Sachverhalt:
A. In der Betreibung Nr. yyy gegen X._ (für eine Forderung von Fr. 7'409.90) bewilligte der Präsident des Bezirksgerichts Bischofszell mit Verfügung vom 22. Mai 2009 den Rechtsvorschlag wegen fehlenden neuen Vermögens nicht und stellte sinngemäss den Umfang des neuen Vermögens fest. Er beseitigte den Rechtsvorschlag gegen die Forderung selbst und erteilte der Gläubigerin die provisorische Rechtsöffnung für Fr. 7'409.90. Zudem erklärte er einen Einkommensanteil von X._ von Fr. 230.25 pro Monat ab Juni 2009 als pfändbar.
B. Daraufhin reichte X._ am 17. August 2009 eine Klage auf Bestreitung des neuen Vermögens ein. Mit Urteil vom 29. März 2010 wies das Bezirksgericht Bischofszell die Klage ab und bestätigte sinngemäss die Verfügung des Präsidenten des Bezirksgerichts vom 22. Mai 2009.
C. Gegen dieses Urteil erklärte X._ am 25. August 2010 die Berufung an das Obergericht des Kantons Thurgau. In seinen Berufungsanträgen vom 12. Oktober 2010 stellte er insbesondere und eventualiter (für den Fall, dass seine Berufung nicht gutgeheissen werden sollte) ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Nachdem X._ einer ersten Aufforderung des Obergerichts vom 14. Oktober 2010 zur Darlegung seiner finanziellen Verhältnisse für die Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege mit Eingabe vom 3. Dezember 2010 nur teilweise nachkam, forderte ihn das Obergericht mit Schreiben vom 11. Januar 2011 auf, namentlich erwähnte Unterlagen einzureichen. X._ leistete auch dieser Aufforderung nur teilweise Folge (Eingabe vom 6. Februar 2011), weshalb das Obergericht am 10. Februar 2011 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht des Gesuchstellers abwies. X._ reichte dem Obergericht daraufhin mit Schreiben vom 20. Februar 2011 weitere Belege nach.
Das Schreiben vom 20. Februar 2011 nahm das Obergericht als Wiedererwägungsgesuch entgegen. Dieses wies es mit Verfügung vom 22. Februar 2011 ab und bestätigte die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Es setzte X._ zudem eine nicht erstreckbare Frist bis zum 10. März 2011 zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'500.-- an.
D. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner als Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneten Eingabe vom 24. März 2011 die Aufhebung der obergerichtlichen Verfügung vom 22. Februar 2011 und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das obergerichtliche Verfahren. Eventualiter sei ihm sinngemäss eine neue Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses anzusetzen und der Beschwerde damit die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Zudem stellt er für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung seines Anwalts.
Es sind die Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>) über die Verweigerung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 3 S. 144). In der Hauptsache geht es um eine Klage auf Bestreitung des neuen Vermögens nach <ref-law> und damit um eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache (<ref-law>) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit (<ref-law>; Urteil 5A_556/2008 vom 29. Mai 2009 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>) über die Verweigerung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 3 S. 144). In der Hauptsache geht es um eine Klage auf Bestreitung des neuen Vermögens nach <ref-law> und damit um eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache (<ref-law>) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit (<ref-law>; Urteil 5A_556/2008 vom 29. Mai 2009 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.2 1.2.1 Entgegen der Vorschrift von <ref-law> enthält der angefochtene Entscheid keine Angabe des Streitwerts. Der Beschwerdeführer räumt zutreffenderweise ein, dass der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) nicht erreicht ist. Hingegen ist er der Ansicht, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>).
1.2.2 Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung - ein Begriff, der restriktiv auszulegen ist - liegt vor, wenn ein allgemeines Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit Rechtssicherheit herzustellen. Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht sodann beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden. Auch eine vom Bundesgericht bereits entschiedene Rechtsfrage kann unter der Voraussetzung von grundsätzlicher Bedeutung sein, dass sich die erneute Überprüfung aufdrängt. Dies kann zutreffen, wenn die Rechtsprechung nicht einheitlich oder in der massgebenden Lehre auf erhebliche Kritik gestossen ist oder wenn in der Zwischenzeit neue Gesetzesbestimmungen in Kraft getreten sind (<ref-ruling> E. 1.2 S. 399; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.). In der Beschwerdeschrift ist auszuführen, warum die Voraussetzung der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung erfüllt ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.6 S. 493 f.).
1.2.3 Der Beschwerdeführer sieht die grundsätzliche Bedeutung der Rechtsfrage darin, ob der Gesuchsteller im Rahmen eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege gezwungen werden könne, sämtliche Kontobewegungen eines gemeinsamen Kontos von Ehegatten offen zu legen, nachdem er dem Gericht bereits detaillierte Kontoauszüge und Jahresabschlüsse der fraglichen Konten eingereicht habe und damit seiner Mitwirkungspflicht nachgekommen sei.
1.2.4 Die Frage, wie weit die Mitwirkungspflicht des Gesuchstellers im Rahmen eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege geht und auf welche Belege sie sich insbesondere bezieht, stellt keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung dar. Bei der vom Beschwerdeführer aufgeworfenen Frage geht es vielmehr einzig um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung (nämlich der Mitwirkungspflicht) auf den konkreten Fall. Damit handelt es sich aber gerade nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Zudem ist entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht ersichtlich, warum es äusserst unwahrscheinlich sein soll, dass die aufgeworfene Frage infolge der Streitwertgrenze (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 270 f.) je dem Bundesgericht unterbreitet werden kann.
1.2.5 Erweist sich damit die Beschwerde in Zivilsachen als unzulässig, ist die Eingabe des Beschwerdeführers als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegen zu nehmen.
2. 2.1 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte beruht (Art. 118 i.V.m. <ref-law>).
2.2 Für die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde und substanziiert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur ausdrücklich vorgebrachte, klar und detailliert erhobene sowie, soweit möglich, belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.3 In der Beschwerde dürfen keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Neu sind Tatsachen, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt wurden (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 128 f.).
Es ist zudem nicht Aufgabe des Bundesgerichts, Beweise abzunehmen und Tatsachen festzustellen, über die sich das kantonale Sachgericht nicht ausgesprochen hat (<ref-ruling> E. 6.1 S. 214 f.).
2.4 Soweit der Beschwerdeführer eingangs seiner Beschwerde in pauschaler Weise die "Vorbringen der Vorinstanz" bestreitet, "soweit und sofern sie nicht mit dem von ihm Vorgebrachten übereinstimmen", ist darauf von vornherein nicht einzutreten (vgl. E. 2.2 oben). Dasselbe gilt, sofern er dem Bundesgericht allgemein "den vollen Beweis mit allen zulässigen Beweismitteln" offeriert (vgl. E. 2.3 oben).
3. 3.1 Das Obergericht hat das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren in der angefochtenen Verfügung abgewiesen, weil der Beschwerdeführer seine Mitwirkungspflicht verletzt habe. Auch wenn er gewisse Belege eingereicht habe, fehlten die massgeblichen Unterlagen für die Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege weiterhin. Dabei handle es sich einerseits um den Beleg über den Rückkaufswert der Lebensversicherung gemäss der Klagebeilage 25 und andererseits um die Auszüge der Jahre 2009 und 2010 zweier Konten bei der Bank Z._. Zur Aufforderung betreffend Lebensversicherung habe sich der Beschwerdeführer gar nicht geäussert. In Bezug auf die Kontoauszüge mache er geltend, seine Ehefrau verweigere insoweit die Zustimmung zur Offenlegung.
3.2 Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dem Obergericht im Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege die erwähnten Belege (Rückkaufswert Lebensversicherung und Kontoauszüge 2009 und 2010) nicht eingereicht zu haben.
Jedoch wirft er dem Obergericht eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör und eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vor (E. 4). Er macht eine Verletzung seines Beweisführungsanspruchs geltend (E. 5) und beanstandet eine falsche Anwendung des Beweismasses (E. 6). Schliesslich erachtet er seinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege als verletzt (E. 7).
4. 4.1 Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör.
Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, der in die Rechtsstellung einer Person eingreift. Dazu gehört insbesondere deren Recht, sich vor Erlass des Entscheides zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 356). Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht somit alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (<ref-ruling> E. 3.2 S. 272).
Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, der in die Rechtsstellung einer Person eingreift. Dazu gehört insbesondere deren Recht, sich vor Erlass des Entscheides zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 356). Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht somit alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (<ref-ruling> E. 3.2 S. 272).
4.2 4.2.1 Der Beschwerdeführer rügt, was den "verlangten Ausweis über den Rückkaufswert seiner Lebensversicherung" betreffe, habe er diesen (als Klagebeilage 25) "längst eingereicht". Allenfalls fehle diese Klagebeilage aber in den Akten, was der Grund für die erneute Aufforderung des Obergerichts sein könne. Sollte dies der Fall sein, habe ihn aber das Obergericht bisher nicht auf dieses Fehlen hingewiesen. Deshalb habe er sich dazu (zur allfällig nicht mehr existierenden Klagebeilage 25) auch noch gar nicht äussern können, was einer Missachtung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> gleichkomme.
Zudem gehe das Obergericht in sachverhaltlicher Hinsicht in willkürlicher Weise von einer rückkaufsfähigen Versicherung aus, obwohl es sich um eine Risikoversicherung ohne Rückkaufswert handle.
4.2.2 Wie aus dem angefochtenen Entscheid hervorgeht, forderte das Obergericht den Beschwerdeführer mit Schreiben vom 11. Januar 2011 ausdrücklich auf, den "Ausweis über den Rückkaufswert der Lebensversicherung gemäss Beilage 25 zur Klageschrift" einzureichen. Die Klagebeilage 25 stellt eine Versicherungspolice dar, aus der ein möglicher Rückkaufswert nicht ersichtlich ist.
Im Schreiben vom 10. Februar 2011 bemängelte das Obergericht die Nichteinreichung eines Ausweises über den Rückkaufswert und stellte fest, der Beschwerdeführer habe sich zu dieser Aufforderung bisher mit keinem Wort geäussert ("wird überhaupt nicht kommentiert"; S. 1 des Schreibens des Obergerichts vom 10. Februar 2011). Darauf ging der Beschwerdeführer in seinem Schreiben vom 20. Februar 2011 an das Obergericht erneut nicht ein.
4.2.3 Wäre es damit dem Beschwerdeführer möglich gewesen, sich im obergerichtlichen Verfahren zu der Aufforderung der Einreichung des Ausweises über den Rückkaufswert zu äussern, ist von vornherein nicht ersichtlich, worin eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör liegen könnte. Die Rüge erweist sich damit als unbegründet.
4.2.4 Was sodann die Sachverhaltsrüge betrifft, stellt es eine Rechtsfrage dar, ob die fragliche "Sparzielversicherung" gemäss der Klagebeilage 25 als rückkaufsfähige Versicherung oder als Risikoversicherung einzuordnen ist. Dies ändert aber an der Beurteilung dieser Willkürrüge nichts.
Im Anwendungsbereich des Rügeprinzips (vgl. E. 2.2 oben) verbietet der Grundsatz von Treu und Glauben, der Vorinstanz bekannte rechtserhebliche Einwände vorzuenthalten und diese erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheides im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben. Dies ergibt sich auch aus dem Erfordernis der Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheides und fusst auf dem Gedanken, dass der Instanzenzug nicht nur prozessual durchlaufen, sondern auch materiell erschöpft sein muss (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 640).
Dem Beschwerdeführer wäre es im kantonalen Verfahren wie erwähnt mehrmals möglich gewesen, das Obergericht darauf hinzuweisen, dass die fragliche Lebensversicherung gar keinen Rückkaufswert aufweise. Indem er dies nicht getan hat und die Aufforderung des Obergerichts zur Einreichung einer Bestätigung zum Rückkaufswert ignoriert hat, kann auf diese erst vor Bundesgericht geltend gemachte Willkürrüge nicht eingetreten werden.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht eine Verletzung seines Beweisführungsanspruchs und damit von <ref-law> vor. Das Obergericht habe sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege einzig wegen des Fehlens eines Beleges über seine finanziellen Verhältnisse abgewiesen, obwohl sich aus den Akten seine desolate finanzielle Situation ergebe.
5.2 Der Vorwurf einer Verletzung des Beweisführungsanspruchs beschlägt <ref-law> und ist daher grundsätzlich als Verletzung dieser Bestimmung geltend zu machen. Eine Ausnahme drängt sich indes auf, wenn - wie hier - einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt und somit ein Verstoss gegen <ref-law> im Gegensatz zur Verletzung von <ref-law> nicht frei geprüft werden kann.
5.3 Der Beweisführungsanspruch verleiht der Partei das Recht darauf, für rechtserhebliche Sachvorbringen zum Beweis zugelassen zu werden, wenn ihr Beweisantrag rechtzeitig und formrichtig erfolgt (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148).
5.4 Der Beschwerdeführer legt nicht dar, welche Tatsachenbehauptungen er aufgestellt und dazu prozesskonform Beweis angeboten haben soll. Darauf ist nicht einzutreten.
6. 6.1 Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung der "Handhabung des Beweismasses, zum Beispiel des Beweismasses der überwiegenden Wahrscheinlichkeit", da aufgrund der dem Obergericht vorliegenden Akten ohne Weiteres eine Beurteilung des Gesuchs und insbesondere der Frage der Bedürftigkeit möglich sei.
6.2 Der Beschwerdeführer rügt nicht die Anwendung eines falsches Beweismasses, sondern eine falsche Handhabung des Beweismasses. Seiner Ansicht nach ist die Bedürftigkeit mit den vorliegenden Unterlagen nachgewiesen. Seine Rüge wendet sich damit gegen die obergerichtliche Beweiswürdigung.
Der Beschwerdeführer legt nicht dar (und begründet nicht), welches verfassungsmässige Recht seiner Ansicht nach verletzt worden sein soll (vgl. E. 2.1 f. oben). Darauf ist nicht einzutreten.
7.1 7.1.1 Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
7.1.2 Bei der Prüfung der Bedürftigkeit hat die entscheidende Behörde sämtliche Umstände im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung zu würdigen und der gesamten wirtschaftlichen Situation des Gesuchstellers Rechnung zu tragen. Zu diesem Zweck sind einerseits alle finanziellen Verpflichtungen des Gesuchstellers zu berücksichtigen und anderseits seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse zu prüfen.
7.1.3 Grundsätzlich obliegt es dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen. Insoweit trifft ihn eine umfassende Mitwirkungspflicht. Dabei dürfen umso höhere Anforderungen an eine umfassende und klare Darstellung der finanziellen Situation gestellt werden, je komplexer die finanziellen Verhältnisse sind. Aus den eingereichten Belegen muss auf jeden Fall der aktuelle Grundbedarf des Gesuchstellers hervorgehen. Die Belege haben zudem über sämtliche finanzielle Verpflichtungen des Gesuchstellers sowie über seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse Aufschluss zu geben. Wenn der Gesuchsteller seinen Obliegenheiten nicht nachkommt, ist das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (<ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.; vgl. im Übrigen auch § 80 Abs. 2 des Gesetzes vom 6. Juli 1988 über die Zivilrechtspflege des Kantons Thurgau (ZPO; RB 271; in Kraft bis 31. Dezember 2010).
7.2 Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch das Obergericht und rügt eine Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK. Entgegen der Ansicht des Obergerichts sei er seiner Mitwirkungspflicht bei der Offenlegung seiner finanziellen Verhältnisse ausreichend nachgekommen.
Mit den eingereichten Unterlagen seien sowohl Einkommen als auch Vermögen klar ausgewiesen. Damit hätte die Beurteilung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege ohne Weiteres vorgenommen werden können. Das Obergericht versuche, im Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege an Unterlagen zu kommen, die es im zugrunde liegenden Feststellungsverfahren nach <ref-law> nicht werde erlangen können, da dort der Gläubiger beweispflichtig sei.
7.3 Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass ihm das kantonale Recht weitergehende Ansprüche einräumt, als die in <ref-law> verankerte Minimalgarantie (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 133). Der von ihm angerufene Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK betrifft sodann das Strafverfahren und ist damit vorliegend nicht anwendbar (<ref-ruling> E. 3.2 S. 356). Abgesehen davon bietet Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK keinen weitergehenden Schutz als <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.4.2.4 S. 97).
7.3.1 Das Obergericht hat den Beschwerdeführer unter Nachfristansetzung zwei Mal (Schreiben vom 14. Oktober 2010 und 11. Januar 2011) aufgefordert, namentlich bezeichnete Angaben zu machen beziehungsweise Unterlagen einzureichen, damit seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse abgeklärt werden könnten. Der Beschwerdeführer ist diesen Aufforderungen nur beschränkt beziehungsweise nicht nachgekommen. Das Obergericht hat den Beschwerdeführer zudem ausdrücklich auf die Folgen einer Verletzung der Mitwirkungspflicht hingewiesen.
7.3.2 Unter diesen Umständen ist die Vorgehensweise des Obergerichts und damit die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer ist seiner Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen (vgl. auch Urteil 5A_382/2010 vom 22. September 2010 E. 3.2.2).
7.4 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, seine Ehefrau verweigere die Zustimmung zur Herausgabe der Kontoauszüge der Jahre 2009 und 2010 der gemeinsamen Konten bei der Bank Z._, so ist dies nicht stichhaltig. Einerseits handelt es sich bei der angeblichen Verweigerung der Ehefrau um eine blosse und unbewiesene Behauptung des Beschwerdeführers. Andererseits umfasst die familienrechtliche Beistands- und Unterhaltspflicht der Ehegatten auch die Rechtsverfolgung und ist vor der subsidiären staatlichen Leistungspflicht gemäss <ref-law> in Anspruch zu nehmen.
Folglich muss zur Beurteilung der Bedürftigkeit des Gesuchstellers auch die wirtschaftliche Situation des anderen Ehegatten berücksichtigt werden (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3b S. 205; <ref-ruling> E. 3a S. 12; <ref-ruling> E. 3a S. 195; <ref-ruling> E. 3 S. 4 ff.; Urteil 4A_412/2008 vom 27. Oktober 2008 E. 4.1 betreffend Aberkennungsklage; MEICHSSNER, Das Grundrecht auf unentgeltliche Rechtspflege, 2008, S. 83; BÜHLER, Betreibungs- und prozessrechtliches Existenzminimum, AJP 2002 S. 658).
Daraus ergibt sich, dass die Ehefrau des Gesuchstellers von vornherein nicht berechtigt ist, die Auskunft über ihre finanziellen Verhältnisse zu verweigern. Damit ist nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht Kontoauszüge eines gemeinsamen Kontos der Ehegatten verlangt.
Die Rüge erweist sich als unbegründet.
8. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer in der angefochtenen Verfügung vom 22. Februar 2011 eine (nicht erstreckbare) Frist bis zum 10. März 2011 zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'500.-- angesetzt. Nach ständiger Praxis der thurgauischen Gerichte haben bis zur (rechtskräftigen) Erledigung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege sämtliche Prozesshandlungen - wozu auch die Fristansetzung zur Leistung eines Kostenvorschusses zählt - in der Hauptsache zu unterbleiben (vgl. RBOG 2002 Nr. 22 E. 2b; MERZ, Die Praxis zur thurgauischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2007, N. 20 zu <ref-law>/TG).
Das Obergericht wird deshalb dem Beschwerdeführer eine neue Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses anzusetzen haben.
9. Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird kostenpflichtig (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden. Abgesehen davon, dass er für die seines Erachtens zu bejahende Bedürftigkeit im kantonalen Verfahren auch auf die Mittellosigkeit im bundesgerichtlichen Verfahren schliesst und darauf verweist, ohne dies zu begründen (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 393), zeigen die vorstehenden Erwägungen auf, dass seine Beschwerde von Beginn an keine Aussichten auf Erfolg haben konnte (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Bettler