Sachverhalt:
A.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte am 28. Februar 2013 X._ wegen versuchter vorsätzlicher Tötung, mehrfacher Urkundenfälschung und grober Verletzung von Verkehrsregeln zu 5 Jahren Freiheitsstrafe. A._ verurteilte es wegen einfacher Körperverletzung und Fahrens in fahrunfähigem Zustand zu einer bedingten Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu Fr. 10.--.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte am 21. Januar 2014 X._ auf seine Berufung hin zu 3 Jahren Freiheitsstrafe, davon zwei Jahre mit bedingtem Vollzug. Im Übrigen bestätigte es das erstinstanzliche Urteil, insbesondere die Schuldsprüche wegen versuchter vorsätzlicher Tötung und mehrfacher Urkundenfälschung (der Schuldspruch wegen grober Verletzung von Verkehrsregeln blieb unangefochten).
B.
X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es sei ihm die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Vorinstanz stellt fest, die Aussagen sämtlicher Beteiligten seien nicht glaubhaft. Der Tathergang lasse sich trotzdem rechtsgenügend rekonstruieren. Der Beschwerdeführer habe nach einem seine Kinder betreffenden Streit A._ telefoniert und ihm gedroht, nach Basel zu kommen. In der Folge habe er einen Metzgerspalter (ein Metzgerbeil oder "Hackbeil") behändigt und sei mit seiner Frau nach Basel gefahren. Zur gleichen Zeit habe A._ zwei Verwandte gebeten, zu seiner Unterstützung zu kommen. Die Vorgeschichte lasse darauf schliessen, dass beide Seiten mit einer erheblichen körperlichen Auseinandersetzung rechneten. Zur eigentlichen Tat habe der Beschwerdeführer erklärt, er habe A._ nicht töten oder verletzen, sondern erschrecken wollen. Es sei erstellt, dass der Beschwerdeführer während einer dynamischen körperlichen Auseinandersetzung A._ zweimal mit dem Metzgerspalter am Hals traf (Urteil S. 4).
1.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, der Metzgerspalter sei keine Waffe, sondern ein gefährlicher Gegenstand im Sinne von <ref-law>. Die Unterscheidung sei hinsichtlich der Gefährdung bedeutend, gelte doch nur eine Waffe unabhängig von ihrer Verwendung als gefährlich. Beim Raub rechtfertige nur die extremste der vier Gefährdungsstufen die Gleichstellung mit dem Tötungsvorsatz. Die Vorinstanz schliesse von einer einfachen Lebensgefahr (Gefährdungsstufe 3 im Sinne von <ref-law>) bundesrechtswidrig auf eventuellen Tötungsvorsatz. Es sei von einer einfachen Körperverletzung mit einem gefährlichen Gegenstand auszugehen. Im Übrigen sei die Beurteilung willkürlich, denn es sei nicht festgestellt, dass er zu einem anderen Zeitpunkt als im Moment der Verletzung eine nahe Todesgefahr erkennen konnte. Der Rückschluss alleine aus der Verletzung auf den Tötungsvorsatz widerspreche dem Tatschuldprinzip.
1.3. Die Vorinstanz hält aufgrund des gerichtsmedizinischen Befundes fest, dass die Verletzungen in zwei jeweils 6 cm langen Schnittwunden unterhalb des rechten Ohrs bestanden und eine Schnittverletzung in der betroffenen Halsregion potenziell lebensgefährlich ist. Dem Beschwerdeführer sei das hohe Risiko des Einsatzes des Metzgerspalters bekannt gewesen. Trotzdem habe er diesen eingesetzt. Jeder einzelne Schlag mit einer derartigen "Waffe" gegen Oberkörper, Hals oder Kopf eines Menschen könne lebensbedrohliche Folgen haben. Sie bejaht deshalb den Eventualvorsatz (<ref-law>).
1.4. Der Beschwerdeführer gebrauchte das Metzgerbeil als Waffe gegen seinen mit einer Eisenstange bewehrten Kontrahenten. Der Schuldspruch lässt sich weder aufgrund der vorinstanzlichen Wortwahl ("Waffe") noch gestützt auf das Waffengesetz oder die gesetzlichen Umschreibungen in Art. 123 und 140 StGB in Frage stellen. Die Argumentation des Beschwerdeführers geht an der Sache vorbei. Die Beurteilung als versuchte eventualvorsätzliche Tötung ist nicht zu beanstanden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer hatte auf ihn und seine Ehefrau ausgestellte Betreibungsregisterauszüge gefälscht und die beiden verfälschten Auszüge bei der Bewerbung für Mietwohnungen eingereicht (erstinstanzliches Urteil S. 19). Die Erstinstanz nahm an, weil mit der Einreichung die Unterdrückung von Betreibungen und Verlustscheinen beabsichtigt und darauf abgezielt wurde, die eigenen Chancen um eine Wohnung zu erhöhen, liege ein relevanter Vorteil vor. Der Beschwerdeführer habe das Vermögen potenzieller Vermieter gefährdet. Sie sprach ihn deshalb gestützt auf das Urteil 6P.4/2004 und 6S.7/2004 vom 6. April 2004 E. 7 der mehrfachen Urkundenfälschung schuldig.
2.2. Der Beschwerdeführer beantragt vor Bundesgericht erneut einen Schuldspruch gemäss <ref-law>.
2.3. Die Vorinstanz führt aus, es treffe zu, dass der Beschwerdeführer mit dem Einreichen der verfälschten Betreibungsregisterauszüge den Zugang zu seinen legalen Chancen im Wettbewerb um eine Mietwohnung verbesserte. Wäre sein einziges Ziel gewesen, sein Fortkommen unmittelbar zu erleichtern, wäre <ref-law> "wohl anwendbar". Er habe aber gegenüber dem Vermieter ein falsches Bild seiner Zahlungsfähigkeit abgegeben. Der Vermieter hätte einem vermeintlich solventen Mieter eine Wohnung vermietet, mit der grossen Wahrscheinlichkeit, dass der Mietzins innert kurzer Zeit ausgeblieben wäre. Der Beschwerdeführer habe nicht nur ein legales Ziel angesteuert, sondern sich auch unrechtmässig verhalten, indem er das Vermögen des Vermieters gefährdete.
2.4. Die "Fälschung von Ausweisen" gemäss <ref-law> ist als privilegierter Fall der Urkundenfälschung aufzufassen. Subjektiv erfordert der Tatbestand erstens Täuschungsabsicht und zweitens die Absicht, sich das Fortkommen zu erleichtern. Die angestrebte Besserstellung darf für sich betrachtet nicht unrechtmässig sein, da nur das Fehlen einer Schädigungs- oder Vorteilsabsicht die gegenüber <ref-law> geringere Strafandrohung rechtfertigt. Unter <ref-law> fällt daher nur das Erstreben des Zugangs zu legalen Chancen ( MARKUS BOOG, in: Basler Kommentar, Strafrecht II, 3. Aufl. Basel 2013, NN. 16 f. zu <ref-law>).
2.5. <ref-law> (Urkundenfälschung) setzt als abstraktes Gefährdungsdelikt in subjektiver Hinsicht namentlich die Absicht voraus, sich oder einem anderen einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen. Es genügt dabei grundsätzlich jede Besserstellung. Die Unrechtmässigkeit des Vorteils verlangt weder Schädigungsabsicht noch eine selbständige Strafbarkeit der Vorteilserlangung (<ref-ruling> E. 3.3).
Die Vorinstanz bestätigt zu Recht (Urteil 6P.4/2004 und 6S.7/2004 vom 6. April 2004 E. 7.2) den erstinstanzlichen Schuldspruch wegen mehrfacher Urkundenfälschung (<ref-law>).
Es lässt sich nicht im Sinne von <ref-law> annehmen, die angestrebte Besserstellung sei für sich betrachtet nicht unrechtmässig. So stellt sich etwa durchaus die Frage des Betrugs, wenn der Mieter, gegen den Verlustscheine und Betreibungen bestehen, durch falsche Angaben die Einreichung eines Betreibungsregisterauszugs verhindert (im Urteil 6B_748/2008 vom 16. Februar 2009 E. 2.5 mangels Arglist verneint, weil die professionell tätige Liegenschaftsverwalterin die Lügen bei Beachtung eines Mindestmasses an Vorsicht hätte aufdecken können).
2.6. Eine Verletzung des Anklagegrundsatzes ist nicht ersichtlich. Die Staatsanwaltschaft erwähnte den Tatbestand der "Fälschung von Ausweisen" mit keinem Wort. Sie klagte den Beschwerdeführer ausdrücklich wegen "Urkundenfälschung" an und führte aus: "In unrechtmässiger Vorteilsabsicht bzw. um die Chancen auf die Zusagen einer Mietwohnung zu erhöhen, fälschte der Beschuldigte, welcher wie seine Ehefrau sowohl über verschiedene Betreibungen und mehrere Verlustscheine verfügte, [...] je einen auf ihn und seine Ehefrau lautenden [...] Betreibungsregisterauszug [...]. Diese beiden verfälschten Betreibungsregisterauszüge reichte der Beschuldigte [...] ca. 15 Vermieterinnen ein [...]" (erstinstanzliches Urteil S. 7).
Die Vorinstanz begründet den Schuldspruch, anders als in der Beschwerde S. 8 (mit Verweisung auf das Urteil S. 8, E. 3.1, zweiter Abs.) ausgeführt, nicht in Verletzung der Anklageschrift mit einer "Schädigungsabsicht für ungedeckte Umtriebskosten" (vgl. oben E. 2.1 und 2.3). Sie weist lediglich darauf hin, dass der Einwand des Mietzinsdepots zu kurz greife, weil dieses Sicherungsmittel höchstens drei Monatsmietzinse abdecke, nicht aber die auch kostspieligen Umtriebe bis zu einer neuen Vermietung.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (<ref-law>). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit herabgesetzten Kosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 und Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Der Gerichtsschreiber: Briw