Die Kammer zieht in Erwägung:
1. Das Betreibungsamt A._ verwaltet zwei Wohnungen, einen Parkplatz und eine Garage, die im Eigentum von X._ stehen und mit betreibungsrechtlichem Beschlag belegt sind.
Mit Eingabe vom 3. Oktober 2005 erhob X._ beim Bezirksgericht B._ als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen Beschwerde und verlangte, das Betreibungsamt A._ anzuweisen, die Mietzinse den Durchschnittsmietzinsen in A._ anzupassen. Für den Fall, dass die Beschwerde nicht gutgeheissen werden sollte, stellte er das Gesuch, ihm einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zu ernennen, der die Mietzinsanpassungen auf professionelle Weise erwirken solle.
Das Bezirksgericht B._ (I. Abteilung) wies sowohl das Gesuch von X._, ihm einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bestellen, wie auch die Beschwerde am 8. Februar 2006 ab.
X._ zog diesen Entscheid an das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde weiter, das am 29. April 2006 das auch bei ihm gestellte Gesuch um Ernennung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands und den Rekurs abwies. Ausserdem beschloss es, dass auf die im zweitinstanzlichen Verfahren neu gestellten Begehren um Notstundung im Sinne von <ref-law> und um Zusprechung von Schadenersatz nicht eingetreten werde.
Den Beschluss der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde nahm X._ am 8. Mai 2006 in Empfang. Mit einer vom 18. bzw. 17. Mai 2006 datierten und am 17. Mai 2006 zur Post gebrachten Eingabe führt er (rechtzeitig) Beschwerde an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts.
In seinem Aktenüberweisungsschreiben hat das Obergericht auf Gegenbemerkungen zur Beschwerde verzichtet. Andere Vernehmlassungen sind nicht eingeholt worden.
2. In der Sache gelangte das Obergericht wie schon die untere kantonale Aufsichtsbehörde gestützt auf eine eingehende Würdigung der Gegebenheiten zum Schluss, das Betreibungsamt habe angesichts des hohen Prozessrisikos richtigerweise auf eine Erhöhung der Mietzinse verzichtet und was der Beschwerdeführer einwende, vermöge daran nichts zu ändern. Mit den Erwägungen der Vorinstanz setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, und er legt somit auch nicht dar, inwiefern das Obergericht gegen Bundesrecht verstossen haben soll. Soweit seine Ausführungen überhaupt den angefochtenen Entscheid betreffen, beschränkt er sich darauf, dessen "Abänderung" zu verlangen. Seine Eingabe genügt den auf Grund von Art. 79 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) geltenden Begründungsanforderungen in diesem Punkt in keiner Weise.
3. Der Abweisung des Gesuchs um Ernennung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands hält der Beschwerdeführer entgegen, das Obergericht habe mutwillig den (die Voraussetzungen der unentgeltlichen Prozessführung regelnden) § 84 der Zürcher Zivilprozessordnung verletzt. Er geht richtigerweise selbst davon aus, dass sich die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor dem Obergericht nach dem kantonalen Verfahrensrecht bestimmt hatte. Dessen Anwendung zu überprüfen ist die erkennende Kammer indessen nicht befugt (vgl. Art. 79 Abs. 1 OG). In diesem Punkt hätte eine staatsrechtliche Beschwerde (wegen willkürlicher Missachtung kantonalen Rechts bzw. wegen Verletzung von <ref-law>) erhoben werden müssen. Die Ausführungen des Beschwerdeführers enthalten nichts, was als Begründung einer staatsrechtlichen Beschwerde taugen würde (dazu Art. 90 Abs. 1 lit. b OG), so dass nicht zu erörtern ist, ob die Eingabe als solche entgegengenommen werden könnte.
4. Ob die obere kantonale Aufsichtsbehörde gehalten gewesen wäre, die bei ihr eingereichte Eingabe an das zuständige Gericht weiterzuleiten, soweit darin Schadenersatzansprüche geltend gemacht worden waren, ist sodann ebenso eine Frage des kantonalen Prozessrechts. Auf den Antrag, die Vorinstanz zu einer entsprechenden Weiterleitung anzuweisen, ist nach dem in Erw. 3 Ausgeführten ebenfalls nicht einzutreten. Eine gesetzliche Grundlage fehlt schliesslich für die Begehren des Beschwerdeführers, die erkennende Kammer habe die (kantonalen) Gerichte anzuweisen, Abklärungen im Hinblick auf einen allfälligen Schadenersatzanspruch zu treffen und ihnen zu verbieten, ihn für nicht mehr vorhandene Mittel verantwortlich zu machen. Auch darauf ist mithin nicht einzutreten.
5. Der Beschwerdeführer scheint ebenfalls für das vorliegende Verfahren die Ernennung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes verlangen zu wollen. Auch diesem Begehren kann kein Erfolg beschieden sein: Abgesehen davon, dass sich aus der Eingabe nichts zu den wirtschaftlichen Verhältnissen des Beschwerdeführers ergibt und dessen Bedürftigkeit somit nicht dargetan ist, erschien die Beschwerde angesichts der eingehenden Würdigung der Gegebenheiten durch die Vorinstanz von vornherein als aussichtslos (vgl. Art. 152 Abs. 1 OG).
6. Das Beschwerdeverfahren ist grundsätzlich kostenfrei (Art. 20a Abs. 1 erster Satz SchKG). Der Inhalt der Beschwerde, der zum grössten Teil mit dem angefochtenen Entscheid nichts zu tun hat, rechtfertigt es allerdings, den Beschwerdeführer darauf hinzuweisen, dass bei böswilliger oder mutwilliger Beschwerdeführung eine Busse (bis zu 1'500 Franken) sowie Gebühren und Auslagen auferlegt werden können (Art. 20a Abs. 1 zweiter Satz SchKG).

Demnach erkennt die Kammer:
1. Soweit auf das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bestellen, einzutreten ist, wird es abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin, dem Betreibungsamt A._ und dem Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2006
Im Namen der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber: