Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 1. Mai 2015 ist das Bundesgericht auf eine von A._ erhobene Beschwerde nicht eingetreten (Verfahren 1C_60/2015), weil diese den gesetzlichen Formerfordernissen (<ref-law>) nicht zu genügen vermochte.
Mit Eingabe vom 20. August 2015 verlangt A._ die Revision des Urteils vom 1. Mai 2015. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Befreiung von Vorschüssen und Kosten sowie um "unentgeltliche Rechtshilfe".
2.
Revisionsbegehren gestützt auf Art. 121 lit. b-d BGG sind innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheides beim Bundesgericht einzureichen (<ref-law>). Die Frist gilt nach <ref-law> unter anderem dann als eingehalten, wenn die Eingabe spätestens am letzten Tag der Frist einer schweizerischen diplomatischen Vertretung zu Handen des Bundesgerichts übergeben worden ist. Zufolge Gerichtsferien steht der Fristenlauf vom 15. Juli bis und mit dem 15. August still (<ref-law>).
Das vollständig ausgefertigte Urteil wurde dem Gesuchsteller gemäss Empfangsbescheinigung am 23. Juni 2015 eröffnet. Die dreissigtägige Frist endete mithin am Montag, den 24. August 2015. Das Revisionsgesuch ist gemäss Auskunft der Schweizerischen Botschaft in Israel indes erst am 26. August 2015 bei ihr eingegangen. Die Frist wurde demnach verpasst. Da keine Revisionsgründe im Sinne von Art. 124 Abs. 1 Bst. c oder d BGG geltend gemacht werden, für welche eine 90-tägige Frist gilt, ist auf das Gesuch nur schon deshalb nicht einzutreten.
3.
Im Übrigen ist nicht ersichtlich, inwiefern ein Revisionsgrund gegeben sein sollte. Was der Gesuchsteller vorbringt, beschränkt sich im Wesentlichen auf eine appellatorische, im Revisionsverfahren nicht zu hörende Kritik an der dem Nichteintretensentscheid zugrunde liegenden rechtlichen Würdigung und an den diesem Urteil vorangegangenen Verfahren betreffend Führerausweisentzug.
Soweit er geltend macht, sein Antrag um unentgeltliche Rechtshilfe sei im bundesgerichtlichen Verfahren übersehen worden und sich dabei auf <ref-law> (wohl recte: <ref-law>) beruft, vermag er damit nicht durchzudringen. Nach dieser Bestimmung kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind. Das Bundesgericht hat das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, das die Prozessführung insgesamt - mithin die Unentgeltlichkeit des Verfahrens und der Verbeiständung - betrifft, gemäss dem angefochtenen Urteil vom 1. Mai 2015 primär wegen aussichtsloser Beschwerdeführung ausdrücklich abgewiesen. Ein Revisionsgrund ist daher nicht ersichtlich.
Im bundesgerichtlichen Verfahren 1C_60/2015 war der Nichteintretensentscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt umstritten. Streitgegenstand bildete einzig die Frage, ob das Appellationsgericht zu Recht nicht auf das Begehren des Gesuchstellers eingetreten war, weil er nicht dargetan hatte, inwiefern trotz Nichtbezahlung des Kostenvorschusses auf die Beschwerde hätte eingetreten werden müssen. Das Bundesgericht führte explizit aus, dass die Sachanträge zur Aushändigung der Verfügung betreffend Führerausweisentzug über den Streitgegenstand hinausgingen und diesen in unzulässiger Weise erweitern würden (vgl. E. 1; <ref-law>). Insoweit handelt es sich nicht um ein Versehen, dass das Bundesgericht nicht auf die Umstände betreffend die Übergabe der Verfügung eingetreten ist.
Schliesslich erblickt der Gesuchsteller einen Revisionsgrund nach <ref-law> (wohl recte: <ref-law>) darin, dass das Bundesgericht den internationalen Vertrag mit der SR-Nummer 0.274.11 (Übereinkommen vom 17. Juli 1905 betreffend Zivilprozessrecht [BS 12 277]) und die daraus für die Schweiz entstehenden Verpflichtungen übersehen habe. Abgesehen davon, dass dieses Übereinkommen erstmals im Revisionsverfahren genannt wird, was ohnehin nicht zulässig wäre, handelt es sich dabei um einen internationalen Vertrag, der keinen ersichtlichen Zusammenhang zum Streitgegenstand aufweist und der ausserdem bereits ausser Kraft gesetzt worden ist.
4.
Nach dem Gesagten ist auf das Revisionsgesuch ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) nicht einzutreten.
Das Bundesgericht behält sich vor, weitere Eingaben des Gesuchstellers in der vorliegenden Sache formlos abzulegen.
Da das Revisionsgesuch offensichtlich aussichtlos war, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen. Aufgrund der Umstände des vorliegenden Falls rechtfertigt es sich indes, von der Erhebung von Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren abzusehen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller, der Kantonspolizei Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Pedretti