Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die Genossenschaft X._ (im Folgenden: Genossenschaft) betreibt ein 1979/80 erstelltes Pflegeheim auf der Parzelle Nr. 2166 in Arbon. Die Parzelle steht im Eigentum der Gemeinde Arbon und liegt in der Zone für öffentliche Bauten und Anlagen.
Am 8. Oktober 2001 reichte die Genossenschaft ein Baugesuch ein für eine Erweiterung des bestehenden Pflegeheims. Dabei soll der bestehende Baukubus bei gleichbleibender Höhe um ca. 16 Meter nach Süden verlängert werden. Das Gesuch wurde am 6. November 2001 ergänzt um ein Ausnahmegesuch für die Überschreitung der zulässigen Gebäudehöhe um 1 Meter. Gegen das Baugesuch erhoben unter anderem A._, B._, C._ und D._ Einsprache, hauptsächlich mit dem Argument, die zulässige Gebäudehöhe werde überschritten.
Mit Entscheid vom 27. Mai 2002 verweigerte das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau (DBU) die Baubewilligung. Zur Begründung erwog es, das Vorhaben überschreite die gemäss kommunalem Baureglement zulässige Gebäudehöhe von 12 Metern um 3,95 bzw. 4,31 Meter. Die Höhe sei nämlich gemäss § 8 Abs. 1 der Verordnung des Regierungsrates vom 26. März 1996 zum Planungs- und Baugesetz (VPBG) nicht vom gestalteten, sondern vom gewachsenen Terrain aus zu messen. Eine derartige Überschreitung der zulässigen Höhe könne nicht mehr unter dem Titel der Bestandesgarantie (§ 81 des Planungs- und Baugesetzes vom 16. August 1995 [PBG]) bewilligt werden. Auch sei kein Ausnahmetatbestand gemäss § 79 PBG erfüllt.
Mit Entscheid vom 27. Mai 2002 verweigerte das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau (DBU) die Baubewilligung. Zur Begründung erwog es, das Vorhaben überschreite die gemäss kommunalem Baureglement zulässige Gebäudehöhe von 12 Metern um 3,95 bzw. 4,31 Meter. Die Höhe sei nämlich gemäss § 8 Abs. 1 der Verordnung des Regierungsrates vom 26. März 1996 zum Planungs- und Baugesetz (VPBG) nicht vom gestalteten, sondern vom gewachsenen Terrain aus zu messen. Eine derartige Überschreitung der zulässigen Höhe könne nicht mehr unter dem Titel der Bestandesgarantie (§ 81 des Planungs- und Baugesetzes vom 16. August 1995 [PBG]) bewilligt werden. Auch sei kein Ausnahmetatbestand gemäss § 79 PBG erfüllt.
B. Die Genossenschaft erhob dagegen Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses führte einen Augenschein durch und hiess mit Entscheid vom 27. November 2002 die Beschwerde gut und wies die Angelegenheit zur Erteilung der Baubewilligung an das DBU zurück. Es erwog, die Gebäudehöhe sei nicht vom ursprünglichen, sondern vom in zulässiger Weise gestalteten Terrain aus zu messen. Der projektierte Anbau überschreite daher die zulässige Gebäudehöhe nur um 1,2 m. Er könne unter dem Titel der Bestandesgarantie (§ 81 PBG) bewilligt werden, da er nicht zu einer wesentlichen Verstärkung der Rechtswidrigkeit führe.
B. Die Genossenschaft erhob dagegen Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses führte einen Augenschein durch und hiess mit Entscheid vom 27. November 2002 die Beschwerde gut und wies die Angelegenheit zur Erteilung der Baubewilligung an das DBU zurück. Es erwog, die Gebäudehöhe sei nicht vom ursprünglichen, sondern vom in zulässiger Weise gestalteten Terrain aus zu messen. Der projektierte Anbau überschreite daher die zulässige Gebäudehöhe nur um 1,2 m. Er könne unter dem Titel der Bestandesgarantie (§ 81 PBG) bewilligt werden, da er nicht zu einer wesentlichen Verstärkung der Rechtswidrigkeit führe.
C. A._, B._, C._ und D._ haben staatsrechtliche Beschwerde erhoben mit dem Antrag, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben. Zudem beantragen sie Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Die Genossenschaft und das Verwaltungsgericht beantragen Abweisung der Beschwerde. Das DBU verzichtet auf einen Antrag.
Die Genossenschaft und das Verwaltungsgericht beantragen Abweisung der Beschwerde. Das DBU verzichtet auf einen Antrag.
D. Mit Verfügung des Präsidenten der I. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 26. März 2003 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Die staatsrechtliche Beschwerde gegen den kantonal letztinstanzlichen, mit keinem anderen Rechtsmittel anfechtbaren Entscheid ist grundsätzlich zulässig (Art. 84 Abs. 2 und Art. 86 Abs. 1 OG). Fraglich ist indessen, ob es sich um einen Endentscheid oder einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 87 Abs. 2 OG handelt. Der angefochtene Entscheid weist die Angelegenheit "zur Erteilung der Baubewilligung" an das DBU zurück. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts sind Rückweisungsentscheide grundsätzlich Zwischenentscheide (<ref-ruling> E. 1a/aa; <ref-ruling> E. 1a, 396 E. 1). Anders verhält es sich aber, wenn die Rückweisung bloss zum Vollzug erfolgt und der unteren kantonalen Instanz keinerlei Entscheidungsspielraum mehr belässt (<ref-ruling> E. 1b; Urteil des Bundesgerichts vom 15.2.2001 [1P.550/2000], publ. in RDAT 2001 II Nr. 63, E. 1c; nicht publ. Urteile vom 10.2.1994 [1P.755/1993], E. 1b; vom 24.6.1993 [1P.138/1993], E. 1c; vom 19.10.1992 [1P.421/1992], E. 1).
Vorliegend hat das Verwaltungsgericht vorbehaltlos erkannt, die (heutige) Beschwerdegegnerin könne sich auf die Bestandesgarantie nach § 81 PBG berufen (angefochtener Entscheid E. 3e, S. 14), und das DBU angewiesen, die Baubewilligung zu erteilen, ohne ihm einen Entscheidungsspielraum zu belassen. Nach der dargelegten Rechtsprechung erscheint der angefochtene Entscheid somit als Endentscheid.
In seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht schreibt das Verwaltungsgericht freilich, das DBU habe die Frage des Ortsbildschutzes überhaupt nicht geprüft, da es aus anderen Gründen zur Abweisung der Beschwerde (recte: des Gesuchs) gekommen sei; es könne natürlich nach wie vor die Baubewilligung verweigern, wenn es zur Auffassung gelange, aus diesem Grund sei die Bewilligung nicht zu erteilen. Diese Ausführungen des Verwaltungsgerichts sind aktenwidrig: Das DBU hat in seinem Entscheid vom 27. Mai 2002 (E. 9 S. 11) ausgeführt:
"Der Vollständigkeit halber ist auf die Rüge der Einsprecher, dass die Baute das Ortsbild störe, einzugehen. Dass die geplante Anbaute in ihrer Dimension das Zulässige sprengt, wurde bereits dargelegt. Abgesehen davon wäre die Anbaute, die architektonisch besticht, unter de(m) Gesichtspunkt des Ortsbildes nicht zu beanstanden."
Das DBU hat somit die Frage des Ortsbildschutzes beurteilt. Die heutigen Beschwerdeführer haben denn auch in ihrer Beschwerdeantwort an das Verwaltungsgericht vom 2. August 2002 darauf beharrt, dass die geplante Baute das Ortsbild verschandle (Ziff. 16, S. 26 ff.). Der Ortsbildschutz bildete daher Thema des Verfahrens vor Verwaltungsgericht. Eine andere Frage ist, ob das Verwaltungsgericht sich damit hinreichend befasst hat (dazu hinten E. 4.2). Unter diesen Umständen ist der angefochtene Entscheid als Endentscheid zu betrachten. Die staatsrechtliche Beschwerde ist daher zulässig.
1.2 Die Beschwerdeführer rügen eine willkürliche Auslegung und Anwendung der Bestimmungen über die zulässige Gebäudehöhe, eine Verletzung von Ästhetikvorschriften sowie eine Missachtung des rechtlichen Gehörs. Sie sind als unmittelbare Nachbarn der projektierten Baute zur staatsrechtlichen Beschwerde legitimiert, soweit sie die willkürliche Anwendung von Normen rügen, die auch ihrem Schutz dienen, sich im Schutzbereich dieser Normen befinden und durch die behaupteten widerrechtlichen Auswirkungen der Baute betroffen werden (Art. 88 OG; <ref-ruling> E. 2c S. 46; <ref-ruling> E. 2a). Vorschriften, welche die Gebäudehöhe regeln, gelten nach der Rechtsprechung als nachbarschützend (<ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 1b). Die Beschwerdeführer sind von einer (behaupteten) übermässigen Höhe des geplanten Baus betroffen. Unabhängig von der Legitimation in der Sache können sie zudem die Verletzung von Verfahrensnormen rügen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (<ref-ruling> E. 3b S. 86). Bezüglich dieser beiden Aspekte (Gebäudehöhe und rechtliches Gehör) sind somit die Beschwerdeführer legitimiert und ist auf die Beschwerde einzutreten. Ausschliesslich öffentlichen Interessen dienen demgegenüber Ästhetikvorschriften (<ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 1b S. 90). Auf die Rüge, das Verschandelungsverbot sei verletzt, ist nicht einzutreten.
1.2 Die Beschwerdeführer rügen eine willkürliche Auslegung und Anwendung der Bestimmungen über die zulässige Gebäudehöhe, eine Verletzung von Ästhetikvorschriften sowie eine Missachtung des rechtlichen Gehörs. Sie sind als unmittelbare Nachbarn der projektierten Baute zur staatsrechtlichen Beschwerde legitimiert, soweit sie die willkürliche Anwendung von Normen rügen, die auch ihrem Schutz dienen, sich im Schutzbereich dieser Normen befinden und durch die behaupteten widerrechtlichen Auswirkungen der Baute betroffen werden (Art. 88 OG; <ref-ruling> E. 2c S. 46; <ref-ruling> E. 2a). Vorschriften, welche die Gebäudehöhe regeln, gelten nach der Rechtsprechung als nachbarschützend (<ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 1b). Die Beschwerdeführer sind von einer (behaupteten) übermässigen Höhe des geplanten Baus betroffen. Unabhängig von der Legitimation in der Sache können sie zudem die Verletzung von Verfahrensnormen rügen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (<ref-ruling> E. 3b S. 86). Bezüglich dieser beiden Aspekte (Gebäudehöhe und rechtliches Gehör) sind somit die Beschwerdeführer legitimiert und ist auf die Beschwerde einzutreten. Ausschliesslich öffentlichen Interessen dienen demgegenüber Ästhetikvorschriften (<ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 1b S. 90). Auf die Rüge, das Verschandelungsverbot sei verletzt, ist nicht einzutreten.
2. 2.1 Gemäss Art. 28 des Baureglements der Stadt Arbon vom 13. Juni 1999 ist in der hier massgebenden Zone eine Gebäudehöhe von 12 m zulässig. Unbestritten ist, dass beim Bau des bestehenden Gebäudes das gewachsene Terrain im Bereich des heute streitigen Anbauprojekts zulässigerweise aufgeschüttet wurde. Unbestritten ist ferner, dass das vorgesehene Projekt die zulässige Höhe um ca. 1,2 m überschreitet, wenn vom heutigen Terrain aus gemessen wird, und um ca. 4 m, wenn vom gewachsenen Terrain aus gemessen wird. Umstritten ist hingegen, welche Messweise anzuwenden ist.
2.2 § 8 Abs. 1 VPBG lautet:
"Wird die Gebäudehöhe in Metern festgelegt, ist die maximale Höhendifferenz zwischen der Schnittlinie der Dachfläche mit der Fassadenfläche und in der Regel dem gewachsenen Terrain massgebend. (...)."
Gemäss § 87 des alten Baugesetzes vom 28. April 1977 galt demgegenüber als Höhe von Gebäuden der in der Fassadenmitte gemessene Abstand des Dachgesimses vom tiefsten Punkt des gewachsenen oder in zulässiger Weise gestalteten Terrains.
Das DBU ist davon ausgegangen, mit der Streichung des Ausdrucks "oder des gestalteten Terrains" sei grundsätzlich nur noch vom gewachsenen Terrain aus zu messen. Das Verwaltungsgericht hat demgegenüber erwogen, wenn ein Bauvorhaben ergänzt werde, sei von der rechtskräftig bewilligten und ausgeführten Terraingestaltung der ersten Etappe auszugehen, da ein Ignorieren des aktuellen Zustandes und ein Abstellen auf das ursprünglich gewachsene Terrain zu unsinnigen Ergebnissen führen könne. Eine andere Beurteilung rechtfertige sich nur bei offensichtlich rechtsmissbräuchlichem Vorgehen. Wenn das gestaltete Terrain früher in einem Baubewilligungsverfahren bewilligt worden sei, sei dieses in zulässiger Weise gestaltete Terrain dem gewachsenen Terrain gleichzusetzen. Es sei somit von einer bestehenden Baute auszugehen, welche die heute geltende Gebäudehöhe von 12 m um "mindestens 1,2 m" überschreite.
Die Beschwerdeführer kritisieren diese Auffassung als willkürlich: Mit § 8 Abs. 1 VPBG sei bewusst von der bisherigen Regelung abgewichen worden, dies im Gegenzug dazu, dass in § 69 PBG die Terraingestaltung gegenüber der früheren Regelung liberalisiert wurde. Die Auslegung des Verwaltungsgerichts widerspreche der ständigen Praxis des DBU und verquicke die alte und die neue Gesetzesbestimmung, was bewirke, dass sowohl eine freie Aufschüttung als auch die anschliessende Messung vom aufgeschütteten Terrain aus möglich sei.
2.3 Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt sodann nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 5 S. 250; <ref-ruling> E. 4a; je mit Hinweisen).
2.4 Dass der angefochtene Entscheid der offenbar bisher ständigen Praxis des DBU widerspricht, bedeutet noch nicht, dass er willkürlich wäre. Es ist Aufgabe des Verwaltungsgerichts, die Praxis der Verwaltung auf ihre Rechtmässigkeit zu überprüfen. Dies kann durchaus zur Folge haben, dass eine Praxis erst nach Jahren für rechtswidrig erkannt wird, weil sie vorher nie zur gerichtlichen Beurteilung gelangt ist.
2.5 Nach § 8 Abs. 1 VPBG ist nur "in der Regel" das gewachsene Terrain massgebend. Dieser Wortlaut lässt Raum für gewisse Ausnahmen von der Regel. Unzulässig wäre eine Praxis, welche die Ausnahme zur Regel und die Regel zur Ausnahme werden liesse. Innerhalb dieser Schranken steht den kantonalen Behörden indessen von Verfassungs wegen ein erheblicher Spielraum zu. Die Auslegung der Beschwerdeführer hat zwar durchaus einiges für sich. Nach altem Recht durfte das gewachsene Terrain in der Regel nicht oder nur geringfügig verändert werden. Gemäss § 69 PBG sind nun bei Fehlen entgegenstehender kommunaler Regelungen Terrainveränderungen zulässig, sofern sie einer guten Umgebungsgestaltung dienen und dem Geländeverlauf in der Umgebung angepasst werden. Wird die Terraingestaltung freigegeben und anschliessend die zulässige Höhe vom so gestalteten Terrain aus gemessen, so wären Tür und Tor geöffnet, um immer höhere Bauten errichten zu können, was kaum der Absicht des Gesetzgebers entsprechen würde. Umgekehrt kann aber auch die Auffassung des Verwaltungsgerichts zumindest in der vorliegenden Konstellation nicht als unhaltbar betrachtet werden: Hier ist das Terrain gerade nicht gemäss neuem Gesetz frei gestaltet worden, sondern die Terraingestaltung ist nach nicht beanstandeter Feststellung des Verwaltungsgerichts (angefochtener Entscheid E. 3a S. 10) nach altem Recht bewilligt worden. Dadurch besteht eine gewisse Gewähr dafür, dass nicht beliebige Terrainaufschüttungen als Basis für die Höhenmessung genommen werden. Zudem hat das Verwaltungsgericht ausdrücklich den Fall von Neubauten vorbehalten, bei denen der Tendenz, mit "Maulwurfshügeln" Höhe zu schinden, durch das Abstellen auf das gewachsene Terrain begegnet werden soll. Ein solcher Fall liegt hier aber nicht vor. Insgesamt ist die Auffassung des Vewaltungsgerichts jedenfalls in der hier vorliegenden intertemporalrechtlichen Lage vertretbar. Ob sie auch für bestehende Bauten haltbar wäre, die bereits unter dem Regime des neuen Rechts errichtet worden sind und bei denen das Terrain frei gestaltet worden ist, steht nicht zur Diskussion. Es kann somit willkürfrei davon ausgegangen werden, dass der projektierte Anbau (nur) rund 1,2 m (und nicht rund 4 m) zu hoch ist.
2.5 Nach § 8 Abs. 1 VPBG ist nur "in der Regel" das gewachsene Terrain massgebend. Dieser Wortlaut lässt Raum für gewisse Ausnahmen von der Regel. Unzulässig wäre eine Praxis, welche die Ausnahme zur Regel und die Regel zur Ausnahme werden liesse. Innerhalb dieser Schranken steht den kantonalen Behörden indessen von Verfassungs wegen ein erheblicher Spielraum zu. Die Auslegung der Beschwerdeführer hat zwar durchaus einiges für sich. Nach altem Recht durfte das gewachsene Terrain in der Regel nicht oder nur geringfügig verändert werden. Gemäss § 69 PBG sind nun bei Fehlen entgegenstehender kommunaler Regelungen Terrainveränderungen zulässig, sofern sie einer guten Umgebungsgestaltung dienen und dem Geländeverlauf in der Umgebung angepasst werden. Wird die Terraingestaltung freigegeben und anschliessend die zulässige Höhe vom so gestalteten Terrain aus gemessen, so wären Tür und Tor geöffnet, um immer höhere Bauten errichten zu können, was kaum der Absicht des Gesetzgebers entsprechen würde. Umgekehrt kann aber auch die Auffassung des Verwaltungsgerichts zumindest in der vorliegenden Konstellation nicht als unhaltbar betrachtet werden: Hier ist das Terrain gerade nicht gemäss neuem Gesetz frei gestaltet worden, sondern die Terraingestaltung ist nach nicht beanstandeter Feststellung des Verwaltungsgerichts (angefochtener Entscheid E. 3a S. 10) nach altem Recht bewilligt worden. Dadurch besteht eine gewisse Gewähr dafür, dass nicht beliebige Terrainaufschüttungen als Basis für die Höhenmessung genommen werden. Zudem hat das Verwaltungsgericht ausdrücklich den Fall von Neubauten vorbehalten, bei denen der Tendenz, mit "Maulwurfshügeln" Höhe zu schinden, durch das Abstellen auf das gewachsene Terrain begegnet werden soll. Ein solcher Fall liegt hier aber nicht vor. Insgesamt ist die Auffassung des Vewaltungsgerichts jedenfalls in der hier vorliegenden intertemporalrechtlichen Lage vertretbar. Ob sie auch für bestehende Bauten haltbar wäre, die bereits unter dem Regime des neuen Rechts errichtet worden sind und bei denen das Terrain frei gestaltet worden ist, steht nicht zur Diskussion. Es kann somit willkürfrei davon ausgegangen werden, dass der projektierte Anbau (nur) rund 1,2 m (und nicht rund 4 m) zu hoch ist.
3. 3.1 Das Verwaltungsgericht hat den Anbau als Anwendungsfall der Besitzstandsgarantie von § 81 Abs. 2 (recte: Abs. ) PBG betrachtet. Diese Bestimmung lautet:
"Bestehende, rechtmässig erstellte Bauten und Anlagen, die den geltenden Vorschriften oder Plänen nicht entsprechen, dürfen zeitgemäss erneuert, umgebaut, erweitert oder in ihrem Zweck geändert werden, soweit dadurch der Widerspruch zum geltenden Recht nicht wesentlich verstärkt wird."
Das Verwaltungsgericht hat erwogen, diese Erweiterungsgarantie finde ihre quantitative Grenze in neubauähnlichen Vorhaben einerseits (wobei eine Vergrösserung um 25-40% toleriert werde) und in einer wesentlichen Verstärkung der Rechtswidrigkeit andererseits, was sich auf Sinn und Schutzziel der Norm beziehe. Der projektierte Anbau führe nicht zu einer erweiterten Rechtsabweichung, da der Erweiterungsbau die gleiche Höhe aufweise wie der bestehende Bau. Die kubische Erweiterung betrage je nach Berechnung zwischen 20 und 45% und liege somit noch im zulässigen Bereich bzw. knapp darüber. Es gehe um eine Erweiterung der Kapazitäten und nicht um einen neubauähnlichen Anbau. Bei der Beeinträchtigung in Bezug auf die bereits bestehende Rechtswidrigkeit sei auch den beteiligten Interessen Rechnung zu tragen. Dabei sei zu berücksichtigen, dass eine regelkonforme Baute, welche die zulässige Höhe einhalten, dafür aber den östlichen Grenzabstand ausnützen würde, für die Beschwerdeführer eine viel grössere Beeinträchtigung darstellen würde.
3.2 Nebst einer teilweise rein appellatorischen Kritik, auf die nicht weiter einzugehen ist (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG), rügen die Beschwerdeführer die Annahme des Verwaltungsgerichts als willkürlich, wonach die Erweiterung zwischen 20 und 45% der Kubatur betrage. In Wirklichkeit mache sie 49% aus, was deutlich über dem zulässigen Mass liege.
Das Verwaltungsgericht hat zwar nicht begründet, wie es zu den 2045% gelangt ist. Umgekehrt begründen aber auch die Beschwerdeführer nicht, inwiefern die Auffassung des Verwaltungsgerichts willkürlich sein bzw. weshalb die Volumenvergrösserung 49% betragen soll. Der von ihnen in der Vernehmlassung vor dem Verwaltungsgericht vorgenommene blosse Vergleich der Gebäudelängen (bestehendes Gebäude: 36,65 m; Neubau: 18,27 m) belegt dies jedenfalls nicht, da die Breite des Neubaus kleiner ist als diejenige des bestehenden Baus, wenn - was sachgerecht erscheint (vgl. § 10 Abs. 3 Ziff. 7 und § 12 Abs. 2 VPBG) - die Balkone nicht mitgerechnet werden. Auch die Länge des Anbaus beträgt dann nicht 18,27 m, sondern nur rund 16 m. Zudem ist das 3. Obergeschoss zurückgestaffelt. Eine überschlagsmässige Berechnung anhand der Pläne (jeweils ohne Untergeschoss, vgl. § 12 VPBG) ergibt für den bestehenden Bau ein Volumen von ca. 8'600 m3, für den Neubau (ohne Balkone) ca. 3'200 m3, was einer Erweiterung der Kubatur um ca. 37% entspricht. Dies liegt in dem vom Verwaltungsgericht als zulässig angenommenen Rahmen, von welchem wiederum die Beschwerdeführer nicht darlegen, inwiefern er willkürlich sein soll.
3.3 Zusätzlich hat das Verwaltungsgericht erwogen, mit dem Anbau werde lediglich die Höhe der bestehenden Baute fortgesetzt. Dies trifft zu. Unbegründet ist die Rüge der Beschwerdeführer, schon die bestehende Baute sei seinerzeit nicht regelkonform gewesen. Das Verwaltungsgericht hat ausgeführt, nach dem damals gültigen Baureglement vom 11. November 1975 hätten in der Zone für öffentliche Bauten keine Höhenvorschriften bestanden und es sei nicht ersichtlich, dass damals eine Ausnahmebewilligung erforderlich gewesen sei. Die Beschwerdeführer legen nicht dar, inwiefern diese Annahme willkürlich sein soll. Das alte Baureglement hat in der Tat für die Zone für öffentliche Bauten keine Maximalhöhe festgelegt. Die Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin in einem früheren Verfahrensabschnitt irrtümlich ausgeführt hat, die Baute sei mit einer Ausnahmebewilligung erstellt worden, belegt die Regelwidrigkeit nicht, zumal im Verwaltungsrechtspflegeverfahren nicht die Verhandlungs-, sondern die Untersuchungsmaxime gilt (§ 12 Abs. 1 des thurgauischen Gesetzes vom 23. Februar 1981 über die Verwaltungsrechtspflege). Es kann somit davon ausgegangen werden, dass die bestehende Baute ursprünglich reglementskonform war und bloss dem seither geänderten Baureglement nicht mehr entspricht.
3.4 Es ist auch nicht unhaltbar, wenn das Verwaltungsgericht für die Beurteilung, ob durch den Anbau der Widerspruch zum geltenden Recht wesentlich verstärkt werde, auf die beteiligten Interessen Bezug genommen hat (vgl. <ref-ruling> E. 3d). Es hat dabei erwogen, die Regelbauweise würde eine Baute zulassen, welche für die Beschwerdeführer eine viel grössere Beeinträchtigung wäre. Die Beschwerdeführer bestreiten dies zwar und bringen vor, die Variante mit dem östlichen (statt dem südlichen) Anbau wäre ihnen lieber, weil dadurch jedenfalls für die Beschwerdeführer 1 und 4 die Aussicht vollkommen belassen würde. Sie übersehen dabei, dass die Regelbauweise nicht nur einen östlichen Anbau, sondern zudem auch einen südlichen Anbau (in der reglementskonformen Höhe von 12 m) zulassen würde, so dass auch in diesem Fall die Aussicht nicht wesentlich weniger beeinträchtigt wäre als mit dem jetzt bewilligten (um rund 1,2 m zu hohen) Projekt. Gegen ein solches Vorhaben könnten sich die Beschwerdeführer nicht mit Erfolg wehren. Regelkonform wäre zudem auch eine Baute, die über einer Fassadenhöhe von 12 m noch ein Giebeldach aufweist (§ 8 Abs. 1 VPBG) und somit effektiv höher wäre als der jetzt streitige Anbau. Dieser führt somit nicht zu einer wesentlichen Verstärkung der Rechtswidrigkeit im Vergleich zu dem, was bei reglementskonformer Bauweise zulässig wäre.
3.5 Das Verwaltungsgericht konnte somit willkürfrei die Voraussetzungen der Besitzstandsgarantie gemäss § 81 Abs. 1 PBG bejahen. Indem diese Bestimmung nicht nur die weitere Nutzung der bestehenden regelwidrigen Baute, sondern auch deren Erweiterung zulässt, geht sie zwar über das verfassungsrechtliche Minimum hinaus, doch ist dies dem kantonalen Gesetzgeber (innerhalb der Bauzone) nicht verwehrt (<ref-ruling> E. 2a; Haller/Karlen, Raumplanungs-, Bau- und Umweltrecht, Bd. I, 3. Aufl., Zürich 1999, S. 224 Rz. 819). Gewiss wäre eine strengere Betrachtung ebenfalls verfassungsrechtlich haltbar (vgl. etwa Bundesgerichtsentscheid vom 18. Januar 1990, in ZBl 91/1990 S. 354 E. 3c/aa; Urteil 1P.236/2000 vom 10. August 2000, E. 3c), doch kann auch die Auffassung des Verwaltungsgerichts nicht als verfassungswidrig bezeichnet werden.
3.6 Bei diesem Ergebnis brauchte das Verwaltungsgericht die Frage nicht zu prüfen, ob auch eine Ausnahmebewilligung nach § 79 PBG möglich gewesen wäre. Eine Auseinandersetzung mit den entsprechenden Vorbringen der Beschwerdeführer erübrigt sich daher.
3.6 Bei diesem Ergebnis brauchte das Verwaltungsgericht die Frage nicht zu prüfen, ob auch eine Ausnahmebewilligung nach § 79 PBG möglich gewesen wäre. Eine Auseinandersetzung mit den entsprechenden Vorbringen der Beschwerdeführer erübrigt sich daher.
4. 4.1 Die Beschwerdeführer rügen schliesslich eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, da sich das Verwaltungsgericht mit keinem Wort zum Verschandelungsverbot geäussert habe.
4.2 Wie dargelegt, vertritt das Verwaltungsgericht in seiner Vernehmlassung vor dem Bundesgericht die Auffassung, das DBU könne immer noch aus Gründen des Ortsbildschutzes die Baubewilligung verweigern. Dies ergibt sich allerdings aus dem angefochtenen Entscheid nicht. Darin wird vielmehr das DBU vorbehaltlos angewiesen, die Bewilligung zu erteilen. Nach dem Dispositiv und den Erwägungen des angefochtenen Entscheids muss davon ausgegangen werden, dass damit über das Projekt verbindlich entschieden worden ist (vgl. vorne E. 1.1). Die Parteien haben das Urteil denn offensichtlich (mit Recht) auch so verstanden.
4.3 Wie ausgeführt (E. 1.1), hat sich das DBU zum Ortsbildschutz geäussert und das Projekt unter diesem Aspekt als zulässig bezeichnet. Die heutige Beschwerdegegnerin hatte in ihrer Beschwerde an das Verwaltungsgericht keinen Anlass, sich zu diesem Punkt zu äussern. Demgegenüber haben sich die heutigen Beschwerdeführer in ihrer Vernehmlassung zum Ortsbildschutz geäussert. In dieser Situation hätte das Verwaltungsgericht entweder - wenn es das DBU vorbehaltlos anweisen wollte, die Baubewilligung zu erteilen - sich mit dem von den heutigen Beschwerdeführern thematisierten Aspekt des Ortsbildschutzes auseinandersetzen müssen, um dem Anspruch auf rechtliches Gehör zu genügen, oder dann hätte es in seinem Rückweisungsentscheid das DBU anhalten müssen, diese Frage nochmals zu prüfen. Es hat aber keines von beidem gemacht und damit den Anspruch der Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör verletzt, indem es einen Endentscheid getroffen hat, ohne sich zu der thematisierten Frage des Ortsbildschutzes zu äussern.
Die Beschwerdegegnerin verweist zwar auf <ref-ruling> E. 1a, wonach nicht auf dem Umweg über die Rüge der Verletzung von Verfahrensvorschriften materielle Fragen zur Prüfung vorgelegt werden können. Vorliegend geht es aber nicht darum, dass das Bundesgericht eine vom Verwaltungsgericht vorgenommene materielle Prüfung überprüft; vielmehr hat sich das Verwaltungsgericht zum Ortsbildschutz materiell gar nicht geäussert und damit eine formelle Rechtsverweigerung begangen. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in diesem Punkt gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Das Verwaltungsgericht hat entweder sich selber zum Aspekt des Ortsbildschutzes zu äussern oder die Sache in diesem Punkt an das DBU zur erneuten Prüfung zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin verweist zwar auf <ref-ruling> E. 1a, wonach nicht auf dem Umweg über die Rüge der Verletzung von Verfahrensvorschriften materielle Fragen zur Prüfung vorgelegt werden können. Vorliegend geht es aber nicht darum, dass das Bundesgericht eine vom Verwaltungsgericht vorgenommene materielle Prüfung überprüft; vielmehr hat sich das Verwaltungsgericht zum Ortsbildschutz materiell gar nicht geäussert und damit eine formelle Rechtsverweigerung begangen. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in diesem Punkt gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Das Verwaltungsgericht hat entweder sich selber zum Aspekt des Ortsbildschutzes zu äussern oder die Sache in diesem Punkt an das DBU zur erneuten Prüfung zurückzuweisen.
5. Die Beschwerde erweist sich damit als teilweise begründet, allerdings in einem gesamthaft eher untergeordneten Punkt. Es rechtfertigt sich daher, die Verfahrenskosten zu drei Vierteln den Beschwerdeführern und zu einem Viertel der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1-3 OG). Im gleichen Verhältnis sind die Parteikosten zu verlegen (Art. 159 Abs. 3 OG), wobei die gegenseitigen Ansprüche der Parteien verrechnet werden, so dass die Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin im Ergebnis eine reduzierte Parteientschädigung zu leisten haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 27. November 2002 wird aufgehoben.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 27. November 2002 wird aufgehoben.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 3‘000.-- wird zu drei Vierteln, ausmachend Fr. 2‘250.--, den Beschwerdeführern und zu einem Viertel, ausmachend Fr. 750.--, der Beschwerdegegnerin auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 3‘000.-- wird zu drei Vierteln, ausmachend Fr. 2‘250.--, den Beschwerdeführern und zu einem Viertel, ausmachend Fr. 750.--, der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2‘000.-- zu entschädigen
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2‘000.-- zu entschädigen
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat Arbon, dem Departement für Bau und Umwelt sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2003
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: