Faits:
A.
Dans le cadre d'une instruction pénale pour gestion déloyale dirigée contre B._, le prévenu a requis, le 24 avril 2013, la récusation du Procureur A._, chargé de la cause depuis le 19 avril 2013. Entre 2007 et 2011, celui-ci avait été stagiaire, collaborateur puis associé d'un avocat qui représentait une partie plaignante.
B.
Par arrêt du 17 décembre 2013, la Chambre pénale de recours du canton de Genève a admis la requête de récusation. Les récents liens professionnels avec l'avocat d'une partie plaignante suffisaient à fonder une apparence de prévention.
C.
Par actes du 15 janvier 2014, le Procureur Droz et le Ministère public genevois forment chacun un recours en matière pénale. Ils demandent au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal et de rejeter la demande de récusation, subsidiairement de renvoyer la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Il n'a pas été demandé de réponse à ces recours.

Considérant en droit:
1.
Les deux recours sont formés contre un même arrêt. Les conclusions et les motifs sont en substance les mêmes. Il se justifie donc de joindre les causes et de statuer par un seul arrêt.
1.1. Selon l'<ref-law>, le recours en matière pénale est ouvert contre les décisions rendues en matière pénale. En font partie les décisions relatives à la récusation d'une autorité pénale. L'arrêt est rendu en dernière instance cantonale et il peut en principe, conformément à l'<ref-law>, faire l'objet d'un recours immédiat.
1.2. Selon l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière pénale quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. a et b). L'accusateur public figure dans la liste exemplative de cette disposition (ch. 3). La jurisprudence en déduit que le ministère public a en principe et de manière générale qualité pour agir (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 200; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 240; <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 237). Dans la plupart des cas en effet, un intérêt juridique doit être reconnu à l'accusateur public, qu'il agisse comme autorité d'instruction et direction de la procédure lorsque ses décisions sont contestées, ou comme partie au procès après la mise en accusation.
En l'occurrence le Procureur et le Ministère public agissent en tant qu'autorité dont la récusation a été prononcée par l'autorité cantonale. On peut se demander, dans un tel cas, en quoi consiste leur intérêt juridique à contester ce prononcé et à ce que l'instruction continue d'être menée par le même magistrat. Le Ministère public évoque l'intérêt public à une saine administration de la justice; il relève que, dans le cas d'espèce, le prévenu a déjà demandé l'annulation des actes effectués par le procureur récusé et considère qu'il y aurait lieu de prévenir les comportements abusifs. Le Procureur estime pour sa part que la décision attaquée porterait atteinte à son honneur en laissant supposer qu'il existerait des liens cachés entre lui-même et l'avocat d'une partie.
La question de savoir si ces motifs suffisent à établir un intérêt juridique peut toutefois demeurer indécise, car les recours apparaissent manifestement mal fondés.
2.
Les recourants invoquent le droit d'être entendu. L'arrêt cantonal se fonderait sur l'existence de liens actuels entre le Procureur et l'avocat alors que cela n'avait pas été allégué dans la demande de récusation et que l'occasion ne leur avait pas été donnée de s'exprimer à ce propos.
L'arrêt attaqué retient que le Procureur avait travaillé jusqu'en 2011 aux côtés de l'avocat d'une partie plaignante, mais qu'il était déjà magistrat au moment du dépôt de la plainte pénale. La cour cantonale en a toutefois déduit que le prévenu pouvait être fondé à redouter que l'attitude du magistrat soit orientée par les liens que celui-ci aurait conservé avec son ancien associé. La cour cantonale ayant exclu tout indice concret à l'encontre du Procureur, l'appréciation litigieuse est formulée en rapport avec une apparence de prévention. La cour cantonale n'a donc pas considéré comme établi que le Procureur avait effectivement conservé une relation avec son ancien associé, mais seulement qu'il pouvait y avoir une apparence défavorable sur ce point. Il n'y a donc pas de violation du droit d'être entendu.
3.
Sur le fond, les recourants relèvent qu'à l'instar du cas traité dans l'<ref-ruling>, l'intimé ne prétendait pas que le Procureur aurait conservé des liens avec son ancien associé. La relation avec l'avocat avait cessé près de seize mois avant le dépôt de la demande de récusation alors que dans l'arrêt précité, elle avait pris fin onze mois seulement auparavant.
Les principes relatifs à la récusation d'un procureur ont été rappelés dans l'arrêt attaqué, auquel il y a lieu de se référer. La jurisprudence invoquée par les recourants retient qu'il n'y a pas matière à récuser un juge des baux et loyers ayant travaillé précédemment pour l'Asloca, l'existence d'un lien particulier avec les avocats des parties n'ayant pas été démontrée. Il en va différemment en l'occurrence: il est établi que le Procureur a été successivement stagiaire, collaborateur puis associé de l'avocat de la partie plaignante de 2007 à 2011, soit pendant près de cinq ans. La durée de ces relations professionnelles et le fait que celles-ci n'ont cessé que seize mois auparavant, sont de nature à susciter, sous l'angle de l'apparence, un doute légitime de la part du prévenu. La référence à un autre arrêt de la cour cantonale n'est pas non plus pertinente dans la mesure où les relations entre l'avocat et le magistrat remontaient en tout cas à plus de quatre ans.
4.
Les recours doivent par conséquent être rejetés, en tant qu'ils sont recevables. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>) et il n'est pas alloué de dépens, l'intimé n'ayant pas été invité à procéder.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Les causes 1B_20/2014 et 1B_22/2014 sont jointes.
2.
Les recours sont rejetés en tant qu'ils sont recevables.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires ni alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 24 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Kurz