Faits:
A. X._, ressortissant turc, né en 1985, s'est marié en Turquie, le 26 juin 2004, avec une compatriote titulaire d'une autorisation d'établissement dans le canton de Fribourg. Au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial, il est arrivé en Suisse le 9 décembre 2004. Un enfant prénommé Rojhat est issu de cette union, le 22 septembre 2005.
Les époux se sont séparés en octobre 2006 et leur séparation a été confirmée, par jugement du Tribunal civil de la Glâne du 4 décembre 2006. Ils n'ont pas repris la vie commune depuis lors.
B. Par décision du 20 août 2007, le Service de la population et des migrants du canton de Fribourg a rejeté la demande d'autorisation de séjour requise par X._, à la suite du refus du canton de Genève d'accepter son changement de canton.
Statuant le 16 septembre 2009 sur le recours de X._ contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg (Ie Cour administrative) a rejeté celui-ci et a mis les frais à la charge du recourant.
C. X._ forme un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral et conclut, avec suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt du Tribunal cantonal du 16 septembre 2009 et à l'octroi d'une autorisation annuelle de séjour dans le canton de Fribourg. Il présente également une demande d'assistance judiciaire.
Le Tribunal cantonal et le Service de la population et des migrants ont renoncé à déposer des observations et se réfèrent à l'arrêt attaqué. Quant à l'Office fédéral des migrations, il propose le rejet du recours.
Par ordonnance présidentielle du 21 octobre 2009, la demande d'effet suspensif présenté par le recourant a été admise.

Considérant en droit:
1. La demande d'autorisation de séjour ayant été déposée par le recourant avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la loi fédérale sur les étrangers du 16 décembre 2005 (LEtr; RS 142.20), le cas demeure régi par l'ancien droit (cf. art. 126 al. 1 LEtr), à savoir la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE).
2. Aux termes de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
2.1 Selon l'art. 17 al. 2 LSEE, le conjoint d'un étranger possédant l'autorisation d'établissement a droit à l'autorisation de séjour aussi longtemps que les époux vivent ensemble. Indépendamment des motifs de séparation, le seul fait que les conjoints ne fassent plus ménage commun entraîne la déchéance de ce droit, à moins que la rupture ne soit que de très courte durée et qu'une reprise de la vie commune puisse être sérieusement envisagée à brève échéance (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 116).
Il est en l'espèce constant que les époux sont séparés depuis le mois d'octobre 2006, qu'ils n'ont pas repris la vie commune depuis cette séparation, confirmée judiciairement le 4 décembre 2006, et qu'il n'existe aucun indice d'une possible réconciliation. Par conséquent, le recourant ne saurait déduire de l'art. 17 al. 2 LSEE un droit à obtenir une autorisation de séjour.
2.2 Selon la jurisprudence, un étranger peut, selon les circonstances, se prévaloir du droit au respect de sa vie privée et familiale au sens de l'art. 8 § 1 CEDH, respectivement 13 al. 1 Cst., pour s'opposer à une éventuelle séparation de sa famille. Encore faut-il, pour pouvoir invoquer cette disposition, que la relation entre l'étranger et une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse soit étroite et effective (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 145; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 285 et les arrêts cités). L'art. 8 CEDH s'applique lorsqu'un étranger fait valoir une relation intacte avec ses enfants bénéficiant du droit de résider en Suisse, même si ces derniers ne sont pas placés sous son autorité parentale ou sous sa garde du point de vue du droit de la famille (<ref-ruling> consid. 1d p. 3; <ref-ruling> consid. 1c p. 84; <ref-ruling> consid. 1c p. 157 et les références).
En l'espèce, le fils du recourant, âgé actuellement de quatre ans et demi, possède, comme sa mère qui en a la garde, un droit de présence en Suisse. Depuis qu'il est séparé, le recourant a versé la pension alimentaire à laquelle le Tribunal civil de la Glâne l'a astreint et, pour autant que la mère ne s'y oppose pas, il essaie d'exercer régulièrement son droit de visite de trois heures par semaine. Le recourant peut dès lors se prévaloir de l'art. 8 CEDH, du moment que l'arrêt attaqué a des incidences sur les relations personnelles qu'il entretient avec son fils. Le recours en matière de droit public est donc recevable sous cet angle.
3. 3.1 Le droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'art. 8 § 1 CEDH n'est pas absolu. Une ingérence dans l'exercice de ce droit est possible, selon l'art. 8 § 2 CEDH, pour autant qu'elle soit prévue par la loi et qu'elle constitue une mesure qui, dans une société démocratique, est nécessaire à la sécurité nationale, à la sûreté publique, au bien-être économique du pays, à la défense de l'ordre et à la prévention des infractions pénales, à la protection de la santé ou de la morale, ou à la protection des droits et libertés d'autrui. La question de savoir si, dans un cas d'espèce, les autorités de police des étrangers sont tenues d'accorder une autorisation de séjour fondée sur l'art. 8 CEDH doit être résolue sur la base d'une pesée de tous les intérêts privés et publics en présence (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 147; <ref-ruling> consid. 2e p. 639; <ref-ruling> consid. 3c p. 5).
Pour ce qui est de l'intérêt privé à obtenir une autorisation de séjour, il faut constater que l'étranger disposant d'un droit de visite sur son enfant habilité à résider en Suisse peut en principe exercer ce droit même s'il vit à l'étranger, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée. Un droit plus étendu peut exister en présence de liens familiaux particulièrement forts dans les domaines affectif et économique et lorsque, en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue; en outre, le parent qui entend se prévaloir de cette garantie doit avoir fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (<ref-ruling> consid. 3c p. 5, 22 consid. 4a p. 25; arrêt 2C_335/2009 du 12 février 2010, consid. 2.2.2 et les références citées).
3.2 Dans le cas particulier, le Tribunal cantonal a estimé que, faute de relation effectivement vécue avec l'enfant, il importait peu que le recourant ait respecté son obligation de verser une pension alimentaire, car l'aspect économique de la relation ne suffisait pas à reconnaître l'existence de liens familiaux forts, lorsque l'aspect affectif était manifestement insuffisant. Il ressort en effet des constatations cantonales, dont le recourant ne prétend pas qu'elles seraient manifestement inexactes ou arbitraires (cf. <ref-law>), que le fils du recourant avait un an au moment de la séparation de ses parents et qu'ensuite, le père a disposé d'un droit de visite qui était limité à trois heures par semaine au moment du dépôt du recours. A défaut de liens suffisamment étroits avec l'enfant, les exigences de l'art. 8 CEDH sont respectées lorsque le droit de visite peut être exercé depuis l'étranger, à l'occasion de courts séjours. Contrairement à ce que croit le recourant, cela n'oblige pas la mère de l'enfant à se rendre avec celui-ci en Turquie, mais implique que lui-même obtienne des sauf-conduits pour venir trouver son fils en Suisse.
3.3 Il s'ensuit que les relations que le recourant entretient avec son fils ne lui permettent pas d'obtenir une autorisation de séjour fondée sur l'art. 8 CEDH.
4. Le Tribunal cantonal a encore examiné s'il y avait lieu d'accorder au recourant une autorisation de séjour sur la base du libre pouvoir d'appréciation dont disposent les autorités cantonales en vertu de l'art. 4 LSEE. Le recourant estime qu'en procédant à cet examen, la juridiction cantonale a admis arbitrairement qu'il entretenait des contacts réguliers et sérieux avec la Turquie, alors qu'il s'était bien intégré en Suisse.
Dans la mesure où le recourant ne peut tirer aucun droit de l'art. 4 LSEE, son grief ne peut être examiné dans le cadre d'un recours en matière de droit public (art. 83 let. c ch. 2 LTF).
Un tel grief ne serait pas davantage recevable dans le cadre d'un recours constitutionnel subsidiaire, car l'<ref-law> fait dépendre la qualité pour former un tel recours d'un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée. Or, selon la jurisprudence, le principe de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) ne confère pas, à lui seul, une position juridiquement protégée au sens de la disposition précitée. Un recourant n'a donc qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire que si les dispositions légales dont il dénonce l'application arbitraire lui accordent un droit ou servent à protéger ses intérêts prétendument lésés, condition non remplie en l'espèce (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 191 et 6.3 p. 200 et les arrêts cités).
5. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Le recourant a présenté une demande d'assistance judiciaire devant le Tribunal fédéral, en faisant valoir qu'il ne travaillait plus, faute de pouvoir disposer d'une autorisation. Il ressort toutefois des considérants précités que les conclusions de son recours étaient manifestement dépourvues de chances de succès, de sorte que la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Il y a lieu ainsi de mettre les frais judiciaires à la charge du recourant, en tenant cependant compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Service de la population et des migrants et à la Ie Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 1er avril 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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