Erwägungen:
1. Der 1978 geborene algerische Staatsangehörige X._ reiste 2003 unter falscher Identität in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Dem in Rechtskraft erwachsenen asylrechtlichen Wegweisungsentscheid vom 30. Mai 2003 leistete er nie Folge; er hielt sich seither illegal in der Schweiz auf und galt teilweise als untergetaucht. Seit 2004 wurde er mehrmals verurteilt (wegen Diebstahls und Widerhandlungen gegen die Ausländerrechtgesetzgebung). Am 15. Juli 2010 ordnete das Amt für Migration und Personenstand, Migrationsdienst, des Kantons Bern gegen ihn Ausschaffungshaft an; gestützt darauf wurde er am 17. Juli 2010 festgenommen. Die Ausschaffungshaft wurde am 20. Juli 2010 bis zum 16. Oktober 2010 richterlich genehmigt. Am 22. Juli 2010 vereitelte X._ den Rückflug nach Algerien, indem er seinen Körper mit Kot einrieb; er beteuerte, unter keinen Umständen nach Algerien zurückkehren zu wollen. In der Folge ordnete der Migrationsdienst am 10. August 2010 vom Haftgericht III Bern-Mittelland vorerst bis zum 6. Oktober 2010 bewilligte Durchsetzungshaft an, da die Ausschaffungshaft wegen vorläufig fehlender Möglichkeit der zwangsweisen Ausschaffung nicht mehr zulässig erschien; das Haftgericht III Bern-Mittelland stimmte mit Entscheid vom 5. Oktober 2010 der Verlängerung der Durchsetzungshaft bis zum 5. Dezember 2010 zu. Mit Urteil des Einzelrichters vom 20. Oktober 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, die gegen den Entscheid des Haftgerichts erhobene Beschwerde ab.
Am 27. Oktober 2010 leitete das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zwei bei ihm eingegangene vom 25. Oktober 2010 datierte Schreiben von X._ zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiter, wo die Eingaben als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 20. Oktober 2010 entgegengenommen worden sind. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Gemäss <ref-law> haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). Dabei ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (Abs. 2). Erforderlich ist eine sachbezogene Begründung; in der Beschwerdeschrift ist zumindest rudimentär auf die entscheidrelevanten Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen.
Das Verwaltungsgericht hat die gesetzlichen Voraussetzungen der Durchsetzungshaft gemäss Art. 78 AuG dargelegt (E. 2.1 und 4.1) und sodann festgestellt, dass diese Voraussetzungen vorliegend im Grundsatz erfüllt sind, wobei es die Durchsetzungshaft auch von der Ausschaffungshaft abgrenzte (E. 2.2 und 2.3). Anschliessend hat es sich mit verfahrensrechtlichen Einwendungen des Beschwerdeführers befasst und erkannt, dass das Haftgericht die Haftverlängerung zu Recht ohne vorausgehende mündliche Verhandlung bewilligt habe (E. 3). Schliesslich hat es unter Berücksichtigung der konkreten tatsächlichen und zeitlichen Umstände detailliert aufgezeigt, dass sich die Durchsetzungshaft im Fall des Beschwerdeführers rechtfertige (E. 4.2), namentlich auch keine besonderen Gründe rechtlicher oder tatsächlicher Natur dem entgegenstünden (E. 4.3). Der Beschwerdeführer bezeichnet die Haft als unkorrekt und zu lang; er betont, dass er nicht kriminell und kein grosses Problem sei; er erklärt, seine Anwesenheit sei nicht illegal; er wolle in der Schweiz leben "comme tou(t) le monde"; er habe immer eine gute Führung in der Haft aufzuweisen; er verlange "aufgrund eines Verfahrensfehlers meine Freiheit"; er erwähnt auch, dass Haft einmal bis zum 16. Oktober 2010, dann bis zum 6. Oktober 2010 angeordnet worden sei. Diese Ausführungen betreffen zwar die gegen ihn angeordnete Durchsetzungshaft, lassen aber jegliche gezielte Auseinandersetzung mit den einzelnen, vorstehend zusammengefasst wiedergegebenen Erwägungen des Verwaltungsgerichts vermissen. Es fehlt offensichtlich an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (<ref-law>), weshalb auf die Beschwerde mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten ist.
Der Beschwerde wäre auch im Eintretensfall kein Erfolg beschieden gewesen, lässt sich doch angesichts der umfassenden, in jeder Hinsicht plausibel erscheinenden Erwägungen des angefochtenen Urteils nicht erkennen, inwiefern die Verlängerung der Durchsetzungshaft bei den gegebenen Verhältnissen mit schweizerischem Recht (<ref-law>) nicht vereinbar wäre.
Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig; indessen rechtfertigen es die Umstände, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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