Sachverhalt:
A. Am 21. August 2010 kam es vor einem Restaurant in St. Margrethen zu einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen X._ und Y._ auf der einen Seite sowie A._, B._ und C._ auf der anderen Seite; dabei verletzte X._ A._ mit einem Messer im Brustbereich. Gegen X._ läuft ein Strafverfahren wegen Raufhandel, versuchter schwerer Körperverletzung, eventuell versuchter Tötung.
Die Strafverfahren gegen A._, B._ und C._ wegen Raufhandels wurden demgegenüber je mit Verfügung des Untersuchungsamtes Altstätten vom 23. November 2010 aufgehoben. Zur Begründung wurde ausgeführt, es sei im Zweifel zugunsten der drei Beschuldigten davon auszugehen, dass sie lediglich abgewehrt hätten.
Gegen diese Aufhebungsverfügungen erhob X._ mit Eingaben vom 7. Dezember 2010 je Beschwerde an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen und beantragte für die drei Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Prozessführung und -verbeiständung. Der Präsident der Anklagekammer beurteilte die drei Gesuche aus prozessökonomischen Gründen zusammen. Im Ergebnis wies er die Begehren um unentgeltliche Prozessführung und -verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit ab.
B. Mit Eingabe vom 9. Februar 2011 führt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit den Anträgen, der Entscheid des Präsidenten der Anklagekammer sei aufzuheben, und es sei ihm im Beschwerdeverfahren vor der Anklagekammer gegen die Aufhebungsverfügungen in Sachen A._, B._ und C._ die unentgeltliche Prozessführung und -verbeiständung zu gewähren. Eventuell sei die Angelegenheit zur erneuten Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und -verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Mit Verfügung vom 7. März 2011 erkannte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.
Das Untersuchungsamt Altstätten und die Anklagekammer beantragen die Abweisung der Beschwerde. In seiner abschliessenden Stellungnahme hält X._ an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1. Mit dem angefochtenen Entscheid wurde dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung als Strafkläger im Beschwerdeverfahren betreffend die Aufhebung der Strafverfahren gegen A._, B._ und C._ verweigert. Hierbei handelt es sich um einen selbstständig eröffneten, kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid in einer Strafsache. Dieser Zwischenentscheid kann einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken (<ref-ruling> E. 4 S. 338; Urteil 1D_4/2010 vom 15. Juni 2010 E. 1.2). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird in erster Linie (noch) nach dem kantonalen Prozessrecht geregelt (<ref-law>). Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch unmittelbar aufgrund von <ref-law>. Der Beschwerdeführer erachtet diese Verfassungsbestimmung als verletzt. Es ist deshalb zu prüfen, ob die angerufenen verfassungs- oder konventionsrechtlichen Garantien missachtet wurden (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 98 mit Hinweisen). Diese Frage prüft das Bundesgericht frei (<ref-ruling> E. 2.1 S. 133 mit Hinweisen).
Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Dieser Anspruch umfasst einerseits die Befreiung von den Verfahrenskosten und andererseits - soweit notwendig - das Recht auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder die Gewinnaussichten nur wenig geringer sind als die Verlustgefahren. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweis). Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer summarischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 5 S. 616; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.; je mit Hinweisen).
Zu klären ist mithin, ob die Vorinstanz <ref-law> verletzt hat, indem sie das Begehren des Beschwerdeführers als aussichtslos qualifiziert hat.
2.2 Die Vorinstanz erwägt, die Aussagen der Beteiligten zum unmittelbaren Tatgeschehen wichen erheblich voneinander ab. A._, B._ und C._ hätten zu Protokoll gegeben, sie seien vom Beschwerdeführer grundlos angegriffen worden, und sie hätten sich lediglich verteidigt. Auf diese Sachverhaltsschilderung sei zu ihren Gunsten im Zweifel abzustellen. Es bestünden mithin keine rechtsgenüglichen Nachweise für eine Täterschaft respektive für eine aktive Beteiligung am Raufhandel. Vielmehr sei im Ergebnis davon auszugehen, dass die Auseinandersetzung vom Beschwerdeführer "angetrieben" worden sei und sich A._, B._ und C._ "an der oberen Grenze der zulässigen Abwehrhandlungen" zur Wehr gesetzt hätten. Insgesamt sei damit aus Sicht des Beschwerdeführers die Verlustgefahr im Beschwerdeverfahren betreffend die Aufhebung der Strafverfahren gegen A._, B._ und C._ als bedeutend grösser einzustufen als die Gewinnchance. Die Beschwerden seien folglich aussichtslos, weshalb von einer Prüfung der übrigen Voraussetzungen abgesehen werden könne.
Der Beschwerdeführer bringt demgegenüber vor, es sei erstellt, dass es zu gegenseitigen Tätlichkeiten gekommen sei. Eine Verurteilung von A._, B._ und C._ wegen Raufhandels erscheine zumindest überwiegend wahrscheinlich, weshalb seine gegen die Aufhebungsverfügungen erhobenen Beschwerden als aussichtsreich einzustufen seien.
2.3 Gemäss <ref-law> wird mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft, wer sich an einem Raufhandel beteiligt, der den Tod oder die Körperverletzung eines Menschen zur Folge hat (Abs. 1). Nicht strafbar ist, wer ausschliesslich abwehrt oder die Streitenden scheidet (Abs. 2).
Als Raufhandel gilt eine tätliche Auseinandersetzung, an der mindestens drei Personen aktiv teilnehmen. Wenn eine Person sich rein passiv verhält, nur abwehrt und überhaupt keinen Schlag ausführt, bleibt sie nicht nur straflos, sie ist vielmehr gar nicht am Streit beteiligt. Anders, wenn die Person mit Ziel, sich oder andere zu verteidigen oder Streitende zu trennen, aktiv am Streit teilnimmt. Diesfalls ist zwar der Tatbestand des Raufhandels erfüllt, die Person kann aber straflos bleiben (vgl. <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 153; Peter Aebersold, Basler Kommentar StGB II, 2. Auflage 2007, Art. 133 N. 9a).
2.4 Gemäss dem Schlussbericht der Kantonspolizei St. Gallen vom 14. September 2010 ist es bei der Auseinandersetzung zu gegenseitigen Tätlichkeiten gekommen. Die als Auskunftspersonen einvernommenen Beteiligten und Beobachter des Vorfalls sprechen von einer "Schlägerei" respektive davon, dass alle irgendwie am "schlägeln" bzw. "prügeln" gewesen seien. A._ hat zudem zu Protokoll gegeben, er habe den Beschwerdeführer "in den Schwitzkasten" nehmen können.
Soweit die Vorinstanz insoweit ausführt, es sei unerheblich, dass die verschiedenen Auskunftspersonen das Geschehen als "Schlägerei" bezeichnet hätten, da sie nicht hätten einschätzen können, ob einzelne Tatbeiträge - auch in Form von Schlägen oder eines "Schwitzkasten"-Griffs - als Abwehrhandlungen erfolgt seien, vermag ihre Argumentation nicht zu überzeugen. Beim Austeilen von Schlägen und dem Ausführen eines "Schwitzkasten"-Griffs ist jedenfalls nicht offensichtlich, dass diese Tatbeiträge als blosse Abwehrhandlungen zu qualifizieren sind, zumal umstritten ist, zu welchem Zeitpunkt der Auseinandersetzung der Beschwerdeführer zum Messer gegriffen hat. Ebenso wenig ist entgegen der Auffassung der Vorinstanz entscheidend, dass die Auseinandersetzung mutmasslich vom Beschwerdeführer initiiert worden ist. Zwar kann sich nicht auf die Straflosigkeit berufen, wer den Streit bewusst provoziert oder angeheizt hat (Aebersold, a.a.O., Art. 133 N. 10). Hieraus kann aber nicht e contrario gefolgert werden, wer den Streit nicht provoziert habe, bleibe in jedem Fall straflos.
Ist nach dem Gesagten hinreichend wahrscheinlich, dass es zu gegenseitigen Tätlichkeiten gekommen ist und wechselseitig Schläge ausgeteilt worden sind, ist nicht evident, dass A._, B._ und C._ sich einzig verteidigt haben. Demzufolge kann die Chance, dass die Strafverfahren gegen die drei aufgehoben bleiben, nicht als erheblich grösser qualifiziert werden als jene, dass die Aufhebungen kassiert werden. Die Vorinstanz hat folglich das Begehren des Beschwerdeführers zu Unrecht als aussichtslos bewertet und hierdurch <ref-law> verletzt.
3. Die Beschwerde ist gutzuheissen. Der angefochtene Zwischenentscheid des Präsidenten der Anklagekammer vom 25. Januar 2011 ist aufzuheben. Der Beschwerdeführer macht geltend, bedürftig zu sein. Da der angefochtene Entscheid diesbezüglich keine Feststellungen enthält, ist die Sache zum neuen Entscheid zurückzuweisen (<ref-law>).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton St. Gallen hat dem Anwalt des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Präsidenten der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 25. Januar 2011 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton St. Gallen hat dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Marco Bivetti, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Altstätten, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. März 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Stohner