Faits:
A.
P._, née en 1979, a conclu le 30 août 2005 un contrat de travail de durée indéterminée en qualité de sommelière avec la société X._ SA. E._, son conjoint, en était l'administrateur avec signature individuelle.
Le 27 janvier 2011, la prénommée s'est inscrite en qualité de demandeuse d'emploi auprès de l'Office régional de placement Y._. Elle a déposé le 7 février 2011 une demande d'indemnités de chômage avec effet au 1 er février 2011, indiquant que son contrat avait été résilié pour le 31 janvier 2011 par son employeur. La séparation d'avec son mari, le 7 décembre 2010, constituait le motif de son licenciement.
Par attestation de résidence du 31 mars 2011, la commune Z._ a confirmé que E._ y était régulièrement domicilié, qu'il était marié et séparé de fait depuis le 7 décembre 2010. La ville de R._ a également attesté que l'assurée résidait sur son territoire depuis le 20 décembre 2010, qu'elle était mariée et séparée de fait (attestation du 1 er avril 2011).
Par décision du 23 mai 2011, la Caisse cantonale vaudoise de chômage (ci-après: la caisse) a refusé de donner suite à la demande d'indemnisation présentée par P._, invoquant en substance que celle-ci n'avait pas fourni les déclarations d'impôt pour les années 2006 à 2010 ni apporté la preuve que la société X._ SA lui avait effectivement versé un salaire durant cette période.
L'assurée a formé opposition à cette décision. Elle a produit des pièces confirmant qu'elle avait été rémunérée pendant la durée de son contrat de travail ainsi qu'une copie de l'ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale rendue le 8 décembre 2011 par laquelle le Président du Tribunal civil d'arrondissement de Lausanne avait ratifié la convention signée par les parties lors de l'audience du 19 octobre 2011.
La Division juridique de la caisse a rejeté l'opposition de l'assurée le 5 mars 2012 au motif que son époux était inscrit au registre du commerce en qualité d'administrateur avec signature individuelle de la société qui l'employait. La fonction dirigeante de ce dernier ne permettait pas à l'intéressée de percevoir des indemnités de chômage. Elle a renvoyé le dossier à l'autorité inférieure afin qu'elle examine si un droit pouvait être ouvert à l'assurée dès le 9 décembre 2011 (le jour suivant l'ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale).
B.
P._ a déféré la cause au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, qui a admis le recours par jugement du 1 er mars 2013 et renvoyé la cause à la caisse de chômage pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
C.
La Caisse cantonale vaudoise de chômage interjette un recours en matière de droit public contre cette décision. Elle demande, principalement, l'annulation du jugement entrepris. Subsidiairement, elle conclut à ce que la cause lui soit renvoyée pour nouvel examen des conditions du droit à l'indemnité à compter du 20 octobre 2011 (soit le jour suivant l'audience au cours de laquelle les parties ont signé une convention réglant toutes les modalités de leur séparation).
P._ conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. En outre, elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. Quant au Secrétariat d'Etat à l'économie (ci-après: le Seco), il a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
1.1. La décision attaquée renvoie la cause à la caisse recourante afin qu'elle examine si toutes les conditions dont dépend le droit à l'indemnité de chômage sont réalisées conformément aux considérants.
1.2. En tant qu'il renvoie la cause à l'administration pour nouvelle décision, le jugement entrepris doit être qualifié de décision incidente, qui ne peut être déférée immédiatement au Tribunal fédéral que si la condition du préjudice irréparable est réalisée ou pour des motifs d'économie de la procédure (<ref-law>). Lorsqu'une administration ou un assureur social sont contraints par le jugement incident à rendre une décision qu'ils estiment contraire au droit et qu'ils ne pourront eux-mêmes pas attaquer, un tel jugement incident peut être déféré au Tribunal fédéral sans attendre le prononcé du jugement final (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 483). Cette éventualité est en l'espèce réalisée, le jugement attaqué ayant un effet contraignant pour la recourante en ce sens que celle-ci devra statuer à nouveau en tenant compte d'une séparation effective des époux dès le 7 décembre 2010. Il convient par conséquent d'entrer en matière.
2.
Le litige porte sur le droit de l'intimée à l'indemnité de chômage à partir du 1 er février 2011.
3.
Le jugement attaqué expose correctement la disposition excluant du droit à l'indemnité en cas de réduction de l'horaire de travail les personnes (ainsi que leur conjoint lorsqu'il/elle travaille avec elles) se trouvant dans une position assimilable à celle d'un employeur (art. 31 al. 3 let. c LACI), ainsi que la jurisprudence qui étend par analogie à ces personnes (ainsi que leur conjoint) l'exclusion du droit à l'indemnité de chômage. Il convient d'y renvoyer.
Le Tribunal fédéral a laissé ouverte la question de savoir ce qu'il en était du droit à l'indemnité de chômage en cas de séparation judiciaire ou par voie de mesures protectrices de l'union conjugale. Il a cependant précisé qu'une séparation de fait inférieure à deux ans n'était en tout cas pas suffisante pour ouvrir un droit à des prestations de chômage. En tout état de cause, le divorce, la séparation judiciaire ou l'ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale rendue par un juge n'ouvrent pas un droit rétroactif à l'indemnité de chômage lorsque la séparation a eu lieu à une date antérieure (voire arrêt 8C_74/2011 du 3 juin 2011 publié à la SVR 2011 ALV n° 14 p. 42).
4.
En l'espèce, il n'est pas contesté que les époux étaient séparés depuis le 7 décembre 2010. Au moment de la demande de prestations de chômage (le 1er février 2011), ils l'étaient depuis moins de deux mois seulement. Quant à l'ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale, elle a été rendue le 8 décembre 2011. Ce n'est donc qu'à partir de cette date que l'intimée aurait éventuellement pu prétendre à l'indemnité de chômage. Comme dans sa décision sur opposition, la caisse recourante ne conteste pas le droit à l'indemnité de chômage de l'intimée à partir du 9 décembre 2011. Le Tribunal fédéral est lié par les conclusions des parties (<ref-law>).
5.
L'intimée, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Elle a déposé une demande d'assistance judiciaire. Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci lui est accordée. Son attention est attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis en ce sens que le jugement rendu le 1 er mars 2013 par le Tribunal cantonal des assurances du canton de Vaud est annulé. La décision sur opposition du 5 mars 2012 est confirmée.
2.
L'assistance judiciaire est accordée à l'intimée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
M e Patricia Michellod est désignée en tant qu'avocate d'office de l'intimée et une indemnité de 2'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, supportée par la caisse du Tribunal.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 16 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: Fretz Perrin