Sachverhalt:
A. Die 1962 geborene S._ ersuchte im Mai 2003 die Invalidenversicherung um medizinische Eingliederungsmassnahmen und eine Rente. Nach Abklärungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit (u.a. Gutachten Dr. med. H._, Spezialarzt für orthopädische Chirurgie FMH, vom 19. September 2004) sowie zur Einschränkung im Haushalt (Bericht vom 5. April 2005) verneinte die IV-Stelle Bern mit Verfügung vom 12. April 2005 einen Rentenanspruch. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. Juli 2005 fest.
B. Die Beschwerde der S._ wies die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern mit Entscheid vom 17. November 2005 ab.
C. S._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit den Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben und es sei ihr ab 1. Mai 2003 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. In einer separaten Eingabe wird um Erteilung der unentgeltlichen Prozessführung ersucht.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Im angefochtenen Entscheid werden die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung des streitigen Anspruchs auf eine Rente der Invalidenversicherung zutreffend dargelegt. Zu erwähnen sind insbesondere die Grundsätze zur Invaliditätsbemessung nach der gemischten Methode (vgl. <ref-ruling> ff. Erw. 2a-c sowie <ref-ruling> und Urteil E. vom 13. Dezember 2005 [I 156/04]). Darauf wird verwiesen.
1.2 Der angefochtene Entscheid betrifft Leistungen der Invalidenversicherung. Nach Art. 132 Abs. 1 OG in der Fassung gemäss Ziff. III des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Änderung des IVG (in Kraft seit 1. Juli 2006) kann das Eidgenössische Versicherungsgericht in Verfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen in Abweichung von den Art. 104 und 105 OG auch die Unangemessenheit der angefochtenen Verfügung beurteilen und ist an die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts nicht gebunden. Gemäss Art. 132 Abs. 2 OG gelten diese Abweichungen jedoch nicht, wenn der angefochtene Entscheid Leistungen der Invalidenversicherung betrifft. Nach Ziff. II lit. c des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 gilt indessen bisheriges Recht für die im Zeitpunkt des In-Kraft-Tretens der Änderung beim Eidgenössischen Versicherungsgericht hängigen Beschwerden. Da die hier zu beurteilende Beschwerde am 1. Juli 2006 beim Eidgenössischen Versicherungsgericht hängig war, richtet sich dessen Kognition noch nach Art. 132 Abs. 1 OG.
2. Das kantonale Gericht hat einen Invaliditätsgrad von 19 % (recte: 20 % [= 0,4 x 21 % + 0,6 x 19 %]; zum Runden <ref-ruling>) ermittelt, was keinen Rentenanspruch ergibt (Art. 28 Abs. 1 IVG). Dabei entspricht 0,4 (40 %/100 %) dem zeitlichen Umfang, in welchem die Versicherte ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre. 8 % beträgt die Einschränkung im erwerblichen Bereich und 19 % die Behinderung im Haushalt.
3. Gegen die vorinstanzliche Invaliditätsbemessung wird in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vorgebracht, die Versicherte hätte schon anlässlich der Haushaltbefragung vom 29. März 2005 eine 100%ige Erwerbstätigkeit ausserhalb ihres Hauses angestrebt, falls dies ihre körperliche Verfassung zugelassen hätte. Im Weitern sei das Gutachten des Dr. med. H._ vom 19. September 2004, auf dessen Einschätzung der Arbeitsfähigkeit das kantonale Gericht abgestellt habe, nicht überzeugend und schlüssig. Entgegen Vorinstanz und Experten bestehe aufgrund der körperlichen Beeinträchtigungen nicht einmal theoretisch eine zumutbare Verweisungstätigkeit. Schliesslich könne auch der vom kantonalen Gericht aus dem Abklärungsbericht Haushalt vom 5. April 2005 übernommene Invaliditätsgrad von 19 % nicht richtig sein. Die Annahmen und Berechnungen der Abklärungsperson seien völlig realitätsfremd und widersprächen grösstenteils dem Gutachten des Dr. med. H._.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin leidet u.a. an einer spastischen Paraparese der unteren Extremitäten als Folge einer cerebralen peri- oder postnatalen Blutung (Gutachten vom 19. September 2004). Sie ist gelernte Coiffeuse. Gemäss Auszug aus dem individuellen Konto vom 17. Juni 2003 rechnete sie seit Juli 1987 bis Dezember 1999 als Selbstständigerwerbende ab. Weiter findet sich in den Akten die Kopie einer Rechnung der Ausgleichskasse des Kantons Bern über persönliche Beiträge für die Monate April bis Juni 2003 sowie der Quittungsbeleg für deren Bezahlung. Seit 1. Januar 2002 lebt die Versicherte zusammen mit ihren beiden am 25. Mai 1993 und 24. Mai 1999 geborenen Töchtern getrennt von ihrem Ehemann in einer 4 1/2-Zimmer-Wohnung. Dort arbeitet sie auch als selbstständige Coiffeuse. Ab Februar 2003 stand die Beschwerdeführerin in physiotherapeutischer Behandlung als Folge eines Sturzes auf das Eis mit Bluterguss am Trochanter major links (Anamnese im Gutachten Dr. med. H._ vom 19. September 2004). Im Mai 2003 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Seit August 2004 arbeitete die Versicherte als angestellte Coiffeuse bei einem Pensum von 20 % (Abklärungsbericht Haushalt vom 5. April 2005).
Aufgrund dieser Tatsachen ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des frühest möglichen Leistungsbeginns am 1. Mai 2002 (Art. 48 Abs. 2 IVG) ohne gesundheitliche Beeinträchtigung den Haushalt besorgt hätte und daneben als selbstständige Coiffeuse in der eigenen Wohnung im «Coiffeurstübli» gearbeitet hätte, und zwar nicht nur hobbymässig, sondern in Erwerbsabsicht (<ref-ruling> Erw. 9b). In welchem zeitlichen Umfang sie diese Erwerbstätigkeit ausübte resp. ausgeübt hätte, ist unklar. Gegenüber der Abklärungsperson Haushalt gab sie 20 % an, welches Pensum sie (ohne Behinderung) nicht ausgeweitet hätte (Bericht vom 5. April 2004). In der Einsprache vom 11. Mai 2005 wurde ausgeführt, das Privathaus sei nicht so eingerichtet, dass der Coiffeurbetrieb ausgeweitet werden könnte. Dr. med. H._ schloss aufgrund der Angaben der Versicherten auf ein Arbeitspensum als selbstständige Coiffeuse von «whs. 30-50 %» (Gutachten vom 19. September 2004). Für ein höheres Arbeitspensum als 20 % sprachen auch die finanziellen Verhältnisse. Gemäss Trennungsvereinbarung hatte der Ehemann ab August 2002 für sie und die beiden Kinder insgesamt Fr. 2500.- im Monat zu bezahlen. Wie es ich damit verhält, kann indessen offen bleiben.
4.2 Übt die versicherte Person nach Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung dieselbe Tätigkeit in zeitlich reduziertem Umfang aus wie vorher, kann für die Invaliditätsbemessung auf die effektiv geleistete Arbeitszeit abgestellt werden, wenn kumulativ ein besonders stabiles Arbeitsverhältnis gegeben ist, die verbliebene Arbeitsfähigkeit in zumutbarer Weise voll ausgeschöpft wird und das Einkommen der Arbeitsleistung entspricht, also keine Soziallohnkomponente enthält (Urteil L. vom 20. November 2002 [I 622/00] Erw. 3.3.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> Erw. 3b/aa). Diese Grundsätze sind auch vorliegend sinngemäss anwendbar. Nach Lage der Akten gab die Beschwerdeführerin die Tätigkeit als selbstständige Coiffeuse in der eigenen Wohnung nach dem Sturz im Winter 2002/03, in dessen Folge sie sich im Mai 2003 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug anmeldete, nicht auf. Gemäss Dr. med. H._ ist diese Arbeit «unter optimaler Organisation wie bisher, insbesondere mit Möglichkeiten längerer Pausen, (...) noch für 3 Std. pro Tag zumutbar». Die Versicherte ihrerseits hatte dem Experten gegenüber angegeben, sie arbeite nur auf vorherige telefonische Anmeldung. Sodann sei die günstigste Position Stehen und Gehen, Gehen bis maximal drei Stunden, Stehen ebenfalls, Sitzen eineinhalb Stunden. Sie könne maximal zwei Stunden an einem Stück arbeiten. Danach benötige sie dringend eine längere Pause. Sie müsse absitzen und die Beine hochlagern können. Diese Angaben stützen die Einschätzung des Dr. med. H._. Darauf kann somit entgegen den Vorbringen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgestellt werden, ohne dass zu prüfen wäre, welche anderen, den körperlichen Beeinträchtigungen angepassten Tätigkeiten und in welchem Umfang zumutbar (gewesen) wären. Wird zu Gunsten der Beschwerdeführerin davon ausgegangen, sie hätte seit der Geburt ihrer zweiten Tochter im Mai 1999 ohne gesundheitliche Beeinträchtigung zu 50 % als selbstständige Coiffeuse in der eigenen Wohnung gearbeitet, ergäbe sich bei einem Arbeitspensum von 42 Wochenstunden eine Invalidität im erwerblichen Bereich von 29 % ([21-15]h/ 21h x 100 %). Somit wäre eine Einschränkung im Haushalt von über 49 % erforderlich, um auf eine anspruchsbegründende Gesamtinvalidität von mindestens 40 % zu kommen. Dieser Wert wird nun aber unter Berücksichtigung der Wohnverhältnisse und der Grösse des Haushalts sowie aufgrund der Tatsache, dass gemäss dem Abklärungsbericht vom 5. April 2005 in erster Linie der gesundheitlich bedingt vermehrte Zeitaufwand limitierend ist, klar nicht erreicht. Im Übrigen äusserte sich die Beschwerdeführerin Dr. med. H._ gegenüber in dem Sinne, sie versorge den Haushalt und die Kinder. Wegen ihrer Behinderung könne sie zwar gewisse Sachen nur in reduziertem Tempo bewältigen, grundsätzlich aber alles machen.
4.3 Für die Zeit ab August 2004 ist zu berücksichtigen, dass die Beschwerdeführerin ab diesem Zeitpunkt zusätzlich als angestellte Coiffeuse in einem Coiffeursalon im Umfang von 20 % arbeitete. Dass die Leistung dabei eingeschränkt war, ist nicht anzunehmen und wird auch nicht geltend gemacht. Ebenfalls wird nicht vorgebracht, diese Tätigkeit habe sich zeitlich oder leistungsmässig limitierend auf die Arbeit als selbstständige Coiffeuse zu Hause ausgewirkt. Zum Arbeitspensum von 20 % gab die Versicherte der Abklärungsperson Haushalt gegenüber an, sie könnte höchstens an den beiden Halbtagen, da ihre jüngere Tochter in der Spielgruppe sei, ausserhäuslich tätig sein. In der schulfreien Zeit möchte sie ihre Kinder selber betreuen (Bericht vom 5. April 2005). Das Arbeitspensum von 20 % als angestellte Coiffeuse beträgt somit nicht gesundheitlich bedingt lediglich 20 %. Es bestehen keine Hinweise in den Akten und es wird auch nicht geltend gemacht, dass sich an der erwerblichen Situation seit August 2004 bis zum Einspracheentscheid vom 28. Juli 2005 etwas geändert hätte. Für diesen Zeitraum sind somit der Invaliditätsgrad im erwerblichen Bereich für die selbstständige und die unselbstständige Tätigkeit als Coiffeuse getrennt zu ermitteln, die so erhaltenen Werte zu gewichten und daraus gesamthaft die erwerbsbezogene Invalidität zu bestimmen (Urteil L. vom 20. November 2002 [I 622/00] Erw. 3.3.2). Dies ergibt einen Invaliditätsgrad von 20,7 % (0,2/0,7 x 0 % + 0,5/0,7 x 29 %). Für eine anspruchsbegründende Invalidität von mindestens 40 % wäre somit eine Einschränkung im Haushalt von über 75 % erforderlich. Dieser Wert wird aber klar nicht erreicht, selbst wenn eine verminderte Leistungsfähigkeit im Haushalt als Folge der ausserhäuslichen erwerblichen Tätigkeit bejaht wird (Urteil E. vom 13. Dezember 2005 [I 156/04] Erw. 6).
Der angefochtene Entscheid ist somit im Ergebnis rechtens.
5. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG) und demzufolge das Gesuch um Befreiung von den Gerichtskosten gegenstandslos. Die unentgeltliche Verbeiständung kann - im Rahmen des anwaltlichen Vertretungsaufwandes (Art. 159 in Verbindung mit Art. 135 OG, Art. 2 Abs. 1 des Tarifs über die Entschädigungen an die Gegenpartei für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht und Art. 160 OG) - bewilligt werden. Die Voraussetzungen nach Gesetz (Art. 152 OG) und Rechtsprechung (<ref-ruling> Erw. 4a) hiefür sind erfüllt. Die Beschwerdeführerin wird indessen ausdrücklich darauf hingewiesen, dass sie gemäss Art. 152 Abs. 3 OG der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie dazu später im Stande ist.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Fürsprecher Martin Dreifuss, Thun, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse der Betrag von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 25. Juli 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der II. Kammer:Der Gerichtsschreiber:
i.V.