Sachverhalt:
A. Der 1968 geborene S._ ist Geschäftsführer und einziger Gesellschafter Firma C._ GmbH, einem in der Transportbranche tätigen Einmannbetrieb, und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) u.a. gegen die Folgen von Berufsunfällen versichert. Am 10. Oktober 2006 zog er sich bei der Arbeit eine Handgelenksdistorsion rechts zu. Mit Verfügung vom 23. Januar 2008 stellte die SUVA ihre bislang in Form von Heilbehandlung und Taggeld ausgerichteten Versicherungsleistungen infolge Fallabschlusses auf den 2. März 2008 ein; weitergehende Leistungen verneinte sie mit der Begründung, dass es dem Versicherten zumutbar sei, im Rahmen einer leidensangepassten Tätigkeit ein rentenausschliessendes Einkommen zu erzielen, und keine erhebliche Schädigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Integrität vorliege. Daran hielt der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 9. Juli 2008 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt nach Durchführung einer Parteiverhandlung ab (Entscheid vom 3. September 2009).
C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt im Wesentlichen, es seien ihm weiterhin Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen zu erbringen; ferner seien ihm eine auf einer vollständigen Erwerbsunfähigkeit beruhende Invalidenrente und eine "volle" Integritätsentschädigung zuzusprechen. Des Weitern ersucht er um Durchführung einer Parteiverhandlung und um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.

Erwägungen:
1. Der prozessuale Antrag des Beschwerdeführers auf mündliche Parteiverhandlung ist nicht näher begründet. Überdies besteht darauf nur ausnahmsweise ein Rechtsanspruch (siehe die zu Art. 112 OG und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ergangene, unter der Herrschaft von <ref-law> fortzuführende Rechtsprechung: statt vieler <ref-ruling> E. 3 S. 39; Urteile 8C_201/2009 vom 11. September 2009 E. 3 und 4A.5/2002 vom 22. Januar 2003 E. 2; siehe sodann Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, BBl 2001 4302). Auch ist nicht einsichtig, inwiefern eine solche zur Klärung der im vorliegenden Verfahren sich stellenden Rechtsfragen dienen könnte, weshalb auf deren Durchführung verzichtet wird.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen über den Anspruch auf einzelne Leistungsarten der Unfallversicherung im Besonderen (<ref-law> [Invalidenrente], Art. 24 f. UVG [Integritätsentschädigung]), den Zeitpunkt des Fallabschlusses (<ref-law>) und die Ermittlung der Invalidität auf Grund der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) zutreffend wiedergegeben. Richtig sind ferner auch die Erwägungen zur Aufgabe des Arztes oder der Ärztin im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 2a S. 338 ff.; vgl. auch <ref-ruling> E. 4 S. 261 mit Hinweisen) und zu den bei der beweismässigen Auswertung medizinischer Berichte zu beachtenden Grundsätzen (<ref-ruling> E. 3 S. 352 ff.; vgl. zudem <ref-ruling> E. 9.5 S. 125 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Im angefochtenen Entscheid wurde in eingehender und sorgfältiger Würdigung der medizinischen Aktenlage festgestellt, dass die Behandlung betreffend die Unfallfolgen am rechten Handgelenk im Zeitpunkt der Einstellung der vorübergehenden Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld) auf den 2. März 2008 abgeschlossen war und von einer Fortsetzung der ärztlichen Massnahmen keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Beschwerdeführers mehr erwartet werden konnte. Des Weitern legte die Vorinstanz einlässlich dar, dass der Versicherte auf Grund seiner Handgelenksverletzung zwar keine Tätigkeiten mit Heben und Tragen von Lasten über 15 Kilogramm oder repetitiven Rotationsbewegungen bzw. Verrichtungen mit schockartiger oder starker Vibrationsbelastung auszuüben vermag, ihm aber jede andere, körperlich angepasste Arbeit, beispielsweise als Disponent oder im kaufmännischen Bereich, noch uneingeschränkt zumutbar und in diesem Rahmen ein rentenausschliessendes Einkommen zu erwirtschaften ist. Schliesslich wurde vor dem Hintergrund der relevanten ärztlichen Unterlagen in allen Teilen nachvollziehbar erkannt, dass die durch den Unfall vom 10. Oktober 2006 verursachte dauerhafte Schädigung nicht ein zum Bezug einer Integritätsentschädigung berechtigendes Ausmass erreicht hat.
4.2 Diesen Erwägungen ist vollumfänglich beizupflichten. Die Einwendungen des Beschwerdeführers, soweit überhaupt sachbezogen, vermögen daran nichts zu ändern, zumal er sich weitgehend auf bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgebrachte - und entkräftete - Argumente beschränkt. Bezüglich der Anträge des Versicherten, es seien ihm eine "Genugtuungssumme im richterlichen Masse" sowie eine "richterliche Abfindung" wegen einer verspäteten Eingabe der Beschwerdegegnerin im kantonalen Beschwerdeprozess zuzusprechen, kann ebenfalls auf die überzeugenden Ausführungen im kantonalen Gerichtsentscheid Bezug genommen werden. Was sodann die geltend gemachte Übernahme von Reise- und Transportkosten anbelangt, wird auf das Urteil im Verfahren 8C_969/2009 verwiesen.
5. 5.1 Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Ab. 2 lit. a BGG - ohne Durchführung des Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den kantonalen Entscheid (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG) - erledigt.
5.2 Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 Abs. 4 lit. a und Art. 66 Abs. 1 BGG). Dessen Gesuch um unentgeltliche Prozessführung kann mangels der gemäss <ref-law> hierfür erforderlichen Voraussetzung der Nichtaussichtslosigkeit der Rechtsvorkehr nicht stattgegeben werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Dezember 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Fleischanderl