Sachverhalt:
A.
A._ fuhr am 14. Dezember 1997 einen Ferrari 328 GTS auf der Autobahn Gerona-Alicante in Spanien. Sein Vater folgte ihm in einem Range Rover nach. Beide Fahrzeuge trugen Schweizer Kennzeichen und wurden vom Vater gehalten.
Vor einer langgezogenen Linkskurve wechselte A._ von der rechten Fahrspur auf die linke Überholspur, um ein Anhängerfahrzeug zu überholen, wobei der Vater in seinem Fahrzeug es ihm gleichtat. Wegen eines Seat Cordoba mit spanischem Kennzeichen, der nach einem vorangegangenen Selbstunfall zu einem grossen Teil auf der linken Spur liegen geblieben war, musste A._ abrupt bremsen, um ein Auffahren auf den Seat Cordoba zu verhindern, was ihm auch gelang. Der Vater konnte allerdings nicht mehr rechtzeitig bremsen, weshalb es zu einer Kollision des Range Rovers mit dem Ferrari kam. Der Seat Cordoba wurde bei diesem Unfall nicht touchiert.
In der Folge begab sich A._ in Spanien und nach seiner Rückkehr auch in der Schweiz in ärztliche Behandlung.
Ab dem 1. Oktober 2007 wurde A._ eine Invalidenrente zugesprochen. Die Y._ AG (heute: B._ AG) als Haftpflichtversicherung der beiden Fahrzeuge mit Schweizer Kennzeichen zahlte A._ aus dem Unfallereignis einen Betrag von Fr. 80'000.-- akonto.
B.
B.a. Mit Teilklage vom 18. April 2011 beantragte A._ dem Zivilgericht Basel-Stadt, es sei die B._ AG zur Zahlung von Fr. 30'000.-- zu verurteilen.
Der Kläger führte aus, die Teilklage diene zur Klärung der Grundsatzfrage, ob spanisches oder schweizerisches Recht auf den Fall anwendbar sei; seiner Ansicht nach sei es das schweizerische Recht.
Mit Klageantwort vom 29. August 2011 beantragte die Beklagte die Abweisung der Klage.
Nach einem zweiten Schriftenwechsel beschränkte die Instruktionsrichterin des Zivilgerichts das Verfahren auf die Frage des anwendbaren Rechts.
Nach Durchführung einer Hauptverhandlung hielt das Zivilgericht mit Zwischenentscheid vom 26. Oktober 2012 fest, dass spanisches Recht anwendbar sei.
B.b. Dagegen erhob der Kläger Berufung, auf welche das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 11. März 2013 nicht eintrat.
Auf eine dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 4A_183/2013 vom 29. April 2013 ebenfalls nicht ein.
B.c. Mit Verfügung vom 1. Juli 2013 forderte die Instruktionsrichterin des Zivilgerichts die Beklagte auf darzulegen, welche Bestimmungen des spanischen Rechts zur Beurteilung der vorliegenden Klage zur Anwendung kämen. Mit Eingabe vom 30. September 2013 machte die Beklagte diesbezügliche Angaben und reichte ein Rechtsgutachten ein. Am 19. März 2014 fand eine Fortsetzungsverhandlung statt und mit Entscheid vom selben Tag wies das Zivilgericht die Teilklage ab.
B.d. Mit Eingabe vom 18. August 2014 ersuchte der Kläger das Appellationsgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Hinblick auf ein allfälliges Berufungsverfahren.
Mit Verfügung vom 3. September 2014 wies der Instruktionsrichter des Appellationsgerichts das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab.
Am 12. September 2014 erhob der Kläger Berufung, mit der er beantragte, der Entscheid des Zivilgerichts sei aufzuheben und die Beklagte sei zur Zahlung von Fr. 30'000.--- zu verurteilen, wobei weitere Forderungen aus dem Ereignis von 14. Dezember 1997 vorbehalten seien; zudem ersuchte er um Wiedererwägung der Verfügung betreffend die unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Berufungsantwort vom 16. Oktober 2014 beantragte die Beklagte die Abweisung der Berufung und des Wiedererwägungsgesuchs.
Aufgrund der Ausführungen in der Berufung verneinte der Instruktionsrichter mit Verfügung vom 22. Oktober 2014 nunmehr die Aussichtslosigkeit der Berufung und bewilligte das Wiedererwägungsgesuch des Klägers um unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Entscheid vom 30. Juni 2015 wies das Appellationsgericht die Berufung ab und bestätigte den erstinstanzlichen Entscheid.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt der Kläger dem Bundesgericht folgende Anträge:
"1. a. In Gutheissung der Beschwerde sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, an den Beschwerdeführer einen Betrag von CHF 30'000.00 zu bezahlen. Weitere Forderungen aus dem Ereignis vom 14. Dezember 1997 sind ausdrücklich vorbehalten (Teilklage).
b. Eventuell sei die Sache an die erste Instanz (Zivilgericht Basel-Stadt) zur Beurteilung der Forderung des Beschwerdeführers und Klägers nach den Bestimmungen des Schweizerischen Rechts zurückzuweisen.
c. Subeventuell sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zur Beurteilung der Angelegenheit nach Schweizerischem Recht zurückzuweisen.
2. Dem Beschwerdeführer sei für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung mit dem Unterzeichneten als unentgeltlichem Rechtsbeistand zu gewähren.
3. Unter o/e-Kostenfolge."
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Rechtsmittelentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (<ref-law>), ist innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (<ref-law>) eingereicht worden und bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>) mit einem Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt einer gehörigen Begründung (<ref-law> und <ref-law>) einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Feststellung der Vorinstanz, wonach der Seat Cordoba mit spanischem Kennzeichen auf der linken Spur der Autobahn liegengeblieben sei, sei offensichtlich unrichtig. Richtigerweise sei davon auszugehen, dass dieses Fahrzeug Iediglich teilweise auf die linke Fahrbahn herausragte.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1, 264 E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 2, 467 E. 3.1). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht erhebliche Beweismittel übersieht, augenscheinlich missversteht oder grundlos ausser Acht lässt, oder wenn es aus den vorliegenden Beweisen unhaltbare Schlüsse zieht (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 2.1). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b).
2.2. Was der Beschwerdeführer mit seiner Sachverhaltsrüge bezweckt, erschliesst sich aus seinen Ausführungen nicht: Es trifft zwar zu, dass die Vorinstanz auf S. 2 des angefochtenen Entscheids festhielt, dass der Seat Cordoba "nach einem vorangegangenen Selbstunfall auf der linken Spur liegen geblieben" sei, weshalb der Beschwerdeführer sein Überholmanöver abrupt habe abbrechen müssen. Auf S. 6 hielt die Vorinstanz dann zur konkreten Lage des Seat Cordoba aber präzisierend fest, dass dieser "zu einem grossen Teil seiner eigenen Fläche auf der linken Fahrbahnspur" gestanden und damit das ungehinderte Fahren auf dieser linken Spur verunmöglicht habe. Worin der Beschwerdeführer in dieser Feststellung eine Differenz zu seiner eigenen Sicht der Dinge, wonach sich der Seat Cordoba "lediglich teilweise" auf der linken Spur befunden habe, ausmachen will, ist unerfindlich. Denn er bestreitet namentlich nicht, dass es die konkrete Position des Seat Cordoba war, welche ihn zur abrupten Bremsung veranlasst hatte. Vielmehr gibt er vor Bundesgericht sogar ausdrücklich zu, dass er "ohne das Vorhandensein des Seat Cordoba keine Bremsung eingeleitet" (Beschwerde, S. 8) hätte. Damit ist aber nicht ersichtlich, worin Willkür liegen soll, wenn die Vorinstanz in tatsächlicher Hinsicht davon ausgegangen ist, dass der Seat Cordoba jedenfalls in einem solchen Ausmass auf die linke Fahrspur hinausragte, dass ein ungehindertes Passieren unmöglich gewesen wäre.
3.
Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung von Art. 4 lit. b des Haager Übereinkommens vom 4. Mai 1971 über das auf Strassenverkehrsunfälle anzuwendende Recht (SVÜ; SR 0.741.31).
3.1. Für Ansprüche aus Strassenverkehrsunfällen, wie sie der Beschwerdeführer vorliegend geltend macht, gilt gemäss <ref-law> das SVÜ, dessen Art. 3 grundsätzlich das Recht jenes Staates für anwendbar erklärt, in dessen Hoheitsgebiet sich der Unfall ereignet hat ( lex loci delicti ). Neben dieser Grundsatzanknüpfung enthalten die Art. 4 ff. SVÜ Sonderanknüpfungen. Nach Art. 4 lit. a SVÜ ist insbesondere auf die Haftung gegenüber dem Fahrzeughalter das Recht des Zulassungsstaates ( lex stabuli ) anzuwenden, wenn nur ein Fahrzeug an dem Unfall beteiligt und dieses Fahrzeug in einem anderen als dem Staat zugelassen ist, in dessen Hoheitsgebiet sich der Unfall ereignet hat. Sind mehrere Fahrzeuge an dem Unfall beteiligt und alle Fahrzeuge im selben Staat zugelassen, gelangt ebenso das Recht des Zulassungsstaates zur Anwendung (Art. 4 lit. b SVÜ).
3.2. Im Leitentscheid <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 94 f. äusserte sich das Bundesgericht ausführlich zur Auslegung des Begriffs der Unfallbeteiligung im Sinne von Art. 4 lit. a und b SVÜ.
Es erwog, dass der Wortlaut der englischen und französischen Originalfassungen heranzuziehen ist. Der englische Vertragstext verwendet in Art. 4 lit. a und b SVÜ den Begriff "involved" und der französische Text den Begriff "impliqué". Während "involved" kein schuldhaftes Mitwirken am Unfallgeschehen voraussetzt, kann dem Begriff "impliqué" zusätzlich auch die Bedeutung der schuldhaften Verursachung zukommen. In Art. 4 lit. a und b SVÜ ist der Begriff "impliqué" jedoch einzig in seiner objektiv neutralen Bedeutung zu verstehen, ohne dass darin eine Form von Schuldzuweisung zum Ausdruck käme. Der Begriff der Unfallbeteiligung im Sinne von Art. 4 lit. a und b SVÜ ist daher in einem weiten Sinn auszulegen. Jede Mitwirkung am Unfallgeschehen gilt in Bezug auf die Fahrzeuge als Beteiligung, das heisst, beteiligt im Sinne von Art. 4 lit. a und b SVÜ sind alle in den Unfall aktiv oder passiv verwickelten Fahrzeuge. Zum Begriff der Unfallbeteiligung im Sinne von Art. 4 lit. a und b SVÜ kann auch die Rechtsprechung und Lehre zu <ref-law> (SR 741.01) beigezogen werden, wonach an einem Unfall nicht nur als beteiligt gilt, wer einen Fehler begangen oder den Unfall direkt verursacht bzw. dazu beigetragen hat, sondern ebenso, wer in anderer Weise, auch nur indirekt, beim Zustandekommen des Unfalls mitgewirkt hat oder aufgrund der Umstände annehmen musste, als Unfallverursacher in Frage zu kommen (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 94 f.).
Schliesslich wies das Bundesgericht auch auf die Rechtsprechung des österreichischen Obersten Gerichtshof (OGH) hin, der davon ausgeht, dass der Ausdruck "beteiligt" in Art. 4 lit. a und b SVÜ im objektiven, weiteren Sinn dahingehend zu verstehen sei, dass das Fahrzeug beim Unfall eine aktive oder passive, aber nicht bloss eine zufällige Rolle gespielt habe (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 96 m.H. auf die Urteile des OGH 2Ob314/97h vom 2. September 1999; 2Ob48/93 vom 16. September 1993; 2Ob59/89 vom 14. November 1989).
3.3. Die Vorinstanz nahm - wie bereits die erste Instanz - auf diese Rechtsprechung Bezug.
Sie erwog, dass sich der spanische Seat Cordoba auf der linken Überholspur in einer Position befand, die das ungehinderte Fahren auf der linken Überholspur verhindert und eine abrupte Bremsung des Beschwerdeführers nötig gemacht habe. Diese habe wiederum zur Kollision mit dem nachfolgenden Range Rover des Vaters des Beschwerdeführers geführt. Damit sei der Seat Cordoba im Sinne von Art. 4 lit. b SVÜ am Unfall beteiligt gewesen, zumal der Beschwerdeführer in seiner Berufungsschrift selbst ausgeführt habe, dass das spanische Fahrzeug für ihn der Anlass oder Auslöser gewesen sei, eine abrupte Bremsung durchzuführen. Der Beschwerdeführer gehe also offenbar selbst davon aus, dass das spanische Fahrzeug einen Teil der Kausalkette gebildet habe, die zum Unfall führte. Den Einwand des Beschwerdeführers, dass eine lediglich zufällige Rolle des Drittfahrzeugs für die Annahme einer Unfallbeteiligung nicht ausreiche, verwarf die Vorinstanz mit dem Hinweis, dass der Unfallbeitrag des zumindest teilweise auf der Überholspur stehenden Seat Cordobas eben gerade über eine untergeordnete oder rein zufällige Rolle hinausgehe. Damit sind nach Auffassung der Vorinstanz die Voraussetzungen für eine Sonderanknüpfung von Art. 4 lit. b SVÜ zugunsten des Rechts des Immatrikulationsstaats nicht gegeben, womit auf den vorliegenden Fall gemäss Art. 3 SVÜ die lex loci delicti, also das spanische Recht zur Anwendung gelangt.
3.4. Diese Erwägungen vermag der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen vor Bundesgericht nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen:
3.4.1. Sie genügen bereits den formellen Anforderungen an eine Beschwerdebegründung über weite Strecken nicht.
Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Dies bedeutet, dass die Beschwerde auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen aufzuzeigen hat, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll dabei in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Diese Grundsätze lässt der Beschwerdeführer bei seiner Rüge, die Vorinstanz habe Art. 4 lit. b SVÜ unrichtig angewendet, nahezu gänzlich unbeachtet. Auf die Argumentation der Vorinstanz geht er nicht ansatzweise ein und versucht auch nicht, diese zu widerlegen. Stattdessen beharrt er auf seinen bereits in erster und zweiter Instanz eingenommenen Standpunkten und trägt diese nunmehr dem Bundesgericht vor, als ob dem bundesgerichtlichen Verfahren noch keine kantonalen Verfahren vorangegangen wären. Damit verkennt der Beschwerdeführer, dass vor Bundesgericht - wie bereits vor dem Berufungsgericht (Urteile 4A_290/2014 vom 1. September 2014 E. 3.1 und 5; 4A_651/2012 vom 7. Februar 2013 E. 4.3) - nicht einfach der vorinstanzliche Prozess fortgeführt oder gar wiederholt wird, sondern die Erwägungen des angefochtenen Entscheids im Lichte gezielt dagegen formulierter Rügen überprüft werden. Derartige Rügen trägt er mit der blossen Wiederholung seiner bisherigen Standpunkte nicht vor.
3.4.2. Aber auch inhaltlich vermag der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen nicht zu überzeugen:
Soweit er geltend macht, dass der "liegengebliebene inaktive " Seat Cordoba nicht touchiert worden sei und auch keinen "dynamischen Beitrag an das Unfallereignis " geleistet habe, verkennt er, dass nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung für eine Unfallbeteiligung i.S. von Art. 4 lit. b SVÜ eben ausreicht, wenn ein Fahrzeug bloss passiv in den Unfall verwickelt ist. Dies war beim Seat Cordoba der Fall: Der Beschwerdeführer gibt selber zu, dass es gerade die Position dieses Fahrzeugs war, die ihn zu einer abrupten Abbremsung veranlasst hatte. Damit stand der Seat Cordoba am Anfang der Kausalkette, welche zum Auffahrunfall führte, weshalb dieses Fahrzeug als zumindest passiv in den Unfall verwickelt zu betrachten ist. Einen wie auch immer gearteten "dynamischen Beitrag" setzt eine Unfallbeteiligung i.S. von Art. 4 lit. b SVÜ nicht voraus. Unbehelflich ist deshalb, wenn sich der Beschwerdeführer wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren (aber ohne Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid) auf ein Parteigutachten eines Rechtsprofessors beruft, gemäss welchem es bei "nicht berührten Fahrzeugen (...) einer 'Mitwirkung' und somit einer aktiven Einwirkung auf die Dynamik des Unfallereignisses" bedürfe, um von einer Beteiligung i.S. von Art. 4 lit. b SVÜ zu sprechen. Ein solches Erfordernis lässt sich der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, gemäss welcher eine passive Verwicklung in den Unfall ausreicht, nicht entnehmen. Schliesslich ändert an der Unfallbeteiligung des Seat Cordoba auch nichts, wenn - wie der Beschwerdeführer geltend macht - eine abrupte Abbremsung objektiv betrachtet allenfalls gar nicht zwingend nötig gewesen wäre. Entscheidend ist, dass sich der Seat Cordoba auf der linken Fahrbahn in einer Position befand, die den Beschwerdeführer zum abrupten Abbruch seines Überholmanövers veranlasste, so dass es zur Kollision mit dem hinter ihm fahrenden Range Rover seines Vaters kam.
Dem Beschwerdeführerkann schliesslich auch nicht gefolgt werden, wenn er unter Hinweis auf die in <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 96 (vgl. auch oben E. 3.2 in fine ) zitierte Rechtsprechung des österreichischen OGH geltend machen will, der Seat Cordoba habe beim Auffahrunfall eine lediglich zufällige Rolle gespielt, da er ja nicht berührt worden sei. Wie bereits die Vorinstanz ausgeführt hat, kann von einer zufälligen Rolle keine Rede sein, nachdem der Beschwerdeführer selber die Position des Seats als conditio sine qua non seines abrupten Abbremsens darstellt.
Soweit auf die Rügen betreffend die Anwendung von Art. 4 lit. b SVÜ überhaupt einzutreten sind, erweisen sich diese als unbegründet.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ist wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>).
Damit wird der Beschwerdeführer für das vorliegende Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist in diesem Verfahren kein Aufwand entstanden, womit ihr kein Anspruch auf Parteientschädigung zusteht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni