hat sich ergeben:
A.- X._ erhob Beschwerde gegen eine Verfügung der Staatsanwaltschaft des Kantons Zug vom 21. Juni 2001, mit der die Herausgabe von Dokumenten an die englischen Behörden angeordnet worden war. Mit Urteil vom 31. August 2001 wies das Obergericht des Kantons Zug die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
B.- Gegen diesen Entscheid reichte X._ am 8. Oktober 2001 beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde ein.
Er wurde mit Verfügung vom 15. Oktober 2001 aufgefordert, bis zum 29. Oktober 2001 einen Kostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu bezahlen. Neben dem Hinweis, bei Säumnis werde auf die Rechtsvorkehr nicht eingetreten, enthielt das Kostenvorschussformular u.a. folgende Erläuterungen: "Bei Sammelaufträgen mit Datenträgern SAD (wird von den meisten Banken benützt) gilt das vom SAD-Benützer an die Post eingegebene Fälligkeitsdatum und nicht das Auftragsdatum an die Bank. Bei Zahlungsauftrag an eine Bank haben Sie dafür zu sorgen, dass diese den Auftrag frühzeitig ausführt. Die Rechtzeitigkeit ist im Zweifel von Ihnen nachzuweisen.. "
Der verlangte Kostenvorschuss wurde der Bundesgerichtskasse am 31. Oktober 2001 gutgeschrieben. Nach den Angaben der Postfinance traf der Zahlungsauftrag am 30. Oktober 2001 nach 02.00 Uhr bei ihr ein; als Fälligkeitsdatum für die Zahlung war der 30. Oktober 2001 angegeben.
C.- Das Bundesgericht gab dem Beschwerdeführer Gelegenheit, sich zur Rechtzeitigkeit der Zahlung des Kostenvorschusses zu äussern. Der Beschwerdeführer tat dies in einer Eingabe vom 19. November 2001.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Bei fruchtlosem Ablauf der für die Bezahlung des Kostenvorschusses angesetzten Frist wird auf die Rechtsvorkehr nicht eingetreten (Art. 150 Abs. 4 OG).
b) Gemäss Art. 32 Abs. 3 OG gilt eine Frist als eingehalten, wenn die Handlung innerhalb der angesetzten Frist vorgenommen wird. Nach dieser Vorschrift müssen Eingaben spätestens am letzten Tag der Frist der zuständigen Behörde eingereicht oder zu deren Handen der schweizerischen Post übergeben werden. Diese Regelung ist analog auf die Einzahlung eines Kostenvorschusses anwendbar. Wird eine Bank mit der Bezahlung des Kostenvorschusses beauftragt, so gilt die Zahlung nur dann als rechtzeitig erbracht, wenn die Bank ihrerseits im Sinne von Art. 32 Abs. 3 OG rechtzeitig handelt.
Allfällige Versäumnisse der Bank werden der Partei zugerechnet, da die Bank als deren Hilfsperson betrachtet wird (<ref-ruling> E. 2 S. 69 ff.).
Benützt die Bank zur Ausführung des Auftrages den Sammelauftragsdienst (SAD) der PTT, so gilt die Zahlung dann als rechtzeitig erfolgt, wenn einerseits spätestens der letzte Tag der vom Bundesgericht festgesetzten Frist als Fälligkeitsdatum eingesetzt ist und anderseits der Datenträger innert dieser Frist der Post übergeben wird (<ref-ruling> E. 2a S. 222).
c) Im vorliegenden Fall macht der Beschwerdeführer geltend, seine Ehefrau habe den Zahlungsauftrag am 26. Oktober 2001 einer Filiale der Barclays Bank erteilt und diese habe den Zahlungsauftrag am 26. Oktober 2001 um 15.12 Uhr ausgeführt. Der von ihm eingereichten Kopie der "Payment message" ist indes bloss zu entnehmen, dass die Barclays Bank am genannten Datum den Empfang des von der Ehefrau des Beschwerdeführers erteilten Zahlungsauftrags bestätigt hat ("swift acknowledged"). Wie auf dem Kostenvorschussformular angegeben wurde, ist bei Sammelaufträgen mit Datenträgern SAD nicht das Auftragsdatum an die Bank entscheidend, sondern das vom SAD-Benützer an die Post eingegebene Fälligkeitsdatum. Nach den Angaben der Postfinance ging im hier zu beurteilenden Fall der Datenträger am 30. Oktober 2001 bei ihr ein und als Fälligkeitsdatum für die Zahlung war der 30. Oktober 2001 angegeben. Dies bedeutet, dass der Kostenvorschuss nach Ablauf der angesetzten Frist und damit verspätet geleistet wurde. Gemäss Art. 150 Abs. 4 OG kann deshalb auf die vorliegende Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht eingetreten werden.
2.- Entsprechend dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1.- Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zug, Justizkommission, sowie dem Bundesamt für Justiz, Abteilung Internationale Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 22. November 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: