Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn führt eine Strafuntersuchung gegen A.A._ und dessen Sohn B.A._ wegen versuchter schwerer Körperverletzung. Am 13. Juni 2015 wurde B.A._ amtlich verteidigt; am 15. Juni 2015 wurde er in Untersuchungshaft versetzt. Mit Eingabe vom 16. Juni 2015 gelangte Rechtsanwalt C._ an die Staatsanwaltschaft. Er bat um Weiterleitung eines Begleitschreibens (inklusive Vollmachtsformular) an den inhaftierten B.A._ (nachfolgend: Beschuldigter). Familienangehörige des Beschuldigten, darunter sein mitbeschuldigter Vater, wünschten eine Mandatierung dieses Anwaltes als erbetener Verteidiger. Falls der Beschuldigte einer solchen Mandatierung zustimme, habe er das Vollmachtsformular zu unterzeichnen und an den erbetenen Verteidiger zu retournieren.
B.
Am 18. Juni 2015 verfügte die Staatsanwaltschaft, dass die Eingabe des noch nicht mandatierten (erbetenen) Verteidigers vom 16. Juni 2015 zur Kenntnis und zu den Akten genommen werde. Das für den Beschuldigten bestimmte Begleitschreiben (samt Vollmachtsformular) werde "vorerst zurückbehalten und dem Beschuldigten erst nach Wegfall der Kollusionsgefahr bzw. Entlassung aus der Untersuchungshaft weitergeleitet". Am 25. Juni 2015 wurde der Beschuldigte aus der Untersuchungshaft entlassen; gleichzeitig wurde ihm das Begleitschreiben des noch nicht mandatierten (erbetenen) Verteidigers samt Vollmachtsformular übergeben.
C.
Auf eine von A.A._ und vom erbetenen Verteidiger gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 18. Juni 2015 gerichtete Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, mit Beschluss vom 2. Juli 2015 nicht ein.
D.
Gegen den Nichteintretensbeschluss des Obergerichtes gelangten A.A._, B.A._ und der erbetene Verteidiger mit Beschwerde vom 10. Juli 2015 an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung zur Neubeurteilung an die Vorinstanz.
Das Obergericht beantragt mit Vernehmlassung vom 23. Juli 2015 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, während die Staatsanwaltschaft auf eine Stellungnahme ausdrücklich verzichtet hat. Innert der auf 24. August 2015 angesetzten Frist ist keine Replik der Beschwerdeführer eingegangen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in Strafsachen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. <ref-law>).
1.1. Die Beschwerdelegitimation setzt voraus, dass der Rechtsuchende vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG).
Der Beschwerdeführer 2 hat am vorinstanzlichen Verfahren nicht teilgenommen. Der Beschwerdeführer 3 hat im kantonalen Verfahren geltend gemacht, er wolle den bereits von einem anderen Verteidiger amtlich vertretenen Beschwerdeführer 2 im Strafverfahren als erbetener Verteidiger vertreten. Eine Mandatsvollmacht habe zwar (bis zur Einreichung der StPO-Beschwerde) nicht unterzeichnet werden können, da ihm, dem erbetenen Verteidiger, damals der Kontakt zum inhaftierten Beschwerdeführer 2 verweigert worden sei. Dieser hätte ihn jedoch mandatiert, falls er von der Bereitschaft zur Mandatsübernahme gewusst hätte. Deshalb habe er, der Beschwerdeführer 3, sich auf eine "Geschäftsführung ohne Auftrag" berufen können. Die erstinstanzliche Verfügung vom 18. Juni 2015 wurde dem erbetenen Verteidiger unbestrittenermassen am 19. Juni 2015 zugestellt. Die Beschwerdeführer 1 und 3 haben ihre gleichentags gegen die Verfügung eingereichte StPO-Beschwerde jedoch ausdrücklich im eigenen Namen erhoben und nicht (geschäftsführungs-, auftrags- oder vertretungsweise) im Namen des Beschwerdeführers 2.
Bei dieser Konstellation kann der vom Beschwerdeführer 3 erbeten verteidigte Beschwerdeführer 2 nicht erst nachträglich, im Verfahren vor Bundesgericht, noch eine "rückwirkende" Legitimation in der vorliegenden Streitsache (betreffend Nichteintretensentscheid) beanspruchen. Darüber hinaus wäre auch nicht ersichtlich, inwiefern der Beschwerdeführer 2 noch ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse an der Änderung der erstinstanzlichen Verfügung hätte, gemäss der die Staatsanwaltschaft (wegen Kollusionsgefahr) einen Brief samt Vollmachtsformular vorläufig zurückbehielt. Er räumt ausdrücklich ein, dass ihm die Unterlagen unterdessen zugegangen sind.
1.2. Nach dem Gesagten sind vom angefochtenen Nichteintretensentscheid des Obergerichtes ausschliesslich die Beschwerdeführer 1 und 3 unmittelbar und aktuell betroffen. Was ihre Beschwerdelegitimation (und den ihnen drohenden nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteil gemäss <ref-law>) betrifft, sind die Sachurteilsvoraussetzungen gemäss BGG erfüllt.
2.
Im angefochtenen Entscheid wird auf die StPO- Beschwerde mangels ausreichender Substanzierung bzw. mangels Vorliegens der Legitimationsvoraussetzungen (Art. 382 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law>) nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift wird materiell vorgebracht, die Staatsanwaltschaft habe es dem Beschwerdeführer 2 verunmöglicht, die ihm zustehenden Verteidigungsrechte während der Untersuchungshaft wahrzunehmen, indem ihm ein Schreiben des Beschwerdeführers 3 betreffend dessen allfällige Mandatierung als Wahlverteidiger vorenthalten worden sei. Gegen den angefochtenen Nichteintretensentscheid wird vorgebracht, er sei überspitzt formalistisch und verletze <ref-law>.
3.
3.1. Art. 29 Abs. 1 und Art. 29a BV verbieten die formelle Rechtsverweigerung. Eine solche liegt nach der Praxis des Bundesgerichts insbesondere vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber befinden müsste. Überspitzter Formalismus ist gegeben, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt. Ob eine solche Rechtsverweigerung vorliegt, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9 mit Hinweisen).
3.2. Jede Partei, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheides hat, kann ein Rechtsmittel nach der StPO ergreifen (<ref-law>). Durch Verfahrenshandlungen beschwerten Dritten, die in ihren Rechten unmittelbar betroffen sind, stehen die zur Wahrung ihrer Interessen erforderlichen Verfahrensrechte einer Partei zu (<ref-law>). Dazu gehört auch das Beschwerderecht nach Art. 393 ff. i.V.m. Art. 379 und <ref-law>. Die Beschwerde ist zu begründen bzw. ausreichend zu substanziieren (vgl. Art. 396 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).
4.
4.1. Die Vorinstanz begründet ihr Nichteintreten zunächst damit, dass in der StPO-Beschwerde die Legitimationsvoraussetzungen für den Beschwerdeführer 1 nicht ausreichend dargelegt worden seien. In der angefochtenen Verfügung der Staatsanwaltschaft sei ein Begleitschreiben des (mit Eingabe vom 16. Juni 2015) neu aufgetretenen erbetenen Verteidigers an den Beschwerdeführer 2 wegen Kollusionsgefahr vorerst zurückbehalten worden. Der erbetene Verteidiger habe zuvor telefonische Kontakte mit Familienangehörigen des Beschwerdeführers 2 gehabt. Letzterer habe sich in Untersuchungshaft befunden. Beim mitbeschuldigten Beschwerdeführer 1 handle es sich um dessen Vater. Der von der Verfügung betroffene Beschwerdeführer 2 sei mündig. Die Beschwerdeführenden hätten nicht dargelegt, inwiefern der Vater von der Verfügung beschwert sein sollte. Soweit sie sich auf "Geschäftsführung ohne Auftrag" beriefen, hätten die Beschwerdeführer 1 und 3 konsequenterweise für den direkt betroffenen Beschwerdeführer 2 ein Rechtsmittel erheben müssen. Zwar berufe sich der Beschwerdeführer 3 als erbetener Verteidiger auch noch im eigenen Namen auf die Gewerbefreiheit, da ihm die Übernahme eines Mandates vorübergehend verunmöglicht worden sei. Darin liege jedoch keine unmittelbare Beschwer im Sinne von <ref-law>.
4.2. Zu den Substanzierungsobliegenheiten der beschwerdeführenden Person (Art. 396 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) gehört grundsätzlich auch das sinngemässe Darlegen der Beschwerdelegitimation (vgl. Patrick Guidon, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl., Basel 2014, Art. 396 N. 9c). Dies gilt jedenfalls für juristisch versierte oder anwaltlich verbeiständete Rechtsuchende. Der in der Beschwerdeschrift vertretenen Ansicht, es obliege "keineswegs" den Beschwerdeführern, die gesetzlichen Legitimationserfordernisse darzulegen, kann nicht gefolgt werden. Weder aus der Beschwerdeschrift noch aus den Akten lässt sich nachvollziehen, inwiefern in der Beschwerdeeingabe vom 19. Juni 2015 an das Obergericht die Legitimation des Beschwerdeführers 1 ausreichend dargelegt worden wäre. Dass die Vorinstanz die Sachurteilsvoraussetzungen der StPO-Beschwerde insofern als nicht ausreichend substanziiert einstufte, hält vor dem Bundesrecht stand. Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, kann offen bleiben, ob die Vorinstanz dem Beschwerdeführer 1 eine kurze Nachfrist zur Verbesserung der Beschwerdeeingabe bzw. zur Substanzierung seiner Legitimation hätte ansetzen müssen (vgl. <ref-law>).
4.3. Auch in der Sache erweist sich die Verneinung der Beschwerdelegitimation der Beschwerdeführer 1 und 3 als bundesrechtskonform:
4.3.1. Die Beschwerdelegitimation nach <ref-law> verlangt eine unmittelbare persönliche Betroffenheit der rechtsuchenden Partei in den eigenen rechtlich geschützten Interessen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 80; 121 E. 4.5 S. 125; Urteile 1B_72/2014 vom 15. April 2014 E. 2.1; 6B_680/2013 vom 6. November 2013 E. 3; 1B_669/2012 vom 12. März 2013 E. 2.3.1). Dies gilt auch für durch Verfahrenshandlungen betroffene beschwerdeführende Dritte (<ref-law>).
4.3.2. Der Beschwerdeführer 1 war von der (mit StPO-Beschwerde angefochtenen) Verfügung der Staatsanwaltschaft gar nicht tangiert, wie er selber einräumt. Der Beschwerdeführer 3 macht zwar geltend, es sei ihm die Übernahme eines Mandates (des Beschwerdeführers 2) als erbetener Verteidiger verunmöglicht worden. Im angefochtenen Entscheid wird jedoch dargelegt, dass der Beschwerdeführer 2 bei der Bestellung des amtlichen Verteidigers am 13. Juni 2015 trotz zweimaligen Nachfragen der Kantonspolizei und der Staatsanwaltschaft keinen Wunsch bezüglich der Person des amtlichen (oder eines erbetenen) Verteidigers äusserte und dass er am 15. Juni 2015 wegen Kollusionsgefahr in Untersuchungshaft versetzt wurde. Mit Eingabe vom 16. Juni 2015 meldete sich der Beschwerdeführer 3 bei der Staatsanwaltschaft, da Familienangehörige des Beschwerdeführers 2, darunter dessen mitbeschuldigter Vater, eine erbetene Verteidigung des Beschwerdeführers 2 durch den Beschwerdeführer 3 wünschten. Anlässlich eines Telefonates vom 16. Juni 2015 wies die Staatsanwaltschaft den Beschwerdeführer 3 darauf hin, dass es (zumindest bis zum Wegfall der Kollusionsgefahr) derzeit ausgeschlossen sei, ihn als erbetenen Verteidiger des Beschwerdeführers 2 zu mandatieren, zumal er mit dem in der gleichen Sache mitbeschuldigten Beschwerdeführer 1 (und weiteren Familienangehörigen) Informationsgespräche geführt habe.
4.3.3. Der Beschwerdeführer 3 räumt sodann ein, dass die Staatsanwaltschaft ihm am 25. Juni 2015 telefonisch mitteilte, dass sein Begleitschreiben (samt Vollmachtsformular) dem Beschwerdeführer 2 bei dessen Haftentlassung am 25. Juni 2015 ausgehändigt wurde. Gestützt auf die Untersuchungsakten geht die Vorinstanz willkürfrei davon aus, dass diese Übergabe tatsächlich erfolgt ist. Die blosse pauschale Bestreitung (durch den Beschwerdeführer 2) lässt diese Sachverhaltsfeststellung des Obergerichtes nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Nach den massgeblichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) musste der Beschwerdeführer 3 somit lediglich einige Tage warten, bis sein von Familienangehörigen des potentiellen Klienten initiierter Vorschlag, als erbetener Verteidiger mandatiert zu werden, beim bereits nach eigenen Wünschen amtlich verteidigten und wegen Kollusionsgefahr inhaftierten Beschwerdeführer 2 eintraf. Im Übrigen wäre nicht ersichtlich, weshalb der Beschwerdeführer 3 seinem potentiellen Mandanten die fragliche Korrespondenz am 25. Juni 2015 (nach dessen Freilassung) nötigenfalls nicht auch selber hätte übermitteln können. Angesichts des oben genannten Telefonates vom 16. Juni 2015 und der (ebenfalls abschlägigen) Verfügung vom 18. Juni 2015 hätte sich dies durchaus angeboten.
4.3.4. Dass die Vorinstanz auch das Rechtsmittel des Beschwerdeführers 3 bei dieser Sachlage abschlägig entschied bzw. seine unmittelbare Beschwer verneinte, hält vor dem Bundesrecht stand. Überdies räumt der Beschwerdeführer 3 ein, dass es ihm (bei Erlass des angefochtenen Entscheides) auch noch an einem aktuellen praktischen Rechtsschutzinteresse fehlte. Es kann offen bleiben, ob sich im vorliegenden Fall von Bundesrechts wegen eine Ausnahme von diesem Sachurteilserfordernis aufgedrängt hätte.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend, sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster