Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 18. Juli 2007 forderte die Ausgleichskasse des Kantons Zürich von F._, ehemaliger Geschäftsführer der am ........ in Konkurs gefallenen Firma X._, Schadenersatz für entgangene Sozialversicherungsbeiträge in der Höhe von Fr. 7'203.15. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 16. April 2008 fest.
B. Beschwerdeweise beantragte F._ die ersatzlose Aufhebung des Einspracheentscheides. In teilweiser Gutheissung seiner Beschwerde änderte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich den Einspracheentscheid vom 16. April 2008 in dem Sinne ab, als es F._ verpflichtete, Schadenersatz in Höhe von Fr. 6'024.70 zu leisten.
C. F._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, er sei von der Zahlung der geforderten Summe von Fr. 6'024.70 vollständig zu befreien.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. Die Vorinstanz hat die Voraussetzungen der subsidiären Haftung der Organe eines Arbeitgebers nach <ref-law> und der dazu ergangenen Rechtsprechung (Organstellung, Schaden, Widerrechtlichkeit, Verschulden, Kausalität, Nichtverwirkung) zutreffend wiedergegeben. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Nach den verbindlichen (E. 1) Feststellungen im angefochtenen Entscheid hat die (am ........ in Konkurs gefallene) Firma X._ die Pauschalbeiträge für das dritte Quartal 2004 nur teilweise und diejenige für das vierte Quartal 2004 überhaupt nicht bezahlt. Damit ist sie den ihr als Arbeitgeberin obliegenden Pflichten nur unvollständig nachgekommen und hat Vorschriften im Sinne von <ref-law> grobfahrlässig missachtet.
Sodann hat das kantonale Gericht in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht zutreffend dargelegt, weshalb dieses zum Beitragsverlust führende qualifiziert schuldhafte Verhalten dem Beschwerdeführer als einzigem Gesellschafter und Geschäftsführer anzurechnen ist.
3.2 Soweit der Beschwerdeführer in verfahrensmässiger Hinsicht beanstandet, dass er im vorinstanzlichen Verfahren keine Stellung habe nehmen können, übersieht er, dass er seine Argumente in der gegen den Einspracheentscheid gerichteten Beschwerde vorbringen konnte und dabei davon abgesehen hat, bei der Vorinstanz eine persönliche Befragung zu beantragen. Da sich im Übrigen (auch) im kantonalen Verfahren keine Fragen stellten, die nicht auf Grund der Akten hätten entschieden werden können, ist das Vorgehen der Vorinstanz nicht zu beanstanden.
Zu seiner Entlastung bringt der Beschwerdeführer sodann vor, die ersten Beitragsverzögerungen hätten ihren Ursprung darin gehabt, dass die Firma im Jahre 2001 Opfer eines Betrugs geworden und das von ihm deswegen eingeleitete Strafverfahren eingestellt worden sei, für welches Vorbringen er sich auf eine Verfügung betreffend die Sistierung der Strafuntersuchung der Staatsanwaltschaft Y._ beruft. Selbst wenn es sich dabei nicht um ein unzulässiges Novum im Sinne von <ref-law> handeln würde, wäre diesem Einwand kein Erfolg beschieden; denn nach der Sachverhaltsfeststellung in der Strafanzeige betraf der Betrugsfall nicht die Firma X._, sondern F._. Des Weitern macht der Beschwerdeführer geltend, er habe finanzielle Engpässe der Firma stets abgefedert, seinen Lohn gekürzt und Lohn in der Firma stehen gelassen, womit er sich geradezu vorbildlich verhalten habe. Anders als der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, ist für die Beurteilung der Verschuldensfrage indessen nicht entscheidend, ob die verantwortlichen Organe zur Aufrechterhaltung des Betriebs oder zur Vermeidung eines Konkurses Massnahmen dieser Art unternommen haben, sondern ob sie nach aussen erkennbar der Pflicht, für eine ordnungsgemässe Bezahlung der Sozialversicherungsbeiträge zu sorgen, nachgekommen sind (Urteil H 34/02 vom 4. März 2004 E. 5.5). Diese Frage hat die Vorinstanz, auf deren Erwägungen an dieser Stelle verwiesen werden kann, zu Recht verneint.
4. 4.1 Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im vereinfachten Verfahren - ohne Durchführung eines Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den kantonalen Entscheid (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG) - erledigt (<ref-law>).
4.2 Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 900.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Juni 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann