Erwägungen:
1. Der Gemeinderat Volketswil erteilte am 24. Juni 2008 der F._ AG die baurechtliche Bewilligung für den Neubau eines Gastwirtschaftsbetriebes auf dem Grundstück Nr. 7623 an der Usterstrasse 53 im Ortsteil Zimikon in Volketswil. Auf einen dagegen von E._, B._, C._, D._ und A._ erhobenen Rekurs trat die Baurekurskommission III des Kantons Zürich mit Beschluss vom 20. August 2008 mangels Legitimation der Rekurrenten nicht ein.
E._, B._, C._, D._ und A._ erhoben gegen den Beschluss Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 29. Oktober 2008 ab. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass die Beschwerdeführer zwischen 600 bis 1'300 m vom Baugrundstück entfernt wohnen. Es könne deshalb ausgeschlossen werden, dass der geplante Gastwirtschaftsbetrieb die Beschwerdeführer spürbar beeinträchtigen werde. Es sei zwar nicht auszuschliessen, dass das geplante Drive-in Fastfood-Lokal zu einer beachtlichen Verkehrszunahme auch in einem weiteren Umkreis führe. Indessen sei nicht ersichtlich und sei von den Beschwerdeführern auch nicht dargetan worden, inwiefern dies bei ihren Liegenschaften zu spürbaren Auswirkungen führen werde. Das Baugrundstück sei über die Usterstrasse mit dem übergeordneten Strassennetz verbunden und es könne deshalb ausgeschlossen werden, dass der vom geplanten Betrieb ausgelöste Verkehr sich zu einem wesentlichen Teil über Strassen abwickeln werde, an denen die Beschwerdeführer wohnen. Nach allgemeiner Erfahrung könne sodann ausgeschlossen werden, dass auf eine Distanz von 600 m das Frittieröl des unmittelbar neben einer stark befahrenen Autobahn geplanten Fastfood-Lokals zu riechen sei. Die Vorinstanz habe den Beschwerderführern deshalb zu Recht die Rekurslegitimation nach § 338a Abs. 1 Planungs- und Baugesetz vom 7. September 1975 (PBG) abgesprochen.
2. E._, B._, C._, D._ und A._ führen mit Eingabe vom 14. Dezember 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten.
Das Verwaltungsgericht und die private Beschwerdegegnerin beantragen Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Verwaltungsgericht hat die Rechtsmittelbefugnis der Beschwerdeführer aufgrund von § 338a Abs. 1 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes vom 7. September 1975 (PBG) beurteilt. Diese Bestimmung lautet wie folgt:
"Zum Rekurs und zur Beschwerde ist berechtigt, wer durch die angefochtene Anordnung berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an ihrer Aufhebung oder Änderung hat. Dasselbe gilt für die Anfechtung von Erlassen."
Die Beschwerdeführer beanstanden eine willkürliche Auslegung oder Anwendung dieser Bestimmung.
3.1 Vorliegend ist deshalb zu prüfen, ob das Verwaltungsgericht § 338a Abs. 1 PBG willkürfrei angewendet und ob es mit Blick auf die <ref-law> (Einheit des Verfahrens) und 89 Abs. 1 BGG (Beschwerderecht) bei der Anwendung der kantonalen Legitimationsbestimmung Bundesrecht verletzt hat, soweit es das Nichteintreten der Baurekurskommission bestätigt hat.
Bei der Regelung von <ref-law> handelt es sich um eine Mindestanforderung. Den Kantonen steht es frei, den Kreis der Beschwerdeberechtigten weiter zu ziehen als es das BGG vorschreibt. Sie dürfen jedoch die Rechtsmittelbefugnis nicht enger fassen, als dies für die Beschwerde ans Bundesgericht vorgesehen ist (vgl. Bernhard Ehrenzeller, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 7 zu <ref-law>).
3.2 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer verneinte das Verwaltungsgericht das Berührtsein der Beschwerdeführer bezüglich der zu erwartenden Verkehrszunahme nicht bloss mit deren Distanz von 600-1'300 m zum Baugrundstück. Das Verwaltungsgericht führte vielmehr zusätzlich aus, es könne ausgeschlossen werden, dass sich der vom geplanten Betrieb ausgelöste Verkehr zu einem wesentlichen Teil über Strassen abwickeln werde, an denen die Beschwerdeführer wohnen. Mit dieser Begründung setzen sich die Beschwerdeführer nicht auseinander und legen nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht in Verletzung von Bundesrecht davon ausgegangen sein sollte, dass der zu erwartende Mehrverkehr zu keinen spürbaren Auswirkungen bei den Liegenschaften der Beschwerdeführer führen werde. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> ist in diesem Punkt auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.3 Offensichtlich unbegründet ist die Rüge der Beschwerdeführer, das Verwaltungsgericht hätte ihnen hinsichtlich der Geruchsimmissionen in willkürlicher Weise die Rekurslegitimation abgesprochen. Entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführer verneinte das Bundesgericht in <ref-ruling> einem Nachbarn die Beschwerdelegitimation, der in einer Distanz von 800 m zur geplanten Schweinemästerei wohnte. Vorliegend vermögen die Beschwerdeführer nicht glaubhaft darzulegen, inwiefern sie in einer besonderer Beziehungsnähe zum Streitgegenstand stünden. Die Auffassung des Verwaltungsgerichts, dass aufgrund der Entfernung von 600 m Geruchsimmissionen auszuschliessen seien, ist weder willkürlich noch verletzt sie <ref-law>.
4. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind dem Ausgang des Verfahrens entsprechend den Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Sie haben zudem der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).
Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das von den Beschwerdeführern gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Volketswil und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli