Sachverhalt:
A. Am 28. Mai 2009 wurde unter dem Titel "Nein zum Sterbetourismus im Kanton Zürich!" eine Volksinitiative in der Form einer allgemeinen Anregung eingereicht. Sie hat folgenden Wortlaut:
"Der Kanton Zürich erlässt rechtliche Bestimmungen, welche jegliche Beihilfe zum Selbstmord an Personen ohne mindestens einjährigen Wohnsitz im Kanton Zürich (Sterbetourismus) nicht gestatten und unter Strafe stellen."
Der Regierungsrat des Kantons Zürich beantragte dem Zürcher Kantonsrat am 23. September 2009 (Geschäft Nr. 4634), die Volksinitiative "Nein zum Sterbetourismus im Kanton Zürich!" für ungültig zu erklären. Denselben Antrag stellte die vorberatende Kommission.
Der Kantonsrat beriet das Geschäft am 11. Januar 2010. Nach ausführlicher Diskussion stimmte der Kantonsrat mit 98:69 (bei drei Enthaltungen) für die Ungültigkeit der Initiative. Art. 28 der Zürcher Kantonsverfassung (SR 131.211) und § 129 Abs. 2 des Gesetzes über die politischen Rechte (Gesetzessammlung 161) erfordern für die Ungültigerklärung einer Volksinitiative eine Mehrheit von zwei Dritteln (der anwesenden Mitglieder). Da dieses Quorum nicht erreicht wurde, war die Volksinitiative "Nein zum Sterbetourismus im Kanton Zürich!" gültig.
B. Gegen diesen Beschluss des Kantonsrates hat Herbert Heeb beim Bundesgericht am 8. Februar 2010 Beschwerde erhoben. Er stellt den Antrag, der Kantonsratsbeschluss sei aufzuheben und es sei die Initiative für ungültig zu erklären.
Die Geschäftsleitung des Kantonsrates beantragt mit ihrer Stellungnahme, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen.
Der Beschwerdeführer hält in seiner Beschwerdeergänzung an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer erhebt Beschwerde wegen Verletzung politischer Rechte nach Art. 82 lit. c BGG. Es ist unbestritten, dass er als Zürcher Stimmbürger im Sinne von Art. 89 Abs. 3 BGG zur Beschwerde legitimiert und dass die Beschwerde nach Art. 100 Abs. 1 BGG rechtzeitig erhoben ist. Der Beschluss des Kantonsrates kann an keine weitere kantonale Instanz gezogen werden und ist nach Art. 88 BGG kantonal letztinstanzlich (vgl. Urteil 1C_493/2009 vom 3. März 2010 E. 2.1).
1.2 Mit der Beschwerde in Stimmrechtssachen kann u.a. geltend gemacht werden, dass eine Volksinitiative zu Unrecht für ungültig erklärt und einer Abstimmung durch die Stimmberechtigten entzogen wird; ebenso kann gerügt werden, dass eine Volksinitiative zu Unrecht für gültig erklärt und den Stimmberechtigten zur Abstimmung unterbreitet wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 194; <ref-ruling> E. 2.1 [nicht publiziert]).
Demnach kann der Beschwerdeführer den Beschluss des Kantonsrates, mit dem die umstrittene Volksinitiative für gültig erklärt worden ist, mit Beschwerde wegen Verletzung politischer Rechte anfechten. Daran ändert im vorliegenden Fall nichts, dass die zugrunde liegende Initiative in der Form einer allgemeinen Anregung gehalten ist.
Folge des angefochtenen Beschlusses und der Gültigerklärung durch den Kantonsrat ist, dass das Geschäft an den Regierungsrat zur Ausarbeitung von Bericht und Antrag geht und der Kantonsrat hernach die Initiative abschliessend behandelt (Ausführungen der Ratspräsidentin Esther Hildebrand, Protokoll der Kantonsratssitzung vom 11. Januar 2010). Lehnt der Kantonsrat die Initiative in der dannzumal vorgelegten Form ab, so wird sie der Volksabstimmung unterbreitet (Art. 32 lit. d KV/ZH; § 133 Abs. 2 GPR; Christian Schuhmacher, in: Isabelle Häner et. al [Hrsg.], Kommentar zur Zürcher Kantonsverfassung, 2007, Art. 29 N. 14). Stimmt der Kantonsrat indes ohne Gegenvorschlag einer Vorlage zu, die dem Begehren der Initiative entspricht, findet keine Volksabstimmung über die Initiative statt; die Vorlage des Kantonsrates untersteht diesfalls dem (obligatorischen oder fakultativen) Referendum (§ 133 Abs. 3 GPR; Umkehrschluss aus Art. 32 lit. d KV/ZH; Schuhmacher, a.a.O. Art. 29 N. 14, Art. 32 N. 30 ff.). Aus diesen Verfahrensbestimmungen, welche das Initiativrecht in der Form der allgemeinen Anregung umschreiben, ergibt sich, dass aufgrund des angefochtenen Kantonsratsbeschlusses die zugrunde liegende Volksinitiative in der einen oder andern Form der Abstimmung durch die Stimmberechtigten unterliegt. Dies kann, wie dargelegt, mit Beschwerde wegen Verletzung politischer Rechte beim Bundesgericht angefochten werden.
Daran vermögen die Ausführungen des Kantonsrates zur vorliegenden Beschwerde nichts zu ändern. Er übersieht, dass zurzeit nicht die materielle Frage der Übereinstimmung des Initiativinhalts mit Bundesrecht im Vordergrund steht, sondern die für die politischen Rechte bedeutsame Frage, ob die Initiative für ungültig zu erklären und damit dem Volk gar nicht vorzulegen ist. Daran ändert nichts, dass die Gültigkeit der Initiative im vorliegenden Fall in erster Linie von ihrer Bundeskonformität abhängt.
1.3 Demnach kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
2. 2.1 Volksinitiativen müssen für ihre Gültigkeit gewisse formelle und materielle Anforderungen erfüllen (vgl. Art. 23-28 KV/ZH). Es sind die Kantone, die in ihrem Organisationsrecht bestimmen, ob, von welchem Organ und nach welchen Kriterien Volksinitiativen auf ihre Gültigkeit hin überprüft werden. Nach der Rechtsprechung kann die Behörde, die zur Anordnung der Abstimmung berufen ist, selbst ohne gesetzliche Grundlage über die Gültigkeit einer Volksinitiative befinden und diese allenfalls einer Abstimmung entziehen (Urteil 1P.260/1989 vom 12. Dezember 1989 E. 3a, in: ZBl 92/1991 S. 164). Wird eine Volksinitiative gestützt auf das kantonale Organisationsrecht von einem kantonalen Organ auf ihre Rechtmässigkeit hin überprüft, kann mit der Beschwerde in Stimmrechtsangelegenheiten geltend gemacht werden, diese Überprüfung halte vor den massgeblichen Kriterien nicht stand und verletze somit die politischen Rechte (<ref-ruling> E. 1.3 S. 194). Diesfalls steht dem Bundesgericht hinsichtlich des Verfassungsrechts von Bund und Kantonen sowie in Bezug auf kantonale Bestimmungen, welche den Inhalt des Stimm- und Wahlrechts normieren oder mit diesem in engem Zusammenhang stehen, grundsätzlich freie Kognition zu (Art. 95 lit. a, c und d BGG). Es auferlegt sich indes Zurückhaltung, wenn ein kantonales Organ die Überprüfung nach kantonalem Staatsrecht nur auf offensichtliche Ungültigkeit hin vornimmt (<ref-ruling> E. 1.3 S. 284 mit Hinweisen; Urteil 1C_357 vom 8. April 2010 E. 1.3).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind die Kantone allerdings nicht verpflichtet, die Rechtmässigkeit einer Initiative im Sinne der Übereinstimmung mit Bundesrecht zu prüfen. Ist dies nicht der Fall, dann stellt der Umstand, dass die Initiative nicht auf ihre Rechtmässigkeit hin überprüft und allenfalls eine mit übergeordnetem Recht in Widerspruch stehende Initiative der Volksabstimmung unterbreitet wird, keine Verletzung der politischen Rechte dar; die allfällige inhaltliche Rechtswidrigkeit des Initiativbegehrens kann dann erst nach einer entsprechenden Annahme geltend gemacht werden (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2c S. 13; <ref-ruling> E. 3 S. 271; <ref-ruling> E. 1.2 S. 193; Urteil 1P.338/2006 vom 12. Februar 2007 E. 4.2, in: ZBl 108/2007 S. 313 mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat an dieser Rechtsprechung trotz der Kritik in der Lehre festgehalten (vgl. die Hinweise auf die Kritik der Doktrin in BGE <ref-ruling> E. 3 S. 271 f.; 128 Ia 190 E. 1.2 S. 193; kritisch ferner Hangartner/Kley, Die demokratischen Rechte in Bund und Kantonen der Schweizerischen Eidgenossenschaft, 2000, S. 844 N. 2134 f.; Pierre Tschannen, Staatsrecht der Schweizerischen Eidgenossenschaft, 2. Aufl. S. 649 N. 29 gibt die Praxis ohne weitere Stellungnahme wieder; vgl. zum Ganzen Christoph Hiller, Die Stimmrechtsbeschwerde, 1990, S. 106 ff.).
2.2 Gemäss dem kantonalen Verfassungsrecht erklärt der Kantonsrat eine Volksinitiative, welche den Gültigkeitsanforderungen nicht entspricht, für ungültig. Hierfür ist eine Mehrheit von zwei Dritteln der anwesenden Mitglieder des Kantonsrates erforderlich. Aus dieser Regelung, die früher im zürcherischen Gesetz über das Vorschlagsrecht des Volkes (Initiativgesetz) enthalten war und nunmehr in Art. 28 Abs. 3 KV/ZH und § 129 Abs. 2 GPR figuriert, hat das Bundesgericht gefolgert, mit dem qualifizierten Mehr werde zum Ausdruck gebracht, dass in Grenzfällen die Initiative trotz der allenfalls bestehenden Bedenken dem Volk unterbreitet werden muss. Der Stimmberechtigte habe somit im Kanton Zürich keinen Anspruch darauf, dass eine inhaltlich allenfalls rechtswidrige Initiative, deren Ungültigkeitserklärung im Kantonsrat nicht zustande kommt, dem Volk nicht unterbreitet wird (<ref-ruling> E. 2c S. 14 f.). Diese Rechtsprechung ist, soweit ersichtlich, nie in Frage gestellt worden und daher auch im vorliegenden Verfahren massgebend.
Der Beschwerdeführer macht im vorliegenden Fall einzig geltend, die Initiative "Nein zum Sterbetourismus im Kanton Zürich!" verstosse gegen Bundesrecht und missachte den Vorrang von Bundesrecht im Sinne von Art. 49 Abs. 1 BV. Hingegen rügt er nicht, die Abstimmungsfreiheit werde etwa wegen Missachtung des Grundsatzes der Einheit der Materie verletzt. Den Stimmberechtigten steht im Kanton Zürich nach dem Gesagten kein Anspruch zu, dass Volksinitiativen auf ihre Übereinstimmung mit Bundesrecht überprüft werden und dass in diesem Sinne allfällig rechtswidrige Volksinitiativen nicht zur Abstimmung gebracht würden. Umgekehrt stellt die Vorlage einer allenfalls rechtswidrigen Volksinitiative keine Verletzung der Abstimmungsfreiheit dar (vgl. <ref-ruling> E. 2d S. 15).
Bei dieser Sachlage erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist ohne weitere Prüfung abzuweisen.
3. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Kantonsrat Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juli 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann