Sachverhalt:
A. X._ wurde 1967 in der Türkei geboren. Ab 1985 unterhielt er dort eine Beziehung mit der 1972 geborenen Z._. Im August 1986 gebar diese das erste gemeinsame Kind.
Im November 1989 reiste X._ in die Schweiz ein und stellte hier ein Asylgesuch.
Im Januar 1990 gebar Z._ in der Türkei das zweite gemeinsame Kind.
Am 30. August 1990 wurde das Asylgesuch erstinstanzlich abgewiesen. Dagegen erhob X._ Beschwerde.
Im Jahr 1993 lernte er in der Schweiz die 1944 geborene Y._ kennen und zog im Frühling 1994 in ihre Wohnung.
Mit Urteil vom 20. Oktober 1994 bestätigte die Asylrekurskommission letztinstanzlich den ablehnenden Asylentscheid und setzte X._ eine Ausreisefrist bis zum 31. Januar 1995 an.
Am 1. Februar 1995 verliess er die Schweiz, kehrte in sein Heimatland zurück und nahm sogleich wieder die Beziehung mit Z._ auf. Mit dieser zeugte er im März 1995 das dritte Kind.
Im Frühling 1995 besuchte Y._ den X._ in der Türkei. Anlässlich eines weiteren Besuchs von Y._ in der Türkei heirateten die beiden dort am 6. Juni 1995.
Aufgrund der Heirat wurde X._ im Kanton Zürich eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Im November 1995 zog er zu Y._ in die Schweiz.
Am 1. Januar 1996 gebar Z._ in der Türkei das dritte Kind.
B. Am 16. März 1999 ersuchte X._ um die erleichterte Einbürgerung.
Im Rahmen des Einbürgerungsverfahrens unterzeichneten er und Y._ am 4. Mai 2000 gemeinsam eine Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten und stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten hätten. Sie nahmen unterschriftlich zur Kenntnis, "dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich ist, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt hat oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr besteht. Ebenso bestätigten sie zu wissen, dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne.
Am 13. Juni 2000 wurde X._ in Anwendung von Art. 27 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0) erleichtert eingebürgert.
C. Im Dezember 2001 reichten X._ und Y._ gemeinsam ein Scheidungsbegehren ein. Mit Urteil vom 15. Juli 2002 schied das Bezirksgericht Uster die Ehe. Das Urteil erwuchs am 31. August 2002 in Rechtskraft.
Am 19. Februar 2003 heiratete X._ in der Türkei Z._.
Am 26. Mai 2003 stellte er für diese und die drei Kinder ein Gesuch um Familiennachzug.
D. Mit Schreiben vom 28. November 2003 teilte das Bundesamt für Migration (im Folgenden: Bundesamt) X._ mit, es bestehe Grund zur Annahme, dass er die Einbürgerung erschlichen habe und die Voraussetzungen für deren Nichtigerklärung gemäss Art. 41 BüG erfüllt seien.
Am 15. März bzw. 4. April 2005 erteilten die Heimatkantone Schwyz und Zürich die Zustimmung zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung.
Mit Verfügung vom 10. Mai 2005 erklärte das Bundesamt die erleichterte Einbürgerung von X._ als nichtig.
Die von X._ hiergegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 29. August 2008 ab.
E. X._ und Y._ führen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben; die Nichtigerklärung der Einbürgerung sei aufzuheben und X._ das Schweizer Bürgerrecht zu belassen.
In prozessualer Hinsicht beantragen sie, folgende Personen seien als Zeugen einzuvernehmen: Y._, A._, B._, C._, die Ehegatten D._, die Ehegatten E._ und F._. Überdies sei X._ zu befragen. Die Scheidungsakten des Bezirksgerichts Uster seien beizuziehen. Eventualiter sei den Beschwerdeführern Frist anzusetzen, um von den genannten Personen schriftliche Erklärungen beizuziehen. Eventualiter sei das Verfahren zur Durchführung des Beweisverfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
F. Das Bundesamt und das Bundesverwaltungsgericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid betrifft eine Sache des öffentlichen Rechts. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher gemäss Art. 82 lit. a BGG gegeben.
1.2 Der Ausschlussgrund nach Art. 83 lit. b BGG betrifft ordentliche Einbürgerungen und ist hier somit nicht anwendbar (Urteil 1C_254/2008 vom 15. September 2008 E. 1).
1.3 Als Vorinstanz hat das Bundesverwaltungsgericht entschieden. Die Beschwerde ist deshalb nach Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG zulässig.
1.4 Gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde berechtigt, wer a) vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat; b) durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist; und c) ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat.
Die Beschwerdebefungis des Beschwerdeführers ist zu bejahen.
Anders verhält es sich in Bezug auf die Beschwerdeführerin. Die Vorinstanz erwähnt diese im Rubrum des angefochtenen Entscheids nicht. Dies offenbar aus folgendem Grund: Das Bundesamt erklärte die erleichterte Einbürgerung mit Verfügung vom 10. Mai 2005 als nichtig. Diese Verfügung ging am 17. Mai 2005 bei der damaligen Anwältin des Beschwerdeführers ein (act. 1 S. 3 Ziff. 1). Die Beschwerdefrist von dreissig Tagen lief somit am 16. Juni 2005 ab. An diesem Tag erhob der Beschwerdeführer in seinem Namen Beschwerde. Am 23. Juni 2005 und damit eine Woche nach Ablauf der Beschwerdefrist bevollmächtigte die Beschwerdeführerin den neuen Anwalt des Beschwerdeführers. Am 9. Dezember 2005 erklärte der Beschwerdeführer, die Beschwerdeführerin beantrage ebenfalls, die Beschwerde gutzuheissen und dem Beschwerdeführer das Bürgerrecht zu belassen. Wollte man annehmen, damit sei zumindest sinngemäss das Gesuch gestellt worden, die Beschwerdeführerin als Partei in das Verfahren einzubeziehen, wäre es nach dem Gesagten verspätet gewesen. Daher fehlt es hinsichtlich der Beschwerdeführerin schon an der rechtsgültigen Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren nach Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG. Überdies legt sie nicht hinreichend dar, inwiefern sie als geschiedene Ehegattin durch den angefochtenen Entscheid im Sinne von Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG besonders berührt sein und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung haben soll. Ihre Beschwerdebefugnis ist deshalb zu verneinen.
2. Die Vorinstanz erwägt, die Eckdaten (Beziehung und gemeinsame Kinder mit einer jungen türkischen Landsfrau, Heirat einer 23 Jahre älteren Schweizerin nach Abschluss des Asylverfahrens bzw. Verlust des Aufenthaltsrechts in der Schweiz, Scheidung nach der erleichterten Einbürgerung, Heirat der Mutter seiner Kinder und Einreichung eines Gesuchs um Familiennachzug) sprächen gegen den Beschwerdeführer. Aufgrund einer Gesamtwürdigung dieser Sachverhaltselemente bestehe die natürliche Vermutung, dass der Beschwerdeführer durch das Eingehen der Ehe mit der Beschwerdeführerin nicht beabsichtigt habe, eine auf Dauer und Ausschliesslichkeit ausgerichtete Lebensgemeinschaft zu begründen. Vielmehr liessen die objektiven Umstände vermuten, dass er seinen familiären Schwerpunkt stets bei seiner türkischen Partnerin sowie den gemeinsamen Kindern gehabt habe und die Ehe mit der Beschwerdeführerin im Wesentlichen zur Verfolgung seiner persönlichen, ausländerrechtlichen Ziele eingegangen sei und dies im Einbürgerungsverfahren wissentlich verschwiegen habe (S. 13 E. 7).
Die Vorinstanz kommt sodann (S. 13 ff. E. 8 und 10) zum Schluss, der Beschwerdeführer habe die genannte natürliche Vermutung nicht widerlegen können.
Auf den Beizug der Scheidungsakten, die beantragten Zeugeneinvernahmen und die persönliche Befragung des Beschwerdeführers verzichtete die Vorinstanz in vorweggenommener Beweiswürdigung (S. 16 ff. E. 9).
3. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, eine Bundesrechtsverletzung darzutun.
3.1 Die Vorinstanz hat in antizipierter Beweiswürdigung insbesondere von der beantragten Einvernahme der Beschwerdeführerin abgesehen. Die Vorinstanz geht davon aus, dass diese Einvernahme nicht zu neuen Erkenntnissen führen, sondern lediglich die von der Beschwerdeführerin in ihrer schriftlichen Erklärung gemachten Ausführungen bestätigen würde (S. 18 E. 9.2.1).
Dagegen bringt der Beschwerdeführer in einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Weise nichts vor, weshalb insoweit auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann. Der angefochtene Entscheid wäre insoweit im Übrigen unter dem Blickwinkel von Art. 97 Abs. 1 BGG nicht zu beanstanden.
Falls der Beschwerdeführer eine weitere schriftliche Erklärung der Beschwerdeführerin hätte zu den Akten geben wollen, hätte er dazu längst Gelegenheit gehabt. Der Antrag, es sei ihm Frist anzusetzen zur Einreichung einer entsprechenden schriftlichen Stellungnahme, ist daher abzulehnen.
3.2 Den Antrag auf seine persönliche Befragung und den Beizug der Scheidungsakten begründet der Beschwerdeführer nicht, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann (Art. 42 Abs. 2 BGG).
3.3 Der Beschwerdeführer bringt vor, wie sehr die Beschwerdeführerin über den Ausgang des Verfahrens vor Vorinstanz und dem Bundesamt empört gewesen sei, zeige der Umstand, dass sie es gewesen sei, die den Anwalt des Beschwerdeführers aus eigenen Mitteln bevorschusst habe, als letzterer dazu nicht mehr in der Lage gewesen sei.
Darauf ist nicht einzutreten, weil es sich um ein unzulässiges Novum handelt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
3.4 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Vorinstanz habe die Anhörung der weiteren von ihm beantragten Zeugen zu Unrecht abgelehnt, legt er wiederum nicht in einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Weise dar, inwiefern die antizipierte Beweiswürdigung der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sein soll. Auf die Beschwerde kann deshalb auch in diesem Punkt nicht eingetreten werden.
Soweit der Beschwerdeführer in Bezug auf die weiteren beantragten Zeugen ebenfalls um Ansetzung einer Frist zur Einreichung von schriftlichen Erklärungen ersucht, kann auf das oben (E. 3.1) zur Beschwerdeführerin Gesagte verwiesen werden. Sein Einwand, mit der Einreichung entsprechender Erklärungen hätte er den Anschein der Befangenheit der Zeugen erweckt, verfängt nicht, da ihm ausdrücklich Gelegenheit zur Einreichung der Erklärungen gegeben worden war. Zudem hat er ja eine derartige schriftliche Erklärung - jene der Beschwerdeführerin - eingereicht.
3.5 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 und Art. 8 EMRK.
Die Vorinstanz hat dazu (S. 18 ff. E. 9.3 und 10) Stellung genommen. Mit ihren Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer in keiner Weise auseinander. Die Beschwerde genügt auch insoweit den Begründungsanforderungen nicht.
3.6 Der Beschwerdeführer bringt vor, nach Auffassung der Vorinstanz habe er die Vermutung, wonach er keine wirkliche Ehe habe eingehen und führen wollen, sondern es ihm um die Erlangung des Bürgerrechts gegangen sei, nicht widerlegen können. Damit habe ihm die Vorinstanz einen negativen Beweis auferlegt, was unzulässig sei.
Der Einwand ist unbegründet. Die Vorinstanz stützt ihren Entscheid auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung. Besteht aufgrund des Ereignisablaufs die tatsächliche Vermutung, die Einbürgerung sei erschlichen worden, so obliegt es danach dem Betroffenen, die Vermutung durch den Gegenbeweis umzustossen. Als Problem der Beweiswürdigung berührt die tatsächliche Vermutung weder die Beweislast noch die das Verwaltungsverfahren beherrschende Untersuchungsmaxime. Letztere gebietet zwar, dass die Verwaltung auch nach entlastenden, das heisst die Vermutung erschütternden Elementen sucht. Beim vorliegend zur Diskussion stehenden Thema liegt es jedoch in der Natur der Sache, dass solche der Verwaltung oft nicht bekannt sein dürften und nur der Betroffene darüber Bescheid weiss. Es ist daher Sache des Betroffenen, der nicht nur zur Mitwirkung verpflichtet ist (Art. 13 VwVG; SR 172.021), sondern angesichts der gegen ihn sprechenden tatsächlichen Vermutung insoweit selber ein eminentes Interesse hat, die Vermutung durch den Gegenbeweis bzw. erhebliche Zweifel umzustossen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Auf diese Rechtsprechung zurückzukommen besteht kein Anlass.
3.7 Der Beschwerdeführer räumt ein, dass es im Zusammenhang mit der erleichterten Einbürgerung Missbrauchsfälle gibt. Er bringt vor, in jenen Fällen sei es in der Regel der Ehemann, der die Schweizer Ehefrau verstosse und die Scheidung verlange. Im vorliegenden Fall sei es umgekehrt. Die Beschwerdeführerin habe die Scheidung gewollt, nicht der Beschwerdeführer.
Die Vorinstanz erwägt, aus dem Umstand, dass die Beschwerdeführerin die Scheidung eingeleitet habe, könne der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten herleiten. Indem er darauf beharrt habe, seine Kinder nachkommen zu lassen, habe er das Scheitern der Ehe provoziert, um nach der erleichterten Einbürgerung zu einer Scheidung und anschliessenden Heirat mit Z._ zu kommen.
Weshalb diese Auffassung willkürlich sein soll, legt der Beschwerdeführer nicht in einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Weise dar. Er stellt lediglich seine Ansicht jener der Vorinstanz gegenüber und beschränkt sich auf appellatorische Kritik.
3.8 Die Vorinstanz führt aus, gegen die Glaubwürdigkeit des Beschwerdeführers spreche auch, dass er in Bezug auf den Grund der Heirat mit Z._ widersprüchliche Angaben gemacht habe (S. 16 E. 8.3).
Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, erschöpft sich wiederum in appellatorischer Kritik. Darauf ist nicht einzutreten.
3.9 Die Vorinstanz erwägt, das Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach er der Beschwerdeführerin immer treu gewesen sei, zumal er das jüngste Kind einige Zeit vor dem Entschluss zur Heirat gezeugt habe, sei ebenfalls nicht glaubhaft. Nach den Angaben der Beschwerdeführerin sei der definitive Entschluss zur Heirat noch in der Schweiz erfolgt und zwar zu einem Zeitpunkt, als bereits festgestanden sei, dass der Beschwerdeführer die Schweiz nach Abschluss des Asylverfahrens werde verlassen müssen. Der Beschwerdeführer habe daher nach seiner damaligen Rückkehr in die Türkei nicht guten Glaubens davon ausgehen dürfen, dass die Beziehung mit der Beschwerdeführerin zu Ende gewesen sei (S. 16 E. 8.3).
Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts darzutun. Anlässlich der polizeilichen Befragung vom 5. Juli 2004 antwortete die Beschwerdeführerin auf die Frage, wann sie den definitiven Entschluss zur Heirat gefasst hätten, genau wisse sie das nicht mehr; es dürfte im November 1994 gewesen sein (act. 9g S. 1). Der Beschwerdeführer zeugte das dritte Kind im März 1995. Mit Blick darauf sind die Erwägungen der Vorinstanz jedenfalls nicht offensichtlich unhaltbar. Die Vorinstanz legt im Übrigen dar, der Beschwerdeführer sei während der Ehe mit der Beschwerdeführerin jedes Jahr für ca. zwei bis drei Wochen alleine zu sich nach Hause in die Türkei gereist; dass er beim Besuch der Kinder in seiner Heimat auch Z._ getroffen haben dürfte, liege auf der Hand (S. 14 E. 8.1.) Dagegen bringt der Beschwerdeführer nichts vor.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Die Beschwerdeführer unterliegen. Die Beschwerdeführerin hat, wie dargelegt, im Juni 2005 dem Anwalt des Beschwerdeführers eine Vollmacht erteilt. Es ist jedoch unklar, ob sie über deren Tragweite im Bilde und mit der Erhebung der vorliegenden Beschwerde auch in ihrem Namen einverstanden war. Es rechtfertigt sich deshalb, die Gerichtskosten in Anwendung von Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG dem Beschwerdeführer allein aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri