Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen den Beschluss vom 8. Januar 2010 des Obergerichts des Kantons Zürich, das in teilweiser Gutheissung eines Rekurses des Beschwerdeführers eine erstinstanzliche Eheschutzverfügung teilweise abgeändert, im Übrigen jedoch den Rekurs (wie auch den Anschlussrekurs der Beschwerdegegnerin) abgewiesen hat, soweit es darauf eingetreten ist, und die Eheschutzverfügung bestätigt hat,
in die Gesuche um aufschiebende Wirkung und um Verfahrenssistierung,
in die Präsidialverfügung vom 1. Juni 2011, womit die Aufforderung der Beschwerdegegnerin zur Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung mit sofortiger Wirkung widerrufen worden ist,

in Erwägung,
dass der Beschwerdeführer den obergerichtlichen Beschluss mit Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich angefochten hat, weshalb die Frist zur Einreichung einer Beschwerde nach <ref-law> gegen den obergerichtlichen Beschluss mit der Eröffnung des kassationsgerichtlichen Zirkulationsbeschlusses vom 21. März 2011 zu laufen begann (<ref-law>),
dass deshalb die Beschwerde nach <ref-law> innert 30 Tagen nach der Eröffnung des kassationsgerichtlichen Beschlusses beim Bundesgericht einzureichen oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post zu übergeben war (Art. 100 Abs. 1, Art. 48 Abs. 1 BGG),
dass ferner die Gerichtsferien (<ref-law>) in einem Fall wie dem vorliegenden, wo sich die Beschwerde gegen einen Entscheid betreffend Massnahmen im Sinne von <ref-law> richtet (<ref-ruling> E. 5 S. 396f.), kraft der ausdrücklichen Vorschrift des <ref-law> nicht galten (bundesgerichtliche Urteile 5A_177/2007 vom 1. Juni 2007 E. 1.3, 5A_169/2007 vom 21. Juni 2007 E. 3, in: Fampra.ch 2007 S. 953, und 5A_218/2007 vom 7. August 2007 E. 3.2, in: Pra 96/2007 Nr. 138 S. 946),
dass der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 21. März 2011 dem Anwalt des Beschwerdeführers am 7. April 2011 eröffnet worden ist,
dass die Beschwerde erst am 20. Mai 2011 und damit nach Ablauf der Beschwerdefrist (Montag, 9. Mai 2011) der Post übergeben worden ist,
dass sich somit die Beschwerde als verspätet und daher als offensichtlich unzulässig erweist, weshalb darauf im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass mit dem Beschwerdeentscheid die Gesuche um aufschiebende Wirkung und um Verfahrenssistierung gegenstandslos werden,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juni 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann