Faits:
A.
Le 23 décembre 2011, Y._ SA a saisi la Chambre administrative de la Cour de justice de Genève (ci-après: la Cour de justice) d'un recours contre une décision de la Fondation X._ du 9 décembre 2011 attribuant à un tiers un marché public.
Par arrêt du 9 juin 2012, la Cour de justice, statuant par un juge unique, a rayé la cause du rôle suite au retrait du recours par Y._ SA intervenu le 15 juin 2012. Le juge unique a statué sans frais ni dépens.
Le 25 juin 2012, la Fondation X._ a adressé au juge unique une réclamation sur indemnité sollicitant une somme de 11'745 fr. au titre d'indemnité de procédure. Par arrêt du 24 septembre 2012, le même juge unique de la Cour de justice a rejeté le recours.
B.
Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, la Fondation X._ (ci-après: la recourante) demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt rendu le 24 septembre 2012 par le juge unique de la Cour de justice et de renvoyer la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Subsidiairement, elle requiert la condamnation de Y._ SA au versement d'une indemnité de procédure à hauteur de 11'745 fr. Invoquant le droit à un tribunal indépendant et impartial, la recourante s'en prend à la composition de l'autorité ayant statué et se plaint de l'application arbitraire du droit cantonal.
Y._ SA (ci-après: l'intimée) conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Elle conteste la qualité pour recourir de la Fondation X._ et fait valoir que le comportement de la recourante, qui n'avait pas soulevé le grief tiré de la composition irrégulière de la Cour de justice dans sa réclamation, était contraire à la bonne foi.
La Cour de justice a renoncé à déposer des observations et déclare persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L a recourante a répliqué le 16 janvier 2013 et l'intimée a dupliqué le 4 février 2013.
C.
Invitée par le Tribunal fédéral à indiquer les bases légales cantonales sur lesquelles s'était fondée la Cour de justice pour siéger dans la composition d'un juge unique, celle-ci a répondu par courrier du 10 juin 2013. La recourante s'est déterminée le 27 juin 2013. L'intimée a renoncé à présenter des observations complémentaires.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 43; <ref-ruling> consid. 1 p. 103).
1.1. En l'espèce, l'objet du litige sur le fond, qui détermine la recevabilité du recours dirigé contre la décision en matière de dépens (cf. arrêt 2C_152/2010 du 24 août 2010 consid. 1.1), relève du droit des marchés publics. L'arrêt attaqué peut donc en principe faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral, à condition qu'il ne tombe pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'art. 83 let. f LTF. Selon cette disposition, le recours en matière de droit public n'est recevable contre les décisions en matière de marchés publics qu'à la double condition que la valeur estimée du mandat à attribuer soit égale ou supérieure aux seuils déterminants prévus à cet effet et que la décision attaquée soulève une question juridique de principe, ce qu'il appartient au recourant de démontrer (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 399). Tel n'est pas le cas en l'espèce. En effet, la recourante ne soutient pas que l'on soit en présence d'une question de principe. C'est donc à juste titre qu'elle forme un recours constitutionnel subsidiaire.
1.2. D'après l'<ref-law>, a qualité pour former un recours constitutionnel quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b). Le recours constitutionnel peut être formé pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>).
La notion d'intérêt juridique est étroitement liée aux motifs de recours prévus par l'<ref-law>, en ce sens que la partie recourante doit être titulaire d'un droit constitutionnel dont elle invoque une violation ( GIOVANNI BIAGGINI, in Commentaire bâlois, Bundesgerichtsgesetz, 2011, n° 8 ad <ref-law>; HANSJÖRG SEILER, in Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, n° 4 ad <ref-law>). De tels droits ne sont reconnus en principe qu'aux citoyens, à l'exclusion des collectivités publiques qui, en tant que détentrices de la puissance publique, ne sont pas titulaires des droits constitutionnels et ne peuvent donc pas attaquer, par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, une décision qui les traite en tant qu'autorités. Cette règle s'applique aux cantons, aux communes et à leurs autorités ainsi qu'aux autres corporations de droit public, qui agissent en tant que titulaires de la puissance publique. La jurisprudence admet toutefois qu'il y a lieu de faire une exception pour les communes et autres corporations de droit public, lorsqu'elles n'interviennent pas en tant que détentrice de la puissance publique, mais qu'elles agissent sur le plan du droit privé ou qu'elles sont atteintes dans leur sphère privée de façon identique ou analogue à un particulier, notamment en leur qualité de propriétaire de biens frappés d'impôts ou de taxes ou d'un patrimoine financier ou administratif. Une seconde exception est admise en faveur des communes et autres corporations publiques lorsque, par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, elles se plaignent de la violation de garanties qui leur sont reconnues par les Constitutions cantonales ou fédérale telles que leur autonomie, l'atteinte à leur existence ou à l'intégrité de leur territoire (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 143; arrêts 2C_37/2013 du 17 janvier 2013 consid. 5.1; 8C_649/2012 du 14 décembre 2012 consid. 3.2).
En l'espèce, la recourante est une fondation immobilière de droit public (art. 14A al. 1 de loi générale [de la République et canton de Genève] du 4 décembre 1977 sur le logement et la protection des locataires [LGL; RSG I 4 05]). D'après cette disposition, la fondation a pour but principal la construction, l'acquisition et l'exploitation d'immeubles et de logements destinés aux personnes à revenus modestes. La recourante soutient que cette activité est analogue à celle d'un intervenant privé. Elle perd toutefois de vue que lorsque la fondation intervient dans le cadre de l'adjudication de marchés publics, celle-ci agit en tant que détentrice de la puissance publique. A l'inverse d'un particulier, une corporation de droit public ne peut pas demander des offres et adjuger des travaux en toute liberté. Elle est obligée d'appliquer les procédures légales relatives aux marchés publics et de se soumettre à cet égard à un contrôle judiciaire. Ainsi, contrairement à ce que soutient la recourante, sa position dans une procédure de marchés publics ne se confond pas avec celle d'un simple particulier (cf. arrêts 2C_37/2013 du 17 janvier 2013 consid. 5.1; 2D_52/2011 du 10 février 2012 consid. 1.2; 2P.300/2004 du 14décembre 2004 consid. 2.3; 2P.85/2001 du 6 mai 2002 consid. 2.2). Elle n'a par conséquent pas qualité pour recourir à ce titre.
1.3. Reste à examiner si la recourante peut se plaindre de la violation de garanties qui lui sont reconnues par les Constitutions cantonale ou fédérale.
L'art. 50 Cst. garantit l'autonomie communale dans les limites fixées par le droit cantonal. L'art. 189 al. 1 let. e Cst. prévoit que le Tribunal fédéral connaît des contestations pour violation de l'autonomie des communes et des autres garanties accordées par les cantons aux corporations de droit public. D'après le Message du Conseil fédéral, "outre l'autonomie communale qui devrait constituer le principal cas d'application, cette norme comprend aussi la garantie constitutionnelle de l'autonomie ou de l'existence d'autres corporations de droit public, telles les Eglises nationales" (FF 1997 I 1 p. 537; cf. aussi: arrêt 2P.342/1994 du 4 juillet 1995, consid. 2c à propos des corporations de droit public, dont l'activité et l'organisation sont sous la surveillance des autorités administratives cantonales, ainsi que l'<ref-ruling> consid. 2 p. 175 ss).
En l'espèce, la recourante, qui n'est à l'évidence pas une commune mais bien une corporation de droit public, n'a pas indiqué quelle disposition de droit constitutionnel cantonal garantissait, selon elle, son existence ni ne démontre que l'arrêt attaqué l'atteindrait dans son autonomie ou son existence. Sur ce point, le mémoire de la recourante ne répond pas aux exigences de motivation accrues de l'<ref-law> (<ref-law>). Partant, la recourante n'a pas qualité pour déposer un recours constitutionnel subsidiaire sous cet angle.
1.4. On peut encore se demander si la recourante peut se plaindre par la voie du recours constitutionnel subsidiaire de la violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel.
Selon la jurisprudence, le recourant qui n'a pas qualité pour agir au fond peut faire valoir la violation de ses droits de partie, pour autant qu'il ne s'agisse pas de moyens ne pouvant être séparés du fond (continuation de la "Star Praxis", cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 308; <ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 130; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 437). Dans sa jurisprudence, le Tribunal fédéral a cependant jugé que la "Star Praxis" ne s'appliquait par analogie aux corporations de droit public chargées de tâches publiques que si elles invoquaient des griefs en étroite relation avec une violation de la garantie de leur autonomie ou de leur existence (<ref-ruling> consid. 4a p. 223; <ref-ruling> consid. 2 p. 100; cf. pour les collectivités publiques l'<ref-ruling> consid. 3.4 p. 389). Les droits de partie équivalant à un déni de justice formel doivent en effet protéger le citoyen contre les actes de puissance publique et non une autorité agissant dans le cadre de ses compétences d'ordre public contre d'éventuelles erreurs commises dans la procédure devant une autorité supérieure (<ref-ruling> consid. 4a p. 223).
En l'espèce, la recourante ne fait valoir aucun grief en relation avec une violation de son autonomie ou de son existence (cf. supra consid. 1.3). Dans ces conditions, la recourante, qui n'a pas qualité pour recourir au fond, ne peut pas davantage se prévaloir de la violation de ses droits de partie.
2.
Au vu de ce qui précède, le recours constitutionnel subsidiaire doit être déclaré irrecevable. La recourante, dont l'intérêt patrimonial est en cause (art. 66 al. 1 et 4 LTF; arrêt 2D_52/2011 du 10 février 2012 consid. 5), supportera les frais. Il y a lieu de condamner la recourante à verser des dépens à l'intimée qui a pris des conclusions en rejet du recours (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Une indemnité de dépens de 2'000 fr., à charge de la recourante, est allouée à l'intimée.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lausanne, le 17 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor