Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Der Bezirksrat Y._ hiess mit Beschluss vom 1. Dezember 1999 eine von W._ gegen verschiedene Verfügungen der Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Gemeinde X._ (nachfolgend: Durchführungsstelle) erhobene Einsprache teilweise gut, wobei er teils die auszurichtenden Leistungen (Ergänzungsleistungen, Beihilfen, Vergütung von Krankheitskosten) selbst festsetzte, teils die Sache zur Aktenergänzung an die Durchführungsstelle zurückwies. Den Antrag auf Zusprechung einer Parteientschädigung lehnte er ab, weil entsprechend dem Verfahrensausgang mit nur teilweisem Obsiegen der Einsprecherin die diesbezüglichen Anspruchsvoraussetzungen nicht gegeben seien.
A. Der Bezirksrat Y._ hiess mit Beschluss vom 1. Dezember 1999 eine von W._ gegen verschiedene Verfügungen der Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Gemeinde X._ (nachfolgend: Durchführungsstelle) erhobene Einsprache teilweise gut, wobei er teils die auszurichtenden Leistungen (Ergänzungsleistungen, Beihilfen, Vergütung von Krankheitskosten) selbst festsetzte, teils die Sache zur Aktenergänzung an die Durchführungsstelle zurückwies. Den Antrag auf Zusprechung einer Parteientschädigung lehnte er ab, weil entsprechend dem Verfahrensausgang mit nur teilweisem Obsiegen der Einsprecherin die diesbezüglichen Anspruchsvoraussetzungen nicht gegeben seien.
B. Die von der Versicherten gegen den Beschluss des Bezirksrates eingereichte Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich in dem Sinne teilweise gut, dass es die Sache zur Durchführung weiterer Abklärungen und zu neuem Entscheid an den Bezirksrat zurückwies. Hinsichtlich der Parteientschädigung wies es die Beschwerde ab mit der Begründung, auf dem Gebiet der Ergänzungsleistungen bestehe im Einspracheverfahren vor dem Bezirksrat kein Anspruch auf Parteientschädigung (Entscheid vom 24. Oktober 2000).
B. Die von der Versicherten gegen den Beschluss des Bezirksrates eingereichte Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich in dem Sinne teilweise gut, dass es die Sache zur Durchführung weiterer Abklärungen und zu neuem Entscheid an den Bezirksrat zurückwies. Hinsichtlich der Parteientschädigung wies es die Beschwerde ab mit der Begründung, auf dem Gebiet der Ergänzungsleistungen bestehe im Einspracheverfahren vor dem Bezirksrat kein Anspruch auf Parteientschädigung (Entscheid vom 24. Oktober 2000).
C. W._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid und der Beschluss des Bezirksrates seien in Bezug auf die Parteientschädigung aufzuheben; es sei festzustellen, dass der Versicherten für das Verfahren vor dem Bezirksrat eine Prozessentschädigung nach Massgabe ihres Obsiegens zustehe; die Sache sei zur Festsetzung der Parteientschädigung an die zuständige Behörde zurückzuweisen.
Die Durchführungsstelle schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Der Bezirksrat und das Bundesamt für Sozialversicherung verzichten auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Das dem Parteientschädigungsstreit zugrunde liegende kantonale Verfahren bezieht sich auf die im zürcherischen Gesetz vom 7. Februar 1971 über die Zusatzleistungen zur eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (nachfolgend: kantonales Gesetz über die Zusatzleistungen) vorgesehenen Zusatzleistungen sowohl in Form von Ergänzungsleistungen gemäss ELG als auch von über das ELG hinausgehenden kantonalrechtlichen Beihilfen.
1.1 Soweit der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht beruhende Zusatzleistungen betrifft, kann auf die dagegen gerichtete Verwaltungsgerichtsbeschwerde mangels Erfüllung der in Art. 128 OG in Verbindung mit Art. 97 OG und <ref-law> statuierten Sachurteilsvoraussetzung einer auf öffentliches Recht des Bundes gestützten Verfügung (siehe dazu <ref-ruling>) nicht eingetreten werden (<ref-ruling> Erw. 1). Eine Bezugnahme des kantonalen Rechts auf Bundesrecht oder eine analoge Anwendung bundesrechtlicher Vorschriften im kantonalen Recht führt nicht zur Annahme einer bundesrechtlichen Verfügungsgrundlage (<ref-ruling>).
1.2 Soweit der kantonale Gerichtsentscheid hingegen Ergänzungsleistungen im Rahmen des ELG beschlägt, ist auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde unabhängig davon einzutreten, ob es ausschliesslich um die Anwendung kantonalen Prozessrechts oder aber (auch) um jene von Bundesrecht geht. Für die Annahme einer bundesrechtlichen Verfügungsgrundlage genügt es nämlich, wenn der dem Verfahren zugrunde liegende materiellrechtliche Streitgegenstand dem Bundessozialversicherungsrecht angehört (<ref-ruling> Erw. 1c, 492 Erw. 1a/bb, 126 V 143).
1.2 Soweit der kantonale Gerichtsentscheid hingegen Ergänzungsleistungen im Rahmen des ELG beschlägt, ist auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde unabhängig davon einzutreten, ob es ausschliesslich um die Anwendung kantonalen Prozessrechts oder aber (auch) um jene von Bundesrecht geht. Für die Annahme einer bundesrechtlichen Verfügungsgrundlage genügt es nämlich, wenn der dem Verfahren zugrunde liegende materiellrechtliche Streitgegenstand dem Bundessozialversicherungsrecht angehört (<ref-ruling> Erw. 1c, 492 Erw. 1a/bb, 126 V 143).
2. 2.1 Da der kantonale Gerichtsentscheid, soweit angefochten, nicht die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen, sondern die rein prozessuale Frage der Parteientschädigung betrifft, hat das Eidgenössische Versicherungsgericht nur zu prüfen, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzt hat, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
2.2 In Anbetracht der in rechtlicher Hinsicht auf Verletzungen von Bundesrecht beschränkten Kognition des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a OG) kann dieses die Anwendung kantonalen Verfahrensrechts nicht frei, sondern nur darauf hin überprüfen, ob sie zu einer Verletzung von Bundesrecht, insbesondere des zur Zeit des Verfahrens vor dem Bezirksrat noch aus Art. 4 Abs. 1 aBV abgeleiteten, seit 1. Januar 2000 in <ref-law> ausdrücklich verankerten Willkürverbots, geführt hat (<ref-ruling> Erw. 3, 120 V 416 Erw. 4a, 114 V 206 Erw. 1a). Nach der Rechtsprechung ist eine Entscheidung willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkürliche Rechtsanwendung liegt nicht schon vor, wenn eine andere Lösung in Betracht zu ziehen oder sogar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> Erw. 2.1, 127 I 41 Erw. 2a, 56 Erw. 2b, 70 Erw. 5a, 126 I 170 Erw. 3a; zu Art. 4 Abs. 1 aBV ergangene, weiterhin geltende Rechtsprechung: <ref-ruling> Erw. 2a, 125 II 15 Erw. 3a, 124 I 316 Erw. 5a, 124 V 139 Erw. 2b, je mit Hinweisen).
3. Das kantonale Gericht vertritt die Auffassung, das Einspracheverfahren vor dem Bezirksrat sei Bestandteil des Verwaltungsverfahrens, in welchem im Gegensatz zur Rechtslage im kantonalen Gerichtsverfahren, für welches Art. 7 Abs. 2 ELG in Verbindung mit <ref-law> einen Anspruch auf Parteientschädigung vorsehe, kein solcher Anspruch bestehe. Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber geltend, die vor dem Bezirksrat Einsprache erhebende Person habe bei Obsiegen sowohl nach Art. 7 Abs. 2 ELG als auch nach § 32 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes über die Zusatzleistungen, je in Verbindung mit <ref-law>, Anspruch auf Ersatz der Kosten der Prozessführung und Vertretung.
Das kantonale Gericht vertritt die Auffassung, das Einspracheverfahren vor dem Bezirksrat sei Bestandteil des Verwaltungsverfahrens, in welchem im Gegensatz zur Rechtslage im kantonalen Gerichtsverfahren, für welches Art. 7 Abs. 2 ELG in Verbindung mit <ref-law> einen Anspruch auf Parteientschädigung vorsehe, kein solcher Anspruch bestehe. Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber geltend, die vor dem Bezirksrat Einsprache erhebende Person habe bei Obsiegen sowohl nach Art. 7 Abs. 2 ELG als auch nach § 32 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes über die Zusatzleistungen, je in Verbindung mit <ref-law>, Anspruch auf Ersatz der Kosten der Prozessführung und Vertretung.
Das kantonale Gericht vertritt die Auffassung, das Einspracheverfahren vor dem Bezirksrat sei Bestandteil des Verwaltungsverfahrens, in welchem im Gegensatz zur Rechtslage im kantonalen Gerichtsverfahren, für welches Art. 7 Abs. 2 ELG in Verbindung mit <ref-law> einen Anspruch auf Parteientschädigung vorsehe, kein solcher Anspruch bestehe. Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber geltend, die vor dem Bezirksrat Einsprache erhebende Person habe bei Obsiegen sowohl nach Art. 7 Abs. 2 ELG als auch nach § 32 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes über die Zusatzleistungen, je in Verbindung mit <ref-law>, Anspruch auf Ersatz der Kosten der Prozessführung und Vertretung.
4. 4.1 Gemäss Art. 6 Abs. 1 Satz 1 ELG bezeichnen die Kantone die Organe, denen die Entgegennahme der Gesuche, die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistungen obliegen. Nach Art. 7 Abs. 1 ELG in der zur Zeit des hier zur Diskussion stehenden Verfahrens vor dem Bezirksrat geltenden Fassung (vgl. <ref-ruling> Erw. 1) kann gegen die Verfügungen über Ergänzungsleistungen Beschwerde geführt werden. Art. 7 Abs. 2 ELG in der gleichen Fassung lautet: "Die Kantone bestimmen eine von der Verwaltung unabhängige Rekursbehörde und ordnen das Verfahren. Artikel 85 AHVG ist sinngemäss anwendbar." Nach Abs. 1 Satz 1 dieser Vorschrift in der damals in Kraft stehenden Fassung bestimmen die Kantone eine von der Verwaltung unabhängige kantonale Rekursbehörde. <ref-law> in der gleichen Fassung besagt, soweit vorliegend von Interesse: "Die Kantone regeln das Rekursverfahren. Es hat folgenden Anforderungen zu genügen: ... f. ... Ferner hat der obsiegende Beschwerdeführer Anspruch auf Ersatz der Kosten der Prozessführung und Vertretung nach gerichtlicher Festsetzung." Nach der Rechtsprechung gilt die Rückweisung zwecks ergänzender Abklärungen als anspruchsbegründendes Obsiegen (<ref-ruling> Erw. 2b/bb). Ferner hat auch eine Beschwerde führende Person, die nur einen wesentlichen Teilerfolg erzielt, mindestens Anspruch auf eine wesentliche Teilentschädigung ihrer Parteikosten (SVR 2001 AHV Nr. 4 S. 12 Erw. 4a mit Hinweisen).
Das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000, durch welches Art. 7 ELG und <ref-law> aufgehoben wurden (AS 2002 3403 und 3415), ist für die Frage, ob der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Bezirksrat zu Recht keine Parteientschädigung zugesprochen wurde, ohne Belang, weil der Beschluss dieser Behörde vor dem 1. Januar 2003 erging (vgl. noch nicht in der Amtlichen Sammlung veröffentlichtes Urteil T. vom 23. Januar 2003, H 255/02, Erw. 2.2).
4.2 Nach § 21 Abs. 1 (in Verbindung mit § 1 Abs. 1 lit. a) des kantonalen Gesetzes über die Zusatzleistungen sind die Ergänzungsleistungen von der Wohnsitzgemeinde zu gewähren. Gemäss § 30 kann gegen Entscheide der Gemeindeorgane beim zuständigen Bezirksrat Einsprache erhoben werden; dessen Einspracheentscheide können ans Sozialversicherungsgericht weitergezogen werden. Gemäss § 32 Abs. 1 finden auf das Einsprache- und Beschwerdeverfahren die in <ref-law> enthaltenen Verfahrensgrundsätze entsprechende Anwendung.
4.2 Nach § 21 Abs. 1 (in Verbindung mit § 1 Abs. 1 lit. a) des kantonalen Gesetzes über die Zusatzleistungen sind die Ergänzungsleistungen von der Wohnsitzgemeinde zu gewähren. Gemäss § 30 kann gegen Entscheide der Gemeindeorgane beim zuständigen Bezirksrat Einsprache erhoben werden; dessen Einspracheentscheide können ans Sozialversicherungsgericht weitergezogen werden. Gemäss § 32 Abs. 1 finden auf das Einsprache- und Beschwerdeverfahren die in <ref-law> enthaltenen Verfahrensgrundsätze entsprechende Anwendung.
5. 5.1 Entgegen der kantonalrechtlichen Bezeichnung handelt es sich beim im kantonalen Gesetz über die Zusatzleistungen vorgesehenen Rechtsmittel an den Bezirksrat nicht um eine Einsprache im eigentlichen Sinne, sondern um eine Beschwerde, weil es sich nicht an die verfügende Stelle selbst (vgl. zur Einsprache z.B. <ref-law> in der bis zum Inkrafttreten des ATSG geltenden Fassung und <ref-law>), sondern an eine übergeordnete Behörde richtet (vgl. Ulrich Häfelin/Georg Müller, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl., Zürich/Basel/Genf 2002, Rz 1745 und 1815). Der Bezirksrat ist bei Ergänzungsleistungen betreffenden Streitigkeiten erste und das Sozialversicherungsgericht zweite kantonale Beschwerdeinstanz. Der Kanton Zürich hat im Rahmen von Art. 7 ELG einen zweistufigen kantonalen Instanzenzug geschaffen (vgl. <ref-ruling>).
5.2 Das Eidgenössische Versicherungsgericht erklärte in <ref-ruling> Erw. 3b für den Bereich der Alters- und Hinterlassenenversicherung sowie der Invalidenversicherung, aus den Materialien gehe klar die Einstufigkeit des kantonalen Rekursverfahrens hervor, die im Gesetz ihren positivrechtlichen Ausdruck gefunden habe. Die Bestimmungen des <ref-law> seien offensichtlich nicht für ein mehrstufiges Rechtsmittelverfahren konzipiert worden, was sich gerade am Beispiel des <ref-law> zeige, der lediglich vom obsiegenden Beschwerdeführer spreche. Daher sei eine zweite kantonale Beschwerdeinstanz im Bereich des AHV/IV-Rechts unzulässig. Wie es sich im Bereich der Ergänzungsleistungen verhalte, wurde offen gelassen.
In der Botschaft zum Entwurf eines Bundesgesetzes über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung vom 21. September 1964 (BBl 1964 II 681 ff.) erläuterte der Bundesrat Art. 7 des Entwurfs (BBl 1964 II 714), der unverändert zum Gesetz geworden ist (AS 1965 540), dahin, dass gegen Verfügungen über Ergänzungsleistungen in erster Instanz bei einer von der Verwaltung unabhängigen kantonalen Rekursbehörde Beschwerde erhoben werden könne, wobei die Kantone das Verfahren der erstinstanzlichen Rechtsprechung nach den für die AHV und IV massgebenden Grundsätzen (<ref-law>) regeln sollten (BBl 1964 II 707). In seinen Erläuterungen zu Art. 8 des Entwurfs ist von der dem Eidgenössischen Versicherungsgericht obliegenden zweitinstanzlichen Rechtsprechung die Rede (a.a.O.). Trotz dieses Hinweises auf ein einstufiges kantonales Beschwerdeverfahren entschied das Eidgenössische Versicherungsgericht in <ref-ruling> Erw. 2c in Beantwortung der zuvor offen gelassenen Frage, der zweifache kantonale Instanzenzug, wie er im zürcherischen Verfahrensrecht für Streitigkeiten über Ergänzungsleistungen vorgesehen sei, könne bundesrechtlich nicht als unzulässig bezeichnet werden. Dabei gab es unter dem Gesichtspunkt der Rechtssicherheit der seit langem befolgten Praxis im Sinne der zürcherischen Lösung den Vorzug gegenüber der aus den Materialien hervorgehenden Einstufigkeit des kantonalen Rekursverfahrens.
5.3 Aufgrund des Gesagten steht fest, dass der Gesetzgeber beim Erlass von <ref-law> und bei jenem des auf diese Bestimmung verweisenden Art. 7 ELG von einer einzigen kantonalen Beschwerdeinstanz ausgegangen ist. Die bundesgesetzliche Regelung befasst sich nicht mit einem zweistufigen kantonalen Instanzenzug, wie ihn die Praxis im Bereich der Ergänzungsleistungen zulässt, und äussert sich dementsprechend auch nicht zu den im Verfahren vor einer allfälligen unteren kantonalen Rekursinstanz geltenden Grundsätzen. Das Fehlen einer ausdrücklichen den Anspruch auf Parteientschädigung im Verfahren vor einer allfälligen unteren kantonalen Beschwerdeinstanz betreffenden Anordnung stellt unter diesen Umständen nicht eine bewusst negative Antwort des Gesetzgebers, ein so genanntes qualifiziertes Schweigen, dar. Es steht deshalb der Bejahung eines Anspruchs der vor dem Bezirksrat als unterer kantonaler Rechtsmittelinstanz obsiegenden Beschwerde (kantonalrechtlich Einsprache) führenden Partei auf eine Parteientschädigung nicht entgegen (vgl. <ref-ruling> Erw. 3).
5.3 Aufgrund des Gesagten steht fest, dass der Gesetzgeber beim Erlass von <ref-law> und bei jenem des auf diese Bestimmung verweisenden Art. 7 ELG von einer einzigen kantonalen Beschwerdeinstanz ausgegangen ist. Die bundesgesetzliche Regelung befasst sich nicht mit einem zweistufigen kantonalen Instanzenzug, wie ihn die Praxis im Bereich der Ergänzungsleistungen zulässt, und äussert sich dementsprechend auch nicht zu den im Verfahren vor einer allfälligen unteren kantonalen Rekursinstanz geltenden Grundsätzen. Das Fehlen einer ausdrücklichen den Anspruch auf Parteientschädigung im Verfahren vor einer allfälligen unteren kantonalen Beschwerdeinstanz betreffenden Anordnung stellt unter diesen Umständen nicht eine bewusst negative Antwort des Gesetzgebers, ein so genanntes qualifiziertes Schweigen, dar. Es steht deshalb der Bejahung eines Anspruchs der vor dem Bezirksrat als unterer kantonaler Rechtsmittelinstanz obsiegenden Beschwerde (kantonalrechtlich Einsprache) führenden Partei auf eine Parteientschädigung nicht entgegen (vgl. <ref-ruling> Erw. 3).
6. Um zu entscheiden, ob ein Anspruch auf Parteientschädigung im Verfahren vor dem Bezirksrat aufgrund des kantonalen Rechts besteht, ist zu prüfen, ob § 32 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes über die Zusatzleistungen willkürlich angewandt wurde. Dieser weist folgenden Wortlaut auf: "Auf das Einsprache- und Beschwerdeverfahren finden die in Art. 85 des Bundesgesetzes über die Alters- und Hinterlassenenversicherung enthaltenen Verfahrensgrundsätze entsprechende Anwendung."
6.1 Mit der zitierten Bestimmung unterwirft das kantonale Recht das "Einspracheverfahren" vor dem Bezirksrat den gleichen Regeln wie das Beschwerdeverfahren vor dem Sozialversicherungsgericht. Dass die Verfahrensgrundsätze des <ref-law> nicht schlechthin, sondern nur "entsprechende" Anwendung finden, kann klarerweise nicht bedeuten, dass auf diese Verfahren nicht alle der in <ref-law> aufgezählten Regeln anwendbar wären. Der kantonale Gesetzgeber wollte nämlich mit § 32 Abs. 1 des Gesetzes über die Zusatzleistungen offensichtlich erreichen, dass das ergänzungsleistungsrechtliche Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht, auf welches sich die Anforderungen des <ref-law> in Verbindung mit Art. 7 Abs. 2 ELG unbestrittenermassen beziehen, den bundesrechtlichen Mindeststandards entspricht. Nachdem die kantonale Vorschrift hinsichtlich der Verfahrensgrundsätze keine Unterscheidung zwischen "Einsprache-" und Beschwerdeverfahren trifft, kann sie nur so zu verstehen sein, dass die Anforderungen des <ref-law> für das "Einspracheverfahren" vor dem Bezirksrat ebenso integral "entsprechend" gelten wie für das Beschwerdeverfahren vor dem Sozialversicherungsgericht. Mit dem Ausdruck "entsprechende Anwendung" muss demnach gemeint sein, dass zwar alle in <ref-law> enthaltenen Grundsätze anwendbar, aber mit den durch die jeweilige Verfahrensart bedingten Anpassungen zu lesen sind, weil der Wortlaut von <ref-law> nicht auf einen zweistufigen kantonalen Instanzenzug zugeschnitten ist.
So kommt man wegen der Vorschaltung des Rechtsmittelverfahrens vor dem Bezirksrat schon hinsichtlich des kantonalen gerichtlichen Beschwerdeverfahrens namentlich nicht umhin, <ref-law> so zu lesen, dass nicht der obsiegende Beschwerdeführer, sondern die obsiegende versicherte Person Anspruch auf Ersatz der Kosten der Prozessführung und Vertretung nach gerichtlicher Festsetzung hat; denn während <ref-law> von der in einem einstufigen kantonalen Beschwerdeverfahren regelmässig zutreffenden Idee ausgeht, die Beschwerde ans kantonale Gericht werde von der versicherten Person erhoben, wird im zweistufigen kantonalen Instanzenzug vor der oberen kantonalen Rechtsmittelbehörde nicht selten unter anderem die Gemeinde (vgl. § 30 Abs. 2 des kantonalen Gesetzes über die Zusatzleistungen) als Beschwerdeführerin auftreten und die versicherte Person in der Rolle der Beschwerdegegnerin stehen (vgl. <ref-ruling>). Ebenso drängt es sich für das hier interessierende Verfahren vor dem Bezirksrat auf, in den in <ref-law> aufgezählten Regeln insbesondere "Beschwerde" durch "Einsprache", "Beschwerdeführer" durch "Einsprecher" und "nach gerichtlicher Festsetzung" durch "nach Festsetzung durch den Bezirksrat" zu ersetzen. Solche Auslegungen, nicht das Wegfallen einzelner Verfahrensgrundsätze, werden nach dem Gesagten durch die Einschränkung der nur "entsprechenden" Anwendung gedeckt.
6.2 Da <ref-law> dem (ganz oder teilweise) obsiegenden Beschwerdeführer einen Anspruch auf Ersatz der Kosten der Prozessführung und Vertretung einräumt, steht somit nach § 32 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes über die Zusatzleistungen in entsprechender Anwendung von <ref-law> der Einsprecherin, die hinsichtlich der Leistungen gemäss ELG offensichtlich einen wesentlichen Teilerfolg erzielt hat, im Verfahren vor dem Bezirksrat klarerweise eine Parteientschädigung zu. Indem das kantonale Gericht einen Anspruch auf Parteientschädigung für das Verfahren vor dem Bezirksrat schon im Grundsatz ausschloss und daher den einen solchen Anspruch wegen des nur teilweisen Obsiegens verneinenden Beschluss des Bezirksrates nicht auch hinsichtlich der Parteientschädigung beanstandete, hat es die erwähnte kantonale Norm offensichtlich schwer verletzt. Sein Entscheid verstösst folglich diesbezüglich gegen das Willkürverbot und damit gegen Bundesrecht.
6.2 Da <ref-law> dem (ganz oder teilweise) obsiegenden Beschwerdeführer einen Anspruch auf Ersatz der Kosten der Prozessführung und Vertretung einräumt, steht somit nach § 32 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes über die Zusatzleistungen in entsprechender Anwendung von <ref-law> der Einsprecherin, die hinsichtlich der Leistungen gemäss ELG offensichtlich einen wesentlichen Teilerfolg erzielt hat, im Verfahren vor dem Bezirksrat klarerweise eine Parteientschädigung zu. Indem das kantonale Gericht einen Anspruch auf Parteientschädigung für das Verfahren vor dem Bezirksrat schon im Grundsatz ausschloss und daher den einen solchen Anspruch wegen des nur teilweisen Obsiegens verneinenden Beschluss des Bezirksrates nicht auch hinsichtlich der Parteientschädigung beanstandete, hat es die erwähnte kantonale Norm offensichtlich schwer verletzt. Sein Entscheid verstösst folglich diesbezüglich gegen das Willkürverbot und damit gegen Bundesrecht.
7. Für den vorliegend betroffenen Kanton Zürich ist demnach die Verneinung eines Anspruchs auf Parteientschädigung für das ergänzungsleistungsrechtliche Verfahren vor dem Bezirksrat schon in Anbetracht des kantonalen Rechts zu korrigieren. Es kann daher offen bleiben, ob, wo wie im Kanton Zürich im Bereich der Ergänzungsleistungen im Rahmen des ELG ein zweistufiger kantonaler Instanzenzug vorgesehen ist, im unterinstanzlichen kantonalen Rechtsmittelverfahren (auch) von Bundesrechts wegen ein Anspruch der obsiegenden versicherten Person auf Parteientschädigung besteht.
7. Für den vorliegend betroffenen Kanton Zürich ist demnach die Verneinung eines Anspruchs auf Parteientschädigung für das ergänzungsleistungsrechtliche Verfahren vor dem Bezirksrat schon in Anbetracht des kantonalen Rechts zu korrigieren. Es kann daher offen bleiben, ob, wo wie im Kanton Zürich im Bereich der Ergänzungsleistungen im Rahmen des ELG ein zweistufiger kantonaler Instanzenzug vorgesehen ist, im unterinstanzlichen kantonalen Rechtsmittelverfahren (auch) von Bundesrechts wegen ein Anspruch der obsiegenden versicherten Person auf Parteientschädigung besteht.
8. Da es nicht die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen betrifft, ist das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Entsprechend dem Prozessausgang sind die Gerichtskosten von der Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, zu tragen (Art. 135 in Verbindung mit Art. 156 Abs. 1 OG). Diese hat der Beschwerdeführerin ausserdem eine Parteientschädigung für das letztinstanzliche Verfahren zu bezahlen (Art. 135 in Verbindung mit Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, soweit darauf einzutreten ist, wird der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. Oktober 2000 dahin abgeändert, dass die Sache unter auch diesbezüglicher Gutheissung der Beschwerde zur Zusprechung einer Parteientschädigung an den Bezirksrat Y._ zurückgewiesen wird.
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, soweit darauf einzutreten ist, wird der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. Oktober 2000 dahin abgeändert, dass die Sache unter auch diesbezüglicher Gutheissung der Beschwerde zur Zusprechung einer Parteientschädigung an den Bezirksrat Y._ zurückgewiesen wird.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, auferlegt.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, auferlegt.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 500.-- wird der Beschwerdeführerin zurückerstattet.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 500.-- wird der Beschwerdeführerin zurückerstattet.
4. Die Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2‘500.-- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Die Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2‘500.-- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
5. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wird die Parteientschädigung für das kantonale Gerichtsverfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses neu festzusetzen haben.
5. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wird die Parteientschädigung für das kantonale Gerichtsverfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses neu festzusetzen haben.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 5. Juni 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der I. Kammer: Die Gerichtsschreiberin: