Faits:
A. Etudiant à la Faculté de droit de l'Université de Fribourg (ci-après: la Faculté), X._ s'est inscrit à la session de mai 2010 de l'examen de droit IUR II du programme de Bachelor, comprenant six épreuves. Après s'être présenté à deux de ces épreuves, il a informé la Faculté, certificat médical à l'appui, de son impossibilité de participer à celles des 31 mai ("Verwaltungsrecht I") et 1er juin 2010 ("Rechtsgeschichte"). Par courriel du 7 juin 2010, l'Université a confirmé la désinscription de l'intéressé à la 2ème session 2010, en ajoutant "désinscription: Öffentliches Recht II, Rechtsgeschichte". Les 8 et 10 juin 2010, X._ s'est présenté à deux épreuves orales. Le 16 juin 2010, l'Université lui a délivré une attestation de session indiquant notamment la réussite des quatre épreuves présentées, dont une avec la note maximale 6 ("Droit des obligations I").
B. La demande de X._ du 29 juin 2010 à pouvoir s'inscrire à la session d'août 2010 pour les seules épreuves non présentées à la session de mai 2010 a été rejetée par la Faculté. Ses recours contre ce refus ont été rejetés le 14 juillet 2010 par la Commission de recours de la Faculté et le 25 novembre 2010 par la Commission de recours de l'Université, laquelle a toutefois autorisé l'intéressé, sur mesures provisionnelles, à se présenter, lors de la session d'août 2010, aux deux épreuves manquées à la session de mai 2010, dont les résultats ont été consignés.
Par arrêt du 17 mars 2011, la Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours déposé par X._ contre la décision de la Commission de recours de l'Université.
C. Par recours en matière de droit public et recours constitutionnel subsidiaire du 15 avril 2011, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 17 mars 2011, de prendre en compte, pour l'appréciation globale de ses épreuves IUR II, les notes obtenues au titre des deux épreuves consignées et de considérer comme acquise la note 6 en "Droit des obligations I". Dans un mémoire séparé, il requiert sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite ainsi que la désignation de Me Olivier Carrel en qualité de défenseur d'office. Le Tribunal cantonal et la Faculté de droit de l'Université concluent au rejet de ces recours.
D. Par ordonnance présidentielle du 25 mai 2011, le Tribunal fédéral a enjoint à la Faculté de conserver les épreuves "Öffentliches Recht" et "Rechtsgeschichte" du recourant jusqu'à droit jugé.
Le 7 juin 2011, le recourant a informé le Tribunal fédéral qu'il s'était inscrit pour toutes les épreuves de la session d'examen IUR II, débutant le 23 mai 2011; il a requis que la Faculté soit astreinte, par mesure provisionnelle urgente, à corriger ses épreuves IUR II passées en 2011 et à lui communiquer les résultats dans le même temps qu'aux autres candidats. Le 9 juin 2011, le Juge instructeur du Tribunal fédéral chargé du dossier a, à titre superprovisoire, demandé la correction des épreuves du recourant en même temps que celles des autres étudiants et a invité les parties à se déterminer au sujet de la communication des notes. La Faculté s'est déterminée le 15 juin 2011. Le 28 juin 2011, le recourant a persisté dans sa requête portant sur la communication des résultats de l'examen IUR II qui a débuté le 23 mai 2011.

Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>). Portant sur le droit d'un étudiant, empêché sans sa faute de passer des épreuves au cours d'une session déterminée, de se représenter aux seules épreuves manquées sans devoir subir les épreuves déjà passées, l'arrêt n'est pas en lien avec une évaluation des capacités du recourant et ne tombe donc pas sous le coup de l'exception prévue à l'art. 83 let. t LTF (cf. arrêts 2D_7/2011 du 19 mai 2011 consid. 1.2; 2D_57/2009 du 3 décembre 2009 consid. 1.2; 2D_151/2008 du 25 mai 2009 consid. 1.1). La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte. Déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. a et 100 al. 1 LTF) par le destinataire de l'acte attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, de sorte qu'il faut lui reconnaître la qualité pour recourir (<ref-law>), le recours en matière de droit public est recevable, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>).
2. 2.1 Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (art. 95 let. c, d et e LTF), l'on ne peut invoquer la violation du droit cantonal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (<ref-law> a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiées prévues à l'<ref-law>, qui valent en particulier pour le grief d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382 s.).
2.2 Par ailleurs, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne s'en écarte que s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>) et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). En particulier, le Tribunal fédéral n'entrera pas en matière sur les critiques de type appellatoire du recourant ni sur sa propre présentation des faits contenue dans son mémoire, notamment par rapport aux nombreux contacts oraux qu'il prétend avoir eus avec le Décanat de la Faculté; le recourant ne se prévalant pas d'une violation de l'interdiction de l'arbitraire, la Cour de céans se fondera sur les faits ressortant de l'arrêt querellé (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322).
3. L'organisation et l'évaluation des sessions d'examen sont régies par le règlement du Conseil de la Faculté de droit de l'Université de Fribourg du 28 juin 2006 pour l'obtention du Bachelor of Law (B Law), du Master of Law (M Law), du Master of Arts in Legal Studies (M A Legal Studies) et du doctorat en droit (RBMD; RS de l'Université de Fribourg 4.2.0.1.1), ainsi que par le règlement d'exécution du 8 octobre 2007 relatif à l'organisation des examens de Bachelor of Law, de Master of Law et de Master of Arts in Legal Studies (RERBMD; RS/Uni-FR 4.2.0.1.10). Selon les art. 2 let. a, 3 à 6 et 20 al. 1 RBMD, la Faculté a instauré un système d'évaluation par blocs d'examens IUR I, II et III. Les art. 20 al. 1 let. c RBMD et 15 al. 4 RERBMD prévoient que chaque jury fixe définitivement les notes pour chaque discipline et constate, au vu des résultats, l'échec ou la réussite du bloc d'examen. Il faut avoir réussi un bloc avant de pouvoir se présenter aux examens suivants (art. 6 RBMD). En vertu des art. 24 al. 1, 1ère phr. RBMD et 14 al. 1 RERBMD, les examens IUR I à IUR III peuvent être répétés deux fois en cas d'échec, au plus tôt lors de la session d'examen suivante. Par ailleurs, l'art. 10 al. 1 et 2 RERBMD dispose:
"1 Lorsqu'un candidat ou une candidate ne se présente pas à la session et n'a pas retiré son inscription dans le délai et la forme prescrits, ou renonce à poursuivre une session ordinaire, la session est considérée comme un échec.
2 Cette disposition ne s'applique pas lorsqu'un candidat ou une candidate a été empêché/e de se présenter pour un motif important (maladie grave, accident, mort d'un proche parent, etc.) et qu'il ou elle motive et justifie par écrit immédiatement l'absence ou le retrait auprès du Délégué ou de la Déléguée aux examens".
De surcroît, l'art. 5 al. 1 et 3 RERBMD prévoit qu'un retrait d'inscription conforme au délai ne compte pas comme un échec. Bien qu'il intervienne après l'échéance fixée, un retrait justifié notamment par une maladie vaut comme retrait conforme aux délais (art. 5 al. 2 RERBMD).
Enfin, l'art. 24 al. 1, 2ème et 3ème phr. RBMD prévoit qu'"[e]n cas d'échec, les examens IUR I à IUR III peuvent être répétés deux fois. Celui ou celle qui n'a pas réussi l'un des examens IUR I, IUR II ou IUR III est dispensé de répéter l'épreuve à laquelle il ou elle a obtenu au moins la note 5,5. Cette note est prise en compte dans la décision relative à la réussite des examens répétés".
4. Dans leur arrêt du 17 mars 2011, les juges cantonaux ont retenu que, le recourant ne s'étant pas présenté pour des motifs de santé à deux des six épreuves de la session de mai 2010 de l'examen IUR II, ses absences équivalaient à un retrait pour empêchement non fautif de l'ensemble du bloc d'examen. En effet, l'art. 10 al. 2 RERBMD ne permettait pas de scinder les blocs d'examen, à l'exception de la possibilité, instaurée à l'art. 24 RBMD, de conserver des notes égales ou supérieures à 5,5 en cas d'échec lors d'une session d'examen. C'est ainsi à bon droit que la Faculté aurait refusé de tenir compte des épreuves passées au cours de la session d'examen IUR II de mai 2010, y compris celle pour laquelle le recourant avait obtenu la note 6, et interdit au recourant de rattraper les seules deux épreuves manquées au cours de la session d'août 2010.
5. Le recourant se plaint tout d'abord d'une violation du principe d'égalité. En cas d'empêchement non fautif de se présenter à un examen, l'étudiant doit, selon lui, pouvoir passer en plusieurs fois les examens appartenant à un même bloc ("IUR"), sans que la session ne soit annulée dans son ensemble. Il ne se justifierait pas d'assimiler cette situation à celle de l'annulation de toute la session lorsqu'un candidat ne se présente pas à un examen sans excuse valable et sans avoir retiré son inscription dans les formes et délais fixés.
5.1 Une décision viole le principe de l'égalité consacré à l'art. 8 al. 1 Cst. lorsqu'elle établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait à réglementer ou qu'elle omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances, c'est-à-dire lorsque ce qui est semblable n'est pas traité de manière identique et ce qui est dissemblable ne l'est pas de manière différente. Il faut que le traitement différent ou semblable injustifié se rapporte à une situation de fait importante (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 304; <ref-ruling> consid. 9.1 p. 42).
5.2 En l'espèce, la situation du retrait irrégulier se distingue de celle d'un étudiant qui se retire d'une session d'examen par suite d'un empêchement non fautif. Ces situations appellent ainsi un traitement différent en faveur de l'étudiant empêché sans sa faute de se présenter. Dans ses règlements, la Faculté distingue ces hypothèses de façon adéquate: en cas de retrait irrégulier, la session d'examen est considérée comme un échec, qui fait perdre à l'étudiant une des possibilités de répéter l'examen (art. 24 al. 1 RBMD). En cas de retrait excusable, l'étudiant est replacé dans la situation où il se trouvait avant son inscription; le nombre de tentatives dont il dispose pour répéter l'examen IUR II demeure donc inchangé. La Faculté a donc bien mis en place un traitement différencié de ces deux situations, seul le retrait irrégulier étant considéré comme un échec. Par conséquent, on ne voit pas que l'on puisse lui reprocher une violation de l'art. 8 al. 1 Cst. Exiger comme le fait le recourant, alors que son retrait n'est déjà pas assimilé à un échec, de pouvoir en plus répartir les épreuves d'un bloc sur plusieurs sessions et ne répéter que les examens auxquels il ne s'est pas présenté, reviendrait à l'avantager doublement par rapport à l'étudiant en situation de retrait irrégulier. Une telle solution ne peut être imposée à la Faculté sous le couvert de l'égalité de traitement, puisqu'elle a déjà opéré la distinction susmentionnée. De plus, cette solution ne serait pas compatible avec le système des blocs d'examens instauré par la Faculté.
6. Invoquant le principe de la bonne foi, le recourant se prévaut de deux communications de la Faculté, à savoir l'attestation confirmant sa réussite aux quatre examens subis durant la session de mai 2010, et un courriel de désinscription du 7 juin 2010 ne mentionnant que les deux épreuves auxquelles, bénéficiant d'un certificat médical, il ne s'était pas présenté. En substance, il prétend avoir pu en déduire qu'il serait admis à passer les derniers examens de la session de mai 2010, puis à rattraper durant la session d'août 2010 les deux seules épreuves manquées. Or, sur la base de ces informations, il aurait pris des dispositions irréversibles en fournissant un important travail de préparation. Il estime par conséquent avoir droit à ce que les quatre épreuves passées durant la session de mai 2010 soient évaluées conjointement aux deux épreuves manquées qu'il avait été autorisé à présenter à titre provisionnel à la session d'examen suivante pour, en cas de succès, obtenir la validation du bloc d'examen IUR II.
6.1 Ancré aux art. 5 al. 3 et 9 Cst., et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le principe de la bonne foi confère au citoyen, à certaines conditions, le droit d'exiger des autorités qu'elles se conforment aux promesses ou assurances précises qu'elles lui ont faites et ne trompent pas la confiance qu'il a légitimement placée dans ces promesses et assurances. Selon la jurisprudence, un renseignement ou une décision erronés de l'administration peuvent obliger celle-ci à consentir à un administré un avantage contraire à la réglementation en vigueur, à condition que (a) l'autorité soit intervenue dans une situation concrète à l'égard de personnes déterminées, (b) qu'elle ait agi ou soit censée avoir agi dans les limites de ses compétences et (c) que l'administré n'ait pas pu se rendre compte immédiatement de l'inexactitude du renseignement obtenu. Il faut encore qu'il se soit fondé sur les assurances ou le comportement dont il se prévaut pour (d) prendre des dispositions auxquelles il ne saurait renoncer sans subir de préjudice, et (e) que la réglementation n'ait pas changé depuis le moment où l'assurance a été donnée (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 636; arrêt 2D_57/2009 du 3 décembre 2009 consid. 4.3).
6.2 L'envoi par la Faculté de l'attestation de réussite et du courriel de désinscription partielle au recourant, qualifiés d'"informations maladroites" par les juges cantonaux, était certes de nature à entretenir une certaine confusion au sujet de la possibilité pour l'étudiant de rattraper les deux épreuves manquantes au cours de la session suivante. Du reste, ces informations émanaient a priori des autorités compétentes, soit du Décanat (art. 8 al. 1 RERBMD) et de l'organisme facultaire gérant la messagerie dédiée aux examens de droit (droit-examens@unifr.ch). La question de savoir si, comme le retient l'arrêt attaqué, le recourant pouvait, notamment en consultant les règlements universitaires, lever l'ambiguïté suscitée par ces deux correspondances, souffre de rester ouverte dès lors qu'il n'a en tout état pris aucune disposition irréversible sur la base de ce quiproquo allégué. En effet, on ne voit pas en quoi le fait pour un étudiant de fournir un important travail de préparation pour des examens constituerait une disposition irréversible. Quant à la demande du recourant du 29 juin 2010 à pouvoir s'inscrire à la session du mois d'août 2010 pour les deux seules épreuves manquées, elle a aussitôt été rejetée par la Faculté. Cette autorisation lui a finalement été accordée, mais seulement à titre de mesures provisionnelles. Le recourant ne peut donc déduire une quelconque assurance de cette mesure procédurale.
6.3 Il convient au surplus de relever qu'en tant que le recourant situe la prise de dispositions irréversibles entre le 29 mai (jour de l'annonce de son impossibilité de se présenter à deux épreuves) et le 10 juin 2010 (jour auquel il s'était présenté à la dernière épreuve de session suivant la fin de son congé maladie), son argument frôle la témérité. Il ressort en effet du certificat médical du 29 mai 2010 que son état de santé "nécessit[ait] le repos à la maison pendant cinq jours". Dès lors que le recourant était empêché d'étudier et de se présenter à deux épreuves durant ladite période, on voit mal comment il aurait pu, durant son absence, fournir un important travail de préparation - qui ne constitue du reste pas une disposition irréversible (consid. 6.2) - pour des épreuves agendées peu après la date de rétablissement envisagée dans le certificat médical.
Pour les mêmes motifs, le fait pour la Faculté d'avoir omis d'interdire au recourant -, ceci s'expliquant, selon les constats du Tribunal cantonal, par la masse d'examens à gérer dans un bref laps de temps et les difficultés d'organisation en découlant, - de se présenter aux dernières épreuves de la session d'examen de mai 2010 après s'être retiré de la session d'examen pour cause de maladie, ne saurait consister en une assurance de l'autorité lui permettant de se prévaloir du principe de la protection de la confiance.
6.4 Par conséquent, le grief tiré de l'art. 9 Cst. se doit d'être intégralement écarté.
7. A titre subsidiaire, le recourant demande à pouvoir conserver la note 6 qu'il avait obtenue pour l'épreuve "Droit des obligations I" au cours de la session de mai 2010. Invoquant l'art. 8 al. 1 Cst., il considère en substance qu'il n'y a pas de raison de ne pas faire bénéficier l'étudiant qui a été empêché sans sa faute de passer un examen de la règle de l'art. 24 al. 1 RBMD selon laquelle "[c]elui ou celle qui n'a pas réussi l'un des examens IUR I, IUR II ou IUR III est dispensé de répéter l'épreuve à laquelle il ou elle a obtenu au moins la note 5,5. Cette note est prise en compte dans la décision relative à la réussite des examens répétés".
7.1 L'arrêt querellé justifie cette différence de traitement par le fait que, en cas d'échec, le parcours universitaire se poursuit sur la base des résultats négatifs obtenus et de la perte d'une tentative, tandis que, en cas de retrait pour cause d'empêchement non fautif, il est fait abstraction de la session annulée. S'il fallait permettre aux étudiants de tenir pour acquise une note d'au moins 5,5 en cas d'empêchement non fautif lors d'un examen, il faudrait, selon les juges cantonaux, "également prendre en considération les épreuves auxquelles celui/celle qui se retire a échoué" (arrêt querellé, p. 6).
7.2 La position adoptée par le Tribunal cantonal ne peut être suivie. En effet, comme déjà indiqué, un étudiant qui ne se présente pas à un examen sans excuse valable (retrait irrégulier) n'est pas dans une situation comparable à l'étudiant qui se retire à la suite d'un empêchement non fautif, ce qui peut justifier une différence de traitement, mais seulement au détriment du premier. Or, en limitant l'application de l'art. 24 al. 1 RBMD aux étudiants ayant échoué, dont font partie les étudiants en situation de retrait irrégulier, le Tribunal cantonal pénalise de manière non justifiée les étudiants qui se sont retirés pour une raison valable, car seuls ceux-ci n'ont pas le droit de conserver une note supérieure à 5,5, ce qui est contraire à l'art. 8 al. 1 Cst. Il se trouve que la possibilité accordée par l'art. 24 al. 1 RBMD s'explique par le fait que le candidat obtenant une note aussi élevée a fait preuve d'une maîtrise supérieure à la moyenne dans la branche considérée; même en cas d'échec dans d'autres branches, on doit donc pouvoir se dispenser de réévaluer ses connaissances dans ce domaine particulier. Or, si cette considération est appliquée au candidat qui se retire sans motif valable d'une session d'examen, elle doit a fortiori aussi l'être à celui qui y est contraint à la suite d'un empêchement non fautif.
Au demeurant, le risque que le droit donné à un étudiant, empêché de se présenter à une session pour un motif important, de valider ses notes supérieures à 5,5 incite les candidats à présenter des certificats médicaux de complaisance pour se concentrer sur un nombre spécifique d'épreuves et ainsi scinder de facto leur session d'examen, peut être déjoué par une application stricte de l'art. 10 RERBMD. Son 2ème alinéa insiste en effet sur le fait que le candidat doit être empêché de se présenter "pour un motif important (maladie grave, accident, mort d'un proche parent, etc.)", tandis que son 3ème alinéa prévoit que "[l]es certificats médicaux sont soumis pour contrôle au médecin-conseil désigné par le Conseil de Faculté". De plus, un éventuel abus de droit de la part d'un candidat ne serait pas protégé par la loi (art. 5 al. 3 Cst.; 2 al. 2 CC; cf. arrêt 1B_365/2009 du 22 mars 2010 consid. 3.3).
7.3 Au vu de ce qui précède, l'arrêt querellé viole le principe de l'égalité de traitement, dans la mesure où il refuse au recourant de faire valider la note 6 obtenue pour l'épreuve "Droit des obligations I".
8. 8.1 Dans ces conditions, le recours en matière de droit public doit être partiellement admis en ce qu'il a trait à la conservation de la note 6 obtenue lors de la session d'examen de mai 2010 pour l'épreuve "Droit des obligations I" (conclusion au fond n° 4 du recours). Il y a donc lieu d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 17 mars 2011 sur ce point et de le confirmer pour le surplus.
Le présent arrêt rend par ailleurs sans objet la requête de mesures provisionnelles urgentes du 7 juin 2011.
8.2 Au vu de l'issue du litige, le recourant peut prétendre à une indemnité partielle à titre de dépens, à la charge de l'Université de Fribourg (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Pour le surplus, il convient d'admettre la requête d'assistance judiciaire formée par le recourant, qui ne dispose pas de ressources suffisantes et dont les conclusions ne paraissaient pas d'emblée vouées à l'échec (<ref-law>). Il y a donc lieu de désigner Me Olivier Carrel comme avocat d'office et de fixer la part des dépens de celui-ci non couverts par l'Université de Fribourg, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral dès qu'il se trouvera en mesure de le faire (<ref-law>). Il ne sera pas perçu de frais judiciaires (art. 64 al. 1, ainsi que 66 al. 1 et 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est partiellement admis.
3. L'arrêt du Tribunal cantonal du 17 mars 2011 est annulé dans la mesure où la note 6 que le recourant a, lors de la session d'examen de mai 2010, obtenue pour l'épreuve "Droit des obligations I" lui reste acquise. L'arrêt est confirmé pour le surplus.
4. L'Université de Fribourg, soit pour elle le Décanat de la Faculté de Droit, versera au recourant une indemnité de 500 fr. à titre de dépens réduits.
5. La requête d'assistance judiciaire est admise. Me Olivier Carrel, avocat à Fribourg, est désigné comme avocat d'office du recourant et ses honoraires, supportés par la caisse du Tribunal fédéral, sont fixés à 1'500 fr.
6. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
7. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la Faculté de droit de l'Université de Fribourg, Décanat, et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ie Cour administrative.
Lausanne, le 6 juillet 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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