Sachverhalt:
A. Der 1965 geborene M._ war ab Oktober 1994 Mitglied des Verwaltungsrates, von Februar 2000 bis November 2004 Präsident und Delegierter des Verwaltungsrates und von Dezember 2004 bis Mai 2005 Direktor der Firma X._AG. Ausstehender Lohnzahlungen wegen hat er das Arbeitsverhältnis mit Schreiben vom 14. Juni 2005 fristlos aufgelöst. Im Dezember 2005 wurde über die Firma X._ AG der Konkurs eröffnet; das Konkursverfahren wurde in der Folge mangels Aktiven im Juni 2006 eingestellt.
Am 26. Januar 2005 (recte: 2006) beantragte M._ Insolvenzentschädigung für einen Lohnausstand in der Höhe von Fr. 80'114.40 (Monatslöhne Januar bis Juni 2005). Die Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich lehnte das Begehren mit Verfügung vom 13. Februar 2006 ab. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 12. August 2006).
B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab (Entscheid vom 12. September 2007).
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei ihm für die Zeit vom 15. Februar bis 14. Juni 2005 Insolvenzentschädigung zuzusprechen.
Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung stellt eine vom Bundesgericht ebenfalls zu korrigierende Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> dar (Seiler/von Werdt/Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N. 24 zu <ref-law>).
2. Im Einspracheentscheid und im kantonalen Gerichtsentscheid werden die Bestimmung zum Ausschluss arbeitgeberähnlicher Personen vom Anspruch auf Insolvenzentschädigung (<ref-law>) sowie die dazu ergangene Rechtsprechung (<ref-ruling>; ARV 1996/97 Nr. 41 S. 224 E. 1a S. 226) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat in pflichtgemässer Würdigung der gesamten Aktenlage mit nachvollziehbarer Begründung erkannt, dass sich die Firma X._ AG bereits während der Dauer des Verwaltungsratsmandates des Beschwerdeführers in erheblichen finanziellen Schwierigkeiten befunden hatte, diese Probleme nach dem Ausscheiden aus dem Verwaltungsrat bestehen blieben und zuletzt zum Konkurs der Gesellschaft führten. Bei dieser Entwicklung könne der Versicherte gemäss <ref-ruling> keine Insolvenzentschädigung beziehen.
3.2 Die Vorbringen des Beschwerdeführers vermögen diese Betrachtungsweise nicht in Zweifel zu ziehen. Die tatsächlichen Feststellungen sind nicht mangelhaft im Sinne von <ref-law> und die rechtliche Würdigung der Vorinstanz ist bundesrechtskonform. Der Versicherte lässt geltend machen, er sei an der ausserordentlichen Verwaltungsratssitzung vom 6. Dezember 2004 als CEO abgesetzt und neu als "einfacher Mitarbeiter" weiterbeschäftigt worden. Er sei nurmehr in beratender Funktion tätig gewesen und es sei ihm keine massgebliche Stellung in der Gesellschaft mehr zugekommen. Der Ausschlussgrund des <ref-law> sei demgemäss nicht erfüllt. Ob der Beschwerdeführer als Direktor die Tätigkeit der Gesellschaft tatsächlich nicht mehr beeinflussen konnte, ist mit Blick darauf, dass er in dieser Funktion unter anderem die Entscheidungsfindung der neuen Geschäftsleitung zu unterstützen hatte (Schreiben des neuen Verwaltungsratspräsidenten vom 25. Januar 2006), zweifelhaft. Das kantonale Gericht musste diese Frage allerdings nicht beantworten. Wie im angefochtenen Gerichtsentscheid zu Recht ausgeführt wird, entfällt nämlich ein Anspruch auf Insolvenzentschädigung schon deshalb, weil die Gesellschaft bereits zu einer Zeit in finanzielle Schwierigkeiten geraten ist, als der Beschwerdeführer noch Verwaltungsratspräsident war und demgemäss arbeitgeberähnliche Befugnisse ausgeübt hatte. Die Probleme konnten auch nach seinem Ausscheiden aus dem Verwaltungsrat nicht gelöst werden und führten zuletzt in den Konkurs. Es liegt demnach, wie von der Vorinstanz zutreffend erwogen, ein Fall im Sinne von <ref-ruling> vor, womit dem Versicherten keine Insolvenzentschädigung zusteht. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer im Jahr 2005 annahm, die Gesellschaft befinde sich auf Grund von Sanierungsmassnahmen und einer angekündigten Fusion (wieder) in gesicherten finanziellen Verhältnissen. Nicht verlangt ist schliesslich gemäss <ref-ruling>, dass der Versicherte für die Gründe, welche schliesslich zum Konkurs führten, verantwortlich oder mitverantwortlich ist oder dass ihm eine Missbrauchsabsicht vorgeworfen werden kann. Vielmehr genügt, dass die finanziellen Schwierigkeiten, welche zuletzt zum Konkurs führten, bereits vor dem Austritt aus dem Verwaltungsrat bestanden (<ref-ruling> E. 5c S. 138). Im Lichte der weder offensichtlich unrichtigen noch unvollständigen Tatsachenfeststellung im angefochtenen Entscheid durfte das kantonale Gericht, ohne Bundesrecht zu verletzen, einen Anspruch auf Insolvenzentschädigung ablehnen.
4. Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Mai 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
i.V. Lustenberger Berger Götz