Faits:
A. A._ et son frère D._ sont propriétaires de la parcelle n° 8'046 du registre foncier de Montreux. Ce bien-fonds de 12'011 m2 est bordé à l'ouest par la rive gauche de la Baye de Clarens, au nord par une forêt, à l'est par l'ancien coteau viticole des Bonnettes et au sud par la route de Brent, qui constitue l'accès principal au terrain. Il est classé en zone à bâtir (zone industrielle) par le plan d'extension partiel "La Foge", approuvé le 18 novembre 1977 par le Conseil d'Etat du canton de Vaud. Selon l'art. 3 let. d du règlement spécial de ce plan (ci-après: le règlement), un espace libre de toute construction, fixé à 10 m au moins, sera réservé en bordure des zones de forêts.
Le 31 mai 2006, A._ et D._ ainsi que les promettant-acquéreurs B._ et C._ ont demandé l'autorisation de construire sur ce bien-fonds cinq bâtiments à usage mixte (artisanat, bureaux et logements de service). Ce projet a suscité diverses oppositions, dont celle de l'association Pro Natura Vaud. Cette association relevait notamment que l'implantation de l'un des bâtiments et de sa voie d'accès ne respectaient pas la distance de 10 m à la lisière de la forêt longeant le cours d'eau et que les risques d'inondation n'avaient pas été pris en considération. Par décision du 1er décembre 2006, la Municipalité de Montreux a levé les oppositions et délivré le permis de construire.
B. Les associations Pro Natura et Pro Natura Vaud (ci-après: Pro Natura) ont recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Vaud (devenu la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud; ci-après: le Tribunal cantonal). Elles relevaient notamment que le projet litigieux serait fortement exposé aux crues et que le plan d'extension partiel ne serait plus d'actualité s'agissant des dangers naturels. Elles estimaient en outre qu'un espace devrait être défini pour maintenir les fonctions biologiques de la Baye de Clarens.
Le Tribunal cantonal a ordonné une expertise visant à déterminer si la parcelle n° 8'046 était exposée à des dangers particuliers selon les critères établis par les recommandations fédérales en la matière. Dans son rapport du 22 mai 2007, l'expert mandaté a établi une carte des dangers, selon laquelle la majeure partie de la parcelle est située en "zone de danger résiduel" et le secteur situé en bordure de la Baye de Clarens en "zone de danger élevé". Le 12 juin 2007, l'expert a produit un rapport complémentaire portant notamment sur les risques liés à un glissement de terrain actif sur la rive droite du cours d'eau, en face de la parcelle n° 8'046. Il estimait qu'en l'état actuel des connaissances géologiques, la présence de ce glissement ne justifiait pas de modifier la carte des dangers susmentionnée.
Par arrêt du 16 avril 2008, le Tribunal cantonal a admis le recours de Pro Natura et annulé la décision de la Municipalité de Montreux du 10 janvier 2007. Il a retourné le dossier à l'Etablissement cantonal d'assurance contre l'incendie et les éléments naturels (ci-après: l'Etablissement cantonal d'assurance) afin qu'il statue sur l'autorisation prévue par l'art. 120 al. 1 let. b LATC et l'art. 12 de la loi cantonale du 27 mai 1970 sur la prévention des incendies et des dangers résultant des éléments naturels (LPIEN; RSV 963.11). Il a considéré en substance que l'Etablissement cantonal d'assurance ne serait pas en mesure de statuer tant qu'une carte des dangers ne serait pas adoptée par l'autorité compétente. Il a estimé que cette carte des dangers devrait être établie dans un délai de vingt-quatre mois à compter du refus de l'autorisation spéciale des art. 120 al. 1 let. b LATC et 12 LPIEN. Si ce délai n'était pas respecté, l'Etablissement cantonal d'assurance devrait statuer "en l'état des connaissances scientifiques dont il dispose".
Examinant si les nouvelles dispositions de droit fédéral sur l'aménagement des cours d'eau avaient été prises en compte, le Tribunal cantonal a encore constaté que le Service des eaux, sols et assainissement (ci-après: le Service des eaux) ne s'était pas déterminé sur la largeur de la zone riveraine à protéger en vertu des art. 3 et 4 de la loi fédérale du 21 juin 1991 sur l'aménagement des cours d'eau (LACE; RS 721.100) et de l'art. 21 de son ordonnance d'application (OACE; RS 721.100.1). Le dossier devait donc être retourné au Département de la sécurité et de l'environnement, pour qu'il statue dans le cadre de l'autorisation prévue par l'art. 12 de la loi cantonale du 3 décembre 1957 sur la police des eaux dépendant du domaine public (LPDP; RSV 721.01), en consultant le Service des eaux, le Centre de conservation de la faune et de la nature ainsi que la Commission pour la protection de la nature.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._, B._ et C._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de confirmer la décision de la Municipalité de Montreux leur délivrant le permis de construire, subsidiairement de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. Invoquant la garantie de la propriété (art. 26 Cst.), ils se plaignent en substance du fait que les exigences fixées par le Tribunal cantonal ne reposent pas sur une base légale suffisante et sont disproportionnées. Ils s'en prennent également à la composition de l'autorité ayant statué (art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH). A titre de mesures d'instruction, ils demandent au Tribunal fédéral d'interpeller le juge X._ ou le Tribunal cantonal sur les liens de ce juge avec Pro Natura Vaud et d'interpeller l'Office fédéral de l'environnement au sujet de l'élaboration des cartes de danger en relation avec des risques croisés, notamment de glissement de terrain et de crue, et sur la détermination de la probabilité d'un tel événement.
Pro Natura et Pro Natura Vaud se sont déterminés; ils concluent au rejet du recours. La Municipalité de Montreux et le Service des eaux ont présenté des observations, sans prendre de conclusions. L'Etablissement cantonal d'assurance a renoncé à formuler des observations. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt, pour conclure au rejet du recours; il dépose en outre une détermination du juge assesseur X._. Au terme de ses observations, l'Office fédéral de l'environnement soutient la décision attaquée. L'Etablissement cantonal d'assurance, le Service des eaux, la Municipalité de Montreux, le Tribunal cantonal et les recourants ont présenté des observations complémentaires.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 275 et les arrêts cités).
1.1 Dirigé contre une décision rendue dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110) auxquels renvoie l'art. 34 al. 1 LAT (<ref-ruling> consid. 2 p. 356, 249 consid. 1.2 p. 251). Aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'est réalisée. Les recourants, qui ont pris part à la procédure devant l'autorité précédente, sont particulièrement atteints par la décision attaquée, qui annule le permis de construire qu'ils avaient obtenu et qui pose de nouvelles exigences reportant la réalisation de leur projet; ils ont donc un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, de sorte qu'ils ont la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>.
1.2 L'arrêt attaqué renvoie la cause à l'Etablissement cantonal d'assurance et au Département de la sécurité et de l'environnement du canton de Vaud pour compléments d'instruction et pour que ces autorités statuent sur les autorisations préalables requises par le droit cantonal. Dès lors que cette décision ne met pas fin à la procédure (<ref-law>) et qu'elle ne statue pas sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause (<ref-law>), elle constitue une décision incidente au sens de l'<ref-law>. Conformément à l'<ref-law>, le recours n'est ouvert contre une telle décision que si celle-ci peut causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
La recevabilité du recours immédiat au sens de l'<ref-law> suppose cumulativement que le Tribunal fédéral puisse mettre fin une fois pour toutes à la procédure en jugeant différemment la question tranchée dans la décision préjudicielle ou incidente et que la décision finale immédiate qui pourrait ainsi être rendue permette d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-ruling> consid. 2.4.1 et les références citées). La première de ces conditions est réalisée en l'espèce, dès lors qu'une admission du recours conduirait à la confirmation de l'autorisation de construire délivrée le 1er décembre 2006 par la Municipalité de Montreux, sans qu'il soit nécessaire de procéder à des mesures d'instruction supplémentaires. Il en va de même de la seconde condition, dans la mesure où les actes d'instruction demandés par le Tribunal cantonal impliquent manifestement la mise en oeuvre d'expertises coûteuses et un rallongement sensible de la durée de la procédure. Le recours est dès lors recevable sans qu'il y ait lieu d'examiner le point de savoir si, cas échéant, il ne le serait pas aussi en vertu de l'<ref-law>, nonobstant le fait que la décision incidente attaquée ne porte pas explicitement sur la compétence du Tribunal cantonal ou sur une demande de récusation.
2. Il n'y a pas lieu de procéder aux mesures d'instructions requises par les recourants, le Tribunal fédéral s'estimant suffisamment renseigné par les déterminations reçues et par les éléments figurant au dossier.
3. Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, les recourants se prévalent des garanties de procédure judiciaire des art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH pour remettre en cause la composition de la Cour qui a rendu l'arrêt attaqué. Ils font valoir à cet égard que le juge assesseur X._ avait des "intérêts importants" au sein de Pro Natura Vaud.
3.1 L'art. 6 par. 1 CEDH - applicable à la présente cause dans la mesure où la contestation a des effets directs sur des droits et obligations de nature civile au sens de cette norme (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 45; <ref-ruling> consid. 3e p. 300; <ref-ruling> consid. 5c p. 34 s.) - garantit le droit à être jugé par un tribunal indépendant et impartial, établi par la loi. Aux termes de l'art. 30 al. 1 Cst., qui n'a, de ce point de vue, pas une portée différente de l'art. 6 par. 1 CEDH (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 198, 335 consid. 1.3.1 p. 338), toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire a droit à ce que sa cause soit portée devant un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial; les tribunaux d'exception sont interdits.
3.2 Le Tribunal cantonal ayant statué alors que le juge assesseur X._ n'était plus en fonction, il y a lieu d'examiner préliminairement le point de savoir si la Cour cantonale peut être qualifiée de "tribunal établi par la loi" au sens de ces deux dispositions.
3.2.1 Il découle de l'art. 30 al. 1 Cst. un droit à une composition correcte de l'autorité judiciaire (cf. <ref-ruling> consid. 3c p. 130; <ref-ruling> consid. 2a p. 501; <ref-ruling> consid. 5a p. 168). Cette disposition interdit la mise en oeuvre de juges ad hoc ou ad personam et exige dès lors, en vue d'empêcher toute manipulation et afin de garantir l'indépendance nécessaire, une organisation judiciaire et une procédure déterminées par un texte légal (<ref-ruling> consid. 2.1.2.1 p. 34; <ref-ruling> consid. 2b p.51). Le droit à un tribunal établi par la loi est notamment violé lorsqu'un juge participe encore à la décision après la fin de sa période de fonction (arrêts 2P.264/2000 du 27 août 2001 consid. 2; 2A.575/2005 du 17 janvier 2006 consid. 2.1). La composition irrégulière de la juridiction est un vice fondamental, qui ne peut pas être réparé; seul un nouveau jugement, rendu par un tribunal établi conformément à la loi, est susceptible de rétablir une situation conforme au droit (arrêt I 688/03 du 15 mars 2004, consid. 4 publié in RDAF 2005 I p. 62). Il faut enfin distinguer le cas où les juges ont cessé leur fonction avant que le tribunal ne statue de celui où ils l'ont quittée une fois que le tribunal a rendu son arrêt mais avant qu'il n'en ait notifié les considérants. Dans cette dernière hypothèse uniquement, il ne serait pas inconcevable que la rédaction de l'arrêt soit soumise à l'approbation des juges après la fin de leur activité (cf. arrêt précité 2P.264/2000 consid. 2c in fine et la référence).
Selon la Cour européenne des droits de l'homme, l'expression "tribunal établi par la loi" reflète le principe selon lequel la légitimité nécessaire pour connaître des causes de particuliers, dans une société démocratique, ne peut être reconnue qu'à un organe établi conformément à la volonté du législateur (arrêts CourEDH Jorgic contre Allemagne du 12 juillet 2007, § 64 s. et Lavents contre Lettonie du 28 novembre 2002, § 114). Cette condition s'applique non seulement au tribunal en tant que tel, mais également à la composition du siège dans chaque affaire (arrêt Posokhov contre Russie du 4 mars 2003, Recueil CourEDH 2003-IV, § 39). Le droit à être jugé par un tribunal établi par la loi "revêt une importance capitale et son exercice ne peut dépendre des seuls intéressés" (arrêt CourEDH Pfeifer et Plankl contre Autriche du 25 février 1992, série A n° 227, § 38). De plus, dans les pays de droit codifié, "l'organisation du système judiciaire ne saurait (...) être laissée à la discrétion des autorités judiciaires, ce qui n'exclut pas cependant pas de leur reconnaître un certain pouvoir d'interprétation de la législation nationale en la matière" (arrêt Coëme et autres contre Belgique du 22 juin 2000, Recueil CourEDH 2000-VII, § 98).
3.2.2 En l'occurrence, la section du Tribunal cantonal qui a statué le 16 avril 2008 se composait de Z._, président, ainsi que de X._ et Y._, assesseurs. Or, selon le courrier adressé aux parties le 25 janvier 2008 par le juge instructeur en charge de l'affaire, le juge assesseur X._ a cessé ses fonctions au 31 décembre 2007, ce qui ressort également de la documentation officielle. Ainsi, ce dernier n'était plus en fonction lorsque l'arrêt litigieux a été rendu, le 16 avril 2008. La section du Tribunal cantonal indiquée en tête de l'arrêt en cause n'était dès lors pas habilitée à statuer, car elle ne constituait pas un "tribunal établi par la loi" au sens des art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH.
3.2.3 Il importe peu que, dans le courrier susmentionné du 25 janvier 2008, le juge instructeur ait rendu les parties attentives au fait que le juge assesseur X._ avait cessé ses fonctions au 31 décembre précédent, qu'il les ait invitées à présenter d'éventuelles objections à cet égard et que les parties, y compris les recourants, n'aient alors pas eu d'objections, voire aient accepté que le juge en question fasse partie de la composition de la Cour. En effet, compte tenu en particulier des principes rappelés par la Cour européenne des droits de l'homme, on ne saurait admettre qu'un tribunal décide de statuer dans une composition qui s'écarte de sa composition régulière, même si les parties ont donné leur accord à cet égard. Il y a en effet un intérêt public cardinal et manifeste à ce que la justice soit rendue par des juges et tribunaux établis par la loi et non par des personnes qui conviendraient mieux aux autorités judiciaires ou aux parties. Dans ces conditions, le fait que les recourants aient donné leur accord pour qu'un juge assesseur ayant cessé ses fonctions fasse partie de la composition de la cour n'enlève rien au caractère irrégulier de cette composition.
3.3 L'autorité intimée a donc violé les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH invoqués par les recourants. Par conséquent, il y a lieu d'annuler l'arrêt attaqué, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs des recourants.
4. Il s'ensuit que le recours doit être admis et l'arrêt attaqué annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité judiciaire cantonale afin qu'elle statue à nouveau dans une composition conforme à la loi. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). Les recourants, qui ont conclu à l'annulation de l'arrêt attaqué, obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un avocat; ils ont dès lors doit à des dépens (<ref-law>). Il y a lieu de mettre ceux-ci à la charge de l'Etat de Vaud, par identité de motifs avec l'<ref-ruling> consid. 4 in fine et l'arrêt I 688/03 précité, consid. 5.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis; l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Une indemnité de 2'000 fr. est allouée aux recourants à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral, à la charge de l'Etat de Vaud.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des recourants et de la Municipalité de Montreux, à Pro Natura et Pro Natura Vaud, au Service cantonal des eaux et à l'Etablissement cantonal d'assurance, à l'Office fédéral de l'environnement ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 13 mai 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener