Sachverhalt:
A. X._ reichte bei der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn am 5. September 2008 ein Ausstandsgesuch ein. Es richtet sich im Einzelnen gegen Staatsanwalt lic. iur. Christoph Fricker sowie im Allgemeinen gegen die gesamte kantonale Staatsanwaltschaft. Der Gesuchsteller verlangt den Einsatz eines ausserkantonalen Staatsanwalts bzw. einer ausserkantonalen, neutralen, unabhängigen und unbefangenen Person zur Behandlung seiner Strafanzeigen. Am 4. Mai 2009 ergänzte X._ sein Ersuchen.
Hintergrund des Begehrens bildet ein umfangreiches Verfahren: X._ erstattete am 4. September 2007 Strafanzeige gegen Verantwortliche der Kantonspolizei und weitere Personen wegen unterschiedlicher Tatbestände hinsichtlich von Vorkommnissen aus seiner beruflichen Tätigkeit bei der Solothurner Kantonspolizei in den Jahren 1986-2007. Im Verlaufe des langwierigen Verfahrens stellte die Beschwerdekammer des Obergerichts auf Beschwerde vom 15. Mai 2008 hin am 3. September 2008 eine Rechtsverzögerung fest; sie wies namentlich darauf hin, dass es Sache der Strafverfolgungsbehörden und nicht des Anzeigers sei, die näheren Umstände von nicht offensichtlich grundlosen Anzeigen abzuklären, und dass das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung nur schleppend bzw. immer noch nicht behandelt worden sei. Vorgängig erliess Staatsanwalt Fricker am 18. Juli 2008 eine Verfügung, wonach auf die Strafanzeige gegen bestimmte Personen wegen einzelner Straftatbestände nicht eingetreten werde. Diese Verfügung hob die Beschwerdekammer des Obergerichts am 14. April 2009 teilweise auf; sie wies die Staatsanwaltschaft an, in Bezug auf die Straftatbestände der schweren Körperverletzung, der Urkundenfälschung und des Amtsmissbrauchs eine Strafuntersuchung zu eröffnen.
B. Das erwähnte Ausstandsgesuch von X._ vom 5. September 2008 wurde am 10. September 2008 an den zuständige Oberstaatsanwalt überwiesen. Dieser sistierte das Verfahren vorerst und teilte dem Gesuchsteller mit, er könne einen Anwalt seiner Wahl mit der Mandatsführung beauftragen.
Mit Verfügung vom 3. Juni 2009 wies der Oberstaatsanwalt das Ablehnungsbegehren gegen Staatsanwalt Fricker bzw. gegen alle Staatsanwältinnen und Staatsanwälte ab. Auch das Gesuch um Einsetzung eines ausserkantonalen Staatsanwalts wurde abgewiesen.
Diese Verfügung des Oberstaatsanwalts focht X._ beim Obergericht des Kantons Solothurn an. Mit Urteil vom 17. August 2009 wies die Beschwerdekammer des Obergerichts die Beschwerde ab.
C. Gegen den Entscheid der Beschwerdekammer des Obergerichts vom 17. August 2009 hat X._ am 14. September 2009 beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Sache zu neuer Prüfung. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, wegen der Verflechtung von Kantonspolizei und Staatsanwaltschaft sei Letztere in Bezug auf die Vorwürfe gegenüber der Ersteren voreingenommen. Die Untersuchungsführung durch Staatsanwalt Fricker habe dessen Befangenheit zum Ausdruck gebracht. Aufgrund der gesamten Umstände könne auch Oberstaatsanwalt Welter nicht als unparteiisch betrachtet werden. Es dränge sich eine Untersuchung durch eine aussenstehende Person auf.
Die Staatsanwaltschaft und die Beschwerdekammer des Obergerichts haben auf Vernehmlassungen verzichtet. Der Beschwerdeführer hat dem Bundesgericht weitere Eingaben zukommen lassen und namentlich auf Beschwerden hingewiesen, mit denen er weitere Verfügungen der Staatsanwaltschaft beim Obergericht anfocht.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in Strafsachen gegen einen selbstständig eröffneten strafprozessualen Zwischenentscheid betreffend Ablehnung von Strafverfolgungsorganen ist zulässig (Art. 78 und 92 BGG). Der Beschwerdeführer ist dazu legitimiert (<ref-law>). Er verlangt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und sinngemäss den Ausstand der abgelehnten Justizpersonen. Auf die Beschwerde kann vorbehältlich einzelner im spezifischen Sachzusammenhang zu prüfender Punkte eingetreten werden.
2. Für den allgemeinen grundrechtlichen Anspruch auf Unabhängigkeit und Objektivität von Untersuchungs- und Anklagebehörden ist nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts <ref-law> massgeblich. Die angeschuldigte Person hat keinen Anspruch darauf, dass der Untersuchungsrichter mit qualifizierter richterlicher Unabhängigkeit im Sinne von <ref-law> ausgestattet würde (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 198; <ref-ruling> E. 3e S. 282; je mit Hinweisen). Im Anschluss an den Entscheid der Beschwerdekammer vom 14. April 2009 und im Hinblick auf die Fortsetzung der Untersuchung steht im vorliegenden Verfahren die Unvoreingenommenheit der Strafuntersuchungsorgane in Frage. Daher ist die vorliegende Beschwerde unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> und nicht nach <ref-law> zu beurteilen.
Der Unvoreingenommenheit des Untersuchungsrichters kann unter gewissen Gesichtspunkten eine ähnliche Bedeutung zukommen wie der richterlichen Unabhängigkeit und Unparteilichkeit. Die Grundsätze von <ref-law> dürfen jedoch nicht unbesehen auf nicht richterliche Behörden bzw. auf <ref-law> übertragen werden (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 124; <ref-ruling> E. 8 S. 217; Urteil 1B_56/2008 vom 24. Juni 2008 E. 4). Unter Berücksichtigung der verfahrensmässigen und gesetzlich vorgesehenen Konstellationen ist den unterschiedlichen Funktionen der Strafverfolgungsorgane Rechnung zu tragen. Von Untersuchungsrichtern sind Sachlichkeit, Unbefangenheit und Objektivität namentlich insofern zu erwarten, als sie sich vor Abschluss der Untersuchung grundsätzlich nicht darauf festlegen sollen, der angeschuldigten Person ein strafbares Verhalten zur Last zu legen oder ein strafbares Verhalten auszuschliessen sei. Auch haben sie den entlastenden Indizien und Beweismitteln ebenso Rechnung zu tragen wie den belastenden (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3e S. 282; Urteil 1B_56/2008 vom 24. Juni 2008 E. 4; HAUSER/SCHWERI/HARTMANN, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl., Basel 2005, § 26 Rz. 12). So können Staatsanwälte oder Untersuchungsrichter abgelehnt werden, wenn Umstände wie etwa strafprozessual unzulässige vorverurteilende Äusserungen vorliegen, welche nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 2d S. 148; Urteile 1P.709/2005, E. 3.2).
In der Regel vermögen allgemeine Verfahrensmassnahmen, seien sie nun richtig oder falsch, als solche keine Voreingenommenheit der verfügenden Justizperson zu begründen. Soweit konkrete Verfahrensfehler eines Untersuchungsrichters beanstandet werden, sind in erster Linie die entsprechenden Rechtsmittel zu ergreifen. Als Ablehnungsgrund fallen nur besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Versäumnisse und Mängel in Betracht (vgl. die Rechtsprechung zu <ref-law>: <ref-ruling> E. 3e S. 124; <ref-ruling> E. 3b S. 404; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158; Urteil 1B_60/2007 vom 21. September 2007 E. 3; Urteil 1P.548/ 2005 vom 22. November 2005 E. 2.2).
3. Der Beschwerdeführer macht in verschiedener Hinsicht geltend, die abgelehnten Personen der Staatsanwaltschaft verfügten in Bezug auf sein Strafverfahren nicht über die erforderliche Unvoreingenommenheit.
3.1 Auf die Vorbringen gegenüber Oberstaatsanwalt Welter kann nicht eingetreten werden. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet nicht dessen Entscheid vom 3. Juni 2009. Vielmehr wäre aufgrund des Ausstandsgesuches zu prüfen, ob dieser im Hinblick auf die Fortführung des Verfahrens den Anforderungen von <ref-law> genügt. Gemäss den Angaben des Beschwerdeführers ist Oberstaatsanwalt Welter nicht mehr im Amt. Damit erweist sich die Beschwerde in diesem Punkte als gegenstandslos.
3.2 Das Ausstandsgesuch richtet sich ferner gegen sämtliche Solothurner Staatsanwälte. Der Beschwerdeführer macht geltend, diese wiesen nicht die hinreichende Distanz zur Kantonspolizei auf, um seine Anzeigen gegen Verantwortliche der Kantonspolizei unbefangen zu prüfen. Überdies seien die Staatsanwälte offenbar nicht willens, seine Mobbingstrafsache zu untersuchen, und zeigten im Sinne von "Zusehen heisst zulassen" ihre Voreingenommenheit.
Es steht ausser Frage, dass die Staatsanwaltschaft und die Kantonspolizei in verschiedener Hinsicht Berührungspunkte aufweisen. Die Strafprozessordnung des Kantons Solothurn (StPO) sieht bei der Strafverfolgung eine eigentliche Zusammenarbeit vor. Nach <ref-law> sind die Polizeiorgane verpflichtet, von Amtes wegen zu verfolgende Straftaten anzuzeigen und bei schweren Straftaten die Staatsanwaltschaft zu benachrichtigen. Gemäss <ref-law> ist eine Strafanzeige durch die Polizeiorgane einzureichen, wenn das Ergebnis der polizeilichen Ermittlungen eine genügende Grundlage bietet. Ferner haben die Polizeiorgane Anzeigen nach <ref-law> an die Staatsanwaltschaft zu übermitteln. Dieses Verhältnis zwischen Staatsanwaltschaft und Polizei ergibt sich aus der Strafprozessordnung und der Organisation der Strafverfolgung. Unter dem Gesichtswinkel der den beiden Organen je zukommenden Aufgaben kann indes nicht gesagt werden, dass die "Nähe" die Unvoreingenommenheit der Staatsanwaltschaft in verfassungswidriger Weise beeinträchtigen würde. Insbesondere kann bei objektiver Betrachtung nicht geschlossen werden, dass die Staatsanwaltschaft hinsichtlich möglicher Straftaten von Angehörigen der Kantonspolizei in genereller Weise befangen sein sollte. Eine Ablehnung fiele daher ausschliesslich in Betracht, wenn konkrete Umstände auf eine Voreingenommenheit der Staatsanwälte schliessen lassen würden. Solche besondern Gegebenheiten bringt der Beschwerdeführer gegenüber den Staatsanwältinnen und Staatsanwälten im Allgemeinen nicht vor (vgl. in Bezug auf Staatsanwalt Fricker unten E. 3.3). Er zeigt nicht auf, dass an der Unvoreingenommenheit der einzelnen Staatsanwältinnen und Staatsanwälte wegen besonderer Vorkommnisse zu zweifeln wäre. Es kann diesen auch nicht in globaler Weise vorgeworfen werden, dass die Sache des Beschwerdeführers nicht in anderer und rascherer Weise behandelt worden ist. Damit erweist sich die Beschwerde hinsichtlich der Ablehnung der Staatsanwältinnen und Staatsanwälte im Allgemeinen als unbegründet.
Bei dieser Sachlage wird das Ersuchen, es seien ausserkantonale Personen für die Untersuchung beizuziehen, gegenstandslos. Anzufügen bliebe, dass keine gesetzliche Grundlage namhaft gemacht wird, welche einen solchen Einsatz vorsehen und rechtfertigen würde.
3.3 Schliesslich richtet sich das Ausstandsgesuch in spezifischer Weise gegen Staatsanwalt Fricker.
In zeitlicher Hinsicht gilt es vorerst zu beachten, dass der Beschwerdeführer seine erste Anzeige am 4. September 2007 erstattete. Staatsanwalt Fricker nahm seine Tätigkeit am 1. April 2008 auf. Am 18. Juli 2008 verfügte er, dass auf die Strafanzeigen nicht eingetreten werde. Trotz des Umstandes, dass das Obergericht am 3. September 2008 eine Rechtsverzögerung feststellte, kann diese Verzögerung in Anbetracht der konkreten Gegebenheiten nicht Staatsanwalt Fricker persönlich vorgehalten werden.
Staatsanwalt Fricker trat mit Verfügung vom 18. Juli 2008 auf die Strafanzeigen des Beschwerdeführers nicht ein. Mit Urteil vom 14. April 2009 hob das Obergericht diesen Entscheid teilweise auf und wies die Staatsanwaltschaft an, in Bezug auf die Tatbestände der schweren Körperverletzung, des Amtsmissbrauchs und der Urkundenfälschung eine Strafuntersuchung zu eröffnen.
Der Entscheid des Obergerichts bedeutet sinngemäss die Rückweisung der Sache an die Staatsanwaltschaft zu neuer Beurteilung. Damit stellt sich die Frage, ob sich Staatsanwalt Fricker unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> erneut mit der Sache befassen dürfe. Hierfür kann auf die Rechtsprechung zur Frage der Rückweisung nach Beschwerdegutheissung durch obere Instanzen abgestellt werden. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu <ref-law> ist die Mitwirkung des am aufgehobenen Entscheid beteiligten Richters bei der Neubeurteilung der Streitsache im Grundsatz zulässig. Vom Richter darf erwartet werden, dass er die Streitsache auch nach Aufhebung des Entscheides objektiv und unparteiisch behandle (<ref-ruling> E. 2a S. 30; <ref-ruling> E. 3.5 S. 120; Urteil 1C_205/2009 vom 9. Juli 2009). Unter dem Gesichtswinkel des blossen Anscheins der Voreingenommenheit ist im Einzelfall auf die konkreten Umstände abzustellen, um die Offenheit des Verfahrens zu beurteilen. So können sich Konstellationen ergeben, in denen eine Neubeurteilung durch dieselben Richter vor <ref-law> nicht standhält (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 30; Urteil 1P.591/2005 vom 2. November 2005 E. 3; Urteil 1B_270/2007 vom 21. Juli 2009; Urteil 8C_91/2009 vom 6. Juli 2009).
Im vorliegenden Fall ist vom Urteil des Obergerichts vom 14. April 2009 auszugehen. Darin wird in Bezug auf den Vorwurf der schweren Körperverletzung ausgeführt, die Verfügung von Staatsanwalt Fricker vom 18. Juli 2008 stütze sich auf Wertungen ab, die teils offensichtlich auf Vermutungen beruhten und einer Befragung des Anzeigers bedurft hätten. In Bezug auf die Anzeige einer Urkundenfälschung wären ebenfalls weitere Abklärungen und eine Befragung des Anzeigers erforderlich gewesen. Auch hinsichtlich des Vorwurfs des Amtsmissbrauchs habe tatsächlicher und rechtlicher Erklärungsbedarf bestanden. In dieser Bewertung im obergerichtlichen Urteil vom 14. April 2009 kommen gewichtige Verfahrensfehler von Seiten des Staatsanwalts Fricker zum Ausdruck. Sie erweisen sich nicht schon deshalb als untergeordnet, weil das Obergericht im angefochtenen Urteil festhält, der Beschwerdeführer hätte im Allgemeinen zweckmässiger vorgehen und seine Anzeigen besser konkretisieren sollen. Das Vorgehen von Staatsanwalt Fricker konnte beim Beschwerdeführer zudem aus weitern Gründen den Eindruck der Voreingenommenheit erwecken. Trotz mehrmaliger Ergänzung seiner Anzeigen und entsprechender Nachfragen konnte er den Eindruck erhalten, er werde als Person nicht gehört und nicht ernst genommen. Auf die Rechtsverzögerungsbeschwerde vom 13. Mai 2008 hin trat Staatsanwalt Fricker am 18. Juli 2008 auf die Anzeige nicht ein, ohne weitere Untersuchungshandlungen vorzunehmen und ohne den Beschwerdeführer anzuhören. In objektiver Weise konnte der Beschwerdeführer befürchten, dass Staatsanwalt Fricker sich der Sache gar nicht annehmen wolle und dass er der Sache gegenüber auch im Falle neuer und erweiterter Erhebungen, die er nicht von sich aus in die Wege leitete, nicht offen sei. Der vorliegende Fall nähert sich damit Konstellationen, in denen das Bundesgericht unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> eine Neubeurteilung durch den Richter als verfassungswidrig erachtete (<ref-ruling> E. 2b S. 30; Urteil 1P.591/2005 vom 2. November 2005 E. 3; Urteil 1B_270/ 2007 vom 21. Juli 2009). Von Bedeutung ist im vorliegenden Fall überdies, dass der Beschwerdeführer auf sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege keine Antwort erhalten hat. Vielmehr wurde er lediglich darauf hingewiesen und damit vertröstet, er könne selber einen Rechtsvertreter bestimmen und ein solcher könnte dann ein entsprechendes Gesuch stellen. Auch darin durfte der Beschwerdeführer bei objektiver Betrachtung einen Umstand erblicken, dass Staatsanwalt Fricker seine Strafanzeigen nicht mit der erforderlichen Offenheit angehen würde.
Im Vorgehen von Staatsanwalt Fricker zeigen sich somit schwerwiegende Mängel, die geeignet sind, das Vertrauen in die Unvoreingenommenheit und in die Offenheit des Verfahrens auch bei objektiver Betrachtung zu erschüttern. Damit erweist sich die Beschwerde in diesem Punkte als begründet.
4. Demnach ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und der angefochtene Entscheid in Bezug auf Staatsanwalt Fricker aufzuheben. Das zugrunde liegende Ausstandsbegehren ist gestützt auf <ref-law> gutzuheissen (vgl. nicht publizierte E. 3 von <ref-ruling>). Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind dem Beschwerdeführer lediglich die Kosten im Ausmasse seines Unterliegens aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdeführer, der in eigenem Namen Beschwerde führt und kein entsprechendes Begehren stellt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen. Im Übrigen ist die Sache zu neuer Kostenverlegung an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, das Urteil der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 17. August 2009 in Bezug auf Staatsanwalt lic. iur. Christoph Fricker aufgehoben und das Gesuch um den Ausstand von Staatsanwalt lic. iur. Christoph Fricker gutgeheissen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Die Sache wird zur Festlegung der kantonalen Gerichtskosten an die Vorinstanz zurückgewiesen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Dezember 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann