Sachverhalt:
A.
Mit Strafverfügung vom 10. Juni 2010 büsste die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn A._ rechtskräftig mit Fr. 370.-- wegen Fahrens in qualifiziert alkoholisiertem Zustand, Benützens eines Motorfahrrades ohne gültige Kontrollmarke und Nichtmitführens des Fahrzeugausweises, nachdem er am 11. Mai 2010 mit einer Blutalkoholkonzentration von 0,99 Gewichtspromille ein Motorfahrrad gelenkt hatte. Schon am 15. Dezember 2006 war gegen den Lenker ein Warnungsentzug des Führerausweises (aller Kategorien und Unterkategorien) für die Dauer von drei Monaten verfügt worden. Damals war er wegen Führens eines Kleinmotorrades in qualifiziert angetrunkenem Zustand (1,58 Promille) sowie wegen Befahrens des Trottoirs (mit Drittgefährdung) bestraft und administrativrechtlich sanktioniert worden.
B.
Am 30. August 2010 verfügte die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn gegen den Lenker (in Anwendung von Art. 16c Abs. 1-2 SVG) einen Warnungsentzug des Führerausweises (Spezialkategorien F, G und M) für die Dauer von 13 Monaten. Eine vom Lenker dagegen erhobene Beschwerde wies das Departement des Innern des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 21. März 2011 ab. Diesen Entscheid focht er beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn an. Das Verwaltungsgericht hiess die Beschwerde mit Urteil vom 22. August 2013 teilweise gut, hob die vorinstanzlichen Entscheide auf und legte die Dauer des Führerausweisentzuges (in Anwendung von Art. 16b SVG) neu auf zwei Monate fest.
C.
Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichtes gelangte das Bundesamt für Strassen mit Beschwerde vom 26. September 2013 an das Bundesgericht. Das Bundesamt beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Neubemessung der Dauer des Führerausweisentzuges (in Anwendung von Art. 16c Abs. 1 lit. b und Art. 16 Abs. 3 Satz 2 i.V.m. Art. 16c Abs. 2 lit. c SVG).
Die kantonale Motorfahrzeugkontrolle und das kantonale Departement des Innern beantragen je die Gutheissung der Beschwerde, während das Verwaltungsgericht und der betroffene Lenker je auf deren Abweisung schliessen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesamt ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG i.V.m. Art. 10 Abs. 4 OV-UVEK [SR 172.217.1]). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 82 ff. BGG sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1-2 BGG).
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich eine Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.
Streitig ist, ob die am 11. Mai 2010 erfolgten Verstösse gegen das SVG als schwere Widerhandlung (im Sinne von Art. 16c Abs. 1 SVG) oder als mittelschwerer Fall einzustufen sind. Die Vorinstanz vertritt die Ansicht, da die Verstösse strafrechtlich als Übertretung (Art. 91 Abs. 3 SVG) qualifiziert wurden, könne administrativrechtlich keine schwere Widerhandlung gegen das SVG vorliegen. Art. 16c Abs. 1 SVG sei nur auf Vergehen anwendbar. Der private Beschwerdegegner habe keine objektiv qualifizierte Verkehrsgefährdung verursacht, weshalb nicht alle qualifizierenden Elemente einer schweren Widerhandlung erfüllt seien. Da auch nicht alle privilegierenden Merkmale einer leichten Widerhandlung gegeben seien, liege ein mittelschwerer Fall vor (Art. 16b Abs. 2 lit. a SVG). Das beschwerdeführende Bundesamt rügt diese Subsumtion als bundesrechtswidrig. Da der Beschwerdegegner bereits im Jahr 2006, weniger als fünf Jahre vor der zweiten Trunkenheitsfahrt, ein Motorfahrzeug in stark angetrunkenem Zustand gelenkt habe, liege (schon gestützt auf Art. 16c Abs. 1 lit. b SVG) ein schwerer Fall vor.
3.
3.1. Nach Widerhandlungen gegen Strassenverkehrsvorschriften, bei denen das Verfahren nach dem Ordnungsbussengesetz ausgeschlossen ist, wird der Führerausweis entzogen oder eine Verwarnung ausgesprochen (Art. 16 Abs. 2 SVG). Eine mittelschwere Widerhandlung begeht insbesondere, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Art. 16b Abs. 1 lit. a SVG), oder wer in angetrunkenem Zustand, jedoch mit einer nicht qualifizierten Blutalkoholkonzentration ein Motorfahrzeug lenkt und dabei zusätzlich eine leichte Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften begeht (Art. 16b Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 55 Abs. 6 SVG). Die mittelschwere Widerhandlung stellt einen Auffangtatbestand dar. Sie liegt vor, wenn nicht alle privilegierenden Elemente einer leichten Widerhandlung nach Art. 16a SVG und nicht alle qualifizierenden Elemente einer schweren Widerhandlung nach Art. 16c SVG gegeben sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 452; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 141; je mit Hinweisen).
3.2. Eine schwere Widerhandlung begeht, wer in angetrunkenem Zustand mit einer qualifizierten Blutalkoholkonzentration ein Motorfahrzeug führt (Art. 16c Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 55 Abs. 6 SVG). Bei schweren Widerhandlungen sieht das SVG abgestufte Mindestdauern der Ausweisentzüge vor (zwischen mindestens drei Monaten und mindestens zwei Jahren, Art. 16c Abs. 2 lit. a-e SVG). Die gesetzliche Abstufung trägt insbesondere dem Umstand Rechnung, ob bereits früher (mittelschwere oder schwere) Widerhandlungen erfolgt sind und wie weit diese zeitlich zurückliegen (sogenanntes "Kaskadensystem" der Mindestentzugsdauer). Bei schweren Widerhandlungen verlangt das Gesetz zwingend den Entzug des Führerausweises (Art. 16c Abs. 2 SVG). Nach einer schweren Widerhandlung wird der Führerausweis für mindestens zwölf Monate entzogen, wenn in den vorangegangenen fünf Jahren der Ausweis bereits einmal wegen einer schweren Widerhandlung entzogen war (Art. 16c Abs. 2 lit. c SVG). Die Dauer des Entzuges ist nach Art. 16 Abs. 3 SVG zu bemessen, wobei die gesetzliche Mindestentzugsdauer nicht unterschritten werden darf (Art. 16 Abs. 3 Satz 2 i.V.m. Art. 16c Abs. 2 SVG).
3.3. Motorfahrzeug im Sinne des SVG ist jedes Fahrzeug mit eigenem Antrieb, durch den es auf dem Erdboden (unabhängig von Schienen) fortbewegt wird (Art. 7 Abs. 1 SVG). Wer wegen Alkoholeinfluss nicht über die erforderliche körperliche und geistige Leistungsfähigkeit verfügt, gilt während dieser Zeit als fahrunfähig und darf kein Fahrzeug führen (Art. 31 Abs. 2 SVG; Art. 2 Abs. 1 VRV [SR 741.11]). Die Führer von Motorfahrrädern (im Sinne von Art. 18 VTS [SR 741.41]) haben die Verkehrsregeln für Radfahrer zu beachten sowie zur Vermeidung von Lärm die Bestimmungen für Motorfahrzeugführer (Art. 42 Abs. 4 VRV).
4.
4.1. Motorfahrräder sind grundsätzlich als Motorfahrzeuge im Sinne des SVG zu behandeln (Art. 7 Abs. 1 SVG). Bundesrechtliche Spezialregeln für Lenker von Motorfahrrädern gelten bezüglich der Beachtung der Verkehrsregeln sowie der Straffolgen bei Widerhandlungen: Lenker von Motorfahrrädern haben die Verkehrsvorschriften für Fahrradfahrer zu beachten (Art. 42 Abs. 4 VRV). Falls sie trotz alkoholbedingter Fahrunfähigkeit ein Motorfahrrad lenken (Art. 31 Abs. 2 SVG; Art. 2 Abs. 1 VRV), unterliegen sie (wie die Radfahrer und andere Führer motorloser Fahrzeuge, Art. 19-24 VTS) der Bussenandrohung von aArt. 91 Abs. 3 SVG bzw. neurechtlich (seit der am 1. Januar 2014 in Kraft getretenen Teilrevision) von Art. 91 Abs. 1 lit. c SVG.
4.2. Anders verhält es sich mit den zulassungs- und administrativmassnahmenrechtlichen Vorschriften: Bis zu der am 1. April 2003 in Kraft getretenen Gesetzesrevision waren der Erwerb und Entzug der Fahrerlaubnis für Motorfahrräder (in Art. 27-29 bzw. Art. 36 f. aVZV) noch spezialgesetzlich geregelt. Seither bildet die betreffende Spezialkategorie M Bestandteil des Führerausweises (Art. 3 Abs. 3 VZV) und bestehen keine Sondervorschriften mehr für dessen Entzug. Damit sind die SVG-Bestimmungen über den administrativen Warnungsentzug von Führerausweisen auch auf die Spezialkategorie M grundsätzlich anwendbar (Art. 16 ff. i.V.m. Art. 7 Abs. 1 SVG). Für administrative Fahrverbote gegenüber betrunkenen Radfahrern (vgl. Art. 24 VTS) gelten hingegen die spezifischen Regeln von Art. 19 Abs. 3 SVG.
4.3. Unbestrittenermassen ist dem Beschwerdegegner der Führerausweis innert weniger als fünf Jahren ein zweites Mal wegen Führens eines Motorfahrzeuges in qualifiziert angetrunkenem Zustand zu entziehen. Die einschlägigen gesetzlichen Voraussetzungen einer mittelschweren Trunkenheitsfahrt (Art. 16b Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 55 Abs. 6 SVG) sind nicht erfüllt. In Anwendung von Art. 16c Abs. 2 lit. c i.V.m. Art. 16c Abs. 1 lit. b und Art. 16 Abs. 3 Satz 2 SVG müsste dies zu einem Führerausweisentzug von mindestens zwölf Monaten Dauer führen. Die Vorinstanz stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, es bestehe ein unlösbarer Widerspruch zwischen der strafrechtlichen Qualifikation der SVG-Widerhandlungen von Motorfahrradführern als Übertretung (aArt. 91 Abs. 3 SVG i.V.m. Art. 2 Abs. 1 und Art. 42 Abs. 4 VRV) und der administrativmassnahmenrechtlichen Anwendung von Art. 16c SVG.
4.4. Die kriminalpolitische Frage, ob es gesetzgeberisch inkonsequent erscheinen könnte, die Motorfahrradlenker gegenüber den anderen Motorfahrzeugführern (etwa Kleinmotorradlenkern) weiterhin strafrechtlich zu privilegieren, nachdem sie (seit 1. April 2003) dem Administrativmassnahmenrecht des SVG unterstellt sind, ist hier nicht zu prüfen. Jedenfalls wäre nicht ersichtlich, dass dem Gesetzgeber mit der Neuregelung ein Versehen unterlaufen wäre: Zwar bringt aArt. 91 Abs. 3 SVG (i.V.m. Art. 2 Abs. 1 und Art. 42 Abs. 4 VRV) indirekt zum Ausdruck, dass das Gefährdungspotential und der strafrechtliche Unrechtsgehalt von Widerhandlungen gegen Verkehrsvorschriften bei Fahrrad- und Motorfahrradlenkern - in der Regel - tiefer einzustufen sind als bei Motorrad- und Motorwagenlenkern. Diesem Umstand kann jedoch auch bei Anwendung der Art. 16 ff. SVG auf Motorfahrradlenker (Spezialkategorie M) noch in einem gewissen Rahmen Rechnung getragen werden. Dabei ist zu beachten, dass massive Verkehrsregelverletzungen auch bei Motorfahrradlenkern im Einzelfall erhebliche Gefahren für die übrigen Verkehrsteilnehmer (und den Lenker selbst) nach sich ziehen können. Diese gesetzliche Prämisse wird durch Art. 7 Abs. 1 SVG unterstrichen, der für alle motorisierten Strassenfahrzeuge grundsätzlich (vorbehältlich Spezialvorschriften) einen kohärenten Massstab verlangt. Dass die administrativrechtlichen Vorschriften für (sämtliche) Motorfahrzeuglenker im Rahmen der letzten SVG-Revisionen deutlich verschärft wurden, insbesondere, was das Führen von Motorfahrzeugen in qualifiziert alkoholisiertem Zustand betrifft, vermag daran nichts zu ändern. Gegen eine (zusätzliche) administrativrechtliche Privilegierung von Motorfahrradlenkern spricht schliesslich auch, dass eine solche zu stossenden (doppelten) Ungleichbehandlungen führen würde, insbesondere gegenüber den Führern von Klein- und Kleinstmotorrädern (Unterkategorie A1, vgl. Art. 14 lit. b VTS), für die sowohl straf- als auch administrativrechtlich die strengeren Vorschriften gelten. Nach dem Gesagten kann der private Beschwerdegegner aus seiner strafrechtlichen Privilegierung als Motorfahrradlenker nicht ableiten, dass die administrativrechtlichen Bestimmungen von Art. 16 ff. SVG ihm gegenüber nicht anwendbar wären (zu den allgemeinen Systemunterschieden zwischen Strafrecht und SVG-Administrativrecht s.a. <ref-ruling> E. 3c S. 176 f.; <ref-ruling> E. 4b S. 315; Urteile 1C_183/2013 vom 21. Juni 2013 E. 3.3; 1C_424/2008 vom 31. März 2009 E. 4.1; 6A.86/2006 vom 28. März 2007 E. 5.3, jeweils mit Bezug auf Art. 90 SVG). Vielmehr ist im Rahmen der gesetzlichen Regelung und aufgrund der konkreten Verhältnisse des Einzelfalls zu bestimmen, wie der Schweregrad der ihm zur Last gelegten SVG-Widerhandlungen einzustufen ist.
4.5. Die Vorinstanz geht von folgendem (für das Bundesgericht massgeblichen) Sachverhalt aus: Am 15. Dezember 2006 wurde gegen den Beschwerdegegner ein Warnungsentzug des Führerausweises (aller Kategorien und Unterkategorien, insbes. A1) für die Dauer von drei Monaten ausgesprochen. Bei diesem ersten Vorfall wurden ihm das Führen eines Kleinmotorrades in qualifiziert angetrunkenem Zustand, nämlich mit einer Blutalkoholkonzentration von 1,58 Gewichtspromille, sowie das Befahren des Trottoirs mit Drittgefährdung vorgeworfen. Am 11. Mai 2010 lenkte er (innerorts) abermals alkoholisiert, mit einer qualifizierten Blutalkoholkonzentration von mindestens 0,99 Gewichtspromille, ein Motorfahrrad. Bei dieser zweiten Trunkenheitsfahrt trug er keinen Schutzhelm. Ausserdem wies das verwendete Fahrzeug keine gültige Mofa-Vignette auf; ebenso wenig führte der Beschwerdegegner den Fahrzeugausweis mit sich. Die kantonale Motorfahrzeugkontrolle verfügte einen Warnungsentzug des Führerausweises (Spezialkategorien F, G und M) für die Dauer von 13 Monaten.
4.6. Ein massiv alkoholisierter Kleinmotorrad- bzw. Motorfahrradlenker schafft erhöhte abstrakte Gefährdungen für sich und die übrigen Verkehrsteilnehmer. Dass der Strafbefehlsrichter (auch beim zweiten Vorfall) von einem erheblichen Verschulden und (abstrakten) Gefährdungsrisiko ausging, lässt sich aus dem rechtskräftig ausgefällten Strafmass ablesen: Zwar konnte die Staatsanwaltschaft (angesichts der Vorschrift von aArt. 91 Abs. 3 SVG i.V.m. Art. 2 Abs. 1 und Art. 42 Abs. 4 VRV) lediglich eine Übertretungsbusse ausfällen. Diese ist jedoch (mit Fr. 370.-- plus Kosten) durchaus empfindlich ausgefallen. In administrativrechtlicher Hinsicht ist ausschlaggebend, dass der Beschwerdegegner innert ca. vier Jahren zweimal stark alkoholisiert ein Kleinmotorrad bzw. ein Motorfahrrad gelenkt hat. Die qualifizierten Trunkenheitsfahrten und die dabei festgestellten weiteren Regelverstösse lassen darauf schliessen, dass er grosse Mühe bekundet, sich an die einschlägigen elementaren Verkehrsregeln zu halten, und die damit verbundenen Gefahren für sich und die übrigen Verkehrsteilnehmer verkennt. Der erste (bereits drei Monate dauernde) Warnungsentzug aller Ausweiskategorien vermochte das Verhalten des Beschwerdegegners nicht nachhaltig zu beeinflussen. Bei Würdigung sämtlicher Umstände erscheint es bundesrechtskonform, den vorliegenden Fall als schwere Widerhandlung einzustufen, welche administrativrechtlich (in Anwendung von Art. 16c Abs. 2 lit. c i.V.m. Art. 16c Abs. 1 lit. b und Art. 16 Abs. 3 Satz 2 SVG) eine Warnungsentzugsdauer von mindestens zwölf Monaten (für die Spezialkategorien F, G und M) nach sich zieht. Die besonderen Umstände des vorliegenden Falles sind bei der Festlegung der angemessenen Administrativmassnahme im gesetzlichen Rahmen zu berücksichtigen (Art. 16 Abs. 3 i.V.m. Art. 16c Abs. 2 SVG). Dazu gehören namentlich die Gefährdung der Verkehrssicherheit, das Verschulden und der Leumund als Motorfahrzeugführer (Art. 16 Abs. 3 Satz 1 SVG).
5.
Die Beschwerde des Bundesamtes ist folglich gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Neubemessung der (auf mindestens 12 Monate anzusetzenden) Entzugsdauer.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdegegner die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil vom 22. August 2013 des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen zur Neubemessung der Dauer des Führerausweisentzuges.
2.
Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster