Sachverhalt:
A. Am 26. Juni 2003 begab sich die Sekundarschulklasse 3A des Schulhauses Y._ unter der Führung des Lehrers B._ auf die Abschlussreise. Die Schulklasse mietete in Airolo Fahrräder, mit denen sie talabwärts in Richtung Biasca fuhr. Zwischen Rodi Fiesso und Faido führt die Strasse nach einigen hundert Metern in einen Tunnel und beschreibt (in Richtung talabwärts) eine ausgedehnte Rechtskurve. In dieser Rechtskurve kam A._ mit ihrem Fahrrad über die Mittellinie hinaus und prallte auf der Gegenfahrbahn mit dem entgegenkommenden Personenwagen von C._, der Lenkerin und Halterin des Wagens, zusammen. Dadurch wurde A._ von ihrem Fahrrad geschleudert. Sie erlitt dabei Verletzungen, die zu einer bleibenden Tetraplegie führten.
B. Am 17. August 2009 klagte A._ beim Handelsgericht des Kantons Zürich gegen die X._ Versicherung AG als Motorfahrzeughaftpflichtversicherung des Personenwagens von C._. Zusammengefasst verlangte sie unter Nachklagevorbehalt, die X._ Versicherung AG sei zu verurteilen, ihr unter verschiedenen Titeln Schadenersatz sowie eine Genugtuung zu bezahlen. Die X._ Versicherung AG verkündete der T._ Bike AG und der Gemeinde Y._ den Streit.
Auf Antrag der X._ Versicherung AG und im Einverständnis mit A._ wurde das Verfahren mit Präsidialverfügung vom 1. Oktober 2009 zunächst auf die Frage der Haftung beschränkt.
Mit Vorurteil vom 19. März 2012 entschied das Handelsgericht, die X._ Versicherung AG hafte gegenüber A._ für den aus dem Unfall vom 26. Juni 2003 entstandenen Schaden.
C. Die X._ Versicherung AG (Beschwerdeführerin) beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Vorurteil des Handelsgerichts sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Zur Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei das Vorurteil des Handelsgerichts aufzuheben, und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
A._ (Beschwerdegegnerin) beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Ausserdem ersucht sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Vorinstanz liess sich nicht vernehmen.
Die Parteien reichten eine Replik und eine Duplik ein.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1, 470 E. 1).
1.1 Beim angefochtenen Vorurteil, das die Haftung der Beschwerdeführerin für den aus dem Unfall vom 26. Juni 2003 entstandenen Schaden bejaht, handelt es sich um einen selbständig eröffneten Vor- und Zwischenentscheid gemäss <ref-law>. Gegen einen solchen Entscheid ist die Beschwerde zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>).
Die selbständige Anfechtbarkeit von Vor- und Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.1 S. 631). Die Ausnahme ist restriktiv zu handhaben, können Vor- und Zwischenentscheide doch durch Beschwerde gegen den Endentscheid angefochten werden, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken (<ref-law>).
Die Anwendung von <ref-law> setzt voraus, dass das Bundesgericht, sollte es der Rechtsauffassung des Beschwerdeführers folgen, selbst einen Endentscheid fällen könnte und die Angelegenheit nicht an die Vorinstanz zurückweisen müsste (<ref-ruling> E. 1.3.2; <ref-ruling> E. 1.1 S. 636; <ref-ruling> E. 4; je mit Hinweisen).
Es obliegt dem Beschwerdeführer, darzutun, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht ohne weiteres in die Augen springt (<ref-ruling> E. 1.2 in fine S. 429; <ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.4.2). Macht der Beschwerdeführer geltend, die Voraussetzungen von <ref-law> seien erfüllt, ist zu differenzieren: Geht bereits aus dem angefochtenen Urteil oder der Natur der Sache hervor, dass ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erforderlich sein wird, darf auf lange Ausführungen verzichtet werden. Andernfalls hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzutun, welche Tatfragen offen sind und welche weitläufigen Beweiserhebungen in welchem zeitlichen oder kostenmässigen Umfang erforderlich sind. Zudem hat er unter Aktenhinweisen darzulegen, dass er die betreffenden Beweise im kantonalen Verfahren bereits angerufen oder entsprechende Anträge in Aussicht gestellt hat (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 1a S. 92; Urteil 4A_172/2011 vom 28. Juni 2011 E. 2.1).
1.2 Die Beschwerdeführerin stützt ihre Beschwerde auf <ref-law> und begründet die Zulässigkeit der selbständigen Anfechtung des Vorurteils damit, dass, sollte der Prozess weitergeführt werden, sowohl die Frage der Haftungsquote als auch die Fragen des Schadenquantitativums und der Kausalität der Unfallfolgen umfassend abzuklären und zu beurteilen wären. Demgegenüber würde eine Gutheissung der Beschwerde nach Auffassung der Beschwerdeführerin eine sofortige Beendigung des Rechtsstreits bewirken, d.h. sofort einen Endentscheid herbeiführen, und ein ausgedehntes Beweisverfahren vermeiden sowie beachtliche Zeit und erheblichen Aufwand ersparen.
Die Beschwerdeführerin erläutert in der Beschwerdeschrift nicht näher, inwiefern die Verneinung der Haftung ein Beweisverfahren entbehrlich machen und dadurch beachtliche Zeit oder Kosten ersparen würde. Allerdings erscheint diese Folge angesichts der Komplexität der geltend gemachten Haftpflichtansprüche als naheliegend (vgl. Urteil 4A_270/2011 vom 9. August 2011 E. 1.1; 4C.268/2004 vom 4. Oktober 2004 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Überdies ist der Beschwerdeführerin zugute zu halten, dass es ihr als Beklagter im vorinstanzlichen Verfahren aufgrund der Beschränkung des Prozessthemas auf die Frage der Haftung kaum möglich sein dürfte, unter Aktenhinweisen entsprechende Beweisanträge zu belegen.
1.3 Unabhängig davon ist vorliegend zu prüfen, ob, wie es <ref-law> verlangt, die Gutheissung der Beschwerde eine sofortige Beendigung des Rechtsstreits bewirken kann, mit anderen Worten das Bundesgericht bei Gutheissung der Beschwerde selber in der Lage wäre, materiell zu entscheiden. Die Beschwerdegegnerin stellt dies in Abrede.
Die Vorinstanz erwog, da das Verfahren auf die Frage der Haftung beschränkt worden sei, müsse untersucht werden, ob die grundsätzlichen Voraussetzungen für eine Haftung des Motorfahrzeughalters gegeben seien. Anschliessend stelle sich die Frage, ob sich die Beschwerdeführerin von einer solchen präsumtiv bestehenden Haftung befreien könne, wofür sie insbesondere nachzuweisen habe, dass der Unfall auf ein grobes Selbst- und/oder Drittverschulden zurückzuführen sei, während C._ als Halterin/Lenkerin des Fahrzeugs kein Verschulden treffe und keine fehlerhafte Beschaffenheit des Fahrzeugs zum Unfall beigetragen habe. Sie prüfte und bejahte in der Folge die grundsätzlichen Voraussetzungen für eine Haftung nach Art. 58 Abs. 1 des Strassenverkehrsgesetzes vom 19. Dezember 1958 (SR 741.01; SVG). Weiter verneinte sie die Haftungsbefreiung nach <ref-law> mit der Begründung, weder könne der Beschwerdegegnerin grobes Selbstverschulden zur Last gelegt werden noch sei im Verhalten des Lehrers B._ grobes Drittverschulden zu erblicken. Sie schloss, bei dieser Sachlage könne dahingestellt bleiben, ob C._ ein Verschulden treffe und die Beschaffenheit des Fahrzeugs zum Unfall beigetragen habe.
Somit hat die Vorinstanz, wie die Beschwerdegegnerin zu Recht einwendet, nicht über sämtliche Voraussetzungen von <ref-law> entschieden. Sollte das Bundesgericht im Gegensatz zum Handelsgericht der Auffassung der Beschwerdeführerin folgen, dass der Unfall durch grobes Verschulden der Beschwerdegegnerin oder eines Dritten verursacht wurde, und die Beschwerde aus diesem Grund gutheissen, müsste zunächst jedenfalls beurteilt werden, ob C._ ein Verschulden am Unfall trifft.
1.4 Inwiefern das Bundesgericht unter diesen Umständen im Falle der Gutheissung der Beschwerde selber einen Endentscheid fällen könnte und somit die Gutheissung sofort einen solchen herbeiführen würde, vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzuzeigen: Sie beantragt zwar, das Bundesgericht habe die Klage abzuweisen, also gestützt auf <ref-law> einen Endentscheid zu fällen. Nach einer (rechtsgenüglichen) Begründung dieses Antrags sucht man allerdings vergebens. In der Beschwerdeschrift findet sich lediglich die weiter nicht begründete Behauptung, die Beschwerde würde im Fall der Gutheissung sofort einen Endentscheid herbeiführen. Replicando erläutert die Beschwerdeführerin dann zwar ausführlich, weshalb es ihrer Auffassung nach prozessökonomisch wäre, auf die Beschwerde einzutreten; sie räumt jedoch gleichzeitig selber ein, dass sich die Vorinstanz nicht über sämtliche Voraussetzungen einer Haftungsbefreiung nach <ref-law> geäussert habe, obwohl die Parteien die entsprechenden Ausführungen getätigt und Beweismittel offeriert hätten. Sie zeigt nicht auf, gestützt auf welche festgestellten Sachverhaltselemente das Bundesgericht bereits heute und ohne Rückweisung an die Vorinstanz über das Verschulden von C._ entscheiden könnte.
Solches ist auch nicht ersichtlich: Ob der Unfall für C._ vermeidbar gewesen wäre, wenn sie sich aufmerksam verhalten und umgehend gebremst hätte, und ob sie somit ein Verschulden daran trifft, war im vorinstanzlichen Verfahren umstritten. Die Vorinstanz prüfte zwar eingehend, ob der Unfall durch den Betrieb eines Motorfahrzeugs verursacht wurde und stellte dabei unter anderem fest, dass das Fahrzeug vor der Tunneleinfahrt noch 40 bis 50 km/h schnell gefahren sei. Ob aber C._ die Geschwindigkeit - wie von der Beschwerdeführerin behauptet - noch am Tunnelanfang kurzzeitig reduzierte, und ob der Personenwagen sogar vor der Kollision infolge des unstreitig eingeleiteten Bremsmanövers noch kurz zum Stillstand gekommen war, liess sie demgegenüber ausdrücklich offen. Es steht somit nicht fest, in welchem Zeitpunkt C._ genau abgebremst hat und wo das Fahrzeug zum Stillstand gekommen ist.
Aufgrund dieser fehlenden vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung könnte das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde nicht beurteilen, ob C._ ein Verschulden am Unfall trifft. Es müsste die Sache vielmehr zur Beurteilung dieser Frage an die Vorinstanz zurückweisen.
1.5 Entsprechendes gilt im Übrigen auch für die Rüge der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör und das Willkürverbot verletzt, indem sie die Relevanz der vom Personenwagen gesetzten Betriebsgefahr für den Unfall bejaht habe. Die Beschwerdeführerin beanstandet konkret die - für die Beurteilung dieser Haftungsvoraussetzung erhebliche - vorinstanzliche Annahme, dass sich die Kollision nicht so zugetragen hätte, wenn es sich statt des Motorfahrzeugs um eine tote Masse wie einen Stein oder ein sonstiges stehendes Hindernis gehandelt hätte. Sie rügt, die Vorinstanz habe in bundesrechtswidriger Weise auf die Abnahme von hierzu offerierten Beweismitteln (Gerichtsgutachten, Zeugenaussagen) verzichtet. Aus den angebotenen Beweismitteln ergebe sich nämlich, dass das Fahrzeug im Zeitpunkt der Kollision stillgestanden habe oder höchstens sehr langsam gefahren sei.
Auf welcher Grundlage das Bundesgericht, falls es diese Gehörs- und Willkürrüge für zulässig und begründet erachten sollte, unter diesen Umständen selber einen materiellen Entscheid fällen könnte, wird in der Beschwerde indessen nicht dargetan und ist auch nicht erkennbar. Die Vorinstanz hielt es ohnehin nicht für entscheidend, ob sich das Fahrzeug im Zeitpunkt der Kollision noch bewegte oder ob es stillstand, da es sich mindestens zuvor der Beschwerdegegnerin mit erheblicher Geschwindigkeit genähert und ihr "durch die auf seine Masse angewendete Motorenkraft und den dadurch entstehenden Bremsweg im Vergleich zu einem stillstehenden Hindernis Zeit und Raum zum Ausweichen oder zum Reduzieren der eigenen Geschwindigkeit" genommen habe. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin gehen daher weitgehend an der Sache vorbei. Jedenfalls wäre das Verfahren aber auch bei Gutheissung der Beschwerde in diesem Punkt zur Durchführung eines Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eine sofortige Erledigung durch Endentscheid ist folglich auch unter diesem Gesichtswinkel nicht möglich (vgl. CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 22 und 24 zu <ref-law>).
1.6 Nach dem Gesagten sind die Voraussetzungen für die selbständige Anfechtung des Vor- und Zwischenentscheids gemäss <ref-law> nicht gegeben. Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten.
2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Dem geringen Aufwand des Gerichts wird durch eine reduzierte Gerichtsgebühr Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 20'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. September 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz