Sachverhalt:
A.
Die Y._ GmbH leitete gegen X._ für eine Forderung in der Höhe von Fr. 31'579.30 nebst Zins zu 5% seit 1. April 2012 die Betreibung (Nr. xxx, Betreibungsamt Meilen-Herrliberg-Erlenbach) ein. Gegen den Zahlungsbefehl vom 21. Mai 2012 erhob der Schuldner am 25. Mai 2012 (Zustellungsdatum) Rechtsvorschlag.
Am 7. Juni 2012 gelangte X._ an das Bezirksgericht Meilen und beantragte gestützt auf <ref-law>, die erwähnte Betreibung sei aufzuheben und das Betreibungsamt sei anzuweisen, Dritten keine Kenntnis von der Betreibung zu geben. Mit Verfügung vom 21. Juni 2012 trat das Bezirksgericht (Einzelgericht im summarischen Verfahren) auf das Begehren nicht ein.
B.
Gegen die Verfügung des Bezirksgerichts erhob X._ Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Zürich entschied mit Urteil vom 4. April 2013, dass auf die Klage gemäss <ref-law> einzutreten, sie aber abzuweisen ist.
C.
Mit Eingabe vom 8. Mai 2013 hat X._ Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Der Beschwerdeführer verlangt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 4. April 2013 sei aufzuheben. Die von der Y._ GmbH (Beschwerdegegnerin) gegen ihn eingeleitete Betreibung sei gestützt auf <ref-law> aufzuheben und das Betreibungsamt anzuweisen, Dritten keine Kenntnis von der Betreibung zu geben. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin hat sich zur Beschwerde nicht vernehmen lassen. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Entscheid über die (verweigerte) Aufhebung der Betreibung gemäss <ref-law> unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Obergerichts ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (Art. 75, Art. 90 BGG), da der gesetzliche Streitwert erreicht ist (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist beschwerdeberechtigt; auf die fristgerechte Beschwerde kann grundsätzlich eingetreten werden (Art. 76 Abs. 1, Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Mit vorliegender Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
1.3. Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels überdies für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Ansonsten ist der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>).
2.
Das Obergericht hat mit Bezug auf das Feststellungsinteresse die Klage gemäss <ref-law> von derjenigen gemäss <ref-law> abgegrenzt. Es hat geschlossen, dass aufgrund der rein betreibungsrechtlichen Wirkung der Klage gemäss <ref-law> dem beklagten Betreibungsgläubiger kein (materieller) Rechtsverlust drohe und der Schuldner - entsprechend dem Wortlaut des Gesetzes - "jederzeit" bzw. trotz erhobenen Rechtsvorschlages die Aufhebung oder Einstellung der Betreibung im summarischen Verfahren gemäss <ref-law> verlangen könne.
Ob der Nichtbestand der Betreibungsforderung Gegenstand der Klage gemäss <ref-law> sein könne, hat das Obergericht offen gelassen. Der Beschwerdeführer habe mit den eingereichten Dokumenten lediglich den Nachweis erbracht, dass er bei Vertragsabschluss nicht Partei des Vertrages mit der Beschwerdegegnerin war. Hingegen habe der Beschwerdeführer den in <ref-law> geforderten urkundlichen Nachweis für den Nichtbestand der Betreibungsforderung nicht erbracht, weshalb die Klage abzuweisen sei.
3.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Klage gemäss <ref-law>, mit welcher der Beschwerdeführer das Nichtbestehen der Betreibungsforderung belegen und die Aufhebung der gegen ihn geführten Betreibung erreichen will. Entgegen der vorinstanzlichen Auffassung sei ihm der urkundliche Nachweis des Nichtbestehens der Schuld gelungen und die Klage gutzuheissen. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht die Verletzung von Bundesrecht vor.
3.1. Beweist der Betriebene durch Urkunden, dass die Schuld samt Zinsen und Kosten getilgt oder gestundet ist, so kann er jederzeit beim Gericht des Betreibungsortes im ersteren Fall die Aufhebung, im letzteren Fall die Einstellung der Betreibung verlangen (<ref-law>). Mit der Klage gemäss <ref-law> wird im summarischen Verfahren (<ref-law>; aArt. 25 Ziff. 2 lit. c SchKG) durch Urkundenbeweis über die Zulässigkeit der Betreibung entschieden, wobei der Entscheid ausschliesslich betreibungsrechtliche Wirkung hat (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 151 f.). Diese Grundsätze stehen zu Recht nicht in Frage.
3.2. Die Klage gemäss <ref-law> setzt eine hängige Betreibung voraus und ist nur bis zur Verteilung des Verwertungserlöses in der Spezialexekution bzw. bis zur Konkurseröffnung möglich (Botschaft vom 8. Mai 1991 über die Änderung des SchKG, BBl. 1991 III 1, Ziff. 202.75 S. 68). Das Obergericht hat sein Urteil gefällt (4. April 2013), als die einjährige Gültigkeitsfrist des Zahlungsbefehls (Zustellung am 25. Mai 2012) noch lief (vgl. <ref-law>). Es hat die Zulässigkeit der Klage gemäss <ref-law> und das Rechtsschutzinteresse des Beschwerdeführers betreffend eine Betreibung im Stadium des wirksamen Rechtsvorschlages bejaht.
3.2.1. Nach einem Teil der Literatur setzt die Klage gemäss <ref-law> einen rechtskräftigen Zahlungsbefehl voraus (u.a. Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, 1999, N. 20 zu <ref-law>; Schmidt, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 8 zu <ref-law>; MARCHAND, Précis de droit des poursuites, 2. Aufl. 2013, S. 75). Nach anderer Auffassung ist die Klage gemäss <ref-law> bereits im Zustand des erhobenen Rechtsvorschlages zulässig (u.a. KREN KOSTKIEWICZ, Schuldbetreibungs- und Konkursrecht, 2012, S. 149 Rz. 565; BOMMER/ BANGERT, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs I, 2. Aufl. 2010, N. 12 zu <ref-law>; JAEGER/WALDER/ Kull/Kottmann, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 4. Aufl., 1997/1999, N. 12 zu <ref-law>; wohl im gleichen Sinn ["in jedem Stadium"] Amonn/Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl. 2013, § 20 Rz. 9; FRITZSCHE/WALDER, Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 1984, § 22 Rz. 3, S. 274). In diese Richtung (Zulässigkeit) geht auch die kantonale Praxis (vgl. Urteil 100 10 689 des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 9. November 2010 E. 2), welcher sich das Obergericht angeschlossen hat.
3.2.2. Nach dem Wortlaut von <ref-law> ist die Klage "jederzeit" möglich, ebenso die Klage nach <ref-law>. Die letztere Klage kann als "Notbehelf" allerdings erst nach rechtskräftiger Beseitigung des Rechtsvorschlages angehoben werden (<ref-ruling> S. 335; <ref-ruling> E. 2b S. 152). Das Bundesgericht hat zur Frage, ob diese Einschränkung auch für die Klage gemäss <ref-law> (soweit ersichtlich) nicht eingehend Stellung genommen. Es hat aber - worauf die Vorinstanz hingewiesen hat - das Festhalten an der Praxis betreffend die Klage gemäss <ref-law> ohne weiteres damit gerechtfertigt, dass dem betriebenen Schuldner die Klage gemäss <ref-law> (sowie die allgemeine Feststellungsklage) zur Verfügung stehe (Urteil 5D_112/2011 vom 11. Juni 2011).
3.2.3. Die Klage gemäss <ref-law> wurde bei der SchKG-Revision als Zusatz zum Summarverfahren gemäss <ref-law> eingeführt, welches vom Schuldner den Urkundenbeweis verlangt. Ein Schuldner, der sich mangels Urkunden in Beweisnot befindet, soll sich (nach <ref-law>) an den Zivilrichter wenden dürfen, um der Vollstreckung in sein Vermögen zu entgehen (vgl. Botschaft, a.a.O., Ziff. 202.75, S. 69). Im Unterschied zur Klage gemäss <ref-law> wird bei derjenigen gemäss <ref-law> jedoch nicht nur mit betreibungsrechtlicher Wirkung, sondern im ordentlichen (oder vereinfachten) Verfahren mit voller Kognition materiellrechtlich über den Bestand oder die Stundung der Schuld entschieden (<ref-ruling> E. 2c und d S. 151 ff.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 93). Mit der Klage gemäss <ref-law> wird der Betreibungsgläubiger unter der Gefahr des materiellen Rechtsverlustes zum Beweis seiner Forderung gezwungen. Demgegenüber wird der Gläubiger mit der Klage gemäss <ref-law> viel weniger beeinträchtigt; er kann (im Fall seines Unterliegens) immer noch mit der Forderungsklage gegen den Schuldner vorgehen (u.a. KREN KOSTKIEWICZ, a.a.O., S. 147 Rz. 555 ff.; GILLIÉRON, a.a.O., N. 54 zu <ref-law>). Zu Recht wird in der Lehre (unter Hinweis auf die kantonale Praxis) gefolgert, dass die für die Klage gemäss <ref-law> massgebende Prozessvoraussetzung (rechtskräftiger Zahlungsbefehl) - wegen der erheblichen Unterschiede - nicht auf die Klage gemäss <ref-law> übertragen werden kann (vgl. so bereits GASSER, Die Rechtsprechung des Bundesgerichts [...], in: BlSchK 2001 S. 94; EQUEY/VONZUN, Mittel und Wege zur Beseitigung der negativen Auswirkungen des Betreibungsregistereintrags grundloser Betreibungen, AJP 2011 S. 1348 ff., 1353). Schliesslich ist anerkannt, dass mit der Klage gemäss <ref-law> einer der "gerichtlichen Entscheide" erwirkt werden kann, damit das Betreibungsamt Dritten von einer Betreibung keine Kenntnis gibt (<ref-law>; Botschaft, a.a.O., Ziff. 201.14, S. 32). Es ist mit Bundesrecht vereinbar, wenn das Obergericht die Klage des Beschwerdeführers, mit welcher gemäss <ref-law> die Aufhebung einer Betreibung im Zustand des erhobenen Rechtsvorschlages verlangt wird, als zulässig erachtet hat.
3.3. Der Beschwerdeführer bringt vor, dass mit der Klage gemäss <ref-law> der Nichtbestand einer Forderung geltend gemacht werden könne, was nicht nur anhand eines rechtskräftigen Urteils, sondern auch anderer Urkunden möglich sei. Das Obergericht hat die Rechtslage nicht abschliessend geklärt.
3.3.1. Nach dem Wortlaut spricht <ref-law> nur von Tilgung und Stundung (Hinausschieben der Fälligkeit) der Schuld, nicht aber von deren Nichtbestand. In der Lehre wird seit langem bestätigt, dass der Betriebene über den Wortlaut hinaus die Aufhebung der Betreibung auch verlangen kann, wenn er durch Urkunden beweist, dass die in Betreibung gesetzte Forderung gar nie bestanden hat (u.a. Blumenstein, Handbuch des Schweizerischen Schuldbetreibungsrechts, 1911, S. 315 Fn. 5; GILLIÉRON, a.a.O., N. 25 zu <ref-law>; FRITZSCHE/WALDER, a.a.O., § 22 Rz. 2, S. 274; JAEGER/WALDER/KULL/KOTTMANN, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>; BODMER/BANGERT, a.a.O., N. 26 zu <ref-law>; BRÖNNIMANN, in: Kurzkommentar SchKG, 2005, N. 4 zu <ref-law>; VOCK/MÜLLER, SchKG-Klagen nach der Schweizerischen ZPO, 2012, S. 151; a.M. JAEGER, Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 1911, N. 5 zu <ref-law>). Diese Auffassung ist begründet, denn der Schutz desjenigen, der erst nach Anhebung einer Schuldbetreibung seine Schulden begleicht (Tilgung), kann nicht grösser sein, als desjenigen, der überhaupt nichts schuldet ( SPÜHLER, Schuldbetreibungs- und Konkursrecht I, 5. Aufl. 2011, S. 205, Rz. 718). Das Bundesgericht hat in diesem Sinn entschieden, wenn es in <ref-ruling> (E. 2a S. 357) festgehalten hat, dass mit einer allgemeinen negativen Feststellungsklage eine Voraussetzung - Nachweis des Nichtbestandes der Forderung - zur Aufhebung der Betreibung nach <ref-law> geschaffen werden kann (anders noch BGE 42 II 335 E. 1 S. 336 f.; vgl. GILLIÉRON, a.a.O., N. 12 ff. zu <ref-law>). Der Beschwerdeführer darf demnach mit <ref-law> den Nachweis des Nichtbestehens der Betreibungsforderung führen.
3.3.2. Den Nachweis der Tilgung, Stundung oder des Nichtbestehens der Betreibungsforderung kann der Schuldner nur durch strikten Urkundenbeweis erbringen; die blosse Glaubhaftmachung ist nicht ausreichend (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 151 f.; Urteil 5P.8/2005 vom 3. Mai 2005 E. 3.1). Die materielle Rechtslage muss auf der Hand liegen, manifest sein (Urteil 5A_674/2013 vom 4. Februar 2013 E. 2.1); Urkundenbegriff und Beweismass von <ref-law> und <ref-law> (Einwendung gegen den definitiven Rechtsöffnungstitel) entsprechen sich (u.a. GILLIÉRON, a.a.O., N. 25, 68 zu <ref-law>; BODMER/BANGERT, a.a.O., N. 33, 33a zu <ref-law>). Das Nichtbestehen der Forderung kann zweifellos durch einen gerichtlichen negativen Feststellungsentscheid belegt werden (<ref-ruling> E. 2a S. 357). Ein Teil in Lehre und Praxis lässt auch andere Urkunden mit der Begründung zu, dass in der Weise, wie die Tilgung u.a. durch eine Saldoquittung nachweisbar ist, auch ein negatives Schuldanerkenntnis das Nichtbestehen einer Forderung belegen könne ( EQUEY/VONZUN, a.a.O., S. 1352; SPÜHLER, a.a.O., S. 205, Rz. 720 ["insbesondere"]; Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, a.a.O., E. 5). Die Frage kann im konkreten Fall - wie das Obergericht geschlossen hat und sich aus dem Folgenden ergibt - offengelassen werden, weil der Beschwerdeführer dem in <ref-law> geforderten urkundlichen Nachweis jedenfalls nicht genügt.
3.4. Der Beschwerdeführer bringt vor, aus den Urkunden über Werkverträge der Beschwerdegegnerin mit den Erstellern der Baute (Ehepaar A._) könne abgeleitet werden, dass er der Beschwerdegegnerin nichts schulde. Aus den Urkunden gehe hervor, dass eine allfällige Forderung gegenüber dem Ehepaar A._ als Besteller aus den Werkverträgen bzw. als Adressaten aus den Bauabrechnungen bestehe.
3.4.1. Mit Klage gemäss <ref-law> muss der Betriebene durch die Urkunde den unmittelbaren Beweis für die Tilgung, Stundung oder das Nichtbestehen der Betreibungsforderung erbringen; ein Indizienbeweis genügt nicht ( GILLIÉRON, a.a.O., N. 25, 69 zu <ref-law>). Nach der Darstellung des Beschwerdeführers sollen die vorgelegten Urkunden (wie die von der Beschwerdegegnerin mit dem Ehepaar A._ abgeschlossenen Verträge) den tatsächlichen Schluss erlauben, dass er der Beschwerdegegnerin nichts schulde. Dass er der Beschwerdegegnerin nichts schulde, ist damit indessen nicht verurkundet; der urkundliche Beweis der Nichtschuld liegt nicht vor. Es ist nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht auf dem Urkundenbeweis für das Nichtbestehen beharrt hat; es hat anhand der vorgelegten Dokumente den Nachweis zu Recht verneint. Daran ändert nichts, dass die Vorinstanz an einzelner Stelle nicht vom Urkundenbeweis, sondern vom "dargestellten Sachverhaltskomplex" gesprochen hat. Unbehelflich sind die Ausführungen des Beschwerdeführers, soweit sie darauf hinauslaufen, dass mit den Urkunden das Nichtbestehen der Forderung glaubhaft gemacht worden sei, weil dies mit <ref-law> nicht vorgebracht werden kann.
3.4.2. Der Beschwerdeführer beruft sich auf weitere Urkunden. Dass er jedoch nach <ref-law> geeignete Urkunden - wie eine allfällige negative Schuldanerkennung der Beschwerdegegnerin - vorgelegt habe und diese vom Obergericht übergangen worden seien, wird nicht dargetan. Von unrichtiger Sachverhaltsfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG) kann nicht gesprochen werden. Sein Einwand, die Beschwerdegegnerin habe eine Übernahme der Haftung aus den Bauabrechnungen "nicht behauptet", geht fehl. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist der Richter nach <ref-law> - wie der Rechtsöffnungsrichter - ein Vollstreckungsrichter, der anhand der Urkunde prüfen und entscheiden muss, ob die Betreibung zulässig ist ( AMONN/WALTHER, a.a.O., § 20 Rz. 5).
3.4.3. Es bleibt dabei, dass der Beschwerdeführer über keine Urkunde verfügt, mit der er unmittelbar das Nichtbestehen der Schuld beweisen kann. Der Beschwerdeführer kann (im Falle des rechtskräftigen Zahlungsbefehls) im Zivilprozess nach <ref-law> feststellen lassen, dass die Forderung nicht besteht. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet.
4.
Der Beschwerde in Zivilsachen ist kein Erfolg beschieden. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zu bezahlen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Januar 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante