Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft Uri wirft in ihrer Anklage X._ vor, er sei in der Nacht vom 13. auf den 14. August 2004 in das Geschäft von A._ eingeschlichen und habe 6 PC's "Micro-Line", 2 Flachbildschirme sowie diverses IT-Zubehör weggenommen, wodurch er sich des Hausfriedensbruchs (<ref-law>) und des Diebstahls (<ref-law>) schuldig gemacht habe.
B. Das Obergericht des Kantons Uri sprach X._ am 16. Mai 2008 in Bestätigung des Urteils des Landgerichts Uri vom 25. September 2007 von der Anklage des Diebstahls und des Hausfriedensbruchs frei.
C. Die Staatsanwaltschaft Uri führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Uri sei aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz, eventualiter an die erste Instanz zurückzuweisen.
X._ stellt in seiner Vernehmlassung den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten beziehungsweise sie sei abzuweisen. Das Obergericht des Kantons Uri hat unter Hinweis auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Vorinstanz kommt in Übereinstimmung mit der ersten Instanz zum Schluss, dass bei objektiver Betrachtung der vorhandenen Beweise erhebliche und schlechthin nicht zu unterdrückende Zweifel an der Täterschaft des Angeklagten (nachfolgend: Beschwerdegegner) bestünden, weshalb dieser in Anwendung des Grundsatzes "in dubio pro reo" von der Anklage des Diebstahls und des Hausfriedensbruchs freizusprechen sei.
1.2 Nachdem in der Nacht vom 13. auf den 14. August 2004 bei der Geschädigten unter anderem Personalcomputer abhanden gekommen waren, lieferte der Beschwerdegegner Ersatzgeräte samt Festplatten. Unbestritten ist, dass die Ersatzgeräte neu waren. Unklar ist hingegen, ob auch die darin enthaltenen Festplatten, die sichergestellt wurden, neu waren oder ob es sich dabei um die alten Festplatten handelte, welche durch die inkriminierte Tat abhanden gekommen waren. Unbestritten ist, dass sich auf den sichergestellten Festplatten verdächtige Spuren befanden, die nur mittels jener Festplatten verursacht werden konnten, die am 13./14. August 2004 abhanden gekommen waren (siehe zum Ganzen erstinstanzliches Urteil S. 19). In Anbetracht dessen sind nach den Ausführungen der ersten Instanz verschiedene Sachverhaltsvarianten denkbar, unter anderem die Folgenden. Es wurden entweder die alten, abhanden gekommenen Festplatten in die neuen Ersatzgeräte eingebaut, sei es 1.) bei den Lieferungen der Ersatzgeräte durch den Beschwerdegegner selber, sei es 2.) nach den Lieferungen der Ersatzgeräte durch einen Dritten, welcher die vom Beschwerdegegner gelieferten neuen Festplatten nachträglich durch die alten Festplatten ersetzte, oder es wurden vom Beschwerdegegner neue Festplatten geliefert, wobei entweder 3.) er selber im Besitz der abhanden gekommenen alten Festplatten war und durch Überspielungen von diesen auf die neuen Festplatten die verdächtigen Spuren legte oder 4.) ein Dritter im Besitz der alten Festplatten war und die Dateien von diesen auf die vom Beschwerdegegner gelieferten neuen Festplatten überspielte (siehe erstinstanzliches Urteil S. 19/ 20 mit Hinweis auf das Gutachten des Instituts für Wirtschaftsinformatik Luzern vom 19. Mai 2005). Bei den Varianten 1 und 3 wäre nach den weiteren Ausführungen der ersten Instanz der Beschwerdegegner, bei den Varianten 2 und 4 ein Dritter der Täter. Ein Dritter hätte sowohl bei der Variante 2 wie auch bei der Variante 4 aufwändige Manipulationen vornehmen müssen, um die Datenspuren zu legen, die den Beschwerdegegner belasten würden (siehe erstinstanzliches Urteil S. 20).
Die erste Instanz kommt in Würdigung des Gutachtens des Instituts für Wirtschaftsinformatik Luzern vom 19. Mai 2005, wonach es trotz vieler Spuren nicht möglich sei, alle denkbaren Varianten zu beweisen oder zu widerlegen, sowie gestützt auf verschiedene weitere Umstände zum Schluss, dass Manipulationen seitens eines Dritten möglich seien und somit aus dem Gutachten nicht zweifelsfrei auf die Täterschaft des Beschwerdegegners geschlossen werden könne (siehe erstinstanzliches Urteil E. 5.5 S. 23 f.).
Die erste Instanz weist zudem auf verschiedene Umstände hin, die ihres Erachtens gegen die Täterschaft des Beschwerdegegners sprechen. Dieser habe sich im Tatzeitraum gemäss den glaubhaften Aussagen seiner Ehefrau zu Hause aufgehalten. Das dilettantische Vorgehen des Täters, der durch einfach zu vermeidende computertechnische Fehler leicht auffindbare Spuren hinterlegt habe, spreche gegen die Täterschaft des Beschwerdegegners, da dieser ein ausgewiesener Fachmann für Informatik sei. Bei der ohne Vorankündigung durchgeführten, gründlichen Hausdurchsuchung sei weder in der Wohnung noch im Geschäft des Beschwerdegegners irgendetwas gefunden worden, was ihn belasten könnte. Die Aussagen des Beschwerdegegners seien logisch, nachvollziehbar, konsistent und glaubhaft. Zudem habe er aus eigener Initiative zu seiner Entlastung die Entwicklung eines PC-Programms in Auftrag gegeben, mit dem die grundsätzliche Machbarkeit von Protokoll- und Dateifälschungen aufgezeigt worden sei. Im Weiteren habe der Beschwerdegegner kein nachvollziehbares Motiv für die inkriminierte Tat. Hätte er die Tat begangen, so hätte er dadurch lediglich einen Reingewinn von rund Fr. 3'000.-- erzielt. Es sei nicht anzunehmen, dass der Beschwerdegegner um eines derart bescheidenen Vermögensvorteils willen durch eine Straftat sein gutes gesellschaftliches und geschäftliches Ansehen riskiert hätte. Zusammenfassend gelangt die erste Instanz zum Schluss, dass zwar die Täterschaft des Beschwerdegegners nicht mit Sicherheit ausgeschlossen werden könne, dass aber bei weitem zu viele offene Fragen, Unklarheiten und Widersprüchlichkeiten in objektiver und subjektiver Hinsicht sowie alternative, den Beschwerdegegner entlastende Erklärungsmöglichkeiten und Tatabläufe bestünden und sich daher ein Freispruch in Anwendung des Grundsatzes "in dubio pro reo" aufdränge.
1.3 Die Beschwerdeführerin stellte im Berufungsverfahren verschiedene Beweisergänzungsanträge. Sie beantragte unter anderem, es sei bei der Firma B._ ein Ergänzungsgutachten in Auftrag zu geben und es seien dem Gutachter unter anderem die Fragen zu unterbreiten, ob die Feststellungen des Gutachtens des Instituts für Wirtschaftsinformatik Luzern vom 19. Mai 2005 nachvollziehbar und korrekt seien und ob auf den fraglichen Festplatten Daten vorhanden seien, die darauf schliessen liessen, dass die Festplatten vor dem 14. August 2004 oder der Folgewoche bereits verwendet worden seien und ob gegebenenfalls diese Daten manipulierbar oder bereits manipuliert worden seien. Zudem beantragte die Beschwerdeführerin unter anderem, dass der sichergestellte Passschlüssel beziehungsweise die im Spurensicherungsbericht der Kantonspolizei Uri vom 8. September 2004 erwähnten Schweissspuren auf daktyloskopische und DNA-Spuren auszuwerten und mit den Fingerabdrücken beziehungsweise dem DNA-Profil des Beschwerdegegners zu vergleichen seien und der Beschwerdegegner, soweit noch nicht erfolgt, erkennungsdienstlich zu behandeln (Fingerabdrücke sowie Wangenschleimhautabstrich zum Zwecke der DNA-Analyse) sei.
1.4 Die Vorinstanz verweist zur Beweiswürdigung auf die ihres Erachtens umfassenden und zutreffenden Ausführungen im erstinstanzlichen Urteil. Sie hält ergänzend und teilweise wiederholend fest, dass kein Tatmotiv des Beschwerdegegners ersichtlich sei. Es sei schlicht nicht anzunehmen, dass der Beschwerdegegner für einen doch relativ bescheidenen Reingewinn von Fr. 3'000.-- einerseits die bis dahin sehr guten Geschäftsbeziehungen zum Geschädigten und andererseits seinen eigenen gesellschaftlichen und geschäftlichen Ruf als Unternehmer aufs Spiel setzen sollte. Finanzielle Probleme des Beschwerdegegners im Zeitpunkt der inkriminierten Tat seien nicht aktenkundig. Dass schliesslich über das Unternehmen des Beschwerdegegners habe der Konkurs eröffnet werden müssen, sei die Folge des gegen ihn durchgeführten Strafverfahrens. Nach der Ansicht der Vorinstanz spricht auch das unprofessionelle Vorgehen bei der Tat gegen die Täterschaft des Beschwerdegegners, der ein EDV-Fachmann. Die Vorinstanz hält die Täterschaft einer Person aus dem Umfeld des Geschädigten (Angestellte, Familienangehörige, Kunden) für möglich und beanstandet, dass die Ermittlungen von Beginn an (zu) einseitig allein gegen den Beschwerdegegner geführt worden seien. Eine ausnahmsweise, namentlich bei Unvollständigkeit der Akten, mögliche Rückweisung der Sache an die erste Instanz oder die Staatsanwaltschaft lehnte die Vorinstanz ab, da nach beinahe vier Jahren seit der inkriminierten Tat eine Vervollständigung der Akten kaum mehr möglich wäre (angefochtenes Urteil E. 5 S. 19-21).
Unter Hinweis auf diese Umstände hat die Vorinstanz die von der Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren beantragten Beweisergänzungen, mit zwei Ausnahmen, abgelehnt in der Überzeugung, dass aufgrund der vorhandenen Beweise nicht zu unterdrückende Zweifel an der Täterschaft des Beschwerdegegners bestehen und weitere Beweiserhebungen daran nichts zu ändern vermöchten (siehe angefochtenes Urteil E. 3a S. 17 unten).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht unter anderem geltend, die Abweisung ihrer Beweisanträge verletze ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und beruhe auf einer willkürlichen (<ref-law>) antizipierten Beweiswürdigung. Zu diesen Rügen ist sie als Staatsanwaltschaft legitimiert (siehe <ref-ruling> E. 1.4).
Der Beschwerdegegner wendet in seiner ausführlichen Vernehmlassung ein, dass die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht willkürlich und der angefochtene Entscheid auch im Ergebnis richtig sei. Die Kritik der Beschwerdeführerin an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung sei weitgehend bloss appellatorischer Natur und genüge daher zur Begründung einer Willkürrüge nicht. Sie sei im Übrigen unbegründet. Der Anspruch auf rechtliches Gehör sei nicht verletzt worden, da die Vorinstanz die Beweisergänzungsbegehren der Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren in willkürfreier antizipierter Beweiswürdigung habe abweisen dürfen. Die Erwägungen im angefochtenen Entscheid genügten den Begründungsanforderungen, die sich aus der Bundesverfassung und aus der Urner Strafprozessordnung ergeben. Die Vorinstanz habe sich zu Recht auf die erstinstanzlichen Erwägungen abgestützt und in Übereinstimmung mit der ersten Instanz erkannt, dass der gutachterlichen Abklärung im vorliegenden Fall angesichts der weiteren relevanten Umstände (etwa betreffend Tatmotiv) nicht die selbe Bedeutung zukomme wie möglicherweise in anderen Fällen. Der Beschwerdegegner meint, dass die von der Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren beantragten Beweiserhebungen untauglich seien beziehungsweise keine relevanten neuen Erkenntnisse brächten und dass das ohnehin schon überlange Strafverfahren endlich abzuschliessen sei.
2.2 Der in <ref-law> gewährleistete Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen einer Partei auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die grundsätzliche Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2b, je mit Hinweisen). Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst unter anderem das Recht einer Partei, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden (<ref-ruling> E. 2a/aa; <ref-ruling> E. 3a, 241 E. 2, je mit Hinweisen). Aus dem Gehörsanspruch folgt, dass das Gericht rechtzeitig und formrichtig angebotene Beweismittel zu rechtlich erheblichen Tatfragen abzunehmen hat (<ref-ruling> E. 4a mit Hinweisen). Allerdings darf es einen Beweisantrag ablehnen, wenn es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in antizipierter Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch die beantragte weitere Beweiserhebung nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2.1, je mit Hinweisen). Bei der Abweisung von Beweisanträgen in antizipierter Beweiswürdigung ist allerdings Zurückhaltung geboten. Es darf nicht leichthin angenommen werden, dass das Beweisergebnis aufgrund der bereits abgenommenen Beweise feststeht (ROBERT HAUSER/ERHARD SCHWERI/KARL HARTMANN, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl. 2005, § 55 N. 10; Botschaft des Bundesrates zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1085 ff., 1182). Das Gericht muss begründen, weshalb die Erhebung der beantragten Beweise an seiner bereits gewonnenen Überzeugung nichts zu ändern vermöchte (GÉRARD PIQUEREZ, Traité de procédure pénale Suisse, 2ème édition 2006, § 47 n° 337). Zur Begründung hiefür reicht es nicht aus, dass das Gericht darlegt, weshalb es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise eine bestimmte Überzeugung gewonnen hat.
Diese Grundsätze gelten nicht nur für die Abweisung von Beweisanträgen der beschuldigten Person, sondern entsprechend auch für die Abweisung von Beweisanträgen der Staatsanwaltschaft in antizipierter Beweiswürdigung.
2.3 Die Vorinstanz hat die von der Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren gestellten Beweisergänzungsanträge abgewiesen, weil ihres Erachtens aus den im erstinstanzlichen Entscheid sowie aus den von ihr ergänzend genannten Gründen nicht zu unterdrückende Zweifel an der Täterschaft des Beschwerdegegners bestehen. Damit hat die Vorinstanz indessen nur dargelegt, dass sie aufgrund der bereits abgenommenen Beweise sowie aufgrund der Indizien nicht zu unterdrückende Zweifel an der Täterschaft des Beschwerdegegners hat. Sie hat aber die beantragten weiteren Beweise nicht einer vorweggenommenen Würdigung unterzogen und nicht ausgeführt, weshalb das Ergebnis dieser Würdigung an der bereits gewonnenen Überzeugung nichts zu ändern vermöchte. Damit hat die Vorinstanz im Ergebnis die Beweisergänzungsanträge ohne Begründung abgewiesen und dadurch ihre aus dem Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör (<ref-law>) resultierende Begründungspflicht verletzt.
Das angefochtene Urteil ist daher in Gutheissung der Beschwerde aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird im neuen Verfahren entweder darlegen, aus welchen Gründen die Erhebung der im Berufungsverfahren beantragten Beweise an ihrer durch die bereits abgenommenen Beweise gewonnenen Überzeugung nichts zu ändern vermöchte, oder sie wird die beantragten Beweise erheben und danach in der Sache neu entscheiden.
2.4 Bei diesem Ergebnis hat das Bundesgericht keinen Anlass, im vorliegenden Verfahren auf die weiteren Einwände der Beschwerdeführerin einzutreten, etwa auf die Rügen, dass die Vorinstanz in verschiedenen Punkten einseitig allein auf die Angaben des Beschwerdegegners abgestellt habe und dadurch in Willkür verfallen sei.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der unterliegende Beschwerdegegner, der in seiner Vernehmlassung das Nichteintreten auf die Beschwerde beziehungsweise deren Abweisung beantragt hat, die Gerichtskosten zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Uri vom 16. Mai 2008 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Uri, Strafrechtliche Abteilung, sowie dem Geschädigten A._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. März 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Näf