Faits :
A.
Le 9 janvier 2012, A._ a donné à bail une halle industrielle sise à X._ à la société B._; le contrat courait dès le 1er avril 2012 pour une durée de cinq ans. Le bailleur n'a pas libéré la halle et le terrain attenant, empêchant la locataire d'investir les locaux.
Le 7 mai 2012, la locataire a saisi le Tribunal des baux du canton de Vaud d'une requête de mesures superprovisionnelles et provisionnelles. Elle concluait à ce qu'ordre soit donné au bailleur de libérer les locaux et qu'à défaut, l'huissier du Tribunal des baux soit chargé sous la responsabilité du Tribunal de procéder à l'exécution forcée. Lors d'une inspection des lieux le 15 mai 2012, les parties ont signé une convention mettant fin à la procédure. Le bailleur s'engageait à libérer les locaux entre le 25 mai et le 30 juin 2012 selon un calendrier précis. La convention précisait en outre qu'en cas de non-respect du calendrier, la locataire était autorisée à avoir recours à l'huissier du Tribunal des baux pour que celui-ci procède à l'exécution forcée, si nécessaire avec l'assistance de la force publique.
B.
B.a. Par requête du 29 mai 2012 adressée au Tribunal des baux, la locataire a requis l'exécution forcée de la transaction au sens de l'<ref-law>, ce avec concours de l'huissier du Tribunal. Elle alléguait que le bailleur n'avait strictement rien entrepris pour libérer les locaux.
Le 4 juin 2012, une séance a réuni la Présidente du Tribunal des baux, l'huissier de la Justice de paix, le bailleur et un représentant de la locataire, ainsi qu'un représentant de l'entreprise C._. A cette occasion, il a été constaté que les locaux étaient encore très encombrés, notamment par des carcasses de voitures.
Par lettre du 7 juin 2012, la Présidente du Tribunal des baux s'est adressée en ces termes à l'entreprise C._: " (...) je vous confirme que vous êtes chargé, sous l'autorité du Tribunal des baux, d'évacuer l'entier des locaux (...). En ce qui concerne le transport des biens, vous voudrez bien suivre les instructions [du bailleur] et lui facturer le coût de ces opérations. S'agissant en revanche des déchets, vous voudrez bien les évacuer de manière appropriée. Le coût de cette opération est à porter sur la facture à adresser au Tribunal des baux, étant précisé qu'en cas de dépassement de devis, il convient de m'en informer immédiatement."
Le 10 octobre 2013, la locataire a informé le Tribunal des baux que les opérations d'exécution forcée étaient terminées et lui a remis sa liste d'opérations, requérant que l'entier soit mis à la charge du bailleur; ce dernier a demandé à ce que le décompte lui soit transmis. La facture de l'entreprise C._ s'élevait à 231'147 fr., celles de deux autres entreprises à 13'995 fr. et 9'769 fr.
Le 7 novembre 2012, la Présidente du Tribunal des baux a transmis aux parties le décompte final des travaux d'exécution forcée, leur impartissant un délai pour se déterminer. Le montant dû à l'entreprise C._ était arrêté à 206'000 fr.; avec les factures des deux autres entreprises et les frais de la Justice de paix, le montant total s'élevait à 230'124 fr. 70.
La locataire a déclaré n'avoir aucune remarque à formuler. Dans sa détermination du 22 novembre 2013, le bailleur a contesté les factures de l'entreprise C._, estimant qu'elles étaient largement surfaites et remplies d'erreurs. Il demandait la production de pièces complémentaires, en particulier la liste des employés et sous-traitants présents sur le site durant la période de facturation, la preuve du paiement des salaires correspondants et les fiches d'heures par employé.
B.b. La Présidente du Tribunal des baux a statué par prononcé du 28 novembre 2013. Elle a notamment relevé que l'huissier avait passé de très nombreuses heures sur les lieux de l'exécution afin de vérifier le bon déroulement des opérations, qu'il avait attentivement examiné les factures de l'entreprise C._ et retranché les postes erronés, que les factures de cette entreprise étaient pour le surplus correctes même si elles contenaient des inexactitudes. En conséquence, elle a arrêté les frais d'exécution à 230'124 fr. 70, dit qu'ils seraient prélevés sur l'avance faite par la locataire et dit que le bailleur devait rembourser ce montant à la locataire.
B.c. Le bailleur a interjeté recours (au sens de l'<ref-law>) auprès de la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois, concluant principalement à l'annulation du prononcé et au renvoi de la cause pour instruction et nouvelle décision, subsidiairement à ce que les frais d'exécution soient fixés à un montant que justice dira, mais en tout cas pas supérieur à 110'000 fr. Ni la locataire intimée ni l'entreprise C._ n'ont été invitées à se déterminer. Statuant par arrêt du 9 janvier 2014, la Chambre a rejeté le recours et confirmé le prononcé attaqué.
C.
Le bailleur saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile et d'un recours constitutionnel subsidiaire; il conclut principalement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause pour instruction et nouvelle décision, subsidiairement à la réforme de l'arrêt, en ce sens que les frais d'exécution forcée sont fixés à un montant que justice dira, mais en tout cas pas supérieur à 110'000 fr. La locataire conclut au rejet des recours dans la mesure où ils sont recevables. L'autorité précédente se réfère à son arrêt. Le bailleur a déposé de son propre chef une réplique; la locataire a renoncé à dupliquer.
La cour de céans a donné la possibilité à l'entreprise C._ de se déterminer. Cette dernière a donné sa version des faits, sans prendre de conclusions au fond. Le bailleur et la locataire se sont déterminés, celle-ci très brièvement. L'entreprise C._ a répondu.

Considérant en droit :
1.
Sur requête de la locataire, la Présidente du Tribunal des baux a ordonné l'exécution de la transaction judiciaire par un tiers (art. 343 al. 1 let. e CPC). Elle a donné mandat au tiers de procéder, sous son autorité, à l'évacuation des locaux et l'a invité à lui adresser sa facture. Elle ne s'est donc pas limitée à autoriser la locataire à mandater elle-même un tiers.
A défaut de disposition spécifique, les coûts de l'intervention d'un tiers mandaté par le juge doivent être considérés comme des frais judiciaires (<ref-law>; DROESEet ZINSLI, in Basler Kommentar, 2 e éd. 2013, n° 19 ad art. 339 et n° 31 ad <ref-law>). La partie requérante peut être appelée à les avancer (<ref-law>; NICOLAS JEANDIN, in CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, n° 16 ad <ref-law>; FRANZ KELLERHALS, in Berner Kommentar, 2012, n° 63 ad <ref-law>), et la partie contre qui l'exécution est ordonnée devra les supporter (<ref-law>). Selon plusieurs auteurs, qui se réfèrent à la jurisprudence relative à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.2.2), le créancier doit aussi pouvoir exiger une avance de frais du débiteur (cf. notamment ZINSLI, op. cit., n° 32 ad <ref-law>; KELLERHALS, op. cit., n° 76 ad <ref-law>; ROHNER/JENNY, in Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO] Kommentar, BRUNNER ET ALII ÉD., 2011, n° 24 ad <ref-law>). Il appartient au juge de l'exécution de fixer le montant des frais dans sa décision finale (art. 104 al. 1 et art. 105 al. 1 CPC; cf. aussi <ref-law>, applicable par analogie selon STAEHELIN ET ALII, Zivilprozessrecht, 2 e éd. 2013, p. 572 n. 48; ZINSLI, op. cit., n° 31 ad <ref-law>; KELLERHALS, op. cit., n° 77 ad <ref-law>); dite décision est susceptible de recours (art. 309 let. a et art. 319 let. a CPC).
La valeur litigieuse déterminante pour la voie de recours au Tribunal fédéral correspond aux conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (<ref-law>). Dès lors que seul le montant des frais était discuté devant l'autorité précédente, la valeur litigieuse correspond aux frais contestés, à savoir 120'124 fr. (230'124 fr. - 110'000 fr.). La voie du recours en matière civile est ouverte (<ref-law>). Le recours constitutionnel subsidiaire introduit en parallèle est partant irrecevable (<ref-law>).
2.
Le bailleur recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu, plus précisément de son droit à la preuve (art. 29 al. 2 Cst.; art. 53 et 152 CPC). Il reproche à l'autorité précédente d'avoir rejeté ce grief adressé au juge de première instance.
Le bailleur avait élevé devant le juge de première instance une série d'objections conséquentes contre les factures du tiers et requis des mesures d'instruction. En particulier, il contestait, motifs à l'appui, le nombre d'heures facturées, relevant par exemple que d'après les factures, le tiers se serait rendu sur les lieux de l'exécution à raison de 31 jours durant le mois de juillet 2012, ce qui ne pouvait pas correspondre à la réalité. Le juge de première instance n'a pas discuté ces objections ni donné suite aux requêtes de preuves, au motif que l'huissier avait passé de très nombreuses heures sur les lieux de l'exécution afin de vérifier le bon déroulement des opérations, qu'il avait attentivement examiné les factures du tiers et qu'il avait retranché les postes erronés. L'autorité précédente a jugé que ce faisant, le juge de première instance n'avait pas violé le droit d'être entendu du bailleur; elle a rappelé que d'après la jurisprudence,le juge n'avait pas à discuter tous les griefs du recourant, qu'il pouvait se limiter à ceux qui, sans arbitraire, lui paraissaient pertinents, et qu'il pouvait refuser un moyen de preuve s'il s'estimait déjà suffisamment renseigné.
Le droit à la preuve est une composante du droit d'être entendu. Il comprend le droit pour l'intéressé de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuve pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 7.1). L'autorité peut cependant renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant de manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 4.3.1 i.f. p. 376). Le droit d'être entendu implique en outre pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision; il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 3.1).
Le juge peut certes rejeter des moyens de preuve s'il les estime sans pertinence ensuite d'une appréciation anticipée non arbitraire; mais encore faut-il qu'il procède à une appréciation anticipée et la motive. En l'espèce, ni l'autorité précédente ni le juge de première instance ne se sont penchés sur les objections et offres de preuve du bailleur; du moins, rien dans ce sens ne ressort de leurs décisions. Les autorités cantonales se fondent sur le fait que l'huissier a passé de très nombreuses heures sur place à surveiller les travaux; on ne discerne pas en quoi cela impliquerait que les heures facturées ont toutes été accomplies et que les objections du recourant sont infondées. Les autorités cantonales invoquent aussi le contrôle des factures par l'huissier, qui aurait écarté certains postes erronés, ce qui, soit dit en passant, sous-entend tout de même que la facture n'était pas entièrement correcte; mais elles ne donnent aucun détail, ni surtout leur propre appréciation de ce contrôle, et semblent s'en être remises aveuglément à l'avis de l'huissier. Dans ces circonstances, on ne saurait retenir que le juge a procédé à une appréciation anticipée des requêtes du bailleur, ni a fortiori qu'il l'a faite de manière non arbitraire. Le grief du bailleur est fondé.
3.
Il s'ensuit l'admission du recours en matière civile, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs du bailleur ni de se prononcer sur les objections de l'entreprise C._. L'arrêt attaqué est partant annulé et la cause renvoyée à la Chambre des recours pour instruction et nouvelle décision.
La locataire, qui succombe, supportera les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF). L'entreprise C._, qui n'est pas une partie et s'est expliquée sans prendre de conclusions, n'a pas à participer au paiement des frais.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière civile est admis.
3.
L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
5.
L'intimée versera au recourant une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à C._ et à la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 31 octobre 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Klett
La Greffière : Monti