Faits:
A.
M. A.X._, né en 1972, et Mme B.X._, née en 1974, se sont mariés le 23 mars 2007. Ils ont deux enfants: C._, né en 2001, et D._, né en 2009. L'épouse s'est installée avec les deux enfants dans un appartement séparé de celui de l'époux dès le 1 er mai 2012. Le 9 mai 2012, elle a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale devant le juge du Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers, concluant notamment à ce qu'une contribution d'entretien mensuelle soit fixée en sa faveur, ainsi qu'en faveur de chacun des enfants, dont le montant serait fixé en fonction des revenus et charges du mari.
Le 11 mai 2012, l'époux a également déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale; il a entre autres conclu à ce qu'il ne soit débiteur d'aucune contribution d'entretien en faveur de son épouse.
Lors de l'audience du 15 juin 2012, l'épouse a précisé ses conclusions en ce sens que la contribution d'entretien est fixée à 800 fr. par mois pour chacun des enfants, allocations familiales en sus, et à 650 fr. en sa faveur. L'époux a conclu au rejet de ces conclusions.
B.
Par décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 14 décembre 2012, l'époux a été condamné à contribuer mensuellement à l'entretien des siens à hauteur de 700 fr. pour le fils aîné, 650 fr. pour le cadet, ainsi que 650 fr. pour l'épouse. Statuant par arrêt du 4 avril 2013, notifié le 8 avril 2013, la Cour d'appel civile du tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté l'appel interjeté par l'époux à l'encontre de ce jugement.
C.
Le 7 mai 2013, l'époux dépose un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris, principalement à ce que la pension alimentaire soit fixée à 600 fr. par mois pour l'enfant aîné, 550 fr. par mois pour le cadet, et à la suppression de la contribution d'entretien due à l'épouse. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour qu'elle statue dans le sens des considérants.
Des réponses n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) ainsi que dans la forme légale (art. 42 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF; <ref-ruling> consid. 4 p. 395 s.) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF). Le litige porte sur le montant de la contribution d'entretien en faveur des enfants et de l'épouse, à savoir une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 ch. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 let. a LTF) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 let. b LTF). Le présent recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Dès lors que la décision entreprise porte sur le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC), lesquelles sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (<ref-ruling> consid. 5 p. 396), le Tribunal fédéral dispose d'une cognition restreinte à la seule violation des droits constitutionnels. Il n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et dûment motivés (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> c. 2.2 p. 246), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 287).
Aux termes de l'art. 271 let. a CPC, les mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC) sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire. La décision de mesures protectrices de l'union conjugale est en principe provisoire et revêtue d'une autorité de la chose jugée limitée. La jurisprudence rendue avant l'entrée en vigueur du CPC demeure applicable (en particulier l'<ref-ruling> consid. 2b/bb p. 478) : la cognition du juge est limitée à la simple vraisemblance des faits et à un examen sommaire du droit.
2.2. De jurisprudence constante, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 318 s.); il ne suffit pas qu'une solution différente apparaisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1 et les références p. 153).
En ce qui concerne l'appréciation des preuves et la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière au juge du fait (<ref-ruling> consid. 4b p. 40; <ref-ruling> consid. 1b p. 30). Il n'intervient, du chef de l'art. 9Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 560). Cette retenue est d'autant plus grande lorsque, comme en l'espèce, le juge n'examine la cause que d'une manière sommaire et provisoire (cf. supra consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 325; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; sous l'empire du CPC: arrêts 5A_287/2013 du 5 août 2013 consid. 4.1; 5A_679/2011 du 10 avril 2012 consid. 6.1).
3.
3.1. En ce qui concerne la procédure, la cour cantonale a indiqué que l'instruction de première instance a été close par ordonnance du 25 septembre 2012. Un délai au 20 octobre 2012 a été fixé aux époux pour qu'ils puissent déposer des observations finales, étant précisé qu'une décision serait ensuite rendue sur pièces, même en l'absence de réaction des parties. Celles-ci se sont prononcées dans le délai, l'époux produisant encore plusieurs pièces. Le 8 novembre 2012, l'épouse a informé le premier juge qu'elle cessait son activité de concierge, ce qui a été pris en compte dans le jugement de première instance. Les parties ont ensuite échangé différentes correspondances, l'époux considérant, selon un courrier daté du 19 novembre 2012, que l'instruction se prolongeait, mais déposant un recours pour déni de justice le 12 décembre 2012.
Examinant, sur la base de ces faits, la recevabilité des pièces déposées par les parties en appel, la cour cantonale, en application des art. 229 et 317 CPC, a retenu qu'à tout le moins les pièces antérieures à fin novembre 2012 auraient pu être produites par l'époux au stade de la première instance. Il s'agit notamment de bulletins de salaire de l'époux de juillet à novembre 2012 et de l'annonce de l'augmentation de sa prime d'assurance-maladie. Ces pièces ont dès lors été considérées comme irrecevables. Il en a été de même du tableau de son minimum vital, pour le motif qu'il s'agirait d'une allégation de partie et non d'une pièce littérale.
3.2. S'agissant de la situation financière des parties, la cour cantonale se réfère d'abord à l'appréciation du premier juge, qui a constaté que l'épouse travaille depuis le 1 er septembre 2011 en qualité d'aide soignante pour un salaire horaire brut de 23 fr. 70 par mois. Son taux d'activité minimum garanti est de 40%, étant précisé qu'elle effectue des heures de travail durant ses jours de disponibilité. Ainsi, elle a travaillé environ 120 heures par mois en moyenne entre janvier et août 2012 et perçu une rémunération moyenne de 3'725 fr., y compris diverses indemnités et le 13 ème salaire. Elle perçoit en outre 400 fr. d'allocations familiales et 250 fr. d'allocations complémentaires. Contrairement au premier juge, la cour cantonale ne lui a pas imputé un salaire hypothétique supplémentaire de 281 fr. par mois. Quant aux charges mensuelles de l'épouse, qui comprennent 2'350 fr. de minimum vital de base pour elle et ses deux enfants, 1'250 fr. de loyer, 275 fr. de primes d'assurance-maladie pour elle-même et 26 fr. pour chacun des enfants - après déduction des subsides cantonaux -, 255 fr. de frais de crèche et 720 fr. de charge fiscale, elles s'élèvent à 4'902 fr. L'épouse supporte dès lors un déficit mensuel de 527 fr., allocations familiales et complémentaires déduites.
Quant à l'époux, l'autorité précédente a retenu, sur la base des bulletins de salaire figurant dans le dossier de première instance, qu'il perçoit un salaire mensuel net de 6'459 fr, part au 13 ème salaire et heures supplémentaires incluses, respectivement 6'362 fr. si l'on fait abstraction du deuxième bulletin de salaire de décembre 2011. Ces chiffres différent très légèrement des 6'400 fr. retenus par le premier juge, de sorte que la cour cantonale a considéré qu'il n'y avait pas lieu de tenir compte de cette différence. Se référant aux calculs du premier juge, la cour cantonale retient que les charges de l'époux comprennent 1'200 fr. à titre de montant de base du minimum vital, 1'440 fr. de loyer, 150 fr. de place de parc, 275 fr. de prime d'assurance-maladie une fois le subside cantonal déduit, 450 fr. de frais de déplacement (à savoir 250 fr. de leasing, 100 fr. d'assurance, 30 fr. de taxes et 70 fr. d'essence). Il en résulte un excédent de 2'885 fr. par mois. Les charges fiscales n'ont pas été prises en compte, pour le motif que depuis plusieurs années, l'époux ne s'en acquitte pas.
Ainsi, le disponible du couple calculé sur la base des revenus et charges retenus par les juges cantonaux s'élève à 2'358 fr. (2'885 fr. - 527 fr.), contre 2'639 fr. selon le calcul du juge de première instance (2'885 fr. - 246 fr.). En plus des 527 fr. auxquels l'épouse a droit pour combler son déficit, les deux tiers du disponible ont été alloués en faveur de l'épouse et des enfants, un tiers du disponible étant attribué à l'époux. C'est donc une somme de 2'099 fr. qui devait être attribuée à l'épouse et aux enfants (527 + [2'358 x 2/3]). Néanmoins, la Cour cantonale a finalement confirmé le résultat auquel est parvenu le premier juge et réparti un montant global arrondi de 2'000 fr. en faveur de la famille, à savoir 700 fr. pour l'enfant aîné, 650 fr. pour le cadet et 650 fr. pour l'épouse, à compter du 1 er mai 2012, date de la séparation effective.
Statuant sur les griefs de l'époux en appel, l'autorité précédente les a tous rejetés, tant ceux qui concernent l'établissement de son revenu et de ses charges que ceux tendant à l'imputation d'un revenu hypothétique à son épouse.
Pour l'essentiel, le recourant s'en prend dans le présent recours aux même points que ceux qu'il a soulevés en appel.
4.
Dans un premier grief, le recourant soutient que la cour cantonale a fait preuve d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans la constatation des faits et l'appréciation des preuves en ce qui concerne la détermination de ses revenus et de ses charges. S'agissant précisément de son revenu et du montant de sa prime d'assurance-maladie, ils auraient de surcroît été établis en violation de l'art. 317 CPC et de la maxime inquisitoire (art. 296 al. 1 CPC), violation confinant à l'arbitraire.
4.1. Selon le recourant, les juges cantonaux ont retenu de manière arbitraire qu'il percevait un salaire mensuel net moyen de 6'400 fr. (cf. supra consid. 3.2). En effet, ils n'auraient pas dû tenir compte des heures supplémentaires qu'il a effectuées en janvier et février 2012, ces heures ayant exceptionnellement été rémunérées, et non compensées par des congés. Son salaire net fixe s'élèverait en réalité, selon les fiches de salaire qu'il a produites, à 5'606 fr. 25 par mois. Ainsi, en ajoutant la part du 13ème salaire, son revenu net moyen serait de 6'073 fr. 45 (5'606 fr. 25 x 13 : 12). A cela s'ajoute que les bulletins de salaire des mois de juillet à novembre 2012, produits en appel, démontreraient qu'il n'a pas effectué d'heures supplémentaires rémunérées durant cette période. Aux dires du recourant, il conviendrait de tenir compte tout au moins des bulletins de salaire d'octobre et novembre 2012, dès lors que l'instruction a été close le 25 septembre 2012 et que les pièces dont il est question sont postérieures à l'échéance du délai qui a été fixé au 20 octobre 2012 pour déposer des observations finales. Il soutient que si un fait se produit après les débats principaux de première instance, il peut être allégué en appel. Enfin, son argumentation serait confirmée par un procès-verbal de saisie dressé par l'Office des poursuites le 17 décembre 2012, qui doit être pris en compte dans la mesure où il est postérieur à la décision de première instance, et où les chiffres qui y figurent ont dû être prouvés au moyens de pièces.
Le recourant soutient également que, dès lors que l'instruction a été close le 25 septembre 2012, la police d'assurance-maladie produite en appel et datée du 9 octobre 2012 aurait dû être prise en considération.
4.1.1. Pour établir le salaire du recourant, la Cour d'appel s'est basée sur les pièces figurant dans le dossier de première instance, à savoir les bulletins de salaire de décembre 2011 (5'613 fr. 40 net selon un premier décompte, mais 6'500 fr. selon un deuxième décompte), ainsi que de janvier (5'862 fr. 80), février (6'934 fr. 65), mars (5'606 fr. 25), avril (5'611 fr. 75) et mai 2012 (5'606 fr. 25). Elle n'a pas tenu compte des bulletins de salaire de juillet, août, octobre et novembre 2012 produits en appel (cf. supra consid. 3.1). Elle a également écarté le " procès-verbal de saisie " produit en appel, pour le motif qu'il s'agirait d'une allégation de partie, et non d'une pièce littérale. La cour en déduit que le recourant perçoit une rémunération moyenne mensuelle de 5'962 fr. (5'873 fr. si l'on fait abstraction du 2ème décompte de décembre 2011), allocations familiales déduites. En incluant la part du 13ème salaire, le salaire mensuel net moyen s'élève à 6'459 fr. (6'362 fr. en faisant abstraction du 2ème décompte de décembre 2011). Dans la mesure où le premier juge a retenu une rémunération mensuelle nette de 6'400 fr., la Cour d'appel a constaté que celle à laquelle elle parvenait - à savoir 6'459 fr., respectivement 6'362 fr. - était au mieux très légèrement inférieure à ce montant, sans toutefois que cela n'implique de modifier les contributions d'entretien dues, la différence étant trop faible.
Pour les mêmes motifs que ceux qui l'ont conduit à écarter les bulletins de salaire de juillet à novembre 2012 (cf. supra consid. 3.1), la cour cantonale a considéré comme irrecevable la police d'assurance-maladie produite en appel par l'époux, et datée du 9 octobre 2012.
4.1.2. L'application stricte de l'art. 317 CPC dans le cadre d'une procédure à laquelle la maxime inquisitoire s'applique ne saurait en soi être qualifié de manifestement insoutenable, l'arbitraire ne résultant pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable (cf. consid. 2; dans ce sens, sous l'angle de l'arbitraire: arrêts 5A_807/2012 du 6 février 2013 consid. 5.3.2; 5A_592/2011 du 31 janvier 2012 consid. 4.1; 5A_402/2011 du 5 décembre 2011 consid. 4.1 et 4.2).
Selon l'art. 317 al. 1 CPC, un moyen de preuve nouveau n'est pris en compte au stade de l'appel que s'il est produit sans retard (let. a) et ne pouvait l'être devant la première instance bien que la partie qui s'en prévaut ait fait preuve de la diligence requise (let. b). S'agissant d'une procédure qui concerne des contributions d'entretien pour des enfants, le tribunal de première instance admet les faits et moyens de preuve nouveaux jusqu'aux délibérations (art. 229 al. 3 CPC en lien avec l'art. 296 al. 1 CPC). Les faits et l'ensemble des moyens de preuve à disposition des parties doivent en effet être portés à la connaissance du juge avant la clôture des débats principaux, puisque c'est en se basant sur son appréciation des faits et des preuves qu'il appliquera - dans le cadre des délibérations - le droit aux faits constatés et rendra sa décision (art. 236 CPC; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 789 s.).
4.1.3.
4.1.3.1. Concernant les conditions de l'art. 317 CPC, il ressort clairement du jugement d'appel que l'instruction de première instance a été close par ordonnance du 25 septembre 2012, un délai au 20 octobre 2012 étant fixé aux parties pour déposer des observations finales, ensuite de quoi la cause serait jugée sur pièces, même en l'absence de réaction des parties. Les faits de la cause ne contiennent aucune indication selon laquelle le premier juge aurait par la suite indiqué aux parties que sa décision de mettre la cause en délibération serait annulée, voire reportée. Dès lors que l'instruction a été close le 25 septembre 2012, force est de constater que les parties ne pouvaient pas produire, en première instance, les pièces ultérieures à cette date, à savoir précisément les bulletins de salaire d'octobre et novembre 2012, ainsi que la police d'assurance-maladie datée du 9 octobre 2012. En considérant ces pièces comme irrecevables, la Cour d'appel a donc appliqué l'art. 317 al. 1 let. b CPC de manière arbitraire.
En revanche, les bulletins de salaire de juillet et août 2012 auraient pu être produits en première instance, de sorte que c'est à bon droit que les juges précédents les ont considérées comme irrecevables.
4.1.3.2. S'agissant du document produit en appel et désigné par le recourant comme " procès-verbal de saisie ", c'est sans verser dans l'arbitraire que la cour d'appel lui a dénié toute force probante. En effet, la nature de ce document est douteuse, dès lors qu'il contient certes le nom du débiteur, un tableau qui liste les revenus et les charges de l'époux, ainsi que la date du 17 décembre 2012, et détermine le " montant saisissable " de son salaire, mais n'est ni imprimé sur un papier à en-tête de l'office, ni muni d'un sceau officiel, ni même signé. Il n'est par conséquent pas insoutenable de retenir qu'il s'agit là d'une simple allégation de partie et non d'une pièce propre à prouver des faits.
4.2. Le recourant se plaint d'une constatation arbitraire du montant de sa prime d'assurance-maladie obligatoire. En effet, en produisant en appel une police d'assurance datée du 9 octobre 2012, il aurait démontré que depuis le 1er janvier 2013, soit une période ultérieure au jugement de première instance, cette prime s'élève à 391 fr. 70. Ces éléments seraient corroborés par le récépissé de paiement de la prime de janvier 2013 produit en appel, qui date du 19 décembre 2012. Enfin, il ne percevrait plus de subside.
4.2.1. Il ressort de l'arrêt entrepris que dès le 1er janvier 2012, la prime d'assurance-maladie due par l'époux pour l'assurance de base s'élève à 335 fr. 80. Selon une décision du 4 novembre 2011, le subside cantonal dont il bénéficie s'élève à 59 fr. par mois, de sorte que la prime d'assurance dont il faut tenir compte s'élève à 275 fr. Aucune décision ultérieure qui supprimerait le subside ne figure au dossier. Enfin, la cour cantonale a considéré comme irrecevable la police d'assurance-maladie du 9 octobre 2012 (cf. supra consid. 4.1.1 in fine).
4.2.2. Dans la mesure où c'est de manière arbitraire que la police d'assurance du 9 octobre 2012 a été écartée en appel (cf. supra consid. 4.1.3.1), il faut considérer que, si jusqu'au 31 décembre 2012, la prime d'assurance-maladie de base de l'époux s'élève à 275 fr., la situation est différente à compter du 1er janvier 2013. L'examen de cette police d'assurance permet de constater que dès le 1er janvier 2013, le recourant doit verser un montant total de 391 fr. 70 à titre de prime d'assurance-maladie, dont 341 fr. 50 pour l'assurance obligatoires de soins (assurance de base), et le solde pour diverses assurances complémentaires. Conformément aux considérations des juges cantonaux, qui ne sont pas critiquées sur ce point, seul le montant dû pour l'assurance de base doit être pris en considération. Par ailleurs, le recourant ne démontre pas en quoi il serait arbitraire de tenir compte du fait qu'il perçoit un subside de 59 fr., se contentant d'indiquer, de manière purement appellatoire, que cela ne serait plus le cas. Pour ces motifs, il faut retenir dans ses charges, à compter du 1er janvier 2013, un montant de 282 fr. de prime d'assurance-maladie (341 fr. - 59 fr.).
4.3. S'agissant de ses frais de déplacement, le recourant estime qu'ils ont été établis de façon choquante car ils ne tiendraient pas compte du coût réel d'un véhicule privé. Il faudrait admettre un montant de 700 fr. par mois, à savoir 250 fr. de leasing, plus 868 km par mois correspondant à quatre trajets par jour du domicile au lieu de travail, à raison de 70 ct. le kilomètre, ce tarif ressortant du règlement général d'application de la loi neuchâteloise sur les contributions directes. Selon le recourant, il serait arbitraire de s'écarter de ce forfait.
4.3.1. La cour cantonale indique que la simple allégation, dans un courrier du mandataire de l'époux du 25 juin 2012, d'un montant de 700 fr. au titre d'estimation des frais mensuels d'acquisition du revenu " vu son poste de travail et le niveau de son revenu " est insuffisante. Le montant de 700 fr. allégué correspond à environ 10% du revenu mensuel net de l'époux, soit une proportion largement supérieure à ce qui est généralement admis. Or, aucune preuve de l'effectivité de cette somme a été apportée, et le montant de 450 fr. retenu par les premiers juges, à savoir 250 fr. de leasing, 100 fr. d'assurance, 30 fr. de taxes et 70 fr. d'essence, apparaît compatible avec les besoins concrets du recourant. Les juges précédents rappellent, se référant à leur jurisprudence, qu'il convient de relativiser la prise en compte des frais d'utilisation d'un véhicule privé à hauteur de 70 ct. par kilomètre. En outre, ils constatent que si le premier juge a retenu la nécessité d'une place de parc en raison de l'horaire matinal de travail de l'époux, ce dernier a déclaré qu'il dispose en réalité de la liberté de commencer son activité entre 6h30 et 8h le matin, de sorte qu'il pourrait se rendre au travail en transport public, ce qui serait moins onéreux.
4.3.2. En l'occurrence, le recourant se borne à opposer son opinion à celle de la cour cantonale sans en démontrer le caractère arbitraire. En particulier, il n'explique pas en quoi il serait insoutenable de considérer que ses frais de transport effectifs s'élèveraient à 450 fr., se référant pour l'essentiel à un règlement cantonal en matière de contributions directes, qui ne lie pas le juge des mesures protectrices de l'union conjugale. En outre, il ne conteste pas les montants sur lesquels se sont fondés les juges cantonaux pour aboutir au montant de 450 fr. par mois n'indiquant pas, par exemple, pourquoi il serait arbitraire d'avoir fixé les frais d'essence à 70 fr. et ceux d'assurance à 100 fr. Au demeurant, le fait qu'une autre solution apparaisse concevable, voire préférable, n'est pas suffisant (cf. supra consid. 2). Dès lors et autant que recevable (art. 106 al. 2 LTF), le grief d'arbitraire dans l'appréciation des frais de déplacement doit être rejeté.
4.4. De l'avis du recourant, les juges précédents auraient dû ajouter à ses charges 140 fr. à titre de frais relatifs au droit de visite, ce d'autant que ses charges fiscales n'ont pas été retenues et que des frais de crèche à hauteur de 255 fr. par mois ont été portés dans les charges de l'épouse.
4.4.1. Les juges cantonaux ont retenu que les frais d'exercice d'un droit de visite sont en principe supportés par le parent titulaire de ce droit, sans qu'ils soient pris en compte dans son budget mensuel, sauf dans l'hypothèse où la situation financière des parties est précaire. L'époux disposant en l'espèce d'un excédent de revenus, ils ont considéré qu'il n'y avait pas lieu d'inclure des frais liés à l'exercice du droit de visite dans ses charges incompressibles.
4.4.2. Le fait que des frais de crèche aient été comptabilisés dans les charges de l'épouse, et que la charge fiscale du recourant n'a pas été prise en compte n'est pas de nature à démontrer l'arbitraire du raisonnement des juges précédents s'agissant des frais relatifs au droit de visite. En tant qu'il se plaint de l'absence de prise en considération de ses impôts, on constate au demeurant que ces frais ont été écartés à juste titre, dès lors que ce poste de charges n'est pas effectif et actuel puisque le recourant ne s'en acquitte pas (arrêts 5A_18/2011 du 1er juin 2011 consid. 4.2; 5P.78/2006 du 30 août 2006 consid. 4.2). Quoi qu'il en soit, on constate que le recourant ne s'en prend pas au raisonnement de l'arrêt entrepris s'agissant des frais de droit de visite, de sorte que son argumentation est, sur ce point, irrecevable (art. 106 al. 2 LTF).
5.
Le recourant soutient finalement que l'autorité cantonale aurait occulté de manière insoutenable la capacité de gain hypothétique de son épouse. Celle-ci aurait diminué sérieusement et de mauvaise foi son taux d'activité à l'approche de la détermination de la contribution d'entretien au cours de la procédure de séparation. En outre, il faudrait ajouter à son revenu, comme l'a fait le premier juge, un montant de 281 fr. par mois qu'elle aurait pu continuer à percevoir en conservant son travail de concierge. Selon le recourant, il s'agit de tenir compte du taux d'activité réel exercé par son épouse avant la séparation, quand bien même celui-ci excéderait les limites posées par la jurisprudence. Ainsi, il conviendrait de retenir, sous peine d'arbitraire, un montant de 4'500 fr. par mois à titre de revenu de l'épouse.
5.1. En principe, on ne peut exiger d'un époux la prise ou la reprise d'une activité lucrative à un taux de 50% avant que le plus jeune des enfants dont il a la garde n'ait atteint l'âge de 10 ans révolus, et de 100% avant qu'il n'ait atteint l'âge de 16 ans révolus (<ref-ruling> consid. 4.2.2.2; <ref-ruling> consid. 3c). Ces lignes directrices ne sont toutefois pas des règles strictes; leur application dépend des circonstances du cas concret (arrêt 5A_241/2010 du 9 novembre 2010 consid. 5.4.3) et le juge du fait tient compte de ces principes dans l'exercice du large pouvoir d'appréciation qui est le sien (<ref-ruling> précité; <ref-ruling> consid. 4).
5.2. Examinant la situation financière de l'épouse, la Cour d'appel a repris les constatations du premier juge, à savoir que celle-ci bénéficiait d'un taux d'occupation minimum garanti de 40%, qu'elle effectuait des heures de travail durant ses jours de disponibilité, et qu'elle a travaillé en moyenne 120 heures par mois entre janvier et août 2012, pour un salaire mensuel net de 3'725 fr., y compris les indemnités et la part du 13ème salaire. Il ressort de l'arrêt entrepris que ce nombre d'heures correspond à un taux d'occupation d'environ 75%, qui va bien au-delà de ce que la jurisprudence exige en principe d'une mère ayant la charge de deux enfants âgés de 4 et 12 ans (cf. supra consid. 5.1). Contrairement au premier juge, la cour cantonale n'a pas ajouté aux revenus de l'épouse un montant de 281 fr. par mois correspondant à ce qu'elle percevait pour le travail de concierge qu'elle a exercé dans son nouvel immeuble dès le 1er mai 2012 et jusqu'au 30 novembre 2012, date pour laquelle elle a résilié son contrat. Les juges précédents ont considéré qu'il n'y avait pas lieu d'imputer à l'épouse un revenu hypothétique, puisque cela reviendrait à lui imposer un taux d'activité lucrative manifestement supérieur à ce qu'exige la jurisprudence.
5.3. D'emblée, on constate que le recourant ne contredit pas les constatations des juges cantonaux selon lesquelles le taux d'activité de son épouse serait déjà supérieur à celui exigé par la jurisprudence en ce qui concerne le parent gardien de deux enfants mineurs dont l'un est âgé de moins de 10 ans. S'agissant de l'argumentation selon laquelle il conviendrait de tenir compte du taux d'activité réellement accompli par l'épouse avant la séparation, et non du taux retenu par la jurisprudence, on constate que c'est précisément ce qu'a retenu la cour cantonale. Celle-ci a pris en considération le revenu moyen réalisé par l'épouse, à savoir 3'725 fr. par mois, correspondant à un taux d'occupation d'environ 75%. Les juges cantonaux n'ont pas réduit ce revenu en appliquant le taux retenu par la jurisprudence. Ainsi, par son argumentation, le recourant ne démontre pas que le raisonnement de la cour cantonale serait insoutenable. En tant qu'il expose que son épouse aurait volontairement diminué son taux d'activité et, partant, réduit son salaire à l'approche de la fixation de la contribution d'entretien, le recourant se fonde sur des faits qui ne ressortent pas de la décision attaquée. S'agissant finalement des 281 fr. de revenus de conciergerie qu'il faudrait, aux dires du recourant, imputer à l'épouse à titre de revenu hypothétique, on constate que l'époux ne s'en prend pas au raisonnement de la cour cantonale, de sorte que l'argument est également irrecevable.
6.
Il découle de ce qui précède que la décision entreprise est arbitraire dans ses motifs en tant qu'elle ne prend pas en compte, dans le calcul de la situation financière des parties, les fiches de salaire de l'époux qui concernent les mois d'octobre et novembre 2012 ainsi que la police d'assurance-maladie du 9 octobre 2012 (cf. supra consid. 4.1.3.1). Il reste donc à examiner si l'arrêt attaqué est également arbitraire dans son résultat (cf. supra consid. 2 in fine ). Dans cette optique, il se justifie de prendre en considération la situation globalement la plus favorable au recourant, c'est-à-dire de ne pas tenir compte du second décompte de salaire de décembre 2011 et de prendre en considération les charges d'assurance-maladie de l'époux en vigueur dès le 1 er janvier 2013, puis de confronter le résultat obtenu à la décision entreprise.
Les bulletins de salaire d'octobre et novembre 2012 font tous deux état d'un revenu mensuel net de 5'606 fr. 25. Les constatations des juges cantonaux quant aux salaires réalisés entre décembre 2011 et mai 2012 peuvent être reprises trait pour trait, dès lors que le recourant ne démontre pas en quoi il serait arbitraire de tenir compte des heures supplémentaires effectuées en début d'année, ni que celles-ci n'étaient en principe pas payées, se contentant à ce propos de substituer son appréciation à celle de l'autorité cantonale. Si l'on calcule le salaire mensuel net moyen du recourant en tenant compte des salaires perçus entre décembre 2011 et mai 2012, ainsi qu'en octobre et novembre 2012, on obtient un montant de 5'806 fr., à savoir 6'289 fr., part au 13ème salaire incluse. En tenant compte de ses charges, qui s'élèvent à 3'522 fr. (cf. supra consid. 4.2 à 4.4), l'excédent de l'époux est de 2'767 fr. (6'289 fr. - 3'522 fr.).
Quant à l'épouse, elle perçoit un salaire mensuel net moyen de 3'725 fr. (cf. supra consid. 3.2 et 5.3) et ses charges incompressibles s'élèvent à 4'902 fr. (cf. supra consid. 3.2), de sorte qu'elle supporte un déficit de 1'177 fr. (3'725 fr. - 4'902 fr.). Après avoir déduit les 400 fr. d'allocations familiales et les 250 fr. d'allocations complémentaires qu'elle perçoit, le déficit de l'épouse, que le recourant doit combler, s'élève à 527 fr. Il en résulte que le disponible du couple est de 2'240 fr. (2'767 fr. - 527 fr.), dont les deux tiers doivent être alloués à l'épouse et aux enfants, selon la clef de répartition retenue par les juges précédents, qui n'est pas critiquée. C'est ainsi une somme totale de 2'020 fr. ([2'240 fr. x 2/3] + 527 fr.) qui devrait être répartie entre l'épouse et les enfants.
La cour cantonale a condamné l'époux à s'acquitter d'une contribution d'entretien de 650 fr. pour son épouse, 700 fr. pour l'enfant aîné et 650 fr. pour l'enfant cadet, soit un total, arrondi, de 2'000 fr., confirmant en cela le premier jugement. Or, si elle avait tenu compte des bulletins de salaire des mois d'octobre et novembre 2012, ainsi que de la police d'assurance-maladie du 9 octobre 2013, elle aurait pu le condamner à verser une somme même légèrement plus élevée, à savoir un montant total 2'020 fr., à tout le moins depuis le 1 er janvier 2013. Il apparaît que la différence n'est pas significative, et qu'elle est quoi qu'il en soit en faveur du recourant. Ainsi, la solution retenue dans l'arrêt entrepris ne saurait être qualifiée d'arbitraire dans son résultat.
7.
Pour ces motifs, le recours est mal fondé dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 27 septembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Bonvin