Faits:
A. P._, née en 1999, a été hospitalisée du 6 au 10 avril 2006 dans le service de pédiatrie de l'Hôpital X._, en raison d'une pyélonéphrite gauche. Entre le 16 et le 19 mai 2006, elle a subi des examens uro-radiologiques. Dans un rapport du 28 juin 2006, le docteur B._, spécialiste FMH en chirurgie pédiatrique, a posé le diagnostic de reflux vésico-urétéral de stade III gauche avec pyélonéphrite gauche, en indiquant que le diagnostic avait été établi pour la première fois le 23 mai 2006.
Le père de P._ ayant présenté le 6 juin 2006 une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à la prise en charge de mesures médicales dans le cas d'un reflux vésico-urétéral congénital (ch. 346 de l'annexe à l'OIC), l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg, dans un préavis du 28 septembre 2006, l'a informé qu'il prendrait en charge les coûts du traitement de l'infirmité congénitale ainsi que des appareils médicalement prescrits, du 23 mai 2006 au 31 août 2011.
Le 15 novembre 2006, SWICA Assurance-maladie, auprès de laquelle P._ est assurée pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie, a contesté la prise de position de l'office AI, au motif que l'assurée avait droit aux mesures médicales nécessitées par l'infirmité congénitale depuis le début du traitement déjà, soit le 6 avril 2006.
Par décision du 16 août 2007, l'office AI a confirmé que les mesures médicales relatives au traitement de l'infirmité congénitale figurant sous ch. 346 de l'annexe à l'OIC n'étaient à la charge de l'assurance-invalidité qu'à compter de la date du diagnostic, soit le 23 mai 2006. Il relevait que les divers examens effectués à partir de l'hospitalisation du 6 au 10 avril 2006 ne poursuivaient qu'un but investigatoire et ne sauraient par conséquent être assimilés à des mesures médicales thérapeutiques.
B. Par arrêt du 10 juillet 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a rejeté le recours formé contre cette décision par l'assureur-maladie.
C. SWICA Assurance-maladie SA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg étant condamné à prendre en charge les coûts du traitement de l'infirmité congénitale figurant sous ch. 346 de l'annexe à l'OIC également à partir du 6 avril 2006.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg conclut au rejet du recours. P._ et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law> et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (<ref-law>) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.2 Devant la Cour de céans, la recourante produit une lettre du docteur B._ du 24 août 2009, selon laquelle il est clair que la pyélonéphrite ayant motivé l'hospitalisation en avril 2006 a été causée par le reflux vésico-urétéral qui est par ailleurs responsable de la diminution de la fonction rénale gauche trouvée lors des différents examens.
Toutefois, le jugement attaqué du 10 juillet 2009 ne justifie pas pour la première fois de soulever ce moyen et la recourante ne montre pas en quoi les conditions d'une exception à l'interdiction des faits ou moyens de preuve nouveaux selon l'<ref-law> sont remplies (Ulrich Meyer, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, N. 44 à 47 ad Art. 99 BGG; Bernard Corboz, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, N. 19 ad <ref-law>). Ce moyen n'est dès lors pas admissible.
1.3 Seuls le Président et les Assesseurs apparaissent sur la page de garde du jugement attaqué. Non évoqué par la recourante, ce point n'a pas à être examiné par le Tribunal fédéral. Toutefois, c'est le lieu de rappeler qu'il peut y avoir violation du droit des parties à la composition correcte du tribunal lorsque le jugement de première instance a été rendu sans le concours du greffier de tribunal, à qui la législation cantonale applicable confère voix consultative (<ref-ruling>; voir aussi arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] C 159/00 du 16 avril 2002). Le règlement du 26 février 1992 du Tribunal administratif, abrogé par la LOTC, remis en vigueur par le règlement provisoire du 20 décembre 2007 du Tribunal cantonal, joint en annexe et en faisant partie intégrante (art. 2 al. 2 du règlement provisoire [RS-FR 131.1.11]), prévoit à l'art. 16 al. 4 que le greffier a voix consultative dans la délibération (annexe 2 du règlement provisoire).
2. Le litige porte sur le point de savoir à quand remonte la naissance du droit de l'assurée à des mesures médicales nécessaires au traitement du reflux vésico-urétéral congénital dont elle est atteinte.
2.1 Le jugement attaqué expose correctement les dispositions applicables (<ref-law>, <ref-law>; ch. 346 de l'annexe à l'OIC). On peut ainsi y renvoyer.
2.2 Lorsque des mesures médicales sont en cause, l'invalidité est réputée survenue au moment où l'infirmité constatée rend objectivement nécessaire, pour la première fois, un traitement médical ou un contrôle permanent; c'est le cas lorsque la nécessité du traitement ou du contrôle commence à se faire sentir et qu'il n'y a pas de contre-indication. Ces principes valent également lorsqu'il faut déterminer la survenance de l'invalidité chez les mineurs souffrant d'une infirmité congénitale (<ref-ruling> consid. 7.2 p. 307 et les références). Dans le cas des infirmités congénitales, on ne peut parler de nécessité du traitement ou du contrôle que si pour la première fois des signes du tableau clinique sont présents ou si des examens standard indiquent l'existence d'une infirmité congénitale (arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 372/95 du 29 février 1996).
3. Du jugement attaqué, il ressort que l'assurée a été hospitalisée du 6 au 10 avril 2006 en raison d'une pyélonéphrite gauche, qu'une scanographie (tomodensitométrie) a montré la présence d'une lésion de type pyélonéphrétique gauche, que les investigations uro-radiologiques ont démontré la présence d'un reflux de stade IV gauche avec une asymétrie de la fonction à 38 % à droite contre 62 % à gauche, des indices d'accumulation abaissés à 8.39 à droite et 13.92 à gauche, que l'assurée a certainement, en plus de la pyélonéphrite gauche, déjà eu des lésions de son rein droit, la vessie présentant par ailleurs un syndrome de vessie paresseuse, et qu'une urétéro-cysto-néostomie a été pratiquée des deux côtés selon Cohen le 20 juin 2006, avec une hospitalisation d'une semaine. Les premiers juges ont retenu que le traitement proprement dit du reflux vésico-urétéral était intervenu dès le 20 juin 2006 suite au diagnostic précis de l'infirmité congénitale qui n'avait été posé que le 23 mai 2006 et que les mesures médicales proprement dites, dont le début de l'application déterminait la naissance du droit aux prestations, avaient donc été mises en oeuvre pour la première fois le 20 juin 2006.
3.1 La recourante reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas discuté son argumentation fondée sur l'<ref-ruling>.
Selon l'arrêt <ref-ruling> consid. 3b et c p. 93, l'assuré a droit aux mesures médicales nécessitées par l'infirmité congénitale depuis le début du traitement déjà, même si le degré de gravité fixé par les dispositions réglementaires n'était pas encore atteint à ce moment-là, pourvu qu'il l'ait été par la suite. La recourante en infère que le droit aux mesures médicales pouvait tout à fait débuter avant l'«application des mesures médicales proprement dites» que constitue l'hospitalisation dès le 20 juin 2006 pour l'intervention chirurgicale de type urétéro-cysto-néostomie.
L'arrêt <ref-ruling> ne permet toutefois de tirer aucune conclusion dans le cas particulier, où l'infirmité congénitale figurant sous ch. 346 de l'annexe à l'OIC ne dépend pas d'un critère de gravité. En effet, certaines affections congénitales, par exemple celle figurant sous ch. 210 de l'annexe à l'OIC, ne sont reconnues comme infirmités congénitales que lorsqu'elles atteignent un degré de gravité bien précis. Dès que les manifestations de l'infirmité atteignent, à un moment ou à un autre, le degré de gravité requis ou qu'elles nécessitent de procéder à une intervention chirurgicale, il est logique de les assimiler, dès le début du traitement (art. 2 al. 1 et 2 OIC), aux infirmités congénitales pures et simples qui ne dépendent pas d'un critère de gravité (<ref-ruling> consid. 2a p. 92 et 3b p. 93).
3.2 La recourante fait grief aux premiers juges de n'avoir pas procédé à une instruction complémentaire sur le lien invoqué entre la pyélonéphrite gauche et le reflux vésico-urétéral congénital. Dans la mesure où elle entend tirer argument de la lettre du docteur B._ du 24 août 2009, ce moyen n'est toutefois pas admissible. Elle ne démontre pas que les premiers juges, en retenant que le traitement proprement dit du reflux vésico-urétéral était intervenu dès le 20 juin 2006 suite au diagnostic précis de l'infirmité congénitale qui n'avait été posé que le 23 mai 2006, aient établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Sur le vu du rapport du docteur B._ du 28 juin 2006, qui indique l'existence d'une infirmité congénitale (ch. 346 de l'annexe à l'OIC) depuis le 23 mai 2006 et fait partir de cette date le traitement médical, on ne peut parler de nécessité du traitement du reflux vésico-urétéral au plus tôt qu'à partir du 23 mai 2006. En effet, la nécessité du traitement d'un reflux vésico-urétéral est apparue à la suite de l'hospitalisation du 6 au 10 avril 2006 et des investigations uro-radiologiques effectuées entre les 16 et 19 mai 2006. Ainsi, s'agissant de la naissance du droit à des mesures médicales nécessaires au traitement du reflux vésico-urétéral congénital, l'invalidité de l'assurée est réputée survenue le 23 mai 2006, moment où l'infirmité constatée rendait objectivement nécessaire, pour la première fois, un traitement médical (supra, consid. 2.2). L'arrêt du Sozialversicherungsgericht de Zurich IV.2006.00595 du 14 décembre 2006, auquel renvoie la recourante, ne porte pas sur cette question et ne lui est dès lors d'aucun secours. Le recours est mal fondé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à P._, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner