Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Nach einem mehrjährigen Auslandaufenthalt meldete sich die 1939 geborene E._ bei der Ausgleichskasse des Kantons Solothurn im März 2001 zum EL-Leistungsbezug an. Die Kasse prüfte die Anspruchsvoraussetzungen und sprach E._ mit Verfügung vom 6. September 2001 ab 1. April 2001 Ergänzungsleistungen zur Altersrente in der Höhe von monatlich Fr. 291.- zu. Die Nachzahlung verrechnete die Kasse mit ausstehenden Rückforderungen.
A. Nach einem mehrjährigen Auslandaufenthalt meldete sich die 1939 geborene E._ bei der Ausgleichskasse des Kantons Solothurn im März 2001 zum EL-Leistungsbezug an. Die Kasse prüfte die Anspruchsvoraussetzungen und sprach E._ mit Verfügung vom 6. September 2001 ab 1. April 2001 Ergänzungsleistungen zur Altersrente in der Höhe von monatlich Fr. 291.- zu. Die Nachzahlung verrechnete die Kasse mit ausstehenden Rückforderungen.
B. Dagegen erhob E._ Beschwerde, welche das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 20. Dezember 2001 abwies.
B. Dagegen erhob E._ Beschwerde, welche das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 20. Dezember 2001 abwies.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt E._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und der Verfügung vom 6. September 2001 sei bei der EL-Berechnung der hälftige Mietzins der gemeinsam mit ihrem Lebenspartner bewohnten Wohnung mit zu berücksichtigen.
Während das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Vernehmlassung verzichtet, schliesst die Kasse auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Während die Verrechnung der Nachzahlungsbeträge mit der ausstehenden Rückforderung nicht bestritten ist, sind sich die Parteien über die Anrechnung des geltend gemachten hälftigen Mietzinses uneinig.
1. Während die Verrechnung der Nachzahlungsbeträge mit der ausstehenden Rückforderung nicht bestritten ist, sind sich die Parteien über die Anrechnung des geltend gemachten hälftigen Mietzinses uneinig.
2. 2.1 Die Vorinstanz hat die Bestimmungen über die bei der Berechnung der Höhe der jährlichen Ergänzungsleistungen als Abzug zugelassenen Mietzinskosten, inkl. Nebenkosten, zutreffend dargelegt. Danach ist gemäss Art. 16c ELV u.a. der Mietzins auf einzelne Personen aufzuteilen, wenn Wohnungen oder Einfamilienhäuser auch von Personen bewohnt werden, welche nicht in die EL-Berechnung eingeschlossen sind; die Mietzinsanteile der Personen, welche nicht in die EL-Berechnung eingeschlossen sind, werden bei der Berechnung der jährlichen Ergänzungsleistungen ausser Betracht gelassen. Gemäss Abs. 2 dieser Verordnungsbestimmung hat die Aufteilung grundsätzlich zu gleichen Teilen zu erfolgen. Eine Abweichen von dieser, die indirekte Mitfinanzierung von Personen, die nicht in die Ergänzungsleistungsrechnung eingeschlossen sind, auf eine sachlich begründete, praktikable Weise verhindernden Grundregel ist nur in engen Grenzen zugelassen. So vor allem wenn die Aufteilung des Gesamtmietzinses nach Köpfen im Einzelfall zu einem stossenden Ergebnis führen würde (vgl. <ref-ruling> Erw. 5d; AHI 1998 S. 34).
2.2 Die Rechtsprechung hat Art. 16c ELV auch für jene Fälle für sinngemäss anwendbar erklärt, in denen die an einer Wohn- oder Hausgemeinschaft Beteiligten in einer Liegenschaft wohnen, die im Eigentum eines Wohnpartners steht und somit gesamthaft kein Mietzins zu leisten ist.
2.2.1 Dabei ist dann, wenn unter den an der Gemeinschaft Beteiligten kein Mietzins vereinbart ist, vom Mietwert der Liegenschaft auszugehen, wie er sich nach den Grundsätzen der Gesetzgebung über die direkte kantonale Steuer im Wohnsitzkanton, bei deren Fehlen nach denjenigen über die direkte Bundessteuer ergibt (vgl. Art. 12 ELV). Der für die Berechnung der Ergänzungsleistungen massgebende Mietwert ist alsdann nach Massgabe der an der Wohn- und Hausgemeinschaft Beteiligten in analoger Anwendung von Art. 16c Abs. 2 ELV anteilsmässig festzusetzen (Urteil T. vom 30. März 2001, P 2/01, Erw. 3a mit Hinweisen).
2.2.2 Besteht aber zwischen dem EL-Ansprecher und allenfalls weiteren Mitbewohnern einerseits und dem Haus- oder Wohnungseigentümer andererseits ein Mietvertrag für die Mitbenutzung der Liegenschaft, gilt es dem Vertrag Rechnung zu tragen. Allerdings darf dabei die Missbrauchsgefahr, den Existenzbedarf eines Wohnpartners durch Vereinbarung nicht marktkonformer Wohnkosten willkürlich zu erhöhen, nicht ausser Acht gelassen werden. Deshalb gilt der vertraglich vereinbarte Mietzins als massgebend, sofern er auch tatsächlich geleistet wird und nicht als offensichtlich übersetzt erscheint. Anderenfalls ist wie in Erw. 2.2.1 hiervor geschildert vorzugehen (Urteil T. vom 30. März 2001, P 2/01, Erw. 3a mit Hinweisen).
2.2.2 Besteht aber zwischen dem EL-Ansprecher und allenfalls weiteren Mitbewohnern einerseits und dem Haus- oder Wohnungseigentümer andererseits ein Mietvertrag für die Mitbenutzung der Liegenschaft, gilt es dem Vertrag Rechnung zu tragen. Allerdings darf dabei die Missbrauchsgefahr, den Existenzbedarf eines Wohnpartners durch Vereinbarung nicht marktkonformer Wohnkosten willkürlich zu erhöhen, nicht ausser Acht gelassen werden. Deshalb gilt der vertraglich vereinbarte Mietzins als massgebend, sofern er auch tatsächlich geleistet wird und nicht als offensichtlich übersetzt erscheint. Anderenfalls ist wie in Erw. 2.2.1 hiervor geschildert vorzugehen (Urteil T. vom 30. März 2001, P 2/01, Erw. 3a mit Hinweisen).
3. Gemäss der von der Beschwerdegegnerin bei der Einwohnergemeinde X._ in Auftrag gebenen Abklärung vom 16. August 2001 bezog die EL-Ansprecherin am 1. April 2001 gemeinsam mit ihrem Lebenspartner von Frankreich herkommend ein Mietobjekt und wohnte darin auch tatsächlich, womit Art. 16c ELV direkte Anwendung findet. In diesem Zusammenhang ohne Bedeutung ist, dass der Mietvertrag ausschliesslich zwischen dem Lebenspartner und dem Vermieter abgeschlossen worden ist und die Beschwerdeführerin dies bei der EL-Anmeldung durch einseitiges Hinzufügen ihres Namens und ihrer Unterschrift auf den Vertrag zu verschleiern versuchte (vgl. <ref-ruling> Erw. 6c; ZAK 1974 S. 556 Erw. 2).
3. Gemäss der von der Beschwerdegegnerin bei der Einwohnergemeinde X._ in Auftrag gebenen Abklärung vom 16. August 2001 bezog die EL-Ansprecherin am 1. April 2001 gemeinsam mit ihrem Lebenspartner von Frankreich herkommend ein Mietobjekt und wohnte darin auch tatsächlich, womit Art. 16c ELV direkte Anwendung findet. In diesem Zusammenhang ohne Bedeutung ist, dass der Mietvertrag ausschliesslich zwischen dem Lebenspartner und dem Vermieter abgeschlossen worden ist und die Beschwerdeführerin dies bei der EL-Anmeldung durch einseitiges Hinzufügen ihres Namens und ihrer Unterschrift auf den Vertrag zu verschleiern versuchte (vgl. <ref-ruling> Erw. 6c; ZAK 1974 S. 556 Erw. 2).
4. Die Vorinstanz sah richtigerweise keine Gründe, um vom Grundsatz der anteilsmässigen Aufteilung des Mietzinses gemäss Art. 16c Abs. 2 ELV abzuweichen. Indessen verweigerte sie die Anrechnung des hälftigen Mietzinsanteils, weil die Beschwerdeführerin tatsächlich nie einen solchen bezahlt habe. Dem hält die EL-Ansprecherin entgegen, es bestünde eine Vereinbarung mit dem Lebenspartner, die Hälfte der Mietkosten zu übernehmen; allerdings müsse sie diese erst nach Erhalt der entsprechenden EL-Gelder ausgleichen.
4.1 Die Vorinstanz übersieht, dass selbst in jenen Fällen, in denen die EL-Ansprecherin den Mietzins nicht mitträgt - etwa weil ein Dritter ihren Anteil übernimmt -, bei der EL-Berechnung ein anteilsmässiger Mietzins gemäss Art. 16c Abs. 2 ELG als Ausgabe anzurechnen ist (ZAK 1974 S. 556 Erw. 2; Rz. 3024 der vom Bundesamt für Sozialversicherung herausgegebenen Wegleitung über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV [WEL]). Etwas anderes lässt sich dem vom kantonalen Gericht in diesem Zusammenhang angerufenen Urteil M. vom 9. November 2001, P 60/99, nicht entnehmen: Dort wird einzig festgehalten, unter welchen Voraussetzungen bei gemeinsamem Wohnen von der Regel der anteilsmässigen Aufteilung gemäss Art. 16c Abs. 2 ELV abgewichen werden darf (dazu Erw. 2 hievor).
Voraussetzung für eine anteilsmässige Berücksichtigung des im Aussenverhältnis geschuldeten (Gesamt-)Mietzinses ist allerdings, dass dieser auch tatsächlich bezahlt wird (vgl. ZAK 1977 S. 545 Erw. 2 in fine). Anderenfalls würden der EL-Ansprecherin Lebenshaltungskosten angerechnet, die tatsächlich nie Bestand hatten. Dies im Unterschied zu jenen Fällen, in denen ein Dritter in fürsorgerischer Weise für die Auslagen effektiv aufgekommen ist.
4.2 Soweit aus den Akten ersichtlich, ist der im Aussenverhältnis geschuldete Mietzins einzig für den ersten Monat beglichen worden. Der Eigentümer hat denn auch u.a. aus diesem Grund das Mietverhältnis bereits wieder per 31. Juli 2001 gekündigt und am 21. August 2001 beim zuständigen Zivilgericht ein Ausweisungsbegehren eingereicht. Wie das beide Punkte betreffende Verfahren ausgegangen ist, lässt sich den Akten nicht entnehmen.
Nach Aussagen der Beschwerdeführerin ist der Rechtsstreit mit dem Vermieter zwischenzeitig durch einen Vergleich beendigt worden. Diese Behauptung ist indessen bisher nicht näher belegt. Auch ist unklar, ob der darin vereinbarte Betrag nunmehr nachbezahlt und die laufenden Mietkosten beglichen worden sind. Dies wird die Beschwerdeführerin gegenüber der Verwaltung auf Aufforderung hin noch zu belegen haben. Ist alsdann die Bezahlung des (Gesamt-)Mietzinses ausgewiesen, ist bei der EL-Berechnung während der Mietdauer die Hälfte davon als Mietkosten zu berücksichtigen, solange die EL-Ansprecherin auch die weiteren Anspruchsvoraussetzungen wie etwa den gewöhnlichen Aufenthalt (Art. 2 Abs. 1 ELG; vgl. das die Beschwerdeführerin betreffende Urteil vom 20. Dezember 1999, P 50/99) (weiterhin) erfüllt. Gesagtes gilt auch für die geltend gemachten Nebenkosten. Sind dagegen die Mietzinse oder Teile davon heute, rund zwei Jahre später, nach wie vor ausstehend, wird die Verwaltung keine solchen bei der EL-Berechnung berücksichtigen müssen, da nicht anzunehmen ist, dass diese inskünftig noch ausgeglichen würden.
Nach Aussagen der Beschwerdeführerin ist der Rechtsstreit mit dem Vermieter zwischenzeitig durch einen Vergleich beendigt worden. Diese Behauptung ist indessen bisher nicht näher belegt. Auch ist unklar, ob der darin vereinbarte Betrag nunmehr nachbezahlt und die laufenden Mietkosten beglichen worden sind. Dies wird die Beschwerdeführerin gegenüber der Verwaltung auf Aufforderung hin noch zu belegen haben. Ist alsdann die Bezahlung des (Gesamt-)Mietzinses ausgewiesen, ist bei der EL-Berechnung während der Mietdauer die Hälfte davon als Mietkosten zu berücksichtigen, solange die EL-Ansprecherin auch die weiteren Anspruchsvoraussetzungen wie etwa den gewöhnlichen Aufenthalt (Art. 2 Abs. 1 ELG; vgl. das die Beschwerdeführerin betreffende Urteil vom 20. Dezember 1999, P 50/99) (weiterhin) erfüllt. Gesagtes gilt auch für die geltend gemachten Nebenkosten. Sind dagegen die Mietzinse oder Teile davon heute, rund zwei Jahre später, nach wie vor ausstehend, wird die Verwaltung keine solchen bei der EL-Berechnung berücksichtigen müssen, da nicht anzunehmen ist, dass diese inskünftig noch ausgeglichen würden.
5. Andere Gründe, die gegen die tatsächliche oder rechtliche Richtigkeit des angefochtenen Entscheids sprächen, sind weder ersichtlich noch geltend gemacht, so dass sich Weiterungen erübrigen (<ref-ruling>).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 20. Dezember 2001 und die Verfügung der Ausgleichskasse des Kantons Solothurn vom 6. September 2001 aufgehoben werden und die Sache an die Ausgleichskasse des Kantons Solothurn zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Höhe der Ergänzungsleistungen ab 1. April 2001 neu verfüge.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 20. Dezember 2001 und die Verfügung der Ausgleichskasse des Kantons Solothurn vom 6. September 2001 aufgehoben werden und die Sache an die Ausgleichskasse des Kantons Solothurn zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Höhe der Ergänzungsleistungen ab 1. April 2001 neu verfüge.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 23. September 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Vorsitzende der II. Kammer: Der Gerichtsschreiber: