Sachverhalt:
A. Im Rahmen eines vom Staat Zürich gegen X._ eingeleiteten Rechtsöffnungsverfahrens stellte dieser am 28. September 2009 ein Ausstandsbegehren gegen die mit der Sache befasste Bezirksrichterin. Mit Beschluss vom 26. Oktober 2009 verpflichtete die für die Beurteilung des Ausstandsbegehrens zuständige Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich X._ zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 800.-- und setzte ihm hierfür eine Frist von zehn Tagen ab Zustellung des Beschlusses an.
Nachdem X._ dem Obergericht mit Eingabe vom 9. November 2009 mitgeteilt hatte, die im Beschluss vom 26. Oktober 2009 erwähnte Beilage sei nicht versandt worden, verfügte der Obergerichtspräsident am 17. November 2009 (Zustellung am 26. November 2009) den neuerlichen Versand der fraglichen Beilage und setzte eine neue zehntägige Frist zur Bezahlung der Prozesskaution an.
B. Mit Eingabe vom 6. Dezember 2009 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) unter anderem an das Bundesgericht und beantragt sinngemäss, die Beschlüsse vom 26. Oktober 2009 und 17. November 2009 nichtig zu erklären. Inhaltlich wendet er sich gegen die Pflicht, eine Prozesskaution leisten zu müssen. Sodann verlangt er den Rückzug von nicht näher bezeichneten Betreibungen, die Löschung der entsprechenden Registereinträge, den Zuspruch von Schadenersatz und Genugtuung, die Erteilung von Weisungen an das Bezirksgericht Meilen, das Obergericht Zürich, die Gemeinde Meilen und weitere Personen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten sind zwei Beschlüsse, mit welchen der Beschwerdeführer verpflichtet wurde, im Hinblick auf die Behandlung eines von ihm gestellten Ausstandsbegehrens eine Prozesskaution zu leisten. Die angefochtenen Entscheide schliessen das Verfahren nicht ab und sind daher als selbständig eröffnete Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren. Gegen einen Zwischenentscheid ist die Beschwerde in Zivilsachen - abgesehen vom hier nicht gegebenen Ausnahmefall gemäss <ref-law> - nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Dabei muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für die beschwerdeführende Partei günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1; je mit Hinweisen). Die Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses führt rechtsprechungsgemäss zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>, wenn - wie hier - im Säumnisfall auf die Klage bzw. das Rechtsmittel nicht eingetreten wird (Urteil 4A_100/2009 E. 1.3, nicht publiziert in <ref-ruling>).
1.2 In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Der Streitwert bestimmt sich bei Beschwerden gegen Vor- und Zwischenentscheide nach den Begehren, die vor der Instanz streitig sind, wo die Hauptsache - das Rechtsöffnungsverfahren - hängig ist (<ref-law>). Die Zulässigkeit der Beschwerde ist vom Beschwerdeführer darzulegen (<ref-law>). Weder der Beschwerdeschrift noch den Akten lässt sich entnehmen, um welchen Betrag es im Rechtsöffnungsverfahren geht. Demzufolge mangelt es bereits am Nachweis des erforderlichen Streitwertes, weshalb die Eingabe nicht als Beschwerde in Zivilsachen, sondern als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen wird (<ref-law>; s. Urteil 5A_40/2009 E. 1.3.4).
1.3 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht werden, und hierfür gilt das strikte Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. mit <ref-law>). Danach prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik wird nicht eingetreten (vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Diesen Anforderungen kommt der Beschwerdeführer nicht nach, wenn er die tatbeständliche Feststellung des Obergerichts bestreitet, wonach er selber "aus nicht mehr weiterziehbaren Verfahren bei der Obergerichtskasse Schulden" habe, weshalb ihm keine Prozesskaution hätte auferlegt werden dürfen. Mit der blossen Behauptung, diese Aussage des Obergerichts sei "aktenkundig nicht zutreffend", es müsse "Klartext gesprochen werden" und es handle sich um "ein Lügengebäude", für welches es keine Belege gebe, lässt sich keine Willkür dartun.
In der Sache selbst, nämlich zur Frage, ob das Obergericht berechtigt war, die Leistung einer Prozesskaution zu verlangen, kommt der Beschwerdeführer seiner Begründungspflicht nicht nach, denn er führt keine einzige gesetzliche Bestimmung an, die unrichtig angewandt worden sein soll. Insofern kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
1.4 Unzulässig sind die in Ziff. 9.2-9.7 der Beschwerde formulierten Begehren sowie sämtliche Ausführungen, die in keinem ersichtlichen Zusammenhang zu den beiden angefochtenen Beschlüssen stehen.
1.5 Die Begründung muss in der Beschwerde selbst enthalten sein. Ein Verweis auf die den Vorinstanzen oder gar in anderen Verfahren eingereichten Rechtsschriften genügt den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 400; Urteil 5A_512/2007 E. 1.5). Daran ändert auch nichts, wenn der Beschwerdeführer seine bisherigen Rechtsschriften zum «integrierten Bestandteil» seiner Beschwerde erklärt. Indes machen Verweise die Beschwerde nicht als solche ungültig; vielmehr bleiben einfach die verwiesenen Vorbringen unbeachtlich (Urteil 5A_386/2008 E. 1).
Unbeachtlich sind sodann diejenigen Vorbringen, mit welchen der Beschwerdeführer sein Ausstandsbegehren gegen das Bezirksgericht Meilen im Allgemeinen und die Rechtsöffnungsrichterin im Speziellen richtet.
2. Freilich beantragt der Beschwerdeführer hauptsächlich die Feststellung der Nichtigkeit der fraglichen Verfügungen. Er leitet seinen Standpunkt aus der fehlenden Rechtsmittelbelehrung ab.
Entgegen der vom Beschwerdeführer vertretenen Ansicht hat die fehlende Rechtsmittelbelehrung nicht die Nichtigkeit der fraglichen Verfügung zur Folge; vielmehr beschränkt sich das Gesetz auf die Regelung, dass einer Partei aus einer mangelhaften Eröffnung keine Nachteile erwachsen dürfen (<ref-law>; s. auch <ref-ruling> E. 2.3 S. 486). Ein solcher wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich, zumal der Beschwerdeführer das zutreffende Rechtsmittel ergreifen konnte; ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung der angefochtenen Beschlüsse besteht nicht. Daher kann auf diese Rüge nicht eingetreten werden (Urteil 4A_85/2007 vom 11. Juni 2007 E. 5).
3. Ferner rügt der Beschwerdeführer Befangenheit des Obergerichts und damit aller mitwirkenden Gerichtspersonen. Er habe mehrfach "Befangenheitsklagen" eingereicht. Ein Entscheid, wonach von einer übergeordneten Aufsichtsinstanz diese Befangenheit aufgehoben worden wäre, liege nicht vor, weshalb das Obergericht als befangen zu gelten habe. Sinngemäss dasselbe Argument führt er an, weil über eine von ihm gegen gewisse Richter des Obergerichts eingereichte Strafklage noch nicht entschieden worden sei.
Nach der in <ref-law> und in Art. 6 Ziff. 1 EMRK enthaltenen Garantie des verfassungsmässigen Richters hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (<ref-ruling> E. 5.2 S. 3). Ausstandsbegehren sind in jedem Verfahren einzeln zu stellen und zu begründen, denn nur so kann geprüft werden, ob die Garantie des verfassungsmässigen Richters im Einzelfall erfüllt ist; pauschale "Befangenheitsklagen" ausserhalb eines konkreten Verfahrens sind unzulässig.
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, im Verfahren vor der Verwaltungskommission des Obergerichts ein Ausstandsbegehren gestellt zu haben, weshalb dieses verspätet ist, insofern er sich auf Gründe bezieht, die sich ausserhalb des hängigen Verfahrens und zeitlich vor diesem zugetragen haben und damit bereits bekannt waren. Ebenso wenig behauptet er, der Ausstandsgrund habe sich erst im Verlaufe des vorinstanzlichen Verfahrens verwirklicht. Daher kann auf die Rüge der Verletzung von <ref-law> nicht eingetreten werden.
4. Weiter rügt der Beschwerdeführer den Umstand, dass das Obergericht das Ausstandsverfahren fortgesetzt hat, obwohl er am 9. November 2009 ein Rechtsmittel gegen die Verfügung vom 26. Oktober 2009 eingereicht habe, weshalb der angefochtene Entscheid nichtig sei.
Die Beschwerdeschrift vom 9. November 2009, mit welcher sich der Beschwerdegegner gegen den Beschluss vom 26. Oktober 2009 richtet, ist Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Indes hat die Beschwerde an das Bundesgericht - abgesehen von hier nicht zutreffenden Ausnahmen - keine aufschiebende Wirkung, es sei denn, diese werde angeordnet (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat keinen diesbezüglichen Antrag gestellt, noch hat die Präsidentin der urteilenden Abteilung oder der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung von Amtes wegen erteilt. Damit stand der Fortsetzung des Verfahrens nichts entgegen. Die Rüge ist unbegründet.
5. Sodann rügt der Beschwerdeführer die Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil im Beschluss vom 26. Oktober 2009 eine Beilage erwähnt worden sei, die ihm das Obergericht aber nicht zugesandt habe.
Der Beschwerdeführer übersieht, dass das Obergericht gerade auf dessen Intervention hin mit dem - hier ebenfalls angefochtenen - Beschluss vom 17. November 2009 das behauptete Missgeschick korrigiert, den Beschluss vom 26. Oktober 2009 ersetzt und ihm die fehlende Beilage unter gleichzeitiger Ansetzung einer neuen Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses zugesandt hat. Damit wurde die durch das unterlassene Beilegen des Berichtes der Rechtsöffnungsrichterin verursachte Verletzung des rechtlichen Gehörs geheilt. Die diesbezügliche Rüge ist daher unbegründet.
6. Nach dem Gesagten ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und ist kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett