Faits:
A. Le 17 novembre 2008, Y._ a ouvert action contre les époux H.Z._ et F.Z._ devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. Les défendeurs devaient être condamnés à payer près de 93'000 fr. en capital, à titre d'arriérés de salaire. Ils ont conclu au rejet de l'action.
A l'audience du 12 février 2009 qui était présidée par la juge salariée M._, la demanderesse était assistée de A._, collaboratrice de l'association Syndicat X._. Elle a déposé un mémoire intitulé « amplification de la demande en justice » dépourvu de signature autre que celle de A._. Le 6 du même mois, la demanderesse avait souscrit une procuration par laquelle elle chargeait le Syndicat X._, « représenté par son président B._ et assisté de A._ », de la représenter dans le procès, « avec pouvoir de substitution ».
Le 27 avril 2009, sous la signature de son président B._, le Syndicat X._ a produit deux pièces pour les faire verser au dossier.
Les défendeurs ont ensuite contesté que B._ ou A._ fussent en droit de représenter leur adverse partie à titre de mandataires professionnellement qualifiés. Ce point fut débattu à l'audience du 6 mai 2009 qui était présidée par le juge employeur N._. Le Syndicat X._ fut requis de produire une documentation propre à établir sa qualité de mandataire professionnellement qualifié, telle que ses statuts et procès-verbaux d'assemblée générale, la preuve d'une affiliation à une organisation faîtière, et les diplômes des personnes physiques habilitées à le représenter. Le Syndicat a produit de nombreuses pièces, y compris des copies de diplômes relatifs au parcours académique de A._. Dans une lettre d'accompagnement, B._ critiquait l'exception soulevée par les défendeurs, auxquels il imputait un « caprice », et il déniait les compétences juridiques de leur avocat.
Par un jugement sur incident du 7 octobre 2009, le Tribunal de prud'hommes, derechef présidé par le juge N._, a prononcé que le Syndicat X._, B._ et A._ ne sont pas des mandataires professionnellement qualifiés et qu'ils ne sont donc pas habilités à représenter ou assister des plaideurs dans les causes prud'homales. Le tribunal a déclaré irrecevables les écritures signées par eux au nom de la demanderesse, et il a ordonné diverses mesures d'instruction en vue de poursuivre l'instance sans la participation du Syndicat X._ ni de ses représentants.
B. La demanderesse, le Syndicat X._, B._ et A._ ont appelé de ce jugement. Les défendeurs ont conclu au rejet de l'appel. Le 13 janvier 2010, B._ s'est désisté de l'appel en indiquant qu'il ne revendiquait pas personnellement la qualité de mandataire professionnellement qualifié.
Le juge O._ a statué le 31 mars 2010 par un arrêt sur partie, en qualité de Président de la Cour d'appel. Il a confirmé que le Syndicat X._ n'a pas qualité de mandataire professionnellement qualifié et qu'il n'est pas habilité à représenter ou assister des plaideurs dans les causes prud'homales. Pour le surplus, il a requis A._, dans un délai qui lui était assigné, de compléter la justification de son parcours académique à l'étranger, en particulier par le dépôt de documents originaux et de traductions certifiées.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le Syndicat X._ requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 31 mars 2010, de lui reconnaître la qualité de mandataire professionnellement qualifié et de déclarer recevable, devant le Tribunal de prud'hommes, l'écriture signée le 12 février 2009 par A._. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause, pour nouvelle décision, à un tribunal de prud'hommes qui sera présidé par un juge salarié.
Invités à prendre position, la demanderesse conclut à l'admission du recours; les défendeurs concluent principalement à son irrecevabilité et subsidiairement à son rejet.
Le juge O._, Président de la Cour d'appel, présente ses observations et propose le rejet du recours.
Le Syndicat X._ a annoncé que A._ demandera la récusation du juge O._ dans la suite de l'instance concernant sa propre qualité de mandataire professionnellement qualifié; il a par ailleurs répliqué aux observations de ce magistrat.
Les défendeurs ont pris position sur cette dernière écriture; ils déclarent persister dans leurs conclusions. Ils font état d'une plainte pénale que H.Z._ a déposée contre B._, pour calomnie.
La demande de récusation introduite par A._, contre le juge O._, a été communiquée au Tribunal fédéral par le greffe de la Cour d'appel.

Considérant en droit:
1. L'arrêt du 31 mars 2010 est une décision incidente refusant à la demanderesse le droit de se faire représenter ou assister par le syndicat recourant. Pour cette partie, l'empêchement de se faire représenter ou assister par le mandataire de son choix, dans la suite du procès, constitue un préjudice juridique irréparable (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 190; <ref-ruling> consid. 1.3.4 p. 36) et cette décision est donc susceptible d'un recours séparé selon l'<ref-law>.
Pour le surplus, le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière civile (<ref-law>) et en dernière instance cantonale (<ref-law>). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (<ref-law>). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF). Le recours a été introduit en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF); en particulier, contrairement à l'opinion des défendeurs, la motivation est suffisamment développée.
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (<ref-law>). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246; <ref-ruling> consid. 1.4.2). En règle générale, il conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Le recours n'est pas recevable pour violation du droit cantonal, hormis les droits constitutionnels cantonaux (art. 95 let. c LTF) et certaines dispositions sans pertinence en matière civile (art. 95 let. d LTF).
2. Selon les art. 12 al. 1 et 2 et 13 al. 1 de la loi genevoise sur la juridiction des prud'hommes (LJP gen.), du 25 février 1999, les parties procèdent en personne devant les tribunaux régis par cette loi (art. 12 al. 1); elles peuvent se faire assister par un proche, par un avocat ou par un autre mandataire professionnellement qualifié (art. 12 al. 2); exceptionnellement, le président peut autoriser une partie à se faire représenter par un proche, par un avocat ou par un autre mandataire professionnellement qualifié (art. 13 al. 1).
B._ a expressément renoncé à revendiquer personnellement la qualité de mandataire professionnellement qualifié; le Président de la Cour d'appel doit encore statuer sur celle de A._ qui est une collaboratrice du Syndicat X._; il l'a déniée au Syndicat X._ et c'est l'objet de la contestation présentement soumise au Tribunal fédéral.
3. Dans ses observations, le Président de la Cour d'appel demande que le Tribunal fédéral sursoie à statuer jusqu'à droit connu sur la contestation concernant A._, en raison de la connexité des deux causes. Il est vrai que, comme on le verra, la cause du syndicat recourant ne peut guère être dissociée de celle de sa collaboratrice. Il est vrai aussi que l'issue de cette cause-ci peut influencer le sort des conclusions prises devant le Tribunal fédéral au sujet de l'écriture du 12 février 2009. Toutefois, cela ne justifie pas de différer l'arrêt à rendre par la Cour de céans. Il est d'ailleurs singulier que le magistrat intimé propose la jonction des causes après qu'il a jugé opportun, lui, de les disjoindre.
4. Le syndicat recourant invoque l'art. 30 al. 1 Cst. et soutient que le Président de la Cour d'appel n'était pas compétent pour statuer seul, en seconde instance cantonale, sur sa qualité de mandataire professionnellement qualifié.
Selon cette disposition constitutionnelle, toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire a droit à ce que ladite cause soit portée devant un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial. L'art. 30 al. 1 Cst. interdit les tribunaux d'exception et la mise en oeuvre de juges ad hoc ou ad personam; il exige une organisation judiciaire et une procédure déterminées de manière suffisamment complète par la loi, et il autorise les parties à exiger que le tribunal soit composé conformément aux règles en vigueur. C'est essentiellement au regard des règles cantonales applicables à l'organisation et à la procédure qu'il convient d'examiner si une autorité judiciaire a statué dans une composition conforme à la loi. Le Tribunal fédéral ne contrôle l'interprétation de ces règles qu'avec un pouvoir d'examen limité à l'arbitraire; en revanche, il examine librement si l'organisation qui en résulte est compatible avec la garantie d'un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial (<ref-ruling> consid. 2.1.2.1 p. 34; voir aussi <ref-ruling> 3.3 p. 133; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 189).
Selon l'art. 57 al. 1 LJP gen., le Président de la Cour d'appel statue seul et sans audience sur les appels portant sur une question de litispendance, de compétence, d'autorité de la chose jugée, de récusation ou toute autre question de nature procédurale. Or, il n'est en tout cas pas arbitraire (cf. consid. 6.1 ci-dessous) de retenir que la qualité de mandataire professionnellement qualifié s'inscrit dans les questions de nature procédurale ainsi placées dans la compétence du Président. Pour le surplus, il n'est pas douteux que le Président de la Cour d'appel, qui est, en l'occurrence, un juge de la Cour de justice désigné par ce corps conformément à l'art. 10 al. 1 et 2 LJP gen., satisfasse a priori aux exigences d'indépendance et d'impartialité posées par l'art. 30 al. 1 Cst. Le recourant réclame vainement, sans justification concluante, la constitution du collège de cinq membres prévu par l'art. 70 al. 7 LJP gen. pour les cas où une demande de récusation est dirigée simultanément contre tous les juges de la Cour d'appel, ou contre une majorité d'entre eux.
5. Le syndicat recourant soutient que le remplacement de la juge salariée M._ par le juge employeur N._, dès l'audience du 6 mai 2009, est inadmissible au regard de l'art. 30 al. 1 Cst.
Le recourant n'invoque aucune disposition cantonale qui interdirait un remplacement de juge au cours de l'instance. L'art. 9 al. 2 LJP gen. prévoit que « les audiences sont présidées alternativement par un président employeur et par un président salarié »; cette règle signifie que les causes doivent être distribuées à parité entre les deux catégories de présidents mais elle n'exclut pas, non plus, qu'un président salarié puisse être remplacé par un président employeur, ou inversement.
Le remplacement d'un juge, pendant l'instance, n'est pas non plus interdit par l'art. 30 al. 1 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 323, relatif à l'art. 58 aCst.). En revanche, la garantie du droit d'être entendu, conférée par l'art. 29 al. 2 Cst., est violée lorsqu'un juge participe à la décision alors qu'il n'a pas pu prendre personnellement connaissance des arguments développés par les parties ou du résultat de l'administration des preuves. Il s'ensuit que dans une procédure orale où l'on ne tient aucun procès-verbal des déclarations des parties ni des témoignages recueillis, les juges doivent avoir participé à toutes les audiences (<ref-ruling> consid. 2b; <ref-ruling> consid. 1e p. 134).
En l'espèce, le juge N._ a pris part à toutes les audiences qui furent consacrées à la qualité de mandataire professionnellement qualifié du recourant. Le remplacement de la juge M._ ne se révèle donc pas contraire aux art. 29 al. 2 ou 30 al. 1 Cst.
6. Le recourant invoque l'art. 9 Cst. et se plaint d'une application arbitraire des art. 12 al. 2 et 13 al. 1 LJP gen.
6.1 Une décision est arbitraire, donc contraire à cette disposition constitutionnelle, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 4/5; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153).
6.2 Selon la pratique des autorités cantonales à laquelle la décision attaquée fait référence, la qualité de mandataire professionnellement qualifié est surtout reconnue, devant la juridiction des prud'hommes, à des personnes morales actives à Genève dans la défense des travailleurs ou des employeurs, c'est-à-dire à des associations professionnelles, syndicales ou patronales, ou à des sociétés de protection juridique. Ces organisations professionnelles spécialisées agissent par l'intermédiaire d'employés qu'elles forment; ceux-ci, même s'ils ne sont pas titulaires du brevet d'avocat ni d'une licence en droit, disposent des connaissances théoriques et pratiques indispensables à leur activité, connaissances qu'ils acquièrent notamment par leur participation aux négociations des partenaires sociaux tendant à la conclusion des conventions collectives de travail. L'organisation qui prétend à la qualité de mandataire professionnellement qualifié doit rendre au moins vraisemblable qu'elle dispose d'un collaborateur ainsi formé, et cette qualité peut en tout temps lui être refusée, alors même qu'elle lui aurait été plusieurs fois reconnue, si les compétences de son représentant se révèlent manifestement insuffisantes.
Le syndicat recourant ne conteste pas cette pratique; il ne met pas en doute qu'elle soit conforme aux art. 12 al. 2 et 13 al. 1 LJP gen., ni que les tribunaux concernés doivent en tenir compte pour statuer sur sa propre qualité de mandataire professionnellement qualifié.
6.3 Dans les motifs de la décision attaquée, d'importants développements sont consacrés aux liens très étroits du syndicat recourant avec son président et fondateur B._, celui-ci ayant quitté, en 2000, une organisation homonyme par suite d'une querelle de personnes; à l'attitude inadéquate dudit président dans la présente contestation concernant la qualité de mandataire professionnellement qualifié; à ses appels téléphoniques également intempestifs par lesquels il a, semble-t-il, interrogé divers juges prud'hommes sur leur affiliation politique, et à des propos outranciers trouvés dans des procès-verbaux d'assemblée générale de l'organisation. Le Président de la Cour d'appel conclut ces développements comme suit:
En définitive, le Syndicat X._ apparaît ainsi comme une structure opaque, intimement liée à la personnalité de B._, dont le comportement et le ton utilisé paraissent incompatibles avec les qualités que doit remplir une organisation qui se veut acteur de la justice. Cette association n'est de surcroît soumise à aucun contrôle d'une organisation faîtière et présente, par ailleurs, un risque concret de confusion avec un syndicat homonyme, créé antérieurement et qui, lui, est soumis au contrôle de la [Communauté genevoise d'action syndicale]. Le Syndicat X._ se caractérise finalement par l'absence de structure de soutien aux secrétaires syndicaux, dont seule une personne [soit A._] - au mieux - pourrait être habilitée à s'occuper de manière compétente d'affaires prud'homales. Il découle de ces éléments que le Syndicat X._ est loin de présenter pour le public les garanties de fonctionnement, de transparence, de compétence et d'intégrité auxquelles est en droit de s'attendre un justiciable faisant appel à un mandataire professionnellement qualifié. Cette qualité ne peut donc que lui être niée.
Dans ses observations, le magistrat intimé indique que B._ et A._ sont mariés depuis décembre 2000 et qu'ils ont tu ce fait tout au long de la procédure; il insiste donc sur « l'absence de transparence de B._ au sujet de l'organisation de son syndicat et [sur] la totale inféodation de ce dernier à la personne de son président ».
6.4 Au regard des art. 12 al. 2 et 13 al. 1 LJP gen., il n'apparaît guère que la qualité de mandataire professionnellement qualifié puisse être réservée aux organisations affiliées à la Communauté genevoise d'action syndicale, et refusée par principe à celles qui veulent demeurer indépendantes. A première vue, une pareille règle serait d'ailleurs incompatible avec les garanties constitutionnelles de l'égalité de traitement (art. 8 al. 1 Cst.) et de la liberté d'association, celle-ci incluant la liberté des organisations de ne pas s'associer à d'autres (art. 23 al. 3 Cst.).
Il est sans doute regrettable que plusieurs organisations syndicales soient connues sous le même nom et qu'il existe donc un risque de confusion. Néanmoins, cela ne peut pas réellement justifier que l'une d'elles ne soit pas reconnue en qualité de mandataire professionnellement qualifié.
La personnalité et l'influence du président, au sein de l'organisation, ne sont pas non plus déterminantes au regard de la pratique des tribunaux décrite dans la décision attaquée. Sans doute, s'ils ne jouissent pas personnellement des connaissances théoriques et pratiques nécessaires aux affaires prud'homales, le président et les autres dirigeants doivent-ils s'abstenir de toute immixtion dans ces affaires. Il s'impose de souligner cela à l'intention de B._. Si ce principe n'est pas respecté, il se justifie que l'organisation soit rappelée à l'ordre, et c'est seulement en cas d'ingérences ou inconvenances persistantes, malgré avertissement, que l'organisation mérite d'être exclue des affaires prud'homales.
Ce qui est en revanche essentiel, c'est que l'organisation puisse mettre à disposition des plaideurs, au minimum, une collaboratrice ou un collaborateur doté des connaissances théoriques et pratiques nécessaires auxdites affaires. Il est constant qu'actuellement, seule A._ entre éventuellement en considération pour assumer ce rôle au service du syndicat recourant. La vérification de ses connaissances théoriques et pratiques, qui sont aussi contestées par les défendeurs, est en cours, et la qualité de mandataire professionnellement qualifié revendiquée par le syndicat dépend surtout du résultat de cette vérification. En pareille situation, le Président de la Cour d'appel ne pouvait pas raisonnablement scinder, ainsi qu'il l'a fait, les causes respectives du syndicat et de sa collaboratrice pour exclure d'emblée la qualité de celui-là. De ce point de vue, la décision présentement attaquée se révèle prématurée; pour le surplus, elle est fondée sur des motifs dépourvus de pertinence ou susceptibles, tout au plus, de n'exercer qu'une influence secondaire dans l'appréciation. Conformément à l'opinion du recourant, elle contrevient à l'art. 9 Cst., ce qui entraîne son annulation. En revanche, les conclusions du recourant tendant à ce que le Tribunal fédéral lui reconnaisse la qualité de mandataire professionnellement qualifié sont elles aussi prématurées, aussi longtemps que les aptitudes de A._ ne sont pas élucidées, et elles seront donc rejetées.
7. Compte tenu qu'aucune des parties n'obtient entièrement gain de cause, l'émolument judiciaire doit être réparti par moitié entre les parties qui ont introduit ou soutenu le recours, d'une part, et celles qui l'ont combattu d'autre part. Les dépens doivent être compensés.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis, la décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée au Président de la Cour d'appel pour nouvelle décision.
2. Les parties acquitteront un émolument judiciaire de 2'000 fr., à raison de 1'000 fr. à la charge du recourant et de la demanderesse, solidairement entre eux, et de 1'000 fr. à la charge des défendeurs, solidairement entre eux.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Président de la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 21 octobre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin