Erwägungen:
1.
Das Bundesamt für Justiz bewilligte am 5. Juni 2013 die Auslieferung von A._ an die Türkei zur Strafverfolgung unter Vorbehalt des Entscheids des Bundesstrafgerichts über die Einrede eines politischen Delikts und eines rechtskräftigen ablehnenden Asylentscheids.
Das Bundesstrafgericht wies die Einrede des politischen Delikts mit Entscheid vom 20. August 2013 ab. Dagegen erhob A._ am 2. September 2013 Beschwerde beim Bundesgericht (I. öffentlich-rechtliche Abteilung; Verfahren 1C_698/2013).
Das Bundesamt für Migration wies das Asylgesuch mit Verfügung vom vom 23. Mai 2013 ab. Dagegen reichte A._ am 25. Juni 2013 beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde ein.
2.
Die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts (I. OerA) teilte dem Bundesverwaltungsgericht am 18. September 2013 mit, sie gehe mit Blick auf <ref-law> davon aus, dass mit dem Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts demnächst zu rechnen sei, und ersuchte zwecks Koordination der Verfahren, umgehend über den Entscheid unterrichtet zu werden.
Nach wiederholten Briefwechseln zwischen der I. OerA und dem Bundesverwaltungsgericht über den Stand des Asylbeschwerdeverfahrens unterrichtete die I. OerA am 20. Mai 2014 die Verwaltungskommission des Bundesgerichts als administrativer Aufsichtsbehörde über das Bundesverwaltungsgericht, dass letzteres nach bald einem Jahr immer noch nicht entschieden habe. Die Verwaltungskommission lud das Bundesverwaltungsgericht mit Verfügung vom 28. Mai 2014 zur Stellungnahme ein.
3.
Das Bundesverwaltungsgericht teilt der Verwaltungskommission des Bundesgerichts mit Brief vom 19. Juni 2014 mit, dass es die Beschwerde von A._ mit Urteil vom 4. Juni 2014 abgewiesen hat (Verfahren E-3633/2013). Die zur Verfahrenskoordination beigezogenen Akten werden dem Bundesgericht zugestellt (E. 1.4).
Damit ist das Anliegen der der I. OerA erfüllt, das Auslieferungsverfahren weiterführen zu können. Der Aufsichtsgegenstand vor der Verwaltungskommission entfällt. Anhaltspunkte, dass das fast einjährige Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht neben den Schwierigkeiten zur Informationsbeschaffung im Ausland - namentlich durch die schweizerische Botschaft in Ankara - auch auf interne organisatorische Mängel zurückzuführen ist, sind nicht ersichtlich. Ein selbständiges Feststellungsinteresse, ob das Verfahren zu lange gedauert hat oder nicht, besteht vorliegend nicht. Das Verfahren ist daher als gegenstandslos geworden abzuschreiben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Diese Verfügung wird dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt. Die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts wird intern mit einer Orientierungskopie informiert.
Lausanne, 3. Juli 2014
Im Namen der Verwaltungskommission
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kolly
Der Generalsekretär: Tschümperlin