Sachverhalt:
A. Die 1974 geborene B._ war über ihre letzte Arbeitgeberin, die Firma Y._, welche sie vom 1. Februar 2007 bis 30. September 2007 beschäftigte, bei der Pensionskasse JUCONA (nachfolgend: Pensionskasse) für die berufliche Vorsorge versichert. Am 10. Dezember 2007 meldete sie sich wegen "geerbter Depression" bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügungen vom 7. August 2009 ab 1. Mai 2008 eine ganze Invalidenrente zu bei einem Invaliditätsgrad von 100 %.
B. Die Beschwerde der Pensionskasse wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 17. Februar 2010 ab.
C. Die Pensionskasse lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der Entscheid vom 17. Februar 2010 sei aufzuheben und es sei der Beginn des Invalidenrentenanspruchs auf September 2007 festzulegen; eventualiter sei die Streitsache zur weiteren Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
IV-Stelle und Vorinstanz schliessen auf Abweisung der Beschwerde. B._ und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Unbestritten ist die Beschwerdelegitimation der Vorsorgeeinrichtung, die ein schutzwürdiges Interesse an der gerichtlichen Überprüfung des von der IV-Stelle festgelegten Beginns der einjährigen Wartezeit (unten E. 3.1-3.3) hat, mit welchem in der Regel der Eintritt des vorsorgerechtlichen Versicherungsfalles zusammenfällt (Art. 23 und 26 Abs. 1 BVG), wenn die versicherte Person im fraglichen Zeitpunkt bei ihr obligatorisch versichert war.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil - von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen - den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen oder auf Rüge hin (<ref-law>) berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht, wozu auch die unvollständige Tatsachenermittlung zählt (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Die gesetzliche Kognitionsbeschränkung in tatsächlicher Hinsicht gilt namentlich für die Einschätzung der gesundheitlichen und leistungsmässigen Verhältnisse (<ref-law>).
3. 3.1 Nach <ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung und seither <ref-law>, entsteht der Rentenanspruch frühestens in dem Zeitpunkt, in dem die versicherte Person während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 Prozent arbeitsunfähig war. Nach der gerichtlich bestätigten Verwaltungspraxis wird die Wartezeit aufgrund der Verhältnisse im Einzelfall bei Vorliegen einer deutlichen Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit eröffnet, wozu in der Regel eine Einschränkung von 20 % bereits bedeutend ist (Kreisschreiben über Invalidität und Hilflosigkeit in der IV [KSIH], Rz. 2010).
3.2 Arbeitsunfähigkeit (<ref-law>) ist die durch den Gesundheitsschaden bedingte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder anerkannten Aufgabenbereich (<ref-law>), wohingegen die finanziellen Konsequenzen einer solchen Einbusse für deren Beurteilung während der Wartezeit grundsätzlich unerheblich sind (<ref-ruling> E. 2a S. 159). Ausschlaggebend ist, ob eine versicherte Person im Falle der Lohnfortzahlung durch den Arbeitgeber tatsächlich erheblich arbeitsunfähig ist, ob sie also im Rahmen des aufrechterhaltenen Arbeitsverhältnisses ihre übliche oder aber eine gesundheitlich eingeschränkte Leistung erbringt. Die Wartezeit kann auch zu laufen beginnen, wenn die versicherte Person über das ihr gesundheitlich Zumutbare hinaus arbeitet (ULRICH MEYER, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung, 2. Aufl., 2010, S. 278, mit zahlreichen Hinweisen).
3.3 Der Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit muss wie beim Rentenanspruch gegenüber einer Einrichtung der beruflichen Vorsorge auch gegenüber der Invalidenversicherung mit dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit grundsätzlich echtzeitlich nachgewiesen sein. Dieser Nachweis darf nicht durch nachträgliche Annahmen und spekulative Überlegungen ersetzt werden (vgl. Urteile 9C_368/2008 vom 11. September 2008 E. 2; 9C_96/2008 vom 11. Juni 2008 E. 2.2; je mit Hinweisen).
4. Streitig und zu prüfen ist der Zeitpunkt des Rentenbeginns und damit zusammenhängend der Anfang der Wartezeit gemäss Art. 29 Abs. 1 lit. b aIVG. Es steht unbestritten fest, dass der Invaliditätsgrad am 1. Mai 2008 bei Leistungsbeginn 100 % betrug und folglich Anspruch auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung bestand. Auch besteht Einvernehmen darüber, dass die Versicherte seit spätestens 30. Mai 2007 zu mindestens 50 % arbeitsunfähig ist.
4.1 Die Frage nach dem Zeitpunkt des Eintritts der (invalidisierenden) Arbeitsunfähigkeit, ob somit der von der IV-Stelle festgesetzte Beginn der Wartezeit unrichtig sei, ist eine lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbare Tatfrage (SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143, 9C_127/2008 E. 2.2; Urteil 9C_689/2008 vom 25. Februar 2009 E. 3.1). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Frei überprüfbare Rechtsfrage bildet demgegenüber, ob eine allfällige Unrichtigkeit offensichtlich und demgemäss die Bindungswirkung aufgehoben sei (s.a. ULRICH MEYER, a.a.O., S. 282 f., mit Hinweis). Als Rechtsfragen zu prüfen sind die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> (Urteil 9C_941/2008 vom 18. Februar 2009 E. 3.2 mit Hinweisen) und auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützte Annahmen und Schlussfolgerungen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398 f.; in <ref-ruling> nicht publizierte E. 3.3.2, 9C_560/2008).
4.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Wartezeit habe bereits am 26. September 2006 zu laufen begonnen. Aus dem Sachverhalt gehe klar hervor, dass die Versicherte schon seit langer Zeit nicht mehr voll arbeitsfähig gewesen sei. Sie habe glaubhaft angegeben, dass sie bereits bei der Arbeit im Spital X._ (70-%-Pensum vom 1. Juli 2006 bis 31. Dezember 2006) aus gesundheitlichen Gründen kein Vollzeitpensum hätte verrichten können. Sie sei dort nicht einmal im Teilpensum voll leistungsfähig gewesen. Verschiedene Mediziner hätten bestätigt, dass die Versicherte die Leistungseinschränkung immer wieder habe vertuschen können, aber die Arbeitsstelle regelmässig wechseln musste, wenn ihr dies nicht mehr möglich war. Zudem seien vermehrt krankheitsbedingte Unterbrüche bei der Arbeit im Spital X._ ausgewiesen. Der von der Versicherten erwähnte psychische Zusammenbruch im September 2006 während jener Tätigkeit sei zu berücksichtigen und abzuklären.
4.3 Die Vorinstanz hat sich bereits ausführlich mit diesen Argumenten auseinandergesetzt (angefochtener Entscheid E. 5 und 6). Sie hat sich dabei auf den Arztbericht vom 20. März 2009 der Untersuchung durch den Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) vom 17. März 2009 abgestützt, wonach die Versicherte an einer kombinierten Persönlichkeitsstörung mit emotional-instabilen, ängstlichen sowie selbstunsicheren Anteilen (ICD-10 F61.0), partiell vom Borderline-Typ, und einer rezidivierenden depressiven Störung (wobei eine eindeutige Einteilung in einen Schweregrad nicht möglich war; ICD-10 F33.9) leidet. Danach bestand seit Mai 2007 eine 100-prozentige Arbeitsunfähigkeit, wobei sich die Versicherte erst ab Juli 2007 in ambulante psychiatrische Behandlung begab. Die Vorinstanz hat zu Recht festgestellt, die Tatsache, dass die Versicherte in den letzten Jahren nur ein reduziertes Arbeitspensum ausgeführt hat, bedeute noch nicht, dass sie in dem Umfang auch arbeitsunfähig war, in dem sie keine Arbeitstätigkeit ausgeübt hat. Bis zum Bericht des Dr. med. A._, Allgemeinmedizin FMH, vom 30. Mai 2007 wurde keine relevante Arbeitsunfähigkeit ärztlich bestätigt; er bescheinigte darin, abgesehen von einer kurzen Krankschreibung von sechs Tagen vom 21.-26. Februar 2007, erst ab 30. Mai 2007 eine dauerhafte Arbeitsunfähigkeit. Wie Frau Dr. med. C._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, attestierte auch der behandelnde Arzt Dr. med. D._, FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, (Bericht vom 28. Dezember 2007) erst ab 30. Mai 2007 eine Arbeitsunfähigkeit. Sämtliche Ärzte gehen somit übereinstimmend davon aus, dass die Versicherte erst ab 30. Mai 2007 ganz oder zumindest teilweise arbeitsunfähig war. Die Versicherte begab sich erstmals im Juni 2007 in psychiatrische Therapie. Bis dahin war sie bei einem Naturheilpraktiker und beim Hausarzt Dr. med. A._ in Behandlung. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, muss, wird die Arbeitsunfähigkeit nicht umgehend ärztlich attestiert und erst nach Jahren rückwirkend festgelegt, der frühere Arbeitgeber die Leistungseinbusse bemerkt haben, ansonsten eine solche Festlegung einer Arbeitsunfähigkeit regelmässig nicht genügt. Es muss somit die allfällige Einbusse an Leistungsvermögen auch arbeitsrechtlich in Erscheinung treten, so etwa durch einen Abfall der Leistung mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte und aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle (oben E. 3.3; Urteil des Bundesgerichts I 687/06 vom 24. April 2007, E. 5.1). Gerade zum Arbeitsverhältnis mit dem Spital X._, während dem laut Beschwerdeführerin der Lauf der Wartezeit ausgelöst worden sein soll, finden sich keine Hinweise für eine Einbusse des Leistungsvermögens. Die Versicherte war in diesem halben Jahr lediglich vier Einzeltage und rund eine Woche krank. Auch dem Arbeitszeugnis vom 28. Dezember 2006 sind keine Hinweise zu entnehmen, wonach sie nicht die vereinbarte Leistung erbracht hätte. Das Arbeitsverhältnis endete am 31. Dezember 2006 zufolge Befristung. Nach Aussage der Versicherten hat diese Tätigkeit Spass gemacht und hat sie von den Patienten ein positives Feedback erhalten. Bis zum Abschluss soll kein Vorgesetzter mit ihr unzufrieden gewesen sein. Erst bei der Firma Y._ hat sich ein wesentlicher Leistungsabfall abgezeichnet. Die Versicherte hat nun nicht nur an einzelnen Tagen gefehlt, sondern ist während Wochen und Monaten ausgefallen. Sie hat nach eigenen Angaben im Frühjahr 2007 und somit während der Anstellung bei der Firma Y._ den ersten grösseren Zusammenbruch erlitten und ist nun erstmals ärztlich arbeitsunfähig geschrieben worden. Die Firma Y._ hat das Arbeitsverhältnis aus gesundheitlichen Gründen aufgelöst und dies im IV-Fragebogen am 4. Februar 2008 ausdrücklich so festgehalten. Da eine mindestens 20-prozentige Arbeitsunfähigkeit erst seit dem 30. Mai 2007 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ausgewiesen ist, hat die Wartezeit dann zu laufen begonnen und der Versicherungsfall trat ein Jahr später am 30. Mai 2008 ein.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, B._, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Juli 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz