A.- Lors d'un cours de répétition effectué en octobre 1991, A._ ressentit des douleurs dorsales qu'il signala au médecin de la troupe. Le 8 novembre 1991, le docteur B._, spécialiste FMH en médecine interne et affections rhumatismales, annonça le cas à l'Office fédéral de l'assurance-militaire (ci-après : l'OFAM). Il posa le diagnostic de troubles statiques et fonctionnels étagés du rachis et prescrivit des séances de physiothérapie et de chiropractie qui furent prises en charge par l'OFAM.
En dépit de ces soins, l'état de santé de l'assuré ne s'améliora pas et celui-ci fut déclaré inapte au service (décision du 23 juin 1993 de la Commission de visite sanitaire).
Dans un procès-verbal d'audition du 25 novembre 1993, A._ déclara à l'OFAM que la première manifestation de ses troubles vertébraux et cervicaux remontait à la période d'école de recrue accomplie en 1983 et que, depuis lors, il avait systématiquement eu mal au dos durant ses cours de répétition. Dans le cadre de l'instruction du cas, l'OFAM recueillit des informations auprès des médecins traitants que l'assuré avait consultés depuis son enfance jusqu'en 1992 (cf. les lettres des docteurs C._, D._ et E._). Il pris également l'avis de son service médical de Genève (rapport du 7 avril 1998 de la doctoresse F._).
Par préavis du 23 juillet 1998, l'OFAM fit part à l'assuré qu'il considérait que l'aggravation de ses troubles statiques survenue durant le cours de répétition de 1991 était "en toute certitude éliminée", si bien qu'il mettait fin à son intervention et à ses prestations à partir du 1er septembre 1998. L'OFAM confirma cette prise de position dans une décision du 4 septembre 1998. Saisi d'une opposition de l'assuré, l'OFAM l'écarta par une nouvelle décision du 17 janvier 2000, non sans avoir préalablement requis l'avis de son service médical de Berne (rapport du 23 octobre 1998 du docteur G._) et pris connaissance d'une expertise médicale confiée au Service d'orthopédie et de traumatologie de l'appareil moteur de X._ (rapport du 15 novembre 1999 du docteur H._).
B.- A._ recourut contre la décision sur opposition de l'OFAM.
Par jugement du 29 août 2000, le Tribunal administratif de la République et canton de Genève rejeta le recours.
C.- A._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il requiert l'annulation en concluant, sous suite de frais et dépens, principalement à la prise en charge par l'OFAM des affections dont il souffre et, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause à l'autorité judiciaire cantonale pour complément d'instruction et nouveau jugement.
L'OFAM conclut au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.- L'OFAM a rendu la décision sur opposition qui est à l'origine du litige le 17 janvier 2000, soit après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 1994, de la loi sur l'assurance militaire du 19 juin 1992. Aussi bien la cause doit-elle être jugée à la lumière de cette loi (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1, 243 consid. 1).
2.- a) Selon l'<ref-law>, l'assurance militaire couvre toute affection qui se manifeste et qui est annoncée ou constatée de toute autre façon pendant le service.
D'après l'<ref-law>, l'assurance militaire n'est pas responsable lorsqu'elle apporte la preuve :
a. que l'affection est avec certitude antérieure au
service, ou qu'elle ne peut pas avec certitude
avoir été causée pendant ce dernier et
b. que cette affection n'a pas avec certitude été
aggravée ni accélérée dans son cours pendant le
service.
Si l'assurance militaire apporte la preuve exigée au deuxième alinéa, lettre a, mais non pas celle exigée au deuxième alinéa, lettre b, elle répond de l'aggravation de l'affection (art. 5 al. 3, première phrase, LAM).
b) Ces principes de responsabilité correspondent, dans les grandes lignes, à ceux de l'ancien droit (<ref-ruling> consid. 3a et les références; voir aussi Jürg Maeschi, Kommentar zum Bundesgesetz über die Militärversicherung [MVK], nos 16ss ad art. 5-7 [Vorbermerkungen]). Aussi bien, la certitude exigée à l'<ref-law> ne doit-elle, aujourd'hui comme hier, pas être comprise dans un sens théorique ou scientifique, mais dans une acception empirique.
Elle est ainsi réputée acquise lorsqu'il est établi, selon l'expérience médicale, qu'une influence de facteurs liés au service est pratiquement exclue (<ref-ruling> consid. 4 in initio, 105 V 230 consid. 4a et les références; Maeschi, op. cité no 22 ad art. 5).
3.- a) Les premiers juges ont retenu que l'assurance militaire n'encourait plus aucune responsabilité pour les troubles dorsaux et lombaires dont souffre l'assuré. Ils ont en effet considéré, sur le vu des conclusions de l'expert H._, que l'aggravation de ces troubles provoquée par le cours de répétition effectué en octobre 1991 était "tout à fait" éliminée depuis le mois de février 1993 déjà.
b) Le recourant conteste ce point de vue, en invoquant différents griefs destinés à entamer la crédibilité et la valeur probante de l'expertise du docteur H._.
Tout d'abord, il reproche à l'intimé de ne pas lui avoir donné l'occasion de poser des questions complémentaires à l'expert. Ce moyen, qui se confond avec le grief de violation du droit d'être entendu, est infondé : en effet, bien qu'invité par l'OFAM à s'exprimer sur le choix tant de l'expert que des questions qui allaient lui être posées, le recourant n'a pas fait usage de ce droit (cf.
lettre de l'OFAM du 4 février 1999); par ailleurs, après qu'il eut été informé qu'une décision allait être rendue sur la base du rapport d'expertise (cf. lettre de l'OFAM du 1er décembre 1999), il n'a pas davantage formulé de remarques ou requis de complément d'instruction. Il n'est donc pas recevable de se plaindre d'une violation de son droit d'être entendu (cf. <ref-ruling> consid. 3a in fine p. 99; <ref-ruling> consid. 5f in fine p. 38 et les références citées).
Le recourant fait ensuite valoir que l'expertise est incomplète, en ce sens que des examens médicaux recommandés par le docteur G._ n'auraient pas été réalisés. Il est vrai que ce médecin avait déploré, en octobre 1998, le fait que le dossier ne contînt pas d'autres examens médicaux que quelques radiographies et une scintigraphie osseuse, en indiquant qu'il lui était, en l'état du dossier, difficile de se prononcer avec certitude sur l'antériorité des dorsalgies du recourant par rapport à ses périodes de service militaire, ainsi que sur la "rémission" de ces troubles; entres autres examens complémentaires, le docteur G._ suggérait la réalisation de clichés en perspectives fonctionnelles et une IRM (rapport du 23 octobre 1998 p. 7).
L'expert H._ a toutefois estimé qu'il n'y avait "aucune indication à procéder à des compléments d'investigation neuroradiologique ou bloc sélectif vertébral". Pour arriver à cette conclusion, il s'est fondé sur l'anamnèse de l'assuré ainsi que sur les constatations médicales qu'il a faites à l'examen clinique. C'est ainsi qu'il a mis en évidence l'existence - non décelée jusque-là - d'une hypermobilité articulaire, aggravée par une déficience posturale et une tension musculaire anormalement élevée, "reflet peut-être d'une composante anxiogène sous-jacente". A son sens, ces troubles suffisent à expliquer la symptomatologie douloureuse présentée par l'assuré. Le docteur H._ a donc clairement, et de manière convaincante, motivé les raisons pour lesquelles des examens complémentaires lui sont apparus superflus, de telle sorte que la renonciation à de tels examens n'est pas de nature, contrairement à l'opinion du recourant, à entacher la valeur probante de l'expertise.
Est, enfin, tout aussi dénué de pertinence le grief selon lequel l'expert ne se serait pas prononcé sur le caractère inadéquat voire même, d'après le recourant, délétère, du traitement médical pris en charge par l'assurance-militaire jusqu'en septembre 1998. C'est en effet seulement en juin 2000, soit plus de six mois après l'établissement de l'expertise, que le recourant a, pour la première fois, allégué que les séances de chiropractie dont il avait bénéficié avaient contribué à aggraver ses troubles dorsaux et lombaires. Le docteur H._ n'avait donc pas à examiner cette question. Au demeurant, celle-ci ne méritait pas la mise en oeuvre d'investigations complémentaires car rien, dans le dossier, ne permet de penser que les soupçons du recourant puissent se révéler bien-fondés. Certes le docteur G._ a-t-il mis en évidence l'inefficacité des séances de chiropractie prescrites dès 1992; il n'a toutefois pas fait état, ni même laissé entendre, que ce traitement eût pu, d'une manière ou d'une autre, porter atteinte à la santé du recourant.
c) Dans ces circonstances, l'expertise du docteur H._ doit se voir reconnaître pleine valeur probante pour trancher le litige (cf. <ref-ruling> consid. 3a et les références) et il n'y a pas de motif de s'écarter des conclusions qu'elle contient.
Ainsi le statu quo ante doit-il, conformément aux constatations de l'expert, être réputé rétabli depuis le mois de février 1993. A cet égard, il est sans importance que le docteur B._ ait mentionné, dans un certificat du 29 novembre 1989, que l'assuré ne présentait plus, à cette époque, qu'"une simple sensation de gêne apparaissant à la suite de la pratique des sports alors que l'examen clinique était dans les limites de la norme". On ne saurait, en effet, interpréter le propos du docteur B._ dans le sens que voudrait le recourant, à savoir que ses troubles dorsaux et lombaires auraient complètement disparu en 1989 et ne seraient réapparus qu'à la faveur du cours de répétition de 1991. Car, en même temps qu'il constatait une amélioration de la situation dans le certificat médical précité du 29 novembre 1989, le docteur B._ évoquait également une "récidive récente d'une symptomatologie mécanique au niveau de la charnière cervico-dorsale", en demandant que l'assuré fût, à l'avenir, dispensé du port du sac militaire. A la vérité, la situation n'était, contrairement à l'opinion - implicitement - défendue par le recourant, que passagèrement stabilisée en 1989, celui-ci ayant du reste régulièrement présenté, bien avant son cours de répétition de 1991, des épisodes douloureux liés à ses affections dorsales et lombaires.
d) On peut donc retenir, avec la certitude requise à l'<ref-law>, d'une part que les affections du recourant sont antérieures à ses périodes de service militaire (<ref-law>) et, d'autre part, qu'elles n'ont pas été aggravées ou accélérées dans leur cours au-delà du mois de février 1993 (<ref-law>).
Le recours est mal fondé.
4.- Le recourant, qui succombe, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 159 al. 1 en corrélation avec l'art. 135 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances
prononce :
I. Le recours est rejeté.
II. Il n'est pas perçu de frais de justice ni alloué de dépens.
III. Le présent arrêt sera communiqué aux parties et au
Tribunal administratif de la République et canton de
Genève.
Lucerne, le 31 juillet 2001
Au nom du
Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre :
p. le Greffier :