Erwägungen:
1. X._, aus dem Libanon stammend, geboren 1984, reiste am 25. Dezember 2007 als Asylbewerber in die Schweiz ein; das Bundesamt für Migration lehnte sein Asylgesuch am 15. Februar 2008 ab und wies ihn, unter Ansetzung einer Ausreisefrist, aus der Schweiz weg. Mit Urteil vom 7. Mai 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde ab. Der Migrationsdienst verfügte am 25. Juni 2008 gegen ihn Ausschaffungshaft; gestützt auf diese Anordnung wurde er am 7. Juli 2008 in Haft genommen. Nach mündlicher Verhandlung bestätigte der Haftrichter 1 des Haftgerichts III Bern-Mitteland am 8. Juli 2008 die Ausschaffungshaft für drei Monate bis zum 6. Oktober 2008.
Am 11. Juli 2008 gelangte X._ mit einem vom 10. Juli 2008 datierten kurzen Schreiben in arabischer Sprache ans Bundesgericht. Dieses holte beim Haftgericht den angefochtenen Entscheid und dessen Akten ein. Am 21. und 22. Juli 2008 trafen zwei weitere Schreiben von X._ ein, datiert vom 17. bzw. 18. Juli 2008 und in französischer Sprache verfasst. Diese Eingaben sind als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen.
Ein Schriftenwechsel ist nicht angeordnet worden.
2. Die Eingaben des Beschwerdeführers genügen den gesetzlichen Anforderungen an eine Rechtsschrift (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG) kaum. Soweit auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, erweist sie sich als offensichtlich unbegründet:
Gegen den Beschwerdeführer liegt eine Wegweisung vor; die Ausschaffungshaft dient der Sicherstellung von deren Vollzug, sie beruht mithin auf einem vom Gesetz vorgesehenen Zweck (vgl. Art. 76 Abs. 1 AuG). Obwohl im Asylverfahren rechtskräftig entschieden worden ist, dass der Beschwerdeführer die Flüchtlingseigenschaft nicht erfüllt und ihm die Rückreise in sein Heimatland zugemutet werden darf, hat er sowohl bei der polizeilichen Befragung wie auch an der Haftrichterverhandlung unmissverständlich zum Ausdruck gebracht, dass er nicht bereit sei, in den Libanon zurückzukehren. Damit aber ist der von den kantonalen Behörden geltend gemachte Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 AuG offensichtlich erfüllt; es besteht Untertauchensgefahr im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f. mit Hinweisen). Soweit die Ausführungen des Beschwerdeführers in seinen Schreiben vom 17. und 18. Juli 2008 so zu verstehen wären, dass er bei einer Entlassung aus der Haft sofort ausreisen würde, ist dieses "Angebot" für die Beurteilung des Haftgrundes unbeachtlich. Einerseits hat der Beschwerdeführer in den zwei Monaten zwischen rechtskräftigem Abschluss des Asylverfahrens und seiner Festnahme das Land nicht verlassen, sondern vielmehr erklärt, der Ausreiseaufforderung keine Folge leisten zu wollen; andererseits hat er keine legale Möglichkeit, in ein Drittland auszureisen und der Wegweisung - wirksam - Folge zu leisten (vgl. zur Bedeutung solcher untauglicher Ausreiseversprechen in ausländerrechtlichen Haftfällen <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 103; s. übrigens auch Art. 115 Abs. 2 AuG). Sodann sind weder die Haft ausschliessende Gründe (Art. 80 Abs. 6 AuG) erkennbar noch liegen sonstige gegen die Rechtmässigkeit und Angemessenheit der Haft (vgl. Art. 80 Abs. 2 AuG) sprechende Umstände vor.
Die offensichtlich unbegründete Beschwerde (Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG) ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wären die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Indessen rechtfertigen es die Umstände, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 1, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Hungerbühler Feller