Faits:
A. A.a X._ est un agent de joueurs de football espagnol, domicilié en Espagne, au bénéfice d'une licence.
Y._ est un footballeur professionnel brésilien domicilié au Portugal.
Par un document écrit daté du 28 avril 2003 et signé de sa main, Y._ a autorisé X._ et deux autres personnes à négocier, à titre exclusif, ses droits fédératifs sur le marché européen jusqu'au 31 août 2003.
Le 27 août 2003, Z._, club de football portugais, et Y._ ont signé un contrat de travail valable jusqu'au 30 juin 2006.
A.b A fin mai 2005, X._ a pris contact avec la Fédération Internationale de Football Association (FIFA) pour lui signaler que, du fait de la signature de ce contrat de travail et sur la base de la procuration du 28 avril 2003, il réclamait à Y._ le paiement d'une commission correspondant à 5% du salaire annuel fixé dans le contrat de travail, intérêts en sus.
Le footballeur a contesté devoir quoi que ce fût à l'agent de joueurs.
Par décision du 27 mai 2007, le juge unique de la Commission du Statut du Joueur a rejeté la demande de X._. Il a retenu, en substance, que le demandeur n'avait pas réussi à établir qu'il avait participé d'une quelconque manière aux pourparlers ayant abouti à la conclusion du contrat de travail précité.
B. Saisi d'un appel de X._, le Tribunal Arbitral du Sport (TAS), composé de trois membres, l'a rejeté par sentence du 8 août 2008. Il a considéré que les parties avaient valablement passé un contrat de courtage de négociation régi, en premier lieu, par les règles pertinentes de la FIFA et, à titre subsidiaire, par celles du droit suisse, en particulier les <ref-law>. A l'instar du juge unique, il a estimé, lui aussi, que l'agent de joueurs n'avait pas prouvé avoir déployé quelque activité que ce fût dans le cadre de la négociation du contrat de travail. Prenant en compte un argument avancé par l'appelant, le TAS a envisagé ensuite l'hypothèse dans laquelle, selon la jurisprudence suisse, la stipulation d'une clause d'exclusivité valable peut impliquer, suivant les circonstances, une renonciation à l'exigence du lien de causalité entre l'activité du courtier et la conclusion du contrat (<ref-ruling> consid. 3d p. 365). Il a cependant écarté l'applicabilité de ce principe jurisprudentiel en l'espèce, motif pris de ce qu'une norme juridique contraignante du droit suisse - l'art. 8 al. 2 let. a de la loi fédérale du 6 octobre 1989 sur le service de l'emploi et la location de services (LSE; RS 823.11) - déclare nuls et non avenus les arrangements qui interdisent au demandeur d'emploi de s'adresser à un autre placeur. Enfin, le TAS a également exclu que le footballeur ait violé le contrat de courtage en concluant le contrat de travail avec Z._ sans l'assistance de son agent.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler la sentence du 8 août 2008 et de renvoyer la cause au TAS pour nouvelle sentence dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral. Il reproche au TAS d'avoir violé son droit d'être entendu.
L'intimé conclut au rejet du recours.
Le TAS, qui a produit son dossier, déclare renoncer à déposer une réponse, tout en attirant l'attention du Tribunal fédéral sur le fait que les parties ont formellement accepté l'application du droit suisse dans la présente affaire.

Considérant en droit:
1. D'après l'<ref-law>, le Tribunal fédéral rédige son arrêt dans une langue officielle, en règle générale dans la langue de la décision attaquée. Lorsque cette décision est rédigée dans une autre langue (ici l'anglais), le Tribunal fédéral utilise la langue officielle choisie par les parties. Devant le TAS, celles-ci ont utilisé l'anglais, tandis que, dans les mémoires qu'elles ont adressés au Tribunal fédéral, elles ont employé, qui le français (le recourant), qui l'allemand (l'intimé). Conformément à sa pratique, le Tribunal fédéral adoptera la langue du recours et rendra, par conséquent, son arrêt en français.
2. 2.1 Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions prévues par les art. 190 à 192 LDIP (<ref-law>).
2.2 Le siège du TAS se trouve à Lausanne. L'une des parties au moins (en l'occurrence, les deux) n'avait pas son domicile en Suisse au moment déterminant. Les dispositions du chapitre 12 de la LDIP sont donc applicables (<ref-law>).
2.3 Le recourant est directement touché par la sentence attaquée, puisque celle-ci confirme le rejet de la demande pécuniaire qu'il avait soumise au juge unique. Il a ainsi un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que cette sentence n'ait pas été rendue en violation de l'art. 190 al. 2 let. d LDIP, ce qui lui confère la qualité pour recourir (<ref-law>).
Déposé dans les 30 jours suivant la notification de la sentence attaquée (<ref-law>), le recours, qui satisfait aux exigences formelles posées par l'<ref-law>, est recevable.
3. Comme unique grief, le recourant reproche au TAS d'avoir fondé sa sentence sur un motif juridique imprévisible pour les parties et d'avoir ainsi violé son droit d'être entendu.
3.1 En Suisse, le droit d'être entendu se rapporte surtout à la constatation des faits. Le droit des parties d'être interpellées sur des questions juridiques n'est reconnu que de manière restreinte. En règle générale, selon l'adage jura novit curia, les tribunaux étatiques ou arbitraux apprécient librement la portée juridique des faits et ils peuvent statuer aussi sur la base de règles de droit autres que celles invoquées par les parties. En conséquence, pour autant que la convention d'arbitrage ne restreigne pas la mission du tribunal arbitral aux seuls moyens juridiques soulevés par les parties, celles-ci n'ont pas à être entendues de façon spécifique sur la portée à reconnaître aux règles de droit. A titre exceptionnel, il convient de les interpeller lorsque le juge ou le tribunal arbitral envisage de fonder sa décision sur une norme ou une considération juridique qui n'a pas été évoquée au cours de la procédure et dont les parties ne pouvaient pas supputer la pertinence (<ref-ruling> consid. 5 et les références). Au demeurant, savoir ce qui est imprévisible est une question d'appréciation. Aussi le Tribunal fédéral se montre-t-il restrictif dans l'application de ladite règle pour ce motif et parce qu'il convient d'avoir égard aux particularités de ce type de procédure en évitant que l'argument de la surprise ne soit utilisé en vue d'obtenir un examen matériel de la sentence par l'autorité de recours.
3.2 En l'espèce, le recourant plaide avec raison l'effet de surprise.
Que le droit suisse fût applicable à titre supplétif au présent litige n'est certes pas contesté, ni contestable du reste. Cela résulte déjà de la combinaison de l'art. R58 du Code de l'arbitrage en matière de sport (édition 2004) et de l'art. 59 al. 2 des Statuts de la FIFA dans leur version applicable à l'époque des faits litigieux. C'est d'ailleurs sur ce droit que le recourant a fondé l'argumentation qu'il a présentée au TAS. Il est tout aussi exact, comme les arbitres le précisent sous chiffres 6.26 et 6.27 de leur sentence, que la liberté contractuelle des parties ne pouvait s'exercer que dans les limites fixées par les dispositions de droit public relatives aux intermédiaires pour la recherche de travail, spécifiques au pays concerné, et dans le respect des autres normes juridiques contraignantes de la législation du pays national concerné, du droit international et des traités internationaux applicables (voir l'art. 12 al. 9 du règlement de la FIFA gouvernant l'activité des agents de joueurs [édition 2001] et le chiffre 5 du contrat de médiation type formant l'annexe C dudit règlement).
Il ne s'ensuit pas pour autant que, dans le cas présent, le recourant devait raisonnablement s'attendre à se voir appliquer les dispositions pertinentes de la LSE. Ainsi que le précise son art. 2 al. 1, cette loi régit, entre autres activités, celle du placeur, qui consiste à mettre employeurs et demandeurs d'emploi en contact afin qu'ils puissent conclure des contrats de travail, mais à la condition que cette activité s'exerce "en Suisse". Tombe également sous le coup de ladite loi, en vertu de son art. 3, celui qui s'occupe régulièrement de placement de personnel de l'étranger ou à l'étranger (placement intéressant l'étranger); dans ce cas, le placeur doit avoir obtenu une autorisation du Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) en sus de l'autorisation cantonale. Cette double exigence démontre, si besoin est, que la LSE ne vise que l'activité de placement exercée depuis la Suisse, même si cette activité intéresse l'étranger. Il en va également ainsi lorsqu'il s'agit, comme en l'espèce, du placement à l'étranger d'une personne en quête d'emploi à l'étranger. Preuve en est la formulation de l'art. 5 let. a de l'ordonnance du 16 janvier 1991 sur le service de l'emploi et la location de services (OSE; RS 823.111), ainsi libellé, qui vise ce cas de figure: "Est également considérée comme placement à l'étranger l'activité d'un placeur qui, de Suisse, place des demandeurs d'emploi domiciliés à l'étranger dans un pays tiers, pour autant qu'une partie au moins de l'activité de placement s'effectue en Suisse ou que les relations contractuelles entre le placeur et les demandeurs d'emploi ou les employeurs soient régies par le droit suisse" (mots mis en évidence par le Tribunal fédéral). En d'autres termes, même lorsque l'activité de placement s'exerce à l'étranger, il faut que le placeur ait un siège en suisse pour que la LSE trouve à s'appliquer (sur cette question, cf. les Directives et commentaires du SECO relatifs à la LSE, 2003, p. 20 et p. 46 ss (chapitre consacré au contrat de médiation type de la FIFA pour le placement de joueurs de football), «http://www.espace-emploi.ch» sous la rubrique "Placement privé, location de services" et la sous-rubrique "Documents utiles"; voir aussi: Manfred Rehbinder, AVG Arbeitsvermittlungsgesetz, Kommentar, ch. 10 ad art. 2 LSE; Andreas Ritter, Das revidierte Arbeitsvermittlungsgesetz, thèse Zurich 1993, p. 94 s.).
En l'occurrence, il est question d'un agent de joueurs espagnol domicilié en Espagne qui réclame une commission de courtage à un joueur de football brésilien domicilié au Portugal du fait que ce joueur a conclu un contrat de travail avec un club de football portugais grâce à sa prétendue entremise. Hormis l'application à titre supplétif du droit matériel suisse prévue par le règlement de la FIFA, la présente cause n'offre ainsi pas le moindre point de rattachement avec la Suisse. C'est dire que le recourant ne pouvait pas prévoir que le TAS tirerait argument d'une disposition de la LSE manifestement inapplicable pour conclure à la nullité de la clause d'exclusivité stipulée par les parties et maintenir, de ce fait, l'exigence d'un lien de causalité (non prouvé) entre l'activité alléguée par le courtier et la conclusion du contrat de travail par l'intimé avec le club portugais. Il le pouvait d'autant moins qu'aucune des parties n'avait invoqué la LSE dans la procédure arbitrale. Le TAS aurait dû, à tout le moins, interpeller les parties sur cette question et les inviter à faire valoir leurs moyens. Le recourant eût été alors en mesure de présenter ses arguments pour s'opposer à l'application de la LSE. Aussi, en omettant cette interpellation, le TAS a-t-il violé le droit d'être entendu du recourant. Semblable violation a eu une incidence concrète sur la situation juridique de cette partie, puisque celle-ci ne dispose d'aucun moyen pour faire sanctionner par le Tribunal fédéral l'application erronée, voire arbitraire, de la LES qui a entraîné le rejet de sa demande pécuniaire.
Cela étant, il y a lieu d'admettre le recours et d'annuler la sentence attaquée. En revanche, eu égard au caractère purement cassatoire du recours en matière civile dirigé contre une sentence arbitrale internationale (<ref-law>), il ne sera pas donné suite à la conclusion du recourant visant à ce que la cause soit renvoyée au TAS avec une injonction.
4. L'intimé, qui succombe, devra supporter les frais de la procédure fédérale (<ref-law>) et verser des dépens au recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et la sentence attaquée est annulée.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera au recourant une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 9 février 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo