Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 14. Februar 2011 schied der Einzelrichter der Höfe die Ehe von A.X._ und B.X.-Y._ und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Insbesondere wurde der gemeinsame Sohn D._ (geb. 2006) unter die alleinige elterliche Sorge der Mutter gestellt. Das Besuchsrecht des Vaters wurde festgelegt. A.X._ wurde zu Unterhaltszahlungen an seinen Sohn und an B.X.-Y._ verpflichtet.
Das Kantonsgericht Schwyz beurteilte am 29. November 2011 auf Berufung bzw. Anschlussberufung der Parteien hin namentlich die Unterhaltsansprüche neu.
B.
Am 12. Juli 2013 reichte A.X._ beim Bezirksgericht Zürich eine Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 14. Februar 2011/29. November 2011 ein. Er verlangte namentlich, ihm die alleinige elterliche Sorge über den Sohn D._ zuzuteilen. Im Rahmen von vorsorglichen Massnahmen stellte das Einzelgericht am 2. Oktober 2013 D._ für die Dauer des Hauptverfahrens unter die elterliche Obhut des Vaters, sistierte einstweilen das Besuchsrecht der Mutter und ordnete eine Beistandschaft für das Kind an. Zudem wurde eine psychiatrische Begutachtung der Mutter zur Abklärung der Erziehungsfähigkeit angeordnet. Die Unterhaltsregelung wurde für die Dauer des Hauptverfahrens den neuen Verhältnissen angepasst. B.X.-Y._ wurde die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt.
C.
B.X.-Y._, infolge Wiederverheiratung nunmehr B.Z._, gelangte gegen die vorsorglichen Anordnungen betreffend D._ an das Obergericht des Kantons Zürich. Für das Rechtsmittelverfahren wurde ihr die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt. Die Berufung wurde am 21. März 2014 abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Von Amtes wegen ersetzte das Obergericht die angefochtene Verfügung durch eine einlässliche Regelung des Besuchs- und Kontaktrechts der Mutter gegenüber D._. Es stellte fest, dass A.X._ ab 23. November 2013 keinen Unterhalt mehr an B.Z._ schulde. Die zweitinstanzliche Entscheidgebühr wurde auf Fr. 3'500.-- festgesetzt und den Parteien je hälftig auferlegt. Der Anteil von B.Z._ wurde infolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
D.
A.X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen/subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 17. April 2014 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, die obergerichtliche Kostenregelung aufzuheben und die gesamten Kosten des Berufungsverfahrens B.Z._ (Beschwerdegegnerin) aufzulegen, welche ihn hierfür zu entschädigen habe. Zudem sei B.Z._ von Amtes wegen die unentgeltliche Rechtspflege zu entziehen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Am 31. Juli 2014 hat der Beschwerdeführer dem Bundesgericht unaufgefordert eine Verfügung des Bezirksgerichts vom 9. Juli 2014 eingereicht, womit B.Z._ für das Hauptverfahren die unentgeltliche Rechtspflege ohne Rückwirkung entzogen wurde. Daraufhin hat der Beschwerdegegner am 13. August 2014 mit dem Hinweis auf Weiterzug des genannten Entscheides an das Obergericht geantwortet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Rechtsmittelentscheid über den Erlass vorsorglicher Massnahmen im Rahmen einer Klage auf Abänderung eines Scheidungsurteils. Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens waren im Wesentlichen die Belange des minderjährigen Kindes der Parteien, mithin eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>). Damit ist die vorliegende einzig gegen die Verteilung der Prozesskosten gerichtete Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig (BGE <ref-law>, <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 48), ohne dass die Voraussetzungen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung noch geprüft werden müssen. Die Verfassungsbeschwerde entfällt daher (<ref-law>).
1.2. Der angefochtene Entscheid ist im Rahmen vorsorglicher Massnahmen ergangen, womit einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden kann (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft indes nur konkret erhobene und klar begründete Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 674).
2.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde bilden die Prozesskosten des kantonalen Rechtsmittelverfahrens.
2.1. Die Vorinstanz auferlegte die bei ihr angefallenen Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- den Parteien je zur Hälfte. Sie wies darauf hin, dass diese zwar in der Regel nach Obsiegen und Unterliegen verteilt würden. Indes könne in familienrechtlichen Verfahren gestützt auf <ref-law> vom Prozessausgang abgewichen werden. Nach der Praxis der urteilenden Kammer würden bei Kinderbelangen die Eltern hälftig belastet. In einem solchen Fall würden zudem keine Parteientschädigungen zugesprochen. Infolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege werde der Anteil der Beschwerdegegnerin einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
2.2. Soweit der Beschwerdeführer vom Bundesgericht verlangt, dass der Beschwerdegegnerin vom Amtes wegen das Recht auf unentgeltliche Prozessführung entzogen werde, kann auf sein Begehren nicht eingetreten werden. Weder legt er in nachvollziehbarer Weise dar noch ist ersichtlich, inwiefern er hier in seinen schützenswerten Interessen (<ref-law>) betroffen sein könnte. Der Hinweis, durch die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege werde die Beschwerdegegnerin geradezu ermutigt, zu seinem Nachteil zu prozessieren, beschlägt zudem die Voraussetzungen einer Rechtswohltat, welche ausschliesslich von der zuständigen Behörde zu prüfen sind (<ref-law>). In einem solchen Verfahren steht dem Beschwerdeführer keine Parteistellung (<ref-law>) und kein Rechtsmittel zu (<ref-law>) zu, da ihm in der Regel kein schutzwürdiges Interesse zukommt, sich in das Verhältnis der Gegenpartei zum Staat einzumischen, das durch die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege geschaffen wird. Die Beschwerdeberechtigung vor Bundesgericht kann nicht weiter gefasst werden als im vorangegangenen Verfahren (Urteil 5A_29/2013 vom 4. April 2013 E. 1.1). Die Ausführungen des Beschwerdeführers zur wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit und damit zur fehlenden Prozessarmut der Beschwerdegegnerin bleiben infolgedessen unberücksichtigt.
2.3. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, ihren Entscheid hinsichtlich der Verlegung der Prozesskosten nur pauschal begründet zu haben und dabei ohne nähere Ausführungen von anerkannten Grundsätzen abgewichen zu sein. Zudem habe das Obergericht das ihm zustehende Ermessen willkürlich ausgeübt.
2.3.1. Soweit diese Kritik als Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) im Sinne der Begründungspflicht zu verstehen ist, erweist sie sich als unbegründet. Dem Beschwerdeführer war es durchaus möglich, von den entscheidwesentlichen Überlegungen der Vorinstanz Kenntnis zu nehmen und sich über die Tragweite des Entscheides Rechenschaft zu geben, um ihn in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterzuziehen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88).
2.3.2. Gemäss <ref-law> werden die Prozesskosten der unterliegenden Partei auferlegt. Das Gericht kann in den Fällen von <ref-law> vom genannten Grundsatz abweichen und nach Ermessen vorgehen. Dies ist unter anderem in familienrechtlichen Verfahren der Fall (Abs. 1 lit. c ZPO). Bei der Prüfung von Ermessensentscheiden übt das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz von anerkannten Grundsätzen abweicht, auf sachfremde Kriterien abstellt oder entscheidrelevante Umstände vernachlässigt. Ausserdem greift es in Ermessensentscheide ein, wenn sie sich als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2 S. 123 f.)
Das Obergericht hält fest, im Berufungsverfahren sei es ausschliesslich um Kinderbelange gegangen, was insoweit ungenau ist, als die Obhutszuteilung über D._ mit den damit verbundenen Folgen zwar im Zentrum stand, indes im selben Verfahren auch die Unterhaltspflicht des Ehegatten als aufgehoben erklärt wurde. Am Charakter des familienrechtlichen Verfahrens ändert sich dadurch ohnehin nichts. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat das Bundesgericht in dem von ihm angeführten Entscheid (<ref-ruling>) nicht abschliessend zum Verhältnis von <ref-law> zu <ref-law> Stellung genommen; hingegen hat es festhalten, dass ein Klagerückzug in der konkreten Konstellation kein Abrücken von der klaren Regelung in <ref-law> rechtfertige. Im konkreten Fall hat sich auch der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz an der aufwändigen Auseinandersetzung um die Obhut über D._ sowie die damit verbundenen Folgen beteiligt und im Rahmen der Berufungsantwort (unzulässigerweise) selbstständige Anträge gestellt. Damit ist es unter verfassungsmässigen Gesichtspunkten zumindest im Ergebnis nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht die Gerichtskosten den beiden Parteien hälftig auferlegt hat. Weshalb die Beschwerdegegnerin ihm eine Parteientschädigung leisten sollte, begründet der Beschwerdeführer nicht. Auf das entsprechende Begehren ist somit nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Nach dem Dargelegten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Zürich, 1. Abteilung, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante