Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und X._ führten beim Richteramt Y._ unter dem Vorsitz von Amtsgerichtspräsident B._ ein Verfahren um Abänderung der Eheschutzmassnahmen. X._ hat das am 13. Juni 2013 erlassene Urteil mit Berufung beim Obergericht des Kantons Solothurn angefochten. Der Entscheid der Berufungsinstanz steht noch aus.
A.b. Mit Eingabe vom 26. Juli 2013 ersuchte A._ beim Richteramt Y._ um Erlass einer Schuldneranweisung im Sinn von <ref-law> gegen X._. In diesem Verfahren stellte X._ am 16. August 2013 ein Ausstandsbegehren gegen Amtsgerichtspräsident B._, welches Amtsgerichtspräsident C._ mit Entscheid vom 23. August 2013 abwies.
B.
Mit Urteil vom 16. September 2013 wies das Obergericht des Kantons Solothurn die gegen den erstinstanzlichen Entscheid erhobene Beschwerde von X._ ab.
C.
X._ hat am 15. Oktober 2013 (Postaufgabe) gegen das vorgenannte Urteil beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er ersucht sinngemäss, die Beschwerde und sein gegen Amtsgerichtspräsident B._ erhobenes Ausstandsbegehren gutzuheissen. Im Weiteren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Soweit sich die Beschwerde gegen andere Entscheide als das Urteil des Obergerichts vom 16. September 2013 richtet, ist darauf nicht einzutreten. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet ausschliesslich das Urteil des Obergerichts vom 16. September 2013. Zudem geht es ausschliesslich um die Ausstandsfrage.
1.2. Angefochten ist ein letztinstanzlicher Zwischenentscheid über den Ausstand einer Gerichtsperson, der ohne Weiteres der Beschwerde unterliegt (<ref-law>). Der Rechtsweg gegen den Zwischenentscheid ist jener der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2. S. 647). Diese betrifft eine Schuldneranweisung im Sinn von <ref-law> und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.2 in fine). Sie gilt als Endentscheid über eine vorsorgliche Massnahme im Sinn von <ref-law> (Urteil 5A_958/2012 vom 27.Juli 2013 E. 1).
1.3. Gegen einen Entscheid betreffend vorsorgliche Massnahmen kann nur eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen sind in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>); in der Beschwerdeschrift ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.).
2.
2.1. Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer und A._ hätten unter dem Vorsitz des Beschwerdegegners ein Verfahren betreffend Abänderung von Eheschutzmassnahmen geführt. Das am 13. Juni 2013 vom Beschwerdegegner gefällte Urteil sei vom Beschwerdeführer am 25. Juni 2013 beim Obergericht des Kantons Solothurn angefochten worden; dessen Urteil stehe noch aus. Der Beschwerdeführer verlange den Ausstand des Beschwerdegegners im Verfahren betreffend Schuldneranweisung vor allem deshalb, weil er mit dem Entscheid des Beschwerdegegners vom 13. Juni 2013 materiell nicht einverstanden sei. Er beanstande im Wesentlichen eine falsche Berechnung seines Bedarfs bzw. der zu leistenden Unterhaltsbeiträge. Eine Überprüfung des Massnahmeentscheids habe indes im laufenden Berufungsverfahren und nicht im vorliegenden Beschwerdeverfahren betreffend den Entscheid über das Ausstandsbegehren zu erfolgen. Der Vorderrichter sei daher zu Recht davon ausgegangen, für die inhaltliche Kritik an einem Urteil stehe der Rechtsmittelweg zur Verfügung. Im Übrigen habe der Beschwerdeführer die Befangenheit des Beschwerdegegners bloss behauptet, aber nicht glaubhaft gemacht. Aus den Akten ergäben sich keine Hinweise, dass der Beschwerdegegner bei der Entscheidfindung absichtlich Eingaben des Beschwerdeführers unberücksichtigt gelassen habe. Schliesslich sei im Verfahren betreffend Schuldneranweisung auch darin kein Ausstandsgrund zu erblicken, dass der Beschwerdegegner bereits im Verfahren betreffend Abänderung der Eheschutzmassnahmen gewirkt habe.
2.2. Vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer im Wesentlichen materielle Fehler des Beschwerdegegners im Entscheid über die Eheschutzmassnahmen geltend und rügt im Zusammenhang mit diesem Verfahren verschiedene Verfahrensverstösse. Aus diesen Gründen erachtet er den Beschwerdegegner im Verfahren betreffend Schuldneranweisung als befangen. Im vorliegenden Fall kann offenbleiben, ob die Beschwerde überhaupt den Begründungsanforderungen gemäss E. 1.3 entspricht, zumal sie sich ohnehin als unbegründet erweist:
3.
3.1. Nach <ref-law> hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (<ref-ruling> E. 2 S. 15 mit Hinweis). Die Garantie des verfassungsmässigen Richters ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 2 S. 15; <ref-ruling> E. 3.4 S. 116 mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten des Richters begründet sein. Auf das bloss subjektive Empfinden einer Partei kann bei dieser Beurteilung allerdings nicht abgestellt werden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen).
3.2. Soweit der Beschwerdeführer in seiner Eingabe überhaupt einen Ausstandsgrund darin erblickt, dass der Beschwerdegegner bereits im Verfahren betreffend Eheschutzmassnahmen gewirkt hat, ist seiner Beschwerde kein Erfolg beschieden. Die Mitwirkung an einem früheren Verfahren desselben Gerichts bildet für sich allein keinen Ausstandsgrund. Einer Gerichtsperson kann die Unabhängigkeit nicht bereits deshalb abgesprochen werden, weil sie in einem früheren Verfahren gegen den Beschwerdeführer entschieden hat. Der Umstand allein, dass diesem das Ergebnis eines früheren Verfahrens nicht genehm ist, stellt keinen Grund für den Ausstand einer in jenem Verfahren mitwirkenden Gerichtsperson dar (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 279; <ref-ruling> E. 1c S. 304; Urteil 5P.280/2006 vom 5. Dezember 2006 E. 3.2). Im Weiteren ist zu beachten, dass Verfahrensverstösse im dafür vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen sind und grundsätzlich nicht als Begründung für die Verletzung von <ref-law> herangezogen werden können (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f. mit Hinweis; Urteil 5P.280/2006 vom 5. Dezember 2006 E. 3.2 mit Hinweisen). Aus den unbestrittenen Feststellungen des Obergerichts ergibt sich zudem, dass die vom Beschwerdegegner zur Begründung des Ausstandsgesuchs geltend gemachten materiellen Fehler im Verfahren betreffend Abänderung der Eheschutzmassnahmen in keiner Weise glaubhaft gemacht sind; der Beschwerdeführer bringt dagegen nichts vor, was die Feststellung als bundesrechtswidrig erscheinen liesse. Zudem ist über die Berufung des Beschwerdeführers gegen den Entscheid betreffend Abänderung der Eheschutzmassnahmen vom 13. Juni 2013 nach wie vor nicht entschieden worden. Insgesamt macht der Beschwerdeführer nichts geltend, was den Beschwerdegegner im Verfahren betreffend Schuldneranweisung als befangen erscheinen liesse. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat die Gegenpartei jedoch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu entschädigen, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
5.
Die Beschwerde hat sich als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Fehlt somit eine der kumulativen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (nicht aussichtsloses Verfahren), ist das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. November 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden