Faits:
A. A._ a été employée de l'Etat de Vaud à partir du 1er juin 1999, au service d'oto-rhino-laryngologie du Centre hospitalier universitaire vaudois (CHUV). Selon son premier cahier des charges, signé le 1er février 2000, elle occupait le poste de "secrétaire de desk de policlinique", activité consistant à gérer les dossiers et les rendez-vous. Ce cahier des charges a été modifié les 3 octobre et 19 décembre 2002. Depuis le 23 juin 2003, son emploi a été régi par un contrat de durée indéterminée selon lequel elle exerçait la fonction d'employée d'administration à 100%, pour un revenu annuel de 70'728 francs.
Le 20 décembre 2004, à la suite d'un rapport interne établi le 29 novembre 2004 par B._, supérieur hiérarchique direct de A._, le directeur des ressources humaines a ouvert contre elle une procédure d'avertissement pour manque évident de rendement dans le travail, pour une qualité de service ne correspondant pas aux attentes et pour des erreurs trop nombreuses. Le 8 mars 2005, l'Etat de Vaud lui a adressé un "ultime avertissement", la menaçant d'une résiliation de son contrat, le cas échéant avec effet immédiat. A._ a contesté cet avertissement devant le Tribunal de prud'hommes de l'administration cantonale. Par jugement du 22 décembre 2005 - dont les considérants ont été notifiés le 9 novembre 2006 - ce tribunal a partiellement admis l'action et a modifié l'avertissement en ce sens que la menace de renvoi avec effet immédiat a été supprimée. Il a considéré que l'insubordination dont avait fait preuve l'intéressée justifiait un avertissement, mais que plusieurs griefs formulés à son encontre n'avaient pas été établis ou relevaient d'erreurs courantes qui ne constituaient pas des indices de faute professionnelle caractérisée ou récurrente.
B. Alors que la procédure susmentionnée était en cours, un autre contentieux est survenu au sujet d'un nouveau cahier des charges que A._ refusait de signer. Par courrier du 29 août 2005, ses supérieurs hiérarchiques l'ont informée du fait que ce cahier des charges entrerait en vigueur le 1er septembre 2005, l'invitant à adresser rapidement d'éventuelles remarques à son supérieur direct, faute de quoi ce document serait validé. Ils l'avisaient également du fait qu'une violation du cahier des charges pourrait entraîner des sanctions administratives. Par courrier du 16 septembre 2005, le directeur des ressources humaines a reproché à l'intéressée d'avoir, le 9 septembre 2005, "refusé, sans justification valable, de préparer les documents pour l'endoscopie" alors que son nouveau cahier des charges prévoyait cette tâche. Il lui a rappelé qu'elle était sous le coup d'un avertissement et l'a menacée de licenciement, le cas échéant avec effet immédiat, si un tel fait devait se reproduire. Le 28 septembre 2005, l'avocate de A._ répondait que l'avertissement faisait l'objet d'une procédure judiciaire et qu'elle reprendrait la discussion relative au cahier des charges "une fois en possession de tous les documents déterminants".
Le 5 octobre 2005, A._ a refusé une seconde fois de préparer des dossiers d'endoscopie. Par lettre du 6 octobre 2005, l'Etat de Vaud a résilié le contrat de travail avec effet immédiat. Il invoquait les avertissements du 8 mars et du 16 septembre 2005 et relevait que le 30 septembre 2005 l'intéressée avait confirmé, en présence de ses supérieurs, qu'elle refuserait de préparer des dossiers d'endoscopie, ce qu'elle a effectivement fait le 5 octobre 2005. Ce refus inadmissible d'exécuter son travail justifiait une résiliation du contrat de travail avec effet immédiat pour justes motifs, conformément aux art. 59 al. 3 let. a et 61 de la loi sur le personnel de l'Etat de Vaud (LPers/VD; RS/VD 172.31).
C. Le 11 novembre 2005, A._ a contesté cette décision devant le Tribunal de prud'hommes de l'administration cantonale. Dans son jugement du 19 décembre 2006, cette autorité a constaté que le nouveau cahier des charges n'était pas inéquitable ni chicanier et que l'employée avait contrevenu aux art. 50 al. 1 et 2 LPers/VD et 124 du règlement d'application de cette loi (RLPers/VD; RS/VD 172.31.1) en refusant d'exécuter le travail qui pouvait raisonnablement être exigé d'elle. Le tribunal a toutefois considéré que les justes motifs de renvoi immédiat n'étaient pas réalisés et il lui a alloué le salaire auquel elle aurait eu droit si les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance du délai de congé, ainsi qu'une indemnité au sens de l'<ref-law> correspondant à deux mois de salaire.
A._ a recouru contre ce jugement devant la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Elle alléguait que les justes motifs d'une résiliation immédiate n'étaient pas réalisés, qu'il s'agissait d'une résiliation abusive ou non fondée au sens de l'art. 60 LPers/VD, ce qui lui donnait droit à un poste équivalent au sein de l'administration. A titre subsidiaire, elle demandait le paiement de son salaire jusqu'à l'échéance du délai de congé et une indemnité équivalant à six mois de salaire.
Le Tribunal cantonal a rejeté le recours par arrêt du 14 novembre 2007, notifié le 11 mars 2008. Il a considéré en substance que la recourante avait été licenciée avec effet immédiat en application de l'art. 61 LPers/VD et qu'elle ne pouvait dès lors pas prétendre à sa réintégration ou à un poste équivalent. En effet, en cas de résiliation immédiate jugée illégitime, l'art. 61 LPers/VD renvoie aux règles des art. 337b et 337c CO, qui ne prévoient pas de telles possibilités. De plus, c'était en vain que la recourante contestait les faits en ce qui concerne la faute commise, à savoir le refus d'exécuter des tâches prévues par son cahier des charges. Enfin, l'octroi d'une indemnité équivalant à deux mois de salaire ne prêtait pas le flanc à la critique.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, de déclarer abusive et non fondée la résiliation des rapports de travail et d'ordonner sa réintégration dans un poste équivalent. Elle conclut subsidiairement à ce que l'Etat de Vaud soit condamné à lui verser une indemnité correspondant à six mois de salaire et, plus subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt. L'Etat de Vaud a présenté des observations; il conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. La décision attaquée a été rendue en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. La recourante conclut principalement à sa réintégration au service de l'Etat de Vaud et subsidiairement au versement d'une indemnité. Dès lors que son action a, en tout cas partiellement, un but économique et dans la mesure où son objet peut être apprécié en argent, il y a lieu de considérer qu'il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire (cf. Fabienne Hohl, Procédure civile, Tome II, Berne 2002, p. 77; Jean-François Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. II, Berne 1990, p. 196 ss). Il s'ensuit que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La contestation porte sur la réintégration au service de l'Etat pour une durée indéterminée et, subsidiairement, sur l'octroi d'une indemnité équivalant à six mois de salaire au lieu de deux. La valeur litigieuse atteint donc le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public dans ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF). Dès lors que l'arrêt attaqué rejette le recours formé contre la décision de résiliation de son contrat de travail, la recourante est particulièrement atteinte par ce prononcé et elle a un intérêt digne de protection à son annulation; elle a donc la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 let. b et c LTF). Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Dans un premier grief, la recourante se plaint d'une "violation du droit public cantonal". Elle cite le texte des art. 59, 60 et 61 LPers/VD et expose en substance que le Tribunal cantonal a mal appliqué ces dispositions et qu'elle "ne saurait accepter cette interprétation du droit cantonal public vaudois".
Le recours au Tribunal fédéral peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris les droits constitutionnels (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4132). En revanche, la violation du droit cantonal ne constitue pas un motif de recours, sous réserve de celle des droits constitutionnels cantonaux et des dispositions cantonales sur le droit de vote des citoyens ainsi que sur les élections et votations populaires (art. 95 let. c et d LTF), ce qui n'entre pas en considération dans le cas d'espèce. Sont également réservés les cas où le recourant soutient que la violation de dispositions légales cantonales est constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law>, telle que l'interdiction de l'arbitraire ancrée à l'art. 9 Cst.
La recourante se borne en l'occurrence à critiquer l'application du droit cantonal sans aucunement démontrer, ni même alléguer, que cette application serait arbitraire ou qu'elle porterait atteinte à ses droits constitutionnels Or, conformément à l'<ref-law>, les griefs de violation du droit constitutionnel ne peuvent être examinés que s'ils sont invoqués et motivés; ils répondent en outre à des exigences de motivation accrues, correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (<ref-ruling> consid. 2 p. 591 et les références). Le Tribunal fédéral ne peut dès lors pas entrer en matière sur ce premier moyen, qui doit être déclaré irrecevable.
3. Dans un deuxième grief, la recourante se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits. Elle reproche en substance au Tribunal cantonal d'avoir retenu de manière choquante qu'elle avait failli à son devoir de fournir des prestations de qualité au sens de l'art. 50 LPers/VD.
3.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 17; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 219; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 178). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2a p. 41).
3.2 En l'occurrence, la recourante allègue qu'il serait manifestement choquant de retenir qu'elle avait refusé d'exécuter un travail qui pouvait raisonnablement être exigé d'elle, contrevenant ainsi à son obligation de fournir des prestations de qualité. Elle se prévaut du fait qu'elle aurait donné entière satisfaction à son employeur depuis son engagement, le 1er juin 1999, jusqu'à la fin du mois de novembre 2004. A partir de ce moment, les relations avec son supérieur direct se seraient dégradées "avec la complaisance du directeur des ressources humaines". Le nouveau cahier des charges, que la recourante qualifie de vexatoire, aurait servi de prétexte pour résilier le contrat de travail.
Le Tribunal cantonal ne remet pas en cause le fait que la recourante ait donné satisfaction de juin 1999 à novembre 2004, de sorte que c'est en vain qu'elle se prévaut de cet élément. L'arrêt querellé constate en revanche que l'intéressée n'a pas respecté le nouveau cahier des charges, qui n'apparaissait pas chicanier ou inéquitable. La modification du cahier des charges consistait en effet à remplacer certaines tâches administratives par d'autres tâches de qualité équivalente, qui ne s'éloignaient guère des attributions antérieures de l'intéressée. Or, la recourante ne démontre pas l'inexactitude de ces constatations. Elle n'explique notamment pas pour quelles raisons les nouvelles tâches qui lui ont été confiées seraient "vexatoires". De plus, le fait qu'une procédure était en cours en ce qui concerne le premier avertissement ne la dispensait pas d'effectuer les tâches prévues par son cahier des charges. En omettant de le faire, elle a effectivement violé son obligation de fournir des prestations de qualité. Quant à la prétendue complaisance du directeur des ressources humaines à l'égard de son supérieur direct et l'utilisation du cahier des charges comme prétexte pour mettre fin au contrat, il s'agit de simples allégations qui n'apparaissent pas étayées par des éléments figurant au dossier. En tous les cas, la recourante ne mentionne pas les moyens de preuve que l'autorité intimée aurait omis de prendre en compte à cet égard. En définitive, elle ne démontre pas en quoi les faits auraient été constatés ou appréciés de manière arbitraire au sens de la jurisprudence susmentionnée.
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 10 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Le Greffier:
Aemisegger Rittener