A.- X._ S.A. a pour but notamment le commerce et la fabrication d'articles d'horlogerie. Elle fait partie du groupe de joaillerie D._, du nom de son actionnaire principal B._, qui comprend diverses S.A., dont la manufacture des montres X._ S.A. et Y._ S.A.
Par contrat du 23 juin 1998, A._, alors directeur de la société Z._ S.A., a été engagé par X._ S.A. en qualité de "directeur général, avec la responsabilité de la gestion du personnel de toutes les sociétés du groupe E._". Le contrat, conclu pour une durée indéterminée, devait prendre effet au 1er octobre 1998, les trois premiers mois de service étant considérés comme temps d'essai. Après cette période, chaque partie pourrait résilier le contrat moyennant un préavis de six mois. Le salaire mensuel brut était fixé à 20 000 fr. versé treize fois l'an. Contrairement à ce qui était prévu dans le contrat, A._ a officiellement commencé son activité pour X._ S.A. le 16 septembre 1998. Il a en outre travaillé durant 21 jours, entre le 17 juillet et le 16 septembre 1998, sans être rémunéré.
En juillet et août 1998, A._ a participé à diverses conférences et établi des rapports et courriers concernant la structure de la société qui l'employait, préconisant notamment l'engagement de 3 personnes. A fin août, il a participé à deux conseils d'administration.
Dans un courrier du 14 novembre 1998, adressé à B._, A._ a décrit la situation financière du groupe comme catastrophique. Le 23 novembre, il a rendu un "rapport stratégique sur l'avenir de la marque E._" proposant, notamment d'effectuer des investissements pour quelque 21 millions de francs sur trois ans.
Lors d'une réunion, qui s'est tenue le 23 novembre 1998, il a été décidé que l'activité de A._ se déroulerait désormais depuis L._, que son équipe s'en irait et qu'il ne conserverait que les collaborateurs indispensables pour l'assister dans ses tâches quotidiennes. Par courrier du 25 novembre, le prénommé s'est déclaré très satisfait d'avoir des directions à suivre. Par une lettre du 27 novembre, il devait cependant formuler quelques constatations réservées quant à la stratégie définie le 23 novembre 1998 et émettre quelques recommandations. Le 1er décembre 1998, il acceptait des mandats d'administrateur de X._ S.A. et de la manufacture des montres E._.
Le 16 décembre 1998, soit le dernier jour de sa période d'essai, A._ a signé un avenant à son contrat de travail du 23 juin 1998. Selon celui-ci, il s'engageait à respecter la politique générale définie par B._ le 23 novembre 1998, à savoir que son activité serait basée à L._, que son équipe serait restreinte au strict minimum nécessaire pour l'assister dans sa gestion quotidienne à L._, que l'activité de la manufacture des montres E._ devait correspondre aux besoins du groupe dans une vocation horlogère pure, qu'il s'abstiendrait de faire de la publicité en Europe et de dépasser le budget alloué.
Les 17 et 18 décembre 1998, diverses réunions ont eu lieu. B._ y a pris plusieurs décisions, réduisant le pouvoir décisionnel de A._. Il a aussi fixé un voyage en Arabie Saoudite, obligeant son employé à écourter des vacances prévues jusqu'au 10 janvier 1999. Par courrier du 18 décembre 1998, A._ a déclaré avoir parfaitement compris la nouvelle stratégie qu'il convenait de mettre en place. Dans ce même courrier, il a indiqué souhaiter prendre immédiatement les quelques jours de vacances qui lui restaient sur l'année 1998, a précisé qu'il serait donc en vacances du 19 décembre 1998 au 10 janvier 1999 et qu'il reprendrait le travail à L._ le lundi 11 janvier 1999.
B.- Par pli du 4 janvier 1999 adressé à B._, faisant suite à un téléphone qu'il avait eu avec ce dernier, A._ a résilié son contrat de travail pour le 31 juillet 1999 et renoncé à ses mandats d'administrateur. Dans un courrier du même jour adressé à une collaboratrice, il a prié d'annuler le voyage en Arabie Saoudite prévu cette semaine-là; il indiquait rester dans "l'expectative" dans la mesure où, lors de leur conversation téléphonique du matin, B._ lui avait "raccroché au nez" en ayant déclaré ne plus vouloir le voir et sans l'informer de la suite des opérations.
Il ajoutait qu'il repartait en congé tel qu'il était prévu initialement et qu'il reviendrait le 11 janvier 1999.
Dans une lettre datée également du 4 janvier 1999, B._ a fait part à A._ de son mécontentement et l'a informé de ce que son voyage prévu à Jeddah le 5 janvier 1999 était maintenu. Par retour de courrier du même jour, le demandeur a expliqué les motifs de sa démission; il exposait notamment que l'enchaînement des événements entre le 14 et le 18 décembre 1998 l'avait amené à douter de la confiance que B._ avait en lui. Il a aussi émis des propositions de modifications du voyage de Jeddah, soit quant à sa date, soit quant à la personne qui devait le faire.
Par courrier du 5 janvier 1999 adressé à A._, B._ a constaté l'absence de ce dernier à Jeddah.
Simultanément, le conseil de X._ S.A. a informé A._ que sa démission constituait un abus de droit manifeste et que, compte tenu de cette situation, la société était fondée à considérer que les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance du temps d'essai. A titre superfétatoire, il a ajouté que le contrat de travail était résilié avec effet immédiat, et a indiqué les motifs de cette résiliation.
Par lettre du 8 janvier 1998, le conseil du demandeur a pris acte du licenciement immédiat et en a contesté les motifs.
C.- a) Le 11 mars 1999, A._ a assigné X._ S.A. devant la juridiction des prud'hommes du canton de Genève en paiement des sommes suivantes:
- 1530 fr. à titre de participation de l'employeur aux frais de l'assurance maladie et d'allocations familiales,
- 19 752 fr.10 à titre de salaire correspondant à 21 jours de travail effectués avant le 16 septembre 1998;
- 142 380 fr. à titre de salaire pour les mois de janvier à juillet 1999.
- 13 560 fr. à titre de treizième salaire;
- 18 165 fr.90 à titre d'indemnité pour les vacances non prises en 1998 et 1999;
- 3383 fr.30 à titre de remboursement de frais professionnels;
- 122 040 fr. à titre d'indemnité correspondant à six mois de salaire.
Le demandeur a en outre conclu à la constatation de ce que la clause de prohibition de concurrence contenue dans son contrat de travail n'était plus valable.
Par déclaration du 12 mars 1999, complétée par courriers ultérieurs, la Caisse de chômage FTMH, office de la Côte, a déclaré intervenir dans la procédure pour se subroger dans les droits de son assuré à concurrence de 39 762 fr.85 nets, représentant les indemnités versées du 6 janvier au 31 juillet 1999.
La défenderesse a conclu au déboutement du demandeur et à sa condamnation à réparer le préjudice subi par la société du chef du paiement des salaires des mois de janvier et février 1999 aux trois membres de l'équipe du demandeur.
Cette prétention n'a pas été chiffrée.
Par jugement du 20 octobre 1999, le Tribunal des prud'hommes a condamné la défenderesse à payer au demandeur:
- la somme brute de 22 437 fr.80, intérêts en sus;
- la somme brute de 172 175 fr.45, avec intérêts, sous déduction de la somme nette de 39 762 fr.85 à verser à la Caisse de chômage FTMH la Côte;
- la somme nette de 3383 fr.30, intérêts en sus.
Le tribunal a également condamné la défenderesse à payer à la Caisse de chômage FTMH la Côte la somme nette de 39 762 fr.85 et a donné acte au demandeur de ce que la défenderesse renonçait à la clause de prohibition de concurrence.
b) Statuant sur appel de la défenderesse et sur appel incident du demandeur, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a, par arrêt du 15 mai 2000, annulé le jugement de première instance et
- condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme brute de 165 619 fr.15, avec intérêts à 5% dès le 11 mars 1999, sous déduction de la somme nette de 39 762 fr.85 à verser à la Caisse de chômage FTMH la Côte;
- condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme brute de 1190 fr. avec intérêts à 5% dès le 5 janvier 1999;
- condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme nette de 3383 fr.30, plus intérêts à 5% dès le 11 mars 1999;
- condamné la défenderesse à payer à la Caisse de chômage FTMH la Côte la somme nette de 39 762 fr.85;
- donné acte au demandeur de ce que la défenderesse renonce à la clause de prohibition de concurrence.
D.- X._ S.A. recourt en réforme au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt du 15 mai 2000 en tant qu'il la condamne à payer au demandeur la somme brute de 165 619 fr.15 avec intérêts et à la Caisse de chômage FTMH la somme nette de 39 762 fr.85. Elle prend également des conclusions tendant au déboutement de ses adverses parties de tous leurs chefs de demande et de conclusions. Le demandeur invite le Tribunal fédéral à rejeter le recours. Il forme un recours joint tendant à la condamnation de la défenderesse à lui payer
- la somme brute de 6623 fr.65 avec intérêts à 5% dès le 11 mars 1999, à titre de complément d'indemnité pour vacances non prises en nature;
- la somme nette de 64 500 fr., plus intérêts à 5% dès le 11 mars 1999, à titre d'indemnité au sens de l'<ref-law>;
- la somme brute de 19 638 fr.60, plus intérêts à 5% dès le 11 mars 1999, à titre de salaire pour les 21 jours de travail effectués avant le 16 septembre 1998, l'arrêt attaqué étant confirmé pour le surplus.
Subsidiairement, le demandeur conclut à la confirmation de l'arrêt attaqué et au déboutement de la défenderesse de toute autre ou contraire conclusion.
La défenderesse, en réponse au recours joint, conclut au déboutement du demandeur des conclusions prises sur recours joint, et de toute autre ou contraire conclusion.

Considérant en droit :
I.- Recours principal
1.- a) Devant la Cour d'appel, la défenderesse a invoqué en premier lieu l'erreur essentielle; elle prétendait que, lors de la signature de l'avenant daté du 16 décembre 1998, elle était dans l'erreur "sur la collaboration de son employé", ce qui aurait pour effet l'invalidation du contrat de travail du 23 juin 1998.
La cour cantonale n'a pas suivi ce raisonnement.
Elle a considéré que, tel que l'indique son intitulé "Addendum au contrat de travail (...) du 23 juin 1998", l'avenant du 16 décembre 1998 ne se substituait pas au contrat de travail mais en précisait, ou en remplaçait, certaines clauses:
activité non plus à Genève mais à L._, abstention de faire dorénavant de la publicité en Europe. Elle a estimé en conséquence n'avoir pas à examiner si l'avenant était entaché d'un vice du consentement puisque, de toute façon, sa validité n'affectait pas celle du contrat de travail du 23 juin 1998.
b) La défenderesse soutient que l'argument de la Cour d'appel est peu compréhensible et à tout le moins erroné.
Elle fait valoir qu'elle n'aurait jamais conclu l'avenant au contrat de travail si elle avait su que le demandeur entendait démissionner de façon imminente, qu'elle était ainsi, lors de la signature de cet avenant, dans l'erreur sur la collaboration de son employé, qu'il y a donc un vice du consentement qui l'autorisait à invalider le contrat de travail.
Elle souligne que l'Addendum du 16 décembre 1998 a été conclu le dernier jour de la période d'essai définie dans le contrat initial. La défenderese affirme qu'elle n'aurait jamais passé cet avenant si le demandeur lui avait loyalement indiqué qu'il n'acceptait pas les nouvelles conditions des rapports de service, et que le contrat de travail aurait été dénoncé pendant la période d'essai. Elle se trouvait donc bien dans une situation d'erreur essentielle.
c) Le raisonnement de la cour cantonale, selon lequel il n'est pas nécessaire d'examiner si l'avenant conclu le 16 décembre 1998 est entaché d'un vice du consentement puisque sa validité n'affecte pas celle du contrat de travail du 23 juin 1998, paraît tout à fait pertinent. Mais il n'est pas utile d'examiner plus avant cette question, car rien dans les faits constatés dans l'arrêt attaqué de manière à lier le Tribunal fédéral (art. 63 al. 2 OJ; <ref-ruling> consid. 1a; cf. également <ref-ruling> consid. 2b; <ref-ruling> consid. 3a) ne permet de retenir que la défenderesse était dans l'erreur le 16 décembre 1998. L'erreur alléguée repose sur l'affirmation que le demandeur n'a, en réalité, pas accepté les conditions de l'avenant: il avait déjà l'intention de donner ce congé dès que le temps d'essai serait écoulé. Or, rien de tel n'a été établi en instance cantonale. Au contraire, dans ses considérants relatifs au problème de la résiliation du contrat pour justes motifs par la défenderesse, la cour cantonale constate en fait une évolution de la situation depuis la signature de l'avenant du 16 décembre 1998, notamment à la suite des quatre réunions des 17 et 18 décembre durant lesquelles il a été décidé de réduire les pouvoirs et compétences du demandeur. Dans de telles conditions, il est exclu de pouvoir retenir que le 16 décembre, en signant l'avenant, le demandeur avait déjà l'intention de donner le congé.
La preuve de l'existence d'une erreur de la défenderesse n'ayant pas été rapportée, il ne saurait y avoir invalidation du contrat pour vice du consentement.
2.- a) La défenderesse a aussi soutenu devant la Cour d'appel que le licenciement avec effet immédiat du demandeur, le 5 janvier 1999, était justifié par le comportement de ce dernier. Elle invoquait la conduite de l'intéressé, qui aurait négocié pendant plusieurs semaines la stratégie du groupe, qui se serait montré d'accord avec l'avenant au contrat de travail concernant cette stratégie et qui, sans aucune justification, aurait dénoncé immédiatement le contrat de travail aux seules fins de profiter d'un préavis plus long. A cela devrait s'ajouter le fait que le demandeur aurait refusé de se rendre à Jeddah le 4 janvier 1999, pour un voyage dont il aurait connu l'importance particulière.
La cour cantonale n'a pas suivi ce point de vue, en considérant que la démission du demandeur en date du 4 janvier 1999 n'était pas propre à détruire le rapport de confiance entre les parties. Elle a fait état des décisions de réduction des pouvoirs du directeur général prises les 17 et 18 décembre 1998. Certes, le demandeur avait démissionné une dizaine de jours après avoir déclaré, dans son courrier du 18 décembre 1998, qu'il avait compris la nouvelle stratégie à mettre en place pour le groupe; néanmoins, vu la réduction à un plan purement opérationnel de ses compétences et de son autonomie, la résiliation immédiate du contrat de travail ne se justifiait pas. Pour la Cour d'appel, la relation de confiance entre les parties n'était, par conséquent, pas objectivement rompue d'une manière telle qu'on ne puisse pas exiger la continuation des rapports de travail jusqu'à la fin du délai de congé.
La cour cantonale a encore relevé que, d'un point de vue subjectif également, il ressortait du courrier adressé le 4 janvier 1999 par le président du groupe au directeur général, que le congé donné par celui-ci n'avait pas détruit la confiance qu'impliquent dans leur essence les rapports de travail ou ne l'avait pas ébranlée de telle façon que la poursuite du contrat ne pouvait pas être exigée, puisque le voyage à Jeddah était maintenu.
Concernant ce voyage, la cour cantonale a considéré qu'il s'agissait d'une instruction ni claire, ni justifiée, dont le refus justifierait un congé immédiat.
Le droit du demandeur à son salaire jusqu'à l'expiration du délai contractuel, soit au salaire afférent aux mois de janvier à juillet 1999, ainsi qu'au treizième salaire pro rata temporis ont donc été confirmés par la Cour d'appel.
b) La défenderesse reproche à la juridiction cantonale d'avoir perdu de vue que le demandeur avait accepté, nonobstant la réduction de ses prérogatives, de poursuivre ses relations contractuelles avec le groupe à l'échéance de sa période d'essai et de convenir d'un avenant définissant les nouvelles modalités de sa collaboration. Alors même qu'aucun événement n'était venu modifier ces circonstances, le demandeur aurait dénoncé son contrat de travail aux seules fins de pouvoir profiter du préavis contractuel de six mois; ce comportement constituerait un manquement grave rendant intolérable la relation de confiance devant permettre la continuation des rapports contractuels.
c) Selon l'<ref-law>, l'employeur peut résilier immédiatement le contrat pour de justes motifs. Sontnotamment considérés comme tels les faits propres à détruirela confiance qu'impliquent les rapports de travail, ou à l'ébranler de telle façon que la poursuite de ceux-ci ne peut plus être exigée de celui qui a donné le congé abrupt (cf.
<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4d; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 6a p. 150). Selon la jurisprudence précitée, la résiliation immédiate est une "ultima ratio"; elle est admissible en dernier ressort, lorsqu'il ne peut même plus être exigé du partenaire contractuel qu'il résilie les rapports de travail en respectant le délai ordinaire de congé.
La critique de la défenderesse se heurte aux constatations de fait souveraines des magistrats cantonaux (art. 63 al. 2 OJ). En particulier, il n'est pas établi que le demandeur aurait dénoncé son contrat de travail aux seules fins de pouvoir profiter du préavis contractuel de six mois. Avec la cour cantonale, on ne peut relever aucun élément démontrant que la relation de confiance entre parties était objectivement rompue d'une manière telle qu'on ne puisse exiger la continuation des rapports de travail jusqu'à la fin du délai de congé. Comme il est même constaté, en fait, que d'un point de vue subjectif, le congé donné par le demandeur n'avait pas détruit la confiance du président du groupe de la défenderesse qui, après avoir accepté la démission, s'interrogeait sur les conditions de la poursuite de l'activité du demandeur, il est exclu de pouvoir considérer que sont réalisées les exigences strictes permettant une résiliation abrupte du contrat.
Le grief de violation de l'<ref-law> par la cour cantonale se révèle ainsi mal fondé.
Le recours principal ne peut dès lors qu'être rejeté.
II.- Recours joint
3.- a) La Cour d'appel a examiné le bien-fondé de la prétention du demandeur pour vacances non prises en nature.
Elle a retenu que, pour la période contractuelle de travail du 16 septembre 1998 au 31 juillet 1999, le demandeur avait droit à 21,875 jours de congé, dont il convenait de retrancher 4,5 jours de vacances prises. Elle a cependant considéré qu'en raison du fait que l'indemnisation du demandeur couvrait une période relativement longue, à savoir du 6 janvier au 31 juillet 1999, il était en mesure de prendre au moins une semaine de repos durant cette période. Il avait donc droit à une indemnité correspondant à 12,375 jours, soit 11 752 fr.50.
b) Dans le premier moyen de son recours joint, le demandeur s'en prend à la réduction de l'indemnité pour ses vacances non prises en nature. Il fait valoir que le contrat de travail était soumis à la Convention collective de travail des industries horlogère et microtechnique suisses dans sa version du 1er janvier 1997 (CCT). Il reproche à la cour cantonale de n'avoir pas tenu compte de l'art. 19.9 al. 2 de la CCT qui dispose que "lors du départ et sauf entente préalable contraire, le droit aux vacances pour l'année réglementaire en cours sera bonifié en espèces". Compte tenu qu'il n'existe pas d'entente préalable contraire entre les parties, la cour aurait non seulement violé la CCT, mais également l'<ref-law> et par conséquent l'<ref-law> qui prévoit que, lorsque l'employeur résilie immédiatement le contrat sans justes motifs, le travailleur a droit à ce qu'il aurait gagné si les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance du délai de congé. Or, il serait incontestable que le solde de vacances aurait été payé en espèces conformément à la CCT.
c) La prétention du travailleur fondée sur l'<ref-law> comprend en principe le droit aux vacances, remplacé par des prestations en argent. Selon la jurisprudence, le droit au paiement des vacances en espèces n'est toutefois pas absolu. Si ce droit est en tout cas reconnu au travailleur renvoyé abruptement alors que le contrat aurait normalement pu prendre fin dans un délai relativement bref, estimé à deux ou trois mois, il n'en va pas de même lorsque le travailleur est indemnisé pour une longue période au cours de laquelle il ne travaille pas; dans ce cas-ci, l'indemnité allouée inclut le droit aux vacances (arrêt du TF du 21.10.1996, reproduit in SJ 1997 p. 149, consid. 3b/cc; <ref-ruling>).
En l'espèce, la créance en dommages-intérêts du demandeur porte sur près de sept mois, ce qui correspond à une longue période selon la jurisprudence précitée. La cour cantonale aurait donc fort bien pu ne pas allouer d'indemnité à titre de compensation du droit aux vacances. Dès lors, en ne privant le demandeur que d'une indemnité correspondant à une semaine de vacances, la Cour d'appel n'a nullement violé le droit fédéral.
La disposition de la CCT, invoquée par le demandeur, vise le cas où il est normalement mis fin aux rapports de service dans le respect du délai de congé. Elle ne concerne pas du tout la problématique traitée par la jurisprudence précitée, qui est celle du montant de la créance en dommages-intérêts du travailleur dont le contrat a été résilié abruptement sans justes motifs.
Le premier moyen du recours joint doit ainsi être rejeté.
4.- a) La cour cantonale a refusé d'allouer au demandeur une indemnité pour résiliation injustifiée, fondée sur l'<ref-law>. Elle a justifié sa décision par la brève durée des rapports de travail et par l'attitude du demandeur. Se référant à la lettre de ce dernier du 18 décembre 1998, dans laquelle il déclarait après avoir signé l'avenant du 16 décembre 1998, qu'il avait bien compris la nouvelle stratégie à mettre en place pour le groupe, elle a estimé qu'il était compréhensible que la défenderesse ait été surprise par la démission de son cadre, dans la mesure où rien ne laissait présager que la nouvelle répartition de ses tâches ne lui convenait pas, même si cette démission ne justifiait pas une résiliation avec effet immédiat. Elle a ajouté que le demandeur n'avait pas fait preuve de la diligence qu'on pouvait attendre de lui en ne démissionnant que le 4 janvier 1999, alors que le temps d'essai de trois mois des employés qu'il avait engagés venait à échéance le 31 décembre 1998.
b) Dans le deuxième moyen de son recours joint, le demandeur invoque la violation de l'<ref-law>. Il se prévaut de la jurisprudence selon laquelle des exceptions au principe d'une indemnité présupposent à tout le moins des circonstances qui excluent un comportement fautif de l'employeur ou qui ne lui sont pas imputables pour d'autres motifs (<ref-ruling>), toutes conditions qui ne seraient pas réalisées en l'espèce. Le demandeur estime avoir droit à une indemnité correspondant à trois mois de salaire, 13ème inclus.
c) Selon la jurisprudence, aujourd'hui constante, l'indemnité prévue par l'<ref-law> est due pour tout congé immédiat injustifié, sauf cas exceptionnel (<ref-ruling> consid. 3c; <ref-ruling> consid. 3e; <ref-ruling> consid. 5a).
Les exceptions qui peuvent être admises dans des conditions particulières ne se laissent pas définir d'une manière générale; elles présupposent toutefois à tout le moins des circonstances qui excluent un comportement fautif de l'employeur ou qui ne lui sont pas imputables pour d'autres motifs (<ref-ruling> consid. 5a). L'atteinte portée aux droits de la personnalité du travailleur par un licenciement injustifié étant à la base de l'octroi de l'indemnité, celle-ci doit être proportionnée à la mesure de l'atteinte considérée (<ref-ruling> consid. 3c).
Comme on l'a vu plus haut (consid. 2c), le congé abrupt signifié au demandeur était injustifié. On n'est pas en présence de circonstances excluant un comportement fautif de l'employeur. Celui-ci avait restreint de façon importante les responsabilités de son directeur peu avant la fin du temps d'essai. Les conditions exceptionnelles qui légitimeraient un refus de l'indemnité de l'<ref-law> ne sont pas réalisées. C'est donc à tort que la cour cantonale n'a pas alloué d'indemnité au demandeur.
Cependant, les circonstances de l'espèce ne font pas ressortir une atteinte très sérieuse à la personnalité du demandeur, ni un résultat particulièrement dommageable pour lui. Le licenciement immédiat a été signifié alors que le travailleur avait déjà résilié son contrat pour l'échéance du délai de congé légal. En outre, la démission du demandeur, survenue immédiatement après la fin du temps d'essai, si elle ne constitue pas un motif de renvoi immédiat, n'en revêt pas moins un caractère pouvant être surprenant pour l'employeur, justifiant l'octroi d'une indemnité évaluée avec retenue.
Tout bien pesé, il paraît équitable d'octroyer une indemnité correspondant environ à un mois de salaire, soit 20 000 fr. Le recours joint devra être admis partiellement sur ce point et l'arrêt attaqué réformé en conséquence.
5.- a) La cour cantonale a refusé d'allouer au demandeur une rémunération pour la période de 21 jours où il a travaillé entre le 17 juillet et le 15 septembre 1998. Elle a relevé que le droit au salaire ne résulte pas d'une disposition impérative de la loi et que le travailleur peut donc valablement renoncer à sa rémunération sans contrepartie. En l'occurrence, il ressortait des déclarations du demandeur lui-même et de la procédure que celui-ci avait renoncé à son salaire durant la période litigieuse; ses activités consistaient à préparer son entrée en fonction le 16 septembre 1998, ce qu'on pouvait indubitablement attendre d'une personne engagée en qualité de directeur général avec un salaire de 20 000 fr. De plus, le demandeur, certes libéré de son obligation de travailler pour son ancien employeur, était payé par ce dernier jusqu'au 30 septembre 1998. Enfin, l'intéressé avait reçu une montre de la part du président du groupe, ce qui révélait, une fois de plus, qu'il n'avait jamais été question d'un salaire.
b) Le demandeur, dans le dernier moyen de son recours joint, se plaint d'une violation de l'<ref-law>. Selon lui, si elle n'est pas impérative, cette disposition ne signifie pas que les parties puissent renoncer à un salaire; la liberté ne porterait que sur le montant de la rémunération.
A défaut de détermination conventionnelle, le salaire usuel serait dû. Le demandeur conteste également avoir reçu la montre promise par le président du groupe.
c) C'est sur la base de l'appréciation des preuves que la cour cantonale a retenu que le demandeur avait renoncé à son salaire durant la période du 17 juillet au 15 septembre 1998. Il y a là une constatation sur la volonté du demandeur de renoncer à un salaire durant cette période. Or, ce que pense ou veut une partie ressortit au fait et toute constatation à ce sujet lie le Tribunal fédéral (art. 63 al. 2 OJ; <ref-ruling> consid. 2a, p. 418). On précisera que l'existence d'une inadvertance manifeste à propos de la remise ou non de la montre peut être laissée ouverte, la réalité de ce don n'ayant pas joué un rôle déterminant en l'occurrence, s'agissant d'un argument superfétatoire.
L'<ref-law>, qui exclut une renonciation de la part du travailleur pendant un certain laps de temps aux créances résultant de normes impératives, ne vise pas l'<ref-law>, relatif au salaire du travailleur, lequel article n'est pas de droit impératif, puisqu'il ne figure ni à l'art. 361 ni à l'<ref-law> (arrêt non publié du 18 février 1997 dans la cause 4C.474/1996 consid. 1; cf. aussi ATF reproduit in SJ 1983 p. 94; Aubert, Quatre cents arrêts sur le contrat de travail, n° 49 p. 37; Schweingruber, Kommentar zum Arbeitsvertrag, 2ème éd., ch. 1 ad art. 322, p. 74). L'abandon par le demandeur de son droit à un salaire pour la période visée est donc parfaitement valable, d'autant plus qu'il ne révèle rien d'inéquitable, bien au contraire.
III.- Frais et dépens
Vu le rejet du recours principal et l'admission partielle du recours joint, il se justifie de répartir l'émolument de justice à raison de 4/5 à la charge de la défenderesse et de 1/5 à la charge du demandeur. Les dépens, réduits, seront répartis dans la même proportion.

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours principal;
2. Admet partiellement le recours joint;
3. Réforme l'arrêt attaqué en ce sens que la défenderesse, outre les montants qu'elle a été condamnée à verser au demandeur en instance cantonale, payera à celui-ci la somme de 20 000 fr. avec intérêts à 5% dès le 11 mars 1999 à titre d'indemnité au sens de l'<ref-law>;
Confirme l'arrêt attaqué pour le surplus;
4. Met un émolument judiciaire de 10 000 fr. à la charge des parties à raison de 4/5 à la charge de la défenderesse et de 1/5 à la charge du demandeur;
5. Dit que la défenderesse versera au demandeur une indemnité de 6000 fr. à titre de dépens réduits;
6. Communique le présent arrêt en copie aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
_
Lausanne, le 9 janvier 2001 ECH
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président,
La Greffière,