Erwägungen:
1. Der Gemeinderat Morschach hatte die Stimmberechtigten der Gemeinde Morschach für den 16. Dezember 2009 zur ordentlichen Gemeindeversammlung mit verschiedenen Traktanden eingeladen.
Markus Schuler-Suter nahm an der Versammlung teil, ergriff mehrmals das Wort und stellte zu den Traktanden 3 und 4 Anträge, welche vom die Versammlung leitenden Gemeindepräsidenten nicht entgegengenommen bzw. nicht zur Abstimmung gebracht wurden.
Am 22. Dezember 2009 reichte Markus Schuler-Suter beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz eine Beschwerde ein. Dessen Kammer III hat die Beschwerde mit Entscheid vom 15. April 2010 im Sinne der diesem zugrunde liegenden Erwägungen abgewiesen.
2. Gegen diesen Entscheid führt Markus Schuler-Suter mit Eingabe vom 21. Mai 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht. Der Sache nach verlangt er die Aufhebung des Entscheids, verbunden mit verschiedenen Zusatzbegehren.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen einzuholen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch Art. 106 Abs. 2 BGG; zudem <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53 und 65 E. 1.3.1 S. 68, mit Hinweisen). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich nicht sachbezogen mit den dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegenden Erwägungen auseinander. Er übt ganz allgemein Kritik am Gemeinderat Morschach und am Verwaltungsgericht, legt dabei aber nicht im Einzelnen dar, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzen soll.
4. Der Beschwerdeführer beantragt, es sei ihm eine angemessene Frist für einen zweiten Schriftenwechsel zu gewähren, "damit wir nach Einsicht in die verbindlichen Grundlagen, eine im Detail begründete Beschwerde nachreichen können" (Beschwerde S. 3).
Nach Art. 100 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung eines Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzlich bestimmte Frist kann nicht erstreckt werden (Art. 47 Abs. 1 BGG).
Nach seinen eigenen Angaben hat der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid am 23. April 2010 in Empfang genommen. Die Beschwerdefrist hat somit am 24. April 2010 begonnen, und am 25. Mai 2010 (Pfingstdienstag) ist sie abgelaufen (Art. 44/45 BGG i.V.m. § 2 Abs. 1 Ziff. 2 der Schwyzer Verordnung über die öffentlichen Ruhetage).
Der Beschwerdeführer hat seine Eingabe erst am 21. Mai 2010 der Post übergeben, und am 25. Mai 2010 ist sie beim Bundesgericht eingetroffen, nach dem Gesagten also erst am Tag des Fristablaufs. Eine Beschwerdeergänzung, wie der Beschwerdeführer sie anbegehrt hat, kann somit nicht mehr in Frage kommen, da die 30-tägige Beschwerdefrist wie ausgeführt nicht erstreckt werden kann.
5. Demgemäss ist bereits mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerden nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerden im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Gemeindeversammlung Morschach und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp