Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit Klage vom 21. Juni 2001 beantragte die B._ AG (Beschwerdegegnerin) beim Amtsgericht Luzern-Stadt, es sei festzustellen, dass die mit Betreibung Nr. X._ des Betreibungsamtes Zürich 6 in Betreibung gesetzte Forderung von Fr. 400'000.-- nebst Zins nicht bestehe und die Betreibung ohne Schuldgrund angehoben worden sei (Begehren 1). Im Sinne von <ref-law> sei festzustellen, dass die Betreibung Nr. X._ des Betreibungsamtes Zürich 6 ungerechtfertigt erfolgt und deshalb im Register zu löschen sei (Begehren 2). Nach Abschluss des Schriftenwechsels fand am 20. Februar 2002 eine Instruktionsverhandlung statt. Ab dem 15. April 2002 wurde das Verfahren sistiert, um den Verlauf eines vom Beschwerdeführer eingeleiteten Strafverfahrens in dieser Angelegenheit abzuwarten. Am 29. August 2002 zog A._ (Beschwerdeführer) die gegen die Beschwerdegegnerin eingeleitete Betreibung zurück. Mit Entscheid vom 27. Dezember 2002 schrieb das Amtsgericht Luzern-Stadt den Prozess als erledigt ab und legte dem Beschwerdeführer die Gerichts- und Parteikosten auf.
A. Mit Klage vom 21. Juni 2001 beantragte die B._ AG (Beschwerdegegnerin) beim Amtsgericht Luzern-Stadt, es sei festzustellen, dass die mit Betreibung Nr. X._ des Betreibungsamtes Zürich 6 in Betreibung gesetzte Forderung von Fr. 400'000.-- nebst Zins nicht bestehe und die Betreibung ohne Schuldgrund angehoben worden sei (Begehren 1). Im Sinne von <ref-law> sei festzustellen, dass die Betreibung Nr. X._ des Betreibungsamtes Zürich 6 ungerechtfertigt erfolgt und deshalb im Register zu löschen sei (Begehren 2). Nach Abschluss des Schriftenwechsels fand am 20. Februar 2002 eine Instruktionsverhandlung statt. Ab dem 15. April 2002 wurde das Verfahren sistiert, um den Verlauf eines vom Beschwerdeführer eingeleiteten Strafverfahrens in dieser Angelegenheit abzuwarten. Am 29. August 2002 zog A._ (Beschwerdeführer) die gegen die Beschwerdegegnerin eingeleitete Betreibung zurück. Mit Entscheid vom 27. Dezember 2002 schrieb das Amtsgericht Luzern-Stadt den Prozess als erledigt ab und legte dem Beschwerdeführer die Gerichts- und Parteikosten auf.
B. Der Beschwerdeführer erhob gegen den Entscheid des Amtsgerichts Luzern-Stadt Nichtigkeitsbeschwerde, welche das Obergericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 22. Juli 2003 abwies.
B. Der Beschwerdeführer erhob gegen den Entscheid des Amtsgerichts Luzern-Stadt Nichtigkeitsbeschwerde, welche das Obergericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 22. Juli 2003 abwies.
C. Der Beschwerdeführer hat gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. Das Obergericht beantragt ebenfalls, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Kostenverlegung im kantonalen Verfahren sei unter Verletzung von Art. 9 und Art. 29 BV erfolgt.
1.2 Nach dem angefochtenen Entscheid befindet das Gericht gemäss § 121 Abs. 1 und 2 lit. a ZPO/LU nach Ermessen über die Kostenfolge, wenn der Prozess durch Vergleich erledigt oder gegenstandslos wird oder das rechtliche Interesse aus andern Gründen dahingefallen ist. Das Obergericht bestätigt die Rechtsauffassung des Amtsgerichts, dass beim Entscheid über die Kostenfolge in Betracht zu ziehen sei, welche Partei Anlass zur Klage gegeben habe, wie der Prozess mutmasslich entschieden worden wäre und welche Partei die Gegenstandslosigkeit des Prozesses allenfalls zu vertreten habe.
Dagegen erhebt der Beschwerdeführer zu Recht keine Rügen. Er beanstandet, dass die kantonalen Gerichte bei Anwendung dieser Regeln zum Ergebnis gelangten, er habe Anlass zur Klage gegeben und durch den Rückzug der Betreibung die Gegenstandslosigkeit des Prozesses bzw. das Dahinfallen des Rechtsschutzinteresses verursacht, weshalb ihm die Verfahrenskosten aufzuerlegen seien. Das Obergericht sei zu Unrecht der Auffassung, das Amtsgericht habe das ihm zustehende Ermessen nicht überschritten, als es ihm die Prozesskosten auferlegte.
Dagegen erhebt der Beschwerdeführer zu Recht keine Rügen. Er beanstandet, dass die kantonalen Gerichte bei Anwendung dieser Regeln zum Ergebnis gelangten, er habe Anlass zur Klage gegeben und durch den Rückzug der Betreibung die Gegenstandslosigkeit des Prozesses bzw. das Dahinfallen des Rechtsschutzinteresses verursacht, weshalb ihm die Verfahrenskosten aufzuerlegen seien. Das Obergericht sei zu Unrecht der Auffassung, das Amtsgericht habe das ihm zustehende Ermessen nicht überschritten, als es ihm die Prozesskosten auferlegte.
2. 2.1 Das Obergericht geht davon aus, dass die Beschwerdegegnerin im Verfahren vor dem Amtsgericht rechtsgültig vertreten, diese Prozessvoraussetzung somit erfüllt war. Der Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin, Rechtsanwalt lic. iur. Anton Frank, habe von den Herren C._ und D._, den Leitern der Zweigniederlassung der Beschwerdegegnerin, eine Prozessvollmacht erhalten. Da die Unterschriftsberechtigung von C._ und D._ sich auf die Zweigniederlassung beschränke, hätten sie die Beschwerdegegnerin zwar grundsätzlich nicht vertreten und Rechtsanwalt Frank keine Prozessvollmacht ausstellen können. Indessen schloss das Obergericht aus dem Umstand, dass die Beschwerdegegnerin den Prozesskostenvorschuss in der Höhe von Fr. 8'000.-- geleistet habe, sinngemäss auf eine Genehmigung der durch die Leiter der Zweigniederlassung erteilten Vollmacht an Rechtsanwalt Frank durch die zuständigen Organe der Beschwerdegegnerin.
2. 2.1 Das Obergericht geht davon aus, dass die Beschwerdegegnerin im Verfahren vor dem Amtsgericht rechtsgültig vertreten, diese Prozessvoraussetzung somit erfüllt war. Der Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin, Rechtsanwalt lic. iur. Anton Frank, habe von den Herren C._ und D._, den Leitern der Zweigniederlassung der Beschwerdegegnerin, eine Prozessvollmacht erhalten. Da die Unterschriftsberechtigung von C._ und D._ sich auf die Zweigniederlassung beschränke, hätten sie die Beschwerdegegnerin zwar grundsätzlich nicht vertreten und Rechtsanwalt Frank keine Prozessvollmacht ausstellen können. Indessen schloss das Obergericht aus dem Umstand, dass die Beschwerdegegnerin den Prozesskostenvorschuss in der Höhe von Fr. 8'000.-- geleistet habe, sinngemäss auf eine Genehmigung der durch die Leiter der Zweigniederlassung erteilten Vollmacht an Rechtsanwalt Frank durch die zuständigen Organe der Beschwerdegegnerin.
2.2 2.2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Beschwerdegegnerin sei nicht partei- und prozessfähig gewesen. Daher hätte auf ihre Klage von vornherein nicht eingetreten werden können. Indem das Obergericht von der Partei- und Prozessfähigkeit der Beschwerdegegnerin ausgehe, wende es die bundesrechtlichen Normen über die Vertretung juristischer Personen (<ref-law>, Art. 718ff. OR) und <ref-law>/LU über die Prozessfähigkeit im kantonalen Zivilprozess willkürlich an.
2.2.2 Die Partei- und Prozessfähigkeit bestimmt sich nach materiellem Bundesrecht. Juristische Personen sind daher nach Bestellung ihrer Organe partei- und prozessfähig (Guldener, Schweizerisches Zivilprozessrecht, Zürich 1979, S. 124 ff.). Als im Handelsregister eingetragene Aktiengesellschaft war die Beschwerdeführerin somit zweifelsohne partei- und prozessfähig. Nicht prozessfähig, da nicht rechtsfähig, ist hingegen die Zweigniederlassung der Beschwerdegegnerin (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 13). Diese trat aber nicht als Klägerin, sondern bloss als deren Vertreterin auf. Die Rüge willkürlicher Rechtsanwendung ist mit Bezug auf die Frage der Partei- und Prozessfähigkeit der Beschwerdegegnerin somit unbegründet.
2.2.2 Die Partei- und Prozessfähigkeit bestimmt sich nach materiellem Bundesrecht. Juristische Personen sind daher nach Bestellung ihrer Organe partei- und prozessfähig (Guldener, Schweizerisches Zivilprozessrecht, Zürich 1979, S. 124 ff.). Als im Handelsregister eingetragene Aktiengesellschaft war die Beschwerdeführerin somit zweifelsohne partei- und prozessfähig. Nicht prozessfähig, da nicht rechtsfähig, ist hingegen die Zweigniederlassung der Beschwerdegegnerin (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 13). Diese trat aber nicht als Klägerin, sondern bloss als deren Vertreterin auf. Die Rüge willkürlicher Rechtsanwendung ist mit Bezug auf die Frage der Partei- und Prozessfähigkeit der Beschwerdegegnerin somit unbegründet.
2.3 2.3.1 Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung der §§ 44, 46 und 48 in Verbindung mit <ref-law>/LU. Er bringt vor, eine prozessfähige juristische Person könne sich nur durch einen Mitarbeiter eines Zweigbetriebs vertreten lassen, falls eine gültige Prozessvollmacht vorliege. Die Leiter der Zweigniederlassung seien aber für die Beschwerdegegnerin nicht handlungsbefugt gewesen, und es habe keine rechtsgültige Vollmacht der Beschwerdegegnerin zu Gunsten der Leiter der Zweigniederlassung Luzern vorgelegen, weshalb die Anwaltsvollmacht vom 19. Dezember 2002 ungültig sei.
2.3.2 Nach <ref-law>/LU prüft das Gericht von Amtes wegen, ob die Prozessvoraussetzung der gesetzmässigen Vertretung erfüllt ist. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, wird auf die Klage nicht eingetreten (Studer/Rüegg/Eiholzer, Der Luzerner Zivilprozess, N 1 zu § 100). Nach <ref-law>/LU hat sich der Prozessvertreter durch eine schriftliche Vollmacht auszuweisen (Abs. 1). Fehlt die Vollmacht oder ist sie ungenügend, wird dem Vertreter Gelegenheit zur Behebung des Mangels gegeben (Abs. 2).
In der vorliegenden Streitsache wäre der angefochtene Entscheid nur dann verfassungswidrig, wenn die zur gesetzmässigen Prozessvertretung angestellten Überlegungen des Obergerichts jeglicher vernünftigen Grundlage entbehrten, d.h. sich im Ergebnis als willkürlich erwiesen (vgl. zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 2.1, mit Hinweisen). Zwar trifft die Rechtsauffassung des Obergerichts nicht zu, dass das Verhalten des Beschwerdeführers auf das Prozessvertretungsverhältnis einen Einfluss haben konnte. Von Bedeutung ist indessen, dass Rechtsanwalt Frank eine je von den Leitern der Zweigniederlassung, D._ und C._, ausgestellte Prozessvollmacht zu den Akten reichte.
Der Inhaber eines Gesamtbetriebs kann nicht durch einen Zweigbetrieb, hingegen durch die Mitarbeiter eines Zweigbetriebs vor Gericht vertreten werden. Voraussetzung hierzu ist eine gültige Prozessvollmacht. Die Prozessvollmacht ist ein Institut des Prozessrechts, doch kann sie Inhalt eines privaten Vertretungsverhältnisses (z.B. eines Prokura- oder Organverhältnisses) sein (Gauch, Der Zweigbetrieb im schweizerischen Zivilrecht, Zürich 1974, N 1955 ff.). Vermutungsweise umfasst die Prokura das Recht, alle Arten von Rechtshandlungen vorzunehmen, die der Zweck des Unternehmens mit sich bringen kann (<ref-ruling> E. 3 S. 450). Hierzu gehört auch das Recht zur Prozessvertretung (Watter, Basler Kommentar, 3. Aufl., N 5 zu <ref-law>). Ist die Prokura auf den Geschäftsbetrieb einer Zweigniederlassung beschränkt (vgl. <ref-law>), fallen darunter alle diejenigen Rechtshandlungen und somit die Vertretung in denjenigen Prozessen, die mit der betreffenden Niederlassung zusammenhängen (vgl. Watter, a.a.O., N 3 zu <ref-law>; Gauch, a.a.O., N 952).
Die Leiter der Zweigniederlassung der Beschwerdegegnerin, D._ und C._, verfügen gemäss Auszug aus dem Handelsregister am Sitz der Zweigniederlassung über Kollektivprokura zu zweien. Sie waren deshalb befugt, Rechtshandlungen vorzunehmen, die sachlich den Geschäftsbetrieb der Zweigniederlassung betrafen. Der Rechtsstreit zwischen Beschwerdeführer und Beschwerdegegnerin betraf einen Liegenschaftenverwaltungsvertrag, wobei die Liegenschaften des Beschwerdeführers von der Zweigniederlassung der Beschwerdegegnerin verwaltet wurden. Die Leiter des Zweigbetriebs waren daher befugt, die Beschwerdegegnerin in dieser Angelegenheit gerichtlich zu vertreten bzw. Rechtsanwalt Frank eine Prozessvollmacht in dieser Angelegenheit auszustellen. Die von Rechtsanwalt Frank vorgelegte, von den Leitern der Zweigniederlassung ausgestellte Prozessvollmacht ist somit gültig. Im Ergebnis liegt keine willkürliche Anwendung von § 48 und <ref-law>/LU vor, wenn das Obergericht davon ausgeht, dass auf die Klage der Beschwerdegegnerin einzutreten war.
Selbst wenn die Leiter der Zweigniederlassung für die Einleitung des Prozesses einer besonderen Ermächtigung bedurft hätten (<ref-law>), wäre diesem Erfordernis Genüge getan. Auch solche Geschäfte sind genehmigungsfähig. Das Bundesrecht sieht hiefür keine besondere Form vor, weshalb konkludentes Handeln genügt (Fellmann, Berner Kommentar, N 124 und 158 zu <ref-law>; insoweit übereinstimmend Weber, Basler Kommentar, 3. Aufl., N 14 zu <ref-law>). Anscheinsvollmachten sind auch im Prozessrecht möglich (Zäch, Berner Kommentar, Vorbemerkungen zu Art. 32 - 40 OR, N 86).
Inwiefern das Obergericht kantonales Prozessrecht willkürlich angewendet haben soll, als es aus dem Verhalten der Beschwerdegegnerin im Prozess, der Zahlung des Prozesskostenvorschusses, auf deren Einverständnis mit der Prozessführung schloss, die Prozessvollmacht deshalb als rechtsgenügend betrachtete und von einer Fristansetzung zur Mangelbehebung nach <ref-law>/LU absah, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf. Auch unter diesem Gesichtswinkel hält der angefochtene Entscheid vor Verfassungsrecht stand.
2.4 Das Obergericht hielt dem Beschwerdeführer weiter vor, die Einrede der ungültigen Prozessvollmacht im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde verstosse gegen Treu und Glauben (<ref-law>/LU), denn er habe erst in der Duplik die Bestellung von Rechtsanwalt Frank beanstandet und durch sein Verhalten bewiesen, dass er selbst Rechtsanwalt Frank als Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin betrachte.
Nachdem jedoch feststeht, dass das Obergericht willkürfrei vom Vorliegen einer gültigen Prozessvollmacht ausgehen durfte (E. 2.3 hiervor), sind die gegen diese Erwägung vorgetragenen Rügen mangels Rechtsschutzinteresses nicht zu prüfen.
2.5 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Obergericht nicht gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstiess, indem es annahm, auf die Klage hätte eingetreten werden müssen, da die Beschwerdegegnerin partei- und prozessfähig und rechtsgültig vertreten war. Die diesbezüglichen Rügen des Beschwerdeführers sind insoweit unbegründet.
2.5 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Obergericht nicht gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstiess, indem es annahm, auf die Klage hätte eingetreten werden müssen, da die Beschwerdegegnerin partei- und prozessfähig und rechtsgültig vertreten war. Die diesbezüglichen Rügen des Beschwerdeführers sind insoweit unbegründet.
3. 3.1 Das Obergericht vertritt den Standpunkt, auf die Klage der Beschwerdegegnerin wäre einzutreten gewesen, da diese ein Rechtsschutzinteresse vorzuweisen gehabt habe. Eine negative Feststellungsklage sei zuzulassen, wenn ein tatsächliches Interesse an der Feststellung des Nichtbestehens einer Schuld bestehe. In der vorliegenden Streitsache sei die Beschwerdegegnerin in ihrer wirtschaftlichen Bewegungsfreiheit betroffen gewesen. Da es sich bei der in Betreibung gesetzten Forderung um eine namhafte Summe gehandelt habe, habe die Beschwerdegegnerin damit rechnen müssen, dass Dritte aufgrund des Betreibungsregistereintrags an ihrer Kredit- und Vertrauenswürdigkeit zweifeln würden. Demgegenüber sei weder dargetan noch ersichtlich, weshalb dem Beschwerdeführer die Einleitung des Prozesses über seine Ansprüche im damaligen Zeitpunkt nicht zuzumuten gewesen wäre. Die Edition sämtlicher Belege und Abrechnungen bezüglich der von der Beschwerdegegnerin verwalteten Liegenschaften sowie die Erstellung einer Expertise über die Vollständigkeit der herausgegebenen Abrechnungen hätte ihn über den Bestand der in Betreibung gesetzten Forderung ins Bild gesetzt. Das Interesse der Beschwerdegegnerin an der Feststellung des Nichtbestehens der Forderung überwiege demnach jenes des Beschwerdeführers daran, einen Prozess zu verhindern oder hinauszuzögern. Dass das Amtsgericht einen Feststellungsanspruch der Beschwerdegegnerin bejaht habe und demzufolge davon auszugehen sei, dass auf die Klage habe eingetreten werden müssen, sei daher nicht zu beanstanden.
3. 3.1 Das Obergericht vertritt den Standpunkt, auf die Klage der Beschwerdegegnerin wäre einzutreten gewesen, da diese ein Rechtsschutzinteresse vorzuweisen gehabt habe. Eine negative Feststellungsklage sei zuzulassen, wenn ein tatsächliches Interesse an der Feststellung des Nichtbestehens einer Schuld bestehe. In der vorliegenden Streitsache sei die Beschwerdegegnerin in ihrer wirtschaftlichen Bewegungsfreiheit betroffen gewesen. Da es sich bei der in Betreibung gesetzten Forderung um eine namhafte Summe gehandelt habe, habe die Beschwerdegegnerin damit rechnen müssen, dass Dritte aufgrund des Betreibungsregistereintrags an ihrer Kredit- und Vertrauenswürdigkeit zweifeln würden. Demgegenüber sei weder dargetan noch ersichtlich, weshalb dem Beschwerdeführer die Einleitung des Prozesses über seine Ansprüche im damaligen Zeitpunkt nicht zuzumuten gewesen wäre. Die Edition sämtlicher Belege und Abrechnungen bezüglich der von der Beschwerdegegnerin verwalteten Liegenschaften sowie die Erstellung einer Expertise über die Vollständigkeit der herausgegebenen Abrechnungen hätte ihn über den Bestand der in Betreibung gesetzten Forderung ins Bild gesetzt. Das Interesse der Beschwerdegegnerin an der Feststellung des Nichtbestehens der Forderung überwiege demnach jenes des Beschwerdeführers daran, einen Prozess zu verhindern oder hinauszuzögern. Dass das Amtsgericht einen Feststellungsanspruch der Beschwerdegegnerin bejaht habe und demzufolge davon auszugehen sei, dass auf die Klage habe eingetreten werden müssen, sei daher nicht zu beanstanden.
3.2 3.2.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Beschwerdegegnerin habe nie substanziiert dargetan oder gar bewiesen, dass die gegen sie eingeleitete Betreibung ihre wirtschaftliche Bewegungsfreiheit, d.h. ihre Kredit- und Vertrauenswürdigkeit beeinträchtigt habe. Das Obergericht habe die Beweisregeln von Art. 8 und Art. 9 ZGB willkürlich angewendet, indem es die Beschwerdegegnerin von jeglicher Behauptungs- und Beweislast bezüglich des Feststellungsinteresses befreit und die Sachverhaltsdarstellungen des Beschwerdeführers nicht beachtet habe.
3.2.2 Der Beschwerdeführer verkennt, dass die kantonalen Gerichte beim Entscheid über die Kostenverlegung infolge Gegenstandslosigkeit des Prozesses oder Dahinfallen des Rechtsschutzinteresses eine summarische Prüfung und Würdigung des aktenkundigen Sach- und Rechtsstandes zum Zeitpunkt des Eintritts des Erledigungsgrundes des mutmasslichen Prozessausgangs vorzunehmen hatten (vgl. Studer/Rüegg/Eiholzer, a.a.O., N 3 zu <ref-law>/LU). Das Gericht hatte die vorliegenden Beweise prima facie zu würdigen und durfte bei Zweifeln die Regeln über die Beweislast heranziehen. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern das Obergericht dabei in Willkür verfallen ist.
3.2.2 Der Beschwerdeführer verkennt, dass die kantonalen Gerichte beim Entscheid über die Kostenverlegung infolge Gegenstandslosigkeit des Prozesses oder Dahinfallen des Rechtsschutzinteresses eine summarische Prüfung und Würdigung des aktenkundigen Sach- und Rechtsstandes zum Zeitpunkt des Eintritts des Erledigungsgrundes des mutmasslichen Prozessausgangs vorzunehmen hatten (vgl. Studer/Rüegg/Eiholzer, a.a.O., N 3 zu <ref-law>/LU). Das Gericht hatte die vorliegenden Beweise prima facie zu würdigen und durfte bei Zweifeln die Regeln über die Beweislast heranziehen. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern das Obergericht dabei in Willkür verfallen ist.
3.3 3.3.1 Weiter beanstandet der Beschwerdeführer, das Obergericht habe den in seiner Beschwerdeschrift enthaltenen Verweis auf die in seiner Klageantwort und in seiner Duplik vorgetragenen Gründe, warum er eine Betreibung und nicht eine Klage gegen die Beschwerdegegnerin einleitete, mit dem Argument als unbeachtlich betrachtet, dass im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde gemäss <ref-law>/LU neue Begehren, Tatsachenbehauptungen und Beweisanträge ausgeschlossen seien. Dadurch habe das Obergericht den Anspruch des Beschwerdeführers auf gleiche und gerechte Behandlung im Gerichtsverfahren (<ref-law>) und das Willkürverbot (<ref-law>) verletzt. Nur aufgrund dieser Rechtsverweigerung habe das Obergericht zum Ergebnis kommen können, es sei weder dargetan noch ersichtlich, weshalb dem Beschwerdeführer die Erhebung einer Klage anstelle der Einleitung der Betreibung gegen die Beschwerdegegnerin nicht zumutbar gewesen sei.
3.3.2 Der Beschwerdeführer verkennt, dass das Obergericht nicht einen Verstoss gegen das Novenverbot (<ref-law>/LU), sondern die Nichterfüllung der Begründungsanforderungen in der Beschwerdeschrift rügte. Nach <ref-law>/LU muss die Nichtigkeitsbeschwerde die Begründung der Anträge mit der Angabe der Nichtigkeitsgründe enthalten. Der Nichtigkeitsbeschwerdeführer muss sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinander setzen und anführen, inwiefern der angefochtene Entscheid aufzuheben ist; ein blosser Verweis auf die in vorinstanzlichen Rechtsschriften angeführten Gründe reicht nicht aus (vgl. Studer/Rüegg/Eiholzer, a.a.O., N 2 zu <ref-law>/LU). Inwiefern das Obergericht, indem es die Anforderungen an die Beschwerdeschrift als nicht erfüllt betrachtete, das Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsverbot (<ref-law>), das die Parteien eines gerichtlichen Verfahrens bei Erfüllung der Eintretensvoraussetzungen vor Untätigkeit der Gerichtsinstanzen und vor ungebührlichen Verfahrensverzögerungen schützt (vgl. Hotz, Die schweizerische Bundesverfassung - Kommentar, N 10 zu Art. 29), verletzt haben soll, ist nicht ersichtlich. Auch eine willkürliche Anwendung des kantonalen Prozessrechts ist nicht auszumachen. Die Rüge der Verletzung von <ref-law> und <ref-law> ist somit unbegründet.
3.3.3 Vor Bundesgericht beruft sich der Beschwerdeführer erneut auf die in seinen erstinstanzlichen Rechtsschriften, nicht aber in der Beschwerdeschrift im Nichtigkeitsverfahren enthaltenen Vorbringen, welche das Obergericht bei der Abwägung der Interessen der Beschwerdegegnerin an der Feststellung des Nichtbestehens der in Betreibung gesetzten Forderung gegen die Interessen des Beschwerdeführers an der Verhinderung oder zumindest Hinauszögerung eines Forderungsprozesses gegen die Beschwerdegegnerin in Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und <ref-law> nicht berücksichtigt habe. Der Beschwerdeführer verkennt, dass es sich bei diesen Vorbringen um Noven handelt, die im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde grundsätzlich nicht zulässig sind und dass die Voraussetzungen einer Ausnahme vom Novenverbot nicht erfüllt sind (vgl. Kälin, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Aufl., Bern 1994, S. 369f.). Der Beschwerdeführer ist daher insoweit nicht zu hören.
3.4 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Obergericht weder gegen das Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsverbot (<ref-law>) noch gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstiess, indem es davon ausging, dass die Beschwerdegegnerin ein die Interessen des Beschwerdeführers überwiegendes Interesse an der Feststellung des Nichtbestehens der in Betreibung gesetzten Forderung vorzuweisen hatte und deshalb auf die negative Feststellungsklage der Beschwerdegegnerin einzutreten war.
3.4 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Obergericht weder gegen das Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsverbot (<ref-law>) noch gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstiess, indem es davon ausging, dass die Beschwerdegegnerin ein die Interessen des Beschwerdeführers überwiegendes Interesse an der Feststellung des Nichtbestehens der in Betreibung gesetzten Forderung vorzuweisen hatte und deshalb auf die negative Feststellungsklage der Beschwerdegegnerin einzutreten war.
4. 4.1 Ferner beanstandet der Beschwerdeführer, das Obergericht habe sich nicht mit allen in der Beschwerdeschrift vorgetragenen Vorbringen auseinander gesetzt. Dadurch habe das Obergericht den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt.
4.2 Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, das Obergericht habe sich nicht mit den Prozessvoraussetzungen der gesetzmässigen Prozessvertretung und des Rechtsschutzinteresses auseinander gesetzt, geht seine Rüge, wie den vorstehenden Erwägungen zu entnehmen ist, von vornherein ins Leere.
4.2 Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, das Obergericht habe sich nicht mit den Prozessvoraussetzungen der gesetzmässigen Prozessvertretung und des Rechtsschutzinteresses auseinander gesetzt, geht seine Rüge, wie den vorstehenden Erwägungen zu entnehmen ist, von vornherein ins Leere.
4.3 4.3.1 Der Beschwerdeführer legt dar, das Amtsgericht gehe zu Unrecht davon aus, bei der Klage des Beschwerdegegners handle es sich um eine allgemeine Feststellungsklage. Er sei der Auffassung, indem die Rechtsbegehren 1 und 2 auf das SchKG Bezug nehmen würden, könne es sich nicht um eine allgemeine Feststellungsklage handeln. Es liege eine Feststellungsklage nach <ref-law> vor, was nicht zulässig sei. Müsste entgegen seiner Auffassung das Rechtsbegehren 1 als auf eine allgemeine Feststellungsklage lautendes Begehren qualifiziert werden, so wäre jedenfalls das Begehren 2 überflüssig, was einen Einfluss auf die Kostenverlegung gehabt hätte. In seiner Nichtigkeitsbeschwerde ans Obergericht habe er den Standpunkt des Amtsgerichts kritisiert. Das Obergericht habe seine Vorbringen aber nicht beachtet.
4.3.2 Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass das Gericht die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass sich das Gericht ausdrücklich mit jeder tatsächlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinander setzen muss. Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 2b S. 102). Zudem kann bei einem Entscheid über die Kostenverlegung nicht dieselbe Begründungsdichte erwartet werden wie bei einem Sachurteil (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 109f.).
Allein dadurch, dass das Obergericht ohne nähere Begründung den Standpunkt des Amtsgerichts bestätigte, dass das Rechtsbegehren 1 auf eine allgemeine Feststellungsklage lautete, hat es seine Begründungspflicht nicht verletzt. Die Behauptung des Beschwerdeführers, das Rechtsbegehren 1 nehme Bezug auf das SchKG, trifft offensichtlich nicht zu. Der Formulierung "[E]s sei festzustellen, dass die mit Betreibung Nr. X._ des Betreibungsamtes Zürich im Betrage von Fr. 400'000.-- nebst Zins in Betreibung gesetzte Forderung nicht bestehe und die Betreibung ohne Schuldgrund angehoben wurde" ist lediglich zu entnehmen, dass gegen die Beschwerdegegnerin ein Betreibungsverfahren eingeleitet wurde, nicht aber, dass die Beschwerdegegnerin ihr Begehren auf das SchKG, namentlich auf dessen Art. 85a abstützt.
Ebenso unbegründet ist der Vorwurf, wonach das Obergericht sich nicht mit dem Argument des Beschwerdeführers auseinander gesetzt habe, dass das Rechtsbegehren 2 unter der Annahme, dass das Rechtsbegehren 1 auf eine allgemeine Feststellungsklage lautete, überflüssig gewesen sei. Es trifft offensichtlich nicht zu, dass das Begehren 2 auf eine allgemeine Feststellungsklage auf Nichtbestehen der Schuld lautete, was angesichts des Begehrens 1 in der Tat überflüssig gewesen wäre. Vielmehr war das Begehren 2 in dem Sinne auszulegen, dass die Beschwerdegegnerin neben der Feststellung des Nichtbestehens ihrer Schuld die Löschung des Betreibungsregistereintrags anvisierte, da gemäss einem Gerichtsentscheid festgestelltermassen zu Unrecht erfolgte Betreibungen im Betreibungsregister nicht eingesehen werden dürfen (vgl. <ref-law>). Angesichts des insoweit klaren Wortlautes der Rechtsbegehren und den offensichtlich falschen Behauptungen des Beschwerdeführers wäre es übertrieben, von den kantonalen Gerichten für den Kostenentscheid eine eingehende Stellungnahme zu verlangen.
4.3.3 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Obergericht den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) nicht verletzte, indem es auf die offensichtlich unzutreffende Behauptung des Beschwerdeführers, die Beschwerdegegnerin habe eine Feststellungsklage nach <ref-law> erhoben und das Rechtsbegehren 2 sei überflüssig, nicht näher einging.
4.3.3 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Obergericht den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) nicht verletzte, indem es auf die offensichtlich unzutreffende Behauptung des Beschwerdeführers, die Beschwerdegegnerin habe eine Feststellungsklage nach <ref-law> erhoben und das Rechtsbegehren 2 sei überflüssig, nicht näher einging.
5. Insgesamt ist festzuhalten, dass der Entscheid des Obergerichts vor der Verfassung standhält. Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer die Kosten- und Entschädigungsfolgen zu tragen (Art. 156 Abs.1 und Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Februar 2004
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: