Faits:
A.
H._, née en 1971, a été mise au bénéfice d'une rente entière d'invalidité à partir du 1 er novembre 2005 (décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel du 5 novembre 2008). Sur demande du 30 octobre 2008, elle s'est vu allouer par la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation (ci-après: CCNC) des prestations complémentaires avec effet rétroactif dès le 1 er juin 2008 (décision du 11 novembre 2008).
Dans un courriel du 2 février 2010, H._ a avisé la CCNC qu'elle percevait une rente du deuxième pilier. Sur requête, elle a produit un décompte de prestations de la prévoyance professionnelle du 27 février 2009, relatif à la rente d'invalidité à laquelle elle avait droit après un délai d'attente de 24 mois, décompte qui lui avait été adressé à titre confidentiel par l'institution de prévoyance et fixait les prestations dues à ce titre à 47'122 fr. 30 pour la période du 4 novembre 2006 au 31 mars 2009 et à 5'024 fr. par trimestre à partir du 1 er avril 2009.
Par décision du 16 février 2010, la CCNC a informé H._ que compte tenu de la rente d'invalidité versée par l'institution de prévoyance, il n'existait aucun droit à des prestations complémentaires avec effet rétroactif dès le 1 er juin 2008. Elle lui demandait la restitution du montant versé indûment à ce titre, de 11'872 fr. au total.
Dans une lettre du 3 mars 2010, H._ a sollicité la remise de l'obligation de restituer la somme réclamée. Dans une autre lettre du 4 mai 2010, elle a déclaré que tous les documents de l'AI et de la Compagnie d'assurances X._ avaient été en possession de son mandataire fiscal, de mars à décembre 2009. Le 9 août 2010, la CCNC a rendu une décision rejetant la demande de remise au motif que l'assurée avait commis une négligence grave en ne l'informant pas qu'elle avait droit à une rente de la prévoyance professionnelle, ce qui excluait d'emblée la bonne foi, et une décision de compensation de sa créance en restitution avec la rente AI à concurrence de 400 fr. par mois, compte tenu du minimum vital. A la suite de l'opposition formée par H._ contre cette décision, la CCNC, avec l'accord de l'assurée, a demandé des renseignements au docteur T._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), lequel a pris position dans une lettre du 28 janvier 2011. Par décision du 7 novembre 2011, la CCNC a rejeté l'opposition.
B.
Le 9 décembre 2011, H._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation. A titre principal, elle invitait la juridiction cantonale à dire et constater que la restitution ne pouvait être exigée dans la mesure où l'intéressée était de bonne foi et qu'elle la mettrait dans une situation difficile. A titre subsidiaire, elle concluait au renvoi de la cause à la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation pour qu'elle statue dans le sens des considérants.
Par arrêt du 13 février 2013, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours et annulé les décisions des 9 août et 7 novembre 2011 (recte: 9 août 2010 et 7 novembre 2011) de la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation en tant qu'elles portaient sur la compensation (ch. 1 du dispositif).
C.
H._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation. A titre principal, elle invite le Tribunal fédéral à statuer sur le fond de la cause au sens des considérants, et partant, à dire et constater que la restitution ne peut être exigée dans la mesure où l'intéressée était de bonne foi et qu'elle la mettrait dans une situation difficile. A titre subsidiaire, elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle statue dans le sens des considérants.

Considérant en droit:
1.
1.1. La recourante a pris des conclusions tendant à l'annulation pure et simple du jugement entrepris. Dans la mesure où le ch. 1 du dispositif de l'arrêt du 13 février 2013 annule les décisions de la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation des 9 août 2010 et 7 novembre 2011 en tant qu'elles portent sur la compensation, elle n'a toutefois aucun intérêt digne de protection à son annulation ni la qualité pour recourir selon l'art. 89 al. 1 let. c LTF.
1.2. Dans un recours au Tribunal fédéral, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Devant la Cour de céans, la recourante produit copie d'un relevé de postes au 31 mars 2009 de son compte auprès de la Banque Y._, d'un préavis de rente du 6 juin 2008 de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel et d'un rapport de la doctoresse F._ du 29 décembre 2012. Il appartient toutefois à la recourante d'exposer les raisons pour lesquelles elle considère être en droit de présenter exceptionnellement des moyens de preuve nouveaux (<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 123, 133 III 393 consid. 3 p. 395), ce qu'elle ne démontre pas. Abstraction sera donc faite, ci-après, des documents mentionnés ci-dessus.
1.3. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement en cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire insoutenable, voire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références).
2.
Sur le plan formel, la recourante soulève le grief de violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.). Sous cet angle, elle reproche à la caisse intimée et à la juridiction cantonale de n'avoir mis en oeuvre aucune investigation complémentaire à la suite de la lettre du docteur T._ du 28 janvier 2011. La violation du droit d'être entendu (sur cette notion en corrélation avec l'administration des preuves, cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 370 et les références) dans le sens invoqué par la recourante est une question qui n'a pas de portée propre par rapport au grief tiré d'une mauvaise appréciation des preuves. Il s'agit là d'un grief qu'il convient d'examiner avec le fond du litige.
3.
L'obligation pour la recourante de rembourser la somme de 11'872 fr., perçue par elle entre le 1 er juin 2008 et le 31 janvier 2010, a fait l'objet de la décision du 16 février 2010, passée en force. Le litige porte sur la remise de l'obligation de restituer cette somme, singulièrement sur le point de savoir si la recourante peut arguer de sa bonne foi.
3.1. Les conditions selon l'art. 25 al. 1 seconde phrase LPGA auxquelles la restitution ne peut être exigée de l'assuré, en particulier lorsqu'il était de bonne foi, sont exposées dans le jugement entrepris. Selon la jurisprudence, l'ignorance, par le bénéficiaire des prestations, du fait qu'il n'avait pas droit aux prestations ne suffit pas pour admettre qu'il était de bonne foi. Il faut bien plutôt qu'il ne se soit rendu coupable, non seulement d'aucune intention malicieuse, mais aussi d'aucune négligence grave. Il s'ensuit que la bonne foi, en tant que condition de la remise, est exclue d'emblée lorsque les faits qui conduisent à l'obligation de restituer (violation du devoir d'annoncer ou de renseigner) sont imputables à un comportement dolosif ou à une négligence grave. En revanche, l'assuré peut invoquer sa bonne foi lorsque l'acte ou l'omission fautifs ne constituent qu'une violation légère de l'obligation d'annoncer ou de renseigner (<ref-ruling> consid. 4 p. 220; <ref-ruling> consid. 2c p. 103).
3.2. La jurisprudence distingue entre la bonne foi en tant que manque de conscience, de la part de l'assuré, d'agir contrairement au droit et la question de savoir s'il peut invoquer la bonne foi dans les circonstances données ou s'il aurait dû, en faisant preuve de l'attention que l'on pouvait exiger de lui, reconnaître l'irrégularité juridique qui s'est produite. Alors que la présence ou le défaut de conscience d'agir contrairement au droit relève d'une question de fait, qui ne peut être examinée par le Tribunal fédéral que sous l'angle de l'<ref-law> (supra, consid. 1.3), l'examen de l'attention exigible constitue une question de droit qui peut être revue librement, dans la mesure où il s'agit d'examiner si l'assuré peut invoquer sa bonne foi au vu des circonstances de fait données (<ref-ruling> consid. 3 p. 223).
4.
Les premiers juges ont retenu que la recourante n'avait fait aucune démarche pour éclaircir la situation et s'était abstenue de toute réaction envers la caisse intimée, que ce soit à réception de la lettre du 27 février 2009 de l'institution de prévoyance ou lors des versements périodiques de la prestation de la prévoyance professionnelle à partir du 1 er avril 2009, et cela pendant près d'une année. L'annonce spontanée faite en mars 2010 seulement ne permettait pas de considérer comme de peu de gravité le manquement dont elle avait fait preuve. La recourante ne pouvait donc arguer de sa bonne foi. Singulièrement, elle ne pouvait faire valoir aucun motif excluant une négligence grave dans le fait d'avoir tu l'existence des prestations du 2 ème pilier.
4.1. La juridiction cantonale a estimé qu'en l'état et à défaut d'un avis médical, rien ne permettait de considérer que la recourante n'était pas en mesure de comprendre, en février 2009 et dans les mois qui ont suivi, ce qu'impliquait le versement de prestations du 2 ème pilier.
4.2. La recourante lui reproche d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves, sans instruire plus avant le point de savoir si son état de santé lui permettait de comprendre le contenu du décompte de prestations de l'institution de prévoyance du 27 février 2009, ce qui l'a amenée à constater les faits de manière inexacte et incomplète.
4.3. Cela n'est toutefois pas démontré. La lettre du docteur T._ du 28 janvier 2011 ne remplit pas les critères jurisprudentiels qui permettent de reconnaître à un rapport médical pleine valeur probante (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352). Sur la base des relevés bancaires de l'assurée, les premiers juges ont noté que la recourante gérait ses comptes minutieusement et que les écrits relatifs à la période relative à février 2009 et aux mois ayant suivi ne faisaient pas ressortir de trouble manifeste quant à sa capacité à comprendre une situation donnée et à se déterminer en conséquence, ce qui n'est nullement discuté devant la Cour de céans. On ne voit pas que la juridiction cantonale, en se prononçant en l'état du dossier sur le point de savoir si la recourante était capable, au moment du versement du capital et des rentes ultérieures par l'institution de prévoyance, de réaliser l'impact de ceux-ci sur l'octroi de prestations complémentaires, a violé le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (<ref-law>), singulièrement le droit de la recourante d'être entendue. Le recours est mal fondé de ce chef.
4.4. La recourante reprend devant la Cour de céans son argumentation de première instance, selon laquelle jusqu'à la fin de l'année 2009 son état de santé psychique ne lui permettait pas de gérer ses affaires administratives, ni de saisir les implications concrètes de la situation complexe qui était la sienne, de telle sorte qu'elle ignorait jusqu'au début de l'année 2010 qu'elle n'avait pas droit aux prestations complémentaires qui lui avaient été versées jusque-là.
Cette argumentation a été réfutée par les premiers juges, qui ont admis que la recourante était capable, au moment du versement du capital et des rentes ultérieures par l'institution de prévoyance, de réaliser l'impact de ceux-ci sur l'octroi de prestations complémentaires. Il n'est pas démontré par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2, respectivement de l'<ref-law>, qu'en tranchant cette question ils aient établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. L'obligation d'informer en cas de changement de situation figure sur la demande du 30 octobre 2008, dont le formulaire a été signé par la recourante seule, et aussi sur les décisions d'octroi de prestations complémentaires des 11 novembre 2008 et 17 juin 2009 qui lui ont été adressées. La recourante ne peut tirer argument, pour justifier son inaction, d'avoir transmis les pièces à un mandataire qui les a conservées jusqu'à la fin de l'année 2009. Ainsi que l'a relevé la juridiction cantonale, ce mandat était limité aux affaires fiscales. Il s'ensuit que la recourante doit supporter les conséquences d'avoir omis de faire des copies des documents transférés. Le jugement entrepris, qui considère qu'elle ne peut faire valoir aucun motif excluant une négligence grave dans le fait d'avoir tu l'existence des prestations du 2 ème pilier, est ainsi conforme au droit fédéral (supra, consid. 3.1 et 3.2). Le recours est mal fondé.
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'100 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Wagner