Sachverhalt:
A. Der libanesische Staatsangehörige X._ (geb. 1969) reiste erstmals am 25. Mai 1990 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration) lehnte sein Asylgesuch ab und die dagegen erhobene Beschwerde blieb erfolglos. Nach der Rückkehr in den Libanon heiratete X._ dort am 13. Dezember 1991 eine Schweizer Bürgerin. Er reiste am 6. Oktober 1992 erneut in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau. Nach der Ehescheidung am 10. Februar 1995 wurde die Aufenthaltsbewilligung von X._ nicht erneuert. Drei Tage vor Ablauf der Ausreisefrist zog dieser zu seiner Freundin, der Schweizer Staatsangehörigen Y._ (geb. 1971). Nach Einreichung des Verkündgesuchs wurde X._ eine befristete Aufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung der Heirat erteilt. Am 7. Februar 1996 kam der gemeinsame Sohn Z._ zur Welt. Da in der Folge die Eheschliessung jedoch ausblieb, wurde X._ aufgefordert, die Schweiz bis zum 31. Oktober 1996 zu verlassen. Dieser Forderung kam er nicht nach; stattdessen stellte er am 30. November 1996 - unter falscher Identität - erneut ein Asylgesuch, auf welches nicht eingetreten wurde. Am 1. Dezember 1997 wurde X._ in seine Heimat zurückgeführt und eine Einreisesperre bis zum 30. November 2002 verfügt. Im März 2004 sowie im Januar 2007 reiste der Beschwerdeführer illegal in die Schweiz ein und stellte ein drittes bzw. viertes Asylgesuch, auf welches jeweils nicht eingetreten wurde.
B. Am 13. August 2007 heiratete X._ in Burg/AG Y._, welche am gleichen Tag ein Familiennachzugsgesuch für ihren Ehemann stellte. Am 28. August 2007 meldete sich X._ bei der Einwohnerkontrolle am Wohnort seiner Ehefrau und seines Sohnes an. Im Zeitraum Frühling/Sommer 2008 kam es zur Trennung der Ehepartner.
X._ trat während seines Aufenthaltes in der Schweiz mehrfach strafrechtlich in Erscheinung: Mit Strafbefehl vom 30. Oktober 1996 wurde er zu einer Busse von Fr. 150.-- wegen Widerhandlung gegen die Ausländergesetzgebung verurteilt. 1997 erging eine Strafanzeige wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz. Mit Strafbefehl vom 10. März 2010 wurde X._ wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz zu einer Geldstrafe von 30 Tagessätzen und einer Busse von Fr. 500.-- verurteilt. Schliesslich eröffnete die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn im März 2010 gegen X._ eine Strafuntersuchung wegen des Verdachts geringfügiger Hehlerei sowie Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz.
Mit Verfügung vom 20. August 2008 lehnte das Migrationsamt des Kantons Aargau das Familiennachzugsgesuch ab und forderte X._ auf, die Schweiz spätestens 30 Tage nach Rechtskraft der Verfügung zu verlassen. Die gegen diesen Entscheid erhobene Einsprache wies das Migrationsamt mit Entscheid vom 9. März 2009 ab. Neu setzte das Amt die Ausreisefrist auf spätestens 60 Tage nach Rechtskraft der Verfügung fest. Mit Urteil vom 20. August 2010 wies das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau die von X._ erhobene Beschwerde ab. Das Gericht kam zum Schluss, das Berufen auf die Ehe erweise sich als rechtsmissbräuchlich; im Weiteren liege weder ein Härtefall noch eine Verletzung von Art. 8 EMRK vor.
C. Mit Eingabe vom 18. Oktober 2010 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Rekursgerichtes im Ausländerrecht und die Bewilligung des Familiennachzugs für den Beschwerdeführer.
Das Migrationsamt und das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau sowie das Bundesamt für Migration ersuchen um Abweisung der Beschwerde.
D. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 22. Oktober 2010 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 <ref-law> schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Das streitige Gesuch um Familiennachzug wurde vor Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) am 1. Januar 2008 eingereicht und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) und seinen Ausführungserlassen (Art. 126 Abs. 1 AuG).
1.3 Nach Art. 7 Abs. 1 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990) hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers grundsätzlich Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Satz 1) sowie nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung (Satz 2).
Die Ehe zwischen dem Beschwerdeführer und seiner schweizerischen Ehefrau besteht - zumindest formell - weiterhin. Damit hat er grundsätzlich einen Anwesenheitsanspruch gemäss Art. 7 ANAG. Die Frage, ob die Bewilligung verweigert werden durfte, weil einer der in Art. 7 ANAG vorgesehenen Ausnahmetatbestände oder ein Verstoss gegen das Rechtsmissbrauchsverbot gegeben ist, betrifft nicht das Eintreten, sondern bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1.2 bis 1.1.5 S. 148 ff. mit Hinweisen). Zudem hat der Beschwerdeführer gestützt auf Art. 8 EMRK einen (bedingten) Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung, da er - im Rahmen der Möglichkeiten - eine familiäre Beziehung zu seinem Sohn pflegt (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146 mit Hinweisen). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist somit einzutreten.
1.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zugrunde (<ref-law>). Mit einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können diese nur dann gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sind (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Zudem ist vom Beschwerdeführer aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
1.5 Die Beschwerdeschrift hat gemäss <ref-law> die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insoweit, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2. 2.1 Gemäss Art. 7 Abs. 1 ANAG hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers - wie erwähnt - Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung sowie nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung. Kein Anspruch besteht, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung von Ausländern zu umgehen (Art. 7 Abs. 2 ANAG). Hierunter fällt die sogenannte Scheinehe oder Ausländerrechtsehe, bei der die Ehegatten von vornherein keine echte eheliche Gemeinschaft beabsichtigen. Doch auch wenn eine Ehe nicht bloss zum Schein eingegangen worden ist, heisst das nicht zwingend, dass dem ausländischen Ehepartner der Aufenthalt ungeachtet der weiteren Entwicklung gestattet werden muss. Zu prüfen ist, ob sich die Berufung auf die Ehe nicht als rechtsmissbräuchlich erweist. Nach gefestigter bundesgerichtlicher Rechtsprechung liegt Rechtsmissbrauch vor, wenn der Ausländer sich im fremdenpolizeilichen Verfahren auf eine Ehe beruft, welche nur (noch) formell besteht oder aufrecht erhalten wird, mit dem alleinigen Ziel, ihm eine Anwesenheitsberechtigung zu ermöglichen; dieses Ziel wird von Art. 7 ANAG nicht geschützt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 267; <ref-ruling> E. 4.2 S. 117; je mit Hinweisen).
Ein Rechtsmissbrauch darf aber nicht leichthin angenommen werden, namentlich nicht schon deshalb, weil die Ehegatten nicht mehr zusammenleben oder ein Eheschutz- oder Scheidungsverfahren eingeleitet worden ist. Die gesetzliche Regelung will die Fortführung des Familienlebens in der Schweiz - allenfalls auch in einer vorübergehenden Krisensituation - ermöglichen und absichern, jedoch nicht einem missbräuchlichen, ausschliesslich ausländerrechtlich motivierten Festhalten an einer klar gescheiterten Ehe Vorschub leisten (<ref-ruling> E. 5a S. 56 mit Hinweisen).
2.2 Ob eine Scheinehe geschlossen wurde bzw. ob eine Ehe nur noch formell und ohne Aussicht auf Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft besteht, entzieht sich in der Regel dem direkten Beweis und ist bloss durch Indizien zu erstellen (BGE <ref-ruling> E. 10.2 und 10.3 S. 135 f. mit Hinweis). Feststellungen über das Bestehen solcher Indizien können äussere Gegebenheiten, aber auch innere, psychische Vorgänge betreffen (Wille der Ehegatten); es handelt sich so oder anders um tatsächliche Feststellungen, welche für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich sind (<ref-law>; vgl. E. 1.4 hiervor). Frei zu prüfen ist die Rechtsfrage, ob die festgestellten Tatsachen (Indizien) darauf schliessen lassen, die Berufung auf die Ehe bezwecke die Umgehung fremdenpolizeilicher Vorschriften oder sei rechtsmissbräuchlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 152 mit Hinweisen).
2.3 Zwar verlangt Art. 7 Abs. 1 ANAG nicht, dass die Eheleute den gleichen Wohnsitz haben. Wohnen Eheleute über Jahre hinweg nicht am selben Ort, ohne dass hierfür besondere Gründe ersichtlich sind, besteht die Vermutung, dass sich der ausländische Ehepartner rechtsmissbräuchlich auf die Ehe beruft, um in der Schweiz bleiben zu können. Insoweit obliegt es dem Ausländer, diese Vermutung zu entkräften, indem er substantiiert dartut und - soweit möglich - belegt, dass die Ehe weiterhin gelebt wird. Er darf sich nicht mit blossem Bestreiten oder pauschalen Behauptungen begnügen. Das ergibt sich nicht nur aus der den Ausländer nach Art. 3 Abs. 2 und Art. 13f ANAG treffenden Mitwirkungspflicht, sondern bereits aus dem Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>), da es um Tatsachen geht, die der Ausländer naturgemäss besser kennt als die Behörden und welche diese ohne seine Mitwirkung gar nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand feststellen können (Urteil 2C_408/2008 vom 11. September 2008 E. 5; vgl. zur Mitwirkungspflicht: <ref-ruling> E. 3.2 S. 115; <ref-ruling> E. 2b S. 365; <ref-ruling> E. 4c/cc S. 394).
2.4 Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid festgestellt, gemäss den zutreffenden Ausführungen des Migrationsamts stehe das Vorliegen einer Scheinehe nicht zur Diskussion. Es stelle sich einzig die Frage, ob der Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung nicht mehr bestehe, weil sich der Beschwerdeführer rechtsmissbräuchlich auf eine nur noch formell bestehende Ehe berufe (vgl. angefochtener Entscheid E. 4.2). Die Vorinstanz stellte weiter fest, dem ehelichen Zusammenleben von knapp einem Jahr stehe eine Trennungsdauer von über zwei Jahren gegenüber. Obwohl der Beschwerdeführer und seine Ehefrau in der gerichtlichen Befragung vom 20. August 2010 angaben, seit August 2010 wieder zusammen zu wohnen, kam die Vorinstanz auf Grund der gesamten Umstände zum Schluss, der Beschwerdeführer wolle die eheliche Gemeinschaft gar nicht mehr aufnehmen bzw. das erneute Zusammenziehen sei bloss in Hinblick auf seinen ausländerrechtlichen Status erfolgt. Dies gelte umso mehr, als keine plausiblen Gründe für das Getrenntleben ersichtlich seien und nichts darauf hindeute, dass die Ehegatten - abgesehen von ihrem gemeinsamen Sohn - weitere Beziehungen hätten (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.3).
Der Beschwerdeführer führt dagegen aus, die Vorinstanz habe Art. 7 ANAG falsch angewendet. Es seien keine Indizien erkennbar, welche auf ein missbräuchliches Verhalten schliessen würden. Vielmehr lebe er mit einer Schweizerin "in durchwegs intakter Ehe" zusammen und pflege auch eine "innige und persönlich gelebte Beziehung" zu seinem Sohn.
2.5 Die im Wesentlichen unbestrittenen und für das Bundesgericht verbindlichen (vgl. E. 1.4 und 2.2 hiervor) Feststellungen im angefochtenen Entscheid lassen den Schluss der Vorinstanz, die Ehe des Beschwerdeführers bestehe - trotz fehlender Scheidungsabsichten bzw. des beabsichtigen erneuten Zusammenwohnens - nur noch formell und ohne Aussicht auf Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft, nicht als bundesrechtswidrig erscheinen.
2.5.1 Bereits nach verhältnismässig kurzer Zeit des ehelichen Zusammenlebens traten erhebliche Probleme in der Beziehung ein. Gemäss Aussagen der Ehefrau übernachtete der Ehemann mehrheitlich bei einem Kollegen und es kam vermehrt zu Streitigkeiten. Die Ehefrau teilte im Sommer 2008 dem Migrationsamt mit, sie wolle die Ehe mit dem Beschwerdeführer nicht mehr aufnehmen. Die Ehefrau vermietete in der Folge ein Zimmer ihrer Wohnung an einen Mann. Die Vorinstanz hat sodann verbindlich festgestellt, dass es im Zeitraum Frühling/Sommer 2008 zu einer Trennung kam und - zum Zeitpunkt des angefochtenen Urteils - dem ehelichen Zusammenleben von knapp einem Jahr eine Trennungsdauer von über zwei Jahren gegenüber stand (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.2).
2.5.2 Die Befragung der Ehegatten und ihres Sohnes anlässlich der vorinstanzlichen Verhandlung vom 20. August 2010 brachte diverse Widersprüche zu Tage: Der Ehemann gab an, er würde seit August 2010 bei seiner Ehefrau und seinem Sohn in einer Vierzimmerwohnung in Menziken/AG leben und er schlafe grundsätzlich im Zimmer seiner Ehefrau. Die Ehefrau bzw. der Sohn führten demgegenüber übereinstimmend aus, der Beschwerdeführer habe in der vergangenen Woche nur einmal zu Hause übernachtet. Nach Aussage des Sohnes hat der Beschwerdeführer seit Anfang 2010 nur ein bis zwei Mal zu Hause übernachtet. Sodann führte die Ehefrau aus, es bestehe zwar die Absicht, die eheliche Gemeinschaft wieder aufzunehmen, sie wisse aber nicht, wo sich ihr Ehemann die letzte Woche aufgehalten habe. Mit Blick auf diese widersprüchlichen Aussagen ist der Schluss der Vorinstanz nicht zu beanstanden, der Beschwerdeführer gedenke das erneute Zusammenleben bloss in Hinblick auf seinen ausländerrechtlichen Status wieder aufzunehmen; dies gilt umso mehr, als auch keine plausiblen Gründe für das Getrenntleben ersichtlich sind.
2.5.3 Was der Beschwerdeführer dagegen einwendet vermag nicht zu überzeugen: Zwar trifft es zu, dass ein Rechtsmissbrauch nicht leichthin angenommen werden kann und es sich vorliegend - auch mangels eines eingeleiteten Scheidungs- oder Trennungsverfahrens - nicht um einen offensichtlichen Fall einer nur noch formell bestehenden ehelichen Gemeinschaft handelt. Der Beschwerdeführer führt jedoch lediglich aus, die Beziehung zur Ehefrau sei getrübt gewesen, werde nun aber wieder gelebt. Nachdem der Ehemann sich nach einem Sturz vom Balkon eine Rückenverletzung zugezogen habe und operiert werden musste, habe sich der "geplante Wiederzusammenzug der Parteien leider etwas verzögert". Die ins Recht gelegten konkreten Anhaltspunkte für die gelebte Beziehung beziehen sich fast ausschliesslich auf die Beziehung zum Sohn und nicht zur Ehefrau (vgl. Beschwerdeschrift Ziff. 2.4.1) und vermögen die Feststellungen der Vorinstanz nicht zu widerlegen. So wird etwa ausgeführt, der Beschwerdeführer wisse, dass die Familie in einer 4-Zimmerwohnung lebe und dass der gemeinsame Sohn ein eigenes Zimmer habe. Diese Umstände allein lassen jedoch nicht auf eine gelebte eheliche Beziehung schliessen. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich geltend macht, die Ehefrau habe in der Befragung bestätigt, dass sie eine gemeinsame Ehe führen wolle, ist ihm entgegenzuhalten, dass er in der Beschwerde weder substantiiert dartut noch belegt, dass eine Wiederannäherung stattgefunden hat bzw. dass die Ehe weiterhin gelebt wird (vgl. auch E. 2.3 hiervor). Auffällig wirkt insbesondere, dass die angeblichen Bestrebungen, nach rund zweijähriger Trennung das Zusammenleben wieder aufzunehmen, ausgerechnet auf Anfang August 2010 datiert werden, nachdem der Termin der am 20. August 2010 stattfindenden Gerichtsverhandlung bekannt war. Das kantonale Gericht hat anlässlich der Parteiverhandlung einen persönlichen Eindruck des Beschwerdeführers gewinnen können und hat gestützt darauf ausgeführt, dieser wirke mit Blick auf seinen angeblichen Ehewillen unglaubwürdig. Ebenfalls gegen den Beschwerdeführer spricht der Umstand, dass er anlässlich der Befragung vor der Vorinstanz am 20. August 2010 den Eindruck erwecken wollte, das eheliche Zusammenleben sei bereits wieder aufgenommen worden, was die Vorinstanz zu Recht als wahrheitswidrige Behauptung bezeichnet hat.
2.5.4 Aufgrund des bisherigen Verhaltensmusters des Beschwerdeführers (insbesondere mehrfache illegale Einreisen in die Schweiz, vierfaches Stellen eines Asylgesuchs unter teilweiser Verwendung einer falschen Identität, erneute Heirat mit Schweizer Bürgerin nach Scheidung von Schweizer Bürgerin, Einreichung des Verkündgesuchs drei Tage vor Ausreisefrist) ist bei gesamthafter Betrachtung aller Indizien davon auszugehen, dass nicht die Wiederaufnahme einer echten ehelichen Gemeinschaft beabsichtigt ist, sondern einzig bezweckt wird, dem Beschwerdeführer den weiteren Aufenthalt in der Schweiz zu ermöglichen. Unter den gegebenen Umständen erweist sich die Berufung des Beschwerdeführers auf die nicht mehr gelebte und damit nur noch formell bestehende Ehe insgesamt als rechtsmissbräuchlich, weshalb die Vorinstanz die Verweigerung der streitigen Aufenthaltsbewilligung zu Recht geschützt hat. Der angefochtene Entscheid erweist sich diesbezüglich als bundesrechtskonform.
2.6 Sind die Voraussetzungen für einen Anwesenheitsanspruch nach Art. 7 ANAG dahingefallen, bedarf es keiner Prüfung, ob dem Beschwerdeführer die Rückreise ins Heimatland zumutbar ist. Diese Darlegungen könnten allenfalls bei der Prüfung der Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 4 ANAG, der eine Bewilligung ins freie Ermessen der Behörden stellt, berücksichtigt werden (vgl. dazu angefochtener Entscheid E. 6). Diesbezüglich ist jedoch die Beschwerde ans Bundesgericht ausgeschlossen.
Keine über das Gesetz hinausgehenden Bewilligungsansprüche ergeben sich ferner aus der Härtefallregelung nach Art. 13 lit. f der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (BVO; AS 1986 1791; vgl. <ref-ruling> E. 2.2. S. 284 mit Hinweisen; vgl. zudem <ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, die Verweigerung seines Aufenthalts stelle eine Verletzung des durch Art. 8 EMRK geschützten Rechts auf Familienleben dar, da er mit seinem Sohn eine "innige und persönlich gelebte Beziehung" pflege.
3.2 Art. 8 EMRK - wie auch <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 7 S. 394) - gewährleisten das Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens. Hat ein Ausländer nahe Verwandte mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht in der Schweiz und wird die intakte familiäre Beziehung zu diesen tatsächlich gelebt, kann es die entsprechenden Garantien verletzen, wenn ihm der Verbleib in der Schweiz untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer beruft sich in diesem Zusammenhang auf seine familiären Bindungen zu seinem - heute fünfzehnjährigen - Sohn Z._, welcher über das Schweizer Bürgerrecht verfügt. In Bezug auf die Ehefrau des Beschwerdeführers steht die Berufung auf Art. 8 EMRK - wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat - dagegen nicht mehr zur Diskussion (vgl. statt vieler: Urteil 2C_717/2009 vom 15. April 2010 E. 2.5).
3.3 Zunächst ist festzuhalten, dass der nicht sorgeberechtigte Ausländer die familiäre Beziehung zu seinen Kindern zum Vornherein nur in einem beschränkten Rahmen, nämlich durch Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts, leben kann; dazu ist regelmässig nicht erforderlich, dass er sich dauernd im gleichen Land aufhält wie die Kinder. Es ist daher im Allgemeinen zulässig, dem Ausländer, der gegenüber seinen in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Kindern bloss über ein Besuchsrecht verfügt, die Aufenthaltsbewilligung zu verweigern. Den Anforderungen von Art. 8 EMRK ist Genüge getan, wenn er das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausüben kann, wobei allenfalls dessen Modalitäten geeignet aus- bzw. umzugestalten sind. Die Aufenthaltsbewilligung ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nur dann zu erteilen oder zu erneuern, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht mehr aufrechterhalten werden könnte und das bisherige Verhalten des Betroffenen in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat ("tadelloses Verhalten", "comportement irréprochable", "comportamento irreprensibile"; <ref-ruling> E. 3c S. 5, 22 E. 4). Nur unter diesen Voraussetzungen kann das private Interesse am Verbleib im Land gestützt auf ein Besuchsrecht ausnahmsweise das öffentliche Interesse an einer einschränkenden Einwanderungspolitik bzw. am Schutz der öffentlichen Sicherheit und Ordnung im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK überwiegen (vgl. Urteil 2C_335/2009 vom 12. Februar 2010 E. 2.2.2 mit Hinweisen).
3.3.1 Was das Erfordernis der besonderen Intensität der affektiven Beziehung betrifft, ist dieses regelmässig bloss dann als erfüllt zu erachten, wenn ein grosszügig ausgestaltetes Besuchsrecht eingeräumt ist und dieses kontinuierlich, spontan und reibungslos ausgeübt wird (vgl. Urteile 2D_30/2007 vom 17. Juli 2007 E. 4.2; 2A.110/2007 vom 2. August 2007 E. 3.4). Diese Voraussetzungen sind vorliegend nicht erfüllt: Der Beschwerdeführer bemühte sich zwar in den letzten Jahren, eine Beziehung zu seinem Sohn aufzubauen. Die Vorinstanz hat jedoch verbindlich festgestellt, dass er während den ersten elf Lebensjahren praktisch keinen Kontakt zu seinem Sohn unterhielt. In der (kurzen) Zeit des ehelichen Zusammenlebens verbrachte er einerseits wenig Zeit zu Hause, andererseits kam es oft zu Streit mit seinem Sohn (vgl. angefochtener Entscheid E. 6.4.2.2). Ein formelles Besuchsrecht ist - soweit ersichtlich - nie eingeräumt worden; der Beschwerdeführer macht bloss geltend, es liege ein "mündlich vereinbartes Besuchsrecht" vor, ohne diese Behauptung näher zu belegen. Die Vorinstanz hat zwar ausgeführt, dass der Beschwerdeführer seinen Sohn heute regelmässiger sehe. Von einer besonders engen Beziehung zwischen Vater und Sohn kann trotzdem nicht gesprochen werden, da er gemäss den Feststellungen im angefochtenen Entscheid nicht massgeblich an der Betreuung seines Sohnes beteiligt ist. Die Vorinstanz hat zu Recht ausgeführt, dass das Abholen von der Schule sowie gelegentliches Einkaufen und Fussballspielen dafür nicht genügen. Dem Beschwerdeführer gelingt es nicht darzulegen, inwiefern diese Schlussfolgerung bundesrechtswidrig sein soll. Auf jeden Fall liegen keine Hinweise auf ein grosszügig ausgestaltetes und regelmässig durchgeführtes Besuchsrecht zwischen dem Beschwerdeführer und seinem Sohn vor.
3.3.2 Auch in wirtschaftlicher Hinsicht besteht keine besonders enge Beziehung des Beschwerdeführers zu seinem Sohn. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass der Beschwerdeführer mit Ausnahme einer kurzen Periode (von August 2008 bis März 2009: Fr. 300.-- pro Monat) keine Unterhaltszahlungen an seinen Sohn geleistet hat. Der Beschwerdeführer macht auch nicht geltend, in Zukunft Beiträge leisten zu können bzw. zu wollen.
3.3.3 Zu berücksichtigen ist weiter, dass das Verhalten des Beschwerdeführers nicht erlaubt, ihm ein tadelloses Verhalten zu attestieren. Der Beschwerdeführer wurde wegen Betäubungsmittel- sowie Strassenverkehrsdelikten bestraft bzw. es laufen Strafuntersuchungen gegen ihn (vgl. dazu Sachverhalt lit. B). Er hat sich sodann auch in beruflicher wie sozialer Hinsicht in keiner Weise integrieren können.
3.3.4 Damit fehlt es vorliegend gleich an mehreren Voraussetzungen für die ausnahmsweise Zuerkennung eines Anwesenheitsrechts zugunsten eines nicht sorgeberechtigten ausländischen Elternteils. Eine Ausübung des Besuchsrechts vom Heimatland Libanon aus ist zudem - wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat - nicht mit unüberwindbaren Schwierigkeiten verbunden, auch wenn die dem Beschwerdeführer zur Verfügung stehenden Mittel künftigen persönlichen Kontakten gewisse Grenzen setzen dürften. Die Verweigerung des weiteren Aufenthaltes in der Schweiz verstösst damit insgesamt nicht gegen die angerufenen Verfassungs- und Konventionsgarantien.
4. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit abzuweisen.
Damit wird der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat jedoch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht. Da seine Eingabe nicht gerade als von vornherein aussichtslos gelten musste und die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers als erstellt gelten kann, ist dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung unter Beiordnung des beigezogenen Rechtsanwalts zu entsprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt.
a) Es werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten erhoben.
b) Rechtsanwalt Fritz Tanner wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand bestellt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt und dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Winiger