Faits:
A.
A.a. S._ travaillait depuis le 1 er avril 1988 en qualité de mécanicien en automobile auprès du garage X._ SA. A ce titre, il était assuré contre le risque d'accident par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: CNA).
Le 10 juin 2008, S._ a été victime d'un accident sur son lieu de travail: alors qu'il démontait le réservoir d'un système de climatisation d'un véhicule automobile, la boîte de climatisation a "giclé" projetant des bouts de plastique au visage et dans l'oeil gauche de l'assuré. Il a immédiatement été transporté à l'Hôpital Y._, puis transféré à l'Hôpital ophtalmique Z._ où il a été opéré le soir même; il y a séjourné jusqu'au 16 juin 2008. Le 20 juin 2008, une vitrectomie avec extraction du cristallin a été pratiquée. Les multiples lésions à l'oeil gauche ont entraîné une perte complète de la fonction de cet organe (rapports des 21 octobre et 23 octobre 2008 des médecins de l'Hôpital ophtalmique Z._). La CNA a pris en charge le cas. Le 27 octobre 2008, l'assuré a repris son activité à 50 %.
En novembre 2008, l'assuré a débuté un traitement psychiatrique auprès du Centre psycho-social W._. La doctoresse E._ a alors constaté que l'intéressé souffrait d'un trouble de l'adaptation et d'une réaction mixte anxieuse et dépressive, qui empêchaient celui-ci de travailler à 100 % (cf. rapport médical LAA du 5 décembre 2008).
Le 7 mai 2009, une prothèse de l'oeil gauche a été posée. La doctoresse I._, spécialiste FMH en ophtalmologie et chirurgie ophtalmique et médecin-conseil de la CNA, a évalué le taux de l'atteinte à l'intégrité à 30 % (rapport du 19 janvier 2009) et estimé que l'assuré pouvait travailler à plein temps moyennant le respect de certaines limitations fonctionnelles (rapport du 3 juillet 2009). Le 13 avril 2010, l'assuré a, par ailleurs, été examiné par le docteur O._ spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie auprès de la CNA, qui a retenu les diagnostics de modification durable de la personnalité (F62.8), de trouble de l'adaptation avec perturbation mixte des émotions et des conduites (F43.25), ainsi que d'anxiété généralisée, d'intensité modérée à sévère (F41.1). En raison de ces atteintes, l'assuré conservait une capacité de travail de 100 % avec un rendement diminué de 50 %.
Par décision du 17 juin 2010, confirmée sur opposition le 13 août 2010, la CNA a alloué à l'assuré une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 30 % et refusé l'octroi d'une rente d'invalidité, mettant également un terme au versement d'indemnités journalières au 30 juin 2010.
A.b. Saisi d'un recours de l'assuré, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a annulé la décision sur opposition du 13 août 2010 et renvoyé la cause à la CNA pour instruction complémentaire et nouvelle décision (jugement du 18 janvier 2011).
Dans le cadre des mesures d'instruction entreprises par la CNA, le docteur O._ a rendu un nouveau rapport le 3 mai 2011, par lequel il a attesté un lien de causalité naturelle entre les troubles psychiques et l'accident du 10 juin 2008. Le docteur A._, spécialiste FMH en ophtalmologie et ophtalmochirurgie et médecin-conseil de la CNA, a évalué la perte de rendement de l'assuré dans la profession de mécanicien en automobile à 10 % (rapport du 1 er avril 2011).
Par décision du 12 juillet 2011, la CNA a reconnu le droit de l'assuré à une rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 10 % résultant de la perte de la vision binoculaire. Le 22 septembre 2011, elle a rejeté l'opposition formée par l'assuré à l'encontre de sa décision, au motif que les troubles psychiques ne se trouvaient pas en lien de causalité adéquate avec l'accident, et confirmé le droit à une rente d'invalidité d'un taux de 10 %, ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 30 %.
Entre-temps, l'assuré, qui s'était annoncé auprès de l'assurance-invalidité, s'est vu octroyer de la part de cette assurance une rente entière d'invalidité à compter du 1 er juin 2009, puis une demi-rente d'invalidité dès le 1er janvier 2010 (décisions des 10 janvier 2011).
B.
L'assuré a recouru contre la décision sur opposition du 22 septembre 2011 devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois, qui l'a débouté par jugement du 16 octobre 2012.
C.
S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, il conclut à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 60 %, ainsi qu'à l'allocation, en raison de ses troubles psychiques, d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 30 %, en sus de celle déjà accordée par la CNA.
La CNA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
L'assuré s'est encore exprimé le 8 mars 2013.

Considérant en droit:
1.
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant produit devant la Cour de céans un rapport de la doctoresse C._ du Service médical régional de l'assurance-invalidité. Nouveau, ce moyen de preuve n'est pas admissible au regard de l'<ref-law> dans la mesure où le jugement entrepris ne justifie pas qu'il soit soulevé pour la première fois. Il ne sera donc pas pris en considération par le Tribunal fédéral.
2.
2.1. Compte tenu des motifs et des conclusions du recours, le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité LAA supérieure à 10 %, ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité plus élevée que celle attribuée par la CNA, essentiellement en raison des troubles psychiques qu'il présente.
2.2. Dans la mesure où la procédure de recours vise des prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction cantonale (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
3.
3.1. Les parties ne contestent pas que les troubles psychiques dont souffre le recourant se trouvent en lien de causalité naturelle avec l'accident du 10 juin 2008; est, en revanche, litigieuse la question de savoir si ces troubles sont en relation de causalité adéquate avec ce même événement.
3.2. En vue de juger du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident et une affection psychique additionnelle à une atteinte à la santé physique, il faut d'abord classer les accidents en trois catégories, en fonction de leur déroulement: les accidents insignifiants, ou de peu de gravité; les accidents de gravité moyenne et les accidents graves. Pour procéder à cette classification, il convient non pas de s'attacher à la manière dont l'assuré a ressenti et assumé le choc traumatique, mais bien plutôt de se fonder, d'un point de vue objectif, sur l'événement accidentel lui-même.
En particulier, en présence d'un accident de gravité moyenne, il faut prendre en considération un certain nombre de critères, dont les plus importants sont les suivants (<ref-ruling> consid. 6c/aa p. 140; 403 consid. 5c/aa p. 409) :
• les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident;
• la gravité ou la nature particulière des lésions physiques, compte tenu notamment du fait qu'elles sont propres, selon l'expérience, à entraîner des troubles psychiques;
• la durée anormalement longue du traitement médical;
• les douleurs physiques persistantes;
• les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident;
• les difficultés apparues au cours de la guérison et des complications importantes;
• le degré et la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques.
Il n'est pas nécessaire que soient réunis dans chaque cas tous ces critères. Suivant les circonstances, un seul d'entre eux peut être suffisant pour faire admettre l'existence d'une relation de causalité adéquate. Il en est ainsi lorsque l'accident considéré apparaît comme l'un des plus graves de la catégorie intermédiaire, à la limite de la catégorie des accidents graves, ou encore lorsque le critère pris en considération s'est manifesté de manière particulièrement importante (<ref-ruling> consid. 6 c/bb p. 140; 403 consid. 5 c/bb p. 409).
4.
4.1. Les premiers juges ont rangé l'accident du 10 juin 2008 dans la catégorie des accidents de gravité moyenne et appliqué les critères jurisprudentiels susmentionnés. Concernant le premier critère, il était douteux qu'il fût rempli, dès lors que l'accident s'était déroulé durant l'activité professionnelle normale de l'assuré et qu'il ne s'était pas caractérisé par des circonstances particulières. L'assuré avait immédiatement été secouru et conduit à l'hôpital où il avait été pris en charge. Si la lésion devait être qualifiée de grave, l'incapacité de travail et le traitement médical n'avaient, quant à eux, pas été particulièrement longs. Il n'y avait pas eu d'erreurs dans le traitement médical et l'évolution du processus de guérison avait été normale. Le recourant n'avait pas présenté de douleurs physiques persistantes, sous réserve de la présence d'un état douloureux à l'oeil le temps qu'il s'habitue à la prothèse. En définitive, toujours selon les premiers juges, deux critères tout au plus pouvaient être considérés comme remplis, à savoir la gravité de la lésion et très éventuellement le caractère particulièrement impressionnant de l'accident. Cela ne permettait toutefois pas d'admettre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre le trouble psychique et l'accident, ce dernier devant être placé dans la zone médiane de la catégorie des accidents de moyenne gravité.
4.2. Sans contester que l'événement du 10 juin 2008 constituait un accident à classer dans la zone médiane des accidents de gravité moyenne, le recourant fait valoir que plusieurs critères conduisant à admettre le lien de causalité adéquate sont réalisés.
4.3.
4.3.1. En l'occurrence, l'accident a certes été relativement impressionnant, l'assuré ayant reçu des projectiles de plastique directement dans son oeil gauche; l'assuré a néanmoins tout de suite été transporté à l'hôpital où il a été opéré le soir même après avoir subi une série d'examens. Le seul fait que l'accident a conduit à une perte de la vision de l'oeil n'est pas suffisant pour lui reconnaître un caractère impressionnant, la nature et la gravité de la lésion étant un critère en soi (cf. arrêt U 233/06 du 2 février 2007 consid. 5.3). Contrairement à l'avis du recourant, on ne voit pas en quoi les circonstances de la présente espèce seraient "foncièrement" différentes de celles ayant fait l'objet de l'arrêt précité et sur lequel s'est fondée la juridiction cantonale (un assuré avait reçu de l'acide au visage à la suite de l'explosion de la batterie d'un moteur automobile, ce qui avait entraîné la perte définitive de la vision de l'oeil gauche). L'argument soulevé par le recourant au sujet de cet arrêt ne porte d'ailleurs pas sur le déroulement de l'accident, mais sur la gravité de la lésion subie. Or, en l'espèce, la gravité de la lésion ne prête pas à discussion, dès lors qu'elle a conduit à la perte fonctionnelle de l'oeil (cf. arrêt U 200/98 du 21 septembre 1999 in RAMA 2000 n o U 364 p. 86).
4.3.2. La durée du traitement médical n'a pas été anormalement longue à l'inverse de ce que soutient le recourant. Celui-ci a rapidement été informé par les médecins de la perte définitive de la fonction de l'oeil gauche sans rémission possible, même s'il a continué à être suivi médicalement (cf. rapport du 21 octobre 2008 du docteur M._ et déclarations de l'assuré à la CNA du 8 octobre 2008). L'éventualité de la nécessité d'une prothèse à l'oeil gauche a été envisagée peu de temps après l'accident (rapport du 23 octobre 2008 des médecins de l'Hôpital ophtalmique); l'opération a finalement eu lieu en mai 2009. Dans la mesure où seules les atteintes somatiques résultant de l'accident doivent être prises en considération dans l'examen de la causalité adéquate d'une atteinte psychique avec un accident de gravité moyenne (cf. supra consid. 3.2), les premiers juges ont fait à juste titre abstraction du traitement lié aux atteintes psychiques.
Pour ce qui est de la persistance des douleurs physiques, le recourant n'indique pas les éléments qui auraient été omis par les premiers juges. Au vu du dossier médical, il n'était pas erroné de leur part de retenir que l'état douloureux survenu lors de la mise en place de la prothèse n'avait pas perduré, l'assuré ayant lui-même indiqué qu'une fois poncée, la prothèse n'occasionnait plus de gêne (cf. déclarations de l'assuré à la CNA des 20 décembre 2009 et 26 janvier 2010). En l'absence de doutes quant à la persistance de douleurs physiques notables, la juridiction cantonale pouvait, par ailleurs, renoncer, par appréciation anticipée des preuves, à procéder à des investigations médicales complémentaires (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 148; <ref-ruling> consid. 3 p. 157; <ref-ruling> consid. 2 p. 428).
4.3.3. En ce qui concerne ensuite la durée de l'incapacité de travail, les premiers juges ont exposé les raisons pour lesquelles ce critère n'était pas rempli, relevant que l'assuré avait repris son activité à 50 % en octobre 2008, puis à 100 % dès le mois de décembre 2009 moyennant une diminution de rendement de 50 % en raison des atteintes psychiques. On ne peut dès lors leur reprocher de ne pas avoir suffisamment motivé leur jugement sur ce point, comme le fait en vain le recourant, et d'avoir violé son droit d'être entendu. Une durée d'un peu plus de quatre mois pour reprendre le travail - même si c'est à temps partiel dans un premier temps - n'apparaît pas anormalement longue au regard de la jurisprudence relative à ce critère (cf. pour comparaison arrêts U 233/06 déjà cité consid. 5.3 et a contrario 8C_116/2009 du 26 juin 2009 consid. 4.6).
Enfin, il n'y a pas eu d'erreur dans le traitement médical, ni de complications particulières. L'hospitalisation du recourant en milieu psychiatrique concernait les troubles psychiques et n'avait pas à être prise en considération (cf. supra consid. 3.2). L'accident du 5 mai 2009, lors duquel l'assuré s'est blessé à la cheville en manquant une marche, constitue un événement distinct de celui du 10 juin 2008 et ne doit pas non plus être pris en compte dans l'examen du cas d'espèce.
4.4. Au regard de ce qui précède, il apparaît que seul le critère de la gravité de la lésion est rempli. Ce critère ne s'est toutefois pas manifesté avec suffisamment d'intensité pour que l'on puisse admettre que l'accident du 10 juin 2008 est la cause adéquate des troubles psychiques dont souffre le recourant, notamment si l'on tient compte du fait que la vision de l'oeil droit, lequel n'a pas été touché lors de l'accident, est intacte.
Aussi, faute de lien de causalité adéquate entre les troubles psychiques dont souffre le recourant et l'événement assuré, la CNA était-elle fondée, par sa décision sur opposition du 22 septembre 2011, à refuser de prester par rapport à ceux-ci.
5.
Dans un ultime grief, soulevé pour la première fois en instance fédérale, le recourant conteste la diminution de la capacité de travail de 10 % retenue par l'intimée et fondée uniquement sur la lésion somatique. Il est d'avis que sa vision monoculaire ne lui permet pas d'avoir un rendement aussi élevé, notamment si l'on tient compte du domaine spécifique de la mécanique automobile dans lequel l'électronique est de plus en plus présente.
En l'occurrence, il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation dûment motivée du docteur A._, sur laquelle s'est fondée l'intimée et dont le recourant ne discute pas le bien-fondé, selon laquelle malgré la cécité de l'oeil gauche, l'assuré est encore en mesure d'exercer son activité de mécanicien en automobile à 100 % moyennant toutefois une perte de rendement de 10 % (cf. avis du 1 er avril 2011). Une perte de rendement supérieure, à savoir de 20 %, ne vise, selon ce spécialiste, que la situation d'un mécanicien de précision ("Feinmechaniker"), qui ne concerne pas le recourant.
Partant, le recours se révèle en tous points mal fondé et doit être rejeté.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 25 juin 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: Reichen