Sachverhalt:
A. Der 1956 geborene A._ ist selbstständig erwerbstätiger Gebäudereinigungs-Unternehmer. Am 30. September 2002 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Leistungen an. Nach Abklärung der beruflich-erwerblichen und der gesundheitlichen Situation sprach ihm die IV-Stelle Luzern mit Wirkung ab 1. Februar 2002 eine halbe Invalidenrente, basierend auf einem Invaliditätsgrad von 54 %, und eine halbe Kinderrente zu (Verfügungen vom 11. März und 27. April 2004). Eine nachträgliche Einkommensmeldung an die zuständige Ausgleichskasse für die Jahre 2000 und 2001 führte zu einer höheren Rente, weshalb mit Verfügung vom 6. Dezember 2004 für die Zeit vom 1. Februar 2002 bis 30. November 2004 eine Nachzahlung ausgerichtet und die laufende Invalidenrente ab 1. Dezember 2004 angepasst wurde. Die gegen die Verfügungen vom 11. März, 27. April und 6. Dezember 2004 erhobenen Einsprachen lehnte die IV-Stelle ab (Einspracheentscheid vom 23. November 2005).
B. Die dagegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab (Entscheid vom 5. Februar 2007).
C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, bei einem Invaliditätsgrad von 66 % seien ihm ab 1. Februar 2002 eine halbe und ab 1. Januar 2004 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zu gewähren.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. zur auch unter der Herrschaft des BGG gültigen Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Bereich der Invaliditätsbemessung [<ref-law>] für die Ermittlung des Invaliditätsgrades nach <ref-law>: <ref-ruling>). Eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung stellt eine vom Bundesgericht ebenfalls zu korrigierende Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> dar (Seiler/Von Werdt/Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N. 24 zu Art. 97).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer zu 66 % invalid ist und somit - abgesehen von der bereits gewährten halben Rente ab 1. Februar 2002 - ab 1. Januar 2004 Anspruch auf eine Dreiviertels-Invalidenrente hat (<ref-law> [hier anwendbar sowohl in der bis 31. Dezember 2003 gültig gewesenen wie auch in der seit 1. Januar 2004 geltenden Fassung]). Die für die diesbezügliche Beurteilung massgebenden Rechtsgrundlagen hat das kantonale Gericht richtig wiedergegeben. Darauf wird verwiesen.
3. Die Parteien sind sich einig, dass das hypothetische Invalideneinkommen Fr. 18'475.- beträgt. Umstritten ist lediglich die Höhe des Valideneinkommen.
3. Die Parteien sind sich einig, dass das hypothetische Invalideneinkommen Fr. 18'475.- beträgt. Umstritten ist lediglich die Höhe des Valideneinkommen.
3.1 Auf der nichtmedizinischen beruflich-erwerblichen Stufe der Invaliditätsbemessung charakterisieren sich die gesetzlichen und rechtsprechungsgemässen Regeln über die Durchführung des Einkommensvergleichs (<ref-ruling> E. 3.4 S. 348, 128 V 29 E. 1 S. 30), einschliesslich derjenigen über die Anwendung der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 475) und der Dokumentation von Arbeitsplätzen (DAP; <ref-ruling>), als Rechtsfragen. In dieser Sicht stellt sich die Feststellung der beiden hypothetischen Vergleichseinkommen als Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht, hingegen als Rechtsfrage, soweit sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet. Letzteres betrifft etwa die Frage, ob Tabellenlöhne anwendbar sind, welches die massgebliche Tabelle ist und ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Leidensabzug vorzunehmen sei. Demgegenüber beschlägt der Umgang mit den Zahlen der massgeblichen LSE-Tabelle und in den Arbeitsplatznachweisen der DAP Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
3.2 Verwaltung und Vorinstanz haben die Invalidität zu Recht nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law>, <ref-law>) ermittelt, für die Festsetzung des Invalideneinkommens auf den Betriebsgewinn 2002 (bereinigt um nicht entlöhnte Anteile und um den erhöhten übrigen Betriebsaufwand, welcher nicht unmittelbar mit der Behinderung zusammenhängt) abgestellt und das Invalideneinkommen für das Jahr 2002 auf Fr. 18'475.- festgesetzt. Hinsichtlich des Validenlohns hat das kantonale Gericht festgestellt, der Beschwerdeführer habe als selbstständiger Gebäudereinigungs-Unternehmer von 1997 bis 2000 gemäss den Jahresabschlüssen ein durchschnittliches Jahreseinkommen von Fr. 39'118.- erzielt. Teuerungsangepasst ergebe sich für das Jahr 2002 ein Valideneinkommen von Fr. 40'478.-. Dieser Verdienst widerspiegle die tatsächlichen Verhältnisse. Er sei in Jahren verdient worden, in denen die Arbeitskraft nicht durch Gesundheitsbeschwerden beeinträchtigt gewesen sei. Da das Einkommen aus der selbstständigen Erwerbstätigkeit seit der Gründung der Reinigungsfirma im Jahr 1979 stets grossen Schwankungen unterworfen gewesen sei, rechtfertige es sich entgegen der Ansicht des Versicherten nicht, für die Bemessung des Valideneinkommens lediglich auf den Durchschnittsverdienst aus den Jahren 1999 und 2000 abzustellen.
Diese tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz sind nicht offensichtlich unrichtig und die rechtlichen Schlussfolgerungen nicht bundesrechtswidrig. Der Einwand des Versicherten, er habe in Anbetracht der veränderten persönlichen Lebensumstände durch die Gründung einer Familie und die Geburt seines Kindes für sein Geschäft Akquisitionsmassnahmen ergriffen, um ein höheres Einkommen zu erzielen, was ihm in den Jahren 1999 und 2000 auch gelungen sei, vermag daran nichts zu ändern.
3.3 Bei Gegenüberstellung der beiden Vergleichseinkommen (Fr. 40'478.- und Fr. 18'475.-) resultiert ein Invaliditätsgrad von 54 %. Damit besteht kein Anspruch auf eine höhere als die bereits zugesprochene halbe Rente der Invalidenversicherung.
4. Die Gerichtskosten werden dem Beschwerdeführer als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, der Ausgleichskasse Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Die Gerichtsschreiberin:
Widmer Berger Götz