Sachverhalt:
A. A.a Der 1969 geborene M._ meldete sich im Jahr 2001 erfolglos zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an.
Auf eine im Januar 2004 erfolgte Neuanmeldung hin erliess die IV-Stelle Schwyz am 7. September 2004 eine rentenablehnende Verfügung. Diese hob sie auf Einsprache des Versicherten hin auf (Entscheid vom 18. März 2005) und liess den Versicherten durch die Medizinische Abklärungsstelle X._ begutachten. Gestützt auf das am 17. Februar 2006 erstattete Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle X._ ermittelte sie einen Invaliditätsgrad von 10 % und verneinte einen Rentenanspruch erneut (Verfügung vom 3. April 2006). Dagegen reichte M._ wiederum Einsprache ein, welche die IV-Stelle guthiess. Sie sprach dem Versicherten mit Wirkung ab 1. Mai 2006 aufgrund des ermittelten Invaliditätsgrades von 57 % eine halbe Invalidenrente zu (Entscheid vom 30. Mai 2007). Die von M._ mit dem Antrag auf Zusprechung einer ganzen Invalidenrente eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit (unangefochten in Rechtskraft erwachsenem) Entscheid vom 12. Dezember 2007 ab.
A.b Im Rahmen einer im März 2011 eingeleiteten Rentenrevision stellte die IV-Stelle fest, dass der Versicherte seit 1. März 2009 bei der (inzwischen liquidierten und im Handelsregister gelöschten) Firma E._ GmbH an vier Stunden pro Tag (22 Stunden pro Woche) arbeitete (Monatslohn 2009: Fr. 3'000.-; 2010: Fr. 3'500.-; 2011: Fr. 4'000.-). Im Laufe des Revisionsverfahrens erfolgte arbeitgeberseits die Kündigung mit Wirkung auf den 31. August 2011. Die IV-Stelle klärte die Verhältnisse ab, wozu sie unter anderem bei der Arbeitgeberfirma genauere Auskünfte einholte (bei der IV-Stelle am 29. September 2011 eingegangener Fragebogen und ergänzende Auskunft der E._ GmbH vom 9. Dezember 2011).
Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob die IV-Stelle die bisherige halbe Rente rückwirkend per 1. Januar 2010 auf (ermittelter Invaliditätsgrad: 32 % [2010] und 28 % [1. Januar bis 31. August 2011]), stellte eine separate Rückforderungsverfügung für die Zeit vom 1. Januar 2010 bis 30. April 2011 in Aussicht und sprach dem Versicherten ab 1. September 2011 bei einem ermittelten Invaliditätsgrad von 57 % eine halbe Rente zu (Verfügung vom 24. Februar 2012). Mit einer separaten Verfügung forderte die IV-Stelle den Betrag von Fr. 15'960.- (in der Zeit vom 1. Januar 2010 bis 30. April 2011 ausgerichtete Rentenbetreffnisse) zurück (Rückerstattungsverfügung vom 24. Februar 2012).
B. Mit zwei separaten Beschwerden beantragte M._ die Aufhebung der beiden Verfügungen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz vereinigte die beiden Verfahren und wies die Beschwerden im Sinne der Erwägungen ab (Entscheid vom 12. Juni 2012).
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben und das Rechtsbegehren stellen, der angefochtene Entscheid und die beiden Verfügungen seien aufzuheben. Eventualiter sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Angelegenheit zur Ergänzung des Sachverhaltes, zur Neuprüfung und zur erneuten Entscheidung an die Vorinstanz oder die IV-Stelle zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht beantragt er, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), unter anderem eine unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (<ref-ruling> E. 2 S. 25). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> und <ref-law>).
2. 2.1 Es steht fest und ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer vom 1. März 2009 bis 31. August 2011 für die Firma E._ GmbH tätig war, diese Erwerbstätigkeit der IV-Stelle aber erst in dem von ihm am 28. April 2011 unterzeichneten Fragebogen zur Rentenrevision und damit nicht rechtzeitig gemeldet hat (vgl. dazu <ref-law> in der bis Ende 2011 gültig gewesenen Fassung).
2.2 Die Vorinstanz gelangte in Übereinstimmung mit der IV-Stelle zum Ergebnis, dass die mit der Aufnahme der Tätigkeit bei der E._ GmbH verbundene Veränderung der Einkommensverhältnisse revisionsweise zu berücksichtigen ist (<ref-law>), was zur Rentenaufhebung rückwirkend per 1. Januar 2010 (<ref-law> in der bis Ende 2011 gültig gewesenen Fassung) führt (ermittelter Invaliditätsgrad: 32 bzw. 28 %), und dass die zu Unrecht ausgerichteten Leistungen zurückzuerstatten sind (<ref-law>).
Ebenso wenig wie die IV-Stelle folgte die Vorinstanz der Argumentation des Beschwerdeführers, wonach es sich beim ausgerichteten Lohn um im Rahmen des Invalideneinkommens nach <ref-law> zumindest teilweise nicht zu berücksichtigenden Soziallohn handle. Zur Begründung führte das kantonale Gericht an, der Arbeitgeber (der Geschäftsführer der E._ GmbH) habe die Frage "Entspricht der angegebene Lohn der Arbeitsleistung?" im Fragebogen unmissverständlich mit "Ja" beantwortet und die Zusatzfrage "Wenn nicht, welcher Lohn entspräche der Arbeitsleistung?" unbeantwortet gelassen. Auf dem Fragebogen werde für den Fall, dass der Lohn die Arbeitsleistung übersteige, um eine separate, ausführliche Begründung über Art und Ausmass der Leistungseinbusse unter Angabe der Daten, seit wann die reduzierte Leistung bestehe, gebeten. Zudem werde auf die (den Unterschied zwischen Sozial- und Leistungslohn erklärende) Ziffer 4.5 der Hinweise zum Fragebogen für Arbeitgebende verwiesen. In Anbetracht dieser (im angefochtenen Entscheid wörtlich wiedergegebenen) Informationen sei es für den Arbeitgeber ohne weiteres erkennbar gewesen, worum es bei den erwähnten Fragen ging. Hätte der Arbeitgeber sie nicht verstanden, wäre zu erwarten gewesen, dass er dies entweder vermerkt oder bei der IV-Stelle nachfragt. Als die IV-Stelle - wegen des Hinweises des Arbeitgebers, wonach er der Schwager des Versicherten sei und ihn nur angestellt habe, weil er ihm leid getan habe und ein anderer Arbeitgeber ihn nicht angestellt hätte - nochmals nachgefragt habe, ob der ausbezahlte Lohn der effektiven Arbeitsleistung entsprochen habe, habe der Arbeitgeber die Frage erneut und ausdrücklich mit "Ja" beantwortet. Im Lichte dieser klaren Antworten des Arbeitgebers sei nicht zu beanstanden, dass die IV-Stelle eine Soziallohnkomponente verneint habe. Es habe kein Anlass bestanden, beim Arbeitgeber ein weiteres Mal nachzufragen.
2.3 Der Beschwerdeführer macht sinngemäss geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt insofern unrichtig festgestellt, als sie davon ausgegangen sei, der Arbeitgeber habe den Fragebogen richtig verstanden und die Auszahlung eines Soziallohnes sowohl im Fragebogen als auch auf Rückfrage hin verneint. Des Weitern sei die Vorinstanz zu Unrecht davon ausgegangen, dass der Sachverhalt genügend abgeklärt sei und sich weitere Beweiserhebungen erübrigten.
2.4 Diese beschwerdeführerischen Vorbringen sind nicht geeignet, die grundsätzlich verbindlichen (vgl. E. 1) vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen als offensichtlich unrichtig oder rechtsfehlerhaft erscheinen zu lassen:
Nichts abzuleiten vermag der Beschwerdeführer aus dem Umstand, dass er sehr langsam gewesen sei in der Erledigung seiner Aufgaben und mehr Pausen benötigt habe, um sich auszuruhen (wobei auf seine weitere Behauptung, er habe für eine mit vier Stunden pro Tag bemessene Arbeit einen ganzen Tag, d.h. doppelt so viel Zeit wie eine gesunde Arbeitskraft, benötigt, nicht weiter einzugehen ist, weil sie den Angaben der Arbeitgeberfirma und seinen eigenen früheren, als Aussagen der ersten Stunde glaubwürdigeren [<ref-ruling> E. 2a S. 47] Angaben widerspricht). Denn für die Frage, ob der ausbezahlte Lohn das Äquivalent der erbrachten Arbeitsleistung darstellt (und damit ein Leistungslohn vorliegt), ist nicht entscheidend, wie sich der Versicherte die Arbeit einteilt, namentlich ob er die Tätigkeit durch vermehrte Pausen auflockert oder ununterbrochen ausübt. Hingegen bestätigen die Ausführungen in der Beschwerde erneut, dass der Versicherte eine einem Pensum von 50 % entsprechende Arbeitsleistung erbrachte. Soweit er vorbringt, er habe die ihm übertragenen Aufgaben nur teilweise erfüllen können, kann ihm nicht gefolgt werden, weil die Arbeitgeberfirma bestätigte, dass er die Arbeit wunschgemäss (nur leider sehr langsam) erledige.
Entgegen der vom Beschwerdeführer vertretenen Auffassung spielt im vorliegenden Zusammenhang auch keine Rolle, dass er die Arbeitsstelle bei der E._ GmbH nur aufgrund der zum Geschäftsführer bestehenden Schwägerschaft erhielt, betrifft doch die Frage nach einer Soziallohnkomponente nicht die Anstellungsmotive, sondern einzig das Verhältnis zwischen Arbeitsleistung und Lohn. Es trifft zwar zu, dass verwandtschaftliche Beziehungen zwischen dem Arbeitgeber und der versicherten Person ein Indiz für eine freiwillige Sozialleistung darstellen können (vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 929/05 vom 11. August 2006 E. 4.2; I 106/05 vom 2. August 2005 E. 4.2.3; vgl. Ulrich Meyer, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 2. Aufl. 2010, S. 293); dies ist aber nicht zwingend der Fall. Für das hier zu beurteilenden Verhältnis liess sich eine Soziallohnkomponente ohne weiteres ausschliessen, als der Geschäftsführer der Arbeitgeberfirma auch auf die ausdrückliche Nachfrage der IV-Stelle vom 17. November 2011 (mit dem Hinweis, dass er einerseits angegeben habe, der Lohn entspreche der Arbeitsleistung, und anderseits ausgeführt habe, er habe den Versicherten nur angestellt, weil er mit ihm verwandt sei) ein weiteres Mal bestätigte, der Lohn habe der effektiven Arbeitsleistung entsprochen (und deshalb auch die weiteren Fragen unbeantwortet liess, welches Erwerbseinkommen der Leistungsfähigkeit entsprochen hätte und inwiefern der Versicherte die Anforderungen in qualitativer und quantitativer Hinsicht nicht habe erfüllen können). Dass auch das kantonale Gericht bei dieser Sachlage die strengen Anforderungen an den Nachweis von Soziallohn (vgl. Urteil 9C_26/2008 vom 26. Mai 2008 E. 5.1 mit Hinweis auf <ref-ruling>) als nicht erfüllt betrachtete und aufgrund der eindeutigen Beweislage in antizipierter Beweiswürdigung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.3 S. 236) auf weitere Abklärungen verzichtete, ist somit nicht zu beanstanden. Die Berücksichtigung des bei der E._ GmbH erzielten Lohnes im Rahmen der Rentenrevision ist demnach rechtens.
2.5 Da in der Beschwerde weder zur Ermittlung des IV-Grades (bei Berücksichtigung des bei der E._ GmbH erzielten Einkommens) noch zur Berechnung des Rückforderungsbetrages Stellung genommen wurde, erübrigen sich Ausführungen zu diesen Punkten. Die beiden Verfügungen vom 24. Februar 2012 sind zu bestätigen.
3. Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. März 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann