Erwägungen:
1. Mit Verfügung vom 6. Mai 2008 erteilte der Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirks Bülach dem Gläubiger (Stato des Cantone Ticino) in der gegen den Beschwerdeführer angehobenen Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes A._ definitive Rechtsöffnung für Fr. 300.--, die Betreibungskosten sowie die Kosten und Entschädigung des Rechtsöffnungsverfahrens. Dagegen gelangte der Beschwerdeführer mit kantonaler Nichtigkeitsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich, welches mit Beschluss vom 19. Juni 2008 ein Gesuch des Beschwerdeführers um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters abwies. Dagegen gelangt der Beschwerdeführer mit Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht mit dem sinngemässen Begehren um Ernennung eines Rechtsbeistands für das kantonale Beschwerdeverfahren. Es ist keine Vernehmlassung eingeholt worden.
Mit Verfügung vom 27. Juni 2008 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung abgewiesen und er unter Hinweis auf die Säumnisfolgen aufgefordert, einen Kostenvorschuss von Fr. 500.-- zu leisten; mit Eingabe vom 2. Juli 2007 ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, ferner um Wiedererwägung des Entscheides betreffend aufschiebende Wirkung.
2. Verfassungsrügen sind in der Verfassungsbeschwerde vorzubringen und zu begründen (<ref-law>). Dabei ist in der Beschwerdeschrift (entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen des Art. 90 Abs. 1 lit. b OG: Botschaft, a.a.O., Ziff. 4.1.2.4 zu Art. 39 Entwurf, S. 4294) klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.). Sodann genügt es auch nicht, einen von den tatsächlichen oder Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten, ohne in der Beschwerdeschrift nach den erwähnten gesetzlichen Anforderungen darzulegen, inwiefern diese Feststellungen offensichtlich unrichtig, d.h. unhaltbar und damit willkürlich nach <ref-law> sind oder sonstwie gegen Bundesrecht verstossen (Botschaft, a.a.O. Ziff. 4.1.4.2 zu Art. 92 Entwurf, S. 4338).
Das Obergericht hat erwogen, die Gewinnaussichten seien beträchtlich geringer als die Verlustgefahren, insbesondere wenn berücksichtigt werde, dass der Rechtsöffnungsrichter die Einrede der mangelnden gesetzlichen Vertretung nach <ref-law> zu Recht verweigert habe. Der Beschwerdeführer geht nicht rechtsgenüglich auf diese Erwägung ein, sondern wiederholt in der Beschwerde seine Behauptung der gesetzlich unrichtigen Vertretung im Grundprozess, meint dabei aber nicht die ungesetzliche Vertretung im Sinn von <ref-law>, sondern die angeblich fehlerhafte Vertretung durch seinen Anwalt. Sodann erörtert er nicht, inwiefern der angefochtene Beschluss Verfassungsrecht verletzt. Die Verfassungsbeschwerde ist somit offensichtlich unzulässig, weshalb im vereinfachten Verfahren durch den Präsidenten der Abteilung darauf nicht einzutreten ist (<ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Wiedererwägung des Entscheides über die aufschiebende Wirkung gegenstandslos
3. Es werden keine Kosten erhoben (<ref-law>).
4. Mit der Kostenregelung wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden