Sachverhalt:
A. Das Bezirksgericht Zürich verurteilte X._ am 3. September 2009 wegen einfacher Körperverletzung, Sachbeschädigung sowie Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von sechs Monaten, abzüglich 1 Tag Polizeihaft. Das Gericht verpflichtete ihn ausserdem, dem Geschädigten A._ eine Genugtuung von Fr. 500.-- und eine Prozessentschädigung von Fr. 5'081.45 zu entrichten. Es verlängerte zudem die vierjährige Probezeit der mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland vom 23. März 2005 ausgesprochenen Gefängnisstrafe von drei Monaten um zwei Jahre und die fünfjährige Probezeit der vom Bezirksgericht Zürich am 4. September 2006 ausgefällten Gefängnisstrafe von 13 Monaten um zweieinhalb Jahre.
B. Gegen dieses Urteil erklärte X._ Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich, das am 4. März 2010 das vorinstanzliche Urteil bestätigte.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht. Er beantragt, die Dispositivziffern 1 alinea 2 (Schuldspruch wegen Sachbeschädigung gemäss <ref-law>), Ziff. 2 und 3 (Strafmass und Vollzug), Ziff. 7 erster Teilsatz (Kostenauflage) sowie Ziff. 9 erster Satz (Kostenauflage im Berufungsverfahren) seien aufzuheben. X._ verlangt ausserdem, dass er lediglich wegen geringfügiger Sachbeschädigung im Sinne von Art. 144 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> schuldig zu sprechen und mit maximal 720 Stunden gemeinnütziger Arbeit zu bestrafen sei. Er beantragt ferner die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
D. Die Vorinstanz sowie die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz geht von folgendem Sachverhalt aus:
Der Beschwerdeführer suchte am Nachmittag des 9. Dezember 2008 die Büroräumlichkeiten des Stadtammann- und Betreibungsamtes S._ in Zürich auf. Nach einer verbalen Auseinandersetzung mit dem Sachbearbeiter B._ über die Auszahlung von Bargeld und nach dessen Aufforderung, die Büroräumlichkeiten zu verlassen, griff er den Stadtammann A._ tätlich an. Er packte ihn zwei Mal mit einer Hand am Hals, würgte ihn und warf ihn zu Boden. A._ erlitt dadurch am Hals eine Kehlkopfkontusion, diverse Hautrötungen und -verfärbungen, eine Schwellung sowie an der rechten Hüfte Hautunterblutungen.
Am Abend des 9. Dezember 2008 biss der Beschwerdeführer auf der Regionalwache Industrie der Stadtpolizei Zürich in die Matratze seiner Arrestzelle und verursachte einen ca. 30 cm langen Riss in der Matratze.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe durch den Biss in die Matratze nur eine geringfügige Sachbeschädigung (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) begangen, da gemäss Anklageschrift lediglich ein Sachschaden von ca. Fr. 300.-- entstanden sei. Die Vorinstanz verletze Bundesrecht, indem sie ihn wegen Sachbeschädigung im Sinne von <ref-law> verurteile (Beschwerde, S. 4 f.).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe durch den Biss in die Matratze nur eine geringfügige Sachbeschädigung (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) begangen, da gemäss Anklageschrift lediglich ein Sachschaden von ca. Fr. 300.-- entstanden sei. Die Vorinstanz verletze Bundesrecht, indem sie ihn wegen Sachbeschädigung im Sinne von <ref-law> verurteile (Beschwerde, S. 4 f.).
2.2 2.2.1 Gemäss <ref-law> wird der Täter, auf Antrag, lediglich mit Busse bestraft, wenn sich die Tat nur auf einen geringen Vermögenswert oder auf einen geringen Schaden richtet. Die Grenze für den geringen Vermögenswert im Sinne von <ref-law> beträgt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Fr. 300.--. Die Anwendung von <ref-law> richtet sich nach den Vorstellungen des Täters, nicht nach dem eingetretenen Erfolg. Liegt die Deliktssumme unter dem Grenzwert von Fr. 300.--, scheidet <ref-law> aus, wenn der Vorsatz des Täters auf eine den Grenzwert übersteigende Summe gerichtet war (Urteil des Bundesgerichts 6B_316/2009 vom 21. Juli 2009 E. 3.3 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1a).
Nach den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz erreichte die Deliktssumme einen Wert von "ca. Fr. 300.--". Aus den vorinstanzlichen Erwägungen ist nicht ersichtlich, ob der Schaden die Grenze von Fr. 300.-- überschritten hat. Ebenfalls geht nicht hervor, ob der Vorsatz des Beschwerdeführers auf eine den Grenzwert übersteigende Summe gerichtet war.
2.2.2 Das vorinstanzliche Urteil wäre aus diesen Gründen aufzuheben und die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Allerdings würde die aufgrund des geltenden Verschlechterungsverbots vorinstanzlich bestätigte Strafe von sechs Monaten selbst dann nicht beeinflusst, wenn die Vorinstanz zum Schluss käme, der Beschwerdeführer sei wegen geringfügiger Sachbeschädigung (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) statt gewöhnlicher Sachbeschädigung zu verurteilen. Die Vorinstanz hätte diesfalls eine Busse auszufällen und die von ihr als an sich angemessen eingestufte Freiheitsstrafe von zwölf Monaten (angefochtenes Urteil, S. 22 ff.) leicht zu reduzieren. Aufgrund des Verschlechterungsverbots wäre sie jedoch weiterhin an die erstinstanzlich ausgefällte Freiheitsstrafe von sechs Monaten gebunden. Von einer Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils ist daher in diesem Punkt abzusehen.
3.1 3.1.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Strafzumessungsregeln gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>. Die von der Vorinstanz ausgefällte Freiheitsstrafe von sechs Monaten überschreite den Grenzwert der Strafart der gemeinnützigen Arbeit um lediglich einen Tag. Dies stehe mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht im Einklang, wonach sich der Richter bei einer Strafe, die im Bereich eines Grenzwertes liege, zu fragen habe, ob eine Sanktion, welche die Grenze nicht überschreitet, noch innerhalb des Ermessensspielraums liege.
3.1.2 Der Beschwerdeführer erachtet die subjektive Tatschwere insgesamt als gering. Er habe eine einfache Körperverletzung begangen, die sich nur geringfügig von einer Tätlichkeit unterscheide. Zudem seien seine Blutalkoholkonzentration bei Tatbegehung sowie das seit Monaten konfliktträchtige Verhältnis zwischen ihm und dem Geschädigten zu berücksichtigen. Seine Selbstkontrolle sei aufgrund der existenziellen Abhängigkeit, seiner damaligen psychischen Probleme sowie der Blutalkoholkonzentration erheblich beeinträchtigt gewesen (Beschwerde, S. 5 f.).
Seine Vorstrafen seien ausserdem nicht einschlägig, da er bis anhin nie gewalttätig in Erscheinung getreten sei. Er habe seine Fehler eingesehen. Sein Umgang mit dem Betreibungsamt habe sich seit der Tat wesentlich verbessert und vollständig normalisiert. Schliesslich sei seine berufliche, familiäre, finanzielle und gesundheitliche Situation zu würdigen. Eine unbedingte Freiheitsstrafe würde seine Bemühungen zur Normalisierung und seine berufliche Integration zunichte machen. Es sei daher von einer erhöhten Strafempfindlichkeit auszugehen. Eine Strafe von fünf Monaten und 29 Tagen liege insgesamt noch innerhalb des vorinstanzlichen Ermessensspielraums (Beschwerde, S. 6).
Seine Vorstrafen seien ausserdem nicht einschlägig, da er bis anhin nie gewalttätig in Erscheinung getreten sei. Er habe seine Fehler eingesehen. Sein Umgang mit dem Betreibungsamt habe sich seit der Tat wesentlich verbessert und vollständig normalisiert. Schliesslich sei seine berufliche, familiäre, finanzielle und gesundheitliche Situation zu würdigen. Eine unbedingte Freiheitsstrafe würde seine Bemühungen zur Normalisierung und seine berufliche Integration zunichte machen. Es sei daher von einer erhöhten Strafempfindlichkeit auszugehen. Eine Strafe von fünf Monaten und 29 Tagen liege insgesamt noch innerhalb des vorinstanzlichen Ermessensspielraums (Beschwerde, S. 6).
3.2 3.2.1 Die Vorinstanz geht von einem erheblichen objektiven Tatverschulden aus. Die körperlichen Schäden des Geschädigten seien zwar nicht allzu schwer einzustufen. Die Geringschätzung der körperlichen Integrität sowie die in Kauf genommene Gesundheitsgefährdung aus objektiv nichtigem Anlass stellten aber ein zumindest erhebliches Verschulden dar (angefochtenes Urteil, S. 19).
3.2.2 Zur subjektiven Tatschwere führt die Vorinstanz aus, dass der Beschwerdeführer mit direktem Vorsatz gehandelt habe. Hingegen sei zu seinen Gunsten anzunehmen, dass er die rechtliche Situation des ihm zustehenden Geldes nicht richtig eingeschätzt habe. Die erste Instanz habe ferner seine Blutalkoholkonzentration von 1,18-1,99 Gewichtspromille wohlwollend strafmildernd berücksichtigt. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung könne auch bei Annahme eines Maximalwertes von 1,99 Gewichtspromillen keine Beeinträchtigung seiner Schuldfähigkeit angenommen werden. Anhaltspunkte für eine aufgehobene Steuerungsfähigkeit lägen ebenfalls nicht vor. Die subjektive Tatschwere relativiere die objektive Tatschwere daher nur leicht (angefochtenes Urteil, S. 20 f.).
3.2.3 Aus der Biografie des Beschwerdeführers liessen sich keine strafzumessungsrelevanten Faktoren ableiten, während sich die Vorstrafen sowie das Delinquieren während laufender Probezeiten deutlich straferhöhend auswirkten. Von einem Geständnis, Einsicht oder Reue könne nicht die Rede sein. Ferner liege keine ausgeprägte Strafempfindlichkeit vor. Insgesamt resultiere aufgrund der Täterkomponente eine spürbare Straferhöhung.
Die Vorinstanz erachtet insgesamt eine Freiheitsstrafe von zwölf Monaten als angemessen, bestätigt aber aufgrund des geltenden Verschlechterungsverbots die erstinstanzliche Strafe von sechs Monaten (angefochtenes Urteil, S. 22 ff.).
3.3 Gemäss <ref-law> misst der Richter die Strafe nach dem Verschulden des Täters zu. Er berücksichtigt die Beweggründe, das Vorleben und die persönlichen Verhältnisse des Schuldigen. Es liegt im Ermessen des Sachrichters, in welchem Umfang er die verschiedenen Strafzumessungsfaktoren, worunter auch die Strafempfindlichkeit fällt, berücksichtigt. Die Strafrechtliche Abteilung des Bundesgerichts greift auf Beschwerde in Strafsachen hin nur in die Strafzumessung ein, wenn die Vorinstanz den gesetzlichen Strafrahmen über- oder unterschritten hat, wenn sie von rechtlich nicht massgebenden Kriterien ausgegangen ist oder wesentliche Gesichtspunkte ausser Acht gelassen beziehungsweise in Überschreitung oder Missbrauch ihres Ermessens falsch gewichtet hat (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
3.4 Indem der Beschwerdeführer seine Selbstkontrolle im Tatzeitpunkt aufgrund der existenziellen Abhängigkeit, seiner damaligen psychischen Probleme sowie der Blutalkoholkonzentration als erheblich beeinträchtigt bezeichnet, die begangene Körperverletzung mit einer Tätlichkeit vergleicht und auf das angeblich seit Monaten konfliktträchtige Verhältnis zwischen ihm und dem Geschädigten hinweist, wirft er Tatfragen auf und weicht dabei in unzulässiger Weise vom festgestellten Sachverhalt ab (<ref-law>). Darauf ist nicht einzutreten.
3.5 Der Beschwerdeführer weist auf seine nicht einschlägigen Vorstrafen hin. Allerdings sind keine Anhaltspunkte ersichtlich und werden vom Beschwerdeführer auch nicht geltend gemacht, inwiefern die Berücksichtigung und Würdigung dieser Vorstrafen die Strafzumessung der Vorinstanz unzulässig beeinflusst hätten.
3.6 Zu der vom Beschwerdeführer geltend gemachten Strafempfindlichkeit hat sich das Bundesgericht in seiner jüngeren Rechtsprechung in verschiedenen nicht publizierten Entscheiden geäussert (vgl. die Übersicht im Urteil 6B_470/2009 vom 23. November 2009 E. 2.5). Dabei hielt es fest, dass die Verbüssung einer Freiheitsstrafe für jeden in ein familiäres Umfeld eingebetteten Beschuldigten mit einer gewissen Härte verbunden ist. Als unmittelbare gesetzmässige Folge jeder Sanktion dürfe diese Konsequenz daher nur bei Vorliegen aussergewöhnlicher Umstände erheblich strafmindernd wirken. Solche aussergewöhnliche Umstände sind, wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, nicht erkennbar. Es ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz keine besondere Strafempfindlichkeit aufgrund der beruflichen Integration des Beschwerdeführers sowie seiner psychischen Probleme berücksichtigt.
Es ist insgesamt nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz die Strafzumessung nicht korrekt vorgenommen hätte. Verletzungen von <ref-law> und <ref-law> liegen nicht vor.
3.7 Das Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach der Grenzwert der Strafart der gemeinnützigen Arbeit um lediglich einen Tag überschritten werde und es daher im vorinstanzlichen Ermessen läge, eine Strafe von lediglich fünf Monaten und 29 Tagen auszusprechen, geht fehl. Führt die Strafzumessung unter Würdigung aller wesentlichen Umstände zu einer Freiheitsstrafe, die im Bereich eines Grenzwertes liegt, hat sich der Richter zu fragen, ob - zugunsten des Beschuldigten - eine Sanktion, welche die Grenze nicht überschreitet, noch innerhalb seines Ermessensspielraumes liegt. Bejaht er die Frage, hat er die Strafe in dieser Höhe festzulegen. Verneint er sie, ist es zulässig, auch eine nur unwesentlich über der Grenze liegende Freiheitsstrafe auszufällen. In jedem Fall hat der Richter diesen Entscheid im Urteil ausdrücklich zu begründen, andernfalls er seiner Begründungspflicht nach <ref-law> nicht nachkommt (<ref-ruling> E. 3). Die Vorinstanz hat ausführlich und zutreffend dargetan, weshalb für sie unter Berücksichtigung sämtlicher Strafzumessungskriterien eine Freiheitsstrafe von 12 Monaten angemessen erscheint. Die ausgefällte Freiheitsstrafe von sechs Monaten beruht ausdrücklich auf dem Umstand, dass die von der ersten Instanz zu tief angesetzten Strafe von sechs Monaten aufgrund des Verschlechterungsverbots nicht überschritten werden darf. Es liegt daher nur scheinbar eine Freiheitsstrafe im Bereich des Grenzwertes der gemeinnützigen Arbeit vor. Eine Senkung der Strafe unter sechs Monate liegt ausserhalb des vorinstanzlichen Ermessensspielraums. Weitere Ausführungen zu den Vorbringen des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit der Ausfällung gemeinnütziger Arbeit erübrigen sich daher.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Verweigerung des bedingten Strafvollzugs. Die Vorinstanz verstosse gegen <ref-law>, indem sie besonders günstige Umstände für einen Strafaufschub verneine. Er sei voll erwerbstätig und könne einen Arbeitsvertrag für eine unbefristete Stelle vorweisen. Er sei stetig daran, seine Schulden abzuzahlen, und komme seinen familiären Unterstützungspflichten nach. Seine finanziellen Perspektiven seien wieder intakt. Sein Arbeitgeber sei mit ihm sehr zufrieden, zudem gebe ihm der regelmässige Umgang mit Kindern psychischen Halt. Er konsumiere keinen Alkohol mehr. Diese Entwicklung und die gesamten Umstände liessen eine günstige Prognose zu. Bei seiner Tat habe es sich um einen einmaligen Ausrutscher gehandelt, zumal er bisher nie wegen Gewaltanwendung in Erscheinung getreten sei (Beschwerde, S. 8 f.).
4.2 Die Vorinstanz verneint besonders günstige Umstände beim Beschwerdeführer mit Verweis auf die erstinstanzlichen Ausführungen (angefochtenes Urteil, S. 25). Die Erstinstanz erwähnt, dass dem Beschwerdeführer keine solchen Umstände zugute gehalten werden könnten, da er sich ungeachtet der ihm bedingt gewährten Gefängnisstrafen nicht davon habe abhalten lassen, erneut zu delinquieren (erstinstanzliches Urteil, S. 24).
4.3 <ref-law> regelt gemäss seinem Randtitel die "bedingten Strafen". Das Gericht schiebt den Vollzug einer Geldstrafe, von gemeinnütziger Arbeit oder einer Freiheitsstrafe von mindestens sechs Monaten und höchstens zwei Jahren in der Regel auf, wenn eine unbedingte Strafe nicht notwendig erscheint, um den Täter von der Begehung weiterer Verbrechen oder Vergehen abzuhalten (<ref-law>). Wurde der Täter innerhalb der letzten fünf Jahre vor der Tat zu einer bedingten oder unbedingten Freiheitsstrafe von mindestens sechs Monaten oder zu einer Geldstrafe von mindestens 180 Tagessätzen verurteilt, so ist der Aufschub nur zulässig, wenn besonders günstige Umstände vorliegen (<ref-law>). Die Vorschrift von <ref-law> stellt klar, dass der Rückfall für sich genommen den bedingten Strafvollzug nicht auszuschliessen vermag (<ref-ruling> E. 4.2.3 mit Hinweisen).
4.4 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind unter besonders günstigen Umständen im Sinne von <ref-law> solche zu verstehen, die ausschliessen, dass die Vortat die Prognose verschlechtert. Demnach gilt die Vermutung einer günstigen Prognose bzw. des Fehlens einer ungünstigen Prognose nicht. Vielmehr kommt der früheren Verurteilung zunächst die Bedeutung eines Indizes für die Befürchtung zu, dass der Täter weitere Straftaten begehen könnte. Die Gewährung des bedingten Strafvollzuges kommt daher nur in Betracht, wenn eine Gesamtwürdigung aller massgebenden Faktoren den Schluss zulässt, dass trotz der Vortat eine begründete Aussicht auf Bewährung besteht.
4.5 Die Vorinstanz genügt ihren Begründungsanforderungen nicht, wenn sie lediglich auf die erstinstanzlichen Ausführungen verweist, die sich ihrerseits auf den Hinweis beschränken, der Beschwerdeführer habe sich trotz bedingt gewährter Gefängnisstrafen nicht von weiterer Delinquenz abhalten lassen. Gleichwohl ist von einer Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils abzusehen, da vorliegend besonders günstige Umstände zu verneinen sind.
4.5 Die Vorinstanz genügt ihren Begründungsanforderungen nicht, wenn sie lediglich auf die erstinstanzlichen Ausführungen verweist, die sich ihrerseits auf den Hinweis beschränken, der Beschwerdeführer habe sich trotz bedingt gewährter Gefängnisstrafen nicht von weiterer Delinquenz abhalten lassen. Gleichwohl ist von einer Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils abzusehen, da vorliegend besonders günstige Umstände zu verneinen sind.
4.6 4.6.1 Der Beschwerdeführer weist drei Vorstrafen auf und beging die vorliegend zu beurteilenden Straftaten während zweier laufender Probezeiten. So wurde er am 23. Mai 2005 wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand und Verletzung von Verkehrsregeln zu einer bedingten Gefängnisstrafe von drei Monaten verurteilt, bei einer Probezeit von vier Jahren, nachdem er am 8. Oktober 2002 bereits wegen mehrfacher Betäubungsmittelvergehen mit einer bedingten Gefängnisstrafe von drei Monaten (Probezeit drei Jahre) sanktioniert worden war. Die zweite laufende Probezeit betrifft die am 4. September 2006 wegen mehrfacher Veruntreuung, mehrfachen Betrugs, mehrfacher Urkundenfälschung und mehrfachen Fahrens trotz Führerausweisentzug ausgesprochene bedingte Gefängnisstrafe von 13 Monaten, bei einer Probezeit von fünf Jahren.
4.6.2 Die Vorinstanz hält im Rahmen der Prüfung der persönlichen Verhältnisse zudem fest, dass der Beschwerdeführer Schulden im Umfang von Fr. 100'000.-- (erstinstanzliches Urteil, S. 22) respektive Fr. 50'000.-- (gemäss eigenen Angaben im vorinstanzlichen Verfahren) aufweist und in psychiatrischer Behandlung steht (angefochtenes Urteil, S. 22). Er geht seit 1. Februar 2010 einer Festanstellung nach und kann seinen beiden Söhnen Unterhaltsbeiträge zahlen (angefochtenes Urteil, S. 21).
4.6.3 Gemäss erstinstanzlichem Urteil (S. 23) erscheint der Beschwerdeführer auf Grund seines gesamten Aussageverhaltens als uneinsichtig. Eine besonders positive Veränderung in den Lebensumständen des Beschwerdeführers besteht insgesamt nicht, weshalb keine begründete Aussicht auf Bewährung zu erwarten ist. Die Vorinstanz verletzt im Ergebnis <ref-law> nicht.
5. 5.1 Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten grundsätzlich dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Er stellt indessen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung, das gutzuheissen ist, da seine Bedürftigkeit ausgewiesen scheint und die Beschwerde nicht von vornherein aussichtslos war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
5.2 Der Beschwerdegegnerin bzw. dem Kanton Zürich sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>) und keine Entschädigung zuzusprechen (<ref-law>). Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist eine angemessene Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Dem Beschwerdeführer wird für das bundesgerichtliche Verfahren Bernhard Jüsi als unentgeltlicher Anwalt beigegeben.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dem Vertreter des Beschwerdeführers, Bernhard Jüsi, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Geschädigten und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Keller