Sachverhalt:
A.
Die A._ GmbH (Klägerin) mit Sitz in U._ bezweckt den Betrieb eines Zentrums für Diagnostik, speziell die Vornahme medizinischer Abklärungen und Begutachtungen für Gerichte, Sozialversicherungen und Privatversicherungen. Ihre Geschäftsführer und medizinischen Leiter sind Dr. B._ (Kläger) und dessen Ehefrau. Im Herbst 2006 berichtete die Sendung "Kassensturz" in drei Beiträgen über die Kläger. Verantwortlich dafür zeichnet die Schweizerische Radio- und Fernsehgesellschaft (Beklagte), ein Verein in Bern, dessen Zweigniederlassung in Zürich, das Unternehmen SRF Schweizer Radio und Fernsehen, die Sendung "Kassensturz" herstellt und ausstrahlt. Die drei Beiträge über die Kläger hatten im Wesentlichen folgenden Inhalt:
A.a. Der erste Beitrag mit dem Titel "... " wurde am xx.xx.2006 ausgestrahlt. Der "Kassensturz" machte gestützt auf Angaben dreier, einst bei der Klägerin beschäftigter Neurologen und anhand von zwei Beispielfällen auf Missstände bei der Erstellung von polydisziplinären medizinischen Gutachten aufmerksam. Danach haben die Klägerin und namentlich der Kläger den Grad der Arbeitsfähigkeit der Exploranden, wie er von Fachärzten in Teilgutachten ermittelt wurde, im Schlussgutachten ohne Rücksprache mit den Fachärzten erhöht und damit zulasten der Exploranden abgeändert. Unter Umständen seien dadurch zahlreiche Patienten um Versicherungsgelder in Millionenhöhe geprellt worden. Gegen den Kläger laufe ein Strafverfahren. In der Sendung konnte der Kläger für sich selbst und für die Klägerin zu den Vorwürfen in einem Live-Interview Stellung nehmen.
A.b. Am yy.yy.2006 wurde der zweite Beitrag mit dem Titel "..." gesendet. Der "Kassensturz" berichtete, die vorgeworfenen Änderungen hätten System, was an einem weiteren Beispielfall veranschaulicht wurde. Der Beitrag umfasste unter anderem ein Interview mit Rechtsanwältin C._, die behauptete, wie das jüngste Beispiel der Klägerin zeige, schickten die Versicherungen die Betroffenen vor allem zu Gutachterstellen, die versicherungsfreundlich entschieden. Die Qualität sei kein Thema. Es gebe keine Qualitätskontrolle, weder von den Gutachterstellen noch von den Gutachten. Der "Kassensturz" schloss mit der Bemerkung "Ein happiger Vorwurf" und fügte an, Gutachterfirmen seien finanziell von den Versicherungen abhängig, denn diese bezahlten die Gutachten. Eine unabhängige Überprüfung der Gutachten gebe es nicht. Er wies sodann auf die eingeblendete schriftliche Stellungnahme der Klägerin hin, wonach die Klägerin einzig der medizinisch-objektiven Wahrheit verpflichtet sei und in keiner Weise Gefälligkeitsgutachten erstelle.
A.c. Ein dritter Beitrag vom zz.zz.2006 wurde mit den Worten anmoderiert, der "Kassensturz" habe kürzlich darüber berichtet, wie die Klägerin "Expertisen über Patienten reihenweise abgeändert hat - eigenmächtig, ohne mit den Ärzten Rücksprache zu nehmen, und immer zum Nachteil der Patienten". Darauf folgte der Hinweis, dass im Nationalrat eine Interpellation zur Qualitätskontrolle bei ärztlichen Gutachten im Bereich der Invalidenversicherung eingereicht worden sei.
B.
Durch die drei Beiträge in den Sendungen "Kassensturz" sahen sich die Kläger in ihren Geschäftsverhältnissen herabgesetzt und widerrechtlich in ihrer Persönlichkeit verletzt. Sie klagten am 17. September 2007 gegen die Beklagte mit den Begehren auf Feststellung der Widerrechtlichkeit der Verletzungen, auf Löschung der Beiträge im Internet, auf Ausstrahlung einer Berichtigung und auf Zahlung eines Geldbetrags. Das Zivilgericht Basel-Stadt hiess die Klage teilweise gut und stellte fest, dass die Beiträge in den Sendungen "Kassensturz" vom yy.yy.2006 und vom zz.zz.2006 die Kläger in ihrer Persönlichkeit widerrechtlich verletzt haben und gegenüber der Klägerin unlauter waren. Es verpflichtete die Beklagte, den Beitrag vom yy.yy.2006 von ihren Websites zu löschen und die Löschung des Beitrags aus dem Cache der Internet-Suchmaschinen "Google" und "Yahoo!" zu veranlassen. Alle weiteren Begehren wurden abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte (Entscheid vom 30. Mai 2013). Die Beklagte legte dagegen eine Berufung ein, die das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt abwies (Entscheid vom 14. Mai 2014).
C.
Mit Eingabe vom 26. Juni 2014 beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, die Klage vollumfänglich abzuweisen. Ihrem Gesuch um aufschiebende Wirkung, gegen deren Erteilung weder die Kläger noch das Appellationsgericht etwas einzuwenden hatten, entsprach der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts (Verfügung vom 10. Juli 2014). Es wurden die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid bejaht die Ansprüche auf Beseitigung und Feststellung (<ref-law> und <ref-law>) wegen widerrechtlicher Verletzung in der Persönlichkeit (<ref-law>) und wegen Herabsetzung in Geschäftsverhältnissen durch unnötig verletzende Äusserungen (<ref-law>). Er betrifft damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1a S. 483; <ref-ruling> E. 1 S. 413), ist kantonal letztinstanzlich (<ref-law>), lautet zum Nachteil der Beklagten (<ref-law>) und schliesst das kantonale Verfahren ab (<ref-law>). Das mit der Beschwerde eingereichte Rechtsgutachten (Beilage Nr. 3) ist zulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 220 f.). Auf die rechtzeitig erhobene (<ref-law>) Beschwerde kann eingetreten werden.
2.
Fallbezogen sind die kantonalen Gerichte von den zutreffenden Rechtsgrundsätzen ausgegangen. In deren konkreten Anwendung geht es um folgende Fragen:
2.1. Die Kläger verantworten medizinische Beurteilungen, die in gerichtlichen und sozial- wie privatversicherungsrechtlichen Verfahren ausschlaggebend sein können. Sie bewegen sich in einem Umfeld, in dem Unabhängigkeit, Integrität und die Verpflichtung zur medizinischen Wahrheit von entscheidender Bedeutung sind. Der in allen drei Sendungen geäusserte Vorwurf, dass namentlich der Kläger als medizinischer Leiter der Klägerin fachärztliche Teilgutachten im Schlussgutachten ohne Rücksprache mit den Fachärzten abändert und dass dadurch Versicherte allenfalls um Versicherungsleistungen geprellt werden, ist ohne Weiteres geeignet, die geschäftliche und berufliche Ehre der Kläger wie auch ihre soziale Geltung zu schmälern und damit ihre Persönlichkeit zu verletzen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6.1 S. 341).
2.2. Unwidersprochen geblieben ist, dass in Anbetracht ihrer Stellung und Funktion als einem Hauptanbieter medizinischer Begutachtungen ein Bedürfnis nach öffentlicher Information über die Kläger und über ihre Tätigkeit bestanden hat. Hauptstreitpunkt war im kantonalen Verfahren, ob die Darstellung in den Fernsehsendungen den Tatsachen entsprochen hat oder tatsachenwidrig gewesen ist. Denn die Verbreitung wahrer Tatsachen ist grundsätzlich durch den Informationsauftrag der Medien gedeckt, es sei denn, es handle sich um Tatsachen aus dem Geheim- oder Privatbereich oder die betroffene Person werde in unzulässiger Weise herabgesetzt, weil die Form der Darstellung unnötig verletzt. Die Veröffentlichung unwahrer Tatsachen ist hingegen an sich widerrechtlich und vermag eine Persönlichkeitsverletzung grundsätzlich nicht zu rechtfertigen. Indessen lässt noch nicht jede journalistische Unkorrektheit, Ungenauigkeit, Verallgemeinerung oder Verkürzung eine Berichterstattung insgesamt als unwahr erscheinen. Eine in diesem Sinne unzutreffende Äusserung erscheint nur dann als unwahr und persönlichkeitsverletzend, wenn sie in wesentlichen Punkten nicht zutrifft und die betroffene Person dergestalt in einem falschen Licht zeigt bzw. ein spürbar verfälschtes Bild von ihr zeichnet, das sie im Ansehen der Mitmenschen - verglichen mit dem tatsächlich gegebenen Sachverhalt - empfindlich herabsetzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 643 f.).
2.3. Die kantonalen Gerichte haben die Berichterstattung in den drei Sendungen "Kassensturz" im Ergebnis wie folgt beurteilt:
2.3.1. Mit Bezug auf die erste Sendung vom xx.xx.2006 steht in tatsächlicher Hinsicht fest, dass die Berichterstattung im Kern nicht tatsachenwidrig ist. Der Kläger hat in zwei Fällen den von Fachärzten in Teilgutachten festgestellten Grad der Arbeitsfähigkeit eigenmächtig und ohne Rücksprache mit den betreffenden Fachärzten im Schlussgutachten erhöht. Das Zivilgericht ist davon ausgegangen, die Berichterstattung könne weder als unwahr noch als unnötig verletzend betrachtet werden (E. 6.5 S. 25 des zivilgerichtlichen Entscheids). Seine Würdigung wurde vor Appellationsgericht nicht angefochten.
2.3.2. Das Appellationsgericht hat dafürgehalten, dass der zweite Beitrag vom yy.yy.2006 in wesentlichen Teilen zutreffe. Auch die Darstellung des dritten Falls sei nicht tatsachenwidrig. Es sei somit festzustellen, dass der Vorwurf der Abänderung von Gutachten ohne Rücksprache mit den Untergutachtern durch die insgesamt drei vorgestellten Fälle belegt sei und der Wahrheit entspreche (E. 5.2.2 S. 14). Unzutreffend sei die auf die Kläger gemünzte Aussage, eine unabhängige Überprüfung der Gutachten existiere nicht, stehe doch gegen medizinische Gutachten stets der Rechtsmittelweg offen (E. 5.2.4 S. 17). Im Zusammenhang mit dem - im Kern zutreffenden - Vorwurf, die Kläger hätten ohne Rücksprache mit den Untergutachtern Gutachten zulasten der Versicherten abgeändert, lege dies nahe, die Kläger könnten nach Gutdünken und unkontrolliert schalten und walten und täten dies auch. Dadurch würden die Kläger in einem falschen Licht gezeigt. An der Verbreitung einer falschen oder verfälschenden Darstellung bestehe aber kein öffentliches Informationsinteresse (E. 5.2.6 S. 18 des angefochtenen Entscheids).
2.3.3. Im dritten Beitrag vom zz.zz.2006 hat das Appellationsgericht die Aussage, die Klägerin habe Expertisen über Patienten reihenweise abgeändert, beanstandet. Es ist davon ausgegangen, die Behauptung, es werde "reihenweise" abgeändert, sei durch lediglich drei - zudem nicht in der aktuellen Sendung, sondern in den beiden früheren Beiträgen vorgestellte - Fälle belegt. Die drei Fälle vermöchten den Vorwurf der "reihenweisen", also der systematisch oder in einer Vielzahl von Fällen erfolgten Abänderung nicht zu untermauern. Die nicht hinreichend belegte Behauptung der reihenweisen Abänderung zeigten die Kläger in einem falschen Licht. An der Verbreitung einer falschen oder verfälschenden Darstellung bestehe aber kein öffentliches Informationsinteresse (E. 6.1 S. 20 des angefochtenen Entscheids).
3.
Als unrichtige Sachverhaltsfeststellungen (<ref-law>) rügt die Beklagte, wie das Appellationsgericht die Aussagen in den beiden Beiträgen verstanden hat (S. 23 ff. Ziff. 4). Weiter macht sie eine Verletzung der kantonalen Novenrechtsregelung (<ref-law>) geltend (S. 20 Ziff. 3.4 und S. 9 f. Ziff. 2.4.1 der Beschwerdeschrift).
3.1. Neue Tatsachen und Beweismittel werden im Berufungsverfahren nur noch berücksichtigt, wenn sie ohne Verzug vorgebracht werden und trotz zumutbarer Sorgfalt nicht schon vor erster Instanz vorgebracht werden konnten (<ref-law>). Beide Voraussetzungen müssen erfüllt sein, wo es sich - wie hier - um unechte Noven handelt, d.h. um Tatsachen und Beweismittel, die bereits bei Ende der erstinstanzlichen Hauptverhandlung entstanden waren (Urteil 4A_662/2012 vom 7. Februar 2013 E. 3.3, in: SZZP 2013 S. 253). Im Falle unechter Noven hat die Beklagte namentlich die Gründe detailliert darzulegen, weshalb sie die Tatsache oder das Beweismittel nicht schon vor erster Instanz hat vorbringen können (Urteil 4A_334/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 3.1, in: SJ 135/2013 I S. 311). Diese Begründung für die Zulässigkeit ihrer unechten Noven hat gemäss den Feststellungen des Appellationsgerichts gefehlt (E. 3.2 S. 7 des angefochtenen Entscheids). Mit der Feststellung, sie habe sich mit der Zulässigkeit ihrer Noven nicht befasst, setzt sich die Beklagte nicht auseinander (<ref-ruling> E. 2 S. 89 f.), so dass es beim angefochtenen Entscheid, die Noven nicht zuzulassen, sein Bewenden hat.
3.2. Ob eine Äusserung in der Presse oder in einer Fernsehsendung die Persönlichkeit verletzt, ist nicht nach dem subjektiven Empfinden des Betroffenen, sondern nach einem objektiven Massstab zu beurteilen. Für die Beurteilung des Eingriffs in die Persönlichkeit, dessen Schwere und der Frage, welche Aussagen dem Gesamtzusammenhang eines Beitrags zu entnehmen sind, muss auf den Wahrnehmungshorizont des Durchschnittslesers bzw. des Durchschnittszuschauers abgestellt werden. Dessen Eindruck und Verständnis einer Äusserung in der Presse oder in einer Fernsehsendung behandelt das Bundesgericht nicht als Tatsachenfeststellung, sondern als Rechtsfrage bzw. als ihr gleichgestellte Folgerung aus der allgemeinen Lebenserfahrung (zuletzt: Urteil 5A_376/2013 vom 29. Oktober 2013 E. 3.2, mit Hinweisen, in: sic! 2014 S. 292 und medialex 2014 S. 14). Was die Beklagte zum Verständnis der Aussagen in den beiden Sendungen über die Kläger als Sachverhaltsrügen ausgibt, betrifft somit Rechtsfragen (E. 4 und 5 hiernach). Wie das Appellationsgericht dabei zutreffend angenommen hat (E. 4.3 S. 10), ist bei einer Sendung wie dem "Kassensturz" von einem kritischen Durchschnittskonsumenten als Zuschauer auszugehen, der fähig ist, sich mit den fraglichen Aussagen auseinander zu setzen, und dies auch tut (Urteil 4C.170/2006 vom 28. August 2006 E. 3.3, in: sic! 2007 S. 219 f.; für das Konsumentenmagazin "K-Tipp": <ref-ruling> E. 6.2 S. 440).
3.3. Zur Sachverhaltsfeststellung zählen hingegen die Wiedergabe dessen, was überhaupt geäussert worden ist (<ref-ruling> E. 2 S. 355), und die Würdigung, ob die Tatsachenwidrigkeit einer einzelnen Behauptung beweismässig als erstellt betrachtet werden kann (Urteil 5C.188/1997 vom 23. Juni 1998 E. 5c). Diesbezüglich erhebt und begründet die Beklagte keine Sachverhaltsrügen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
4.
Gegenüber dem zweiten Beitrag wendet die Beklagte ein, das Appellationsgericht gehe von einem unzutreffenden Verständnis der Erklärungen der Rechtsanwältin C._ und des Moderators in der Sendung "Kassensturz" aus. Die richtig verstandene Aussage, es fehle mit Bezug auch auf die Gutachten der Kläger an einer fachmedizinischen Qualitätskontrolle, sei wahr und bedeute deshalb weder eine widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung noch eine unzulässige Herabsetzung in den Geschäftsverhältnissen (S. 8 ff. Ziff. 2.4-2.7 der Beschwerdeschrift).
4.1. In der Sendung "Kassensturz" vom yy.yy.2006 mit dem Titel "..." wurden unter anderem folgende Aussagen gemacht:
Reporter: "Versicherungen bevorzugen Institute, die für sie gefällige Gutachten schreiben, sagt C._."
C._: "Wie das jüngste Beispiel des A._ in U._ [der Klägerin] zeigt, schicken Versicherungen die Betroffenen vor allem zu jenen Gutachterstellen, die versicherungsfreundlich entscheiden. Die Qualität ist kein Thema, es gibt keine Qualitätskontrolle, weder von den Gutachterstellen noch von den Gutachten."
Reporter: "Ein happiger Vorwurf! Gutachterfirmen sind finanziell von den Versicherungen abhängig, denn diese bezahlen die Gutachten. Eine unabhängige Überprüfung der Gutachten gibt es nicht."
Dass das Appellationsgericht diese Aussagen richtig wiedergegeben hat (E. 5.2.4 S. 16), bestreitet die Beklagte nicht.
4.2. Es trifft zu, dass Rechtsanwältin C._ von der Qualität der Gutachten und von der Qualitätskontrolle spricht und deren Fehlen bemängelt. Entgegen der Ansicht der Beklagten (S. 8 f. Ziff. 2.4) darf die Aussage aber nicht isoliert und losgelöst vom Gesamtzusammenhang beurteilt werden, in dem sie steht. Wie sie zu verstehen ist, erläutert der Moderator dem Zuschauer gleich selber. Es soll sich nämlich um einen happigen Vorwurf des Inhalts handeln, dass Gutachterfirmen von den Versicherungen abhängig sind und dass es eine unabhängige Überprüfung der Gutachten nicht gibt. Von einer fehlenden Überprüfung der Gutachten auf ihre Qualität hin ist nicht mehr die Rede. Was aber selbst bei einem kritischen und aufmerksamen Durchschnittszuschauer nach einem längeren Beitrag mit der Präsentation eines dritten Falls und mehreren Interviews mit Ärzten und weiteren Personen (E. 5.2.3 S. 15 f. und E. 5.2.5 S. 17 f. des angefochtenen Entscheids) in der Erinnerung haften bleibt, ist das Wortspiel "abhängig - unabhängig" und die bewusst herausgestellte Folgerung des vertrauten Moderators, dass es eine unabhängige Überprüfung der Gutachten nicht gibt. Diese Aussage aber ist tatsachenwidrig. Denn eine unabhängige Überprüfung der Gutachten findet in gerichtlichen Verfahren statt (vgl. zur Aufgabenteilung von rechtsanwendender Stelle und begutachtender Arztperson bei der Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit: <ref-ruling> E. 3 in Bestätigung der Rechtsprechung). An der Tatsachenwidrigkeit der Aussage ändert nichts, dass gemäss Rechtsgutachten die gerichtliche Überprüfung von Gutachten nicht genügend sein soll (S. 9 Ziff. 2.4.1; Beschwerde-Beilage Nr. 3), dass die Anhebung gerichtlicher Verfahren mit Schwierigkeiten verbunden sein kann (S. 10 Ziff. 2.4.2) und dass sich Politiker für eine Qualitätskontrolle gegenüber medizinischen Gutachten einsetzen (S. 11 Ziff. 2.4.3 der Beschwerdeschrift). Die Kernaussage des Beitrags, wie sie der Durchschnittszuschauer wahrnimmt, besteht darin, dass es keine unabhängige Überprüfung der Gutachten gibt. Sie ist in ihrer Allgemeinheit tatsachenwidrig.
4.3. Die tatsachenwidrige Aussage wird im Zusammenhang mit der Begutachtungstätigkeit der Kläger gemacht, lässt die Kläger beim Durchschnittszuschauer in einem falschen Licht erscheinen und verletzt die Kläger damit in ihrer Persönlichkeit, ohne dass ein Rechtfertigungsgrund bestünde (E. 2.2 hiervor). Die Beurteilung des Appellationsgerichts und dessen Anwendung von <ref-law> können deshalb nicht beanstandet werden. Dass die Verletzung in der Persönlichkeit für die Klägerin einen Verstoss gegen das Lauterkeitsrecht (<ref-law>) bedeutet (E. 5.3 S. 18 f. des angefochtenen Entscheids), bestreitet die Beklagte lediglich mit einem Hinweis auf ihre Ausführungen zur Persönlichkeitsverletzung, so dass auf dazu Gesagtes verwiesen werden kann.
5.
Zur Formulierung im dritten Beitrag, die Kläger hätten "Expertisen über Patienten reihenweise abgeändert", führt die Beklagte aus, der Zuschauer stelle sich mehrere, einige oder viele Abänderungen vor. Dieses Werturteil habe einen wahren Tatsachenkern und bedeute deshalb weder eine widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung noch eine unzulässige Herabsetzung in den Geschäftsverhältnissen (S. 13 ff. Ziff. 2.8 und 2.9 der Beschwerdeschrift).
5.1. Die Wendung "reihenweise" meint begrifflich "in grosser Zahl, in grossen Mengen, sehr viel" und wird umgangssprachlich unter anderem für "haufenweise", "in rauen Mengen" oder "massenhaft" verwendet ( DUDEN, Bd. 10: Das Bedeutungswörterbuch, 4. Aufl. 2010, S. 757, Stichwort "reihenweise"). Vom allgemeinen Wortverständnis her nimmt der Durchschnittszuschauer somit an, dass die Kläger eine grosse Zahl von Gutachten über Patienten zu deren Nachteil abgeändert haben. Lediglich drei Fälle hat die Beklagte indessen in den beiden früheren Sendungen zum Beleg ihrer Behauptung "reihenweise" abgeändert angeführt. Das Appellationsgericht hat die Behauptung deshalb als tatsachenwidrig gewürdigt.
5.2. Gegen die gerichtliche Feststellung der Tatsachenwidrigkeit der Äusserung erhebt und begründet die Beklagte keine zulässigen Sachverhaltsrügen (E. 3.3 hiervor). Die Ausführungen der Beklagten dazu (S. 14 f. Ziff. 2.8.2) sind zudem nicht überzeugend. Wenn das Bundesverwaltungsgericht in einem Urteil ausdrücklich festgehalten haben will, dass offenbar seit dem Jahr 2003 eine Praxis des Klägers bestehe, inadäquate Äusserungen bei der Bemessung der Arbeitsfähigkeit in Teilgutachten zu streichen oder zu ersetzen, ist das kein Beweis für die Richtigkeit der Behauptung, zumal "offenbar" in der verwendeten Form "allem Anschein nach, wie man annehmen muss" bedeutet ( DUDEN, a.a.O., S. 691 Stichwort "2 offenbar"). Ebenfalls lediglich Mutmassungen stellt die interviewte Politikerin an, wie die Zitate der Beklagten verdeutlichen. Das angeführte Urteil eines kantonalen Versicherungsgerichts schliesslich belegt keine "häufigen" Abänderungen von Gutachten zum Nachteil der Patienten, sondern hält lediglich fest, dass in Gutachten der Kläger häufig eine nicht näher begründete Arbeitsunfähigkeit von 20 % attestiert werde, wobei jeweils im Dunkeln bleibe, weshalb die Einschränkung gerade 20 % betragen soll und eine solche Einschätzung dementsprechend keine hinreichende Nachvollziehbarkeit aufzuweisen vermöge, was einen nicht unerheblichen Mangel darstelle. Insgesamt kann die Feststellung des Appellationsgerichts, die Aussage, die Kläger änderten Expertisen reihenweise ab, sei tatsachenwidrig, nicht beanstandet werden.
5.3. Die tatsachenwidrige Aussage wird unmittelbar auf die Kläger in ihrer Begutachtungstätigkeit bezogen, lässt die Kläger beim Durchschnittszuschauer in einem falschen Licht erscheinen und verletzt die Kläger damit in ihrer Persönlichkeit, ohne dass ein Rechtfertigungsgrund bestünde (E. 2.2 hiervor). Die Beurteilung des Appellationsgerichts und dessen Anwendung von <ref-law> erweisen sich in diesem Punkt nicht als bundesrechtswidrig. Dass die Verletzung in der Persönlichkeit für die Klägerin einen Verstoss gegen das Lauterkeitsrecht (<ref-law>) bedeutet (E. 6.2 S. 20 des angefochtenen Entscheids), bestreitet die Beklagte lediglich mit einem Hinweis auf ihre Ausführungen zur Persönlichkeitsverletzung, so dass auf dazu Gesagtes verwiesen werden kann.
6.
Eine Verletzung von <ref-law> und von Art. 10 EMRK erblickt die Beklagte in der Verpflichtung (unter Androhung von <ref-law>), den Beitrag vom yy.yy.2006 von ihren Webseiten zu löschen und die Löschung im Cache der Internet-Suchmaschinen "Google" und "Yahoo!" zu veranlassen (S. 18 Ziff. 3.2.2 der Beschwerdeschrift).
6.1. Zum einen rügt die Beklagte die gerichtliche Anordnung beschneide ihre Kommunikationsgrundrechte in unzulässiger Weise, indem sie ihr und den in den Sendungen beigezogenen Fachleuten sowie weiteren interviewten Personen faktisch verbiete, ihre zum Teil fachkundige Meinung über die Unstimmigkeiten bei Gutachten der Kläger weiterhin in Form einer auf Internet abrufbaren Sendung kundzutun. Die Rüge ist unbegründet. Die gerichtliche Anordnung findet eine gesetzliche Grundlage in <ref-law>, in <ref-law> und in <ref-law>. Die Bestimmungen dienen dem persönlichkeits- und lauterkeitsrechtlichen Schutz der Kläger und verfolgen damit ein legitimes Ziel. Die gerichtliche Anordnung betrifft zudem nur den zweiten Beitrag, nicht hingegen die Sendungen vom xx.xx.2006 und vom zz.zz.2006 mit Beiträgen zum gleichen Thema, die deshalb weiterhin über das Internet aufrufbar sein sollten. Sie verbietet der Beklagten und den von ihr beigezogenen Personen auch nicht, sich künftig zu diesem Thema zu äussern. Untersagt werden lediglich Äusserungen, die für die Kläger eine Persönlichkeitsverletzung oder einen Verstoss gegen das Lauterkeitsrecht bedeuten (vgl. Urteil 5A_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 8.6, in: sic! 2012 S. 724).
6.2. Zum andern rügt die Beklagte, mit der totalen Zensur der Beiträge 2 und 3 werde darüber hinaus das Gebot der Verhältnismässigkeit verletzt, da in den Beiträgen lediglich zwei Aussagen beanstandet würden. Einmal abgesehen davon, dass die gerichtliche Anordnung lediglich den zweiten Beitrag erfasst, hat die Beklagte einen Verstoss gegen das Gebot der Verhältnismässigkeit vor Appellationsgericht als Grundrechtsverletzung nicht gerügt (vgl. insbesondere S. 21 f. Ziff. III/A/d der Berufungsschrift), so dass die Rüge vor Bundesgericht nicht zulässig ist (<ref-ruling> E. 2 S. 639 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 429). Es kommt hinzu, dass es im Rahmen der hier anwendbaren Verhandlungsmaxime nicht Aufgabe der kantonalen Gerichte sein konnte, zugunsten der Beklagten von Amtes wegen die tatsächlichen, insbesondere die technischen Möglichkeiten einer allfälligen Teillöschung der Sendung vom yy.yy.2006 auf Websites und im Cache von Suchmaschinen abzuklären.
6.3. Soweit sie die gerichtliche Löschungsanordnung betrifft, erweist sich die Beschwerde insgesamt als erfolglos.
7.
Die weiteren Rechtsrügen der Beklagten in der Sache erweisen sich als unbehelflich aus folgenden Gründen:
7.1. Da das Bundesgericht die Anwendung von <ref-law> und von <ref-law> frei hat prüfen können, besteht kein schutzwürdiges Interesse daran, die Rechtsanwendung nochmals beschränkt daraufhin zu prüfen, ob sie qualifiziert unrichtig ist (<ref-law>; vgl. zum Begriff: <ref-ruling> E. 2a S. 3 f.; <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 470). Auf die entsprechenden Rügen der Beklagten (S. 16 f. Ziff. 3.1) ist deshalb mangels schutzwürdigen Interesses nicht einzutreten (<ref-law>). Verweise auf Ausführungen in der kantonalen Berufungsschrift zur Begründung von Bundesrechtsverletzungen (S. 17 Ziff. 3.1.3 der Beschwerdeschrift) sind zudem ungenügend und unzulässig (<ref-ruling> E. 2 S. 116).
7.2. Die Vielzahl von Grund- und Verfassungsrechten, insbesondere zur Medien- und Meinungsäusserungsfreiheit (Art. 16 f. BV und Art. 10 EMRK u.a.m.), auf die sich die Beklagte beruft (S. 17 ff. Ziff. 3.2 und 3.3), hat das Bundesgericht bereits im Rahmen seiner verfassungskonformen Auslegung von Bundesrecht berücksichtigt (Urteil 5A_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 5.3 mit Hinweisen, in: sic! 2012 S. 722), so dass sich Weiterungen erübrigen.
7.3. Schliesslich stützt die Beklagte ihr Rechtsbegehren auf öffentlich-rechtliche Bestimmungen über Radio und Fernsehen (S. 21 ff. Ziff. 3.5 mit Hinweis auf <ref-law> und auf Art. 4, 6 und 24 des Bundesgesetzes über Radio und Fernsehen, RTVG, SR 884.40). Die damit angerufene Programmaufsicht dient dem Schutz der unverfälschten Willens- und Meinungsbildung der Öffentlichkeit und nicht in erster Linie der Durchsetzung privater Anliegen, die durch andere Normen (z.B. Strafrecht, Persönlichkeitsrecht, unlauterer Wettbewerb usw.) geschützt werden (vgl. <ref-ruling> E. 6.2-7 S. 262 ff.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 42). Was die Beklagte daraus im Zivilprozess gegen die Kläger ableiten will, legt sie nicht näher dar (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 89 und 115 E. 2 S. 116).
8.
Mit Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens bringt die Beklagte vor, sie sei damit einverstanden, dass im erstinstanzlichen Verfahren die ordentlichen Kosten den Klägern auferlegt und die ausserordentlichen Kosten wettgeschlagen würden (S. 16 Ziff. 2.10). Die Rechtsverletzungen sowie die offensichtlich unrichtige Sachverhaltsdarstellung seien die Ursache für eine falsche Kostenverlegung und die Zusprechung einer Parteientschädigung zugunsten der Kläger durch das Appellationsgericht (S. 16 Ziff. 2.11). Sie beantragt somit, die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Berufungsverfahrens entsprechend dem Ausgang des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens neu zu regeln (S. 25 Ziff. 5.2 der Beschwerdeschrift). Dafür besteht indessen keine Grundlage, da die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann, und der angefochtene Entscheid nicht geändert wird (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
9.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beklagte kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, zumal in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt wurden und die Kläger dem Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht opponiert haben (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beklagten und Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. November 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten