In Erwägung,
dass B._ mit Eingabe vom 14. Dezember 2003 gegen die Beschwerdegegnerin Klage auf Zahlung von Fr. 72'000.-- erhob;
dass das Bezirksgericht Bülach mit Beschluss vom 23. September 2009 dem Kläger Frist zur Zahlung einer Prozesskaution von Fr. 15'000.-- ansetzte, ansonst auf die Klage nicht eingetreten werde;
dass das Bezirksgericht Bülach mit Beschluss vom 4. November 2009 auf die Klage nicht eintrat, weil die Kaution nicht fristgemäss bezahlt worden war;
dass B._, vertreten durch seinen Bruder A._, an das Obergericht des Kantons Zürich rekurrierte;
dass das Obergericht mit Beschluss vom 20. Mai 2010 das Gesuch des Klägers um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung samt Rechtsbeistand und dessen Gesuch um Fristwiederherstellung abwies, soweit es sich gegen den Beschluss des Bezirksgerichts Bülach vom 23. September 2009 richtete, auf den Rekurs des Klägers gegen den Beschluss des Bezirksgerichts Bülach vom 23. September 2009 und auf das Gesuch des Klägers um Fristwiederherstellung nicht eintrat, soweit es sich gegen den Beschluss des Bezirksgerichts vom 4. November 2009 richtete, den Rekurs des Klägers gegen diesen Beschluss abwies und ihn bestätigte und die Kosten des Rekursverfahrens dem Kläger auferlegte;
dass B._ bereits am 29. April 2010 verstorben war, was dem Obergericht zur Zeit der Entscheidfällung nicht bekannt war;
dass A._ am 28. Juni 2010 "namens und im Auftrag" des als Beschwerdeführer bezeichneten B._ "bzw. den Erwerbern seiner Rechte" beim Kassationsgericht eine Nichtigkeitsbeschwerde einreichte;
dass A._ mit Eingabe vom 3. Januar 2011 erklärte, er bestehe darauf, dass die Nichtigkeitsbeschwerde behandelt und er als Beschwerdeführer aufgeführt werde, und zudem beantragte, für seinen verstorbenen Bruder als bisheriger unentgeltlicher Rechtsbeistand eingesetzt zu werden;
dass das Kassationsgericht mit Zirkulationsbeschluss vom 12. April 2011 die Anträge von A._ vom 3. Januar 2001 (recte 2011), selber als Beschwerdeführer sowie als bisheriger unentgeltlicher Rechtsbeistand von "B._ eingesetzt zu werden, abwies und auf die Beschwerde nicht eintrat sowie die Kosten des Kassationsverfahrens in Anwendung von § 66 Abs. 3 ZPO ZH A._ auferlegte;
dass das Kassationsgericht in der Entscheidbegründung namentlich festhielt, dass alle gesetzlichen Erben von B._ die Erbschaft ausgeschlagen hätten und das Konkursamt als Massenvertreter die Einreichung der Nichtigkeitsbeschwerde durch A._ nicht genehmigt habe;
dass das Kassationsgericht in rechtlicher Hinsicht insbesondere zum Schluss kam, dass B._ nicht Beschwerdeführer sein könne und A._ keine Vertretungsbefugnis habe;
dass das Kassationsgericht zudem festhielt, dass A._ selbst nicht als Beschwerdeführer eingesetzt werden könne;
dass A._ dem Bundesgericht eine vom 31. Mai 2011 datierte Rechtsschrift einreichte, in der er erklärte, "namens und im Auftrag des (für den verstorbenen Angeklagten handelnden) Beschwerdeführers" Beschwerde gegen den Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 12. April 2011 zu erheben;
dass diese Erklärung so zu verstehen ist, dass A._ wie bereits vor dem Kassationsgericht auch im Zusammenhang mit der Einreichung der Beschwerde beim Bundesgericht im Namen und als Vertreter seines verstorbenen Bruders handeln will;
dass insoweit auf die Beschwerde von vornherein nicht einzutreten ist aus den Gründen, die bereits in den Erwägungen des angefochtenen Entscheides (E. III. 1. und 2.) erörtert worden sind und auf die verwiesen werden kann;
dass sich allerdings auch A._ selbst als Beschwerdeführer bezeichnet, wie dies an anderen Orten der Beschwerdeschrift der Fall ist;
dass diese Beschwerde in eigenem Namen aufgrund der Akten entschieden werden kann und die Anordnung einer öffentlichen mündlichen Parteiverhandlung (Art. 57 BGG) nicht angezeigt ist, weshalb der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Parteiverhandlung vor Bundesgericht abzuweisen ist;
dass im Übrigen die Voraussetzungen einer mündlichen Urteilsberatung nach Art. 58 Abs. 1 BGG nicht erfüllt sind, weshalb auf dem Weg der Aktenzirkulation zu entscheiden ist (Art. 58 Abs. 2 BGG);
dass der Beschwerdeführer die ordentliche Zusammensetzung des zuständigen Spruchkörpers des Bundesgerichts dem Staatskalender entnehmen konnte, weshalb entgegen der in der Beschwerdeschrift vertretenen Auffassung kein Anlass zur vorgängigen Information über die Zusammensetzung des Gerichts bestand (vgl. Urteil 2C_8/2010 vom 4. Oktober 2010 E. 2.2);
dass in einer Beschwerde an das Bundesgericht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheides dargelegt werden muss, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 1 BGG), wobei eine allfällige Verletzung der bundesrechtlichen Verfassungsrechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG);
dass die Anwendung und Auslegung des kantonalen Zivilprozessrechts vom Bundesgericht einzig unter dem Blickwinkel eines Verstosses gegen Bundesrecht bzw. gegen Bundesverfassungsrecht überprüft werden kann (Art. 95 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382 f.), was aber - wie bereits festgehalten - das Vorbringen entsprechender Rügen in der Beschwerdeschrift voraussetzt;
dass die Rechtsschrift vom 31. Mai 2011 diesen Begründungsanforderungen offensichtlich nicht genügt, weil zwar verschiedene Bestimmungen der Verfassung und der EMRK als verletzt gerügt werden, jedoch nicht auf die einzelnen Erwägungen des angefochtenen Entscheides eingegangen und nicht in verständlicher Weise dargelegt wird, inwiefern das Kassationsgericht gegen die angerufenen Bestimmungen verstossen haben soll;
dass aus diesen Gründen im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten ist;
dass das Gesuch um aufschiebende Wirkung mit dem Entscheid in der Sache gegenstandslos wird;
dass das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, über das unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden musste (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2), wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG);
dass die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen sind (Art. 66 Abs. 1 BGG);

erkennt die Präsidentin:
1. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Huguenin