Faits:
A. Entre 1987 et 1990, X._ SA, dont le siège est en Suisse, a facturé des livraisons de tabac brut à la Iraqi Tobacco State Enterprise, puis à la B._, dont le siège est à Bagdad. Le paiement était garanti par six crédits documentaires irrévocables ouverts par la Rafidain Bank, à Bagdad.
Par ordonnance du 7 août 1990 instituant des mesures économiques envers la République d'Irak (RS 946.206; ci-après: ordonnance du 7 août 1990), le Conseil fédéral a gelé les avoirs et ressources économiques appartenant à ou sous contrôle de l'ancien gouvernement irakien ou d'entreprises ou corporations sous contrôle de celui-ci (art. 2 al. 1 let. a), dont la Rafidain Bank et la Iraqi Tobacco State Enterprise (nos 3 et 66 de la liste des entreprises et corporations annexée à l'ordonnance).
Le 5 mars 1997, statuant par défaut, le Tribunal de Grande Instance d'Amsterdam a admis la demande de X._ SA en validation d'une saisie conservatoire exécutée le 9 décembre 1996 sur des avoirs bancaires à Amsterdam et a condamné la Rafidain Bank et la République d'Irak, en qualité de codébitrices solidaires, à payer à X._ SA la somme de 13'765'000 USD, plus intérêts. Le jugement a été déclaré exécutoire.
B. Le 29 septembre 2009, X._ SA a obtenu du Tribunal de première instance de Genève le séquestre des avoirs de la République d'Irak auprès de l'IATA (International Air Transport Association) sur la base des décisions néerlandaises des 9 décembre 1996 et 5 mars 1997; ce séquestre n° *** a porté sur 36'521'331 USD. Le 19 octobre 2009, la République d'Irak s'y est opposée.
Le 3 novembre 2009, X._ SA a fait notifier à la République d'Irak un commandement de payer n° ** pour un montant global de l'ordre de 32 millions de francs. La poursuivie a formé opposition totale.
Le 20 novembre 2009, X._ SA a requis le Tribunal de première instance de prononcer la mainlevée définitive de l'opposition, après exequatur du jugement néerlandais.
Par décision du 14 décembre 2009, le Tribunal de première instance a donné suite à l'opposition de la République d'Irak du 19 octobre 2009 et révoqué l'ordonnance de séquestre. Cette décision a fait l'objet d'un appel cantonal.
Par jugement du 16 février 2010, statuant sur la requête de X._ SA du 20 novembre 2009, le Tribunal de première instance a rejeté la requête en exequatur et en mainlevée, au motif que la signification de l'acte introductif d'instance par les autorités néerlandaises ne répondait pas aux exigences de régularité et de temps posées par la Convention de Lugano. Ce jugement a également fait l'objet d'un appel cantonal.
Dans un premier arrêt du 27 mai 2010, la Cour de justice a rejeté l'appel contre le jugement du 16 février 2010 en invoquant deux motifs. D'une part, elle a jugé que l'assignation introductive d'instance n'avait pas été notifiée régulièrement et que celle-ci était dès lors absolument nulle en raison de la souveraineté de l'État étranger. D'autre part, elle a considéré le délai d'assignation comme trop bref.
Dans un second arrêt du même jour, la cour cantonale a rejeté l'appel contre la décision du 14 décembre 2009 révoquant le séquestre.
C. X._ SA interjette un recours en matière civile contre le premier arrêt cantonal. Elle conclut à ce que l'exequatur du jugement du 5 mars 1997 rendu par le Tribunal de Grande Instance d'Amsterdam soit prononcé, à ce que la mainlevée définitive de l'opposition faite au commandement de payer notifié le 5 juin 2008 (recte: 3 novembre 2009) à la République d'Irak dans le cadre de la poursuite n° ** soit prononcée et à ce qu'il soit dit que la poursuite n° ** en validation du séquestre n° **** (recte: ***) ira sa voie.
La République d'Irak conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable.
Par ordonnance du 13 octobre 2010, le juge instructeur de la cour de céans a accordé au recours l'effet suspensif requis par la recourante.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), prise en dernière instance cantonale (<ref-law>), qui a pour objet l'exécution d'un jugement étranger rendu en matière civile (art. 72 al. 2 let. b ch. 1 LTF), ainsi que la mainlevée définitive de l'opposition à un commandement de payer (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 117). La valeur litigieuse est manifestement supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). Le recours est formé par une partie qui a pris part à l'instance précédente et a succombé dans ses conclusions (<ref-law>). Introduit en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours est en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante (<ref-law>). Pour le reste, il applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision déférée; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105).
Par ailleurs, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de l'autorité précédente ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). S'il entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> sont réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 3 p. 104 s. et les arrêts cités). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. Le recours porte sur l'exequatur d'un jugement civil néerlandais en Suisse, requis dans le cadre d'une procédure de mainlevée (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 387). La Suisse et les Pays-Bas sont tous deux parties à la Convention concernant la compétence judiciaire et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale (Convention de Lugano, CL; RS 0.275.11), qui s'applique donc en l'espèce.
L'autorité cantonale s'est fondée sur l'<ref-law> pour refuser l'exequatur du jugement néerlandais du 5 mars 1997 prononcé par défaut. Selon cette disposition, les décisions rendues dans un État contractant ne sont pas reconnues si l'acte introductif d'instance ou un acte équivalent n'a pas été signifié ou notifié au défendeur défaillant, régulièrement et en temps utile, pour qu'il puisse se défendre. Les deux conditions - régularité et ponctualité - sont cumulatives (Fridolin Walther, in Dasser/Oberhammer [ed], Kommentar zur Lugano-Übereinkommen, 2008, n° 40 ad art. <ref-law> p. 545); l'État requis d'exécuter un jugement étranger doit en examiner le respect (arrêt 5P.471/2002 du 12 février 2003 consid. 3.1, in Pra 2003 n° 142 p. 764).
3. En premier lieu, la recourante soutient que l'acte introductif d'instance a été régulièrement notifié à l'intimée.
3.1 Sur cette question, la cour cantonale a constaté en droit et en fait ce qui suit:
L'intimée, État souverain, n'est pas partie à la Convention de La Haye relative à la procédure civile (RS 0.274.12), ni à la Convention de La Haye relative à la signification et à la notification à l'étranger des actes judiciaires et extrajudiciaires en matière civile ou commerciale (RS 0.274.131). Elle n'est pas liée aux Pays-Bas par un autre traité international réglant cette matière.
Selon le code de procédure civile néerlandais applicable à l'époque concernée, les personnes qui n'avaient pas de résidence ou domicile connu aux Pays-Bas, mais dont le domicile à l'étranger était connu, devaient être assignées par notification au Ministère public du district où les procédures étaient introduites. Le Ministère public remettait alors une copie de l'assignation au Département d'État néerlandais, qui devait à son tour faire suivre l'assignation, habituellement par le biais du Service diplomatique, dans le pays de domicile des défendeurs. Du point de vue du code de procédure civile néerlandais, la notification était tenue pour effectuée après que l'acte introductif d'instance avait été remis au Ministère public. Le délai ordinaire pour la signification de l'acte à l'étranger, de quatre mois en principe, pouvait être, sur requête, abrégé par décision du tribunal.
Dans le cas particulier, l'assignation introductive d'instance à comparaître à l'audience du 22 janvier 1997 a été remise le 17 décembre 1996 par huissier au Parquet de l'Officier du Ministère public du Tribunal de Grande Instance, à Amsterdam. La signification est alors intervenue, avec la remise au Ministère public compétent des documents dont la notification était requise. Au surplus, rien ne permet de retenir que l'intimée a effectivement reçu les documents qui devaient lui être notifiés par voie diplomatique, ni qu'elle acceptait une autre forme de notification que la voie diplomatique.
3.2 La recourante se plaint d'une constatation manifestement inexacte des faits (<ref-law>). Elle reproche à l'autorité cantonale de ne pas avoir retenu que la Rafidain Bank était une émanation de l'intimée et devait lui être assimilée. A son sens, cette circonstance a pour conséquence que la signification de l'acte introductif à cette banque, par voie postale, valait signification à l'intimée.
Il est exact que l'autorité cantonale n'a pas spécifiquement établi les liens entre la banque précitée et l'intimée. Cette absence de constatation ne peut toutefois avoir de suites juridiques que si le fait invoqué est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>), ce qu'il appartient à la recourante de démontrer.
A ce propos, la motivation du grief consiste, pour l'essentiel, à inviter la cour de céans à prendre connaissance de pièces dont le contenu n'est pas repris dans l'acte de recours. Une telle façon de procéder n'est pas conforme aux exigences légales; il n'y a pas à s'y arrêter (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s.; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 129 s.).
Pour le reste, il apparaît que la banque est manifestement une entité juridique séparée de l'intimée. Elle figure d'ailleurs expressément comme telle dans l'ordonnance du 7 août 1990, au titre d'entreprise sous contrôle de l'ancien gouvernement irakien (cf. art. 2 al. 1 let. a n° 3 de la liste des entreprises et corporations annexée à l'ordonnance). Elle constitue bien une entreprise juridiquement distincte de l'intimée, et non une entité de l'administration. Au demeurant, la banque et l'intimée ont été condamnées solidairement par le jugement néerlandais dont l'exequatur est requis; en ouvrant action contre ces deux parties, la recourante les considérait donc comme deux entités juridiquement distinctes.
Le fait que l'intimée contrôle la banque est sans pertinence pour la question à trancher. Ce pouvoir n'implique nullement que la banque contrôlée avait le pouvoir de représenter l'intimée. Il ne saurait être admis que la notification d'un acte à une entreprise sous contrôle étatique vaille notification à l'État souverain lui-même, ni que ce dernier puisse se voir imputer ce que savait l'entreprise sur la base d'une procuration apparente (cf. sur cette notion, <ref-ruling> consid. 5.3.4 p. 414), sauf évidemment si l'État a conféré expressément ce pouvoir à l'entreprise. Or, rien de tel n'a été retenu en l'espèce. Et la recourante ne se plaint pas, à cet égard, d'une constatation de fait manifestement inexacte.
3.3 La recourante soutient en outre que l'assignation était régulière dès lors que le Tribunal de Grande Instance d'Amsterdam a procédé conformément aux règles du code de procédure civile néerlandais.
En l'espèce, cette autorité judiciaire a procédé à la notification de l'acte d'introduction par remise au Ministère public d'Amsterdam, soit sur territoire néerlandais. C'est donc en vertu du droit néerlandais qu'il y a lieu d'examiner la régularité de cette notification (arrêt 4A_161/2008 du 1er juillet 2008 consid. 3.1, in SJ 2009 I p. 144; Fridolin Walther, op. cit., n° 47 ad <ref-law> p. 546 s.).
Lorsque le litige est de nature pécuniaire, le Tribunal fédéral n'examine l'application du droit étranger que sous l'angle d'une violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (<ref-law> a contrario; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 447 s.). La décision entreprise ne sera annulée que si elle est manifestement insoutenable, viole une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (entre autres <ref-ruling> consid. 3.1 p. 265 s.). L'acte de recours doit, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits et principes constitutionnels violés et exposer de manière claire et circonstanciée en quoi consiste leur violation (entre autres <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88).
La cour cantonale a interprété le droit néerlandais en ce sens qu'une assignation régulière de l'intimée, État souverain, supposait non seulement le respect des règles du code de procédure civile néerlandais par le tribunal, mais encore la notification de l'acte introductif par la voie diplomatique. Faute d'une telle notification, les juges genevois ont jugé qu'il n'était pas établi que la procédure néerlandaise en matière de notification des actes judiciaires avait été respectée.
La recourante se borne à relever que le tribunal d'Amsterdam a respecté les règles du code de procédure néerlandais, ce que les juges cantonaux ont d'ailleurs admis. En revanche, elle ne tente aucunement de démontrer qu'il était insoutenable de retenir que le droit néerlandais posait l'exigence supplémentaire d'une notification par la voie diplomatique; elle ne dit mot de cette question. Le grief est ainsi irrecevable, faute de motivation.
Au demeurant, à défaut de convention spécifique entre les Pays-Bas et l'intimée, on ne discerne pas en quoi il serait arbitraire de retenir que les principes généraux concernant les notifications judiciaires d'un État à un autre État s'appliquaient en l'occurrence (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 627 s.), ni en quoi il était insoutenable d'exiger que l'acte à notifier soit effectivement remis au destinataire atteignable.
3.4 La recourante soutient enfin que le refus d'admettre la régularité de l'assignation et, partant, d'accorder l'exequatur conduit à un résultat insoutenable, car contraire à la Convention de Bruxelles, respectivement au Règlement CE 44/2001, dont le but est de favoriser la libre circulation des décisions entre États parties et en vertu desquels elle aurait obtenu l'exequatur dans de nombreux États européens.
Il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que la recourante aurait obtenu l'exequatur du jugement néerlandais dans divers pays européens. Il ne saurait donc être tenu compte de ce fait allégué (cf. <ref-law>).
La Convention de Bruxelles, liant les États de l'Union Européenne, et la Convention de Lugano, à laquelle la Suisse est partie, sont apparentées; de surcroît, la Suisse tient compte de la jurisprudence rendue par les autorités de l'Union Européenne lorsqu'elle applique la Convention de Lugano (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 222). Cela étant, lorsqu'elle était appelée à appliquer la disposition de la Convention de Bruxelles correspondant à l'<ref-law>, la Cour de justice des Communautés européennes a, dans une pratique constante et rigoureuse, dénié toute efficacité à une demande en justice irrégulièrement notifiée (cf. à ce sujet, <ref-ruling> consid. 3.1 p. 627). Par ailleurs, il est vrai que le Règlement CE 44/2001, qui remplace la Convention de Bruxelles, ne prévoit plus l'examen, par le juge de l'exequatur, de la régularité de l'assignation ou de la notification de l'acte introductif et que la Convention de Lugano a été modifiée dans le même sens (art. 34 ch. 2 nLC; cf. Dallafior/Götz Staehelin, Überblick über die wichtigsten Änderungen des Lugano-Übereinkommens, in RSJ/SJZ 2008 p. 114). Cependant, cette modification n'est pas encore en vigueur (cf. <ref-ruling> consid. 3.4 p. 631 s.), de sorte que la recourante ne peut rien déduire de cette nouvelle réglementation (cf. arrêt précité du 1er juillet 2008 consid. 4.2).
4. La décision de l'autorité cantonale, dans la mesure où elle retient que l'acte introductif d'instance n'a pas été signifié ou notifié à l'intimée défaillante de manière régulière, ne prête ainsi pas le flanc à la critique. Le sort du recours se trouve ainsi scellé, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs soulevés, portant sur le point de savoir si la signification ou notification a eu lieu en temps utile.
5. La recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>) et versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il n'est pas irrecevable ou sans objet.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 30'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 35'000 fr., à payer à titre de dépens à l'intimée, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de justice du canton de Genève, 1ère Section.
Lausanne, le 1er novembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Godat Zimmermann