Faits:
A.
Le 16 décembre 2011, S._ s'est présenté au poste de police de X._ pour déposer plainte contre un motocycliste qui l'avait "agressé".
D'après les déclarations qu'il a faites à la police, l'après-midi du 15 décembre 2011, il se promenait avec son chien à proximité de l'université Y._ dans une zone où la vitesse est limitée à 20 km/h. Ayant observé un motocycliste qui roulait trop vite, il lui avait fait la remarque: "C'est 20 km/h ici". À la suite de cette remarque, le motocycliste était descendu de son véhicule et s'était dirigé vers lui en lui demandant s'il avait quelque chose à dire. S._ avait répété calmement qu'ils se trouvaient sur un parking et que la vitesse était limitée à 20 km/h. Le motocycliste lui avait alors administré une claque sur l'oreille gauche, puis avait asséné un coup de pied dans le flanc de son chien qui s'était mis à aboyer. S._ avait réagi en portant un coup de laisse sur le casque du motocycliste. Après quoi ce dernier s'était avancé et lui avait donné un coup de pied dans la main gauche. Un agent de la sécurité, qui se trouvait non loin de là, était intervenu et avait calmé la situation. Chacun était reparti de son côté.
Après ces faits, S._ s'est rendu aux services des urgences de la Clinique X._ où un médecin a constaté une fracture de la première phalange du petit doigt de la main gauche. Le prénommé, qui était à l'époque au chômage, a annoncé l'événement à la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), qui a pris en charge le traitement médical.
La police a convoqué le motocycliste, D._, ainsi que l'agent de sécurité, E._. Le premier nommé a déclaré que le 15 décembre 2011, il avait emprunté le chemin du parc Y._ avec son scooter lorsqu'un individu promenant son chien l'avait interpellé en hurlant: "Hé connard, va doucement !" Il s'était arrêté croyant avoir fait quelque chose. L'individu était venu vers lui. Celui-ci se montrant agressif et excité, il l'avait repoussé à deux ou trois reprises. Il avait également repoussé le chien mais sans le frapper, l'animal lui ayant agrippé le pantalon. Après, un agent de la sécurité était intervenu. D._ a précisé qu'il n'avait porté aucun coup au promeneur et qu'il ne se souvenait pas en avoir reçu lui-même. Il a à son tour porté plainte pour injure contre S._ (procès-verbal du 7 février 2012). De son côté, E._ a dit que le jour en question, il était en service à proximité de l'Université Y._ et qu'il avait entendu un homme promenant ses deux chiens crier: "C'est 20 km/h ici" à un motocycliste qui passait assez rapidement sur le chemin. Le motocycliste s'était arrêté et approché de celui qui l'avait interpellé. Il y avait eu un échange de propos entre les deux individus, puis un échange de coup de poings. E._ ne se souvenait pas d'un coup de pied et n'était pas en mesure de dire qui avait frappé en premier. Il était intervenu pour séparer les deux hommes. À un moment, le motocycliste avait donné un coup de pied à l'un des chiens qui avait commencé à aboyer mais sans attaquer (procès-verbal du 18 janvier 2012).
Le 24 juillet 2012, sans confrontation des parties, le Ministère Public a rendu une ordonnance de non-entrée en matière, relevant que les déclarations étaient contradictoires sur le déroulement des faits et le rôle exact de chacun. Saisi d'un recours de S._ contre cette ordonnance, la Chambre pénale de recours de la Cour de Justice de la République et canton de Genève, l'a rejeté par arrêt du 23 août 2012.
Le 28 août 2012, la CNA a rendu une décision par laquelle elle a réduit les prestations en espèces auxquelles l'assuré avait droit de 50 %, au motif que celui-ci avait été impliqué dans une bagarre. Saisie d'une opposition, elle l'a rejetée dans une nouvelle décision du 4 octobre 2012.
B.
L'assuré a recouru contre la décision sur opposition de la CNA devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de Justice de la République et canton de Genève.
Après avoir demandé l'apport de la procédure pénale, la juridiction cantonale a admis le recours, annulé la décision litigieuse, et condamné la CNA à verser à l'assuré les indemnités journalières à 100 % (jugement du 13 mars 2013).
C.
La CNA interjette un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation de ce jugement et à la confirmation de sa décision sur opposition.
S._ conclut principalement à l'irrecevabilité du recours; subsidiairement à son rejet. Il sollicite l'assistance judiciaire. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
1.1. Contrairement à ce que soutient l'intimé à l'appui de sa conclusion tendant à l'irrecevabilité du recours, celui-ci a été déposé en temps utile le 6 mai 2013 (et non le 7 mai 2013 ainsi qu'il l'affirme) comme en attestent les informations résultant du suivi des envois mis en place par la poste.
1.2. Le litige porte sur le bien-fondé de la réduction des prestations en espèces en application de l'<ref-law>. Dans une procédure de recours concernant une prestation en espèces de l'assurance-accidents (indemnités journalières), le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (cf. art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
2.
Édicté par le Conseil fédéral en vertu de la délégation de compétence de l'<ref-law>, l'<ref-law> [RS 832.02] dispose que les prestations en espèces sont réduites au moins de moitié en cas d'accident non professionnel survenu notamment en cas de participation à une rixe ou à une bagarre, à moins que l'assuré ait été blessé par les protagonistes alors qu'il ne prenait aucune part à la rixe ou à la bagarre ou qu'il venait en aide à une personne sans défense (let. a), ou encore lors de dangers auxquels l'assuré s'expose en provoquant gravement autrui (let. b).
Il y a lieu de rappeler que la notion de participation à une rixe ou à une bagarre est plus large que celle de l'<ref-law>, raison pour laquelle le juge des assurances sociales n'est pas lié par l'appréciation et la décision du juge pénal. Pour admettre l'existence d'une telle participation, il suffit que l'assuré entre dans la zone de danger, notamment en participant à une dispute. Peu importe qu'il ait effectivement pris part activement aux faits ou qu'il ait ou non commis une faute: il faut au moins qu'il se soit rendu compte ou ait pu se rendre compte du danger. En outre, il doit exister un lien de causalité entre le comportement de la personne assurée et le dommage survenu. Si l'attitude de l'assuré - qui doit être qualifiée de participation à une rixe ou à une bagarre - n'apparaît pas comme une cause essentielle de l'accident ou si la provocation n'est pas de nature, selon le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, à entraîner la réaction de violence, l'assureur-accidents n'est pas autorisé à réduire ses prestations d'assurance. Il convient de déterminer rétrospectivement, en partant du résultat qui s'est produit, si et dans quelle mesure l'attitude de l'assuré apparaît comme une cause essentielle de l'accident (SVR 1995 UV n o 29 p. 85; arrêt 8C_445/2013 du 27 mars 2014 consid. 3.1).
3.
Au vu des déclarations de l'agent de sécurité, les premiers juges ont retenu que l'assuré n'avait pas insulté le motocycliste et qu'il s'était borné à rappeler à ce dernier la limitation de vitesse à respecter, après quoi le motocycliste s'était arrêté et dirigé vers l'assuré et non l'inverse. Ils ont considéré que ce comportement de l'assuré ne constituait pas une provocation et que celui-ci ne pouvait s'attendre à être exposé à un risque de bagarre du seul fait de sa remarque. En ce qui concerne la suite des événements, les premiers juges ont estimé que les déclarations du motocycliste, qui prétendait n'avoir donné aucun coup, et même ne pas s'être rendu compte s'il en avait reçu, ne résistaient pas à la réalité des faits puisque la tournure des événements avait conduit l'agent de sécurité à intervenir et qu'il en était résulté une lésion à la main gauche pour l'assuré. Aussi ont-ils jugé que la version de ce dernier, selon laquelle il n'avait fait que réagir à l'attaque portée par le motocycliste contre lui dans le but de se défendre lui-même et son chien, était la plus vraisemblable. Ils en ont déduit que l'attitude de l'assuré n'était pas la cause essentielle de la lésion qu'il avait subie et que l'assureur-accidents n'était pas fondé à réduire ses prestations en espèces.
4.
La recourante s'oppose à ce point de vue. Elle fait valoir que selon le témoignage de l'agent de sécurité, il y avait eu échange de coups entre les deux protagonistes - l'intimé reconnaissait d'ailleurs avoir asséné un coup de laisse sur le casque du motocycliste -, ce qui suffisait pour admettre la participation de l'assuré à une bagarre au sens de l'<ref-law>. En outre, même en admettant que l'assuré n'avait pas proféré d'insultes à l'encontre du motocycliste, il pouvait et devait s'attendre, en critiquant celui-ci à propos de la vitesse à laquelle il roulait, à ce que cette attitude puisse déjà entraîner le risque d'une bagarre. Il était en effet dans le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie qu'une personne réagisse avec violence à une remarque critique et désobligeante dirigée contre elle. Ce faisant, l'assuré s'était automatiquement placé dans la zone de danger exclue de la couverture d'assurance, si bien que la réduction des prestations était justifiée.
5.
En l'occurrence, on ne voit aucun motif de remettre en cause l'appréciation des témoignages par la juridiction cantonale qui est arrivée à la conclusion que la version des faits de l'assuré était la plus vraisemblable. Outre que la recourante ne soulève aucune critique précise à cet égard et ne présente pas de version divergente, les déclarations de l'assuré sont pour une large part corroborées par le témoignage de l'agent de sécurité, de sorte qu'on peut s'en tenir au déroulement des faits tel qu'il a été retenu par les premiers juges. Il est donc établi que l'intimé a émis une remarque en relation avec la vitesse à laquelle roulait le motocycliste. Contrairement à ce que fait valoir la recourante, on ne saurait considérer cette attitude de l'assuré comme étant objectivement propre à le placer dans la zone de danger exclue de l'assurance. Indépendamment de savoir si la remarque était justifiée ou non, les termes employés, quand bien même auraient-ils été énoncés sur un ton de fermeté, sont restés corrects et n'ont en aucune manière dépassé les limites de la civilité. Tout au plus ces propos étaient-ils de nature à susciter un certain agacement, passager et sans suite, à leur destinataire mais n'impliquaient en soi pas le risque que l'on en vienne à des voies de fait. C'est à tort que la recourante tente de comparer cette situation à celle jugée dans l'arrêt 8C_932/2012 du 20 mars 2013 où un assuré qui se trouvait dans sa voiture avec sa femme dans un parking a été passé à tabac par deux jeunes après leur avoir montré un doigt d'honneur. Quant au fait que l'intimé a eu un comportement actif contre le motocycliste avec la laisse de son chien, il doit être replacé dans le contexte dans lequel il s'inscrit. L'assuré a eu ce geste après que le motocycliste, qui est descendu de son véhicule et est revenu en arrière à sa hauteur, de surcroît sans même enlever son casque, lui a donné une claque sur l'oreille et envoyé un coup de pied à son chien. Vu cette réaction de violence imprévue à son encontre, on doit retenir qu'il a agi ainsi dans un geste réflexe et défensif pour repousser le motocycliste qui s'était attaqué à lui et à son chien. D'ailleurs, aux dires même de ce dernier, il ne s'était même pas rendu compte d'avoir reçu un coup de laisse, ce qui accrédite la version de l'assuré d'un mouvement de défense, dépourvu de toute violence, et non pas d'un acte qui alimente la bagarre. Dès lors, ce mouvement de l'intimé ne constitue pas la cause essentielle de l'atteinte à la santé qu'il a subie, et il n'y a pas lieu à réduction des prestations (voir ALEXANDRA RUMO-JUNGO, Die Leistungskürzung oder -verweigerung gemäss Art. 37-39 UVG, Freiburg 1993, p. 265).
Partant, le jugement entrepris n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). L'intimé, qui est représenté, a droit à une indemnité de dépens à la charge de la recourante (<ref-law>). Dans ces conditions, la requête d'assistance judiciaire devient sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la CNA.
3.
La CNA versera à l'intimé une indemnité de 2'800 fr. au titre de dépens pour la procédure de dernière instance.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 15 avril 2014
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: von Zwehl