Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene N._ war seit dem 1. August 1983 bei der Pensionskasse Basel-Stadt (nachfolgend: Pensionskasse) vorsorgeversichert. Am 31. Juli 2007 liessen sie und die 1961 geborene B._ ihre Partnerschaft im schweizerischen Zivilstandsregister eintragen, worüber N._ die Pensionskasse informierte. Ab 1. Oktober 2008 bezog N._ von der Pensionskasse eine ganze Invalidenrente. Am 29. Juli 2009 verstarb sie.
Auf Grund des Todesfalles sprach die Pensionskasse B._ am 18. August 2009 eine einmalige Abfindung von Fr. 72'723.60 (drei Ehegatten-Jahresrenten) zu. Anspruch auf eine Hinterbliebenenrente bestehe nicht, da die eingetragene Partnerschaft keine fünf Jahre gedauert habe. Mit Einspracheentscheid vom 25. November 2009 bestätigte der Verwaltungsrat der Pensionskasse die Verfügung vom 18. August 2009. Zur Begründung führte er an, dass mangels eines gemeinsamen Wohnsitzes die Voraussetzung einer mindestens fünf Jahre dauernden, ununterbrochenen gemeinsamen Haushaltung nicht erfüllt sei.
B. Am 23. Juni 2010 reichte B._ Klage beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt ein. Sie beantragte im Wesentlichen, die Pensionskasse sei zu verpflichten, ihr rückwirkend ab 1. August 2009 eine Hinterbliebenenrente von jährlich Fr. 24'241.20, eventuell eine obligatorische BVG-Witwenrente von monatlich wenigstens Fr. 905.60, auszurichten (zuzüglich 5 % Zins ab Klageeinreichung).
Mit Entscheid vom 7. Dezember 2010 hiess das kantonale Sozialversicherungsgericht die Klage gut. Es sprach B._ unter Anrechnung der bereits erhaltenen einmaligen Abfindung von Fr. 72'723.60 ab 1. August 2009 eine Rente von monatlich Fr. 2'020.10 zu, zuzüglich 5 % Zins auf den bereits fällig gewordenen Rentenbetreffnissen seit 23. Juni 2010.
C. Dagegen erhebt die Pensionskasse Basel-Stadt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und die Klage abzuweisen.
B._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, eventualiter auf Rückweisung der Sache an das kantonale Gericht zur Abklärung des massgeblichen Sachverhalts und zur Neubeurteilung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen und das kantonale Gericht verzichten auf eine Vernehmlassung.
D. Das Bundesgericht hat am 17. Januar 2012 eine publikumsöffentliche Beratung durchgeführt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel in diesem Sinne sind Tatsachen, die weder im vorangegangen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind. Eine Tatsache, die sich aus den vorinstanzlichen Akten ergibt, ist nicht neu (Ulrich Meyer/Johanna Dormann, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 20 zu <ref-law>). Das gilt auch dann, wenn die Vorinstanz diese Tatsache in ihrem Entscheid nicht ausdrücklich festgestellt hat, wäre doch sonst von vornherein die Rüge unzulässig, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unter Missachtung vorhandener Akten festgestellt (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 364 f.).
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an. Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254; Urteil 9C_493/2009 vom 18. September 2009 E. 1, in: SVR 2010 IV Nr. 21 S. 63). Kantonales Berufsvorsorgerecht, im Leistungsbereich jedenfalls, prüft das Bundesgericht frei (<ref-ruling> E. 1.2 S. 200 und 359 E. 8.5 S. 368; Urteil 9C_1002/2009 vom 27. September 2010 E. 1.2, in: SVR 2011 BVG Nr. 15 S. 55).
2. 2.1 Gemäss Art. 19 Abs. 1 BVG und § 37 Abs. 1 Gesetz betreffend die Pensionskasse Basel-Stadt (Pensionskassengesetz [PKG]; SG-BS 166.100) hat der überlebende Ehegatte Anspruch auf eine Witwen- oder Witwerrente, wenn er beim Tod des Ehegatten für den Unterhalt mindestens eines Kindes aufkommen muss (lit. a) oder älter als 45 Jahre ist und die Ehe mindestens fünf Jahre gedauert hat (lit. b). Gemäss Art. 19a BVG und § 37 Abs. 6 PKG haben überlebende eingetragene Partnerinnen oder Partner die gleiche Rechtsstellung wie Witwer (Art. 19a BVG) bzw. Ehegatten (§ 37 Abs. 6 PKG; vgl. auch Art. 43 Abs. 8 des Vorsorgereglements vom 1. Januar 2008 [nachfolgend: Reglement]).
Es steht fest und ist unbestritten, dass die eingetragene Partnerschaft der Beschwerdegegnerin und der Versicherten bei deren Tod noch keine fünf Jahre gedauert hat, mithin Erstere keinen Anspruch auf eine Witwenrente gemäss § 37 Abs. 1 lit. b und Abs. 6 PKG hat.
2.2 Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG statuiert, dass die Vorsorgeeinrichtung in ihrem Reglement neben überlebenden Ehegatten und Waisen auch natürliche Personen, die vom Versicherten in erheblichem Masse unterstützt worden sind, oder die Person, die mit diesem in den letzten fünf Jahren bis zu seinem Tod ununterbrochen eine Lebensgemeinschaft geführt hat oder die für den Unterhalt eines oder mehrerer gemeinsamer Kinder aufkommen muss, für die Hinterlassenenleistungen vorsehen kann. Damit sollten im Bereich des Überobligatoriums die Hinterlassenenleistungen für nicht verheiratete Lebenspartner verbessert und der Kreis der begünstigten Personen vereinheitlicht werden (Botschaft vom 1. März 2000 zur Revision des Bundesgesetzes über die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge [1. BVG-Revision], BBl 2000 2637 ff., 2683 f. Ziff. 2.9.6).
Gemäss § 38 Abs. 1 PKG wird die überlebende Lebenspartnerin bzw. der überlebende Lebenspartner gleichen oder verschiedenen Geschlechts hinsichtlich Anspruchsberechtigung und Höhe der Leistungen der überlebenden Ehegattin bzw. dem überlebenden Ehegatten gleichgestellt, sofern zusätzlich beide Partner unverheiratet waren und zwischen ihnen keine Verwandtschaft im Sinne von <ref-law> bestand (lit. a) und die eheähnliche Lebensgemeinschaft mit gemeinsamer Haushaltung und gegenseitiger Unterstützungspflicht im Zeitpunkt des Todes nachweislich mindestens fünf Jahre ununterbrochen gedauert hat oder ein gemeinsames rentenberechtigtes Kind vorhanden ist (lit. b) und die versicherte Person zu Lebzeiten der Pensionskasse die anspruchsberechtigte Lebenspartnerin bzw. den anspruchsberechtigten Lebenspartner schriftlich mitgeteilt hat (lit. c). Dabei wird die Dauer einer nachgewiesenen Lebenspartnerschaft an die Ehedauer gemäss den Anspruchsvoraussetzungen von § 37 Abs. 1 lit. b angerechnet (§ 38 Abs. 3 PKG).
Die versicherte bzw. die begünstigte Person hat die für die Abklärung notwendigen Unterlagen einzureichen. Die Geschäftsstelle prüft im Leistungsfall abschliessend, ob die Anspruchsvoraussetzungen für eine Lebenspartnerrente gegeben sind (Art. 22 Abs. 1 Reglement).
3. Wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat (vgl. E. 1) und im Übrigen unbestritten ist, hatten die Beschwerdegegnerin und die Versicherte keinen gemeinsamen Wohnsitz. Uneinigkeit besteht unter den Parteien in der Frage, ob die Anspruchsvoraussetzung von § 38 lit. b PKG ("gemeinsame Haushaltung und gegenseitige Unterstützungspflicht") bereits aus diesem Grunde zu verneinen ist.
3.1 Das kantonale Gericht ist zum Schluss gekommen, dass der Anspruch auf eine Hinterlassenenrente gemäss § 38 Abs. 3 (recte: Abs. 1) PKG lediglich eine ununterbrochene Lebenspartnerschaft von bestimmter Dauer bedinge, wobei ein gemeinsamer Wohnsitz nicht Voraussetzung sei. Vielmehr sei für das Vorliegen der Lebensgemeinschaft mit "gemeinsamer Haushaltung und gegenseitiger Unterstützungspflicht" allein entscheidend, ob die beiden Partner bereit seien, einander Beistand und Unterstützung zu leisten. Der Nachweis hierfür (Art. 22 Abs. 1 Reglement) könne mit sämtlichen tauglichen Mitteln erbracht werden. Das kantonale Gericht verwies auf den Ratschlag und Entwurf des Regierungsrates des Kantons Basel-Stadt vom 29. August 2006 zur Totalrevision des Pensionskassengesetzes vom 20. März 1980, wonach der Nachweis für eine ununterbrochene eheähnliche Gemeinschaft (Zweierbeziehung) nur in der Regel durch den gemeinsamen Wohnsitz erbracht werde. Ausserdem zog es das übergeordnete Recht, d.h. Art. 20a BVG, in seine Würdigung mit ein, indem es darlegte, dass der Wille des Bundesgesetzgebers gegen zusätzliche materielle Voraussetzungen spreche. Um eine solche handle es sich, wenn für das Vorliegen einer Lebensgemeinschaft der gemeinsame Wohnsitz verlangt werde. Ferner sei gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung eine ständige ungeteilte Wohngemeinschaft nicht ein begriffsnotwendiges (konstitutives) Element der Lebensgemeinschaft im berufsvorsorgerechtlichen Sinn.
3.2 Die Pensionskasse beruft sich in der Beschwerde vorab auf den klaren Wortlaut von § 38 Abs. 1 lit. b PKG, der die Leistungspflicht unmissverständlich an die gemeinsame Haushaltung binde. Diese setze begrifflich eine gemeinsame örtliche Wohnsituation voraus. Die Voraussetzung einer Gemeinschaft mit einer gemeinsamen Haushaltung trage zudem dem Zweckgedanken der beruflichen Vorsorge Rechnung, nämlich der Deckung eines Versorgerschadens. Die Ausweitung des Begriffs der Lebensgemeinschaft auf nicht zusammenlebende, nicht finanziell voneinander abhängige Lebenspartner entspreche nicht dem Grundkonzept der beruflichen Vorsorge. Nebst einem gemeinsamen Haushalt verlange § 38 Abs. 1 lit. b PKG auch eine gegenseitige Unterstützungspflicht. Der diesbezüglich treffendste Beweis liege in der schriftlichen Dokumentation resp. in der Abfassung eines gegenseitigen Unterstützungsvertrags. Da ein solcher nicht nachgewiesen und auch keine Begünstigung erfolgt sei, dürfe die Periode vor der eingetragenen Partnerschaft auch aus diesem Grund nicht angerechnet werden. Gestützt auf eine Analyse der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gelangt die Beschwerdeführerin schliesslich zur Auffassung, Art. 20a BVG verbiete es lediglich, den Kreis der möglichen Begünstigten auszudehnen, während eine (reglementarische) Einschränkung des Begünstigtenkreises zulässig sei.
3.3 Die Beschwerdegegnerin bringt im Wesentlichen vor, die Versicherte und sie hätten nicht nur in ökonomischer Hinsicht einen gemeinsamen Haushalt geführt, indem sie gemeinsam eingekauft, zusammen gegessen und geputzt sowie sich die weiteren Haushaltsarbeiten geteilt hätten. Sie habe die Versicherte auch während ihrer Krebserkrankung bis zu ihrem Tod im Jahre 2009 gepflegt. Auf der anderen Seite sei sie von der Versicherten finanziell unterstützt worden. Die Existenz der gemeinsamen Haushaltung könne nicht bereits deshalb abgelehnt werden, weil sie und die Versicherte während der gesamten Partnerschaft zwei Objekte gemietet hätten, wobei die Wohnung an der Strasse X._ nur zum Arbeiten und für gelegentliches Übernachten genutzt worden sei. Der Begriff der gemeinsamen Haushaltung dürfe nicht mit demjenigen des gemeinsamen Wohnsitzes gleichgesetzt werden. Letzterer habe nur deklarative Wirkung. So gelte auch im Eherecht nicht der gemeinsame Wohnsitz, sondern der gemeinsame Haushalt als Anknüpfungspunkt. Für den Nachweis einer Lebenspartnerschaft mit gemeinsamer Haushaltführung oder mit Unterstützungspflicht kämen sämtliche sachdienlichen Unterlagen in Betracht. Art. 22 Reglement schreibe keine besonderen Beweismittel vor.
4. 4.1 Das Bundesgericht hat den Begriff der Lebensgemeinschaft im Sinne von Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG in <ref-ruling> näher umschrieben. Darunter ist eine Verbindung von zwei Personen gleichen oder verschiedenen Geschlechts zu verstehen, welcher grundsätzlich Ausschliesslichkeitscharakter zukommt, sowohl in geistig-seelischer als auch in körperlicher und wirtschaftlicher Hinsicht. Dabei müssen diese Merkmale nicht kumulativ gegeben sein. Insbesondere ist weder eine ständige ungeteilte Wohngemeinschaft notwendig, noch dass eine Partei von der anderen massgeblich unterstützt worden war. Entscheidend ist, ob auf Grund einer Würdigung sämtlicher Umstände von der Bereitschaft beider Partner, einander Treue und Beistand zu leisten, wie es <ref-law> von Ehegatten fordert, auszugehen ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 389 f.; <ref-ruling> E. 7 und 7.1 S. 379 f.).
In diesem weiten Sinne hat die Vorinstanz auch § 38 Abs. 1 lit. b PKG interpretiert, denn zusätzliche materielle Voraussetzungen seien nicht zulässig. Die beiden Partnerinnen seien bereit gewesen, einander Beistand und Unterstützung zu leisten. Ihre Verbindung habe die Qualität einer Schicksalsgemeinschaft aufgewiesen. Den entsprechenden Nachweis erachtete die Vorinstanz unter anderem mit der Auflage von je zwei Vereinbarungen über die Entbindung vom Arztgeheimnis und über das Besuchsrecht, von zwei Patientinnenverfügungen, zwei Erklärungen über die Ernennung zur Vormundin bzw. zum Beistand sowie von zwei Generalvollmachten als erbracht.
4.2 § 38 Abs. 1 lit. b PKG bedingt unmissverständlich den Nachweis einer "gemeinsamen Haushaltung und gegenseitigen Unterstützungspflicht". Er macht somit die Begünstigung der Beschwerdegegnerin von einschränkenderen Voraussetzungen als den im Gesetz genannten abhängig. Dies ist, wie das Bundesgericht unlängst in einem Grundsatzurteil erkannt hat, prinzipiell zulässig (<ref-ruling> E. 3.2 S. 387 f.). In jenem Fall war der Anspruch auf eine Partnerrente bei einem Konkubinatsverhältnis streitig, welcher unter anderem voraussetzte, dass unmittelbar vor dem Tod während mindestens fünf Jahren ununterbrochen ein gemeinsamer Haushalt geführt wurde. Die hier statuierte Einschränkung unterscheidet sich insoweit davon, als sie nicht nur eine gemeinsame Haushaltung, sondern darüber hinaus eine gegenseitige Unterstützungspflicht fordert. Dieses zusätzliche Element allein ist indessen kein Grund, im vorliegenden Fall die Gestaltungsfreiheit der Vorsorgeeinrichtung, welche vor allem im überobligatorischen Bereich zum Tragen kommt (vgl. Art. 49 BVG), wieder zu beschneiden. Der verfassungsmässige Minimalstandard, den es zu wahren gilt (rechtsgleiche Behandlung, Willkürverbot, Verhältnismässigkeit [<ref-ruling> E. 3.2 S. 388; <ref-ruling> E. 3.1 S. 228; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 154 und 278 E. 4.2 S. 281]), wird dadurch nicht tangiert. Ist es grundsätzlich erlaubt, zusätzliche materielle Voraussetzungen zu den in Art. 20a Abs. 1 BVG statuierten zu normieren, wie im erwähnten Grundsatzurteil entschieden, kommt es nicht auf deren Anzahl an. Dies ergibt sich auch methodisch aus dem Grössenschluss (argumentum a maiori ad minus; vgl. ERNST A. KRAMER, Juristische Methodenlehre, 3. Aufl. 2010, S. 200 f.). Nachdem Art. 20a Abs. 1 BVG eine Kann-Vorschrift darstellt, also auf eine Begünstigung weiterer Personen überhaupt verzichtet werden kann, müssen - im Rahmen der vorgenannten verfassungsrechtlichen Prinzipien - auch restriktive Lösungen gestattet sein.
5. Die - nach dem Gesagten zulässigerweise statuierten - zusätzlichen materiellen Voraussetzungen bedürfen, weil sie nicht hinreichend bestimmt sind, der Auslegung.
5.1 Das Bundesgericht hat den Begriff des gemeinsamen Haushalts im zitierten Urteil zeitgemäss weit verstanden. Massgebend müsse sein, dass die Lebenspartner den manifesten Willen hätten, ihre Lebensgemeinschaft, soweit es die Umstände ermöglichten, als ungeteilte Wohngemeinschaft im selben Haushalt zu leben (<ref-ruling> E. 3.3 S. 388 f.). Dabei hatte sich die Auslegung grundsätzlich am Vertrauensprinzip zu orientieren, zumal es um eine Reglementsbestimmung einer privatrechtlichen Vorsorgeeinrichtung ging. Da es sich bei der Beschwerdeführerin um eine öffentlich-rechtliche Vorsorgeeinrichtung handelt (§ 1 Abs. 1 PKG), hat die Auslegung der einschlägigen Bestimmungen des PKG nach den gewöhnlichen Regeln der Gesetzesauslegung zu erfolgen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 211; <ref-ruling> E. 4.1 S. 316 f.). Danach ist das Gesetz in erster Linie nach seinem Wortlaut auszulegen. Ist der Text nicht ganz klar und sind verschiedene Auslegungen möglich, so muss nach seiner wahren Tragweite gesucht werden unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente, namentlich von Sinn und Zweck sowie der dem Text zu Grunde liegenden Wertung. Wichtig ist ebenfalls der Sinn, der einer Norm im Kontext zukommt. Vom klaren, d.h. eindeutigen und unmissverständlichen Wortlaut darf nur ausnahmsweise abgewichen werden, u.a. dann nämlich, wenn triftige Gründe dafür vorliegen, dass der Wortlaut nicht den wahren Sinn der Bestimmung wiedergibt. Solche Gründe können sich aus der Entstehungsgeschichte der Bestimmung, aus ihrem Grund und Zweck oder aus dem Zusammenhang mit andern Vorschriften ergeben (<ref-ruling> E. 3.1 S. 169 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 81; <ref-ruling> E. 7.1 S. 229 und 249 E. 4.1 S. 252).
5.1.1 Der Begriff der gemeinsamen Haushaltung sagt für sich allein nichts darüber aus, wie das gemeinsame Wohnen gestaltet sein soll. Seine Verbindung mit der Voraussetzung der gegenseitigen Unterstützungspflicht (vgl. dazu E. 5.2) weist dagegen - in systematischer Hinsicht - auf eine eng zu verstehende Wohngemeinschaft hin. In dieselbe Richtung zeigt der historische Wille. Wie aus dem Ratschlag und Entwurf des Regierungsrats des Kantons Basel-Stadt vom 29. August 2006 betreffend die Totalrevision des Pensionskassengesetzes vom 20. März 1980 erhellt, wird zum Nachweis der eheähnlichen Gemeinschaft "in der Regel auf den gemeinsamen Wohnsitz" abgestellt. Wohl lässt diese Formulierung Raum für anderweitige Lebens- oder Wohnmodelle. Sie vermag jedoch nicht zu kaschieren, dass der Gesetzgeber eine klassische Zweierbeziehung vor Augen hatte. Eine solche lag hier - in Anbetracht des getrennten Wohnsitzes - nicht vor.
5.1.2 Auch wenn Sinn und Zweck von § 38 Abs. 1 lit. b PKG gleich wie im Rahmen der Auslegung einer privatrechtlichen Reglementsbestimmung "nur" fordert, dass die Lebenspartner den manifesten Willen hatten, ihre Lebensgemeinschaft, soweit es die Umstände ermöglichten, als ungeteilte Wohngemeinschaft im selben Haushalt zu leben, ist die hier zu beurteilende Partnerschaft nicht von dieser Formel erfasst. Insbesondere sind keine Umstände gegeben, die einen gemeinsamen Wohnsitz erschwert oder verunmöglicht hätten. In der Klage werden rein praktische Gründe angeführt, weshalb zwei Wohnungen gemietet worden seien: Während die - etwas grössere - Wohnung an der Strasse Y._ Beziehungsmittelpunkt gewesen sei, habe die (kleinere) Wohnung an der Strasse X._ vornehmlich als Arbeitsdomizil und manchmal, nach Arbeitszeiten bis zu später Stunde, zum Übernachten sowie zur Unterbringung von Besucherinnen und Besuchern gedient. Beide Wohnungen befinden sich in Z._. Auf die Möglichkeit, Wohnen und Arbeiten gänzlich zu trennen, wurde bewusst verzichtet. Damit hielten sich die Beschwerdegegnerin und die verstorbene Versicherte einen gewissen Freiraum offen. Diese - jederzeit und beliebig wählbare - Rückzugsmöglichkeit lässt nicht den Schluss zu, die beiden hätten den manifesten Willen gehabt, ihre Lebensgemeinschaft als ungeteilte Wohngemeinschaft in derselben Haushaltung zu leben.
5.1.3 Im zu beurteilenden Fall schliesst somit der Umstand des getrennten Wohnsitzes eine gemeinsame Haushaltung aus. Die Beschwerde ist daher bereits wegen Nichterfüllens der ersten in § 38 Abs. 1 lit. b PKG stipulierten Voraussetzung abzuweisen.
5.2 Obwohl bei dieser Rechtslage grundsätzlich offenbleiben kann, ob und inwieweit die (zusätzlich) statuierte Voraussetzung der gegenseitigen Unterstützungspflicht erfüllt ist, rechtfertigt es sich, einige Hinweise zu diesem Erfordernis anzubringen und prozessuale Grundlagen des Klageverfahrens in Erinnerung zu rufen.
5.2.1 Der Terminus "Unterstützungspflicht" als solcher vermag sowohl eine materielle als auch eine immaterielle Komponente zu enthalten. Der Kontext von § 38 Abs. 1 lit. b PKG spricht für den materiellen Aspekt. Die alternative Bedingung, dass ein gemeinsames rentenberechtigtes Kind vorhanden ist, verdeutlicht, dass es primär um den Versorgerschaden geht, der durch den Tod der versicherten Person entsteht. Wie die Ehegattenrente bezweckt auch die Lebenspartnerrente, das Risiko eines finanziellen Nachteils aufzufangen, den ein hinterlassener Partner erleiden kann. Die gegenseitige moralische Unterstützungspflicht ist jeder eheähnlichen Lebensgemeinschaft immanent (vgl. E. 4.1 Abs. 1 in fine), so dass sie nicht (nochmals) der ausdrücklichen Erwähnung bedarf. Im erwähnten Ratschlag und Entwurf des Regierungsrats des Kantons Basel-Stadt vom 29. August 2006 wird schliesslich zu § 38 Abs. 1 PKG festgehalten: "Die eheähnliche Gemeinschaft (Zweierbeziehung) muss nachweislich während mindestens 5 Jahren ununterbrochen bestanden haben [...] und der Versicherte muss den Lebenspartner unterhalten oder im wesentlichen Umfang unterstützt haben [...]". Diese Erläuterung hat unmissverständlich die materielle Seite des verwendeten Begriffs "Unterstützungspflicht" im Visier.
Zusammengefasst weisen, abgesehen vom grammatikalischen, sämtliche Auslegungselemente eindeutig auf die materielle Komponente der geforderten gegenseitigen Unterstützungspflicht hin. Es sind somit rechtsgenügliche Gründe gegeben, um dem Wortlaut einen entsprechenden Inhalt zu verleihen.
5.2.2 Die Beschwerdegegnerin bringt vor, die Versicherte und sie hätten einen gemeinsamen Haushalt geführt und die entsprechenden Kosten zusammen getragen. In der Vernehmlassung macht sie erstmals geltend, von der verstorbenen Versicherten finanziell unterstützt worden zu sein.
Weder die Behauptung, die Kosten des Zusammenlebens gemeinsam getragen zu haben, noch diejenige, von der verstorbenen Versicherten finanziell unterstützt worden zu sein, sind weiter substanziiert. Es bleiben sowohl die individuellen finanziellen Leistungsmöglichkeiten als auch die effektive Kostenaufteilung im Dunkeln. Abgesehen davon, dass sich daraus nicht zwingend eine gegenseitige Unterstützungspflicht ableiten lässt, impliziert die Behauptung, die Kosten des Zusammenlebens gemeinsam getragen zu haben, höchstens, dass jede der beiden für die Hälfte der Kosten des gemeinsamen Haushalts aufgekommen ist. Ob dies für die Annahme einer gegenseitigen Unterstützungspflicht ausreicht, braucht nicht beantwortet zu werden. Weder diesbezüglich noch bezüglich der behaupteten finanziellen Unterstützung ist ein Nachweis erbracht. Die Beschwerdegegnerin nennt in diesen beiden Punkten keine Zeugen und legt keine Akten auf. Die im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Belege sind nicht geeignet oder zu wenig aussagekräftig, um eine gegenseitige finanzielle Unterstützungspflicht oder eine zumindest hälftige Kostenteilung nachzuweisen oder die fehlende Substanziierung zu ersetzen.
5.2.3 Mangels rechtsgenüglicher Substanziierung und auf Grund ungenügender Beweisführung besteht - selbst wenn die Voraussetzung der gemeinsamen Haushaltung erfüllt wäre - kein Anlass für weitere Abklärungen im Sinne einer Rückweisung an die Vorinstanz zwecks Ergänzung des Sachverhalts (E. 1.1). Da die Klage nach Art. 73 BVG nicht auf ein Verfahren der ursprünglichen Verwaltungsrechtspflege folgt (<ref-ruling> E. 2 S. 452), bedingt sie die Darlegung sämtlicher rechtserheblicher Tatsachen und Beweismittel zu sämtlichen anspruchsbegründenden Voraussetzungen, das heisst insbesondere zur gemeinsamen Haushaltung und zur gegenseitigen Unterstützungspflicht. Zwar gilt auch im Rahmen der beruflichen Vorsorge der Untersuchungsgrundsatz (Art. 73 Abs. 2 BVG); dieser wird aber durch die Mitwirkungspflichten der Parteien beschränkt (<ref-ruling> E. 2 S. 195). Dazu gehört in erster Linie die Substanziierungspflicht, welche beinhaltet, dass die wesentlichen Tatsachenbehauptungen und -bestreitungen in den Rechtsschriften enthalten sein müssen (vgl. bereits Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts B 61/00 vom 26. September 2001 E. 1a/bb und B 21/02 vom 11. Dezember 2002 E. 3.2). Die Bestreitungslast darf nicht zu einer Umkehr der Behauptungs- und Beweislast führen. Zudem sind an den Untersuchungsgrundsatz geringere Anforderungen zu stellen, wenn die Parteien, wie hier, durch Anwälte vertreten sind (Niccolo Raselli, Verfahrensrechtliche Probleme bei der Beurteilung von Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung, in: SZS 2005 S. 283; Adrian Staehelin/Frank Vischer, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1996, N. 31 zu <ref-law>).
5.3 Fällt der Anspruch auf eine Lebenspartnerrente bereits mangels Erfüllens der ersten Anspruchsvoraussetzung (gemeinsame Haushaltung; § 38 Abs. 1 lit. b PKG) ausser Betracht, kann auch offen bleiben, ob es sich bei der Voraussetzung gemäss § 38 Abs. 1 lit. c PKG - die versicherte Person hat zu Lebzeiten der Pensionskasse die anspruchsberechtigte Lebenspartnerin oder den anspruchsberechtigten Lebenspartner schriftlich mitzuteilen - lediglich um ein rein formelles Erfordernis ohne konstitutive Wirkung handelt, wie die Vorinstanz festgehalten hat.
6. Nach dem Gesagten ist der Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine Lebenspartnerrente der Pensionskasse zu verneinen. Die Beschwerde erweist sich als begründet und ist gutzuheissen. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 7. Dezember 2010 aufgehoben. Die Klage wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Der Beschwerdeführerin wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Januar 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann