Sachverhalt:
A. Die Ehe X._ wurde am 31. Januar 2007 geschieden. Vor und nach der Scheidung verbot B.X._ A.X._ mehrmals, ihr Wohnhaus in Elsau zu betreten und sich auf dem Grundstück oder im Haus ungebeten und widerrechtlich aufzuhalten. Auf Anzeige von B.X._ hin verfügte die Kantonspolizei am 15. März 2008 gegenüber A.X._ gestützt auf das kantonale Gewaltschutzgesetz ein Betretverbot/Rayonverbot betreffend ein näher umschriebenes Gebiet in Elsau sowie ein Kontaktverbot u.a. gegenüber B.X._ und den gemeinsamen Sohn C.X._. Diese Massnahme wurde bis zum 30. Juni 2008 verlängert (Entscheide des Haftrichters des Bezirkes Winterthur vom 27. März 2008 und vom 7. Juli 2008).
B. Die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland (im Folgenden Staatsanwaltschaft) führt gegen A.X._ ein Strafverfahren wegen Nötigung und Hausfriedensbruchs zum Nachteil seiner Ex-Frau B.X._.
A.X._ wurde am 15. März 2008 von der Kantonspolizei in Haft versetzt. Die Staatsanwaltschaft entliess ihn am 17. März 2008 aus der Haft. Gleichentags ordnete sie eine auf drei Monate befristete Ersatzmassnahme für Untersuchungshaft an und auferlegte A.X._ ein Rayonverbot betreffend die Liegenschaft Wiesendangerstrasse 19 in Elsau (samt Vorgarten) sowie ein Verbot, mit B.X._ in irgendeiner Weise Kontakt aufzunehmen (oder durch Drittpersonen aufnehmen zulassen) und sich ihr auf weniger als 100 m zu nähern.
Gegen diese Verfügung erhob A.X._ am 1. April 2008 Rekurs und reichte später eine Rekursschrift in deutscher Sprache ein. Mit Entscheid vom 2. Juni 2008 wies die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich den Rekurs ab. Sie führte aus, die umstrittenen Massnahmen stützten sich auf <ref-law>/ZH. Da diese keinen schwerwiegenden freiheitsbeschränkenden Charakter aufweisen, sei zu deren Anordnung die Staatsanwaltschaft zuständig. Über den Tatverdacht (<ref-law>/ZH) hinaus sei Wiederholungsgefahr anzunehmen (<ref-law>/ZH). Das Rayon- und Kontaktverbot erweise sich in Anbetracht der konkreten Verhältnisse als verhältnismässig. Schliesslich sah die Oberstaatsanwaltschaft davon ab, gegen die Staatsanwältin Kaenel und den Staatsanwalt Leins Massnahmen einzuleiten.
C. Mit Beschwerde vom 7. Juli 2008 ersucht A.X._ das Bundesgericht, den Entscheid der Oberstaatsanwaltschaft sowie die zugrunde liegende Verfügung vom 17. März 2008 aufzuheben, eine Untersuchung zur Frage anzuordnen, ob er in den letzten Jahren das Leben seiner Ex-Frau beeinträchtigt habe und welches die Beziehungen des Partners seiner Ex-Frau zur Staatsanwaltschaft seien, und die Justizbeamten Kaenel und Leins wegen Rechtsverweigerung disziplinieren zu lassen.
Die Staatsanwaltschaft beantragt mit ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Die Oberstaatsanwaltschaft hat auf eine Stellungnahme verzichtet. In seiner Replik hält der Beschwerdeführer an seinen in der Beschwerde gestellten Rechtsbegehren fest.
D. Die Staatsanwaltschaft verlängerte das Rayon- und Kontaktverbot am 4. Juni 2008. Dagegen hat A.X._ am 8. Juli 2008 bei der Oberstaatsanwaltschaft erneut Rekurs eingelegt.

Erwägungen:
1. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet eine von der Staatsanwaltschaft getroffene strafprozessuale Massnahme nach Zürcher Strafprozessordnung (StPO/ZH). Dagegen kann beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen im Sinne von <ref-law> erhoben werden (während bei auf das kantonale Gewaltschutzgesetz gestützten Anordnungen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben ist, vgl. <ref-ruling>). Die Eintretensvoraussetzungen sind im Grundsatz gegeben. Das gilt auch in zeitlicher Hinsicht: Trotz des Umstandes, dass die ursprüngliche Massnahme vom 17. März 2008 nunmehr abgelaufen ist, kann auf die Beschwerde eingetreten werden, da die Staatsanwaltschaft am 4. Juni 2008 eine Verlängerung des Rayon- und Kontaktverbotes für weitere drei Monate angeordnet hat. Nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet die Haft vom 15. bis zum 17. März 2008.
Nach <ref-law> ist in der Beschwerde darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt; das Bundesgericht prüft die Verletzung von Verfassungsrecht und von kantonalem Recht (wie die Strafprozessordnung) gemäss <ref-law> nur insofern, als solche Rügen vorgebracht und begründet werden. Es ist im entsprechenden Sachzusammenhang zu prüfen, ob die Beschwerdeschrift diesen Anforderungen genügt.
2. 2.1 Die Oberstaatsanwaltschaft hat im angefochtenen Entscheid dargelegt, dass sich das umstrittene Rayon- und Kontaktverbot als Ersatzmassnahme zur Haft auf <ref-law>/ZH stütze und die Staatsanwaltschaft zu dessen Anordnung befugt gewesen sei. Der Beschwerdeführer zieht diese Ausführungen nicht in Frage. Der blosse Hinweis, die Verfügung vom 17. März 2008 "manque de base légale", vermag den Begründungsanforderungen nicht zu genügen.
2.2 Zur Hauptsache macht der Beschwerdeführer geltend, es lägen keine Beweise vor, dass er sich während Stunden vor dem Haus von B.X._ aufhalte, das Haus und das Geschehen beobachte und dieser ein normales Leben verunmögliche. Es gehe ihm einzig darum, insbesondere mit seinem Sohn D.X._ und zudem mit dem Sohn E.X._ in Kontakt bleiben und sein Besuchsrecht ausüben zu können. Die Staatsanwaltschaft habe keine hinreichenden Abklärungen (etwa bei den Nachbarn) getroffen und missachte damit den Grundsatz der Unschuldsvermutung.
Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, sich (zumindest am 15. März 2008) entgegen den Verboten von B.X._ deren Haus genähert und hier geläutet zu haben. Bei dieser Sachlage hält es vor der Verfassung stand, dass die Oberstaatsanwaltschaft einen Tatverdacht im Sinne von <ref-law>/ZH angenommen hat.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers durfte die Oberstaatsanwaltschaft auch Wiederholungsgefahr im Sinne von <ref-law>/ZH bejahen. Der Beschwerdeführer führt aus, dass es ihm ein Anliegen sei, mit D.X._ in Kontakt zu bleiben und ihn "aux abords de la maison de manière spontanée" zu treffen. Bei dieser Sachlage kann angenommen werden, dass er nicht bereit sei, sich an die Anordnungen zu halten, und auch nicht davon ablassen würde, die Liegenschaft in Elsau für einen kurzen Moment zu betreten und zwecks Kontaktaufnahme mit D.X._ am Hause zu läuten. Eines eigentlichen Beweises bedarf es unter dem Gesichtswinkel der blossen Wiederholungsgefahr entgegen der Meinung des Beschwerdeführers nicht. Mit der Bejahung der Wiederholungsgefahr wird auch die Unschuldsvermutung nicht verletzt.
2.3 Damit erweist sich die Beschwerde in Bezug auf das angeordnete Rayon- und Kontaktverbot als unbegründet.
3. Der Beschwerdeführer wirft der Staatsanwaltschaft ferner Parteilichkeit vor. Diese zeige sich darin, dass die Staatsanwaltschaft die Untersuchung oberflächlich führe und alleine auf die Aussagen von B.X._ abstelle, und habe ihren Grund in Verbindungen zwischen dem Partner von B.X._ und der Staatsanwaltschaft.
Nach der Rechtsprechung vermögen Rechtsfehler in materieller oder prozessualer Hinsicht für sich genommen keine Befangenheit von Behörden begründen. Wie dargelegt, hält das Rayon- und Kontakverbot vor der Verfassung stand. Der Beschwerdeführer belegt die angeblichen Verbindungen zwischen dem Partner von B.X._ und der Staatsanwaltschaft nicht weiter; insbesondere legt er nicht dar, welche Staatsanwälte persönlich wegen solcher Verbindungen als befangen erscheinen könnten. Damit erweisen sich die Rügen der Parteilichkeit als unbegründet und sind abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Im Übrigen begründet der Beschwerdeführer seinen Antrag Ziff. 4, wonach die Staatsanwälte Kaenel und Leins wegen Rechtsverweigerung zu disziplinieren seien, nicht näher und geht auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid nicht ein. Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
Schliesslich beantragt der Beschwerdeführer eine Untersuchung, die aufzeigen soll, dass er das Leben von B.X._ nicht beeinträchtigt hat. Die entsprechenden Gegebenheiten bilden Gegenstand des Strafverfahrens und brauchen im vorliegenden Fall nicht näher untersucht zu werden.
4. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland und der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann