Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die Eltern zweier Söhne, C._ (geb. 2008) und D._ (geb. 2010). In einem Eheschutzurteil vom 16. Oktober 2012 gewährte der Amtsgerichtspräsident von Olten-Gösgen dem Vater das Recht, seine Kinder jedes zweite Wochenende von Samstag, 14.00 Uhr, bis Sonntag, 18.00 Uhr, besuchsweise zu sich zu nehmen.
B.
Ende Mai/Anfang Juni 2013 nahm die Staatsanwaltschaft Lenzburg Ermittlungen gegen A._ wegen Verdachts sexueller Handlungen mit den Kindern auf. Auf Gesuch der Mutter sistierte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Olten-Gösgen mit superprovisorischen Verfügungen vom 7. und 19. Juni 2013 das Besuchsrecht "vorläufig bis auf weiteres". Für die Kinder wurde eine Verfahrensbeistandschaft nach <ref-law> errichtet. Mit Entscheid vom 31. Juli 2013 räumte die KESB Olten-Gösgen A._ das Recht ein, seine Kinder alle vierzehn Tage für drei Stunden in der Institution E._ in U._ zu besuchen. Am 27. August 2014 folgte ein weiterer Entscheid der KESB Olten-Gösgen. Die Behörde errichtete für die Söhne neu eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB und beauftragte den Beistand damit, den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Kindern zu regeln. Das zweiwöchentliche Besuchsrecht wurde auf dreieinhalb Stunden erweitert; im Übrigen blieb es bei der Regelung vom 31. Juli 2013.
C.
A._ ergriff am 29. September 2014 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Im Wesentlichen verlangte er, dem Besuchsrechtsbeistand aufzutragen, die Regelung des persönlichen Verkehrs schrittweise bis spätestens 31. März 2015 so wiederherzustellen, wie sie der Eheschutzrichter am 16. Oktober 2012 getroffen hatte (s. Bst. A). Für das Beschwerdeverfahren ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege. Er bat darum, ihm die unterzeichnete Anwältin als unentgeltliche Rechtsbeiständin zu bestellen. Mit Verfügung vom 1. Oktober 2014 wies der Präsident des Verwaltungsgerichts das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung ab (Ziffer 5).
D.
Mit Eingabe vom 6. November 2014 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, Ziffer 5 der Verfügung vom 1. Oktober 2014 aufzuheben und ihm die unterzeichnete Anwältin als unentgeltliche Rechtsbeiständin zu bestellen. Eventuell sei die Sache zur weiteren Prüfung seines Armenrechtsgesuchs an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Auch für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn hält mit Eingabe vom 7. Mai 2015 (Datum der Postaufgabe) an der angefochtenen Verfügung fest und beantragt, die Beschwerde kostenfällig abzuweisen. Die Vernehmlassung wurde dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen eine Verfügung des Verwaltungsgerichts, die ihm für das kantonale Rechtsmittelverfahren die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands versagt. Der Entscheid erging mittels einer selbständigen, vorab eröffneten Verfügung. Er ist also ein Zwischenentscheid, der nach der Rechtsprechung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann (Urteil 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 1 mit Hinweisen). Dass das Verwaltungsgericht nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht nicht entgegen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f.). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Dort geht es um die Regelung des persönlichen Verkehrs im Rahmen eines Kindesschutzverfahrens. Das ist eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht und der Beschwerde in Zivilsache unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Das gleiche Rechtsmittel ist daher gegen den angefochtenen Zwischenentscheid zulässig. Auf die fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Der Streit dreht sich vor Bundesgericht einzig um die Frage, ob der Beschwerdeführer zur Wahrung seiner Rechte im kantonalen Beschwerdeverfahren auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand angewiesen ist. Als gesetzliche Grundlage seines Entscheids nennt das Verwaltungsgericht § 76 Abs. 1 des solothurnischen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 15. November 1970 (VRG; BGS 124.11). Es wendet das kantonale Verfahrensrecht gestützt auf die gesetzlichen Verweise in Art. 440 Abs. 3 und Art. 450f ZGB sowie § 145 Abs. 1 des solothurnischen Gesetzes über die Einführung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches vom 4. April 1954 (BGS 211.1) an. Soweit aber allein die Anwendung des kantonalen Rechts in Frage steht, kann der Beschwerdeführer nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbots geltend machen (s. <ref-ruling> E. 2.3 S. 231). Für diese Vorbringen gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Vorwürfe. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Was den Sachverhalt angeht, ist das Bundesgericht grundsätzlich an die Feststellungen der Vorinstanz gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann der Beschwerdeführer einzig vorbringen, die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Auch dafür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
3.
Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass sich aus dem solothurnischen Prozessrecht ein Armenrechtsanspruch ergibt, der über die in <ref-law> verankerte Minimalgarantie hinausgeht. Dieser Mindeststandard ist deshalb massgebend. Danach hat eine Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand, soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist. Dies ist der Fall, wenn die Interessen der Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Rechtsstreit in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, welche die Beiziehung eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (<ref-ruling> E. 2.2 S. 182 mit Hinweisen; Urteil 5A_447/2007 vom 13. Dezember 2007 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Neben der Komplexität der Rechtsfragen und der Unübersichtlichkeit des Sachverhalts fallen auch in der Person des Betroffenen liegende Gründe in Betracht, wie etwa seine Fähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (<ref-ruling> E. 2.5.2 S. 233; <ref-ruling> E. 2c/bb S. 51 f., 276 E. 3a). Die sachliche Notwendigkeit eines anwaltlichen Beistands wird nicht allein dadurch ausgeschlossen, dass das in Frage stehende Verfahren von der Offizialmaxime oder dem Untersuchungsgrundsatz beherrscht wird, die Behörde also gehalten ist, an der Ermittlung des rechtserheblichen Sachverhalts mitzuwirken (<ref-ruling> E. 4b S. 36 mit Hinweisen; bestätigt in den Urteilen 5A_395/2012 vom 16. Juli 2012 E. 4.4.2 und 5A_597/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 2.2).
Ersucht eine Partei - wie hier der Beschwerdeführer - erstmals in einem Rechtsmittelverfahren um die unentgeltliche Verbeiständung, so ist auch die Frage, ob sie zur Wahrung ihrer Rechte auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand angewiesen ist, mit Blick auf das konkret betroffene Rechtsmittelverfahren zu prüfen. Die Ausgangslage ist vergleichbar mit der Beurteilung der Erfolgsaussichten eines Rechtsmittels, bezüglich derer es ausschliesslich darauf ankommt, ob das Rechtsmittel prozessual unzulässig oder aussichtslos ist, und nicht darauf, dass die um das Armenrecht ersuchende Partei überhaupt erst ein Verfahren anstrengen muss (Urteil 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 3 mit Hinweisen).
4.
Das Verwaltungsgericht verweigert dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Verbeiständung mit der Begründung, der Streit betreffe die Modalitäten des Besuchsrechts und konkret die Frage, ob der persönliche Verkehr weiter ausgedehnt werden soll. Die Regelung dieser Fragen greife nicht besonders stark in die Rechtsstellung des Beschwerdeführers ein und gebiete es nicht, ihm eine unentgeltliche Rechtsbeiständin zur Seite zustellen. Der Beschwerdeführer bestreitet diese Sichtweise. Er beteuert, sich vor dem Verwaltungsgericht gegen eine Beschränkung des persönlichen Verkehrs zu wehren, die gegen seinen Willen angeordnet worden sei. Bei der Verfügung eines begleiteten Besuchsrechts handele es sich "generell um einen schweren Eingriff in die Rechte des Vaters und der Kinder". Welche Bewandtnis es damit hat, kann offenbleiben. Das zeigen die nachfolgenden Erwägungen.
5.
Ob der Beschwerdeführer sich im Verfahren selbst zurechtfinden kann oder auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand angewiesen ist, beurteilt sich hier mit Blick auf ein Rechtsmittelverfahren. Die Entscheidung, eine Verfügung oder ein Urteil anzufechten und einer Rechtsmittelinstanz zur (gerichtlichen) Überprüfung vorzulegen, ist allein dem Rechtsunterworfenen überlassen. Dies gilt auch im Anwendungsbereich von Untersuchungs- und Offizialmaxime. Wie der Beschwerdeführer zu Recht betont, entbinden diese Verfahrensgrundsätze eine Partei nicht davon, vor der Rechtsmittelbehörde Anträge zu stellen, mit Blick auf die Überprüfung gegebenenfalls den Sachverhalt aufzuarbeiten und der Rechtsmittelinstanz erklären, weshalb es nicht beim angefochtenen Entscheid bleiben soll. Ebenso ist dem Beschwerdeführer darin beizupflichten, dass der Rechtsunterworfene den fraglichen Entscheid zunächst in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht verstehen muss, um sich ein Urteil darüber bilden zu können, ob er ihn anfechten will, und dass dies wiederum entsprechende Kenntnisse der Verfahrenssprache voraussetzt. In der Rechtsmittelbelehrung ihres Entscheids weist die KESB Olten-Gösgen denn auch auf <ref-law> hin. Danach ist die Beschwerde beim Gericht schriftlich und begründet einzureichen.
Der Beschwerdeführer lässt vor Bundesgericht ausführen, er sei "nigerianischer Muttersprache mit Zweitsprache Englisch". Um den Entscheid der KESB Olten-Gösgen zu verstehen und eine Eingabe zu verfassen, würden ihm genügende Deutschkenntnisse fehlen. Der Beschwerdeführer präzisiert damit die Begründung des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung in seiner kantonalen Beschwerde. Schon dort weist er darauf hin, dass er mangels genügender Rechts- und Sprachkenntnisse auf eine Rechtsvertretung angewiesen sei. Das Verwaltungsgericht stellt diese fehlenden Kenntnisse der Verfahrenssprache weder im angefochtenen Entscheid noch in seiner Vernehmlassung in Abrede. Da es um ein Rechtsmittelverfahren geht, rechtfertigt nach dem Gesagten der Untersuchungsgrundsatz keine besonders restriktive Handhabung der Voraussetzungen, unter denen die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für ein Rechtsmittelverfahren wie dasjenige nach <ref-law> sachlich geboten ist. In der Tat ist nicht nachzuvollziehen, wie der nicht sprachgewandte Beschwerdeführer ohne Hilfe eines Rechtsbeistands in der Lage gewesen sein sollte, auf Deutsch eine begründete Beschwerde zu verfassen und sich im kantonalen Rechtsmittelverfahren zurechtzufinden. Mit den fehlenden Sprachkenntnissen übersieht das Verwaltungsgericht eine tatsächliche Schwierigkeit, die in der Person des Beschwerdeführers liegt und angesichts derer er das Rechtsmittelverfahren nicht auf sich alleine gestellt führen kann - unabhängig davon, wie stark der Entscheid der KESB Olten-Gösgen in seine Rechtsstellung eingreift. Entgegen der Meinung des Verwaltungsgerichts kann auch nicht gesagt werden, dass sich der Beschwerdeführer mit einer Unterstützung zufrieden geben müsste, die allein auf die Hilfe in sprachlicher Hinsicht ausgerichtet wäre. Indem es einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers im kantonalen Beschwerdeverfahren nicht für notwendig hält, verletzt das Verwaltungsgericht <ref-law>.
6.
Die Beschwerde ist also begründet. Sie ist gutzuheissen. Zu den weiteren Vorbringen, mit denen der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Beurteilung in Frage stellt, braucht sich das Bundesgericht bei diesem Ergebnis nicht zu äussern. Der Beschwerdeführer erläutert vor Bundesgericht überdies, dass es ihm an den erforderlichen Mitteln zur Finanzierung des fraglichen Rechtsmittelverfahrens fehlt und seine dort gestellten Begehren nicht aussichtslos sind. Der angefochtene Entscheid äussert sich nicht zu diesen weiteren Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Fehlt es diesbezüglich aber an einer kantonalen Beurteilung, kann das Bundesgericht diese Fragen nicht von sich aus beantworten. Die angefochtene Verfügung ist deshalb im fraglichen Punkt aufzuheben und die Sache zur weiteren Behandlung des Armenrechtsgesuchs an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückzuweisen (<ref-law>). Dem unterliegenden Gemeinwesen werden keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>). Hingegen hat es als unterliegende Partei für die Parteikosten des Beschwerdeführers aufzukommen (<ref-law>). Die Entschädigung ist der Anwältin des Beschwerdeführers geschuldet. Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Ziffer 5 der Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 1. Oktober 2014 wird aufgehoben. Die Sache wird zur weiteren Behandlung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Solothurn hat Rechtsanwältin Ruth Schierbaum für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Mai 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn