Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen den Entscheid vom 16. Mai 2012 des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau, das eine Beschwerde der Beschwerdeführer gegen einen abweisenden Beschwerdeentscheid des Departements für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (Abweisung einer ersten Beschwerde der Beschwerdeführer gegen die durch die Vormundschaftsbehörde Y._ verfügte vorsorgliche Aufhebung der Obhut der Beschwerdeführer über ihre 1996 geborene Tochter A._ sowie gegen deren Unterbringung und den Entzug der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde) abgewiesen hat, soweit es darauf eingetreten ist,
in die Gesuche um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege (einschliesslich Rechtsvertretung),

in Erwägung,
dass das Verwaltungsgericht erwog, Beschwerdegegenstand bilde einzig der provisorische Obhutsentzug und der Entzug der aufschiebenden Wirkung, soweit sich die Beschwerdeführer nicht damit auseinandersetzten, sei auf die Beschwerde nicht einzutreten, die Beschwerdeführer lebten zwar in Rumänien, indessen sei die Tochter nach einem einjährigen Aufenthalt in diesem Land wieder in die Schweiz zurückgekehrt und lebe seither bei ihrer Grossmutter väterlicherseits in B._, wo sie auch die Schule besuche, die Zuständigkeit der schweizerischen Behörden am gewöhnlichen Aufenthaltsort der Tochter sei daher klar gegeben (<ref-law> i.V.m. <ref-law>), die (wegen der unklaren Wohnsituation und damit in einem Zweifelsfall erfolgte) Bejahung der Zuständigkeit durch die Vormundschaftsbehörde Y._ sei in Anbetracht der Dringlichkeit der Situation und der bloss provisorischen Regelung nicht zu beanstanden, jedoch werde deren Verfügung umgehend durch einen Beschluss der innerkantonal zuständigen Vormundschaftsbehörde B._ zu ersetzen sein,
dass das Verwaltungsgericht weiter erwog, auch materiell sei der provisorische Obhutsentzug und der Entzug der aufschiebenden Wirkung nicht zu beanstanden, müsse doch der in prekären Verhältnissen (11⁄2-Zimmer-Wohnung, Schlafen auf einer Matratze auf dem Fussboden) lebenden Tochter eine zumutbare Unterbringung, eine Berufslehre und ein adäquater Versicherungsschutz verschafft werden, ausserdem bedürften die Vorwürfe der Tochter gegenüber ihrem Vater (regelmässig verabreichte Schläge seit dem 11. Lebensjahr, Verbot an die Tochter, eine KV-Lehre an einer von ihr gefundenen Stelle anzutreten) näherer Abklärung,
dass die Beschwerde nach <ref-law> zum Vornherein unzulässig ist, soweit die Beschwerdeführer Schadenersatz fordern, weil dieses Begehren weder Gegenstand des kantonalen Verfahrens sein konnte noch Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens sein kann,
dass sodann die Beschwerde nach <ref-law> nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 287),
dass ferner in einem Fall wie dem vorliegenden, wo sich die Beschwerde nach <ref-law> gegen einen Entscheid betreffend vorsorgliche Massnahmen (provisorischer Obhutsentzug, Entzug der aufschiebenden Wirkung) richtet, nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (<ref-law>), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.),
dass die Beschwerdeführer in ihrer Eingabe an das Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auf die entscheidenden verwaltungsgerichtlichen Erwägungen eingehen,
dass es insbesondere nicht genügt, pauschal den Sachverhalt zu bestreiten, die thurgauischen Behörden zu beschimpfen ("Schreibtischganoven") und den angefochtenen Entscheid als "bodenlose Frechheit" zu bezeichnen,
dass die Beschwerdeführer erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert anhand der verwaltungsgerichtlichen Erwägungen aufzeigen, inwiefern der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 16. Mai 2012 verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich unzulässige bzw. keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht einzutreten ist,
dass mit dem Beschwerdeentscheid das Gesuch der Beschwerdeführer um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird,
dass den Beschwerdeführern die unentgeltliche Rechtspflege (einschliesslich Rechtsvertretung) in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass die unterliegenden Beschwerdeführer unter Solidarhaft kostenpflichtig werden (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG) und keine Parteientschädigung zugesprochen erhalten,
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (einschliesslich Rechtsvertretung) wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern unter Solidarhaft auferlegt.
4. Den Beschwerdeführern wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und der Vormundschaftsbehörde Y._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Füllemann