Faits:
A. X._, née en 1946, a obtenu en 1977 un diplôme de docteur en médecine d'une université française; elle est spécialisée en gynécologie et urologie.
Au sein du service d'urologie des Hôpitaux Universitaires de Genève, établissement de droit public cantonal, X._ a travaillé en qualité de médecin interne du 1er mars au 30 septembre 2004, au taux d'activité de trente pour cent. Ses services étaient rémunérés.
Egalement dès le 1er mars 2004, X._ a fourni une activité non rémunérée au sein du service de dermatologie alors dirigé par le professeur U._. Elle participait sous supervision à des consultations; elle prenait part à des colloques où elle faisait parfois des présentations; elle accomplissait des gestes techniques tels que biopsies et prélèvements. Elle signait des ordonnances.
Le 23 juin 2004, X._ a communiqué à l'office cantonal de la population qu'elle avait accepté l'offre du professeur U._ d'une formation en dermatologie et vénérologie FMH de quatre années, sans salaire, et qu'elle vivrait à Genève de ses revenus personnels.
Le 13 mars 2006, à sa demande, le service des ressources humaines de l'établissement a rédigé un certificat dans les termes suivants: « Par la présente, nous attestons que Madame X._ est en formation non rémunérée auprès du service de dermatologie depuis le 1er mars 2004 à ce jour. »
Le professeur U._ a établi une attestation similaire le 11 juillet 2007, également remise à X._.
Le professeur U._ s'est retiré le 30 septembre 2009. Avec effet au 31 du mois suivant, l'établissement a mis fin à la collaboration de X._.
B. Le service du professeur U._ comprenait en permanence une dizaine de médecins invités ou extraordinaires qui n'étaient pas rémunérés. La plupart bénéficiaient de bourses et accomplissaient une formation de cinq ans en vue d'obtenir l'équivalent du diplôme de spécialiste FMH à faire valoir à l'étranger. D'ordinaire, les médecins invités qui n'étaient pas en formation FMH ne restaient pas plus d'une année. Les candidatures étaient nombreuses. Le professeur n'engageait pas de médecins internes - rémunérés - en formation FMH sans les avoir observés quelques mois en qualité de médecins invités. Les postes de médecins internes étaient peu nombreux et le professeur les réservait aux « personnes locales ». Des médecins invités étaient présents aussi dans d'autres services de l'établissement hospitalier. Les conditions de leur activité n'étaient pas réglées par un contrat formel mais convenues oralement avec le chef de service.
Le professeur U._ a considéré que X._, médecin expérimenté, pouvait apporter ses compétences au service de dermatologie tout en en acquérant de nouvelles. Notamment en raison de son âge et des contraintes inhérentes à la formation de spécialiste FMH, elle ne pouvait en revanche pas entreprendre cette formation, ce qu'il tentait de lui faire comprendre lors de leurs entretiens annuels. Elle n'a jamais commencé le cursus FMH, lequel inclut obligatoirement des gardes et une activité au service des lits, et le professeur n'a signé aucune attestation de formation correspondante. Le cas de X._ a suscité des critiques car elle n'était pas en formation mais restait longtemps dans le service.
C. Le 27 janvier 2010, X._ a fait notifier un commandement de payer aux Hôpitaux Universitaires de Genève. Elle réclamait 398'068 fr.15 et 97'431 fr.60 avec intérêts au taux de 5% par an, respectivement dès le 1er janvier 2007 et le 1er novembre 2009. L'établissement a fait opposition.
Le 27 août suivant, X._ a ouvert action contre l'établissement devant le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève. Le défendeur devait être condamné à payer les sommes précitées et le tribunal était requis de donner mainlevée de l'opposition au commandement de payer. Le défendeur devait également être condamné à établir et remettre un certificat de travail complet et conforme à la réalité, des certificats et protocoles utiles à la validation de la formation accomplie, et encore une « attestation de responsabilité ».
Le défendeur a conclu principalement à l'irrecevabilité de la demande et subsidiairement au rejet de l'action.
Le tribunal s'est prononcé le 19 décembre 2011; il a déclaré la demande irrecevable au motif que les parties ne s'étaient pas liées par un contrat de travail et que la juridiction prud'homale n'était donc pas compétente.
La Chambre des prud'hommes de la Cour de justice a statué le 26 septembre 2012 sur l'appel de la demanderesse; elle a confirmé le jugement.
D. Agissant par la voie du recours en matière civile, la demanderesse saisit le Tribunal fédéral de conclusions semblables à celles de sa demande initiale; elle renonce toutefois à réclamer un certificat de travail et d'autres attestations.
Le défendeur conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et susceptible du recours en matière civile (<ref-law>). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (<ref-law>). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF); le mémoire de recours a été introduit en temps utile (<ref-law>) et il satisfait aux exigences légales (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (<ref-law>). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246; <ref-ruling> consid. 1.4.2). Il conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>).
2. La demanderesse soutient qu'elle a collaboré au sein du service de dermatologie en exécution d'un contrat de travail et que l'établissement défendeur reste lui devoir la contrepartie de son activité, soit le salaire cumulé sur toute la durée de sa collaboration.
A teneur de l'<ref-law>, par le contrat individuel de travail, le travailleur s'engage à travailler au service de l'employeur et celui-ci s'engage à payer un salaire. L'obligation de payer un salaire est un élément essentiel du contrat de travail, en ce sens que si une personne promet ou accepte de fournir une activité non rémunérée, elle ne conclut pas un contrat de travail. Selon l'<ref-law>, un pareil contrat est certes présumé lorsque l'employeur accepte pour un temps donné l'exécution d'un travail qui, d'après les circonstances, ne doit être fourni que contre un salaire; néanmoins, les parties peuvent valablement convenir, de manière expresse ou tacite (<ref-law>), que l'activité est ou sera fournie gratuitement, avec cette conséquence que leur relation n'est pas soumise aux règles du contrat de travail (Ullin Streiff et al., Arbeitsvertrag, 7e éd., 2012, p. 73/74; Thomas Geiser et Roland Müller, Arbeitsrecht in der Schweiz, 2e éd., 2012, n° 111 p. 40; Rémy Wyler, Droit du travail, 2e éd., 2008, p. 58).
Lorsque les parties se sont liées par un contrat de travail mais n'ont pas arrêté le montant du salaire, l'employeur doit payer le salaire usuel ou fixé par un contrat-type ou une convention collective de travail (<ref-law>). Le salaire convenu peut comprendre des prestations en nature (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 619).
3. Durant plus de cinq ans, ce qui est un laps très important, la demanderesse a travaillé sans rémunération au sein du service de dermatologie de l'établissement défendeur. Elle n'a jamais élevé de prétentions pécuniaires avant que l'établissement eût mis fin à son activité. De ses propres déclarations à l'office cantonal de la population et des attestations qu'elles a reçues de l'établissement, le 13 mars 2006 puis le 11 juillet 2007, il ressort sans équivoque qu'elle connaissait et acceptait le caractère bénévole de sa prestation.
Elle reconnaît d'ailleurs qu'elle a accepté de travailler sans salaire. Selon ses affirmations, c'est « parce que le professeur U._ lui avait offert la possibilité concrète de préparer son FMH en dermatologie »; par la suite, au cours de son activité, « elle ne s'est jamais rendu compte de l'absence de contre-prestation ». Constatant que la « rémunération en nature » qui était convenue ne lui a pas été fournie, elle réclame « logiquement » le salaire correspondant à la « fonction exercée durant plus de cinq ans ».
D'après les constatations déterminantes selon l'<ref-law>, il n'est pas établi que le professeur U._ ait proposé à la demanderesse une formation de spécialiste FMH en dermatologie. Il n'est pas non plus constaté que pendant la longue durée de son activité, la demanderesse ait sérieusement cru satisfaire aux exigences de cette formation alors qu'elle n'en suivait pas le cursus. Il n'y a donc pas lieu de discuter plus longuement le raisonnement proposé à l'appui du recours.
Le principe de la confiance régit l'interprétation des manifestations de volonté entre cocontractants; il permet d'imputer à une partie, même lorsqu'il ne correspond pas à sa volonté intime, le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 412; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 681). En l'espèce, compte tenu du contexte dans lequel la demanderesse a intégré le service de dermatologie parmi d'autres médecins non rémunérés, et aussi longtemps qu'elle ne mettait pas un terme à sa collaboration, les organes de l'établissement pouvaient admettre de bonne foi que cette personne acceptait de travailler bénévolement en considération des connaissances professionnelles et du savoir-faire qu'elle pouvait développer de cette manière. Il est sans importance que l'occupation bénévole de la demanderesse se soit prolongée inhabituellement, voire peut-être inutilement longtemps. Il importe également peu que la demanderesse ait accepté cette occupation bénévole dans l'espoir, selon ses dires, d'entreprendre une formation de spécialiste FMH en dermatologie. Elle n'a de toute manière stipulé aucune rémunération, ni en argent ni en nature, et elle ne peut donc pas se prévaloir d'un contrat de travail.
Il n'est pas nécessaire d'examiner si le contrat de travail allégué par la demanderesse eût été compatible avec le droit public cantonal qui régit en principe les rapports de service au sein de l'établissement hospitalier (cf. art. 1er al. 1 let. e de la loi genevoise relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux, du 4 décembre 1997).
Enfin, la demanderesse argue inutilement de l'<ref-law> relatif aux effets d'un contrat de travail qui se révèle nul, car cette disposition suppose que les parties aient conclu un contrat de travail.
4. Dans les deux instances cantonales, mais sans succès, la demanderesse a réclamé l'audition en qualité de témoin du conseiller aux études auprès de la Faculté de médecine. L'audition devait établir que la formation de spécialiste FMH était le motif et la contrepartie de l'engagement de la demanderesse au sein du service de dermatologie. Devant le Tribunal fédéral, cette dernière se plaint de violation du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. Elle n'a cependant pas allégué et moins encore démontré que le conseiller aux études fût habilité à engager l'établissement hospitalier par ses propres déclarations ou autres manifestations de volonté. Pour le surplus et à elle seule, comme on l'a vu, l'ambition de la demanderesse n'est pas un fait déterminant pour l'issue de la cause; les autorités précédentes n'étaient donc pas tenues d'accueillir les offres de preuve présentées à ce sujet (<ref-ruling> consid. 3 p. 157; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 428).
5. Le recours se révèle privé de fondement, ce qui conduit à son rejet. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demanderesse acquittera un émolument judiciaire de 6'000 francs.
3. La demanderesse versera une indemnité de 7'000 fr. au défendeur, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 6 mars 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin