Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1973) stammt aus dem Kosovo. Er war 1990 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz eingereist und hat eine Niederlassungsbewilligung. Am 6. Dezember 2012 beantragte er den Familiennachzug für seine Im Kosovo wohnhafte Ehefrau sowie die gemeinsamen Söhne B.A._ (geb. 1996) und C.A._ (geb. 2004).
B.
Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau bewilligte den Familiennachzug mit Verfügung vom 7. April 2014 für die Ehefrau und den jüngeren Sohn C.A._ lehnte das Gesuch bezüglich des älteren Sohns B.A._ jedoch ab. Es begründete dies damit, dass das Gesuch verspätet eingereicht worden sei und keine wichtigen Gründe für einen nachträglichen Familiennachzug bestünden. Gegen diesen Entscheid erhob A.A._ Einsprache beim Rechtsdienst des Amtes, der diese ablehnte. Eine hiergegen beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau geführte Beschwerde hiess dieses mit Urteil vom 29. Januar 2015 gut. Es wies das Amt an, den Aufenthalt des Sohnes B.A._ zu regeln.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. März 2015 beantragt das Staatssekretariat für Migration dem Bundesgericht, das Urteil vom 29. Januar 2015 sei aufzuheben.
Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau beantragt, die Beschwerde sei gutzuheissen. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdegegner beantragt dem Bundesgericht, nicht auf die Beschwerde einzutreten. Das Staatssekretariat hält an seinen Anträgen fest.
Mit Verfügung vom 6. März 2015 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde von Amtes wegen aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Staatssekretariat für Migration ist im Ausländerrecht befugt, gegen kantonal letztinstanzliche Endentscheide mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zu gelangen (Art. 82 i.V.m. Art. 83 lit. c e contrario Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Seine Beschwerdebefugnis ergibt sich aus <ref-law> in Verbindung mit Art. 14 Abs. 2 der Organisationsverordnung für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (OV-EJPD) vom 17. November 1999 (SR 172.213.1).
1.2. Die Beschwerdebefugnis des Staatssekretariats dient der richtigen und einheitlichen Anwendung des Bundesrechts und setzt kein hierüber hinausgehendes spezifisches schutzwürdiges (öffentliches) Interesse voraus. Immerhin muss ein mit Blick auf die einheitliche Anwendung des Bundesrechts in vergleichbaren Fällen zureichendes Interesse an der Beurteilung der aufgeworfenen Probleme bestehen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 341 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 203; <ref-ruling> E. 1 S. 195 f.; Urteil 2C_861/2013 vom 11. November 2013 E. 1, nicht publ. in <ref-ruling> ff.).
Das SEM stellt sich auf den Standpunkt, die Vorinstanz habe Art. 47 Abs. 1 AuG in Verbindung mit der Übergangsbestimmung von Art. 126 Abs. 3 AuG rechtsfehlerhaft ausgelegt. Indem das Verwaltungsgericht die genannten Bestimmungen dahingehend interpretiere, dass die Vollendung des zwölften Altersjahrs des nachzuziehenden Kindes eine bereits laufende fünfjährige Frist nicht unterbreche bzw. auf ein Jahr verkürze, verletze die Vorinstanz Bundesrecht. Die vom Staatssekretariat beanstandete Auslegung ist demnach für eine Vielzahl gleich gelagerter Konstellationen massgeblich. Dass Art. 126 Abs. 3 AuG, auf den sich die Vorinstanz für den vorliegenden Fall beruft, in kurzer Zeit bedeutungslos werden dürfte, ändert daran nichts, weil sich dieselbe Fragestellung im Zusammenhang mit Art. 47 Abs. 3 AuG ergeben kann. Ohnehin kann das Staatssekretariat die richtige und einheitliche Durchsetzung von Bundesrecht in der vorliegenden Konstellation nur auf dem Beschwerdeweg durchsetzen (zur Publikation bestimmtes Urteil 2C_146/2014 vom 30. März 2015 E. 4.4.3; Urteil 2C_634/2014 vom 24. April 2015 E. 3). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> S. 17 f.; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2 S. 187 mit Hinweisen).
2.
Gemäss Art. 43 AuG haben ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Personen mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Abs. 1). Kinder unter zwölf Jahren haben Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung (Abs. 3). Nach Art. 47 Abs. 1 AuG muss der Anspruch auf Familiennachzug innerhalb von fünf Jahren geltend gemacht werden (Satz 1). Kinder über zwölf Jahre müssen innerhalb von zwölf Monaten nachgezogen werden (Satz 2). Die Fristen beginnen bei Familienangehörigen von Ausländern mit der Erteilung der Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung oder der Entstehung des Familienverhältnisses (Art. 47 Abs. 3 lit. b AuG). Die Fristen nach Art. 47 Abs. 1 AuG beginnen allerdings erst mit dem Inkrafttreten des Ausländergesetzes - am 1. Januar 2008 (AS 2007 5489) -, sofern vor diesem Zeitpunkt die Einreise erfolgte oder das Familienverhältnis entstand (Art. 126 Abs. 3 AuG). Wurde der Nachzug innert der Fristen des Art. 47 Abs. 1 AuG beantragt, so ist er zu bewilligen, wenn gemäss Art. 51 Abs. 2 AuG kein Rechtsmissbrauch oder Widerrufsgründe nach Art. 62 AuG gegeben sind, die nachziehenden Eltern das Sorgerecht haben und das Kindeswohl dem Nachzug nicht entgegensteht (vgl. <ref-ruling> E. 4.7 und 4.8 S. 85 ff.). Ein nachträglicher Familiennachzug wird dagegen nur bewilligt, wenn wichtige familiäre Gründe geltend gemacht werden (Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AuG).
3.
3.1. Strittig ist vorliegend die vorinstanzliche Auslegung von Art. 47 Abs. 1 AuG im Lichte der Übergangsbestimmung von Art. 126 Abs. 3 AuG. Die Vorinstanz kommt unter Bezugnahme auf das Urteil 1-BE.2010.34 des kantonalen Rekursgerichts im Ausländerrecht vom 15. Dezember 2011 (AGVE 2011, S. 361 ff.) zum Schluss, dass die fünfjährige Frist für den Familiennachzug nach Art. 47 Abs. 1 Satz 1 AuG entgegen der bundesgerichtlichen Praxis auch für Kinder gelte, wenn sie während dieser Frist das zwölfte Altersjahr vollendeten. Demgegenüber stellt sich das Staatssekretariat auf den Standpunkt, dass Kinder über zwölf Jahren nach der bundesgerichtlichen Praxis und dem Willen des Gesetzgebers in jedem Fall nur noch während eines Jahres nachgezogen werden könnten.
3.2. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> ff. festgehalten, dass für die Frage, ob die Altersgrenze von 18 Jahren nach Art. 42 Abs. 1 bzw. Art. 43 Abs. 1 AuG eingehalten worden sei, das Alter des Kindes bei Gesuchseinreichung entscheidend ist (dortige E. 3.7 S. 504). Auf den letztgenannten Zeitpunkt kommt es auch für die weitere Frage an, ob das Gesuch rechtzeitig innerhalb der Fristen nach Art. 47 Abs. 1 AuG gestellt worden sei und ob die zwölfmonatige oder fünfjährige Frist gelte (dortige E. 3.4 S. 502). Die Fünfjahresfrist nach Art. 47 Abs. 1 Satz 1 AuG bleibt bis zum zwölften Geburtstag massgebend, unabhängig davon, ob die Frist nach Art. 47 Abs. 3 AuG oder nach Art. 126 Abs. 3 AuG zu laufen begann. Ab dem zwölften Geburtstag verkürzt sich die Nachzugsfrist gemäss Art. 47 Abs. 1 Satz 2 AuG demgegenüber auf - maximal noch - ein Jahr (Urteil 2C_205/2011 vom 3. Oktober 2011 E. 3.5). Die Praxis wurde mehrmals bestätigt (vgl. Urteile 2C_1071/2014 vom 20. Mai 2015 E. 3; 2C_473/2014 vom 2. Dezember 2014 E. 4.1 in fine; 2C_1116/2013 vom 10. November 2014 E. 3.2; 2C_578/2012 vom 22. Februar 2013 E. 4.1; 2C_981/2010 vom 26. Januar 2012 E. 3.2).
3.3. Eine Änderung der Rechtsprechung lässt sich regelmässig nur begründen, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelter Rechtsanschauung entspricht; andernfalls ist die bisherige Praxis beizubehalten. Eine Praxisänderung muss sich auf ernsthafte sachliche Gründe stützen können, die - vor allem im Interesse der Rechtssicherheit - umso gewichtiger sein müssen, je länger die als falsch erachtete Rechtsanwendung gehandhabt worden ist (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 74; <ref-ruling> E. 2.3 S. 166; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 273; <ref-ruling> E. 6.1 S. 137; <ref-ruling> E. 3 S. 8).
3.4. Die Interpretation des Bundesgerichts stützt sich auf Sinn und Zweck der Fristen für den Familiennachzug und die Intention des Gesetzgebers: Art. 47 Abs. 1 Satz 2 AuG soll die Eltern im Sinne der von der Gesetzgebung erwünschten frühzeitigen Einschulung und Integration (vgl. Botschaft zum AuG, in BBl 2002 3754 Ziff. 1.3.7.7; <ref-ruling> E. 5.4 S. 20) dazu anhalten, die Kinder binnen Jahresfrist nachzuziehen, wenn das Kind seinen zwölften Geburtstag hatte und sofern die möglicherweise bereits laufende Fünfjahresfrist nicht sogar vorher verstreicht bzw. schon verstrichen ist (Urteil 2C_205/2011 vom 3. Oktober 2011 E. 3.5). Zu berücksichtigen ist dabei, dass Art. 47 Abs. 1 AuG die Hauptregel ist und die nachzuziehenden Kinder je nach Alter in zwei Kategorien (über oder unter zwölfjährig) einteilt. Art. 47 Abs. 3 bzw. Art. 126 Abs. 3 AuG präziseren in diesem Zusammenhang nur, ab wann die entsprechenden Fristen (fünf Jahre oder 12 Monate) zu laufen beginnen, und müssen im Lichte der Hauptregel ausgelegt werden. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Auffassung des Verwaltungsgerichts gestützt auf Wortlaut, Sinn und Zweck des Gesetzes besserer Rechtserkenntnis entsprechen würde. Ferner ist nicht davon auszugehen, dass der Gesetzgeber in Anbetracht des an sich unbestrittenen Gesetzeszwecks von Art. 47 Abs. 1 AuG eine Regelung zur Fristunterbrechung ausdrücklich vorzusehen hätte. Die Voraussetzungen für eine Änderung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind demnach nicht erfüllt.
3.5. Für das angefochtene Urteil bedeutet dies das Folgende:
3.5.1. Da der Beschwerdegegner vor dem Inkrafttreten des Ausländergesetzes am 1. Januar 2008 bereits in die Schweiz eingereist war und zu diesem Zeitpunkt das Familienverhältnis zu seinem älterem Sohn schon bestand (Geburt 1996), ist auf die Übergangsbestimmung des Art. 126 Abs. 3 AuG abzustellen (Urteile 2C_1116/2013 vom 10. November 2014 E. 3.2; 2C_174/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 3.2; 2C_205/2011 vom 3. Oktober 2011 E. 3.4; 2C_154/2010 vom 8. November 2010 E. 2.5). Damit begann die Nachzugsfrist mit Inkrafttreten des AuG am 1. Januar 2008 zu laufen, verkürzte sich am 12. Geburtstag des älteren Sohns am 2008 auf ein Jahr (Art. 47 Abs. 1 Satz 2 AuG) und endete, wie das Staatssekretariat zutreffend ausführt, am 2009. Mit dem Nachzugsgesuch vom 6. Dezember 2012 waren die Fristen im Sinne von Art. 47 Abs. 1 AuG für den älteren Sohn nicht eingehalten worden.
3.5.2. Vor diesem Hintergrund stellt sich grundsätzlich die Frage, ob wichtige Gründe im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG vorliegen, um einen verspäteten Familiennachzug ausnahmsweise zu bewilligen. Der Beschwerdegegner hatte in seiner Einsprache an das Migrationsamt wichtige Gründe unter Anrufung der genannten Bestimmung geltend gemacht. Dieser Standpunkt wurde - soweit aus den Akten ersichtlich - demgegenüber im Rahmen der Beschwerde an die Vorinstanz nicht mehr vertreten. Vor diesem Hintergrund hat das Verwaltungsgericht zu prüfen, ob die Geltendmachung von wichtigen Gründe im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG gestützt auf das kantonale Prozessrecht im aktuellen Verfahrensstand möglich bleibt.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen. Das Urteil des Verwaltungsgericht vom 29. Januar 2015 wird aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Die Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Über die Kosten- und Entschädigungsfolgen im vorinstanzlichen Verfahren hat das Verwaltungsgericht neu zu befinden (Art. 67 sowie 68 Abs. 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 29. Januar 2015 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Dem Beschwerdegegner werden Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 1'500.-- auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni