Faits:
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A. P._, est originaire du Kurdistan turc. Ses études, durant lesquelles elle a été emprisonnée et torturée pour raisons politiques, ont été couronnées par l'obtention d'un diplôme en médecine dentaire. Elle a pratiqué ce métier, mais y a renoncé lorsqu'elle s'est réfugiée en Suisse en 1987, compte tenu de son ignorance de la langue et des conditions mises à la reconnaissance de son diplôme. Elle a alors exercé diverses activités (réceptionniste, traductrice, enseignante, etc.); son taux d'occupation a progressivement diminué à partir de 1992. Elle s'est annoncée auprès de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) le 22 juin 1998.
Se fondant sur l'avis des médecins traitants, qui ont principalement fait état de fibromyalgie avec trouble dépressif et probable syndrome de stress post-traumatique chronique (séquelles de mauvais traitements et torture) autorisant la pratique d'une activité adaptée trois à quatre heures par jour (rapports des doctoresses V._, interniste, et S._, psychiatre, des 31 décembre 1998, 13 juillet et 12 décembre 2000), l'administration a d'abord rejeté la demande de prestations estimant que la condition relative à la période de cotisation ne pouvait pas être remplie du moment que l'invalidité était survenue en Turquie (décision du 16 octobre 2001). Cette décision a été annulée sur recours (jugement du 6 juillet 2004) et la cause a été ren-voyée à l'office AI pour qu'il détermine le taux d'invalidité de l'assurée.
Mandatés par l'administration, les docteurs A._, médecin-chef de l'Hôpital X._, O._, rhumatologue, et E._, psychiatre, ont posé les diagnostics de syndrome de fibromyalgie floride, trouble dépressif récurrent épisode actuel moyen avec rémission incomplète et modification durable de la personnalité après une expérience de catastrophe (rapport du 10 mai 2005). Ils ont ajouté que la capacité de travail était probablement totale jusqu'en 1992, puis avait diminué à 30% et abouti à un épuisement complet des ressources psychiques à la suite des échecs de vie supplémentaires survenus en 2000 et 2002 (interruption thérapeutique de grossesse après cinq mois, maladie grave détectée chez le mari; rapport du 3 juillet 2005).
Par décision du 6 septembre 2005 confirmée sur opposition le 18 novembre suivant, l'office AI a rejeté la demande de l'intéressée au motif que les critères retenus par la jurisprudence pour apprécier le caractère invalidant d'une fibromyalgie n'étaient pas réunis.
Par décision du 6 septembre 2005 confirmée sur opposition le 18 novembre suivant, l'office AI a rejeté la demande de l'intéressée au motif que les critères retenus par la jurisprudence pour apprécier le caractère invalidant d'une fibromyalgie n'étaient pas réunis.
B. P._ a déféré la décision sur opposition au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales concluant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. A l'appui de ses conclusions, elle a notamment déposé un rapport établi le 21 avril 2004 par la doctoresse D._, interniste, endocrinologue et médecin traitant, qui rappelait l'ensemble des affections dont souffrait sa patiente.
Considérant que le rapport d'expertise, auquel elle conférait pleine valeur probante, permettait de conclure à l'existence des critères niés par l'administration, la juridiction cantonale a admis le recours de l'assurée par jugement du 16 mai 2006.
Considérant que le rapport d'expertise, auquel elle conférait pleine valeur probante, permettait de conclure à l'existence des critères niés par l'administration, la juridiction cantonale a admis le recours de l'assurée par jugement du 16 mai 2006.
C. L'office AI a interjeté recours de droit administratif contre ce jugement dont il a requis l'annulation. Il a conclu à la confirmation de la décision sur opposition.
Sous suite de frais et dépens, l'intéressée a conclu au rejet du recours et simultanément sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. L'acte attaqué a été rendu avant l'entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2005 1205, 1242) de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), de sorte que la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 395).
1. L'acte attaqué a été rendu avant l'entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2005 1205, 1242) de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), de sorte que la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 395).
2. A cause des modifications apportées à son pouvoir d'examen par l'art. 132 al. 2 OJ, introduit par le ch. III de la loi fédérale du 16 décembre 2005 modifiant la LAI, le tribunal de céans doit se borner à examiner si les premiers juges ont violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou l'abus de leur pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou encore s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure; cette nouvelle réglementation vaut pour tous les recours déposés après le 30 juin 2006 (ch. II let. c de la loi du 16 décembre 2005 modifiant la LAI).
2. A cause des modifications apportées à son pouvoir d'examen par l'art. 132 al. 2 OJ, introduit par le ch. III de la loi fédérale du 16 décembre 2005 modifiant la LAI, le tribunal de céans doit se borner à examiner si les premiers juges ont violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou l'abus de leur pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou encore s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure; cette nouvelle réglementation vaut pour tous les recours déposés après le 30 juin 2006 (ch. II let. c de la loi du 16 décembre 2005 modifiant la LAI).
3. La loi fédérale du 6 octobre 2000 sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-invalidité. Conformément au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (<ref-ruling>), le droit litigieux, dès lors qu'il porte sur des prestations durables qui n'ont pas encore acquis force de chose décidée, doit être examiné à l'aune des dispositions de la LAI en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, pour la période courant jusqu'à cette date, puis à celle de la nouvelle réglementation pour la période postérieure. Les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrées en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852), sont régies par le même principe.
3. La loi fédérale du 6 octobre 2000 sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-invalidité. Conformément au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (<ref-ruling>), le droit litigieux, dès lors qu'il porte sur des prestations durables qui n'ont pas encore acquis force de chose décidée, doit être examiné à l'aune des dispositions de la LAI en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, pour la période courant jusqu'à cette date, puis à celle de la nouvelle réglementation pour la période postérieure. Les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrées en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852), sont régies par le même principe.
4. Le litige porte exclusivement sur le droit de l'intimée à une rente d'invalidité, singulièrement sur le taux à la base de cette prestation. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la définition de l'invalidité (art. 4 LAI dans sa teneur, qui n'a pas été modifiée par l'introduction de la LPGA [<ref-ruling>], en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002), à l'échelonnement des rentes (art. 28 al. 1 LAI dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2003), à l'appréciation des preuves, au rôle des médecins en matière d'invalidité, à la valeur probante de leurs rapports, aux atteintes à la santé psychique et aux troubles somatoformes douloureux. Il suffit donc d'y renvoyer.
On ajoutera que le nouveau droit n'a pas modifié l'échelonnement des rentes (art. 28 al. 1 LAI) en tant qu'il se rapporte au quart et à la demi-rente, mais qu'il permet désormais d'octroyer trois-quarts de rente à l'assuré dont le degré d'invalidité atteint 60%, alors que le taux ouvrant droit à une rente entière est passé de 66 2/3 à 70%.
On ajoutera que le nouveau droit n'a pas modifié l'échelonnement des rentes (art. 28 al. 1 LAI) en tant qu'il se rapporte au quart et à la demi-rente, mais qu'il permet désormais d'octroyer trois-quarts de rente à l'assuré dont le degré d'invalidité atteint 60%, alors que le taux ouvrant droit à une rente entière est passé de 66 2/3 à 70%.
5. L'invalidité consiste en l'incapacité totale ou partielle de gain, présumée permanente ou de longue durée, résultant d'une atteinte à la santé (art. 8 al. 1 LPGA et 4 al. 1 LAI). La fibromyalgie est une telle atteinte dont le caractère invalidant a été précisé par la jurisprudence (cf. <ref-ruling> qui applique par analogie les principes développés en matière de troubles somatoformes douloureux). Cette dernière a établi un certain nombre de critères qui, par leur intensité et leur constance, permettent de retenir que la personne souffrant de l'affection en question est incapable de fournir l'effort de volonté pour la surmonter raisonnablement exigible d'une autre personne souffrant du même trouble, mais ne réunissant pas les facteurs déterminés. Le caractère invalidant de la fibromyalgie est donc une question purement juridique.
5. L'invalidité consiste en l'incapacité totale ou partielle de gain, présumée permanente ou de longue durée, résultant d'une atteinte à la santé (art. 8 al. 1 LPGA et 4 al. 1 LAI). La fibromyalgie est une telle atteinte dont le caractère invalidant a été précisé par la jurisprudence (cf. <ref-ruling> qui applique par analogie les principes développés en matière de troubles somatoformes douloureux). Cette dernière a établi un certain nombre de critères qui, par leur intensité et leur constance, permettent de retenir que la personne souffrant de l'affection en question est incapable de fournir l'effort de volonté pour la surmonter raisonnablement exigible d'une autre personne souffrant du même trouble, mais ne réunissant pas les facteurs déterminés. Le caractère invalidant de la fibromyalgie est donc une question purement juridique.
6. 6.1 L'office recourant se fonde sur les mêmes éléments que la juridiction cantonale. Il ne remet pas en question le bien fondé de la jurisprudence, ni la valeur probante de l'expertise ou les diagnostics retenus dans celle-ci. Il conteste par contre l'appréciation du caractère invalidant de la fibromyalgie.
Il soutient que l'état dépressif, dont l'intensité attestée correspond à un épisode actuel moyen, est à mettre en relation avec la survenance des douleurs à la fin des années 1980 et des facteurs socio-culturels consécutifs à une émigration difficile, de sorte que, constituant essentiellement une manifestation réactionnelle typique qui accompagne la fibromyalgie, il ne peut être considéré comme une comorbidité psychiatrique. Il tient le même raisonnement au sujet de la modification durable de la personnalité qui n'a jamais empêché l'intéressée de poursuivre diverses activités. Il estime aussi que les critères retenus par la jurisprudence pour apprécier le caractère invalidant de la fibromyalgie, à l'exception de la chronicité des affections corporelles et du processus maladif s'étendant sur plusieurs années, ne sont pas réunis. A ce propos, il considère que l'intimée qui continue de bénéficier du soutien de sa famille, de se promener et de faire du stretching ou qui a maintenu une activité lucrative jusqu'en 2004 ne subit pas une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie. Il considère également que dans la mesure où l'intimée a interrompu le suivi psychiatrique et ne prend qu'irrégulièrement les médicaments prescrits, qu'elle reconnaît du reste être efficaces contre les douleurs et l'anxiété, on ne peut parler d'échec des traitements ou de cristallisation de l'état psychique.
6.2 Concernant la comorbidité psychiatrique, les premiers juges ont brièvement constaté que l'état dépressif diagnostiqué par les experts n'en était pas une, ce que l'office recourant ne conteste pas. Ils ne se sont pas prononcés sur la modification durable de la personnalité à la suite d'une expérience de catastrophe. A ce sujet, l'administration a précisé que ce dernier diagnostic n'avait pas valeur de pathologie dès lors qu'il n'avait pas empêché l'intéressée de poursuivre des activités professionnelles et sociales depuis son arrivée en Suisse.
Bien que ce point du jugement ne soit pas critiqué, on notera tout de même que l'argument de l'office recourant, selon lequel la modification de la personnalité n'a pas empêché l'intimée de poursuivre ses activités, n'est pas pertinent dans la mesure où il ne tient aucun compte de l'avis des experts (le stress et le traumatisme auxquels l'intéressée a été exposée étaient tellement intenses qu'elle en ressent encore les conséquences, malgré le fait qu'elle soit parvenue à affronter la vie dans un premier temps; depuis sa sortie de prison, elle souffre d'angoisses, de troubles du sommeil, de cauchemars, de flash back avec retour de scènes d'emprisonnement et de torture accompagnées de voix et d'images quasi-hallucinatoires, ce qui a induit une fragilisation de l'état psychique) et ne renseigne surtout en rien sur l'absence actuelle d'influence sur la capacité de travail. Compte tenu de ce qui précède, le trouble en question pourrait éventuellement constituer une comorbidité à la fibromyalgie.
Au regard de l'appréciation catégorique du cas par les experts (plus de ressources psychiques qui permettraient un nouveau départ professionnel, possibilité de faire face aux événements très affaiblie, etc., malgré la volonté démontrée de lutter et de continuer à lutter contre l'adversité), il semblerait en outre que d'un point de vue objectif, la mise en valeur de sa capacité de travail ne pourrait pratiquement plus raisonnablement être exigée de l'intimée, au sens de la jurisprudence citée par la juridiction cantonale et reprise par l'administration, et pourrait exceptionnellement justifier la reconnaissance d'une fibromyalgie invalidante malgré l'absence de comorbidité ou d'autres critères.
Ces questions peuvent toutefois restées indécises dès lors que le recours doit être rejeté pour les motifs qui vont suivre.
6.3 Concernant le critère de la perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie, l'office recourant a estimé qu'il n'était pas rempli contrairement aux premiers juges qui ont retenu que le cercle d'amis de l'intéressée s'était restreint ces dernières années, bien que les parents et deux des frères de cette dernière vivaient à Genève, que les activités sociales avaient toutes été abandonnées depuis mai 2004, période à laquelle l'affection sanguine du mari, qui depuis est retourné vivre au Kurdistan, s'était déclarée, que l'intimée n'exerçait aucune activité sportive, ni de loisir, si ce n'est des séances de stretching le matin chez elle ou des promenades de vingt minutes et que les experts avaient constaté un retrait social évident.
En ajoutant uniquement aux éléments retenus par la juridiction cantonale que l'intéressée se définissait elle-même comme une personne bien intégrée socialement et qu'elle ait pu maintenir une activité lucrative à hauteur de quelques heures jusqu'en 2004, éléments qui sont du reste connus de l'instance précédente, puis en adoptant une conclusion contraire à celle de cette dernière, l'administration n'a pas explicitement, ni implicitement, fait valoir une constatation manifestement inexacte ou incomplète des faits, ni une violation des règles essentielles de procédure lors de leur établissement, mais a contesté l'appréciation de ceux-ci. Compte tenu de son pouvoir de cognition restreint, la Cour de céans ne peut qu'examiner si ladite appréciation est excessive ou abusive.
En l'occurrence, cela n'est nullement le cas dans la mesure où le fait de se déclarer bien intégré socialement et de l'avoir effectivement été durant une certaine période n'empêche pas de subir un retrait social par la suite. Par ailleurs, faire du stretching seul chez soi ou des promenades solitaires ou continuer à voir ses parents âgés de 76 et 80 ans ne saurait en aucun cas être regardé comme des signes d'intégration sociale déterminants.
6.4 Le même raisonnement peut être repris en ce qui concerne le dernier point soulevé par l'administration. La juridiction cantonale a retenu que malgré les traitements somatiques (physiothérapie, sophrologie, magnétisme, acupuncture, kinésiologie, etc.), psychothérapeutiques et médicamenteux («ciprexa» ayant entraîné une diminution des cauchemars au prix d'une prise pondérale de 25 kg) entrepris, une cristallisation de l'état psychique était intervenue. Or, affirmer notamment que l'intéressée dirigeait elle-même la prise de la médication anti-dépressive ou que la fluctuation de l'état dépressif au fil des ans ne permettait pas d'aboutir à une telle conclusion, alors même que les experts et les autres médecins qui se sont prononcés sur le cas attestaient l'existence d'un traitement anti-dépresseur («cipralex», «stilnox» et «xanax» dont la posologie pouvait effective-ment être augmentée de manière autonome lors des crises de panique) ou d'un état dépressif récurrent, dont seule l'intensité de l'épisode en cours fluctuait, ne suffit pas à remettre en question l'appréciation de ce facteur par la juridiction cantonale ou de la faire passer pour excessive ou abusive.
On rappellera encore que les experts avaient insisté sur le fait que l'intimée s'était battue pour son avenir, qu'elle avait réussi à travailler grâce à une volonté remarquable et qu'elle avait su se prendre en main malgré les tortures et l'adversité. Ils ont également retenu qu'en dépit de tous les efforts consentis, l'accumulation des événements difficiles avait totalement épuisé les ressources psychiques de l'intéressée. Le recours est donc en tous points mal fondé.
On rappellera encore que les experts avaient insisté sur le fait que l'intimée s'était battue pour son avenir, qu'elle avait réussi à travailler grâce à une volonté remarquable et qu'elle avait su se prendre en main malgré les tortures et l'adversité. Ils ont également retenu qu'en dépit de tous les efforts consentis, l'accumulation des événements difficiles avait totalement épuisé les ressources psychiques de l'intéressée. Le recours est donc en tous points mal fondé.
7. La procédure n'est pas gratuite (art. 132 OJ dans sa teneur en vigueur dès le 1er juillet 2006). L'intéressée, qui obtient gain de cause, a droit à des dépens. La demande d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de l'office recourant et compensés avec l'avance de frais, d'un même montant, qu'il a effectuée.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de l'office recourant et compensés avec l'avance de frais, d'un même montant, qu'il a effectuée.
3. L'office recourant versera à l'intimée la somme de 2'500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
3. L'office recourant versera à l'intimée la somme de 2'500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 mai 2007
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: