Sachverhalt:
A.
Die E._ AG reichte am 21. Februar 2012 ein Baugesuch ein für den Neubau eines Mehrfamilienhauses mit Einstellhalle auf der Parzelle Gsteig Gbbl. Nr. xxx. Diese befindet sich in der Wohn- und Gewerbezone WG3 der Einwohnergemeinde Gsteig im Gebiet Feutersoey. Gegen das Vorhaben erhoben die Stockwerkeigentümergemeinschaft (STWE) A.A._, B.A._, C.A._ und D.A._ Einsprache. Mit Gesamtentscheid vom 21. August 2012 bewilligte das Regierungsstatthalteramt Obersimmental-Saanen das Bauvorhaben und wies die Einsprache ab.
B.
Dagegen reichten die genannten Einsprecher am 21. September 2012 Beschwerde bei der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (BVE) ein; diese wies die Beschwerde am 20. Dezember 2012 ab, soweit sie darauf eintrat.
C.
Gegen den Entscheid der BVE erhoben die Einsprecher am 17. Januar 2013 Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Das Verfahren wurde bis zu den Grundsatzentscheiden des Bundesgerichts über die Anwendbarkeit von <ref-law> vom 22. Mai 2013 sistiert. Der Antrag der E._ AG, das Verfahren bis zum Inkrafttreten der Ausführungsgesetzgebung zu sistieren, wurde abgewiesen. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht am 10. Juni 2014 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 1C_90/2014).
Am 23. Juli 2014 stellte die E._ AG den Eventualantrag, die Baubewilligung sei mit der Auflage zu verbinden, die Wohnungen als Erstwohnungen zu nutzen.
Am 28. November 2014 führte das Verwaltungsgericht eine öffentliche mündliche Schlussverhandlung mit Parteivorträgen gemäss Art. 6 EMRK durch. Am 22. Januar 2015 hiess es die Beschwerde teilweise gut. Es hob Ziff. 2-4 des Entscheids der BVE vom 20. Dezember 2012 auf und ergänzte den Gesamtentscheid des Regierungsstatthalters vom 21. August 2012 mit folgender Auflage:
6.10 Erstwohnungen
Die aufgrund dieser Baubewilligung erstellten Wohnungen müssen als Erstwohnung genutzt werden.
Anmerkung im Grundbuch:
Das Grundbuchamt Oberland, Dienststelle Frutigen, wird angewiesen, auf dem Grundbuchblatt der Parzelle Gsteig Gbbl. Nr. xxx die Anmerkung "Erstwohnungen" anzubringen.
D.
Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid haben die STWE A.A._, B.A._, C.A._ und D.A._ am 23. Februar 2015 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht erhoben. Sie beantragen, das angefochtene Urteil sei aufzuheben; der Gesamtbauentscheid des Regierungsstatthalters und der Entscheid der BVE seien für nichtig zu erklären bzw. aufzuheben. Das Baugesuch der E._ AG vom 1. März 2012 sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neuprüfung und -beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Überdies seien verschiedene Beweise abzunehmen.
E.
Die E._ AG (Beschwerdegegnerin), die BVE und das Verwaltungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht reichte ein Urteil vom 5. Dezember 2014 zur Zonenplanrevision der Gemeinde Gsteig ein. Die Gemeinde Gsteig hat sich nicht vernehmen lassen.
Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) geht davon aus, dass die gerügten Verletzungen von Bundesrecht nicht die Erteilung des Bauabschlags rechtfertigen würden.
F.
In ihrer Replik halten die Beschwerdeführer an ihrer Beschwerde fest und stellen ergänzende Beweisanträge.
G.
Mit Verfügung vom 20. März 2015 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Da alle Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten. Nicht zum Streitgegenstand gehören dagegen die (in der Replik erhobenen) Rügen gegen das Urteil des Berner Verwaltungsgerichts vom 5. Dezember 2014 zur Zonenplanrevision der Gemeinde Gsteig; darauf ist nicht einzutreten.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht - einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens - gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht) prüft es dagegen nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und genügend begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat, sofern dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel können nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführer erheben verschiedene Verfahrensrügen.
2.1. Streitig ist zunächst die Heilung einer Verletzung des Replikrechts vor BVE.
Die BVE hatte am 20. Dezember 2012 entschieden, obwohl die Beschwerdeführer am 28. November 2012 die Ansetzung einer Replikfrist zu den Eingaben der Gegenseite vom 8. November 2012 beantragt hatten. Das Verwaltungsgericht sah darin eine Verletzung des Replikrechts, die aber nicht sehr schwer wiege und im verwaltungsgerichtlichen Verfahren geheilt werden könne. Es ging davon aus, dass die Beschwerdeführer nur Rechtsfragen aufgeworfen hätten, welche das Verwaltungsgericht frei prüfen könne.
Die Beschwerdeführer machen dagegen geltend, es hätten sich Ermessens- und Sachverhaltsfragen gestellt, die vom Verwaltungsgericht nicht vollständig hätten überprüft werden können; sie verweisen auf das Urteil 1C_471/2014 vom 23. Dezember 2014 (E. 3.6). Dort ging es jedoch um eine - im Ermessen der Gemeinde liegende - Ausnahmebewilligung, die nicht erstmals vom Gericht erteilt werden konnte. Hier ist dagegen eine ordentliche Baubewilligung streitig, auf deren Erteilung ein Anspruch besteht, wenn die gesetzlichen Voraussetzungen vorliegen. Soweit die Beschwerdeführer Sachverhaltsrügen erhoben, konnten auch diese vom Verwaltungsgericht frei geprüft werden (vgl. Art. 66 des Berner Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 23. Mai 1989 [VRPG: BGS 155.21]).
Soweit die Beschwerdeführer rügen, das Verwaltungsgericht sei auf einzelne ihrer Vorbringen nicht (genügend) eingegangen, ist dies unten im Zusammenhang mit den jeweiligen Rügen zu prüfen.
2.2. Die Beschwerdeführer rügen weiter eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil das Gericht ihre Beweisanträge noch vor ihrem Plädoyer abgelehnt habe. Wie sich aus dem Protokoll der Verhandlung vom 28. November 2014 (S. 3) ergibt, wurde ihnen jedoch Gelegenheit gegeben, sich zuvor noch mündlich zu ihren Beweisanträgen zu äussern. Unter diesen Umständen wurde ihr Anspruch auf rechtliches Gehör gewahrt.
Ob die Beweisanträge vom Verwaltungsgericht zu Unrecht bzw. ohne genügende Begründung abgelehnt worden sind, ist unten im Kontext der dazugehörigen materiellen Rügen zu behandeln.
3.
Die Beschwerdeführer halten den Gesamtbauentscheid für nichtig gemäss <ref-law>, weil es sich um eine Bewilligung für einen Zweitwohnungsbau in einer Gemeinde mit einem Zweitwohnungsanteil von über 20 % handle, der nicht vor dem 1. Januar 2013 rechtskräftig geworden sei.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist jedoch die verschärfte Rechtsfolge der Nichtigkeit der Verfügung gemäss <ref-law> nur auf Baubewilligungen anwendbar, die ab dem 1. Januar 2013 erstinstanzlich erteilt wurden; auf den Zeitpunkt der Rechtskraft kommt es nicht an (<ref-ruling> E. 11.6 S. 262 f.). Der Gesamtbauentscheid datiert vom 21. August 2012. Damit fällt er zwar in den Anwendungsbereich von <ref-law> (in Kraft seit 11. März 2012), nicht aber unter die Nichtigkeitsfolge von <ref-law>.
4.
Unstreitig ist, dass die Baubewilligung gegen <ref-law> verstiess, soweit sie eine Nutzung der geplanten Baute als Zweitwohnung zuliess. Streitig ist dagegen, ob dieser Mangel durch die nachträgliche Anordnung einer Erstnutzungsbeschränkung im verwaltungsgerichtlichen Verfahren geheilt werden konnte.
4.1. Die Beschwerdeführer sind der Auffassung, das Verwaltungsgericht hätte die Baubewilligung wegen Verletzung des Zweitwohnungsverbots aufheben müssen. Nach dem klaren Wortlaut von Art. 43 Abs. 4 des Berner Baubewilligungsdekrets vom 22. März 1994 (BewD: BGS 725.1) seien Projektänderungen im Beschwerdeverfahren vor Verwaltungsgericht ausgeschlossen. Damit solle das Recht der Parteien auf eine Beurteilung mit voller Kognition und eine Überprüfung durch drei Instanzen gewährleistet werden. Da im Baugesuch keine Nutzungsbeschränkung beantragt worden sei, hätten sich weder der Regierungsstatthalter noch die BVE Gedanken zur Rechtsmissbräuchlichkeit einer solchen Auflage gemacht. Dies sei einzig vom Verwaltungsgericht geprüft worden, dessen Kognition auf eine Rechtsprüfung beschränkt sei.
Das Verwaltungsgericht hielt fest, dass die Auflage der Erstwohnungsnutzung mit keinen baulichen Änderungen verbunden sei und daher keine eigentliche Projektänderung darstelle. Das Baugesuch sehe als Nutzung das Wohnen vor, ohne zwischen Erst- und Zweitwohnungsnutzung zu unterscheiden. Da nur die Erstwohnungsnutzung gesetzeskonform sei, sei das Bauvorhaben mit dieser Nutzungsbeschränkung bewilligungsfähig.
Diese Ausführungen lassen keine Willkür erkennen. Die streitige Auflage schränkt lediglich die - bereits im Baugesuch vorgesehene - Wohnnutzung ein und stellt insofern ein Minus und kein Aliud dar. Die Nutzungsart (Erst- oder Zweitwohnungsnutzung) war zudem von Anfang an Thema des Verfahrens, auch wenn die Beschwerdegegnerin erst vor Verwaltungsgericht den Antrag auf Erlass einer Nutzungsbeschränkung stellte. Unter diesen Umständen ist es nicht zu beanstanden, wenn das Verwaltungsgericht die Auflage selbst verfügte, anstatt die Sache an eine der Vorinstanzen zurückzuweisen. Dabei konnte es auch den Rechtsmissbrauchseinwand der Beschwerdeführer (als Sach- und Rechtsfrage) selbst prüfen.
4.2. Das Verwaltungsgericht erwog, dass für einen Rechtsmissbrauch weder Anhaltspunkte bestünden noch solche von den Beschwerdeführern substanziiert dargetan worden seien. Insbesondere seien die ursprünglichen Preisvorstellungen der Beschwerdegegnerin inzwischen hinfällig geworden. Für die Überprüfung der Einhaltung der Nutzungsbeschränkung sei die Baupolizeibehörde zuständig. Diese habe die Einhaltung der Auflage zur Nutzung als Erstwohnung zu kontrollieren und nötigenfalls die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands zu verfügen bzw. durchzusetzen.
4.2.1. Die Beschwerdeführer machen dagegen geltend, dass es sich um Luxuschalets handle; aufgrund der Baukosten von Fr. 6'780'000.-- (ohne Landerwerb) würden die Wohnungen in ein Preissegment zu liegen kommen, das für Einheimische nicht erschwinglich sei. Es sei mit <ref-law> unvereinbar, eine Menge von Wohnungen bauen zu lassen, die gar nicht als Erstwohnung benutzt werden könnten. Ihre hierzu gestellten Beweisanträge habe das Verwaltungsgericht unter Verletzung des rechtlichen Gehörs abgewiesen.
Die Beschwerdegegnerin wendet dagegen ein, dass die Rentabilität des Bauvorhabens weder Sache der Baubewilligungsbehörde noch des Verwaltungsgerichts sei.
Das ARE verweist auf den Erstwohnungsanteil in Gsteig von über 60 %; es sei nicht ersichtlich, weshalb die Vermietung oder der Verkauf der Wohnungen als Erstwohnung nicht möglich sein sollte.
4.2.2. Die Beschwerdeführer behaupten zwar, dass sich die Wohnungen nur als Zweitwohnungen nutzen liessen, belegen dies aber nicht substanziiert, unter Bezug auf deren Konzeption und Ausstattung, sondern verweisen in erster Linie auf den (zu) hohen Preis. Dies bedeutet aber lediglich, dass die Wohnungen möglicherweise verlustbringend verkauft oder vermietet werden müssen. Dieses Risiko trägt die Beschwerdegegnerin.
Zwar sieht Art. 14 Abs. 1 lit. b des Zweitwohnungsgesetzes vom 20. März 2015 (ZWG; BBl 2015 2753; noch nicht in Kraft) die Möglichkeit vor, die Nutzungsbeschränkung während einer bestimmten Dauer zu sistieren. Dies setzt jedoch voraus, dass die Eigentümerin oder der Eigentümer nachweist, die Wohnung öffentlich ausgeschrieben und erfolglos nach Personen gesucht zu haben, die die Wohnung gegen angemessenes Entgelt rechtmässig nutzen. Ohne der zukünftigen Verordnung und der Rechtsprechung vorgreifen zu wollen, lässt sich doch festhalten, dass "angemessen" nicht gleichbedeutend ist mit "rentabel": In der Botschaft des Bundesrats vom 19. Februar 2014 zur entsprechenden Bestimmung (Art. 15 E-ZWG; BBl 2014 S. 2311) wird vorausgesetzt, dass niemand bereit sei, die Wohnung zu "markt- und ortsüblichen Bedingungen" rechtmässig zu nutzen. Wurden die Wohnungen als Erstwohnungen bewilligt und erstellt, so müssen sie auch zu Preisen angeboten werden, die für Erstwohnungen markt- und ortsüblich sind, und nicht zu Zweitwohnungspreisen.
4.3. Sind die Baukosten und die ursprünglichen Preisvorstellungen der Beschwerdegegnerin (für Zweitwohnungen) nicht relevant, durfte das Verwaltungsgericht die entsprechenden Beweisanträge der Beschwerdeführer abweisen, ohne deren Anspruch auf rechtliches Gehör zu verletzen.
5.
Die Beschwerdeführer verlangen eine akzessorische Überprüfung des Zonenplans der Gemeinde Gsteig im Baubewilligungsverfahren. Die Gemeinde sei verpflichtet, ihren Grundzonenplan an die Erfordernisse von <ref-law> anzupassen und insbesondere ihre Bauzone zu reduzieren. Die Wohnbaulandreserven seien mit 13'314 m2 überdimensioniert, weil die Zahl der ganzjährig wohnhaften Personen in der Gemeinde kaum zunehme und der Bau von Zweitwohnungen nicht mehr gestattet sei. Solange der Zonenplan nicht angepasst worden sei, dürften keine Baubewilligungen für Wohnungen mehr erteilt werden. Schon in ihrer Einsprache vom 24. April 2012 hätten sie die Revision des Zonenplans und den Erlass einer Planungszone verlangt. Zudem habe ihr Rechtsvertreter am 25. April 2012 die Gemeinde Gsteig aufgefordert, so rasch wie möglich eine Planungszone zu erlassen und alle hängigen Baubewilligungsverfahren zu sistieren. Die Gemeinde habe auf dieses Gesuch nie geantwortet.
5.1. <ref-law> enthält ein Verbot der Bewilligung von Zweitwohnungen in Gemeinden, in denen der Zweitwohnungsanteil 20 % übersteigt. Dagegen ergeben sich aus dieser Bestimmung keine unmittelbar anwendbaren Vorgaben zur Bauzonengrösse (Urteil 1C_134/2014 vom 15. Juli 2014 E. 6.3). Massgeblich ist vielmehr Art. 15 RPG, wonach überdimensionierte Bauzonen rechtswidrig sind und redimensioniert werden müssen. Sodann verpflichtet Art. 8a RPG die Kantone, im Richtplan die Gebiete zu bezeichnen, in denen besondere Massnahmen ergriffen werden müssen, um ein ausgewogenes Verhältnis zwischen Erst- und Zweitwohnungen sicherzustellen (Abs. 2 und 3).
5.2. Im Urteil <ref-ruling> E. 4.3 S. 30 f. ging das Bundesgericht davon aus, dass das Inkrafttreten von <ref-law> in Tourismusgemeinden mit einem hohen Anteil an Zweitwohnungen zu einem erheblichen Rückgang des Baulandbedarfs führe, mit der Folge, dass die bestehenden Bauzonen der Gemeinde überprüft und unter Umständen angepasst werden müssen (Art. 21 Abs. 2 RPG). Hierfür muss die Gemeinde unter Umständen eine Zonenplanrevision einleiten; dabei kann es sich aufdrängen, eine Planungszone zur Sicherung der Planung zu erlassen. Hierzu ist die zuständige Behörde verpflichtet, wenn die beabsichtigte Planung (Rückzonung) tatsächlich gefährdet ist (Urteil 1C_141/2014 vom 4. August 2014 E. 5.2 mit Hinweisen).
Dagegen kann das Fehlen einer Planungszone nicht - gewissermassen akzessorisch - im Baubewilligungsverfahren geprüft werden (Urteil 1C_76/2012 vom 6. Juli 2012 E. 3.6 mit Hinweisen) : Solange keine Planungszone erlassen worden ist, haben die Baugesuchsteller Anspruch auf die Behandlung ihres Gesuchs; die Baubewilligung kann - sofern sie materiell rechtmässig ist - nicht nachträglich mit der Begründung aufgehoben werden, dass die Gemeinde verpflichtet gewesen wäre, eine Planungszone zu erlassen und die hängigen Gesuche bis zum Inkrafttreten der neuen Planung zurückzustellen.
5.3. Nichts anderes kann gelten, wenn sich die Beschwerdeführer auf eine generelle Überdimensionierung der Bauzonen berufen, die eine Anpassung des Zonenplans nach Art. 21 Abs. 2 RPG erfordere, jedenfalls wenn keine wichtigen Gründe dafür sprechen, dass speziell das Baugrundstück bzw. dessen Umgebung ausgezont werden müssen.
Im Urteil <ref-ruling>, auf das sich die Beschwerdeführer berufen, war nicht eine Baubewilligung, sondern die Einleitung eines Quartierplanverfahrens streitig, mit dem ein peripher gelegenes, erst teilweise überbautes und nicht vollständig erschlossenes Gebiet baureif gemacht werden sollte. In dieser Situation ging das Bundesgericht davon aus, das die Eigentümer der betroffenen Grundstücke Anspruch darauf hätten, dass vor der Einleitung des Quartierplanverfahrens geprüft werde, ob dieses Gebiet überhaupt in der Bauzone verbleibe (E. 4.4 S. 31).
Dagegen ist vorliegend eine Baubewilligung im Weiler Feutersoey streitig, auf einer Parzelle, die auf allen Seiten von Bauten umgeben ist. Die Beschwerdeführer bringen selbst nicht vor, dass eine Rückzonung an dieser Stelle rechtlich geboten sei, sondern betonen, dass die Gemeinde eine Gesamtsicht über sämtliche Bauzonen vorzunehmen habe. Müssten deshalb alle Baugesuche für Wohnungen im gesamten Gemeindegebiet von Gsteig zurückgestellt werden, käme dies der Anordnung einer Planungszone über das gesamte Gemeindegebiet gleich, unabhängig von der Zulässigkeit oder Wahrscheinlichkeit einer Rückzonung des fraglichen Gebiets. Eine solche Rechtsfolge wäre unverhältnismässig und lässt sich weder aus Art. 21 Abs. 2 RPG noch aus Art. 36 Abs. 2 i.V.m. Art. 62a Abs. 3 des Berner Baugesetzes vom 9. Juni 1985 (BauG; BGS 721.0) ableiten.
6.
Weiter rügen die Beschwerdeführer, die BVE habe ihren Entscheid zu Unrecht auf den noch gar nicht gültigen revidierten Zonenplan der Gemeinde Gsteig vom 29. Oktober 2010 gestützt, während das Verwaltungsgericht den Teilzonenplan Bauzone Feutersoey/Lädi vom 13. Dezember 2002 für anwendbar gehalten habe. Die Beschwerdeführer hätten erst aus einer Mitteilung des Gemeinderats vom 5. September 2014 erfahren, dass der neue Zonenplan und das Baureglement vom 29. Oktober 2010 (genehmigt am 16. August 2011) noch nicht rechtskräftig seien, weil dagegen Beschwerde erhoben worden sei. Sie hätten daher den Beizug der Akten des betreffenden Beschwerdeverfahrens (Nr. 32.14-11.62) beantragt. Dies sei mit Begründung abgewiesen worden, dass die hängige Ortsplanungsrevision nicht die Bauparzelle betreffe. Dies sei willkürlich, weil die Gemeinde im Fall der Gutheissung der Beschwerde verpflichtet gewesen wäre, zwecks Reduzierung ihrer Bauzone sämtliche noch unüberbaute Parzellen der Gemeinde in die Prüfung miteinzubeziehen (<ref-ruling> E. 6 S. 33).
Das Verwaltungsgericht hielt die hängige Ortsplanungsrevision der Gemeinde nicht für massgeblich, weil diese nicht das Baugrundstück betreffe, und das Bauvorhaben bewilligungsfähig sei, wenn es der geltenden Zonenordnung entspreche (E. 3.6 S. 16 des angefochtenen Entscheids). Dies ist nicht zu beanstanden: Stimmen die alten und neuen Zonenpläne hinsichtlich des Grundstücks Nr. xxx überein, so macht es keinen Unterschied, auf welchen Plan abgestellt wird. Eine allfällige Verpflichtung der Gemeinde zur Redimensionierung ihrer Bauzonen hätte auch nicht zur Aufhebung der bereits im Jahr 2012 erteilten Baubewilligung der Beschwerdegegnerin geführt (vgl. oben E. 5.3).
7.
Schliesslich erheben die Beschwerdeführer baupolizeiliche Rügen und rügen in diesem Zusammenhang Verletzungen des rechtlichen Gehörs.
Die Auslegung und Anwendung des kantonalen oder kommunalen Baupolizeirechts prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur auf Willkür hin (<ref-law>). Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht weicht vom Entscheid der kantonalen Instanz nur ab, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f. mit Hinweisen).
7.1. Die Beschwerdeführer machen zunächst geltend, dass die Baugesuchsunterlagen unvollständig gewesen seien, weil eine Berechnung der Mindestausnützung gefehlt habe. Das Verwaltungsgericht ging (wie schon die BVE) davon aus, dass auf eine solche Berechnung verzichtet werden konnte, weil Art. 46 Abs. 4 des Baureglements der Gemeinde Gsteig vom 29. Oktober 2010 (GBR) in der Zone WG3 lediglich eine Mindestausnützung (von 0.4) und keine maximale Ausnützung vorsehe; die Einhaltung der Mindestausnützung lasse sich ohne weiteres anhand der Baugesuchsakten überprüfen. Die Beschwerdeführer legen nicht substanziiert dar, inwiefern diese Auslegung willkürlich sei. Der Hinweis auf die Nutzungstransporte ist neu; im Übrigen dient die Bauparzelle hierfür lediglich als Durchgangsgrundstück (zwischen der Parzelle Nr. yyy und der Parzelle Nr. zzz), d.h. die Transporte verändern die Ausnützung der Bauparzelle nicht.
7.2. Die Beschwerdeführer beanstanden, dass das geplante, sehr grosse Haus ihre Aussicht auf die Bergkronen völlig verdecken und sie der Sonnenbestrahlung berauben werde. Dies verletze verschiedene Planungsgrundsätze sowie Art. 12 GBR (Umgebungsgestaltung, gute Einordnung) und Art. 22 der Berner Bauverordnung vom 6. März 1985 (BauV; BSG 721.1). Zudem habe der in den Baugesuchsakten liegende Gesamtumgebungsgestaltungsplan den Anforderung von Art. 86 GBR nicht genügt. Dennoch seien ihre Anträge auf Durchführung eines Augenscheins und auf Einholung eines Schattendiagramms abgewiesen worden, mit der unhaltbaren Begründung, dass der Entzug von Licht oder Aussicht nicht Thema der guten Einordnung sei.
7.2.1. Das Verwaltungsgericht führte aus, dass gestützt auf die allgemeine Ästhetikklausel zwar Anforderungen an die Gestaltung von Bauten und Anlagen gestellt, dagegen Art und Mass der zulässigen Nutzung nicht (wesentlich) eingeschränkt werden könnten (von Ausnahmefällen, z.B. Denkmalschutzobjekten abgesehen). Die vom GBR vorgesehenen baupolizeilichen Masse und die reglementarischen Grenzabstände seien eingehalten. Art. 22 BauV, der die Beeinträchtigung bestehender Bauten durch übermässigen Schattenwurf verbiete, sei vorliegend nicht anwendbar, da es sich nicht um ein Hochhaus oder um ein höheres Haus handle. Diese Erwägungen lassen keine Willkür erkennen:
Grundsätzlich ist es Sache der zuständigen Planungsbehörde bzw. des kommunalen Gesetzgebers, zwischen dem Interesse der Nachbarn an ausreichender Besonnung respektive das öffentliche Interesse an gesundem Wohnen (vgl. Art. 3 Abs. 3 RPG) und dem in <ref-law> und Art. 1 Abs. 1 RPG umschriebenen öffentlichen Interesse an der haushälterischen Bodennutzung abzuwägen (Urteil 1C_539/2011 vom 3. September 2012 E. 4.9). Das Ergebnis dieser Abwägung kann im Baubewilligungsverfahren im Regelfall nicht mehr in Frage gestellt werden, auch nicht unter Berufung auf Einordnungsvorschriften.
Art. 22 BauV gilt seinem Titel nach nur für Hochhäuser und höhere Häuser; d.h. für Gebäude, welche die Maximalhöhe der nächsthöheren Zone überschreiten oder die höher sind, als die Grundordnung für die Zone höchster Nutzung zulässt (Art. 20 Abs. 2 BauG). Diese werden auch in Abs. 1 und 2 ausdrücklich genannt, auf die Abs. 3 ("sie") verweist. Es ist daher keineswegs willkürlich anzunehmen, dass Abs. 3 (Schattenwurf) nur auf höhere Häuser und Hochhäuser anwendbar ist. Die Beschwerdeführer legen nicht dar, dass es sich beim streitigen Bauvorhaben um ein solches handelt.
Unter diesen Umständen durfte das Verwaltungsgericht auf die Einholung eines Schattendiagramms und den beantragten Augenschein verzichten, ohne das rechtliche Gehör der Beschwerdeführer zu verletzen.
7.2.2. Zum Umgebungsgestaltungsplan hatte bereits die BVE ausgeführt, dass die Gemeindebehörde die Möglichkeit habe, Baugesuchsteller bei Bauvorhaben, die für ihre Umgebung nicht bedeutungsvoll seien, von der Vorlage einzelner Unterlagen zu entbinden oder die Anforderungen herabzusetzen (Art. 86 Abs. 4 GBR), und begründet, weshalb dies vorliegend der Fall sei (kein sensibles Ortsbilderhaltungsgebiet, keine geschützten Baudenkmäler in der Umgebung). Die Beschwerdeführer legen nicht substanziiert dar, inwiefern dies willkürlich sei.
7.3. Die Beschwerdeführer beanstanden, das Verwaltungsgericht sei nicht auf ihre Rüge eingegangen, wonach die Firsthöhe beim Bauvorhaben rechtsmissbräuchlich anders gemessen worden sei als bei ihrem Haus, nämlich ab gewachsenem Terrain und nicht ab der angrenzenden Strasse. Auch ihre Rüge, wonach die Höhe des Erdgeschosses des neuen Gebäudes auf das Niveau desjenigen des Hauses A._ abgesenkt werden müsse, d.h. um mindestens 50 cm, sei nicht behandelt worden.
7.3.1. Die Gemeinde hatte vor BVE Fassadenpläne eingereicht, um nachzuweisen, dass beim Haus der Beschwerdeführer dieselben Messregeln angewendet worden waren wie bei der Beschwerdegegnerin. Die BVE hielt ihrerseits fest, dass die Firsthöhe beim streitigen Bauvorhaben gemäss Art. 33 Abs. 1 GBR richtig berechnet und die maximale Firsthöhe eingehalten worden sei. Sie ging davon aus, dass ein allfälliger Bemessungsfehler beim Haus der Beschwerdeführer diesen keinen Anspruch auf Gleichbehandlung der Beschwerdegegnerin im Unrecht verschaffen würde.
Die Beschwerdeführer hatten Gelegenheit, sich in der Verwaltungsbeschwerde zu den Fassadenplänen und zur Argumentation der Vorinstanz zu äussern. Wenn sie dies unterliessen und pauschal eine Ungleichbehandlung rügten, war das Verwaltungsgericht nicht verpflichtet, auf die ungenügend substanziierte Rüge einzugehen. Unter diesen Umständen durfte es die Beweisanträge auf Einvernahme des Architekten des Hauses A._ und des Bauverwalters der Gemeinde als Zeugen als für den Ausgang des Verfahrens unerheblich abweisen, ohne den Anspruch auf rechtliches Gehör zu verletzen.
7.3.2. Zwar hat sich das Verwaltungsgericht nicht ausdrücklich zur Höhe des Erdgeschosses geäussert. Es hielt jedoch (in E. 4.2.4) fest, dass die Beschwerdegegnerin das Recht habe, die vom GBR vorgesehenen Masse auszuschöpfen. Damit bestätigte sie die Rechtsauffassung der BVE (in E. 13), wonach keine rechtliche Grundlage für die Forderung nach einer Angleichung der beiden Erdgeschossniveaus bestehe. Der pauschale Hinweis der Beschwerdeführer auf die Einordnungs- und Umgebungsgestaltungsnorm (Art. 12 GBR) genügt nicht, um diese Erwägung als willkürlich erscheinen zu lassen.
7.4. Die Beschwerdeführer beanstanden, dass die Kaminhöhen nicht den Empfehlungen des BAFU über die Mindesthöhe von Kaminen über Dach (Kamin-Empfehlungen) entsprächen. Danach müssten die Kaminmündungen von Gasfeuerungsanlagen den höchsten Gebäudeteil um mindestens 0.5 m überragen (Ziff. 32 Abs. 1 lit. a).
Das Verwaltungsgericht stützte sich (wie schon die BVE) auf Ziff. 32 Abs. 2 der Kamin-Empfehlungen. Danach kann bei Öl- und Gasfeuerungen bis 40 kW Feuerungswärmeleistung von den Anforderungen nach Absatz 1 abgewichen werden; die Kaminmündung muss jedoch die Dachfläche (nicht aber deren höchsten Punkt) im rechten Winkel um mindestens 1 m überragen. Gemäss Kaminplan vom 25. Juni 2012 sei eine Gasfeuerung mit nur 10 kW vorgesehen; dass die Mindesthöhe nach Ziff. 32 Abs. 2 Kamin-Empfehlungen eingehalten sei, ergebe sich aus den Bauplänen (Ansicht Nord und West sowie Ansicht Süd und Ost vom 21. Februar 2012).
Die Beschwerdeführer halten die Sachverhaltsfeststellung des Verwaltungsgerichts für falsch und bestreiten, dass aus den Plänen die Höhe der Gasfeuerungen hervorgehe. Sie belegen dies aber nicht anhand der Pläne, sondern berufen sich auf einen Fachbericht des beco vom 6. Januar 2015 und einen Amtsbericht der Gemeinde Gsteig vom 29. Januar 2015, die jedoch beide ein anderes Baugesuch betreffen. Die blosse Behauptung der Beschwerdeführer, jenes Baugesuch sei in Bezug auf die Kamine identisch mit dem vorliegenden Bauvorhaben, genügt nicht, um eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz zu begründen. Auf die Rüge ist daher nicht einzutreten (Art. 105 Abs. 2, Art. 42 Abs. 2 BGG).
7.5. Die Beschwerdeführer beanstanden ferner, dass das Verwaltungsgericht hinsichtlich der Autoabstellplätze auf die Erwägungen der BVE verwiesen habe; dies sei unzulässig, da der Entscheid der BVE das rechtliche Gehör verletzt habe und daher aufzuheben gewesen sei.
Wie oben dargelegt wurde (E. 2.1), ging das Verwaltungsgericht von einer Verletzung des Replikrechts vor der BVE aus, die im verwaltungsgerichtlichen Verfahren geheilt worden sei. Diese Heilung setzte voraus, dass sich das Verwaltungsgericht mit den (genügend begründeten) Einwänden der Beschwerdeführer auseinandersetzte, die von der BVE (mangels Replik) nicht behandelt worden waren. Soweit dagegen mit Beschwerde vor Verwaltungsgericht nichts Neues vorgebracht wurde, durfte das Verwaltungsgericht auf die diesbezüglichen Erwägungen der BVE verweisen, sofern es diese - wie hier - als richtig und überzeugend erachtete (vgl. E. 4.4 des angefochtenen Entscheids).
Die BVE hielt fest, dass das Vorhaben mit insgesamt 11 Parkplätzen über genügend Parkmöglichkeiten gemäss BauV verfüge und keine rechtliche Grundlage dafür bestehe, die Beschwerdegegnerin zu mehr Besucherparkplätzen zu verpflichten. Die Beschwerdeführer bestreiten dies nicht substanziiert und begründen nicht, inwiefern es im Ermessen der Behörden gelegen hätte, mehr Parkplätze zu verlangen.
7.6. Die Beschwerdeführer machen geltend, dass die Baubewilligung Art. 6 Abs. 2 BauG verletze, weil die Bauparzelle in einem blauen Gefahrengebiet liege. Sie sind der Auffassung, dass vorab die Gefahrenkarte geändert werden müsse, bevor dort eine Baute bewilligt werden dürfe.
Gemäss Art. 6 Abs. 2 BauG dürfen in Gefahrengebieten mit mittlerer Gefährdung (blaue Gefahrengebiete) Bauten und Anlagen nur bewilligt werden, wenn mit Massnahmen zur Gefahrenbehebung sichergestellt ist, dass Menschen, Tiere und erhebliche Sachwerte nicht gefährdet sind. Dem Grundeigentümer steht jedoch nach Abs. 6 der Nachweis offen, dass die Gefährdung des Baugrundstücks und des Zugangs durch sichernde Massnahmen behoben ist.
Die Vorinstanzen gingen, gestützt auf den Bericht der Herzog Ingenieure AG vom 15. Mai 2012 und den Fachbericht Naturgefahren (Gewässerprozesse) des Tiefbauamts des Kantons Bern, Oberingenieurkreis I, vom 13. Juni 20120, davon aus, dass die Gefährdungslage seit Erstellung der Gefahrenkarte 2002 durch die seither vorgenommenen Hochwasserschutzmassnahmen am Tschärzisbach (insbesondere Bau eines Geschieberückhalts) deutlich verringert worden sei und das Vorhaben deshalb ohne Bedingungen und Auflagen bewilligt werden könne. Die allgemein gehaltenen Vorbringen der Beschwerdeführer vermöchten keine Zweifel an der überzeugenden Fachmeinung zu begründen. Das Verwaltungsgericht verzichtete daher auf die Einholung der von den Beschwerdeführern beantragten weiteren Unterlagen.
Die Beschwerdeführer legen nicht substanziiert dar, inwiefern diese Würdigung willkürlich ist; dies ist auch nicht ersichtlich. Immerhin handelt es sich bei der Herzog Ingenieure AG um das Planungsbüro, welches das Verbauungsprojekt Tschärzisbach für die Schwellenkorporation Gsteig geplant und realisiert hat, und der Oberingenieurkreis I ist die zuständige Fachbehörde für Naturgefahren. Das Verwaltungsgericht durfte daher von der besonderen Fach- und Sachkunde dieser Stellen ausgehen und in antizipierter Beweiswürdigung annehmen, dass weitere Beweismittel an seiner Einschätzung der Gefahrenlage nichts zu ändern vermöchten. Dies stellt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 mit Hinweisen).
7.7. Schliesslich rügen die Beschwerdeführer, sie hätten ihre Zustimmung zum Zufahrtsservitut und dem Nutzungstransport nur deshalb erteilt, weil ihnen versprochen worden sei, dass ein Haus von gleichem oder kleinerem Ausmass als das Haus A._ gebaut werde. Diese Frage sei - entgegen der Auffassung des Verwaltungsgerichts - nicht rein zivilrechtlicher Art, sondern es gehe um die Frage des Rechtsmissbrauchs im Baubewilligungsverfahren. Die Beschwerdegegnerin bestreitet, je eine entsprechende Zusage gemacht zu haben.
7.7.1. Für den Nutzungstransport kann auf das oben (E. 7.1) Gesagte verwiesen werden.
7.7.2. Dagegen besteht für die Frage, ob ein Bauvorhaben hinreichend erschlossen ist, insofern ein Konnex zum Zivilrecht, als die Zufahrt unter Beanspruchung fremden Grunds rechtlich gesichert sein muss (vgl. Art. 3 Abs. 1 BauV). Als sichergestellt gilt eine Erschliessung gemäss Art. 4 lit. c BauV aber schon dann, wenn bei Anlagen auf fremdem Grund das Recht zu ihrer Erstellung und Erhaltung vor dem Bauentscheid vereinbart wurde. Liegt eine solche Vereinbarung vor, ist es grundsätzlich nicht Sache der Baubewilligungsbehörde, sondern der Zivilgerichte, über allfällige Streitigkeiten zu entscheiden. Ein Rechtsmissbrauch im Baubewilligungsverfahren könnte allenfalls angenommen werden, wenn eine Täuschung bei Vertragsschluss offensichtlich oder entsprechend nachgewiesen wäre (vgl. Urteil 1C_590/2013 vom 26. November 2014 E. 7.3 mit Hinweis). Dies ist vorliegend nicht der Fall.
8.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Die vor Bundesgericht gestellten Beweisanträge erweisen sich als überflüssig, soweit sie überhaupt nach <ref-law> zulässig sind, und sind abzuweisen.
Bei diesem Ausgang werden die Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 und 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Gsteig, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, sowie dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Die Gerichtsschreiberin: Gerber