Sachverhalt:
A.
Der Verein A._ reichte am 22. Juni 2013 beim Volksschulamt des Kantons Zürich ein Gesuch um Führung einer Privatschule mit Kindergartenstufe ein. Mit Verfügung vom 26. Mai 2014 wies das Volksschulamt dieses ab.
Den dagegen vom Verein A._ eingereichten Rekurs wies der Regierungsrat des Kantons Zürich mit Beschluss vom 17. Dezember 2014 ab. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hinsichtlich der Kosten- und Entschädigungsfolgen gut, wies sie im Übrigen indes ab und bestätigte damit die gesuchsabweisende Verfügung des Volksschulamts.
B.
Am 30. Januar 2015 reichte der Verein A._ bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat eine Strafanzeige ein gegen unbekannte Täterschaft, tätig beim Volksschulamt des Kantons Zürich, wegen Verleumdung und Amtsmissbrauch, evtl. Beschimpfung. Er begründete dies damit, dass das seinem Bewilligungsgesuch beigelegte Bildungskonzept "Islamischer Kindergarten A._" mit Bemerkungen wie "Pädophilie" und "Schizo" versehen worden seien.
Auf Ersuchen der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat übernahm die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich die Strafuntersuchung. Diese übermittelte die Akten auf dem Dienstweg via Oberstaatsanwaltschaft an das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und beantragte, ebenso wie der Verein A._, die Erteilung der Ermächtigung. Das Obergericht beschloss mit Entscheid vom 24. Juli 2015, der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen Unbekannt nicht zu erteilen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 14. September 2015 beantragt der Verein A._, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben und es sei die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen unbekannte Täterschaft, tätig beim Volksschulamt des Kantons Zürich, zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Staatsanwaltschaft I, die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafuntersuchung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272). Die Mitarbeitenden des Volksschulamts des Kantons Zürich gehören nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an, weshalb der Ausschlussgrund nach <ref-law> nicht greift (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f. mit Hinweis). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und könnte sich in einem allfälligen Strafverfahren gegen die Beschwerdegegner voraussichtlich als Privatkläger beteiligen (vgl. Art. 118 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>), sodass ihm im Falle des Obsiegens vor Bundesgericht ein praktischer Nutzen entstünde. Damit ist er nach <ref-law> beschwerdeberechtigt. Auf die Beschwerde ist vorbehaltlich zulässiger und genügend begründeter Rügen einzutreten.
1.2. Streitgegenstand bildet einzig die Frage, ob die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu Recht nicht erteilt worden ist. Das darüber hinausgehende Vorbringen, der (unbekannte) Beschwerdegegner habe seine Ausstandspflicht verletzt, ist deshalb unbeachtlich (<ref-law>).
2.
2.1. Nach <ref-law> sind die Strafbehörden verpflichtet, im Rahmen ihrer Zuständigkeit ein Verfahren einzuleiten und durchzuführen, wenn ihnen Straftaten oder auf Straftaten hinweisende Verdachtsgründe bekannt werden. Gemäss <ref-law> können die Kantone allerdings vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen oder richterlichen Behörde abhängt. Diese Möglichkeit steht den Kantonen für sämtliche Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden offen (<ref-ruling> E. 2.1 f. S. 275 f.).
2.2. Nach § 148 des Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1) setzt im Kanton Zürich die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen Beamte im Sinne von <ref-law> wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen - vorbehältlich der hier nicht weiter interessierenden Zuständigkeit des Kantonsrats - eine Ermächtigung des Obergerichts voraus. Mit dieser kantonalen Bestimmung, die gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung den bundesrechtlichen Anforderungen (namentlich <ref-law>) Rechnung trägt, sollen Staatsbedienstete vor mutwilliger Strafverfolgung geschützt werden (<ref-ruling> E. 2.2 f. S. 276 f.).
2.3. In verfassungskonformer Auslegung von <ref-law> dürfen in solchen Ermächtigungsverfahren - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden. Über die Ermächtigung zur Strafverfolgung darf insbesondere nicht nach Opportunität entschieden werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Das schliesst aber nicht aus, für die Erteilung der Ermächtigung genügende minimale Hinweise auf strafrechtliches Verhalten zu verlangen. Nicht jeder behördliche Fehler begründet eine Pflicht, die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen. Vielmehr darf dafür vorausgesetzt werden, dass ein strafrechtlich relevantes Verhalten in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (vgl. Urteil 1C_421/2014 vom 13. April 2015 E. 3.3 mit Hinweisen).
3.
Nachfolgend ist demnach zu prüfen, ob genügend minimale Hinweise bestehen, dass das Verhalten, welches der Beschwerdeführer dem Beschwerdegegner vorwirft, strafbar sein könnte. Zu Recht wird dabei (unbestrittenermassen) davon ausgegangen, dass es sich bei den Mitarbeitenden des Volksschulamts um Beamte im Sinne von <ref-law> handelt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 201 f.). Nicht in Frage gestellt wird weiter, dass das dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers zugestellte Exemplar des Bildungskonzepts auf S. 7 den handschriftlichen Vermerk "Pädophilie ?" enthält. Dieser steht im Zusammenhang mit dem Satz "Die Kinder haben das Recht auf ungestörtes Spiel, auf Bewegung und auf Zuwendung", wobei das Wort "Zuwendung" unterstrichen worden ist. Ob - wie vom Beschwerdeführer vorgebracht - die auf S. 6 zum handschriftlich unterstrichenen Stichwort "volle Aufmerksamkeit" angebrachte Bemerkung "u.a.♂", was auf "unter anderem Männer" hindeutet, ebenfalls auf den Vermerk "Pädophilie ?" Bezug nimmt, ist fraglich; jedenfalls besteht kein direkter Zusammenhang. Ferner wurde zur Ausführung im Bildungskonzept auf S. 8, islamische Lerninhalte würden in den Kindergartenalltag einfliessen, z.B. die 99 Namen Allahs, die handschriftliche Bemerkung "Schizo ?" angeführt. Gemäss Vorinstanz handelt es sich bei dem mit diesen Vermerken versehenen Bildungskonzept um ein Arbeitsexemplar eines mit der Sache befassten Angestellten des Volksschulamts, das offenbar versehentlich dem damaligen Rechtsvertreter des Beschwerdeführers zugestellt worden ist.
3.1. Dass dem Beschwerdeführer diese unsachlichen und deplatzierten Bemerkungen missfallen und er eine unabhängige Würdigung seines Bewilligungsgesuchs durch das Volksschulamt in Frage stellt, ist verständlich. Zur Anzeige wegen Verdachts auf Begehung eines Ehrverletzungsdelikts (<ref-law>) macht er geltend, es sei offenkundig, dass mit den diffamierenden Randbemerkungen das Lehrpersonal, die den Verein konstituierenden Personen und alle Muslime gemeint seien. Der Beschwerdegegner habe in Kauf genommen, dass Dritte vom Inhalt seiner Vermerke Kenntnis erlangen würden, seien diese doch schriftlich angebracht worden. Die Erwägung der Vorinstanz, wonach die Bemerkungen bloss ironisch gemeint gewesen seien und als Gedankenstütze dienten, sei stossend. Es sei davon auszugehen, dass dem Beschwerdegegner die Ehrenrührigkeit seiner Aussagen bewusst gewesen sei. Demnach seien die Tatbestände der Beschimpfung und Verleumdung erfüllt.
3.1.1. Die Ehrverletzungstatbestände nach <ref-law> schützen den Ruf, ein ehrbarer Mensch zu sein, d.h. sich so zu benehmen, wie nach allgemeiner Anschauung ein charakterlich anständiger Mensch sich zu verhalten pflegt (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 315; <ref-ruling> E. 2.1 S. 115; je mit Hinweis). Die Äusserung, jemand sei psychisch krank, rührt an sich nicht an die Ehre. Der Ehrverletzung macht sich indessen schuldig, wer psychiatrische Fachausdrücke nach laienhaftem Sprachgebrauch dazu missbraucht, jemanden als charakterlich minderwertig hinzustellen und dadurch in seiner persönlichen Ehre herabzuwürdigen (<ref-ruling> E. 3a S. 93 mit Hinweis). Auch kann der Vorwurf eines strafbaren Verhaltens ehrverletzend sein (<ref-ruling> E. 2b S. 250 f.).
3.1.2. Dem Beschwerdeführer ist beizupflichten, dass die Vermerke "Pädophilie" und "Schizo" Behauptungen sittlich vorwerfbaren, unehrenhaften oder unverantwortlichen Verhaltens darstellen und geeignet sind, jemanden als charakterlich nicht einwandfrei oder minderwertig aussehen zu lassen. Indes lässt sich bereits aus der vorerwähnten Judikatur ableiten und wird in der Rechtsprechung ausdrücklich bestätigt, dass Ehrverletzungsdelikte nur dann tatbestandsmässig erfüllt sind, wenn sich die Äusserung gegen eine bestimmte oder bestimmbare Person richtet. Diese muss nicht namentlich bezeichnet werden können; vielmehr genügt es, wenn aus den Umständen auf sie geschlossen werden kann und sie somit identifizierbar ist. Ein gegen eine grosse Gemeinschaft gerichteter Vorwurf vermag einzelne Mitglieder davon nicht in deren Ehre zu verletzen, wenn keine Abgrenzung es erlaubt, einen engeren, sich vom Rest abhebenden Personenkreis auszumachen (<ref-ruling> E. 2a S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2c S. 29; <ref-ruling> E. 2 S. 45 ff.). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers lässt sich aus dem Gesamtzusammenhang des Textes des Bildungskonzepts weder ein Bezug zu den Mitgliedern oder Organen des Vereins noch zu Muslimen im Allgemeinen herstellen. Die Randbemerkungen "Pädophilie ?", allenfalls auch "u.a.♂", stehen, wenn überhaupt, in Verbindung mit dem Lehrpersonal, wogegen der Vermerk "Schizo ?" sich auf "die 99 Namen Allahs" bezieht. Während bei letzterer Äusserung davon ausgegangen werden muss, dass ein unbefangener Dritter diese als (unangebrachte) Spöttelei abtut, nimmt die Bemerkung "Pädophilie ?" nicht Bezug auf eine bestimmte oder bestimmbare Person, deren Ruf dadurch geschädigt werden könnte. Beim Lehrpersonal handelt es sich um eine grosse Berufsgruppe, weshalb ein gegen sie - oder gegen die Untergruppe der muslimischen Betreuungspersonen - gerichteter allgemeiner Angriff nicht geeignet ist, einzelne Mitglieder davon als unehrbare Menschen darzustellen. Diese Personen sind im Übrigen noch gar nicht bestimmt. Vor allem aber erscheint es aus den vom Obergericht dargelegten Gründen, auf die verwiesen wird (vgl. E. II.2 des angefochtenen Entscheids), plausibel, dass es sich bei dem mit Randbemerkungen versehenen Bildungskonzept um ein Arbeitsexemplar handelt, das bloss interne Verwendung finden und nicht zur Kenntnis Dritter gelangen sollte. Es ist davon auszugehen, dass die in diesem Exemplar angebrachten Vermerke bloss als persönliche Notizen im Rahmen der Vorbereitung des Entscheidentwurfs über das Bildungskonzept zu verstehen sind, die nicht gegen aussen hätten dringen sollen. Es erscheint deshalb offenkundig, dass das Exemplar dem Beschwerdeführer versehentlich zugestellt worden ist. Damit fehlte es der unbekannten Täterschaft aber am Vorsatz, die objektiven Tatbestandsmerkmale einer Ehrverletzung erfüllen zu wollen: Der Beschwerdegegner hat offensichtlich weder gewollt noch in Kauf genommen, dass jemand von seinen unsachlichen Bemerkungen Kenntnis erhält; vielmehr ist dieser Umstand auf eine pflichtwidrige Unvorsichtigkeit zurückzuführen. Die fahrlässige Begehung einer Ehrverletzung aber ist nicht strafbar (Art. 12 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Mit dem Obergericht sind somit jegliche Anhaltspunkte für einen Verdacht auf Ehrverletzung zu verneinen. Dass die Staatsanwaltschaft bei der Überweisung - gestützt auf eine summarische Prüfung und ohne Begründung - einen Anfangsverdacht bezüglich dieser Aussagen noch bejaht hatte, rechtfertigt kein anderes Ergebnis.
3.2. Zur Anzeige wegen Verdachts auf Amtsmissbrauch bringt der Beschwerdeführer vor, der Beschwerdegegner habe seine besonderen Machtbefugnisse ausgenutzt, um ihm die Bewilligung zur Gründung einer Privatschule zu verweigern. Die beleidigenden Bemerkungen hätten ein falsches Bild entstehen lassen und schliesslich zur Gesuchsabweisung geführt.
3.2.1. Wegen Amtsmissbrauch werden Mitglieder einer Behörde oder Beamte, die ihre Amtsgewalt missbrauchen, um sich oder einem andern einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem andern einen Nachteil zuzufügen, bestraft (<ref-law>).
3.2.2. Wie die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid zu Recht ausgeführt hat, ist, selbst wenn Fälle der vorsätzlichen Rechtsbeugung in Form der Entscheidung einer Rechtssache zum Nachteil einer Partei unter Missachtung des Rechts als Amtsmissbrauch qualifiziert werden (vgl. E. 4.2; STEFAN HEIMGARTNER, in: Basler Kommentar zum StGB II, 3. Aufl. 2013, N. 17 zu <ref-law>), hier davon auszugehen, dass sich die Bewilligungsverweigerung des Volksschulamts auf rechtliche Überlegungen stützen kann, wurde sie doch sowohl vom Regierungsrat als auch vom Verwaltungsgericht bestätigt (vgl. Sachverhalt Bst. A vorne). Soweit sich der Beschwerdegegner mit diesen Erwägungen der Vorinstanz in der Beschwerdeschrift überhaupt in rechtsgenüglicher Weise auseinandersetzt (vgl. <ref-law>), vermag er jedenfalls nicht darzutun, inwiefern sich aus dem Verhalten des Beschwerdegegners minimale Hinweise auf strafbare Handlungen ergeben sollen.
3.3. Nach dem Gesagten hält die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung vor Bundesrecht stand.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I, der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Pedretti