A.- Le 28 avril 1994, dame D._ a demandé l'assistance judiciaire dans son procès en divorce, ouvert le 3 décembre 1990. Elle a indiqué que son revenu était la pension provisionnelle - impayée depuis 13 mois - de 4'500 fr.
par mois à la charge de son mari T._ et s'est déclarée d'accord de rembourser les frais de procès qui seraient avancés par l'État à raison de versements mensuels de 100 fr. dès la fin du procès.
Par décision du 5 mai 1994, le Bureau d'assistance judiciaire du canton de Vaud lui a accordé l'assistance requise, sous réserve d'une contribution mensuelle de 100 fr.
dès la fin du procès.
B.- Par jugement du 23 mars 1998, le Président du Tribunal civil du district de Nyon a prononcé le divorce des époux T._ et ratifié la convention sur les effets accessoires du divorce signée par ceux-ci. Cette convention prévoyait que T._ verserait à son ex-épouse, au plus tard le 31 janvier 1998, la somme de 85'000 fr. à titre de "capital-rente" selon l'art. 151 aCC, ainsi qu'un montant de 13'325 fr. représentant l'arriéré des pensions provisionnelles échues.
Le montant de 98'325 fr. a effectivement été versé avant le 13 février 1998.
C.- Avisé le 22 avril 1998 du jugement de divorce incluant la convention sur les effets accessoires, le Bureau d'assistance judiciaire, par lettre du 12 mai 1998, a demandé à dame D._ le remboursement de 38'200 fr., montant qu'il avait assumé, jusqu'au 15 mai 1998.
Dame D._ a répondu le 28 mai 1998 n'être pas en mesure de payer ce montant et être disposée à verser 100 fr. par mois au maximum.
Sur réquisition de l'État de Vaud, un commandement de payer la somme de 38'200 fr. a été notifié le 22 juin 1998 à dame D._ dans la poursuite n° 315'792 de l'Office des poursuites de l'arrondissement de Nyon.
La mainlevée provisoire de l'opposition formée par la poursuivie lui ayant été refusée, l'État de Vaud a ouvert action en reconnaissance de dette le 10 mars 1999.
D.- Par jugement du 30 juin 2000, le Tribunal civil du district de Nyon a condamné dame D._ à verser à l'État de Vaud la somme de 38'200 fr., avec intérêt à 5% l'an dès le 16 mai 1998, sous déduction de 500 fr. (valeur au 30 janvier 1999) représentant les dépens accordés à la poursuivie dans la procédure de mainlevée provisoire; il a en outre levé à concurrence de ce montant l'opposition formée dans la poursuite n° 315'792 de l'Office des poursuites de l'arrondissement de Nyon.
E.- Par arrêt du 16 mai 2001, la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud a partiellement admis le recours formé par dame D._ contre ce jugement et réformé celui-ci en ce sens que dame D._ a été condamnée à payer à l'État de Vaud la somme de 37'700 fr., montant échu à raison de 100 fr. le premier de chaque mois dès le 1er avril 1998, plus intérêts - à un taux non spécifié - dès le 15 septembre 1998 (recte: 15 septembre 1999, échéance moyenne entre le 1er avril 1998 et le 16 mai 2001); l'opposition formée dans la poursuite n° 315'792 de l'Office des poursuites de l'arrondissement de Nyon a été levée à concurrence de 300 fr., montant exigible au moment de la notification du commandement de payer.
F.- Agissant par la voie du recours de droit public au Tribunal fédéral, dame D._ conclut avec suite de frais et dépens à l'annulation de cet arrêt.
La recourante ayant requis l'effet suspensif, l'intimé et l'autorité cantonale ont été invités à se déterminer, outre sur le recours sur la requête d'effet suspensif. Ni l'intimé - qui, sur le fond a proposé de rejeter le recours dans la mesure de sa recevabilité - ni l'autorité cantonale ne s'étant opposés à cette requête, le Président de la Cour de céans a prononcé l'effet suspensif par ordonnance du 26 septembre 2001.

Considérant en droit :
1.- Dans un grief d'ordre formel, qu'il y a lieu d'examiner préalablement (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2, 180 consid. 4a; <ref-ruling> consid. 2a), la recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé son droit de participer à l'administration des preuves, découlant du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. et par diverses dispositions du Code de procédure civile vaudois, en refusant, à la suite du jugement de première instance, la production d'une pièce requise de l'intimé et en renonçant à exiger de ce dernier la déclaration solennelle concernant l'existence d'un autre titre à produire par l'intimé.
a) Selon la jurisprudence, le droit d'être entendu - tel qu'il était déduit de l'art. 4 de la Constitution fédérale du 29 mai 1874 et tel qu'il est désormais garanti par l'art. 29 al. 2 de la Constitution fédérale du 18 avril 1999 - comprend notamment le droit pour les intéressés de produire des preuves pertinentes et d'obtenir qu'il soit donné suite à leurs offres de preuves pertinentes (<ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 6a; <ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 1c; <ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 2b et les arrêts cités).
b) En l'espèce, la prétendue violation de ce droit au niveau du Tribunal de district devait toutefois être soulevée par les voies de droit prévues par la procédure cantonale avant de pouvoir l'être en dernier ressort par celle du recours de droit public (art. 86 al. 1 OJ). Or, s'agissant du grief de violation du droit à la preuve que la recourante avait invoqué dans son recours en nullité cantonal, les juges cantonaux ont exposé que lorsque le juge instructeur a refusé ou que le tribunal n'a pas ordonné l'administration d'une preuve, la partie qui veut se réserver la possibilité d'un recours en nullité contre le jugement au fond (<ref-law>/VD) doit procéder en la forme incidente et non par une simple réquisition; constatant que la recourante n'avait pas procédé en la forme incidente pour violation de son droit à la preuve, les juges cantonaux ont rejeté son recours en nullité (arrêt attaqué, consid. 3b). Cette application du droit cantonal n'étant pas remise en cause dans le recours de droit public, le grief de violation de l'art. 29 al. 2 Cst.
se révèle irrecevable au regard de l'art. 86 al. 1 OJ.
2.- La recourante soutient que l'arrêt entrepris aurait été rendu en violation de l'art. 29 al. 3 Cst. et de l'art. 18 al. 1 de la loi vaudoise sur l'assistance judiciaire, dont il résulte que le remboursement des montants alloués à un justiciable au titre de l'assistance judiciaire ne peut lui être réclamé que s'il est redevenu solvable.
a) L'art. 29 al. 3 Cst. garantit à toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes et dont la cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès le droit à l'assistance judiciaire gratuite, ainsi que, dans la mesure où la sauvegarde de ses intérêts le requiert, le droit à l'assistance gratuite d'un avocat. Cette disposition, qui reprend les principes jurisprudentiels que le Tribunal fédéral avait déduit de l'art. 4 aCst. , ne garantit toutefois pas une prise en charge définitive des frais par l'État (cf. <ref-ruling> consid. 4a, 322 consid. 2c; <ref-ruling> consid. 9c p. 343). Le bénéficiaire peut ainsi être astreint, lorsqu'il revient à meilleure fortune, de rembourser tout ou partie des sommes engagées par la collectivité, sur la base des lois cantonales qui contiennent pour la plupart des dispositions précises à ce sujet (<ref-ruling> consid. 4a et les références citées; Étienne Grisel, Égalité, Les garanties de la Constitution fédérale du 18 avril 1999, Berne 2000, n. 493).
Il s'ensuit que les conditions d'un éventuel remboursement, par la recourante, des sommes avancées par l'État de Vaud dans le cadre de son procès en divorce ne relèvent pas du champ d'application de l'art. 29 al. 3 Cst. , mais uniquement de celui de la loi vaudoise du 24 novembre 1981 sur l'assistance judiciaire en matière civile (LAJ; RSV 2.8 C).
b) aa) La cour cantonale a exposé que l'une des conditions posées par l'art. 18 al. 1 LAJ au remboursement des avances opérées par l'État était la solvabilité de leur bénéficiaire, qui supposait le retour à meilleure fortune. Or cette dernière notion présentait quelques similitudes avec celle propre au droit de la faillite, dans laquelle des dommages-intérêts perçus ne devraient qu'exceptionnellement être considérés comme retour à meilleure fortune, dès lors que cette satisfaction a pour but de replacer le lésé dans sa situation antérieure. Les juges cantonaux ont toutefois considéré que la question de la solvabilité de la recourante pouvait rester indécise en l'espèce, car indépendamment de l'art. 18 LAJ, la recourante s'était engagée à rembourser les avances de l'État, et cela à raison de 100 fr. par mois dès la fin du procès. Le principe de la créance de l'État découlait ainsi d'une obligation prise contractuellement par la recourante dans une situation où la législation de droit public n'avait pas posé de règles particulières. Plus précisément, dans le cadre d'un contrat de droit public, les modalités de remboursement étaient devenues l'une des conditions d'octroi de l'assistance judiciaire. La recourante ne pouvait se dérober à l'exécution de cette obligation et devait rembourser les avances de l'État à raison de 100 fr. par mois dès le 1er avril 1998 (arrêt attaqué, consid. 5).
bb) Les griefs que la recourante soulève à l'encontre de cette décision apparaissent mal fondés dans la mesure où leur motivation peut être considérée comme suffisante au regard des exigences posées par l'art. 90 al. 1 let. b OJ.
Tout d'abord, la recourante fait fausse route lorsqu'elle invoque la garantie constitutionnelle de l'art. 29 al. 3 Cst. quant aux conditions du retrait de l'assistance judiciaire en cours de procédure, qu'il convient de distinguer du sort des frais à l'issue de la procédure et donc consécutivement à l'extinction du droit à l'assistance judiciaire (cf. Christian Favre, L'assistance judiciaire gratuite en droit suisse, thèse Lausanne 1989, p. 148). En effet, comme on l'a vu (cf. consid. 2a supra), les conditions d'un éventuel remboursement, après la fin de la procédure et donc après l'extinction du droit à l'assistance judiciaire, des avances opérées par l'État ne relèvent pas du champ d'application de l'art. 29 al. 3 Cst.
C'est par ailleurs en vain que la recourante entreprend de démontrer en quoi elle n'est pas redevenue solvable au sens de l'art. 18 al. 1 LAJ, selon lequel "l'État demeure créancier pour ses avances et peut en récupérer le montant sur le bénéficiaire devenu solvable, la solvabilité pouvant notamment résulter d'avantages obtenus par voie de transaction ou de jugement". En effet, la cour cantonale a considéré qu'indépendamment de l'art. 18 LAJ, la recourante s'était obligée, par un contrat de droit public admissible (cf. <ref-ruling> consid. 3a et les références citées; <ref-ruling> consid. 2a) dans lequel les modalités de remboursement constituaient l'une des conditions d'octroi de l'assistance judiciaire, à rembourser les avances de l'État à raison de 100 fr. par mois dès la fin du procès. Or cette considération ne fait pas l'objet d'une critique suffisamment motivée par la recourante.
Celle-ci se borne à cet égard à affirmer que "ce prétendu engagement contractuel de la recourante est la conséquence de la demande de remboursement et des pressions inadmissibles formulées par l'intimé, en violation des garanties constitutionnelles de l'article 29 al. 3 Cst. et des dispositions de l'article 18 al. 1 LAJ". Outre que cette critique ne satisfait manifestement pas aux exigences posées à la motivation du recours de droit public par l'art. 90 al. 1 let. b OJ (cf. <ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> et la jurisprudence citée), elle tombe à faux. En effet, l'élément contractuel retenu par l'autorité cantonale ne découle pas de la lettre de la recourante du 28 mai 1998 consécutive à la demande de remboursement de l'intimé, comme l'affirme la recourante, mais de la demande d'assistance judiciaire du 28 avril 1994 et de la décision d'octroi du 5 mai 1994.
3.- En définitive, le recours se révèle mal fondé en tant qu'il est recevable et ne peut donc qu'être rejeté dans cette même mesure. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 156 al. 1 OJ). Elle n'aura en revanche pas à payer de dépens, les frais engagés par l'intimé ne pouvant donner lieu à aucune indemnité, conformément à l'art. 159 al. 2 OJ (cf. Poudret/Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. V, Berne1992, n. 3 ad art. 159 OJ).

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable.
2. Met un émolument judiciaire de 1'500 fr. à la charge de la recourante.
3. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
_
Lausanne, le 2 novembre 2001 ABR/frs
Au nom de la IIe Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE :
Le Président,
Le Greffier,