Sachverhalt:
A. B._ (Jg. 1963) war nach dem Verlust seiner Stelle im Zustelldienst des Unternehmens X._ ab Juni 2003 arbeitslos. Am 31. März 2004 kam es zu einer Auffahrkollision, als er mit seinem Personenwagen vor einem Rotlicht wartete und die Lenkerin des nachfolgenden Fahrzeugs nicht mehr rechtzeitig abbremsen konnte. Der am nächsten Tag aufgesuchte damalige Hausarzt Dr. med. E._ diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule und bescheinigte für die Zeit bis 21. April 2004 eine vollständige und danach für mindestens zwei Wochen noch eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus, stellte ihre Leistungen mit Verfügung vom 10. Januar 2007 indessen auf Ende Januar 2007 hin ein, was das Bundesgericht letztinstanzlich mit Urteil vom heutigen Tag bestätigt hat.
Am 12. Oktober 2004 hatte sich B._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Auf Grund ihrer Abklärungen medizinischer und erwerblicher Art sprach ihm die IV-Stelle Luzern - nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren - mit Verfügung vom 23. Juli 2008 für die Zeit ab 1. März bis 31. August 2005 eine ganze Invalidenrente zu. Für die Zeit ab 1. September 2005 verneinte sie hingegen einen Rentenanspruch mangels leistungsrelevanter Einschränkung der Erwerbsfähigkeit.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die dagegen gerichtete Beschwerde, mit welcher B._ nebst Rentenleistungen auch eine Unterstützung der laufenden Integrationsbemühungen beantragt hatte, mit Entscheid vom 20. März 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Auf Nichteintreten erkannte es bezüglich des Begehrens um berufliche Eingliederungsmassnahmen.
C. B._ erhebt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Begehren, die IV-Stelle zu verpflichten, ihm unter Aufhebung des kantonalen Entscheids über den 31. August 2005 hinaus eine ganze Invalidenrente auszurichten und überdies "Eingliederungsmassnahmen vorzukehren".
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 67 f., 134 V 250 E. 1.2 S. 252, je mit Hinweisen). Unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es indessen nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, und ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgegriffen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 315, 65 E. 1.3 S. 67 f., je mit Hinweisen). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 196 ff.). Neue Begehren sind unzulässig (<ref-law>).
2. Der Beschwerdeführer stellt in seiner Rechtsschrift den Antrag: "Die IV habe Eingliederungsmassnahmen vorzukehren". Damit erneuert er sein Begehren im vorinstanzlichen Verfahren, wonach die IV-Stelle zu verpflichten sei, "die laufenden Integrationsbemühungen zu unterstützen". Darauf ist das kantonale Gericht mit der Begründung nicht eingetreten, dass (taggeldgestützte) Integrationsmassnahmen nicht Gegenstand der angefochtenen Verfügung bildeten. In diesem Punkt ist es somit im vorinstanzlichen Verfahren nicht zu einer materiellen Beurteilung gekommen, weshalb letztinstanzlich nur die Zulässigkeit der Verfahrenserledigung durch einen Nichteintretensentscheid geprüft werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 76, 131 V 164 E. 2.1 S. 164 f., je mit Hinweis). Weil die Verwaltung tatsächlich nicht über allfällige berufliche Eingliederungsmassnahmen befunden hat, lässt sich gegen das vorinstanzliche Nichteintreten nichts einwenden, sodass die Beschwerde ans Bundesgericht insoweit abzuweisen ist. Soweit sich der Antrag des Beschwerdeführers vor Bundesgericht nicht auf Integrationsmassnahmen (zur Vorbereitung auf die berufliche Eingliederung) beschränkt (<ref-law>), sondern generell Massnahmen beruflicher Art (<ref-law>) erfasst, was gegenüber der Beschwerde im kantonalen Verfahren eine unzulässige Ausdehnung auf weitergehende neue Begehren darstellt (E. 1 hievor, in fine), welche weder Gegenstand der ursprünglichen Verwaltungsverfügung noch des nunmehr angefochtenen Gerichtsentscheides bildeten, ist darauf seitens des Bundesgerichts nicht einzutreten.
3. Mit Recht hält der Beschwerdeführer in der Begründung seiner Rechtsschrift denn auch fest, dass "lediglich die Rentenleistungen Gegenstand dieses Verfahrens" seien und eine "aktuelle Berentung auf der Basis des konkreten Einkommens beantragt" werde. Zu prüfen ist demnach die vorinstanzlich bestätigte Verneinung des Anspruchs auf eine Invalidenrente für die Zeit ab 1. September 2005.
3.1 Bezüglich der für die Beurteilung des Rentenanspruchs nach Gesetz und Rechtsprechung massgebenden Grundlagen kann mit dem kantonalen Gericht auf die zutreffenden Ausführungen in der Verwaltungsverfügung vom 23. Juli 2008 und in der im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Vernehmlassung der IV-Stelle vom 22. Dezember 2008 verwiesen werden. Beizupflichten ist der ergänzenden vorinstanzlichen Bemerkung, wonach auch bei rückwirkender Zusprache abgestufter und/oder befristeter Renten Revisionsgründe vorliegen müssen (vgl. <ref-ruling> E. 2d S. 417 f. mit Hinweis). Richtig sind ferner die Ausführungen zur invalidenversicherungsrechtlichen Bedeutung diagnostizierter anhaltender somatoformer Schmerzstörungen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 50 f., 130 V 352 E. 2.2.2 S. 353) und zum Beweiswert ärztlicher Berichte (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
3.2 Für die Bestimmung des Invaliditätsgrades hat das kantonale Gericht keinen detaillierten Einkommensvergleich im Sinne von <ref-law> vorgenommen, sondern sich auf die Feststellung beschränkt, dass der Beschwerdeführer laut Stellungnahme des Dr. med. O._, Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 23. Juli 2007 seit Mai 2005 in einer leidensangepassten, also leichten bis mittelschweren Tätigkeit, wie sie schon die frühere Beschäftigung im Zustelldienst des Unternehmens X._ darstellte, zu 75 % arbeitsfähig sei, und daraus geschlossen, dass es ihm damit möglich und zumutbar wäre, ein rentenausschliessendes Erwerbseinkommen zu erzielen. Die Beurteilung der trotz Gesundheitsschädigung verbliebenen Arbeitsfähigkeit erfolgte unter Mitberücksichtigung insbesondere auch der Ergebnisse der von der SUVA veranlassten Abklärung im medizinischen Institut Y._ gemäss dessen Expertise vom 7. Juli 2006.
3.3 Die Würdigung ärztlicher Berichte und namentlich die darauf gestützte Bestimmung des Ausmasses einer gesundheitsbedingten Einschränkung des Leistungsvermögens gehört zur vorinstanzlichen Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts, welche für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich und daher einer letztinstanzlichen Überprüfung entzogen ist, solange ihr nicht offenkundige Mängel rechtlicher oder tatbeständlicher Art anhaften (E. 1 hievor). Solche sind indessen auch auf Grund der Vorbringen in der Beschwerdeschrift nicht auszumachen.
3.3.1 Es trifft zwar zu, dass das kantonale Gericht bezüglich der noch verbliebenen Arbeitsfähigkeit der Ansicht des Psychiaters Dr. med. O._ massgebende Bedeutung beigemessen hat. Dies ist indessen als Ergebnis der durchaus gründlich vorgenommenen, korrekten Beweiswürdigung zu sehen und, entgegen der Argumentation des Beschwerdeführers, nicht als einseitiges Abstellen auf eines von mehreren Beweisgrundlagen einzustufen. Die Beweistauglichkeit des Gutachtens des Dr. med. O._ in Frage zu stellen, besteht jedenfalls kein Anlass. Dass Dr. med. O._ als Psychiater auch allfällige somatische und neuropsychologische Aspekte, mithin nicht in seinen Fachbereich fallende Beeinträchtigungen in seine Arbeitsfähigkeitsschätzung mit einbezieht, ändert daran nichts, müssen doch in der erforderlichen gesamthaften Beurteilung des verbliebenen Leistungsvermögens auch fachfremde Schädigungen Berücksichtigung finden. Die Vorinstanz hat im Übrigen nachvollziehbar und schlüssig begründet, weshalb sie bezüglich der verbliebenen Arbeitsfähigkeit primär der Expertise des Dr. med. O._ und nicht den Angaben der Experten des medizinischen Instituts Y._ folgt. Insoweit liegt weder eine Bundesrechtsverletzung - sei dies durch Missachtung wesentlicher Beweisregeln oder aber durch eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes - noch eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung vor. Auch kann nicht gesagt werden, die berücksichtigten medizinischen Unterlagen genügten einer zuverlässigen abschliessenden Beurteilung des Gesundheitszustandes und seiner Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit nicht. Insbesondere konnte von der Anordnung einer polydisziplinären Begutachtung abgesehen werden, dürfte eine solche im Gutachten des medizinischen Instituts Y._ doch primär im Hinblick auf die für die SUVA bedeutsame, für die Invalidenversicherung aber nicht entscheidrelevante Klärung der natürlichen Unfallkausalität der noch vorhandenen Beeinträchtigungen empfohlen worden sein. Zu diesem Zweck wurde eine solche denn auch in <ref-ruling> E. 9.3 S. 124 bei ohne deutliche Besserungstendenz länger bestehenden Beschwerden und bei problematischem Heilungsverlauf als angezeigt erachtet.
3.3.2 Eine offensichtlich unrichtige Tatsachenfeststellung schliesslich ist auch in der Befristung der Rentenzusprache ohne vorgängige Durchführung von Eingliederungsmassnahmen nicht zu erblicken. Davon konnte die IV-Stelle absehen, nachdem im Zeitpunkt der befristeten Rentenzusprache rückwirkend für die Zeit ab Mai 2005 ein rentenausschliessender Arbeitseinsatz mit 75%igem Leistungsvermögen in der früher ausgeübten Erwerbstätigkeit im Zustelldienst des Unternehmens X._ als zumutbar zu betrachten war. Von allfälligen Eingliederungsmassnahmen hätte jedenfalls nicht mehr als eine Verminderung der ohnehin schon nicht anspruchsrelevanten Erwerbsunfähigkeit erwartet werden können. Darüber, ob dem Beschwerdeführer unter diesen Umständen überhaupt ein Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen zugestanden werden könnte, ist nach dem in E. 2 hievor Gesagten nicht zu befinden, wäre diesbezüglich doch zunächst eine anfechtbare Verwaltungsverfügung zu erwirken. Schon in der ablehnenden Rentenverfügung vom 23. Juli 2008 hat die IV-Stelle denn auch ausdrücklich festgehalten, dass "die Rentenbeurteilung ... keinen Einfluss auf den Grundsatz 'Eingliederung vor Rente'" habe, was zeigt, dass auch nach Auffassung der Verwaltung über den Anspruch auf (berufliche) Eingliederungsmassnahmen noch gar nicht abschliessend befunden worden ist. Die im Jahr 2007 schrittweise wieder aufgenommene, offenbar vom Haftpflichtversicherer der anlässlich des Auffahrunfalles vom 31. März 2004 fehlbaren Automobilistin mit einem externen Case Management durch die M._ AG unterstützte erwerbliche Betätigung beim Unternehmen X._ ändert daran nichts.
3.4 Ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass das Leistungsvermögen des Beschwerdeführers wegen seines gesundheitlichen Zustandes in seiner angestammten, als leidensangepasst zu betrachtenden Tätigkeit im Zustelldienst des Unternehmens X._ lediglich um 25 % vermindert ist, wäre es ihm zumutbarerweise möglich, ein rentenausschliessendes Erwerbseinkommen zu erzielen. Darin, dass das kantonale Gericht ohne Durchführung eines Einkommensvergleichs zu dieser - auf der Hand liegenden - Erkenntnis gelangte, kann jedenfalls keine Mangelhaftigkeit der Rentenverfügung vom 23. Juli 2008 im Sinne von Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG erblickt werden. Die angefochtene Rentenverweigerung ab 1. September 2005 hält damit einer bundesgerichtlichen Überprüfung stand.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. August 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl