Sachverhalt:
A.
X._ war am 3. Juli 2012 nachmittags mit ihrem Personenwagen auf der Autobahn A14 von Luzern in Richtung Küssnacht unterwegs. In Dietwil, d.h. im Abschnitt zwischen dem Anschluss Gisikon und der Verzweigung Rütihof fuhr sie auf der linken Fahrspur, um ein vor ihr fahrendes Fahrzeug überholen zu können, das bei einer zulässigen Geschwindigkeit von 120 km/h mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 112 km/h fuhr. Die Videoaufzeichnung eines hinter ihr fahrenden zivilen Polizeifahrzeugs ergab, dass X._ zum vorderen Fahrzeug auf einer Messstrecke von 399.60 m einen Abstand von 17,87 m bzw. 0.57 Sekunden einhielt.
B.
Aufgrund dieses Fahrverhaltens sprach die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten X._ mit Strafbefehl vom 20. Juli 2012 wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln schuldig und bestrafte sie mit einer Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 190.-- bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von 2 Jahren sowie einer Busse von Fr. 1'000.--. Eine dagegen erhobene Einsprache hat X._ wieder zurückgezogen. Das Verkehrsamt des Kantons Schwyz qualifizierte die Widerhandlung von X._ als schwer und verfügte am 10. April 2013 einen dreimonatigen Führerausweisentzug. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz änderte diese Verfügung in Gutheissung einer dagegen gerichteten Beschwerde von X._ mit Entscheid vom 22. Juli 2013 dahingehend ab, dass es die Dauer des Führerausweisentzugs auf einen Monat reduzierte.
C.
Das Bundesamt für Strassen (ASTRA) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. Juli 2013 sei aufzuheben und X._ sei der Führerausweis für die Dauer von drei Monaten zu entziehen.
X._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Verkehrsamt des Kantons Schwyz beantragt die Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen. Das ASTRA ist zur Erhebung der Beschwerde berechtigt (<ref-law> i.V.m. Art. 10 Abs. 4 der Organisationsverordnung für das Eidgenössische Departement für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation vom 6. Dezember 1999 [SR 172.217.1]; Urteil 1C_189/ 2008 vom 8. Juli 2008 E. 1.1). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen, nur die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten (vgl. Art. 95 lit. a-c BGG) sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhaltes (vgl. <ref-law>) gerügt werden.
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.4. Im vorliegenden Fall sind die Tatsachen weitgehend unbestritten. Die Beschwerdegegnerin möchte den Sachverhalt insoweit ergänzt wissen, als sie behaupt, sie hätte den Bremsabstand deshalb nicht vergrössert, weil sie sich durch das dicht hinter ihr fahrende zivile Polizeifahrzeug gedrängt gefühlt hätte. Eine entsprechende Ergänzung erübrigt sich jedoch, weil der geltend gemachte Umstand am Ausgang des Verfahrens nichts ändern könnte (vgl. E. 3.5 hiernach).
2.
2.1. Das Gesetz unterscheidet im Zusammenhang mit dem administrativen Führerausweisentzug zwischen der leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung (Art. 16a-c SVG). Gemäss <ref-law> begeht eine leichte Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine geringe Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft und ihn dabei nur ein leichtes Verschulden trifft (Abs. 1 lit. a). Gemäss <ref-law> begeht eine mittelschwere Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Nach einer mittelschweren Widerhandlung wird der Führerausweis für mindestens einen Monat entzogen (Abs. 2 lit. a). Leichte und mittelschwere Widerhandlungen werden von <ref-law> als einfache Verkehrsregelverletzungen erfasst (<ref-ruling> E. 2.4 S. 143). Gemäss <ref-law> begeht eine schwere Widerhandlung, wer durch grobe Verletzung von Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Nach einer schweren Widerhandlung, welche einer groben Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> entspricht, wird der Führerausweis für mindestens drei Monate entzogen (Abs. 2 lit. a). Eine Unterschreitung der gesetzlichen Mindestentzugsdauer ist ausgeschlossen (<ref-law>; Urteil 1C_183/2013 vom 21. Juni 2013 E. 3.1 mit Hinweisen).
2.2. Der Tatbestand der schweren Widerhandlung gemäss <ref-law> bzw. der groben Verletzung von Verkehrsregeln nach <ref-law> ist nach der Rechtsprechung objektiv erfüllt, wenn der Täter eine wichtige Verkehrsvorschrift in objektiv schwerer Weise missachtet und die Verkehrssicherheit ernstlich gefährdet. Eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer ist nicht erst bei einer konkreten Gefährdung gegeben. Es genügt eine erhöhte abstrakte Gefährdung, die gegeben ist, wenn die Möglichkeit einer konkreten Gefährdung oder Verletzung naheliegt. Ob dies zutrifft, hängt von den jeweiligen Verhältnissen des Einzelfalls ab (Urteil 1C_452/2011 vom 21. August 2012 E. 3.3 mit Hinweis). Subjektiv erfordert der Tatbestand gemäss Art. 16c oder <ref-law> ein rücksichtsloses oder sonst schwerwiegend verkehrswidriges Verhalten, d.h. ein schweres Verschulden, bei fahrlässigem Handeln mindestens grobe Fahrlässigkeit (<ref-ruling> E. 3.2 S. 136 mit Hinweisen).
2.3. Die mittelschwere Widerhandlung nach <ref-law> liegt vor, wenn nicht alle privilegierenden Elemente einer leichten Widerhandlung nach <ref-law> und nicht alle qualifizierenden Elemente einer schweren Widerhandlung nach <ref-law> gegeben sind. Ist die Gefährdung gering, aber das Verschulden hoch, oder umgekehrt die Gefährdung hoch und das Verschulden gering, liegt eine mittelschwere Widerhandlung vor (Urteil 1C_183/2013 vom 21. Juni 2013 E. 3.2).
2.4. Das Einhalten eines ausreichenden Abstandes beim Hintereinanderfahren wird von <ref-law> und Art. 12 Abs. 1 VRV vorgeschrieben und ist von grundlegender Bedeutung für die Verkehrssicherheit (<ref-ruling> E. 3.2.1 mit Hinweis). Für die Bestimmung des auch bei günstigen Verhältnissen minimal einzuhaltenden Abstands kann nach der straf- wie verwaltungsrechtlichen Praxis des Bundesgerichts von der Faustregel "halber Tacho" (bzw. 1,8 Sekunden) ausgegangen werden (<ref-ruling> E. 3.1). Zur Frage, bei welchem Abstand bei günstigen Umständen objektiv von einer strafrechtlichen groben Verkehrsregelverletzung auszugehen ist, hat die Rechtsprechung keine allgemeinen Grundsätze entwickelt. In der Lehre wird etwa ein Abstand von 0.6 Sekunden vorgeschlagen (<ref-ruling> E. 3.2.2 mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat bei einem zeitlichen Abstand von 0.54 Sekunden bei einer Geschwindigkeit von 100 km/h und über eine Strecke von ca. 1'100 Metern auf dem Überholstreifen einer Autobahn auch bei günstigen Strassen-, Verkehrs- und Sichtverhältnissen eine erhöhte abstrakte Gefahr bejaht (Urteil 6B_3/2010 vom 25. Februar 2010 E. 3.3.1). Nach der Rechtsprechung kann bei einer erheblichen Unterschreitung des Mindestabstandes auf einer Strecke unter 300 Metern eine erhöhte Gefahr geschaffen werden (vgl. Urteile 6B_534/2008 vom 13. Januar 2009 E. 3.5; 6B_20/2009 vom 14. April 2009 E. 2.3.3).
2.5. Die Beschwerdeführerin folgte dem Vorderfahrzeug auf dem Überholstreifen einer Autobahn mit einer Geschwindigkeit von 112 km/h auf einer gemessenen Strecke von 399.60 m mit einem zeitlichen Abstand von 0.57 Sekunden. Ein derart geringer Abstand begründet gemäss der genannten Rechtsprechung des Bundesgerichts auch bei günstigen Strassen-, Verkehrs- und Sichtverhältnissen eine erhöhte abstrakte Gefahr im Sinne von <ref-law>. Daran vermag entgegen der Meinung der Beschwerdegegnerin auch die von ihr behauptete Bremsbereitschaft nichts zu ändern, weil diese ein rechtzeitiges Abbremsen im Bedarfsfall kaum hätte garantieren können (Urteil 1C_183/2013 vom 21. Juni 2013 E. 4.2). Das Verwaltungsgericht hat demnach kein Bundesrecht verletzt, wenn es die objektive Voraussetzung der schweren Widerhandlung gemäss <ref-law> bejahte.
3.
3.1. Das Bundesgericht hat in seiner bisherigen Rechtsprechung erklärt, ein Lenker zeige eine rücksichtslose Fahrweise und erfülle subjektiv den Tatbestand der groben Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law>, wenn er vorsätzlich mit erheblich zu kleinem Abstand fährt, um den Vordermann zur Beschleunigung der Fahrt oder zum Wechsel auf den rechten Fahrstreifen zu drängen, wenn dies in Anbetracht der auf diesem Streifen verkehrenden langsameren Fahrzeuge nicht ohne Risiko möglich ist (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 138). Ebenso ging Bundesgericht davon aus, ein Lenker zeige eine rücksichtslose Fahrweise, wenn es ihm darum gehe, bei einer Geschwindigkeit von 100 km/h den vorderen Fahrer durch zeitlichen Abstand von lediglich 0.54 Sekunden dazu zu bewegen, den Überholstreifen freizugeben (Urteil 6B_3/2010 vom 25. Februar 2010 E. 3.3.1). In einem neueren Entscheid kam das Bundesgericht bezüglich eines Auffahrunfalls mit Sachschaden zum Ergebnis, der Lenker habe, wenn er bei regem Verkehr mit 100 km/h bloss einen Abstand von rund 20 bis 25 m eingehalten habe, in subjektiver Hinsicht nicht grob fahrlässig bzw. rücksichtslos gehandelt. Zwar habe er die Abstandsregel in pflichtwidriger Unvorsichtigkeit missachtet. Allerdings sei notorisch, dass bei hohen Geschwindigkeiten die Sicherheitsabstände häufig unterschätzt würden und diese bei starkem Verkehrsaufkommen auch nicht immer einfach gewahrt werden könnten, da sie von anderen Verkehrsteilnehmern gerne für Spurwechsel missbraucht und damit verkürzt würden. Dies entschuldigte den Lenker zwar nicht, lasse aber sein Verschulden jedoch in einem etwas milderen Licht erscheinen. (Urteil 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 4.3).
3.2. Unter Bezugnahme auf diesen Fall erwog das Verwaltungsgericht, das Bundesgericht habe ein schweres Verschulden eines Fahrers verneint, der eine Kollision mit erheblichem Sachschaden verursacht habe. Demgegenüber habe die Beschwerdegegnerin nur eine erhöht abstrakte Gefährdung geschaffen. Zudem sei das vor ihr fahrende Fahrzeug mit 112 km/h auf der linken Fahrspur verblieben, obwohl die rechte Fahrspur frei und eine Geschwindigkeit von 120 km/h zulässig gewesen sei. Dies lasse das Verschulden der Beschwerdegegnerin in einem etwas milderen Licht erscheinen, zumal sie als Anwältin aufgrund der langen Dauer einer Gerichtsverhandlung für den nächsten Termin zu spät gewesen sei. Bei dieser Sachlage sei die Fahrweise der Beschwerdegegnerin in subjektiver Hinsicht nicht als geradezu grob fahrlässig bzw. rücksichtslos zu qualifizieren. Sie habe daher eine mittelschwere Widerhandlung im Sinne von <ref-law> begangen. Angesichts des bisher ungetrübten automobilistischen Leumunds sei ihr der Ausweis für einen Monat zu entziehen.
3.3. Das ASTRA rügt, die Begründung des Verwaltungsgerichts zum Ausschluss der groben Fahrlässigkeit sei nicht haltbar. Die Beschwerdeführerin, welche den Mindestabstand krass unterschritten habe, hätte sich der allgemeinen Gefährlichkeit ihrer verkehrswidrigen Fahrweise bewusst sein müssen. Dass das vor ihr fahrende Fahrzeug auf der linken Fahrspur verblieben sei, obwohl die rechte Spur frei gewesen sei, lasse ihr Verschulden nicht als milder erscheinen. Vielmehr grenze die krasse Unterschreitung des Mindestabstandes, um zu signalisieren, dass sie überholen wolle, an Nötigung und könne keine entschuldbare Handlung zum Gewinnen von Zeit darstellen. Der Strafbefehl vom 20. Juli 2012 bejahe ein vorsätzliches Handeln der Beschwerdegegnerin. Auch der von der Vorinstanz angenommene Zeitdruck könne keine krasse Unterschreitung des Mindestabstandes rechtfertigen oder entschuldigen, zumal der mögliche Zeitgewinn auf der Strecke Luzern bis Küssnacht nur gerade 30 Sekunden betragen hätte. Aus diesen Gründen sei der Beschwerdegegnerin gemäss der zutreffenden Einschätzung der Staatsanwaltschaft auch in subjektiver Hinsicht eine schwere Widerhandlung anzulasten und daher der Führerausweis nach Art. 16c Abs. 1 lit. a und Abs. 2 lit. a SVG für drei Monate zu entziehen.
3.4. Bei der Beurteilung des Verschuldens besteht naturgemäss ein erheblicher Ermessensspielraum. Das Bundesgericht greift in Ermessensentscheide nur ein, wenn das Ermessen überschritten oder missbraucht wurde. Dies ist namentlich der Fall, wenn die kantonalen Behörden einzelne Umstände zu Unrecht ganz ausser Acht lassen oder in einer unhaltbaren Weise gewichten (<ref-ruling> E. 4b). Dabei ist zu beachten, dass nach dem Grundsatz der Einheit der Rechtsordnung widersprüchliche Entscheide möglichst zu vermeiden sind. Dies gebietet der Verwaltungsbehörde grundsätzlich, sich einer vertretbaren Ermessensausübung des Strafrichters anzuschliessen, auch wenn sie selber das Verschulden anders beurteilen würde (vgl. Urteil 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 4.4).
3.5. Das Verwaltungsgericht stellte sinngemäss fest, die Beschwerdegegnerin sei mit ungenügendem Sicherheitsabstand auf der linken Fahrspur gefahren, um einen vor ihr fahrenden Fahrzeuglenker, der mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 112 km/h fuhr, überholen zu können. Insoweit führte die Beschwerdegegnerin in ihrer kantonalen Beschwerde aus, sie habe den Nachfahrabstand zum Vorderfahrzeug kurz verringert, um zu signalisieren, dass sie überholen wollte und sei davon ausgegangen, dass das vordere Fahrzeug die Überholspur rasch verlassen würde. Demnach ist gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen und der Sachverhaltsdarstellung der Beschwerdegegnerin davon auszugehen, dass sie den erforderlichen Sicherheitsabstand bewusst bzw. vorsätzlich erheblich unterschritt, um dadurch den Lenker des Vorderfahrzeugs zu einer (raschen) Freigabe der Überholspur zu veranlassen. Diese Fahrweise ist gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts als rücksichtslos zu qualifizieren, zumal sich der voranfahrende Fahrzeuglenker dadurch - selbst wenn er die Spur wechseln kann - in aller Regel bedrängt und belästigt fühlt, was die Gefahr einer nervösen Fehlreaktion schafft (vgl. Urteil 6A_54/1994 vom 18. Juli 1994 E. 2a). Insoweit ist der Beschwerdegegnerin ein schweres Verschulden anzulasten. Sie behauptete zwar bereits im kantonalen Verfahren, sie habe, nachdem sie feststellt hatte, dass das Vorderfahrzeug die Überholspur nicht freigab, den Abstand nur deshalb nicht wieder vergrössert, weil sie sich durch das ihr nachfahrende Polizeifahrzeug gedrängt gefühlt habe. Diese Behauptung vermag die Beschwerdegegnerin jedoch nicht zu entlasten, weil sie sich bis zu diesem Zeitpunkt bereits rücksichtslos verhalten hatte. Im Übrigen anerkennt sie selber, dass sie sich von einem nachfahrenden Fahrzeug nicht drängen lassen darf. Entgegen der Meinung des Verwaltungsgerichts kann auch die Verspätung bezüglich eines nicht näher spezifizierten Termins das Verschulden der Beschwerdegegnerin nicht nur als leicht erscheinen lassen, da offensichtlich keine Dringlichkeit zum Schutz hochwertiger Rechtsgüter wie Leib, Leben und Gesundheit von Menschen in Frage stand (vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 366). Zudem war der mögliche Zeitgewinn aufgrund der unbedeutenden Differenz zur zulässigen Höchstgeschwindigkeit gering. Die Beschwerdegegnerin geht denn auch in ihrer Vernehmlassung selber davon aus, ihre Eile könne keine Entschuldigung im rechtlichen Sinne darstellen.
3.6. Aus den dargelegten Gründen hat das Verwaltungsgericht sein Ermessen bei der Beurteilung des Verschuldens überschritten, wenn es der Beschwerdegegnerin in Abweichung von der Beurteilung des Strafrichters kein rücksichtsloses Fahrverhalten bzw. schweres Verschulden anlastete. Es hat damit Bundesrecht verletzt, indem es eine schwere Widerhandlung gemäss <ref-law> verneinte und es den Führerausweis nicht gemäss <ref-law> für mindestens drei Monate entzog. Der vom ASTRA beantragte Entzug entspricht dieser gesetzlichen Mindestdauer, weshalb insoweit kein Raum für eine richterliche Bemessung der Entzugsdauer unter Berücksichtigung des Verhältnismässigkeitsprinzips besteht. Damit kann der Entzug vom Bundesgericht ohne Rückweisung an die Vorinstanz angeordnet werden (vgl. Urteil 6A.54/1994 vom 18. Juli 1994 E. 2b).
4.
Nach dem Gesagten ist in Gutheissung der Beschwerde das angefochtene Urteil aufzuheben und der Beschwerdegegnerin der Fahrausweis für drei Monate zu entziehen. Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66. Abs. 1 BGG). Zudem ist die Sache zur Neuverteilung der Kosten und Parteientschädigungen im vorinstanzlichen Verfahren an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In Gutheissung der Beschwerde wird das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 22. Juli 2013 aufgehoben und der Beschwerdegegnerin der Führerausweis für die Dauer von drei Monaten entzogen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verkehrsamt des Kantons Schwyz, Administrativmassnahmen, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Dezember 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Gelzer