Sachverhalt:
A. Die Untersuchungsrichterin des Kantons Freiburg verurteilte X._ mit Strafbefehl vom 28. Oktober 2008 wegen Fahrens in fahrunfähigem Zustand zu einer Geldstrafe von 25 Tagessätzen zu Fr. 220.--, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von drei Jahren, und zu einer Busse von Fr. 3'600.--. Zudem wurde verfügt, dass kein Widerruf des mit Urteil des Untersuchungsrichteramts III Bern-Mittelland vom 3. Januar 2008 gewährten bedingten Strafvollzugs hinsichtlich einer Geldstrafe von 10 Tagessätzen zu Fr. 250.-- erfolgt. X._ erhob am 5. November 2008 Einsprache gegen diesen Strafbefehl.
B. Am 9. Januar 2009 sprach der Polizeirichter des Seebezirks X._ vom Vorwurf des Fahrens in fahrunfähigem Zustand frei. Die Verfahrenskosten wurden dem Staat auferlegt.
C. Mit Gesuch vom 4. Februar 2009 an die Strafkammer des Kantonsgerichts des Kantons Freiburg beantragte X._, es sei ihm eine Entschädigung von insgesamt Fr. 3'167.05 (Arbeitsausfall von Fr. 200.--, Reiseentschädigung von Fr. 30.-- und Anwaltskosten von Fr. 2'937.05) auszurichten.
Das Verfahren wurde auf Antrag von X._ bis zur Ausfällung des Bundesgerichtsurteils (6B_976/2008 vom 8. Juni 2009) in einem gleichgelagerten, ebenfalls den Kanton Freiburg betreffenden Fall sistiert.
Die Strafkammer des Kantonsgerichts des Kantons Freiburg wies das Gesuch um Entschädigung am 2. März 2010 ab. Die Verfahrenskosten wurden X._ auferlegt. Es wurde keine Parteientschädigung ausgerichtet.
D. X._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, das Urteil der Strafkammer des Kantonsgerichts sei aufzuheben und die Vorinstanz sei anzuhalten, die Parteientschädigung festzusetzen, unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten des Kantons Freiburg.
E. Die Vorinstanz verzichtet auf eine Vernehmlassung. Sie weist darauf hin, dass sie am 18. Dezember 2009 dieselbe Frage erneut in der gleichen Weise entschieden habe. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Freiburg beantragt, die Beschwerde sei gutzuheissen.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz stützt sich auf Art. 242 Abs. 2 der Strafprozessordnung des Kantons Freiburg (StPO/FR; SGF 32.1). Nach dieser Bestimmung kann, wer durch eine andere (als ungerechtfertigte Inhaftierung oder Untersuchungshaft oder einen Justizirrtum, vgl. Art. 242 Abs. 1 StPO/FR) Prozesshandlung einen erheblichen Schaden erleidet, dafür Ersatz verlangen. Dem Gesuch wird stattgegeben, wenn und soweit dies angemessen erscheint. Die Vorinstanz erwägt, die Entschädigung könne verweigert werden, wenn der Schaden unter Berücksichtigung der Prozesshandlung geringfügig sei. Eine Entschädigung sei hingegen gerechtfertigt, wenn die Prozesshandlung objektiv eine gewisse Schwere erreiche, der Schaden erheblich sei, und ein Kausalzusammenhang zwischen beiden bestehe. Grundsätzlich umfasse der Anspruch auf Entschädigung auch die Auslagen für die Verteidigung. Dem obsiegenden Angeschuldigten seien die Verteidigungskosten zu ersetzen, wenn er nach den Umständen objektiv begründeten Anlass hatte, einen Anwalt beizuziehen. Im vorliegenden Fall sei der Beizug eines Rechtsanwalts gerechtfertigt gewesen.
Die Vorinstanz erwägt im Weiteren, nach ihrer Rechtsprechung bestehe aber gestützt auf Art. 242 Abs. 2 StPO/FR grundsätzlich kein Anspruch auf Entschädigung der Anwaltskosten, wenn der Gesuchsteller über eine Rechtsschutzversicherung verfüge, welche die Anwaltskosten übernehme. Das Bundesgericht habe im Urteil 1P.422/1991 vom 23. Dezember 1991 (in: JdT 1992 III 91 ff.) festgehalten, es sei nicht schockierend, wenn die Verteidigungskosten des freigesprochenen Angeschuldigten in erster Linie von der Partei getragen werden, welche aufgrund eines vorwerfbaren Verhaltens zur Bezahlung der Kosten verurteilt worden sei, in zweiter Linie von einer allfälligen Rechtsschutzversicherung, und erst in dritter Linie vom Staat im Rahmen einer Entschädigung. Allerdings sei das Bundesgericht in seinem Urteil 6B_976/2008 vom 8. Juni 2009 betreffend einen vorinstanzlich von ihr am 29. Oktober 2008 im Sinne der geschilderten bundesgerichtlichen Rechtsprechung entschiedenen Fall zum gegenteiligen Schluss gekommen. Demnach sei es unzulässig, einem freigesprochenen Beschuldigten eine Entschädigung zu verweigern, weil er über eine Rechtsschutzversicherung verfüge. Die Vorinstanz fühlt sich indessen an diese ihres Erachtens nicht näher begründete, "sicherlich unbewusste" Änderung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung durch das Urteil 6B_976/2008 vom 8. Juni 2009 nicht gebunden. Sie sieht daher keinen Grund, ihre - mit dem Bundesgerichtsurteil 1P.422/1991 vom 23. Dezember 1991 in Einklang stehende - Praxis zu ändern. Demnach sei Schadenersatz für entstandene Anwaltskosten hinreichend gewährleistet, wenn der freigesprochene Beschuldigte über eine Rechtsschutzversicherung verfüge (angefochtenes Urteil S. 3 ff.).
2. Der Beschwerdeführer rügt wegen verweigerter Entschädigung der Anwaltskosten eine willkürliche Anwendung von Art. 242 Abs. 2 StPO/FR.
2.1 Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist es willkürlich, einer im Zivilprozess oder im verwaltungsgerichtlichen Verfahren obsiegenden Partei eine Entschädigung für die Anwaltskosten mit der Begründung zu verweigern, dass die Partei rechtsschutzversichert ist. Dies muss erst recht für den Strafprozess gelten. Denn der Staat geht gestützt auf seinen Strafanspruch mit Zwangsgewalt gegen den Beschuldigten vor. Für den Fall, dass sich herausstellt, dass dieses strafrechtliche Vorgehen nicht gerechtfertigt war, sehen die Gesetze Entschädigungsansprüche gegen den Staat vor. Der Rechtsstaat kann sich dieser Schadenersatzpflicht offenkundig nicht mit dem Argument entschlagen, der ungerechtfertigt Beschuldigte sei ja versichert (Urteil des Bundesgerichts 6B_976/2008 vom 8. Juni 2009 E. 2.2 mit Hinweisen).
2.2 Ergänzend ist darauf hinzuweisen, dass der Versicherte durch die Rechtsschutzversicherung und mittels der Zahlung der entsprechenden Prämien sein eigenes Kostenrisiko, aber nicht dasjenige der Gegenpartei, abdecken lässt. Folglich besteht nur ein Anspruch auf Ersatz der Gerichts- und Parteikosten, die nach Massgabe des Kostenentscheids auf den Versicherten entfallen (vgl. <ref-ruling> E. 3d und 3e/aa S. 279 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 296). Es ist willkürlich, einer Partei eine Parteientschädigung vorzuenthalten, weil sie rechtsschutzversichert ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 478 mit Hinweis). An dieser Rechtsprechung ist auch für den Bereich des Strafprozesses festzuhalten. Dass der Entscheid des Bundesgerichts 6B_976/2008 vom 8. Juni 2009 von der im Urteil 1P.422/1991 vom 23. Dezember 1991 vertretenen Auffassung abweicht und auf dieses auch nicht Bezug nimmt, ändert daran im Ergebnis nichts. Der ältere Entscheid ist überholt.
2.3 Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 8 Abs. 1 BV geltend macht (Beschwerde S. 6), ist darauf mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht einzutreten. Er substanziiert nicht hinreichend, worin eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots bestehen soll.
3. Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist, das Urteil des Kantonsgerichts Freiburg vom 2. März 2010 ist aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Freiburg hat dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung für das Verfahren vor Bundesgericht zu entrichten (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten wird, das Urteil des Kantonsgerichts Freiburg, Strafkammer, vom 14. Dezember 2009 wird aufgehoben und die Sache im Sinne der Erwägungen zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Freiburg hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Freiburg, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Häne