Sachverhalt:
A.
X._ (Ehemann, geb. 1964) und Z._ (Ehefrau, geb. 1966) wurden mit Scheidungsurteil des Bezirksgerichts Hinwil vom 4. März 2010 geschieden. Ihre Söhne S._ (geb. 1996), T._ und U._ (beide geb. 1998) wurden unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt und der Vater wurde verpflichtet, Unterhaltsbeiträge von Fr. 900.-- bzw. ab 1. September 2012 Fr. 1'100.-- pro Kind und Monat zu bezahlen.
B.
Mit Eingabe vom 31. August 2012 leitete X._ ein Verfahren auf Abänderung des Scheidungsurteils ein. Er beantragte, die Unterhaltsbeiträge seien auf Fr. 650.-- pro Kind herabzusetzen. Anlässlich der Gerichtsverhandlung vom 6. November 2012 schlossen die Parteien eine Vereinbarung, worin er sich verpflichtete, Fr. 900.-- pro Kind zu leisten. Noch am selben Tag widerrief er die Vereinbarung schriftlich. Mit Urteil vom 22. November 2012 genehmigte das Bezirksgericht die Vereinbarung dennoch und schrieb das Verfahren als durch Vergleich erledigt ab.
C.
Am 28. Dezember 2012 reichte X._ hiergegen Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Er verlangte eine Neufestsetzung der Unterhaltsbeiträge für die Kinder und des nachehelichen Unterhalts. Bezüglich der Vereinbarung vom 6. November 2012 machte er geltend, diese sei unrealistisch und könne aufgrund von Willensmängeln nicht aufrecht erhalten werden.
Mit Entscheid vom 13. März 2013 trat das Obergericht wegen verspäteter Leistung des Kostenvorschusses von Fr. 4'000.-- auf die Berufung nicht ein.
D.
Gegen diesen Entscheid ist X._ (Beschwerdeführer) am 21. April 2013 an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt in der Hauptsache die Aufhebung des Nichteintretensbeschlusses des Obergerichts; dieses habe auf seine Berufung einzutreten.
Mit Eingabe vom 6. Juni 2013 übermittelte die Vorinstanz einen Auszug des Gerichtskontos. Danach ist die Zahlung des Beschwerdeführers am 26. Februar 2013 eingegangen. In der Sache liess sich das Obergericht nicht vernehmen. Die Beschwerdegegnerin teilte am 24. Juni 2013 mit, dass sie auf einen Antrag verzichte.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Nichteintretensentscheid, der in einer vermögensrechtlichen Zivilsache ergangen ist, deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich gegeben. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid festgestellt, dass der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss mit "Einzahlungs- und Buchungsdatum vom 26. Februar 2013" geleistet habe, womit sich die Leistung des Kostenvorschusses als verspätet erweise (vgl. auch vorstehend D.). Die vom Gericht gesetzte Nachfrist sei am 25. Februar 2013 abgelaufen. Ohne dem Beschwerdeführer Gelegenheit eingeräumt zu haben, die Rechtzeitigkeit des Kostenvorschusses nachzuweisen, ist die Vorinstanz auf das kantonale Rechtsmittel nicht eingetreten.
2.2. Hiergegen bringt der Beschwerdeführer vor, die Zahlung des Kostenvorschusses sei am 25. Februar 2013 und damit rechtzeitig erfolgt. Dies ergebe sich aus seinen Bankauszügen. Die Vorinstanz hätte daher auf seine Berufung gegen des Urteil des Bezirksgerichts Hinwil vom 22. November 2012 eintreten müssen.
Aus den vom Beschwerdeführer vorgelegten Kontoauszügen ist ersichtlich, dass er die Zahlung von Fr. 4'000.-- am 25. Februar 2013 via e-Banking in Auftrag gegeben hat und diese noch am selben Tag seinem Konto belastet worden ist (Buchung Valuta 25. Februar 2013). Im Lichte von <ref-law> sind diese Beweismittel im bundesgerichtlichen Verfahren zulässig, da erst der vorinstanzliche Entscheid zu deren Einreichung Anlass gegeben hat.
3.
Gemäss <ref-law> ist die Frist für eine Zahlung an das Gericht eingehalten, wenn der Betrag spätestens am letzten Tag der Frist zugunsten des Gerichts der Schweizerischen Post übergeben oder einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden ist.
3.1. Wie das Bundesgericht im zur Publikation vorgesehenen Urteil 5D_101/2013 vom 26. Juli 2013 (E. 3.2.1) festgehalten hat, kann das Gericht bei einer Post- oder Banküberweisung vom Eingangs- oder Buchungsdatum nicht auf eine verspätete Leistung des Kostenvorschusses schliessen; massgebend ist einzig der Valutatag der Belastung auf dem Post- oder Bankkonto des Zahlungspflichtigen. Wird der Kostenvorschuss dem Gericht nicht innert der angesetzten Frist gutgeschrieben, muss dieses den Vorschusspflichtigen zum Nachweis auffordern, dass der Betrag am letzten Tag der Frist seinem Post- oder Bankkonto in der Schweiz (oder einem solchen seines Vertreters) belastet worden ist (a.a.O., E. 3.2.2 mit weiteren Hinweisen). Wird der Betrag sogar nur einen Tag nach Ablauf der Frist auf dem Gerichtskonto eingebucht, muss das Gericht am Fehlen der Rechtzeitigkeit Zweifel haben; der Anspruch, von den staatlichen Behörden nach Treu und Glauben behandelt zu werden (<ref-law>), garantiert hier dem Vorschusspflichtigen, dass die Vorinstanz die Rückfrage zum Belastungszeitpunkt vornimmt. Fragt die Vorinstanz nicht zurück und hat sie den Betroffenen auch nicht im Voraus aufgefordert, die Leistung innert Frist zu belegen, verletzt die Vorinstanz daher dessen verfassungsmässigen Rechte (a.a.O., E. 3.2.3 mit weiteren Hinweisen).
3.2. Diese Rechtsprechung kann vorliegend übernommen werden, ist doch der Sachverhalt im Wesentlichen identisch (Belastung auf dem Konto des vorschusspflichtigen Beschwerdeführers am letzten Tag der Frist; Gutschrift beim Gericht am ersten Tag nach Ablauf der Frist; fehlende nachträgliche Rückfrage; und auch hier lässt sich den Akten kein Hinweis darauf entnehmen, dass die Vorinstanz den Beschwerdeführer im Voraus aufgefordert hätte die Rechtzeitigkeit der Leistung zu belegen).
Da das Bundesgericht bei der Beschwerde in Zivilsachen über eine weitere Kognition verfügt als im zitierten Urteil 5D_101/2013 vom 26. Juli 2013, wo eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu beurteilen war, kann es vorliegend zudem Verletzungen von Bundesgesetzen - wozu auch der massgebende <ref-law> gehört - frei prüfen (Art. 95 i.V.m. <ref-law>). Indem die Vorinstanz auf das Eingangsdatum abstützte und dem Beschwerdeführer nicht die Gelegenheit einräumte, zu beweisen, dass er fristgerecht geleistet hat, verletzte sie nicht nur dessen Recht von den staatlichen Behörden nach Treu und Glauben behandelt werden, sondern auch <ref-law>.
3.3. Die Beschwerde ist somit gutzuheissen und der Entscheid des Obergerichts vom 13. März 2013 ist aufzuheben. Die Sache ist im Sinne der Erwägung, dass der Kostenvorschuss des Beschwerdeführers rechtzeitig geleistet wurde, zur Weiterbehandlung zurückzuweisen.
Vor diesem Hintergrund ist auf die Eventualbegründung (für den Fall, dass die Beschwerde in der Hauptsache abgewiesen würde) des Beschwerdeführers nicht weiter einzugehen.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Dem Beschwerdeführer ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>), er macht einen solchen auch nicht geltend. Der Beschwerdegegnerin als formal unterliegender Partei ist ebenfalls keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 13. März 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägung, dass der Kostenvorschuss des Beschwerdeführers rechtzeitig geleistet wurde, zur Weiterbehandlung zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann