Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 27. Juni 2012 verpflichtete der Amtsgerichtspräsident des Richteramts Bucheggberg-Wasseramt B.A._ (geb. 1964), seiner Ehefrau A.A._ (geb. 1967) einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 678.-- zu bezahlen. Gleichzeitig stellte er die Tochter C.A._ (geb. 1999) unter die Obhut des Vaters und die Tochter D.A._ (geb. 1998) unter die Obhut der Mutter. Der Unterhaltsbeitrag für D.A._ betrug Fr. 1'468.--, zuzüglich Kinderzulage. Eine gegen dieses Urteil erhobene Berufung von B.A._ wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 26. Oktober 2012 ab.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 4. September 2012 ersuchte B.A._ den Amtsgerichtspräsidenten des Richteramts Bucheggberg-Wasseramt um Abänderung des Urteils vom 27. Juni 2012, weil in der Zwischenzeit auch die Tochter D.A._ bei ihm lebte. Der Amtsgerichtspräsident bestätigte mit Urteil vom 13. Juni 2013 die neuen Obhutsverhältnisse und regelte den persönlichen Verkehr zur Mutter. Die vom Vater geschuldeten Kinderalimente für D.A._ fielen weg und es wurde festgestellt, dass A.A._ mangels Leistungsfähigkeit keinen Unterhaltsbeitrag für die Kinder zu bezahlen hat. Den monatlichen Unterhaltsbeitrag für A.A._ setzte der Amtsgerichtspräsident neu wie folgt fest: Fr. 1'589.40 (pro rata) vom 4. September 2012 bis 30. September 2012, Fr. 1'600.-- vom 1. Oktober 2012 bis 31. März 2013, Fr. 1'170.-- vom 1. April 2013 bis 30. April 2013, Fr. 560.-- vom 1. Mai 2013 bis 31. Mai 2013 und Fr. 1'740.-- ab 1. Juni 2013.
B.b. B.A._ focht auch dieses Urteil beim Obergericht des Kantons Solothurn an. In teilweiser Gutheissung der Berufung setzte das Obergericht mit Urteil vom 13. Januar 2014 den Unterhaltsbeitrag für A.A._ neu wie folgt fest: Fr. 1'000.-- ab 4. September 2012 bis 31. März 2013 und Fr. 678.-- ab 1. April 2013.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. Februar 2014 gelangt A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, das Urteil des Obergerichts vollumfänglich aufzuheben und B.A._ (Beschwerdegegner) zu den gleichen Unterhaltsleistungen zu verpflichten, wie sie der erstinstanzliche Richter festgesetzt hat (s. Bst. B.a ). Ferner verlangt die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege sowohl für die Gerichts- als auch für die Anwaltskosten, unter Beiordnung von Marion Jakob als amtliche Anwältin, rückwirkend ab dem Zeitpunkt der Mandatierung. Schliesslich sei der Ehemann dazu zu verpflichten, sämtliche Gerichtskosten zu bezahlen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) über die Abänderung von Unterhaltsbeiträgen im Eheschutzverfahren (<ref-law>). Diese zivilrechtliche Streitigkeit (<ref-law>) ist vermögensrechtlicher Natur. Die Streitwertgrenze ist erreicht (Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4; Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG. Auf die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Eheschutzentscheide unterstehen nach der Rechtsprechung <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.3 S. 587). Nichts anderes gilt im Streit um ihre Abänderung. Daher kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von <ref-law> nur auf Willkür (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 628; Urteil 5A_261/2009 vom 1. September 2009 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; zum Willkürbegriff vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 133).
2.2. Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) beschränken will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262). Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Unbestritten ist, dass der Wechsel der Obhut über D.A._ von der Mutter zum Vater dazu führt, dass der Beschwerdegegner keine Unterhaltsbeiträge mehr für seine Tochter D.A._ schuldet. Umstritten ist hingegen, wie sich der Wegfall dieser Geldleistungen auf die Alimente auswirkt, die der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin schuldet. Die Beschwerdeführerin stellt sich im Wesentlichen auf den Standpunkt, dass der Wegfall der Unterhaltsbeiträge für die Tochter ein Grund ist, auch ihren eigenen Unterhaltsanspruch neu zu berechnen. Demgegenüber vertritt die Vorinstanz die Meinung, dass der Unterhaltsbeitrag für die Beschwerdeführerin und derjenige für die Tochter voneinander getrennt zu betrachten sind, mit Ausnahme der Wohnkosten, zu deren Reduktion die Vorinstanz der Beschwerdegegnerin eine Übergangsfrist einräumt. Demnach bleibt der Wegfall des Unterhaltsbeitrags der Tochter dem angefochtenen Entscheid zufolge grundsätzlich ohne Einfluss auf den Unterhalt der Beschwerdeführerin.
3.2. Verändern sich die Verhältnisse, so passt das Gericht auf Begehren eines Ehegatten die Eheschutzmassnahmen an oder hebt sie auf, wenn ihr Grund weggefallen ist (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung setzt eine Abänderung von Eheschutzmassnahmen voraus, dass seit der Rechtskraft des Urteils eine wesentliche und dauerhafte Veränderung eingetreten ist. Ein Abänderungsgrund liegt auch dann vor, wenn die tatsächlichen Feststellungen, die dem Massnahmeentscheid zugrunde lagen, sich nachträglich als unrichtig erweisen oder nicht wie vorhergesehen verwirklichen. Schliesslich kann ein Ehegatte die Änderung verlangen, wenn sich der ursprüngliche Entscheid als nicht gerechtfertigt erweist, weil dem Massnahmerichter wesentliche Tatsachen nicht bekannt waren. Andernfalls steht die formelle Rechtskraft des Eheschutzentscheides einer Abänderung entgegen. Insbesondere kann ein Abänderungsbegehren nicht damit begründet werden, dass die ursprünglichen Umstände in rechtlicher Hinsicht oder - gestützt auf die bereits behaupteten Tatsachen und offerierten Beweise - in tatsächlicher Hinsicht falsch gewürdigt worden seien. Denn das Abänderungsverfahren bezweckt nicht, das erste Urteil zu korrigieren, sondern es an veränderte Umstände anzupassen (Urteil 5A_245/2013 vom 24. September 2013 E. 3.1; 5A_555/2013 vom 29. Oktober 2013 E. 3.1, je mit Hinweisen).
Ist die Voraussetzung der wesentlichen und dauerhaften Veränderung erfüllt, so setzt der Richter den Unterhaltsbeitrag in pflichtgemässer Ausübung seines Ermessens neu fest. Hierzu sind auch die übrigen Berechnungselemente, die dem abzuändernden Entscheid zugrunde lagen, auf den neuesten Stand zu bringen. Diese Aktualisierung setzt nicht voraus, dass die Anpassungen, die der Richter in den anderen Positionen vornimmt, ebenfalls den Tatbestand der Veränderung der Verhältnisse erfüllen. Die beschriebene Regel, die das Bundesgericht in seiner Praxis betreffend die Abänderung des nachehelichen Unterhalts entwickelt hat (<ref-ruling> E. 11.1.1 S. 292 mit Hinweisen), gilt auch für die Abänderung von Eheschutzmassnahmen. Ist der Schuldner einer Mehrheit von Personen zu Unterhalt verpflichtet, so bringt es die Pflicht zur Aktualisierung mit sich, dass der Richter auf entsprechende Begehren hin die Situation aller Berechtigten prüfen und gegebenenfalls verschiedene Unterhaltsbeiträge anpassen muss (s. Urteil 5A_402/2010 vom 10. September 2010 E. 4.3).
3.3.
3.3.1. Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, dass der Amtsgerichtspräsident im Abänderungsverfahren alle Parameter der Unterhaltsberechnung neu festsetzen musste. Dazu sei er schon deshalb verpflichtet gewesen, weil sich nicht mehr eruieren lasse, wie die Alimente im ursprünglichen Eheschutzentscheid vom 27. Juni 2012 (s. Sachverhalt Bst. A) ermittelt worden waren. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint, bedeuten diese Unsicherheiten über das Zustandekommen des ursprünglichen Unterhaltsbeitrags jedoch nicht, dass die Parameter, die dem Entscheid vom 27. Juni 2012 zugrunde lagen, "von Beginn weg falsch waren, indem sie nicht der Realität entsprachen". Die Beschwerdeführerin begründet ihre Willkürrüge weiter damit, dass das Obergericht nicht geprüft habe, "ob eine veränderte Situation vorliegt, die man so nicht stehen lassen darf". Auch in diesem Punkt kann der Beschwerdeführerin nicht gefolgt werden. Das Obergericht kommt vielmehr zum Schluss, dass abgesehen von den Wohnkosten, welche die Beschwerdeführerin nach D.A._s Umzug zum Vater nicht von einem Tag auf den anderen habe reduzieren können, "sonst keine erheblich veränderte[n] Verhältnisse auszumachen" seien. Angesichts dessen kann gerade nicht gesagt werden, dass das Obergericht nur die veränderten Positionen geprüft, keine Gesamtbeurteilung aller Positionen vorgenommen und "absolut vorbehaltlos" auf die am 27. Juni 2012 festgesetzten Unterhaltsbeiträge abgestellt hätte, ohne diese "auch nur in irgendeiner Weise einer kritischen Prüfung zu unterziehen".
3.3.2. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf die Erwägung des Obergerichts, wonach am ursprünglichen Entscheid vom 27. Juni 2012 auffalle, dass die Kinderalimente relativ hoch und die Ehegattenalimente relativ tief bemessen wurden. Sie nimmt diese Beobachtung zum Anlass, dem Bundesgericht das "System" zu erklären, nach welchem die Solothurner Justiz Ehegatten- und Kinderalimente berechne. Demnach würden auf Berechnungsblättern zuerst die Gesamteinnahmen den Gesamtausgaben gegenübergestellt, wobei in durchschnittlichen Verhältnissen eine Überschussverteilung erfolge. Vom daraus resultierenden "Unterhaltsbeitragssaldo" werde in einem zweiten Schritt je nach Anzahl der Kinder und Einkommen des Unterhaltsschuldners ein prozentualer Anteil für die Kinderalimente ausgeschieden, von dem die Kinderzulagen abgezogen würden. Der "mehr oder weniger zufällige" Rest werde dann als ehelicher Unterhaltsbeitrag bezeichnet. Daraus folgert die Beschwerdeführerin, dass "natürlich auch zwingend eine umfassende Neuberechnung" ihrer Frauenalimente erfolgen müsse, wenn die Obhut über die Kinder wechsle. Allein mit derartigen Mutmassungen über die solothurnische Praxis vermag die Beschwerdeführerin jedoch nicht darzutun, dass auch ihr eigener Unterhaltsbeitrag auf die geschilderte Art und Weise berechnet wurde.
3.3.3. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, dass die Kinderalimente mit der beschriebenen "Prozentregel" ohne Rücksicht auf den konkreten Bedarf festgesetzt wurden und die kantonalen Instanzen damit in unzulässiger Weise zwei Berechnungsmethoden miteinander vermengt haben, ist sie vor Bundesgericht mangels materieller Erschöpfung des Instanzenzuges nicht zu hören, denn sie hat diesen Einwand im Berufungsverfahren nicht erhoben. Untersteht ein Vorbringen im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen - wie hier (E. 2.2) - dem Rügeprinzip, so ergibt sich aus dem Erfordernis der Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheides (<ref-law>), dass die rechtsuchende Partei die ihr bekannten rechtserheblichen Einwände der Vorinstanz nicht vorenthalten darf, um sie erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheids im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben (<ref-ruling> E. 2 S. 640). Das gilt auch dann, wenn diese Partei - wie hier die Beschwerdeführerin - im kantonalen Verfahren kein Rechtsmittel erhob und zuletzt auf der Beklagtenseite stand (Urteil 5A_267/2014 vom 15. September 2014 E. 5.2). Mithin hat es sich die Beschwerdeführerin selbst zuzuschreiben, wenn sie sich im Berufungsverfahren nicht gegen den "Methodenmix" wehrte, der ihrer Meinung nach zu einem Unterhaltsbeitrag führte, der nicht ihrem konkreten Bedarf entspreche.
3.3.4. Die vorigen Ausführungen gelten sinngemäss, soweit die Beschwerdeführerin argumentiert, der angefochtene Entscheid verstosse auch im Ergebnis gegen das Willkürverbot, weil ihr Existenzminimum mit den zugesprochenen Frauenalimenten nicht gedeckt sei, dem Beschwerdegegner "ein grosses Plus bleibe" und die Vorinstanz nicht entsprechend der Leistungsfähigkeit der Parteien angemessene Unterhaltsbeiträge festgesetzt habe. Auch damit ist die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht zu hören, denn sie hat diese Einwände im Berufungsverfahren nicht erhoben (<ref-law>; s. E. 3.3.3).
3.3.5. Nach dem Gesagten kann dahingestellt bleiben, ob der Beschwerdegegner nach dem Wechsel der Obhut über D.A._ wirtschaftlich in der Lage wäre, einen allfälligen Fehlbetrag im Bedarf der Beschwerdeführerin zu decken, wie dies die Beschwerdeführerin unter Hinweis auf den ihrer Ansicht nach zutreffenden erstinstanzlichen Abänderungsentscheid beteuert. Steht fest, dass das Eheschutzurteil vom 27. Juni 2012 in Bezug auf den Unterhalt der Beschwerdeführerin grundsätzlich weiterhin Bestand hat, erübrigt es sich auch zu prüfen, wie der Unterhaltsanspruch neu zu berechnen wäre. Der Beschwerdegegner seinerseits hat das vorinstanzliche Urteil nicht angefochten. Es bleibt damit dabei, dass er bis zum Umzug der Beschwerdeführerin in eine billigere Wohnung für den Anteil der Tochter an den Wohnkosten aufkommen muss.
4.
Im Ergebnis ist die Beschwerde also unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdeführerin wird auf das Nachforderungsrecht gemäss <ref-law> hingewiesen. Soweit sie zusätzlich eine Neuverteilung der Kosten und unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Verfahren verlangt, fehlt es dafür an einer genügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>). Darauf ist nicht einzutreten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwältin Marion Jakob als Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, einstweilen aber auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Marion Jakob wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, und dem Richteramt Bucheggberg-Wasseramt, Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn