Sachverhalt:
A.
Am Bezirksgericht Hinwil ist das Scheidungsverfahren zwischen X._ und Y._ hängig. In diesem Verfahren wurde Rechtsanwältin A._ mit Verfügung vom 6. Oktober 2011 als notwendige Vertreterin (§ 29 Abs. 2 der Zürcher Zivilprozessordnung vom 13. Juni 1976) von X._ eingesetzt. Seither wurde sie dreimal mit je Fr. 5'000.-- aus der Gerichtskasse entschädigt. In einer Verfügung vom 17. September 2013 hielt das Bezirksgericht fest, Rechtsanwältin A._ sei bisher in den Entschädigungsverfügungen versehentlich als unentgeltliche statt als notwendige Rechtsvertreterin bezeichnet worden. Es setzte X._ Frist an, um sein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung (vom 3. Oktober 2011) zu begründen. Bereits mit Verfügung vom 5. September 2013 entschied das Bezirksgericht Hinwil über vorsorgliche Massnahmen (u.a. betreffend Besuchsrecht und Unterhalt) im Ehescheidungsverfahren.
Gegen die Verfügung vom 5. September 2013 erhob X._, vertreten durch seine Rechtsanwältin, am 20. September 2013 Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte unter anderem, Rechtsanwältin A._ sei auch für das vorliegende Verfahren als notwendige Vertreterin auf Kosten der Gerichtskasse zuzulassen.
Mit Beschluss vom 21. Oktober 2013 bestellte das Obergericht Rechtsanwältin A._ für das Berufungsverfahren als Vertreterin von X._ im Sinne von <ref-law>. Zugleich setzte das Obergericht X._ eine Frist von zehn Tagen, um einen Gerichtskostenvorschuss von Fr. 5'500.-- einzubezahlen.
B.
Am 4. November 2013 hat X._ (Beschwerdeführer), ohne anwaltliche Vertretung, Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, ihm "sei einerseits die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und andrerseits sei ihm auf Kosten der Gerichtskasse die notwendige Rechtspflege im Scheidungsverfahren zu gewähren. Es sei festzuhalten, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner persönlichen Eigenschaften vor Gericht selber auftreten kann." Zudem hat er sinngemäss um aufschiebende Wirkung ersucht.
Nachdem das Obergericht auf Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet hat, ist der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 14. November 2013 aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Am 17. März 2014 hat der Beschwerdeführer eine weitere Eingabe eingereicht. Darin verlangt er, es sei ihm umgehend zu erlauben, sich vor Gericht selber vertreten zu dürfen. Das Scheidungsverfahren sei zudem an das Bezirksgericht Pfäffikon zu überweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 42; <ref-ruling> E. 1 S. 216).
1.1. Aus der Beschwerde geht nicht klar hervor, was der Beschwerdeführer anstrebt. Einerseits beantragt er sinngemäss die Aufhebung der Vertretung, indem er die Feststellung verlangt, dass er sich vor Gericht selber vertreten könne. In der Begründung kritisiert er denn auch die Leistungen von Rechtsanwältin A._ und bezeichnet eine solche Vertretung als wenig nützlich. Andererseits können die Anträge und die Begründung auch dahingehend verstanden werden, dass er mit der Vertretung einverstanden ist, sofern sie nur zulasten der Gerichtskasse geht. So oder anders erweist sich die Beschwerde bereits aus anderen Gründen als unzulässig, so dass auf diese Unklarheiten nicht näher eingegangen zu werden braucht.
1.2. Bei der Einsetzung eines Vertreters im Sinne von <ref-law> handelt es um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Gegen einen solchen Zwischenentscheid ist die Beschwerde nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Vorliegend kommt nur die erstgenannte Variante in Betracht. Bei dem in <ref-law> vorausgesetzten, nicht wieder gutzumachenden Nachteil muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der er sich auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Sache nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Rein tatsächliche Nachteile wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 6 S. 192; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; 324 E. 1.1 S. 328).
Es ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht dargelegt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 329), inwiefern ihm durch die Beiordnung eines Prozessvertreters ein Nachteil entstehen könnte, der durch einen zukünftigen, für ihn günstigen Entscheid in der Sache nicht behoben werden könnte (Urteil 4A_356/2013 vom 27. Januar 2014 E. 1.4).
1.3. Vorliegend kommt hinzu, dass der Beschwerdeführer durch die Beiordnung von Rechtsanwältin A._ nicht beschwert ist, da ihre Bestellung zur Rechtsvertreterin seinen Berufungsanträgen entspricht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Sollte er die Aufhebung dieser Prozessvertretung oder die Ersetzung des Prozessvertreters im kantonalen Verfahren wünschen, so hat er sich an diejenige Instanz zu wenden, die die Vertretung angeordnet hat und die die entsprechende Verfügung bei Bedarf abändern kann. Hiefür ist das Bundesgericht nicht zuständig.
1.4. Sollte sich der Beschwerdeführer darauf beschränken, die Unentgeltlichkeit der Prozessvertretung zu verlangen, so ist auf die entsprechende Erwägung des Obergerichts hinzuweisen, wonach die Kosten des gerichtlich bestellten Vertreters grundsätzlich zu Lasten der vertretenen Partei gehen würden und der ernannte Rechtsbeistand umgehend ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege einzureichen habe, wenn die vertretene Partei bedürftig sein sollte. Das Obergericht hat mit anderen Worten noch gar nicht über die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren befunden, weil noch kein entsprechendes Gesuch gestellt worden ist. Mit dieser Erwägung setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, so dass darauf nicht eingetreten werden kann (Art. 98 i.V.m. <ref-law>). Insbesondere macht der Beschwerdeführer nicht geltend, in der Berufung bereits ein solches Gesuch gestellt zu haben. Soweit der Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege für das gesamte Scheidungsverfahren verlangen sollte (und nicht bloss für das am Obergericht hängige Berufungsverfahren), so bildet dies nicht Gegenstand des angefochtenen Beschlusses. Nach den obergerichtlichen Feststellungen ist das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers vom 3. Oktober 2011 durch das Bezirksgericht noch gar nicht beurteilt worden.
1.5. Auf die Beschwerde ist folglich nicht einzutreten. Nicht einzugehen ist schliesslich auf die nachträgliche Eingabe vom 17. März 2014, die lange nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereicht worden ist. Ergänzungen zur Beschwerde sind grundsätzlich unzulässig (<ref-law>).
2.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist deshalb abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. April 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg