Erwägungen:
1. 1.1 Gestützt auf die Ehe mit der aus dem früheren Jugoslawien stammenden Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1979) erhielt der serbische Staatsangehörige X._ (geb. 1979) ab Januar 2003 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau. Namentlich infolge einer Verurteilung am 12. Januar 2009 wegen Betäubungsmitteldelikten und Geldwäscherei zu einer - bedingt aufgeschobenen - Freiheitsstrafe von 24 Monaten (unter Anrechnung der Untersuchungshaft von 110 Tagen) verweigerte ihm das Migrationsamt des Kantons Zürich mit Verfügung vom 4. Juni 2009 die Verlängerung der Ende Januar 2009 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung. Es setzte ihm eine Frist zur Ausreise aus der Schweiz. Die dagegen im Kanton erhobenen Rechtsmittel wurden vom Regierungsrat mit Beschluss vom 25. November 2009 und anschliessend vom Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 30. Juni 2010 abgewiesen.
1.2 Mit Beschwerde vom 5. August 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, die "Verfügung der Vorinstanz" aufzuheben und dem Beschwerdeführer die Aufenthalts- bzw. die Niederlassungsbewilligung zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration beantragt die Abweisung der Beschwerde. Der Regierungsrat und die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich haben sich nicht vernehmen lassen.
1.3 Das präsidierende Mitglied der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 11. August 2010 hinsichtlich der Ausreiseverpflichtung die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
2. 2.1 Aus dem Niederlassungs- und Konsularvertrag vom 16. Februar 1888 zwischen der Schweiz und Serbien (SR 0.142.118.181) kann der Beschwerdeführer hier nichts zu seinen Gunsten ableiten (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 127 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 70 ff.; Urteil 2P.25/1996 vom 24. Januar 1996 E. 1c). Das Verwaltungsgericht ist der Auffassung, der Beschwerdeführer erfülle wegen der Verurteilung zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe den Widerrufsgrund nach Art. 63 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit Art. 62 lit. b AuG. Daher seien etwaige Ansprüche nach Art. 42 Abs. 1 und 3 oder nach Art. 50 AuG auf Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung oder Erteilung der Niederlassungsbewilligung gemäss Art. 51 Abs. 1 lit. b AuG erloschen.
2.2 Der Beschwerdeführer bestreitet zu Recht nicht, einen Widerrufsgrund erfüllt zu haben. Er ist aber der Ansicht, die Entscheide der Vorinstanzen seien unverhältnismässig (dazu Art. 96 AuG). Hierbei wiederholt er weitgehend wörtlich die bereits bei der Vorinstanz erhobenen Rügen, weswegen fraglich ist, ob mit Blick auf die Begründungsanforderungen nach <ref-law> auf seine Beschwerde überhaupt einzutreten ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 246 f.).
Im Zusammenhang mit der Prüfung der Verhältnismässigkeit meint der Beschwerdeführer insbesondere, es gebe "verschiedene Aussagen", wonach seine Ehe als nicht endgültig gescheitert zu betrachten sei. Abklärungen zum ehelichen Zusammenleben seien "nicht wirklich" vorgenommen worden. Diese nicht weiter substantiierte Sachverhaltsrüge ist sowohl formell als auch materiell unbehelflich (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 41; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Gegenüber dem Migrationsamt hatte der Beschwerdeführer anlässlich seiner Anhörung im April 2009 noch erklärt, er sei seit etwas mehr als zwei Jahren mit seiner neuen Lebensgefährtin A._ zusammen, die er zu heiraten gedenke; von seiner Ehefrau wolle er sich daher scheiden lassen. Im Rahmen des Rekursverfahrens beim Regierungsrat erklärte er dann aber im Oktober 2009, eine Scheidung sei nie beabsichtigt gewesen. Die Beziehung zu A._ sei definitiv beendet. Er habe die feste Absicht, das eheliche Leben wieder aufzunehmen, was jedoch "nicht auf Befehl und nicht von heute auf morgen passieren" könne; bereits in einem fremdenpolizeilichen Verfahren aus den Jahren 2006 und 2007 hatte er ähnlich argumentiert, um die Verlängerung seiner Bewilligung trotz längerer Trennung von seiner Ehefrau zu erlangen.
Was die Vorinstanz insoweit noch von sich aus hätte untersuchen sollen, ist weder ersichtlich noch vom Beschwerdeführer dargetan. Ebenso wenig führt dieser aus, was sich dadurch am Ergebnis geändert hätte. Immerhin lässt die Vorinstanz offen, ob die Ehe tatsächlich wieder gelebt wird oder nicht. Sie führt - wie schon der Regierungsrat - aus, warum die begehrten Bewilligungen ohnehin zu verweigern seien. Dabei stellt sie namentlich auf das strafrechtliche Verschulden des Beschwerdeführers ab. Entgegen seiner Ansicht ist nicht zu beanstanden, dass sie die Ausführungen in den Anträgen der Staatsanwaltschaft beizieht, da das Strafurteil ohne Begründung erging, sich auf die Anklageschrift stützte und den darin gestellten Anträgen folgte; das Strafgericht erhöhte sogar die Dauer der Bewährungszeit. Im Rahmen der Abwägung haben die Vorinstanzen sämtliche relevanten Umstände - auch die Rückfallgefahr und den Integrationsgrad des Beschwerdeführers - berücksichtigt. Seit der erwähnten Verurteilung musste dieser erneut strafrechtlich belangt werden, im August 2009 wegen Fahrens in fahrunfähigem Zustand und im Februar 2010 wegen Fahrens trotz Entzugs des Führerausweises. Der pauschale Vorwurf des Beschwerdeführers, die vorinstanzlichen Erwägungen seien einseitig gehalten, geht fehl. Das Ergebnis der Interessenabwägung hält sich an die Vorgaben des Gesetzes und der bundesgerichtlichen Praxis (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 379 ff.; <ref-ruling>; <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Die Verweigerung der beantragten Bewilligungen erweist sich demnach als bundesrechtmässig und zwar selbst dann, wenn davon ausgegangen wird, dass die Beziehung zur Ehefrau wieder intakt ist. Ergänzend wird auf die Erwägungen in den Entscheiden des Verwaltungsgerichts und des Regierungsrates verwiesen (<ref-law>).
3. Aus der Begründung der Eingabe an das Bundesgericht könnte geschlossen werden, der Beschwerdeführer wende sich ebenfalls gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch die Vorinstanz (vgl. S. 5 Rz. 14), auch wenn diesbezüglich ein ausdrücklicher Antrag fehlt und die Rügeanforderungen kaum erfüllt sein dürften (vgl. Art. 42 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Da keine Rügen im Zusammenhang mit der Anwendung kantonaler Normen geltend gemacht werden, beschränkt sich die Prüfung allenfalls auf - den vom Beschwerdeführer nicht ausdrücklich erwähnten - <ref-law>. Das Verwaltungsgericht hat die unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels verweigert, was der Beschwerdeführer beanstandet. Das Migrationsamt und der Regierungsrat hatten ihren Entscheid sorgfältig und zutreffend begründet. Ausserdem ist von einem klaren Fall auszugehen. Demzufolge durfte das Verwaltungsgericht annehmen, dass das Rechtsbegehren aussichtslos war. Das gilt entsprechend für den beim Bundesgericht gestellten Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege, der somit ebenfalls wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.).
4. Da sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet erweist, ist sie mit summarischer Begründung gemäss <ref-law> abzuweisen, soweit auf sie überhaupt einzutreten ist. Bei diesem Ausgang hat der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 f. BGG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Merz