Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1964) ist gebürtige Kolumbianerin und kam 1997 in die Schweiz, wo sie Y._ (geb. 1970) kennenlernte. Das Paar heiratete im März 1998. Am xxx 1999 wurde die gemeinsame Tochter Z._ geboren. Die Ehefrau, die in ihrem Heimatland keinen Beruf erlernt hatte und bis heute nur schlecht Deutsch spricht, kümmerte sich fortan um Haushalt und Kind. Der Ehemann ist Inhaber eines Bäckereibetriebs. Im August 2004 trennten sich die Eheleute. Seither bezahlte der Ehemann der Ehefrau und der bei dieser wohnenden Tochter monatlich Fr. 3500.--. Die Ehefrau ging bislang keiner Erwerbstätigkeit nach. Im April 2007 reichte der Ehemann eine Scheidungsklage ein.
B. Das Bezirksgericht Brig schied die Ehe mit Urteil vom 17. Februar 2009. Die Gewährung des gemeinsamen Sorgerechts (unter Obhutszuteilung an die Mutter) sowie die Regelung des Besuchs- und Ferienrechts erwuchsen in der Folge in Rechtskraft. Mit Berufung focht die Ehefrau (nebst der güterrechtlichen Auseinandersetzung) die Kindes- und Ehegattenunterhaltsbeiträge an, die das Bezirksgericht Brig wie folgt festgesetzt hatte (jeweils mit Indexierung): Für das Kind Fr. 875.-- bis zum erfüllten 12. Altersjahr, Fr. 950 .-- ab dem 13. Altersjahr bis zum erfüllten 16. Altersjahr und Fr. 1'000.-- ab dem 17. Altersjahr bis zur Mündigkeit, wobei es den Gegenwert der allenfalls von Y._ bezogenen Kinder- und Ausbildungszulagen (nebst 5% Zins ab Verfall) hinzuzurechnen gilt; für die Ehefrau: Fr. 2'000.-- bis und mit dem Monat Februar 2015 sowie Fr. 1'000.-- ab dem Monat März 2015 bis und mit dem Monat Februar 2017.
Mit Urteil vom 24. August 2010 hiess das Kantonsgericht Wallis die Berufung hinsichtlich der güterrechtlichen Auseinandersetzung teilweise gut und regelte diese neu, hinsichtlich der angefochtenen Unterhaltsbeiträge wies es die Berufung hingegen ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 29. September 2010 gelangt die Ehefrau (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen die Abänderung der Unterhaltsbeiträge für sich und ihre Tochter. Im Einzelnen: Fr. 1'100.-- bis zum erfüllten 12. Lebensjahr, Fr. 1'200.-- bis zum erfüllten 16. Lebensjahr und Fr. 1'300.-- bis zum erfüllten 18. Lebensjahr für die Tochter; für sich selbst: Fr. 2'000.-- bis und mit Februar 2015 sowie Fr. 1'000.-- unbefristet ab März 2015. Die Beschwerdeführerin beantragt weiter die Auferlegung der Kosten an den Beschwerdegegner, eine Parteientschädigung sowie die Rückweisung an die Vorinstanz zur Festsetzung der Verfahrenskosten und der Parteientschädigung für das kantonale Verfahren. Schliesslich beantragt sie die unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor Bundesgericht unter Beiordnung von Advokat Valentin Pfammatter.
In seiner Vernehmlassung vom 14. März 2011 beantragt der Beschwerdegegner Abweisung der Beschwerde (act. 10); das Kantonsgericht verzichtete auf eine solche, äusserte sich aber dennoch punktuell zu gewissen Fragen (act. 12).

Erwägungen:
1. Angefochten sind die Fr. 30'000.-- übersteigenden vermögensrechtlichen Folgen eines kantonal letztinstanzlichen Ehescheidungsurteils (Kindes- bzw. Ehegattenunterhaltsbeiträge gemäss Art. 285 bzw. <ref-law>); die Beschwerde in Zivilsachen ist somit grundsätzlich zulässig (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Auf formelle Einzelfragen wird im Sachzusammenhang zurückzukommen sein.
2. Strittig ist vorab die Höhe des vom Vater zu leistenden Kinderunterhaltsbeitrags für die unmündige Tochter Z._.
2.1 Der Unterhaltsbeitrag für das Kind wird im Falle der Scheidung nach <ref-law> bemessen (<ref-law>). Er soll den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen und ausserdem Vermögen und Einkünfte des Kindes sowie den Beitrag des nicht obhutsberechtigten Elternteils an der Betreuung des Kindes berücksichtigen (<ref-law>). Das Gesetz schreibt keine konkrete Bemessungsmethode vor. Vorliegend ist jedoch zu beachten, dass dem Sachgericht bei der Unterhaltsfestsetzung ein weites Ermessen zukommt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 580; <ref-ruling> E. 4.4 S. 64) und das Bundesgericht bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide grosse Zurückhaltung übt (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 2 S. 123 f.). Sind die finanziellen Verhältnisse - wie vorliegend - gut, sollten der Kindesunterhalt und der Bedarf des Kindes auf Grund der massgeblichen Lebenshaltung des Unterhaltspflichtigen konkret bemessen werden. Die Berechnung der "tatsächlich gelebten Lebensstellung" (<ref-ruling> E. 3b S. 113) bzw. die konkrete Bedarfsermittlung kommt freilich nicht ohne gewisse Pauschalierungen aus, so dass das Abstellen auf vorgegebene Bedarfszahlen (z.B. die "Zürcher Tabellen") unumgänglich und auch ohne weiteres zulässig ist, soweit die erforderlichen Anpassungen vorgenommen werden (zuletzt: Urteil 5A_733/2009 vom 10. Februar 2010 E. 3.3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Beträge gemäss solchen Tabellen stellen lediglich ein Hilfsmittel für die Festsetzung des Unterhaltsbeitrages dar und haben Richtwertcharakter.
2.2 Das Kantonsgericht ist bei der Berechnung des Kinderunterhaltsbeitrages von den Zahlen der "Empfehlungen des Amts für Jugend und Berufsberatung des Kantons Zürich zur Bemessung von Unterhaltsbeiträgen für Kinder" (nachfolgend: Zürcher Tabellen; Fassung vom 1. Januar 2009) ausgegangen. Den Barbedarf für ein Einzelkind von 7 bis 12 Jahren (Fr. 1'935.--) hat es unter Hinweis auf "die Verhältnisse im Kanton Wallis" und seine bisherige Rechtsprechung um 30% gekürzt und anschliessend vom so ermittelten Barbedarf (Fr. 1'354.50) die Kinderzulagen (Fr. 275.--) abgezogen, was einen Unterhaltsbeitrag [recte: Barbedarf] von Fr. 1'079.50 ergab. Diesen hat das Kantonsgericht im Verhältnis der Einkommen (80.57% zu 19.43%) auf die Eltern aufgeteilt, wobei es beim Vater von einem Einkommen von Fr. 7'700.-- ausgegangen ist und der Mutter nebst einem hypothetischen Einkommen von Fr. 1'600.-- auch noch einen "an die Walliser Verhältnisse" angepassten Betrag für "Pflege und Erziehung" Fr. 256.60 angerechnet hat. Daraus ermittelte das Kantonsgericht einen Unterhaltsbeitrag des Vaters von Fr. 869.50 (s. zum Ganzen E. 5a das angefochtenen Urteils). Für die Berechnung der Zeitstaffeln bis zum erfüllten 16. bzw. 18. Altersjahr ist das Kantonsgericht analog vorgegangen (E. 5b und 5c des angefochtenen Entscheids). Schliesslich hat es die bereits vom Bezirksgericht Brig festgesetzten Unterhaltsbeiträge von Fr. 875.-- bis zum erfüllten 12. Altersjahr, Fr. 950.-- ab dem 13. Altersjahr und Fr. 1'000.-- ab dem 17. Altersjahr bis zur Mündigkeit bestätigt.
2.3 Die Beschwerdeführerin erachtet es als unhaltbar, dass die Vorinstanz unter Hinweis auf zwei eigene Urteile vom 4. Dezember 2000 (publ. in: ZWR 2002 S. 178 ff.) und vom 19. November 2002 (publ. in: ZWR 2003 S. 265 ff.) den Totalbedarf gemäss Zürcher Tabellen pauschal um 30% gekürzt hat.
Im Urteil vom 4. Dezember 2000 (ZWR 2002 S. 178 ff.) ermittelte das Kantonsgericht die Differenz der Wohnungsmietkosten zwischen Sitten und der Stadt Zürich und kam unter Beizug von Zahlen aus dem Statistischen Jahrbuch der Schweiz 2000 (herausgegeben vom Bundesamt für Statistik, 1999, S. 245) zum Schluss, die Wohnungsmietkosten in Sitten lägen 30% unter jenen in Zürich. Daraus folgerte es, dass auch die Lebenskosten im Kanton Wallis 30% tiefer seien, weshalb es die Zürcher Tabellen pauschal um 30% zu kürzen gelte.
Dieses Vorgehen stellt in zweierlei Hinsicht eine offensichtliche Verletzung von Bundesrecht dar: Erstens kann aus einem Unterschied in den Wohnkosten nicht auf einen gleichen Unterschied in den generellen Lebenshaltungskosten geschlossen werden. In der Tat ist nicht einsichtig, und es liegt hiefür keine nachvollziehbare Erklärung vor, weshalb die Kosten für Ernährung und Bekleidung (zwei separate Ausgabenpositionen in den Zürcher Tabellen) in Sitten im gleichen Verhältnis tiefer sein sollen wie die Mieten. Zweitens beruhen die Zürcher Tabellen nicht etwa auf statistischen Werten der Agglomeration Zürich, sondern auf gesamtschweizerischen Durchschnittswerten, die - nach Angaben des Herausgebers - zudem nach unten korrigiert wurden (vgl. Abschnitt III B der Zürcher Tabellen aus dem Jahr 2000 bzw. aus dem Jahr 2009/2010; s. dazu auch ANNETTE SPYCHER/DANIEL BÄHLER, Berechnung des Kindesunterhalts, in: Kind und Scheidung, Symposium zum Familienrecht 2005, Zürich 2006, S. 222). Während das Kantonsgericht aber einerseits darauf hinweist, dass die Werte im Kanton Wallis 30% tiefer seien als in Zürich, resultiert andererseits aus seiner Berechnung ein Betrag, der 30% unter dem gesamtschweizerischen (nicht dem zürcherischen) Durchschnitt liegt. Damit ist aufgezeigt, dass die angewandte Berechnungsmethode im Ergebnis bundesrechtswidrig ist. Das Bundesgericht schliesst nicht aus, dass die Lebenshaltungskosten im Wallis tiefer sind als im gesamtschweizerischen Durchschnitt. Es ist indessen nicht seine Aufgabe, diese bzw. deren Differenz zu den Zürcher Tabellen zu ermitteln. Vielmehr ist das Urteil mit Bezug auf den Kinderunterhalt aufzuheben und zu neuem Entscheid an das Kantonsgericht zurückzuweisen.
Ferner wird das Kantonsgericht zu berücksichtigen haben, dass der Position "Pflege und Erziehung" jedenfalls dann keine Barauslagen gegenüberstehen, wenn sich das Kind - wie hier - in der Obhut eines Elternteils befindet, denn die entsprechende Leistung wird vom obhutsberechtigten Elternteil in natura erbracht (Urteil 5C.288/2005 vom 15. März 2006 E. 5.2, mit Hinweisen). Demzufolge ist diese Bedarfsposition dem obhutsberechtigten Elternteil - hier der Mutter - anzurechnen. Zum gleichen Ergebnis führt die in gewissen Kantonen gehandhabte Berechnungsmethode, welche die Bedarfsposition "Pflege und Erziehung" bei der Ermittlung des Barbedarfs von vornherein ausser Acht lässt (s. dazu für das Obergericht des Kantons Zug: Urteil 5A_729/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 2.1; für das Obergericht des Kantons Bern: Urteil 5A_154/2008 vom 23. Juni 2008 E. 3.3; für das Obergericht des Kantons Aargau: Urteil 5C.173/2005 vom 7. Dezember 2005 E. 2.2; für das Kantonsgericht St. Gallen: Urteil 5C.106/2004 vom 5. Juli 2004 E. 3.1).
2.4 Die Eltern haben für den Unterhalt des Kindes aufzukommen, inbegriffen die Kosten von Erziehung, Ausbildung und Kindesschutzmassnahmen (<ref-law>). Der Unterhalt wird durch Pflege und Erziehung oder, wenn das Kind nicht unter der Obhut der Eltern steht, durch Geldzahlung geleistet (<ref-law>). Von dieser Grundregel ist das Kantonsgericht abgewichen und hat die Mutter zusätzlich zu einem Kinderunterhaltsbeitrag in Form von Geldzahlungen verpflichtet. Dieses Vorgehen ist nicht von vornherein unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3 a/cc S. 289 f.), und die Beschwerdeführerin hat es nicht als solches beanstandet. Die Aufteilung des Barbedarfs des Kindes auf die Eltern findet aber dort ihre Grenze, wo ein Elternteil nicht in der Lage ist, seinen eigenen Bedarf zuzüglich des Anteils am Kinderunterhalt aus seinem eigenen Einkommen zu decken. In einem solchen Fall muss der andere Elternteil, sofern es seine finanziellen Verhältnisse erlauben, die Differenz tragen.
Das Kantonsgericht hat der Beschwerdeführerin - zusätzlich zur Pflege und Erziehung - rund 20% (oder gerundet Fr. 200.--) des errechneten Barbedarfs der Tochter angerechnet, obwohl sie sich von vornherein in einer Mankosituation befindet und nicht in der Lage ist, mit ihrem Einkommen (Fr. 1'600.--) ihren eigenen Bedarf zu decken. Unter diesen Umständen erweist sich die vorgenommene Aufteilung des Barunterhaltsbedarfs als bundesrechtswidrig. Das gewählte Vorgehen wäre allenfalls zulässig gewesen, wenn das Kantonsgericht den Bedarf der Mutter um ihren Anteil am Kinderunterhalt erhöht hätte, was - wiederum unter Vorbehalt der Leistungsfähigkeit des Unterhaltsschuldners - zu entsprechend höheren Ehefrauenalimenten hätte führen müssen. Das war hier nicht der Fall und benachteiligt das Kind. Das Kantonsgericht wird abklären müssen, ob der Vater in der Lage ist, den Kinderunterhalt aus eigener Kraft zu finanzieren.
3. Ferner erachtet die Beschwerdeführerin den Abzug der Kinderzulage vom Barbedarf als nicht nachvollziehbar, da allfällige Kinderzulagen gemäss <ref-law> zusätzlich zum Unterhaltsbeitrag zu zahlen seien.
Die Beschwerdeführerin irrt. Kinder- und Ausbildungszulagen sind ausschliesslich für den Unterhalt des Kindes bestimmt und nicht zum Einkommen des bezugsberechtigten Elternteils hinzuzuzählen, sondern bei der Ermittlung des durch den Unterhaltsbeitrag zu deckenden Bedarfs des Kindes vorweg in Abzug zu bringen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4b S. 309 f.). Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn das Kantonsgericht die Kinderzulagen vom Barbedarf des Kindes abgezogen hat. Diese Rüge ist unbegründet.
4. Streitig ist schliesslich die Dauer des Ehegattenunterhalts, vor allem unter dem Gesichtspunkt der Altersvorsorge.
4.1 Das Bezirksgericht Brig hat der Beschwerdeführerin monatliche Beiträge von Fr. 2'000.-- bis und mit Februar 2015 (d.h. bis zum 16. Altersjahr der Tochter) und von Fr. 1'000.-- ab März 2015 bis und mit Februar 2017 (d.h. bis zum 18. Altersjahr der Tochter) an nachehelichem Unterhalt zugesprochen. Das Kantonsgericht bemerkte dazu, diese seien im Grunde genommen zu hoch, aber dennoch zu bestätigen, weil der Beschwerdegegner das erstinstanzliche Urteil nicht angefochten habe (E. 9 des angefochtenen Urteils). Mit diesen Beiträgen sei es daher der Beschwerdeführerin möglich, ihre Vorsorge zu äufnen (ebenda).
4.2 Die Beschwerdeführerin wendet ein, ausgehend von einem Notbedarf von Fr. 2'800.-- und einem (hypothetischen) Einkommen von Fr. 3'200.-- verbleibe ihr bloss ein Betrag von Fr. 400.-- pro Monat für den Aufbau einer Vorsorge. Zufolge unvollständiger Beitragsdauer werde sie bloss eine AHV-Teilrente beziehen können. Wenn man mit dem Kantonsgericht davon ausgehe, dass die Unterhaltsbeiträge ab dem Monat März 2015 allein dem Aufbau der Vorsorge dienten, so könne sie Fr. 24'000.-- äufnen. Zusammen mit dem Betrag von Fr. 14'278.75, den die Beschwerdeführerin auf ein Säule 3a-Konto überwiesen erhalte, kämen somit nur Fr. 38'278.75 zusammen, was offenkundig bloss für etwas länger als ein Jahr zur Deckung des Notbedarfs ausreiche. Angesichts ihres Alters, der fehlenden Ausbildung und der fehlenden Sprachkenntnisse werde sie offenkundig nicht in der Lage sein, eine angemessene Altersvorsorge aufzubauen.
4.3 Das Bundesgericht hat die Unterhaltsbemessung nicht von Amtes wegen frei zu überprüfen, sondern lediglich im Rahmen der - formell ausreichend begründet - geltend gemachten Rechtsverletzungen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 104).
Ausgangspunkt für die Bemessung der Altersvorsorge ist die massgebende Lebenshaltung, d.h. die Lebenshaltung, auf deren Fortführung der unterhaltsberechtigte Ehegatte im Falle der auch hier bejahten lebensprägenden Ehe grundsätzlich Anspruch hat (<ref-ruling> E. 4.4 S. 160; s. auch Urteil 5A_395/2009 vom 8. März 2010 E. 4.1). Das Kantonsgericht hat keine tatsächlichen Feststellungen über die gebührende Lebenshaltung der Beschwerdeführerin getroffen; es hat sich mit der Feststellung begnügt, ihr sei es mit den zugesprochenen Beiträgen möglich, ihre Vorsorge zu äufnen. Die Beschwerdeführerin erhebt diesbezüglich keine Sachverhaltsrügen; zudem macht sie weder geltend, das Kantonsgericht habe den rechtlich relevanten Sachverhalt unvollständig festgestellt, noch bringt sie Einwendungen vor, im Lichte derer die fragliche Feststellung sich als offensichtlich unrichtig erwiese. Der pauschale Hinweis, sie werde wegen fehlenden Beitragsjahren nur eine AHV-Teilrente erhalten, genügt nicht. Sodann ergibt sich aus den Ausführungen der Beschwerdeführerin nicht, wie ihre Altersvorsorge aussieht bzw. auf welchen Betrag sie angewiesen wäre, um über eine angemessene Altersvorsorge zu verfügen. Aus diesen Gründen fehlt es von vornherein an den tatsächlichen Grundlagen für die Beurteilung der Angemessenheit des Vorsorgeunterhalts und entsprechend ist kein Boden für rechtliche Erwägungen in diesem Zusammenhang gegeben. Darauf ist nicht einzutreten.
Die Überlegungen der Beschwerdeführerin sind im Übrigen insofern unvollständig bzw. nicht zu Ende gedacht, als sie bereits ab Ehescheidung über einen Unterhaltsbeitrag verfügt, der den vom Kantonsgericht ermittelten gebührenden Bedarf übersteigt und sie daher sofort mit der Äufnung ihrer Altersvorsorge beginnen kann, und nicht - wie behauptet - erst ab März 2015. Sodann übersieht die Beschwerdeführerin, dass sie spätestens ab März 2015 ein Einkommen wird erwirtschaften können, das dem BVG-Obligatorium untersteht und sie folglich auch unter diesem Titel ihre Altersvorsorge auf- bzw. ausbauen wird.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen, das Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 24. August 2010 Ziff. 2-6 aufzuheben und zur Ergänzung des Sachverhalts bzw. zu neuem Entscheid im Sinne der vorstehenden Erwägungen an dieses zurückzuweisen.
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin begründet ihr Begehren hinsichtlich der Kostenverlegung für das kantonal oberinstanzliche Verfahren ausschliesslich mit der von ihr beantragten Gutheissung ihrer Beschwerde an das Bundesgericht. Die Vorinstanz wird darüber nach erfolgter Rückweisung zu entscheiden haben.
6.2 Obwohl die Beschwerdeführerin obsiegt, bleibt der Ausgang des Verfahrens ungewiss. Praxisgemäss ist damit die Gerichtsgebühr vor Bundesgericht den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen, und die Parteikosten sind wett zu schlagen, so dass jede Partei die eigenen Parteikosten für das bundesgerichtliche Verfahren trägt (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
6.3 Bei der Beschwerdeführerin ist die nach <ref-law> geforderte Bedürftigkeit zu bejahen. Überdies hat sich das Verfahren auch nicht als aussichtslos erwiesen, so dass dass dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege zu entsprechen und ihr ein amtlicher Rechtsbeistand zu ernennen ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der auf sie entfallende Anteil an den Gerichtskosten ist einstweilen auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen. Der Anwalt der Beschwerdeführerin ist für seine Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren mit einem Honorar von Fr. 1'500.-- zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde werden die Ziffern 2-6 des Urteils des Kantonsgerichts Wallis, I. zivilrechtliche Abteilung, vom 24. August 2010 aufgehoben und die Angelegenheit zu neuem Entscheid an das Kantonsgericht Wallis zurückgewiesen.
2. Dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird entsprochen, und ihr wird in der Person von Advokat Valentin Pfammatter, Sonnenstrasse 9, 3900 Brig, ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt. Der Anteil der Beschwerdeführerin wird einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Valentin Pfammatter wird ein reduziertes Honorar von Fr. 1'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, I. zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. April 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schwander