<ref-law> (Willkürliche Beweiswürdigung); <ref-law>,hat sich ergeben:
A.- Mit Vertrag vom 23. April 1997 mietete A._ (Beschwerdeführerin) von B._ (Beschwerdegegner) ein Einfamilienhaus in X._. Der monatliche Mietzins betrug Fr. 2'100.--. Nachdem die Beschwerdeführerin anfangs Mai 1997 in die Liegenschaft eingezogen war, liess sie am 6. Mai 1997 ein erstes Mal die Heizung von einem Monteur kontrollieren. Sie rügte in der Folge mehrmals, dass die Heizung defekt und zu laut sei. Am 30. September 1997 verfügte die von der Beschwerdeführerin angerufene Schlichtungsbehörde für das Mietwesen des Bezirks Bremgarten eine Mietzinsreduktion von 10% für die Monate Mai und September sowie eine solche von 15% ab Oktober 1997 bis zu einer den üblichen Wärmenormen entsprechenden Instandstellung. Der Beschwerdegegner liess in der Folge verschiedene Arbeiten an der Heizung ausführen.
B.-Am 24. November 1997 zog die Beschwerdeführerin aus der Mietliegenschaft aus und gelangte am 27. November 1997 wiederum an die Schlichtungsstelle für das Mietwesen des Bezirks Bremgarten. Eine gütliche Einigung kam jedoch nicht zustande, worauf die Beschwerdeführerin am 11. März 1998 beim Bezirksgericht Bremgarten Klage einreichte. Sie beantragte im Wesentlichen, es sei festzustellen, dass das zwischen den Parteien abgeschlossene Mietverhältnis spätestens per 1. Dezember 1997 als fristlos gekündigt gelte, und der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, ihr Fr. 10'784. 70 nebst Zins zu bezahlen. Am 21. August 1998 erhob der Beschwerdegegner Widerklage mit den Anträgen, es sei festzustellen, dass die fristlose Kündigung der Beschwerdeführerin per 1. Dezember 1997 nichtig sei, und die Beschwerdeführerin sei zur Zahlung eines Betrages von Fr. 12'390.-- nebst Zins zu verurteilen. Mit Urteil vom 19. August 1999 wies das Bezirksgericht Bremgarten die Klage ab und hiess die Widerklage gut. Am 23. Juni 2000 reduzierte das hierauf mit der Sache befasste Obergericht des Kantons Aargau den dem Beschwerdegegner aufgrund der Widerklage zugesprochenen Betrag auf Fr. 11'130.-- und bestätigte im Übrigen das erstinstanzliche Urteil.
C.-Die Beschwerdeführerin hat gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 23. Juni 2000 sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch Berufung eingelegt. In der staatsrechtlichen Beschwerde stellt sie folgende Anträge:
"1. Das vorinstanzliche Urteil des Obergerichts des
Kantons Aargau, 1. Zivilkammer, vom 23. Juni
2000, sei vollumfänglich aufzuheben.
2. Eventualiter sei das vorinstanzliche Urteil des
Obergerichts des Kantons Aargau, 1. Zivilkammer,
vom 23. Juni 2000, vollumfänglich aufzuheben und
die Vorinstanz zu verpflichten, eine neue Hauptverhandlung
anzuordnen mit erneutem vollständigem
Beweisverfahren und ordnungskonformem Verhandlungsprotokoll.
3. 3.1. Subeventualiter sei das Obergericht des Kantons
Aargau, 1. Zivilkammer, im Sinne von Art. 93 Abs. 2 OG aufzufordern, das fehlende Verhandlungsprotokoll
der Gerichtsverhandlung vom 23. Juni 2000
ordnungskonform zu erstellen und nachzuliefern.
Alsdann sei der Beschwerdeführerin neu Frist anzusetzen,
ihre staatsrechtliche Beschwerde entsprechend
zu ergänzen.
3.2. Diesbezüglich behält sich die Beschwerdeführerin
ausdrücklich das Recht vor, die Beweiswürdigung
der Vorinstanz im Rahmen einer präzisierenden
staatsrechtlichen Beschwerde auf der Grundlage
eines korrekten Verhandlungsprotokolls nach erneuter
Fristansetzung durch den Instruktionsrichter
der angerufenen Instanz anzufechten.
4. Subsubeventualiter sei Antrag 3 hievor im Sinne
von Art. 35 OG zu behandeln und der Beschwerdeführerin
alsdann neu Frist anzusetzen, ihre
staatsrechtliche Beschwerde entsprechend zu ergänzen.. "
Der Beschwerdegegner schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Aargau hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D.-Mit Beschluss vom 1. November 2000 wurde der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt.
Am 11. Januar 2001 wurde der Beschwerdeführerin eine Kopie des Protokolls der Hauptverhandlung vom 23. Juni 2000 vor dem Obergericht des Kantons Aargau zugestellt und ihr gleichzeitig eine Frist zur Ergänzung ihrer Beschwerde angesetzt. In ihrer Beschwerdeergänzung hält die Beschwerdeführerin an Ziffer 1 und 2 ihrer Anträge fest. Der Beschwerdegegner beantragt in seiner Stellungnahme zur Beschwerdeergänzung wiederum die Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Das Obergericht kam zum Schluss, die Voraussetzungen für eine fristlose Kündigung gemäss <ref-law> seien nicht erfüllt gewesen. Die Beschwerdeführerin ficht das angefochtene Urteil wegen Verweigerung des rechtlichen Gehörs und Verletzung des Willkürverbotes an. Die staatsrechtliche Beschwerde stimmt dabei mit der gleichzeitig eingereichten Berufung über weite Strecken wörtlich überein.
a) Gemäss Art. 84 Abs. 2 OG ist die staatsrechtliche Beschwerde nur zulässig, wenn die behauptete Rechtsverletzung nicht mit einem anderen Rechtsmittel gerügt werden kann. Diese Subsidiarität der staatsrechtlichen Beschwerde gilt insbesondere auch im Verhältnis zur Berufung. Die Rüge falscher oder willkürlicher Anwendung von Bundesrecht ist in berufungsfähigen Streitsachen - eine solche ist hier gegeben - mit Berufung vorzubringen (Art. 43 OG), so dass die staatsrechtliche Beschwerde insoweit verschlossen bleibt (<ref-ruling> E. 4a S. 385).
b) Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind verschiedene Rechtsmittel zwar nicht schon wegen ihrer gleichlautenden Begründung unzulässig. Zufolge der Verflechtung nicht offenkundig aufscheinende und nicht eindeutig zugeordnete Vorbringen werden jedoch vom Bundesgericht übergangen (<ref-ruling> E. 2a S. 294/5; <ref-ruling> E. 2).
c) Bezüglich der Begründungsanforderungen an die staatsrechtliche Beschwerde ist zu beachten, dass die Beschwerdeschrift gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten muss, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Dabei ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides im Einzelnen darzustellen, worin die Verletzung der angerufenen Verfassungsrechte bestehen soll. Wird eine willkürliche Beweiswürdigung als Verstoss gegen <ref-law> gerügt, so reicht es - anders als bei einem appellatorischen Rechtsmittel - nicht aus, den Sachverhalt aus Sicht der Beschwerdeführerin darzulegen oder einzelne Beweise anzuführen, die sie anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet wissen möchte.
Vielmehr ist konkret darzustellen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll. Dabei genügt es insbesondere nicht, einer appellatorischen Kritik einfach die Bemerkung anzufügen, der gegenteilige Schluss der kantonalen Behörde sei willkürlich. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 495 mit Hinweisen).
d) Die vorliegende staatsrechtliche Beschwerde vermag den formellen Anforderungen nur zum Teil zu genügen. So vermengt die Beschwerdeführerin den Vorwurf falscher oder willkürlicher Rechtsanwendung mit der Rüge willkürlicher Beweiswürdigung, welche sie zudem über weite Strecken in appellatorischer Weise kritisiert. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit die Ausführungen auf den Vorwurf hinauslaufen, das Obergericht habe <ref-law> bundesrechtswidrig angewendet. Ebenso unbeachtet haben diejenigen Rügen zu bleiben, bei welchen unklar bleibt, ob damit eine Verfassungs- oder eine Bundesrechtsverletzung geltend gemacht wird.
2.- Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei ihr das rechtliche Gehör verweigert worden, indem ihr während der Rechtsmittelfrist für die staatsrechtliche Beschwerde das sich nunmehr bei den Akten befindende Protokoll der Hauptverhandlung vor dem Obergericht des Kantons Aargau vom 23. Juni 2000 nicht zur Verfügung gestanden habe. Das Obergericht hat diesen Sachverhalt nicht bestritten.
Der Beschwerdeführerin ist insofern zuzustimmen, als eine unterlassene Protokollierung von Zeugenaussagen geeignet sein kann, den verfassungsrechtlichen Anspruch auf rechtliches Gehör zu verletzen (vgl. <ref-ruling> E. 2a/aa mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall ist indes zu berücksichtigen, dass eine Protokollierung erfolgte und der Beschwerdeführerin - wenn auch nachträglich - eine Kopie des fraglichen Protokolls zugestellt wurde. Es wurde ihr zudem die Möglichkeit eingeräumt, ihre staatsrechtliche Beschwerde in Kenntnis des Protokolls zu ergänzen. Der Beschwerdeführerin erwuchs durch den Verfahrensfehler, welcher sich im Übrigen erst nach Erlass des angefochtenen Entscheides ereignete und diesen somit nicht beeinflussen konnte, kein Nachteil. Die Gehörsverweigerung ist deshalb als geheilt zu betrachten.
3.- Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, es sei bei der Beweiswürdigung in Willkür verfallen.
a) Nach konstanter Rechtsprechung liegt Willkür nicht schon dann vor, wenn eine andere als die vom kantonalen Gericht gewählte Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht schreitet erst ein, wenn der angefochtene Entscheid nicht nur unrichtig, sondern schlechthin unhaltbar ist, insbesondere wenn er eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt.
Erforderlich ist zudem, dass der Entscheid im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 2a S. 168; <ref-ruling> E. 3a S. 15, 129 E. 5b S. 134, je mit Hinweisen).
Eine Behörde verfällt nach der Rechtsprechung in Willkür, wenn sie ihrem Entscheid Tatsachenfeststellungen zugrunde legt, die mit den Akten in klarem Widerspruch stehen.
Im Bereich der Beweiswürdigung besitzt das Sachgericht allerdings einen weiten Ermessensspielraum (<ref-ruling> E. 4b S. 40 mit Hinweisen), zumal das kantonale Recht - anderslautende Anordnungen des Bundesrechts vorbehalten - bestimmt, mit welchen Mitteln und in welchem Verfahren der Beweis zu führen ist und ob freie Beweiswürdigung gilt (<ref-ruling> E. 3 S. 279; Vogel, Grundriss des Zivilprozessrechts,
6. Aufl. , S. 270 Rz. 69). Verfassungswidrig ist eine Beweiswürdigung daher bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder sonstwie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkürlich ist insbesondere eine Beweiswürdigung, welche einseitig einzelne Beweise berücksichtigt oder Sachvorbringen als unbewiesen annimmt, obgleich sie aufgrund des Verhaltens der Gegenpartei offensichtlich als zugestanden zu gelten hätten (<ref-ruling> E. 1b S. 30). Dagegen reicht nicht bereits aus, dass die vom Sachgericht gezogenen Schlüsse mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei nicht übereinstimmen oder die Verfassungsinstanz bei freier Prüfung möglicherweise nicht zu überzeugen vermöchten.
b) Die Beschwerdeführerin ficht die Feststellung des Obergerichts, es sei ihr der Nachweis nicht gelungen, dass die Heizung bei ihrem Auszug funktionsuntüchtig war, als willkürlich an. Sie übersieht dabei, dass den Aussagen vor dem Obergericht der Zeugen Stutz und Utzinger, welche beide wegen den Problemen der Heizung beigezogen wurden, entnommen werden kann, dass die Heizung am 10. Oktober 1997, am 17. Oktober 1997 sowie am 24. Dezember 1997 grundsätzlich funktionierte. Wenn das Obergericht daraus schloss, die Beschwerdeführerin habe die Funktionsuntauglichkeit der Heizung im Zeitpunkt ihres Auszuges am 24. November 1997 nicht bewiesen, ist dies nicht willkürlich. Dass der Beschwerdegegner nach dem Auszug der Beschwerdeführerin die Heizung im Rahmen einer Aktion zu verbilligten Preisen revidieren liess, vermag daran nichts zu ändern, bringt die Beschwerdeführerin doch nichts vor, was das Abstellen des Obergerichts auf die diesbezüglichen Aussagen des Beschwerdegegners als unhaltbar erscheinen liesse. Im Lichte des dem Sachgericht zustehenden Ermessensspielraums ist namentlich die Erwägung verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, die Aussagen des Beschwerdegegners im Zusammenhang mit der verbilligten Revision der Heizung seien glaubwürdig.
c) Die Beschwerdeführerin bringt sodann sinngemäss vor, die Feststellung des Obergerichts, wonach der Tag-/Nachtrhythmus der Heizung nicht verschoben gewesen sei, sei aktenwidrig. Sie verweist zur Begründung auf die Aussagen der Zeugin Demierre, Nachfolgerin der Beschwerdeführerin als Mieterin der strittigen Liegenschaft, wonach es nachts zu stark geheizt habe. Die Beschwerdeführerin verkennt indessen, dass sich diese Aussage der Zeugin Demierre nur auf eine bestimmte Einstellung der Heizung, nämlich die sog.
Nachtschaltung, bezog, bei welcher nur nachts geheizt wird.
Aus dieser Aussage lässt sich nicht ableiten, der Tag-/Nachtrhythmus der Heizung sei generell verschoben gewesen.
d) Soweit die Beschwerdeführerin dem Obergericht vorwirft, es sei in Willkür verfallen, indem es angenommen habe, die Heizung habe keinen Lärm verursacht, ist ihre Rüge bereits deshalb unbegründet, weil das angefochtene Urteil eine solche Feststellung nicht enthält. Vielmehr ging das Obergericht gerade davon aus, dass sich die Beschwerdeführerin nicht zu Unrecht über den Lärm beklagt habe. Ob die Geräusche oder die Schwierigkeiten mit der Temperaturregulierung eine fristlose Kündigung rechtfertigten, ist im Übrigen eine Frage des Bundesrechts, welche im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nicht zu überprüfen ist (vgl. oben E. 1a).
4.- Das Obergericht erwog, angesichts der erstellten Mängel der Mietsache - Schwierigkeiten der Wärmeregulierung und störende Geräusche - rechtfertige es sich, den vom Beschwerdeführer widerklageweise geltend gemachten Mietzins gemäss dem Entscheid der Schlichtungsbehörde vom 30. September 1997 in reduziertem Umfang von Fr. 210.-- pro Monat herabzusetzen.
Die Beschwerdeführerin sieht das Willkürverbot dadurch verletzt, dass das Obergericht einerseits auf den Entscheid der Schlichtungsbehörde verweist, anderseits jedoch nur eine Kürzung von 10% des monatlichen Mietzinses - und nicht wie die Schlichtungsbehörde von 15% - vornimmt.
Die Rüge der Beschwerdeführerin ist unbegründet.
Die Schlichtungsbehörde verfügte am 30. September 1997 eine Mietzinsreduktion von 10% für die Monate Mai und September 1997 und eine solche von 15% ab Oktober 1997 bis zur Behebung der damals festgestellten Mängel. Nach dem Entscheid der Schlichtungsbehörde liess der Beschwerdeführer diverse Arbeiten an der Heizung ausführen. Gemäss dem angefochtenen Urteil verblieben jedoch auch nach diesen Arbeiten gewisse Mängel, welche zwar nicht unzumutbar waren, jedoch eine Reduktion des Mietzinses rechtfertigten. Bei deren Bemessung orientierte sich das Obergericht zwar am Entscheid der Schlichtungsbehörde, erwog jedoch ausdrücklich, dass der Mietzins im Vergleich dazu nur "im reduzierten Umfang" herabzusetzen sei. Damit ist nicht ersichtlich, inwiefern das Vorgehen des Obergerichts willkürlich sein sollte. Ob es das ihm zustehende Ermessen bundesrechtskonform ausübte (vgl.
Art. 259a lit. b und 259d OR), ist im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nicht zu überprüfen.
5.- Das Obergericht wies die Klage der Beschwerdeführerin wie schon das Bezirksgericht ab. Den dem Beschwerdegegner aufgrund seiner Widerklage zuzusprechenden Betrag reduzierte es von Fr. 12'390.-- auf Fr. 11'130.--, also um Fr. 1'260.--. Weil die Beschwerdeführerin damit nur geringfügig obsiegte, auferlegte ihr das Obergericht in Anwendung der einschlägigen Bestimmungen der aargauischen Zivilprozessordnung (ZPO/AG) die gesamten Verfahrenskosten. Die Beschwerdeführerin ficht diese Kostenverlegung als willkürlich an.
Gemäss <ref-law>/AG kann der Richter bei geringfügiger Überklagung, durch die keine besonderen Kosten verursacht worden sind, der unterliegenden Partei alle Kosten auferlegen. Im Schrifttum wird dazu die Auffassung vertreten, dass eine geringfügige Überklagung bis zu einem um rund 1/10 kleineren als dem klageweise beantragten Prozessergebnis vorliegen dürfte (Alfred Bühler, in: Bühler/Edelmann/Killer, Kommentar zur aargauischen Zivilprozessordnung,
2. Aufl. , N. 14 zu <ref-law>/AG). Im vorliegenden Fall macht die vom Obergericht vorgenommene Reduktion 10,17% und damit gerundet 1/10 des widerklageweise geforderten Betrages aus; sie bewegt sich daher in dem Rahmen, welcher in der Lehre noch als geringfügig bezeichnet wird. Wenn das Obergericht im Einklang mit einer Literaturmeinung die Geringfügigkeit des Unterliegens und damit die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit von <ref-law>/AG als gegeben erachtete, verfiel es nicht in Willkür. Nachdem es überdies im angefochtenen Urteil ausdrücklich erwähnte, auf welche Bestimmungen es seinen Kostenentscheid stützte, liegt entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin auch keine Verletzung der Begründungspflicht vor.
6.- Damit erweisen sich die von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Rügen als unbegründet, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Die Beschwerde ist daher abzuweisen.
Der unentgeltlich prozessierenden Beschwerdeführerin sind keine Kosten aufzuerlegen, und ihrem amtlichen Anwalt ist ein Honorar aus der Bundesgerichtskasse auszurichten (Art. 152 OG). Hingegen wird die Beschwerdeführerin bei diesem Verfahrensausgang gegenüber dem Beschwerdegegner entschädigungspflichtig (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Es werden keine Kosten erhoben.
3.- Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.-Rechtsanwalt Patrick Stutz wird aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau (1. Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 11. April 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: