Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ und B.A._ stammen aus der Ukraine. Sie kamen am 18. April 2014 mit einem Besuchervisum in die Schweiz zu ihrer Tochter bzw. Schwester. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn stimmte einer einmaligen Visumsverlängerung bis zum 14. September 2014 zu. Am 8. September 2014 ersuchten A.A._ und B.A._ beim Bundesamt für Migration (heute: Staatssekretariat für Migration) mit Blick auf die Situation in Donezk um eine vorläufige Aufnahme. Sie wurden darauf hingewiesen, dass sie sich an die kantonalen Behörden zu wenden hätten; allenfalls sei ein Asylgesuch einzureichen.
1.2. Am 6. März 2015 ersuchten A.A._ und B.A._ das Migrationsamt des Kantons Solothurn darum, beim Staatssekretariat für Migration um die vorläufige Aufnahme zu ersuchen, was dieses am 6. März 2015 ablehnte; gleichzeitig wies es sie weg. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn bestätigte diesen Entscheid am 23. Juni 2015: Zwar seien die Aussichten von A.A._ und B.A._, "sorglos" eine Wohnung und Arbeitsstelle zu finden, allenfalls beeinträchtigt, doch könne nicht gesagt werden, dass ihnen bei einer Rückkehr in ihr Heimatland eine Obdachlosigkeit drohte oder sie unmittelbar an Leib und Leben gefährdet wären.
1.3. A.A._ und B.A._ beantragen vor Bundesgericht unter anderem, das Urteil vom 15. Juni 2015 aufzuheben und die kantonalen Behörden zu verpflichten, beim Staatssekretariat für Migration darum zu ersuchen, sie vorläufig aufzunehmen.
2.
Ihre Eingabe erweist sich als offensichtlich unzulässig und kann deshalb ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Instruktionsrichter im Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
2.1. Die Beschwerdeführerinnen hätten den kantonalen Wegweisungsentscheid (Art. 64 Abs. 1 lit. a AuG), wie die Vorinstanz zu Recht ausgeführt hat, innerhalb von fünf Arbeitstagen anfechten müssen (Art. 64 Abs. 3 AuG), was sie nicht getan haben. Zwar war ihnen eine falsche Rechtsmittelbelehrung (zehn Tage) erteilt worden; doch hätte ihr Rechtsvertreter durch einen Blick in das Gesetz, den Fehler ohne Weiteres erkennen können. Die entsprechende Begründung der Vorinstanz wird vor Bundesgericht nicht infrage gestellt; die Beschwerdeführerinnen legen entgegen ihren Begründungspflichten (Art. 117 i.V.m. <ref-law>) nicht dar, dass und inwiefern die Nichteintretensbegründung Verfassungsrecht verletzen würde. Beruht ein negativer Entscheid - wie hier - auf zwei eigenständigen Begründungen, müssen praxisgemäss beide verfassungsbezogen angefochten werden.
2.2. Soweit die Beschwerdeführerinnen in der Sache geltend machen, die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, ihnen sei eine Rückkehr in die Heimat zumutbar, wiederholen sie nur, was sie bereits im kantonalen Verfahren vorgetragen haben. Mit den Ausführungen der kantonalen Behörden zu ihren Einwänden setzen sie sich nicht verfassungsbezogen auseinander. Sie verkennen, dass das Bundesgericht im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde keine appellatorische Kritik, sondern nur verfassungsbezogene Rügen prüft; der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen gilt hier nicht (<ref-law>).
2.3. Ergänzend kann darauf hingewiesen werden, dass auch nicht ersichtlich ist, inwiefern die Beschwerdeführerinnen durch den Vollzug der Wegweisung unmittelbar in Leib und Leben bedroht oder unmenschlich behandelt würden: In der Ukraine bestehen alternative Fluchtmöglichkeiten; der ukrainische Staat hat ein Unterstützungsgesetz für intern Vertriebene erlassen und der hier aufenthaltsberechtigten Tochter ist es möglich, ergänzende finanzielle oder andere für den Erhalt der Gesundheit erforderliche Leistungen zu erbringen, nachdem sie bereits bisher für den Aufenthalt ihrer Angehörigen in der Schweiz aufgekommen ist (vgl. zur ganzen Problematik: <ref-ruling> E. 3 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5.2.2; Urteil 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4; EGMR-Urteil vom 14. April 2015 i.S. Tatar gegen Schweiz [Nr. 65692/12] Ziff. 39 ff.; Urteil des Bundesverwaltungsgerichts D-5153/2014 vom 10. Oktober 2014 E. 9.5 [zur Ukraine]).
3.
3.1. Mit dem vorliegenden Nichteintretensentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
3.2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen; im Übrigen bezeichnet das Bundesgericht nur patentierte und eingetragene Rechtsanwälte als unentgeltliche Rechtsvertreter; diesem Erfordernis genügt der beschwerdeführende (und allein bevollmächtigte) Jurist nicht, auch wenn er bei einer Anwaltskanzlei arbeitet. Die unterliegenden Beschwerdeführerinnen werden solidarisch kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Abs. 5 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführerinnen unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar