Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Nidwalden verurteilte X._ mit Strafbefehl vom 28. Februar 2012 wegen vorsätzlicher grober Verkehrsregelverletzung durch ungenügenden Abstand beim Hintereinanderfahren, einfacher Körperverletzung, begangen als leichter Fall, sowie wegen geringer Sachbeschädigung zu einer bedingten Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu je Fr. 165.-- und zu einer Busse von Fr. 700.--. Der Strafbefehl blieb unangefochten. X._ wurde vorgeworfen, er sei am 30. Juni 2011 mit einem Lieferwagen auf der Autobahn A2 zwischen dem Kirchwaldtunnel Süd und der Galerie Stansstad auf der linken Fahrspur mit einem Abstand von weniger als zehn Metern bei einer Geschwindigkeit von mindestens 80 km/h hinter einem Personenwagen hergefahren. Er sei dem Personenwagen bei der Ausfahrt Stans-Nord bis zur Parkhauseinfahrt des Einkaufszentrums Länderpark Stans gefolgt, wo es zu einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen den beiden Fahrzeuglenkern kam.
2.
Nach Abschluss des Strafverfahrens erhielt X._ die Möglichkeit, beim Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern zum Ergebnis des Verfahrens Stellung zu nehmen. X._ beantragte mit Eingabe vom 26. September 2012 einen Führerausweisentzug von einem Monat, eventualiter seien weitere Sachverhaltsabklärungen vorzunehmen. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2012 entzog das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern X._ den Führerausweis für sechs Monate. Dagegen erhob X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 15. Mai 2013 abwies. Das Verwaltungsgericht führte zusammenfassend aus, dass die Verwaltungsbehörde nur unter bestimmten Bedingungen von den Feststellungen des Strafrichters abweichen dürfe. Im vorliegenden Fall müsse in tatsächlicher Hinsicht auf die Erkenntnisse des Strafverfahrens abgestellt werden. Gemäss den massgeblichen Sachverhaltsfeststellungen sei X._ mit seinem Lieferwagen bei einer Geschwindigkeit von mindestens 80 km/h bis auf weniger als zehn Meter auf das vordere Fahrzeug aufgefahren und habe diesen Abstand in etwa beibehalten. Es sei nicht zu beanstanden, dieses Verhalten als schwere Widerhandlung zu qualifizieren. Da X._ in den vorangegangenen fünf Jahren der Führerausweis bereits wegen einer mittelschweren Widerhandlung entzogen worden war, erweise sich die angeordnete Mindestentzugsdauer als gesetzmässig.
3.
X._ führt mit Eingabe vom 28. Juni 2013 (Postaufgabe 29. Juni 2013) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 15. Mai 2013. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Verwaltungsgerichts nicht rechtsgenüglich auseinander. Er legt nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht rechts- bzw. verfassungswidrig gehandelt haben sollte, als es auf eine selbständige Beweiserhebungen verzichtete und sich in tatsächlicher Hinsicht auf die Erkenntnisse des Strafverfahrens abstützte. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, das Verwaltungsgericht hätte ihm das rechtliche Gehör verletzt, fehlt es an der nötigen Konkretisierung dieser Rüge. Der Vorwurf, weder die Kantonspolizei noch Staatsanwaltschaft hätten ihm je vorgehalten, dass ein Strafverfahren wegen grober Verkehrsregelverletzung durchgeführt werde, betrifft das rechtskräftig abgeschlossene Strafverfahren und nicht das vorliegende Administrativverfahren. Aus der Beschwerde ergibt sich demnach nicht, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgericht bzw. dessen Urteil selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
5.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung (vormals Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung), Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juli 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli