Sachverhalt:
A. Die Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich), welche der 1967 geborenen Z._ für eine am 1. Januar 1990 erlittene Verletzung am rechten Handgelenk Taggelder ausrichtete und für die Heilbehandlung aufkam, stellte diese Leistungen mit Verfügung vom 12. Februar 1998 auf den 1. Januar 1998 ein; gleichzeitig sprach sie der Versicherten ab diesem Zeitpunkt bei einem Invaliditätsgrad von 50 Prozent eine Invalidenrente zu und gewährte ihr eine Integritätsentschädigung auf der Basis einer Integritätseinbusse von 20 Prozent. Nachdem Z._ durch ihren damaligen Rechtsvertreter mit dem Antrag auf Zusprechung einer Invalidenrente von mindestens 66 2/3 Prozent und einer Integritätsentschädigung von mindestens 30 Prozent dagegen hatte Einsprache erheben lassen, sistierte die Zürich das Verfahren bis zum Vorliegen des Ergebnisses der noch zu tätigenden Abklärungen und dem Abschluss der beruflichen Eingliederung. Am 25. Mai 2004 teilte Rechtsvertreter K._ der Zürich unter Beilage einer Vollmacht gleichen Datums mit, Z._ habe ihn mit der Interessenwahrung beauftragt, weshalb er um Zustellung der Akten ersuche.
Nachdem die IV-Stelle des Kantons Zürich Z._ mit Verfügung vom 24. November 2005 bei einem Invaliditätsgrad von 90 Prozent mit Wirkung ab 1. Juli 2004 eine ganze Invalidenrente zugesprochen hatte, beabsichtigte die Zürich, das Einspracheverfahren wieder aufzunehmen. Da sie ihren Vertreter K._ telefonisch nicht hatte erreichen können, forderte sie ihn mit Schreiben vom 11. Dezember 2006 auf, eine Stellungnahme mit allfälligen gleichen oder neuen Anträgen und einer entsprechenden Begründung einzureichen und sich insbesondere zur Frage zu äussern, ob überhaupt ein Unfall vorliege. Falls er die Versicherte nicht mehr vertrete, sei ihr dies ebenfalls mitzuteilen. Eine Kopie dieses Schreibens stellte die Zürich am gleichen Tag unter Hinweis auf das unklare Vertretungsverhältnis auch der Versicherten zu und ersuchte sie um Mitteilung, falls sie nicht mehr von lic. iur. K._ vertreten werde. Am 7. Februar 2007 bestätigte dieser gegenüber der Zürich auf telefonische Anfrage hin, dass er weiterhin die Interessen von Z._ wahrnehme und innert verlängerter Frist eine neue Eingabe einreichen werde. Nachdem er diese Frist unbenutzt hatte verstreichen lassen, teilte ihm die Zürich am 7. Juni 2007 mit, sie gehe von einem Verzicht auf eine Stellungnahme aus. Mit Schreiben vom 4. Juli 2007 gelangte sie erneut an den Rechtsvertreter und gab ihm Gelegenheit, sich zur beabsichtigten Leistungseinstellung ex nunc et pro futuro zu äussern; zudem wies sie ihn darauf hin, dass er die Einsprache zurückziehen könne. Weil keine Reaktion erfolgte, erliess sie am 22. August 2007 den Einspracheentscheid, mit welchem sie die Einsprache abwies und die Verfügung vom 12. Februar 1998 insoweit aufhob, als damit Rentenleistungen und eine Integritätsentschädigung zugesprochen worden waren, verbunden mit der Feststellung, dass der Versicherten aufgrund fehlenden Unfallereignisses keine Leistungen aus der Unfallversicherung zustünden, die Rentenleistungen per 31. August 2007 eingestellt würden, jedoch auf eine Rückforderung der bisher ausbezahlten Renten und der Integritätsentschädigung von Fr. 16'320.- verzichtet werde. Diesen Entscheid stellte sie dem Rechtsvertreter und mit separatem Schreiben auch Z._ zu.
B. Die mittlerweile durch Rechtsanwalt Peter vertretene Z._ liess dagegen Beschwerde einreichen, welche das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 31. Januar 2008 in dem Sinne guthiess, dass es den angefochtenen Einspracheentscheid vom 22. August 2007 aufhob und die Sache an die Zürich zurückwies, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Einsprache vom 17. Februar 1998 (mit Ergänzung vom 23. April 1998) neu entscheide.
C. Die Zürich führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids; eventuell sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses über die Frage des Vorliegens eines Unfalls oder einer unfallähnlichen Körperschädigung befinde.
Z._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Überdies reicht sie ein Schreiben vom Januar 2008 ein, aus welchem hervorgeht, dass Rechtsvertreter K._ seinen Verpflichtungen aus gesundheitlichen Gründen seit längerem nicht mehr nachkommen könne.
Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Beim vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid handelt es sich in der Terminologie des BGG um einen Zwischenentscheid. Er kann daher nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> selbstständig angefochten werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.). Lit. a dieser Bestimmung lässt die selbstständige Anfechtung eines Zwischenentscheids zu, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Nach der Rechtsprechung ist diese Voraussetzung seitens des Versicherers erfüllt, wenn der Rückweisungsentscheid eines kantonalen Gerichts verbindliche Vorgaben zu den Grundlagen der Anspruchsbeurteilung enthält. Ebenso stellt es einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil dar, wenn eine Behörde durch einen Rückweisungsentscheid gezwungen wird, entgegen ihrer Auffassung eine neue Anordnung zu erlassen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.; SVR 2008 IV Nr. 31 S. 100 E. 1.2, I 126/07). Die Zürich macht geltend, mit dem vorinstanzlichen Entscheid werde sie gezwungen, einen von ihr als rechtswidrig erachteten Gerichtsentscheid umzusetzen und gestützt darauf über den 31. August 2007 hinaus nach ihrer Auffassung ungerechtfertigte Leistungen zu erbringen. Da in diesem Umstand ein nicht wieder gutzumachender Nachteil begründet liegt, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft indessen grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. 3.1 Gemäss <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law>) ist der Versicherer an das Begehren der Einsprache führenden Person nicht gebunden; er kann die Verfügung zu Gunsten oder zu Ungunsten der Einsprache führenden Partei abändern. Beabsichtigt er, die Verfügung zu Ungunsten der Einsprache führenden Person abzuändern, gibt er ihr Gelegenheit zum Rückzug der Einsprache (Abs. 2 der genannten Verordnungsbestimmung). Diese erweiterte Hinweispflicht, wonach der Versicherungsträger die Einsprache führende Person nicht nur auf die drohende Schlechterstellung (reformatio in peius), sondern auch auf die Möglichkeit eines Rückzugs ihrer Einsprache aufmerksam machen muss, galt vor Inkrafttreten des ATSG und des ATSV am 1. Januar 2003 in den Sozialversicherungsbereichen, welche ein Einspracheverfahren kannten, rechtsprechungsgemäss als direkter Ausfluss der verfassungsrechtlichen Garantie des rechtlichen Gehörs sowie des Fairnessgebots nach <ref-law> und Art. 4 Abs. 1 aBV (<ref-ruling> E. 1 S. 416; RKUV 2004 Nr. U 520 S. 442 [U 202/03], 2000 Nr. U 371 S. 108 [U 299/98]).
3.2 Die Partei kann sich, wenn sie nicht persönlich zu handeln hat, jederzeit vertreten oder, soweit die Dringlichkeit einer Untersuchung es nicht ausschliesst, verbeiständen lassen (<ref-law>). Im Sozialversicherungsrecht des Bundes gilt der in <ref-law> ausdrücklich verankerte Grundsatz, dass Mitteilungen von Behörden an die Vertretung einer Partei zu richten sind, solange die Partei ihre Vollmacht nicht widerrufen hat. Dieser Grundsatz dient im Interesse der Rechtssicherheit dazu, allfällige Zweifel darüber zum Vornherein zu beseitigen, ob die Mitteilungen an die Partei selber oder an ihre Vertretung zu erfolgen haben, sowie um klarzustellen, welches die für einen Fristenlauf massgebenden Mitteilungen sein sollen (<ref-ruling> E. 3 S. 182; ZAK 1991 S. 376; RKUV 1997 Nr. U 288 S. 442, 1986 Nr. U 6 S. 329). Dies schliesst indessen die Zustellung einer Kopie der Mitteilung an die vertretene Person nicht aus. Der Begriff der Mitteilung ist weit zu fassen und umfasst insbesondere auch Aufforderungen zur Mitwirkung und zur Wahrnehmung des rechtlichen Gehörs oder Einladungen zu Abklärungsmassnahmen (Urteil I 86/06 vom 3. Juli 2006; KIESER, ATSG-Kommentar, N. 11 ff. zu Art. 37). Aus einer mangelnden oder fehlenden Eröffnung darf der betroffenen Partei kein Nachteil erwachsen (Urteil I 77/07 vom 4. Januar 2008).
3.3 Eine Partei, die eine Vertretung beauftragt hat, muss sich deren Vorkehren und Versäumnisse grundsätzlich anrechnen lassen. Rechtsvertreter haben sich so zu organisieren, dass die Fristen im Falle ihrer Verhinderung trotzdem gewährt bleiben. Ein entschuldbares Versäumnis liegt vor, wenn es der bevollmächtigten Person verwehrt ist, eine Prozesshandlung selber vorzunehmen, damit eine geeignete Substitutin oder einen Substituten zu beauftragen und die Klientschaft auf die Notwendigkeit der Fristwahrung aufmerksam zu machen (vgl. <ref-ruling>). Wurden die vertretene Person oder ihre Vertretung durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten, innert Frist zu handeln, kann dies einen Wiederherstellungsgrund im Sinne von <ref-law> darstellen.
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, Rechtsvertreter K._ sei seiner Sorgfaltspflicht bei der Wahrung der Interessen der Versicherten im Einspracheverfahren offenkundig nicht nachgekommen. Die Zürich hätte das Fehlen einer gehörigen Rechtsvertretung erkennen müssen, nachdem dieser alle ihre Mitteilungen unbeantwortet gelassen habe und auch telefonisch nicht habe erreicht werden können. Aufgrund dieser Gegebenheiten hätte sie sich angesichts der drohenden Verschlechterung der Stellung der Versicherten im Einspracheverfahren zufolge Verneinung eines versicherten Ereignisses nach über 17-jähriger Leistungsausrichtung vor der Androhung der reformatio in peius vergewissern müssen, ob die von einem erheblichen Rechtsverlust Betroffene ihre Interessen weiterhin durch den trölerisch agierenden und seit einiger Zeit nicht mehr erreichbaren Rechtsvertreter wahrnehmen lassen wolle. Dieses Versäumnis sei einer Heilung im Beschwerdeverfahren nicht zugänglich, zumal im Falle der Verneinung der Leistungspflicht mangels eines versicherten Ereignisses auch Vertrauensschutzüberlegungen in Betracht fallen würden.
4.2 Nach Ansicht der Beschwerdeführerin beruhen diese Annahmen auf einer falschen und unvollständigen Sachverhaltsfeststellung. Mit Schreiben an die Versicherte vom 11. Dezember 2006 habe sie sich vergewissert, ob diese weiterhin durch lic. iur. K._ vertreten werde, was dieser am 7. Februar 2007 telefonisch bestätigt habe. Die Beschwerdegegnerin selber habe nichts unternommen, obwohl sie von den Kommunikationsschwierigkeiten mit dem Rechtsvertreter gewusst habe und ihr auch bekannt gewesen sei, dass das Verfahren in eine heikle Phase getreten sei. Da aufgrund der nicht widerrufenen Vollmacht vom 25. Mai 2004 eine gehörige Stellvertretung vorgelegen habe und die Rechtswirkungen der Handlungen und Unterlassungen der bevollmächtigten Person in der vertretenen Person eintreten würden, beruhe der vorinstanzliche Entscheid zudem auf einer unrichtigen Rechtsanwendung.
5. 5.1 Die Beschwerdegegnerin weist in ihrer Vernehmlassung zu Recht darauf hin, dass die Beschwerdeführerin ihr im Schreiben vom 11. Dezember 2006 mitgeteilt habe, sie habe sich nur zu melden, wenn sie nicht mehr durch lic. iur. K._ vertreten werde. Sie habe sich daraufhin bei diesem erkundigt, ob er das Mandat weiterführen und sich der Sache annehmen werde, was dieser bejaht habe. Gemäss Aktennotiz der Zürich über das Telefongespräch vom 7. Februar 2007 bestätigte der Vertreter, dass er mit der Versicherten übereingekommen sei, sich um die Angelegenheit zu kümmern. Davon, dass die Beschwerdeführerin lic. iur. K._ in der Folge weder telefonisch noch schriftlich erreichen konnte, hatte die Versicherte offensichtlich keine Kenntnis. Da sie keine Anhaltspunkte dafür hatte, dass lic. iur. K._ seine Berufspflichten verletzen könnte, brauchte sie auch nicht zu befürchten, dass angesetzte Fristen unbenutzt und nicht wieder herstellbar ablaufen würden. Es kann ihr daher nicht der Vorwurf gemacht werden, sich nicht selber um die Wahrung ihrer Rechte gekümmert oder bereits früher einen anderen Vertreter beigezogen zu haben.
5.2 Hingegen hatte die Beschwerdeführerin allen Grund zur Annahme, lic. iur. K._ könne seine Pflichten nicht wahrnehmen. Nachdem ihr bereits im Dezember 2006 erste Zweifel gekommen waren, mussten sich diese angesichts der sich mehrenden Anzeichen in der Folge erst recht erhärten, nachdem dieser auf keines ihrer Schreiben reagierte, die angesetzten Fristen unbeachtet verstreichen liess und auch telefonisch nicht mehr erreichbar war. Aufgrund dieser Gegebenheiten hätte sie der Beschwerdegegnerin zumindest eine Kopie ihrer Mitteilung an den Rechtsvertreter vom 4. Juli 2007 zukommen lassen müssen, zumal sie in diesem Schreiben nicht nur ihre Absicht kundtat, den geltend gemachten Vorfall vom 1. Januar 1990 weder als Unfall noch als unfallähnliche Körperverletzung anzuerkennen und die bisher erbrachten Leistungen ex nunc et pro futuro einzustellen, sondern überdies auch Gelegenheit zum Einspracherückzug einräumte. Indem die Vorinstanz in der alleinigen Zustellung an Rechtsvertreter K._, ohne vorgängige erneute Klärung des Vertretungsverhältnisses, eine schwer wiegende, der Heilung nicht zugängliche Verletzung des rechtlichen Gehörs erblickte, hat sie weder den Sachverhalt falsch festgestellt, noch Bundesrecht verletzt. In diesem Zusammenhang nicht zu hören ist der beschwerdeführerische Einwand, die Versicherte hätte ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist für den Rückzug der Einsprache im Sinne von <ref-law> stellen müssen. Da die Versicherte den Grund für das Untätigbleiben von lic. iur. K._ offensichtlich nicht kannte, sondern erst durch das an seine Klientschaft gerichtete Rundschreiben vom Januar 2008 erfahren hatte, dass dieser zufolge schwerer Erkrankung seit längerem seine Mandate nicht mehr mit der gebotenen Sorgfalt betreuen konnte, hätte sie bis dahin gar kein begründetes Fristwiederherstellungsgesuch einreichen können.
5.3 Damit bleibt es beim vorinstanzlichen Entscheid vom 31. Januar 2007, mit welchem die Sache an die Beschwerdeführerin zurückgewiesen wird, damit sie der Versicherten bzw. ihrem neuen Rechtsvertreter ihre Absicht hinsichtlich der Rentenaufhebung zu Kenntnis bringe, ihr Gelegenheit zur Gegenäusserung einräume und sie ausdrücklich darauf hinweise, dass sie die Einsprache zurückziehen kann. Zu präzisieren ist, dass es vorderhand bei der zugesprochenen Rente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 50 Prozent und einer Integritätsentschädigung von 20 Prozent bleibt, wenn die Versicherte ihre Einsprache zurückzieht. Der Beschwerdeführerin steht es indessen frei, im Anschluss an einen Einspracherückzug nach Massgabe der in <ref-law> verankerten Rückkommenstitel auf die materiell richterlich unbeurteilt gebliebene Verfügung zu Lasten der Versicherten zurückzukommen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 417; RKUV 2000 Nr. U 371 S. 108). Hält die Versicherte hingegen an ihrer Einsprache fest, bildet - sollte es wiederum zum Erlass eines leistungsaufhebenden Einspracheentscheids kommen - das Leistungsverhältnis als ganzes Anfechtungsgegenstand in einem allfälligen kantonalen Beschwerdeverfahren. Der Versicherten bleibt somit das Recht gewahrt, eine höhere als die zugesprochene Rente und Integritätsentschädigung geltend zu machen. Auf die Ausführungen in den Rechtsschriften zum materiellen Leistungsanspruch ist daher im vorliegenden Verfahren nicht näher einzugehen.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Der obsiegenden und anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin hat sie eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. November 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
i.V. Widmer Hofer