Erwägungen:
1. Am 3. November 2010 entzog das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen X._ die Bewilligung zur selbstständigen Ausübung des Arztberufs. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde am 11. August 2011 ab, soweit es darauf eintrat. Auf die dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten trat das Bundesgericht mit Urteil 2C_224/2012 vom 26. April 2012 nicht ein. Am 19. Mai 2012 stellte X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen ein Gesuch um Wiederaufnahme des Verfahrens betreffend Entzug der Berufsausübungsbewilligung. Nach Entgegennahme der Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege; dieses Gesuch wies der Präsident des Verwaltungsgerichts mit Verfügung vom 5. Juni 2012 ab.
Gegen diese Verfügung gelangte X._ am 4. Juli 2012 (Postaufgabe, Datum der Rechtsschrift 5. Juli 2012) ans Bundesgericht. Am 11. Juli 2012 hat er fristgerecht die angefochtene Verfügung nachgereicht. Weitere Instruktionsmassnahmen sind nicht angeordnet worden.
2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; der Beschwerdeführer muss sich mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen.
Das Verwaltungsgericht hat das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege unter Hinweis auf Art. 99 Abs. 2 VRP/SG in Verbindung mit <ref-law> sowie <ref-law> mit der Begründung abgewiesen, dass das Begehren des Beschwerdeführers um Wiederaufnahme wenig Erfolgsaussichten habe. Dazu hielt es einerseits fest, dass er die zwei zur Unterstützung seines Anliegens beigebrachten Dokumente bereits im ursprünglichen Verfahren hätte veranlassen und dann vorlegen können, wobei das Verfahren der Wiederaufnahme gemäss Art. 81 Abs. 1 VRP/SG nicht dazu diene, Versäumtes nachzuholen; ohnehin aber seien diese nachträglichen Dokumente nicht innert der Frist von drei Monaten gemäss Art. 83 Abs. 1 VRP/SG eingereicht worden. Die Äusserungen in der Rechtsschrift vom 4./5. Juli 2012 sind nicht geeignet darzulegen, inwiefern das Verwaltungsgericht mit der auf dieser Basis vorgenommenen Einschätzung der Prozessaussichten im kantonalen Verfahren schweizerisches Recht (<ref-law>) verletzt hätte. Unerfindlich bleibt, was mit der Bemerkung: "Das Verwaltungsgericht hat Übersetzung- und Zustelldatum vom 16.05.2012 übersehen" gesagt werden soll. Was den Bericht der "Zeitung A._ vom 21.06.2012" betrifft, würde es sich ohnehin um ein unzulässiges Novum handeln (<ref-law>).
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
Dem zumindest implizit auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden, da die Beschwerde aussichtslos erschien (<ref-law>). Entsprechend sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller