Sachverhalt:
A. A.a Mit Entscheid des Präsidenten der Einwohnergemeinde Q._/OW vom 24. Mai 2012 wurde X._ (geb. 1991) in Anwendung von <ref-law> mit sofortiger Wirkung in die Psychiatrie A._ eingewiesen (1). Die Institution wurde dazu angehalten, dem Betroffenen die angemessene Behandlung zukommen zu lassen (2). Schliesslich wurde eröffnet, dass über die Entlassung oder einen allfälligen Wechsel der Klinik oder Institution die Vormundschaftsbehörde befinde (3). Von diesem Entscheid hat der Einwohnergemeinderat Q._ mit Beschluss vom 4. Juni 2012 "Kenntnis genommen".
A.b Am 5. Juni 2012 erhob X._ "Einsprache" gegen die Einweisung, die das Kantonsgerichtspräsidium Obwalden als Beschwerde behandelte und am 19. Juni 2012 abwies. X._ hat diesen Entscheid am 19. Juli 2012 der Rechtsmittelbelehrung entsprechend beim Obergericht des Kantons Obwalden angefochten. Über den Ausgang dieses Beschwerdeverfahrens ist nichts bekannt.
B. B.a Am 29. Juni 2012 verfügte Dr. med. Y._, Oberarzt der Psychiatrie A._, einen "ärztlichen FFE". X._ wurde daraufhin in die Privatklinik B._/BE eingewiesen, worauf er am 4. Juli 2012 bei der ärztlichen Leitung dieser Einrichtung um Entlassung ersuchte. Auf den abweisenden Entscheid der Einrichtung vom 5. Juli 2012 hin und in Nachachtung der Rechtsmittelbelehrung gelangte X._ am 9. Juli 2012 an das Obergericht des Kantons Bern, Rekurskommission für fürsorgerische Freiheitsentziehungen. Mit Verfügung vom 10. Juli 2012 leitete der Vorsitzende dieses Gerichts die Eingabe wegen örtlicher Unzuständigkeit der Behörden des Kantons Bern an das Kantonsgericht Obwalden weiter.
B.b Mit Entscheid vom 12. Juli 2012 trat das Kantonsgerichtspräsidium Obwalden auf die Eingabe X._s vom 9. Juli 2012 mangels örtlicher Zuständigkeit nicht ein.
B.c X._ (Beschwerdeführer) hat am 19. Juli 2012 (Postaufgabe) gegen die ihm am 11. Juli 2012 zugestellte Verfügung des Vorsitzenden des Obergerichts des Kantons Bern, Rekurskommission für fürsorgerische Freiheitsentziehungen, beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und das Obergericht des Kantons Bern anzuweisen, auf seinen Rekurs einzutreten. Des Weiteren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
C. Das Kantonsgerichtspräsidium Obwalden hat sich ohne ausdrücklichen Antrag vernehmen lassen. Das Obergericht des Kantons Bern schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist eine kantonale Verfügung, mit der das Obergericht des Kantons Bern auf einen Rekurs gegen eine Verweigerung der Entlassung aus der fürsorgerischen Freiheitsentziehung nicht eingetreten ist. Dabei handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid, zumal damit das Verfahren vor dem Obergericht abgeschlossen worden ist (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Zudem beschlägt er die fürsorgerische Freiheitsentziehung, mithin eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG), womit die Beschwerde in Zivilsachen ohne Weiteres gegeben ist. Der Beschwerdeführer war als Partei am kantonalen Verfahren beteiligt (<ref-law>); seinem Begehren um Entlassung wurde nicht entsprochen, sodass er über ein schützenswertes Interesse an der Beschwerde verfügt (<ref-law>). Auf die im Übrigen fristgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten (<ref-law>).
1.2 Der Entscheid des Kantonsgerichtspräsidiums Obwalden vom 12. Juli 2012 ist nicht formell Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
2. Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer habe mit Fax-Schreiben vom 9. Juli 2012 die gerichtliche Beurteilung der am 29. Juni 2012 verfügten ärztlichen fürsorgerischen Freiheitsentziehung verlangt. Sein Wohnsitz befinde sich im Kanton Obwalden, weshalb die dortigen Behörden in Anwendung von Art. 23 i.V.m. Art. 26, 397b und 397e Ziff. 3 ZGB zur Beurteilung des eigentlichen Rechtsmittels örtlich zuständig seien.
Der Beschwerdeführer macht geltend, gemäss <ref-law> entscheide die einweisende Behörde zwar auch über die Entlassung. Verlange der Betroffene, entlassen zu werden, so habe - bei entsprechender Delegation durch die einweisende Behörde - die Anstaltsleitung über das Gesuch zu befinden. Dieser Praxis der Behörden des Kantons Obwalden sei zuzustimmen, da den Spitalärzten nicht zugemutet werden könne, bei einem abweisenden Entscheid die für die Behandlung des Rekurses zuständige Gerichtsinstanz zu eruieren. Das Rechtsmittel sei in jenem Kanton einzureichen, in dem der Verfügungsakt ergangen sei.
Das Kantonsgerichtspräsidium Obwalden verweist auf seine Praxis. Es macht überdies geltend, bei einer Verantwortlichkeitsklage wegen widerrechtlichen Freiheitsentzuges nach <ref-law> seien die Gerichte desjenigen Kantons zuständig, in welchem der Arzt die Entlassung abgelehnt hat, zumal dieser Arzt als Verursacher des Schadens gelte. Das Obergericht des Kantons Bern bestätigt seinen gegenteiligen Standpunkt.
3. Im vorliegenden Fall ist strittig, wer zur Prüfung des Gesuchs des Beschwerdeführers vom 4. Juli 2012 um Entlassung aus der Anstalt zuständig ist. Im Folgenden wird erörtert, in wessen Kompetenzbereich die Anordnung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung fällt und ob diese Massnahme von der zuständigen Behörde angeordnet worden ist. In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage nach der Bedeutung der am 29. Juni 2012 verfügten "ärztlichen FFE".
4. 4.1 Nach <ref-law> ist eine vormundschaftliche Behörde am Wohnsitz des Betroffenen zur Anordnung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung zuständig. Bei Gefahr im Verzug fällt die Anordnung überdies in den Zuständigkeitsbereich einer vormundschaftlichen Behörde am Aufenthaltsort des Betroffenen. Für Fälle, in denen Gefahr im Verzug liegt oder die Person psychisch krank ist, können die Kantone diese Zuständigkeit ausserdem einer andern geeigneten Stelle einräumen (<ref-law>). Es gilt als unbestritten, dass der Beschwerdeführer in Q._, Kanton Obwalden, Wohnsitz hat, womit <ref-law> entsprechend eine vormundschaftliche Behörde dieses Ortes für die Anordnung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung zuständig ist.
4.2 Gemäss Art. 1 der Ausführungsbestimmungen des Kantons Obwalden über die fürsorgerische Freiheitsentziehung vom 16. Dezember 1980 ist der Einwohnergemeinderat zuständige Behörde im Sinn von <ref-law>. Er ist Vormundschaftsbehörde (Art. 56 EGZGB/OW vom 30. April 1911; Art. 1 der Ausführungsbestimmungen über die fürsorgerische Freiheitsentziehung vom 16. Dezember 1980 [SR 870.511]). Gemäss Art. 74a des Gesetzes des Kantons Obwalden über die Gerichtsorganisation vom 22. September 1996 (SR 134.1) ist das Kantonsgerichtspräsidium zuständige Behörde für die gerichtliche Beurteilung der Anordnung einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung. Entscheide des Kantonsgerichtspräsidiums können mit Beschwerde beim Obergericht angefochten werden (Art. 74b GOG).
4.3 Im vorliegenden Fall hat der Gemeindepräsident der Einwohnergemeinde Q._/OW am 24. Mai 2012 in Anwendung von <ref-law> die fürsorgerische Freiheitsentziehung angeordnet; diese Massnahme wurde vom Einwohnergemeinderat von Q._ als zuständiger Vormundschaftsbehörde mit Beschluss vom 4. Juni 2012 bestätigt (Sachverhalt A.a). Der Beschwerdeführer hat diesen Beschluss am 5. Juni 2012 beim Kantonsgerichtspräsidium Obwalden angefochten; die angerufene Instanz hat die Beschwerde am 19. Juni 2012 abgewiesen, worauf der Beschwerdeführer diesen Entscheid an das Obergericht des Kantons Obwalden weiterzog. Über dessen Entscheid ist nichts bekannt. Damit ist einmal klargestellt, dass das Obergericht des Kantons Bern im hier angefochtenen Entscheid irrtümlicherweise angenommen hat, der Beschwerdeführer habe um die gerichtliche Beurteilung der Anordnung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung ersucht. Vor Obergericht hat er vielmehr die Verweigerung der Entlassung gerügt.
4.4 Aufgrund dieser tatsächlichen und rechtlichen Gegebenheiten besteht somit eine durch die zuständige Vormundschaftsbehörde angeordnete fürsorgerische Freiheitsentziehung, die zum Zeitpunkt der am 29. Juni 2012 verfügten "ärztlichen FFE" nicht aufgehoben war. Damit aber bedurfte es keiner weiteren Anordnung einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung durch den Oberarzt der Psychiatrie A._, Dr. med. Y._. Die von ihm als "ärztlicher FFE" bezeichnete Verfügung war jedenfalls keine rechtsgültige Anordnung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung. Bei dessen "Verfügung" kann es sich nur um eine Überstellung in eine andere Anstalt handeln. Als Nächstes stellt sich nunmehr die Frage, wer für die Behandlung des Entlassungsgesuchs örtlich zuständig ist.
5. 5.1 Hat - wie hier - eine vormundschaftliche Behörde am Wohnsitz des Betroffenen die fürsorgerische Freiheitsentziehung angeordnet, befindet auch sie über die Entlassung (<ref-law> Satz 1). In den anderen Fällen entscheidet darüber die Anstalt (Art. 397b Abs. 3 letzter Satz). Örtlich zuständig ist in der Regel die gleiche vormundschaftliche Behörde, welche die Einweisung veranlasst hat (THOMAS GEISER, Basler Kommentar Zivilgesetzbuch I, 4. Auflage 2010, N. 16 zu <ref-law>). Erfolgte die Einweisung durch eine vormundschaftliche Behörde, ist die Anstalt, in der die Massnahme vollzogen wird, nicht zur Entlassung befugt (GEISER, a.a.O., N. 17 zu <ref-law>). Damit steht die Entlassungskompetenz dem Einwohnergemeinderat Q._ zu, womit die Behandlung des Entlassungsbegehrens ausschliesslich in seine Zuständigkeit fällt.
5.2 Zwar lässt sich den Materialien entnehmen, dass die vormundschaftliche Behörde in ihrem Einweisungsbeschluss die Befugnis zur Entlassung der Anstalt übertragen kann (Botschaft über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Fürsorgerische Freiheitsentziehung] und den Rückzug des Vorbehaltes zu Artikel 5 der Konvention zum Schutze der Menschenrechte und Grundfreiheiten vom 17. August 1977, BBl 1977 III 1/31 Ziff. 221.2. am Ende). Im konkreten Fall kann indes dem Beschluss des Einwohnergemeinderates vom 4. Juni 2012 keine Delegation der Entlassungskompetenz an die jeweilige Anstalt entnommen werden. Vielmehr ergibt sich daraus gegenteilig, dass die Vormundschaftsbehörde über die Entlassung aus der Anstalt befindet (Ziffer 3 des Dispositivs). Ist aber keine Delegation der Entlassungskompetenz auszumachen, so sind im konkreten Fall die Behörden des Kantons Bern zur Behandlung des Entlassungsgesuchs nicht zuständig. Liegt aber kein von der zuständigen Behörde im Sinn von Art. 397b Abs. 1 und 3 gefällter Entscheid über das Entlassungsgesuch vor, stellt sich die Frage der gerichtlichen Beurteilung der Verweigerung der Entlassung nicht. Diese setzt vielmehr einen entsprechenden von der zuständigen Behörde gefällten Entscheid über das Entlassungsgesuch voraus.
6. Bei dieser Sachlage hätte das Obergericht die Verfügung der ärztlichen Leitung der Privatklinik B._ vom 5. Juli 2012 aufheben und das Entlassungsgesuch des Beschwerdeführers vom 4. Juli 2012 an die Behörden des Kantons Obwalden überweisen sollen. In diesem Sinn muss die Beschwerde teilweise gutgeheissen und die Verfügung der ärztlichen Leitung der Privatklinik B._ aufgehoben werden. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Ob innerkantonal - wie vom Obergericht des Kantons Bern angenommen - das Kantonsgericht Obwalden zur Behandlung des Entlassungsgesuchs zuständig ist oder ob dieses den vorliegenden Entscheid in das möglicherweise vor Obergericht des Kantons Obwalden noch hängige Beschwerdeverfahren einzubringen hat oder ob das Gesuch zur erstinstanzlichen Behandlung an den Einwohnergemeinderat Q._ zu überweisen ist, hat das Kantonsgericht zu entscheiden.
7. Den Umständen des konkreten Falles entsprechend werden keine Kosten erhoben (<ref-law>).
8. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist gutzuheissen, zumal er bedürftig ist und sich die Sache nicht als von vornherein aussichtslos erwiesen hat. Dem Beschwerdeführer ist ein amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen, der für seine Bemühungen aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Verfügung der ärztlichen Leitung der Privatklinik B._ vom 5. Juli 2012 wird aufgehoben und das Entlassungsgesuch vom 4. Juli 2012 an das Kantonsgericht Obwalden weiter geleitet. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwalt Remo Gilomen als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Rechtsanwalt Remo Gilomen wird aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 2'000.-- entrichtet.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der ärztlichen Leitung der Privatklinik B._, dem Kantonsgericht Obwalden und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, Rekurskommission für fürsorgerische Freiheitsentziehungen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden