Sachverhalt:
A.
A.a. S._, geboren 1963, arbeitete zuletzt vom 1. Mai 2001 bis 25. Mai 2002 (letzter Arbeitstag) als Hilfsschlosser in der Firma X._ AG. Er meldete sich am 3. Juni 2002, 1. Oktober 2002 und 27. Januar 2003 wegen einer Schulterproblematik rechts bei der IV-Stelle des Kantons St. Gallen zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Am 3. August 2002 verfügte die IV-Stelle die Ablehnung des Anspruchs auf berufliche Massnahmen und am 9. Juli 2003 auch auf eine Invalidenrente (Invaliditätsgrad von 8 %). Nach Einsprache des Versicherten hob sie diese Verfügung am 5. Dezember 2003 auf und beauftragte das Institut H._ mit einer bidisziplinären (orthopädisch, psychiatrischen) Abklärung (Gutachten vom 5. November 2004). Am 11. Januar 2005 verfügte sie erneut die Ablehnung des Rentenanspruchs (Invaliditätsgrad von 16 %). Auf nochmalige Einsprache hin holte die IV-Stelle eine Stellungnahme des Instituts H._ (vom 20. Juni 2005) ein. Hierauf verfügte sie am 4. Juli 2005 den Widerruf der Verfügung vom 11. Januar 2005 und veranlasste beim Institut H._ ein Folgegutachten (vom 8. Juni 2006). Nach Beizug weiterer Berichte und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle S._ mit Verfügung vom 10. Juli 2007 ab 1. August 2007 eine ganze Invalidenrente zu (Invaliditätsgrad von 100 %). Für die davor liegende Zeit gewährte sie ihm mit Verfügungen vom 14. August 2007 für den Monat Juni 2006 eine Viertelsrente (Invaliditätsgrad von 41 %) und ab 1. Juli 2006 bis 31. Juli 2007 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad von 100 %).
A.b. Gegen die Verfügungen vom 10. Juli 2007 und 14. August 2007 reichte S._ Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen ein. Er beantragte deren Aufhebung und die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente ab einem früheren Zeitpunkt, spätestens ab 1. Mai 2003. Das Versicherungsgericht wies die Sache mit Entscheid vom 20. Januar 2009 zur weiteren Abklärung an die IV-Stelle zurück.
A.c. Die IV-Stelle beauftragte das Institut H._ am 25. März 2009 mit einer Verlaufsbegutachtung (vom 23. September 2009). Mit Vorbescheid vom 5. November 2009 stellte sie dem Versicherten einen ablehnenden Entscheid in Aussicht und wies mit Verfügung vom 26. Januar 2010 das Rentengesuch ab (Invaliditätsgrad von 32 %).
B.
S._ erhob erneut Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und beantragte die Zusprache einer ganzen Invalidenrente ab wann rechtens, spätestens ab 1. Mai 2003; eventualiter sei die Sache zur weiteren medizinischen Abklärung an die Verwaltung zurückzuweisen. Das Gericht hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 29. Februar 2012 dahingehend gut, dass es S._ ab 1. Januar 2006 eine Viertelsrente, ab 1. Juli 2006 eine ganze Rente, ab 1. Dezember 2006 eine Viertelsrente, ab 1. Oktober 2007 eine ganze Rente und ab 1. März 2008 eine Viertelsrente zusprach.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Bestätigung der Verfügung vom 26. Januar 2010.
S._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde; das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sei abzuweisen; zudem beantragt er unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen beantragt Gutheissung der Beschwerde, das kantonale Gericht verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Streitig ist, ob der Beschwerdegegner Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung hat. Laut dem Gutachten des Instituts H._ vom 23. September 2009 litt er (mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit) (1.) an chronischen Schulterschmerzen rechts (ICD-10 M79.61), (2.) an einem chronischen thorakolumbovertebralen Schmerzsyndrom ohne radikuläre Symptomatik (ICD-10 M54.85), (3.) an einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig leichte bis mittelgradige Episode (ICD-10 F33.0, F33.1) und (4.) an einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10 F45.4). Das Versicherungsgericht ging davon aus, dass die rezidivierende depressive Störung nicht als Begleiterscheinung der somatoformen Schmerzstörung aufzufassen ist, sondern als selbstständige, vom Schmerzsyndrom losgelöste psychische Komorbidität. Für die Arbeitsunfähigkeit in einer adaptierten Erwerbstätigkeit bis 2005 von 10 % und ab Januar 2006 von 30 % seien sowohl die chronischen somatischen Beeinträchtigungen, als auch die direkt aus der psychischen Erkrankung fliessenden Nachteile verantwortlich.
2.
2.1. Das kantonale Gericht hat sich eingehend mit den medizinischen Akten auseinandergesetzt und einlässlich dargelegt, weshalb auf das Gutachten des Instituts H._ abzustellen sei. Zum gleichen Ergebnis gelangte auch der Regionale Ärztliche Dienst der Invalidenversicherung, der dem Gutachten mit Stellungnahme vom 22. Oktober 2009, bestätigt am 26. Januar 2010, attestierte, es sei in sich widerspruchsfrei und die medizinischen Schlussfolgerungen seien gut nachvollziehbar. Auch die Beschwerdeführerin bringt gegen die gutachterlichen Abklärungen und Schlüsse nichts vor. Sie rügt jedoch, die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, indem sie die invalidisierende Wirkung der dem Beschwerdegegner attestierten psychischen Gesundheitsbeeinträchtigung bejaht habe.
2.2. Diese Frage kann indes offen bleiben; denn bei einer Arbeitsfähigkeit von 70 % in einer adaptierten Erwerbstätigkeit würde ein anspruchsbegründender Invaliditätsgrad (von mindestens 40 %) nur erreicht, wenn dem Beschwerdegegner ein leidensbedingter Abzug auf dem Tabellenlohn gewährt werden könnte. Die Frage, ob ein solcher Abzug nach Massgabe der Grundsätze von <ref-ruling> vorzunehmen ist, ist rechtlicher Natur. Für die Vorinstanz rechtfertigte sich die Gewährung eines Abzuges (von 15 %) vorab wegen der fehlenden Flexibilität des Beschwerdegegners am Arbeitsplatz, der Gefahr überdurchschnittlicher Krankheitsabsenzen, der kurzfristig schwankenden Leistungsfähigkeit sowie des Bedarfs nach besonderer Rücksichtnahme. Hiegegen hat die Beschwerdeführerin mit Recht die bundesgerichtliche Rechtsprechung angerufen, wonach die von der Vorinstanz berücksichtigten Umstände nicht zu einem Tabellenlohnabzug berechtigen (Urteil 9C_708/2009 vom 19. November 2009 E. 2.3.2). Da dem Versicherten eine ganztägige Arbeit (mit eingeschränkter Leistungsfähigkeit) zumutbar ist, besteht rechtsprechungsgemäss kein Raum für einen Abzug, weil der Umstand, dass eine grundsätzlich vollzeitlich arbeitsfähige versicherte Person gesundheitlich bedingt lediglich reduziert leistungsfähig ist, an sich keinen Abzug vom Tabellenlohn rechtfertigt (Urteil 9C_40/2011 vom 1. April 2011 E. 2.3.1 mit Hinweisen). Die Berücksichtigung eines Abzuges von 15 % vom Tabellenlohn durch die Vorinstanz ist somit bundesrechtswidrig. Ein Rentenanspruch konnte per 1. Januar 2006 mangels eines anspruchsbegründenden Invaliditätsgrades nicht entstehen.
2.3. Es bleibt zu prüfen, ob sich für die späteren Phasen einer 100%igen Arbeitsunfähigkeit (stationärer Aufenthalt in der Psychiatrischen Klinik Y._ vom 24. April bis 15. September 2006; Verkehrsunfall am 24. Juli 2007; urologische Operation im November 2007) allenfalls eine vorübergehende Zusprechung einer Rente rechtfertigte:
Praxisgemäss wird die Wartezeit nach aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG (gültig bis 31. Dezember 2007; seither: Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG) schon bei einer Einschränkung von 20 % eröffnet (AHI 1998 124; I 411/96). Gestützt auf das Gutachten des Instituts H._ vom 5. November 2004 ist davon auszugehen, dass in der angestammten Tätigkeit des Hilfsschlossers und Spritzlackierers seit Mai 2002 eine volle Arbeitsunfähigkeit gegeben war. Dass die Vorinstanz den Ablauf der Wartezeit erst auf den 31. Juli 2002 terminierte, ist ohne Relevanz, weil für körperlich leichte bis mittelschwere leidensadaptierte Tätigkeiten eine Arbeitsfähigkeit von 90 % bestand, sodass der Rentenanspruch im Mai 2003 nicht entstehen konnte. Die Wirkung der Erfüllung der Wartezeit hält indes nicht zeitlich unbeschränkt an: Art. 29bis IVV regelt, dass früher zurückgelegte Zeiten bei der Berechnung der Wartezeit anzurechnen sind, wenn nach der Aufhebung der Rente infolge einer Verminderung des Invaliditätsgrades dieser in den folgenden drei Jahren wegen einer auf dasselbe Leiden zurückzuführenden Arbeitsunfähigkeit wieder ein rentenbegründendes Ausmass erreicht. Dies hat analog erst recht zu gelten, wenn, wie hier, nach der Erfüllung einer früheren Wartezeit gar nie ein Rentenanspruch bestand, und der Ablauf der ersten Wartezeit zudem bereits dreieinhalb Jahre zurücklag. Ab dem von der Vorinstanz bestimmten Stichdatum vom 1. Januar 2006 (Eintritt einer Arbeitsunfähigkeit von 30 %) war darum die Wartezeit erneut ganz zu durchlaufen.
In das neue Wartejahr fiel die ganze Periode einer vollen Arbeitsunfähigkeit während des Aufenthalts in der Psychiatrischen Klinik Y._ vom 24. April bis 15. September 2006, weshalb ein Rentenanspruch nicht entstehen konnte. Nach dem Ablauf der Wartezeit Ende 2006 war die Erwerbsunfähigkeit indes bereits wieder auf unter 40 % gesunken (Arbeitsunfähigkeit von 30 % gemäss Verlaufsgutachten des Instituts H._ vom 23. September 2009). Damit konnte der Rentenanspruch erneut nicht entstehen (oben E. 2.2). Die zwei weiteren Phasen einer vollständigen Arbeits- (und Erwerbsunfähigkeit), jeweils während mehrerer Wochen nach einem Verkehrsunfall am 24. Juli 2007 und aufgrund einer urologischen Operation im November 2007, waren hingegen wieder zu kurz, um einen vorübergehenden Rentenanspruch auszulösen; denn gemäss Art. 8 Abs. 1 ATSG ist Invalidität die voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde ganze oder teilweise Erwerbsunfähigkeit. Davon kann bei den geschilderten zeitlichen Verhältnissen nicht die Rede sein.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten grundsätzlich dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 29. Februar 2012 aufgehoben.
2.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdegegner Rechtsanwalt Robert Baumann als Rechtsbeistand beigegeben. Es wird ihm aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.- ausgerichtet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hat die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen und über das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege zu befinden.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Juli 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Schmutz