Faits:
A.
A.a. A._, ressortissant étranger, est arrivé en Suisse en 1991. Il a travaillé une dizaine d'années comme aide cuisinier, puis en qualité d'aide-maçon jusqu'au 15 juillet 2006, date à laquelle il a été victime d'une chute à vélo, dont les suites ont été prises en charge par son assureur-accidents, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
A._, qui n'a pas repris d'activité lucrative depuis son accident, a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, le 27 juin 2007. L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a pris des renseignements médicaux, notamment auprès de l'assureur-accidents, qui lui a fourni, parmi d'autres avis médicaux, le rapport du docteur V._, spécialiste FMH en chirurgie et médecin d'arrondissement de la CNA (du 8 janvier 2008). Par décision du 12 août 2008, l'office AI a mis l'assuré au bénéfice d'une rente entière d'invalidité du 1 er juillet au 31 décembre 2007; il a considéré en bref que la capacité de travail de A._ était entière dans une activité adaptée à partir de septembre 2007 et lui permettait de réaliser un revenu excluant une perte de gain significative.
A.b. Après que le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui, Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) a, sur recours de l'assuré contre la décision du 12 août 2008, renvoyé la cause à l'administration pour qu'elle mît en oeuvre une expertise rhumato-psychiatrique (jugement du 26 mai 2009), l'office AI a confié une expertise au Centre X._. Dans leur rapport du 12 juillet 2010, les docteurs O._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, et I._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, ont diagnostiqué, avec répercussion sur la capacité de travail, une ancienne fracture du pédicule et de la lame droite de C6, une discectomie C6/C7 avec une arthrodèse antérieure, une arthrodèse C5/C7 par voie postérieure, une probable pseudarthrose C5/C7 et des cervicalgies persistantes. Ils ont également fait état d'une ancienne fracture de P1/D5 à gauche et d'un épisode dépressif léger avec un syndrome somatique, sans répercussion sur la capacité de travail. Les médecins ont conclu à une capacité de travail nulle dans l'activité antérieure, mais entière dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles (liées uniquement aux problèmes somatiques: pas de port de charge même d'importance moyenne, maintien d'une posture fixée de la colonne vertébrale, pas d'activité nécessitant une mobilité de la colonne cervicale), avec une diminution de rendement de 20 % pour tenir compte des douleurs. Des mesures de placement pouvaient être envisagées. A la demande de l'administration, le docteur O._ a établi un rapport complémentaire le 1 er novembre 2010.
Du 8 août au 4 septembre 2011, A._ a suivi un stage d'observation professionnelle auprès du Centre d'observation professionnelle de l'assurance-invalidité (COPAI), dont les responsables ont conclu notamment que les capacités physiques et d'apprentissage de l'assuré étaient insuffisantes pour permettre une réadaptation dans le circuit économique normal (rapport des Etablissements publics pour l'intégration [EPI] du 10 octobre 2011). Le 11 juin 2012, l'office AI a rendu une décision par laquelle il a nié le droit de l'intéressé à une rente d'invalidité et à des mesures d'ordre professionnel, au motif que l'assuré présentait un taux d'invalidité inférieur à 40 %, ce qui justifiait également la suppression de la rente entière au 31 décembre 2007.
B.
Saisi d'un recours formé par A._ contre cette décision, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise a requis des renseignements complémentaires auprès du COPAI (avis du 17 avril 2013). Par jugement du 4 juin 2013, elle a partiellement admis le recours; elle a réformé la décision de l'office AI du 11 juin 2012, en ce sens que l'assuré a droit à une rente entière d'invalidité dès le 9 juin 2010, et renvoyé la cause à l'administration pour calcul des prestations dues à l'assuré.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 11 juin 2012.
A._ conclut au rejet de recours, sous suite de dépens. Pour sa part, l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Bien que le dispositif du jugement entrepris renvoie le dossier à l'office AI, il ne s'agit pas d'une décision incidente au sens de l'<ref-law> car la juridiction cantonale a statué définitivement sur les points contestés, le renvoi de la cause ne visant que le calcul des prestations accordées. Le recours est dès lors recevable puisqu'il est dirigé contre un jugement final (cf. <ref-law>; arrêt 9C_684/2007 du 27 septembre 2007 consid. 1.1, in SVR 2008 IV n° 39 p. 131).
2.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
3.
Le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence applicables au litige, qui porte sur le droit de l'intimé à une rente entière de l'assurance-invalidité à partir du 9 juin 2010 (le droit à une rente entière du 1 er juillet au 31 décembre 2007 n'étant pas contesté). Il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. Examinant le droit de l'assuré à une rente entière d'invalidité au-delà du 31 décembre 2007, les premiers juges ont constaté que son état de santé s'était, dans un premier temps, amélioré, de sorte qu'il disposait d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée à partir du 10 septembre 2007. Par la suite cependant, l'intimé avait subi une aggravation de son état de santé à partir du 9 juin 2010 en tout cas (date du second examen de X._), comme le montraient les limitations fonctionnelles liées à la colonne cervicale mises en évidence par les experts de X._, qui étaient plus importantes que celles qui avaient été retenues en septembre 2007, ainsi que les limitations liées au type d'activités exigibles dont avaient fait état les responsables du COPAI. Suivant les conclusions de ceux-ci, la juridiction cantonale a constaté que l'assuré ne pouvait plus mettre en valeur sa capacité de travail résiduelle sur le marché ordinaire du travail, mais uniquement au sein d'un atelier protégé, par exemple aux EPI. Aussi, a-t-elle procédé à la comparaison des revenus déterminants en fonction d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée de septembre 2007 au 9 juin 2010, puis, dès cette date, d'une capacité de travail qui ne pouvait être mise en valeur que dans un atelier protégé. Il en résultait un taux d'invalidité de 17 % de septembre 2007 à juin 2010, puis de 85 % à partir de ce mois, ce qui justifiait l'absence de rente de janvier 2008 au 8 juin 2010 et l'octroi d'une rente entière d'invalidité dès le 9 juin 2010.
4.2. Faisant tout d'abord grief à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des faits, le recourant lui reproche d'avoir retenu que l'état de santé de l'intimé s'était péjoré à partir du 9 juin 2010. Selon le recourant, le rapport de X._ ne mettait pas en lumière une péjoration de l'état de santé de l'intimé, à l'inverse de ce qu'aurait constaté de manière arbitraire l'autorité cantonale de recours, puisque les médecins de X._ avaient fait état des mêmes limitations fonctionnelles que celles mentionnées par le docteur V._ dans son rapport final du 8 janvier 2008.
Le recourant soutient par ailleurs que l'autorité judiciaire de première instance a, en violation du droit fédéral, suivi exclusivement les conclusions du COPAI, qui ne pouvaient l'emporter sur les conclusions des experts médicaux de X._. Le rapport du COPAI n'était pas fiable, puisqu'il se fondait sur des constatations pour partie subjectives et pour partie non déterminantes pour l'assurance-invalidité.
5.
5.1. En ce qui concerne le premier grief du recourant, il apparaît certes à la lecture du rapport final du docteur V._ que les limitations fonctionnelles retenues alors (impossibilité de porter des charges moyennes à lourdes, d'effectuer des travaux en terrain instable, d'utiliser des outils vibratoires et lourds, d'effectuer des mouvements répétitifs en rotation et en flexion/extension de la colonne cervicale et de prendre des positions penchées en avant) sont quasi superposables à celles mises en évidence trois ans plus tard par les médecins de X._ (pas de port de charges même d'importance moyenne, maintien de posture fixée de la colonne cervicale, pas d'activité nécessitant une mobilité de la colonne cervicale; cf. également l'avis du Service médical régional AI du 1 er février 2011).
Toutefois, à l'inverse du docteur V._ (qui a mentionné une "consolidation osseuse acquise"), l'expert O._ a fait état de ses doutes quant au status chirurgical de l'assuré, qu'il a qualifié d'"imparfait". Il a indiqué que l'instabilité mécanique C6/C7 due à la fracture cervicale subie lors de l'accident 2006 avait été corrigée par une arthrodèse C6/C7 (fusion de deux vertèbres), complétée par une stabilisation postérieure C5/C7 avec mise en place d'une greffe osseuse. L'expert n'était cependant pas convaincu de la consolidation de cette greffe, une vis du montage C5/C7 n'étant par ailleurs pas en bonne position. Il en a déduit que ce status chirurgical imparfait jouait un rôle - difficile à définir, mais qui ne pouvait être négligé - dans la genèse des douleurs ressenties par l'assuré et a conclu, en définitive, à une réduction de rendement de 20 % en raison de ces douleurs d'origine physique (avec une capacité de travail entière dans une activité adaptée).
Au regard de ces constatations médicales, il n'apparaît nullement arbitraire de retenir, comme l'a fait la juridiction cantonale, une péjoration de l'état de santé du recourant par rapport à la situation qui prévalait en septembre 2007, liée à une baisse de rendement de 20 % dans une activité adaptée.
5.2.
5.2.1. Comme le soutient ensuite le recourant, il appartient avant tout aux médecins, et non aux spécialistes de l'orientation professionnelle, de se prononcer sur la capacité de travail d'un assuré souffrant d'une atteinte à la santé et sur les éventuelles limitations résultant de celle-ci. Au regard de la collaboration, étroite, réciproque et complémentaire selon la jurisprudence, entre les médecins et les organes d'observation professionnelle (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 20), on ne saurait toutefois dénier toute valeur aux renseignements d'ordre professionnel recueillis à l'occasion d'un stage pratique pour apprécier la capacité résiduelle de travail de l'assuré en cause. Au contraire, dans les cas où l'appréciation d'observation professionnelle diverge sensiblement de l'appréciation médicale, il incombe à l'administration, respectivement au juge - conformément au principe de la libre appréciation des preuves - de confronter les deux évaluations et, au besoin de requérir un complément d'instruction (arrêts 9C_1035/2009 du 22 juin 2010 consid. 4.1, in SVR 2011 IV n° 6 p. 17; 9C_833/2007 du 4 juillet 2008, in Plädoyer 2009/1 p. 70; I 35/03 du 24 octobre 2003 consid. 4.3 et les références, in Plädoyer 2004/3 p. 64).
5.2.2. Comme le relève à juste titre le recourant, l'appréciation de la capacité de travail donnée par les experts de X._ et celle des responsables de l'observation professionnelle divergent sensiblement. Même si ces derniers ont retenu des limitations fonctionnelles (en partie) similaires à celles résultant de l'expertise du 12 juillet 2010, leurs conclusions contredisent en définitive l'appréciation médicale, puisqu'ils considèrent que l'intimé n'est pas en mesure de mettre en valeur sa capacité de travail résiduelle dans le circuit économique normal, seule une activité dans un atelier protégé leur apparaissant accessible. Les auteurs du rapport du 10 octobre 2011 ont, par ailleurs, fait état de limitations physiques supplémentaires à celles mentionnées par les experts de X._, en indiquant que la coordination occulo-manuelle et la coordination-dissociation étaient affectées, la mobilité des membres supérieurs de l'assuré limitée et les gestes amples exclus; le degré de précision des gestes de l'assuré était également limité, dès lors qu'il ne contrôlait pas avec précision ses mouvements et gestes.
L'appréciation du COPAI revêt par ailleurs valeur probante. Contrairement à ce que soutient le recourant, on ne saurait l'écarter au motif qu'elle serait largement influencée par les plaintes forcément subjectives de l'assuré; le recourant ne se réfère à cet égard à aucun passage du rapport du 10 octobre 2011 qui appuierait sa critique. Au demeurant, à l'inverse de ce qui était le cas en été 2008, où l'intimé avait interrompu une mesure d'orientation professionnelle (cf. annonce de sortie des EPI du 11 août 2008), les responsables du stage d'août 2011 ont fait état de l'attitude positive de l'assuré, qui avait montré de l'intérêt pour les travaux proposés et n'avait adopté aucun comportement passif, d'évitement ou d'attentisme dans les travaux d'atelier.
5.2.3. Cela étant, dans une telle situation où l'appréciation des organes d'orientation professionnelle contredisait l'évaluation médicale de la capacité de travail, la juridiction cantonale ne pouvait pas se limiter à retenir que la première complétait de manière appropriée la seconde sans mettre en évidence leur contradiction, ni requérir un complément d'instruction. Dès lors que les conclusions des médecins de X._ étaient sérieusement mises en doute par l'appréciation des responsables du COPAI, qui concluaient à l'incapacité de l'assuré à réintégrer le marché du travail au vu de son faible rendement, il convenait, pour le moins, de compléter l'instruction en sollicitant, par exemple, l'avis des experts de X._ sur les conclusions du rapport du 10 octobre 2011, notamment sur les divergences quant au nombre de limitations effectives présentées par le recourant. L'avis du médecin du SMR (du 25 novembre 2011) ne saurait remplacer une telle prise de position médicale, parce qu'il se réfère uniquement, et de façon très succincte, à l'appréciation du médecin-conseil des EPI, et non au rapport du COPAI en tant que tel.
En conséquence, il y a lieu de renvoyer la cause à l'autorité cantonale de recours pour qu'elle complète l'instruction en ce qui concerne les divergences entre les conclusions de X._ et celles du COPAI sur la capacité de travail de l'intimé et le type d'activité adaptée qu'il serait, le cas échéant, à même d'exécuter. On notera à cet égard que les médecins de X._ n'ont pas donné d'exemples concrets de postes de travail qui seraient à portée de l'assuré au vu des limitations retenues. En procédure judiciaire de première instance, le recourant a donné comme exemple d'activité adaptée aux limitations de l'assuré celles "d'ouvrier à l'établi, de surveillance et de vérification ou de contrôle, dès lors qu'elles permettraient l'alternance des positions et l'absence de port de charges" (cf. déterminations du 9 août 2012). Toutefois, il n'a manifestement pas pris en considération l'ensemble des limitations mises en évidence par les médecins de X._. Il ne cite en effet ni l'exigence de maintenir une posture fixée de la colonne cervicale, ni l'absence de mobilité cervicale, qui constituent des limitations difficilement compatibles avec une activité à l'établi ou de surveillance/vérification/contrôle où la mobilité de la tête semble, à première vue tout le moins, indispensable. Il appartiendra donc aux premiers juges d'éclaircir ce point, avec la collaboration du recourant auquel il incombe de donner des exemples d'activités exigibles en se fondant sur des possibilités de travail réalistes.
5.3. Il suit de ce qui précède que le jugement entrepris est annulé en tant qu'il porte sur le droit de l'intimé à une rente d'invalidité à partir de juin 2010; la cause est renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle complète l'instruction au sens des considérants qui précèdent, puis statue à nouveau.
6.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires y afférents sont mis à la charge de l'intimé (<ref-law>). Le recourant, qui obtient partiellement gain de cause, n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis. La décision de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 4 juin 2013 est annulée en tant qu'elle porte sur le droit de l'intimé à une rente entière de l'assurance-invalidité à partir de juin 2010. La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless