Sachverhalt:
A. Der 1967 geborene K._ bezog mit Wirkung ab Januar 2000 bei einem Invaliditätsgrad von 41 Prozent eine Viertelsrente der Invalidenversicherung (Verfügung der IV-Stelle des Kantons Basel-Stadt vom 1. März 2002). Im Rahmen eines Revisionsverfahrens holte die Verwaltung ein Gutachten der Psychiatrischen Poliklinik des Universitätsspitals X._ vom 7. August 2008 (nachfolgend: Gutachten) ein. Mit Verfügung vom 9. Juli 2009 stellte die Verwaltung fest, sein Gesundheitszustand lasse wieder eine leidensangepasste Tätigkeit mit einem vollen Pensum zu; bei einem Invaliditätsgrad von noch zehn Prozent werde die Invalidenrente auf Ende August 2009 aufgehoben.
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die gegen die Verfügung vom 9. Juli 2009 erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 10. Dezember 2009).
C. K._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es seien ihm, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der strittigen Verfügung, die gesetzlichen Leistungen mit Wirkung ab September 2009 wieder auszurichten. Eventuell sei die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen an eine der Vorinstanzen zurückzuweisen.

Erwägungen:
1. 1.1 Das kantonale Gericht erkannte, die IV-Stelle habe in der strittigen Verfügung vom 9. Juli 2009 die seit Januar 2000 laufende Viertels-Invalidenrente des Beschwerdeführers zu Recht mit Wirkung auf Ende August 2009 aufgehoben (<ref-law>; Art. 87, 88a und 88bis IVV), da sich sein Gesundheitsschaden seit der früheren Leistungszuerkennung (Verfügung vom 1. März 2002; vgl. <ref-ruling>) massgeblich gebessert habe.
1.2 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Mit Blick auf die so umschriebene Kognition ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen Bundesrecht verletzt, einschliesslich einer allfälligen rechtfehlerhaften Tatsachenfeststellung.
2. 2.1 Die Vorinstanz stützte ihren Entscheid im Wesentlichen auf die Schlussfolgerungen des Gutachtens, wonach der Versicherte an einer Agoraphobie mit Panikstörung (ICD-10 Ziff. F40.01) und an einer narzisstisch-demonstrativen Persönlichkeitsakzentuierung mit vermeidenden und emotional instabilen Zügen (ICD-10 Ziff. Z73) leide. Im Vergleich mit dem früheren Befund aus der interdisziplinären Begutachtung durch die Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) der Universitätskliniken X._ (Expertise vom 30. Mai 2001) sei allerdings eine deutliche Besserung eingetreten. Anhaltspunkte für eine Dysthymie oder soziale Phobie seien nicht auszumachen. Die Beschwerden seien insgesamt nicht derart ausgeprägt, dass sie eine wesentliche Beeinträchtigung im Alltag, so auch in einer Berufstätigkeit, mit sich brächten.
In Auseinandersetzung mit den Vorbringen des Versicherten erwog das kantonale Gericht im Einzelnen, die dem Gutachten widersprechenden Berichte des behandelnden Psychiaters Dr. J._, welcher neben einer Sozialphobie eine ausgeprägte Dysthymie diagnostiziere und daraus eine nahezu vollständige Arbeitsunfähigkeit ableite, vermöchten die gutachtlichen Einschätzungen nicht in Zweifel zu ziehen. Der Beschwerdeführer verkenne, dass es für den Aussagegehalt eines Gutachtens nicht auf die Untersuchungsdauer ankomme; massgebend sei, dass ein Bericht vollständig und schlüssig erscheine. Es sei nicht ersichtlich, inwiefern sich die kurze Untersuchungsdauer negativ auf die Qualität und Aussagekraft der Expertise ausgewirkt haben sollte. Im Weiteren schränke auch das beanstandete Fehlen einer Fremdanamnese den Beweiswert des Gutachtens nicht entscheidend ein. Der letzte Bericht des behandelnden Psychiaters sei bei der Begutachtung lediglich ein halbes Jahr alt gewesen. Dem Administrativgutachten vom 7. August 2008 folgend sei festzustellen, dass sich der psychische Gesundheitszustand des Beschwerdeführers gegenüber den Verhältnissen, wie sie der Verfügung vom 1. März 2002 zugrunde gelegen hätten, erheblich verbessert habe. Aus psychiatrischer Sicht sei der Versicherte neu vollständig arbeitsfähig in seiner angestammten Tätigkeit als Hilfsarbeiter. Aufgrund der somatischen Einschränkungen nicht möglich seien einzig schwere Tätigkeiten und solche, die ein kraftvolles Zupacken oder eine länger dauernde feinmotorische Tätigkeit mit der rechten Hand erforderten. Die erwerblichen Auswirkungen dieser Einschränkungen habe die Verwaltung in Form eines leidensbedingten Abzuges (<ref-ruling>) von 10 Prozent berücksichtigt. Der von der IV-Stelle angenommene Invaliditätsgrad von 10 Prozent sei insgesamt nicht zu beanstanden.
In Auseinandersetzung mit den Vorbringen des Versicherten erwog das kantonale Gericht im Einzelnen, die dem Gutachten widersprechenden Berichte des behandelnden Psychiaters Dr. J._, welcher neben einer Sozialphobie eine ausgeprägte Dysthymie diagnostiziere und daraus eine nahezu vollständige Arbeitsunfähigkeit ableite, vermöchten die gutachtlichen Einschätzungen nicht in Zweifel zu ziehen. Der Beschwerdeführer verkenne, dass es für den Aussagegehalt eines Gutachtens nicht auf die Untersuchungsdauer ankomme; massgebend sei, dass ein Bericht vollständig und schlüssig erscheine. Es sei nicht ersichtlich, inwiefern sich die kurze Untersuchungsdauer negativ auf die Qualität und Aussagekraft der Expertise ausgewirkt haben sollte. Im Weiteren schränke auch das beanstandete Fehlen einer Fremdanamnese den Beweiswert des Gutachtens nicht entscheidend ein. Der letzte Bericht des behandelnden Psychiaters sei bei der Begutachtung lediglich ein halbes Jahr alt gewesen. Dem Administrativgutachten vom 7. August 2008 folgend sei festzustellen, dass sich der psychische Gesundheitszustand des Beschwerdeführers gegenüber den Verhältnissen, wie sie der Verfügung vom 1. März 2002 zugrunde gelegen hätten, erheblich verbessert habe. Aus psychiatrischer Sicht sei der Versicherte neu vollständig arbeitsfähig in seiner angestammten Tätigkeit als Hilfsarbeiter. Aufgrund der somatischen Einschränkungen nicht möglich seien einzig schwere Tätigkeiten und solche, die ein kraftvolles Zupacken oder eine länger dauernde feinmotorische Tätigkeit mit der rechten Hand erforderten. Die erwerblichen Auswirkungen dieser Einschränkungen habe die Verwaltung in Form eines leidensbedingten Abzuges (<ref-ruling>) von 10 Prozent berücksichtigt. Der von der IV-Stelle angenommene Invaliditätsgrad von 10 Prozent sei insgesamt nicht zu beanstanden.
2.2 2.2.1 Der Beschwerdeführer verweist auf die unterschiedlichen Diagnosen im Gutachten der Psychiatrischen Poliklinik vom 7. August 2008 (Untersuchungsdatum: 14. April 2008) einerseits (Agoraphobie mit Panikstörung und akzentuierte Persönlichkeit) und des behandelnden Arztes Dr. J._ anderseits, der namentlich von einer - durch traumatisierende Ereignisse verstärkten - Sozialphobie und von einer ausgeprägten Dysthymie ausgeht (Berichte vom 24. Juni und 5. Oktober 2007). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist eine Dysthymie allein regelmässig nicht invalidisierend. Diese Schlussfolgerung, die sich auf medizinische Empirie abstützt und damit eine Rechtsfrage darstellt, ist freilich nicht absolut zu verstehen; eine dysthyme Störung kann die Arbeitsfähigkeit im Einzelfall erheblich beeinträchtigen, wenn sie zusammen mit anderen Befunden - wie etwa einer ernsthaften Persönlichkeitsstörung - auftritt (SVR 2008 IV Nr. 8 S. 23 E. 3.3.1, I 649/06). Entscheidend für die Eignung eines Gesundheitsschadens, die Leistungsfähigkeit rechtserheblich einzuschränken, ist aber nicht bereits die Diagnose, sondern erst die gutachtliche Folgenabschätzung. Selbst wenn eine Dysthymie mit dem behandelnden Arzt zu bejahen wäre, leitete sich daraus auch zusammen mit dem Befund einer "akzentuierten Persönlichkeit" nicht eine invalidisierende Wirkung ab. Die vom behandelnden Arzt besonders betonte Sozialphobie wiederum wird von den Administrativgutachtern nicht übersehen, sondern offenkundig anders interpretiert; die nämliche Beeinträchtigung wird in der Expertise vom 7. August 2008 als narzisstisch-demonstrative Persönlichkeitsakzentuierung verbunden mit vermeidenden und emotional instabilen Zügen erfasst und deren Tragweite nach medizinischen Erfahrungssätzen abgeschätzt. Im vorliegenden Fall ist daher nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz einen Rechtsfehler begangen haben sollte, indem sie die Beurteilung, es seien im Zeitpunkt der Begutachtung weder eine Dysthymie noch eine Sozialphobie feststellbar, übernommen hat. Wo, wie hier, psychosoziale Einflüsse das Bild prägen, ist bei der Annahme einer rentenbegründenden Invalidität ohnehin Zurückhaltung geboten (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 299; Urteil 9C_225/2009 vom 6. Juli 2009 E. 3.3). Oft muss einem unterschiedlichen - therapeutischen oder versicherungsmedizinischen - Hintergrund der in den Akten dokumentierten ärztlichen Meinungen Rechnung getragen werden. Den divergierenden ärztlichen Stellungnahmen zur Arbeitsunfähigkeit liegen denn auch hier unterschiedliche Krankheitsbegriffe zugrunde. Das in der praktischen medizinischen Behandlung massgebende bio-psycho-soziale Krankheitsmodell ist weiter gefasst als der für die invaliditätsrechtliche Beurteilung heranzuziehende Begriff der gesundheitlichen Beeinträchtigung (Urteil I 704/03 vom 28. Dezember 2004 E. 4.1).
2.2.2 Der Beschwerdeführer macht an sich zutreffend geltend, dass der für eine psychiatrische Untersuchung zu betreibende zeitliche Aufwand der Fragestellung und der zu beurteilenden Psychopathologie angemessen sein muss (vgl. Urteile 9C_664/2009 vom 6. November 2009 E. 3 und I 1094/06 vom 14. November 2007, SZS 2008 S. 393). Er kann daraus indessen nicht ableiten, die wesentlichen medizinischen Feststellungen - Diagnosen, Belastbarkeitsbeurteilungen und deren Auswirkungen im Erwerbsleben - könnten auch im konkreten Fall von vornherein nicht anhand einer einmaligen Konsultation getroffen werden. Das Mass an gutachtlicher Eigenwahrnehmung erscheint hier nicht als unzureichend, zumal die Gutachter für die entscheidwesentliche Folgenabschätzung unbestrittene Angaben über die Alltagsgestaltung als Beurteilungsmassstab heranziehen konnten und insofern eine weitergehende Tatsachenforschung nicht offensichtlich erforderlich war.
2.3 Bestehen keine erheblichen Zweifel an Vollständigkeit und Richtigkeit der Feststellung, dass sich der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers seit Frühjahr 2002 leistungserheblich verändert hat (vgl. Urteil 8C_364/2007 vom 19. November 2007 E. 3.2), sah das kantonale Gericht zu Recht von einer weiteren Beweiserhebung ab (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 94; <ref-ruling> E. 1d S. 162). Dem Antrag auf Rückweisung der Sache zu ergänzender Abklärung kann daher nicht entsprochen werden. Die Invaliditätsbemessung ist im Rahmen des Revisionsverfahrens in allen Teilen rechtlich korrekt erfolgt, weshalb kein Anspruch auf eine Invalidenrente mehr besteht.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Mai 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub