Sachverhalt:
A. Am 9. Mai 1996 wurde jemand vor einem Restaurant in Zürich erschossen.
Da die Täterschaft nicht ermittelt werden konnte, sistierte die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich mit Verfügung vom 8. September 1997 die Strafuntersuchung auf Antrag der damaligen Bezirksanwaltschaft Zürich in deren Schlussbericht vom 16. Juni 1997.
Im Herbst 2000 ging bei der Stadtpolizei Zürich ein Hinweis auf eine mögliche Täterschaft des serbischen Staatsangehörigen X._ ein. In der Folge wurde die Strafuntersuchung wieder aufgenommen und auf diesen ausgedehnt.

Mit Rechtshilfeersuchen vom 16. September 2002 wandte sich die damalige Bezirksanwaltschaft V für den Kanton Zürich an die zuständige jugoslawische Behörde und verlangte die Befragung eines Zeugen. Sie bat um Mitteilung, falls die jugoslawische Behörde wegen des in Zürich verübten Tötungsdelikts in Erwägung ziehe, ihrerseits eine Strafuntersuchung einzuleiten bzw. die in der Schweiz geführte Strafuntersuchung zu übernehmen.
Am 23. Dezember 2002 sistierte die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich auf Antrag der Bezirksanwaltschaft V die Strafuntersuchung bis zur Erledigung des Rechtshilfeersuchens.
Am 25. Juli 2008 sowie am 16. Juni und 11. November 2009 veranlasste die Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich Nachforschungen zum Stand des Rechtshilfeersuchens und verlangte dessen Behandlung. Am 17. November 2009 teilte das Bundesamt für Justiz der Staatsanwaltschaft IV mit, die serbischen Behörden hätten in offensichtlicher Verkennung des Inhalts des Rechtshilfeersuchens dieses mitsamt Beilagen am 31. August 2009 X._ ausgehändigt.
B. Mit Verfügung vom 10. Februar 2010 verweigerte die Staatsanwaltschaft IV dem Verteidiger von X._ die Einsicht in die Verfahrensakten.
Den von X._ dagegen erhobenen Rekurs wies die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich am 27. Mai 2010 ab, soweit sie darauf eintrat.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Entscheid der Oberstaatsanwaltschaft sei aufzuheben und die Sache nach Massgabe der bundesgerichtlichen Erwägungen zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
D. Die Staatsanwaltschaft IV hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, dem Beschwerdeführer bzw. seinem Verteidiger sei im bundesgerichtlichen Verfahren die Akteneinsicht zu verweigern; die Beschwerde sei abzuweisen.
Die Oberstaatsanwaltschaft hat ebenfalls Gegenbemerkungen eingereicht. Sie beantragt die Abweisung der Beschwerde.
X._ hat zu den Vernehmlassungen Stellung genommen. Er hält an seinen Anträgen fest.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2 Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach Art. 80 i.V.m. Art. 130 Abs. 1 BGG zulässig.
1.3 Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids. Er ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt.
1.4 Der angefochtene Entscheid schliesst das Strafverfahren nicht ab. Es handelt sich deshalb entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers (Beschwerde S. 3 Ziff. 4) um keinen Endentscheid gemäss Art. 90 BGG, sondern um einen Zwischenentscheid. Dieser betrifft weder Fragen der Zuständigkeit noch des Ausstandes. Es geht um einen "anderen" Zwischenentscheid gemäss Art. 93 BGG. Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführer in der Rechtsmittelbelehrung (angefochtener Entscheid S. 8 Ziff. 4) insoweit zutreffend darauf hingewiesen.
Gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG ist gegen einen anderen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid die Beschwerde zulässig: a) wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann; oder b) wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
Der Beschwerdeführer muss - sofern das nicht offensichtlich ist - darlegen, weshalb ein Zwischenentscheid gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG anfechtbar sein soll (<ref-ruling> E. 4 S. 95; <ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.4.2).
Der Beschwerdeführer äussert sich mit keinem Wort zu den Voraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG. Im Folgenden wird im Zusammenhang mit den einzelnen Rügen jeweils zu prüfen sein, wieweit unter dem Gesichtswinkel dieser Bestimmung auf die Beschwerde gleichwohl eingetreten werden kann.
2. Der Beschwerdeführer bringt (Beschwerde S. 12 ff.) vor, die Verweigerung der Akteneinsicht verunmögliche seine wirksame Verteidigung und verletze Art. 29 Abs. 2 sowie Art. 32 Abs. 2 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und § 17 Abs. 1 der Strafprozessordnung vom 4. Mai 1919 des Kantons Zürich (StPO/ZH; LS 321).
Insoweit sind die Eintretensvoraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG nicht offensichtlich gegeben. Die Variante nach lit. b fällt von vornherein ausser Betracht. Der nicht wieder gutzumachende Nachteil nach lit. a liegt ebenso wenig auf der Hand. Nach der Rechtsprechung ist mit der Verweigerung der Akteneinsicht im Gegenteil kein nicht wieder gutzumachender Nachteil verbunden (Urteile 2C_599/2007 vom 5. Dezember 2007 E. 2.2; 1P.695/2006 vom 19. Dezember 2006 E. 2.1; 1P.572/2000 vom 24. November 2000 E. 1; je mit Hinweisen).
Die Beschwerde ist im vorliegenden Punkt somit unzulässig.
Auf die Rüge der Verletzung von § 17 Abs. 1 StPO/ZH hätte im Übrigen auch deshalb nicht eingetreten werden können, weil hier die Verletzung einfachen kantonalen Gesetzesrechts keinen gemäss Art. 95 BGG zulässigen Beschwerdegrund darstellt (lit. d e contrario).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt (Beschwerde S. 16 ff.), die Staatsanwaltschaft habe das Beschleunigungsgebot gemäss Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Ziff. 3 lit. c UNO-Pakt II verletzt.
3.2 Nach der Rechtsprechung muss insoweit das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht erfüllt sein (<ref-ruling> E. 2.2 ff.; Urteil 1B_155/2008 vom 13. November 2008 E. 1; je mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist im vorliegenden Punkt somit einzutreten.
3.3 Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Ziff. 3 lit. c UNO-Pakt II verpflichten die Behörden, das Strafverfahren vom Zeitpunkt an, in dem der Beschuldigte vom gegen ihn erhobenen Vorwurf Kenntnis hat, ohne Verzögerung durchzuführen, um den Beschuldigten nicht länger als nötig den damit verbundenen Belastungen auszusetzen (<ref-ruling> E. 8 S. 170; <ref-ruling> E. 3.3.1; je mit Hinweisen). Die Beurteilung der angemessenen Verfahrensdauer entzieht sich starren Regeln. Es ist vielmehr in jedem Einzelfall zu prüfen, ob sich die Dauer unter den konkreten Umständen als angemessen erweist. Dafür kann keine allgemein gültige Frist festgelegt werden. Im Strafprozess bilden Kriterien für die Angemessenheit der Verfahrensdauer etwa die Schwere des Tatvorwurfs, die Komplexität des Sachverhaltes, die dadurch gebotenen Untersuchungshandlungen, das Verhalten des Beschuldigten und der Behörden (z.B. unnötige Massnahmen oder Liegenlassen des Falles) sowie die Zumutbarkeit für den Angeschuldigten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 273 mit Hinweisen). Da von den Strafbehörden nicht verlangt werden kann, dass sie sich ständig mit einem einzigen Fall befassen, ist es unvermeidlich, dass ein Verfahren Zeiten aufweisen kann, während denen nichts geschehen ist. Ist keine dieser Zeiten von schockierender Dauer, kommt es auf die Gesamtwürdigung an. Perioden intensiver Untersuchungshandlungen können dabei die Tatsache aufwiegen, dass das Dossier wegen anderer Fälle zeitweise zur Seite gelegt worden ist. Nach der Rechtsprechung erscheinen etwa als unhaltbar die Untätigkeit von 13 oder 14 Monaten im Stadium der Untersuchung; eine Zeitspanne von vier Jahren bis zum Entscheid über einen gegen die Anklage erhobenen Rekurs; eine Dauer von zehn oder elf Monaten für die Überweisung des Dossiers an die Rekursbehörde (BGE <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 56 f. mit Hinweisen).
3.4 Aus den Akten ergibt sich Folgendes:
Im Herbst 2000 ging bei der Stadtpolizei Zürich der Hinweis auf eine mögliche Täterschaft des Beschwerdeführers ein.
Mit Rechtshilfeersuchen vom 2. Februar 2001 bat die Bezirksanwaltschaft Zürich die zuständige jugoslawische Behörde, den Beschwerdeführer, der sich damals wegen eines anderen Tötungsdelikts in Jugoslawien in Untersuchungshaft befand, untersuchungsrichterlich zu befragen. Die Bezirksanwaltschaft ersuchte auch um Mitteilung, falls die jugoslawische Behörde aufgrund der Befragung beabsichtigte, ihrerseits wegen des in der Schweiz verübten Tötungsdelikts eine Strafuntersuchung einzuleiten bzw. die in der Schweiz geführte Untersuchung zu übernehmen.
Am 2. August 2001 erkundigte sich die Bezirksanwaltschaft Zürich beim Bundesamt für Justiz nach dem Stand des Rechtshilfegesuchs vom 2. Februar 2001.
Am 1. Oktober 2001 sandte das Bundesamt für Justiz der Bezirksanwaltschaft das Protokoll der durch den jugoslawischen Untersuchungsrichter durchgeführten Befragung des Beschwerdeführers vom 9. Juli 2001 zu. Darin stellte der Beschwerdeführer jede Beteiligung am in der Schweiz verübten Tötungsdelikt in Abrede.
Am 17. Oktober 2001 beauftrage die Bezirksanwaltschaft V für den Kanton Zürich die Kantonspolizei mit Ermittlungen.
Im November 2001 veranlasste die Kantonspolizei die Befragung verschiedener Auskunftspersonen.
Am 29. Januar 2002 beauftrage die Bezirksanwaltschaft V die Kantonspolizei mit weiterführenden Ermittlungen (der Auftrag trägt das falsche Datum des 29. Oktober 2002 bzw. - handschriftlich geändert - des 29. Oktober 2001; dass der 29. Januar 2002 das richtige Datum des Ermittlungsauftrags ist bzw. sein muss, wird in act. 43/8 S. 3 oben ausdrücklich bestätigt und ergibt sich aus dem Verfahrensablauf).
Am 4. Februar 2002 erstattete die Kantonspolizei Graubünden der Kantonspolizei Zürich einen Bericht; ebenso am Tag darauf die Landespolizei des Fürstentums Liechtenstein.
Am 19. März 2002 erstatte die Kantonspolizei Zürich der Bezirksanwaltschaft V einen Bericht zum Stand der Abklärungen.
Am 30. April 2002 ersuchte die Kantonspolizei Zürich die Kantonspolizei Luzern um die Befragung einer Auskunftsperson. Diese Befragung wurde am 16. Mai 2002 durchgeführt.
Am 24. Mai 2002 befragte die Kantonspolizei Zürich eine andere Auskunftsperson.
Am 30. August 2002 schlug die Kantonspolizei Zürich der Bezirksanwaltschaft V die rechthilfeweise Einvernahme einer im damaligen Jugoslawien wohnhaften Person vor.
Mit Rechtshilfeersuchen vom 16. September 2002 bat die Bezirksanwaltschaft V die zuständige jugoslawische Behörde um die untersuchungsrichterliche Einvernahme dieser Person als Zeuge. Zudem bat die Bezirksanwaltschaft V um Mitteilung, falls die jugoslawische Behörde aufgrund der Einvernahme des Zeugen erwäge, ihrerseits gegen den Beschwerdeführer wegen des in der Schweiz begangenen Tötungsdelikts eine Strafuntersuchung einzuleiten bzw. die in der Schweiz gegen den Beschwerdeführer geführte Strafuntersuchung zu übernehmen.
Mit Schlussbericht vom 7. Oktober 2002 stellte die Bezirksanwaltschaft V der Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich den Antrag, das Verfahren bis zur Erledigung des Rechtshilfeersuchens vom 16. September 2002 und einer allfälligen Übernahme der Strafverfolgung durch die jugoslawischen Behörden zu sistieren.
Am 23. Dezember 2002 sistierte die Staatsanwaltschaft antragsgemäss das Verfahren.
Am 29. August 2007 sandte die Stadtpolizei der Oberstaatsanwaltschaft Zürich Unterlagen betreffend Spurenmaterial, das sie dem Institut für Rechtsmedizin der Universität Zürich übermittelt hatte.
Am 19. September 2007 erteilte die Oberstaatsanwaltschaft den Auftrag zur Durchführung einer DNA-Spurenanalyse.
Am 31. Oktober 2007 erstattete das Institut für Rechtsmedizin der Oberstaatsanwaltschaft Bericht zur DNA-Analyse, die zu keinen neuen Erkenntnissen führte.
Mit Schreiben vom 8. April 2008 wies die Oberstaatsanwaltschaft die Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich darauf hin, dass das am 16. September 2002 gestellte Rechtshilfeersuchen immer noch offen sei. Die Oberstaatsanwaltschaft bemerkte, es wäre an der Zeit, diesen Auftrag zu monieren.
Am 25. Juli 2008 teilte die Staatsanwaltschaft IV dem Bundesamt für Justiz mit, eine routinemässige Überprüfung der Untersuchungsakten habe ergeben, dass seitens der zuständigen Behörden der (damaligen) Bundesrepublik Jugoslawien bisher keine Reaktion auf das Rechtshilfeersuchen vom 16. September 2002 erfolgt sei. Die Staatsanwaltschaft IV bat das Bundesamt, bei den nunmehr zuständigen Behörden zu intervenieren und die Erledigung des Rechtshilfeersuchens zu verlangen.
Am 30. Juli 2008 schrieb das Bundesamt für Justiz der Schweizerischen Botschaft in Belgrad, es habe ihr am 14. Oktober 2002 das Rechtshilfeersuchen vom 16. September 2002 übermittelt. Das Bundesamt habe in dieser Sache nie etwas von der Botschaft gehört. Das Bundesamt bat diese, die Angelegenheit abzuklären.
Am 16. Juni 2009 ersuchte die Staatsanwaltschaft IV das Bundesamt erneut, bei den nunmehr zuständigen Behörden des ehemaligen Jugoslawien die Erledigung des Rechtshilfeersuchens zu verlangen, da seitens dieser Behörden nach wie vor keine Reaktion erfolgt sei.
Am 22. Juni 2009 schrieb das Bundesamt der Schweizerischen Botschaft in Belgrad, obwohl es sich mit Brief vom 30. Juli 2008 nach dem Stand der Angelegenheit erkundigt habe, habe es bisher von der Botschaft keine Antwort erhalten. Das Bundesamt bat die Botschaft, die Sache umgehend bei den zuständigen Behörden abzuklären und/oder dem Bundesamt zumindest eine Stellungnahme zukommen zu lassen.
Mit E-Mail vom 11. November 2009 ersuchte die Staatsanwaltschaft IV direkt die Schweizerische Botschaft in Belgrad um Intervention in dieser Angelegenheit vor Ort, da bisher die zuständigen Behörden der Republik Serbien nicht geantwortet hätten.
Am 17. November 2009 sandte das Bundesamt der Staatsanwaltschaft IV Unterlagen, denen zu entnehmen war, dass die serbischen Behörden offenbar irrtümlich am 31. August 2009 das Rechtshilfeersuchen mitsamt Beilagen dem Beschwerdeführer übergeben hatten.
3.5 Vom Zeitpunkt, da der Beschwerdeführer von der Ausdehnung des Verfahrens auf ihn Kenntnis erlangte, bis zu dessen (erneuten) Sistierung am 23. Dezember 2002 weist es keine unhaltbaren zeitlichen Lücken auf. Die Zürcher Strafbehörden haben das Verfahren so beförderlich und so weit vorangetrieben, wie es von ihnen unter den gegebenen Umständen vernünftigerweise erwartet werden durfte. Eine Verletzung des Beschleunigungsgebots bis zum 23. Dezember 2002 ist daher zu verneinen.
Danach ging in dieser Sache jedoch jahrelang nichts mehr. Im Spätsommer 2007 wurde eine DNA-Analyse veranlasst und erst am 25. Juli 2008 verlangte die Staatsanwaltschaft IV über das Bundesamt für Justiz die Erledigung des Rechtshilfeersuchens vom 16. September 2002. Von der Stellung des Rechtshilfeersuchens bis zur erstmaligen Intervention der Staatsanwaltschaft IV in dieser Angelegenheit vergingen somit nahezu sechs Jahre. Diese Zeitspanne muss als deutlich zu lange beurteilt werden, zumal es um den Vorwurf der vorsätzlichen Tötung, gegebenenfalls des Mordes, und somit eines schweren Verbrechens geht. Bei einer solchen Tat besteht ein erhöhtes öffentliches Interesse an einer zeitgerechten Strafverfolgung.
Nach dem Stand des Rechtshilfegesuchs vom 2. Februar 2001 hatte sich die Bezirksanwaltschaft im Übrigen am 2. August 2001 und damit nach sechs Monaten erkundigt, was eine angemessene Zeitspanne darstellt. Diese Intervention nach sechs Monaten zeigt ebenfalls, dass jene nach fast sechs Jahren deutlich zu spät erfolgte.
Klarzustellen ist, dass den Zürcher Behörden nicht die Untätigkeit der jugoslawischen bzw. serbischen Behörden anzulasten ist. Vorzuwerfen ist den Zürcher Behörden, dass sie ihrerseits zu lange nichts unternahmen, nachdem auf das Rechtshilfegesuch vom 16. September 2002 keine Reaktion erfolgt war.
Diese Untätigkeit der Zürcher Behörden hat auch nicht der Beschwerdeführer zu vertreten. In widersprüchlicher und damit rechtsmissbräuchlicher Weise auf das Beschleunigungsgebot beruft sich der Beschuldigte nur, soweit er eine Verfahrensverzögerung - z.B. durch unnütze Beweisanträge - selber verursacht hat. So verhält es sich hier nicht. Dass sich die Zürcher Behörden zu lange nicht um die Erledigung des Rechtshilfegesuchs vom 16. September 2002 gekümmert haben, haben einzig diese zu verantworten. Deshalb ist es - wie der Beschwerdeführer (Beschwerde S. 19) zutreffend vorbringt - unhaltbar, wenn die Vorinstanz auf seine Rüge der Verletzung des Beschleunigungsgebots nicht eingetreten ist mit der Begründung, indem er sich absichtlich der Zürcher Untersuchungsbehörde entziehe, habe er die lange Verfahrensdauer direkt verschuldet (angefochtener Entscheid S. 6 E. 8). Rechtsmissbräuchlich wäre die Rüge der Verletzung des Beschleunigungsgebots gegebenenfalls dann, wenn sich der Beschwerdeführer über Verzögerungen beklagte, die dadurch entstanden sind, dass überhaupt ein Rechtshilfegesuch gestellt werden musste, dessen Erledigung stets eine gewisse Zeit in Anspruch nimmt. Dies tut er nicht.
Da bis zur ersten Intervention der Staatsanwaltschaft IV vom 25. Juli 2008 nahezu sechs Jahre und damit eine sehr lange Zeit verstrichen war, hätte die Staatsanwaltschaft IV in der Folge umso nachdrücklicher für die Erledigung des Rechtshilfegesuchs vom 16. September 2002 besorgt sein müssen. Bis zu ihrer zweiten Intervention am 16. Juni 2009 verging jedoch wiederum fast ein Jahr. Diese Zeitspanne muss unter den gegebenen Umständen erneut als zu lange beurteilt werden. Da die Staatsanwaltschaft - in Anbetracht der langen Untätigkeit von nahezu sechs Jahren - nun umso mehr hätte Druck machen müssen und es um ein schweres Verbrechen geht, hätte sie nicht erneut fast ein Jahr zuwarten dürfen.
Bis zur dritten Intervention der Staatsanwaltschaft IV am 11. November 2009 vergingen dann noch knapp fünf Monate, was unter Berücksichtigung dessen, dass nach der zweiten Intervention zunächst das Bundesamt für Justiz mit der Schweizerischen Botschaft in Belgrad Verbindung aufnehmen musste, diese in der Folge bei den serbischen Behörden Abklärungen zu treffen hatte und dann der Informationsfluss in die umgekehrte Richtung wiederum Zeit erforderte, nicht als übermässig lange zu beurteilen ist.
Zusammenfassend ist demnach festzustellen, dass die Zürcher Behörden das Beschleunigungsgebot gemäss Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Ziff. 3 lit. c UNO-Pakt II verletzt haben.
3.6 Die Verletzung des Beschleunigungsgebots hat nach der Rechtsprechung Auswirkungen auf die Strafe. Meistens führt sie zu einer Strafminderung, manchmal gar zu einem Verzicht auf Strafe. Als ultima ratio kann sie in extremen Fällen die Verfahrenseinstellung zur Folge haben (<ref-ruling> E. 8 S. 170 mit Hinweis).
Um einen extremen Fall, bei dem als ultima ratio die Verfahrenseinstellung in Betracht käme, handelt es sich hier nicht. Zwar haben sich die Zürcher Behörden jahrelang nicht um die Erledigung des Rechtshilfeersuchens vom 16. September 2002 bemüht. Die Hauptverantwortung dafür, dass in dieser Sache nichts ging, liegt aber nicht bei den Zürcher Behörden. Die Untätigkeit der jugoslawischen bzw. serbischen Behörden kann ihnen nicht angelastet werden. Zu berücksichtigen ist ausserdem, dass es um ein schweres Verbrechen geht. Bei einer Verurteilung wäre mit einer langjährigen Freiheitsstrafe zu rechnen. In einer solchen Konstellation besteht ein erhöhtes öffentliches Interesse an der Strafverfolgung, weshalb die Einstellung des Verfahrens nur in besonders krassen Ausnahmefällen in Betracht kommen kann. Ein solcher Fall liegt hier unter den dargelegten Umständen nicht vor. Die Verfahrenseinstellung - die der Beschwerdeführer auch nicht verlangt - scheidet demnach aus.
Die Verletzung des Beschleunigungsgebots wäre demnach im Falle eines Schuldspruchs - wie üblich - bei der Strafzumessung zu berücksichtigen. Der Beschwerdeführer hält sich jedoch offenbar in Serbien auf und ist nicht gewillt, sich den Zürcher Behörden - ohne freies Geleit, das ihm diese nicht zusichern wollen - zur Verfügung zu stellen. Da Serbien gemäss Erklärung vom 30. September 2002 zu Art. 6 Ziff. 1 lit. a des Europäischen Auslieferungsübereinkommens (SR 0.353.1) eigene Staatsangehörige nicht ausliefert, dürfte damit eine allfällige Verurteilung des Beschwerdeführers in der Schweiz kaum möglich sein und ist deshalb in erster Linie die Übernahme der Strafverfolgung durch die serbischen Behörden anzustreben ("aut dedere aut iudicare"; dazu unten E. 3.7).
Damit bleibt nur die Feststellung der Verletzung des Beschleunigungsgebots im vorliegenden Urteil. Dies in Verbindung mit der für den Beschwerdeführer vorteilhaften Kostenregelung (unten E. 8) stellt für diesen eine Wiedergutmachung dar (<ref-ruling> E. 3 S. 334; <ref-ruling> E. 5.3 S. 333; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 55/56; je mit Hinweisen).
3.7 Am 7. Juli 2010, also nach dem angefochtenen Entscheid, ersuchte die Staatsanwaltschaft IV die zuständigen serbischen Behörden um Übernahme und Weiterführung des in der Schweiz gegen den Beschwerdeführer geführten Strafverfahrens. Da seit der Tat nunmehr lange Zeit verstrichen ist und in Berücksichtigung der dargelegten Verletzung des Beschleunigungsgebots werden sich die schweizerischen Behörden umso nachdrücklicher um eine zeitgerechte Antwort des ersuchten Staates bemühen müssen.
4. Der Beschwerdeführer macht (Beschwerde S. 24 f. Ziff. 10) geltend, die ihm in der Schweiz vorgeworfene Tat sei verjährt.
Ob insoweit auf die Beschwerde offensichtlich in Anwendung von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG eingetreten werden kann, kann dahingestellt bleiben. Der Einwand geht jedenfalls fehl. Welcher Tötungstabestand (Art. 111 ff. StGB) bei einem Schuldspruch anwendbar wäre, kann - wie die Vorinstanz (Vernehmlassung S. 2 Ziff. 3) zutreffend bemerkt - beim gegenwärtigen Erkenntnisstand nicht abschliessend beurteilt werden. Auch die Annahme des Tatbestands des Mordes gemäss Art. 112 StGB kommt in Betracht. Dass die Staatsanwaltschaft zumindest insoweit noch ermitteln kann und somit die Verjährung noch nicht eingetreten ist, räumt der Beschwerdeführer (Beschwerde S. 25 Ziff. 10) selber ausdrücklich ein. Die Einstellung des Verfahrens wegen Verjährung scheidet deshalb aus.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer bringt (Beschwerde S. 10 f. und S. 21) vor, die Annahme der Vorinstanz, er sei flüchtig, sei im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG offensichtlich unrichtig. Er sei für die Behörden an seinem Wohnsitz in Serbien erreichbar.
Die Vorinstanz hat auf den Umstand, dass der Beschwerdeführer flüchtig sei, bei der Beurteilung der Frage der Akteneinsicht und der Verletzung des Beschleunigungsgebots abgestellt. Da in Bezug auf die Rüge der Akteneinsicht auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann (E. 2) und diese in Bezug auf die Rüge der Verletzung des Beschleunigungsgebots unabhängig davon, ob der Beschwerdeführer flüchtig sei, gutgeheissen wird (E. 3), ist der gerügte Mangel für den Ausgang des Verfahrens nicht entscheidend, weshalb darauf nicht einzutreten ist (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG).
5.2 Der Beschwerdeführer rügt (Beschwerde S. 22), wenn die Vorinstanz davon ausgehe, dass die Staatsanwaltschaft IV eine Strafuntersuchung gegen ihn führe, sei dies willkürlich.
Es kann dahingestellt bleiben, ob auf die Beschwerde insoweit eingetreten werden kann. Der Einwand ist schwer nachvollziehbar und jedenfalls klar unbegründet. Die Staatsanwaltschaft führt gegen den Beschwerdeführer offensichtlich ein Strafverfahren. Das weiss auch dieser. Sonst hätte er bei der Staatsanwaltschaft nicht um Akteneinsicht ersucht bzw. wäre diese auf das Gesuch nicht eingetreten mit der Begründung, bei ihr sei kein Verfahren hängig.
5.3 Der Beschwerdeführer bringt (Beschwerde S. 23) vor, die Vorinstanz führe aktenwidrig aus, sein Verteidiger habe das Mandat schon im Jahr 2000 übernommen. Dies sei erst im Jahr 2009 geschehen.
Darauf ist jedenfalls deshalb nicht einzutreten, weil nicht ersichtlich ist und der Beschwerdeführer nicht darlegt, inwiefern die geltend gemachte Aktenwidrigkeit nach Art. 97 Abs. 1 BGG für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein soll.
6. Der Beschwerdeführer rügt (Beschwerde S. 27 Ziff. 11.5) eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, da die kantonalen Behörden auf sein Gesuch um amtliche Verteidigung bisher nicht reagiert hätten.
Ob auf die Beschwerde insoweit eingetreten werden kann, braucht erneut nicht näher geprüft zu werden, da das Vorbringen ohnehin von vornherein unbehelflich ist. Die Vorinstanz ist (angefochtener Entscheid S. 7 E. 10) auf das Gesuch um amtliche Verteidigung mangels Zuständigkeit nicht eingetreten. Dass die Vorinstanz ihre Zuständigkeit zu Unrecht verneint habe, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist nicht ersichtlich. Tritt eine unzuständige Behörde auf ein Gesuch um amtliche Verteidigung nicht ein, liegt darin keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Dass der Beschwerdeführer bei der zuständigen Behörde um Bewilligung der amtlichen Verteidigung ersucht und diese bisher innert vernünftiger Frist dazu keinen Entscheid getroffen habe, legt er nicht substanziiert dar.
7. Soweit der Beschwerdeführer in der Replik (S. 6 Ziff. 9) erstmals die "Unabhängigkeit der Justiz" in Frage stellt, kann darauf schon deshalb nicht eingetreten werden, weil er die Rüge bereits in der Beschwerde hätte erheben können und müssen. Nach Ablauf der Beschwerdefrist kann er keine neuen Rügen nachschieben (<ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47 mit Hinweisen).
8. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann, teilweise gutzuheissen.
Der Beschwerdeführer unterliegt teilweise. Unter den gegebenen Umständen (dazu oben E. 3.6) rechtfertigt es sich jedoch, in Anwendung von Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG auf die Erhebung von Kosten zu verzichten. Der Kanton hat dem Anwalt des Beschwerdeführers eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese wird auf Fr. 2'000.-- festgesetzt.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist damit hinfällig.
Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer die Kosten des Rekursverfahrens von Fr. 700.-- auferlegt. Sie hätte nach dem Gesagten den Rekurs teilweise gutheissen müssen, was bei der Kostenregelung zu berücksichtigen gewesen wäre. Es rechtfertigt sich daher, die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens auf Fr. 400.-- herabzusetzen (Art. 67 BGG). Die Vorinstanz hätte dem Beschwerdeführer für das teilweise Obsiegen im Rekursverfahren sodann eine Entschädigung ausrichten müssen (§ 396a StPO/ZH). Dies rechtfertigt die Erhöhung des vom Kanton zu bezahlenden oben genannten Betrages von Fr. 2'000.-- um Fr. 500.-- auf insgesamt Fr. 2'500.-- (Art. 68 Abs. 5 BGG). Auf die Rückweisung der Akten an die Vorinstanz zur Neureglung der kantonalen Kostenfolgen kann damit verzichtet werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, teilweise gutgeheissen und festgestellt, dass die kantonalen Strafverfolgungsbehörden das Beschleunigungsgebot verletzt haben. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Zürich hat dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt J. Mischa Mensik, eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
4. Die dem Beschwerdeführer von der Vorinstanz auferlegten Kosten werden auf Fr. 400.-- herabgesetzt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft IV und der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri