Sachverhalt:
A.
X._ erstattete gegen den in seinem Strafverfahren bestellten psychiatrischen Sachverständigen Dr. Y._ Strafanzeige wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses und konstituierte sich als Straf- und Zivilkläger. Der Gutachter soll sich während hängigem Verfahren am 2. Mai 2012 gegenüber der Fernsehsendung "Schweiz aktuell" des Schweizer Radio und Fernsehen (SRF; damals SF DRS) wie folgt geäussert haben:
"Es ist so, dass bei allen dreien erhebliche Auffälligkeiten im Bereich der Persönlichkeit festzustellen waren, und die ich in meinem Gutachten umfangreich dargelegt habe. Es ist aber nicht so, dass psychische Störungen vorliegen, die irgendwelche Rechtsfolgen zur Folge hätten, also zum Beispiel eine verminderte Schuldfähigkeit oder eine Therapieempfehlung zur Konsequenz haben."
Ferner sei folgender Kommentar in Mundart erfolgt, welcher auf Aussagen zurückzuführen sei, die Dr. Y._ zusätzlich gemacht haben dürfte:
"Was die Zukunft von den Angeklagten betrifft, seien die Prognosen unterschiedlich, sagte der Gutachter, besonders bei den Männern bestehe die erhebliche Gefahr, dass sie rückfällig würden."
B.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn ersuchte das Amtsgericht Solothurn-Lebern, ihr verschiedene Dokumente (Protokolle, Parteieingaben, Beschlüsse) zu übermitteln, die anlässlich der öffentlichen Hauptverhandlung im Verfahren gegen X._ bis und mit dem 2. Mai 2012 verfasst wurden.
Am 18. März 2013 nahm die Staatsanwaltschaft das Verfahren nicht an die Hand.
Das Obergericht des Kantons Solothurn wies die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung am 2. September 2013 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung und Verurteilung von Dr. Y._ an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.
D.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn sowie der Beschwerdegegner beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hält in einer Replik an seiner Auffassung fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Privatklägerschaft ist nach Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 5 BGG zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wenn sie vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat und wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann. Der Beschwerdeführer hat darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1). Bei Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 248). Selbst wenn dies der Fall wäre (siehe <ref-law>), würde die Staatsanwaltschaft, welche das Verfahren nicht an die Hand nimmt oder einstellt, die Zivilklage nicht behandeln (vgl. <ref-law>; Urteil 6B_936/2013 vom 14. Februar 2014 E. 1.1). In jedem Fall hat die Privatklägerschaft im Verfahren vor Bundesgericht zu erläutern, welche Zivilansprüche sie gegen die beschuldigte Person stellen möchte, sofern dies - etwa aufgrund der Natur der untersuchten Straftat - nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.4 S. 223; je mit Hinweisen).
Nach ständiger Rechtsprechung können öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftungsrecht, nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (<ref-ruling> E. 1.2.4; <ref-ruling> E. 2.2; Urteil 6B_980/2013 vom 28. Januar 2014 E. 2; je mit Hinweisen).
1.2. Der Beschwerdeführer erachtet sich als offensichtlich zur Beschwerde legitimiert. Er habe am kantonalen Verfahren teilgenommen und gedenke Genugtuungsansprüche zu stellen. Er sei in seinen Persönlichkeitsrechten verletzt worden, da ihn der Beschwerdegegner im Interview, das in der gesamten Deutschschweiz verbreitet worden sei, als erheblich rückfallgefährdet bezeichnet habe.
Zwar betreffen die angeblich offenbarten Amtsgeheimnisse Tatsachen aus der Privatsphäre des Beschwerdeführers (siehe hierzu Urteil 6B_28/2012 vom 11. Dezember 2012 E. 1 mit Hinweisen). Jedoch stand der Beschwerdegegner als gerichtlicher Sachverständiger in einem öffentlich-rechtlichen Verhältnis zum Staat (<ref-ruling> E. 3; Moreillon/Parein-Reymond, CPP, Code de procédure pénale, 2013, N. 5 zu <ref-law>; Marianne Heer, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2011, N. 6 zu <ref-law>). Gemäss § 2 des Verantwortlichkeitsgesetzes des Kantons Solothurn vom 26. Juni 1966 (BSG 124.21) haftet der Staat für den Schaden, den ein Beamter in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich mit oder ohne Verschulden zufügt. Der Geschädigte kann Beamte nicht unmittelbar belangen. Dass die Forderungen des Beschwerdeführers ihren Grund im Zivilrecht haben, ist nicht offensichtlich. Gegebenenfalls wäre fraglich, ob die Beschwerde den Begründungsanforderungen genügt. Angesichts des Ausgangs des Verfahrens kann jedoch offen bleiben, welcher Rechtsnatur die Ansprüche sind und ob der Beschwerdeführer seine Legitimation hinreichend begründet.
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Staatsanwaltschaft habe die Akten des Strafverfahrens gegen ihn beigezogen und damit eine Untersuchungshandlung getätigt. Die Nichtanhandnahmeverfügung nach <ref-law> sei nicht mehr zulässig gewesen.
Der Einwand ist insofern berechtigt, als der Aktenbeizug im Sinn von <ref-law> eine Untersuchungshandlung darstellt, die grundsätzlich nach der Eröffnung des Strafverfahrens zu tätigen ist. In diesem Verfahrensstadium hat die Staatsanwaltschaft, wenn sie zur Überzeugung kommt, dass kein Straftatbestand erfüllt ist, das Verfahren durch Einstellung nach <ref-law>, nicht durch Nichtanhandnahme nach <ref-law>, abzuschliessen. Allerdings richten sich die Einstellung und die Nichtanhandnahme nach den gleichen Verfahrensbestimmungen (<ref-law>; vgl. Urteil 1B_731/2012 vom 8. Februar 2013 E. 2). Es ist weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern dem Beschwerdeführer ein Nachteil erwachsen sein könnte, indem die Staatsanwaltschaft das Verfahren durch Nichtanhandnahme statt durch Einstellung abschloss. Es rechtfertigt sich nicht, die Nichtanhandnahmeverfügung aufzuheben.
3.
Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss eine Verletzung von <ref-law> i.V.m. <ref-law>. Dass der Gutachter ihn als erheblich rückfallgefährdet erachtet habe, sei im Zeitpunkt des Interviews noch nicht öffentlich bekannt gewesen. Die gegenteilige Ansicht der Vorinstanz sei willkürlich. Sie erachte die Voraussetzungen von <ref-law> zu Unrecht als erfüllt. Zudem sei sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, da seinem Antrag auf Beschlagnahme des gesamten Videomaterials beim SRF nicht entsprochen worden sei.
3.1. Die Staatsanwaltschaft hat das Verfahren nach <ref-law> nicht an die Hand genommen, weil die Äusserungen des Gutachters keine Geheimnisse im Sinne von <ref-law> (mehr) betroffen hätten. Ferner könne gestützt auf <ref-law> von einer Strafverfolgung abgesehen werden. Diese Begründung, die von der Vorinstanz im angefochtenen Entscheid geteilt wird, lässt auch eine Einstellung des Verfahrens zu (Art. 319 Abs. 1 lit. a und e StPO).
Die Vorinstanz führt aus, während der erstinstanzlichen Hauptverhandlung gegen den Beschwerdeführer seien zahlreiche Journalisten vor Ort gewesen, die in mehreren Medien über den Prozess berichtet hätten, dies teilweise live via Internet aus dem Gerichtssaal heraus. Die Erkenntnisse des Gutachters seien publik gewesen, wenn auch nicht in jedem Detail. Dieser habe nach seiner gerichtlichen Einvernahme dem SRF ein Interview gegeben. Dabei habe er in zwei Sätzen während 25 Sekunden zusammengefasst, was er in seinem Gutachten und bei der Befragung erläutert habe. Er habe davon ausgehen dürfen, dies sei der Öffentlichkeit durch die intensive Berichterstattung bekannt. Offensichtlich habe er angenommen, er sei zum Interview berechtigt. Selbst wenn von einer Verletzung des Amtsgeheimnisses auszugehen wäre, wäre sein Irrtum bei der Bemessung des Verschuldens zu berücksichtigen. Das erstinstanzliche Gericht sei der Einschätzung des Gutachters zur Wiederholungsgefahr nicht gefolgt, weshalb die Tatfolgen geringfügig im Sinne von <ref-law> seien (Entscheid S. 13 f.).
3.2. Nach <ref-law> eröffnet die Staatsanwaltschaft eine Strafuntersuchung, wenn ein hinreichender Tatverdacht besteht. Sie verfügt gemäss <ref-law> u.a. die Nichtanhandnahme, wenn feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind (lit. a) oder aus den in <ref-law> genannten Gründen auf eine Strafverfolgung zu verzichten ist (lit. c). Von der Strafverfolgung sehen die Behörden u.a. dann ab, wenn Schuld und Tatfolgen geringfügig sind (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Ob ein Strafverfahren durch Nichtanhandnahme erledigt werden kann, ist - gleich wie bei der Verfahrenseinstellung - nach dem Grundsatz "in dubio pro duriore" zu entscheiden. Er bedeutet, dass eine Nichtanhandnahme durch die Staatsanwaltschaft grundsätzlich nur bei klarer Straflosigkeit bzw. offensichtlich fehlenden Prozessvoraussetzungen angeordnet werden darf. Klare Straflosigkeit liegt vor, wenn sicher ist, dass der Sachverhalt unter keinen Straftatbestand fällt. Bei der Beurteilung dieser Frage verfügen die zuständigen Behörden über einen gewissen Spielraum, den das Bundesgericht mit Zurückhaltung überprüft (<ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 7.1 f.).
Nach <ref-law> verletzt sein Amtsgeheimnis, wer ein Geheimnis offenbart, das ihm in seiner Eigenschaft als Mitglied einer Behörde oder als Beamter anvertraut worden ist, oder das er in seiner amtlichen oder dienstlichen Stellung wahrgenommen hat. Geheimnisse sind Tatsachen, die nur einem begrenzten Personenkreis bekannt oder zugänglich sind, die der Geheimnisherr geheim halten will und an deren Geheimhaltung er ein berechtigtes Interesse hat. Was Gegenstand einer öffentlichen Gerichtsverhandlung war, ist unabhängig davon, ob Zuhörer anwesend waren, grundsätzlich nicht mehr geheim (<ref-ruling> E. 1 und E. 3b/aa; NIKLAUS OBERHOLZER, in: Basler Kommentar, Strafrecht II, 3. Aufl. 2013, N. 8 zu <ref-law>).
3.3. Unbestritten ist, dass der Gutachter als gerichtlicher Sachverständiger dem Amtsgeheimnis unterliegt (siehe Art. 73 Abs. 1 und Art. 184 Abs. 2 lit. e StPO). Er äusserte sich gegenüber dem SRF zur Persönlichkeit des Beschwerdeführers. Ob er sich auch zur Rückfallgefahr vernehmen liess, worauf der Kommentar im Beitrag von "Schweiz aktuell" hindeutet, wurde nicht abgeklärt und kann letztlich offen bleiben. Der Beschwerdeführer bestreitet vor Bundesgericht nicht mehr, dass die gutachterliche Einschätzung zu seiner Persönlichkeit im Zeitpunkt des Interviews bereits in den Medien besprochen worden war. Soweit sie überhaupt den qualifizierten Begründungsanforderungen genügen (siehe <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 5), vermag der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die vorinstanzliche Annahme willkürlich ist, die gutachterlichen Erkenntnisse seien auch hinsichtlich der Rückfallgefahr im Zeitpunkt des Interviews publik gewesen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; <ref-ruling> E. 7.1).
Selbst wenn ein hinreichender Tatverdacht vorliegen würde, läge die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens innerhalb des Ermessens der kantonalen Behörden. Die Vorinstanz ist mit zutreffender Begründung zum Schluss gekommen, das Verschulden und die Tatfolgen einer allfälligen Verletzung des Amtsgeheimnisses wären geringfügig. Das erstinstanzliche Gericht ist im Verfahren gegen den Beschwerdeführer der gutachterlichen Einschätzung zur Wiederholungsgefahr nicht gefolgt (Beschwerde S. 13). Da die Äusserungen des Gutachters durch das erstinstanzliche Urteil revidiert wurden, wären die Tatfolgen gering. Es ist anzunehmen, dass nicht das Interview des Gutachters, sondern das Urteil des Gerichts im "öffentlichen Gedächtnis" verbleibt (vgl. Entscheid S. 14). Was der Beschwerdeführer hinsichtlich des Verschuldens vorbringt, betrifft vorwiegend die Tatbestandsmässigkeit an sich. Massgebend ist jedoch, ob das Verhalten des Beschwerdegegners im Quervergleich zu typischen unter dieselbe Gesetzesbestimmung fallenden Taten insgesamt als unerheblich erscheinen würde (<ref-ruling> E. 9; <ref-ruling> E. 5.3.3 S. 136 mit Hinweisen). Dabei wäre vorliegend eine hypothetische Beurteilung der Schuldfrage vorzunehmen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 20). Angesichts der enormen Medienpräsenz vor und während der erstinstanzlichen Verhandlung durfte die Vorinstanz willkürfrei annehmen, der Beschwerdegegner sei davon ausgegangen, er erzähle den Medien nichts, was nicht bereits öffentlich bekannt sei. Mit der Vorinstanz kann offen bleiben, ob es sich hierbei um einen Sachverhalts- oder Rechtsirrtum handeln würde. Es ist nicht zu beanstanden, wenn sie ein etwaiges Verschulden angesichts der konkreten Umstände als geringfügig erachtet (Entscheid S. 13 f.).
3.4. Die Staatsanwaltschaft durfte das Verfahren gestützt auf Art. 310 Abs. 1 lit. a bzw. lit. c i.V.m. <ref-law> und <ref-law> nicht an die Hand nehmen. Die kantonalen Behörden verletzten das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers nicht, indem sie darauf verzichteten, das Videomaterial beim SRF zu beschlagnahmen.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist gutzuheissen, da seine Bedürftigkeit ausgewiesen ist und seine Rechtsbegehren nicht von vornherein aussichtslos waren. Demnach sind keine Kosten zu erheben und dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist eine angemessene Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse auszurichten (<ref-law>).
Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege entbindet bei Unterliegen jedoch nicht von der Bezahlung einer Entschädigung an die obsiegende Gegenpartei. Der Beschwerdeführer hat den anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren somit angemessen zu entschädigen (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Pius Buchmann als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dem Rechtsanwalt des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- ausgerichtet.
5.
Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Andres