Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die Parteien sind verheiratet und haben einen Sohn namens S._, geboren am 9. März 1996. Nach der Trennung seiner Eltern - je nach Parteistandpunkt am 2. Mai 2001 oder am 1. August 2001 - lebte S._ bis Mitte Januar 2002 bei seinem Vater, danach bis anfangs Mai 2002 bei seiner Mutter und seither wieder bei seinem Vater. Der Wechsel des Aufenthaltsorts hatte seinen Grund jeweilen darin, dass das Kind nach dem Besuch beim einen Elternteil nicht mehr zum anderen zurückgebracht wurde.
A. Die Parteien sind verheiratet und haben einen Sohn namens S._, geboren am 9. März 1996. Nach der Trennung seiner Eltern - je nach Parteistandpunkt am 2. Mai 2001 oder am 1. August 2001 - lebte S._ bis Mitte Januar 2002 bei seinem Vater, danach bis anfangs Mai 2002 bei seiner Mutter und seither wieder bei seinem Vater. Der Wechsel des Aufenthaltsorts hatte seinen Grund jeweilen darin, dass das Kind nach dem Besuch beim einen Elternteil nicht mehr zum anderen zurückgebracht wurde.
B. Im Oktober/November 2001 ersuchte die Ehefrau Y._ um "Eheschutz / vorsorgliche Massnahmen" mit dem Antrag, ihr das Getrenntleben zu bewilligen und dessen Folgen zu regeln, namentlich das Kind S._ unter ihre Obhut zu stellen. Der Ehemann X._ widersetzte sich der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts nicht, verlangte aber die Unterstellung des Kindes unter seine Obhut. Mit dringlicher Anordnung vom 18. März 2002 stellte das zuständige Amtsgericht Luzern-Stadt den gemeinsamen Sohn der Parteien unter die elterliche Obhut der Kindsmutter und regelte das Besuchsrecht des Kindsvaters. Mit Eingaben vom 21. März 2002 erhob der Ehemann beim Bezirksgericht March (Kanton Schwyz) Klage auf Scheidung und stellte ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsverfahrens. Am 10. April 2002 erklärte das Amtsgericht Luzern-Stadt das Eheschutzverfahren zufolge Gegenstandslosigkeit für erledigt. Den Rekurs der Ehefrau hiess das Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern gut und hob den amtsgerichtlichen Erledigungsentscheid vom 10. April 2002 auf. Bei diesem Ergebnis konnten die Verfahren beider Parteien betreffend Kostenverlegung bzw. -festsetzung als erledigt abgeschrieben werden. Auf das Begehren der Ehefrau, die dringliche Anordnung vom 18. März 2002 zu vollstrecken, trat das Obergericht nicht ein (Entscheid vom 27. Mai 2002).
B. Im Oktober/November 2001 ersuchte die Ehefrau Y._ um "Eheschutz / vorsorgliche Massnahmen" mit dem Antrag, ihr das Getrenntleben zu bewilligen und dessen Folgen zu regeln, namentlich das Kind S._ unter ihre Obhut zu stellen. Der Ehemann X._ widersetzte sich der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts nicht, verlangte aber die Unterstellung des Kindes unter seine Obhut. Mit dringlicher Anordnung vom 18. März 2002 stellte das zuständige Amtsgericht Luzern-Stadt den gemeinsamen Sohn der Parteien unter die elterliche Obhut der Kindsmutter und regelte das Besuchsrecht des Kindsvaters. Mit Eingaben vom 21. März 2002 erhob der Ehemann beim Bezirksgericht March (Kanton Schwyz) Klage auf Scheidung und stellte ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsverfahrens. Am 10. April 2002 erklärte das Amtsgericht Luzern-Stadt das Eheschutzverfahren zufolge Gegenstandslosigkeit für erledigt. Den Rekurs der Ehefrau hiess das Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern gut und hob den amtsgerichtlichen Erledigungsentscheid vom 10. April 2002 auf. Bei diesem Ergebnis konnten die Verfahren beider Parteien betreffend Kostenverlegung bzw. -festsetzung als erledigt abgeschrieben werden. Auf das Begehren der Ehefrau, die dringliche Anordnung vom 18. März 2002 zu vollstrecken, trat das Obergericht nicht ein (Entscheid vom 27. Mai 2002).
C. Mit Nichtigkeitsbeschwerde beantragt der Ehemann dem Bundesgericht zur Hauptsache, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und auf den Rekurs der Ehefrau nicht einzutreten. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Ehefrau wie auch das Obergericht schliessen im Wesentlichen auf Abweisung von Gesuch und Beschwerde. Die Ehefrau ersucht zudem um unentgeltliche Rechtspflege. Der Präsident der II. Zivilabteilung hat der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde am 16. Juli 2002 die aufschiebende Wirkung zuerkannt. In einer unaufgeforderten Zusatzeingabe vom 2. September 2002 hat die Ehefrau weitere Akten nachgereicht und mit Schreiben vom 21. Oktober 2002 gestützt auf Art. 70 Abs. 2 OG die Einräumung eines näher umschriebenen Besuchsrechts verlangt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Den Nichtigkeitsgrund gemäss Art. 68 Abs. 1 lit. e OG erblickt der Beschwerdeführer darin, dass das Obergericht eine Zuständigkeit des Eheschutzgerichts Luzern-Stadt bejaht habe, obwohl und nachdem er beim Bezirksgericht March Scheidungsklage angehoben und gleichzeitig ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsverfahrens gestellt habe. Die Zuständigkeit, das Getrenntleben bis zum Urteil über die Scheidung und deren Folgen zu regeln, sei damit auf das Scheidungsgericht übergegangen; das Eheschutzgericht habe das noch vor ihm hängige Verfahren deshalb zu Recht als gegenstandslos abgeschrieben.
1. Den Nichtigkeitsgrund gemäss Art. 68 Abs. 1 lit. e OG erblickt der Beschwerdeführer darin, dass das Obergericht eine Zuständigkeit des Eheschutzgerichts Luzern-Stadt bejaht habe, obwohl und nachdem er beim Bezirksgericht March Scheidungsklage angehoben und gleichzeitig ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsverfahrens gestellt habe. Die Zuständigkeit, das Getrenntleben bis zum Urteil über die Scheidung und deren Folgen zu regeln, sei damit auf das Scheidungsgericht übergegangen; das Eheschutzgericht habe das noch vor ihm hängige Verfahren deshalb zu Recht als gegenstandslos abgeschrieben.
2. Sobald das gemeinsame Scheidungsbegehren oder die Klage eines Ehegatten auf Scheidung beim zuständigen Gericht (<ref-law>) rechtshängig gemacht worden ist (<ref-law>), können Eheschutzmassnahmen im Sinne von <ref-law> für die Zeit nach Eintritt der Rechtshängigkeit nicht mehr getroffen, sondern nur noch vorsorgliche Massnahmen gemäss <ref-law> angeordnet werden. Anordnungen, die das Eheschutzgericht vor Eintritt der Rechtshängigkeit der Scheidung getroffen hat, bleiben während des Scheidungsverfahrens in Kraft, solange sie nicht durch vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> abgeändert werden. Diese beiden Grundsätze, die das Bundesgericht vor der ZGB-Revision von 1998/2000 aufgestellt hat (vgl. namentlich <ref-ruling>), gelten auch unter Herrschaft des aktuellen Scheidungsrechts (Basler Kommentar, 2002: Gloor, N. 4 zu <ref-law>, und Schwander, N. 15 zu <ref-law>; Sutter/Freiburghaus, Kommentar zum neuen Scheidungsrecht, Zürich 1999, N. 12, und Leuenberger, in: Praxiskommentar Scheidungsrecht, Basel 2000, N. 8, je zu <ref-law>, je mit weiteren Nachweisen).
2. Sobald das gemeinsame Scheidungsbegehren oder die Klage eines Ehegatten auf Scheidung beim zuständigen Gericht (<ref-law>) rechtshängig gemacht worden ist (<ref-law>), können Eheschutzmassnahmen im Sinne von <ref-law> für die Zeit nach Eintritt der Rechtshängigkeit nicht mehr getroffen, sondern nur noch vorsorgliche Massnahmen gemäss <ref-law> angeordnet werden. Anordnungen, die das Eheschutzgericht vor Eintritt der Rechtshängigkeit der Scheidung getroffen hat, bleiben während des Scheidungsverfahrens in Kraft, solange sie nicht durch vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> abgeändert werden. Diese beiden Grundsätze, die das Bundesgericht vor der ZGB-Revision von 1998/2000 aufgestellt hat (vgl. namentlich <ref-ruling>), gelten auch unter Herrschaft des aktuellen Scheidungsrechts (Basler Kommentar, 2002: Gloor, N. 4 zu <ref-law>, und Schwander, N. 15 zu <ref-law>; Sutter/Freiburghaus, Kommentar zum neuen Scheidungsrecht, Zürich 1999, N. 12, und Leuenberger, in: Praxiskommentar Scheidungsrecht, Basel 2000, N. 8, je zu <ref-law>, je mit weiteren Nachweisen).
3. Nach der auf das bisherige Recht gestützten Praxis des Bundesgerichts wird ein Eheschutzverfahren durch Anhängigmachung des Scheidungsprozesses nicht einfach gegenstandslos. Das Eheschutzgericht bleibt zuständig für Massnahmen bis zum Eintritt der Rechtshängigkeit der Scheidung, selbst wenn es darüber erst nach diesem Zeitpunkt entscheiden kann (<ref-ruling> S. 2 f.). Für die Abgrenzung der Zuständigkeiten ist somit der Eintritt der Rechtshängigkeit der Scheidung massgebend: Für die Zeit davor trifft das Eheschutzgericht sämtliche Massnahmen zur Regelung des Getrenntlebens, für die Zeit danach ist hierfür das Scheidungsgericht zuständig. An dieser Zuständigkeitsabgrenzung hat nichts geändert, dass <ref-law> sinngemäss auch auf vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsverfahrens für anwendbar erklärt worden ist, d.h. dass Geldleistungen nicht nur für die Zukunft, sondern auch für das Jahr vor Einreichen des Begehrens gefordert werden können; diese Rückwirkung ist nach der bisherigen Rechtsprechung nur innerhalb des Scheidungsverfahrens möglich und gestattet es dem Scheidungsgericht nicht, Anordnungen für den Zeitraum vor der Rechtshängigkeit der Scheidung zu treffen, für den das Eheschutzgericht zuständig ist (<ref-ruling> E. 4a S. 205; Urteil des Bundesgerichts 5P.177/1993 vom 20. August 1993, E. 3a). Diese Lösung bietet keine Probleme, wenn bei Eintritt der Rechtshängigkeit der Scheidung ein Eheschutzverfahren hängig ist. Sie kann sich aber als wenig prozessökonomisch erweisen, wenn für den Zeitraum vor der Rechtshängigkeit der Scheidung neben dem Massnahmenverfahren ein zusätzliches Eheschutzverfahren neu eröffnet werden muss (Lüchinger/Geiser, Basler Kommentar, 1996, N. 20 zu aArt. 145 ZGB). Nach der Zürcher Praxis ist deshalb das Scheidungsgericht zur Regelung des Unterhalts für die Zeit vor der Rechtshängigkeit der Scheidung befugt, sofern kein Eheschutzverfahren anhängig ist (Spühler/Frei-Maurer, Berner Kommentar, Ergänzungsband, 1991, N. 32 zu aArt. 145 ZGB).
Es stellt sich die Frage, ob die bundesgerichtliche Rechtsprechung auch nach der ZGB-Revision von 1998/2000 beizubehalten ist. Mit der Marginalie "Vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsverfahrens" sieht <ref-law> vor, dass jeder Ehegatte nach Eintritt der Rechtshängigkeit für die Dauer des Verfahrens den gemeinsamen Haushalt auflösen kann. Gemäss Abs. 2 derselben Bestimmung trifft das Gericht die nötigen Massnahmen (Satz 1), und zwar selbst dann, wenn die Ehe aufgelöst ist, das Verfahren über Scheidungsfolgen aber fortdauert (Satz 2); die Bestimmungen über die Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft sind sinngemäss anwendbar (Satz 3), und Unterhaltsbeiträge können für die Zukunft und für das Jahr vor Einreichung des Begehrens gefordert werden (Satz 4). Dieser letzte Satz ist erst im Nationalrat ergänzt worden, ohne dass darüber eine Diskussion stattgefunden hätte (AB 1997 N 2726). Der Ständerat hat "dieser redaktionellen Verdeutlichung bzw. Ergänzung" zugestimmt nach der Erläuterung des Berichterstatters, der Verweis auf Eheschutzmassnahmen führe über die Anwendung von Art. 173 i.V.m. <ref-law> zum genau gleichen Resultat (AB 1998 S 327 f.). In Satz 4 von <ref-law> wird daher grundsätzlich die Regelung des Eheschutzverfahrens übernommen, wie das zuvor bereits die Rechtsprechung getan hat. Eine gesetzgeberische Absicht, an der bisherigen Abgrenzung der Zuständigkeiten etwas zu ändern, ist aus den Materialien nicht ersichtlich (vgl. auch die Botschaft, BBl 1996 I 1, S. 135 ff. Ziff. 234.3 und 234.4).
Gleichwohl hat neu das Gericht gestützt auf die ausdrückliche Vorschrift in Art. 137 Abs. 2 letzter Satz ZGB die Möglichkeit, Unterhaltsbeiträge für das Jahr vor Einreichung des Begehrens zuzusprechen. Diese einjährige Rückwirkung gilt grundsätzlich auch für die Zeit vor Rechtshängigkeit der Scheidung und bietet keine besonderen Schwierigkeiten, wenn davor weder ein Eheschutzverfahren betreffend Unterhaltsbeiträge durchgeführt worden ist noch ein solches hängig ist. Trifft aber das eine oder das andere zu, besteht ein positiver Kompetenzkonflikt zwischen dem Eheschutz- und dem Scheidungsgericht. Dieser Konflikt ist unter Berücksichtigung der bisherigen Rechtsprechung und der Entstehungsgeschichte von Art. 137 Abs. 2 letzter Satz ZGB zu lösen. Das bedeutet, dass die Rückwirkung die Zeit vor Rechtshängigkeit der Scheidung nicht erfasst, wenn ein Eheschutzverfahren durchgeführt worden ist oder noch hängig ist. In diesem Fall sind vorsorgliche Massnahmen für die Zeit vor Rechtshängigkeit der Scheidung nicht nötig (Art. 137 Abs. 2 erster Satz ZGB), weil diese das Eheschutzgericht entweder bereits getroffen hat oder noch treffen wird (vgl. zur Diskussion dieser Frage: Gloor, a.a.O., N. 10 Abs. 2, Sutter/Freiburghaus, a.a.O., N. 31, und Leuenberger, a.a.O., N. 10, je zu <ref-law>; Hausheer/Reusser/Geiser, Berner Kommentar, 1999, N. 6 zu <ref-law>, auch in N. 14a zu <ref-law>; ZR 101/2002 S. 92).
Gleichwohl hat neu das Gericht gestützt auf die ausdrückliche Vorschrift in Art. 137 Abs. 2 letzter Satz ZGB die Möglichkeit, Unterhaltsbeiträge für das Jahr vor Einreichung des Begehrens zuzusprechen. Diese einjährige Rückwirkung gilt grundsätzlich auch für die Zeit vor Rechtshängigkeit der Scheidung und bietet keine besonderen Schwierigkeiten, wenn davor weder ein Eheschutzverfahren betreffend Unterhaltsbeiträge durchgeführt worden ist noch ein solches hängig ist. Trifft aber das eine oder das andere zu, besteht ein positiver Kompetenzkonflikt zwischen dem Eheschutz- und dem Scheidungsgericht. Dieser Konflikt ist unter Berücksichtigung der bisherigen Rechtsprechung und der Entstehungsgeschichte von Art. 137 Abs. 2 letzter Satz ZGB zu lösen. Das bedeutet, dass die Rückwirkung die Zeit vor Rechtshängigkeit der Scheidung nicht erfasst, wenn ein Eheschutzverfahren durchgeführt worden ist oder noch hängig ist. In diesem Fall sind vorsorgliche Massnahmen für die Zeit vor Rechtshängigkeit der Scheidung nicht nötig (Art. 137 Abs. 2 erster Satz ZGB), weil diese das Eheschutzgericht entweder bereits getroffen hat oder noch treffen wird (vgl. zur Diskussion dieser Frage: Gloor, a.a.O., N. 10 Abs. 2, Sutter/Freiburghaus, a.a.O., N. 31, und Leuenberger, a.a.O., N. 10, je zu <ref-law>; Hausheer/Reusser/Geiser, Berner Kommentar, 1999, N. 6 zu <ref-law>, auch in N. 14a zu <ref-law>; ZR 101/2002 S. 92).
4. Es ist unbestritten, dass die Scheidungsklage des Beschwerdeführers und das damit verbundene Massnahmenbegehren seit dem 21. März 2002 beim zuständigen Bezirksgericht March rechtshängig sind. Die gezeigten Grundsätze bedeuten im konkreten Fall, was folgt:
4.1 Während des Eheschutzverfahrens ist einzig eine dringliche Anordnung im Sinne von <ref-law>/LU ergangen. Das Amtsgericht hat am 18. März 2002 den Sohn der Parteien unter die elterliche Obhut der Beschwerdegegnerin gestellt, bei der er in jenem Zeitpunkt lebte, und das Besuchsrecht des Beschwerdeführers geregelt. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ist das Eheschutzgericht für diese Anordnung zuständig gewesen, zumal die Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens erst am 21. März 2002 begründet worden ist und Bundesrecht vorsorglichen Massnahmen kantonalen Rechts im Rahmen des Eheschutzes nicht entgegensteht (Hausheer/Reusser/Geiser, a.a.O., N. 21 zu <ref-law>, mit Nachweisen). Die dringliche Anordnung unterliegt kantonal keinem Rechtsmittel (<ref-law>/LU) und ist insoweit formell rechtskräftig (<ref-law>/LU; vgl. Studer/Rüegg/Eiholzer, Der Luzerner Zivilprozess, Kriens 1994, N. 4 zu § 231 und N. 1 zu <ref-law>/LU). Sie fällt mit der Rechtshängigkeit der Scheidung nicht einfach dahin, solange das Scheidungsgericht keine andere Regelung trifft (E. 2 hiervor). Ob die dringliche Anordnung vollstreckt werden kann oder soll, ist nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens und von den zuständigen Vollstreckungsbehörden zu entscheiden.
4.2 Wie das Obergericht zu Recht festgehalten hat, bleibt das Amtsgericht Luzern-Stadt zuständig für die Unterhaltsfrage und die Regelung weiterer finanzieller Belange, soweit es um die Zeit vor dem 21. März 2002 geht. Diesbezüglich muss das Eheschutzverfahren noch zu Ende geführt werden (E. 3 hiervor). Um diese Fragen beantworten zu können, muss das Amtsgericht auch über die strittige Obhutszuteilung und als Folge davon über die Besuchsrechtsregelung betreffend den Sohn der Parteien sowie die Benützung der ehelichen Wohnung und des Hausrats entscheiden. Das Eheschutzgericht ist dabei zwar nur für die Zeit bis zur Rechtshängigkeit der Scheidungsklage zuständig, doch wirkt sein Entscheid darüber hinaus, bis der Scheidungsrichter etwas anderes verfügt hat.
4.3 Die Beschwerdegegnerin führt aus, die Zuständigkeit bleibe vollumfänglich beim Eheschutzgericht, weil der Beschwerdeführer die Scheidungsklage nur erhoben habe, um das Eheschutzverfahren gegenstandslos zu machen. Der Einwand ist unbegründet. Zunächst ist das Eheschutzgesuch, wie ausgeführt, nicht vollumfänglich gegenstandslos geworden. Weiter belegt allein die Tatsache, dass durch Anhebung der Scheidungsklage die Zuständigkeit für Massnahmen ändert, keinen offenbaren Rechtsmissbrauch (<ref-law>; z.B. <ref-ruling> E. 3b S. 8, für den Fall der Eheschliessung). Für diese rechtliche Schlussfolgerung bedarf es vielmehr der Tatsachenfeststellungen (<ref-ruling> E. 3d S. 63), die hier fehlen und mangels gesetzesmässiger Begründung auch nicht im Sinne der Art. 63 f. OG nachgetragen werden können (<ref-ruling> E. 5c/aa S. 357).
4.3 Die Beschwerdegegnerin führt aus, die Zuständigkeit bleibe vollumfänglich beim Eheschutzgericht, weil der Beschwerdeführer die Scheidungsklage nur erhoben habe, um das Eheschutzverfahren gegenstandslos zu machen. Der Einwand ist unbegründet. Zunächst ist das Eheschutzgesuch, wie ausgeführt, nicht vollumfänglich gegenstandslos geworden. Weiter belegt allein die Tatsache, dass durch Anhebung der Scheidungsklage die Zuständigkeit für Massnahmen ändert, keinen offenbaren Rechtsmissbrauch (<ref-law>; z.B. <ref-ruling> E. 3b S. 8, für den Fall der Eheschliessung). Für diese rechtliche Schlussfolgerung bedarf es vielmehr der Tatsachenfeststellungen (<ref-ruling> E. 3d S. 63), die hier fehlen und mangels gesetzesmässiger Begründung auch nicht im Sinne der Art. 63 f. OG nachgetragen werden können (<ref-ruling> E. 5c/aa S. 357).
5. Aus den dargelegten Gründen muss die Nichtigkeitsbeschwerde abgewiesen werden. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Einräumung eines Besuchsrechts während des Beschwerdeverfahrens wird damit ohne weiteres gegenstandslos, abgesehen davon, dass für eine derartige Anordnung durch das Bundesgericht keine gesetzliche Grundlage besteht (vgl. Art. 58 i.V.m. Art. 74 OG). Der Beschwerdeführer stellt für den Gutheissungsfall verschiedene Sach- und Verfahrensanträge bezüglich der vom Obergericht als erledigt abgeschriebenen Kostenverfahren. Da diese Eventualität sich nicht erfüllt hat, braucht darauf nicht eingetreten zu werden. Insgesamt unterliegt der Beschwerdeführer und wird kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 1 OG). Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos (Art. 152 OG). Eine gesonderte Abrechnung für das Verfahren um Erteilung der aufschiebenden Wirkung rechtfertigt sich vorliegend nicht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Nichtigkeitsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die Nichtigkeitsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern sowie dem Bezirksgericht March und dem Kantonsgericht Schwyz (Präsidentin der Rekurskammer 1) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2002
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: