Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Die Eingabe ist als Beschwerde in Strafsachen entgegenzunehmen.
2. Eine Verhandlung ist nicht notwendig (vgl. <ref-law>). Das Gesuch um eine Hauptverhandlung (Antrag 11) ist abzuweisen.
3. Es kann nur um den angefochtenen Entscheid gehen, auf den sich die Beschwerde beziehen muss. Auf Anträge und Ausführungen zu anderen Entscheiden und Themen ist nicht einzutreten. Soweit die Beschwerde im Übrigen sachgerecht ist, genügen die wirren Ausführungen den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. Der Beschwerdeführer stellt denn auch selber fest, "aus gerichtsökonomischen Gründen" trete er "auf die pseudojuristische Rabulistik der einseitig begabten VorderrichterInnen" nicht ein (Beschwerde S. 22 Ziff. 2). Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
4. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der missbräuchlichen Art der Prozessführung ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Das Gesuch um Durchführung einer Hauptverhandlung wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn