Sachverhalt:
A.
PD Dr. med. X._, praktizierender Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, war als ausserordentlicher Bezirksarztadjunkt gemäss der Verordnung des Kantons Zürich vom 10. Februar 1999 über psychiatrische Gutachten im Strafverfahren (OS 321.4) als Gutachter zugelassen. Im Hinblick auf die Ausserkraftsetzung dieser Verordnung und das Inkrafttreten der Verordnung des Kantons Zürich vom 1./8. September 2010 über psychiatrische und psychologische Gutachten in Straf- und Zivilverfahren (PPGV; LS 321.4) am 1. März 2011 beantragte er am 17. Januar 2011 bei der Fachkommission für psychiatrische und psychologische Gutachten in Straf- und Zivilverfahren (nachfolgend: Fachkommission) die Aufnahme in das (zukünftige) Sachverständigenverzeichnis des Kantons Zürich für die Kategorien "Gutachten zur Beurteilung komplexer Problemstellungen oder Risiken", "Gutachten zur Beurteilung der Glaubhaftigkeit von Aussagen im Straf- und Zivilverfahren" und "andere Gutachten". Die Fachkommission hiess das Gesuch am 4. April 2012 teilweise gut, indem sie die Eintragung bezüglich der Kategorie "andere Gutachten" anordnete. Einen Rekurs gegen die Verweigerung der Eintragung hinsichtlich der beiden anderen Gutachtenskategorien hiess die Verwaltungskommission des Obergerichts wegen Verletzung der Begründungspflicht am 27. Oktober 2012 gut und wies die Sache zu neuem Entscheid an die Fachkommission zurück.
B.
Am 13. März 2013 wies die Fachkommission den Antrag von X._ auf Eintragung ins Sachverständigenverzeichnis bezüglich der Kategorien "Gutachten zur Beurteilung komplexer Problemstellungen oder Risiken" und "Gutachten zur Beurteilung der Glaubhaftigkeit von Aussagen im Straf- und Zivilverfahren" erneut ab. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Verwaltungskommission des Obergerichts am 24. Juli 2013 ab.
C.
X._ erhebt am 2. September 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts aufzuheben und anzuordnen, dass er als Sachverständiger in das entsprechende Verzeichnis aufzunehmen sei; eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Verwaltungskommission des Obergerichts hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Fachkommission hält ohne weitergehende Begründung an ihrem Entscheid fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss § 3 Abs. 1 PPGV setzen Obergericht und Regierungsrat eine Fachkommission für psychiatrische und psychologische Begutachtung in Straf- und Zivilverfahren ein. Die Fachkommission entscheidet nach Prüfung der fachlichen und persönlichen Voraussetzungen darüber, ob eine gesuchstellende Person in das Sachverständigenverzeichnis eingetragen wird (vgl. § 4 Abs. 1 lit. a PPGV, § 10 Abs. 1 PPGV). Dies ist eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts, welche gemäss <ref-law> - vorbehältlich einer sachlichen Ausnahme nach <ref-law> - der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt. Gemäss Art. 83 lit. t BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich auf den Gebieten der Schule, der Weiterbildung und der Berufsausübung. Unter den Ausschlussgrund von Art. 83 lit. t BGG fallen Prüfungsergebnisse im eigentlichen Sinn, aber auch alle anderen Entscheide, die sich auf eine Bewertung der intellektuellen oder physischen Fähigkeiten oder die Eignung eines Kandidaten beziehen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 44). Vorliegend stehen nicht die fachlichen Fähigkeiten des Beschwerdeführers zur Diskussion, sondern formelle Voraussetzungen für die Eintragung wie Zertifikate, so dass der Ausschlussgrund nicht greift (vgl. auch Urteile 2C_1168/2012 vom 29. April 2013 E.1; 2C_417/2011 vom 13. Januar 2012 E. 1.2; Frage offengelassen in Urteil 2C_992/2012 vom 1. April 2013 E. 1.3; dort hatte das Erfordernis einer Überprüfung der individuellen Fähigkeiten der Beschwerdeführerin als Sachverständige aus konkreten Zweifeln an deren geistigen Gesundheit resultiert).
Der angefochtene Beschluss ist ein Endentscheid im Sinn von <ref-law> und wurde gestützt auf § 25 PPGV von der Verwaltungskommission des Obergerichts gefällt. Das Obergericht des Kantons Zürich ist ein oberes kantonales Gericht im Sinn von <ref-law> und damit eine Vorinstanz im Sinn von <ref-law> (vgl. auch Urteil 2A.295/2003 vom 3. Juni 2004 E. 1.2).
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt gemäss <ref-law> kein Raum, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
1.2. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat an dessen Aufhebung oder Änderung ein schutzwürdiges Interesse. Die Legitimation gemäss <ref-law> ist damit gegeben.
1.3. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund; sie wird nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür geprüft (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 318 mit Hinweisen). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>); "offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
3.
Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Vorinstanz den Beschluss der Fachkommission, dem Beschwerdeführer den Eintrag in das Sachverständigenverzeichnis gemäss § 10 Abs. 2 lit. a und b PPGV zu verweigern, zu Recht geschützt hat.
3.1. Die PPGV wurde gestützt auf § 123 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1) und § 31 Abs. 2 des Straf- und Justizvollzugsgesetzes des Kantons Zürich vom 19. Juni 2006 (StJVG; LS 331) durch das Obergericht und den Regierungsrat gemeinsam erlassen. Gemäss § 123 Abs. 2 lit. a und b GOG regelt die Verordnung insbesondere die Voraussetzungen, die von den Sachverständigen zu erfüllen sind, sowie die Zuständigkeit und das Verfahren der Zulassung als Sachverständige.
3.2. Wer die fachlichen und persönlichen Voraussetzungen für die Sachverständigentätigkeit gemäss der Verordnung erfüllt, wird im Sachverständigenverzeichnis eingetragen (§ 10 Abs. 1 PPGV). Gemäss § 10 Abs. 2 PPGV erfolgt die Eintragung für die Erstellung folgender Arten von Gutachten:
§ 10 Abs. 2 lit. a PPGV:
Gutachten zur Beurteilung komplexer Problemstellungen oder Risiken, namentlich
1. bei schweren Gewalt- und Sexualstraftaten,
2. bei der Anordnung oder Überprüfung einer Verwahrung oder stationären Massnahme im Sinne der Art. 64 und 59 Abs. 3 StGB10,
3. wenn aufgrund der Aktenlage Anzeichen für eine besondere oder erhöhte Gemeingefährlichkeit der zu begutachtenden Person bestehen,
§ 10 Abs. 2 lit. b PPGV:
Gutachten zur Beurteilung der Glaubhaftigkeit von Aussagen im Straf- und Zivilverfahren,
§ 10 Abs. 2 lit. c PPGV:
andere Gutachten.
Betreffend die ausserordentlichen Bezirksarztadjunktinnen und -adjunkte enthält die PPGV folgende Übergangsbestimmung:
§ 30 PPGV:
1 Die im Zeitpunkt des Inkrafttretens der vorliegenden Verordnung gestützt auf die Verordnung über psychiatrische Gutachten im Strafverfahren vom 10. Februar 1999 ernannten ausserordentlichen Bezirksarztadjunktinnen und Bezirksarztadjunkte werden im Register unter der Rubrik gemäss § 10 Abs. 2 lit. c eingetragen.
2 Für eine Eintragung in die Rubrik gemäss § 10 Abs. 2 lit. a stellen sie der Fachkommission einen schriftlichen Antrag. Diese trifft für den Nachweis der Voraussetzungen nach § 12 die erforderlichen Anordnungen im Einzelfall.
Nach dem Wortlaut dieser Bestimmung hatte der Beschwerdeführer, welcher im Zeitpunkt des Inkrafttretens der PPGV am 1. März 2011 ausserordentlicher Bezirksarztadjunkt war, einen unmittelbaren Anspruch auf Eintragung hinsichtlich der Gutachtenskategorie "andere Gutachten", ohne dass die in § 11 PPGV normierten grundsätzlichen Voraussetzungen für die Eintragung noch zu prüfen waren. Es ist denn auch unbestritten, dass er diese Voraussetzungen erfüllt.
3.3. Gemäss § 12 Abs. 1 PPGV steht die Eintragung in das Sachverständigenverzeichnis für die Erstellung von Gutachten gemäss § 10 Abs. 2 lit. a PPGV nur Personen offen, die über einen eidgenössischen oder eidgenössisch anerkannten ausländischen Facharzttitel für Psychiatrie und Psychotherapie verfügen. Auch diese Voraussetzung erfüllt der Beschwerdeführer. Zusätzlich zu den Voraussetzungen gemäss § 11 PPGV nennt § 12 Abs. 1 PPGV vier weitere, kumulativ zu erfüllende Voraussetzungen, von denen lediglich die folgende streitig ist:
§ 12 Abs. 1 lit. b PPGV:
Die Eintragung in das Sachverständigenverzeichnis für die Erstellung von Gutachten gemäss § 10 Abs. 2 lit. a [...] setzt zusätzlich zu den Voraussetzungen gemäss § 11 voraus, dass die einzutragende Person über besondere forensische Qualifikationen verfügt, wie insbesondere das Zertifikat "Forensische Psychiatrie SGFP" der Schweizerischen Gesellschaft für Forensische Psychiatrie (SGFP), das Diploma of Advanced Studies in Forensic Science (DAS) "Forensic Risk Assessment" oder "Forensic Expert Assessment" der Universität Zürich oder gleichwertige von der Fachkommission anerkannte Quaifikationen.
3.4. Für die Erstellung von Gutachten gemäss § 10 Abs. 2 lit. b PPGV wird im Sachverständigenverzeichnis eingetragen, wer zusätzlich zu den Voraussetzungen gemäss § 11 PPGV eine anerkannte Ausbildung als Aussagepsychologin bzw. Aussagepsychologe abgeschlossen hat (§ 12 Abs. 3 PPGV).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts. Es sei tatsachen- und aktenwidrig, wenn die Vorinstanz ausführe, er hätte bei der Schweizerischen Gesellschaft für Forensische Psychiatrie ein Zertifikat im Sinn von § 12 Abs. 1 lit. b PPGV erlangen können. Aus dem Schreiben von Dr. med. D._, Präsident der SGFP, vom 29. Dezember 2012 gehe zweifellos hervor, dass ihm - dem Beschwerdeführer - eine solche Ausbildung verwehrt sei.
Bereits vor der Vorinstanz hatte der Beschwerdeführer geltend gemacht, Dr. med. D._ habe ihn von der Erlangung des (2007 geschaffenen) Zertifikats "Forensische Psychiatrie SGFP" "abgehalten". Die Vorinstanz erwog, Dr. med. D._ habe den Beschwerdeführer lediglich darüber orientiert, aus Sicht der SGFP bestehe keine Möglichkeit, ihm das Zertifikat zu verleihen, weil er die im Curriculum verlangten Voraussetzungen nicht erfülle. Dem Beschwerdeführer ist darin zuzustimmen, dass gemäss Schreiben von Dr. med. D._ vom 29. Dezember 2012 das Zertifikat nur schwer zu erlangen wäre. Dies ist jedoch nicht entscheidrelevant, soweit auch andere Weiterbildungsnachweise möglich sind. Die Vorinstanz weist denn auch darauf hin, dass Dr. med. D._ im Schreiben vom 29. Dezember 2012 andere anerkannte Weiterbildungen erwähnt habe, deren Absolvierung der Beschwerdeführer jedoch als unzumutbar erachte.
4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Ablehnung des Eintrags in Bezug auf qualifizierte Gutachten sei willkürlich. Rechtsprechungsgemäss ist ein Entscheid nicht schon dann willkürlich im Sinn von <ref-law>, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtssatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 7.1 S. 51 mit Hinweisen).
4.2.1. In Bezug auf die Kategorie "Gutachten zur Beurteilung komplexer Problemstellungen oder Risiken" (§ 10 Abs. 2 lit. a PPGV) hat die Vorinstanz einlässlich dargelegt, warum die (unbestrittene) Fachkompetenz und Berufserfahrung des Beschwerdeführers nicht als "gleichwertige von der Fachkommission anerkannte Qualifikationen" im Sinn von § 12 Abs. 1 lit. b PPGV gelten können. Unter Beizug der grammatikalischen, der historischen und der systematischen Auslegungsmethode begründet die Vorinstanz überzeugend, warum der kantonale Verordnungsgeber mit diesem Passus curriculäre, d.h. mit einem Diplom oder Zeugnis abzuschliessende Weiterbildungen gemeint haben muss. Diese Auslegung ist nicht willkürlich, weshalb sich weitere Ausführungen erübrigen.
4.2.2. Betreffend die Kategorie "Gutachten zur Beurteilung der Glaubhaftigkeit von Aussagen im Straf- oder Zivilverfahren" (§ 10 Abs. 2 lit. b PPGV) führte die Vorinstanz aus, der Begriff "anerkannte Ausbildung als Aussagepsychologin bzw. Aussagepsychologe" setze zumindest die Teilnahme an einem anerkannten Kurs zu diesem Thema voraus. Die Tatsache, dass sich der Beschwerdeführer im Rahmen seiner beruflichen Tätigkeit (publizistisch und durch die Erstellung eines aussagepsychologischen Gutachtens zuhanden des Obergerichts des Kantons Zürich im Jahr 2011) mit der Aussagepsychologie auseinandergesetzt habe, vermöge dieses Erfordernis nicht zu ersetzen. Auch aus dem Besuch eines Fortbildungsprogramms der Schweizerischen Gesellschaft für Psychiatrie und Psychotherapie (SGPP) von 2009 bis 2011 und der Teilnahme an sechs Fallseminar-Kursen im Jahr 2010 könne er nichts für sich ableiten, da aus den Akten nicht hervorgehe, zu welchen Themen die Fortbildungen abgehalten worden seien.
Auch diese Ausführungen sind nicht zu beanstanden: Die Vorinstanz hat willkürfrei begründet, warum das Erfordernis einer abgeschlossenen anerkannten Ausbildung als Aussagepsychologe nicht erfüllt ist.
4.3. Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung der Wirtschaftsfreiheit nach <ref-law>. Die massive Beeinträchtigung seiner Tätigkeit als selbständig erwerbender Psychiater sei durch kein öffentliches Interesse gerechtfertigt. Der Ausschluss sei zudem unverhältnismässig, weil die PPGV eine neue kantonale Übergangsregelung darstelle, welche im Hinblick auf eine zu erwartende bundesrechtliche Regelung provisorisch sei. Ihm - dem Beschwerdeführer - stehe mit vernünftigem Aufwand keine andere Ausbildung (als das Zertifikat der SGFP) zur Verfügung, welche die Aufnahme in die Sachverständigenliste ermöglichen würde. Seine Lage sei vergleichbar mit der eines Arztes, welcher Hunderte von gleichen Operationen erfolgreich durchgeführt habe und diese mit einem Schlag nicht mehr ausführen dürfe, weil ein neues Reglement die Mitgliedschaft in einer neu gegründeten Gesellschaft und den Besitz von deren Zertifikat voraussetze.
4.3.1. Der Beschwerdeführer geht zu Unrecht davon aus, die Tätigkeit als sachverständige Person im Sinn der PPGV stelle eine privatwirtschaftliche Erwerbstätigkeit dar, welche unter dem Schutz der Wirtschaftsfreiheit stehe. Der Gutachtensauftrag einer kantonalen Behörde ist kein privatrechtlicher Auftrag, sondern ein Rechtsverhältnis des kantonalen öffentlichen Rechts (<ref-ruling> E. 3 S. 163 mit Hinweisen). Demgemäss stellt die Tätigkeit als Gutachter oder Gutachterin im Dienst des Staates eine hoheitliche Aufgabe dar (Urteil 2C_121/2011 vom 9. August 2011 E. 3.3.2). Daraus ergibt sich der Schluss, dass diese Tätigkeit nicht unter die Wirtschaftsfreiheit fällt, unabhängig davon, ob sie von dauernd bestellten, d.h. amtlichen Sachverständigen oder - wie in der PPGV vorgesehen - von ad hoc bestellten, auf einer Liste figurierenden Sachverständigen ausgeführt wird (Urteil 2C_121/2011 vom 9. August 2011 E. 4.3.1). Das Gleiche gilt für die Notariatstätigkeit: Notare sind Träger einer öffentlichen Funktion und können sich daher nicht auf die Wirtschaftsfreiheit berufen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 260 f.). Privatpersonen, welche amtliche Tätigkeiten ausüben, können sich zwar insoweit auf die Wirtschaftsfreiheit berufen, als sie vom Staat verpflichtet werden, eine amtliche Tätigkeit zu übernehmen, nicht aber in Bezug auf die Ausübung der amtlichen Tätigkeit selbst (<ref-ruling> E. 7.1 S. 205). Insbesondere gibt die Wirtschaftsfreiheit keinen Anspruch darauf, zu einer hoheitlichen oder amtlichen Tätigkeit zugelassen zu werden (<ref-ruling> E. 4.1 S. 40 f.). Der Beschwerdeführer kann sich daher nicht auf die Wirtschaftsfreiheit berufen.
4.3.2. Aufgrund dieses Ergebnisses erübrigt sich eine Prüfung der Voraussetzungen zur Einschränkung von Grundrechten nach <ref-law>. Ausserhalb von Grundrechtseingriffen schreitet das Bundesgericht wegen Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips gemäss <ref-law> im Rahmen des kantonalen Rechts nur ein, wenn die fragliche Massnahme offensichtlich unverhältnismässig ist und damit zugleich gegen das Willkürverbot verstösst (Urteil 2C_121/2011 vom 9. August 2011 E. 4.6; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 157). Dies ist hier, wie in E. 4.2 aufgezeigt, nicht der Fall.
4.4. Schliesslich bringt der Beschwerdeführer vor, es hätte ihm gestützt auf das Vertrauensprinzip eine angemessene Übergangslösung in Form einer befristeten Bewilligung eingeräumt werden müssen.
Der Grundsatz von Treu und Glauben gemäss <ref-law> verschafft einen Anspruch auf Schutz berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten, sofern sich dieses auf eine konkrete, den betreffenden Bürger berührende Angelegenheit bezieht. Der entsprechende Schutz entfällt in der Regel bei Änderungen von Erlassen, da gemäss dem demokratischen Prinzip die Rechtsordnung grundsätzlich jederzeit geändert werden kann (<ref-ruling> E. 8.1 S. 60). Folglich ergibt sich aus <ref-law> kein Anspruch auf Schutz vor Gesetzesänderungen. Im Gegenteil steht der Anspruch auf Vertrauensschutz im Allgemeinen unter dem Vorbehalt von Rechtsänderungen (Urteil 2C_158/2012 vom 20. April 2012 E. 3.4; <ref-ruling> E. 3b/cc S. 123; <ref-ruling> E. 4b S. 253 f.). Grundsätzlich kann niemand auf die unveränderte Fortdauer des Rechts vertrauen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.3 S. 5).
Gewiss erscheint es stossend, wenn einem Psychiater, der seit Jahrzehnten Hunderte von Gerichtsgutachten erstellt hat, ein Teil dieser Tätigkeit infolge einer Rechtsänderung verwehrt wird, weil er einen - nunmehr verlangten - Weiterbildungsnachweis nicht erbringt. Für Personen mit langjähriger Erfahrung sind Regelungen anzustreben, welche nicht zu einschneidend sind und den Erfordernissen des Gesundheitsschutzes gleichwohl Rechnung tragen. Die Ausgestaltung einer angemessenen Übergangsregelung ist jedoch dem Gesetzgeber anheim gestellt, dem hierbei ein weiter Ermessenspielraum zusteht (<ref-ruling> E. 4 S. 99). Zwar hat die Rechtsprechung aus dem Grundsatz von Treu und Glauben, der Verhältnismässigkeit und dem Willkürverbot abgeleitet, dass unter Umständen angemessene Übergangsfristen für neue Regelungen verfassungsrechtlich geboten sein können (<ref-ruling> E. 7.6.1 S. 40; <ref-ruling> E. 8.1 S. 60, je mit Hinweisen). So können etwa bei der Einführung neuer Anforderungen für bestimmte Berufstätigkeiten erleichterte Anforderungen oder Anpassungsfristen geboten sein für Personen, welche die Tätigkeit bereits ausüben (Urteile 2C_158/2012 vom 20. April 2012 E. 3.6; 2C_694/2011 vom 19. Dezember 2011 E. 4.9; vgl. auch <ref-ruling> E. 4 S. 99). Die Rechtsprechung hat allerdings selbst im öffentlichen Dienstrecht, wo der Grundsatz der jederzeitigen Abänderbarkeit der Gesetzgebung in einem Spannungsverhältnis zum Grundsatz des Vertrauens auf Weitergeltung der individuell verfügten oder vereinbarten Anstellungsbedingungen steht, die jederzeitige Abänderbarkeit der gesetzlichen Regelung betont (Urteil 2C_158/2012 vom 20. April 2012 E. 3.7). Das Fehlen einer Übergangsregelung wird nur zurückhaltend als verfassungswidrig beurteilt und namentlich bei relativ geringfügigen Leistungseinbussen wird auch eine Inkraftsetzung ohne oder mit kurzen Übergangsregelungen nicht beanstandet (<ref-ruling> E. 7.6.1 S. 40 f.).
In diesem Zusammenhang ist darauf hinzuweisen, dass der kantonale Verordnungsgeber mit § 30 PPGV eine Übergangsregelung für die Bezirksarztadjunktinnen und -adjunkte erlassen hat, von der auch der Beschwerdeführer profitiert. Das Verfassen von Gutachten bildet für einen frei praktizierenden Arzt eine Nebenbeschäftigung. Gutachten zur Beurteilung komplexer Problemstellungen oder Risiken gemäss § 10 Abs. 2 lit. a PPGV machen nur einen Bruchteil des Auftragsvolumens aus und Gutachten zur Beurteilung der Glaubhaftigkeit von Aussagen im Straf- und Zivilverfahren gemäss § 10 Abs. 2 lit. b PPGV werden sogar höchst selten eingeholt, wie die Fachkommission in ihrem Beschluss vom 13. März 2013 - von der Vorinstanz unwidersprochen - darlegt. Von einer "massiven Beeinträchtigung der Tätigkeit als selbständiger Psychiater" kann somit nicht gesprochen werden; der Beschwerdeführer ist weiterhin befugt, Gutachten gemäss § 10 Abs. 2 lit. c PPGV zu verfassen.
Nach dem Gesagten kann der Beschwerdeführer aus <ref-law> keinen Anspruch auf (begrenzte) Weitergeltung der bisherigen Gesetzeslage ableiten, welche die Zulassung zur Erstellung aller Gutachtenskategorien erlauben würde.
4.5. Zusammenfassend ergibt sich, dass der angefochtene Beschluss nicht zu beanstanden ist. Demgemäss besteht auch kein Anlass, die Angelegenheit zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen, wie der Beschwerdeführer eventualiter beantragt.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Ausgangsgemäss ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner