Sachverhalt:
A.
A. und B. X._ (Kläger, Beschwerdeführer) waren über viele Jahre Bankkunden bei der Bank Y._ (Beklagte, Beschwerdegegnerin), bei der sie ein Schrankfach (Safe) gemietet und ein Kontokorrent-Konto eröffnet hatten.
Im Jahre 2006 beabsichtigten A. und B. X._, bei der Bank Y._ auch ein Nummernkonto zu errichten, wozu ihnen D._ behilflich sein sollte. D._ seinerseits kannte C._ (Nebenintervenient), der im Private Banking der Bank Y._ als Kundenberater arbeitete.
In der Folge wurden A. und B. X._ - im Beisein von D._ - mindestens zweimal von C._ an seinem Arbeitsplatz, in den Räumlichkeiten der Bank Y._, empfangen. C._ erklärte A. und B. X._, dass für die Errichtung eines Nummernkontos ein Mindestbetrag von Fr. 1 Mio. erforderlich sei, aber bis zum Erreichen des Mindestbetrags eine Zwischenlösung gefunden werden könne.
C._ verfasste in den Räumlichkeiten der Bank Y._ die Vereinbarungen vom 28. April 2006 und vom 2. Juni 2006. In diesen zwischen A. und B. X._ einerseits und D._ andererseits abgeschlossenen Vereinbarungen wurde festgehalten, dass das Geld zunächst D._ anvertraut und bei Erreichen des Mindestbetrags sodann auf das gewünschte Nummernkonto einbezahlt werde. In der Folge überreichten A. und B. X._ D._ gesamthaft Fr. 870'000.-- in bar, die er anderweitig verwendete.
D._ wurde später für sein Verhalten zum Nachteil von A. und B. X._ wegen Betrugs, C._ wegen Gehilfenschaft zu Betrug verurteilt.
B.
B.a. Am 10. März 2010 reichten A. und B. X._ beim Handelsgericht des Kantons Zürich Klage ein mit dem Rechtsbegehren, es sei die Bank Y._ zur Zahlung von Fr. 870'000.-- zuzüglich Zins zu verpflichten. Im Laufe des Verfahrens änderten die Kläger ihr Begehren und setzten ihr Zahlungsbegehren auf Fr. 580'000.-- herab, zuzüglich Zins zu 5 % auf verschiedene Beträge ab unterschiedlichen Zeitpunkten; zudem sei die Beklagte zu verpflichten, ihnen die Kosten für das Friedensrichterverfahren in der Höhe von Fr. 1'060.-- zu ersetzen.
Mit Urteil vom 22. Juni 2012 schrieb das Handelsgericht des Kantons Zürich das Verfahren im Umfang von Fr. 290'000.-- als gegenstandslos ab und hiess die Klage im Umfang von Fr. 435'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 28. April 2006 gut.
B.b. Mit Urteil vom 22. Januar 2013 hiess das Bundesgericht eine von der Beklagten gegen das handelsgerichtliche Urteil vom 22. Juni 2012 erhobene Beschwerde teilweise gut, es hob das angefochtene Urteil auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück.
B.c. Nach erfolgter Rückweisung verpflichtete das Handelsgericht die Beklagte mit Urteil vom 23. Mai 2013 zur Zahlung von Fr. 145'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2011 sowie Zins zu 5 % auf Fr. 400'000.-- vom 28. April 2006 bis 19. Juli 2006, auf Fr. 435'000.-- vom 19. Juli 2006 bis 3. Februar 2011, auf Fr. 185'000.-- vom 3. Februar 2011 bis 2. März 2011 und auf Fr. 175'000.-- vom 2. März 2011 bis 1. April 2011; im Mehrbetrag wies es die Klage ab (Dispositiv-Ziffer 1).
Die Vorinstanz bestätigte zunächst ihre Erwägung, dass der eingetretene Schaden von Fr. 870'000.-- grundsätzlich von der Beklagten zu ersetzen, der zu leistende Schadenersatz jedoch angesichts des Selbstverschuldens der Kläger um die Hälfte herabzusetzen und der von der Beklagten zu leistende Betrag entsprechend grundsätzlich auf Fr. 435'000.-- zu bemessen sei. Sie hielt zudem fest, nach Angaben der Kläger seien während des hängigen Verfahrens insgesamt Fr. 290'000.-- auf Rechnung der klägerischen Forderung bezahlt worden. Die Kläger hätten sich während des Behauptungsverfahrens nicht dazu geäussert, wer diese Zahlung geleistet habe; sie seien jedoch auf ihre im Prozess deponierten Erklärungen zu behaften, wonach dieser Betrag mit "für die Beklagte befreiender Wirkung" bezahlt worden sei. Dies habe so verstanden werden dürfen, dass diese Summe vom gerichtlich bemessenen Schadenersatzanspruch gegenüber der Beklagten abzuziehen sei. Der Schadenersatzanspruch betrage Fr. 435'000.--, weshalb den Klägern nach Abzug des der Beklagten mit befreiender Wirkung geleisteten Betrags von Fr. 290'000.-- noch Fr. 145'000.-- (nebst Zins) zuzusprechen sei.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragen die Kläger dem Bundesgericht, es sei Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 23. Mai 2013 aufzuheben und es sei die Beklagte zur Zahlung von Fr. 435'000.-- zu verpflichten, zuzüglich Zins zu 5 % auf Fr. 400'000.-- seit dem 28. April 2006 und 5 % auf Fr. 35'000.-- seit dem 19. Juli 2006. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 und Abs. 2 lit. b sowie <ref-law>). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann die Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich Bundesverfassungsrecht) gerügt werden (<ref-law>). Nicht zu den in <ref-law> vorgesehenen Rügegründen gehört hingegen die Verletzung kantonaler Verfahrensvorschriften, deren Anwendung und Auslegung vom Bundesgericht einzig unter dem Blickwinkel eines Verstosses gegen Bundesrecht bzw. gegen Bundesverfassungsrecht beurteilt werden kann (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 4.3 S. 521; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382 f.).
Auf das Verfahren vor der Vorinstanz fand, wie die Vorinstanz zu Recht erkannt hat, noch die nunmehr aufgehobene Zivilprozessordnung des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 (aZPO/ZH) Anwendung. Gemäss Art. 404 Abs. 1 der Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO; SR 272) gilt für Verfahren, die bei Inkrafttreten dieses Gesetzes rechtshängig sind, das bisherige Verfahrensrecht bis zum Abschluss vor der betroffenen Instanz. Das Verfahren vor einer Instanz wird durch einen rechtskräftigen Endentscheid abgeschlossen. Wird ein Entscheid in einem Verfahren durch eine Rechtsmittelinstanz aufgehoben und zum Neuentscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen, wird damit das Verfahren vor dieser Instanz nicht abgeschlossen, sondern in den Stand zurückversetzt, in welchem es sich vor der Ausfällung des angefochtenen Entscheids befunden hat. Demnach muss nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts gemäss dem Grundsatz der Einheit der Instanz bei der Wiederaufnahme des Verfahrens nach einem Rückweisungsentscheid das bisherige Verfahrensrecht weiterhin Anwendung finden (Urteile 4A_258/2012 vom 8. April 2013 E. 2.1; 4A_641/2011 vom 27. Januar 2012 E. 2.2; vgl. auch Urteil 4A_225/2011 vom 15. Juli 2011 E. 2.2). Soweit die Beschwerdeführerin die Verletzung von Normen des kantonalen Zivilprozessrechts rügen will, hat sie darzutun, dass dabei gleichzeitig ein Verstoss gegen Bundes- bzw. Bundesverfassungsrecht vorliegt.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht des Beschwerdeführers (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.1). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Macht der Beschwerdeführer beispielsweise eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5 S. 5; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgrundsatz zuwiderläuft. Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 2.2.2. S. 318 f.; je mit Hinweisen).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 sowie <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 400; <ref-ruling> E. 3 S. 749). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 387 f.; je mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substantiiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden. Ausserdem hat der Beschwerdeführer mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen genannt hat (Urteile 4A_627/2012 vom 9. April 2013 E. 3.2; 4A_614/2011 vom 20. März 2012 E. 1.2; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f., 393 E. 7.1 S. 398, 462 E. 2.4 S. 466 f.).
2.
Die Beschwerdeführer stellen vor Bundesgericht die Rechtmässigkeit der hälftigen Herabsetzung des Schadenersatzes auf Fr. 435'000.-- aufgrund ihres Selbstverschuldens nicht in Frage. Sie bringen jedoch vor, die von der Vorinstanz erwähnte Zahlung von Fr. 290'000.-- an die Beschwerdegegnerin sei entgegen dem angefochtenen Entscheid nicht vom von ihr geschuldeten Schadenersatz in Abzug zu bringen, und werfen der Vorinstanz eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, eine willkürliche Anwendung kantonalen Verfahrensrechts sowie eine Missachtung verschiedener Bestimmungen des Obligationenrechts vor.
2.1. Die Beschwerdeführer rügen im Zusammenhang mit ihrer Eingabe an die Vorinstanz vom 15. März 2013 eine Missachtung ihres Gehörsanspruchs (<ref-law>).
Die aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen, verlangt nicht, dass diese sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 4.2 S. 355; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer behaupten zu Recht nicht, die Vorinstanz hätte ihre Eingabe nicht zur Kenntnis genommen. Vielmehr zitieren sie in ihrer Beschwerde zahlreiche Passagen aus ihrer Rechtsschrift wörtlich, um ihre Ausführungen damit zu schliessen, die Vorinstanz sei "auf all dies" mit keinem Wort eingegangen. Damit zeigen sie nicht konkret auf, inwiefern ihnen die vorinstanzliche Begründung verunmöglicht hätte, den angefochtenen Entscheid sachgerecht anzufechten.
Aus den Erwägungen im angefochtenen Entscheid geht zudem hervor, wie die Vorinstanz ihre Erklärungen im vorinstanzlichen Verfahren hinsichtlich der Zahlung über Fr. 290'000.-- ausgelegt hat. Die Begründung genügt den verfassungsrechtlichen Anforderungen; die Rüge der Gehörsverletzung ist unbegründet.
2.2. Die Beschwerdeführer bringen sodann vor, die Vorinstanz habe ihre Erklärungen hinsichtlich der Anrechnung der Zahlung von Fr. 290'000.-- willkürlich ausgelegt und gleichzeitig verschiedene Bestimmungen des Obligationenrechts verletzt.
2.2.1. Die Beschwerdeführer erklärten an den beiden im angefochtenen Entscheid erwähnten Stellen ihrer Replik vom 10. März 2011 bzw. ihrer Stellungnahme zur Duplik vom 6. September 2011 Folgendes:
"Mit für die Beklagte befreiender Wirkung wurde am 3. Februar 2011 der Betrag von CHF 250'000 auf Rechnung der klägerischen Forderung bezahlt; am 2. März 2011 wurde ein weiterer Betrag von CHF 10'000 mit für die Beklagte befreiender Wirkung bezahlt. Somit reduziert sich der Anspruch der Kläger gegenüber der Beklagten entsprechend. ..."
"Mit für die Beklagte befreiender Wirkung wurde nach Einreichung der Replik auf Rechnung der klägerischen Forderung CHF 30'000 überwiesen. Somit reduziert sich der Anspruch der Kläger gegenüber der Beklagten entsprechend. An den Kosten- und Entschädigungsfolgen ändert sich dagegen nichts, da der Untergang der Forderung durch Bezahlung einem Obsiegen der Kläger gleichkommt. In diesem Zusammenhang sei auf <ref-law> verwiesen, wonach nicht erheblich ist, wer bezahlt."
Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführer sind ihre Erklärungen nach Treu und Glauben nicht dahingehend zu verstehen, dass eine Anrechnung nur für den Fall einer Verurteilung der Beschwerdegegnerin zu vollem Schadenersatz in der Höhe von Fr. 870'000.-- erfolgen solle. Sie erklärten nicht etwa, die Zahlungen seien im Rahmen der Schadensberechnung zu berücksichtigen, sondern anerkannten ausdrücklich, diese seien "auf Rechnung der klägerischen Forderung" bzw. "mit für die Beklagte befreiender Wirkung" geleistet worden, womit sich "der Anspruch der Kläger gegenüber der Beklagten entsprechend [reduziere]". Damit anerkannten sie unabhängig von der Herkunft und den weiteren Umständen der Zahlung, dass der entsprechende Betrag an die Schadenersatzforderung anzurechnen sei. Über diese entschied das Gericht; die Höhe der Ersatzforderung wird von den Beschwerdeführern nicht in Frage gestellt.
2.2.2. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht trifft im Übrigen nicht zu, dass die fraglichen Erklärungen zu einem Zeitpunkt erfolgt seien, als nur eine Schadenersatzleistung im vollen Umfang von Fr. 870'000.-- zur Diskussion gestanden und eine Herabsetzung des Schadenersatzanspruchs nach <ref-law> kein Thema gewesen sei, zumal die Beschwerdegegnerin den Einwand des Selbstverschuldens bereits in der Klageantwort erhoben hatte. Zudem spricht auch die unter Hinweis auf <ref-law> erfolgte Behauptung der Beschwerdeführer im Rahmen des vorinstanzlichen Verfahrens, es sei nicht erheblich, wer bezahlt habe, für das Verständnis der Vorinstanz, dass gemäss den klägerischen Prozessvorbringen mit den fraglichen Zahlungen die Ersatzforderung gegenüber der Beschwerdegegnerin teilweise getilgt worden sei, erfasst die erwähnte Bestimmung doch gerade die Erfüllung einer fremden Forderung durch einen Dritten.
Ebenso wenig verfängt der Einwand der Beschwerdeführer, sie hätten die fraglichen Erklärungen hinsichtlich des bezahlten Betrags von Fr. 290'000.-- abgeben müssen, um sich nicht dem Vorwurf des Prozessbetrugs auszusetzen, zumal nach <ref-law> im definitiven Rechtsöffnungsverfahren die Einrede der Tilgung nur dann erhoben werden könne, wenn diese nach Erlass des Urteils erfolgt sei. Entgegen ihrer Behauptung wäre es ihnen freigestanden, das Gericht über die erfolgte Zahlung in Kenntnis zu setzen, ohne gleichzeitig zu anerkennen, dass diese ohne Weiteres an die klägerische Forderung anzurechnen sei.
2.2.3. Unter diesen Umständen kann der Vorinstanz weder eine Verletzung von <ref-law> noch eine treuwidrige bzw. gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstossende Anwendung kantonaler Verfahrensgrundsätze vorgeworfen werden, wenn sie den fraglichen Betrag von dem den Beschwerdeführern zustehenden Schadenersatzanspruch über Fr. 435'000.-- abzog. Nachdem die Vorinstanz ohne Bundesrechtsverletzung davon ausgehen konnte, die Beschwerdeführer hätten eine teilweise Erfüllung ihrer Schadenersatzforderung infolge der erfolgten Zahlungen über insgesamt Fr. 290'000.-- anerkannt, war sie nicht veranlasst, die weiteren Umstände dieser Zahlungen zu klären. Entsprechend hatte sie auch nicht zu prüfen, welche Wirkung eine entsprechende Zahlung ohne die erfolgten Erklärungen der Beschwerdeführer auf die Schadenersatzforderung gezeitigt hätte, falls diese von einem solidarisch haftenden Dritten ausgerichtet worden wäre, wie sie dies nunmehr vor Bundesgericht vorbringen.
Der Vorwurf, die Vorinstanz habe die massgebenden Grundsätze zur Solidarität und damit Art. 51, Art. 144 und Art. 147 OR verletzt, stösst damit ins Leere. Inwiefern Art. 43 f. OR verletzt sein sollen, legen die Beschwerdeführer in keiner Weise dar und ist auch nicht ersichtlich, zumal sie vor Bundesgericht weder die vorinstanzliche Schadenersatzbemessung (<ref-law>) noch die Herabsetzung des Schadenersatzes infolge Selbstverschuldens (<ref-law>) in Frage stellen.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die Beschwerdeführer unter solidarischer Haftbarkeit kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 sowie Art. 68 Abs. 2 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'500.-- werden den Beschwerdeführern (unter solidarischer Haftung und intern je zur Hälfte) auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren (unter solidarischer Haftung und intern je zur Hälfte) mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Nebenintervenienten und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. November 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Leemann