Erwägungen:
1. 1.1 Der aus der Elfenbeinküste stammende X._ (geb. 1988) reiste im September 2006 illegal in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, welches am 7. November 2006 abgewiesen wurde. Über das dagegen erhobene Rechtsmittel hat das Bundesverwaltungsgericht noch nicht entschieden. Im Rahmen des Asylverfahrens wurde X._ dem Kanton Zug zugewiesen. Das Amt für Migration dieses Kantons untersagte X._ mit Eingrenzungsverfügung vom 9. Mai 2008 mit sofortiger Wirkung, das Gebiet des Kantons Zug für die Dauer von zwei Jahren zu verlassen. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zug, AuG-Einzelrichterin, am 19. Juni 2008 insofern gut, als es die Eingrenzung auf ein Jahr befristete.
1.2 X._ beantragt dem Bundesgericht mit Eingabe vom 15. Juli 2008 sinngemäss, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 19. Juni 2008 und damit die Eingrenzungsmassnahme aufzuheben, eventuell deren Dauer zu reduzieren.
Das Bundesgericht hat die Akten der Vorinstanzen beigezogen, jedoch auf die Einholung von Vernehmlassungen verzichtet.
2. Es besteht kein Anlass von der in <ref-law> vorgesehenen Regel abzuweichen, wonach das bundesgerichtliche Urteil in der Sprache des angefochtenen Entscheids redigiert wird. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer seine Eingabe auf Französisch und damit in einer weiteren Amtssprache abgefasst hat.
3. Die Eingrenzung eines Ausländers ohne Aufenthaltsbewilligung auf ein bestimmtes Gebiet der Schweiz kann gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) bei Störung oder Gefährdung der öffentlichen Sicherheit und Ordnung angeordnet werden.
3.1 Vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer lediglich geltend, die gegen ihn verfügte Massnahme sei unverhältnismässig (vgl. zum Verhältnismässigkeitsprinzip Urteil 2C_231/2007 vom 13. November 2007, E. 3.4 mit Hinweis). Das Verwaltungsgericht habe zu sehr auf das öffentliche Interesse, ihn von der Begehung von Delikten abzuhalten, abgestellt. Dagegen habe es seine persönliche Situation nicht hinreichend berücksichtigt: Er habe eine Freundin in Bern, die von ihm im zweiten Monat schwanger sei. Die Eingrenzung hindere ihn daran, sie zu sehen, ihre gemeinsame Beziehung aufrechtzuerhalten und zu vertiefen.
3.2 Das Verwaltungsgericht ist der Auffassung, der angeblichen Freundin sei ohne weiteres möglich, den persönlichen Kontakt mit dem Beschwerdeführer im Kanton Zug zu pflegen. Hiegegen wendet Letzterer einzig ein, die ganze Last zur Aufrechterhaltung der Beziehung hätte dann künftig seine Freundin zu tragen. Das allein rechtfertigt indes nicht, die angefochtene Massnahme aufzuheben, zeitlich abzukürzen oder den Rayon der Eingrenzung zu erweitern: Der Beschwerdeführer, der sich in der Schweiz derzeit lediglich aufgrund seines noch nicht abgeschlossenen Asylverfahrens aufhalten darf, wurde wiederholt im Drogenmilieu in Solothurn und anschliessend in Bern angetroffen und verstiess zudem gegen eine Ausgrenzungsverfügung in Solothurn; polizeilichen Kontrollen versuchte er sich teilweise durch Flucht zu entziehen. Ausserdem gab er zu, Kokain zu konsumieren, weigerte sich jedoch anzugeben, wo er die Drogen beziehe und wie er diese finanziere. Nach dem Gesagten besteht ein Interesse, den Beschwerdeführer unter anderem auch vom Kanton Bern fernzuhalten. Demzufolge erscheint die auf ein Jahr befristete Eingrenzungsmassnahme auf den Kanton Zug als verhältnismässig. Dass der Beschwerdeführer wegen Betäubungsmitteldelikten strafrechtlich bisher nicht verurteilt worden ist, ist unerheblich (vgl. auch Urteil 2A.148/2003 vom 30. Mai 2003, E. 3.3).
Soweit der Beschwerdeführer rügt, er werde der Geburt des gemeinsamen Kindes wegen der Eingrenzungsverfügung nicht beiwohnen können, ist ihm entgegenzuhalten, dass auf Antrag allenfalls eine Ausnahmebewilligung erteilt werden kann (vgl. Urteil 2A.514/2006 vom 23. Januar 2007, E. 3.3.4 in fine).
4. Für alles Weitere kann auf die ausführlichen und zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid der Vorinstanz verwiesen werden (<ref-law>). Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist daher im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen. Mit dem Entscheid in der Hauptsache wird der gleichzeitig mit Beschwerderhebung gestellte Antrag auf aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Bei diesem Ausgang hat der Beschwerdeführer an sich die Gerichtskosten zu tragen. Mit Blick auf seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse wird aber praxisgemäss auf die Erhebung von Kosten verzichtet (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird damit ebenfalls gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Merz