Erwägungen:
1. Der 1987 geborene nigerianische Staatsangehörige X._ durchlief in Italien ein Asylverfahren und verfügt dort gemäss eigenen Angaben über eine "Aufenthaltsbewilligung". Dennoch ersuchte er auch in der Schweiz um Asyl. Nach einem ersten Nichteintretensentscheid verliess er die Schweiz im Frühling 2010 selbständig.
Am 14. Mai 2012 reiste er jedoch erneut in die Schweiz ein und stellte hier gleichentags ein neues Asylgesuch. Gestützt auf einen Eurodac-Treffer ersuchte die Schweiz Italien am 29. Mai 2012 um seine Wie-deraufnahme. Da die italienischen Behörden hierauf nicht reagierten, zeigte das Bundesamt für Migration am 13. Juni 2012 die Verfristung der Anfrage an. Mit Entscheid vom 14. Juni 2012 trat das Bundesamt für Migration auf das Asylgesuch nicht ein und ordnete die Wegweisung von X._ nach Italien an. Dieser Entscheid wurde dem Betroffenen spätestens am 21. Juni 2012 zugestellt und erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Mit dem Entscheid verbunden war eine Vorladung zur unverzüglichen Vorsprache beim Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau zwecks Regelung der Ausreise. Dieser Vorladung leistete X._ nicht Folge. Für den 27. Juli 2012 buchte das kantonale Amt für Migration einen unbegleiteten Flug nach Rom für X._.
Am 2. Juli 2012 ordnete das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau die Ausschaffungshaft an, welche am 5. Juli 2012 vom Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau bis zum 31. Juli 2012 bestätigt wurde.
2. Die gegen dieses Urteil am 13. Juli 2012 von X._ erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung abgewiesen werden kann:
Nach Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 AuG i.V.m. <ref-law> kann eine ausländische Person zur Sicherung des Vollzugs des im Kanton eröffneten Wegweisungsentscheids ausländerrechtlich festgehalten werden, wenn auf ein Asylgesuch nicht einzutreten ist, weil der Gesuchsteller in einen Drittstaat ausreisen kann, welcher für die Durchführung des Asyl- und Wegweisungsverfahrens staatsvertraglich zuständig ist und der Vollzug der Wegweisung absehbar erscheint (sog. "Dublin-Ausschaffungshaft"). Dieser Haftgrund ist vorliegend offensichtlich erfüllt, was vom Beschwerdeführer grundsätzlich auch nicht bestritten wird. Er wendet jedoch ein, die Haft sei unverhältnismässig, zumal ihm sein Versäumnis, beim Amt für Migration unverzüglich vorzusprechen, nicht entgegengehalten werden könne, weil die Vorladung in deutscher Sprache abgefasst gewesen sei und er sie deshalb nicht verstanden habe. Im Übrigen habe er erfolglos versucht, die für ihn zuständige Betreuerin zu kontaktieren.
Die Einwendungen gehen ins Leere: Wie hiervor ausgeführt, stützt sich die gegen den Beschwerdeführer angeordnete Ausschaffungshaft auf den weitgehend standardisierten Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 AuG, welcher gerade kein vorwerfbares bzw. obstruktives Verhalten des Ausländers voraussetzt (vgl. demgegenüber die Haftgründe von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und Ziff. 4 AuG). Damit kann das blosse Nichtvorhandensein eines solchen Verhaltens aber auch nicht zur Folge haben, dass diesfalls eine gestützt auf Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 AuG angeordnete Haft von vornherein unverhältnismässig wäre. Bei Vorliegen der dort genannten Tatbestandsvoraussetzungen wäre sie mit anderen Worten selbst dann verhältnismässig, wenn die Einwände des Beschwerdeführers betreffend die Eröffnung zutreffen sollten. Dass andere, konkrete Gründe gegen eine Haftanordnung sprechen würden (mildere Massnahme zur Sicherstellung des Wegweisungsvollzugs; familiäre Verhältnisse), wird vom Beschwerdeführer nicht behauptet und es sind auch keine Anhaltspunkte hierfür ersichtlich.
Für alles Weitere kann auf die zutreffende Darstellung von Sach- und Rechtslage im Urteil des Rekursgerichts im Ausländerrecht verwiesen werden (<ref-law>).
3. Da die Beschwerde keine Aussicht auf Erfolg haben konnte, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) abzuweisen. Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist allerdings zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zähndler