Sachverhalt:
A.
Am 28. August 2014 ordnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Birstal (KESB) die fürsorgerische Unterbringung von X._ in der Klinik A._ in B._ an. Der Entscheid wurde als vorsorglich bezeichnet und war bis zum 8. Oktober 2014 befristet.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 29. August 2014 beim Kantonsgericht Basel-Landschaft Beschwerde. Dieses wies die Beschwerde gestützt auf ein fachärztliches Gutachten und nach Anhörung der Beschwerdeführerin mit Urteil vom 12. September 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde vom 22. September 2014 wendet sich X._ an das Bundesgericht. Sinngemäss verlangt sie die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und ihre Entlassung aus der fürsorgerischen Unterbringung.
Das Bundesgericht hat die Beschwerde vom 22. September 2014 unter Hinweis auf Art. 40 Abs. 1 BGG an die Beschwerdeführerin zur Verbesserung zurückgewiesen, da die Eingabe einzig von C._, der Mutter der Beschwerdeführerin, unterzeichnet worden war. In dieser prozessleitenden Verfügung erblickte C._ einen Verstoss gegen internationale Rechtsnormen, wie sie das Bundesgericht mit Schreiben vom 29. September 2014 wissen liess. Trotzdem kam X._ der Aufforderung des Bundesgerichts nach und reichte am 4. Oktober 2014 eine auch von ihr unterzeichnete Beschwerde ein.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 2 S. 59).
1.2. Die Beschwerdeführerin wehrt sich gegen das Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, das ihre von der KESB Birstal verfügte vorsorgliche fürsorgerische Unterbringung (Art. 428 Abs. 1 ZGB) bis zum 8. Oktober 2014 bestätigt hat. Das ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Die Beschwerde ist rechtzeitig erfolgt (Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Nach Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 157). Am Erfordernis des praktischen Interesses fehlt es insbesondere dann, wenn der Rechtsstreit gegenstandslos geworden ist. Liegt das praktische Interesse im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung vor, fällt es aber nachträglich weg, ist der Rechtsstreit gemäss Art. 72 BZP (SR 273) in Verbindung mit Art. 71 BGG als gegenstandslos geworden abzuschreiben. Ist das schutzwürdige Interesse hingegen schon bei Einreichung der Beschwerde nicht gegeben, tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 500 mit Hinweisen; Urteil 5A_675/2013 vom 25. Oktober 2013 E. 3.1).
2.2. Die Rechtsprechung verzichtet auf das Erfordernis des aktuellen und fortdauernden praktischen Interesses, wenn sich die gerügte Rechtsverletzung jederzeit wiederholen könnte und eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre (sog. virtuelles Interesse; <ref-ruling> E. 1.1 S. 499 mit Hinweisen).
2.3. Die im vorliegenden Verfahren angefochtene fürsorgerische Unterbringung war befristet und endete am 8. Oktober 2014 (s. Sachverhalt Bst. A). Mithin ist die streitige Massnahme während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens dahingefallen. Unter diesen Umständen hat die Beschwerdeführerin kein aktuelles und praktisches Interesse mehr daran, das vorinstanzliche Urteil, das die fürsorgerische Unterbringung bestätigt hat, vor Bundesgericht anzufechten. Auch ein virtuelles Interesse (E. 2.2) ist nicht auszumachen. Damit ist die Beschwerde als gegenstandslos geworden abzuschreiben.
3.
Ist eine Beschwerde vor Bundesgericht gegenstandslos geworden, so richtet sich der Entscheid über die Prozesskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens grundsätzlich nach Art. 72 BZP in Verbindung mit Art. 71 BGG. Demnach entscheidet das Gericht mit summarischer Begründung aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes. Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 4a S. 494 f.). Wie es sich damit im vorliegenden Fall verhält, braucht indessen nicht näher geprüft zu werden. Denn angesichts der Umstände des konkreten Falles verzichtet das Bundesgericht darauf, Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Der anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdeführerin sind keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden.

Demnach verfügt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Diese Verfügung wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Birstal, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, und C._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn