Sachverhalt:
A.
Die H._ AG ist Eigentümerin der in der eingeschossigen Wohnzone gelegenen Grundstücke Nrn. 152, 153 und 354 (Grundbuch Vitznau); der G._ AG gehören die in der Kur- und Sportzone befindlichen Parzellen Nrn. 353 und 641. Diese Grundstücke erstrecken sich über eine Gesamtfläche von rund 24'000 m2 am Hang hinter dem G._. Die beiden Grundeigentümerinnen planen auf dem betreffenden Perimeter den Bau eines Campus Hotels und mehrerer Villen.
Die G._ AG lud dazu im Frühling 2011 acht Architekturbüros zur Erarbeitung einer Volumenstudie ein. Das Preisgericht hatte jenes Projekt auszuwählen, das die Nutzungsmasse und das Raumprogramm der geplanten Überbauung unter siedlungsplanerischen und landschaftlichen Gesichtspunkten am besten umsetzte. Die Jury bestand aus zwei Vertretern der Bauherrschaft, zwei Mitgliedern von Schutzverbänden (Landschafts- und Heimatschutz) sowie dem Gemeindepräsidenten Noldi Küttel und dem Gemeinderat und Bauverwalter Alex Waldis. Die Preisrichter entschieden sich einstimmig für die Volumenstudie des Architekturbüros I._.
B.
Der gestützt auf die ausgewählte Volumenstudie erarbeitete Gestaltungsplan "Panorama Residenz Vitznau" lag ab dem 22. Oktober 2012 öffentlich auf.
Gegen den Gestaltungsplan erhoben A._ und die Erbengemeinschaft B._ als Eigentümerinnen der an den Planperimeter angrenzenden Grundstücke Einsprache. Sie beantragten in formeller Hinsicht, der Gemeindepräsident Noldi Küttel sowie der Gemeinderat und Bauverwalter Alex Waldis seien zu verpflichten, beim Entscheid über die Einsprachen und die Genehmigung des Gestaltungsplans in den Ausstand zu treten. Mit Zwischenentscheid vom 30. April 2013 wies der Gemeinderat Vitznau die Ausstandsbegehren ab.
Die von den Einsprecherinnen dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern am 12. November 2013 ab.
C.
Mit gemeinsamer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen A._ und die Erbengemeinschaft B._, das Urteil der Vorinstanz sei aufzuheben; Gemeindepräsident Noldi Küttel und Gemeinderat Alex Waldis seien zu verpflichten, in den Ausstand zu treten; eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an das Kantonsgericht oder an den Gemeinderat zurückzuweisen; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen.
D.
Die H._ AG und die G._ AG schliessen sich dem Urteil des Kantonsgerichts an, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen. Das Kantonsgericht sowie der Gemeinderat schliessen auf Abweisung der Beschwerde. A._ und die Erbengemeinschaft B._ haben eine Replik eingereicht. Der Gemeinderat hat dazu Stellung genommen.
E.
Am 30. Januar 2014 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren, gegen den nach <ref-law> die Beschwerde zulässig ist. Ihm liegt ein Gestaltungsplanverfahren, somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, zugrunde (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Die Gemeinderatsmitglieder hatten nicht als Privatpersonen, sondern als Vertreter der Gemeinde, das heisst in amtlicher Funktion, Einsitz in der Jury (vgl. Bericht zur Volumenstudie, Ziff. 3.4). Dass sie an der Sache darüber hinaus eigene Interessen hätten (§ 14 Abs. 1 lit. a des Gesetzes des Kantons Luzern über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 [VRG; SRL 40], bringen die Beschwerdeführer nicht vor.
Streitig ist, ob der Gemeindepräsident Noldi Küttel und der Gemeinderat Alex Waldis aufgrund ihrer Preisrichtertätigkeit in einer Weise vorbefasst sind, dass sie in Bezug auf den anstehenden Entscheid über die Einsprachen und die Genehmigung des Gestaltungsplans voreingenommen erscheinen.
3.
Die Vorinstanz hat eine unzulässige Vorbefassung verneint. Die Beschwerdeführer erkennen darin eine Verletzung ihres Anspruchs auf ein faires Verfahren (<ref-law>).
Zudem rügen sie die willkürliche Anwendung von § 14 Abs. 1 lit. e und g VRG. Danach befindet sich im Ausstand, wer in der gleichen Sache als Gutachter oder Berater gehandelt hat oder aus einem anderen sachlich vertretbaren Grund als befangen erscheint. Weder machen die Beschwerdeführer geltend, das kantonale Recht reiche weiter als <ref-law>, noch bringen sie etwas vor, was nicht auch bei der Prüfung der geltend gemachten Verletzung der genannten Verfassungsnorm zu berücksichtigen wäre. Diesen Rügen kommt daher keine eigenständige Bedeutung zu.
Der angefochtene Entscheid ist somit unter dem Blickwinkel des Anspruchs auf ein faires Verfahren gemäss <ref-law> zu prüfen und zwar mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 2 S. 50).
4.
Die Vorinstanz hat eine Ausstandspflicht von Noldi Küttel und Alex Waldis verneint. Zur Begründung führte sie im Wesentlichen aus, die Beurteilung des Preisgerichts habe sich auf allgemein gehaltene Kriterien beschränkt. Die Stellungnahme der Gemeinderatsmitglieder als Preisrichter sei somit nicht hinreichend bestimmt gewesen, um in Bezug auf das Gestaltungsplanverfahren eine unzulässige Vorbefassung zu bewirken. Es sei für alle Beteiligten klar gewesen, dass das siegreiche Projekt weiterbearbeitet und erst damit Grundlage für den Gestaltungsplan bilden sollte. An dieser Erkenntnis ändere nichts, dass die Volumenstudie hinsichtlich Erscheinung und Gestaltung für die geplante Überbauung wegweisend gewesen sei. Ein frühzeitiger Beizug der Gemeindevertreter mache im Übrigen vor allem bei komplexen und sensiblen Bauprojekten, wie dem vorliegenden, Sinn und erscheine in Anbetracht der Verantwortung des Gemeinderates zur Erfüllung öffentlicher Aufgaben gerechtfertigt. Eine allzu strenge Optik in der Ausstandsfrage, die jedes kooperative Handeln zwischen Bauherrschaft und Baubehörde schon im Ansatz verhinderte, widerspräche dem Gebot einer effizienten und sachgerechten Erledigung von Planungs- und Baubewilligungsverfahren.
Die Beschwerdeführer halten dem im Wesentlichen entgegen, die Preisrichtertätigkeit von Behördenmitgliedern, die anschliessend in derselben Sache hoheitlich entschieden, sei fragwürdig und unerwünscht. Halte man sich die im Wettbewerb eingereichten Unterlagen (Situationsplan, Grundrisse, Geländeschnitt, Fotos, Modell und Erläuterungsbericht) sowie die detaillierten Empfehlungen des Preisgerichts vor Augen, könne im Übrigen nicht von einer unbestimmten Stellungnahme des Preisgerichts gesprochen werden. Die Jury habe vielmehr konkret Stellung bezogen und im Übrigen als Beraterin fungiert. Der eingereichte Gestaltungsplan entspreche denn auch in den wesentlichen Zügen dem Siegerprojekt und den Empfehlungen der Juroren. Unter diesen Umständen stelle die Preisrichtertätigkeit von Noldi Küttel und Alex Waldis in Bezug auf das Gestaltungsplanverfahren eine unzulässige Vorbefassung dar.
5.
5.1. Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem durch Gesetz geschaffenen, zuständigen, unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Dieser Anspruch ist verletzt, wenn bei einer Gerichtsperson - objektiv betrachtet - Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Person oder in äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Mit anderen Worten muss gewährleistet sein, dass der Prozess aus Sicht aller Beteiligten als offen erscheint (<ref-ruling> E. 6.2 S. 6 mit Hinweisen).
Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit und damit Misstrauen in das Gericht kann bei den Parteien immer dann entstehen, wenn einzelne Gerichtspersonen in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache schon einmal befasst waren. In einem solchen Fall sogenannter Vorbefassung stellt sich die Frage, ob sich ein Richter durch seine Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, die ihn nicht mehr als unvoreingenommen und dementsprechend das Verfahren nicht mehr offen erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 3.4 S. 116 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht hat zur Beurteilung, ob eine vorbefasste Person im konkreten Fall in den Ausstand treten muss, Kriterien entwickelt. So fällt etwa in Betracht, welche Fragen in den beiden Verfahrensabschnitten zu entscheiden sind und inwiefern sie sich ähnlich sind oder miteinander zusammenhängen. Zu beachten ist ferner der Umfang des Entscheidungsspielraums bei der Beurteilung der sich in den beiden Abschnitten stellenden Rechtsfragen. Massgebend ist schliesslich, mit welcher Bestimmtheit sich der Richter bei seiner ersten Befassung zu den betreffenden Fragen ausgesprochen hat (vgl. <ref-ruling> E. 3d S. 59; zudem <ref-ruling> E. 2.6.2 S. 232 f.; <ref-ruling> E. 2.3 und 2.4 S. 241 ff.; <ref-ruling> E. 3b/cc S. 161 f.).
5.2. Für nichtgerichtliche Behörden - wie hier für Mitglieder des Gemeinderates - kommen <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht zur Anwendung. Hingegen gewährleistet <ref-law> den Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung; das Gebot der Unbefangenheit bildet einen Teilgehalt dieses Grundrechts (vgl. Benjamin Schindler, Die Befangenheit der Verwaltung, 2002, S. 237).
Im Kern der Garantie der Unbefangenheit steht für Richter wie Verwaltungsbeamte, dass sie sich in Bezug auf die Beurteilung des Sachverhalts nicht bereits festgelegt haben (vgl. Markus Schefer, Die Kerngehalte von Grundrechten, 2001, S. 535). Die für Gerichte geltenden Anforderungen an die Unbefangenheit (E. 5.1 oben) können allerdings nicht unbesehen auf das Verwaltungsverfahren übertragen werden. Gerade die systembedingten Unzulänglichkeiten des verwaltungsinternen Verfahrens haben zur Schaffung unabhängiger richterlicher Instanzen geführt. Bei Exekutivbehörden ist dabei zu berücksichtigen, dass ihr Amt mit einer sachbedingten Kumulation verschiedener, auch politischer Aufgaben einhergeht (Urteil 1C_278/2010 vom 31. Januar 2011 E. 2.2). Regierungsbehörden sind aufgrund ihres Amtes, anders als ein Gericht, nicht allein zur (neutralen) Rechtsanwendung oder Streitentscheidung berufen. Sie tragen zugleich eine besondere Verantwortung zur Erfüllung bestimmter öffentlicher Aufgaben. Liegt die amtliche Mehrfachbefassung damit im öffentlichen Interesse und ist sie in diesem Sinne systembedingt, so liegt nicht bereits darin eine unzulässige Vorbefassung. Ob eine systembedingt vorbefasste Amtsperson tatsächlich voreingenommen erscheint, entscheidet sich nach den konkreten Umständen des Einzelfalls (vgl. <ref-ruling> E. 3f S. 125; Urteile 1C_150/2009 vom 8. September 2009 E. 3.5, in: ZBl 112/2011 S. 478 ff.; 1P.48/2007 vom 11. Juni 2007 E. 4.3). Dabei ist vorab je nach Verfahrensart, Funktion oder Streitgegenstand des betreffenden Verfahrens zu unterscheiden (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 452; <ref-ruling> E. 3d und 3f S. 123 ff., 209 E. 8a S. 217 f.; Jörg Paul Müller/Markus Schefer, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 949; Gerold Steinmann, Die schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 2. Aufl. 2008, Rz. 18 zu <ref-law>).
6.
Treten der Gemeindepräsident Noldi Küttel und der Gemeinderat Alex Waldis nicht in den Ausstand, so befassen sie sich etwa mit Fragen der siedlungsgerechten und landschaftsverträglichen Einordnung der geplanten Überbauung zweimal; zunächst bei der Beurteilung der Volumenstudien, dann beim Entscheid über die Einsprachen und die Plangenehmigung (§ 77 Abs. 2 des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Luzern vom 7. März 1989 [SRL 735; PBG].
Im Lichte der vorstehenden Grundsätze bleibt somit zu prüfen, ob die Gemeinderatsmitglieder als Preisrichter in einer Weise vorbefasst sind, dass sie im Hinblick auf den Planungsentscheid voreingenommen erscheinen.
6.1. Die Sach- und Rechtslagen sind gerade bei Bau- und Planungssachen oft komplex; die Folgen von Fehlplanungen können schwer wiegen. Das gilt insbesondere für Grossprojekte. Unter diesen Umständen kann es der Prozessökonomie dienen, wenn die Verwaltung und die private Bauherrschaft durch vorprozessuale Abklärungen oder Verhandlungen die Voraussetzungen für einen effizienten und sachgerechten Entscheid schaffen. Zudem liegt es im Interesse der Verfahrenskoordination, wenn sich die zuständigen Behörden als Träger der Planungshoheit möglichst frühzeitig in den Planungsprozess einbringen (vgl. Hösli, Möglichkeiten und Grenzen der Verfahrensbeschleunigung durch informell-kooperatives Verwaltungshandeln, 2002, S. 123 f.; Schindler, a.a.O., S. 83 und 136; Kölz/Häner/Bertschi, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013, Rz. 433; vgl. auch <ref-ruling> E. 6c S. 284; Urteile 1C_150/2009 vom 8. September 2009 E. 3.5.2, in: ZBl 112/2011 S. 478 ff.; 1A.11/2007 vom 16. Mai 2007 E. 3.5.2).
In der Gemeinde Vitznau trägt, in Zusammenarbeit mit den Grundeigentümern, der Gemeinderat die Verantwortung für die Gestaltungsplanung (vgl. § 17 Abs. 1 lit. c und §§ 74-77 PBG i.V.m. Art. 37 des Bau- und Zonenreglements der Gemeinde Vitznau vom 6. Januar 1998 [BZR]. Hier geht es sodann um ein Grossprojekt, bei dem sich komplexe Sachverhalts- und Rechtsfragen stellen. Gründe der Prozessökonomie und der Verfahrenskoordination können es in dieser Situation rechtfertigen, wenn sich der Gemeinderat als Träger der Planungshoheit bereits vor Einleitung des Gestaltungsplanverfahrens mit dem Projekt befasst. Liegt eine Mehrfachbefassung dementsprechend im öffentlichen Interesse, kann nicht jede vorprozessuale Äusserung der Gemeinderatsmitglieder von vornherein einen Ausstandsgrund darstellen. Anders zu entscheiden hiesse, das tatsächliche Verwaltungshandeln als Mittel für eine effiziente und sachgerechte Entscheidfindung bereits im Ansatz zu unterbinden und so die Aufgabenerfüllung der Verwaltung in unverhältnismässiger Weise zu erschweren.
6.2. Jede Äusserung einer Amtsperson im Vorfeld eines förmlichen Verfahrens hat indessen den Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung (<ref-law>) zu wahren. So muss der Verwaltungsentscheid nach wie vor in einem Prozess erfolgen, der eine ungestörte und ausgewogene Abwägung der auf dem Spiel stehenden Interessen ermöglicht (vgl. Schindler, a.a.O., S. 46). Beim vorliegenden, informell-kooperativen Verwaltungshandeln (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 124 ff.) ist die Gefahr besonders gross, dass die Interessen unbeteiligter Dritter oder der Allgemeinheit nicht angemessen berücksichtigt werden. Hat sich ein Privater mit der Verwaltung vor Einleitung des förmlichen Verfahrens über die wesentlichen Inhalte eines Vorhabens informell abgesprochen, wird sich die Behörde beim anschliessenden Entscheid - wenn auch nicht rechtlich, so doch faktisch - in der Regel an die Absprache gebunden fühlen (in Abgrenzung zum verbindlichen Vorentscheid vgl. Peter Hösli, a.a.O., S. 64 f.; dazu <ref-ruling> E. 2b S. 52; Urteil 1P.224/1991 vom 9. September 1992 E. 2c, in: ZBl 95/1994 S. 66 ff.). In dieser Situation haben die unbeteiligten Dritten, so hier die Einsprecher, berechtigten Anlass zu befürchten, dass die vorbefasste Behörde nicht mehr imstande ist, die Einwände gegenüber dem Vorhaben mit hinreichender Offenheit und Unabhängigkeit zu prüfen (vgl. Hösli, a.a.O., S. 77 f.; Tamara Nüssle, Demokratie in der Nutzungsplanung und Grenzen für informale Absprachen, 2005, S. 241 f. und 246 ff.). Amtspersonen haben sich bei informellen Äusserungen im Vorfeld eines Verfahrens somit eine besondere Zurückhaltung aufzuerlegen; die Stellungnahme darf in keiner Weise den Anschein erwecken, dass sich die vorbefasste Person in Bezug auf das anstehende Verfahren bereits festgelegt hat (vgl. Urteil 1C_150/2009 vom 8. September 2009 E. 3.5.2, in: ZBl 112/2011 S. 478 ff.; Schindler, a.a.O., S. 136 f.; Kölz/Häner/Bertschi, a.a.O., Rz. 433).
Auch mit Blick auf die Funktion des anstehenden Verfahrens rechtfertigt es sich, an die Unbefangenheit der beiden Gemeinderatsmitglieder hohe Anforderungen zu stellen. Als Einsprachebehörde gegen den durch Private aufgestellten Gestaltungsplan trifft den Gemeinderat die Aufgabe eines "echten Mittlers" (vgl. Müller/Schefer, a.a.O., S. 949; Schindler, a.a.O., S. 68 und 155; Urteil 2P.231/1997 vom 19. Mai 1998 E. 2b, in: ZBl 100/1999 S. 74). Das Einspracheverfahren vor Erlass der Verfügung gewährt den Betroffenen das rechtliche Gehör und stellt damit sicher, dass die verschiedenen auf dem Spiel stehenden Interessen noch vor Planerlass berücksichtigt werden. Die Einsprachen erleichtern zudem die Beurteilung, ob das Vorhaben auch aus Sicht der öffentlichen Interessen - etwa im Lichte der raumplanungsrechtlichen Grundsätze (<ref-law> sowie Art. 1 und 3 RPG) - zweckmässig erscheint (vgl. Heinz Aemisegger/Stephan Haag, Kommentar zum RPG, 2010, Rz. 16, 25 und 36 zu Art. 33 RPG; Mischa Berner, Luzerner Planungs- und Baurecht, 2012, Rz. 215 und 220). Angesichts dieser herausragenden Bedeutung der Einsprache zur Gewährleistung des Gehörsanspruchs Dritter darf informelles Verwaltungshandeln im Vorfeld der öffentlichen Planauflage den Einspracheentscheid in keiner Weise vorwegnehmen. Andernfalls verlöre das bundesrechtlich vorgeschriebene Auflageverfahren (Art. 33 Abs. 1 RPG) seine Bedeutung als Mittel für eine sachgerechte Entscheidfindung im Bau- und Planungsrecht (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 69; Nüssle, a.a.O., S. 241 f.).
In gesamthafter Würdigung der dargelegten Umstände rechtfertigt es sich vorliegend, die Zulässigkeit der Vorbefassung der Gemeinderatsmitglieder sinngemäss nach denselben Kriterien zu beurteilen, wie sie das Bundesgericht für die Gerichtsverfahren entwickelt hat.
6.3. Demnach fällt insbesondere ins Gewicht, mit welcher Bestimmtheit sich der Richter bei seiner ersten Befassung zu den betreffenden Fragen ausgesprochen hat (vgl. E. 5.1 oben).
Das Bundesgericht hat dieses Beurteilungskriterium zuletzt im Zusammenhang mit dem sogenannten Referentensystem fortentwickelt. Dieses zeichnet sich dadurch aus, dass sich ein Richter als Referent über die prozessualen und materiellen Fragen einer Streitsache eine erste Meinung bildet und zusammen mit einem Antrag dem Spruchkörper vorträgt. Das Referentensystem hält nach Auffassung des Bundesgerichts dann vor der Verfassung stand, wenn der Ausgang des Verfahrens für die Betroffenen erkennbar nach wie vor offen erscheint. So ist etwa zulässig, wenn der Referent den Rechtsuchenden im Fall einer Anschlussberufung darauf aufmerksam macht, dass der Rechtsmittelentscheid auch zu seinen Ungunsten ausfallen kann. Dem Anschein der Voreingenommenheit kann sich der Referent hingegen dann aussetzen, wenn er auf die rechtsuchende Person zugeht, um ihr seine Einschätzung der Prozessaussichten kundzutun und sie entsprechend zum Rückzug des Rechtsmittels zu bewegen. Bei abstrakter Betrachtung besteht der entscheidende Unterschied zwischen zulässiger und unzulässiger Vorbefassung darin, ob die vorbefasste Person erst ihre vorläufige Einschätzung zur Streitsache zum Ausdruck bringt - oder aber der Eindruck entsteht, sie habe sich über den Ausgang des Verfahrens bereits eine feste Meinung gebildet (vgl. <ref-ruling> E. 2.6.2-2.6.4 S. 232 ff.; <ref-ruling> E. 2.4-2.6 S. 242 ff.; zudem BGE <ref-ruling> E. 3b/cc S. 161 f.; Regina Kiener, Richterliche Unabhängigkeit, 2001, S. 147).
Ausgehend von diesen für Gerichtsverfahren entwickelten Grundsätzen ist für Bau- und Planungssachen zu unterscheiden zwischen der unverbindlichen Stellungnahme zu abstrakten Fragen, der Beantwortung konkreter Fragen, der eigentlichen Beratung der Bauherrschaft und dem verbindlichen Vorentscheid.
Bei der unverbindlichen Stellungnahme zu abstrakten Rechtsfragen besteht in der Regel keine Gefahr der späteren Befangenheit (vgl. Urteil 1C_150/2009 vom 8. September 2009 E. 3.5.4, in: ZBl 112/2011 S. 478 ff.). In diesem Sinne verneinte das Bundesgericht im Urteil 1C_100/2012 vom 16. Oktober 2012 bei einer generellen Auskunft des Gemeinderates über die grundsätzliche Bewilligungsfähigkeit eines Bauvorhabens eine unzulässige Vorbefassung im Hinblick auf den anschliessenden Baubewilligungsentscheid (a.a.O. E. 2.2).
Dagegen kann bei einer umfangreichen und detaillierten Beantwortung konkreter, projektbezogener Fragen die Gefahr einer Vorbestimmung des anschliessenden Verfahrens bestehen. Dementsprechend bejahte das Bundesgericht im Urteil 1C_150/2009 vom 8. September 2009 (in: ZBl 112/2011 S. 478 ff.) die Befangenheit der Baukommission, die im Hinblick auf das anstehende Baubewilligungsverfahren zu einem Bauvorhaben konkret Stellung nahm. Für das Bundesgericht fiel unter anderem ins Gewicht, dass sich die Baukommission in ihrer Stellungnahme umfassend und detailliert zu zentralen Punkten des Baubewilligungsverfahrens geäussert hatte. Das Projekt war zudem aufgrund von Anregungen der Baukommission im Hinblick auf die Baubewilligung leicht abgeändert worden; insofern hatte die Kommission praktisch als Beraterin fungiert. Unter diesen Umständen konnte für die Einsprecher der Eindruck entstehen, die Baukommission habe sich zum Vorhaben bereits eine feste Meinung gebildet und werde sich im Baubewilligungsverfahren - ungeachtet der Einsprachen - nicht mehr umstimmen lassen (a.a.O. E. 3.5.5).
Die Begleitung durch die Behörden darf mithin nicht so weit gehen, die Bauherrschaft bei ihrer Ausarbeitung des Gestaltungsplans oder Baugesuchs in detaillierter Weise zu beraten oder ihr vor Berücksichtigung allfälliger Drittinteressen darüber hinaus die verbindliche Zusage zu machen, das Vorhaben in einer bestimmten Form bewilligen zu können (vgl. Schindler, a.a.O., S. 131 f. und 137; für den verbindlichen Vorentscheid auch Urteil 1P.224/1991 vom 9. September 1992 E. 2c, in: ZBl 95/1994 S. 66 ff). Eine eigentliche Beratertätigkeit bildet auch nach § 14 Abs. 1 lit. e VRG - wie in anderen kantonalen Verfahrensordnungen - einen gesetzlich geregelten Ausstandsgrund.
7. Die G._ AG lud acht Architekturbüros zur Erarbeitung einer Volumenstudie ein. Das Preisgericht, in welchem die beiden Gemeinderatsmitglieder Einsitz nahmen, hatte die Aufgabe, jenes Projekt auszuwählen, das die Nutzungsmasse und das Raumprogramm der geplanten Überbauung nach Massgabe der Wettbewerbsvorgaben am besten umsetzt und damit als Grundlage für den Gestaltungsplan dient (vgl. Bericht zur Volumenstudie, Ziff. 3.2). Ausgehend von diesem Sachverhalt sind für die Frage der Befangenheit der Gemeinderatsmitglieder im Lichte der dargelegten Kriterien die folgenden Umstände zu berücksichtigen:
7.1. Die Preisrichter haben die ihnen vorgelegten Überbauungskonzepte im Wesentlichen nach siedlungsplanerischen, landschaftlichen und erschliessungsmässigen Gesichtspunkten beurteilt (vgl. Bericht zur Volumenstudie, Ziff. 4.7). Dabei handelt es sich um zentrale Kriterien, nach denen die Rechtmässigkeit eines Gestaltungsplans zu überprüfen ist (vgl. § 65 Abs. 2 und § 75 Abs. 3 lit. b PBG). Darauf beziehen sich die Beschwerdeführer in ihren gegen den Plan erhobenen Einsprachen denn auch. Die bei der Beurteilung der Volumenstudie behandelten Gesichtspunkte entsprechen somit - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - zu einem erheblichen Teil jenen Fragen, die Gegenstand des Einsprache- und Genehmigungsentscheids sind.
7.2. Mit ihrer Stimme im Preisgericht haben die Gemeinderatsmitglieder bei der Auswahl des siegreichen Projekts als Entscheidungsträger mitgewirkt. Die Juroren haben sich einstimmig für das Projekt des Architekturbüros I._ entschieden. Nach Auffassung des Preisgerichts erfüllt die ausgewählte Volumenstudie vor allem auch die von der Gemeinde gestellten Bedingungen (vgl. Bericht zur Volumenstudie, Ziff. 5). Damit sind die Vertreter der Gemeinde für die privaten Beschwerdegegnerinnen tätig geworden und haben sich aktiv am Auswahlprozess beteiligt.
Die im Massstab 1:500 ausgefertigten Pläne zusammen mit dem Modell und dem Erläuterungsbericht haben den Inhalt des Gestaltungsplans vergleichsweise konkret und detailliert vorgezeichnet. So war die Volumenstudie bezüglich Volumetrie, Architektur und Materialisierung der Gebäude für diesen wegweisend (vgl. § 1 Abs. 1 und § 12 Abs. 1 des Gestaltungsplans). Der aufgelegte Plan weist im Vergleich zur Studie keine namhaften Änderungen oder Präzisierungen auf. Beim Vergleich des Planmaterials ist zwar erkennbar, dass das Campus Hotel leicht in südöstliche Richtung verschoben wurde. Diese wie andere Anpassungen sind aber -entgegen der Ansicht der Vorinstanz - von untergeordneter Bedeutung. Sie vermögen am Gesamteindruck nichts zu ändern, dass die Volumenstudie den Gestaltungsplan in den wesentlichen Zügen vorbestimmt hat.
Soweit die Juroren gegenüber dem erkorenen Projekt einzelne Vorbehalte anbrachten, haben sie diese mit konkreten Änderungsvorschlägen verbunden (vgl. Bericht zur Volumenstudie, Ziff. 5); die Empfehlungen betreffen etwa Einzelheiten zur Architektur der Villen und zum Erschliessungskonzept (a.a.O., Empfehlungen im Anhang). Die Bauherrschaft hat die Vorschläge im Gestaltungsplan weitgehend nachvollzogen. Insoweit haben die Preisrichter, wie die Beschwerdeführer zu Recht festhalten, als eigentliche Berater fungiert.
Würdigt man diese Umstände gesamthaft, ist die Besorgnis darüber begründet, die Gemeinderatsvertreter könnten sich aufgrund ihrer Preisrichtertätigkeit in einem Mass festgelegt haben, dass ihre Haltung im Rahmen des Gestaltungsplanverfahrens vorbestimmt erscheint.
7.3. Der Anschein der Befangenheit verstärkt sich durch den Beurteilungsspielraum der Entscheidungsbehörde zusätzlich (vgl. E. 5.1 oben). Je grösser der Spielraum ist, umso eher besteht Anlass zur Besorgnis, die Amtsperson werde auf ihr in Abwägung verschiedener Gesichtspunkte getroffenes Urteil bei späterer Befassung nicht mehr zurückkommen (vgl. <ref-ruling> E. 5b/cc S. 70; Kiener, a.a.O., S. 148). Steht der zuständigen Verwaltungsbehörde bei der zu beantwortenden Frage ein Ermessen zu, ist die gerichtliche Überprüfung zudem eingeschränkt. Insoweit sind systembedingte Unzulänglichkeiten des verwaltungsinternen Verfahrens nicht mehr durch eine unabhängige richterliche Kontrolle auszugleichen (vgl. E. 5.2 oben; Hösli, a.a.O., S. 78; Schindler, a.a.O., S. 170).
Bei Fragen der siedlungsplanerischen und landschaftlichen Einordnung steht der Gemeinde - trotz grundsätzlich voller Überprüfung durch die Beschwerdebehörde (Art. 33 Abs. 3 lit. b RPG) - ein gewisses Planungsermessen zu (vgl. Art. 2 Abs. 3 RPG; <ref-ruling> E. 2b S. 247 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 3b S. 244 ff.; Aemisegger/Haag, a.a.O., Rz. 73 zu Art. 33 RPG; § 65 Abs. 2 PBG; Berner, a.a.O., Rz. 633 ff.). Das kommunale Recht überträgt diesen Entscheidungsspielraum dem Gemeinderat. So entscheidet in Vitznau der Gemeinderat, nicht etwa die Gemeindelegislative, über Gestaltungspläne (vgl. Art. 37 BZR). Zudem liegt es gemäss Art. 22 Abs. 4 BZR im pflichtgemässen Ermessen des Gemeinderates, in der Kur- und Sportzone, worin das Campus Hotel geplant ist, die zulässigen Nutzungsmasse unter Beachtung der siedlungsplanerischen und landschaftlichen Interessen fallweise festzulegen. Umso problematischer erscheint es, wenn sich zwei ihrer Vertreter zu den erwähnten Punkten bereits eine Meinung gebildet haben, ohne die Auffassung der Planbetroffenen zu kennen.
Die vorliegende Sachlage ist, wie die Beschwerdeführer zu Recht vorbringen, auch insoweit mit dem Fall 1C_150/2009 vom 8. September 2009 (in: ZBl 112/2011 S. 478 ff.) vergleichbar. Dort erkannte das Bundesgericht auf eine unzulässige Vorbefassung (vgl. a.a.O. E. 3.5.5 und 3.6). Auch hier besteht bei objektiver Betrachtung der Anschein, die Gemeinderatsmitglieder könnten sich von ihrem Urteil als Preisrichter zu wesentlichen Punkten des Gestaltungsplans kaum mehr lösen und die gegen das Vorhaben erhobenen Einsprachen nicht unbefangen beurteilen. Wenn die Vorinstanz die Ablehnung des Ausstandsbegehrens bestätigt, verletzt sie demnach <ref-law>.
7.4. Bei diesem Ergebnis bleibt im Lichte der Erwägungen (vgl. E. 6.1 oben) anzufügen, dass nicht jede behördliche Beteiligung an einem Architekturwettbewerb von vornherein im Widerspruch zu <ref-law> steht. Im Urteil 1A.11/2007 vom 16. Mai 2007 (E. 3.5) verneinte das Bundesgericht denn auch eine verfassungswidrige Vorbefassung eines Vertreters der kantonalen Denkmalpflege und des kommunalen Bauberaters aufgrund ihrer Preisrichtertätigkeit im Hinblick auf den anstehenden Baubewilligungsentscheid. In jenem Verfahren waren die Behördenmitglieder jedoch Gutachter und nicht, wie hier, Entscheidungsträger (a.a.O. E. 3.5.1). Jene Stellungnahme war zudem gesetzlich vorgesehen und beruhte nicht auf informellem Verwaltungshandeln (a.a.O. E. 3.5.2).
Der vorliegende Entscheid unterscheidet sich auch vom Urteil 1C_278/2010 vom 31. Januar 2011. Das Bundesgericht verneinte dort eine unzulässige Vorbefassung der Gemeindevertreter, die für die Gemeinde zunächst ein Baugesuch gestellt und anschliessend selbst darüber entschieden hatten (a.a.O. E. 2.2; vgl. ebenso Urteil 1C_198/ 2010 vom 11. November 2010 E. 2). Eigentümerin des Grundstücks bzw. Bauherrin des geplanten Vorhabens war in jenen Fällen die öffentliche Hand und nicht, wie hier, eine private Person. Soweit sich die Vorinstanz auf diese Praxis stützt, bezieht sie sich somit auf eine Sachlage, die mit der vorliegenden nicht vergleichbar ist.
8.
Die Beschwerde erweist sich nach dem Gesagten als begründet. Sie ist gutzuheissen und das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben. Das dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegende Ausstandsbegehren ist antragsgemäss gutzuheissen (vgl. <ref-law>; Urteil 1B_221/2007 vom 16. Januar 2008 E. 5.2); Noldi Küttel und Alex Waldis haben beim Entscheid über die Einsprachen und die Genehmigung des Gestaltungsplans in den Ausstand zu treten.
Die privaten Beschwerdegegnerinnen unterliegen. Sie haben den Verfahrensmangel jedoch nicht zu vertreten. Es sind für das bundesgerichtliche Verfahren daher keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Die Gemeinde Vitznau hat den obsiegenden Beschwerdeführern hingegen eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens sind dem Verfahrensausgang entsprechend der Gemeinde Vitznau aufzuerlegen (<ref-law>; § 199 Abs. 3 VRG). Diese hat die Beschwerdeführer für die ihnen vor dem Kantonsgericht entstandenen Parteikosten zudem angemessen zu entschädigen (<ref-law>; § 201 Abs. 2 VRG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 12. November 2013 wird aufgehoben. Noldi Küttel und Alex Waldis haben beim Entscheid über die Einsprachen und die Genehmigung des Gestaltungsplans in den Ausstand zu treten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Die Gemeinde Vitznau hat den Beschwerdeführern eine Entschädigung von insgesamt Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4.
Die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens von insgesamt Fr. 2'500.-- werden der Gemeinde Vitznau auferlegt. Diese hat den Beschwerdeführern für das Verfahren vor Kantonsgericht zudem eine Entschädigung von insgesamt Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Vitznau und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Geisser