Faits:
A. Le 21 avril 2009, sur opposition à une ordonnance pénale du 15 avril 2008, le Juge de police de l'arrondissement de la Sarine a condamné X._, pour violation des règles de la circulation (<ref-law>), opposition ou dérobade aux mesures visant à déterminer l'incapacité de conduire (<ref-law>) et contravention à la loi fédérale sur les stupéfiants (<ref-law>), aux peines de sept jours-amende de 10 fr., avec sursis pendant deux ans, et de 200 fr. d'amende.
B. Par arrêt du 1er décembre 2009, la Cour d'appel pénal du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg a déclaré irrecevable l'appel interjeté par X._ contre ce jugement.
C. X._ recourt au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Il conclut, principalement, à la réforme en ce sens qu'il soit acquitté. À titre subsidiaire, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause aux autorités cantonales pour qu'elles prennent diverses mesures d'instruction complémentaires.
Il requiert en outre que le Tribunal fédéral n'examine pas seulement les conclusions qu'il avait prises dans l'appel que l'arrêt attaqué déclare irrecevable, mais encore diverses conclusions prises dans le cadre des procédures ouvertes sur la plainte qu'il a déposée contre les agents de police qui l'ont interpellé, sur la demande de récusation qu'il a présentée contre un juge d'instruction et sur la plainte pénale qu'il a déposée contre ce juge.
Il présente en outre diverses demandes d'indemnités.
Il requiert que tous les délais de la procédure lui soient restitués.
Il demande l'assistance judiciaire, en particulier à être pourvu d'un défenseur d'office.

Considérant en droit:
1. Seule la partie qui a été empêchée d'agir sans sa faute, ou dont le mandataire a été empêché d'agir sans sa faute, peut demander la restitution d'un délai de la procédure de recours au Tribunal fédéral. À cet effet, elle doit, dans les trente jours dès la cessation de l'empêchement, présenter une requête motivée et accomplir les actes de procédure omis (<ref-law>).
Dans le cas présent, on ne discerne pas en quoi le recourant pourrait avoir été empêché de recourir en temps utile contre de précédentes décisions, en particulier contre la décision du Président de la Chambre pénale du Tribunal cantonal fribourgeois qui lui a refusé l'assistance judiciaire. Ainsi, dans la mesure où elle porte sur les délais de recours au Tribunal fédéral, sa requête en restitution de délais ne peut qu'être rejetée.
Dans la mesure où elle porte sur des délais de la procédure cantonale, elle ressortit aux autorités cantonales. Elle est dès lors irrecevable devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
La requête de restitution de délais doit ainsi être rejetée dans la mesure où elle est recevable.
2. Aux termes de l'<ref-law>, le recours contre une décision doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les trente jours qui suivent la notification de l'expédition complète.
En l'espèce, dans la mesure où elles s'en prennent à des décisions autres que l'arrêt de la cour cantonale du 1er décembre 2009, antérieures à celui-ci, les conclusions du recourant (notamment celles prises dans les procédures ouvertes sur ses propres plaintes et sur sa demande de récusation) sont tardives et, comme telles, irrecevables.
3. Autorité de recours, le Tribunal fédéral a pour mission d'examiner si l'autorité précédente a, au regard des faits qu'elle a régulièrement constatés (cf. art. 97 et 105 LTF), statué conformément au droit (art. 95 et 96 LTF) sur les conclusions dont elle était saisie. Devant le Tribunal fédéral, toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>). Il n'y a dès lors pas lieu d'entrer en matière sur les conclusions que le recourant prend pour la première fois devant le Tribunal fédéral, notamment sur celles en paiement d'indemnités.
4. Le recourant fait valoir que le ton utilisé par la cour cantonale pour déclarer irrecevable son appel dénoterait un parti pris. Il fonde ce grief sur le passage suivant de l'arrêt attaqué:
"Le mémoire du recourant se divise en trois parties. La première, "En fait", raconte les événements de la nuit du 13 février 2008, selon la version du recourant. La partie "Procédure" traite des différentes procédures judiciaires qu'il a engagées. Dans la dernière partie, "En droit", le recourant conteste les infractions retenues par le Juge de police. Tout d'abord, s'agissant du motif de la violation du droit matériel, le recourant déclare n'avoir jamais franchi la ligne de sécurité. Il prétend que le "paquet" (qui contenait deux grammes de marijuana) était vide et que celui-ci a été trouvé dans sa voiture et non sur sa personne. Dans ces éléments, on ne voit pas quelle règle de droit matériel aurait été mal appliquée ou interprétée. Comme l'a souligné le Ministère public, le recourant remet seulement en cause les éléments de fait permettant l'application du droit."
"Le recourant invoque de manière vague le motif de la violation d'une règle de procédure. Selon lui, «le principe de la contradiction des débats a été violé lors de l'instruction et de la procédure de 1ère instance car les deux agents ont toujours été entendus ensemble»."
Ces lignes ne permettent pas de mettre en doute l'impartialité de la cour cantonale. Le moyen est mal fondé.
5. L'art. 199 al. 1 du code de procédure pénale fribourgeois (ci-après: CPP/FR; RS/FR 32.1), prévoit que l'appel doit s'exercer par le dépôt d'un mémoire qui expose clairement les conclusions et les motifs du recourant. En outre, selon l'<ref-law>/FR, l'appel dirigé contre un jugement prononçant une amende inférieure à 3'000 fr., une peine pécuniaire inférieure à dix jours-amende, un travail d'intérêt général de moins de quarante heures ou une peine privative de liberté de moins de dix jours ou dirigé contre un jugement du Tribunal pénal économique ne peut être interjeté que pour violation du droit matériel (let. a), pour violation, au cours des débats, d'une règle essentielle de procédure (let. b), pour motivation insuffisante ou arbitraire de constatations de fait importantes (let. c).
En substance, l'arrêt attaqué déclare l'appel du recourant irrecevable au motif que, ne soulevant aucun moyen admissible au regard de l'<ref-law>/FR, le mémoire d'appel ne répond pas aux exigences de motivation posées par l'<ref-law>/FR.
Le recourant critique ce motif en faisant valoir que l'on pourrait certes reprocher les prétendues insuffisances de son mémoire à un avocat breveté, mais pas à lui, qui n'est qu'un étudiant en droit, à qui les autorités fribourgeoises ont refusé l'assistance d'un défenseur d'office. Il soutient également que les restrictions que l'<ref-law>/FR apporte au pouvoir d'examen de la cour cantonale seraient incompatibles avec son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et avec son droit à un procès équitable (art. 29 al. 1 Cst., 6 § 1 CEDH et 14 § 1 Pacte ONU II). Il en déduit que l'arrêt attaqué commet, par excès de formalisme, un déni de justice formel prohibé par les art. 29 al. 1 Cst. et 6 § 1 CEDH.
5.1 Ni la peine prononcée contre le recourant en première instance, ni la difficulté des questions débattues devant le premier juge n'atteignaient le degré requis pour que la cause constitue un cas de défense nécessaire au regard du droit constitutionnel fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 2.5.2. p. 232 s) et du droit cantonal (cf. <ref-law>/FR). Le recourant, qui n'a pas entrepris au Tribunal fédéral le rejet de sa demande d'assistance judiciaire par le Président de la Chambre pénale et qui n'allègue pas avoir renouvelé cette demande devant le Juge de police ou en appel, n'est dès lors pas fondé à se plaindre du fait qu'il ne bénéficiait pas de l'assistance d'un avocat en procédure cantonale. Il ne saurait davantage soutenir que la cour cantonale aurait dû, pour réparer une violation de son droit à l'assistance d'un défenseur, le dispenser du respect des règles de forme applicables à la rédaction de son mémoire d'appel.
5.2 Ni le droit d'être entendu, ni le droit à un procès équitable n'imposent au législateur d'ouvrir une véritable voie d'appel contre les jugements de première instance. Jusqu'à l'entrée en vigueur du code de procédure pénale suisse, les cantons, qui restent souverains en la matière, sont donc libres de restreindre le pouvoir d'examen de leurs autorités de recours aux questions de droit et à la constatation arbitraire des faits. Une telle restriction est compatible avec les art. 2 du 7ème Protocole additionnel à la CEDH et 14 § 5 Pacte ONU II (<ref-ruling> consid. 2 p. 94 ss).
Dans la mesure où il conteste la constitutionnalité des restrictions prévues à l'<ref-law>/FR, le moyen du recourant est donc mal fondé.
5.3 Pour le surplus, le recourant ne tente pas de démontrer que son mémoire d'appel énoncerait un ou plusieurs moyens admissibles au regard de l'<ref-law>/FR. Or, si les motifs recevables à l'appui d'un recours sont limités et que le mémoire par lequel s'exerce celui-ci doit mentionner les motifs invoqués par le recourant, le recours est irrecevable si aucun moyen admissible n'est soulevé dans le mémoire. L'arrêt attaqué ne commet dès lors pas un déni de justice formel en refusant d'entrer en matière sur l'appel du recourant.
Partant, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, sans qu'il soit nécessaire de se prononcer sur les autres griefs du recourant, qui concernent le fond de son affaire.
6. Comme il est apparu d'emblée que le recours était dénué de chance de succès, le recourant doit être débouté de sa demande d'assistance judiciaire (<ref-law> a contrario) et supporter les frais de justice (<ref-law>), réduits à 800 fr. pour tenir compte de sa situation financière.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande de restitution de délais est rejetée dans la mesure où elle est recevable.
2. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénal du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg.
Lausanne, le 4 mars 2010
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Favre Oulevey