Sachverhalt:
A. R._ war unter dem gemeinsamen Dach KPT/CPT (nachfolgend: KPT) in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung bei der KPT/CPT Krankenkasse (nachfolgend: Krankenkasse) und für Leistungen in der privaten Spitalabteilung bei der KPT Versicherungen AG (nachfolgend: Zusatzversicherer) versichert. Am 25. April 2001 wurde sie notfallmässig ins Kantonsspital Freiburg eingeliefert und lag bis zum 20. September 2001 auf der Intensivstation, anschliessend auf der normalen Bettenstation. Am 8. März 2002 konnte sie aus dem Spital entlassen werden. Das Kantonsspital stellte für die Behandlung der KPT Rechnungen von insgesamt Fr. 844'355.90, zahlbar im Verhältnis tiers payant, wovon Fr. 668'413.- für den Aufenthalt auf der Intensivstation, wobei auch dafür der Tarif für Privatpatienten berechnet wurde. Die KPT bezahlte Fr. 441'668.30 und verweigerte weitere Leistungen. Sie stellte sich auf den Standpunkt, für den Aufenthalt auf der Intensivstation dürfe nicht der Tarif für Privatpatienten angewendet werden, da es dort keine Privatabteilung gebe.
B. Am 14. Mai 2004 erhob die KPT beim Schiedsgericht nach Art. 89 KVG Klage gegen das Kantonsspital mit dem Rechtsbegehren,
"1. Die Beklagte sei zu verpflichten, für die Zeit des Aufenthaltes von Frau R. auf der Intensivpflegestation (IPS) vom 25. April 2001 bis 20. September 2001 eine Rechnung nach dem Tarif der allgemeinen Abteilung (OKP) zu erstellen.
2. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin die für diese Periode bereits bezahlten Leistungen zurückzuerstatten, soweit sie den Tarif der allgemeinen Abteilung übersteigen."
Mit Präsidialentscheid vom 30. Januar 2006, bezüglich der Parteientschädigung berichtigt am 23. Februar 2006, trat das Schiedsgericht auf die Klage mangels Zuständigkeit nicht ein, da es nicht um eine Leistung nach KVG, sondern um eine solche nach VVG gehe.
C. Die Krankenkasse erhebt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Schiedsgerichts sei aufzuheben und die Streitsache sei zur materiellen Beurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen.
Das Kantonsspital verzichtet auf eine eigentliche Vernehmlassung und verweist auf seine vorinstanzliche Stellungnahme, wonach die Zuständigkeit des Schiedsgerichts in Bezug auf das vorinstanzliche Rechtsbegehren Ziff. 1 nicht bestritten werde, wohl aber in Bezug auf das Begehren Ziff. 2. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Die Vorinstanz hat den Nichteintretensentscheid mit Präsidialentscheid gefällt und sich dazu auf Art. 100 Abs. 1 lit. a des kantonalen Gesetzes vom 23. Mai 1991 über die Verwaltungsrechtspflege (nachfolgend: VRG) berufen, der praxisgemäss im Verfahren des Schiedsgerichts analog anwendbar sei.
1.1 Das für Streitigkeiten zwischen Versicherern und Leistungserbringern zuständige Schiedsgericht nach Art. 89 KVG setzt sich gemäss Art. 89 Abs. 4 Satz 2 KVG aus einer neutralen Person, die den Vorsitz innehat, und aus je einer Vertretung der Versicherer und der betroffenen Leistungserbringer in gleicher Zahl zusammen. Übertragen die Kantone die Aufgaben des Schiedsgerichts dem kantonalen Versicherungsgericht, ist dieses durch je einen Vertreter oder eine Vertreterin der Beteiligten zu ergänzen (Art. 89 Abs. 4 Satz 3 [2. Halbsatz] KVG). Diese Bestimmung über die Zusammensetzung des Schiedsgerichts stellt eine bundesrechtliche Minimalvorschrift dar, an welche die Kantone gebunden sind (Art. 49 Abs. 1 BV). Im Rahmen der bundesrechtlichen Vorgaben ist die nähere Ausgestaltung des schiedsgerichtlichen Verfahrens grundsätzlich Sache der Kantone, wobei dieses einfach und rasch sein muss (Art. 89 Abs. 5 KVG). Die in Art. 89 Abs. 4 KVG vorgeschriebene paritätische Besetzung mit Vorsitz einer neutralen Person ist gleichsam Wesensmerkmal des Schiedsgerichts (vgl. auch Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, S. 232 Rz 413; ferner Regina Kiener, Richterliche Unabhängigkeit. Verfassungsrechtliche Anforderungen an Richter und Gerichte, Bern 2001, S. 120 f.). Sie lässt allenfalls Raum für einzelrichterliche Befugnisse in Bezug auf rein formelle Entscheide wie etwa Prozesserledigungen zufolge Rückzug oder Vergleich. Dagegen fallen Nichteintretensentscheide mangels sachlicher Zuständigkeit des Schiedsgerichts nach Art. 89 KVG grundsätzlich nicht in die Kategorie der einzelrichterlich zu erledigenden Entscheide (noch nicht in der amtlichen Sammlung veröffentlichtes Urteil X. GmbH vom 27. März 2006, K 139/04, Erw. 3.3.2; SVR 1999 KV Nr. 13 S. 29 Erw. 2b [Urteil EMS F. SA vom 9. Dezember 1997, K 87/97]).
1.2 Zudem lässt sich die einzelrichterliche Zuständigkeit auch nicht auf das kantonale Verfahrensrecht abstützen: Zum einen ist Art. 100 VRG, auf den sich die Vorinstanz stützt, für das Beschwerdeverfahren anwendbar, nicht aber für das Klageverfahren (vgl. Art. 101 VRG e contrario; vgl. SVR 2003 KV Nr. 16 S. 61 Erw. 3 [Urteil W. vom 24. Dezember 2002, K 95/02]), welches für das Verfahren vor dem Schiedsgericht anwendbar ist (Art. 28 des kantonalen Ausführungsgesetzes vom 24. November 1995 zum KVG). Zum andern sieht Art. 100 Abs. 1 lit. a VRG einen präsidialen Nichteintretensentscheid nur für offensichtlich unzulässige Beschwerden vor, was vorliegend angesichts der heiklen Umschreibung des Geltungsbereichs von Art. 89 KVG nicht gesagt werden kann.
1.3 Der in einzelrichterlicher Besetzung gefällte Nichteintretensentscheid der Vorinstanz verletzt Art. 89 Abs. 4 KVG und damit zugleich Art. 30 Abs. 1 BV, welcher auch im Bereich der Schiedsgerichtsbarkeit nach Art. 89 KVG gilt (vgl. etwa RKUV 2005 Nr. KV 318 S. 71 ff. [Urteil S. vom 22. Dezember 2004, K 97/04]) und den Anspruch auf eine nach Massgabe des anwendbaren Rechts (numerisch) richtige Besetzung des Gerichts beinhaltet. Bereits auf Grund dieses Verfahrensmangels ist der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid - von Amtes wegen - aufzuheben.
1.4 Mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist die Sache auf Grund des Devolutiveffekts im Umfang des Streitgegenstandes (Frage der Zuständigkeit des Schiedsgerichts) auf das Eidgenössische Versicherungsgericht übergegangen. Es steht daher nichts entgegen, dass das Eidgenössische Versicherungsgericht über den Streitgegenstand entscheidet, auch wenn der vorinstanzliche Entscheid schon wegen unrichtiger Besetzung aufzuheben ist. Dies ist auch aus prozessökonomischen Gründen angezeigt. Es ist daher nachfolgend abschliessend über die Frage der Zuständigkeit des Schiedsgerichts zu befinden (vgl. noch nicht in der amtlichen Sammlung veröffentlichtes Urteil X. GmbH vom 27. März 2006, K 139/04, Erw. 3.5).
2. 2.1 Gemäss Art. 89 Abs. 1 KVG entscheidet das kantonale Schiedsgericht "Streitigkeiten zwischen Versicherern und Leistungserbringern". Gesetz und Verordnung umschreiben nicht näher, was unter Streitigkeiten im Sinne der genannten Bestimmung zu verstehen ist. Nach der zum altrechtlichen Art. 25 Abs. 1 KUVG ergangenen und auch unter dem neuen Recht massgebenden Rechtsprechung ist von einer weiten Begriffsumschreibung auszugehen, indem die sachliche Zuständigkeit für alle Streitigkeiten zwischen Krankenversicherern und Leistungserbringern zu bejahen ist, wenn und soweit sie Rechtsbeziehungen zum Gegenstand haben, die sich aus dem KVG ergeben oder auf Grund des KVG eingegangen worden sind. Des Weitern muss es sich um eine Streitigkeit zwischen Versicherungsträgern und leistungserbringenden Personen handeln, was sich danach bestimmt, welche Parteien einander in Wirklichkeit gegenüberstehen. Der Streitgegenstand muss mit andern Worten die besondere Stellung der Versicherer oder Leistungserbringer im Rahmen des KVG betreffen. Liegen der Streitigkeit keine solchen Rechtsbeziehungen zu Grunde, ist sie nicht nach sozialversicherungsrechtlichen Kriterien zu beurteilen, mit der Folge, dass nicht die Schiedsgerichte, sondern allenfalls die Zivilgerichte zum Entscheid sachlich zuständig sind (noch nicht in der amtlichen Sammlung veröffentlichtes Urteil X. GmbH vom 27. März 2006, K 139/04, Erw. 4.1, mit Hinweisen).
2.2 In der Sache streiten sich die Parteien darum, ob für den Aufenthalt auf der Intensivstation der Tarif für Privatpatienten verrechnet werden darf. Die Vorinstanz beruft sich auf <ref-ruling>: Nach diesem Entscheid falle die Frage, ob ein Pflegeheim den Bewohnern zusätzliche Leistungen in Rechnung stellen dürfe, nicht in die Zuständigkeit der Sozialversicherungsgerichte. Das müsse erst recht für den vorliegenden Fall gelten, wo es um die Frage gehe, ob für eine in der privaten Abteilung versicherte Person auf Grund dieser Zusatzversicherung mehr zu bezahlen sei. Es seien nicht Leistungen im Rahmen des Obligatoriums umstritten. Die Beschwerdeführerin stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, dass vorgängig die Frage geklärt werden müsse, ob und in welchem Rahmen der Tarifschutz von Art. 44 KVG zur Anwendung gelange, was gemäss SZS 2005 S. 464 (Urteil M. vom 12. Oktober 2004, K 140/02) und RKUV 2005 Nr. KV 314 S. 15 (Urteil B. vom 12. Oktober 2004, K 141/02) in die Zuständigkeit des Schiedsgerichts falle.
2.3 Im Urteil <ref-ruling>, auf das sich die Vorinstanz stützt, hatte ein Pflegeheim für die Pflege einer grundversicherten Person einerseits dem Krankenversicherer Rechnung für Pflegeleistungen gemäss KVG-Tarif gestellt, zudem aber auch der Bewohnerin einen zusätzlichen Betrag berechnet. Auf Begehren der Bewohnerin (bzw. deren Erben) verpflichtete das kantonale Gericht den Versicherer, im Leistungsstreit gegen das Spital gemäss Art. 89 Abs. 3 2. Halbsatz KVG die versicherte Person zu vertreten. Auf Beschwerde des Versicherers hin hob das Eidgenössische Versicherungsgericht diesen Entscheid auf. Es erwog, es sei unbestritten, dass der Krankenversicherer keinen höheren Betrag zu leisten habe als er direkt an das Heim bezahlt habe. Es liege damit nicht ein Streit zwischen Versicherer und Leistungserbringer vor, weshalb Art. 89 KVG nicht anwendbar sei.
2.4 Auch vorliegend geht es nicht um die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin in ihrer Eigenschaft als KVG-Grundversichererin. Sie bestreitet nicht, in dieser Eigenschaft Leistungen gemäss dem Tarif für die allgemeine Abteilung zu schulden. Hingegen bestreitet sie, dass zusätzliche Leistungen in Rechnung gestellt werden dürfen. Diesbezüglich bestehen in der Tat sachverhaltliche Parallelen zum Entscheid <ref-ruling>. Indessen wurde in jenem Entscheid nicht gesagt, eine entsprechende Streitigkeit falle grundsätzlich nicht in die Zuständigkeit des Schiedsgerichts. Ausschlaggebend war dort, dass keine Streitigkeit zwischen Versicherer und Leistungserbringer bestand. Aus diesem Grund fehlte es an einer Zuständigkeit des Schiedsgerichts, weshalb kein Raum blieb für eine Vertretung nach Art. 89 Abs. 3 KVG der versicherten Person durch den Versicherer.
2.5 Im Unterschied zu jenem Fall liegt hier eine Streitigkeit zwischen Versicherer und Leistungserbringer vor. Die zunächst in der Rechtsform eines Vereins und seit November 2005 als Genossenschaft organisierte Beschwerdeführerin handelt als Grundversichererin. In Bezug auf die Deckung allfälliger zusätzlicher Leistungen entstehende Streitigkeiten sind nicht sozialversicherungsrechtlich (Art. 12 Abs. 3 KVG) und fallen nicht in die Zuständigkeit des Schiedsgerichts (Eugster, a.a.O., S. 233 Rz 414). Im Übrigen ist nicht die Beschwerdeführerin Zusatzversichererin, sondern die KPT Versicherungen AG (AVB Zusatzversicherungen nach VVG Ausgabe 2001). Die Beschwerdeführerin macht jedoch zu Recht geltend, es gehe um die Frage, ob bei einem Aufenthalt in der Intensivstation der Tarifschutz gemäss Art. 44 KVG zur Anwendung komme und sie als Grundversichererin ebenfalls betroffen ist.
2.5.1 Der Tarifschutz gilt in Bezug auf den Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung (vgl. <ref-ruling> f.; RKUV 2004 Nr. KV 285 S. 242 f. Erw. 4 [Urteil S. vom 15. April 2004, K 5/03]). Er gilt auch beim Aufenthalt in einer privaten oder halbprivaten Abteilung in dem Sinne, dass der Versicherer nach KVG diejenigen Kosten übernehmen muss, die sich beim Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung ergeben hätten (<ref-ruling>, 126 III 351 Erw. 3c). Hingegen werden diejenigen Leistungen, die über den Leistungsumfang der obligatorischen Krankenpflegeversicherung hinausgehen, nicht vom Tarifschutz erfasst (<ref-ruling> Erw. 2.1, 126 III 350 Erw. 3b). Der Patient schuldet eine entsprechende Vergütung nicht auf Grund von KVG-Tarifen. Eine allfällige Versicherungsdeckung dafür erfolgt durch die privatrechtliche Zusatzversicherung nach VVG.
2.5.2 Indessen kann die Frage, ob überhaupt eine (allenfalls aus der Zusatzversicherung zu deckende) über den obligatorischen Bereich hinausgehende Leistung erbracht worden ist, nicht unabhängig davon geprüft werden, wie weit der Leistungsumfang der obligatorischen Krankenpflegeversicherung geht. Erweist sich nämlich, dass sämtliche im konkreten Fall vom Leistungserbringer erbrachten Leistungen zum obligatorisch versicherten Leistungsumfang gehören, bleibt von vornherein kein Raum mehr dafür, über den Tarif der obligatorischen Krankenpflegeversicherung hinausgehende zusätzliche Leistungen in Rechnung zu stellen; ein solches Vorgehen würde gegen den Tarifschutz (Art. 44 Abs. 1 KVG) verstossen.
2.5.3 In den von der Beschwerdeführerin zitierten Entscheiden SZS 2005 S. 464 (Urteil M. vom 12. Oktober 2004, K 140/02) und RKUV 2005 Nr. KV 314 S. 15 (Urteil B. vom 12. Oktober 2004, K 141/02) war die Frage zu beantworten, ob das Spital in der Tageschirurgie bei Zusatzversicherten zusätzliche Leistungen erbringen darf oder ob ein Verstoss gegen das Krankenversicherungsgesetz vorliegt, wenn es bei der teilstationären Behandlung solcher Versicherter mit Kurzaufenthalt namentlich die klassengerechte Unterbringung in der Privat- oder Halbprivatabteilung zusätzlich in Rechnung stellt. Das Eidgenössische Versicherungsgericht bejahte die Zuständigkeit des Schiedsgerichts zur Beurteilung dieser Frage (je Erw. 3.3). Auch im bereits genannten Entscheid RKUV 2004 Nr. KV 285 S. 241 Erw. 2.2 bejahte das Eidgenössische Versicherungsgericht die Zuständigkeit des Schiedsgerichts für die Beurteilung der Rechtmässigkeit eines Zusatzhonorars, das über den KVG-Tarif hinaus verlangt worden war, mit der Begründung, es sei der Umfang der Leistungen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung streitig.
2.5.4 Wie in diesen Fällen ist auch vorliegend umstritten, ob sich der Leistungserbringer für die erbrachten Leistungen mit dem Tarif für die Grundversicherung begnügen muss oder ob er dafür von der Patientin bzw. ihrer Zusatzversicherung eine darüber hinausgehende Vergütung beanspruchen kann. Diese Frage ist gleichbedeutend mit der Frage, ob die vom Spital geltend gemachten Leistungen zulässigerweise eine über die Grundleistung hinausgehende Mehrleistung darstellen (vgl. <ref-ruling> f. Erw. 2.2), was wiederum von der Frage abhängt, wie weit der von der Grundversicherung zu deckende Leistungsumfang reicht. Dies ist eine KVG-rechtliche Frage, welche in die Zuständigkeit der Sozialversicherungsgerichte bzw. im Falle von Art. 89 KVG in die Zuständigkeit des Schiedsgerichts gehört. Wie in den bereits genannten Entscheiden SZS 2005 S. 464 (Urteil M. vom 12. Oktober 2004, K 140/02), RKUV 2005 Nr. KV 314 S. 15 (Urteil B. vom 12. Oktober 2004, K 141/02) und RKUV 2004 Nr. KV 285 S. 242 f. Erw. 4 (Urteil S. vom 15. April 2004, K 5/03) (vgl. oben Erw. 2.2 und 2.5.1) ist die Zuständigkeit des Schiedsgerichts zu bejahen.
2.6 Da sich somit der angefochtene Nichteintretensentscheid nicht nur aus formellen Gründen (vgl. oben Erw. 1), sondern auch materiell als unrichtig erweist, ist er aufzuheben und die Sache ist zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.7 Dabei wird in Bezug auf das Rechtsbegehren Ziff. 2 der Klage vom 14. Mai 2004 zu berücksichtigen sein, dass im Verfahren vor Schiedsgericht nur die sozialversicherungsrechtlichen Fragen behandelt werden können. Soweit sich auf Grund der materiellen Beurteilung ergeben sollte, dass sämtliche erbrachten Leistungen zum Leistungsbereich der obligatorischen Krankenpflegeversicherung gehören, mithin für darüber hinausgehende Leistungen kein Raum mehr bleibt, wäre eine allenfalls zu Unrecht aus der Zusatzversicherung bereits erbrachte Zahlung nicht vor dem Schiedsgericht, sondern vor dem dafür zuständigen Gericht zurückzufordern. Auf Grund der vorliegenden Akten ist nicht bestimmbar, an wen im KPT-Innenverhältnis - Krankenkasse oder Zusatzversicherer - die Rechnungen schlussendlich gegangen sind und wie sie allenfalls bereits auf die beiden Versicherer aufgeschlüsselt worden sind. Ebenso ist nicht ersichtlich, durch wen bereits Zahlungen erfolgten. Die Vorinstanz wird zu klären haben, in welcher Eigenschaft genau die Beschwerdeführerin bei ihr auftritt.
3. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Da auch die Beschwerdegegnerin die Zuständigkeit der Vorinstanz nicht bestritten hat, ist keine der Parteien als unterliegend zu betrachten. Es rechtfertigt sich daher, keine Kosten zu erheben und keine Parteientschädigungen zuzusprechen.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Schiedsgerichts in der Kranken- und Unfallversicherung des Kantons Freiburg vom 30. Januar 2006 aufgehoben, und es wird die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie über die Klage vom 14. Mai 2004 materiell befinde.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 1000.- wird der Beschwerdeführerin zurückerstattet.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Schiedsgericht in der Kranken- und Unfallversicherung des Kantons Freiburg und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 20. Juni 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: