Sachverhalt:
A. A.a Auf Begehren von Y._ erliess der Einzelrichter am Kreisgericht St. Gallen gestützt auf Art. 271 Abs. 1 Ziff. 1 und 6 SchKG am 13. Januar 2011 einen Arrestbefehl (Nr. 1) gegenüber A._ für eine Forderung von Fr. 275'850.-- nebst (näher bezeichneten) Zinsen. Als Arrestgegenstände wurden genannt:
"Sämtliche Vermögenswerte bei der Bank B._ AG, lautend auf den Schuldner [A._] und/oder auf die C._ Asset Management, d.h. insbesondere auf Konto Nr. 2 und allfällig weitere Konten, Depots und Guthaben."
Der Arrest wurde am 13. Januar 2011 vom Betreibungsamt der Stadt St. Gallen vollzogen (Arresturkunde vom 17. Januar 2011). Die von der C._ Asset Management LPP erhobene Arresteinsprache blieb ohne Erfolg, und Y._ (Arrestgläubiger) prosequierte den Arrest durch Anhebung der Betreibung Nr. 5.
A.b In der von X._ gegen die C._ Vermögensverwaltung LPP angehobenen Betreibung Nr. 3 (auf Arrestprosequierung) vollzog das Betreibungsamt am 5. August 2011 die Pfändung Nr. 4. Dabei wurde das Folgende gepfändet:
"Guthaben auf drei (bezeichneten) Konten und in einem (bezeichneten) Depot, lautend auf die Schuldnerin C._ Vermögensverwaltung LPP bei der Bank B._ AG."
In der Pfändungsurkunde vom 7. September 2011 merkte das Betreibungsamt gestützt auf <ref-law> die provisorische Teilnahme des Arrestgläubigers Y._ an der Pfändung an und wies darauf hin, dass auf die gepfändeten Vermögenswerte bereits Arrest gelegt worden sei.
A.c Gegen die Pfändungsurkunde erhob X._ am 20. September 2011 betreibungsrechtliche Beschwerde und verlangte (im Hauptantrag) die Aufhebung des provisorischen Anschlusses zu Gunsten von Y._ an der Pfändung Nr. 4; zudem beantragte er die "Auszahlung der gepfändeten Vermögenswerte". Mit Entscheid vom 11. November 2011 hiess der Einzelrichter am Kreisgericht St. Gallen als untere Aufsichtsbehörde für das Betreibungswesen die Beschwerde gut und hob den Teilnahmevormerk für die Betreibung Nr. 5 (des Arrestgläubigers Y._) an der Pfändung Nr. 4 auf. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen.
B. Hiergegen gelangte Y._ am 24. November 2011 an das Kantonsgericht St. Gallen als obere kantonale Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung. Mit Entscheid vom 1. März 2012 hiess die obere Aufsichtsbehörde die Beschwerde gut und hob den erstinstanzlichen Entscheid auf, so dass im Ergebnis der Pfändungsanschluss bestätigt wurde.
C. X._ hat am 16. März 2012 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Der Beschwerdeführer verlangt (im Hauptantrag), es seien der Entscheid der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde vom 1. März 2012 sowie der Teilnahmevormerk/provisorische Anschluss der Betreibung Nr. 5 des Arrestgläubigers Y._ (Beschwerdegegner) an der Pfändung Nr. 4 aufzuheben. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurückzuweisen. Im Subeventualantrag verlangt er seinerseits die Teilnahme für weitere Forderungen gegen A._ an der Pfändung Nr. 4.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Entscheid der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde, welche die Beurteilung der Teilnahme eines Gläubigers an einer Pfändung zum Gegenstand hat. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Sie ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (<ref-law>).
1.2 Die Beschwerde gegen den letztinstanzlichen Entscheid ist fristgemäss erhoben worden (Art. 75 Abs. 1, Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG). Der Beschwerdeführer ist als Pfändungsgläubiger zur Beschwerde in Zivilsachen ohne weiteres legitimiert (<ref-law>).
1.3 Mit vorliegender Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
2. 2.1 Die untere Aufsichtsbehörde hat geprüft, ob die gepfändeten Gegenstände mit den verarrestierten Gegenständen identisch seien. Sie hat festgehalten, dass Pfändungsobjekt die Vermögenswerte der C._ Vermögensverwaltung LPP, währenddem Arrestobjekt die auf A._ und/oder C._ Asset Management lautenden Vermögenswerte seien. Da die Berechtigten nicht gleich bezeichnet seien, fehle es an ausreichenden Anhaltspunkten, dass die gepfändeten mit den verarrestierten Vermögensgegenstände identisch seien. Damit bestehe kein Grund für den Teilnahmevormerk des Arrestgläubigers (Beschwerdegegners) an der Pfändung.
2.2 Die obere Aufsichtsbehörde bezeichnet (ebenfalls) als Streitgegenstand, ob vom gleichen Pfändungs- bzw. Arrestobjekt auszugehen sei.
2.2.1 Der Beschwerdeführer mache indessen keine Verfahrensfehler geltend, ebenso wenig seien sie ersichtlich. Er wende sich vielmehr gegen den materiellen Bestand der Forderung des Arrestgläubigers gegenüber der Schuldnerin C._ Vermögensverwaltung LPP. Auf die betreibungsrechtliche Beschwerde hätte die Erstinstanz nicht eintreten sollen. Ob die Kollokationsklage nach <ref-law> möglich sei, liess die obere Aufsichtsbehörde offen.
2.2.2 Selbst wenn die betreibungsrechtliche Beschwerde zulässig sei, müsse sie gutgeheissen werden. Entgegen der Auffassung der Erstinstanz liege in der Bezeichnung C._ Vermögensverwaltung LPP (betreffend Pfändungsgut) und C._ Asset Management (betreffend Arrestgut) kein Unterschied. In der Pfändung und dem vorangegangenen Arrest gehe es um die gleichen Vermögenswerte, weshalb der provisorische Pfändungsanschluss des Arrestgläubigers rechtens sei.
2.3 Der Beschwerdeführer hält der oberen Aufsichtsbehörde entgegen, die Auffassung, wonach er keinen Verfahrensfehler gerügt, sondern lediglich die materielle Begründetheit der Forderung (des Arrestgläubigers) bestritten habe, finde in seiner Eingabe keinen Halt und verstosse gegen seine verfassungsmässigen Rechte. Sodann verletze der vorinstanzliche Schluss, wonach die Erstinstanz zu Unrecht auf seine Beschwerde eingetreten sei, Bundesrecht. Er habe bereits vor der unteren Aufsichtsbehörde geltend gemacht, dass der provisorische Pfändungsanschluss unzulässig sei, weil (erstens) der Arrestgläubiger gar keine Forderung gegenüber der C._ Vermögensverwaltung LPP (seiner Pfändungsschuldnerin) geltend mache; darauf sei die Vorinstanz nicht eingegangen. Sodann habe (zweitens) die obere Aufsichtsbehörde zu Unrecht angenommen, die Pfändungs- und Arrestobjekte seien identisch bzw. lauteten (mit der Bezeichnung C._ Vermögensverwaltung LPP bzw. C._ Asset Management) auf die gleiche Person. Die Beweislast liege beim Arrestgläubiger, und das Betreibungsamt bzw. die Aufsichtsbehörde seien nicht zu Mutmassungen berechtigt. Schliesslich verletze die Nichtbehandlung seines Eventualantrages durch die Vorinstanz seinen Anspruch auf rechtliches Gehör.
3. Der Beschwerdeführer stellt zunächst die Annahme der Vorinstanz, dass er im erstinstanzlichen Verfahren lediglich die materielle Begründetheit einer Forderung bestritten habe, in Abrede. Die Kritik ist unbeheflich. Der Beschwerdeführer übergeht, dass die Vorinstanz in ihrer Eventualbegründung seine Vorbringen "für den Fall der Zulässigkeit der Beschwerde", d.h. falls der Beschwerdeführer das Verfahren bzw. eine Verfügung des Betreibungsamtes (<ref-law>) in Frage stellt, geprüft hat. Insoweit wird in der Beschwerdeschrift nicht dargelegt (<ref-law>), inwiefern die Vorinstanz unterlassen habe, auf die entscheidwesentlichen Argumente des Beschwerdeführers einzugehen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Damit hält die Eventualbegründung der verfassungsmässigen Vorgabe stand. Ob die Vorinstanz den Anspruch des Beschwerdeführers, nach Treu und Glauben behandelt zu werden (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 152) verletzt hat, wenn sie angenommen hat, der Beschwerdeführer habe vor der Erstinstanz lediglich "den materiellen Bestand einer Forderung bestritten", erübrigt sich zu prüfen.
4. Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Pfändung in der Betreibung des Beschwerdeführers, mit welcher Vermögenswerte gepfändet werden, die bereits Gegenstand des vom Beschwerdegegner erwirkten Arrestes sind. Die Frage der Teilnahme eines Gläubigers an einer Pfändungsgruppe bildet den Gegenstand der betreibungsamtlichen Verfügung, die der Anfechtung durch Beschwerde nach <ref-law> unterliegt (<ref-ruling> E. 3a S. 79; <ref-ruling> E. 3a S. 46). Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz die Verletzung von Bundesrecht sowie verfassungsmässigen Rechten vor, weil sie den provisorischen Pfändungsanschluss des Beschwerdegegners (Arrestgläubigers) bestätigt hat.
4.1 Unbestritten ist, dass die Pfändung von verarrestiertem Gut in Frage steht. Damit richten sich die Voraussetzungen zum Pfändungsanschluss des Beschwerdegegners nach <ref-law>. Nach dieser Bestimmung nimmt der Arrestgläubiger im Fall, dass nach Ausstellung des Arrestbefehls die Arrestgegenstände von einem anderen Gläubiger gepfändet werden, bevor der Arrestgläubiger selber das Pfändungsbegehren stellen kann, von Gesetzes wegen provisorisch an der Pfändung teil. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers setzt <ref-law> bzw. der provisorische Pfändungsanschluss des Arrestgläubigers kein Fortsetzungsbegehren voraus (<ref-ruling> E. 2 S. 114).
4.2 Der Beschwerdeführer erblickt ein Hindernis zum Pfändungsanschluss im Umstand, dass sich seine Betreibung gegen die C._ Vermögensverwaltung LPP richtet, währenddem die Betreibung des Beschwerdegegners (Arrestgläubigers) gegen A._ geht. Der Einwand ist unbehelflich. Die fehlende Schuldneridentität schliesst den provisorischen Pfändungsanschluss am gleichen (bereits verarrestierten) Vermögen nicht aus (vgl. GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. IV, 2003, N. 26 zu Art. 281). Der provisorische Pfändungsanschluss setzt lediglich die Pfändung von verarrestiertem Gut voraus. Der Beschwerdeführer übergeht, dass der provisorische Pfändungsanschluss zu Gunsten des Arrestgläubigers noch kein (Vorzugs-) Recht am Verwertungserlös begründet (<ref-law>). Die Frage, in welche von zwei Betreibungen gegen verschiedene Schuldner das gepfändete Arrestgut gehört, wird im Widerspruchsverfahren gelöst (GILLIÉRON, in: JdT 1992 II S. 159/160). Das Auslösen des Widerspruchsverfahrens ist indessen nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Mit Bezug auf den provisorischen Pfändungsanschluss vermag der Beschwerdeführer insoweit keine Rechtsverletzung darzutun.
4.3 Weiter wendet sich der Beschwerdeführer gegen die Auffassung der oberen Aufsichtsbehörde, die Pfändungs- und Arrestobjekte seien identisch bzw. lauteten auf die gleiche Person. Er macht im Wesentlichen (wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren) geltend, dass die C._ Vermögensverwaltung LPP - seine Pfändungsschuldnerin - alleinige Berechtigte an den verarrestierten Vermögenswerten ist. Er beansprucht für seine Pfändungsschuldnerin als Eigentum, was in der Betreibung gegen A._ als dessen Vermögenswert verarrestiert wurde; er bestreitet, dass A._ Berechtigter der auf "C._ Asset Management" lautetenden Vermögenswerte sei. Diese Vorbringen gehen fehl.
4.3.1 Der Arrestrichter hat entschieden, dass die Vermögenswerte von A._ "lautend (auch) auf C._ Asset Management" zu verarrestieren sind. Diese Glaubhaftmachung der Vermögenszugehörigkeit ist für das Betreibungsamt bzw. die Aufsichtsbehörden verbindlich (<ref-ruling> E. 2a S. 89; REISER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 59 zu Art. 275). Nur wenn die Vermögenswerte ganz offensichtlich nicht dem Schuldner zustehen (und <ref-law> verletzt wird), hat das Betreibungsamt den Vollzug zu verweigern (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 132; DALLÈVES, Le séquestre, FJS Nr. 740, Kap. V. D.1; AMONN/ WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Aufl. 2008, § 51 Rz. 50 mit Hinw.). Dies kann der Pfändungsschuldner - hier der Beschwerdeführer - im Rahmen des provisorischen Pfändungsanschlusses gegen den Arrestvollzug vorbringen (GILLIÉRON, Commentaire, a.a.O, N. 17 zu Art. 281).
4.3.2 Vorliegend ist die obere Aufsichtsbehörde zur Auffassung gelangt, dass die in Frage stehenden Vermögenswerte auf die gleiche Person (mit der Bezeichnung C._ Vermögensverwaltung LPP bzw. Asset Management) lauten. Sie hat ihren Schluss auf verschiedene tatsächliche Umstände gestützt, wie die Eintragungen im Handelsregister von Zypern, den Bezeichnungen in der Arresteinsprache (mit der Einsprecherin "C._ Asset Management LPP"; vgl. Lit. A.a) sowie den Bankunterlagen, in welchen insbesondere der Abkürzung "LPP" keine Bedeutung zugemessen, sondern durchwegs von "C._ Vermögensver(waltung)" gesprochen wurde.
4.3.3 Der Beschwerdeführer bezeichnet diese Erwägungen als "Mutmassungen" und hält seine Interpretation entgegen. Allerdings legt er nicht dar, dass die tatsächlichen Umstände zum Schluss führen müssen, dass die in Frage stehenden Vermögensgegenstände ganz offensichtlich verschiedenen Personen gehören. Entgegen seiner Auffassung ändert daran nichts, wenn er vor der Vorinstanz ausgeführt hat, bei "C._ Asset Management" könne es sich "allenfalls um eine Einzelfirma von A._" handeln. Die Vorinstanz hat die verschiedenen Einwände des Beschwerdeführers zu einer angeblichen Gesellschaftsform behandelt und als nicht stichhaltig erachtet. Nur weil sie (mit dem Hinweis auf S. 3 f. in der Stellungnahme) nicht auf jedes Vorbringen eingegangen ist, liegt keine Verletzung ihrer Begründungspflicht vor (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Mit seinem Vorbringen behauptet der Beschwerdeführer lediglich, dass die rechtliche Zugehörigkeit der Vermögenswerte unklar oder umstritten ist und zu klären sei (dazu E. 4.2). Hingegen vermag er nicht die Wirksamkeit des Arrestvollzugs und das Recht des Beschwerdegegners (Arrestgläubigers) zum provisorischen Pfändungsanschluss in Frage zu stellen.
4.4 Nach dem Dargelegten ist eine Verletzung von Bundesrecht oder verfassungsmässigen Rechten nicht ersichtlich, wenn die Vorinstanz den provisorischen Pfändungsanschluss des Beschwerdegegners bestätigt hat.
5. Der Beschwerdeführer rügt schliesslich, dass die obere Aufsichtsbehörde sein Eventualbegehren in der Beschwerde vom 20. September 2011 (an die untere Aufsichtsbehörde) nicht behandelt habe. In der Beschwerde an die untere Aufsichtsbehörde hat der Beschwerdeführer für den Fall der Abweisung des Hauptantrages (Aufhebung des Pfändungsanschlusses) "im Sinne der Gleichberechtigung" beantragt, dass "er zusätzlich zu seinen in Betreibung (Nr. 3) gesetzten Forderungen mit seinen Forderungen, die er gegen A._ in Betreibung (Nr. 6; Pfändung Nr. 7) gesetzt hat, zum Anschluss an die Pfändung Nr. 4 zuzulassen sei". Diesen Antrag hat der Beschwerdeführer in seiner Stellungnahme (vom 9. Dezember 2011) im Beschwerdeverfahren vor der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde nicht gestellt bzw. fallen lassen. Er hat lediglich die Abweisung des Rechtsmittels des Beschwerdegegners und die Bestätigung des erstinstanzlichen Entscheides beantragt. Darauf geht der Beschwerdeführer nicht ein. Eine Verletzung von <ref-law> ist nicht ersichtlich. Soweit der Beschwerdeführer den betreffenden Eventualantrag schliesslich im bundesgerichtlichen Verfahren (als Subeventualantrag) stellt, würde das Begehren zu einer Ausweitung des Streitgegenstandes führen; als neues Begehren ist es unzulässig (<ref-law>).
6. Der Beschwerde in Zivilsachen ist kein Erfolg beschieden. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht St. Gallen, obere kantonale Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante