Sachverhalt:
A.
Die Firma J._ AG bezog von der Arbeitslosenversicherung für die Monate Januar 2009 bis Februar 2011 Schlechtwetterentschädigung im Gesamtbetrag von Fr. 219'600.15. Im Nachgang zur Betriebskontrolle vom 19. Oktober 2011 forderte das Staatssekretariat für Wirtschaft SECO mit unangefochten gebliebener Verfügung vom 8. November 2011 die gesamte Schlechtwetterentschädigung zurück, weil die Versicherungsleistungen unrechtmässig bezogen worden seien.
Am 30. April 2012 ersuchte die Firma J._ AG das SECO um Wiedererwägung der Verfügung vom 8. November 2011; es sei höchstens ein Betrag von Fr. 10'000.- zurückzufordern, da Unterlagen über die Arbeitszeitkontrollen wieder aufgetaucht seien. Das SECO trat auf das Gesuch mit der Begründung nicht ein, es sei nicht überprüfbar, ob es sich bei den nun vorgelegten Dokumenten um die originalen oder um nachträglich erstellte bzw. manipulierte Arbeitszeitkontrollblätter handle, weshalb diese die im Zeitpunkt der Arbeitgeberkontrolle nicht vorhandenen betrieblichen Arbeitszeitkontrollen nicht ersetzen könnten (Verfügung vom 10. Mai 2012). Die Firma J._ AG ersuchte daraufhin am 30. Mai 2012 um Revision der Verfügung vom 8. November 2011 und begründete ergänzend, ein Mitarbeiter des SECO habe sie in treuwidriger Weise von der Beschwerdeerhebung gegen die Verfügung vom 8. November 2011 abgehalten, indem er sich zunächst gesprächsbereit gezeigt habe und nach Ablauf der Beschwerdefrist von seiner Zusage zurückgetreten sei. Das SECO wies mit Verfügung vom 12. Juni 2012 das Revisionsgesuch ab. Daran hielt es auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 14. August 2012).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 21. März 2013 ab.
C.
Die Firma J._ AG lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der Verfügung vom 8. November 2011 sei die Sache unter Berücksichtigung der aufgetauchten Beweismittel neu zu beurteilen. Es sei die Rückforderung auf höchstens Fr. 10'000.- festzusetzen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das SECO schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>; Ausnahme: Beschwerden gemäss <ref-law> [<ref-law>]). Wie die Sachverhaltsfeststellung ist auch die vorinstanzliche Ermessensbetätigung im Verfahren vor Bundesgericht nur beschränkt überprüfbar. Eine Angemessenheitskontrolle (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 81 [zu Art. 132 lit. a OG]) ist dem Gericht verwehrt; es hat nur zu prüfen, ob die Vorinstanz ihr Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt, mithin überschritten, unterschritten oder missbraucht hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
1.3. Die Beweiswürdigung im Allgemeinen einschliesslich die Würdigung von Indizien und fallbezogene Wahrscheinlichkeitsüberlegungen betreffen Tatfragen, die das Bundesgericht lediglich auf offensichtliche Unrichtigkeit und Rechtsfehlerhaftigkeit hin zu überprüfen befugt ist (<ref-law>; vgl. E. 1.2 hiervor). Blosse Zweifel an der Richtigkeit der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung ändern an deren Verbindlichkeitswirkung gemäss <ref-law> nichts (vgl. etwa die Hinweise in Urteil 8C_431/2012 vom 12. Dezember 2012 E. 1.2).
2.
Gemäss <ref-law> haben Arbeitnehmer in Erwerbszweigen, in denen wetterbedingte Arbeitsausfälle üblich sind (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), Anspruch auf Schlechtwetterentschädigung, wenn sie für die Versicherung beitragspflichtig sind und einen anrechenbaren Arbeitsausfall (<ref-law>) erleiden. Nach Art. 42 Abs. 3 in Verbindung mit <ref-law> keinen Anspruch haben unter anderem Arbeitnehmer, deren Arbeitsausfall nicht bestimmbar oder deren Arbeitszeit nicht ausreichend kontrollierbar ist. <ref-law> schreibt vor, dass die genügende Kontrollierbarkeit des Arbeitsausfalls eine betriebliche Arbeitszeitkontrolle voraussetzt (Abs. 1) und der Arbeitgeber die Unterlagen über die Arbeitszeitkontrolle während fünf Jahren aufzubewahren hat (Abs. 2). Es soll damit sichergestellt werden, dass der Arbeitsausfall für die Durchführungsorgane der Arbeitslosenversicherung überprüfbar ist (Urteile 8C_1026/2008 vom 30. Juli 2009 E. 2, in: ARV 2010 S. 303 und C 140/02 vom 8. Oktober 2002 E. 3.1 mit Hinweis sowie C 59/01 vom 5. November 2001 E. 2b). Die Beweislast hierfür obliegt dem Arbeitgeber (Art. 47 Abs. 3 lit. a in Verbindung und Art. 42 Abs. 3 und <ref-law> sowie <ref-law>; Urteil 8C_469/2011 vom 29. Dezember 2011 E. 5).
Unrechtmässig ausgerichtete Leistungen der Arbeitslosenversicherung können zurückgefordert werden (<ref-law> in Verbindung mit Art. 25 Abs. 1 und 2 ATSG), sofern die Voraussetzungen für ein wiedererwägungs- oder revisionsweises Zurückkommen auf die formell rechtskräftig verfügte oder formlos erfolgte Leistungszusprechung gegeben sind (<ref-law>; <ref-ruling> mit Hinweisen).
3.
Zu beurteilen ist die Frage, ob die Voraussetzungen für eine (prozessuale) Revision erfüllt sind.
3.1. Gemäss <ref-law> müssen formell rechtskräftige Verfügungen und Einspracheentscheide in Revision gezogen werden, wenn die versicherte Person oder der Versicherungsträger nach deren Erlass erhebliche neue Tatsachen entdeckt oder Beweismittel auffindet, deren Beibringung zuvor nicht möglich war.
3.2. Der Begriff "neue Tatsachen oder Beweismittel" ist bei der (prozessualen) Revision eines Verwaltungsentscheides nach <ref-law> gleich auszulegen wie bei der Revision eines kantonalen Gerichtsentscheides gemäss <ref-law> oder bei der Revision eines Bundesgerichtsurteils gemäss <ref-law> (vgl. SVR 2010 IV Nr. 55 S. 169, 9C_764/2009 E. 3.1 mit Hinweisen; Urteile 8C_152/2012 vom 3. August 2012 E. 5.1 und 8C_422/2011 vom 5. Juni 2012 E. 4). Neu sind Tatsachen, die sich bis zum Zeitpunkt, da im Hauptverfahren noch tatsächliche Vorbringen prozessual zulässig waren, verwirklicht haben, jedoch dem Revisionsgesuchsteller trotz hinreichender Sorgfalt nicht bekannt waren. Die neuen Tatsachen müssen ferner erheblich sein, d.h. sie müssen geeignet sein, die tatbestandliche Grundlage des zur Revision beantragten Entscheids zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung zu einer andern Entscheidung zu führen. Neue Beweismittel haben entweder dem Beweis der die Revision begründenden neuen erheblichen Tatsachen oder dem Beweis von Tatsachen zu dienen, die zwar im früheren Verfahren bekannt gewesen, aber zum Nachteil des Gesuchstellers unbewiesen geblieben sind. Erheblich ist ein Beweismittel, wenn anzunehmen ist, es hätte zu einem anderen Urteil geführt, falls das Gericht resp. die Verwaltung im Hauptverfahren davon Kenntnis gehabt hätte. Ausschlaggebend ist, dass das Beweismittel nicht bloss der Sachverhaltswürdigung, sondern der Sachverhaltsermittlung dient. Ein Revisionsgrund ist nicht schon dann gegeben, wenn das Gericht resp. die Verwaltung bereits im Hauptverfahren bekannte Tatsachen unrichtig gewürdigt hat. Notwendig ist vielmehr, dass die unrichtige Würdigung erfolgte, weil für den Entscheid wesentliche Tatsachen unbewiesen geblieben sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 670; <ref-ruling> E. 5b S. 358; SVR 2012 UV Nr. 17 S. 63, 8C_434/2011 E. 7.1; erwähnte Urteile SVR 2010 IV Nr. 55 E. 3.2; 8C_152/2012 E. 5.1; 8C_422/2011 E. 4; Urteil 8F_9/2010 vom 10. März 2011 E. 3.1; je mit Hinweisen).
3.3. Die Revision ist ein ausserordentliches Rechtsmittel und dient nicht einfach der Weiterführung des Verfahrens. Sie dient insbesondere nicht dazu, Fehler und Unterlassungen der Prozessparteien nachträglich korrigieren zu können (Urteil 8F_9/2013 vom 15. Oktober 2013 E. 1.1 mit Hinweisen). Es obliegt den Prozessparteien, rechtzeitig und prozesskonform zur Klärung des Sachverhalts entsprechend ihrer Beweispflicht beizutragen. Dass es ihnen unmöglich war, Tatsachen und Beweismittel bereits im früheren Verfahren beizubringen, ist nur mit Zurückhaltung anzunehmen. Dies gilt ganz besonders, wenn im Revisionsverfahren mit angeblich neu entdeckten Beweismitteln bereits im Hauptverfahren aufgestellte Behauptungen belegt werden sollen, die vom Gericht resp. der Verwaltung als unzutreffend erachtet wurden. Entsprechend hat der Gesuchsteller im Revisionsgesuch darzutun, dass er die Beweismittel im früheren Verfahren trotz hinreichender Sorgfalt nicht beibringen konnte (Urteile 8C_523/2012 vom 7. November 2012 E. 3.3.1; 8F_9/2010 vom 10. März 2011 E. 3.3 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.1 S. 388; SVR 2012 UV Nr. 17 S. 63, 8C_434/2011 E. 7.1).
4.
4.1. Das Bundesverwaltungsgericht gelangte in Würdigung der Aktenlage zum Schluss, das Revisionsgesuch vom 30. Mai 2012 sei mit Ausnahme des Vorwurfs, die Firma sei treuwidrig von der Einspracheerhebung gegen die ursprüngliche Verfügung vom 8. November 2011 abgehalten worden, mit dem Wiedererwägungsgesuch vom 30. April 2012, worauf das SECO nicht eingetreten sei, identisch. Die Firma J._ AG hätte keine Revision, sondern nur eine Wiedererwägung beantragen können, das SECO habe jedoch mit der Abweisung des Revisionsgesuchs kein Bundesrecht verletzt.
4.2. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, führt zu keinem anderen Ergebnis. Sachverhaltlich sind sich die Parteien einig, dass anlässlich der Betriebskontrolle des SECO (welches die Ausgleichstelle der Arbeitslosenversicherung führt; <ref-law>) am 19. Oktober 2011 die Unterlagen über die Arbeitszeitkontrolle nicht auffindbar waren und die geltend gemachten Arbeitsausfälle auch nicht anhand anderer betrieblicher Unterlagen plausibilisiert werden konnten. Die Beschwerdeführerin bestätigte vielmehr unterschriftlich die Vernichtung der Dokumente. Als Begründung gibt sie an, die Unterlagen hätten nach Weisung der Geschäftsleitung vernichtet werden sollen. Aus unerfindlichen Gründen habe aber ein Mitarbeiter diese der für sie tätigen Treuhandfirma übergeben, wo sie im März 2012 wieder aufgetaucht und als Revisionsgrund anzusehen seien. Ferner rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe in willkürlicher Weise und in Verletzung des rechtlichen Gehörs sowie in falscher Rechtsanwendung festgestellt, dass das SECO nicht hätte auf das Revisionsgesuch eintreten dürfen und zu Unrecht die Revisionsgründe materiell nicht geprüft.
4.3.
4.3.1. Die Beschwerdeführerin machte zu keinem Zeitpunkt geltend, nicht zureichend über die Anforderungen an eine Arbeitszeitkontrolle und die fünfjährige Aufbewahrungspflicht dieser Dokumente (E. 2 hiervor) informiert worden zu sein. Dass das SECO im Rahmen der Betriebskontrolle den geltend gemachten Arbeitsausfall mangels entsprechenden Unterlagen nicht genügend überprüfen konnte, was (nicht allein) zur Rückforderung der geleisteten Schlechtwetterentschädigung führte (vgl. Nichteintretensentscheid des SECO vom 10. Mai 2012 S. 2 betreffend Wiedererwägungsgesuch), liegt einzig an der fehlenden Sorgfalt der Unternehmensverantwortlichen. Diese haben - eigenen Angaben gemäss - die Vernichtung der Unterlagen angeordnet und damit die Aufbewahrungspflicht verletzt. Von bisher trotz hinreichender Sorgfalt nicht bekannten, bzw. nicht in das Verfahren beibringbaren Beweismitteln oder neuen Tatsachen kann nicht die Rede sein, vielmehr konnten die als revisionsrechtlich ausschlaggebend bezeichneten Unterlagen aufgrund eigener Nachlässigkeit nicht vorgewiesen werden.
Dass diese Arbeitszeitkontrollen für die damalige Revisionsverfügung von grosser Bedeutung oder gar entscheidend waren, musste dem Unternehmen bewusst sein. Die Beschwerdeführerin hätte daher zum damaligen Zeitpunkt alles daran setzen müssen, diese vorlegen zu können. Ihrer eigenen Argumentation folgend, waren die Unternehmensverantwortlichen zum damaligen Zeitpunkt der Ansicht, diese vernichtet zu haben. Sie hätten sich in dieser Situation vergewissern müssen, ob diese tatsächlich - der internen Weisung entsprechend - vernichtet worden waren oder nicht. Diese Nachprüfung wäre bei der übersichtlichen Struktur der KMU ohne weiteres möglich und zumutbar gewesen, indem der Unternehmensverantwortliche beim mit der Vernichtung der Unterlagen beauftragten Mitarbeiter nachgefragt und den Irrtum damit aufgedeckt hätte. Indem die Beschwerdeführerin jedoch keinerlei Nachkontrolle im dargelegten Sinne vornahm, hat sie bereits im Revisionszeitpunkt nicht alles daran gesetzt, die unverzichtbaren Dokumente vorzulegen. Wäre sie aber nach dem Gesagten mittels zumutbaren Massnahmen in der Lage gewesen, die verlangten Arbeitszeitkontrollen bereits zum damaligen Zeitpunkt der Revisionsverfügung beizubringen (vgl. E. 3 hiervor), vermögen diese keine prozessuale Revision zu begründen.
4.3.2. Ebenso wenig ist die mit Revisionsgesuch erstmals vorgebrachte tatsächliche Behauptung der Beschwerdeführerin, sie sei durch das treuwidrige Verhalten eines SECO-Mitarbeiters von der Einspracheerhebung gegen die Verfügung vom 8. November 2011 abgehalten worden, geeignet, die tatbeständliche Grundlage der Verfügung zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung zu einer anderen Entscheidung zu führen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5b S. 358 und SVR 2010 UV Nr. 22 S. 90, 8C_720/2009 E. 5.2; je mit Hinweisen). Der Einwand hätte überdies früher vorgebracht werden können, worauf die Vorinstanz bereits zutreffend hinwies.
4.3.3. Damit ist die prozessuale Revision ausgeschlossen, weshalb dementsprechend die Verfügung vom 8. November 2011 nicht in Revision zu ziehen war. In diesem Sinne ist unerheblich, ob das Bundesverwaltungsgericht zu Recht die Ansicht vertrat, das SECO hätte auf das Revisionsgesuch vom 30. Mai 2012 nicht eintreten sollen. Auch wenn es nicht explizit auf die einzelnen geltend gemachten Revisionsgründe einging, hat es mit dieser Auffassung implizit die Sichtweise der Beschwerdeführerin verworfen, es läge ein Revisionstatbestand vor. Dieser war es denn auch möglich, den vorinstanzlichen Entscheid sachgerecht anzufechten (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Das Bundesverwaltungsgericht hat weder den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör verletzt, noch hat es den Sachverhalt in rechtsverletzender, willkürlicher Weise festgestellt. Die Beschwerde ist, auch was den Eventualantrag auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz betrifft, unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. November 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Polla