Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
2. Un délai sera fixé à la recourante, sur formule ad hoc, pour effectuer une avance de frais de 6'000 fr.
3. La présente décision est communiquée aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 8 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Godat Zimmermann