Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. B._ ist die Mutter des ausserehelichen Kindes S._, geboren am 19. April 1997. Am 9. Januar 1998 anerkannte K._ das Kind S._ als seinen Sohn. Vor den Behörden des Kantons Thurgau ist ein Verfahren betreffend persönlichen Verkehr zwischen dem Vater und seinem Sohn hängig.
A. B._ ist die Mutter des ausserehelichen Kindes S._, geboren am 19. April 1997. Am 9. Januar 1998 anerkannte K._ das Kind S._ als seinen Sohn. Vor den Behörden des Kantons Thurgau ist ein Verfahren betreffend persönlichen Verkehr zwischen dem Vater und seinem Sohn hängig.
B. Über das Besuchs- und das Ferienbesuchsrecht des Kindsvaters entschied zuletzt das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Es wies eine Beschwerde von B._ gegen die vorinstanzliche Regelung des persönlichen Verkehrs ab (Dispositiv-Ziff. 1). Es wies die Gesuche der Beschwerdeführerin um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie der Offizialverbeiständung ab (Dispositiv-Ziff. 2) und auferlegte ihr eine Verfahrensgebühr von Fr. 800.-- und eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- an den verfahrensbeteiligten Kindsvater (Dispositiv-Ziff. 3 des Entscheids vom 5. Mai 2004).
B. Über das Besuchs- und das Ferienbesuchsrecht des Kindsvaters entschied zuletzt das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Es wies eine Beschwerde von B._ gegen die vorinstanzliche Regelung des persönlichen Verkehrs ab (Dispositiv-Ziff. 1). Es wies die Gesuche der Beschwerdeführerin um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie der Offizialverbeiständung ab (Dispositiv-Ziff. 2) und auferlegte ihr eine Verfahrensgebühr von Fr. 800.-- und eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- an den verfahrensbeteiligten Kindsvater (Dispositiv-Ziff. 3 des Entscheids vom 5. Mai 2004).
C. Mit staatsrechtlicher Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 und <ref-law> beantragt B._ die Aufhebung der Dispositiv-Ziff. 2 und 3 des verwaltungsgerichtlichen Entscheids mit der Weisung, ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen und die Verfahrenskosten auf die Staatskasse zu nehmen. Für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Gegen den Entscheid in der Sache hat die Beschwerdeführerin gleichzeitig eidgenössische Berufung eingelegt (5C.146/2004).

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde ist rein kassatorischer Natur. Die Anfechtung des Entscheids über die unentgeltliche Rechtspflege macht davon keine Ausnahme (<ref-ruling> E. 1.2 S. 131 ff.). Soweit die Beschwerdeführerin mehr verlangt als die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, ist auf ihre - im Übrigen zulässige - staatsrechtliche Beschwerde nicht einzutreten.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde ist rein kassatorischer Natur. Die Anfechtung des Entscheids über die unentgeltliche Rechtspflege macht davon keine Ausnahme (<ref-ruling> E. 1.2 S. 131 ff.). Soweit die Beschwerdeführerin mehr verlangt als die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, ist auf ihre - im Übrigen zulässige - staatsrechtliche Beschwerde nicht einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die verwaltungsgerichtliche Beurteilung der Bedürftigkeit. Sie erblickt eine verfassungswidrige Anwendung von § 81 VRG/TG darin, dass das Verwaltungsgericht ihr einen Zuschlag auf dem Grundbetrag verweigert habe, den sie in einem Verfahren vor Obergericht hätte beanspruchen können. Die Anwendung zweier verschiedener Beurteilungskriterien für die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege für die materiell gleiche Sache innerhalb des gleichen Rechtskreises sei willkürlich (<ref-law>) und verletze den verfassungsmässigen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>).
2.1 Nach § 81 Abs. 1 VRG/TG (RB 170.1) kann einem bedürftigen Beteiligten auf Antrag die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt werden, sofern das Verfahren nicht als aussichtslos oder mutwillig erscheint. Das Verwaltungsgericht hat die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin verneint. Es ist davon ausgegangen, nach Abzug des betreibungsrechtlichen Existenzminimums (zuzüglich Steuern) von den Einnahmen verbleibe der Beschwerdeführerin ein monatlicher Freibetrag von Fr. 400.--, mit dem sie die Gerichtsgebühr von Fr. 800.-- sowie die Entschädigung an die private Gegenpartei von Fr. 1'000.-- bezahlen könne.
2.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Satz 1). Bedürftig im Sinne der verfassungsrechtlichen Garantie ist eine Person, die nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne dass sie Mittel beanspruchen müsste, die zur Deckung des Grundbedarfs für sich und ihre Familie notwendig sind (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 232). Diese Bedürftigkeit hat die Rechtsprechung dahin gehend konkretisiert, dass nicht schematisch auf das betreibungsrechtliche Existenzminimum abgestellt werden darf, sondern die individuellen Umstände zu berücksichtigen sind (<ref-ruling> E. 2a S. 2 f.).
Dem verfassungsrechtlichen Begriff der Bedürftigkeit entsprechen die Kantone, indem sie zusätzlich privat- und öffentlichrechtliche Verpflichtungen berücksichtigen, die nicht zum betreibungsrechtlichen Existenzminimum gehören (z.B. Steuerschulden), und in der Regel einen Prozentzuschlag auf dem Grundbetrag oder auf dem Gesamtbedarf gewähren (vgl. dazu Bühler, Die Prozessarmut, in: Gerichtskosten, Parteikosten, Prozesskaution, unentgeltliche Prozessführung, Bern 2001, S. 131 ff., S. 180 ff., mit Hinweisen auf die teilweise nicht veröffentlichte Rechtsprechung des Bundesgerichts).
Ergibt die Gegenüberstellung der Einnahmen und des Bedarfs keinen oder nur einen geringfügigen Einkommensüberschuss, ist Bedürftigkeit zu bejahen. Als geringfügig wird ein Einkommensüberschuss angesehen, wenn er nicht mehr als 20 % der mutmasslichen Gerichtskosten und der eigenen Anwaltskosten ausmacht und es dem Gesuchsteller nicht möglich ist, damit seinen Prozesskostenanteil innert einer Frist von einem Jahr, bei kostspieligen Prozessen innert zweier Jahre ratenweise abzuzahlen. Der Einkommensüberschuss ist somit in Beziehung zu setzen zu den auf Seiten des Gesuchstellers zu erwartenden Gerichts- und Anwaltskosten. Nicht zu berücksichtigen ist bei der Ermittlung der mutmasslichen Prozesskosten die der obsiegenden Gegenpartei geschuldete Parteientschädigung, zumal der verfassungsrechtliche Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nicht davon befreit, den Prozessgegner für seine Umtriebe im gerichtlichen Verfahren angemessen zu entschädigen (vgl. dazu Bühler, a.a.O., S. 182 und S. 185, mit Hinweisen auf die teilweise nicht veröffentlichte Rechtsprechung des Bundesgerichts; seither z.B. Urteile 5P.457/2003 vom 19. Januar 2004, E. 2, und 5P.209/2004 vom 29. Juni 2004, E. 3).
2.3 Der unangefochtenen Berechnung des Verwaltungsgerichts zufolge beträgt der Grundbetrag der Beschwerdeführerin mit ihrem Sohn monatlich Fr. 1'600.--. Ihrem um die laufende Steuerlast erweiterten betreibungsrechtlichen Existenzminimum von Fr. 3'717.-- stehen Einnahmen von Fr. 4'120.-- gegenüber, so dass ein monatlicher Einkommensüberschuss von rund Fr. 400.-- errechnet werden kann. Zur Bestreitung von Prozesskosten vermöchte die Beschwerdeführerin insoweit Fr. 4'800.-- pro Jahr (Fr. 400.-- x 12 Monate) aufzubringen. Die mutmasslichen Prozesskosten belaufen sich im verwaltungsgerichtlichen Verfahren auf etwa die Hälfte dieses Betrags (vgl. zu den Einzelheiten: E. 2.4.2 sogleich). Der Beschwerdeführerin verbleibt damit von ihrem Überschuss rund die Hälfte. Dieser Betrag von monatlich Fr. 200.-- zu ihrer freien Verfügung macht etwas mehr als 10 % ihres Grundbetrags von Fr. 1'600.-- aus. Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin hat das Verwaltungsgericht zur Bestimmung der Bedürftigkeit nicht einfach auf das betreibungsrechtliche Existenzminimum abgestellt, sondern dieses um die laufende Steuerlast erweitert und im Ergebnis durch einen Zuschlag von gut 10 % auf dem Grundbetrag angemessen erhöht. Der angefochtene Entscheid verletzt die aus der verfassungsrechtlichen Minimalgarantie abgeleiteten Grundsätze (E. 2.2 soeben) nicht.
2.4 Die Beschwerdeführerin erhebt dagegen drei Einwände:
2.4.1 Die Beschwerdeführerin behauptet, der Einkommensüberschuss müsse auch die Parteientschädigung an die Gegenpartei decken. Die Annahme trifft nicht zu. Die verfassungsrechtliche Minimalgarantie befreit - wie gesagt (E. 2.2 soeben) - nicht von der Bezahlung einer im Endurteil auferlegten Parteientschädigung an die Gegenpartei. Verfassungsmässig richtig lautet die hier zu beantwortenden Frage, ob eine Prozesspartei mit dem monatlichen Einkommensüberschuss die Gerichts- und Anwaltskostenvorschüsse innert angemessener Frist zu bezahlen in der Lage ist (<ref-ruling> E. 4a S. 370), d.h. mit ihren Mitteln auf dem freien Markt einen entgeltlichen Rechtsbeistand zur Wahrung ihrer Interessen finden und die Gerichtskosten vorschiessen könnte (Urteil des Bundesgerichts 5P.317/1995 vom 12. Oktober 1995, E. 4c, zit. bei Bohnet, Jurisprudence fédérale et neuchâteloise en matière d'assistance judiciaire, Neuchâtel 1997, S. 16, 3. Lemma).
2.4.2 Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass sie in der Lage sei, ihren eigenen Anwalt zu bezahlen. Sie beziffert ihre eigenen Anwaltskosten - ohne nähere Begründung - auf Fr. 2'500.--. Das Vorbringen ist zwar mit Blick auf die verwaltungsgerichtlichen Feststellungen neu, aber dennoch zulässig und zu überprüfen, weil erst die Begründung des angefochtenen Entscheids (E. 2.1 soeben) zu seiner Geltendmachung Anlass gegeben hat (<ref-ruling> E. 3 S. 57). Gemäss der Verordnung des Verwaltungsgerichtes über den Anwaltstarif für Streitigkeiten vor dem Verwaltungsgericht (RB 176.6) beträgt die Grundgebühr im Beschwerdeverfahren 800 bis 6000 Franken und bemisst sich innerhalb dieses Rahmens nach dem Zeitaufwand, der Bedeutung und der Schwierigkeit der Sache sowie nach dem Streitwert, soweit dieser bestimmbar ist (§ 2). Sinngemäss sind die Grundsätze und Bestimmungen des Zivil- und Straftarifs anzuwenden (§ 5). Gemäss der verwiesenen Verordnung des Obergerichts über den Anwaltstarif für Zivil- und Strafsachen (RB 176.3) beträgt die Grundgebühr in familienrechtlichen Prozessen in der Regel 1000 bis 5000 Franken (§ 4 Abs. 1), wobei für das Verfahren vor der Berufungsinstanz die Hälfte bis zwei Drittel der Grundgebühr berechnet werden (§ 7 Abs. 1). Der Rechtsbeistand hat im verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren betreffend persönlichen Verkehr eine zehnseitige Beschwerdeschrift, drei Gesuche um Fristerstreckung zur Einreichung des "UP-Formulars" sowie ein Begleitschreiben zum "UP-Formular" verfasst. Zuschläge für besonderen Aufwand oder aus anderen Gründen, wie sie in den Verordnungen des Verwaltungsgerichts und des Obergerichts umschrieben werden, sind weder ersichtlich noch dargetan. Unter verfassungsrechtlichem Blickwinkel wäre insoweit mit Anwaltskosten von Fr. 750.-- bis Fr. 1'500.-- sowie mit Gerichtskosten von Fr. 800.-- bis Fr. 1'000.-- zu rechnen gewesen. Innert Jahresfrist wären diese mutmasslichen Prozesskosten bezahlbar gewesen, ohne dass die Beschwerdeführerin den jährlichen Einkommensüberschuss von rund Fr. 4'800.-- gesamthaft hätte in Anspruch nehmen müssen. Es wäre ihr vielmehr knapp die Hälfte davon verblieben, was - wie gesagt (E. 2.3 soeben) - einen monatlichen Betrag von etwa Fr. 200.-- oder rund 10 % auf dem Grundbetrag von Fr. 1'600.-- ausgemacht hätte. Die Rüge der Beschwerdeführerin entbehrt auch der rechnerischen Grundlage.
2.4.3 Die Beschwerdeführerin wendet schliesslich ein, das Obergericht gewähre einen Zuschlag von 30 % auf dem Grundbetrag. Es sei aus verfassungsrechtlicher Sicht unannehmbar, dass die beiden oberen kantonalen Gerichte die Frage der Bedürftigkeit verschieden beurteilten, zumal in einer Zivilsache, deren Weiterziehung an die jeweilige kantonale Letztinstanz nur vom zufälligerweise eingeschlagenen Rechtsweg, sei es über die Vormundschaftsbehörden oder sei es über die Gerichtsbehörden, abhängig sei. Die Rüge ist unbegründet. Dem ins Recht gelegten Schreiben des Obergerichts vom 25. Mai 2001 betreffend "Grundsätze für die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung" zufolge soll der Zuschlag auf dem Grundbetrag gemäss betreibungsrechtlichen Richtlinien in der Regel 30 % betragen. Das schliesst Abweichungen nach oben oder unten nicht aus, so dass der vorliegende Zuschlag von rund 10 % mit den erwähnten Richtlinien nicht als unvereinbar und auch diesbezüglich nicht als verfassungswidrig erscheint.
2.5 Aus den dargelegten Gründen muss die staatsrechtliche Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.5 Aus den dargelegten Gründen muss die staatsrechtliche Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf eingetreten werden kann.
3. Die Beschwerdeführerin wird damit kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann in Anwendung von Art. 152 OG entsprochen werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird bewilligt, und es wird ihr Fürsprecher August Biedermann als amtlicher Vertreter bestellt.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird bewilligt, und es wird ihr Fürsprecher August Biedermann als amtlicher Vertreter bestellt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Fürsprecher August Biedermann wird aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 1'000.-- ausgerichtet.
4. Fürsprecher August Biedermann wird aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 1'000.-- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2004
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: