Faits:
A. Par jugement du 6 mai 2009, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a reconnu X._ coupable d'actes d'ordre sexuel sur une personne incapable de discernement ou de résistance et de contravention à la loi fédérale sur les stupéfiants. Il l'a condamné à une peine privative de liberté de douze mois, dont six mois fermes et six mois avec sursis, le délai d'épreuve étant fixé à deux ans. En outre, il a déclaré X._ débiteur de Y._ de la somme de 5'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral.
B. Statuant le 8 juillet 2009, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours formé par X._ et confirmé le jugement de première instance.
En bref, elle a retenu les faits suivants:
Le 29 janvier 2007, X._ et Y._ se sont rendus, entre 11 et 13 heures, chez B._. Ils ont bu deux bouteilles de rhum en compagnie de leur hôtesse. Vers 17 heures, celle-ci leur a fourni une chambre pour se reposer, car Y._ ne tenait plus debout. X._ y a sodomisé violemment sa compagne.
En cours d'enquête, le Centre universitaire romand de médecine légale a calculé l'alcoolémie théorique de X._. Les experts sont partis de l'hypothèse que celui-ci avait consommé, en compagnie de la victime et de leur hôtesse, deux litres de rhum répartis de façon égale entre eux. Ils ont retenu une alcoolémie entre 3,2 et 4,0 g o/oo en admettant un début de consommation à 11 heures et une alcoolémie entre 3,6 et 4,2 g o/oo avec un début de consommation à 13 heures. La cour cantonale a retenu une diminution de responsabilité légère à moyenne au motif que l'on ne connaissait pas avec précision la quantité de boisson ingurgitée par chacun et que leur hôtesse avait déclaré que, même s'il avait bu, X._ était tout à fait lucide et conscient de ce qu'il faisait (jugement p. 11; arrêt attaqué p. 9).
C. Contre cet arrêt cantonal, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens qu'il est libéré du chef d'accusation d'actes d'ordre sexuel commis sur une personne incapable de discernement ou de résistance et du paiement d'une indemnité pour tort moral à Y._. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause aux autorités cantonales pour nouveau jugement. En outre, il sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Ministère public vaudois, l'intimée, Y._, et l'autorité précédente ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le recourant fait valoir que la cour cantonale a établi les faits de manière arbitraire et violé en conséquence la présomption d'innocence en s'écartant du taux d'alcool calculé par les experts. Il reproche à la cour cantonale d'avoir méconnu que la témoin B._ était elle-même très fortement alcoolisée, puisqu'elle avait bu deux litres de rhum en sa compagnie et celle de l'intimée. En outre, il fait grief à la cour cantonale de ne pas avoir tenu compte du témoignage de C._, qui a vu le recourant juste après les faits délictueux et qui a déclaré que celui-ci était "vraiment trop saoul".
1.1 Dans la mesure où, comme en l'espèce, l'appréciation des preuves est critiquée en référence avec le principe in dubio pro reo, celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2a p. 41). Cette dernière notion a été rappelée récemment dans l'<ref-ruling> consid. 1.3 p. 4/5, auquel on peut donc se référer. En bref, une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable. Il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais dans son résultat.
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
1.2 Selon la jurisprudence, une concentration d'alcool de 2 à 3 g o/oo entraîne une présomption de diminution de responsabilité, alors qu'une concentration supérieure à 3 g o/oo pose la présomption d'une irresponsabilité totale (<ref-ruling> consid. 1b p. 50/51; <ref-ruling> consid. 2b p. 123/124; cf. arrêt 6S.17/2002 du 7 mai 2002, publié in JT 2003 I 561, consid. 1c/aa). Il ne s'agit là toutefois que de présomptions qui peuvent être renversées dans un cas donné en raison d'indices contraires (<ref-ruling> consid. 1b p. 51; arrêt 6S.17/2002 précité, consid. 1c/aa).
En l'espèce, la cour cantonale a admis que le taux théorique d'alcool du recourant était situé entre 3,2 et 4,2 g o/oo. Elle a toutefois considéré qu'il ne s'agissait que d'un indice parmi d'autres pour apprécier la capacité de discernement. Se fondant sur le témoignage de B._, elle a ainsi considéré que, malgré une alcoolémie élevée, le recourant était conscient de ce qu'il faisait. Le recourant met cependant en cause ce témoignage, en raison de l'état d'ivresse de B._. Reste dès lors à examiner la validité de cette déposition.
1.3 Selon la jurisprudence, le juge ne peut se fonder sur une déposition que s'il est établi que le témoin avait la volonté et la capacité de dire la vérité. La capacité de témoigner suppose que le témoin ait pu percevoir les faits sur lesquels porte sa déposition et qu'au moment de déposer, il ait été en état de se rappeler ceux-ci et d'en rendre compte. Dans ce contexte, la jurisprudence a précisé qu'il fallait tenir compte d'une éventuelle consommation de stupéfiants, car une réserve particulière s'impose à l'égard de toxicomanes dépendants lorsqu'ils sont en état de manque. S'il y a doute au sujet de l'aptitude à témoigner d'une personne, le juge doit instruire ce point (<ref-ruling> consid. 1c p. 31; Hauser/Schweri/Hartmann, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6e éd., 2005, n. 3 ad § 62, p. 292).
En l'espèce, il y a lieu d'examiner la capacité de perception du témoin au moment des faits. B._ avait ingurgité pendant l'après-midi deux bouteilles de rhum avec ses hôtes et devait donc avoir, à l'instar du recourant, un taux d'alcool supérieur à 3 g o/oo lorsque ce dernier a sodomisé l'intimée. Certes, l'état d'ivresse influence plus la capacité de se déterminer que la capacité de perception. Dans le cas particulier, l'alcoolémie du témoin était cependant élevée et l'appréciation de l'état physique et psychique d'une personne ivre exige une certaine lucidité, de sorte que l'on peut sérieusement douter de l'appréciation de B._. Cette appréciation est d'autant plus sujette à caution qu'elle est contraire à celle du témoin C._, chez qui le recourant s'est rendu après les faits et qui a déclaré que ce dernier était "pété", "vraiment trop saoul". Dans ces circonstances, la cour cantonale est tombée dans l'arbitraire en méconnaissant l'état d'ivresse dans lequel se trouvait le témoin et en n'instruisant pas ce point.
2. Le recours doit être admis, l'arrêt attaqué doit être annulé et la cause doit être renvoyée aux autorités cantonales pour nouvelle décision.
Le recourant qui obtient gain de cause ne supporte pas de frais judiciaires (<ref-law>) et peut prétendre à une indemnité de dépens à la charge du canton de Vaud (art. 68 al. 1 et 2 LTF), ce qui rend sans objet la requête d'assistance judiciaire.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le canton de Vaud versera au recourant la somme de 3000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de cassation pénale.
Lausanne, le 30 mars 2010
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Favre Kistler Vianin