Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1978) stammt aus Nigeria. 1999 und erneut 2001 reiste er in die Schweiz ein und suchte beide Male erfolglos um Asyl nach. In der Folge lebte er offenbar illegal in der Schweiz. Seit seiner Heirat mit einer Schweizerin im Februar 2006 ist er im Besitze einer Aufenthaltsbewilligung. Im Februar 2011 ersuchte X._ um Erteilung der Niederlassungsbewilligung, worauf ihm das Migrationsamt des Kantons Thurgau stattdessen mit Verfügung vom 28. Februar 2011 die Aufenthaltsbewilligung um ein Jahr verlängerte. Dieser Entscheid blieb unangefochten.
Im Sommer 2011 trennte sich seine Schweizer Gattin von X._ und erklärte dabei, sie habe dies eigentlich schon seit Mitte 2010 vorgehabt, mit diesem Schritt aber zugewartet, bis die Fünfjahresfrist für den Erteilung der Niederlassungsbewilligung abgelaufen gewesen sei.
B.
Mit Verfügung vom 30. April 2012 verweigerte das Migrationsamt eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ und ordnete dessen Wegweisung an. Die kantonalen Rechtsmittel gegen diesen Entscheid blieben erfolglos; mit Urteil vom 13. Februar 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau kantonal letztinstanzlich eine Beschwerde von X._ ab.
C.
Gegen diesen Entscheid führt X._ am 5. April 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen die Erteilung der Niederlassungsbewilligung, eventuell die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung.
Das Bundesamt für Migration, das Verwaltungsgericht und das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Mit Verfügung vom 11. April 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Für das Eintreten genügt, wenn der Betroffene in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein Anspruch auf die Bewilligung besteht; ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f.). Im vorliegenden Fall war der Beschwerdeführer mehr als fünf Jahre mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet und macht in vertretbarer Weise zumindest einen Anspruch nach Art. 50 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) geltend.
1.2. Die Beschwerde wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>) und Form (<ref-law>) von einer durch die Entscheidung besonders berührten Partei mit einem schutzwürdigen Interesse an deren Aufhebung oder Änderung (<ref-law>) eingereicht. Sie richtet sich gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (<ref-law> und <ref-law>). Auf die Beschwerde kann daher unter dem Vorbehalt der nachstehenden Erwägung grundsätzlich eingetreten werden.
1.3. Die im vorliegenden Verfahren ursprünglich angefochtene Verfügung des kantonalen Migrationsamtes vom 30. April 2012 bezog sich auf das Gesuch des Beschwerdeführers vom 14. Januar / 22. Februar 2012. Darin hatte dieser ausschliesslich um die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung nachgesucht. Eine Niederlassungsbewilligung hatte der damals schon anwaltlich vertretene Beschwerdeführer demgegenüber nicht beantragt und die daraufhin ergangene Verfügung des Migrationsamts äusserte sich folgerichtig auch nicht dazu. Es ist daher unzulässig, vor Bundesgericht neu die Erteilung der Niederlassungsbewilligung zu beantragen (<ref-law>). Dies stellt eine unzulässige Erweiterung des Streitgegenstandes im Rechtsmittelverfahren dar (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 145 f.).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law> bzw. <ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 146 f.).
2.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten von Schweizerinnen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wobei vorausgesetzt wird, dass sie mit diesen zusammenwohnen. Art. 42 Abs. 3 AuG bestimmt sodann, dass die Ehegatten nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung haben. Die Ansprüche nach Art. 42 AuG erlöschen, wenn sie rechtsmissbräuchlich geltend gemacht werden oder Widerrufsgründe nach Art. 63 AuG vorliegen (Art. 51 Abs. 1 AuG).
3.
3.1. Wie bereits ausgeführt, ersuchte der Beschwerdeführer am 18. Februar 2011 um Erteilung der Niederlassungsbewilligung, worauf ihm das Migrationsamt stattdessen mit Verfügung vom 28. Februar 2011 seine Aufenthaltsbewilligung um ein weiteres Jahr verlängerte. Der Beschwerdeführer rügt dieses Vorgehen als eigenmächtige Umdeutung seines Gesuchs unter Missachtung seines Anspruchs auf die Niederlassungsbewilligung und er erblickt darin eine formelle Rechtsverweigerung.
3.2. Die Rüge ist nicht zu hören: Der Entscheid des Migrationsamts vom 28. Februar 2011, die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers um ein weiteres Jahr zu verlängern, statt ihm die Niederlassungsbewilligung zu erteilen, stellt eine Verwaltungsverfügung dar. Der Beschwerdeführer hat diese nicht angefochten, so dass die Verfügung in formelle Rechtskraft erwachsen ist; sie kann zum heutigen Zeitpunkt nicht mehr überprüft werden. Soweit der Beschwerdeführer das Verhalten des Migrationsamts überdies als treuwidrig erachtet, macht er einen Verfassungsverstoss nicht in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise geltend, so dass darauf nicht näher einzugehen ist. Immerhin sei darauf hingewiesen, dass seine (damalige) Rechtsvertreterin zu keinem Zeitpunkt eine entsprechende Rüge erhoben hat, weshalb allfällige Ansprüche des Beschwerdeführers unter dem Titel des Vertrauensschutzes im heutigen Zeitpunkt verwirkt wären.
3.3. Da das dem vorliegenden Verfahren ursprünglich zugrunde liegende Gesuch des Beschwerdeführers ausschliesslich auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung lautete, sind seine Ausführungen zum von ihm behaupteten Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung ebenfalls nicht zu hören (vgl. E. 1.3 hiervor). Im Zusammenhang mit der hier einzig im Streit liegenden Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung beruft sich der Beschwerdeführer nicht auf diese genannten Ausführungen; sie wären jedoch ohnehin unbehelflich, denn die Auffassung der Vorinstanz, seine Ehefrau habe sich schon früher - vor Ablauf der Fünfjahresfrist gem. Art. 42 Abs. 2 AuG - vom Beschwerdeführer trennen wollen und dies nur unterlassen, um ihm die Erlangung der Niederlassungsbewilligung zu ermöglichen, könnte nicht als offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> bezeichnet werden, zumal sie sich auf eine entsprechende, klare Aussage seiner Ehefrau abstützen lässt, auch wenn deren Motive durchaus zu Fragen Anlass geben können.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer war seit seinem Eheschluss 2006 im Besitze einer Aufenthaltsbewilligung, auf deren Erteilung er grundsätzlich Anspruch hatte (Art. 42 Abs. 1 AuG; Art. 7 Abs. 1 des inzwischen aufgehobenen Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAG; BS 1 121]). Dieser Bewilligungsanspruch besteht trotz Auflösung bzw. definitiven Scheiterns der Ehegemeinschaft fort, wenn diese mindestens drei Jahre gedauert und die betroffene ausländische Person sich hier zudem erfolgreich integriert hat (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG). Der Begriff der "erfolgreichen Integration" wird in Art. 77 Abs. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) näher umschrieben. Demgemäss liegt eine solche dann vor, wenn die Ausländerin oder der Ausländer namentlich die rechtsstaatliche Ordnung und die Werte der Bundesverfassung respektiert und den Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb der am Wohnort gesprochenen Landessprache bekundet (vgl. Urteile 2C_930/2012 vom 10. Januar 2013 E. 3.1; 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 3.2).
4.2. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, er sei in der Schweiz gut integriert. Er verstehe sich ausgezeichnet mit seinem Schwiegervater und habe zahlreiche Freunde in der Schweiz. Er habe im Dezember 2012 eine Prüfung zum Deichselgeräte-Führer abgeschlossen und verfüge über eine Arbeitsstelle. Seine Englischkenntnisse würden ihm bei der beruflichen Zukunft nützlich sein. Die Aussagen seiner Ehefrau betreffend seine mangelnde Integration seien vor dem Hintergrund der angespannten Ehesituation zu sehen.
4.3. Die Vorinstanz hat sachverhaltlich festgehalten, der Freundeskreis des Beschwerdeführers beschränke sich auf nigerianische Bekannte. Nach <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht. Diesen Anforderungen genügt der Beschwerdeführer nicht, wenn er in seiner Eingabe an das Bundesgericht die Umstände bloss anders darstellt, als dies das Verwaltungsgericht getan hatte. Die Feststellungen der Vorinstanz zur persönlichen Integration des Beschwerdeführers bleiben deshalb im vorliegenden Verfahren massgeblich. Auch an der vom Verwaltungsgericht festgestellten, schlechten beruflichen Integration vermögen die Einwände des Beschwerdeführers nichts zu ändern: Selbst wenn seine diesbezüglichen neuen Vorbringen zulässig wären, würde dies nichts daran ändern, dass ernsthafte Bemühungen seinerseits, selbständig für seinen Unterhalt aufzukommen, vor Eröffnung des Verfahrens zur Beendigung seines Aufenthalts in der Schweiz nicht dokumentiert sind. Im Gegenteil: Den Akten ist zu entnehmen, dass er in der Vergangenheit überwiegend erwerbslos war. Zwischen 2008 und 2012 hat er nur gelegentlich und nur im Umfang von einigen Wochen gearbeitet. Sodann hat die Vorinstanz unwidersprochen festgestellt, dass der Beschwerdeführer trotz langjährigem Aufenthalt in der Schweiz kaum Deutsch versteht und spricht. Angesichts dieser Sachverhaltsfeststellungen kann von einer guten Integration nicht die Rede sein.
4.4. Schliesslich macht der Beschwerdeführer auch nicht geltend, es sei ihm nicht zuzumuten, in sein Heimatland zurückzukehren. Die Verhältnismässigkeit der angeordneten Wegweisung nach Nigeria braucht deshalb im bundesgerichtlichen Verfahren nicht näher geprüft zu werden.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde unbegründet und somit abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat indessen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gestellt. Da die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers ausgewiesen ist und die Beschwerde nicht als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden kann, ist seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu entsprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben
2.2. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwältin Barbara Wyler als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben und dieser aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- entrichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. November 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler