Faits:
Faits:
A. G._, né en 1952, appartient au monde des gens du voyage. Son père était brocanteur ambulant, récupérateur, rémouleur, réparateur et rétameur de bassines ou casseroles en tous genres et l'a formé dans toutes ces activités professionnelles, en lui versant un salaire jusqu'à sa mort survenue en 1987. A partir de ce moment-là, G._ s'est mis à son compte comme rétameur-rémouleur, activité qu'il a exercée jusqu'au 21 décembre 1998, date à partir de laquelle il a été à l'arrêt de travail pour des raisons de santé.
Le 26 avril 1999, G._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant l'allocation d'une rente d'invalidité. Dans un rapport médical du 30 juin 1999, le docteur U._ spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant de l'assuré, a diagnostiqué notamment une polyarthrite depuis juillet 1997, une arthrite récidivante de la cheville gauche (qui n'est toujours pas terminée), une légère hypercyphose dorsale, tendance aux lombalgies. Dans un rapport médical d'octobre 1999, le docteur I._, rhumatologue, a retenu des arthrites récidivantes d'étiologie indéterminée. Il indiquait que la symptomatologie et les plaintes présentées par le patient dépassaient le cadre des constatations cliniques et qu'une surcharge psychique n'était pas exclue. Dans un rapport médical du 16 février 2000, le docteur B._, spécialiste FMH en médecine interne, a posé le diagnostic d'arthrite récidivante de la cheville gauche d'étiologie indéterminée. Il concluait à une incapacité de travail de 100 % depuis le 21 décembre 1998. Ce praticien, dans une communication du 23 octobre 2000, a signalé que l'apparition de paresthésies des deux pieds évoquait une polyneuropathie qui n'était ni infirmée ni confirmée formellement par la doctoresse D._, neurologue.
Selon le docteur L._, spécialiste en médecine générale et médecin du Service médical régional (SMR) de l'assurance-invalidité, il était évident que l'on était pas au clair du point de vue médical et qu'un complément d'investigation somatique et surtout psychique serait nécessaire. Mais il était aussi plausible d'admettre d'emblée une capacité (de travail) complète dans une activité adaptée, qui serait semi-sédentaire et sans travaux lourds, si l'on accordait une certaine crédibilité aux limitations physiques mises en avant par l'assuré (avis médical du 11 mai 2001). Le 19 novembre 2001, le docteur L._ et le docteur P._, spécialiste FMH en rhumatologie, ont procédé à un examen clinique pluridisciplinaire. Dans leur rapport du 20 novembre 2001, ils ont posé les diagnostics de syndrome douloureux de l'hémicorps gauche sans substrat anatomique, d'hypertension artérielle traitée non stabilisée et de goutte anamnestique. Ils ont conclu qu'il n'y avait pas d'incapacité de travail légitimable au plan ostéoarticulaire ou neurologique et que la capacité de travail exigible apparaissait complète dans l'activité exercée. Dans un rapport d'examen SMR du 23 novembre 2001, la doctoresse V._, médecin-cheffe, et le docteur L._ ont considéré qu'il n'y avait aucune explication à l'apparition soudaine des douleurs dont l'assuré s'était plaint dès 1997, étant donné qu'il y avait peu d'éléments établis médicalement concernant les tuméfactions alléguées, à l'exception d'une probable crise de goutte du gros orteil gauche, et peu de constatations cliniques lors de l'examen pratiqué au SMR pour attester une atteinte somatique invalidante. Sur le plan psychique, il n'y avait aucun signe d'une atteinte actuellement ni sur demande, ni sur observation clinique.
Dans un projet de décision du 14 décembre 2001, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a informé G._ qu'il n'avait pas droit à une rente d'invalidité, au motif que celui-ci ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante selon l'art. 4 LAI et que sa capacité de travail était entière dans l'activité qu'il exerçait auparavant.
G._ a contesté le refus de rente. Il a produit un rapport du docteur B._ du 4 janvier 2002, dans lequel son médecin traitant invitait l'office AI à reconsidérer sa décision, quitte à mettre en oeuvre une expertise psychiatrique ou d'autres examens.
Par décision du 16 janvier 2002, l'office AI a rejeté la demande.
Par décision du 16 janvier 2002, l'office AI a rejeté la demande.
B. G._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud. Il demandait une nouvelle évaluation de son état de santé.
Le 12 juin 2002, le magistrat instructeur a informé les parties de sa décision de faire procéder à une expertise médicale (expertise orthopédique avec le concours d'un psychiatre). L'office AI a formé opposition contre cette décision. Par jugement incident du 17 février 2003, le Tribunal des assurances a rejeté l'opposition, les conditions mises par la loi et la jurisprudence à l'octroi d'une expertise judiciaire étant remplies.
Le Tribunal des assurances a confié une expertise au docteur S._, spécialiste en chirurgie et orthopédie et Privat-Docent à la Faculté de Médecine. Ce praticien a adressé G._ au docteur F._, spécialiste FMH en radiologie médicale/radiodiagnostic/médecine nucléaire et membre de l'Institut de radiologie et d'imagerie médicale X._, pour un bilan radiologique qui figure dans un rapport du 4 décembre 2003. Le docteur S._ a déposé ses conclusions dans un rapport du 28 janvier 2004. En ce qui concerne la capacité de travail de G._, il indiquait qu'elle était à l'heure actuelle de l'ordre de 80 % au réveil et de 70 à 60 % une heure plus tard, puis qu'elle devait osciller entre 60 et 40 % suivant les efforts physiques accomplis sans surmenage. La labilité de la situation et ses variations horaires imprévisibles s'opposaient à une reprise de l'activité de rétameur-rémouleur, tant et aussi longtemps qu'une thérapeutique adéquate n'aurait pas fait disparaître les incidences mécaniques responsables des variations en cause.
Dans le cadre de l'expertise, un consilium de psychiatrie a été organisé par la Policlinique psychiatrique universitaire Y._. Deux consultations ont eu lieu les 9 janvier et 20 février 2004. Dans un rapport du 23 juillet 2004, les doctoresses A._, cheffe de clinique adjointe, et R._, médecin assistante, ont retenu le diagnostic de trouble dépressif majeur récurrent, épisode moyen avec syndrome somatique. Dans leur appréciation de la capacité de travail de G._, ces spécialistes ont considéré que celui-ci n'était plus apte à assumer une charge de travail à 100 %, mais qu'il souhaitait maintenir une activité à 50 %, ce qui leur paraissait être un maximum exigible de la part d'un patient souffrant d'un trouble dépressif récurrent et d'une atteinte somatique multiple.
Par jugement du 24 décembre 2004, le Tribunal des assurances a admis le recours, annulé la décision attaquée et renvoyé le dossier à l'office AI afin qu'il en reprenne l'instruction, conformément aux considérants, puis rende telle nouvelle décision que de droit. Retenant que G._ présentait une incapacité de travail de 50 % tant sur le plan somatique que psychique, la juridiction cantonale a considéré qu'il appartenait à l'office AI d'examiner les mesures de réadaptation, avant tout médicales, qui étaient nécessaires dans son cas et de déterminer les mesures de réadaptation qui donnent, en l'espèce, droit à des indemnités journalières.
Par jugement du 24 décembre 2004, le Tribunal des assurances a admis le recours, annulé la décision attaquée et renvoyé le dossier à l'office AI afin qu'il en reprenne l'instruction, conformément aux considérants, puis rende telle nouvelle décision que de droit. Retenant que G._ présentait une incapacité de travail de 50 % tant sur le plan somatique que psychique, la juridiction cantonale a considéré qu'il appartenait à l'office AI d'examiner les mesures de réadaptation, avant tout médicales, qui étaient nécessaires dans son cas et de déterminer les mesures de réadaptation qui donnent, en l'espèce, droit à des indemnités journalières.
C. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant à l'annulation de celui-ci. Produisant un avis médical SMR du 2 mars 2004 des docteurs L._, P._ et C._, une communication interne du docteur P._ du 3 mars 2004 et un avis médical SMR du 2 septembre 2004 de la doctoresse E._, psychiatre FMH, il conteste l'incapacité de travail de 50 % retenue par les premiers juges et nie tout droit de l'assuré au versement d'indemnités journalières.
G._ conclut au rejet du recours, la décision de l'office AI du 16 janvier 2002 ne tenant compte ni des conclusions de l'expert S._ dans son rapport du 28 janvier 2004 et du docteur B._ dans son avis du 7 avril 2002, ni du consilium de psychiatrie concluant à un trouble dépressif majeur récurrent. L'Office fédéral des assurances sociales n'a pas déposé d'observations.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le jugement attaqué est un jugement de renvoi invitant l'office AI à déterminer les mesures de réadaptation qui entrent en ligne de compte dans le cas de l'intimé. Selon les premiers juges, il y a lieu d'allouer à l'assuré des indemnités journalières durant une période de six mois pendant laquelle celui-ci devra se soumettre au traitement antidépresseur médicamenteux mentionné par les doctoresses A._ et R._ et à l'issue de laquelle l'office AI devra examiner la capacité de travail de l'intimé dans son activité ou dans toute autre activité adaptée et, en cas d'échec de la réadaptation, le droit éventuel de celui-ci à une rente d'invalidité. Cela est contesté par le recourant, qui nie que des mesures de réadaptation entrent en ligne de compte dans le cas de l'intimé et que les conditions soient réunies pour que l'assuré ait droit au versement d'indemnités journalières.
1. Le jugement attaqué est un jugement de renvoi invitant l'office AI à déterminer les mesures de réadaptation qui entrent en ligne de compte dans le cas de l'intimé. Selon les premiers juges, il y a lieu d'allouer à l'assuré des indemnités journalières durant une période de six mois pendant laquelle celui-ci devra se soumettre au traitement antidépresseur médicamenteux mentionné par les doctoresses A._ et R._ et à l'issue de laquelle l'office AI devra examiner la capacité de travail de l'intimé dans son activité ou dans toute autre activité adaptée et, en cas d'échec de la réadaptation, le droit éventuel de celui-ci à une rente d'invalidité. Cela est contesté par le recourant, qui nie que des mesures de réadaptation entrent en ligne de compte dans le cas de l'intimé et que les conditions soient réunies pour que l'assuré ait droit au versement d'indemnités journalières.
2. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-invalidité. Cependant, sur le plan matériel, le cas d'espèce reste régi par les dispositions de la LAI en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (<ref-ruling> consid. 1). En outre, le Tribunal fédéral des assurances apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (<ref-ruling> consid. 1b).
Pour les mêmes motifs, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852) ne sont pas non plus applicables.
Pour les mêmes motifs, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852) ne sont pas non plus applicables.
3. 3.1 Aux termes de l'art. 22 al. 1 LAI (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002), l'assuré a droit à une indemnité journalière pendant la réadaptation si les mesures de réadaptation l'empêchent d'exercer une activité lucrative durant trois jours consécutifs au moins ou s'il présente, dans son activité habituelle, une incapacité de travail de 50 % au moins (première phrase).
En principe, le droit aux indemnités journalières est lié à la période d'exécution de mesures de réadaptation d'une certaine durée, dont ces indemnités sont une prestation accessoire (<ref-ruling> consid. 1a). Cette règle n'a cependant pas une portée absolue. En effet, l'art. 22 al. 3 LAI (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2003) charge le Conseil fédéral de fixer les conditions auxquelles des indemnités journalières peuvent être allouées pour des jours isolés, ainsi que pour la durée de l'instruction du cas, le temps précédant l'exécution de la réadaptation et le temps de mise au courant dans un emploi.
En exécution de ce mandat, le Conseil fédéral a notamment adopté l'art. 18 RAI, relatif aux indemnités journalières pendant le délai d'attente (indemnités journalières dites « d'attente »). Selon cette disposition réglementaire, l'assuré qui présente une incapacité de travail de 50 % au moins et qui doit attendre le début de prochaines mesures de réadaptation, a droit, durant le délai d'attente, à une indemnité journalière (al. 1); le droit à l'indemnité s'ouvre au moment où l'office AI constate, sur la base de l'instruction, que des mesures de réadaptation sont indiquées, mais en tout cas quatre mois après le dépôt de la demande (al. 2).
3.2 Le droit à des indemnités journalières selon l'art. 22 al. 3 LAI en corrélation avec l'art. 18 al. 1 et 2 RAI suppose que la personne assurée présente une incapacité de travail de 50 % au moins dans son activité habituelle et que l'aptitude à la réadaptation soit suffisamment établie tant objectivement que subjectivement, de manière que seules des mesures de réadaptation entrent sérieusement en ligne de compte dans le cas concret, et non pas simplement des mesures d'instruction (<ref-ruling> consid. 4.1).
3.3 Se fondant sur le rapport des doctoresses A._ et R._, du 23 juillet 2004, les premiers juges ont considéré que l'intimé devait se soumettre au traitement antidépresseur indiqué par ces médecins. Selon eux, il convient d'allouer des indemnités journalières durant une période de six mois pendant laquelle l'assuré devra se soumettre à ce traitement.
3.4 La Cour de céans ne saurait suivre les premiers juges dans leur raisonnement. D'une part, en effet, l'indemnité journalière d'attente n'entre pas en ligne de compte, car le traitement médical d'un état labile ne répond pas à la définition d'une mesure médicale de réadaptation (<ref-ruling> consid. 3a et les références). D'autre part, la loi fédérale sur l'assurance-invalidité ne fait pas dépendre le droit à la rente des possibilités de traitement d'une affection psychique: la rente prend naissance aux conditions de l'art. 29 LAI (<ref-ruling> s. consid. 4b/cc et 4c). Il se justifie dès lors d'annuler le jugement attaqué.
3.4 La Cour de céans ne saurait suivre les premiers juges dans leur raisonnement. D'une part, en effet, l'indemnité journalière d'attente n'entre pas en ligne de compte, car le traitement médical d'un état labile ne répond pas à la définition d'une mesure médicale de réadaptation (<ref-ruling> consid. 3a et les références). D'autre part, la loi fédérale sur l'assurance-invalidité ne fait pas dépendre le droit à la rente des possibilités de traitement d'une affection psychique: la rente prend naissance aux conditions de l'art. 29 LAI (<ref-ruling> s. consid. 4b/cc et 4c). Il se justifie dès lors d'annuler le jugement attaqué.
4. Il faut donc se prononcer sur le droit à la rente de l'intimé, sur lequel d'ailleurs porte uniquement la décision administrative litigieuse du 16 janvier 2002.
4.1 Selon l'art. 4 al. 1 LAI (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002), l'invalidité au sens de la présente loi est la diminution de la capacité de gain, présumée permanente ou de longue durée, qui résulte d'une atteinte à la santé physique, ou mentale provenant d'une infirmité congénitale, d'une maladie ou d'un accident.
Aux termes de l'art. 28 al. 2 LAI (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002), pour l'évaluation de l'invalidité, le revenu du travail que l'invalide pourrait obtenir en exerçant l'activité qu'on peut raisonnablement attendre de lui, après exécution éventuelle de mesures de réadaptation et compte tenu d'une situation équilibrée du marché du travail, est comparé au revenu qu'il aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide.
4.2 Sur la base de l'expertise du docteur S._ du 28 janvier 2004 et du rapport des doctoresses A._ et R._ du 23 juillet 2004, les premiers juges ont retenu que l'assuré présente une incapacité de travail de 50 % tant sur le plan somatique que psychique, ce que conteste l'office AI dans son recours en se référant à l'analyse du rapport du docteur S._ par les docteurs P._, L._ et C._ et à l'avis de la doctoresse E._ du 2 septembre 2004.
4.3 En principe, le juge ne s'écarte pas sans motifs impératifs des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Selon la jurisprudence, peut constituer une raison de s'écarter d'une expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (<ref-ruling> consid. 3b/aa et les références).
4.4 Au plan physique, les conclusions des médecins du SMR et du docteur S._ ne concordent pas.
4.4.1 Dans le rapport SMR du 20 novembre 2001, les docteurs L._ et P._ se sont fondés sur l'examen clinique pluridisciplinaire du 19 novembre 2001. En ce qui concerne le dossier radiologique, ces médecins disposaient uniquement d'un cliché de la cheville gauche daté du 5 novembre 2001. Ils ont constaté la présence d'un os surnuméraire au niveau du bord interne du scaphoïde tarsien. L'interligne entre le calcanéum et le scaphoïde tarsien était sans problème. Il en allait de même des autres interlignes articulaires visualisés. Dans le rapport précité, les docteurs L._ et P._ ont indiqué que l'examen clinique actuel était surtout marqué par une hypertonie d'opposition touchant le membre supérieur gauche et le membre inférieur gauche, toutefois sans que l'on puisse mettre en évidence de limitations articulaires quelconques. Ils ont retenu le diagnostic de syndrome douloureux de l'hémicorps gauche sans substrat anatomique. Considérant que l'anamnèse, le status clinique et les quelques examens de laboratoire disponibles ne permettaient pas de retenir un diagnostic ostéoarticulaire ou neurologique quelconque et que l'on était ainsi confronté à un syndrome douloureux subjectif fonctionnel apparenté aux troubles somatoformes douloureux, ils en ont conclu qu'il n'y avait pas d'incapacité de travail légitimable au plan ostéoarticulaire ou neurologique et que la capacité de travail exigible apparaissait comme complète dans l'activité exercée.
4.4.2 Dans son rapport du 28 janvier 2004, le docteur S._ s'est fondé sur un examen du patient du 20 novembre 2003, les clichés des examens antérieurs encore disponibles et le bilan radiologique du docteur F._ du 4 décembre 2003. Selon l'expert, l'essentiel des troubles douloureux découlait des séquelles de lésions traumatiques méconnues des deux chevilles et d'un conflit articulaire radio-cubital inférieur du poignet gauche, ainsi que d'irritations de surcharge secondaires, s'étendant de proche en proche, de façon extensive, tant aux membres inférieurs qu'au membre supérieur gauche (pseudarthrose malléolaire externe gauche, avec tiroir astragalien, et petites séquelles de distorsion de la cheville droite + conflit articulaire radio-cubital gauche distal; contractures secondaires réactives). De l'avis du docteur S._, en l'absence de diagnostics et de traitements adéquats et du fait d'une incapacité de travail officiellement complète, il n'y a pas eu d'évolution des lésions de 1998 à ce jour, ce qui fait que la capacité de travail fondamentale n'a pas évolué non plus. A l'heure actuelle, la capacité de travail de l'intimé doit être de l'ordre de 80 % au réveil et de 70 à 60 % une heure plus tard, puis elle doit osciller entre 60 et 40 %, suivant les efforts physiques accomplis sans surmenage (et ne restera guère à 70 % qu'en cas d'activité exceptionnellement adaptée, un « jour calme », respectivement s'abaissera à 35 % ou même 30 % dans des circonstances inverses). Toutes choses étant égales par ailleurs, il doit en avoir été ainsi pendant toute la période de 1998 à ce jour et vu la labilité de la situation, il paraît vain de vouloir s'accorder sur un chiffre moyen, qui ne représentera rien d'objectivable.
4.4.3 De leur côté, les docteurs L._, P._ et C._, dans un avis médical SMR du 2 mars 2004, ont procédé à une analyse du rapport du docteur S._ du 28 janvier 2004. Ils en ont conclu que les arguments apportés par l'expert judiciaire se basaient essentiellement sur une lecture qu'on ne pouvait s'empêcher de considérer comme partisane des radiographies de la région de la cheville et du pied gauches et du poignet gauche qui le poussaient à faire des déductions que l'examen clinique et la lecture des radiographies faites par d'autres yeux (soit le docteur F._, radiologue en l'occurrence) ne corroboraient pas, ainsi que sur des conclusions et des pronostics en ce qui concerne les radiographies rachidiennes que l'anamnèse actuelle et l'examen clinique ne soutenaient pas. A leur avis, malgré la foison d'examens radiologiques et les longues considérations qui se veulent solides en termes physiopathologiques, l'expertise du docteur S._ n'apporte pas d'arguments incontestables qui incitent à réviser les conclusions de l'examen SMR du 19 novembre 2001.
4.4.4 En ce qui concerne la cheville gauche de l'intimé, le rapport du docteur S._ du 28 janvier 2004 ne contient aucune contradiction. Selon les constatations de l'expert, on a passé à côté de la fracture de la malléole externe gauche, que l'on a laissé évoluer vers la pseudarthrose et qui, depuis juillet 1997 entretient des douleurs et parfois de l'enflure, avec ou sans rougeur à la face externe de la cheville et du pied gauches, ainsi que des crispations réflexes secondaires de tous les muscles enjambant cette articulation semi-flottante pour finir par induire des troubles douloureux semblables et ascendants, montant jusqu'à la ceinture. De l'avis de ce médecin, la pseudarthrose malléolaire externe gauche rend compte du foyer fracturaire non consolidé, donc branlant, dont elle découle, ainsi que des douleurs sans cesse réactivées jusqu'à ce jour, par les mouvements de ce pont tissulaire toujours pas solidifié.
L'opinion contraire des médecins du SMR n'est pas apte à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert. Pas plus que la juridiction cantonale, la Cour de céans n'a de raison de s'écarter des conclusions du docteur S._ en ce qui concerne l'incapacité de travail liée aux séquelles de distorsion de la cheville gauche. En effet, le docteur I._ indique dans son rapport médical d'octobre 1999 que les radiographies des chevilles montrent une très vraisemblable séquelle de fracture de la pointe malléolaire externe gauche. Lui-même constatait des douleurs à la palpation de la face externe et antérieure de la cheville gauche. D'autre part, le bilan radiologique du docteur F._ du 4 décembre 2003 atteste la présence d'un sésamoïde sous la malléole externe gauche, mais pas à droite.
Il s'ensuit que l'intimé présente une atteinte à la santé physique invalidante, caractérisée par des troubles douloureux de la cheville gauche. Dans son rapport du 28 janvier 2004, le docteur S._ a conclu à une incapacité de travail de 50 % au moins en moyenne, taux dont il n'y a pas lieu de s'écarter. Au plan physique, l'intimé présente donc une capacité de travail de 50 %.
4.5 En ce qui concerne le status psychique de l'intimé, le recourant fait valoir que l'avis de la doctoresse E._ du 2 septembre 2004 démontre que les conclusions des médecins du Département universitaire Q._ reposent essentiellement sur des éléments subjectifs. Selon l'office AI, les doctoresses A._ et R._ ne font qu'interpréter les déclarations de l'assuré, qui souhaite maintenir une activité à 50 %, sans chercher à étayer objectivement celles-ci.
4.5.1 Dans leur rapport du 23 juillet 2004, les doctoresses A._ et R._ ont retenu le diagnostic de trouble dépressif majeur récurrent en raison de la thymie triste que l'intimé présente presque tous les jours avec une péjoration le soir, d'un état d'agitation interne, d'un sentiment de dévalorisation, de difficultés de concentration avec des oublis fréquents, de troubles du sommeil, d'une irritabilité et d'un retrait social. Elles indiquent que les symptômes sont présents depuis environ 2000 et qu'ils se sont aggravés progressivement jusqu'en 2002. Actuellement, l'intensité est moins sévère, de sorte qu'elles ont retenu un épisode actuel d'intensité moyenne, avec syndrome somatique en raison de la présence de troubles du sommeil.
4.5.2 Dans l'avis médical SMR du 2 septembre 2004, la doctoresse E._ indique que les éléments sur lesquels repose le diagnostic de troubles dépressifs majeurs récurrents épisode moyen avec syndrome somatique ne sont pas basés sur l'observation médicale. Elle met en doute non pas la présence d'une humeur dépressive liée au contexte de vie, mais bien son incidence sur la capacité de travail.
4.5.3 S'agissant de la capacité de travail de l'intimé sur le plan psychique, les doctoresses A._ et R._ indiquent dans leur rapport du 23 juillet 2004 que l'assuré n'est plus apte à assumer une charge à 100 %, mais qu'il souhaite maintenir une activité à 50 %. Celle-ci leur paraît être un maximum exigible de la part du patient, qui souffre d'un trouble dépressif récurrent et d'une atteinte somatique multiple. Selon ces médecins, il est probable que la restauration d'une capacité de travail partielle permette à l'intimé de retrouver une meilleure estime de soi et l'aide également à faire face à son état dépressif.
Il apparaît que les doctoresses A._ et R._ ne démontrent pas en quoi le trouble dépressif majeur récurrent (épisode moyen avec syndrome somatique) diminuerait de 50 % la capacité de travail de l'assuré. Ces spécialistes ont bien plutôt pris acte du souhait de ce dernier de maintenir une activité à 50 %.
L'avis sur ce point de la doctoresse E._, elle-même spécialiste en psychiatrie, est propre à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions des doctoresses A._ et R._. Il convient dès lors d'interpréter de manière divergente leurs conclusions en ce qui concerne la capacité de travail de l'intimé, qui demeure entière sur le plan psychique.
4.6 Dans le cas particulier, les possibilités de réadaptation professionnelles sont très aléatoires. C'est dans son métier de rétameur-rémouleur que l'intimé peut le mieux mettre à profit sa capacité résiduelle de travail (voir le rapport du docteur S._ du 28 janvier 2004).
Il convient dès lors d'évaluer l'invalidité de l'intimé en pour-cent dans sa profession actuelle. Avec une capacité de travail réduite de 50 % sur le plan physique, celui-ci, dont on peut attendre qu'il reprenne l'activité qui a toujours été la sienne de rétameur-rémouleur, présente une invalidité de 50 % (comparaison en pour-cent; <ref-ruling> consid. 3a, 104 V 136 s. consid. 2b). Il a donc droit à une demi-rente d'invalidité (art. 28 al. 1 LAI).
Depuis le 21 décembre 1998, l'assuré a présenté de manière continue une incapacité de travail de 40 % au moins (rapport médical du docteur U._ du 30 juin 1999, rapport d'expertise du docteur S._ du 28 janvier 2004). Son droit à la rente a donc pris naissance une année plus tard (art. 29 al. 1 let. b LAI). Il s'ensuit que l'intimé a droit à une demi-rente d'invalidité depuis le 1er décembre 1999.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est partiellement admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud, du 24 décembre 2004, et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, du 16 janvier 2002, sont annulés. G._ a droit à une demi-rente d'invalidité depuis le 1er décembre 1999.
1. Le recours est partiellement admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud, du 24 décembre 2004, et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, du 16 janvier 2002, sont annulés. G._ a droit à une demi-rente d'invalidité depuis le 1er décembre 1999.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 29 juin 2006
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IVe Chambre: Le Greffier: