Faits:
A. Le 30 novembre 2005, X._, agent sportif, et Y._, joueur professionnel évoluant à l'époque au club de A._, ont signé une convention intitulée "contrat de médiation". Par ce contrat, d'une durée de deux ans, Y._ a chargé X._ de s'entremettre, à titre exclusif, en vue de la négociation, de la conclusion et du renouvellement de contrats avec des clubs de football affiliés à la FIFA, y compris dans le cadre d'opérations de transfert. L'agent avait droit à une commission de 10% de la rémunération brute revenant au mandant en sa qualité de joueur professionnel de football. Selon l'art. 10 du contrat, tout litige en rapport avec celui-ci serait soumis à un arbitre unique désigné par le président de la Chambre d'arbitrage ordinaire du Tribunal Arbitral du Sport (TAS), dont le siège est à Lausanne, la langue de l'arbitrage étant le français. La même disposition prévoyait encore ceci: "la sentence rendue par la formation d'arbitrage sera définitive et exécutoire, et ne sera susceptible d'aucun recours".
En exécution de ce contrat, Y._ a versé à X._ les sommes de 200'000 euros et de 600'000 euros en 2006.
Par lettre recommandée du 2 mai 2007, le joueur a résilié le contrat de médiation.
B. Le 20 juin 2007, X._ a déposé une requête d'arbitrage auprès du TAS afin de réclamer le paiement d'une somme totale supérieure à six millions d'euros en exécution du contrat de médiation. De son côté, Y._ a conclu, reconventionnellement, à la constatation de la nullité dudit contrat et au remboursement des 800'000 euros versés à l'agent.
Les parties se sont entendues pour nommer Me T._, avocat, en qualité d'arbitre unique. Le TAS a ratifié ce choix.
Par sentence du 16 avril 2008, communiquée aux mandataires des parties au moyen d'un fax du même jour, l'arbitre unique a constaté la nullité du contrat de médiation pour violation des règles régissant l'activité d'agent sportif. Il a condamné X._ à restituer la somme de 600'000 euros à Y._, reconnu ce dernier débiteur de l'agent d'un montant de 259'400 euros sur la base d'une précédente convention dont la validité n'avait été remise en cause par aucune des parties, ordonné la compensation entre les deux créances et dit que la différence porterait intérêt au taux légal à compter du prononcé de la sentence. Toutes autres ou plus amples conclusions ont été rejetées par l'arbitre, lequel a encore dit que chaque partie supporterait la moitié des frais de l'arbitrage de même que ses propres frais.
C. Le 16 mai 2008, X._ a formé une demande de révision dans laquelle il invite le Tribunal fédéral à annuler la sentence précitée et à renvoyer la cause au TAS pour nouveaux débats et nouvelle décision. Selon lui, ladite sentence aurait été rendue par un arbitre partial et sur la base de titres faux. Le requérant sollicite que l'effet suspensif soit octroyé à sa demande de révision.
Dans sa réponse, Y._ conclut à l'irrecevabilité et, subsidiairement, au rejet de cette demande.
Au terme de ses observations, le TAS propose le rejet de la demande de révision.
La requête d'effet suspensif a été admise à titre superprovisoire par ordonnance présidentielle du 21 mai 2008.

Considérant en droit:
1. La loi sur le droit international privé (LDIP; RS 291) ne contient aucune disposition relative à la révision des sentences arbitrales au sens des <ref-law>. Le Tribunal fédéral a comblé cette lacune par voie jurisprudentielle. Les motifs de révision de ces sentences étaient ceux que prévoyait l'art. 137 OJ. Ils sont désormais visés par l'<ref-law>. Le Tribunal fédéral est l'autorité judiciaire compétente pour connaître de la demande de révision de toute sentence arbitrale internationale, qu'elle soit finale, partielle ou préjudicielle; sa compétence en ce domaine ne concerne que les sentences liant le tribunal arbitral dont elles émanent, à l'exclusion des simples ordonnances ou directives de procédure susceptibles d'être modifiées ou rapportées en cours d'instance. S'il admet une demande de révision, le Tribunal fédéral ne se prononce pas lui-même sur le fond mais renvoie la cause au tribunal arbitral qui a statué ou à un nouveau tribunal arbitral à constituer (<ref-ruling> consid. 2 et les références).
2. Dans un premier groupe de moyens, le requérant fait valoir qu'il a découvert, quelques heures seulement après avoir pris connaissance de la sentence du 16 avril 2008, l'existence de circonstances de nature à mettre sérieusement en doute l'indépendance de l'arbitre ayant rendu cette sentence. Aussi s'estime-t-il en droit d'invoquer, relativement à ces circonstances, tant le motif de récusation spécifique prévu par la loi (<ref-law>) que celui, plus général, découlant de l'<ref-law>.
2.1 La recevabilité de la demande de révision, contestée par l'intimé, est effectivement sujette à caution. Certes, ce n'est pas le respect du délai dans lequel la demande de révision doit être déposée qui est ici en cause, puisque le requérant a agi à la fois dans les 30 jours suivant la découverte du motif de récusation (<ref-law>) et dans les 90 jours dès la notification de l'expédition complète de la sentence (art. 124 al. 1 let. d LTF). Ce qui fait problème, en revanche, c'est l'admissibilité même des motifs de révision invoqués par le requérant.
Dans un récent arrêt, le Tribunal fédéral, après avoir constaté qu'un motif comparable à celui dont il est ici question entrait à la fois dans les prévisions de l'<ref-law> (découverte d'un motif de récusation) et dans celles de l'<ref-law> (découverte d'un fait nouveau pertinent), s'est demandé s'il fallait en rester à la jurisprudence instaurée sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, selon laquelle il est exclu de fonder une demande de révision sur des circonstances pouvant être invoquées dans le cadre d'un recours basé sur l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 729 et les références), ou s'il ne conviendrait pas plutôt d'ouvrir la voie de la révision lorsque le motif de révision n'est découvert qu'après l'expiration du délai de recours ("falls der Ablehnungsgrund erst nach Ablauf der Rechtsmittelfrist entdeckt wird"). Il a cependant laissé la question ouverte (arrêt 4A_528/2007 du 4 avril 2008, consid. 2.5). Elle peut également demeurer indécise dans le cas présent. En effet, la condition qui vient d'être énoncée comme préalable à une telle extension du domaine de la révision, eu égard à la subsidiarité de cette voie de droit par rapport au recours (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 729), n'est de toute façon pas réalisée en l'espèce, attendu que, selon les dires du requérant, le motif de révision a été découvert bien avant l'échéance du délai de recours.
Le requérant, il est vrai, tire argument de la renonciation à recourir, prévue à l'art. 10 du contrat de médiation, dont il reconnaît expressément la validité, pour en déduire que la révision était la seule voie qu'il pouvait emprunter s'il entendait se plaindre de la partialité de l'arbitre. On laissera en suspens, ici, le point de savoir si cette renonciation excluait aussi la révision (cf. l'arrêt 4P. 265/1996 du 2 juillet 1997, consid. 1a, où le Tribunal fédéral déclare douteux que la révision tombe sous le coup de l'<ref-law>; sur cette question, voir aussi: Bernhard Berger/Franz Kellerhals, Internationale und interne Schiedsgerichtsbarkeit in der Schweiz, n. 1812 ss; Gabrielle Kaufmann-Kohler/Antonio Rigozzi, Arbitrage international, Droit et pratique à la lumière de la LDIP, n. 861 et note 422; Paolo Michele Patocchi/Cesare Jermini, in Commentaire bâlois, Internationales Privatrecht, 2e éd., n. 22 ad <ref-law>). Cette parenthèse fermée, il paraît difficile d'admettre qu'une partie ayant expressément renoncé à recourir, et donc à se prévaloir du motif prévu à l'<ref-law>, puisse néanmoins saisir le Tribunal fédéral par la bande en invoquant le même motif, découvert avant l'expiration du délai de recours, dans le cadre d'une demande de révision, faute de quoi l'<ref-law> deviendrait lettre morte.
En tout état de cause, une autre raison, non sujette à discussion, s'oppose à l'entrée en matière sur le motif de révision invoqué par le requérant, comme on le démontrera ci-après.
En tout état de cause, une autre raison, non sujette à discussion, s'oppose à l'entrée en matière sur le motif de révision invoqué par le requérant, comme on le démontrera ci-après.
2.2 2.2.1 La partie qui entend récuser un arbitre doit invoquer le motif de récusation aussitôt qu'elle en a connaissance. Cette règle jurisprudentielle vise aussi bien les motifs de récusation que la partie intéressée connaissait effectivement que ceux qu'elle aurait pu connaître en faisant preuve de l'attention voulue, étant précisé que choisir de rester dans l'ignorance peut être regardé, suivant les cas, comme une manoeuvre abusive comparable au fait de différer l'annonce d'une demande de récusation. La règle en question constitue une application, au domaine de la procédure arbitrale, du principe de la bonne foi. En vertu de ce principe, le droit d'invoquer le moyen tiré de la composition irrégulière du tribunal arbitral se périme si la partie ne le fait pas valoir immédiatement, car celle-ci ne saurait le garder en réserve pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable de la procédure arbitrale (arrêt 4A_506/2007 du 20 mars 2008, consid. 3.1.2 et les arrêts cités). Une demande de révision fondée sur l'<ref-law> ne pourrait ainsi être envisagée qu'à l'égard d'un motif de récusation que le requérant ne pouvait pas découvrir durant la procédure arbitrale en faisant preuve de l'attention commandée par les circonstances (arrêt 4A_528/2007, précité, consid. 2.5.1).
Il en irait de même si l'on considérait la découverte subséquente du motif de récusation comme un fait nouveau pertinent au sens de l'<ref-law> (arrêt 4A_528/2007, précité, consid. 2.5.2).
2.2.2 A l'appui de sa demande de révision, le requérant soutient qu'à l'occasion d'un entretien téléphonique qu'il a eu le jour même de la notification de la sentence, il aurait appris de la bouche de son interlocuteur, que T._, l'arbitre unique, est l'avocat de W._. Or, cette fédération prendrait non seulement fait et cause pour les footballeurs, mais encore contre les agents sportifs. Toujours selon le requérant, il aurait également découvert que Me T._ avait été l'avocat de nombreux joueurs et, en particulier, d'un joueur du club C._ à l'époque où l'avocat ayant défendu les intérêts de l'intimé dans la présente procédure arbitrale était président de ce club. Les agents du joueur en question n'étaient autres, au demeurant, que les agents actuels de l'intimé, ceux-ci étant de surcroît les agents d'un ancien client de Me T._. Le requérant relève, en outre, que l'arbitre unique a agi comme avocat de l'intimé dans une procédure arbitrale ayant opposé ce dernier au club de football de B._ devant le TAS en 2007, mais il admet avoir déjà eu connaissance de cette circonstance au moment de la désignation de l'arbitre. A suivre le requérant, les faits allégués par lui mettraient sérieusement en doute l'indépendance de l'arbitre et la légalité de certains de ses agissements dans la procédure. Partant, ces faits constitueraient autant de motifs de révision.
La concomitance entre la notification de la sentence et la découverte du motif de récusation par le requérant apparaît pour le moins singulière. Quoi qu'il en soit, à supposer qu'il n'ait pas eu une connaissance effective du prétendu motif de récusation en temps utile, le requérant aurait pu l'acquérir en faisant preuve de l'attention voulue. C'est le lieu d'observer que l'on a affaire à un litige revêtant toutes les caractéristiques de ceux qui font l'objet d'un arbitrage commercial ordinaire, n'était le contexte sportif dans lequel il s'inscrit, et qui porte sur une somme supérieure à six millions d'euros. La clause arbitrale insérée dans le contrat de médiation prévoyait la compétence d'un arbitre unique pour trancher semblable litige et excluait la possibilité de faire recours contre la sentence qui serait rendue par cet arbitre. Aussi l'importance du choix de l'arbitre unique ne pouvait-elle raisonnablement pas échapper au requérant. La plus élémentaire prudence lui commandait donc de procéder à des investigations pour s'assurer que l'arbitre chargé de statuer dans une cause d'une telle ampleur offrait des garanties suffisantes d'indépendance et d'impartialité. Il ne pouvait se contenter, à cet égard, de la déclaration générale d'indépendance faite par chaque arbitre sur la formule ad hoc. Aussi bien, comme le relève le TAS dans sa réponse à la demande de révision, les données, accessibles en tout temps, fournies par son site internet en ce qui concerne T._, révèlent que celui-ci est l'avocat de nombreuses associations syndicales (de sportifs ou d'entraîneurs) et le représentant de W._. Il est également établi que cette personne a publié, en 1999, un livre, dont elle est le coauteur avec Me U._, à savoir l'avocate qui a représenté le requérant devant le TAS. Que cet état de choses ait permis à la mandataire du requérant de connaître les activités professionnelles exercées par l'arbitre unique correspond à l'expérience de la vie. De surcroît, le requérant savait, de son propre aveu, que l'intimé avait désigné T._ comme arbitre pour siéger dans la formation ayant tranché le différend qui l'opposait au club de football de B._. Dans ces conditions, on peine à imaginer que le requérant, en sa qualité d'agent de football professionnel, ait pu ignorer à l'époque les faits qu'il avance aujourd'hui quant à la personne de l'arbitre unique pour étayer sa demande de révision. S'il les a ignorés, ce ne peut être qu'en raison d'un manque de curiosité inexcusable, étant donné les circonstances (cf., mutatis mutandis, les arrêts, précités, 4A_528/2007, consid. 2.5.3 et 4A_506/2007, consid. 3.2).
Dès lors, le droit du requérant de fonder sa demande de révision sur la découverte d'un motif de récusation est forclos, soit que l'intéressé ait déjà connu à l'époque le motif de récusation qu'il invoque aujourd'hui, soit qu'il ait dû le connaître en faisant preuve de l'attention réclamée par les circonstances. Il s'ensuit l'irrecevabilité de ladite demande sur ce point.
3. En second lieu, le requérant soutient que la sentence a été influencée par des agissements frauduleux qui l'ont, du reste, amené à déposer, le 9 mai 2008, une plainte pénale pour faux et escroquerie contre l'arbitre, l'intimé et un tiers.
3.1 En vertu de l'<ref-law>, la révision peut être demandée lorsqu'une procédure pénale établit que la décision dont la révision est requise a été influencée au préjudice du requérant par un crime ou un délit, même si aucune condamnation n'est intervenue.
Comme l'utilisation du verbe "établit", dans le texte de la disposition citée, le fait ressortir clairement, la réalisation de cette condition suppose, en principe, que la procédure pénale ait été conduite jusqu'à son terme (arrêt B 25/96 du 14 août 1996; ATF 86 II198 p. 200; voir aussi: Jean-François Poudret, COJ, n. 1.2 ad art. 137). Il faut, en outre, que le crime ou le délit ait entraîné un résultat défavorable pour le requérant (Elisabeth Escher, in Commentaire bâlois, Bundesgerichtsgesetz, n. 3 in fine ad <ref-law>).
3.2 En l'espèce, aucune de ces deux conditions cumulatives n'est réalisée, si bien qu'il n'est pas nécessaire d'examiner plus avant la question, délicate, de la recevabilité du motif de révision allégué au regard tant de l'art. 192 que de la règle de la subsidiarité de la révision par rapport au recours (cf. consid. 2.1 ci-dessus; voir aussi Berger/Kellerhals, op. cit., n. 1815, pour qui le motif de révision prévu par l'<ref-law> entre dans le champ d'application de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP relatif à la violation de l'ordre public).
3.2.1 S'agissant de la première condition, le requérant indique lui-même, dans sa demande de révision, qu'il n'invoque le motif prévu par l'art. 123 al. 1 que par souci de préserver ses droits, la procédure pénale en cours n'ayant pas encore établi l'existence d'un crime ou d'un délit qui aurait influencé la sentence litigieuse à son détriment.
3.2.2 En ce qui concerne la seconde condition, force est de constater qu'il n'est pas du tout prouvé que les faits allégués par le requérant, à les supposer constitutifs d'une infraction pénale, aient influé sur le prononcé de l'arbitre au préjudice de l'intéressé.
A cet égard, le requérant argue de faux l'attestation d'un tiers selon laquelle les parties au contrat de médiation étaient convenues du versement de 600'000 euros par l'intimé au requérant pour solde de tout compte. Il feint d'ignorer, en faisant fond sur ladite pièce, que l'arbitre unique ne s'est nullement basé sur celle-ci pour rejeter ses prétentions, mais qu'il a justifié sa décision par le fait que le contrat en question était entaché de nullité.
Le requérant soutient, par ailleurs, que le contrat de joueur professionnel conclu le 15 juin 2005 par l'intimé avec A._ comporte des indications inexactes, en le faisant passer pour l'agent de ce club alors qu'il était l'agent du joueur. A l'en croire, c'est sur cette base que l'arbitre unique lui aurait dénié le droit de faire valoir ses prétentions envers l'intimé, faute pour lui d'avoir été le mandataire de celui-ci. En réalité, l'arbitre n'a pris en considération le contrat précité que dans le cadre d'une motivation subsidiaire à l'effet de démontrer que la nullité du contrat de médiation, déjà constatée dans son argumentation principale, devait également être admise en raison de la violation d'une disposition proscrivant le "double mandatement". Ainsi, du moment que la motivation principale sur laquelle repose la sentence litigieuse ne peut plus être attaquée et qu'elle suffit à justifier la solution retenue par l'arbitre, il est exclu que la sentence ait pu être influencée au préjudice du requérant par la prise en considération de la pièce prétendument fausse, puisqu'un tel vice, à le supposer avéré, n'affecterait que la motivation subsidiaire exposée par l'arbitre à titre surabondant.
4. En définitive, la demande de révision ne peut qu'être rejetée dans la mesure où elle est recevable. Le requérant devra, dès lors, supporter les frais y afférents (<ref-law>) et indemniser l'intimé (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande de révision est rejetée dans la mesure où elle est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 8'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
3. Le requérant versera à l'intimé une indemnité de 9'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 14 août 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Carruzzo