Erwägungen:
1.
Die Universität Basel belegte A._ mit Verfügungen vom 8. Juli 2013 bzw. vom 2. August 2013 mit einem Hausverbot für sämtliche Universitätsräumlichkeiten am Petersgraben 51 in Basel. Die dagegen erhobenen Rekurse wies die Rekurskommission der Universität Basel mit Entscheid vom 17. Februar 2014 ab; dagegen wurde kein Rechtsmittel ergriffen. Bereits zuvor, am 6. Januar 2014, hatte die Universität Basel gegen A._ ein Hausverbot nunmehr für sämtliche Räumlichkeiten der Universität ausgesprochen. Auch dagegen rekurrierte A._ an die Rekurskommission der Universität Basel; er ersuchte darum, dem Rekurs aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Mit Zwischenverfügung vom 22. Januar 2014 wies die Präsidentin der Rekurskommission den Antrag auf Anordnung der aufschiebenden Wirkung ab; ebenso wies sie das Begehren um Zusammenlegung mit den (mittlerweile abgeschlossenen) Rekursverfahren betreffend das Hausverbot für den Petersgraben 51 ab; auf das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege trat sie derzeit nicht ein. Diese Zwischenverfügung focht A._ mit Rekurs beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht an. Im Lauf des Rekursverfahrens vor dem Appellationsgericht beantragte er den Ausstand der gesamten Rekurskommission der Universität Basel wegen Befangenheit. Mit Urteil vom 2. Mai 2014 wies das Appellationsgericht den Rekurs ab, soweit es darauf eintrat. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im verwaltungsgerichtlichen Verfahren wies es wegen Aussichtslosigkeit des Rekurses ab; die Urteilsgebühr von Fr. 200.-- auferlegte es A._.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. Verfassungsbeschwerde vom 14. Juni (Postaufgabe 16. Juni) 2014 beantragt A._ dem Bundesgericht namentlich die Aufhebung des Hausverbots für sämtliche Räumlichkeiten der Universität Basel, die unentgeltliche Rechtspflege und die Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Soweit das Gesuch um aufschiebende Wirkung auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellt wird, wird es mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil gegenstandslos.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen und beschränken. Die Beschwerde führende Partei hat sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen auseinanderzusetzen. Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte prüft das Bundesgericht nur, soweit entsprechende Rügen spezifisch erhoben und begründet werden (<ref-law>).
2.2. Der Beschwerdeführer hatte schon vor der Vorinstanz den Ausstand der Rekurskommission der Universität Basel thematisiert. Das Appellationsgericht hat sich damit nicht befasst und erklärt, dass es zunächst Sache der Rekurskommission sei, das Ausstandsbegehren zur Kenntnis zu nehmen und sich im Rahmen des bei ihr hängigen Rekursverfahrens damit auseinanderzusetzen. Sodann hat das Appellationsgericht erläutert, warum es auch auf die Frage der - bloss vorläufigen - Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht einzugehen habe. Es trat daher auf den Rekurs nur insoweit ein, als darin in Abänderung der angefochtenen Zwischenverfügung der Präsidentin der Rekurskommission die Anordnung der aufschiebenden Wirkung des dortigen Rekurses beantragt wurde (E. 1.3). Der Beschwerdeführer macht längere Ausführungen zur Frage des Ausstands bzw. der Unabhängigkeit der Rekurskommission; inwiefern die beschriebene Beschränkung des Prozessthemas durch das Appellationsgericht rechtsverletzend sei, legt er jedoch nicht dar, sodass auf seine diesbezüglichen Ausführungen nicht einzutreten ist.
2.3. Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Das Appellationsgericht hat in E. 2.2 seines Urteils in Anwendung der §§ 17 und 24 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 14. Juni 1928 über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege (VRPG-BS) dargelegt, warum sich die zur Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung erforderliche Interessenabwägung der Präsidentin der Rekurskommission nicht beanstanden liesse. Inwiefern es dabei (welche) verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers verletzt haben könnte, zeigt dieser auch nicht im Ansatz auf; der Begründungspflicht gemäss <ref-law> wird offensichtlich nicht Genüge getan.
Der Beschwerdeführer legt sodann nicht dar, inwiefern die Einschätzung des Rekurses an das Appellationsgericht (hinsichtlich des einzigen dort zu behandelnden Gegenstands) als aussichtslos und entsprechend die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Kostenauflage auch vor der Vorinstanz rechtsverletzend wäre.
2.4. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>), sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
2.5. Dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde von vornherein als aussichtslos erschien (<ref-law>). Somit sind die Gerichtskosten (<ref-law>) entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller