Diritto :
1.- Nei considerandi dell'impugnato giudizio l'autorità di ricorso cantonale ha debitamente illustrato le norme legali ed i principi di giurisprudenza applicabili in concreto, facendo particolare accenno all'ordinamento disciplinante i presupposti di un nesso di causalità naturale ed adeguata. A detta esposizione può pertanto essere fatto riferimento e prestata adesione.
2.- La X._ ed i giudici di prime cure hanno negato a B._ il diritto a prestazioni assicurative a partire dal 1° settembre 1999, ritenendo che tra l'evento infortunistico del 14 aprile 1999 ed il disturbo vertebrale di cui soffre l'assicurato non era dato un nesso di causalità naturale secondo il principio della probabilità preponderante (cfr. RAMI 2000 no. U 379 pag. 193 consid. 2a).
a) Alla luce dei molteplici accertamenti medici specialistici, segnatamente delle circostanziate relazioni stilate dal dott. S._ in data 1° ottobre 1999, 8 febbraio 2000 e 25 aprile 2001, tale conclusione risulta attendibile e convincente. Considerato in particolare che in tali referti il dott. S._ ha accertato poter essere ritenuta la responsabilità dell'assicuratrice LAINF per l'evento traumatico subito dall'interessato per non oltre il 1° settembre 1999, mentre al di là di tale data l'incapacità lavorativa doveva essere attribuita a conseguenze imputabili a malattia, a ragione la Corte cantonale ha concluso che il gravame dell'assicurato non poteva che essere respinto.
b) A mente del ricorrente, l'esistenza del nesso di causalità naturale tra i menzionati elementi dovrebbe invece essere ammessa. Fonda le proprie censure segnatamente sul fatto che il dott. L._ (relazione del 13 dicembre 1999) aveva ritenuto dover essere riconosciuta nell'infortunio una concausa valida ed efficiente del danno vertebrale lamentato a partire dal 14 aprile 1999. Da un altro lato, anche il dott. K._ avrebbe attestato, il 21 febbraio 2001, che si sarebbe dovuto riesaminare in modo approfondito il tema del nesso di causalità naturale.
Ora, i menzionati pareri non risultano convincenti. In effetti, come lo hanno posto in rilievo i giudici di prime cure, visto il carattere particolarmente circostanziato e fondato sulla dottrina medica dominante della disamina eseguita del dott. S._ in data 25 aprile 2001, ben si doveva considerare accertato che a partire dal 1° settembre 1999 difettava il nesso di causalità naturale tra l'infortunio assicurato ed il danno alla salute di cui B._ è portatore.
c) Dalle suesposte considerazioni emerge che il ricorrente non perviene a mettere in forse, con argomenti attendibili e convincenti, le conclusioni cui è giunta la Corte cantonale. L'esistenza di un nesso di causalità naturale tra l'infortunio e la lamenta affezione dovendo pertanto essere negata, il ricorso di B._ si appalesa infondato, mentre l'impugnato giudizio e la decisione da esso protetta vanno confermati.
3.- In conformità all'art. 159 cpv. 2 in relazione con l'art. 135 OG, non si assegnano ripetibili alla X._, poiché esso istituto, conformemente alla giurisprudenza, è equiparato a organismo con compiti di diritto pubblico (<ref-ruling> consid. 7, 112 V 49 consid. 3 e rinvii).

Per questi motivi, il Tribunale federale delle assicurazioni
pronuncia :
I.Il ricorso di diritto amministrativo è respinto.
II.Non si percepiscono spese giudiziarie né si assegnano
ripetibili.
III.La presente sentenza sarà intimata alle parti, al
Tribunale cantonale delle assicurazioni, Lugano, e
all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.