Sachverhalt:
A. Am 6. Februar 2012 erstattete Y._ Selbstanzeige bei der Polizei und gab an, seinen amtlich gepfändeten Personenwagen des Typs Ford C-Max am 1. Januar 2012 für Fr. 20'000.-- an seinen im gleichen Haushalt lebenden Sohn X._ verkauft zu haben. Am 8. Februar 2012 versuchten Polizeibeamte am Wohnort von Y._ das Auto abzuholen. Da ihnen dies nicht gelang, wurde das Fahrzeug polizeilich zur Fahndung ausgeschrieben. Schliesslich konnte es am 28. März 2012 anlässlich einer Ausreisekontrolle beim Strassenzollamt St. Margrethen sichergestellt werden. Lenker des Fahrzeugs war Y._.
In dieser Angelegenheit führt die Staatsanwaltschaft St. Gallen, Untersuchungsamt Altstätten, ein Strafverfahren gegen X._ wegen des Verdachts der Verfügung über mit Beschlag belegte Vermögenswerte (<ref-law>; eventuell Gehilfenschaft hierzu), eventuell der Hehlerei (<ref-law>). Mit Beschlagnahmebefehl vom 29. März 2012 beschlagnahmte die Staatsanwaltschaft gestützt auf Art. 263 Abs. 1 lit. a und c StPO (SR 312.0) den Ford C-Max.
Mit Eingabe vom 10. April 2012 erhob X._ bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen Beschwerde gegen den Beschlagnahmebefehl und beantragte zugleich die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und der amtlichen Verteidigung.
Mit Entscheid vom 2. Mai 2012 wies der Präsident der Anklagekammer die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verteidigung ab (Dispositiv-Ziffern 1 und 2) und setzte X._ eine Frist von zehn Tagen zur Leistung einer Einschreibgebühr von Fr. 500.-- an (Dispositiv-Ziffer 3).
B. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 6. Juni 2012 beantragt X._ sinngemäss, Dispositiv-Ziffern 1 und 2 des angefochtenen Entscheids seien aufzuheben, und ihm sei die unentgeltliche Rechtspflege und die amtliche Verteidigung für das vorinstanzliche Verfahren zu gewähren; eventualiter sei die Sache insoweit zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren sei Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids aufzuheben, und die Vorinstanz habe ohne Erhebung einer Einschreibgebühr auf seine Beschwerde einzutreten. Ferner ersucht X._ um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Der Präsident der Anklagekammer verzichtet auf eine Vernehmlassung, weist jedoch darauf hin, dass der Beschwerdeführer die geforderte Einschreibgebühr von Fr. 500.-- am 29. Mai 2012 dem Kantonsgericht St. Gallen überwiesen hat.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid betrifft die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung in einem gegen den Beschwerdeführer geführten Strafverfahren. Gegen diesen kantonal letztinstanzlichen Entscheid steht die Beschwerde in Strafsachen offen (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen und hat ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids. Er ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; Urteil 1B_436/2011 vom 21. September 2011 E. 1, in: Pra 2012 Nr. 16 S. 100). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verteidigung im vorinstanzlichen Verfahren.
2.1 Gemäss <ref-law> ordnet die Verfahrensleitung eine amtliche Verteidigung an, wenn bei notwendiger Verteidigung nach <ref-law> die beschuldigte Person trotz Aufforderung der Verfahrensleitung keine Wahlverteidigung bestimmt oder der Wahlverteidigung das Mandat entzogen wurde oder sie es niedergelegt hat und die beschuldigte Person nicht innert Frist eine neue Wahlverteidigung bestimmt. Ein Fall notwendiger Verteidigung liegt insbesondere vor, wenn die beschuldigte Person wegen ihres körperlichen oder geistigen Zustands oder aus anderen Gründen ihre Verfahrensinteressen nicht ausreichend wahren kann und die gesetzliche Vertretung dazu nicht in der Lage ist (<ref-law>).
Nach <ref-law> ordnet die Verfahrensleitung über die Fälle der notwendigen Verteidigung hinaus dann eine amtliche Verteidigung an, wenn die beschuldigte Person nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Verteidigung zur Wahrung ihrer Interessen geboten ist. Zur Wahrung der Interessen der beschuldigten Person ist die Verteidigung namentlich geboten, wenn es sich nicht um einen Bagatellfall handelt und der Straffall in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, denen die beschuldigte Person allein nicht gewachsen wäre (<ref-law>). Ein Bagatellfall liegt jedenfalls dann nicht mehr vor, wenn eine Freiheitsstrafe von mehr als vier Monaten, eine Geldstrafe von mehr als 120 Tagessätzen oder gemeinnützige Arbeit von mehr als 480 Stunden zu erwarten ist (<ref-law>).
Mit der Regelung von <ref-law> wird die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung zu <ref-law> kodifiziert.
2.2 Die Vorinstanz hat erwogen, beim Beschlagnahmeverfahren handle es sich um ein Nebenverfahren zum eigentlichen Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer. In diesem Verfahren bestehe keine Notwendigkeit der Verteidigung im Sinne von <ref-law>. In Betracht komme daher nur die Anordnung der amtlichen Verteidigung gestützt auf <ref-law> bei Mittellosigkeit des Beschwerdeführers und fehlender Aussichtslosigkeit der Beschwerde. Der Beschwerdeführer habe in seinem Gesuch um amtliche Verteidigung angegeben, monatlich Fr. 4'386.-- zu verdienen, über Vermögenswerte von Fr. 218'915.-- (Sparhefte, Bankkonten, Postkonten, Wertschriften etc.) zu verfügen sowie diverse Liegenschaften zu besitzen, deren Verkehrswerte sich zusammen auf Fr. 2'171'000.-- belaufen würden. Zwar mache er geltend, dass er in der Höhe von Fr. 3'843'375.-- verschuldet sei. Als Nachweis habe der Beschwerdeführer seine Steuererklärung 2011 eingereicht, ohne jedoch Unterlagen beizulegen, welche den tatsächlichen Bestand der Schulden belegen würden. Damit sei der Beschwerdeführer seiner Mitwirkungsobliegenheit nicht genügend nachgekommen. Unabhängig davon verfüge der Beschwerdeführer angesichts seines Konten- und Wertschriftenvermögens von Fr. 218'915.-- über ausreichend liquide Mittel, um sowohl die Verfahrenskosten zu bezahlen als auch um seinen Rechtsvertreter zu entschädigen. Die Frage der Aussichtslosigkeit der Beschwerde könne bei dieser Ausgangslage offen gelassen werden.
2.3 Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz begründe nicht, weshalb in Nebenverfahren keine Notwendigkeit der Verteidigung bestehen soll. Damit genüge sie ihrer Begründungspflicht nicht und verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>. Die Auffassung der Vorinstanz sei auch in der Sache unzutreffend. Liege ein Fall notwendiger Verteidigung vor, sei diese auch in Nebenverfahren zu gewähren. Vorliegend sei denkbar, dass er verhandlungsunfähig sei und deshalb verteidigt werden müsse (<ref-law>). Dies habe die Vorinstanz fälschlicherweise nicht abgeklärt.
Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, die Vorinstanz habe aufgrund der mangelnden Berücksichtigung seiner Schulden von über 3 Mio. Franken seine Bedürftigkeit zu Unrecht verneint und hierdurch <ref-law> verletzt.
2.4 Die Vorinstanz hat begründet, weshalb aus ihrer Sicht in Nebenverfahren kein Verteidigungszwang besteht, nämlich weil es in solchen Nebenverfahren "nicht um die materielle Beurteilung der gegenüber der beschuldigten Person erhobenen Vorwürfe strafbaren Verhaltens" gehe. Damit ist die Vorinstanz entgegen den Ausführungen in der Beschwerde ihrer Begründungspflicht im Sinne von <ref-law> nachgekommen. Wie die Begründung inhaltlich zu beurteilen ist, kann aus den nachfolgend dargestellten Gründen offen bleiben.
Der Beschwerdeführer hat sein Gesuch um amtliche Verteidigung im Verfahren vor der Vorinstanz auf <ref-law> gestützt, indem er vorgebracht hat, es handle sich nicht um einen Bagatellfall, und das Verfahren sei in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht anspruchsvoll, weshalb er als Laie auf anwaltliche Unterstützung angewiesen sei. Dass ein Fall notwendiger Verteidigung im Sinne von <ref-law> vorliege, hat der Beschwerdeführer nicht geltend gemacht und dementsprechend entgegen seinen Ausführungen in der Beschwerde insoweit auch keine Beweisanträge gestellt. Im Verfahren vor Bundesgericht bringt er erstmals vor, es sei "denkbar", dass er verhandlungsunfähig sei, ohne allerdings explizit zu behaupten, dass dies tatsächlich der Fall ist.
Zwar ist die Verhandlungsfähigkeit als Prozessvoraussetzung von Amtes wegen zu prüfen. Nähere Abklärungen sind jedoch nur geboten, wenn Anhaltspunkte für eine beschränkte oder fehlende Verhandlungsfähigkeit gegeben sind. Alleine aufgrund der Tatsache, dass der Beschwerdeführer seit Dezember 2011 eine Therapie absolviert und sich deshalb unter der Woche in einem "spezialisierten und offenen Zentrum für Suchttherapie und Rehabilitation von alkohol- und/oder medikamentenabhängigen Frauen und Männern" befindet, musste sich die Vorinstanz nicht veranlasst sehen, von Amtes wegen weitere Abklärungen zu tätigen. Die Verhandlungsfähigkeit ist nur ganz ausnahmsweise zu verneinen, nämlich dann, wenn eine beschuldigte Person nicht in der Lage ist, der Verhandlung zu folgen, die gegen sie erhobenen Beschuldigungen zu verstehen und zu diesen vernunftgemäss Stellung zu nehmen (vgl. zum Ganzen Niklaus Schmid, StPO Praxiskommentar, 2009, Art. 130 N. 2). Vorliegend bestehen trotz der Therapiebedürftigkeit des Beschwerdeführers keine Hinweise darauf, dass dieser nur beschränkt oder gar nicht verhandlungsfähig sein könnte.
Da damit kein Fall einer notwendigen Verteidigung im Sinne von <ref-law> vorliegt, erübrigt sich ein Eingehen auf die Frage, ob sich eine allfällige notwendige Verteidigung auch auf Nebenverfahren wie das Rechtsmittelverfahren gegen einen Beschlagnahmeentscheid erstreckt.
2.5 Zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz <ref-law> verletzt hat.
Bei der Ermittlung der prozessualen Bedürftigkeit ist nicht schematisch auf das betreibungsrechtliche Existenzminimum abzustellen, sondern es ist den individuellen Umständen Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 2.4.3 S. 100 f.). Bedürftig ist eine Partei, welche die Leistung der erforderlichen Prozess- und Parteikosten nur erbringen kann, wenn sie die Mittel angreift, die sie zur Deckung des Grundbedarfs für sich und ihre Familie benötigt. Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs. Dazu gehören einerseits sämtliche finanziellen Verpflichtungen, andererseits die Einkommens- und Vermögensverhältnisse (<ref-ruling> E. 2a S. 3 f.). Dabei obliegt es der Antrag stellenden Partei, ihre aktuellen Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend aufzuzeigen und ihre finanziellen Verpflichtungen zu belegen. Kommt sie dieser Obliegenheit nicht nach, ist der Antrag abzuweisen (Urteil 5A_272/2010 vom 30. November 2010 E. 6, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 6B_482/2007 vom 12. August 2008 E. 21.2, in: Pra 2009 Nr. 47 S. 307).
Der Schluss der Vorinstanz, der Beschwerdeführer sei seiner Mitwirkungsobliegenheit nicht nachgekommen, ist nicht zu beanstanden. Im Gesuchsformular des Sicherheits- und Justizdepartements des Kantons St. Gallen ist der Beschwerdeführer darauf hingewiesen worden, dass er seinem Gesuch die letzte Berechnung zur Steuerveranlagung und die letzte Steuerrechnung beizulegen habe, und dass das Fehlen von Belegen zur Gesuchsabweisung führen könne. Dieser Aufforderung ist der Beschwerdeführer nicht nachgekommen, obwohl es für ihn möglich und zumutbar gewesen wäre, diese leicht beizubringenden Steuerunterlagen einzureichen (vgl. insoweit auch Urteil 6B_761/2007 vom 9. Mai 2008 E. 3.4). Daran ändert auch sein Aufenthalt im Therapie-Zentrum nichts, zumal er gemäss eigenen Angaben jedes Wochenende und teilweise auch unter der Woche an seinen Wohnort zurückkehrt. Seiner Mitwirkungsobliegenheit konnte er sich nicht durch das Stellen des Beweisantrags, es seien die letzten Steuerveranlagungen zu edieren, entziehen.
Da der Beschwerdeführer mithin seine Bedürftigkeit nicht belegt hat, verstösst die vorinstanzliche Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht gegen Bundesrecht. Inwiefern die Vorinstanz insoweit ihre Begründungspflicht gemäss <ref-law> verletzt haben soll, ist nicht ersichtlich. Ebenso wenig hat sie dem Beschwerdeführer entgegen dessen nicht näher substanziierten Behauptungen die Akteneinsicht verwehrt oder ihren Entscheid auf Unterlagen abgestützt, die ihm nicht bekannt gewesen sind. Bei dem vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang erwähnten Aktenstück AK.2012.116-AK act. 2 handelt es sich um den ihm eröffneten Beschlagnahmebefehl der Staatsanwaltschaft vom 29. März 2012.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat dem Gesuchsteller eine Frist von zehn Tagen angesetzt, um dem Kantonsgericht eine Einschreibgebühr von Fr. 500.-- zu überweisen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde (Dispositiv-Ziffer 3). Der Beschwerdeführer hat diese Gebühr in der Zwischenzeit entrichtet.
3.2 Der Beschwerdeführer rügt, die ihm auferlegte Einschreibgebühr verstosse gegen Bundesrecht, denn nach <ref-law> könne einzig von der Privatklägerschaft, nicht aber von der beschuldigten Person eine Sicherheit verlangt werden.
3.3 Gemäss <ref-law> kann die Verfahrensleitung der Rechtsmittelinstanz die Privatklägerschaft unter Vorbehalt der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gemäss <ref-law> verpflichten, innert einer Frist für allfällige Kosten und Entschädigungen Sicherheit zu leisten (Abs. 1). Wird die Sicherheit nicht fristgerecht geleistet, so tritt die Rechtsmittelinstanz auf das Rechtsmittel nicht ein (Abs. 2).
Art. 3 der Gerichtskostenverordnung des Kantons St. Gallen vom 9. Dezember 2010 (sGS/SG 941.12; in Kraft ab dem 1. Januar 2011) mit dem Randtitel "Einschreibgebühren im Strafverfahren" bestimmt, dass die Rechtsmittelinstanz eine Einschreibgebühr von Fr. 500.-- erhebt, wenn die beschuldigte Person im Strafverfahren ein Rechtsmittel ergreift.
3.4 Bei der Einschreibgebühr nach Art. 3 der kantonalen Gerichtskostenverordnung handelt es sich um einen Kostenvorschuss und damit um eine Sicherheitsleistung im Sinne von <ref-law> (vgl. insoweit auch Urteil des Bundesgerichts 1B_39/2010 vom 30. März 2010 E. 4). Nach dem Konzept der Schweizerischen Strafprozessordnung kann zwar die Privatklägerschaft, nicht aber die beschuldigte Person zu einer Sicherheitsleistung verpflichtet werden (Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1308 f.; vgl. auch Niklaus Schmid, a.a.O., Art. 383 N. 1), d.h. die beschuldigte Person kann erst im Verfahren vor Bundesgericht zu einer Vorschussleistung angehalten werden (Art. 62 f. BGG; Martin Ziegler, Basler Kommentar StPO, 2011, Art. 383 N. 1). Beim Beschlagnahmeverfahren handelt es sich zwar um ein Nebenverfahren (vgl. E. 2 hiervor). Dies ändert jedoch nichts daran, dass der Beschwerdeführer im gesamten Strafverfahren als beschuldigte Person (<ref-law>) gilt, und weder Privatkläger (<ref-law>) noch anderer Verfahrensbeteiligter (<ref-law>) ist. Davon geht im Übrigen auch die Vorinstanz aus, da die Einschreibgebühr gemäss Art. 3 der kantonalen Gerichtskostenverordnung dann zu erheben ist, wenn die beschuldigte Person ein Rechtsmittel ergreift.
Da die beschuldigte Person nach der StPO nicht zur Leistung eines Kostenvorschusses verpflichtet werden kann, verstösst die in Art. 3 der kantonalen Gerichtskostenverordnung vorgeschriebene Erhebung einer Einschreibgebühr von Fr. 500.-- gegen Bundesrecht. Die Beschwerde ist in diesem Punkt gutzuheissen.
4. Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen, Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und die Vorinstanz zu verpflichten, dem Beschwerdeführer die von ihm zu Unrecht geleistete Einschreibgebühr von Fr. 500.-- zurückzuerstatten. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, gegenstandslos.
Der Beschwerdeführer wird im Umfang seines Unterliegens kostenpflichtig (<ref-law>). Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Soweit er obsiegt, wird sein Gesuch gegenstandslos. Im Übrigen ist das Gesuch abzuweisen, da die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers nicht erstellt ist (<ref-law> e contrario). In diesem Umfang hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Dem Kanton St. Gallen sind keine Verfahrenskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Hingegen hat er dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren im Umfang seines teilweisen Obsiegens eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Entschädigung ist dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids aufgehoben und die Vorinstanz verpflichtet, dem Beschwerdeführer die von ihm geleistete Einschreibgebühr von Fr. 500.-- zurückzuerstatten. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen, soweit es nicht zufolge teilweiser Gutheissung der Beschwerde gegenstandslos geworden ist.
3. Die Gerichtskosten werden im Umfang von Fr. 1'000.-- dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Kanton St. Gallen hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Daniel Kaiser, für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Präsidenten der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. August 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner