A.- U._ et sa famille étaient assurés auprès de la caisse-maladie Helvetia (devenue depuis lors Helsana Assurances SA, ci-après : Helsana).
Par décision du 29 avril 1999, Helsana a rejeté l'opposition que U._ avait formée à l'encontre de la décision du 25 août 1998 par laquelle elle avait levé l'opposition formée contre le commandement de payer n°._ portant sur des arriérés de primes dues jusqu'au 31 décembre 1995 (1505 fr. 25), des frais de rappel (20 fr.), ainsi que les frais de poursuite.
B.- U._ a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal administratif du canton de Genève, en concluant à son annulation.
Par jugement du 30 mai 2000, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours et limité la mainlevée définitive de l'opposition à la somme de 374 fr. 55, plus les frais de poursuite.
C.- Helsana interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant à la levée de l'opposition jusqu'à concurrence de 1521 fr. 65.
L'intimé conclut au rejet du recours. Il demande au Tribunal fédéral des assurances de le libérer des frais de poursuite, voire de toute dette à l'égard de la recourante. L'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit :
1.- Le litige porte sur le montant des cotisations dont l'intimé est débiteur envers la recourante, singulièrement à partir du 1er septembre 1994.
2.- a) Les parties ne font pas la même lecture des quatre polices d'assurance du 11 juin 1995, pour ce qui est de la date d'effet de l'assurance.
A cet égard, dans son recours cantonal du 26 mai 1999, l'intimé s'était référé à ces polices, en soutenant qu'elles prenaient effet au 1er juillet 1995 (allégué n° 8).
Le 3 mars 2000, Helsana s'est déterminée sur ce moyen. Elle a déclaré que les polices du 11 juin 1995 apportaient une correction des primes dues pour la période s'étendant de septembre 1994 à avril 1995, même si lesdites polices portaient effectivement la mention «valable dès le 1er juillet 1995». Helsana n'a toutefois pas jugé bon de produire de documents étayant son point de vue.
b) Dans son jugement du 30 mai 2000, le Tribunal administratif a considéré que les polices d'assurance du 11 juin 1995 étaient sans ambiguïté. A son avis, l'assurance déployait ses effet dès le mois de juillet 1995, selon le texte clair de la police.
En conséquence, ont estimé les premiers juges, la caisse-maladie ne pouvait affirmer, sur la base de ces documents, que l'assurance était entrée en vigueur dès le mois de septembre 1994, car cela ne ressortait d'aucune pièce du dossier, à l'instar d'une demande de modification du contrat présentée par l'assuré.
3.- La décision litigieuse n'ayant pas pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le Tribunal fédéral des assurances doit se borner à examiner si les premiers juges ont violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou par l'abus de leur pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (art. 132 en corrélation avec les art. 104 let. a et b et 105 al. 2 OJ).
Lorsque le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral des assurances est limité par l'art. 105 al. 2 OJ, la possibilité d'alléguer des faits nouveaux ou de faire valoir de nouveaux moyens de preuve est très restreinte. Selon la jurisprudence, seules sont admissibles dans ce cas les preuves que l'instance inférieure aurait dû réunir d'office, et dont le défaut d'administration constitue une violation de règles essentielles de procédure (<ref-ruling> consid. 1c, 120 V 485 consid. 1b et les références).
4.- a) En instance fédérale, la recourante produit diverses pièces (annexes 101 à 108) dont il faudrait inférer, à ses yeux, que l'intimé avait demandé de modifier son contrat d'assurance à partir du 1er septembre 1994. En particulier, elle verse au dossier une proposition que l'intimé a signée le 27 décembre 1994, dont il ressort que l'assurance est souhaitée à partir du 1er septembre 1994. Par ailleurs, la recourante reconnaît que les polices d'assurance datées du 11 juin 1995 portent bien la date d'entrée en vigueur du 1er juillet 1995, mais elle soutient qu'il s'agit d'une erreur imputable à son système informatique qui ne permettait pas d'afficher la date réelle.
Dans ces conditions, elle estime que le Tribunal administratif aurait dû requérir la production de justificatifs complémentaires s'il estimait les preuves offertes insuffisantes, cela conformément à son devoir d'établir d'office les faits déterminants. La recourante allègue qu'elle n'a pas produit en première instance la proposition signée par son assuré parce qu'elle estimait que cette pièce n'était pas nécessaire à l'instruction de la cause. Cependant, elle s'en excuse et «regrette que cette appréciation de la situation ait conduit les juges à retenir des faits manifestement erronés», tout en invitant le Tribunal fédéral des assurances à les corriger en application de l'art. 105 al. 2 OJ.
b) Les pièces que la recourante verse au dossier de la procédure fédérale ne peuvent être prises en considération, car elle aurait pu les produire en première instance (consid. 3 ci-dessus). A cet égard, il lui incombait d'invoquer tous les moyens de preuve dont elle disposait, d'autant plus que la date du début de l'assurance (1er septembre 1994 ou 1er juillet 1995) était précisément litigieuse devant le Tribunal administratif.
Aussi la recourante ne saurait-elle faire grief aux premiers juges d'avoir constaté les faits pertinents de manière inexacte ou incomplète. En effet, à la lecture des polices du 11 juin 1995, la juridiction cantonale pouvait parfaitement tenir la date du 1er juillet 1995 pour déterminante, sans commettre un abus ou un excès de son pouvoir d'appréciation (art. 104 let. a OJ), du moment que la caisse n'avait pas rapporté la preuve de son inexactitude. Le recours est mal fondé.
5.- Dans sa réponse, l'intimé demande au Tribunal fédéral des assurances de déduire la somme de 364 fr., dont il se prétend créancier envers la recourante, du montant de 374 fr. 55. Ce point ne fait toutefois pas l'objet du présent procès, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur cette conclusion.
Quant aux assurances complémentaires, elles sont en l'occurrence soumises à la LAMA et non à la LCA, dès lors qu'elles ont trait à une période échéant le 31 décembre 1995. L'exactitude des primes de ces assurances n'est au demeurant pas contestée.
Enfin, les conclusions de l'intimé sont également mal fondées dans la mesure où il demande à être libéré des frais de poursuite. Ceux-ci sont dus en vertu de l'art. 49 al. 4 des statuts d'Helsana (cf. RAMA 1988 n° K 789 p. 431) et ne paraissent pas disproportionnés.
6.- La procédure n'est pas gratuite, s'agissant d'un litige qui ne porte pas sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurance (art. 134 OJ a contrario). La recourante, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 156 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances
p r o n o n c e :
I. Le recours est rejeté.
II. Les conclusions de l'intimé portant sur le versement,
par la recourante, d'une somme de 364 fr. sont irrece-
vables. Ses conclusions sont rejetées, dans la mesure
où elles ont trait au paiement des primes afférentes
aux assurances complémentaires et aux frais de pour-
suite.
III. Les frais de justice, d'un montant total de 500 fr.,
sont mis à la charge de la recourante et sont compen-
sés avec l'avance de frais, d'un même montant, qu'elle
a effectuée.
IV. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tri-
bunal administratif du canton de Genève et à l'Office
fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 15 février 2001
Au nom du
Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIIe Chambre :
Le Greffier :