Sachverhalt:
A. Die kosovarische Staatsangehörige AX._ (geb. 1976) reiste am 18. November 2003 in die Schweiz ein und ersuchte unter dem Namen AY._ um Asyl. Mit Entscheid vom 19. Mai 2004 lehnte das Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration) das Gesuch ab. Nachdem die Asylrekurskommission (heute: Bundesverwaltungsgericht) eine dagegen erhobene Beschwerde abgelehnt hatte, wurde AX._ am 25. Oktober 2004 nach Pristina (Kosovo) ausgeschafft. Am 27. Oktober 2004 heiratete sie den über eine Niederlassungsbewilligung für den Kanton Zürich verfügenden BX._ (geb. 1956), welcher ebenfalls aus dem Kosovo stammt.
Am 29. Januar 2005 reiste AX._ erneut in die Schweiz ein, worauf ihr das Migrationsamt des Kantons Zürich eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleib beim Ehegatten erteilte, welche letztmals bis zum 28. Januar 2007 verlängert wurde. Noch bevor am 17. April 2006 ihr gemeinsamer Sohn C._ zu Welt kam, trennten sich die Ehegatten X._ im November 2005. C._ wurde in die Niederlassungsbewilligung des Vaters einbezogen. Mit Verfügung vom 27. September 2006 stellte der zuständige Eheschutzrichter fest, dass die Eheleute vorläufig zum Getrenntleben berechtigt seien. C._ wurde zudem unter die elterliche Obhut der Mutter gestellt und BX._ ein eingeschränktes Besuchsrecht eingeräumt.
B. Mit Verfügung vom 9. August 2007 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch von AX._ vom 17. November 2006 um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab, verweigerte ihr den weiteren Aufenthalt und setzte ihr eine Frist bis 10. Oktober 2007 zum Verlassen des zürcherischen Kantonsgebiets. Das beim Regierungsrat des Kantons Zürich hiergegen erhobene Rechtsmittel blieb erfolglos. Mit Urteil vom 24. März 2010 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Regierungsratsentscheid erhobene Beschwerde hinsichtlich der Kostenauflage und Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege gut. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 28. April 2010 beantragt AX._ die Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. März 2010 "betreffend Widerruf der Aufenthaltsbewilligung/Wegweisung". Eventualiter sei die Sache "im Sinne der gutzuheissenden Rügen" an das Verwaltungsgericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Falls auf die Beschwerde in öffentlich-rechtliche Angelegenheiten nicht eingetreten werden könne, sei die Eingabe subeventualiter als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu prüfen. Sie beantragt zudem, es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor dem Bundesgericht zu gewähren. Gerügt wird die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht.
D. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichtet auf eine Vernehmlassung und das Bundesamt für Migration beantragt die Abweisung der Beschwerde, währenddem sich der Regierungsrat und die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich nicht geäussert haben.
Mit Verfügung vom 6. Mai 2010 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Das streitige Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung wurde vor Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) am 1. Januar 2008 eingereicht und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) und seinen Ausführungserlassen (Art. 126 Abs. 1 AuG).
1.3 Da die Beschwerdeführerin getrennt von ihrem Ehemann lebt und die Ehe mittlerweile rechtskräftig geschieden ist, hat sie keinen Bewilligungsanspruch (mehr) gestützt auf Art. 17 Abs. 2 ANAG. Hingegen verfügt der Sohn der Beschwerdeführerin über eine Niederlassungsbewilligung und damit über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz. Die Beziehung zu ihrem Sohn ist intakt und wird tatsächlich gelebt, nachdem sie das Sorgerecht über diesen ausübt. Gestützt darauf kann die Beschwerdeführerin aus dem gemäss Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) gewährleisteten Recht auf Achtung des Familienlebens einen potentiellen Bewilligungsanspruch ableiten (so genannter "umgekehrter Familiennachzug"; vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146; Urteil 2C_174 vom 14. Juli 2009 E. 2.3.3; je mit Hinweisen).
Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demzufolge einzutreten. Ob die Bewilligung verweigert werden durfte, betrifft nicht das Eintreten, sondern bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.5 S. 150 mit Hinweisen).
1.4 Die Verfassungsbeschwerde ist im Verhältnis zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten subsidiär (Art. 113 BGG). Da hier die Letztere zur Verfügung steht, ist auf die von der Beschwerdeführerin - subeventualiter - erhobene Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
1.5 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist daher weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt u.a. hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
1.6 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
1.7 Nicht zu hören ist die Beschwerdeführerin mit ihren Beweisanträgen, soweit sie die Befragung von Zeugen bzw. den Beizug von Berichten durch das Bundesgericht verlangt. Der rechtserhebliche Sachverhalt ergibt sich mit hinreichender Klarheit aus den Akten (vgl. auch E. 4.2 hiernach).
2. 2.1 Der Beschwerdeführerin obliegt das Sorgerecht über ihren minderjährigen Sohn; die beiden bilden zusammen eine Familiengemeinschaft. Der Vater hat gegenüber dem niederlassungsberechtigten Sohn ein Besuchsrecht, und er kann die Vater-Sohn-Beziehung nicht im Rahmen eines familiären Zusammenlebens in enger Gemeinschaft pflegen; als ehemaliger Ehemann der Beschwerdeführerin hat er sodann zu dieser nach der Scheidung keine in fremdenpolizeirechtlicher Hinsicht massgebliche Beziehung mehr. Das Verwaltungsgericht geht davon aus, dass es unter solchen Umständen für ein niedergelassenes Kleinkind zumutbar ist, der Mutter in deren Heimatland zu folgen; die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin sei daher nicht geboten, und die Bewilligungsverweigerung verletze Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV nicht.
2. 2.1 Der Beschwerdeführerin obliegt das Sorgerecht über ihren minderjährigen Sohn; die beiden bilden zusammen eine Familiengemeinschaft. Der Vater hat gegenüber dem niederlassungsberechtigten Sohn ein Besuchsrecht, und er kann die Vater-Sohn-Beziehung nicht im Rahmen eines familiären Zusammenlebens in enger Gemeinschaft pflegen; als ehemaliger Ehemann der Beschwerdeführerin hat er sodann zu dieser nach der Scheidung keine in fremdenpolizeirechtlicher Hinsicht massgebliche Beziehung mehr. Das Verwaltungsgericht geht davon aus, dass es unter solchen Umständen für ein niedergelassenes Kleinkind zumutbar ist, der Mutter in deren Heimatland zu folgen; die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin sei daher nicht geboten, und die Bewilligungsverweigerung verletze Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV nicht.
2.2 2.2.1 Kann sich die Beschwerdeführerin auf Art. 8 EMRK berufen, kommt die Verweigerung einer Anwesenheitsbewilligung einem Eingriff in den darin gewährleisteten Anspruch auf Achtung des Familienlebens gleich. Dieser Anspruch gilt jedoch nicht absolut. Vielmehr ist nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutze der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Pflichten anderer notwendig ist. Die Konvention verlangt insofern eine Abwägung der sich gegenüberstehenden Interessen an der Erteilung der Bewilligung und der öffentlichen Interessen an deren Verweigerung, wobei letztere in dem Sinne überwiegen müssen, dass sich der Eingriff als notwendig erweist (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 6 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 3 S. 357 ff.). Analoge Voraussetzungen ergeben sich aus Art. 36 BV im Hinblick auf einen Eingriff in Art. 13 BV.
2.2.2 Nach der langjährigen Rechtsprechung des Bundesgerichts fällt als zulässiges öffentliches Interesse insbesondere das Durchsetzen einer restriktiven Einwanderungspolitik in Betracht. Eine solche ist im Hinblick auf ein ausgewogenes Verhältnis zwischen schweizerischer und ausländischer Wohnbevölkerung, die Schaffung günstiger Rahmenbedingungen für die Eingliederung der in der Schweiz fest ansässigen Ausländer und die Verbesserung der Arbeitsmarktstruktur sowie eine möglichst ausgeglichene Beschäftigung im Lichte von Art. 8 Ziff. 2 EMRK zulässig (<ref-ruling> E. 4b S. 5, 22 E. 4a S. 25). Nach einer lange geübten Praxis liegt eine Verletzung von Art. 8 EMRK nicht vor, wenn es (auch) den fest anwesenheitsberechtigten Familienmitgliedern zumutbar ist, ihr Familienleben im Ausland zu führen. Grundsätzlich hat dabei auch ein schweizerisches oder ausländisches Kind, namentlich ein solches im Kleinkindalter, als Konsequenz der in einem Eheschutz- oder Scheidungsverfahren getroffenen Regelung das Lebensschicksal des sorge- bzw. obhutsberechtigten Elternteils zu teilen und ihm gegebenenfalls ins Ausland zu folgen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 67; <ref-ruling> E. 3c S. 298).
Diese Rechtsprechung hat das Bundesgericht - mit Blick auf die Kinderrechtskonvention und verfassungsrechtliche Zusammenhänge (vgl. Art. 24 und 25 Abs. 1 BV) - für Aufenthaltsbewilligungen im "umgekehrten Familiennachzug" an den ausländischen, sorgeberechtigten Elternteil eines Schweizer Kindes präzisiert: Allein die Zumutbarkeit der Ausreise und das öffentliche Interesse, eine restriktive Einwanderungspolitik betreiben zu können, genügen danach für die Verweigerung einer Bewilligung nicht (mehr), sondern es braucht besondere, namentlich ordnungs- und sicherheitspolizeiliche Gründe, welche diese Folgen zu rechtfertigen vermögen (<ref-ruling> E. 3 und 4 S. 148 ff; <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 158). Hingegen hat sich durch die Neuausrichtung der bundesgerichtlichen Praxis die Rechtslage bei der analogen Situation eines anwesenheitsberechtigten, selbst niedergelassenen, ausländischen Kindes nicht wesentlich verändert: Diesfalls kann die Zumutbarkeit der Ausreise weiterhin für eine Bewilligungsverweigerung an den sorge- bzw. obhutsberechtigten Elternteil genügen (vgl. Urteil 2A.508/2005 vom 16. September 2005 E. 2.2), wobei immerhin für die Beurteilung der Zumutbarkeit die Möglichkeit und Ernsthaftigkeit der Ausübung des Besuchsrechts des in der Schweiz anwesenheitsberechtigten anderen Elternteils mit zu berücksichtigen ist (Peter Uebersax, Die EMRK und das Migrationsrecht aus der Sicht der Schweiz, in: Breitenmoser/Ehrenzeller [Hrsg.], EMRK und die Schweiz, 2010, S. 228 f.).
2.2.3 Die Beschwerdeführerin befindet sich seit etwas mehr als fünf Jahren mit einer Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz. Sie hat ihre Heimat erst im Alter von fast 29 Jahren verlassen, womit davon ausgegangen werden darf, dass sie mit den dortigen Verhältnissen noch vertraut ist, zumal das Zusammenleben mit ihrem ebenfalls aus dem Kosovo stammenden Ehegatten nicht einmal ein Jahr gedauert hat. Ihr in der Schweiz geborener Sohn, welcher erst nach der Trennung von ihrem Ehemann zur Welt kam und für welchen sie sorgt, ist vier Jahre alt und befindet sich somit noch in einem anpassungsfähigen Alter; es ist ihm - wie die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht annehmen durfte - grundsätzlich zumutbar, seiner Mutter in die Heimat zu folgen, nachdem diese als Sorgeberechtigte ihre Hauptbezugsperson bildet.
2.2.4 Zwar trifft es zu, dass das Besuchsrecht des in der Schweiz niederlassungsberechtigten Vaters zu seinem Sohn durch die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Mutter beeinträchtigt werden könnte; dennoch muss deren Bewilligung nicht erneuert werden: Wie das Bundesgericht festgestellt hat, gelten in solchen Fällen analog die Voraussetzungen, unter denen nach der Rechtsprechung dem nicht sorgeberechtigten Ausländer eine Aufenthaltsbewilligung erteilt werden muss, wenn diesem gegenüber seinem Kind, das mit dem anderen Elternteil in der Schweiz bleibt und hier ein gefestigtes Bleiberecht hat, ein Besuchsrecht zusteht. Erforderlich ist danach, dass eine intensive Beziehung in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht zwischen dem hier anwesenden besuchsberechtigten Elternteil und dem Kind besteht und sich der obhutsberechtigte Elternteil, welcher um die Bewilligung ersucht, tadellos verhalten hat. Dabei ist mit noch grösserer Zurückhaltung auf eine Pflicht zur Bewilligungserteilung zu schliessen als im Falle des besuchsberechtigten Ausländers, der selber, im Hinblick auf die Ausübung seines Besuchsrechts, um die Bewilligung ersucht; der obhutsberechtigte Elternteil, der die Bewilligung einzig zur Erleichterung der Ausübung des Besuchsrechts zwischen dem Kind und dem anderen Elternteil erhältlich machen will, soll dies nur bei Vorliegen besonderer Umstände tun können (vgl. die Urteile des Bundesgerichts 2C_372/2008 vom 25. September 2008 E. 3.2.1; 2A.508/2005 vom 16. September 2005 E. 2.2.3 mit Hinweisen).
2.2.5 Solche besonderen Umstände liegen hier nicht vor. Gemäss den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (vgl. dazu auch E. 4 hiernach) wurde die Beziehung zwischen C._ und BX._ - wie auch die Beschwerdeführerin einräumt - lange nicht gelebt. Dieser drängte die Beschwerdeführerin zunächst sogar, das Kind abzutreiben. Noch vor der Geburt von C._ kam es zur Trennung der Eltern, so dass BX._ gar nie mit seinem Sohn zusammengewohnt hat. Die Klage auf Anfechtung der Vaterschaft zog BX._ erst zurück, als ein Test vorlag, der seine Vaterschaft als praktisch erwiesen bezeichnete. Dazu kommen weitere Zweifel an der Glaubwürdigkeit BX._ im Zusammenhang mit Erklärungen über seine Kinder aus früheren Beziehungen. Selbst wenn es zutreffen sollte, dass mittlerweile eine intakte und gelebte Beziehung zwischen C._ und seinem Vater besteht, lassen weder Ausmass noch Ausgestaltung des Besuchsrechts noch andere Umstände auf eine aussergewöhnlich intensive Beziehung schliessen, die über das hinausginge, was im Falle getrennt lebender Eltern üblich ist. Dazu kommt, dass gemäss Ehescheidungsurteil des Bezirksgerichts Hinwil vom 11. Juni 2008 sich die Unterhaltsverpflichtung von BX._ in der Weiterleitung der ihm zustehenden Kinderrenten erschöpft und dieser nicht in der Lage ist, weitere Unterhaltsbeiträge zu bezahlen.
2.2.6 Die Beschwerdeführerin führt mit Bezug auf BGE <ref-ruling> aus, für den Zwang zur Ausreise eines Kindes sei das Argument der restriktiven Einwanderungspolitik grundsätzlich nicht mehr zulässig; vielmehr seien neu die Kindesinteressen vorrangig zu berücksichtigen. Die neue Praxis müsse auch für ein niedergelassenes Kind in Analogie gelten (vgl. Beschwerdeschrift Ziff. 18.1.3.1.6). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist die oben zitierte bundesgerichtliche Rechtsprechung jedoch nur in Bezug auf Kinder mit schweizerischer Staatsangehörigkeit präzisiert worden. Für ein anwesenheitsberechtigtes ausländisches Kind lässt sich - wie erwähnt - aus der neuen Praxis nichts zu seinen Gunsten ableiten, da es von Art. 24 BV (Niederlassungsfreiheit) und Art. 25 Abs.1 BV (Verbot der Ausweisung von Schweizer Bürgern) grundsätzlich nicht erfasst wird (vgl. auch E. 2.2.2 hiervor). Anders als in <ref-ruling> und <ref-ruling> wäre es hier auch nicht möglich, dass das Kind bei Erreichen der Volljährigkeit selbständig wieder in die Schweiz zurückkehren könnte, da es nicht über die Schweizer Staatsbürgerschaft verfügt. Damit liegen die - auch im vorliegenden Fall zu berücksichtigenden - Kindesinteressen gerade anders als in der Konstellation eines Kindes mit Schweizer Staatsangehörigkeit.
2.2.7 Soweit die Beschwerdeführerin noch geltend macht, durch Nichtbeachtung von Beweisanträgen seien die familienrechtlichen Grundrechtsansprüche der Familie X._, welche ebenfalls aus Art. 8 EMRK abzuleiten seien, verletzt worden, erweisen sich die entsprechenden Rügen als zu wenig substantiiert (vgl. E. 1.5 hiervor sowie E. 4 hiernach).
2.2.8 Im Ergebnis überwiegen damit die Gründe, welche gegen die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung für die Mutter sprechen, die gegenläufigen privaten Interessen. Das (fast immer gegebene) Interesse, die besseren wirtschaftlichen Verhältnisse in der Schweiz bzw. die hiesigen Sozialleistungen zu nutzen, kann für die Abwägung nicht entscheidend sein. Die Berufung auf Art. 8 EMRK vermag daher nicht durchzudringen.
3. Nichts anderes ergibt sich in diesem Zusammenhang aus der in der Beschwerde ebenfalls angerufenen Bestimmung von Art. 14 EMRK in Verbindung mit dem UNO-Übereinkommen vom 18. Dezember 1979 zur Beseitigung jeder Form von Diskriminierung der Frau (SR 0.108).
3.1 Die Beschwerdeführerin schliesst aus Art. 16 Abs. 1 lit. c und d bzw. Art. 5 lit. b des Abkommens in Verbindung mit Art. 14 EMRK, dass der angefochtene Entscheid diskriminierend sei und vorliegend die "frauenspezifische Problematik der häuslichen Gewalt" der Beschwerdeführerin Ansprüche vermitteln könne (vgl. Beschwerdeschrift Ziff. 19.2.10).
3.2 Dem in Art. 14 EMRK verankerten Diskriminierungsverbot kommt kein selbständiger Charakter zu, sondern es setzt die Anwendbarkeit einer anderen Grundrechtsgarantie der EMRK voraus (<ref-ruling> E. 3 S. 260; <ref-ruling> E. 4.2 S. 146). Ob hier eine andere EMRK-Garantie in ihrem Geltungsbereich betroffen ist, kann aber offen gelassen werden: Die von der Beschwerdeführerin in Verbindung mit Art. 14 EMRK genannten Bestimmungen des UNO-Übereinkommens (Art. 16 Abs. 1 lit. c und d bzw. Art. 5 lit. b) verpflichten die Vertragsstaaten lediglich, "alle geeigneten Massnahmen zu treffen". Damit enthält das Übereinkommen - zumindest im Bereich der genannten Artikel - keine konkreten Verpflichtungen, sondern überlässt den Vertragsstaaten die Mittel, mit denen sie die Diskriminierung von Frauen beseitigen wollen. Die Bestimmungen haben somit vor allem programmatischen Charakter (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 36; vgl. auch Hausammann/Schläppi, Menschenrechte und Frauenrechte: Das UNO-Übereinkommen zur Beseitigung jeder Form von Diskriminierung der Frau und seine Bedeutung in der Schweiz, AJP 1995 S. 38 und 42). Die Beschwerde wegen Verletzung von Staatsvertragsrecht (vgl. Art. 95 lit. b BGG) setzt jedoch voraus, dass die staatsvertragliche Bestimmung, deren Verletzung gerügt wird, direkt anwendbar ("self-executing") ist. Dies trifft nur zu, wenn die Bestimmung inhaltlich hinreichend bestimmt und klar ist, um im Einzelfall Grundlage eines Entscheides zu bilden. Die Norm muss mithin justiziabel sein, d.h. es müssen die Rechte und Pflichten des Einzelnen umschrieben und der Adressat der Norm die rechtsanwendenden Behörden sein (<ref-ruling> E. 3.2 S. 291 mit Hinweis). Diese Voraussetzungen sind hier in Bezug auf die geltend gemachten Bestimmungen - wie oben dargelegt - nicht erfüllt.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich die Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV (Anspruch auf rechtliches Gehör), welche zu einer unrichtigen Sachverhaltsfeststellung im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG und folglich zu einer Verletzung der Rechtsweggarantie gemäss Art. 29a BV geführt habe. Der Vorinstanz wird unter anderem vorgeworfen, in Bezug auf die Befragung des Kindsvaters, das Vorliegen von massiver häuslicher Gewalt sowie die berufliche Integration der Beschwerdeführerin wichtige prozessuale Grundsätze verletzt bzw. kantonale prozessuale Bestimmungen willkürlich angewendet und insbesondere Beweisofferten und Beweisanträge übergangen zu haben.
4.2 Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 3a S. 51, 241 E. 2 S. 242; je mit Hinweisen). Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157 mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind vorliegend erfüllt: Die Vorinstanz durfte aufgrund der bereits getätigten, umfangreichen Sachverhaltsermittlungen davon ausgehen, dass die Anhörung des Vaters bzw. der Beizug weiterer Berichte zu keinen neuen Erkenntnissen in Bezug auf die Intensität der Beziehung zu seinem Sohn in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht führen würde. Dies umso weniger, als davon ausgegangen werden kann, der Vater sei - im Hinblick auf die mögliche Beeinträchtigung seines Besuchsrechts - den ersuchenden Personen gegenüber wohlwollend eingestellt und beabsichtige, diesen zu helfen. Dass das Verwaltungsgericht in dieser Situation auf die beantragten Einvernahmen verzichtet hat, ist daher nachvollziehbar und stellt - ebenso wie die Beweiswürdigung in Bezug auf die geltend gemachte massive häusliche Gewalt bzw. das Vorliegen der sozialen und beruflichen Integration - keine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV dar. Unter diesen Umständen liegen weder eine Gehörsverletzung noch eine unvollständige Feststellung des Sachverhalts und auch keine Verletzung der Rechtsweggarantie vor. Ebensowenig ist eine willkürliche, Art. 9 BV verletzende Sachverhaltsfeststellung oder eine willkürliche Beweiswürdigung durch die Vorinstanz auszumachen.
Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich neu erstmals vorbringt, die Eltern hätten sich im April 2010 um einen neuen Beistand für ihren Sohn bemüht, handelt es sich um ein unzulässiges Novum; der Protokollauszug der Vormundschaftsbehörde der Stadt Zürich vom 15. April 2010 sowie das Schreiben des neu ernannten Beistandes vom 23. April 2010 sind als unzulässige "echte" Noven aus dem Recht zu weisen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344 mit Hinweisen).
5. 5.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten (vgl. E. 1.4). Bei diesem Ergebnis besteht auch kein Anlass, dem Eventualantrag (Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung) stattzugeben.
5.2 Damit wird die Beschwerdeführerin an sich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde aber nicht gerade als von vornherein aussichtslos zu bezeichnen ist und die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin als erstellt gelten kann, was das Verwaltungsgericht auch für das vorinstanzliche Verfahren und dasjenige vor dem Regierungsrat angenommen hat, ist dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung der beigezogenen Rechtsanwältin zu entsprechen (Art. 64 BGG). Dabei ist für die Festsetzung der Entschädigung jedoch zu berücksichtigen, dass sich die Rechtsschrift als übermässig weitschweifig erwiesen hat.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Der Beschwerdeführerin wird für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
a) Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
b) Rechtsanwältin Caterina Nägeli, Zürich, wird zur unentgeltlichen Rechtsbeiständin bestellt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, dem Regierungsrat des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Winiger