Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen den Beschluss vom 31. Mai 2012 des Obergerichts des Kantons Zürich, das den unentgeltlichen Rechtsbeistand der Beschwerdeführerin (Rechtsanwalt lic. iur. A._) für das erst- und zweitinstanzliche kantonale Verfahren (Ehescheidung) mit insgesamt Fr. 41'085.20 aus der Gerichtskasse entschädigt, jedoch die Nachzahlungspflicht der Beschwerdeführerin gemäss <ref-law>/ZH vorbehalten hat,
in das sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren,

in Erwägung,
dass das Obergericht erwog, die Beschwerdeführerin habe auf Grund ihrer Persönlichkeit einen besonderen Aufwand verursacht, angesichts der Schwierigkeiten sei für das erstinstanzliche Verfahren eine zu verdoppelnde Grundgebühr von Fr. 13'000.-- anzusetzen (§ 3 Abs. 5 und § 6 AnwGebVO), für das Berufungsverfahren sei von einer reduzierten, jedoch um einen Zuschlag von 60% zu erhöhenden Grundgebühr von Fr. 6'500.-- auszugehen (§ 12 Abs. 1 AnwGebVO), was zusammen mit den Barauslagen/Spesen sowie der Mehrwertsteuer den erwähnten Gesamtbetrag ergebe,
dass die Beschwerde nach <ref-law> zum Vornherein unzulässig ist, soweit die Beschwerdeführerin die Bevormundung ihres geschiedenen Ehemannes beantragt, weil dieses Begehren weder Gegenstand des obergerichtlichen Verfahrens bildete noch Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens sein kann,
dass sodann die Beschwerde nach <ref-law> nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (<ref-law>), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.),
dass die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass sie erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand dieser Erwägungen aufzeigt, inwiefern der Beschluss des Obergerichts vom 31. Mai 2012 rechts- oder verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich unzulässige bzw. keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht einzutreten ist,
dass der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Abteilungsmitglied zuständig ist,

erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Obergericht des Kantons Zürich und Rechtsanwalt lic. iur. A._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juni 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Füllemann