Sachverhalt:
A. Die 1980 geborene W._ war seit August 2001 als Verkäuferin bei der Bäckerei-Konditorei X._ angestellt und damit bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch unfallversichert. Am Abend des 16. November 2002 wurde sie, auf einer Hauptstrasse liegend, von einem Personenwagen erfasst und einige Meter weit mitgeschleift. Dabei zog sie sich eine schwere offene Beckenfraktur, eine Sakrumfraktur transforaminal links, eine Schambeinastfraktur beidseits, eine Acetabulumfraktur links sowie eine offene Femurkopfluxation rechts zu. Es folgten eine längere Hospitalisation und mehrere operative Eingriffe.
Die Zürich holte Berichte der behandelnden Institutionen sowie Akten über den Unfallhergang ein. Ausserdem gab sie bei Dr. med. S._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, ein Gutachten in Auftrag, welches am 22. Juli 2004 erstattet wurde. Gestützt darauf lehnte es der Versicherer mit Verfügung vom 12. Oktober 2004 ab, für das Ereignis vom 16. November 2002 Leistungen zu erbringen. Zur Begründung wurde erklärt, die Versicherte habe sich in suizidaler Absicht auf die Fahrbahn gelegt, ohne dass ihre Fähigkeit zu vernunftgemässem Handeln im damaligen Zeitpunkt gänzlich aufgehoben gewesen sei.
Nachdem die Versicherte Einsprache erhoben hatte, holte die Zürich ein weiteres Gutachten von Dr. med. R._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 27. Juli 2005 ein. Anschliessend hielt sie mit Einspracheentscheid vom 24. Oktober 2005 an der Verneinung ihrer Leistungspflicht fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Zürich zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre. In den Erwägungen hielt das Gericht fest, es könne weder auf eine beabsichtigte Selbstschädigung noch auf einen Suizidversuch geschlossen werden. Die Frage, ob die Versicherte den Unfall grobfahrlässig herbeigeführt habe, lasse sich aufgrund der Akten nicht abschliessend beurteilen (Entscheid vom 26. Juni 2007).
C. Die Zürich führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid der Vorinstanz sei aufzuheben "und im Sinne der Bestätigung des Einspracheentscheides vom 24. Oktober 2005 sei von einer absichtlichen Selbstschädigung auszugehen".
W._ lässt die Abweisung der Beschwerde, eventuell die Aufhebung des kantonalen Entscheids und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz bzw. die Beschwerdeführerin beantragen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung der Instruktionsrichterin vom 5. Dezember 2007 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Beim vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid handelt es sich in der Terminologie des BGG um einen Zwischenentscheid. Er kann daher nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> selbstständig angefochten werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.). Lit. a dieser Bestimmung lässt die selbstständige Anfechtung eines Zwischenentscheids zu, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Nach der Rechtsprechung ist diese Voraussetzung seitens des Versicherers erfüllt, wenn der Rückweisungsentscheid eines kantonalen Gerichts verbindliche Vorgaben zu den Grundlagen der Anspruchsbeurteilung enthält (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.; SVR 2008 IV Nr. 31 S. 100 E. 1.2, I 126/07). Diese Konstellation ist hier gegeben, denn der kantonale Entscheid verneint die Zulässigkeit einer Leistungsverweigerung wegen absichtlicher Herbeiführung des Gesundheitsschadens (<ref-law>) und verpflichtet die Zürich somit, eine nach ihrer Auffassung rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2. 2.1 Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, sind in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend, welche bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 447). Soweit die Qualifikation des Ereignisses vom 16. November 2002 in Frage steht, hat sich die Beurteilung daher nach den zu diesem Zeitpunkt, also vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) am 1. Januar 2003, gültig gewesenen Bestimmungen zu richten.
2.2 Ein Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung setzt, von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen, das Vorliegen eines Berufsunfalls, eines Nichtberufsunfalls oder einer Berufskrankheit voraus (<ref-law>). Als Unfall gilt die plötzliche, nicht beabsichtigte schädigende Einwirkung eines ungewöhnlichen äusseren Faktors auf den menschlichen Körper (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung; vgl. jetzt <ref-law>). Hat der Versicherte den Gesundheitsschaden oder den Tod absichtlich herbeigeführt, so besteht kein Anspruch auf Versicherungsleistungen, mit Ausnahme der Bestattungskosten (<ref-law>). Hat der Versicherte den Unfall grobfahrlässig herbeigeführt, so werden in der Versicherung für Nichtberufsunfälle die Taggelder gekürzt, die während den ersten zwei Jahren nach dem Unfall ausgerichtet werden (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung). Wollte sich der Versicherte nachweislich das Leben nehmen oder sich selbst verstümmeln, so findet <ref-law> keine Anwendung, wenn der Versicherte zur Zeit der Tat ohne Verschulden gänzlich unfähig war, vernunftgemäss zu handeln, oder wenn die Selbsttötung, der Selbsttötungsversuch oder die Selbstverstümmelung die eindeutige Folge eines versicherten Unfalls war (<ref-law>). Bei Nichtberufsunfällen, die auf ein Wagnis zurückgehen, werden die Geldleistungen um die Hälfte gekürzt und in besonders schweren Fällen verweigert. Wagnisse sind Handlungen, mit denen sich der Versicherte einer besonders grossen Gefahr aussetzt, ohne die Vorkehren zu treffen oder treffen zu können, die das Risiko auf ein vernünftiges Mass beschränken (Art. 50 Abs. 1 und Abs. 2 Satz 1 UVV, erlassen gestützt auf <ref-law>).
3. Streitig und zu prüfen ist - im Grundsatz und gegebenenfalls umfangmässig - die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin für Folgen des Ereignisses vom 16. November 2002. Die Zürich macht diesbezüglich geltend, es sei von einer vorsätzlichen, zumindest aber eventualvorsätzlichen Selbstverletzung (wenn auch nicht von suizidalen Impulsen) auszugehen. Überdies liege ein schwerer Fall eines Wagnisses im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> vor. Falls das Gericht das Vorliegen eines einfachen Vorsatzes respektive Eventualvorsatzes verneine, müsse das Verhalten der Versicherten zumindest als grobfahrlässig eingestuft werden.
4. Die Vorinstanz hat zum Ablauf des Vorfalls vom 16. November 2002 Feststellungen getroffen, welche zwar nicht von der Beschwerdeführerin, aber von der Versicherten bestritten werden.
4.1 Als die Versicherte am 16. November 2002 um 22.40 Uhr in der Nähe ihres Wohnortes ausserorts auf einer Hauptstrasse von einem Personenwagen erfasst wurde, lag sie neben ihrem Fahrrad auf der Strasse. Das kantonale Gericht hält es für überwiegend wahrscheinlich, dass sie sich selbst auf die Fahrbahn gelegt hatte. Bei dieser Einschätzung stützt sich die Vorinstanz auf eine Reihe von Indizien. Namentlich erwog sie, die Beschwerdeführerin habe sich nicht mehr auf dem Heimweg befunden, sei am 5. und 9. November 2002 bereits insgesamt drei Mal auf der gleichen Strasse liegend angetroffen worden und leide an einer Persönlichkeitsstörung vom Borderline-Typus, welche zu derartigen Verhaltensweisen prädisponiere. Zudem sei es ihr am Abend des 16. November 2002 psychisch nicht gut gegangen. Die alternative Erklärungsmöglichkeit, wonach die Beschwerdegegnerin mit dem Fahrrad gestürzt sei, erscheine als weniger wahrscheinlich. Wohl habe sie neben Erbrochenem gelegen, was dafür spreche, dass sie sich habe übergeben müssen. Bei einem Alkoholgehalt von ca. 1 Gewichtspromille im Blut erscheine jedoch ein Sturz zufolge Trunkenheit als unwahrscheinlich. Nicht hinreichend erstellt sei auch die behauptete Wechselwirkung von Alkohol und Medikamenten wegen der Einnahme einer Überdosis von Antidepressiva. Das Auftreten einer Synkope, wie sie während des Aufenthalts in der Klinik Y._ im Frühling 2002 beobachtet worden sei, sei möglich, aber nicht überwiegend wahrscheinlich. Dr. med. R._ halte diese Hypothese im Gutachten vom 27. Juli 2005 unter Hinweis auf den psychischen Zustand und die geringe Alkoholmenge, welche die an Alkohol und Medikamente gewöhnte Versicherte in der fraglichen Nacht konsumiert habe, für wenig wahrscheinlich.
4.2 Diese vorinstanzlichen Erwägungen überzeugen und werden auch durch die Ausführungen in der Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin vom 31. Oktober 2007 nicht in Frage gestellt. Insbesondere fällt der Umstand ins Gewicht, dass sich die Versicherte nach Lage der Akten im Verlauf der letzten zwei Wochen vor dem 16. November 2002 bereits drei Mal - nicht nur zwei Mal, wie die Beschwerdeführerin vorbringen lässt - an derselben bzw. einer ähnlichen Stelle gezielt auf die Strasse gelegt hatte, um Aufmerksamkeit und Zuwendung seitens von Drittpersonen zu erlangen. Der Gutachter Dr. med. R._ gelangt denn auch zum Ergebnis, die Beschwerdeführerin habe sich in einer Situation befunden, wo es nahe liege, "dass das in der Vorgeschichte bereits mehrfach aufgetretene, zu den beschriebenen Verhaltensweisen führende Verhalten nochmals aktualisiert wurde". Die behauptete Einnahme einer Überdosis von Medikamenten findet in den Akten keine hinreichende Stütze. Der Gutachter Dr. med. R._ schliesst einen gravierenden Einfluss von Alkohol und Fluctine auf die Urteilsfähigkeit im Sinne einer hierdurch hervorgerufenen schweren Bewusstseinsbeeinträchtigung sogar explizit aus. Ein weiteres Gutachten verspricht diesbezüglich keine neuen, hinreichend zuverlässigen Erkenntnisse. Es ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin, bevor sie vom Personenwagen erfasst wurde, nicht mit dem Fahrrad gestürzt war, sondern sich auf die Strasse gelegt hatte.
5. 5.1 Das kantonale Gericht hat weiter erwogen, das Motiv der Vorgehensweise der Versicherten habe in der Erlangung von Aufmerksamkeit und Zuwendung bestanden. Gestützt auf das Gutachten von Dr. med. R._ vom 27. Juli 2005 könne nicht davon ausgegangen werden, dass sie eine Gesundheitsschädigung beabsichtigt habe. Die gegenteilige Aussage im Gutachten von Dr. med. S._ vom 22. Juli 2004 sei nicht einleuchtend und werde auch nicht näher begründet. Unter diesen Umständen könne weder auf eine beabsichtigte Selbstschädigung noch auf einen Suizidversuch geschlossen werden, denn hierfür sei erforderlich, dass sich die Absicht auf die gesundheitliche Schädigung selbst und nicht auf die zur schädigenden Einwirkung führende Handlung beziehe (<ref-ruling> E. 4 S. 152 mit Hinweisen).
5.2 Die Beschwerdeführerin wendet im Wesentlichen ein, es liege an der Versicherten, die Unfreiwilligkeit der Selbstverletzung mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachzuweisen. Es werde nicht bestritten, dass die Versicherte in der Absicht gehandelt habe, Aufmerksamkeit zu erregen. Wie die Vorinstanz ausführe, sei das Verhalten objektiv zur Selbstschädigung geeignet gewesen. Somit erscheine als klar, dass sich die Beschwerdegegnerin der möglichen Folgen eines solchen Verhaltens, d.h. der Möglichkeit einer allfälligen Gesundheitsschädigung, bewusst gewesen sei. Indem sie sich absichtlich auf die Strasse gelegt habe, habe sie eine Körperverletzung zumindest in Kauf genommen. Sie habe bei einem derart gefährlichen Handeln mit einer Gesundheitsschädigung ernsthaft rechnen müssen. Wer sich nachts ausserorts auf eine Hauptstrasse lege, sei sich bewusst, dass er angefahren werden könnte. Folglich sei von Eventualvorsatz auszugehen. Die Beschwerdeführerin sei überdies nach wie vor davon überzeugt, dass nicht nur dolus eventualis, sondern sogar einfacher Vorsatz gegeben sei. Es müsse davon ausgegangen werden, dass die Versicherte um der Zuwendung und Aufmerksamkeit willen eine Selbstverletzung bezweckt habe. Entsprechende Hinweise ergäben sich aus dem Gutachten von Dr. med. S._ vom 22. Juli 2004. Zudem sei bei der Versicherten eine instabile Persönlichkeitsstörung vom Borderline-Typus (ICD-10: F60.31) diagnostiziert worden. Borderline-Patientinnen neigten häufig zu Selbstverletzungen. Auch bei der Versicherten sei eine Neigung zu selbstverletzendem Verhalten diagnostiziert worden.
5.2 Die Beschwerdeführerin wendet im Wesentlichen ein, es liege an der Versicherten, die Unfreiwilligkeit der Selbstverletzung mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachzuweisen. Es werde nicht bestritten, dass die Versicherte in der Absicht gehandelt habe, Aufmerksamkeit zu erregen. Wie die Vorinstanz ausführe, sei das Verhalten objektiv zur Selbstschädigung geeignet gewesen. Somit erscheine als klar, dass sich die Beschwerdegegnerin der möglichen Folgen eines solchen Verhaltens, d.h. der Möglichkeit einer allfälligen Gesundheitsschädigung, bewusst gewesen sei. Indem sie sich absichtlich auf die Strasse gelegt habe, habe sie eine Körperverletzung zumindest in Kauf genommen. Sie habe bei einem derart gefährlichen Handeln mit einer Gesundheitsschädigung ernsthaft rechnen müssen. Wer sich nachts ausserorts auf eine Hauptstrasse lege, sei sich bewusst, dass er angefahren werden könnte. Folglich sei von Eventualvorsatz auszugehen. Die Beschwerdeführerin sei überdies nach wie vor davon überzeugt, dass nicht nur dolus eventualis, sondern sogar einfacher Vorsatz gegeben sei. Es müsse davon ausgegangen werden, dass die Versicherte um der Zuwendung und Aufmerksamkeit willen eine Selbstverletzung bezweckt habe. Entsprechende Hinweise ergäben sich aus dem Gutachten von Dr. med. S._ vom 22. Juli 2004. Zudem sei bei der Versicherten eine instabile Persönlichkeitsstörung vom Borderline-Typus (ICD-10: F60.31) diagnostiziert worden. Borderline-Patientinnen neigten häufig zu Selbstverletzungen. Auch bei der Versicherten sei eine Neigung zu selbstverletzendem Verhalten diagnostiziert worden.
5.3 5.3.1 Gemäss dem in allen Teilen überzeugenden Gutachten von Dr. med. R._ vom 27. Juli 2005 bestand der Zweck des Vorgehens der Beschwerdegegnerin in der Erlangung von Aufmerksamkeit und Zuwendung. Weiter hält der Experte fest, es könne "sicherlich nicht" davon ausgegangen werden, dass die Explorandin den durch das Ereignis hervorgerufenen Gesundheitsschaden absichtlich herbeigeführt habe. Er weist auch darauf hin, dass die Beschwerdegegnerin sich in den Wochen vor dem 16. November 2002 schon drei Mal auf die Strasse gelegt und dabei die Erfahrung gemacht hatte, dass sie die gewünschte Aufmerksamkeit erhielt.
5.3.2 Auf der Grundlage der Feststellungen von Dr. med. R._ ist mit der Vorinstanz ein direkter Vorsatz ohne weiteres auszuschliessen. Was das Vorliegen eines Eventualvorsatzes anbelangt, lässt sich ein solcher nicht, wie die Beschwerdeführerin offenbar annimmt, bereits daraus ableiten, dass der Versicherten die Möglichkeit eines Schadenseintritts bewusst war. Das entsprechende Wissen und Bewusstsein bildet vielmehr das massgebende Kriterium für die Unterscheidung zwischen bewusster und unbewusster Fahrlässigkeit. Eventualvorsatz liegt dann vor, wenn jemand den Eintritt des Erfolgs für möglich hält, aber dennoch handelt, weil er oder sie den Erfolg für den Fall seines Eintritts in Kauf nimmt (vgl. <ref-law> in der seit 1. Januar 2007 geltenden Fassung), sich mit ihm abfindet, mag er auch unerwünscht sein. Sowohl eventualvorsätzlich als auch bewusst fahrlässig Handelnde wissen um die Möglichkeit des Erfolgseintritts. Unterschiede bestehen jedoch beim Willensmoment. Die bewusst fahrlässig handelnde Person vertraut (aus pflichtwidriger Unvorsichtigkeit) darauf, dass der von ihr als möglich vorausgesehene Erfolg nicht eintreten werde. Demgegenüber nimmt, wer eventualvorsätzlich handelt, den Eintritt des als möglich erkannten Erfolgs ernst, rechnet mit ihm und findet sich mit ihm ab (vgl. die strafrechtliche Rechtsprechung: <ref-ruling> E. 4.1 S. 16 mit Hinweis). Eventualvorsatz ist auch bei gefährlichen Handlungen nur mit Zurückhaltung anzunehmen (vgl. zur Problematik im Strafrecht Martin Schubarth, Dolus eventualis - positive und negative Indikatoren; Analyse der Rechtsprechung des Bundesgerichtes, AJP 2008 S. 519 ff., 526 Ziff. 30).
5.3.3 Gemäss den bereits zitierten Feststellungen von Dr. med. R._ bestand der Zweck des Vorgehens der Beschwerdegegnerin darin, Aufmerksamkeit und Zuwendung von Drittpersonen zu erhalten. In diesem Zusammenhang dürfte der Umstand eine Rolle gespielt haben, dass es der Versicherten relativ kurze Zeit vor dem 16. November, nämlich einmal am 5. und zweimal am 9. November 2002, gelungen war, dieses Ziel zu erreichen: Nachdem sie sich neben ihrem Fahrrad auf die Strasse gelegt hatte, war sie jeweils von Drittpersonen angesprochen und betreut worden. Unter diesen Umständen rechtfertigt sich die Annahme, die Beschwerdegegnerin habe darauf vertraut, auch diesmal, am Abend des 16. November 2002, würden sich die Ereignisse auf diese oder ähnliche Weise entwickeln. Sie begab sich zwar bewusst in Gefahr, nahm es jedoch nicht in Kauf, angefahren zu werden, und fand sich auch nicht mit dieser Möglichkeit ab. Vielmehr ging sie davon aus, diese Folge werde nicht eintreten. Damit ist ihr Handeln nicht als eventualvorsätzlich, sondern höchstens (d.h. bei Vorliegen der dafür vorausgesetzten Urteilsfähigkeit) als grobfahrlässig zu bezeichnen. Dies entspricht auch den vom kantonalen Gericht gezogenen Folgerungen.
5.4 Da Eventualvorsatz zu verneinen ist, erübrigt sich eine nähere Prüfung der Frage, ob ein solcher als absichtliche Herbeiführung des Gesundheitsschadens im Sinne von <ref-law> zu betrachten wäre. In der Lehre wird der Einbezug des Eventualvorsatzes zum Teil abgelehnt (Alfred Maurer, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, 2. Auflage, Bern 1989, S. 174 Fn. 351; Alexandra Rumo-Jungo, Die Leistungskürzung oder -verweigerung gemäss Art. 37-39 UVG, Diss. Freiburg 1993, S. 113, mit weiteren Hinweisen), zum Teil befürwortet (Alfred Bühler, Der Unfallbegriff, in: Alfred Koller [Hrsg.], Haftpflicht- und Versicherungsrechtstagung 1995, St. Gallen 1995, S. 195 ff., 211, mit weiteren Hinweisen; vgl. auch Urteil U 276/01 vom 14. Februar 2002, E. 4).
6. Im Einspracheentscheid wurde im Sinne einer Alternativbegründung erwogen, das Ereignis vom 16. November 2002 sei als schwerer Fall eines Wagnisses im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> zu qualifizieren. Die Vorinstanz hat sich zu dieser Frage nicht geäussert.
6.1 Lehre und Rechtsprechung unterscheiden zwischen absoluten und relativen Wagnissen. Ein absolutes Wagnis liegt vor, wenn eine gefährliche Handlung nicht schützenswert ist oder wenn die Handlung mit so grossen Gefahren für Leib und Leben verbunden ist, dass sich diese auch unter günstigsten Umständen nicht auf ein vernünftiges Mass reduzieren lassen. Ein relatives Wagnis ist gegeben, wenn es die versicherte Person unterlassen hat, die objektiv vorhandenen Risiken und Gefahren auf ein vertretbares Mass herabzusetzen, obwohl dies möglich gewesen wäre (<ref-ruling> ff.; SVR 2007 UV Nr. 4 S. 10 E. 2.1, U 122/06; Rumo-Jungo, a.a.O., S. 291 ff.; Maurer, a.a.O., S. 508 f.; Urs Ch. Nef, Das Wagnis in der sozialen Unfallversicherung, SZS 1985 S. 103 ff., 104 f.).
6.2 Indem sich die Versicherte an einem Samstagabend im November um 22.40 Uhr bei schlechtem Wetter in dunkler Kleidung ausserorts auf eine Hauptstrasse legte, setzte sie sich einer erheblichen Gefahr für Leib und Leben aus, welche sich in der Folge auch - in Form einer erheblichen Gesundheitsschädigung - verwirklichte. Ein schützenswerter Grund für dieses Verhalten ist nicht ersichtlich. Überdies war es unter den gegebenen Umständen auch nicht möglich, die Gefahr auf ein vernünftiges Mass zu reduzieren. Das Vorgehen der Beschwerdeführerin ist daher als absolutes Wagnis zu qualifizieren.
6.3 Nach der Rechtsprechung liegt kein zu einer Leistungskürzung berechtigendes Wagnis vor, wenn die versicherte Person zum massgebenden Zeitpunkt vollständig zurechnungs- bzw. schuldunfähig war. Eine bloss teilweise Schuldunfähigkeit führt demgegenüber nicht dazu, dass die versicherungsrechtlichen Konsequenzen des Wagnisses ausbleiben würden (<ref-ruling> E. 4a S. 149). Vorliegend ist nicht von einer völlig fehlenden Schuldfähigkeit auszugehen: Die polizeiliche Blutprobe ergab einen Blutalkoholgehalt von rund 1 Gewichtspromille. Ein solcher schliesst die Schuldfähigkeit regelmässig nicht aus (Urteil U 612/06 vom 5. Oktober 2007, E. 4.2.1, mit Hinweisen auf die strafrechtliche Judikatur, welche - im Sinne einer Faustregel - von der Vermutung ausgeht, bei einem Blutalkoholgehalt von unter zwei Promillen liege keine und erst ab einem solchen von drei Promillen eine vollständige Beeinträchtigung der Schuldfähigkeit vor). Dr. med. R._ verneint in seinem Gutachten vom 27. Juli 2005 auch die Frage, ob dieser Effekt aus einer Kombination von Alkohol und Medikamenten resultiert haben könnte. Er gelangt zum klaren Ergebnis, die Urteilsfähigkeit der Explorandin sei im Zeitpunkt des Ereignisses vom 16. November 2002 nicht vollständig aufgehoben gewesen. Die Voraussetzungen für eine Leistungskürzung wegen eines Wagnisses nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> sind somit erfüllt.
7. 7.1 Nach dem Gesagten sind die Leistungen der Beschwerdeführerin für das Ereignis vom 16. November 2002 zu kürzen, weil die Verletzungen der Beschwerdegegnerin auf ein absolutes Wagnis zurückgehen. Eine Leistungskürzung gemäss Art. 39 in Verbindung mit <ref-law> geht derjenigen wegen Grobfahrlässigkeit gemäss <ref-law> vor (Rumo-Jungo, a.a.O., S. 314, mit Hinweis auf <ref-ruling> ff.; Jean-Maurice Frésard / Margit Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2. Auflage, Basel 2007, S. 825 ff., 938 f. N 331). Daher ist nicht näher zu prüfen, ob das Verhalten der Versicherten als grobfahrlässig zu gelten hat.
7.2 Was den Umfang der Leistungsreduktion angeht, sieht <ref-law> eine Kürzung um die Hälfte und in besonders schweren Fällen die vollständige Verweigerung der Leistungen vor. Die Norm ermöglicht somit auch eine Reduktion um mehr als 50 %. Ausschlaggebend sind diesbezüglich insbesondere das Verschulden bzw. die subjektiven Motive der versicherten Person (Rumo-Jungo, a.a.O., S. 310, mit Hinweis). Die Parteien haben sich zur Frage, ob und gegebenenfalls in welchem Ausmass sich eine über 50 % hinausgehende Kürzung rechtfertige, bisher nicht näher geäussert. Aufgrund des kantonalen Entscheids bestand hierzu auch kein Anlass. Die Sache ist deshalb - im Ergebnis entsprechend dem vorinstanzlichen Entscheid - an die Beschwerdeführerin zurückzuweisen. Dem Versicherer steht in diesem Zusammenhang ein gewisser Ermessensspielraum zu (Maurer, a.a.O., S. 512). Aufgrund der derzeitigen Aktenlage zur damaligen psychischen Verfassung der Beschwerdegegnerin dürfte allerdings eine Kürzung um mehr als 50 % kaum in Frage kommen.
8. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind dessen Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>; <ref-ruling>). Sie hat der Beschwerdegegnerin überdies eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Juni 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger