zieht das Bundesgericht in Erwägung:
1.- Mit Verfügung vom 7. Juli 1998 beschloss die Sozialhilfekommission der Einwohnergemeinde Y._, die bisherigen Unterstützungsleistungen für die Familie X._ zu kürzen und auf einen monatlichen Betrag von Fr. 900. -- festzusetzen. Im Rechtsmittelverfahren hob das Departement des Innern des Kantons Solothurn die Leistungskürzung auf, sprach der Familie ab Juli 1998 den ordentlichen Unterstützungsbetrag in der Höhe von Fr. 1'424. -- zu und wies die Gemeinde an, der Familie X._ unter Anrechnung der bereits geleisteten Zahlungen für die Monate Juli 1998 bis Mai 1999 den Differenzbetrag von Fr. 5'060. -- zusätzlich Zins zu 5 % zu entrichten. Gegen diese Verfügung erhob A.X._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn, mit der er im Wesentlichen beantragte, für die Zeitspanne vom 1. Juli 1998 bis 31. Mai 1999 sei seiner Familie der Betrag von Fr. 5'330. -- plus Zinsen auszurichten. Mit Entscheid vom 20. September 1999 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut, soweit sie die Unterstützungsleistungen für die Periode vom 1. Juli 1998 bis 31. Mai 1999 betraf, und sprach dem Beschwerdeführer einen zusätzlichen Betrag von Fr. 270. -- nebst Zinsen zu. Soweit der Beschwerdeführer auch für den Monat Juni 1999 Sozialhilfe verlangt hatte, trat es auf die Beschwerde nicht ein, und die weiteren Begehren wies es ab, soweit darauf einzutreten war.
Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 1. November 1999 verlangt A.X._ sinngemäss die Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts. Er beantragt, für den Monat Juni 1999 sei der Familie X._ der Betrag von Fr. 110. -- auszurichten und die Gemeinde Y._ sowie der Kanton Solothurn seien zu verpflichten, ihm eine angemessene Entschädigung auszubezahlen. Ferner ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
2.- Gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG ist in der Beschwerdeschrift namentlich darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind und inwiefern dies der Fall sein soll. Die vorliegende Beschwerde genügt dieser Anforderung, wenn überhaupt, nur zu einem geringen Teil. Der Beschwerdeführer macht zwar geltend, der angefochtene Entscheid verstosse gegen <ref-law>, indem die seiner Familie zugesprochene Sozialhilfe niedriger sei, als es für eine Schweizer Familie der Fall wäre. Er legt aber nicht dar, inwiefern dies der Fall sein soll. Eine Verstoss gegen das Rechtsgleichheitsgebot ist im Übrigen auch nicht erkennbar, ganz abgesehen davon, dass der dem Beschwerdeführer zugesprochene Betrag der Höhe nach dessen eigenen Anträgen entspricht. Auf das Begehren bezüglich der Unterstützung für den Monat Juni 1999 ist das Verwaltungsgericht deswegen nicht eingetreten, weil dieser Zeitraum nicht Gegenstand des angefochtenen Departementsentscheids bildete. Mit dieser Begründung setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Er begründet auch nicht näher, weshalb die Verweigerung einer Entschädigung seine verfassungsmässigen Rechte verletzen soll. Schliesslich ist auch keine Verletzung von Art. 6 EMRK ersichtlich, wobei offen bleiben kann, ob diese Konventionsgarantie vorliegend zum Zuge kommt. Die Beschwerde ist daher als offensichtlich unbegründet abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
3.- Dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens nicht entsprochen werden (Art. 152 Abs. 1 OG). Die Kosten sind daher, dem Ausgang des Verfahrens entsprechend, dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1,153 und 153 aOG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 200. -- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Y._, Sozialhilfekommission, dem Departement des Innern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 6. Januar 2000
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: