Sachverhalt:
A.
Die 1968 geborene A._ ist seit 1988 als Verkäuferin bei der Migros tätig. Sie bezog gestützt auf die Verfügungen der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 6. Juni 2006 ab 1. August 2004 eine Viertelsrente, ab 1. November 2004 eine ganze Rente und ab 1. Mai 2005 - bei einem Invaliditätsgrad von 63 % - eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung. Im Rahmen eines im August 2010 eingeleiteten Revisionsverfahrens gab die Verwaltung nebst weiteren Abklärungen bei Dr. med. B._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie FMH, ein psychiatrisches Gutachten in Auftrag. Dieses wurde, unterzeichnet von Dr. med. B._ und seiner Praxispartnerin Frau med. pract. E._, Fachärztin Psychiatrie und Psychotherapie FMH, am 25. Juni 2011 erstattet. Mit Schreiben vom 2. November 2011 nahmen Dr. med. B._ und Frau med. pract. E._ nochmals Stellung. Mit Verfügung vom 20. Dezember 2011 stellte die IV-Stelle die laufende Invalidenrente auf das Ende des der Verfügungszustellung folgenden Monats revisionsweise ein, da der Invaliditätsgrad nurmehr 30 % betrage.
B.
Die von A._ hiegegen erhobene Beschwerde wie auch den mit letzterer gestellten Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 18. Juni 2013 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei aufgrund eines Invaliditätsgrades von mindestens 50 % eine halbe Rente auszurichten; eventuell sei ein psychiatrisches Gerichtsgutachten einzuholen. Ferner wird beantragt, es sei ein zweiter Schriftenwechsel anzuordnen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Da die Streitsache ohne Schriftenwechsel entschieden werden kann, ist der Antrag, es sei ein zweiter Schriftenwechsel durchzuführen, gegenstandslos (Art. 102 Abs. 1 und 3 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 99 f.).
3.
Das kantonale Gericht ist dem Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung nicht gefolgt. Das wird letztinstanzlich nicht beanstandet. Damit hat es diesbezüglich sein Bewenden.
4.
Im angefochtenen Entscheid sind die namentlich interessierenden Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen Invalidität und Erwerbsunfähigkeit, zum nach dem Invaliditätsgrad abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente (mit den Schwellenwerten 40 % für eine Viertelsrente, 50 % für eine halbe Rente, 60 % für eine Dreiviertelsrente 60 % und 70 % für eine ganze Rente), zur Rentenrevision infolge erheblicher Änderung des Invaliditätsgrades, zur Aufgabe von Arzt oder Ärztin bei der Invaliditätsbemessung sowie zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte und Gutachten zutreffend dargelegt.
Richtig sind auch die Erwägungen zu den gesetzlichen Ausstands- und Ablehnungsgründen gegenüber einem von der Verwaltung beauftragten medizinischen Sachverständigen. Diese Gründe zählen zu den Einwendungen formeller Natur, weil sie geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Sachverständigen zu erwecken. Das trifft zu, wenn der Experte in der Sache ein persönliches Interesse hat oder aus anderen Gründen in der Sache befangen sein könnte (vgl. <ref-ruling> E. 2.1.3 S. 231; <ref-ruling> E. 7.1 S. 109). Demgegenüber können sich Einwendungen materieller Natur zwar ebenfalls gegen die Person des Gutachters richten. Sie beschlagen jedoch nicht dessen Unparteilichkeit. Solche Einwendungen sind in der Regel mit dem Entscheid in der Sache im Rahmen der Beweiswürdigung zu behandeln (BGE <ref-ruling> E. 6.5 S. 108).
5.
Gemäss dem angefochtenen Entscheid beruhte die Zusprechung der Dreiviertelsrente ab 1. Mai 2005 auf der psychiatrischen Einschätzung, wonach aufgrund einer paranoiden Schizophrenie mit nachfolgender depressiver Kompensation eine Arbeitsunfähigkeit von 63.5 % bestehe. Das ist nicht umstritten. Vorinstanz und Parteien sind sich sodann darin einig, dass sich der psychische Gesundheitszustand und mit ihm die Erwerbsfähigkeit zwischenzeitlich dahin gehend gebessert haben, dass der Invaliditätsgrad nicht mehr die für eine Dreiviertelsrente erforderlichen 60 % erreicht und mithin die Voraussetzungen für eine Revision dieser Rente erfüllt sind. Streitig ist, ob der Invaliditätsgrad, wie von der Versicherten geltend gemacht, noch die für eine halbe Rente notwendigen 50 % erreicht oder, wie von der Verwaltung verfügt und von der Vorinstanz bestätigt, nunmehr unter 40 % liegt, womit kein Rentenanspruch mehr bestünde.
6.
Das kantonale Gericht ist sodann zum Ergebnis gelangt, gestützt auf das Gutachten vom 25. Juni 2011 betrage die Arbeitsunfähigkeit aus psychiatrischer Sicht spätestens seit der Untersuchung im Mai 2011 in der angestammten und in jeder anderen angepassten Tätigkeit noch maximal 30 %. Damit betrage der Invaliditätsgrad 30 %. Dies genüge nicht mehr für einen Rentenanspruch.
Die Vorbringen in der Beschwerde betreffen das Gutachten vom 25. Juni 2011.
6.1. Die Versicherte wiederholt zunächst ihren vorinstanzlichen Einwand, die psychiatrische Expertise sei aus formellen Gründen nicht verwertbar. Denn sie sei nicht vom von der Verwaltung beauftragten Dr. med. B._, sondern von Frau med. pract. E._ erstellt worden. Das sei der Beschwerdeführerin nicht im Voraus bekannt gegeben worden. Diese habe daher keine Ausstands- und Ablehnungsgründe vorbringen können. Zudem liege ein Verstoss gegen Auftragsrecht vor.
6.1.1. Die beiden Psychiater haben bereits im Schreiben vom 2. November 2011 bestätigt, dass Frau med. pract. E._ die psychiatrische Begutachtung vorgenommen und die Expertise vom 25. Juni 2011 verfasst hat. Dr. med. B._ habe die Beschwerdeführerin nicht untersucht und lediglich das Gutachten mitunterschrieben. Von dieser unbestrittenen Tatsache ist das kantonale Gericht ausgegangen. Damit erübrigen sich Weiterungen zu den diesbezüglichen Vorbringen in der Beschwerde.
6.1.2. Die Vorinstanz hat sodann erwogen, zwar sei der Versicherten vorab nicht klar mitgeteilt worden, dass die Praxispartnerin des Dr. med. B._ an seiner Stelle die Begutachtung vornehmen werde. Das führe aber nicht ohne Weiteres zur Unverwertbarkeit der Expertise. Zu prüfen sei, ob gegen Frau med. pract. E._ Ausstands- und Ablehnungsgründe geltend gemacht worden seien, welche die Beweistauglichkeit des Gutachtens in Frage stellten. Solche Gründe nenne die Versicherte nicht. Nur weil die Gutachterin psychosoziale Belastungsfaktoren sowie ein subjektives Krankheitskonzept erwähnt und in Erwägung gezogen habe, dass eine paranoide Schizophrenie allenfalls nicht bestanden habe, könne sie nicht schon als voreingenommen gelten.
6.1.2.1. Der Versicherungsträger nimmt die notwendigen Abklärungen von Amtes wegen vor (<ref-law>). Hat er zur Abklärung des Sachverhalts ein Gutachten eines oder einer unabhängigen Sachverständigen einzuholen, gibt er der Partei deren oder dessen Namen bekannt. Diese kann den Gutachter aus triftigen Gründen ablehnen und kann Gegenvorschläge machen (<ref-law>). Der Versicherungsträger hat als Auftraggeber Anspruch darauf, dass die Begutachtung durch die beauftragte Person durchgeführt wird. Die Substitution des Auftrags an einen anderen Sachverständigen setzt grundsätzlich die Einwilligung des Auftraggebers voraus (vgl. Alfred Bühler, Die Mitwirkung Dritter bei der medizinischen Begutachtung im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren, in: Jusletter 3. September 2007, Rz. 5 f.; Urteil 8C_311/2008 vom 19. Dezember 2008 E. 5.1.3; ferner, zu gerichtlich eingeholten Gutachten: Annette Dolge, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 25 zu <ref-law>; Thomas Weibel, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2. Aufl. 2013, N. 33 f. zu <ref-law>; Alfred Bühler, Beweismass und Beweiswürdigung bei Gerichtsgutachten - unter Berücksichtigung der jüngsten Lehre und Rechtsprechung, in: Jusletter 21. Juni 2010, Rz. 118 f.).
6.1.2.2. Im vorliegenden Fall wurde die Begutachtung nicht vom beauftragten Psychiater, sondern von dessen Praxispartnerin durchgeführt. Nach Lage der Akten wurde dafür weder die Einwilligung der IV-Stelle eingeholt noch wurde die Beschwerdeführerin vorgängig über die Substitution orientiert. Den dargelegten Grundsätzen wurde damit nicht Rechnung getragen. Indessen ist offensichtlich, dass die Verwaltung zumindest nachträglich mit der Delegation des Begutachtungsauftrages einverstanden war. Die Beschwerdeführerin ihrerseits macht nicht geltend, sie hätte bei vorgängiger Orientierung Gegenvorschläge für die Wahl der sachverständigen Person machen wollen. Sie stellt denn auch nicht in Frage, dass die Psychiaterin, welche die Begutachtung vorgenommen hat, über die hiefür notwendigen fachlichen Qualifikationen verfügt (vgl. Urteile 8C_213/2010 vom 3. August 2010 E. 2.3, 8C_311/2008 vom 19. Dezember 2008 E. 5.1, 9C_541/2008 vom 14. Oktober 2008 E. 4.2). Sodann hat das kantonale Gericht in einer nicht zu beanstandenden Würdigung der Sach- und Rechtslage erkannt, dass die Versicherte keine Ausstands- und Ablehnungsgründe gegen die Sachverständige vorbringt, welche die Begutachtung vorgenommen hat.
Was die Versicherte diesbezüglich einwendet, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Sämtliche von ihr erwähnten Aussagen in der Expertise vermögen auch nicht ansatzweise einen Verdacht zu begründen, die Sachverständige sei voreingenommen oder in anderer Weise befangen. Dass die Gutachterin eine früher gestellte ärztliche Diagnose hinterfragt und sich zur Plausibilität der geklagten Beschwerden sowie zu allfälligen krankheitsfremden Gründen für diese geäussert hat, lässt ebenfalls keine solchen Schlüsse zu. Als medizinische Expertin hatte sie sich gestützt auf die von ihr vorgenommenen Untersuchungen ein eigenes Bild davon zu machen, ob und bejahendenfalls inwiefern eine Beeinträchtigung von Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit vorliegt. Dabei hatte sie zwar die medizinischen Vorakten und die geklagten Beschwerden zu berücksichtigen. Sie war aber nicht gehalten, die entsprechenden Angaben vorbehaltlos als richtig zu akzeptieren. Vielmehr war es ihre Pflicht, im Rahmen ihrer Fachkenntnisse Diskrepanzen zu den eigenen Wahrnehmungen darzulegen und zu würdigen. Die Ausführungen im Gutachten vom 25. Juni 2011 halten sich durchwegs im Rahmen dessen, was eine sachverständige Person bei einer sorgfältigen Durchführung des Begutachtungsauftrages zulässigerweise erwähnen darf. Es liegen entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch keine Anhaltspunkte dafür vor, dass die Begutachtung in einer Konfliktsituation erfolgt ist und die Expertin deswegen als befangen zu betrachten wäre.
6.1.2.3. Nach dem Gesagten war das Vorgehen bei der Durchführung des Begutachtungsauftrags zwar nicht regelkonform. Die Versicherte kann daraus aber nichts zu ihren Gunsten ableiten. Ein formeller Grund, welcher die Verwertbarkeit des Gutachtens vom 25. Juni 2011 in Frage stellen könnte, ist daher mit dem kantonalen Gericht zu verneinen.
6.2. Die Beschwerdeführerin erneuert im Weiteren ihre materiellen Einwände gegen das Gutachten vom 25. Juni 2011. Das kantonale Gericht hat sich mit diesen Vorbringen einlässlich auseinandergesetzt. Es hat überzeugend dargelegt, weshalb es die Sachverständige als fachkompetent erachtet, die Expertise als beweiswertig beurteilt und sich durch die abweichende Meinung der behandelnden Psychiaterin sowie die Einwände der Versicherten zu keiner anderen Betrachtungsweise veranlasst sieht. Diese Beweiswürdigung ist weder offensichtlich unrichtig noch in anderer Weise rechtswidrig. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung, liegen keine Widersprüche oder andere Mängel im Gutachten vor, welche eine andere Betrachtungsweise zu rechtfertigen vermöchten.
6.3. Die vorinstanzlichen Erwägungen zu den erwerblichen Auswirkungen der gesundheitlichen Besserung, mit dem Ergebnis eines nicht mehr rentenbegründenden Invaliditätsgrades, sind nicht umstritten und geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Die Beschwerde ist abzuweisen.
7.
Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Januar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz