wird festgestellt und in Erwägung gezogen:
1.-Im Rahmen des Scheidungsverfahrens der Eheleute A._, Klägerin, und B._, Beklagter, teilte der Präsident des Amtsgerichts Bucheggberg-Wasseramt am 21. Juli 2000 das gemeinsame Kind der Parteien, C._ (geb. 1987), für die Dauer des Verfahrens der Klägerin zu und verpflichtete den Beklagten, ihr rückwirkend per Mai 1999 für den Sohn monatlich Fr. 500.-- plus Kinderzulagen zu bezahlen und für sie persönlich einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 300.-- zu leisten (Dispositiv-Ziff. 4 und 5).
Auf Nichtigkeitsbeschwerde des Beklagten hob das Obergericht des Kantons Solothurn mit Beschluss vom 20. Oktober 2000 die Dispositiv-Ziffern 4 und 5 auf und verpflichtete den Beklagten nunmehr, der Klägerin für den gemeinsamen Sohn der Parteien monatlich zum voraus Fr. 370.-- zu bezahlen und die Kinderzulagen zu entrichten.
Den Antrag der Klägerin auf einen persönlichen Unterhaltsbeitrag wies es hingegen ab.
Die Klägerin führt staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 8 und 9 BV mit den Anträgen, das angefochtene Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Akten zur Abweisung der Nichtigkeitsbeschwerde an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2.-a) Zulässig, aber überflüssig ist der Antrag auf Rückweisung der Sache zu neuer Entscheidung, zumal die kantonale Instanz auch ohne ihn den Weisungen des bundesgerichtlichen Entscheids gemäss neu über die Sache zu befinden hätte (<ref-ruling> E. 3c/bb; Messmer/Imboden, Die eidgenössischen Rechtsmittel in Zivilsachen, Zürich 1992, S. 226 Fn. 10).
b) Die Beschwerdeführerin erblickt eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebotes (<ref-law>) darin, dass das Obergericht die gefestigte Praxis zum erzielbaren Einkommen ohne Grund nicht angewendet und somit den Beschwerdegegner in nicht vertretbarem Ausmass bevorteilt habe. Aus der Begründung der Rüge ergibt sich indes, dass sie im Ergebnis eine willkürliche Verletzung von <ref-law> rügt, indem sie dem obersten kantonalen Richter vorwirft, er habe nicht auf das Einkommen abgestellt, welches der Beschwerdegegner bei gutem Willen erzielen könnte.
3.-Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, es habe in willkürlicher Weise angenommen, dass dem Beschwerdegegner eine Erwerbstätigkeit, die ihm Fr. 3'000.-- pro Monat einbringe, nicht zumutbar sei. Nach einer vom Instruktionsrichter bei der Pizzeria X._ in G._ eingeholten schriftlichen Auskunft über die Beteiligung des Ehemannes stehe fest, dass dieser Fr. 25'000.-- erhalten habe. Gemäss dem ins Recht gelegten Unterhaltsvertrag vom 22. April 1999 habe der Beschwerdegegner für ein Kind aus einer ausserehelichen Beziehung einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 366.-- zu leisten. Der Beschwerdegegner habe zu keinem Zeitpunkt geltend gemacht, dass er seiner Unterhaltspflicht nicht nachkommen könne, obwohl ihm zum Zeitpunkt des Unterhaltsvertrages bekannt gewesen sei, dass er auch für seinen ehelichen Sohn Unterhalt zu zahlen habe; angesichts des berücksichtigten Nettoeinkommens von Fr. 2'123.-- aber wären die Unterhaltsbeiträge in der Höhe von total Fr. 722.-- unangemessen gewesen. Auch bei der Festlegung der Kinderalimente sei der Instruktionsrichter somit von einem Einkommen von Fr. 3'000.-- ausgegangen, und er habe dabei sein Urteil auf die richtigen Tatsachen gestützt. Die Annahme eines Einkommens von Fr. 3'000.-- durch den erstinstanzlichen Richter sei damit weder offensichtlich falsch noch willkürlich, während die Angaben des Beschwerdegegners nicht glaubhaft gewesen seien, was namentlich auch durch die schriftliche Auskunft der Firma Pizzeria X._ bestätigt werde; immerhin habe der Beschwerdegegner im Oktober 2000 Fr. 20'000.-- vereinnahmt. Sie (die Beschwerdeführerin) sei nicht erwerbstätig, habe vom Beschwerdegegner keine Alimente erhalten und werde von der Einwohnergemeinde unterstützt.
Das Obergericht habe mit seinen Ausführungen sein Ermessen an dasjenige des erstinstanzlichen Richters gestellt, damit seine auf Willkür beschränkte Kognition eindeutig überschritten und folglich <ref-law>/SO verletzt, wonach nur die willkürliche Feststellung des Sachverhalts durch die erste Instanz zur Aufhebung des erstinstanzlichen Urteils führen könne.
Die tatsächlichen Ausführungen finden mit Ausnahme der Unterhaltsverpflichtung gegenüber dem ausserehelichen Sohn im angefochtenen Urteil keine Stütze. Weder legt die Beschwerdeführerin durch einschlägigen Verweis auf die Akten dar, dass sie diese Vorbringen im Verfahren der vorsorglichen Massnahmen den Vorschriften des kantonalen Prozessrechts entsprechend vorgetragen hat, noch erläutert sie, die kantonalen Richter hätten diese Vorbringen in Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör nicht beachtet (Galli, Die rechtsgenügende Begründung der staatsrechtlichen Beschwerde, SJZ 81/1985, S. 127) oder die Vorbringen bezögen sich auf erstmals im angefochtenen Entscheid erwähnte Fakten (<ref-ruling> E. 4d S. 372). Sie gelten daher als neu und unzulässig (<ref-ruling> E. 1a; <ref-ruling> E. 3 S. 115 f.).
Im Übrigen aber legt die Beschwerdeführerin nichts dar, was den Willkürvorwurf belegen könnte. Im vorliegenden Fall kann jedoch letztlich offen bleiben, ob die Begründung den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügt, zumal sich das Obergericht keine gesetzwidrige Kognition angemasst hat.
Im Gegenteil weist es ausdrücklich darauf hin, dass nur geprüft werden dürfe, ob eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts vorliege; aufgrund der konkreten Umstände hat es Willkür in der Sachverhaltsfeststellung bejaht und dabei aufgezeigt, dass der Beschwerdegegner in beruflicher Hinsicht nicht selbstständig sei, weshalb von seinem tatsächlichen Einkommen ausgegangen werden müsse. Ferner hat es auch erläutert, warum die Annahme eines Durchschnittseinkommens von Fr. 3'000.-- nicht den Umständen entspreche.
Es wurde somit dargelegt, dass der Instruktionsrichter die Bemessung des Einkommens im konkreten Fall nicht nach den Grundsätzen von <ref-law> ausgerichtet habe und dass seine Berechnung nicht haltbar sei. Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich folglich in dieser Hinsicht als unbegründet.
4.-Die Beschwerdeführerin beanstandet sodann, das Obergericht sei in Willkür verfallen, indem es nicht beachtet habe, dass nach ständiger Praxis zu <ref-law> auf das Einkommen abzustellen sei, das ein Ehegatte bei gutem Willen erzielen könnte, sofern die tatsächlichen Einkommen beider Ehegatten nicht zur Deckung der ehelichen Bedürfnisse ausreichten.
Das Obergericht habe insbesondere nicht beachtet, dass der Beschwerdegegner bei der Firma Sulzer bedeutend mehr als Fr. 3'000.-- verdient habe. Zudem sei er in der Lage gewesen, mit dem Vorbezug der Pensionskasse ein Geschäft in D._ und später die Pizzeria in G._ zu eröffnen; auch habe er seine Familie in der Türkei unterstützt.
Indem das Obergericht einzig auf Stellen des Gastgewerbes eingegangen sei, habe es den Sachverhalt unvollständig und damit willkürlich festgestellt. Nicht beachtet habe es sodann, dass in der Region Solothurn Stellen offen seien, die mit Fr. 4'000.-- netto honoriert würden. Schliesslich habe das Obergericht keinen Nachweis für Stellenbewerbungen verlangt und damit die Beweislast in willkürlicher Weise umgekehrt.
Mit diesen sehr allgemein gehaltenen Ausführungen legt die Beschwerdeführerin allerdings nicht in einer Art. 90 Abs. 1 lit. b OG entsprechenden Weise dar, inwiefern das Obergericht zu Unrecht Willkür bejaht hat. Einmal zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, dass der Beschwerdegegner auch heute noch Fr. 4'000.-- oder annähernd so viel bei der Sulzer verdienen könnte und dass solches bereits im kantonalen Verfahren prozesskonform geltend gemacht worden ist.
Sodann wird allgemein über die Vermögensverhältnisse des Beschwerdegegners und über die Unterstützung der Familie gesprochen und ohne konkrete Hinweise behauptet, es seien Stellen in der Region Solothurn vorhanden. Das Obergericht hat aufgrund des Umstandes, dass der Beschwerdegegner immer noch zum Bezug von Arbeitslosenunterstützung berechtigt ist, angenommen, es seien keine Stellen erhältlich, die ihm ein Einkommen von Fr. 3'000.-- einbringen würden; zudem seien auch keine Indizien für die Annahme ersichtlich, dass der Beschwerdegegner derartige Stellen offeriert erhalten und ausgeschlagen habe. Mit ihrem Hinweis, die Beweislast sei umgekehrt worden, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich mit der obergerichtlichen Erwägung auseinander.
Insgesamt handelt es sich bei der angegebenen Begründung somit um appellatorische und damit unzulässige Kritik am angefochtenen Urteil, auf die nicht einzutreten ist (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. d S. 201; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 4a, mit Hinweisen).
5.-Schliesslich macht die Beschwerdeführerin geltend, der Beschwerdegegner habe in seiner Eingabe vom 3. August 2000 gegen Dispositiv-Ziffern 4 und 5 der erstinstanzlichen Verfügung Nichtigkeitsbeschwerde erhoben, ohne indessen Rechtsbegehren zu stellen. Erst mit der Beschwerdebegründung und damit verspätet habe er beantragen lassen, die Unterhaltsbeiträge seien angemessen herabzusetzen. Indem das Obergericht der Beschwerdeführerin keinen Unterhaltsbeitrag zugesprochen habe, sei es über die Anträge hinausgegangen; sodann habe der Beschwerdegegner auch keine Nichtigkeitsgründe geltend gemacht. Das Obergericht habe nicht geprüft, ob angesichts der aufgezeigten Ungereimtheiten überhaupt auf die Beschwerde habe eingetreten werden können. Auch in dieser Hinsicht erweise sich der obergerichtliche Entscheid als willkürlich.
Unbegründet ist die staatsrechtliche Beschwerde insofern, als der Beschwerdegegner innerhalb der ihm gewährten Fristverlängerung eine Beschwerdebegründung eingereicht hat, worin er die erstinstanzliche Einkommensberechnung insgesamt als willkürlich beanstandet. Sodann nennt die Beschwerdeführerin keine Norm des kantonalen Prozessrechts, welche das Obergericht durch sein Verhalten in krasser Weise verletzt haben könnte, weshalb die Beschwerde in diesem Punkt den Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht zu genügen vermag (<ref-ruling> E. 2a S. 3).
6.-Damit ist die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Allerdings ist sie zu keiner Entschädigung an die Gegenpartei zu verpflichten, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
So wie die Beschwerde begründet worden ist, hat sie sich von Anfang an als offensichtlich aussichtslos erwiesen.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann daher nicht entsprochen werden (Art. 152 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1.-Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.-Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.-Die Gerichtsgebühr von Fr. 750.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.-Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 21. Dezember 2000
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: