Sachverhalt:
A. X._ arbeitete als Pflegerin im Pflegeheim A._. Im Rahmen dieses Arbeitsverhältnisses war sie einem Kollektivvertrag mit der Versicherung Y._ AG (im Folgenden: Y._) angeschlossen, der eine Krankentaggeldversicherung gemäss Versicherungsvertragsgesetz (VVG) umfasste. Nachdem X._ im Pflegeheim mehrere Brände gelegt hatte, wurde das Arbeitsverhältnis mit Wirkung ab 8. November 2004 aufgelöst. Seit diesem Tag befindet sich X._ in Haft, zunächst in Untersuchungshaft und seit dem 7. Dezember 2004 in der Strafanstalt B._. Dort wurde sogleich eine psychiatrische Behandlung aufgenommen. Zur Weiterführung des Versicherungsverhältnisses mit der Y._ unterzeichnete X._ am 22. Januar 2005 einen Antrag zum Übertritt in die Einzeltaggeldversicherung.
Mit Schreiben vom 23. Februar 2005 meldete X._, vertreten durch ihren Ehemann Z._, den Krankheitsfall bei der Y._ an. Sie legte ein Zeugnis des Psychiatrischen Dienstes der Universität C._ bei, wonach die Fortsetzung der am 7. Dezember 2004 begonnenen psychiatrischen Behandlung notwendig sei. Y._ lehnte die Ausrichtung von Taggeldleistungen ab mit der Begründung, X._ befinde sich in Haft und es liege deshalb kein krankheitsbedingter Erwerbsausfall vor.
B. Mit Eingaben vom 9. und 18. September 2005 reichte X._ beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau gegen Y._ Klage ein und beantragte, die Beklagte zu verpflichten, ihr das vertragliche Krankentaggeld auszurichten.
Das Versicherungsgericht (4. Kammer) wies die Klage durch Urteil vom 7. März 2006 ab.
C. Gestützt auf eine unzutreffende Rechtsmittelbelehrung gelangte die Klägerin, vertreten durch ihren Ehemann, mit einer vom 10. April 2006 datierten und am 12. April 2006 zur Post gebrachten Eingabe an das Eidgenössische Versicherungsgericht. Dieses erkannte am 6. Juni 2006, dass auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht eingetreten und die Sache im Sinne von Art. 107 Abs. 2 OG zur weiteren Behandlung an das Bundesgericht überwiesen werde.
Als Beilage zu einem Schreiben vom 26. Oktober 2006 liess die Klägerin verschiedene Schriftstücke nachreichen.
Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist vorher ergangen, so dass noch die Bestimmungen des Bundesrechtspflegegesetzes (OG) anzuwenden sind (vgl. <ref-law>).
1.2 Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur obligatorischen Grundversicherung gemäss Krankenversicherungsgesetz sind vermögensrechtliche Zivilrechtsstreitigkeiten im Sinne von Art. 46 OG (dazu <ref-ruling> E. 1a S. 46 ff.), für die die Berufung zulässig ist. Die in dieser Bestimmung festgelegte Streitsumme von 8000 Franken ist hier bei weitem erreicht.
1.3 Der als Vertreter zeichnende Ehemann ist nicht gesetzlicher Vertreter der Klägerin. In Zivilsachen können grundsätzlich nur patentierte Anwälte (und Rechtslehrer an schweizerischen Hochschulen) als Parteivertreter vor Bundesgericht auftreten (Art. 29 Abs. 2 OG). Da die Rechtsschrift aufgrund einer unzutreffenden Belehrung im angefochtenen Entscheid ursprünglich als Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingereicht worden ist, ist darauf ausnahmsweise trotzdem einzutreten. Es erscheint im Übrigen nicht erforderlich, die Klägerin zur Anpassung ihrer Eingabe an die Bestimmungen von Art. 43 ff. OG anzuhalten.
1.4 Bei den von der Klägerin nachträglich eingereichten Schriftstücken handelt es sich im Wesentlichen um solche, die sich schon bei den vom Eidgenössischen Versicherungsgericht überwiesenen Akten der kantonalen Instanz befanden. Die nachgereichte Vernehmlassung der Beklagten vom 15. Mai 2006 zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist hier von vornherein nicht zu berücksichtigen.
2. Das grundsätzlich anwendbare Versicherungsvertragsgesetz enthält keine spezifischen Bestimmungen zum Krankentaggeld. Mit dem kantonalen Versicherungsgericht ist deshalb auf die vertraglichen Vereinbarungen der Parteien abzustellen. Die Zusätzlichen Versicherungsbedingungen zur Taggeld-Versicherung bestimmen in Ziffer 1, dass diese Versicherung bis zur Höhe des versicherten Taggeldes "den nachgewiesenen Einkommensausfall, der durch eine krankheits- oder unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit entsteht", deckt.
2.1 Das kantonale Versicherungsgericht geht unter Hinweis auf das vom 23. Mai 2005 datierte Gutachten von Dr. T._, Oberärztin in der Psychiatrischen Klinik D._, davon aus, dass die Klägerin seit längerer Zeit psychisch erkrankt sei. Sie leide an einer dissoziativen Störung, an kombinierter Persönlichkeitsstörung sowie an einem Benzodiazepin-Abhängigkeitssyndrom. Diese psychische Erkrankung habe jedoch erst am 7. Dezember 2004 zu einer ärztlich attestierten Arbeitsunfähigkeit geführt. Weder in jenem Zeitpunkt noch im Zeitpunkt der Meldung des Schadensfalles (23. Februar 2005) sei die Klägerin erwerbstätig gewesen, zumal das Anstellungsverhältnis beim Pflegeheim A._ per 8. November 2004 aufgelöst worden sei. Da die Klägerin inhaftiert sei, sei sie sodann - unabhängig von ihrem Gesundheitszustand - weder in der Lage noch berechtigt, eine Arbeitstätigkeit ausserhalb der Strafanstalt auszuüben. Infolge des aufgelösten Arbeitsverhältnisses sei im massgebenden Zeitpunkt keine Einkommenseinbusse eingetreten und mangels Erfüllung der gesetzlichen Anspruchsvoraussetzung der Vermittlungsfähigkeit auch kein Verlust von Arbeitslosenentschädigung. Trotz krankheitsbedingter Arbeitsunfähigkeit stehe der Klägerin aus den dargelegten Gründen kein Anspruch auf Taggeldleistungen der Beklagten zu.
2.1 Das kantonale Versicherungsgericht geht unter Hinweis auf das vom 23. Mai 2005 datierte Gutachten von Dr. T._, Oberärztin in der Psychiatrischen Klinik D._, davon aus, dass die Klägerin seit längerer Zeit psychisch erkrankt sei. Sie leide an einer dissoziativen Störung, an kombinierter Persönlichkeitsstörung sowie an einem Benzodiazepin-Abhängigkeitssyndrom. Diese psychische Erkrankung habe jedoch erst am 7. Dezember 2004 zu einer ärztlich attestierten Arbeitsunfähigkeit geführt. Weder in jenem Zeitpunkt noch im Zeitpunkt der Meldung des Schadensfalles (23. Februar 2005) sei die Klägerin erwerbstätig gewesen, zumal das Anstellungsverhältnis beim Pflegeheim A._ per 8. November 2004 aufgelöst worden sei. Da die Klägerin inhaftiert sei, sei sie sodann - unabhängig von ihrem Gesundheitszustand - weder in der Lage noch berechtigt, eine Arbeitstätigkeit ausserhalb der Strafanstalt auszuüben. Infolge des aufgelösten Arbeitsverhältnisses sei im massgebenden Zeitpunkt keine Einkommenseinbusse eingetreten und mangels Erfüllung der gesetzlichen Anspruchsvoraussetzung der Vermittlungsfähigkeit auch kein Verlust von Arbeitslosenentschädigung. Trotz krankheitsbedingter Arbeitsunfähigkeit stehe der Klägerin aus den dargelegten Gründen kein Anspruch auf Taggeldleistungen der Beklagten zu.
2.2 2.2.1 Vorab ist zu bemerken, dass den Ausführungen im angefochtenen Entscheid insofern ein offensichtliches - von Amtes wegen zu berichtigendes - Versehen im Sinne von Art. 63 Abs. 2 OG zugrunde liegt, als das von der Vorinstanz angerufene Zeugnis des Psychiatrischen Dienstes an der Medizinischen Fakultät der Universität C._ vom 17. Februar 2005 sich in keiner Weise zur Arbeitsfähigkeit der Klägerin äussert. Aus dem Bericht lässt sich somit nicht schliessen, die Klägerin sei erst vom 7. Dezember 2004 an arbeitsunfähig gewesen.
2.2.2 Es trifft sodann zwar zu, dass die Klägerin - vordergründig - wegen der von ihr am Arbeitsort gelegten Brände entlassen wurde. Das vom kantonalen Versicherungsgericht herangezogene Gutachten der Psychiatrischen Klinik D._ vom 23. Mai 2005 bestätigt indessen nicht nur das Vorbringen der Klägerin, sie sei bereits seit längerer Zeit psychisch krank gewesen; es ergibt sich aus diesem Bericht auch klar, dass die Brandstiftungen auf die festgestellten gesundheitlichen Störungen zurückzuführen waren. Der Funktion nach ist der Anstaltsaufenthalt denn auch dem Aufenthalt in einer Klinik gleichzusetzen. Dass der Arbeitgeber die Entlassung der Klägerin vom 8. November 2004 (nur) mit den - vordergründig als Einziges in Erscheinung getretenen - Brandstiftungen begründete, ist ohne Belang. Stellen die Brandstiftungen mithin krankheitsbedingte Handlungen dar, ist der Entlassungsgrund in der Erkrankung zu erblicken und die Arbeitsunfähigkeit als krankheitsbedingt zu qualifizieren. Der Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit ist damit auf die Zeit des deliktischen Handelns der Klägerin anzusetzen, und nicht erst auf den Zeitpunkt ihres Eintritts in die Strafanstalt.
Im Sozialversicherungsrecht ist vorgesehen, dass die Auszahlung von Geldleistungen mit Erwerbsersatzcharakter eingestellt werden kann für die Zeit, da sich die versicherte Person im Straf- oder Massnahmenvollzug befindet (Art. 21 Abs. 5 des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG; SR 830.1]). Für den Fall, dass der Anspruchsberechtigte sich wegen im Vordergrund stehender Behandlungsbedürftigkeit im Massnahmenvollzug nach (a)<ref-law> befindet, hat das Eidgenössische Versicherungsgericht die Sistierung einer Invalidenrente indessen abgelehnt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 216). In die gleiche Richtung weist ebenfalls ein Urteil des Waadtländer Kantonsgerichts vom 2. Juni 2004 (teilweise abgedruckt in JAR 2005, S. 456 ff.), wonach <ref-law> (Kündigungsschutz bei krankheitsbedingter Arbeitsunfähigkeit) auch dann zum Tragen komme, wenn die Arbeitsunfähigkeit nicht ausschliesslich auf die Krankheit zurückzuführen sei, sondern auch auf einen anderen Grund, oder wenn zunächst dieser andere Grund die Arbeitsunfähigkeit verursacht habe (a.a.O. S. 457 f., E. 3b).
2.3 Aufgrund des Dargelegten ist festzuhalten, dass das kantonale Versicherungsgericht die Kausalität zu eng gefasst hat. Dessen Würdigung der tatsächlichen Gegebenheiten lässt sich mit der einschlägigen Vertragsbestimmung nicht vereinbaren. Die Klage wurde zu Unrecht abgewiesen, so dass die Berufung gutzuheissen und das angefochtene Urteil aufzuheben ist. Da die Vorinstanz sich zum Quantitativen (Dauer und Höhe der Taggeldleistungen) nicht geäussert hat, ist die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne des Ausgeführten an sie zurückzuweisen.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist die Gerichtsgebühr der Beklagten aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Der Klägerin, die nicht durch einen Anwalt vertreten ist, ist praxisgemäss keine Parteientschädigung zuzusprechen, zumal kein ausserordentlicher Aufwand dargetan ist, der eine solche zu rechtfertigen vermöchte (<ref-ruling> E. 6b S. 357 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 5b S. 519 f.).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Berufung wird das Urteil des Versicherungsgerichts (4. Kammer) des Kantons Aargau vom 7. März 2006 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beklagten auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht (4. Kammer) des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Januar 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: