Faits:
A.
Le 31 janvier 2011, l'Etat de Neuchâtel et la commune de Neuchâtel ont fait notifier trois commandements de payer à Dame X._. Le premier portait sur le montant de 8'520 fr. 55 plus intérêts à 6% dès le 1 er avril 2003 et indiquait comme cause de l'obligation "impôt cantonal et communal 1995 ./. acompte du 11.03.2003 Fr. 1'730.35" (poursuite n°***), le deuxième portait sur le montant de 5'990 fr. 75 plus intérêts à 5% dès le 1er avril 2003 et indiquait comme cause de l'obligation "impôt cantonal et communal 1996" (poursuite n°****), et le troisième portait sur le montant de 6'359 fr. 80 plus intérêts à 5% dès le 1er avril 2003 et indiquait comme cause de l'obligation "impôt cantonal et communal 1997" (poursuite n°*****).
Dame X._ a formé opposition à ces trois commandements de payer.
B.
B.a. Statuant dans trois décisions séparées du 10 octobre 2012, le Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers a prononcé la mainlevée définitive des oppositions. En bref, il a considéré que les poursuites étaient fondées sur trois décisions rendues le 25 février 2003 par le Service des contributions, qui étaient entrées en force à la suite du rejet de l'ultime recours de la poursuivie par arrêt du Tribunal administratif du 26 juin 2008, lui-même devenu définitif et exécutoire, et que ces décisions valaient titres de mainlevée définitive. En outre la poursuivie n'avait fait valoir aucune exception de l'<ref-law>, ni aucune autre objection.
B.b. Dame X._ et son époux X._ ont recouru contre ces trois décisions auprès du Tribunal cantonal neuchâtelois, Autorité de recours en matière civile. Par arrêt du 8 février 2013, cette autorité a déclaré irrecevable le recours interjeté par X._ et rejeté celui de Dame X._, pour autant qu'il soit recevable.
C.
Par acte posté le 21 mars 2013, Dame X._ et X._ interjettent un recours en matière civile contre cet arrêt. Ils concluent à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. En substance, ils se plaignent de la violation du principe de célérité garanti selon eux aux art. 29 al. 1 Cst., 6 ch. 1 CEDH et 14 ch. 3 let. c Pacte ONU II, de la violation de l'art. 187 al. 3 de la loi du 21 mars 2000 sur les contributions directes (LCdir; RSN 631.0), et de la violation de l'<ref-law>.
Des observations n'ont pas été requises.
D.
Par ordonnance du 16 mai 2013, l'effet suspensif a été accordé au recours.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) à l'encontre d'une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4) rendue en matière de poursuite pour dettes (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1) par le tribunal supérieur du canton ayant statué sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF); les recourants, qui ont été déboutés de leurs conclusions par l'autorité cantonale, ont qualité pour recourir (<ref-law>).
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Partant, la requête des recourants tendant à produire "tout le dossier officiel fiscal" les concernant est irrecevable.
1.2. Les recourants prétendent, sans préciser leur calcul, que la valeur litigieuse de leur cause est de 30'802 fr. 45.
1.2.1. Aux termes de l'<ref-law>, la valeur litigieuse est déterminée, en cas de recours contre une décision finale, par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (al. 1 let. a). Les intérêts, les fruits, les frais judiciaires et les dépens qui sont réclamés comme droits accessoires, les droits réservés et les frais de publication du jugement n'entrent pas en ligne de compte dans la détermination de la valeur litigieuse (al. 3).
Aux termes de l'<ref-law>, les divers chefs de conclusions formés dans une affaire pécuniaire par la même partie ou par des consorts sont additionnés, à moins qu'ils ne s'excluent. Cela vaut lorsque les conclusions ont été jointes dans la procédure cantonale et ont fait l'objet d'une seule décision (arrêts 4A_530/2012 du 17 décembre 2012 consid. 1; 5A_774/2008 du 2 novembre 2009 consid. 2.3.1).
1.2.2. En l'espèce, le montant des créances fiscales additionnées atteint 20'871 fr. 10. Les intérêts sont réclamés comme accessoires des créances fiscales, et non à titre indépendant, de sorte qu'ils n'entrent pas en ligne de compte pour calculer la valeur litigieuse (<ref-ruling> [sous l'ancien art. 36 al. 3 OJ]; CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2009, n°41 ad <ref-law>).
Il résulte de ce qui précède que la valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. exigée à l'<ref-law> n'est pas atteinte.
1.3. Les recourants prétendent ensuite que leur cause soulève une question juridique de principe. Ils soutiennent que le principe de célérité a été violé et qu'il ne fait plus sens de réclamer ces créances. Ils affirment que plus de 20 ans se sont écoulés entre les années fiscales pour lesquelles des montants sont encore aujourd'hui réclamés et la date de l'arrêt attaqué et que la durée de la procédure administrative ne peut pas leur être reprochée. Ils ajoutent que l'arrêt attaqué ne discute pas ce point et, pour autant qu'on parvienne à les comprendre, ils paraissent reprocher à l'autorité cantonale elle-même d'avoir mis plus d'une année pour rendre l'arrêt attaqué.
1.3.1. Aux termes de l'<ref-law>, même lorsque la valeur litigieuse minimale n'est pas atteinte, le recours est recevable si la contestation soulève une question juridique de principe.
Il faut se montrer restrictif dans l'admission d'une dérogation à l'exigence de la valeur litigieuse sur la base de l'<ref-law>. La contestation soulève une question juridique de principe lorsqu'il est nécessaire, pour résoudre le cas d'espèce, de trancher une question juridique qui donne lieu à une incertitude caractérisée, laquelle appelle de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral, en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (arrêts 4A_727/2012 du 21 mai 2013 consid. 1.2, destiné à la publication in ATF 139; 4A_607/2012 du 21 février 2013 consid. 1.2, destiné à la publication in ATF 139; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.2). Lorsque la question soulevée n'est rien d'autre que celle de l'application de principes jurisprudentiels à un cas particulier, la condition n'est pas réalisée (<ref-ruling> consid. 1.2).
La partie recourante qui soutient que ce cas de figure est réalisé doit exposer en quoi l'affaire remplit la condition exigée (art. 42 al. 2 2 ème ph. LTF; <ref-ruling> consid. 1.1).
1.3.2. En l'espèce, les recourants se plaignent de la violation du principe de célérité, soit du droit d'être jugé dans un délai raisonnable consacré aux art. 29 al. 1 Cst. et 6 al. 1 CEDH. Or, force est de constater que leur critique ne répond manifestement pas aux exigences de motivation de l'<ref-law>, les recourants se bornant à affirmer qu'ils mettent "en évidence que presque 20 ans se sont écoulés entre les années fiscales pour lesquelles les montants son encore aujourd'hui réclamés et la date de l'arrêt " et que " la durée anormalement longue de cette procédure administrative ne saurait [leur] être reprochée ", sans donner la moindre explication sur la chronologie et le déroulement de la procédure. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de reconstituer celle-ci pour comprendre le propos des recourants. Ceux-ci ne mettent en outre nullement en exergue les tenants et aboutissants de leur critique. Enfin, dans tous les cas, ils ne font valoir aucun intérêt actuel à la constatation de la violation de ce principe, alors qu'une décision a été en définitive rendue (arrêt 4A_744/2011 du 12 juillet 2012 consid. 11).
Au vu de ce qui précède, la condition de l'<ref-law> n'est pas réalisée. Le recours en matière civile est donc irrecevable.
1.4. L'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies (<ref-ruling> consid. 1.2 et les références).
En l'espèce, la valeur litigieuse n'étant pas atteinte et la cause ne soulevant aucune question juridique de principe, les écritures des recourants doivent donc être traitées comme un recours constitutionnel subsidiaire, au sens des <ref-law>.
Reste encore à déterminer si ces écritures répondent aux conditions de recevabilité des art. 42 al. 2 1 ère ph. et 106 al. 2 LTF.
1.4.1. Le recours constitutionnel subsidiaire peut être formé pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>).
Lorsque le Tribunal fédéral n'examine que la violation de tels droits, la partie recourante doit indiquer précisément quel droit constitutionnel a été violé et montrer, par une argumentation circonstanciée, en quoi consiste la violation alléguée ("principe d'allégation", art. 106 al. 2 et 117 LTF; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.2 et 349 consid. 3).
Au vu de ce qui précède, il y a lieu de déclarer d'emblée irrecevable le recours de X._, qui ne contient pas la moindre critique sur la motivation de l'autorité cantonale selon laquelle le recourant n'avait pas qualité pour recourir devant elle, les poursuites engagées et les décisions contestées concernant uniquement Dame X._.
2.
S'agissant du recours de Dame X._, la recourante se plaint tout d'abord de la violation de règles de droit cantonal sur la prescription. Bien qu'elle n'invoque pas la violation d'un de ses droits constitutionnels, on comprend qu'elle entend se plaindre d'arbitraire, au sens de l'art. 9 Cst., dans l'application de l'art. 187 de la loi du 21 mars 2000 sur les contributions directes (LCdir, RSN 631.0).
2.1.
2.1.1. L'autorité cantonale a jugé que le juge de la mainlevée n'avait pas à relever d'office la prescription des créances d'impôts, que la recourante invoquait un moyen nouveau irrecevable dans la procédure de recours et que, au demeurant, la prescription ne courrait pas pendant les procédures de réclamation et de recours (art. 186 al. 2 par renvoi de l'art. 187 al. 2 LCdir).
2.1.2. La recourante soutient que l'arrêt se réfère à des décisions prises le 25 février 2003 et que rien ne permet de comprendre pourquoi l'autorité de taxation a laissé s'écouler plus de 8 ans avant de procéder à une taxation définitive concernant les années fiscales 1995, 1996 et 1997. Dans tous les cas, elle soutient que la prescription de 10 ans pour percevoir l'impôt est atteinte, ce que le juge doit constater d'office, et qu'elle a " toujours soulevé le problème de la prescription ".
2.2.
2.2.1. Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire (art. 9 Cst.) si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2.2.2.; arrêt 5A_634/2011 du 16 janvier 2012 consid. 2.1.1). Pour qu'une telle décision soit annulée, il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1 et les références).
Lorsque la partie recourante entend se plaindre d'arbitraire, elle ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme elle le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours dispose d'une libre cognition; elle ne saurait se contenter d'opposer son opinion à celle de la juridiction précédente, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision se fonde sur une application du droit manifestement insoutenable (cf. supra consid. 1.4.1; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.2).
2.2.2. En vertu de l'<ref-law>, lorsque la poursuite est fondée sur un jugement exécutoire rendu par un tribunal ou une autorité administrative suisse, le juge ordonne la mainlevée définitive de l'opposition, à moins, notamment, que l'opposant ne se prévale de la prescription. Cette norme ne vise que la prescription acquise depuis le jugement, et non celle que le poursuivi aurait pu soulever dans le procès au fond (<ref-ruling> consid. 5b/cc). Le poursuivi doit se prévaloir de cette exception, car le juge de la mainlevée n'a pas à relever d'office la prescription, même celle des prétentions de droit public (arrêt 5A_744/2012 du 10 juin 2013 consid. 1.3.2 et les références). Il n'a en revanche pas à prouver par titre la prescription (arrêt 5A_152/2012 du 19 décembre 2012 consid. 4.1).
2.2.3. En l'espèce, dans la mesure où la recourante entend se prévaloir de la prescription du droit de taxer prévue à l'art. 186 LCdir, son grief doit être rejeté, étant donné que cette exception aurait dû être soulevée durant la procédure de taxation fiscale et qu'elle est irrecevable en procédure de mainlevée en vertu de l'<ref-law>. Dans la mesure où la recourante entend se prévaloir de la prescription du droit de percevoir l'impôt prévue à l'art. 187 LCdir, ni la prescription relative de 5 ans (art. 187 al. 1 LCdir), interrompue par la poursuite introduite en 2011 (art. 186 al. 3 let. a LCdir en lien avec l'art. 2 1 ère ph. LCdir), ni la prescription absolue de 10 ans (art. 187 al. 3 LCdir) ne sont acquises, la décision de taxation fiscale étant entrée en force en 2008.
Les motifs qui précèdent suffisent à rejeter le grief d'arbitraire, au sens l'art. 9 Cst., dans l'application de l'art. 187 LCdir, dans la mesure où il est recevable, sans qu'il ait lieu d'examiner les autres arguments de la recourante sur ce point.
3.
Pour autant qu'on la comprenne, la recourante se plaint ensuite d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) de l'<ref-law>, en ce sens que, les décisions de taxation ne lui ayant pas été correctement notifiées, elles ne constitueraient pas des jugements exécutoires valant titres de mainlevée. Cette critique, dénuée de toute argumentation permettant d'en apprécier le bien-fondé, ne répond manifestement pas aux exigences du principe d'allégation (cf. supra consid. 2.2.1), de sorte qu'elle est irrecevable, ce d'autant plus que la recourante entend fonder son reproche sur des pièces qui ressortiraient de son " dossier officiel ", dont la production est irrecevable en vertu de l'<ref-law> (cf. supra consid. 1.1. in fine ).
La recourante soutient finalement que les griefs qu'elle a soulevés dans son recours cantonal du 29 octobre 2012 restent d'actualité et qu'ils doivent être examinés, notamment à la lumière de son "d ossier fiscal officiel ". Elle reproduit ensuite le contenu de son recours cantonal. Cette critique, qui consiste à reprendre mot pour mot la motivation de son recours, est irrecevable, ce d'autant plus que la recourante entend encore une fois fonder son argumentation sur une preuve irrecevable (cf. supra consid. 1.1 in fine ). L'<ref-law>, comme l'<ref-law>, exige en effet que la recourante discute au moins de manière succincte les considérants de la décision attaquée; il doit exister un lien entre la motivation et la décision attaquée, condition qui fait défaut si la recourante se contente de reprendre textuellement la même argumentation que celle présentée devant l'instance inférieure (ATF <ref-ruling> consid. 2.1 à 2.3; arrêt 5A_623/2012 du 28 janvier 2013 consid. 4.1), ainsi qu'elle le fait en l'espèce.
4.
En conclusion, le recours en matière civile est irrecevable. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable en tant qu'il est interjeté par X._. Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté, dans la faible mesure de sa recevabilité, en tant qu'il est interjeté par Dame X._. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis solidairement à la charge des recourants qui succombent (<ref-law>). Aucun dépens n'est dû.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière civile est irrecevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable en tant qu'il est interjeté par X._.
3.
Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté, dans la mesure où il est recevable, en tant qu'il est interjeté par Dame X._.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis solidairement à la charge des recourants.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, Cour civile, Autorité de recours en matière civile.
Lausanne, le 24 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Achtari