Faits:
A.
A.a. En 2003, à une date indéterminée, T.X._, soeur de H.X._, lequel exploite une entreprise de construction dans le Bas-Valais, a prêté une somme d'argent dont la quotité est inconnue à F.Z._, qui est la nièce de celui-ci. En septembre 2003, un solde de 6'000 fr. n'avait pas été remboursé à T.X._.
Le 10 septembre 2003, T.X._ a été remboursée du solde dû de 6'000 fr. par H.X._, auquel la première a cédé ses droits contre F.Z._. H.X._ a reconnu que son neveu R.Z._, qui est le frère de F.Z._, lui avait demandé de verser les 6'000 fr. à T.X._ de la part de F.Z._ pour rembourser le prêt accordé à cette dernière.
A.b. Il a été retenu que dès avril 2004, R.Z._ a travaillé dans l'entreprise de construction de son oncle H.X._. Après une interruption, il y a de nouveau été employé de 2008 à 2011, époque où R.Z._ a quitté l'entreprise; il était alors en mauvais termes avec son oncle, l'accusant de traiter ses employés à la manière d'esclaves.
Entre les mois de février et d'octobre 2004, H.X._ a effectué, à partir de deux comptes qu'il avait ouverts auprès de banques suisses différentes, six virements, pour un montant total de 19'400 EUR, sur un compte de la banque sicilienne V._, appartenant à F.Z._. Les cinq premiers ordres de paiement ne précisaient pas leur motif, alors que le sixième indiquait, sous motif du paiement, « R.Z._ ».
La cause de ces paiements fait l'objet de divergences.
F.Z._ a expliqué que ces versements ne constituaient pas un prêt de son oncle H.X._, mais qu'ils avaient été effectués, à l'exception du premier virement, sur son compte en Sicile par son frère R.Z._, moyennant l'entremise de H.X._, car son frère ne disposait pas alors d'un compte en banque. Pour F.Z._, les fonds lui avaient été remis à titre de dons par son frère, qui voulait l'aider. Elle a prétendu n'avoir jamais demandé de l'argent à H.X._, ni directement ni par l'intermédiaire de son frère.
H.X._ a admis qu'il n'avait été procédé ainsi que pour le sixième virement, opéré le 5 octobre 2004 par 2'000 EUR, étant donné que ce montant correspondait au solde de salaire pour le mois de septembre 2004 resté impayé à son neveu R.Z._. Pour les cinq premiers virements, H.X._ a affirmé avoir envoyé l'argent à sa nièce F.Z._ comme prêt familial. Il a précisé que l'argent avait été demandé par l'intermédiaire de R.Z._ avant d'être versé sur le compte de F.Z._. Il a déclaré que l'argent devait être remboursé, car il avait lui-même des enfants et ne pouvait donc faire des cadeaux à tout le monde.
R.Z._ a exposé que son oncle H.X._ le payait de la main à la main, soit « au noir », pour éviter de s'acquitter des charges sociales. Pour aider sa soeur à régler des frais d'avocat et de médecin, il aurait remis les fonds précités en liquide à son oncle afin que celui-ci les vire sur le compte de cette dernière.
A.c. Affecté que R.Z._ l'ait qualifié d'esclavagiste et s'estimant dès lors mal remercié pour le prétendu prêt qu'il avait accordé au précité pour lui rendre service, H.X._ a réclamé en 2011 le remboursement des sommes virées sur le compte de F.Z._. Il s'est d'abord adressé à R.Z._, puis à F.Z._. Celle-ci aurait répondu à l'épouse de H.X._ qu'elle croyait que les sommes virées sur son compte étaient un cadeau.
H.X._ et son épouse ont établi le 18 avril 2011 un décompte récapitulatif adressé à R.Z._, duquel il ressort qu'ils exigeaient de ce dernier paiement du montant de 44'000 fr.60, lequel comprenait la somme de 6'000 fr. dont il a été question au considérant A.a supra. Il a été retenu que ce document ne comportait ni la date ni le libellé des dettes qui y figuraient.
Par lettre du 13 juin 2011, R.Z._ et F.Z._, leur frère S.Z._, ainsi que l'époux de celle-ci ont répondu à H.X._ en produisant deux décomptes, l'un pour des travaux et services rendus aux époux X._ par la famille Z._, chiffrés à 14'333 fr.80, l'autre mentionnant des remboursements effectués par R.Z._ en faveur de H.X._ de 2004 à 2010, atteignant le total de 82'204 fr. R.Z._, entendu comme témoin, a toutefois déclaré que cette lettre, écrite par son épouse, ne correspondait pas à ce qu'il pensait et qu'elle faisait état de choses de famille et d'argent versé « au noir ».
B.
Après avoir obtenu le 15 décembre 2011 l'autorisation de procéder, H.X._ (demandeur) a ouvert action contre F.Z._ (défenderesse) par demande simplifiée (art. 243 al. 1 et 244 CPC) du 27 février 2012, lui réclamant paiement de 6'000 fr. et de 19'400 EUR avec intérêts à 5% dès le 9 septembre 2011. Il a été constaté que le cours de l'euro par rapport au franc suisse était de 1,2051 le jour de l'introduction de l'instance.
La défenderesse s'est opposée à la demande.
Des témoins ont été entendus et les parties ont été interrogées.
Par jugement du 11 septembre 2012, le Juge II des districts de Martigny et St-Maurice a condamné la défenderesse à payer au demandeur les montants de 6'000 fr. et de 19'400 EUR. Ce magistrat a considéré que le demandeur, auquel la créance de sa soeur T.X._ en remboursement d'un prêt de 6'000 fr. avait été valablement cédée, a qualité pour agir, que l'existence de ce prêt a été confirmée par la déposition de T.X._, de sorte que la défenderesse devait être condamnée à rembourser les 6'000 fr. en question. A propos des virements de 19 ́400 EUR, le juge de district a admis que la volonté des parties était de conclure un prêt de consommation, que la défenderesse avait violé son obligation de restituer les sommes qui lui avaient été prêtées, si bien qu'elle en devait remboursement à l'emprunteur, toutefois sans intérêts à défaut de preuves apportées que le prêt aurait été assorti d'intérêts conventionnels.
La défenderesse a appelé de ce jugement, concluant au déboutement du demandeur. Celui-ci a conclu au rejet de l'appel et a formé de son côté un appel joint, sollicitant l'octroi d'intérêts moratoires à 5% l'an dès le 9 septembre 2011.
Au cours de l'instance d'appel, le demandeur a réduit ses conclusions de 2'000 EUR, admettant que le sixième virement correspondait au solde du salaire de R.Z._ pour septembre 2004. Il a ainsi conclu au paiement de 6'000 fr. et de 17'400 EUR avec intérêts à 5% dès le 9 septembre 2011.
Par jugement du 15 juillet 2013, la Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan a admis l'appel, rejeté l'appel joint et prononcé que l'action était entièrement rejetée. Concernant la prétention en paiement de 6'000 fr., elle a retenu que le demandeur avait consenti, en s'adressant à R.Z._ pour obtenir le remboursement de cette somme, à ce que ce dernier reprenne la dette de la défenderesse et devienne désormais débiteur du prêt, si bien que celle-ci n'était désormais plus partie au contrat de prêt et n'avait plus qualité pour défendre. Au sujet des virements en euros, cette magistrate a considéré que le demandeur avait échoué à prouver, même par indices, que la remise des fonds à la défenderesse s'expliquait uniquement par la conclusion d'un contrat de prêt avec cette dernière.
C.
H.X._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire contre le jugement du 15 juillet 2013. Il conclut à ce que l'intimée soit condamnée à lui verser 6'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 9 septembre 2011 et 17'400 EUR avec les mêmes intérêts.
L'intimée propose le rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours est dirigé contre une décision rendue en matière civile (<ref-law>). La valeur litigieuse n'atteint pas le minimum légal de 30'000 fr. prévu par l'<ref-law> et aucun des cas de dispense (<ref-law>) n'est réalisé. En conséquence, seul le recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>) est ouvert en l'espèce, à l'exclusion du recours ordinaire en matière civile.
1.2. L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 117 et 90 al. 1 LTF) prise sur recours par le tribunal supérieur du canton concerné (art. 114 et 75 LTF).
Le recourant a pris part à l'instance précédente et a entièrement succombé dans ses conclusions en paiement; il a ainsi qualité pour recourir (<ref-law>).
Déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans la forme requise (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours constitutionnel est recevable.
1.3. Ce recours ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 117 et 106 al. 2 LTF). L'auteur du recours doit indiquer quel droit constitutionnel aurait été violé et montrer, par une argumentation circonstanciée, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 444). Le Tribunal fédéral doit statuer sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 et 116 LTF), ce que la partie recourante doit invoquer avec précision (art. 117 et 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 445). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 117 et 99 al. 1 LTF).
2.
Le recourant reproche tout d'abord à l'autorité intimée d'avoir refusé de verser au dossier trois pièces nouvelles qu'il a produites en deuxième instance.
L'autorité intimée a écarté les pièces en question au motif que le recourant n'avait pas démontré qu'étaient réalisées les conditions posées par l'<ref-law> pour que puissent être pris en compte des faits et moyens de preuve nouveaux. Le recourant ne discute même pas ce raisonnement. Le moyen est irrecevable faute de motivation (<ref-law>).
3.
Au sujet de la prétention en remboursement du solde du prêt octroyé par T.X._ à l'intimée en 2003, créance dont le recourant est désormais titulaire, ce dernier fait valoir, en citant l'<ref-law>, que l'autorité intimée a fait preuve d'arbitraire en entrant en matière sur l'appel de la défenderesse, vu son absence de motivation sur ce point.
Selon la jurisprudence (<ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 375), il incombe au recourant de motiver son appel en application de l'<ref-law>, c'est-à-dire de démontrer le caractère erroné de la motivation attaquée; pour satisfaire à cette exigence, le recourant ne peut se borner à renvoyer aux moyens soulevés en première instance, ni à présenter des critiques toutes générales de la décision attaquée. Sa motivation doit être suffisamment explicite pour que l'instance d'appel puisse la comprendre aisément, ce qui suppose une désignation précise des passages de la décision que le recourant attaque et des pièces du dossier sur lesquelles repose sa critique. Toutefois, dans les causes soumises - comme la présente affaire - à la procédure simplifiée selon l'<ref-law>, la motivation de l'appel peut être brève et succincte; mais un renvoi aux actes de procédure antérieurs n'est pas suffisant (arrêt 4A_659/2011 du 7 décembre 2011 consid. 3).
L'autorité intimée, après avoir rappelé que la cause avait été soumise en première instance à la procédure simplifiée, a considéré que la déclaration d'appel remplissait les exigences de forme de l'<ref-law>.
Le recourant ne prétend pas que la motivation de l'appel sur la question litigieuse susrappelée consistait en un simple renvoi aux actes de la procédure déposés en première instance. En réalité, il se plaint que l'autorité intimée a adopté une motivation qui ne correspondait pas aux arguments soulevés par la défenderesse en appel. A supposer que le grief soit suffisamment motivé - ce qui n'est pas le cas -, il serait totalement infondé puisque l'instance d'appel dispose d'un plein pouvoir d'examen de la cause en fait et en droit (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 375). Et le recourant ne prétend pas que l'instance d'appel aurait enfreint arbitrairement le principe de la bonne foi applicable en procédure (cf. <ref-law>).
4.
Toujours à propos du reliquat dû de 6'000 fr., le recourant soutient que l'autorité intimée a rejeté ses conclusions en choisissant arbitrairement de se fonder sur une hypothétique reprise de dette basée sur un indice non pertinent, thèse que personne n'a au demeurant soutenue.
L'autorité intimée a reconnu que le recourant est cessionnaire de la prétention de sa soeur en restitution du prêt de consommation (<ref-law>) qu'elle a conclu avec l'intimée en 2003. Ce point ne fait l'objet d'aucune discussion.
A partir de là, l'autorité cantonale a considéré que le recourant avait conclu avec R.Z._, en tant que reprenant, un contrat de reprise privative de dette externe au sens de l'<ref-law>, que le consentement du créancier, lequel peut résulter des circonstances (<ref-law>), se déduisait du fait qu'il s'était adressé au prénommé pour obtenir le remboursement de la somme litigieuse, notamment en lui adressant le décompte du 18 avril 2011, et que le reprenant s'était ainsi substitué à la débitrice primitive, soit l'intimée.
Le recourant ne critique aucunement cette motivation. Il n'invoque pas l'application arbitraire de l'<ref-law>, se contentant de présenter des griefs appellatoires et de se prévaloir de sa propre appréciation des preuves. Le moyen est derechef irrecevable (<ref-law>).
5.
Concernant ses prétentions en remboursement de la somme totale de 17'400 EUR, le recourant soutient que la preuve incontestable du prêt de cette somme à l'intimée proviendrait de la lettre que lui ont adressée notamment celle-ci et son frère R.Z._ le 13 janvier 2011 ( recte : 13 juin 2011). Ce serait donc à l'intimée de rembourser ce prêt, et non à son frère qui a agi comme son représentant. Enfin, la thèse que l'argent proviendrait de R.Z._, qui aurait utilisé le compte de son oncle pour effectuer les virements à sa soeur, serait insoutenable, compte tenu du salaire qu'il encaissait auprès du recourant, lequel ne lui permettait pas de faire des économies.
5.1. D'après l'<ref-law>, le prêt de consommation est un contrat par lequel le prêteur s'oblige à transférer la propriété d'une somme d'argent ou d'autres choses fongibles à l'emprunteur, à charge par ce dernier de lui en rendre autant de même espèce et qualité. Le prêt de consommation suppose donc notamment, à la charge de l'emprunteur, une obligation de restituer (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 274). L'obligation de restituer une somme d'argent équivalente ou une chose fongible de même espèce et qualité constitue un élément essentiel du contrat, nécessaire pour retenir une telle qualification ( TERCIER/FAVRE, Les contrats spéciaux, 4e éd. 2009, n° 3028 p. 443; SCHÄRER/MAURENBRECHER, Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 5e éd. 2011, n ° 11 ad <ref-law>).
Celui qui agit en restitution d'un prêt doit apporter la preuve non seulement qu'il a remis les fonds, mais surtout qu'un contrat de prêt de consommation a été conclu, ce qui suppose un accord sur une obligation de restitution à la charge de l'emprunteur (<ref-ruling> consid. 2 p. 210; parmi d'autres auteurs: SCHÄRER/MAURENBRECHER, op. cit., n° 11b ad <ref-law>).
5.2. En l'espèce, il ne résulte pas de l'état de fait du jugement entrepris (<ref-law>) que l'autorité intimée ait constaté que les parties avaient la volonté réelle d'obliger l'intimée à restituer au recourant les 17'400 EUR qui lui ont été versés entre février et octobre 2004. Le recourant cherche à taxer ce constat d'arbitraire en invoquant l'écriture que lui a envoyée le 13 juin 2011 la famille Z._, qu'il date d'ailleurs erronément du 13 janvier 2011. Mais cette écriture n'établit nullement un accord des volontés réelles sur un devoir de remboursement de l'intimée. Outre que R.Z._ a déclaré que ce pli, rédigé apparemment par son épouse, ne traduisait pas ses pensées, il ne fait que relater, en les chiffrant, les prestations pécuniaires et en nature de travail et services que le précité a effectuées au bénéfice du recourant. On ne voit pas que l'autorité intimée ait apprécié arbitrairement ce document.
Le recourant, qui n'invoque pas une application insoutenable des art. 1 et 18 CO, n'allègue pas qu'à défaut d'un accord des volontés réelles, la conclusion d'une obligation de restituer se déduirait sur la base d'un accord normatif (cf. à ce propos, <ref-ruling> consid. 5.2). Il n'y a donc pas lieu d'examiner cette question (<ref-law>).
De toute manière, du moment que les parties sont liées par des rapports familiaux (le recourant est l'oncle de l'intimée), qu'elles n'ont pas passé de conventions écrites en rapport avec les virements litigieux, qu'un des virements se rapportait au règlement du salaire de R.Z._ et que le recourant a attendu sept ans pour parler de remboursement, après s'être fâché avec le frère précité de l'intimée, la situation est si confuse que le comportement adopté par le recourant en 2004 ne pouvait être compris raisonnablement comme exprimant la volonté objective d'obtenir restitution des fonds virés à cette époque à l'intimée.
Dans un tel contexte, il n'importe de savoir à qui appartenaient les fonds en cause.
Le moyen est infondé en tant qu'il est recevable.
6.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Vu l'issue du différend, le recourant, qui succombe, paiera les frais judiciaires et versera une indemnité à titre de dépens à l'intimée (art. 66 al. 1, 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 11 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet