Sachverhalt:
A. Zwischen X._ und Y._ ist das Ehescheidungsverfahren vor dem Fürstlichen Landgericht in Vaduz/FL hängig. Am 22. Oktober 2007 ersuchte X._ das Bezirksgericht Maloja, Y._ während der Dauer des Scheidungsverfahrens zu verbieten, über eine in ihrem Eigentum stehende Stockwerkseigentumswohnung (einschliesslich Benützungsrecht am Autoabstellplatz) in A._ zu verfügen, und über das Grundstück eine Grundbuchsperre zu errichten, wobei die Anordnung ohne vorherige Anhörung zu treffen sei. Mit Verfügung vom 31. Oktober 2007 wies der Bezirksgerichtspräsident das Gesuch ab.
B. Gegen diese Präsidialverfügung erhob X._ am 8. November 2007 Beschwerde beim Bezirksgerichtsausschuss Maloja, welcher am 13. November 2007 superprovisorisch die Anmerkung einer Grundbuchsperre im Grundbuch anordnete. Mit Beschwerdeentscheid vom 12. Dezember 2007 wies der Bezirksgerichtsausschuss die Beschwerde von X._ ab und hob die superprovisorisch angemerkte Grundbuchsperre auf.
Gegen den Entscheid des Bezirksgerichtsausschusses Maloja vom 12. Dezember 2007 gelangte X._ mit Beschwerde an den Kantonsgerichtsausschuss von Graubünden. Mit Urteil vom 12. März 2008 trat der Kantonsgerichtsausschuss auf die Beschwerde nicht ein, mit der Begründung, dass gegen den Entscheid des Bezirksgerichtsausschusses kein kantonales Rechtsmittel gegeben sei.
C. X._ führt mit Eingabe vom 10. Juni 2008 gegen das Urteil des Kantonsgerichtssausschusses vom 12. März 2008 Beschwerde in Zivilsachen und eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an den Bezirksgerichtsausschuss zurückzuweisen.
Mit Präsidialverfügung vom 25. Juni 2008 wurde das in diesem Verfahren gestellte Massnahmebegehren als gegenstandslos abgeschrieben.
Vernehmlassungen in der Sache sind nicht eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer hat gegen den Entscheid des Bezirksgerichtsausschusses Maloja vom 12. Dezember 2007 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Mit Urteil 5A_3/2008 vom 27. November 2008 hat das Bundesgericht diese Beschwerde gutgeheissen und das Urteil des Bezirksgerichtsausschusses aufgehoben. Mit Gutheissung der betreffenden Beschwerde in Zivilsachen entfällt im vorliegenden Beschwerdeverfahren das Anfechtungsobjekt und ist die Beschwerde als gegenstandslos abzuschreiben (Art. 32 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 96).
2. Bei einem Rechtsstreit, der gegenstandslos wird, ist mit summarischer Begründung über die Parteikosten zu entscheiden (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 72 BZP).
2.1 Der Kantonsgerichtsausschuss stützt sich auf die ständige Praxis, wonach gegen Entscheide des Bezirksgerichtspräsidenten betreffend vorsorgliche Massnahmen - hier während der Dauer des Scheidungsverfahrens - einzig die Beschwerde an den Bezirksgerichtsausschuss möglich ist und dessen Beschwerdeentscheide sich nach kantonalem Recht nicht anfechten lassen. Die Vorinstanz hat ausgeführt, dass die Beschwerde an den Kantonsgerichtsausschuss gemäss Art. 232 ZPO/GR nicht möglich ist, weil kein "prozesserledigender Entscheid" im Sinne dieser Bestimmung vorliege. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, in unhaltbarer Weise die Möglichkeit der Beschwerde nach Art. 232 ZPO/GR ausgeschlossen zu haben.
2.2 Gemäss Art. 232 Abs. 1 ZPO/GR kann die Beschwerde an den Kantonsgerichtsausschuss u.a. gegen "prozesserledigende Entscheide" des Bezirksgerichtsausschusses geführt werden. Nach ständiger Praxis zu dieser Bestimmung gehören dazu nicht Entscheide über vorsorgliche Massnahmen, weil sie weder Sach- noch Prozessurteile im materielle Sinne darstellen (dazu PKG 2005 Nr. 10 S. 57 f.; 1997 Nr. 15 S. 72 f.). Dass hier ein mit der Hauptsache weiterzugsfähiges Beiurteil (Urteil über eine prozessuale Vorfrage) im Sinne von Art. 120 Abs. 1 ZPO/GR vorliege, behauptet der Beschwerdeführer selber nicht. Als Beschwerdeinstanz gegen vorsorgliche Massregeln des Bezirksgerichtspräsidenten entscheidet jedoch der Bezirksgerichtsausschuss (Art. 237 ZPO/GR), und ein Weiterzug an den Kantonsgerichtsausschuss ist nach konstanter Praxis ausgeschlossen (PKG 1978 Nr. 21 S. 74; <ref-ruling>, nicht publ. E. 1; <ref-ruling>, nicht publ. E. 1; Urteil 5C_63/2007 vom 23. November 2007, E.1.1; NAY, Zivilprozessordnung und Gerichtsverfassungsgesetz des Kantons Graubünden, Chur 1986, N. 4 zu Art. 237). Im Unterschied zu anderen Kantonen, welche eine allgemeine Weiterzugsmöglichkeit von Endentscheiden unterer Instanzen kennen, welche diese im summarischen Verfahren gefällt haben, wird hier nicht generell auf den Charakter des Anfechtungsobjekts als im Summarverfahren gefällte Entscheidung abgestellt (PKG 2005 Nr. 10 S. 57 f.). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist diese Anwendung kantonalen Rechts nicht völlig unhaltbar (zum Willkürbegriff: <ref-ruling> E. 2.1 S. 9) und es liegt keine Verletzung von Art. 9 BV vor. Er legt im Weiteren nicht dar (Art. 106 Abs. 2 BGG), inwiefern das BGG die Kantone verpflichten soll, den gleichen Begriff für "verfahrensabschliessende" Entscheide im Sinne von Art. 90 BGG zu verwenden, um die mit kantonalen Rechtsmitteln anfechtbaren Entscheide zu definieren. Nach dem Dargelegten konnte der Beschwerde in Zivilsachen bereits vor Eintritt des Grundes für die Gegenstandslosigkeit kein Erfolg beschieden sein.
3. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat der Beschwerdegegnerin, welche in ihrer Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung die Abweisung beantragt, eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Eine weitergehende Entschädigung an die Beschwerdegegnerin entfällt, da in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt worden ist und ihr im bundesgerichtlichen Verfahren keine weiteren Kosten entstanden sind.

Demnach verfügt der Präsident:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, Kantonsgerichtsausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. November 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Levante