Sachverhalt:
A. Die X._ AG mit Sitz in A._/ZH bezweckt statutengemäss das Reinigen, Rekonditionieren, Lackieren, Beschriften, Entsorgen und Transportieren von Gebinden aller Art. Zur Wiederverwertung verbringt sie verschmutzte Fässer, die sich hier nicht reinigen lassen, nach Deutschland. Dort werden sie durch eine spezialisierte Unternehmung entweder entsorgt oder "rekonditioniert", d.h. zur Weiternutzung aufbereitet, ehe sie wieder zur X._ AG gelangen.
B. Aufgrund eines Begehrens des deutschen Hauptzollamts in Münster überprüfte die Eidgenössische Zollverwaltung ab Dezember 2010 amtshilfeweise 134 Ursprungsnachweise auf ihre Richtigkeit hin. Die X._ AG hatte zum Verbringen der Fässer nach Deutschland jeweils Pro-forma-Rechnungen erstellt, auf welchen sie die für Zollzwecke erforderliche Lieferantenerklärung ("Rechnungserklärung") angebracht hatte. Mit Verfügung vom 21. Februar 2011 stellte die Zollkreisdirektion Schaffhausen fest, in 133 von 134 Fällen seien die Ursprungsnachweise ungültig. Der X._ AG sei es nicht gelungen, den Schweizer Ursprung der gebrauchten Fässer nachzuweisen. Die Behälter müssten als Waren unbestimmten Ursprungs gelten.
C. Die X._ AG erhob dagegen am 23. März 2011 bei der Oberzolldirektion "vorsorglich" Beschwerde. Sie machte geltend, bei den Fässern handle es sich um Altwaren im Sinne des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen Schweiz-EWG. Als solche seien sie ohne weiteren Nachweis als Schweizer Ursprungswaren zu behandeln, sofern sie in der Schweiz oder in der EU bezogen worden seien. Die Fässer seien zudem unter der Tarifnummer 7310.1000 einzureihen. Weiter beantragte die X._ AG, das Beschwerdeverfahren sei zu sistieren, bis die Antwort auf das gleichentags bei der Oberzolldirektion eingereichte Gesuch um verbindliche Ursprungsauskunft vorliege. Dies erlaube es ihr, anschliessend zu entscheiden, ob an der (vorsorglichen) Beschwerde festzuhalten sei.
D. Die Oberzolldirektion sistierte das Beschwerdeverfahren antragsgemäss und beantwortete das Auskunftsersuchen vom 23. März 2011 mit schriftlicher Auskunft vom 13. April 2011. Darin führte sie aus, der Exporteur der Fässer sei bei deren Ausfuhr nach Deutschland berechtigt, einen Ursprungsnachweis auszustellen, soweit ihm ein Vorursprungsnachweis vorliege, d.h. eine Lieferantenerklärung seines Schweizer Lieferanten. Könne keine solche Erklärung beigebracht werden oder handle es sich um Fässer mit Ursprung in einem Drittstaat, sei das Ausstellen eines Ursprungsnachweises unzulässig. Im konkreten Fall habe der Vorgang zollrechtlich als Wiederaufbereitung der bestehenden Fässer zu gelten, sodass sie nicht unter die Waren im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. h des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen Schweiz-EWG fielen.
Mit Schreiben vom 20. April 2011 und vom 25. Mai 2011 ersuchte die X._ AG die Oberzolldirektion um Erlass einer (Auskunfts-)Verfügung, in welcher der Ursprung der betroffenen Waren entsprechend der Auskunft vom 13. April 2011 verbindlich festgehalten werde. Hierzu wies sie auf die drohende Nachbelastung erheblicher Zollabgaben hin. Die Oberzolldirektion erklärte in ihrer Antwort vom 27. Mai 2011, gemäss der konstanten Rechtsprechung der Zollrekurskommission und der ständigen Praxis der Zollverwaltung würden "Tarifauskünfte nicht als beschwerdefähige Verfügungen [gelten]".
E. Am 30. Mai 2011 erhob die X._ AG beim Bundesverwaltungsgericht ein als Rechtsverweigerungsbeschwerde bezeichnetes Rechtsmittel. Zusammenfassend beantragte sie die Feststellung, dass (1.) Ursprungsauskünfte Verfügungscharakter hätten und deshalb in Form einer rechtsmittelfähigen Verfügung zu erlassen seien, und (2.) im konkreten Fall die Fässer Schweizer Ursprungswaren im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. h des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen Schweiz-EWG darstellten. Die Oberzolldirektion stellte in der Vernehmlassung vom 11. August 2011 den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen, worauf die X._ AG mit Replik vom 4. Oktober 2011 den erstgestellten Antrag modifizierte. Danach war nunmehr festzustellen, dass die Weigerung der Oberzolldirektion, über das Auskunftsersuchen eine Verfügung zu erlassen, eine formelle Rechtsverweigerung darstelle. Die Oberzolldirektion duplizierte am 26. Oktober 2011.
Das Bundesverwaltungsgericht trat mit Urteil vom 20. März 2012 auf die Beschwerde nicht ein. Es begründete dies im Wesentlichen damit, dass die X._ AG mit ihrer Rechtsverweigerungsbeschwerde den Erlass einer Verfügung verlange, obwohl die "Zollkreisdirektion Schaffhausen in der gleichen Sache bereits am 21. Februar 2011 eine solche erlassen hatte". Zudem könne die beantragte Feststellung des Schweizer Ursprungs ohnehin nicht Streitgegenstand einer Rechtsverweigerungsbeschwerde bilden.
F. Hiergegen erhebt die X._ AG (hiernach: die Zollpflichtige) mit Eingabe vom 10. Mai 2012 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Sache sei zum Erlass einer Auskunftsverfügung über den Ursprung der Waren an die Vorinstanz bzw. an die Oberzolldirektion zurückzuweisen.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung, während die Zollverwaltung in ihrer detaillierten Stellungnahme die Abweisung der Beschwerde beantragt, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit des Rechtsmittels von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 475; <ref-ruling> E. 1).
1.2 Der angefochtene (End-)Entscheid bildet grundsätzlich ein zulässiges Anfechtungsobjekt der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. a, 90 BGG i.V.m. Art. 116 Abs. 4 des Zollgesetzes vom 18. März 2005 [ZG; SR 631.0]). Zu prüfen ist vorab, ob die Vorinstanz in der Tat ein Prozessurteil erlassen hat, wie dies das Dispositiv des angefochtenen Urteils zum Ausdruck bringt. Im bundesgerichtlichen Verfahren hat dies Auswirkungen auf die Eintretensfrage (Urteile 2C_232/2012 vom 23. Juli 2012 E. 1.5; 4A_330/2008 vom 27. Januar 2010 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2 S. 41). Die Vorinstanz ist nach dem Wortlaut ihres Entscheiddispositivs auf die Rechtsverweigerungsbeschwerde nicht eingetreten. Zur Hauptsache begründete sie dies mit dem fehlenden Rechtsschutzinteresse zur Rechtsverweigerungsbeschwerde, liege doch eine Verfügung zu den vorgelegten Ursprungsnachweisen vor.
Nach den allgemeinen Auslegungsgrundsätzen, die auch im Bereich von Verfügungen und Urteilen Anwendung finden, muss das Dispositiv eines Urteils nicht nur nach seinem allenfalls missverständlichen Wortlaut, sondern nach seinem wahren Sinn ausgelegt werden. Zu fragen ist, wie es die Verfahrensbeteiligten nach den gesamten Umständen in guten Treuen verstehen durften und mussten (so schon Urteil 1P.50/1993 vom 22. März 1993 E. 5a, unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 3b S. 58; FRITZ GYGI, Verwaltungsrecht, 1986, S. 129; PIERRE TSCHANNEN/ULRICH ZIMMERLI/MARKUS MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 3. Aufl., 2009, § 29 N. 16). Zum besseren Verständnis des Dispositivs sind die Erwägungen des Urteils heranzuziehen, wenngleich später nur das Urteilsdispositiv in Rechtskraft erwachsen kann und vollstreckbar ist (zum Ganzen Urteil 2C_762/2010 vom 2. Februar 2011 E. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 348; <ref-ruling> E. 4a S. 195; <ref-ruling> E. 3b S. 13). Im Grunde prüft die Vorinstanz, ob ein hinreichendes Interesse am Erlass einer (weiteren) Verfügung bestehe. Unter diesem Blickwinkel wäre materiell auf die Rechtsverweigerungsbeschwerde vom 30. Mai 2011 einzutreten und sie alsdann abzuweisen gewesen.
1.3 Damit sind die Voraussetzungen zum Eintreten auf die Beschwerde gegen den abweisenden Sachentscheid zu prüfen. Von Bedeutung ist hier namentlich <ref-law>. Danach ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Zollsachen (nur) unzulässig gegen Entscheide über die Zollveranlagung, wenn diese aufgrund der Tarifierung oder des Gewichts der Ware erfolgt, während sie im Übrigen durchwegs gegeben ist (Urteil 2C_1049/2011 vom 18. Juli 2012 E. 1.1). Hier geht es nicht um die Zolltarifierung. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.4 Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist weder an die in der Beschwerde gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Trotz Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), an sich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling>4 E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.5 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Deren Sachverhaltsfeststellungen können nur berichtigt werden, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Dies ist dann der Fall, wenn der Sachverhalt willkürlich ermittelt worden (<ref-law>) oder dessen Feststellung unter Verletzung verfassungsmässiger Rechte und Grundsätze zustande gekommen ist (<ref-ruling> E. 8.1 S. 153). Zudem muss aufgezeigt werden, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2. Steht fest, dass das vorinstanzliche Urteil einen Sachentscheid darstellt, ist vorab in grundsätzlicher Hinsicht zu untersuchen, ob aus der Zollgesetzgebung ein Rechtsanspruch auf Erlass einer Auskunftsverfügung hervorgeht (unten E. 3). Steht dies fest, stellt sich im vorliegenden Einzelfall die Frage nach einem Anspruch auf Erlass einer Auskunftsverfügung (E. 4 hiernach).
3. 3.1 Auskünfte der Eidgenössischen Zollverwaltung im Sinne von <ref-law> dienen der Aufklärung über die Einreihung einer Ware im Zolltarif (Zolltarifauskünfte) bzw. der Beurteilung des präferenziellen Ursprungs von Waren (Ursprungsauskünfte). Mit beiden Instituten soll Rechtssicherheit erzielt werden (vgl. REMO ARPAGAUS, Zollrecht, 2. Aufl., 2007, S. 333 f. N. 589 und 593). Aufgrund von <ref-law> erteilt die Zollverwaltung auf schriftliche Anfrage hin schriftliche Auskunft. Die Verbindlichkeit einer derartigen Auskunft hängt damit in erster Linie von der Form ihrer Erteilung ab: Rechtsverbindlichkeit kommt unter Vorbehalt von Art. 20 Abs. 3 bis 5 ZG einzig schriftlich erteilten Auskünften zu, während mündliche Tarif- und Ursprungsauskünfte unverbindlich bleiben (Botschaft vom 15. Dezember 2003 über ein neues Zollgesetz, BBl 2004 567, insb. S. 603). Verbindliche Auskünfte begründen ein Dauerrechtsverhältnis zwischen auskunftsersuchender Person und auskunfterteilender Zollverwaltung. In zeitlicher Hinsicht (<ref-law>) erstreckt sich das Rechtsverhältnis über den Zeitraum von sechs (Zolltarifauskunft) bzw. drei Jahren (Ursprungsauskunft). In sachlicher Hinsicht soll die Auskunft auf eine unbestimmte Zahl gleichartiger Fälle der auskunftsersuchenden Person Anwendung finden (MARTIN KOCHER, in: Kocher/Clavadetscher [Hrsg.], Zollgesetz, 2009, N. 9 zu <ref-law>).
3.2 Zwischen der einzelfallbezogenen Veranlagungsverfügung (<ref-law>) und der für einen bestimmten Zeitraum und eine unbestimmte Anzahl gleich gelagerter Sachverhalte erteilten Auskunft (<ref-law>) bestehen wesentliche konzeptionelle Unterschiede (KOCHER, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>). Hat die zollrechtliche Veranlagungsverfügung eine konkrete, augenblickliche Fallkonstellation im Auge, lassen sich aus ihr keine rechtsverbindlichen Schlüsse auf künftige Veranlagungen ziehen, selbst wenn es dannzumal um Waren der nämlichen Gattung ginge. Jede spätere Zollanmeldung wird von der Zollverwaltung aufs Neue geprüft, ohne dass sich die zollanmeldende Person mit Recht auf frühere Veranlagungen berufen könnte. Die fehlende Erstreckung der Rechtskraft im Zollrecht ist in ähnlicher Form im Steuerrecht anzutreffen. Dort beschränken sich die Wirkungen definitiver Steuerveranlagungen, insbesondere ihre Rechtskraftwirkungen, im Bereich der periodischen Steuern regelmässig auf die Steuerperiode, für die sie ergangen sind (Urteile 2C_383/2012 vom 6. September 2012 E. 3; 2C_383/2011 vom 31. Oktober 2011 E. 3.3).
3.3 Dem Manko der fehlenden Reflexwirkung der rechtskräftigen Veranlagungsverfügung kann mit dem Einholen einer Auskunft nach <ref-law> begegnet werden. Die verbindliche Zolltarif- oder Ursprungsauskunft ermöglicht es den Wirtschaftsteilnehmern, auf gesicherter Basis zu planen und zu kalkulieren. Spiegelbildlich ist die Verbindlichkeit auch für die Zollverwaltung vorteilhaft, erübrigt sich doch auf diese Weise die wiederholte Einreihung der Waren in die Zollnomenklatur (Botschaft ZG, S. 603). Unangesprochen bleibt in <ref-law> freilich die Frage, ob die Auskunft neben der Schriftform auch als anfechtbare Verfügung ausgestaltet werden könne. Trifft dies nicht zu, ist die zollpflichtige Person darauf angewiesen, in jedem künftigen Einfuhr- bzw. gegebenenfalls Ausfuhrfall ein Rechtsmittel zu ergreifen, um die Wirksamkeit der zuvor erteilten, missliebigen Auskunft zu beseitigen. Wird die Rechtsfrage der Einreihung oder des Ursprungs einer bestimmten Ware vorab und derart geklärt, dass darauf in den künftigen Veranlagungsverfahren nicht mehr zurückzukommen ist, legt dies die Verfügungsform nahe (Parallelität der Formen zwischen Auskunft und Veranlagung). Rechtsverbindlichkeit setzt im Verwaltungsrecht des Bundes in aller Regel den Bestand einer Verfügung im Sinne von Art. 5 des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021) voraus.
3.4 Im Steuerrecht, das mit dem Zollrecht vergleichbar ist, ist die Möglichkeit, im Hinblick auf einen künftigen Sachverhalt vorsorglich die amtliche Beurteilung einzuholen, verbreitet. Ein Anspruch auf Erlass einer Feststellungsverfügung ergibt sich namentlich aus Art. 41 lit. b des Bundesgesetzes vom 13. Oktober 1965 über die Verrechnungssteuer (VStG; SR 642.21) und Art. 38 lit. b des Bundesgesetzes vom 27. Juni 1973 über die Stempelabgaben (StG; SR 641.10). An sich keinen Anspruch auf vorsorgliche Feststellung verleiht hingegen das Bundesgesetz vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG; SR 642.11), insbesondere nicht hinsichtlich der freien Vorsorge (Säule 3b; <ref-ruling>) oder der seinerzeit möglichen privilegierten Liquidation von Immobiliengesellschaften (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 517 ff.). Freilich bestehen auch im Bundessteuerrecht Konstellationen, die zu einer Feststellungsverfügung Anlass geben können (Urteile 2C_251/2012 vom 17. August 2012 [<ref-law>]; 2A.609/1998 vom 28. September 1999 E. 4a [<ref-law>], in: ASA 70 S. 529, StE 2000 B 91.3 Nr. 2; <ref-ruling> E. 3 S. 386 ff. [Säule 3a]).
Mit der Rechtslage im Bereich des Verrechnungssteuer und der Stempelabgaben durchwegs im Einklang steht Art. 82 Abs. 1 lit. f des Bundesgesetzes vom 12. Juni 2009 über die Mehrwertsteuer (MWSTG; SR 641.20). Darüber hinaus kennt das Mehrwertsteuerrecht einen weniger formellen Auskunftsanspruch (<ref-law>; vgl. XAVIER OBERSON, Droit fiscal suisse, 4. Aufl., 2012, N. 358 S. 440). Er ist - insoweit in Einklang mit <ref-law> - auf eine schriftliche Auskunft der Eidgenössischen Steuerverwaltung gerichtet. Zum Verhältnis zwischen Art. 69 (schriftliche Auskunft) und Abs. 82 Abs. 1 lit. f MWSTG (Auskunftsverfügung) sprechen sich die Materialien nicht aus (Botschaft vom 25. Juni 2008 zur Vereinfachung der Mehrwertsteuer, BBl 2008 6885, insb. S. 6995). Auch hatte das Bundesgericht sich dazu noch nicht zu äussern. In der Literatur zum neuen Mehrwertsteuergesetz herrscht freilich die Meinung, dass im Anschluss an eine Auskunft durchaus eine Verfügung verlangt werden könne (ALOIS CAMENZIND/NIKLAUS HONAUER/KLAUS A. VALLENDER/MARCEL R. JUNG/SIMEON L. PROBST, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 3. Aufl., 2012, N. 2189 und 2304; IVO P. BAUMGARTNER/DIEGO CLAVADETSCHER/MARTIN KOCHER, Vom alten zum neuen Mehrwertsteuergesetz, 2010, § 10 N. 36 und 119; zum bisherigen Recht so schon PASCAL MOLLARD/XAVIER OBERSON/ANNE TISSOT BENEDETTO, Traité TVA, 2009, N. 6.149 S. 840). Gemäss <ref-law> folgt die Steuer auf der Einfuhr von Gegenständen grundsätzlich der Zollgesetzgebung. Ebenso wie das Zollgesetz regelt das Mehrwertsteuergesetz nicht bloss die steuerliche Behandlung der Einfuhr von Gegenständen, sondern auch jene der Ausfuhr (z.B. <ref-law>). Dem Normsinn von <ref-law> entsprechend, liegt es auf der Hand, auch im Zollrecht von einer zweistufigen Auskunftspyramide (zunächst schriftliche, dann verfügungsmässige Auskunft) auszugehen. Der Textsinn steht einer solchen Auslegung nicht entgegen.
3.5 Die Rechtsverbindlichkeit einer behördlichen Anordnung setzt vor dem Hintergrund eines rechtsstaatlichen Handelns die Möglichkeit voraus, sich dagegen angemessen zur Wehr zu setzen. Dementsprechend gewährleistet die verfassungsrechtliche Rechtsweggarantie (<ref-law>) den Zugang zu wenigstens einem Gericht, das Rechts- und Sachverhaltsfragen umfassend überprüfen kann (Urteile 2C_273/2012 vom 29. Mai 2012 E. 2.3 und 2C_690/2010 vom 25. Januar 2011 E. 2.1 zu kantonalen Verfahren). Wohl verleiht <ref-law> kein allgemeines Recht darauf, dass jedermann jedes staatliche Handeln auf seine Rechtmässigkeit hin überprüfen lassen könnte (Urteile 2C_457/2011 vom 26. Oktober 2011 E. 4.4; 2C_348/2011 vom 22. August 2011 E. 3.4; <ref-ruling> E. 4.3 S. 328 f.; ANDREAS AUER/GIORGIO MALINVERNI/MICHEL HOTTELIER, Droit constitutionnel suisse, Band II, 2. Aufl., 2006, S. 565 N. 1206; JEAN-FRANÇOIS AUBERT/PASCAL MAHON, Petit commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse, 2003, N. 5 zu <ref-law>). Soweit jedoch eine "Rechtsstreitigkeit" im Sinne von <ref-law> vorliegt, gebietet das Verfassungsrecht den Erlass einer Verfügung, soweit der Rechtsschutz nicht auf andere Weise möglich oder aufgrund einer gesetzlichen Bestimmung ausgeschlossen ist (Urteil 2C_272/2012 vom 9. Juli 2012 E. 4.3; <ref-ruling> E. 4.5 S. 175 f.).
Der gesetzliche Anspruch auf Erteilung einer verbindlichen Auskunft stellt eine individuelle schützenswerte Rechtsposition im Sinne von <ref-law> dar. Auch hier geht es um die "contestations portant sur les droits et les obligations de personnes (physiques ou morales)" (so <ref-ruling> E. 4.2 S. 411; zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.3 S. 328 f.; Urteil 2C_457/2011 vom 26. Oktober 2011 E. 4.4; RENÉ RHINOW/HEINRICH KOLLER/CHRISTINA KISS/DENISE BRÜHL-MOSER, Öffentliches Prozessrecht, 2. Aufl., 2010, § 6 N. 427; JÖRG PAUL MÜLLER/MARKUS SCHEFER, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl., 2008, S. 912 f.; REGINA KIENER/WALTER KÄLIN, Grundrechte, 2007, S. 434; GIOVANNI BIAGGINI, BV-Kommentar, 2007, N. 6 zu <ref-law>).
3.6 Mit der Neufassung des Zollgesetzes verfolgte der Bundesrat schliesslich auch die Absicht, Struktur, Systematik und die zentralen Begriffe des schweizerischen Zollrechts weitgehend mit jenem der Europäischen Union abzustimmen (Botschaft ZG, S. 578 Ziff. 1.1.4.3 und S. 579 Ziff. 1.2.2; THOMAS COTTIER/DAVID HERREN, Einleitung, N. 66 f., in: Kocher/Clavadetscher, a.a.O.). Insbesondere ist auch <ref-law> der Regelung im Recht der Europäischen Union nachempfunden. Er übernimmt dessen Wortlaut fast wörtlich (Botschaft ZG, S. 581 Ziff. 1.2.4 drittes Lemma).
Schon das Zollrecht der EU in seiner ursprünglichen Ausgestaltung, hier Art. 12 der Verordnung (EWG) Nr. 2913/92 des Rates der Europäischen Gemeinschaften vom 12. Oktober 1992 zur Festlegung des Zollkodex der Gemeinschaften (ZK; ABl. L 302 vom 19. Oktober 1992, S. 1), sah eine detaillierte Regelung zu den verbindlichen Zolltarif- bzw. Ursprungsauskünften vor. Im revidierten Recht setzt Art. 12 die Möglichkeit verbindlicher Zolltarif- und Ursprungsauskünfte fort (siehe die Verordnung [EG] Nr. 450/2008 des Europäischen Parlaments und des Rates der Europäischen Union vom 23. April 2008 zur Festlegung des Zollkodex der Gemeinschaft (MZK; Abl. L 145 vom 4. Juni 2008, S. 1).
Zolltarif- und Ursprungsauskünfte sind in der EU demzufolge justiziabel. Der Gerichtshof der Europäischen Union (EuGH) hatte mehrfach die Gelegenheit, sich hierzu zu äussern. Dem Urteil vom 14. April 2011 C-288/09 British Sky Broadcasting Group plc lag die gerichtliche Anfechtung der erteilten verbindlichen Zolltarifauskunft zugrunde (Randnrn. 39 ff.), während in dem damit verbundenen Urteil C-289/09 Pace plc die gerichtliche Anfechtung der Ungültigerklärung einer solchen zur Diskussion stand (Randnrn. 48 ff.). Das Urteil vom 2. Dezember 2010 C-199/09 Schenker SIA betraf die gerichtliche Anfechtung der Nichterteilung einer verbindlichen Zolltarifauskunft (Randnrn. 8 ff.).
3.7 Aus alldem ergibt sich, dass die Zollverwaltung auf Ersuchen eine Auskunftsverfügung im Sinne von <ref-law> zu erlassen hat. Gegen die nicht ausgesprochene oder inhaltlich nicht genehme Verfügung kann die ersuchende Person an das Bundesverwaltungsgericht gelangen (<ref-law> i.V.m. Art. 31 ff. des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht [VGG; SR 173.32]). Letztinstanzlich steht ihr unter den allgemeinen Voraussetzungen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (dazu THOMAS HÄBERLI, in: Marcel A. Niggli/Peter Uebersax/Hans Wiprächtiger [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl., 2011, N. 208a zu <ref-law>; KOCHER, a.a.O., N. 23 zu <ref-law> und N. 110 zu <ref-law>).
4. 4.1 Die Vorinstanz hat der Zollpflichtigen das Rechtsschutzinteresse an der beantragten Verfügung abgesprochen, was sie damit begründet, dass die Zollpflichtige bereits die Verfügung der Zollkreisdirektion vom 21. Februar 2011 bei der Oberzolldirektion angefochten und die Sistierung dieses Beschwerdeverfahrens beantragt habe. Die beantragte Feststellungsverfügung habe den gleichen Streitgegenstand wie dieses Beschwerdeverfahren, nämlich den Ursprungsnachweis für die zur Rekonditionierung ausgeführten Fässer. Die Zollpflichtige verhalte sich widersprüchlich, wenn sie einerseits im Beschwerdeverfahren gegen die Verfügung vom 21. Februar 2011 die Sistierung verlange, anderseits eine die nämliche Frage betreffende Auskunftsverfügung beantrage.
4.2 Die Leistungsverfügung bezog sich auf die konkreten 133 Rechnungen aus den Jahren 2008 bis 2010. Mit dem Begehren um eine Ursprungsauskunft beantragt die Zollpflichtige hingegen mit Gültigkeit für die kommenden drei Jahre (vgl. <ref-law>) eine Auskunft darüber, wie der Ursprungsaspekt in Zukunft zu beurteilen sei. Der zeitliche Aspekt ist der einzige Unterschied, denn in sachlicher Hinsicht liegt der Leistungs- bzw. Veranlagungsverfügung nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) die nämliche Ware zugrunde. Der Grundsatz der der Subsidiarität der Feststellungsverfügung gegenüber der rechtsgestaltenden Verfügung (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 75; <ref-ruling> E. 1 S. 259; <ref-ruling> E. 2.4 S. 391 f.; <ref-ruling> E. 2c S. 303; Urteil 2A.652/2004 vom 13. September 2005 E. 1.5, in: ASA 75 S. 244) schliesst eine Auskunftsverfügung aufgrund der Rechtshängigkeit des Veranlagungsverfahrens aus. Gelangen die Behörden in diesem in Einklang mit der Rechtsauffassung der Zollpflichtigen zur Auffassung, dass die Ursprungsnachweise gültig sind, wird also die Leistungsverfügung aufgehoben, so ist der Zollpflichtigen alsdann nicht verwehrt, sich dies auch mit Gültigkeit für die nächsten drei Jahre zusichern zu lassen. Werden die Ursprungsnachweise demgegenüber als ungültig beurteilt, so steht die Rechtskraft der diesbezüglichen Verfügung einer anderslautenden schriftlichen Auskunft oder Feststellungsverfügung entgegen, so weit der nämliche Sachverhalt betroffen ist bzw. keine wesentliche Änderung der Sach- und Rechtslage eingetreten ist (<ref-ruling> E. 2b S. 46 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 371 f.). Dementsprechend ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Zollpflichtige die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 i.V.m. 66 Abs. 1 BGG). Der obsiegenden Zollverwaltung ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher