Faits:
A.
A._ est propriétaire de la parcelle n° 5'342 du cadastre de la commune de Lausanne classée en zone mixte de forte densité selon le règlement communal sur le plan général d'affectation approuvé par le département compétent le 4 mai 2006 (ci-après: RPGA). Cette parcelle de 1'591 m 2 accueille un bâtiment de 1'122 m 2 d'une longueur d'à peu près 60 mètres, sis à environ trois mètres de la limite de propriété avec la parcelle n° 5'343 appartenant à la Fondation B._ (ci-après: la Fondation). Les parcelles n° 5'342 et 5'343 sont grevées par une servitude instituant un droit de passage à pied et pour tous véhicules sur les deux parcelles et en faveur des deux fonds. La société C._, dont A._ est le directeur général, exploite dans ces locaux un atelier de réparation de voitures.
Ayant constaté que des travaux avaient été entrepris dans le bâtiment sis sur la parcelle n° 5'342, notamment l'agrandissement d'une porte de service, la Fondation a interpellé la Direction des travaux de la commune de Lausanne (ci-après: la Direction des travaux) par lettre du 13 novembre 2009; la Fondation exprimait entre autres son inquiétude face à un projet impliquant selon elle la mise en activité d'un nouvel atelier de réparation avec un accès principal donnant sur sa parcelle alors que jusqu'à présent un seul atelier était exploité avec un accès de l'autre côté, par la rue des Fontenailles. C._ a indiqué avoir entamé des travaux d'agrandissement de l'atelier dont l'accès se faisait par une porte latérale en très mauvais état qui devait être remplacée et élargie. Le 18 mars 2010, A._ a déposé une demande de permis de construire aux fins de remplacer et agrandir cette porte du bâtiment. Selon les plans produits, il était prévu d'élargir d'un mètre la porte située au centre de la façade sud-ouest du bâtiment actuellement d'une largeur de 2.50 mètres et d'une hauteur de 2.90 mètres. La centrale des autorisations CAMAC a établi sa synthèse le 8 avril 2010.
Le 16 juin 2010, la Municipalité a délivré une autorisation de construire à A._, avec dispense d'enquête publique comme le préconisait la Direction des travaux dans sa note du 10 juin 2010 adressée à ladite autorité.
B.
La Fondation a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal (ci-après: le Tribunal cantonal ou la cour cantonale). Dans le cadre de l'instruction, le Tribunal cantonal a tenu audience le 15 mars 2011 et a procédé à une inspection locale en présence des parties; la cause a été suspendue à la demande des parties afin qu'elles puissent trouver un accord. A la demande des parties, la cause a été reprise en avril 2013 et la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal a, par arrêt du 17 juin 2013, admis le recours de la Fondation et annulé la décision de la Municipalité de Lausanne du 16 juin 2010.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt à intervenir. Il invoque la composition incorrecte de l'autorité judiciaire et se plaint d'une application arbitraire de l'art. 80 al. 2 de la loi vaudoise du 4 décembre 1985 sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC, RSV 700.11).
L'instance précédente s'est déterminée. Aux termes de leurs observations, la Fondation a conclu au rejet du recours et la Municipalité à son admission en tant qu'il portait sur l'application de l'art. 80 LATC. La Fondation, le recourant et la Municipalité ont présenté d'ultimes observations.

Considérant en droit:
1.
Dirigé contre une décision rendue dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF, RS 173.110) auxquels renvoie l'art. 34 al. 1 de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LAT, RS 700; <ref-ruling> consid. 2 p. 356, 249 consid. 1.2 p. 251). Aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée. Le recourant, qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente, est particulièrement atteint par la décision attaquée, qui annule le permis de construire qu'il avait obtenu; il a donc un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, de sorte qu'il a la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF.
2.
Il n'y a pas lieu de procéder aux mesures d'instruction requises par le recourant, le Tribunal fédéral s'estimant suffisamment renseigné par les déterminations reçues et par les éléments figurant au dossier.
3.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant fait valoir que le jugement aurait été rendu par un Tribunal dont la composition était irrégulière. Il se fonde sur la composition de la cour cantonale, telle qu'elle figure dans l'en-tête de l'arrêt entrepris. L'intéressé se prévaut de l'arrêt 1C_235/2008 du Tribunal fédéral et fait valoir que la greffière ayant assisté à l'audience avec inspection locale du 15 mars 2011 n'était plus en fonction au sein de la cour depuis deux ans au moment du jugement entrepris et ne peut dès lors pas avoir rédigé l'arrêt.
3.1. En vertu de l'art. 30 al. 1 Cst. - qui, de ce point de vue, a la même portée que l'art. 6 par. 1 CEDH (<ref-ruling> consid. 2b p. 198) - toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire a droit à ce qu'elle soit portée devant un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial. Selon la jurisprudence, il faut entendre par tribunal un organe juridictionnel compétent pour résoudre un litige sur la base de normes juridiques à l'issue d'une procédure organisée (<ref-ruling> consid. 3 p. 83 p. 34 s.; <ref-ruling> consid. 4a; cf. également Auer/Malinverni/Hottelier, Droit constitutionnel suisse, vol. II, 3e éd. 2013, n. 1239). Le droit des parties à une composition régulière du tribunal impose des exigences minimales en procédure cantonale (<ref-ruling> consid. 2.1.2.1 p. 34; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 338 et les références).
C'est en premier lieu à la lumière des règles cantonales applicables d'organisation et de procédure qu'il convient d'examiner si une autorité judiciaire ou administrative a statué dans une composition conforme à la loi. Sur ce point, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est limité à l'arbitraire. Indépendamment de cela, le Tribunal fédéral examine librement si l'interprétation et l'application du droit cantonal, reconnues non arbitraires, sont compatibles avec la garantie d'un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial (<ref-ruling> consid. 2.1.2.1; <ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 338).
Par ailleurs, s'agissant de normes de droit cantonal et de droits constitutionnels, soit de dispositions dont le Tribunal de céans ne vérifie pas d'office le respect (art. 106 al. 2 LTF), il appartient au recourant de soulever le grief de leur violation et de motiver celui-ci d'une manière suffisante (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254).
3.2. Dans ses déterminations, l'instance précédente explique que, lors de l'audience du 15 mars 2011 à laquelle avait participé la greffière D._, il avait été convenu entre les parties de suspendre la cause afin de rechercher une solution transactionnelle. Après l'audience, il avait néanmoins été décidé, dans les grandes lignes, de la manière de trancher le recours dans l'hypothèse où les parties ne devaient pas trouver d'accord. La cour cantonale précise encore que le dossier avait été jugé dans l'état où il se trouvait le jour de l'audience en 2011 et que, pour l'essentiel, le jugement du 17 juin 2013 reprenait un projet qui avait été rédigé par D._.
3.3. Le recourant se réfère à la composition du Tribunal, telle qu'elle est mentionnée sur l'arrêt entrepris, et invoque les art. 34 et 35 du règlement organique du Tribunal cantonal du 13 novembre 2007 (ROTC, RSV 173.31.1). Il soutient que, à la lecture de ces dispositions, le greffier jouit de pouvoirs étendus, en particulier celui de rédiger et proposer des jugements, et qu'il n'a donc pas un rôle accessoire.
Selon l'art. 35 ROTC ("Greffier"), chaque juge de la Cour de droit administratif et public dispose d'au moins un greffier attitré, qui ne peut être engagé qu'avec l'accord du juge concerné (al. 1). Dans les causes qui lui sont déléguées et sous la direction du juge, le greffier conduit l'instruction, sous réserve des audiences et des inspections locales. Il prépare les projets de décisions et d'arrêts et met au net l'arrêt adopté par la section (al. 2). Quant à l'art. 34 ROTC ("Coordination"), il a trait aux délibérations de coordination ayant pour objet les questions juridiques de principes et les changements de jurisprudence.
La première page de l'arrêt du 17 juin 2013 (rubrum) mentionne comme suit la composition de la cour: "M. François Kart, président; M. François Gillard et Mme Renée-Laure Hitz, assesseurs; Mme D._, greffière". L'arrêt est signé par le président François Kart ainsi que, sous la désignation "Greffière", par la greffière Magali Fasel avec la mention "p. o." (pour ordre).
3.4. Il n'est pas contesté que, au moment de la reprise de la cause en 2013 et du prononcé du jugement entrepris, à savoir le 17 juin 2013, D._ n'occupait plus la fonction de greffière au sein du Tribunal cantonal. Fort de ce constat, le recourant prétend que la cour ayant statué serait composée de façon irrégulière. Sa critique est cependant largement appellatoire et ne satisfait pas aux exigences accrues de motivation découlant de l'art. 106 al. 2 LTF (consid. 3.1). En effet, le recourant insiste certes sur le fait que le greffier dispose de pouvoirs importants, mais il ne soutient pas expressément ni ne démontre d'une manière conforme aux exigences légales que celui-ci prendrait part, avec voix consultative, aux décisions. Il omet en outre de mentionner l'art. 78 al. 1 ROTC, dont il ressort que la participation d'un greffier aux décisions n'est nullement obligatoire. Par conséquent, la critique du recourant tirée de la composition incorrecte de l'autorité judiciaire apparaît irrecevable et il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'examiner d'office cette question relevant du droit cantonal.
Au demeurant, à supposer recevable, son moyen n'aurait pas eu pour conséquence l'annulation de l'arrêt attaqué. En effet, il apparaît, au vu des explications fournies par le Président de la cour cantonale, que la greffière Fasel - dont la signature figure en bas de l'arrêt entrepris - a repris un projet d'arrêt initié par la greffière D._, sur la base de la décision adoptée par les juges, et l'a parachevé. En l'occurrence, la modification de la composition de l'autorité judiciaire en cours de procédure ne constitue pas en tant que telle une violation de l'art. 30 Cst. Selon une jurisprudence constante, cette disposition n'exige en effet pas nécessairement que l'autorité judiciaire appelée à statuer soit composée des mêmes personnes tout au long de la procédure (cf. <ref-ruling> consid. 1e p. 135 et la réf.; en dernier lieu: arrêt 4A_263/2012 du 22 octobre 2012 consid. 2.1.2). Le recourant ne prétend d'ailleurs pas que le droit cantonal prescrirait que seul un greffier ayant assisté à l'administration des preuves puisse rédiger les projets d'arrêts. L'intéressé se contente sur ce point d'affirmer de manière appellatoire que l'audience avec inspection locale constituait une mesure d'instruction essentielle à la correcte appréhension de l'affaire tant sur le plan factuel que juridique. Il ne propose toutefois aucune démonstration de ce qu'il affirme et ne fait en particulier pas valoir que le procès-verbal de l'audience du 15 mars 2011 consignant les constatations de la cour cantonale et les déclarations des parties serait inexact ou incomplet sur les points pertinents. Dans ces conditions, on doit admettre que la greffière Fasel disposait des mêmes connaissances du dossier que la greffière ayant assisté à l'inspection locale. Celle-ci a dès lors pu assumer la fonction de greffière en pleine connaissance de cause. Le recourant n'invoque en outre aucun motif de récusation contre la nouvelle greffière ayant repris le projet d'arrêt. Il ne fait par ailleurs pas valoir que la motivation de l'arrêt entrepris ne refléterait pas l'opinion des juges ayant statué. Les motifs font en l'occurrence partie intégrante de la décision et relèvent de la responsabilité de la majorité des juges, et non de la seule greffière dont on sait que la participation à l'arrêt n'est pas obligatoire (art. 78 al. 1 ROTC). La greffière D._ n'aurait certes pas dû être mentionnée comme greffière de la cour et la greffière Fasel a de façon inexacte apposé l'expression p. o. devant sa signature. L'annulation de l'arrêt entrepris et le renvoi à l'instance précédente pour que l'actuelle greffière signe, sans la mention p. o., un nouvel exemplaire de l'arrêt - avec rectification du nom de la greffière figurant sur la première page - relèverait toutefois du formalisme excessif. Ce grief doit donc être rejeté.
4.
Le recourant prétend ensuite que l'instance précédente a appliqué arbitrairement l'art. 80 al. 2 LATC.
4.1. A teneur de l'art. 80 al. 1 LATC, les bâtiments existants non conformes aux règles de la zone à bâtir entrées en force postérieurement, relatives aux dimensions des bâtiments, à la distance aux limites, au coefficient d'occupation ou d'utilisation du sol, ou à l'affectation de la zone, mais n'empiétant pas sur une limite des constructions, peuvent être entretenus ou réparés. L'alinéa 2 de cette disposition précise que leur transformation dans les limites des volumes existants ou leur agrandissement peuvent être autorisés, pour autant qu'il n'en résulte pas une atteinte sensible au développement, au caractère ou à la destination de la zone. Les travaux ne doivent pas aggraver l'atteinte à la réglementation en vigueur ou les inconvénients qui en résultent pour le voisinage.
4.2. Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. Lorsque l'interprétation défendue par l'autorité cantonale ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle est confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable. En outre, pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5).
4.3. Le Tribunal cantonal a retenu que le bâtiment litigieux n'était pas conforme à la réglementation en vigueur relative à la distance aux limites - par rapport à la parcelle n° 5343 de l'intimée - et à la longueur des bâtiments. Il a considéré que le projet d'agrandissement de la porte sise sur la façade sud-ouest aura pour conséquence qu'un nombre plus important de véhicules utiliseront la servitude grevant les parcelles n°5342 et 5343 pour accéder au garage. L'utilisation accrue de la servitude par des véhicules automobiles impliquera des nuisances supplémentaires pour le propriétaire voisin et aggravera par conséquent les inconvénients résultant de l'utilisation du bâtiment pour le voisinage. L'agrandissement de la porte ne pouvait dès lors être autorisé en application de l'art. 80 LAT.
Le recourant tient cette appréciation pour arbitraire. Il affirme que, selon la jurisprudence (arrêt 1C_43/2009 du 5 mai 2009), l'art. 80 al. 2 LATC ne prohibe que l'aggravation des inconvénients qui sont en relation avec l'atteinte à la réglementation. Or, selon lui, les prescriptions concernant la distance aux limites ne viseraient pas à assurer la protection des voisins contre le bruit, la pollution de l'air ou des problèmes de sécurité. Par ailleurs, l'agrandissement de la porte ne serait pas source de nouvelles nuisances puisque, selon le recourant, les véhicules continueraient d'emprunter la servitude pour accéder au garage. Cette affirmation est purement appellatoire. Le recourant se contente en effet d'opposer sa propre appréciation à celle de l'instance précédente qui a retenu que l'agrandissement de la porte conduira à un usage accru de la servitude de passage pour véhicules grevant la parcelle de l'intimée. L'intéressé ne propose aucune démonstration du caractère arbitraire de ce constat, dont il n'y a dès lors pas lieu de s'écarter.
Dans ces conditions, l'appréciation de la cour cantonale selon laquelle l'utilisation accrue de la servitude par des véhicules est de nature à aggraver les inconvénients résultant pour l'intimée de l'atteinte à la réglementation sur les distances n'apparaît pas insoutenable. Contrairement à ce que prétend le recourant, cette réglementation vise également à protéger les voisins d'éventuelles nuisances (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 470).
Enfin, dans la mesure où la Municipalité n'a pas recouru pour violation de son autonomie communale, il n'a pas lieu de se prononcer sur les arguments développés par celle-ci dans ses observations en lien avec l'application arbitraire de l'art. 80 LATC. Les motifs invoqués par la Municipalité ne sauraient ainsi pallier les insuffisances de l'acte de recours. S'agissant en outre de contrôle du droit cantonal, le Tribunal fédéral est lié par les griefs contenus dans l'acte de recours (art. 106 al. 2 LTF).
Le Tribunal cantonal pouvait dès lors, sans arbitraire, considérer que le projet ne pouvait être autorisé sur la base de l'art. 80 LATC. Le grief doit par conséquent être écarté.
5.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant qui succombe doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 LTF). Il versera en outre une indemnité à titre de dépens à l'intimée, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de 3'000 francs est allouée à l'intimée à titre de dépens, à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la Municipalité de la Ville de Lausanne ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 15 avril 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Arn