Sachverhalt:
A.
A._ lebte seit Jahrzehnten im Konkubinat mit B._ und arbeitete bis zu seiner Frühpensionierung im Jahr 2009 bei der Firma Y._, wodurch er bei der Pensionskasse X._ (nachfolgend Pensionskasse) berufsvorsorgerechtlich versichert war. Am 24. Juni 2011 verstarb er. In der Folge ersuchte B._ um Ausrichtung einer Lebenspartnerrente, was die Pensionskasse indes ablehnte, weil der Verstorbene sie nicht als Begünstigte bezeichnet habe (Schreiben vom 24. Juli 2012).
B.
Die von B._ gegen die Pensionskasse eingereichte Klage, mit welcher sie die Ausrichtung einer Lebenspartnerrente rückwirkend ab 24. Juni 2011 beantragen liess, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern) mit Entscheid vom 26. März 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ die Aufhebung des angefochtenen Entscheids beantragen und ihr vorinstanzliches Rechtsbegehren erneuern. Zudem lässt sie um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung ersuchen.
Während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet, trägt die Pensionskasse auf Abweisung der Beschwerde an.
D.
Mit Verfügung vom 26. November 2013 ersuchte der Instruktionsrichter die Pensionskasse um Einreichung der vollständigen Akten.
E.
Im Rahmen des zweiten Schriftenwechsels zu den am 5. Dezember 2013 eingelangten Unterlagen der Pensionskasse hält die Beschwerdeführerin an den gestellten Rechtsbegehren fest.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Nach Art. 11.3 des Vorsorge-Reglements der Pensionskasse vom 1. Januar 2002 (gültig gewesen bis 31. Dezember 2006; nachfolgend: Reglement 2002) hat der unverheiratete Partner eines verstorbenen unverheirateten Versicherten oder eines verstorbenen unverheirateten Pensionierten Anspruch auf eine Partnerrente, sofern er nicht in einem verwandtschaftlichen Grad (Eltern oder Elternteil, Geschwister, Onkel oder Tante, Neffe oder Nichte, Cousin oder Cousine) zum Verstorbenen gestanden hat und folgende Voraussetzungen erfüllt sind (lit. b) :
"der Partner hat im Zeitpunkt des Todes des Versicherten oder Pensionierten das 45. Altersjahr überschritten, und
er hat bis zum Zeitpunkt des Todes des Versicherten oder Pensionierten mit diesem mindestens 5 Jahre nachweisbar ununterbrochen im gleichen Haushalt zusammengelebt, und
der Verstorbene ist für den Lebensunterhalt des Partners wesentlich aufgekommen oder der Partner wird durch den Wegfall der Unterstützung in seiner Lebenshaltung wesentlich beeinträchtigt."
Art. 21 Abs. 1 ("Lebenspartnerrente") des Vorsorgereglements der Pensionskasse vom 1. Januar 2007 (nachfolgend: Reglement 2007) lautet wie folgt:
"1 Unter den sinngemäss gleichen Voraussetzungen und Kürzungsbestimmungen wie für eine Ehegattenrente hat der von der versicherten Person bezeichnete Lebenspartner (verschiedenen oder gleichen Geschlechts) Anspruch auf eine Hinterlassenenrente in der Höhe der Ehegattenrente bzw. auf eine einmalige Abfindung, sofern
a) die versicherte und die begünstigte Person unverheiratet sind und keine juristischen Gründe (Art. 94 ff. ZGB), mit Ausnahme der Gleichgeschlechtlichkeit, gegen eine Heirat der beiden gesprochen hätten,
b) der Lebenspartner mit der verstorbenen versicherten Person unmittelbar vor deren Ableben nachweisbar mindestens fünf Jahre in einer festen Zweierbeziehung eine Lebensgemeinschaft geführt hat,
c) die versicherte Person vor Erreichen ihres Rücktrittsalters der Pensionskasse zu Lebzeiten den anspruchsberechtigten Lebenspartner schriftlich mitgeteilt hat."
2.2. Nach den verbindlichen und unbestritten gebliebenen Feststellungen der Vorinstanz lebte die Beschwerdeführerin mit dem Verstorbenen seit Jahrzehnten in einem Konkubinatsverhältnis. Zu ergänzen ist, weil der Sachverhalt in diesem Punkt unvollständig (Art. 105 Abs. 2 BGG; Urteil 9C_395/2009 vom 16. März 2010 E. 2.4) festgestellt wurde (das kantonale Gericht ging lediglich implizite davon aus), dass keine Mitteilung des Verstorbenen im Sinne von Art. 21 Abs. 1 lit. c des Reglements 2007 aktenkundig ist. Zu dieser Bestimmung hat das kantonale Gericht korrekt dargelegt, dass es sich nicht um eine blosse Beweisvorschrift mit Ordnungscharakter, sondern um eine mit Art. 20a BVG vereinbare Anspruchsvoraussetzung mit konstitutiver Wirkung handelt (<ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 333 mit Hinweis).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat die Klage abgewiesen mit der Begründung, in zeitlicher Hinsicht kämen die Bestimmungen des Reglements 2007 zur Anwendung, womit eine schriftliche Begünstigung zu Lebzeiten konstitutive Voraussetzung für den Leistungsanspruch sei. Zur Frage der Erfüllung der Informationspflicht erwog sie, die Beschwerdegegnerin habe sämtliche Aktiven und Rentner zur 32. ordentlichen Versichertenversammlung vom 28. Juni 2006 sowie zu einer ausserordentlichen Versammlung vom 8. November 2006 eingeladen. An diesen Anlässen sei über das per 1. Januar 2007 in Kraft tretende Vorsorgereglement 2007 informiert worden. Das Reglement 2007 samt integrierter Kurzübersicht über die Leistungen und die Finanzierung (sowie weitere Unterlagen) sei als Beilage zur Einladung vom 9. Oktober 2006 versandt worden. Es sei davon auszugehen, dass dieses dem Verstorbenen zugegangen sei; die Zustellung mittels gewöhnlicher Briefpost sei gemäss Rechtsprechung (Urteil B 85/06 vom 6. Juni 2007 E. 5.2, nicht publ. in <ref-ruling>, aber in: SVR 2008 BVG Nr. 4 S. 13) nicht zu beanstanden. Auch wenn die Versicherten mit Schreiben vom 9. Oktober 2006 nicht explizit über die Änderung im Bereich der Lebenspartnerrente aufmerksam gemacht worden seien, habe die Beschwerdegegnerin mit der Abgabe des Reglements das Notwendige (wenn auch reduziert auf ein Minimum) getan, um auf die Reglementsänderung auch in diesem Bereich aufmerksam zu machen.
3.2. Die Beschwerdeführerin hält dagegen, die Vorinstanz gehe zu Unrecht von einer rechtskonformen Zustellung des Reglements 2007 an den Verstorbenen aus. Sodann wende die Vorinstanz das Recht falsch an, indem sie davon ausgehe, die Beschwerdegegnerin sei ihrer Informationspflicht betreffend die Änderung der Lebenspartnerrente hinreichend nachgekommen.
3.3. Die Beschwerdegegnerin macht in ihrer Vernehmlassung geltend, ihr könne nicht angelastet werden, dass der Verstorbene die regelmässig stattfindenden Informationsanlässe, welche einen Block über die Leistungen enthielten und worin auf die spezifischen Voraussetzungen für eine Lebenspartnerrente hingewiesen werde, nicht besucht habe. Zudem habe sie die Reglementsänderung klar kommuniziert, womit interessierte Personen in der Lage gewesen seien, die für sie in Betracht fallenden Schritte einzuleiten.
4.
Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, das Reglement 2007 sei dem Verstorbenen nicht rechtskonform zugestellt worden. Denn in dem vom kantonalen Gericht zitierten Urteil B 85/06, wonach die Mitteilung von Informationen der Pensionskasse durch gewöhnliche Briefpost genüge, gehe es um die Einführung eines neuen Rechtes, wogegen mit dem Reglement 2007 zusätzliche, erschwerende Voraussetzungen zur Erlangung einer Partnerrente hinzugekommen seien. Zudem dürfte die Zahl der Betroffenen (die nicht verheirateten Versicherten) klein und überschaubar sein. Den strikten Beweis für die Zustellung des Reglements 2007 an diese Gruppe zu verlangen, sei somit nicht unverhältnismässig.
Dem kann nicht gefolgt werden. Entgegen der Beschwerdeführerin unterscheidet sich der zu beurteilende Fall nicht grundlegend von jenem, welcher dem Urteil B 85/06 zugrunde lag. Denn in beiden Konstellationen geht es um die Einführung des konstitutiven Erfordernisses, zu Lebzeiten eine schriftliche Vereinbarung bzw. Begünstigungserklärung abzugeben. Dabei ist nicht entscheidend, ob die Lebenspartnerrente neu eingeführt oder geändert wird. Im Übrigen kann mit Blick auf die Statistik zur ständigen Wohnbevölkerung der Schweiz kaum von einer kleinen Zahl von nicht verheirateten Versicherten ausgegangen werden, zumal am Jahresende 2012 die Prozentzahl der Ledigen praktisch derjenigen der Verheirateten entsprach (43.3% zu 43.6%; zudem sind rund 8 % geschieden; Ständige Wohnbevölkerung nach Zivilstand; abrufbar unter www.bfs.admin.ch). Daher hat die Vorinstanz zu Recht erkannt, das Reglement 2007 sei dem Verstorbenen rechtskonform zugestellt worden.
5.
Weiter rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von Art. 86b Abs. 1 lit. a BVG dergestalt, als der Verstorbene von der Beschwerdegegnerin weder mit Schreiben vom 12. Juni 2006 noch mit demjenigen vom 9. Oktober 2006 auf eine Änderung resp. Erschwerung der Voraussetzungen bei der Partnerrente informiert worden sei. Indem die Vorinstanz davon ausgehe, mit den zwei Serienbriefen sei die Beschwerdegegnerin ihrer Informationspflicht nachgekommen, wende sie das Recht falsch an. Denn mit diesen Briefen resp. den beigelegten Unterlagen sei den Versicherten in keiner Weise positiv der Weg aufgezeigt worden, auf dem sie ihren Lebenspartnern einen Anspruch auf eine Rente hätten verschaffen können. Mithin sei dem Verstorbenen die Möglichkeit genommen worden, rechtzeitig die notwendigen Dispositionen zu treffen.
5.1. Zu den Leistungsansprüchen, über welche die Vorsorgeeinrichtung nach Art. 86b Abs. 1 lit. a BVG jährlich zu informieren hat, gehören alle gesetzlichen und reglementarischen Leistungen bei einem Austritt aus der Vorsorgeeinrichtung sowie beim Eintritt eines Versicherungsfalles (Alter, Invalidität oder Tod). Sieht das Vorsorgereglement resp. bei öffentlich-rechtlichen Vorsorgeeinrichtungen das einschlägige Gesetzes- oder Verordnungsrecht eine Lebenspartnerrente vor, ist auch über diese Leistungsart zu informieren. Welches die geeignete Form der Information ist, sagt das Gesetz nicht. Sinn und Zweck der Pflicht der Vorsorgeeinrichtungen zur "Information der Versicherten" nach Art. 86b BVG ist u.a., dass diese in die Lage versetzt werden, den Stand und die Entwicklung ihrer individuellen Vorsorgesituation jederzeit nachvollziehen zu können. Die Information muss unaufgefordert und nach dem Gesetzeswortlaut in geeigneter Form erfolgen (BGE <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 335).
In BGE <ref-ruling> hat das Bundesgericht erwogen, es sei fraglich, ob über die Leistungsansprüche "in geeigneter Form informieren" auch heisse, dass die jeweiligen Anspruchsvoraussetzungen zu erwähnen seien, jedenfalls wenn diese wie im beurteilten Fall in Bezug auf die Lebenspartnerrente nicht ohne weiteres als gegeben zu erwarten seien. Es liesse sich auch der Standpunkt vertreten, dass eine allgemeine Verweisung auf das Vorsorgereglement oder das einschlägige Gesetzes- und Verordnungsrecht für die Anspruchsvoraussetzungen im Einzelnen genüge und es dann Sache der Versicherten sei, dort nachzuschauen oder allenfalls bei der über den Wortlaut von Art. 86b Abs. 2 BVG hinaus auch insoweit auskunftspflichtigen Vorsorgeeinrichtung nachzufragen (E. 4.2.2). Ferner stellte es fest, im beurteilten Fall wäre die Informationspflicht hinsichtlich der neu eingeführten Hinterlassenenleistung Lebenspartnerrente erfüllt worden, wenn den Versicherten der Gesetzestext samt Hinweis auf wesentliche Neuerungen bei den Leistungsansprüchen abgegeben worden wäre (E. 4.2.3.1).
5.2. Es steht fest und ist unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin im Vorfeld der Inkraftsetzung des neuen Vorsorgereglements per 1. Januar 2007 die Versicherten zur 32. ordentlichen Versichertenversammlung vom 28. Juni 2006 (Schreiben vom 12. Juni 2006) sowie zur ausserordentlichen Versichertenversammlung vom 8. November 2006 (Serienbrief vom 9. Oktober 2006) einlud. In der Einladung vom 12. Juni 2006 findet sich zum hier interessierenden Traktandum 1 (Informationen zur Vorsorgereglements-Änderung per 1. Januar 2007) der Hinweis auf "Renten-Umwandlungssatz, Sparbeiträge etc.". Im Serienbrief vom 9. Oktober 2006 wird erläutert, Zweck der ausserordentlichen Versichertenversammlung sei, die Versicherten umfassend zum neuen Vorsorgereglement und den darin enthaltenen Änderungen ins Bild zu setzen. Die "wesentlichsten Anpassungen/Neuerungen" beträfen folgende Bereiche (grafische Hervorhebung gemäss Schreiben vom 9. Oktober 2006) :
"• Senkung des Renten-Umwandlungssatzes von 7,2 % auf 6,2 % im Alter 63 mit Abfederung über 8 Jahrgänge
• Verflachung der Arbeitgeberbeitragskurve
• Einbau einer Bonusversicherung (Sparkapital und Risikoleistung)
• Schaffung von differenzierten Möglichkeiten zum Einkauf weiterer Leistungen
• Möglichkeit des vollständigen Kapitalbezugs anstelle einer Rente"
Anschliessend folgen Ausführungen zur Abfederung bzw. Ausgleichung der Senkung des Umwandlungssatzes resp. der Verflachung der Arbeitgeberbeitragskurve. Ferner wird zwecks Vorbereitung auf die Versichertenversammlung auf das beiliegende Vorsorgereglement mit integrierter Kurzübersicht über die Leistungen und die Finanzierung, die Erklärung der vorbehaltenen Gutschriften auf das Sparkapital sowie eine Übersicht über die Sozialversicherungs- und Vorsorgeleistungen (Stand 1. Januar 2007) verwiesen.
5.3. Die beiden Einladungsschreiben der Beschwerdegegnerin enthalten, wie von der Beschwerdeführerin zu Recht moniert, keinerlei Hinweis darauf, dass die Bestimmung zur Partnerrente mit dem Reglement 2007 eine Änderung erfahren würde. Gegenteils könnte namentlich mit der im Serienbrief vom 9. Oktober 2006 enthaltenen, fünf Punkte umfassenden Aufzählung der Eindruck vermittelt werden, die Änderungen bzw. Neuerungen beträfen nur die ausdrücklich genannten Bereiche respektive allfällige weitere Änderungen seien nicht wesentlich. Auch was die Beilagen zum Schreiben vom 9. Oktober 2006 anbelangt, so ist - ohne eingehendes Studium des Reglements 2007 - eine Änderung der Bestimmung zur Partnerrente nicht erkennbar. Insbesondere wird in der Übersicht über die Leistungen und die Finanzierung (integriert im Reglement 2007, vor dem Inhaltsverzeichnis) die Lebenspartnerrente zwar aufgeführt. Als Kommentar findet sich aber einzig die Angabe über die Rentenhöhe (welche im Vergleich zum Reglement 2002, Art. 11.5 Satz 1, unverändert 46.67 % des versicherten Lohnes beträgt). Daher ergibt sich auch hieraus kein Anzeichen auf eine Änderung der hier massgebenden Bestimmung.
5.4. Damit vermag die Beschwerdegegnerin den Anforderungen an die Informationspflicht gemäss BGE <ref-ruling> (vgl. E. 5.1 hievor) nicht zu genügen, und zwar auch dann nicht, wenn die in E. 4.2.2 des erwähnten Leitentscheids offen gelassene Frage beantwortet würde (wie dies die Vorinstanz in E. 6 des angefochtenen Entscheids implizite tat). Denn die Beschwerdegegnerin erwähnte in ihren Schreiben weder die jeweiligen Anspruchsvoraussetzungen für die Lebenspartnerrente, noch verwies sie betreffend die Voraussetzungen dieser Leistung auf das Reglement (vgl. die zwei diskutierten Möglichkeiten gemäss E. 4.2.2 des erwähnten Urteils). Die Vorgehensweise der Beschwerdegegnerin genügt ferner auch der in E. 4.2.3.1 des genannten Entscheids beschriebenen Informationsmöglichkeit nicht. Zwar wurde den Versicherten das neue Reglement abgegeben, doch fehlt es am Hinweis auf die Änderungen betreffend die Partnerrente, obschon diese als wesentlich zu qualifizieren sind: Nicht nur wird der Anspruch neu davon abhängig gemacht, dass der Vorsorgeeinrichtung die anspruchsberechtigte Person schriftlich mitgeteilt wird, sondern das Recht auf diese Leistung wird auch ausgeschlossen für den Fall, dass die versicherte Person diese Mitteilung nicht vor Eintritt des Rücktrittsalters gemacht hat. Die unzureichende (schriftliche) Information hinsichtlich der neu geregelten Partnerrente wird auch nicht aufgewogen durch die Möglichkeit der Teilnahme an den von der Beschwerdegegnerin angebotenen Informationsveranstaltungen.
Zusammenfassend führt eine Gesamtbetrachtung der Umstände nicht zum Ergebnis, dass die Beschwerdegegnerin ihrer Informationspflicht nach Art. 86b Abs. 1 BVG in Bezug auf die per 1. Januar 2007 erfolgten Änderungen der Voraussetzungen auf eine Lebenspartnerrente in genügender Weise nachgekommen war. Mithin hat die Beschwerdegegnerin nicht sichergestellt, dass ihre Versicherten in die Lage versetzt wurden, zur Wahrung eines allfälligen entstehenden Anspruchs auf eine Lebenspartnerrente rechtzeitig tätig zu werden und die konstitutive Voraussetzung der schriftlichen Mitteilung des anspruchsberechtigten Lebenspartners zu erfüllen.
5.5. Die Verletzung von Art. 86b Abs. 1 BVG zeitigt die selben Folgen wie eine zu Unrecht unterlassene behördliche Auskunft im Sinne des öffentlich-rechtlichen Vertrauensschutzes (BGE <ref-ruling> E. 4.3 S. 338). Dass der Verstobene die nach Art. 21 Abs. 1 des Reglements 2007 erforderliche schriftliche Mitteilung der Begünstigung rechtzeitig gemacht hätte, wenn er hinreichend über die neu eingeführte Obliegenheit informiert worden wäre, ist - angesichts des langjährigen und stabilen Konkubinats - zu vermuten, wenn die Anspruchsvoraussetzungen nach Art. 21 Abs. 1 des Reglements 2007 erfüllt wären. Das Kriterium des fünfjährigen Bestehens einer festen Zweierbeziehung in einer Lebensgemeinschaft gemäss lit. b ist unbestrittenermassen erfüllt. Darüber, wie es sich mit den Voraussetzungen gemäss lit. a verhält, namentlich seit wann die Beschwerdeführerin geschieden ist (vgl. Formular unentgeltliche Rechtspflege vom 24. August 2012 S. 1), hat die Vorinstanz keine Feststellungen getroffen und die Akten sind insoweit auch nicht liquid. Die Vorinstanz wird somit diesbezügliche Abklärungen vorzunehmen haben und danach über den streitigen Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Lebenspartnerrente neu entscheiden. In diesem Sinne ist die Beschwerde begründet.
5.6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens erübrigen sich Weiterungen zur Rüge, die Beschwerdegegnerin habe das rechtliche Gehör durch die Verweigerung der vollständigen Akteneinsicht verletzt.
6.
Die unterliegende Beschwerdegegnerin hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 26. März 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird an das Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, zurückgewiesen, damit es nach Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Lebenspartnerrente neu entscheide.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Furrer