Faits:
A. A.a La Banque Y._ SA (ci-après: la Banque Y._) est une société anonyme avec siège dans le canton de Genève ayant pour but l'exploitation d'une banque de gestion de patrimoine ainsi que toute activité de négociant en valeurs mobilières.
Le 27 juin 2000, A._ a été engagé par la Banque Y._ en qualité de gestionnaire. Il était chargé de suivre l'activité des comptes des clients et de développer une nouvelle clientèle. Il n'était pas membre de la direction, n'avait pas de signature sociale et n'était pas inscrit au Registre du commerce.
A.b À la fin des années 1990, A._ a fait la connaissance de X._, homme d'affaires français domicilié en Suisse, qui lui a indiqué effectuer des prises de participation dans diverses affaires. Dans le courant de décembre 2000, A._ a proposé à X._ une première opération d'investissement liée à la création d'une société Internet, qui n'a finalement pas été concrétisée.
Au début de l'année 2001, A._ a proposé à X._ une autre opération selon laquelle ce dernier devait investir une somme de FRF 5'000'000.- qui pouvait lui rapporter, outre le retour sur investissement, un bénéfice de l'ordre de 10%. A._ n'a pas informé X._ des détails de cette opération, se contentant d'indiquer qu'il s'agissait d'une transaction financière sur le marché américain qui pouvait générer un bon bénéfice; il lui a néanmoins précisé que cet investissement s'inscrivait dans une opération privée et était étranger à la banque dans laquelle il travaillait.
X._ a accepté cette proposition et a fait transférer, le 2 février 2001, une somme de FRF 5'000'000.- depuis son compte ouvert auprès de la Banque V._ à Lyon sur le compte d'une société B._ SA ouvert auprès de la Banque W._ à Barcelone. La confirmation de ce transfert a été faxée à la Banque Y._, à l'attention de A._.
En réalité, les fonds ainsi versés par X._ n'ont pas été investis dans une opération financière sur le marché américain, mais - ce dont X._ n'avait jamais été informé - dans une transaction portant sur l'acquisition de statuettes en jade d'origine chinoise, proposée par le cousin de A._, C._, ressortissant français domicilié en France. Cette transaction s'est finalement révélée être une escroquerie, dont la presse française s'était, à l'époque, largement faite l'écho.
A.c À la fin décembre 2000, C._ avait voulu entreposer les statuettes en jade, ayant servi de support à l'escroquerie, dans un coffre qu'il avait souhaité louer auprès de la Banque Y._. Les objets étant toutefois d'une taille trop importante pour pouvoir être entreposés dans les coffrets loués aux clients, un responsable de la banque avait accepté que C._, qui était lui-même client de la banque, entrepose ces objets dans la chambre forte de la banque de manière provisoire et à titre exceptionnel, le temps qu'il puisse entamer des démarches pour louer un coffre auprès d'une autre banque permettant d'accueillir les objets. Au début janvier 2001, C._ avait ainsi loué auprès du Crédit Suisse un coffre d'une taille suffisante pour accueillir les objets.
Lors de la visite à la Banque Y._ à la fin décembre 2000, les statuettes étaient enveloppées dans un gros colis. Les parties ne se sont pas accordées sur la révélation du contenu de ce paquet aux responsables de la banque; ceux-ci ont indiqué que le contenu du paquet ne leur avait pas été dévoilé, alors que C._ a soutenu que l'employé de la banque avait vérifié le contenu et constaté qu'il s'agissait de statuettes en jade. Les justificatifs de la banque établis à l'occasion du dépôt (le 27 décembre 2000) et du retrait (le 15 janvier 2001) des objets font état d'un « paquet scellé cacheté avec la mention du compte 25141 », correspondant au compte bancaire ouvert par C._ dans les livres de la banque en décembre 1999.
A.d Au printemps 2001, X._ s'est enquis du sort de son investissement auprès de A._, qui lui a fourni diverses informations. Ayant alors réclamé avec insistance le remboursement de son investissement, il a obtenu le 19 avril 2001 de A._ une reconnaissance de dette de FRF 2'000'000.-. Par la suite, il a reçu, en plusieurs fois, de la part de A._ et C._, le remboursement d'une somme totale de FRF 2'000'000.-.
Par courrier de son conseil du 24 septembre 2001, X._ s'est plaint auprès de la Banque Y._ du comportement de A._, qui lui avait fait perdre une somme de FRF 3'000'000.- dans un investissement aventureux auquel il n'avait jamais consenti.
À réception de ce courrier, la direction de la Banque Y._ a interpellé A._. Lors d'une réunion du 27 septembre 2001 à la banque, celui-ci a expliqué à ses supérieurs s'être vu proposer par son cousin C._ une opération intéressante permettant de dégager une marge de 30% sur un mois et nécessitant une mise de fonds de FRF 5'000'000.-; il avait alors proposé cette affaire à X._ dans un contexte strictement privé; malheureusement, cette opération s'était révélé une escroquerie dont il était également la victime. Le lendemain de cet entretien, soit le 28 septembre 2001, A._ a démissionné avec effet immédiat de ses fonctions au sein de la banque « pour convenance personnelle ».
A.e Le 22 novembre 2001, X._ a déposé plainte pénale auprès du Procureur général du canton de Genève notamment contre A._. Celui-ci a été inculpé d'escroquerie le 18 mars 2003, pour avoir incité X._ à investir une somme de FRF 5'000'000.- dans une opération sur le marché américain, en dissimulant astucieusement le fait que ces fonds étaient en réalité destinés à une opération spéculative sur des objets d'art chinois, qui s'était révélée être une escroquerie dite « aux faux jades » perpétrée par des gitans français habitués de ce genre de malversations. À l'issue de la procédure d'instruction, la procédure pénale a fait l'objet d'un classement par le Parquet du Procureur général.
B. B.a Le 4 novembre 2004, X._ a assigné la Banque Y._ devant le Tribunal de première instance du canton de Genève en paiement d'une somme de CHF 781'760.-, contre-valeur du montant de FRF 3'350'000.- comprenant le remboursement du solde de son investissement par FRF 3'000'000.- et de divers frais par FRF 350'000.-.
Comme fondement de sa réclamation, il invoquait d'abord la responsabilité contractuelle de la banque, en soutenant que A._ avait agi comme organe de fait, voire comme organe apparent, de celle-ci. Il invoquait également la responsabilité délictuelle de la banque, d'une part sur la base de l'art. 55 CO, en soutenant que le dommage avait été causé par A._ dans l'accomplissement de son travail, et d'autre part sur la base de l'art. 41 CO, en soutenant que la banque aurait violé les dispositions relatives à la lutte contre le blanchiment d'argent en accueillant dans sa chambre forte les statuettes litigieuses sans avoir procédé aux vérifications nécessaires.
La Banque Y._ a conclu au déboutement de toutes les conclusions de X._.
B.b Le Tribunal a ordonné l'apport de la procédure pénale et l'ouverture d'enquêtes.
Entendu par le juge d'instruction en qualité de témoin dans la procédure pénale, C._ a indiqué avoir été à l'origine de la transaction sur les statuettes de jade; il a précisé que A._ lui avait présenté X._ comme un ami et non comme un client de la banque et qu'il ne lui avait pas laissé croire que la banque avait été liée ou concernée par cette transaction.
Dans le cadre de l'instruction civile, le Tribunal a notamment entendu comme témoin D._, conseiller en clientèle auprès de la Banque Y._, qui a indiqué que C._, client de la banque, entendait déposer un gros colis dans un coffre qu'il souhaitait louer à cet effet; dans la mesure où la banque ne disposait pas de coffres de taille suffisante, D._ avait autorisé ce client à entreposer le paquet dans la chambre forte de la banque, à titre provisoire et exceptionnel, le temps de trouver une autre solution.
B.c Par jugement du 15 mars 2007, le Tribunal de première instance a débouté X._ des fins de sa demande. Par arrêt du 14 septembre 2007, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté l'appel interjeté par X._ contre ce jugement, qu'elle a confirmé.
En substance, les juges cantonaux ont considéré qu'une responsabilité contractuelle de la Banque Y._ ne pouvait pas être retenue, dès lors que A._ n'avait pas la qualité d'organe de fait ou d'organe apparent de la banque et qu'on cherchait de plus en vain dans le dossier trace d'une relation contractuelle entre X._ et la banque. Les conditions d'une responsabilité délictuelle de la banque selon l'art. 55 CO n'étaient pas non plus réalisées, dès lors que A._ avait mené l'opération litigieuse dans un cadre strictement privé et qu'il n'avait pas agi dans l'accomplissement de son travail. Enfin, un acte illicite au sens de l'art. 41 CO, fondé sur un non-respect des dispositions de la LBA, ne pouvait pas être retenu, en l'absence de toute enquête qui aurait pu être menée par les autorités compétentes pour veiller au respect de ces dispositions; au demeurant, on voyait difficilement que la banque ait su ou dû savoir que la marchandise entreposée temporairement dans sa chambre forte provenait d'un crime.
C. Contre l'arrêt de la Cour de justice, X._ interjette un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Sur recours constitutionnel subsidiaire, il conclut avec suite de frais et dépens à l'annulation de l'arrêt attaqué. Sur recours en matière civile, il conclut, toujours avec suite de frais et dépens, principalement à la réforme de l'arrêt attaqué dans le sens de l'admission des conclusions de la demande et subsidiairement à l'annulation de cet arrêt, le dossier étant renvoyé à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
La Banque Y._ conclut avec suite de dépens au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Le recourant agit à la fois par la voie du recours en matière civile et par celle du recours constitutionnel subsidiaire, dans un seul mémoire (art. 119 al. 1 LTF).
1.1 Interjeté par la partie demanderesse qui a succombé dans ses conclusions en paiement prises devant l'autorité précédente et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 1.1), le recours en matière civile est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Portant sur une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), il est donc en principe recevable, puisqu'il a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prévues par la loi (art. 42 LTF).
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. À la différence de l'ancien recours en réforme (cf. art. 43 al. 1, 2e phrase, OJ), il peut donc être interjeté également pour violation des droits constitutionnels, qui font partie du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF. Il s'ensuit qu'en l'espèce, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable. En effet, ce recours, qui peut être formé uniquement pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF), est ouvert contre les décisions des autorités cantonales de dernière instance qui ne peuvent faire l'objet d'aucun recours selon les art. 72 à 89 LTF (art. 113 LTF). Dans les causes de nature civile (cf. art. 72 LTF), il n'est donc ouvert que si le recours en matière civile n'est pas recevable parce que la valeur litigieuse minimale exigée par l'art. 74 al. 1 LTF n'est pas atteinte et que l'on ne se trouve pas dans l'un des cas d'exception prévus par l'art. 74 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 3.1). En revanche, dès que le recours en matière civile est ouvert au regard de l'art. 74 LTF, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable, étant rappelé que les griefs d'ordre constitutionnel peuvent alors être soulevés dans le cadre du recours en matière civile.
2. 2.1 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Sous réserve de l'exception prévue par l'art. 106 al. 2 LTF pour la violation de droits fondamentaux ou de dispositions de droit cantonal et intercantonal (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.2), le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.2 et la jurisprudence citée). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF - sanctionnée par l'irrecevabilité des recours dont la motivation est manifestement insuffisante (art. 108 al. 1 let. b LTF) -, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4.1; <ref-ruling> consid. 1.2).
2.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4135, ch. 4.1.4.2; cf. <ref-ruling> consid. 1.4.3, 384 consid. 4.2.2) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 1.3, 286 consid. 1.4). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2.3 Conformément aux principes qui viennent d'être rappelés, le Tribunal fédéral examinera en l'espèce, à la lumière de l'argumentation du recourant, les questions qui étaient litigieuses devant l'autorité précédente et qui le sont toujours devant le Tribunal fédéral, à savoir : si le recourant peut fonder ses prétentions sur une relation contractuelle avec l'intimée qui aurait été conclue par A._ agissant comme organe de fait, voire comme organe apparent de l'intimée (cf. consid. 3 infra); s'il peut fonder ses prétentions sur une responsabilité délictuelle de l'intimée en tant qu'employeur (art. 55 CO), pour un dommage qui aurait été causé par son travailleur A._ dans l'accomplissement de son travail (cf. consid. 4 infra); s'il peut fonder ses prétentions sur une responsabilité aquilienne (art. 41 CO) de l'intimée, en invoquant une violation par celle-ci de ses obligations découlant de la LBA pour avoir accueilli sans vérification dans sa chambre forte les statuettes qui ont servi de support à l'escroquerie (cf. consid. 5 infra).
Lors de l'examen de ces questions, le Tribunal fédéral reverra librement l'application du droit fédéral (cf. consid. 2.1 supra), en conduisant son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne tiendra compte de faits qui divergeraient de l'état de fait contenu dans l'arrêt attaquée que dans la mesure où le recourant démontre, par une argumentation dûment motivée, en quoi la constatation d'un fait précis, ou l'omission de constater un fait précis, procéderait d'un établissement arbitraire des faits ou d'une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, et pour autant seulement que la correction du vice éventuel soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. consid. 2.2 supra). En revanche, dans la mesure où le recourant se limite à présenter sa propre version des faits et sa propre interprétation des événements, sans démontrer, pour un fait précis, en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, une telle argumentation purement appellatoire (cf. <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 2a) est d'ores et déjà déclarée irrecevable et il n'en sera tenu aucun compte.
3. 3.1 Ne contestant pas que A._ n'a jamais été organe formel de l'intimée, le recourant soutient que A._ aurait agi en qualité d'organe de fait de l'intimée, respectivement comme organe apparent, la banque, par ses agissements, ayant clairement donné à penser que A._ avait la qualité de l'engager.
3.2 Aux termes de l'art. 55 CC, la volonté d'une personne morale s'exprime par ses organes (al. 1); ceux-ci obligent la personne morale par leurs actes juridiques et par tous autres faits (al. 2).
3.2.1 La qualité d'organe d'une personne morale découle en premier lieu de la loi : est organe la personne ou le groupe de personnes auxquels, suivant l'espèce de personne morale dont il s'agit, la loi confère cette qualité (organe formel; <ref-ruling> consid. 5a p. 435; Huguenin, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 3e éd. 2006, n. 13 ad art. 54/55 CC; Riemer, Berner Kommentar, Band I/3/1, 1993, n. 25 ad art. 54/55 CC).
3.2.2 En outre, pour ne pas rendre illusoire la protection qu'institue l'art. 55 CC, la jurisprudence et la doctrine ont admis que peut aussi être rangée au nombre des organes la personne qui exerce de facto des fonctions dirigeantes et qui, de par la situation qu'elle occupe dans l'affaire et les pouvoirs qui lui sont dévolus, participe effectivement et d'une façon décisive à la formation de la volonté sociale (organe de fait ou organe matériel; <ref-ruling> consid. 5a p. 436; <ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3b; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> p. 226-227; Riemer, op. cit., n. 28 ad art. 54/55 CC et les nombreuses références citées; Huguenin, op. cit., n. 13 ad art. 54/55 CC). Pour qu'une personne se voie reconnaître la qualité d'organe de fait, il faut qu'elle apparaisse durablement compétente pour prendre sous sa propre responsabilité certaines décisions qui aillent au-delà de la simple expédition des affaires courantes et déploient des effets perceptibles sur le résultat des affaires (<ref-ruling> consid. 3a p. 31; Huguenin, op. cit., n. 13 ad art. 54/55 CC).
3.2.3 Enfin, l'organe apparent résulte d'une information imputable à la personne morale et à l'intéressé, qui peut résulter d'actes concluants, dont un tiers peut déduire de bonne foi la qualité d'organe de l'intéressé qu'il ne possède pas en réalité (ATF <ref-ruling> consid. 3 p. 571; Ruedin, Droit des sociétés, 2e éd. 2007, n. 720; Huguenin, op. cit., n. 13 ad art. 54/55 CC). L'organe apparent se distingue de l'organe formel par le fait qu'aucune désignation formelle n'a été effectuée, et de l'organe matériel par le fait que sa qualité ne dépend pas d'une participation effective et déterminante à la formation de la volonté de la personne morale (Ruedin, op. cit., n. 721; Huguenin, op. cit., n. 13 ad art. 54/55 CC).
3.3 Il est constant que A._ n'a jamais revêtu la qualité d'organe formel de l'intimée. Cela étant, il convient d'examiner si le recourant est fondé à invoquer une éventuelle qualité d'organe de fait (cf. consid. 3.4 infra) ou d'organe apparent (cf. consid. 3.5 infra) de l'intimée.
3.3 Il est constant que A._ n'a jamais revêtu la qualité d'organe formel de l'intimée. Cela étant, il convient d'examiner si le recourant est fondé à invoquer une éventuelle qualité d'organe de fait (cf. consid. 3.4 infra) ou d'organe apparent (cf. consid. 3.5 infra) de l'intimée.
3.4 3.4.1 La Cour de justice a exposé qu'il était acquis que A._ n'avait pas la compétence durable pour prendre, sous sa propre responsabilité, des décisions, et de participer ainsi à la formation de la volonté sociale; il ne pouvait donc pas être considéré comme organe de fait.
3.4.2 Le recourant critique cette affirmation. Selon lui, les circonstances plaideraient au contraire en faveur de la qualité d'organe de fait de A._. Il cherche à en faire la démonstration en affirmant d'abord que la mise à disposition de la chambre forte serait un acte exceptionnel, qui serait du ressort exclusif de la direction; or selon le recourant, il « paraît établi » que la direction n'est pas intervenue pour cela et que c'est bien A._, « jusqu'à démonstration du contraire », qui avait donné cette instruction de mise à disposition de la chambre forte, suivie d'effets. En outre, la saisie pénale opérée par le Juge d'instruction n'avait permis de retrouver trace d'aucun document émanant de la direction qui aurait été établi lors de la mise à disposition de la chambre forte, de sorte que « A._ a eu également semble-t-il le pouvoir de faire en sorte qu'aucune espèce de diligences ne soient effectuées en relation avec cette affaire »; il aurait « également pu faire en sorte que le dépôt soit restitué et les statuettes remises, sans aucune vérification, durant toute la durée du dépôt, aux fins donc de pouvoir conclure l'affaire et commettre l'escroquerie ». Par ailleurs, A._ aurait eu le pouvoir d'engager ou de rembourser les frais liés au voyage de C._ sur Genève en relation avec l'affaire litigieuse. Enfin, son contrat l'autorisait expressément à démarcher la clientèle, de sorte qu'il pouvait « contractuellement, vis-à-vis de tiers, présenter formellement l'apparence de certains pouvoirs, de nature décisionnelle ».
3.4.3 Cette critique repose presque entièrement sur des affirmations qui s'écartent de l'état de fait retenu par l'autorité cantonale, sans que le recourant ne démontre que cet état de fait aurait été établi de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. consid. 2.2 supra). Il ne résulte ainsi pas de l'état de fait établi par l'autorité précédente, sur la base duquel le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique (art. 105 al. 1 LTF), que A._ soit intervenu de quelque manière que ce soit en relation avec le dépôt, par C._, des statuettes dans la chambre forte de la banque, et on ne trouve dans l'arrêt attaqué aucune constatation relative à la prise en charge par l'intimée de frais de voyage de C._. Même si l'état de fait de l'arrêt attaqué devait être complété, comme le sollicite le recourant, en ce sens que A._ avait pour fonction non seulement d'acquérir de la clientèle, mais aussi de démarcher les clients, on ne voit pas en quoi cette circonstance ferait de lui un organe de fait de l'intimée, au sens défini par la jurisprudence et la doctrine (cf. consid. 3.2.2 supra).
3.4.3 Cette critique repose presque entièrement sur des affirmations qui s'écartent de l'état de fait retenu par l'autorité cantonale, sans que le recourant ne démontre que cet état de fait aurait été établi de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. consid. 2.2 supra). Il ne résulte ainsi pas de l'état de fait établi par l'autorité précédente, sur la base duquel le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique (art. 105 al. 1 LTF), que A._ soit intervenu de quelque manière que ce soit en relation avec le dépôt, par C._, des statuettes dans la chambre forte de la banque, et on ne trouve dans l'arrêt attaqué aucune constatation relative à la prise en charge par l'intimée de frais de voyage de C._. Même si l'état de fait de l'arrêt attaqué devait être complété, comme le sollicite le recourant, en ce sens que A._ avait pour fonction non seulement d'acquérir de la clientèle, mais aussi de démarcher les clients, on ne voit pas en quoi cette circonstance ferait de lui un organe de fait de l'intimée, au sens défini par la jurisprudence et la doctrine (cf. consid. 3.2.2 supra).
3.5 3.5.1 Examinant si la qualité d'organe apparent pouvait être reconnue à A._ lorsqu'il avait proposé au recourant l'opération litigieuse, la Cour de justice a exposé que la procédure pénale avait démontré que A._ avait mené cette opération dans un cadre strictement privé, situation qui avait été largement reconnaissable pour le recourant. C._, à l'origine de la transaction litigieuse, avait confirmé que A._ ne s'était pas présenté au recourant, dans le cadre de cette opération, comme agissant pour le compte de l'intimée. Les autres témoignages recueillis dans la procédure avaient confirmé le caractère privé de l'opération, à laquelle la banque était étrangère. L'intimée n'était au demeurant intervenue d'aucune façon dans la transaction convenue entre A._ et le recourant, et elle n'avait jamais demandé ni perçu une quelconque commission ou rémunération liée à cette transaction. De plus, aucune relation bancaire d'aucune sorte n'avait été conclue avec le recourant et les fonds investis n'avaient pas transité dans les livres de l'intimée. Enfin, A._ avait reconnu avoir agi dans un cadre strictement privé auprès du recourant, et on cherchait également en vain dans le dossier une information imputable à l'intimée qui aurait présenté A._ au recourant comme l'un de ses organes.
3.5.2 À cette motivation complète et pertinente, le recourant n'oppose à nouveau qu'une argumentation appellatoire, en invoquant des faits qui ne résultent pas de l'arrêt attaqué - tel que le fait que la banque aurait invité le recourant en ses locaux pour discuter de l'opération litigieuse et réglé les frais de ces invitations - et en tentant de substituer sa propre appréciation des preuves et en particulier des témoignages à celle opérée par les juges cantonaux, sans aucunement démontrer en quoi celle-ci serait arbitraire. En réalité, on ne voit pas sur la base de quelle information imputable à l'intimée le recourant aurait pu déduire de bonne foi la qualité d'organe de l'intimée. C'est doublement à tort que le recourant entend tirer argument de la mise à disposition de la chambre forte de l'intimée, puisque d'une part il est constant qu'il ignorait totalement ce fait à l'époque, et d'autre part il ne résulte pas de l'état de fait établi par l'autorité précédente, comme on l'a déjà exposé (cf. consid. 3.4.3 supra), que A._ soit intervenu de quelque manière que ce soit en relation avec le dépôt, par C._, des statuettes dans la chambre forte de la banque. On relèvera enfin que la thèse du recourant selon laquelle il croyait que A._ agissait en qualité d'organe de l'intimée apparaît d'autant moins crédible que la reconnaissance de dette du 19 avril 2001 consignait un engagement personnel de A._, que le recourant a par la suite reçu en plusieurs fois, de la part de A._ et C._, le remboursement d'une somme totale de FRF 2'000'000.- et que ce n'est que le 24 septembre 2001 qu'il s'est adressé pour la première fois à l'intimée (cf. lettre A.d supra).
3.6 En définitive, la qualité d'organe - formel, de fait ou apparent- ne pouvant être reconnue à A._, la responsabilité de l'intimée ne peut pas être engagée sur la base de l'art. 55 al. 2 CC.
4. 4.1 Le recourant soutient que le dommage qu'il a subi aurait été causé par A._ dans l'accomplissement de son travail au service de l'intimée, de sorte que l'intimée en répondrait sur la base de l'art. 55 CO.
4.2 Aux termes de l'art. 55 al. 1 CO, l'employeur est responsable du dommage causé par ses travailleurs ou ses autres auxiliaires dans l'accomplissement de leur travail, s'il ne prouve qu'il a pris tous les soins commandés par les circonstances pour détourner un dommage de ce genre ou que sa diligence n'eût pas empêché le dommage de se produire. L'employeur ne répond pas purement et simplement de tous les dommages que cause son auxiliaire : pour que sa responsabilité soit engagée, il faut encore que la victime prouve que l'auxiliaire a agi dans l'accomplissement de son travail (Werro, Commentaire romand, Code des obligations I, 2003, n. 14 ad art. 55 CO; Schnyder, Basler Kommentar, 4e éd. 2007, n. 12 ad art. 55 CO et les références citées; cf. <ref-ruling> consid. 4b). Il ne suffit pas que le dommage ait été causé à l'occasion de l'exécution du travail; il faut bien plus une relation directe et fonctionnelle entre l'activité pour laquelle l'employeur a eu recours aux services de l'auxiliaire et l'acte dommageable, celui-ci étant ainsi accompli dans l'intérêt de l'employeur (Werro, op. cit., n. 14 ad art. 55 CO; Schnyder, op. cit., n. 13 ad art. 55 CO; Brehm, Berner Kommentar, Band VI/1/3, 1990, n. 21 ad art. 55 CO et les références citées; ATF 50 II 469).
4.3 La cour cantonale a exposé qu'il ressortait des débats que A._ avait mené l'opération litigieuse dans un cadre strictement privé et qu'il n'avait aucunement agi dans l'accomplissement de son travail. La transaction incriminée, liée à l'achat d'objets d'art, ne s'intégrait au demeurant pas dans les activités de l'intimée consacrées à la gestion de fortune. Que A._ ait utilisé son télécopieur professionnel, ou même reçu le recourant dans son bureau, n'était pas suffisant pour admettre que la transaction litigieuse qu'il avait proposée s'inscrivait dans l'accomplissement de son travail.
4.4 Le recourant critique la constatation selon laquelle A._ a agi dans un cadre strictement privé et non dans l'accomplissement de son travail. Il conteste en outre le fait que la transaction incriminée ne s'intégrait pas dans les activités de l'intimée consacrées à la gestion de fortune; il fait valoir que A._ ne lui a jamais proposé une transaction liée à l'achat d'objets d'art, mais une transaction financière sur le marché américain, ce qui entrait aussi bien dans le cadre de son contrat de démarcheur que dans le cadre des activités de l'intimée. Or si l'intimée avait mené une surveillance adéquate de son employé, elle aurait découvert que celui-ci n'entendait pas proposer une transaction financière sur le marché américain, puisqu'il n'existait évidemment rien dans ce sens dans les dossiers de la banque; la prise des soins commandés par les circonstances aurait ainsi permis de découvrir la fraude, partant d'empêcher le dommage. Selon le recourant, l'absence totale de surveillance résulterait encore plus clairement de l'épisode de la chambre forte: la banque n'aurait manifestement pas surveillé son employé avec tous les soins commandés par les circonstances pour détourner un dommage de ce genre, A._ ayant au contraire pu faire procéder, dans l'accomplissement de son travail, à l'ouverture et à la mise à disposition de la salle forte pour y entreposer des objets qui correspondaient en tous points à ceux utilisés pour un genre d'escroquerie alors déjà largement connu du public. Or comme le mécanisme de l'escroquerie ne pouvait aboutir sans la libre disposition des statuettes, une surveillance adéquate aurait permis de découvrir la tentative d'escroquerie et ainsi de détourner le dommage.
4.5 Ces griefs sont mal fondés dans la mesure où ils sont recevables. En premier lieu, le recourant ne démontre pas que la constatation de l'autorité cantonale, fondée sur l'appréciation des propres déclarations de A._ et de l'ensemble des témoignages, selon laquelle A._ avait mené l'opération litigieuse dans un cadre strictement privé serait manifestement inexacte. En particulier, le fait que dans une lettre du 30 avril 2001 à C._, A._ ait écrit que «X._ reconnaît qu'il m'a fait confiance sans demander d'explication et aussi - il faut le dire - compte tenu de ma position professionnelle qui le rassurait » n'infirme en rien la constatation du caractère privé de l'opération et ne permet aucunement de retenir que A._ ait agi dans l'accomplissement de son travail. Or s'il est constant que A._ n'a pas proposé au recourant l'opération litigieuse dans l'accomplissement de son travail, mais dans un cadre strictement privé, l'application de l'art. 55 al. 1 CO apparaît déjà exclue de ce fait, si bien que la question de savoir si l'intimée a pris tous les soins commandés par les circonstances pour détourner le dommage que les agissements privés de A._ ont entraîné pour le recourant ne se pose même pas. Par ailleurs, on ne voit pas comment le recourant pourrait se prévaloir de l'art. 55 al. 1 CO en relation avec la mise à disposition de la chambre forte alors que, comme on l'a déjà exposé (cf. consid. 3.4.3 et 3.5.2 supra), il ne résulte pas de l'état de fait établi par l'autorité précédente que A._ soit intervenu de quelque manière que ce soit en relation avec le dépôt, par C._, des statuettes dans la chambre forte de la banque.
5. 5.1 Le recourant invoque une responsabilité aquilienne (art. 41 CO) de la banque, en relation avec la mise à disposition par celle-ci de sa chambre forte pour entreposer les statuettes ayant servi de support à l'escroquerie. Il soutient que l'intimée, qui est incontestablement un intermédiaire financier au sens de l'art. 2 de la loi sur le blanchiment d'argent (LBA; RS 955.0) et qui, en vertu de la loi sur les banques et caisses d'épargne (LB; RS 952.0), doit garantir une surveillance appropriée de la gestion (art. 3 al. 2 let. a LB) et présenter toutes garanties d'une activité irréprochable (art. 3 al. 2 let. c LB), avait une obligation particulière de clarification en vertu de l'art. 6 LBA, aux termes duquel l'intermédiaire financier doit clarifier l'arrière-plan économique et le but d'une transaction lorsque celle-ci paraît inhabituelle ou que des indices laissent supposer que des valeurs patrimoniales proviennent d'un crime. Selon le recourant, la relation juridique impliquant de mettre à disposition, serait-ce d'un client, la chambre forte de la banque pour y recevoir des dépôts scellés dont on ne sait rien (et qui pouvaient parfaitement être des valeurs de provenance criminelle) serait inhabituelle et tomberait sous le coup de l'art. 6 LBA. Toujours selon le recourant, si l'intimée s'était conformée à l'obligation de clarification qui lui incombait selon l'art. 6 LBA, elle se serait immédiatement aperçue qu'elle avait reçu dans sa chambre forte des valeurs pour lesquelles il n'existait aucun justificatif et qui, du fait de la notoriété de l'escroquerie « aux faux jades », ne pouvaient être identifiées que comme s'intégrant à une tentative (à ce stade) d'escroquerie; dès lors, elle n'aurait eu d'autre choix que d'exercer son obligation de communication en application de l'art. 9 LBA et de bloquer immédiatement les valeurs en question en application de l'art. 10 LBA. Le résultat certain, selon le recourant, en aurait été l'empêchement pour A._ de continuer ses agissements, ainsi que la découverte de l'escroquerie, avec pour conséquence que jamais le recourant n'aurait effectué le virement de FRF 5'000'000.-.
5.2 La responsabilité délictuelle instituée par l'art. 41 CO, souvent appelée responsabilité aquilienne, présuppose, entre autres conditions, l'existence d'un acte illicite (<ref-ruling> consid. 4.1).
5.2.1 Dans la conception objective de l'illicéité suivie par le Tribunal fédéral, on distingue l'illicéité de résultat (Erfolgsunrecht), qui suppose l'atteinte à un droit absolu du lésé, de l'illicéité du comportement (Verhaltensunrecht). Lorsqu'il est question, comme en l'espèce, d'un préjudice purement économique - à savoir d'un préjudice apparu sans qu'il y ait eu atteinte à l'intégrité d'une personne ou endommagement, destruction ou perte d'une chose -, celui-ci ne peut donner lieu à réparation, en vertu de l'illicéité déduite du comportement, que lorsque l'acte dommageable viole une norme qui a pour finalité de protéger le lésé dans les droits atteints par l'acte incriminé (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.2.2 et les références citées). De telles normes peuvent résulter de l'ensemble de l'ordre juridique suisse, qu'il s'agisse du droit privé, administratif ou pénal; peu importe qu'elles soient écrites on non écrites, de droit fédéral ou de droit cantonal (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2c p. 169 et les références citées).
5.2.2 Dans un récent arrêt publié, le Tribunal fédéral a laissé indécise la question de savoir si les dispositions de la loi fédérale du 10 octobre 1997 concernant la lutte contre le blanchiment d'argent dans le secteur financier (LBA; RS 955.0) - entrée en vigueur le 1er avril 1998 et donc postérieurement aux faits qui lui étaient soumis - étaient susceptibles d'être invoquées comme norme protectrice par celui qui, victime d'un crime préalable, réclamait la réparation de son préjudice à une banque par laquelle avaient transité les fonds provenant de ce crime (<ref-ruling> consid. 5.2.4).
5.2.2 Dans un récent arrêt publié, le Tribunal fédéral a laissé indécise la question de savoir si les dispositions de la loi fédérale du 10 octobre 1997 concernant la lutte contre le blanchiment d'argent dans le secteur financier (LBA; RS 955.0) - entrée en vigueur le 1er avril 1998 et donc postérieurement aux faits qui lui étaient soumis - étaient susceptibles d'être invoquées comme norme protectrice par celui qui, victime d'un crime préalable, réclamait la réparation de son préjudice à une banque par laquelle avaient transité les fonds provenant de ce crime (<ref-ruling> consid. 5.2.4).
5.3 5.3.1 En l'espèce, il n'y a pas lieu de trancher la question de savoir si l'intimée, en ne vérifiant pas le contenu du colis déposé dans sa chambre forte par son client C._, a violé les obligations que lui imposaient la LBA, ni si, dans l'hypothèse où elle aurait averti l'autorité compétente et procédé au blocage des statuettes déposées dans sa chambre forte, cela aurait eu pour conséquence d'empêcher le recourant de virer les FRF 5'000'000.- et donc le dommage de se produire.
5.3.2 En effet, il ne suffit pas qu'un dommage puisse être mis en relation de causalité naturelle avec la violation par un tiers d'une norme de comportement de l'ordre juridique suisse, quelle qu'elle soit, en ce sens que le dommage ne se serait pas produit si cette norme de comportement avait été respectée. Il faut encore, comme on l'a déjà dit (cf. consid. 5.2.1 supra), que la norme de comportement violée ait pour finalité de protéger le lésé dans les droits atteints par l'acte incriminé (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.2.2, ainsi que les arrêts cités par Christophe Misteli, La responsabilité pour le dommage purement économique, thèse Lausanne 1999, p. 112 note 343). Autrement dit, il faut que la norme en question dicte un comportement pour prévenir certains dommages (finalité protectrice), de sorte que, mise en relation avec l'art. 41 al. 1 CO, cette norme semble avoir pour but la réparation de ces dommages (rapport d'illicéité; Misteli, op. cit., p. 109 et p. 212-214, avec références, notamment les arrêts cités p. 214 note 741).
5.3.3 La LBA régit la lutte contre le blanchiment d'argent au sens de l'art. 305bis CP et la vigilance requise en matière d'opérations financières (art. 1 LBA). Cette vigilance requise des intermédiaires financiers - au premier chef des banques (art. 2 al. 1 let. a LBA) - s'exprime dans l'obligation de vérifier l'identité du cocontractant (art. 3 et 5 LBA) et d'identifier l'ayant droit économique (art. 4 et 5 LBA), dans l'obligation particulière de clarification (art. 6 LBA), dans l'obligation d'établir et de conserver des documents (art. 7 LBA) et dans des mesures organisationnelles (art. 8 LBA); elle vise à lutter contre le blanchiment d'argent au sens de l'art. 305bis CP (Dave Thelesklaf/Ralf Wyss/Dave Zollinger, Kommentar zum Geldwäschereigesetz, 2003, n. 2 et 5 ad art. 1 LBA), qui réprime les actes propres à entraver l'identification de l'origine, la découverte ou la confiscation de valeurs patrimoniales provenant d'un crime. La jurisprudence a confirmé que l'art. 305bis CP protégeait également les intérêts patrimoniaux de ceux qui sont lésés par le crime préalable, lorsque les valeurs patrimoniales proviennent d'actes délictueux contre des intérêts individuels (<ref-ruling> consid. 5.1 in fine; <ref-ruling> consid. 2.2.4).
5.3.4 En l'espèce, le recourant ne reproche pas tant à l'intimée de ne pas avoir constaté que les statuettes litigieuses provenaient d'un crime préalable - ce qu'aucun élément au dossier ne permet de penser, étant précisé que l'on sait seulement que l'escroquerie aurait été « perpétrée par des gitans français habitués de ce genre de malversations » et que rien n'indique qu'elle aurait été le fait d'une organisation criminelle au sens de l'art. 260ter ch. 1 al. 1 CP - que de ne pas s'être aperçue qu'elles constituaient le support d'une tentative (à ce stade) d'escroquerie. Or le but des dispositions, tant pénales qu'administratives, visant à lutter contre le blanchiment d'argent n'est pas d'empêcher la réalisation d'infractions (subséquentes) telles que celle dont a été victime le recourant. Même en admettant que le blocage des statuettes par l'intimée aurait empêché la survenance du dommage, il existerait uniquement un rapport de causalité naturelle, mais aucun rapport d'illicéité, entre la prétendue violation de la norme de comportement invoquée et le dommage résultant du virement des FRF 5'000'000.- en paiement du prix d'achat des statuettes. Il n'y a pas là davantage de rapport d'illicéité que si l'on reprochait à l'administration des douanes de ne pas avoir séquestré les statuettes au motif qu'elles auraient été introduites illégalement dans le territoire douanier (cf. art. 83 al. 1 de la loi sur les douanes; RS 631.0), ce qui, suivant le raisonnement du recourant, aurait aussi empêché le dommage de se produire. C'est de même en vain que le recourant tente d'invoquer comme normes protectrices les exigences générales de la loi sur les banques que sont la garantie d'une surveillance appropriée de la gestion (art. 3 al. 2 let. a LB) et celle d'une activité irréprochable (art. 3 al. 2 let. c LB); la seconde d'entre elles ne présente d'ailleurs même pas les caractéristiques d'une norme de comportement (Misteli, op. cit., p. 225).
5.3.5 Il résulte de ce qui précède qu'indépendamment d'une éventuelle violation par l'intimée de ses obligations administratives et de l'existence d'un rapport de causalité naturelle avec la survenance du dommage, le recourant ne saurait invoquer une responsabilité acquilienne de l'intimée en relation avec la mise à disposition par l'intimée de sa chambre forte pour y entreposer temporairement les statuettes litigieuses de la banque. Dans ces conditions, il n'est pas nécessaire d'examiner les griefs soulevés par le recourant en relation avec ce chef de responsabilité, dès lors que les vices invoqués ne sont pas susceptibles d'influer sur le sort de la cause.
En particulier, il n'y a pas lieu d'examiner les critiques dirigées contre les constatations de fait de l'arrêt attaqué en ce qui concerne l'absence de tous documents justificatifs accompagnant les statuettes, le non- établissement du mécanisme de l'escroquerie plus particulièrement quant à l'impossibilité de la réaliser sans la libre disposition des statuettes, l'ouverture et la mise à disposition de la chambre forte de la banque, l'absence de « due diligence » dans le cadre de la mise à disposition de ladite chambre forte et l'absence d'intervention de la Commission fédérale des banques (CFB). Il n'y a pas davantage lieu d'examiner les faits et preuves nouveaux (art. 99 al. 1 LTF) invoqués par le recourant en relation avec cette dernière problématique. Il n'est pas non plus nécessaire de se pencher sur les griefs d'ordre constitutionnel par lesquels le recourant reproche à l'autorité précédente, toujours dans le cadre de la mise à disposition de la chambre forte, d'avoir de facto imposé une condition que la loi ne prévoit pas, à savoir l'ouverture d'une procédure ad hoc, d'avoir retenu comme un fait établi l'absence de toute procédure ad hoc, empêchant ainsi l'administration de preuves sur ce point, et de n'avoir pour ce motif pas examiné le moyen soulevé. De même, le grief de violation de l'art. 8 CC soulevé dans ce contexte n'est pas pertinent.
6. En définitive, le recours ne peut qu'être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est rejeté.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 9'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Une indemnité de 11'000 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 29 avril 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Abrecht