Sachverhalt:
A. Der 1965 geborene S._ war als Monteur-Anwärter der Firma L._ AG, bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er am 12. Februar 1991 seine linke Hand zwischen einem Kran und einem Ballaststein einklemmte. Dr. med. U._ erhob den Befund eines starken Hämatoms und einer Schwellung am Grundphalanx 3. Finger links mit Quetschspuren und diagnostizierte eine Kontusion des 3. Fingers links sowie eine Schürfung am 2. Finger dorsal. Im August 2008 liess S._ Handgelenksbeschwerden links als Rückfall zum Unfall vom 12. Februar 1991 anmelden. Die Diagnose lautete auf schwere Arthrose zwischen Scaphoid und Fossa lunata links und scapholunäre Bandruptur. Am 18. August 2008 erfolgte eine operative Behandlung der Handgelenksbeschwerden. Mit Verfügung vom 26. September 2008 und Einspracheentscheid vom 23. Januar 2009 verneinte die SUVA einen Anspruch auf Versicherungsleistungen für die rückfallweise geltend gemachten Handgelenksbeschwerden, da ein Zusammenhang mit dem Unfallereignis vom 12. Februar 1991 bzw. mit einem andern SUVA-versicherten Unfallereignis nicht rechtsgenüglich nachgewiesen sei.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 31. August 2009 ab. Eine öffentliche Gerichtsverhandlung wurde trotz rechtzeitig gestelltem Antrag nicht durchgeführt.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, es seien ihm unter Aufhebung des Einsprache- und kantonalen Gerichtsentscheids die ihm zustehenden Leistungen aus UVG zuzusprechen, namentlich vorderhand Taggeldleistungen nach Massgabe einer 100%igen Arbeitsunfähigkeit seit Eintritt derselben zu entrichten sowie die Kosten der Heilbehandlungen zu übernehmen; eventualiter sei die Sache zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung mit Zeugen- und Parteibefragung, zur weiteren Erhebung des Sachverhalts sowie zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen; subeventualiter sei die Sache zu weiteren medizinischen Abklärungen an die SUVA zurückzuweisen. Gleichzeitig ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, allenfalls auf Nichteintreten. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Der Beschwerdeführer macht geltend, das kantonale Gericht habe Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt, indem es keine öffentliche Verhandlung durchgeführt habe. Diese formellrechtliche Rüge ist zuerst zu behandeln.
3. 3.1 Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat (Satz 1). Dieselbe Konventionsbestimmung sieht Ausnahmen vom Öffentlichkeitsgrundsatz vor im Interesse der Sittlichkeit, der öffentlichen Ordnung oder der nationalen Sicherheit oder wenn die Interessen von Jugendlichen, der Schutz des Privatlebens von Prozessparteien oder die Gefahr einer Beeinträchtigung der Rechtspflege es gebieten (Satz 2).
3.2 Im Sozialversicherungsprozess hat das erstinstanzliche Gericht grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung anzuordnen, wenn eine solche beantragt wird. Als Gründe für eine Ausnahme von diesem Prinzip fallen nebst den im zitierten Art. 6 Ziff. 1 Satz 2 EMRK genannten Umständen namentlich in Betracht, dass der Antrag nicht frühzeitig genug gestellt wurde, als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwider läuft oder gar rechtsmissbräuchlich ist. Weiter erscheint der Verzicht auf eine beantragte öffentliche Verhandlung durch das erstinstanzliche Gericht als zulässig, wenn sich auch ohne eine solche mit hinreichender Zuverlässigkeit erkennen lässt, dass eine Beschwerde offensichtlich unbegründet oder unzulässig ist. Dasselbe gilt, wenn eine Materie hochtechnischen Charakters zur Diskussion steht, wobei darunter etwa rein rechnerische, versicherungsmathematische oder buchhalterische Probleme zu verstehen sind, nicht aber andere dem Sozialversicherungsprozess inhärente Fragestellungen wie beispielsweise die Würdigung medizinischer Gutachten. Schliesslich kann von einem nachträglichen Verzicht auf eine zunächst verlangte öffentliche Verhandlung ausgegangen werden, wenn das kantonale Gericht allein schon aufgrund der Akten zum Schluss gelangt, den materiellen Rechtsbegehren der die Verhandlung beantragenden Partei sei zu entsprechen (<ref-ruling> E. 3b S. 55 ff.; Urteil 8C_442/2009 vom 28. August 2009 E. 3.2 mit Hinweisen).
4. Nach den dargelegten Gesichtspunkten ist zu prüfen, ob das kantonale Gericht von der Anordnung einer öffentlichen Verhandlung absehen durfte, ohne damit Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu verletzen.
4.1 Der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Gerichtsverhandlung wurde in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift und damit rechtzeitig gestellt (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 56; Urteil 8C_442/2009 vom 28. August 2009 E. 4.1). Der Antrag war zudem klar und unmissverständlich.
4.2 Zu prüfen ist somit, ob das kantonale Gericht seinen Entscheid gestützt auf einen der rechtsprechungsgemäss vorgesehenen Ausnahmegründe (<ref-ruling> E. 3b S. 55 ff.) trotz Vorliegens eines entsprechenden Antrags ohne öffentliche Verhandlung fällen durfte. Als Gründe, welche die Ablehnung der beantragten Verhandlung allenfalls zu rechtfertigen vermöchten, fallen namentlich die bessere Eignung des schriftlichen Verfahrens bei hochtechnischen Fragen einerseits und die allgemein im Sozialversicherungsprozess gebotene Einfachheit und Raschheit des Verfahrens (vgl. <ref-law>) andererseits in Betracht, wobei letzterem Aspekt insbesondere bei offensichtlich unbegründeten oder unzulässigen Beschwerden Rechnung zu tragen ist (Urteil 8C_442/2009 vom 28. August 2009 E. 4.2 mit Hinweisen).
4.3 In materieller Hinsicht ist streitig, ob der Beschwerdeführer für die als Rückfall zum Unfall vom 12. Februar 1991 gemeldeten Handgelenksbeschwerden Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat. Dies hängt im Wesentlichen davon ab, ob zwischen den geltend gemachten Beschwerden und der seinerzeit beim versicherten Unfall erlittenen Gesundheitsschädigung ein natürlicher und adäquater Kausalzusammenhang besteht. Vorinstanz und Verwaltung gehen aufgrund der medizinischen Aktenlage davon aus, dass die fraglichen Handgelenksbeschwerden bzw. die radiocarpale Arthrose mit überwiegender Wahrscheinlichkeit Spätfolge eines Unfalles sind. Sie erachten den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis vom 12. Februar 1991 und den im August 2008 rückfallweise gemeldeten Handgelenksbeschwerden indessen als nicht rechtsgenüglich nachgewiesen, weil echtzeitlich nur Verletzungen am Mittel- und Zeigefinger links dokumentiert und keine Handgelenksverletzung erwähnt seien. Ein weiteres bei der SUVA versichertes Unfallereignis sodann, auf welches die Beschwerden zurückgeführt werden könnten, sei - so Vorinstanz und Verwaltung - nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt. Die für das Sozialversicherungsrecht typische Thematik des Kausalzusammenhangs zwischen geklagten Beschwerden und einem versicherten Unfallereignis lässt sich nicht als "hochtechnisch" im Sinne der Rechtsprechung bezeichnen (vgl. <ref-ruling> E. 2d S. 52, 3b/ee S. 57 f.). Auch kann nicht gesagt werden, dass unter solchen Umständen eine zuverlässige Urteilsfindung eher in einem ausschliesslich schriftlichen Verfahren gewährleistet wäre und von einer zusätzlich durchgeführten mündlichen Verhandlung ohnehin keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären. Vielmehr erscheint eine mündliche Verhandlung gerade in solchen Fällen als grundsätzlich geeignet, zur Klärung allfälliger noch streitiger Punkte beizutragen (vgl. auch Urteil 8C_442/2009 vom 28. August 2009 E. 4.3). Triftige Gründe, welche dennoch gegen eine öffentliche Verhandlung sprechen würden, sind nicht ersichtlich und werden denn auch weder von der Vorinstanz noch von der Beschwerdegegnerin namhaft gemacht. Schliesslich kann - wie sich bereits aus dem Umfang der vorinstanzlichen Erwägungen ergibt - nicht von einer offensichtlich unbegründeten oder unzulässigen Beschwerde gesprochen werden.
5. Indem das kantonale Gericht unter den gegebenen Umständen von der ausdrücklich beantragten mündlichen Verhandlung gemäss Art. 6 Abs. 1 EMRK absah, hat es der konventionsrechtlich gewährleisteten Verfahrensgarantie nicht hinreichend Rechnung getragen. Es erweist sich deshalb als unumgänglich, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie den Verfahrensmangel behebe und die verlangte öffentliche Verhandlung, in deren Rahmen dem Beschwerdeführer auch Gelegenheit zu einer mündlichen Stellungnahme einzuräumen ist, durchführe. Bei der erneuten Beurteilung der Sache wird das kantonale Gericht - unter Berücksichtigung der Parteivorbringen - auch die Notwendigkeit allfälliger zusätzlicher Abklärungen, namentlich der Durchführung der beantragten Zeugeneinvernahme, nochmals zu prüfen haben.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5) und dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 31. August 2009 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 23. Januar 2009 neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Januar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch