Faits:
A. A.a B._, né en 2007, est le fils de A._, née en 1988. Le père n'a pas reconnu l'enfant.
Le 22 mars 2007, C._, assistante sociale à l'Office des mineurs, a signalé la situation de l'enfant à l'Autorité tutélaire du district de Neuchâtel et demandé qu'une enquête sociale lui soit confiée. Le 2 août 2007, elle a déposé un rapport dont il ressortait que la mère, le père présumé et l'enfant avaient été accueillis à la «Maison de Prébarreau» le 27 juin 2007. L'enfant avait toutefois été placé à «La Ruche» le 2 juillet suivant. Dès la fin du mois de juillet 2007, la mère et le père présumé ont quitté la «Maison de Prébarreau» pour une autre institution, «L'enfant c'est la vie», dans le cadre d'un accueil familial.
A.b Le 3 octobre 2007, l'Autorité tutélaire a désigné C._ en qualité de curatrice de l'enfant, dont elle a ratifié le placement à «La Ruche». La curatrice a, le 15 avril 2008, informé l'Autorité tutélaire de l'interruption de l'accueil familial, survenu le 7 décembre 2007, en raison des nombreuses altercations entre la mère et le père présumé, l'enfant étant alors resté à «La Ruche». Le 12 janvier 2010, elle a rapporté qu'entre septembre 2008 et mars 2009, les contacts entre «La Ruche» et la mère de l'enfant avaient été quasiment interrompus. Depuis le 1er août 2009, celui-ci ne sortait pratiquement plus de l'institution et n'avait plus aucun contact avec sa famille. Le personnel de «La Ruche» avait constaté que B._ commençait à souffrir de cette situation d'autant que, contrairement à lui, les autres enfants de l'institution retournaient régulièrement dans leur famille, de sorte que la question de son placement en vue d'adoption se posait à nouveau. La curatrice signalait encore qu'elle avait tenté plusieurs fois d'entrer en contact avec la mère, mais en vain.
Le 11 février 2010, «La Ruche» a fait parvenir à l'Autorité tutélaire un rapport selon lequel B._ risquait de passer toute sa vie d'enfant et d'adolescent en institution et qu'il serait bon qu'il puisse trouver, dans une famille d'accueil, une personne qui se prête à un attachement particulier et significatif de sa part, comme il en avait la capacité.
A.c Le 17 février 2010, la mère a fait part de sa volonté de récupérer la garde de son fils. Après avoir été rendue attentive au fait qu'elle devrait prendre régulièrement contact avec lui, des droits de visite ont à nouveau été mis sur pied. Elle ne s'est toutefois pas présentée aux visites des 21 avril, 5 mai et 12 mai 2010. La curatrice l'a alors informée, le 18 mai 2010, que l'enfant en avait souffert, qu'il l'avait attendue et qu'il ne comprenait pas pourquoi sa mère n'était pas venue le voir.
Le 5 juillet 2010, une audience a été appointée devant l'Autorité tutélaire, à laquelle seule la curatrice a comparu. Celle-ci a déclaré qu'elle n'avait plus eu de contacts avec la mère depuis son courrier du 18 mai 2010 et qu'elle estimait que l'autorité parentale devait lui être retirée.
A.d Le 19 octobre 2010, l'Autorité tutélaire de surveillance du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a retiré l'autorité parentale à la mère. Celle-ci n'a pas participé à la procédure, bien qu'elle ait été invitée à présenter des observations. Elle n'a pas non plus recouru contre la décision précitée.
Le 22 octobre 2010, C._ a été désignée en qualité de tutrice de l'enfant. Dès janvier 2011, celui-ci a été placé dans une famille d'accueil en vue d'adoption.
A.e Le 12 avril 2011, agissant par l'intermédiaire d'une avocate, la mère a demandé à consulter le dossier tutélaire de son fils, ce qui lui a été refusé par l'autorité compétente au motif que l'enfant avait été placé dans une famille d'accueil et que le placement se déroulait dans de bonnes conditions. La mère a réitéré sa demande les 6 mai, 20 juin et 16 août 2011, tout au moins concernant les pièces du dossier allant de la naissance de l'enfant jusqu'à la décision de l'Autorité tutélaire de surveillance du 19 octobre 2010. Elle a finalement eu accès au dossier, qui a été retourné à l'autorité concernée le 1er septembre 2011.
B. Le 4 octobre 2011, la mère a déposé auprès de l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers (ci-après: APEA) une requête urgente tendant à l'instauration de relations personnelles avec son fils. Elle faisait valoir qu'elle avait retrouvé une certaine stabilité et qu'elle allait commencer une formation professionnelle.
Le 18 janvier 2012, un rapport a été établi sur la situation de l'enfant dans sa famille d'accueil. Il en ressortait que des liens durables s'étaient déjà tissés entre elle et l'enfant, qu'aucune restriction ne se posait à l'adoption, qui devait avoir lieu si possible dans les meilleurs délais, et que tout droit de visite de la mère serait néfaste pour l'enfant.
Par décision du 15 février 2012, l'APEA a rejeté la requête. Cette autorité a considéré, en bref, que des efforts très importants avaient été faits pendant près de quatre ans pour que la mère puisse tisser un lien avec son fils, malheureusement sans résultat, que sa protection impliquait qu'il puisse continuer à s'épanouir dans son milieu actuel et qu'une confrontation avec sa mère - qu'il n'avait d'ailleurs jamais réclamée - constituerait un traumatisme pour lui.
Par arrêt du 30 juillet 2012, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté l'appel interjeté par la mère contre cette décision.
C. Par acte du 13 septembre 2012, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 30 juillet 2012. Elle conclut principalement à ce qu'elle soit autorisée à entretenir des relations personnelles avec son fils, la cause étant renvoyée à l'autorité de première instance pour nouvelle décision et mise en oeuvre du droit de visite. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité de première instance pour nouvelle décision au sens des considérants.
La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1. 1.1 Déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. a et 100 al. 1 LTF) et en la forme prévue par la loi (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>) prise en application de normes de droit public en matière de protection de l'enfant, à savoir dans une matière connexe au droit civil (art. 72 al. 2 let. b ch. 7 LTF dans sa teneur jusqu'au 31 décembre 2012) et rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), le présent recours, par ailleurs interjeté par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et justifiant d'un intérêt digne de protection à la modification ou à l'annulation de la décision attaquée (<ref-law>), est en principe recevable.
1.2 Il n'y a pas lieu de tenir compte des pièces - nouvelles (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1) - que la recourante a déposées par courrier du 5 mars 2013, soit postérieurement à l'échéance du délai de recours (<ref-law>).
1.3 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Sous peine d'irrecevabilité, les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.1). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si un tel grief a été soulevé et motivé par la partie recourante (<ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 1.4.2). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit constitutionnel doit ainsi satisfaire au principe d'allégation, en indiquant précisément quelle disposition aurait été violée et en démontrant, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.4.2). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 3.1).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - à savoir arbitraire (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 1.2) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La partie qui se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit présenter une motivation répondant aux exigences strictes de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.1.2). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. Invoquant en particulier l'art. 29 al. 2 Cst., la recourante se plaint à plusieurs titres de la violation de son droit d'être entendue.
Le droit d'être entendu prévu par cette disposition comprend, de manière générale, le droit pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur la décision, d'avoir accès au dossier, de participer à l'administration des preuves et de se déterminer à leur propos (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.2). Vu la nature formelle du droit d'être entendu, dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée indépendamment des chances de succès du recours sur le fond, ce moyen doit être examiné en premier lieu (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 2.6.1; <ref-ruling> consid. 1) et avec une cognition libre (<ref-ruling> consid. 2a et les références).
2.1 Se référant aux <ref-law> et 29 al. 2 Cst., la recourante reproche d'abord aux autorités cantonales de lui avoir refusé l'accès à l'intégralité du dossier tutélaire de son fils.
2.1.1 Tel qu'il est garanti aux art. 29 al. 2 Cst. et 53 al. 2 CPC, le droit d'être entendu accorde aux parties, notamment, le droit de consulter le dossier. Comme il ressort du texte de cette dernière disposition, ce droit n'est pas absolu: il ne peut être exercé que «pour autant qu'aucun intérêt prépondérant public ou privé ne s'y oppose». Il s'agit alors de procéder à une pesée des intérêts en présence (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2b; arrêt 2D_15/2011 du 31 octobre 2011 consid. 3.1; 2C_890/2008 du 22 avril 2009 consid. 5.3.3, résumé in JdT 2010 I 677). Lorsque des intérêts - publics ou privés - s'opposent à la consultation, le juge peut faire application de l'<ref-law> en prenant toutes mesures (limitation de l'accès à certaines parties du dossier, caviardage) pour concilier au mieux les intérêts des uns et des autres (HALDY, CPC commenté, n. 10 ad art. 53 p. 146).
2.1.2 L'autorité cantonale a considéré que l'enfant avait été placé dans une famille d'accueil en vue d'être adopté. En donnant à la mère accès aux documents contenant l'identité des futurs parents adoptifs - sans préjuger encore du prononcé de l'adoption -, la garantie du secret de l'adoption (<ref-law>) s'en trouverait vidée de son sens. En l'occurrence, l'intéressée avait eu accès, le 1er septembre 2011, à un dossier expurgé des documents relatifs au placement en vue d'adoption, mais contenant les pièces suffisantes pour juger du droit aux relations personnelles entre l'enfant et sa mère biologique. Son grief à cet égard devait dès lors être rejeté.
2.1.3 En tant qu'il est dirigé contre la décision de première instance, le grief est d'emblée irrecevable (<ref-law>). Pour le surplus, la recourante soutient que l'<ref-law> n'est pas applicable ici, aucune procédure de placement en vue d'adoption - laquelle aurait supposé, sous réserve de l'application de l'<ref-law>, le consentement du ou des parents biologiques - n'ayant été formellement initiée et aucune décision, susceptible de recours, n'ayant été rendue sur ce point. Partant, le secret de l'adoption ne pouvait lui être opposé pour l'empêcher d'avoir accès à l'intégralité du dossier.
Quelle que soit la pertinence de cette argumentation, l'autorité cantonale n'en retient pas moins que toutes les pièces utiles à l'examen de la question des relations personnelles ont été rendues accessibles à la mère. Or la recourante ne cherche pas à démontrer l'arbitraire à ce sujet. Qui plus est, il résulte de la décision attaquée qu'elle a elle-même demandé à pouvoir consulter au moins le dossier partiel de l'enfant, soit les pièces depuis sa naissance jusqu'à la décision de l'Autorité tutélaire de surveillance du 19 octobre 2010, sans les éventuelles pièces qui seraient susceptibles de donner des informations sur le lieu de placement de son fils. Dans ces conditions, l'autorité cantonale ne peut se voir reprocher d'avoir violé les principes applicables en la matière (cf. supra, consid. 2.1.1).
2.2 La recourante se plaint en outre d'une violation de son droit d'être entendue sous l'angle du droit à se déterminer sur une mesure d'instruction, à savoir sur le rapport de la tutrice du 23 mars 2012, rédigé entièrement à charge contre elle. Ce rapport serait en effet parvenu à sa mandataire pendant les vacances d'été de celle-ci - dûment annoncées comme le prévoit la pratique neuchâteloise -, dès lors qu'il lui a été envoyé le 11 juillet 2012. Il aurait ainsi été reçu par ladite mandataire en même temps que la décision de première instance.
2.2.1 Le droit d'être entendu, garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend, notamment, le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, dans la mesure où il l'estime nécessaire (cf. <ref-ruling> consid. 2.3.3; <ref-ruling> consid. 2.3.1; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 3.3.2).
2.2.2 S'il résulte du dossier que les observations de la tutrice ont été communiquées en copie à «Mme A._» le 11 juillet 2012 - soit avant le prononcé de la décision entreprise, du 30 juillet suivant -, les autres allégations de la recourante ne reposent sur aucun élément de preuve. Partant, le grief est irrecevable (<ref-law>).
2.3 La recourante fait aussi grief à l'autorité cantonale d'avoir violé son droit à la preuve en refusant de procéder à son audition et à celle de sa mère, mesures déjà requises en première instance. Se prévalant du principe de la maxime inquisitoire, elle reproche en outre aux juges précédents de n'avoir pas ordonné de mesures d'instruction complémentaires telles qu'une enquête sociale sur sa situation personnelle actuelle, une expertise pédopsychiatrique de l'enfant ou l'audition de l'assistante sociale qui a établi les rapports sur lesquels la décision attaquée est essentiellement fondée. Elle se réfère sur ce point aux <ref-law>, ainsi que 53 CPC et 29 al. 2 Cst.
2.3.1 Que le droit à la preuve soit fondé sur l'art. 29 al. 2 Cst. ou sur l'<ref-law>, qui s'applique si les moyens de preuve sont invoqués en relation avec un droit subjectif privé découlant d'une norme de droit matériel fédéral (arrêt 5A_726/2009 du 30 avril 2010 consid. 3.1), il ne s'oppose pas à ce que l'autorité mette un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de forger sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 4.3.2; <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 2.6; <ref-ruling> consid. 3c; <ref-ruling> consid. 5b). Ce principe vaut même lorsque la maxime inquisitoire s'applique (<ref-ruling> consid. 2.2.3 et les arrêts mentionnés). Celle-ci ne dispense par ailleurs pas les parties de collaborer à la procédure et d'indiquer leurs moyens de preuve en temps utile (<ref-ruling> consid. 3.2.1; arrêt 5A_661/2011 du 10 février 2012 consid. 4.2.1 in fine et les références).
2.3.2 La cour cantonale a considéré que l'autorité de première instance pouvait, face à l'important dossier sur la situation de l'enfant et dès lors qu'elle disposait des arguments écrits de la requérante, assistée d'une avocate, juger que l'audition de l'intéressée ainsi que celle de sa mère, qui avait déjà déposé une attestation écrite, n'étaient pas aptes à modifier sa manière de voir; ces considérations conduisaient aussi à refuser les nouveaux moyens de preuve requis en appel. Il appert ainsi que l'autorité précédente n'a pas ordonné d'autres mesures d'instruction à la suite d'une appréciation anticipée des preuves, procédé qui ne viole pas le droit d'être entendu (cf. supra, consid. 2.3.1). Or la recourante n'établit pas qu'une telle appréciation serait insoutenable (cf. sur cette forme d'arbitraire: <ref-ruling> consid. 4.2 et les arrêts cités). Elle ne prétend pas non plus que les mesures d'instruction qu'elle reproche à l'autorité cantonale de ne pas avoir ordonnées auraient été requises en instance cantonale. Quant à l'<ref-law>, qui concerne la citation à l'audience et les déterminations de la partie adverse en procédure simplifiée selon les art. 243 à 247 CPC, on ne voit pas en quoi il aurait été violé.
3. La recourante soutient encore que l'autorité cantonale a procédé à une appréciation arbitraire des faits en retenant qu'elle n'avait pas eu de contacts réguliers avec son fils entre octobre 2007 et juillet 2010 et qu'elle ne s'était pas souciée de lui depuis sa naissance. Elle reproche aux juges précédents de s'être contentés de reprendre l'appréciation de la curatrice, sans tenir compte du fait que celle-ci ne lui a apporté aucun soutien pour surmonter les difficultés liées à la naissance de son enfant, alors qu'elle avait à peine plus de 18 ans, ni prendre en considération l'évolution positive de sa situation personnelle. Elle expose en outre qu'elle a exercé son droit de visite pendant la majeure partie de la période allant de juillet 2007 à août 2009. Enfin, elle se plaint du fait qu'il a été retenu, sans expertise et sur la base du seul avis de la tutrice, que la reprise des contacts entre l'enfant et sa mère biologique serait préjudiciable à celui-ci.
3.1 De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 9 et les références; arrêt 5A_182/2012 du 24 septembre 2012 consid. 2.3). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 4.2 et les arrêts cités); encore faut-il que la décision en soit viciée dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.2 et les arrêts cités).
3.2 Contrairement aux exigences de motivation de l'<ref-law> (cf. supra, consid. 1.3), la recourante, dont l'argumentation consiste en définitive à nier que la reprise des contacts entre elle et son fils serait préjudiciable à celui-ci, se livre à une critique essentiellement appellatoire de la décision attaquée, avançant, pêle-mêle, des arguments relevant de l'application du droit fédéral et d'autres ressortissant à la constatation des faits. Elle expose en outre sa propre interprétation des faits pertinents, ce qui ne suffit pas à démontrer l'arbitraire de ceux retenus par l'autorité précédente. Ainsi, dans la mesure où elle soutient que l'autorité cantonale ne pouvait se contenter de l'avis de la tutrice ou de son expérience générale de la vie pour forger son opinion, elle n'établit pas encore que les juges cantonaux auraient apprécié les preuves de manière insoutenable en accordant un poids particulier à l'avis de ladite tutrice, celle-ci ayant eu le plus de contacts avec l'enfant durant les quatre premières années de celui-ci, ni ne démontre qu'il était arbitraire de retenir, selon l'expérience de la vie, que l'enfant avait été déçu des défections de sa mère en relation avec l'exercice du droit de visite et qu'il serait préjudiciable au bon développement de celui-ci de le replacer dans une situation d'espoir, avec la crainte d'être une nouvelle fois déçu. Pour le surplus, les allégations de la recourante, en particulier concernant le respect du droit de visite durant une certaine période, n'apparaissent pas décisives. Autant qu'il est recevable, le moyen pris de l'arbitraire dans l'appréciation des faits se révèle par conséquent infondé.
4. Dans un dernier grief, la recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé les art. 273 et 274 CC, ainsi que l'art. 8 CEDH.
4.1 Aux termes de l'<ref-law>, le père ou la mère qui ne détient pas l'autorité parentale ou la garde ainsi que l'enfant mineur ont réciproquement le droit d'entretenir les relations personnelles indiquées par les circonstances. Le droit aux relations personnelles est conçu non seulement comme un droit et un devoir des parents (cf. <ref-law>), mais aussi comme un droit de la personnalité de l'enfant; il doit servir en premier lieu l'intérêt de celui-ci (<ref-ruling> consid. 5 et les références).
Cependant, si les relations personnelles compromettent le développement de l'enfant, si les père et mère qui les entretiennent violent leurs obligations, s'ils ne se sont pas souciés sérieusement de l'enfant ou s'il existe d'autres justes motifs, le droit d'entretenir ces relations peut leur être retiré ou refusé (<ref-law>). Ce deuxième alinéa de l'<ref-law> est en harmonie avec l'art. 8 § 2 CEDH (arrêt 5P. 33/2001 du 5 juillet 2001 consid. 3a et l'auteur cité). Si, d'après le texte de l'<ref-law>, on pourrait penser qu'il existe quatre hypothèses dans lesquelles ce droit peut être refusé ou retiré, tel ne peut en réalité être le cas que si le bien de l'enfant l'exige impérieusement et qu'il est impossible de trouver une réglementation du droit de visite qui sauvegarde ses intérêts: la disposition a pour objet de protéger l'enfant, et non de punir les parents. Ainsi, la violation par eux de leurs obligations et le fait de ne pas se soucier sérieusement de l'enfant ne sont pas en soi des comportements qui justifient le refus ou le retrait des relations personnelles; ils ne le sont que lorsqu'ils ont pour conséquence que ces relations portent atteinte au bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3c; <ref-ruling> consid. 4b et les références; arrêt 5A_448/2008 du 2 octobre 2008 consid. 4.1, publié in: FamPra 2009 p. 246).
D'après la jurisprudence, il existe un danger pour le bien de l'enfant si son développement physique, moral ou psychique est menacé par la présence, même limitée, du parent qui n'a pas l'autorité parentale. Conformément au principe de la proportionnalité, il importe en outre que ce danger ne puisse être écarté par d'autres mesures appropriées. Le retrait de tout droit à des relations personnelles constitue l'ultima ratio et ne peut être ordonné dans l'intérêt de l'enfant que si les effets négatifs des relations personnelles ne peuvent être maintenus dans des limites supportables pour l'enfant (<ref-ruling> consid. 3b; <ref-ruling> consid. 3b/aa et les références). Le refus ou le retrait du droit aux relations personnelles selon l'<ref-law> nécessite des indices concrets de mise en danger du bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3c; arrêt 5A_92/2009 du 22 avril 2009 consid. 2, publié in: FamPra.ch 2009 p. 786). L'exercice irrégulier du droit de visite et les déceptions réitérées qui en découlent pour l'enfant, de même que le non-respect des modalités fixées constituent une violation, par le bénéficiaire du droit de visite, de son obligation de loyauté prévue par l'<ref-law> (arrêts 5A_172/2012 du 16 mai 2012 consid. 4.1.1; 5A_448/2008 du 2 octobre 2008 consid 4.1, publié in FamPra.ch 2009 p. 246).
Pour fixer le droit aux relations personnelles, le juge fait usage de son pouvoir d'appréciation (<ref-law>). Le Tribunal fédéral s'impose dès lors une certaine retenue en la matière; il n'intervient que si la décision a été prise sur la base de circonstances qui ne jouent aucun rôle selon l'esprit de la loi, ou si des aspects essentiels ont été ignorés (ATF <ref-ruling> consid. 4a; arrêt 5A_645/2012 du 23 novembre 2012 consid. 4.2).
4.2 Selon les juges précédents, l'intéressée ne contestait pas qu'au début de la vie de son fils, elle n'avait pas été en mesure d'entretenir des contacts réguliers avec lui durant plusieurs mois, mais faisait valoir qu'elle s'était ressaisie. Pour la cour cantonale, on ne pouvait toutefois que partager l'appréciation de l'autorité de première instance, selon laquelle la confrontation de l'enfant avec sa mère, qu'il n'avait jamais réclamée depuis son placement, serait pour lui un facteur hautement déstabilisant qui le plongerait dans la crainte de devoir revivre l'abandon qu'il avait connu pendant les quatre premières années de sa vie. De plus, l'enfant se trouverait dans un conflit de loyauté envers sa famille d'accueil, et serait à nouveau dans un état d'incertitude quant à la pérennité des liens personnels qu'il avait pu tisser avec son entourage depuis janvier 2011, étant souligné que sa mère ne s'était plus manifestée à partir de mai 2010. Dans cette situation, l'intérêt de celle-ci à établir des relations personnelles avec son fils en bas âge devait céder le pas devant l'intérêt de l'enfant à grandir dans un milieu fiable. Les difficultés et les efforts de la mère pour élever son fils ou entretenir des relations personnelles avec lui ne pouvaient être ignorés, mais rien n'indiquait dans le dossier, hormis les affirmations de l'intéressée, qu'elle eût recouvré une stabilité suffisante et les moyens personnels, sinon financiers, de faire face à l'éducation d'un enfant, ni qu'elle fût en mesure de tenir ses promesses. Actuellement, elle n'avait toujours mené à terme aucune formation. En 2010, lorsque de nouvelles visites avaient été organisées, elle n'avait pas respecté les rendez-vous. Ce n'était qu'au printemps 2011 qu'elle avait demandé à consulter le dossier et fait valoir qu'elle était capable d'élever son fils. Ses explications selon lesquelles les limitations apportées à son droit de visite avaient été très difficiles à supporter, si bien qu'elle avait interrompu les rencontres avec son fils, ne permettaient pas d'augurer que dorénavant, elle saurait mettre le bien de l'enfant en avant face aux difficultés forcément autrement pénibles qu'elle rencontrerait, le cas échéant, dans ses relations avec lui, voire dans son éducation. Il n'était pas admissible d'envisager que l'enfant grandisse sans une véritable famille ou même qu'il retourne en institution, alors qu'il avait maintenant la possibilité de se développer dans un environnement adéquat. Le moyen tiré de la violation de l'<ref-law> devait donc être rejeté.
4.3 Dans ces circonstances - dont la recourante n'a pas démontré qu'elles auraient été arbitrairement retenues -, on ne saurait considérer que l'autorité cantonale ait fait une application erronée du droit fédéral en admettant qu'instaurer un droit de visite serait certainement contraire à l'intérêt bien compris de l'enfant. La recourante réitère sa critique concernant le refus de l'autorité cantonale d'administrer certains moyens de preuve, critique qui a cependant été rejetée (cf. supra, consid. 2.3.2). Son grief relatif à la prise en compte de sa situation financière dans l'application de l'<ref-law> tombe par ailleurs à faux, l'autorité cantonale s'étant contentée de mentionner ce point sans en tirer véritablement de conclusion. Quant à l'argument des juges précédents, selon lequel un rétablissement des relations personnelles entre la mère et l'enfant risquerait de créer pour celui-ci une incertitude quant à la pérennité des liens tissés avec sa famille d'accueil depuis janvier 2011, il apparaît justifié nonobstant la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme citée par la recourante, vu les circonstances du cas particulier et, en particulier, le fait que la mère a quasiment cessé de se manifester auprès de l'enfant durant une longue période - soit entre septembre 2008 et mars 2009, puis entre le 1er août 2009 et le 17 février 2010 -, ce qui a rendu le placement de l'enfant nécessaire à son bon développement. Le grief ne peut ainsi qu'être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Dans ces conditions, l'art. 8 § 1 CEDH n'apparaît pas non plus violé. En tout état de cause, il y a lieu de relever que la mère a la possibilité de faire valoir ses droits dans la procédure de placement de l'enfant en vue d'adoption, respectivement d'adoption, distinctes de la présente cause.
5. Vu ce qui précède, le recours se révèle mal fondé et ne peut donc être que rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Il en va de même de la requête d'assistance judiciaire de la recourante pour la procédure fédérale, dès lors que son recours apparaissait d'emblée dénué de chances de succès (<ref-law>). Il se justifie cependant, dans les circonstances données, de renoncer à percevoir un émolument judiciaire (art. 66 al. 1 seconde phrase LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 12 mars 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Mairot