55 à titre de salaire brut, soumis aux déductions sociales, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 31 janvier 2007, et sous imputation de 3'701 fr.70, montant net.
E.
Agissant par la voie du recours en matière civile, la défenderesse requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour d'appel en ce sens que l'action principale soit entièrement rejetée.
Dans sa réponse, le demandeur reconnaît une erreur de l'autorité précédente et il acquiesce très partiellement au recours. Selon ses conclusions, la défenderesse doit être condamnée à payer 33'845 fr.55 à titre de salaire soumis aux déductions sociales, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 31 janvier 2007, sous imputation de 3'701 fr.70.

Considérant en droit:
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et susceptible du recours en matière civile (<ref-law>). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (<ref-law>). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF); le mémoire de recours a été introduit en temps utile (<ref-law>) et il satisfait aux exigences légales (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (<ref-law>). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 176; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>); les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (<ref-law>). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (<ref-law>). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Il lui incombe alors d'indiquer de façon précise en quoi les constatations critiquées sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (ATF <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254; voir aussi <ref-ruling> consid. 2.8 p. 494; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 261/262).
2.
Le code de procédure civile unifié (CPC) est entré en vigueur le 1er janvier 2011 alors que la cause était pendante devant le Tribunal de prud'hommes. Par l'effet des art. 404 al. 1 et 405 al. 1 CPC, la procédure de première instance est demeurée soumise au droit cantonal antérieur tandis que l'appel était régi par le code unifié.
En capital, le total alloué par la Cour d'appel atteint 30'273 fr.85 alors que les conclusions d'appel du demandeur portaient sur 29'047 fr.50; à bon droit, la défenderesse se plaint de violation de l'<ref-law> selon lequel le juge ne peut pas accorder plus ni autre chose que ce qui est demandé. Contrairement à l'argumentation avancée dans la réponse au recours, il est sans importance que certaines des prestations contractuelles en cause, dont les conclusions présentées délimitent l'ampleur, soient grevées de cotisations légales à retenir par le débiteur.
3.
La Cour d'appel civile retient que les parties se sont liées par un contrat de travail, ce qui est incontesté.
La Cour retient encore que les rapports contractuels auraient dû prendre fin le 31 janvier 2007 et que le demandeur a droit au salaire pour les mois de novembre 2006 à janvier 2007, soit 34'475 fr.55 soumis aux déductions sociales; elle impute sur ce montant les indemnités reçues de l'assurance perte de gain en cas de maladie, soit 18'836 francs. La Cour alloue en outre une indemnité de 10'000 fr. pour résiliation immédiate et injustifiée du contrat de travail, 2'634 fr.30 pour remboursement de la prime d'assurance perte de gain versée par le demandeur et 2'000 fr. à titre d'honoraires d'administrateur pour l'année 2006.
4.
La défenderesse conteste devoir le salaire pour les mois de novembre 2006 à janvier 2007. Elle soutient principalement que le contrat de travail a pris fin le 31 octobre 2006, à l'expiration d'un délai de congé légal de trois mois par suite de la résiliation que le demandeur a communiquée le 20 juillet précédent.
Sur la base de divers indices tirés surtout du comportement des parties à la fin de 2006 et aussi de deux des témoignages recueillis, les autorités précédentes constatent que les parties ont convenu, le 20 juillet 2006, de mettre fin au contrat de travail le 31 janvier 2007 à l'issue d'un délai de préavis de six mois. Il s'agit d'une constatation de fait qui lie le Tribunal fédéral en vertu de l'<ref-law>.
La défenderesse discute et critique l'appréciation des preuves et des indices. A l'étude de son exposé, le Tribunal fédéral ne trouve guère sur quels points elle reproche réellement aux juges d'appel, sinon par de simples protestations ou dénégations, d'avoir commis une erreur certaine ou de s'être livrés à une appréciation absolument insoutenable. L'argumentation présentée tend plutôt à substituer une appréciation différente de celle de l'autorité précédente; en conséquence, elle est irrecevable car elle ne satisfait pas aux exigences relatives à la motivation du grief d'arbitraire.
5.
Subsidiairement, la défenderesse se prévaut de la résiliation avec effet immédiat qu'elle a elle-même signifiée au demandeur le 30 novembre 2006.
5.1. Nonobstant la convention des parties prévoyant que le contrat prendrait fin le 31 janvier 2007, celui-ci était susceptible d'une résiliation immédiate pour de justes motifs, selon l'<ref-law>.
L'<ref-law> consacre le droit de résilier sans délai pour de justes motifs. D'après l'<ref-law>, on considère notamment comme de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail. Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués par la partie qui résilie doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave justifie le licenciement immédiat du travailleur ou l'abandon abrupt du poste par ce dernier. En cas de manquement moins grave, celui-ci ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement. Par manquement de l'une des parties, on entend en règle générale la violation d'une obligation imposée par le contrat mais d'autres faits peuvent aussi justifier une résiliation immédiate (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 31; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 382).
Le juge apprécie librement, selon les règles du droit et de l'équité (<ref-law>), si le congé abrupt répond à de justes motifs (<ref-law>). A cette fin, il prend en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position du travailleur, la nature et la durée des rapports contractuels, et la nature et l'importance des manquements (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 32; <ref-ruling> consid. 4a p. 354). Le Tribunal fédéral ne contrôle qu'avec réserve une décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral redresse les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 32; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 220; <ref-ruling> consid. 2 p. 382).
5.2. Le 26 octobre 2006, par l'intermédiaire d'un avocat, une cliente de la défenderesse a réclamé des explications au sujet de retraits et virements exécutés pour un total de plus de 160'000 francs. Invité à fournir des renseignements clairs et circonstanciés sur ces opérations afin que l'employeuse pût répondre à la cliente, le demandeur a gardé le silence; selon la défenderesse, cette attitude est une violation grave du devoir de fidélité qui lui incombait et elle constitue un juste motif de résiliation immédiate du contrat de travail.
Le 14 septembre, le demandeur avait rédigé une note au sujet de cette affaire, avertissant que le dossier demeurait introuvable et qu'il serait donc impossible de justifier certains prélèvements. Avec pertinence, la défenderesse relève que ce document n'apportait pas de réponse aux accusations élevées par la cliente. En revanche, on y apprend pourquoi il n'était pas possible de fournir une réponse. La situation qui en résultait était sans aucun doute très défavorable mais elle était connue de l'employeuse et celle-ci ne pouvait attendre aucun remède de l'interpellation qu'elle adressait à son directeur. Les autorités précédentes jugent à bon droit que dans ce contexte, le silence du directeur n'était pas un motif valable de résiliation immédiate du contrat.
6.
Plus subsidiairement, la défenderesse fait valoir que le demandeur s'est trouvé en incapacité de travail pour cause de maladie dès le 26 octobre 2006. Elle allègue qu'elle avait dûment souscrit, pour lui, une assurance perte de gain en cas de maladie, et que son obligation de payer le salaire a pris fin le 26 novembre 2006, à l'expiration du délai de carence d'un mois prévu par les conditions d'assurance.
6.1. L'<ref-law> consacre le droit du travailleur de percevoir son salaire, pendant un temps limité, lorsqu'il est empêché de fournir sa prestation pour une cause inhérente à sa personne, telle que la maladie ou l'accident (al. 1). Pendant la première année de service, ce temps limité ne peut pas être inférieur à trois semaines; par la suite, il s'agit d'une période plus longue, à fixer équitablement d'après la durée des rapports de travail et les circonstances particulières (al. 2).
L'<ref-law> permet qu'un accord écrit déroge à ces dispositions, à condition que le travailleur bénéficie de prestations au moins équivalentes.
Lorsque l'employeur ne satisfait pas aux obligations à lui imposées par l'accord dérogatoire, par exemple s'il ne conclut pas le contrat d'assurance prévu ou n'acquitte pas les primes dues à l'assureur, ou, en cas de maladie d'un travailleur, ne fait pas à temps l'annonce exigée par les conditions d'assurance, il doit réparation du dommage subi par ce travailleur, et le dommage correspond aux prestations d'assurance perdues. Sa propre prestation a alors pour objet des dommages-intérêts pour cause de mauvaise exécution de l'accord dérogatoire, et elle est due sur la base de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5 p. 326; <ref-ruling> consid. 4 p. 133).
En l'occurrence, la défenderesse prétend avoir conclu un accord dérogatoire avec le défendeur; elle prétend également lui avoir procuré, conformément à cet accord, une couverture d'assurance portant sur des indemnités journalières au taux de 80% du salaire, dès l'expiration d'un délai de trente jours et pendant sept cent trente jours au plus. Elle précise que d'après les conditions d'assurance, le droit aux indemnités journalières pouvait se prolonger au delà de la fin du contrat de travail mais que l'employeuse devait néanmoins, le cas échéant, annoncer la fin du contrat à l'assureur. Enfin, elle prétend avoir accompli à temps toutes les démarches qui incombaient à l'employeuse en cas de maladie du travailleur.
6.2. Il est constant que le demandeur a perçu des indemnités d'assurance au total de 18'836 francs.
La Cour d'appel constate que l'incapacité de travail a débuté le 26 octobre 2006, que la défenderesse a annoncé le cas à l'assureur le 3 novembre suivant et qu'elle lui a plus tard, le 15 décembre, communiqué que les rapports de travail avaient pris fin à compter du 1er novembre. La Cour retient que cette dernière communication constitue une faute de la défenderesse et que, si le demandeur ne souscrivait pas lui-même une nouvelle couverture d'assurance, elle entraînait la suspension du versement des indemnités journalières. La Cour ajoute que « de toute manière », la défenderesse ayant donné un congé immédiat injustifié le 30 novembre, le demandeur a droit à des dommages-intérêts en vertu de l'<ref-law>, que ces dommages-intérêts correspondent au salaire, qu'il n'y a « plus de place au mécanisme de l'<ref-law> » et que la défenderesse n'est donc pas libérée par l'existence d'une assurance perte de gain.
Ce raisonnement ne repose pas sur des constatations de fait suffisantes. Certes, l'existence d'un accord dérogatoire conforme à l'<ref-law> semble implicitement admise. Il fallait en outre constater les conditions d'assurance déterminantes pour élucider si la fin des rapports de travail entraînait effectivement l'extinction du droit aux indemnités journalières afférentes à une incapacité de travail ayant débuté pendant ces rapports. Dans la négative, le demandeur n'a pas subi de préjudice en relation de causalité avec la démarche de la défenderesse du 15 décembre 2006 et il ne peut donc pas prétendre à des dommages-intérêts; il doit plutôt être renvoyé à faire valoir ses prétentions contre l'assureur.
En cas de résiliation immédiate et injustifiée du contrat, l'<ref-law> autorise le travailleur à réclamer ce qu'il aurait gagné si les rapports de travail avaient pris fin à l'expiration du délai de congé. Cette règle exige de déterminer le plus concrètement possible les prestations salariales qui auraient incombé à l'employeur (<ref-ruling> consid. 2b p. 16/17); il faut notamment tenir compte d'une éventuelle incapacité de travail et de ses conséquences sur le droit au salaire (arrêt 4C_293/2004 du 15 juillet 2005, consid. 2.3). L'approche adoptée par la Cour d'appel se révèle donc erronée. La cause devra lui être renvoyée pour qu'elle complète les constatations de fait et statue à nouveau sur le droit au salaire pendant les mois de novembre 2006 à janvier 2007.
7.
La défenderesse conteste devoir une indemnité de 10'000 fr. pour résiliation immédiate et injustifiée du contrat de travail.
Lorsque l'employeur a résilié abruptement le contrat sans justes motifs, le travailleur peut réclamer sur la base de l'<ref-law> et en sus des prestations visées par l'<ref-law> une indemnité dont le juge fixe librement le montant en tenant compte de toutes les circonstances; cette indemnité ne peut toutefois pas excéder l'équivalent de six mois de salaire.
L'indemnité est due, en principe, dans tous les cas de licenciement immédiat et injustifié. Une éventuelle exception ne peut se justifier que dans des conditions particulières; il faut à tout le moins que l'employeur n'ait commis aucune faute et que celui-ci ne soit pas non plus responsable en raison d'autres circonstances (<ref-ruling> consid. 5a p. 301; voir aussi <ref-ruling> consid. 3c p. 68; <ref-ruling> consid. 3e p. 247). Le cas échéant, l'indemnité est elle aussi évaluée selon les règles du droit et de l'équité. La gravité de l'atteinte portée aux droits de la personnalité du travailleur est déterminante; d'autres critères tels la durée des rapports de travail, l'âge du lésé, sa situation sociale, une éventuelle faute concomitante et les effets économiques du licenciement entrent aussi en considération (<ref-ruling> consid. 3c p. 394; voir aussi <ref-ruling> consid. 3.1 p. 407; <ref-ruling> consid. 3c p. 68).
Contrairement à l'opinion développée devant le Tribunal fédéral, la présente affaire ne présente pas de circonstances exceptionnelles propres à justifier le refus de toute indemnité. La juridiction cantonale n'a pas constaté que le demandeur ait violé une clause de prohibition de faire concurrence en entrant au service d'une autre fiduciaire. Le silence du demandeur au sujet des accusations élevées par une cliente ne peut motiver ni la résiliation abrupte du contrat ni le refus de toute indemnisation. En allouant un montant limité à près d'un mois de salaire, la Cour d'appel a dûment pris en considération que le demandeur avait déjà, et de son propre chef, décidé de mettre fin au contrat.
8.
La défenderesse conteste devoir 2'634 fr.30 pour remboursement d'une prime d'assurance perte de gain.
Il est établi que la défenderesse a annoncé à l'assureur l'incapacité de travail du demandeur, le 3 novembre 2006, et qu'elle lui a plus tard, le 15 décembre 2006, communiqué que les rapports de travail avaient pris fin à compter du 1er novembre. L'assureur a aussitôt proposé une couverture d'assurance individuelle au demandeur; celui-ci a accepté et il a simultanément informé l'assureur qu'il contestait la fin des rapports de travail. Il a acquitté une prime de 2'634 fr.30 pour la période du 1er novembre 2006 au 31 janvier 2007.
Ici également, la défenderesse fait valoir que d'après les conditions d'assurance, la fin des rapports de travail laissait subsister le droit aux indemnités journalières afférent à l'incapacité de travail en cours et que la conclusion d'un nouveau contrat ne pouvait se justifier qu'en prévision d'incapacités de travail futures. Par ailleurs, l'assureur a été d'emblée averti que le demandeur était peut-être couvert deux fois, par le contrat de la défenderesse et par celui nouvellement conclu. En tant que le demandeur peut se faire rembourser par l'assureur une prime inutilement versée, il ne subit aucun dommage que la défenderesse doive réparer. Il incombe à la juridiction cantonale d'élucider les conditions d'assurance pertinentes et de prendre une nouvelle décision aussi sur ce chef de la contestation.
9.
Le Tribunal de prud'hommes a alloué au demandeur le montant de 2'000 fr. à titre d'honoraires d'administrateur pour l'année 2006. En appel, la défenderesse a vainement contesté la compétence de ce tribunal à raison de la matière; devant le Tribunal fédéral, elle persiste dans cette contestation et se plaint d'arbitraire.
Le droit fédéral n'impose pas aux cantons d'attribuer le contentieux du contrat de travail à une juridiction distincte de celles compétentes dans d'autres domaines; leur liberté ressort au contraire de l'<ref-law>. La compétence du Tribunal de prud'hommes est donc délimitée exclusivement par le droit cantonal, alors même que celui-ci fait référence à un cadre juridique - le contrat de travail - appartenant au droit fédéral; en conséquence, et pour autant qu'un tribunal soit accessible selon l'organisation judiciaire cantonale, une décision relative à la compétence telle que celle présentement litigieuse ne peut pas contrevenir à ce droit-ci (<ref-ruling> consid. 1a p. 80; <ref-ruling> consid. 2 p. 463; <ref-ruling> consid. 1c p. 241). En revanche, cette décision peut éventuellement se révéler incompatible avec la protection contre l'arbitraire conférée par l'art. 9 Cst.
La défenderesse se borne à affirmer que son adverse partie a exercé la fonction d'administrateur en exécution d'un mandat entièrement indépendant du contrat de travail, que ce mandat n'a pas été attribué simultanément et qu'il « n'impliquait pas de rapports de subordination particuliers ». Ces protestations sont inaptes à mettre en évidence une application manifestement erronée du droit cantonal. Le recours se révèle irrecevable aussi sur ce point, faute d'une motivation suffisante.
10.
ll appartient à la Cour d'appel de compléter les constatations de fait et de statuer à nouveau sur le droit au salaire pendant les mois de novembre 2006 à janvier 2007, d'une part, et sur le droit au remboursement d'une prime d'assurance, d'autre part; la Cour tiendra compte, s'il y a lieu, des conclusions d'appel prises par le demandeur.
Aucune des parties n'obtient entièrement ni définitivement gain de cause; il se justifie donc de répartir l'émolument judiciaire par moitié et de compenser les dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable.
2.
La décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal pour nouvelle décision.
3.
Les parties acquitteront un émolument judiciaire de 1'000 fr., à raison de 500 fr. à la charge du demandeur et de 500 fr. à la charge de la défenderesse.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 29 juillet 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin