Sachverhalt:
A.
P._, geboren 1981, meldete sich am 30. März 2001 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an (Berufsberatung, Umschulung auf eine neue Tätigkeit, Arbeitsvermittlung). Die IV-Stelle des Kantons Thurgau führte erwerbliche Abklärungen durch, holte einen Bericht des Hausarztes Dr. med. W._, Facharzt Innere Medizin FMH, vom 13. Juni 2001 ein, und veranlasste ein psychiatrisches Gutachten bei den psychiatrischen Diensten X._ des Kantons Thurgau vom 10. Januar 2002. Vom 27. Februar bis 11. März 2002 war P._ in der Psychiatrischen Klinik M._ hospitalisiert. Am 19. August 2002 verfügte die IV-Stelle die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente ab 1. März 2000 (bestätigt mit Verfügung vom 19. Oktober 2004). Im Jahre 2005 wurde P._ Mutter einer Tochter. Die IV-Stelle bestätigte den Rentenanspruch mit Verfügungen vom 14. März 2006 sowie mit Mitteilungen vom 9. Mai 2007 und 13. Januar 2009, jeweils hauptsächlich gestützt auf Untersuchungsberichte des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD; Dr. med. G._, Facharzt für Neurologie und Psychiatrie, vom 16. Februar 2007 und 22. Dezember 2008). Im Juli 2009 wurde P._ erneut Mutter einer Tochter. Am 14. Juli 2011 erging ein von der IV-Stelle auf Anraten des Dr. med. G._ veranlasstes psychiatrisches Gutachten des Dr. med. L._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie. Mit Vorbescheid vom 27. Juli 2011 stellte die IV-Stelle die Einstellung der IV-Rente in Aussicht. Am 6. Januar 2012 teilte die IV-Stelle P._ mit, sie gewähre Berufsberatung und Abklärung der beruflichen Eingliederungsmöglichkeiten durch ihre Berufsberatung. Mit erneutem Vorbescheid vom 23. Juli 2012 stellte die IV-Stelle wiederum die Renteneinstellung in Aussicht und verfügte am 3. Oktober 2012 entsprechend. Am 5. Oktober 2012 erteilte sie Kostengutsprache für den Lehrgang "Pflegehelferin SRK".
B.
Die gegen die rentenaufhebende Verfügung vom 3. Oktober 2012 erhobene Beschwerde der P._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 24. April 2013 in dem Sinne teilweise gut, als es die Invalidenrente per Ende Februar 2013 einstellte. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und - sinngemäss - die Aufhebung des angefochtenen Entscheides sowie die weitere Zusprechung einer ganzen, mindestens einer halben Rente beantragen. Eventualiter seien berufliche Massnahmen anzuordnen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz kann es, auf Rüge hin oder von Amtes wegen, berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_967/2008 vom 5. Januar 2009 E. 5.1). Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung (vgl. Urteil 9C_999/2010 vom 14. Februar 2011 E. 1). Dem kantonalen Versicherungsgericht steht als Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 40). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn das Sachgericht diesen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211; zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
2.
Streitig ist die revisionsweise Aufhebung der Invalidenrente. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen und von der Rechtsprechung hiefür entwickelten Grundsätze zutreffend dargelegt. Richtig ist insbesondere, dass die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben wird, wenn sich der Invaliditätsgrad einer Rentenbezügerin erheblich ändert (<ref-law>) und Anlass zur Rentenrevision jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen seit Zusprechung der Rente gibt, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Anspruch zu beeinflussen. Revidierbar ist die Rente namentlich bei einer wesentlichen Änderung des Gesundheitszustandes oder der erwerblichen Auswirkungen des an sich gleich gebliebenen Gesundheitszustandes (<ref-ruling> E. 3 S. 132).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, Dr. med. B._, stellvertretende Oberärztin bei den psychiatrischen Dienste Y._, habe am 19. Dezember 2012 lediglich noch eine leichtgradige depressive Episode attestiert, was gegenüber der von RAD-Arzt Dr. med. G._ am 22. Dezember 2008 diagnostizierten rezidivierenden depressiven Störung, leicht bis mittelgradige Episode, eine revisionserhebliche Verbesserung bedeute. Aktenkundig habe die Mutterschaft (Geburt zweier Töchter in den Jahren 2005 und 2009) den Gesundheitszustand verbessert. Soweit Dr. med. B._ eine nicht näher begründete Arbeitsunfähigkeit von 50 % wegen einer Persönlichkeitsstörung attestiere, seien ihre Ausführungen nicht beweiskräftig. Weder die Arbeitsunfähigkeit noch die Kriterien dieser Störung seien nachvollziehbar begründet und mit der nötigen Sicherheit festgestellt worden. Gestützt auf das insoweit aussagekräftige Gutachten des Dr. med. L._ sei eine Persönlichkeitsstörung zu verneinen. Ob die Versicherte zu einem früheren Zeitpunkt an einer solchen gelitten habe, sei nicht von Bedeutung.
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt, der angefochtene Entscheid verletze <ref-law>, soweit das kantonale Gericht auf das Gutachten des Dr. med. L._ abstelle, obwohl dieser ausdrücklich nur eine andere Beurteilung eines im wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts vorgenommen habe. Verletzt werde auch <ref-law>, weil die Vorinstanz dem Bericht der Dr. med. B._ nur insofern Beweiswert zuerkenne, als darin eine Verbesserung der depressiven Problematik beschrieben werde, mit Bezug auf die Persönlichkeitsstörung hingegen nicht auf die Ausführungen dieser Ärztin abstelle. Indem keine Oberbegutachtung zur Frage veranlasst worden sei, ob sich die vormals diagnostizierte Persönlichkeitsstörung in relevantem Ausmass verändert habe, sei der Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt worden.
4.
4.1.
4.1.1. Aus den Akten ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin eine schwierige Kindheit und Jugendzeit erlebte, zeitweilig in einem Heim lebte und jung in die Drogenszene abglitt (z.B. Bericht des Dr. med. W._ vom 13. Juni 2001). In den von der Invalidenversicherung veranlassten Berichten und Gutachten wird eine Versicherte beschrieben, die vor allem durch ihre - für eine Persönlichkeitsstörung keineswegs typische (Gutachten des Dr. med. L._ vom 14. Juli 2011) - Weigerung auffiel, mit den explorierenden Ärzten zu kooperieren. So sahen sich beispielsweise die Mediziner der Psychiatrischen Klinik Y._ im Juli 2010 mit Blick auf die spärlichen, weit unter dem inhaltlichen Niveau der Vorakten verbliebenen Angaben der Versicherten zu einer Beurteilung ausser Stande (Schreiben vom 12. August 2010). Die von den Ärzten als abwehrend bis aggressiv beschriebene Weigerung der Versicherten, die ihr gestellten Fragen zu beantworten, erlaubte es auch früher mit ihr befasst gewesenen Medizinern lediglich, verdachtsweise eine Persönlichkeits- bzw. Identitätsstörung festzuhalten (Berichte der psychiatrischen Dienste X._ vom 10. Januar 2002 und 6. Oktober 2004 sowie der Klinik M._ vom 7. Juni 2002), nebst einer begleitenden depressiven Symptomatik (Bericht der Klinik M._ vom 7. Juni 2002) bzw. einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig leichte Episode (ICD-10 F33.0; RAD-Bericht vom 16. Februar 2007), später einer leicht- bis mittelgradigen Episode (ICD-10 F33.1; RAD-Bericht vom 22. Dezember 2008).
4.1.2. Anlässlich der Exploration durch Dr. med. L._ vom 9. März 2011 schilderte die Versicherte, ihre Probleme seien Stimmungsschwankungen, im Moment gehe es aber relativ gut. Dr. med. L._ kam - auch unter Berücksichtigung des in der Hamilton Depressionsskala erreichten Wertes von acht Punkten - zum Schluss, es bestünden keine Hinweise für eine affektive Erkrankung. Nachdem der hierauf erlassene Vorbescheid vom 27. Juli 2011, mit welchem der Versicherten die Rentenaufhebung in Aussicht gestellt worden war, eine akute Krise ausgelöst hatte, meldete sie sich im September 2011 erneut bei den psychiatrischen Diensten X._ an. Dr. med. B._ hielt fest, die Beschwerdeführerin sei über den Vorbescheid verzweifelt und hilflos gewesen. Das damalige Zustandsbild habe auf eine schwere psychische Störung im Sinne einer emotional instabilen Persönlichkeitsstörung schliessen lassen, hinzugekommen sei eine mittelgradige depressive Störung (ICD-10 F32.1); es habe eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bestanden (Bericht vom 29. Oktober 2012 betreffend die Behandlung von September 2011 bis April 2012). Nach Erlass der renteneinstellenden Verfügung vom 3. Oktober 2012 fanden im Zuge einer erneuten Anmeldung der Versicherten bei den psychiatrischen Diensten X._ zwischen November und Dezember 2012 zwei Therapiegespräche statt. Dr. med. B._ beschrieb das Zustandsbild als (nurmehr) leichtgradig depressiv (ICD-10 F32.1). Die Arbeitsfähigkeit werde dadurch nicht beeinträchtigt. Hingegen sei aufgrund der emotional instabilen Persönlichkeitsstörung wahrscheinlich keine vollständige Arbeitsfähigkeit gegeben, sondern es sei von einer 50 %igen Teilarbeitsfähigkeit auszugehen (Bericht vom 19. Dezember 2012).
4.2. Wenn die Vorinstanz feststellte, zwischen 2008 und 2012 habe sich der Gesundheitszustand insoweit gebessert, als die vormalige mittelgradige depressive Störung zu einer leichtgradigen, die Arbeitsfähigkeit nicht mehr beeinträchtigenden Störung remittierte, ist diese Feststellung im Ergebnis selbst unter Berücksichtigung des Umstandes nicht zu beanstanden und damit letztinstanzlich bindend, dass sich das kantonale Gericht dabei auch auf einen nach Verfügungserlass datierenden und Konsultationen nach dem 3. Oktober 2012 betreffenden Bericht der Dr. med. B._ berief. Die im Kontext der drohenden Rentenaufhebung berichtete Verzweiflung der Beschwerdeführerin und die in diesem Zusammenhang von der Psychiaterin erhobenen Befunde sind invalidenversicherungsrechtlich zurückhaltend zu würdigen (vgl. Urteil 9C_953/2012 vom 5. April 2013 E. 3.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 5a S. 299). Die psychischen Probleme besserten sich im weiteren Verlauf rasch wieder, so dass Dr. med. B._ bereits im November/Dezember 2012 keine depressive Problematik mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit mehr hatte feststellen können. Die Versicherte selbst stellte nicht in Abrede, die depressive Problematik habe sich bereits bei Verfügungserlass vom 3. Oktober 2012 gebessert gehabt. Dass die Vorinstanz diesbezüglich von einer revisionsrechtlich erheblichen Sachverhaltsänderung ausging, verstösst nicht gegen Bundesrecht. Damit stand einer allseitigen Prüfung der Anspruchsvoraussetzungen nichts im Weg (<ref-ruling> E. 3.4 S. 259; SVR 2004 IV Nr. 17 S. 54 E. 2.3; AHI-Praxis 2002 S. 164; Urteil des Bundesgerichts 8C_751/2007 vom 8. Dezember 2008, E. 4.3.2).
4.2.1. Es trifft zu, dass RAD-Arzt Dr. med. G._ am 16. Februar 2007 und 22. Dezember 2008 zum Schluss gekommen war, die Beschwerdeführerin leide an einer strukturellen Störung mit überwiegend emotional instabilen Zügen, am ehesten vom impulsiven Typ (ICD-10 F60.30). Er schätzte die Erwerbsprognose "ganz vorsichtig" als durchaus positiv ein und empfahl eine Revision in einem Jahr. Dem in Nachachtung seiner Empfehlung am 13. Juli 2011 ergangenen Gutachten L._, wonach Hinweise auf eine affektive Erkrankung fehlten und die von Dr. med. G._ (erstmals) in den Jahren 2007 und 2008 gestellten eindeutigen psychiatrischen Diagnosen - obwohl der Hausarzt zuvor mehrfach eine Zustandsverbesserung beschrieben habe - weder mit den anamnestischen Angaben der Versicherten noch mit den Vorakten in Einklang zu bringen und daher nicht nachvollziehbar seien, pflichtete Dr. med. G._ in seinen Stellungnahmen vom 21. Juli und 6. Oktober 2011 explizit bei. Er hielt fest, die Expertise sei umfassend und nachvollziehbar, die im Widerspruch zu seiner früheren Beurteilung stehende Verneinung einer Persönlichkeitsstörung überzeuge. Im Unterschied zu Dr. med. L._ habe er sich nicht auf eine psychologische Testung und insbesondere nicht auf eine Beschwerdevalidierung abgestützt.
4.2.2. Wie die Verhaltensauffälligkeiten der Versicherten diagnostisch einzuordnen waren, ist invalidenversicherungsrechtlich ohnehin nicht entscheidend. Massgeblich sind vielmehr deren Auswirkungen auf die Arbeits- und Leistungsfähigkeit (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 281 mit Hinweis). Diesbezüglich steht fest, dass nach der Geburt der ersten Tochter im Jahr 2005 eine deutliche Besserung zu verzeichnen war (Bericht des Dr. med. W._ vom 28. Juni 2006) oder zumindest "eine gewisse positive Krankheitsentwicklung im Sinne einer zunehmenden Stabilisierung", so dass sachbezogene, strukturierte Tätigkeiten ohne besondere intellektuelle Anforderungen möglich schienen (Einschätzung des RAD-Arztes Dr. med. G._ vom 22. Dezember 2008). Das Gutachten des Dr. med. L._ vom 14. Juli 2011 zeigte - wie dargelegt - aus psychiatrischer Sicht keine Erkrankung mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit (E. 4.1.2 und 4.2.1 hievor). Wenn die Vorinstanz hierauf abstellend in antizipierter Beweiswürdigung eine invalidisierende psychische Störung verneinte, verletzte sie kein Bundesrecht. Zunächst ist die Rüge, es handle sich bei den Einschätzungen des Dr. med. L._ um eine unzulässige second opinion unbegründet, weil sein Gutachten auf expliziten Vorschlag des RAD-Arztes Dr. med. G._ hin erging, nachdem Ende 2008 erst eine vorsichtige Prognose möglich war, und bereits aus diesem Grund keineswegs von einem entbehrlichen Zweitgutachten gesprochen werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 158). Sodann erklärte sich Dr. med. G._ mit den Einschätzungen des Gutachters L._ wie erwähnt ausdrücklich einverstanden. Bei dieser Ausgangslage sah die Vorinstanz in bundesrechtskonformer Weise von beweisrechtlichen Weiterungen ab. Entgegen den Vorbringen der Versicherten spricht im Übrigen nichts grundsätzlich dagegen, einer Expertise nur teilweisen Beweiswert zuzuerkennen. Ein Gutachten kann durchaus gewisse rechtsrelevante Fragen bundesrechtskonform beantworten, während andere Ausführungen des oder der Experten nicht zu überzeugen vermögen (vgl. Urteil 9C_687/2011 vom 8. Februar 2012 E. 3.2.2 betreffend ein polydisziplinäres Gutachten, beruhend auf einem nicht beweiskräftigen Teilgutachten; Alfred Bühler, Beweismass und Beweiswürdigung bei Gerichtsgutachten - unter Berücksichtigung der jüngsten Lehre und Rechtsprechung, in: Jusletter 21. Juni 2010, Rz. 114).
5.
Der vorinstanzlich abgelehnte und letztinstanzlich erneut gestellte Antrag auf Zusprechung beruflicher Massnahmen ist unbegründet. Die Beschwerdegegnerin hat der Versicherten bereits Berufsberatung gewährt und mit Verfügung vom 5. Oktober 2012 Kostengutsprache für den Lehrgang "Pflegehelferin SRK" erteilt. Für Massnahmen zur sozialberuflichen Rehabilitation bleibt kein Raum (<ref-law>; vgl. z.B. Urteil 8C_324/2013 vom 28. Mai 2013 E. 3.2).
6.
Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>). Sie sind indessen, weil die Beschwerdeführerin die Voraussetzungen für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (im Sinne unentgeltlicher Prozessführung und Verbeiständung) erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen), einstweilen auf die Gerichtskasse zu nehmen. Es wird jedoch ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Rechtsanwalt Marcel Strehler wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. August 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Bollinger Hammerle