Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer reichte am 12. November 2014 eine Strafanzeige gegen Mitarbeiter einer Versicherung ein unter anderem wegen des Verdachts auf Verletzung des Datenschutzgesetzes. Am 27. Januar 2015 nahm die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt das Verfahren nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 23. April 2015 ab.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft anzuweisen, die Strafuntersuchung unverzüglich an die Hand zu nehmen.
2.
Der Privatkläger ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat der Privatkläger nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung geltend gemacht. Selbst wenn er bereits adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend gemacht hat, werden in der Einstellungsverfügung keine Zivilklagen behandelt (<ref-law>). In jedem Fall muss der Privatkläger im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer äussert sich vor Bundesgericht zu seinen allfälligen Zivilforderungen nicht. Dass er in der Strafanzeige unter anderem auf die Art. 47 und 49 OR hingewiesen hat (angefochtener Entscheid S. 2), genügt nach dem Gesagten als Begründung nicht. Da Zivilforderungen aufgrund des Falles auch nicht klarerweise ersichtlich sind, ist der Beschwerdeführer zur Beschwerde nicht legitimiert.
3.
Der Beschwerdeführer verweist auf die sogenannte "Star-Praxis" des Bundesgerichts (Beschwerde S. 4). Danach kann auch der in der Sache nicht Legitimierte die Verletzung ihm zustehender Verfahrensgarantien rügen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (<ref-ruling> E. 1.2). Eine solche Verfahrensgarantie, die verletzt worden sein soll, nennt der Beschwerdeführer jedoch nicht. Seine Vorbringen laufen alle auf die Rüge hinaus, die kantonalen Behörden hätten zu Unrecht kein Verfahren an die Hand genommen. Mit dieser Frage kann sich das Bundesgericht nicht befassen.
4.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn