Erwägungen:
1. Der am 8. Juni 1986 geborene X._, Staatsangehöriger von Bosnien und Herzegowina, heiratete am 28. April 2007 in seiner Heimat eine Schweizer Bürgerin. Er reiste am 15. September 2007 zu seiner Frau in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung, welche zuletzt bis zum 30. September 2009 verlängert wurde. Seit November 2008 leben die Ehegatten getrennt.
Am 31. März 2010 verfügte das Migrationsamt (heute: Amt für Migration und Integration) des Kantons Aargau die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ und seine Wegweisung. Die gegen diese Verfügung erhobene Einsprache blieb erfolglos, und mit Urteil vom 19. Dezember 2011 wies das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau die gegen den Einspracheentscheid vom 30. September 2010 erhobene Beschwerde ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 31. Januar 2012 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Rekursgerichts sei aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung sei zu verlängern; eventuell sie die Sache zur Neuentscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein, d.h. der Beschwerdeführer muss auf die für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen konkret eingehen.
Die Vorinstanz hat dargelegt, dass der Beschwerdeführer bei der gegebenen Sachlage (definitive Aufgabe der ehelichen Gemeinschaft rund 14 Monate nach der Einreise des Beschwerdeführers in die Schweiz) keinen Anspruch gemäss Art. 42 (in Verbindung mit Art. 49) AuG auf Bewilligungsverlängerung habe und warum - auch im Lichte der beschwerdeführerischen Vorbringen (Scheitern der Ehe durch Ehefrau verursacht, Aufgabe der in der Schweiz seit gut vier Jahren geschaffenen Beziehungen) - eine Berufung auf Art. 50 Abs. 1 lit. a oder lit. b AuG bzw. auf Art. 8 EMRK ausser Betracht falle. Was der Beschwerdeführer in der ans Bundesgericht adressierten Rechtsschrift zu seinen persönlichen Verhältnissen ausführt, genügt in keiner Weise um aufzuzeigen, dass bzw. inwiefern die Vorinstanz bei der Auslegung und Anwendung der einschlägigen Normen schweizerisches Recht (s. <ref-law>) verletzt haben könnte.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
Da die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien (vgl. <ref-law>), kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden. Damit sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller