Sachverhalt:
A.
Das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt erteilte mit Entscheid vom 20. Dezember 2012 Y._ und Z._ in der Betreibung Nr. xxx gegen die X._ AG definitive Rechtsöffnung für die Beträge von Fr. 454'917.25, Fr. 3'200.--, Fr. 1'700.--, Fr. 5'280.05 und Fr. 10'687.90, je zuzüglich Zins, sowie für die Betreibungskosten. Am 10. Januar 2013 berichtigte das Zivilgericht den Entscheid: Hinsichtlich des Beginns des Zinsenlaufs für den Betrag von Fr. 454'917.25 ersetzte es in den Erwägungen das Datum des 6. Januar 2012 durch den 6. Januar 2006.
B.
Mit Beschwerde vom 21. Januar 2013 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verlangte die X._ AG die Aufhebung des Entscheids vom 20. Dezember 2012 und die Zurückweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Mit Beschwerde vom 22. Januar 2013 beantragte sie dasselbe hinsichtlich des berichtigten Entscheids.
Am 25. März 2013 verlangte die X._ AG die Aussetzung des Beschwerdeverfahrens bis zum Entscheid über das Ausstandsbegehren über die erstinstanzliche Richterin und die erstinstanzliche Gerichtsschreiberin. Dieses Ausstandsbegehren hatte sie am 18. Januar 2013 an das Zivilgericht gerichtet und - nach Abweisung am 18. März 2013 - am 25. März 2013 erneuert und ausgeweitet. Am 28. März 2013 wies die Instruktionsrichterin Marie-Louise Stamm das Sistierungsgesuch ab. Am 8. Mai 2013 verlangte die X._ AG den Ausstand der Instruktionsrichterin und von "Gerichtsschreiber lic. iur. Patrik Alder". Dieses Ausstandsgesuch wurde mit Zwischenentscheid vom 27. Juni 2013 abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Mit Entscheid vom 28. Juni 2013 wies das Appellationsgericht (Besetzung: Richterin Marie-Louise Stamm, Richter Heiner Wohlfart und Olivier Steiner, Gerichtsschreiberin Caroline Meyer Honegger) die beiden Beschwerden ab.
C.
Mit Eingabe vom 3. August 2013 (Eingang beim Bundesgericht 14. August 2013) hat die X._ AG (Beschwerdeführerin) Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben sowohl gegen den Zwischenentscheid des Appellationsgerichts vom 27. Juni 2013 (Verfahren 5A_605/2013) als auch gegen den Entscheid vom 28. Juni 2013 (vorliegendes Verfahren 5A_579/2013). Sie verlangt die Aufhebung des Entscheids vom 28. Juni 2013 und ersucht um aufschiebende Wirkung. Mit nachträglicher Eingabe vom 19. August 2013 lehnt sie Richter Steiner und Gerichtsschreiberin Meyer Honegger wegen ihrer Teilnahme am Entscheid vom 28. Juni 2013 ab.
Am 22. August 2013 hat das Appellationsgericht dem Bundesgericht eine Eingabe der Beschwerdeführerin weitergeleitet, mit der diese am 24. Juli 2013 beim Appellationsgericht gestützt auf <ref-law> die Aufhebung des Entscheids vom 28. Juni 2013 und die Wiederholung des Verfahrens verlangt hatte. Das Appellationsgericht entschied am 19. August 2013, auf das Gesuch nicht einzutreten und die Eingabe an das Bundesgericht weiterzuleiten.
Mit Präsidialverfügung vom 10. September 2013 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden, nachdem sich Y._ und Z._ (Beschwerdegegner) dem entsprechenden Gesuch, im Gegensatz zum Appellationsgericht, widersetzt hatten.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist binnen Frist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid des als Rechtsmittelinstanz urteilenden Appellationsgerichts in einer Schuldbetreibungssache, wobei der erforderliche Streitwert erreicht ist (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG). Ist die Beschwerde in Zivilsachen demnach grundsätzlich zulässig, besteht für die von der Beschwerdeführerin zusätzlich erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde kein Raum (<ref-law>). Verfassungsrügen können auch im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden (<ref-law>).
Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. für Ausnahmen Abs. 2 dieser Norm) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584 mit Hinweisen).
Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen, muss in der Beschwerde substantiiert begründet werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
2.
Das Appellationsgericht hat Schweizer Gerichte zur Beurteilung der definitiven Rechtsöffnung gestützt auf <ref-law> (SR 0.275.12) für zuständig erachtet. Für die verschiedenen Forderungen, die Gegenstand des Verfahrens seien, lägen definitive Rechtsöffnungstitel vor. Zunächst handle es sich um die Verfügung des Kantonsgerichtspräsidiums Zug vom 17. August 2006 und das Urteil der Justizkommission des Obergerichts des Kantons Zug vom 21. November 2006, die beide die provisorische Rechtsöffnung für die Hauptforderung von Fr. 454'917.25 beträfen und als definitive Rechtsöffnungstitel für die in ihnen enthaltene Kostenregelung dienten (Beträge von Fr. 3'200.-- und Fr. 1'700.--), sodann um das Urteil des Landgerichts Frankfurt am Main vom 11. Juli 2008, in dem die Aberkennungsklage hinsichtlich der Hauptforderung abgewiesen worden sei (bzw. das entsprechende Urteil des Oberlandesgerichts Frankfurt am Main vom 5. November 2009; vgl. auch den Nichteintretensbeschluss des Bundesgerichtshofs vom 21. September 2010), sowie schliesslich die Kostenfestsetzungsbeschlüsse des Landgerichts vom 1. Dezember 2010 und 21. Dezember 2010 für die Beträge von Fr. 5'280.05 und Fr. 10'687.90. Sowohl das Urteil des Landgerichts wie auch dasjenige des Oberlandesgerichts über die Hauptforderung enthielten eine Vollstreckbarkeitsbescheinigung. Das Appellationsgericht habe schon in einem früheren Verfahren mit Entscheid vom 27. Oktober 2011 (betreffend Konkursandrohung gegen die Beschwerdeführerin) festgehalten, dass die Beschwerdegegner mit dem Urteil des Oberlandesgerichts vom 5. November 2009 ein vorläufig vollstreckbares Urteil in Händen hielten, dass das von ihnen am 17. Februar 2011 gestellte Fortsetzungsbegehren jedoch verspätet erfolgt und die damalige Betreibung verwirkt wäre. Die Beschwerdegegner hätten deshalb am 31. Mai 2012 eine neue Betreibung eingeleitet, die dem vorliegenden Rechtsöffnungsverfahren zugrunde liege. Die definitive Rechtsöffnung könne auch aufgrund eines Urteils gewährt werden, in dem die Aberkennungsklage abgewiesen worden sei, die der Betriebene im Rahmen einer früheren und nunmehr verwirkten Betreibung bezüglich derselben Forderung angehoben hatte. In einer späteren Betreibung könne jenes Urteil als Rechtsöffnungstitel gelten, wenn derselbe Gläubiger gegen denselben Schuldner für die gleiche Forderung auf dem Betreibungsweg die Leistung erneut begehre und die Forderung nicht seit Erlass des Urteils untergegangen sei. Diese Voraussetzungen lägen vor. Die Beschwerdeführerin erhebe einzig die Einrede der Verjährung. Diese Einrede sei aber verspätet und die Verjährung im Übrigen auch gar nicht eingetreten, da sie durch Betreibungshandlungen und Gerichtsurteile immer wieder unterbrochen worden sei. Somit sei den Beschwerdegegnern die verlangte definitive Rechtsöffnung zu erteilen.
3.
Bevor auf die Beschwerde selber einzugehen ist, sind zuerst die separat erfolgten Eingaben der Beschwerdeführerin zu behandeln.
3.1. Die Beschwerdeführerin hat am 24. Juli 2013 eine Eingabe an das Appellationsgericht gerichtet, mit der sie die Aufhebung des Entscheids vom 28. Juni 2013 und die Wiederholung des Verfahrens gestützt auf <ref-law> verlangt. Das Appellationsgericht hat die Eingabe an das Bundesgericht weitergeleitet.
Zu Recht hat das Appellationsgericht die Eingabe nicht mehr selber behandelt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 121 f. mit Hinweisen). Es besteht allerdings kein Anlass, die weitergeleitete Eingabe in eine (ergänzende) Beschwerde an das Bundesgericht umzuqualifizieren, die bloss bei der falschen Instanz eingereicht worden ist (<ref-law>). Die weitschweifige Eingabe richtet sich - ähnlich wie diejenige vom 16. Juli 2013 gegen den Zwischenentscheid vom 27. Juni 2013 (Verfahren 5A_605/2013) - gegen alle am Entscheid vom 28. Juni 2013 mitwirkenden Gerichtspersonen (Richterin Marie-Louise Stamm, Richter Heiner Wohlfart und Olivier Steiner, Gerichtsschreiberinnen Caroline Meyer Honegger und Andrea Pfleiderer). Soweit die Beschwerdeführerin darin nicht bloss das Verfahren aus eigener Sicht schildert und inhaltliche Kritik an den getroffenen Entscheiden übt, so wendet sie sich primär gegen die Mitwirkung von Richterin Stamm und Richter Wohlfart am Entscheid vom 28. Juni 2013. Die anderen beteiligten Gerichtspersonen müssten sich das Wissen um die Unzulässigkeit deren Beteiligung zurechnen lassen. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin erschöpfen sich jedoch weitgehend in einer Wiederholung dessen, was bereits Gegenstand des Zwischenentscheids vom 27. Juni 2013 und des zugehörigen bundesgerichtlichen Verfahrens 5A_605/2013 bildete bzw. bildet (vgl. auch unten E. 4.2.1). Soweit sie sich dagegen wendet, dass der Entscheid vom 28. Juni 2013 gefällt wurde, bevor die Rechtsmittelfrist gegen den Zwischenentscheid vom 27. Juni 2013 abgelaufen war, so bringt sie dies in der Beschwerde an das Bundesgericht ebenfalls vor (unten E. 4.2.2). Der Beschwerdeführerin war somit offenbar bewusst, dass diese Rüge dem Bundesgericht vorgetragen werden kann und sie hat sich insoweit nicht irrtümlich an das Appellationsgericht gewandt. Auf die Eingabe ist folglich nicht einzutreten.
3.2. Ebenfalls nicht einzutreten ist auf die nachträgliche, aber innert Beschwerdefrist erfolgte Eingabe vom 19. August 2013. Die Beschwerdeführerin kritisiert darin - neben der Wiederholung der Vorwürfe an Richterin Stamm und Richter Wohlfart - die Teilnahme von Richter Steiner und Gerichtsschreiberin Meyer Honegger am Entscheid vom 28. Juni 2013, da sie bereits am Entscheid vom 27. Oktober 2011 mitgewirkt hätten. Die Rüge ist verspätet (vgl. dazu Verfahren 5A_605/2013). Das Bundesgericht ist nicht zur Beurteilung von Ausstandsgesuchen zuständig, die der Vorinstanz hätten vorgetragen werden können und müssen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 496 f.; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124). Schliesslich erscheint das Vorgehen der Beschwerdeführerin, Ablehnungsgesuche gegen die beteiligten Gerichtspersonen wegen der angeblichen Vorbefassung "häppchenweise" vorzubringen, als rechtsmissbräuchlich.
4.
4.1. In der eigentlichen Beschwerdeschrift kommt die Beschwerdeführerin zunächst auf die von ihr am 25. März 2013 verlangte Sistierung des Beschwerdeverfahrens vor dem Appellationsgericht zurück, die am 28. März 2013 abgelehnt worden ist. Sie ist nach wie vor der Meinung, das Verfahren hätte nicht weitergeführt und insbesondere der Entscheid vom 28. Juni 2013 nicht gefällt werden dürfen bis zum Entscheid über die an das Zivilgericht gerichteten Anträge gemäss <ref-law> gegen die erstinstanzlichen Gerichtspersonen. In der Fortführung des Verfahrens sieht sie einen Verstoss gegen die Rechtsweggarantie, da das erstinstanzliche Verfahren noch gar nicht beendet gewesen sei. Auch das Zivilgericht verletze die Rechtsweggarantie, und zwar dadurch, dass es bis heute nicht über die Anträge nach <ref-law> entschieden habe. Schliesslich sei durch die Begründung des Sistierungsentscheids das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin verletzt worden, da die Instruktionsrichterin nicht auf alle Argumente eingegangen sei, die für die Sistierung gesprochen hätten.
Es ist fraglich, ob die Beschwerdeführerin den Sistierungsentscheid zusammen mit dem Endentscheid überhaupt noch anfechten kann, ist doch nicht ohne weiteres ersichtlich, wie er sich auf dessen Inhalt auswirken soll (<ref-law>). Die Rügen der Beschwerdeführerin sind aber jedenfalls unbegründet, soweit auf sie eingetreten werden kann. Da die Beschwerdeführerin nach ihren eigenen Angaben das Ablehnungsbegehren gegen die erstinstanzlichen Gerichtspersonen erst nach Erhalt des erstinstanzlichen Urteils erhoben hat, war entgegen ihrer Ansicht das erstinstanzliche Verfahren bereits beendet (<ref-ruling> E. 2 S. 121 f.). Die Instruktionsrichterin war bei der Begründung des Sistierungsentscheids auch nicht gehalten, auf alle Argumente der Beschwerdeführerin einzugehen, sondern konnte sich auf die entscheidwesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237). Die angebliche Verletzung der Rechtsweggarantie durch das Zivilgericht kann vor Bundesgericht nicht gerügt werden (<ref-law>).
4.2.
4.2.1. Des Weiteren kritisiert die Beschwerdeführerin die Teilnahme von Richterin Stamm und Richter Wohlfart am Entscheid vom 28. Juni 2013. Soweit sie ihnen Vorbefassung vorwirft, da sie bereits am Entscheid vom 27. Oktober 2011 gegen die Beschwerdeführerin mitgewirkt hätten, ist diese Rüge im Verfahren 5A_605/2013 zu behandeln.
4.2.2. Die Beschwerdeführerin wendet sich ausserdem dagegen, dass die Vorinstanz den Endentscheid einen Tag nach dem Zwischenentscheid erlassen hat. Sie macht geltend, es sei Richterin Stamm und Richter Wohlfart verboten gewesen, im vorliegenden Verfahren tätig zu werden (d.h. insbesondere den Endentscheid zu erlassen), da die Beschwerdeführerin sie abgelehnt habe und der Entscheid darüber noch nicht rechtskräftig geworden sei.
Über die Ablehnung von Richterin Stamm und Richter Wohlfart ist im Zwischenentscheid vom 27. Juni 2013 befunden worden. Bereits am 28. Juni 2013 hat das Appellationsgericht unter Teilnahme von Richterin Stamm und Richter Wohlfart die Beschwerden materiell beurteilt und den vorliegend angefochtenen Endentscheid gefällt. Die ZPO bzw. übergeordnetes Verfassungsrecht sehen entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin kein Tätigkeitsverbot für die abgelehnten Gerichtspersonen vor, nachdem das entsprechende Ausstandsbegehren abgewiesen, aber die Rechtsmittelfrist gegen den Ausstandsentscheid noch nicht abgelaufen und auch noch kein entsprechendes Rechtsmittel erhoben worden ist. Ihre Prozesshandlungen stehen bloss unter dem Vorbehalt späterer Aufhebung, wenn das Ausstandsbegehren gegen diese Gerichtspersonen im Rechtsmittelverfahren erfolgreich sein sollte (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 4 S. 165 f.; Peter Diggelmann, in: Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], 2011, N. 4 zu <ref-law>; DENIS TAPPY, in: CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, N. 3 zu <ref-law>; Stephan WULLSCHLEGER, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger, Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2. Aufl. 2013, N. 12b zu <ref-law> und N. 19 zu <ref-law>). Eine formelle Rechtsverweigerung beginge die entscheidende richterliche Behörde bloss dann, wenn sie entscheidet, obschon ihre rechtmässige Zusammensetzung und Unvoreingenommenheit vor Bundesgericht streitig und der entsprechenden Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt worden wäre (<ref-ruling> E. 3c S. 323 f.; Urteil 5A_518/2007 vom 13. Dezember 2007 E. 4.2). Die Rüge ist mithin unbegründet.
4.3. Inhaltlich wendet sich die Beschwerdeführerin mit dem Argument gegen den angefochtenen Entscheid, er beruhe zu Unrecht auf der Annahme, dass es sich bei der Forderung, für die definitive Rechtsöffnung gewährt worden sei, um dieselbe handle, über die das Landgericht Frankfurt a.M. am 11. Juli 2008 und das Oberlandesgericht Frankfurt a.M. am 9. (recte: 5.) November 2009 entschieden hätten. Die an diesen Gerichten behandelte negative Feststellungsklage habe einen anderen Gegenstand betroffen bzw. es sei eine die Klageidentität ausschliessende Klageänderung vorgenommen worden.
Soweit die Ausführungen der Beschwerdeführerin überhaupt verständlich sind, schildert sie die prozessualen Abläufe bloss aus eigener Sicht, ohne darzulegen, inwiefern die Vorinstanz den Prozesssachverhalt in willkürlicher Weise festgestellt haben soll. Darauf ist nicht einzutreten (oben E. 1). Mit der vorinstanzlichen Begründung, weshalb die Urteile des Land- bzw. Oberlandesgerichts - nach schweizerischem Recht - als definitive Rechtsöffnungstitel herangezogen werden können, setzt sie sich hingegen nicht auseinander. Ihre Argumentation scheint im Übrigen darauf zu beruhen, dass sie die vollstreckungsrechtliche Natur des Rechtsöffnungsverfahrens verkennt, die auch im Rahmen des LugÜ zu beachten ist (<ref-ruling> E. 7.2.4 S. 22 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 567 ff.). Soweit sie in diesem Zusammenhang eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch das Appellationsgericht dadurch rügt, dass es sich nicht mit allen ihren Einwänden befasst haben soll, so ist erneut darauf hinzuweisen, dass die Vorinstanz nicht auf alle Argumente der Beschwerdeführerin einzugehen brauchte, sondern sich auf die für ihren Entscheid wesentlichen Punkte beschränken konnte (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237). Im Übrigen hat es sich - entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin - mit dem Einwand der Verletzung von <ref-law> sehr wohl befasst und diesen Standpunkt verworfen (E. 1.1 des Entscheids des Appellationsgerichts).
4.4. Die Beschwerde ist folglich abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Die Beschwerdegegner sind mit ihrem Gesuch um Verweigerung der aufschiebenden Wirkung unterlegen, so dass für ihre Eingabe keine Parteientschädigung geschuldet ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 9'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg