Sachverhalt:
A.
Die Eheleute A.A._ und B.A._ haben Wohnsitz in U._ (AG). In einem Begleitschreiben zur Steuererklärung 2010 erklärten sie, A.A._ habe aus Tätigkeiten für die Universitäten Kyoto und Osaka im Jahr 2010 Einkünfte von insgesamt 1'982'508.-- Yen erzielt. Diese könnten gemäss Art. 15 Abs. 1 und 2 des Abkommens vom 19. Januar 1971 zwischen der Schweiz und Japan zur Vermeidung der Doppelbesteuerung auf dem Gebiete der Steuern vom Einkommen (DBA-JP; SR 0.672.946.31) nur in Japan besteuert werden.
B.
Mit Veranlagung vom 24. August 2011 für die Kantons- und Gemeindesteuern 2010 erfasste die Steuerkommission U._ die in Japan erzielten Einkünfte von (umgerechnet) Fr. 22'779.-- sowohl beim steuerbaren Einkommen (Fr. 201'700.--) als auch beim satzbestimmenden Einkommen (Fr. 274'700.--) als Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit. Die gegen diese Veranlagung erhobene Einsprache wies die Steuerkommission U._ am 24. Oktober 2011 ab.
In Gutheissung des dagegen erhobenen Rekurses der Eheleute A._ setzte das Steuerrekursgericht des Kantons Aargau (nachfolgend: Steuerrekursgericht) mit Urteil vom 23. August 2012 das steuerbare Einkommen auf Fr. 181'200.-- fest und beliess das satzbestimmende Einkommen bei Fr. 274'700.--. Die Differenz zur Veranlagung bestand darin, dass die in Japan besteuerten Einkünfte nur beim satzbestimmenden Einkommen berücksichtigt wurden, nicht aber beim in der Schweiz besteuerten Einkommen.
Die gegen dieses Urteil vom Kantonalen Steueramt erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau (nachfolgend: Verwaltungsgericht) mit Urteil vom 26. April 2013 gut und setzte das steuerbare Einkommen bzw. das satzbestimmende Einkommen für die Kantons- und Gemeindesteuern 2010 wiederum auf Fr. 201'700.-- bzw. Fr. 274'700.-- fest.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 27. Mai 2013 beantragen A.A._ und B.A._ die Aufhebung des angefochtenen Urteils, die Festlegung des steuerbaren Einkommens auf Fr. 181'200.-- und des satzbestimmenden Einkommens auf Fr. 274'000.-- sowie die Rückerstattung der zu viel bezahlten Steuern.
Das Kantonale Steueramt beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht und die Eidgenössische Steuerverwaltung verzichten auf Vernehmlassung.
Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat die Angelegenheit am 29. April 2014 an einer öffentlichen Sitzung beraten.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Gerichtsentscheid über die direkten Steuern des Kantons. Dagegen steht gemäss <ref-law> in Verbindung mit Art. 73 StHG (SR 642.14) die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen. Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist deshalb einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dabei prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.
Gemäss § 16 Abs. 1 des Steuergesetzes des Kantons Aargau (StG/AG; SAR 651.100) sind natürliche Personen auf Grund persönlicher Zugehörigkeit steuerpflichtig, wenn sie ihren steuerrechtlichen Wohnsitz oder Aufenthalt im Kanton haben (vgl. ebenso Art. 3 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]). Bei persönlicher Zugehörigkeit ist die Steuerpflicht nach § 18 Abs. 1 StG/AG unbeschränkt; sie erstreckt sich aber nicht auf Geschäftsbetriebe, Betriebsstätten und Grundstücke ausserhalb des Kantons.
Vorliegend ist unbestritten, dass das vom Beschwerdeführer 1 in Japan erzielte Einkommen aufgrund dieser Bestimmungen im Kanton Aargau besteuert werden dürfte.
3.
Zu prüfen ist, ob die Besteuerung im Kanton Aargau aufgrund des DBA-JP ausgeschlossen ist. Die Beschwerdeführer rügen diesbezüglich die unrichtige Anwendung von Art. 15 und Art. 20 DBA-JP.
Im Folgenden wird zunächst die in Art. 15 DBA-JP enthaltene Grundregel samt den Ausnahmen erläutert (E. 4). Danach ist die Bedeutung von Art. 20 DBA-JP und dessen Verhältnis zu Art. 15 DBA-JP darzulegen (E. 5).
4.
Art. 15 Abs. 1 DBA-JP lautet (in der vorliegend anwendbaren Fassung vom 19. Januar 1971, AS 1971 1720, gültig bis 29. Dezember 2011) folgendermassen:
"Vorbehältlich der Artikel 16, 18, 19 und 20 können Gehälter, Löhne und ähnliche Vergütungen, die eine in einem Vertragstaat ansässige Person aus unselbständiger Arbeit bezieht, nur in diesem Vertragsstaat besteuert werden, es sei denn, dass die Arbeit in dem anderen Vertragstaat ausgeübt wird. Wird die Arbeit dort ausgeübt, so können die dafür bezogenen Vergütungen in dem anderen Vertragstaat besteuert werden."
4.1. Art. 15 Abs. 1 DBA-JP enthält die Grundregelung für die Zuweisung von Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit, wie sie im OECD-Musterabkommen auf dem Gebiete der Steuern vom Einkommen und vom Vermögen (nachfolgend: OECD-Musterabkommen) vorgesehen ist und wie sie in allen DBA der Schweiz übernommen wurde. Diese Grundregel weist das Besteuerungsrecht in erster Linie dem Tätigkeitsstaat zu; der Ansässigkeitsstaat ist - im Sinn einer Auffangregel - zuständig für die Besteuerung derjenigen Einkommen, die nicht aus der Tätigkeit im anderen Vertragsstaat stammen. Die Besteuerung des Einkommens im Tätigkeitsstaat stellt in doppelbesteuerungsrechtlich relevanten Konstellationen den Regelfall dar.
Demgemäss führt der Kommentar zum gleichlautenden Art. 15 des OECD-Musterabkommens in N. 1 (Fassung vom 22. Juli 2010; zur [umstrittenen, aber hier nicht entscheidrelevanten] Frage, welche Fassung des Kommentars zur Auslegung von Abkommensbestimmungen herangezogen werden soll, vgl. Daniel de Vries Reilingh, Manuel de droit fiscal international, 2012, S. 60 f.; Stefan Oesterhelt, Bedeutung des OECD-Kommentars für die Auslegung von Doppelbesteuerungsabkommen, ASA 80 S. 373 ff., hier S. 379 ff.; Michael Lang, Schweizer Bundesgericht zur DBA-Auslegung, in: Deutsches und internationales Steuerrecht, Festschrift für Christiana Djanani, 2008, S. 495 ff., hier S. 499) aus: "Le paragraphe 1 pose la règle générale applicable en matière d'imposition des revenus provenant d'activité salariées, à l'exception des pensions, selon laquelle ces revenues sont imposables dans l'État où l'emploi salarié est effectivement exercé. [...] L'emploi est exercé à l'endroit où le salarié est physiquement présent lorsqu'il exerce les activités au titre desquelles les revenues liés à l'emploi sont payés. [...]"
Die schweizerische Lehre stimmt damit überein: "En règle générale, le droit d'imposer les salaires, traitements et autres rémunérations analogues (à l'exception des pensions ou des tantièmes d'administrateur) accordés à des non-résidents (autres que des artistes et sportifs) appartient à l'État dans lequel le travail est exercé" ( XAVIER OBERSON, Précis de droit fiscal international, 4. Aufl. 2014, S. 190); "Absatz 1 stellt den Grundsatz der Besteuerung der Einkünfte aus unselbständiger Tätigkeit im Staat der Arbeitsausübung auf ( LOCHER/MEIER/VON SIEBENTHAL/KOLB, Doppelbesteuerungsabkommen Schweiz-Deutschland 1971 und 1978, Bd. 8, 2013, B 15, Übersicht, S. 1); "L'art. 15 al. 1 MC OCDE pose le principe général selon lequel les revenus provenant d'activités salariées sont imposables dans l'État où l'emploi salarié est effectivement exercé" ( DANIEL DE VRIES REILINGH, Manuel de droit fiscal international, 2012, S. 202); "Das Einkommen aus unselbständiger Arbeit im Allgemeinen (ohne jenes von Künstlern und Sportlern sowie von Verwaltungsräten) kann in der Regel am Arbeitsort besteuert werden" ( HÖHN/WALDBURGER, in: Höhn [Hrsg.], Handbuch des Internationalen Steuerrechts, 2. Aufl. 1993, S. 177).
4.2. Die Vorinstanz hat aus der Formulierung des zweiten Satzes von Art. 15 Abs. 1 DBA-JP ("so können [...] in dem anderen Vertragstaat besteuert werden") geschlossen, dem Ansässigkeitsstaat stehe daneben ein zusätzliches oder allenfalls ergänzendes Besteuerungsrecht zu. Dieser Schluss ist unzutreffend.
In der Lehre wird ausgeführt, beim Auseinanderfallen von abkommensrechtlichem Wohnsitz und Arbeitsort dürften gemäss dem Prinzip des Arbeitsortes die Einkünfte vorrangig im Staat des Arbeitsortes als Quellenstaat besteuert werden. Die Besteuerung der Einkünfte im Wohnsitzstaat lasse Art. 15 des OECD-Musterabkommens offen; ob sie dort freizustellen seien oder die Steuer des Quellenstaates angerechnet werde, bestimme sich nach Art. 23 A oder B des OECD-Musterabkommens (sog. Methodenartikel; Rainer Prokisch, in: Vogel/Lehner [Hrsg.], Doppelbesteuerungsabkommen der Bundesrepublik Deutschland auf dem Gebiet der Steuern vom Einkommen und Vermögen, Kommentar auf der Grundlage der Musterabkommen, 5. Aufl. 2008 [nachfolgend: Doppelbesteuerungsabkommen], N. 4 zu Art. 15 DBA). Der Methodenartikel ist die Ergänzung der Zuteilungsnormen und dient zusammen mit diesen der Regelung des Konflikts zwischen Ansässigkeits- und Quellenstaat (Peter Locher, Einführung in das internationale Steuerrecht der Schweiz, 3. Aufl. 2005, S. 479). Im DBA-JP legt Art. 23 Abs. 2 fest, wie die Schweiz als Ansässigkeitsstaat die einem anderen Vertragsstaat zugewiesenen Einkünfte steuerlich zu behandeln hat. Danach nimmt die Schweiz Einkünfte, die nach diesem Abkommen in Japan besteuert werden können, vorbehältlich von Abs. 3 von der Besteuerung aus; sie kann aber bei der Festsetzung der Steuer für das übrige Einkommen dieser ansässigen Person den Steuersatz anwenden, der anzuwenden wäre, wenn die betreffenden Einkünfte nicht von der Besteuerung ausgenommen wären. Die Schweiz folgt damit der Befreiungsmethode mit Progressionsvorbehalt. Dabei erfolgt gemäss den von der Schweiz abgeschlossenen Doppelbesteuerungsabkommen die Freistellung unbedingt: Es wird - abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen - nicht verlangt, dass im anderen Staat effektiv eine Besteuerung erfolgt ( LOCHER, a.a.O., S. 202; MARC ENZ, Grenzgängerregelungen, 2012, Rz. 231 f.). Anders als andere Staaten (so etwa Österreich im Zusammenhang mit der Besteuerung von Gastprofessoren, vgl. HELMUT LOUKOTA, Grundsätze für die steuerliche Behandlung international tätiger Gastprofessoren, SWI 1998, S. 456 ff., insb. S. 459) kennt die Schweiz also keine "subject-to-tax-Regelungen" als Grundsatz (für die Ausnahmen siehe die Zusammenstellung von DANON/SALOMÉ im Gruppenbericht der Schweiz, Cahiers de droit fiscal international, Volume 89a, 2004, S. 677 ff., insb. S. 679 Anm. 13). Zwar wird international - insbesondere im Rahmen des OECD-Steuerausschusses - seit einiger Zeit darüber diskutiert, die sog. doppelte Nichtbesteuerung ("double non-taxation") durch bloss bedingte Freistellungen zu verhindern. Ein derartiger allgemeiner Standard besteht jedoch heute noch nicht. Vor allem aber gibt es keine Anhaltspunkte für die Annahme, die Vertragsparteien hätten dem 1971 abgeschlossenen DBA-JP solche Überlegungen zugrunde gelegt.
Somit kann entgegen der Meinung der Vorinstanz nicht auf ein zusätzliches bzw. ergänzendes Besteuerungsrecht der Schweiz geschlossen werden. Art. 15 Abs. 1 zweiter Satz DBA-JP ist in Verbindung mit dem Methodenartikel von Art. 23 Abs. 2 DBA-JP anzuwenden (vgl. auch BERNARD PEETERS, in: Danon/Gutmann/Oberson/Pistone [Hrsg.], Modèle de Convention fiscale OCDE concernant le revenu et la fortune, Commentaire, 2014, N. 1 zu Art. 15 des OECD-Musterabkommens). Der entscheidende Punkt im vorliegenden Fall liegt demnach darin, dass Art. 15 Abs. 1 DBA-JP genau danach differenziert, ob sich der Arbeitsort im anderen Staat befindet oder nicht. Sofern sich der Arbeitsort im anderen Staat befindet, ist dieser zur Besteuerung befugt. Und zwar - aufgrund der von der Schweiz angewendeten Befreiungsmethode - ausschliesslich der andere Staat, vorliegend Japan. Art. 15 Abs. 1 DBA-JP sieht ein Besteuerungsrecht des Ansässigkeitsstaates nur für den Fall vor, dass sich der Arbeitsort nicht im anderen Vertragsstaat befindet. Der Begriff "vorrangig" ist also nicht so zu verstehen, dass aufgrund von Art. 15 auch der Ansässigkeitsstaat zur Besteuerung befugt ist. Bei einer auf Art. 15 Abs. 1 DBA-JP gestützten Besteuerungsbefugnis von Japan kann die Schweiz das entsprechende Einkommen somit bloss satzbestimmend berücksichtigen.
4.3. Art. 15 Abs. 1 DBA-JP sieht jedoch einige Ausnahmen von der erwähnten Grundregel vor, indem er die Artikel 16, 18, 19 und 20 DBA-JP vorbehält. Hier interessiert in erster Linie die Bedeutung des Vorbehalts von Art. 20 DBA-JP. Um dessen Funktion und Rechtswirkungen zu verstehen, ist es notwendig, auch einen Blick auf die anderen Vorbehalte zu werfen:
a) Nach Art. 16 DBA-JP werden Verwaltungsratsvergütungen aus einer Gesellschaft mit Sitz im Nichtansässigkeits-Staat, im Sitzstaat der Gesellschaft besteuert. Diese Bestimmung bedeutet im Ergebnis, dass bei der Tätigkeit als Verwaltungsrat fingiert wird, der Arbeitsort befinde sich am Sitz der Gesellschaft; es handelt sich also um eine ergänzende Bestimmung zur Grundregel von Art. 15 Abs. 1 DBA-JP, welche die Besteuerung am Arbeitsort vorsieht. Somit wird an der Zuständigkeit des Arbeitsorts nichts geändert, sondern nur der Sitz der Gesellschaft als Arbeitsort fingiert.
b) Nach Art. 18 DBA-JP werden Ruhegehälter für früher ausgeübte unselbständige Arbeit nur im Ansässigkeitsstaat besteuert. Es handelt sich damit um eine Ausnahmeregelung vom Grundsatz der Besteuerung am Arbeitsort zugunsten des Ansässigkeitsstaates. Sie basiert auf der Überlegung, dass im Ruhestand der Konnex zum früheren Tätigkeitsort nicht mehr als gegeben erachtet wird, obwohl die Ausrichtung des Ruhegehalts eine direkte Folge der früheren Tätigkeit ist.
c) Nach Art. 19 DBA-JP werden Gehälter und Ruhegehälter, die von der öffentlichen Hand an einen Staatsangehörigen ausbezahlt werden, nur im auszahlenden Staat besteuert. Es handelt sich ebenfalls um eine Ausnahmeregelung vom Grundsatz der Besteuerung am Arbeitsort, diesmal zugunsten des auszahlenden Staates.
Mit der ersten Ausnahmebestimmung wird also für die Anwendung der Grundregel für Tätigkeiten von Art. 15 Abs. 1 DBA-JP, d.h. für die Besteuerung am Arbeitsort, präzisiert, was der Arbeitsort bei einer Tätigkeit als Verwaltungsrat ist. Mit den beiden anderen Ausnahmen wird klargestellt, dass nicht die Besteuerung am Arbeitsort zum Tragen kommt, sondern - je nach Erbringer der Leistung - die Besteuerung im Ansässigkeitsstaat oder im Staat des Leistungserbringers. Diese drei Ausnahmen haben also zum Zweck, die Besteuerungsbefugnis zu präzisieren bzw. teilweise abweichend von Art. 15 Abs. 1 DBA-JP zu regeln.
Für den vorliegenden Fall spielen die Art. 16, 18 und 19 DBA-JP keine direkte Rolle. Hingegen ist ihre dargelegte Funktion im Hinblick auf die Interpretation des Vorbehalts von Art. 20 DBA-JP - auf welchen sogleich einzugehen ist - von Relevanz.
5.
Art. 20 DBA-JP (mit Wirkung ab 30. Dezember 2011 aufgehoben, AS 2011 6381) hat folgenden Wortlaut:
"Ein Professor oder Lehrer, der sich vorübergehend für höchstens zwei Jahre in einen Vertragstaat zur Ausübung einer Lehr- oder Forschungstätigkeit an einer Universität, einem Kollegium, einer Schule oder andern Lehranstalt begibt und der in dem anderen Vertragstaat ansässig ist oder vorher dort ansässig war, ist im erstgenannten Vertragstaat von der Steuer auf den Einkünften aus seiner Lehr- oder Forschungstätigkeit befreit."
5.1. Die Auslegung von Doppelbesteuerungsabkommen richtet sich nach Völkervertragsrecht und Völkergewohnheitsrecht (Robert Waldburger, Die Auslegung von Doppelbesteuerungsabkommen in der Rechtsprechung des Schweizerischen Bundesgerichts, in: Michael Lang und andere, Die Auslegung von Doppelbesteuerungsabkommen in der Rechtsprechung der Höchstgerichte Deutschlands, der Schweiz und Österreichs, 1998, S. 54). Bei der Auslegung und Anwendung eines Doppelbesteuerungsabkommens kann prinzipiell auf die Grundsätze des Wiener Übereinkommens vom 23. Mai 1969 über das Recht der Verträge (Wiener Übereinkommen; SR 0.111, nachfolgend: VRK) abgestellt werden (<ref-ruling> E. 7.2.1 S. 422; Xavier Oberson, Précis de droit fiscal international, 4. Aufl. 2014, Rz. 107). Ein in Kraft stehender Vertrag bindet gemäss Art. 26 VRK die Vertragsparteien und ist von ihnen nach Treu und Glauben zu erfüllen. Dieser Grundsatz gebietet die redliche, von Spitzfindigkeiten und Winkelzügen freie Auslegung von vertraglichen Bestimmungen (Jean-Marc Rivier, L'interprétation des Conventions de double imposition, RDAF 2000 II p. 125; Mark E. Villiger, Commentary on the 1969 Vienna Convention on the Law of Treaties, 2009, N. 8 zu Art. 26 VRK [nachfolgend: Commentary]; ders., Articles 31 and 32 of the Vienna Convention on the Law of Treaties in the Case-Law of the European Court of Human Rights [nachfolgend: Articles 31 and 32], in: Festschrift für Georg Ress zum 70. Geburtstag am 21. Januar 2005, 2005, S. 329). Eine Auslegung nach Treu und Glauben beachtet auch das Rechtsmissbrauchsverbot einschliesslich des Verbots des venire contra factum proprium.
Gemäss Art. 31 Abs. 1 VRK ist ein Vertrag nach Treu und Glauben in Übereinstimmung mit der gewöhnlichen, seinen Bestimmungen in ihrem Zusammenhang zukommenden Bedeutung und im Licht seines Ziels und Zwecks auszulegen. Art. 31 Abs. 2 VRK definiert den (eng gefassten) Begriff "Zusammenhang" (vgl. Rivier, a.a.O., S. 124); ausser diesem sind gemäss Art. 31 Abs. 3 VRK in gleicher Weise zu berücksichtigen jede spätere Übereinkunft zwischen den Vertragsparteien über die Auslegung des Vertrags oder die Anwendung seiner Bestimmungen (Art. 31 Abs. 3 lit. a VRK), jede spätere Übung bei der Anwendung des Vertrags, aus der die Übereinstimmung der Vertragsparteien über seine Auslegung hervorgeht (Art. 31 Abs. 3 lit. b VRK) sowie jeder in den Beziehungen zwischen den Vertragsparteien anwendbare einschlägige Völkerrechtssatz (Art. 31 Abs. 3 lit. c VRK). Nach Art. 32 VRK können insbesondere die vorbereitenden Arbeiten und die Umstände des Vertragsabschlusses als ergänzende Auslegungsmittel herangezogen werden, um die sich unter Anwendung von Art. 31 VRK ergebende Bedeutung zu bestätigen oder die Bedeutung zu bestimmen, wenn diese Auslegung die Bedeutung mehrdeutig oder dunkel lässt (Art. 32 lit. a VRK) oder zu einem offensichtlich sinnwidrigen oder unvernünftigen Ergebnis führt (Art. 32 lit. b VRK).
Den Ausgangspunkt der Auslegung bildet danach der Wortlaut der vertraglichen Bestimmung (Oberson, a.a.O., Rz. 112; Jean-Marc Sorel, in: Corten/Klein [Hrsg.], Les conventions de Vienne sur le droit des traités, Commentaire article par article, Bd. 2, 2006, N. 8 und 29 ff. zu Art. 31 VRK; Villiger, Commentary, N. 30 zu Art. 31 VRK; ders., Articles 31 and 32, a.a.O., S. 324, 327; Daniel Wüger, Anwendbarkeit und Justiziabilität völkerrechtlicher Normen im schweizerischen Recht: Grundlagen, Methoden und Kriterien, 2005, S. 68 f.). Die völkerrechtlichen Auslegungsregeln stellen nur insoweit auf den Vertragswillen der Vertragsparteien ab, als dieser seinen Niederschlag im Abkommen selbst gefunden hat (Harald Schaumburg, Internationales Steuerrecht: Aussensteuerrecht, Doppelbesteuerungsrecht, 2. Aufl. 1998, N. 16.70; Frank Engelen, Interpretation of Tax Treaties under International Law, 2004, S. 427; Vogel, in: Doppelbesteuerungsabkommen, N. 107 zu Einleitung). Der Text der Vertragsbestimmung ist demnach aus sich selbst heraus gemäss seiner gewöhnlichen Bedeutung zu interpretieren. Diese gewöhnliche Bedeutung ist jedoch in Übereinstimmung mit ihrem Zusammenhang, dem Ziel und Zweck des Vertrags - bzw. der auszulegenden Vertragsbestimmung - und gemäss Treu und Glauben zu eruieren (vgl. Vogel, in: Doppelbesteuerungsabkommen, N. 108, 124a und 126 zu Einleitung; Oberson, a.a.O., N. 93; Rivier, a.a.O., S. 128 f.; Schaumburg, a.a.O., N. 16.77 f.).
5.2. Bei genauerer Analyse des Wortlauts vom Art. 20 DBA-JP zeigt sich, dass - anders als in den in E. 4.3 genannten Artikeln 16, 18 und 19 DBA-JP - nicht gesagt wird, der eine oder der andere Staat könne ein bestimmtes Einkommen besteuern. Art. 20 DBA-JP hält lediglich fest, dass in dieser Konstellation der Professor oder Lehrer im Tätigkeitsstaat von der Steuer auf den Einkünften befreit ist. Die Bestimmung sieht also nicht die Zuweisung der Besteuerungsbefugnis für die fraglichen Einkünfte an den Ansässigkeitsstaat vor. Sie stipuliert vielmehr eine Befreiung von der Besteuerung. Die Steuerbefreiung greift auch dann, wenn die steuerpflichtige Person nicht mehr in demselben Staat ansässig ist wie bei oder vor der Aufnahme der Lehr- oder Forschungstätigkeit. Selbst wenn also der Beschwerdeführer 1 während seiner Lehrtätigkeit in Japan vorübergehend dort ansässig geworden wäre, wären seine Einkünfte aus der dortigen Lehrtätigkeit von der Besteuerung befreit gewesen. Eine solche Regelung würde keinen Sinn machen, wenn es lediglich darum ginge, das Besteuerungsrecht des Staates der Arbeitstätigkeit zu verhindern und im übrigen die Besteuerungsbefugnis des Ansässigkeitsstaates beizubehalten. Vielmehr ergibt sich daraus geradezu explizit, dass es sich bei Art. 20 DBA-JP nicht um eine Zuteilungsnorm handeln kann.
5.3. Diese Auslegung von Art. 20 DBA-JP wird auch in der Lehre vertreten: "Mit Bezug auf die Normstruktur ergibt sich [...] eine Besonderheit: Bei den Normen über Gastprofessoren und Lehrer handelt es sich nämlich nicht um Zuteilungsnormen; es wird nicht das Besteuerungsrecht für die Einkünfte zugeteilt, sondern es werden Bedingungen aufgestellt, unter denen der Tätigkeitsstaat die Steuerbefreiung zu gewährleisten hat" (Robert Waldburger, Das Einkommen aus unselbständiger Arbeit im internationalen Steuerrecht der Schweiz, 1990, S. 287; vgl. auch Tan How Teck, The "Teachers and Researchers" Article in Singapore's Tax Treaties, in: Bulletin - Tax Treaty Monitor March 2006, S. 119). Analog wird in der deutschen Literatur ausgeführt: "Ebenso wie Art. 20 sehen die Regelungen über Vergütungen für Gastprofessoren und -lehrer lediglich vor, dass die Vergütungen im Gastland steuerfrei sind" (Jochum/Lampert, in: Schönfeld/Ditz [Hrsg.], Doppelbesteuerungsabkommen, Kommentar, 2013, N 48 zu Art. 20 des OECD-Musterabkommens; widersprüchlich allerdings deren Aussage bei der Behandlung einzelner Doppelbesteuerungsabkommen, wonach die Steuerfreistellung im Gastland sich "mittelbar aus der Zuweisung des Besteuerungsrechts an den Ansässigkeitsstaat" ergebe, vgl. Jochum/Lampert, a.a.O., N 57 zu Art. 20 DBA). Dort wird allerdings auch die Ansicht vertreten, in einer Vielzahl von Ländern sei es Voraussetzung zur Steuerfreistellung im Gastland, dass die Lehrkraft in ihrem bisherigen Wohnsitzstaat ansässig und damit unbeschränkt steuerpflichtig bleibe. Begründet wird dies ohne weitere Auseinandersetzung mit der Normstruktur und dem Charakter der Professorenklausel als Steuerbefreiungsbestimmung mit der - nicht weiter hergeleiteten - ratio der Bestimmung (vgl. Prokisch, in: Doppelbesteuerungsabkommen, N 170 f. zu Art. 15 DBA; ders., Besteuerung von Gastprofessoren, Auslandslehrern und ausländischen Studenten, in IWB Nr. 18 vom 28.9. 1994, F.3 Deutschland Gr. 3 S. 1091 ff. [nachfolgend: Besteuerung von Gastprofessoren], insb. S.1099; ebenso [ohne Begründung] Josef Bauer, Studenten, Gastlehrer und Gastprofessoren im DBA-Recht, in: Gassner und andere [Hrsg.], Arbeitnehmer im Recht der Doppelbesteuerungsabkommen, 2003, S. 236). Andererseits wird dargelegt: "Andere DBA gewähren die Steuerbefreiung im Gastland auch dann, wenn der Gastlehrer seine Ansässigkeit im ursprünglichen Wohnsitzstaat aufgegeben hat. Es genügt, dass er dort ansässig war, unmittelbar bevor er sich in den anderen Vertragsstaat begeben hat. Kann der ursprüngliche Wohnsitzstaat die Einkünfte nicht mehr besteuern, weil eine (unbeschränkte oder beschränkte) Steuerpflicht dort nicht mehr besteht, so kann es zur Doppelfreistellung kommen. Die Abkommen nehmen dies bewusst in Kauf" (Prokisch, in: Doppelbesteuerungskommentar, N 173 zu Art. 15 DBA; ders., Besteuerung von Gastprofessoren, S. 1100).
Es verhält sich bezüglich der Professorenklausel analog wie in Bezug auf Art. 20 des OECD-Musterabkommens, welcher die Steuerbefreiung für Studenten regelt. Zu dieser Bestimmung wird ausgeführt: "L'article 20 est constitué d'un ensemble de dispositions complètement à part des autres articles contenus dans le Modèle de Convention OCDE. En effet, l'art. 20 ne vise l'attribution du pouvoir d'imposition à aucun État contractant et ne présuppose aucune nature de revenu en relation avec les sommes dont il prévoit uniquement une exemption dans l'État contractant où l'étudiant se trouve. Cette exemption pourrait bien se cumuler avec celle de l'État de résidence. Pour cette raison, l'art. 20 est le seul du modèle OCDE qui évite toujours la double imposition et qui n'est pas incompatible avec la double non-imposition" (Pasquale Pistone, in: Danon/Gutmann/Oberson/Pistone [Hrsg.], Modèle de Convention fiscale OCDE concernant le revenu et la fortune, Commentaire, 2014, N. 2 zu Art. 20 des OECD-Musterabkommens). Ebenfalls zu Art. 20 des OECD-Musterabkommens: "Cet article est le seul dans le chapitre III du Modèle de Convention OCDE qui ne traite pas d'une attribution des droits d'imposition aux États contractants, car son but est tout simplement d'exonérer les sommes qui rentrent dans son champ d'application" (Pistone, a.a.O., N. 21 zu Art. 20 des OECD-Musterabkommens); sowie: "Anders als bei den übrigen Verteilungsnormen des MA wird durch Art. 20 (damit) nicht die Besteuerung zwischen Quellenstaat und Wohnsitzstaat verteilt, sondern es werden ausschliesslich bestimmte Einkünfte im Aufenthaltsstaat freigestellt" (Stephanie Meurer, in: Doppelbesteuerungsabkommen, N 3 zu Art. 20 des OECD-Musterabkommens).
5.4. Im Unterschied zu dieser Auslegung wird die Professorenklausel beispielsweise in der schwedischen Literatur - im Ergebnis - als Steuerzuteilungsnorm betrachtet: "Today a professor's clause in a double taxation treaty only means that the taxation of the income from the foreign university should take place in Sweden and not in the country of source. The treaty clause is thus reduced to a clause about the division of the right to tax between the country of source and the country of residence" (Gustaf Lindencrona, Tax Treatment of Visiting Professors, in: International Studies in Taxation: Law and Economics, 1999, S. 187 ff., hier S. 193; ebenso offenbar Ulf Zehetner, Gastprofessoren, Gastlehrer, Studenten und Auszubildende nach dem neuen DBA Österreich-Deutschland, in: Gassner/Lang/Lechner [Hrsg.], Das neue Doppelbesteuerungsabkommen Österreich-Deutschland, 1999, S. 185 ff., welcher von Art. 20 als "Verteilungsnorm" spricht, sowie Heinz Jirousek, Besteuerung international tätiger Gastprofessoren, ÖStZ 1998 Nr. 23 S. 619, der von Zuteilungsregeln spricht, wobei beide Autoren soweit ersichtlich keine Begründung für diese Qualifikation geben). Diese Ausführungen ändern jedoch nichts daran, dass es sich in Bezug auf die Professorenklausel in Schweizer DBA anders verhält: Lindencrona geht nicht darauf ein, dass die Professorenklausel in den DBA - zumindest in den DBA der Schweiz - gerade nicht als Steuerzuteilungsnorm konzipiert ist, sondern als Steuerbefreiungsnorm. Er begründet seine Auffassung im Wesentlichen mit dem Verweis auf das anwendbare interne schwedische Recht und dessen Änderungen. Abgesehen davon, dass sich der Sinn einer völkerrechtlich abgeschlossenen Regelung aufgrund der Änderung des internen Rechts nicht reduzieren kann, ist zu beachten, dass die schwedische Abkommenspraxis die Anrechnungsmethode nach Art. 23 B des OECD-Musterabkommens anwendet und nicht wie die Schweiz die Befreiungsmethode nach Art. 23 A des OECD-Musterabkommens (vgl. Art. 24 Abs. 1 des Abkommens vom 7. Mai 1965 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Königreich Schweden zur Vermeidung der Doppelbesteuerung auf dem Gebiete der Steuern vom Einkommen und vom Vermögen; SR 0.672.971.41). Der Vergleich der schwedischen Praxis zur Professorenklausel mit jener der Schweiz ist daher nicht aussagekräftig.
5.5. Hingegen ergibt ein Blick auf eine andere doppelbesteuerungsrechtliche Regelung betreffend Gastprofessoren, dass die vorliegend dargelegte Konzeption offensichtlich auch anderen Doppelbesteuerungsabkommen zugrunde liegt. So statuiert etwa Art. 20 Abs. 1 des Doppelbesteuerungsabkommens vom 2. April 2001 zwischen dem Grossherzogtum Luxemburg und der Republik Slowenien (Convention entre le Grand-Duché de Luxembourg et la République de Slovénie tendant à éviter les doubles impositions en matière d'impôts sur le revenu et sur la fortune, Amtsblatt des Grossherzogtums Luxemburg vom 17. Dezember 2002, S. 3215 ff. [nachfolgend: DBA LU-SI]) die gleiche Regel wie Art. 20 DBA-JP, enthält jedoch folgenden Zusatz:
"Si le séjour exède deux ans, l'autre Etat peut imposer la personne physique pour toute la période de séjour, conformément à son droit interne, à moins que, dans un cas particulier, les autorités compétentes des Etats ne s'en conviennent autrement."
Für dieses Abkommen ergibt sich somit klar, dass dem Tätigkeitsstaat (hier "l'autre Etat", in den sich der Professor zu Lehr- oder Forschungszwecken begeben hat) während der zwei Jahre des Aufenthalts grundsätzlich das Besteuerungsrecht zugestanden hat, denn andernfalls dürfte er bei Überschreitung der Aufenthaltsdauer die (unter Resolutivbedingung steuerbefreiten) Einkünfte nicht nachträglich besteuern. Das Besteuerungsrecht des Tätigkeitsstaates ist durch die Anwendung von Art. 20 DBA LU-SI nicht aufgehoben; es ruht nur gleichermassen, solange die Voraussetzungen der Klausel erfüllt sind. Dass im Einvernehmen mit dem anderen Vertragsstaat auch eine andere Lösung als die Nachbesteuerung durch den Tätigkeitsstaat ausgehandelt werden kann, ändert an dessen ununterbrochenen Steuerbefugnis nichts.
Art. 20 DBA-JP lässt offen, ob im Fall der Überschreitung der Aufenthaltsdauer die Steuerbefreiung rückwirkend aufgehoben wird (wie im DBA LU-SI) oder ob das Besteuerungsrecht des Tätigkeitsstaates nach Ablauf der zwei Jahre ex nunc wieder auflebt. Die im DBA LU-SI niedergelegte Regel unterstützt aber das für das DBA CH-JP dargelegte Auslegungsergebnis, vermeidet es doch generell einen Wechsel der Besteuerungsbefugnis.
5.6. Diese Auslegung ausgehend vom Wortlaut der fraglichen Bestimmung entspricht im Übrigen dem mit ihr verfolgten Zweck. Ziel und Zweck des Vertrags bestimmen sich anhand dessen, was die Parteien mit dem Vertrag erreichen und verwirklichen wollten (vgl. Rivier, a.a.O., S. 123, auch zum Folgenden; Villiger, Vienna Convention, N. 11 zu Art. 31 VRK; ders., Articles 31 and 32, a.a.O., S. 325).
5.6.1. Der Zweck von Doppelbesteuerungsabkommen liegt zwar schwergewichtig, aber nicht ausschliesslich auf der Vermeidung der doppelten Besteuerung: "The terms of a tax treaty must be given their ordinary meaning in the context of the treaty as a whole, including its object and purpose. The primary purpose of a tax treaty [is] to avoid international juridical double taxation, in order to faciliate the international exchange of goods, services, capital, technology and persons. However, tax treaties do not deal exclusively with the elimination of double taxation, but also address such other issues as the prevention of fiscal evasion through the exchange of information and the assistance in the collection of taxes, as well as the elimination of discriminatory taxation. [...] The object and purpose of a tax treaty are relative to the text of the treaty and can only be given effect in so far as this does not do violence to its actual terms. Therefore, the application of any teleological principles of interpretation that require that a treaty is always given it's maximum effect in order to ensure the achievement of its underlying objects and purposes would undermine the primacy of the text and is, therefore, not in accordance with article 31 and 32 Vienna Convention on the Law of Treaties" (Frank Engelen, Interpretation of Tax Treaties under International Law, 2004, S. 428 f.).
5.6.2. Art. 31 VRK sagt nichts darüber aus, welchen Quellen Ziel und Zweck eines Vertrags entnommen werden kann. Die Lehre unterstreicht diesbezüglich die Bedeutung des Titels und der Präambeln des Vertrags (Villiger, Vienna Convention, N. 13 zu Art. 31; Rivier, a.a.O., S. 122 f.). In diesem Stadium der Auslegung kann nicht auf die vorbereitenden Arbeiten und die Umstände des Vertragsabschlusses abgestellt werden; diese Auslegungsmittel sind lediglich subsidiär (vgl. E. 5.1; Engelen, a.a.O., S. 329 ff., 542 f.; Rivier, a.a.O., S. 122; Villiger, Vienna Convention, N. 7 ff. zu Art. 32 VRK; ders., Articles 31 and 32, a.a.O., S. 328; Wouters/Vidal, Non-Tax Treaties: Domestic Courts and Treaty Interpretation, in: Guglielmo Maisto [Hrsg.], Courts and Tax Treaty Law, 2007 [nachfolgend: Courts and Tax Treaty Law], S. 3 ff., 17). Mit diesem - eingeschränkten - Fokus ist nachfolgend auf die Äusserungen des Bundesrates betreffend die Professorenklausel in diversen Botschaften einzugehen.
5.6.3. Die Botschaft vom 24. Februar 1971 zum DBA-JP (BBl 1971 I 661) enthält diesbezüglich keine Hinweise, sondern einzig einen Verweis auf das (seit 19. Dezember 1997 ausser Kraft stehende) Abkommen vom 24. Mai 1951 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und den Vereinigten Staaten von Amerika zur Vermeidung der Doppelbesteuerung auf dem Gebiete der Steuern vom Einkommen (aDBA-USA; AS 1951 892). In der Botschaft vom 29. Mai 1951 über die Genehmigung eines Abkommens zwischen der Schweiz und den Vereinigten Staaten von Amerika zur Vermeidung der Doppelbesteuerung auf dem Gebiete der Steuern vom Einkommen (BBl 1951 II 269, hier 279) wird ausgeführt: "Die Artikel XII und XIII bringen den Professoren, Lehrern, Studenten und Lehrlingen des einen Staates, die sich zu Lehr-, Studien- oder Ausbildungszwecken vorübergehend im andern Staate aufhalten, steuerliche Erleichterungen, indem solche Personen unter gewissen Voraussetzungen von der Entrichtung von Einkommenssteuern im Aufenthaltsstaate entbunden werden." Weil die Professorenklausel in beide Richtungen zur Anwendung kommt, kann "steuerliche Erleichterung" nicht bedeuten, dass zwar der Tätigkeitsort keine Steuern erheben kann, wohl aber der Ansässigkeitsstaat. Denn je nach Richtung des Austauschs würde aufgrund der unterschiedlichen Steuerbelastung keine steuerliche Erleichterung, sondern eine Mehrbelastung resultieren. Die in der Botschaft zum aDBA-USA erwähnte Steuererleichterung zeigt, dass die Professorenklausel als reine Steuerbefreiungsnorm konzipiert war.
5.6.4. In der Botschaft vom 18. April 1973 über ein Doppelbesteuerungsabkommen zwischen der Schweiz und Trinidad und Tobago (BBl 1973 I 1228, hier 1233), in dem letztlich die Professorenklausel nicht aufgenommen wurde, ist zu lesen: "Desgleichen wollen die Entwicklungsländer die kulturellen Beziehungen dadurch erleichtern, dass Professoren aus einem Staat, die für höchstens zwei Jahre in den anderen Staat eingeladen werden, von den Steuern dieses andern Staates befreit werden. Die Schweiz verhält sich diesem Wunsche gegenüber sehr zurückhaltend, denn die bisherigen Erfahrungen sind nicht ermutigend. Es ist auch kaum einzusehen, weshalb die (oft beträchtlichen) Vergütungen, die diese Personen erhalten, einer normalen Besteuerung entzogen werden sollen. Wenn ein Entwicklungsland schweizerische Lehrer anzuziehen wünscht, so kann es auch einseitig in seinem Steuerrecht die Befreiung vorsehen." Auch gemäss dieser Äusserung bestand der Zweck der Professorenklausel im kulturellen Austausch, wobei die Vergütungen von Professoren in den fraglichen Konstellationen nicht besteuert werden sollten.
5.6.5. Noch deutlicher gehen Funktion und Zweck der Professorenklausel aus der Botschaft vom 16. Oktober 1990 über ein Doppelbesteuerungsabkommen mit der Volksrepublik China (BBl 1990 III 1160, hier 1164) hervor: "Um den Austausch von Professoren und Lehrern zu fördern, wird für Personen, die sich nicht länger als zwei Jahre zu Lehr- oder Forschungszwecken in den anderen Staat begeben, eine Steuerbefreiung für die Erwerbseinkünfte aus dieser Tätigkeit vorgesehen. Eine solche Regelung findet sich auch in anderen schweizerischen Doppelbesteuerungsabkommen mit Entwicklungsländern."
Die Überlegung, wonach Japan im Gegensatz zu China im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses kein Entwicklungsland darstellte, ändert nichts daran, dass eine identische Regelung in beiden DBAs aufgenommen wurde. Wie in E. 5.6.2 erwähnt, bezweckte die Professorenklausel die Förderung des wissenschaftlichen Austauschs zwischen den Vertragsstaaten. Dies sollte dadurch bewirkt werden, dass Professoren zum gegenseitigen Unterricht im jeweils anderen Land ermutigt werden, indem sie von einem Einsatz steuerlich profitieren. Es mag sein, dass dieser Austausch bei der Zusammenarbeit mit Entwicklungsländern stärker im Vordergrund steht als in Bezug auf ein Land wie Japan. Das in E. 5.5 zitierte DBA LU-SI widerlegt allerdings diese Hypothese, denn Slowenien ist kein Entwicklungsland und liegt zudem in Europa. Entscheidend ist, dass Japan und die Schweiz im DBA-JP die gleiche Zielsetzung verfolgt haben wie China und die Schweiz: die Förderung des wissenschaftlichen Austauschs durch Nichtbesteuerung des Professoreneinkommens bei kurzfristigen Aufenthalten im Gaststaat.
5.7. Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass Art. 20 DBA-JP keine Ausscheidungsregelung enthält. Im Einklang mit den in E. 5.6.1 dargelegten Grundsätzen muss die Bestimmung als reine Steuerbefreiungsnorm betreffend Lehr- und Forschungsgehälter im Tätigkeitsstaat gelesen werden. Dies ergibt sich - zusätzlich zu Systematik und Wortlaut von Art. 20 und 15 Abs. 1 DBA-JP - auch aus dem Zweck, welcher mit der Professorenregelung verfolgt wurde: dem wissenschaftlichen Austausch zwischen verschiedenen Nationen mithilfe von Steuererleichterungen (vgl. auch TAN HOW TECK, a.a.O., S. 119).
6.
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass Art. 15 DBA-JP die Zuständigkeit zur Besteuerung abschliessend regelt. Der in Art. 15 Abs. 1 DBA-JP genannte Vorbehalt von Art. 20 DBA-JP bezieht sich lediglich auf die effektive Erhebung von Steuern im grundsätzlich dazu befugten Tätigkeitsstaat. Weil Art. 20 DBA-JP keine Besteuerungsbefugnis des einen oder des anderen Vertragsstaates, sondern ausschliesslich eine Steuerbefreiungsregelung betreffend den Tätigkeitsstaat begründet, wird die in E. 4.1. erläuterte Zuständigkeitsregelung dadurch nicht berührt. Das in Japan erzielte Einkommen ist im ersten Schritt gestützt auf Art. 15 Abs. 1 DBA-J Japan zur Besteuerung zuzuweisen und im zweiten Schritt dort gestützt auf Art. 20 DBA-JP während der Dauer von höchstens zwei Jahren von der Besteuerung freizustellen. Aus der abschliessenden Regelung von Art. 15 Abs. 1 DBA-JP ergibt sich, dass die betreffenden Einkünfte in der Schweiz nicht besteuert werden können. Die Vorinstanz hat das fragliche Einkommen folglich zu Unrecht in die Veranlagung der Staats- und Gemeindesteuern 2010 einbezogen.
7.
Die Beschwerde erweist sich als begründet und ist gutzuheissen. Das Urteil der Vorinstanz ist aufzuheben und das Urteil des Steuerrekursgerichts vom 23. August 2012 zu bestätigen.
7.1. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- sind dem Kanton Aargau, welcher in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit unterlegen ist, aufzuerlegen (<ref-law>).
7.2. Die nicht vertretenen Beschwerdeführer haben keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da keine notwendigen Kosten im Sinn von <ref-law> entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 26. April 2013 aufgehoben und das Urteil des Steuerrekursgerichts des Kantons Aargau vom 23. August 2012 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Kanton Aargau auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. April 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner