Faits:
A. P._, né le 16 février 1975, est titulaire d'un baccalauréat international obtenu en 1996. Il a suivi les cours d'une école de décors de théâtre à N._. Il a commencé par la suite des études de dessins industriels à L._, qu'il a abandonnées puis reprises à S._, formation qu'il a interrompue à deux reprises, sans la terminer.
Le 17 novembre 2005, P._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport médical des 16 et 22 mai 2006, le docteur C._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant de l'assuré depuis le 25 octobre 1995, a posé le diagnostic ayant des répercussions sur la capacité de travail de polypharmacodépendance grave associée à un trouble de la personnalité émotionnellement labile de type impulsif ([CIM-10] F60.30). Il retenait une incapacité totale de travail dans l'activité d'étudiant en graphisme et de styliste depuis le 1er janvier 2000 au moins, en ce sens que l'incapacité de travail et d'apprentissage totale existait depuis au moins six, si ce n'est dix ans.
Le docteur G._, dans un rapport d'examen SMR du 29 juin 2007, a conclu que l'assuré présentait une capacité de travail exigible de 100 % dans l'activité habituelle s'il arrêtait sa polytoxicomanie.
Dans un préavis du 5 juillet 2007, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a informé P._ qu'il ne souffrait d'aucune atteinte physique ou mentale ayant une incidence sur sa capacité de gain et que la toxico-dépendance qu'il présentait ne résultait pas non plus d'une atteinte à la santé ayant valeur de maladie invalidante, de sorte que sa demande devait être rejetée.
Sur requête de l'office AI, le docteur F._, médecin associé du Service X._ de l'Hôpital Y._, a effectué une expertise psychiatrique. Dans un rapport du 13 juillet 2007, il a retenu les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen (début du trouble en 1999), de trouble anxieux soit trouble anxiété généralisée (début du trouble très probablement déjà à son adolescence ce qui a favorisé l'appétence par des produits comme le cannabis, l'alcool et les benzodiazépines), de dépendance aux opiacés (suit actuellement un traitement de substitution par cure de méthadone depuis 1998), de dépendance à la cocaïne (usage actuel nocif pour la santé), de dépendance aux benzodiazépines, d'ancienne dépendance à l'alcool (actuellement abstinent depuis 2005) et de troubles de la mémoire antérograde. Il indiquait que le patient était en traitement depuis le début de l'année 2007 auprès du docteur A._, médecin psychiatre. Un premier épisode dépressif était bien identifié en 1999 et caractérisé par la suite par une évolution d'une certaine chronicité aggravée en plus par les différentes dépendances aux substances développées. La poursuite des consommations de différentes substances (cannabis, héroïne par la suite cocaïne et alcool) avaient favorisé l'aggravation d'un état dépressif et la résistance aux différents traitements médicamenteux entrepris par le docteur C._. Par ailleurs, l'assuré présentait un trouble de la personnalité de type dépendante, caractérisé par une grande passivité, le manque d'autonomie, d'initiative, avec une incapacité de décision et une adhérence aux figures significatives dans sa vie qui prenaient des décisions à sa place. Les perspectives de reconversion professionnelle ou de réinsertion dans l'état actuel des choses paraissaient inexistantes. L'incapacité de travail était de l'ordre de 100 %.
Dans un rapport du 2 août 2007, le docteur C._ a fait part à l'office AI de ses observations en ce qui concerne le projet de refus de rente. Il retenait notamment les diagnostics de trouble dépressif récurrent, épisode actuel prolongé, chronicisé depuis 1995 ([CIM-10] F33.20), d'anxiété généralisée, majeure, chronique (F41.1), de dépendance à l'héroïne, patient sous substitution de méthadone (F11.22), de dépendance à la cocaïne intraveineuse (F14.1), de dépendance aux benzodiazépines (F13.25), de pharmacodépendance à l'alcool (F10.201), de troubles mentaux et troubles du comportement liés à l'utilisation de LSD (F16.30), de tabagisme chronique (F17.1), de pharmacodépendance au THC (F12.1), de personnalité dépendante (F60.7) et de syndrome psycho-organique débutant. Il indiquait que le patient était en incapacité de travail totale depuis vraisemblablement une dizaine d'années. Dans une lettre du 30 août 2007, P._ a lui aussi fait part à l'office AI de ses observations à propos du projet de refus de rente.
Les docteurs G._ et M._, dans un avis médical du 16 août 2007, se sont ralliés aux conclusions de l'expert F._ et ont retenu qu'il y avait une pathologie psychiatrique de base certaine, soit un état dépressif chronique, accompagné d'une anxiété généralisée et d'un trouble de la personnalité dépendante et impulsive, que le pronostic était négatif et que cette pathologie psychiatrique justifiait une incapacité de travail totale.
L'office AI a retenu que depuis le 1er janvier 2000 (début du délai d'attente d'un an), l'assuré présentait une capacité de travail considérablement restreinte d'après son médecin traitant. Dans un prononcé du 9 octobre 2007, il a admis une invalidité de 100 % depuis le 1er janvier 2001. Par décision du 6 décembre 2007, il a avisé P._ qu'il avait droit dès le 1er janvier 2001 à une rente entière pour une invalidité de 100 %, mais que le versement de la rente ne pourrait intervenir qu'à partir du 1er novembre 2004, attendu que la demande avait été déposée plus de douze mois après le début du droit. Il lui octroyait une rente ordinaire sous la forme d'une rente partielle, l'assuré comptant une durée incomplète de cotisations, rente dont le montant mensuel de 216 fr. de novembre à décembre 2004, de 220 fr. de janvier 2005 à décembre 2006 et de 226 fr. dès janvier 2007 avait été calculé sur la base d'un revenu annuel moyen déterminant de 7'956 fr. et de l'échelle 9, compte tenu d'une durée de cotisations d'une année.
Par décision du 20 décembre 2007, la Caisse cantonale genevoise de compensation a fixé à 274 fr. les intérêts moratoires en faveur de l'assuré.
B. Le 21 janvier 2008, P._ a formé recours contre ces deux décisions devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant, sous suite de dépens, à leur annulation. Produisant un certificat médical du docteur C._ du 17 janvier 2008 qui attestait une incapacité de travail et d'apprentissage de plus de 75 % depuis septembre 1996, il alléguait que son invalidité était survenue en 1996, année durant laquelle il avait cotisé à l'AVS, et qu'il comptait une durée complète de cotisations, de sorte que la rente devait être calculée sur la base de l'échelle 44 et qu'elle s'élevait au moins à 133 1/3 % du montant minimum de la rente complète correspondante. Il invitait la juridiction cantonale à dire que la rente mensuelle devait être fixée à 1'407 fr. de novembre à décembre 2004, à 1'433 fr. pour les années 2005 et 2006 et à 1'473 fr. dès janvier 2007, le dossier étant renvoyé à la Caisse cantonale genevoise de compensation afin qu'elle établisse un nouveau calcul des intérêts moratoires.
Par jugement du 19 août 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales, admettant le recours, a annulé la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 6 décembre 2007 et la décision de la Caisse cantonale genevoise de compensation du 20 décembre 2007, la cause leur étant renvoyée pour nouveau calcul dans le sens des considérants et nouvelles décisions. Il a retenu que l'invalidité était survenue en septembre 1997 et que l'assuré avait cotisé de janvier à décembre 1996 en qualité d'étudiant, de sorte que la durée de cotisations était réputée complète, que la rente devait être calculée sur la base de l'échelle 44 et qu'elle s'élevait au moins à 133 1/3 % du montant minimum de la rente complète correspondante (<ref-law>), et que les intérêts moratoires devaient être calculés à nouveau.
C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation. Il invite le Tribunal fédéral à dire que la date de la survenance de l'invalidité de P._ doit être fixée à l'été 2000.
P._ conclut, sous suite de dépens, au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral, qui est un juge du droit, fonde son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réalisées. A ce défaut, un état de fait divergeant de celui de la décision attaquée ne peut être pris en compte (cf. arrêt 6B_2/2007 du 14 mars 2007, consid. 3). La faculté que l'<ref-law> confère au Tribunal fédéral de rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> ne dispense pas le recourant de son obligation d'allégation et de motivation. Il n'incombe pas au Tribunal fédéral de rechercher lui-même dans le dossier si ce dernier pourrait éventuellement contenir des indices d'une inexactitude de l'état de fait de l'autorité précédente. L'<ref-law> trouve application lorsque le Tribunal fédéral, en examinant les griefs soulevés, constate une inexactitude manifeste dans l'état de fait de l'autorité précédente ou lorsque celle-ci saute d'emblée aux yeux (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 288; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 255).
2. Il est constant que l'intimé présente une pathologie psychiatrique de base certaine, soit un état dépressif chronique, accompagné d'une anxiété généralisée et d'un trouble de la personnalité dépendante et impulsive, que le pronostic est négatif et que cette pathologie psychiatrique justifie une incapacité de travail totale. Le litige, relatif au calcul de la rente d'invalidité à laquelle il a droit, porte sur le point de savoir si, comme l'ont retenu les premiers juges, l'incapacité de travail remonte à septembre 1996 et la survenance de l'invalidité à septembre 1997.
2.1 Selon l'<ref-law>, l'invalidité est réputée survenue dès qu'elle est, par sa nature et sa gravité, propre à ouvrir droit aux prestations entrant en considération. Ce moment doit être déterminé objectivement, d'après l'état de santé; des facteurs externes fortuits n'ont pas d'importance. Il ne dépend en particulier ni de la date à laquelle une demande a été présentée, ni de celle à partir de laquelle une prestation a été requise, et ne coïncide pas non plus nécessairement avec le moment où l'assuré apprend, pour la première fois, que l'atteinte à sa santé peut ouvrir droit à des prestations d'assurance (<ref-ruling> consid. 2b p. 9, 157 consid. 3a p. 160, 118 V 79 consid. 3a p. 82 et les références). Dans le cas d'une rente, conformément à l'<ref-law> (applicable en l'espèce dans sa version en vigueur du 1er janvier 1988 au 31 décembre 2002; <ref-ruling> consid. 2b p. 9), l'invalidité est réputée survenue (let. a) dès que l'assuré présente une incapacité de gain durable de 40 pour cent au moins ou (let. b) dès qu'il a présenté, en moyenne, une incapacité de travail de 40 pour cent au moins pendant une année sans interruption notable (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 418, 126 V 5 consid. 2b p. 9, 119 V 98 consid. 4a p. 102).
2.2 En cas de divergence d'opinion entre experts et médecins traitants, il n'est pas, de manière générale, nécessaire de mettre en oeuvre une nouvelle expertise. La valeur probante des rapports médicaux des uns et des autres doit bien plutôt s'apprécier au regard des critères jurisprudentiels (<ref-ruling> consid. 3a p. 352) qui permettent de leur reconnaître pleine valeur probante. A cet égard, il convient de rappeler qu'au vu de la divergence consacrée par la jurisprudence entre un mandat thérapeutique et un mandat d'expertise (<ref-ruling> consid. 4 p. 175; arrêt I 514/06 du 25 mai 2007 consid. 2.2.1, in SVR 2008 IV Nr. 15 p. 43), on ne saurait remettre en cause une expertise ordonnée par l'administration ou le juge et procéder à de nouvelles investigations du seul fait qu'un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion contradictoire. Il n'en va différemment que si ces médecins traitants font état d'éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l'expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l'expert.
2.3 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 s. (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé (diagnostic, etc.), la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398).
3. Les premiers juges ont retenu que l'intimé présentait une incapacité de travail et d'apprentissage de plus de 75 % depuis septembre 1996 et que la survenance de l'invalidité remontait à septembre 1997.
3.1 Dans leur appréciation des preuves, les premiers juges se sont fondés sur le certificat médical du docteur C._ du 17 janvier 2008. Dans ce document, le médecin traitant de l'intimé a relevé que déjà à partir d'octobre 1995, l'important retard scolaire annonçait une incapacité de travail partielle et que, depuis septembre 1996, les "polyconsommations" gravissimes, associant l'alcool, les tranquillisants, le cannabis, l'héroïne et la cocaïne, avaient entraîné une forte péjoration des capacités cognitives du patient. Celui-ci avait entrepris une école de décors de théâtre de 1996 à 1999 et tenté de s'intégrer dans une école de stylistes à L._ puis à S._. Aucune de ces formations n'avait abouti à un certificat, en raison du handicap multiple sur le plan psychiatrique dont il souffrait chroniquement et qui n'avait fait que s'aggraver ces dernières années, notamment en raison de périodes de "multiconsommations" compulsives, toutes plus catastrophiques les unes que les autres.
3.2 Invoquant une violation du principe de la libre appréciation des preuves, l'office AI reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves en se fondant uniquement sur le certificat médical du 17 janvier 2008 du docteur C._, sans tenir compte des autres moyens de preuve, notamment du rapport d'expertise du docteur F._ du 13 juillet 2007.
3.3 Le Tribunal fédéral examine librement le grief tiré d'une violation du principe de la libre appréciation des preuves et du devoir de la juridiction de première instance en découlant, de procéder à une appréciation complète, rigoureuse et objective des rapports médicaux en relation avec leur contenu (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 400) et d'indiquer les raisons pour lesquelles elle se fonde sur une opinion médicale plutôt qu'une autre (YVES DONZALLAZ, Commentaire de la Loi sur le Tribunal fédéral, N. 4465 ad <ref-law>).
L'appréciation des preuves n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis sans raison sérieuse de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; arrêt 6B_241/2008 du 12 juin 2008, consid. 2.1 non publié aux <ref-ruling>).
3.4 Dans le cas particulier, il y a eu appréciation arbitraire des preuves de la part des premiers juges, qui, sans aucune explication, se sont fondés sur le certificat médical du docteur C._ du 17 janvier 2008, document subséquent par rapport à la décision de rente du 6 décembre 2007, mais n'ont rien dit sur les divergences entre ce document et les autres pièces du dossier. Il apparaît notamment que le docteur F._, dans l'expertise psychiatrique du 13 juillet 2007, a relevé en page 2 de son rapport que l'intimé, après avoir réussi son baccalauréat, avait fait une école de décors de théâtre à N._, qu'il avait terminée trois années plus tard. En outre, selon les indications de l'assuré dans sa demande de prestations du 17 novembre 2005, il aurait obtenu un diplôme avec la mention très bien. Il y a là des divergences par rapport aux indications du docteur C._ dans son certificat médical du 17 janvier 2008, selon lesquelles aucune des formations entreprises par le patient n'aurait abouti à un certificat.
3.5 Au regard du dossier, notamment du rapport du docteur F._ du 13 juillet 2007, la question du moment à partir duquel remonte l'incapacité de travail de l'intimé nécessite une instruction complémentaire. En effet, parmi les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail, l'expert F._ a mis en premier lieu un trouble dépressif récurrent (épisode actuel moyen), dont le premier épisode bien identifié se situe en 1999, et un trouble anxieux majeur très probablement déjà présent à l'adolescence, sans que l'on sache toutefois ce qu'il en était de l'incapacité de travail à cette époque et jusqu'en 1999.
Il convient dès lors d'annuler le jugement attaqué, la décision de l'office AI du 6 décembre 2007 et la décision de la caisse de compensation du 20 décembre 2007 et de renvoyer la cause à l'office AI pour instruction complémentaire dans le sens de ce qui précède et nouvelle décision.
3.6 En outre, on rappellera à l'office recourant, au regard des avis répétés de son service médical précisant qu'on pouvait exiger de l'intimé qu'il suive un traitement psychiatrique régulier et refasse un séjour clinique en vue d'un sevrage, qu'une injonction à de telles mesures n'est efficace, d'un point de vue juridique, que sous la forme de l'<ref-law>; sur ce point, la formulation de l'exposé des motifs de la décision du 6 décembre 2007 est indigente.
Enfin, au regard des avis répétés du médecin traitant de l'intimé sur le risque d'une utilisation par ce dernier contraire à ses intérêts de l'allocation du rétroactif de rentes, on rappellera de surcroît à l'office AI l'existence de l'<ref-law>.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimé, qui succombe (<ref-law>). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, du 19 août 2008, la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 6 décembre 2007 et la décision de la Caisse cantonale genevoise de compensation du 20 décembre 2007 sont annulés, la cause étant renvoyée à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, à l'Office fédéral des assurances sociales et à la Caisse cantonale genevoise de compensation.
Lucerne, le 6 août 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Le Greffier:
Borella Wagner