Erwägungen:
1. Das Bundesgericht entscheidet in Dreierbesetzung bei Einstimmigkeit über die Abweisung offensichtlich unbegründeter Beschwerden (<ref-law>). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (<ref-law>).
2. Mit Verfügung vom 11. August 2008 stellte die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt eine gegen zwei beanzeigte Personen eingeleitete Strafuntersuchung ein. Einen vom Anzeigesteller dagegen erhobenen Rekurs wies das Strafgericht Basel-Stadt, Rekurskammer, am 18. Oktober 2009 ab.
Auf ein Gesuch des Anzeigestellers vom 30. April 2010 um Wiederaufnahme des Strafverfahrens trat die Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 12. Mai 2010 nicht ein. Den vom Anzeigesteller dagegen erhobenen Rekurs wies das Strafgericht Basel-Stadt, Rekurskammer, am 17. Januar 2011 ab. Auf die von der Beschwerdeführerin dagegen erhobene Beschwerde trat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsidentin, mit Entscheid vom 12. März 2012 nicht ein. Gegen diesen Nichteintretensentscheid richtet sich die am 21. Mai 2012 beim Bundesgericht erhobene Beschwerde.
Die privaten Beschwerdegegner und die Vorinstanz beantragen je die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen. Eine Replik der Beschwerdeführerin ging innert Frist nicht ein.
3. Ist ein Entscheid vor Inkrafttreten der StPO (1. Januar 2011) gefällt worden, so werden Rechtsmittel dagegen nach bisherigem Recht und von den bisher zuständigen Behörden beurteilt (<ref-law>). Die hier streitige Verfügung (betreffend Nichtwiederaufnahme des Strafverfahrens) datiert vom 12. Mai 2010, weshalb die dagegen erhobenen Rechtsmittel altrechtlich, nach den Bestimmungen der baselstädtischen Strafprozessordnung, zu beurteilen sind.
Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin kommt es für die Frage, ob ein Entscheid vor dem 1. Januar 2011 gefällt wurde, auf das Datum des erstinstanzlichen Entscheides an, nicht auf dasjenige des Rekursentscheides (<ref-ruling> E. 1.1 S. 147; 219 E. 1.1 S. 221; 352 E. 1.2 S. 355; je mit Hinweisen). Dass für die intertemporalrechtliche Anwendung des BGG spezifische Regeln gelten, vermag daran nichts zu ändern und beruht auf der dort massgeblichen Vorschrift von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 222 mit Hinweisen).
4. Die altrechtlich zuständige Rekurskammer des Strafgerichts hat den Rekurs gegen die Verfügung vom 12. Mai 2010 gestützt auf die baselstädtische Strafprozessordnung abgewiesen. Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie auf die Beschwerde gegen den Rekursentscheid nicht eingetreten ist.
5. Die Vorinstanz legt dar, dass altrechtlich kein weiteres kantonales Rechtsmittel gegen den Rekursentscheid zulässig ist. Insbesondere geht es hier nicht um ein erstinstanzliches Gerichtsurteil (im Sinne von <ref-law>/BS). Die neurechtlichen Bestimmungen von <ref-law> (betreffend Beschwerde an die kantonale Beschwerdeinstanz) sind nicht anwendbar. Die einschlägigen Übergangsbestimmungen der StPO sehen keinen "kumulativen" Beschwerdeweg über die altrechtlichen und die neurechtlich zuständigen Rekursinstanzen vor (vgl. <ref-law>). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin folgt weder aus <ref-law> noch aus <ref-law> etwas Gegenteiliges. <ref-law> behält ausdrücklich die spezifischen intertemporalrechtlichen Bestimmungen für hängige Rechtsmittelverfahren als "leges speciales" vor. Auch aus <ref-law> lässt sich im vorliegenden Zusammenhang nichts anderes ableiten, zumal für die kantonale Behördenorganisation ebenfalls das alte Recht übergangsrechtlich weiterdauert (<ref-law>). Im Übrigen legt die Beschwerdeführerin selbst dar, dass der (ihren Ehemann betreffende) Rekursentscheid vom 18. Oktober 2009 betreffend Einstellung des Strafverfahrens nicht mit einem Rechtsmittel angefochten wurde und dass die kantonalen Instanzen dem Gesuch (ihres Ehemannes) vom 30. April 2010 um Wiederaufnahme des Strafverfahrens keine Folge leisteten.
6. Der angefochtene Nichteintretensentscheid erweist sich als bundesrechtskonform. Die dagegen erhobene Beschwerde ist als offensichtlich unbegründet abzuweisen.
Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine auszurichten, zumal den als Anwälten in eigener Sache handelnden privaten Beschwerdegegnern kein besonderer Aufwand entstanden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 304).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster