Sachverhalt:
O._ beantragte gegenüber der Krankenkasse KPT die Rückerstattung der Kosten der operativen Entfernung eines Akustikusneurinoms (Tumors des Gehörnervs) an der Klinik A._ (Deutschland) aus obligatorischer Krankenpflegeversicherung. Die KPT lehnte die Kostenübernahme ab (mit Einspracheentscheid vom 20. April 2010 bestätigte Verfügung vom 17. August 2009).
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 5. Juli 2010).
O._ führt hiergegen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass die KPT für die fragliche medizinische Vorkehr leistungspflichtig sei. Mit Eingabe vom 5. Oktober 2010 ergänzt sie die Beschwerdevorbringen und reicht zusätzliche Unterlagen ein.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft unter anderem die Verletzung von Grundrechten indessen nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.2 Die Beschwerdeführerin macht erstmals vor Bundesgericht geltend, sie wolle die Gelegenheit erhalten, dem Gericht die medizinischen Beweise darzulegen. Sollte dies als Antrag auf eine mündliche Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK qualifiziert werden, so wäre darauf hinzuweisen, dass im bundesgerichtlichen Verfahren lediglich eine Rechts-, nicht aber eine Sachverhaltskontrolle vorgenommen wird (soeben E. 1.1). Aus diesem Grund erübrigt sich eine mündliche Verhandlung. Davon abgesehen wäre der Antrag auf Durchführung einer (öffentlichen) Verhandlung im kantonalen Prozess zu stellen gewesen(<ref-law>; <ref-ruling>).
2. Strittig ist, ob die obligatorische Krankenpflegeversicherung (<ref-law>) leistungspflichtig ist für die Kosten, die der Beschwerdeführerin aus der am 14. Juli 2009 erfolgten operativen Entfernung eines Akustikusneurinoms in Deutschland entstanden sind.
2.1 Heilbehandlung ist nur kassenpflichtig, wenn die Leistung in der Schweiz erbracht wird (Territorialitätsprinzip). Dies ergibt sich aus <ref-law> (vgl. auch <ref-law>); danach kann der Bundesrat bestimmen, dass die obligatorische Krankenpflegeversicherung die Kosten von Leistungen, die der Diagnose oder Behandlung einer Krankheit und ihrer Folgen dienen (Art. 25 Abs. 1 und 2 KVG), übernimmt, wenn sie aus medizinischen Gründen im Ausland erbracht werden. Abgesehen vom hier nicht gegebenen Notfall (<ref-law>) besteht eine Leistungspflicht für die Kosten von im Ausland erfolgten Behandlungen nur dann, wenn diese in der Schweiz nicht erbracht werden können (vgl. <ref-law>). Der Umstand, dass die in dieser Verordnungsbestimmung vorgesehene Liste (aus Gründen der Praktikabilität) nie erstellt worden ist, schliesst die Anspruchsberechtigung nicht aus (<ref-ruling>).
2.2 Eine Ausnahme vom Territorialitätsprinzip gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> setzt den Nachweis voraus, dass entweder in der Schweiz überhaupt keine Behandlungsmöglichkeit besteht oder aber im Einzelfall eine innerstaatlich praktizierte diagnostische oder therapeutische Massnahme im Vergleich zur auswärtigen Behandlungsalternative für die betroffene Person erheblich höhere, wesentliche Risiken mit sich bringt und damit eine mit Blick auf den angestrebten Heilungserfolg medizinisch verantwortbare und in zumutbarer Weise durchführbare, mithin zweckmässige (vgl. <ref-law>) Behandlung in der Schweiz nicht gewährleistet ist. Hingegen bilden bloss geringfügige, schwer abschätzbare oder gar umstrittene Vorteile einer im Ausland praktizierten Behandlungsmethode, aber auch der Umstand, dass eine spezialisierte ausländische Klinik über mehr Erfahrung im betreffenden Fachgebiet verfügt, für sich allein keinen medizinischen Grund im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.2 und 2.3 S. 332 f.; Urteil 9C_1065/2008 vom 5. Februar 2009 E. 2.1). Der Begriff der medizinischen Gründe gemäss <ref-law> ist also eng zu fassen. Den obligatorisch Versicherten die Wahlfreiheit einzuräumen, sich durch führende Spezialisten im Ausland behandeln zu lassen, obgleich die betreffenden medizinischen Vorkehren auch in der Schweiz unter annehmbaren Bedingungen angeboten werden, bedeutete das System der tarifvertraglich geprägten Spitalfinanzierung (<ref-law>) zu gefährden, was wiederum die Güte der medizinischen Versorgung in der Schweiz beeinträchtigen könnte (<ref-ruling> E. 3.2 S. 275). Unter anderem deswegen kann eine versicherte Person bei fehlendem medizinischem Grund auch keine Erstattung im Umfang der bei einer Behandlung in der Schweiz hypothetisch anfallenden Kosten beanspruchen (sogenannte Austauschbefugnis; <ref-ruling> E. 3.2 in fine S. 276).
3. 3.1 Das kantonale Gericht würdigte die bei den Akten liegenden spezialärztlichen Stellungnahmen dahingehend, der betreffende operative Eingriff werde ausreichend oft auch in der Schweiz durchgeführt. Das Risiko eines Eingriffs dürfe - nicht zuletzt unter dem Aspekt der Rechtsgleichheit - nicht nach subjektiven Kriterien (wie etwa der Angst vor einer Operation) beurteilt werden. Mangels konkreter Hinweise verbiete sich die Annahme, eine Durchführung in der Schweiz, beispielsweise am Spital J._, führe zu erheblich höheren Risiken. Die innerstaatliche Behandlung gelte daher ohne Weiteres als zweckmässig im Sinne von <ref-law>.
3.2 Im vorliegenden Fall geht es nicht darum, dass eine bestimmte medizinische Behandlung gar nicht oder nur in einer möglicherweise mindergeeigneten Form in der Schweiz angeboten wird. Die Beschwerdeführerin beruft sich vielmehr auf die grössere Erfahrung der Operateure in A._ in der operativen Entfernung von Akustikusneurinomen. Wie erwähnt gilt dieser Umstand grundsätzlich nicht als medizinischer Grund, welcher zur Kassenpflicht einer ärztlichen Leistung im Ausland führen könnte. Eine Ausnahme ist - analog zum Fall, dass eine hierzulande praktizierte diagnostische oder therapeutische Massnahme an sich im Vergleich zu einer im Ausland angebotenen Behandlungsalternative erheblich höhere, wesentliche Risiken mit sich bringt (oben E. 2.2) - zu machen, wenn ein Mangel an in der Schweiz vorhandener Expertise dazu führt, dass die Komplikationsrisiken bei einer inländischen Durchführung der Therapie deutlich grösser sind als bei einer Behandlung durch spezialisierte medizinische Dienstleister im Ausland (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 333).
3.3 Die Vorinstanz stellte auf die eingehenden Abklärungen der Beschwerdegegnerin ab, wonach die hier zur Diskussion stehende Operation in mehreren schweizerischen Spitälern durchgeführt wird. Die entsprechenden Feststellungen im angefochtenen Entscheid sind nicht offensichtlich unrichtig (vgl. oben E. 1.1). Angesichts des Umstandes, dass die fragliche Behandlung regelmässig in den Leistungsaufträgen der schweizerischen neurochirurgischen Zentren figuriert, darf des Weiteren angenommen werden, dass es sich nicht um eine medizinische Leistung handelt, die mit einem tragbaren Risiko europaweit nur von wenigen Spezialisten erbracht werden kann. Der Umstand, dass die Fallzahlen in den betreffenden Schweizer Spitälern geringer sind als etwa in Deutschland, rechtfertigt nach dem Gesagten keine Abweichung vom Territorialitätsprinzip gemäss <ref-law>. Die Entfernung des Neurinoms mag zwar im Falle der Beschwerdeführerin überdurchschnittlich heikel gewesen sein, weil ihr Gehörnerv durch eine vorangegangene Bestrahlung (stereotaktische Radiotherapie) vorgeschädigt war; doch auch insofern wird nicht ersichtlich, dass eine Operation in der Schweiz für die Beschwerdeführerin unzumutbar gewesen wäre.
Mit nachträglicher, nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichter Eingabe verweist die Beschwerdeführerin zusätzlich darauf, nach den Bestrahlungen habe sich am Hörnerv eine Zyste gebildet. Tatsachen und Beweismittel, die nach Ablauf der Beschwerdefrist und ausserhalb eines zweiten Schriftenwechsels eingereicht bzw. geltend gemacht werden, sind grundsätzlich unbeachtlich, sofern sie nicht eine Revision des Gerichtsurteils rechtfertigen (<ref-ruling>; SVR 2009 IV Nr. 10 S. 21 E. 3.1, 9C_40/2007). Letzteres fällt hier ausser Betracht: Zwar deuten die ins Recht gelegten fachmedizinischen Publikationen darauf hin, dass zystische Akustikusneurinome ein ungünstigeres Risikoprofil aufweisen als "solide" Tumore. Ausschlaggebend ist indessen, dass keine Hinweise dafür bestehen, wonach ein zystischer Anteil des Akustikusneurinoms (vgl. den Bericht des PD Dr. B._, Klinik Y._, vom 21. April 2009) die Zumutbarkeit einer das Territorialitätsprinzip wahrenden Behandlung (oben E. 2.2 und 3.2) entscheidend beeinflussen würde.
3.4 Sinngemäss fordert die Beschwerdeführerin mit dem Argument, andere Krankenkassen hätten Patienten mit dem gleichen Leiden die Kosten einer Operation im Ausland jeweils erstattet, "Gleichbehandlung im Unrecht" ein (dazu <ref-ruling> E. 9 S. 44; <ref-ruling> E. 3.7 S. 20; <ref-ruling> E. 3a S. 2). Damit beruft sie sich in der Sache auf das Gebot rechtsgleicher Behandlung (<ref-law>) und von Treu und Glauben (<ref-law>). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254, 396 E. 3.1 S. 399). Die Frage, ob die Beschwerdeführerin hinreichend dargetan hat, worin die spezifischen Grundrechtsverletzungen liegen sollen, kann dabei offen bleiben, da die Voraussetzungen einer "Gleichbehandlung im Unrecht" ohnehin nicht erfüllt wären; jedenfalls bindet das Verhalten anderer Kassen die Beschwerdegegnerin von vornherein nicht. Der angefochtene Entscheid besteht auch unter diesem Aspekt zu Recht.
3.5 Anzufügen ist, dass das am 1. Juni 2002 in Kraft getretene Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681; vgl. <ref-law>) an diesem Ergebnis nichts ändert (<ref-ruling> E. 5.2 S. 339; <ref-ruling>; vgl. auch Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Meyer [Hrsg.], Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Bd. XIV, Soziale Sicherheit, 2. Aufl. Basel 2007, Rz. 502).
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Oktober 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub