Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene B._ erlitt am 22. September 2000 einen Arbeits- und am 29. März 2003 einen Verkehrsunfall. Er meldete sich am 30. Januar 2001 zum Bezug von Leistungen bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich verneinte mit Verfügung vom 21. April 2005 einen Invalidenrentenanspruch, da keine Invalidität im Sinne des Gesetzes bestehe. Die dagegen erhobene Einsprache wies die IV-Stelle ab (Entscheid vom 30. November 2005). Die SUVA sprach am 26. Juli 2005 mit Wirkung ab 1. August 2005 eine Rente bei einem Invaliditätsgrad von 100 % zu.
B. Die von B._ gegen den Einspracheentscheid der IV-Stelle eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 6. November 2007 ab.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, mit Wirkung ab dem 1. September 2001 eine ganze Invalidenrente auszurichten.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Rechtsverletzungen und Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262, 130 III 136 E. 1.4 S. 140).
2. In rechtlicher Hinsicht hat die Vorinstanz auf den Einspracheentscheid verwiesen, worin die IV-Stelle die gesetzlichen Bestimmungen über den Begriff der Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) sowie den Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law>) und die Bemessung des Invaliditätsgrades nach der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>) zutreffend wiedergegeben hat. Richtig dargelegt hat sie auch die Aufgabe des Arztes und der Ärztin bei der Ermittlung des Invaliditätsgrades (<ref-ruling> E. 4 S. 261).
3. 3.1 Die Vorinstanz gelangte in Würdigung der medizinischen Unterlagen, insbesondere des polydisziplinären Gutachtens der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS), vom 3. März 2005, zum Schluss, für die körperlichen Beschwerden - namentlich die als grotesk bezeichnete Schiefhaltung des Kopfes - sei keine organisch-strukturelle Ursache auszumachen. Im Anschluss an die Rehabilitation in der Klinik X._ im Herbst 2001 - so die Vorinstanz weiter - hätten Hinweise auf eine Symptomausweitung, ein fear-avoidance Muster und ein Verdacht auf eine depressive Entwicklung bestanden. Dem MEDAS-Gutachten könne als einzige relevante Diagnose eine konversionsneurotische Fehlentwicklung mit dissoziativer Bewegungseinschränkung der HWS, eine Symptomausweitung, multiple diffuse Klagen ohne objektiven Kern sowie ein offensichtlicher Sekundärgewinn entnommen werden.
Diese Feststellungen werden vom Beschwerdeführer dahingehend gerügt, die Vorinstanz habe ihrer Beurteilung angesichts der im MEDAS-Gutachten vom 3. März 2005 angeführten Unsicherheitsfaktoren einen nicht bewiesenen medizinischen Sachverhalt zugrunde gelegt und das Gericht habe sich auf den Verdacht eventueller Simulation abgestützt. Dem ist nicht zu folgen. Die von den Gutachtern diskutierte Aggravation oder allenfalls Simulation haben keinen Eingang in die von der Vorinstanz als massgeblich erachtete Diagnoseliste der MEDAS gefunden. Sowohl die Experten wie auch das kantonale Gericht hielten in Abwägung der Unsicherheiten entsprechend dafür, die Hypothese der Simulation sei nicht weiter zu verfolgen. Eine offensichtlich unrichtige Ermittlung des medizinischen Sachverhalts im Sinne von <ref-law> ist nicht erkennbar. Die Symptome sind nicht auf eine organische Schädigung zurückzuführen.
Was den im Verfahren vor Bundesgericht eingereichten Bericht der Frau Dr. med. P._, Fachärztin für Kinder- und Jugendpsychiatrie, vom 12. Januar 2008 betrifft, ist für die Beurteilung in zeitlicher Hinsicht der Sachverhalt massgebend, wie er sich bis zum Einspracheentscheid vom 30. November 2005 entwickelt hat (<ref-ruling> E. 1.2 S. 4); die nachher erstellten Befundberichte sind daher nicht zu berücksichtigen. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers handelt es sich beim genannten Bericht nicht um ein zulässiges Novum im Sinne von <ref-law>. Der psychiatrische Zustand war schon bald nach dem ersten Unfall Gegenstand von Untersuchungen, weshalb nicht gesagt werden kann, erst der vorinstanzliche Entscheid habe Anlass gegeben, eine weitere psychiatrische Beurteilung vorzulegen.
3.2 Der Beschwerdeführer beanstandet die analoge Anwendung der im Hinblick auf die invalidisierende Wirkung anhaltender somatoformer Schmerzstörungen ergangenen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 f.). Als unzulässig wird zudem die Schlussfolgerung der Vorinstanz bemängelt, bei Aufbieten des guten Willens sei trotz der Schmerzen die Wiederaufnahme der Erwerbstätigkeit zumutbar. Hiebei handelt es sich um Rechtsfragen, die vom Bundesgericht ohne Einschränkung der Kognition zu prüfen sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 398, 132 V 65 E. 4.2.1 S. 70 f., 131 V 49 E. 1.2 S. 50, 130 V 352 und 396).
3.3 Die analoge Anwendung der zur Beurteilung anhaltender somatoformer Schmerzstörungen entwickelten Rechtsprechung wird von Seiten des Beschwerdeführers deshalb als bundesrechtswidrig erachtet, da dies zur Folge hätte, dass im Falle von Schleudertraumen der HWS kein Anspruch mehr auf Renten der Invalidenversicherung bestünde. Dieser pauschale Einwand überzeugt nicht. Er nimmt nicht Bezug auf die Besonderheiten der Sache, und allein der Umstand, dass ein Gerichtsentscheid Auswirkungen auf ähnlich gelagerte Sachverhalte haben könnte, führt nicht zu dessen Rechtswidrigkeit. Zusätzliche Gründe, weshalb eine analoge Anwendung der genannten Rechtsprechung Bundesrecht verletzen sollte, lassen sich der Beschwerde nicht entnehmen und sind auch sonst nicht ersichtlich, wenn berücksichtigt wird, dass am Anfang einer chronifizierten Schmerzproblematik sehr oft eine Distorsionsverletzung der Halswirbelsäule liegt (Urteil 9C_322/2007 vom 22. Januar 2008 E. 4.1.2 mit zahlreichen Hinweisen).
3.4 Der Rechtsauffassung der Vorinstanz ist beizupflichten. Sie hat namentlich zu Recht auf den Umstand hingewiesen, dass die somatoforme Schmerzstörung, die Fibromyalgie sowie die konversionsneurotische dissoziative Störung der Bewegung und der Sinnesempfindung körperliche Symptome verursachen, die sich nicht auf eine organisch-strukturelle Schädigung zurückführen lassen. Die rechtliche Gleichbehandlung der festgestellten Symptomatik mit der somatoformen Schmerzstörung durch das kantonale Gericht lässt sich demzufolge nicht beanstanden. Es kommt hinzu, dass sowohl die dissoziative Sensibilitäts- und Empfindungsstörung wie auch die dissoziative Bewegungsstörung (ICD-10 F44.4) den dissoziativen Störungen der Bewegung und der Sinnesempfindung zugeordnet werden (Dilling/Mombour/Schmidt [Hrsg.], Internationale Klassifikation psychischer Störungen, ICD-10 Kapitel V [F], Klinisch-diagnostische Leitlinien, 5. Aufl., S. 179). Das Bundesgericht hat die Anwendbarkeit der für anhaltende somatoforme Schmerzstörungen entwickelten Praxis auf die dissoziative Sensibilitäts- und Empfindungsstörung bejaht (SVR 2007 IV Nr. 45 S. 149). Eine rechtliche Gleichbehandlung der dissoziativen Bewegungsstörung ist auch unter dem Gesichtswinkel der Klassifizierung korrekt.
4. Die Diagnose eines psychischen Leidens begründet für sich alleine noch keine rechtserhebliche Arbeitsunfähigkeit. Entscheidend ist, ob die diagnostizierte Störung mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar wäre (<ref-ruling> E. 1.2). Die Unzumutbarkeit des Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess gilt nur, wenn Umstände vorliegen, welche die Schmerzbewältigung intensiv und konstant behindern und den Wiedereinstieg unzumutbar machen, weil die versicherte Person alsdann nicht über die für den Umgang mit den Schmerzen notwendigen Ressourcen verfügt. Ob ein solcher Ausnahmefall vorliegt, entscheidet sich im Einzelfall anhand verschiedener Kriterien. Im Vordergrund steht die Feststellung einer psychischen Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer. Massgebend sein können auch weitere Faktoren, so: chronische körperliche Begleiterkrankungen; ein mehrjähriger, chronifizierter Krankheitsverlauf mit unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerdauernde Rückbildung; ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens; ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr beeinflussbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn; "Flucht in die Krankheit"); das Scheitern einer konsequent durchgeführten ambulanten oder stationären Behandlung (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) trotz kooperativer Haltung der versicherten Person (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 f.). Je mehr dieser Kriterien zutreffen und je ausgeprägter sich die entsprechenden Befunde darstellen, desto eher sind - ausnahmsweise - die Voraussetzungen für eine zumutbare Willensanstrengung zu verneinen (Ulrich Meyer-Blaser, Der Rechtsbegriff der Arbeitsunfähigkeit und seine Bedeutung in der Sozialversicherung, namentlich für den Einkommensvergleich in der Invaliditätsbemessung, in: René Schaffhauser /Franz Schlauri [Hrsg.], Schmerz und Arbeitsunfähigkeit, St. Gallen 2003, S.77). Hiebei gilt es zu beachten, dass zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen diejenigen nach dem Bestehen einer psychischen Komorbidität oder weiterer Umstände zählen, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (Urteil I 683/06 vom 29. August 2007 E. 2.2).
5. Nach den Feststellungen der Vorinstanz ist weder eine psychische Komorbidität noch eine chronische körperliche Begleiterkrankung noch ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens vorhanden. Dies steht in Einklang mit dem MEDAS-Gutachten vom 3. März 2005, woraus sich unter anderem ergibt, dass seit den Unfällen der Zusammenhalt in der Familie gewonnen hat und weiterhin ein regelmässiger Kontakt zu Kollegen unterhalten wird. Die Vorinstanz schloss zudem auf einen sekundären Krankheitsgewinn und die mangelnde Mitwirkung bei den therapeutischen Bemühungen. Das Gericht hat mithin keines der massgeblichen Kriterien als erfüllt erachtet. Der Beschwerdeführer erblickt darin eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung im Sinne von <ref-law> bezüglich der Annahme des fehlenden sozialen Rückzuges, des Bestehens eines sekundären Krankheitsgewinns und der ungenügenden Mitwirkung bei den Therapien. Diese Einwände dringen nicht durch. So ist im Austrittsbericht der Rehaklinik X._ vom 6. Mai 2002 bloss der Verdacht auf einen sozialen Rückzug und auf eine verminderte Teilnahme am familiären Leben erhoben worden. Es sind ferner keine Anhaltspunkte dafür erkennbar, dass der Beschwerdeführer trotz der bald nach dem ersten Unfall indizierten psychiatrischen Behandlung den ernsthaften Versuch unternommen hätte, einen Psychiater ausfindig zu machen, welcher seiner Muttersprache mächtig ist. Sodann haben die Gutachter der MEDAS mehrfach die mangelnde Mitwirkung bei der Befunderhebung beanstandet, was gegen das Vorliegen einer invalidisierenden Störung spricht (<ref-ruling>). Nachdem die richtige Diagnosestellung Basis jeder Therapie bildet, ist auch in dieser Hinsicht der Schluss der Vorinstanz auf mangelnde Compliance begründet. Die vorgetragenen Rügen sind nach dem Gesagten nicht geeignet, die vorinstanzlichen Feststellungen als qualifiziert mangelhaft im Sinne von <ref-law> erscheinen zu lassen. Demzufolge stellt sich die Rechtsfrage nach der Intensität und Konstanz der Kriterien nicht. Das kantonale Gericht durfte ohne Bundesrecht zu verletzen, zum Ergebnis gelangen, es sei dem Beschwerdeführer zuzumuten, bei Aufbieten allen guten Willens sich in die Arbeitswelt einzugliedern und einer Erwerbstätigkeit nachzugehen.
6. Der Einwand, die Ablehnung eines Rentenanspruches sei offensichtlich falsch, da die SUVA einen Invaliditätsgrad von 100 % festgelegt habe, ist unbegründet. Sinngemäss wird damit eine Bindungswirkung der Invalidenversicherung an den Entscheid des Unfallversicherers postuliert, welche nach der Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 6.4 S. 555) nicht besteht.
7. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 Abs. 4 lit. a, Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. April 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
i.V. Lustenberger Ettlin