Sachverhalt:
A.
Die 1963 geborene H._ bezieht seit Februar 2001 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung. Massgebend für die Leistungszusprache waren die Folgen eines unfallbedingten zervikozephalen Symptomenkomplexes, einer Anpassungsstörung, Hypersomnie und Adipositas permagna (vgl. Gutachten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ vom 3. Februar 2003).
Am 5. Oktober 2009 ersuchte H._ um Revision der Invalidenrente. Die IV-Stelle Bern zog verschiedene medizinische Berichte bei. Der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) der Invalidenversicherung empfahl, bei den Dres. R._ und E._ ein rheumatologisch-psychiatrisches Gutachten einzuholen. Die Verwaltung teilte der Versicherten am 2. Juni 2011 mit, sie beabsichtige, diese Ärzte mit der Untersuchung zu betrauen. Triftige Einwendungen gegen die Person der Gutachter und allfällige Gegenvorschläge könnten bis 17. Juni 2011 eingereicht werden. H._ verwahrte sich mit Schreiben vom 14. Juni 2011 gegen die bezeichneten medizinischen Experten und machte Gegenvorschläge; zudem äusserte sie sich zur fachlichen Ausrichtung der Untersuchung.
Mit Vorbescheid vom 4. August 2011 teilte die IV-Stelle Bern H._ mit, sie werde ihr Ablehnungsgesuch abweisen. Am 27. September 2011 verfügte sie in diesem Sinne.
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 30. Januar 2012).
C.
C.a. H._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es seien ihr Leistungen nach dem IVG, insbesondere eine Rente, zuzusprechen. Vom Experten Dr. E._ sei Auskunft über dessen Gutachtertätigkeit einzuholen. Das Ablehnungsbegehren gegen die Dres. E._ und R._ sei gutzuheissen. Alsdann sei die Verwaltung zu verpflichten, ihr die Mitwirkungsrechte gemäss <ref-ruling> einzuräumen; die Gutachterstelle sei einvernehmlich zu bestimmen. Eventuell sei das kantonale Gericht zu verpflichten, ein polydisziplinäres Gutachten in den Fachdisziplinen Psychiatrie, Rheumatologie und Neurologie anzuordnen. Schliesslich beantragt H._, ihrer Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Die IV-Stelle Bern, das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) und das kantonale Gericht verzichten auf eine Stellungnahme.
C.b. Die I. und die II. sozialrechtliche Abteilung haben zu folgenden Rechtsfragen ein Verfahren nach <ref-law> durchgeführt:
"1.- Ist die Beschränkung der Auftragsvergabe nach dem Zufallsprinzip auf Begutachtungen mit drei und mehr Fachdisziplinen nach <ref-law> rechtmässig?
2.- Sind die übrigen rechtsstaatlichen Anforderungen gemäss der Rechtsprechung <ref-ruling> auf mono- und bidisziplinäre Begutachtungen sinngemäss anwendbar?"
Die beiden sozialrechtlichen Abteilungen haben diese Rechtsfragen mehrheitlich (Rechtsfrage 1) bzw. einstimmig (Rechtsfrage 2) bejaht (Beschluss vom 24. Juni 2013).

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der vorinstanzlich bestätigten Zwischenverfügung verwarf die IV-Stelle die Gründe, aus welchen die Beschwerdeführerin die nominierten Gutachter abgelehnt hatte. Der dadurch umrissene Streitgegenstand kann sich auch letztinstanzlich nicht auf Fragen des materiellen Leistungsrechts erstrecken (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 414). Auf das betreffende Rechtsbegehren ist daher nicht einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 6 Ingress S. 320; <ref-ruling> E. 1.1 S. 3 mit Hinweisen). Hier stellt sich die Frage, ob die Beschwerde mit Blick auf die einschlägige Eintretenspraxis an die Hand genommen werden kann.
1.2.1. In Bezug auf die Anordnung von polydisziplinären Begutachtungen in den Medizinischen Abklärungsstellen (MEDAS) hat das Bundesgericht Folgendes festgehalten: Gerichtliche Zwischenentscheide, die sich mit Verfügungen der IV-Stellen über die Einholung von medizinischen Gutachten befassen, sind vor Bundesgericht selbständig anfechtbar, wenn darin der formelle Ausstand einer sachverständigen Person beurteilt wurde (<ref-law>; <ref-ruling>). Darunter sind personenbezogene Ablehnungsgründe (vgl. <ref-law>, <ref-law>) zu verstehen, das heisst solche, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des konkreten Sachverständigen zu erwecken (<ref-ruling> E. 3.4.1.2 S. 248). Hingegen tritt das Bundesgericht auf Beschwerden nicht ein, in denen materielle Einwendungen gegen eine Begutachtung an sich (etwa mit dem Einwand, es handle sich um eine unnötige second opinion ), gegen Art und Umfang der Begutachtung (beispielsweise betreffend die Auswahl der Disziplinen) oder gegen bezeichnete Sachverständige (etwa betreffend deren Fachkompetenz) erhoben werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 274). Die Ablehnung eines Sachverständigen kann weiter regelmässig nicht allein mit strukturellen Rahmenbedingungen der MEDAS-Begutachtung begründet werden (BGE a.a.O. E. 2.2.2 S. 277). Mit der Berufung auf angebliche frühere Fehlleistungen einer bestimmten MEDAS werden lediglich solche Gefährdungen der Verfahrensfairness (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 237 und E. 3.4.2.5 S. 255) geltend gemacht, ausser wenn zusätzlich hinreichend begründet wird, weshalb der Beizug der fraglichen Sachverständigen im konkreten Fall einen Ablehnungsgrund darstellen soll.
1.2.2. Streitig ist, ob, wie das kantonale Gericht annimmt, die verfügte Anordnung einer bidisziplinären Expertise mit Bundesrecht vereinbar ist. Darauf ist die dargestellte Eintretenspraxis sinngemäss anzuwenden. Auf die Beschwerde ist demnach einzutreten, soweit formelle Ablehnungsgründe im Raum stehen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 277).
1.2.3. Die IV-Stelle teilte der Beschwerdeführerin am 2. Juni 2011 mit, sie beabsichtige, sie durch die Dres. R._ und E._ untersuchen zu lassen. Weiter räumte ihr die Verwaltung Frist für triftige Einwendungen gegen die Gutachter und für allfällige Gegenvorschläge ein. Mit Schreiben vom 14. Juni 2011 lehnte die Versicherte Dr. R._ als Gutachter ab. Sie begründete dies damit, der betreffende Arzt werde nicht mehr im Medizinalberufsregister geführt und leiste nicht Gewähr für eine Untersuchung nach aktuellem Standard der Schmerzmedizin. Wegen dessen Zusammenarbeit mit Dr. E._ richteten sich ihre Bedenken auch gegen diesen. Zudem machte sie Gegenvorschläge. Mit Vorbescheid vom 4. August 2011 teilte die IV-Stelle der Beschwerdeführerin mit, die erhobenen Einwendungen stellten keine triftigen Ablehnungsgründe im Sinne von <ref-law> dar; an den vorgesehenen Begutachtungen werde festgehalten. Nachdem die Versicherte hiegegen nicht innert 30 Tagen interveniert hatte, erliess die IV-Stelle am 27. September 2011 eine entsprechende Verfügung.
1.2.4. Das Schreiben der Versicherten vom 14. Juni 2011 und die strittige Verfügung vom 27. September 2011 befassen sich mit der fachlichen Eignung des Dr. R._; insoweit geht es um materielle Aspekte. Im kantonalen Beschwerdeverfahren machte die Beschwerdeführerin zusätzlich geltend, Dr. E._ habe sich, wie aus einem Urteil des Bundesgerichts hervorgehe, in einer anderen Angelegenheit voreingenommen gezeigt; unter diesen Umständen sei das für eine psychiatrische Abklärung notwendige Vertrauensverhältnis auch in ihrem Fall gefährdet.
Das kantonale Gericht verwarf zum ersten den im Beschwerdeverfahren präzisierten Einwand der Voreingenommenheit gegen Dr. E._ hauptsächlich mit Hinweis auf die fachlich-inhaltliche Weisungsunabhängigkeit der begutachtenden Ärzte (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 226). Z um zweiten vertrat es betreffend der einvernehmlichen Bestimmung der Gutachter (BGE a.a.O. E. 3.4.2.6 S. 256) den Standpunkt, im Vorbescheidverfahren habe die Beschwerdeführerin die Gelegenheit nicht wahrgenommen, innert 30 Tagen substanziierte Einwände gegen die vorgesehenen Gutachter vorzubringen und auf eine einvernehmliche Lösung hinzuwirken; nachträglich könne sie sich nicht mehr auf eine Verletzung von Mitwirkungsrechten berufen. Mit dieser Begründung liess die Vorinstanz die Frage nach der Anwendbarkeit der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> auf Nicht-MEDAS-Begutachtungen offen. Zum dritten erwog das kantonale Gericht, materielle Einwendungen wie diejenigen gegen Dr. R._ seien in einer allfälligen Beschwerde gegen den Endentscheid geltend zu machen.
1.2.5. Im ersten Punkt (Voreingenommenheit des Sachverständigen) spricht die Beschwerdeführerin einen formellen Ablehnungsgrund an. In der hier gegebenen fall un abhängigen Form kann ein solcher indessen regelmässig nicht im Rahmen eines Zwischenverfahrens an das Bundesgericht getragen werden (oben E. 1.2.1). Diese Einschränkung rechtfertigt sich, soweit die einschlägigen strukturellen Gegebenheiten in <ref-ruling> abschliessend behandelt worden sind. Das trifft bislang aber nur für die Anordnung polydisziplinärer Expertisen zu; es steht nicht von vornherein fest, ob die Verhältnisse bei bidisziplinären Begutachtungen vergleichbar sind (dazu unten E. 5.2.2.1). Insoweit ist von einem Entscheid über Ausstandsbegehren auszugehen, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (<ref-law>).
1.2.6. Aufgrund der prozessualen Vorgeschichte rechtfertigt sich die Anhandnahme der Beschwerde durch das Bundesgericht selbst hinsichtlich der materiellen Einwendungen: Einmal hat sich die Vorinstanz zu Unrecht nicht mit der Frage der unterlassenen Einigungsbestrebungen befasst. Die Verwaltung reagierte auf das Schreiben der Beschwerdeführerin vom 14. Juni 2011, in welchem diese sich gegen die Nominierung der Gutachter gewehrt hatte, unmittelbar mit einem Vorbescheid. Das Vorbescheidverfahren ist dafür jedoch nicht vorgesehen (<ref-law> e contrario; vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2.8 S. 258). Ohnehin kann der Versicherten nicht vorgeworfen werden, dass sie ihre Einwände im Hinblick auf die in Aussicht gestellte Verfügung nicht nochmals vorgebracht hat. Des Weiteren widerspricht die (auf <ref-ruling> E. 6.5 S. 108 gestützte) vorinstanzliche Verschiebung des Entscheids über Einwendungen materieller Natur in das Hauptverfahren der mit <ref-ruling> E. 3.4.2.7 S. 256 geänderten Rechtsprechung.
1.2.7. Bleibt der Rechtsschutz im Zwischenverfahren, wie hier, versagt, weil die Beschwerdeinstanz einschlägige Rügen zu Unrecht unbehandelt lässt, so wird das Bundesgericht die Sache - mit Blick auf den drohenden nicht wieder gutzumachenden Nachteil (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 276 mit Hinweisen) - in der Regel zur materiellen Behandlung an die Vorinstanz zurückweisen (vgl. Urteil 2P.346/1997 vom 6. November 1998 E. 1b). Vorliegend rechtfertigt sich indessen eine direkte Beurteilung, da die Vorbringen der Beschwerdeführerin im Kontext mit bidisziplinären Gutachten verschiedene, eng miteinander zusammenhängende Grundsatzfragen aufwerfen.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin macht unter anderem geltend, die Verwaltung hätte vor der Vergabe des Begutachtungsauftrags an Dr. E._ und Dr. R._ eine Einigung anstreben müssen; die damit einhergehenden Gehörsrechte seien ihr verweigert worden. Nach erhobenem Widerspruch sollen sich gemäss <ref-ruling> E. 3.4.2.6 S. 256 beide Seiten um eine einvernehmliche Gutachtenseinholung bemühen. Die angerufene Erwägung bezieht sich auf polydisziplinäre Gutachten.
2.2. Polydisziplinäre Gutachten, das heisst solche, an denen drei oder mehr Fachdisziplinen beteiligt sind, haben nach dem Wortlaut von <ref-law> (in der seit 1. März 2012 gültigen Fassung) bei einer Gutachterstelle zu erfolgen, mit welcher das BSV eine Vereinbarung getroffen hat. Gemeint sind die MEDAS im Sinne von <ref-law>. Die Vergabe der Aufträge erfolgt nach dem Zufallsprinzip (<ref-law>). Zu dessen Umsetzung hat das BSV die webbasierte Vergabeplattform SuisseMed@P eingerichtet, über welche der gesamte Verlauf der Gutachtenseinholung gesteuert und kontrolliert wird (vgl. SuisseMed@P: Handbuch für Gutachter- und IV-Stellen = Anhang V des Kreisschreibens über das Verfahren in der Invalidenversicherung [KSVI], Stand 21. August 2012; http://www.suissemedap.ch). Bei mono- und bidisziplinären Gutachten dagegen werden die Aufträge nicht nach diesem System vergeben. Damit ist der Kreis der in Frage kommenden Sachverständigen hier weitaus grösser (z.B. Universitätskliniken, frei praktizierende Ärzte und Gutachter; <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 242). Nicht ausgeschlossen ist freilich, dass Begutachtungsinstitute, die für den Bereich der polydisziplinären Expertisen mit dem BSV eine Vereinbarung nach <ref-law> abgeschlossen haben, auch bidisziplinäre Expertisen erstatten; dies erfolgte allerdings ausserhalb des MEDAS-Statuts. Da solche bidisziplinären Gutachten keine MEDAS-Gutachten im Rechtssinne sind, rechtfertigt es sich nicht, die betreffenden Aufträge anders abzuwickeln als diejenigen an andere Sachverständige, die schon faktisch, mangels eines numerus clausus, nicht der Zufallszuweisung unterstellt werden können.
3.
3.1. Zu klären ist, ob und inwieweit die Grundsätze gemäss <ref-ruling> auf mono- und bidisziplinäre Begutachtungen übertragbar sind.
3.2. Es existieren keine festen Kriterien zur allgemeingültigen Abgrenzung der Anwendungsfelder der verschiedenen Kategorien von Expertisen. Die grosse Vielfalt von Begutachtungssituationen erfordert Flexibilität. In groben Zügen jedoch lassen sich die jeweiligen Einsatzbereiche wie folgt umreissen: Die umfassende administrative Erstbegutachtung wird regelmässig polydisziplinär und damit zufallsbasiert anzulegen sein; eine direkte Auftragserteilung soll die Ausnahme bleiben. Eine polydisziplinäre Expertise ist auch dann einzuholen, wenn der Gesundheitsschaden zwar bloss als auf eine oder zwei medizinische Disziplinen fokussiert erscheint, die Beschaffenheit der Gesundheitsproblematik aber noch nicht vollends gesichert ist. In begründeten Fällen kann von einer polydisziplinären Begutachtung abgesehen und eine mono- oder bidisziplinäre durchgeführt werden, sofern die medizinische Situation offenkundig ausschliesslich ein oder zwei Fachgebiete beschlägt; weder dürfen weitere interdisziplinäre Bezüge (z.B. internistischer Art) notwendig sein (zur Interdisziplinarität der Begutachtung vgl. <ref-ruling> E. 1.2.4 S. 224) noch darf ein besonderer arbeitsmedizinischer bzw. eingliederungsbezogener Klärungsbedarf bestehen. Diese Voraussetzungen werden vor allem bei Verlaufsbegutachtungen erfüllt sein.
3.3. Mit der Abgrenzung zwischen poly- und mono-/bidisziplinären Gutachten eng verbunden ist die (vorgelagerte) Frage, wer für die Auswahl der Fachdisziplinen überhaupt zuständig ist. Für die polydisziplinären Gutachten hält Anhang V des KSVI (Handbuch, Nr. 6 f.) fest, dass die Gutachterstelle abschliessend darüber entscheidet, welche Fachdisziplinen - neben den von der IV-Stelle gewünschten - im Einzelfall zu begutachten sind; eine Erweiterung des Begutachtungsumfangs muss sie im Rahmen der SuisseMED@P begründen. Jedoch sollen die von der IV-Stelle gewählten Fachdisziplinen für die Gutachterstelle bindend sein (a.a.O., Nr. 2). Eine derartige Bindung kann angezeigt sein, wenn die Auswahl spezifisch versicherungsrechtlich oder -medizinisch begründet wird. Solche Vorgaben führen häufig unmittelbar zur Beteiligung gewisser Disziplinen. Gleichwohl ist die vorgesehene Bindung zu absolut. Sie lässt ausser Acht, dass die fachliche Koordination einen zentralen Teil von Interdisziplinarität ausmacht. Die beauftragten Sachverständigen sind letztverantwortlich einerseits für die fachliche Güte und die Vollständigkeit der interdisziplinär erstellten Entscheidungsgrundlage, anderseits aber auch für eine wirtschaftliche Abklärung. Mit dieser Gutachterpflicht nicht vereinbar wäre es, wenn den Sachverständigen eine Disziplinenwahl aufgezwungen würde, die sie - auch nach pflichtgemässer Würdigung der für den Auftrag ausschlaggebenden Überlegungen - für (versicherungs-) medizinisch nicht vertretbar hielten. Den Gutachtern muss es also freistehen, die von der IV-Stelle bzw. dem RAD (oder im Beschwerdefall durch ein Gericht) bezeichneten Disziplinen gegenüber der Auftraggeberin zur Diskussion zu stellen, wenn ihnen die Vorgaben nicht einsichtig sind. Unter diesem Vorbehalt steht insbesondere auch eine vorgängige Verständigung zwischen IV-Stelle und versicherter Person über die Fachdisziplinen. Eine erneute Mitwirkung der versicherten Person in diesem Punkt ist alsdann ausgeschlossen. Diese Überlegungen treffen grundsätzlich auch mit Bezug auf bidisziplinäre Expertisen zu; vertreten die bezeichneten zwei Gutachter eine abweichende Meinung über die zutreffenden Fachdisziplinen, so wird dies naturgemäss zur Rückgabe des Auftrags führen.
4.
4.1. Das Bundesgericht hat bereits signalisiert, dass die Einholung von medizinischen Gutachten im Bereich der Sozialversicherung insoweit einem einheitlichen Verfahrensstandard folgen soll, als die jeweiligen Ausgangslagen vergleichbar sind (<ref-ruling> [betreffend Geltung der Grundsätze nach <ref-ruling> im Bereich der obligatorischen Unfallversicherung]). Die Übertragung der Grundsätze auf Nicht-MEDAS-Gutachten bildet somit den Regelfall; uneinheitliche Standards schüfen einen Anreiz, MEDAS-Gutachten zu vermeiden und auf Gutachten mit weniger als drei Fachdisziplinen auszuweichen.
4.2. Für das Folgende ist wegleitend, dass die einzelne Vorkehr nach <ref-ruling> stets im Verbund mit weiteren einschlägigen Massnahmen - unter Einschluss der Korrektive auf gerichtlicher Ebene (dazu unten E. 5.3) - wirksam wird (vgl. BGE a.a.O. E. 5 S. 266). Sie kann somit auch insofern nicht isoliert behandelt werden, als es um ihre Ausdehnung auf mono- und bidisziplinäre Gutachten geht. So erhält die Obliegenheit von IV-Stelle und versicherter Person, eine einvernehmliche Gutachterbestellung anzustreben, dort ihre besondere Bedeutung, wo Aufträge für Expertisen mit weniger als drei Fachdisziplinen nicht nach dem Zufallsprinzip vergeben werden (vgl. unten E. 5.2.2.3).
5.
5.1. Wird anstelle eines polydisziplinären (MEDAS-) Gutachtens eine mono- oder bidisziplinäre Expertise eingeholt, so sind dieselben Partizipationsrechte beachtlich (vgl. Philipp Egli, Rechtsverwirklichung durch Sozialversicherungsverfahren, Zürich 2012, S. 263 f.; Christian Haag, Grundsatzurteil zur medizinischen Begutachtung der Invalidenversicherung, in: SAeZ 2011 S. 2020). Bei Uneinigkeit ist eine Begutachtung demnach mit anfechtbarer Zwischenverfügung anzuordnen; zudem hat die versicherte Person ein Recht zur vorgängigen Fragestellung (<ref-ruling> E. 3.4 S. 246 ff.). Auch die auf Verbesserung und Vereinheitlichung der Qualitätsanforderungen und -kontrolle zielenden Vorkehren (BGE a.a.O. E. 3.3 S. 245) sind - soweit nicht spezifisch auf die MEDAS angelegt - sinngemäss auf die mono- oder bidisziplinären Expertisen zu übertragen (zur appellatorischen Natur unter anderem dieses Punktes vgl. BGE a.a.O. E. 5 S. 266).
5.2. Die vorliegend thematisierte Obliegenheit von IV-Stelle und versicherter Person, eine einvernehmliche Gutachtenseinholung anzustreben, wird von den Akteuren teilweise unterschiedlich verstanden.
5.2.1. Rechtsvertreter von versicherten Personen äussern bisweilen die Auffassung, dass die zu beauftragende Gutachterstelle nur noch mit ihrem Einverständnis bezeichnet werden dürfe, sobald sie personenbezogene Einwendungen vorgebracht hätten. Eine so weitgehende Priorisierung der einvernehmlichen Gutachtenseinholung käme indessen einem Vetorecht der versicherten Person gleich; ist ein Einwand begründet, so bedeutet dies nicht, dass Gegenvorschlägen der versicherten Person ohne Weiteres zu folgen wäre. Ansonsten drohte wiederum eine - nunmehr freilich unter umgekehrten Vorzeichen - ergebnisorientierte Auswahl der Gutachterstelle.
Bei polydisziplinären Begutachtungen erfolgt die Gutachterwahl immer nach dem Zufallsprinzip (<ref-law>); die Zufallszuweisung ist im Falle stichhaltiger Einwendungen gegen bezeichnete Sachverständige allenfalls zu wiederholen bzw. zu modifizieren, indem die Beteiligten z.B. übereinkommen, an der ausgelosten MEDAS festzuhalten, dabei aber eine Arztperson nicht mitwirken zu lassen. Bei erneuter Nichteinigkeit wird letztlich eine Zwischenverfügung erlassen.
5.2.2. Weiter wird in der Praxis mitunter unter Hinweis auf <ref-law> die Auffassung vertreten, das Hinwirken auf eine Einigung sei nach Einführung der Zuweisungsplattform SuisseMED@P hinfällig. Doch dies trifft nur teilweise zu.
5.2.2.1. Die Auftragsvergabe nach dem Zufallsprinzip neutralisiert - zusammen mit den weiteren Vorgaben nach <ref-ruling> - generelle, aus den Rahmenbedingungen des Gutachterwesens fliessende Abhängigkeits- und Befangenheitsbefürchtungen (dazu BGE a.a.O. E. 2.4 S. 237). Nicht einzelfallbezogene Bedenken werden gegenstandslos (vgl. oben E. 1.2.1). Indessen müssen sich die Beteiligten auch nach Einführung der Zuweisungsplattform SuisseMED@P mit Einwendungen auseinandersetzen, die sich aus dem konkreten Einzelfallergeben.
Bei mono- und bidisziplinären Begutachtungen fragt sich, ob darüber hinaus zum Ausgleich für die fehlende zufallsbasierte Zuweisung einzelfallunabhängige, allgemein-strukturelle Einwendungen zugelassen werden sollen. Dies ist zu verneinen: Typische Einwendungen - so, Gerichte hätten in früheren Fällen aus verallgemeinerungsfähigen Gründen auf Gutachten des vorgeschlagenen Sachverständigen nicht abgestellt - können in der täglichen Praxis mit zumutbarem Aufwand oftmals weder bestätigt noch widerlegt werden. Bestehen nicht im konkreten Einzelfall formelle Ausstandsgründe, so muss das Ziel, möglichst beweistaugliche gutachtliche Aussagen zu erhalten, weitgehend indirekt, über die weiteren in <ref-ruling> vorgesehenen verfahrensrechtlichen Rahmenbedingungen der Auftragsvergabe, verfolgt werden (vgl. BGE a.a.O. E. 2.5 S. 241 oben, E. 3.4.2.4/5 S. 254 f. und E. 3.4.2.7 S. 256). Die beiden Kategorien von Gutachten werden hinsichtlich der partizipatorischen Verfahrensrechte und der übrigen Rahmenbedingungen der Gutachtensbestellung auf administrativer und gerichtlicher Ebene einander weitgehend angeglichen (oben E. 4 und 5.1).
5.2.2.2. Gemäss Rz. 2080 ff. KSVI teilt die IV-Stelle der versicherten Person in einem ersten Schritt mit, dasseine Expertise eingeholt werden soll; zugleich gibt sie ihr die Art der vorgesehenen Begutachtung (poly- oder mono- bzw. bidisziplinär) sowie die vorgesehenen Fachdisziplinen und Gutachterfragen bekannt (zur Frage der Letztverantwortung der Gutachterstellen für die Auswahl der Fachdisziplinen vgl. oben E. 3.3). In diesem Stadium kann die versicherte Person erst einmal (nicht personenbezogene) materielle Einwendungen gegen eine Begutachtung an sich oder gegen Art oder Umfang der Begutachtung vorbringen (Beispiele: unnötige second opinion; unzutreffende Wahl der medizinischen Disziplinen). In einem zweiten Verfahrensschritt teilt die IV-Stelle der versicherten Person die durch SuisseMED@P zugeteilte Gutachterstelle (bzw. bei mono- und bidisziplinären Expertisen die von ihr ausgewählten Gutachter) und die Namen der Sachverständigen mit jeweiligem Facharzttitel mit. Mit der Bezeichnung der Sachverständigen kommt die Möglichkeit (materieller oder formeller) personenbezogener Einwendungen hinzu.
5.2.2.3. Bei mono- und bidisziplinären Begutachtungen ist im Falle aller zulässigen Einwendungen konsensorientiert vorzugehen. Erst wenn eine Einigung ausbleibt, ergeht eine (einheitliche) Zwischenverfügung über die Beweisvorkehr an sich (Notwendigkeit einer Begutachtung, Beschränkung auf eine oder zwei Fachdisziplinen, Bezeichnung der Disziplinen) und die Person der Gutachter (vgl. Rz. 2081.1, 2082.1, 2083, 2083.1 KSVI).
5.2.3. Das Kreisschreiben sieht vor, dass Einwände und Zusatzfragen innert zehn Tagen seit der Mitteilung einzureichen sind; diese Frist kann auf schriftliches Gesuch hin verlängert werden (Rz. 2082 KSVI; vgl. auch Rz. 2085.2 KSVI). Gegen diese Regelung ist grundsätzlich nichts einzuwenden, da das Verfahren einfach und rasch bleiben muss.
5.3. In eine Gesamtbetrachtung der Verfahrensgarantien bei der Einholung medizinischer Expertisen (dazu oben E. 4) ist weiter einzubeziehen, dass im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren vermehrt Gerichts gutachten einzuholen sind (<ref-ruling> E. 4 S. 258).
Diese der prozessualen Chancengleichheit (BGE a.a.O. E. 2.1.2.1 S. 229) dienende zusätzliche Sicherung ist bei mono- und bidisziplinären Begutachtungen wiederum besonders bedeutsam, weil hier die Vergabe nach dem Zufallsprinzip entfällt. Die Zuständigkeit der Gerichte zur Beweiserhebung (<ref-law>) umfasst deren Ermessen, unter Wahrung des rechtlichen Gehörs der Parteien die Gutachterstelle auszuwählen und in Abwägung der zu klärenden Punkte über die Anzahl und Art der Fachdisziplinen zu befinden (vgl. aber auch oben E. 3.3). Als das Bundesgericht mit Bezug auf polydisziplinäre Gutachten ausgeführt hat, auch für interdisziplinäre Gerichtsgutachten stünden die MEDAS im Vordergrund, und zugleich anregte, es sei zu prüfen, inwieweit den Gerichten über SuisseMED@P Daten über deren Auslastung zur Verfügung gestellt werden könnten, hat es die Beschwerdeinstanzen damit ausdrücklich nicht verpflichtet, auf diese Institute zurückzugreifen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.1.5 S. 265).
5.4. Zusammengefasst ergibt sich, dass die Anforderungen an die medizinische Begutachtung, wie sie in <ref-ruling> für polydisziplinäre MEDAS-Begutachtungen umschrieben worden sind, grundsätzlich sinngemäss auf mono- und bidisziplinäre Expertisierungen anwendbar sind. Das gilt sowohl für die justiziablen Garantien (Partizipationsrechte, Verfügungspflichten und Rechtsschutz) als auch für die appellativen Teilgehalte von <ref-ruling>. Eine Ausnahme für Begutachtungen mit weniger als drei Fachdisziplinen ist hinsichtlich des Zufallsprinzips, das nach dem Gesagten dem Einigungsgedanken vorgeht, hinzunehmen. Der Geltungsbereich von <ref-law> (nur polydisziplinäre Begutachtungen) kann sich auf sachliche Gründe (vgl. E. 2.2 in fine) stützen. Mit Blick auf den weiten Gestaltungsspielraum, den der Bundesrat bei der Setzung unselbständigen Verordnungsrechts geniesst (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44; <ref-ruling> E. 2.3 S. 166, 271 E. 4 S. 275; <ref-ruling> E. 3.4.1 S. 14), erscheint die auf den 1. März 2012 in Kraft gesetzte Regelung als rechtmässig (Beschluss der Vereinigung der I. und II. sozialrechtlichen Abteilung vom 24. Juni 2013). Umso wichtiger ist die Beachtung der Verfahrensgarantien bei mono- und bidisziplinären Expertisen, welche nicht als Vehikel zur Umgehung des zufallsbasierten MEDAS-Zuweisungssystems missbraucht werden dürfen. Dieses ist das Regelinstrument zur medizinischen Sachverhaltsabklärung im nichtstreitigen Verfahren der Invalidenversicherung für komplexe Fälle. Weicht die IV-Stelle davon ab, indem sie von einer MEDAS eine bi- oder gar bloss monodisziplinäre Expertise einholen will, so hat sie in einem solchen Ausnahmefall zwingend einen Einigungsversuch einzuleiten. Scheitert dieser, ist darüber zu verfügen.
5.5. Die grundsätzliche Bestätigung der Rechtmässigkeit des in <ref-law> angelegten SuisseMED@P-Systems (E. 5.4) bedeutet nicht, dass die Aufsichtsbehörde von der weiteren Umsetzung der Appellanforderungen gemäss <ref-ruling> E. 3.1-3.3 S. 242 ff. in Verbindung mit E. 5 S. 266 enthoben wäre. Zunächst ist durch eine periodische Berichterstattung Transparenz über die Anwendungspraxis der Plattform herzustellen (Anzahl der bei den angeschlossenen MEDAS eingeholten polydisziplinären Gutachten), ergänzt durch ordnungsgemässe (Jahres-) Berichte der einzelnen Institute über ihre sonstige Sachverständigentätigkeit, vor allem bezüglich der bi- und monodisziplinären Expertisen für die IV-Stellen. Sodann ist die Sicherstellung von Qualität und Einheitlichkeit der Begutachtungen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 245 f.; vgl. auch E. 3.1.2 in fine S. 243: Ausbau der Plattform zu einem Instrument der Gutachtensevaluation) zielstrebig voranzutreiben. Denkbare Modelle sind die Bildung eines tripartit (Versicherung, Versicherte, Medizin) besetzten Begleitgremiums, welches die Durchführung der Plattform und überhaupt die IV-Begutachtungen fachlich kontrolliert, oder die Schaffung von Zertifizierungsrichtlinien für Arztpersonen, welche für die Invalidenversicherung Begutachtungen vornehmen wollen (vgl. zu den entsprechenden Bestrebungen im Strafrecht: Marianne Heer, in: Niggli/Heer/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2011, Art. 183 N 13 ff. und 18; Verordnung des Regierungsrates und des Obergerichts des Kantons Zürich vom 1./8. September 2010 über psychiatrische und psychologische Gutachten in Straf- und Zivilverfahren [PPGV]; LS 321.4). Das Bundesgericht wird die Umsetzung der Appellativanforderungen weiterhin beobachten und behält sich, je nach deren Ergebnis, eine neue rechtliche Überprüfung vor.
6.
Im vorliegenden Fall wurden im Verwaltungsverfahren die Partizipationsrechte der Beschwerdeführerin nicht hinreichend beachtet. Das kantonale Gericht hat dies verkannt und sich überdies nicht mit allen im Zwischenverfahren an die Hand zu nehmenden Rügen befasst (dazu im Einzelnen oben E. 1.2). Nach Massgabe des in E. 3.2 und 3.3 Gesagten wird die IV-Stelle in diesem Revisionsfall ein polydisziplinäres MEDAS-Gutachten einholen und dabei E. 5.2 beachten.
7.
Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin auferlegt (<ref-law>). Der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin steht eine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 30. Januar 2012 und die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 27. September 2011 werden aufgehoben. Die Sache wird zum weiteren Vorgehen im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Anwalt der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Juli 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub