Erwägungen:
1.
A._ und B._ sowie C._ und D._ erhoben gegen ein von E._ am 11. April 2012 eingereichtes Baugesuch mit Eingabe vom 9. Mai 2012 Einsprache. Der Gemeindevorstand von Falera bewilligte das Vorhaben am 12. Juni 2012 unter Auflagen und wies gleichzeitig die Einsprache ab.
Hiergegen wandten sich die Einsprecher mit einer Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dessen 5. Kammer wies die Beschwerde mit Urteil vom 11. Dezember 2012 ab und auferlegte die auf Fr. 3'428.-- bestimmten Gerichtskosten den Beschwerdeführern.
Gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil gelangten A._ und B._ sowie C._ und D._ mit Beschwerde vom 31. Januar 2013 ans Bundesgericht.
Gemäss Schreiben vom 25. Mai 2013 hat die Bauherrschaft ihr Baugesuch zurückgezogen.
2.
2.1. Durch den Rückzug des Baugesuchs ist die vorliegende Beschwerde gegenstandslos geworden. Sie ist daher als erledigt abzuschreiben (<ref-law>), wobei mit summarischer Begründung über die Prozesskosten zu entscheiden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Die Parteien und die Gemeinde beantragen, die Verfahrenskosten der Bauherrschaft aufzuerlegen. Diese hält sodann dafür, den Beschwerdeführern sei eine den Verhältnissen angemessen reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen.
2.2. Die Verfahrenskosten werden derjenigen Partei auferlegt, die sie verursacht hat (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Demgemäss rechtfertigt es sich, der Beschwerdegegnerin die Kosten der durch den Baugesuchsrückzug gegenstandslos gewordenen Rechtsmittelverfahren aufzuerlegen. Aufgrund des Rückzugs des Baugesuchs in einem frühen Stadium des bundesgerichtlichen Verfahrens sind indes die diesbezüglichen Kosten auf eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- festzusetzen (<ref-law> analog).
Mit Blick auf das soeben Gesagte, den Baugesuchsrückzug und das Verursacherprinzip, steht der Beschwerdegegnerin, auch wenn nunmehr anwaltlich vertreten, für das bundesgerichtliche Verfahren keine Parteientschädigung zu.
Sodann steht auch der in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätigen Gemeinde keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; s. dazu <ref-ruling>).
Anderseits hat die Beschwerdegegnerin die im bundesgerichtlichen Verfahren anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer mit Blick auf den erfolgten Baugesuchsrückzug angemessen zu entschädigen (<ref-law>).
3. Wie ausgeführt, ist das vorliegende Verfahren mit dem Baugesuchsrückzug gegenstandslos geworden.
Durch die am 22. Mai 2013 ergangenen Urteile des Bundesgerichts betreffend Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und unmittelbare Anwendbarkeit der Art. 75b und 197 Ziff. 9 BV (<ref-ruling>, 263 und 271) ist die Basis des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 11. Dezember 2012 und des ursprünglichen kommunalen Entscheides vom 12. Juni 2012 massgebend verändert worden, was selbstredend Auswirkungen auf deren Kostenregelungen zur Folge hat.
In Bezug auf andere Verfahren vor dem kantonalen Verwaltungsgericht, in denen die dortige Beschwerdeführerin Helvetia Nostra nicht anwaltlich vertreten war, hat das Bundesgericht die verwaltungsgerichtlichen Kostenfolgen sogleich selber der erwähnten neuen Situation angepasst und neu die Bauherrschaft mit den - gemäss Verwaltungsgericht zunächst der Beschwerdeführerin überbundenen - Kosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens belastet.
Im vorliegenden Fall gilt es indes zu berücksichtigen, dass die Beschwerdeführer bereits vor dem Verwaltungsgericht durch einen Rechtsbeistand vertreten waren. In einem solchen Fall ist es angezeigt, dieses Gericht selber die sich aus der genannten veränderten Situation insgesamt ergebenden Kosten- bzw. Entschädigungsfolgen neu regeln zu lassen. Das Verwaltungsgericht wird bei der Neufestsetzung der Prozesskostenfolgen insbesondere auch dem Baugesuchsrückzug (und entsprechend, wie ausgeführt, kostenmässig ebenfalls dem Verursacherprinzip) sowie der neuen Rechtslage gemäss den bundesgerichtlichen Urteilen vom 22. Mai 2013 Rechnung zu tragen haben.
Auf welche Weise die Kosten des kommunalen Baubewilligungs- und Einspracheverfahrens neu zu verlegen sind, ist dem Verwaltungsgericht zu überlassen. Diesem steht es frei, die Angelegenheit in diesem Punkt an die Gemeinde zurückzuweisen.

Demnach wird erkannt:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_137/2013 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
Es wird festgestellt, dass der am 12. Juni 2012 ergangene kommunale Baubewilligungs- und Einspracheentscheid sowie das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 11. Dezember 2012 gegenstandslos geworden sind.
Die Sache geht zurück ans kantonale Verwaltungsgericht zur Neufestlegung der Kostenfolgen des verwaltungsgerichtlichen und des kommunalen Verfahrens im Sinne der Erwägungen.
2.
Die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführern für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Falera und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp