Sachverhalt:
A.
In einem Zivilprozess zwischen Y._ (Kläger, Beschwerdegegner) und der X._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) beschloss das Bezirksgericht Meilen am 21. Mai 2013 was folgt:
"1. Die Einrede der örtlichen Unzuständigkeit der Beklagten wird abge- wiesen.
2. Der Antrag der Beklagten auf Sistierung des Verfahrens Nr. aaa._ bis zum Abschluss des bundesanwaltschaftlichen Untersuchungsverfahrens bbb._ wird abgewiesen.
3. Der Antrag der Beklagten auf Einholung einer aktuelle Anwaltsvoll- macht des klägerischen Rechtsvertreters sowie einer notariell be- glaubigten Wohnsitzbestätigung des Klägers wird abgewiesen.
4. Der Antrag der Beklagten auf Erhöhung des Kostenvorschusses für die mutmasslichen Gerichtskosten wird abgewiesen.
5. Der Antrag der Beklagten auf Neuansetzung einer Frist von 80 Tagen zur Erstattung der Klageantwort wird abgewiesen.
6. Der Antrag der Beklagten auf Nichteintreten "auf das Rechtsbegehren aufgrund Rechtsschutzinteresses des Beklagten" wird abgewiesen.
7. Auf den Antrag der Beklagten, dass dem hiesigen Gericht Einsicht in die bundesanwaltschaftlichen Strafuntersuchungsakten zu gewähren respektive das fragliche Aktienzertifikat C._ Ltd. von der Bundesanwaltschaft bis zum Abschluss der Untersuchung wieder zu den Akten zu legen und diesem Begehren aufschiebende Wirkung zu gewähren sei, wird nicht eingetreten.
8. Die Gerichtskosten für diesen Entscheid werden auf CHF 1'400.-- fest- gesetzt und der Beklagten auferlegt.
9. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
10. Schriftliche Mitteilung an die Parteien, an den Kläger gegen Emp- fangsschein, an die Beklagte als Gerichtsurkunde.
11. Dieser Entscheid ist rechtskräftig (<ref-law>). Eine Be- schwerde gegen diesen Entscheid kann innert 30 Tagen von der Zu- stellung an in je einem Exemplar für das Gericht und für jede Gegen- partei sowie unter Beilage dieses Entscheids beim Obergericht des Kantons Zürich, Zivilkammer, Postfach 2401, 8021 Zürich, erklärt werden, in den vom Gesetz vorgesehenen Fällen oder wenn ein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil droht. In der Beschwerdeschrift sind die Anträge zu stellen und zu begründen. Allfällige Urkunden sind mit zweifachem Verzeichnis beizulegen. "
B.
Gegen diesen, am 23. Mai 2013 in Empfang genommenen Beschluss erhob die Beklagte am 18. Juni 2011 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich mit den Anträgen:
"1. Es sei Ziff. 4 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und es sei der Kläger zu verpflichten, für die Parteientschädigung der Beklagten angemessen Sicherheit zu leisten.
2. Es sei Ziff. 5 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und es sei der Beklagten erneut Frist zur Einreichung der Klageantwort anzu- setzen.
3. Es sei der Beklagten erneut Frist zur Stellungnahme zu den Eingaben des Klägers vom 5. und 8. März 2013 (act. 26 und 27) anzusetzen.
4. Es sei der Kostenentscheid gemäss Ziff. 8 des angefochtenen Ent- scheids aufzuheben.
5. Eventualiter sei der Zirkulationsbeschluss des BG Meilen vom 21. Mai 2013 betreffend die angefochtenen Punkte aufzuheben und die Sache an das BG Meilen zur erneuten Beurteilung zurückzuweisen.
Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Klägers. "
Mit Urteil vom 11. Juli 2013 trat das Obergericht auf die Beschwerde gegen die Ziffern 4 (Sicherheitsleistung) und 5 (Fristansetzung für die Klageantwort) mangels Wahrung der Beschwerdefrist nicht ein. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts vom 11. Juli 2013 sei aufzuheben und der Kläger zu verpflichten, für die Parteientschädigung der Beklagten angemessen Sicherheit zu leisten (Ziff. 1.a). Der Beklagten sei Frist zur Einreichung der Klageantwort (Ziff. 1.b) und zur Stellungnahme zu den Eingaben des Klägers vom 5. und 8. März 2013 (Ziff. 1.c) anzusetzen und der Kostenentscheid der Vorinstanzen sei aufzuheben (Ziff. 1.d). Eventualiter ersucht sie um Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht (Ziff. 2).
Der Beschwerdegegner beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf überhaupt einzutreten ist. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Der von der Beschwerdeführerin angefochtene Beschluss des Bezirksgerichts vom 21. Mai 2013 erging im Rahmen eines Hauptverfahrens und schloss dieses nicht ab; er ist daher als Zwischenentscheid gemäss Bundesgerichtsgesetz zu qualifizieren. Das auf Abweisung bzw. Nichteintreten lautende Urteil des Obergerichts vom 11. Juli 2013 bildet als Rechtsmittelentscheid über diesen Zwischenentscheid seinerseits wiederum einen Zwischenentscheid. Der Rechtsweg von Zwischenentscheiden folgt grundsätzlich jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382 mit Hinweis). Nachdem die Streitwertgrenze offensichtlich erreicht wird, ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Dazu zählt auch die Verletzung verfassungsmässiger Rechte. Es ist daher unnötig, dass die Beschwerdeführerin zur Geltendmachung bestimmter Verstösse gegen verfassungsmässige Rechte auch subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhebt. Die entsprechenden Rügen können im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen geprüft werden. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen, ist die Beschwerde zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Vorliegend handelt es sich entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin offensichtlich nicht um einen Fall im Sinn der zweiten Hypothese. Selbst wenn der Beschwerdegegner nicht in der Lage sein sollte, die ihm nach Ansicht der Beschwerdeführerin aufzuerlegende Kaution zu bezahlen, und das Verfahren so in kurzer Zeit beendet werden könnte, würde ein Urteil des Bundesgerichts, das den Beschwerdegegner verpflichtet, für die Parteientschädigung der Beschwerdeführerin angemessen Sicherheit zu leisten, das Verfahren noch nicht zum Abschluss bringen. Zu prüfen ist, ob auf die Beschwerde gemäss <ref-law> eingetreten werden kann.
2.1.
2.1.1. Hinsichtlich des Gesuchs um Sicherheitsleistung begründet die Beschwerdeführerin den nicht wieder gutzumachenden Nachteil damit, dass sie im weiteren Verlauf des Verfahrens kein Kautionierungsgesuch für bereits entstandene Aufwendungen mehr stellen könne. Das Vorgehen betreffend Kautionierung bewirke sodann einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil, weil ihr das Recht abgesprochen werde, eine Klageantwort einzureichen. In ihrer als provisorisch bezeichneten Eingabe an das Bezirksgericht vom 29. Oktober 2012 habe sie sich im Wesentlichen auf die Bestreitung der Prozessvoraussetzungen beschränkt und lediglich vorsorglich die Abweisung der Klage beantragt. Indem die Vorinstanzen annähmen, mit dem Nicht-Benutzen der am 4. Februar 2013 abgelaufenen Frist habe sie ihr Recht auf Ergänzung der Klageantwort verwirkt, hätten sie ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Sie rügt überdies, indem die Vorinstanzen ihren Antrag auf Leistung einer Prozesskaution gar nicht erst behandelt haben, hätten sie gegen Art. 99 und Art. 56 ZPO, gegen das Vertrauensprinzip sowie gegen die verfassungsmässigen Verfahrensgarantien nach Art. 29, Art. 29a und Art. 30 BV verstossen.
2.1.2. Der Beschwerdegegner führt aus, nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung liege zwar ein nicht wieder gutzumachender Nachteil vor, wenn die Sicherstellung von Parteikosten verweigert wird. Vorliegend sei diese Rechtsprechung aber nicht anwendbar, denn die Beschwerdeführerin habe noch gar keinen Antrag auf Sicherstellung der Parteientschädigung gestellt; vielmehr habe sie mit ihrem Antrag vom 29. Oktober 2012 im erstinstanzlichen Verfahren nur Bezug genommen auf die bereits auferlegte Prozesskaution, welche aber ausdrücklich nur die Gerichtskosten betroffen habe. Entsprechend habe das Bezirksgericht Meilen in Dispositivziffer 4 lediglich eine Erhöhung des Kostenvorschusses für die mutmasslichen Gerichtskosten abgelehnt. Dabei sei es zufolge Nichteintreten des Obergerichts geblieben.
Hinsichtlich der Fristansetzung für die Klageantwort macht er geltend, das Bezirksgericht habe mit Verfügung vom 11. Januar 2013 unmissverständlich darauf hingewiesen, die Frist laufe am 4. Februar 2013 ab und sei nicht erstreckbar. Die Beschwerdeführerin habe für sich das Recht herausgenommen, einen Rechtsvertreter erst dann bestellen zu müssen, wenn das Gericht ihren Antrag auf Sicherstellung gutgeheissen habe und vorher an gerichtliche Fristen nicht gebunden zu sein. Einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil erleide sie auch deshalb nicht, weil sie in einem allfälligen zweiten Schriftenwechsel bzw. einem zweiten Parteivortrag anlässlich einer mündlichen Hauptverhandlung Gelegenheit erhalte, ihre tatsächlichen Vorbringen zu ergänzen.
2.1.3. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung bejaht einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil, wenn ein Antrag auf Sicherstellung von Parteikosten abgelehnt wird (Urteile des Bundesgerichts 4A_290/2013 vom 30. Juli 2013 E. 1; 4A_290/2008 vom 4. Mai 2009 E. 3.3). Es trifft aber zu, wie der Beschwerdegegner geltend macht, dass die kantonalen Gerichte materiell nicht über eine Sicherstellung für die Parteikosten entschieden haben. Das Bezirksgericht ging davon aus, die Beschwerdeführerin (Beklagte) habe lediglich ein Gesuch um Erhöhung der Sicherheitsleistung für die Gerichtskosten gestellt. Entsprechend hielt es in Ziffer 4 des Dispositivs fest: " Der Antrag der Beklagten auf Erhöhung des Kostenvorschusses für die mutmasslichen Gerichtskosten wird abgewiesen". Das Obergericht trat mangels Fristwahrung auf die Beschwerde nicht ein; es blieb also diesbezüglich beim erstinstanzlichen Entscheid.
Die Beschwerdeführerin hat glaubhaft dargelegt, in Wirklichkeit habe sie ein Gesuch um Sicherstellung der Parteientschädigung und nicht um Erhöhung der Kaution für die Gerichtskosten gestellt, und sie rügt ausdrücklich eine Verletzung von <ref-law>, indem die Vorinstanzen ihren Antrag nicht behandelt hätten (vgl. E. 2.1.1 a.E.). Damit rügt sie eine formelle Rechtsverweigerung. Eine solche liegt nach der Praxis des Bundesgerichts vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber befinden müsste (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9 mit Hinweis). Das Bundesgericht hat bereits unter dem OG erkannt und dies im Hinblick auf das Bundesgerichtsgesetz bzw. dessen Art. 93 Abs. 1 lit. a bestätigt, dass auf eine Beschwerde einzutreten ist, wenn der Beschwerdeführer eine Rechtsverweigerung oder Rechtsverzögerung geltend macht, auch wenn die kantonale Behörde nicht ausdrücklich abgelehnt hat, zu entscheiden. In diesem Fall ist es nicht notwendig, einen besonderen Nachteil rechtlicher Natur darzulegen (<ref-ruling> E. 2 S. 44 ff.; <ref-ruling> E. 6 S. 192).
Die verlangte erneute Fristansetzung für die Klageantwort hängt unmittelbar mit der geltend gemachten Nicht-Beurteilung des Kautionsgesuchs zusammen, wovon auch die Vorinstanz ausgeht (vgl. nachfolgend E. 3). Auf die Beschwerde gemäss Ziffer 1 lit. a und b ist demnach einzutreten.
2.2. In Bezug auf das Rechtsbegehren Ziffer 1.c (Fristansetzung zu den Stellungnahmen des Klägers vom 5. und 8. März 2013) fehlt es an einer rechtsgenüglichen Begründung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632; <ref-ruling> E. 4 S. 95). Die Beschwerdeführerin geht in ihren Ausführungen zum Eintreten mit keinem Wort auf diesen Punkt ein und materiell bringt sie einzig vor, die entsprechenden Sendungen seien nicht zugegangen. Auf die Beschwerde gemäss Rechtsbegehren Ziffer 1.c ist somit nicht einzutreten.
2.3. Den Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolgen beanstandet die Beschwerdeführerin nicht unabhängig vom Ausgang des Verfahrens im Hauptpunkt (vgl. demgegenüber <ref-ruling> E. 1 S. 331 f.; Urteil des Bundesgerichts 5A_780/2011 vom 23. Februar 2012 E. 2), sondern nur für den Fall, dass der Beschwerde in den Hauptpunkten Erfolg beschieden sein sollte. Da das Bundesgericht bei Gutheissung der Beschwerde die Kosten des vorangegangenen Verfahrens anders verteilen (<ref-law>) und den Entscheid der Vorinstanz über die Parteientschädigung je nach Ausgang des Verfahrens abändern (<ref-law>) kann, erweist sich auch das Rechtsbegehren Ziff. 1.d als zulässig.
3.
3.1. Die Vorinstanz ist auf die bei ihr eingereichte Beschwerde betreffend Sicherheitsleistung und Fristansetzung für die Klageantwort nicht eingetreten, da diesbezüglich die Beschwerdefrist nicht eingehalten worden sei. Für prozessleitende Verfügungen, zu denen u.a. die Ansetzung von Fristen oder das Einfordern von Kostenvorschüssen und Sicherheitsleistungen gehöre, betrage die Beschwerdefrist 10 Tage (<ref-law>). Für Zwischenentscheide gelte dagegen eine Frist von 30 Tagen (<ref-law>). Das Bezirksgericht habe im angefochtenen Beschluss eine 30-tägige Frist angegeben. Ihm sei dabei entgangen, dass einzig die (nicht angefochtene) Dispositivziffer 1 (Zuständigkeit) einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> dargestellt habe, nicht jedoch die Gegenstand der Beschwerde bildenden Dispositivziffern 4 und 5. Die 10-tägige Beschwerdefrist sei am 3. Juni 2013 abgelaufen, womit die am 18. Juni 2013 zur Post gebrachte Beschwerde verspätet sei. Die Beschwerdeführerin könne sich auch nicht darauf berufen, sie habe gutgläubig auf die falsche Rechtsmittelbelehrung des Bezirksgerichts vertrauen dürfen. Ihr hätte bewusst sein müssen, dass die Beschwerdefrist lediglich zehn Tage betrage, habe sie doch im Verfahren vor Bezirksgericht bereits einmal innert Frist eine Verfügung betreffend die Fristansetzung zur Leistung eines Kostenvorschusses angefochten. In der damals angefochtenen Verfügung habe das Bezirksgericht zu Recht die Beschwerdefrist von 10 Tagen angegeben.
3.2. Die Vorinstanz ging zu Recht davon aus, auf die Beschwerde gegen die Ziffern 4 und 5 des bezirksgerichtlichen Beschlusses sei die 10-tägige Beschwerdefrist gemäss <ref-law> anwendbar. Da vorliegend die besondere Situation besteht, dass sich die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Rechtsverweigerung aus einem formellen Entscheid des Bezirksgerichts ergibt (vgl. E. 2.1.3 hiervor), also anders als üblicherweise bei Rechtsverweigerung (durch Nicht-Handeln) ein Beschwerdeobjekt gegeben ist, wurde die Frist durch Zustellung des Beschlusses ausgelöst (<ref-ruling> E. 2.1 S. 706 mit Hinweisen). Es ist unbestritten, dass diese Frist nicht eingehalten wurde. Zu prüfen bleibt, ob die Beschwerdeführerin sich nach Treu und Glauben auf die falsche Rechtsmittelbelehrung des Bezirksgerichts verlassen durfte, wie sie geltend macht.
3.3. Aus dem Prinzip von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV) leitet die Rechtsprechung ein Recht auf Vertrauensschutz ab. Daraus ergibt sich, dass den Parteien aus einer unrichtigen Rechtsmittelbelehrung grundsätzlich keine Nachteile erwachsen dürfen. Den erwähnten Schutz kann eine Prozesspartei nur dann beanspruchen, wenn sie sich nach Treu und Glauben auf die fehlerhafte Rechtsmittelbelehrung verlassen durfte. Dies trifft auf die Partei nicht zu, welche die Unrichtigkeit erkannte oder bei gebührender Aufmerksamkeit hätte erkennen müssen. Allerdings vermag nur eine grobe prozessuale Unsorgfalt der betroffenen Partei oder ihres Anwalts eine unrichtige Rechtsmittelbelehrung aufzuwiegen (<ref-ruling> E. 8.3 S. 53 f.; <ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 376 f. mit Hinweisen). Wann der Prozesspartei eine als grob zu wertende Unsorgfalt vorzuwerfen ist, beurteilt sich nach den konkreten Umständen und nach ihren Rechtskenntnissen, wobei bei Anwälten naturgemäss ein strengerer Massstab anzulegen ist. Von ihnen wird jedenfalls eine "Grobkontrolle" der Rechtsmittelbelehrung durch Konsultierung der anwendbaren Verfahrensbestimmungen erwartet (<ref-ruling> E. 8.3.2 S. 53 f. mit Hinweisen). Dagegen wird nicht verlangt, dass neben den Gesetzestexten auch noch die einschlägige Rechtsprechung oder Literatur nachgeschlagen wird (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 203 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin ist nicht anwaltlich vertreten. Auch wenn sie juristisches Vokabular benutzt, können ihr nicht einfach Kenntnisse wie die eines Rechtsanwalts zugerechnet werden. Der Gesetzeswortlaut ist auch nicht selbsterklärend. Anfechtungsobjekt der Beschwerde sind u.a. Zwischenentscheide (<ref-law>) sowie "andere erstinstanzliche Entscheide" und "prozessleitende Verfügungen" (<ref-law>). Bereits die Abgrenzung zu Zwischenentscheiden dürfte für den Laien nicht klar sein. Die Abgrenzung zwischen "prozessleitenden" und "anderen" Entscheiden ist massgeblich für die Rechtsmittelfrist gemäss <ref-law>, wobei letztere Bestimmung in der Lehre als "Stolperfalle" (Ivo W. Hungerbühler, in: Schweizerische Zivilprozessordnung, Brunner und Andere [Hrsg.], 2011, N. 9 zu <ref-law>) bezeichnet wird. Auch <ref-law> hilft nur bedingt, die prozessleitenden Verfügungen abzugrenzen, da in der französischen Version in <ref-law> von "décisions d'instruction" die Rede ist, während <ref-law> von "ordonnances d'instruction" spricht, so dass in der Lehre hinsichtlich der Abgrenzung von einer "confusion" die Rede ist (Nicolas Jeandin, in: Code de procédure civile commenté, Bohnet und Andere [Hrsg.], 2011, N. 13 zu <ref-law> i.V.m. N. 10 zu <ref-law>). Überdies lassen sich aus <ref-law> nur weitere Anhaltspunkte gewinnen, wenn die entsprechenden Kommentierungen beigezogen werden, wozu die Beschwerdeführerin nicht verpflichtet war. Für die Vorinstanz war, wie dargelegt, massgeblich, dass bereits die präsidiale Kautionsverfügung vom 25. September 2012 eine 10-tägige Rechtsmittelfrist enthalten hatte. Auch wenn es sowohl bei jener Verfügung wie bei der hier angefochtenen um Kaution ging, musste die Beschwerdeführerin angesichts der unterschiedlichen äusseren Form des Entscheids - vorerst präsidial und dann kollegial - nicht ableiten, dass das Bezirksgericht bei der Rechtsmittelbelehrung hätte zwischen den einzelnen Dispositivziffern unterscheiden müssen. Von einer groben prozessualen Unsorgfalt kann nicht die Rede sein. Die Vorinstanz ist somit zu Unrecht nicht auf die Beschwerde eingetreten.
4.
4.1. Für den Fall, dass trotzdem auf die Beschwerde hätte eingetreten werden müssen, begründet die Vorinstanz schliesslich, weshalb der Beschwerde gegen die Dispositivziffern 4 und 5 ohnehin kein Erfolg beschieden wäre, ein Anspruch auf Sicherheitsleistung für eine Parteientschädigung somit abzuweisen wäre. Die Beklagte begründe die Erhöhung der Kaution in ihrer Eingabe vom 29. Oktober 2012 ausschliesslich mit der Notwendigkeit anwaltlicher Vertretung. Solange sie aber den Beizug eines Rechtsvertreters lediglich in Aussicht stelle, sei keine Gefährdung der Parteientschädigung und kein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil (<ref-law>) auszumachen. Sodann seien die Vorbringen in der Beschwerdeschrift betreffend Umtriebsentschädigung neu und daher gemäss <ref-law> nicht zu hören. Auch unter diesem Aspekt bestehe kein Anspruch auf Sicherstellung von Parteikosten. Damit sei aber auch dem Antrag auf Neuansetzung der Frist zur Erstattung der Klageantwort der Boden entzogen.
4.2. Die nicht durch einen Anwalt vertretene Partei hat - mangels eines besonderen Aufwandes - keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>; Urteil des Bundesgerichts 5D_229/2011 vom 16. April 2012 E. 3.3; vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 446; Urteile 4A_109/2013 vom 27. August 2013 E. 5; 4A_585/2010 vom 2. Februar 2011 E. 5.2 mit Hinweisen). Besteht aber kein Anspruch auf eine Parteientschädigung, weil noch kein Anwalt bestellt wurde, besteht auch kein Anspruch auf Kautionierung einer Parteientschädigung. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern diese zutreffende Auffassung der Vorinstanz Rechtsnormen verletzen sollte.
Dass einer nicht anwaltlich vertretenen Partei ersatzfähige Kosten für Umtriebe erwachsen, ist ungewöhnlich und bedarf einer besonderen Begründung (<ref-law>; zit. Urteil 5D_229/2011 E. 3.3). Die Beschwerdeführerin rügt, entgegen dem Obergericht seien ihre Vorbringen im vorinstanzlichen Verfahren betreffend besonderen Aufwand und Umtriebe nicht neu gewesen. Sie habe bereits in ihren Eingaben vom 29. Oktober 2012 und 17. Januar 2013 vor Bezirksgericht geltend gemacht, beim eingeleiteten Verfahren handle es sich um ein besonders komplexes und zeitaufwendiges. Der Hinweis auf ein komplexes und zeitaufwendiges Verfahren beinhaltet aber nicht gleichzeitig die Behauptung, es seien besondere Umtriebe und daher ersatzfähige Kosten entstanden. Die Beschwerdeführerin vermag somit nicht darzutun, dass sie rechtzeitig entsprechend substanziierte Vorbringen gemacht hätte.
Die Vorinstanz lehnte somit zu Recht einen Anspruch auf Sicherheitsleistung für eine Parteientschädigung ab. Entsprechend ging sie zutreffenderweise davon aus, dass auch dem Antrag auf Neuansetzung der Frist für die Klageantwort der Boden entzogen sei.
5.
Vor Vorinstanz hatte die Beschwerdeführerin noch beantragt, die Verteilung der Prozesskosten sei bis zum Entscheid in der Sache aufzuschieben. Vor Bundesgericht macht sie jedoch nur noch geltend, sie hätte keine unnötigen Kosten verursacht und da die Beschwerde gutzuheissen sei, seien die Kostenentscheide der Vorinstanzen aufzuheben. Nachdem nun die Beschwerden abgewiesen werden, soweit darauf eingetreten werden kann, bleibt es bei den gefällten Kostensprüchen.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend, wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak