A.- Die IV-Stelle Basel-Stadt sprach T._, geb.
1944, mit drei Verfügungen vom 3. März 2000 (samt dazugehörigen jeweiligen Abrechnungen) rückwirkend ab 1. August 1997 auf Grund eines Invaliditätsgrades von 88 % eine ganze Invalidenrente zu, wobei die Rentenbetreffnisse - vom 1. Juli 1997 bis 31. März 2000 total Fr. 20'547. 90, seit
1. September 1999 monatlich Fr. 659.- - "bis Widerruf" an das Fürsorgeamt der Stadt Basel ausgerichtet werden sollten. Dieses hatte am 25. Januar 2000, gestützt auf das von T._ unterzeichnete Formular "Gesuch um Rentenauszahlung an eine Drittperson oder Behörde" (vom
25. September 1998), einen entsprechenden Anspruch geltend gemacht.
B.- Auf die von T._ erhobene Beschwerde, worin im Hauptpunkt die Leistung der Rentenbetreffnisse an ihn selber beantragt worden war, trat die Kantonale Rekurskommission für die Ausgleichskassen und die IV-Stellen Basel-Stadt wegen Verspätung nicht ein (Präsidialentscheid vom 26. Juni 2000).
Ebenfalls auf Nichteintreten erkannte die kantonale Behörde hinsichtlich des am 29./30. Juni 2000 bei ihr anhängig gemachten Gesuchs um Wiedereinsetzung in den vorigen Stand. Dieses zielte darauf, die Frist zur Einreichung einer Replikschrift im kantonalen Beschwerdeverfahren wiederherzustellen (Präsidialentscheid vom 4. Juli 2000).
C.- Mit gegen die beiden kantonalen Entscheide gerichteten Verwaltungsgerichtsbeschwerden (I 477/00, I 514/00) lässt T._ jeweils beantragen, es seien der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben, das Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand zu bewilligen und eine mündliche Verhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK anzusetzen.
Auf die Aufforderung hin, zur Sicherstellung der mutmasslichen Gerichtskosten je Verfahren einen Kostenvorschuss von Fr. 500.- innert 14 Tagen einzuzahlen (Präsidialverfügungen vom 15. September 2000), ersucht er um unentgeltliche Prozessführung (Eingaben vom 4. Oktober 2000). Nach Ablauf der durch Verfügungen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (vom 9. Oktober 2000) gesetzten 30-tägigen Frist, das Formular "Zeugnis zur Erlangung der unentgeltlichen Rechtspflege" auszufüllen und durch die Gemeinde bestätigen zu lassen, andernfalls auf Grund der Akten entschieden werde, reicht er am 26. Februar 2001 ein vorgedrucktes Formular "Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung" der baselstädtischen Verwaltung ein.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Obwohl sich die beiden antrags- und begründungsmässig identischen Verwaltungsgerichtsbeschwerden gegen zwei verschiedene Entscheide der Rekurskommission vom 26. Juni 2000 (I 477/00) sowie - der Sache nach - vom 4. Juli 2000 (I 514/00) richten, ist es in Anbetracht der nachfolgend dargestellten prozessualen Situation unumgänglich, die Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen.
2.- Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat im Urteil M. vom 26. September 2000, C 224/00, die Frage offen gelassen, ob die Wiederherstellung einer Frist zur Nachbesserung einer mangelhaften Beschwerdeschrift bei zwischenzeitlich ergangenem Nichteintretensentscheid im Wege der Verwaltungsgerichtsbeschwerde geltend gemacht werden kann oder ob ein entsprechendes Gesuch beim kantonalen Gericht als fristansetzender Behörde zu stellen ist. Im Urteil B. vom 28. August 2001, C 366/00, gelangte das Gericht zur Auffassung, dass bei Vorliegen eines noch nicht rechtskräftigen, mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde anfechtbaren kantonalen Entscheides ausserordentliche kantonale Rechtsmittel oder Rechtsbehelfe (z.B. Revisionsbegehren, Fristwiederherstellungsgesuch) subsidiär zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde sind. Das Gericht trat auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ein, worin u.a. um Wiederherstellung der verpassten Frist ersucht worden war und prüfte dieses Rechtsbegehren.
3.- Nach dem Gesagten ist, im Rahmen der Beurteilung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den kantonalen Präsidialentscheid vom 26. Juni 2000 (I 477/00), nicht nur zu prüfen, ob zu Recht auf Nichteintreten erkannt wurde (nachfolgend Erw. 4a und 6), sondern darüber hinaus auch, ob die Voraussetzungen zur Wiederherstellung der kantonalen Replikfrist erfüllt sind (nachfolgend Erw. 4b und 5). Damit verstösst es von vornherein nicht gegen Bundesrecht, wenn die Vorinstanz mit Entscheid vom 4. Juli 2000 auf das Gesuch um Wiedereinsetzung nicht eingetreten ist. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde im Verfahren I 514/00 ist daher jedenfalls unbegründet.
4.- a) Hinsichtlich des Nichteintretensentscheides vom 26. Juni 2000 hat das Eidgenössische Versicherungsgericht, da keine Versicherungsleistung strittig ist, nur zu prüfen, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG). Mit dem kantonalen Recht hat sich das Eidgenössische Versicherungsgericht grundsätzlich nicht zu befassen. Es hat nur darüber zu befinden, ob die Anwendung der einschlägigen kantonalen Bestimmungen oder - bei Fehlen solcher Vorschriften - die Ermessensausübung durch das kantonale Gericht zu einer Verletzung von Bundesrecht (Art. 104 lit. a OG), insbesondere des Willkürverbotes oder des Verbots des überspitzten Formalismus, geführt hat (<ref-ruling> Erw. 4a, 114 V 205 Erw. 1a mit Hinweisen).
b) Die Bundesrechtskonformität des präsidialen Nichteintretensentscheides vom 26. Juni 2000 hängt auch von der prozessualen Zulässigkeit und Begründetheit des erst nach Abschluss des kantonalen Verfahrens gestellten Gesuchs um Wiederherstellung der kantonalen Replikfrist ab. Dabei handelt es sich um Fragen, welche in der Zeit vor dem präsidialen Nichteintretensentscheid vom 26. Juni 2000 seitens des kantonalen Richters nicht beurteilt worden sind, sondern erst Gegenstand des zweiten Präsidialentscheides vom 4. Juli 2000 bildeten. Daher rechtfertigt es sich, über die Wiederherstellung der Replikfrist frei zu befinden.
5.- a) Die gestützt auf <ref-law> im kantonalen Verfahren sinngemäss anwendbaren Art. 84-85bis AHVG enthalten keine Bestimmungen zur Fristwiederherstellung; diese entspricht jedoch einem allgemein gültigen Grundsatz des Bundesrechts (Art. 35 OG, <ref-law>), wonach bei unverschuldeter Versäumnis und entsprechendem Gesuch innert der gesetzlich vorgesehenen Frist eine verpasste gesetzliche oder behördlich angeordnete Frist wiederhergestellt werden kann. Dieser Grundsatz ist im kantonalen Beschwerdeverfahren analog anwendbar (vgl. ARV 1991 Nr. 17 S. 122; <ref-ruling>). Es bleibt dem kantonalen Gesetzgeber unbenommen, eine Regelung zu treffen, die über die bundesrechtlichen Vorschriften hinausgeht und die Fristwiederherstellung in einem weitergehenden Masse zulässt (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Der Kanton Basel-Stadt kennt insofern eine grosszügigere Regelung der Fristwiederherstellung, als er u.a. lediglich verlangt, dass die Säumnis nicht auf grobe Nachlässigkeit zurückzuführen ist (vgl. § 34b Abs. 1 der Zivilprozessordnung vom 8. Februar 1875, eingefügt durch Gesetz vom 16. Februar 1933 [Systematische Gesetzessammlung des Kantons Basel-Stadt, SG, 221. 100] in Verbindung mit § 8 des Reglements der Kantonalen Rekurskommission für die Ausgleichskassen und die IV-Stellen vom 22. November 1994 [SG 831. 100]).
b) Die Vorinstanz hat mit prozessleitender Verfügung vom 17. Mai 2000 dem Beschwerdeführer eine Replikfrist bis
19. Juni 2000 gesetzt. Mit Verfügung vom 30. Mai 2000 hat sie den Parteien ein Schreiben der Post (vom 24. Mai 2000) zugestellt und ihnen die Möglichkeit eingeräumt, "sich während der laufenden Replikfrist (19. Juni 2000)" hiezu vernehmen zu lassen. In der Eingabe vom 23./26. Juni 2000 führte der Vertreter des Beschwerdeführers aus, wegen Arbeitsüberlastung und zeitweiser Hospitalisation seines Mandanten sei die Einreichung einer Replik innert der "heute" ablaufenden Frist nicht möglich.
Die dargelegten Gründe erfüllen die Voraussetzungen für eine Wiederherstellung der Replikfrist klarerweise nicht. Zu keiner anderen Beurteilung führen die Ausführungen im Gesuch um Wiedereinsetzung in den vorigen Stand (vom 29. Juni) sowie in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde (I 477/00). Danach steht vielmehr fest, dass der Vertreter des Beschwerdeführers die Fristversäumnis ohne ersichtlichen entschuldbaren Grund verursacht hat, was sich der Beschwerdeführer als grobe Nachlässigkeit anzurechnen lassen hat.
6.- a) Hinsichtlich des kantonalen Nichteintretensentscheides vom 26. Juni 2000 ist, selbst bei freier Prüfung, nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Frist zur Einreichung der Replik als nicht eingehalten erachtete. Durfte die Vorinstanz somit ohne Verletzung von Bundesrecht die Replik als verspätet aus dem Recht weisen und bei ihrem Nichteintretensentscheid unberücksichtigt lassen, kann der Beschwerdeführer mit Blick auf das Novenverbot gemäss Art. 105 Abs. 2 OG insbesondere nicht damit gehört werden, wenn er - nach dem Gesagten erst letztinstanzlich - einen Zeugen dafür anruft, dass er am Montag,
3. April 2000, - dem zu Recht allseits unbestrittenermassen letzten Tag der Beschwerdefrist - die Rechtsvorkehr in den Briefkasten eingeworfen hat. Inwieweit einer entsprechenden Zeugenaussage auf Grund der gesamten Umstände des Falles Beweiswert zukäme, kann daher offen bleiben. Es verstösst nicht gegen Bundesrecht, wenn die Vorinstanz entscheidwesentlich darauf abstellte, dass der handschriftliche, unterschriebene Vermerk des Vertreters des Beschwerdeführers "Einwurf 19.30 3. April 2000" auf dem Briefumschlag der Beschwerdeschrift den Beweis einer fristgemässen Rechtsvorkehr nicht zu erbringen vermag.
b) Ob der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren einen klaren und unmissverständlichen Antrag auf öffentliche Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK stellte (<ref-ruling> Erw. 3a), braucht nicht entschieden zu werden. Nach der Aktenlage im kantonalen Prozess war die Beschwerde offensichtlich verspätet und damit in gleicher Weise unzulässig, weshalb rechtsprechungsgemäss (<ref-ruling> Erw. 3b/dd) die Ablehnung des Antrages um öffentliche Verhandlung statthaft gewesen wäre. Der vorinstanzliche Entscheid vom 26. Juni 2000 ist nach dem Gesagten rechtens.
7.- Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG). Die von ihm beantragte unentgeltliche Prozessführung kann gewährt werden, da er nach den Akten bedürftig ist und seine Rechtsbegehren mit Blick auf die komplizierte Verfahrenslage zumindest teilweise nicht als von vornherein aussichtslos zu bezeichnen sind (<ref-ruling> Erw. 4a und 372 Erw. 5b).
Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass er dem Gericht Ersatz zu leisten haben wird, falls er dereinst dazu im Stande sein sollte (Art. 152 Abs. 3 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.Die Verfahren I 477/00 und I 514/00 werden vereinigt.
II.Die Verwaltungsgerichtsbeschwerden werden abgewiesen.
III. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege werden sie einstweilen auf die
Gerichtskasse genommen.
IV.Dieses Urteil wird den Parteien, der Kantonalen Rekurskommission für die Ausgleichskassen und die IV- Stellen Basel-Stadt, der Ausgleichskasse Basel-Stadt
und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 4. Februar 2002
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: