Faits:
A. A.a R._ a été engagé en qualité de maçon en mars 1989 par l'entreprise X._ & Cie SA, emploi qu'il a cessé d'exercer en avril 1999 pour des raisons de santé.
Le 14 octobre 1999, R._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur U._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, a déposé ses conclusions dans un rapport du 30 octobre 1999.
L'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève a mis en oeuvre un stage d'observation, qui a eu lieu du 27 mars au 23 juin 2000 (rapport d'évaluation du 22 juin 2000). Il a confié une expertise au docteur A._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 8 mai 2000, ce médecin a posé le diagnostic de status après contusion cervico-dorsale, de conflit sous-acromial de l'épaule droite avec déchirure partielle du sous-scapulaire et tendinite du sus-épineux, en présence d'un acromion de type II, de cyphose dorsale sur ancien Scheuermann et d'ancienne section de P3 D2 droit. Il indiquait que tout travail debout ou assis de manutention légère, n'exigeant pas un travail à l'horizontale des épaules était tout à fait compatible avec l'atteinte physique et exigible à 100 %.
Par décision du 11 septembre 2000, l'office AI a rejeté la demande, au motif que l'assuré présentait une invalidité de 27 % et qu'il n'avait pas droit à une rente. Par jugement du 28 mars 2002, la Commission cantonale genevoise de recours en matière d'AVS/AI a rejeté le recours formé par celui-ci contre cette décision.
A.b Le 16 janvier 2003, R._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité.
Dans un rapport du 3 février 2003, le docteur B._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie, a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de fibromyalgie, d'état dépressif et d'alcoolisme chronique. Il indiquait que la capacité de travail était nulle. Dans un rapport du 19 mars 2004, le docteur E._, médecin de la Clinique Y._, a retenu les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de fibromyalgie, de lombalgies chroniques, d'état dépressif, de dépendance à l'alcool, de périarthrite chronique et de douleurs chroniques. Le patient, dont l'état de santé s'aggravait, présentait une incapacité de travail de 100 % dans le métier de maçon.
Invité par le docteur L._, spécialiste FMH en médecine générale et médecin de l'office AI, à donner des renseignements complémentaires, le docteur E._ a répondu que la persistance de la dépression avait pour origine somatique la comorbidité fibromyalgique, la dépression constatée étant clairement et en majeure partie la conséquence des douleurs rebelles aux traitements de sédation de la pathologie fibromyalgique. Il a précisé que le patient était abstinent depuis sa première prise en charge auprès de la consultation d'alcoologie (lettre du 18 février 2005).
Sur proposition du docteur L._ (avis SMR du 22 mars 2005), l'office AI a confié une expertise à la doctoresse O._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 7 mai 2005, ce médecin a posé les diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail de trouble somatoforme ([CIM-10] F45) existant depuis 2001, d'alcoolisme chronique, actuellement abstinent d'après le patient (F10.2), présent depuis plusieurs années, de trouble dépressif récurrent, sans précision (F33.9), et retenu quelques traits de personnalité passive. A son avis, la capacité de travail ne dépassait pas 50 % pour des problèmes psychiques. Répondant dans un document du 2 juin 2005 à un questionnaire complémentaire du docteur L._ du 30 mai 2005, l'expert a indiqué notamment que d'après les renseignements obtenus, R._ était bien intégré dans sa vie familiale.
Dans un avis SMR du 12 septembre 2005, le docteur L._, constatant que les critères permettant de nier l'exigibilité d'un effort de volonté en cas de troubles somatoformes douloureux persistants n'étaient pas réunis, a conclu qu'il n'y avait pas de nouvelles atteintes à la santé ayant valeur de maladie justifiant une incapacité de travail durable. Par décision du 24 novembre 2005, l'office AI, rejetant la demande pour ce motif, a nié tout droit de l'assuré à des prestations de l'assurance-invalidité.
Les 20 décembre 2005 et 23 janvier 2006, R._ a formé opposition contre cette décision.
Par décision du 2 juillet 2007, l'office AI a rejeté l'opposition.
B. Par jugement du 19 février 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par R._ contre cette décision.
C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celui-ci, le Tribunal fédéral étant invité à dire et constater qu'il a droit à un trois quarts de rente d'invalidité et à renvoyer la cause à l'office AI pour calcul de la rente et nouvelle décision. A titre subsidiaire, il demande que la cause soit renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral, qui est un juge du droit, fonde son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réalisées. A ce défaut, un état de fait divergent de celui de la décision attaquée ne peut être pris en compte (cf. arrêt 6B_2/2007 du 14 mars 2007, consid. 3). La faculté que l'<ref-law> confère au Tribunal fédéral de rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> ne dispense pas le recourant de son obligation d'allégation et de motivation. Il n'incombe pas au Tribunal fédéral de rechercher lui-même dans le dossier si ce dernier pourrait éventuellement contenir des indices d'une inexactitude de l'état de fait de l'autorité précédente. L'<ref-law> trouve application lorsque le Tribunal fédéral, en examinant les griefs soulevés, constate une inexactitude manifeste dans l'état de fait de l'autorité précédente ou lorsque celle-ci saute d'emblée aux yeux (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 288; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 255).
2. Le litige porte sur le droit éventuel à une rente d'invalidité, singulièrement sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail du recourant et l'exigibilité et sur le taux d'invalidité fondant le droit à la prestation.
2.1 Le jugement attaqué expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs aux notions d'incapacité de gain (<ref-law>) et d'invalidité (<ref-law> et <ref-law>), notamment en cas de troubles somatoformes douloureux persistants (<ref-ruling>, 130 V 352) et en cas de fibromyalgie (<ref-ruling>). On peut ainsi y renvoyer. Selon la jurisprudence, les états dépressifs (pris en tant que comorbidité psychiatrique) constituent généralement des manifestations (réactives) d'accompagnement des troubles somatoformes douloureux, de sorte qu'ils ne sauraient faire l'objet d'un diagnostic séparé (<ref-ruling> consid. 3.3.1 in fine p. 358).
On précisera que lorsque l'administration entre en matière sur une nouvelle demande (cf. <ref-law>), elle doit instruire la cause et déterminer si la situation de fait s'est modifiée de manière à influencer les droits de l'assuré. En cas de recours, le juge est tenu d'effectuer le même examen quant au fond (<ref-ruling> consid. 2 p. 66 et les arrêts cités). Par analogie avec le cas de la révision au sens de l'<ref-law>, pour déterminer si la modification des faits (relatifs à l'état de santé ou à la situation économique) suffit à admettre le droit à la prestation litigieuse, il y a lieu de comparer les faits tels qu'ils se présentaient au moment de la décision de refus de prestations et les circonstances existant au moment du prononcé de la nouvelle décision (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 349).
2.2 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 s. (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé (diagnostic, etc.), la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398). Il en va de même de la question de savoir si la capacité de travail, respectivement l'incapacité de travail, de l'assuré s'est modifiée d'une manière déterminante sous l'angle de la révision au cours d'une certaine période (arrêts 9C_413/2008 du 14 novembre 2008 et 9C_270/2008 du 12 août 2008).
3. Les premiers juges, procédant à la comparaison de la situation du recourant en 2000 et 2005, ont relevé qu'il présentait en 2000 des cervico-dorso-lombalgies, une épaule droite douloureuse, un ancien Scheuermann et une scoliose et qu'à cette époque-là, on pouvait exiger de lui qu'il reprenne une activité lucrative à plein temps, dans le cadre d'un travail debout ou assis, de manutention légère, et n'exigeant pas un travail à l'horizontale des épaules, ainsi que cela résultait de l'expertise du docteur A._ du 8 mai 2000. Ils ont retenu qu'en 2005, il présentait au plan somatique des lombalgies chroniques, une périarthrite et des douleurs chroniques, et qu'au plan psychiatrique il était atteint de fibromyalgie et d'état dépressif selon le diagnostic posé par le docteur E._ et de trouble somatoforme douloureux et de trouble dépressif récurrent selon le diagnostic posé par la doctoresse O._. Ils ont conclu à l'absence de comorbidité psychiatrique grave.
3.1 Les premiers juges ont relevé que le docteur E._, dans sa réponse du 18 février 2005, avait indiqué que l'état dépressif était "clairement et en majeure partie la conséquence des douleurs rebelles aux traitements de sédation de la pathologie fibromyalgique". Le recourant conteste le caractère réactionnel de la dépression par rapport à la fibromyalgie. Il fait valoir que dans son rapport du 19 mars 2004, le docteur E._ a mentionné que l'état dépressif existait depuis 1999 et la fibromyalgie depuis 2001.
Cela n'est pas déterminant. Lorsque, comme en l'espèce, l'on est en présence d'un trouble somatoforme douloureux ou d'une fibromyalgie, il convient d'examiner l'état dépressif, pris en tant que comorbidité psychiatrique (supra, consid. 2.1).
Le recourant s'en tient à l'expertise du 7 mai 2005 de la doctoresse O._, qui a retenu un trouble dépressif récurrent et une capacité de travail ne dépassant pas 50 % pour des problèmes psychiques. Eu égard aux affections somatiques dont il est atteint, il est de l'avis que l'on aurait pu attendre des médecins qu'ils examinent si l'état dépressif découlait exclusivement ou principalement de la fibromyalgie ou également et surtout d'autres facteurs.
Toutefois, il n'appartient pas au Tribunal fédéral, dont le pouvoir d'examen est limité (supra, consid. 2.2), de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées. Les premiers juges ont retenu que le trouble dépressif dont est atteint le recourant ne constituait pas une comorbidité psychiatrique grave. Ce fait est pertinent. Au regard des pièces du dossier, il n'apparaît pas qu'il ait été établi de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Ni le docteur E._ dans son rapport du 19 mars 2004 et sa réponse du 18 février 2005, ni la doctoresse O._ dans son expertise du 7 mai 2005 et sa réponse du 2 juin 2005 n'ont évoqué à propos de l'état dépressif ou du trouble dépressif récurrent une comorbidité psychiatrique importante par sa gravité, son acuité et sa durée.
Pris en tant que comorbidité psychiatrique, l'état dépressif dont est atteint le recourant ne saurait donc faire l'objet d'un diagnostic séparé (<ref-ruling> consid. 3.3.1 in fine p. 358). Le recours est mal fondé de ce chef.
3.2 En présence d'un trouble somatoforme douloureux ou d'une fibromyalgie, il convient d'examiner si les critères consacrés par la jurisprudence, dont l'existence permet d'admettre le caractère non exigible de la reprise du travail (<ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 71, 131 V 49 consid. 1.2 p. 50, 130 V 352 consid. 2.2.3 p. 354), sont réalisés. Ainsi, c'est à tort que le recourant voudrait que l'exigibilité d'un effort de volonté soit examinée par rapport à l'état dépressif, dont on a vu qu'il ne saurait faire l'objet d'un diagnostic séparé.
Les premiers juges ont retenu que le recourant présentait, certes, des troubles cervico-dorso-lombaires et une périarthrite chroniques, auxquels les différents traitements n'avaient pas apporté de soulagement. Toutefois, celui-ci ne subissait pas une perte d'intégration sociale. Niant également l'existence d'un état psychique cristallisé, ils ont conclu que le trouble somatoforme douloureux et la fibromyalgie ne se manifestaient pas avec une sévérité telle que, d'un point de vue objectif, ils excluaient toute mise en valeur de la capacité de travail.
Le recourant leur reproche d'avoir substitué leur appréciation à celle de la doctoresse O._, laquelle, dans son expertise du 7 mai 2005, a conclu que la capacité de travail ne dépassait pas 50 % pour des problèmes psychiques. Selon lui, la complexité du psychisme ne se laisse certainement pas appréhender par un examen aussi sommaire que celui auquel a procédé la juridiction cantonale et la question de l'exigibilité devait être résolue par un expert psychiatre qui, en l'espèce, a apprécié de façon globale et mesurée le caractère exigible d'un effort de volonté.
Cependant, contrairement à ce que laisse entendre le recourant, il n'y a pas eu appréciation arbitraire des preuves de la part de la juridiction cantonale (à ce propos, voir <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; arrêt 6B_241/2008 du 12 juin 2008, consid. 2.1 non publié in <ref-ruling>). Les conclusions de la doctoresse O._ dans son rapport du 7 mai 2005 retenant une capacité de travail de 50 % pour des problèmes psychiques ne se fondent pas sur les critères, dont l'existence permet d'admettre le caractère non exigible de la reprise du travail, à prendre en considération en cas de troubles somatoformes douloureux persistants ou de fibromyalgie. Selon les constatations des premiers juges, ces critères n'étaient pas réalisés. Qu'ils n'aient pas suivi la doctoresse O._ dans ses conclusions ne signifie donc pas qu'ils n'aient manifestement pas compris le sens et la portée de l'expertise de ce médecin, ni qu'ils aient omis sans raison sérieuse de tenir compte de son rapport du 7 mai 2005 ou de sa réponse du 2 juin 2005 ou qu'ils aient fait des déductions insoutenables.
S'agissant des faits retenus par les premiers juges, il n'apparaît pas qu'ils aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Aucune pièce du dossier n'atteste une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie. Ainsi que l'a relevé la juridiction cantonale, le recourant vit entouré de sa famille. Aucun médecin n'a attesté l'existence d'un état psychique cristallisé. Les critères, dont l'existence permet d'admettre le caractère non exigible de la reprise du travail, ne sont donc pas remplis. Il s'ensuit que le trouble somatoforme douloureux ou la fibromyalgie ne se manifestent pas avec une sévérité telle que, d'un point de vue objectif, ils excluent toute mise en valeur de la capacité de travail. Le recours est mal fondé sur ce point.
4. La juridiction cantonale a retenu que l'état de santé de l'assuré n'avait subi aucune aggravation susceptible d'être prise en considération au sens de l'assurance-invalidité depuis 2000.
Il s'agit là d'une question de fait et il n'appartient pas au Tribunal fédéral, dont le pouvoir d'examen est limité (supra, consid. 2.2), de la revoir au regard des griefs de droit invoqués par le recourant. Mal fondé, le recours doit être rejeté.
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, à l'Office fédéral des assurances sociales et à la Caisse cantonale genevoise de compensation.
Lucerne, le 12 février 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner