Faits:
A. L._, né en 1962, s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 19 janvier 2004, en invoquant des douleurs dorsales ainsi qu'un état dépressif sévère. Sur la base du dossier médical, singulièrement de deux avis émanant du professeur A._, neurochirurgien FMH (rapport du 8 mars 2004) et du docteur E._, psychiatre et psychothérapeute FMH (rapport du 27 novembre 2006), le SMR a admis que l'assuré présentait une capacité entière de travail dans son activité habituelle, à la condition de ne pas soulever de charges supérieures à 30 kg (appréciation du docteur M._, du 3 janvier 2007).
Par décision du 7 novembre 2007, faisant suite à un projet du 9 janvier 2007, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a rejeté la demande de prestations.
B. L._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant principalement à ce que son droit aux prestations de l'AI fût reconnu, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI.
La juridiction cantonale l'a débouté par jugement du 3 juillet 2008.
C. Par la voie d'un « recours de droit administratif adressé au Tribunal fédéral des assurances », L._ demande l'annulation du jugement cantonal, en concluant derechef à titre principal à la reconnaissance de son droit aux prestations d'assurance sollicitées, subsidiairement au renvoi de la cause aux autorités intimées.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à des prestations de l'assurance-invalidité.
2. Le jugement du 3 juillet 2008 expose correctement les règles légales et jurisprudentielles sur la notion d'invalidité et son évaluation, ainsi que les principes jurisprudentiels relatifs à la libre appréciation des preuves et à la valeur probante des rapports médicaux. Il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 Hormis ses observations relatives au respect du délai de recours et à la suspension de ces délais (<ref-law>), le recourant n'énonce aucune règle de droit et n'indique pas non plus en quoi le jugement cantonal violerait le droit. Toutefois, à la lecture de son mémoire de recours, on peut admettre qu'il reproche implicitement au tribunal des assurances d'avoir établi les faits de manière manifestement inexacte ou en violation du droit (<ref-law>), dans la mesure où cette autorité lui a reconnu une pleine capacité de travail dans une activité adaptée. Le recours se situe ainsi à la limite de la recevabilité (<ref-law>, première phrase).
3.2 En premier lieu, le recourant reproche à l'intimé d'avoir confié un mandat d'expertise psychiatrique à un médecin qui pratique son art dans un autre canton. Il soutient que le rapport de l'expert (qu'il ne nomme pas) serait dépourvu de force probante, contrairement à ce que le tribunal cantonal a admis, car l'expertise ne serait pas personnalisée mais procéderait de la reprise de textes concernant d'autres assurés; en outre, les conclusions de l'expert seraient démenties par d'autres médecins.
Ces griefs ont fait l'objet d'un examen par la juridiction cantonale, si bien que la Cour de céans peut simplement renvoyer le recourant à la lecture du jugement attaqué. A cet égard, on relèvera seulement que le moyen tiré de la personne de l'expert et de sa désignation par l'intimé est dénué de substance et de pertinence, d'autant que le recourant n'énonce pas la règle de droit que l'intimé aurait enfreinte en mandatant le docteur E._.
Par ailleurs, les premiers juges ont exposé les raisons pour lesquelles le certificat de la doctoresse U._ du 8 octobre 2007 ne justifiait pas de reconnaître une invalidité liée à des problèmes d'ordre psychique. Le recourant, qui revient à charge sur ce point, oppose uniquement un avis divergent, sans que son discours établisse pour autant une violation de l'<ref-law>.
3.3 En ce qui concerne l'aspect somatique du cas, le recourant reproche sommairement à l'intimé et au tribunal cantonal de s'être fondés sur des éléments diagnostics qu'il juge sous-évalués et trop anciens (alléguant que la juridiction cantonale ne s'est pas déterminée sur le facteur temporel). Il soutient que cela aurait justifié la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire.
Là non plus, le recourant ne démontre pas en quoi le tribunal des assurances aurait violé le droit fédéral en ayant apprécié l'incidence de la pathologie rachidienne dans l'activité habituelle sur la base d'une expertise médicale qui, en outre, allait dans un sens qui ne lui convenait pas. Il ne prend du reste pas position sur le constat des premiers juges relatif au fait qu'il avait exercé, jusqu'au 30 septembre 2002, un emploi compatible avec ses lombalgies.
3.4 Il s'ensuit que la juridiction cantonale n'a pas violé le droit fédéral en confirmant la légalité de la décision administrative du 7 novembre 2007. Le recours est mal fondé.
4. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud