Sachverhalt:
A.
X._ hat im Studienjahr 2009/2010 an der Hochschule Luzern - Wirtschaft (nachfolgend: Hochschule Luzern) den englischsprachigen Studiengang "Bachelor of Science in Business Administration, International Management and Economics" aufgenommen, nachdem er bereits während zweier Jahre an der Florida International University (USA) "Economy and Business" studiert hatte. Weil X._ das Pflichtmodul "Information Management 2" zweimal nicht bestanden hatte, schloss ihn die Hochschule Luzern am 19. August 2010 vom Studiengang aus.
B.
Gegen die Leistungsbewertung der Modulprüfung "Information Management 2" und den gestützt darauf verfügten Ausschluss vom Studium beschwerte sich X._ erfolglos beim Bildungs- und Kulturdepartement des Kantons Luzern. Mit Eingabe vom 24. Juni 2011 führte er beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Beschwerde gegen dessen Entscheid. Auf Antrag X._ sistierte das Gericht dieses Verfahren, denn er hatte bei der Hochschule Luzern das Gesuch gestellt, es seien ihm Leistungen seines Studiums in den USA anzurechnen. Nachdem dieses Ersuchen gescheitert war (letztinstanzliches Urteil des Bundesgerichts in dieser Angelegenheit 2C_606/2012 vom 27. August 2012), nahm das Verwaltungsgericht das Verfahren wieder auf und wies die Beschwerde X._ am 9. Januar 2013 ab.
C.
Mit Eingabe vom 18. Februar 2013 führt X._ (Beschwerdeführer) subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen diesen Entscheid. Er stellt eine Vielzahl von Anträgen, die auf eine Gutheissung seiner Beschwerde und die Möglichkeit des Weiterstudiums hinauslaufen. Ausserdem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege.
Das Verwaltungsgericht (Vorinstanz) und das Bildungs- und Kulturdepartement beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Hochschule Luzern hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss Art. 83 lit. t BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich auf den Gebieten der Schule, der Weiterbildung und der Berufsausübung. Die Bestimmung findet auch Anwendung auf Entscheide über den Ausschluss vom Studium, sofern diese auf einer Fähigkeitsbewertung im obigen Sinn beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 231; <ref-ruling> E. 1.1.1 S. 63; Urteil 2C_120/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 1.1.1 nicht publiziert in: <ref-ruling> ff.). Dies trifft vorliegend zu, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen ist.
1.2. Somit ist zu prüfen, ob die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen ist. Das Bundesgericht beurteilt Verfassungsbeschwerden gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, soweit kein ordentliches Rechtsmittel im Sinne der Artikel 72 bis 89 BGG gegeben ist. Nach <ref-law> ist zur Verfassungsbeschwerde berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Die beschwerdeführende Partei hat ihre Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde darzutun, soweit sie nicht augenfällig ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251).
1.3. Mit der Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nur, soweit eine entsprechende Rüge vorgebracht und begründet worden ist. Dabei gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 235; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
1.4. Nach der kürzlich präzisierten Rechtsprechung sind Prüfungsnoten mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde anfechtbar, wenn sie mit einer weitergehenden Wirkung wie dem Nichtbestehen verbunden sind. Dies trifft vorliegend zu, denn der Beschwerdeführer wurde wegen zweimaligen Scheiterns in der Modulprüfung "Information Management 2" vom Studium ausgeschlossen. Damit verfügt er über ein rechtlich geschütztes Interesse an der Überprüfung der dem Ausschluss zugrunde liegenden Einzelnote (<ref-ruling> E. 2.6 S. 234; Urteile 2D_22/2012 vom 17. Oktober 2012 E. 2.1; 2D_65/2011 vom 2. April 2012 E. 2.2).
1.5. Hat das Bundesgericht auf subsidiäre Verfassungsbeschwerde hin die Bewertung von Prüfungsleistungen zu beurteilen, so prüft es die Handhabung der einschlägigen kantonalen Verfahrensvorschriften - auf entsprechende, ordnungsgemäss begründete Rügen hin (vgl. <ref-law>; E. 1.3) - nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür. In erster Linie prüft es dabei, ob das vorgeschriebene Verfahren unter Beachtung der verfassungsrechtlichen Minimalgarantien durchgeführt worden ist. Eine besondere Zurückhaltung auferlegt es sich bei der materiellen Beurteilung, indem es erst einschreitet, wenn sich die Behörde von sachfremden oder sonst wie unhaltbaren Erwägungen hat leiten lassen, sodass ihr Entscheid unter rechtsstaatlichen Gesichtspunkten als nicht mehr vertretbar und damit als willkürlich erscheint (<ref-ruling> E. 6.2 S. 238; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 mit Hinweisen; Urteil 2D_34/2012 vom 26. Oktober 2012 E. 1.3).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf ein faires Verfahren insofern, als eine unabhängige und unparteiische Beurteilung seiner Anliegen seitens der Hochschule Luzern und des Bildungs- und Kulturdepartements nicht stattgefunden habe. Namentlich sei der Studiengangleiter ihm gegenüber schon von Anfang an feindschaftlich eingestellt gewesen und der Vorsteher des Departements sei in vielfältiger Weise mit der Hochschule verbunden, sodass er bei der Beurteilung seiner Beschwerde hätte in den Ausstand treten müssen.
2.2. Die Rüge, welche der Beschwerdeführer unter dem Titel von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK vorbringt (Anspruch auf ein unparteiisches und unabhängiges Gericht), betrifft das verwaltungsinterne Verfahren und wäre unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> zu prüfen; sie kann indes nicht gehört werden: Die erwähnten Umstände (Befangenheit des Studiengangleiters und des Departementsvorstehers) werden im bundesgerichtlichen Verfahren erstmals beanstandet, obwohl dies bereits vor der Vorinstanz möglich gewesen wäre. Da mithin nicht erst der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts hierzu Anlass gegeben hat, erscheinen die in diesem Zusammenhang erfolgten sachverhaltlichen Vorbringen des Beschwerdeführers als unzulässige Noven (<ref-law>). Zudem verlangen der Grundsatz von Treu und Glauben und das Verbot des Rechtsmissbrauchs, dass ein Ablehnungsgrund unverzüglich nach Kenntnisnahme geltend gemacht wird, andernfalls der Anspruch auf dessen Anrufung als verwirkt gilt (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 4; <ref-ruling> E. 3.4 S. 211; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336). Die Rüge ist vorliegend verspätet erhoben worden.
3.
3.1. Sodann erblickt der Beschwerdeführer einen Verstoss gegen seinen Anspruch auf rechtliches Gehör sowie Willkür und überspitzten Formalismus (<ref-law>, Art. 29 Abs. 1 und 2 BV) darin, dass die Vorinstanz, entgegen seinem Antrag, kein Gutachten eingeholt hat. Einen diesbezüglichen Bedarf sieht er nicht nur in fachlicher Hinsicht, sondern auch mit Bezug auf die Englischkenntnisse der Behörden, die er als ungenügend erachtet. Diese Rüge ist zulässig, denn der Beschwerdeführer hat bereits vor der Vorinstanz den Antrag gestellt, es sei eine gerichtliche Expertise einzuholen, da das Bildungs- und Kulturdepartement nicht in der Lage sei, die Unzulässigkeit der Fragestellung bei einer Teilaufgabe selbst zu beurteilen.
3.2. Die Vorinstanz hat den Beweisantrag des Beschwerdeführers in antizipierter Beweiswürdigung abgewiesen. Sie hat auf den Beurteilungsspielraum der Prüfungsbehörde bzw. die beschränkte Kognition der Rechtsmittelinstanzen in Prüfungsfällen hingewiesen und ausgeführt, ein Gutachten sei bloss dann einzuholen, wenn der Prüfungsentscheid "in keiner Weise mehr vertretbar" erscheine, weil die Prüfungsorgane eindeutig zu hohe Anforderungen gestellt oder die Arbeit des Kandidaten offensichtlich unterbewertet hätten. Wenn sich dies nicht bereits aus den Akten ergebe, müsse der Beschwerdeführer hierfür substanziierte und überzeugende Anhaltspunkte liefern. Im vorliegenden Fall sei die Beurteilung der Hochschule Luzern nachvollziehbar und schlüssig und erscheine weder unangemessen noch sonstwie fehlerhaft. Die Ausführungen des Verwaltungsgerichts halten der verfassungsrechtlichen Prüfung stand:
3.2.1. Der in <ref-law> garantierte Anspruch auf rechtliches Gehör räumt dem Betroffenen das persönlichkeitsbezogene Mitwirkungsrecht ein, erhebliche Beweise beizubringen, mit solchen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken. Dem Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörden, die Argumente und Verfahrensanträge der Parteien entgegenzunehmen und zu prüfen, sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Allerdings steht die Verfassungsgarantie einer vorweggenommenen Beweiswürdigung nicht entgegen. Das Verwaltungsgericht darf auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund der Akten oder bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, diese werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 3 S. 157).
3.2.2. Die Vorinstanz hat zu Recht auf die Zurückhaltung hingewiesen, mit welcher Justizorgane auf Beschwerde hin die Korrektheit einer Prüfungsbewertung beurteilen. Obwohl sie ihre Ausführungen zur Prüfungsdichte einer kantonalen Verwaltungsjustizbehörde, der grundsätzlich eine freie Kognition zukommt, wohl etwas zu eng formuliert, trifft es zu, dass es sich bei Prüfungsnoten um stark ermessensgeprägte Bewertungen handelt, die zudem auf Fachwissen beruhen, über welches die Rechtsmittelinstanzen regelmässig nicht verfügen. Deshalb dürfen sich diese bei Beschwerden gegen Prüfungsnoten eine gewisse Zurückhaltung auferlegen, auch wenn sie grundsätzlich eine Rechtskontrolle ausüben (vgl. <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 237; oder gar, wie das Bundesverwaltungsgericht, Ermessenskontrolle; vgl. PATRICIA EGLI, Gerichtlicher Rechtsschutz in Prüfungsfällen: Aktuelle Entwicklungen, in: ZBl 2011, S. 538 ff., insbes. S. 553). Es ist dies im Übrigen auch der Grund für den Ausschluss der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 83 lit. t BGG.
3.2.3. Angesichts der in dieser Art eingeschränkten Kognition ist in der Regel keine eingehende inhaltliche Kontrolle der Prüfung erforderlich, weshalb auch keine Expertise eingeholt werden muss; eine solche ist erst dann geboten, wenn sich ernstliche Hinweise auf eine eigentliche Fehlbeurteilung ergeben, sei es bereits aufgrund der Akten, sei es gestützt auf substanziierte Vorbringen des Prüfungsabsolventen. Die Vorinstanz hat dies für den vorliegenden Fall verneint, und der Beschwerdeführer vermag keine Umstände aufzuzeigen, die derart erhebliche Zweifel an der Richtigkeit der Prüfungsbewertung hervorrufen mussten, dass sich der Beizug eines Sachverständigen durch das Verwaltungsgericht aufgedrängt hätte. In seiner Eingabe an das Bundesgericht trägt er überhaupt keine inhaltliche Kritik an der Aufgabenstellung oder der Bewertung der Prüfung im Modul "Information Management 2" mehr vor. Stattdessen äussert er Zweifel an den Englischkenntnissen der Dozenten und der Luzerner Behörden, ohne aber einen direkten Kausalzusammenhang zwischen (angeblich) fehlenden Sprachkenntnissen und Prüfungsergebnis in substanziierter Weise aufzuzeigen. Auch unter diesem Blickwinkel erscheint der Verzicht auf den Beizug eines Experten nicht als verfassungswidrig (vgl. <ref-ruling> E. 5.5 S. 238; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; <ref-ruling> E. 5 S. 253; <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 183 und <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt schliesslich vor, er sei durch den Ausschluss vom Studiengang "Bachelor of Science in Business Administration, International Management and Economics" an der Hochschule Luzern in seinem Recht auf Chancengleichheit beeinträchtigt worden. Er führt unterschiedliche Regelungen über die Prüfungswiederholung für vergleichbare Studiengänge an den verschiedenen Schweizer Fachhochschulen und Universitäten an, die seines Erachtens zu einer rechtsungleichen Behandlung der Studierenden bzw. zu einer Diskriminierung der Luzerner Studierenden im Sinne von Art. 8 Abs. 1 und 2 BV geführt haben.
4.2. Diese Rüge war vor der Vorinstanz nicht innerhalb der Beschwerdefrist, sondern erst in der Replik vom 19. Oktober 2012 vorgebracht worden. Das Verwaltungsgericht hat das Vorbringen nicht behandelt, und der Beschwerdeführer macht diesbezüglich keine Verfahrensmängel geltend. Es kann offenbleiben, ob die Rüge überhaupt zu hören wäre (vgl. <ref-law>; oben E. 1.3), da der Beschwerdeführer in materieller Hinsicht ohnehin nicht durchzudringen vermag: Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers lässt sich aus den Förderungszielen des Universitätsförderungsgesetzes (Art. 2 lit. e UFG; SR 414.20) und den von ihm herangezogenen interkantonalen Konkordaten keine Pflicht herleiten, wonach die angeführten Hochschulen ihre Studiengänge und Prüfungsmodalitäten untereinander identisch auszurichten hätten; eine Verletzung von <ref-law> ist nicht dargetan (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 267; <ref-ruling> E. 3.2.2 mit Hinweisen; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 474 f.; <ref-ruling> E. 6d S. 179; <ref-ruling> E. 3c S. 51; Urteil 2D_10/2011 vom 15. Juni 2011 E. 3.3). Inwiefern mit der Wahl des Studienortes Luzern bzw. aufgrund der dortigen Prüfungsmodalitäten der Schutzbereich einer Diskriminierung gemäss <ref-law> tangiert sein soll - d.h. einer qualifizierten Art der Ungleichbehandlung, welche eine Benachteiligung eines Menschen bewirkt, die als Herabwürdigung oder Ausgrenzung einzustufen ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 267; <ref-ruling> E. 5.2 S. 127; <ref-ruling> E. 4.1 S. 53 f. mit Hinweisen) -, lässt sich den Ausführungen in der Beschwerde nicht entnehmen.
5.
5.1. Die Verfassungsbeschwerde ist somit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
5.2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da es sich angesichts der eingeschränkten Kognition des Bundesgerichts als aussichtslos erweist (<ref-law>). Der aktenkundigen Bedürftigkeit ist bei der Festsetzung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juni 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni