Sachverhalt:
A. Am 5. Mai 1994 wurde über X._ (geb. 1941) auf dessen Begehren eine kombinierte Beiratschaft gemäss Art. 395 Abs. 1 und 2 ZGB errichtet. Nachdem diese für kurze Zeit aufgehoben war, ordnete sie das Richteramt Solothurn-Lebern mit Urteil vom 2. Mai 2007 erneut an. Mit Beschluss vom 2. März 2010 übertrug die Vormundschaftsbehörde A._ (Vormundschaftsbehörde) die Führung der Beiratschaft per 1. Mai 2010 Y._ und Z._. X._ focht die Ernennung dieser Beiräte beim Departement des Innern des Kantons Solothurn erfolglos an (Entscheid vom 12. August 2010).
B. Gegen den Entscheid des Departementes beschwerte sich X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn im Wesentlichen mit den Begehren, der Entscheid des Departementes sei aufzuheben und es sei W._ als Beirat zu bestimmen, eventuell sei eine Amtsbeiratschaft anzuordnen. Am 7. Oktober 2010 ersuchten die Beiräte Y._ und Z._ um Entlassung aus der Mandatsführung per 31. Dezember 2010. Die Vormundschaftsbehörde entsprach diesem Begehren am 26. Oktober 2010 und ersuchte die Sozialen Dienste A._ um Übernahme der Beiratschaft per 1. Januar 2011. Das Verwaltungsgericht hörte in der Folge die Betroffenen zur geplanten Abschreibung des Verfahrens und zur Frage der Kostenliquidation schriftlich an und schrieb schliesslich die Beschwerde mit Urteil vom 15. Februar 2011 ab; es auferlegte die Kosten des Verfahrens vor dem Verwaltungsgericht sowie die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens X._ und sprach keine Parteientschädigung zu.
C. Gegen dieses Urteil hat X._ (Beschwerdeführer) am 23. März 2011 (Postaufgabe) beim Bundesgericht "Einheitsbeschwerde in zivilrechtlichen Angelegenheiten" erhoben. Er beantragt, das Urteil vom 15. Februar 2011 sei aufzuheben und die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückzuweisen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG) über die Abschreibung eines Rekursverfahrens betreffend die Wahl von Beiräten. Es liegt damit ein öffentlich-rechtlicher Entscheid im Zusammenhang mit dem Zivilrecht vor (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG), gegen den die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich gegeben ist (vgl. 5A_493/2007 vom 20. August 2008 E. 1). Im vorliegenden Fall war weder die Entschädigung noch eine Abrechnung der Beiräte strittig; es liegt somit eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit vor. Der Beschwerdeführer war Partei im Verfahren (Art. 76 Abs. 1 lit. a BGG); er wurde zu den Kosten des Verfahrens verurteilt und hat damit ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des Entscheids (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 BGG) ist damit einzutreten.
1.2 Der Beschwerdeführer ersucht ausschliesslich um Aufhebung des angefochtenen Urteils und um Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Als reformatorisches Rechtsmittel (Art. 107 Abs. 2 BGG) bedarf die Beschwerde grundsätzlich eines reformatorischen Rechtsbegehrens; ein ausschliesslicher formeller Antrag auf Rückweisung ist nicht zulässig, es sei denn, das Bundesgericht könne (z.B. mangels genügender tatsächlicher Feststellungen) nicht reformatorisch entscheiden (Art. 42 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 135 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383).
Der Beschwerdeführer ist namentlich der Ansicht, das Verfahren hätte nicht als gegenstandslos abgeschrieben werden dürfen, da die Kostenfrage nicht gegenstandslos geworden sei. Auf diese Behauptung gründet er seine Rüge der Verletzung von Art. 30 Abs. 1 und Art. 29a BV (vgl. E. 2 hiernach). Zudem rügt er eine Reihe von Verfahrensfehlern. Unter den gegebenen Umständen wäre das Bundesgericht bei einer Gutheissung der Beschwerde nicht in der Lage, den Streit abschliessend durch ein Urteil in der Sache zu erledigen. Der ausschliessliche Rückweisungsantrag ist daher zulässig.
1.3 In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein.
1.4 Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt als unzureichend festgestellt kritisiert und diesen nach eigenem Gutdünken ergänzt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, handelt es sich doch dabei um rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt, nach der einschlägigen Gerichtsorganisation tage das Verwaltungsgericht in Dreierbesetzung (§ 47 Abs. 4 des Gesetzes über die Gerichtsorganisation [GO/SO, BGS 125.12]). Beim angefochtenen Urteil handle es sich indes um einen Präsidialentscheid (§ 52bis GO), wobei die Präsidialkompetenz nur bestehe, wenn das Verfahren als Ganzes abgeschrieben werden könne. Das sei vorliegend nicht der Fall, da das Verfahren nicht gegenstandslos geworden sei. Der Präsident habe vielmehr mit Bezug auf den Kostenentscheid materielle Erwägungen angestellt, um so schliesslich festzustellen, dass die Bestellung der umstrittenen Beiräte nicht korrekt erfolgt sei. Entschieden habe der Präsident ferner auch über die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens, worüber nicht der Präsident als Einzelrichter, sondern das Verwaltungsgericht in Dreierbesetzung hätte befinden müssen. Mit seinem Vorgehen habe der Präsident den Anspruch auf einen gesetzmässigen Richter gemäss Art. 29a und Art. 30 Abs. 1 BV verletzt.
2.2 Nach Art. 30 Abs. 1 BV hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch das Gesetz geschaffenes zuständiges Gericht. Der Anspruch auf den gesetzlichen Richter ist namentlich verletzt, wenn ein Gericht in kleinerer als der vorgesehenen Besetzung urteilt (<ref-ruling> E. 5; GEROLD STEINMANN, in: Die Schweizerische Bundesverfassung Kommentar, Zürich/St. Gallen 2008, N. 8 zu Art. 30 BV).
2.2.1 Der Beschwerdeführer scheint davon auszugehen, dass nur dann von einer Gegenstandslosigkeit des Verfahrens und damit von der Zuständigkeit des Präsidenten auszugehen sei, wenn nicht nur die Hauptsache, sondern auch die Kostenfrage gegenstandslos werde. Damit geht er indes von einem unzutreffenden Begriff der Gegenstandslosigkeit aus:
Im vorliegenden Fall war vor Verwaltungsgericht strittig, ob die beiden umstrittenen Beiräte zu Recht ernannt worden sind. Mit dem Rücktritt der früher bestellten Beiräte hat der Beschwerdeführer sein Ziel erreicht, nämlich dass zwei ihm missliebige Personen nicht mehr als seine Beiräte amten. Sodann hat er in seiner Verwaltungsgerichtsbeschwerde alternativ die Ernennung von W._ (Hauptantrag) oder die Anordnung der Amtsbeiratschaft (Eventualantrag) verlangt. Die Vormundschaftsbehörde hat mit Beschluss 26. Oktober 2010 die zuständigen sozialen Dienste um Übernahme der Beiratschaft per 1. Januar 2011 ersucht. Ist aber die vom Beschwerdeführer eventualiter verlangte Lösung angeordnet worden, hat er kein schützenswertes Interesse an der materiellen Behandlung seiner Beschwerde in der Sache. Damit aber wurde der Rechtsstreit in der Hauptsache gegenstandslos (vgl. dazu. FELIX ADDOR, Die Gegenstandslosigkeit des Rechtsstreits, 1997, S. 155).
Tritt dieser Fall ein, so befindet das zuständige Gericht über die Prozesskosten, ohne den gegenstandslos gewordenen Rechtsstreit in der Sache fortzusetzen (ADDOR, a.a.O., S. 225). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann somit nicht gesagt werden, der Prozess sei nicht gegenstandslos geworden, weil das Gericht noch über die Prozesskosten habe befinden müssen und auch befunden habe. An der Gegenstandslosigkeit des Rechtsstreits in der Hauptsache ändert auch nichts, dass der Präsident beim Entscheid über die Kostenfrage Erwägungen über den wahrscheinlichen Verfahrensausgang bezüglich der Hauptsache angestellt hat. Dieses Vorgehen entspricht der üblichen Praxis in derartigen Fällen. Wird der Rechtsstreit in der Hauptsache gegenstandslos, so kann die Kostenfrage danach entschieden werden, welche Partei vermutlich ganz oder teilweise unterlegen wäre und somit die Kosten des Verfahrens hätte tragen müssen, wenn der Rechtsstreit nicht gegenstandslos geworden wäre (vgl. dazu ADDOR, a.a.O., S. 229). Nicht von Bedeutung ist schliesslich, dass der Magistrat auch über die erstinstanzlichen Kosten befunden hat. In diesem Zusammenhang zeigt der Beschwerdeführer denn auch nicht auf, inwiefern das Verwaltungsgericht damit kantonale Bestimmungen willkürlich angewendet (Art. 106 Abs. 2 BGG) bzw. Bundesrecht verletzt hat (Art. 42 Abs. 2 BGG).
2.2.2 Nicht beizupflichten ist dem Beschwerdeführer, soweit er mit seinen Ausführungen behaupten will, es habe auch angesichts des Rücktritts der Beiräte ein Anspruch auf materielle Behandlung seiner Beschwerde bestanden: Falls der Beschwerdeführer mit Bezug auf die Wahl der Beiräte gegen die vormundschaftlichen Organe vorzugehen beabsichtigt, wird er hierfür auf die Verantwortlichkeitsklage gemäss Art. 426 ff. ZGB verwiesen, die - anders als der Wortlaut von Art. 426 ZGB vermuten lässt - nicht nur auf die Vormundschaft, sondern ebenso auf die Beiratschaft zugeschnitten ist (vgl. FORNI/PIATTI, Basler Kommentar ZGB I, 4. Aufl. 2010, N. 2 zu Art. 426-429 ZGB).
2.2.3 Da vorliegend der Präsident des Verwaltungsgerichts als in der Sache zuständiger Richter (§ 52bis GO/SO) das Beschwerdeverfahren als gegenstandslos abgeschrieben hat, ist eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV zu verneinen. Mit Bezug auf die Verletzung von Art. 29a BV bedient sich der Beschwerdeführer der nämlichen Begründung, wie sie für Art. 30 Abs. 1 BV vorgetragen worden ist. Die Rüge der Verletzung von Art. 29a BV hat damit keine selbstständige Bedeutung, sodass sich Weiterungen dazu erübrigen.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer macht des Weiteren geltend, der Präsident habe das Beweisverfahren entgegen der Vorschrift von § 58 VRG nicht durch eine entsprechende Beweisverfügung abgeschlossen und habe damit Verfahrensrechte verletzt.
3.2 Ob sich aus § 58 VRG ein Anspruch auf Abschluss des Beweisverfahrens herleiten lässt, kann offenbleiben: Wird ein Rechtsstreit in der Hauptsache gegenstandslos, wird der Prozess über die Hauptsache nicht fortgesetzt. Der Kostenentscheid ergeht vielmehr aufgrund einer summarischen Prüfung und Würdigung des aktenkundigen Sach- und Streitgegenstandes, ohne dass ein besonderes Beweisverfahren stattzufinden hätte (ADDOR, a.a.O., S. 225). Damit war der Präsident jedenfalls nicht gehalten, ein Beweisverfahren durchzuführen und abzuschliessen; eine Verletzung von Verfahrensrechten ist nicht ersichtlich.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt im Weiteren, er habe bei der Vorinstanz um Durchführung einer öffentlichen Verhandlung ersucht. Das Verwaltungsgericht habe auf die Durchführung einer mündlichen Verhandlung verzichtet, ohne allerdings zu begründen, weshalb ohne Verhandlung entschieden werde. Im weiteren sei ohne vorgängigen Abschluss des Beweisverfahrens über die Kosten befunden und ihm (dem Beschwerdeführer) folglich das Recht auf weitere Beweisanträge abgesprochen worden. Damit habe der Präsident den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
4.2 Der Präsident hat erwogen, da im vorliegenden Fall keine Partei die Gegenstandslosigkeit des Verfahrens verursacht habe, sei mit Bezug auf die Kostenfrage aufgrund der Akten zu prüfen, welche Partei vermutlich ganz oder teilweise unterlegen wäre. Mit dem Hinweis darauf, dass aufgrund der Akten entschieden werde, hat der Präsident auch begründet, weshalb er auf eine öffentliche Verhandlung verzichtet. Der Beschwerdeführer war in der Lage, den angefochtenen Entscheid insoweit sachgerecht anzufechten, womit die Begründung den Anforderungen von Art. 29 Abs. 2 BV genügt (zum Umfang der Begründungspflicht aufgrund dieser Bestimmung: <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
Im Übrigen ist bereits ausführlich dargelegt worden (E. 3.2 hiervor), dass mit Blick auf die Regelung der Kostenfrage kein Beweisverfahren durchzuführen ist, da der entsprechende Entscheid aufgrund der Akten und der Vernehmlassung der Beteiligten ergeht. Ist für die Kostenfrage kein Beweisverfahren durchzuführen, so wurde Art. 29 Abs. 2 BV auch nicht dadurch verletzt, dass dem Beschwerdeführer kein Recht zu weiteren Beweisanträgen eingeräumt worden ist. Eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV ist insgesamt nicht auszumachen.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer rügt unter dem Aspekt der Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK, er habe beim Präsidenten um Durchführung einer öffentlichen Parteiverhandlung ersucht. Der Präsident habe diese Verhandlung nicht durchgeführt und auch den entsprechenden Antrag nicht formell behandelt.
5.2 Soweit der Beschwerdeführer die angeblich unterbliebene formelle Behandlung seines Antrages auf Durchführung einer Verhandlung beanstandet, sei auf die E. 4.2 hiervor verwiesen.
Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK besteht in Verfahren über zivilrechtliche Streitigkeiten ein Anspruch auf öffentliche Verhandlung, sofern die Parteien nicht ausdrücklich oder stillschweigend darauf verzichten (<ref-ruling> E. 2a mit Verweisen). Als zivilrechtlich gilt insbesondere auch die Kostenfestsetzung, wenn die Kosten, wie hier im Rahmen der Beschwerde gegen die Wahl der Beiräte, in einem zivilrechtlichen Streit entstanden sind (Urteil des EGMR Süss gegen Deutschland vom 12. April 2006, § 113, zitiert bei: JENS MEYER-LADEWIG, EMRK Handkommentar, 3. Aufl. 2011, S. 121, N. 17 zu Art. 6 EMRK). Die Verpflichtung zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung gilt indes nicht absolut. Eine Ausnahme vom Grundsatz der Öffentlichkeit ist nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte etwa gegeben, wenn eine Streitsache keine Tat- oder Rechtsfragen aufwirft, die nicht adäquat aufgrund der Akten und der schriftlichen Parteivorbringen gelöst werden können (siehe dazu die Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte, zitiert im Urteil I 573/03 vom 8. April 2004 E. 3.5.1, in EuGRZ 2004 S. 724 f.).
Wird wie im vorliegenden Fall eine Rechtsstreitigkeit gegenstandslos, ist nur noch über die Kosten des Verfahrens zu befinden (E. 2.2.1). Zur Beantwortung der Frage, wer diese Kosten zu tragen hat, wird, wie dargelegt, kein Beweisverfahren durchgeführt, sondern es wird hierfür anhand der Akten auf den mutmasslichen Ausgang des Verfahrens in der Sache geschlossen (siehe E. 2.2.1 hiervor). Die Frage des mutmasslichen Ausgangs des Verfahrens kann sehr wohl aufgrund der Akten, insbesondere der Vorbringen des Beschwerdeführers in der Beschwerdebegründung und aufgrund der Ausführungen in der Vernehmlassung beantwortet werden, zumal es dabei nicht darum geht, den Streit in der Hauptsache (Wahl der Beiräte) zu behandeln und darüber definitiv in einem Dispositiv zu entscheiden. Die Verlegung der Kosten ohne vorgängige mündliche und öffentliche Verhandlung ist somit im Lichte der zitierten Rechtsprechung des EGMR nicht zu beanstanden.
6. 6.1 Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, Art. 381 und 388 ZGB seien völlig falsch ausgelegt worden. Insbesondere seien seine Wünsche nicht berücksichtigt und die Ablehnungsgründe nicht zur Kenntnis genommen worden.
6.2 Dem angefochtenen Entscheid kann entnommen werden, dass bereits die zuständige Vormundschaftsbehörde die vom Beschwerdeführer vorgeschlagene Person (W._) wegen mangelnder Erfahrung im Vormundschaftswesen und wegen eines Interessenkonflikts abgelehnt hat. Die zuständige Behörde hat somit den Wunsch des Beschwerdeführers zur Kenntnis genommen, den Wunschkandidaten aber aus wichtigen Gründen nicht berücksichtigt. Inwiefern damit Bundesrecht unzutreffend angewendet worden sein soll und sich deshalb eine andere Kostenverlegung zwingend aufgedrängt hätte, wird nicht erörtert. Auf die Rüge ist nicht einzutreten (E. 1.3 hiervor).
7. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Entschädigungen sind aber aufgrund der konkreten Umstände nicht zu sprechen, umso weniger, als keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden