Sachverhalt:
A.
U._ meldete sich am 16. September 2008 wegen Schlafstörungen, Schmerzen und Fibromyalgie bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärung der erwerblichen und gesundheitlichen Verhältnisse (worunter der Fragebogen für Arbeitgebende der Q._ AG vom 17. Oktober 2008 sowie das Gutachten der Dres. med. K._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, und S._, Innere Medizin FMH, spez. Rheumaerkrankungen, Klinik X._, vom 14. April 2009) lehnte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen einen Anspruch auf Invalidenrente mangels eines invalidenversicherungsrechtlich relevanten Gesundheitsschadens ab (Verfügung vom 25. September 2009). Auf Beschwerde der Versicherten hin widerrief sie die genannte Verfügung (vgl. Abschreibungsbeschluss des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 27. April 2010) und veranlasste zusätzliche medizinische Abklärungen. Laut Verlaufsgutachten des Dr. med. K._ vom 22. Juni 2010 lagen eine anhaltende mittelgradige depressive Episode mit somatischen Symptomen (ICD-10: F 32.11) sowie eine psychophysische Erschöpfung (ICD-10: Z73.0) vor, die sowohl für die angestammte wie auch jede andere Erwerbstätigkeit eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % begründeten. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren hielt die IV-Stelle mit Verfügung vom 7. Februar 2011 fest, bei den psychiatrischen Diagnosen handle es sich um eine Begleiterscheinung der im Vordergrund stehenden, rechtsprechungsgemäss nicht invalidisierenden Schmerzstörung, weshalb der geltend gemachte Rentenanspruch zu verneinen sei.
B.
In teilweiser Gutheissung der hiegegen eingereichten Beschwerde sprach das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen der Versicherten ab Mai 2009 eine halbe Invalidenrente zu und wies die Sache zur Festsetzung der Rentenhöhe an die Verwaltung zurück (Entscheid vom 25. März 2013).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde und beantragt, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Gleichzeitig stellt sie das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde.
U._ und die Vorinstanz schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde an das Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin ab Mai 2009 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente hat. Prozessthema bildet dabei hauptsächlich die Frage, ob das kantonale Gericht den Gesundheitszustand (<ref-law>) und die Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit (Art. 6 und Art. 7 ATSG) als wesentliche Voraussetzungen für die Annahme einer Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) zutreffend beurteilt hat.
3.
3.1.
3.1.1. Das kantonale Gericht hat erkannt, dass zur Beurteilung des Gesundheitszustands und der Arbeitsfähigkeit auf die beweiskräftigen Gutachten der Klinik X._ vom 14. April 2009 und 22. Juni 2010 abzustellen war. Danach konnte aus rheumatologischer Sicht in Übereinstimmung mit der im Juli 2007 in der Rehaklinik Y._ durchgeführten Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit eruiert werden (vgl. Teilexpertise der Frau Dr. med. S._ vom 9. April 2009). Der psychiatrische Sachverständige Dr. med. K._ diagnostizierte eine seit etwa Januar 2008 bestehende und seither anhaltende mittelgradige depressive Episode mit somatischen Symptomen (ICD-10: F 32.11), sowie eine psychophysische Erschöpfung (ICD-10: Z73.0), die voraussichtlich auch unter Weiterführung der Gesprächs- und Psychopharmakatherapie nicht wesentlich verbessert werden konnten und die daher eine dauernde Arbeitsunfähigkeit von 50 % für alle in Frage kommenden Erwerbstätigkeiten zur Folge hatten (Gutachten vom 22. Juni 2010). Ferner hat das kantonale Gericht festgestellt, dass nicht auf die ärztliche Beurteilung des Dr. med. B._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie (Berichte vom 7. März und 6. September 2010) bzw. auch nicht auf die Auskünfte der behandelnden Frau Dr. med. C._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH (Bericht vom 6. April 2010), abzustellen ist.
3.1.2. Davon ausgehend hat die Vorinstanz erwogen, die anhaltende mittelgradige depressive Episode mit somatischen Symptomen stelle kein pathogenetisch-ätiologisch unklares syndromales Beschwerdebild im Sinne der Rechtsprechung dar (im Folgenden auch als "unklares Beschwerdebild" bezeichnet). Auch aus den Materialien zu der im Rahmen der 6. IV-Revision geführten Diskussion, deren lit. a der Schlussbestimmungen am 1. Januar 2012 in Kraft gesetzt worden sei, ergebe sich klar, dass ein depressives Leiden nicht als unklares Beschwerdebild gelten solle. Die IV-Stelle setze sich in Widerspruch zu dieser Rechtslage, wenn sie das gutachterlich gestützt auf klinische Untersuchungen sowie psychometrische Tests zuverlässig festgestellte depressive Leiden als syndromal unklar und damit als invalidenversicherungsrechtlich irrelevant deklariere. Sie übersehe, dass ein depressives Leiden medizinisch betrachtet weder notwendige Voraussetzung noch notwendige Folge einer Schmerzkrankheit sei, was sich ohne Weiteres aus den schlüssigen Darlegungen des Dr. med. K._ ergebe, der die Arbeitsunfähigkeit allein mit der für eine Depression typischen Symptomatik begründe. Wegen der finalen Konzeption der Invalidenversicherung sei ohnehin grundsätzlich unerheblich, welcher Umstand (wie etwa Hirnschädigung, psychosozial belastende Faktoren, Unfallfolgen, Schmerzen) die zu einer Arbeitsunfähigkeit führende depressive Erkrankung letztlich ausgelöst habe, weshalb Kausalitätsüberlegungen insoweit fehl am Platz seien. Vor diesem Hintergrund betrachtet fehle dem Bestreben der IV-Stelle, fachärztlich diagnostizierte depressive Leiden generell von Schmerzsyndromen konsumieren zu lassen, die rechtliche Grundlage.
3.2. Die IV-Stelle räumt ein, dass die von Dr. med. K._ diagnostizierte anhaltende mittelgradige depressive Episode mit somatischen Symptomen (ICD-10: F32.11) kein unklares Beschwerdebild im Sinne der Rechtsprechung darstellt. Sie macht aber geltend, die genannte Erkrankung habe sich ausweislich der medizinischen Akten aus einem chronischen Schmerzsyndrom ohne entsprechendes somatisches Korrelat entwickelt. So habe die behandelnde Frau Dr. med. C._ (Bericht vom 6. April 2010) die depressiven Symptome auf dem Hintergrund einer somatoformen Schmerzstörung interpretiert. Nach der Rechtsprechung stelle "eine solche Depression ... von vornherein keine invalidisierende psychische Komorbidität dar, weil kein von depressiven Verstimmungszuständen klar unterscheidbarer verselbstständigter und pathologischer Gesundheitsschaden vorliegt". Entgegen der vorinstanzlichen Ansicht sei daher "von Relevanz, aus welchen Faktoren eine Depression hergeleitet wird." Insgesamt gefestigter Praxis folgend sei davon auszugehen, dass bei gleichzeitig anzunehmender somatoformer Schmerzstörung ohne organisches Korrelat mit einem leicht- bis mittelgradigen depressiven Leiden aus rechtlicher Sicht kein relevanter Gesundheitsschaden vorliegen könne.
4.
4.1. Das Bundesgericht hat sich in dem zur Publikation in BGE 139 V bestimmten Urteil 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 (nachfolgend BGE 8C_972/2012) mit dem Begriff des pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildes ohne organische Grundlage einlässlich auseinandergesetzt und hat die Praxis bestätigt (grundlegend: <ref-ruling>), wonach die allein darauf gestützte medizinische Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit in der Regel nicht zum Nachweis einer rentenbegründenden Invalidität genügt. Diese setzt zusammengefasst (BGE 8C_972/2012 E. 9.4 mit Hinweisen) eine gesundheitlich bedingte, erhebliche und evidente, dauerhafte sowie objektivierbare Beeinträchtigung des Gesundheitszustandes voraus. Den unklaren Beschwerden ist eigen, dass mittels klinischer Untersuchungen weder Pathologie noch Ätiologie nachweis- oder erklärbar sind. Sie vermögen daher aus rechtlicher Sicht für sich allein den Nachweis einer gesundheitlichen Einschränkung mangels Objektivierbarkeit nicht zu erbringen. Insofern unterscheiden sich die Diagnosen pathogenetisch-ätiologisch unklarer syndromaler Beschwerdebilder ohne nachweisbare organische Grundlage von den "klassischen", beispielsweise affektiven Störungen sachlich entscheidend, und es rechtfertigt sich, sie namentlich mit Blick auf die Beweislast gesondert zu beurteilen. Die gestützt auf diese Erkenntnisse und Überlegungen ergangene Rechtsprechung ist vom Gesetzgeber im Zuge der 5. IV-Revision (vgl. <ref-law>, in Kraft gesetzt am 1. Januar 2008) und der 6. IV-Revision (vgl. lit. a Abs. 1 Schlussbestimmungen, in Kraft gesetzt am 1. Januar 2012) in das Bundesrecht übernommen worden. Die Anwendung dieser Vorschriften setzt allerdings nach wie vor eine fachgerechte und umfassende Begutachtung der betroffenen Versicherten voraus (BGE 8C_972/2012 E. 9.4). Inwieweit die von der Vorinstanz angerufene lit. a Abs. 1 der Schlussbestimmungen zur 6. IV-Revision hier zum Tragen kommt, kann offenbleiben, wie sich aus den nachstehenden Erwägungen ergibt.
4.2.
4.2.1. Angesichts der Vorbringen der beschwerdeführenden IV-Stelle und der damit zitierten bundesgerichtlichen Urteile ist zunächst zu erörtern, wie sich aus rechtlicher Sicht somatoforme Schmerzstörungen ohne medizinisch hinreichend objektivierbares organisches Korrelat und eine fachärztlich schlüssig diagnostizierte Depression zueinander verhalten.
4.2.2. Im erwähnten BGE 8C_972/2012 wird in Bestätigung der Rechtsprechung festgehalten, dass die psychiatrisch festgestellten einzelnen Störungsbilder Gemeinsamkeiten haben und sich überschneiden können (E. 9.2 Ingress mit Hinweis auf <ref-ruling>), weshalb die versicherte Person in der Regel fachmedizinisch nach dem verfahrensrechtlich vorgeschriebenen Prozedere zu begutachten ist (E. 9.4 in Verbindung mit E. 9.2.1).
Das Bundesgericht hat, was die IV-Stelle übersieht, in ständiger Rechtsprechung daran festgehalten, dass beim Zusammentreffen einer zuverlässig diagnostizierten depressiven Episode und einer somatoformen Schmerzstörung in erster Linie die (fach) ärztlichen Feststellungen zur Beurteilung des Gesundheitszustands und der Arbeitsunfähigkeit massgeblich sind. So ist das Bundesgericht im erwähnten BGE 8C_972/2012 E. 9.4 zum Schluss gelangt, dass selbst dann, wenn rechtlich betrachtet ein unklares Beschwerdebild vorliegt, fachärztlich geprüft werden muss, ob nicht ein anderes Störungsbild gegeben ist, das anhand klinischer und/oder anderweitiger Untersuchungen zuverlässig nachgewiesen werden kann.
4.2.3. Zum vorliegenden Fall ist festzuhalten, dass die Beschwerdegegnerin unbestritten zunächst an einer aus somatischer Fachrichtung gesehen nicht genügend erklärbaren Schmerzstörung litt (vgl. u.a. Berichte der Klinik Y._ vom 13. August 2007, des Dr. med. O._, Facharzt für Allgemeine Medizin FMH, vom 1. Oktober 2007 und 25. Oktober 2008, sowie der Frau Dr. med. C._ vom 22. November 2008). Dres. med. S._ und K._ diagnostizierten jedoch in dem beweiskräftigen Gutachten vom 14. April 2009 allein eine die Arbeitsfähigkeit wesentlich beeinträchtigende depressive Störung, die nicht als unklares Beschwerdebild zu qualifizieren ist. Im Einzelnen übersieht die IV-Stelle mit ihren Vorbringen, dass Frau Dr. med. S._ ausdrücklich die Frage verneinte, es könne aus rheumatologischer Sicht eine Fibromyalgie gegeben sein (vgl. Teilexpertise vom 9. April 2009). Daher und mit Blick auf das vorstehend Gesagte ist wenig nachvollziehbar, wenn die IV-Stelle den psychiatrisch zuverlässig nachgewiesenen Gesundheitsschaden nunmehr als Folge eines unklaren Beschwerdebildes darstellt. Dr. med. K._ schloss sowohl laut Hauptgutachten vom 14. April 2009 wie auch laut Verlaufsgutachten vom 22. Juni 2010 gestützt auf das depressive Leiden auf eine voraussichtlich dauernde Arbeitsunfähigkeit von 50 %. Diese Einschätzung begründete er einlässlich und führte u.a. aus, die beschränkte Arbeitsfähigkeit sei auf das anhaltend reduzierte Durchhaltevermögen, die deutlich herabgesetzte Konzentrationsfähigkeit und geistige Flexibilität, die reduzierte emotionale Belastbarkeit sowie die rasche Ermüdbarkeit mit vermehrtem Erholungsbedarf zurückzuführen. Unter diesen Umständen ist nicht ersichtlich, inwiefern die Beschwerdegegnerin das diagnostizierte Leiden im Sinne von <ref-law> hätte überwinden können. Die IV-Stelle übersieht, dass laut Verlaufsgutachten des Dr. med. K._ vom 22. Juni 2010 die zusätzlich diagnostizierte psychophysische Erschöpfung (ICD-10: Z73.0), die für sich allein genommen möglicherweise als unklares Beschwerdebild bezeichnet werden könnte, im Wesentlichen Folge der depressiven Symptomatik und damit deren Teil war. Dieses Ergebnis wird im Übrigen durch den Umstand gestützt, dass die Versicherte während langer Zeit als Industriearbeiterin erwerbstätig war (Auszug aus dem Individuellen Konto; Assessmentprotokoll der IV-Stelle vom 28. Oktober 2008 und 26. Januar 2009) und es ist aufgrund der medizinischen Akten, welche Anzeichen einer Vermeidungshaltung verneinen (vgl. u.a. Bericht der Klinik Y._ vom 13. August 2007), nicht ersichtlich, weshalb die mittlerweile bald vor der Pensionierung stehende Beschwerdegegnerin dies nicht auch für den Rest des Berufslebens hätte tun wollen. Daher ist insgesamt davon auszugehen, dass sie alles Zumutbare unternommen hatte, weiterhin arbeitstätig zu sein.
4.3. Zusammengefasst ist der vorinstanzliche Entscheid, wonach die Versicherte an einem invalidenversicherungsrechtlich relevanten, die Arbeitsfähigkeit für jegliche Erwerbstätigkeit um 50 % beeinträchtigenden Gesundheitsschaden litt, zu bestätigen. Der vom kantonalen Gericht zur Bestimmung des Invaliditätsgrades (vgl. <ref-law>) vorgenommene Prozentvergleich ist unbestritten und von Amtes wegen nicht zu beanstanden, weshalb der vorinstanzlich festgestellte Anspruch auf eine halbe Invalidenrente nicht weiter zu prüfen ist. Den Beginn der auszurichtenden Invalidenrente hat die Vorinstanz mit nicht zu beanstandender Begründung auf den 1. Mai 2009 festgelegt.
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
6.
6.1. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der unterliegenden IV-Stelle aufzuerlegen (<ref-law>).
6.2. Die Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine dem Aufwand entsprechende Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Bei deren Festlegung ist zu berücksichtigen, dass sich der anwaltliche Rechtsvertreter in der Vernehmlassung darauf beschränkt, auf die nicht zu beanstandende Begründung im angefochtenen kantonalen Entscheid zu verweisen (vgl. SVR 2008 UV Nr. 12 S. 38, U 71/07 E. 7 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 200.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Februar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Grunder