Sachverhalt:
A. Der 1975 geborene E._ erlitt am 29. März 2003 als Lenker eines Lieferwagens einen Autounfall mit seitlich-frontaler Kollision, als ein anderer Autolenker ihm den Vortritt verweigerte. Als Bezüger von Taggeldleistungen der Arbeitslosenversicherung war er bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) versichert, welche für die Heilbehandlung aufkam. Bei der am Unfalltag im Spital X._ ambulant durchgeführten Untersuchung berichtete der Versicherte über etwas Schwindel, aber kaum Schmerzen in der Halswirbelsäule (HWS). Die Ärzte stellten an der HWS einen paravertebralen Hartspann mit leicht eingeschränkter Extension fest, bei sonst in alle Richtungen normalen und schmerzfrei durchführbaren Bewegungen. Sie diagnostizierten ein Distorsionstrauma der HWS. Unter Hinweis auf die geringen Beschwerden und die unauffällige Beweglichkeit der HWS verzichteten sie auf Röntgenaufnahmen. Eine Arbeitsunfähigkeit wurde nicht attestiert. Von Mitte April bis Mitte Oktober 2003 absolvierte der Versicherte ein Praktikum in einem Therapieheim für Suchtkranke, bevor er wieder arbeitslos wurde. Der Hausarzt Dr. med. W._ verordnete eine physiotherapeutisch/ osteopathische Behandlung. Zudem äusserte er den Verdacht auf posttraumatische Belastungsstörung bei zusätzlicher psychischer Belastung und ersuchte die SUVA mit Schreiben vom 22. Oktober 2003 um Kostengutsprache für eine psychotherapeutische Behandlung. Diese veranlasste daraufhin eine spezialärztliche Abklärung durch den Neurologen Dr. med. S._, welcher Röntgen-, CT- und MRI-Untersuchungen in die Wege leitete und gemäss Bericht vom 7. Juli 2004 die Diagnosen Distorsionstrauma der HWS mit persistierenden Nackenschmerzen, Dysfunktion der HWS, posttraumatische Belastungsstörung, Verdacht auf Defizite der kognitiven Funktionen und inadäquate Verarbeitung der Unfallfolgen stellte. Daraufhin holte die SUVA die biomechanische Beurteilung vom 6. September 2004 ein und liess den Versicherten am 18. Oktober 2004 durch Kreisarzt-Stellvertreter Dr. med. M._ untersuchen. Überdies zog sie den Bericht von Frau lic. phil. A._, Psychologin FSP, vom 9. Mai 2005 bei. Mit Verfügung vom 21. Juni 2005 stellte sie die bisher erbrachten gesetzlichen Leistungen mit Wirkung ab 30. Juni 2005 ein, weil der adäquate Kausalzusammenhang der noch geklagten Beschwerden zum versicherten Unfallereignis nicht gegeben sei. Da der Unfall die Erwerbsfähigkeit nicht messbar beeinträchtigt habe und keine unfallbedingte bleibende Schädigung der körperlichen oder geistigen Integrität resultiere, verneinte sie auch einen Anspruch auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung. Daran hielt sie auf Einsprache hin mit Einspracheentscheid vom 11. August 2005 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht (Versicherungsgericht) des Kantons Nidwalden mit Entscheid vom 19. Juni 2006 gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur ergänzenden Abklärung im Sinne der Erwägungen (Einholung eines neuropsychologischen Gutachtens) und zur Neuverfügung an die SUVA zurück.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die SUVA Aufhebung des kantonalen Entscheids.
Während E._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Die Vorinstanz hat die Bestimmung über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (<ref-law>) und die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und dem anspruchsbegründenden Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.3 S. 406, 119 V 335 E. 1 S. 337, 118 V 286 E. 1b S. 289, je mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Streitig und zu prüfen ist zunächst, ob der medizinische Sachverhalt von der SUVA rechtsgenüglich festgestellt worden ist, oder ob es einer zusätzlichen neuropsychologischen Untersuchung bedarf, wovon Vorinstanz und Beschwerdegegner ausgehen.
3.1 Das kantonale Gericht hat in diesem Zusammenhang erwogen, auch neuropsychologische Defizite gehörten zum typischen Beschwerdebild nach einem HWS-Schleudertrauma. Sowohl Dr. med. S._ wie auch Dr. med. M._ hätten entsprechende Funktionsstörungen nicht ausgeschlossen und diesbezüglich ergänzende Abklärungen befürwortet, welche bisher gestützt auf eine anderslautende Beurteilung von Frau lic. phil. A._ von der SUVA nicht veranlasst worden seien. Aufgrund der vom Versicherten erwähnten kognitiven Störungen in Form von Konzentrationsschwäche, verminderter Leistungsfähigkeit des Kurzzeitgedächtnisses und Angstzuständen sei jedoch ein neuropsychologisches Gutachten einzuholen, bevor über die Unfallkausalität befunden werden könne.
3.2 Die Beschwerde führende SUVA stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, der Versicherte habe zwar im Frühjahr 2004 über neuropsychologische Beschwerden geklagt, doch seien diese längst nicht mehr vorhanden. Überdies habe nie eine Arbeitsunfähigkeit bestanden und auch die Heilbehandlung habe abgeschlossen werden können. Es lägen keine Dauerbeeinträchtigungen vor, für welche die Kausalitätsfrage zu prüfen wäre. Falls trotzdem von einem typischen Beschwerdebild nach Schleudertrauma der HWS auszugehen sei, müsste in jedem Fall die Adäquanz des Kausalzusammenhangs sowohl nach den Kriterien gemäss <ref-ruling> wie auch nach der Praxis gemäss <ref-ruling> verneint werden.
4. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz verletzte die Beschwerdeführerin die Offizialmaxime (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) nicht, wenn sie von der beantragten Einholung eines neuropsychologischen Gutachtens absah, denn zusätzliche medizinische Abklärungen drängten sich zum Zeitpunkt des Einspracheentscheids nicht auf, nachdem den Akten keine Anhaltspunkte für neuropsychologische Funktionsstörungen von erheblichem Gewicht zu entnehmen waren. Im Rahmen der am 31. März und 8. April 2004 von Dr. med. S._ durchgeführten neurologischen Untersuchungen gab der Versicherte an, seit den beiden Unfällen (nicht bei der SUVA versicherter Snowboardunfall vom 25. Februar 2002 und versicherter Autounfall vom 29. März 2003) hätten sich Defizite der kognitiven Funktionen bemerkbar gemacht, wobei insbesondere das Kurzzeitgedächtnis und das Konzentrationsvermögen beeinträchtigt seien. Der Neurologe vermerkte dazu, dass bei Persistenz der intellektuellen Minderleistungen eine umfassende neuropsychologische Untersuchung durchgeführt werden sollte. Frau lic. phil. A._, bei welcher der Beschwerdegegner seit Mitte Oktober 2004 in psychotherapeutischer Behandlung stand, führte im Bericht vom 9. Mai 2005 aus, der Versicherte habe zwar zu Beginn der Therapie über eine verminderte Konzentrationsfähigkeit geklagt, welche in den Therapiestunden jedoch nicht habe beobachtet werden können. Im Herbst 2004 habe er eine Ausbildung zum Sozialpädagogen begonnen, die neue Anforderungen intellektueller Art an ihn gestellt und ihn unter Leistungsdruck gebracht habe. Er habe sich aber gut an die Situation gewöhnt und seither nie mehr Konzentrationsschwierigkeiten geäussert. Mangels Vorliegens kognitiver Defizite sei keine Indikation für neurologische Abklärungen gegeben. Diese Auffassung teilte in der Folge auch der Kreisarzt der SUVA. Nachdem von den mit dem Versicherten befassten Spezialisten keine relevanten neurologischen Befunde erhoben wurden, hält die vorinstanzliche Rückweisung der Sache an die SUVA zwecks Einholung einer neuropsychologischen Begutachtung nicht stand.
5. 5.1 Das kantonale Gericht hat weiter erwogen, sämtliche Ärzte hätten eine HWS-Distorsion diagnostiziert, und der Versicherte habe über die dafür typischen Beschwerden geklagt. Dr. med. S._ habe die geschilderten Beschwerden und die erhobenen Befunde als in kausalem Zusammenhang mit den zwei erlittenen Unfällen stehend bezeichnet. Eine Dysfunktion der HWS, welche mittels bildgebendem Verfahren habe nachgewiesen werden können, sei mit grösster Wahrscheinlichkeit organischen Ursprungs. Ob diese durch den ersten oder durch den zweiten Unfall verursacht worden sei, bleibe dahingestellt.
5.2 Auf eine nähere Prüfung der natürlichen Kausalität kann nur dann mit der Begründung verzichtet werden, es fehle jedenfalls an einem adäquaten Kausalzusammenhang (zu diesem Vorgehen allgemein SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c S. 68, U 183/93), wenn die zur Diskussion stehenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen organisch nicht (hinreichend) nachgewiesen werden können. Gehen dagegen die für den Anspruch auf Versicherungsleistungen relevanten Symptome auf Schädigungen zurück, welche sich mit bildgebenden Verfahren objektivieren lassen, kommt der adäquaten Kausalität praktisch keine zusätzliche Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103).
5.3 Dr. med. S._ fand gemäss Bericht vom 7. Juli 2004 bei der klinischen Untersuchung kein signifikantes Zervikalsyndrom. Lediglich die Reklination war eingeschränkt, während die Beweglichkeit der HWS in die übrigen Richtungen im Normbereich lag. Die bildgebende Funktionsdiagnostik weise auf einen eingeschränkten sagittalen Bewegungsumfang der HWS und damit auf eine Dysfunktion der HWS hin. Die geschilderten Beschwerden und erhobenen Befunde stünden in kausalem Zusammenhang mit den erlittenen Unfällen. Der Versicherte habe sich von den Folgen des ersten Unfalls noch nicht erholt gehabt, als sich die Frontalkollision ereignet habe. Die Dysfunktion der HWS, welche mittels bildgebendem Verfahren habe nachgewiesen werden können, sei mit grösster Wahrscheinlichkeit organischen Ursprungs. Ob diese durch den ersten oder den zweiten Unfall verursacht worden sei, bleibe dahingestellt.
5.4 Im Zeitpunkt der Untersuchung durch Kreisarzt-Stellvertreter Dr. med. M._ vom 18. Oktober 2004 erklärte der Beschwerdegegner, die Beschwerden im Bereich des Nackens seien nicht konstant vorhanden und würden besonders bei der Reklination auftreten. Dr. med. M._ hielt dazu fest, radiologisch sei kein wesentlicher posttraumatischer Befund erhoben worden. Die bildgebende Untersuchung vom Mai 2004 habe keinen Nachweis einer eindeutigen posttraumatischen discoligamentären Läsion, keine funktions-/stellungsabhängigen Discopathien, keine relevante ossäre oder discoligamentäre Einengung des Spinalkanals und der Neuroforamina ergeben. Aus klinisch-orthopädischer Sicht sei der Versicherte voll arbeitsfähig. Gemäss Bericht des Instituts für Radiologie am Paraplegikerzentrum Y._ vom 29. Mai 2004 zeigte sich eine diskrete Osteochondrosis intervertebralis C4/C5 und C5/C6 mit diskreten Unkovertebralarthrosen. Es konnten keine das normale Altersmass übersteigenden degenerativen Veränderungen und keine erkennbaren ossären Läsionen festgestellt werden. Der Beschwerdegegner sagte Frau lic. phil. A._, in Stresssituationen leide er immer noch verstärkt an Nackenschmerzen (Bericht vom 9. Mai 2005).
5.5 Bereits im Februar 2002 hatte der Beschwerdegegner einen Unfall erlitten, als er beim Snowboardfahren nach hinten stürzte und mit dem Hinterkopf gegen den Boden aufschlug. Für dieses Unfallereignis erbrachte die Schweizerische Mobiliar Versicherungsgesellschaft die gesetzlichen Leistungen. Gemäss Bericht des Dr. med. T._ vom 30. Januar 2003 an die Mobiliar erlitt der Versicherte damals ein Distorsionstrauma der HWS. Bei der Konsultation vom 20. Dezember 2002 nannte der Versicherte eine Versteifung des Nackens, Schwindelgefühl, Gleichgewichtsstörungen und leichte Kopfschmerzen, mit Verstärkung der Beschwerden bei Bewegungen der HWS und bei Stresssituationen. Bei der Untersuchung war die HWS druckdolent und die Beweglichkeit eingeschränkt. Der Versicherte gab an, dass es beim Skifahren am 4. Dezember 2002 zu einer deutlichen Schmerzexazerbation und vermehrten Bewegungsschmerzen im Nackenbereich gekommen sei. Dr. med. S._ sagte er, im Zeitpunkt des Verkehrsunfalls vom 29. März 2003 hätten die beim Snowboardunfall zugezogenen Beschwerden persistiert. Die Veränderungen der HWS wurden somit nicht erst zufolge des bei der SUVA versicherten Autounfalls vom 29. März 2003 schmerzhaft.
5.6 Hat ein Unfall zu einer namhaften Verschlechterung vorbestandener Beschwerden geführt, hat der Unfallversicherer nur so lange für die Folgen einzustehen, bis dieser nicht mehr die natürliche und adäquate Ursache der vorhandenen Beschwerden darstellt, wenn also Letzterer nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Dies trifft zu wenn entweder der Gesundheitszustand, wie er unmittelbar vor dem Unfall bestanden hat (status quo ante), oder aber derjenige Zustand, wie er sich nach dem schicksalsmässigen Verlauf eines (krankhaften) Vorzustandes auch ohne Unfall früher oder später eingestellt hätte (status quo sine), erreicht ist. Das Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens muss mit dem im Sozialversicherungsrecht allgemein erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt sein.
5.7 Mit Bezug auf den hier zur Diskussion stehenden Unfall vom 29. März 2003 ist aufgrund eines Vergleichs des gesundheitlichen Zustandes, wie er in den kurz zuvor ergangenen medizinischen Unterlagen beschrieben wurde (Bericht des Dr. med. T._ vom 30. Januar 2003) und wie er sich nachher bis zum massgebenden Zeitpunkt des Erlasses des Einspracheentscheids vom 11. August 2005 zeigte, davon auszugehen, dass mit überwiegender Wahrscheinlichkeit der Vorzustand wieder erreicht war.
6. 6.1 Der Unfall vom 29. März 2003 war grundsätzlich geeignet, eine dem Schleudertrauma äquivalente Verletzung hervorzurufen. Dr. med. S._ und Kreisarzt-Stellvertreter Dr. med. M._ diagnostizierten denn auch eine Distorsion der HWS. Nach dem Unfall traten Nackenbeschwerden und Schwindel auf. Im weiteren Verlauf berichtete der Versicherte über zusätzliche Elemente des so genannten typischen Beschwerdebildes (dazu <ref-ruling> E. 1 S. 338), insbesondere Konzentrationsstörungen und Kopfschmerzen.
6.2 Aufgrund der Angaben des Versicherten über Angstzustände beim Autofahren und als Fussgänger wies Dr. med. S._ darauf hin, dass die Unfallfolgen vermutlich nicht adäquat verarbeitet worden seien und erachtete eine psychiatrische Exploration für angezeigt (Bericht vom 7. Juli 2004). Dr. med. W._ hatte aus demselben Grund bereits am 22. Oktober 2003 Kostengutsprache für eine psychotherapeutische Behandlung beantragt. Laut Frau lic. phil. A._ (Bericht vom 9. Mai 2005) standen bei der Behandlung Probleme einer Mehrfachbelastung infolge erhöhter Anforderungen beruflicher und familiärer Art, die erhöhte Empfindlichkeit im Strassenverkehr nach zwei kurz aufeinander erfolgten Unfällen und die Bewältigung der teilweise auf den zweiten Unfall zurückzuführenden Paarproblematik im Vordergrund. Eine posttraumatische Belastungsstörung konnte sie in keiner Phase der Therapie feststellen. Es liege lediglich eine leichte Anpassungsstörung vor, welche auf dem Hintergrund der bestehenden Mehrfachbelastung zu sehen sei. Anhaltspunkte für eine erhebliche psychisch begründete Symptomatik bestehen somit nicht.
6.3 Ob organisch nicht (hinreichend) nachweisbare Beschwerden in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 29. März 2003 stehen, braucht nicht abschliessend beurteilt zu werden. Denn selbst wenn der natürliche Kausalzusammenhang zu bejahen wäre, könnte eine Leistungspflicht mangels Adäquanz nicht bejaht werden, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
7. 7.1 Ob der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis vom 29. März 2003 und organisch nicht erklärbaren Beschwerden nach <ref-ruling> zu prüfen ist oder aber nach <ref-ruling>, wie dies die SUVA im Einspracheentscheid vom 11. August 2005 getan hat, kann offen bleiben, wenn die Adäquanz nach beiden Varianten zu verneinen ist. Dies trifft hier zu.
7.2 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv fassbare) Unfallereignis anzuknüpfen (<ref-ruling> E. 6a S. 366 f., 115 V 133 E. 6 S. 139). Die SUVA hat das Vorkommnis vom 29. März 2003 als mittelschweren Unfall eingeordnet. Dem ist aufgrund des Unfallablaufs, wie er in den polizeilichen Unterlagen dargestellt ist, beizupflichten. Danach beachtete ein nicht vortrittsberechtigter Personenwagen den vom Beschwerdegegner gelenkten Lieferwagen nicht, so dass es zu einer heftigen seitlich-frontalen Kollision kam. Gemäss eigenen Angaben stieg der Versicherte nach dem Zusammenstoss sofort aus, um der Insassin des anderen Autos zu helfen. Von den weiteren objektiv fassbaren und unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehenden oder als Folge davon erscheinenden Umständen, welche als massgebende Kriterien in die Gesamtwürdigung einzubeziehen sind (<ref-ruling> E. 6a S. 367, 115 V 133 E. 6c/aa S. 140), müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter und auffallender Weise gegeben sein (<ref-ruling> E. 6b S. 367, 115 V 133 E. 6c/bb S. 140).
7.3 Besonders dramatische Begleitumstände oder eine besondere Eindrücklichkeit des Unfalls sind zu verneinen. Der Versicherte hat keine schweren oder besonders gearteten Verletzungen erlitten. Von einer ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hat, kann ebenso wenig gesprochen werden wie von einem schwierigen Heilungsverlauf und erheblichen Komplikationen. Nicht erfüllt ist auch das Kriterium der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung. Gemäss Dr. med. W._ konnte die Behandlung bei ihm am 13. Mai 2003 abgeschlossen werden. Es folgte Psychotherapie von Oktober 2004 bis Mai 2005. Von Dauerbeschwerden kann nicht gesprochen werden. Eine Arbeitsunfähigkeit bestand nicht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Nidwalden, Abteilung Versicherungsgericht, vom 19. Juni 2006 aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden, Abteilung Versicherungsgericht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Die Gerichtsschreiberin:
Widmer Hofer