Faits:
A. C._, né en 1960, travaillait en qualité de chauffeur de véhicule léger au service de l'Hôpital X._. Le 26 août 1998, il a été victime d'un accident de la route. Alors qu'il était arrêté à un feu rouge, sa voiture a été percutée par l'arrière et projetée contre le véhicule qui la précédait. Le lendemain, C._ a consulté la doctoresse D._, qui a diagnostiqué une contusion cervicale et l'a mis en arrêt de travail à 100%. L'incapacité de travail perdurant, C._ s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 7 décembre 1999, sollicitant une rééducation et des mesures médicales de réadaptation spéciale.
Le docteur R._, médecin traitant de C._ à partir du 26 août 1998, a diagnostiqué une probable réaction fibromyalgique post-traumatique (rapport du 20 janvier 2000). Le docteur P._, spécialiste en médecine interne et en rhumatologie et médecin traitant dès le 30 septembre 1999, a fait état, dans son rapport du 9 mars 2000, d'un status après contusion cervicale et de fibromyalgie. Dans son rapport du 15 juillet 2001, ce médecin a confirmé son précédent diagnostic et a précisé que ni l'activité antérieure ni aucune autre activité n'étaient exigibles de son patient.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après : l'office AI) a requis l'avis du Service médical régional AI (SMR). A l'issue d'un examen pluridisciplinaire, les docteurs I._, spécialiste en chirurgie plastique et reconstructive, F._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie, et V._, spécialiste en psychiatrie, ont posé le diagnostic de lombo-pygio-sciatalgies gauches chroniques persistantes et cervicalgies sans substrat anatomique clair et trouble somatoforme douloureux (rapport du 11 avril 2002). En l'absence d'une atteinte fonctionnelle objectivable du rachis et de toute pathologie neurologique, irritative ou déficitaire, les médecins du SMR n'ont retenu aucune limitation fonctionnelle biomécaniquement soutenable. L'assuré ne présentant pas de signe d'un état dépressif ou anxieux majeur, ils n'ont pas admis de comorbidité psychiatrique. De ce fait, ils ont reconnu une pleine capacité de travail.
Par décision du 8 août 2003, l'office AI a rejeté la demande de prestations au motif que C._ ne souffrait d'aucune atteinte à la santé l'empêchant d'exercer normalement son activité lucrative.
Le 4 septembre 2003, C._ s'est opposé à cette décision, contestant essentiellement l'appréciation psychiatrique des médecins du SMR. Il a affirmé avoir demandé une expertise privée auprès de l'Hôpital X._. L'opposition de C._ a été rejetée par une nouvelle décision, du 1er septembre 2004, sans attendre la production de l'expertise.
B. C._ a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant à son annulation. Il a également demandé la suspension de la procédure jusqu'à ce qu'il puisse produire l'expertise médicale de l'Hôpital X._.
Le 14 mars 2005, C._ a produit cette expertise, établie par le docteur G._, médecin associé auprès du Service de rhumatologie, médecine physique et réhabilitation de l'Hôpital X._, avec la collaboration des docteurs S._, spécialiste en chirurgie du rachis, K._, neurologue, O._ et E._, spécialistes d'anesthésiologie, et A._, psychiatre. Ces médecins ont retenu un diagnostic de pan-rachialgies cervico-dorso-lombaires chroniques non spécifiques persistantes, status après mécanisme d'accélération décélération cervicale, possible ancienne hypermobilité articulaire généralisée, épisode dépressif moyen à sévère sans symptôme psychotique, fibromyalgie et suspicion anamnestique de syndrome d'apnée du sommeil. Ils ont conclu à une incapacité totale de travail de C._ dans toute activité.
Après avoir tenu deux audiences et demandé des renseignements complémentaires au docteur A._, le Tribunal cantonal des assurances sociales a, par arrêt du 20 mars 2006, admis le recours de C._ et lui a alloué une rente entière d'invalidité dès le 1er août 2000.
C. L'office AI a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement en concluant à son annulation et à la confirmation de sa décision sur opposition du 1er septembre 2004. A l'appui de son recours, il a produit un avis de son service médical confirmant que C._ avait une capacité de travail entière dans toute activité.
L'intimé a conclu au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales s'est rallié à l'argumentation du recourant et a proposé l'admission du recours.

Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 395).
2. Le litige porte sur le droit éventuel de l'intimé à une rente de l'assurance-invalidité. Selon l'art. 132 al. 1 OJ dans sa version selon le ch. III de la loi fédérale du 16 décembre 2005 portant modification de la LAI (en vigueur depuis le 1er juillet 2006), dans une procédure concernant l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le Tribunal de céans peut aussi examiner l'inopportunité de la décision attaquée et n'est pas lié par la constatation de l'état de fait de l'autorité cantonale de recours. En vertu de l'art. 132 al. 2 OJ, ces dérogations ne sont cependant pas applicables lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne les prestations de l'assurance-invalidité. Selon le ch. II let. c de la loi fédérale du 16 décembre 2005, l'ancien droit s'applique aux recours pendants devant le Tribunal au moment de l'entrée en vigueur de la modification. Dès lors que le recours qui est soumis au Tribunal était pendant devant lui au 1er juillet 2006, son pouvoir d'examen résulte de l'art. 132 al. 1 OJ.
3. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales applicables, étant précisé que la loi fédérale du 6 octobre 2000 sur la partie générale des assurances sociales n'a pas modifié la notion d'invalidité et la manière d'évaluer le taux d'invalidité. On peut donc y renvoyer.
4. 4.1 Il ressort des rapports médicaux versés au dossier, que le docteur P._, médecin traitant, et le docteur G._, expert privé, ont diagnostiqué chez l'intimé une fibromyalgie et des pan-rachialgies cervico-dorso-lombaires chroniques non spécifiques persistantes. Les médecins du SMR ont, quant à eux, posé le diagnostic de troubles somatoformes douloureux et de lombo-pygio-sciatalgies gauches chroniques persistantes avec des cervicalgies sans substrat anatomique clair.
4.2 Dans un arrêt récent (<ref-ruling>), le Tribunal fédéral a posé certains principes en ce qui concerne la question de l'appréciation de la capacité de travail d'une personne atteinte de fibromyalgie. Il a jugé que les diagnostics de fibromyalgie et de trouble somatoforme douloureux présentaient des points communs, en ce sens que leurs manifestations cliniques étaient pour l'essentiel similaires et qu'il n'existait pas de pathogenèse claire et fiable pouvant expliquer l'origine des douleurs exprimées. Cela rendait la limitation de la capacité de travail difficilement mesurable car l'on ne pouvait pas déduire l'existence d'une incapacité de travail du simple diagnostic posé. En particulier, un diagnostic de fibromyalgie ou de trouble somatoforme douloureux ne renseignait pas encore sur l'intensité des douleurs ressenties par la personne concernée, ni sur leur évolution, ou sur le pronostic qu'on pouvait poser dans un cas concret. La Cour de céans a déduit de ces caractéristiques communes qu'en l'état actuel des connaissances, il se justifiait, sous l'angle juridique, d'appliquer par analogie les principes développés par la jurisprudence en matière de troubles somatoformes douloureux lorsqu'il s'agissait d'apprécier le caractère invalidant d'une fibromyalgie.
Dans les deux cas, il convient de poser la présomption que l'affection ou ses effets peuvent être surmontés par un effort de volonté raisonnablement exigible (<ref-ruling>). Le Tribunal fédéral des assurances a toutefois reconnu qu'il existe des facteurs déterminés qui, par leur intensité et leur constance, rendent la personne incapable de fournir cet effort de volonté, et établi des critères permettant d'apprécier le caractère invalidant de troubles somatoformes douloureux (<ref-ruling> s. et 131 V 50). Il est légitime d'admettre que ces circonstances sont également susceptibles de fonder exceptionnellement un pronostic défavorable dans les cas de fibromyalgie. A cet égard, on retiendra, au premier plan, la présence d'une comorbidité psychiatrique importante par sa gravité, son acuité et sa durée. Un diagnostic de trouble dépressif ne suffit pas à établir l'existence d'une comorbidité psychiatrique d'une acuité et d'une durée importante. En effet, les états dépressifs constituent généralement des manifestations (réactives) d'accompagnement des troubles somatoformes douloureux, de sorte qu'ils ne sauraient faire l'objet d'un diagnostic séparé (<ref-ruling> consid. 3.3.1 in fine; Ulrich Meyer-Blaser, Der Rechtsbegriff der Arbeitsunfähigkeit und seine Bedeutung in der Sozialversicherung, in : Schmerz und Arbeitsunfähigkeit, St. Gall 2003, p. 81 note 135), sauf à présenter les caractères de sévérité susceptibles de les distinguer sans conteste d'un tel trouble (arrêt du Tribunal fédéral des assurances I 805/04 du 20 avril 2006, c. 5.2.1 ; voir également Pierre-André Fauchère, A propos de l'article de Jean Pirotta "Les troubles somatoformes douloureux du point de vue de l'assurance- invalidité", in Revue suisse des assurances sociales et de la prévoyance professionnelle [RSAS] 2006 p. 135). Quant aux autres critères consacrés par la jurisprudence (les affections corporelles chroniques et la durée du processus maladif, la perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie, l'état psychique cristallisé et l'échec de traitements), ils constituent un instrument, pour l'expert et l'administration (le cas échéant pour le juge), servant à qualifier la souffrance vécue par un assuré, afin de déterminer si celui-ci dispose ou non des ressources psychiques permettant de surmonter cet état ; ces critères ne constituent pas une liste de vérification mais doivent être considérés comme une aide à l'appréciation globale de la situation douloureuse dans un cas concret.
5. Au regard des principes qui viennent d'être développés, on doit constater que, ni les avis des médecins du SMR ni ceux du médecin traitant et des médecins ayant pratiqué l'expertise privée ne permettent de statuer à satisfaction de droit sur le caractère invalidant de la fibromyalgie, respectivement des troubles somatoformes douloureux présentés par l'intimé.
5.1 Les médecins du SMR ont motivé l'existence d'une capacité de travail entière principalement par le fait qu'ils n'ont pas constaté de signes d'un état dépressif ou anxieux majeur, ni lors de leurs examens ni lors des audiences devant le Tribunal cantonal des assurances sociales. Ils ont donc nié l'existence d'une comorbidité psychiatrique.
Le docteur A._ a, pour sa part, retenu l'existence d'un épisode dépressif moyen à sévère sans symptôme psychotique. Son appréciation est essentiellement fondée sur les déclarations de l'intimé, sans aucun contrôle de ses dires. Si l'on se réfère au dossier, on constate certaines divergences. Alors que le docteur A._ évoque une "baisse modérée de l'appétit (nous dit avoir perdu 6 kilos)", les divers rapports n'établissent aucune perte de poids. En effet, le rapport du médecin traitant P._, du 9 mars 2000, fait état d'un poids de 69 kg alors qu'au moment de l'expertise, le docteur G._ mentionne un poids de 70,2 kg. Le docteur A._ fait état d'une diminution marquée de la libido du patient alors que le docteur G._ n'indique au contraire aucune baisse sur ce plan. Concernant l'épisode dépressif, le docteur A._ précise qu'il a clairement valeur de maladie en tant que telle et doit être reconnu comme une comorbidité autonome du trouble somatoforme douloureux. Les symptômes dépressifs permettant d'étayer cet avis sont ceux décrits par l'intimé lui-même. Pour sa part, le médecin traitant semble émettre un avis contraire dans son rapport du 23 janvier 2003, lorsqu'il retient que les troubles dépressifs sont de type réactionnel à l'état douloureux chronique chez son patient.
Au vu de ces éléments, l'opinion du docteur A._ n'est pas apte à mettre sérieusement en doute l'avis médical du SMR concernant la comorbidité psychiatrique.
S'agissant d'apprécier les autres facteurs permettant de poser un pronostic défavorable à une éventuelle reprise du travail, le docteur A._ a évoqué une chronification des symptômes douloureux, une comorbidité dépressive, une perte d'intégration sociale et l'échec des essais de prises en charge thérapeutiques, qui font que la capacité de travail de l'intimé est nulle. Pour se faire un avis, le docteur A._ s'est à nouveau fondé uniquement sur les déclarations du patient. Pour les médecins du SMR, les constatations qu'ils ont faites démontrent l'absence de retrait social.
5.2 S'agissant d'apprécier ces divers avis médicaux, l'autorité de céans constate tout d'abord que les médecins du SMR admettent que les troubles somatoformes douloureux ne réduisent pas la capacité de travail vu l'absence de comorbidité psychiatrique. Ils ne se prononcent toutefois pas sur l'influence que les "lombo-pygio-sciatalgies gauches chroniques persistantes" - qu'ils ont eux-mêmes diagnostiquées - ont sur la capacité de travail de l'assuré et sur la possibilité pour celui-ci de reprendre une activité professionnelle. La question de la perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie est abordée très subjectivement par le docteur A._ et plus objectivement par les médecins du SMR sans qu'il soit cependant possible d'admettre sans autre que l'attitude de l'assuré sur ce point exclut tout retrait social. En tout cas, l'importance de celui-ci n'a pas été évaluée. Concernant l'échec du traitement, il est difficile de se prononcer car, si l'on admet une incapacité de travail fondée essentiellement sur des motifs psychiques, comme le font les médecins de l'Hôpital X._, il faut constater avec le docteur A._ qu'aucun traitement psychothérapeutique n'a été entrepris par l'assuré avant qu'il aille consulter le psychiatre U._, qui a posé, dans un avis du 25 novembre 2001 (recte : 2005), un pronostic lentement favorable en ce qui concerne l'humeur.
5.3 Il s'impose donc de renvoyer la cause au Tribunal cantonal des assurances sociales pour qu'il ordonne une expertise judiciaire qui devra déterminer la capacité de travail de l'assuré en tenant compte des atteintes somatiques et psychiques. Dans cette mesure, le recours est bien fondé.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales du 20 mars 2006 est annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 13 mars 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: La greffière: