Faits:
A. A.a Née en mars 2003 à l'étranger, S._ est arrivée en Suisse le 21 août 2004 accompagnée de son père, B._. Atteinte d'une infirmité motrice cérébrale sévère sous forme de tétraparésie spastique et de séquelles d'ischémie cérébrale, elle a été soignée à l'Hôpital X._ (rapport du docteur H._, médecin adjoint agrégé auprès de l'Hôpital X._ du 20 juillet 2005). Selon les médecins de l'Hôpital X._, un retour de la patiente dans son pays d'origine n'était pas envisageable avant qu'elle ait atteint un poids dans les normes et ne soit sortie de son état de spasmes douloureux, une prise en charge dans son pays d'origine paraissant totalement exclue à défaut de structures adéquates et de possibilités de traitements médicamenteux (attestation du 7 octobre 2004).
Le 26 août 2004, B._ a demandé à l'Office cantonal genevois de la population d'autoriser son séjour et celui de sa fille sur la base d'un permis humanitaire de courte durée ou de proposer leur cas aux autorités fédérales pour une admission provisoire. Rejoint par son épouse A._ en novembre 2004, B._ a par ailleurs sollicité de la KPT Caisse-maladie SA (ci-après: la caisse-maladie) l'affiliation de leur fille. Le 10 novembre 2004, la caisse-maladie a attesté que l'enfant était soumise à l'assurance obligatoire des soins depuis le 1er août 2004 et a, dans un premier temps, pris en charge les prestations qui lui étaient dispensées.
A.b Le 4 mars 2005, les époux ont présenté une demande de permis humanitaire, au motif que l'état de leur fille nécessitait une importante prise en charge médicalisée, vraisemblablement pour le restant de ses jours. Ils ont informé la caisse-maladie de leur demande en automne 2005.
Par lettre du 1er mars 2006, la caisse-maladie a indiqué aux parents de S._ qu'elle ne verserait aucune prestation pour leur fille dès son arrivée en Suisse, parce qu'elle était venue dans ce pays uniquement pour y suivre un traitement médical ce qui constituait un cas d'exception à l'obligation de s'assurer à l'assurance obligatoire des soins. Le 26 avril 2006, elle a rendu une décision par laquelle elle a constaté que S._ n'était pas soumise à l'assurance obligatoire des soins et refusé toute prestation, en précisant que celles déjà fournies devaient lui être remboursées. A la suite de l'opposition de l'intéressée, l'assureur-maladie a confirmé sa position le 11 juillet 2006.
B. Statuant le 27 février 2007 sur le recours formé par S._ contre la décision sur opposition, le Tribunal des assurances sociales de la République et canton de Genève l'a admis en ce sens que l'enfant devait être affiliée à l'assurance-maladie obligatoire à compter de mars 2005.
C. La caisse-maladie interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation.
De même que l'Office fédéral de la santé publique (OFSP), S._ conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'<ref-law>, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui. Il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
2. En procédure fédérale, le litige porte sur l'affiliation de S._ à l'assurance obligatoire des soins à partir du mois de mars 2005. Il s'agit, singulièrement, d'examiner si la recourante était encore en droit de refuser l'affiliation de l'intimée à partir de cette date, au motif qu'elle était exceptée de l'obligation d'assurance. N'est en revanche plus litigieuse en instance fédérale l'absence d'affiliation de l'enfant à l'assurance-maladie sociale pour la période allant du mois d'août 2004 à la fin du mois de février 2005.
3. 3.1 Un des buts principaux de la LAMal est de rendre l'assurance-maladie obligatoire pour l'ensemble de la population en Suisse. Aussi bien l'<ref-law> pose-t-il le principe de l'obligation d'assurance pour toute personne domiciliée en Suisse (<ref-ruling> consid. 4, 126 V 265 consid. 3b p. 268 et les références). L'<ref-law> délègue cependant la compétence au Conseil fédéral d'excepter de l'assurance obligatoire certaines catégories de personnes. Au regard du but de solidarité fixé par le législateur, les exceptions à l'obligation de s'assurer doivent être interprétées de manière stricte (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 78; voir aussi <ref-ruling> consid. 8.3 p. 313).
3.2 Faisant usage de la délégation de compétence de l'<ref-law>, le Conseil fédéral a prévu l'exception à l'obligation de s'assurer des personnes qui séjournent en Suisse dans le seul but de suivre un traitement médical ou une cure (<ref-law>). Il ne s'agit pas à proprement parler d'une exception à l'obligation de s'assurer, mais d'une exclusion du droit à l'affiliation à l'assurance-maladie obligatoire: les personnes qui séjournent en Suisse en vue de s'y faire soigner n'ont pas le droit de s'affilier à l'assurance des soins obligatoire (Eugster, Krankenversicherung [E.], in: U. Meyer [édit.], SBVR, Soziale Sicherheit, 2e éd., n. 121 p. 437).
4. 4.1 De manière à lier la Cour de céans (cf. art. 105 al. 1 et 2 LTF), la juridiction cantonale a constaté que S._ et ses parents s'étaient rendus en Suisse afin que l'enfant puisse y suivre un traitement médical; ils avaient requis une autorisation de séjour pour motif humanitaire de courte durée. Par la suite, lorsqu'ils ont réalisé que la prise en charge adéquate de leur fille n'était pas possible dans son pays d'origine, les époux avaient sollicité un permis de séjour humanitaire, s'étaient installés dans un appartement à Y._ et le père de S._ avait débuté une activité lucrative à partir du 1er octobre 2006.
De ces éléments, les premiers juges ont déduit que les parents et leur fille s'étaient constitué un nouveau domicile à Y._ au sens de l'<ref-law>, de sorte que celle-ci devait être affiliée à l'assurance-obligatoire des soins en vertu de l'<ref-law>. Examinant si elle ne tombait pas, toutefois, sous l'exception prévue par l'<ref-law>, ils ont admis que tel était le cas pour la période courant depuis son arrivée en Suisse, en août 2004, jusqu'au mois de mars 2005. A cette date, les circonstances s'étaient toutefois modifiées selon eux, en ce sens que le séjour de S._ en Suisse avait perdu son caractère provisoire: l'intimée devait bénéficier d'une prise en charge dans une institution spécialisée, voire d'un traitement médical d'une durée (peut-être) indéterminée et ses parents avaient pris des mesures pour s'installer durablement à Y._. Aussi, l'autorité cantonale de recours a-t-elle retenu que la famille s'était installée durablement en Suisse et qu'il était dès lors contraire au but visé par la LAMal que S._ restât toute sa vie sans être jamais soumise à l'assurance-maladie obligatoire. Partant, elle a admis que l'intimée devait être affiliée à cette assurance à partir du mois de mars 2005.
4.2 Sans contester ni le motif ayant conduit l'intimée à venir en Suisse, ni le caractère durable de son séjour en Suisse, la recourante reproche aux premiers juges une violation de l'<ref-law>. Suivre leur raisonnement, selon lequel l'obligation d'assurance dépendrait en fin de compte de la seule durée du traitement suivi - en cas de traitement de longue durée ou de durée indéterminée, l'intéressé prendrait domicile en Suisse et serait donc affilié à l'assurance des soins obligatoire (qui serait tenue d'en prendre en charge les frais) -, reviendrait à vider la disposition de l'ordonnance de son sens. La caisse-maladie fait valoir que l'<ref-law> s'applique aux personnes qui, telle l'intimée, viennent en Suisse en vue d'y suivre un traitement et y prennent domicile à cette fin.
4.3 De son côté, l'intimée soutient que les exceptions prévues par l'<ref-law> concernent des personnes qui ont la possibilité de s'assurer dans un autre système d'assurance ou celles qui sont en situation de séjour temporaire, soit des personnes qui viennent en Suisse pour s'y faire soigner de manière temporaire et repartent une fois le traitement achevé. Elle invoque aussi le principe de l'égalité de traitement en rappelant que l'affiliation à l'assurance obligatoire des soins des parents de l'intimée et de sa soeur (née en Suisse) n'a jamais été remise en cause par la recourante, alors que leur motif de séjour en Suisse était identique au sien.
En substance, l'OFSP est d'avis que l'<ref-law> vise avant tout à éviter des abus manifestes que commettraient des personnes qui chercheraient à profiter des prestations de l'assurance-maladie le temps d'un traitement médical spécifique en Suisse avant de repartir dans leur pays. Dans le cas particulier, une telle intention faisait défaut et il serait contraire au but visé par la LAMal d'exempter l'intimée de la couverture d'assurance obligatoire des soins.
5. 5.1 L'assurance obligatoire des soins est fondée sur l'affiliation obligatoire: toute personne domiciliée en Suisse au sens des art. 23 à 26 CC est tenue de s'assurer pour les soins en cas de maladie (ou être assurée par son représentant légal) dans les trois mois qui suivent sa prise de domicile en Suisse ou sa naissance en Suisse (<ref-law> et 1 al. 1 OAMal; cf. également l'<ref-law>). Selon l'<ref-law>, le domicile d'une personne est au lieu où elle réside avec l'intention de s'y établir. Sous l'angle de l'obligation d'assurance au sens de l'<ref-law>, l'obtention d'une autorisation de séjour ou d'établissement de la police des étrangers n'est pas déterminante pour la réalisation des conditions de l'existence d'un domicile en Suisse au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 79, 125 V 76 consid. 2a p. 77 et les références). D'après l'<ref-law>, l'enfant sous autorité parentale partage le domicile de ses père et mère ou, en l'absence de domicile commun des père et mère, le domicile de celui de ses parents qui a le droit de garde; subsidiairement, le lieu du domicile est déterminé par le lieu de sa résidence.
La recourante ne remet pas en cause la constatation des premiers juges tirée de différents éléments de fait au dossier selon laquelle les parents de l'intimée sont domiciliés à Y._ pour le moins depuis mars 2005. En application de la règle générale de l'<ref-law> en relation avec l'<ref-law>, l'intimée est donc en principe soumise à l'obligation d'assurance à partir de cette date. A la suite de la juridiction cantonale, il reste toutefois à examiner si l'<ref-law> s'oppose à une telle affiliation.
La recourante ne remet pas en cause la constatation des premiers juges tirée de différents éléments de fait au dossier selon laquelle les parents de l'intimée sont domiciliés à Y._ pour le moins depuis mars 2005. En application de la règle générale de l'<ref-law> en relation avec l'<ref-law>, l'intimée est donc en principe soumise à l'obligation d'assurance à partir de cette date. A la suite de la juridiction cantonale, il reste toutefois à examiner si l'<ref-law> s'oppose à une telle affiliation.
5.2 5.2.1 Au titre d'exception à l'obligation de s'assurer, l'<ref-law> prévoit que les personnes séjournant en Suisse dans le seul but de suivre un traitement médical ou une cure sont exclues (supra consid. 3.2) du droit de s'affilier à l'assurance des soins obligatoire. Cette disposition concerne d'abord les personnes qui séjournent en Suisse en vue de s'y soumettre à un traitement avec l'intention de regagner leur domicile à l'étranger. En tant qu'elle prévoit une exception à la règle générale de l'<ref-law>, l'<ref-law> vise également les personnes qui séjournent exclusivement en Suisse pour suivre un traitement ou une cure et y prennent domicile à cette fin (dans ce sens, Maurer, Das neue Krankenversicherungsrecht, Bâle 1996, p. 36). Ces personnes, qui devraient en principe être soumises à l'obligation d'assurance en raison de leur domicile en Suisse, sont exclues de l'assurance obligatoire des soins parce que leur intention de s'établir dans ce pays est principalement fondée sur celle de se faire soigner aux frais de l'assurance des soins obligatoire. Il s'agit d'éviter qu'une personne qui se constituerait un domicile (ou alléguerait un domicile) en Suisse, respectivement obtiendrait (ou prétendrait avoir obtenu) une autorisation de séjour de la police des étrangers dans ce but soit affiliée à l'assurance des soins obligatoire (dans ce sens Eugster, op. cit., n. 122 p. 437).
Limiter la portée de la disposition en cause aux seuls cas où une personne vient en Suisse pour un séjour strictement temporaire et repart à l'étranger une fois le traitement achevé, comme le voudraient l'intimée et l'OFSP, reviendrait à vider l'<ref-law> de son sens. En application du seul <ref-law> (a contrario), une telle personne ne serait de toute façon pas soumise à l'obligation de s'assurer faute de domicile en Suisse (sous réserve de l'<ref-law> qui s'applique lorsque l'obligation d'assurance ne découle pas déjà de l'application de l'<ref-law> [<ref-ruling> consid. 5.1 p. 79]).
On ne saurait pas non plus suivre la thèse de l'intimée, selon laquelle l'exception de l'<ref-law> serait limitée aux personnes qui auraient obtenu une autorisation de séjour au sens de l'art. 33 de l'Ordonnance du 6 octobre 1986 limitant le nombre des étrangers (OLE; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), soit une autorisation de séjour pour traitement médical. A cet égard, le Tribunal fédéral des assurances a précisé qu'en cas de traitement médical durable lors d'un séjour en Suisse, l'autorisation de séjour "L" (fondée sur l'art. 36 OLE ["raisons importantes"]) constituait une autorisation de séjour selon l'art. 5 LSEE (en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007) au sens de l'<ref-law>, pour autant qu'elle fût valable au moins trois mois et que l'arrivée en Suisse n'eût pas eu pour but le traitement thérapeutique (arrêt K 160/98 du 2 juin 1999 et consid. 5.3 p. 80 de l'<ref-ruling>). Il s'agissait, dans la situation jugée dans l'arrêt K 160/98, d'un ressortissant étranger qui avait nécessité des soins médicaux alors qu'il était entré en Suisse pour des raisons professionnelles; l'<ref-law> ne lui était donc pas applicable, parce qu'il n'était pas arrivé en Suisse pour y suivre un traitement médical. On ne peut donc déduire de cet arrêt que l'<ref-law> ne s'appliquerait pas aux personnes dont l'autorisation de séjour serait fondée sur l'art. 36 OLE ou une autre disposition du droit des étrangers.
5.2.2 Le but de l'<ref-law> est d'empêcher qu'une personne qui entre en Suisse exclusivement en vue de suivre un traitement ou une cure soit assurée à l'assurance des soins obligatoire, même si elle y prend domicile à cette fin. A défaut d'une telle règle d'exclusion de l'assurance-maladie sociale, celle-ci devrait prendre en charge les prestations prodiguées à toute personne se rendant en Suisse pour se faire soigner et qui s'y constituerait un domicile dans ce but. Le séjour au sens de l'<ref-law> doit être considéré comme intervenant dans le seul but de suivre un traitement médical ou une cure lorsque d'autres motifs que le but thérapeutique n'auraient pas suffi en eux-mêmes à constituer un domicile au sens des <ref-law> (cf. Eugster, op. cit., n. 122 p. 437).
Ce qui est dès lors déterminant, ce n'est pas la durée du traitement thérapeutique ou du séjour en Suisse - critère retenu par la juridiction cantonale -, mais le but poursuivi par le séjour, la résidence ou le domicile en Suisse. Tant que la raison exclusive en est le traitement médical (ou la cure), respectivement tant qu'il n'existe pas un autre but qui justifierait à lui seul la constitution d'un domicile en Suisse, l'intéressé est exclu de l'assurance des soins obligatoire. Savoir si une personne venue en Suisse dans le seul but de s'y faire soigner est exclue "à vie" de l'affiliation à l'assurance-maladie sociale, ce qui serait contraire au but visé par la LAMal d'après la juridiction cantonale, dépend donc essentiellement du but poursuivi par la création du domicile en Suisse. Dès lors que s'ajoutent au but thérapeutique une ou plusieurs autres raisons qui justifieraient la constitution d'un domicile en Suisse, l'<ref-law> n'est pas ou plus applicable.
5.2.3 En l'espèce, les éléments retenus par la juridiction cantonale (durée du séjour des époux, demande d'autorisation de séjour, activité lucrative du père de l'intimée) constituent des indices suffisants, au degré de la vraisemblance prépondérante, pour admettre que l'intimée, soit pour elle ses parents, peuvent se prévaloir d'autres motifs de domicile en Suisse que le besoin de traitement médical suivi par leur fille. En particulier, dès lors que l'intimée était en mesure de quitter l'hôpital en mars 2005 pour le domicile et des séjours en institution (avis du docteur H._ du 18 mars 2005), que la soeur de l'intimée est née en Suisse, que sa famille s'est installée dans un appartement à Y._ Genève et que son père y a trouvé un emploi, on peut conclure que les membres de la famille ont suffisamment d'attaches en Suisse pour souhaiter s'y établir indépendamment des soins encore requis par l'intimée.
Une telle intention de s'établir en Suisse pour d'autres motifs que le besoin de traitement de l'intimée n'est cependant reconnaissable aux yeux de tiers par des éléments objectifs qu'à partir du moment où son père a été assuré de trouver un emploi et un appartement indépendant pour sa famille, en août 2006 (cf. formulaire d'autorisation de travail, signé le 10 août 2006 par l'employeur). En conséquence, le séjour de l'intimée en Suisse ne pouvait plus, en août 2006, être considéré comme exclusivement motivé par le but de traitement au sens de l'<ref-law>. Partant, le jugement entrepris doit être réformé en ce sens que S._ est affiliée à l'assurance-maladie obligatoire à partir du 1er août 2006.
6. Compte tenu de l'issue du litige, les frais de justice doivent être supportés par moitié par chacune des parties (art. 66 al. 1 deuxième phrase LTF en relation avec l'<ref-law>). Assistée d'un représentant qualifié, l'intimée a droit à une indemnité de dépens réduite (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le chiffre 1 du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 27 février 2007 est modifié en ce sens que S._ doit être affiliée à l'assurance-maladie obligatoire à compter du 1er août 2006. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 250 fr. à la charge de la recourante et pour 250 fr. à la charge de l'intimée.
3. La recourante versera à l'intimé la somme de 1'000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 8 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless