hat sich ergeben:
A.- Am 30. August 1997 starb B._, der unter Beistandschaft gestanden hatte. Er hinterliess seine Ehefrau und drei Kinder aus früheren Ehen, so auch die Tochter A._. Nach seinem Tod erstellte die Beiständin Schlussbericht und Schlussabrechnung. Der Schlussbericht, dem angesichts der Tatsache, dass auch die Ehefrau des Erblassers verbeiständet ist, zugleich die Funktion eines Sicherungsinventars beigemessen wurde, bildete Gegenstand verschiedener Rechtsmittelverfahren. Mit Beschluss vom 21.
Oktober 1999 lud das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich die Vormundschaftsbehörde der Stadt Zürich ein, einen neuen Schlussbericht samt Schlussabrechnung erstellen zu lassen. Diese neue Schlussabrechnung erstellte die Beiständin am 3. April 2000; am 22. August 2000 wurde sie von der Vormundschaftsbehörde teilweise korrigiert.
B.- Mit Eingabe vom 30. Oktober 2000 stellte A._ beim Einzelrichteramt in Erbschaftssachen des Bezirks Zürich ein Begehren um Erstellung eines öffentlichen Inventars über den Nachlass von B._. Die Einzelrichterin wies das Begehren mit Verfügung vom 6. November 2000 ab, da die einmonatige Frist von <ref-law> bei Einreichung des Begehrens abgelaufen gewesen sei. Das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich wies mit Beschluss
21. Dezember 2000 den von A._ erhobenen Rekurs ab, soweit es darauf eintrat.
Am 1. April 2001 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich seinerseits die von A._ hierauf eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Es hat auf Lehrmeinungen verwiesen, wonach die Frist für ein Begehren um Anordnung des öffentlichen Inventars anders als bei der Ausschlagungsfrist durch die Aufnahme eines Sicherungsinventars nicht verlängert werde. Zudem handle es sich bei dem von der Beiständin und der Vormundschaftsbehörde erstellten Inventar nicht um eine erbrechtliche Massnahme, sondern um die Schlussabrechnung wegen Beendigung der Beistandschaft infolge Todes des Verbeiständeten; eine solche Abrechnung könne den Fristenlauf für das Begehren um Anordnung eines öffentlichen Inventars ohnehin nicht tangieren.
C.- A._ hat mit Eingabe vom 13. Mai 2001 staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Sie beantragt, den Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 1. April 2001 aufzuheben und festzustellen, dass es willkürlich sei, ihr das Erstellen eines öffentlichen Inventars zu verweigern; ferner sei festzustellen, dass die materielle Rechtskraft des obergerichtlichen Beschlusses vom 21. Oktober 1999 weiterhin Gültigkeit habe und die Behörden entsprechend binde.
Eine Vernehmlassung zur Beschwerde ist nicht eingeholt worden.
Durch Präsidialverfügung vom 15. Mai 2001 ist das Begehren der Beschwerdeführerin, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, abgewiesen worden.
D.- Als Beilage zu einer Zuschrift vom 14. Juli 2001 (Postaufgabe am 15. Juli) hat die Beschwerdeführerin verschiedene Schriftstücke zur Ergänzung der Akten eingereicht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Das Verfahren betreffend die Aufnahme eines Sicherungsinventars gemäss <ref-law> oder eines öffentlichen Inventars gemäss den <ref-law> gehört nicht zu den der Berufung an das Bundesgericht unterstehenden Zivilrechtsstreitigkeiten im Sinne der Art. 44 ff. OG (dazu <ref-ruling> E. 2 S. 57 f.). Als subsidiäres Rechtsmittel (Art. 84 Abs. 2 OG) kann daher einzig die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte ergriffen werden. Aus dieser Sicht ist auf die Beschwerde demnach einzutreten.
b) Als die Beschwerdeführerin am 15. Juli 2001 ihre ergänzende Eingabe der Post übergab, war die Beschwerdefrist von Art. 89 Abs. 1 OG längst abgelaufen. Die Eingabe ist daher unbeachtlich.
c) Von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen, ist die staatsrechtliche Beschwerde rein kassatorischer Natur (<ref-ruling> E. 8c S. 395; <ref-ruling> E. 1b S. 107, mit Hinweisen). Zulässig ist somit einzig das Rechtsbegehren, den Entscheid des Kassationsgerichts aufzuheben. Gegebenenfalls hätte dieses unter Berücksichtigung der Ergebnisse des vorliegenden Verfahrens, ohne besondere Anweisung durch die erkennende Abteilung, neu zu entscheiden (dazu <ref-ruling> E. 2 S. 251; <ref-ruling> E. 3c/bb S. 354). Auf die Feststellungsbegehren der Beschwerdeführerin ist nach dem Gesagten nicht einzutreten.
2.- a) Die Aufnahme eines Sicherungsinventars wird angeordnet, wenn ein Erbe zu bevormunden ist oder unter Vormundschaft steht, ein Erbe dauernd und ohne Vertretung abwesend ist oder ein Erbe sie verlangt (<ref-law>). Einem Inventar dieser Art, das in der Regel binnen zwei Monaten seit dem Tode des Erblassers durchzuführen ist (<ref-law>), kommt die Aufgabe zu, die Erbschaft zu sichern. Es soll deren Bestand festgestellt und damit verhindert werden, dass Vermögenswerte zwischen Erbgang und Teilung unbemerkt verschwinden können; eine Schätzung der Vermögenswerte braucht mit der Aufnahme des Sicherungsinventars nicht verbunden zu sein (dazu <ref-ruling> E. 4b/bb S. 270; Tuor/Picenoni, Berner Kommentar, N. 1 zu <ref-law>).
Das öffentliche Inventar (<ref-law>) bezweckt demgegenüber die genaue Ermittlung der Aktiven und Passiven der Erbschaft als Grundlage für den Entscheid über deren Annahme oder Ausschlagung. Mit dem Institut der Annahme unter öffentlichem Inventar (<ref-law>) verfügt der Erbe ausserdem über eine Möglichkeit, die Schuldenhaftung zu beschränken.
b) Jeder Erbe, der die Befugnis hat, die Erbschaft auszuschlagen, ist berechtigt, ein öffentliches Inventar zu verlangen (<ref-law>). Das Begehren muss binnen Monatsfrist in der gleichen Form wie die Ausschlagung bei der zuständigen Behörde angebracht werden (<ref-law>). Der Hinweis auf die für die Ausschlagung geltenden Formvorschriften bedeutet, dass bei der zuständigen Behörde - mündlich oder schriftlich - eine bedingungs- und vorbehaltlose Erklärung abzugeben ist (Art. 570 Abs. 1 und 2 ZGB). Die Frist für das Begehren um Erstellung eines öffentlichen Inventars ist mit einem Monat wesentlich kürzer als die dreimonatige Ausschlagungsfrist (<ref-law>), was darin begründet liegt, dass der Entschluss zum Inventarbegehren, mit dem sich kein Risiko verbindet, weniger Zeit erfordert und dass die Deliberationsfrist im Falle des öffentlichen Inventars nicht allzu weit ausgedehnt werden soll (Tuor/Picenoni, N. 10 zu <ref-law>; Escher, Zürcher Kommentar, N. 12 zu <ref-law>).
aa) Für den Beginn der Frist gilt zunächst unstreitig die Regelung von <ref-law>, wonach bei gesetzlichen Erben die Kenntnis des Todes, allenfalls die spätere Kenntnis des Erbfalls, und bei eingesetzten Erben der Zeitpunkt massgebend ist, da diesen die amtliche Mitteilung von der Verfügung des Erblassers zugekommen ist. Dass im Gesetz ein ausdrücklicher Verweis auf die für die Ausschlagung festgelegte Ordnung fehlt, erklärt sich aus der Entstehungsgeschichte (dazu Karl Kaufmann, Die Errichtung des öffentlichen Inventars im Erbrecht, Diss. Bern 1959, S. 56): In den Entwürfen hatte die einschlägige Bestimmung noch dahin gelautet, dass das Verlangen des öffentlichen Inventars "innerhalb der gleichen Frist und in der gleichen Form wie die Ausschlagung" anzubringen sei. Die Wendung "innerhalb der gleichen Frist" schloss auch den Fristbeginn ein. Erst die Festlegung einer kürzeren Frist für das öffentliche Inventar im endgültigen Gesetzestext hat dazu geführt, dass der Fristbeginn nicht mehr ausdrücklich erfasst ist.
bb) Umstritten ist dagegen, ob im Sinne von <ref-law> - wonach dann, wenn ein Sicherungsinventar aufgenommen wird, die Frist zur Ausschlagung mit dem Tage beginnt, an dem die Behörde den Erben vom Abschluss des Inventars Kenntnis gegeben hat - gegebenenfalls auch der Beginn der Frist zur Einreichung des Gesuchs um Erstellung eines öffentlichen Inventars hinausgeschoben wird.
Kaufmann (a.a.O. S. 58) geht davon aus, dass auch die Frist für ein öffentliches Inventar erst mit der behördlichen Mitteilung über den Abschluss des Sicherungsinventars zu laufen beginnt. Gleicher Meinung ist Peter Brügger (Die Sicherungsmittel der Erbschaft, Diss. Bern 1941, S. 34), für den das Sicherungsinventar erste Anhaltspunkte für den von den Erben zu treffenden Entscheid liefert, ob sie Annahme oder Ausschlagung der Erbschaft erklären oder das öffentliche Inventar verlangen sollen. Tuor/Picenoni (N. 11 zu <ref-law>) verweisen für den Beginn des Fristenlaufs auf die Regeln der Ausschlagung und erwähnen ausdrücklich die Art. 567 f. ZGB; somit wollen auch diese Autoren die Sonderregelung von <ref-law> auf das öffentliche Inventar angewendet wissen. In einem Entscheid vom 3. April 1918 schien dies auch noch die Meinung des Zürcher Obergerichts gewesen zu sein (ZR 18/1919, Nr. 3, S. 11 f.).
Demgegenüber hat das Kantonsgericht von Graubünden in einem neueren Entscheid dafür gehalten, dass es für eine analoge Anwendung von <ref-law> auf den Fall des öffentlichen Inventars keine sachliche Rechtfertigung gebe (Entscheid vom 17. Februar 1988, veröffentlicht in: ZBGR 75/1994 S. 156 ff. und PKG 1988 Nr. 60 S. 192). Dieser Auffassung hat sich die seither veröffentlichte Literatur angeschlossen (Jean Nicolas Druey, Grundriss des Erbrechts, 4. Aufl. , Bern 1997, S. 210, Rz. 55 [in der 3. Aufl. , S. 198, Rz. 55, war die Frage noch unerwähnt geblieben]; Martin Karrer, Basler Kommentar, N. 16 zu <ref-law>; Kurt Wissmann, Basler Kommentar, N. 10 zu <ref-law>; Stephan Wolf, Die Sicherungsmassregeln im Erbgang, in: ZBJV 135/1999, S. 199).
3.- a) Im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde hat das Bundesgericht nicht zu prüfen, welches die richtige Rechtsauffassung ist, sondern nur, ob der angefochtene Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt, namentlich etwa das Willkürverbot (<ref-law>) missachtet. Letzteres ist nach der Rechtsprechung dann der Fall, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Ein Entscheid ist indessen nicht schon dann willkürlich, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 3 S. 440; <ref-ruling> E. 3a S. 15 und 129 E. 5b S. 134, mit Hinweisen). Eine krasse Verletzung einer Norm oder eines unumstrittenen Rechtsgrundsatzes ist regelmässig dort zu verneinen, wo sich die Rechtsanwendung auf Lehrmeinungen stützen lässt, mögen diese auch nicht unbestritten sein (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 234; <ref-ruling> E. 4b und 5 S. 444; <ref-ruling> E. 3b S. 442 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 251 f.).
b) Für den Standpunkt der Beschwerdeführerin, die Aufnahme eines Sicherungsinventars wirke sich nicht nur, wie in <ref-law> ausdrücklich festgelegt, auf die Ausschlagungsfrist, sondern sinngemäss auch auf die Frist zur Einreichung des Begehrens um Erstellung eines öffentlichen Inventars aus, spricht in der Tat, dass das Sicherungsinventar dem Erben wichtige Hinweise auch im Hinblick auf den Entschluss vermitteln kann, ein öffentliches Inventar (mit genauer Erfassung der Aktiven und Passiven und der Möglichkeit der Haftungsbegrenzung) zu verlangen. Auf der andern Seite ist jedoch zu bemerken, dass sich der Erbe nichts vergibt, wenn er direkt um Erstellung eines öffentlichen Inventars nachsucht. Anders als beim Entscheid über Annahme oder Ausschlagung der Erbschaft ist der Erbe hier daher nicht so sehr darauf angewiesen, für seinen Entschluss einen ersten Überblick über den Nachlass zu gewinnen. Darin liegt ein wesentlicher Unterschied, der eine abweichende Behandlung, d.h. eine Verneinung der sinngemässen Anwendbarkeit von <ref-law> auf das öffentliche Inventar, zu rechtfertigen vermag. In Anbetracht der oben dargestellten uneinheitlichen Rechtsprechung wie auch der divergierenden Lehrmeinungen kann von einer krassen Rechtsverletzung durch das Kassationsgericht auf jeden Fall nicht gesprochen werden. Der Vorwurf der Willkür ist aus dieser Sicht nicht berechtigt.
4.- Ob die Aufnahme eines Sicherungsinventars hier im Gange ist bzw. ob die Voraussetzungen bezüglich der persönlichen Verhältnisse bestimmter Erben für die Aufnahme eines solchen Inventars überhaupt gegeben sind, was das Kassationsgericht in einer Eventualbegründung verneint, ist nach dem Gesagten ohne Belang. Es braucht unter diesen Umständen nicht geprüft zu werden, ob der angefochtene Entscheid auch in diesem Punkt dem Willkürvorwurf standhält.
5.- Das Obergericht hatte in seinem Beschluss vom 21. Dezember 2000 festgehalten, beim Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr im Sinne von <ref-law> die Frist zur Einreichung des Begehrens um Errichtung eines öffentlichen Inventars wieder herzustellen, handle es sich um ein neues und daher unzulässiges Begehren. Es hat das Gesuch ausserdem als nicht begründet abgewiesen. Das Kassationsgericht hat sich zu dieser Frage nicht geäussert.
Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern der kassationsgerichtliche Entscheid in diesem Punkt verfassungswidrig sein soll (vgl. Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Was sie vorbringt, richtet sich gegen den Beschluss des Obergerichts.
Da es sich bei diesem nicht um einen letztinstanzlichen Entscheid handelt (vgl. Art. 86 Abs. 1 OG), ist hier darauf nicht einzutreten.
6.- Die staatsrechtliche Beschwerde ist nach dem Ausgeführten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Entsprechend diesem Ausgang des Verfahrens ist die Gerichtsgebühr der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 24. Juli 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: