Sachverhalt:
A. Der dominikanische Staatsangehörige X._ (geb. 1976) heiratete am 22. Februar 2002 in seinem Heimatland die Schweizerin A._. Am 24. Juni 2002 reiste er in die Schweiz, wo ihm gestützt auf die Heirat eine Aufenthaltsbewilligung (letztmals verlängert bis zum 23. Juni 2009) zum Verbleib bei der Ehefrau erteilt wurde. Er ist Vater von zwei Kindern, die im Heimatland bei der Kindsmutter und seiner Mutter leben.
B. Mit Strafbefehl vom 19. Oktober 2004 wurde X._ wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz mit einer bedingten Gefängnisstrafe von 60 Tagen, Probezeit 2 Jahre, bestraft. Am 17. November 2004 wurde er deshalb fremdenpolizeilich verwarnt.
Am 14. Juni 2005 wurde er verhaftet und befand sich bis zum 30. November 2005 in Untersuchungshaft. Am 28. September 2007 befand ihn das Obergericht des Kantons Zürich der versuchten schweren Körperverletzung im Sinn von Art. 122 Abs. 1 und 2 StGB (begangen am 13. Juni 2005) für schuldig und verurteilte ihn unter Einbezug der widerrufenen bedingten Strafe zu einer Gesamtfreiheitsstrafe von drei Jahren, wobei der Vollzug im Umfang von 24 Monaten aufgeschoben wurde. Ab 7. Juli 2008 befand sich X._ in Halbgefangenschaft. Am 17. Juli 2008 wurde die Ehe X._ und A._ geschieden.
C. Mit Verfügung vom 25. August 2008 widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich die Aufenthaltsbewilligung von X._ und ordnete seine Ausreise aus dem Kantonsgebiet bis zum 20. Januar 2009 an.
Am 17. Januar 2009 wurde X._ aus dem Strafvollzug entlassen und heiratete am 7. Februar 2009 die italienisch-schweizerische Doppelbürgerin B._ (geb. 1982).
Mit Beschluss vom 13. Mai 2009 wies der Regierungsrat des Kantons Zürich den gegen die Verfügung des Migrationsamts erhobenen Rekurs ab. X._ beschwerte sich dagegen ohne Erfolg beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich.
D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 2. Dezember 2009 beantragt X._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. September 2009 aufzuheben und die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich anzuweisen, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, eventualiter die Sache zwecks Sachverhaltsergänzung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem stellt er das Begehren, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Regierungsrat und die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich liessen sich nicht vernehmen. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
E. Mit Verfügung vom 7. Dezember 2009 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers, die ursprünglich widerrufen wurde, ist am 23. Juni 2009 abgelaufen, weshalb - wie bereits vor der Vorinstanz - die Verweigerung der Bewilligungsverlängerung Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet.
1.2 Nach <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts ausgeschlossen gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
Der Beschwerdeführer, dessen Ehegattin neben der schweizerischen auch die italienische Staatsangehörigkeit besitzt, verfügt sowohl nach Art. 42 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20), das hier unbestrittenermassen zur Anwendung kommt (Art. 126 Abs. 1 AuG a contrario) als auch nach Art. 7 lit. d des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112 681) und Art. 3 Abs. 1 und 2 des Anhangs I zum Freizügigkeitsabkommen (siehe betreffend Anwendbarkeit auf schweizerisch-europäische Doppelbürger: <ref-ruling> E. 2 S. 371 f.) einen Rechtsanspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung (<ref-ruling> E. 3.2 S. 11), weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist.
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig, unvollständig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt wurde (<ref-law>). Der Betroffene hat darzulegen, dass und inwiefern dies klar und eindeutig der Fall ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Eine entsprechende Rüge setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels sich für den Ausgang des Verfahrens als entscheidend erweist (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Echte tatsächliche Noven, das heisst Tatsachen, die erst nach dem Ergehen des angefochtenen Entscheids aufgetreten sind, können nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.)
Das ärztliche Zeugnis vom 17. November 2009 betreffend die Schwangerschaft der Ehegattin kann als sog. echtes Novum nicht berücksichtigt werden. Die von der Ehefrau des Beschwerdeführers nach Ablauf der Beschwerdefrist mit Eingabe vom 26. Februar 2010 unaufgefordert eingereichten Briefkopien sind zwar grundsätzlich unbeachtlich, sie befinden sich indessen bereits in den vom Bundesgericht beigezogenen kantonalen Akten.
2. 2.1 Das dem Beschwerdeführer - wie dargelegt - nach Art. 3 Anhang I FZA zustehende Anwesenheitsrecht darf gemäss Art. 5 Abs. 1 Anhang I FZA "nur durch Massnahmen, die aus Gründen der öffentlichen Ordnung, Sicherheit und Gesundheit gerechtfertigt sind, eingeschränkt werden". Als derartige Massnahmen gelten alle Handlungen, die das Recht auf Einreise und Aufenthalt berühren, so dass auch das Nichtverlängern einer Aufenthaltsbewilligung erfasst wird (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 179 f. mit Hinweisen). Aufgrund des in Art. 2 FZA verankerten Diskriminierungsverbots darf der Beschwerdeführer dabei nicht schlechter behandelt werden als der ausländische Ehegatte einer Schweizer Bürgerin (<ref-ruling> E. 3.6; <ref-ruling> E. 3.3.2).
Gemäss dem danach analog anzuwendenden (und hier auch aufgrund der Doppelbürgerschaft der Ehegattin, die wie erwähnt neben der italienischen die schweizerische Staatsangehörigkeit besitzt, anwendbaren) Art. 42 Abs. 1 AuG hat der Beschwerdeführer grundsätzlich Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Der Anspruch erlischt, wenn Widerrufsgründe nach Art. 63 AuG vorliegen (Art. 51 Abs. 1 lit. b AuG).
2.2 Gemäss Art. 63 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit Art. 62 lit. b AuG kann die Niederlassungsbewilligung u.a. dann widerrufen werden, wenn ein Ausländer zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde. Von einer solchen ist nach der Rechtsprechung auszugehen bei einer Freiheitsstrafe von mehr als einem Jahr (<ref-ruling> E. 4.2 und 4.5).
Der Beschwerdeführer wurde mit Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 28. September 2007 zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren verurteilt, womit er einen Widerrufsgrund im Sinne der genannten Bestimmungen gesetzt hat. Übersteigt die vom Strafrichter ausgefällte Freiheitsstrafe die von der Rechtsprechung vorgesehene Grenze von einem Jahr, gilt der Widerrufsgrund von Art. 62 lit. b (in Verbindung mit Art. 63 Abs. 1 lit. a) AuG unabhängig davon als erfüllt, ob die Strafe bedingt, - wie vorliegend - teilbedingt oder unbedingt zu vollziehen ist.
2.3 Bei gegebenen Voraussetzungen rechtfertigt sich der Widerruf der Bewilligung nur, wenn die jeweils im Einzelfall vorzunehmende Interessenabwägung diese Massnahme als verhältnismässig erscheinen lässt, wobei namentlich die Schwere des Verschuldens, die Dauer der Anwesenheit sowie die dem Betroffenen und seiner Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen sind (vgl. Art. 96 AuG; Urteil 2C_515/ 2009 vom 27. Januar 2010 E. 2.2 mit Hinweisen).
Die Notwendigkeit einer Verhältnismässigkeitsprüfung ergibt sich zudem aus dem Anspruch auf Achtung des Familienlebens: Hat ein Ausländer - wie vorliegend - nahe Verwandte mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht in der Schweiz und wird die intakte familiäre Beziehung tatsächlich gelebt, kann es Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) verletzen, wenn ihm die Anwesenheit in der Schweiz untersagt und damit sein Familienleben vereitelt wird (<ref-ruling> E. 3.1 S. 285 mit Hinweisen). Der betreffende Anspruch gilt indessen nicht absolut. Nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK ist ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er gesetzlich vorgesehen ist und eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung, das wirtschaftliche Wohl des Landes, die Verteidigung der Ordnung und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutz der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Freiheiten anderer notwendig ist. Die Konvention verlangt insofern eine Abwägung der sich gegenüberstehenden Interessen an der Erteilung der Bewilligung und der öffentlichen Interessen an deren Verweigerung, wobei letztere in dem Sinne überwiegen müssen, dass sich der Eingriff als notwendig erweist (<ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 154; 143 E. 2.1 S. 147 mit Hinweisen). Analoge Voraussetzungen ergeben sich aus <ref-law> hinsichtlich eines Eingriffs in <ref-law>.
2.4 Im Rahmen des Freizügigkeitsabkommens ist zu berücksichtigen, dass nach der an die Praxis des EuGH angeglichenen Rechtsprechung des Bundesgerichts Entfernungs- oder Fernhaltemassnahmen eine hinreichend schwere und gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung durch den betreffenden Ausländer voraussetzen. Eine strafrechtliche Verurteilung darf dabei nur insofern zum Anlass für eine derartige Massnahme genommen werden, als die ihr zugrunde liegenden Umstände ein persönliches Verhalten erkennen lassen, das eine gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung darstellt. Art. 5 Anhang I FZA steht somit Massnahmen entgegen die (allein) aus generalpräventiven Gründen verfügt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 20 mit Hinweisen).
3. Die kantonalen Behörden haben die für die Beurteilung der Verhältnismässigkeit der Massnahme relevanten Kriterien zutreffend dargelegt und gewürdigt.
3.1 Der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe den Sachverhalt mit Bezug auf die Prognosestellung nicht rechtsgenügend festgestellt und damit gegen <ref-law> verstossen, ist unbegründet. Der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende Anspruch auf Abnahme und Würdigung rechtzeitig und formrichtig angebotener Beweismittel (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 242; <ref-ruling> E. 4a mit Hinweisen) schliesst eine vorweggenommene Beweiswürdigung nicht aus, verbietet dem Gericht also nicht, einem beantragten Beweismittel die Erheblichkeit oder Tauglichkeit abzusprechen oder auf die Abnahme von Beweisen zu verzichten, wenn das Gericht aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und willkürfrei davon ausgehen darf, diese würde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.1 S. 429). Die Vorinstanz durfte unter den vorliegenden Umständen ohne Weiteres annehmen, dass weder ein psychiatrisches Gutachten noch eine weitere persönliche Befragung des Beschwerdeführers zu neuen Erkenntnissen für die Prognosestellung führen würden, und demzufolge in vorweggenommener Beweiswürdigung auf entsprechende Beweiserhebungen verzichten.
3.2 Der Beschwerdeführer wurde erstmals im Jahre 2004 wegen Betäubungsmitteldelikten bestraft, nachdem er sich als Strassendealer betätigt und selber sporadisch Marihuana und Kokain konsumiert hatte. Diese erste Verurteilung war ihm jedoch keine genügende Lehre. Auch die fremdenpolizeiliche Verwarnung beeindruckte ihn offenbar nicht. Im Juni 2005 beging er ein schweres Gewaltdelikt und wurde zu einer Gesamtfreiheitsstrafe von 3 Jahren verurteilt, wobei das Obergericht sein Verschulden als erheblich bezeichnete. Dass der Beschwerdeführer bereits kurze Zeit nach der ersten Verurteilung bei noch laufender Probezeit und trotz fremdenpolizeilicher Verwarnung in noch schwererer Weise straffällig wurde, zeugt von Unbelehrbarkeit und einer nicht hinnehmbaren Gleichgültigkeit gegenüber der schweizerischen Rechtsordnung.
Besonders ins Gewicht fallen zudem die Umstände der zweiten Straftat. Infolge einer telefonischen Auseinandersetzung im Zusammenhang mit der Rückgabe eines ausgeliehenen Fahrrads packte der Beschwerdeführer ein Rüstmesser ein, das er beim darauf folgenden persönlichen Treffen mit dem Eigentümer des Fahrrads nach einer Ohrfeige von Letzterem sofort einsetzte und auf den Geschädigten zweimal einstach. Durch den Stich in die Brustgegend nahm der Beschwerdeführer die Verletzung lebenswichtiger Organe in Kauf. Bei der verübten zweiten Straftat fällt auf, dass der Anlass dafür eine banale Meinungsverschiedenheit war und dass der Beschwerdeführer nach Überwindung einer äusserst tiefen Hemmschwelle eine massive Gewaltbereitschaft hat erkennen lassen. Mit der Vorinstanz ist daher von einem gewichtigen öffentlichen Interesse auszugehen, dem Beschwerdeführer die weitere Anwesenheit zu verweigern. Das bisherige Verhalten des Beschwerdeführers lässt auch eine zukünftige Gefährdung der öffentlichen Ordnung und Sicherheit befürchten. Das Obergericht hat denn auch die Freiheitsstrafe von 24 Monaten nur mit Bedenken aufgeschoben und die Ansetzung einer Probezeit von drei Jahren als notwendig erachtet. Es hat erwogen, dass eine günstige Prognose im Hinblick auf sein zukünftiges Verhalten nicht ohne Weiteres bejaht werden könne. Je schwerer die möglichen Rechtsgüterverletzungen sind, desto niedriger sind die Anforderungen an die in Kauf zu nehmende Rückfallgefahr (<ref-ruling> E. 4.2 S. 20 mit Hinweisen). Bei Betäubungsmittel- und Gewaltdelikten gilt daher eine strenge Praxis. Aus dem vorerwähnten Urteil, auf das er sich ausdrücklich beruft, kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten, da sich der dort zu beurteilende Sachverhalt von den vorliegenden Umständen in wesentlichen Punkten (Zeitablauf, kein Gewaltdelikt, Bewährung, Integration, Aufenthaltsdauer) unterscheidet. Seit seiner bedingten Entlassung waren im hier massgebenden Zeitpunkt der Entscheidfällung durch die Vorinstanz im September 2009 (vgl. E. 1.3 hiervor) nur etwa acht Monate verstrichen, weshalb auch nicht von einer längeren Bewährung des Beschwerdeführers gesprochen werden kann. Die blossen Beteuerungen der Ehefrau und von nahestehenden Drittpersonen, der Beschwerdeführer habe sich geändert und sein "hitzköpfiges" Verhalten abgelegt, vermögen die vorinstanzliche Würdigung der vom Beschwerdeführer ausgehenden gegenwärtigen Gefährdung nicht zu entkräften. Es besteht folglich eine Rückfallgefahr, welche eine Entfernungsmassnahme auch unter dem Gesichtswinkel der diesbezüglichen Schranke von Art. 5 Anhang I FZA zu rechtfertigen vermag. Ergänzend kann auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
3.3 Der Beschwerdeführer ist in der Dominikanischen Republik aufgewachsen, hat dort die Schule besucht und eine Ausbildung als Elektriker und als Coiffeur absolviert. In die Schweiz kam er erst im Alter von 28 Jahren. Er gibt an, hier seinen Lebensunterhalt als selbstständiger Coiffeur zu verdienen, was für ihn spricht. Hinweise dafür, dass er in der Schweiz besonders integriert wäre, sind jedoch nicht ersichtlich. In der Dominikanischen Republik leben nicht nur seine zwei ausserehelichen Kinder, die dort von der Kindsmutter und der Mutter des Beschwerdeführers betreut werden, sondern auch zwei Schwestern und zwei Brüder sowie sonstige Verwandte. Mit seinen Familienangehörigen im Heimatland pflegt der Beschwerdeführer regen Kontakt und reist in der Regel einmal pro Jahr für einen Monat dorthin in die Ferien. Dem Beschwerdeführer ist somit ohne Weiteres zuzumuten, in sein Heimatland zurückzukehren. Allfällige damit verbundene wirtschaftliche Schwierigkeiten hat er sich selbst zuzuschreiben.
Zwar ist zu berücksichtigen, dass der Beschwerdeführer seit dem 7. Februar 2009 mit einer italienisch-schweizerischen Doppelbürgerin verheiratet ist. Die knapp drei Wochen nach der Entlassung aus dem Strafvollzug eingegangene Ehe vermag die vorliegende Interessenabwägung allerdings nur beschränkt zu beeinflussen. Als die Ehefrau den Beschwerdeführer kennen lernte, war dieser schon einmal verurteilt sowie fremdenpolizeilich verwarnt worden und hatte auch bereits die schwere zweite Straftat begangen. Unbestrittenermassen wusste sie um die deliktische Vergangenheit des Beschwerdeführers von Anfang an. Im Zeitpunkt der Heirat hatte die Ehefrau zudem sowohl vom zweiten Strafurteil als auch von der verfügten Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers Kenntnis. Unter diesen Umständen musste sie damit rechnen, die Ehe mit dem Beschwerdeführer eventuell nicht in der Schweiz leben zu können. Aufgrund der Straffälligkeit des Beschwerdeführers sind auch die Voraussetzungen für einen Eingriff in das Recht auf Achtung des Familienlebens im Sinne von Art. 8 Abs. 2 EMRK erfüllt. Sofern die Ehefrau in der Schweiz zu bleiben gedenkt, obwohl der Beschwerdeführer das Land verlassen muss, werden sie im Rahmen von gegenseitigen Besuchen den Kontakt wahren können.
3.4 Aufgrund des Gesagten überwiegt das öffentliche Interesse an der Entfernung des Beschwerdeführers aus der Schweiz dessen privates Interesse an einem weiteren Verbleib. Im Hinblick auf die wiederholte Straffälligkeit, namentlich das zuletzt begangene Gewaltdelikt und die nicht zu vernachlässigende Rückfallgefahr erscheint die verfügte Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung als verhältnismässig. Der angefochtene Entscheid erweist sich damit sowohl im Sinne des Freizügigkeitsabkommens als auch von Art. 42 Abs. 1 AuG und Art. 8 EMRK sowie <ref-law> als bundesrechtskonform.
4. 4.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen.
4.2 Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Sicherheitsdirektion, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Kammer, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
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