Faits:
A. Née en 1944, T._ a travaillé comme ouvrière d'usine auprès de la société X._ du 6 mai 1974 au 14 avril 2003, date à laquelle elle a été mise en arrêt de travail pour des raisons médicales (acouphènes chroniques et décompensation d'un trouble dépressif et anxieux sévère). Après que l'intéressée a, le 23 décembre 2003, présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg a recueilli des renseignements médicaux et économiques. Il a également chargé le Service Y._ d'une expertise, qui a été rendue par le docteur V._, médecin-adjoint, le 10 janvier 2005. Par décision du 15 juillet 2005, confirmée sur opposition de l'assurée le 24 juillet 2006, l'administration lui a accordé une aide au placement, mais a nié le droit à une rente; le taux d'invalidité qu'elle présentait (20%) était insuffisant pour reconnaître cette prestation.
B. Statuant le 27 août 2008 sur le recours formé par l'assurée contre cette décision, le Tribunal administratif du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, l'a rejeté.
C. Par écriture du 30 octobre 2008, T._ déclare interjeter un "recours de droit public" contre le jugement cantonal, en concluant sous suite de frais et dépens à son annulation et à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. A titre subsidiaire, elle demande le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour complément d'instruction, sous forme d'une expertise interdisciplinaire. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 En dépit de son intitulé erroné, l'écriture de la recourante doit être considérée comme un recours en matière de droit public au sens des art. 82 ss. LTF, puisque le jugement entrepris a été rendu après l'entrée en vigueur, au 1er janvier 2007, de la LTF (<ref-law>).
1.2 Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>) et n'est donc pas limité par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour d'autres motifs que ceux allégués et rejeter un recours en adoptant une autre argumentation que celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 140). Le Tribunal fédéral fonde par ailleurs son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les normes de la LAI (dans leur version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007) et la jurisprudence sur la notion d'invalidité et son évaluation, ainsi que les principes jurisprudentiels sur le rôle des facteurs psychosociaux ou socioculturels (<ref-ruling>), la libre appréciation des preuves et la valeur probante des rapports médicaux. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. La juridiction cantonale a considéré que l'assurée ne présentait pas d'atteinte à la santé ayant un caractère invalidant. Pour cela, elle s'est écartée de l'expertise du docteur V._, qui avait diagnostiqué un trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen (F33.10) et des acouphènes de l'oreille gauche, et admis une incapacité totale de travail pour des raisons psychiques depuis le 14 avril 2003. Les premiers juges sont d'avis, en effet, que l'appréciation du médecin repose essentiellement sur des éléments d'ordre socioculturel et psychosocial. Ainsi, l'expert a indiqué notamment que le premier mouvement dépressif (1988) s'inscrivait dans un contexte de troubles relationnels et familiaux. Il attribuait une rechute survenue en 1994 à la maladie de la mère [de l'assurée] ainsi qu'à d'importantes difficultés financières et familiales, alors qu'une nouvelle aggravation de la symptomatologie en 2003 était due à un changement professionnel survenu au mois d'avril de cette année-là. La juridiction cantonale relève que le tableau clinique décrit par le docteur V._ ne comporte pas d'éléments psychiatriques pertinents, distincts des facteurs psychosociaux et socioculturels, influençant de manière autonome la capacité de travail de la recourante. Aussi, les premiers juges ont-ils confirmé à la suite de l'intimé qu'elle disposait d'une "capacité de travail de 100% avec une baisse de rendement de 20% dans un environnement non bruyant", de sorte que sa capacité de gain n'était atteinte que dans cette mesure limitée, insuffisante pour ouvrir le droit à une rente.
4. Sous l'angle d'une appréciation arbitraire des faits, la recourante reproche aux premiers juges d'avoir substitué sans motif valable leur appréciation à celle de l'expert V._, en retenant de façon arbitraire qu'elle disposait d'une capacité entière de travail (avec un rendement diminué de 20%), alors que le médecin avait constaté le contraire.
4.1 Lorsque le pouvoir d'examen est limité, le recourant ne peut critiquer les constatations de faits que si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou encore lorsque le juge a interprété les pièces du dossier de manière insoutenable, a méconnu des preuves pertinentes ou s'est fondé exclusivement sur une partie des moyens de preuve (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62, 120 Ia 31 consid. 4b p. 40, 118 Ia 28 consid. 1b p. 30).
4.2 En l'occurrence, l'autorité cantonale de recours a fait une interprétation du rapport du docteur V._ qui n'apparaît pas admissible au regard du contenu de l'expertise. Le médecin a en effet posé un diagnostic (trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen), dont le code de Classification internationale des maladies (F33.10, CIM-10) correspond à un trouble dépressif majeur récurrent, qui a en soi valeur de maladie en raison de sa sévérité, chronicité et persistance (qui le distingue d'un simple trouble dysthymique). Contrairement à ce qu'a retenu la juridiction de première instance, le docteur V._ a fait état d'un tableau clinique comprenant des éléments psychiatriques pertinents ("symptômes typiques tels qu'une baisse de l'humeur, un sentiment d'épuisement progressif, une perte pondérale et des troubles du sommeil", un sentiment de culpabilité, des angoisses, une sensibilité accrue au bruit, un retrait social), qui justifient, à ses yeux, le diagnostic de trouble dépressif majeur récurrent. Le fait, mis en évidence par les premiers juges, que l'expert inscrit la décompensation périodique (en 1988, 1994 et depuis 2003) de l'atteinte psychique dans un contexte de troubles relationnels et familiaux ou de difficultés d'ordre professionnel ne permet pas d'assimiler le trouble dépressif majeur diagnostiqué à des facteurs psychosociaux ou socioculturels. Le docteur V._ mentionne les problèmes familiaux et autres auxquels a dû faire face la recourante, afin d'expliquer le cadre dans lequel l'assurée a développé un trouble dépressif récurrent. En assimilant ces éléments à des facteurs psychosociaux et socioculturels en les sortant de leur contexte, tout en faisant totalement abstraction du diagnostic psychiatrique posé selon les règles de l'art par le docteur V._, la juridiction cantonale a fait une interprétation insoutenable de l'expertise. L'appréciation des preuves à laquelle elle a procédé est par conséquent arbitraire et ne saurait être suivie.
4.3 Cela étant, il ressort de l'expertise du docteur V._ qu'en raison des troubles psychiatriques qu'il a mis en évidence, la capacité de travail de la recourante dans toute activité est nulle depuis le mois d'avril 2003 (sans perspective d'amélioration notable malgré la reprise d'un traitement psychiatrique et d'un traitement psychotrope adjuvant). Par ailleurs, les conclusions du médecin apparaissent convaincantes et ne sont remises en cause par aucune pièce du dossier. Il n'y a donc pas lieu de s'en écarter.
L'incapacité de travail totale de la recourante dans toute activité ainsi retenue se traduit, sur le plan économique, par un degré d'incapacité de gain de 100%, taux qui ouvre le droit à une rente entière de l'assurance-invalidité. En fonction du terme du délai d'attente au sens de l'<ref-law> (dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), qui doit être fixé au 14 avril 2004 compte tenu de l'incapacité de travail de 100% attestée médicalement depuis le 14 avril 2003 (rapport du docteur V._, p. 12), le droit à la rente prend naissance le 1er avril 2004 (<ref-law>, toujours dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007).
4.4 Il découle de ce qui précède que le recours se révèle bien fondé et le jugement entrepris, ainsi que la décision sur opposition du 24 juillet 2006 doivent être annulés.
5. Vu l'issue du litige, les frais de justice seront supportés par l'intimé (art. 66 al. 1 en relation avec l'<ref-law>). La recourante, qui obtient gain de cause, a droit à une indemnité de dépens pour l'ensemble de la procédure à la charge de l'intimé (art. 68 al. 1 et 5 LTF). Sa demande d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal, Section administrative, du canton de Fribourg du 27 août 2008 et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg du 24 juillet 2006, dans la mesure où elle concerne le droit à la rente, sont annulés. La recourante a droit à une rente entière d'invalidité à partir du 1er avril 2004.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal fribourgeois, Section administrative, pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal fribourgeois, Section administrative, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 mai 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless