Sachverhalt:
A.
Die Stadtbauten Bern stellten am 16. Februar 2012 ein Baugesuch für eine Reihe baulicher Veränderungen am Schulhaus "Bitzius" in Bern (Parzelle Nr. 1855). Diese bestehen aus dem Abbruch der Einfachturnhalle, dem Neubau einer Doppelturnhalle mit einem Unterrichtsraum, der Ergänzung des Pausenplatzes mit einem Allwetterplatz mit Ballfang und einem Pavillon sowie dem Versetzen des bestehenden Traforaums. Gegen das Vorhaben erhoben A._, die B._ AG und die C._ AG, die alle drei Mitglieder der Stockwerkeigentümergemeinschaft Brechbühlerstrasse 8 (Parzelle Nr. 4413) sind, Einsprache.
Mit Gesamtentscheid vom 8. Januar 2013 erteilte das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland die Baubewilligung und wies die Einsprache ab.
Dagegen legten die Mitglieder der Stockwerkeigentümergemeinschaft Brechbühlerstrasse 8 bei der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (BVE) Beschwerde ein. Mit Entscheid vom 20. September 2013 trat die BVE auf die Beschwerde nicht ein. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 25. Februar 2014 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 28. März 2014 beantragen die Mitglieder der Stockwerkeigentümergemeinschaft Brechbühlerstrasse 8, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zum materiellen Entscheid an die Vorinstanz, eventuell an die BVE zurückzuweisen. Eventualiter sei das Baugesuch abzuweisen.
Das Verwaltungsgericht und die BVE schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Stadt Bern, die am 1. Januar 2014 als Gesamtrechtsnachfolgerin in die Stellung der Stadtbauten Bern eingetreten ist, beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bauinspektorat der Stadt Bern hat auf eine Stellungnahme verzichtet. In ihrer Stellungnahme dazu halten die Beschwerdeführerinnen an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest.
Mit Präsidialverfügung vom 4. Juni 2014 hat das Bundesgericht das Gesuch der Beschwerdeführerinnen um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hat im angefochtenen Urteil den Nichteintretensentscheid der BVE bestätigt. Streitgegenstand ist dementsprechend einzig, ob das Verwaltungsgericht dies zu Recht tat. Trifft dies zu, so hat es dabei sein Bewenden. Erweist sich das angefochtene Urteil hingegen als bundesrechtswidrig, so ist die Sache zu weiterer Beurteilung des Falls zurückzuweisen. Soweit die Beschwerdeführerinnen Anträge stellen und Ausführungen machen, die über eine reine Rückweisung hinausgehen, ist darauf nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 41).
Die Sachurteilsvoraussetzungen sind im Übrigen erfüllt. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist mit dem genannten Vorbehalt einzutreten.
2.
Das Verwaltungsgericht führte aus, die Liegenschaft der Beschwerdeführerinnen grenze nicht unmittelbar an das Baugrundstück an der Bitziusstrasse 15. Vielmehr befänden sich dazwischen eine Strasse und drei weitere Grundstücke. Eine besondere Betroffenheit, welche die Bejahung der Legitimation rechtfertigen würde, bestehe nicht, weder für die Bau- noch für die Betriebsphase.
Hinsichtlich der Bauphase legte das Verwaltungsgericht dar, der Baustellenverkehr werde entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerinnen über die Bitziusstrasse in Richtung Ostermundigenstrasse geführt und der Zugang zur Baustelle befinde sich in der nordöstlichen (recte: nordwestlichen) Parzellenecke. Es sei deshalb nicht ersichtlich, inwiefern die Beschwerdeführerinnen an der Brechbühlerstrasse durch übermässige Lärm- und weitere Immissionen aus dem Baustellenverkehr merklich beeinträchtigt werden sollten. Während der voraussichtlich etwa einwöchigen Durchfahrtssperre Richtung Ostermundigenstrasse bleibe den Beschwerdeführerinnen die Zufahrt zu ihrem Grundstück von der Schosshaldenstrasse her jederzeit möglich. Der Umweg sei klein und beschränke sich auf eine kurze Dauer, sodass er keine besondere Betroffenheit bewirke.
Betreffend die Betriebsphase hielt das Verwaltungsgericht zunächst fest, die Beschwerdeführerinnen hätten ihre Rügen gemäss Art. 40 Abs. 2 des kantonalen Baugesetzes vom 9. Juni 1985 (BauG; BSG 721.0) bereits in ihrer Einsprache vorbringen müssen. Da sie dies nicht getan hätten, sei ihre Kritik verspätet. Im Übrigen werde das Schulhaus "Bitzius" über die Bitziusstrasse sowohl von der Ostermundigenstrasse als auch von der Schosshaldenstrasse her erschlossen. Beide Zufahrten führten nicht über die Brechbühlerstrasse. Das Fahrverbot vor dem Schulhaus "Bitzius" ändere daran nichts, da es sich als Durchfahrtsverbot auswirke, der Zubringerdienst aber gestattet sei. Die Beschwerdeführerinnen seien von einem allfälligen Mehrverkehr bzw. den damit verbundenen Immissionen somit von vornherein nicht betroffen. Abgesehen davon sei bestritten, dass die neue Turnhalle überhaupt Mehrverkehr verursachen werde. Aufgrund der im Wesentlichen gleichbleibenden Nutzung der Turnhalle und der Zufahrtssituation sei jedenfalls nicht davon auszugehen, dass eine Verkehrszunahme deutlich wahrnehmbar wäre, dies schon gar nicht an der Brechbühlerstrasse.
3.
Die Beschwerdeführerinnen bringen vor, das Verwaltungsgericht habe Art. 111 Abs. 3 BGG verletzt und sei in überspitzten Formalismus verfallen, indem es ihre Rügen als verspätet ansah. Die Bestimmung von Art. 40 Abs. 2 BauG, auf die sich das Verwaltungsgericht dafür berufe, sei nicht bundesrechtskonform. Zudem sei es willkürlich, Art. 40 Abs. 2 i.V.m. Art. 35 Abs. 2 lit. a BauG so auszulegen, wie dies das Verwaltungsgericht getan habe. Ihre Legitimation müsse aus folgenden Gründen bejaht werden:
Nicht nur besässen sie Stockwerkeigentum an der Brechbühlerstrasse 8, sondern seien auch Mitglieder der Genossenschaft D._. Diese wiederum sei Eigentümerin eines direkt an die Schule angrenzenden Grundstücks. Die Legitimation sei somit gegeben.
Während der Bauphase werde die Bitziusstrasse gesperrt, was die Brechbühlerstrasse faktisch zur einzigen Durchgangsstrasse mache. Aus dem Entwurf des Sicherheits- und Verkehrskonzepts vom 18. Juni 2013 ergebe sich nicht, dass der Baustellenverkehr nicht über die Brechbühlerstrasse verlaufen werde. Das Verwaltungsgericht habe in dieser Hinsicht den Sachverhalt willkürlich festgestellt. Dies gelte auch für die Feststellung, wonach sie während bloss etwa einer Woche einen kleinen Umweg in Kauf nehmen müssten. Diese Feststellung sei angesichts der Dimensionen des Bauprojekts nicht haltbar.
Für die Betriebsphase sei davon auszugehen, dass die neue Doppelturnhalle ein grösseres Publikum anziehe, da sie auch für Sportarten geeignet sei, die ein Grossfeld brauchen. Zudem sei anzunehmen, dass die Stadt Bern eine möglichst grosse Auslastung anstrebe. Dies führe automatisch zu Mehrverkehr und zu Parkplätzen suchenden Autofahrern in der Brechbühlerstrasse, zumal die Baugesuchstellerin von der Parkplatzerstellungspflicht befreit worden sei. Zwar seien inzwischen entlang der Bitziusstrasse neue Parkfelder der blauen Zone geschaffen worden, doch seien die Lärmimmissionen des Bauvorhabens bereits heute spürbar. Die Aussagen der Beschwerdegegnerin zur künftigen Nutzung der Halle seien reine Parteibehauptungen, solange sie nicht durch das für die Benützungsregelung zuständige Sportamt der Stadt Bern bestätigt worden seien. Dass trotz Antrag kein Bericht vom Sportamt eingeholt worden sei, stelle eine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar.
4.
4.1. Art. 111 BGG definiert Mindestanforderungen an das kantonale Verfahren. Insbesondere muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können, wer zur Beschwerde ans Bundesgericht berechtigt ist (Abs. 1). Die Kantone dürfen die Beschwerdebefugnis somit nicht enger umschreiben. In öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beurteilt sich die Legitimation zur Beschwerde ans Bundesgericht nach Art. 89 BGG. Mithin ist zu untersuchen, ob das Verwaltungsgericht die (bundesrechtlichen) Mindestanforderungen von Art. 111 Abs. 1 i.V.m. Art. 89 BGG beachtet hat. Das Bundesgericht prüft diese Frage mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 164; zur Publ. vorgesehenes Urteil 8C_113/2014 vom 25. Juni 2014 E. 3; Urteil 2C_622/2013 vom 11. April 2014 E. 1.3; je mit Hinweisen).
4.2. Art. 89 Abs. 1 BGG setzt für das Beschwerderecht voraus, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (lit. b) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (lit. c).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind Nachbarn zur Beschwerdeführung gegen ein Bauvorhaben legitimiert, wenn sie mit Sicherheit oder zumindest grosser Wahrscheinlichkeit durch Immissionen (Lärm, Staub, Erschütterungen, Licht oder andere Einwirkungen) betroffen werden, die der Bau oder Betrieb der fraglichen Anlage hervorruft (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 285 mit Hinweisen).
Als wichtiges Kriterium zur Beurteilung der Betroffenheit dient in der Praxis die räumliche Distanz zum Bauvorhaben bzw. zur Anlage. Die Rechtsprechung bejaht in der Regel die Legitimation von Nachbarn, deren Liegenschaften sich in einem Umkreis von bis zu rund 100 m befinden. Bei grösseren Entfernungen muss eine Beeinträchtigung aufgrund der konkreten Gegebenheiten glaubhaft gemacht werden. Allerdings darf nicht schematisch auf einzelne Kriterien (insbesondere Distanzwerte) abgestellt werden, sondern ist eine Gesamtwürdigung anhand der konkreten Verhältnisse erforderlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 219 f. mit Hinweisen).
4.3. Das Argument der Beschwerdeführerinnen, sie seien Mitglieder einer Genossenschaft, die Eigentümerin eines direkt an die Schule angrenzenden Grundstücks sei, ist neu und nach Art. 99 Abs. 1 BGG unbeachtlich. Zudem würde die Beschwerdelegitimation der Genossenschaft ohnehin nicht bedeuten, dass automatisch auch ihre Mitglieder zur Beschwerde berechtigt wären.
4.4. Die Beschwerdeführerinnen machen aufgrund der Distanz ihres Grundstücks von ca. 140 m nicht geltend, direkt vom Baulärm betroffen zu sein. Sie leiten ihre besondere Beziehungsnähe zur Streitsache aus dem Baustellen- und Durchgangsverkehr ab sowie aus der Tatsache, dass sie während eines Teils der Bauzeit einen Umweg in Kauf nehmen müssen. Ihre diesbezügliche Kritik am angefochtenen Entscheid überzeugt jedoch nicht. Zum einen besteht offenbar bereits heute vor dem Schulhaus auf der Bitziusstrasse ein Fahrverbot (ausgenommen Zubringerdienst), weshalb die Beschwerdeführerinnen in ihrer Beschwerde an die Vorinstanz denn auch geltend machten, die Brechbühlerstrasse sei heute faktisch eine Durchgangsstrasse. In dieser Hinsicht ändert sich durch das Bauprojekt mithin nichts. Was den eigentlichen Baustellenverkehr anbelangt, erscheint nicht offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG), davon auszugehen, dass dieser über die Bitziusstrasse in Richtung Ostermundigenstrasse geführt wird. Es ist kein Grund ersichtlich und wird von den Beschwerdeführerinnen auch nicht dargelegt, weshalb für die Zufahrt zur Baustelle oder für die Wegfahrt die Brechbühlerstrasse verwendet werden sollte. Schliesslich begründet auch die vorgesehene etwa einwöchige Schliessung der Bitziusstrasse und der während dieser Zeit erforderliche Umweg keine besondere Betroffenheit der Beschwerdeführerinnen.
4.5. Wenn das Verwaltungsgericht davon ausging, trotz der Ersetzung der Einfach- durch eine Doppelturnhalle bleibe die Nutzung im Wesentlichen gleich, erscheint dies ebenfalls nicht als offensichtlich unrichtig. Dass die Halle neu auch für Sportarten geeignet ist, die auf ein grosses Feld angewiesen sind, bedeutet nicht, dass sich damit die Nutzerzahl wesentlich erhöht. Selbst wenn diese leicht zunehmen und dies dazu führen würde, dass vereinzelte Nutzer in der Brechbühlerstrasse nach einem Parkplatz suchen würden, so durfte die Vorinstanz jedenfalls willkürfrei davon ausgehen, dass eine solche Verkehrszunahme für die Beschwerdeführerinnen nicht deutlich wahrnehmbar wäre (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.3 S. 220 mit Hinweisen).
Unter diesen Umständen verletzte das Verwaltungsgericht auch nicht den Anspruch der Beschwerdeführerinnen auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV), wenn es davon ausging, dass ein Bericht des Sportamts der Stadt Bern keine entscheidenden Erkenntnisse liefern würde (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen).
4.6. Ob die Kritik zutrifft, es verletze Bundesrecht, wenn das Verwaltungsgericht eine in der Baueinsprache noch nicht vorgetragene Rüge als verspätet ansah, braucht hier nicht beurteilt zu werden, denn das Verwaltungsgericht behandelte die Rüge nichtsdestotrotz auch inhaltlich (vgl. in diesem Zusammenhang das Urteil 1C_372/2013 vom 15. November 2013 E. 2.3 mit Hinweisen).
5.
Zusammenfassend ergibt sich, dass das Verwaltungsgericht kein Bundesrecht verletzte, wenn es den Nichteintretensentscheid der BVE bestätigte. Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführerinnen aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Bern, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. August 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold