Erwägungen:
1. Am 16. Oktober 2009 erhob X._ in dem vor dem Einzelrichter des Kantonsgerichts von Appenzell Ausserrhoden hängigen Verfahren ER3 08 275 eine Rechtsverweigerungsbeschwerde. Dabei ersuchte er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
Mit Entscheid vom 13. November 2009 hat der Präsident der Justizaufsichtskommission des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden das Gesuch abgewiesen.
Hiergegen führt X._ Beschwerde ans Bundesgericht. Bei den gegebenen Verhältnissen hat dieses davon abgesehen, Stellungnahmen einzuholen.
2. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch <ref-ruling> E. 2 S. 315 sowie 134 II 349 E. 3 S. 351 f.; <ref-ruling> insb. E. 1.4 S. 254). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer kritisiert den angefochtenen Entscheid auf ganz allgemeine Weise. Dabei legt er indes nicht im Einzelnen dar, inwiefern dessen Begründung bzw. der Entscheid im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Mangels einer hinreichenden Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
Ergibt sich das Nichteintreten bereits aus dem genannten Grunde, sind die übrigen Eintretensvoraussetzungen - namentlich diejenigen nach <ref-law> - nicht weiter zu erörtern.
3. Angesichts der Aussichtslosigkeit des vorliegenden Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu stattzugeben (<ref-law>). Entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden sowie dem Kantonsgericht und dem Obergericht von Appenzell Ausserrhoden, Präsident Justizaufsichtskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. November 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp