Fatti:
Fatti:
A. Nel luglio 1999 A._ si è rivolto all'organizzazione sindacale X._ chiedendole di rappresentarlo nella vertenza che lo vedeva opposto all'Ospedale Y._. In particolare, egli l'ha incaricata di contestare la disdetta del rapporto di lavoro notificatagli il 18 giugno 1999, durante il periodo di prova.
Sennonché il ricorso inoltrato il 2 agosto 1999 da X._ alla Commissione paritetica cantonale è stato dichiarato irricevibile siccome tardivo.
Sennonché il ricorso inoltrato il 2 agosto 1999 da X._ alla Commissione paritetica cantonale è stato dichiarato irricevibile siccome tardivo.
B. Asserendo che - se inoltrato tempestivamente - il ricorso sarebbe stato sicuramente accolto, il 22 settembre 2000 A._ ha convenuto X._ dinanzi alla Pretura del Distretto di Bellinzona onde ottenere il pagamento di fr. 60'886.35, oltre interessi, a titolo di risarcimento danni per violazione del contratto di mandato. Osservato che la disdetta è stata notificata entro i termini previsti dall'art. 6 del Regolamento Organico per il personale occupato presso gli istituti dell'Ente Ospedaliero Cantonale del Cantone Ticino (ROC) del 1° gennaio 1994, il Pretore l'ha considerata valida; egli ha pertanto concluso che il ricorso non avrebbe avuto possibilità di esito favorevole. Donde la reiezione della petizione con giudizio del 3 ottobre 2001.
L'appello interposto dal soccombente è stato respinto dalla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino il 5 agosto 2002.
L'appello interposto dal soccombente è stato respinto dalla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino il 5 agosto 2002.
C. Il 13 settembre 2002 A._ è insorto dinanzi al Tribunale federale con un ricorso per riforma volto ad ottenere la modifica della sentenza impugnata nel senso di accogliere l'appello e, di conseguenza, anche la petizione.
Con risposta del 7 novembre 2002 X._ ha proposto la reiezione del gravame.

Diritto:
Diritto:
1. Come rettamente stabilito in sede cantonale e riconosciuto anche dalle parti in causa, la responsabilità della convenuta va esaminata sulla base delle norme che regolano il mandato (art. 394 segg. CO), avendo essa assunto una funzione analoga a quella di un avvocato.
Giusta l'<ref-law> il mandatario è responsabile verso il mandante della fedele e diligente esecuzione degli affari affidatigli (sulla portata dell'obbligo di diligenza dell'avvocato cfr. DTF 127 II 357 consid. 1 con rinvii). Con riferimento alle conseguenze dell'inosservanza di un termine da parte dell'avvocato, la giurisprudenza ammette la sua responsabilità solo nel caso in cui sia dimostrato che il mandatario avrebbe vinto la causa, qualora l'atto procedurale tardivamente eseguito fosse stato tempestivo (<ref-ruling> consid. 2 pag. 372 segg.).
Nel caso di specie, in applicazione dell'<ref-law>, incombeva dunque all'attore dimostrare che - inoltrato tempestivamente - il ricorso contro il licenziamento sarebbe stato accolto. L'autorità cantonale è giunta alla conclusione che tale prova non è stata apportata; come già il Pretore, essa ha infatti ritenuto che - contrariamente a quanto affermato dall'attore - la disdetta notificata il 18 giugno 1999, durante il tempo di prova, era valida a tutti gli effetti.
Nel caso di specie, in applicazione dell'<ref-law>, incombeva dunque all'attore dimostrare che - inoltrato tempestivamente - il ricorso contro il licenziamento sarebbe stato accolto. L'autorità cantonale è giunta alla conclusione che tale prova non è stata apportata; come già il Pretore, essa ha infatti ritenuto che - contrariamente a quanto affermato dall'attore - la disdetta notificata il 18 giugno 1999, durante il tempo di prova, era valida a tutti gli effetti.
2. Prima di chinarsi sulle censure ricorsuali appare utile esporre le circostanze in cui l'attore è stato assunto, così come accertate nella sentenza impugnata.
2.1 Dal 1978 al 28 febbraio 1999 l'attore ha lavorato presso l'Ospedale Z._ quale infermiere diplomato.
Nel mese di giugno 1998 egli ha presentato una richiesta di assunzione all'Ospedale Y._, allo scopo di ridurre il tragitto necessario per recarsi al lavoro, avendo nel frattempo trasferito il suo domicilio. Ricevuta la conferma dell'assunzione a partire dal 1° marzo 1999, il 27 novembre 1998 l'attore ha disdetto il rapporto di lavoro con l'Ospedale Z._ con effetto al 28 febbraio 1999.
Il 1° marzo 1999 egli ha regolarmente iniziato la sua attività presso l'istituto Y._.
Considerati i problemi di salute conosciuti dall'attore nel mese di maggio 1999, il periodo di prova di tre mesi è stato prolungato per un tempo equivalente alla sua assenza, conformemente a quanto previsto dall'art. 6 cpv. 2 ROC.
Infine, il 18 giugno 1999, ancora durante il periodo di prova, l'Ospedale Y._ gli ha notificato la disdetta del contratto di lavoro con effetto al 5 luglio 1999.
2.2 L'attore contesta la validità di questa disdetta. A suo modo di vedere, l'assegnazione di nuovo periodo di prova in applicazione dell'art. 6 ROC viola infatti l'<ref-law>, in quanto entrambi gli ospedali in cui ha lavorato facevano capo all'Ente Opedaliero Cantonale (EOC).
2.3 Respinta la tesi per cui l'art. 6 ROC sarebbe in contrasto con il diritto federale, la Corte cantonale ha rilevato che questo disposto, contempla sia l'eventualità in cui l'attività presso un istituto dell'EOC venga iniziata ex novo che quella del trasferimento da un Istituto all'altro. A prescindere dalla questione di sapere se, in concreto, si è in presenza di un nuovo contratto o di un trasferimento, l'attore era dunque, in ogni caso, sottoposto ad un periodo di prova di tre mesi. I giudici ticinesi hanno pure respinto l'argomentazione attorea secondo la quale sarebbero ravvisabili gli estremi dei cosiddetti "contratti a catena", con i quali viene prolungata abusivamente la durata del periodo di prova. Nel caso in rassegna, infatti, il periodo di prova non è stato prolungato per mezzo della conclusione di successivi contratti di lavoro, bensì è sorto in applicazione dell'art. 6 ROC.
2.3 Respinta la tesi per cui l'art. 6 ROC sarebbe in contrasto con il diritto federale, la Corte cantonale ha rilevato che questo disposto, contempla sia l'eventualità in cui l'attività presso un istituto dell'EOC venga iniziata ex novo che quella del trasferimento da un Istituto all'altro. A prescindere dalla questione di sapere se, in concreto, si è in presenza di un nuovo contratto o di un trasferimento, l'attore era dunque, in ogni caso, sottoposto ad un periodo di prova di tre mesi. I giudici ticinesi hanno pure respinto l'argomentazione attorea secondo la quale sarebbero ravvisabili gli estremi dei cosiddetti "contratti a catena", con i quali viene prolungata abusivamente la durata del periodo di prova. Nel caso in rassegna, infatti, il periodo di prova non è stato prolungato per mezzo della conclusione di successivi contratti di lavoro, bensì è sorto in applicazione dell'art. 6 ROC.
3. Dato che la Legge sull'Ente ospedaliero cantonale del 19 dicembre 2000 (LEOC/TI) è entrata in vigore solo il 13 febbraio 2001, alla fattispecie in esame torna applicabile la Legge Ticinese sugli ospedali pubblici del 20 dicembre 1982 (LOsp/TI).
3.1 L'art. 17 lett. d LOsp/TI stabiliva che il contratto collettivo e i contratti individuali d'impiego del personale dell'Ente erano sottoposti al diritto privato.
Donde l'applicabilità dell'<ref-law>. L'<ref-law> sancisce che il primo mese di lavoro vale quale tempo di prova; durante questo periodo il rapporto di lavoro può essere disdetto in ogni momento, con un preavviso di sette giorni.
Deroghe possono essere convenute mediante accordo scritto, contratto normale o contratto collettivo; il tempo di prova non può comunque superare i tre mesi (<ref-law>).
3.2 I rapporti con il personale infermieristico occupato presso gli Istituti dell'EOC erano in particolare regolati dal già citato ROC, che altro non è che un contratto collettivo (cfr. <ref-law>) stipulato il 1° gennaio 1994 dall'EOC con tre sindacati.
Con riferimento al periodo di prova l'art. 6 ROC, sul quale la Corte cantonale ha basato la propria decisione, recita:
"Per tutti i dipendenti i primi tre mesi di impiego in ogni singolo Istituto sono considerati periodo di prova.
Il tempo di prova, se viene effettivamente ridotto in seguito a malattia, infortunio o adempimento di un obbligo legale non assunto volontariamente, è prolungato di un periodo equivalente.
Durante il periodo di prova il rapporto di lavoro può essere disdetto in ogni momento, con preavviso di 15 giorni.
Il trasferimento ad altra funzione all'interno dell'Istituto è assimilabile a una nuova assunzione ai fini del periodo di prova. In caso di esito insoddisfacente, il dipendente è reintegrato a tutti gli effetti nella precedente attività."
Il trasferimento ad altra funzione all'interno dell'Istituto è assimilabile a una nuova assunzione ai fini del periodo di prova. In caso di esito insoddisfacente, il dipendente è reintegrato a tutti gli effetti nella precedente attività."
4. In una recente sentenza (<ref-ruling> consid. 3.1 con vari riferimenti dottrinali) il Tribunale federale ha rammentato che il tempo di prova mira a permettere alle parti di conoscersi, di valutare la possibilità di lavorare insieme e di creare le premesse per un rapporto di lunga durata. Si tratta di un periodo di sperimentazione e di riflessione per entrambe le parti. Donde la facoltà, se necessario, di recedere rapidamente dagli obblighi assunti.
Il tempo di prova presuppone una relazione contrattuale nuova (Wyler, Droit du travail, Berna 2002, pag. 330). Esso è escluso qualora le parti intrattengano già una relazione professionale, ad esempio quando il contratto di lavoro segue quello di apprendistato oppure quando due contratti di lavoro fra le stesse parti e per la medesima attività si succedono, e ciò anche se fra la fine del primo e stipulazione del secondo trascorre un breve lasso di tempo (Brunner/Bühler/ Waeber, Commentaire du contrat de travail, 2a ed., Losanna 1996, n. 1 ad <ref-law>). In simili casi, la pattuizione di un nuovo periodo di prova permetterebbe infatti di eludere, a sfavore del lavoratore, le norme sulla protezione dalla disdetta (cfr. <ref-ruling> consid. 3b/bb pag. 253 seg.). Per questo motivo parte della dottrina tende a negare, di principio, la possibilità di stabilire un nuovo periodo di prova anche nel caso in cui, con il nuovo contratto, il lavoratore assume una nuova funzione (Rehbinder in Berner Kommentar, n. 3 ad <ref-law>; Staehelin in: Zürcher Kommentar, n. 3 ad <ref-law>; di diverso avviso Brühwiler, Kommentar zum Einzelarbeitsvertrag, 2a ed., n. 5b ad <ref-law> pag. 314).
4.1 In concreto, la Corte cantonale ha accertato - in maniera vincolante per il Tribunale federale, chiamato a statuire nella giurisdizione per riforma (art. 55 cpv. 1 lett. c e art. 63 cpv. 2 OG) - che dal 1978 al 28 febbraio 1999 l'attore ha lavorato presso l'Ospedale Z._ quale infermiere diplomato, con piena soddisfazione del datore di lavoro. A partire dal 1° marzo 1999 egli ha svolto la propria attività presso l'Ospedale Y._.
4.2 Alla luce di quanto esposto in ingresso all'attuale conside rando, la questione di sapere se si tratta di due contratti di lavoro diversi - come ritenuto dalla Corte cantonale - o di un trasferimento - come asserito nel gravame - è irrilevante, dal momento che, in ogni caso, si tratta di un rapporto di lavoro fra le medesime parti e concernente la medesima attività.
Sia l'Ospedale Y._ che l'Ospedale Z._ sono stati infatti assunti dall'EOC a partire dal 1° gennaio 1984 (cfr. art. 1 Decreto legislativo concernente le assunzioni di ospedali da parte dell'Ente ospedaliero cantonale del 20 dicembre 1983). Mediante tale assunzione l'EOC - istituto di diritto pubblico del Canton Ticino, incaricato della gestione di ospedali pubblici - ha acquisito la proprietà degli ospedali (art. 3 LOsp/TI) ed è subentrato nella totalità dei rapporti giuridici relativi agli istituti (art. 6 cpv. 2 LOsp/TI), inclusi i rapporti di lavoro con il personale. Prova ne sia il fatto che il ROC - elaborato dal Consiglio d'amministrazione dell'EOC e sottoscritto da tre sindacati - mirava a promuovere e realizzare una uniforme applicazione delle condizioni di lavoro del personale occupato presso tutti gli Istituti dell'EOC (art. 1 lett. a ROC).
Ciò significa che, anche se le assunzioni erano di esclusiva competenza dell'Istituto (art. 3 ROC), il dipendente entrava automaticamente a far parte del personale dell'EOC. Quando la LOsp/TI o il ROC parlano di datore di lavoro, essi si riferiscono pertanto all'EOC.
4.3 All'attore, che da oltre vent'anni lavorava per l'EOC, non poteva pertanto essere imposto, a partire dal 1° marzo 1999, un nuovo tempo di prova di tre mesi, con la possibilità - poi realizzatasi - di venir licenziato con un preavviso di quindici giorni.
Nella misura in cui ha interpretato l'art. 6 cpv. 1 ROC - "Per tutti i dipendenti i primi tre mesi di impiego in ogni singolo Istituto sono considerati periodo di prova"- in questo senso, la Corte cantonale ha dunque violato il diritto federale.
4.4 Non avendo l'attore mutato funzione, non appare necessario pronunciarsi sulla liceità dell'art. 6 cpv. 4 ROC, giusta il quale "Il trasferimento ad altra funzione all'interno dell'Istituto è assimilabile a una nuova assunzione ai fini del periodo di prova.".
Né occorre chinarsi sulle ulteriori censure sollevate nel gravame, che a prima vista sembrano comunque irricevibili in quanto rivolte esclusivamente contro l'accertamento dei fatti e l'apprezzamento delle prove, in contrasto con quanto prescritto dall'art. 43 cpv. 1 OG e 55 cpv. 1 lett. c OG (cfr. <ref-ruling> consid. 2c con rinvii).
Né occorre chinarsi sulle ulteriori censure sollevate nel gravame, che a prima vista sembrano comunque irricevibili in quanto rivolte esclusivamente contro l'accertamento dei fatti e l'apprezzamento delle prove, in contrasto con quanto prescritto dall'art. 43 cpv. 1 OG e 55 cpv. 1 lett. c OG (cfr. <ref-ruling> consid. 2c con rinvii).
5. Da tutto quanto esposto discende che, qualora fosse stato presentato tempestivamente, il ricorso contro il licenziamento del 18 giugno 1999 sarebbe stato accolto.
Il datore di lavoro avrebbe infatti dovuto licenziare l'attore rispettando il termine ordinario di tre mesi stabilito dall'art. 57 ROC e non quello di quindici giorni, non essendo dati i presupposti per un nuovo periodo di prova.
Il ricorso per riforma merita pertanto di essere accolto.
Pur ammettendo il diritto dell'attore al risarcimento del danno patito a causa della violazione del mandato da parte della convenuta, il Tribunale federale non può pronunciarsi sulle sue pretese, mancando nella sentenza impugnata qualsiasi accertamento in tal senso.
In applicazione dell'art. 64 cpv. 1 OG, la causa viene pertanto rinviata all'autorità cantonale per completare gli accertamenti di fatto e pronunciarsi sull'ammontare del credito spettante all'attore.
In applicazione dell'art. 64 cpv. 1 OG, la causa viene pertanto rinviata all'autorità cantonale per completare gli accertamenti di fatto e pronunciarsi sull'ammontare del credito spettante all'attore.
6. Trattandosi di una vertenza in materia di contratto di lavoro con un valore di causa superiore a fr. 30'000.-- si preleva una tassa di giustizia (art. 343 cpv. 2 e 3 CO).
Gli oneri processuali e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 156 cpv. 1 e 159 cpv. 1 e 2 OG).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso per riforma è accolto.
La sentenza impugnata è annullata e la causa è rinviata all'autorità cantonale per nuovo giudizio ai sensi dei considerandi.
La sentenza impugnata è annullata e la causa è rinviata all'autorità cantonale per nuovo giudizio ai sensi dei considerandi.
2. La tassa di giustizia di fr. 3'000.-- è posta a carico della convenuta, la quale rifonderà all'attore fr. 3'500.-- per ripetibili della sede federale.
2. La tassa di giustizia di fr. 3'000.-- è posta a carico della convenuta, la quale rifonderà all'attore fr. 3'500.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.