Erwägungen:
1. X._ (geb. 1972) stammt aus der Demokratischen Republik Kongo und befindet sich seit dem 6. August 2007 in Ausschaffungshaft. Am 18. März 2008 verlängerte der Haftrichter 1 am Haftgericht III Bern-Mittelland diese bis zum 19. Juni 2008. X._ ist hiergegen am 4./7. April 2008 mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht gelangt, ihn freizulassen.
2. Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden; es braucht somit nicht geprüft zu werden, ob sie den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügt: Das Bundesgericht hat eine erste Verlängerung der ausländerrechtlichen Festhaltung von X._ mit Urteil vom 18. Dezember 2007 bestätigt (2C_681/2007). Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was nicht bereits damals beurteilt worden wäre; es kann vollumfänglich auf diesen Entscheid verwiesen werden (Anwesenheitsberechtigung, Haftgrund, Straffälligkeit, Unzumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs). Der Beschwerdeführer ist nach wie vor nicht bereit, freiwillig in seine Heimat zurückzukehren. Verschiedene Ausschaffungsversuche per Sonderflug sind bisher an seinem Verhalten bzw. demjenigen der kongolesischen Behörden gescheitert. Am 23. Februar 2008 konnte eine Vereinbarung mit diesen unterzeichnet werden, welche Sonderflüge und Delegationsvorführungen nunmehr möglich macht. Die zwangsweise Rückführung des Beschwerdeführers ist gestützt hierauf absehbar. Die Organisation eines weiteren Sonderflugs ist im Gang; ein Antrag zur Verlängerung des Laissez-passer-Papiers des Beschwerdeführers wird zurzeit in Kinshasa bearbeitet. Die angefochtene Haftverlängerung verletzt demnach kein Bundesrecht. Für alles Weitere wird auf den angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>).
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es rechtfertigt sich indessen aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, absehbarer Vollzug der Wegweisung), von der Erhebung von Kosten abzusehen (<ref-law>). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. April 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar