Sachverhalt:
A.
Der 1969 geborene P._ war bis Ende 2007 als selbstständig erwerbender Vermittler im Unterrichtswesen tätig. Am 20. Oktober 2009 meldete er sich bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Leistungsbezug an. Diese tätigte erwerbliche Abklärungen und holte diverse ärztliche Unterlagen sowie ein Gutachten der Klinik X._, vom 3. Mai 2011 ein. Hierin wurden folgende Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit gestellt: Schwere depressive Episode mit psychotischen Symptomen (ICD-10 F32.3), Status nach Dysthymia (ICD-10 F34.1), kombinierte Persönlichkeitsstörung mit zwanghaften und narzisstischen Zügen (ICD-10 F61.0). Ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit seien Arbeitslosigkeit (ICD-10 Z56.0) und Mangel an Tagesstruktur (ICD-10 Z73.8). Somatische Diagnosen seien aktenanamnestisch Hypogonadismus, Polyallergie mit Exanthemen, u.a. an Händen und Fingern, Asthma bronchiale. Mit Verfügung vom 15. August 2012 verneinte die IV-Stelle den Rentenanspruch (Invaliditätsgrad 0 %).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. Februar 2013 ab, nachdem es gleichentags eine Verhandlung durchgeführt hatte.
C.
Mit Beschwerde beantragt der Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die Sache zu einer Neubestimmung des Invaliditätsgrades im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es sei ihm die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Trotzdem prüft es - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG in Verbindung mit <ref-law>). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdi-gungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund Letzterer gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]).
2.
Die Vorinstanz ermittelte den Invaliditätsgrad zu Recht nach der allgemeinen Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 399). Dies ist unbestritten.
2.1. Für die Bestimmung des von der versicherten Person ohne Gesundheitsschaden hypothetisch erzielbaren Valideneinkommens ist entscheidend, was sie im Zeitpunkt des frühestmöglichen Rentenbeginns - hier das Jahr 2010, da die Anmeldung bei der IV-Stelle im Oktober 2009 erfolgte (<ref-law>) - überwiegend wahrscheinlich als Gesunde tatsächlich verdienen würde, und nicht, was sie bestenfalls verdienen könnte. Dabei wird in der Regel am zuletzt erzielten, nötigenfalls der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepassten Verdienst angeknüpft, da erfahrungsgemäss die bisherige Tätigkeit ohne Gesundheitsschaden fortgesetzt worden wäre. Ausnahmen von diesem Erfahrungssatz müssen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sein. Bezog die versicherte Person aus invaliditätsfremden Gründen (z.B. geringe Schulbildung, fehlende berufliche Ausbildung, mangelnde Deutschkenntnisse, beschränkte Anstellungsmöglichkeiten wegen Saisonnierstatus) ein deutlich unterdurchschnittliches Einkommen, ist diesem Umstand bei der Invaliditätsbemessung nach <ref-law> durch eine Parallelisierung der Vergleichseinkommen Rechnung zu tragen, sofern keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sie sich aus freien Stücken mit einem bescheideneren Einkommensniveau begnügen wollte. Nützte sie im Gesundheitsfall ihr wirtschaftliches Potenzial nicht voll aus, so ist dieser nicht verwertete Teil der Erwerbsfähigkeit nicht versichert, denn die Erwerbsinvalidität hängt nicht von der Einbusse des mutmasslichen Potenzials bzw. des funktionellen Leistungsvermögens als solchem ab, sondern von der effektiven, gesundheitlich bedingten Einbusse im Erwerbseinkommen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 59 und E. 3.4.1-3.4.6 S. 60 ff.). Das Valideneinkommen von Selbstständigerwerbenden kann zumeist auf Grund der Einträge im Individuellen Konto (IK) bestimmt werden. Weist es starke und verhältnismässig kurzfristig in Erscheinung getretene Schwankungen auf, ist auf den während einer längeren Zeitspanne erzielten Durchschnittsverdienst abzustellen (SVR 2010 IV Nr. 26 S. 79 E. 3.3 [8C_9/2009]; Urteil 8C_607/2011 16. März 2012 E. 8.2.1).
2.2. Die Vorinstanz erwog, die psychische Erkrankung des Versicherten habe sich aufgrund der ärztlichen Akten im Rahmen der Trennung vom Lebenspartner im August 2007 entwickelt. In den Jahren 2003 bis 2006 sei er voll arbeitsfähig gewesen; in dieser Zeit habe er sich mit einem sehr bescheidenen Einkommen aus selbstständiger Tätigkeit als Vermittler von Seminaraufträgen begnügt. Die Tatsache, dass er diese nicht einträgliche Tätigkeit während mehrerer Jahre nicht aufgegeben und keine besser entlöhnte andere Arbeit angenommen habe, sondern von der finanziellen Unterstützung des damaligen Lebenspartners profitiert habe, zeige, dass er auch ohne Erkrankung überwiegend wahrscheinlich als Vermittler mit tiefen Einnahmen tätig wäre. Demnach bestehe kein Grund, das unterdurchschnittliche Valideneinkommen auf einen durchschnittlichen Tabellenlohn aufzurechnen. Somit habe die IV-Stelle das Valideneinkommen zu Recht aufgrund der IK-Einträge der Jahre 2003 bis 2006 ermittelt, was aufgewertet auf das Jahr 2010 jährlich Fr. 18'412.- ergebe.
Der Beschwerdeführer erhebt keine Rügen, die zur Bejahung einer Rechtsverletzung führen oder die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen als offensichtlich unrichtig oder rechtsfehlerhaft nach <ref-law> erscheinen lassen (E. 1 hievor). Festzuhalten ist Folgendes:
2.3. Der Versicherte bringt vor, er habe schon zwischen 2003 und 2007 an psychischen Problemen gelitten. Die Gutachter der Klinik X._ hätten es unterlassen, ihn hierzu zu befragen. Dann hätte er angegeben, dass er schon in den Jahren 1996, 2000 und 2001 aufgrund psychischer Probleme behandelt worden sei. Daraufhin hätten die ärztlichen Unterlagen eingeholt werden können. Der massgebliche Sachverhalt sei somit nicht vollständig erfasst worden. Demnach könne von einem freiwilligen Verzicht auf ein höheres Validenein-kommen keine Rede sein. Dieser Einwand ist unbehelflich. Denn der Versicherte bringt nicht vor, in den streitigen Jahren 2003 bis 2006 in psychischer Behandlung gewesen zu sein. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung, er sei in diesem Zeitraum aus psychischer Sicht voll arbeitsfähig gewesen, ist somit nicht zu beanstanden.
2.4.
2.4.1. Der Versicherte macht weiter geltend, er habe seine Firma im Jahre 2003 gegründet. Am Anfang sei es nichts Ungewöhnliches, wenn die Erträge im Vergleich zu einer unselbstständigen Tätigkeit niedriger oder sogar überdurchschnittlich tiefer seien. Neben Investitionen zu Beginn müsse sich ein Geschäft erst entwickeln. Es fehlten Kontakte zu potenziellen Kunden. Erst im Laufe der Zeit könne es zu einer Umsatz- und Gewinnsteigerung kommen, wodurch sich auch das Einkommen des Geschäftsführers erhöhe. Von 2003 bis 2005 habe sich sein Einkommen jedes Jahr erhöht. Erst 2006 habe es wieder einen Rückgang gegeben. Insgesamt seien vier Jahre eine äusserst kurze Zeit für eine selbstständige Erwerbstätigkeit. Es könne daher nicht gesagt werden, er habe sich freiwillig mit dem unterdurchschnittlich tiefen Einkommen von jährlich Fr. 18'412.- begnügt.
2.4.2. In dieser Hinsicht stellte die Vorinstanz fest, mit etwas mehr als vier Jahren liege keine kurze Dauer der selbstständigen Erwerbstätigkeit vor, aus welcher auf eine ungenügende Grundlage für die Bemessung des Valideneinkommens zu schliessen wäre. Es bestünden keine Anhaltspunkte, dass der Versicherte wegen der Firmengründung über Jahre hinweg hohe Auslagen gehabt habe. Er habe seine Arbeiten in einer dafür eingerichteten Büroecke der Eigentumswohnung seines Lebenspartners erledigt, wo er kostenlos habe leben und arbeiten können. Allfällige Auslagen (Büromöbel) könne er nicht belegen. Schliesslich habe er seine Geschäftspartner resp. Kundschaft über Beziehungen und sogenannte Netzwerke generiert und habe seine Dienstleistung nicht kostenintensiv bewerben müssen.
Die bloss pauschalen Vorbringen des Versicherten (E. 2.4.1 hievor) vermögen diese vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht in Frage zu stellen. Zudem sind seine Angaben zum Valideneinkommen widersprüchlich. Während er nunmehr geltend macht, es sei nicht ungewöhnlich, dass sein Einkommen zu Beginn seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit mit jährlich Fr. 18'412.- überdurchschnittlich tief gewesen sei, legte er im Rahmen des von der IV-Stelle veranlassten Abklärungsberichts für Selbstständigerwerbende vom 18. Januar 2012 dar, er habe teilweise Bruttogewinne von Fr. 30'000.- bis Fr. 60'000.- pro Jahr generieren können. Er habe jedoch sehr viel an den Steuern abgezogen, wie z.B. eine hohe Büromiete, die er gar nie gehabt habe, da er in der Wohnung des Lebenspartners gearbeitet habe. Auch habe er die meiste Kleidung und Restaurantbesuche in Abzug gebracht. Ebenso habe er nach den Kursen in Deutschland oder Frankreich oft noch eine bis zwei Nächte für Freizeit/Ferien angehängt und auch diese bei den Steuern unter den Reisekosten verbucht. Vorinstanzlich brachte er vor, der angegebene Nettogewinn sei nicht massgebend, da er aus steuerlichen Gründen legalerweise möglichst klein gehalten werde; es seien die ganzen Bilanzen zu studieren sowie Abschreibungen und z.B. die Privatbezüge von der Firma aufzurechnen. Falls der Versicherte im Lichte dieser Ausführungen tatsächlich mehr verdiente, als aus dem IK-Auszug hervorgeht, könnte dies nicht berücksichtigt werden, da es nicht angeht, Einkünfte bei den Sozialversicherungsbeiträgen nicht anzugeben und sie dann im Versicherungsfall trotzdem geltend zu machen (<ref-law>; Urteil 8C_930/2012 vom 25. Januar 20132 E. 4.1).
3.
3.1. Laut dem Gutachten der Klinik X._ vom 3. Mai 2011 ist der Versicherte aus rein psychiatrischer Sicht zu 75 % arbeitsunfähig. Die Einschränkung ergebe sich aus der deutlichen Antriebsminderung, Verlangsamung, verminderten Entscheidungsfähigkeit im Rahmen der schweren depressiven Episode mit psychotischen Symptomen. Weiter ergäben sich Einschränkungen im Rahmen der kombinierten Persönlichkeitsstörung; hier sei zu erwarten, dass bezüglich Anpassung an Regeln und Routine, Flexibilität und Umstellungsfähigkeit, Entscheidungs- und Urteilsfähigkeiten, Durchhaltevermögen, Konfliktfähigkeit zu Dritten, Gruppenfähigkeit etc. eine erhebliche Einschränkung bestehe. In einer seinem Ausbildungsstand entsprechenden Tätigkeit, z.B. als Journa-list, Übersetzer, Lektor o.Ä. sei denkbar, dass er ca. 2,5 Stunden pro Tag arbeiten könne. Bedingung sei, dass der Arbeitsplatz möglichst eine freie Arbeitsaufteilung zulasse sowie keine höheren Anforde-rungen an Teamfähigkeit und soziale Interaktion stelle.
3.2. Zur Bestimmung des trotz Gesundheitsschadens zumutbarerweise erzielbaren Invalideneinkommens stellte die Vorinstanz auf die vom Bundesamt für Statistik herausgegebene Schweizerische Lohnstrukturerhebung (LSE) für das Jahr 2010 ab (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301). Ausgehend vom monatlichen Bruttolohn gemäss der Tabelle TA1 "Total" für Männer im Anforderungsniveau 4 (einfache und repetitive Tätigkeiten) bei 40 Wochenarbeitsstunden von Fr. 4'901.- ermittelte sie umgerechnet auf die betriebsübliche wöchentliche Arbeitszeit "Total" von 41,6 Stunden im Jahre 2010 (Die Volkswirtschaft, 7/8-2013, S. 94 Tabelle B9.2) ein Jahreseinkommen von Fr. 61'164.- bzw. bei der Restarbeitsfähigkeit von 25 % ein Invalideneinkommen von Fr. 15'291.-. Verglichen mit dem Valideneinkommen von Fr. 18'412.- resultierte ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad von gerundet 17 % (zur Rundung vgl. <ref-ruling>).
3.3. Entgegen dem Versicherten wurden seine gesundheitlichen Einschränkungen mit der Feststellung einer 75%igen Arbeitsunfähigkeit und der Wahl des Anforderungsniveaus 4 des Arbeitsplatzes hinreichend berücksichtigt, weshalb diesbezüglich kein Abzug vom LSE-Tabellenlohn angebracht ist (Urteil 8C_712/2012 vom 30. November 2012 E. 4.2.1). Denn laut dem Gutachten der Klinik X._ sind ihm die Tätigkeiten im genannten zeitlichen und qualitativen Rahmen auf dem freien Arbeitsmarkt zumutbar. Der relevante ausgeglichene Arbeitsmarkt (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 70 f.) beinhaltet durchaus Stellen, die hier in Frage kommen. Eine psychisch bedingt verstärkte Rücksichtnahme seitens Vorgesetzter und Arbeitskollegen gilt nicht als eigenständiger abzugsfähiger Umstand (SVR 2010 IV Nr. 28 S. 87 E. 2.3.2 [9C_708/2009]; Urteil 9C_226/2013 vom 4. September 2013 E. 4.2.2).
3.4. Der Versicherte wendet weiter ein, er habe lange Zeit als Vermittler im Unterrichtswesen gearbeitet. Eine Arbeit in einem anderen Sektor komme daher kaum in Frage. Demnach erscheine es mit Blick auf das Urteil 9C_311/2012 vom 23. August 2012 E. 4.1 sachgerechter, bei der LSE-Tabelle TA1 im Anforderungsniveau 4 die Wirtschaftsabteilungen 77-82 "sonstige wirtschaftliche Dienstleistungen" oder 94-96 "Erbringung von sonstigen Dienstleistungen" anzuwenden. Eine Herabsetzung des Tabellenlohnes sei auch deshalb notwendig, weil ein lediglich 2,5-stündiger Arbeitstag bei Tätigkeiten wie Journalist, Übersetzer oder Lektor keinesfalls ausreiche, um das von der Vorinstanz berechnete Invalideneinkommen zu erreichen.
Es kann offen bleiben, ob auf das vom Versicherten geltend gemachte tiefste Männer-Einkommen gemäss der Wirtschaftsabteilung 94-96 "Erbringung von sonstigen Dienstleistungen" der LSE-Tabelle TA1 von monatlich Fr 4'474.- im Jahre 2010 abzustellen ist. Diesfalls resultiert umgerechnet auf die betriebsübliche wöchentliche Arbeitszeit im Abschnitt "Erbringung von sonstigen Dienstleistungen" von 41,8 Stunden im Jahre 2010 (Die Volkswirtschaft, a.a.O., Tabelle B9.2) ein Jahreseinkommen von Fr. 56'104.- bzw. bei 25%iger Arbeitsfähigkeit ein solches von Fr. 14'026.-. Beizupflichten ist dem Versicherten, dass teilzeitbeschäftigte Männer im Vergleich zu Vollzeitangestellten erfahrungsgemäss überproportional tiefer entlöhnt werden (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481); sie verdienen im Anforderungsniveau 4 bei einem Beschäftigungsgrad zwischen 25 und 49 % um 18,4 % weniger als vollzeitbeschäftigte Mitarbeiter (LSE-Tabelle "Standardisierter monatlicher Bruttolohn [Zentralwert] in Franken nach Beschäftigungsgrad, Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes und Geschlecht, privater und öffentlicher Sektor [Bund] zusammen, 2010"). Selbst wenn ein 20%iger Abzug vom Einkommen von Fr. 14'026.- veranschlagt wird, resultiert ein Invalideneinkommen von Fr. 11'221.- bzw. verglichen mit dem Valideneinkommen von Fr. 18'412.- ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad von gerundet 39 %.
4.
Der unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht gewährt werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. November 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Jancar