Sachverhalt:
A. X._ stellte am 22. Juni 2009 beim Gesundheitsamt des Kantons Solothurn das Gesuch für das Betreiben eines Fumoirs in seinem Betrieb "Bistro Heaven Bar" in Solothurn. Am 21. September 2009 wies das Departement des Innern des Kantons Solothurn dieses Gesuch ab mit der Begründung, das Fumoir erfülle die Kriterien an einen Nebenraum nicht, da es aufgrund seiner zentralen Lage (einziger Raum im Erdgeschoss) der Hauptausschankraum des Betriebes sei.
Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 5. Februar 2010 ab.
B. Mit Eingabe vom 17. März 2010 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 5. Februar 2010 aufzuheben und das Gesuch für das Betreiben eines Fumoirs im Erdgeschoss der "Bistro Heaven Bar" an der Kreuzgasse 1 in Solothurn gutzuheissen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Gesuchsbewilligung unter Auflagen und Bedingungen an das Departement des Innern zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an das Departement des Innern des Kantons Solothurn zurückzuweisen. Das Gesundheitsamt des Kantons Solothurn beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid, der sich auf das Gesundheitsgesetz des Kantons Solothurn vom 27. Januar 1999 (im Folgenden: Gesundheitsgesetz) sowie die Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen vom 24. März 2009 (im Folgenden auch: Verordnung) stützt. Er erging mithin in Anwendung von kantonalem öffentlichem Recht. Da kein Ausschlussgrund nach Massgabe von <ref-law> gegeben ist, steht dagegen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> offen. Der Beschwerdeführer ist hierzu legitimiert (<ref-law>).
1.2 Der angefochtene Entscheid stützt sich zur Hauptsache auf kantonales Gesundheitsrecht. Insofern kommt als Beschwerdegrund im Wesentlichen die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht, insbesondere von verfassungsmässigen Rechten der Bundesverfassung, in Frage (<ref-law>). Die Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund. Überprüft werden kann insoweit nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung sonstwie gegen übergeordnetes Recht verstossen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.).
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Die Verhältnismässigkeit kantonalrechtlicher Anordnungen ausserhalb von Grundrechtseingriffen prüft das Bundesgericht nicht frei, sondern nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots (vgl. <ref-ruling> E. 4).
1.4 Das Bundesgericht legt sodann seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2). Im Bereich der Beweiswürdigung steht dem Sachgericht ein erheblicher Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 4b S. 40). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4b S. 40; <ref-ruling> E. 1b S. 30).
2. 2.1 Nach § 6bis Abs. 4 des Gesundheitsgesetzes ist das Rauchen in geschlossenen Räumen, die der Öffentlichkeit zugänglich sind, wie in Gebäuden der öffentlichen Verwaltung, in Spitälern, Heimen, Kultur- und Sportstätten, Schulen, Kindergärten und anderen Bildungsstätten und in allen Bereichen der Gastronomie verboten. Getrennte und entsprechend gekennzeichnete Räume mit ausreichender Belüftung können für Rauchende vorgesehen werden. Gemäss § 68 Abs. 1 des Gesundheitsgesetz erlässt der Regierungsrat die zum Vollzug dieses Erlasses notwendigen Verordnungen.
Nach § 2 Abs. 1 der Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen sind Fumoirs auf Dauer vom Rauchverbot ausgenommen. Betreffend Fumoirs enthält die Verordnung im Weiteren die folgenden Regelungen, welche am 1. Juli 2009 in Kraft traten:
§ 3. Fumoirs
1 Fumoirs sind baulich abgetrennte Nebenräume des Betriebes.
2 Der Hauptausschankraum eines Betriebes (Gaststube) nach § 12 Absatz 1 des Wirtschaftsgesetzes darf nicht als Fumoir benutzt werden. Mit baulichen Massnahmen kann der kleinere Teil der Gaststube als Fumoir abgetrennt werden, sofern die Auflagen gemäss § 4 eingehalten werden.
3 Im Fumoir dürfen nur Leistungen angeboten werden, die im übrigen Betrieb auch erhältlich sind.
4 Die Öffnungszeiten von Fumoirs dürfen nicht über jene des Nichtraucherbereichs hinausgehen.
§ 4. Anlage von Fumoirs
1 Fumoirs sind so anzulegen, dass
a) sie vom Nichtraucherbereich als feste Anlagen baulich getrennt sind;
b) kein Rauch in den übrigen Betrieb gelangen kann (selbsttätig schliessende Türen);
c) sie gut belüftet sind;
d) sie nicht als Durchgang zu anderen Betriebsräumen dienen;
e) sie klar als Räume für Raucherinnen und Raucher gekennzeichnet sind.
2 Die Fläche des Fumoirs darf höchstens einen Drittel der Gesamtfläche der Ausschankräume gemäss Wirteberechtigung betragen.
§ 5. Bewilligung von Fumoirs
1 Fumoirs bedürfen der Bewilligung des zuständigen Departementes. Gesuche für das Betreiben von Fumoirs sind mit Plänen und Beschrieb der Räume und Angabe der Flächen einzureichen.
2 Bestehen für Räume in derselben Liegenschaft verschiedene Patente oder Bewilligungen, so hat jede Person, der ein Patent oder eine Bewilligung erteilt ist, für ihren Bereich eine separate Bewilligung einzuholen.
§ 6. Übergangsrecht
Bis zur erfolgten Bewilligung bzw. Ablehnung eines Gesuchs nach § 5 dieser Verordnung können bisherige Fumoirs weiter betrieben werden, sofern sie den bisherigen Richtlinien entsprechen und das Gesuch bis 31. August 2009 eingereicht wurde.
Mit Fassung vom 23. Februar 2010 der Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen wurden folgende Änderungen und Ergänzungen vorgenommen:
§ 3bis. Nebenräume
1 Nebenräume dürfen nicht über ein eigenständiges Angebot oder einen eigenen Gastronomiebereich verfügen, wobei folgende Bereiche unterschieden werden:
a) normaler Restaurationsbereich (Essen und Trinken);
b) Bars und barähnliche Räume (z.B. Lounges);
c) Räume mit speziellen Darbietungen bzw. Angeboten (z.B. Musik, Tanz, Cabaret, Spiele).
2 Weitere Kriterien für das Vorliegen eines Nebenraumes sind die Raumgrösse (in der Regel unter 80 m2), die Lage im Betrieb, die Eingangssituation und das Vorhandensein einer Ausschankeinrichtung.
§ 4. Anlage von Fumoirs
1 Fumoirs sind so anzulegen, dass
a) sie vom Nichtraucherbereich als feste Anlagen baulich getrennt sind;
b) kein Rauch in den übrigen Betrieb gelangen kann (selbsttätig schliessende Türen);
c) sie gut belüftet sind;
d) sie nicht als Durchgang zu anderen Betriebsräumen dienen;
e) sie klar als Räume für Raucherinnen und Raucher gekennzeichnet sind.
2 Die Fläche des Fumoirs darf höchstens einen Drittel der Gesamtfläche der Ausschankräume gemäss Wirteberechtigung betragen.
§ 5. Bewilligung von Fumoirs
(...)
3 Grundsätzlich wird nur ein Fumoir pro Betrieb bewilligt. Bei grösseren Betrieben (insbesondere mit verschiedenen Angeboten) kann von diesem Grundsatz abgewichen werden.
2.2 Das Problem der zeitlichen Geltung von Rechtserlassen ist im Allgemeinen weniger akut bei Ausführungsverordnungen, welche definitionsgemäss keine einschneidenden Änderungen herbeiführen sollten, als bei Gesetzen im formellen Sinne. Die Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen enthält keine Übergangsregelung betreffend die geänderten Bestimmungen, weshalb die Frage des anwendbaren Rechts nach allgemeinen Prinzipien zu bestimmen ist. Massgeblich für die bundesgerichtliche Beurteilung ist danach grundsätzlich die Rechtslage, wie sie bestand, als der angefochtene Verwaltungsakt erging (<ref-ruling> E. 5 e/aa S. 598, mit Hinweisen). Massgebend ist damit vorliegend grundsätzlich die Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen in ihrer ursprünglichen Fassung.
3. 3.1 Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Entscheid u.a. festgestellt, bei der Bar im Erdgeschoss handle es sich um den Hauptausschankraum, was aus der Lage im Betrieb, der Einrichtung und dem Gebrauch hervorgehe. Es sei derjenige Teil des Betriebes, den man von aussen wahrnehmen könne und der als Betrieb gekennzeichnet sei. Er verfüge über einen direkten Eingang, liege zentral und verfüge über eine Ausschankeinrichtung. Von der Wahrnehmung von aussen her wirke die Bar im Erdgeschoss, die direkt an der Kreuzgasse und der Schaalgasse im Zentrum der Altstadt liege, und die als einziger Betriebsraum überhaupt wahrnehmbar sei, als Raucherbetrieb.
3.2 Der Beschwerdeführer bestreitet zwar die Richtigkeit verschiedener vorinstanzlicher Feststellungen, macht aber insbesondere nicht geltend, deren vorgenannte Darstellung, wonach der Barbetrieb im Erdgeschoss von aussen her als einziger Betriebsraum überhaupt wahrnehmbar sei, sei unzutreffend. Er rügt in diesem Zusammenhang jedoch die Verletzung des rechtlichen Gehörs, da für die Qualifizierung als Nebenraum auf die Wirkung nach aussen bzw. die Wahrnehmung von aussen abgestellt werde, ohne sein Angebot zu würdigen, die Fensterscheiben im Erdgeschoss so zu tönen, dass von aussen nicht mehr "hineingeschaut" werden könne. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern eine Scheibentönung dazu führen könnte, dass der Barbetrieb im Erdgeschoss von aussen nicht mehr als einziger Betriebsraum wahrgenommen würde. Wenn die Vorinstanz nicht explizit auf diese Frage eingegangen ist, ist dies daher nicht zu beanstanden. Die fragliche Sachverhaltsfeststellung ist daher für das Bundesgericht massgebend (vgl. E. 1.4).
3.3 Soweit bezüglich weiterer Sachverhaltselemente Differenzen zwischen den Feststellungen der Vorinstanz und dem vom Beschwerdeführer Vorgetragenen bestehen, sind diese - wie nachfolgend aufzuzeigen ist - für den Ausgang des Verfahrens nicht entscheidend, weshalb offenbleiben kann, ob dem Beschwerdeführer der Nachweis gelingen würde, dass diese Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung beruhen. Auf die diesbezüglichen Ausführungen des Beschwerdeführers muss daher nicht weiter eingegangen werden.
4. 4.1 Das Verwaltungsgericht hat u.a. aufgrund des Umstandes, dass die Bar im Erdgeschoss von aussen als einziger Betriebsraum überhaupt wahrnehmbar sei, geschlossen, dieser Raum könne nicht als Nebenraum im Sinne der Gesetzgebung zum Schutz vor dem Passivrauchen qualifiziert werden. Der Beschwerdeführer rügt, diese Schlussfolgerung beruhe auf willkürlicher Rechtsanwendung.
4. 4.1 Das Verwaltungsgericht hat u.a. aufgrund des Umstandes, dass die Bar im Erdgeschoss von aussen als einziger Betriebsraum überhaupt wahrnehmbar sei, geschlossen, dieser Raum könne nicht als Nebenraum im Sinne der Gesetzgebung zum Schutz vor dem Passivrauchen qualifiziert werden. Der Beschwerdeführer rügt, diese Schlussfolgerung beruhe auf willkürlicher Rechtsanwendung.
4.2 4.2.1 Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S.133; <ref-ruling> E. 1.2 S. 177, je mit Hinweisen).
4.2.2 Das Gesundheitsgesetz des Kantons Solothurn sieht vor, dass getrennte und entsprechend gekennzeichnete Räume mit ausreichender Belüftung für Rauchende vorgesehen werden können (§ 6bis Abs. 4). Nach § 68 Abs. 1 desselben Erlasses erlässt der Regierungsrat die zum Vollzug dieses Gesetzes notwendigen Verordnungen. In Wahrnehmung dieser Kompetenz regelte der Regierungsrat in der Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen u.a., dass so genannte "Fumoirs" vom Rauchverbot ausgenommen sind (§ 2 Abs. 1), sowie dass Fumoirs baulich abgetrennte Nebenräume des Betriebes sind (§ 3 Abs. 1). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, der Regierungsrat habe mit dieser Regelung die ihm erteilten Kompetenzen überschritten und die fraglichen Verordnungsbestimmungen seien nicht durch das Gesetz gedeckt. Hingegen bringt er vor, die Auslegung der Verordnung durch die Vorinstanzen sei durch das Gesetz nicht gedeckt, wobei seine Rüge darauf hinausläuft, dass er den Umstand, dass die Erscheinung der Lokalitäten gegen aussen als wesentlich für die Qualifikation als Haupt- bzw. Nebenraum angenommen wird, als nicht vom Gesetz gedeckt erachtet.
4.2.3 Der Auffassung des Beschwerdeführers kann nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz legt im angefochtenen Entscheid dar, ein wesentliches Kriterium zur Beurteilung, ob es sich um einen Nebenraum im Sinne der Gesetzgebung zum Schutz vor dem Passivrauchen handle, sei die Wirkung des Betriebes gegen aussen. Sie verweist dabei darauf, das Rauchverbot habe u.a. zum Ziel, den Tabakkonsum und damit die entsprechenden gesundheitlichen Risiken und Folgeschäden zu vermindern. Unter diesem Aspekt sei die Wirkung nach aussen bzw. die Wahrnehmung von aussen durchaus von Bedeutung. Wenn ein Teil eines Gastronomiebetriebes, der vom Publikum und aus dem öffentlichen Raum als eigenes Lokal wahrgenommen werde, als Fumoir betrieben werden dürfte, liefe das dem Präventionsgedanken diametral zuwider, da der Eindruck eines gesetzlich verpönten Raucherlokals entstünde. Der Beschwerdeführer räumt hierzu ein, es möge durchaus sein, dass das Rauchverbot auch zum Ziel habe, den Tabakkonsum einzuschränken. Dieses Ziel werde aber bereits mit den Einschränkungen zum Schutz vor Passivrauchen erreicht. Werde dagegen darüber hinaus als eine weitere Massnahme zur Zielerreichung formuliert, dass Fumoirs nicht den (falschen) Eindruck eines Raucherlokals erwecken dürften, so komme dies eher einem Werbeverbot nahe.
Diese Einwendungen vermögen nicht durchzudringen: Das Gesundheitsgesetz geht vom Grundsatz des Rauchverbotes in öffentlichen Räumen aus (vgl. § 6 Abs. 4). Raucherräume stellen die Ausnahme dar. Daraus folgt bereits, dass es (auch) auf die Wahrnehmbarkeit als Haupt- oder blosser Nebenraum ankommt. Wer einen Gastwirtschaftsbetrieb betritt, allein oder zusammen mit anderen Menschen, der muss, wenn er sich nicht besonders darum bemüht, sich ohne weiteres im rauchfreien Bereich wieder finden. Solches gebietet der gesetzlich angestrebte Schutz vor dem Passivrauchen. Dass mit diesem Schutz neben dem Hauptziel (grundsätzlich rauchfreie öffentliche Räume) als Nebenziel auch die Eindämmung des Tabakkonsums verfolgt wird, braucht dabei nicht ausgeklammert zu werden. Die Überlegungen der Vorinstanz sind durchaus nachvollziehbar und jedenfalls nicht willkürlich. Daran ändern die Ausführungen des Beschwerdeführers nichts, wonach die Überlegung dann folgerichtig auch für Fumoirs gelten müsste, die nur als Teil des Gesamtbetriebes sichtbar seien, ist doch die Aussenwirkung effektiv unterschiedlich, je nachdem ob ein Betrieb als reines Raucherlokal wahrgenommen wird oder ob wahrgenommen werden kann, dass ein Teil eines - grundsätzlich rauchfreien - Lokals für Raucher freigegeben ist.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer rügt, der Entscheid verletze die verfassungsmässige Garantie der Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>) und die Eigentumsgarantie (<ref-law>).
5.2 Das Bundesgericht hat bereits mehrfach entschieden, das Rauchverbot in Restaurants, deren Haupttätigkeit im Angebot von Speisen und Getränken bestehe, schränke die Wirtschaftsfreiheit ihrer Betreiber nicht direkt ein (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 7.4). Wie in den ersten beiden erstgenannten Fällen, welche den Kanton Bern betrafen, ist hier mit Bezug auf den Kanton Solothurn festzustellen, dass das Rauchverbot nicht das Wirten als solches verunmöglicht, d.h. insbesondere die Abgabe von Speisen oder Getränken zum Konsum gegen Entgelt. Diese Tätigkeiten können unter der Geltung des Passivraucherschutzes weiterhin vollumfänglich ausgeübt werden. Auch fällt das Rauchverbot nicht absolut aus. Ein abgetrennter Nebenraum, dessen Fläche einen gewissen Umfang nicht überschreitet und der weitere bauliche Voraussetzungen erfüllt, darf als Fumoir betrieben werden. Dabei wird das grundsätzliche Rauchverbot wieder erheblich gelockert. Daran kann - entgegen der Meinung des Beschwerdeführers - nichts ändern, dass in einzelnen Fällen aufgrund der örtlichen Gegebenheiten die Einrichtung eines Fumoirs nicht möglich ist. Der Beschwerdeführer wird dadurch auch nicht stärker betroffen als andere Gewerbegenossen, welche ebenfalls nicht über geeignete Lokalitäten für die Einrichtung eines Fumoirs verfügen. Der Beschwerdeführer behauptet im übrigen zwar, der angefochtene Entscheid tangiere indirekt die Existenzfrage seines Betriebes. Er zeigt jedoch in keiner Weise auf, welche Auswirkungen es auf den Betrieb haben könnte, wenn er kein Fumoir führen kann. Die behaupteten Auswirkungen sind weder durch die Behauptung dargetan, weil die Bistrobar vor allem am Abend geöffnet sei, sei sie auf die Einrichtung eines Fumoirs angewiesen, noch durch die Behauptung, der bisherige bestimmungsgemässe Gebrauch werde verunmöglicht. Der Beschwerdeführer bringt daher seine Rüge nicht in einer Form vor, welche für die Prüfung durch das Bundesgericht vorausgesetzt wird (vgl. E. 1.3). Die identischen Überlegungen gelten im übrigen in gleicher Weise in Bezug auf den vom Beschwerdeführer gerügten und nicht näher dargelegten Eingriff in die Eigentumsgarantie.
6. 6.1 Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Ablehnung seines Gesuches verletzte den Grundsatz der Verhältnismässigkeit, ist ihm ebenfalls nicht zu folgen. Ist der Schluss der Vorinstanz als haltbar zu betrachten, dass es sich bei der Bar im Erdgeschoss schon deshalb nicht um einen Nebenraum handeln kann, weil er von aussen als einziger Betriebsraum wahrgenommen wird, so könnten daran auch die vom Beschwerdeführer angeführten Auflagen nichts ändern. Einzig dadurch, dass im Betrieb des Beschwerdeführers keine andere Möglichkeit zum Betreiben eines Fumoirs besteht, wird sodann der Grundsatz der Verhältnismässigkeit ebenfalls nicht verletzt, müsste doch andernfalls jedem Inhaber eines Gastwirtschaftsbetriebes die Betreibung eines Fumoirs gestattet werden, selbst wenn der Betrieb bloss einen einzigen Gastraum aufweisen würde. Dadurch würde jedoch die Umsetzung des Gesetzes verunmöglicht.
6.2 Der Beschwerdeführer rügt schliesslich auch einen Verstoss gegen das Rechtsgleichheitsgebot, indem die zuständigen Behörden diversen anderen Betrieben, bei denen das Fumoir ebenfalls von aussen wahrnehmbar sei, ein solches bewilligt hätten.
Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid im Einzelnen dargelegt, dass und weshalb es sich bei den anderen vom Beschwerdeführer erwähnten Betrieben um Lokale handelt, welche nicht mit dem Betrieb "Bistro Heaven Bar" vergleichbar sind. Die appellatorische Kritik des Beschwerdeführers an diesen Feststellungen (vorne E. 1.3) vermag nicht aufzuzeigen, dass die Situation der anderen Lokale, insbesondere bezüglich der Wahrnehmung von aussen, mit seinem Betrieb vergleichbar wäre. Er kann daher aus dem Umstand, dass in den anderen von ihm erwähnten Fällen Fumoirs bewilligt wurden, nichts zu seinen Gunsten ableiten.
7. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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