Sachverhalt:
A.
A.a. Das Gerichtspräsidium Baden verurteilte X._ am 22. Januar 2010 wegen Rechtsüberholens durch Ausschwenken und Wiedereinbiegen (<ref-law> in Verbindung mit Art. 8 Abs. 3 der Verkehrsregelnverordnung vom 13. November 1962 [SR 741.11; VRV]) zu einer bedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 780.- und Fr. 5'000.- Busse. Das Obergericht des Kantons Aargau erkannte am 21. März 2011 auf Rechtsüberholen auf der Autobahn (<ref-law> und Art. 36 Abs. 5 VRV [unerlaubtes Rechtsvorbeifahren]), bestätigte die Geldstrafe und setzte die Busse auf Fr. 3'900.- fest. Das Bundesgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde in Strafsachen ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6B_315/ 2011 vom 24. Oktober 2011).
A.b. Mit Verfügung vom 29. Dezember 2011 entzog das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich X._ den Führerausweis in Anwendung von Art. 16c Abs. 1 lit. a und Abs. 2 lit. a SVG für die Dauer von drei Monaten mit Wirkung ab 24. Dezember 2011 bis 23. März 2012. Zur Begründung führte es an, er sei am 20. April 2008 als Lenker eines Personenwagens auf dem zweiten Überholstreifen der Autobahn A1, Fahrtrichtung Zürich, auf ein vor ihm fahrendes Auto aufgeschlossen, sei danach mit seinem Personenwagen nach rechts auf die erste Überholspur ausgeschwenkt, habe das erwähnte und ein weiteres Fahrzeug rechts überholt und habe anschliessend in der Überdachung Neuenhof zurück auf den zweiten Überholstreifen gewechselt. Dadurch habe er für die Insassen dieser zwei Fahrzeuge eine erhöhte Gefahr geschaffen und eine schwere Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz im Sinne von <ref-law> begangen, weshalb ihm der Führerausweis für eine angemessene Dauer zu entziehen sei. In Berücksichtigung aller massgeblichen Zumessungskriterien (Verschulden, Gefährdung der Verkehrssicherheit, langjähriger unbelasteter fahrerischer Leumund) sei eine Entzugsdauer von drei Monaten (gesetzliche Mindestentzugsdauer) angemessen. Die Sicherheitsdirektion Kanton Zürich, Rekursabteilung, trat auf den hiergegen geführten Rekurs nicht ein (Entscheid vom 6. Dezember 2012).
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die gegen den Rekursentscheid vom 6. Dezember 2012 erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 8. April 2013).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._, das Urteil des kantonalen Gerichts sei aufzuheben und es sei ihm eine angemessene Entschädigung zuzusprechen.
Das Verwaltungsgericht stellt das Rechtsbegehren, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion und das Bundesamt für Strassen (ASTRA) schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen; ein Ausnahmegrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Der Beschwerdeführer rügt eine Rechtsverletzung gemäss <ref-law>, was zulässig ist. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
Für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht hatte der Beschwerdeführer keine Durchführung einer öffentlichen Verhandlung verlangt, weshalb die Vorinstanz von einem Verzicht auf eine entsprechende Verhandlung ausgehen durfte (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 236). Die Rüge der Verletzung von Art. 6 EMRK wegen Verwehrens einer solchen ist daher unbegründet.
3.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweis). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
4.
4.1. Die Vorinstanz nimmt an, dem Beschwerdeführer sei im Verfahren vor der Sicherheitsdirektion ein schutzwürdiges und aktuelles Interesse an der Rekurserhebung zu attestieren, weshalb auf den Rekurs hätte eingetreten werden müssen. Das schutzwürdige und aktuelle Interesse des Fahrzeuglenkers an der Rekurserhebung leitet sie namentlich aus der dauerhaften Belastung des automobilistischen Leumunds durch den Führerausweisentzug und die im Wiederholungsfall schärferen Sanktionen ab, unabhängig davon, ob er seinen Ausweis noch während des laufenden Entzugsverfahrens freiwillig zurückgibt. Aus Gründen der Verfahrensökonomie fällt das kantonale Gericht allerdings keinen Rückweisungs-, sondern einen Sachentscheid mit der Begründung, der Sachverhalt sowie die Rechtslage seien klar und der Beschwerdeführer strebe selber ein rasches Durchlaufen des Instanzenzugs an. In materieller Hinsicht bestätigt es den Führerausweisentzug für die Dauer von drei Monaten wegen Rechtsüberholens.
4.2. Im Verfahren vor Bundesgericht kritisiert der Beschwerdeführer den Umstand, dass das Verwaltungsgericht einen Entscheid in der Sache gefällt hat, nicht. Inhaltlich geht er jedoch davon aus, dass er am 20. April 2008 auf der Autobahn im Kolonnenverkehr unterwegs gewesen sei, weshalb das Rechtsvorbeifahren erlaubt gewesen sei.
4.2.1. Im Strassenverkehr ist links zu überholen (<ref-law>). Das Rechtsüberholen durch Ausschwenken und Wiedereinbiegen ist untersagt (Art. 8 Abs. 3 Satz 2 VRV). Das Rechtsüberholverbot gilt insbesondere auf Autobahnen. Zulässig ist das Rechtsvorbeifahren in parallelen Kolonnen (Art. 36 Abs. 5 lit. a VRV). Nach der Rechtsprechung kann von einem "Fahren in parallelen Kolonnen" auf Autobahnen nur gesprochen werden, wenn auf den Fahrspuren der entsprechenden Richtung dichter Verkehr herrscht. In Anlehnung an die deutsche Praxis nimmt das Bundesgericht an, Kolonnenverkehr sei "bei längerem Nebeneinanderfahren von mehreren sich in gleicher Richtung bewegenden Fahrzeugreihen" zu bejahen (<ref-ruling> E. 3a mit Hinweis auf die deutsche Lehre; ebenso <ref-ruling> E. 3a S. 222).
4.2.2. Der Beschwerdeführer wurde vom Obergericht des Kantons Aargau wegen unerlaubten Rechtsvorbeifahrens zu einer bedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 780.- und Fr. 3'900.- Busse verurteilt (Entscheid vom 21. März 2011, bestätigt mit Urteil des Bundesgerichts 6B_315/2011 vom 24. Oktober 2011). Er übersieht bei seiner Argumentation, dass die urteilende Behörde in SVG-Administrativentscheiden von den Feststellungen im konnexen Strafurteil nur abweichen darf, wenn sie Tatsachen feststellt und ihrem Entscheid zugrunde legt, die dem Strafgericht unbekannt waren, wenn sich die Erhebung zusätzlicher Beweise aufdrängt, oder wenn das Strafgericht bei der Rechtsanwendung auf den Sachverhalt nicht sämtliche Rechtsfragen abgeklärt hat. Dies gilt besonders, wenn das Strafurteil im ordentlichen Verfahren durch ein Gericht gefällt wurde (<ref-ruling> E. 1c/aa S. 106; <ref-ruling> E. 3c/aa S. 103 f.; je mit Hinweisen). In casu lagen im Strafverfahren übereinstimmende Angaben eines Polizisten, wonach am 20. April 2008 im betreffenden Autobahnstreckenabschnitt normaler, nicht allzu dichter Sonntagsverkehr geherrscht habe, und des Beschwerdeführers selber, welcher anlässlich der Befragung durch das Gerichtspräsidium Baden von vernachlässigbarem Verkehr ausging, vor. Das Strassenverkehrsamt und das Verwaltungsgericht stützen sich bei der Verneinung von Kolonnenverkehr auf diese Aussagen. In diesem Zusammenhang sind entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers keine offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zu erkennen und von Willkür kann ebenfalls keine Rede sein. Eine EMRK-Verletzung liegt nicht vor. Das Strassenverkehrsamt hatte keinen Anlass, weitere Abklärungen zu tätigen. Es erübrigt sich bereits deshalb, auf die weitgehend allgemein gehaltene Kritik der mangelnden Sorgfalt bei der Untersuchung von Strassenverkehrsdelikten einzugehen. Erörterungen darüber, wie präzise bzw. unpräzise die von einem Polizisten geschätzte Geschwindigkeit des Personenwagens beim Rechtsvorbeifahren und die daraus abgeleiteten Distanz- und Zeitangaben sind, können unterbleiben, da eine abweichende Berechnung für den Ausgang des Verfahrens nicht entscheidend ist (E. 3 hiervor). Gleiches gilt für die Frage, ob der Beschwerdeführer nach dem Rechtsvorbeifahren wieder einen Spurwechsel nach links vorgenommen hatte, denn das unerlaubte Rechtsvorbeifahren (Art. 36 Abs. 5 VRV) und das Rechtsüberholverbot (<ref-law>) decken sich vom Lebenssachverhalt her, weil das Überholen gemäss letzterer Bestimmung keinen Spurwechsel voraussetzt (<ref-ruling> E. 2; Urteil 6B_315/2011 vom 24. Oktober 2011 E. 1).
4.2.3. Die im SVG verankerte Parallelität von Straf- und Verwaltungsverfahren hält vor dem 7. Zusatzprotokoll zur EMRK stand. Der Beschwerdeführer nennt keine stichhaltigen Gründe, welche Anlass bieten würden, von der bisherigen Rechtsprechung (<ref-ruling>) abzuweichen, wonach die Verfahrensparallelität den Grundsatz "ne bis in idem" nicht verletzt.
4.2.4. Soweit in der letztinstanzlichen Beschwerdeschrift im Übrigen lediglich die schon vor Verwaltungsgericht erhobenen Einwände wiederholt werden, ist auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu verweisen, denen das Bundesgericht nichts beizufügen hat.
4.3. Die Ausführungen in der Beschwerdeschrift sind allesamt nicht geeignet, die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen als unrichtig oder unvollständig (<ref-law>) oder den angefochtenen Entscheid als rechtsfehlerhaft nach <ref-law> erscheinen zu lassen. Der Führerausweisentzug ist damit rechtens.
5.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, Einzelrichter, und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz