Sachverhalt:
A.
Mit unbegründetem Urteil vom 5. Juli 2013 erteilte das Bezirksgericht Horgen dem Kanton Aargau in der gegen X._ gerichteten Betreibung Nr. yyy des Betreibungsamtes A._ die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 636.-- nebst Zinsen und Kosten. Der Schuldner verlangte keine Begründung des Urteils, sondern erhob am 5. August 2013 direkt Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich.
B.
Am 7. August 2013 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein, schrieb das Gesuch um aufschiebende Wirkung als gegenstandslos ab und auferlegte X._ die Gerichtskosten von Fr. 150.--.
C.
X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. September 2013 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses und die Rückweisung der Sache an das Obergericht zur Behandlung seiner Beschwerde vom 5. August 2013.
Es sind keine Antworten eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, mit welchem das Obergericht auf eine Beschwerde betreffend die Gewährung der definitiven Rechtsöffnung nicht eingetreten ist, mithin ein Endentscheid in einer Zwangsvollstreckungssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 143). Die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- wird nicht erreicht (<ref-law>), womit die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben ist. Zwar macht der Beschwerdeführer eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung geltend (<ref-law>), welche vom Bundesgericht indes nur mit Zurückhaltung angenommen wird (<ref-ruling> E. 1.1 S. 582). Er betont, dass das Bundesgericht sich zu den prozessualen Folgen einer ungebührlichen Eingabe gemäss <ref-law> noch nicht geäussert habe, und weist auf ein ihn betreffendes bundesgerichtliches Urteil (5P.410/2005 vom 6. April 2006) hin, das er als "Lex Schulte" bezeichnet. Gegenstand des kantonalen Verfahrens bildete ausschliesslich die Frage nach der Zulässigkeit der Beschwerde und nicht die Rechtsfolgen einer ungebührlichen Eingabe. Im vorliegenden Fall ist daher keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung erkennbar. Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben.
1.2. Die Eingabe des Beschwerdeführers ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (<ref-law>). Geprüft werden kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>). Soweit die Verletzung des Willkürverbotes (<ref-law>) gerügt wird, gelten erhöhte Begründungsanforderungen. Insbesondere ist darzutun, weshalb der angefochtene Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.
Anlass zu vorliegendem Verfahren gibt das Nichteintreten des Obergerichts auf eine Beschwerde gegen einen erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid.
2.1. Eröffnet das erstinstanzliche Gericht seinen Entscheid ohne schriftliche Begründung, so kann jede Partei eine solche innert zehn Tagen bei diesem verlangen. Die Frist zur Erhebung des Rechtsmittels beginnt ab Zustellung der nachträglichen Entscheidbegründung zu laufen (Art. 311 Abs. 1 sowie Art. 321 Abs. 1 ZPO). Wird keine Begründung verlangt, so wird Verzicht auf Anfechtung mit Berufung oder Beschwerde angenommen (<ref-law>).
2.2. Im vorliegenden Fall hat der Beschwerdeführer ungeachtet dieser Anforderungen, auf welche der erstinstanzliche Richter in seiner Rechtsmittelbelehrung unmissverständlich hingewiesen hat, sich direkt an das Obergericht gewandt. Eine Urteilsbegründung hatte er zuvor nicht verlangt. Demnach ist aus bundesrechtlicher Sicht nicht zu beanstanden, dass das Obergericht auf seine Beschwerde gegen den Rechtsöffnungsentscheid (vgl. Art. 319 lit. a in Verbindung mit <ref-law>) nicht eingetreten ist.
2.3. Der Beschwerdeführer nimmt zu diesem prozessualen Aspekt mit keinem Wort Stellung. Damit genügt er den Begründungsanforderungen an eine Beschwerde in keiner Weise (Art. 116 i.V.m. <ref-law>). Stattdessen verlangt er, dass das Obergericht in Anwendung von <ref-law> auf seine, von ihm selber als ungebührlich bezeichnete Eingabe hätte eingehen und ihm Frist zur Behebung des Mangels hätte ansetzen sollen. In einem solchen Fall hätte er auf eine Verbesserung seiner Rechtsschrift verzichtet und das Obergericht hätte sie ohne weitere Mitteilung und ohne Kostenfolgen ablegen müssen. Mit diesem Vorbringen wendet er sich im Ergebnis gegen die Auferlegung der Gerichtskosten von Fr. 150.-- durch die Vorinstanz. Das Obergericht, welches auf die Beschwerde nicht eingetreten ist, hat die Gerichtskosten ausgangsgemäss verlegt (<ref-law>). Inwieweit darin eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte liegen sollte, legt der Beschwerdeführer nicht dar.
2.4. Der Beschwerdeführer begründet zudem nicht, weshalb das Obergericht sich mit seiner als ungebührlich bezeichneten Eingabe befassen sollte, obwohl die Eintretensvoraussetzungen des Rechtsmittels von vornherein nicht gegeben waren (E. 2.1).
3.
Nach dem Dargelegten kann auf die Beschwerde mangels rechtsgenüglicher Begründung insgesamt nicht eingetreten werden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Kosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 100.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. November 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante