Sachverhalt:
A. Das Betreibungsamt Schaffhausen vollzog in der gegen X._ laufenden Betreibung Nr. 1 (Gläubigerin: Y._ AG) am 14. Januar 2009 die Pfändung (Pfändungsurkunde vom 6. Februar 2009). Am 23. Februar 2009 verlangte die Gläubigerin die Nachpfändung von 100 Inhaberaktien der A._ AG, deren Alleinaktionär der Schuldner sein soll. Am folgenden Tag lud das Betreibungsamt X._ auf den 4. März 2009 zur Nachpfändung vor. Nachdem der Schuldner ausblieb, liess ihn das Betreibungsamt am 17. März 2009 (rechtshilfeweise durch das Gemeindeammann- und Betreibungsamt Niederglatt) einvernehmen. Auf die Frage nach 100 Inhaberaktien der A._ AG, welche gemäss Begehren der Gläubigerin zu pfänden seien, erklärte er, keine Aktien zu besitzen; diese seien auch nicht bei seiner Mutter. Er werde die Namen der Aktionäre nicht bekanntgeben. Mit Schreiben vom 25. März 2009 forderte das Betreibungsamt Schaffhausen X._ unter Strafandrohung auf, "die Eigentümer der Inhaberaktien der A._ AG mitzuteilen".
B. Gegen diese Aufforderung gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Schaffhausen als Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen. Er beklagte sich über das Vorgehen des Betreibungsamtes und beantragte die Aufhebung der Aufforderung vom 25. März 2009. Mit Entscheid vom 24. Juli 2009 wies die kantonale Aufsichtsbehörde die Beschwerde ab und gab der Aufsichtsanzeige keine Folge.
C. X._ ist mit als "staatsrechtliche Beschwerde" bezeichneter Eingabe vom 5. August 2009 (Postaufgabe) an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer verlangt sinngemäss die Aufhebung des Entscheides der kantonalen Aufsichtsbehörde vom 24. Juli 2009 und der Aufforderung des Betreibungsamtes zur Auskunft vom 25. März 2009. Weiter ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Präsidialverfügung vom 28. August 2009 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Beschwerdeentscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden über eine Verfügung eines Vollstreckungsorganes gemäss <ref-law> - wie sie die mit Strafandrohung verbundene Aufforderung des Betreibungsamtes zur Angabe von Vermögenswerten nach <ref-law> ist (<ref-ruling> ff.) - stellen einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 351). Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig und die Eingabe des Beschwerdeführers ist als solche zu behandeln.
1.2 Auf Beschwerde gemäss <ref-law> hin kann überprüft werden, ob die Aufforderung zur Angabe von Vermögenswerten sich im gesetzlichen Rahmen bewegt (vgl. <ref-ruling> E. 2 und 3 S. 62 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 241). Wenn das Betreibungsamt den Betroffenen in konkreter Weise auf seine in <ref-law> festgelegten Pflichten (wie die Anwesenheits-, Auskunfts- und Offenbarungspflicht des Schuldners) und die Straffolgen ausdrücklich aufmerksam macht (<ref-law>), gehört dies zum Pfändungsvollzug als materiellem Akt der Zwangsvollstreckung (vgl. BGE 69 III 75 ff.; KUHN, Die Auskunftspflicht des Schuldners, 1956, S. 37 f.; vgl. BGE 5A_197/2009 E. 1.2, "acte matériel"). Da die angefochtene Anordnung insoweit nicht durch einen einstweiligen, prozessualen Charakter geprägt ist, fällt sie nicht unter die vorsorglichen Massnahmen im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 590) bzw. sind die Beschwerdegründe nicht beschränkt, sondern es können die Beschwerdegründe nach <ref-law> erhoben werden.
1.3 Mit vorliegender Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), zu welchem nach der Begriffsbestimmung auch das Verfassungsrecht gehört. In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Soweit der Beschwerdeführer die Verletzung seines Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) rügt, fehlt es in der Beschwerdeschrift an einer Begründung und ist die Beschwerde unzulässig.
1.4 Im Weiteren legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Unzulässig ist, was der Beschwerdeführer (wie unter dem Titel "Vorgeschichte") u.a. an neuen Tatsachen vorbringt (<ref-law>) oder wenn er sich nicht auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheides bezieht.
2. 2.1 Die Aufsichtsbehörde hat erwogen, dass die Gläubigerin gestützt auf ihre (leere) Pfändungsurkunde vom 6. Februar 2009 berechtigt gewesen sei, an das Betreibungsamt zu gelangen, um gemäss <ref-law> die Nachpfändung von 100 Inhaberaktien der A._ AG zu verlangen, deren Alleinaktionär der Beschwerdeführer in den Augen der Gläubigerin sein soll. Der Beschwerdeführer sei gemäss <ref-law> zur Auskunft verpflichtet, wo sich die in Frage stehenden 100 Inhaberaktien befinden. Seine Ablehnung der Auskunft sei nicht berechtigt, zumal es Sache des Betreibungsamtes sei, über den Pfändungsbeschlag zu entscheiden. Die Aufsichtsbehörde hat geschlossen, die ausdrückliche Aufforderung des Betreibungsamtes vom 25. März 2009 an den Beschwerdeführer, unter Strafandrohung Auskunft über die 100 Inhaberaktien der A._ AG zu geben, sei nicht zu beanstanden.
2.2 Der Beschwerdeführer führt aus, dass er lediglich Kenntnis von der Identität einiger, jedoch nicht aller Aktionäre habe. Die Aufsichtsbehörde gehe jedoch zu Unrecht davon aus, dass die Inhaberaktien entweder in seinem Eigentum oder Gewahrsam seien und er Alleinaktionär sei. Er sei seiner Auskunftspflicht gemäss <ref-law> hinreichend nachgekommen. Die Aufsichtsbehörde verpflichte ihn zu Unrecht, über Vermögenswerte Dritter, von welchen er zufällig oder aus beruflichen Gründen Kenntnis habe, Auskunft zu geben.
3. Im Wesentlichen wirft der Beschwerdeführer der Aufsichtsbehörde eine Verletzung der Regeln über die Auskunftspflicht des Schuldners gemäss <ref-law> sowie von <ref-law> vor.
3.1 Vorliegend hat die Gläubigerin am 23. Februar 2009 die Nachpfändung von 100 Inhaberaktien der A._ AG verlangt, da der Beschwerdeführer nicht nur alleiniger Verwaltungsrat und Geschäftsführer, sondern (seit der Übernahme im Jahre 2005) auch Alleinaktionär der AG sei. Zu Recht ist unbestritten, dass im Fall, in dem ein Gläubiger behauptet, ein gewisser Vermögensgegenstand stehe im Eigentum des Schuldners, dieser gegebenenfalls nachzupfänden ist (BGE 42 III 116 S. 118), und dass die Regeln der Pfändung auch für die Nachpfändung gemäss <ref-law> gelten. Der Schuldner ist daher bei Straffolge verpflichtet, seine Vermögensgegenstände, einschliesslich derjenigen, die sich nicht in seinem Gewahrsam befinden, anzugeben, soweit dies zu einer genügenden Pfändung nötig ist (<ref-law> Abs. 1 Ziff. 2 SchKG).
3.2 Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat die Aufsichtsbehörde nicht über die Nachpfändung der erwähnten Aktien entschieden. Anlass zur Beschwerde gibt einzig die Frage, ob das Betreibungsamt den Beschwerdeführer (gemäss <ref-law>) bei Straffolge auf seine Pflicht aufmerksam machen durfte, Auskunft über die 100 Inhaberaktien der A._ AG zu erteilen.
3.2.1 Der Einwand des Beschwerdeführers, die Aufsichtsbehörde könne ihn nicht zur Auskunft über "Vermögenswerte Dritter" verpflichten, geht fehl. Zwar trifft zu, dass nur gepfändet werden darf, was dem Schuldner rechtlich gehört (<ref-ruling> E. 4 S. 115; Amonn/Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Aufl. 2008, § 23 Rz. 2 ff.). Über die Pfändbarkeit entscheidet allerdings nicht der Beschwerdeführer als Schuldner, sondern - wie die Aufsichtsbehörde zu Recht erwogen hat - das Betreibungsamt (Jaeger, Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 1911, N. 6 und 7 zu Art. 91). Ebenso ist es Sache des Betreibungsamtes, eine Pfändung unter Vormerkung von Ansprüchen Dritter vorzunehmen (<ref-law>).
3.2.2 Der Beschwerdeführer übergeht, dass er als Schuldner dem Betreibungsamt umfassend, d.h. auch bei konkreten Anfragen nach bestimmten Vermögensstücken Auskunft zu geben hat, z.B. über Objekte, von denen der Beamte kraft eigenen Wissens, auf Grund von Angaben seitens Dritter oder des Gläubigers Kenntnis hat (vgl. Jeandin, Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 9 zu art. 91; KUHN, a.a.O., S. 38). Die Auskunftspflicht des Schuldners kann sich im Hinblick auf mögliche Anfechtungsgeschäfte auch auf die sogenannte Verdachtsperiode beziehen (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 241 f.; Urteil 7B.109/2004 vom 17. August 2004 E. 4.2), so dass der Schuldner dem Betreibungsbeamten auch Aufschluss z.B. über Veräusserungen zu erteilen hat (Kuhn, a.a.O., S. 61 f.). Vorliegend steht nach dem angefochtenen Entscheid fest, dass das Betreibungsamt von der Gläubigerin konkrete Hinweise auf mögliche pfändbare Vermögenswerte erhalten hat. Wenn die Aufsichtsbehörde die Auskunftspflicht des Beschwerdeführers bestätigt hat, obwohl dieser selber der Meinung ist, die 100 Inhaberaktien der A._ AG gehörten ihm nicht, kann von einer Rechtsverletzung nicht gesprochen werden.
3.2.3 Aus dem angefochtenen Entscheid geht weiter hervor, dass der Beschwerdeführer die Auskunft über die 100 Inhaberaktien abgelehnt hat. Diese Ablehnung der Auskunft ist eine für das Bundesgericht verbindliche Tatsachenfeststellung (<ref-law>), und der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern diese auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhe oder offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich festgestellt worden sei (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Der Hinweis des Beschwerdeführers, dass die Auskunft "ungeahnte Wirkungen", z.B. auf die Privatsphäre derjenigen Personen habe, welche die betreffenden Aktien in der Hand halten, ist unbehelflich. Das Gesetz sieht vor, dass Dritte, welche Vermögensgegenstände des Schuldners verwahren, im gleichen Umfang wie der Schuldner auskunftspflichtig sind (<ref-law>), und dass sie allenfalls ihre Ansprüche im Widerspruchsverfahren (<ref-law>) geltend zu machen haben. Der Beschwerdeführer legt insoweit nicht dar, inwiefern die Aufforderung des Betreibungsamtes, Auskunft über die 100 Inhaberaktien der A._ AG zu erteilen, und der Hinweis auf die Straffolgen eine Rechtsverletzung darstellen sollen (<ref-law>).
3.3 Nach dem Dargelegten ist der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Aufsichtsbehörde habe die Regeln über seine Pflichten als Schuldner im Pfändungsverfahren unrichtig angewendet, unbegründet.
4. Aus diesen Gründen ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Entschädigungspflicht entfällt, da die Gläubigerin als Beschwerdegegnerin mit ihren Anträgen in der Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht durchgedrungen ist; in der Sache sind keine Vernehmlassung eingeholt worden, weshalb ihr keine weiteren Kosten entstanden sind.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, zumal die Bedürftigkeit innert der gewährten Frist nicht belegt worden ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante