Sachverhalt:
A. In der Betreibung Nr. 12823 für Prämienforderungen von Fr. 858.80 nebst Zins, für Mahnspesen und Aktenkosten (Fr. 120.--) sowie für Betreibungskosten (Fr. 100.--) stellte die K._ Krankenkasse als Gläubigerin am 19. Oktober 2009 das Konkursbegehren gegen B._ als Schuldnerin und als im Handelsregister eingetragene Inhaberin einer Einzelfirma. Das Bezirksgericht G._ eröffnete den Konkurs mit Wirkung ab Mittwoch, 18. November 2009, 09.30 Uhr (Verfügung vom 18. November 2009).
B. B._ gelangte an das Obergericht des Kantons Zürich, das ihren Rekurs abwies und die Verfügung bestätigte, mit der über die Schuldnerin der Konkurs eröffnet wurde. Das Obergericht hielt dafür, ein nach Ablauf der Rekursfrist eingetretener Konkurshinderungsgrund könne nicht berücksichtigt werden. Da diese Frist am 30. November 2009 abgelaufen sei, B._ den Betrag von Fr. 1'120.-- aber erst am 4. Dezember 2009 beim Konkursamt hinterlegt habe, erweise sich die Aufhebung der Konkurseröffnung als unzulässig (Beschluss vom 10. Dezember 2009).
C. Gegen den obergerichtlichen Beschluss legte B._ kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ein. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Zirkulationsbeschluss vom 26. Februar 2010).
D. Dem Bundesgericht beantragt B._ (Beschwerdeführerin), den obergerichtlichen Beschluss aufzuheben und die Verfügung des Bezirksgerichts betreffend Konkurseröffnung nicht zu bestätigen, eventuell die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Sie ersucht um aufschiebende Wirkung. Während das Obergericht auf eine Vernehmlassung dazu verzichtet hat, schliesst die K._ Krankenkasse (Beschwerdegegnerin) auf Abweisung des Gesuchs. Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung hat der Beschwerde die aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen zuerkannt (Verfügung vom 27. April 2010). In der Sache sind die Akten des Obergerichts, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid über die Konkurseröffnung ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (<ref-law>), und zwar unabhängig von der Höhe des Streitwertes (<ref-law>) und ohne Einschränkung der Beschwerdegründe (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 689 f.). Kantonal letztinstanzlich (<ref-law>) ist mit Bezug auf die streitige Anwendung von <ref-law> der obergerichtliche Beschluss, den die Beschwerdeführerin innert dreissig Tagen nach Eröffnung des Zirkulationsbeschlusses des Kassationsgerichts angefochten hat (Art. 100 Abs. 1 und 6 BGG; <ref-ruling> E. 1.3 S. 690). Auf die Beschwerde kann grundsätzlich eingetreten werden. Formelle Einzelfragen sind im Sachzusammenhang zu erörtern.
2. Mit der Marginalie "Weiterziehung" sieht <ref-law> in Abs. 1 vor, dass der Entscheid des Konkursgerichtes innert zehn Tagen nach seiner Eröffnung an das obere Gericht weitergezogen werden kann und dass die Parteien dabei neue Tatsachen geltend machen können, wenn diese vor dem erstinstanzlichen Entscheid eingetreten sind. Gemäss Abs. 2 derselben Bestimmung kann das obere Gericht die Konkurseröffnung aufheben, wenn der Schuldner mit der Einlegung des Rechtsmittels seine Zahlungsfähigkeit glaubhaft macht und durch Urkunden beweist, dass inzwischen (1.) die Schuld, einschliesslich der Zinsen und Kosten, getilgt ist, (2.) der geschuldete Betrag beim oberen Gericht zuhanden des Gläubigers hinterlegt ist oder (3.) der Gläubiger auf die Durchführung des Konkurses verzichtet. Gestützt auf den Gesetzeswortlaut hat das Obergericht angenommen, die Konkurshinderungsgründe gemäss Art. 174 Abs. 2 Ziff. 1-3 SchKG müssten vor Ablauf der zehntägigen Rechtsmittelfrist eingetreten sein, auch wenn für die Einreichung der Beweisurkunden praxisgemäss eine kurze Nachfrist eingeräumt werde. Innert der Nachfrist habe die Beschwerdeführerin zwar die Hinterlegung des Betrags von Fr. 1'120.-- beim Konkursamt belegt, doch sei die Hinterlegung erst am 4. Dezember 2009 und damit nach Ablauf der Rechtsmittelfrist am 30. November 2009 erfolgt. Die Konkurseröffnung müsse deshalb bestätigt werden. Die Beschwerdeführerin erhebt keine Rügen gegen die Sachverhaltsfeststellung. Sie macht eine überspitzt formalistische und damit unrichtige Anwendung von <ref-law> geltend.
3. Nach dem Wortlaut von <ref-law> setzt die Aufhebung der Konkurseröffnung voraus, dass "mit der Einlegung des Rechtsmittels" ("en déposant le recours"; "impugnando la decisione") die Zahlungsfähigkeit glaubhaft zu machen und ein "inzwischen" ("depuis lors"; "nel frattempo") eingetretener Konkurshinderungsgrund gemäss Ziff. 1-3 durch Urkunden zu beweisen ist.
3.1 Gestützt auf den Gesetzeswortlaut hat das Bundesgericht unter Hinweis auf die Lehre festgehalten, dass das Gesetz mit der Umschreibung "mit der Einlegung des Rechtsmittels" selber eine zeitliche Schranke für das Beibringen von Unterlagen setzt, die die Zahlungsfähigkeit belegen. Das Gesetz geht davon aus, dass der Konkurseröffnung ein längeres Betreibungsverfahren vorausgegangen ist, in dessen Verlauf sich der Konkursit über seine finanziellen Verhältnisse Klarheit verschaffen konnte und musste. Werden daher innert Frist keine Unterlagen vorgelegt, besteht grundsätzlich kein Grund für Weiterungen. Insbesondere besteht kein Raum für weitergehende kantonale Regelungen (Urteil 5A_80/2007 vom 4. September 2007 E. 5.2 mit Hinweis auf Jaeger/Walder/Kull/Kottmann, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. II, 4. Aufl. Zürich 1997/99, N. 12 und 14 zu <ref-law>; JÜRGEN BRÖNNIMANN, Novenrecht und Weiterziehung gemäss <ref-law>, in: Festschrift Walder, Zürich 1994, S. 442, 448 und 451; GIROUD, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. II, Basel 1998, N. 19 und 26 zu <ref-law>). Das Bundesgericht hat dabei nicht übersehen, dass kantonale Gerichte es mitunter zulassen, Unterlagen sogar nach Ablauf der Rechtsmittelfrist nachzureichen, und dass sie dazu eine Nachfrist ansetzen (zit. Urteil 5A_80/2007 E. 5.2 mit Hinweis auf GIROUD, a.a.O., N. 26 zu <ref-law>). Es hat dazu festgehalten, dass die fragliche kantonale Praxis dem Gesetzestext widerspricht und dass aus <ref-law> keine Verpflichtung der oberen kantonalen Gerichte abgeleitet werden kann, Vorbringen nach Ablauf der Rechtsmittelfrist zu berücksichtigen oder eine Nachfrist anzusetzen (Urteile 5P.146/2004 vom 14. Mai 2004 E. 2, 5P.178/2005 vom 11. Juli 2005 E. 2.2.1 und 5P.456/2005 vom 17. Februar 2006 E. 4.1).
3.2 Für die Konkurshinderungsgründe gemäss Art. 174 Abs. 2 Ziff. 1-3 SchKG muss folgerichtig gelten, was für das Beibringen der Urkunden zu ihrem Beweis gilt. Konkurshinderungsgründe sind gemäss <ref-law> nur zu berücksichtigen, wenn sie sich innert der Rechtsmittelfrist verwirklicht haben und geltend gemacht werden (ADRIAN STAEHELIN, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Ergänzungsband, Basel 2005, ad N. 20 ff. zu <ref-law>; PIERRE-ROBERT GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. III, Lausanne 2001, N. 47 zu <ref-law>, und Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 4. Aufl. Lausanne 2005, N. 1466 S. 279; COMETTA, in: Commentaire romand, 2005, N. 6 zu <ref-law>; vgl. auch PIERRE-YVES BOSSHARD, Le recours contre le jugement de faillite, Journal des tribunaux, JdT 158/2010 II 113, S. 125 f., und MAGDALENA RUTZ, Weiterziehung des Konkursdekretes, in: Schuldbetreibung und Konkurs im Wandel, Festschrift 75 Jahre Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz, Basel 2000, S. 343 ff., S. 348; so auch ausdrücklich für neue Tatsachen gemäss <ref-law>: Urteil 5P.263/2003 vom 25. August 2003 E. 3.3.1).
3.3 Gemäss den verbindlichen und unangefochtenen Feststellungen des Obergerichts ist die Rechtsmittelfrist von zehn Tagen am 30. November 2009 abgelaufen, die Hinterlegung im Sinne von <ref-law> aber erst am 4. Dezember 2009 erfolgt. Der Konkurshinderungsgrund hat sich somit nach Ablauf der Rechtsmittelfrist verwirklicht und war deshalb unbeachtlich. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin geben keinen Anlass, die Rechtsprechung zu überprüfen. Namentlich das gerügte Verbot des überspitzten Formalismus vermag eine Auslegung gegen den Gesetzeswortlaut nicht zu begründen. Mit Blick auf die in E. 3.1 genannten Gründe und unter Berücksichtigung, dass der Gesetzgeber für Entscheide, die vom Konkursgericht getroffen werden, ein summarisches Verfahren vorsieht (<ref-law>), erscheint es als sachlich und durch schutzwürdige Interessen gerechtfertigt, dass nach Ablauf der Rechtsmittelfrist eingetretene Konkurshinderungsgründe unbeachtlich bleiben. Bei diesem Ergebnis ist die weitere Voraussetzung nicht zu prüfen, wonach zusätzlich die Zahlungsfähigkeit glaubhaft gemacht werden muss. Eine Verletzung von <ref-law> kann dem Obergericht nicht vorgeworfen werden.
4. Eine andere Frage lautet dahin, ob sich aus verfassungsmässigen Grundsätzen rechtsstaatlichen Handelns ein Anspruch ergibt, nach Ablauf der Rechtsmittelfrist eingetretene Konkurshinderungsgründe geltend zu machen und zu belegen, namentlich wenn das obere kantonale Gericht wie hier seiner ständigen Praxis gemäss eine kurze Nachfrist für die Einreichung von Beweisurkunden angesetzt hat.
Ob sich ein Anspruch auf Zulassung mit nachträglichen Vorbringen oder auf Ansetzung einer kurzen Nachfrist ausnahmsweise aus den Grundsätzen ergibt, dass staatliches Handeln verhältnismässig sein muss und dass staatliche Behörden nach Treu und Glauben handeln müssen, konnte im zitierten Urteil 5A_80/2007 vom 4. September 2007 (E. 5.2) dahingestellt bleiben. Das Bundesgericht hat eine Verletzung dieser Grundsätze in Anbetracht der Umstände des konkreten Einzelfalls aber auch schon bejaht. Entscheidend war beispielsweise im Urteil 5P.267/2003 vom 23. September 2003 (E. 2.4), dass sich die Beschwerdeführerin um die Regelung ihrer Schuld bemühte, indem sie sich beim Konkursamt nach der Höhe des Ausstandes erkundigte und diesen umgehend überwies. Dass noch Kosten des Konkursgerichts offen gewesen wären, war ihr dabei entgangen, dem Obergericht hingegen klar. Da das Obergericht der Beschwerdeführerin ohnehin eine Nachfrist zur Einreichung weiterer Unterlagen hinsichtlich der Zahlungsfähigkeit und zur Leistung eines Kostenvorschusses ansetzte, hätte es sie bei dieser Gelegenheit auch auf den Ausstand von Fr. 100.-- aufmerksam machen können. Das Stillschweigen des Obergerichts - so hat das Bundesgericht festgehalten - widerspricht dem Grundsatz der Verfahrensfairness (<ref-law>).
Mit dem beurteilten lässt sich der vorliegende Sachverhalt nicht ohne Weiteres gleichsetzen, doch kann die Frage nach einer Verletzung des verfassungsmässigen Vertrauensschutzes und des Gebots staatlichen Handelns nach Treu und Glauben auch hier dahingestellt bleiben. Zum einen fehlen in der Beschwerdeschrift zu dieser Frage jegliche Ausführungen und entsprechende Verfassungsrügen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 130). Zum anderen können Verletzungen des Gebots staatlichen Handelns nach Treu und Glauben und des Vertrauensschutzes (<ref-law>) mit kantonaler Nichtigkeitsbeschwerde vor Kassationsgericht gerügt werden (Moritz W. Kuhn/Markus Nietlispach, Bundesrechtsmittel und kantonale Rechtsmittel - Die Perspektiven kantonaler Gerichte am Beispiel des Kantons Zürich, Schweizerische Zeitschrift für Zivilprozess- und Zwangsvollstreckungsrecht, ZZZ 2008/ 2009 Nr. 19 S. 297 ff., S. 305). Diesbezügliche Verfassungsrügen wären in der hier einzig gegen den Beschluss des Obergerichts gerichteten Beschwerde mangels Erschöpfung des kantonalen Instanzenzuges somit auch unzulässig gewesen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 640).
5. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird damit kostenpflichtig (<ref-law>), hingegen nicht entschädigungspflichtig, da die Beschwerdegegnerin mit ihrem Antrag, das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen, unterlegen ist und in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt wurde. Im Übrigen werden Parteientschädigungen regelmässig nur anwaltlich vertretenen Parteien zugesprochen, nicht dagegen Parteien, die - wie die Beschwerdegegnerin - von einem angestellten Anwalt ihrer Rechtsabteilung vertreten sind (<ref-law>; vgl. Urteile 1C_198/2007 vom 21. Dezember 2007 E. 6 und 2C_807/2008 vom 19. Juni 2009 E. 4.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich sowie im Dispositiv dem Konkursamt U._, dem Handelsregisteramt des Kantons Zürich und den Grundbuchämtern F._, G._ und U._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl von Roten