Sachverhalt:
A. Die X._ SA (Beschwerdeführerin) ist Eigentümerin eines vierstrahligen Geschäftsreiseflugzeugs vom Typ Lockhead L-1329-25 Jetstar II, Baujahr 1979, Werknummer 5233, welches das Schweizer Luftfahrzeugkennzeichen HB-JGK trägt. Dieses befindet sich zur Zeit auf dem Gelände des Flughafens Genf-Cointrin, wo es von der Y._ AG (Beschwerdegegnerin) gewartet und instand gestellt wurde. Die Beschwerdegegnerin forderte die Beschwerdeführerin mehrmals erfolglos auf, das fertig gestellte Flugzeug abholen zu lassen.
B. Am 20. Februar 2009 ersuchte die Beschwerdegegnerin beim Zivilgericht Basel-Stadt um Bewilligung der öffentlichen Versteigerung des sich in Genf befindlichen Flugzeugs nach vorgängiger Androhung gegenüber der Beschwerdeführerin. Der Einzelrichter bewilligte am 3. Juni 2009 nach durchgeführter Verhandlung die öffentliche Versteigerung und setzte die Androhungsfrist auf sechs Wochen fest. Als Versteigerungsort bestimmte er Genf. Auf den weiteren Antrag auf Bestimmung des Hinterlegungsortes trat er nicht ein.
Gegen diesen Entscheid erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie beantragte, auf das Gesuch sei mangels Zuständigkeit nicht einzutreten, eventualiter sei es abzuweisen, subeventualiter sei die Sache an die Erstinstanz zu neuer Entscheidung zurückzuweisen. Mit Urteil vom 14. September 2009 wies das Appellationsgericht, Ausschuss, die Beschwerde ab.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, es sei auf das Gesuch der Beschwerdegegnerin, es sei ihr zu bewilligen, nach vorgängiger Androhung gegenüber der Beschwerdeführerin in Genf das Flugzeug mit dem Kennzeichen HB-JGK des Herstellers Lockhead Aircraft Corporation, Typ 1329-25 Jetstar II, Serie Nr. 5233, zu versteigern, nicht einzutreten. Eventualiter sei dieses Gesuch der Beschwerdegegnerin abzuweisen. Subeventualiter sei der Fall zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, das Hauptbegehren abzuweisen und auf das Eventual- und das Subeventualbegehren mangels Rechtsschutzinteresse nicht einzutreten. Eventuell seien diese Begehren abzuweisen. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 29. Januar 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin ersuchte mit Eingabe vom 26. Februar 2010 (Eingang beim Bundesgericht am 1. März 2010) darum, es sei ihr zur Wahrung des rechtlichen Gehörs nach eingehendem Studium der Beschwerdeantwort das Replikrecht einzuräumen, unter Ansetzung einer angemessenen Frist. Dem wird nicht stattgegeben. Gemäss der publizierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung hat die Partei, der eine Vernehmlassung oder eine Beschwerdeantwort zur blossen Kenntnisnahme übermittelt wurde, nach Treu und Glauben unverzüglich zu reagieren, wenn sie sich nochmals zur Sache äussern will. In der Regel soll sie ihre Replikschrift umgehend einreichen, ohne vorher um eine gerichtliche Fristansetzung zu ersuchen (<ref-ruling> E. 2.2, 100 E. 4.8). Die Beschwerdeantwort wurde der Beschwerdeführerin im vorliegenden Fall am 20. Januar 2010 zugestellt und von dieser am darauffolgenden Tag in Empfang genommen. Ihr erst mehr als einen Monat nach Empfang der Beschwerdeantwort gestelltes Gesuch ist verspätet.
2. Angefochten ist ein Entscheid, mit dem ein Selbsthilfeverkauf im Sinne von <ref-law> bewilligt bzw. eine dagegen erhobene Beschwerde abgewiesen wurde. Dabei handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts erging von der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Im Rubrum der Beschwerde ist zwar auch der Entscheid des Zivilgerichtspräsidenten angeführt, sodass angenommen werden könnte, auch dieser sei angefochten. Aus der Begründung wird jedoch klar, das sich die Beschwerde einzig gegen das Urteil des Appellationsgerichts richtet, wie dies denn auch allein zulässig ist.
Der Entscheid über die Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs ist ein Endentscheid im Sinn von <ref-law>, da er losgelöst von einem Hauptverfahren erfolgt (vgl. BGE 9C.848/2009 vom 6. Januar 2010 E. 1.2) und unter prozessrechtlichen Gesichtspunkten verfahrensabschliessend ist (<ref-ruling> E. 1.1). Der für vermögensrechtliche Angelegenheiten vorausgesetzte Streitwert von mindestens Fr. 30'000.-- wird überschritten (<ref-law>), so dass auf die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich einzutreten ist.
3. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich nicht um einen solchen über eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law>. Vorsorgliche Massnahmen sind einstweilige Verfügungen, die eine Rechtsfrage nur vorläufig regeln, bis darüber in einem späteren Hauptentscheid definitiv entschieden wird (BGE 9C.848/2009 vom 6. Januar 2009 E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.1 in fine; <ref-ruling> E. 5.1 S. 396, 589 E. 1 S. 590; MARKUS SCHOTT, Basler Kommentar, N. 1 zu <ref-law>). Wird über die Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs - wie vorliegend - ausserhalb eines Hauptverfahrens entschieden (zur Möglichkeit der Anordnung des Selbsthilfeverkaufs als vorsorgliche Massnahme im Rahmen eines ordentlichen Prozesses, vgl. etwa MARTIN BERNET, Basler Kommentar, N. 9 zu <ref-law>), kann nicht von einer vorsorglichen Massnahme gesprochen werden. Zwar können vorsorgliche Massnahmen auch losgelöst von einem Hauptverfahren angeordnet werden, so etwa Eheschutzmassnahmen nach <ref-law> oder Besitzesschutzmassnahmen. Für eine Qualifikation solcher Massnahmen als provisorische Massnahmen im Sinne von <ref-law> ist aber erforderlich, dass sie in zeitlicher Hinsicht einen vorübergehenden Charakter aufweisen, also ein Rechtsverhältnis bloss vorläufig regeln (BGE <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 5.1, 589 E. 1, 638 E. 2; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 86 f.; <ref-ruling> E. 1.3; BERNARD CORBOZ, in: Corboz et. al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2009, N. 9 zu <ref-law>). Dies trifft auf die Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs nach <ref-law> nicht zu. Wird die Bewilligung erteilt und der Verkauf durchgeführt, ist dieser Punkt erledigt, und durch die ordnungsgemässe Durchführung des Verkaufs wandelt sich die Sachleistungspflicht des Schuldners in eine Geldleistungspflicht (BERNET, a.a.O., N. 7 zu <ref-law>; WEBER, Berner Kommentar, N. 48 zu <ref-law>). Die Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs hat nicht bloss provisorischen Charakter. Bei der richterlichen Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs geht es nicht um vorläufigen Rechtsschutz, sondern um die Einhaltung des gesetzlich vorgesehenen Verfahrens zur Durchführung des Selbsthilfeverkaufs, das die Mitwirkung des Richters vorschreibt.
4. Handelt es sich beim angefochtenen Entscheid nicht um einen solchen über eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law>, greift die Beschränkung der Beschwerdegründe auf verfassungsmässige Rechte nicht. Damit sind die Rügen nach Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht prüft frei, ob die behaupteten Rechtsverletzungen gegeben sind. Demgegenüber kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2).
5. Die Vorinstanz befand, dass die Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs nach <ref-law> der freiwilligen Gerichtsbarkeit angehöre. Somit richte sich die örtliche Zuständigkeit nach Art. 11 GestG (SR 272). Zuständig sei demnach das Gericht am Wohnsitz bzw. Sitz der gesuchstellenden Partei, hier Basel. Die Beschwerdeführerin rügt die fehlende örtliche Zuständigkeit der Basler Gerichte. Ihrer Meinung nach bildet die Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs streitige Gerichtsbarkeit. Massgebend sei demnach Art. 3 GestG, sodass der Richter am Wohnsitz bzw. Sitz der Gesuchsgegnerin zuständig sei, hier Genf.
5.1 Ist nach der Beschaffenheit der Sache oder nach der Art des Geschäftsbetriebs eine Hinterlegung nicht tunlich, oder ist die Sache dem Verderben ausgesetzt oder erheischt sie Unterhaltungs- oder erhebliche Aufbewahrungskosten so kann der Schuldner nach vorgängiger Androhung mit Bewilligung des Richters die Sache öffentlich verkaufen lassen und den Erlös hinterlegen (<ref-law>).
Das Gesetz regelt die Wirkungen des Gläubigerverzugs bei Sachleistungen (Hinterlegung und Selbsthilfeverkauf, Art. 92-94 OR) und bei "anderen Leistungen" (Rücktritt vom Vertrag, <ref-law>). Zu Recht betont die Vorinstanz den engen Zusammenhang zwischen Hinterlegung und Selbsthilfeverkauf, bildet Letzterer doch nur eine besondere Form der Hinterlegung. Der Selbsthilfeverkauf bezweckt, eine nicht hinterlegungsfähige Sache durch eine hinterlegungsfähige zu ersetzen. Die Befreiung des Schuldners tritt dabei nicht bereits mit dem Verkauf der Sache, sondern erst mit der Aushändigung des Verkaufserlöses an den Gläubiger oder bei Annahmeverweigerung mit der Hinterlegung ein. Der Schuldner kann sich ferner dadurch befreien, dass er den Verkaufserlös mit einer Geldforderung gegen den Gläubiger verrechnet (BERNET, a.a.O., N. 7 zu <ref-law>; SCHRANER, Zürcher Kommentar, N. 52 zu <ref-law>; WEBER, Berner Kommentar, N. 48 ff. zu <ref-law>).
Der Schuldner muss den beabsichtigten Selbsthilfeverkauf dem Gläubiger vorgängig androhen. Zudem muss er ihn vom Richter bewilligen lassen. Der Richter bestimmt den Versteigerungsort. Er hat die Voraussetzungen des Selbsthilfeverkaufs in einem raschen, summarischen Bewilligungsverfahren zu prüfen, wie dies vorliegend denn auch erfolgte. Der Richter prüft, ob der Gesuchsteller das Vorliegen der Voraussetzungen des Gläubigerverzugs und diejenigen des Selbsthilfeverkaufs glaubhaft gemacht hat. Der Gläubiger ist nach Möglichkeit anzuhören (Weber, a.a.O., N. 30 ff. zu <ref-law>; Bernet, a.a.O., N. 9 zu <ref-law>; Schraner, a.a.O., N. 29 ff. zu <ref-law>). Die Beurteilung des Richters im summarischen Verfahren bindet den Richter in einem späteren ordentlichen Verfahren (z.B. in einem Schadenersatzprozess) nicht. Nach einhelliger Lehre gilt dies zunächst hinsichtlich des Vorliegens der Voraussetzungen des Gläubigerverzugs (vgl. Schraner, a.a.O., N. 32 zu <ref-law>; Bernet, a.a.O., N. 9 zu <ref-law>). Angesichts des Umstands, dass im summarischen Bewilligungsverfahren die blosse Glaubhaftmachung genügt, muss der ordentliche Richter nach zutreffender Auffassung der herrschenden Lehre aber auch nachprüfen können, ob die besonderen Voraussetzungen des Selbsthilfeverkaufs erfüllt waren (Schraner, a.a.O., N. 32 zu <ref-law>; Weber, a.a.O., N. 34 zu <ref-law>; Oser/ Schönenberger, Zürcher Kommentar, N. 5 zu <ref-law>; Frank/Sträuli/ Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., Zürich 1997, N. 2a zu <ref-law>/ZH; Bucher, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, 2. Aufl., 1988, S. 323; Demian Stauber, Die Rechtsfolgen des Gläubigerverzugs, 2009, S. 173 Rz. 452; Frage offengelassen in BGE 42 II 219 E. 3 S. 224). Becker (Berner Kommentar, N. 30 zu Art. 92/94 OR) hegt dagegen Bedenken, weil der Schuldner hinsichtlich der besonderen Voraussetzungen, insbesondere der Angemessenheit der dem Gläubiger angesetzten Frist, seine Massnahmen treffen müsse, ohne stets die individuellen Verhältnisse des Gläubigers zu kennen. Deshalb sei es billig, dass der Entscheid des summarischen Richters endgültig sei und er sich darauf verlassen könne. Dem hält Weber (a.a.O.) überzeugend entgegen, dass Sinn und Zweck von <ref-law> keine Unüberprüfbarkeit des Bewilligungsentscheids verlangen und sich bei unbilligen Schadenersatzforderungen wegen eines ungerechtfertigten Selbsthilfeverkaufs eine Korrektur immer noch dadurch bewirken lasse, dass der Richter bei der Schadenersatzbemessung eine Korrektur vornehme.
5.2 Freiwillige (nichtstreitige) Gerichtsbarkeit meint die Mitwirkung staatlicher Organe, seien es Gerichte oder Verwaltungsbehörden, bei der Begründung, Änderung oder Aufhebung von Privatrechtsverhältnissen (MAX GULDENER, Grundzüge der freiwilligen Gerichtsbarkeit der Schweiz, 1954, S. 2). Rechtsprechung und Lehre haben sich eingehend mit dem Begriff der freiwilligen Gerichtsbarkeit befasst, ohne dass sich dabei eine eindeutige Definition herauskristallisiert hätte (NICOLAS VON WERDT, in: Berger et al. [Hrsg.], Kommentar zum Bundesgesetz über den Gerichtsstand in Zivilsachen, 2005, N. 6 zu Art. 11 GestG; vgl. auch <ref-ruling> E. 2c S. 476). Meist tritt nur eine einzige Partei als Gesuchsteller auf. Mitunter handelt die Behörde von Amtes wegen. Das Vorliegen eines Ein- oder Mehrparteienverfahrens bildet nicht das entscheidende Abgrenzungsmerkmal. Zwar besteht das Wesen der freiwilligen Gerichtsbarkeit nicht wie bei der streitigen Gerichtsbarkeit darin, dass im Verhältnis zwischen einem Kläger und einem Beklagten entschieden wird, was rechtens ist. Doch erfolgt die Rechtsanwendung auch bei der freiwilligen Gerichtsbarkeit in einem Verfahren, in dem sich unter Umständen zwei Parteien gegenüberstehen können, aber nicht notwendig gegenüberstehen müssen (MAX GULDENER, a.a.O., S. 2; DERSELBE, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl., 1979, S. 42 und 44). Zudem mündet ein solches Verfahren in ein (streitiges) Zweiparteienverfahren, wenn ein Betroffener gegen den Entscheid bzw. eine Amtshandlung der freiwilligen Gerichtsbarkeit Einspruch erhebt oder ein Rechtsmittel ergreift; diesfalls wird das Verfahren der freiwilligen Gerichtsbarkeit sachlich zu einem Zivilprozess, der aber formell als Verfahren der freiwilligen Gerichtsbarkeit weitergeführt wird (GULDENER, freiwillige Gerichtsbarkeit, a.a.O., S. 6; DERSELBE, Zivilprozessrecht, a.a.O., S. 44). Generell lässt sich sagen, dass im Bereich der freiwilligen Gerichtsbarkeit getroffene Entscheidungen nicht in materielle Rechtskraft erwachsen, d.h. auf sie zurückgekommen werden kann (Habscheid, Schweizerisches Zivilprozess- und Gerichtsorganisationsrecht, 2. Aufl., 1990, S. 80; vgl. z.B. <ref-ruling> E. 2.2.1).
Der freiwilligen Gerichtsbarkeit im Sinne von Art. 11 GestG werden diejenigen Zivilverfahren zugeordnet, die nicht unter den Begriff der Zivilrechtsstreitigkeit fallen (VON WERDT, a.a.O., N. 10 zu Art. 11 GestG; CLAUDIA SPÜHLER, in: Spühler/Tenchio/Infanger [Hrsg.], Bundesgesetz über den Gerichtsstand in Zivilsachen, Kommentar, 2001, N. 3 zu Art. 11 GestG). Als Zivilrechtsstreitigkeit gilt ein kontradiktorisches Verfahren zwischen mindestens zwei Parteien, das auf die endgültige, dauernde Regelung zivilrechtlicher Verhältnisse im Sinne einer res iudicata abzielt (vgl. <ref-ruling> E. 1a; <ref-ruling> E. 1a S. 349). Letzteres Element fehlt bei der Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs. Das richterliche Bewilligungsverfahren dient der Prüfung, ob die Voraussetzungen für einen Selbsthilfeverkauf erfüllt sind. Es führt aber nicht zu einem Urteil mit materieller Rechtskraftwirkung über das Rechtsverhältnis zwischen Schuldner und Gläubiger (vgl. die vorstehende Erwägung 5.1). Dass der Gläubiger nach Möglichkeit anzuhören ist, ändert nichts, da wie ausgeführt auch bei der freiwilligen Gerichtsbarkeit zwei Parteien auftreten können (in diesem Sinn auch <ref-ruling> E. 2c S. 476; <ref-ruling> E. 3b).
Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, verfängt nicht. Sie argumentiert, durch den Selbsthilfeverkauf werde erheblich in die Rechte des Gläubigers eingegriffen und die ursprüngliche Sachleistungsschuld in eine Geldleistungsschuld umgewandelt; der Richter befreie den Schuldner endgültig von seiner Sachleistungspflicht und ermögliche ihm die Vertragserfüllung durch Aushändigung oder Hinterlegung des Verkaufserlöses; der Selbsthilfeverkauf könne nach seiner Abwicklung nicht mehr rückgängig gemacht werden; es könne damit nicht davon gesprochen werden, dass mit dem Entscheid nach <ref-law> keine zivilrechtlichen Verhältnisse im Sinne einer res iudicata geregelt würden. Damit verkennt die Beschwerdeführerin, dass mit der Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs selber noch keine Umgestaltung des Schuldverhältnisses zwischen dem Gläubiger und dem Schuldner erfolgt. Im vorliegenden Fall wurde der Beschwerdegegnerin denn auch lediglich bewilligt, nach vorgängiger Androhung mit einer Frist von sechs Wochen das Flugzeug öffentlich versteigern zu lassen. Dem Gläubiger steht es innerhalb dieser Frist frei, die Sache entgegenzunehmen und damit den Selbsthilfeverkauf und die Umgestaltung des Rechtsverhältnisses abzuwenden (vgl. WEBER, a.a.O., N. 26 zu <ref-law>; SCHRANER, a.a.O., N. 27 zu <ref-law>). Es kann auch insoweit nicht davon gesprochen werden, dass die richterliche Bewilligung nach <ref-law> auf eine endgültige Regelung zivilrechtlicher Verhältnisse zielt.
Das Gesuchsverfahren zur richterlichen Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs zählt demnach zur freiwilligen Gerichtsbarkeit im Sinne von Art. 11 GestG (so auch DONZALLAZ, Commentaire de la loi fédérale sur les fors en matière civile, 2001, N. 19 zu Art. 11 GestG; VON WERDT, a.a.O., N. 64 zu Art. 11 GestG; STAUBER, a.a.O., S. 171 Rz. 449; ohne nähere Begründung a.A.: WIRTH, in: Müller/Wirth [Hrsg.], Gerichtsstandsgesetz, Kommentar, 2001, N. 43 zu Art. 11 GestG).
Nach Art. 11 GestG ist das Gericht am Wohnsitz bzw. Sitz der gesuchstellenden Partei zuständig, sofern das Gesetz nichts anderes bestimmt. Letzteres trifft für die Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs nach <ref-law> nicht zu, weshalb hierfür der Richter am Wohnsitz bzw. Sitz der gesuchstellenden Partei örtlich zuständig ist (so ausdrücklich BERNET, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>; SCHRANER, a.a.O., N. 29 zu <ref-law>; LOERTSCHER, Commentaire romand, N. 8 zu <ref-law>; STAUBER, a.a.O., S. 172 Rz. 450 in fine).
5.3 Ob aus Praktikabilitätsgründen und zur Vermeidung unnötiger Kosten neben dem Wohnsitz bzw. Sitz der gesuchstellenden Partei der Ort der gelegenen Sache als alternativer Gerichtsstand in Frage kommt, wie dies mehrere Autoren befürworten (WEBER, a.a.O., N. 30 zu <ref-law>; BERNET, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>; LOERTSCHER, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>; FRANK/STRÄULI/MESSMER, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>/ZH; STAUBER, a.a.O., S. 172 Rz. 450), braucht nicht entschieden zu werden, da in casu derselbe nicht angerufen wurde.
5.4 Da vorliegend die Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs nicht als vorsorgliche Massnahme ausgesprochen wurde (vgl. Erwägung 3), kommt Art. 33 GestG, der für vorsorgliche Massnahmen zwingend den Gerichtsstandstand der Hauptsache oder des Vollstreckungsortes vorsieht, nicht zur Anwendung.
5.5 Zusammenfassend hat die Vorinstanz den Einzelrichter des Zivilgerichts Basel-Stadt zu Recht als örtlich zuständig erklärt.
6. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe unter Missachtung von <ref-law> ihre Kognition auf die Verletzung des Willkürverbots und wesentlicher Verfahrensmängel eingeschränkt.
Die unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts muss mindestens die Rügen nach den Art. 95 - 98 BGG prüfen können (<ref-law>).
Da vorliegend kein Entscheid über eine vorsorgliche Massnahme angefochten ist (vgl. Erwägung 3), ist die Rechtskontrolle des Bundesgerichts nicht auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte beschränkt, sondern umfasst die freie Prüfung von Bundesrechtsverletzungen. Die Sachverhaltskontrolle ist dagegen auf offensichtlich unrichtige Feststellungen beschränkt (vgl. Erwägung 4). Über eine entsprechende Kognition muss auch die unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts verfügen.
Die Behörde, die eine umfassende Kognition besitzt, begeht eine formelle Rechtsverweigerung, wenn sie sich mit einer blossen Willkürprüfung begnügt (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2a S. 71 mit Hinweis). Im angefochtenen Entscheid wird auf das eingeschränkte Rügespektrum des kantonalen Beschwerdeverfahrens hingewiesen (Urteil E. 1 S. 2). Dies könnte den Schluss nahe legen, dass die Vorinstanz die Beschwerde mit eingeschränkter Kognition geprüft hat. Eine nähere Betrachtung lässt indessen die Annahme einer formellen Rechtsverweigerung nicht zu. Die Vorinstanz weist in ihrer Vernehmlassung mit Grund darauf hin, dass sie die Frage der Zuständigkeit frei geprüft habe. Die Sachverhaltsfragen habe sie - entsprechend der erhobenen Rügen - eingeschränkt auf Willkür geprüft, nicht aber die rechtliche Beurteilung der Voraussetzungen des Selbsthilfeverkaufs. Die Beschwerdeführerin konkretisiert denn auch nicht, dass die Vorinstanz effektiv eine von der Beschwerdeführerin erhobene Rüge einer Bundesrechtsverletzung nicht uneingeschränkt geprüft hätte. Sie begnügt sich mit allgemeinen Betrachtungen zu der nach <ref-law> von der Vorinstanz geforderten Kognition, zeigt aber eine Verletzung dieser Bestimmung im konkreten Fall nicht auf. Ihre Rüge verbleibt daher im Leeren.
7. Die Vorinstanz entschied, dass der Beschwerdegegnerin das Recht zum Selbsthilfeverkauf zukomme, da sie die Voraussetzungen des Gläubigerverzugs und die speziellen Voraussetzungen des Selbsthilfeverkaufs glaubhaft gemacht habe. Die Beschwerdeführerin bestreitet das eine wie das andere.
7.1 Sie macht zunächst geltend, es liege keine Sachleistung vor. Bestehe die schuldnerische Hauptverpflichtung in einer Arbeitsleistung wie vorliegend in der Wartung oder Reparatur einer Sache, fehle es schon begrifflich an einer Sachleistung. Ein Selbsthilfeverkauf sei daher ausgeschlossen. Als Rechtsbehelf stehe dem Schuldner nur der Rücktritt vom Vertrag nach <ref-law> offen.
Ist eine andere als eine Sachleistung geschuldet, zum Beispiel eine Arbeits- oder Dienstleistung, scheidet eine Hinterlegung (mit oder ohne vorausgehendem Selbsthilfeverkauf) selbstredend aus. Es gibt nichts Körperliches, das hinterlegt werden könnte. In diesem Fall greift der Rechtsbehelf des Vertragsrücktritts nach <ref-law>. Dieser dient insbesondere dem Unternehmer im Rahmen eines Werkvertrags, wenn der Besteller durch die Verweigerung der ihm obliegenden Vorbereitungshandlungen Beginn oder Vollendung des Werks verhindert (WEBER, a.a.O., N. 11 zu <ref-law> mit weiteren Hinweisen). Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, ist die Situation anders bei Werkverträgen, welche die Reparatur oder die Wartung einer Sache zum Gegenstand haben, die der Schuldner in Besitz erhalten hat und die er nach Werkvollendung dem Gläubiger zurückgeben soll. Ist dem Schuldner die Rückgabe der Sache wegen des Gläubigerverzugs verunmöglicht, muss ihm eine Hinterlegung nach den Art. 92-94 OR gestattet sein (SCHRANER, a.a.O., N. 26 zu <ref-law>; WEBER, a.a.O., N. 25 zu <ref-law>; BERNET, a.a.O., N. 4 zu <ref-law>; VON THUR/ESCHER, Allgemeiner Teil des schweizerischen Obligationenrechts, Bd. II, 3. Aufl., 1974, S. 82 bei Fn. 53). Die Nebenpflicht zur Rückgabe der Sache beschlägt eine Sachleistung im Sinne von <ref-law>. Dies hat die Vorinstanz zutreffend erkannt und demnach kein Bundesrecht verletzt.
7.2 Weiter bestreitet die Beschwerdeführerin, dass sie sich zur Zeit der Gesuchseinreichung (20. Februar 2009) im Annahmeverzug befunden habe. Das Luftfahrzeug sei nicht flugtauglich gewesen, da die betriebsnotwendigen Manuals und Unterhaltsbescheinigungen gefehlt hätten. Ausserdem sei zu Jahresanfang (2009) der Startgenerator ausgefallen, so dass das Flugzeug nicht einmal vom Boden hätte abheben können. Die Aufforderung, der Auswechslung des Startgenerators zuzustimmen, sei jedoch erst im März 2009 und damit zu spät erfolgt.
7.2.1 Die Vorinstanz stellte fest, dass die Flugtüchtigkeit des Flugzeugs durch das Lufttüchtigkeits- und Folgezeugnis des BAZL vom 19. Juni 2008 attestiert war und der Beschwerdeführerin somit am 21. Juli 2008 das vollendete Werk zur Annahme angeboten worden war. Im Lufttüchtigkeits- und Folgezeugnis des BAZL vom 19. Juni 2008 heisse es wörtlich: "Gemäss der geltenden Verordnung (...) des Europäischen Parlaments und des Rates bescheinigt der Mitgliedstaat hiermit, dass das nachfolgend aufgeführte Luftfahrzeug (...) zum Zeitpunkt der Ausstellung der vorliegenden Bescheinigung als lufttüchtig anzusehen ist." Das Gleiche bestätige auch Z._, der unbestritten Aviatikexperte sei, in seinem Schreiben vom 25. Juli 2008. Die Beschwerdeführerin habe demgegenüber nicht im Ansatz dargelegt, inwiefern die Erstinstanz in Willkür verfallen sein soll, wenn sie die Flugtüchtigkeit als glaubhaft gemacht betrachtet habe.
Dem widerspricht die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht und wirft der Vorinstanz Willkür vor. Sie habe bereits in ihrer kantonalen Beschwerde gerügt, es sei durch eine unvollständige Ermittlung des Sachverhalts in willkürlicher Weise von einem vollendeten Werk ausgegangen worden. In der Beschwerdereplik habe sie ergänzt, dass der erstinstanzliche Richter willkürlich verkannt habe, dass ein Flugzeug ohne die vorgeschriebenen Papiere nicht einsatzfähig sei. Mit diesen Aktenhinweisen zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, dass sie konkrete Tatsachen behauptet und substantiiert hätte, die von der Vorinstanz übersehen worden wären und nach denen die Vorinstanz hätte schliessen müssen, die Erstinstanz habe die Flugtüchtigkeit willkürlich für glaubhaft gemacht erachtet, obwohl das BAZL und ein Experte diese bestätigt hatten. Sie kann dies im Rahmen des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens nicht nachholen und ist mit ihren diesbezüglichen Ausführungen nicht zu hören, mit denen sie vom vorinstanzlich verbindlich festgestellten Sachverhalt abweicht, ohne hinlängliche Sachverhaltsrügen zu erheben. Ist aber von der Flugtüchtigkeit des Flugzeugs auszugehen, ist es auch glaubhaft, dass die Beschwerdeführerin in Gläubigerverzug fiel, als sie das am 21. Juli 2008 angebotene vollendete Werk nicht annahm. Auch dies hat die Vorinstanz ohne Bundesrechtsverletzung erkannt.
7.2.2 Ebenso wenig verfängt der weitere Einwand der Beschwerdeführerin betreffend den Ausfall des Startgenerators. Die Beschwerdeführerin hält es für massgeblich, ob sie sich im Zeitpunkt der Einreichung des Bewilligungsgesuchs durch die Beschwerdegegnerin am 20. Februar 2009 im Annahmeverzug befunden habe, was sie mit der Begründung bestreitet, der Startgenerator sei bereits zu Jahresanfang 2009 ausgefallen.
Vorab ist dem angefochtenen Entscheid nicht zu entnehmen, dass der Startgenerator zu Jahresanfang 2009 ausgefallen sei. Darauf kann somit nicht abgestellt werden (<ref-law>) und die Argumentation der Beschwerdeführerin, im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (20. Februar 2009) habe sie sich mangels Flugtauglichkeit des Flugzeugs nicht im Annahmeverzug befunden, entbehrt der tatsächlichen Grundlage. Ohnehin begründet die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich, weshalb es massgeblich sein soll, ob sie sich im Zeitpunkt der Einreichung des Bewilligungsgesuchs am 20. Februar 2009 im Annahmeverzug befunden habe. Die Vorinstanz stellte darauf ab, ob die tatsächlichen Voraussetzungen des Annahmeverzugs im Zeitpunkt der erstinstanzlichen Beurteilung des Gesuchs, am 3. Juni 2009, glaubhaft gemacht waren. Für die Frage, ob dem Urteil die Verhältnisse in diesem Zeitpunkt zugrundezulegen waren, ist das kantonale Recht massgebend (vgl. <ref-ruling> E. 7b; VOGEL/SPÜHLER, Grundriss des Zivilprozessrechts, 8. Aufl., 2006, S. 210 Rz. 102). Die Beschwerdeführerin begründet nicht, inwiefern die Vorinstanz dieses willkürlich angewendet haben soll, indem sie ihrem Entscheid den Sachverhalt im Zeitpunkt des erstinstanzlichen Entscheids zugrunde legte.
Die Vorinstanz durfte es nach dem vorstehend (Erwägung 7.2.1) Ausgeführten als glaubhaft erachten, dass die Beschwerdeführerin bereits im Juli 2008 in Annahmeverzug geraten war. Es ist schon grundsätzlich fraglich, ob der Ausfall des Startgenerators vorliegend zur Beendigung des damals eingetretenen Annahmeverzugs durch Entfallen der Leistungsbereitschaft führen konnte (vgl. dazu WEBER, a.a.O., N. 168 zu <ref-law>; SCHRANER, a.a.O., N. 134 zu <ref-law>). Denn der Startgenerator fiel nach Eintritt des Annahmeverzugs, während des Verbleibs des Flugzeugs bei der Beschwerdegegnerin, aus und es handelt sich dabei nach den vorinstanzlichen Feststellungen um einen Stillstandsschaden, mithin wohl um einen solchen, der ohne Verschulden der Beschwerdegegnerin eintrat. Wie es sich damit verhält, kann hier allerdings offen gelassen werden.
Denn die Vorinstanz hielt es für glaubhaft, dass sich die Beschwerdeführerin jedenfalls zur Zeit der Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs, am 3. Juni 2010, in Annahmeverzug befand, weil sie ihre Mitwirkungspflicht im Sinne von <ref-law> verletzt und damit die Herstellung des ordnungsgemässen Zustandes selbst verunmöglicht habe. So habe sie bis zu diesem Zeitpunkt die Zustimmung zum Auswechseln des Startgenerators nicht erteilt, obwohl sie durch die Beschwerdegegnerin am 10. sowie am 27. März 2009 über den Ausfall desselben informiert worden sei. Diese Beurteilung wird von der Beschwerdeführerin nicht in Frage gestellt und ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden.
7.3 Demnach erweisen sich die Vorbringen der Beschwerdeführerin gegen die Bewilligung des Selbsthilfeverkaufs als unbegründet, soweit sie zu hören sind. Damit kann offen bleiben, ob die Beschwerdeführerin überhaupt ein Rechtsschutzinteresse an der Verhinderung des Selbsthilfeverkaufs hat bzw. ob sie sich mit ihrem Widerstand gegen die Bewilligung nicht rechtsmissbräuchlich verhält, nachdem sie - wie die Beschwerdegegnerin vorbringt - die Rücknahme des Flugzeugs ausdrücklich abgelehnt habe und stattdessen Schadenersatz verlange.
8. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Die Parteientschädigung wird nicht nach der vom Rechtsanwalt der Beschwerdegegnerin eingereichten Kostennote, sondern nach der Praxis des Bundesgerichts auf Fr. 7'000.-- bestimmt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Zivilgericht Basel-Stadt, Einzelrichter, und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer