Sachverhalt:
A.
Die 1922 geborene S._ leidet beidseitig an fortgeschrittenem grünem Star und einer schweren Hornhauterkrankung (vollständige Erblindung des rechten Auges), an ausgeprägter Altersschwerhörigkeit, kognitiven Defiziten im Sinne einer dementiellen Entwicklung vom Alzheimertyp, Diabetes mellitus, Osteoporose im Frakturstadium sowie zeitweise an Harn- und Stuhlinkontinenz. Im April 2009 reichte ihr Sohn das Anmeldeformular für den Bezug einer Hilflosenentschädigung der AHV ein. Mit Verfügung vom 2. September 2010 und Einspracheentscheid vom 14. Januar 2011 sprach die Eidgenössische Ausgleichskasse S._ mit Wirkung ab 1. April 2008 eine Hilflosenentschädigung wegen schwerer Hilflosigkeit zu. Es sei unbestritten, dass die Versicherte seit mehreren Jahren und weiterhin in schwerem Grade hilflos sei. Es könne indes offenbleiben, ob die Hilfsbedürftigkeit bereits seit 2003 oder erst ab 2004 bestehe. Zufolge verspäteter Geltendmachung könne die Hilflosenentschädigung ohnehin lediglich für die zwölf der Anmeldung vorangehenden Monate nachbezahlt werden. Die Voraussetzungen für eine weiter gehende Nachzahlung seien nicht erfüllt.
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 29. Februar 2012 ab (Dispositiv-Ziffer 2), soweit sie nicht gegenstandslos geworden war (Dispositiv-Ziffer 1).
C.
S._ führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Nachzahlung der Hilflosenentschädigung bereits ab 1. Januar 2005.
Ausgleichskasse, kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>).
2.
Unter den Verfahrensbeteiligten ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin wegen Hilflosigkeit schweren Grades Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung der AHV hat (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> [SR 830.1]). Streitig und nachfolgend zu prüfen ist einzig, ob ihr diese Leistung erst mit Wirkung ab April 2008 zusteht (wie die Vorinstanz in Bestätigung des streitigen Einspracheentscheids der Ausgleichskasse entschieden hat) oder aber bereits ab einem früheren Zeitpunkt zuzusprechen ist (in der Beschwerdeschrift wird die Ausrichtung ab Januar 2005 beantragt).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe sich schon im Januar 2007 für einen (in der Folge gewährten) Kostenbeitrag der AHV an die beidseitige Hörgeräteversorgung angemeldet. Die Angaben der begutachtenden Fachärztin für Hals-, Nasen- und Ohrenkrankheiten zuhanden der Verwaltung hätten bereits damals eindeutige Anhaltspunkte für einen allfälligen Anspruch auf Hilflosenentschädigung enthalten. Die AHV-Behörden hätten diesbezüglich weitere Abklärungen in die Wege leiten oder zumindest auf einen möglichen Leistungsanspruch aufmerksam machen müssen.
3.2. Rechtsprechungsgemäss wahrt die versicherte Person mit ihrer Anmeldung nicht nur jene Ansprüche, die sie ausdrücklich auf dem Anmeldeformular aufzählt. Vielmehr umfasst eine Anmeldung alle Ansprüche, die nach Treu und Glauben mit dem angemeldeten Risikoeintritt im Zusammenhang stehen. Die im Anschluss an ein Leistungsgesuch durchzuführenden Abklärungen der Verwaltung erstrecken sich jedoch nur auf die vernünftigerweise mit dem vorgetragenen Sachverhalt und allfälligen bisherigen oder neuen Akten im Zusammenhang stehenden Leistungen. Wird später geltend gemacht, es bestehe noch Anspruch auf eine andere Versicherungsleistung, so ist nach den gesamten Umständen des Einzelfalles im Lichte von Treu und Glauben zu prüfen, ob jene frühere ungenaue Anmeldung auch den zweiten, allenfalls später substanziierten Anspruch umfasst (<ref-ruling> E. 2 S. 196 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 264 mit Hinweis; Urteil 8C_888/2012 vom 20. Februar 2013 E. 3.4).
3.3. Die erwähnte HNO-Fachärztin gab in ihrer Expertise vom 8. Januar 2007 als zusätzliche Erschwernis für die Hörgeräteversorgung eine relevante Sehbehinderung an ("bds. bekannter Visusverlust, so dass Handhabung des Hörgerätes erschwert"). Aufgrund dieser Aktenlage musste sich die Verwaltung nach Treu und Glauben nicht veranlasst sehen, neben der beantragten Hilfsmittelversorgung auch Abklärungen hinsichtlich eines allfälligen Anspruchs auf Hilflosenentschädigung durchzuführen. Dies umso weniger, als eine solche bei Bezügern von Altersrenten im damaligen Zeitpunkt eine Hilflosigkeit mindestens mittelschweren Grades voraussetzte (<ref-law> in der hier anwendbaren, bis Ende 2010 gültig gewesenen Fassung). Aus denselben Überlegungen heraus muss auch eine Verletzung der in <ref-law> verankerten Beratungs- und Hinweispflicht der Verwaltung verneint werden. Diese besteht nämlich nicht voraussetzungslos, sondern nur dann, wenn ein hinreichender (für die Versicherungsorgane erkennbarer) Anlass zur Information besteht. Es kann in Fällen wie dem vorliegenden vom Versicherungsträger vernünftigerweise nicht verlangt werden, dass er die Versicherten über alle auch nur theoretisch denkbaren Ansprüche informiert (Urteil 8C_66/2009 vom 7. September 2009 E. 8.3, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2010 UV Nr. 1 S. 1; Urteil 9C_894/2008 vom 18. Dezember 2008 E. 3.2; Ulrich Meyer, Grundlagen, Begriff und Grenzen der Beratungspflicht der Sozialversicherungsträger nach <ref-law>, in: Sozialversicherungstagung 2006, S. 9 ff., 27).
4.
4.1. Macht ein Versicherter den Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung der AHV mehr als zwölf Monate nach dessen Entstehung geltend, so wird die Entschädigung in Abweichung von <ref-law> lediglich für die zwölf Monate ausgerichtet, die der Geltendmachung vorangehen (Art. 46 Abs. 2 erster Satz AHVG). Weiter gehende Nachzahlungen werden erbracht, wenn der Versicherte den anspruchsbegründenden Sachverhalt nicht kennen konnte und die Anmeldung innert zwölf Monaten nach Kenntnisnahme vornimmt (zweiter Satz von <ref-law>).
4.2. Unter dem anspruchsbegründenden Sachverhalt ist in Anlehnung an Art. 4 und 5 IVG sowie Art. 8 und 9 ATSG der körperliche, geistige oder psychische Gesundheitsschaden zu verstehen, der eine voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde Hilfs- oder Überwachungsbedürftigkeit bei alltäglichen Lebensverrichtungen zur Folge hat. Mit der Kenntnis des anspruchsbegründenden Sachverhalts ist nicht das subjektive Einsichtsvermögen der versicherten Person gemeint, sondern es geht nach dem Wortlaut von Art. 46 Abs. 2 zweiter Satz AHVG vielmehr darum, ob der anspruchsbegründende Sachverhalt objektiv feststellbar ist oder nicht (<ref-ruling>; Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts H 22/02 vom 8. Juli 2002 E. 2b; vgl. auch die analog anwendbare Rechtsprechung zu <ref-law> [in der bis Ende 2007 gültig gewesenen Fassung]: <ref-ruling> E. 4b S. 94; <ref-ruling> E. 1a S. 113; <ref-ruling> E. 2c S. 119; ZAK 1984 S. 403, I 132/83 E. 1; Urteil 8C_262/2010 vom 12. Januar 2011 E. 4.2).
Dass ein objektiv gegebener anspruchsbegründender Sachverhalt nicht erkennbar gewesen ist oder dass die versicherte Person trotz entsprechender Kenntnis krankheitsbedingt daran gehindert wurde, sich anzumelden oder jemanden mit der Anmeldung zu betrauen, wird von der Rechtsprechung nur sehr zurückhaltend angenommen, so namentlich bei Schizophrenie (<ref-ruling> E. 4 S. 228; Urteile des Eidgenössischen Versicherungsgerichts I 824/05 vom 20. Februar 2006 E. 4.3; I 705/02 vom 17. November 2003 E. 4.3; I 141/89 vom 1. März 1990 E. 2b; vgl. auch RDAT 2003 I Nr. 71 S. 277, I 125/02 E. 3), bei einer schweren narzisstischen, depressiven Persönlichkeitsstörung im Sinne eines Borderlinezustandes an der Grenze zur schizophrenen Psychose (Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts I 418/96 vom 12. November 1997 E. 3b), bei einer schweren Persönlichkeitsstörung (Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts I 205/96 vom 21. Oktober 1996 E. 3c), bei Urteilsunfähigkeit zufolge einer (nicht näher bezeichneten) schweren psychischen Erkrankung (Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts I 71/00 vom 29. März 2001 E. 3a); allenfalls auch in Fällen von schwerer Depression (BGE <ref-ruling> E. 3 S. 118) oder Persönlichkeitsstörungen mit sekundärem chronischem Alkoholismus (Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts I 149/99 vom 16. März 2000 E. 3b).
5.
Das kantonale Gericht hat festgestellt, weiter gehende, d.h. sich auf einen Zeitraum vor April 2008 erstreckende Nachzahlungen im Sinne des dargelegten zweiten Satzes von <ref-law> fielen schon deshalb ausser Betracht, weil ein früherer Anspruch auf die Hilflosenentschädigung gar nicht rechtsgenüglich nachweisbar sei.
5.1. Diese Schlussfolgerung lässt sich angesichts der bestehenden Aktenlage nicht halten: Nachdem der Sohn der Beschwerdeführerin im April 2009 im Anmeldeformular für eine Hilflosenentschädigung der AHV angekreuzt hatte, dass seine Mutter bei sämtlichen alltäglichen Lebensverrichtungen der Hilfe ihrer beiden im selben Haus wohnenden Kinder sowie der dauernden Pflege und persönlichen Überwachung bedürfe, präzisierte er diese Angaben im Januar 2010 u.a. dahingehend, dass die Hilfsbedürftigkeit seit 2004, die Pflegebedürftigkeit (Verabreichen von Medikamenten und diversen Augentropfen, Wechseln der Inkontinenzhosen) seit 2002 und die Überwachungsbedürftigkeit seit ca. 2004 bestehe. Die Versicherte könne zufolge ihrer Verwirrung kaum allein gelassen werden; die meiste Zeit verbringe sie auf dem Bett oder dem Sofa liegend. Der Allgemeinmediziner Dr. E._, der die Beschwerdeführerin seit März 2001 hausärztlich betreut, bescheinigte die eingangs angeführten Diagnosen (lit. A hievor) und bestätigte die Angaben des Sohnes. Für aufwändige pflegerische Verrichtungen (intensive Dekubitusbehandlung, Verbände anlegen usw.) werde die Spitex beigezogen (Bericht vom 17. Januar 2010). In Ergänzung zu den bisherigen Angaben klärte die zuständige Sachbearbeiterin der IV-Stelle des Kantons St. Gallen am 16. Juni 2010 die Hilflosigkeit im Gespräch mit dem Sohn einlässlich weiter ab und hielt im entsprechenden Bericht fest, dass die Versicherte seit mehreren Jahren an fortschreitender Demenz, starker Beeinträchtigung der Sehfähigkeit, Schwerhörigkeit sowie an Bewegungseinschränkungen zufolge Osteoporose leide. Sie müsse bei sämtlichen Aktivitäten des Alltags geführt und begleitet werden; von sich aus würde sie "kaum mehr etwas machen". Ferner lag der Verwaltung nunmehr ein Zeugnis von Dr. R._, stellvertretender Chefarzt an der Augenklinik des Spitals X._, vom 9. Januar 2006 vor, wonach die Sehfunktion der von ihm ophthalmologisch betreuten Beschwerdeführerin seit Behandlungsbeginn im April 2002 stark eingeschränkt sei; sie sei auf fremde Hilfe angewiesen. Schliesslich lässt sich dem im Verlaufe des Einspracheverfahrens eingereichten Schreiben des Hausarztes Dr. E._ an Prof. Dr. O._, Facharzt an der Augenklinik des Spitals Y._, vom 21. Februar 2007 entnehmen, dass sich in den letzten Jahren in zunehmendem Masse kognitive Defizite im Sinne einer dementiellen Entwicklung eingestellt hätten. Aufgrund des schleichenden, progredienten Verlaufs und bisher fehlender begleitender neurologischer Symptome sowie Ereignisse akuter cerebrovaskulärer Ischämien müsse am ehesten von einer Demenz vom Alzheimertyp ausgegangen werden. Im Oktober 2006 sei die Versicherte mittels Minimentaltest (Ergebnis: 23 von 30 Punkten) und Uhrentest (Resultat: fünf von sieben Punkten) evaluiert worden; weitere Abklärungen seien bisher nicht veranlasst worden.
5.2. Wenn die Vorinstanz im Lichte der angeführten Unterlagen von Beweislosigkeit einer vor April 2008 (zwölf Monate vor der Anmeldung) eingetretenen leistungsbegründenden Hilflosigkeit ausgeht, muss diese Beweiswürdigung als willkürlich bezeichnet werden. Sie ist vom Bundesgericht zu korrigieren (vgl. E. 1 hievor). Obgleich dem kantonalen Gericht darin beizupflichten ist, dass "ein dementielles Syndrom (...) - zumindest im Anfangsstadium - nicht zwingend eine Hilflosigkeit in den massgeblichen Lebensverrichtungen" begründet, darf nicht ausgeblendet werden, dass der Hausarzt bereits in seinem Schreiben von Anfang 2007 von einer mehrjährigen Entwicklung gesprochen hat; sie veranlasste ihn auch zu den Abklärungsmassnahmen von Herbst 2006. Bei diesen Gegebenheiten durfte jedenfalls schon längere Zeit vor April 2008 nicht mehr vom "Anfangsstadium" einer dementiellen Entwicklung ausgegangen werden. Entscheidend ist jedoch, dass die Hilfsbedürftigkeit anfänglich in erster Linie auf die fortschreitende Beeinträchtigung der Sehfunktion beider Augen zurückzuführen war, welche fachärztlich schon im Jahre 2002 als stark eingeschränkt qualifiziert wurde. Die weitere Verschlechterung führte denn auch zur rechtsseitigen Erblindung. Unter diesen Umständen geht es - entgegen der vorinstanzlichen Auffassung - nicht an, von der hausärztlichen Bestätigung einer spätestens seit 2004 bestehenden Hilfs-, Pflege- und Überwachungsbedürftigkeit abzuweichen, ohne zu begründen, weshalb auf die Angaben seitens Dr. E._ und die anderen hievor zitierten Unterlagen nicht abgestellt werden kann. Wird die zusätzliche gesundheitliche Fragilität der betagten Beschwerdeführerin aufgrund der Osteoporose, des medikamentös nicht immer optimal eingestellten Diabetes mellitus vom Typ 2, der früheren rezidivierenden Lungenembolien sowie der wiederkehrenden Harnwegsinfekte berücksichtigt, ist in Übereinstimmung mit der Ausgleichskasse (im Einspracheentscheid vom 14. Januar 2011) von einer (spätestens) 2004 vorliegenden Hilflosigkeit schweren Grades auszugehen.
6.
Eine andere Frage ist, ob und - bejahendenfalls - wieweit der Beschwerdeführerin die ihr an sich seit Anfang 2005 zustehende (<ref-law>) Hilflosenentschädigung gemäss Art. 46 Abs. 2 zweiter Satz AHVG über April 2008 hinaus nachgezahlt werden kann. Die Ausgleichskasse verneinte jegliche Nachzahlung, weil dem Sohn der Versicherten deren prekärer Gesundheitszustand bekannt gewesen sei und er demzufolge seine Mutter bereits früher hätte anmelden können.
6.1. In seinen in <ref-ruling> und <ref-ruling> E. 2c S. 117 publizierten Urteilen vom 25. März 1982 und 5. Mai 1976 hat das Eidgenössische Versicherungsgericht für den Anwendungsbereich von Art. 48 Abs. 2 zweiter Satz IVG (ab 1. Januar 2012: Art. 48 Abs. 2 lit. a und b IVG) und - in Analogie dazu (vgl. E. 4.2 hievor) - auch für denjenigen von Art. 46 Abs. 2 zweiter Satz AHVG Folgendes festgelegt: Massgebend für die Nachzahlung hinsichtlich eines Zeitraums, welcher über die der Anmeldung vorangehenden zwölf Monate zurückreicht, ist die Kenntnis des anspruchsbegründenden Sachverhalts vonseiten der versicherten Person oder ihres gesetzlichen Vertreters. Einem Nachzahlungsanspruch für mehr als zwölf Monate vor der Anmeldung steht der Umstand nicht entgegen, dass die in <ref-law> (SR 831.201) und <ref-law> (SR 831.101) genannten, zur Geltendmachung des Anspruchs befugten Drittpersonen den leistungsbegründenden Sachverhalt (vgl. E. 4.2 hievor) allenfalls bereits in einem früheren Zeitpunkt gekannt haben (<ref-ruling> E. 3 S. 228; <ref-ruling> E. 2c S. 117). Beiden in der Amtlichen Sammlung veröffentlichten Urteilen lagen Beschlüsse des Gesamtgerichts zugrunde.
6.2. Entgegen der Auffassung der Verwaltung ist diese Rechtsprechung keineswegs "offensichtlich überholt". Im Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts H 22/02 vom 8. Juli 2002 E. 2a erfuhr sie insofern eine Präzisierung, als der Anspruch auf eine weiter gehende Nachzahlung der Hilflosenentschädigung der AHV abgelehnt wurde, weil die Hilflosigkeit als anspruchsbegründender Sachverhalt dem Ehemann als Beistand der Versicherten (welche an seniler Demenz vom Alzheimertyp litt) erkennbar war. Ansonsten wurde die dargelegte Rechtsprechung seit Erlass der beiden Grundsatzentscheide in gegen einem Dutzend Urteilen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts und (seit 1. Januar 2007) des Bundesgerichts bestätigt (vgl. etwa ZAK 1984 S. 403, I 132/83 E. 1 in fine; Urteile 9C_670/2009 vom 11. Dezember 2009 E. 2; I 705/02 vom 17. November 2003 E. 4.3; I 199/02 vom 20. August 2002 E. 2.2; I 71/00 vom 29. März 2001 E. 2a; vgl. auch André Pierre Holzer, Verjährung und Verwirkung der Leistungsansprüche im Sozialversicherungsrecht, Diss. Freiburg 2005, S. 92; Ulrich Meyer-Blaser, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], in: Murer/Stauffer [Hrsg.], Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, 1997, S. 284). Für eine Änderung der Rechtsprechung besteht kein Anlass, zumal sich eine solche grundsätzlich nur begründen liesse, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelter Rechtsanschauung entspräche (<ref-ruling> E. 2.3 S. 166; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 273, 359 E. 6.1 S. 361; <ref-ruling> E. 4.6 S. 360; <ref-ruling> E. 6.1 S. 137, 210 E. 3.4.2 S. 252; 282 E. 4.2 S. 291, 314 E. 2.2 Ingress S. 316). Solches wird denn auch von keiner Seite geltend gemacht. An dieser Betrachtungsweise ändert nichts, dass das Eidgenössische Versicherungsgericht in seinem von Verwaltung und Vorinstanz erwähnten Urteil H 374/00 vom 9. August 2002 E. 4 - ohne Auseinandersetzung mit seiner ständigen Gerichtspraxis in dieser Frage - anders entschieden hat. Für den vorliegenden Fall lässt sich daraus nichts ableiten.
6.3. Nach dem Gesagten spielt es für den geltend gemachten Nachzahlungsanspruch ab 1. Januar 2005 keine Rolle, dass der Sohn der Beschwerdeführerin den Gesundheitszustand, welcher zur schweren Hilflosigkeit geführt hatte, zweifellos kannte und seine Mutter bereits viel früher hätte anmelden können (einzig seine Rechtsunkenntnis verhinderte dies).
Hingegen ist der Frage nachzugehen, inwiefern oder besser: wie lange die Beschwerdeführerin selber den anspruchsbegründenden Sachverhalt trotz ihrer kognitiven Defizite (noch) erkennen konnte (vgl. E. 4.2 hievor). Denkbar ist auch, dass die Versicherte (anfänglich) trotz (noch) vorhandener objektiver Kenntnis (bereits) krankheitsbedingt daran gehindert wurde, sich für eine Hilflosenentschädigung anzumelden oder jemanden mit der Anmeldung zu betrauen. In diese Richtung weisen etwa die Ausführungen des Dr. E._ zur ablehnenden Haltung der Beschwerdeführerin gegenüber einem Beizug der Spitex: Die diesbezügliche Malcompliance sei auf die dementielle Störung zurückzuführen (bereits erwähntes Schreiben vom 21. Februar 2007). Das kantonale Gericht, an welches die Sache zur Vornahme ergänzender Abklärungen und anschliessender neuer Entscheidung über die weiter gehende Nachzahlung der Hilflosenentschädigung im Sinne von Art. 46 Abs. 2 zweiter Satz AHVG zurückzuweisen ist, wird am ehesten beim (seit Anfang 2001 behandelnden) Hausarzt der Versicherten Antworten auf die noch offenen Fragen finden. Soweit die Vorinstanz auch mit Bezug auf die spezifisch kognitiven Auswirkungen der dementiellen Entwicklung im Zeitraum vor April 2008 Beweislosigkeit annimmt, liegt wiederum eine (letztinstanzlich zu korrigierende) Bundesrechtsverletzung vor. Das kantonale Gericht übersieht nämlich, dass von Beweislosigkeit erst ausgegangen werden kann, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes anhand einer Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (<ref-ruling> E. 3b S. 264 mit Hinweis). Von einer derartigen beweisrechtlichen Pattsituation kann indessen im hier zu beurteilenden Fall solange nicht gesprochen werden, als noch von keiner Seite Abklärungen darüber getätigt wurden, wie weit und gegebenenfalls wie lange die Beschwerdeführerin trotz ihrer dementiellen Erkrankung überhaupt in der Lage war, sich um die Anmeldung für die Hilflosenentschädigung zu kümmern (vgl. die im zweiten Abschnitt von E. 4.2 hievor angeführten Urteile).
7.
Die Gerichtskosten werden der Ausgleichskasse als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7.1 S. 271; <ref-ruling> E. 6.1 S. 235). Weil der Sohn der obsiegenden Beschwerdeführerin ein eigenes Interesse am Ausgang des Verfahrens hat, und sein Arbeitsaufwand den Rahmen dessen nicht überschritt, was der Einzelne üblicher- und zumutbarerweise nebenbei zur Besorgung der persönlichen Angelegenheiten auf sich zu nehmen hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 116; <ref-ruling> E. 4b S. 207; <ref-ruling> E. 7 S. 82; 132 E. 4d S. 134), kann für seine (nicht anwaltliche) Rechtsvertretung keine Parteientschädigung zugesprochen werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid wird bezüglich Ziffer 2 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Mai 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Attinger