Sachverhalt:
A. X._ und Y._ sind Eigentümer der 52'586 m2 umfassenden, in der Landwirtschaftszone der Gemeinde Wünnewil-Flamatt gelegenen Parzelle Nr. 607. Im Jahr 2006 erstellte X._ auf diesem Grundstück unmittelbar nördlich der in der Wohnzone mittlerer Dichte gelegenen Parzelle Nr. 1525 ohne Baubewilligung eine Garage mit Lagerraum zum Lagern der für eine gewerbliche Tätigkeit benötigen Werkzeuge und Materialien. Diese Baute, die eine Grundfläche von 11,0 m x 6,1 m und eine Höhe von 5,5 m aufweist, wird in der Folge als Remise bezeichnet. Mit Schreiben vom 27. Juni 2006 forderte der Gemeinderat von Wünnewil-Flamatt X._ auf, die Bauarbeiten sofort einzustellen und unverzüglich ein entsprechendes Baugesuch einzureichen oder aber die Baute zu entfernen.
Am 11. Oktober 2006 stellte X._ bei der Gemeinde ein Gesuch um "eine geringfügige Erweiterung der Wohnzone mittlere Dichte" im Bereich der Remise. Mit Verfügung vom 29. Januar 2007 wies der Gemeinderat das Begehren ab. Zur Begründung führte er aus, die Baute befinde sich in der Landwirtschaftszone und eine Einzonung der fraglichen Fläche würde daher eine Überarbeitung des Zonenplans bedingen. Zurzeit sei indes eine Gesamtrevision der Ortsplanung im Gang, wobei mit einer öffentlichen Auflage der entsprechenden Pläne im Verlaufe des Jahres 2007 gerechnet werden könne. Bei dieser Revision sei vorgesehen, eine Teilfläche der Parzelle Nr. 607 dem Richtplangebiet "Wohnzone mittlere Dichte" zuzuweisen. Später soll für dieses Gebiet ein Quartierplan als Grundlage für eine Gesamtüberbauung erarbeitet werden. Hinsichtlich dieser Quartierplanung stelle die widerrechtlich erstellte Remise mit ihren Ausmassen ein Hindernis dar. Zudem müsse davon ausgegangen werden, dass die Baute gewerblichen Zwecken diene und dementsprechende Verkehrs- und Lärmbelastungen auslösen werde. Sie sei somit inmitten eines künftigen Wohnquartiers mit der Zonenordnung nicht zu vereinbaren.
B. Gegen den Beschluss des Gemeinderats vom 29. Januar 2007 erhoben X._ und Y._ Beschwerde beim Oberamtmann des Sensebezirks und erneuerten ihr Gesuch um "Umzonierung" eines Teils der Parzelle Nr. 607. Ihre Eingabe wurde zuständigkeitshalber an die Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion des Kantons Freiburg weitergeleitet, welche die Beschwerde mit Entscheid vom 9. August 2007 abwies.
C. In der Folge erhoben X._ und Y._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Sie beantragten die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und erneuerten ihr Umzonungsbegehren. Eventuell habe das Gericht das Verfahren einzustellen, jedoch pendent zu halten, bis die Gemeinde das von ihr angekündigte Verfahren der Zonenplanänderung durchgeführt habe. Mit Urteil vom 14. Juli 2008 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab. Es erwog, es sei nicht dargetan, dass bedeutende Veränderungen der Gegebenheiten eingetreten seien, welche die beantragte Zonenplanänderung zu rechtfertigen vermöchten. Zudem würde die geplante spätere Überbauung der Parzelle Nr. 607 erschwert, wenn von diesem Grundstück schon jetzt Teile abgetrennt würden.
D. Mit Eingabe vom 29. August 2008 erheben X._ und Y._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) und subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Sie beantragen die Aufhebung des am 14. Juli 2008 ergangenen Urteils des Kantonsgerichts sowie des Entscheids der Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion des Kantons Freiburg vom 9. August 2007; die Sache sei zu neuem Entscheid an die Vorinstanz bzw. an die Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion zurückzuweisen; das Parzellenteilstück mit dem fraglichen Schopf sei von der Landwirtschafts- in die Bau- oder Gewerbezone, eventuell in eine andere Zone umzuteilen, damit für diese Baute nachträglich eine ordentliche Baubewilligung erteilt werden könne. Eventuell beantragen sie, das bundesgerichtliche Verfahren sei einzustellen, jedoch pendent zu halten, bis das "Verfahren betreffend die Zonenplanänderung mit Erlass eines Richtplanes im Gebiet der Parzelle Nr. 607" rechtskräftig erledigt worden sei. Ebenso beantragen sie eventuell, das bundesgerichtliche Verfahren sei einzustellen, bis das Kantonsgericht über die dort hängige Beschwerde vom 2. Juli 2008 entschieden habe. Die Beschwerdeführer ersuchen um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Sie rügen eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) sowie des Willkürverbots (<ref-law>).
E. Mit Präsidialverfügung vom 15. Oktober 2008 wurden das Sistierungsbegehren, soweit es sich auf das beim Kantonsgericht hängige Verfahren betreffend nachträgliche Baubewilligung der strittigen Remise bezieht, und das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.
F. Das Kantonsgericht, die Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion sowie die Gemeinde Wünnewil-Flamatt schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerden.

Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren über ein Gesuch um Vornahme einer parzellenbezogenen Umzonung nach Art. 14 ff. des Bundesgesetzes vom 22. Juni 1979 über die Raumplanung (Raumplanungsgesetz, RPG; SR 700) zugrunde. Für die Rechtsmittel an Bundesbehörden gelten die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege (Art. 34 Abs. 1 RPG). Da es sich bei der Nutzungsplanung nach Art. 14 ff. RPG um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts handelt und kein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> greift, kann gegen den angefochtenen Entscheid Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben werden (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 251, 409 E. 1.1 S. 411). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde verbleibt somit kein Raum (<ref-law>). Auf diese ist deshalb nicht einzutreten.
1.2 Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und sind Eigentümer des Grundstücks, auf welches sich ihr Umzonungsbegehren bezieht. Sie sind vom angefochtenen Entscheid besonders berührt und berufen sich auf schutzwürdige Interessen. Ihre Beschwerdelegitimation ist gestützt auf <ref-law> zu bejahen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 252 ff.).
1.3 Nicht einzutreten ist auf das Rechtsbegehren der Beschwerdeführer, soweit es sich auf den Entscheid der Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion vom 9. August 2007 bezieht. Dieser Entscheid ist durch das Urteil des Kantonsgerichts ersetzt worden (sog. Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 441; <ref-ruling> E. 1c S. 33; mit Hinweisen).
1.4 Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht, so ist darauf nicht einzutreten. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>); dies setzt aber voraus, dass auf die entsprechende Rüge überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die minimalen Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Strengere Begründungsanforderungen gelten, wenn wie im vorliegenden Fall die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Für derartige Rügen gelten die gleichen Begründungsanforderungen, wie sie gestützt auf Art. 90 Abs. 1 lit. b OG für die staatsrechtliche Beschwerde gegolten haben (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen). Wieweit die Vorbringen der Beschwerdeführer den hier genannten Anforderungen genügen, ist im Sachzusammenhang im Rahmen der nachfolgenden Erwägungen zu prüfen.
1.5 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher grundsätzlich einzutreten.
2. Die Beschwerdeführer rügen, die Vorinstanz habe weder ihren Editionsanträgen entsprochen noch habe sie einen Augenschein oder eine Parteieinvernahme durchgeführt. Damit habe sie nicht nur den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt (<ref-law>), sondern auch gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstossen.
2.1 Die Beschwerdeführer legen in keiner Weise dar, welcher entscheiderhebliche Sachverhalt mit den beantragten Beweismitteln hätte bewiesen werden sollen. Sie vermögen daher auch nicht darzutun, inwiefern eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör oder ein Verstoss gegen das Willkürverbot vorliegt, wenn die Vorinstanz auf eine entsprechende Beweiserhebung verzichtete. Die von den Beschwerdeführern in diesem Zusammenhang behaupteten Rechtsverletzungen sind somit nicht hinreichend begründet, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
2.2 Ebenso wenig ist der von den Beschwerdeführern gegenüber dem Gemeinderat, dem Bauamt und der Ortsplanungskommission von Wünnewil-Flamatt sowie gegenüber den kantonalen Behörden (Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion) erhobene Vorwurf der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Beschwerdeschrift S. 22) hinreichend begründet, weshalb auch darauf nicht einzutreten ist.
3. Die Beschwerdeführer beantragen die Durchführung eines Augenscheins, legen aber in keiner Weise dar, welcher entscheiderhebliche Sachverhalt damit bewiesen werden soll. Dieser Beweisantrag ist daher abzulehnen.
4. Die Beschwerdeführer bringen vor, die Vorinstanz hätte den Entscheid der Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion daraufhin überprüfen müssen, ob er nicht überstürzt und voreilig erlassen worden war, weil zuerst die im Gange befindliche Revision der Ortsplanung hätte abgewartet werden müssen. Indem die Vorinstanz dies unterlassen habe, habe sie ihrem Urteil nicht den vollständigen Sachverhalt zugrunde gelegt, was willkürlich sei. Die laufende Revision der Ortsplanung müsse vorliegend berücksichtigt werden, weil daraus geschlossen werden könne, wie die Raumplanung im fraglichen Ortsteil in Zukunft gestaltet werden soll. Nach dem aufgelegten Nutzungsrichtplan sei vorgesehen, die Parzelle Nr. 607 zum Teil einer Wohnzone mittlerer Dichte und zum Teil einer Zone für öffentliche Nutzungen zuzuweisen. Im Übrigen entstehe den Beschwerdeführern mit der Rechtskraft des Nutzungsrichtplans ein Rechtsanspruch, die gewünschte Umzonung verlangen zu können.
4.1 Die Vorinstanz führt aus, die im Rahmen der laufenden Revision des Nutzungsrichtplans der Gemeinde Wünnewil-Flamatt vorgesehene Zuweisung des hier zur Diskussion stehenden Teils der Parzelle Nr. 607 in das Gebiet der "Wohnzone mittlerer Dichte" ändere nichts an der fehlenden Zonenkonformität der streitigen Remise. Gemeinderichtpläne würden gemäss Art. 43 des Raumplanungs- und Baugesetzes des Kantons Freiburg vom 9. Mai 1983 (SGF 710.1) lediglich die allgemeinen Grundzüge der Entwicklung der Gemeinde umschreiben. Die laufende Revision des kommunalen Nutzungsrichtplans habe somit keinen Einfluss auf das vorliegende Verfahren.
4.2 Die Erwägungen der Vorinstanz sind nicht zu beanstanden. Auch wenn der Nutzungsrichtplan der Gemeinde Wünnewil-Flamatt rechtskräftig ist, lassen sich daraus noch keine parzellenscharfen Aussagen hinsichtlich der Zonenzuweisung eines bestimmten Grundstücks ableiten. Dazu bedarf es des weiteren Aktes der Zonennutzungsplanung, die zwar den Richtplan zur Grundlage hat, aber doch eine eigenständige raumplanerische Aufgabe darstellt, in deren Rahmen die massgebenden öffentlichen und privaten Interessen umfassend gegeneinander abgewogen werden. Die Auffassung der Beschwerdeführer, aus dem Richtplaninhalt lasse sich ein Anspruch auf eine bestimmte Zonierung eines Grundstücks ableiten, ist denn auch unzutreffend. Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts verleiht <ref-law> dem Grundeigentümer gegenüber den Planungsbehörden grundsätzlich keinen Rechtsanspruch auf Zuweisung seines Landes zu einer bestimmten Zone (<ref-ruling> E. 6a S. 333, 455 E. 4a S. 457). Besondere Umstände, welche im vorliegenden Fall ausnahmsweise eine Einzonungspflicht begründen könnten, machen die Beschwerdeführer nicht geltend und sind auch nicht ersichtlich. Deren Rüge, die Vorinstanz habe das Willkürverbot verletzt, indem sie die im Gang befindliche Ortsplanung der Gemeinde Wünnewil-Flamatt nicht abgewartet habe, ist daher nicht stichhaltig.
5. Die Beschwerdeführer rügen ferner, indem die Vorinstanz die von ihnen mit Eingabe vom 2. Juli 2008 erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen die Verweigerung einer nachträglichen Baubewilligung für die streitige Remise nicht beachtet habe, sei sie von einem unvollständigen und unzutreffenden Sachverhalt ausgegangen. Mit diesem Vorgehen habe die Vorinstanz die Möglichkeit widersprüchlicher Entscheide geschaffen, gegen das Willkürverbot verstossen und den Beschwerdeführern das rechtliche Gehör verweigert. Die Beschwerdeführer bringen vor, in der Beschwerde vom 2. Juli 2008 hätten sie nachgewiesen, dass die streitige Remise auch landwirtschaftlich genutzt werden könne und daher in der Landwirtschaftszone bewilligt werden müsse.
Es trifft nicht zu, dass die Vorinstanz unbeachtet liess, dass die Beschwerdeführer gegen die Verweigerung ihres Gesuchs um nachträgliche Bewilligung der streitigen Remise am 2. Juli 2008 Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben haben. Dieser Umstand wird im angefochtenen Entscheid ausdrücklich erwähnt (Seite 2 unten). Sodann ist nicht ersichtlich, wie mit einem angeblichen Nachweis einer möglichen landwirtschaftlichen Nutzung der Remise die in diesem Verfahren zur Diskussion stehende, von den Beschwerdeführern verlangte Umzonung des fraglichen Teilstücks der Parzelle Nr. 607 in eine Bauzone begründet werden soll. Es ist verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den angefochtenen Entscheid schon vor dem Entscheid über die Beschwerde vom 2. Juli 2008 gefällt hat. Inwiefern die Vorinstanz damit den Anspruch der Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör verletzt habe, führen sie nicht näher aus. Darauf ist deshalb nicht weiter einzutreten.
6. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des vorliegenden Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten den unterliegenden Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
4. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Gemeinde Wünnewil-Flamatt, der Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion sowie dem Kantonsgericht des Kantons Freiburg, II. Verwaltungsgerichtshof, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kappeler