Sachverhalt:
A. X._ wird der versuchten Erpressung verdächtigt. Es wird ihm vorgeworfen, er habe einen vom 27. März 2008 datierten Brief an das Anwaltsbüro A._ und B._ verfasst. Darin habe er die Bezahlung von Euro 350'000.-- verlangt wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses durch Rechtsanwältin B._, welche diese angeblich im Jahre 2005 in einem Strafverfahren gegen X._ begangen habe. Die Forderung um Bezahlung des genannten Betrags habe er verbunden mit der Androhung, im Falle des Zahlungsverzugs werde er jemanden vorbeischicken, der Rechtsanwalt A._ und Rechtsanwältin B._ oder deren Angestellten und Verwandten Gliedmassen abtrennen werde. Ein Offizier aus fremden Diensten werde für eine "internationale Züchtigung" besorgt sein.
Am 22. April 2008 nahm die Kantonspolizei Bern X._ fest. Zwei Tage darauf wurde er in das Kantonalgefängnis Frauenfeld überführt. Am 29. April 2008 ordnete der Präsident der Anklagekammer des Kantons Thurgau erstmals die Untersuchungshaft an und verlängerte sie in der Folge mehrfach. Am 9. September 2008 wurde X._ zum weiteren Vollzug der Untersuchungshaft ins Psychiatriezentrum Rheinau eingewiesen.
Am 15. Dezember 2008 stellte X._ wieder ein Haftentlassungsgesuch. Sodann beantragte die Staatsanwaltschaft am 16. Dezember 2008 aufgrund des Abschlusses der Untersuchung, der Angeschuldigte sei in Sicherheitshaft zu versetzen. Der Präsident der Anklagekammer des Kantons Thurgau vereinigte die beiden Verfahren. Mit Verfügung vom 24. Dezember 2008 wies er das Haftentlassungsgesuch ab und versetzte den Angeschuldigten mit Wirkung ab 21. Dezember 2008 in Sicherheitshaft. Zudem ordnete er an, dass die Sicherheitshaft gestützt auf § 114 Abs. 1 der Strafprozessordnung des Kantons Thurgau vom 30. Juni 1970/5. November 1991 (StPO/TG; RB 312.1) stationär im Psychiatriezentrum Rheinau vollzogen werde.
B. Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 15. Februar 2009 beantragt X._ im Wesentlichen, die Verfügung des Präsidenten der Anklagekammer des Kantons Thurgau sei aufzuheben und er selbst sei aus der Haft zu entlassen.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau beantragt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Der Präsident der Anklagekammer des Kantons Thurgau beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Er ergänzt, neben dringendem Tatverdacht auf versuchte Erpressung liege auch ein solcher auf Sachbeschädigung, auf Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte sowie auf Hinderung einer Amtshandlung vor. Der Beschwerdeführer verzichtet auf eine Replik.
C. Am 19. Februar 2009 verfügte die Staatsanwaltschaft, der Angeklagte sei zur Weiterführung der Sicherheitshaft am 23. Februar 2009 vom Psychiatriezentrum Rheinau wieder ins Kantonalgefängnis Frauenfeld zu bringen.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen. Ein kantonales Rechtsmittel gegen den angefochtenen Entscheid steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach Art. 80 i.V.m. <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer nahm vor der Vorinstanz am Verfahren teil und hat ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Er ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Das Bundesgericht kann nach <ref-law> bei Gutheissung der Beschwerde in der Sache selbst entscheiden. Deshalb ist der Antrag auf Haftentlassung zulässig. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Die Untersuchungshaft schränkt die persönliche Freiheit des Beschwerdeführers ein (Art. 10 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>, Art. 5 EMRK). Eine Einschränkung dieses Grundrechts ist zulässig, wenn sie auf einer gesetzlichen Grundlage beruht, im öffentlichen Interesse liegt und verhältnismässig ist; zudem darf sie den Kerngehalt des Grundrechts nicht beeinträchtigen (<ref-law>). Im vorliegenden Fall steht ein Freiheitsentzug und damit eine schwerwiegende Einschränkung der persönlichen Freiheit in Frage. Es bedarf deshalb sowohl nach <ref-law> als auch nach <ref-law> einer Grundlage im Gesetz selbst.
Im Hinblick auf die Schwere der Einschränkung prüft das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung der kantonalen Rechtsgrundlage frei. Soweit reine Sachverhaltsfeststellungen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Instanz willkürlich sind (<ref-ruling> E. 2.1 S. 186 mit Hinweisen).
Laut § 106 Abs. 1 Ingress und Ziff. 3 StPO/TG kann gegen Angeschuldigte ein Haftbefehl erlassen werden, wenn die Fortsetzung der strafbaren Tätigkeit ernsthaft zu befürchten ist. Gemäss vorinstanzlichem Entscheid bestehen ein dringender Verdacht der versuchten Erpressung (<ref-law>) und Fortsetzungsgefahr. Der Beschwerdeführer bestreitet den dringenden Tatverdacht nicht. Er macht jedoch geltend, es fehle am Haftgrund der Fortsetzungsgefahr.
2.2 Sinn und Zweck der Anordnung von Haft wegen Fortsetzungsgefahr ist die Verhütung von Verbrechen. Die Haft ist somit überwiegend Präventivhaft. Die Notwendigkeit, den Angeschuldigten an der Begehung einer strafbaren Handlung zu hindern, anerkennt Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK ausdrücklich als Haftgrund. Die Anordnung von Haft wegen Fortsetzungsgefahr dient auch dem strafprozessualen Ziel der Beschleunigung, indem verhindert wird, dass sich das Verfahren durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht (<ref-ruling> E. 2c S. 270 mit Hinweis).
Nach der Rechtsprechung ist die Anordnung von Untersuchungshaft wegen Fortsetzungsgefahr verhältnismässig, wenn die Rückfallprognose sehr ungünstig ist und die zu befürchtenden Delikte von schwerer Natur sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 276 mit Hinweisen).
2.3 Am 6. Juni 2008 wurde ein psychiatrisches Kurzgutachten unter anderem zur Frage erstattet, inwieweit beim Beschwerdeführer Fortsetzungsgefahr gegeben sei. Am 19. Dezember 2008 verfasste der Gutachter zu Handen der Staatsanwaltschaft einen ärztlichen Bericht, der sich mit derselben Frage auseinandersetzt. Danach zeigt das Krankheitsbild des Beschwerdeführers unter der antipsychotischen Medikation deutliche Besserungstendenzen im Sinne einer nachlassenden Wahndynamik, es soll aber keineswegs vollständig abgeklungen sein. Der Beschwerdeführer habe sich kognitiv-rational von seinen früheren Wahnideen distanziert und nicht mehr bestritten, das erpresserische Schreiben verfasst zu haben. Gleichzeitig habe er das Schreiben bagatellisiert und von der Untersuchungsbehörde erwartet, es nicht ernst zu nehmen. Der Gutachter kommt zum Schluss, eine Entlassung des Beschwerdeführers an seinen Wohnort in Bern, wo er über keine tragfähigen sozialen Beziehungen verfüge, könne noch nicht befürwortet werden. Er empfiehlt den vorzeitigen Antritt einer stationären therapeutischen Massnahme nach <ref-law>, die später in eine ambulante Behandlung überführt werden könne. Dies setze allerdings die erfolgreiche Durchführung gestufter Belastungserprobungen in einem schrittweise zu erweiternden Lockerungsrahmen, anhaltende psychische Stabilität und verlässliche Mitarbeit in der Behandlung sowie die Einrichtung eines geeigneten sozialen Empfangsraums mit ausreichenden Kontrollinstanzen voraus. Gegenwärtig bestehe ein hohes Risiko für eine erneute Verschlimmerung des Krankheitsbildes, insbesondere bei sozialer Isolation und erhöhtem Realitätsdruck. Mit einem erneuten Krankheitsrezidiv würde sich die Gefahr für erneute, krankhaft-paranoid motivierte aggressive Fehlverhaltensweisen bis hin zu weiteren Drohungen deutlich erhöhen. Eine eingehendere Beurteilung werde sodann im ausführlichen Gutachten erfolgen, das etwa auf Ende Februar 2009 fertig gestellt werden könne.
Der Amtsarzt des Bezirks Kreuzlingen kommt in seinem Bericht vom 10. Dezember 2008 zu einer ähnlichen Einschätzung. Er empfiehlt die Einweisung in eine geschlossene psychiatrische Einrichtung, wo eine überwachte Medikamenteneinnahme möglich sei.
2.4 Der Beschwerdeführer ist einschlägig vorbestraft (Urteil des Bundesgerichts 1B_168/2008 vom 1. September 2008 E. 2.7). Am 29. März 2007 verurteilte ihn das Obergericht des Kantons Thurgau wegen Drohung (begangen am 3. März 2005) sowie wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte (begangen am 15. Oktober 2005) zu einer bedingten Geldstrafe von 21 Tagessätzen zu Fr. 120.-- und zu Fr. 170.-- Busse.
Dem ärztlichen Bericht des Gutachters ist zu entnehmen, dass sich das Krankheitsbild zwar verbessert hat, jedoch ein hohes Risiko für eine erneute Verschlechterung besteht. Eine ambulante Behandlung soll derzeit ungenügend sein. Es ist folglich anzunehmen, dass eine Haftentlassung des Beschwerdeführers mit dem hohen Risiko eines Rückfalls einhergehen würde. Die Gefahr für erneute, krankhaft-paranoid motivierte aggressive Fehlverhaltensweisen bis hin zu erneuten Drohungen würde sich weiter deutlich erhöhen.
Somit besteht im Falle der Haftentlassung ein grosses Risiko erneuter schwerer Drohungen, verbunden mit erpresserischen Forderungen, wie sie dem Beschwerdeführer vorgeworfen werden. Es handelt sich dabei um schwere Delikte. Bedroht der Täter bei einer Erpressung eine Person mit einer gegenwärtigen Gefahr für Leib und Leben, wird er gemäss Art. 156 Ziff. 3 in Verbindung mit <ref-law> mit Freiheitsstrafe bis zu 10 Jahren oder Geldstrafe nicht unter 180 Tagessätzen bestraft. Es geht insoweit nach <ref-law> um ein Verbrechen. Schon der Grundtatbestand der Erpressung nach <ref-law> stellt im Übrigen ein Verbrechen dar.
2.5 Insgesamt durfte die Vorinstanz ohne Verfassungsverletzung davon ausgehen, dass eine Fortsetzungsgefahr bestehe. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet. Es kann offen bleiben, inwiefern diesbezüglich der von der Vorinstanz erst im Rahmen der Vernehmlassung angeführte Vorwurf des dringenden Verdachts auf Sachbeschädigung, auf Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte sowie auf Hinderung einer Amtshandlung zu berücksichtigen wäre.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer befindet sich seit dem 22. April 2008 in Haft. Er rügt, die Dauer der Haft sei unverhältnismässig. Gestufte Belastungserprobungen mit schrittweiser Lockerung der Freiheitsbeschränkung seien unter dem Regime der Sicherheitshaft nicht durchführbar. Unter den gegebenen Umständen könne er mit einer Geldstrafe oder einer Freiheitsstrafe von wenigen Monaten rechnen. Damit bestehe die Gefahr von Überhaft. Die Vorinstanz habe diese Frage nicht geprüft.
Die Vorinstanz argumentiert, bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit sei zu berücksichtigen, dass eine stationäre Massnahme im Sinne von <ref-law> erst aufgehoben werden könne, wenn die Voraussetzungen der bedingten Entlassung nach <ref-law> erfüllt seien. Die Frage der Verhältnismässigkeit stelle sich erst dann, wenn der Angeschuldigte aus der stationären Massnahme entlassen und in den ordentlichen Vollzug zurückversetzt werden könne.
3.2 Gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich beurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt (<ref-ruling> E. 3.4.2 S. 281).
Im Haftrichterentscheid sind sämtliche Gesichtspunkte darzulegen, die für die Beurteilung der strafprozessualen Haft wesentlich sind (<ref-law>). Nur auf diese Weise kann ein den verfassungs- und konventionsrechtlichen Grundsätzen genügender Entscheid erfolgen. Gerade weil es sich bei der Vorinstanz im einstufigen Thurgauer System um die einzige richterliche Haftprüfungsinstanz handelt, darf an die Begründungspflicht kein tiefer Massstab angelegt werden. Zu berücksichtigen ist auch, dass es bei der Frage der Zulässigkeit von Untersuchungshaft um einen äusserst schwerwiegenden Eingriff in die persönliche Freiheit geht. Zu einem verfassungsrechtlich einwandfreien Verfahren gehört, dass der Haftrichter die wesentlichen Tatsachen und Rechtsfragen umfassend erhebt und würdigt und diese Beurteilung in seinem Entscheid darlegt (<ref-ruling> E. 3.5.1 S. 283 f. mit Hinweisen).
Das Bundesgericht kann nach <ref-law> einen Entscheid, der den Anforderungen von <ref-law> nicht genügt, an die kantonale Behörde zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben. Enthält der Haftrichterentscheid zu den massgeblichen Fragen keine Begründung, ist er in Anwendung von <ref-law> aufzuheben und die Sache an den Haftrichter zurückzuweisen, damit er einen Entscheid treffe, der den Anforderungen von <ref-law> genügt (Urteil des Bundesgerichts 1B_168/2008 vom 1. September 2008 E. 3.2.2 mit Hinweis).
Das Bundesgericht kann nach <ref-law> einen Entscheid, der den Anforderungen von <ref-law> nicht genügt, an die kantonale Behörde zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben. Enthält der Haftrichterentscheid zu den massgeblichen Fragen keine Begründung, ist er in Anwendung von <ref-law> aufzuheben und die Sache an den Haftrichter zurückzuweisen, damit er einen Entscheid treffe, der den Anforderungen von <ref-law> genügt (Urteil des Bundesgerichts 1B_168/2008 vom 1. September 2008 E. 3.2.2 mit Hinweis).
3.3 3.3.1 Die Feststellung der Vorinstanz, wonach sich bei vorzeitigem Massnahmenvollzug die Frage der Verhältnismässigkeit erst stellen soll, wenn die Voraussetzungen von <ref-law> gegeben sind, ist unzutreffend. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> E. 5 S. 176 ff. - im Zusammenhang mit dem vorzeitigen Massnahmevollzug - dargelegt, wie einer zu erwartenden stationären Massnahme bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer Rechnung zu tragen ist. Danach muss sich der Haftrichter insbesondere an der Therapieprognose des gerichtlich bestellten psychiatrischen Gutachters orientieren sowie an der diesbezüglichen Einschätzung des erkennenden Strafgerichts, sofern bereits ein (noch nicht rechtskräftiges) Urteil vorliegt. Das Bundesgericht wies darauf hin, dass für die Verneinung der Überhaft der blosse Hinweis, freiheitsentziehende Massnahmen würden auf unbestimmte Dauer ausgesprochen, nicht genüge.
3.3.2 Nach ständiger Rechtsprechung sind sodann anstelle von Untersuchungshaft Ersatzmassnahmen zu verfügen, wenn und solange sich der Haftzweck auch auf diese Weise erreichen lässt (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 279). Das hierin zum Ausdruck kommende Verhältnismässigkeitsprinzip (Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 BV) gilt auch für die Haftmodalitäten. Das Verhältnismässigkeitsprinzip gebietet, dass der Angeschuldigte, der sich aufgrund einer zu erwartenden stationären therapeutischen Massnahme in Untersuchungs- bzw. Sicherheitshaft befindet, grundsätzlich nicht schlechter gestellt wird, als wenn die Massnahme bereits angeordnet worden wäre. Dies verlangt, dass die Haftmodalitäten den Bestimmungen über die stationären therapeutischen Massnahmen entsprechen, soweit sich der Haftzweck auch auf diese Weise erreichen lässt. Die betreffenden Bestimmungen sind analog anzuwenden (<ref-law> und Art. 90 i.V.m. <ref-law>). Der Haftrichter hat demnach sowohl Vollzugsöffnungen zu prüfen als auch, ob der Inhaftierte in analoger Anwendung von <ref-law> unter der Verpflichtung zu ambulanter Behandlung entlassen werden kann. Ist wie vorliegend anzunehmen, dass nur deshalb keine Überhaft besteht, weil mit der Anordnung einer stationären Massnahme gerechnet werden kann, so ist das Interesse an einer wirksamen Therapie und Resozialisierung verstärkt zu berücksichtigen.
3.3.3 Die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe es unterlassen, zur Verhältnismässigkeit der Haft Stellung zu nehmen, ist deshalb begründet. Es ist jedoch nicht Sache des Bundesgerichts, sich dazu erstmals zu äussern, zumal die Haftdauer aufgrund der zur Verfügung stehenden Akten nicht als offensichtlich unverhältnismässig erscheint. Eine eingehende Überprüfung muss unter anderem die Vorstrafen des Beschwerdeführers berücksichtigen, wozu dem Bundesgericht die notwendigen Unterlagen fehlen.
4. Der Beschwerdeführer beantragt, er sei aus der Sicherheitshaft zu entlassen. Da die Vorinstanz den dringenden Tatverdacht und die Fortsetzungsgefahr bejahen durfte und da sich die Haftdauer aufgrund der dem Bundesgericht vorliegenden Akten nicht als offensichtlich unverhältnismässig erweist, ist zum gegenwärtigen Zeitpunkt eine Entlassung aus der Sicherheitshaft nicht gerechtfertigt (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.3 S. 282; <ref-ruling> E. 4.4 S. 154; Urteil 1P.90/2005 vom 23. Februar 2005, E. 4, publ. in Pra 2006 Nr. 1 S. 1).
Die Sache wird zur neuen Beurteilung im Sinne der vorangehenden Erwägungen an den Haftrichter zurückgewiesen (<ref-law>). Der Haftrichter wird seinen Entscheid in einer den verfassungsrechtlichen Anforderungen genügenden Weise zu begründen haben (vgl. <ref-ruling> E. 3.5.1 S. 283 f.). Neben der Haftdauer wird er auch die Vollzugsmodalitäten zu prüfen haben. Dabei ist einerseits das auf Ende Februar 2009 in Aussicht gestellte psychiatrische Gutachten zu berücksichtigen und andererseits der Umstand, dass die Staatsanwaltschaft am 19. Februar 2009 verfügte, der Angeklagte sei zur Weiterführung der Sicherheitshaft wieder ins Kantonalgefängnis zu bringen.
Nach dem Gesagten hatte der Beschwerdeführer Anlass zur Beschwerde. Es rechtfertigt sich, keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Thurgau hat dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Damit erweist sich sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Verfügung des Präsidenten der Anklagekammer des Kantons Thurgau vom 24. Dezember 2008 aufgehoben. Die Sache wird zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen an den Haftrichter zurückgewiesen.
2. Das Haftentlassungsgesuch wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und der Anklagekammer des Kantons Thurgau, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold