Sachverhalt:
A. X._ (Beschwerdeführer) wurde vom Bezirksgericht Meilen mit Säumnisurteil vom 3. August 2009 verpflichtet, Y._ (Beschwerdegegner) einen Betrag von Fr. 90'000.-- nebst Zinsen zu bezahlen sowie einen weiteren, in WIR-Geld zahlbaren Betrag von Fr. 115'000.-- nebst Zinsen und eine Prozessentschädigung. Ein in der Folge vom Beschwerdeführer gestelltes Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Erstattung einer schriftlichen Klageantwort wies das Bezirksgericht Meilen am 15. März 2010 ab. Dagegen erhob der Beschwerdeführer eine Nichtigkeitsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich, die dieses mit Zirkulations-Erledigungsbeschluss vom 26. April 2010 abwies, soweit es darauf eintrat.
B. Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, den Beschluss vom 26. April 2010 aufzuheben und seinem Antrag auf Wiederherstellung der Frist zur Erstattung einer Klageantwort im Verfahren zwischen dem Beschwerdegegner als Kläger und dem Beschwerdeführer als Beklagten am Bezirksgericht Meilen, Geschäfts Nr. CG090008/U01/Sa-Mi/gr-br stattzugeben.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde vorliegend verzichtet.

Erwägungen:
1. Das Bezirksgericht prüfte im Beschluss vom 15. März 2010, ob dem Beschwerdeführer hinsichtlich der Versäumnis der Frist zur Klageantwort ein leichtes oder ein grobes Verschulden zur Last gelegt werden muss. Es schloss in Beweiswürdigung aus dem aktenkundigen Verhalten von Rechtsanwalt Z._, der den Beschwerdeführer im betreffenden Forderungsprozess vertreten hatte, dass sich jener im fraglichen Zeitraum seiner Funktion als Rechtsvertreter des Beschwerdeführers bewusst war und ihm nicht zuletzt aufgrund seiner Erfahrung die Bedeutung des Prozesses für den Beschwerdeführer und die Wichtigkeit des Einhaltens der Frist bekannt sein musste. Das Bezirksgericht hielt dafür, er hätte den Beschwerdeführer darüber aufklären müssen, dass er die Rechtsschrift allenfalls infolge seiner kritischen gesundheitlichen Verfassung nicht fristgerecht würde erstellen bzw. einreichen können und dass der Beklagte bzw. Beschwerdeführer einen anderen Rechtsanwalt beauftragen sollte; sollte er diese Mitteilung unterlassen haben, wäre dies als grobes Verschulden zu werten, das dem Beschwerdeführer zuzurechnen sei. Eine Wiederherstellung der Frist dürfe daher nicht gegen den Willen des Beschwerdegegners erteilt werden.
Der Beschwerdeführer pflichtet der Vorinstanz bei, dass es im kantonalen Nichtigkeitsbeschwerdeverfahren, das zum hier angefochtenen Entscheid führte, einzig um die Frage ging, ob der Beschluss vom 15. März 2010 zu seinem Nachteil an einem Nichtigkeitsgrund nach § 281 Ziff. 1-3 ZPO/ZH leidet. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG) rügte der Beschwerdeführer gegen den Beschluss des Bezirksgerichts einzig, das Verschulden seines Rechtsvertreters sei ihm zu Unrecht angerechnet worden. Die Vorinstanz folgte dieser Ansicht nicht. Insoweit stellt der Beschwerdeführer deren Beurteilung nicht in Frage.
2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Nichtigkeitsbeschwerde des im vorinstanzlichen Verfahren nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführers sei laienhaft aufgesetzt gewesen und hätte der Klärung der Vorinstanz bedurft, welche Nichtigkeitsgründe genau angerufen würden und gestützt worauf genau. Indem die Vorinstanz eine solche Klärung nicht vorgenommen habe, habe sie die richterliche Fragepflicht nach § 55 ZPO/ZH und damit das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt. Entsprechend könne der Beschwerdeführer die Nichtigkeit des Zirkulationsbeschlusses des Bezirksgerichts Meilen vom 15. März 2010 im vorliegenden Verfahren erneut geltend machen, damit sie ordentlich gehört und beurteilt werde.
2.1 Dazu ist zunächst festzuhalten, dass eine Verletzung des Gehörsanspruchs des Beschwerdeführers, wie sie von ihm geltend gemacht wird, nicht dazu führen würde, dass die vorliegend behaupteten Nichtigkeitsgründe des Bezirksgerichtsbeschlusses, die nach den vorinstanzlichen Feststellungen im kantonalen Verfahren nicht vorgebracht wurden, im vorliegenden Verfahren zu beurteilen wären. Denn die angerufenen Nichtigkeitsgründe, namentlich dass das Bezirksgericht eine willkürliche Beweiswürdigung vorgenommen habe, stellen Verfassungsrügen dar, die das Bundesgericht nur prüfen kann, wenn der kantonale Instanzenzug ausgeschöpft wurde (vgl. Art. 75 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 640). Dies ist indessen nicht der Fall, nachdem diese Rügen im vorinstanzlichen Verfahren nicht vorgebracht wurden. Die Feststellung einer Gehörsverletzung könnte somit einzig zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids und zur Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung unter Wahrung des Gehörsanspruchs führen.
2.2 Es ist somit einzig die Rüge der Verletzung der richterlichen Fragepflicht bzw. des Gehörsanspruchs zu prüfen, soweit diese Rügen überhaupt rechtsgenügend begründet sind (Art. 106 Abs. 2 BGG):
Eine willkürliche Anwendung von § 55 ZPO/ZH macht der Beschwerdeführer nicht, jedenfalls nicht mit hinreichend begründeter Rüge geltend. Inwieweit sich eine richterliche Fragepflicht überhaupt aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör ableiten lässt, hat das Bundesgericht bisher offen gelassen. Das Bundesgericht hat immerhin festgehalten, dass der richterlichen Aufklärungs- und Fragepflicht enge Grenzen gesetzt sind, die sich hauptsächlich aus der Verhandlungsmaxime ergeben. Die Fragepflicht darf insbesondere nicht dazu dienen, prozessuale Nachlässigkeiten auszugleichen (Urteil 4P.229/1999 vom 21. Dezember 1999 E. 1c). Das Zürcher Prozessrecht sieht für das Nichtigkeitsbeschwerdeverfahren ausdrücklich das Rügeprinzip vor (vgl. §§ 288 und 290 ZPO). Dementsprechend kann der Beschwerdeinstanz keine Verletzung des Gehörsanspruch vorgeworfen werden, wenn sie nicht von sich aus nachfragt, ob der Beschwerdeführer über die geltend gemachten Rügen hinaus weitere Nichtigkeitsgründe geltend machen will, die er in Verkennung des Rügeprinzips zu erheben unterlassen hat.
Überdies ist darauf hinzuweisen, dass sich aus dem rechtlichen Gehör kein Anspruch der Parteien ergibt, zur rechtlichen Würdigung der durch sie in den Prozess eingeführten Tatsachen noch besonders angehört zu werden. Ebenso wenig folgt aus dem Gehörsanspruch, dass die Parteien vorgängig auf den für den Entscheid wesentlichen Sachverhalt hinzuweisen wären. Eine Ausnahme besteht einzig dann, wenn ein Gericht seinen Entscheid mit einem Rechtsgrund zu begründen beabsichtigt, auf den sich die beteiligten Parteien nicht berufen haben und mit dessen Erheblichkeit sie vernünftigerweise nicht rechnen mussten (<ref-ruling> E. 2d S. 69; <ref-ruling> E. 3c S. 52; <ref-ruling> E. 5 S. 39; vgl. auch die Urteile 5A_519/2008 vom 12. Oktober 2009 E. 7.3 und 4P.104/2004 vom 18. Oktober 2004 E. 5.4). Entsprechendes wird hier aber nicht geltend gemacht.
Der Vorinstanz lässt sich demnach keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör vorwerfen, weil sie den Beschwerdeführer nicht anfragte, ob er gegen den bezirksgerichtlichen Entscheid im Zusammenhang mit der relevanten Frage, ob seinem Rechtsvertreter ein grobes Verschulden vorzuwerfen sei, Nichtigkeitsgründe geltend machen wolle.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Diesem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihm aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. August 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer