Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 4. April 2002 sprach die IV-Stelle des Kantons Aargau S._ u.a. gestützt auf den Bericht der Klinik X._, Abteilung Psychosomatik, vom 17. September 2001 über ihre medizinische Abklärung eine ganze Rente der Invalidenversicherung ab 1. April 2000 zu. Im Rahmen des im November 2003 eingeleiteten Revisionsverfahrens liess die neu zuständige IV-Stelle Luzern den Versicherten psychiatrisch begutachten (Expertise Dr. med. K._ vom 14. Juni 2004). Mit Verfügung vom 14. Oktober 2004 bestätigte sie die Rente (Invaliditätsgrad: 100 %). Zwei weitere Revisionen ergaben keine Änderung (Verfügung vom 30. März 2006, Mitteilung vom 7. September 2009).
Im Zeitraum vom 4. Oktober bis 4. November 2010 wurde S._ an drei Tagen observiert (Bericht vom 2. Dezember 2010). Am 10. Dezember 2010 verfügte die IV-Stelle vorsorglich die sofortige Einstellung der Leistungen, welche Anordnung das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern auf Beschwerde hin mit Entscheid vom 15. Juni 2011 aufhob. Am 23. Februar 2011 wurde der Versicherte durch die medizinische Einrichtung Y._ abgeklärt (Expertise vom 3. Mai 2011). Mit Verfügung vom 9. Dezember 2011 hob die IV-Stelle die Rente rückwirkend auf den 1. April 2000 auf und forderte die zu Unrecht ausgerichteten Leistungen für fünf Jahre (ab 1. Januar 2007) zurück. Am 22. Dezember 2011 erliess sie die Rückforderungsverfügung über Fr. 117'468.-.
B.
S._ liess gegen beide Verfügungen beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung (seit 1. Juni 2013: Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung), Beschwerde erheben. Dieses führte den Schriftenwechsel durch und vereinigte die beiden Verfahren (S 12 44 und S 12 51). Mit Entscheid vom 22. April 2013 hob es die Verfügung vom 9. Dezember 2011 auf (Dispositiv-Ziffer 2); auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 22. Dezember 2012 trat es nicht ein (Dispositiv-Ziffer 3); im Verfahren S 12 44 verpflichtete es die IV-Stelle, die amtlichen Kosten zu bezahlen und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (Dispositiv-Ziffern 4 und 5).
C.
Die IV-Stelle Luzern führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, Dispositiv-Ziffer 1 (recte: 2), 4 und 5 des Entscheids vom 22. April 2013 seien aufzuheben; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die ihr obliegenden Prüfungen der strittigen Fragen vornehme und Entscheidungen im Sinne von Ziffer 9 der Beschwerdebegründung treffe.
Das Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, desgleichen S._ in seiner nach Ablauf der hiefür gesetzten Frist eingereichten "Replik". Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen.
Mit Verfügung vom 12. Juli 2013 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt worden.

Erwägungen:
1.
Die mit "Replik" bezeichnete Vernehmlassung des Beschwerdegegners vom 8. Juli 2013, worin er ergänzend zur ersten Eingabe vom 28. Juni 2013 zu den materiellen Vorbringen der Beschwerdeführerin Stellung nimmt, ist nach Ablauf der mit Verfügung vom 18. Juni 2013 auf den 1. Juli 2013 angesetzten Frist eingegangen und somit verspätet. Ein Fristwiederherstellungsgrund im Sinne von <ref-law> wird nicht geltend gemacht.
Die Verfügung vom 18. Juni 2013 war - in fettgedruckter Schrift - mit Fristansetzung Beantwortung der Beschwerde und des Gesuchs um aufschiebende Wirkung gemäss Art. 102 und 103 Bundesgerichtsgesetz (BGG) betitelt. Der erste Satz des Verfügungstextes lautete: "Das Doppel der Beschwerde wurde Ihnen bereits zugestellt. Sie sind nunmehr eingeladen, eine allfällige Vernehmlassung in 5 Exemplaren bis zum 1. Juli 2013einzureichen". In einem neuen Absatz wurde festgehalten: "Stillschweigen zum Gesuch um aufschiebende Wirkung wird als Einverständnis ausgelegt". Wortlaut und auch Darstellung der Verfügung konnten - bei sorgfältigem Lesen - keine Zweifel aufkommen lassen, dass innerhalb der gesetzten, gemäss <ref-law> aus zureichenden Gründen erstreckbaren Frist gleichzeitig zu den materiellen Rechtsbegehren in der Beschwerde und zum Verfahrensantrag Stellung zu nehmen war, was im Übrigen auch im Interesse beider Seiten an einem beförderlichen Gang des Verfahrens liegt. Nichts zu Gunsten des Beschwerdegegners ergibt sich daraus, dass ihm mit Verfügung vom 3. Juli 2013 eine Kopie der Vernehmlassungsantwort der Vorinstanz zugestellt wurde mit dem Hinweis, allfällige Bemerkungen hätten bis zum 12. Juli 2013 zu erfolgen. Am 3. Juli 2013 war die Vernehmlassungsfrist bereits abgelaufen. Abgesehen davon nahm die Vorinstanz nicht materiell Stellung zur Beschwerde, was denn auch zu keinen Bemerkungen in der Sache Anlass gab. Unter diesen Umständen bleibt die Eingabe vom 8. Juli 2013 unbeachtlich.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat nach Darlegung der Rechtsprechung zum Anfechtungs- und Streitgegenstand und deren Abgrenzung voneinander (grundlegend <ref-ruling>) erwogen, die IV-Stelle habe die rückwirkende Aufhebung der Rente zum 1. April 2000 sowie die Rückforderung für fünf Jahre in der angefochtenen Verfügung vom 9. Dezember 2011 mit dem Rückkommenstitel der prozessualen Revision begründet. Weitere allenfalls in Frage kommende Rechtsgrundlagen habe sie nicht geprüft. Die angefochtene Verfügung sei somit (auch) im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren lediglich unter dem Gesichtspunkt der prozessualen Revision gemäss <ref-law> zu überprüfen.
2.2. Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt, die vorinstanzliche Umschreibung von Umfang und Inhalt der Prüfung der streitigen Rentenaufhebung und Rückforderung der seit 1. Januar 2007 ausgerichteten Leistungen verletze den Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>). Dem kann nicht gefolgt werden:
2.2.1. Die Vorinstanz hat als letzte kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> (<ref-law>) den Sachverhalt frei zu prüfen und das massgebende Recht von Amtes wegen anzuwenden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 374). Sie hat somit die Streitfrage unter allen aufgrund der Akten und der Vorbringen der Parteien in Betracht fallenden rechtlichen Gesichtspunkten zu prüfen, wobei sie nicht an deren Rechtsauffassungen gebunden ist (<ref-ruling> E. 2b S. 36; RtiD 2011 I S. 124, 8C_770/2009 E. 4.3; FamPra.ch 2009 S. 1045, 5A_63/2009 E. 1.2). Sie darf sich grundsätzlich nicht darauf beschränken, den Streitgegenstand (vgl. dazu <ref-ruling>) bloss im Hinblick auf die von den Parteien aufgeworfenen Rechtsfragen zu überprüfen (Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 212; vgl. auch Urteil 4P.260/2000 vom 2. März 2001 E. 5c). Dabei sind die aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör abgeleiteten Verfahrensrechte der Parteien zu wahren (<ref-ruling> E. 2c S. 37 mit Hinweisen; Urteil 4A_210/2010 vom 1. Oktober 2010 E. 7.1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SJ 2011 I S. 80).
2.2.2. Eine Rente der Invalidenversicherung kann vom hier nicht interessierenden Tatbestand einer nachträglichen Änderung der Rechtslage abgesehen gestützt auf <ref-law> (Anpassung an geänderte tatsächliche Verhältnisse), <ref-law> (prozessuale Revision) oder <ref-law> (Wiedererwägung) - mit Wirkung ex nunc et pro futuro oder allenfalls ex tunc (<ref-law>) - herabgesetzt oder aufgehoben werden (vgl. Ulrich Meyer-Blaser, Die Abänderung formell rechtskräftiger Verwaltungsverfügungen in der Sozialversicherung, in: ZBl 8/1994 S. 337 ff.). In einem konkreten Fall sind somit allenfalls alle drei Bestimmungen auf ihre Anwendbarkeit zu prüfen (SVR 2012 IV Nr. 36 S. 140, 9C_896/2011 E. 4.1 mit Hinweisen). Immerhin ist zu beachten, dass die Bestätigung einer zu Unrecht auf <ref-law> stützende Verfügung unter dem Titel der materiellen Revision (<ref-law>) grundsätzlich einen entsprechenden Antrag der IV-Stelle erfordert (vgl. SVR 2011 IV Nr. 20 S. 53, 9C_303/2010 E. 4.4).
Vorliegend hob die Beschwerdeführerin die ganze Rente gestützt auf <ref-law> auf und forderte die ab 1. Januar 2007 ausgerichteten Leistungen zurück (<ref-law> und Art. 25 Abs. 1 und 2 ATSG). Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, die Voraussetzungen für ein Rückkommen auf die Verfügung vom 4. April 2002 unter dem Gesichtspunkt der prozessualen Revision seien nicht gegeben (vgl. E. 3.2 hinten). Dabei durfte sie es bewenden lassen. Die IV-Stelle hat vor Vorinstanz keinen Eventualantrag mit Blick auf <ref-law> gestellt oder diesbezügliche Vorbringen gemacht.
3.
3.1. Nach <ref-law> müssen formell rechtskräftige Verfügungen und Einspracheentscheide in Revision gezogen werden, wenn die versicherte Person oder der Versicherungsträger nach deren Erlass erhebliche neue Tatsachen entdeckt oder Beweismittel auffindet, deren Beibringung zuvor nicht möglich war. Im angefochtenen Entscheid wird die Rechtsprechung zu den massgebenden Tatbestandsmerkmalen einer prozessualen Revision richtig wiedergegeben. Darauf wird verwiesen (vgl. SVR 2010 UV Nr. 22 S. 90, 8C_720/2009 E. 5; Urteil 8C_18/2013 vom 23. April 2013 E. 3.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 5b S. 358). Zu ergänzen ist, dass im Streit um die Herabsetzung oder Aufhebung einer Rente gestützt auf <ref-law> die IV-Stelle die prozessualen Revisionsvoraussetzungen nachzuweisen hat; Beweislosigkeit geht zu ihren Lasten (Urteil 9C_955/2012 vom 13. Februar 2013 E. 3.2; <ref-ruling> E. 3b in fine S. 264). Die Unterlagen über die Observierung einer versicherten Person im Besonderen genügen für sich allein genommen in der Regel nicht, um das Vorliegen eines prozessualen Revisionsgrundes darzutun; ihnen kommt nur, aber immerhin die Bedeutung eines (gewichtigen) Indizes zu (vgl. SVR 2012 IV Nr. 36 S. 140, 9C_896/2011 E. 4.2 und SVR 2012 UV Nr. 17 S. 63, 8C_434/2011 E. 4.2).
Die von der Beschwerdeführerin prozessual revisionsweise aufgehobene Verfügung vom 4. April 2002 ging von einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % aus psychiatrischer Sicht (Diagnosen: Gemischte dissoziative Störung [Konversionsstörung] ICD-10 F44.7 sowie sonstige somatoforme Störung ICD-10 F.45.8 bei Verdacht auf Persönlichkeitsstörung ICD-10 F60.9 und Anpassungsstörung mit Angst und Depression gemischt ICD-10 F43.22) gemäss dem Bericht der Klinik X._ vom 17. September 2001 aus. Es stellt sich somit die Frage, ob aufgrund der Unterlagen über die Observierung im Zeitraum vom 4. Oktober bis 4. November 2010 als unstreitig neues Beweismittel im Sinne von <ref-law> und des Gutachtens der medizinischen Abklärungsstelle Y._ vom 3. Mai 2011 sowie der übrigen Akten davon auszugehen ist, dass der Beschwerdegegner damals nicht psychisch bedingt ganz arbeitsunfähig gewesen sein konnte und er ein Einkommen hätte erzielen können, das nicht Anspruch auf eine ganze Rente gegeben hätte. Dabei handelt es sich um eine Tatfrage (vgl. SVR 2010 IV Nr. 55 S. 169, 9C_764/2009 E. 3.2). Die diesbezüglichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz sind somit für das Bundesgericht verbindlich, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> beruhen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Dabei ist eine Tatsachenfeststellung nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 8C_855/2012 vom 28. August 2013 E. 2.1). Dieselbe eingeschränkte Kognition gilt auch in Bezug auf die Beweiswürdigung. Hier greift das Bundesgericht nur ein, wenn die Vorinstanz aus den Beweisen offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweise übersehen oder solche willkürlich ausser Acht gelassen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211; Urteil 9C_416/2013 vom 27. August 2013 E. 1).
3.2. Die Vorinstanz hat festgestellt, die Gutachter der medizinischen Abklärungsstelle Y._ hätten klar festgehalten, dass eine Verbesserung des Gesundheitszustandes anzunehmen sei. Dies lasse e contrario den Schluss zu, dass zuvor ein schlechterer Gesundheitszustand bestanden haben müsse. Da die Experten jedoch keine genauen Angaben darüber machen würden, seit wann eine allfällige Verbesserung eingetreten sein soll, könne daraus nicht geschlossen werden, der aktuelle Gesundheitszustand bestehe seit April 2000 und dauere an. Dieser Schluss verbiete sich auch deshalb, weil im Rahmen der prozessualen Revision die damaligen ärztlichen Berichte und deren Ergebnisse nicht rückgängig gemacht werden könnten. Weiter könne aufgrund der Diagnose der Symptomausweitung im Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ nicht darauf geschlossen werden, der Versicherte habe seinen Gesundheitszustand damals massiv schlechter dargestellt als dieser wirklich gewesen sei. Die rückwirkende Beurteilung des Berichts der Klinik X._ vom 17. September 2001 durch die Experten der Abklärungsstelle stelle lediglich eine im Kontext nicht bedeutsame andere medizinische Würdigung im Nachhinein dar. Ebenfalls liessen sich aus dem Observationsvideo keine Rückschlüsse auf den früheren Gesundheitszustand bzw. die Arbeitsfähigkeit noch auf das frühere soziale und sonstige Verhalten ziehen. Somit fehle es an erheblichen neuen Tatsachen und Beweismitteln im Sinne von <ref-law>, sodass nicht prozessual revisionsweise auf die Verfügung vom 4. April 2002 zurückgekommen werden könne.
3.3. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, indem sie keine Gesamtwürdigung der Observationsunterlagen mit dem Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ und den übrigen Akten vorgenommen habe. Daraus ergebe sich insgesamt, dass die Voraussetzungen zur Vornahme einer prozessualen Revision gegeben seien. Was sie zur Begründung im Einzelnen vorbringt, ist indessen nicht stichhaltig:
Der Zeitpunkt der Observierung (an drei Tagen im Zeitraum vom 4. Oktober bis 4. November 2010) lag achteinhalb Jahre nach der Verfügung vom 4. April 2002. Daraus kann bereits aus zeitlichen Gründen auch im Verbund mit dem Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ vom 3. Mai 2011 nicht im Sinne überwiegender Wahrscheinlichkeit gefolgert werden, damals habe im Wesentlichen derselbe Gesundheitszustand bestanden wie bei Erlass der rentenaufhebenden Verfügung vom 9. Dezember 2011. In den Fällen 9C_896/2011 (SVR 2012 IV Nr. 36 S. 140) und 8C_434/2011 (SVR 2012 UV Nr. 17 S. 63) etwa war denn auch die Observierung zeitnah zu der gestützt auf <ref-law> in Revision zu ziehenden Leistungszusprechung erfolgt.
Unbehelflich ist sodann das Argument, der Beschwerdegegner habe seit jeher seinen Gesundheitszustand als massiv schlechter bezeichnet als er gewesen sei, was zur falschen Beurteilung durch die Ärzte der Klinik X._ geführt habe. Dr. med. K._ kam bei seiner Begutachtung in Bezug auf Diagnose (Schmerzsyndrom unklarer Genese, Status nach selektiver Neck dissection bei Lymphknoten-Tuberkulose links vom 28. April 1999) und Arbeitsfähigkeit (etwa 50 % bei leichten Arbeiten) zu einem anderen Ergebnis. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, der Versicherte habe sich bei der Untersuchung wesentlich anders verhalten als seinerzeit bei der Abklärung in der Klinik X._, noch äussert sie Zweifel an der Schlüssigkeit der Expertise vom 14. Juni 2004. Es ist somit nicht ersichtlich, inwiefern ein allfälliges Überzeichnen der Beschwerden hier von Bedeutung sein könnte.
Schliesslich weist die Beschwerdeführerin insoweit richtig darauf hin, dass im psychiatrischen Teilgutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ (lediglich) gesagt wurde, es sei möglich, dass damals eine (krankheitswertige) affektive Störung vorgelegen habe. Es könne also von einer Besserung, auch unter dem Verlauf und aufgrund von Adaptationsvorgängen ausgegangen werden. Bei der Würdigung dieser Aussagen ist indessen zu beachten, dass auch in der auf dem multidisziplinären Konsensus der an der Begutachtung beteiligten Fachärzte beruhenden Gesamtbeurteilung eine "Besserung einer vorgelegenen affektiven Symptomatik" festgehalten wurde. Es kommt dazu, dass die Experten im Besitz der Observationsunterlagen waren. Diese bestätigten zwar ihre Beurteilung einer Symptomausweitung (ICD-10 F54) sowie einer aufgrund des neuropathischen Schmerzsyndroms um 20 % eingeschränkten Arbeitsfähigkeit. Die Gutachter folgerten daraus und auch aus den erhobenen Befunden jedoch nicht, bereits bei der Abklärung in der Klinik X._ habe im Wesentlichen dasselbe (aktuelle) Beschwerdebild mit den gleichen Auswirkungen auf die Leistungsfähigkeit bestanden. Die vorinstanzliche Feststellung, das Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ lasse keine diesbezüglichen Rückschlüsse zu, ist jedenfalls vertretbar (E. 3.2).
3.4. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie die Voraussetzungen nach <ref-law> für die Aufhebung der ganzen Rente verneinte. Insoweit ist die Beschwerde unbegründet.
4.
Im bisherigen Verfahren wurde nicht geprüft, ob sich der Gesundheitszustand des Beschwerdegegners seit der letzten rechtskräftigen, auf einer rechtskonformen Sachverhaltsabklärung, Beweiswürdigung und Durchführung eines Einkommensvergleichs beruhenden Verfügung leistungswirksam verbessert hat (materielle Revision; <ref-law>; vgl. auch <ref-law>; <ref-ruling>). Eine solche Änderung der tatsächlichen Verhältnisse kann aufgrund der Akten nicht ausgeschlossen werden, wie die Beschwerde führende IV-Stelle letztinstanzlich eventualiter geltend macht (vgl. E. 3.2 und 3.3 hievor). Die Sache wird daher an die IV-Stelle überwiesen, damit sie die ganze Rente des Beschwerdegegners unter dem Titel der materiellen Revision im Sinne von <ref-law> überprüfe, den Zeitpunkt der allfälligen Herabsetzung oder Aufhebung der Rente auch mit Blick auf eine mögliche Meldepflichtverletzung festlege (vgl. Art. 77 und <ref-law>) und danach neu verfüge.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Dem obsiegenden Beschwerdegegner kann nur eine reduzierte Parteientschädigung für die Stellungnahme zur Frage der aufschiebenden Wirkung zugesprochen werden, da seine nicht rechtzeitig eingereichte Vernehmlassung ausser Acht zu bleiben hat (E. 1).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Sache wird an die IV-Stelle Luzern zum weiteren Vorgehen im Sinne der Erwägungen überwiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der IV-Stelle Luzern auferlegt.
4.
Die IV-Stelle Luzern hat den Rechtsvertreter des Beschwerdegegners für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'800.- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, der Ausgleichskasse Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. September 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Fessler