Fatti:
A.
A.a. Il dott. C._ ha seguito A.A._ durante la sua gravidanza nel 1998. Ha effettuato la settima e ultima visita il 30 novembre 1998 (primo giorno della trentatreesima settimana di gravidanza). Il 6 gennaio 1999 è nato B.A._, in seguito a un taglio cesareo eseguito dal sostituto del dott. C._ dopo la perdita del liquido amniotico. Alla nascita il bambino è risultato affetto da trisomia 21 (sindrome di Down), da grave encefalopatia ipossico-ischemica, da pancitopenia e epatopatia su ipossia e trisomia 21. A causa delle sue affezioni B.A._ soffre in particolare di tetraparesi con ipotonia del tronco e spasticità delle estremità superiori e inferiori, ha un grave ritardo nello sviluppo delle capacità cognitive ed intellettuali che sono gravemente compromesse: l'origine delle lesioni è essenzialmente da attribuire alla grave encefalopatia ipossica-ischemica.
A.b. Con petizione 9 gennaio 2004 A.A._ e B.A._ hanno convenuto in giudizio innanzi alla Pretura della giurisdizione di Mendrisio-nord C._ per ottenere la sua condanna ąl pagamento di fr. 1'649'044.--, oltre interessi. Tale domanda è poi stata modificata in sede conclusionale nel senso di condannare il convenuto a pagare all'attrice fr. 736'720.50 e all'attore fr. 1'370'000.--, oltre a una rendita annuale di fr. 100'000.--. In parziale accoglimento dell'azione, il Pretore ha condannato, con sentenza 8 settembre 2011, il medico a versare alla sola attrice fr. 30'120.-- (fr. 30'000.-- per torto morale e fr. 120.-- per le spese preprocessuali sopportate), oltre interessi.
B.
Il 21 marzo 2012 la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha posto A.A._ e B.A._ al beneficio dell'assistenza giudiziaria. Con sentenza 2 ottobre 2013 essa ha poi respinto, in quanto ammissibile, l'appello inoltrato da B.A._, mentre ha parzialmente accolto quello presentato da A.A._ aumentando l'importo a suo favore a fr. 50'200.--. Ha pure respinto l'appello incidentale introdotto dal convenuto. La Corte cantonale ha indicato che quest'ultimo poteva unicamente essere ritenuto responsabile di una carente informazione in merito alle analisi che avrebbero rivelato la sindrome di Down, mancanza che ha impedito all'attrice di interrompere la gravidanza, ma non anche della trisomia 21 e dell'encefalopatia ipossico-ischemica intervenute nel bambino. I Giudici di appello hanno aumentato di fr. 20'000.-- l'importo riconosciuto in primo grado per il torto morale e di fr. 80.-- quello attribuito per le spese preprocessuali; hanno per contro respinto la richiesta di risarcimento della perdita di guadagno, perché l'attrice non ha provato di essere stata obbligata a disdire il rapporto di lavoro. Con riferimento alle pretese avanzate dal figlio hanno ritenuto che, contrariamente a quelle dell'attrice, esse riguardano una responsabilità extracontrattuale ed erano già prescritte al momento dell'inoltro dell'azione. A titolo abbondanziale, la Corte di appello ha anche reputato che né la pretesa volta al risarcimento dei maggiori costi di cura e di assistenza né quella di torto morale possono essere azionate dal figlio.
C.
A.A._ e B.A._ insorgono al Tribunale federale con un unico ricorso in materia civile del 6 novembre 2013, con cui chiedono di riformare la sentenza di appello nel senso che il convenuto sia condannato a versare al ricorrente fr. 1'250'000.-- quale risarcimento danni, fr. 120'000.-- per torto morale nonché una rendita annuale di fr. 100'000.-- e alla ricorrente, oltre ai fr. 50'000.-- di torto morale già riconosciuti, fr. 676'720.50 a titolo di risarcimento danni. Entrambi chiedono di essere posti al beneficio dell'assistenza giudiziaria nella procedura federale.
Non è stato ordinato uno scambio di scritti.

Diritto:
1.
La sentenza impugnata è una decisione finale (<ref-law>), che è stata emanata su ricorso dall'ultima istanza cantonale (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) con un valore di lite superiore al limite di fr. 30'000.-- previsto dall'<ref-law>. Il tempestivo (<ref-law>) ricorso inoltrato dalla parte soccombente (<ref-law>) è quindi in linea di principio ammissibile.
2.
La violazione del diritto federale è motivo di ricorso secondo l'<ref-law>. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il cui mancato rispetto conduce all'inammissibilità del gravame (<ref-law>), esso considera di regola solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.1). Le esigenze di motivazione sono più severe quando è fatta valere la violazione di diritti fondamentali. Il Tribunale federale esamina la violazione di questi diritti soltanto se il ricorrente ha sollevato e motivato in maniera puntuale tale censura (<ref-law> ). Ciò significa che il ricorrente, pena l'inammissibilità del gravame, deve spiegare in modo chiaro e dettagliato, alla luce dei considerandi della sentenza impugnata in che modo sarebbero stati violati i suoi diritti costituzionali (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.2, con rinvii). Critiche appellatorie non sono ammesse (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2).
In linea di massima il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene o completarlo solo se è stato effettuato in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto (<ref-law>). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
Se rimprovera all'autorità inferiore un accertamento dei fatti manifestamente inesatto - che significa arbitrario (<ref-ruling> consid. 4.2 con rinvii; <ref-ruling> consid. 1.2.2) - il ricorrente deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law>. Siccome il giudice cantonale fruisce di un grande potere discrezionale nel campo dell'apprezzamento delle prove (e dell'accertamento dei fatti in genere), il ricorrente che invoca l'arbitrio deve dimostrare che la sentenza impugnata ha ignorato il senso e la portata di un mezzo di prova preciso, ha omesso senza ragioni valide di tenere conto di una prova importante suscettibile di modificare l'esito della lite, oppure ha ammesso o negato un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (<ref-ruling> consid. 4.1.2 pag. 62; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62; <ref-ruling> consid. 2.1).
Giusta l'<ref-law> possono essere addotti nuovi fatti e nuovi mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore.
3.
3.1. Durante la causa tre diversi periti hanno allestito sette perizie giudiziarie. La Corte cantonale ha annullato la seconda perizia, attribuita al Servizio Accertamento Medico dell'Ente Ospedaliero Cantonale (in seguito: SAM) e richiesta sul tema del test AFP Plus, perché non è stata allestita dal perito designato. Essa ha inoltre aggiunto che in ogni caso tale referto era privo di valenza probatoria, nella misura in cui si esprime su fatti che esulano dalle domande peritali.
3.2. I ricorrenti ritengono che l'annullamento della suddetta perizia sia errato e violi l'<ref-law> Essi sostengono che la sentenza impugnata sarebbe anche arbitraria, perché la Corte cantonale si è nondimeno fondata sulla perizia invalidata e criticano pure l'operato di un altro perito, il dott. D._.
3.3. In concreto l'argomentazione ricorsuale si rivela di primo acchito inammissibile nella misura in cui critica il valore probatorio delle perizie allestite dal dott. D._. Essa si appalesa infatti del tutto appellatoria e concerne un fatto che non è stato sottoposto all'autorità inferiore. Il ricorso si rivela poi contraddittorio quando i ricorrenti, da un lato, affermano che l'annullamento della perizia attribuita al SAM sia ingiustificato e lesivo del loro diritto di essere sentiti e, dall'altro, che la sentenza impugnata sarebbe arbitraria perché la Corte cantonale vi si è riferita.
4.
I ricorrenti ammettono che la Corte di appello ha condiviso il giudizio pretorile per quanto concerne la violazione dell'obbligo di informazione del medico con riferimento al test AFP Plus e all'amniocentesi (analisi che avrebbero rivelato la sindrome di Down), perché egli non ne ha segnatamente spiegato gli svantaggi e i vantaggi. Tuttavia essi rimproverano all'istanza cantonale una violazione del diritto federale per non avere pure ravvisato una violazione dell'obbligo di diligenza dell'opponente nel fatto che egli non ha proposto tali analisi, tanto più che la loro omissione avrebbe costituito nel caso concreto una violazione dell'arte medica.
Ora, atteso che la Corte cantonale ha riconosciuto una carente informazione della gestante e che la violazione dell'obbligo di informazione del medico ha impedito a quest'ultima un'interruzione - legale - della gravidanza, non è ravvisabile, né i ricorrenti indicano, quale rilevanza ai fini del presente giudizio potrebbe avere l'ulteriore pretesa negligenza. La questione non merita quindi maggiore disamina.
5.
5.1. La Corte ticinese ha poi escluso un comportamento negligente del convenuto per quanto attiene all'encefalopatia ipossico-ischemica (lesione celebrale causata dalla mancanza di ossigeno), in particolare per avere omesso di eseguire ulteriori visite di controllo dopo quella del 30 novembre 1998. Ha ritenuto, sulla base dei referti peritali, che il medico non poteva riconoscere i sintomi per una sofferenza fetale in quell'occasione e che non è nemmeno stato provato che l'intervallo di tempo fra tale visita e quella successiva prevista sei settimane dopo fosse eccessivo e costituiva così una violazione dell'arte medica.
5.2. Nel ricorso in esame i ricorrenti imputano al convenuto una responsabilità " per l'insorgenza della grave encefalopatia ipossico-ischemica ", basandosi in larga misura sulla perizia del SAM. Sennonché si tratta di una critica appellatoria - e quindi inammissibile - in cui essi nemmeno spiegano perché la Corte cantonale sarebbe caduta nell'arbitrio ritenendo che tale perizia non ha valenza probatoria nella misura in cui si esprime su fatti che esulano dalla questione - per la quale era stata ordinata - del test AFP plus, che serve invece a scoprire una sindrome di Down.
6.
Da quanto precede discende che questa sentenza si basa sull'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata, secondo cui all'opponente non può essere attribuita una responsabilità per l'invalidità sorta nel figlio durante la gravidanza. La causa promossa dalla madre nei confronti del proprio ginecologo in questi casi viene denominata wrongful birth, mentre quella promossa in tali circostanze dal figlio nei confronti del medico viene chiamata wrongful life.
7.
7.1. Con riferimento alla causa wrongful birth la Corte di appello ha interamente accolto la domanda di risarcimento del torto morale, aumentando a fr. 50'000.-- l'importo concesso a questo titolo dal Giudice di primo grado. Ha per contro confermato la reiezione del postulato risarcimento della perdita di guadagno. La Corte cantonale ha ritenuto che l'attrice non aveva provato di essere stata costretta ad interrompere la sua attività lavorativa per accudire il figlio handicappato, atteso che la sua lettera di dimissioni costituisce unicamente una dichiarazione di parte e che gli altri documenti su cui si fonda dimostrano solo che il figlio necessitava di essere assistito diverse ore al giorno. I Giudici di appello hanno poi indicato, come già il Pretore, che la richiesta di rimborso delle spese preprocessuali poteva unicamente essere accolta proporzionalmente al buon fondamento delle pretese azionate dall'attrice. Essi hanno infine aggiunto che in ogni caso quest'ultima non ha nemmeno spiegato in quale misura le spese fatturate - che concernono solo in minima parte il convenuto - non fossero già comprese nelle ripetibili attribuite in base alla legge di procedura cantonale e in che misura quelle non incluse nelle ripetibili sarebbero superiori agli importi riconosciuti in quest'ultime.
7.2. La ricorrente assevera invece che il grave stato di salute del figlio l'ha costretta a cessare la sua attività lucrativa, fatto che risulterebbe pure dallo scritto agli atti con cui ha disdetto il rapporto di lavoro. Afferma inoltre di avere diritto ad un integrale rimborso delle spese preprocessuali, poiché l'intervento della sua patrocinatrice era " giustificato, necessario e appropriato " e perché le emergenze istruttorie avrebbero permesso di chiarire la " piena responsabilità del medico ginecologo per la violazione dell'obbligo d'informazione e delle regole dell'arte ".
7.3. Nella fattispecie, con la sua argomentazione appellatoria in cui sostanzialmente si limita a riprendere quanto già confutato nella sentenza impugnata, la ricorrente nemmeno tenta di far apparire insostenibile l'apprezzamento delle prove effettuato dalla Corte cantonale con riferimento alla richiesta di risarcimento della perdita di guadagno. Così stando le cose, anche le allegazioni ricorsuali sull'ammontare di quest'ultima si rivelano inconferenti. Altrettanto inammissibile si appalesa la lamentela attinente all'incompleto rimborso delle spese preprocessuali, atteso che la ricorrente non si confronta minimamente con la duplice motivazione della Corte cantonale.
8.
8.1. Per quanto attiene alle pretese avanzate dal ricorrente nella causa wrongful life, i Giudici di appello hanno ritenuto che la responsabilità del convenuto può solo essere di natura extracontrattuale e che quindi la relativa azione era già prescritta quando è stata inoltrata la petizione 9 gennaio 2004, poiché il termine di un anno previsto dall'<ref-law> era a quel momento già trascorso. La Corte cantonale ha infatti considerato che l'attrice sapeva al più tardi nel mese di marzo 2002, quando ha incaricato la sua patrocinatrice, che il convenuto era l'unico responsabile della mancata informazione e che le pretese di risarcimento potevano essere quantificate già prima del 9 gennaio 2003, essendo la situazione valetudinaria dell'attore stazionaria (e semmai unicamente destinata a peggiorare) già pochi mesi dopo la nascita e avendo la predetta legale già interpellato il 28 novembre 2002 l'assicurazione del medico per un componimento bonale della vertenza.
8.2. Il ricorrente contesta che la sua azione sia di natura extracontrattuale e afferma che in ogni caso essa non sarebbe prescritta, essendo " stata introdotta non appena è stato possibile prendere conoscenza e pronunciarsi sull'esistenza e sull'entità (per lo meno prudenziale) del danno " e " non essendo per nulla chiaro se e per quanti anni sarebbe sopravvissuto ". Questa argomentazione non soddisfa i requisiti di motivazione per un'ammissibile censura contro i predetti accertamenti di fatto su cui la Corte cantonale si è basata per ritenere che il termine di cui all'<ref-law> era già passato quando è stata incoata la causa.
Sennonché, come già accennato, il ricorrente sostiene pure che l'azione non era prescritta perché fra lui e l'opponente è sorto un rapporto contrattuale e alla fattispecie è quindi applicabile il termine decennale dell'<ref-law>. A ragione. Il Tribunale federale ha infatti già avuto modo di stabilire che un contratto, avente per oggetto la fornitura delle necessarie cure mediche a una partoriente, riguarda sia la madre sia il figlio e ha per scopo la tutela della salute di entrambi, motivo per cui non si può partire dall'idea che una donna stipuli un tale contratto solo per il feto e non anche per sé stessa (sentenza 4C.32/2003 del 19 maggio 2003 consid. 2.2). Tale ragionamento vale pure nell'ambito di un contratto concluso da una gestante con il proprio ginecologo per seguire la gravidanza ed occuparsi del parto. Anche in questo caso il mandato concerne sia la salute della madre sia quella del figlio e pertanto, contrariamente a quanto apoditticamente ritenuto dalla Corte cantonale e dalla dottrina citata nella sentenza impugnata ( CHRISTOPH MÜLLER, Die ärztliche Haftpflicht für die Geburt eines unerwünschten behinderten Kindes, AJP 5/2003, pag. 530, n. 5.2; lo stesso, Wrongful-life-Klage - erster Entscheid eines Obergerichts, recht 2013, pag. 51; TANJA MELCHERT, Ärztliche Haftpflicht bei Fällen von Wrongful life, in Jusletter, 12 gennaio 2004, n. 10), non si può considerare che la causa in esame concerna una responsabilità extracontrattuale (v. sulla stipulazione di un contratto anche a favore del figlio THOMAS M. MANNSDORFER, Haftung für perinatale Schädigung im medizinischen Bereich, HAVE - Haftung und Versicherung 2003, pag. 113).
9.
Per costante giurisprudenza la responsabilità contrattuale del medico nella relazione con il paziente, che è disciplinata dalle norme sul contratto di mandato, presuppone cumulativamente una violazione di un obbligo contrattuale di diligenza, un danno, un nesso di causalità naturale e adeguato tra la violazione contrattuale e il danno, nonché la colpa, che - se i primi tre requisiti sono adempiuti - viene presunta (<ref-law>; sentenza 4A_266/2011 del 19 agosto 2011 consid. 2.1.1; sentenza 4A_403/2007 del 24 giugno 2008 consid. 2).
Nella fattispecie, atteso che all'opponente non può essere imputata una responsabilità per l'insorgere della menomazione (sopra, consid. 6), entra unicamente in linea di conto una violazione dell'obbligo contrattuale di informazione. Infatti, contrariamente a quanto ritiene CHRISTOPH MÜLLER (AJP 5/2003 cit., n. 5.2.1 pag. 531), in casi come quelli all'esame, di fronte alla situazione incurabile del feto, l'omissione del medico non costituisce una lesione corporale. In base alla giurisprudenza il medico è tenuto a dare al paziente in modo chiaro, intellegibile e in maniera più completa possibile un'informazione sulla diagnosi, la terapia, il pronostico, le alternative al trattamento proposto, i rischi di un'operazione, le possibilità di guarigione, eventualmente sull'evoluzione spontanea della malattia e sulle questioni finanziarie in particolare relative all'assicurazione (<ref-ruling> consid. 4.1.2). Tale obbligo di informazione deriva dai diritti della personalità e tutela la libera formazione della volontà nonché il diritto all'autodeterminazione e all'integrità fisica (<ref-ruling> consid. 2a).
Ricordato che nella sentenza impugnata la Corte cantonale ha indicato che l'individuazione di una trisomia 21 avrebbe permesso un'interruzione legale della gravidanza, l'opponente aveva il dovere di informare la ricorrente sugli esami che avrebbero permesso di scoprire le infermità del feto per consentirle di prepararsi alla nascita di un bambino affetto da handicap o di avvalersi del predetto intervento. Il figlio non dispone per contro di un diritto a non nascere ( FRANZ WERRO, La responsabilité civile, 2aed. 2011, pag. 32 n. 73). Infatti il diritto costituzionale all'autodeterminazione (<ref-law>) dà solo alla donna incinta la facoltà di decidere liberamente, nei casi in cui sono dati i presupposti per interrompere legalmente la gravidanza, di non portare a termine la gestazione (<ref-ruling> consid. 4.3.2). In queste circostanze l'opponente, omettendo di informare, non ha commesso una violazione contrattuale nei confronti del ricorrente. Il fatto che sia il nascituro sia la gestante siano parti al contratto non significa che i doveri del medico siano gli stessi nei confronti di entrambi (di opinione contraria pare essere THOMAS M. MANNSDORFER, Pränatale Schädigung, Ausservertragliche Ansprüche pränatal geschädigter Personen, 2000, pag. 330 n. 936, che estende invece gli effetti della violazione del predetto obbligo professionale anche al nascituro). Il primo dei quattro presupposti che devono essere cumulativamente adempiuti per riconoscere un risarcimento basato su una responsabilità contrattuale non è quindi adempiuto.
10.
Da quanto precede discende che il ricorso va respinto nella misura in cui è ammissibile. Giusta l'<ref-law>, se una parte non dispone dei mezzi necessari e le sue conclusioni non sembrano prive di probabilità di successo, il Tribunale federale la dispensa, su domanda, dal pagamento delle spese giudiziarie. Dalla documentazione allegata alla richiesta di assistenza giudiziaria risulta che i ricorrenti sono indigenti ai sensi dell'appena citata norma. Poiché, in particolare alla luce della recente giurisprudenza italiana (sentenza numero 16754 del 10 gennaio 2012 della Corte suprema di cassazione [http://www.italgiure.giustizia.it/sncass/] e di quella francese (sentenza del 17 novembre 2000 dell'assemblea plenaria della Corte di cassazione [https://www.courdecassation.fr/publications_26/bulletin_information_cour_cassation_27/bulletins_information_2000_1245/n_526_1362/]) anteriore all'adozione di una legislazione specifica in materia (inizialmente contenuta nell'art. 1 della legge n. 2002-303 del 4 marzo 2002 relativa " aux droits des malades et à la qualité du système de santé e dal 2005 ripresa nell'art. 114-5 del Code de l'action sociale et des familles), le loro conclusioni non sembravano fin dall'inizio sprovviste di possibilità di esito favorevole. La difficoltà della causa ha pure reso necessario l'intervento di un avvocato (<ref-law>). Ne segue che la domanda di assistenza giudiziaria dei ricorrenti va integralmente accolta. Non occorre invece assegnare ripetibili all'opponente che, non essendo stato invitato a determinarsi sul ricorso, non è incorso in spese per la procedura federale.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria per la procedura innanzi al Tribunale federale è accolta e ai ricorrenti viene designato quale patrocinatore l'avv. dott. Carla Speziali a cui la Cassa del Tribunale federale verserà un'indennità di fr. 17'000.--. Non si prelevano spese giudiziarie.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.