Sachverhalt:
A. A.a V._ starb 1975 und hinterliess seine Ehefrau X._ (im Folgenden: Beschwerdeführerin 1) sowie die drei Kinder S._ (im Folgenden: Beschwerdegegner), Y._ (im Folgenden: Beschwerdeführerin 2) und Z._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) als Erben. Seine Liegenschaft GB A._ ging zu 7/16 auf die Beschwerdeführerin 1 und zu je 3/16 auf die Kinder über.
A.b Die Beschwerdeführerin 1 hatte am 19. September 1980 dem Beschwerdegegner ein Darlehen von Fr. 80'000.-- gewährt. Da die Rückzahlung ausblieb, versuchte sie, die Forderung durch Zwangsvollstreckung einzutreiben. Am 2. September 1996 stellte ihr das Betreibungsamt B._ einen Verlustschein über den Gesamtbetrag von Fr. 90'765.20 aus.
A.c Die Beschwerdeführerin 1 zog im Jahr 2004 ins Altersheim C._. Zur Finanzierung der Heimkosten betrieb sie den Beschwerdegegner aufgrund des Verlustscheins über Fr. 90'765.20 erneut. Im Rechtsöffnungsverfahren obsiegte sie mit Verfügung des Bezirksgerichts Meilen vom 16. März 2006 und hernach im Aberkennungsverfahren mit Urteil des Bezirksgerichts Meilen vom 18. Dezember 2006. Der Beschwerdegegner wird von der R._ AG betrieben, welche die Verwertung seines Miteigentumsanteils von 3/16 an der Liegenschaft GB Nr. 1 verlangt. Der Anteil hat gemäss betreibungsamtlicher Schätzung einen Wert von Fr. 46'500.--.
A.d Der Beschwerdegegner ist Verwaltungsratspräsident der R._ AG und zugleich ihr Mehrheitsaktionär. Die Beschwerdeführer befürchten, dass es sich bei der angesetzten Verwertung um ein rechtsmissbräuchliches Vorgehen handle, das ausschliesslich dazu diene, den Verkauf des Hauses zu hintertreiben und den Miteigentumsanteil des Beschwerdegegners der Zwangsvollstreckung durch seine in finanzielle Schwierigkeiten geratene Mutter zu entziehen. Sie verlangten daher mit Eingabe vom 15. März 2007 vom Betreibungsamt A._, die von der R._ AG erwirkte Pfändung wegen Rechtsmissbrauchs zu löschen. Das Betreibungsamt erachtete die Voraussetzungen hierfür als nicht erfüllt und wies das Begehren mit in Briefform verfasster Verfügung vom 22. März 2007 ab.
B. Mit Eingabe vom 1. April 2007 beschwerten sich die Beschwerdeführer beim Obergericht des Kantons Schaffhausen als Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen. Sie beantragten im Wesentlichen, die Verfügung des Betreibungsamts vom 22. März 2007 aufzuheben, das Verfahren der R._ AG auf Grundpfandverwertung zu löschen und ein neues Verfahren auf Grundpfandverwertung zugunsten der Beschwerdeführerin 1 zu eröffnen.
Mit Entscheid vom 8. Februar 2008 wurde das Rechtsmittel abgewiesen, soweit darauf einzutreten war.
C. C.a Mit Beschwerde vom 17. Februar 2008 haben die Beschwerde-führer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Sie beantragen in der Hauptsache, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und ihre Anträge gemäss ihrer Eingabe vom 1. April 2007 an das Obergericht gutzuheissen.
C.b Am 30. März 2008 haben die Beschwerdeführer wegen der vom Betreibungsamt auf den 21. Mai 2008 angesetzten Verwertung des Miteigentumsanteils das Gesuch um aufschiebende Wirkung gestellt. Das Betreibungs- und Konkursamt hat auf Stellungnahme zum Gesuch verzichtet, und das Obergericht hat sich nicht vernehmen lassen. Der Beschwerdegegner beantragt, das Gesuch abzuweisen.
In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Die Beschwerde ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen (<ref-law>). Beschwerdeentscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden über Verfügungen der Vollstreckungsorgane gemäss <ref-law> sind Endentscheide im Sinne von <ref-law> und unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze anfechtbar (<ref-law>). Auf die fristgerecht erhobene Beschwerde ist damit grundsätzlich einzutreten (<ref-ruling> E. 1.2).
1.2 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Verfassungsrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Tatbeständliche Feststellungen können nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sind (zu den Begründungsanforderungen: <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
1.3 Von vornherein nicht eingetreten werden kann auf das Begehren der Beschwerdeführer, ihre Anträge gemäss ihrer Eingabe vom 1. April 2007 an das Obergericht gutzuheissen, denn Verweisungen auf Eingaben im kantonalen Verfahren sind unzulässig (<ref-ruling> E. 3.2 S. 400).
2. Die Beschwerdeführer tragen vor, das Obergericht habe das rechtliche Gehör verletzt, weil es auf ihre Vorbringen nicht eingegangen sei, sondern nur diejenigen der Beschwerdegegner berücksichtigt habe. Sie hätten nie geltend gemacht, das Vorgehen der R._ AG sei rechtsmissbräuchlich, sondern vielmehr, dass die R._ AG und der Beschwerdegegner mit den Zwangsvollstreckungsmassnahmen einzig den Zweck verfolgten, verwertbare Vermögensteile des Beschwerdegegners dem Zugriff durch seine rechtmässigen Gläubiger zu entziehen.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Begründung eines Entscheids so abgefasst ist, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dabei darf sich die Behörde auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 2b S. 102 f., mit Hinweisen). Die Verfassungsrüge geht fehl. Das Obergericht hat den Beschwerdeführern hinreichend klar gemacht, dass und weshalb eine rechtsmissbräuchliche Betreibung nach seiner Beurteilung nicht vorliegt (nachfolgend: E. 3.1). Es war den Beschwerdeführern auch ohne weiteres möglich, den Entscheid der Vorinstanz anzufechten.
3. 3.1 Die Vorinstanz führt - zusammengefasst - aus, auf Nichtigkeit einer Betreibung wegen Rechtsmissbrauchs könne nur in Ausnahmefällen erkannt werden, nämlich wenn es offensichtlich sei, dass der Gläubiger mit der Betreibung Ziele verfolge, die nicht das Geringste mit der Zwangsvollstreckung zu tun hätten, wie etwa die Kreditschädigung, Verwirrung, Bedrängung, Zermürbung oder Schikanierung des Schuldners (Wüthrich/Schoch, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, SchKG I, Basel/Genf/München 1998, Art. 69 N. 16, S. 554 f.).
Das Obergericht fährt fort, am 27. Januar 1998 habe die R._ AG den Miteigentumsanteil des Beschwerdegegners an der Liegenschaft A._ für den Forderungsbetrag von Fr. 343'676.95 nebst Zins verarrestieren lassen. Davon habe sie wiederum die Teilzahlung des Betreibungsamts B._ über Fr. 111'294.80 sowie die Teilzahlungen über Fr. 260.-- und Fr. 615.90 abgezogen. Am 4. Mai 1998 habe die R._ AG das Fortsetzungsbegehren gestellt, und am 16. Juli 1998 sei die Pfändungsurkunde ausgestellt worden. Aus diesen betreibungsrechtlichen Vorgängen gehe hervor, dass die R._ AG gegen den Beschwerdegegner nicht nur - wie in <ref-ruling> ff - innert kurzer Zeit mehrfach Betreibungen eingeleitet habe. Sie habe die jeweiligen Betreibungen vielmehr jedes Mal fortgesetzt. Zumindest 1992 habe sie auch das Verwertungsbegehren gestellt und einen Pfanderlös erzielt. Die nunmehr von der R._ AG verlangte und vorliegend in Frage stehende Verwertung des Miteigentumsanteils des Beschwerdegegners für den Forderungsbetrag von Fr. 231'506.25 nebst Zins könne somit allein aufgrund des bisherigen Verhaltens der R._ AG im Zwangsvollstreckungsverfahren nicht als rechtsmissbräuchlich betrachtet werden.
3.2 Indem die Vorinstanz die Frage des Rechtsmissbrauchs materiell behandelt hat, hat sie die Befugnis der Beschwerdeführer, ein Begehren auf Feststellung der Nichtigkeit der Betreibung bzw. der Pfändung zu stellen, jedenfalls implizit bejaht. Die Praxis, wonach ganz ausnahmsweise die Feststellung der Nichtigkeit einer Betreibung verlangt werden kann, ist für Fälle konzipiert, wo die Betreibung offensichtlich nichts mit einer Zwangsvollstreckung gegen den Schuldner zu tun hat, sondern deren einziger Zweck es ist, diesen zu bedrängen, zu schikanieren (<ref-ruling> ff.; Urteil 5C.190/2002 vom 11. Dezember 2003, E. 3.1; Urteil 7B.182/2005 vom 1. Dezember 2005, E. 2). Legitimiert zu diesem Begehren ist der Schuldner. Nur dieser ist durch die Betreibung bzw. Pfändung unmittelbar tangiert, nicht aber Dritte, die aus irgendwelchen anderen Gründen an der Betreibung bzw. Pfändung Anstoss nehmen.
Die Beschwerdeführer sind nicht legitimiert, sich auf <ref-law> und <ref-law> zu berufen. Denn die Beschwerdeführerin 1 hätte nach Kenntnisnahme des Begehrens der R._ AG auf Pfändung des Anteils des Beschwerdegegners am Gemeinschaftsvermögen ihrerseits den Beschwerdegegner betreiben bzw. Pfändungsanschluss verlangen können. Mit Kollokationsklage (Art. 157 Abs. 4 i.V.m. <ref-law>) hätte sie dann die Forderung der R._ AG bestreiten und beantragen können, diese aus dem Kollokationsplan zu weisen, weil sie gar nicht bestehe bzw. rechtsmissbräuchlich geltend gemacht werde. Für die Aufhebung der Betreibung bzw. Pfändung, welche die Beschwerdeführer verlangen, fehlt ihnen ein rechtlich geschütztes Interesse (<ref-law>), weshalb sie zu den gestellten Begehren nicht befugt sind.
4. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit da-rauf einzutreten ist, womit die Beschwerdeführer kostenpflichtig werden (<ref-law>).
Die Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegner, der zu einer Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung aufgefordert wurde, unter solidarischer Haftung angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 4 in Verbindung mit <ref-law>).
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegner mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. April 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett