Sachverhalt:
A.
Der 1958 geborene S._ war bis Ende September 2005 als Service-Mitarbeiter angestellt und deshalb bei der GastroSocial Pensionskasse (nachfolgend: Pensionskasse) für die berufliche Vorsorge versichert. Im September 2005 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügungen vom 8. Dezember 2010 eine Dreiviertelsrente ab 1. Januar 2006 und eine ganze Invalidenrente ab 1. Dezember 2007 zu. Die Verfügungen stellte sie auch der Pensionskasse zu. Diese anerkannte vorerst einen Anspruch auf eine Dreiviertelsrente ab 21. Januar 2007 und verneinte eine weitergehende Leistungspflicht aus beruflicher Vorsorge.
B.
Am 4. Mai 2012 liess S._ Klage gegen die Pensionskasse erheben mit dem Rechtsbegehren, diese sei zu verpflichten, ihm ab 1. Dezember 2007 eine volle Invalidenrente auszurichten. Die Pensionskasse liess auf "vollumfängliche" Klageabweisung schliessen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Klage mit Entscheid vom 23. August 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, der Entscheid vom 23. August 2013 sei aufzuheben und es sei ihm eine ganze BVG-Invalidenrente, eventualiter eine Dreiviertelsrente, zuzusprechen; subeventualiter sei die Sache zwecks Einholung einer neuen ärztlichen Beurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Die IV-Stelle des Kantons Zürich stellte in den Verfügungen vom 8. Dezember 2010 fest, dass der Versicherte seit 26. Januar 2005 in seiner Arbeitsfähigkeit erheblich eingeschränkt sei. In einer behinderungsangepassten Tätigkeit sei er zu 100 % arbeitsfähig gewesen, woraus 2005 ein Invaliditätsgrad von 45 % resultiert habe. Unter Verweis auf das Gutachten der MEDAS vom 19. Dezember 2008, einen am 20. Februar 2010 eingereichten Bericht des medizinischen Zentrums X._ und eine am 21. Juli 2010 vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) durchgeführte psychiatrische Exploration hat sie weiter festgestellt, seine Restarbeitsfähigkeit, die retrospektiv mit etwa 70 % in behinderungsangepasster Arbeitsplatzsituation zu postulieren sei, habe sich ab Dezember 2007 kontinuierlich vermindert. Ab September 2007 (Impingement Diagnose der linken Schulter) sei von einer maximal hälftigen und ab September 2009 (Diagnose des panvertebralen Syndroms) von einer vollständigen Einschränkung der funktionellen Leistungsfähigkeit auszugehen. Mit weiteren Einkommensvergleichen für 2006, 2007 und 2009 ermittelte sie Invaliditätsgrade von 62, 73 und 100 %. In der Folge sprach sie dem Versicherten eine Dreiviertelsrente ab 1. Januar 2006 und eine ganze Invalidenrente ab 1. Dezember 2007 zu.
2.2. Die Vorinstanz hat die Feststellungen der IV-Stelle als unhaltbar qualifiziert und deshalb eine diesbezügliche Bindung der Pensionskasse verneint. Sie hat dem MEDAS-Gutachten Beweiskraft beigemessen und gestützt darauf festgestellt, der Beschwerdeführer sei in der angestammten Tätigkeit als Kellner vollständig arbeitsunfähig, dagegen bestehe in einer behinderungsangepassten Tätigkeit eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit. Auf dieser Grundlage hat sie einen Invaliditätsgrad von 42,4 % errechnet und dementsprechend den Anspruch auf eine Viertelsrente der obligatorischen beruflichen Vorsorge bejaht.
3.
3.1.
3.1.1. Ein Entscheid der IV-Stelle ist für die Einrichtungen der beruflichen Vorsorge verbindlich, sofern die Vorsorgeeinrichtung in das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren einbezogen wurde, die konkrete Fragestellung für die Beurteilung des Rentenanspruchs gegenüber der Invalidenversicherung entscheidend war und die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheint (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69; <ref-ruling> E. 3.1 S. 273).
3.1.2. Bei der Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, welche von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Aufgabe des Arztes oder der Ärztin ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Im Weiteren sind die ärztlichen Auskünfte eine wichtige Grundlage für die Beurteilung der Frage, welche Arbeitsleistungen der Person noch zugemutet werden können (<ref-ruling> E. 4 S. 99 f.). Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
3.1.3. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 1). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 73 Abs. 2 BVG wie nach Art. 61 lit. c ATSG Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (Art. 106 Abs. 1 BGG).
3.2. Das kantonale Gericht hat einlässlich - und zutreffend - begründet, weshalb die Einschätzungen des medizinischen Zentrums X._ und des RAD sowohl in formeller als auch in materieller Hinsicht weder die Beweiskraft des MEDAS-Gutachtens (E. 3.3) erschüttern, noch den bundesrechtlichen Anforderungen (E. 3.1.2) genügende Grundlagen für eine Rentenzusprache darstellen. Insbesondere kommt einer rund eine halbe Seite umfassenden Stellungnahme des RAD, auch wenn sie auf eigener (psychiatrischer) Untersuchung beruht, bereits aus formalen Gründen nicht von vornherein die gleiche Beweiskraft zu wie einem umfassenden interdisziplinären Administrativgutachten (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3b/bb und 3b/ee; E. 3.3), was der Beschwerdeführer zu Unrecht geltend macht. Zudem ging auch die IV-Stelle zunächst davon aus, dass der Invaliditätsgrad gestützt auf das MEDAS-Gutachten auf 45 % festzulegen sei (E. 2.1); weshalb sie davon abwich und inwiefern von einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes auszugehen sein und bereits ab 1. Januar 2006 ein Anspruch auf mindestens eine Dreiviertelsrente bestehen soll, ist nicht sachlich begründbar. Demzufolge hat die Vorinstanz die Verfügungen vom 8. Dezember 2010 resp. die darin enthaltenen Feststellungen betreffend den Gesundheitszustand und die Arbeitsfähigkeit zu Recht als offensichtlich unhaltbar und daher für die Pensionskasse als nicht verbindlich (E. 3.1.1) qualifiziert.
3.3.
3.3.1. Was der Beschwerdeführer gegen die Beweiskraft des MEDAS-Gutachtens vorbringt, hält nicht stand. Der rheumatologische Experte berücksichtigte den Radiologiebericht des Röntgeninstitutes Y._ vom 25. März 2008 über ein "MRI HWS", der bereits eine Einengung des Foramen intervertebrale C5/6 auswies. Dass er dem "wechselnden Verlauf" des Leidens, der vorübergehende Verschlechterungen erwarten lässt, ungenügend Rechnung getragen haben soll, ist nicht ersichtlich, und in Bezug auf die bisherige Tätigkeit als Kellner erachtete er den Beschwerdeführer gesamthaft als nicht mehr arbeitsfähig. Ebenso bezog er die Schulterproblematik ein, und diesbezüglich fehlen konkrete Anhaltspunkte für eine Verschlechterung. Weiter hat das kantonale Gericht einleuchtend dargelegt, dass mangels Nachvollziehbarkeit nicht auf die Arbeitsfähigkeitsschätzung der Frau Dr. med. L._ vom 31. Mai 2011 abzustellen ist. In psychiatrischer Hinsicht hat die Vorinstanz zutreffend ausgeführt, weshalb die von Dr. med. H._ im Gutachten vom 5. Mai 2011 diagnostizierte somatoforme Schmerzstörung resp. die daraus abgeleitete Einschränkung der Arbeitsfähigkeit invalidenversicherungsrechtlich nicht relevant ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 f.; Art. 23 lit. a BVG), zumal in körperlicher Hinsicht angepasste Tätigkeiten uneingeschränkt zumutbar sind (vgl. auch Urteil 9C_709/2009 vom 14. Dezember 2009 E. 4.1). Schliesslich kann die ärztliche Einschätzung der Arbeitsfähigkeit, abhängig von der Gutachterperson und von den Umständen der Begutachtung, eine grosse Varianz aufweisen und trägt die ärztliche Beurteilung von der Natur der Sache her unausweichlich Ermessenszüge (<ref-ruling> E. 3.4.2.3 S. 253; Urteil 8C_25/2013 vom 20. August 2013 E. 5.1; vgl. auch Urteil 9C_465/2013 vom 27. September 2013 E. 3.4), weshalb divergierende Einschätzungen nicht von vornherein gegen die Beweiskraft des Gutachtens sprechen. Ohnehin beschränkt sich der Beschwerdeführer im Wesentlichen darauf, lediglich die medizinischen Unterlagen abweichend von der Vorinstanz zu würdigen und daraus andere Schlüsse zu ziehen, was nicht ausreicht (Urteile 9C_688/2007 vom 22. Januar 2008 E. 2.3 und 4A_28/2007 vom 30. Mai 2007 E. 1.3 [in <ref-ruling> nicht publiziert]).
3.3.2. Nach dem Gesagten genügt das MEDAS-Gutachten den bundesrechtlichen Anforderungen an die Beweiskraft (E. 3.1.2). Es besteht daher auch keine Veranlassung für die beantragte Rückweisung (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 4b S. 94). Zudem ist das kantonale Berufsvorsorgegericht im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 73 Abs. 2 BVG; ISABELLE VETTER-SCHREIBER, Kommentar BVG/FZG, 3. Aufl. 2013, N. 30 zu Art. 73 BVG) nicht an die Beweiswürdigung der Pensionskasse, die ursprünglich auf die Einschätzung der Dres. med. L._ und H._ abstellte, gebunden. Folglich bleiben die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Feststellungen betreffend die Arbeitsfähigkeit für das Bundesgericht verbindlich (E. 1).
3.4. Weiter erblickt der Beschwerdeführer darin, dass die Vorinstanz einen geringeren Rentenanspruch bejaht hat, als die Pensionskasse vorprozessual anerkannt hatte, eine "versteckte reformatio in peius". Er macht geltend, es hätte ihm deswegen Gelegenheit zum Klagerückzug gegeben werden müssen (Art. 61 lit. d ATSG in Verbindung mit Art. 29 Abs. 2 BV). Dem ist nicht beizupflichten: Das kantonale Berufsvorsorgegericht ist innerhalb des Streitgegenstandes an die Parteibegehren im Klageverfahren nicht gebunden (<ref-ruling> E. 3.1 S. 26; ISABELLE VETTER-SCHREIBER, a.a.O., N. 75 zu Art. 73 BVG). Vorinstanzlicher Streitgegenstand bildete der Invaliditätsgrad und somit der Bestand resp. die Höhe des Anspruchs auf eine Invalidenrente, sei es aus obligatorischer oder weitergehender Vorsorge. Im kantonalen Verfahren wurde die "vollumfängliche" Abweisung der Klage verlangt und ein zweiter Schriftenwechsel durchgeführt. Dabei ist zu berücksichtigen, dass das streitige Rechtsverhältnis unter den Parteien erstmals in diesem Prozess hoheitlich geregelt wurde, da Einrichtungen der beruflichen Vorsorge nicht befugt sind, Verfügungen betreffend den Rentenanspruch zu erlassen (<ref-ruling> E. 2 S. 451 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 162). Anders als in Beschwerdeverfahren, denen eine Verfügung oder ein Einspracheentscheid, mithin eine hoheitliche Anordnung der Verwaltung zugrunde liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 416; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 395), fehlt es somit im konkreten Fall an einer "Vertrauensgrundlage" in dem Sinn, dass der Beschwerdeführer den Anspruch auf eine Dreiviertelsrente als gesichert hätte betrachten dürfen (vgl. SVR 2013 BVG Nr. 33 S. 137, 9C_118/2012 E. 2.1; 2010 BVG Nr. 34 S. 129, 9C_889/2009 E. 2.2), weshalb von vornherein nicht von einer reformatio in peius gesprochen werden kann. Art. 61 lit. d Satz 2 ATSG ist daher im Klageverfahren gemäss Art. 73 BVG nicht anwendbar (vgl. auch Art. 2 ATSG; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 91 zu Art. 61 ATSG). Auch gestützt auf Art. 29 Abs. 2 BV ist eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör in diesem Zusammenhang nicht ersichtlich.
3.5. Schliesslich ist festzuhalten, dass die Vorinstanz in ihren Erwägungen den Anspruch auf eine Viertelsrente der obligatorischen beruflichen Vorsorge abschliessend beurteilt und bejaht hat (E. 2.2; Art. 23 lit. a in Verbindung mit Art. 24 Abs. 1 lit. d BVG), auch wenn dies aus dem Dispositiv des angefochtenen Entscheides nicht hervorgeht. Inwiefern darin eine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BBG (vgl. etwa Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV) zu erblicken sein soll, legt der Beschwerdeführer nicht dar (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 sowie Art. 106 Abs. 2 BGG), weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann