Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 5. Juli 2005 des Gemeindegerichts von Z._, Serbien, wurde die Ehe von X._ und Y._, Staatsangehörige von Serbien-Montenegro bzw. Bundesrepublik Jugoslawien, geschieden und der gemeinsame Sohn A._, geb. im 2001, unter die gemeinsame elterliche Sorge gestellt. Weiter wurde bestimmt, dass sich A._ in den ersten 15 Tagen des Monats unter der Obhut seiner Mutter und die zweiten 15 Tagen unter der Obhut seines Vaters aufhalten soll. Das serbische Gericht hat keine Unterhaltsregelungen getroffen.
Am 12. Oktober leitete Y._ beim Richteramt Olten-Gösgen eine Klage auf Abänderung und Ergänzung des serbischen Scheidungsurteils ein. Mit Urteil vom 15. Februar 2007 teilte das Amtsgericht Olten-Gösgen die elterliche Sorge für A._ der Mutter zu, gewährte dem Vater ein Besuchs- und Ferienrecht und ordnete eine Erziehungsbeistandschaft betreffend das Besuchsrecht an. Weiter verpflichtete es den Vater zu Unterhaltsbeiträgen zugunsten des Kindes. Das Begehren um Zusprechung von Unterhaltsbeiträgen an Y._ wurde abgewiesen.
B. Gegen das Urteil des Amtsgerichts erhob X._ Appellation betreffend die Zuteilung der elterlichen Sorge für A._ und die Besuchs- und Ferienrechtsregelung. Y._ appellierte betreffend die Unterhaltsbeiträge zugunsten des Kindes.
Mit Urteil vom 11. Dezember 2007 bestätigte das Obergericht, Zivilkammer, des Kantons Solothurn die Zuteilung der elterlichen Sorge für A._ an die Mutter. Ebenso bestätigte es die vom Amtsgericht getroffene Besuchs- und Ferienrechtsregelung und die Errichtung der Erziehungsbeistandschaft. Weiter verpflichtete des den Vater zu Unterhaltsbeiträgen zugunsten des Kindes von Fr. 750.-- pro Monat.
C. Mit Eingabe vom 15. Januar 2008 führt X._ "Nichtigkeitsbeschwerde" und beantragt dem Bundesgericht sinngemäss, das Urteil des Obergerichts aufzuheben. Weiter ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit dem angefochtenen Urteil werden die elterlichen Rechte und Pflichten (elterliche Sorge, persönlicher Verkehr, Unterhalt) als Folgen der Scheidung geregelt, so dass es sich um einen Entscheid in Zivilsachen handelt (<ref-law>). Streitpunkt vor Bundesgericht ist u.a. die elterliche Sorge, weshalb eine nicht vermögensrechtliche Streitigkeit vorliegt. Gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig und die Eingabe ist als solche entgegenzunehmen.
1.2 Rechtsschriften haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten (<ref-law>). Aus der Eingabe des Beschwerdeführers geht hervor, dass er in der Sache sinngemäss verlangt, es sei auf die Klage auf Abänderung und Ergänzung des serbischen Scheidungsurteils mangels Zuständigkeit des Amtsgerichts Olten-Gösgen nicht einzutreten; eventualiter sei ihm die elterliche Sorge zuzuteilen und hierzu das Kind anzuhören.
1.3 Weiter hat die Beschwerde nach <ref-law> eine Begründung zu enthalten, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Auf die Vorbringen des Beschwerdeführers ist nur soweit einzutreten, als sie den Begründungsanforderungen genügen.
1.4 Mit der Beschwerde nach <ref-law> kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dabei bedeutet "offensichtlich unrichtig" willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252).
Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat das Obergericht in Bezug auf den Vorwurf von häuslicher Gewalt nicht festgestellt, dass er die Beschwerdegegnerin tatsächlich geschlagen habe, so dass die entsprechende Bestreitung ins Leere geht. Das Gleiche gilt für die Vorbringen betreffend SMS-Mitteilungen, deren Urheberschaft das Obergericht bereits als bestritten bezeichnet hat. Soweit der Beschwerdeführer sich gegen Tatsachenfeststellungen des Obergerichts wendet, ohne eine Rüge im Sinne von <ref-law> hinreichend darzulegen, können seine Ausführungen nicht berücksichtigt werden.
2. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass Wohn- und Aufenthaltsort von A._ nicht Olten, sondern Welschenrohr sei, und daher das Amtsgericht Thal-Gäu, und nicht das Amtsgericht Olten-Gösgen zuständig sei, um über die Kinderbelange zu entscheiden.
2.1 In internationalen Sachverhalten sind gemäss Art. 1 MSA - in sinngemässer Anwendung (<ref-law>), da die Republik Serbien nicht Vertragsstaat ist - zur Regelung der Kinderbelange (<ref-ruling> E. 2a/bb S. 302; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 590) grundsätzlich die Gerichte des Staates zuständig, in dem ein Minderjähriger seinen gewöhnlichen Aufenthalt hat (internationale Zuständigkeit). Nach der Lehre ist die interne bzw. örtliche Zuständigkeit in erster Linie ebenfalls am Ort des gewöhnlichen Aufenthalts des Kindes gegeben, sofern die Regelung der Kinderbelange nicht Nebenfolge eines Prozesses ist, dessen interne Zuständigkeit sich nach anderen, z.B. scheidungsrechtlichen (<ref-law>) Regeln richtet (Bucher, L'enfant en droit international privé, Genf 2003, Rz. 328).
2.2 Der Beschwerdeführer stellt nicht in Frage, dass der gewöhnliche Aufenthalt von A._ in der Schweiz liegt und die schweizerischen Gerichte zuständig sind, über die Zuteilung der elterliche Sorge zu entscheiden. Aus dem angefochtenen Urteil geht nicht hervor, dass die interne bzw. örtliche Zuständigkeit zur Beurteilung der Kinderbelange Streitgegenstand war. Das Obergericht hat in diesem Zusammenhang festgehalten, dass A._ insbesondere bei Klageeinreichung als damals 41⁄2-jähriger unbestrittenermassen bei seiner Mutter in Olten war. Die Vorbringen des Beschwerdeführers laufen auf die Einrede der fehlenden (örtlichen) Zuständigkeit des Amtsgerichts Olten-Gösgen und den Antrag hinaus, es sei das Amtsgericht Thal-Gäu zuständig zu erklären. Dass dieses Begehren bereits vor der Vorinstanz vorgebracht worden sei, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Insoweit liegt ein neues Begehren im Sinne von <ref-law> vor, welches unzulässig ist, und kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Ebenso wenig ist der Einwand zulässig, nur das Amtsgericht Thal-Gäu sei für vorsorgliche Massnahmen zuständig, zumal diese nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides sind.
3. Im kantonalen Verfahren war unstrittig, dass die vom serbischen Gericht ausgesprochene gemeinsame elterliche Sorge anerkennbar und diese Anordnung in Anwendung schweizerischen Rechts abzuändern ist. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, die Regeln über die Sorgerechtszuteilung verletzt zu haben, wenn es A._ in die elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin gegeben hat.
3.1 Gemäss Art. 133 Abs. 1 und 2 ZGB hat das Gericht namentlich die elterliche Sorge einem Elternteil zuzuteilen und dabei alle für das Kindeswohl massgebenden Umstände zu berücksichtigen. Auf die Meinung der Kinder ist, soweit tunlich, Rücksicht zu nehmen (vgl. <ref-law>). Im Übrigen sind für die Zuteilung die vom Bundesgericht in der langjährigen Rechtsprechung zum früheren <ref-law> umschriebenen Kriterien wegleitend. Entscheidend ist das Kindeswohl. Die Interessen der Eltern haben in den Hintergrund zu treten (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 209, 317 E. 2 S. 319; <ref-ruling> E. 3 S. 354 f.). Den Bedürfnissen der Kinder ist gemäss ihrem Alter, ihren Neigungen und ihrem Anspruch auf elterliche Fürsorglichkeit, Zuwendung und Erziehung bestmöglich zu entsprechen. Als massgebliche Gesichtspunkte stehen dabei im Vordergrund die persönlichen Beziehungen der Eltern zu den Kindern, ihre erzieherischen Fähigkeiten und ihre Bereitschaft, die Kinder in eigener Obhut zu haben und sie weitgehend persönlich zu betreuen und zu pflegen. Auch dem Bedürfnis der Kinder nach der für eine harmonische Entfaltung in körperlicher, seelischer und geistiger Hinsicht notwendigen Stabilität der Verhältnisse ist Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 3 S. 201 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 382 f.). Das letztgenannte Kriterium erhält bei ungefähr gleicher Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit besonderes Gewicht (<ref-ruling> E. 4a S. 209). Bei der Beurteilung steht den kantonalen Behörden, welche die Parteien und die Verhältnisse besser kennen als das Bundesgericht, ein erhebliches Ermessen zu. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn einschlägige Kriterien grundlos ausser Betracht geblieben oder offenkundig falsch gewichtet worden sind, oder wenn die Zuteilung auf Überlegungen abgestützt worden ist, die unter dem Gesichtswinkel des Kindeswohls bedeutungslos sind oder gegen die dargelegten bundesgerichtlichen Grundsätze verstossen (BGE <ref-ruling> E. 3 S. 355; <ref-ruling> E. 2 S. 319).
3.2 Das Obergericht hat sich im Wesentlichen auf die umfassenden Berichte vom 2. Juni 2006 und 29. September 2006 der Familienberatung Olten-Gösgen (B._, dipl. Sozialarbeiterin FH) und die Anhörung der Parteien gestützt. Ferner erwähnt es den Bericht des Belgrader Instituts für mentalen Schutz, Abteilung für Ehe und Familie, vom 24. Dezember 2004, in welchem die Zuteilung an die Mutter empfohlen wurde. Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, dass sich beide Elternteile um das Wohl von A._ sorgen. Das 63⁄4 Jahre alte Kind benötige noch umfassende Betreuung, und die Mutter habe die Möglichkeit und den Willen, diese leisten. Der Vater habe hingegen Schwierigkeiten, seinen Sohn während der Arbeitszeiten zu betreuen. Der Umstand, dass sich der Beschwerdeführer wiederverheiratet und eine Tochter habe und seine Ehefrau nicht erwerbstätig sei, spreche nicht automatisch für die Zuteilung des Sorgerechts für A._. Der Beschwerdeführer habe vor Obergericht die im Familienbericht wiedergegebene latente Drohung, er werde "selber handeln" im Fall, dass die Schweizer Behörden nicht seinem Wunsch entsprechen würden, bestätigt, indem er u.a. in Serbien ein neues Verfahren in der Sache anhängig gemacht habe. Der Beschwerdeführer sehe an der Beschwerdegegnerin nicht eine einzige positive Seite im Bezug auf die Betreuung von A._. Im Gegensatz dazu betone die Beschwerdegegnerin die Wichtigkeit, dass A._ auch zu seinem Vater, den er liebe, eine gute Beziehung haben könne. Das Obergericht hat erwogen, dass auf Seiten der Mutter die Bereitschaft, dem Kind den Kontakt zum anderen Elternteil zu ermöglichen, grösser sei. Es hat geschlossen, dass unter Berücksichtigung der gesamten Umstände die elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin zuzuteilen sei.
3.2.1 Das Obergericht geht von der Erziehungsfähigkeit beider Parteien aus. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Vorinstanz habe das Kriterium der Stabilität der Verhältnisse bei der Frage der Zuteilung der elterlichen Sorge falsch angewendet, geht sein Einwand fehl. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat das Obergericht die Stabilität seiner Verhältnisse nicht in Frage gestellt. Im Übrigen ist das sinngemässe Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach das Kind bei ihm auf stabile Verhältnisse treffen würde, unbehelflich, weil dies allein die Zuteilung der elterlichen Sorge nicht zu rechtfertigen vermag. Mit seinen weiteren Vorbringen vermag der Beschwerdeführer nicht darzulegen, inwiefern die Vorinstanz die Stabilität der Verhältnisse auf Seiten der Beschwerdegegnerin verkannt hat. Seine tatsächlichen Ausführungen (wonach u.a. die Beschwerdegegnerin schwanger sei und mit ihrem jetzigen Verlobten in Serbien lebe, wo sie ein Haus baue und ohnehin besser integriert sei) finden im angefochtenen Entscheid keine Stütze und können nicht berücksichtigt werden (<ref-law>). Inwiefern der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin Sozialhilfe empfange, für die Stabilität ihrer Verhältnisse von Bedeutung und von der Vorinstanz zu Unrecht ausser Acht gelassen worden sei, setzt der Beschwerdeführer nicht auseinander. Sodann wendet er sich gegen die vom Obergericht festgestellte Tatsache, dass A._ im Zeitraum der Einreichung der Klage bei der Beschwerdegegnerin gewesen sei. Dass das Kind in Wirklichkeit bei ihm gewesen sei, stellt eine unzulässige Kritik an Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid dar.
3.2.2 Aus den Erwägungen im angefochtenen Entscheid geht hervor, dass das Obergericht für die Zuteilung des Sorgerechts in entscheidender Weise darauf abgestellt hat, dass der Beschwerdeführer an der Beschwerdegegnerin keine einzige positive Seite bezüglich der Betreuung von A._ sieht. Die Vorinstanz hat sich dabei auf die Parteibefragung und den Familienbericht gestützt und festgestellt, dass der Beschwerdeführer von der Beschwerdegegnerin nicht allzuviel hält, ihr sogar die Erziehungsfähigkeiten abspricht und die Mutter selbst im Beisein des Kindes abwehrt.
Nach der Rechtsprechung gilt die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, als ein entscheiderheblicher Gesichtspunkt, gerade wenn die Erziehungsfähigkeit beider Elternteile gegeben ist (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 210). Dazu gehört, dass der die Obhut innehabende Elternteil den Kontakt des Kindes zum andern Elternteil nicht negativ beeinflusst, sondern fördert (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3 S. 320), denn für die Entwicklung und Identität des Kindes ist seine Beziehung zu beiden Elternteilen wichtig (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 590). Vorliegend hat das Obergericht erkannt, dass die Haltung des Beschwerdeführers für die Obhutszuteilung erheblich ist, zumal weder die Erziehungsfähigkeit der Parteien noch die Stabilität von deren Verhältnissen in Frage stehen. Wenn die Vorinstanz im Wesentlichen darauf abgestellt hat, dass der Beschwerdeführer nicht wirklich in der Lage sei, den Paarkonflikt von der Elternrolle zu unterscheiden, kann nicht davon gesprochen werden, dass sie unerhebliche Umstände berücksichtigt oder erhebliche Umstände ausser Acht gelassen habe. Vor diesem Hintergrund stellt der Schluss des Obergerichts, A._ sei in die elterliche Sorge der Mutter zu geben, keine Bundesrechtsverletzung dar.
4. Weiter rügt der Beschwerdeführer, dass die elterliche Sorge für A._ der Beschwerdegegnerin zugeteilt worden sei, ohne auf die Sichtweise des Kindes Rücksicht zu nehmen, obwohl dieses älter als sechs Jahre sei. Sinngemäss macht der Beschwerdeführer geltend, das Kind sei zu Unrecht im kantonalen Verfahren nicht persönlich angehört worden.
4.1 <ref-law> bestimmt, dass bei Anordnungen über Kinder diese in geeigneter Weise durch das Gericht oder durch eine beauftragte Drittperson persönlich anzuhören sind, soweit nicht ihr Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen. Diese Norm findet auf alle gerichtlichen Verfahren Anwendung, in denen Kinderbelange zu regeln sind. Das Bundesgericht hat im Sinn einer Richtlinie festgehalten, dass die Kinderanhörung grundsätzlich ab dem vollendeten sechsten Altersjahr möglich ist (<ref-ruling> E. 1). Dieses Schwellenalter, ab dem eine Anhörung grundsätzlich in Frage kommt, ist jedoch zu unterscheiden von der kinderpsychologischen Erkenntnis, dass formallogische Denkoperationen erst ab ungefähr elf bis dreizehn Jahren möglich sind und auch die sprachliche Differenzierungs- und Abstraktionsfähigkeit erst ab diesem Alter entwickelt ist (vgl. Felder/ Nufer, Die Anhörung des Kindes aus kinderpsychologischer Sicht, in: Vom alten zum neuen Scheidungsrecht, Bern 1999, Rz. 4.131). Vor diesem Alter geht es bei der Kinderanhörung einzig darum, dass sich das urteilende Gericht ein persönliches Bild machen kann und über ein zusätzliches Element bei der Sachverhaltsfeststellung und Entscheidfindung verfügt (vgl. Bräm, Die Anhörung des Kindes im neuen Scheidungsrecht, in: AJP 1999, S. 1569; Schweighauser, in: FamKommentar Scheidung, N. 7 zu <ref-law>). Soweit jedoch das Kind seinen Anspruch nicht selbst wahrnehmen kann, setzt seine Anhörung einen entsprechenden Antrag einer Verfahrenspartei voraus; diesfalls ist das Gericht zur Anhörung verpflichtet, weil sie als Pflichtrecht ausgestaltet ist (Urteil 5C.209/2005 vom 23. September 2005, E. 3, Pra 2006 Nr. 17 S. 124 f.).
4.2 Im Zeitpunkt des Urteils des Amtsgerichts war A._ noch nicht sechs Jahre alt und hatte das für eine persönliche Anhörung massgebende Schwellenalter noch nicht erreicht. Anhaltspunkte, welche im konkreten Fall die Anhörung des Kindes dennoch aufgedrängt hätten und übergangen worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 557), macht der Beschwerdeführer nicht geltend und sind im Übrigen nicht ersichtlich. Insoweit ist nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht keinen Anlass gesehen hat, eine persönliche Anhörung des noch nicht 6-jährigen A._ durch das Amtsgericht zu thematisieren. Im Zeitpunkt des obergerichtlichen Entscheides hatte A._ das Schwellenalter zwar überschritten. Im Alter von 63⁄4 Jahren kann er indessen seinen Anspruch auf Anhörung nicht selbst wahrnehmen und der Beschwerdeführer bringt nicht vor, dass im kantonalen Verfahren ein Antrag auf Anhörung von A._ gestellt und übergangen worden sei. Das Obergericht durfte insoweit ohne Verletzung von Bundesrecht von einer Anhörung des Kindes absehen.
4.3 Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang allenfalls sinngemäss kritisiert, das Obergericht habe den Sachverhalt nicht hinreichend abgeklärt, sind seine Vorbringen unbehelflich. Wohl stellt die Anhörung des Kindes auch ein Mittel zur Sachverhaltsfeststellung dar (vgl. E. 4.1), welche nach <ref-law> von Amtes wegen zu erfolgen hat (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 412), und kann die Anhörung urteilsunfähiger Kinder erforderlich sein, weil sich daraus Hinweise auf die Eltern-Kind-Beziehung ergeben können (vgl. Rumo-Jungo, Die Anhörung des Kindes unter besonderer Berücksichtigung verfahrensrechtlicher Fragen, AJP 1999, S. 1579 und 1581 f.).
Das Obergericht hat den für die Zuteilung des Sorgerechts erheblichen Sachverhalt anhand der Anhörung der Eltern (<ref-law>) erforscht und gestützt auf die zur Sorgerechtsfrage erstellten Berichte der Familienberatung Olten-Gösgen differenzierte Feststellungen zur Eltern-Kind-Beziehung getroffen, was der Beschwerdeführer selber nicht in Frage stellt. Er legt nicht dar, dass er im kantonalen Verfahren in hinreichender Weise seiner Mitwirkungspflicht nachgekommen sei (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 412) und Vorbringen übergangen worden seien, welche die Anhörung von A._ erforderlich gemacht hätten, um weitere entscheiderhebliche Hinweise auf die Eltern-Kind-Beziehung zu erlangen. Im Weiteren sind das Interesse an einer eingehenden Sachverhaltsfeststellung und die Gründe, von der Anhörung des Kindes abzusehen, gegeneinander abzuwägen (vgl. Reusser, Die Stellung der Kinder im neuen Scheidungsrecht, in: Vom alten zum neuen Scheidungsrecht, Bern 1999, Rz. 4.85). A._ wurde von der Sozialarbeiterin B._ in deren Bericht anlässlich der Hausbesuche als verunsichert wirkendes Kind wahrgenommen, und von der Kinderpsychiaterin Dr. C._ wird A._ ebenfalls als eher ängstlich und unsicher beschrieben. Auf diese Hausbesuche und die Gespräche mit der Kinderpsychiaterin hat das Obergericht Bezug genommen. Der Beschwerdeführer übergeht, dass für die Vorinstanz Anhaltspunkte bestanden haben, um von der Anhörung von A._ abzusehen, auch wenn er die Altersschwelle während des Appellationsverfahrens um einige Monate überschritten hat. In der Beschwerdeschrift wird nicht dargelegt, inwiefern das Obergericht sein Ermessen (<ref-law>) verletzt bzw. den Begriff der "wichtigen Gründe" im Sinne von <ref-law> verkannt habe, wenn es von der Anhörung abgesehen hat. Insoweit kann auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten werden (<ref-law>).
5. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Voraussetzungen, um dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, sind gegeben (<ref-law>). Eine Parteientschädigung entfällt, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist und der Beschwerdegegnerin keine Kosten entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Mai 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Levante