Faits:
A.
X._, né en 1938, est titulaire d'un permis de conduire pour véhicules automobiles depuis le 28 octobre 1961.
Le 1er novembre 2011, X._ circulait sur la rue du Lac, à Clarens, au volant de son automobile lorsqu'il a heurté, malgré un freinage d'urgence et une tentative d'évitement, l'arrière du fourgon qui le précédait. L'intéressé a remarqué tardivement que le conducteur du fourgon s'était arrêté peu avant un passage sécurisé pour y laisser traverser un piéton.
Par ordonnance pénale du 24 novembre 2011, le Préfet du district de la Riviera-Pays d'Enhaut a condamné X._ au paiement d'une amende de 300 fr. pour violation simple des règles de la circulation routière au sens de l'art. 90 al. 1 de la loi fédérale du 19 décembre 1958 sur la circulation routière (LCR, RS 741.01).
B.
Le 12 décembre 2011, X._ a été invité à faire transmettre par son médecin traitant un rapport au Service des automobiles et de la navigation (ci-après: SAN) portant sur l'aptitude de son patient à la conduite. Dans son rapport du 28 décembre 2011, le Dr A._, médecin généraliste, a estimé nécessaire que son patient soit soumis à un examen auprès de l'Unité de médecine et de psychologie du trafic (ci-après: UMPT) au vu des résultats des tests de dépistage. Lors d'un entretien téléphonique du 31 janvier 2012 avec le médecin-conseil du SAN, le Dr A._ a réitéré ses doutes et était favorable à une évaluation neuropsychologique.
Le 14 février 2012, le SAN a retiré à titre préventif le permis de X._, au motif que des doutes étaient apparus quant à l'aptitude de ce dernier à conduire en toute sécurité.
Le 18 juin 2012, le Dr A._ a fait parvenir au SAN le rapport établi le 12 juin 2012 par les médecins du Centre mémoire de l'Est vaudois (CMEV) et de la Fondation de Nant. Ces derniers ont diagnostiqué des troubles attentionnels et dysexécutifs légers, sans syndrome démentiels; les performances de l'intéressé nécessitaient un complément d'évaluation, les médecins préconisant une conduite automobile d'épreuve avec moniteur. Se fondant sur ce rapport, ainsi que sur le préavis de son médecin-conseil, le SAN a, le 21 juin 2012, ordonné la mise en oeuvre d'une course de contrôle. Cette décision a été confirmée le 3 août 2012 sur réclamation.
C.
Statuant par arrêt du 15 octobre 2012, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal ou la cour cantonale) a rejeté le recours formé par X._ contre cette décision.
D.
Par acte du 8 novembre 2012, X._ recourt contre cet arrêt auprès du Tribunal fédéral. Il conclut à la restitution immédiate de son permis de conduire et à la renonciation à la mise en oeuvre d'une course de contrôle.
Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt et l'Office fédéral des routes conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
L'arrêt attaqué concerne la mise en oeuvre d'une course de contrôle dans le cadre d'une procédure administrative relevant du droit de la circulation routière, soit une cause de droit public au sens de l'<ref-law>. Le recours en matière de droit public est donc ouvert (arrêt 1C_47/2007 du 2 mai 2007 consid. 1). Le recourant a un intérêt digne de protection à obtenir l'annulation de l'arrêt du Tribunal cantonal qui confirme en dernière instance cantonale une décision l'astreignant à se soumettre à une course de contrôle afin de vérifier son aptitude à conduire un véhicule automobile. Sa qualité pour recourir au sens de l'<ref-law> est à l'évidence donnée. Même si une telle décision ne met pas fin à la procédure, elle est susceptible de causer un préjudice irréparable au recourant (<ref-law>), dès lors que celui-ci encourt un retrait définitif de son permis s'il refuse de se soumettre à la mesure probatoire ordonnée (cf. arrêt du Tribunal fédéral 1C_593/2012 du 28 mars 2013 consid. 1).
Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont par ailleurs réunies.
2.
Dans un premier moyen d'ordre formel, le recourant fait grief à l'instance précédente de ne pas avoir organisé une audience publique afin de lui permettre de s'expliquer oralement et de faire entendre des témoins (son épouse et des usagers de la route plus jeunes). Il se plaint à cet égard d'une violation des art. 29 al. 2 Cst., 6 par. 1 CEDH et 14 du Pacte relatif aux droits civils et politiques.
2.1. Le principe de publicité de la procédure judiciaire énoncé à l'art. 6 par. 1 CEDH confère aux parties le droit d'être entendues oralement devant un tribunal lors d'une séance publique (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 429), sauf renonciation explicite ou implicite des parties (cf. <ref-ruling> consid. 4f p. 426). Seules relèvent du champ d'application de l'art. 6 par. 1 CEDH les contestations portant sur des droits ou des obligations de caractère civil ou sur des accusations en matière pénale.
Selon la jurisprudence, les garanties découlant de l'art. 6 par. 1 CEDH s'appliquent au retrait de permis d'admonestation, dès lors qu'il s'agit d'une sanction poursuivant à la fois un but répressif et préventif et, partant, d'une décision sur le bien-fondé d'une accusation en matière pénale au sens de cette disposition. Le contentieux relatif au retrait de sécurité du permis - qui vise un but sécuritaire - ne tombe en revanche pas dans le champ de protection de cette disposition, à moins toutefois que le permis de conduire ne soit directement nécessaire à l'exercice de la profession - argument que le recourant n'a pas fait valoir - (cf. <ref-ruling> consid. 3c). Dans ces conditions, les garanties conventionnelles déduites de l'art. 6 CEDH ne s'appliquent a fortiori pas non plus à la décision de soumettre le recourant à une course de contrôle afin de déterminer si un retrait de sécurité de son permis de conduire doit être prononcé (voir également arrêt 2A.478/1997 du 10 mars 1998 consid. 2b in JdT 1999 I 821 concernant l'obligation faite à un élève conducteur de se soumettre à un examen médical afin d'examiner son aptitude à conduire).
L'instance précédente a dès lors à juste titre estimé qu'elle n'était pas tenue d'organiser une audience publique en application de l'art. 6 CEDH, comme le demandait le recourant.
2.2. Le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou, à tout le moins, de s'exprimer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre. A lui seul, l'art. 29 al. 2 Cst. ne confère pas le droit d'être entendu oralement, ni celui d'obtenir l'audition de témoins. La jurisprudence admet que le droit d'être entendu n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion (cf. <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148 et les références).
En l'occurrence, l'instance précédente a considéré, par une appréciation anticipée des moyens de preuve, que les éléments de fait déterminants ressortaient du dossier, de sorte qu'elle était en mesure de statuer en connaissance de cause. Confronté à un rejet d'offres de preuve fondé sur une appréciation anticipée de celles-ci, le recourant devrait entreprendre de démontrer, s'agissant d'un grief d'ordre constitutionnel, que l'arrêt attaqué serait arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62). Or, son grief ne contient aucune démonstration de ce type. Il n'explique en particulier pas en quoi le témoignage de sa femme et de celui d'autres usagers de la route plus jeunes seraient décisifs pour la solution du litige. Cela étant, la cour cantonale pouvait sans arbitraire écarter ces offres de preuve visant vraisemblablement à contester les observations des médecins du CMEV et de la Fondation de Nant. En effet, les doutes quant à l'aptitude du recourant à la conduite ne se fondaient pas exclusivement sur les conclusions de ces médecins, mais également sur les constatations du Dr A._ et sur les circonstances de l'accident du 1er novembre 2011 (cf. infra consid. 3.2). Son grief doit dès lors être écarté.
3.
Le recourant reproche à l'instance précédente d'avoir violé le droit fédéral en confirmant la décision ordonnant la mise en oeuvre d'une course de contrôle.
3.1. Aux termes de l'art. 29 al. 1 de l'ordonnance réglant l'admission des personnes et des véhicules à la circulation routière (OAC; RS 741.51), dans sa teneur en vigueur depuis le 1er janvier 2005, l'autorité ordonne une course de contrôle pour déterminer les mesures à prendre si l'aptitude du conducteur à conduire un véhicule automobile soulève des doutes. Si la personne concernée ne réussit pas la course de contrôle, le permis de conduire lui sera retiré; elle peut alors demander un permis d'élève conducteur (<ref-law>). A côté des contrôles médicaux, des expertises médicales ou psychiatriques et des tests psycho-techniques, la course de contrôle constitue une mesure d'instruction permettant d'établir de prime abord si le conducteur possède les connaissances, les capacités et l'habileté nécessaires à la conduite. Cette mesure d'instruction apparaît ainsi adéquate dans son principe lorsqu'en l'absence d'indice d'un problème médical spécifique, un doute existe néanmoins quant à l'aptitude à conduire. Elle peut en particulier être ordonnée lorsque le comportement sur la route d'une personne d'un certain âge attire l'attention (<ref-ruling> consid. 3a p. 130; arrêt 1C_422/2007 du 9 janvier 2008 consid. 3.1; arrêt 6A.44/2006 du 4 septembre 2006 consid. 2.3.1 in JdT 2006 I 422; RENÉ SCHAFFHAUSER, Grundriss des schweizerischen Strassenverkehrsrechts, Berne 1995, voI. III: Die Administrativmassnahmen, n. 2664, p. 436). Les autorités disposent d'un pouvoir d'appréciation dont le Tribunal fédéral ne s'écarte pas sans raisons (arrêt. 1C_285/2012 du 20 février 2013 consid. 2.1).
3.2. En l'espèce, le Tribunal cantonal a tenu les doutes sur l'aptitude du recourant à conduire un véhicule automobile pour établis sur la base des faits dénoncés dans le rapport de police du 1er novembre 2010, ainsi que des constatations médicales.
Selon le rapport de police, le recourant a fait preuve d'inattention et n'a remarqué que tardivement que le fourgon qui le précédait avait ralenti sa progression à l'approche d'un passage sécurisé pour laisser passer un piéton prioritaire. Malgré un freinage d'urgence et une tentative d'évitement, il avait heurté l'arrière du fourgon, provoquant un accident. Compte tenu de ces éléments qu'il ne remet pas en cause, le recourant conteste en vain la gravité de la faute retenue contre lui. En ne prêtant pas toute l'attention exigée par les circonstances, spécialement à proximité d'un passage protégé, il a provoqué une collision avec un autre véhicule, réalisant ainsi une mise en danger concrète. Si l'âge du conducteur ne constitue certes pas un motif suffisant à lui seul pour ordonner une course de contrôle (arrêt 1C_110/2011 du 6 juin 2011 consid. 3.3), la faute d'inattention dont a fait preuve le recourant revêt cependant une gravité telle qu'elle permettait de nourrir des doutes au sujet de son aptitude à conduire. Sa faute a d'ailleurs été sanctionnée pénalement selon l'<ref-law>. L'intéressé se prévaut en vain de l'arrêt 1C_110/2011 dans lequel, lors d'une tentative de parcage, un conducteur avait reculé sans prêter attention à une voiture se trouvant derrière lui, de sorte que le pare-choc de son véhicule avait légèrement touché celui de l'autre voiture. Les circonstances ne sont pas semblables et, contrairement au cas cité par le recourant, les médecins ont in casu émis des réserves quant à la capacité du recourant à conduire. La décision litigieuse repose en effet non seulement sur les circonstances de l'accident, mais également sur les constatations faites par le médecin traitant (cf. courrier du 28 décembre 2011 et entretien téléphonique du 31 janvier 2012 avec le médecin-conseil du SAN) et les conclusions médicales de l'évaluation neuropyschologique. Les médecins du CMEV et de la Fondation de Nant ont en effet diagnostiqué des troubles neuropsychologiques dans les fonctions exécutives et attentionnelles, certes légers, qui nécessitaient un complément d'évaluation sous la forme de la mise en oeuvre d'une conduite automobile d'épreuve avec moniteur. Le recourant ne saurait par ailleurs sérieusement prétendre qu'une course de contrôle ne peut pas être ordonnée puisqu'on lui a retiré son permis de conduire. Cette course doit précisément permettre de confirmer ou infirmer le retrait préventif ordonné par le SAN.
Dans ces circonstances, la décision d'imposer au recourant une course de contrôle aux fins de vérifier son aptitude à conduire un véhicule automobile reste dans les limites du pouvoir d'appréciation reconnu aux autorités cantonales et ne viole pas le droit fédéral.
4.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service des automobiles et de la navigation et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral des routes.
Lausanne, le 13 novembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Merkli
La Greffière: Arn