Sachverhalt:
A. Mit Eingabe vom 2. Dezember 2008 beantragten der Verein X._ und dessen Präsident Y._ bei der Allmendverwaltung die Bewilligung zur Durchführung des "A._-Fests" auf der A._strasse am 15. August 2009. Im gleichen Gesuch wurde auch um Bewilligung der Benützung einer Lautsprecheranlage von 15.00 bis 24.00 Uhr ersucht.
Am 24. März 2009 erteilte die Allmendverwaltung als Leitbehörde die Bewilligung zur Durchführung des Strassenfests. Mit Verfügung vom 4. Mai 2009 erteilte die Kantonspolizei Basel-Stadt die Lautsprecherbewilligung, wobei die Benützung der Lautsprecheranlage auf die Zeit von 15.00 bis 22.00 Uhr beschränkt wurde.
Gegen diese Verfügung erhoben der Verein X._ und Y._ mit Eingabe vom 26. April 2009 Rekurs an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt, welches den Rekurs mit Entscheid vom 3. August 2009 abwies.
Den vom Verein X._ und von Y._ am 12. August 2009 bzw. 3. September 2009 eingereichten Rekurs wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 2. August 2010 ab. Die Gerichtskosten setzte das Appellationsgericht auf Fr. 500.-- fest. Die Hälfte der Kosten auferlegte es dem Verein X._; die andere Hälfte nahm es zufolge Bewilligung des Kostenerlasses an Y._ auf die Staatskasse.
B. Der Verein X._ und Y._ führen mit Eingabe vom 6. Dezember 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben, und dieses sei zu verurteilen, ihnen die Lautsprecherbewilligung für das "A._-Fest" bis Mitternacht zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersuchen sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Appellationsgericht und das Justiz- und Sicherheitsdepartement beantragen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil der Vorinstanz ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG), der sich auf Bundesverwaltungsrecht, namentlich auf das Bundesgesetz vom 7. Oktober 1983 über den Umweltschutz (USG; SR 814.01) und die Lärmschutz-Verordnung vom 15. Dezember 1986 (LSV; SR 814.41) stützt. Der Entscheid betrifft somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG. Ein Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG liegt nicht vor.
Beschwerdeführer ist der Verein X._, der das "A._-Fest" veranstaltet und durch seinen Präsidenten Y._ vertreten wird. Dieser führt zugleich in eigenem Namen als Quartierbewohner und Verantwortlicher der Veranstaltung Beschwerde. Sowohl der Verein als auch Y._ haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und sind durch die teilweise verweigerte Lautsprecherbewilligung besonders berührt (vgl. Art. 89 Abs. 1 lit. a und b BGG).
Erforderlich ist weiter, dass ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des Entscheids besteht (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG). Da das Strassenfest am 15. August 2009 durchgeführt wurde, fehlt ein aktuelles praktisches Interesse an der Erteilung der Lautsprecherbewilligung bis 24.00 Uhr. Das Bundesgericht verzichtet jedoch auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen grundsätzlichen Fragen jeweils unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen können, ohne dass im Einzelfall rechtzeitig eine höchstrichterliche Prüfung stattfinden könnte (<ref-ruling> E. 1b S. 252). Diese Voraussetzungen liegen hier vor. Das Strassenfest findet seit über 20 Jahren statt und soll auch zukünftig durchgeführt werden. Die Frage der Lautsprecherbewilligung könnte im jeweiligen Einzelfall kaum je rechtzeitig beantwortet werden. Die Beschwerdeführer haben daher ein schutzwürdiges Interesse daran, dass noch über die Rechtmässigkeit der Bewilligung für das Jahr 2009 entschieden wird.
Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführer rügen, die kantonalen Behörden hätten das ihnen bei der Erteilung der Lautsprecherbewilligung zustehende Ermessen nicht pflichtgemäss ausgeübt. Zwar gebiete das kantonale Übertretungsstrafgesetz, dass nach 22.00 Uhr grundsätzlich keine lärmenden Tätigkeiten ausgeübt werden dürften. Im zu beurteilenden Fall wäre aber angesichts des öffentlichen Interesses an der Durchführung der Veranstaltung eine Erteilung der Lautsprecherbewilligung bis um 24.00 Uhr sachgerecht gewesen, denn zu einem Fest gehöre ein - mittels Lautsprechern verstärktes - Musikangebot, welches junge Leute anspreche. Die Beschwerdeführer führen weiter aus, die von den kantonalen Behörden gemachte Unterscheidung zwischen Strassen- und Quartierfesten sei willkürlich. Im Übrigen stünde auch kein geeigneter Platz zur Durchführung eines Quartierfests zur Verfügung, denn der einzige in Frage kommende alternative Standort - das "B._mätteli" - erweise sich als untauglich. Dort wohnten mindestens ebenso viele Leute wie an der A._strasse, es seien keine sanitären Anlagen vorhanden, und die Kinderspielwiese würde durch den Festbetrieb in Mitleidenschaft gezogen.
2.2 Der Bundesrat hat gestützt auf Art. 13 Abs. 1 USG für einige häufige, oft als besonders störend empfundene Schall- bzw. Lärmquellen (Strassenverkehr, Regionalflughäfen und Flugfelder, Industrie- und Gewerbebetriebe, Schiessanlagen) in den Anhängen 3 bis 8 der LSV mit den Belastungsgrenzwerten (Planungs-, Immissionsgrenz- und Alarmwerte; Art. 2 Abs. 5 LSV) objektive Beurteilungskriterien aufgestellt, die auf die durchschnittliche Reaktion normal lärmempfindlicher Personen abgestützt sind. In der LSV sind jedoch nicht für alle Lärmarten Belastungsgrenzwerte verankert. Fehlen solche, so sind die Lärmimmissionen gemäss Art. 40 Abs. 3 LSV im Einzelfall nach Art. 15 USG unter Berücksichtigung von Art. 19 und 23 USG zu beurteilen. Nach Art. 15 USG sind die Immissionsgrenzwerte für Lärm so festzulegen, dass nach dem Stand der Wissenschaft oder der Erfahrung Immissionen unterhalb dieser Werte die Bevölkerung in ihrem Wohlbefinden nicht erheblich stören.
Im Rahmen der vorzunehmenden Einzelfallbeurteilung sind der Charakter des Lärms, der Zeitpunkt und die Häufigkeit seines Auftretens sowie die Lärmempfindlichkeit bzw. Lärmvorbelastung zu berücksichtigen (vgl. Urs Walker, Umweltrechtliche Beurteilung von Alltags- und Freizeitlärm, URP 2009 S. 82 f. mit Hinweisen). Dabei ist nicht auf das subjektive Lärmempfinden einzelner Personen abzustellen, sondern eine objektivierte Betrachtung unter Berücksichtigung von Personen mit erhöhter Empfindlichkeit (Art. 13 Abs. 2 USG) vorzunehmen (<ref-ruling> E. 3.2 und 3.3 S. 296 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 36; je mit Hinweisen).
2.3 Die LSV enthält für die von Festplätzen ausgehenden Lärmimmissionen keine spezifischen Grenzwerte oder andere konkrete Vorschriften. Hingegen kennt das kantonale Polizeirecht Regelungen betreffend die Erteilung von Lautsprecherbewilligungen. Nach dem kantonalen Übertretungsstrafgesetz vom 15. Juni 1978 (SG/BS 253.100) wird bestraft, wer ohne behördliche Bewilligung auf der Allmend bewilligungspflichtige Lautsprecheranlagen verwendet (§ 32 Abs. 1), und wer ohne behördliche Bewilligung oder ohne Zustimmung der Nachbarn in der Zeit von 22.00 bis 7.00 Uhr eine lärmende Tätigkeit verrichtet (§ 33; vgl. auch Jürg Hofer, Instrumente zur vorbeugenden Begrenzung von Alltags- und Freizeitlärm, URP 2009 S. 113 f.). Diese Regelung durften die kantonalen Behörden bei der Anwendung von Art. 40 Abs. 3 LSV i.V.m. Art. 15, 19 und 23 USG berücksichtigen.
Die genannten Bestimmungen stellen die Einhaltung der Nachtruhe sicher und bezwecken den Schutz der Wohnbevölkerung. Dieses Interessen steht den berechtigten Interessen der Bevölkerung an der Durchführung von kulturellen und gesellschaftlichen Abendveranstaltungen gegenüber. Im Einzelfall kann die zuständige Behörde Bewilligungen erteilen, welche die Benützung von Lautsprecheranlagen über 22.00 Uhr hinaus erlauben. Der zuständigen Behörde steht bei der Beurteilung des Einzelfalls ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Bei ihrem Entscheid hat sie sich auf sachliche Gründe abzustützen und insbesondere den Grundsatz der Rechtsgleichheit zu beachten. Das Bundesgericht legt sich Zurückhaltung auf bei der Würdigung örtlicher Verhältnisse, welche die kantonalen Behörden besser kennen als das Bundesgericht (Urteil 1A.39/2004 vom 11. Oktober 2004 E. 4.3, in: URP 2005 S. 40).
2.4 Vorliegend haben die kantonalen Behörden das ihnen zukommende Ermessen nicht unterschritten respektive nicht unsachlich ausgeübt.
2.4.1 Wenn die Beschwerdeführer ausführen, das "A._-Fest" leiste einen wichtigen Beitrag zur Verständigung im Quartier, ist anzumerken, dass das Fest bewilligt und "einzig" die Benützung der Lautsprecheranlage zeitlich beschränkt worden ist. Der angestrebte Austausch zwischen den Quartierbewohnern kann auch ohne den Einsatz von mit Lautsprechern verstärkter Musik erreicht werden.
2.4.2 Soweit die Beschwerdeführer auf die veränderten gesellschaftlichen Gewohnheiten verweisen und anführen, Discotheken würden heutzutage erst um 23.00 oder 24.00 Uhr beginnen, weshalb eine Beschränkung der Lautsprecherbewilligung bis um 22.00 Uhr nicht mehr zeitgemäss sei, geht ihre Argumentation an der Sache vorbei. Discotheken, Restaurants und Bars befinden sich oftmals ausserhalb von Wohnquartieren und die durch den Betrieb verursachten Lärmimmissionen sind - soweit es sich nicht um Open-Air-Veranstaltungen handelt - nicht mit denjenigen von Strassen- und Quartierfesten vergleichbar. In Wohnquartieren hingegen besteht ein erhöhtes Interesse an der Einhaltung der Nachtruhe.
2.4.3 Entgegen den Vorbringen in der Beschwerde kann den kantonalen Behörden auch keine rechtsungleiche Bewilligungspraxis angelastet werden, denn die getroffene Unterscheidung zwischen Strassenfesten einerseits und Quartierfesten andererseits erweist sich als haltbar.
Die Vorinstanz hat unter Bezugnahme auf die bei der ersten Instanz eingeholte amtliche Erkundung (Schreiben des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 14. Mai 2010) ausgeführt, ein Strassenfest liege vor, wenn auf einem Teilstück einer Strasse ein Fest durchgeführt werde und es sich bei der "Festgemeinde" um die Anwohnerschaft handle. Demgegenüber werde von einem Quartierfest gesprochen, wenn eine Trägerschaft auf einem öffentlichen Platz ein Fest veranstalte. Bei Strassenfesten würden grundsätzlich keine Lautsprecherbewilligungen über 22.00 Uhr hinaus erteilt, da die Interessen der Anwohnerschaft stark ins Gewicht fielen. Bei Quartierfesten hänge es hingegen von den konkreten örtlichen Gegebenheiten ab, ob eine zeitliche Ausdehnung der Lautsprecherbewilligung in Betracht komme.
Die unterschiedliche Handhabung von Strassen- und Quartierfesten beruht damit auf sachlichen Gründen, da ein Fest auf einer von Wohnhäusern gesäumten Strasse die Interessen der Anwohnerschaft in stärkerem Masse beeinträchtigt als ein Quartierfest auf einem Platz, der nicht direkt von Wohnhäusern umgeben ist. Die zuständigen Behörden haben den Beschwerdeführern die Durchführung eines Quartierfests vorgeschlagen. Weshalb dieser Vorschlag nicht umsetzbar gewesen sein soll, wird von den Beschwerdeführern mit dem blossen Hinweis auf die von ihnen als untauglich eingestufte alternative Örtlichkeit "B._mätteli" nicht hinreichend begründet. Den Beschwerdeführern wäre es mithin offen gestanden, um eine Bewilligung um Durchführung eines Quartierfests verbunden mit einer Lautsprecherbewilligung bis Mitternacht zu ersuchen.
2.4.4 Des Weiteren können die Beschwerdeführer aus ihrem Hinweis auf das Musikfestival "S'isch im Fluss", welches auf einem Floss auf dem Rhein stattfindet, schon deshalb nichts zu ihren Gunsten ableiten, weil die dort bewilligten Konzerte (ebenfalls) spätestens um 22.00 Uhr beendet sein mussten (vgl. Urteil 1A.39/2004 vom 11. Oktober 2004, in: URP 2005 S. 40). Nicht mit dem zu beurteilenden Fall eines Strassenfests vergleichbar ist im Übrigen der von den Beschwerdeführern angeführte Terrassenbetrieb des Hotels "Drei Könige".
2.4.5 Soweit die Beschwerdeführer ferner vorbringen, angesichts der im Quartier bestehenden Lärmvorbelastung durch "Lärm des Rangierbahnhofs, Industrielärm und Getöse der Autobahn" sei der Entscheid, die Lautsprecherbewilligung nur bis 22.00 Uhr zu gewähren, willkürlich, substanziieren sie ihre Rüge nicht hinreichend. Insbesondere enthält die Beschwerde keine Ausführungen zur Intensität dieser angeblichen Lärmvorbelastung.
3. Der Beschwerdeführer 1 rügt schliesslich eine Verletzung der Begründungspflicht in Zusammenhang mit der Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung im vorinstanzlichen Verfahren. Er macht geltend, die Vorinstanz habe in ihrem Schreiben vom 27. Oktober 2009 einzig darauf hingewiesen, dass einer juristischen Person nur in Ausnahmefällen die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt werden könne; hingegen habe sie im angefochtenen Entscheid nicht begründet, warum keine solche Ausnahmesituation vorliege.
Die Argumentation des Beschwerdeführers 1 ist nicht stichhaltig. Die Vorinstanz hat im angeführten Schreiben vom 27. Oktober 2009 den Beschwerdeführer 2 unter anderem aufgefordert, seine Stellung im Verein X._ zu erläutern und zu belegen. Mit Eingabe vom 9. November 2009 hat der Beschwerdeführer 2 erklärt, er sei Präsident des Vereins und dessen Vermögen betrage "keine Fr. 1'000.--". Damit behauptet der Beschwerdeführer 2 keine Überschuldung des Vereins. Es ist nicht ersichtlich, weshalb dieser bei einem Vermögen von knapp Fr. 1'000.-- nicht in der Lage sein sollte, für die Gerichtskosten von Fr. 250.-- aufzukommen. Da bei dieser Ausgangslage keine Gründe für eine ausnahmsweise Kostenbefreiung des Beschwerdeführers 1 erkennbar sind, hat die Vorinstanz auch ihre Begründungspflicht nicht verletzt, indem sie die Verpflichtung der unterlegenen juristischen Person zur Bezahlung der Gerichtskosten nicht näher begründete.
4. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die unterliegenden Beschwerdeführer werden daher kostenpflichtig. Sie ersuchen indessen, ihnen die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Im bundesgerichtlichen Verfahren sind die Voraussetzungen ebenfalls nicht erfüllt, nach welchen juristischen Personen die unentgeltliche Rechtspflege ausnahmsweise gewährt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 326 f. mit Hinweisen). Das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers 1 ist abzuweisen.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des Beschwerdeführers 2 kann hingegen bewilligt werden, da seine Bedürftigkeit ausreichend belegt ist und seine Beschwerde nicht von vornherein aussichtslos war (Art. 64 Abs. 1 BGG). Mangels anwaltlicher Vertretung ist keine Entschädigung zuzusprechen (vgl. Art. 64 Abs. 2 BGG).
Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer 1 die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens mit einer reduzierten Gebühr (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers 1 um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Das Gesuch des Beschwerdeführers 2 um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer 1 auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, als Verwaltungsgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Stohner