Sachverhalt:
A.
A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) und die B._ AG (Vermieterin, Beschwerdegegnerin) schlossen zwischen Februar 2011 und Januar 2012 mehrere Mietverträge über Wohnungen an der Strasse U._ in V._ ab.
B.
Mit Klage vom 30. Oktober 2014 unterbreitete die Mieterin dem Bezirksgericht Zofingen das Begehren, die Vermieterin sei zu verurteilen, ihr "die seit dem 1. März 2011 bis zum 30. September 2013 zu viel bezahlten Mietzinse in der Höhe von insgesamt Fr. 25'630.-- zuzüglich Zins [...]" zu bezahlen. Anlässlich der Hauptverhandlung erhöhte sie die Klageforderung auf Fr. 29'510.-- zuzüglich Zins. Zur Begründung der Klage machte die Mieterin sinngemäss geltend, bei den jeweiligen von den Parteien geschlossenen neuen Mietverträgen habe es sich um blosse Mietzinserhöhungen gehandelt. Da diese nicht mit dem amtlichen Formular angezeigt worden seien, seien sie nichtig und die zu viel bezahlten Mietzinse von der Vermieterin zurückzuerstatten.
Am 5. November 2014 wurde der Mieterin für das erstinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und Rechtsanwalt Christoph Meyer als unentgeltlicher Rechtsvertreter bestellt.
Mit Urteil vom 28. Januar 2015 verurteilte der Präsident des Bezirksgerichts die Vermieterin, der Mieterin den Betrag von Fr. 7'125.-- zuzüglich Zins zu fünf Prozent seit 21. August 2014 zu bezahlen. Im Übrigen wies er die Klage ab.
Die dagegen gerichtete Berufung der Mieterin wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 25. März 2015 ab (Dispositiv-Ziffer 1). Das Gesuch der Mieterin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (für das Berufungsverfahren) wies es ebenfalls ab (Dispositiv-Ziffer 2). Sodann auferlegte es der Mieterin die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- für das Berufungsverfahren (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Die Mieterin verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, es seien die Dispositiv-Ziffern 2 und 3 des Urteils des Obergerichts aufzuheben. Ihr sei für das Verfahren vor dem Obergericht die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen und in der Person ihres Rechtsvertreters ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben.
Ferner ersucht die Mieterin auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie um Rechtsverbeiständung.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Die Beschwerde richtet sich gegen den darin enthaltenen Entscheid über das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege (Dispositiv-Ziffer 2) sowie den Kostenspruch (Dispositiv-Ziffer 3). Der im Sinne von <ref-law> zu ermittelnde Streitwert übersteigt die nach <ref-law> in mietrechtlichen Fällen geltende Grenze.
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 117 und 118 ZPO sowie von <ref-law>.
2.1. Sie meint, die Vorinstanz habe ihr zu Unrecht wegen Aussichtslosigkeit der Berufung die unentgeltliche Rechtspflege verwehrt und die Gerichtskosten auferlegt. Demgegenüber lässt sie den Sachentscheid der Vorinstanz (Abweisung der Berufung) unbeanstandet.
2.2. Gemäss <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn: a. sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt; und b. ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, umfasst die unentgeltliche Rechtspflege die Bestellung einer Rechtsbeiständin oder eines Rechtsbeistands (<ref-law>).
Die vom Bundesgericht zum Begriff der Aussichtslosigkeit gemäss <ref-law> entwickelte Praxis ist auch für die Auslegung von <ref-law> zu berücksichtigen. Als aussichtslos sind demnach Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2.4 mit Hinweisen).
Die Rüge einer bedürftigen Partei, ihr Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege sei verletzt, prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei. Soweit es um tatsächliche Feststellungen der kantonalen Instanz geht, ist seine Prüfungsbefugnis auf Willkür beschränkt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 136). Die prognostische Beurteilung der Erfolgsaussichten eröffnet dem Sachgericht einen Beurteilungsspielraum, in den das Bundesgericht auch bei freier Prüfung der Rechtsfragen nur mit Zurückhaltung eingreift. Erforderlich ist, dass das Sachgericht von anerkannten Rechtsgrundsätzen abgewichen ist, dass es Umstände berücksichtigt hat, die für die Prognose im Einzelfall keine Rolle spielen dürfen oder umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen (Urteil 4A_576/2014 vom 25. März 2015 E. 3 mit Hinweisen).
2.3. Die Beschwerdeführerin moniert, es sei nicht nachvollziehbar, wenn die Vorinstanz die Aussichtslosigkeit der Berufung damit begründe, darin würden "keine neuen Argumente" vorgebracht. Sie meint, der damit gemachte Vorwurf, sie (die Beschwerdeführerin) hätte in der Berufung "neue Argumente" vorbringen müssen, stehe im Widerspruch zu <ref-law>, der für das Berufungsverfahren ein grundsätzliches Novenverbot statuiere. "Darüber hinaus" habe sie in ihrer Berufungsschrift ausführlich und umfassend dargelegt, wieso der Präsident des Bezirksgerichts in seinem Urteil das Recht unrichtig angewendet (<ref-law>) und den Sachverhalt unrichtig festgestellt (<ref-law>) habe.
Die Rüge geht fehl: Die Vorinstanz setzte sich in ihrem Urteil - wie übrigens auch die Beschwerdeführerin selber einräumt - zunächst mit der in der Berufung erhobenen Kritik an der Sachverhaltsfeststellung und Rechtsanwendung der Erstinstanz auseinander und befand sie für unbegründet. Der anschliessende Hinweis, die Beschwerdeführerin bringe mit ihrer Berufung keine neuen Argumente vor, bezog sich einzig auf die (fehlenden) Erfolgsaussichten der Beschwerde und war in diesem Zusammenhang auch ohne weiteres verständlich: Die Vorinstanz brachte damit zum Ausdruck, dass die Beschwerdeführerin in der Berufung (im Wesentlichen) bloss ihren Standpunkt erneuere, den sie bereits vor der Erstinstanz ohne Erfolg vertreten habe, wogegen darüber hinausgehende, allenfalls erfolgsversprechendere Kritik am angefochtenen Entscheid fehle. Der angebliche Widerspruch zur Novenregelung nach <ref-law> ist nicht erkennbar.
2.4. Die nachvollziehbare Einschätzung der Vorinstanz, die Berufung sei aussichtslos gewesen, vermag die Beschwerdeführerin sodann auch nicht dadurch als bundesrechtswidrig auszuweisen, dass sie in der Beschwerde - unter Verweis auf ihre Ausführungen im Berufungsverfahren - einfach das Gegenteil behauptet. Die Beschwerdeführerin meint, wenn sie gegen das Urteil des Präsidenten des Bezirksgerichts, mit dem die Klage teilweise gutgeheissen worden sei, "das Rechtsmittel ergreift und die vollumfängliche Gutheissung ihrer Klage verlangt", könne "ein solches Vorgehen von vornherein nicht als aussichtslos angesehen werden". Damit verkennt sie die Bedeutung der Nichtaussichtslosigkeit als Voraussetzung der unentgeltlichen Rechtspflege (Erwägung 2.2).
2.5. Die von der Beschwerdeführerin beanstandete Gesetzes- und Verfassungsverletzung liegt nicht vor. Ihre Rüge erweist sich als unbegründet.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen.
Das Bundesgericht befreit eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten und von der Sicherstellung der Parteientschädigung, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Nötigenfalls ist der Partei ein Rechtsanwalt zu bestellen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass die Beschwerde aussichtslos war. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht ist daher abzuweisen.
Die Gerichtskosten sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (<ref-law>). Da keine Vernehmlassung eingeholt wurde, erwuchs der Gegenpartei kein Aufwand, der zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz