Sachverhalt:
A. Y._ ist Eigentümer des Grundstücks Nr. 1 in der Gemeinde C._, X._ Eigentümerin des östlich angrenzenden Grundstücks Nr. 2. Die beiden Grundstücke werden durch ein Fuss- und Fahrwegrecht erschlossen, das auf dem östlich des Grundstücks Nr. 1 und südlich des Grundstücks Nr. 2 gelegenen (Strassen-)Grundstück Nr. 3 lastet. Das Grundstück von Y._ verfügt über einen Fahrweg, dasjenige von X._ über einen steilen Fussweg.
Im Jahre 2003 kaufte Y._ 190 m2 des Grundstücks Nr. 3 und schlug sie seinem Grundstück zu. Das auf dem ganzen Grundstück Nr. 3 (unter anderem zu Gunsten des Grundstücks von X._) lastende Fuss- und Fahrwegrecht wurde dabei als Last auf die (um 190 m2 erweiterte) Parzelle Y._s übertragen.
Y._ verlangte in der Folge gestützt auf <ref-law> die Löschung des Fuss- und Fahrwegrechts auf seinem Grundstück. Das Grundbuchamt A._ gab dem Begehren statt und löschte die zu Gunsten des Grundstücks von X._ eingetragene Dienstbarkeit wegen gänzlichen Wegfalls des Interesses.
B. Mit Eingabe vom 9. Oktober 2006 erhob X._ beim Amtsgericht A._ Klage gegen Y._ und beantragte, das Grundbuchamt A._ habe das mit Verfügung vom 27. Juni 2006 gelöschte Fuss- und Fahrwegrecht erneut einzutragen (Begehren Ziffer 1) und sie sei unter Vorbehalt der öffentlich-rechtlichen Bewilligung berechtigt zu erklären, auf dem Grundstück Nr. 1 von Y._ eine Erschliessungsstrasse gemäss dem der Klage beigelegten Plan vom 5. Juli 2006 zu erstellen (Begehren Ziffer 2). Nach diesem Plan sollte die Strasse ausschliesslich auf dem Teil angelegt werden, der früher zum Grundstück Nr. 3 gehört hatte.
Das Amtsgericht A._ hiess die Klage am 6. Juni 2007 insoweit gut, als es feststellte, dass die Dienstbarkeit zu Unrecht gelöscht worden sei, und X._ ermächtigte, das Fuss- und Fahrwegrecht wieder eintragen zu lassen. Bezüglich der verlangten Ermächtigung zum Bau einer Erschliessungsstrasse wies es die Klage hingegen ab.
X._ appellierte an das Obergericht des Kantons Luzern, worauf Y._ Anschlussappellation erhob.
Mit Urteil vom 29. Februar 2008 bestätigte das Obergericht (I. Kammer) den erstinstanzlichen Entscheid.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 21. April 2008 verlangt X._, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und sie unter Vorbehalt öffentlich-rechtlicher Bewilligungen zur Erstellung der strittigen Erschliessungsstrasse berechtigt zu erklären; allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Y._ (Beschwerdegegner) beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten; allenfalls sei sie abzuweisen. Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. Angefochten ist der Entscheid der letzten kantonalen Instanz in einer Dienstbarkeitsstreitigkeit, d.h. in einer Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur (BGE 54 II 51 f.). Für eine solche steht in einem Fall der vorliegenden Art die Beschwerde in Zivilsachen nur offen, wenn der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (<ref-law>). Trotz der Bestimmung von <ref-law> fehlt im angefochtenen Entscheid die Angabe des Streitwertes. Das Bundesgericht hat diesen deshalb nach Ermessen festzusetzen (<ref-law>). In Anbetracht des Interesses der Beschwerdeführerin an der angestrebten Verbesserung des Zugangs zu ihrem - heute lediglich durch einen steilen Fussweg erschlossenen Haus - ist davon auszugehen, dass der erforderliche Streitwert erreicht ist. Aus dieser Sicht ist auf die Beschwerde daher ohne weiteres einzutreten.
2. 2.1 Nach <ref-law> haben kantonale Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, das (vollständige) Dispositiv zu enthalten. Im Dispositiv des angefochtenen Entscheids ist die Abweisung des den Bau einer Erschliessungsstrasse betreffenden Klagebegehrens nicht erwähnt. Indessen geht dieser Teil des obergerichtlichen Entscheids aus den Urteilserwägungen (insbes. E. 5.4 und 6) eindeutig hervor. Den Ausgang des Appellationsverfahrens hat die Beschwerdeführerin denn auch im angeführten Sinne verstanden. Für eine Rückweisung der Sache zur Ergänzung des Dispositivs (<ref-law>) besteht unter den dargelegten Umständen kein Anlass.
2.2 Die Aufhebung der Löschung der Dienstbarkeit bzw. die Ermächtigung zu deren Wiedereintragung blieb unangefochten. In diesem Punkt ist das obergerichtliche Urteil in Rechtskraft erwachsen. Strittig ist somit einzig das Klagebegehren Ziffer 2 der Beschwerdeführerin, in Ausübung des Fuss- und Fahrwegrechts die geplante Erschliessungsstrasse zu ihrem Haus erstellen zu dürfen.
3. Für die Ermittlung von Inhalt und Umfang einer Dienstbarkeit gibt <ref-law> eine Stufenordnung vor. Ausgangspunkt ist der Grundbucheintrag. Soweit sich Rechte und Pflichten aus dem Eintrag deutlich ergeben, ist dieser massgebend (<ref-law>). Nur wenn sein Wortlaut unklar ist, darf im Rahmen des Eintrags auf den Erwerbsgrund zurückgegriffen werden (<ref-law>), d.h. auf den Begründungsakt, der als Beleg beim Grundbuchamt aufbewahrt wird (<ref-law>) und einen Bestandteil des Grundbuchs bildet (<ref-law>). Ist auch der Erwerbsgrund nicht schlüssig, kann sich der Inhalt der Dienstbarkeit - im Rahmen des Eintrags - aus der Art ergeben, wie sie während längerer Zeit unangefochten und in gutem Glauben ausgeübt worden ist (<ref-law>)(<ref-ruling> E. 1.1 S. 347 mit Hinweisen; dazu auch <ref-ruling> E. 8 S. 655).
4. Den Anspruch auf Errichtung einer Erschliessungsstrasse zu ihrem Haus leitet die Beschwerdeführerin aus dem von den Rechtsvorgängern der Parteien im Jahre 1977 abgeschlossenen Kaufvertrag ab, dessen Ziffer 5 der "Vertragsbestimmungen" folgenden Wortlaut hat:
"Im Grundbuch ist zu Lasten Nr. 3 (Zufahrtsstrasse) und zu Gunsten Nr. 1, 2, 4, 5 und Restgrundstück Nr. 6 ein unbeschränktes Fuss- und Fahrwegrecht einzutragen, mit anteilsmässiger Unterhaltspflicht im Verhältnis der Fläche der berechtigten Grundstücke."
Das Obergericht weist darauf hin, dass sich heute nicht mehr die ursprünglichen Vertragsparteien gegenüberstünden. Es sei deshalb der Errichtungsakt normativ, d.h. nach dem Vertrauensgrundsatz so auszulegen, wie er nach seinem Wortlaut und Zusammenhang sowie namentlich aufgrund der Bedürfnisse des herrschenden Grundstücks und mit Rücksicht auf Sinn und Zweck der Dienstbarkeit unter Berücksichtigung der Zeit ihrer Errichtung habe verstanden werden dürfen und müssen. Weder eine Expertise noch ein Augenschein würden dabei weiterhelfen. Den Wortlaut der fraglichen Vertragsbestimmung hält die Vorinstanz für unklar, lasse sich ihm doch nicht entnehmen, was unbeschränkt sei. In Betracht kämen beispielsweise die Art der Fahrzeuge der zeitliche und zahlenmässige Umfang der Wegbenützung und die benützbare Grundstückfläche. Die Verbreiterung der Zufahrtsstrasse auf der Höhe des Grundstücks der Beschwerdeführerin im Rahmen der Parzellierung des Strassengrundstücks Nr. 3 anfangs 1977 spreche nicht zwingend für die von der Beschwerdeführerin vertretene Auffassung, schon damals sei eine Erschliessungsstrasse im Sinne der heutigen Planung ins Auge gefasst worden. Bei der D._-Strasse habe es sich immer um eine Sackstrasse gehandelt. Die Verbreiterung an deren Ende habe deshalb ebenso gut dazu dienen können, einen Wendeplatz zu schaffen. Bei Begründung der Dienstbarkeit seien weder das Grundstück Nr. 1 noch das Grundstück Nr. 2 überbaut gewesen. Dass bereits im Zeitpunkt der Strassenparzellierung anfangs 1977 festgestanden hätte, das Einfamilienhaus der Beschwerdeführerin werde 4 bis 5 Meter über dem Niveau der Zufahrtsstrasse zu stehen kommen, sei aus den Akten nicht ersichtlich und werde auch nicht behauptet. Das Haus hätte auch, wie der Autoeinstellplatz, weiter unten in den Hang hinein gebaut oder auf eine in den Hang hineingebaute Tiefgarage gestellt werden können. Nach objektiver Auslegung habe das eingeräumte Fuss- und Fahrwegrecht lediglich den Zweck, das Grundstück der Beschwerdeführerin, das über keinen anderen Zugang verfüge, auf seiner Südseite so zu erschliessen, dass es bis dorthin zu Fuss und mit einem Fahrzeug zu erreichen sei und in diesem Bereich eine Treppen- oder Liftanlage, ein Autoeinstellplatz oder eine Tiefgarage errichtet werden könne.
5. Wie die Beschwerdeführerin mit Recht geltend macht, ist dem der geplanten Erschliessung ihres Hauses Entgegengehaltenen nicht beizupflichten: Die vom Obergericht (als möglich) angenommene Einschränkung des zu Gunsten des Grundstücks der Beschwerdeführerin bestehenden "unbeschränkten" Fuss- und Fahrwegrechts findet im Wortlaut der einschlägigen Vertragsstelle keine Stütze und beruht denn auch auf blossen Mutmassungen und unbelegten Hypothesen, deren Ergebnis keineswegs zwingend ist.
Dienstbarkeiten führen ihrem Wesen nach stets zu einer mehr oder weniger starken Einschränkung des Eigentums am belasteten Grundstück (vgl. <ref-law>). Das Amtsgericht, auf dessen Erwägungen die Vorinstanz verweist, hatte anerkannt, dass nach <ref-law> der Dienstbarkeitsberechtigte befugt ist, auf dem belasteten Grundstück (bauliche) Anordnungen zu treffen, die zur Erhaltung bzw. Ausübung seines Rechts nötig sind. Dazu gehören namentlich auch Terraingestaltungen der im Hinblick auf die Errichtung der strittigen Zufahrt geplanten Art (vgl. PETER LIVER, Zürcher Kommentar, N. 37 ff. zu <ref-law>). Hier ist dabei hauptsächlich in Betracht zu ziehen, dass die baulichen Vorkehren sich auf den 190 m2 messenden Teil des Grundstücks Nr. 1 beschränken, der ursprünglich zum (Strassen-)Grundstück Nr. 3 gehört hatte und lediglich einen kleinen ausbuchtungsartigen Anhang im Bereiche der südöstlichen Ecke des Grundstücks des Beschwerdegegners bildet. Die gegebenen Verhältnisse lassen sich etwa mit denjenigen vergleichen, die <ref-law> (Regelung einer Löschung der Dienstbarkeit nach Teilung des belasteten Grundstücks) zugrunde liegen. Entgegen der von der Vorinstanz übernommenen Auffassung des Amtsgerichtes kann unter den angeführten Umständen keineswegs gesagt werden, mit der von der Beschwerdeführerin projektierten Zufahrt würde das Eigentumsrecht des Beschwerdegegners geradezu ausgehöhlt. Dessen Widerstand gegen die von der Beschwerdeführerin beanspruchte Dienstbarkeitsausübung auf dem nachträglich erworbenen Grundstückteil ist angesichts der massgebenden Grundsätze nicht zu schützen.
6. Nach dem Gesagten sind Beschwerde und Klagebegehren Ziffer 2 (Ermächtigung zum Bau der Erschliessungsstrasse) gutzuheissen. Damit ist der Rüge der Beschwerdeführerin, das Obergericht habe mit der Ablehnung ihrer Beweisanträge (Durchführung eines Augenscheins und Einholen einer Expertise) ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) missachtet, die Grundlage entzogen. In Anbetracht des Verfahrensausgangs sind die Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser ist ausserdem zu verpflichten, die Beschwerdeführerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).
7. Bezüglich der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens ist die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde und des Klagebegehrens Ziffer 2 wird die Beschwerdeführerin unter Vorbehalt öffentlich-rechtlicher Bewilligungen für berechtigt erklärt, auf dem Grundstück Nr. 1/Grundbuch C._ des Beschwerdegegners zu Gunsten ihres Grundstücks Nr. 2/Grundbuch C._ eine Erschliessungsstrasse gemäss Plan vom 5. Juli 2006 zu erstellen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner wird verpflichtet, die Beschwerdeführerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 10'000.-- zu entschädigen.
4. Bezüglich der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens wird die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel