Sachverhalt:
A. Das Bezirksgericht Zürich befand X._ am 27. Januar 2006 der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz (Art. 19 Ziff. 1 Abs. 4 und 5 i.V.m. <ref-law>) und der mehrfachen Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes (<ref-law>) schuldig und bestrafte ihn mit 23 Monaten und 16 Tagen Gefängnis.
B. Auf Berufung von X._ hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 24. Oktober 2007 den erstinstanzlichen Schuldspruch und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 20 Monaten, unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs bei einer Probezeit von 3 Jahren. Die Kosten des Berufungsverfahrens auferlegte es vollumfänglich X._.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen sinngemäss mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 24. Oktober 2007 sei im Kostenpunkt aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1. 1.1 Auf die Beschwerde ist einzutreten, da sie unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>) und Form (<ref-law>) von der in ihren Anträgen unterliegenden beschuldigten Person (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG) eingereicht wurde und sich gegen einen von einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) gefällten Endentscheid (Art. 90 und 95 BGG) in Strafsachen (<ref-law>) richtet.
1.2 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer wendet sich einzig gegen den Kostenentscheid der Vorinstanz. Er macht geltend, ihm die Kosten des Berufungsverfahrens trotz teilweisen Obsiegens vollumfänglich aufzuerlegen, verletze den Grundsatz der Gleichbehandlung (Beschwerde S. 3).
2.2 Die Vorinstanz hat den erstinstanzlichen Schuldspruch bestätigt (vgl. angefochtenes Urteil S. 11 - 14). Im Rahmen ihrer Ausführungen zur Strafzumessung hat sie erwogen, die erste Instanz habe das objektive Tatverschulden des Beschwerdeführers zutreffend als erheblich qualifiziert. Hingegen sei zu beachten, dass dieser die Drogendelikte nicht aus finanziellen Motiven begangen habe, sondern um sich beliebt zu machen. Das subjektive Tatverschulden erweise sich somit als weniger gravierend als von der Vorinstanz angenommen. Zusammenfassend sei das Strafmass daher auf 20 Monate zu reduzieren (angefochtenes Urteil S. 14 - 18). Die Vorinstanz hat weiter erörtert, das seit dem 1. Januar 2007 geltende Recht ermögliche die Gewährung des bedingten Strafvollzugs bei Freiheitsstrafen bis zu 24 Monaten, während die Grenze zuvor bei 18 Monaten gelegen habe. Zu berücksichtigen sei, dass der Beschwerdeführer zum Zeitpunkt des erstinstanzlichen Urteils arbeitslos gewesen und vom Sozialamt unterstützt worden sei. Seit April 2006 habe er nun eine feste Arbeitsstelle und erziele einen monatlichen Verdienst von rund Fr. 6'200.--. Er lebe mithin in stabilen Verhältnissen und seine Zukunftsaussichten seien gut. Der Vollzug der Freiheitsstrafe sei deshalb aufzuschieben (angefochtenes Urteil S. 18 - 21).
Zusammenfassend hat die Vorinstanz geschlossen, der Beschwerdeführer obsiege im Ergebnis mit seiner Berufung teilweise, da die ausgesprochene Freiheitsstrafe um rund 31⁄2 Monate auf 20 Monate reduziert und deren Vollzug aufgeschoben worden sei. Allerdings sei dieses teilweise Obsiegen weitgehend die Folge der nach der erstinstanzlichen Urteilsfällung in Kraft getretenen Strafrechtsrevision. Die Kosten des Berufungsverfahrens seien daher gestützt auf § 396a StPO/ZH vollumfänglich dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (angefochtenes Urteil S. 23).
2.3 Gemäss § 396a StPO/ZH erfolgt die Auflage der Kosten im kantonalen Rechtsmittelverfahren in der Regel im Verhältnis von Obsiegen und Unterliegen, wobei von dieser Regel in begründeten Fällen abgewichen werden kann, namentlich wenn sich eine Partei in guten Treuen zu ihren Anträgen veranlasst sah.
Das Bundesgericht prüft die Verletzung kantonalen Rechts nur auf Willkür (vgl. <ref-law>). Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung einzig vor, wenn der angefochtene Entscheid auf einer schlechterdings unhaltbaren oder widersprüchlichen Beweiswürdigung beruht bzw. im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen).
2.4 § 396a StPO/ZH räumt der Rechtsmittelinstanz bei der Verlegung der Verfahrenskosten einen gewissen Ermessensspielraum ein und ermöglicht ein Abweichen von der Grundregel, wenn der vorinstanzliche Entscheid lediglich im Rahmen des Ermessens abgeändert, also beispielsweise die Strafe geringfügig reduziert oder der bedingte Strafvollzug gewährt worden ist (Robert Hauser/Erhard Schweri/Karl Hartmann, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl., 2005, § 108 N. 10, mit weiteren Hinweisen). Die offene Formulierung "in begründeten Fällen" schliesst zudem eine vollumfängliche Kostenüberbindung nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Grundlage für den günstigeren Entscheid erst im Rechtsmittelverfahren geschaffen hat (Niklaus Schmid, Strafprozessrecht, Eine Einführung auf der Grundlage des Strafprozessrechts des Kantons Zürich und des Bundes, 4. Aufl., 2004, N. 1202; vgl. ferner Niklaus Oberholzer, Grundzüge des Strafprozessrechts, 2. Aufl., 2005, N. 1830).
Auch in der neuen eidgenössischen Strafprozessordnung wird im Übrigen in Art. 428 mit der Marginalie "Kostentragung im Rechtsmittelverfahren" explizit statuiert, dass einer Partei, die ein Rechtsmittel ergriffen und einen für sie günstigeren Entscheid erwirkt hat, die Verfahrenskosten auferlegt werden können, wenn "die Voraussetzungen für das Obsiegen erst im Rechtsmittelverfahren geschaffen worden sind" oder "der angefochtene Entscheid nur unwesentlich abgeändert wird" (Art. 428 Abs. 2 EStPO).
2.5 Die Vorinstanz hat das Strafmass um rund 31⁄2 Monate auf 20 Monate reduziert. Des Weiteren hat sie aufgrund der veränderten Rechtslage, wonach nunmehr die Gewährung des bedingten Strafvollzugs bei Freiheitsstrafen bis zu 24 Monaten möglich ist, sowie unter Berücksichtigung des Umstands, dass der Beschwerdeführer wieder eine regelmässige Erwerbstätigkeit ausübt, gefolgert, der Vollzug der Freiheitsstrafe sei aufzuschieben. Die Vorinstanz hat mit anderen Worten den erstinstanzlichen Entscheid einzig im Rahmen ihres Ermessens abgeändert, indem sie die Strafe geringfügig reduziert und den Vollzug der Strafe aufgeschoben hat.
Die Vorinstanz hat daher § 396a StPO/ZH nicht willkürlich angewandt, und es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Auferlegung sämtlicher Kosten des Berufungsverfahrens an den Beschwerdeführer gegen den Grundsatz der Rechtsgleichheit verstossen sollte.
3. Die Beschwerde ist folglich vollumfänglich abzuweisen. Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Da das Rechtsmittel von vornherein aussichtslos war, kann dem Gesuch nicht entsprochen werden (<ref-law>).
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Bei der Festsetzung der Gerichtskosten ist seinen finanziellen Verhältnissen Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Stohner