Sachverhalt:
A. Die 1953 geborene A._ meldete sich im März 2000 wegen Rückenbeschweren bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nachdem die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügung vom 26. Februar 2003 einen Rentenanspruch verneint hatte (Invaliditätsgrad: 34,75 %), stellte A._ im Juli 2004 erneut ein Gesuch um Zusprechung einer Rente, welches die Verwaltung mit Verfügung vom 8. März 2006, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 27. Juli 2006, ablehnte (unveränderter Invaliditätsgrad).
Auf eine im September 2008 erfolgte Neuanmeldung hin klärte die IV-Stelle die medizinischen Verhältnisse nochmals ab und verfügte am 22. Juli 2009 die Abweisung des Rentenbegehrens (unveränderter Invaliditätsgrad).
B. A._, vertreten durch Rechtsanwalt Fredy Fässler, liess hiegegen Beschwerde erheben und beantragen, es sei ihr wiedererwägungsweise ab 30. März 2000 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen, eventualiter sei die Verfügung vom 22. Juli 2009 aufzuheben und ihr ab 12. September 2008 eine ganze Rente zuzusprechen. Gleichzeitig ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung).
Mit Entscheid vom 20. Januar 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es bejahte den Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung und verneinte denjenigen auf unentgeltliche Verbeiständung durch Rechtsanwalt Fredy Fässler.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und es sei ihr ab 30. März 2000 wiedererwägungsweise eine ganze Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Eventualiter seien die Verfügung vom 22. Juli 2009 und der kantonale Entscheid vom 20. März 2010 aufzuheben und es sei ihr ab 12. Dezember 2008 eine ganze Rente zuzusprechen. Sie stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für den letztinstanzlichen Prozess. Sowohl für das kantonale Verfahren als auch für dasjenige vor Bundesgericht sei ihr Rechtsanwalt Fredy Fässler als unentgeltlicher Rechtsbeistand zur Seite zu stellen.
D. Mit Verfügung vom 7. Mai 2010 ist das von A._ gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Prozesses abgewiesen worden.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die Vorinstanz hätte ihr die unentgeltliche Verbeiständung durch einen Anwalt aus dem Kanton St. Gallen nicht verweigern dürfen mit der Begründung, gemäss kantonalem Recht könne diese nur bei Vertretung durch einen im Anwaltsregister des Kantons Thurgau eingetragenen Anwalt gewährt werden, kann auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden, wonach die thurgauische Regelung, Offizialmandate auf im Kanton ansässige Anwälte zu beschränken, rechtsprechungsgemäss zulässig ist (Urteile 8C_609/2008 vom 18. Februar 2009 E. 2 und 5A_175/2008 vom 8. Juli 2008 E. 5.1 und 5.2) und allein die Tatsache, dass der Rechtsvertreter vom Arbeitgeber der Tochter der Versicherten empfohlen worden ist, keine Ausnahme rechtfertigt. Andere besondere Umstände, welche im konkreten Fall die Vertretung durch den ausserkantonalen Anwalt geboten hätten, werden nicht substantiiert geltend gemacht. Die Beschwerde ist in diesem Punkt unbegründet.
3. Zu Unrecht beanstandet die Versicherte sodann sinngemäss, dass die Vorinstanz auf ihr Begehren um Wiedererwägung der in Rechtskraft erwachsenen Verfügung vom 26. Februar 2003 nicht eingetreten ist. Denn wie im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt, besteht kein gerichtlich durchsetzbarer Anspruch auf Wiedererwägung und liegt das Zurückkommen auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide vielmehr im Ermessen der Verwaltung (Art. 53 Abs. 2 ATSG; <ref-ruling> E. 4.1 S. 52).
4. 4.1 Tritt die Verwaltung auf eine Neuanmeldung (Art. 87 Abs. 4 IVV) ein, so hat sie die Sache materiell abzuklären und sich zu vergewissern, ob die vom Versicherten glaubhaft gemachte Veränderung des Invaliditätsgrades auch tatsächlich eingetreten ist. Nach der Rechtsprechung hat sie in analoger Weise vorzugehen wie bei einem Revisionsfall (Art. 17 ATSG, welche Bestimmung nicht als Grundlage für eine voraussetzungslose Neuprüfung des Rentenanspruchs zu verstehen ist). Stellt sie fest, dass der Invaliditätsgrad seit Erlass der früheren rechtskräftigen Verfügung keine Veränderung erfahren hat, so weist sie das neue Gesuch ab. Andernfalls hat sie zunächst noch zu prüfen, ob die festgestellte Veränderung genügt, um nunmehr eine anspruchsbegründende Invalidität zu bejahen, und hernach zu beschliessen. Im Beschwerdefall obliegt die gleiche materielle Prüfungspflicht auch dem Gericht (<ref-ruling> E. 2 S. 66, 117 V 198 E. 3a).
4.2 Referenzzeitpunkt für die Beurteilung einer anspruchserheblichen Änderung des Gesundheitszustandes bildet die letzte rechtskräftige Verfügung, welche auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs mit rechtskonformer Sachverhaltsabklärung, einer Beweiswürdigung und der Durchführung eines Einkommensvergleichs beruht (vgl. <ref-ruling> E. 5.4 S. 114 und 130 V 71 E. 3.2.3 S. 77).
4.3 Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Analoges gilt auch für die Frage, ob sich eine Arbeits(un)fähigkeit in einem bestimmten Zeitraum in einem revisionsrechtlich relevanten Sinne verändert hat (Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4). Die konkrete Beweiswürdigung stellt eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen).
5. 5.1 In Übereinstimmung mit der IV-Stelle ging die Vorinstanz davon aus, dass die persönlichen Verhältnisse der Versicherten keine Veränderungen erfahren hätten, welche nun die Annahme einer vollen Arbeitstätigkeit im Gesundheitsfall rechtfertigen würden. In den Akten werde die Restarbeitsfähigkeit der Versicherten zwar unterschiedlich beurteilt; eine eigentliche Verschlechterung des Gesundheitszustandes seit dem Einspracheentscheid vom 27. Juli 2006 sei aber nicht ausgewiesen.
5.2 Dass die Versicherte im angefochtenen Entscheid (unverändert) als Teilzeiterwerbstätige eingestuft wurde, lässt sich nicht beanstanden. Denn es ist nicht ersichtlich, inwiefern sich seit Erlass des Einspracheentscheides, zu welchem Zeitpunkt das jüngste der Kinder längst die Volljährigkeit erreicht hatte und keine Betreuung mehr benötigte, in den massgebenden persönlichen Verhältnissen (hypothetisch) etwas geändert haben sollte. Die von der Versicherten für die Annahme einer vollen Erwerbstätigkeit erneut vorgetragene Behauptung, immer vollzeitlich erwerbstätig gewesen zu sein, wurde bereits früher widerlegt (vgl. Angaben der Firma O._ AG vom 12. Juni 2001 im Fragebogen für den Arbeitgeber). Dass sie "so viel sie konnte" arbeitete und ein 100%-Pensum anstrebte, ändert nichts daran, dass ihre Arbeitseinsätze - wie sie selber darlegt - von der zu verarbeitenden Obstmenge abhängig waren und nach den Angaben der Arbeitgeberin immer nur einem Teilzeitpensum entsprachen.
5.3 Die im angefochtenen Entscheid enthaltene Feststellung, wonach sich der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin im massgebenden Vergleichszeitraum nicht (anspruchserheblich) verschlechtert habe, ist weder offensichtlich unrichtig noch mangelhaft im Sinne von Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG. Der in pflichtgemässer Würdigung der gesamten Aktenlage mit nachvollziehbarer Begründung erfolgte vorinstanzliche Schluss auf einen unveränderten psychischen Gesundheitszustand stellt eine zutreffende Sachverhaltswürdigung dar. Entgegen der Beschwerdeführerin gingen auch die Ärzte der Psychiatrischen Klinik M._ von einem unveränderten Gesundheitszustand aus, was sich insbesondere daraus ergibt, dass sie erklärten, ihre Einschätzung entspreche dem Verlaufsbericht während der Hospitalisation 2002 (Bericht vom 11. Mai 2009). Nichts abzuleiten vermag die Versicherte auch aus der Bestätigung des Dr. med. E._, Allgemeine Medizin FMH, vom 23. Oktober 2008, wonach eine Verschlechterung der seelischen Verfassung eingetreten sei, welche vermutlich im Zusammenhang mit der verfahrenen Lebenssituation stehe. Denn derartige psychosoziale Belastungsfaktoren, deren Vorliegen Dr. med. E._ im Bericht vom 13. Februar 2009 bestätigte (die Situation sei komplett verfahren, indem die Versicherte und ihr Ehemann sich auseinandergelebt hätten und die Versicherte auf Obdach und finanzielle Unterstützung durch die Nachbarin angewiesen sei), sind bei der Invaliditätsbemessung grundsätzlich auszuklammern (<ref-ruling> E. 5a S. 299).
5.4 Angesichts dieser Aktenlage ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den Antrag auf Einholung eines Gutachtens zum Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin sinngemäss abgelehnt hat.
6. Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im vereinfachten Verfahren erledigt (Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG).
7. Dem Ausgang des Prozesses entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. August 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Die Gerichtsschreiberin:
Borella Keel Baumann