Sachverhalt:
A.
A.a. Die Anklagekammer des Obergerichts Zürich eröffnete am 23. November 2010 aufgrund einer Strafanzeige von X._ ein Strafverfahren gegen den Gemeindepräsidenten von V._, B._, und die Sachbearbeiterin der Vormundschaftsbehörde, A._, wegen fahrlässiger Tötung und weiterer Delikte, das in der Folge auf die Psychotherapeutin C._ ausgedehnt wurde.
A.b. Dem Strafverfahren liegt folgender Sachverhalt zugrunde:
2007 kam es zwischen X._ und Y._ zu einem Streit über das Sorgerecht ihres gemeinsamen Sohnes Z._. Der Vormundschaftsbehörde V._ wurde Anfang 2008 bekannt, dass Y._ wegen versuchten Mordes an seinem Sohn W._ aus erster Ehe vorbestraft ist. Sie führte mit ihm daraufhin ein Gespräch wegen seiner Vorstrafe und sprach ihn auf sein Gefährdungspotenzial an. Sie bemühte sich beim Bezirksgericht Zürich um die Akten des versuchten Tötungsdeliktes und brachte Z._ am 12. Februar 2008 aufgrund der Gefährdung des Kindswohls durch die unvereinbaren Standpunkte der Eltern, dem Umfeld (Milieu) und Desinteresse der Mutter sowie der "Vergangenheit des Vaters" vorläufig in einer Pflegefamilie unter.
Während der Fremdplatzierung von Z._ wandte sich die Vormundschaftsbehörde an die Psychologin C._, bei der sich Y._ seit mehreren Monaten in einer Gesprächstherapie befand, um sich vor dem Hintergrund dessen Vergangenheit und im Hinblick auf künftig zu erwartende Entscheidungen bezüglich Obhuts- und Sorgerecht auf eine fachliche Abklärung stützen zu können. Sie erteilte C._ den Auftrag, die persönliche Situation/ Konstitution sowie die Gefahr einer möglichen Rückfälligkeit von Y._ zu beurteilen, eventuell eine unterstützende Begleitung für die Zukunft vorzuschlagen und einen entsprechenden Abschlussbericht zu erstellen. C._ hält in ihrer eineinhalbseitigen "Stellungnahme zum Auftrag vom 16. September 2008" fest, "[d]ie Prognose einer allfälligen Gefährdung Dritter ist naturgemäss bei niemandem gänzlich zu verneinen. Es lassen sich jedoch bei Herrn Y._ keine Merkmale oder Faktoren für eine erhöhte Gefährdung Dritter erkennen". Die Stellungnahme vom 23. Dezember 2008 enthält keine Empfehlungen für begleitende Massnahmen. Die Vormundschaftsbehörde beauftragte am 27. Januar 2009 das F._-Institut mit der Ausarbeitung eines kinderpsychologischen Gutachtens bezüglich des Wohlbefindens von Z._, dessen Beziehung zur Kindsmutter und dem Kindsvater, der Obhut und dem Besuchsrecht. Eine forensische Risikobeurteilung und Abklärung des psychischen Gesundheitszustandes von Y._ waren nicht Gegenstand des Gutachtens. Für die Dauer der gutachterlichen Abklärungen wurde Z._ unter die Obhut von Y._ gestellt. Das F._-Institut präzisierte auf Nachfrage der Vormundschaftsbehörde, mit Blick auf die Stabilität sei eine Umteilung der faktischen Obhut derzeit nicht im Interesse von Z._. Am 15. Dezember 2009 beschloss die Vormundschaftsbehörde, die Obhut über Z._ bei Y._ zu belassen.
Am 26. Februar 2010 tötete Y._ seinen Sohn Z._.
A.c. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich holte bei Dr. med.
D._ und PD Dr. med. E._ von der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich (PUKZH) ein forensisch-psychiatrisches Gutachten über Y._ ein.
B.
Am 27. März 2012 stellte die Staatsanwaltschaft das Strafverfahren gegen A._, B._ und C._ ein. Die hiergegen von X._ erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 22. Februar 2013 ab.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben, und es sei die Staatsanwaltschaft anzuweisen, das Strafverfahren gegen A._, B._ und C._ fortzusetzen und Anklage zu erheben. X._ ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich sowie C._ haben auf Vernehmlassungen verzichtet. A._ und B._ wurden nicht eingeladen, sich vernehmen zu lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG unter anderem berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (lit. b) hat. Nach Ziff. 5 von Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG wird der Privatklägerschaft ein rechtlich geschütztes Interesse zuerkannt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 189; <ref-ruling> E. 3 S. 87 f.; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 247 f.).
1.2. Gemäss § 6 des Haftungsgesetzes des Kantons Zürich vom 14. September 1969 (HG/ZH) in seiner zur Tatzeit geltenden Fassung haftet der Staat für den Schaden, den ein Beamter in Ausübung amtlicher Verrichtungen einem Dritten widerrechtlich zufügt. Dieses Gesetz gilt entsprechend auch für die Gemeinden, für die Mitglieder und Ersatzmitglieder ihrer Behörden und für die in ihrem Dienste stehenden Personen (Art. 2 HG/ZH).
Private, die ihnen übertragene öffentliche Aufgaben erfüllen, haften kausal für den Schaden, den sie dabei durch rechtswidrige Tätigkeit oder Unterlassung verursachen. Im Übrigen gelten die Bestimmungen des Bundeszivilrechts. Ansprüche sind auf dem Weg des Zivilprozesses geltend zu machen (Art. 4a HG/ZH).
1.3. Die Beschwerdeführerin hat Strafantrag gestellt und war im kantonalen Verfahren als Privatklägerin (Art. 118 Abs. 2 StPO) beteiligt. Sie begründet die geltend gemachten Genugtuungs- und Schadenersatzansprüche mit dem angeblich strafbarem Verhalten der Beschwerdegegner 2-4. Die Beschwerdegegner 2 und 3 haben die ihnen vorgeworfenen Handlungen und Unterlassungen in Ausübung ihrer Funktion als Mitglieder (Sachbearbeiterin respektive Gemeindepräsident) der Vormundschaftsbehörde V._ begangen. Allfällige Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche beurteilen sich nach dem HG/ZH und sind demnach öffentlich-rechtlicher Natur. Sie stellen keine Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG dar. Damit ist die Beschwerdeführerin zur Beschwerde nicht legitimiert (vgl. Urteil 6B_474/2013 vom 23. August 2013 E. 1.3). Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
Die Beschwerdegegnerin 4 verfasste ihre Stellungnahme als freiberufliche Therapeutin und damit als "Private" im Sinne des HG/ZH. Die gegen sie gerichteten Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche sind auf dem Weg des Zivilprozesses geltend zu machen (Art. 4a HG/) und können sich auf die Beurteilung allfälliger Zivilansprüche der Beschwerdeführerin auswirken. Die Beschwerde gegen die Beschwerdegegnerin 4 ist zulässig.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt sinngemäss, die Vorinstanz verletze Art. 319 Abs. 1 StPO bzw. den Grundsatz "in dubio pro duriore", weil sie die Verfahrenseinstellung schütze. Aufgrund von Zeitungsberichten über den Mordversuch von Y._ an seinem Sohn W._ während des Trennungs- und Scheidungsprozesses von seiner ersten Ehefrau sei dessen Gefährlichkeit bekannt gewesen. Bevor Y._ die Obhut für Z._ hätte zugesprochen werden dürfen, wäre eine gutachterliche Risikobeurteilung erforderlich gewesen. Die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin 4 genüge diesen Ansprüchen nicht. Eine sorgfältige Begutachtung hätte belegt, dass Y._ unter einer behandlungsbedürftigen narzisstischen Persönlichkeitsstörung leide. Die Tötung von Z._ hätte verhindert werden können.
2.2. Die Vorinstanz erwägt, es lasse sich nicht rechtsgenügend nachweisen, dass sich mit einer vertieften gutachterlichen Abklärung die Tat zum Nachteil von Z._ mit grösster Wahrscheinlichkeit hätte verhindern lassen. Gemäss dem psychiatrischen Gutachten der PUKZH vom 31. August 2011 erscheine auch nicht gesichert, dass dessen Rückfallrisiko bei einer Therapie hätte erkannt werden können. Den Vorwürfen der Beschwerdeführerin, die Beschwerdegegnerin 4 habe (pflichtwidrig) keine Therapie und keine vertiefende Abklärung des Gefährdungsrisikos von Y._ empfohlen, fehle es an der strafrechtlichen Relevanz (angefochtener Beschluss E. 3.2 S. 27).
2.3.
2.3.1. Vor Bundesgericht gilt das Rügeprinzip. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen).
2.3.2. Die Staatsanwaltschaft verfügt die Einstellung des Verfahrens unter anderem, wenn kein Tatverdacht erhärtet ist, der eine Anklage rechtfertigt, oder kein Straftatbestand erfüllt ist (Art. 319 Abs. 1 lit. a und b StPO). Der Entscheid über die Einstellung eines Verfahrens richtet sich nach dem aus dem Legalitätsprinzip (vgl. Art. 5 Abs. 1 BV und Art. 2 Abs. 1 StPO i.V.m. Art. 319 Abs. 1 StPO und Art. 324 Abs. 1 StPO) fliessenden Grundsatz "in dubio pro duriore". Danach darf eine Einstellung durch die Staatsanwaltschaft grundsätzlich nur bei klarer Straflosigkeit bzw. offensichtlich fehlenden Prozessvoraussetzungen angeordnet werden. Ist die Beweis- oder Rechtslage nicht eindeutig, sollen nicht die Untersuchungs- oder Anklagebehörden, sondern die für die materielle Beurteilung zuständigen Gerichte entscheiden (BGE <ref-ruling> E. 4.2 S. 91; <ref-ruling> E. 7.1-7.2 S. 226 f.; je mit Hinweisen). Der Grundsatz, dass im Zweifelsfall nicht eingestellt werden darf, ist auch bei der gerichtlichen Überprüfung von Einstellungsverfügungen zu beachten. Bei der Beurteilung dieser Frage verfügen die Staatsanwaltschaft und die Vorinstanz über einen gewissen Spielraum, den das Bundesgericht mit Zurückhaltung überprüft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 190).
2.4.
2.4.1. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich darauf, ihre bereits gegenüber der Beschwerdegegnerin 1 im Vorverfahren erhobenen Einwände zu wiederholen, ohne sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinanderzusetzen. Ihre Ausführungen betreffen überwiegend die Beschwerdegegner 2 und 3 und weisen keinen Bezug zu einem allfällig strafbaren Verhalten der Beschwerdegegnerin 4 auf. Die Vorbringen genügen insoweit nicht den Rügeanforderungen im Sinne von Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen), weshalb auf sie nicht eingetreten werden kann.
2.4.2. Soweit ihre Einwendungen überhaupt einen Sachbezug zur Einstellung des gegen die Beschwerdegegnerin 4 geführten Strafverfahrens haben, ergeben sich daraus keine Anhaltspunkt für ein strafbares Verhalten. Die Argumentation der Beschwerdeführerin, die Beschwerdegegnerin 4 hätte die Vormundschaftsbehörde darauf hinweisen müssen, dass ihre Stellungnahme zur Rückfallgefahr von Y._ nicht den Standards eines Gutachtens entspreche,geht an der Sache vorbei. Sie verkennt, dass behandelnde Therapeuten (und Ärzte) aufgrund ihrer auftragsrechtlichen Vertrauensstellung gegenüber dem Patienten als befangen gelten (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 352 ff.) und daher als sachverständige Personen von vornherein ausser Betracht fallen (Marianne Heer, in: Basler Kommentar, Strafrecht I, 3. Aufl. 2013, N. 60a zu Art. 56). Bei therapeutischen Berichten handelt es sich um Privatgutachten, denen lediglich die Bedeutung einer Parteibehauptung zukommt (<ref-ruling> E. 3.4 mit Hinweisen) und die ein Sachverständigengutachten nicht ersetzen können. Entscheide lassen sich darauf nicht abstützen (Urteil 6B_438/2011 vom 18. Oktober 2011 E. 2.4.3 mit zahlreichen Hinweisen). Demnach vermögen allfällige formelle und inhaltliche Mängel der Stellungnahme keine Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten der Beschwerdegegnerin 4 zu begründen. Dass die Vormundschaftsbehörde sich im Rahmen der Entscheidung, wem die Obhut über Z._ zuzusprechen ist, auf die Stellungnahme abgestützt hat, kann der Beschwerdegegnerin 4 unter diesen Voraussetzungen nicht vorgeworfen werden. Dies umso weniger, als die Beschwerdegegnerin 4 nach dem Vorbringen der Beschwerdeführerin die Vormundschaftsbehörde darauf hingewiesen habe, dass ihr Bericht kein Gutachten sei (Beschwerde III. Ziff. 17; IV. A. 2. a).
2.4.3. Die Beschwerdeführerin weist zutreffend darauf hin, dass die Vorinstanz im Rahmen der Vermeidbarkeit der Tat den hypothetischen Kausalverlauf zu Unrecht nach dem im Vorverfahren nicht anwendbaren Grundsatz "in dubio pro reo" beurteilt. Dies ist aber für die Einstellungsverfügung in Bezug auf die Beschwerdegegnerin 4 ohne Bedeutung. Nach dem Vorbringen der Beschwerdeführerin ergeben sich keine Anhaltspunkte für ein sorgfaltswidriges Verhalten der Beschwerdegegnerin 4, das kausal für die Tötung von Z._ gewesen sein könnte, weshalb sich die Frage einer allfälligen Vermeidbarkeit der Tat nicht stellt. Der angefochtene Beschluss verletzt kein Bundesrecht.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage der Beschwerdeführerin ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (act. 13 f.; Art. 65 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdegegner haben, soweit sie sich am bundesgerichtlichen Verfahren beteiligt haben, keine Anträge gestellt, weshalb sie nicht zu entschädigen sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien sowie dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Held