Sachverhalt:
A. B._ bezog eine ganze Invalidenrente. Im Rahmen eines Revisionsverfahrens führt sie eine rechtliche Auseinandersetzung mit der IV-Stelle des Kantons Luzern um die Anordnung eines Gutachtens bei einer Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS). Am 1. Juni 2012 liess B._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Rechtsverweigerungsbeschwerde führen. Sie verlangte unter anderem, die Verwaltung sei anzuhalten, nach den Vorgaben von <ref-ruling> eine Zwischenverfügung betreffend die konkret in Aussicht genommenen Gutachter zu erlassen. Am 25. Juni 2012 stellte die IV-Stelle die laufenden Rentenzahlungen ein; mit ihrer Weigerung, sich der angeordneten Begutachtung zu unterziehen, verletze die Versicherte ihre Mitwirkungspflicht. Hiergegen führte B._ Beschwerde beim kantonalen Gericht mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr die ganze Rente weiterhin auszurichten. Ausserdem verlangte sie, die in der Verfügung vom 25. Juni 2012 entzogene aufschiebende Wirkung sei wiederherzustellen.
B. Der präsidierende vorinstanzliche Richter wies den Antrag auf Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab (Verfügung vom 20. Juli 2012).
C. Hiergegen führt B._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben, im Sinne einer vorsorglichen Massnahme die mit Verwaltungsverfügung vom 25. Juni 2012 entzogene aufschiebende Wirkung der Beschwerde wiederherzustellen und die IV-Stelle anzuweisen, ihr die ganze Rente vorerst bis zum Vorliegen des Abklärungsergebnisses durch eine unter Beachtung rechtsstaatlicher Prinzipien eingesetzte Gutachterstelle auszurichten. Für dieses Beschwerdeverfahren sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsverbeiständung) zu gewähren.
Zur Begründung macht B._ unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 2b S. 191 geltend, die IV-Stelle weigere sich, ihr die in <ref-ruling> formulierten Mitwirkungsrechte bei der Gutachterbestellung einzuräumen. Angesichts somit guter Prozessaussichten müsse die durch die sofortige Renteneinstellung verursachte finanzielle Notlage abgewendet werden.

Erwägungen:
1. Verfügungen über die aufschiebende Wirkung sind Zwischenverfügungen, gegen welche die Beschwerde an das Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> zulässig ist. Die Frage, ob im vorliegenden Fall ein nicht wieder gutzumachender Nachteil (<ref-law>) gegeben sei, kann indes offen bleiben: Verfügungen über die aufschiebende Wirkung stellen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> dar; mit der dagegen erhobenen Beschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Andernfalls wird auf die Beschwerde nicht eingetreten (SVR 2007 IV Nr. 43 S. 143, 9C_191/2007).
2. In der Beschwerde wird nicht dargelegt, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt. Aus diesem Grund ist auf das Rechtsmittel im vereinfachten Verfahren ohne Schriftenwechsel nicht einzutreten (<ref-law>).
3. Mit diesem Entscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde im letztinstanzlichen Verfahren gegenstandslos.
4. Mit Blick auf die Gründe, die zum Nichteintreten in diesem Zwischenverfahren führen, hat die Beschwerdeführerin infolge Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels keinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law>. Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird umständehalber verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. September 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub