Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen das Urteil vom 1. Juni 2010 der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs,
in die nachträgliche Beschwerdeergänzung samt sinngemässem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auch für das bundesgerichtliche Verfahren,

in Erwägung,
dass Beschwerden nach <ref-law> gegen Entscheide kantonaler SchK-Aufsichtsbehörden innerhalb der nicht erstreckbaren Beschwerdefrist von 10 Tagen seit Eröffnung des kantonalen Entscheids einzureichen sind (<ref-law>) und ausserdem nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten haben, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG),
dass der Beschwerdeführer in der einlässlichen Rechtsmittelbelehrung im Urteil der Aufsichtsbehörde vom 1. Juni 2010 auf diese Anforderungen hingewiesen worden ist,
dass das erwähnte Urteil dem Beschwerdeführer am 8. Juni 2010 eröffnet worden ist,
dass sich deshalb die vom Beschwerdeführer am 15. Juni 2010 beim Bundesgericht eingereichte erste Eingabe mit dem gleichen Datum als rechtzeitig erweist,
dass indessen diese Eingabe keine Begründung enthält, weshalb sie nach dem Gesagten als Beschwerde unzulässig ist,
dass sodann die ergänzende Eingabe vom 21. Juni 2010 zwar eine Begründung enthält, vom Beschwerdeführer jedoch erst am 21. Juni 2010 und damit nach Ablauf (Freitag, den 18. Juni 2010) der 10-tägigen Beschwerdefrist eingereicht worden ist,
dass im Übrigen eine Wiederherstellung dieser Frist zum Vornherein ausgeschlossen wäre, weil der vom Beschwerdeführer geltend gemachte "Maturprüfungsstress" seiner Tochter kein unverschuldetes Hindernis im Sinne von <ref-law> darstellt,
dass auf die teils keine Begründung enthaltende, teils verspätete und damit offensichtlich unzulässige Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht einzutreten ist,
dass dem Beschwerdeführer in Anbetracht der Aussichtslosigkeit seiner Beschwerde die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Y._ und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs (Kanton Solothurn) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann