Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, er sei unschuldig (Beschwerde Ziff. 3.3), ist darauf nicht einzutreten, weil die umgewandelte Busse längst rechtskräftig ist (vgl. Urteil des Bundesgerichts 6B_285/ 2009 vom 7. Mai 2009).
Ob die Beschwerde in Bezug auf die Verfügung vom 22. April 2010 fristgerecht ist, ist fraglich, kann indessen offen bleiben. Soweit sich der Beschwerdeführer mit der angeblichen "Befangenheit und Feindschaft" des Einzelrichters befasst, der die Verfügung erlassen hat (Beschwerde Ziff. 3.4 und 3.5), ist auf das Urteil des Bundesgerichts 1B_164/2009 vom 2. September 2008 zu verweisen. Darauf ist nicht zurückzukommen. Inwieweit der Umstand, dass die Verfügung nur von der juristischen Sekretärin unterzeichnet ist (Beschwerde Ziff. 3.4), gegen das schweizerische Recht im Sinne von <ref-law> verstossen könnte, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Sie genügt insoweit den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. <ref-law> nicht. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil sich der Einzelrichter mit der Frage der Verjährung nicht befasst habe (Beschwerde Ziff. 3.6). Der Einzelrichter trat indessen auf das Rechtsmittel nicht ein, weil es sich bei der angefochtenen Schlussverfügung vom 28. Januar 2010 nicht um eine Strafverfügung handle (angefochtener Entscheid S. 5 E. 4). Inwieweit er sich unter diesen Umständen mit der Verjährung hätte befassen müssen, sagt der Beschwerdeführer nicht.
Soweit der Beschwerdeführer in Bezug auf den Vollzugsbefehl vom 2. August 2010 geltend macht, der Beschwerdegegner besitze "nur behördliche Parteistellung" (Beschwerde Ziff. 3.1) und der Befehl sei von "keinem auf Gesetz beruhenden Richter" unterzeichnet worden (Beschwerde Ziff. 3.2), ist der Beschwerde nicht zu entnehmen, dass und inwieweit der Befehl gegen das Recht im Sinne von <ref-law> verstossen könnte. Der Hinweis auf den abgeschafften Schuldverhaft (Beschwerde Ziff. 3.3) geht an der Sache vorbei, da es nicht um einen Schuldverhaft geht. Inwieweit die Feststellung des Beschwerdegegners, der Beschwerdeführer habe die Busse nicht bezahlt, willkürlich sein könnte, ergibt sich aus der Beschwerde (Ziff. 3.2.) nicht.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Davon, dass das Verfahren kostenlos wäre (Beschwerde S. 3 oben), kann nicht die Rede sein.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bezirksgericht Zürich, Einzelrichteramt für Zivil- und Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn