Sachverhalt:
A.
X._ wurde am 27. November 1987 als Staatsangehöriger von Kosovo in der Schweiz geboren, wo er die Niederlassungsbewilligung erhielt. Er absolvierte eine Lehre zum Metzger; er ist ledig und kinderlos.
Strafrechtlich trat X._ folgendermassen in Erscheinung:
- Verfügung des Untersuchungsamts Gossau vom 5. Juli 2006: Busse von Fr. 300.-- wegen mehrfacher Verletzung von Verkehrsregeln und Übertretung des Strassenverkehrsgesetzes;
- Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat vom 20. November 2007: Bedingte Geldstrafe von 55 Tagessätzen à je Fr. 100.-- (Probezeit drei Jahre) und Busse von Fr. 1'000.-- wegen versuchten Raubs, Drohung und Tätlichkeit;
- Verfügung des Untersuchungsamts St. Gallen vom 9. Februar 2009: Bedingte Geldstrafe von 30 Tagessätzen à je Fr. 60.-- (Probezeit zwei Jahre) und Busse von Fr. 1'500.-- wegen Führens eines Motorfahrzeugs in fahrunfähigem Zustand (Blutalkoholkonzentration von mind. 1.11 o/oo) und Verletzung von Verkehrsregeln; die Probezeit der am 20. November 2007 ausgesprochenen Geldstrafe wurde um ein Jahr verlängert;
- Verfügung des Bezirksamts Münchwilen vom 10. August 2009: Busse von Fr. 400.-- wegen Verletzung der Verkehrsregeln;
- Urteil des Kreisgerichts Wil vom 17. August 2011: Freiheitsstrafe von fünf Jahren wegen vorsätzlicher Tötung, mehrfacher versuchter Tötung und mehrfacher vorsätzlicher einfacher Körperverletzung; die am 20. November 2007 und am 9. Februar 2009 bedingt ausgesprochenen Geldstrafen wurden widerrufen bzw. für vollziehbar erklärt.
Seit dem 31. Juli 2010 befand sich X._ im Strafvollzug. Ende Juli 2013 wurde er bedingt entlassen.
B.
Bereits am 26. Juni 2012 hatte das Migrationsamt des Kantons St. Gallen die Niederlassungsbewilligung von X._ widerrufen und ihn angewiesen, die Schweiz am Tag der Entlassung aus dem Strafvollzug zu verlassen. Einen gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Sicherheits- und Justizdepartement) am 20. Februar 2013 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Verwaltungsgericht) bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 21. August 2013.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 27. September 2013 beantragt X._, das angefochtene Urteil aufzuheben und auf den Widerruf der Niederlassungsbewilligung zu verzichten; eventuell sei das Verwaltungsgericht anzuweisen, nach umfassender Feststellung des Sachverhalts unter Einholung eines psychiatrischen Gutachtens und nach Durchführung einer mündlichen Verhandlung neu über die Sache zu entscheiden.
Das Verwaltungsgericht, das Sicherheits- und Justizdepartement sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 9. Oktober 2013 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Der letztinstanzliche, verfahrensabschliessende Entscheid eines kantonalen Gerichts auf dem Gebiet des öffentlichen Rechts unterliegt grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Gegen Entscheide über den Widerruf einer Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, weil grundsätzlich ein Anspruch auf das Fortbestehen dieser Bewilligung gegeben ist (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4). Ob der Anspruch im konkreten Fall zu bejahen ist, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 287).
1.2. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, so dass auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Die Anwendung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht prüft das Bundesgericht nur unter dem Aspekt der Willkür (<ref-ruling> E. 6.1 S. 172 f. mit Hinweisen), ebenso die Rüge, der Sachverhalt sei unvollständig oder offensichtlich unrichtig festgestellt worden (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252).
2.2. Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Der Beschwerdeführer legt eine Lohnabrechnung der S._ GmbH vom 23. September 2013 vor. Dieses Beweismittel ist nach dem angefochtenen Urteil entstanden. Als echtes Novum ist es daher im vorliegenden Verfahren unbeachtlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344). Ferner reicht der Beschwerdeführer ein undatiertes Schreiben von Y._ ein, welche sich als seine Lebensgefährtin vorstellt. Es kann offen bleiben, ob das Schreiben ein echtes oder unechtes Novum darstellt. Nachdem sich der Beschwerdeführer bereits im vorinstanzlichen Verfahren auf das Recht auf Familienleben berief, hätte er der Vorinstanz ein derartiges Schreiben ohne Weiteres vorlegen können. Das Beweismittel ist daher im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129).
3.
Der Beschwerdeführer rügt in verschiedener Hinsicht eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör.
3.1. Die Vorinstanz habe <ref-law> und Art. 55 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (VRP/SG; sGS 951.1) verletzt, indem es seinen Antrag auf Durchführung einer mündlichen Verhandlung abgewiesen habe.
3.1.1. Wie die Vorinstanz korrekt erwogen hat, ist <ref-law> nicht einschlägig: Diese Bestimmung schreibt lediglich vor, dass Gerichtsverhandlung und Urteilsverkündung in der Regel öffentlich sind. Ein grundsätzlicher Anspruch auf mündliche Verhandlung lässt sich daraus nicht ableiten; ein solcher besteht nur, wenn die Streitsache unter Art. 6 Ziff. 1 EMRK fällt, wenn das anwendbare Verfahrensrecht dies vorsieht oder wenn sich eine entsprechende Notwendigkeit aus dem Beweisrecht ergibt (Urteil 8C_964/2012 vom 16. September 2013 E. 3.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.6 S. 293 f.). Der Beschwerdeführer beruft sich zu Recht nicht auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK, denn Entscheide über die Einreise, den Aufenthalt und die Entfernung ausländischer Personen betreffen keine zivilrechtlichen Ansprüche im Sinn dieser Bestimmung (Nichtzulassungsentscheid des EGMR Ilic gegen Kroatien vom 19. September 2000 [Nr. 42389/98]). Art. 6 Ziff. 1 EMRK kommt daher im Verfahren betreffend den Widerruf der Niederlassungsbewilligung nicht zur Anwendung.
3.1.2. Gemäss Art. 55 Abs. 1 VRP/SG wird eine mündliche Verhandlung angeordnet, wenn sie zur Wahrung der Parteirechte notwendig ist oder zweckmässig erscheint. Die Vorinstanz erwog, der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer habe im Beschwerdeverfahren seinen Standpunkt ausführlich zum Ausdruck bringen können. Zur Wahrung seiner Parteirechte sei eine mündliche Verhandlung deshalb nicht erforderlich. Auch bestehe aus Zweckmässigkeitsüberlegungen kein Anlass, eine solche durchzuführen.
Der Beschwerdeführer vermag nicht darzulegen, inwiefern diese Erwägungen willkürlich sein sollen. Es ist nicht ersichtlich, warum hier eine mündliche Befragung notwendig ist, um die Verhältnismässigkeit der Massnahme zu beurteilen. Der Wortlaut von Art. 55 Abs. 1 VRP/SG zeigt, dass gerade kein Anspruch auf mündliche Verhandlung besteht, wenn das rechtliche Gehör - wie hier - auch schriftlich gewahrt werden kann. Wenn die Vorinstanz es nicht für zweckdienlich hielt, sich einen persönlichen Eindruck vom Beschwerdeführer zu verschaffen und ihn zu seiner Beziehung zu seinem Herkunftsland zu befragen, wie dieser anregt, so ist dies nicht willkürlich. Schliesslich ist die Begründung des Beschwerdeführers, er müsse die geltend gemachte langjährige Beziehung zu seiner Lebenspartnerin sowie die positive Zukunftsprognose an einer mündlichen Verhandlung darlegen, da diese Vorbringen keinem Tatsachenbeweis zugänglich seien, nicht nachvollziehbar.
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe das rechtliche Gehör verletzt, indem sie auf die Einholung eines psychiatrischen Gutachtens verzichtet und die vorliegenden Berichte einseitig gewürdigt habe.
Nach gefestigter Rechtsprechung stellt eine zulässige antizipierte Beweiswürdigung keine Gehörsverletzung dar (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; vgl. auch Urteile 8C_609/2013 vom 23. Dezember 2013 E. 4.2; 2C_432/2012 vom 18. Dezember 2012 E. 3.2). Ob der Verzicht auf das Beweismittel zulässig ist, ist eine Sachverhaltsfrage, ebenso wie die Rüge, die vorliegenden Berichte seien einseitig gewürdigt worden. Auf diese Vorbringen ist im Rahmen der materiellen Beurteilung der Beschwerde einzugehen.
4.
4.1. Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer durch die Verurteilung zu einer fünfjährigen Freiheitsstrafe einen Widerrufsgrund im Sinn von Art. 63 Abs. 2 AuG (SR 142.20) in Verbindung mit Art. 62 lit. b AuG gesetzt hat (zum Erfordernis der "längerfristigen Freiheitsstrafe" im Sinn von Art. 62 lit. b AuG vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 379 ff.).
4.2. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung des Rechts auf Familienleben nach Art. 8 EMRK geltend.
4.2.1. Der Verweis auf das Urteil des EGMR Udeh gegen Schweiz vom 16. April 2013 (Nr. 12020/09, in: Plädoyer 2013 3 S. 64) ist unbehelflich, da sich jener Fall hinsichtlich der familiären Verhältnisse vom vorliegenden klar unterscheidet: Der im Fall Udeh Betroffene war Vater von Kindern mit Schweizer Bürgerrecht, während der Beschwerdeführer kinderlos ist. Sodann sind auch die verfahrensauslösenden Straftaten und das Strafmass nicht vergleichbar. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Relevanz des Urteils Udeh stark relativiert (vgl. <ref-ruling> E. 2.4).
4.2.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Beziehung zu seiner Partnerin Y._ dauere nun bereits sechs Jahre und habe die schwierige Zeit überstanden. Es liege auf der Hand, dass die Beziehung aufgrund des Strafvollzugs bis Ende Juli 2013 nicht in eheähnlicher Weise habe gelebt werden könnten. Der Kontakt sei jedoch über die gesamte Zeit im Rahmen des Möglichen intensiv gepflegt worden und das Paar wolle eine gemeinsame Zukunft aufbauen.
Das Bundesgericht hat - in Übereinstimmung mit der Rechtsprechung des EGMR zum erweiterten Familienbegriff (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 148) - entschieden, dass ein Paar, welches nicht seit längerer Zeit in einer echten eheähnlichen Gemeinschaft lebt, konkrete Heiratspläne hegen muss, um den Schutz von Art. 8 Ziff. 1 EMRK zu geniessen (Urteile 2C_1194/2012 vom 31. Mai 2013 E. 4.1; 2C_856/2012 vom 25. März 2013 E. 6.3; je mit Hinweisen). Dem angefochtenen Urteil ist zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer keine Angaben zur Intensität und Dauer der Beziehung mit Y._ machte. Insbesondere geht aus dem Urteil nicht hervor, dass das Paar jemals zusammengelebt oder Hochzeitsvorbereitungen getroffen hätte. Der Beschwerdeführer beanstandet diesbezüglich keine falsche oder unvollständige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Es ist daher davon auszugehen, dass im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils (auch unter Berücksichtigung der durch den Strafvollzug bedingten Einschränkungen) kein gefestigtes Konkubinat im Sinn der zitierten Rechtsprechung vorlag und auch keine konkreten Heiratspläne bestanden.
Weil die Beziehung des Beschwerdeführer mit Y._ nicht in den Schutzbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK fällt, ist eine (allfällige) Verletzung des Rechts auf Familienleben unter diesem Gesichtspunkt nicht zu prüfen.
4.2.3. Auch der Hinweis auf die guten Beziehungen zu den Mitgliedern seiner Stammfamilie hilft dem Beschwerdeführer nicht. Das Recht auf Familienleben schützt in erster Linie die Kernfamilie, d. h. das Zusammenleben der Ehegatten (bzw. bei gegebenen Voraussetzungen der Konkubinatspartner) untereinander und gegebenenfalls mit ihren minderjährigen Kindern (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146). Die Beziehung erwachsener Rechtsuchender zu Eltern, Geschwistern, Grosseltern oder sonstigen Verwandten kann nur unter besonderen Umständen, welche hier weder dargetan noch ersichtlich sind, unter den Schutz von Art. 8 Ziff. 1 EMRK fallen.
4.3. Der Beschwerdeführer macht keine Verletzung des Rechts auf Schutz des Privatlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK geltend. Weil er in der Schweiz geboren und aufgewachsen ist, könnte er sich grundsätzlich darauf berufen (Urteil des EGMR Shala gegen Schweiz vom 15. November 2012 [Nr. 52873/09] § 39). Ebenso wie der Anspruch auf Schutz des Familienlebens gilt auch dieses Recht nicht absolut: Gemäss Art. 8 Ziff. 2 EMRK ist ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er gesetzlich vorgesehen und in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale oder öffentliche Sicherheit, für das wirtschaftliche Wohl des Landes, zur Aufrechterhaltung der Ordnung, zur Verhütung von Straftaten, zum Schutz der Gesundheit oder der Moral oder zum Schutz der Rechte und Freiheiten anderer notwendig ist.
Die Frage, ob der Widerruf der Bewilligung einen Eingriff in das Privatleben des Beschwerdeführers darstellt, kann offen bleiben, wenn sich erweist, dass der Eingriff gemäss Art. 8 Ziff. 2 EMRK gerechtfertigt ist (Urteil 2C_536/2013 vom 30. Dezember 2013 E. 2.5). Hierfür kann auf die nachfolgende Verhältnismässigkeitsprüfung (vgl. E. 4.4) verwiesen werden.
4.4. Es bleibt zu prüfen, ob die Massnahme verhältnismässig im Sinn von Art. 96 Abs. 1 AuG ist. Dabei sind namentlich die Schwere des Verschuldens, der Grad der Integration sowie die dem Betroffenen drohenden Nachteile zu berücksichtigen. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts sind umso strengere Anforderungen an eine fremdenpolizeiliche Massnahme zu stellen, je länger eine ausländische Person in der Schweiz anwesend war. Die Niederlassungsbewilligung eines Ausländers, der sich schon seit langer Zeit hier aufhält, soll nur mit besonderer Zurückhaltung widerrufen werden; allerdings ist dies bei wiederholter bzw. schwerer Straffälligkeit selbst dann nicht ausgeschlossen, wenn er hier geboren ist und sein ganzes bisheriges Leben im Land verbracht hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 33, 16 E. 2.2.1 S. 19; <ref-ruling> E. 4.3 S. 381).
4.4.1. Ausgangspunkt und Massstab für die Schwere des Verschuldens und die fremdenpolizeiliche Interessenabwägung ist die vom Strafgericht verhängte Strafe (<ref-ruling> E. 3.1 S. 216). Der Beschwerdeführer ist zu einer fünfjährigen Freiheitsstrafe verurteilt worden, weil er eine Frau mit einem 30 cm langen Fleischmesser erstochen und drei andere Personen verletzt hatte, indem er wahllos um sich stach. Ein weiteres potentielles Opfer hatte einem Messerstich in den Hals ausweichen können.
Im Zeitpunkt der Tatbegehung am 29. März 2010 war der Beschwerdeführer bereits viermal verurteilt worden, einmal davon wegen versuchten Raubs. Alle Vorstrafen beruhten auf Taten, welche der Beschwerdeführer als Erwachsener verübt hatte. Die zweimalige Gewährung des bedingten Strafvollzugs hielt ihn nicht davon ab, die verfahrensauslösenden Straftaten während der (verlängerten) Probezeit zu begehen. Dieser Verlauf zeigt, dass der Beschwerdeführer seine Chancen nicht zu nutzen wusste, sondern immer schwerere Straftaten beging, bis zur vorsätzlichen Tötung. Die dabei bestehende Alkoholintoxikation und psychische Notlage wurden vom Strafgericht stark strafmildernd berücksichtigt. Trotz dieser Umstände liegt das Strafmass mit fünf Jahren Freiheitsentzug weit über der gesetzlichen Grenze von einem Jahr; zudem handelt es sich nicht um erstmalige Delinquenz. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz von einem - in migrationsrechtlicher Hinsicht - sehr schweren Verschulden ausgegangen ist.
4.4.2. Es besteht somit ein erhebliches sicherheitspolitisches Interesse am Widerruf der Niederlassungsbewilligung bzw. an der Wegweisung des Beschwerdeführers. Die dagegen vorgebrachten Sachverhaltsrügen sind unbegründet:
Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers war die Vorinstanz nicht verpflichtet, "für die Beurteilung der Verhältnismässigkeit und damit zur vollständigen Abklärung des Sachverhalts" ein unabhängiges psychiatrisches Gutachten einzuholen. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, ist die Rückfallgefahr bei ausländischen Personen, welche sich nicht auf das FZA (SR 0.142.112.681) berufen können, von untergeordneter Bedeutung (Urteile 2C_819/2013 vom 24. Januar 2014 E. 3.2; 2C_522/2013 vom 23. Dezember 2013 E. 3.3; 2C_331/2010 vom 16. September 2010 E. 3.3; 2C_218/2010 vom 27. Juli 2010 E. 3.3.1; vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 185; <ref-ruling> E. 2c S. 110). Die Vorinstanz durfte daher auf die Einholung eines psychiatrischen Gutachtens verzichten (vgl. Urteil 2C_733/2012 vom 24. Januar 2013 E. 3.2).
Es trifft auch nicht zu, dass die Vorinstanz die vorliegenden Berichte zur Rückfallgefahr willkürlich gewürdigt hätte. Im Vollzugsbericht der Strafanstalt Saxerriet vom 23. Mai 2013 wird erwähnt, dass eine Rückfallgefahr nicht ausgeschlossen werden könne, denn dies würde voraussetzen, dass der Beschwerdeführer keinen Alkohol und keine Drogen mehr konsumiere. Obwohl sich gegenwärtig keine Hinweise auf das Persistieren einer Alkoholproblematik ergäben, würde in diesem Problembewältigungsmuster zeitlebens ein Gefährdungspotential auch für die zukünftige Legalbewährung liegen. Auch in der Stellungnahme der Psychiatrie-Dienste-Süd vom 1. Juli 2013 wird die Wichtigkeit der Kontrolle eines allfälligen Alkohol- oder Drogenkonsums betont. Das durchwegs positiv beurteilte Führungsverhalten ändert nichts daran, dass ein Rückfallrisiko nicht ausgeschlossen werden kann, zumal ausserhalb des Strafvollzugs die engmaschige Betreuung und Kontrolle teilweise entfällt. Zum Schutz wesentlicher Rechtsgüter muss bei schweren Straftaten ausländerrechtlich selbst ein geringes Rückfallrisiko nicht in Kauf genommen werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 19 f.).
4.4.3. Im Übrigen deutet nichts darauf hin, das die Rückkehr des Beschwerdeführers in den Kosovo als unzumutbar erscheinen liesse. Zwar hat er sein ganzes bisheriges Leben in der Schweiz verbracht, was einen Neuanfang schwierig macht. Der Beschwerdeführer hat jedoch in der Schweiz eine Ausbildung abgeschlossen und erste berufliche Erfahrungen gesammelt. Dies dürfte ihm helfen, sich im Kosovo, den er von Ferienaufenthalten her kennt, zurechtzufinden. Ein Teil der Verwandtschaft lebt ebenfalls dort. Der Beschwerdeführer ist jung, ledig und kinderlos, so dass eine Eingliederung in seinem Herkunftsland nicht unüberwindlich ist.
4.5. Zusammenfassend erweist sich der Widerruf der Niederlassungsbewilligung als verhältnismässig.
5.
Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen.
Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (vgl. <ref-law>). Ausgangsgemäss ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. März 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner