Faits:
A. D._, né le 27 novembre 1963, fils de E._ et A._, est décédé le 21 novembre 2007. Il avait donné, à intervalles réguliers, des procurations conférant à sa compagne, C._, tous les pouvoirs pour prendre des décisions le concernant, en particulier sur le plan médical et social, ainsi que pour régler toutes ses affaires administratives. Le 19 novembre 2007, il avait signé un document dans lequel il affirmait "vouloir être enterré et non pas incinéré, en cas de décès, et ceci dans le cimetière de Val d'Illiez, ce lieu qu'[il] a beaucoup aimé" et espérait que sa "famille comprendra [son choix] de rester près de [sa] compagne, C._, qui s'est bien occupée de [lui]". Le 26 novembre 2007, il a été inhumé dans le cimetière de Clarens, dans la concession de corps n° 1792.
B. Le 1er septembre 2008, C._ a sollicité de la commune de Montreux l'autorisation de faire exhumer le cercueil contenant les restes mortels de feu D._ en vue de sa ré-inhumation dans le cimetière de Val d'Illiez, cette commune ayant donné son accord. Par décision du 16 septembre 2008, le Service de la santé publique du canton de Vaud (ci-après: le Service de la santé publique) a autorisé l'exhumation de la dépouille mortelle. Par lettre du 28 octobre 2008 - dont une copie a été adressée au responsable du cimetière de Clarens ainsi qu'aux Pompes Funèbres Générales SA -, A._ a informé C._ qu'elle s'opposait à l'exhumation des restes de son fils. En date du 29 décembre 2008, E._ a donné son accord à l'exhumation de la dépouille mortelle de son fils et au transfert de celle-ci dans le cimetière de Val d'Illiez. Le 30 janvier 2009, le Service de la santé publique a suspendu son autorisation d'exhumation compte tenu du litige opposant C._ à la mère du défunt.
Par courrier du 9 mars 2009 adressé à la Préfecture du district Riviera-Pays-d'Enhaut (ci-après: la Préfecture), C._ a expliqué les raisons pour lesquelles elle avait tardé à faire appliquer la volonté de D._ d'être enterré à Val d'Illiez: "dans l'émotion du décès et devant prendre une décision rapide au téléphone, [elle avait] cédé aux pressions de la soeur de D._, B._, qui bien qu'ayant eu connaissance de la volonté écrite de son frère d'être enterré à Val d'Illiez, [avait] insisté pour que l'enterrement se fasse à Clarens; ce n'est que plus tard en tombant sur le document exprimant la volonté de [feu son compagnon] qu'[elle avait] pris conscience de son manquement et qu'[elle avait] voulu le rattraper".
Le 10 mars 2009, la Préfecture a préavisé négativement la demande d'exhumation, au motif que C._ reconnaissait avoir donné son accord pour l'ensevelissement à Clarens, alors qu'elle avait déjà signalé à la soeur du défunt que celui-ci souhaitait être enseveli à Val d'Illiez, que la demande d'exhumation avait été faite uniquement "pour rattraper ce qu'elle appelle son manquement et pour respecter même tardivement les dernières volontés de son ami", et que l'émotion dégagée lors de l'entretien avec les parties concernées permettait d'être convaincu que la mère et la soeur n'agissaient pas par vengeance envers C._. Par décision du 23 mars 2009, le Service de la santé publique a dès lors annulé son autorisation d'exhumer les restes mortels de feu D._.
Par lettres des 8 et 9 avril 2009, C._ a sollicité le réexamen de la décision du 23 mars 2009. Par nouvelle décision du 15 avril 2009, le Service de la santé publique a autorisé l'exhumation du corps de feu D._, afin qu'il puisse être inhumé dans le cimetière de Val d'Illiez.
C. A._ et B._ ont recouru auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) contre cette décision en concluant à son annulation. Elles ont produit un courrier daté du 24 avril 2009 de E._, dans lequel celui-ci se rétracte et souhaite désormais que feu son fils repose au cimetière de Clarens. Par arrêt du 12 août 2009, le Tribunal cantonal a rejeté le recours et confirmé la décision du Service de la santé publique du 15 avril 2009.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent principalement au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt attaqué, en ce sens que la décision du Service de la santé publique du 15 avril 2009 est annulée. Elles concluent subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Invitée à se déterminer, C._ renonce à déposer une réponse, dans la mesure où elle adhère aux considérants de l'arrêt attaqué. Le Tribunal cantonal ne présente pas d'observations. Le Service de la santé publique conclut au rejet du recours.
E. Par ordonnance du 12 octobre 2009, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif présentée par les recourantes.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit de la santé publique (<ref-law>), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Les recourantes ont pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. Elles sont particulièrement touchées par l'arrêt attaqué qui confirme l'autorisation d'exhumer la dépouille mortelle respectivement de leur fils et frère, à laquelle elles se sont opposées. Elles peuvent ainsi se prévaloir d'un intérêt digne de protection à ce que cette décision soit annulée. Elles ont donc qualité pour agir au sens de l'<ref-law>. Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont réunies, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière sur le fond.
2. Les recourantes font valoir que le Tribunal cantonal a violé leur liberté personnelle et celle du défunt, en confirmant l'exhumation de la dépouille mortelle de celui-ci et son transfert au cimetière de Val d'Illiez.
2.1 Ancrée à l'art. 10 al. 2 Cst., la liberté personnelle protège les éléments qui sont indispensables à l'épanouissement de la personne humaine et dont devrait disposer tout être humain (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 216; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 119 et la jurisprudence citée). La liberté personnelle oblige le détenteur de la puissance publique à un comportement envers le citoyen qui soit compatible avec le respect de sa personnalité. Elle protège intégralement la dignité de l'homme et sa valeur propre (<ref-ruling> consid. 4a p. 118 et les références citées). La portée de cette liberté ne peut être définie de manière générale, mais doit être déterminée de cas en cas, en tenant compte des buts de la liberté, de l'intensité de l'atteinte qui y est portée, ainsi que de la personnalité de ses destinataires (<ref-ruling> consid. 5.1 in fine).
2.1.1 La garantie de la liberté personnelle protège, par exemple, le droit de connaître son ascendance (<ref-ruling> consid. 2 p. 66 ss et 5 p. 77 s.) ou le droit de s'adresser à autrui pour en obtenir de l'aide (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 217). La garantie constitutionnelle de la liberté personnelle ne se limite cependant pas à la durée de la vie des individus. Elle prolonge ses effets, dans une certaine mesure, au-delà du décès. Du point de vue constitutionnel, le défunt doit être considéré comme le titulaire prioritaire des droits protégeant sa dépouille contre des atteintes contraires aux moeurs et aux usages (<ref-ruling> consid. 4b p. 118). Toute personne a ainsi le droit de déterminer, de son vivant, le sort de sa dépouille après sa mort et de décider des modalités de son ensevelissement (ATF <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 119). Cette prétention comporte notamment une liberté de choix, dans le cadre tracé par la loi, l'ordre public et les bonnes moeurs, quant à la forme des funérailles, au mode et au lieu d'inhumation, l'être humain ayant, quel que soit le rang qu'il a occupé dans la société, un droit constitutionnel à un enterrement et à une sépulture décents (<ref-ruling> consid. 4b p. 119; cf. <ref-ruling> consid. 4a p. 119). Ce droit découle directement de la protection de la dignité humaine (cf. déjà ATF 45 I 132; <ref-ruling> consid. 8c p. 523 et les arrêts cités; voir également le Message relatif à une nouvelle Constitution fédérale, du 20 novembre 1996, FF 1997 I p. 1 ss, 143; Niccolò Raselli, Schickliche Beerdigung für "Andersgläubige", PJA 1996 p. 1103-1110, p. 1105, ch. 2a; Béatrice Maurer, Le principe de respect de la dignité humaine et la Convention européenne des droits de l'homme, 1999, p. 402 s.); il s'oppose également à toute profanation d'un cadavre humain et, partant, à toute intervention illicite sur lui. Cette interdiction trouve, au demeurant, sa protection pénale à l'<ref-law>.
2.1.2 En l'absence d'une décision du défunt, ses proches peuvent prétendre, dans certaines limites, à disposer du sort de son cadavre. Du point de vue du droit privé, le droit de ceux-ci est une émanation des droits généraux de la personnalité (<ref-law>). La garantie de la liberté personnelle protège aussi, au sens de l'art. 10 al. 2 Cst., les liens émotionnels qui lient les proches parents à une personne décédée. En vertu de cette étroite relation, les proches ont le droit de décider du sort du corps du défunt, de déterminer la façon et le lieu de l'ensevelissement, et de se défendre contre les atteintes injustifiées portées à la dépouille (<ref-ruling> consid. 2.1 p. et les arrêts cités). Ce droit subsidiaire des proches trouve cependant sa limite dans les droits de la personnalité, dont jouit le défunt lui-même, de déterminer le sort de son cadavre et les modalités de ses funérailles (cf. consid. 2.1.1 ci-dessus; <ref-ruling> consid. 4c p. 119; <ref-ruling> consid. 5a p. 191). Il en découle que le droit des proches n'intervient que si le défunt n'a pas pris de décision, écrite ou orale, sur le sort de son cadavre. Ce pouvoir subsidiaire de décision doit être exercé, en première ligne, par celui qui était le plus étroitement lié au défunt et qui a été de ce chef le plus affecté par sa disparition (<ref-ruling> consid. 4c p. 119; <ref-ruling> consid. 3b; dans le même sens, Raselli, loc. cit., p. 1108 ch. V.1 ad note 74).
2.2 En vertu de l'art. 36 Cst., une restriction de la liberté personnelle est admissible si elle repose sur une base légale, si elle est justifiée par un intérêt public ou par la protection d'un droit fondamental d'autrui, si elle est proportionnée au but visé et si elle ne porte pas atteinte à l'essence du droit fondamental. Le Tribunal fédéral examine librement si un intérêt public, respectivement un intérêt d'un tiers à voir ses droits fondamentaux protégés, légitime la mesure contestée. Il en va de même pour déterminer si cette mesure est proportionnelle et si elle ne viole pas l'essence de la liberté personnelle. Par ailleurs, le Tribunal de céans n'examine que sous l'angle de l'arbitraire la question de savoir si une disposition cantonale constitue une base légale suffisante, sauf lorsqu'une atteinte grave au droit fondamental en question est en cause ( <ref-ruling> consid. 6 p. 18).
2.2.1 En l'espèce, le Tribunal cantonal a considéré que l'autorisation d'exhumer le cadavre de feu D._ reposait sur la loi vaudoise du 29 mai 1985 sur la santé publique (LSP; RSV 800.01) ainsi que sur le règlement du 5 décembre 1986 sur les inhumations, les incinérations et les interventions médicales pratiquées sur des cadavres (RIMC; RSV 818.41.1). Les recourantes estiment, pour la première fois devant le Tribunal de céans, que la LSP et le RIMC ne constituent pas une base légale suffisante pour permettre une "exhumation de convenance". Elles font en outre grief au règlement (RIMC) de manquer de précision, notamment quant aux motifs et aux conditions de l'exhumation. La question de savoir si l'autorisation d'exhumer les restes mortels constitue une atteinte grave ou légère à la liberté personnelle des recourantes peut rester indécise, puisque, même examinée librement, la base légale suffit.
En effet, à teneur de l'art. 73 LSP, "l'inhumation, l'incinération et le transport de cadavres humains ainsi que les interventions pratiquées sur eux, font l'objet de règlements spéciaux". S'il convient d'admettre que la LSP ne mentionne pas expressément les cas d'exhumation, il n'en demeure pas moins qu'elle prévoit le transport de cadavres humains et que l'exhumation est notamment une opération visant à permettre un tel transport. La LSP ne saurait donc être comprise comme excluant les cas d'exhumation. Ce d'autant moins que le règlement spécial (RIMC), qui se fonde sur l'art. 73 LSP, traite expressément de l'exhumation dans ses art. 38 et 39.
Les recourantes ne parviennent pas non plus à convaincre lorsqu'elles avancent que les dispositions du RIMC relatives à l'exhumation souffrent d'un grave manque de précision. En effet, l'art. 38 RIMC prévoit que "sous réserve des cas d'enquête judiciaire, aucun cadavre ne peut être exhumé sans l'autorisation du département [de l'intérieur et de la santé publique]. Les demandes d'exhumation sont adressées à cette autorité par l'intermédiaire des préfets". Quant aux modalités de l'exhumation, elles sont précisées par l'art. 39 RIMC à teneur duquel "l'exhumation a lieu en présence du médecin-délégué ou d'un médecin désigné par le département ainsi que, s'il y a lieu, d'un représentant des autorités communales".
Par conséquent, l'autorisation d'exhumer la dépouille mortelle contre la volonté des recourantes, délivrée par le Service de la santé publique, repose sur une base légale suffisamment précise. Il faut encore examiner si la restriction de la liberté personnelle des recourantes est justifiée par un intérêt public ou par la protection des droits fondamentaux d'autrui.
2.2.2 En tant que parents les plus proches du défunt, les recourantes sont touchées dans leur liberté personnelle par l'ordre de l'autorité d'exhumer les restes mortels de leur frère et fils pour les transférer au cimetière de Val d'Illiez. Cependant, cette liberté ne bénéficie pas d'une protection absolue et se trouve restreinte notamment par la liberté personnelle du défunt. La décision d'exhumation ne poursuit pas, en premier lieu, un intérêt public, mais répond à la volonté clairement exprimée du défunt d'être enterré au cimetière de Val d'Illiez. A cet égard, tant la compagne que la mère et la soeur du défunt ont violé les dernières volontés de celui-ci en ensevelissant sa dépouille à Clarens, ce que les recourantes ne contestent au demeurant pas. C'est dès lors en conformité avec la jurisprudence fédérale (cf. consid. 2.1 ci-dessus) que l'instance précédente a retenu que les dernières volontés du défunt - qui n'ont pas été remises en cause - primaient tous les événements subséquents au décès de celui-ci, et sur lesquels il n'avait désormais plus aucune emprise. Comme l'a constaté à bon droit le Tribunal cantonal, le voeu du défunt de reposer au cimetière de Val d'Illiez n'est ni illégal ni contraire aux moeurs. A cet égard, les recourantes prétendent en vain que si D._ avait été en mesure de se déterminer, il n'aurait pas donné son accord à une exhumation de ses restes mortels, laquelle conduirait à une deuxième inhumation et réduirait par là même le premier enterrement "à une vaine gesticulation". En effet, l'on ne dispose d'aucun moyen pour déterminer quelle aurait été la volonté du défunt s'il avait eu connaissance des aléas engendrés par son décès.
La restriction de la liberté personnelle des recourantes est dès lors justifiée par la sauvegarde de la liberté personnelle du défunt au-delà de la mort. Il reste encore à examiner si l'atteinte est proportionnée au but visé.
2.2.3 Une atteinte étatique à un droit fondamental est proportionnée lorsqu'elle est apte à parvenir au but visé (règle de l'aptitude) et qu'elle ne peut être atteinte par une mesure moins incisive (règle de la nécessité). En outre, le principe de la proportionnalité interdit toute limitation qui irait au-delà du but visé et il exige un rapport raisonnable entre celui-ci et les intérêts publics ou privés compromis (principe de la proportionnalité au sens étroit, impliquant une pesée des intérêts en présence: <ref-ruling> consid. 8.1 p. 186; <ref-ruling> consid. 7.1 p. 123 et les arrêts cités).
En l'espèce, l'ordre donné par l'autorité d'exhumer la dépouille mortelle est une mesure appropriée et nécessaire pour se conformer au voeu du défunt. Comme l'enjeu de la contestation est le choix du lieu d'ensevelissement - le cimetière de Clarens ou celui de Val d'Illiez -, aucune autre mesure moins restrictive mais tout aussi appropriée, n'est envisageable. Il ne reste dès lors plus qu'à peser les intérêts qui sont opposés. A cet effet, deux positions protégées par les droits fondamentaux s'opposent: d'une part, l'intérêt du défunt à une protection de sa personnalité après sa mort et d'autre part, l'intérêt des recourantes à ce que la tombe du défunt reste à proximité de leur lieu de vie afin de pouvoir aisément s'y recueillir.
Si l'intérêt des recourantes au maintien de la sépulture de leur fils et frère ne peut être nié, il sied de prendre en compte les dernières volontés du défunt ainsi que le contexte familial prévalant avant son décès. Un déplacement de la sépulture du défunt de Clarens à Val d'Illiez, distantes d'une quarantaine de kilomètres, ne privera pas les recourantes de la possibilité de s'y recueillir. Le Tribunal cantonal a en outre retenu que les recourantes n'avaient pas fait preuve d'un engagement exceptionnel vis-à-vis de la tombe du défunt et qu'elles avaient délégué son entretien aux employés du cimetière. Il a enfin souligné que l'intérêt de C._ à pouvoir se recueillir, entretenir la tombe de feu son compagnon et finalement reposer aux côtés de celui-ci primait celui des recourantes, dès lors qu'elle entretenait une relation beaucoup plus étroite avec le défunt que les recourantes, du moins à la fin de la vie de celui-ci.
La décision d'exhumation litigieuse constitue donc une mesure proportionnée, qui ne porte pas non plus atteinte à l'essence de la liberté personnelle.
3. Les recourantes dénoncent également le comportement de la compagne du défunt, qu'elles qualifient de contraire à la bonne foi et de constitutif d'un abus de droit.
3.1 A teneur de l'<ref-law>, l'abus manifeste d'un droit n'est pas protégé par la loi. La règle prohibant l'abus de droit permet au juge de corriger les effets de la loi dans certains cas où l'exercice d'un droit allégué créerait une injustice manifeste. L'existence d'un abus de droit se détermine selon les circonstances concrètes de l'espèce, en s'inspirant des diverses catégories mises en évidence par la jurisprudence et la doctrine. Les cas typiques en sont l'absence d'intérêt à l'exercice d'un droit, l'utilisation d'une institution juridique contrairement à son but, la disproportion manifeste des intérêts en présence, l'exercice d'un droit sans ménagement ou l'attitude contradictoire (<ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 169 et les arrêts cités).
3.2 En l'occurrence, les recourantes estiment que C._ a procédé de façon contradictoire et constitutive d'un abus de droit manifeste, en revenant sur l'accord qu'elle avait donné pour l'inhumation dans le cimetière de Clarens, alors même qu'elle connaissait la volonté du défunt de reposer dans le cimetière de Val d'Illiez. Elles prétendent en outre que l'idée d'exhumer la dépouille serait venue à l'esprit de C._ après qu'un conflit successoral ait surgi.
Le Tribunal cantonal a démontré qu'il existait un sérieux conflit entre les recourantes et le défunt, celui-ci ayant notamment pris des mesures pour s'éloigner de sa famille. Il vivait depuis plusieurs années auprès de sa compagne, en faveur de laquelle il avait établi de nombreuses procurations, preuves de la confiance qu'il lui accordait. Comme cela a été relevé ci-dessus, il avait également exprimé son souhait d'être enterré auprès de son amie. Ainsi, vu la nature des relations qu'entretenait le défunt d'une part avec les recourantes et d'autre part avec C._, il apparaît vraisemblable que celle-ci n'ait pas eu la force de faire respecter ses dernières volontés immédiatement après le décès. Dans ces circonstances, à l'instar de l'instance précédente, il y a lieu de rejeter ce grief dans la mesure où, même si le conflit de nature successoral avait pu finalement déclencher la démarche de C._, l'on ne pourrait pour autant affirmer qu'elle a abusé de son droit en tentant, a posteriori, de faire respecter le souhait de feu son compagnon.
4. Enfin, pour la première fois devant le Tribunal de céans, les recourantes prétendent que les conditions d'un réexamen ne sont pas remplies et font valoir une application arbitraire de l'art. 64 de la loi sur la procédure administrative du 28 octobre 2008 (LPA; RSV 173.36). Fût-il recevable, ce grief n'en devrait pas moins être rejeté pour les motifs suivants:
4.1 Selon l'art. 64 al. 2 LPA, l'autorité entre en matière sur une demande de réexamen de sa décision si l'état de fait à la base de la décision s'est modifié dans une mesure notable depuis lors (let. a), ou si le requérant invoque des faits ou des moyens de preuve importants qu'il ne pouvait pas connaître lors de la première décision ou dont il ne pouvait pas ou n'avait pas de raison de se prévaloir à cette époque (let. b), ou si la première décision a été influencée par un crime ou un délit (let. c).
Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme sous l'angle de l'arbitraire (art. 9 Cst.; pour une définition de l'arbitraire <ref-ruling> consid. 3.1 p. 265 s.; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les références), le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 133; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
4.2 Les recourantes font valoir que "l'absence prétendue de renonciation à l'exhumation" ne constituerait pas un motif valable de réexamen au sens de l'art. 64 al. 2 LPA. Elles perdent cependant de vue que la décision initiale du 23 mars 2009 ne prenait pas en compte la volonté clairement exprimée du défunt. Dans ces conditions, il n'est manifestement pas insoutenable que l'autorité soit entrée en matière sur la demande de réexamen. Le grief tombe donc à faux.
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Dès lors que les recourantes sont dans le besoin et que leurs conclusions ne paraissaient pas d'emblée vouées à l'échec, l'assistance judiciaire doit leur être accordée (<ref-law>). Les honoraires de l'avocat, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral, sont fixés d'office (<ref-law>). Les recourantes sont en outre dispensées des frais judiciaires. Il n'y a lieu d'allouer de dépens ni à l'intimée, qui a renoncé à déposer une réponse, ni au Service de la santé publique du canton de Vaud (cf. art. 68 al. 1 à 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
3. La demande d'assistance judiciaire est admise. Me Stephen Gintzburger est désigné comme défenseur d'office des recourantes et ses honoraires, supportés par la caisse du Tribunal fédéral, sont fixés à 1'500 francs.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des recourantes et de l'intimée, au Service de la santé publique et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 4 février 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Tornay Schaller