Faits:
A.
Le 24 juin 2012, durant une intervention de police (procédure P_1) dans le canton de Genève, A._ a sauté depuis un balcon situé à trois mètres du sol (09h45). Il a ensuite été interpellé, menotté, puis conduit au poste de police. Vers 10h30, il a été fait appel au Dr B._ qui a procédé à l'examen de l'intéressé vers 11h00. Le médecin ayant requis son transfert aux urgences hospitalières (11h12), A._ y a été pris en charge vers 12h03.
A._ a déposé le 19 novembre 2012 plainte pénale contre inconnu pour omission de porter secours au motif qu'il n'avait pas pu bénéficier le 24 juin 2012 des premiers soins, ni été transporté immédiatement à l'hôpital alors qu'il était grièvement blessé. Il a également requis l'octroi de l'assistance judiciaire et la nomination de Me Antoine Hamdan en tant qu'avocat d'office (P_2), ce dernier étant son défenseur dans la procédure pénale P_1. L'Inspection générale des service (IGS) - entité chargée de l'instruction dans la cause P_2 - a rendu son rapport le 10 avril 2013, faisant notamment état des auditions du plaignant, du Dr B._ et de quatre des gendarmes ayant participé à l'opération du 24 juin 2012. Le 7 mai 2013, le Ministère public de la République et canton de Genève a considéré que l'instruction ouverte contre inconnu pour omission de porter secours était achevée (P_2) et a informé les parties qu'une ordonnance de classement serait prochainement rendue, impartissant à celles-ci un délai au 7 juin 2013 pour déposer d'éventuelles réquisitions de preuve. Ce même jour, il a refusé d'accorder l'assistance judiciaire à A._, considérant que l'action civile était vouée à l'échec dès lors que le plaignant ne disposait d'aucune action directe contre les agents ayant procédé à l'arrestation alléguée illicite.
B.
Par arrêt du 24 juin 2013, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a confirmé cette décision. Elle a constaté que les griefs invoqués par l'intéressé à l'appui de sa requête paraissaient voués à l'échec dès lors qu'il n'avait pas été victime d'actes de violence de la part d'agents étatiques, ni d'actes de torture, de peines ou de traitements cruels ou dégradants, mais s'était blessé en tentant de se soustraire à une arrestation. Elle a aussi relevé qu'il ne prétendait pas qu'un lien existerait entre la gravité de ses lésions et le comportement reproché aux policiers. Compte tenu de la témérité du recours, les juges cantonaux ont mis les frais de la procédure, à hauteur de 500 fr., à charge de A._.
C.
Par mémoire du 26 août 2013, A._ forme un recours en matière pénale à l'encontre de ce jugement. A titre de mesures provisionnelles, il demande de reporter toutes les auditions et audiences convoquées par les autorités cantonales dans la procédure pénale P_2 et de surseoir à toute nouvelle convocation jusqu'à droit connu sur son recours. Sur le fond, il conclut, principalement, à la réforme de l'arrêt cantonal en ce sens que sa requête d'assistance judiciaire soit admise et que Me Antoine Hamdan lui soit désigné en qualité de conseil juridique gratuit avec effet rétroactif au 19 novembre 2012. A titre subsidiaire, il requiert l'annulation du jugement cantonal et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants et, plus subsidiairement, la réforme du jugement entrepris en ce sens que les frais de la procédure de recours cantonale soient laissés à la charge de l'Etat de Genève, voire le renvoi de la cause sur cette question. Il sollicite aussi le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par ordonnance du 29 août 2013, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête de mesures provisionnelles.
Invités à se déterminer, la cour cantonale s'est référée aux considérants de sa décision, tandis que le Ministère public a conclu à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet. Le 15 octobre 2013, le recourant a déposé des observations complémentaires, persistant dans ses conclusions.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement les conditions de recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 133).
1.1. L'arrêt attaqué, relatif à l'assistance judiciaire, est une décision rendue en matière pénale par une autorité de dernière instance cantonale (<ref-law>). Le recours en matière pénale au sens des <ref-law> est donc ouvert.
1.2. Le recourant ne conteste pas que sa qualité pour recourir devant le Tribunal de céans ne peut résulter de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF, dès lors qu'il ne dispose d'aucune prétention civile à faire valoir au sens de cette disposition (cf. <ref-law> et 2 al. 2 de la loi genevoise du 24 février 1989 sur la responsabilité de l'Etat et des communes [LREC; RSG A 2 40]; <ref-ruling> consid. 3 p. 87 ss; arrêt 1B_729/2012 du 28 mai 2013 consid. 1.1). Il soutient en revanche qu'en application des garanties de procédure et de fond découlant notamment des art. 10 al. 3 Cst., 3, 13 CEDH, 7 du Pacte ONU II (RS 0.103.2) et 13 de la Convention des Nations Unies du 10 décembre 1984 contre la torture et autres peines ou traitements cruels, inhumains ou dégradants (RS 0.105), un tel droit devrait lui être reconnu.
1.2.1. La jurisprudence admet dans certains cas la qualité pour recourir de la partie plaignante, y compris en matière d'assistance judiciaire, lorsque les actes dénoncés sont susceptibles de tomber sous le coup des dispositions précitées (<ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 88 s.; arrêt 1B_729/2012 du 28 mai 2013 consid. 2.1 et les arrêts cités). Pour que tel soit le cas, le traitement dénoncé doit en principe être intentionnel et atteindre un minimum de gravité. L'appréciation de ce minimum dépend de l'ensemble des circonstances de la cause, notamment la durée du traitement et de ses effets physiques ou mentaux, le sexe, l'âge et l'état de santé de la victime. Un traitement doit être qualifié de dégradant s'il est de nature à créer des sentiments de peur, d'angoisse et d'infériorité propres à humilier ou à avilir la victime, de façon à briser sa résistance physique ou morale ou à la conduire à agir contre sa volonté ou sa conscience. Lorsqu'un individu se trouve privé de sa liberté, l'utilisation à son égard de la force physique alors qu'elle n'est pas rendue strictement nécessaire par son comportement porte atteinte à la dignité humaine et constitue, en principe, une violation des articles susmentionnés (arrêts 1B_771/2012 du 20 août 2013 consid. 1.2.2 publié in PJA 2013 1688); 1B_729/2012 du 28 mai 2013 consid. 2.1 et les arrêts cités).
Un droit de recourir a ainsi notamment été reconnu sur cette base lorsque les faits avaient conduit à un décès (<ref-ruling>; arrêt 1B_272/2011 du 22 mars 2012), lorsque le plaignant prétendait avoir subi des lésions corporelles à la suite d'une intervention des autorités (arrêts 1B_355/2012 du 12 octobre 2012 consid. 1.2.2 publié in Pra 2013 n o 1 p. 1 et Plädoyer 2013 n o 2 p. 64; 1B_10/2012 du 29 mars 2012 consid. 1.2.2 et 1.2.4 publié in Plaidoyer 2014 n o 4 p. 53; cf. arrêt 1B_729/2012 du 28 mai 2013 consid. 2.1 pour d'autres exemples) ou encore lorsqu'un mineur était embarqué dans un fourgon de police et emmené dans un endroit isolé hors de la ville où il était alors abandonné (arrêt 6B_364/2011 du 24 octobre 2011). La jurisprudence a en revanche considéré que l'atteinte n'était pas d'un degré de gravité suffisant en cas de violation de domicile alléguée (arrêt 1B_559/2012 du 4 décembre 2012), de perquisition (arrêt 1B_729 /2012 du 28 mai 2013) ou lorsque la victime présumée prétendait avoir été saisie au collet quelques instants par la police (arrêt 1B_70/2011 du 11 mai 2011).
1.2.2. En l'occurrence, le recourant soutient que les lésions qu'il a subies auraient été d'une extrême gravité pour sa vie, celle-ci ayant été objectivement et concrètement mise en danger. Il omet cependant de prendre en compte que celles-ci résultent avant tout de son propre comportement (saut d'une hauteur de trois mètres), ayant ainsi accepté le risque se blesser. S'il soutient que les blessures subies se seraient aggravées en raison de son transport sans précaution par les policiers, puis de l'absence de transfert direct à l'hôpital, il n'apporte aucune démonstration de ses propos; il ne remet d'ailleurs pas en cause la rapidité de l'intervention médicale une fois arrivé au poste de police. Il affirme avoir subi de multiples fractures crâniennes et de la colonne vertébrale, une hémorragie cérébrale, des lésions des organes internes, ainsi que d'avoir passé plusieurs jours dans le coma, mais ne produit aucun certificat médical susceptible de confirmer ses dires en indiquant par exemple le diagnostic retenu, le traitement suivi, la durée de l'hospitalisation et l'impact d'une possible prise en charge tardive; une telle documentation ne figure pas non plus au dossier pénal.
Il ressort en outre de celui-ci que - même dans l'hypothèse où le recourant aurait heurté un muret avec sa tête (cf. le rapport de police rédigé par un policier n'ayant pas été entendu par l'IGS) - le recourant n'a pas perdu connaissance au moment de son interpellation. Aucun des protagonistes auditionnés n'a fait état de plainte de sa part en relation avec sa tête; le recourant lui-même a déclaré lors de son audition avoir indiqué aux gendarmes souffrir du dos (cf. son audition du 18 janvier 2013). De plus, il ne remet pas en cause la traduction effectuée par son comparse de ses plaintes au moment de l'intervention policière; or, selon les propos des agents, celui-ci aurait déclaré que l'intéressé se plaignait de douleurs aux pieds (cf. procès-verbaux d'audition des gendarmes C._ et D._). Le constat médical du 27 juin 2012 du Dr B._, ainsi que ses déclarations lors de son audition n'apportent aucun élément dans le sens des allégations du recourant, le praticien ayant constaté avant tout de possibles fractures vertébrales. Peu après l'interpellation, le recourant a également été capable de se mouvoir jusqu'au véhicule de police, certes encadré par deux agents. Au regard de ces circonstances (conscience, absence de plainte en lien avec la tête et mobilité), les policiers - qui n'appartiennent pas au corps médical, même s'ils peuvent disposer de certaines connaissances en matière de premiers secours - n'avaient aucune raison de suspecter des lésions internes, tel le traumatisme crânien allégué par le recourant - hypothèse que le médecin semble au demeurant avoir aussi écartée lors de son examen (cf. son rapport du 27 juin 2012) - et/ou de possibles fractures vertébrales. Ils n'ont enfin pas refusé au recourant de faire appel à un médecin peu après son arrivée au poste de police, ce que le recourant ne prétend au demeurant pas.
Certes, il n'y a pas lieu au niveau de la recevabilité d'examiner si les actes reprochés aux policiers sont effectivement constitutifs de violations des art. 10 al. 3 Cst., 3, 13 CEDH, 7 Pacte ONU II et 13 de la Convention contre la torture, s'ils procèdent d'un comportement intentionnel ou si les agents ont agi de manière proportionnée et pourraient être mis au bénéfice de faits justificatifs (<ref-ruling> consid. 3.1.3 p. 89). Cependant, les éléments relevés ci-dessus permettent de retenir que le minimum de gravité requis par la jurisprudence pour considérer que les actes dénoncés, respectivement les omissions alléguées, seraient des mauvais traitements au sens des dispositions susmentionnées n'est manifestement pas atteint. Le recourant n'a en particulier pas démontré en quoi l'éventuelle tardiveté de sa prise en charge médicale aurait aggravé les blessures causées par son propre comportement; en outre, dès lors que l'instruction pénale se poursuit, il garde la possibilité de faire valoir ses moyens (cf. art. 29 al. 3 Cst.; arrêt 1B_355/2012 du 12 octobre 2012 consid. 5.1 et 5.2 publié in Pra 2013 n o 1 p. 1 et Plädoyer 2013 n o 2 p. 64).
Partant, le recourant ne dispose pas de la qualité pour recourir.
2.
Il en découle que le recours est irrecevable.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies au vu des questions posées par la recevabilité du recours (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Antoine Hamdan en qualité d'avocat d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Antoine Hamdan est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 14 février 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf