Sachverhalt:
A. Nach einer tätlichen Auseinandersetzung erhob X._ am 16. Mai 2005 Strafanzeige gegen Y._ und weitere Personen. Mit Verfügung vom 9. Juni 2005 trat das thurgauische Untersuchungsrichteramt das polizeiliche Ermittlungsverfahren an das Bezirksamt Arbon ab, welches am 14. Juni 2005 eine Strafuntersuchung gegen Y._ eröffnete. Mit Beschwerdeeingabe vom 22. März 2006 an die Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau beantragte X._, dem Vizestatthalter des Bezirksamtes Arbon sei die Strafuntersuchung wegen Befangenheit zu entziehen, gegen Y._ sei Anklage wegen versuchten Totschlags, Körperverletzung und Sachbeschädigung zu erheben, und gegen weitere Personen sei eine Strafuntersuchung wegen unterlassener Nothilfe und Sachentziehung zu eröffnen. Mit Entscheid vom 25. Juli 2006 wies die Staatsanwaltschaft die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat.
B. Am 7. August 2006 rekurrierte X._ gegen den Entscheid der Staatsanwaltschaft vom 25. Juli 2006 bei der Anklagekammer des Kantons Thurgau; gleichzeitig stellte er ein Ausstandsbegehren gegen den Vizestatthalter des Bezirksamtes Arbon. Der Präsident der Anklagekammer behandelte die Eingabe vom 7. August 2006 als blosses Ausstandsbegehren gegen den Vizestatthalter und wies dieses mit Verfügung vom 22. März 2007 ab.
C. Mit Urteil vom 18. Juni 2007 (Verfahren 1B_32/2007) hiess das Bundesgericht eine Rechtsverweigerungsbeschwerde von X._ vom 26. Februar 2007 wegen Untätigkeit der kantonalen Anklagekammer teilweise gut. Das Bundesgericht lud die Anklagekammer ein, über das unterdessen behandelte Ausstandsgesuch hinaus über die weiteren Rechtsbegehren von X._ (in dessen Beschwerde vom 7. August 2006 gegen den Entscheid der Staatsanwaltschaft vom 25. Juli 2006) unverzüglich zu entscheiden.
D. Mit Beschluss vom 14. August 2007 beurteilte die Anklagekammer die fraglichen Rechtsbegehren. In ihren Erwägungen hielt sie fest, dass die Verfügung vom 22. März 2007 (betreffend Ausstandsgesuch) in Rechtskraft erwachsen ist. Weiter stellte die Anklagekammer in den Erwägungen ausdrücklich fest, dass im Beschwerdeverfahren vor der Staatsanwaltschaft das rechtliche Gehör des Strafanzeigers verletzt wurde; die Gehörsverletzung habe jedoch im Verfahren vor der Anklagekammer geheilt werden können. Die Anklagekammer wies die Beschwerde in den noch offenen Streitpunkten ab, soweit sie darauf eintrat.
E. Gegen den Beschluss der Anklagekammer vom 14. August 2007 gelangte X._ mit Beschwerde in Strafsachen vom 12. November 2007 an das Bundesgericht; seine Rechtsbegehren ergeben sich aus den nachfolgenden Erwägungen.
Die Anklagekammer beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, während von der Staatsanwaltschaft keine Vernehmlassung einging. Der Beschwerdeführer replizierte am 9. Januar 2008.

Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbstständig eröffneten strafprozessualen Zwischenentscheid (betreffend Anklageerhebung, Ausdehnung der Strafuntersuchung und rechtliches Gehör). Dem Beschwerdeführer werden darin Kosten (definitiv) auferlegt, und es wird ihm eine Parteientschädigung verweigert. Er beantragt in der Hauptsache die Feststellung, dass die kantonalen Behörden sein rechtliches Gehör verletzt hätten, die Aufhebung des vorinstanzlichen Kostenentscheides sowie die Zusprechung einer angemessenen Parteientschädigung für das kantonale Verfahren. Auf diese Rechtsbegehren kann (unter dem Gesichtspunkt des zulässigen Beschwerdegegenstandes und des aktuellen Rechtsschutzinteresses) grundsätzlich eingetreten werden (vgl. Art. 81 Abs. 1 und Art. 90-93 BGG).
2. Das Ausstandsverfahren gegen den Vizestatthalter des Bezirksamtes Arbon bildet nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides. Die betreffende Verfügung (des Präsidenten der Anklagekammer vom 22. März 2007) ist in Rechtskraft erwachsen.
Wie sich aus dem angefochtenen Entscheid ergibt, hat die Vorinstanz (in Nachachtung des oben erwähnten Urteils des Bundesgerichtes vom 18. Juni 2007 betreffend Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung) alle noch hängigen Rechtsbegehren des Beschwerdeführers beurteilt. In den Erwägungen des angefochtenen Entscheides wird insbesondere festgestellt, dass im Beschwerdeverfahren vor der Staatsanwaltschaft das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt worden war (indem ihm eine Stellungnahme des Bezirksamtes Arbon vom 31. März 2006 nicht zur Kenntnis gebracht worden sei). Die Gehörsverletzung habe jedoch im Verfahren vor der Anklagekammer "geheilt" werden können.
Nicht eingetreten werden kann auf appellatorische Vorbringen bzw. allgemeine Kritik an der Untersuchungsführung. Die Beschwerde muss ausreichend substanziierte zulässige Rügen enthalten, die sich gegen einen anfechtbaren Entscheid im Sinne von Art. 90-94 BGG richten (vgl. Art. 42 Abs. 2 Satz 1 i.V.m. Art. 95, 98 und 106 Abs. 2 BGG).
3. Der Beschwerdeführer beanstandet zunächst, der untersuchungsleitende Vizestatthalter habe während einer Einvernahme des Angeschuldigten Anträge des (als geschädigte Partei anwesenden) Beschwerdeführers auf Ergänzung bzw. Berichtigung des Protokolls missachtet. Daraus resultiere für ihn, den Beschwerdeführer, ein "Beweisnotstand". Er legt jedoch nicht dar, inwiefern sich diese Vorbringen auf den Prozessgegenstand des angefochtenen Entscheides beziehen (insbesondere auf die dort beurteilten Fragen der Anklageerhebung oder der Ausdehnung der Strafuntersuchung auf weitere Personen).
3.1 Im angefochtenen Entscheid wurde erwogen, dass die Strafuntersuchung gegen den Angeschuldigten noch gar nicht abgeschlossen sei, weshalb auch noch nicht entschieden werden könne, ob und inwiefern Anklage gegen ihn zu erheben sei. Das Rechtsbegehren, wonach gegen weitere Personen eine Strafuntersuchung zu eröffnen sei, habe der Beschwerdeführer nicht näher begründet. Ausserdem habe die Staatsanwaltschaft noch gar nicht darüber entschieden, ob gegen zusätzliche Personen eine Strafuntersuchung zu eröffnen sei; eine Nichtanhandnahmeverfügung sei diesbezüglich nicht erfolgt (angefochtener Entscheid, S. 6-8, E. 9-10).
3.2 Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern seine Vorbringen betreffend Protokollierung sich auf den Streitgegenstand beziehen und inwiefern ihm in diesem Zusammenhang bereits ein nicht wieder gutzumachender Nachteil (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) droht. Mit appellatorischer Kritik an der Untersuchungsführung können keine zulässigen Verfassungsrügen begründet werden (Art. 42 Abs. 2 Satz 1 i.V.m. Art. 95, 98 und 106 Abs. 2 BGG).
3.3 Davon abgesehen, bestreitet der Beschwerdeführer die Darstellung der kantonalen Behörden nicht, wonach er die fragliche Einvernahme des Angeschuldigten (vom 9. März 2006) vor deren Abschluss (nämlich schon um 14.50 Uhr) "unter Protest" verliess und dass er die (ihm vom Untersuchungsleiter zuvor ausdrücklich angebotene) Gelegenheit, nach Abschluss des Verhörs allfällige Protokollergänzungen oder Berichtigungen zu beantragen, nicht wahrnahm (vgl. angefochtener Entscheid, S. 3 E. 1, und S. 9 E. 11 mit Hinweis auf die einschlägige strafprozessuale Literatur). Er räumt denn auch ausdrücklich ein, dass er "wegen offensichtlicher Chancenlosigkeit" darauf "verzichtet" habe, "die verweigerte Protokollergänzung auf dem Beschwerdeweg durchsetzen zu wollen" (Beschwerdeschrift, S. 8 Rz. 5). Insofern hat der Beschwerdeführer mit den genannten Vorbringen auch den kantonalen Instanzenzug nicht erschöpft (Art. 80 Abs. 1 BGG).
3.4 Soweit der Beschwerdeführer unter Hinweis auf angebliche Einvernahme- oder Protokollfehler einen Befangenheitsgrund gegen den Vizestatthalter des Bezirksamtes Arbon darlegen wollte, kann darauf schon deshalb nicht eingetreten werden, weil die Ausstandsfrage (wie dargelegt) nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides bildet.
4. Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und des Willkürverbotes.
4.1 Zunächst beanstandet er, dass die Vorinstanz eine Gehörsverletzung durch die Staatsanwaltschaft zwar in den Erwägungen des angefochtenen Entscheides festgestellt habe, nicht aber zusätzlich im Entscheiddispositiv.
4.1.1 Unbestrittenermassen hat die Staatsanwaltschaft dem Beschwerdeführer (im kantonalen Verfahren) eine Vernehmlassung des Bezirksamtes Arbon (vom 31. März 2006) nicht zur Kenntnis gebracht. Die Vorinstanz hat diese Gehörsverletzung durch die Staatsanwaltschaft in den Erwägungen des angefochtenen Entscheides (Seiten 8-9, E. 11) ausdrücklich festgestellt. Insofern ist die vom Beschwerdeführer beantragte Feststellung, die Staatsanwaltschaft habe das rechtliche Gehör verletzt, gar nicht streitig und das entsprechende Rechtsbegehren bereits erfüllt.
4.1.2 Soweit der Beschwerdeführer argumentiert, er habe einen zusätzlichen Rechtsanspruch auf eine förmliche Feststellung der Gehörsverletzung im Dispositiv, kann ihm nicht gefolgt werden. Er bestreitet nicht, dass er im Verfahren vor der Anklagekammer Gelegenheit zur Akteneinsicht hatte und dass er auch in die fragliche Vernehmlassung des Bezirksamtes Einsicht nehmen konnte. Die Vorinstanz erwägt, dass damit die Gehörsverletzung im Beschwerdeverfahren vor der Anklagekammer "geheilt" wurde (angefochtener Entscheid S. 9 E. 11).
4.1.3 Der Beschwerdeführer legt nicht dar, weshalb diese Erwägungen verfassungswidrig bzw. sachlich unhaltbar wären und inwiefern die festgestellte Gehörsverletzung trotz gewährter Akteneinsicht weiter bestünde. Die Beschwerde ist insofern nicht rechtsgenüglich substanziiert (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG). Darüber hinaus wäre im vorliegenden Fall auch materiell keine Verfassungsverletzung erkennbar. Dies umso weniger, als die Feststellung der Gehörsverletzung in den Urteilsmotiven zu keinem prozessualen Nachteil des Beschwerdeführers führt: Zwar wird sie im Dispositiv des angefochtenen Entscheides nicht nochmals förmlich erwähnt. Dem Beschwerdeführer wird aber (in Ziffer 2 des Dispositives) lediglich eine reduzierte Verfahrensgebühr auferlegt, obwohl er mit seinen (materiellen) Hauptanträgen vollständig unterlegen ist. Im angefochtenen Entscheid (Seite 10 E. 12) wird dazu ausdrücklich erwogen, die Reduktion der Verfahrensgebühr erfolge "zufolge Verletzung des rechtlichen Gehörs". Damit ist auch kein schutzwürdiges Interesse erkennbar an einer zusätzlichen förmlichen Feststellung der Gehörsverletzung im Dispositiv.
4.2 Weiter wird gerügt, die Vorinstanz habe das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt, indem sie auf verschiedene seiner Vorbringen nicht eingegangen sei. Die Rüge erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit darauf überhaupt einzutreten ist:
4.2.1 Der Beschwerdeführer wiederholt (auf den Seiten 9-17 der Beschwerdeschrift) wörtliche Ausführungen aus seiner Beschwerdeeingabe an die Vorinstanz. Er legt jedoch nicht dar, inwiefern diese (von der Vorinstanz angeblich unbeachteten) weitschweifigen Vorbringen sich auf den hängigen Prozessgegenstand bezogen. Dies gilt namentlich für das Vorbringen, die Staatsanwaltschaft habe "willkürlich behauptet, es sei unerheblich, wieviele Enkel der Angeschuldigte habe" (Beschwerdeschrift, S. 9 f. Rz. 1.4). Was angebliche Protokollierungsfehler des Vizestatthalters betrifft, räumt der Beschwerdeführer selber ein, dass diese Frage gar nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides bilden konnte (vgl. dazu oben, E. 3.3). Dennoch zitiert er zu diesem Thema (über viele Seiten hinweg) aus seiner früheren Rechtsschrift. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt nicht ausreichend substanziiert.
4.2.2 Die Begründung des angefochtenen Entscheides hielte im Übrigen (auch materiell) vor dem Anspruch auf rechtliches Gehör stand. Den Erwägungen lassen sich die wesentlichen Gründe entnehmen, weshalb die Vorinstanz die noch streitigen Rechtsbegehren des Beschwerdeführers abschlägig behandelte. Die Anklagekammer musste sich dabei nicht mit dessen sämtlichen rechtlichen Argumenten und tatsächlichen Behauptungen ausdrücklich und im Einzelnen befassen, schon gar nicht mit unerheblichen bzw. sachfremden (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2b S. 102 f. mit Hinweisen).
5. Schliesslich beanstandet der Beschwerdeführer die Kostenregelung des angefochtenen Entscheides als verfassungswidrig (bzw. rechtsungleich im Sinne von Art. 29 BV). Obwohl er mit seiner Beschwerde teilweise durchgedrungen sei, habe ihm die Vorinstanz jegliche Parteientschädigung verweigert. Zwar werde im angefochtenen Entscheid "erklärt", dass die Verfahrensgebühr (angesichts der festgestellten Gehörsverletzung) angemessen reduziert werde. "In Tat und Wahrheit" habe die Vorinstanz die Gerichtskosten jedoch bei den ohnehin "üblichen" Fr. 1'000.-- belassen.
5.1 Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass die angefochtene Kostenregelung gegen konkrete Bestimmungen der kantonalen Prozessordnung verstiesse. Für seine Behauptung, die Vorinstanz habe die Gerichtsgebühr lediglich dem Schein nach reduziert, verweist er auf einen anderen Entscheid der Anklagekammer (aus dem Jahr 2006 betreffend unlauteren Wettbewerb), bei dem die Verfahrensgebühr ebenfalls auf Fr. 1'000.-- festgesetzt worden sei.
5.2 Es kann offen bleiben, ob die Rüge der Verletzung von Art. 29 BV ausreichend substanziiert erscheint. Dass die Staatsanwaltschaft das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt hatte, wurde in den Erwägungen des angefochtenen Entscheides ausdrücklich festgestellt und bei der Kostenverlegung im Dispositiv (mit einer reduzierten Verfahrensgebühr) willkürfrei berücksichtigt (vgl. dazu oben, E. 4.1). Die Behauptung, die Vorinstanz habe die Verfahrensgebühr nur zum Schein reduziert, basiert auf reiner Spekulation und findet in den Prozessakten keine Stütze. Der blosse Umstand, dass die Anklagekammer in einem anderen Entscheid ebenfalls eine Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- ausgefällt habe, vermag den Vorwurf der rechtsungleichen Behandlung nicht zu begründen. In der noch streitigen Hauptsache hat die Vorinstanz die Beschwerde zu Recht abgewiesen, soweit sie darauf eintrat (vgl. dazu oben, E. 3.1). Bei diesem Verfahrensausgang hält es vor der Verfassung stand, wenn die Vorinstanz die Partei- und die hauptsächlichen Verfahrenskosten dem Beschwerdeführer auferlegt hat.
6. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit sie prozessual zulässig erscheint.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und der Anklagekammer des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Mai 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster