Sachverhalt:
A.
Gegen A._ läuft im Kanton Zürich ein Strafverfahren wegen Mordes. Am 11. Dezember 2013 stellte das Bezirksgericht Affoltern in einem Teilurteil fest, A._ habe die ihm vorgeworfene Handlung vom 7. Januar 2009 begangen.
Am 27. März 2014 ordnete das Bezirksgericht eine Ergänzung des psychiatrischen Gutachtens von PD (heute: Prof.) Dr. med. B._ vom 15. Mai 2013 über A._ an und beauftragte damit denselben Sachverständigen.
B.
Am 16. Dezember 2014 stellte A._ ein Ablehnungsgesuch gegen B._ sowie allfällige unter dessen Verantwortung an der Erstellung des Gutachtens beteiligte weitere Personen. Mit Beschluss vom 6. Februar 2015 wies das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, das Gesuch ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 16. März 2015 beantragt A._, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Befangenheit von B._ sowie von allenfalls unter dessen Verantwortung an der Erstellung des Gutachtens beteiligten Personen festzustellen; eventuell sei in Gutheissung der Beschwerde und unter Aufhebung des fraglichen Beschlusses die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen. Überdies ersucht A._ um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Zur Begründung wird im Wesentlichen geltend gemacht, A._ habe dem Sachverständigen am 11. November 2014 ein Haftentlassungsgesuch übergeben. Dieser habe es in der Folge unterlassen, das Gesuch an die zuständige Strafbehörde weiterzuleiten, wozu er verpflichtet gewesen wäre. Durch diese Pflichtverletzung habe der Gutachter belegt, dass er gegenüber A._ voreingenommen sei, weshalb er in den Ausstand treten müsse.
In seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht widersetzt sich B._ ohne ein ausdrückliches Rechtsbegehren sinngemäss dem Antrag von A._. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung des Antrags in der Sache sowie des prozessualen Rechtsbegehrens. Das Obergericht verzichtete auf eine Stellungnahme. Das Bezirksgericht Affoltern liess sich innert Frist nicht vernehmen.
Mit weiterer Eingabe vom 26. Mai 2015 äusserte sich A._ nochmals zur Sache.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss über den Ausstand eines Experten und seiner Mitarbeitenden im Strafverfahren handelt es sich um einen selbständig anfechtbaren, kantonal letztinstanzlichen (vgl. <ref-law>) Zwischenentscheid, gegen den gemäss Art. 78 ff. in Verbindung mit <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen steht.
1.2. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>).
2.
<ref-law> verweist für den Ausstand von Sachverständigen auf <ref-law>. Diese Bestimmung zählt verschiedene Gründe auf, die zum Ausstand von in einer Strafbehörde tätigen Personen führen. Nach <ref-law> trifft dies namentlich aus anderen (als den in lit. a-e der gleichen Bestimmung genannten) Gründen zu, insbesondere wenn die in der Strafverfolgung tätige Person wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand befangen sein könnte. <ref-law> konkretisiert die Verfassungsbestimmung von <ref-law>. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. <ref-law> soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein (<ref-ruling> E. 3.4 S. 116). Für Sachverständige gilt <ref-law> zwar nicht, doch lassen sich dafür analoge Rechtswirkungen aus <ref-law> ableiten (<ref-ruling> E. 2b S. 198; Urteil des Bundesgerichts 1B_488/2011 vom 1. Dezember 2011 E. 3.1). Bei der Anwendung von <ref-law> ist entscheidendes Kriterium, ob bei objektiver Betrachtungsweise der Ausgang des Verfahrens noch als offen erscheint. Wird der Ausstandsgrund aus materiellen oder prozessualen Rechtsfehlern abgeleitet, so sind diese nur wesentlich, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken; andernfalls begründen sie keinen hinreichenden Anschein der Befangenheit (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1B_170/2012 vom 19. Juni 2012 E. 4.2).
3.
3.1. Die beschuldigte Person kann bei der Staatsanwaltschaft oder der Verfahrensleitung jederzeit schriftlich oder mündlich zu Protokoll ein Gesuch um Haftentlassung stellen (vgl. Art. 228 und 233 StPO). Nach <ref-law> leitet eine nicht zuständige schweizerische Behörde bei ihr eingereichte Eingaben in Strafsachen unverzüglich an die zuständige Strafbehörde weiter. Gemäss <ref-law> ziehen Staatsanwaltschaft und Gerichte eine oder mehrere sachverständige Personen bei, wenn sie nicht über die besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten verfügen, die zur Feststellung oder Beurteilung eines Sachverhalts erforderlich sind. Als Sachverständige können nach <ref-law> natürliche Personen ernannt werden, die auf dem betreffenden Fachgebiet die erforderlichen besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten besitzen. Die Verfahrensleitung ernennt die sachverständige Person und erteilt ihr einen schriftlichen Auftrag (Art. 184 Abs. 1 und 2 StPO).
3.2. Zunächst ist unklar, ob der Beschwerdeführer überhaupt ein eigentliches Haftentlassungsgesuch gestellt hat. Nach seiner eigenen Darstellung in der Beschwerdeschrift verlangte er beim Sachverständigen schriftlich seine sofortige Entlassung, weil ihm dies zustehe, da er rechtlich in allen Punkten unschuldig sei. Dass der für eine Haftentlassung offensichtlich unzuständige Experte darin im Rahmen seines Gutachtensauftrags vor allem ein Unschuldsbekenntnis und nicht ein eigentliches Gesuch um Freilassung sah, erscheint nachvollziehbar; dies hat hier umso mehr zu gelten, als es bereits ein erstinstanzliches Teilurteil vom 11. Dezember 2013 gibt, worin gerichtlich festgestellt ist, dass der Beschwerdeführer die ihm vorgeworfene Handlung vom 7. Januar 2009 begangen hat. Wie es sich damit verhält, kann aber offen bleiben. Als Behörde mit der Pflicht zur unverzüglichen Weiterleitung von Eingaben im Sinne von <ref-law> gelten nämlich allein die Strafbehörden gemäss <ref-law> sowie Gerichts- und Verwaltungsbehörden des Bundes, der Kantone und der Gemeinden (vgl. CHRISTOF RIEDO, in: Niggli/Heer/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung/Jugendstrafprozessordnung, 2. Aufl., 2014, Art. 91 N. 45 f.). Ein nach <ref-law> beigezogener Sachverständiger steht jedoch lediglich in einem vertraglichen Auftragsverhältnis zu den Strafverfolgungsbehörden und wird dadurch nicht zu deren direktem Mitarbeiter. Der Sachverständige ist daher nicht unmittelbar gestützt auf <ref-law> zur Weiterleitung von bei ihm eingereichten Eingaben verpflichtet. Wieweit sich eine analoge Pflicht allenfalls aus dem Vertragsverhältnis ergeben kann und ob dies als Grundlage dafür genügt, dass sich der betroffene Einleger, der das fragliche Schriftstück dem Sachverständigen zugestellt hat, darauf berufen kann, ist allerdings unklar, kann hier aber ebenfalls offen bleiben.
3.3. Selbst wenn hier der Sachverständige eine einmalige Pflichtverletzung begangen hätte, indem er das Schreiben des Beschwerdeführers nicht weiterleitete, würde darin weder ein wiederholter noch ein besonders krasser Rechtsfehler liegen. Eine derartige Pflichtverletzung wäre daher für sich allein von vornherein ungeeignet, den Anschein von Befangenheit zu begründen. Andere Gründe für Voreingenommenheit macht der Beschwerdeführer nicht nachvollziehbar geltend. Der angefochtene Entscheid verstösst demnach nicht gegen Bundesrecht und insbesondere <ref-law>.
4.
4.1. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist abzuweisen.
4.2. Da die Rechtsbegehren des unterliegenden Beschwerdeführers von vornherein aussichtslos erscheinen, ist sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen (vgl. <ref-law>). Damit sind ihm die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).
4.3. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich, dem Bezirksgericht Affoltern und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax