Sachverhalt:
A. Am 19. Januar 2009 und 16. Februar 2009 reichte A._, Redaktor einer Zürcher B._zeitung, gegen X._ Ehrverletzungsklage ein. Anlass waren verschiedene von X._ verfasste und im Internet publizierte Texte. Darin wurde A._ in Zusammenhang mit dem Dritten Reich gestellt. X._ wird vorgeworfen, sich dadurch über A._ ehrverletzend geäussert zu haben.
B. Das Bezirksgericht Zürich sprach X._ mit Entscheid vom 22. Juni 2009 der mehrfachen üblen Nachrede schuldig. Es bestrafte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu Fr. 100.-- bei einer Probezeit von 2 Jahren. Zudem verpflichtete es ihn, die im Internet publizierten Äusserungen zu löschen und das Urteilsdispositiv auf derselben Internetplattform zu veröffentlichen. Die von X._ dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 25. Februar 2010 ab.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben, und es sei auf die Anklage nicht einzutreten. Eventualiter sei er vom Vorwurf der mehrfachen üblen Nachrede freizusprechen. Subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer veröffentlichte auf der Internetseite www.X._.ch folgende (hier abgekürzte) Passagen:
"13. September 2008 ...Und wieder einmal unser Obernazi [...]
A._ (Vor- und Nachname) [...] sieht sich beleidigt, weil ich von seiner "Wehrmacht" und seinem "Tausendjährigen Reich" wenig halte! [...]
Die Vertreibung von Deutschen aus den Ostgebieten ist ebenso ein Verbrechen, wie das, was A._s (Nachname) Wehrmacht den Osteuropäern wenige Jahre zuvor angetan hatte. [...]
A._ (Nachname) soll seine Begeisterung für das Dritte Reich frei äussern dürfen [...]."
"29. Dezember 2008 [...]
Wie würde die Kirchenpflege reagieren, wenn A._ (Vorname und 1. Buchstabe des Nachnamens) und seine "arischen Kämpfer" ein Gotteshaus besetzen und zur Verehrung Odins benützen würden?"
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bringt vor (Beschwerde S. 4 ff.), der Beschwerdegegner habe vom Text vom 13. September 2008 vor dem 17. Oktober 2008 Kenntnis gehabt und deshalb die Strafantragsfrist verpasst. Die Unschuldsvermutung gelte auch betreffend die Prozessvoraussetzungen. Indem die Vorinstanz ihm den Beweis auferlegt habe, wonach der Beschwerdegegner im Zeitpunkt der Antragstellung (19. Januar 2009) bereits seit mehr als drei Monaten hinreichend Kenntnis von Tat und Täter gehabt habe, habe sie die Unschuldsvermutung als Beweislastregel verletzt (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK). Zudem lägen für seine Darstellung ernsthafte Anhaltspunkte vor. Die gegenteilige Auffassung der Vorinstanz stütze sich auf eine willkürliche Beweiswürdigung (<ref-law>).
2.2 Die Vorinstanz erachtet, wie die erste Instanz, die Strafantragsfrist als gewahrt. Der Beschwerdegegner habe als Ehrverletzungskläger zu beweisen, wann er von Tat und Täter erfahren habe. Sei der Beschwerdeführer (wie vorliegend) der Meinung, dass der Beschwerdegegner bereits vor dem geltend gemachten Zeitpunkt entsprechende Kenntnis gehabt habe, so habe er den erforderlichen Beweis zu erbringen. Der Beschwerdegegner habe glaubhaft dargelegt, den Artikel vom 13. September 2008 erstmals am 21. Oktober 2008 gesehen zu haben. Er habe am 20. Oktober 2008 eine E-Mail erhalten, welche ihn veranlasst habe, am folgenden Tag die Homepage des Beschwerdeführers wieder einmal anzuschauen. Der Beschwerdeführer habe für seine Behauptung, wonach der Beschwerdegegner bereits zu einem früheren Zeitpunkt hinreichende Kenntnis gehabt habe, keine konkreten Hinweise liefern können. Im Zweifelsfalle gelte die Strafantragsfrist als eingehalten, und der Grundsatz "in dubio pro reo" fände hier keine Anwendung. Den Beschwerdeführer treffe insofern eine gewisse Beweislast, als er das Vorliegen entlastender Indizien behaupte (angefochtener Entscheid S. 8 ff.).
2.2 Die Vorinstanz erachtet, wie die erste Instanz, die Strafantragsfrist als gewahrt. Der Beschwerdegegner habe als Ehrverletzungskläger zu beweisen, wann er von Tat und Täter erfahren habe. Sei der Beschwerdeführer (wie vorliegend) der Meinung, dass der Beschwerdegegner bereits vor dem geltend gemachten Zeitpunkt entsprechende Kenntnis gehabt habe, so habe er den erforderlichen Beweis zu erbringen. Der Beschwerdegegner habe glaubhaft dargelegt, den Artikel vom 13. September 2008 erstmals am 21. Oktober 2008 gesehen zu haben. Er habe am 20. Oktober 2008 eine E-Mail erhalten, welche ihn veranlasst habe, am folgenden Tag die Homepage des Beschwerdeführers wieder einmal anzuschauen. Der Beschwerdeführer habe für seine Behauptung, wonach der Beschwerdegegner bereits zu einem früheren Zeitpunkt hinreichende Kenntnis gehabt habe, keine konkreten Hinweise liefern können. Im Zweifelsfalle gelte die Strafantragsfrist als eingehalten, und der Grundsatz "in dubio pro reo" fände hier keine Anwendung. Den Beschwerdeführer treffe insofern eine gewisse Beweislast, als er das Vorliegen entlastender Indizien behaupte (angefochtener Entscheid S. 8 ff.).
2.3 2.3.1 Gemäss <ref-law> erlischt das Antragsrecht nach Ablauf von drei Monaten. Die Frist beginnt mit dem Tag, an welchem der antragsberechtigten Person der Täter bekannt wird, was auch die Kenntnis der Straftat voraussetzt (<ref-ruling> E. 2a S. 132).
Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz, indem sie feststellt, der Beschwerdegegner habe erstmals am 21. Oktober 2008 vom Inhalt des fraglichen Textes vom 13. September 2008 Kenntnis genommen, die Unschuldsvermutung verletzt. Ob der Grundsatz "in dubio pro reo" als Beweislastregel verletzt ist, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition. Diese aus der Unschuldsvermutung (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) abgeleitete Maxime wurde wiederholt dargelegt, worauf zu verweisen ist (<ref-ruling> E. 2a S. 40 f. mit Hinweisen).
2.3.2 Gemäss überwiegender Lehre ist der Grundsatz "in dubio pro reo" auch im Bereich der Prozessvoraussetzungen anwendbar (Christof Riedo, in: Basler Kommentar, Strafrecht, 2. Aufl. 2007, N. 35 ff. zu <ref-law>; derselbe, Der Strafantrag, 2004, S. 498 ff.; Hauser/Schweri/Hartmann, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl. 2005, § 54 Rz. 14; Niklaus Schmid, Strafprozessrecht, 4. Aufl. 2005, Rz. 279 und 300; derselbe, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 2009, N. 217; Niklaus Oberholzer, Grundzüge des Strafprozessrechts, 2. Aufl. 2005, N. 799; Esther Tophinke, Das Grundrecht der Unschuldsvermutung, 2000, S. 213 f.). Es ist danach beispielsweise Sache der Anklagebehörde respektive des Gerichts, das Vorliegen eines gültigen Strafantrags nachzuweisen. Bestehen erhebliche Zweifel an dessen Gültigkeit, darf keine Verurteilung erfolgen. Ob die Unschuldsvermutung (darüber hinaus) als Beweislastregel zur Folge hat, dass der Antragsteller nachweisen muss, von Tat und Täter nicht vor einem bestimmten Zeitpunkt Kenntnis erlangt zu haben, wird in der Lehre, so weit diese Frage überhaupt aufgeworfen wird, verneint. Damit wird ihr sachlicher Geltungsbereich drastisch verkleinert und auf hier nicht relevante Aspekte (wie Zeitpunkt des Zugangs der Antragserklärung oder der Vollmachtserteilung) reduziert (Christof Riedo, in: Basler Kommentar, a.a.O., N. 39 zu <ref-law>; derselbe, Der Strafantrag, 2004, S. 500; vgl. auch Donatsch/Schmid, Kommentar zur Strafprozessordnung des Kantons Zürich, N. 22 zu § 287 StPO/ZH; Trechsel/Jean-Richard, in: Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2008, N. 14 zu <ref-law>). Mithin kann offenbleiben, ob die Unschuldsvermutung im Bereich der Prozessvoraussetzungen generell anwendbar ist. Sie darf zumindest für die hier interessierende Frage, ob der Beschwerdegegner beweisen müsste, von Tat und Täter nicht vor einem bestimmten Zeitpunkt Kenntnis erlangt zu haben, auf jeden Fall nicht herangezogen werden. Die Rüge, wonach die Vorinstanz den Grundsatz "in dubio pro reo" als Beweislastregel verletzt habe, geht mithin bereits aus diesem Grund fehl.
2.3.3 Das Bundesgericht sah in der Auffassung, dass der Verletzte nicht nur zu beweisen hat, wann er vom eingeklagten Tatbestand Kenntnis erhalten hat, sondern überdies, dass er ihn nicht schon früher gekannt hat, eine formelle Rechtsverweigerung. Als Begründung führte es an, der Verletzte werde meist in der Lage sein, anzugeben und Beweise dafür anzubieten, bei welcher Gelegenheit er Kenntnis von Tat und Täter erhalten habe. Dagegen werde ihm der Beweis, bis dahin keine Kenntnis erhalten zu haben, kaum je gelingen, sei doch der Beweis einer negativen Tatsache in der Regel unmöglich. Im Zweifel gelte die Frist als eingehalten, wenn keine ernsthaften Anhaltspunkte dafür vorlägen, dass dem Antragsberechtigten Tat und Täter schon früher bekannt gewesen seien (<ref-ruling> E. 3 S. 774 f.). Diese Praxis wurde mit Urteil 6B_867/2009 vom 3. Dezember 2009 bestätigt.
Vorliegend fehlen nach den vorinstanzlichen Feststellungen nicht nur ernsthafte Anhaltspunkte, dass der Beschwerdegegner die Antragsfrist nicht gewahrt respektive Tat und Täter vor dem 17. Oktober 2008 gekannt habe. Vielmehr schätzt die Vorinstanz die Ausführungen des Beschwerdegegners, wonach er erstmals am 21. Oktober 2008 entsprechende Kenntnis erhalten habe, als glaubhaft ein. Sie hält im Ergebnis fest, dass der Beschwerdeführer zu den für ihn ungünstigen Beweisergebnissen (Kenntnisnahme erstmals am 21. Oktober 2008) keine plausiblen entlastenden Umstände vorzubringen vermöge. Dies ist nicht zu beanstanden, und eine Verletzung der Unschuldsvermutung liegt auch aus diesem Grund nicht vor. Daran ändert der pauschale und im Übrigen unzutreffende Hinweis des Beschwerdeführers nichts, wonach entsprechende Beweise nicht erbracht werden könnten (Beschwerde S. 7 f.). Von einer eigentlichen Beweislast des Beschwerdeführers, die ihm auferlegt würde, kann entgegen seinem Dafürhalten keine Rede sein. Ihn trifft lediglich die Obliegenheit, die seinen Standpunkt untermauernden Beweismittel vorzubringen.
Entsprechende Beweismittel liegen nach der willkürfreien Würdigung der Vorinstanz nicht vor. Die Feststellung, wonach der Beschwerdegegner erstmals am 21. Oktober 2008 sichere Kenntnis von Tat und Täter erhalten habe, ist tatsächlicher Natur. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, dass diese Annahme schlechterdings nicht vertretbar sein sollte. Soweit er wie bereits vor Vorinstanz festhält, es lägen für eine frühere Kenntnisnahme ernsthafte Anhaltspunkte vor und die gegenteilige Darstellung des Beschwerdegegners sei nicht glaubhaft, legt er einzig dar, wie verschiedene Umstände (z.B. die E-Mail vom 20. Oktober 2008 oder die nachträgliche Distanzierung des Beschwerdegegners von der unzutreffenden Behauptung, auch einen Text vom 13. Juli 2008 erstmals am 21. Oktober 2008 zur Kenntnis genommen zu haben) seiner Meinung nach richtigerweise zu würdigen gewesen wären. Zum Einen sind nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz Ausführungen, die sich nicht auf den Zeitraum ab dem 13. September 2008 beziehen, unbehelflich. Zum Andern ist die blosse Darlegung der eigenen Sichtweise nicht geeignet, Willkür darzutun (vgl. zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f. mit Hinweisen). Dass und inwiefern das vorinstanzliche Beweisergebnis, wonach der Beschwerdegegner erstmals am 21. Oktober 2008 Kenntnis des fraglichen Textes erhielt, schlechterdings nicht mehr vertretbar sein sollte, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, und solches ist auch nicht ersichtlich. Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet, soweit sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG überhaupt zu genügen vermag.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer sieht das Anklageprinzip verletzt. Zusammengefasst macht er geltend, aus den Anklageschriften gehe der gegen ihn erhobene Vorwurf nicht hinreichend hervor. Erwägungen zu den subjektiven Tatbeständen der Verleumdung und der üblen Nachrede fehlten (Beschwerde S. 11 ff.).
3.2 Nach dem aus Art. 29 Abs. 2 und Art. 32 Abs. 2 BV sowie aus Art. 6 Ziff. 1 und Ziff. 3 lit. a und b EMRK abgeleiteten Anklagegrundsatz bestimmt die Anklageschrift den Gegenstand des Gerichtsverfahrens (Umgrenzungsfunktion). Die Anklage hat die der beschuldigten Person zur Last gelegten Delikte in ihrem Sachverhalt so präzise zu umschreiben, dass die Vorwürfe genügend konkretisiert sind. Das Anklageprinzip bezweckt zugleich den Schutz der Verteidigungsrechte der angeschuldigten Person und dient dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Informationsfunktion). Nach Art. 6 Ziff. 3 lit. a EMRK hat die angeschuldigte Person Anspruch darauf, in möglichst kurzer Frist über die Art und den Grund der gegen sie erhobenen Beschuldigung in Kenntnis gesetzt zu werden. Das Gericht ist an den in der Anklage wiedergegebenen Sachverhalt gebunden, nicht aber an dessen rechtliche Würdigung durch die Anklagebehörde (<ref-ruling> E. 6.3 S. 245 mit Hinweisen).
3.3 Nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz ist unter dem Gesichtspunkt der Informationsfunktion des Anklageprinzips massgebend, dass die angeklagte Person genau weiss, was ihr angelastet wird, damit sie ihre Verteidigungsrechte angemessen ausüben kann. Die Anklageschriften des Beschwerdegegners geben die inkriminierten Äusserungen wörtlich wieder. Zudem liegt ihnen ein Ausdruck von der Internetseite des Beschwerdeführers bei. Darin sind die fraglichen Texte im Gesamtzusammenhang eingebettet. Der Lebenssachverhalt und das dem Beschwerdeführer zur Last gelegte Delikt sind somit in sachlicher, örtlicher und zeitlicher Hinsicht hinreichend konkretisiert.
Dies gilt auch für den subjektiven Tatbestand. Diesbezüglich genügt der Hinweis auf den gesetzlichen Straftatbestand zusammen mit der Darstellung des Sachverhalts als zureichende Umschreibung der subjektiven Merkmale, wenn der betreffende Tatbestand nur mit Vorsatz begangen werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 356 mit Hinweisen). Dem Beschwerdeführer wird in den Anklageschriften (mehrfache) Verleumdung im Sinne von <ref-law>, eventualiter (mehrfache) üble Nachrede gemäss <ref-law> zur Last gelegt. Beide Delikte sind eng miteinander verwandt. Der subjektive Tatbestand von <ref-law> verlangt Vorsatz, wobei Eventualvorsatz genügt. Dieser muss sich auf den ehrverletzenden Charakter der Mitteilung, die Eignung zur Rufschädigung und die Kenntnisnahme der Äusserung durch einen Dritten, nicht aber auf deren Unwahrheit beziehen. Eine besondere Beleidigungsabsicht ist nicht erforderlich (Trechsel/Crameri, in: Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2008, N. 11 zu <ref-law>). Der subjektive Tatbestand der Verleumdung unterscheidet sich zum Tatbestand der üblen Nachrede darin, dass der Täter die Verleumdung mit direktem Vorsatz in Bezug auf die Unwahrheit der Äusserung begeht. Eventualvorsatz genügt hier nicht (Stratenwerth/Jenny/Bommer, Schweizerisches Strafrecht, Straftaten gegen Individualinteressen, 7. Aufl. 2010, § 11 N. 57). Dem Beschwerdeführer wird demnach zur Last gelegt, den Beschwerdegegner gegenüber Dritten unwahrer ehrenrühriger Tatsachen beschuldigt oder verdächtigt zu haben, wobei er von der Unwahrheit seiner Äusserung gewusst habe. Eventualiter werden ihm ehrenrührige Aussagen zur Last gelegt, die wahr oder unwahr sein können. Damit erfüllen aber die Anklageschriften die sich aus der Umgrenzungs- und Informationsfunktion ergebenden Anforderungen. Eine engere Umschreibung ist, um den verfassungsrechtlichen Ansprüchen zu genügen, nicht nötig. Nicht zu beanstanden ist unter dem Gesichtspunkt des Anklagegrundsatzes, dass die Anklageschrift einen Haupt- und einen Eventualpunkt aufweist. Zudem schliesst der weitergehende Verleumdungstatbestand den weniger weitgehenden Tatbestand der üblen Nachrede ein. Unabhängig von der rechtlichen Qualifikation der einzelnen Anklagesachverhalte als Verleumdung oder üble Nachrede stellen sich deshalb vorrangig die gleichen Fragen.
Die beiden Varianten verlangen somit (anders, als wenn dem Angeklagten eine Tat vorgeworfen würde, die bei vorsätzlicher und fahrlässiger Begehungsweise strafbar ist) nicht zwei Verteidigungsstrategien, die sich wesentlich unterscheiden würden. Mithin ist nicht ersichtlich, inwiefern die Verteidigungsrechte tangiert sein sollten. Solches wird vom Beschwerdeführer auch nicht näher substanziiert. Ihm war jedenfalls klar, welcher Vorfall Gegenstand der Anklage bildet und dass die inkriminierten Handlungen als Verleumdung oder, im Eventualfall, als üble Nachrede qualifiziert wurden.
Indem die Vorinstanz gestützt auf die Akten ein vorsätzliches Vorgehen des Beschwerdeführers hinsichtlich der Ehrenrührigkeit seiner Texte bejaht und ein Handeln wider besseres Wissen verneint, liegt entgegen dem Vorbringen der Verteidigung kein unzulässiger Rückgriff auf die Akten vor. Denn dies geschieht zu Beweiszwecken, nicht aber dazu, den Tatvorwurf in Abweichung der Anklage zu definieren (vgl. Armand Meyer, Die Bindung des Strafrichters an die eingeklagte Tat, 1972, S. 67 Anm. 64). Dass dem Urteil eine von der Anklage abweichende Tat zugrunde liegt, ist entgegen der Beschwerde nicht ersichtlich. Eine Verletzung des Anklageprinzips liegt nicht vor.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend (<ref-law>). Die Vorinstanz habe sich mit seinen vorgetragenen Standpunkten nicht auseinandergesetzt, wonach der Beschwerdegegner im Text vom 29. Dezember 2008 lediglich als "A._ [Vorname und 1. Buchstabe des Nachnamens]" bezeichnet worden und deshalb nicht identifizierbar sei und der Ausdruck "arische Kämpfer" im Übrigen keine Tatsachenbehauptung darstelle (Beschwerde S. 14 ff.).
4.2 Diese Rüge ist unbegründet. Der in <ref-law> gewährleistete Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörden die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hören, prüfen und in der Entscheidfindung berücksichtigen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677 mit Hinweisen). Das ist der Fall, soweit die Vorinstanz den Ausdruck "arische Kämpfer" als Tatsachenbehauptung qualifiziert (angefochtenes Urteil S. 14 ff. mit Verweis auf den erstinstanzlichen Entscheid S. 7). Im Übrigen bringt der Beschwerdeführer zutreffend vor, dass die Vorinstanz sich zur Identifikation des Beschwerdegegners durch die Bezeichnung "A._ [Vorname und 1. Buchstabe des Nachnamens]" nicht äussert. Darin liegt hingegen keine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Die Behörde darf sich in ihrem Entscheid auf die wesentlichen Gesichtspunkte und Leitlinien beschränken und braucht sich nicht mit jedem sachverhaltlichen oder rechtlichen Einwand auseinanderzusetzen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677 mit Hinweisen). Die Vorinstanz bejaht implizit, dass der Beschwerdegegner durch die Bezeichnung "A._ [Vorname und 1. Buchstabe des Nachnamens]" nach den Umständen erkennbar war. Ihre Begründung ermöglicht den Prozessparteien respektive der Rechtsmittelinstanz, sich über die Tragweite des Entscheids ein Bild zu machen und diesen gegebenenfalls sachgerecht anzufechten. Dies war dem Beschwerdeführer denn auch möglich (vgl. Beschwerde S. 17), und Gegenteiliges wird von ihm auch nicht vorgebracht.
5. 5.1 Nach Auffassung des Beschwerdeführers verletzt der Text vom 29. Dezember 2008 nicht die Ehre des Beschwerdegegners, denn ein unbefangener Leser kenne diesen nicht unter der Bezeichnung "A._ [Vorname und 1. Buchstabe des Nachnamens]" Weiter handle es sich bei der Bezeichnung "arische Kämpfer" nicht um eine Tatsachenbehauptung, sondern um ein ironisch gemeintes und überspitzt formuliertes Gedankenspiel (Beschwerde S. 17). Der Beschwerdeführer rügt, zumindest sinngemäss, eine Verletzung von <ref-law>.
5.2 Der fragliche Text ("Wie würde die Kirchenpflege reagieren, wenn A._ [Vorname und 1. Buchstabe des Nachnamens] und seine "arischen Kämpfer" ein Gotteshaus besetzen und zur Verehrung Odins benützen würden?") richtet sich gegen den Beschwerdegegner. Dass dieser nicht mit vollem Namen genannt wird, ändert daran nichts. Die Person muss nicht namentlich genannt, sondern nur nach den Umständen erkennbar sein (<ref-ruling> E. 2a S. 266 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer nennt den Beschwerdegegner auf derselben Homepage am 13. September 2008 sowie am 19. und 13. Juli 2008 mit vollem Namen. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, der typische Leser hätte, um von "A._ [Vorname und 1. Buchstabe des Nachnamens]" auf den Beschwerdegegner zu schliessen, viele frühere Einträge konsultieren müssen, geht seine Auffassung in verschiedener Hinsicht fehl. Einerseits ist es ein Leichtes, die Internetseite, auf welcher sich die verschiedenen Einträge befinden respektive befanden, mit dem Stichwort "A._ [Vorname und 1. Buchstabe des Nachnamens]" zu durchsuchen, was ohne Weiteres zu den genannten früheren Texten führt. Auch steht dem Leser die Möglichkeit offen, den Begriff "A._ [Vorname und 1. Buchstabe des Nachnamens]" mittels einer Internetsuchmaschine zu ermitteln und dabei die Nachforschung mit Nennung der Internetadresse des Beschwerdeführers entsprechend einzugrenzen. Andererseits verkennt der Beschwerdeführer, dass der inkriminierte Text offensichtlich Teil eines sogenannten Blogs ist. Eine solche Plattform zeichnet sich unter anderem durch eine regelmässige Leserschaft aus. Durchschnittliche Adressaten des fraglichen Textes waren mithin nicht Benutzer, die rein zufällig und einmalig auf die Internetseite des Beschwerdeführers gelangten. Vielmehr wählen die Anwender einen entsprechenden Blog aus in der Absicht, diesen über eine gewisse Zeitspanne zu verfolgen. Der Verfasser der Texte geht denn auch davon aus (vgl. beispielsweise den Eintrag vom 6. Dezember 2008, worin sich der Beschwerdeführer bei den Lesern rechtfertigt, weshalb er seit einer gewissen Zeit keinen Blog mehr geschrieben habe). Es ist somit ohne Weiteres davon auszugehen, dass der durchschnittliche Leser nicht nur vom Text vom 29. Dezember 2008, sondern auch von den Texten der vorangegangenen Monate Kenntnis hatte. Dieser erkennbare Gesamtzusammenhang ist hier relevant, und der Beschwerdegegner war deshalb identifizierbar.
5.3 Soweit der Beschwerdeführer rügt, bei der Bezeichnung "arische Kämpfer" handle es sich nicht um eine Tatsachenbehauptung, begnügt er sich damit, auf seine im vorinstanzlichen Verfahren vorgetragenen Ausführungen zu verweisen (Beschwerde S. 16 f.; vorinstanzliche Akten act. 44 S. 10 f.). Die Vorinstanz hat sich bereits mit den Argumenten des Beschwerdeführers auseinandergesetzt. Sie hält fest, die dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Äusserungen stellten Tatsachenbehauptungen ("Wehrmacht", "tausendjähriges Reich", "Begeisterung für das Dritte Reich", "arische Kämpfer") respektive ein gemischtes Werturteil ("Obernazi") dar. Dem Beschwerdegegner werde eine Sympathie im Sinne einer gewissen Nähe zum nationalsozialistischen Regime vorgeworfen. Eine andere Interpretation liessen die ganz bewusst gewählten und allseits bekannten Begriffe aus dem Umfeld des nationalsozialistischen Regimes nicht zu. Keine Rolle spiele, ob den Äusserungen des Beschwerdeführers Glauben geschenkt würde. Relevant sei einzig, dass der Beschwerdegegner durch die gesamten Äusserungen in die Nähe nationalsozialistischer Ideologien gerückt werde. Im Übrigen wollte der Beschwerdeführer die betreffenden Aussagen nicht ironisch verstanden haben. Die angebliche Ironie sei eine blosse Schutzbehauptung (angefochtenes Urteil S. 14 ff.). Auf diese zutreffenden Erörterungen, auf welche sich der Beschwerdeführer nicht einlässt, kann verwiesen werden (<ref-law>).
6. 6.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, dass die ihm vorgeworfenen Äusserungen in den Schutzbereich der Kommunikationsgrundrechte fallen würden, welche in Art. 16 und Art. 17 BV sowie Art. 10 EMRK verbrieft seien. Der zwischen ihm und dem Beschwerdegegner entbrannte und hauptsächlich in der Öffentlichkeit ausgetragene Streit sei nicht ausschliesslich privat, sondern deutlich politisch motiviert gewesen. Eine strafrechtlich relevante Ehrverletzung sei in einer politischen Auseinandersetzung nur mit grosser Zurückhaltung anzunehmen (Beschwerde S. 17 ff.).
6. 6.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, dass die ihm vorgeworfenen Äusserungen in den Schutzbereich der Kommunikationsgrundrechte fallen würden, welche in Art. 16 und Art. 17 BV sowie Art. 10 EMRK verbrieft seien. Der zwischen ihm und dem Beschwerdegegner entbrannte und hauptsächlich in der Öffentlichkeit ausgetragene Streit sei nicht ausschliesslich privat, sondern deutlich politisch motiviert gewesen. Eine strafrechtlich relevante Ehrverletzung sei in einer politischen Auseinandersetzung nur mit grosser Zurückhaltung anzunehmen (Beschwerde S. 17 ff.).
6.2 6.2.1 Die Garantie der freien Meinungsäusserung nach <ref-law> und Art. 10 EMRK verleiht dem Einzelnen das Recht, der Öffentlichkeit und Privatpersonen Meinungen und Informationen ohne Behinderung durch die Behörden zukommen zu lassen. Die Meinungsfreiheit gilt nicht unbegrenzt. Einschränkungen sind zulässig, sofern sie auf einer genügenden gesetzlichen Grundlage beruhen, im öffentlichen Interesse liegen bzw. durch den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt sind, den Grundsatz der Verhältnismässigkeit wahren und den Kerngehalt nicht antasten (<ref-law>).
Die üble Nachrede, die Behauptung ehrenrühriger Tatsachen gegenüber Dritten, ist nach <ref-law> strafbar. Die Verurteilung des Beschwerdeführers basiert demnach auf einer genügenden gesetzlichen Grundlage, und sie verfolgt das Ziel, den guten Ruf und die Rechte Dritter zu schützen. Dies rechtfertigt grundsätzlich die Einschränkung der Meinungsäusserungsfreiheit (vgl. Urteil 6B_340/2008 vom 13. Juni 2008 E. 4).
Zu prüfen bleibt die Verhältnismässigkeit im Sinne von <ref-law>. Nach den verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen (<ref-law>) handelte der Beschwerdeführer in Schädigungsabsicht. Er wollte den Beschwerdegegner, nachdem dieser ihm im Vorfeld von Zürcher Wahlen in einer B._zeitung keine Plattform eingeräumt hatte, öffentlich schmähen. Die Vorinstanz führt zutreffend aus, dass unter diesen Umständen sein Recht auf Meinungsäusserung gegenüber dem Recht des Beschwerdegegners auf Schutz seines guten Rufes und seiner Ehre nicht überwiegt (angefochtener Entscheid S. 28; Urteil 6B_340/2008 vom 13. Juni 2008 E. 4). Eine Verurteilung des Beschwerdeführers wegen übler Nachrede ist demnach mit der Meinungsäusserungsfreiheit vereinbar und verhältnismässig.
6.2.2 Im Übrigen geht die Auffassung des Beschwerdeführers, soweit er wie bereits vor Vorinstanz vorbringt, die inkriminierten Texte seien "politisch motiviert" gewesen und damit eine politische Auseinandersetzung behauptet, offensichtlich fehl. Es ist nicht erkennbar, in welchem sachlichen Zusammenhang die seinerzeitige Besetzung der Predigerkirche in Zürich durch "Papierlose" und die dem Beschwerdegegner durch den Beschwerdeführer unterstellte politische Gesinnung zueinander stehen sollten. Die in diesem Zusammenhang geäusserten Ehrverletzungen berühren nicht ansatzweise die vom Beschwerdeführer aufgeworfene Frage (Beschwerde S. 19 f.), inwieweit die Besetzung einer Kirche zu tolerieren sei. Umso weniger ist ersichtlich, welche Diskussion der Beschwerdeführer auf seinem Blog zu führen beabsichtigte. Endlich stellt eine private Meinungsäusserung oder Diskussion nicht bereits deshalb eine politische Auseinandersetzung dar, weil Tagesthemen aufgegriffen werden.
Ebenso wenig geben die Ausführungen vom 13. September 2008 einen politischen Disput wieder. Der Verweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 1a S. 58 f. mit Hinweisen), wonach in politischen Debatten das Publikum mit Übertreibungen und scharfen Formulierungen rechne und nicht jedes Wort auf die Goldwaage zu legen pflege, weshalb eine strafrechtlich relevante Ehrverletzung nur mit grosser Zurückhaltung anzunehmen sei, geht deshalb an der Sache vorbei. Der Beschwerdeführer kandidierte erfolglos für ein politisches Amt und warf dem Beschwerdegegner in der Folge vor, ihn in einer B._zeitung nicht porträtiert zu haben. Dieser Umstand führte nach den vorinstanzlichen Feststellungen zum Blog vom 13. September 2008. Weder die erfolglose Kandidatur für ein öffentliches Amt noch die fehlende Präsentation in einer B._zeitung, geschweige denn die erneut ohne sachlichen Zusammenhang dem Beschwerdegegner unterstellten Sympathien für nationalsozialistische Ideologien vermögen eine politisch geführte Auseinandersetzung darzustellen. Die gegenteilige Auffassung, wonach im Ergebnis eine ehrverletzende Äusserung durch den blossen Hinweis auf Vorkommnisse der (lokalen) Politik unter dem Schutz der Meinungsäusserungsfreiheit stünde, höhlte den strafrechtlichen Schutz der Ehre aus. Die Meinungsäusserungsfreiheit verleiht kein Recht zu Straftaten. Dass die Vorinstanz festhält, der Beschwerdeführer habe nicht zur Bildung der öffentlichen Meinung beitragen, sondern sich gegen eine Beleidigung wehren wollen (angefochtener Entscheid S. 29), ist deshalb zutreffend. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern hier Äusserungen zu politischen Fragen und Problemen des öffentlichen Lebens im Raum stehen sollten. Die Verurteilung des Beschwerdeführers ist auch in diesem Zusammenhang bundes- und konventionsrechtlich nicht zu beanstanden.
7. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihm im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. September 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Faga