Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1968 geborene D._ erlitt als Folge eines Verkehrsunfalls im Sommer 2003 verschiedene Verletzungen im Bereich von Kopf und Hals sowie der linken Hand. In ihrer Tätigkeit als Betriebsmitarbeiterin in einer Kantine war sie zunächst vollständig arbeitsunfähig. Der Arbeitgeber kündigte die Anstellung auf Ende 2003. Am 20. August 2004 meldete sich D._ unter Hinweis auf die Unfallfolgen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die Klinik S._ erstattete am 9. Januar 2007 im Auftrag der obligatorischen Unfallversicherung ein interdisziplinäres Gutachten. Am 1. Juni 2007 teilte die IV-Stelle Solothurn der Versicherten mit, es sei eine weitere medizinische Abklärung durch die Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) notwendig. Ein Briefwechsel zwischen IV-Stelle und Versicherter ergab keine Einigung über die Notwendigkeit einer weiteren Begutachtung, worauf die Verwaltung D._ zu entsprechenden ärztlichen Untersuchungen aufbot. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn wies die dagegen eingereichte Rechtsverweigerungsbeschwerde am 21. Dezember 2007 ab. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid (Urteil 9C_157/2008 vom 20. März 2008).
A.b. Im Frühsommer 2008 begutachtete die MEDAS am Inselspital Bern D._ im Auftrag der IV-Stelle polydisziplinär. Gestützt auf die Ergebnisse der Expertise vom 18. Juli 2008 ging die IV-Stelle davon aus, ein invalidisierendes Leiden sei nicht gegeben; demgemäss lehnte es die Ansprüche auf berufliche Eingliederungsmassnahmen und Invalidenrente ab (Verfügung vom 21. Januar 2009).
Am 5. Februar 2010 wies das kantonale Gericht die gegen die Verfügung vom 21. Januar 2009 erhobene Beschwerde ab. Das Bundesgericht hob diesen Entscheid auf und wies die Sache an das kantonale Gericht zurück, damit dieses ein Gerichtsgutachten einhole und gestützt darauf neu entscheide (Urteil 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011 [<ref-ruling>]).
A.c. Im Hinblick auf die bevorstehende Beweisergänzung gewährte das kantonale Versicherungsgericht den Parteien das rechtliche Gehör. Alsdann beauftragte es das Zentrum Y._ mit der neuen Begutachtung. Die Expertise wurde am 4. Dezember 2012 erstattet.
B.
Das kantonale Versicherungsgericht hiess die Beschwerde teilweise gut. Es hob die Verfügung der IV-Stelle vom 21. Januar 2009 auf und sprach D._ für die Zeit von Juni 2004 bis September 2008 eine ganze und mit Wirkung ab Oktober 2008 eine halbe Invalidenrente zu. Ausserdem verpflichtete es die IV-Stelle, der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung über Fr. 8'426.65 (einschliesslich Auslagen und Mehrwertsteuer) zu bezahlen (Entscheid vom 13. August 2013).
C.
D._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit folgenden Rechtsbegehren:
"1. Es sei das Urteil der Vorinstanz vom 13. August 2013 vollumfänglich aufzuheben.
2.1.1 Es sei der Beschwerdeführerin stattdessen eine ganze IV-Rente mit Wirkung ab dem 1. Juni 2004 zuzusprechen.
2.1.2 Ferner sei die Beschwerdegegnerin anzuweisen, zu Gunsten der Beschwerdeführerin berufliche Massnahmen in geschütztem, gemäss Gutachten des Zentrums Y._ vom 4. Dezember 2012 behindertemgerechtem Rahmen durchzuführen.
2.1.3 Ausserdem sei die Beschwerdegegnerin anzuweisen, nach Ablauf eines Jahres ab Antritt der beruflichen Massnahmen durch die Beschwerdeführerin beim Zentrum Y._ ein Verlaufsgutachten einzuholen und gestützt darauf gegebenenfalls revisionsweise neu zu entscheiden.
2.2 Eventualiter sei der Beschwerdeführerin stattdessen mit Wirkung ab dem 1. Juni 2004 eine ganze IV-Rente und mit Wirkung ab dem 1. Januar 2013 eine halbe IV-Rente zuzusprechen.
Verfahrensanträge
3. Im Zusammenhang mit Rechtsbegehren Ziff. 2.1.1 sei dem psychiatrischen Teilgutachter des Zentrums Y._, Dr. H._, die Frage zur Klärung zu unterbreiten, wie lange die Beschwerdeführerin zwischen den beiden täglichen Arbeitseinheiten von je 2 Stunden mindestens pausieren müsse.
4. Im Zusammenhang mit Rechtsbegehren Ziff. 2.1.1 sei den in die Begutachtung der Beschwerdeführerin involvierten Gutachtern des Zentrum Y._ die Frage zur Klärung zu unterbreiten, inwieweit die Ergebnisse des psychiatrischen Untergutachtens sowie der neuropsychologischen Untersuchung in adäquater Weise in die Gesamtbeurteilung des Gutachtens Eingang gefunden haben; in dem Sinne, ob die dort beschriebenen Einschränkungen die Leistungsfähigkeit der Beschwerdeführerin nebst der Notwendigkeit, ihre tägliche Arbeitsfähigkeit von 4 Stunden nach 2 Stunden durch eine längere Pause zu unterbrechen, die noch erhaltene Arbeitsfähigkeit zusätzlich beeinträchtigen bzw. die Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit zusätzlich erschweren.
5. Es sei der Beschwerdeführerin das Recht einzuräumen, auf eine allenfalls eingereichte Beschwerdeantwort zu replizieren.
Kosten
6. Alles unter o/e-Kostenfolge zulasten der Beschwerdegegnerin.
7. Der vorinstanzliche e-Kostenentscheid sei aufzuheben und die Parteientschädigung der Beschwerdeführerin für ihren Rechtsvertreter auf einen Betrag von CHF 10'060.05 festzusetzen resp. die Vorinstanz zu einer entsprechenden Festsetzung anzuweisen."
Die IV-Stelle, das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherung verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
Dem vorinstanzlichen Sachgericht steht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn die Vorinstanz diesen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder willkürlich ausser Acht lässt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211; zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; Urteil 9C_1019/2012 vom 23. August 2013 E. 1.2.3).
2.
Das kantonale Gericht erkannte, dass auf das (eine internistische, orthopädische, neurologische und psychiatrische Beurteilung umfassende) Gutachten des Zentrums Y._ vom 4. Dezember 2012 abgestellt werden kann. Die Schlussfolgerung der Sachverständigen, die Beschwerdeführerin könne in einer leichten bis mittelschweren Tätigkeit in einem Umfang von 50 Prozent eingesetzt werden, sei beweisend (E. 4.1 des angefochtenen Entscheids).
2.1.
2.1.1. Die Beschwerdeführerin wendet wie schon im vorinstanzlichen Verfahren ein, die Aussage im Gutachten des Zentrums Y._ (S. 64), als Servicemitarbeiterin sei die Versicherte ungefähr zweimal zwei Stunden, das heisst zu 50 Prozent arbeitsfähig, könne im Kontext mit einem Passus aus dem Gutachten der Klinik S._ vom 9. Januar 2007 so gelesen werden, dass die beiden täglich zumutbaren Arbeitseinheiten von je zwei Stunden durch eine Pause von mindestens zwei Stunden unterbrochen werden müssten. Verhalte es sich so, sei die Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit erheblich beeinträchtigt, weil ein potentieller Arbeitgeber sie nicht in einem 50 Prozent-Pensum anstellen könne, sondern dies gewissermassen zweimal zu je einem 25 Prozent-Pensum tun müsste. Jedenfalls hätte die Vorinstanz das Gutachten nicht abweichend interpretieren dürfen, ohne den betreffenden Punkt zuvor beim Zentrum Y._ abzuklären.
2.1.2. Das kantonale Gericht führt dazu aus, es sei zwar davon auszugehen, dass die Gutachter des Zentrums Y._ mit der klaren Trennung der beiden Stundenblöcke die Notwendigkeit der Pause verdeutlichen wollten; der Pausenbedarf lasse sich in der von der Beschwerdeführerin postulierten Höhe jedoch nicht aus der Expertise ableiten (angefochtener Entscheid, E. 4.1.5). Diese Beweiswürdigung ist nicht willkürlich (vgl. oben E. 1), zumal die von der Beschwerdeführerin relevierte gutachtliche Angabe im Zusammenhang mit der Frage nach der verbliebenen Leistungsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit einer Servicemitarbeiterin gemacht wurde (S. 64 des Gutachtens), während sich bei der allgemeinen Beschreibung der Arbeitsfähigkeit in leichten bis mittelschweren Arbeiten ("zu 50 Prozent einsetzbar"; S. 61) keine derartige Aussage findet. Durfte die Vorinstanz somit davon ausgehen, das Gerichtsgutachten enthalte eine vollständige Entscheidungsgrundlage, war sie nicht veranlasst, ergänzende Auskünfte beim Zentrum Y._ einholen. Die Beschwerdeführerin beruft sich in diesem Zusammenhang noch auf eine Erwägung im bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheid 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011, wonach ein (interdisziplinäres) Gutachten nicht schon deswegen rundweg unbeachtlich ist, weil es verschiedene Einschätzungen enthält, die einander scheinbar widersprechen; in solchen Fällen kann es angezeigt sein, die Unstimmigkeit mittels Rückfrage an die Sachverständigen zu bereinigen (<ref-ruling> E. 6.2.2 S. 269). Da das Gutachten des Zentrums Y._ im diskutierten Punkt indes weder unklar noch widersprüchlich ist, kann die Beschwerdeführerin auch daraus nichts ableiten, was ihren (Eventual-) Antrag stützte, der psychiatrische Teilgutachter habe seine Schlussfolgerung zu präzisieren.
2.1.3. Nach nicht offensichtlich unrichtiger Feststellung der Vorinstanz sind des Weiteren die erwerblichen Einsatzmöglichkeiten nicht so stark eingeschränkt wie die Beschwerdeführerin annimmt. Insofern entfallen Weiterungen betreffend die Frage der Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit. Der Problematik ist auch nicht unter dem Aspekt weiter nachzugehen, dass, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, der psychiatrische Teilgutachter des Zentrums Y._ konkrete, in unterschiedlichem Ausmass beeinträchtigte Funktionen aufzählt (im Einzelnen: Entscheidungs- und Urteilsvermögen, Durchhaltefähigkeit, Gruppenfähigkeit; Flexibilität, Umstellfähigkeit, Planung und Strukturierung von Aufgaben, Anpassung an Regeln und Routinen, Verkehrsfähigkeit, Spontanaktivitäten; Konzentrationsfähigkeit, psychische Energie, affektive Belastbarkeit, Frustrationstoleranz [vgl. Gutachten S. 51]). Auch ohne klärende Ergänzung des Gutachtens (vgl. Rechtsbegehren Ziff. 4 der letztinstanzlichen Beschwerdeschrift) durfte die Vorinstanz willkürfrei darauf schliessen, die betreffenden Feststellungen begründeten ebensowenig eine weitergehende Einschränkung der Leistungsfähigkeit wie die Resultate der neuropsychologischen Untersuchung (Gutachten S. 53 ff.). Vielmehr stellen diese Befunde in ihrer Gesamtheit zum einen eben gerade das Substrat der aus psychiatrischer Sicht attestierten 50-prozentigen Einschränkung dar. Zum andern bilden sie den Rahmen zumutbarer und geeigneter Verweisungstätigkeiten; hiezu hat das kantonale Gericht zutreffend festgehalten, die Vorgaben zum Arbeitsplatzprofil erschienen - auch mit Blick auf die Gerichtspraxis in vergleichbaren Fällen - nicht als derart einschränkend, dass solche Stellen auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt (Art. 16 ATSG; Urteil 9C_830/2007 vom 29. Juli 2008 E. 5.1 = SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203) nicht zu finden wären (angefochtener Entscheid, E. 4.1.5 a.E.).
2.2. Des Weiteren rügt die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz für die Bezeichnung des Zeitpunktes, zu welchem die Arbeitsfähigkeit (anspruchswirksam) auf 50 Prozent angestiegen ist, das MEDAS-Gutachten vom 18. Juli 2008 herangezogen hat (E. 5 des angefochtenen Entscheids), obwohl das Bundesgericht im Rückweisungsentscheid 9C_243/2010 festgehalten hatte, die Begleitumstände der psychiatrischen Untersuchung kompromittierten den Beweiswert der Expertise (vgl. <ref-ruling> E. 6.1.2 S. 267). Allerdings ist zu beachten, dass das Bundesgericht den Beweiswert des MEDAS-Gutachtens nicht endgültig verworfen hatte (<ref-ruling> E. 6.2.4 S. 270). Das kantonale Gericht terminierte den Wegfall gewisser Symptome (Albträume, Flashbacks, muskuläre Verspannungen), die anfangs 2007 (Begutachtung durch die Klinik S._) noch vorhanden gewesen waren, hingegen bei der dem Gerichtsgutachten des Zentrums Y._ zugrundeliegenden Untersuchung (im September 2012) nicht mehr festgestellt werden konnten, auf den Zeitpunkt der (psychiatrischen) Untersuchung durch die MEDAS (Juli 2008). Diese Feststellung ist nicht in bundesrechtswidriger Weise zustandegekommen, da die bundesgerichtliche Kritik am MEDAS-Gutachten nicht auch die an dieser Stelle interessierenden spezifischen Befunderhebungen erfasst.
3.
Augenfällige Anhaltspunkte für eine anderweitig rechtswidrige (vgl. Art. 95 lit. a BGG) Bemessung des Invaliditätsgrades bestehen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; <ref-ruling> E. 4a S. 53). Die Vorinstanz hat kein Bundesrecht verletzt, als sie erkannte, mit Wirkung ab Oktober 2008 bestehe (anstelle der für die Zeit ab Juni 2004 auszurichtenden ganzen Invalidenrente) noch Anspruch auf eine halbe Invalidenrente.
4.
Die Beschwerdeführerin erneuert den schon vor kantonalem Gericht gestellten Antrag auf Zusprechung beruflicher Massnahmen (Rechtsbegehren Ziff. 2.1.2). Mangels einer Begründung, weshalb der angefochtene Entscheid (vgl. dort E. 7) diesbezüglich bundesrechtswidrig sei (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245; <ref-ruling> E. 1.3 S. 452), ist auf die Beschwerde in diesem Punkt nicht einzutreten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
5.
5.1. Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin die Höhe der im vorinstanzlichen Prozess zugesprochenen Parteientschädigung (E. 8 des angefochtenen Entscheids) als willkürlich. Die gemäss Honorarnote vom 24. Februar 2009 zu entschädigenden Aufwendungen des Rechtsvertreters seien übermässig, nämlich von 31 auf 21 Stunden, gekürzt worden. Hingegen beanstandet sie nicht die (geringfügigeren) Kürzungen des zu entschädigenden Aufwandes gemäss den weiteren Kostennoten vom 28. Mai 2009 und 7. Februar 2013.
5.2. Die obsiegende beschwerdeführende Person hat im kantonalen Beschwerdeverfahren einen bundesrechtlichen Anspruch auf Ersatz der Parteikosten (Art. 61 lit. g ATSG). Diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen. Im Übrigen ist dem Gericht bei der Festsetzung der Parteientschädigung ein weiter Ermessensspielraum einzuräumen (zur Praxis vor Inkrafttreten des ATSG: Urteil I 193/85 vom 29. Juli 1985 E. 4a = ZAK 1985 S. 532).
5.3. Das kantonale Gericht begründet seine Auffassung, der geltend gemachte zeitliche Aufwand erscheine überhöht, mit dem Schwierigkeitsgrad der Sache im Vergleich zu ähnlich gelagerten Fällen sowie mit dem Synergieeffekt, wie er sich aus dem Umstand ergebe, dass derselbe Anwalt die Beschwerdeführerin bereits im Verwaltungsverfahren vertreten habe.
Die Honorarnote vom 24. Februar 2009 betrifft Aufwendungen im Hinblick auf die Erstellung der 61-seitigen vorinstanzlichen Beschwerdeschrift vom 24. Februar 2009. Angesichts der angeführten Gründe für die Kürzung ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz das ihr zustehende Ermessen rechtsfehlerhaft verletzt haben sollte. Im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung handelte es sich um eine Rentenstreitigkeit, die in einem gewissen - wenn auch nicht in dem geltend gemachten - Umfang komplexer war als es der Durchschnittsfall ist. Dem hat die Vorinstanz indes ausreichend Rechnung getragen, als sie für die Ausarbeitung der Beschwerdeschrift 20 Arbeitsstunden veranschlagte. Der (im späteren bundesgerichtlichen Verfahren ausführlich thematisierte) Problemkreis der Rahmenbedingungen für die medizinische Begutachtung auf den Stufen Administrativ- und Gerichtsverfahren wirkte sich noch kaum auf den zu betreibenden Aufwand aus.
Die zugesprochene Parteientschädigung ist mit Art. 61 lit. g ATSG und dem Willkürverbot (Art. 9 BV) vereinbar.
6.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Dezember 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub