Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1981) stammt aus der Türkei. Er reiste am 14. Dezember 2013 mit einem bis zum 11. März 2014 gültigen Visum in die Schweiz ein. Am 13. Juni 2014 wurde er in Basel angehalten, wobei er angab, ausgereist und am 13. Juni 2014 zurückgekehrt zu sein und in der Schweiz um Asyl nachsuchen zu wollen. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt nahm ihn gleichentags in Vorbereitungshaft, welche die Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht) des Kantons Basel-Stadt am 16. Juni 2014 prüfte und bis zum 12. August 2014 bestätigte.
1.2. A._ erhebt vor Bundesgericht "Einspruch" und beantragt sinngemäss, aus der Haft entlassen zu werden. Der angefochtene Entscheid sei ungerecht; er habe diesen nicht verdient.
2.
2.1. Nach Art. 75 lit. f AuG (SR 142.20) kann die zuständige kantonale Behörde eine ausländische Person, die keine Kurzaufenthalts-, Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung besitzt, zur Sicherung des Wegweisungsverfahrens während des Entscheides über ihre Aufenthaltsberechtigung für höchstens sechs Monate festhalten, wenn sie sich rechtswidrig in der Schweiz aufhält, ein Asylgesuch einreicht und damit offensichtlich bezweckt, den drohenden Vollzug einer Weg- oder Ausweisung zu vermeiden; ein solcher Zweck ist zu vermuten, wenn eine frühere Einreichung des Asylgesuchs möglich und zumutbar war und wenn das Gesuch in einem engen zeitlichen Zusammenhang mit einer Verhaftung, einem Strafverfahren, dem Vollzug einer Strafe oder dem Erlass einer Wegweisungsverfügung ergangen ist. Es besteht in dieser Situation die gesetzliche Vermutung, dass der Betroffene sein Asylgesuch missbräuchlich eingereicht hat, um sich den Behörden und dem Vollzug der Wegweisung zu entziehen und unterzutauchen (vgl. THOMAS HUGI YAR, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax et al. [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, Rz. 10.67 ff.).
2.2. Der Beschwerdeführer hat sein Asylgesuch erst bei seiner Anhaltung eingereicht, als ihm die Wegweisung drohte. Er nennt keinerlei ernsthafte Gründe, warum er nicht früher um Schutz nachgesucht hat bzw. hat nachsuchen können. Soweit er einwendet, dass er erst am Tag seiner Anhaltung in die Schweiz gekommen sei und keine Zeit gehabt habe, sich an die Asylbehörden zu wenden, ist sein Einwand unglaubwürdig, nachdem er eine Tramkarte auf sich trug, die am 25. Mai 2014 gekauft und bis zum 13. Juni 2014 wiederholt abgestempelt worden ist. Dass und inwiefern diese Sachverhaltsfeststellung bzw. die daran anknüpfende Beweiswürdigung der Vorinstanz offensichtlich unhaltbar, d.h. willkürlich wäre, legt der Beschwerdeführer entgegen seiner gesetzlichen Begründungspflicht nicht dar (Art. 42 bzw. 106 Abs. 2 BGG); seine Ausführungen erschöpfen sich darin, zu wiederholen, was er bereits vor der Einzelrichterin dargelegt hat. Mit deren Ausführungen dazu setzt er sich nicht sachbezogen auseinander, weshalb mangels rechtsgenügender Begründung (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 - 2.3) auf seine Beschwerde ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Instruktionsrichter im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
3.
Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt wird eingeladen, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar