Sachverhalt:
A. Die Y._ AG beabsichtigt, eine auf dem Gebiet der Politischen Gemeinde Bussnang (nachfolgend Gemeinde Bussnang) liegende Lagerhalle zu erweitern. Der bestehende Betrieb der Y._ AG und das Baugrundstück liegen in der Landwirtschaftszone. Auf ein entsprechendes Baugesuch der Y._ AG hin erhoben BX._ und AX._ Einsprache gegen das Bauprojekt. Mit Entscheid vom 3. Oktober 2008 stellte das Amt für Raumplanung des Kantons Thurgau (ARP) fest, dass das Bauvorhaben in der Landwirtschaftszone nicht zonenkonform sei, jedoch unter Einhaltung von Auflagen eine Ausnahmebewilligung erteilt werden könne.
B. Mit Entscheid vom 2. April 2009 erklärte das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau (DBU) eine von der Gemeinde Bussnang für die Erweiterung der Lagerhalle erteilte Baubewilligung für nichtig, weil die Gemeinde als Eigentümerin eines Teils des Baugrundstücks zum Entscheid nicht zuständig gewesen sei. Gleichzeitig erteilte das Departement selbst die Baubewilligung für das Bauprojekt (mit Auflagen) und trat auf die Einsprache von BX._ und AX._ nicht ein, weil diese nicht zur Einsprache legitimiert seien.
C. Gegen den Entscheid des DBU gelangten BX._ und AX._ mit Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 21. Oktober 2009 ab, weil das DBU die Einsprachelegitimation von BX._ und AX._ zurecht verneint habe.
D. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts haben BX._ und AX._ am 2. Dezember 2009 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie der Entscheide des DBU vom 2. April 2009 und des ARP vom 3. Oktober 2008. Die Bau- bzw. Ausnahmebewilligung für die Lagerhalle sei zu verweigern. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
E. Das Verwaltungsgericht, das DBU, das ARP sowie die Y._ AG schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Gemeinde Bussnang teilt mit, sie halte an ihrer Stellungnahme zu Handen der Vorinstanz fest. Mit Stellungnahme vom 8. März 2010 hat sich das Bundesamt für Umwelt (BAFU) zur Frage der Legitimation der Beschwerdeführer zur Anfechtung des Bauprojekts geäussert.
F. Im weiteren Schriftenwechsel halten die Verfahrensbeteiligten an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführer sind nach <ref-law> zur Beschwerde gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid, mit dem ihnen die Einsprachelegitimation abgesprochen wurde, ungeachtet ihrer Legitimation in der Sache befugt. Auf die rechtzeitig erhobene Beschwerde ist daher grundsätzlich einzutreten.
1.2 Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit die Aufhebung der Entscheide des DBU und des ARP beantragt wird. Diese Entscheide sind durch den Entscheid des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gelten als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
1.3 Die Beschwerde ist nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig. Dieser wird durch den Gegenstand des angefochtenen Entscheids und durch die Parteibegehren bestimmt, wobei der angefochtene Entscheid den möglichen Streitgegenstand begrenzt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 189). Gegenstand des vorinstanzlichen Entscheids war einzig die Frage, ob das DBU die Einsprachelegitimation von BX._ und AX._ zu Recht verneint hatte. Nicht einzutreten ist deshalb auf Ausführungen der Beschwerdeführer zur Sache selber und insbesondere zur Frage, ob das Bauvorhaben die Voraussetzungen von Art. 24 RPG für die Erteilung einer Ausnahmebewilligung für Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen erfülle.
2. Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht, so ist darauf nicht einzutreten. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Dies setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die minimalen Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt.
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem oder kommunalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung, vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen). Demzufolge genügt es insbesondere auch nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift darzulegen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
Im Rahmen der nachfolgenden Ausführungen zu den behaupteten Rechtsverletzungen ist zu prüfen, ob die Beschwerde den genannten Rüge- und Begründungspflichten entspricht.
3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Vorbehalten bleibt die Ergänzung oder Berichtigung des Sachverhalts wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.1 Der Beschwerdeführer hat vor Bundesgericht verschiedene Fotografien zur Situation des Betriebs der Beschwerdegegnerin in der Landwirtschaftszone, zur Sichtsituation zwischen den Parzellen der Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin sowie zur Strassensituation im Bereich der Liegenschaft der Beschwerdeführer eingereicht.
Im bundesgerichtlichen Verfahren dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-law>). Nicht zu den Tatsachen, zu deren Vorbringen erst der angefochtene Entscheid Anlass gibt, gehören Tatsachenbehauptungen und Beweismittel, die der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren vorzutragen unterlassen hat, und die deshalb von der Vorinstanz auch nicht berücksichtigt werden konnten. Der Beschwerdeführer kann nicht mit neuen tatsächlichen Vorbringen, die er schon vor der Vorinstanz hätte vorbringen können und müssen, nachzuweisen versuchen, dass die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig oder die Beweiswürdigung willkürlich sei. Soweit die von den Beschwerdeführern eingereichten Fotografien überhaupt geeignet wären, rechtserhebliche Tatsachen zu belegen, handelte es sich dabei um unzulässige, und damit nicht zu beachtende Noven im Sinne von <ref-law>.
3.2 Der rechtlich relevante Sachverhalt ergibt sich mit hinreichender Klarheit aus den Akten, weshalb der Antrag der Beschwerdeführer auf die Durchführung eines Augenscheins und einer Expertise zu den Strassenverhältnissen im Bereich der Liegenschaft der Beschwerdeführer abzuweisen ist.
4. Die Beschwerdeführer rügen, die Vorinstanz habe angebotene Beweise, insbesondere das Einholen einer Expertise zu den zu erwartenden Lärmemissionen sowie die Befragung eines Vertreters des Arbeitsinspektorats und einer Vertreterin der Gemeinde, nicht abgenommen. Sie machen damit sinngemäss eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) geltend.
Es ist indessen nicht ersichtlich und wird von den Beschwerdeführern nicht dargetan, dass die Vorinstanz durch die Abnahme der beantragten Beweise neue, entscheidwesentliche Erkenntnisse hätte gewinnen können, welche sich nicht bereits aus den Akten und dem durchgeführten Augenschein ergaben. Die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör erweist sich damit als unbegründet.
5. Mit der Abweisung der Beschwerde stützte die Vorinstanz den Entscheid des DBU, welches gestützt auf § 90 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes vom 16. August 1995 (PBG) mangels Legitimation nicht auf die Einsprache der Beschwerdeführer eintrat.
5.1 Gemäss Art. 33 Abs. 3 lit. a RPG gewährleistet das kantonale Recht gegen Verfügungen betreffend die Raumplanung die Legitimation mindestens im gleichen Umfang wie für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Ferner schreibt <ref-law> die Einheit des Verfahrens vor: Wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist, muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können (<ref-law>); die unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts muss grundsätzlich mindestens die Rügen nach den Artikeln 95-98 BGG prüfen können (<ref-law>). Aus diesen Bestimmungen ergibt sich, dass die kantonalen Behörden die Rechtsmittelbefugnis nicht enger fassen dürfen, als dies für die Beschwerde an das Bundesgericht vorgesehen ist (Urteil des Bundesgerichts 1C_212/2009 vom 2. Juni 2010 E. 2.1 mit Hinweis). Zur Beurteilung, ob die Vorinstanzen die Beschwerdeführer vom Rechtsmittel ausschliessen durften, ist im vorliegenden Fall die Beschwerdeberechtigung nach den Grundsätzen von <ref-law>, welche mit denjenigen des früheren Art. 103 lit. a OG übereinstimmen, zu prüfen. Sind die Beschwerdeführer befugt, gegen einen Sachentscheid über das umstrittene Vorhaben beim Bundesgericht Beschwerde zu führen, so müssen die Vorinstanzen auf ihr Rechtsmittel eintreten, soweit die übrigen formellen Voraussetzungen erfüllt sind.
5.2 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (<ref-law>). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer (lit. a), dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (lit. b) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (lit. c). Die Nähe der Beziehung zum Streitgegenstand muss bei Bauprojekten insbesondere in räumlicher Hinsicht gegeben sein. Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann (<ref-ruling> E. 1.3 S. 413 mit Hinweisen). Die Voraussetzungen von <ref-law> hängen eng zusammen. Insgesamt kann insoweit an die Grundsätze, die früher zur Legitimationspraxis bei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach Art. 103 lit. a OG entwickelt worden sind, angeknüpft werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 252 f., 353 E. 3 S. 356 f., 400 E. 2.2 S. 404 f.).
5.3 Die Behauptung allein, jemand sei von den Folgen einer Baubewilligung betroffen, genügt nicht, um die Beschwerdebefugnis zu begründen. Vielmehr müssen aufgrund des konkreten Sachverhalts das besondere Berührtsein und das schutzwürdige Interesse glaubhaft erscheinen.
5.3.1 Ein Kriterium für die Beurteilung der Beschwerdebefugnis ist die räumliche Distanz des Nachbarn zum umstrittenen Bauvorhaben, wobei es nicht auf abstrakt bestimmte Distanzwerte ankommt (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1C_212/2009 vom 2. Juni 2010 E. 2.3.1 mit Hinweis). Das Beschwerderecht wird in der Regel anerkannt, wenn der Bau oder Betrieb einer projektierten Anlage mit Sicherheit oder grosser Wahrscheinlichkeit zu Immissionen führt und der Beschwerdeführer durch diese - seien es Lärm-, Staub-, Erschütterungs-, Licht- oder andere Einwirkungen - betroffen wird. Sind solche Beeinträchtigungen zu erwarten, ändert auch der Umstand, dass eine grosse Anzahl von Personen betroffen ist, nichts an der Beschwerdebefugnis. Wird die Einsprache- und Rechtsmittelbefugnis aus den Immissionen des Zubringerverkehrs abgeleitet, so müssen diese für den Beschwerdeführer deutlich wahrnehmbar sein, damit er zur Beschwerde legitimiert ist (<ref-ruling> E. 1c S. 228 f.; <ref-ruling> E. 1c S. 102).
5.3.2 In Grenzfällen besteht ein Beurteilungsspielraum, bei dessen Ausübung einerseits eine kaum mehr zu begrenzende Öffnung des Beschwerderechts zu vermeiden ist und andererseits die Schranken auch nicht zu eng gezogen werden dürfen, um nicht die vom Gesetzgeber gewollte Überprüfung der richtigen Rechtsanwendung in Fällen, in denen der Beschwerdeführer ein aktuelles und schützenswertes Interesse besitzt, auszuschliessen (<ref-ruling> E. 3 S. 159 mit Hinweis). Das Bundesgericht prüft die Legitimationsvoraussetzungen in einer Gesamtwürdigung anhand der im konkreten Fall vorliegenden tatsächlichen Verhältnisse. Es stellt nicht schematisch auf einzelne Kriterien (wie z.B. Distanz zum Vorhaben, Sichtverbindung etc.) ab (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 285 f.).
6. Die Vorinstanz hat festgehalten, aus rein optischer Sicht könne nicht von einer besonderen Betroffenheit der Beschwerdeführer ausgegangen werden, zumal deren Liegenschaft in einer Entfernung von etwa 500 m vom Baugrundstück läge.
Die Beschwerdeführer bestreiten nicht, dass wegen fehlender Nähe ihrer Liegenschaft zum Baugrundstück aus optischer Sicht eine besondere Betroffenheit fehlt. In der blossen Erklärung der Beschwerdeführer, das Baugrundstück liege in Sichtweite ihrer Liegenschaft, was der Sachverhaltsdarstellung der Vorinstanz nicht widerspricht, ist jedenfalls keine rechtsgenügend begründete Rüge zu sehen.
7. Weiter hat die Vorinstanz ausgeführt, eine besondere Betroffenheit seitens der Beschwerdeführer sei auch bezüglich der zu erwartenden Emissionen aus dem Betrieb der Anlage nicht ersichtlich. Anlässlich eines Augenscheins bei Vollbetrieb auf dem Areal der Beschwerdegegnerin seien bei der Liegenschaft der Beschwerdeführer praktisch keine oder zumindest keine störenden Lärmgeräusche wahrzunehmen gewesen. Auf dem Baugrundstück seien keine zusätzlichen Produktionsanlagen, sondern lediglich eine Erweiterung der Lagerhalle geplant. Vom zusätzlichen Lagerraum seien keine zusätzlichen Lärmemissionen zu erwarten, zumal der Trocknungsvorgang und damit die Lärmemissionen mit der Möglichkeit, zusätzliches Trockenmaterial zu lagern, gemäss den nachvollziehbaren Aussagen des Vertreters der Beschwerdegegnerin gar reduziert werden könnten.
Die Beschwerdeführer bezeichnen die Feststellungen der Vorinstanz, mit der Möglichkeit, zusätzliches Trockenmaterial zu lagern, könnten die Ventilatorengeräusche verringert werden, als falsch und unglaubwürdig. Damit vermögen sie allerdings nicht rechtsgenügend aufzuzeigen, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsdarstellung offensichtlich unrichtig sein sollte. Die Beschwerdeführer führen zudem aus, der Vertreter der Beschwerdegegnerin habe zugestanden, dass bei Vollbetrieb der Anlage und entsprechenden Windverhältnissen bei der Liegenschaft der Beschwerdeführer Geräusche zu hören seien. Ein Vertreter des Arbeitsinspektorats habe bestätigt, dass derartige Immissionen möglich seien, und auch eine Vertreterin der Gemeinde habe erklärt, dass sie bei entsprechender Windlage die Geräusche des Betriebs steigernd höre. Selbst wenn man diesen Ausführungen der Beschwerdeführer folgt, kann deshalb die Feststellung der Vorinstanz, dass auf der Liegenschaft der Beschwerdeführer zumindest keine störenden Lärmgeräusche wahrzunehmen seien, nicht als offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich betrachtet werden. Soweit die Beschwerdeführer schliesslich geltend machen, die Erweiterung der Lagerhalle würde eine Steigerung der Produktion ermöglichen, können sie auch daraus nichts zu ihren Gunsten ableiten. Dies zumal nach der nicht offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsdarstellung der Vorinstanz bei der Liegenschaft der Beschwerdeführer selbst bei Vollbetrieb der Produktionsanlagen zumindest keine störenden Lärmgeräusche wahrzunehmen und auf dem Baugrundstück keine zusätzlichen Produktionsanlagen geplant sind.
Die Vorinstanz hat somit zu Recht verneint, dass die Beschwerdeführer bezüglich der vom Betrieb der Anlage zu erwartenden Emissionen besonders betroffen sind.
8. Bezüglich der Strasse entlang der südlichen Grenze des Grundstücks der Beschwerdeführer hat die Vorinstanz festgestellt, der Ausbau der Lagerhalle führe zu einem Mehrverkehr von 0.57 Lastwagen pro Arbeitstag, womit der Lastwagenverkehr an Arbeitstagen um lediglich 7.6 % zunehme. Die Beschwerdeführer könnten auch daraus keine Einsprachelegitimation ableiten.
Ohne sich mit den Ausführungen der Vorinstanz zum zu erwartenden Mehrverkehr näher auseinanderzusetzen, weisen die Beschwerdeführer auf den durch den Ausbau der Lagerhalle zu erwartenden Mehrverkehr auf der Strasse entlang ihres Grundstücks hin. Das BAFU hält dazu in seiner Stellungnahme vom 8. März 2010 fest, die Zunahme um 0.57 Lastwagen pro Tag führe zu einer Zunahme der Immissionen von höchstens 0.1 dB(A). Erfahrungsgemäss werde beim Strassenverkehrslärm grundsätzlich eine Erhöhung des Beurteilungspegels um 1 dB(A) gerade noch wahrgenommen. Besonders bei geringer Verkehrsdichte könne auch eine Veränderung des Lärms um weniger als 1 dB(A) wahrgenommen werden, wenn dadurch eine Änderung der Zeit- und Frequenzstruktur des Verkehrsaufkommens bewirkt werde. Vorliegend falle die Zunahme des Verkehrsaufkommens um 0.57 Lastwagen pro Tag sowie die Änderung der akustischen Qualität des Lärms jedoch äusserst gering aus, weshalb davon auszugehen sei, dass die Zunahme des Verkehrsaufkommens von den Beschwerdeführern nicht wahrgenommen werde.
Bei Lärmimmissionen des Verkehrs zu einem regionalen Einkaufszentrum bezeichnete das Bundesgericht die Bejahung der Legitimation bei einer Verkehrszunahme von 10 % als recht- und zweckmässig. Dabei wurde davon ausgegangen, dass eine Steigerung des durchschnittlichen täglichen Verkehrs (DTV) um 25 % zu einer Erhöhung des Verkehrslärmpegels um 1dB(A) führte und eine solche gerade noch wahrgenommen werden könne (Urteil des Bundesgerichts 1A.148/2005 vom 20. Dezember 2005 E. 3.5 f., in: ZBl 107/2006 S. 609; URP 2006 S. 144; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 286). Die von der Vorinstanz prognostizierte Verkehrszunahme von 7.6 % bezieht sich nicht auf den gesamten Verkehr (durchschnittlich 250 Fahrzeuge pro Tag), sondern nur den Lastwagenverkehr. Die zu erwartende prozentuale Zunahme des Verkehrs insgesamt fällt somit noch deutlich tiefer aus. Der Ausbau der Lagerhalle führt nach der grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsdarstellung der Vorinstanz lediglich zu einem zusätzlichen Verkehrsaufkommen von 0.57 Lastwagen pro Arbeitstag, was nach der überzeugenden Darstellung des BAFU eine Zunahme der Immissionen von höchstens 0.1 dB(A) zur Folge hat und für die Beschwerdeführer nicht wahrnehmbar ist. Unter diesen Umständen hat die Vorinstanz zu Recht verneint, dass die Beschwerdeführer wegen des zu erwartenden Mehrverkehrs besonders betroffen sind.
9. Schliesslich hat die Vorinstanz festgehalten, die Beschwerdeführer seien auch nicht deshalb besonders betroffen, weil die vor ihrem Grundstück durchführende Strasse nicht genug breit sei, damit Lastwagen und Sattelschlepper gefahrlos darauf kreuzen könnten. Hierbei handle es sich um ein allgemeines Problem der Gemeindestrassen in der betroffenen Gemeinde. Diesbezüglich seien die Beschwerdeführer nicht mehr betroffen als die übrigen Anwohner, deren Liegenschaften an die Gemeindestrassen angrenzen. Der zu erwartende Mehrverkehr führe nicht zu einem derartigen zusätzlichen Sicherheitsrisiko, welches geeignet sei, eine besondere Betroffenheit der Beschwerdeführer zu begründen.
Die Beschwerdeführer sind der Ansicht, die Vorinstanz habe die Strassensituation im Bereich ihrer Liegenschaft nicht richtig dargestellt und beurteilt. Sie wenden ein, die durch die Gemeinde führende Strasse genüge schon dem heutigen Verkehrsaufkommen im Zusammenhang mit dem Produktionsbetrieb der Beschwerdegegnerin nicht, umso weniger genüge sie einem noch grösseren Verkehrsaufkommen. Die Verkehrssicherheit sei im Bereich ihrer Liegenschaft gefährdet. Es komme zudem vor, dass Lastwagen beim Kreuzen die an die Strasse angrenzende Fläche ihrer Liegenschaft in Anspruch nähmen.
Soweit nach den Ausführungen der Beschwerdeführer im Bereich ihrer Liegenschaft offenbar schon heute und somit unabhängig vom geplanten Ausbau der Lagerhalle Probleme beim Kreuzen von Lastwagen bestehen und es vorkommt, dass Lastwagen die an die Strasse angrenzende Fläche ihrer Liegenschaft in Anspruch nehmen, lässt sich in Bezug auf das vorliegend bewilligte Bauprojekt keine besondere Betroffenheit für die Beschwerdeführer ableiten. Da mit der Realisierung des Projekts mit einer Zunahme des Lastwagenverkehrs um lediglich 7.6 % zu rechnen ist, was 0.57 zusätzlichen Lastwagen pro Arbeitstag entspricht, gilt das hinsichtlich der erforderlichen Betroffenheitsschwelle bei Lärmimmissionen durch den zusätzlichen Verkehr Gesagte (vgl. E. 8) auch bei Fragen der Verkehrssicherheit. Eine so minimale Verschärfung der bestehenden Situation reicht nicht aus, um eine besondere Betroffenheit der Beschwerdeführer zu bejahen.
10. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz mit der Verneinung der Einsprachelegitimation der Beschwerdeführer keine Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> begangen hat. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Die nicht anwaltlich vertretene Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 446 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Bussnang, dem Amt für Raumplanung, dem Departement für Bau und Umwelt und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Mattle