Faits:
Faits:
A. A._, né le 30 avril 1959, a travaillé en qualité de machiniste-chauffeur de poids lourds au service de l'entreprise X._ SA. Souffrant du dos, il a été à l'arrêt de travail dès le 20 juin 1997. Le 6 mars 1998, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant l'allocation d'une rente.
Par décision du 26 juin 2001, confirmant un projet de décision du 25 avril 2001, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a rejeté la demande, au motif que A._ présentait une invalidité de 35.46 %, taux ne donnant pas droit à une rente.
Par décision du 26 juin 2001, confirmant un projet de décision du 25 avril 2001, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a rejeté la demande, au motif que A._ présentait une invalidité de 35.46 %, taux ne donnant pas droit à une rente.
B. Dans un mémoire daté du 27 juillet 2001, A._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci et au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il mette en oeuvre une expertise psychologique et psychiatrique. A titre subsidiaire, il demandait à être mis au bénéfice d'une rente complète d'invalidité.
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, dans sa réponse du 24 septembre 2001, a conclu au rejet du recours.
A._ a déposé ses observations dans un mémoire complémentaire du 7 mars 2002. De son côté, l'office AI, dans ses déterminations du 7 mai 2002, a proposé de faire examiner l'assuré par les psychiatres de son Service médical régional.
Le Tribunal des assurances a confié une expertise médicale au docteur S._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Ce médecin a déposé ses conclusions dans un rapport du 19 novembre 2002. Les parties ont eu la possibilité de déposer leurs observations.
Sur requête de A._, qui a demandé à bénéficier de mesures professionnelles, celui-ci a effectué entre septembre 2003 et mai 2005 avec l'aide de l'assurance-invalidité une reconversion comme chef d'équipe dans le cadre de l'entreprise X._ SA (décision du 23 juillet 2003).
Par lettre du 23 décembre 2005, A._, par son mandataire, a communiqué au Tribunal des assurances une décision de l'office AI du 15 décembre 2005, dont il ressort que sa réadaptation professionnelle était achevée et que le revenu qu'il réalisait en tant que chef de chantier excluait tout droit à la rente.
Par jugement du 29 décembre 2005, le Président du Tribunal des assurances a prononcé que la cause était rayée du rôle (ch. I du dispositif), le recours étant devenu sans objet. Sous ch. II du dispositif, il a condamné l'office AI à verser à A._ la somme de 2'000 fr. à titre de dépens.
Par jugement du 29 décembre 2005, le Président du Tribunal des assurances a prononcé que la cause était rayée du rôle (ch. I du dispositif), le recours étant devenu sans objet. Sous ch. II du dispositif, il a condamné l'office AI à verser à A._ la somme de 2'000 fr. à titre de dépens.
C. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant à l'annulation du chiffre II de son dispositif.
A._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. 1.1 Il y a lieu d'entrer en matière sur le recours de droit administratif, dans la mesure où il a pour objet le ch. II du dispositif de la décision attaquée concernant le droit à des dépens, laquelle est fondée sur le droit public fédéral (art. 128 et 97 OJ en corrélation avec l'<ref-law>; arrêt B. du 20 août 2003 [C 56/03], in SVR 2004 AlV Nr. 8 p. 22 consid. 1.2).
1.2 La décision litigieuse n'ayant pas pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le Tribunal fédéral des assurances doit se borner à examiner si le premier juge a violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou par l'abus de son pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (art. 132 en corrélation avec les art. 104 let. a et b et 105 al. 2 OJ).
1.2 La décision litigieuse n'ayant pas pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le Tribunal fédéral des assurances doit se borner à examiner si le premier juge a violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou par l'abus de son pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (art. 132 en corrélation avec les art. 104 let. a et b et 105 al. 2 OJ).
2. Le litige porte sur le point de savoir si le premier juge, en condamnant l'office AI à verser à l'assuré une indemnité de dépens, a violé le droit fédéral.
2.1 Selon l'art. 61 let. g première phrase LPGA, le recourant qui obtient gain de cause a droit au remboursement de ses frais et dépens dans la mesure fixée par le tribunal.
2.2 L'art. 85 al. 2 let. f LAVS (en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002) disposait que le recourant qui obtient gain de cause a droit au remboursement de ses frais et dépens, ainsi que de ceux de son mandataire, dans la mesure fixée par le juge. Selon la jurisprudence constante, lorsque la cause est devenue sans objet, les dépens sont répartis en fonction des perspectives quant à l'issue du procès, compte tenu de la situation antérieure au fait qui a mis fin au litige (<ref-ruling> consid. 3a, 109 V 71 s. consid. 1, 108 V 271 consid. 1). Cette règle est d'ailleurs expressément prévue à l'<ref-law>. Le principe de causalité s'applique également en ce qui concerne les frais et dépens (à propos des art. 156/159 OJ, cf. <ref-ruling> consid. 2b; à propos de l'art. 85 al. 2 let. f LAVS, cf. RCC 1989 p. 291 consid. 3c). En conséquence, les frais et dépens seront supportés en premier lieu par la partie qui a provoqué la procédure devenue sans objet ou chez qui sont intervenues les causes qui ont conduit à ce que cette procédure devienne sans objet (<ref-ruling> consid. 4a; SVR 2000 UV Nr. 1 p. 1; RCC 1984 p. 281 s. consid. 5). Ces principes sont également applicables dans le cadre de l'art. 61 let. g première phrase LPGA (arrêt B. du 20 août 2003 [C 56/03], in SVR 2004 AlV Nr. 8 p. 22 consid. 3.1).
2.3 Dans le cas particulier, le procès a été déclaré sans objet en raison de la reconversion de l'intimé comme chef d'équipe, lequel s'est soumis à des mesures d'ordre professionnel de l'assurance-invalidité qui lui ont permis de recouvrer une capacité de gain supérieure à celle qui était la sienne en qualité de machiniste.
Le jugement attaqué est muet sur le motif pour lequel l'assuré s'est vu allouer des dépens. Apparemment, le premier juge a considéré que celui-ci avait obtenu gain de cause au sens de l'art. 61 let. g LPGA.
Toutefois, conformément à la jurisprudence - dont on a vu qu'elle est applicable également dans le cadre de l'art. 61 let. g première phrase LPGA (supra, consid. 2.2) -, lorsque, comme en l'espèce, la cause est déclarée sans objet, les dépens doivent être répartis en fonction des perspectives quant à l'issue du procès, compte tenu de la situation antérieure au fait qui a mis fin au litige. Il convenait donc d'examiner les chances de succès de l'intimé, ce que le premier juge n'a pas fait. Celles-ci devaient être évaluées par rapport au refus de rente prononcé par l'office AI dans sa décision du 26 juin 2001, qui constituait l'objet de la contestation. Le fait que l'assurance-invalidité a alloué à l'assuré des mesures d'ordre professionnel pour un reclassement comme chef d'équipe n'est dès lors pas décisif, la réadaptation ayant la priorité sur la rente dont l'octroi n'entre en ligne de compte que si une réadaptation suffisante est impossible (<ref-ruling> s., 99 V 48).
Au vu d'un examen sommaire du dossier, les conclusions de l'intimé du 27 juillet 2001 paraissaient n'avoir aucune chance de succès. Certes, une expertise psychiatrique a été mise en oeuvre par la juridiction cantonale. Dans son rapport du 19 novembre 2002, le docteur S._ a conclu qu'il n'y avait pas de diagnostic psychiatrique proprement dit à poser. Selon l'expert judiciaire, il n'existait pas de troubles psychologiques empêchant l'assuré de travailler. A son avis, le taux d'aptitude retenu après le stage d'observation (au COPAI) était exigible au minimum, vu que l'expert rhumatologue le voyait même en aptitude complète dans son ancien travail. A cet égard, comme cela ressort du rapport du COPAI du 25 octobre 2000, l'intimé était théoriquement apte à occuper un emploi léger, à plein temps et avec possibilité d'alterner les positions de travail, dans le circuit économique normal, avec un rendement exigible de 75 %. Et si une mesure de réadaptation n'a pas été proposée à l'intimé avant de statuer sur le droit à la rente, c'est que les observations faites lors du stage n'avaient pas été concluantes, notamment au regard de son comportement. A première vue, la décision de refus de rente du 26 juin 2001, dans laquelle l'office AI a procédé à une comparaison des revenus dont il résulte que l'assuré présentait une invalidité de 35.46 %, était conforme à la loi. Les conclusions de l'intimé tendant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité paraissaient ainsi dépourvues de chances de succès.
Les conditions n'étaient donc pas remplies pour allouer à l'assuré une indemnité de dépens. Sur ce point, le jugement attaqué est contraire au droit fédéral.
Les conditions n'étaient donc pas remplies pour allouer à l'assuré une indemnité de dépens. Sur ce point, le jugement attaqué est contraire au droit fédéral.
3. Le litige n'ayant pas pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, la procédure est onéreuse (art. 134 OJ a contrario). L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 156 al. 1 en corrélation avec l'art. 135 OJ). Celui-ci ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 159 al. 1 en liaison avec l'art. 135 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis et le ch. II du dispositif du jugement du Président du Tribunal des assurances du canton de Vaud, du 29 décembre 2005, est annulé.
1. Le recours est admis et le ch. II du dispositif du jugement du Président du Tribunal des assurances du canton de Vaud, du 29 décembre 2005, est annulé.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'avance de frais versée par le recourant, d'un montant de 500 fr., lui est restituée.
3. L'avance de frais versée par le recourant, d'un montant de 500 fr., lui est restituée.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 juillet 2006
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
p. la Présidente de la IIe Chambre: Le Greffier: