Sachverhalt:
A.
Die 1970 geborene A._, Mutter von zwei Kindern (geboren 2002 und 2005), meldete sich im Dezember 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen traf Abklärungen, wobei sie die Versicherte u.a. an mehreren Tagen zwischen dem 28. Oktober 2008 und dem 8. Januar 2009 observieren liess. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens stellte sie eine gesundheitliche Beeinträchtigung in Abrede und verneinte folglich mit Verfügung vom 9. März 2009 einen Rentenanspruch.
B.
In teilweiser Gutheissung der dagegen geführten Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen - nach Einholung eines psychiatrischen Gutachtens - mit Entscheid vom 2. Juli 2013 die Verfügung vom 9. März 2009 auf und sprach der Versicherten eine ganze Invalidenrente ab 1. März 2005 zu.
C.
Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 2. Juli 2013 sei aufzuheben und die Verfügung vom 9. März 2009 zu bestätigen. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde.
A._ und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Versicherte ersucht zudem um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen beantragt die Gutheissung des Rechtsmittels.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist - wozu auch Unvollständigkeit gehört (Urteil 9C_395/2009 vom 16. März 2010 E. 2.4) - oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Folglich ist das Bundesgericht weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140).
2.
Die Vorinstanz hat gestützt auf das von ihr eingeholte Gutachten der Frau Dr. med. B._, Fachärztin für Neurologie, Psychiatrie und Psychotherapie, vom 24. Oktober 2012 eine Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit und eine Einschränkung im Haushalt von 70 % festgestellt. Dementsprechend hat sie der Versicherten eine ganze Invalidenrente ab 1. März 2005 zugesprochen.
3.
3.1.
3.1.1. Bei der Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, welche von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Aufgabe des Arztes oder der Ärztin ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Im Weiteren sind die ärztlichen Auskünfte eine wichtige Grundlage für die Beurteilung der Frage, welche Arbeitsleistungen der Person noch zugemutet werden können (<ref-ruling> E. 4 S. 99 f.). Die Annahme eines invalidisierenden Gesundheitsschadens setzt grundsätzlich eine fachärztliche, lege artis auf die Vorgaben eines anerkannten Klassifikationssystems abgestützte Diagnose voraus (<ref-ruling> E. 6 S. 399 ff.; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 282; Urteil 8C_33/2013 vom 13. Dezember 2013 E. 4.2.1).
3.1.2. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis; vgl. auch SUSANNE BOLLINGER, Der Beweiswert psychiatrischer Gutachten in der Invalidenversicherung unter besonderer Berücksichtigung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, Jusletter vom 31. Januar 2011).
3.1.3. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 2). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (Art. 106 Abs. 1 BGG).
3.2. Es steht fest und ist unbestritten, dass psychische Beschwerden im Vordergrund stehen. In somatischer Hinsicht konnte lediglich eine leichte Verminderung der Wirbelsäulen- und der Kniegelenksbelastbarkeit rechts sowie der allgemeinkörperlichen Belastbarkeit objektiviert werden (Gutachten der MEDAS vom 20. Oktober 2005 und des Zentrums C._ vom 11. März 2008).
3.3. Die Vorinstanz hat festgestellt, in Bezug auf den massgebenden Sachverhalt seien diverse Ungereimtheiten ausgewiesen. Es sei nicht überwiegend wahrscheinlich, dass die Diskrepanzen Ausdruck einer Täuschung seitens der Versicherten seien; genauso wahrscheinlich sei die Schlussfolgerung, die Inkohärenzen seien Ausdruck einer misslungenen Verarbeitung traumatischer Erlebnisse. Eine in sich stimmige, kohärente Sachverhaltsvariante könne vor diesem Hintergrund nicht ermittelt werden.
Dazu steht im Widerspruch, dass das kantonale Gericht der Auffassung ist, der aktuelle Gesundheitszustand lasse sich dennoch mit überwiegender Wahrscheinlichkeit feststellen. Auch wenn das Gerichtsgutachten nicht sämtliche Zweifel ausräume, erschienen die ausführlich begründeten Schlussfolgerungen der Frau Dr. med. B._ zutreffend und ständen mit früheren Expertisen im Einklang. Zur Klärung dieser Diskrepanz in der Sachverhaltsfeststellung ist die Beweiskraft des Gerichtsgutachtens zu prüfen (E. 3.1).
3.4. Zu den Überwachungsergebnissen und den darauf gründenden Simulationsverdacht liegt als ärztliche Stellungnahme lediglich jene der Gutachterin Dr. med. B._ vor. Sie hielt fest, es gebe "in diesem Fall einige Inkonsistenzen". Die Ergebnisse der Videoobservation schlössen eine unbewusste neurotische Symptombildung nicht aus; indessen sei der Versicherten in der Begutachtungssituation auch nicht gelungen, krankheitsbedingte Defizite insofern glaubhaft zu belegen, als sie in der neuropsychologischen Testuntersuchung und Beschwerdevalidierung differenzierte Ergebnisse abgeliefert hätte.
Die Gutachterin führte aus, dass die Versicherte, als sie am 10. Dezember 2008 observiert wurde, ein Verhalten mit Schonhinken und schmerzverzerrtem Gesicht gezeigt habe, ohne etwas von der Überwachung zu ahnen. Dies spreche dafür, dass es sich nicht um eine an einen Zuschauer gerichtete bewusste Inszenierung gehandelt habe. Hingegen sagte der Ehemann der Versicherten in der Einvernahme durch die Untersuchungsrichterin vom 1. September 2009 aus, dass er am besagten Datum jemanden auf der Strasse gesehen habe, der auffällig gewesen sei. Er habe dann zu seiner Frau gesagt, es könne sein, dass sie überwacht würden. Diesbezüglich ging die Expertin demnach von einer unzutreffenden Annahme aus.
Die Frage, ob bei der Versicherten von einer unbewussten Somatisierung oder von einer bewussten Simulation der Beschwerden auszugehen ist, resp. ob die Gutachterin nachvollziehbar begründete (vgl. E. 3.1.1), weshalb Ersteres zutreffen soll, kann letztlich offenbleiben. Selbst bei Annahme einer gesundheitlichen Beeinträchtigung liegt keine invalidenversicherungsrechtlich relevante Einschränkung der Arbeitsfähigkeit vor (E. 4).
4.
4.1. Frau Dr. med. B._ stellte die Diagnosen einer posttraumatischen Belastungsstörung (PTBS; ICD-10: F43.1), einer mittelgradigen depressiven Störung (ICD-10: F32.1) und einer chronischen Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10: F45.41). Sodann hat sie eine "Persönlichkeitsakzentuierung" festgestellt, ohne dass die Kriterien für die Diagnose einer Persönlichkeitsstörung erfüllt seien.
4.2. Die Diagnose einer PTBS bedarf eines "belastenden Ereignisses oder einer Situation kürzerer oder längerer Dauer, mit aussergewöhnlicher Bedrohung oder katastrophenartigem Ausmass, die bei fast jedem eine tiefe Verzweiflung hervorrufen würde" (vgl. Urteile 9C_636/2013 vom 25. Februar 2014 E. 4.3.2; U 368/01 vom 9. April 2002 E. 4a/bb; <http://www.dimdi.de/static/de/klassi/icd-10-who/ kodesuche/onlinefassungen/htmlamtl2013/block-f40-f48.htm#F43.1>). Im konkreten Fall beruht die Diagnose einer PTBS lediglich auf den undifferenzierten Ausführungen der Versicherten, im Alter von sechs Jahren einem sexuellen Missbrauch durch ein Familienmitglied, resp. während der Kindheit und Jugend fortgesetzten, stark traumatisierenden Erlebnissen, ausgeführt durch einen Mann, ausgesetzt gewesen zu sein. Diese äusserst knappen anamnestischen Angaben allein bilden keine rechtsgenügliche Grundlage für die Annahme eines solchen Ereignisses, zumal die Wahrhaftigkeit der Aussagen (vgl. Urteil 9C_953/2012 vom 5. April 2013 E. 3.2.1 und 3.2.2) angesichts weiterer Inkohärenzen (E. 3.3 und 3.4) nicht von vornherein anzunehmen ist. Anhaltspunkte für ein später, allenfalls in der Schweiz erlebtes Ereignis katastrophalen Ausmasses sind nicht ersichtlich.
Weiter ist von Bedeutung, dass die PTBS sich mit einer Latenz von in der Regel höchstens sechs Monaten entwickelt und "bei wenigen Patienten über viele Jahre einen chronischen Verlauf nimmt und dann in eine andauernde Persönlichkeitsänderung (F62.0) übergeht" (Dilling/ Freyberger [Hrsg.], Taschenführer zur ICD-10-Klassifikation psychischer Störungen, 6. Aufl. 2012, S. 173-175; Urteil 9C_636/2013 vom 25. Februar 2014 E. 4.3.2 mit weiteren Hinweisen). In den Unterlagen ist für die Zeit seit der im Juni 1994 erfolgten Einreise in die Schweiz eine ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit erst ab 17. Januar 2002 ausgewiesen (Bericht des Hausarztes vom 25. Februar 2005); eine ärztliche Behandlung in der Zeit vor Oktober 2002 wurde lediglich von der Versicherten selbst in ihrer Anmeldung bei der Invalidenversicherung geltend gemacht, indem sie auf eine psychische Störung 1999-2000 verwies. Die Arbeitgeberin, bei welcher die Versicherte zuletzt bis zur Kündigung aus wirtschaftlichen Gründen in einem Vollzeitpensum beschäftigt war, wies in ihrem Bericht vom 11. Januar 2005 für die Zeit von Januar 2000 bis Januar 2002 keine krankheits- oder unfallbedingten Absenzen aus. Somit fehlen für über sieben Jahre aktenkundige Hinweise auf regelmässige medizinische Behandlung und auf eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Zudem konnte die Expertin keine Persönlichkeitsstörung (ICD-10: F60.8, wie im AEH-Gutachten festgestellt; vgl. Urteil 8C_474/2011 vom 26. Oktober 2011 E. 7.3 mit Hinweisen), geschweige denn eine Persönlichkeitsänderung (ICD-10: F62.0; vgl. Urteil 8C_822/2013 vom 4. Juni 2014 E. 4.4 mit Hinweisen) diagnostizieren.
4.3. Nach dem Gesagten ist die Diagnose einer PTBS nicht haltbar. Zu prüfen bleibt, ob aus der depressiven Störung und der chronischen Schmerzstörung eine invalidenversicherungsrechtlich relevante Einschränkung der Arbeitsfähigkeit resultiert.
4.4.
4.4.1. Somatoforme Schmerzstörungen und ähnliche aetiologisch-pathogenetisch unerklärliche syndromale Leidenszustände vermögen in der Regel keine lang dauernde, zu einer Invalidität im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu bewirken (BGE <ref-ruling> E. 3 S. 280 ff.; <ref-ruling> E. 2.2.2 und 2.2.3 S. 353 f.; <ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>). Die - nur in Ausnahmefällen anzunehmende - Unzumutbarkeit eines Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess setzt das Vorliegen einer mitwirkenden, psychisch ausgewiesenen Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer oder aber das Vorhandensein anderer qualifizierter, mit gewisser Intensität und Konstanz erfüllter Kriterien voraus. In Betracht fallen dabei chronische körperliche Begleiterkrankungen und mehrjähriger Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission, ein ausgewiesener sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens, ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn) oder schliesslich unbefriedigende Behandlungsergebnisse trotz konsequent durchgeführter Behandlungsbemühungen (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) und gescheiterte Rehabilitationsmassnahmen bei vorhandener Motivation und Eigenanstrengung der versicherten Person (BGE <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 f.). Je mehr dieser Kriterien zutreffen und je ausgeprägter sich die entsprechenden Befunde darstellen, desto eher sind die Voraussetzungen für eine zumutbare Willensanstrengung zu verneinen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 67 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 50 f. mit Hinweisen).
4.4.2. Im Rahmen der freien Beweiswürdigung (Art. 61 lit. c ATSG [SR 830.1]; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen) darf sich die Verwaltung - und im Streitfall das Gericht - weder über die (den beweisrechtlichen Anforderungen genügenden; vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis) medizinischen Tatsachenfeststellungen hinwegsetzen noch sich die ärztlichen Einschätzungen und Schlussfolgerungen zur (Rest-) Arbeitsfähigkeit unbesehen ihrer konkreten sozialversicherungsrechtlichen Relevanz und Tragweite zu eigen machen. Die rechtsanwendenden Behörden haben diesfalls mit besonderer Sorgfalt zu prüfen, ob die ärztliche Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit auch invaliditätsfremde Gesichtspunkte (insbesondere psychosoziale und soziokulturelle Belastungsfaktoren) mitberücksichtigt, die vom invaliditätsrechtlichen Standpunkt aus unbeachtlich sind (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2.5 S. 355 f.; <ref-ruling> E. 5a S. 299; SVR 2012 IV Nr. 22 S. 95, 8C_302/2011 E. 2.5.1). Wo psychosoziale Einflüsse das Bild prägen, ist bei der Annahme einer rentenbegründenden Invalidität Zurückhaltung geboten (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5a S. 299; Urteile 9C_2010/2012 vom 9. Juli 2012 E. 3.3.2; 9C_1041/2010 vom 30. März 2011 E. 5.1).
In diesem Sinn zählt zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung resp. ein damit vergleichbares Leiden vorliegt, und bejahendenfalls, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 66; SVR 2013 IV Nr. 6 S. 13, 9C_148/2012 E. 1.2).
4.5. In Bezug auf die Morbiditätskriterien (E. 4.4.1) hat das kantonale Gericht keine Feststellungen getroffen. Solche lassen sich indessen ergänzen (E. 1). Aus dem Gutachten der Frau Dr. med. B._ - wie auch aus den anderen ärztlichen Unterlagen - wird nicht ersichtlich, inwiefern es sich bei der von ihr diagnostizierten depressiven Störung um ein verselbstständigtes, unabhängig von den Schmerzen bestehendendes Leiden handeln soll. Hingegen erscheint die im Gerichtsgutachten dargelegte Auffassung des behandelnden Psychiaters, die depressiven Symptome seien nicht von eigenständigem Krankheitswert, einleuchtend begründet. Dass sich der "ärztlich verordnete regelmässige Benzodiazepinkonsum" auf die Arbeitsfähigkeit auswirken soll, legt die Gutachterin nicht dar. Eine psychische Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer ist somit (vgl. auch E. 4.3) nicht ausgewiesen. Eine wesentliche und chronische körperliche Begleiterkrankung besteht nicht (E. 3.2). Frau Dr. med. B._ stellte nebst einem primären auch einen rechtlich unbeachtlichen (BGE <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 359) sekundären und tertiären Krankheitsgewinn fest, was gegen eine invalidisierende Arbeitsunfähigkeit spricht. Auch wenn die soziale Integration beeinträchtigt ist, kann nicht von einem ausgewiesenen sozialen Rückzug in allen Belangen des Lebens gesprochen werden, pflegt die Versicherte doch mindestens Kontakte zu Mitgliedern der Ursprungsfamilie und zu einer Ex-Frau des früheren Ehemannes. Sodann wurde unter den fremdanamnestischen Angaben festgehalten, dass die Versicherte nicht nur einen "sehr sauberen, 'fast zu reinlichen' Haushalt" führe, sondern auch, dass sie sich namentlich in schulischen Belangen sehr gut für ihre Kinder einsetzen könne. Zwar mag wohl ein mehrjähriger Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission bestehen. Ebenso liegen unbefriedigende Behandlungsergebnisse vor, diesbezüglich verwies die Gerichtsgutachterin indessen auf eine erst sehr spät durchgeführte und seitens der Explorandin vorzeitig abgebrochene stationäre psychosomatische Behandlung. Auch wenn die Gutachterin die Kriterien für "gesamthaft ungünstig ausgeprägt" hielt, schliesst die Gesamtbetrachtung (E. 4.4.2) all dieser Gegebenheiten eine rechtlich relevante Einschränkung der Arbeitsfähigkeit im Erwerbsbereich wie im Haushalt aus. Diesbezüglich ist die Beschwerde begründet.
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
6.1. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; vgl. auch E. 1.2). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
6.2. Die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin macht mit Kostennote vom 4. Februar 2014 ein Honorar von Fr.3'987.50 sowie Auslagen und Ersatz der Mehrwertsteuer von zusammen Fr. 515.15, insgesamt also Fr. 4'502.65 geltend. Dies erscheint als angemessen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 2. Juli 2013 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 9. März 2009 bestätigt.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Christa Rempfler wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin der Beschwerdegegnerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 4'502.65 ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juni 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann