Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 1. Dezember 2003 schied das Bezirksgericht Zürich die Ehe von Z._ (Ehemann) und X._ (Ehefrau) und genehmigte deren Vereinbarung über die Scheidungsfolgen. In Ziff. 4 dieser Vereinbarung verpflichtete sich Z._, für das gemeinsame Kind Y._ einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 750.-- bzw. Fr. 900.-- ab 1. Juni 2006 zu bezahlen, zuzüglich gesetzlicher oder vertraglicher Kinderzulagen.
B. Gestützt auf die gerichtlich genehmigte Scheidungskonvention betrieb X._ ihren früheren Ehemann am 30. September 2009 mit Zahlungsbefehl Nr. ... des Betreibungsamtes A._ für Forderungen von insgesamt Fr. 10'240.-- zuzüglich Zins. Die Betreibungsforderung setzt sich zusammen aus Fr. 200.-- an Alimenten für den Monat April 2009 nebst Zins zu 5 % seit 8. Juni 2009 sowie ausstehenden Kinderzulagen seit März 2004 im Betrag von Fr. 10'040.--.
C. Nachdem X._ gegen die Betreibung den Rechtsvorschlag erklärt hatte, ersuchte Z._ mit Klage vom 6. November 2009 beim Gerichtspräsidium A._ um definitive Rechtsöffnung. Die Gerichtspräsidentin von A._ hiess die Klage teilweise gut und erteilte X._ mit Urteil vom 12. Februar 2010 für den Betrag von Fr. 200.-- nebst Zins zu 5 % seit Oktober 2009 sowie für die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 70.-- die definitive Rechtsöffnung; im Übrigen wies sie die Klage ab. X._ erhob gegen das erstinstanzliche Urteil am 1. März 2010 Beschwerde und verlangte vor zweiter Instanz wiederum für beide Forderungen (Fr. 200.-- nebst Zins zu 5 % seit 8. Juni 2009 sowie Fr. 10'040.--) die definitive Rechtsöffnung. Das Obergericht des Kantons Aargau (Zivilgericht, 5. Kammer) wies die Beschwerde mit Urteil vom 27. April 2010 ab.
D. Mit Beschwerde vom 1. Juni 2010 gelangt X._ (nachfolgend "Beschwerdeführerin") an das Bundesgericht und beantragt, es sei ihr in der streitigen Betreibung gegen Z._ (nachfolgend "Beschwerdegegner") für Fr. 10'040.-- an ausstehenden Kinderzulagen sowie für Fr. 100.-- an Zahlungsbefehlskosten die definitive Rechtsöffnung zu erteilen.
Der Beschwerdegegner beantragt Abweisung der Beschwerde, und das Obergericht des Kantons Luzern hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache (<ref-law>).
1.2 Die vorliegende Streitigkeit ist vermögensrechtlicher Natur und unterliegt grundsätzlich der Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (<ref-law>). Diese Zulässigkeitsvoraussetzung ist vorliegend nicht erfüllt. Es ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin den Streitwert lediglich aus Versehen mit "Fr. 10'14.00" beziffert hat und den vom Obergericht genannten Betrag von Fr. 10'040.-- als richtig anerkennt. Auf diese Streitwertschätzung stellt das Bundesgericht ab, zumal keine Anhaltspunkte vorliegen, die es rechtfertigen würden, von der vorinstanzlichen Angabe des Streitwerts abzuweichen (Urteil 5A_587/2008 vom 29. September 2008 E. 1.1).
1.3 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Beschwerde in Zivilsachen sei trotz Nichterreichen der Streitwertgrenze zulässig, weil sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stelle (<ref-law>).
1.3.1 Das Bundesgericht legt den Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung angesichts der im Verlauf der parlamentarischen Beratungen eingeführten subsidiären Verfassungsbeschwerde sehr restriktiv aus, weshalb nicht mehr einfach von den in der Botschaft des Bundesrates erwähnten Anforderungen ausgegangen werden kann (<ref-ruling> E. 1.2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.1 S. 495 mit Hinweisen auf die Entstehungsgeschichte). Macht die Beschwerdeführerin geltend, die Beschwerde sei nach <ref-law> zulässig, so hat sie in ihrer Rechtsschrift darzutun, weshalb die Voraussetzungen hierfür gegeben sein sollen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4 S. 648).
1.3.2 Wie sich ihren Ausführungen zumindest sinngemäss entnehmen lässt, erblickt die Beschwerdeführerin eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung in der Frage, unter welchen Voraussetzungen das Gericht für Forderungen auf Ablieferung von Kinderzulagen die definitive Rechtsöffnung erteilen kann, wenn im Rechtsöffnungstitel lediglich die grundsätzliche Verpflichtung des Unterhaltsverpflichteten zur Ablieferung festgestellt, die Höhe der abzuliefernden Kinderzulagen jedoch nicht beziffert ist. Die Beschwerdeführerin weist in diesem Zusammenhang auf Ungereimtheiten hin, die sie mit Bezug auf die Wiedergabe der bundesgerichtlichen Rechtsprechung in der vorinstanzlich zitierten Lehre ausgemacht haben will. Die Beschwerdeführerin fordert eine einheitliche Anwendung und Auslegung von <ref-law>. Sie vertritt die Ansicht, das Obergericht habe im Widerspruch zu der von ihr als "Grundsatz" bezeichneten Regel entschieden, wonach das Gericht im Rahmen der definitiven Rechtsöffnung nur zu prüfen habe, ob die in Betreibung gesetzte Forderung auf einem rechtskräftigen Urteil bzw. einem Urteilssurrogat beruhe und ob der Vollstreckbarkeit allenfalls eine Einrede gemäss <ref-law> entgegenstehe.
1.3.3 Soweit die Frage, welche die Beschwerdeführerin aufwirft, lediglich die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall betrifft, besteht kein Grund zur Annahme, es liege eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vor (<ref-ruling> E. 1.2 S. 117). Auch der blosse Umstand, dass das Bundesgericht die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden hat, macht die Frage noch nicht zu einer solchen von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> (Urteil 5A_141/2009 vom 12. Mai 2009 E. 1.2). Unbehelflich ist daher die von der Beschwerdeführerin vertretene Ansicht, das Bundesgericht habe sich noch nie zur erwähnten Frage betreffend die definitive Rechtsöffnung für Forderungen auf Ablieferung von Kinderzulagen geäussert. Im Ergebnis zeigt die Beschwerdeführerin nicht mit der gebotenen Präzision und Ausführlichkeit auf, inwiefern ihre Beschwerde eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung betrifft. Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit auch unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> unzulässig.
1.4 Erweist sich eine Beschwerde in Zivilsachen mangels Erfüllung des Streitwerterfordernisses als unzulässig, nimmt das Bundesgericht die Eingabe auch ohne ein entsprechendes Eventualbegehren als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegen (Urteil 5A_40/2009 vom 14. Mai 2009 E. 1.3.4). Auf diese tritt das Bundesgericht nur unter der Voraussetzung ein, dass alle formellen Voraussetzungen erfüllt sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 382).
1.5 In materieller Hinsicht kann mit einer subsidiären Verfassungsbeschwerde einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht werden (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rügen allerdings nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die rechtssuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (Rügeprinzip; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3 S. 399 f.). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.). Sind die Anforderungen des Rügeprinzips erfüllt, prüft das Bundesgericht frei, ob die angerufenen verfassungsmässigen Rechte verletzt sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 31 mit Hinweisen). Dabei ist es allerdings an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Von diesen Sachverhaltsfeststellungen kann das Bundesgericht nur abweichen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kamen (Art. 118 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), was die Beschwerdeführerin wiederum präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin beanstandet, das Obergericht verkenne den formellen Charakter des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts. Sie führt aus, der Betriebene müsse das Bestehen der Forderung bzw. die Höhe derselben bestreiten und Nachweis für seine Einrede erbringen; der Beschwerdegegner habe jedoch nie Einreden im Sinne von <ref-law> erhoben. Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, in Verletzung dieser Grundsätze habe es von ihr den "negativen Beweis verlangt" und das "kodifizierte Prinzip auf den Kopf gestellt", das sich aus Art. 80 und 81 SchKG ergebe. Damit werde eine "Beweisauferlegung" vorgenommen, die "als willkürlich zu betrachten" sei.
2.2 In Anbetracht dieser Ausführungen der Beschwerdeführerin erscheint zunächst fraglich, ob der eingereichte Schriftsatz den geschilderten Anforderungen an die Begründung einer Verfassungsbeschwerde genügt. Die Beschwerdeführerin nennt insbesondere keine konkrete Verfassungsbestimmung, die durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein soll. Zwar bezeichnet sie den Entscheid des Obergerichts und die von ihm vorgenommene Beweisauferlegung als "willkürlich". Allein damit ist nach dem Gesagten (E. 1.5) aber grundsätzlich keine Verletzung des verfassungsmässigen Willkürverbots darzutun. Die Frage, ob dem Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>) Genüge getan ist, kann im vorliegenden Fall jedoch offen bleiben, weil die Beschwerde in der Sache selbst ohnehin unbegründet ist.
2.3 Soweit die Beschwerdeführerin mit ihren Vorbringen geltend machen will, die Vorinstanz habe ihr zu Unrecht den Beweis auferlegt, dass nicht sie selbst, sondern der Beschwerdegegner die streitigen Kinderzulagen für den gemeinsamen Sohn Y._ bezogen hat, laufen ihre Vorwürfe von vornherein ins Leere. In für das Bundesgericht verbindlicher Weise (E. 1.5) ist die Vorinstanz nämlich zur Erkenntnis gelangt, die Ausführungen des Beschwerdegegners in seiner Klageantwort vom 12. Dezember 2009 liessen "klar den Schluss zu, dass der Beklagte die Kinderzulagen für Y._ tatsächlich bezogen" hat. Die Vorinstanz erblickt darin das Teilanerkenntnis der Behauptung der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegner habe die Kinderzulagen bezogen, weshalb es sich erübrige, darüber noch Beweis zu führen. Die Frage, welcher Prozesspartei die Kinderzulagen tatsächlich ausgerichtet wurden, hat die Vorinstanz demnach schon im Sinne der Beschwerdeführerin beantwortet. Daran, diese Frage vor Bundesgericht erneut aufzuwerfen, hat die Beschwerdeführerin somit kein rechtlich geschütztes Interesse.
2.3 Soweit die Beschwerdeführerin mit ihren Vorbringen geltend machen will, die Vorinstanz habe ihr zu Unrecht den Beweis auferlegt, dass nicht sie selbst, sondern der Beschwerdegegner die streitigen Kinderzulagen für den gemeinsamen Sohn Y._ bezogen hat, laufen ihre Vorwürfe von vornherein ins Leere. In für das Bundesgericht verbindlicher Weise (E. 1.5) ist die Vorinstanz nämlich zur Erkenntnis gelangt, die Ausführungen des Beschwerdegegners in seiner Klageantwort vom 12. Dezember 2009 liessen "klar den Schluss zu, dass der Beklagte die Kinderzulagen für Y._ tatsächlich bezogen" hat. Die Vorinstanz erblickt darin das Teilanerkenntnis der Behauptung der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegner habe die Kinderzulagen bezogen, weshalb es sich erübrige, darüber noch Beweis zu führen. Die Frage, welcher Prozesspartei die Kinderzulagen tatsächlich ausgerichtet wurden, hat die Vorinstanz demnach schon im Sinne der Beschwerdeführerin beantwortet. Daran, diese Frage vor Bundesgericht erneut aufzuwerfen, hat die Beschwerdeführerin somit kein rechtlich geschütztes Interesse.
2.4 2.4.1 Mit Bezug auf die Höhe der bezogenen Kinderzulagen erklärt das Obergericht, die Beschwerdeführerin habe durch Urkunde zu beweisen, in welchem Umfang der Beschwerdegegner bezugsberechtigt ist; diese Tatsache habe die Beschwerdeführerin jedoch nicht rechtsgenüglich dargetan. Zur Begründung führt das Obergericht aus, die eingereichte Aufstellung über ausstehende Kinderzulagen sei "für die Beweiserbringung nicht ausreichend", da sie aus der Feder der Beschwerdeführerin selbst stamme; zudem lasse sich die Forderung gar nicht nachvollziehen, weil die in diesem Dokument genannte Summe mit dem im Zahlungsbefehl aufgeführten Betrag nicht übereinstimme. Zweitens stellt die Vorinstanz fest, allein der Umstand, dass der Beschwerdegegner "die Richtigkeit der in dieser Zusammenstellung aufgeführten Kinderzulagen nicht explizit bestritten hat", sei "nicht als Anerkenntnis zu werten, nachdem er die Verpflichtung zur Weiterleitung der Kinderzulagen bereits im Grundsatz bestreitet." Schliesslich weist das Obergericht darauf hin, der Beschwerdegegner habe zwar anerkannt, für die Monate Januar bis März 2009 monatlich Fr. 200.-- an Kinderzulagen erhalten zu haben. Dieser Zeitabschnitt sei aber nicht massgebend, da die Beschwerdeführerin die Kinderzulagen seit Januar 2009 gemäss eigenen Angaben selbst beziehe; ihr Vorbringen, dies sei erst ab April 2009 der Fall, sei neu und daher unbeachtlich.
2.4.2 Auch diese vorinstanzlichen Feststellungen sind tatsächlicher Natur und daher für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>; E. 1.5). Dass diese Sachverhaltsfeststellungen unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande gekommen seien, macht die Beschwerdeführerin nicht einmal sinngemäss geltend. Insbesondere lässt sich ihren Ausführungen auch nicht die Rüge entnehmen, das Obergericht habe die Beweise willkürlich gewürdigt, indem es aus der grundsätzlichen Bestreitung der Pflicht zur Weiterleitung der Kinderzulagen den Schluss gezogen hat, dass der Beschwerdegegner die Höhe der Kinderzulagen jedenfalls nicht anerkannt hat. Soweit die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts und - damit zusammenhängend - die Beweiswürdigung in Frage stehen, bleibt es demnach bei der vorinstanzlichen Feststellung, dass der Beschwerdegegner nicht anerkannt hat, in welchem Umfang er im fraglichen Zeitraum zum Bezug von Kinderzulagen berechtigt war. Über die Höhe der bezogenen Kinderzulagen herrscht somit Ungewissheit, weil nach den Feststellungen des Obergerichts auch die Beschwerdeführerin keinen entsprechenden Urkundenbeweis vorgelegt hat. In diesem Zusammenhang geht der Vorwurf der Beschwerdeführerin fehl, das Obergericht habe ihr den "negativen Beweis" aufgebürdet und eine willkürliche "Beweisauferlegung" vorgenommen. Dieser Vorwurf bezieht sich nämlich nicht auf die Sachverhaltsfeststellung oder auf die Beweiswürdigung, sondern auf die Frage der Verteilung der Beweislast.
2.4.3 Die richtige Anwendung der zum materiellen Recht gehörenden Grundsätze über die objektive Beweislast stellt eine Rechtsfrage dar (Urteil H228/06 vom 16. August 2007 E. 3.3 mit Hinweisen). Im Rahmen einer Verfassungsbeschwerde kann sich die rechtssuchende Partei allerdings nur darauf berufen, dass der angefochtene Entscheid sie in ihren verfassungsmässigen Rechten verletzt; sie kann insbesondere Willkür (<ref-law>) in der Rechtsanwendung rügen und geltend machen, die Vorinstanz habe die Frage der Beweislastverteilung offensichtlich und in unhaltbarer Weise falsch beantwortet (vgl. E. 1.5). Die Beschwerdeführerin erblickt die Verletzung der Grundsätze über die Verteilung der Beweislast offenbar darin, dass das Obergericht von der Beschwerdeführerin "im Voraus den negativen Beweis verlangt", anstatt vom Beschwerdegegner den Nachweis allfälliger Einreden zu fordern. Ihrer Auffassung zufolge muss "gemäss SchKG ... der Betriebene das Bestehen der Forderung bzw. die Höhe derselben bestreiten und den Nachweis für seine Einrede erbringen" (vgl. E. 2.1).
Allein mit diesen Vorbringen vermag die Beschwerdeführerin nicht darzutun, dass das Obergericht die Regeln über die Verteilung der Beweislast, soweit sich solche Regeln überhaupt aus Art. 80 f. SchKG ergeben, willkürlich angewendet hat. Bei der Höhe der Kinderzulagen, die der Beschwerdegegner bezogen hat, handelt es sich nicht um eine negative Tatsache. Entsprechend kann auch keine Rede davon sein, dass die Vorinstanz von der Beschwerdeführerin verlangt hat, im Sinne eines "negativen Beweises" das Nichtvorhandensein dieser Tatsache darzutun. Tatsächlich hat das Obergericht der Beschwerdeführerin mit dem Nachweis der Höhe der Kinderzulagen einen (positiven) Beweis auferlegt. Gegen diese in ihren Augen "willkürliche Beweisauferlegung" setzt sich die Beschwerdeführerin einzig mit dem Argument zur Wehr, die Vorinstanz habe vom Beschwerdegegner zu Unrecht keinen Nachweis allfälliger Einreden gemäss <ref-law> gefordert und nicht berücksichtigt, dass der Beschwerdegegner solche Einwendungen gar nicht erhoben hat. Diese Vorbringen betreffen indessen gar nicht die Frage der Beweislastverteilung, welche die Beschwerdeführerin aufwirft.
Der - vom Beschwerdegegner bestrittene - Umstand, dass im Prozess keine Einwendungen nach <ref-law> erhoben wurden, entbindet die Beschwerdeführerin nämlich nicht davon, ihre Betreibungsforderung zunächst anhand eines Rechtsöffnungstitels im Sinne von <ref-law> darzutun. Die Einwendungen nach <ref-law> setzen gerade voraus, dass sich die Schuld des Betriebenen aus einem vollstreckbaren gerichtlichen Urteil (<ref-law>) oder aus einem Urteilssurrogat im Sinne von <ref-law> ergibt. Denn die Frage, ob eine Prozesspartei eine bestimmte Einwendung überhaupt erhoben und hinreichend begründet hat, muss das Gericht im Rahmen der Dispositions- und Verhandlungsmaxime nur dann prüfen, wenn es die Tatsache, gegen die sich diese Einwendung richtet, als erwiesen erachtet. Nun steht im vorliegenden Fall aber fest, dass die betroffene Tatsache - die Höhe der Kinderzulagen - nicht erwiesen ist (E. 2.4.2). Das Obergericht hat die Folgen dieser Beweislosigkeit der Beschwerdeführerin auferlegt und ihr gestützt auf diese Beurteilung der Rechtslage die definitive Rechtsöffnung verweigert. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint, erübrigte sich somit die Prüfung von Einwendungen nach <ref-law>. Dass das Obergericht die Regeln über die Verteilung der Beweislast aus einem anderen Grund in verfassungswidriger Weise angewendet hat, macht die Beschwerdeführerin jedenfalls nicht in einer Weise geltend, die den Anforderungen des Rügeprinzips genügt. Dies gilt besonders für die nicht weiter belegte Behauptung, sie habe im Rechtsöffnungsverfahren keinen Antrag auf Edition bestimmter Unterlagen beim Beschwerdegegner stellen können. Nach dem Gesagten haben die Rügen der Beschwerdeführerin keinen Bestand. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und dem obsiegenden Beschwerdegegner, der sich zur Beschwerde hat vernehmen lassen, eine angemessene Entschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn