Faits:
A. Le 29 janvier 2008, le chef du Service de la circulation routière et de la navigation du canton du Valais a infligé à X._ une amende de 300 fr. pour contravention à l'<ref-law>, en relation avec les art. 34 al. 3, 36 al. 3 et 3 al. 1 de l'ordonnance du 13 novembre 1962 sur les règles de la circulation routière (OCR).
B. Par arrêt du 11 août 2008, le juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan a rejeté l'appel formé par X._. Cet arrêt retient en substance ce qui suit :
Le 8 septembre 2007, à 13h, X._ circulait au volant de sa voiture sur la route d'Hérens, de Sion en direction de Vex. Sortant d'un virage, il a voulu se rendre sur une place en bordure de la voie de descente pour y consulter une carte. Il a enclenché son indicateur de gauche et a obliqué à gauche, sans apercevoir la moto qui le dépassait. L'avant droit de la moto heurta l'arrière gauche de la voiture ; le motocycliste est tombé et s'est blessé au coude.
C. Contre cet arrêt cantonal, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il se plaint du fait que la cour cantonale a rejeté sans aucune motivation ses offres de preuves (audition du témoin à charge et expertise) et fait valoir que les faits ont été établis de manière arbitraire. En outre, il dénonce la violation des art. 26, 34, 35 et 90 LCR ainsi que l'application arbitraire des art. 207 et 210 du code de procédure pénale valaisan. Il conclut, principalement, à son acquittement ; à titre subsidiaire, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour instruction ; à titre très subsidiaire, à ce que les frais soient mis à sa charge seulement pour moitié et à ce qu'une indemnité de dépens de 400 fr. lui soit versée. En outre, il sollicite l'effet suspensif.
D. Appelé à se déterminer, le juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan a déposé des observations, sans prendre de conclusions.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière pénale peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente. Il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui. Il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
2. Le recourant reproche d'abord à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu en omettant de traiter l'un de ses griefs.
2.1 Le droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (<ref-ruling> consid. 3b p. 383; <ref-ruling> consid. 2b p. 138 et les arrêts cités).
2.2 Le droit d'être entendu impose, en particulier, au juge l'obligation de motiver ses décisions afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Pour satisfaire cette exigence, il suffit que le juge mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision. Il ne doit pas se prononcer sur tous les moyens des parties; il peut se limiter aux questions décisives (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 148; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 540, 473 consid. 4.1 p. 477; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 236).
2.3 En l'espèce, le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir traité le grief, selon lequel il reprochait à l'autorité de première instance d'avoir refusé d'interroger une seconde fois le témoin Y._, qui serait la seule personne à avoir assisté à l'accident et qui serait donc un témoin capital.
2.3.1 Le droit du prévenu, garanti à l'art. 6 ch. 3 let. d CEDH, d'interroger les témoins à charge est un aspect particulier du droit à un procès équitable au sens de l'art. 6 ch. 1 CEDH. Il est exclu qu'un jugement pénal soit fondé sur les déclarations de témoins sans qu'une occasion appropriée et suffisante soit au moins une fois offerte au prévenu de mettre ces témoignages en doute et d'interroger les témoins. En tant qu'elle concrétise le droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), cette exigence est également garantie par l'art. 32 al. 2 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 480; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les références citées). Ce droit est absolu lorsque la déposition du témoin en cause est d'une importance décisive, notamment lorsqu'il est le seul témoin, ou que sa déposition est une preuve essentielle (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 480; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 s.; <ref-ruling> consid. 6c/dd p. 135). Ce droit peut être exercé au moment où le témoin fait ses déclarations ou ultérieurement dans le cours de la procédure (<ref-ruling> consid. 6b p. 132 s.).
2.4 Selon le témoin Y._, interrogé le 15 septembre 2007 par la police, « Le motard a entrepris la manoeuvre de dépassement du véhicule qui le précédait à la hauteur de la bifurcation pour le chemin des Crêtes. A cet instant, l'automobiliste n'avait encore pas enclenché son indicateur de direction. Quelques secondes après, au niveau de la place sise en bordure de la voie descendante, le conducteur de la voiture beige enclencha son clignoteur à gauche et tourna immédiatement dans cette direction, afin d'y arrêter son engin ». Le témoin a en outre précisé que « la mise en marche du clignoteur de la BMW et la manoeuvre de son conducteur ont été simultanées ». Sur la base de cette déposition, l'autorité de première instance a considéré que le recourant avait manifesté son intention d'obliquer seulement après que le motocycliste eut engagé sa manoeuvre de dépassement et qu'il n'avait dès lors pas respecté la priorité qu'avait sur lui le motocycliste (arrêt attaqué p. 4).
Dans le raisonnement de l'autorité de première instance, le témoignage de Y._ était capital. Celui-ci n'ayant été entendu qu'à une seule reprise par la police, le recourant était en droit, conformément aux principes susmentionnés, de le faire interroger une seconde fois et de mettre en doute son témoignage. Le grief du recourant, selon lequel il reprochait à l'autorité de première instance d'avoir rejeté sa requête tendant à un second interrogatoire du témoin, n'était donc pas dénué de pertinence. En n'exposant pas les raisons qui l'ont amenée à rejeter le grief du recourant, la cour cantonale a donc violé le droit d'être entendu du recourant.
3. Dans un deuxième moyen, le recourant se plaint de la constatation arbitraire des faits déterminants par la cour cantonale.
3.1 Saisi d'un recours en matière pénale, le Tribunal fédéral ne réexamine l'établissement des faits - sous réserve de l'allégation d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> - que lorsqu'il est entaché d'inexactitude manifeste (<ref-law>), à savoir d'arbitraire (<ref-ruling>, consid. 1.4.1). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 6 p. 397).
Une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif ou en violation d'un droit certain. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
3.2 Le recourant soutient qu'il avait déjà entrepris sa manoeuvre lorsque le motocycliste a commencé son dépassement, de sorte que ce dernier serait responsable de l'accident. En ne retenant pas qu'au moment du choc, son véhicule l'avait quasiment finie et se trouvait pour l'essentiel sur la place de stationnement située de l'autre côté de la chaussée, la cour cantonale aurait donc établi les faits de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
La cour cantonale retient que, selon le rapport de police, la portière arrière et l'aile gauches de la voiture ont été pliées. Elle explique que si l'avant de la moto avait heurté la voiture quand elle était déjà, pour l'essentiel sinon au 3⁄4, hors de la chaussée, le choc aurait dû être particulièrement rude pour s'étendre en sus de l'aile à la portière. Or, elle estime que tel n'était pas le cas, puisque le recourant avait continué sa route croyant avoir heurté un obstacle en bordure de la chaussée. Elle déduit de la légèreté du choc que celui-ci s'est produit alors que l'oblique était en cours et que le recourant n'était pas pour l'essentiel sur la place de stationnement.
3.3 Aucune trace de l'accident n'a pu être relevée par la police cantonale si bien que le point de choc n'a pu être établi en l'absence de constatation officielle. Par ailleurs, la vitesse de l'un et l'autre véhicule est incertaine, les déclarations des conducteurs impliqués manquant de crédibilité dès lors que si on les suivait (vitesse de l'automobiliste supérieure à celle du motocycliste), l'accident n'aurait simplement pas eu lieu.
Dans ces circonstances, le raisonnement suivi par la cour cantonale pour fixer en fait le point de choc et, partant, déterminer - ce qui est décisif - lequel des conducteurs a entrepris en premier sa manoeuvre est insoutenable, voire peu compréhensible. On ne voit en effet pas pourquoi le choc aurait dû être particulièrement plus rude s'il était survenu hors de la chaussée que sur la chaussée. En effet, l'un et l'autre véhicule étant manifestement en phase de décélération pour l'automobiliste et de freinage pour le motocycliste, le choc ne peut être que moins rude à la fin de la manoeuvre de l'automobiliste.
3.4 Le recours doit être admis pour ces motifs, sans qu'il soit encore nécessaire d'examiner les autres griefs. Il appartiendra au Tribunal cantonal à qui la cause est renvoyée de statuer à nouveau, en complétant au besoin l'instruction.
4. Comme le recourant a obtenu gain de cause, il n'est pas perçu de frais (<ref-law>). Le canton du Valais lui versera une indemnité de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Vu le sort du recours, la requête d'effet suspensif devient sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2. Il n'est pas perçu de frais.
3. Le canton du Valais versera au recourant une indemnité de dépens de 2000 francs.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 13 décembre 2008
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Schneider Kistler Vianin