Sachverhalt:
A. Die zürcherische Anwaltsprüfung besteht aus einem schriftlichen und einem mündlichen Teil (§ 10 der Verordnung des Obergerichts vom 21. Juni 2006 über die Fähigkeitsprüfung für den Anwaltsberuf, Anwaltsprüfungsverordnung; AnwaltsprüfV). Die Zulassung zur mündlichen Prüfung (§ 13) setzt eine genügende schriftliche Prüfung voraus, wobei die Leistung mit den Qualifikationen "sehr gut", "gut bis sehr gut", "gut", "genügend bis gut", "genügend" oder "ungenügend" bewertet wird (§ 11). Fällt die mündliche Prüfung ungenügend aus, so bestimmt die Kommission auf Grund des Gesamtergebnisses der schriftlichen und mündlichen Prüfung, ob die mündliche Prüfung ganz oder in einzelnen Fächern zu wiederholen ist (§ 14). Bei Teilwiederholung sind die Leistungen in den einzelnen Fächern nach der Beurteilungsskala der schriftlichen Prüfung zu bewerten, und die Qualifikationen sind zu protokollieren (§ 14 Abs. 2). Fällt dabei das Gesamtergebnis unter Berücksichtigung der früher bestandenen Teilprüfungen wiederum ungenügend aus, so weist die Kommission die Bewerberin oder den Bewerber ab (§ 14 Abs. 3).
B. X._ bestand am 25. Februar 2008 die schriftliche Anwaltsprüfung, wobei seine Leistung mit "genügend bis gut" bewertet wurde.
Am 26. September 2008 legte X._ die mündliche Prüfung in allen Fächern ab. Sie wurde ihm mit Ausnahme der Fächer ZGB, ZPO und StPO abgenommen, wobei seine Leistungen in den abgenommenen Fächern als "genügend" bewertet wurden.
Am 24. März 2009 bestand X._ auch die mündliche Wiederholungsprüfung nicht. Seine Leistungen wurden in den Fächern ZPO und StPO zwar als "genügend bis gut", diejenige im Fach ZGB jedoch als "ungenügend" bewertet. Nach der Kompensationspraxis der Anwaltsprüfungskommission kann einzig eine mindestens mit "gut" bewertete Teilprüfung eine "ungenügende" Teilprüfung kompensieren. Gleichentags beschloss die Anwaltsprüfungskommission, dem Bewerber werde das Fähigkeitszeugnis für den Rechtsanwaltsberuf nicht erteilt.
C. Gegen diesen Beschluss erhob X._ am 7./8. Mai 2009 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, das die Beschwerde mit Entscheid vom 13. Januar 2010 abwies. Es erachtete die Kompensationspraxis als nicht willkürlich und die geltend gemachte retrograde Amnesie als nicht erwiesen.
D. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 15. Februar 2010 beantragt X._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 13. Januar 2010 aufzuheben und die Anwaltsprüfungskommission bzw. das Obergericht des Kantons Zürich anzuweisen, ihm das zürcherische Rechtsanwaltspatent zu erteilen. Eventualiter stellt er den Antrag, die Sache zur gehörigen Beurteilung an die Anwaltsprüfungskommission zurückzuweisen und ihn im Fach ZGB nochmals mündlich zu prüfen. Weiter ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Anwaltsprüfungskommission schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Nach Art. 83 lit. t BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich auf den Gebieten der Schule, der Weiterbildung und der Berufsausübung. Diese Ausschlussbestimmung zielt auf Prüfungsergebnisse im eigentlichen Sinn sowie auf alle Entscheide ab, die auf einer Bewertung der intellektuellen oder physischen Fähigkeiten eines Kandidaten beruhen (<ref-ruling> E. 1 S. 231; <ref-ruling> E. 1.1.1 S. 63; Urteil 2C_579/2010 vom 17. November 2010 E. 1.1), nicht aber auf andere Entscheide im Zusammenhang mit Prüfungen wie insbesondere solche organisatorischer Natur (<ref-ruling> E. 1 S. 231 mit Hinweisen). Ob der Ausschlussgrund zur Anwendung kommt, hängt grundsätzlich vom Gegenstand des angefochtenen Entscheids, nicht vom Inhalt der erhobenen Rügen ab (Urteil 2C_120/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 1.1 mit Hinweis). Vorliegend geht es um ein eigentliches Prüfungsergebnis, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen ist.
2. 2.1 Soweit wie hier ein kantonaler Endentscheid angefochten wird, ist bei Ausschluss der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> zu prüfen.
2.2 In Anknüpfung an die Rechtsprechung zur früheren staatsrechtlichen Beschwerde hat das Bundesgericht seine Praxis in Bezug auf die Anfechtbarkeit von Prüfungsnoten im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde wie folgt präzisiert: Weiterhin nicht anfechtbar sind einzelne Noten einer Gesamtprüfung, die nicht mit einer weitergehenden Wirkung wie dem Nichtbestehen verbunden sind und auch keinen Einfluss auf ein Prädikat zeitigen. Steht jedoch das Nichtbestehen, eine andere Folge (wie der Ausschluss von der Weiterbildung) oder ein Prädikat in Frage, für das die Prüfungsordnung vorgibt, wie es zu bestimmen ist, besteht ein Rechtsschutzinteresse an der Überprüfung des Gesamtergebnisses und damit auch an einer diesem zugrunde liegenden Einzelnote (<ref-ruling> E. 2.6 S. 234).
Die vom Beschwerdeführer angefochtene Bewertung der Wiederholungsprüfung bzw. Gesamtbeurteilung der Prüfungsleistungen wirkt sich auf das Nichtbestehen der Anwaltsprüfung aus. Der Entscheid darüber als Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet damit grundsätzlich einen anfechtbaren Hoheitsakt.
2.3 Zur Verfassungsbeschwerde ist nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Das Willkürverbot nach <ref-law> verschafft für sich allein das erforderliche rechtlich geschützte Interesse nicht (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 191). Die Legitimation bei Anrufung spezieller Verfassungsrechte ergibt sich bereits aus der Grundrechtsträgerschaft und dem Inhalt des als verletzt gerügten Verfassungsrechts (<ref-ruling> E. 1.3 S. 270 mit Hinweis).
Das Ergebnis der Wiederholungsprüfung steht nicht im Ermessen der Anwaltsprüfungskommission, sondern ergibt sich aus den vergebenen Einzelbewertungen. Der Beschwerdeführer hat insofern ein rechtlich geschütztes Interesse an der Ermittlung des Prüfungsergebnisses und der diesem zugrunde liegenden Bewertungen. Der Beschwerdeführer ist somit zur subsidiären Verfassungsbeschwerde legitimiert.
2.4 Mit der Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nur, soweit eine entsprechende Rüge vorgebracht und begründet worden ist. Dabei gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 235; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254, 396 E. 3.1 S. 399). Diese verlangt, dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe dartut, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. <ref-ruling> E. 2.8 S. 494 mit Hinweisen).
Ruft der Beschwerdeführer das Willkürverbot an, muss er, wie schon im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, dartun, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 6 S. 397). Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f. mit Hinweisen).
2.5 Hat das Bundesgericht auf subsidiäre Verfassungsbeschwerde hin die Bewertung von Prüfungsleistungen zu beurteilen, so prüft es die Handhabung der einschlägigen kantonalen Verfahrensvorschriften - auf entsprechende, ordnungsgemäss begründete Rügen hin (vgl. E. 2.4) - nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür. In erster Linie prüft es dabei, ob das vorgeschriebene Verfahren unter Beachtung der verfassungsrechtlichen Minimalgarantien durchgeführt worden ist. Eine besondere Zurückhaltung auferlegt es sich bei der materiellen Beurteilung, indem es erst einschreitet, wenn sich die Behörde von sachfremden oder sonst wie ganz offensichtlich unhaltbaren Erwägungen hat leiten lassen, so dass ihr Entscheid unter rechtsstaatlichen Gesichtspunkten als nicht mehr vertretbar und damit als willkürlich erscheint. Das Bundesgericht auferlegt sich bei der Überprüfung von Examensleistungen auch dann Zurückhaltung, wenn es aufgrund seiner Fachkenntnisse sachlich zu einer weitergehenden Überprüfung befähigt wäre (beispielsweise bei Rechtsanwalts- oder Notariatsprüfungen; <ref-ruling> E. 6.2 S. 238; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 mit Hinweisen; 2D_53/2009 vom 25. November 2009 E. 1.4).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts (§§ 50, 63 und 64 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 [VRG]), was zu einer formellen Rechtsverweigerung führe. Gemäss der Vorinstanz sei die Kompensationspraxis der Anwaltsprüfungskommission zwar nicht nachvollziehbar, aber dennoch nicht willkürlich. Der Beschwerdeführer erachtet die Erwägungen der Vorinstanz als in sich widersprüchlich und macht geltend, aufgrund der nach § 50 VRG zustehenden Überprüfungsbefugnis hätte das Verwaltungsgericht eingreifen müssen.
3.2 Es trifft zwar zu, dass die Vorinstanz gewisse Zweifel äusserte, ob in Einzelfällen, in denen zahlreiche "genügend bis gute" Leistungen einer "ungenügenden" Leistung gegenüberstünden, das Gesamtergebnis nicht als genügend erscheinen könnte. Gleichzeitig hielt die Vorinstanz indessen fest, dass es sich vorliegend mangels zahlreicher "genügend bis guter" Bewertungen jedenfalls nicht um einen solchen Einzelfall handelt. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz keineswegs die Rechtswidrigkeit der Kompensationspraxis der Anwaltsprüfungskommission festgestellt. Wenn sie daher die fragliche Prüfungsbewertung als nicht unhaltbar bezeichnete, steht dieser Schluss nicht im Widerspruch zu ihren Überlegungen zur Kompensationspraxis in anders gelagerten Fällen. Von einer willkürlichen Einschränkung der ihr zustehenden Überprüfungsbefugnis kann somit nicht die Rede sein.
4. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Gesamtbeurteilung seiner Prüfungsleistungen als ungenügend verletze das Willkürverbot.
4.1 Die Kompensationsregeln der Anwaltsprüfungsverordnung beruhen auf der von der Anwaltsprüfungskommission gestützt auf § 14 der Anwaltsprüfungsverordnung seit Jahren geübten Praxis; danach ist für das Bestehen der Anwaltsprüfung ein genügendes Gesamtergebnis unter Berücksichtigung der früher bestandenen Teilprüfungen entscheidend. Die Kandidaten werden darüber an den Instruktionsveranstaltungen über die formellen und materiellen Aspekte der Anwaltsprüfung informiert. Wie erwähnt kann nach den Kompensationsregeln der Anwaltsprüfungskommission einzig eine mindestens mit "gut" bewertete Teilprüfung eine "ungenügende" Teilprüfung kompensieren. Das Bundesgericht hat sich bereits in einem früheren Urteil mit der Kompensationspraxis befasst, und diese nicht beanstandet (Urteil 2P.19/2003 vom 29. Juli 2003 E. 3.2.3).
Die Vorinstanz hat zu Recht als nicht willkürlich erachtet, dass für die Kompensation ungenügender Kenntnisse in einem Fach eine überdurchschnittliche Leistung in den übrigen Fächern verlangt wird. Ob - wie die Vorinstanz andeutet - in Einzelfällen, wo zahlreiche "genügend bis gute" Leistungen einer "ungenügenden" Leistung gegenüberstünden, eine von der heutigen Praxis abweichende Beurteilung denkbar wäre, braucht nicht erörtert zu werden. Ohnehin wäre vorliegend die Voraussetzung der zahlreichen "genügend bis guten" Leistungen nicht erfüllt. Es trifft zu, dass einzelne Teilprüfungen ungenügend ausfallen dürfen. Diese müssen allerdings gemäss Kompensationssystem durch gute oder bessere Leistungen ausgeglichen werden. Auf seine Vorbringen betreffend eine mögliche andere, für ihn günstigere Ausgestaltung der Kompensationsregeln ist nicht weiter einzugehen. Sie sind nicht geeignet, die Verfassungswidrigkeit der erfolgten Prüfungsbewertung aufzuzeigen. Zu beurteilen ist, ob sich im konkreten Fall das Gesamtergebnis in Anwendung der langjährigen Kompensationspraxis der Anwaltsprüfungskommission als verfassungskonform erweist. Dass eine andere Lösung denkbar oder sogar besser wäre, führt noch nicht dazu, dass der angefochtene Entscheid als willkürlich erschiene. Da der Beschwerdeführer in fünf der insgesamt neun Teilprüfungen bloss "genügende" Leistungen, nur in drei Teilprüfungen (der schriftlichen Prüfung und in zwei mündlichen Fächern) "genügend bis gute" Leistungen, in einem Fach aber eine ungenügende Leistung erbrachte, befand die Vorinstanz, die Bewertung des Gesamtergebnisses als ungenügend sei nicht unhaltbar. Dieser Schluss verstösst nicht gegen das Willkürverbot.
4.2 Die Gesamtbeurteilung der Prüfungsleistungen ist auch nicht willkürlich, weil die Prüfungskommission bei der Abnahme der Prüfungen bzw. Wiederholungsprüfungen eines Kandidaten aus jeweils verschiedenen Kommissionsmitgliedern zusammengesetzt ist. Es ist - wie in der Vernehmlassung der Anwaltsprüfungskommission vom 12. April 2010 dargelegt wird - organisatorisch nicht möglich, die Kommission immer gleich zu besetzen. Dass ein Anspruch auf eine identische Zusammensetzung der Prüfungskommission für den gesamten Prüfungsablauf bestünde, macht selbst der Beschwerdeführer nicht geltend.
5. Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und eine formelle Rechtsverweigerung. Die Vorinstanz habe es abgelehnt, ihm die Wiederholung der nicht bestandenen Teilprüfung im Fach Zivilrecht zu bewilligen, weil sie die nachträglich als Grund für die ungenügende Prüfungsleistung geltend gemachte retrograde Amnesie als nicht erwiesen erachtete. Der Beschwerdeführer sei seiner Mitwirkungspflicht nachgekommen, indem er einen ärztlichen Bericht ins Recht gelegt, die Befragung des Arztes und der Psychotherapeutin sowie eine Begutachtung durch einen Vertrauensarzt beantragt habe. Die Vorinstanz habe die angebotenen Beweismittel jedoch nicht abgenommen bzw. nicht weiter gewürdigt und damit den Sachverhalt willkürlich festgestellt sowie den Untersuchungsgrundsatz verletzt.
5.1 Der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> fliessende Anspruch auf Abnahme und Würdigung rechtzeitig und formrichtig angebotener Beweismittel (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 242; <ref-ruling> E. 4a mit Hinweisen) schliesst eine vorweggenommene Beweiswürdigung nicht aus, verbietet dem Gericht also nicht, einem beantragten Beweismittel die Erheblichkeit oder Tauglichkeit abzusprechen oder auf die Abnahme von Beweisen zu verzichten, wenn das Gericht aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und willkürfrei davon ausgehen darf, diese würde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.1 S. 429).
5.2 Die fragliche Prüfung fand am 24. März 2009 statt. Die Prüfungskommission stellte beim Beschwerdeführer im Fach Zivilrecht zwar einen Leistungsabfall, jedoch kein Prüfungsverhalten fest, das geeignet gewesen wäre, die nachträglich geltend gemachte gesundheitliche Beeinträchtigung ("Blackout") zu bestätigen. Erst zwei Wochen später hat der Beschwerdeführer seine Psychotherapeutin A._ konsultiert, worauf schliesslich Dr. B._ einzig aufgrund der anamnestischen Angaben des Betroffenen den Arztbericht vom 28. April 2009 verfasste und darin zum Schluss kam, dass die Entstehung und Ausprägung der vom Beschwerdeführer beschriebenen psychogenen Reaktion sowie deren signifikante Auswirkungen auf die Prüfungsergebnisse aus psychiatrischer Sicht "gut nachvollziehbar" seien.
Die Vorinstanz erwog zu Recht, dass die Prüfungsfähigkeit beeinträchtigende Gründe unverzüglich vorzubringen sind und nur eine unmittelbar nach der Prüfung durchgeführte ärztliche Untersuchung eine hinreichende Grundlage für eine beweiskräftige Diagnose über die Befindlichkeit und die Prüfungsfähigkeit des Beschwerdeführers hätte erbringen können. Dass sie demnach die retroaktive Amnesie, deren Bescheinigung sich nicht auf eine unmittelbar nach der Prüfung erfolgte ärztliche Untersuchung, sondern einzig auf die Äusserungen des Beschwerdeführers stützt, als nicht rechtsgenügend erwiesen erachtete, ist nicht zu beanstanden. Unter den vorliegenden Umständen durfte die Vorinstanz ohne Weiteres annehmen, dass auch zusätzliche Untersuchungen bzw. ein vertrauensärztliches Obergutachten nicht geeignet wären, im Nachhinein die Beeinträchtigung der Prüfungsfähigkeit des Beschwerdeführers am 24. März 2009 infolge einer retrograden Amnesie zu belegen, und demzufolge in vorweggenommener Beweiswürdigung auf entsprechende Beweiserhebungen verzichten. Die Vorinstanz hat damit weder das rechtliche Gehör noch den Untersuchungsgrundsatz verletzt und den Sachverhalt nicht willkürlich festgestellt.
6. Soweit der Beschwerdeführer die Protokollierung der Prüfungsleistungen anlässlich der ersten mündlichen Prüfung vom 26. September 2008 und die fehlende Befragung der damals mitwirkenden Mitglieder der Prüfungskommission beanstandet, kann auf seine Vorbringen nicht eingegangen werden, da die erste mündliche Prüfung nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet.
7. 7.1 Aufgrund des Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Für die Begründung kann ergänzend auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid sowie in der Vernehmlassung der Anwaltsprüfungskommission verwiesen werden.
7.2 Da die Beschwerde als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden muss, kann dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden. Seiner finanziellen Lage wird indessen bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zürich, Anwaltsprüfungskommission, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. April 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
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