Sachverhalt:
A. Im Anschluss an die Zustellung des Zahlungsbefehls für eine Forderung von Fr. 95.-- an Y._ in der Betreibung Nr. xxx stellte das Betreibungsamt Vitznau der X._ AG eine Kostenrechnung von insgesamt Fr. 33.-- zu. Die X._ AG verlangte eine detaillierte Kostenrechnung, welche das Betreibungsamt am 2. Oktober 2012 erstellte. Diese enthielt eine Grundgebühr von Fr. 20.-- sowie Portoauslagen an Parteien von Fr. 13.--. Die X._ AG erhob gegen die Kostenrechnung betreibungsrechtliche Beschwerde an das Bezirksgericht Kriens als untere kantonale Aufsichtsbehörde, welche die Einzelrichterin am 16. Januar 2013 abwies.
B. Das Obergericht des Kantons Luzern als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs wies die von der X._ AG daraufhin erhobene Beschwerde am 1. März 2013 ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat.
C. Die X._ AG ist mit Eingabe vom 25. März 2013 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und die Herabsetzung der Kostenrechnung auf Fr. 20.--.
Das Obergericht und das Betreibungsamt schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Y._ hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig eines Streitwertes der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Die Beschwerdeführerin ist als Betreibende in Bezug auf die Kostenrechnung des Betreibungsamtes beschwerdeberechtigt (<ref-law>; Urteil 5A_732/2009 vom 4. Februar 2010 E. 1.2, nicht publ. in <ref-ruling>).
1.2 In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Mit der Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Kostenrechnung für einen Zahlungsbefehl.
2.1 Die obere kantonale Aufsichtsbehörde hat festgestellt, dass die Kostenrechnung des Betreibungsamtes sich aus einer Grundgebühr von Fr. 20.-- sowie Auslagen von Fr. 13.-- zusammensetze. Dass der in Betreibung gesetzte Forderungsbetrag Fr. 95.-- betrage, wie die Beschwerdeführerin behaupte, sei nicht belegt. In den Akten würden sich keine entsprechenden Hinweise finden.
2.2 Mit dieser Sichtweise lässt die obere kantonale Aufsichtsbehörde ausser Acht, dass sie den Sachverhalt von Amtes wegen zu klären hat (<ref-law>). Zwar sind die am Verfahren Beteiligten zur Mitwirkung verpflichtet, indes liegt die Verfahrensleitung in der Hand der Aufsichtsbehörde. Diese hat die entscheidrelevanten Tatsachen selber zu ermitteln und darf nicht abwarten, bis die Parteien Instruktionsmassnahmen verlangen oder selber geeignete Beweise beibringen (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 329; Urteil 5A_9/2011 vom 28. März 2011 E. 4.3). Zudem verletzt die Aufsichtsbehörde ihre Untersuchungspflicht, wenn sie bei offensichtlich unvollständigen Akten nicht an das zuständige Vollstreckungsorgan gelangt, um die zur Feststellung des Sachverhaltes notwendigen Dokumente zu erhalten (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 74 f.; Urteil 7B.94/1999 E. 2 vom 4. Juni 1999 E. 2b, in: Rep. 1999 Nr. 11 S. 78 f.). Im vorliegenden Fall hätte die obere (wie die untere) kantonale Aufsichtsbehörde die vollständigen Akten beim Betreibungsamt einholen müssen, woraus sich auf jeden Fall anhand des Zahlungsbefehls der - für die Gebühr (<ref-law>) relevante - in Betreibung gesetzte Betrag ergeben hätte. Eine Rückweisung der Sache zur Vervollständigung des Sachverhaltes erübrigt sich indes aus den nachfolgenden Gründen.
2.3 Die Beschwerdeführerin hat ihrer Eingabe an das Bundesgericht nämlich das Original des Zahlungsbefehls beigelegt. Da der Entscheid der Vorinstanz Anlass zur Beibringung dieses Dokumentes gegeben hat, ist es zu den Akten zu nehmen (<ref-law>). Damit steht fest, dass sich der in Betreibung gesetzte Betrag auf Fr. 95.-- beläuft.
2.4 Die obere kantonale Aufsichtsbehörde hat weiter darauf hingewiesen, dass ihre Vorinstanz die Grundgebühr für den Zahlungsbefehl von Fr. 20.-- nicht als angefochten beurteilt hätte. Die Beschwerdeführerin rüge einzig, es hätte von Amtes wegen beachtet werden müssen, dass die Gebühr bei einem in Betreibung gesetzten Betrag von Fr. 95.-- sich nur auf Fr. 7.-- belaufe. Damit lässt die obere kantonale Aufsichtsbehörde ausser Acht, dass die Beschwerdeführerin verlangte, die Kostenrechnung auf Fr. 20.-- herabzusetzen. Der Beschwerdebegründung lässt sich zudem entnehmen, dass in diesem Betrag die Grundgebühr und die "Transportkosten", mithin das Total der Kosten enthalten seien. Insoweit gibt die obere kantonale Aufsichtsbehörde die an sie gerichtete Beschwerde verkürzt wieder. Die Beschwerdeführerin rügt denn auch die Auslegung ihrer Beschwerde an die Vorinstanz als "mutwillig". Zumindest kann dieser - bei Auslegung nach den allgemeinen Grundsätzen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 152) - nicht vorgeworfen werden, die Gebühr von Fr. 20.-- nicht angefochten zu haben.
2.5 Gemäss <ref-law> erhebt das Betreibungsamt eine nach der Forderung abgestufte Gebühr für den Erlass, die doppelte Ausfertigung, die Eintragung und die Zustellung des Zahlungsbefehls. Ausgehend von dem in Betreibung gesetzten Betrag von Fr. 95.-- beläuft sich die Gebühr für diesen Vorgang auf Fr. 7.--. Insoweit rügt die Beschwerdeführerin zu Recht, dass in der Kostenrechnung des Betreibungsamtes die Gebühr statt auf Fr. 7.-- auf Fr. 20.-- festgelegt worden ist.
3. In der Kostenrechnung des Betreibungsamtes findet sich unter dem Titel "Portokosten an Parteien" die Position von Fr. 13.--, wohl gemeint für die Zustellungskosten (vgl. Art. 13 Abs. 1 und 2 GebV SchKG) des Zahlungsbefehls an den Schuldner und des Gläubigerdoppels (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 und E. 2.3 S. 27 ff.). Die Beschwerdeführerin ficht diese nicht an, weshalb das Bundesgericht diese für den konkreten Fall nicht überprüfen kann (<ref-law>).
4. Auf die weiteren Begehren der Beschwerdeführerin, nämlich den Antrag, eine amtliche Untersuchung anzuordnen und die Inspektionsprotokolle der unteren Aufsichtsbehörde offen zu legen, kann nicht eingetreten werden. Dem Bundesgericht steht keine Aufsichtskompetenz mehr zu (vgl. <ref-law>; Urteil 5A_494/2010 vom 12. November 2010 E. 4.3).
5. Nach dem Dargelegten ist der Beschwerde teilweise Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss werden die Gerichtskosten dem in seinen Vermögensinteressen betroffenen Kanton Luzern auferlegt, da als Gemeinwesen im Sinne von <ref-law> der Kanton gilt, dessen Aufsichtsbehörde geurteilt hat (Urteil 5A_732/2009 vom 9. Februar 2010 E. 4, nicht publ. in <ref-ruling>; Urteil 5A_536/2012 vom 20. März 2012 E. 3). Eine Parteientschädigung an die nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin ist nicht zuzusprechen. Auch das Begehren um Ersatz der Auslagen für Porti und Kopien ist abzuweisen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird, soweit darauf einzutreten ist, gutgeheissen, und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern, 2. Abteilung, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs vom 1. März 2013 wird aufgehoben.
2. Die Kostenrechnung des Betreibungsamtes Vitznau vom 4. Juli 2012/ 2. Oktober 2012 betreffend Betreibung Nr. 138 wird auf Fr. 20.-- festgesetzt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Kanton Luzern auferlegt.
4. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Mai 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante