Sachverhalt:
A.
Die 1975 geborene M._ war als Reinigungskraft der Firma X._ bei der Zürich Versicherungsgesellschaft AG (nachstehend: die Zürich) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 29. Dezember 2008 als Fahrradfahrerin mit einem Auto kollidierte. Die Zürich anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen, stellte diese jedoch mit Verfügung vom 22. Juni 2010 und Einspracheentscheid vom 4. Januar 2011 per 31. Januar 2009 ein, da die über dieses Datum hinaus anhaltend geklagten Beschwerden nicht mehr adäquat kausal auf das Unfallereignis zurückzuführen seien.
B.
Die von M._ und der SWICA Krankenversicherung AG hiegegen erhobenen Beschwerden hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft nach Einholen eines Gerichtsgutachtens (Gutachten des Dr. med. R._ vom 19. April 2012 mit Ergänzungen vom 3. Dezember 2012) mit Entscheid vom 23. Mai 2013 in dem Sinne gut, als es die Zürich verpflichtete, für die Zeit vom 1. Februar 2009 bis 31. Oktober 2010 die Heilbehandlungskosten zu übernehmen und ein volles Taggeld auszubezahlen. Zudem habe die Zürich den Anspruch auf eine Integritätsentschädigung und auf eine Invalidenrente für die Zeit ab 1. November 2010 im Sinne der Erwägungen neu zu prüfen.
C.
Mit Beschwerde beantragt die Zürich, es sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides ihr Einspracheentscheid vom 4. Ja-nuar 2011 zu bestätigen.
Während M._ und die SWICA Krankenversicherung AG auf Abweisung der Beschwerde schliessen, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung. Zudem stellt M._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Das BGG unterscheidet in Art. 90 bis 93 zwischen End-, Teil- sowie Vor- und Zwischenentscheiden und schafft damit eine für alle Verfahren einheitliche Terminologie. Ein Endentscheid ist ein Entscheid, der das Verfahren prozessual abschliesst (<ref-law>), sei dies mit einem materiellen Entscheid oder Nichteintreten, z.B. mangels Zuständigkeit. Der Teilentscheid ist eine Variante des Endentscheids. Mit ihm wird über eines oder einige von mehreren Rechtsbegehren (objektive und subjektive Klagehäufung) abschliessend befunden. Es handelt sich dabei nicht um verschiedene materiellrechtliche Teilfragen eines Rechtsbegehrens, sondern um verschiedene Rechtsbegehren. Vor- und Zwischenentscheide sind alle Entscheide, die das Verfahren nicht abschliessen und daher weder End- noch Teilentscheid sind; sie können formell- und materiellrechtlicher Natur sein. Voraussetzung für die selbstständige Anfechtbarkeit materiellrechtlicher Zwischenentscheide ist gemäss <ref-law> zunächst, dass sie selbstständig eröffnet worden sind. Erforderlich ist sodann alternativ, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
1.2. Soweit der kantonale Entscheid vom 23. Mai 2013 Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen betrifft, handelt es sich um einen (Teil-) Endentscheid. Bezüglich des Anspruches auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung stellt der angefochtene Entscheid demgegenüber einen (Teil-) Zwischenentscheid dar. Da im Entscheid für die Beschwerdeführerin verbindlich festgehalten wurde, dass zwischen dem Unfallereignis vom 29. Dezember 2008 und den geklagten Beschwerden ein natürlicher und adäquater Kausalzusammenhang besteht, wäre die Zürich - könnte sie diesen Entscheid nicht vor Bundesgericht anfechten - unter Umständen gezwungen, eine ihres Erachtens rechtswidrige, leistungszusprechende Verfügung zu erlassen. Diese könnte sie in der Folge nicht selber anfechten; da die Gegenpartei in der Regel kein Interesse haben wird, den allenfalls zu ihren Gunsten rechtswidrigen Endentscheid anzufechten, könnte der kantonale Vorentscheid nicht mehr korrigiert werden und würde zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil für den Versicherer führen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.). Auf die Beschwerde der Zürich ist somit einzutreten.
2.
Streitig und zu prüfen ist die Leistungspflicht der Unfallversicherung für die Zeit ab 1. Februar 2009.
3.
Die Zusprechung von Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung setzt grundsätzlich das Vorliegen eines Berufsunfalles, eines Nichtberufsunfalles oder einer Berufskrankheit voraus (<ref-law>). Der Unfallversicherer haftet jedoch für einen Gesundheitsschaden nur insoweit, als dieser nicht nur in einem natürlichen, sondern auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis steht (<ref-ruling> E. 3 S. 181). Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (<ref-ruling> E. 2 S. 111 f.; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 103).
4.
Das kantonale Gericht hat in umfassender Würdigung der medizinischen Akten, insbesondere gestützt auf das Gerichtsgutachten des Dr. med. R._ vom 19. April 2012 (mit Ergänzungen vom 3. Dezember 2012) festgestellt, dass die über den 31. Januar 2009 hinaus geklagten Beschwerden noch auf den organisch nachgewiesen Unfallschaden zurückzuführen sind. Rechtsprechungsgemäss darf ein Gericht bei Vorliegen eines Gerichtsgutachtens "nicht ohne zwingende Gründe" von den Einschätzungen des medizinischen Experten abweichen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 469). Solche zwingenden Gründe liegen bezüglich des Gerichtsgutachtens des Dr. med. R._ nicht vor. Insbesondere entspricht die Beschreibung des Unfallherganges im Gutachten im Wesentlichen dem Polizeirapport; es ist mithin nicht davon auszugehen, dass der Gutachter von einem bedeutend gravierenderen Ereignis ausgegangen wäre, als es tatsächlich stattgefunden hat. Soweit sich die Beschwerdeführerin auf das Urteil 8C_393/2013 vom 18. Juli 2013 E. 4.2 beruft, ist festzuhalten, dass die Krankengeschichte, die jenem Urteil zu Grunde lag, nicht mit jener der versicherten Person im vorliegenden Fall zu vergleichen ist: Die Beschwerdegegnerin 2 musste sich im Unterschied zur versicherten Person in jenem Fall ungefähr zehn Monate nach dem Unfall einem chirurgischen Eingriff am Handgelenk unterziehen. Zur Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhanges ist nicht erforderlich, dass der Unfall die unmittelbare Ursache der gesundheitlichen Störung ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 181); vielmehr ist die Kausalität auch dann zu bejahen, wenn der Schaden nur mittelbare Folge des Unfalles ist. Für die Bejahung der Kausalität genügt es demzufolge, dass das CRPS Folge der unfallkausalen Operation ist - die Algodystrophie trat innerhalb kurzer Latenzzeit nach dem Eingriff am Handgelenk auf. Aufgrund der Ausführungen des Dr. med. R._ bestehen auch keine Zweifel daran, dass der Experte die Diagnose des CRPS für gesichert hält.
5.
Hat das kantonale Gericht demnach zu Recht auf das Gerichtsgutachten des Dr. med. R._ abgestellt, so ist weder die Zusprache von Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen für die Zeit bis zum 31. Oktober 2010 noch die Rückweisung an die Zürich zur Prüfung einer Integritätsentschädigung und einer Invalidenrente für die Zeit ab 1. November 2010 zu beanstanden. Bezüglich den von der Beschwerdeführerin erwähnten angeblichen Inkonsistenzen bei der Kraftprüfung ist festzuhalten, dass auch Dr. med. R._ die übermässige Schmerzempfindlichkeit der Versicherten erkannt hat und sich entsprechend bei der Schätzung der Arbeitsunfähigkeit der Versicherten nicht auf ihre Angaben verliess. Die Beschwerde der Zürich ist demnach abzuweisen.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Da sich zwei Versicherer gegenüberstehen, gilt für die Gerichtsgebühr der ordentliche Rahmen nach <ref-law>, während <ref-law> keine Anwendung findet (Urteile 8C_957/2012 vom 3. April 2013 E. 6). Die Beschwerdeführerin hat der Versicherten überdies eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Damit wird deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Rechtsvertreter der M._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Nabold