Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene B._ war ab 1999 als Wagenführer bei der Unternehmung X._ angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 28. Januar 2004 erlitt er einen ersten Unfall (Sturz auf Hand und Becken). Die SUVA erbrachte vorübergehend Leistungen. Hingegen verneinte sie einen Leistungsanspruch des Versicherten für festgestellte kleine Diskushernien im lumbalen Bereich mangels Unfallkausalität. Das wurde letztinstanzlich mit Urteil des Bundesgerichts vom 4. Juni 2007 (U 559/06) bestätigt. Am 16. Juli 2005 erlitt B._ in Ungarn als Beifahrer in einem VW Golf einen Unfall. Ein nachfolgender Mazda fuhr ins Heck des auf der Autobahn mit einer Geschwindigkeit von rund 110 bis 120 km/h fahrenden VW. Dieser prallte anschliessend gegen die Leitplanke. B._ suchte am 25. August 2005 in der Schweiz den Hausarzt auf, welcher mit Bericht vom 16. September 2005 eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte und eine Arbeitsunfähigkeit attestierte. Der Hausarzt führte sodann aus, es bestehe bereits aufgrund einer früheren Gesundheitsschädigung seit 16. August 2004 eine volle Arbeitsunfähigkeit. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Anlässlich der kreisärztlichen Untersuchung vom 19. Juli 2006 machte der Versicherte geltend, er habe beim Unfall vom 16. Juli 2005 auch einen Zahnschaden erlitten. Mit Verfügung vom 24. Oktober 2006 verneinte die SUVA ihre Leistungspflicht hiefür mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und den Zahnbeschwerden. Mit Verfügung vom 25. Oktober 2006 stellte sie sodann die für Folgen des Unfalls vom 16. Juli 2005 erbrachten Leistungen auf den 30. November 2006 ein und verneinte zugleich einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung führte sie aus, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch bestehenden Beschwerden. Auf die vom Versicherten eingereichten Einsprachen hin hielt die SUVA an den Verfügungen fest (Einspracheentscheid vom 29. März 2007).
B. Die von B._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 12. März 2009 ab.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, allenfalls nach Vornahme der notwendigen Abklärungen, die gesetzlichen Leistungen auszurichten; eventuell sei das Verfahren bis zum Vorliegen eines von der Invalidenversicherung in Auftrag gegebenen Gutachtens zu sistieren.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Rechtsgrundlage für die Beurteilung des streitigen Anspruchs auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die erforderlichen kausalen Zusammenhänge mit den sich jeweils stellenden Beweisfragen.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (<ref-ruling> E. 3 S. 181). Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (sog. Schleudertrauma-Praxis; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen). Die Kriterien nach der mit <ref-ruling> begründeten Schleudertrauma-Praxis wurden mit <ref-ruling> teilweise modifiziert. Demgegenüber blieben die Kriterien nach der Psycho-Praxis (<ref-ruling>) unverändert (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 116 und E. 10.3 S. 130).
3. Der Versicherte klagte nach dem Unfall vom 16. Juli 2005 namentlich über Nacken- und Kopfschmerzen. Die SUVA hat die hiefür erbrachten Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen auf den 30. November 2006 eingestellt und zugleich einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung verneint. Das kantonale Gericht hat dies bestätigt.
3.1 Der Beschwerdeführer wendet zunächst ein, es sei fraglich, ob im Zeitpunkt des Fallabschlusses der medizinische Endzustand im Sinne von <ref-law> erreicht gewesen sei.
3.1.1 Nach Gesetz (<ref-law>) und Praxis hat der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung von Heilbehandlung und Taggeld sowie Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes der versicherten Person erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (<ref-ruling> E. 4.1 S. 112 mit Hinweisen). Ob eine namhafte Besserung noch möglich ist, bestimmt sich insbesondere nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit diese unfallbedingt beeinträchtigt ist. Dabei verdeutlicht die Verwendung des Begriffes "namhaft" durch den Gesetzgeber, dass die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss. Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 115).
3.1.2 Eingliederungsmassnahmen der IV stehen im vorliegenden Fall nicht zur Diskussion. Sodann kann nach Lage der medizinischen Akten verlässlich gesagt werden, dass eine Fortsetzung der Heilbehandlung keine namhafte Besserung mehr erwarten liess. Vielmehr wurde mehrheitlich von einer Chronifizierung der Beschwerden ausgegangen. Wie aus dem Bericht des Psychiatrie-Zentrums Y._ vom 10. Mai 2006 hervorgeht, zeigte zudem die psychotherapeutische/psychiatrische Psychotherapie wenig Erfolg und durften auch von der angeregten interdisziplinären Zusammenarbeit nur kleine Behandlungserfolge erwartet werden. In der Beschwerde wird denn auch nicht weiter begründet, inwiefern eine Fortsetzung der Heilbehandlung noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes versprach. Der Zeitpunkt des Fallabschlusses ist mithin rechtens.
3.2 Die Vorinstanz hat bei der Verneinung eines weiteren Leistungsanspruchs zunächst erwogen, es liege keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor, welche die geklagten Beschwerden zu erklären vermöge.
Diese Beurteilung beruht auf einer nicht zu beanstandenden Würdigung der medizinischen Akten. Hervorzuheben ist, dass die Untersuchungen von HWS und Neurocranium mittels MR resp. CT keine relevanten Befunde ergeben haben, welche gegebenenfalls auf den Unfall zurückzuführen wären. Die entsprechenden Abklärungsberichte und die Aussagen des Kreisarztes sowie des Neurologen Dr. med. W._ dazu sind entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung genügend umfassend, klar und nachvollziehbar, um als verlässliche Entscheidgrundlage zu dienen. Weitere fachärztliche Beurteilungen der vorhandenen Bilder sind ebenso wenig erforderlich wie zusätzliche medizinische Abklärungen mittels bildgebenden oder anderen Untersuchungsmethoden. Was im Besonderen den Antrag auf Anordnung einer funktionellen Magnetresonanztomographie (fMRT; englisch: functional magnetic resonance imaging, fmri) betrifft, ist festzuhalten, dass es dieser Untersuchungsmethode nach der Rechtsprechung und nach dem jetzigen Stand der medizinischen Wissenschaft an verlässlicher Aussagekraft für die Beurteilung der Unfallkausalität von Beschwerden mangelt (<ref-ruling>). Mit der überdies beantragten neurologischen/neuropsychologischen Abklärung wäre für die Frage einer organisch nachweisbaren Unfallfolge ebenfalls nichts gewonnen. Die Rüge des Versicherten, Unfallversicherer und Vorinstanz hätten den Untersuchungsgrundsatz verletzt, ist daher unbegründet. Den Schluss auf eine objektivierte organische Unfallfolge lassen sodann auch die in der Beschwerde erwähnten Symptome, wie Einschränkung der HWS-Beweglichkeit, Klopf- und Druckdolenzen sowie Muskelhartspann, nicht zu (vgl. SVR 2008 UV Nr. 2 S. 3, U 328/06 E. 5.2 mit Hinweisen).
3.3 Fehlt es nach dem Gesagten an einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalles vom 16. Juli 2005 schliesst das zwar die natürliche Unfallkausalität der bestehenden Beschwerden nicht aus. Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat kann der zusätzlich zum natürlichen erforderliche adäquate Kausalzusammenhang aber nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 2 hievor). Ergibt sich hiebei, dass es an der Adäquanz fehlt, erübrigen sich auch Weiterungen zur natürlichen Kausalität (vgl. SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67, U 183/93 E. 3c; Urteil 8C_70/2009 vom 31. Juli 2009 E. 3 Ingress mit Hinweis).
3.4 Unfallversicherer und Vorinstanz haben die Adäquanz geprüft und verneint. Sie gingen dabei davon aus, es fehle am schleudertraumatypischen Beschwerdebild resp. es liege eine psychische Überlagerung vor. Daher sei der adäquate Kausalzusammenhang nach der Psycho-Praxis zu beurteilen. Der Beschwerdeführer erachtet die Schleudertrauma-Praxis für anwendbar.
Es erscheint in der Tat eher fraglich, ob die Voraussetzungen für die Adäquanzbeurteilung nach der Schleudertrauma-Rechtsprechung erfüllt sind, zumal als erste ärztliche Stellungnahme der - wenig aussagekräftige - Bericht vom 16. September 2005 über die ab 25. August 2005 begonnene hausärztliche Behandlung dokumentiert ist. Auch die Angaben zum Unfallhergang sind spärlich und kaum überprüfbar. Es fehlt damit weitgehend an den ersten tatbeständlichen Grundlagen, denen für die Frage der Anwendbarkeit der Schleudertrauma-Praxis grosses Gewicht zukommt (vgl. <ref-ruling> E. 9.2 S. 123). Abschliessend muss dies aber nicht beurteilt werden, wenn die Adäquanz auch nach der Schleudertrauma-Rechtsprechung, welche in der Regel (Urteil 8C_70/2009 vom 31. Juli 2009 E. 3.2 Ingress mit Hinweis) und jedenfalls hier für die versicherte Person günstiger ist als die Psycho-Praxis, zu verneinen ist. Das gilt es zu prüfen.
3.4.1 Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (<ref-ruling> E. 10.1 S. 126; E. 2 hievor). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07 E. 5.2 und 5.3.1; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 16. Juli 2005 den mittleren Unfällen im mittelschweren Bereich zugeordnet. Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Nicht völlig ausgeschlossen wäre auch eine Einordnung bei den leichteren Fällen im mittelschweren Bereich, zumal sich der Unfall zwar bei Autobahntempo ereignet hat, es sich aber im Wesentlichen um eine Heckauffahrkollision gehandelt hat und die sich aus der Fotodokumentation ergebenden Beschädigungen am VW gegen Krafteinwirkungen sprechen, welche das bei derartigen Ereignissen übliche Mass übersteigen. Jedenfalls kann dem Versicherten, auch bei Berücksichtigung des Umstandes, dass der VW noch in die Leitplanke geprallt ist, nicht gefolgt werden, soweit er einen Grenzfall zu den schweren Unfällen postuliert. Als Unfälle mit diesem Schweregrad werden regelmässig nur Ereignisse qualifiziert, die mit markant höheren Krafteinwirkungen verbunden sind. Hiebei hat die Vorinstanz zulässigerweise auf die in RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.1, erwähnten Unfallhergänge verwiesen. Diese, wie auch die in RKUV 2005 Nr. U 548 S. 228, U 306/04 E. 3.2.2 (vgl. auch Urteil 8C_609/2007 vom 22. August 2008 E. 4.1.3 mit Hinweisen) aufgeführten, bieten entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung eine verlässliche Vergleichsgrundlage (aus jüngster Zeit: Urteil 8C_70/2009 vom 31. Juli 2009 E. 3.2.1) und stehen der Annahme, es handle sich vorliegend um den vom Versicherten geltend gemachten Unfallschweregrad, entgegen. Es bestehen keine verlässlichen Anhaltspunkte dafür, dass dieser Grad erreicht wurde.
3.4.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (vgl. <ref-ruling> E. 10.3 S. 130) müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (<ref-ruling> E. 10.1 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 6 S. 367 f.).
3.4.3 Ohne weiteres zu verneinen sind die Kriterien der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, sowie des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen. Den Akten lassen sich keine Anhaltspunkte entnehmen, welche für diese Kriterien sprechen könnten.
Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung war der Unfall auch nicht besonders eindrücklich oder von besonders dramatischen Umständen begleitet. Der Schrecken, den der Versicherte erlitten hat, hielt sich im Rahmen des bei Unfällen Üblichen, und es waren keine relevanten Begleitumstände zu verzeichnen, welche die Bejahung des Kriteriums gestatten würden. Das gilt auch bei Berücksichtigung der nach dem Zusammenstoss der Autos erfolgten Kollision mit der Leitplanke.
Anhaltspunkte für eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung liegen nicht vor. Im Wesentlichen fanden nebst medikamentöser Schmerzbehandlung eine stationäre Rehabilitation sowie ambulant Physiotherapie und später auch - namentlich mittels Medikamenten - psychotherapeutische/psychiatrische Behandlung statt. Das genügt nicht zur Bejahung des Kriteriums.
Nicht erfüllt ist auch das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Bemühungen. Zum einen war der Versicherte im Zeitpunkt des Unfalls bereits - aus unfallfremden Gründen - vollumfänglich und ohne dass sich ein Ende abzeichnete arbeitsunfähig. Zum anderen sind abgesehen vom gezeigten Einsatz bei den durchgeführten Therapien keine Anstrengungen zur raschen Wiedereingliederung ins Erwerbsleben erkennbar.
Von den verbleibenden zwei Kriterien (Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; erhebliche Beschwerden) müsste für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise gegeben sein. Das trifft nach Lage der Akten nicht zu. Damit kann offenbleiben, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form erfüllt sind. Die SUVA hat den Fall somit mangels adäquater Unfallkausalität der noch geklagten Beschwerden zu Recht folgenlos abgeschlossen.
4. Anlässlich der kreisärztlichen Untersuchung vom 19. Juli 2006 machte der Versicherte geltend, er habe sich beim Unfall vom 16. Juli 2005 auch Zahnschäden zugezogen, da er die Zähne fest zusammengebissen habe. Er reichte in der Folge eine Kostenschätzung der behandelnden Ärztin vom 3. September 2006 ein, in welcher für die Sanierung von Zahnschäden an Ober- und Unterkiefer rechts rund Fr. 10'000.- veranschlagt wurden.
4.1 Der beratende Zahnarzt der SUVA äussert sich in der Stellungnahme vom 17. Januar 2007 dahingehend, aufgrund des Unfallverlaufs sei der Kopf des Beschwerdeführers, falls er ihn überhaupt angeschlagen habe, auf der linken Seite aufgeprallt. Eine Subluxation infolge eines stumpfen Schlages von rechts auf die Zähne falle demnach ausser Betracht. Auch ein starkes Zusammenbeissen der Zähne führe im Bukkalsegment normalerweise nicht zu einer erhöhten Zahnbeweglichkeit, sondern eher zu Zahnfrakturen. Sodann sei der parodontale Einbruch am Zahn 14, welcher seine Extraktion indiziere, nicht mit genügender Wahrscheinlichkeit unfallkausal, denn es bestünden im gesamten Gebiss parodontale Probleme. Im Unterkiefer rechts sei weder eine Kausalität noch eine Indikation für die Erneuerung der Brücke gegeben.
4.2 Die Ausführungen des Zahnarztes sind mit Versicherer und Vorinstanz als überzeugend zu betrachten. Das kantonale Gericht verweist zu Recht auch darauf, dass sich die unfallbedingte Geschwindigkeitsveränderung gemäss der biomechanischen Kurzbeurteilung vom 29. März 2006 lediglich knapp innerhalb oder oberhalb eines Bereiches von 10 - 15 km/h bewegte. Dies spricht dagegen, dass ein allfälliger Kopfanprall einigermassen heftig erfolgte, was sicher Voraussetzung wäre, um ihn zumindest als Teilursache der Zahnschäden betrachten zu können. Hinzu kommt, dass der beratende Zahnarzt Zweifel daran äusserte, dass es überhaupt zu einem Kopfanprall gekommen ist. Diese Bedenken sind berechtigt, zumal sich der Versicherte hiezu widersprüchlich geäussert hat. Während er in den späteren Aussagen einen Kopfanprall geltend machte, hatte er in der unfallnächsten Stellungnahme vom 31. Oktober 2005 noch angegeben, er könne nicht mehr sagen, ob es zu einem Kopfanprall gekommen sei, "wahrscheinlich ja". Auch fand eine Kopfproblematik in den hausärztlichen Berichten keine Erwähnung; es wurden lediglich Probleme im Bereich der HWS erwähnt. Einen einigermassen heftigen Kopfanprall hätte der Versicherte wohl angegeben und auch nicht vorübergehend aus dem Gedächtnis verloren. Der Annahme, dass es beim Unfall vom 16. Juli 2005 zu den Zahnschäden gekommen ist, steht überdies entgegen, dass der Versicherte diese erst ein Jahr danach überhaupt erwähnt hat. In sämtlichen Stellungnahmen des Versicherten und Arztberichten aus der Zeit davor findet sich keine Aussage über einen Zahnschaden.
Wenn Versicherer und Vorinstanz zum Ergebnis gelangt sind, ein natürlich unfallkausaler Zahnschaden sei nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 181) erstellt, ist dies nach dem Gesagten nicht zu beanstanden. Was in der Beschwerde vorgebracht wird, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Namentlich ist von weiteren Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt abzusehen, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen.
5. Das kantonale Gericht hat die streitigen Leistungsansprüche mithin zu Recht verneint. An diesem Ergebnis vermögen sämtliche weiteren Vorbringen in der Beschwerde nichts zu ändern. Das gilt auch für den Antrag, das Verfahren sei bis zum Vorliegen eines von der Invalidenversicherung in Auftrag gegebenen medizinischen Gutachtens zu sistieren. Es ist nicht ersichtlich und wird auch nicht weiter begründet, inwiefern diese Expertise zu einer anderen Kausalitätsbeurteilung führen könnte. Hervorzuheben ist sodann, dass entgegen der Auffassung des Versicherten die Vorinstanz der ihr obliegenden Begründungspflicht genügend nachgekommen ist.
6. Die Beschwerdegegnerin hat mit der Vernehmlassung die Übersetzung einer in Ungarn ausgestellten Strafverfügung aufgelegt. Diese ist am 25. August 2005 aufgrund des Unfalls vom 16. Juli 2005 gegenüber der Person ergangen, welche den VW gelenkt hat. Es fragt sich, ob dieses neue Beweismittel novenrechtlich zulässig ist (vgl. <ref-ruling>). Das kann indessen offenbleiben, da die Beschwerde schon aufgrund des bisher Gesagten, unabhängig von diesem Beweisstück, abzuweisen ist.
7. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Sistierungsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. September 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz