Sachverhalt:
A. X._, geb. 1954, und Y._, geb. 1960, heirateten am 3. Januar 1977 in Italien. Aus ihrer Ehe ging die Tochter A._, geb. 1993, hervor. Im Oktober 2002 trennten sich die Ehegatten.
B. Nachdem der Ehemann am 7. Januar 2005 beim Richteramt B._ das Scheidungsverfahren eingeleitet hatte, wurde die Ehe der Parteien mit Urteil vom 16. Januar 2008 geschieden. X._ wurde verpflichtet, für seine Tochter A._ bis zu ihrer wirtschaftlichen Selbständigkeit, längstens bis zu ihrer Mündigkeit, einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 750.-- (enthaltend die IV-Kinderrente im derzeitigen Betrag von Fr. 645.--) zu bezahlen. Ausserdem wurde ein Unterhaltsbeitrag nach <ref-law> an Y._ von Fr. 780.-- bis und mit Dezember 2009 und von Fr. 645.-- bis und mit Juni 2019 (Erreichen des ordentlichen AHV-Alters des Ehemannes) festgelegt.
C. Auf Appellation des Ehemannes und Anschlussappellation der Ehefrau hin bestätigte das Obergericht des Kantons Solothurn am 17. November 2009 die Unterhaltspflicht gegenüber der Tochter A._ im Umfang von Fr. 750.-- (enthaltend die IV-Kinderrente im derzeitigen Betrag von Fr. 645.--) (Dispositiv Ziff. 4) und legte den Unterhaltsbeitrag an die Ehefrau auf neu Fr. 650.-- bis zum Eintritt ins AHV-Alter des Ehemannes fest (Dispositiv Ziff. 5). Ausserdem hielt es fest, dass die Unterhaltsbeiträge auf den Nettoeinkünften (inkl. 13. Monatslohn) von Fr. 3'900.-- (Ehemann, davon Fr. 2'150.-- hypothetisch) bzw. Fr. 2'600.-- (Ehefrau, davon rund Fr. 1'100.-- hypothetisch) basierten (Dispositiv Ziff. 6).
D. Mit Beschwerde vom 4. Januar 2010 beantragt X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) dem Bundesgericht, Dispositiv Ziff. 4-6 des obergerichtlichen Urteils seien aufzuheben, er sei zu verpflichten, der Tochter A._ den Betrag der IV-Kinderrente von derzeit Fr. 645.-- zu bezahlen und es sei festzustellen, dass er und Y._ (nachfolgend: Beschwerdegegnerin) einander keinen nachehelichen Unterhalt schulden. Ferner ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten sind Fr. 30'000.-- übersteigende vermögensrechtliche Folgen eines kantonal letztinstanzlichen Ehescheidungsurteils, welches einen Endentscheid darstellt und gegen das grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen ergriffen werden kann (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
1.2 Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht, so ist darauf nicht einzutreten, bei offensichtlichen Begründungsmängeln im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law>. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>); dies setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die minimalen Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt.
2. Der Beschwerdeführer rügt zunächst die Berechnung des Kinderunterhalts.
2.1 Das Obergericht erwog, der Kinderunterhalt werde bei Einkommensverhältnissen wie den vorliegenden aufgrund eines Prozentanteils vom Nettoeinkommen des unterhaltspflichtigen Ehegatten ermittelt, bei einem Kind: 15-17 %. Der erstinstanzlich festgelegte Kinderunterhalt von Fr. 750.-- mache 16.5 % des Nettoeinkommens des Beschwerdeführers von Fr. 3'900.-- zuzüglich der IV-Kinderrente von Fr. 645.-- aus und sei daher angemessen.
2.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, der Grundbedarf von A._ betrage Fr. 500.-- und ab dem 1. September 2009 Fr. 600.--. Indes hat sich das Obergericht zur Höhe des Bedarfs der Tochter nicht geäussert, sondern den Kinderunterhalt im oben erwähnten Sinne auf seine Angemessenheit überprüft. Der Beschwerdeführer tut nicht dar, inwieweit der Kinderunterhalt nicht angemessen sein soll. Soweit er der Meinung sein soll, der Grundbedarf der Tochter entspreche dem der Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums zugrunde gelegten Grundbetrag, ist ihm entgegenzuhalten, dass sich der Kinderunterhalt gemäss <ref-law> unter anderem nach den Bedürfnissen des Kindes richtet (<ref-ruling> E. 3a/cc S. 289; <ref-ruling> E. 3a S. 112), welche keine feststehende Grösse bilden (<ref-ruling> E. 3a/cc S. 289). Vielmehr ist der Unterhaltsbedarf gestützt auf die konkrete Situation des Kindes individuell zu bestimmen (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 291; <ref-ruling> E. 3a S. 112 f.; aus der neueren Rechtsprechung Urteil 5A_507/2007 vom 23. April 2008, in: FamPra.ch 2008 S. 994), was bedeutet, dass über den erwähnten Grundbetrag hinausgehende Aufwendungen zu berücksichtigen sind.
2.3 Weiter rügt der Beschwerdeführer, der Kinderunterhalt sei mit seiner Leistungsfähigkeit nicht vereinbar, da er in sein Existenzminimum eingreife. Dabei stützt er sich im Wesentlichen auf seine aktuelle Einkommenssituation, indem er ausführt, er beziehe eine IV-Rente in der Höhe von jährlich Fr. 19'896.-- bzw. monatlich Fr. 1'758.--. Der Beschwerdeführer verkennt jedoch, dass ihm das Obergericht ein hypothetisches Einkommen in der Höhe von Fr. 2'150.-- netto angerechnet hat, was zusammen mit seiner IV-Rente den Betrag von Fr. 3'900.-- ergibt (s. unten, E. 5.1). Insofern erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
3. Der Beschwerdeführer richtet sich sodann gegen die Berechnung des Einkommens der Beschwerdegegnerin.
3.1 Das Obergericht hielt fest, dass die Beschwerdegegnerin im Jahre 2008 ein Erwerbseinkommen von insgesamt Fr. 18'523.-- bzw. Fr. 1'543.-- pro Monat erzielt habe. Da ihre Tochter im Dezember 2009 das 16. Altersjahr vollende, sei ihr eine Ausdehnung ihres Arbeitspensums auf 100 % zuzumuten und ein hypothetisches Einkommen anzurechnen. Sie verfüge jedoch über keine Berufsausbildung und nur über rudimentäre Deutschkenntnisse, sodass sie nicht mehr als ein Mindesteinkommen werde erwirtschaften können und ihr als hypothetisches Einkommen Fr. 2'600.-- netto pro Monat (rund 86 % von Fr 3'000.-- brutto) anzurechnen seien.
3.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, der Beschwerdegegnerin wäre mit Erreichen des Alters von zehn Jahren von A._ im Jahre 2003 eine Teilzeitarbeit zu 50 % möglich gewesen, sie sei aber nur einem Pensum zu 30 % nachgegangen und ihr sei ab dem 17. Dezember 2009 ein hypothetisches Einkommen für eine Tätigkeit zu 100 % anzurechnen.
Die nacheheliche Unterhaltspflicht gegenüber der Ehefrau setzt ab dem 17. November 2009 (Datum des angefochtenen Urteils) ein. Der Beschwerdeführer begründet nicht näher, welche Schlussfolgerungen er aus seinen Behauptungen mit Bezug auf die Festsetzung des nachehelichen Unterhalts ziehen will. Im Übrigen ist das Obergericht für die Zeit ab Dezember 2009 ebenfalls von der Zumutbarkeit einer Vollzeitarbeit ausgegangen.
3.3 Was den Umfang des hypothetischen Einkommens betrifft, macht der Beschwerdeführer geltend, die Beschwerdegegnerin sei gesund und voll leistungsfähig. Da sie seit über 30 Jahren in der Deutschschweiz lebe, sei es schwer nachvollziehbar, dass ihre deutschen Sprachkenntnisse lediglich rudimentär seien. In der Region Solothurn würden gastgewerbliche und hauswirtschaftliche Tätigkeiten, welche auf dem Anforderungsniveau von einfachen und repetitiven Tätigkeiten basierten und keine abgeschlossene Berufsausbildung voraussetzten, für eine 49-jährige Frau mit Fr. 3'982.-- entlöhnt.
3.3.1 Ob der Beschwerdegegnerin ein hypothetisches Einkommen zugemutet werden kann, ist Rechtsfrage, ob dessen Erzielung auch als tatsächlich möglich erscheint, ist hingegen Tatfrage, die durch entsprechende Feststellungen oder durch die allgemeine Lebenserfahrung beantwortet wird (<ref-ruling> E. 4c/bb S. 7; <ref-ruling> E. 2b S. 12); auch letzternfalls müssen aber jene Tatsachen als vorhanden festgestellt sein, die eine Anwendung von Erfahrungssätzen überhaupt erst ermöglichen (vgl. Max Kummer, Grundriss des Zivilprozessrechts, 4. Aufl. 1984, S. 225/226).
3.3.2 Die Annahmen der Vorinstanz über ein allfälliges hypothetisches Einkommen beruhen auf Schlussfolgerungen aus konkreten tatsächlichen Anhaltspunkten. Der Beschwerdeführer macht im Ergebnis eine Berichtigung bzw. Ergänzung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts geltend, ohne jedoch darzulegen, dass er die entsprechenden Vorbringen bereits den Vorinstanzen unterbreitet habe, sodass sie im Verfahren vor Bundesgericht als neu und damit unzulässig zu betrachten sind (<ref-law>).
4. Weiter rügt der Beschwerdeführer die Berechnung des Bedarfs der Beschwerdegegnerin durch das Obergericht.
4.1 Dieses setzte den Grundbetrag für eine alleinstehende Person von Fr. 1'200.-- ein, reduzierte die aktuellen Wohnkosten von Fr. 1'278.-- unter Ausschluss eines Anteils für die Tochter auf Fr. 1'000.-- und veranschlagte für Krankenkassenprämien Fr. 300.-- sowie für Berufsauslagen und Steuern je Fr. 200.--. Insgesamt ermittelte es einen Bedarf der Beschwerdegegnerin von Fr. 2'900.--.
4.2 Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, die Steuern seien im Bedarf der Beschwerdegegnerin nicht zu berücksichtigen.
4.2.1 Was die Bedarfsberechnung des Unterhaltspflichtigen betrifft, muss seine Steuerlast nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts bei engen finanziellen Möglichkeiten ausser Betracht bleiben (für den Kinderunterhalt <ref-ruling> E. 2b S. 70; <ref-ruling> E. 1a/aa S. 356; für den nachehelichen Unterhalt <ref-ruling> E. 2a/bb S. 292). Der Beschwerdeführer führt auch bei seiner eigenen Bedarfsberechnung die Steuerlast nicht als Position an.
4.2.2 Vorliegend ist das Obergericht davon ausgegangen, der Bedarf des Beschwerdeführers sei gleich hoch wie derjenige der Beschwerdegegnerin, hat insbesondere auch bei ihm Steuern in der nämlichen Höhe berücksichtigt und den Unterhaltsbeitrag aufgrund der hälftigen Teilung des Überschusses der gemeinsamen (hypothetischen) Einkünfte der Parteien über den gemeinsamen Bedarf berechnet. Selbst wenn man die Steuern somit entsprechend der Auffassung des Beschwerdeführers bei der Berechung des gemeinsamen Bedarfs unberücksichtigt liesse, änderte dies nichts an der Höhe der Unterhaltsbeiträge, da diesfalls der zu teilende Überschuss entsprechend höher ausfiele. Die Rüge ist daher unbegründet.
4.3 In Abweichung vom angefochtenen Entscheid führt der Beschwerdeführer in seiner Bedarfsberechnung den Posten "Berufsauslagen" von Fr. 200.-- nicht an. Er tut jedoch nicht dar, weshalb dieser Betrag nicht zu berücksichtigen sein soll. Insofern erweist sich die Beschwerde als ungenügend begründet.
5. Strittig ist ferner die Berechnung des Einkommens des Beschwerdeführers.
5.1 Das Obergericht legte seinen Berechnungen die tatsächliche IV-Rente von Fr. 1'750.-- sowie ein hypothetisches Erwerbseinkommen von Fr. 2'150.-- netto (rund 86 % von Fr. 2'500.-- brutto) zugrunde. Es erwog, die IV-Rente basiere auf einem Invaliditätsgrad von 63 %. Bei der Festsetzung dieser Rente sei die IV-Stelle davon ausgegangen, der Beschwerdeführer könne trotz seiner Behinderung ein Einkommen von Fr. 33'562.-- pro Jahr oder rund Fr. 2'800.-- pro Monat erzielen, woran zu zweifeln kein Anlass bestehe. In seiner Klage vom 7. Januar 2005 habe er selbst ausgeführt, ihm könne lediglich ein hypothetisches Einkommen mit einem Pensum von 50 % angerechnet werden, welches höchstens Fr. 2'500.-- betrage. An dieser Selbsteinschätzung sei er zu behaften. Auch seine derzeitige Arbeitsunfähigkeit ändere daran nichts, da er nach eigenen Angaben seit dem Unfall immer die gleichen Probleme mit Brust, Rippen, Wirbelsäule und Bein habe und davon auszugehen sei, dass es sich bei seiner Arbeitsunfähigkeit um einen Ausfall handle, wie er in der Vergangenheit immer wieder vorgekommen sei und zum Krankheitsbild gehöre, welches die IV-Stelle beurteilt habe.
5.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, er habe seit seinem Unfall vor 10 Jahren stets gesundheitliche Probleme gehabt, insbesondere in der Brust, Rippen, Wirbelsäule und Bein, und sei seit dem 11. Mai 2009 infolge Verschlechterung seines Gesundheitszustandes zu 100 % krankgeschrieben. Dass sich sein Gesundheitszustand über seine Invalidität hinaus verschlechtert habe, ergebe sich aus verschiedenen ärztlichen Gutachten. Daher sei ihm ein hypothetisches Einkommen nicht zumutbar. Die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens für eine 50 %-Arbeit sei gestützt auf einen Sachverhalt vom 7. Januar 2005 erfolgt, sodass die Berücksichtigung der betreffenden Aussage mangels eines Zusammenhangs unhaltbar sei.
5.3 Indes hat das Obergericht auf die vom Beschwerdeführer geltend gemachten gesundheitlichen Probleme durchaus Bezug genommen und ist davon ausgegangen, dass sie auch im Rahmen der Beurteilung seines Invaliditätsgrades durch die IV-Stelle berücksichtigt worden sind (s. oben, E. 5.1).
Soweit er schliesslich eine weitere Verschlechterung seines Gesundheitszustandes geltend macht und sich dabei auf weitere ärztliche Gutachten stützt, will er den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt ergänzt wissen, ohne jedoch darzulegen, dass er die entsprechenden Tatsachen und Beweismittel bereits im kantonalen Verfahren vorgebracht hat, sodass sie vor Bundesgericht als neu und damit unzulässig zu betrachten sind (<ref-law>).
6. Schliesslich wendet sich der Beschwerdeführer gegen die Berechnung seines Bedarfs durch das Obergericht.
6.1 Wie bereits dargelegt, betrachtete das Obergericht den Bedarf des Beschwerdeführers als gleich hoch wie denjenigen der Beschwerdegegnerin (s. oben, E. 4.2.2). Insbesondere reduzierte es die aktuellen Wohnkosten von Fr. 1'500.-- auf eine ihm zumutbare Miete von Fr. 1'000.-- und setzte für Krankenkassenprämien ebenfalls Fr. 300.-- ein.
6.2 Demgegenüber veranschlagt der Beschwerdeführer seine Mietkosten auf Fr. 1'500.-- und seine Krankenkassenkosten (inkl. Franchise/ Selbstbehalt) auf Fr. 555.40.
6.3 Er legt weder dar, weshalb die vorinstanzliche Annahme unzutreffend sein soll, ihm sei ein tieferer Mietzins zumutbar, noch dass er den von der vorinstanzlich festgestellten Prämie abweichenden Betrag für die Krankenkassenkosten bereits vor Obergericht genannt hat, sodass es sich bei Letzterem um ein unzulässiges und daher für das Bundesgericht unbeachtliches Novum handelt (<ref-law>). In seiner Appellationsbegründung vom 6. Oktober 2008 führte er vielmehr aus, seine Krankenkassenprämien betrügen Fr. 335.70 und er erhalte eine Prämienverbilligung im Umfang von 128.50.
7. Insgesamt ist die Beschwerde somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss sie als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege fehlt (<ref-law>). Folglich ist das betreffende Gesuch abzuweisen, und die Gerichtskosten sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Rapp