Sachverhalt:
A. A.a In einem Schreiben vom 30. November 1999 erklärten Z._ und seine Ehefrau Y._, der B._ AG in Zürich den Betrag von Fr. 294'047.73 zuzüglich Zins zu 5 % auf Fr. 260'000.-- ab 1. Januar 2001 solidarisch schuldig zu sein.
A.b Am 21. November 2007 schloss die B._ AG eine Vereinbarung mit X._. Danach erwarb dieser alle Aktiven der Gesellschaft und verpflichtete sich zur Übernahme ausgewählter Passiven und zur Bezahlung eines Kaufpreises.
B. B.a Gestützt auf die erwähnten beiden Urkunden betrieb X._ Z._ mit Zahlungsbefehl vom 21. Juli 2009 für den Betrag von Fr. 260'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Januar 2001 (Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes Thalwil). Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag. Darauf verlangte X._ provisorische Rechtsöffnung (Eingabe vom 25. September 2009). Mit Verfügung vom 7. Dezember 2009 erteilte ihm der Einzelrichter im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Horgen die provisorische Rechtsöffnung für Fr. 254'835.20 sowie für die beantragten Zinsen und Kosten.
B.b Mit Eingabe vom 31. Dezember 2009 klagte Z._ vor dem Bezirksgericht Horgen gegen X._ auf Aberkennung der Forderung. Ebenso erhob er am 11. Januar 2010 gegen den Rechtsöffnungsentscheid vom 7. Dezember 2009 Nichtigkeitsbeschwerde bei der III. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Diese hob die erstinstanzliche Verfügung vom 7. Dezember 2009 auf und wies das Rechtsöffnungsbegehren von X._ ab (Sitzungs-Erledigungsbeschluss vom 1. Juni 2010).
C. Mit Beschwerde vom 20. August 2010 gelangt X._ (fortan: Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid der III. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben und die Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung gemäss der Verfügung des Bezirksgerichts Horgen vom 7. Dezember 2009 zu bestätigen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht stellt der Beschwerdeführer das Begehren, das vorliegende Verfahren sei mit dem gleichentags beim Bundesgericht eingeleiteten Beschwerdeverfahren gegen Y._, der Ehefrau von Z._, (fortan: Beschwerdegegner), betreffend den entsprechenden Sitzungs-Erledigungsbeschluss der III. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 1. Juni 2010 zu vereinigen.
Mit Verfügung vom 23. August 2010 hat das Bundesgericht das Gesuch um Verfahrensvereinigung abgewiesen.
In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache (<ref-law>), deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach einzutreten.
1.2 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) mit freier Kognition. Hingegen legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann der Beschwerdeführer lediglich einwenden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). Überdies ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
1.3 Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft demnach nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, sie habe die in <ref-law> und Art. 164 f. OR enthaltenen Vorschriften nicht richtig angewendet. Er beanstandet, die III. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich habe das Vorliegen eines gültigen provisorischen Rechtsöffnungstitels zu Unrecht verneint, indem sie zum Schluss gekommen sei, die B._ AG habe ihm die Betreibungsforderung nicht rechtsgültig abgetreten.
2.1 Gemäss <ref-law> kann der Gläubiger die provisorische Rechtsöffnung verlangen, wenn die Forderung auf einer durch öffentliche Urkunde festgestellten oder durch Unterschrift bekräftigten Schuldanerkennung beruht; der Richter spricht die Rechtsöffnung aus, sofern der Betriebene nicht Einwendungen, welche die Schuldanerkennung entkräften, sofort glaubhaft macht. Das Rechtsöffnungsverfahren ist ein Urkundenprozess, dessen Ziel nicht darin besteht, den materiellen Bestand der in Betreibung gesetzten Forderung festzustellen, sondern darin, das Vorhandensein eines Vollstreckungstitels zu überprüfen. Entsprechend würdigt der Rechtsöffnungsrichter nur die Beweiskraft der vom Gläubiger vorgelegten Urkunde, nicht aber die Gültigkeit der Forderung an sich, und anerkennt die Vollstreckbarkeit des Titels, falls der Schuldner seine Einwendungen nicht unverzüglich glaubhaft macht (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 142). Die Frage, ob ein gültiger Rechtsöffnungstitel vorliegt, prüft der Rechtsöffnungsrichter allerdings von Amtes wegen (<ref-ruling> E. 2e S. 52). Eine Schuldanerkennung im Sinne von <ref-law> kann sich auch aus einer Gesamtheit von Urkunden ergeben, sofern die notwendigen Elemente daraus hervorgehen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 481 mit Hinweisen). Beruft sich der betreibende Gläubiger darauf, er habe die Forderung erst nach Ausstellung der Schuldanerkennung durch Abtretung erworben, so kann die provisorische Rechtsöffnung auch demjenigen erteilt werden, der die Stelle des in der Schuldanerkennung bezeichneten Gläubigers einnimmt (<ref-ruling> E. 1 S. 620; <ref-ruling> E. 3b S. 214). In diesem Fall setzt die Erteilung der Rechtsöffnung voraus, dass der neue Gläubiger den Übergang der Forderung durch eine Urkunde nachweist und die Zession als Bestandteil des Titels vorlegt (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 143 mit Hinweisen).
Ob eine in Betreibung gesetzte Forderung gültig durch Rechtsgeschäft abgetreten wurde, bestimmt sich nach dem Obligationenrecht. Die Verpflichtung zum Abschluss eines Abtretungsvertrages kann formlos begründet werden (<ref-law>). Hingegen bedarf die Abtretung selbst gemäss <ref-law> zu ihrer Gültigkeit der schriftlichen Form. Von dieser Schriftform müssen sämtliche Merkmale erfasst sein, welche die abgetretene Forderung für die betroffenen Dritten hinreichend individualisieren. Zwar genügt es, dass die Forderung bestimmbar ist. Trotzdem muss für einen unbeteiligten Dritten ohne Kenntnis der Umstände der Abtretung aus der Urkunde selbst ersichtlich sein, wem die Forderung zusteht. Insbesondere muss auch bei einer Mehrzahl zedierter Forderungen hinreichend klar erkennbar sein, ob eine bestimmte Forderung zu den abgetretenen gehört oder nicht (<ref-ruling> E. 4c S. 367 f.; 4C.81/2007 vom 10. Mai 2007 E. 4.1). Die erwähnten Grundsätze beziehen sich - entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint - nicht nur auf die Abtretung künftiger Forderungen, das heisst auf Forderungen, die erst nach der Abtretung entstehen. Vielmehr erläutert die zitierte Rechtsprechung die allgemeinen Anforderungen an die Erfüllung der Formvorschrift.
Ob eine in Betreibung gesetzte Forderung gültig durch Rechtsgeschäft abgetreten wurde, bestimmt sich nach dem Obligationenrecht. Die Verpflichtung zum Abschluss eines Abtretungsvertrages kann formlos begründet werden (<ref-law>). Hingegen bedarf die Abtretung selbst gemäss <ref-law> zu ihrer Gültigkeit der schriftlichen Form. Von dieser Schriftform müssen sämtliche Merkmale erfasst sein, welche die abgetretene Forderung für die betroffenen Dritten hinreichend individualisieren. Zwar genügt es, dass die Forderung bestimmbar ist. Trotzdem muss für einen unbeteiligten Dritten ohne Kenntnis der Umstände der Abtretung aus der Urkunde selbst ersichtlich sein, wem die Forderung zusteht. Insbesondere muss auch bei einer Mehrzahl zedierter Forderungen hinreichend klar erkennbar sein, ob eine bestimmte Forderung zu den abgetretenen gehört oder nicht (<ref-ruling> E. 4c S. 367 f.; 4C.81/2007 vom 10. Mai 2007 E. 4.1). Die erwähnten Grundsätze beziehen sich - entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint - nicht nur auf die Abtretung künftiger Forderungen, das heisst auf Forderungen, die erst nach der Abtretung entstehen. Vielmehr erläutert die zitierte Rechtsprechung die allgemeinen Anforderungen an die Erfüllung der Formvorschrift.
2.2 2.2.1 Als Nachweis dafür, dass die Betreibungsforderung auf ihn übergegangen ist, hat der Beschwerdeführer seine Vereinbarung mit der B._ AG vom 21. November 2007 vorgelegt. Nach den Feststellungen im angefochtenen Entscheid sind die Parteien in dieser Vereinbarung in Ziffer 2 übereingekommen, dass der Beschwerdeführer als Käufer "ausdrücklich alle Aktiven der Verkäuferin" erwirbt, "auch wenn diese in diesem Vertrag nicht einzeln aufgeführt" sind, und dass "die Bestimmbarkeit des Vertragsgegenstandes [...] durch die Bilanz per 30. September 2007 und die Geschäftsbücher der Verkäuferin sichergestellt" ist. Die beiden zuletzt erwähnten Dokumente, die nach dem Willen der Vertragsparteien der Bestimmbarkeit der Aktiven und damit allfälliger Forderungen dienen, sind nach den vorinstanzlichen Feststellungen jedoch nicht aktenkundig.
Nach Ansicht der Vorinstanz kommt in der Vereinbarung vom 21. November 2007 nicht genügend zum Ausdruck, dass nach dem Willen der Vertragsparteien von der Abtretung auch diejenige Forderung erfasst sein soll, welche der Beschwerdegegner in der Urkunde vom 30. November 1999 anerkannt hat. Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, aus der besagten Vereinbarung folge unmissverständlich, dass er alle Aktiven der B._ AG erworben habe; aufgrund der Formulierung "alle" sei offensichtlich, dass es keine einzige Forderung gebe, die von der Abtretung nicht erfasst sei.
2.2.2 Gemäss Ziffer 2 der Vereinbarung, die der Beschwerdeführer zum urkundlichen Nachweis der erfolgten Abtretung vorgelegt hat, erwirbt der Beschwerdeführer als Käufer "alle Aktiven der Verkäuferin" (E. 2.2.1). Dass zu den erworbenen "Aktiven" überhaupt (abtretbare) Forderungen zählen, geht aus dem Wortlaut dieser Vertragsklausel aber nicht hervor und kann auch nicht ohne Weiteres angenommen werden, nachdem der Beschwerdegegner Aberkennungsklage erhoben hat und den Bestand der in Betreibung gesetzten Forderung bestreitet. Auch die Abreden betreffend die "Gewährleistung" (Ziff. 5) und den "Vollzug dieses Vertrages" (Ziff. 6), in denen vom "freien und unbelasteten Eigentum an all ihren Aktiven" bzw. vom Übergang des "Eigentums an allen Aktiven der Gesellschaft" die Rede ist, lassen nicht den Schluss zu, von der behaupteten Abtretungserklärung der B._ AG sei in rechtsgenüglicher Weise auch die Forderung erfasst, welche der Beschwerdegegner in der Urkunde vom 30. November 1999 anerkannt hat.
Die Ausdrucksweise "alle Aktiven der Verkäuferin" kann allenfalls Aufschluss darüber geben, welche Forderungen die B._ AG abtreten wollte, nämlich alle ihre Forderungen. Aus der schriftlichen Abtretungserklärung betreffend eine unbestimmte Zahl bestehender Forderungen müsste sich - wenigstens im Sinne der Bestimmbarkeit - aber auch ergeben, welches die abgetretenen Forderungen sind, das heisst welche Forderungen im vorliegenden Fall zu "allen Aktiven" zählen, die der Beschwerdeführer erwirbt. Ob sich dies aus der Bilanz der B._ AG vom 30. September 2007 und aus ihren Geschäftsbüchern ergibt, auf welche die Parteien zur "Bestimmbarkeit des Vertragsgegenstandes" verweisen, muss indes offenbleiben. Zwar bilden gemäss Ziffer 13 der Vereinbarung vom 21. November 2007 sämtliche Anhänge "integrierenden Vertragsbestandteil". Der Beschwerdeführer hat im vorliegenden Urkundenprozess, in welchem der Rechtsöffnungsrichter lediglich das Vorhandensein eines Vollstreckungstitels zu überprüfen hat (E. 2.1), aber weder die erwähnten Dokumente vorgelegt (E. 2.2.1) noch irgendwelche anderen Unterlagen präsentiert, aus denen sich zusammen mit der Schuldanerkennung vom 30. November 1999 und der Vereinbarung vom 21. November 2007 ein zusammengesetzter provisorischer Rechtsöffnungstitel ergäbe. Allein anhand der vorgelegten Schriftstücke kann ein unbefangener Dritter, der von den konkreten Umständen keine Kenntnis hat, mithin nicht erkennen, welches die abgetretenen Forderungen sind, und somit auch nicht eruieren, ob die Schuldanerkennung vom 30. November 1999, auf die sich der Beschwerdeführer zum Nachweis der in Betreibung gesetzten Forderung beruft, mit dem "Erwerb aller Aktiven" in einem konkreten Zusammenhang steht.
Im Ergebnis hält die vorinstanzliche Beurteilung der Rechtslage vor Bundesrecht stand. Die Urkunde, die der Beschwerdeführer im Rechtsöffnungsverfahren vorlegt, taugt nicht als schriftliche Abtretungserklärung im Sinne von <ref-law> zum Nachweis dafür, dass ihm die in Betreibungs gesetzte Forderung tatsächtlich von der B._ AG abgetreten wurde.
2.3 Zum Nachweis, dass er die Betreibungsforderung abgetreten erhalten hat, beruft sich der Beschwerdeführer weiter auf zwei Schreiben des Konkursamtes Zürich (Altstadt) vom 9. März und 20. August 2010. Im Sinne einer Eventualbegründung macht er geltend, gemäss diesen Schreiben seien sämtliche Aktiven der konkursiten B._ AG, mithin auch die Schuldanerkennung des Beschwerdegegners, an ihn abgetreten worden. Nachdem das Konkursamt Zürich (Altstadt) seit der Eröffnung des Konkurses über die B._ AG die Verfügungsgewalt über das Vermögen dieser Gesellschaft gehabt habe, seien diese beiden Schriftstücke zusammen als rechtsgültige Abtretungserklärung zu betrachten. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung könne die Rechtsöffnung auch dann gewährt werden, wenn der Gläubiger die Forderung erst nach Anhebung der Betreibung erworben hat.
2.3.1 Soweit sich der Beschwerdeführer auf das Schreiben vom 20. August 2010 beruft, kann er vor Bundesgericht nicht gehört werden. Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Das Vorbringen von Tatsachen oder Beweismitteln, die sich zwar auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid zutage getreten oder entstanden sind (sog. "echte" Noven), kann aber von vornherein nicht durch das weitergezogene Urteil veranlasst worden sein und ist im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.; Urteil 2C_94/2009 vom 16. Juni 2009 E. 2.2). Daraus folgt, dass das besagte Schreiben, das erst nach dem vorinstanzlichen Entscheid entstanden ist, vom Bundesgericht nicht als Beweismittel berücksichtigt werden kann.
2.3.2 Aber auch aus dem Schreiben des Konkursamtes Zürich (Altstadt) vom 9. März 2010, auf das sich der Beschwerdeführer schon in seiner Beschwerdeantwort an das Obergericht des Kantons Zürich berufen hat, lässt sich keine selbständige schriftliche Abtretungserklärung herleiten, die als urkundlicher Nachweis für den Erwerb der Betreibungsforderung durch den Beschwerdeführer taugt. Das Konkursamt selbst bringt in diesem Schreiben die - unzutreffende (E. 2.2.2) - Ansicht zum Ausdruck, das Verfügungsrecht über die Aktiven der B._ AG sei mit Unterzeichnung der Vereinbarung vom 21. November 2007 auf den Beschwerdeführer übergegangen, weshalb es "keiner weiteren Rechtshandlungen seitens der Konkursverwaltung bedurfte". Steht aber nach dem klaren Wortlaut dieses Schreibens fest, dass das Konkursamt Zürich (Altstadt) sein eigenes Schreiben als eine blosse Bestätigung der Vereinbarung vom 21. November 2007 auffasst, so würde es dem erklärten ausdrücklichen Willen der Behörde offensichtlich widersprechen, diesem Schreiben trotzdem eine rechtsgeschäftliche Wirkung zu verleihen und daraus eine selbständige Abtretungserklärung herzuleiten. Auch in inhaltlicher Hinsicht geht das Schreiben des Konkursamtes nicht über die Vereinbarung zwischen dem Beschwerdeführer und der B._ AG vom 21. November 2007 hinaus. Aus dem Hinweis, dass "im Zuge des Vollzugs dieser Vereinbarung sämtliche Aktiven und somit auch alle Forderungen ... an Herrn X._ übergegangen sind", ergibt sich nach dem Gesagten (E. 2.2.2) nicht in einer für einen unbefangenen Dritten erkennbaren Weise, dass auch die Betreibungsforderung zu den - vermeintlich - abgetretenen Forderungen gehört. Mit anderen Worten vermag das Schreiben des Konkursamtes Zürich (Altstadt) vom 9. März 2010 die Dokumente, die der Beschwerdeführer zur Bestimmbarkeit der angeblich zedierten Forderungen zusätzlich zur Vereinbarung vom 21. November 2007 hätte vorlegen müssen, nicht zu ersetzen.
2.4 Im Ergebnis hat der Beschwerdeführer keine Urkunden vorgelegt, die zum Nachweis dafür taugen, dass die Betreibungsforderung, welche der Beschwerdegegner gegenüber der B._ AG anerkannt hat, von dieser Aktiengesellschaft durch Abtretung auf ihn übergegangen ist. Es fehlt somit an einem gültigen Rechtsöffnungstitel (E. 2.1). Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. November 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn