Faits:
A.
Par contrat écrit du 27 juillet 2007, les héritiers de W._, soit A.W._, B.W._ et C.W._ (ci-après: les héritiers) ont remis à bail à X._ (le locataire), moyennant un loyer mensuel de 900 fr. avec les charges, un appartement de trois pièces au 2 ème étage de l'immeuble sis rue ..., à Montreux (VD); conclu pour une durée de cinq ans, soit du 1er octobre 2007 au 1er octobre 2012, le bail se renouvelait aux mêmes conditions pour cinq ans, sauf avis de résiliation donné par une partie avec un préavis de trois mois pour la prochaine échéance.
Par un second contrat du 11 juillet 2010, les héritiers ont remis à bail au locataire un autre appartement de trois pièces au 4 ème étage du même immeuble en contrepartie du paiement d'un loyer mensuel de 750 fr.; le bail, qui commençait le 1er août 2010 et se terminait le 1er août 2011, se renouvelait aux mêmes conditions pour une année, sauf avis de résiliation donné par une partie trois mois à l'avance pour la prochaine échéance.
Au moyen d'un courrier recommandé du 31 août 2011, remis à la poste le 1er septembre 2011, les héritiers ont informé le locataire qu'ils résiliaient les baux qui les liaient à ce dernier pour leur échéance respective, soit le 1er août 2012 (bail du 11 juillet 2010) et le 1er octobre 2012 (bail du 27 juillet 2007). A ce courrier étaient jointes deux formules officielles de résiliation de bail. Le courrier a été expédié à l'adresse des locaux loués.
Le 2 septembre 2011, un avis de retrait de cet envoi a été déposé dans la boîte à lettres du locataire.
Le 7 septembre 2011, le locataire a demandé la réexpédition de ce courrier à l'adresse de sa case postale de Lausanne. L'avis de retrait du courrier a été déposé le 14 septembre 2011 dans la case postale du précité; le courrier a été distribué à son destinataire le 21 septembre 2011.
Le 17 octobre 2011, le locataire a saisi la commission de conciliation en matière de baux à loyer compétente d'une requête en prolongation des baux.
Le 22 novembre 2011, Z._ SA, à Clarens, a été inscrite au registre foncier comme nouvelle propriétaire de l'immeuble sis rue ..., à Montreux, devenant ainsi la bailleresse de X._ pour les deux appartements dont l'usage lui avait été cédé.
B.
La commission de conciliation lui ayant délivré le 16 février 2012 une autorisation de procéder, le locataire, par demande simplifiée du 8 mars 2012, a ouvert action contre Z._ SA devant le Tribunal des baux du canton de Vaud. Le locataire a pris la conclusion suivante: « les baux du demandeur pour deux appartements qu'il loue aux 4e et 5e étage (sic) de l'immeuble Rue ... à Montreux des 27 juillet 2007 et 11 juillet 2010 sont prolongés pour une durée de quatre ans ».
Par réponse du 26 avril 2012, la bailleresse a conclu principalement à l'irrecevabilité de la demande, subsidiairement à son rejet. Elle a fait notamment valoir que la demande de prolongation des baux était tardive.
Le 14 mai 2012, la Présidente du Tribunal des baux a informé les parties que la question de la validité de la demande en prolongation des baux serait examinée préjudiciellement en application de l'<ref-law> (RS 272).
Lors d'une audience qui s'est tenue le 14 novembre 2012 au Tribunal des baux, le conseil du locataire demandeur a précisé que ce dernier occupait personnellement l'appartement du 4ème étage et qu'il sous-louait l'appartement du 2ème étage à sa compagne, son adresse de Lausanne étant « un domicile administratif ».
Par jugement préjudiciel du 14 novembre 2012, dont les considérants ont été expédiés aux parties le 26 mars 2013, le Tribunal des baux a déclaré irrecevable la demande du 8 mars 2012. Appliquant la jurisprudence du Tribunal fédéral selon laquelle la communication du congé obéit en droit du bail au système de la réception absolue (<ref-ruling> consid. 3), cette autorité a jugé que le locataire était à même de prendre connaissance des congés litigieux le 3 septembre 2011, lendemain du jour où l'avis de retrait de l'envoi recommandé a été déposé dans sa boîte aux lettres, que la demande de prolongation des baux devait donc être formée devant la commission de conciliation jusqu'au 3 octobre 2011 et que, partant, la requête déposée par le locataire devant ladite commission le 17 octobre 2011 n'a pas été formée en temps utile, d'où l'irrecevabilité de la demande du 8 mars 2012.
Saisie d'un appel du locataire, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 4 juillet 2013, l'a rejeté et confirmé le jugement susrappelé, mais par des motifs substitués. Affirmant que le système de la réception absolue n'est pas applicable au délai de péremption instauré par l'<ref-law>, dont le point de départ se détermine au regard de la théorie relative de la réception, la cour cantonale a estimé que le délai postal de garde était venu à échéance le 9 septembre 2011, soit sept jours après le dépôt de l'avis de retrait dans la boîte aux lettres du locataire. Elle a en revanche nié que la demande de réexpédition du 7 septembre 2011 ait pu prolonger le délai de garde. Elle en a déduit que la requête de conciliation, déposée le 17 octobre 2011, l'a été tardivement.
C.
X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Le mémoire de recours ne contient aucune conclusion au fond. On y découvre toutefois, à la partie « II. Moyens » en p. 5 in fine, la phrase suivante: « Ainsi, le recours doit être admis et la cause renvoyée à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal pour nouvelle décision ».
Le recourant a requis que l'effet suspensif soit octroyé à son recours.
L'intimée conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.
Le recourant a répliqué. Il a déclaré vouloir compléter son acte de recours en concluant principalement à la réforme de l'arrêt cantonal, dans le sens que sa demande du 8 mars 2012 est déclarée recevable, la cause étant retournée à l'autorité cantonale pour qu'elle invite le Tribunal des baux à statuer sur le fond; subsidiairement, il entend conclure à ce que l'affaire soit renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement sa compétence (<ref-law>), respectivement la recevabilité des recours qui sont déposés devant lui (<ref-ruling> consid. 1 p. 44; <ref-ruling> consid. 1.1).
1.2. A teneur de l'<ref-law>, le mémoire de recours doit indiquer les conclusions. Comme les conclusions doivent être prises dans l'acte de recours, celles qui figurent dans la réplique sont irrecevables si elles auraient pu être prises avant l'échéance du délai de recours (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 21; LAURENT MERZ, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2e éd. 2011, n. 13 ad <ref-law>).
Le recours en matière civile se caractérise comme un recours en réforme (<ref-law>), de sorte que le recourant doit en principe prendre des conclusions sur le fond du litige. L'auteur d'un recours ne peut dès lors se borner à demander l'annulation de la décision attaquée. Des conclusions tendant à l'annulation de la décision entreprise ou au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement sont irrecevables. Il n'est fait exception à cette règle que lorsque le Tribunal fédéral, en cas d'admission du recours, ne serait de toute manière pas en mesure de statuer lui-même sur le fond, en particulier faute d'un état de fait suffisant, et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 383 et l'arrêt cité).
1.3. En l'espèce, le mémoire de recours ne contient pas de conclusions. Le recourant n'en disconvient pas. En réplique, il reconnaît expressément que le chapitre « IV Conclusions » de l'acte de recours « a malencontreusement été omis à l'impression ».
Faute de conclusions sur le fond, le présent recours est irrecevable. Et, comme on l'a vu, le recourant ne peut compléter son recours en réplique pour prendre des conclusions qu'il aurait pu formuler dans le délai ordinaire de recours ancré à l'<ref-law>.
Quant à la phrase insérée dans la partie « II. Moyens » de l'acte de recours, au bas de la page 5, à supposer que l'on puisse l'assimiler à la prise de conclusions, elle tend uniquement à ce que l'affaire soit retournée à la cour cantonale pour nouvelle décision. Il ne s'agit donc pas d'une conclusion sur le fond. Or le Tribunal fédéral, sur la base des constatations de fait se trouvant dans l'arrêt déféré, serait tout à fait à même de statuer lui-même sur la question préjudicielle en litige s'il venait à admettre le recours. Cette conclusion en renvoi serait en tous les cas irrecevable.
2.
Au demeurant, dans l'<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 213, cité par les deux instances cantonales, le Tribunal fédéral a considéré qu'en vertu du principe de l'unité de l'ordre juridique, la computation d'un délai doit se faire selon le droit qui fixe ce délai. L'<ref-law> dispose que le locataire qui veut demander une prolongation du bail doit saisir l'autorité de conciliation, lorsqu'il s'agit d'un bail de durée indéterminée, dans les 30 jours qui suivent la réception du congé. Le Code des obligations, par cette norme, règle le point de départ du délai pour saisir l'autorité de conciliation d'une requête tendant à la prolongation dudit bail. C'est ainsi au regard des principes généraux déduits de l'<ref-law>, lequel s'applique pour tous les délais fixés par le Code des obligations, qu'il faut déterminer le dies a quo du délai. En effet, l'<ref-law> prévoit que le délai peut courir à partir d'une époque autre que celle de la conclusion du contrat, laquelle est alors arrêtée par la disposition du droit civil matériel qui institue ce délai.
L'<ref-law>, en se référant à la notion de « réception du congé », fait partir le délai de la communication de la déclaration unilatérale de volonté du bailleur de résilier le bail (<ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 212). Quand le dies a quo d'un délai correspond à la communication d'une manifestation de volonté, il faut faire application de la théorie de la réception absolue. Partant, le délai court dès que la manifestation de volonté (i.e. le congé) est parvenue dans la sphère d'influence du destinataire ou de son représentant. Lorsque la communication est opérée par lettre recommandée, si l'agent postal n'a pas pu la remettre effectivement au destinataire ou à un tiers autorisé et qu'un avis de retrait a été laissé dans sa boîte aux lettres ou sa case postale, le pli est reçu dès que le destinataire est en mesure d'en prendre connaissance au bureau de la poste selon l'avis de retrait, soit en règle générale le lendemain du dépôt de l'avis de retrait (<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 213/214).
Il n'y a pas à revenir sur cette conception.
En conséquence, le point de départ du délai de péremption instauré par l'<ref-law> se détermine d'après le système de la réception absolue, ainsi que l'avait retenu le Tribunal des baux, et pas selon la théorie relative de la réception, thèse soutenue contrairement au droit par la cour cantonale.
3.
Le recours doit être déclaré irrecevable. La requête d'effet suspensif s'en trouve ipso facto privée d'objet.
Le recourant, qui succombe, paiera les frais de justice et versera une indemnité à titre de dépens à l'intimée.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 11 novembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet