Faits:
A. A.a A._ a travaillé comme nettoyeur au service de plusieurs sociétés, avant de s'associer en 1992 avec M._ pour exploiter en commun l'entreprise de nettoyage de ce dernier. Victime d'un accident le 21 mars 1995, qui a entraîné une déchirure de la corne postérieure du ménisque interne, A._ a été mis au bénéfice d'une rente de l'assurance-accidents fondée sur un taux d'invalidité de 40 % et une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 10 % (décision de la Caisse nationale suisse d'assurances du 30 septembre 1997).
De leur côté, les organes de l'assurance-invalidité auxquels l'intéressé avait présenté une demande de prestations le 11 avril 1996 ont, à l'issue d'une procédure ayant conduit à deux jugements de la juridiction cantonale genevoise compétente, alloué à A._ une rente entière d'invalidité du 1er mars au 30 juin 1996, puis une demi-rente d'invalidité du 1er juillet 1996 au 30 septembre 1999 (décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité [ci-après: l'office AI] du 25 avril 2002 et jugement du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales du 4 novembre 2003).
A.b Par courrier du 9 août 2004 à l'office AI, A._ a requis l'octroi d'une rente entière d'invalidité, en invoquant une péjoration considérable de son état de santé depuis 2000, laquelle avait entraîné une diminution importante de sa capacité de travail résiduelle. L'administration a recueilli différents avis médicaux, dont ceux des docteurs O._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, et U._, spécialiste FMH en médecine générale et médecine du sport. Par décision du 7 juillet 2005, l'office AI a rejeté la demande de prestations, au motif que l'assuré ne présentait aucune atteinte à la santé invalidante.
A._ s'étant opposé à cette décision, l'office AI a confié une expertise bi-disciplinaire aux docteurs I._, spécialiste FMH en médecine générale, et B._, spécialiste FMH en psychiatrie, médecins auprès du Service médical régional AI (SMR). Dans leur rapport du 26 mai 2006, les médecins ont retenu, au titre de diagnostic entraînant une répercussion sur la capacité de travail, des gonalgies persistantes dans le cadre d'un status post-déchirure de la corne postérieure du ménisque interne du genou gauche, opérée par arthroscopie en 1995. Les docteurs I._ et B._ ont en revanche nié le diagnostic de fibromyalgie, mentionné précédemment par leur confrère U._, ainsi que toute limitation fonctionnelle psychiatrique. Ils ont conclu que l'activité de nettoyeur n'était plus adaptée, mais que l'assuré disposait d'une capacité de travail entière dans toute activité adaptée aux limitations fonctionnelles biomécaniques indiquées. Se fondant sur ces conclusions, l'office AI a rendu une décision sur opposition le 12 février 2007, par laquelle il a confirmé le refus de toute prestation.
B. A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. Après avoir entendu le docteur O._ à titre de témoin, le Tribunal a débouté l'assuré par jugement du 22 mai 2008.
C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de dépens, il conclut à la reconnaissance du droit à une rente entière d'invalidité à partir du 10 août 2004.
Le Tribunal fédéral a renoncé à un échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
Les constatations de la juridiction cantonale sur l'atteinte à la santé (diagnostic, pronostic, etc.) et l'évaluation de la capacité de travail (résiduelle), ainsi que sur le point de savoir si la capacité de travail, respectivement l'incapacité de travail, de l'assuré s'est modifiée d'une manière déterminante sous l'angle de la révision au cours d'une certaine période (arrêt 9C_270/2008 du 12 août 2008 consid. 2.2), sont en principe des questions de fait (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 397). Il en est de même de l'appréciation concrète des preuves. En revanche, l'application du principe inquisitoire et des règles sur l'appréciation des preuves au sens de l'art. 61 let. c LPGA relève du droit (<ref-ruling> consid. 3.2 et 4 p. 397 ss).
2. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité - au vu de ses conclusions, à partir du 10 août 2004 (cf. art. 107 al. 1 LTF) -, singulièrement sur l'existence d'une aggravation de son état de santé depuis la dernière décision entrée en force qui repose sur un examen matériel du droit à la rente (<ref-ruling> consid. 3.2.3 p. 77; ici, le jugement du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales du 4 novembre 2003, par lequel une demi-rente d'invalidité avait été accordée du 1er juillet 1996 au 30 septembre 1999 [à la suite de la rente entière allouée du 1er mars au 30 juin 1996 par décision de l'intimé du 25 avril 2002]).
A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'invalidité et son évaluation, au devoir de contrôle du juge en cas de nouvelle demande et au principe de la libre appréciation des preuves, ainsi que la jurisprudence sur la valeur probante de rapports médicaux et celle rendue en matière de troubles somatoformes douloureux et de fibromyalgie, applicables au présent cas. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. 3.1 Se fondant sur le rapport établi par les docteurs I._ et B._ le 26 mai 2006, les premiers juges ont retenu que l'état de santé du recourant n'avait subi aucune aggravation susceptible d'entraîner l'ouverture du droit à une rente d'invalidité. Ces médecins n'avaient mis en évidence aucune pathologie somatique ou psychique entraînant une incapacité de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles mentionnées. La juridiction cantonale a retenu, en particulier, que la fibromyalgie diagnostiquée par le docteur O._ ne revêtait pas un caractère invalidant, aucun des critères permettant d'admettre un tel caractère en l'absence d'une comorbidité psychiatrique d'une gravité suffisante n'étant rempli. L'avis des médecins du SMR n'était par ailleurs mis en doute par aucune appréciation médicale suffisante. Le point de vue du docteur U._ n'était pas motivé, alors que celui du docteur O._, peu étayé, devait être considéré avec réserve dans la mesure où il s'agissait de l'opinion du médecin traitant.
3.2 En invoquant à la fois une "mauvaise application" du droit (art. 17 LPGA et 87 al. 3 et 4 RAI) et l'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir nié l'aggravation notable de son état de santé depuis 1999, ainsi que d'avoir écarté les avis des docteurs U._ et O._. Ses critiques, qui visent à substituer sa propre appréciation de la situation à celle des premiers juges, ne sont cependant pas de nature à faire apparaître les faits retenus par la juridiction cantonale comme étant manifestement inexacts ou contraires au droit, ou l'appréciation qu'ils en ont faite comme manifestement insoutenable.
Quoi qu'en dise le recourant, la simple énumération par le docteur U._ de différents diagnostics (dans son rapport du 10 février 2005) ne suffit en effet pas à étayer l'affirmation - déjà posée sans plus d'explications dans une attestation du 9 juin 2004 - selon laquelle l'état de santé de l'assuré se serait aggravé. La juridiction cantonale était donc en droit d'écarter les conclusions du médecin, faute de motivation. Il en va de même des avis du docteur O._ qui se limitent à des renseignements biographiques et une liste de diagnostics. Dans la mesure où le recourant se réfère essentiellement aux rapports de ces deux médecins pour remettre en cause l'appréciation qu'a faite la juridiction cantonale des critères posés par la jurisprudence pour évaluer le caractère invalidant de la fibromyalgie, son argumentation est mal fondée.
Pour le surplus, la juridiction cantonale a procédé à une appréciation dûment motivée et circonstanciée des preuves. Contrairement à ce que lui reproche le recourant, elle a ainsi tenu compte des répercussions des gonalgies sur la capacité de travail, mises en évidence par les médecins du SMR. A leur suite, elle a admis une incapacité de travail totale dans l'activité de nettoyeur, l'atteinte aux genoux n'empêchant toutefois pas le recourant d'exercer une activité adaptée prenant en considération certaines limitations en résultant. Aussi, n'y a-t-il pas lieu de s'écarter des faits retenus par la juridiction cantonale, ni de l'appréciation qu'elle en a faite. Mal fondé, le recours doit être rejeté.
4. Vu l'issue du litige, les frais de justice doivent être supportés par le recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 première phrase LTF, en relation avec l'art. 65 al. 4 let. a LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, ainsi qu'à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 15 janvier 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless