Sachverhalt:
A. Das Bundesamt für Migration eröffnete am 26. August 2008 gegen X._ ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung gemäss <ref-law>. Mit Verfügung vom 30. November 2010 erklärte das Bundesamt die am 7. Dezember 2005 erfolgte erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 3. Januar 2011 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bundesverwaltungsgericht wies mit Zwischenverfügung vom 28. Januar 2011 das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt Verbeiständung ab und forderte den Beschwerdeführer zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.-- auf. Zur Begründung führte das Gericht zusammenfassend aus, dass die Beschwerde aufgrund der derzeitigen Aktenlage als aussichtslos zu bezeichnen sei.
X._ führte dagegen beim Bundesgericht Beschwerde. Mit Urteil vom 17. März 2011 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde im Verfahren nach <ref-law> mangels hinreichender Begründung nicht ein (Verfahren 1C_85/2011).
B. In der Folge setzte das Bundesverwaltungsgericht X._ am 11. April 2011 eine neue Frist zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.--. Dieser wurde innert der gesetzten Frist geleistet.
Nach Abschluss eines weitern Verfahrens vor Bundesverwaltungsgericht betreffend Ausstand (Zwischenverfügung vom 21. November 2011, Verfahren C-5128/2011) ersuchte X._ erneut um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Er begründete das neue Ersuchen wiederum mit seiner prekären finanziellen Lage.
Mit Zwischenverfügung vom 12. April 2012 wies die Instruktionsrichterin des Bundesverwaltungsgerichts das erneute Gesuch ab. Zur Begründung führte sie aus, die aktuelle Eingabe von X._ vermöge an der Einschätzung der Aussichtslosigkeit der Begehren in der Hauptsache nichts zu ändern.
C. Gegen diesen Entscheid hat X._ beim Bundesgericht am 14. Mai 2012 Beschwerde erhoben. Er stellt den Antrag, es sei die angefochtene Zwischenverfügung aufzuheben und es sei ihm im Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht wie auch im Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im Sinne von Art. 41 und 64 BGG zu gewähren.
Das Bundesamt für Migration und das Bundesverwaltungsgericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen die Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts zulässig. Sie unterliegt den Begründungsanforderungen des Bundesgerichtsgesetzes. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Im angefochtenen Entscheid erachtet das Bundesverwaltungsgericht die zugrunde liegende Beschwerdesache für aussichtslos und verweist zur Begründung auf die Zwischenverfügung vom 28. Januar 2011. In dieser ist die Aussichtslosigkeit ausführlich dargelegt worden. Dies erfordert im vorliegenden Verfahren eine entsprechende Auseinandersetzung mit dieser Begründung.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Bundesverwaltungsgerichts nicht näher auseinander, sodass fraglich ist, ob auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann. Seine wenigen materiellen Vorbringen vermögen den angefochtenen Entscheid nicht als bundesrechtswidrig erscheinen lassen. Die finanzielle Lage des Beschwerdeführers ist in Anbetracht der von der Vorinstanz angenommenen Aussichtslosigkeit von vornherein unbehelflich. Auf die massgeblichen Sachumstände - Unterzeichnung der gemeinsamen Erklärung am 14. März 2005, erleichterte Einbürgerung vom 7. Dezember 2005, Eheschutzverfahren vom 16. Februar 2006 ohne Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft, Aussagen der geschiedenen Ehefrau - wird nicht näher eingegangen. Der Beschwerdeführer vermag die Vermutung der Erschleichung der erleichterten Einbürgerung nicht durch einen Gegenbeweis oder durch erhebliche Zweifel umzustürzen. Trotz eines entsprechenden Hinweises setzt er sich auch mit <ref-ruling> nicht auseinander. Somit wird die Annahme der Aussichtslosigkeit der zugrunde liegenden Beschwerdesache nicht ernsthaft in Zweifel gezogen.
Daran ändert im vorliegenden Verfahren auch die Berufung auf <ref-law> und <ref-law> nichts. Nachdem der Kostenvorschuss geleistet worden ist, steht einer materiellen Beurteilung durch das Bundesverwaltungsgericht nichts mehr im Wege. Es ist daher nicht von Bedeutung, dass der Beschwerdeführer seinen Wohnsitz nach Irland verlegt hat.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Gleichermassen ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen. Es rechtfertigt sich, auf Kosten zu verzichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Oktober 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Steinmann