Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. In einem gegen den Angeschuldigten Y._, geboren 20. August 1985, gerichteten Strafverfahren ernannte die Präsidentin des Jugendstrafgerichts des Kantons Basel-Stadt am 2. Dezember 2002 Advokat Z._ als dessen unentgeltlichen amtlichen Verteidiger. X._, die Mutter des Angeschuldigten, hatte zur Wahrung ihrer Interessen ebenfalls einen unentgeltlichen Rechtsbeistand beantragt. Das Begehren wurde sowohl von der Präsidentin des Jugendstrafgerichts wie auf Beschwerde hin auch vom Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt abgewiesen. Das Bundesgericht hat mit Urteil 1P.159/2003 vom 24. April 2003 eine staatsrechtliche Beschwerde gegen das Urteil des Appellationsgerichts gutgeheissen. In der Folge bestellte die Präsidentin des Jugendstrafgerichts Advokatin A._ als unentgeltliche Rechtsvertreterin von X._.
A. In einem gegen den Angeschuldigten Y._, geboren 20. August 1985, gerichteten Strafverfahren ernannte die Präsidentin des Jugendstrafgerichts des Kantons Basel-Stadt am 2. Dezember 2002 Advokat Z._ als dessen unentgeltlichen amtlichen Verteidiger. X._, die Mutter des Angeschuldigten, hatte zur Wahrung ihrer Interessen ebenfalls einen unentgeltlichen Rechtsbeistand beantragt. Das Begehren wurde sowohl von der Präsidentin des Jugendstrafgerichts wie auf Beschwerde hin auch vom Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt abgewiesen. Das Bundesgericht hat mit Urteil 1P.159/2003 vom 24. April 2003 eine staatsrechtliche Beschwerde gegen das Urteil des Appellationsgerichts gutgeheissen. In der Folge bestellte die Präsidentin des Jugendstrafgerichts Advokatin A._ als unentgeltliche Rechtsvertreterin von X._.
B. Das Verfahren gegen Y._ wurde mit Entscheid des Jugendstrafgerichts vom 21. Mai 2003 erstinstanzlich abgeschlossen. Im Hinblick auf die Entschädigung der unentgeltlichen Rechtsbeistände enthält der Beschluss folgende Regelung: Gemäss Ziffer 4 erhält Z._ entsprechend seiner Honorarnote vom 20. Mai 2003 Fr. 3'532.50 zuzüglich Mehrwertsteuer und Spesenvergütung. Ziffer 5 des Urteils bestimmt bezüglich A._ nach Kenntnisnahme ihrer Rechnung vom 21. Mai 2003, ihr werde ein angemessenes Honorar ausgerichtet. Die Bemessung der Höhe werde in einem separaten Kostenentscheid festgesetzt.
Der Kostenentscheid wurde am 16. Juni 2003 von der Präsidentin des Jugendstrafgerichts gefällt. Sie setzte das Honorar von A._ auf Fr. 4'125.-- zuzüglich Mehrwertsteuer und Auslagenersatz fest. Im Ergebnis kürzte sie damit die Honorarforderung im Hinblick auf den anrechenbaren Stundenaufwand im Umfang von über zwei Dritteln.
Der Kostenentscheid wurde am 16. Juni 2003 von der Präsidentin des Jugendstrafgerichts gefällt. Sie setzte das Honorar von A._ auf Fr. 4'125.-- zuzüglich Mehrwertsteuer und Auslagenersatz fest. Im Ergebnis kürzte sie damit die Honorarforderung im Hinblick auf den anrechenbaren Stundenaufwand im Umfang von über zwei Dritteln.
C. A._ erhob gegen den Entscheid vom 16. Juni 2003 Beschwerde an das Appellationsgericht. Sie beantragte, es sei seine Nichtigkeit festzustellen, weil er in unrichtiger Besetzung zustande gekommen sei. Eventualiter stellte sie den Antrag, es sei ihr das geforderte Honorar von Fr. 15'135.10 zuzüglich Verzugszinsen zuzusprechen. Der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt hat die Beschwerde mit Urteil vom 10. Dezember 2003 abgewiesen, soweit er darauf eintrat.
C. A._ erhob gegen den Entscheid vom 16. Juni 2003 Beschwerde an das Appellationsgericht. Sie beantragte, es sei seine Nichtigkeit festzustellen, weil er in unrichtiger Besetzung zustande gekommen sei. Eventualiter stellte sie den Antrag, es sei ihr das geforderte Honorar von Fr. 15'135.10 zuzüglich Verzugszinsen zuzusprechen. Der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt hat die Beschwerde mit Urteil vom 10. Dezember 2003 abgewiesen, soweit er darauf eintrat.
D. Gegen das Urteil des Appellationsgerichts führt A._ staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9, 29 und 30 BV. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
Das Appellationsgericht ersucht um Abweisung der Beschwerde. Im zweiten Schriftenwechsel haben die Parteien an ihren Anträgen festgehalten.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid, gegen den die staatsrechtliche Beschwerde zulässig ist (Art. 86 Abs. 1 OG). Die Beschwerdeführerin ist durch das angefochtene Urteil, das ihr eine tiefere als die geforderte Entschädigung zuerkannt hat, in ihren rechtlich geschützten Interessen betroffen (Art. 88 OG). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf ihre staatsrechtliche Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid, gegen den die staatsrechtliche Beschwerde zulässig ist (Art. 86 Abs. 1 OG). Die Beschwerdeführerin ist durch das angefochtene Urteil, das ihr eine tiefere als die geforderte Entschädigung zuerkannt hat, in ihren rechtlich geschützten Interessen betroffen (Art. 88 OG). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf ihre staatsrechtliche Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin rügt, im angefochtenen Urteil sei der Sachverhalt willkürlich gewürdigt worden. Die vom Jugendstrafgericht behauptete Kompetenzdelegation hätte vom Appellationsgericht aufgrund verschiedener Umstände, die sie im Einzelnen ausführt, nicht als bewiesen erachtet werden dürfen. Die Beschwerdeführerin stützt sich dabei auf das bei den Akten liegende Handprotokoll der Hauptverhandlung vom 21. Mai 2003 vor dem Jugendstrafgericht.
Diesen Vorwurf erhebt die Beschwerdeführerin erstmals mit der staatsrechtlichen Beschwerde. Mit diesem Rechtsmittel können grundsätzlich keine Tatsachen und Beweismittel sowie keine rechtlichen Argumente vorgebracht werden, die nicht bereits im kantonalen Verfahren geltend gemacht wurden. Die Beschwerdeführerin beruft sich nicht darauf, dass eine der vom Bundesgericht zugelassenen Ausnahmen von diesem Novenverbot (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3 S. 57, mit Hinweisen) vorliege. In diesem Punkt kann demnach auf die Willkürrüge nicht eingetreten werden.
Diesen Vorwurf erhebt die Beschwerdeführerin erstmals mit der staatsrechtlichen Beschwerde. Mit diesem Rechtsmittel können grundsätzlich keine Tatsachen und Beweismittel sowie keine rechtlichen Argumente vorgebracht werden, die nicht bereits im kantonalen Verfahren geltend gemacht wurden. Die Beschwerdeführerin beruft sich nicht darauf, dass eine der vom Bundesgericht zugelassenen Ausnahmen von diesem Novenverbot (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3 S. 57, mit Hinweisen) vorliege. In diesem Punkt kann demnach auf die Willkürrüge nicht eingetreten werden.
3. Die Beschwerdeführerin wirft dem angefochtenen Urteil weiter vor, damit werde der in <ref-law> verankerte Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts und gleichzeitig auch das Willkürverbot (<ref-law>) verletzt. Das Appellationsgericht habe § 17 Abs. 1 der baselstädtischen Strafprozessordnung (StPO; GS 257.100) vom 8. Januar 1997 missachtet, indem es zugelassen habe, dass die Präsidentin des Jugendstrafgerichts allein das Honorar der Beschwerdeführerin festsetzen durfte.
3.1 Vorab ist dem Einwand des Appellationsgerichts nachzugehen, dass der Beschwerdeführerin eine Berufung auf <ref-law> nicht zustehe. Sie sei nicht Trägerin der daraus abgeleiteten verfassungsmässigen Ansprüche, weil ihre Honorarforderung als Armenanwältin nicht in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden müsse. Zwar habe mit der Präsidentin des Jugendstrafgerichts eine gerichtliche Behörde darüber entschieden. Dies sei aber als verwaltungsrechtliche Verfügung geschehen.
Träger des in <ref-law> verankerten verfassungsmässigen Anspruchs sind jene Personen, die von einem gerichtlichen Verfahren unmittelbar betroffen sind (Alfred Kölz, in: Kommentar aBV, Rz. 6 zu Art. 58; Reinhold Hotz, in: St. Galler Kommentar zur BV, Rz. 6 zu Art. 30). Die Beschwerdeführerin behauptet, nach kantonalem Recht habe die Gerichtsbehörde, die ein Strafverfahren abschliesse, im gerichtlichen Verfahren auch über das Honorar zu entscheiden. Ob dies zutrifft, ist keine Frage des Eintretens, sondern Gegenstand der materiellen Beurteilung. Auf die Rüge, <ref-law> sei verletzt, ist folglich einzutreten.
3.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Diese Vorschrift, die den Gehalt des Art. 58 Abs. 1 aBV übernommen hat, garantiert unter anderem die Einhaltung der jeweils geltenden staatlichen Zuständigkeitsordnung (<ref-ruling> E. 6a S. 191). Die Organisation der Rechtspflege und des gerichtlichen Verfahrens ist grundsätzlich Sache des kantonalen Prozessrechts. Die Bundesverfassung schreibt den Kantonen nicht eine bestimmte Gerichtsorganisation oder ein bestimmtes Verfahren vor. Aus <ref-law> ergeben sich indessen Minimalanforderungen an das kantonale Verfahren. Wird mit staatsrechtlicher Beschwerde eine Verletzung von <ref-law> gerügt, so prüft das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung des kantonalen Gesetzesrechts nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür. Mit freier Kognition beurteilt es indessen, ob die als vertretbar erkannte Auslegung des kantonalen Rechts mit den Garantien von <ref-law> vereinbar ist (<ref-ruling> E. 2b S. 51; <ref-ruling> E. 3b S. 73, je mit Hinweisen).
3.3 Das Jugendstrafgericht ist kein ordentliches erstinstanzliches Gericht im Sinne von § 1 Abs. 1 des Gerichtsorganisationsgesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 27. Juni 1895 (GOG; GS 154.100). Es handelt sich vielmehr um ein grundsätzlich zulässiges Spezial- bzw. Sondergericht (vgl. Robert Hauser/Erhard Schweri, Schweizerisches Strafprozessrecht, 5. Aufl., Basel 2002, § 27 Rz. 14, § 90 Rz. 9). Rechtsgrundlage seiner Tätigkeit ist das Gesetz über die Jugendstrafrechtspflege des Kantons Basel-Stadt vom 20. Mai 1999 (JuStG; GS 257.500). Für seine Gerichtsorganisation ist ergänzend das Gesetz über die Vormundschaftsbehörde und den behördlichen Jugendschutz vom 13. April 1944 (VBG; GS 212.400) massgebend. Das Jugendstrafgericht beurteilt strafbare Handlungen von Unmündigen (§ 6 Abs. 1 JuStG) und trifft weitere Entscheidungen, die ihm durch das JuStG zugewiesen werden, namentlich im Strafvollzugsbereich (vgl. §§ 42 f. JuStG).
§ 2 JuStG erklärt für das Jugendstrafverfahren ergänzend eine ganze Reihe von Bestimmungen der StPO für anwendbar, insbesondere <ref-law> über die Entschädigung amtlich bestellter Verteidiger. Die Frage nach der richtigen Besetzung des Gerichts beurteilt sich im vorliegenden Fall folglich nach <ref-law>. Die Bestimmung, deren Auslegung umstritten ist, lautet:
"Die Behörde, welche das Verfahren abschliesst, legt die angemessene Entschädigung für die Bemühungen und Auslagen der unentgeltlichen Verteidigerin oder des unentgeltlichen Verteidigers in einer Verfügung fest, in welcher allfällige Abweichungen von der beantragten Entschädigung schriftlich begründet werden. [...]"
3.4 Eine Gesetzesbestimmung ist in erster Linie nach ihrem Wortlaut auszulegen. Eine kantonale Behörde verfällt nicht in Willkür, wenn sie sich an den klaren und unzweideutigen Wortlaut einer Gesetzesbestimmung hält (<ref-ruling> E. 3c S. 164). Umgekehrt darf sie ohne Willkür vom Gesetzeswortlaut abweichen, wenn triftige Gründe dafür bestehen, dass er nicht den wahren Sinn der Bestimmung wiedergibt. Solche Gründe können sich aus der Entstehungsgeschichte, aus Sinn und Zweck der Vorschrift und aus dem Zusammenhang mit anderen Gesetzesbestimmungen ergeben (<ref-ruling> E. 3 S. 16 f. und die seitherige Rechtsprechung; <ref-ruling> E. 2.4 S. 236). Bei der Auslegung organisatorischer Vorschriften auf Verfassungsstufe gilt es vermehrt den historischen Elementen Rechnung zu tragen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 330). Die Auslegung des Prozessrechts folgt hingegen den allgemeinen Regeln (<ref-ruling> E. 6a S. 254), so dass keinem der Auslegungselemente eine vorrangige Bedeutung zukommt.
<ref-law> weist die Kompetenz für die Festlegung der Entschädigung eines unentgeltlichen Verteidigers derjenigen Behörde zu, die das strafrechtliche Verfahren abschliesst. Damit wird keine einheitliche Zuständigkeit für diesen Entscheid vorgesehen, sondern auf die in der Hauptsache anwendbare Ordnung verwiesen. Trotz dieser Offenheit erweist sich die auszulegende Bestimmung als unmissverständlich und klar. Das Jugendstrafgericht konnte sich nicht auf den Wortlaut von <ref-law> stützen, als es die ihm zustehende Kompetenz an die Präsidentin des Jugendstrafgerichts delegiert hat. Im Übrigen enthalten weder das JuStG noch die StPO eine allgemeine Bestimmung, wonach das Jugendstrafgericht seine Entscheidungsbefugnis im Einzelfall auf den Gerichtspräsidenten übertragen kann. Es ist zu prüfen, ob triftige Gründe zur Annahme vorgelegen haben, der erkannte Wortlaut von <ref-law> gebe nicht den wahren bzw. den vollen Sinn der Bestimmung wieder.
<ref-law> weist die Kompetenz für die Festlegung der Entschädigung eines unentgeltlichen Verteidigers derjenigen Behörde zu, die das strafrechtliche Verfahren abschliesst. Damit wird keine einheitliche Zuständigkeit für diesen Entscheid vorgesehen, sondern auf die in der Hauptsache anwendbare Ordnung verwiesen. Trotz dieser Offenheit erweist sich die auszulegende Bestimmung als unmissverständlich und klar. Das Jugendstrafgericht konnte sich nicht auf den Wortlaut von <ref-law> stützen, als es die ihm zustehende Kompetenz an die Präsidentin des Jugendstrafgerichts delegiert hat. Im Übrigen enthalten weder das JuStG noch die StPO eine allgemeine Bestimmung, wonach das Jugendstrafgericht seine Entscheidungsbefugnis im Einzelfall auf den Gerichtspräsidenten übertragen kann. Es ist zu prüfen, ob triftige Gründe zur Annahme vorgelegen haben, der erkannte Wortlaut von <ref-law> gebe nicht den wahren bzw. den vollen Sinn der Bestimmung wieder.
3.5 3.5.1 Das Appellationsgericht macht sinngemäss geltend, der Honorarentscheid gehöre zur Justizverwaltung, so dass eine Delegation der Entscheidungsbefugnis ohne gesetzliche Grundlage möglich sei. Diese Begründung wurde im Verfahren vor Bundesgericht nachgeschoben.
3.5.2 Wird der bedürftigen Partei ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt, übernimmt dieser eine staatliche Aufgabe und tritt zum Staat in ein Rechtsverhältnis, aufgrund dessen er einen öffentlichrechtlichen Anspruch auf Entschädigung im Rahmen der anwendbaren kantonalen Vorschriften hat (<ref-ruling> E. 3b S. 325 mit Hinweisen). In der Lehre wird - freilich mit Blick auf die zürcherischen Verhältnisse - die Auffassung vertreten, dass die Festsetzung des Honorars eines unentgeltlichen amtlichen Verteidigers unter die Justizverwaltung einzuordnen sei (Robert Hauser/Erhard Schweri, Kommentar zum zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz vom 13. Juni 1976, Zürich 2002, § 201 Rz. 2, 53).
Mit dem Begriff der Justizverwaltung werden die internen Verwaltungsgeschäfte erfasst, welche die Gerichte neben der eigentlichen Rechtsprechung im Rahmen ihrer Selbstverwaltung zu erledigen haben (wie die Geschäftsverteilung oder die Anstellung des Gerichtspersonals und weiterer Hilfskräfte; vgl. Adrian Staehelin/Thomas Sutter, Zivilprozessrecht, Zürich 1992, § 5 Rz. 5; Marie-Louise Stamm, Die Justiz, in: Die Baselstädtische Kantonsverfassung, Kurt Eichenberger u.a. [Hrsg.], Basel 2001, S. 146). Die Justizverwaltung gehört funktionell zum Verwaltungsrecht (Ulrich Häfelin/Georg Müller, Grundriss des Allgemeinen Verwaltungsrechts, 4. Aufl., Zürich 2002, Rz. 21, 46). Das Verwaltungsrecht zeichnet sich durch Besonderheiten im Rechtsschutz aus (Häfelin/Müller, a.a.O., Rz. 88 f.). Da die Kantone in der Ausgestaltung ihrer Gerichtsorganisation wie dargelegt grundsätzlich frei sind, ist die Einordnung an Hand der einschlägigen kantonalen Bestimmungen vorzunehmen.
3.5.3 Gemäss <ref-law> ist der Honorarentscheid in einer Verfügung zu treffen. Da sich diese Bezeichnung auf die Entscheide aller Behörden bezieht, die ein Strafverfahren abschliessen, ist es offensichtlich, dass der Verfügungsbegriff insofern in einem untechnischen Sinne gemeint ist. Einzig aus diesem Begriff lässt sich daher nicht auf eine verwaltungsrechtliche Natur des Entscheids schliessen.
3.5.4 § 36 Abs. 1 und 2 JuStG regeln die Besetzung des Jugendstrafgerichts bei der Beurteilung von strafbaren Handlungen in seinem Zuständigkeitsbereich. Sie sehen dabei entweder Entscheide der ganzen Kammer oder des Dreierausschusses vor. Zur Justizverwaltung des Jugendstrafgerichts enthalten §§ 6 bis 10 VBG punktuelle Bestimmungen, die im vorliegenden Fall nicht anwendbar sind.
Der strafrechtliche Endentscheid des Jugendstrafgerichts hat gemäss § 38 Abs. 2 JuStG den Anforderungen von <ref-law> zu genügen. Diese Bestimmung umschreibt den Inhalt des Urteilsdispositivs. Zur Urteilsformel gehören unter anderem die Festlegung der Verfahrenskosten und einer allfälligen Entschädigung (<ref-law>). <ref-law>, der gemäss § 2 JuStG im Jugendstrafverfahren gilt, definiert den Umfang der Verfahrenskosten. Laut <ref-law> sind alle Spesen und Auslagen, die im Lauf des Strafverfahrens entstehen, Teil der Verfahrenskosten. Satz 2 dieser Bestimmung enthält eine beispielhafte Aufzählung, was unter die Verfahrenskosten fällt. Das Offizialverteidigerhonorar wird dort nicht aufgeführt. Dem kommt jedoch keine entscheidende Bedeutung zu, weil <ref-law> abschliessend aufzählt, was keine Verfahrenskosten sind. Ausgeschlossen sind demgemäss die Kosten der Übersetzung. Der Begriff der Entschädigung in <ref-law> verweist auf <ref-law>, wo die Entschädigung wegen ungerechtfertigter Strafverfolgung und die Parteientschädigung geregelt sind.
Für einzelne Verfahrenskosten im Sinne von <ref-law> enthält die StPO weitere Rechtsgrundlagen, so auch für die Entschädigung der Zeugen, Auskunftspersonen, Sachverständigen und Übersetzer (vgl. § 52 und § 60 StPO in Verbindung mit § 2 JuStG). Dort fehlt eine Bezeichnung der zuständigen Behörde für die Festlegung der Entschädigungshöhe. Damit sind diese Bestimmungen im Hinblick auf die Bezeichnung der Zuständigkeit deutlich anders ausgestaltet als <ref-law>, wo die Zuständigkeit klar der Behörde zugewiesen ist, welche das Verfahren abschliesst.
§§ 51 und 52 JuStG legen die Rechtsmittelordnung gegen Entscheide des Jugendstrafgerichts fest. Abweichend von der StPO ist die Appellationsmöglichkeit nicht vorgesehen. Vielmehr steht die Beschwerde im Sinne von §§ 184 ff. StPO, allerdings mit verfahrensrechtlichen Besonderheiten, zur Verfügung. In Ergänzung zu den förmlichen Rechtsmitteln kennt das baselstädtische Verfahrensrecht die Aufsichtsbeschwerde gemäss § 71 Abs. 1 Ziff. 4 GOG. Der klassische Anwendungsbereich der Aufsichtsbeschwerde liegt in der Justizverwaltung (Staehelin/Sutter, a.a.O., § 21 Rz. 135; vgl. zur Funktion der Aufsichtsbeschwerde auch Urteil des Appellationsgerichts [Ausschuss] vom 7. April 1995, in: BJM 1996, S. 326 ff.).
3.5.5 Die StPO bestimmt mit § 33 in Verbindung mit § 129 Abs. 2 eingehend und differenziert, was zu den Verfahrenskosten zählt, die im Gerichtsurteil festzulegen sind. Da die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands in <ref-law> nicht erwähnt wird, fällt sie - im Gegensatz etwa zu derjenigen eines Übersetzers - unter die Generalklausel von <ref-law>. Dies bedeutet, dass die Festsetzung des Honorars der Beschwerdeführerin Bestandteil des Strafurteils bzw. des strafrechtlichen Endentscheids ist. In der Gesamtschau mit § 33 und <ref-law> wird der Wortlaut von <ref-law> hinsichtlich der Zuständigkeitsregelung bestätigt.
Bei diesem Ergebnis kann offen gelassen werden, ob es sich bei der Festsetzung des Pflichtverteidigerhonorars um Justizverwaltung handelt. Eine Anordnung von justizverwaltungsrechtlicher Natur kann vom kantonalen Verfahrensrecht auch im Rahmen eines Endurteils vorgesehen sein. Die Einordnung als Justizverwaltungsakt allein würde jedoch noch keinen triftigen Grund bilden, um von der klaren Zuständigkeitsregelung von <ref-law> abzuweichen.
Im Übrigen erscheint es angesichts der Regelung von § 51 f. JuStG fraglich, ob eine Lückenfüllung zur Behandlung des Rechtsmittels der Beschwerdeführerin an das Appellationsgericht als förmliche Beschwerde nötig ist. Diese Frage kann hier aber ebenfalls offen bleiben. Immerhin ist der Beschwerdeführerin zuzustimmen, dass das Appellationsgericht mit seiner nachgeschobenen Begründung in Widerspruch zum angefochtenen Entscheid gerät, weil es ihr Rechtsmittel dort entsprechend seiner Praxis als förmliche Beschwerde im Sinne der StPO - und nicht etwa als Aufsichtsbeschwerde oder gar als verwaltungsrechtliches Rechtsmittel - behandelt hat.
Im Übrigen erscheint es angesichts der Regelung von § 51 f. JuStG fraglich, ob eine Lückenfüllung zur Behandlung des Rechtsmittels der Beschwerdeführerin an das Appellationsgericht als förmliche Beschwerde nötig ist. Diese Frage kann hier aber ebenfalls offen bleiben. Immerhin ist der Beschwerdeführerin zuzustimmen, dass das Appellationsgericht mit seiner nachgeschobenen Begründung in Widerspruch zum angefochtenen Entscheid gerät, weil es ihr Rechtsmittel dort entsprechend seiner Praxis als förmliche Beschwerde im Sinne der StPO - und nicht etwa als Aufsichtsbeschwerde oder gar als verwaltungsrechtliches Rechtsmittel - behandelt hat.
3.6 3.6.1 Im angefochtenen Entscheid führt das Appellationsgericht aus, es sei nicht die Kammer, sondern der Verfahrensleiter, der über die Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung entscheide. Es sei nicht einzusehen, weshalb dieselbe Instanz, die den Auftrag an den Anwalt erteile, nicht auch über die Honorierung entscheiden könne, wenn sie von der urteilenden Behörde ermächtigt werde. Dafür würden auch verfahrensökonomische Gründe sprechen: Es komme vor, dass die Unterlagen für die Festlegung des Honorars kurz vor oder anlässlich der Hauptverhandlung eingereicht würden. Eine sorgfältige Prüfung dieser Unterlagen gerate dann in Widerspruch zum Gebot, das Urteil in der Hauptsache innert möglichst kurzer Frist zu fällen und zu eröffnen. In solchen Fällen müsse es zulässig sein, dass die Festlegung des Honorars für die unentgeltliche Verteidigung an die Verfahrensleitung delegiert werde.
3.6.2 Wie die Beschwerdeführerin zu Recht einwendet, sind die vom Appellationsgericht angeführten Zweckmässigkeitsüberlegungen für eine Delegation des Honorarentscheids nicht stichhaltig. Zwar erscheint es vertretbar, die Festlegung des Honorars in Auslegung von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> in einen separaten Entscheid zu verweisen. Dabei ist aber die gleiche Zuständigkeit zu wahren. Es darf nicht ausser Acht gelassen werden, dass die Rechtsnatur der beiden Entscheide verschieden ist. Im Hinblick auf die Bestellung eines Pflichtverteidigers ergeht ein Zwischenentscheid (vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 209), bei der Entschädigung dagegen ein Endentscheid. Ausserdem sind in den beiden Fällen je unterschiedliche Interessen gegeneinander abzuwägen. Die vom Appellationsgericht angeführte Argumentation bildet daher ebenfalls keinen triftigen Grund, um vom klaren Wortlaut von <ref-law> abzuweichen.
3.7 Die vom Jugendstrafgericht vorgenommene Delegation der Entscheidungsbefugnis an die Präsidentin ist somit insgesamt mit dem massgebenden Verfahrensrecht, insbesondere mit <ref-law>, nicht vereinbar. Die Beschwerdeführerin hat gestützt auf <ref-law> einen geschützten Anspruch darauf, dass die Gerichtsbehörde in der gesetzlich festgelegten Besetzung entscheidet. Dieser Anspruch wurde vorliegend verletzt.
3.7 Die vom Jugendstrafgericht vorgenommene Delegation der Entscheidungsbefugnis an die Präsidentin ist somit insgesamt mit dem massgebenden Verfahrensrecht, insbesondere mit <ref-law>, nicht vereinbar. Die Beschwerdeführerin hat gestützt auf <ref-law> einen geschützten Anspruch darauf, dass die Gerichtsbehörde in der gesetzlich festgelegten Besetzung entscheidet. Dieser Anspruch wurde vorliegend verletzt.
4. Es fragt sich, ob der Mangel in der Besetzung der erstinstanzlichen Richterbank durch die Möglichkeit, das Urteil bei einer ordentlichen Rechtsmittelinstanz mit voller Kognition anzufechten, nachträglich geheilt worden ist (vgl. dazu 127 I 128 E. 4d S. 133 mit Hinweisen).
4.1 Das Appellationsgericht ist im angefochtenen Entscheid auf die bei ihm anstelle einer kurzen Replik eingereichte ausführliche Eingabe vom 13. Oktober 2003 grundsätzlich nicht eingegangen. Aus dem Recht gewiesen wurden insbesondere alle Ausführungen, die sich - im Zusammenhang mit der Honorarkürzung - auf den behaupteten Mehraufwand der Beschwerdeführerin gegenüber demjenigen von Z._ bezogen. Das Appellationsgericht erwog, ihre Darlegungen seien nicht abhängig von der Kenntnisnahme seiner Honorarrechnung gewesen. Dieses Aktenstück war der Beschwerdeführerin erstmals mit der Vernehmlassung des Jugendstrafgerichts vom 31. Juli 2003 im Verfahren vor Appellationsgericht zugestellt worden, zu der das Appellationsgericht die Möglichkeit zur oben erwähnten Replik einräumte.
4.2 Die Beschwerdeführerin rügt insofern eine formelle Rechtsverweigerung und eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV). Sie bringt vor, die Einsichtnahme in die Rechnung von Z._ sei für die Gegenüberstellung mit ihrer eigenen Honorarforderung relevant gewesen. Erst aus seiner - im Übrigen nicht sehr spezifizierten - Rechnung habe sie ersehen, dass der Aufwand in gewissen Punkten unterschiedlich gewesen bzw. in Rechnung gestellt worden sei.
4.3 Der aus <ref-law> fliessende Gehörsanspruch verpflichtet die Behörden unter anderem, den Berechtigten die Gelegenheit zur Stellungnahme zu entscheidwesentlichen Aktenergänzungen einzuräumen (<ref-ruling> E. 2c S. 11; <ref-ruling> E. 2c S. 100 mit Hinweisen). Der Aufwand von Z._ ist gemäss dem angefochtenen Entscheid die massgebliche Vergleichsbasis für die Bemessung des Honorars der Beschwerdeführerin. Als Beleg für seine Leistungen liegt einzig seine Honorarrechnung vor. Sie ist somit als wesentlich für den angefochtenen Entscheid einzustufen. In der summarischen Begründung des erstinstanzlichen Entscheids wurde lediglich das Total seines Stundenaufwands erwähnt. Zwar war der Beschwerdeführerin der Ablauf des vorangegangenen Strafverfahrens bekannt. Den Aufwand von Z._ konnte sie dabei aber im Einzelnen aus eigener Anschauung nicht überblicken. Das Appellationsgericht verletzte das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin, indem es ihr jede Möglichkeit abschnitt, sich mit seiner Rechnung auseinanderzusetzen. Unter diesen Umständen konnte der Verfahrensmangel, dass das erstinstanzliche Gericht bei seinem Entscheid nicht richtig besetzt war, vom Appellationsgericht trotz seiner grundsätzlich vollen Kognition nicht geheilt werden. Eine Heilung des Verfahrensmangels durch das Bundesgerichts selbst ist aufgrund der beschränkten Kognition im Rahmen der staatsrechtlichen Beschwerde nicht möglich.
4.3 Der aus <ref-law> fliessende Gehörsanspruch verpflichtet die Behörden unter anderem, den Berechtigten die Gelegenheit zur Stellungnahme zu entscheidwesentlichen Aktenergänzungen einzuräumen (<ref-ruling> E. 2c S. 11; <ref-ruling> E. 2c S. 100 mit Hinweisen). Der Aufwand von Z._ ist gemäss dem angefochtenen Entscheid die massgebliche Vergleichsbasis für die Bemessung des Honorars der Beschwerdeführerin. Als Beleg für seine Leistungen liegt einzig seine Honorarrechnung vor. Sie ist somit als wesentlich für den angefochtenen Entscheid einzustufen. In der summarischen Begründung des erstinstanzlichen Entscheids wurde lediglich das Total seines Stundenaufwands erwähnt. Zwar war der Beschwerdeführerin der Ablauf des vorangegangenen Strafverfahrens bekannt. Den Aufwand von Z._ konnte sie dabei aber im Einzelnen aus eigener Anschauung nicht überblicken. Das Appellationsgericht verletzte das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin, indem es ihr jede Möglichkeit abschnitt, sich mit seiner Rechnung auseinanderzusetzen. Unter diesen Umständen konnte der Verfahrensmangel, dass das erstinstanzliche Gericht bei seinem Entscheid nicht richtig besetzt war, vom Appellationsgericht trotz seiner grundsätzlich vollen Kognition nicht geheilt werden. Eine Heilung des Verfahrensmangels durch das Bundesgerichts selbst ist aufgrund der beschränkten Kognition im Rahmen der staatsrechtlichen Beschwerde nicht möglich.
5. In der staatsrechtlichen Beschwerde wird weiter verlangt, das Bundesgericht solle auch die Parteientschädigung für das kantonale Beschwerdeverfahren festlegen. Abgesehen davon, dass der Antrag, soweit mit ihm mehr als die Aufhebung des angefochtenen Entscheides verlangt wird, ohnehin unzulässig wäre, kann sich das Bundesgericht auch aus anderem Grunde nicht damit befassen: Nach Art. 157 und 159 Abs. 6 OG und der einschlägigen Rechtsprechung kann das Bundesgericht den kantonalen Kosten- und Entschädigungsentscheid nur dann anders festsetzen, wenn es auch den Entscheid in der Sache selbst ändert (<ref-ruling> E. 4 S. 152 mit Hinweis). Das ist hier nicht der Fall. Auf das Begehren kann daher nicht eingetreten werden.
5. In der staatsrechtlichen Beschwerde wird weiter verlangt, das Bundesgericht solle auch die Parteientschädigung für das kantonale Beschwerdeverfahren festlegen. Abgesehen davon, dass der Antrag, soweit mit ihm mehr als die Aufhebung des angefochtenen Entscheides verlangt wird, ohnehin unzulässig wäre, kann sich das Bundesgericht auch aus anderem Grunde nicht damit befassen: Nach Art. 157 und 159 Abs. 6 OG und der einschlägigen Rechtsprechung kann das Bundesgericht den kantonalen Kosten- und Entschädigungsentscheid nur dann anders festsetzen, wenn es auch den Entscheid in der Sache selbst ändert (<ref-ruling> E. 4 S. 152 mit Hinweis). Das ist hier nicht der Fall. Auf das Begehren kann daher nicht eingetreten werden.
6. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde, soweit auf sie eingetreten werden kann, gutzuheissen und das angefochtene Urteil vom 10. Dezember 2003 aufzuheben ist. Unter den gegebenen Umständen kann offen bleiben, ob der Anspruch auf rechtliches Gehör auch dadurch verletzt wurde, dass der Antrag auf Verzugszinsen nicht behandelt, die Beschwerdeführerin vor der Kürzung ihrer Honorarforderung nicht angehört und die Festsetzung des Honorars selbst nur summarisch begründet wurde. Es erübrigt sich ferner, die materiellen Rügen zu prüfen.
6. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde, soweit auf sie eingetreten werden kann, gutzuheissen und das angefochtene Urteil vom 10. Dezember 2003 aufzuheben ist. Unter den gegebenen Umständen kann offen bleiben, ob der Anspruch auf rechtliches Gehör auch dadurch verletzt wurde, dass der Antrag auf Verzugszinsen nicht behandelt, die Beschwerdeführerin vor der Kürzung ihrer Honorarforderung nicht angehört und die Festsetzung des Honorars selbst nur summarisch begründet wurde. Es erübrigt sich ferner, die materiellen Rügen zu prüfen.
7. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 156 Abs. 2 OG). Die besonderen Voraussetzungen, unter denen einer nicht anwaltlich vertretenen Partei nach Art. 159 Abs. 1 und 2 OG eine Parteientschädigung zusteht, müssen bei dem um sein Honorar streitenden amtlichen Verteidiger nicht erfüllt sein (<ref-ruling> E. 5b S. 519 f.). Der Beschwerdeführerin ist daher für die Wahrung ihrer Interessen im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren im Rahmen des erforderlichen Aufwandes und nach Massgabe ihres Obsiegens eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 10. Dezember 2003 wird aufgehoben.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 10. Dezember 2003 wird aufgehoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
3. Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2004
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber: