Sachverhalt:
A.
A.a. A._ arbeitete nach dem Erwerb des Lizentiats der Rechtswissenschaft vom 1. August 2003 bis 30. September 2004 als Auditorin an einem Bezirksgericht. In dieser Eigenschaft war sie bei der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich (nachfolgend: BVK) berufsvorsorgeversichert. Vom 1. Oktober 2004 bis 30. September 2010 war A._ als wissenschaftliche Assistierende von Prof. Dr. iur. B._ in wechselnden Arbeitspensen zwischen 20 % und 100 % tätig und dadurch bei der Vorsorgestiftung VSAO berufsvorsorgeversichert. Ab Februar 2010 arbeitete sie zu 40 % bei Rechtsanwalt C._. Nachdem ihr auf Ende September 2010 gekündigt worden war, bezog sie vom ... bis ... Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Seit ... 2011 ist A._ als wissenschaftliche Mitarbeiterin zu 60 % angestellt und somit wiederum bei der BVK berufsvorsorgeversichert.
A.b. A._ hatte sich im Dezember 2009 bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Leistungen angemeldet. Nach u.a. medizinischen Abklärungen, gestützt auf die Dr. med. D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) eine bipolare affektive Störung, gegenwärtig remittiert mit/bei rezidivierenden schweren depressiven Episoden seit 2004 diagnostizierte (Bericht vom 12. Dezember 2012), sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 19. Mai 2011 eine Viertelsrente für die Monate August bis Oktober 2010 sowie eine halbe Rente ab 1. November 2010 zu. Hingegen lehnte die BVK mit Schreiben vom 13. Juli 2011 die Ausrichtung von Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge ab, woran sie mit Einspracheentscheid vom 11. Oktober 2011 festhielt.
B.
Am 11. Mai 2012 erhob A._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die BVK mit den Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr ab 1. September 2005, basierend auf einer Arbeitsunfähigkeit von 50 %, die reglementarischen und gesetzlichen Leistungen bei Invalidität aus beruflicher Vorsorge auszurichten, und die nachzuzahlenden Rentenbetreffnisse seien mit Wirkung ab Klageeinleitung mit 5 % zu verzinsen.
Das kantonale Gericht holte die Klageantwort ein, zog die Akten der Invalidenversicherung bei, wozu die Parteien Stellung nahmen, und lud die Vorsorgestiftung VSAO bei. Mit Entscheid vom 22. November 2013 wies es die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, der Entscheid vom 22. November 2013 sei aufzuheben; der Kanton Zürich, handelnd durch die BVK, sei zu verpflichten, ihr ab 1. September 2005, basierend auf einer Arbeitsunfähigkeit von 50 %, die reglementarischen und gesetzlichen Leistungen bei Invalidität aus beruflicher Vorsorge auszurichten und die nachzuzahlenden Rentenbetreffnisse mit Wirkung ab Klageeinleitung mit 5 % zu verzinsen; eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Kanton Zürich, handelnd durch die BVK, ersucht um Abweisung der Beschwerde, die Vorsorgestiftung VSAO um deren Gutheissung, eventualiter Rückweisung der Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen.
A._ hat im Rahmen des Replikrechts Bemerkungen zur Vernehmlassung der Gegenpartei gemacht.

Erwägungen:
1.
Die von Amtes wegen zu prüfenden Sachurteilsvoraussetzungen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133; <ref-ruling> E. 1 S. 44) sind erfüllt und geben im Übrigen zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.2. Die Voraussetzungen für eine Sachverhaltsrüge nach <ref-law> und für eine Berichtigung des Sachverhalts von Amtes wegen nach <ref-law> stimmen im Wesentlichen überein (Urteil 8C_19/2013 vom 18. März 2014 E. 2.2). Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensregel ermittelt worden ist, sind strenge Anforderungen an die Begründungspflicht der Beschwerde gerechtfertigt. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von <ref-law>, die dem Richter geradezu in die Augen springen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254 f.). Auf bloss appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356; Urteil 9C_294/2012 vom 7. Mai 2012 E. 3.1).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (Urteile 6B_744/2012 vom 9. April 2013 E. 1 und 8C_826/2008 vom 2. April 2009 E. 3 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin hat zwei neue Aktenstücke eingereicht, zum einen den Bericht von Dr. med. E._, Fachärztin FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 13. Januar 2014 an ihren Rechtsvertreter betreffend Verlauf und Prognose der 'Bipolaren Erkrankung', zum andern den Bericht vom 14. Januar 2014 zu ihrem Auditoriat am Bezirksgericht, verfasst von ihrem damaligen direkten Vorgesetzten Rechtsanwalt F._. Soweit der Bericht von Dr. E._ Ausführungen allgemeiner Natur über die psychische Krankheit "bipolare Störung" enthält, wie sie auch aus anderen Quellen ersichtlich sind (vgl. etwa (Daniel Hell und Andere, Kurzes Lehrbuch der Psychiatrie, 3. Aufl. 2011, S. 128 f.), fällt er nicht unter das Novenverbot von <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.4.1 S. 542 mit Hinweisen; Urteil 9C_334/2010 vom 23. November 2010 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2011 KV Nr. 5 S. 20). Dagegen haben die Äusserungen der Frau Dr. med. E._ ausser Acht zu bleiben, soweit sie die Beschwerdeführerin betreffen. Die erwähnte psychische Erkrankung war bereits Gegenstand der Ausführungen der Parteien in den vorinstanzlichen Rechtsschriften, so dass nicht gesagt werden kann, erst der vorinstanzliche Entscheid habe zur (Erstellung und) Einreichung des Berichts vom 13. Januar 2014 Anlass gegeben.
Anders verhält es sich in Bezug auf den Bericht von Rechtsanwalt F._ vom 14. Januar 2014. Die Vorinstanz hat festgehalten, der während des Auditoriats für die Beschwerdeführerin zuständige juristische Sekretär, der ihre Arbeit am besten habe beurteilen können, habe keine Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen festgestellt. Wie in der Beschwerde jedoch zutreffend bemerkt wird, entbehrt diese Aussage einer aktenmässigen Grundlage. Weder in den von den Parteien bei der Vorinstanz eingereichten noch in den vom kantonalen Berufsvorsorgegericht beigezogenen Akten waren irgendwelche Angaben über Feststellungen des verantwortlichen juristischen Sekretärs vorhanden. Die Beschwerdeführerin war daher berechtigt, zur Berichtigung des insoweit offensichtlich unrichtig festgestellten Sachverhalts im bundesgerichtlichen Verfahren einen entsprechenden Bericht von Rechtsanwalt F._ einzureichen.
3.
Die Beschwerdeführerin meldete sich erst lange nach Auflösung des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdegegnerin Ende September 2004 bzw. Ablauf der (obligatorischen) Nachdeckungsfrist von einem Monat für die Risiken Tod und Invalidität (Art. 10 Abs. 3 BVG) im Dezember 2009 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an, so dass ihr grundsätzlich frühestens ab 1. Juni 2010 eine Invalidenrente ausgerichtet werden konnte (<ref-law>; vgl. aber auch <ref-ruling> und Urteil 9C_818/2013 vom 24. Februar 2014). Dies kann ihr indessen nicht zum Nachteil gereichen. Wie die Vorinstanz entschieden hat und unter den Verfahrensbeteiligten unbestritten ist, besteht in Bezug auf den hier vorab streitigen Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG [bis 31. Dezember 2004: aArt. 23 BVG]), keine Bindung an den im IV-Verfahren festgesetzten Beginn der Wartezeit nach <ref-law> (bis 31. Dezember 2007: aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG; vgl. Urteil 9C_735/2010 vom 21. Oktober 2010 E. 1).
4.
Gemäss Vorinstanz ist aufgrund der medizinischen Akten und der tatsächlichen Gegebenheiten mit überwiegender Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses mit der beklagten Vorsorgeeinrichtung keine invalidenversicherungsrechtlich (recte: berufsvorsorgerechtlich) relevante Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 Prozent (Urteil 9C_599/2013 vom 24. Februar 2014 E. 1.1) im Sinne von aArt. 23 BVG eingetreten war. Insbesondere gäbe es keine Hinweise, dass die Klägerin während ihrer Anstellung am Bezirksgericht erheblich in ihrer Arbeitsfähigkeit eingeschränkt gewesen sei und keine volle Leistung erbracht hätte.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vor, indem sie ausser Acht gelassen habe, dass es sich bei ihrer Krankheit seit 2004 um eine bipolare Störung handle. Weiter habe das kantonale Berufsvorsorgegericht die ihm obliegende Untersuchungspflicht verletzt dadurch, dass es in antizipierender Beweiswürdigung auf die Einvernahme u.a. ihres direkten Vorgesetzten während des Auditoriats (Rechtsanwalt F._) als Zeuge verzichtet habe. Schliesslich seien zentrale Begründungen der Klage und Replik nicht in den angefochtenen Entscheid miteinbezogen worden, was den Anspruch auf rechtliches Gehör verletze.
5.
5.1. Der rechtsgenügliche Nachweis einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23) erfordert nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz nicht zwingend eine echtzeitlich ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit. Nachträgliche Annahmen und spekulative Überlegungen, wie etwa eine erst nach Jahren rückwirkend festgelegte medizinisch-theoretische Arbeitsunfähigkeit, reichen aber nicht aus. Die gesundheitliche Beeinträchtigung muss sich auf das Arbeitsverhältnis sinnfällig auswirken oder ausgewirkt haben; die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen muss mit anderen Worten arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten sein, etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle. Nur bei Vorliegen besonderer Umstände darf die Möglichkeit einer von der arbeitsrechtlich zu Tage getretenen Situation abweichenden Lage in Betracht gezogen werden, etwa in dem Sinne, dass ein Arbeitnehmer zwar zur Erbringung einer vollen Arbeitsleistung verpflichtet war und auch entsprechend entlöhnt wurde, tatsächlich aber doch keine volle Arbeitsleistung erbringen konnte (Urteile 9C_419/2013 vom 9. Januar 2014 E. 2.2 und 9C_394/2012 vom 18. Juli 2012 E. 3.1.1; vgl. zu den Besonderheiten bei Schubkrankheiten Urteil 9C_126/2013 vom 13. August 2013 E. 4.1).
Eine Reduktion des Arbeitspensums kann ein gewichtiges Indiz für das Vorliegen einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit sein, genügt allein in der Regel jedoch nicht für den Nachweis einer gesundheitlich bedingten funktionellen Leistungseinbusse. Dies gilt insbesondere, wenn die Reduktion aus einem subjektiven Krankheitsgefühl heraus erfolgt oder wenn konkurrierende Gründe bestehen (z.B. der Wunsch nach mehr Zeit für bestimmte [Freizeit-]Aktivitäten oder für eine berufsbegleitende Weiterbildung). Es braucht grundsätzlich eine echtzeitliche ärztliche Bestätigung, dass die Pensenreduktion gesundheitlich bedingt notwendig ist, weil beispielsweise die weitere Verrichtung der Berufsarbeit nur unter der Gefahr der Verschlimmerung des Gesundheitszustandes möglich wäre. Davon kann abgesehen werden, wenn andere Umstände, wie etwa krankheitsbedingte Absenzen vor der Arbeitszeitreduktion, den Schluss nahelegen, dass dieser Schritt auch objektiv betrachtet aus gesundheitlichen Gründen erfolgt und insoweit eine arbeitsrechtlich in Erscheinung getretene (sinnfällige) Leistungseinbusse zu bejahen ist (Urteile 9C_419/2013 vom 9. Januar 2014 E. 2.3 und 9C_394/2012 vom 18. Juli 2013 E. 3.1.2, je mit Hinweisen).
5.2. Die Vorinstanz hat zur Prüfung des berufsvorsorgerechtlich relevanten Zeitpunkts des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit nach aArt. 23 BVG die Akten der Invalidenversicherung beigezogen, im Übrigen aber keine Abklärungen vorgenommen, wie etwa die Befragung von Zeugen. Mitentscheidend für diesen Verzicht war die Annahme, der während des Auditoriats für die Beschwerdeführerin zuständige juristische Sekretär, der ihre Arbeit am besten habe beurteilen können, habe keine Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen festgestellt. Wie in E. 2.3 hievor dargelegt, besteht für diese (angebliche) Angabe jedoch keine Grundlage. Rechtsanwalt F._ war im Rahmen des vorinstanzlichen Verfahrens überhaupt nicht genannt worden. Es verletzt indessen den in Art. 73 Abs. 2 BVG verankerten Untersuchungsgrundsatz, auf eine aktenmässig nicht belegbare Aussage abzustellen, ohne die betreffende Person befragt zu haben. Daran ändert vorliegend nichts, dass die Beschwerdeführerin selber dies nicht verlangt hatte. Demgegenüber erscheint es vertretbar bzw. nicht willkürlich, dass die Vorinstanz von der beantragten Befragung einer Arbeitskollegin am Bezirksgericht wie auch ihrer Eltern abgesehen hat.
5.3. Auf die nach dem Gesagten angezeigte Befragung von Rechtsanwalt F._, sofern nicht ohnehin auf dessen Bericht vom 14. Januar 2014 zum Auditoriat der Beschwerdeführerin abgestellt werden will, könnte nur dann verzichtet werden, wenn die weitere Anspruchsvoraussetzung des engen zeitlichen Zusammenhangs zwischen der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit nach aArt. 23 BVG und der später eingetretenen Invalidität nach <ref-law> und <ref-law> nicht gegeben wäre (<ref-ruling> E. 3.2 und E. 3.2.1 S. 22; Urteil 9C_98/2013 vom 4. Juli 2013 E. 2.2 und E. 4.1, in: SVR 2014 BVG Nr. 1 S. 1). Zu diesem unter den Parteien streitigen Punkt hat die Vorinstanz indessen keine Feststellungen getroffen. Aufgrund der Akten kann dieser Konnex nicht ohne weiteres verneint werden:
5.3.1. Nach nicht offensichtlich unrichtiger, für das Bundesgericht verbindlicher Feststellung der Vorinstanz leidet die Beschwerdeführerin an einer bipolaren affektiven Störung (ICD-10 F37.1). Bei diesem Beschwerdebild wechseln sich manische und depressive Episoden ab (Daniel Hell und Andere, a.a.O.), was entsprechende Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit haben kann. Es besteht somit eine gewisse Ähnlichkeit zu den sogenannten Schubkrankheiten (Schizophrenie und Multiple Sklerose, vgl. Hans-Ulrich Stauffer, Berufliche Vorsorge, 2. Aufl. 2012, N. 900 S. 328 und Marc Hürzeler, Kommentar BVG und FZG, 2010, N. 29 zu Art. 23 BVG), bei welchen nach der Rechtsprechung bei der Beurteilung der zeitlichen Konnexität zwischen Arbeitsunfähigkeit und Invalidität kein allzu strenger Massstab anzuwenden ist. Damit soll dem Umstand Rechnung getragen werden, dass derartige Krankheitsbilder sich nicht immer gleich manifestieren und unterschiedliche Verläufe aufweisen. Dies stellt ein erhöhtes Risiko dar, dass die Krankheit zu einem Zeitpunkt ausbricht, in welchem eine Versicherungsdeckung fehlt, was unter dem Gesichtspunkt des Versicherungsschutzes stossend sein kann. Daher kommt bei Schubkrankheiten den gesamten Umständen des Einzelfalls besondere Bedeutung zu (Urteil 9C_126/2013 vom 13. August 2013 E. 4.1).
5.3.2. Aufgrund der echtzeitlichen Aufzeichnungen des Hausarztes Dr. med. G._ vom 29. September 2004 und der von ihm verordneten Abgabe von Psychopharmaka ist mit der Vorinstanz vom Auftreten einer depressiven Episode noch während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses bei der BVK auszugehen. In Bezug auf die Zeit danach ist belegt, dass die Beschwerdeführerin vom 15. Oktober 2004 bis 16. Mai 2006 in psychotherapeutischer Behandlung stand. Sodann betrug ihr Arbeitspensum im Rahmen ihrer Assistententätigkeit abgesehen von den Monaten ... weniger als 100 %, offenbar ohne dass sie daneben anderweitig für eigene Zwecke selber tätig gewesen wäre. Insbesondere schrieb sie an keiner Dissertation, obschon dies zum Pflichtenheft einer Assistentin gehört und sie berechtigt gewesen wäre, einen Drittel ihrer Arbeitszeit für Forschungsarbeiten zu ihrer wissenschaftlichen Qualifikation und damit zusammenhängenden Aktivitäten aufzuwenden. Es ist nicht auszuschliessen, dass die Beschwerdeführerin (auch) gesundheitlich bedingt und nicht bloss aus einem subjektiven Krankheitsgefühl heraus lediglich ein reduziertes Arbeitspensum leistete, wie die Vorinstanz angenommen hat. Eine Befragung ihres Vorgesetzten, Prof. B._, und allenfalls der Psychologin H._, welche sie im Zeitraum von Oktober 2004 bis Mai 2006 psychotherapeutisch behandelt hatte, könnten diesbezüglich allenfalls mehr Klarheit bringen.
5.4. Die Sache ist somit nicht spruchreif. Die Vorinstanz wird die im dargelegten Sinne notwendigen Abklärungen vorzunehmen haben und danach über die Leistungspflicht der BVK neu entscheiden.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Die im Eventualstandpunkt obsiegende Beigeladene hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>; Urteil 9C_126/2013 vom 13. August 2013 E. 5).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichtes des Kantons Zürich vom 22. November 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Vorsorgestiftung VSAO, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Juli 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Fessler