Sachverhalt:
A.
Dr. A._ (geb. 1946) verfügte seit dem 30. September 1993 über eine unbefristete Ausnahmebewilligung zur selbstständigen Berufsausübung als Zahnarzt. Die Bewilligung war auf das Gebiet der Gemeinde U._ SG beschränkt.
B.
Im Nachgang einer Aufsichtsanzeige der Eheleute B. und C.D._ vom 2. April 2012, beide Patienten von Dr. A._, ordnete der Kantonszahnarzt eine Begutachtung der Eheleute D._ an. Die Untersuchungen wurden am 21. Mai 2012 durch Dr. med. Dr. med. dent. E._ vorgenommen und die beiden Gutachten am 7. Juni 2012 erstattet. Am 25. Juni 2012 teilte das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen Dr. A._ mit, es werde die Eröffnung eines Disziplinarverfahrens sowie den Entzug der Berufsausübungsbewilligung prüfen, und forderte ihn zur Einreichung von Unterlagen auf. Am 3. September 2012 zeigte das Gesundheitsdepartement Dr. A._ die Eröffnung eines Disziplinarverfahrens an. Im Rahmen des Schriftenwechsels nahm der Gutachter am 19. Oktober 2012 nochmals präzisierend Stellung.
Mit Verfügung vom 4. April 2013 entzog das Gesundheitsdepartement Dr. A._ die am 30. September 1993 erteilte Ausnahmebewilligung zur selbstständigen Berufsausübung als Zahnarzt und auferlegte ihm eine Busse von Fr. 4'000.--.
Gegen den Entzug der Bewilligung erhob Dr. A._ am 6. April 2013 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Dieses stellte die vom Gesundheitsdepartement entzogene aufschiebende Wirkung wieder her und wies die Beschwerde mit Urteil vom 16. April 2014 ab. Die Busse von Fr. 4'000.-- erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 26. Mai 2014 beantragt Dr. A._, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihn weiterhin zur selbstständigen Berufsausübung als Zahnarzt zuzulassen; eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Gesundheitsdepartement stellt keinen materiellen Antrag, hat sich indessen gegen die Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde ausgesprochen.
Mit Präsidialverfügung vom 17. Juni 2014 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung erteilt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil unterliegt als verfahrensabschliessender, kantonal letztinstanzlicher Gerichtsentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>); ein Ausschlussgrund im Sinn von <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerde ist zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch das angefochtene Urteil besonders berührt und hat an dessen Aufhebung ein schutzwürdiges Interesse. Die Beschwerdelegitimation gemäss <ref-law> ist damit gegeben.
1.3. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsfeststellung geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 10.1 S. 445 f.).
Im Fall einer unvollständigen Sachverhaltsfeststellung, welche ebenfalls als Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> zu behandeln ist, kann das Bundesgericht gemäss <ref-law> die Sache an die Vorinstanz oder eine untere Instanz zur ergänzenden Abklärung der Umstände zurückweisen (Urteile 2C_1102/2013 vom 8. Juli 2014 E. 2.2; 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 2; 2C_273/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 1.3; 8C_119/2008 vom 22. September 2008 E. 3).
Die konkrete Beweiswürdigung stellt eine Tatfrage dar (<ref-ruling> E. 6.1 S. 485). Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln eine Rechtsfrage, die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht frei überprüfen kann (Urteile 9C_751/2013 vom 6. Mai 2014 E. 4.2; I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4).
3.
Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Vorinstanz den Entzug der Bewilligung zur selbstständigen Tätigkeit als Zahnarzt zu Recht bestätigt hat.
3.1. Die selbstständige Tätigkeit als Arzt oder Ärztin bedarf einer Bewilligung des Kantons, auf dessen Gebiet sie ausgeübt wird (Art. 34 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe [Medizinalberufegesetz, MedBG; SR 811.11]). Die Bewilligung wird erteilt, wenn die gesuchstellende Person ein entsprechendes eidgenössisches Diplom besitzt (<ref-law>) und vertrauenswürdig ist sowie physisch und psychisch Gewähr für eine einwandfreie Berufsausübung bietet (<ref-law>). Die Bewilligung wird entzogen, wenn ihre Voraussetzungen nicht mehr erfüllt sind oder nachträglich Tatsachen festgestellt werden, auf Grund derer sie hätte verweigert werden müssen (<ref-law>).
3.2. Selbstständig tätige Arztpersonen halten sich zudem an die in <ref-law> normierten Berufspflichten, deren Verletzung durch Disziplinarmassnahmen gemäss <ref-law> sanktioniert werden kann. Gemäss der Generalklausel von <ref-law> (vgl. dazu Urteil 2C_901/2012 vom 30. Januar 2013 E. 3.2) üben sie ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft aus; sie halten sich an die Grenzen der Kompetenzen, die sie im Rahmen der Aus-, Weiter- und Fortbildung erworben haben. <ref-law> statuiert die Pflicht, die beruflichen Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten durch lebenslange Fortbildung zu vertiefen, zu erweitern und zu verbessern. <ref-law> sieht neben der Verwarnung (lit. a), dem Verweis (lit. b) und der Busse bis zu 20'000 Franken (lit. c) ein (befristetes) Verbot der selbstständigen Berufsausübung für längstens sechs Jahre (lit. d) und ein definitives Verbot der selbstständigen Berufsausübung für das ganze oder einen Teil des Tätigkeitsspektrums (lit. e) vor. Für die Verletzung der Berufspflichten nach <ref-law> können nur Disziplinarmassnahmen gemäss Art. 43 Abs. 1 lit. a-c MedBG verhängt werden (<ref-law>).
3.3. Die Bewilligungspflicht nach <ref-law> und die Berufspflichten nach <ref-law> richten sich an Personen, welche einen universitären Medizinalberuf selbstständig ausüben. Beide Rechtsinstitute haben den Schutz der öffentlichen Gesundheit zum Ziel. Der Inhalt der Berufspflichten überschneidet sich teilweise mit den Voraussetzungen für die Bewilligungserteilung, indem ihnen das Element der Vertrauenswürdigkeit implizit zugrunde gelegt ist: Durch die mehrfache und gravierende Verletzung von Berufspflichten kann die Vertrauenswürdigkeit im Sinn von <ref-law> zerstört werden. Der Verlust der Vertrauenswürdigkeit kann also, muss aber nicht aus der Verletzung von Berufspflichten resultieren.
Mit den Disziplinarmassnahmen nach <ref-law> sollen Verfehlungen im Zusammenhang mit der selbstständigen beruflichen Tätigkeit retrospektiv sanktioniert werden. Dies gilt auch für das disziplinarische Verbot der selbstständigen Berufsausübung nach Art. 43 Abs. 1 lit. d und e MedBG: Es kann nur ausgesprochen werden, wenn Berufspflichten, Vorschriften des MedBG oder zugehörige Ausführungsvorschriften verletzt worden sind. Im Gegensatz dazu stellt der Entzug der Bewilligung zur selbstständigen Berufsausübung nach <ref-law> eine prospektive Massnahme dar, weshalb er auch als "Sicherungsentzug" bezeichnet wird ( JEAN-FRANÇOIS DUMOULIN, in: Medizinalberufegesetz [MedBG], Kommentar, 2009, N. 4 zu <ref-law>). Die Unterscheidung zwischen Disziplinar- und Administrativmassnahmen kommt beispielsweise auch im Anwaltsrecht vor (vgl. <ref-ruling> E. 7.2 S. 429).
3.4. Der Begriff "vertrauenswürdig" wird in der Botschaft vom 3. Dezember 2004 zum MedBG (BBl 2005 173, Ziff. 2.6 S. 226 zu Art. 36 E-MedBG) mit "gut beleumdet bzw. allgemein vertrauenswürdig" präzisiert. Mit dem Begriff des Leumunds ist die Ehrenhaftigkeit der Medizinalperson angesprochen (Urteil 2C_879/2013 vom 17. Juni 2014 E. 4.4). Dieser Aspekt der Vertrauenswürdigkeit gemäss <ref-law> steht hier nicht im Vordergrund. Was mit "allgemein vertrauenswürdig" gemeint ist, muss mit Blick auf den massgeblichen Kontext, hier also die öffentliche Gesundheit, ermittelt werden. Dieser Kontext besteht im Kern aus gesundheitspolizeilichen Anliegen, geht aber etwas weiter. Denn der Schutzzweck des Erfordernisses der Vertrauenswürdigkeit besteht nicht nur im (unmittelbaren) Wohl der einzelnen Patientinnen und Patienten, sondern auch darin, deren kollektives Vertrauen zu rechtfertigen und zu erhalten. Das für die Vertrauenswürdigkeit relevante Verhalten ist daher nicht auf die Heilbehandlung als solche beschränkt (Urteil 2C_879/2013 vom 17. Juni 2014 E. 4.4).
3.5. Nach der Rechtsprechung sind an die Vertrauenswürdigkeit im Sinn von <ref-law> hohe Anforderungen zu stellen (Urteile 2C_879/2013 vom 17. Juni 2014 E. 4.5; 2C_68/2009 vom 14. Juli 2009 E. 2.3). Wie in vergleichbaren Fällen, so etwa der Löschung aus dem kantonalen Anwaltsregister (Art. 9 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte [Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61]) ist auch das Verhalten ausserhalb der eigentlichen Berufstätigkeit massgebend, wobei namentlich die charakterliche Eignung der betreffenden Person zu berücksichtigen ist (Urteile 2C_165/2011 vom 24. Juni 2011 E. 6.3; 2C_860/2010 vom 2. März 2011 E. 3.2.3; 2C_68/2009 vom 14. Juli 2009 E. 7.1).
Praxisgemäss muss zudem die Vertrauenswürdigkeit nicht nur im Verhältnis des Bewilligungsinhabers (bzw. Gesuchstellers) zu den Patienten, sondern auch zu den Behörden erfüllt sein (Urteile 2C_389/2012 vom 12. November 2012 E. 7.1; 2C_57/2010 vom 4. Dezember 2010 E. 5.3; 2C_68/2009 vom 14. Juli 2009 E. 5; 2C_191/2008 vom 24. Juni 2008 E. 5.2; 2C_58/2008 vom 14. April 2008 E. 2.3). Im Zusammenhang mit Medizinalberufen ist in erster Linie erforderlich, dass die Vertrauenswürdigkeit im Verhältnis zu den Gesundheitsbehörden bejaht werden kann. Dagegen sind Probleme mit anderen Behörden wie etwa Steuerämtern - vorbehältlich strafbaren Verhaltens - für die Vertrauenswürdigkeit hier von geringerer Relevanz (Urteil 2C_879/2013 vom 17. Juni 2014 E. 4.5).
4.
4.1. Die Vorinstanz begründet den Entzug der Bewilligung wie folgt: Für die Prüfung der Vertrauenswürdigkeit einer Medizinalperson sei unter anderem von Bedeutung, ob diese grundlegend gegen ärztliche Berufspflichten verstossen habe. Die Begutachtung von B. und C.D._ habe gezeigt, dass der Beschwerdeführer grundlegende Arbeiten eines Zahnarztes nur ungenügend beherrsche. Es gebe keine Hinweise, warum auf die Gutachten vom 7. Juni 2012 und auf die ergänzende Stellungnahme vom 19. Oktober 2012 von Dr. med. Dr. med. dent. E._ nicht abgestellt werden dürfte. Die Feststellungen des Gutachters seien für die in Frage stehenden Belange umfassend, seien in Kenntnis der Vorakten abgegeben worden, würden auf allseitigen Untersuchungen beruhen und die von den Parteien (recte: Patienten) vorgebrachten Beschwerden ausreichend berücksichtigen. Zwar könne der Beurteilung des Gutachters - entgegen der Meinung des Gesundheitsdepartements - nicht entnommen werden, dass der Beschwerdeführer durch seine Arbeitsweise in den beiden dokumentierten Fällen das Patientenwohl in schwerwiegender Weise gefährdet hätte. Indessen würden die im Einzelnen ausgemachten überschüssigen Füllungsränder, Randimperfektionen und Zementüberschüsse an den Zähnen der beiden begutachteten Patienten nach Ansicht des Gutachters zweifellos von einer ungenügenden Qualität der Berufsausübung durch den Beschwerdeführer zeugen. Dieser habe, statt Einsicht zu zeigen, die Schuld für die Behandlungsfehler seinen Patienten zuzuschieben versucht. Der Gutachter habe nachvollziehbar dargelegt, dass der Beschwerdeführer bei der Behandlung von B. und C.D._ eine aus fachlicher Sicht mangelhafte zahnärztliche Leistung erbracht habe. Die Fehler seien derart elementar, dass sie ihm nicht hätten unterlaufen dürfen. Es liege demnach ein grobes Fehlverhalten im Sinn von <ref-law> vor, wodurch die Vertrauenswürdigkeit des Beschwerdeführers in Frage gestellt sei.
Die erwähnten Behandlungsfehler würden für sich genommen nicht ausreichen, um dem Beschwerdeführer die Vertrauenswürdigkeit abzusprechen. Indessen habe der Beschwerdeführer jahrelang seine Fortbildungspflicht vernachlässigt, was er nicht bestreite. Dieses Fehlverhalten lasse die festgestellten Behandlungsfehler in einem anderen Licht erscheinen. Zwar sei nicht zweifelsfrei erstellt, dass diese auf die unzureichende Weiterbildung des Beschwerdeführers zurückzuführen seien. Durch die Vernachlässigung der Fortbildungspflicht habe der Beschwerdeführer jedoch zumindest den Anschein erweckt, dass er das Wohl seiner Patienten jahrelang hinter seine eigenen Interessen gestellt habe.
Durch die Verletzung von <ref-law> in Kombination mit dem groben Verstoss gegen <ref-law> sei das in ihn gesetzte Vertrauen soweit beeinträchtigt worden, dass der Entzug der Bewilligung letztlich gerechtfertigt sei. Die Massnahme sei zudem verhältnismässig.
4.2. Der Beschwerdeführer rügt in erster Linie eine mangelhafte Sachverhaltsabklärung: Die "Gutachten" vom 7. Juni 2012 und die Stellungnahme vom 19. Oktober 2012 von Dr. med. Dr. med. dent. E._ würden nicht ausreichen, um von einer Sorgfaltspflichtverletzung auszugehen. Zudem habe die Vorinstanz nicht begründet, warum sie dem Antrag auf Einholung eines (weiteren) Gutachtens nicht stattgegeben habe; der pauschale Verweis auf die Anforderungen an Gutachten vermöge dem Anspruch auf rechtliches Gehör nicht zu genügen.
Die Begründung der Vorinstanz, warum sie den Eventualantrag des Beschwerdeführers auf Einholung eines Gerichtsgutachtens abweist, ergibt sich in erster Linie aus den Erwägungen, in denen auf die Schlussfolgerungen der Arztberichte vom 7. Juni 2012 abgestellt wird. Diese Erwägungen lassen deutlich erkennen, warum die Vorinstanz von der Einholung einer weiteren Expertise abgesehen hat. Eine Verletzung der verfassungsrechtlichen Begründungspflicht als Teilaspekt des Gehörsanspruchs nach <ref-law> ist zu verneinen.
5.
5.1. Gutachten sind Berichte von am Verfahren nicht beteiligten, sachverständigen Personen aus dem Bereich der Tatsachenfeststellung und -würdigung, welche Fragen betreffen, die von der Behörde mangels eigener Sachkenntnis nicht beantwortet werden können ( UELI KIESER, Die rechtliche Würdigung von medizinischen Gutachten, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Rechtsfragen der medizinischen Begutachtung in der Sozialversicherung, 1997, S. 115 ff., S. 126). Ein ärztliches Gutachten stellt die qualifizierte Form einer medizinischen Erhebung dar; ihm liegen eingehende Beobachtungen und Untersuchungen eines oder mehrerer Spezialärzte zu Grunde ( LUCREZIA GLANZMANN-TARNUTZER, Der Beweiswert medizinischer Erhebungen im Zivil-, Straf- und Sozialversicherungsprozess, AJP 2005 S. 73 ff., S. 74). In materieller Hinsicht zeichnet sich eine medizinische Expertise dadurch aus, dass sie im einzelnen und in für den Rechtsanwender nachvollziehbarer Weise diejenigen Grundlagen aufarbeitet, gestützt auf welche der medizinische Sachverständige die ihm gestellten Fragen beantwortet ( ULRICH MEYER-BLASER, Rechtliche Vorgaben an die medizinische Begutachtung, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Rechtsfragen der medizinischen Begutachtung in der Sozialversicherung, 1997, S. 9 ff., S. 23). Ein Gutachten stellt - insbesondere im Vergleich zum Arztbericht - eine qualifizierte Meinungsäusserung dar ( GLANZMANN-TARNUTZER, a.a.O., S. 74).
Der ärztliche Bericht geht im Vergleich zum medizinischen Gutachten in formeller und materieller Hinsicht weniger weit. Beweisrechtlich stellt er eine schriftliche Auskunft des Arztes als einer fachkundigen Person dar. In materieller Hinsicht holt der ärztliche Bericht weniger weit aus, beschränkt sich in der Regel auf die Beantwortung der gestellten Fragen, allenfalls begleitet von einer summarischen Begründung ( MEYER-BLASER, a.a.O., S. 24).
5.2. Der sachverständigen Person sind bloss Sachfragen und keine Rechtsfragen zu unterbreiten; die Beantwortung Letzterer obliegt zwingend dem Gericht (<ref-ruling> E. 4.4.1 S. 269; <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 345). Daraus folgt, dass die auftraggebende Behörde verpflichtet ist, einen sorgfältigen und präzisen Fragekatalog zu formulieren und diesen der sachverständigen Person vorzulegen (vgl. auch Urteile 9C_751/2013 vom 6. Mai 2014 E. 4.3.1; 2C_487/2013 vom 5. September 2013 E. 2.4.2; ferner JÖRG JEGER, Die Kritik an Anwaltschaft und Versicherer aus der Sicht des medizinischen Gutachters, in: Erwin Murer [Hrsg.], Möglichkeiten und Grenzen der medizinischen Begutachtung, 2010, S. 159 ff., S. 168). Die Frage, ob das Recht der betroffenen Person, sich vorgängig zu den Gutachterfragen zu äussern (<ref-ruling> E. 6.1 S. 321 ff.; <ref-ruling> E. 3.4.2.9 S. 258), auch ausserhalb des Sozialversicherungsverfahrens zu beachten ist, wurde vom Bundesgericht bisher offen gelassen (vgl. Urteil 2C_487/2013 vom 5. September 2013 E. 2.5.4), wird in der Lehre jedoch bejaht ( DANIELA THURNHERR, Verfahrensgrundrechte und Verwaltungshandeln, 2013, Rz. 411).
Das Gericht muss gestützt auf eine medizinische Expertise in freier Beweiswürdigung zur Überzeugung gelangen (können), dass die darin zusammengetragenen Fakten eine zuverlässige Beurteilung der Streitsache erlauben (vgl. BGE 137 V 2010 E. 1.3.4 S. 227; <ref-ruling> E. 1c S. 160). Die im Bereich des Sozialversicherungsrechts entwickelte Praxis zur Beweiskraft medizinischer Unterlagen kann - mit den erforderlichen Anpassungen - auch in einem Verfahren betreffend Entzug der Bewilligung zur selbstständigen Ausübung des Arztberufs herangezogen werden. Gemäss dieser Praxis ist hinsichtlich des Beweiswerts eines Arztberichts entscheidend, ob der Bericht für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352). Auch in Fachfragen darf das Gericht nicht ohne triftige Gründe von Gutachten abweichen und muss Abweichungen begründen. Ein Abweichen ist zulässig, wenn die Glaubwürdigkeit des Gutachtens durch die Umstände ernsthaft erschüttert ist. Bestehen Zweifel an der Richtigkeit des Gutachtens und wird dennoch keine ergänzende Abklärung angeordnet, kann sich dies als rechtswidrig erweisen (<ref-ruling> E. 4.4.1 S. 269; <ref-ruling> E. 5.4.2 S. 345 f.). Das Gericht verfällt in eine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung, wenn es trotz Zweifeln an der Schlüssigkeit oder Vollständigkeit des Gutachtens auf ergänzende Abklärungen verzichtet (Urteile 9C_751/2013 vom 6. Mai 2014 E. 4.3.3; 2C_487/2013 vom 5. September 2013 E. 2.1.2).
Für den vorliegenden Fall sind Modifikationen dieser Grundsätze insoweit notwendig, als es hier in erster Linie darum geht, ob der Beschwerdeführer die zahnärztlichen Behandlungen fachgerecht ausgeführt hat. Die medizinische Situation der Exploranden war somit nicht um ihrer selbst willen zu untersuchen, sondern diente der Beantwortung der Hauptfrage.
5.3. Die Berichte von Dr. med. Dr. med. dent. E._ vom 7. Juni 2012 betreffend die Untersuchungen von B. und C.D._ tragen die Überschrift "Begutachtung". Sie umfassen je etwas mehr als eine halbe A4-Seite; als Beilagen werden "Unterlagen und Kopien der Röntgenbilder" erwähnt. Im ersten Abschnitt des Berichts wird gesagt, der Gutachter habe die Untersuchung am 21. Mai 2012 im Auftrag des Kantonszahnarztes durchgeführt. Herr und Frau D._ seien langjährige Patienten des Beschwerdeführers; sie seien mit der zahnärztlichen Behandlung während des letzten Jahres unzufrieden. Sodann werden die vom Beschwerdeführer im Jahr 2011 abgerechneten Behandlungen aufgezählt. Darauf folgt der Anlass, welcher zur (jeweiligen) Aufsichtsanzeige geführt hat. Dieser bestand bei B.D._ darin, dass eine Krone auf den Zahn 46 angefertigt worden, jedoch schon nach einem Monat wieder herausgefallen sei. In Bezug auf C.D._ wird als Anlass genannt, sie könne mit den neuen Kronen nicht gut beissen; zudem wird auf die zahnärztlichen Probleme ihres Mannes verwiesen. Der zweite Abschnitt der Berichte enthält den Befund, der dritte die Beurteilung. Darin kommt Dr. med. Dr. med. dent. E._ zum Schluss, die Behandlungen würden nicht den Qualitätsrichtlinien der Schweizerischen Zahnärztegesellschaft entsprechen. Es liege eine mangelhafte zahnärztliche Versorgung vor, und bei B.D._ seien zwei Kunstfehler begangen worden.
In der ergänzenden Stellungnahme vom 19. Oktober 2012, welche pro Explorand nochmals je eine A4-Seite umfasst, relativierte der Sachverständige seine Beurteilung vom 7. Juni 2012 in verschiedener Hinsicht. In beiden Fällen empfahl er, bei einem universitären Zentrum "ein umfassendes ausführliches Gutachten" einzuholen, obwohl er der Meinung sei, sich zwar kurz, aber genügend genau ausgedrückt zu haben.
6.
Im Folgenden ist zu prüfen, ob die Vorinstanz zu Recht auf die Berichte von Dr. med. Dr. med. dent. E._ vom 7. Juni 2012 und dessen ergänzende Stellungnahme vom 19. Oktober 2012 abgestellt hat.
6.1. Aufgrund der äusseren Form der Berichte vom 7. Juni 2012 und des knappen Inhalts ergibt sich, dass es sich nicht um ärztliche Gutachten im qualifizierten Sinn (vgl. E. 5.1) handelt. Zwar ist weder die Herkunft eines Beweismittels noch die Bezeichnung der in Auftrag gegebenen Stellungnahme als Bericht oder als Gutachten für den Beweiswert massgeblich, sondern dessen Inhalt (BGE <ref-ruling> E. 1c S. 160). Dennoch ist fraglich, ob zwei einfache Arztberichte für eine so schwerwiegende Massnahme wie den Entzug der Bewilligung zur selbstständigen ärztlichen Tätigkeit eine genügende Grundlage darstellen können. Vorliegend gilt dies umso mehr in Anbetracht der mit Stellungnahme vom 19. Oktober 2012 ergänzend angebrachten Relativierungen, legen diese doch die Vermutung nahe, dass die Berichte vom 7. Juni 2012 nicht vollständig waren und der Klärung bedurften.
6.2. Weder aus dem angefochtenen Urteil noch aus den Akten geht hervor, dass dem begutachtenden Arzt seitens der zuständigen Gesundheitsbehörde ein Fragekatalog vorgelegt worden wäre. Den Berichten vom 7. Juni 2012 ist lediglich zu entnehmen, wann und in wessen Auftrag die Untersuchungen durchgeführt wurden. Indem dem Sachverständigen weder der Zweck des Auftrags erläutert noch konkrete Fragen unterbreitet wurden, haftet den beiden Berichten von vornherein ein erheblicher Mangel an. Bei dieser Ausgangslage war nicht zu erwarten, dass der Sachverständige genau jene Fragen beantworten würde, die sich im Zusammenhang mit der Vertrauenswürdigkeit stellen.
6.3. In Bezug auf Herrn D._s Zahn 46, dessen Krone angeblich schon nach einem Monat (Ende 2011) wieder abgefallen war, hatte sich der Sachverständige auf die Aussage des Exploranden verlassen, wonach der Zahn erst gerade neu überkront worden sei. Der Vorfall hatte offenbar den Hauptanlass für die Aufsichtsanzeige von B.D._ gebildet (vgl. E. 5.3). In seiner Stellungnahme vom 19. Oktober 2012 musste der Sachverständige einräumen, dass dieser Zahn gemäss der Krankengeschichte bereits im September 2009 überkront worden war. Der Zeitpunkt der Überkronung der Zähne 13 und 46 sei aufgrund der Aussagen des Exploranden verwechselt worden.
Die Begutachtung sei aus Gründen des Aufwands bewusst kurz und bündig gehalten worden und könne auch nur den Ist-Zustand beleuchten. Zu analysieren, welcher Zahn wann genau und von wem behandelt worden sei, sei in diesem Rahmen nicht möglich gewesen. Es werde auch nicht alles dem Beschwerdeführer angelastet, sondern es würden nur Befunde aufgeführt. Die Qualität der Behandlung sei teilweise ungenügend.
6.4. Die im Bericht vom 7. Juni 2012 betreffend C.D._ abgegebene Beurteilung relativiert der Sachverständige in seiner Stellungnahme vom 19. Oktober 2012 in ähnlicher Weise und empfiehlt auch hier, wie im Fall von B.D._, die Einholung eines umfassenden Gutachtens an einem universitären Zentrum.
6.5. Die Kriterien betreffend die Beweiskraft eines Arztberichts (vgl. E. 5.2) - soweit sie für eine Expertise zur Fachgerechtigkeit ärztlicher Behandlungen einschlägig sind - sind offensichtlich nicht erfüllt:
Die Berichte beruhen nicht auf allseitigen Untersuchungen und sind für die streitigen Belange gerade nicht umfassend, nachdem der Sachverständige selbst einräumen musste, er wisse nicht, welcher Zahn von wem behandelt worden sei, und er habe nur den Ist-Zustand beschrieben.
Die Berücksichtigung der beklagten Beschwerden tritt hier in den Hintergrund, denn dieses Element ist auf die Prüfung sozialversicherungsrechtlicher Leistungen infolge eines Gesundheitsschadens zugeschnitten. Bei der Prüfung der Vertrauenswürdigkeit einer Arztperson haben die gesundheitlichen Beschwerden der Anzeiger keine eigenständige Bedeutung; sie sind immer in Verbindung mit der Behandlung zu würdigen.
Die Berichte vom 7. Juni 2012 wurden - entgegen der Annahme der Vorinstanz - nicht in Kenntnis der Krankengeschichten erstellt. Aus den Akten geht hervor, dass das Gesundheitsdepartement die Krankengeschichten erst am 11. September 2012 erhalten hat. Erst in der Stellungnahme vom 19. Oktober 2012 wird - im Zusammenhang mit der Verwechslung der Zähne 13 und 46 - auf die Krankengeschichte Bezug genommen. Dies stellt einen gravierenden Mangel dar.
Die Beurteilung der medizinischen Situation steht hier nicht im Vordergrund, weil nicht der Gesundheitszustand, sondern die medizinische Behandlung Gegenstand der Expertise bildet.
Das Erfordernis, wonach die Schlussfolgerungen des Experten begründet sein müssen, kann zum vornherein nicht erfüllt sein, nachdem der Sachverständige selbst seine Erkenntnisse relativiert und die Einholung eines Gutachtens an einem universitären Zentrum empfohlen hat. Klarerweise kann eine Expertise nicht als schlüssig bezeichnet werden, wenn ausgerechnet jener Zahn, dessen Behandlung Anlass der Aufsichtsanzeige gebildet hatte, mit einem anderen Zahn verwechselt wird, weil der Experte unbesehen auf die falsche Auskunft des Exploranden abgestellt hat.
6.6. Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass es willkürlich wäre, auf die beiden Arztberichte vom 7. Juni 2012 abzustellen. Der fehlende Fragekatalog, der nachträgliche Beizug der Krankengeschichten, die Unklarheit, welche Zähne überhaupt vom Beschwerdeführer behandelt worden sind, die Frage, ob der Zustand der Gebisse auf die Behandlung durch den Beschwerdeführer oder, wie dieser geltend macht, auf mangelhafte Befolgung der ärztlichen Ratschläge seitens der Patienten zurückzuführen sind, sowie die Tatsache, dass der Sachverständige selbst die Aussagekraft seiner Angaben erheblich relativiert, Fehler eingeräumt, Schuldzuweisungen gegenüber dem Beschwerdeführer zurückgenommen und ausdrücklich die Einholung eines Gutachtens an einem universitären Zentrum empfohlen hat, erschüttern deren Beweiskraft nachhaltig. Bei dieser Sachlage hätte die Vorinstanz weitere Beweismassnahmen anordnen müssen. Neben dem Willkürverbot nach <ref-law> hat sie auch Art. 36 Abs. 1 lit. b und <ref-law> verletzt, indem sie dem Beschwerdeführer gestützt auf die Arztberichte vom 7. Juni 2012 und die Stellungnahme vom 19. Oktober 2012 die Vertrauenswürdigkeit absprach und die Bewilligung zur selbstständigen Tätigkeit als Zahnarzt entzog.
7.
Die Beschwerde erweist sich im Eventualantrag als begründet, was die Rückweisung der Sache zur weiteren Abklärung an die Vorinstanz zur Folge hat. Diese wird dabei Folgendes zu beachten haben:
Dem Beschwerdeführer ist die Vertrauenswürdigkeit nicht allein wegen der (nach Ansicht der Vorinstanz) mangelhaften Heilbehandlung der beiden Anzeiger abgesprochen worden, sondern in Verbindung mit der jahrelangen Vernachlässigung der Fortbildungspflicht. Zusätzlich zum so begründeten Entzug der Bewilligung war der Beschwerdeführer vom Gesundheitsdepartement wegen Verletzung von Berufspflichten nach Art. 40 lit. a und b MedBG (also aus den gleichen Gründen) mit Fr. 4'000.-- gebüsst worden und hatte diese Massnahme akzeptiert. Disziplinarmassnahmen sollen fehlbares Verhalten retrospektiv sanktionieren (vgl. E. 3.3), was hier durch die Busse geschehen ist. Ob für die Zukunft eine Gefährdung der öffentlichen Gesundheit feststellbar ist, welche den Entzug der Bewilligung rechtfertigt, bildet Gegenstand der zu treffenden Abklärungen. Dabei ist das Schwergewicht auf die Heilbehandlungen zu legen. Die Annahme, dass die Vernachlässigung der Fortbildungspflicht nach Art. 40 lit. b MedbG dergestalt in die Zukunft wirken würde, dass die Vertrauenswürdigkeit beschädigt wäre, bedürfte besonderer Begründung, nachdem der Beschwerdeführer der Fortbildungspflicht seit Anhebung des Disziplinarverfahrens wieder nachkommt und wegen deren Verletzung bereits gebüsst wurde. Wenngleich Verstösse gegen Berufspflichten die Vertrauenswürdigkeit grundsätzlich in Frage stellen können, bedarf es dafür einer gewissen Schwere der Verfehlungen. Mit Blick auf die Prospektivität des Sicherungsentzugs (vgl. E. 3.3) ist eine Beeinträchtigung der Vertrauenswürdigkeit infolge Verletzung der Fortbildungspflicht, welche ohnehin weniger schwerwiegend ist (vgl. E. 3.2 am Ende), nicht leichthin anzunehmen. Die Vertrauenswürdigkeit kann dem Beschwerdeführer somit schwergewichtig nur gestützt auf schwere, wiederholte Verstösse gegen <ref-law> abgesprochen werden. Dafür ist ein mängelfreies, mit Blick auf die hier zu prüfenden Sorgfaltspflichtverletzungen umfassendes Arztgutachten einzuholen und gestützt darauf über einen allfälligen Entzug der Bewilligung zur selbstständigen Tätigkeit als Zahnarzt in der Gemeinde U._ SG neu zu befinden.
8.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben, und die Sache ist zur weiteren Abklärung im Sinn der Erwägungen und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der obsiegende Beschwerdeführer keine Gerichtskosten zu tragen (<ref-law> e contrario). Dem unterliegenden Kanton St. Gallen sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>); er hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. April 2014 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinn der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton St. Gallen hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner