Sachverhalt:
A. Die 1981 geborene B._ leidet an einer spinalen Muskelatrophie Typ II (Kugelberg-Welander), welche zu einer Parese der unteren Extremitäten und einer Kraftminderung der oberen Extremitäten führt. Die Invalidenversicherung anerkannte ein Geburtsgebrechen (Ziff. 383 des Anhangs zur GgV) und übernahm unter anderem die Mehrkosten für die Erlangung der Maturität (anfangs des Jahres 2001) sowie für das spätere Studium der Mathematik und die Absolvierung des höheren Lehramtes. Für die Belange der Invalidenversicherung galt die Ausbildung als seit Sommer 2007 abgeschlossen (Bericht des Eingliederungsverantwortlichen der Invalidenversicherung vom 4. Juli 2008). Seit August 2008 arbeitet B._ in einem Teilpensum als Mathematiklehrerin. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau sprach ihr unter der gutachtlich abgestützten Annahme, sie sei als Lehrerin zu höchstens 50 Prozent arbeitsfähig, für die Zeit nach Abschluss der beruflichen Ausbildung (ab Juli 2007) eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 26. Oktober 2009).
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies die hiergegen erhobene Beschwerde ab, mit welcher die Erhöhung der Invalidenrente um einen Drittel (<ref-law>), eventuell die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zur ergänzenden Sachverhaltsermittlung bzw. zur Neuberechnung der Rentenhöhe, beantragt worden war (Entscheid vom 10. März 2010).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erneuert B._ die vorinstanzlich gestellten Anträge. Ausserdem ersucht sie darum, es sei ihr die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren.
Die IV-Stelle verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Strittig ist allein die Höhe der halben Invalidenrente, welche der am 23. April 1981 geborenen Beschwerdeführerin mit strittiger Verfügung vom 26. Oktober 2009 zugesprochen wurde. Nach <ref-law> betragen die Invalidenrente und allfällige Zusatzrenten einer versicherten Person mit vollständiger Beitragsdauer, die bei Eintritt der Invalidität das 25. Altersjahr noch nicht zurückgelegt hat, mindestens 133 1/3 Prozent der Mindestansätze der zutreffenden Vollrenten. Es fragt sich, unter welchen Umständen die seit ihrer Kindheit an einem invalidisierenden Gesundheitsschaden leidende Beschwerdeführerin, deren Vollzeitstudium über das vollendete 25. Altersjahr hinaus angedauert hat und die nach Abschluss ihrer erstmaligen beruflichen Ausbildung dauerhaft teilerwerbsunfähig ist, sich auf <ref-law> berufen kann.
1.2 Das kantonale Gericht erwog, die rentenspezifische Invalidität trete ein, wenn Eingliederungsmassnahmen abgeschlossen und die einjährige Wartezeit nach <ref-law> (in der hier massgebenden, bis Ende 2007 geltenden Fassung, nunmehr <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 333 und 445 E. 1.2.1 S. 447) bestanden sei. Gemäss <ref-law> bemesse sich die Invalidität von Versicherten in Ausbildung, denen die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit nicht zugemutet werden könne, nach einem Betätigungsvergleich (<ref-law> in der bis Ende 2007 geltenden Fassung, nunmehr <ref-law>). Die Beschwerdeführerin habe am 23. April 2006 ihr 25. Altersjahr vollendet. Von einem davor eingetretenen Versicherungsfall sei auszugehen, wenn im Zusammenhang mit dem Studium eine Einschränkung von mindestens 40 Prozent überwiegend wahrscheinlich sei. Den Akten seien keine Hinweise auf behinderungsbedingte Einschränkungen der Studientätigkeit zu entnehmen. Zudem lasse sich die bei der interdisziplinären Begutachtung im Mai 2009 hinsichtlich der Lehrtätigkeit attestierte Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent nicht ohne Weiteres auf die Leistungsfähigkeit im Studium übertragen. Es erscheine nicht überwiegend wahrscheinlich, dass bereits im April 2005 eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 40 Prozent vorhanden gewesen sei. Damit sei auch nicht ausgewiesen, dass die Invalidität bei Vollendung des 25. Altersjahres im April 2006 bereits eingetreten war. Bei der Bemessung der Rentenbetrags könne <ref-law> daher nicht angewandt werden.
2. 2.1 <ref-law> (in seiner ursprünglichen Fassung) wurde mit der achten Revision der Alters- und Hinterlassenenversicherung in das IVG eingefügt (AS 1972 S. 2497), um Versicherte, die vor dem Abschluss ihrer beruflichen Ausbildung invalid werden, mit den Geburts- und Kindheitsinvaliden rentenmässig gleichzustellen. In seiner Botschaft führte der Bundesrat aus, durch die Erhöhung der ausserordentlichen Invalidenrente für Geburts- und Kindheitsinvalide um 25 Prozent gemäss <ref-law> könne der Fall eintreten, dass Frühinvalide mit Beitragsleistungen niedrigere ordentliche Invalidenrenten als die Geburts- und Kindheitsinvaliden ohne Beitragsleistungen erhielten. Dies sei vorab bei jungen Versicherten möglich, die während der beruflichen Ausbildung invalid werden. Damit solche Frühinvalide, welche - sei es als gelegentlich Erwerbstätige oder als Nichterwerbstätige - verhältnismässig geringe Beiträge geleistet hätten, nicht benachteiligt würden, sei für sie eine Mindestgarantie vorgesehen. Sie erhielten über einen Zuschlag (von wenigstens einem Viertel der Mindestansätze der zutreffenden Vollrente) mindestens gleich hohe Renten wie die Geburts- und Kindheitsinvaliden. Diese Regelung müsse allerdings auf Versicherte bis zu einem Höchstalter beschränkt bleiben, solle sie ihrer Zweckbestimmung gerecht werden und nicht zu einer allgemeinen Erhöhung der Mindestrente führen. Deshalb sei in Anlehnung an den Anspruch auf Waisen- und Kinderrenten im Ausbildungsfall die Mindestgarantie jugendlichen Versicherten vorbehalten, die vor Vollendung des 25. Altersjahrs invalid werden (BBl 1971 II S. 1099 f. und 1138). Nachdem der Zuschlag in <ref-law> in den parlamentarischen Beratungen der 8. AHV-Revision auf einen Drittel angesetzt worden war, wurde <ref-law> mit der 9. AHV-Revision entsprechend angeglichen (BBl 1976 III S. 72; AS 1978 S. 406).
2.2 Zu prüfen ist, was unter "Eintritt der Invalidität" ("survenance de l'invalidité", "insorgenza dell'invalidità") gemäss <ref-law> zu verstehen ist.
2.2.1 Die dem <ref-law> entsprechende Bestimmung von <ref-law> sieht einen Zuschlag zur ausserordentlichen Rente vor, wenn die Invalidität bis zu einem bestimmten, mit dem Alter der versicherten Person zusammenhängenden Zeitpunkt eingetreten ist. Das Bundesgericht hat festgehalten, dass dafür die Entstehung des Rentenanspruchs entscheidend ist (ZAK 1974 S. 253 = RCC 1974 S. 233, I 225/73 E. 2). Die darin zum Ausdruck kommende Auslegung des Invaliditätsbegriffs ist auch mit Bezug auf <ref-law> langjährig geübte Praxis (vgl. z.B. die Urteile I 21/00 vom 11. Januar 2001 E. 2b in fine und I 98/92 vom 27. Mai 1993 E. 4), zumal die Verwaltungsweisung, wonach ausdrücklich der Beginn des Rentenanspruchs als massgebender Beginn der Invalidität im Sinne von <ref-law> gilt (Wegleitung über die Renten [RWL] in der Eidg. Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung Ziff. 5677), von der Rechtsprechung nie in Frage gestellt wurde.
2.2.2 Die Beschwerdeführerin konnte infolge ihres Geburtsgebrechens seit dem Jahr 1985 verschiedentlich Leistungen der Invalidenversicherung (medizinische Massnahmen, Hilfsmittel, berufliche Massnahmen) in Anspruch nehmen. Sie leitet daraus ab - und belegt es mit einem ärztlichen Zeugnis vom 28. April 2010 und einer Bestätigung ihrer Eltern vom 1. Mai 2010 -, dass sie mindestens seit April 2005 (in ihrem Studium) zu mehr als 40 Prozent eingeschränkt war. Mithin wird geltend gemacht, "Eintritt der Invalidität" bedeute im hiesigen Zusammenhang Eintritt der voraussichtlichen (ganzen oder teilweisen) Erwerbsunfähigkeit. Diese Auslegung des Invaliditätsbegriffs in <ref-law> bedeutete nach dem Gesagten eine Änderung der Rechtsprechung. Eine Praxisänderung lässt sich mit der Rechtssicherheit grundsätzlich nur vereinbaren, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der Ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelten Rechtsanschauungen entspricht. Diese Gründe müssen umso gewichtiger sein, je länger die bisherige Rechtsanwendung für zutreffend erachtet wurde (<ref-ruling> E. 2.2 S. 316 mit Hinweisen).
2.2.3 Es sind indessen keine Gründe erkennbar, die eine Änderung der langjährigen Praxis rechtfertigen könnten. Der Inhalt des Invaliditätsbegriffs hängt vom jeweiligen rechtlichen Kontext ab. Gemäss <ref-law> gilt die Invalidität als eingetreten, sobald sie die für die Begründung des Anspruchs auf die jeweilige Leistung erforderliche Art und Schwere erreicht hat (leistungsspezifischer Begriff der Invalidität; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 348). Ausschlaggebend ist nach wie vor die Konnexität zwischen der Leistungsart (Invalidenrente) und dem Zuschlag gemäss <ref-law>. Demnach kann ein früher eingetretener Anspruch auf andere Leistungen der Invalidenversicherung (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 22) hier genauso wenig konstitutiv sein wie eine nach Ausbildungsabschluss zu erwartende Erwerbsunfähigkeit.
2.2.4 In der Sitzung der beiden betroffenen vereinigten sozialrechtlichen Abteilungen vom 29. September 2011 hat eine Änderung der in E. 2.2.1 zitierten Rechtsprechung keine Mehrheit gefunden. Unter "Eintritt der Invalidität" im Sinne von <ref-law> ist daher (<ref-law> in Verbindung mit Art. 37 Abs. 4 erster Satz BGerR) weiterhin der Eintritt der rentenbegründenden Invalidität (Versicherungsfall Invalidenrente nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und Art. 4 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>) zu verstehen.
2.3 Eine Erhöhung des Mindestansatzes der Vollrente nach <ref-law> wäre begründet, wenn der Beschwerdeführerin aufgrund eines behinderungsbedingten Rückstandes in der beruflichen Ausbildung bis spätestens zur Vollendung des 25. Altersjahrs im April 2006 (nach Ablauf der einjährigen Wartezeit; <ref-law>) eine Invalidenrente gemäss <ref-law> zuzusprechen gewesen wäre (vgl. ZAK 1970 S. 296, I 224/69; Ulrich Meyer, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 2. Aufl. 2010, S. 333). Die Beschwerdeführerin müsste also durch ihr Leiden in der Absolvierung des Studiums so erheblich behindert gewesen sein, dass sie es (nur) infolge einer daraus resultierenden Verzögerung nicht bis spätestens April 2005 abschliessen konnte.
Den Akten kann nicht entnommen werden, dass die Beschwerdeführerin - im hypothetischen Gesundheitsfall - überwiegend wahrscheinlich noch vor dem 24. Geburtstag (Wartejahr) das Studium abgeschlossen und eine Erwerbstätigkeit aufgenommen hätte. Der einzige Hinweis auf die Studiendauer findet sich in einem Gesuch um Verlängerung der "Kostengutsprache für erstmalige berufliche Ausbildung" vom 29. November 2005. Die Beschwerdeführerin teilte der Verwaltung darin mit, in der ursprünglichen Verfügung sei für das Mathematikstudium eine Dauer von acht Semestern angenommen worden, "was das absolute Minimum ist und nur selten von jemandem geschafft wird". Da sie seit dem laufenden Semester parallel dazu das höhere Lehramt absolviere, um als Lehrerin an einer Mittelschule tätig sein zu können, werde sie das Studium voraussichtlich erst im Juni 2007 beenden. Zwar kann ohne Weiteres davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin während des Studiums in vielen täglichen Verrichtungen erheblich eingeschränkt war und durch die umfassende Unterstützung durch ihre Eltern in ihrer Lebensführung stark entlastet wurde (vgl. oben E. 2.2.2). Jedoch ist nicht ersichtlich, dass sich der gesamte Ausbildungsgang leidensbedingt verlängert hat. Mithin entstand der Rentenanspruch erst für die Zeit nach Abschluss der beruflichen Massnahme (Mitte des Jahres 2007; vgl. AHI 2001 S. 152 E. 3b, I 201/00). Ihr 25. Altersjahr hatte die Beschwerdeführerin bereits im April 2006 vollendet.
2.4 Die Beschwerdeführerin macht schliesslich geltend, es komme einer unzulässigen Ungleichbehandlung gleich, wenn eine versicherte Person aufgrund des Umstandes, dass sie ein Studium absolviere, anders behandelt werde als andere Geburts- und Frühinvalide, für welche der Versicherungsfall hinsichtlich einer Rente regelmässig bereits im Zeitpunkt der Vollendung des 18. Altersjahrs eintrete (es sei denn, die Eingliederung dauere zu diesem Zeitpunkt noch an; Rz. 1032 des Kreisschreibens über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung [KSIH]). Diese Konsequenz ist in der Bestimmung des <ref-law> angelegt und damit für das Bundesgericht massgebend (<ref-law>). Wie das BSV zu Recht darlegt, gibt die betreffende Ausbildung der Beschwerdeführerin die Möglichkeit, künftig ein höheres Einkommen zu erzielen. In gleicher Lage wie die Beschwerdeführerin befinden sich im Übrigen auch versicherte Personen, die studienbedingt bis zur Vollendung des 25. Altersjahrs kaum Einkommen erzielen konnten, bevor sie bald danach einen invalidisierenden Gesundheitsschaden erleiden.
2.5 Zusätzlicher Abklärungsbedarf im Sinne des Eventualbegehrens der Beschwerdeschrift besteht keiner.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; <ref-law>) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwältin Fabienne Brandenberger-Amrhein, Amriswil, wird als unentgeltliche Anwältin der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der Ausgleichskasse für das schweizerische Bankgewerbe, Zürich, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. November 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub