Erwägungen:
1. Der gambische Staatsangehörige X._ reiste im Juli 2000 unter falscher Identität als Asylbewerber in die Schweiz ein. Im November 2002 heiratete er eine Schweizer Bürgerin, Mutter seiner im Januar 2002 geborenen Tochter. Zudem hat er zusammen mit einer deutschen Staatsangehörigen eine im Oktober 2005 geborene aussereheliche Tochter. Nach der Scheidung von der ersten Ehefrau heiratete er im März 2010 wiederum eine Schweizer Bürgerin, mit welcher zusammen er einen im Januar 2005 geborenen Sohn hat. Gestützt auf die erste Ehe mit einer Schweizerin war ihm am 8. November 2008 die Niederlassungsbewilligung erteilt worden.
Bereits vor der Bewilligungserteilung war X._ im Bereich der Betäubungsmittelgesetzgebung straffällig geworden (unter anderem Verurteilung vom 16. Mai 2002 zu einer Gefängnisstrafe von 17 Monaten und 20 Tagen). Am 5. Februar 2009 wurde er diesbezüglich zu einer weiteren Freiheitsstrafe von 16 Monaten, davon acht Monate bedingt vollziehbar, verurteilt. Insgesamt resultierten Freiheitsstrafen von über vier Jahren Dauer. Die letzte Verurteilung nahm die Ausländerrechtsbehörde der Stadt Bern zum Anlass, die Niederlassungsbewilligung von X._ (namentlich gestützt auf Art. 62 lit. b AuG) zu widerrufen und ihn aus der Schweiz wegzuweisen (Verfügung vom 26. August 2009). Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern am 7. September 2010 ab. Mit Urteil vom 24. Juni 2011 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen diesen Beschwerdeentscheid erhobene Beschwerde ab (Ziffer 1 erster Satz des Urteilsdispositivs); zugleich setzte es eine neue Ausreisefrist auf den 12. August 2011 an (Ziffer 1 zweiter Satz des Urteilsdispositivs).
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. August 2011 beantragt X._ dem Bundesgericht, Ziff. 1 des Urteils des Verwaltungsgerichts sei insofern abzuändern, als ihm eine neue Ausreisefrist per 31. Dezember 2011 anzusetzen sei.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2. 2.1 Aus dem Rechtsbegehren wie auch aus der Beschwerdebegründung ergibt sich, dass die Beschwerde einzig auf einen Aufschub hinsichtlich der Ausreiseverpflichtung abzielt. Sie hat damit nicht den Bewilligungswiderruf, sondern allein die (Modalitäten) der Wegweisung zum Gegenstand. Damit aber ist das Rechtsmittel als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig (<ref-law>), und es könnte höchstens als subsidiäre Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte entgegengenommen werden (<ref-law>). Die Verletzung solcher Rechte bedarf spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-law>).
2.2 Der Beschwerdeführer anerkennt zwar, dass er aus keiner Norm, auch nicht aus Art. 8 EMRK, einen Anspruch auf längeren Verbleib in der Schweiz ableiten könne, weshalb er denn auch den Bewilligungswiderruf ausdrücklich nicht anficht und auch nicht um Gewährung eines längeren Aufenthalts ersucht. Er macht hingegen geltend, Art. 8 EMRK verschaffe ihm das Recht, bis nach der auf den November 2011 vorgesehenen Geburt eines zweiten Kindes, das er mit seiner heutigen Ehefrau gezeugt habe, in der Schweiz zu bleiben. Ob er damit seiner spezifischen Begründungspflicht gemäss <ref-law> nachkommt, kann dahingestellt bleiben, beruft er sich doch hierfür auf eine Tatsache (Schwangerschaft seiner Ehefrau), die nicht Grundlage für das am 24. Juni 2011 gefällte angefochtene Urteil bildete. Er hat dem Verwaltungsgericht erstmals am 19. Juli 2011, gestützt auf eine Bestätigung der Hebamme vom 14. Juli 2011, davon berichtet. Es handelt sich um eine neue Tatsache, die vor Bundesgericht nicht vorgebracht werden kann (<ref-law>, der gemäss <ref-law> auch im Rahmen einer Verfassungsbeschwerde Gültigkeit hat). Der Beschwerdeführer muss diesbezüglich einen förmlichen Entscheid der zuständigen kantonalen Behörde erwirken; warum dies nicht primär das kantonale Verwaltungsgericht sein dürfte, ergibt sich aus dem Schreiben des Präsidenten von dessen zuständiger Abteilung an den Vertreter des Beschwerdeführers vom 21. Juli 2011.
Da die Beschwerdebegründung auf einem unzulässigen Novum beruht, erweist sich die Beschwerde auch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde als offensichtlich unzulässig. Es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
2.3 Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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