A.- B._ (geb. 1956), gelernter Mechaniker,
schloss am 3. Dezember 1997 das Jus-Studium an der Univer-
sität X._ als lic. iur. ab. Am 5. Februar 1998
meldete er sich bei der Arbeitslosenversicherung zum
Leistungsbezug an. Vom 1. April bis 30. September 1998 war
er als Hilfsarbeiter bei der Y._ AG, Kunststoff-
verarbeitung, zu einem Monatslohn von zuletzt Fr. 4500.-
tätig. Ab 1. Oktober 1998 ersuchte er wiederum um Ausrich-
tung von Arbeitslosenentschädigung. Seit 1. Dezember 1998
arbeitet er als juristischer Sachbearbeiter beim Amt
Z._.
Mit Verfügung vom 16. Dezember 1998 stellte ihn die
Arbeitslosenkasse der Gewerkschaft Bau & Industrie GBI,
Sektion Meilen, ab 1. Oktober 1998 wegen selbstverschulde-
ter Arbeitslosigkeit für die Dauer von 26 Tagen in der
Anspruchsberechtigung ein mit der Begründung, es sei dem
Versicherten zumutbar gewesen, bis zum Auffinden einer ge-
eigneten Stelle bei der Y._ AG zu verbleiben.
B.- Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozial-
versicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom
13. Januar 2000 ab.
C.- B._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit
dem Antrag, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides
und der Kassenverfügung seien ihm 26 Taggelder auszube-
zahlen nebst einer Entschädigung für die ihm entstandenen
Aufwendungen.
Arbeitslosenkasse, kantonales Gericht und Staatssekre-
tariat für Wirtschaft verzichten auf Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestim-
mungen über die Einstellung in der Anspruchsberechtigung
bei selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit (Art. 30 Abs. 1
lit. a AVIG), namentlich bei Aufgabe einer Stelle ohne Zu-
sicherung einer anderen (<ref-law>), zur
Zumutbarkeit eines Arbeitsplatzes (<ref-law>) und zur
verschuldensabhängigen Dauer der Einstellung (Art. 45 Abs.
2 AVIV) richtig dargelegt. Darauf kann verwiesen werden.
2.- Arbeitslosenkasse und kantonales Gericht begründen
die Einstellung damit, der Beschwerdeführer habe von sich
aus ein unbefristetes Arbeitsverhältnis aufgelöst, obwohl
ihm ein Weiterverbleiben an der bisherigen Arbeitsstelle
zumutbar gewesen wäre. Demgegenüber bringt der Beschwerde-
führer in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vor, er sei von
der Y._ AG mit einem befristeten Arbeitsvertrag
angestellt gewesen. Der Arbeitsvertrag habe zunächst vom
1. April bis 30. Juni 1998 gedauert. Im Juni 1998 sei er um
weitere drei Monate bis Ende September 1998 verlängert
worden. Diese Sachdarstellung steht in Einklang mit der
Arbeitgeberbescheinigung vom 6. Dezember 1998. Darin gab
die Arbeitgeberin an, das Arbeitsverhältnis sei bis Ende
September 1998 befristet gewesen und es habe keine (gesetz-
liche oder vertragliche) Kündigungsfrist bestanden. Ge-
stützt darauf ist davon auszugehen, dass der Beschwerdefüh-
rer bei der Y._ AG mit einem auf Ende September 1998
befristeten und damit nach <ref-law> ohne Kündi-
gung endenden Arbeitsvertrag angestellt gewesen ist. Demzu-
folge entfällt der Vorwurf, der Beschwerdeführer habe seine
Arbeitslosigkeit im Sinne von <ref-law>
selbst verschuldet, weil er das Arbeitsverhältnis von sich
aus aufgelöst habe.
3.- Der Beschwerdeführer beantragt für die ihm ent-
standenen Aufwendungen eine Entschädigung. Ist die obsie-
gende Partei - wie im vorliegenden Fall - nicht durch einen
Anwalt vertreten, so wird ihr gemäss ständiger Rechtspre-
chung in der Regel keine Parteientschädigung zugesprochen.
Ausnahmsweise sind hingegen Auslagen zu ersetzen, aller-
dings nur dann, wenn sie erheblich und nachgewiesen sind.
Sodann können besondere Verhältnisse es im Ausnahmefall
rechtfertigen, eine Entschädigung für durch den Prozess
verursachte Umtriebe zuzusprechen (Art. 1 des Tarifs über
die Entschädigungen an die Gegenpartei für das Verfahren
vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht vom 16. Novem-
ber 1992 [SR 173.119.2] in Verbindung mit Art. 2 des Tarifs
über die Entschädigungen an die Gegenpartei für das Ver-
fahren vor dem Bundesgericht vom 9. November 1978 [SR
173.119.1]). Beide Voraussetzungen treffen hier nicht zu.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wer-
den der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des
Kantons Zürich vom 13. Januar 2000 und die Verfügung
der Arbeitslosenkasse der Gewerkschaft für Bau & In-
dustrie GBI, Sektion Meilen, vom 16. Dezember 1998
aufgehoben.
II.Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III.Es wird keine Umtriebsentschädigung zugesprochen.
IV.Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversiche-
rungsgericht des Kantons Zürich, dem Amt für Wirt-
schaft und Arbeit, Arbeitslosenversicherung, Zürich,
und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 26. Mai 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: