Sachverhalt:
A. A._ wurde mit Strafbefehl des Bezirksamts Bremgarten vom 23. November 2009 wegen Führen eines Fahrzeugs in nicht fahrfähigem Zustand, Nichtbeherrschen des Fahrzeugs sowie Nichtanpassen der Geschwindigkeit zu einer unbedingten Geldstrafe verurteilt. Gegen diesen Strafbefehl erhob A._ Einsprache. Im nachfolgenden Verfahren vor dem Bezirksgericht Bremgarten stellte er ein Gesuch um amtliche Verteidigung, das der Gerichtspräsident mit Verfügung vom 10. März 2010 abwies. Dagegen erhob X._ im Namen von A._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau.
Da A._ am 29. April 2010 verstarb, schrieb das Obergericht das Beschwerdeverfahren mit Entscheid vom 16. August 2010 als gegenstandslos geworden ab. Es auferlegte die Verfahrenskosten dem Staat und sprach keine Parteientschädigung zu. Zu den Kosten- und Entschädigungsfolgen führte es in der Entscheidbegründung aus, die kantonale Strafprozessordnung sehe keine direkte Belastung des Nachlasses bzw. der Erben vor, womit der Grundsatz der Kostentragung durch den Staat zur Anwendung gelange. Sodann stamme die Beschwerdeeingabe vom nicht dazu legitimierten Bruder des Beschwerdeführers und es hätte darauf nur gestützt auf die richterliche Fürsorgepflicht eingetreten werden können. Unabhängig vom Ausgang des Beschwerdeverfahrens sei dafür jedoch keine Vergütung zu erstatten.
Mit Verfügung vom 27. August 2010 stellte das Präsidium des Bezirksgerichts Bremgarten auch das Strafverfahren definitiv ein. Die Verfahrenskosten wurden der Staatskasse belastet.
B. Mit Beschwerde in Strafsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 4. Oktober 2010 beantragt X._ in erster Linie, der Entscheid des Obergerichts vom 16. August 2010 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege bestehe. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt er, es sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die Präsidentin des Bezirksgerichts Bremgarten beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.
C. Mit Verfügung vom 14. Dezember 2010 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren ab. Es setzte dem Beschwerdeführer Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.-- bis 17. Januar 2011.
Mit Eingabe vom 17. Januar 2011 ersucht der Beschwerdeführer um Erstreckung der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses bis 30. Juni 2013. Zudem verlangt er den Ausstand der Gerichtspersonen, die an der Verfügung vom 14. Dezember 2010 mitwirkten. Schliesslich ersucht er um Gewährung der Einsicht in die vollständigen Akten.
D. Mit Verfügung vom 21. Januar 2011 bot der Instruktionsrichter dem Beschwerdeführer Gelegenheit, die Akten beim Obergericht einzusehen und dem Bundesgericht bis zum 23. Februar 2011 eine Stellungnahme einzureichen. Der Beschwerdeführer teilt mit Schreiben vom 23. Februar 2011 mit, dass er auf die Akteneinsicht und die Möglichkeit zur Stellungnahme verzichten müsse. Er ersucht unter anderem um einen Entscheid über die Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses.

Erwägungen:
1. Nach Art. 453 Abs. 1 der am 1. Januar 2011 in Kraft getretenen Schweizerischen Strafprozessordnung vom 5. Oktober 2007 (Strafprozessordnung, StPO; SR 312.0) werden Rechtsmittel gegen einen Entscheid, der vor Inkrafttreten dieses Gesetzes gefällt wurde, nach bisherigem Recht von den bisher zuständigen Behörden beurteilt. Als bisheriges Recht ist insbesondere das Gesetz des Kantons Aargau vom 11. November 1958 über die Strafrechtspflege (StPO/AG; SAR 251.100) massgebend.
2. Die Behandlung des Ablehnungsbegehrens betreffend die Gerichtspersonen, die an der Verfügung vom 14. Dezember 2010 beteiligt waren, erübrigt sich, da sie am vorliegenden Entscheid nicht mitwirken.
3. Der angefochtene Entscheid erging im Rahmen eines Strafprozesses und betrifft damit eine Strafsache im Sinne von Art. 78 Abs. 1 BGG. Das Obergericht ist die letzte kantonale Instanz (Art. 80 Abs. 1 BGG).
3.1 Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Der Beschwerdeführer muss ein aktuelles praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde haben. Mit diesem Erfordernis soll sichergestellt werden, dass das Gericht konkrete und nicht bloss theoretische Fragen entscheidet. Es dient damit der Prozessökonomie (<ref-ruling> E. 1.3 S. 276 mit Hinweisen).
Das Präsidium des Bezirksgerichts Bremgarten stellte das Strafverfahren gegen den Bruder des Beschwerdeführers mit Verfügung vom 27. August 2010 definitiv ein. Die Verfahrenskosten wurden der Staatskasse belastet. Diesem Entscheid liegt wie dem hier angefochtenen Entscheid des Obergerichts über die Bestellung einer amtlichen Verteidigung die Tatsache zugrunde, dass der Beschuldigte verstorben ist und somit die Partei- und Prozessfähigkeit nicht mehr vorliegt (vgl. Beat Brühlmeier, Aargauische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 1980, S. 275 f. und 295).
Unter den gegebenen Umständen besteht kein aktuelles praktisches Interesse an der Überprüfung des angefochtenen Entscheids, mit welchem das Obergericht die Beschwerde gegen die Verweigerung der amtlichen Verteidigung als gegenstandslos abschrieb. Daran ändert die nicht weiter substanziierte Behauptung des Beschwerdeführers, der Ausgang des Verfahrens berühre auch die Interessen der Nachkommen des verstorbenen Angeklagten in erheblicher Weise, nichts. Es ist insbesondere nicht ersichtlich, dass wegen des Strafverfahrens unbezahlte Verfahrens- oder Anwaltskosten entstanden wären, für welche mangels der Bestellung einer amtlichen Verteidigung der Beschwerdeführer aufkommen müsste. Soweit der Beschwerdeführer, der selbst nicht Anwalt ist, Kosten für die Rechtsvertretung seines Bruders geltend macht, ist § 61 StPO/AG zu beachten. Danach können (abgesehen von hier nicht zutreffenden Ausnahmen) nur Anwälte zu Verteidigern, Beiständen und Vertretern bestellt werden. Dies gilt auch für die amtliche Verteidigung (vgl. § 61 Abs. 2 und 3 StPO/AG).
3.2 Ausnahmsweise verzichtet das Bundesgericht auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn die Beschwerde Fragen von grundsätzlicher Bedeutung aufwirft, die sich jederzeit unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen könnten, ohne dass im Einzelfall rechtzeitig eine höchstrichterliche Prüfung stattfinden könnte (<ref-ruling> E. 1.3; Urteil des Bundesgerichts 1B_156/2007 vom 23. August 2007 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
Solche Umstände sind im vorliegenden Fall offensichtlich nicht gegeben.
4. Es ergibt sich, dass auf die Beschwerde mangels aktuellen praktischen Interesses nicht eingetreten werden kann.
Mit diesem Entscheid stellt sich die Frage der Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses nicht mehr. Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Unter Berücksichtigung der Umstände der vorliegenden Angelegenheit erscheint es gerechtfertigt, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem unterliegenden Beschwerdeführer ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigung zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Bremgarten, Gerichtspräsidentin II, und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. März 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Haag