Faits:
A. Le 5 octobre 1998, E._, née en 1956, a été mise au bénéfice d'une demi-rente de l'assurance-invalidité du 1er juin au 31 octobre 1997, puis d'une rente entière à partir du 1er novembre 1997.
A l'issue d'une procédure de révision au cours de laquelle l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a chargé son Service médical régional (SMR) d'une expertise, l'administration a, par décision du 17 juillet 2007, supprimé la rente allouée à E._.
B. Statuant le 1er avril 2008 sur le recours formé par l'assurée contre cette décision, le Tribunal des assurances du canton de Vaud l'a admis. Annulant la décision du 17 juillet 2007 (ch. II du dispositif), il a renvoyé le dossier à l'office AI "afin qu'il en complète l'instruction conformément aux considérants, puis rende une telle décision que de droit" (ch. III du dispositif).
C. E._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, en concluant à l'annulation du chiffre III du dispositif.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que son Autorité de surveillance a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. En tant qu'il renvoie le dossier à l'intimé pour qu'il complète l'instruction conformément aux considérants puis rende une nouvelle décision, l'arrêt entrepris constitue une décision (de renvoi) incidente au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 481). Le recours contre une telle décision n'est recevable que si elle peut causer un préjudice irréparable (al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (al. 1 let. b). Si le recours n'est pas recevable au regard de ces conditions ou s'il n'a pas été utilisé, la décision incidente peut être attaquée par un recours contre la décision finale dans la mesure où elle influe sur le contenu de celle-ci (al. 3).
2. 2.1 Un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> est un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (<ref-ruling> consid. 4 p. 141, 288 consid. 3.1 p. 291). En revanche, un dommage de pur fait, comme la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme irréparable (<ref-ruling> consid. 1 p. 59 et les arrêts cités p. 59). Les décisions relatives à l'administration des preuves ne sont en principe pas de nature à causer aux intéressés un dommage juridique irréparable (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 483), qu'il s'agisse de décisions refusant ou ordonnant la mise en oeuvre d'un moyen de preuve déterminé.
En l'espèce, dans les considérants de son jugement, la juridiction cantonale a retenu que le dossier devait être retourné à l'intimé pour mettre en oeuvre une expertise psychiatrique auprès d'un expert extérieur au SMR, puis apprécier le taux d'invalidité de l'assurée et rendre une nouvelle décision. La décision de renvoi entreprise ordonne la mise en oeuvre d'un moyen de preuve déterminé et n'est ainsi pas de nature à causer à la recourante un dommage irréparable au sens de l'<ref-law>. La violation des règles sur le fardeau de la preuve (selon l'<ref-law>) dont se plaint la recourante ne constitue par ailleurs pas un préjudice de nature juridique qui ne pourrait être réparé ultérieurement par un jugement final. L'objet de la décision incidente pourra en effet être attaqué par un recours contre le jugement final, dans la mesure où il influe sur le contenu de celle-ci (<ref-law>). Les conditions de recevabilité de l'<ref-law> ne sont en conséquence pas réalisées.
2.2 L'ouverture du recours, prévue pour des motifs d'économie de procédure (<ref-law>), contre une décision incidente constitue une exception et doit être interprétée de manière restrictive, d'autant plus que les parties ne subissent aucun préjudice lorsqu'elles n'attaquent pas immédiatement de telles décisions, qu'elles peuvent contester en même temps que la décision finale (<ref-law>). Le Tribunal fédéral examine librement le point de savoir si l'admission du recours permettrait d'éviter une procédure d'administration des preuves longue et coûteuse (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 392).
On ne voit pas, en l'occurrence, que l'expertise psychiatrique ordonnée par la juridiction cantonale constitue une mesure d'administration des preuves qui prendrait un temps considérable et impliquerait des frais importants. Du reste, il n'y a en règle générale pas lieu d'entrer en matière sur les décisions de renvoi qui ont pour objet d'ordonner une mesure permettant de compléter les faits de la cause (arrêt 9C_446/2007 du 5 décembre 2007, consid. 3 et les arrêts cités). Les exigences de l'<ref-law> ne sont dès lors pas remplies, de sorte que la question de savoir si le recours aurait dû être déclaré irrecevable déjà pour le motif que E._ n'explique pas en quoi l'hypothèse visée par cette disposition serait réalisée peut rester sans réponse.
2.3 En conséquence de ce qui précède, le recours est irrecevable.
3. La recourante a requis l'assistance judiciaire, mais a finalement versé l'avance de frais au lieu de déposer les pièces nécessaires à l'examen de sa demande. On doit dès lors considérer qu'elle a retiré sa demande. Succombant, elle supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 novembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless