Fatti:
A.
Il 12 aprile 2013 l'Ufficio delle scuole comunali (di seguito: USC), nella sua veste di autorità di coordinamento dei concorsi generali in ambito scolastico, ha comunicato ai municipi e alle delegazioni scolastiche consortili le modalità e le scadenze concernenti la pubblicazione dei concorsi per la nomina o l'incarico dei docenti delle scuole dell'infanzia ed elementari per l'anno scolastico 2013-2014. Nel contempo li ha invitati ad inviare all'ispettorato di circondario i testi dei bandi sottoscritti entro il 31 maggio 2013.
Il 3 giugno 2013 il Municipio di X._ ha quindi trasmesso il bando di concorso per l'assunzione di un docente di educazione fisica sotto forma di incarico a tempo parziale e il concorso generale in ambito scolastico è stato pubblicato sul Foglio ufficiale n. 48 del 14 giugno successivo.
B.
Adito il 21 giugno 2013 dal Comune di X._, rappresentato dal suo municipio, che contestava alcune delle condizioni poste per l'assunzione del proprio docente di educazione fisica, il Consiglio di Stato ticinese ne ha dichiarato inammissibile il gravame con risoluzione del 28 agosto 2013. Questa autorità ha ritenuto che il comportamento tenuto dal Comune configurava un "venire contra factum proprium", inconciliabile con il principio della buona fede. La decisione è stata confermata su ricorso dal Tribunale cantonale amministrativo con sentenza del 18 settembre 2013.
C.
Il 10 ottobre 2013 il Comune di X._, sempre rappresentato dal municipio, ha inoltrato al Tribunale federale un ricorso, con cui chiede che la sentenza cantonale sia annullata e che la causa venga rinviata all'autorità affinché emani un nuovo giudizio. Censura, in sintesi, la violazione della propria autonomia, del principio della legalità, del divieto dell'arbitrio nonché un diniego di giustizia.
Il Tribunale federale non ha ordinato uno scambio di allegati scritti, ma ha richiamato l'incarto cantonale.

Diritto:
1.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (<ref-law>), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 372 e rinvio). Ciononostante, incombe al ricorrente (<ref-law>) dimostrare l'adempimento, nel caso non sia evidente, delle condizioni di ammissibilità del gravame, pena l'inammissibilità dello stesso (cfr. <ref-ruling> consid. 1.3 pag. 525 e rinvio)
2.
2.1. Il ricorso è stato proposto rettamente dal Municipio in nome del Comune (sentenza 1C_707/2013 del 30 settembre 2013 consid. 1.2 e rinvio), è tempestivo (<ref-law>) ed è diretto contro una decisione dell'autorità cantonale di ultima istanza (art. 86 cpv. 1 lett. d LTF). La questione di sapere se alla presente vertenza si applichi il motivo di esclusione di cui all'art. 83 lett. g LTF - secondo cui il ricorso in materia di diritto pubblico è escluso contro le decisioni in materia di rapporti di lavoro di diritto pubblico, in quanto concernono una controversia non patrimoniale, ma non la parità dei sessi - può invece rimanere indecisa, dato che, come illustrato di seguito, l'impugnativa si rivela comunque infondata e va pertanto respinta.
2.2.
Ai sensi dell'art. 89 cpv. 2 lett. c LTF hanno diritto di presentare un ricorso in materia di diritto pubblico i Comuni e gli altri enti di diritto pubblico, se fanno valere la violazione di garanzie loro conferite dalla Costituzionale cantonale o dalla Costituzione federale. Detta norma si riferisce segnatamente all'autonomia comunale garantita dall'<ref-law>, rispettivamente dall'art. 16 cpv. 2 Cost./TI (RL/TI 1.1.1.1). Affinché il ricorso sia ammissibile, occorre tuttavia che la censura concernente l'autonomia comunale sia ricevibile, altrimenti detto che il Comune la faccia valere in maniera sufficientemente motivata (<ref-law>; sentenza 2C_169/2013 del 20 gennaio 2014 consid. 1.1 e numerosi riferimenti, destinata alla pubblicazione).
Il Comune ricorrente adduce che essendo autorità di nomina dei docenti delle scuole comunali, gli dev'essere lasciato un sufficiente margine di apprezzamento per valutare le candidature; ora imporre il primato di un criterio del bando su tutti gli altri ed impedirgli di contestare detto bando, rispettivamente di chiedere un'interpretazione diversa dei citati criteri disattenderebbe la propria autonomia. È dubbio che tale censura adempia le esigenze di motivazione a cui si è accennato in precedenza. Il quesito può tuttavia rimanere indeciso dato che, quand'anche si ritenesse la critica sufficientemente motivata il ricorso, per i motivi esposti di seguito, si appalesa infondato e come tale dev'essere respinto.
3.
3.1. Secondo l'<ref-law>, l'autonomia comunale è garantita nella misura prevista dal diritto cantonale. Per consolidata prassi un Comune beneficia di un'autonomia tutelabile in quelle materie che la legislazione cantonale non regola in modo esaustivo, ma lascia in tutto o in parte all'ordinamento del Comune, conferendogli una notevole libertà di decisione. Non importa, a questo riguardo, che la materia ove il Comune pretende di essere autonomo sia regolata dal diritto federale, cantonale o comunale. Decisiva è la latitudine dell'autonomia assicurata al Comune, nella materia specifica, dalla costituzione o dalla legislazione cantonale. Quando il ricorso con cui si invoca la violazione dell'autonomia comunale è fondato su norme di diritto costituzionale, il Tribunale federale esamina liberamente la decisione impugnata; esso restringe invece la sua competenza all'arbitrio per quelle di rango inferiore (<ref-ruling> consid. 5.2 pag. 244; <ref-ruling> consid. 3.2.1 pag. 398, 265 consid. 2.1 pag. 269; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 241 ognuno con richiami).
3.2. Ai sensi dell'art. 16 cpv. 2 Cost./TI, il Comune è autonomo nei limiti della costituzione e delle leggi. Questo principio è espresso anche all'art. 1 della legge organica comunale del Cantone Ticino, del 10 marzo 1987 (LOC; RL/TI 2.1.1.2). In materia scolastica, l'art. 1 cpv. 1 e 2 della legge sulla scuola, del 1° febbraio 1990 (LSc; RL/TI 5.1.1.1) stabilisce che la scuola pubblica è un'istituzione educativa al servizio della persona e della società, istituita e diretta dal Cantone con la collaborazione dei Comuni. Le competenze specifiche delle autorità e degli organi comunali sono definite dalla legge medesima o dalle leggi speciali (<ref-law>). Secondo l'<ref-law> il rapporto d'impiego dei docenti delle scuole cantonali e comunali è disciplinato dalla legge sull'ordinamento degli impiegati dello Stato e dei docenti, del 15 marzo 1995 (LOrd [RL/TI 2.5.4.1]; cfr. pure art. 1 cpv. 1 lett. b della medesima).
Per i docenti delle scuole comunali, la nomina e l'incarico sono di competenza del Municipio (art. 2 cpv. 1 lett. b LOrd combinato con l'art. 7 cpv. 1 lett. a della legge sulla scuola dell'infanzia e sulla scuola elementare, del 7 febbraio 1996, LSIE; RL/TI 5.1.5.1), e vengono conferiti in conformità a quanto stabilito dalla già citata LOrd, la quale contiene anche le norme disciplinanti la loro assunzione (art. 8 cpv. 1 LSIE). A sensi dell'art. 12 cpv. 1 LOrd (cfr. pure art. 9 cpv. 1 LSIE che rinvia espressamente a detta normativa), la nomina (l'incarico, cfr. art. 15 cpv. 2 LOrd) ha luogo in base ad un concorso pubblicato nel Foglio ufficiale cantonale per la durata minima di 15 giorni; in casi specifichi, la durata di pubblicazione può essere ridotta, rispettivamente vi si può rinunciare (art. 12 cpv. 2 a 4 LOrd). I requisiti da adempiere, rispettivamente i documenti da produrre sono fissati dalla legge, segnatamente agli art. 3, 8, 13, 15 cpv. 2 LOrd (cfr. pure <ref-law> per quanto riguarda l'abilitazione). I concorsi per i docenti comunali sono coordinati dall'autorità cantonale (art. 13 cpv. 4 LOrd), cioè l'Ufficio delle scuole comunali (art. 28 cpv. 1 del regolamento della LSIE del 3 luglio 1996, RLSIE; RL/TI 5.1.5.2). In seguito al concorso, il direttore e successivamente la Commissione scolastica, sulla base di una graduatoria allestita dall'ispettore, emettono il preavviso di assunzione all'intenzione dell'autorità di nomina (art. 14 LOrd). Trattandosi invece di docenti di nazionalità straniera o di docenti in possesso di titoli di abilitazione rilasciati da altri Cantoni o da istituti esteri la nomina o l'incarico sono subordinati all'autorizzazione del Consiglio di Stato (art. 4 LOrd).
3.3. Ora, premesso che oggetto del contendere non è la nomina di un docente, bensì il contenuto del bando di concorso, discende da quanto testé esposto che se il Comune fruisce di autonomia in materia d'incarico o di nomina di docenti comunali (sotto certi versi limitata, cfr. art. 4 LOrd), per quanto concerne invece i bandi di concorso, il loro contenuto è determinato dalla normativa cantonale, la quale in proposito è dettagliata e contiene criteri vincolanti (vedasi anche al proposito la risoluzione emessa dal Consiglio di Stato ticinese il 2 giugno 2009 concernente i requisiti richiesti per l'assunzione di docenti nelle scuole comunali a decorrere dal 1° giugno 2009, figurante nell'inserto cantonale). In altre parole i Comuni ticinesi non sono quindi abilitati in proposito a scostarsi dalla legge cantonale determinante (essi dispongono di una certa autonomia in materia di compiti particolari per i docenti che possono includere nel bando di concorso, limitatamente agli ambiti previsti dalla LSIE, ma devono comunque richiedere l'approvazione dell'ispettore, cfr. art. 9 cpv. 2 a 6 LSIE).
3.4. Premesse queste considerazioni ne deriva che sebbene i docenti di scuola dell'infanzia e della scuola elementare siano degli impiegati comunali, i criteri per determinare la loro assunzione sono esaurientemente disciplinati dal diritto cantonale: in proposito i Comuni non fruiscono di autonomia tutelabile. Siccome non si ravvisa, per quanto concerne l'oggetto del contendere, alcuna autonomia comunale, un'eventuale violazione della medesima risulta esclusa d'acchito. Non occorre quindi dirimere il merito della controversia. Visto quanto precede, il ricorso va pertanto respinto.
4.
Il ricorrente, che si è rivolto al Tribunale federale nell'ambito delle sue attribuzioni ufficiali, può essere dispensato dal pagamento di spese giudiziarie (<ref-law>). Non vengono attribuite ripetibili per la sede federale (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
In quanto ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Non si prelevano spese giudiziarie.
3.
Comunicazione al ricorrente, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.