Faits:
A. A la fin de l'année 2006, un groupe de travail mis en place par les communes de Chermignon, Icogne, Lens, Mollens, Montana et Randogne a présenté un projet de règlement des quotas et du contingent (ci-après: le RQC) visant à contrôler le développement des résidences secondaires sur le Haut-Plateau de Crans-Montana. Les modalités de ce règlement devaient s'insérer dans le règlement intercommunal des constructions (ci-après: le RIC).
Le 21 février 2007, les présidents des six communes précitées ont conclu un engagement avec un groupement appelé "la Confrérie du bâtiment de Crans-Montana" (ci-après: la Confrérie). Aux termes de ce document, la Confrérie s'engageait à soutenir le RQC en vue de la votation prévue le 11 mars 2007, notamment en rédigeant un communiqué de presse. En contrepartie, les communes devaient créer un "groupe de travail développement durable" comprenant des membres de la Confrérie, incorporer des membres de la Confrérie dans le "groupe de travail du règlement d'application du RQC" et étudier "l'attribution de bonus à la construction et aux travaux de rénovation". Le soutien de la Confrérie au RQC a été relaté par le quotidien Le Nouvelliste dans son édition du 6 février 2007.
A l'issue du scrutin populaire du 11 mars 2007 dans les communes précitées, le RQC a été accepté à plus de 70% des bulletins valables, le taux de participation s'élevant à 64%. Dans la commune de Chermignon, les résultats (797 oui - 289 non) ont été affichés le jour même au pilier public. Les six communes concernées ont publié la modification partielle du RIC qui en résultait, par avis paru au Bulletin officiel du canton du Valais du 16 mars 2007.
B. Le 12 avril 2007, A._, citoyen de la commune de Chermignon, a demandé au Conseil d'Etat du canton du Valais la restitution du délai de recours ouvert en matière de droits politiques ainsi que la constatation de la nullité du scrutin. Il alléguait qu'il n'avait eu connaissance que le 10 avril 2007 du texte de l'engagement conclu entre les six communes et la Confrérie du bâtiment. Il se plaignait en substance du fait que les électeurs avaient été induits en erreur, car ils ignoraient la contrepartie offerte à la Confrérie en échange de son soutien.
Par décision du 19 septembre 2007, le Conseil d'Etat a déclaré ce recours irrecevable pour tardiveté. Il a considéré que le délai de trois jours ne pouvait pas être restitué et qu'au demeurant l'irrégularité alléguée n'était pas de nature à différer le dépôt d'un recours. Il a par ailleurs rejeté la requête de A._ dans la mesure où elle devait être considérée comme une simple dénonciation auprès du Conseil d'Etat en qualité d'autorité de surveillance des communes, l'intervention de la Confrérie du bâtiment n'ayant pas été déterminante dans l'acceptation massive du RQC.
C. A._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal). Il soutenait notamment que l'application stricte du délai de recours de trois jours était anticonstitutionnelle, qu'il avait eu connaissance de l'engagement litigieux le 10 avril 2007 seulement et, subsidiairement, que l'art. 12 al. 3 de la loi du 6 octobre 1976 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS/VS 172.6) relatif à la restitution de délai était applicable. Sur le fond, il se plaignait d'une violation de l'art. 34 Cst. et affirmait que la votation devait être annulée en vertu de l'art. 217 al. 1 de la loi du 13 mai 2004 sur les droits politiques (LcDP; RS/VS 160.1). Le Tribunal cantonal a rejeté le recours par arrêt du 25 janvier 2008, considérant en substance que le délai de recours de trois jours prévu par l'art. 215 al. 2 LcDP avait un caractère péremptoire et qu'il ne pouvait pas être restitué. Quant aux griefs sur le fond, ils ne pouvaient pas être examinés car l'acte rendu par le Conseil d'Etat sur dénonciation ne constituait pas une décision sujette à recours devant le Tribunal cantonal, faute d'effets juridiques sur les droits et obligations du dénonciateur.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et d'annuler la votation populaire du 11 mars 2007. Il se plaint d'une application arbitraire du droit cantonal (art. 9 Cst.) et d'une violation de l'art. 34 Cst. Le Tribunal cantonal a renoncé à formuler des observations. Le Conseil d'Etat et les communes de Chermignon, Icogne, Lens, Mollens, Montana et Randogne se sont déterminés; ils concluent au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. En vertu de l'art. 82 let. c LTF, le Tribunal fédéral connaît des recours en matière de droit public concernant le droit de vote des citoyens ainsi que les élections et votations populaires. Citoyen actif dans la commune de Chermignon, le recourant a la qualité pour recourir (art. 89 al. 3 LTF). La recevabilité de la conclusion tendant à l'annulation de la votation est douteuse, dans la mesure où cette question de fond ne constitue pas l'objet du litige et dès lors que le recours n'est pas suffisamment motivé sur ce point (art. 42 LTF). Vu l'issue du recours, cette question peut cependant demeurer indécise. Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Le recours peut être formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF) - y compris les droits constitutionnels (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4132) - ainsi que pour violation de dispositions cantonales sur le droit de vote des citoyens et sur les élections et votations populaires (art. 95 let. c et d LTF). Saisi d'un recours pour violation des droits politiques, le Tribunal fédéral revoit librement l'interprétation et l'application du droit fédéral et du droit constitutionnel cantonal, ainsi que des dispositions de rang inférieur qui sont étroitement liées au droit de vote ou en précisent le contenu et l'étendue. Il n'examine en revanche que sous l'angle restreint de l'arbitraire l'interprétation d'autres règles du droit cantonal. En présence de deux interprétations également défendables, il s'en tient en général à celle retenue par la plus haute autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4 p. 131 et les arrêts cités).
3. Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir appliqué les art. 215 al. 2 LcDP et 12 al. 3 LPJA de façon arbitraire en considérant que son recours était tardif et que le délai ne pouvait pas être restitué.
3.1 Conformément à l'art. 215 al. 2 LcDP, le recours contre une élection ou une votation communale doit être déposé auprès du Conseil d'Etat "dans les trois jours qui suivent la découverte du motif, mais au plus tard le troisième jour dès la publication des résultats". L'art. 218 LcDP a la teneur suivante: "sous réserve des dispositions spéciales de la présente loi, les dispositions cantonales régissant la procédure et juridiction administratives sont applicables". Aux termes de l'art. 12 al. 3 LPJA, un délai peut être restitué lorsque l'intéressé fait valoir par écrit des motifs suffisants dans les dix jours dès que l'empêchement d'agir a cessé.
Les dispositions susmentionnées n'étant pas étroitement liées au droit de vote, elles doivent effectivement être examinées sous l'angle restreint de l'arbitraire (pour une définition de l'arbitraire, cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153). Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme sous cet angle, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
3.2 Le Tribunal cantonal a considéré que le délai de trois jours de l'art. 215 al. 2 LcDP avait un caractère péremptoire et qu'il ne pouvait pas faire l'objet d'une restitution. Dès lors que l'art. 215 al. 2 LcDP instaurait une règle spéciale de déchéance, la règle générale de la LPJA sur la restitution ne trouvait pas application. Cette conception se fonde notamment sur le Message du Conseil d'Etat accompagnant le projet de loi sur les droits politiques, qui considère que le délai en question est péremptoire et que sa brièveté répond à un souci de sécurité et de dignité du corps électoral, la remise en question des décisions de l'organe souverain après plusieurs semaines n'étant pas souhaitable (Bulletin des séances du Grand Conseil du canton du Valais, vol. 50, session ordinaire de mars 2004, p. 227).
3.3 La brièveté du délai de recours est habituelle en matière de droits politiques et la doctrine considère qu'elle est en principe justifiée (Etienne Grisel, Initiative et référendum populaires, 3e éd., Berne 2004, p. 143 et les références). Bien qu'un délai de trois jours soit considéré comme particulièrement court (cf. <ref-ruling> consid. 7 p. 587 ss; Christoph Hiller, Die Stimmrechtsbeschwerde, Zurich 1990, p. 74), le Tribunal fédéral a jugé qu'il était conforme au droit constitutionnel fédéral, à tout le moins lorsqu'il courait dès la découverte d'une irrégularité avant le jour de la votation (<ref-ruling> consid. 3b p. 5 s.). L'art. 77 al. 2 de la loi fédérale sur les droits politiques (LDP; RS 161.1) prévoit d'ailleurs également que le recours doit être déposé dans un délai de trois jours dès la découverte du motif mais au plus tard le troisième jour après la publication des résultats.
Lorsqu'une irrégularité est découverte après le scrutin, il peut être exceptionnellement possible de demander un réexamen de la décision administrative validant la votation, pour autant qu'il s'agisse d'un vice particulièrement grave, comparable aux motifs de révision prévus en procédure administrative, civile ou pénale (<ref-ruling> consid. 3 p. 150 ss). Dans l'arrêt précité, le Tribunal fédéral a ouvert la voie à un réexamen en raison de la découverte, deux ans après le scrutin, d'un versement de plus de 300'000 fr. à un comité de propagande; procédant à une pesée des intérêts en présence, il a estimé que les nouveaux faits étaient importants et qu'ils avaient exercé une influence sur le résultat.
3.4 En l'occurrence l'irrégularité alléguée est d'une importance bien moindre que celle qui a fait l'objet de l'arrêt précité et elle n'est aucunement comparable à un motif de révision. Compte tenu de la clarté du résultat (plus de 70% de oui), il n'apparaît pas d'emblée que l'omission d'informer les électeurs de la contrepartie offerte à la Confrérie en échange de son soutien ait été susceptible d'exercer une influence significative sur l'issue du scrutin. La voie exceptionnelle du réexamen n'était donc pas ouverte au recourant. Par ailleurs, il ne découle pas de la jurisprudence fédérale que les cantons doivent impérativement prévoir des possibilités de restitution de délais en matière de droits politiques, de sorte que l'interprétation du Tribunal cantonal n'est pas en contradiction avec cette jurisprudence. Elle est en outre fondée sur la volonté exprimée par le législateur cantonal (Message précité p. 227) et elle répond à des soucis compréhensibles de sécurité juridique et de respect des décisions du corps électoral, si bien qu'elle ne saurait être qualifiée de manifestement insoutenable. Enfin, il convient encore de relever que le motif allégué n'était pas totalement nouveau ou inattendu, puisque le recourant était informé des discussions entre la Confrérie et les communes concernées et qu'il connaissait l'existence de la convention litigieuse avant le scrutin. Il n'était donc pas particulièrement choquant d'exiger de lui qu'il recoure dans le délai de trois jours, en demandant la production de la convention en question dans le cadre de cette procédure. Dans ces circonstances, il y a lieu de constater que l'autorité intimée n'a pas appliqué les art. 215 al. 2 LcDP et 12 al. 3 LPJA d'une manière qui puisse être qualifiée d'arbitraire.
4. Le recourant reproche également au Tribunal cantonal d'avoir violé l'art. 34 Cst. en considérant que la décision rendue par le Conseil d'Etat sur dénonciation n'était pas sujette à recours.
4.1 L'art. 34 al. 1 Cst. garantit de manière générale et abstraite les droits politiques, que ce soit sur le plan fédéral, cantonal ou communal. Selon l'art. 34 al. 2 Cst., qui codifie la jurisprudence du Tribunal fédéral établie sous l'empire de la Constitution fédérale du 29 mai 1874, cette garantie protège la libre formation de l'opinion des citoyens et des citoyennes et l'expression fidèle et sûre de leur volonté (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 108; <ref-ruling> consid. 2a p. 58; <ref-ruling> consid. 3 p. 141, 187 consid. 3a p. 190). La jurisprudence en a notamment déduit le droit pour chaque citoyen de participer à une élection, comme électeur ou candidat, s'il remplit les exigences requises (<ref-ruling> consid. 2a p. 443), le droit pour les électeurs de se former une opinion sur la base la plus libre et la plus complète possible (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 132; <ref-ruling> consid. 5 p. 192; <ref-ruling> consid. 2a p. 444), le droit de voter dans le secret et à l'abri de toute influence extérieure (<ref-ruling> consid. 2a p. 73) et le droit d'exiger qu'aucun résultat ne soit reconnu s'il n'exprime pas la libre volonté du corps électoral (<ref-ruling> consid. 4b p. 71; <ref-ruling> consid. 3 p. 141).
4.2 En l'occurrence, le recourant avait la possibilité de contester le résultat du scrutin litigieux en formant un recours devant le Conseil d'Etat selon l'art. 215 LcDP, puis devant le Tribunal cantonal selon l'art. 217 al. 3 LcDP. Il pouvait dans ce cadre démontrer en quoi le résultat n'exprimait pas, selon lui, la libre volonté du corps électoral. Il n'a aucunement été empêché de le faire; si ses griefs n'ont pas été examinés, c'est uniquement parce qu'il n'a pas agi dans le délai de recours. Or, un délai de recours ne saurait être considéré comme un obstacle inadmissible au droit de contester un scrutin. Par ailleurs, le fait que le Conseil d'Etat se soit quand même prononcé sur le fond en considérant le recours comme une dénonciation à l'autorité de surveillance des communes a permis au recourant d'obtenir une réponse sur ses critiques, malgré la péremption de son droit de recours. Cette façon de procéder apparaît suffisante du point de vue des exigences déduites de l'art. 34 Cst. En effet, il ne découle pas de cette disposition constitutionnelle un droit à une voie de recours contre la décision de l'autorité de surveillance rendue sur dénonciation. Le refus du Tribunal cantonal d'entrer en matière sur ce point ne constitue dès lors pas une violation de l'art. 34 Cst.
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Avec l'entrée en vigueur de la LTF, la pratique consistant à renoncer au prélèvement d'un émolument judiciaire en matière de droit de vote des citoyens a été abandonnée (<ref-ruling> consid. 4 p. 142 s.). Le recourant, qui succombe, doit donc supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). La pratique qui prévalait en matière de recours de droit public et qui consistait à allouer des dépens aux collectivités ne disposant pas d'une infrastructure administrative et juridique suffisante pour procéder sans l'assistance d'un avocat a également été abandonnée, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'allouer de dépens aux communes concernées (art. 68 al. 3 LTF; arrêt 1C_122/2007 du 24 juillet 2007, consid. 6).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, ainsi qu'au Conseil d'Etat et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 19 mai 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener