Sachverhalt:
A. S._, geboren 1972, leidet seit einer Heckauffahrkollision von 1995 an Beschwerden auf Höhe der Halswirbelsäule (HWS). Am 17. März 2003 trat er eine neue Arbeitsstelle als Anlageberater in der Firma X._ SA (nachfolgend: Arbeitgeberin) an und war in dieser Eigenschaft bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (heute: AXA Versicherungen AG; nachfolgend: AXA oder Beschwerdegegnerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Nach einer ersten Kündigungsandrohung vom 17. Dezember 2003 per 28. Februar 2004 für den Fall der Nichterfüllung arbeitsvertraglich vereinbarter Ziele kündigte die Arbeitgeberin am 25. Februar 2005 das Arbeitsverhältnis per 30. April 2005 und stellte den Versicherten ab anfangs März 2005 frei. Innerhalb der laufenden Kündigungsfrist wurde der Versicherte krankheitsbedingt arbeitsunfähig. Am 24. Juni 2005 teilte ihm die Arbeitgeberin mit, dass das Arbeitsverhältnis in Anwendung von Art. 336c OR bei anhaltender Arbeitsunfähigkeit spätestens per 31. August 2005 beendet werde. Während die zuständige Kollektiv-Krankentaggeldversicherung dem Versicherten ein Taggeld im Sinne von Ziffer 6.6 des Personalreglements 2003 der Arbeitgeberin entrichtete, stürzte und verletzte sich dieser am 16. Februar 2006 als Fahrgast bei einem Notstopp eines Trams. Am 14. Juni 2007 liess der Versicherte dieses Ereignis bei der AXA als Unfall anmelden. Diese verneinte mit Verfügung vom 19. Oktober 2007, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 27. März 2009, eine UVG-Deckung in Bezug auf das angemeldete Ereignis, weil der Versicherte per 31. August 2005 aus dem Betrieb der Arbeitgeberin ausgetreten sei und die Deckung demzufolge 30 Tage später geendet habe.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde des S._ wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 24. November 2009 ab, soweit es darauf eintrat.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ unter Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids beantragten, die AXA habe ihm vom 27. Mai 2007 bis 15. Juni 2008 ein UVG-Taggeld, ab 16. Juni 2008 "eine UVG-Rente in Höhe von 75 %" sowie eine angemessene Integritätsentschädigung auszurichten.
Während die AXA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, soweit überhaupt darauf einzutreten sei, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.2 Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Diese Einschränkungen der Rüge- und Überprüfungsbefugnis gelten auch im Streit um die Frage, ob für ein Unfallereignis Versicherungsdeckung besteht (<ref-ruling>).
2. Strittig ist, ob das Ereignis vom 16. Februar 2006 bei der Beschwerdegegnerin nach UVG versichert war.
3. 3.1 Laut Art. 3 Abs. 2 UVG endet die obligatorische Unfallversicherung mit dem 30. Tag nach dem Tage, an dem der Anspruch auf mindestens den halben Lohn aufhört. Als Lohn im Sinne dieser Bestimmung gelten gemäss Art. 7 Abs. 1 lit. b UVV (in der hier anwendbaren, seit 1. Juli 2005 geltenden Fassung) unter anderem jene Taggelder der Krankenkassen und privaten Kranken- und Unfallversicherer, welche die Lohnfortzahlung ersetzen.
3.2 Der Versicherer hat dem Versicherten die Möglichkeit zu bieten, die Versicherung durch besondere Abrede bis zu 180 Tage zu verlängern (Art. 3 Abs. 3 UVG; Art. 8 UVV). Nach den Grundsätzen über die Informationspflicht, welche bezüglich der Abredeversicherung dem Versicherer und dem Arbeitgeber - als Organen der Versicherungsdurchführung - zukommt, und über die Folgen einer Verletzung dieser Pflicht gilt, dass der Versicherer den Arbeitgeber und dieser den Arbeitnehmer über die Möglichkeit der Abredeversicherung zu informieren hat. Eine Verletzung dieser Informationspflicht kann nach den Prinzipien des öffentlich-rechtlichen Vertrauensschutzes zur Folge haben, dass die Versicherungsdeckung auch in Ermangelung einer Abredeversicherung bejaht wird (Art. 72 UVV; SVR 2010 UV Nr. 2 S. 7, 8C_784/2008 E. 2, mit Hinweis auf <ref-ruling>).
4. 4.1 Unbestritten ist, dass das Arbeitsverhältnis per 31. August 2005 rechtsgültig aufgelöst worden ist und die Kollektiv-Krankentaggeldversicherung dem Beschwerdeführer bei anhaltender voller Arbeitsunfähigkeit nach der vertraglich vereinbarten Wartezeit von 60 Tagen ab 26. Juli 2005 bis zum Ablauf der maximalen Leistungsdauer per 26. Mai 2007 ein Taggeld erbracht hat, welches in betraglicher Hinsicht mindestens dem halben Lohn (vgl. Art. 3 Abs. 2 UVG) entsprach.
4.2 Das kantonale Gericht hat die ab dem 1. September 2005 auf Grund des Vertrages zwischen der Arbeitgeberin und dem Kollektiv-Krankentaggeldversicherer direkt dem Versicherten erbrachten Taggelder nicht als Lohnersatz, sondern als Versicherungsleistung qualifiziert. Was der Beschwerdeführer hiegegen vorbringt, ist unbegründet.
4.2.1 Die Vorinstanz stellte für das Bundesgericht insbesondere mit Blick auf Ziffer 6 des Arbeitsvertrages vom 11./15. März 2005 in tatsächlicher Hinsicht grundsätzlich verbindlich fest, dass sich die Arbeitgeberin - entgegen dem Versicherten - nicht vertraglich zu einer Lohnfortzahlung über die Beendigung des Arbeitsverhältnisses hinaus verpflichtet hat. Der Beschwerdeführer legt nicht dar und behauptet auch nicht, dass diese Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Zudem bestreitet er nicht, in Bezug auf das Taggeld spätestens ab 1. September 2005 über einen direkten Forderungsanspruch gegenüber dem Kollektiv-Krankentaggeldversicherer verfügt zu haben. Das kantonale Gericht und die AXA haben somit praxisgemäss (<ref-ruling> E. 2c S. 178 mit Hinweisen) zu Recht darauf geschlossen, dass es sich bei dem ab 1. September 2005 bezogenen Taggeld nicht um einen Lohnfortzahlungsanspruch im Sinne von Art. 7 Abs. 1 lit. b UVV gehandelt hat.
4.2.2 Der Versicherte zeigt nicht auf und es sind keine Gründe dafür ersichtlich, weshalb von der genannten Rechtsprechung abzuweichen wäre. In Anwendung von Art. 3 Abs. 2 UVG in Verbindung mit Art. 7 Abs. 1 lit. b UVV erlosch somit der Versicherungsschutz gemäss UVG spätestens 30 Tage nach rechtsgültiger Auflösung des Arbeitsverhältnisses, mithin per 30. September 2005.
5. Nach dem Gesagten bleibt zu prüfen, ob die Vorinstanz den UVG-Versicherungsschutz für den fraglichen Unfall zu Recht infolge fehlender Abredeversicherung verneint hat. Hätte der Versicherte von der Möglichkeit des Abschlusses einer Abredeversicherung nach Art. 3 Abs. 3 UVG Gebrauch gemacht, hätte er die Versicherungsdeckung nach UVG um 180 Tage verlängern können, so dass er gegebenenfalls im Zeitpunkt des Unfalles vom 16. Februar 2006 nach UVG versichert gewesen wäre.
5.1 5.1.1 Die Fragen nach der Erfüllung der Informationspflicht von Art. 72 UVV und/oder nach dem allfälligen Abschluss einer Abredeversicherung gemäss Art. 3 Abs. 3 UVG (vgl. E. 3.2 hievor) waren - soweit aktenkundig ersichtlich - vor Erlass des hier angefochtenen Entscheides nicht Gegenstand des bisherigen Verfahrens. Das kantonale Gericht erwog diesbezüglich, der Beweis dafür, dass der Arbeitnehmer in geeigneter Weise über die Möglichkeit der Abredeversicherung informiert worden sei, obliege nach <ref-ruling> E. 2b S. 33 f. dem Versicherer. Den Akten sei nicht zu entnehmen, ob die AXA bzw. die Arbeitgeberin dem Beschwerdeführer die Möglichkeit geboten habe, die Versicherung durch besondere Abrede um 180 Tage zu verlängern. Aus der Tatsache, dass der Versicherte nach Aktenlage am 16. Februar 2006 über eine Pflegeversicherung mit privater Deckung des Unfallrisikos bei der KPT verfügte, schloss die Vorinstanz, dass in antizipierter Beweiswürdigung davon auszugehen sei, der Beschwerdeführer hätte auch dann keine Abredeversicherung abgeschlossen, wenn ihm diese Verlängerung des UVG-Versicherungsschutzes von der Beschwerdegegnerin oder der Arbeitgeberin angeboten worden wäre.
5.1.2 Demgegenüber macht der Versicherte geltend, er sei weder von der AXA noch von der Arbeitgeberin über die Möglichkeit der Abredeversicherung informiert worden. Das kantonale Gericht habe übersehen, dass er bei der KPT nicht über eine Taggeldversicherung verfüge. Als mehrfacher Vater und Haupternährer der Familie mit entsprechender finanzieller Verantwortung hätte er - bei entsprechender Kenntnis - sehr wohl von der Möglichkeit des Abschlusses einer Abredeversicherung Gebrauch gemacht. In rechtsfehlerhafter Beweiswürdigung habe die Vorinstanz darauf geschlossen, dass er auf den Abschluss einer Abredeversicherung auch dann verzichtet hätte, wenn er von der Beschwerdegegnerin oder der Arbeitgeberin über die Abredeversicherung informiert worden wäre.
5.1.3 Ohne zum Vorwurf der Verletzung der Informationspflicht nach Art. 72 UVV Stellung zu nehmen, schloss sich die AXA mit Vernehmlassung vom 22. März 2010 dem Standpunkt des kantonalen Gerichts an. Der Abschluss einer Abredeversicherung sei nach Aktenlage nicht überwiegend wahrscheinlich. Die Rechtsprechung im Sinne von SVR 2010 UV Nr. 2 S. 7 (8C_784/2008 E. 5.4), wonach bei erfolgter Information unter Umständen eine natürliche Vermutung für den Abschluss der Abredeversicherung spreche, sei auf den hier zu beurteilenden Fall nicht anwendbar. Die vorinstanzliche Beweiswürdigung sei im Rahmen der eingeschränkten Kognition nicht zu beanstanden.
5.1.3 Ohne zum Vorwurf der Verletzung der Informationspflicht nach Art. 72 UVV Stellung zu nehmen, schloss sich die AXA mit Vernehmlassung vom 22. März 2010 dem Standpunkt des kantonalen Gerichts an. Der Abschluss einer Abredeversicherung sei nach Aktenlage nicht überwiegend wahrscheinlich. Die Rechtsprechung im Sinne von SVR 2010 UV Nr. 2 S. 7 (8C_784/2008 E. 5.4), wonach bei erfolgter Information unter Umständen eine natürliche Vermutung für den Abschluss der Abredeversicherung spreche, sei auf den hier zu beurteilenden Fall nicht anwendbar. Die vorinstanzliche Beweiswürdigung sei im Rahmen der eingeschränkten Kognition nicht zu beanstanden.
5.2 5.2.1 Der Untersuchungsgrundsatz (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG) zählt zu den in Art. 95 BGG erwähnten bundesrechtlichen Vorschriften. Die unvollständige (gerichtliche) Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (<ref-ruling> E. 2 S. 25 mit Hinweisen; Ulrich Meyer, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 25, 36 und 58-61 zu Art. 105 BGG; Hansjörg Seiler, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 24 zu Art. 97 BGG), die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (statt vieler: Urteil 9C_850/2008 vom 6. Februar 2009 E. 2.2 mit Hinweis; Ulrich Meyer, a.a.O., N. 60 zu Art. 105 BGG; Markus Schott, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 17 ff. zu Art. 97 BGG) sowie die Verletzung der Pflicht zu inhaltsbezogener, umfassender, sorgfältiger und objektiver Beweiswürdigung (Art. 61 lit. c ATSG; <ref-ruling> E. 4.1 S. 400) stellen eine Rechtsverletzung gemäss Art. 95 lit. a BGG dar. Hat das kantonale Gericht die rechtserheblichen tatsächlichen Feststellungen in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes getroffen, sind sie für das Bundesgericht nicht verbindlich (Urteil 8C_829/2009 vom 17. Dezember 2009 E. 3.2.2 mit Hinweis auf das Urteil 8C_773/2008 vom 11. Februar 2009 E. 5.4, in: SVR 2009 EL Nr. 5 S. 17).
5.2.2 Indem das kantonale Gericht ohne Durchführung von Beweismassnahmen (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 35) offen liess, ob die Beschwerdegegnerin und/oder die Arbeitgeberin die ihnen obliegende bundesrechtliche Informationspflicht von Art. 72 UVV erfüllt haben, hat es bei der Ermittlung des massgebenden Sachverhaltes (vgl. Art. 105 Abs. 2 BGG) den Untersuchungsgrundsatz (Art. 61 lit. c ATSG) und somit Bundesrecht (Art. 95 lit. a BGG) verletzt. Der Verzicht auf weitere Abklärungen oder im Beschwerdefall auf Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu diesem Zwecke (antizipierte Beweiswürdigung) verletzt etwa dann Bundesrecht, wenn eine entscheidwesentliche Tatfrage, wie namentlich die Information der versicherten Person durch den Versicherer oder Arbeitgeber über die Möglichkeit der Abredeversicherung (Art. 72 UVV; vgl. E. 3.2 hievor), auf unvollständiger Beweisgrundlage beantwortet wird (vgl. Urteil 9C_736/2009 vom 26. Januar 2010 E. 3.1 mit Hinweisen). Beruht der angefochtene Entscheid nach dem Gesagten in diesem Punkt auf einer unvollständigen Sachverhaltsfeststellung, ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die erforderlichen Feststellungen zur zuverlässigen Beurteilung des rechtserheblichen Sachverhalts in Bezug auf die Erfüllung der Informationspflicht von Art. 72 UVV trifft. Sodann wird das kantonale Gericht unter Berücksichtigung der Rechtsprechung im Sinne von SVR 2010 UV Nr. 2 S. 7, 8C_784/2008 E. 5.4, über die Beschwerde mit Blick auf die Frage nach dem Bestehen des UVG-Versicherungsschutzes im Zeitpunkt des Unfalles vom 16. Februar 2006 infolge einer gegebenenfalls zu bejahenden Abredeversicherung neu entscheiden.
6. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdegegnerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese hat dem Beschwerdeführer überdies eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 24. November 2009 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Mai 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli