Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer stellte am 26. Januar 2009 Strafantrag gegen Y._ (Beschwerdegegner) wegen Beschimpfung. Dieser ist Mitarbeiter des Bauinspektorats und war in jenem Zeitpunkt schon seit einiger Zeit in ständigem, zunehmend konfliktgeladenem Kontakt mit dem Beschwerdeführer, welcher die baulichen und hygienischen Zustände des Restaurants in der von ihm bewohnten Liegenschaft kritisierte. Nach seiner Darstellung soll ihm der Beschwerdegegner anlässlich eines Telefongesprächs gesagt haben: "Gehen Sie wieder nach Hause, von wo Sie herkommen, mir reicht's". Der Beschwerdegegner bestätigte den ihm vorgeworfenen Ausspruch im Grundsatz, präzisierte jedoch, er habe dem Beschwerdeführer anlässlich eines Gesprächs, worin es um Beanstandungen u.a. auch der hygienischen Verhältnisse des Restaurantbetriebs gegangen sei, gesagt: "Wenn Ihnen die hygienischen Verhältnisse hier nicht passen, so müssen Sie dahin gehen, wo sie herkommen". Hinsichtlich des Anlasses für diese Äusserung wies der Beschwerdegegner wiederholt auf die besonderen Umstände und den schwierigen Umgang mit dem Beschwerdeführer hin. Die Strafgerichtspräsidentin des Kantons Basel-Stadt sprach den Beschwerdegegner am 24. November 2009 vom Vorwurf der Beschimpfung frei. Die dagegen erhobene Beschwerde des Beschwerdeführers wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 6. Dezember 2010 ab. Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht. Die als "Staatsrechtliche Beschwerde gemäss § 113 BGG" bezeichnete Eingabe ist als Beschwerde in Strafsachen nach Art. 78 ff. BGG entgegenzunehmen. Damit kann grundsätzlich jede Rechtsverletzung geltend gemacht werden, die bei der Anwendung von materiellem Strafrecht oder Strafprozessrecht begangen wird (<ref-ruling> E. 1.4.3). Dies gilt auch für die Verletzung von Verfassungsrecht (Art. 95 BGG). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist somit ausgeschlossen (Art. 113 BGG).
2. Der Beschwerdeführer ficht im vorliegenden Verfahren den Zwischenentscheid der Vorinstanz vom 20. August 2010 betreffend die Ablehnung des Ausstandsgesuchs gegen einen vorinstanzlichen Instruktionsrichter an. Dieser Entscheid wurde dem Beschwerdeführer am 13. Oktober 2010 separat - mit ausdrücklicher Rechtsmittelbelehrung und unter Hinweis auf die 30-tägige Beschwerdefrist gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG - eröffnet. Der damals anwaltlich vertretene Beschwerdeführer machte von dieser Anfechtungsmöglichkeit keinen Gebrauch. Er liess die 30-tägige Beschwerdefrist zur Anfechtung des Ausstandsentscheids vom 20. August 2010 vielmehr unbenutzt verstreichen. Gemäss Art. 92 Abs. 2 BGG ist die spätere Anfechtung eines selbstständig eröffneten Zwischenentscheids über Ausstandsbegehren - im Gegensatz zu andern Vor- und Zwischenentscheiden im Sinne von Art. 93 StGB - mit der Hauptsache nicht mehr möglich. Auf die Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer den separat eröffneten Zwischenentscheid vom 20. August 2010 zusammen mit dem Entscheid in der Hauptsache kritisiert. Ebenfalls nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Identität der erstinstanzlichen Verfahrensrichterin sei ihm bis zum Verhandlungstag vorenthalten und ihm damit diesbezüglich die Durchsetzung des Anspruchs auf Ausstand verunmöglicht worden. Der Beschwerdeführer erhebt diese Rüge erstmals im Verfahren vor Bundesgericht, wiewohl er sie ohne weiteres bereits im kantonalen Verfahren hätte geltend machen können und müssen. Mangels Erschöpfung des kantonalen Instanzenzugs fehlt es insoweit an einem zulässigen Anfechtungsobjekt nach Art. 80 Abs. 1 BGG.
3. Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich unrichtige bzw. willkürliche Feststellung des Sachverhalts und eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo". Die Vorinstanz habe sich mit der Beweislage unzureichend auseinandergesetzt.
3.1 Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung kann mit Erfolg nur gerügt werden, wenn sie willkürlich im Sinne von Art. 9 BV ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1). Willkür liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist oder mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht. Die Rüge der Willkür muss in der Beschwerdeschrift anhand des angefochtenen Entscheids präzise vorgebracht und begründet werden, ansonsten darauf nicht eingetreten wird (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
Ebenfalls nur unter dem Gesichtspunkt der Willkür prüft das Bundesgericht, inwiefern das Sachgericht den Grundsatz "in dubio pro reo" als Beweiswürdigungsregel verletzt hat. Diese aus der Unschuldsvermutung (Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) abgeleitete Maxime wurde in der Rechtsprechung wiederholt dargelegt, worauf zu verweisen ist (<ref-ruling> E. 2a S. 40 f. mit Hinweisen).
3.2 Der Vorwurf des Beschwerdeführers ist nicht stichhaltig. Von einer einseitigen oder voreingenommenen Beweiswürdigung kann keine Rede sein. Die Vorinstanz würdigt vielmehr sämtliche relevanten Standpunkte beider Parteien unter Berücksichtigung der zunehmend spannungs- und konfliktgeladenen Vorgeschichte. Die Vorinstanz kommt zum Schluss, dass die Darstellung des Beschwerdegegners nicht minder glaubhaft sei als diejenige des Beschwerdeführers. Dass und inwiefern dieser Schluss im Sinne von Art. 9 BV willkürlich sein sollte, ist nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer zeigt dies auch nicht auf. In seiner Beschwerde beschränkt er sich vielmehr darauf, seine Sicht der Dinge darzulegen und Gründe vorzubringen, weshalb die Aussage des Beschwerdegegners weniger glaubhaft sei als seine eigene bzw. die geltend gemachte Präzisierung der Aussage des Beschwerdegegners in Bezug auf die hygienischen Verhältnisse als Schutzbehauptung zu beurteilen sei. Weshalb die Würdigung im angefochtenen Entscheid offensichtlich falsch sein soll, legt er indessen nicht dar. Seine Vorbringen, die im Vorwurf gipfeln, die Vorinstanz unterstütze den Beschwerdegegner in der "Ausübung der rassistischen Beschimpfung", sind damit nicht geeignet, Willkür darzutun. Der angefochtene Entscheid ist insofern verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden. Das gilt entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers auch, soweit die Vorinstanz - in Anwendung des Grundsatzes "in dubio pro reo" - bei der rechtlichen Würdigung des Falles von den Sachverhaltsschilderungen des Beschwerdegegners ausgeht. In Bezug auf die übrigen vom Beschwerdeführer als verletzt angerufenen Bestimmungen der Bundesverfassung (etwa Art. 7, 8, 29, 29a, 30 BV) und der EMRK ist weder ersichtlich noch dargelegt, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die Verfassung oder die Konvention verstossen könnte.
4. Der Beschwerdeführer hält die rechtliche Beurteilung der Vorinstanz zu Unrecht für bundesrechtswidrig. Abgesehen davon, dass die Kundgabe einer Missachtung nur mit einer gewissen Zurückhaltung anzunehmen ist, kann eine Äusserung - je nach den Umständen, unter denen sie erfolgt - einmal als tragbar und ein andermal als verwerflich empfunden werden (vgl. <ref-ruling> E. c; Urteil 6S.176/1992 vom 12. Juni 1992 E. 3a; MARTIN SCHUBARTH, Kommentar zum Schweizerischen Strafrecht, 3. Band 1984, Art. 177 N. 9; GÜNTER STRATENWERTH/GUIDO JENNY, Schweizerisches Strafrecht, Besonderer Teil I, 6. Aufl., Bern 2003, § 11 N. 71). Die Vorinstanz führt aus, der Beschwerdeführer habe sich beim Beschwerdegegner monatelang mit Emails, Schreiben und Telefonaten über Lärm- und Geruchsbelästigungen sowie die Nichteinhaltung behördlicher Auflagen durch die Restaurantbetreiber beschwert. Die aufgrund von Abklärungen erfolgten Versicherungen des Beschwerdegegners, dass Grenzwerte und Auflagen eingehalten seien, seien beim Beschwerdeführer auf taube Ohren gestossen. Dieser habe jenen vielmehr mit Korruptions-, Willkür-, Fälschungs- und Verleumdungsvorwürfen konfrontiert und ihm mangelnde Professionalität, Parteilichkeit und zweifelhafter Sachverstand vorgeworfen. Ob die Äusserung des Beschwerdegegners "Wenn Ihnen die hygienischen Verhältnisse hier nicht passen, so müssen Sie dahin gehen, wo sie herkommen", für sich genommen ehrverletzend ist, kann offenbleiben. Im genannten Kontext stellt sie jedenfalls kein Zeichen der Geringschätzung des Beschwerdeführers als Person dar, sondern - wie die Vorinstanz zutreffend festhält - ein Zeichen der Hilflosigkeit und der Frustration angesichts der ständigen Vorwürfe des Beschwerdeführers. Die Vorinstanz durfte deshalb ohne Bundesrechtsverletzung den Tatbestand der Beschimpfung als nicht erfüllt ansehen und den Freispruch des Beschwerdegegners bestätigen. Auf ihre Erwägungen kann verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG). Unter diesen Umständen erübrigen sich weitere Ausführungen zum vorinstanzlichen Hinweis, es hätte vorliegend wohl eine Strafbefreiung wegen Provokation im Sinne von Art. 177 Abs. 3 StGB erfolgen müssen, wenn der Tatbestand als erfüllt zu betrachten gewesen wäre.
5. Die Beschwerde ist damit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen offensichtlicher Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 BGG). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist durch eine herabgesetzte Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihm im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. März 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Arquint Hill