Sachverhalt:
A.
A.a. Die Milchgenossenschaft A._ ist eine Genossenschaft mit Sitz in A._. Sie wurde im Jahr 1910 von zahlreichen Milchbauern gegründet, um die bestmögliche Verwertung der im Genossenschaftskreis produzierten Kuhmilch zu ermöglichen. Hierzu wurde eine Milchsammelstelle errichtet, die im Jahr 1961 durch einen Neubau ersetzt wurde.
Gemäss § 4 der Statuten kann jeder handlungsfähige Milchproduzent im Einzugsgebiet von A._ Mitglied der Genossenschaft werden. Die Aufnahme erfolgt gemäss § 5 der Statuten auf schriftliche Anmeldung hin durch die Verwaltung der Genossenschaft.
Die Verwaltung besteht gemäss § 22 der Statuten aus dem Präsidenten, dem Aktuar und dem Kassier. Die Mitglieder der Verwaltung werden von der Generalversammlung auf drei Jahre gewählt und sind unbeschränkt wieder wählbar.
Ausweislich des Handelsregisterauszugs bekleiden seit dem Jahr 2002 N._ das Amt des Präsidenten sowie Kassiers und seit dem Jahr 1996 O._ das Amt des Aktuars.
A.b. Mit der Freigabe der vorher kontingentierten Milchproduktion wurde der Strukturwandel in der Milchwirtschaft vorangetrieben. Dies führte zur Liquidation zahlreicher kleinerer Betriebe und unter anderem auch dazu, dass die letzten vier verbliebenen A._ Milchbauern seit Januar 2013 ihre Milch an einen Grossabnehmer direkt ab Hof verkaufen.
Am 4. Mai 2013 meldete die Milchgenossenschaft A._ dem Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen des Kantons Thurgau, dass sie vier neue Genossenschafterinnen aufgenommen habe. Dabei handelte es sich um die Ehefrauen der letzten vier Genossenschafter. Mit Schreiben vom 8. Mai 2013 bestätigte das Handelsregisteramt den Erhalt dieser Meldung.
Am 25. Oktober 2013 beschloss die Generalversammlung der Genossenschaft in Anwesenheit von drei der neuen Genossenschafterinnen und der vier bisherigen Genossenschaftern unter anderem, die Milchhütte zu verkaufen, die Genossenschaft per sofort aufzulösen und den Liquidationserlös auf die bis im Januar 2013 noch als Milchlieferanten verbleibenden vier Genossenschafter und deren als Genossenschafterinnen aufgenommenen Ehefrauen zu verteilen.
B.
B.a. Am 13. Dezember 2013 gelangten mehrere ehemalige Genossenschafter mit einer Anzeige an das Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen des Kantons Thurgau, mit der sie beantragten, es seien Ermittlungen im Sinne von <ref-law> betreffend die Organisation der Milchgenossenschaft aufzunehmen, bis zum Abschluss dieser Ermittlungen keine Statutenänderungen oder anderweitige Tatsachen in das Handelsregister einzutragen und nach Abschluss dieser Ermittlungen gestützt auf <ref-law> beim zuständigen Gericht die Liquidation der Milchgenossenschaft A._ zu beantragen. In prozessualer Hinsicht sei ihnen die Stellung als Verfahrensbeteiligte einzuräumen.
Zur Begründung führten die Anzeigeerstatter aus, dass die Milchgenossenschaft nur noch über vier Personen verfüge, die nach § 4 der Statuten Mitglieder sein könnten. Die neu aufgenommenen Ehefrauen seien keine Genossenschafterinnen, da sie keine Milch produzieren und abliefern würden. Die Genossenschaft sei damit nicht mehr beschlussfähig und nicht in der Lage, Statutenänderungen vorzunehmen.
Die Milchgenossenschaft beantragte am 24. März 2014 dem Handelsregisteramt, ihre mit dem Auflösungsbeschluss vom 25. Oktober 2013 erfolgte Änderung der Firmenbezeichnung sei zu vollziehen und sie sei neu als "Milchgenossenschaft A._ in Liquidation" ins Handelsregister einzutragen. Die von den Anzeigerstattern gestellten Anträge seien abzuweisen
Mit Schreiben vom 23. Juli 2014 gelangte das Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen an das Bezirksgericht Frauenfeld und führte aus, die Einschätzung der ehemaligen Genossenschafter, dass die Ehefrauen der noch aktiven Genossenschafter die Anforderungen für eine Mitgliedschaft nicht erfüllen würden, könne nicht ohne weiteres als unzutreffend bezeichnet werden. Deshalb sei es sachgerecht, wenn das zuständige Zivilgericht die von der Generalversammlung am 25. Oktober 2013 gefassten Beschlüsse beurteile und die erforderlichen Massnahmen anordne.
Das Bezirksgericht erwiderte mit Schreiben vom 29. Juli 2014, das Handelsregisteramt müsse feststellen, ob und allenfalls welche Mängel die Gesellschaft aufweise, bevor das Zivilgericht Massnahmen zur Behebung von Mängeln in der gesetzlich vorgeschriebenen Organisation einer Gesellschaft anordnen könne. Die Feststellung, ob ein Organisationsmangel vorliege, obliege dem Handelsregisteramt.
In der Folge erliess das Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen am 23. September 2014 eine anfechtbare Verfügung, deren Dispositiv es am 26. September 2014 ergänzte. Darin wurde der Antrag der Milchgenossenschaft abgewiesen, den Anzeigeerstattern die Parteieigenschaft zu verweigern (Ziff. 1). Weiter wurde der Antrag abgewiesen, die mit dem Liquidationsbeschluss vom 25. Oktober 2013 beabsichtigte Änderung der Firmenbezeichnung in "Mlichgenossenschaft A._ in Liquidation" im Handelsregister einzutragen (Ziff. 2). Weiter wurde festgestellt, die Milchgenossenschaft leide an einem Organisationsmangel (Ziff. 3).
B.b. Dagegen erhob die Milchgenossenschaft beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Beschwerde, mit der sie beantragte, die Verfügung des Handelsregisteramts sei aufzuheben und dieses sei anzuweisen, die mit Liquidationsbeschluss vom 25. Oktober 2013 erfolgte Änderung der Firmenbezeichnung samt den weiteren dadurch notwendig gewordenen Tatsachen seien ins Handelsregister einzutragen.
Zur Begründung führte die Milchgenossenschaft aus, sie habe von sich aus die Mitgliederzahl auf acht angehoben. Die angeschlossenen Betriebe seien Familienbetriebe, in denen beide Eheleute mitarbeiten würden. Traditionellerweise sei freilich meist nur der Mann in die Genossenschaft aufgenommen worden, doch sei stets klar gewesen, dass auch die Ehefrauen am wirtschaftlichen Gang der Genossenschaft beteiligt seien. Das Handelsregisteramt habe die Mitteilung, die Ehefrauen der vier verbliebenen Genossenschafter seien als neue Mitglieder aufgenommen worden, am 8. Mai 2013 bestätigt, weshalb kein Anlass bestanden habe, an der Gültigkeit der Neueintritte zu zweifeln. Ein erst anderthalb Jahre später ergangener anderslautender Entscheid widerspreche dem Grundsatz von Treu und Glauben. Das Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen habe seine Prüfungsbefugnis überschritten. Es dürften nur registerrechtliche Fragen umfassend geprüft werden. Die Prüfungsbefugnis für Belange des materiellen Rechts hingegen sei beschränkt. Weder der Beschluss der Generalversammlung vom 25. Oktober 2013 noch der vorangegangene Beschluss vom 26. März 2013 über die Aufnahme der Ehefrauen verstosse gegen zwingendes Recht, das im öffentlichen Interesse und zum Schutz Dritter aufgestellt worden sei. Ob die Ehefrauen die in § 4 der Statuten umschriebenen Voraussetzungen erfüllten und als Genossenschafterinnen aufgenommen werden konnten, sei eine Frage der Auslegung der betreffenden Statutenbestimmung. Selbst wenn die Zahl der Genossenschafter unter sieben gefallen wäre und keine neuen Genossenschafterinnen aufgenommen worden wären, sei die Genossenschaft weiterhin beschluss- und handlungsfähig gewesen. Denn für den Fall, dass die Mitgliederzahl unter sieben sinke, hätte es zur Sanktionierung eine hier nicht erfolgte richterliche Anordnung gebraucht, die nur auf Antrag einer der in <ref-law> angeführten Personen hätte erlassen werden können.
Mit Entscheid vom 29. April 2015 hob das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Ziff. 1 der angefochtenen Verfügung betreffend die Parteistellung der Anzeigerstatter auf, wies aber im Übrigen die Beschwerde ab.
Das Verwaltungsgericht kam zum Schluss, dass die ehemaligen Genossenschafter als Anzeigeerstatter im handelsregisterrechtlichen Verfahren keine Parteistellung hätten, weshalb die angefochtene Verfügung in diesem Punkt aufzuheben sei. Im Übrigen sei die Beschwerde abzuweisen, da die Milchgenossenschaft seit dem Frühjahr 2013 nur noch über vier Genossenschafter verfügt habe, womit ein Organisationsmangel vorgelegen habe, den die Milchgenossenschaft ohne Anrufung des Richters gestützt auf <ref-law> nicht selber habe beheben können. Insbesondere sei sie aufgrund dieses Organisationsmangels nicht in der Lage gewesen, neue Genossenschafter aufzunehmen, geschweige denn die Liquidation zu beschliessen. Die an der Generalversammlung vom 25. Oktober 2013 gefassten Beschlüsse, insbesondere über die Statutenänderung, die sofortige Auflösung der Genossenschaft und die Verteilung des Liquidationserlöses seien daher als nichtig zu betrachten.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt die Milchgenossenschaft dem Bundesgericht folgende Anträge:
"1. Es sei in Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichtes des Kantons Thurgau vom 29. April 2015 die Verfügung des Handelsregisteramts (Beschwerdegegner) vom 26. September 2014 mit Begründung vom 23. September 2014 aufzuheben und dieses anzuweisen, die mit Liquidationsbeschluss vom 25. Oktober 2013 erfolgte Änderung der Firmenbezeichnung ("Milchgenossenschaft A._ in Liquidation") samt den weiteren dadurch notwendig gewordenen Tatsachen ins Handelsregister einzutragen.
2. Die Kosten des kantonalen Verfahrens seien aufzuheben.
3. Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens seien nicht zu erheben.
4. Es sei der Beschwerdegegner zu verpflichten, die Beschwerdeführerin für die Verfahren vor Bundesgericht und vor Verwaltungsgericht angemessen zu entschädigen."
Das Handelsregisteramt und die ehemaligen Genossenschafter beantragen in ihren Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde.
Die Milchgenossenschaft hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Die vorliegende Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid über die Führung des Handelsregisters, der gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt. Als Vorinstanz hat ein oberes Gericht im Kanton auf ein Rechtsmittel hin letztinstanzlich entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Das angefochtene Urteil schliesst ein Verfahren betreffend die Eintragung diverser Tatsachen im Handelsregister (Auflösung der Genossenschaft und damit einhergehende Firmenänderung) ab und ist demnach als Endentscheid zu qualifizieren (<ref-law>). Entgegen den gesetzlichen Vorschriften (<ref-law>) finden sich im angefochtenen Urteil keine Angaben zum Streitwert. Mit Blick auf die wirtschaftlichen Auswirkungen der genannten Eintragung kann vorliegend ohne gegenteilige Anhaltspunkte jedoch davon ausgegangen werden, dass der Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe gegen Bundesrecht verstossen, indem sie zum Schluss gelangt ist, die Genossenschaft habe aufgrund eines Organisationsmangels keine neuen Genossenschafter mehr aufnehmen können. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz sei dies sehr wohl möglich gewesen, weshalb auch der von der Generalversammlung am 25. Oktober 2013 gefasste Liquidationsbeschluss gültig gewesen sei und ins Handelsregister hätte eingetragen werden müssen.
2.1. Die Genossenschaft des Obligationenrechts ist eine als Körper-schaft organisierte Verbindung einer nicht geschlossenen Zahl von Personen oder Handelsgesellschaften, die in der Hauptsache die Förderung oder Sicherung bestimmter wirtschaftlicher Interessen ihrer Mitglieder in gemeinsamer Selbsthilfe bezweckt (<ref-law>). Bei der Gründung einer Genossenschaft müssen mindestens sieben Mitglieder beteiligt sein (<ref-law>). Sinkt in der Folge die Zahl der Genossenschafter unter diese Mindestzahl, so sind die Vorschriften des Aktienrechts über Mängel in der Organisation der Gesellschaft entsprechend anwendbar (<ref-law>).
2.2. Gemäss dem im Abschnitt über "Mängel in der Organisation der Gesellschaft" eingeordneten <ref-law> kann ein Aktionär, ein Gläubiger oder der Handelsregisterführer dem Richter beantragen, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen, falls der Gesellschaft eines der vorgeschriebenen Organe fehlt oder eines dieser Organe nicht rechtmässig zusammengesetzt ist (Abs. 1 Ingress). Der Richter kann insbesondere der Gesellschaft unter Androhung ihrer Auflösung eine Frist ansetzen, binnen derer der rechtmässige Zustand wieder herzustellen ist (Abs. 1 Ziff. 1), das fehlende Organ oder einen Sachwalter ernennen (Abs. 1 Ziff. 2) oder die Gesellschaft auflösen und ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs anordnen (Abs. 1 Ziff. 3).
2.3. Das Bundesgericht hat im Leitentscheid <ref-ruling> erkannt, dass es sich bei der Mindestzahl von sieben Genossenschaftern nach der gegenwärtigen Gesetzeslage um ein begriffsbestimmendes Element der Genossenschaft handelt. Sinkt die Mitgliederzahl auf unter sieben, liegt damit nicht nur eine mangelhafte Organisation der Körperschaft vor, sondern ist der Tatbestand der Genossenschaft als solcher nicht mehr gegeben. Dieser kann auch durch einen richterlichen Eingriff nicht wieder hergestellt werden, weshalb eine richterliche Ernennung von Genossenschaftern gestützt auf <ref-law> ausser Betracht fällt. Bei einem Unterschreiten der Mindestzahl von sieben Genossenschaftern kommen von den in <ref-law> genannten Massnahmen nur jene gemäss Ziff. 1 und 3, also die Ansetzung einer Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustandes sowie die Auflösung der Gesellschaft in Frage (<ref-ruling> E. 2.5.2), wobei letztere die ultima ratio darstellt: Die Auflösung gelangt erst dann zur Anwendung, wenn die Genossenschaft ihre Mitgliederzahl nicht innert richterlich angesetzter Frist erhöht bzw. zum Vornherein zu erkennen gibt, dass eine entsprechende Fristansetzung nutzlos oder unzweckmässig wäre (<ref-ruling> E. 2.4, 2.5.2 in fine).
Auch in der Lehre wird einhellig vertreten, dass der Genossenschaft vor einer allfälligen richterlichen Auflösung zunächst die Gelegenheit zu geben sei, innert angemessener Frist die Mitgliederzahl wieder auf sieben zu erhöhen (CARL BAUDENBACHER, in: Basler Kommentar, 4. Aufl. 2012, N. 14 zu <ref-law>; MAURICE COURVOISIER, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 2. Aufl. 2012, N. 5 zu <ref-law>; SARAH BRUNNER, in: Honsell [Hrsg.], Kurzkommentar OR, 2014, N. 4 zu <ref-law>; SAMUEL KRÄHENBÜHL, in: Siffert/Turin [Hrsg.], Stämpflis Handkommentar, Handelsregisterverordnung [HRegV], 2013, N. 7 zu <ref-law>).
Eine entsprechende Frist zur Wiederherstellung der gesetzlichen Mitgliederzahl hat gestützt auf <ref-law> zudem auch das Handelsregisteramt anzusetzen, bevor es mit einem Gesuch nach <ref-law> an das Zivilgericht gelangt (KRÄHENBÜHL, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>).
2.4. Gemäss <ref-law> können in eine Genossenschaft jederzeit neue Mitglieder aufgenommen werden (Abs. 1), wobei die Statuten unter Wahrung des Grundsatzes der nicht geschlossenen Mitgliederzahl zwar die näheren Bestimmungen über den Eintritt treffen, dabei aber den Eintritt nicht übermässig erschweren dürfen (Abs. 2). Gemäss <ref-law> entscheidet die Verwaltung der Genossenschaft über die Aufnahme neuer Mitglieder, soweit nicht nach den Statuten die blosse Beitrittserklärung genügt oder ein Beschluss der Generalversammlung nötig ist. Der Entscheid der Verwaltung über das Aufnahmegesuch ist an keine besondere Form gebunden und kann auch durch konkludentes Handeln erfolgen (ALFRED L. SCHWARTZ, in: Basler Kommentar, 4. Aufl. 2012, N. 21 zu <ref-law>; PETER FORSTMOSER, in: Berner Kommentar, 1974, N. 24 zu <ref-law>). Sofern die Statuten keinen Rekurs an die Generalversammlung vorsehen, ist der Aufnahmeentscheid endgültig (FORSTMOSER, a.a.O., N. 26 zu <ref-law>; J ACQUES-ANDRÉ REYMOND/RITA TRIGO TRINDADE, Die Genossenschaft, Schweizerisches Privatrecht, Bd. VIII/5, S. 85).
2.5. Erfolgt die Auflösung der Genossenschaft nicht durch Konkurs, so ist sie von der Verwaltung zur Eintragung in das Handelsregister anzumelden. Gemäss <ref-law> gelten für die Auflösung der Genossenschaft die Bestimmungen über die Aktiengesellschaft sinngemäss. Damit wird auf <ref-law> verwiesen (KRÄHENBÜHL, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>), der die bei einer Auflösung der Genossenschaft in das Handelsregister einzutragenden Tatsachen und die hierzu notwendigen Belege im Einzelnen regelt.
2.6. Nach <ref-law> hat der Registerführer zu prüfen, ob die gesetzlichen Voraussetzungen für die Eintragung erfüllt sind. Nach der Rechtsprechung prüft der Registerführer zunächst die formellen registerrechtlichen Voraussetzungen, mithin die Einhaltung der Normen, die unmittelbar die Führung des Handelsregisters betreffen. In dieser Hinsicht verfügt er über eine umfassende Prüfungsbefugnis. Wo nicht Registerrecht, sondern materielles Recht in Frage steht, ist die Prüfungsbefugnis des Registerführers indessen beschränkt. Nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung hat er lediglich auf die Einhaltung jener zwingenden Gesetzesbestimmungen zu achten, die im öffentlichen Interesse oder zum Schutze Dritter aufgestellt worden sind, während die Betroffenen zur Durchsetzung von Vorschriften, die dem dispositiven Recht angehören oder nur private Interessen berühren, den Zivilrichter anzurufen haben. Da die Abgrenzung im Einzelfall schwierig sein kann, ist die Eintragung nur dann abzulehnen, wenn sie offensichtlich und unzweideutig dem Recht widerspricht, nicht dagegen, falls sie auf einer ebenfalls denkbaren Gesetzesauslegung beruht, deren Beurteilung dem Richter überlassen bleiben muss (<ref-ruling> E. 3b S. 21; <ref-ruling> E. 2a S. 371; <ref-ruling> E. 1 S. 188; Urteil 4A_363/2013 vom 28. April 2014 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 4A.4/2006 vom 20. April 2006 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.).
2.7. Die Vorinstanz erwog, dass im Frühjahr 2013 lediglich noch vier Genossenschafter an der Beschwerdeführerin beteiligt gewesen seien, welche die notwendigen statutarischen Voraussetzungen aufgewiesen hätten. Ab diesem Zeitpunkt sei der Tatbestand der Genossenschaft mangels Erreichens der Mindestmitgliederzahl nicht mehr erfüllt gewesen und es sei nicht ersichtlich, dass die Beschwerdeführerin ohne Anrufung des Richters gestützt auf <ref-law> diesen Organisationsmangel selber hätte beheben können. Aufgrund dieses Mangels sei die Beschwerdeführerin weder in der Lage gewesen, die Liquidation zu beschliessen, noch die Bedingungen für eine solche neu festzulegen oder neue Genossenschafter aufzunehmen. Die an der Generalversammlung vom 25. Oktober 2013 gefassten Beschlüsse, insbesondere über die Statutenänderung, die sofortige Auflösung der Genossenschaft und die Verteilung des Liquidationserlöses seien daher als nichtig zu betrachten, weshalb auch dem Gesuch, die Beschwerdeführerin neu mit der Firma "Milchgenossenschaft A._ in Liquidation" einzutragen, nicht Folge gegeben werden könne. An dieser Situation ändere auch die versuchte Aufnahme der Ehefrauen als neue Genossenschafterinnen nichts, sei doch die Beschwerdeführerin aufgrund des Organisationsmangels gar nicht mehr fähig gewesen, die Aufnahme zu beschliessen.
2.8. Diese Erwägungen halten vor Bundesrecht nicht stand: Entgegen der Auffassung der Vorinstanz steht das Absinken der Genossenschafter unter die Mindestzahl von sieben einer Aufnahme neuer Genossenschafter keineswegs entgegen. Vielmehr obliegt es der Genossenschaft in einer solchen Situation gerade, neue Genossenschafter aufzunehmen, um die Mindestmitgliederzahl wieder herzustellen. Entsprechend hat in einem Organisationsmängelverfahren zunächst das Handelsregisteramt gestützt auf <ref-law> und anschliessend auch der Zivilrichter gestützt auf <ref-law> der Genossenschaft eine Frist zur Aufnahme neuer Genossenschafter anzusetzen (oben E. 2.2).
Dies war im vorliegenden Fall indessen gar nicht nötig, da die Beschwerdeführerin von sich aus vier neue Genossenschafterinnen aufgenommen und dem Handelsregisteramt am 4. Mai 2013 gemeldet hat. Diese Aufnahme erfolgte gemäss § 5 der Statuten und in Einklang mit <ref-law> spätestens mit der Anmeldung beim Handelsregisteramt durch die Verwaltung der Beschwerdeführerin. Ob dieser Aufnahmeentscheid zu Recht erfolgt ist, ob also die Ehefrauen der bisherigen Genossenschafter die Voraussetzungen gemäss § 4 der Genossenschaftsstatuten erfüllten, hat der Handelsregisterführer grundsätzlich nicht zu prüfen. Denn dieser hat lediglich die Einhaltung zwingender Gesetzesbestimmungen zu beachten, die im öffentlichen Interesse oder zum Schutze Dritter aufgestellt worden sind (oben E. 2.5), wozu statutarische Anforderungen an den Kreis der Genossenschafter gerade nicht gehören. Wie jede Behörde hat das Handelsregisteramt immerhin eine allfällige Nichtigkeit von Amtes wegen zu beachten, die jedoch vorliegend bezüglich der Aufnahme der neuen Genossenschafterinnen nicht anzunehmen ist: Gemäss § 4 der Statuten kann "jeder handlungsfähige Milchproduzent im Einzugsgebiet von A._ " Mitglied der Genossenschaft werden. Aus diesem Wortlaut folgt nicht zwingend, dass pro Milchproduktionsbetrieb nur eine Person Genossenschafter werden kann. Vielmehr erscheint zumindest vertretbar, unter den statutarischen Begriff der Milchproduzenten alle Personen zu subsumieren, die an der Führungeines Milchproduktionsbetriebs beteiligt sind. Wenn etwa zwei Milchproduzenten ihre Betriebe aus ökonomischen Gründen zusammenlegen und fortan gemeinsam betreiben, hiesse dies mithin nicht, dass nur noch einer der beiden Genossenschafter bleiben darf. Ebensowenig erscheint ausgeschlossen, zwei Eheleute oder sonstige Lebenspartner je als Genossenschafter aufzunehmen, wenn diese einen Milchproduktionsbetrieb gemeinsam führen. Entgegen der in der Vernehmlassung geäusserten Auffassung des Handelsregisteramts erscheint die Aufnahme der Ehefrauen der bisherigen Genossenschafter jedenfalls nicht als geradezu offensichtlich rechtsmissbräuchlich, so dass von einer Nichtigkeit des Aufnahmeentscheids ausgegangen werden müsste. Dies umso mehr, als die Beschwerdegegner 2 - 13 in ihrer Vernehmlassung selber behaupten, dass es in A._ keine weiteren Milchproduktionsbetriebe mehr gebe, deren Inhaber als Genossenschafter aufgenommen werden könnten. Unter diesen Umständen erscheint verständlich, dass die Beschwerdeführerin zur Wiederherstellung der gesetzlichen Mindestmitgliederzahl die Ehefrauen der verbliebenen Genossenschafter als Neumitglieder aufgenommen hat.
Folglich durften das Handelsregisteramt und die Vorinstanz nicht von einem Organisationsmangel bei der Beschwerdeführerin ausgehen, hat diese doch mit der Aufnahme von vier neuen Genossenschafterinnen die gesetzliche Mindestmitgliederzahl wieder hergestellt. Die Vorinstanz durfte die Eintragung des Liquidationsbeschlusses somit nicht wegen Nichterreichens der Mindestmitgliederzahl verweigern. Ob die Generalversammlung einer Genossenschaft, die weniger als sieben Mitglieder aufweist, selbst einen Liquidationsbeschluss fassen kann oder dafür zwingend den Richter anrufen muss, kann offen bleiben. Anderweitige Nichtigkeitsgründe bezüglich des Liquidationsbeschlusses werden weder behauptet, noch sind solche ersichtlich. Insbesondere ist für die Eintragung der Auflösung im Handelsregister nicht von Belang, ob der Beschluss über die Verwendung eines allfälligen Liquidationsüberschusses im Einklang mit <ref-law> steht, ist dieser nach Art. 89 i.V.m. <ref-law> doch gerade nicht Gegenstand der Eintragung im Handelsregister.
2.9. Die Beschwerde ist begründet und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Ob die Eintragungsanmeldung der Beschwerdeführerin die registerrechtlichen Anforderungen von Art. 89 i.V.m. <ref-law> erfüllt, kann das Bundesgericht mangels entsprechender Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid indessen nicht beurteilen. Die Sache ist daher an die Vorinstanz zur Ergänzung des Sachverhalts und neuer Entscheidung zurückzuweisen.
3.
Damit ist die Beschwerdeführerin mit ihren Anträgen teilweise durchgedrungen, während der Beschwerdegegner 1 mit seinen Anträgen unterlegen ist. Auch die Beschwerdegegner 2 - 13, die am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und im Verfahren vor Bundesgericht eine Vernehmlassung eingereicht haben, sind mit ihren Anträgen unterlegen. Damit werden alle Beschwerdegegner entschädigungspflichtig (<ref-law>); die Beschwerdegegner 2 - 13 werden zudem kostenpflichtig (<ref-law>), während dem Beschwerdegegner 1 keine Gerichtskosten auferlegt werden können (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, der angefochtene Entscheid wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdegegnern 2 - 13 auferlegt (unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen).
3.
Die Beschwerdegegner haben die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen (unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen).
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni