Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ ist bosnisch-herzegowinischer Staatsbürger. Er wurde 1986 in der Schweiz geboren. Am 31. Dezember 2010 heiratete er seine Landsfrau B.A._. Sie reiste im Rahmen des Familiennachzugs am 3. September 2012 in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Zweck des Verbleibs bei ihrem Gatten. Die Eheleute sind im Dezember 2014 Eltern eines Kindes geworden, das ebenfalls die bosnisch-herzegowinische Staatsbürgerschaft besitzt.
A.b. A.A._ ist in der Schweiz wie folgt strafrechtlich verurteilt worden:
- Mit Strafverfügung der Jugendanwaltschaft Thurgau vom 4. März 2003 wegen Tätlichkeiten zu einer Arbeitsleistung von zwei Halbtagen;
- mit Strafverfügung der Jugendanwaltschaft Thurgau vom 13. November 2003 wegen einfacher Körperverletzung zu einer Busse von Fr. 200.--.
Nach den ersten beiden Verurteilungen verwarnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau A.A._ am 2. Februar 2004. In der Folge wurde dieser wie folgt bestraft:
- Mit Strafverfügung der Jugendanwaltschaft Thurgau vom 22. März 2004 wegen Ruhestörung und Widerhandlung gegen das Waffengesetz mit Busse von Fr. 100.--;
- mit Strafverfügung der Staatsanwaltschaft St. Gallen vom 27. Juni 2007 wegen Führens eines Motorfahrzeugs in angetrunkenem Zustand zu einer Geldstrafe von 10 Tagessätze und einer Busse von Fr. 2'000.--.
Nach diesen Straferkenntnissen verwarnte ihn das Migrationsamt am 7. September 2007 ein zweites Mal und drohte ihm bei erneuter Straffälligkeit die Wegweisung an. Es kam hernach zu weiteren Verurteilungen:
- Mit Strafverfügung des Bezirksamts Frauenfeld vom 2. November 2007 unter anderem wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand zu einer Geldstrafe von 40 Tagessätzen und einer Busse von Fr. 500.--;
- mit Strafverfügung des Bezirksamts Kreuzlingen vom 14. August 2008 wegen Störung der öffentlichen Ruhe und Ordnung zu einer Busse von Fr. 250.--;
- mit Urteil des Bezirksgerichts Kreuzlingen vom 12. November 2008 unter anderem wegen mehrfacher Körperverletzung, Widerhandlungen gegen die Strassenverkehrsgesetzgebung sowie Widerhandlungen gegen das Waffengesetz zu einer Geldstrafe zu 120 Tagessätzen und einer Busse von Fr. 8'500.--;
- mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau vom 22. Januar 2011 wegen einfacher Körperverletzung zu einer Geldstrafe von 40 Tagessätze und einer Busse von Fr. 500.--;
- mit Urteil des Bezirksgerichts Arbon vom 19. Februar 2013 wegen versuchter schwerer Körperverletzung und Angriffs zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 11 Monaten.
B.
Am 3. März 2014 widerrief das Migrationsamt Thurgau die Niederlassungsbewilligung von A.A._. Ein hiergegen erhobener Rekurs beim Departement für Justiz und Sicherheit blieb erfolglos. Die dagegen geführte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Urteil vom 22. Oktober 2014 ab.
C.
Mit einer Eingabe vom 8. Dezember 2014, die als "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Subsidiäre Verfassungsbeschwerde" bezeichnet wird, beantragt A.A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. Oktober 2014 sei aufzuheben. Er macht sinngemäss geltend, vom Widerruf der Niederlassungsbewilligung sei abzusehen, und die Aufenthaltsbewilligung seiner Gattin sei zu verlängern. Die Migrationsbehörden seien anzuweisen, auf eine Wegweisung der beiden zu verzichten.
Das Migrationsamt des Kantons Thurgau, das Departement für Justiz und Inneres und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen.
Mit Verfügung vom 10. Dezember 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>). Gegen Entscheide über den Widerruf einer Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerde jedoch zulässig, weil grundsätzlich ein Anspruch auf das Fortbestehen dieser Bewilligung besteht (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4). Auf die form- und fristgerecht gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid erhobene Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten (Art. 42 Abs. 2, 100 Abs. 1, 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG).
1.2. Die Niederlassungsbewilligung wird unbefristet und ohne Bedingungen erteilt (Art. 34 Abs. 1 AuG). Wird das den Widerruf der Niederlassungsbewilligung bestätigende Urteil aufgehoben, gilt die Bewilligung weiter. Sie muss dafür weder wieder erteilt noch verlängert werden (Urteile 2C_200/2015 vom 18. Juni 2015 E. 1.2; 2C_213/2014 vom 5. November 2014 E. 4.3.1; 2C_958/2011 vom 18. Februar 2013 E. 1.1 mit Hinweisen). Der ebenfalls erhobene Antrag der Beschwerdeführer, die Niederlassungsbewilligung sei "unter üblicher Verlängerung im Rahmen der üblichen Kontrollfristen ... zuzuerkennen", hat neben dem Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Urteils keine selbständige Bedeutung.
1.3. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde insoweit, als die Beschwerdeführer unabhängig vom Ergebnis des Entscheides über den Aufenthaltsanspruch die Wegweisung anfechten. In dieser Hinsicht ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (vgl. <ref-law>). Die erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde kann nicht entgegengenommen werden, da die Beschwerdeführer keine hinreichend substanziierten Verfassungsrügen mit Bezug auf die Wegweisung erheben (vgl. Art. 116 und 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 310 f.; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254, 396 E. 3.1 S. 399; Urteil 2C_236/2011 vom 2. September 2011 E. 1.4).
1.4. Das Bundesgericht ist an die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gebunden, soweit sie sich nicht als offensichtlich unrichtig erweisen oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Zudem ist von den Beschwerdeführern aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2.
2.1. Im Rahmen von Art. 63 Abs. 1 lit. b AuG muss, anders als beim Widerrufsgrund von Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG, nicht eine Verurteilung zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe (d.h. zu einer Strafe von mindestens einem Jahr, <ref-ruling> E. 2.1 S. 299; <ref-ruling> E. 4.2 und E. 4.5 S. 379 ff.) vorliegen. Ein schwerwiegender Verstoss gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung liegt in erster Linie vor, wenn die ausländische Person durch ihre Handlungen besonders hochwertige Rechtsgüter wie namentlich die körperliche, psychische und sexuelle Integrität eines Menschen verletzt oder gefährdet hat. Indes können auch vergleichsweise weniger gravierende Pflichtverletzungen als "schwerwiegend" im Sinne von Art. 63 Abs. 1 lit. b AuG bezeichnet werden: So ist ein Widerruf der Niederlassungsbewilligung namentlich auch dann möglich, wenn sich eine ausländische Person von strafrechtlichen Massnahmen bzw. ausländerrechtlichen Verwarnungen nicht beeindrucken lässt und damit zeigt, dass sie auch zukünftig weder gewillt noch fähig ist, sich an die Rechtsordnung zu halten (<ref-ruling> E. 2.1 S. 19, 137 II 297 E. 3.3 S. 303; Urteile 2C_933/2014 vom 29. Januar 2015 E. 4.2.1; 2C_881/2012 vom 16. Januar 2013 E. 4.3.1). Somit kann auch eine Summierung von Verstössen, die für sich genommen für einen Widerruf nicht ausreichen würden, einen Bewilligungsentzug rechtfertigen, wobei nicht die Schwere der verhängten Strafen, sondern die Vielzahl der Delikte entscheidend ist (Urteile 2C_446/2014 vom 5. März 2015 E. 3.2; 2C_160/2013 vom 15. November 2013 E. 2.1.1). Der Widerrufsgrund infolge schwerwiegenden Verstosses gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung gilt auch für Niederlassungsbewilligungen ausländischer Personen, die sich seit mehr als 15 Jahren ununterbrochen und ordnungsgemäss in der Schweiz aufhalten (Art. 63 Abs. 2 AuG).
2.2. In jedem Fall muss der Widerruf der Niederlassungsbewilligung verhältnismässig sein (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 20 f.; <ref-ruling> E. 4.3 S. 381). Dabei sind namentlich die Schwere des Delikts und des Verschuldens des Betroffenen, der seit der Tat vergangene Zeitraum, das Verhalten des Ausländers während diesem, der Grad seiner Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen (BGE <ref-ruling> E. 4.3 S. 381; vgl. auch das Urteil des EGMR i.S. Trabelsi gegen Deutschland vom 13. Oktober 2011 [Nr. 41548/06], Ziff. 53 ff. bezüglich der Ausweisung eines in Deutschland geborenen, wiederholt straffällig gewordenen Tunesiers). Die Niederlassungsbewilligung eines Ausländers, der sich schon seit langer Zeit hier aufhält, soll nur mit Zurückhaltung widerrufen werden. Bei wiederholter bzw. schwerer Straffälligkeit ist dies jedoch selbst dann nicht ausgeschlossen, wenn er hier geboren ist und sein ganzes bisheriges Leben im Land verbracht hat (vgl. das Urteil 2C_562/2011 vom 21. November 2011 E. 3.3 [Widerruf der Niederlassungsbewilligung eines hier geborenen 43-jährigen Türken] und das bereits zitierte EGMR-Urteil Trabelsi ). Soweit dies zu keinem Widerspruch zu übergeordnetem Recht führt, berücksichtigt das Bundesgericht, die verfassungsrechtlichen Vorgaben von <ref-law>; danach sollen namentlich Gewaltdelikte zum Verlust des Aufenthaltsrechts führen (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 31). Bei schweren Straftaten und bei Rückfall bzw. wiederholter Delinquenz besteht regelmässig ein wesentliches öffentliches Interesse daran, die Anwesenheit eines Ausländers zu beenden, der die Sicherheit und Ordnung derart beeinträchtigt (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 und 2.5 S. 149 ff.; das Urteil 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 3.1, nicht publ. in <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 190 f.).
3.
Die Beschwerdeführer bringen sinngemäss vor, das Verwaltungsgericht sei zu Unrecht vom Vorliegen eines Widerrufsgrundes betreffend die Niederlassungsbewilligung ausgegangen und habe eine unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> und 8 EMRK qualifiziert unrichtige Verhältnismässigkeitsprüfung vorgenommen.
3.1. Die Ausführungen der Vorinstanz zum Vorliegen eines Widerrufsgrundes sind nicht zu beanstanden (vgl. hiervor E. 2.1) : Der Beschwerdeführer wurde bereits als Minderjähriger dreimal bestraft (Tätlichkeiten; einfache Körperverletzung; Widerhandlung gegen das Waffengesetz). Als Erwachsener erfolgten Verurteilungen wegen Führens eines Motorfahrzeugs in angetrunkenem Zustand zu Geldstrafen von 10 Tagessätzen (27. Juni 2007) bzw. 40 Tagessätzen (2. November 2007). Hinzu kamen - unter anderem - Verurteilungen wegen mehrfacher Körperverletzung, Widerhandlungen gegen die Strassenverkehrsgesetzgebung und gegen das Waffengesetz (Geldstrafe zu 120 Tagessätzen; 12. November 2008). Beim der Verurteilung wegen mehrfacher Körperverletzung zugrunde liegenden Sachverhalt hatte der Beschwerdeführer seine ehemalige Freundin im Rahmen von drei Attacken mehrfach im Gesicht verletzt und an einem Absperrgitter gewürgt. Zu einem anderen Zeitpunkt hatte er einem Dritten ohne ersichtlichen Grund durch einen Faustschlag das Nasenbein gebrochen, worauf dieser notoperiert werden und mehrere Tage im Spital verbringen musste. Bei einer neuerlichen Verurteilung wegen einfacher Körperverletzung verletzte er eine Person am Auge (Geldstrafe von 40 Tagessätzen; 22. Januar 2011). Am 19. Februar 2013 erfolgte eine Verurteilung wegen versuchter schwerer Körperverletzung und Angriff zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 11 Monaten. Dabei handelte es sich wiederum um eine Attacke auf eine unbekannte Drittperson. Nachdem der Beschwerdeführer seinem Opfer den Weg versperrt hatte, trat er mit einem Mittäter gegen dessen Kopf, Oberkörper und Hals bis die Person bewusstlos war. Das Opfer erlitt eine Prellung am Hinterkopf, eine Rissquetschwunde, eine Nasenbeinfraktur mit Septumdeviation, Blutergüsse unter den Augen und weitere Prellungen am Körper. Die Vorinstanz hat gestützt auf die überaus zahlreichen Straferkenntnisse, von denen sich die grösste Anzahl gegen die körperliche Integrität der Opfer richtete, in korrekter Weise festgestellt, dass der Beschwerdeführer weder gewillt noch fähig ist, sich an die hiesige Rechtsordnung zu halten und den Widerrufsgrund von Art. 63 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Art. 63 Abs. 2 AuG erfüllt (vgl. Urteile 2C_699/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 4.3; 2C_160/2013 vom 15. November 2013 E. 2.1.2; 2C_818/2010 vom 4. Juli 2011 E. 4).
3.2. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer hat das Verwaltungsgericht auch den hiervor (in E. 2.2) genannten, massgeblichen Kriterien Rechnung getragen und den Widerruf der Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers zurecht als verhältnismässig erachtet:
3.2.1. In Anbetracht der stetigen und mitunter schweren Straftaten des Beschwerdeführers durfte die Vorinstanz - auch wenn die jüngste Verurteilung wiederum bedingt ausgesprochen worden war - von gravierenden Verstössen gegen die Rechtsordnung und einem entsprechend hohen öffentlichen Interesse an der Beendigung des Aufenthalts des Beschwerdeführers ausgehen (vgl. E. 3.1). Die Beschwerdeführer rügen, die Vorinstanz habe die Straffreiheit seit der Begehung der Taten und den Umstand, dass der Beschwerdeführer diese teils noch minderjährig bzw. als junger Erwachsener sowie aufgrund einer Suchtproblematik ("Alkoholproblem") verübte, zu wenig gewichtet. Die Beschwerdeführer verkennen, dass die Vorinstanz an die rechtskräftigen Erkenntnisse des Strafgerichts gebunden ist, welches allfällige schuldmildernde Umstände wie Minderjährigkeit oder eine Suchtproblematik berücksichtigt (vgl. Urteil 2C_995/2013 vom 24. April 2014 E. 3.1). Insofern besteht im ausländerrechtlichen Verfahren regelmässig kein Raum, die Beurteilung des Strafgerichts zum strafrechtlichen Verschulden und zur Angemessenheit der Sanktion zu relativieren (vgl. Urteile 2C_114/2013 vom 10. September 2013; 2C_1052/2012 vom 2. April 2013 E. 4.3 mit Hinweisen). Zwar erfolgte, wie vorgebracht wird, seit der bisher jüngsten Verurteilung im Jahr 2013 bis zum vorinstanzlichen Urteil (Oktober 2014) keine weiteren Straferkenntnisse. Dem ist indessen entgegenzuhalten, dass sich der Beschwerdeführer bisher weder durch frühere Straferkenntnisse noch durch bedingt ausgesprochene Strafen oder durch Probezeiten noch durch zwei ausländerrechtliche Verwarnungen von seiner fortwährenden Delinquenz abhalten liess. Praxisgemäss wäre bei Delikten gegen die körperliche Integrität auch ein geringes Rückfallrisiko nicht hinzunehmen (vgl. Urteile 2C_542/2014 vom 22. Januar 2015 E. 3.2.2; 2C_1115/2012 vom 11. Juni 2013 E. 4.2; 2C_864/2012 vom 21. September 2012 E. 2.2.1). Die Vorbringen vermögen das gewichtige öffentliche Interesse an der Beendigung des Aufenthalts demnach nicht entscheidend zu relativieren.
3.2.2. Dem öffentlichen Interesse an der Aufenthaltsbeendigung sind die persönlichen Verhältnisse beim Beschwerdeführer gegenüberzustellen. Dieser macht unter dem Gesichtswinkel von Art. 8 EMRK geltend, er sei in der Schweiz aufgewachsen und habe keinerlei Beziehung zur Heimat. Der Beschwerdeführer hält sich seit seiner Kindheit in der Schweiz auf, hat die Schulen hier besucht und eine Anlehre als Metallbauarbeiter sowie mittlerweile eine Zusatzausbildung zum Lastwagenchauffeur absolviert. Wie das Verwaltungsgericht in kohärenter Weise feststellt, hat der Beschwerdeführer teils temporär und teils fest angestellt gearbeitet, zeitweilig war er arbeitslos. Inwieweit die Vorinstanz diesbezüglich "Arztberichte und Zeugnisse des Arbeitgebers" unberücksichtigt gelassen haben soll, bleibt unsubstanziiert. Nach den vorinstanzlichen Feststellungen ist der Beschwerdeführer sodann weder sozialhilfeabhängig noch verschuldet. Er ist in diesem Sinn wirtschaftlich integriert. Aufgrund der stetigen Delinquenz kann er demgegenüber nicht als sozial integriert gelten (<ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 2c S. 384 ff.; Urteile 2C_512/2013 vom 17. Februar 2014 E. 3.1; 2C_878/2013 vom 13. Februar 2014 E. 1.2). Zweifelsohne ist sein Interesse an einem weiteren Verbleib in der Schweiz jedoch bereits aufgrund der langjährigen Anwesenheit erheblich. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, ihm wäre eine Wegweisung in seine Heimat unzumutbar, weil keinerlei Beziehungen zu seinem Heimatland bestünden, kann dem gleichwohl nicht gefolgt werden: Der Beschwerdeführer ist durch seine Eltern und seinen Bruder sowohl mit der Sprache seines Herkunftslandes als Muttersprache als auch den dortigen sozio-kulturellen Gegebenheiten vertraut. Er hat Ende Dezember 2010 die damals in Bosnien und Herzegowina lebende Beschwerdeführerin geheiratet, was nahelegt, dass er sich regelmässig dort aufgehalten hat. Obwohl er nie länger dort gelebt hat, ist ihm ein Umzug nach Bosnien und Herzegowina zumutbar.
3.2.3. Die Beschwerdeführerin reiste am 3. September 2012 in die Schweiz ein. Nach den vorinstanzlichen Feststellungen ist sie weder sprachlich noch beruflich integriert. Wenn vorgebracht wird, ihr wäre eine Rückkehr in die Heimat nicht zuzumuten, ist dem entgegenzusetzen, dass sie sich (zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils) erst rund zwei Jahre hier aufhält und ihr gesamtes bisheriges Leben in ihrer Heimat verbracht hat. Das erst nach dem vorinstanzlichen Urteil geborene gemeinsame Kind (vgl. <ref-law>) ist in einem anpassungsfähigen Alter (<ref-ruling> E. 3.1 S. 147; <ref-ruling> E. 2.1 S. 336; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 249 f.;<ref-ruling> E. 2.1 S. 154 f.) und wird durch die Wegweisung von keinem Elternteil getrennt (vgl. Urteil 2C_536/2013 vom 30. Dezember 2013 E. 2.3, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.). Vor diesem Hintergrund und nach einer stetigen und vorrangig gegen die körperliche Integrität gerichteten Delinquenz vermögen die privaten und familiären Interessen das erhebliche sicherheitspolitische Interesse an der Beendigung des Aufenthalts des Beschwerdeführers nicht aufzuwiegen (vgl. Urteile 2C_542/2014 vom 22. Januar 2015 E. 3; 2C_935/2014 vom 11. Mai 2015 E. 3; 2C_140/2014 vom 24. Oktober 2014 E. 4).
3.2.4. Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers erweist sich insgesamt als verhältnismässig. Damit entfällt auch ein aus diesem Recht abgeleiteter Anwesenheitsanspruch der Beschwerdeführerin (Art. 43 Abs. 1 AuG und Art. 8 EMRK; vgl. Urteil 2C_536/2013 vom 30. Dezember 2013 E. 2.3. nicht publ. in: <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146, E. 3 f. S. 148 ff. mit Hinweisen).
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unbegründet und abzuweisen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde kann nicht eingetreten werden. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni