Sachverhalt:
A. Der 1960 geborene P._ reichte am 30. Mai 2002 bei der Winterthur Leben (nunmehr: Axa Leben AG) den Antrag auf Abschluss einer gebundenen Vorsorgeversicherung ein. In der Police vom 4. Juni 2002 verbriefte die Winterthur Leben unter anderem eine Erwerbsunfähigkeitsversicherung. Im Zusammenhang mit einer seit Mai 2004 bestehenden Arbeitsunfähigkeit lehnte es der Versicherer mit Schreiben vom 14. Januar 2005 ab, Leistungen zu erbringen, und trat vom Vertrag zurück. Zur Begründung führte er aus, P._ habe im Antrag vom 30. Mai 2002 (Fragen zum Gesundheitszustand) verschwiegen, dass er an einem erworbenen Hohlfuss (pes cavus, adductus et excavatus) leide; die "Gesundheitsfragen 9 und 14 auf dem Personenblatt" seien unzutreffend beantwortet worden (Schreiben vom 14. Januar und 7. April 2005).
B. P._ liess beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt Klage führen mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verurteilen, ihm den Betrag von Fr. 16'000.- samt Zins zu 5 % seit dem 14. Oktober 2004 zu bezahlen. Das kantonale Gericht wies die Klage ab und sprach der Rechtsvertreterin unter dem Titel der unentgeltlichen Verbeiständung ein Honorar von Fr. 2200.- (einschliesslich Auslagen) zuzüglich Fr. 167.20 Mehrwertsteuer aus der Gerichtskasse zu (Entscheid vom 3. August 2008).
C.a C.a.a P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, die Beschwerdegegnerin 1 sei - unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids - zu verpflichten, die mit gebundener Vorsorgepolice vereinbarten Leistungen zu erbringen, das heisst ihm die Versicherungssumme von Fr. 82'531.- und die jährliche Erwerbsunfähigkeitsrente von Fr. 12'000.- nach einer Wartefrist von drei Monaten seit Eintritt der definitiven Arbeitsunfähigkeit am 3. Mai 2004 bis zum 31. Mai 2020 (bis dato somit Fr. 49'000.-) zu bezahlen sowie ihm Prämienfreiheit nach einer Wartefrist von ebenfalls drei Monaten seit Eintritt der definitiven Arbeitsunfähigkeit am 3. Mai 2004 bis zum 31. Mai 2025 zu gewähren. Sämtliche der rückwirkend zu erbringenden Geldleistungen seien mit 5 % seit Eintritt der Fälligkeit zu verzinsen. Ausserdem beantragt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
C.a.b Die Rechtsvertreterin von P._, Advokatin Sandra Sutter-Jeker, führt zugleich Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es sei ihr für das Verfahren vor dem kantonalen Gericht ein Honorar von Fr. 4868.85 (einschliesslich Auslagen und Mehrwertsteuer) zuzusprechen.
C.b Die Axa Leben AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Die Beschwerdeschrift umfasst zwei verschiedene Rechtsmittel. P._ führt in der Sache selbst Beschwerde, die Rechtsvertreterin ficht in eigenem Namen den vorinstanzlichen Entscheid betreffend die Entschädigung unter dem Titel der unentgeltlichen Verbeiständung in masslicher Hinsicht an. Da die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 126 mit Hinweisen).
Beschwerde des Beschwerdeführers 1 betreffend Rechtmässigkeit des Rücktritts vom Vorsorgevertrag
2. 2.1 Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz Fr. 16'000.- samt Zins zu 5 Prozent seit dem 14. Oktober 2004 eingeklagt. Soweit er in der Beschwerde an das Bundesgericht mehr und anderes verlangt, ist darauf nicht einzutreten (<ref-law>).
2.2 In materieller Hinsicht streitig ist, ob eine Meldepflichtverletzung des Beschwerdeführers 1 vorliegt und die Beschwerdegegnerin 1 unter Berufung auf eine solche rechtswirksam vom Vorsorgevertrag zurückgetreten ist sowie Leistungen wegen Erwerbsunfähigkeit verweigert hat.
2.3 Die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts ist letztinstanzlich zuständig zum Entscheid über die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin 1 aus einem Vertrag betreffend die gebundene Vorsorge (Art. 73 BVG und Art. 35 lit. e des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BGerR]).
3. Im Bereich der weitergehenden beruflichen Vorsorge richten sich die Verletzung der Anzeigepflicht und deren Folgen nach den statutarischen oder reglementarischen Bestimmungen der Vorsorgeeinrichtung, beim Fehlen entsprechender statutarischer oder reglementarischer Normen subsidiär und analogieweise nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.1 S. 512 mit Hinweisen). Gemäss <ref-law> hat der Antragsteller dem Versicherer an Hand eines Fragebogens oder auf sonstiges schriftliches Befragen alle für die Beurteilung der Gefahr erheblichen Tatsachen, soweit und so wie sie ihm beim Vertragsabschluss bekannt sind oder bekannt sein müssen, schriftlich mitzuteilen (Abs. 1). Erheblich sind diejenigen Gefahrstatsachen, die geeignet sind, auf den Entschluss des Versicherers, den Vertrag überhaupt oder zu den vereinbarten Bedingungen abzuschliessen, einen Einfluss auszuüben (Abs. 2). Die Gefahrstatsachen, auf welche die schriftlichen Fragen des Versicherers in bestimmter, unzweideutiger Fassung gerichtet sind, werden als erheblich vermutet (Abs. 3).
3.1 Gefahrstatsachen im Sinne des <ref-law> sind alle Tatsachen, die bei der Beurteilung der Gefahr in Betracht fallen und den Versicherer demzufolge über den Umfang der zu deckenden Gefahr aufklären können; dazu sind nicht nur jene Tatsachen zu rechnen, welche die Gefahr verursachen, sondern auch solche, die bloss einen Rückschluss auf das Vorliegen von Gefahrenursachen gestatten. Die Anzeigepflicht des Antragstellers ist indessen nicht umfassend. Sie beschränkt sich auf die Angabe jener Gefahrstatsachen, nach denen der Versicherer ausdrücklich und unzweideutig gefragt hat; der Antragsteller ist daher ohne entsprechende Fragen nicht verpflichtet, von sich aus über bestehende Gefahren Auskunft zu geben (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 513).
3.1 Gefahrstatsachen im Sinne des <ref-law> sind alle Tatsachen, die bei der Beurteilung der Gefahr in Betracht fallen und den Versicherer demzufolge über den Umfang der zu deckenden Gefahr aufklären können; dazu sind nicht nur jene Tatsachen zu rechnen, welche die Gefahr verursachen, sondern auch solche, die bloss einen Rückschluss auf das Vorliegen von Gefahrenursachen gestatten. Die Anzeigepflicht des Antragstellers ist indessen nicht umfassend. Sie beschränkt sich auf die Angabe jener Gefahrstatsachen, nach denen der Versicherer ausdrücklich und unzweideutig gefragt hat; der Antragsteller ist daher ohne entsprechende Fragen nicht verpflichtet, von sich aus über bestehende Gefahren Auskunft zu geben (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 513).
3.2 3.2.1 Wann die Anzeigepflicht verletzt ist, beurteilt sich verschuldensunabhängig nach subjektiven und objektiven Kriterien. Der Antragsteller hat dem Versicherer in Beantwortung entsprechender Fragen nicht nur die ihm tatsächlich bekannten (von seinem positiven Wissen erfassten) erheblichen Gefahrstatsachen mitzuteilen, sondern auch diejenigen, die ihm bekannt sein müssen. Damit stellt das Gesetz ein objektives (vom tatsächlichen Wissen des Antragstellers über den konkreten Sachverhalt unabhängiges) Kriterium auf, bei dessen Anwendung jedoch die Umstände des einzelnen Falles, insbesondere die persönlichen Eigenschaften (Intelligenz, Bildungsgrad, Erfahrung) und die persönlichen Verhältnisse des Antragstellers, zu berücksichtigen sind. Entscheidend ist somit, ob und inwieweit ein Antragsteller nach seiner Kenntnis der Verhältnisse und gegebenenfalls nach den ihm von fachkundiger Seite erteilten Aufschlüssen eine Frage des Versicherers in guten Treuen verneinen durfte. Er genügt seiner Anzeigepflicht nur, wenn er ausser den ihm ohne weiteres bekannten Tatsachen auch diejenigen angibt, deren Vorhandensein ihm nicht entgehen kann, wenn er über die Fragen des Versicherers ernsthaft nachdenkt (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 514 mit Hinweisen; Urteil 4D_80/2008 vom 26. September 2008 E. 2.1.2).
3.2.2 Gemäss <ref-law> wird vermutet, dass die Gefahrstatsachen, auf welche die schriftlichen Fragen des Versicherers "in bestimmter, unzweideutiger Fassung gerichtet sind", erheblich sind. Damit stellt das Gesetz eine widerlegbare Rechtsvermutung für die Erheblichkeit derjenigen Tatsachen auf, über die der Versicherer mit den schriftlichen Fragen Auskunft verlangt. Sinn und Tragweite der gestellten Fragen sind nach denselben Auslegungsgrundsätzen zu ermitteln, wie sie für Verträge gelten, somit nach dem Grundsatz von Treu und Glauben (Vertrauensprinzip) sowie unter Berücksichtigung der speziell für den Versicherungsvertrag im Gesetz (<ref-law>) statuierten Erfordernisse der Bestimmtheit und Unzweideutigkeit der Fragenformulierung. Danach verletzt ein Versicherter die Anzeigepflicht, wenn er eine bestimmte und unzweideutig formulierte Frage zu den bei ihm bestehenden oder vorbestandenen gesundheitlichen Störungen verneint, denen er nach der ihm zumutbaren Sorgfalt Krankheitscharakter beimessen müsste. Hingegen würde es zu weit führen, wenn der Aufnahmebewerber vereinzelt aufgetretene Unpässlichkeiten, die er in guten Treuen als belanglose, vorübergehende Beeinträchtigungen des körperlichen Wohlbefindens betrachten darf und bei der gebotenen Sorgfalt nicht als Erscheinungsformen eines ernsthafteren Leidens beurteilen muss, anzuzeigen verpflichtet wäre. Das Verschweigen derartiger geringfügiger Gesundheitsstörungen begründet keine Verletzung der Anzeigepflicht (<ref-ruling> E. 3.3.4 S. 514 mit Hinweisen).
3.3 Die rechtserhebliche Frage lautet, ob der Beschwerdeführer 1 nach den erwähnten Grundsätzen verpflichtet war, im Versicherungsantrag vom 30. Mai 2002 zuvor bestehende Beschwerden und erfolgte Behandlungen am linken Fuss zu deklarieren. Das kantonale Gericht führte aus, die beigezogenen Akten des Spitals X._ wiesen unter anderem aus, dass der Ansprecher am 29. März 2000 dieses Spital aufgesucht habe. Damals sei ein sog. Sichelfuss (pes adductus) diagnostiziert und ein Computertomogramm (CT) angeordnet worden. Überdies gehe aus den Unterlagen des Spitals X._ hervor, dass er vor Antragstellung insgesamt fünf Mal im Spital X._ behandelt worden sei (25. März 1999, 29. März bis 15. April 1999, 31. Oktober 1999, 29. März bis 18. April 2000 und 10. bis 12. April 2001). Damit sei belegt, dass der Ansprecher bereits zwei Jahre vor Unterzeichnung des Antrages an Beschwerden des linken Fusses gelitten habe und er dies anlässlich der Beantwortung der Gesundheitsfragen hätte anzeigen müssen.
3.4 Der Beschwerdeführer 1 hat bei Antragstellung am 30. Mai 2002 eine Reihe von Gesundheitsfragen jeweils verneint.
3.4.1 Frage 9 im Anhang zum unterzeichneten Versicherungsantrag lautete:
"Haben oder hatten Sie eine oder mehrere der folgenden Gesundheitsstörungen
Arthrose, Asthma, Augenerkrankungen, Bronchitis, Epilepsie, Geschwüre, Gicht, Herzkrankheiten, hoher Blutdruck, Krebs, Lähmung, Multiple Sklerose, nicht korrigierte Hör- oder Sehverminderung, Nierensteine, psychische Leiden oder Störungen, Rheuma, (Schild-)Drüsen-Störungen, Schlaganfall, Wirbelsäulenbeschwerden, Zuckerkrankheit oder andere hier nicht aufgeführte Krankheiten oder Störungen?"
Die Frage nach "andere[n] hier nicht aufgeführte[n] Krankheiten oder Störungen" schliesst an einen Katalog verschiedener Leiden an. Im Kontext kann dies vom Leser in dem Sinne verstanden werden, es werde nach Gesundheitsschädigungen gefragt, deren Art und Schwere mit den ausdrücklich aufgeführten vergleichbar ist (vgl. Urteil B 38/99 vom 18. September 2000 E. 3c). Hinzu kommt, dass eine generelle Frage nach "Krankheiten" zu unbestimmt ist, um eine Pflicht zur Angabe sämtlicher Leiden zu begründen (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 517 mit Hinweisen). Daher muss ein einmaliger Arztbesuch, der nicht in Zusammenhang mit einem Leistungsabfall steht, bei einer solchen Fragestellung nicht gemeldet werden (BGE a.a.O. E. 5.2.3 S. 519). Nach den vorinstanzlichen Feststellungen wurde beim Beschwerdeführer 1 anlässlich zweier Arztkonsultationen im Jahr 2000 eine Schädigung des linken Fusses verzeichnet. Damals trat indessen keine Arbeitsunfähigkeit ein; im Anschluss an das CT erfolgte überdies keine weitere Behandlung. Ebenso finden sich keine Anzeichen, wonach es sich um langandauernde oder wiederkehrende Beschwerden gehandelt haben könnte (vgl. auch das Schreiben des Orthopäden Dr. M._, Spital X._, vom 1. April 2005). Mit dem Hinweis auf die fraglichen beiden Konsultationen in Verbindung mit Frage 9 allein wäre eine Verletzung der Anzeigepflicht mithin wohl nicht begründbar.
3.4.2 Gegenteilig verhält es sich aber mit Bezug auf Frage 14:
"Welcher Arzt (auch Psychotherapeut, Chiropraktor, Physiotherapeut) ist am besten über Ihre Gesundheitsverhältnisse orientiert (Name, Vorname, Adresse)?"
Die Fragestellung ist ausdrücklich nicht auf den den ärztlichen Grundversorger (Hausarzt etc.) beschränkt; sie bezieht sich auch auf spezialisierte Therapeuten. Im Spital X._ fanden in den Jahren 1999 und 2000 mehrmals Konsultationen statt, wie die Vorinstanz festgestellt hat (oben E. 3.3). Gerade wenn der Beschwerdeführer 1, wie er bei Beantwortung der Gesundheitsfragen angibt, keinen Hausarzt hatte, musste er auf die Frage, welche Medizinalperson "am besten über [die] Gesundheitsverhältnisse orientiert" sei, an die in jüngerer Zeit behandelnden Spitalärzte denken. Auch musste ihm bewusst sein, dass die Aussage, die letzte Konsultation habe vor etwa 20 Jahren stattgefunden, unzutreffend war.
3.4.3 Eine Verletzung der Anzeigepflicht ergibt sich auch aus der negativen Beantwortung von Frage 12, die sich - wie alle Fragen 9 bis 13 - auf die letzten zehn Jahre bezieht:
"Stehen Sie in ärztlicher oder medizinischer Behandlung oder mussten Sie sich während mehr als 2 Wochen behandeln, beobachten, beraten oder kontrollieren lassen?"
3.4.3.1 Die Beschwerdegegnerin 1 hat nach Einsichtnahme in die Akten des Spitals X._ die negierende Antwort auf diese Frage als weiteren Rücktrittsgrund angeführt (Schreiben vom 11. Juli 2008; zur Wahrung der Frist gemäss <ref-law> [unten E. 4.2]: Urteil 5C.270/2005 vom 20. Februar 2006 E. 3.2). Der Beschwerdeführer 1 macht geltend, bei den Behandlungen im Jahr 1999 habe es sich nur um externe Physiotherapie gehandelt. Anlass dazu war aber immerhin eine am 10. März 1999 erfolgte Frontalkollision, nach welcher sich Beschwerden im Bereich von Halswirbelsäule und linker Schulter entwickelten, die im Zeitraum 29. März bis 15. April 1999 physiotherapeutisch angegangen wurden (Verlaufsnotiz des Spitals X._ vom 25. März 1999). Dabei handelte es sich nicht um einen bagatellären Vorfall. Da sich Frage 12 nicht nur auf stationäre Behandlungen, sondern auf jede länger als zwei Wochen dauernde Behandlung, Beobachtung, Beratung oder Kontrolle bezieht, ist auch diesbezüglich davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer 1 beim Abschluss der Versicherung eine erhebliche Gefahrstatsache verschwiegen hat.
3.4.3.2 Das hier anwendbare alte Recht (a<ref-law>; unten E. 4.1 und 4.2), wonach eine Verletzung der Anzeigepflicht ein Rücktrittsrecht des Versicherers begründet, erfordert keinen Kausalzusammenhang zwischen der nicht angezeigten Gefahrstatsache und der später eingetretenen Beeinträchtigung. Im Unterschied dazu besteht nach der neuen, für Sachverhalte nach dem 1. Januar 2006 geltenden Fassung von <ref-law> diesfalls die Möglichkeit einer Kündigung, wobei im Falle einer Auflösung des Vertrages die Leistungspflicht des Versicherers (nur dann) auch für bereits eingetretene Schäden erlischt, wenn deren Eintritt oder Umfang durch die nicht oder unrichtig angezeigte erhebliche Gefahrstatsache beeinflusst worden ist (Abs. 1 und 3). Vorliegend ist unerheblich, dass die gesundheitlichen Beschwerden nach dem Unfall im Jahr 1999 (oben E. 3.4.3.1) mit dem späteren Eintritt der Erwerbsunfähigkeit nichts zu tun haben. Mangels Kausalitätserfordernis offen bleiben kann die Frage, ob, wie der Beschwerdeführer 1 geltend macht, die nach der Operation am linken Fuss vom Mai 2004 eingetretene, für die Erwerbsunfähigkeit verantwortliche Störung der Wundheilung den (adäquaten) Kausalzusammenhang zwischen anzuzeigender Gefahrstatsache und leistungserheblichem Schaden unterbrochen habe.
4. 4.1 Die Zulässigkeit des Vertragsrücktritts beurteilt sich nach der bis 31. Dezember 2005 in Kraft gewesenen Fassung des VVG unabhängig davon, ob zeitlicher Anknüpfungspunkt die Aufnahme in die Versicherung (in casu Mai/Juni 2002) oder die Ausübung des Rücktrittsrechts (in casu Januar 2005) ist (vgl. SVR 2009 BVG Nr. 6 S. 19 E. 3.1 Ingress, 9C_194/2008).
4.2 Wenn der Anzeigepflichtige beim Abschluss der Versicherung eine erhebliche Gefahrstatsache, die er kannte oder kennen musste, unrichtig mitgeteilt oder verschwiegen hat, so ist der Versicherer an den Vertrag nicht gebunden, wenn er binnen vier Wochen, nachdem er von der Verletzung der Anzeigepflicht Kenntnis erhalten hat, vom Vertrag zurücktritt (<ref-law> in der bis Ende 2005 geltenden Fassung; vgl. ab 1. Januar 2006: Art. 6 Abs. 1 und 2 VVG; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 514).
4.2.1 Dabei handelt es sich um eine Verwirkungsfrist, deren Lauf weder gehemmt noch unterbrochen werden kann (<ref-ruling> E. 5a S. 287). Die vierwöchige Frist beginnt ab dem Zeitpunkt zu laufen, mit welchem der Versicherer vollständig über die Anzeigepflichtverletzung orientiert ist, das heisst darüber sichere, zweifelsfreie Kenntnis erlangt hat (<ref-ruling> E. 3a S. 340). Dieses Wissen kann er auch erlangen, wenn er zuverlässige Kunde von Tatsachen erhält, aus denen sich der sichere Schluss auf eine Verletzung der Anzeigepflicht ziehen lässt (<ref-ruling> E. 5a S. 287; SVR 2009 BVG Nr. 6 S. 19 E. 3.1, 9C_194/2008; Urteil 9C_199/2008 vom 19. November 2008 E. 4.1 mit Hinweisen).
4.2.2 Das kantonale Gericht stellte diesbezüglich fest, das bei Anmeldung des Leistungsanspruchs vorgelegte Arztzeugnis des Dr. W._ vom 21. September 2004, das eine vollständige Arbeitsunfähigkeit für den Zeitraum 22. Mai bis 22. Oktober 2004 ausweist, enthalte keine Angaben zur Ursache der Gesundheitsstörung. Im daraufhin eingeholten Zeugnis des Spitals X._ vom 2. November 2004 enthalten seien die Diagnose ("Erworbener Pes cavus, adductus et excavatus") sowie die Informationen, dass die ersten Symptome "vor etwa 4-5 Jahren" aufgetreten seien, die ambulante Therapie seit dem 24. Februar 2003 erfolge und vom 3. Mai bis 9. Juli 2004 eine stationäre Behandlung stattgefunden habe; seit dem 3. Mai 2004 bestehe denn auch vollständige Unfähigkeit, den bisherigen Beruf auszuüben. Hinreichende Kenntnis über eine spezifische Anzeigepflicht habe der Versicherer indessen erst am 3. Januar 2005 erlangt, als der behandelnde Spitalarzt mitgeteilt habe, die erste Konsultation sei am 29. März 2000 erfolgt und es hätten zwei Konsultationen stattgefunden (Bericht des Spitals X._ vom 28. Dezember 2004). Somit habe der Versicherer die gesetzliche vierwöchige Frist eingehalten, als er am 14. Januar 2005 seinen Rücktritt vom Vertrag erklärt habe.
4.2.3 Dem ist zuzustimmen. Nach Eingang des Arbeitsunfähigkeitsattestes vom 21. September 2004 hat sich die Beschwerdegegnerin 1 innert nützlicher Frist an die Klinik gewandt, in welcher die massgebende Behandlung stattgefunden hatte. Deren Bericht vom 2. November 2004 enthält zwar die Angabe, die ersten Symptome seien "vor etwa 4-5 Jahren" aufgetreten; indessen ist dieser Hinweis nicht geeignet, um Sinne von Gesetz und Rechtsprechung (oben E. 4.2.1) sichere Kenntnis von einer Anzeigepflichtverletzung zu begründen.
5. Nach dem Gesagten liegt eine Anzeigepflichtverletzung vor (E. 3); gestützt darauf ist die Beschwerdegegnerin 1 innert der gesetzlichen Frist von a<ref-law> vom Vorsorgevertrag zurückgetreten (E. 4). In materieller Hinsicht ist der angefochtene Entscheid mithin zu schützen.
6. Dem Beschwerdeführer 1 kann die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; <ref-law>) gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Beschwerde der Beschwerdeführerin 2 betreffend Bemessung der Entschädigung als unentgeltliche Rechtsbeiständin im kantonalen Prozess
7. Die Beschwerdeführerin 2 rügt in eigenem Namen die vorinstanzlich zugesprochene Entschädigung für ihre Arbeit als amtlich bestellte Rechtsvertreterin (unentgeltliche Verbeiständung; SVR 1995 ALV Nr. 42 S. 117 E. 4; vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 325).
7.1 Die Bemessung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes ist mangels bundesrechtlicher Bestimmung dem kantonalen Recht überlassen (vgl. <ref-law>). Das Bundesgericht darf die Höhe der Entschädigung nur daraufhin überprüfen, ob die Anwendung der einschlägigen kantonalen Bestimmungen, sei es bereits aufgrund ihrer Ausgestaltung oder aber aufgrund des Ergebnisses im konkreten Fall, zu einer Verletzung von Bundesrecht geführt hat (<ref-law>). Dabei fällt praktisch nur das in <ref-law> verankerte Willkürverbot in Betracht. Ein Entscheid über die Entschädigungsbemessung ist dann willkürlich, wenn er eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3a mit Hinweisen). Willkür kann namentlich in zwei Erscheinungsformen auftreten, nämlich als klare und schwere Verletzung kantonalen Rechts über die Bemessung der Entschädigung oder als schlechthin unhaltbare Betätigung in dem vom Bundes- und kantonalen Recht eröffneten Ermessensbereich. Im letzteren Fall kann die Festsetzung eines Anwaltshonorars wegen Verletzung von <ref-law> oder <ref-law> nur aufgehoben werden, wenn sie ausserhalb jedes vernünftigen Verhältnisses zu den mit Blick auf den konkreten Fall notwendigen anwaltlichen Bemühungen steht und in krasser Weise gegen das Gerechtigkeitsgefühl verstösst (SVR 2002 ALV Nr. 3 S. 5 mit Hinweisen, C 130/99).
7.2 Das kantonale Gericht hat das mittels Kostennote (in Höhe von Fr. 4868.85 einschliesslich Auslagen und Mehrwertsteuer) geltend gemachte Honorar ohne Begründung auf Fr. 2200.- (einschliesslich Auslagen, zuzüglich Mehrwertsteuer von Fr. 167.20) veranschlagt. Das zugesprochene Betreffnis entspricht, bei einem Stundenansatz von Fr. 180.- (vgl. <ref-ruling>), nach Abzug der Auslagen einem Aufwand von elfeinhalb Stunden. Darin enthalten sind unter anderem die Verfassung von Klageschrift, Replik sowie einer weiteren Eingabe an die Vorinstanz. Ein Zeitaufwand von etwa zwölf Stunden liegt bereits insofern an der unteren Grenze dessen, was als angemessener Aufwand bezeichnet werden kann. Hinzu kommt zur Klärung des Parteistandpunktes erforderliche Korrespondenz mit dem behandelnden Orthopäden. Die Akten sind zwar nicht besonders umfangreich; indessen vergrösserte die lange Verfahrensdauer den notwendigen Aufwand, weil sich die Rechtsvertreterin wiederholt neu mit der Materie befassen musste. In Anbetracht der Umstände im Einzelfall (<ref-ruling> E. 3a) erscheint das vorinstanzlich zugesprochene Honorar als willkürlich tief (vgl. Urteil 8C_391/2007 vom 26. Mai 2008 E. 3). <ref-law> sieht die unentgeltliche Verbeiständung bloss dem Grundsatz nach vor, überlässt es als Minimalvorschrift aber dem kantonalen Recht, Bemessungsvorgaben aufzustellen. Mit Blick auf den diesbezüglichen Ermessensspielraum des kantonalen Gerichts (<ref-ruling> E. 2b S. 134) überprüft das Bundesgericht die Frage demnach nicht frei. Da kein besonderer Grund ersichtlich ist, der eine Rückweisung an das kantonale Gericht zur neuen Festsetzung der Entschädigung nahelegen würde (vgl. erwähntes Urteil 8C_391/2007 E. 3.3.2 in fine), ist der Beschwerdeführerin 2 für den kantonalen Prozess vielmehr diejenige Entschädigung zuzusprechen, welche noch als willkürfrei bemessen zu anerkennen gewesen wäre, wenn die Vorinstanz sie so festgesetzt hätte. Dies trifft bei einem Betrag von Fr. 3000.- (ohne Auslagen, einschliesslich Mehrwertsteuer) zu.
8. 8.1 Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 und 66 BGG). Die Beschwerdeführerin 2 obsiegt teilweise. Mit Blick auf die Vorrangigkeit der materiellen Frage, hinsichtlich derer der Beschwerdeführer 1 unterliegt, sind die Gerichtskosten nicht auszuscheiden.
8.2 Die um ihr Honorar streitende amtliche Rechtsvertreterin macht den Anspruch auf eine Entschädigung im Zusammenhang mit einer Aufgabe geltend, die sie im Rahmen eines öffentlich-rechtlichen Auftragsverhältnisses wahrnimmt. Dafür steht ihr im Rahmen des erforderlichen Aufwandes und nach Massgabe des Obsiegens von Bundesrechts wegen eine Parteientschädigung zu (<ref-law>; <ref-ruling>; Urteil 8C_629/2007 vom 3. November 2008 E. 5.2.2 mit Hinweisen). Diese geht in solchen Fällen nicht zu Lasten der Gegenpartei im Leistungsprozess, sondern des Gemeinwesens (Bund oder Kanton), dessen Gericht (hier: Beschwerdegegner 2) vorinstanzlich über Bestand und Umfang eines Anspruchs auf Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes entschieden hat (SVR 1996 UV Nr. 40 S. 124 E. 4; RKUV 1994 Nr. U 184 S. 77; Urteil 9C_478/2007 vom 10. Oktober 2007 E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde des Beschwerdeführers 1 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Dem Beschwerdeführer 1 wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer 1 auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Advokatin Sandra Sutter-Jeker, wird als unentgeltliche Anwältin des Beschwerdeführers 1 bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde der Beschwerdeführerin 2 wird Abs. 3 des vorinstanzlichen Entscheiddispositivs aufgehoben und das Honorar für das vorinstanzliche Verfahren auf Fr. 3000.- festgesetzt.
6. Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerin 2 für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
7. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. März 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub