Sachverhalt:
A.
A.a. Seit dem Jahre 2004 vermuteten die Thurgauer Veterinärbehörden, dass Landwirt A._ (geb. 1953) seinen Kühen nicht genügend Auslauf gewähre und gegen die Tierschutzgesetzgebung verstosse. Aus der Bevölkerung kamen ebenfalls entsprechende Hinweise an die Kantonspolizei. Aufgrund deren Mitteilung vom 17. August 2010 liess der Kantonstierarzt und Amtsleiter des Veterinäramts, am 24. August 2010 auf dem Hof von A._ eine Kontrolle durchführen. Dabei wurden zwar Tierschutzmängel festgestellt, doch konnten mit Bezug auf den Auslauf keine Verfehlungen des Tierhalters nachgewiesen werden. Der Kantonstierarzt gelangte daher mit Schreiben vom 25. August 2010 an die Frau Gemeindeammann der Gemeinde U._, informierte sie über "gravierende Tierschutzmängel" auf dem Hof von A._ und ersuchte um dessen Beobachtung. Ausserdem stellte er am 20. September 2010 beim Bezirksamt Arbon einen Antrag auf Videoüberwachung des Hofes, welche vom Amt zwar angeordnet, vom Präsidenten der Anklagekammer am 10. Dezember 2010 dann aber untersagt wurde. Daraufhin stellte die Staatsanwaltschaft Bischofszell ein gegen A._ zwischenzeitlich eröffnetes Strafverfahren am 10. März 2011 ein.
A.b. Über seinen Rechtsvertreter verlangte A._ diesbezüglich Akteneinsicht. Ersterer zeigte daraufhin den Kantonstierarzt am 20. Mai 2011 bei der Staatsanwaltschaft Frauenfeld wegen Amtsgeheimnisverletzung an. Eine solche erblickte er im Schreiben vom 25. August 2010 des Kantonstierarztes an die Frau Gemeindeammann von U._.
Der Kantonstierarzt wurde von der Staatsanwaltschaft erstmals am 20. März 2012 mit der Strafanzeige konfrontiert. Am 4. Juni 2012 schrieb ihm der zuständige Regierungsrat (sein direkter Vorgesetzter) u.a.:
"Eine Verletzung der Auslaufvorschriften ist ein schwerwiegender Verstoss, der eine Tierquälerei darstellt. Da die Überprüfung eines solchen Vorwurfes sehr schwierig ist, war der Beizug der örtlichen Gemeinde für die Sachverhaltsermittlung gerechtfertigt.
Ich kann Ihnen nachträglich schriftlich bestätigen, dass dieses Vorgehen vorgängig mit mir abgesprochen worden war. In diesem Sinne hatte ich Sie als Ihr direkter Vorgesetzter schon damals mündlich vom Amtsgeheimnis entbunden, falls im Rahmen dieser Zusammenarbeit mit der Gemeinde ein Amtsgeheimnis hätte offenbart werden müssen."
An einer zweiten Einvernahme am 16. August 2012 gab der Kantonstierarzt auf Frage des Staatsanwalts, ob das Amtsgeheimnis beim Gespräch mit dem zuständigen Regierungsrat ein Thema gewesen sei, zu Protokoll:
"So konkret, ob dies eine Amtsgeheimnisverletzung ist, haben wir nicht diskutiert. Wir haben über den Fall A._ gesprochen und besprochen, wie man die Sache mit A._ abklären kann. (....)."
Weiter sagte er dem Staatsanwalt:
"Ja. Der Fall A._ ist speziell. A._ ist ein schwieriger Mensch. Er umgeht die Vorschriften bezüglich des Auslaufes geschickt. (...)."
Am 20. August 2012 teilte die Staatsanwaltschaft mit, die Strafuntersuchung gegen den Kantonstierarzt sei abgeschlossen und es sei beabsichtigt, das Verfahren zur Anklage zu bringen.
B.
Drei Wochen später, am 13. September 2012 nahm der Kantonstierarzt zusammen mit dem Tierschutzbeauftragten in Begleitung von zwei Polizisten eine unangemeldete Kontrolle auf dem Hof von A._ vor. Anderntags erliess das Veterinäramt eine Verfügung - unterzeichnet vom Kantonstierarzt - wonach A._ u.a. verpflichtet wurde, "die Klauen all seiner Kühe durch einen Klauenschneider schneiden zu lassen und das kranke Tier CH (...) schlachten oder euthanasieren zu lassen". Einem allfälligen Rekurs gegen diese Verfügung entzog der Kantonstierarzt die aufschiebende Wirkung.
Gegen diese Verfügung erhob A._ umgehend - am 17. September 2012 - Rekurs beim Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau, beantragte u.a. deren Aufhebung und verlangte, dass "der Kantonstierarzt (...) von diesem wie auch von jedem künftigen Verfahren gegen A._ wegen Befangenheit zu entbinden" sei bzw. in den Ausstand zu treten habe. Weiter verlangte er auch den Ausstand des zuständigen Regierungsrates - wegen Vorbefassung -, sollte dieser in die Rekursbehandlung involviert werden.
Am 12. Oktober 2012 erliess das Veterinäramt eine weitere Verfügung, wiederum unterzeichnet vom Kantonstierarzt. Darin wurde u.a. angeordnet, wie oft den Rindern auf dem Hof von A._ Auslauf zu gewähren ist. Zudem wurde untersagt, nach dem 1. November 2012 noch Tiere auf dem Jungviehläger im Kuhstall zu halten. A._ wurde des Weiteren verpflichtet, den Kuhstall mit elektrischem Licht zu beleuchten, die Buchten des Kälberstalls zu öffnen und allen Kälbern dauernd frisches Trinkwasser zur Verfügung zu stellen. Ferner wurde er verpflichtet, jährlich zwei Mal bestätigen zu lassen, dass die Klauen aller Kühe geschnitten worden seien. In der genannten Verfügung wurde darüber hinaus darauf hingewiesen, dass das Veterinäramt Strafanzeige gegen A._ wegen Widerhandlungen gegen Vorschriften der Tierschutz-, Tierseuchen- und Heilmittelgesetzgebung erstatte.
A._ erhob auch gegen diese Verfügung umgehend Rekurs beim Departement und verlangte zudem die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Zwischenentscheid vom 29. Oktober 2012 - unterzeichnet vom zuständigen Regierungsrat - vereinigte das Departement für Inneres und Volkswirtschaft die beiden Verfahren und wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. Nachdem A._ den einverlangten Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- bezahlt hatte, instruierte das Departement das Verfahren und wies die Rekurse am 15. April 2013 ab. Es kam in seinem Entscheid - wiederum unterzeichnet vom zuständigen Regierungsrat - zum Schluss, der Kantonstierarzt gelte nicht als befangen; materiell erachtete es die Rekurse als unbegründet. Den Antrag, den zuständigen Regierungsrat wegen Vorbefassung als befangen zu erklären, hatte es nicht behandelt.
Mit Urteil vom 4. September 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau eine gegen den Departementsentscheid gerichtete Beschwerde ebenfalls ab.
C.
Mit Eingabe vom 26. Oktober 2013 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil sowie die ihm vorangegangenen Verfügungen aufzuheben und festzustellen, dass der Kantonstierarzt und sein direkter Vorgesetzter in den Ausstand zu treten hätten; eventuell sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Veterinäramt, das Departement für Inneres und Volkswirtschaft sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen Abweisung der Beschwerde. A._ hat sich mit Eingaben vom 18. Januar und 23. Februar 2014 noch einmal geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) eines oberen Gerichts (Art. 86 Abs. 2 BGG) über eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG), welcher unter keinen der in Art. 83 BGG genannten Ausschlussgründe fällt, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist. Der Beschwerdeführer ist hierzu legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (vgl. S. 2 f. der Eingabe vom 28. Oktober 2013) besteht unter diesen Umständen kein Raum (Art. 113 BGG).
Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde auch insoweit, als der Beschwerdeführer die Aufhebung der Verfügungen des Veterinäramts vom 14. September und 12. Oktober 2012 sowie des Departementsentscheides vom 15. April 2013 verlangt. Diese sind durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gelten inhaltlich als mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 180 f.).
1.2. Im angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz eine Ausstandspflicht des Kantonstierarztes und des Departementsvorstehers verneint und die Streitsache zugleich materiell beurteilt. Das Rechtsbegehren der vorliegenden Beschwerde sowie deren Begründung richtet sich ausschliesslich gegen eine angebliche Verletzung von Ausstandsvorschriften. Darüber wurde nicht vorgängig in einem separaten, selbständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid befunden (vgl. Art. 92 BGG), so dass eine entsprechende Rüge auch noch in der Beschwerde gegen den Endentscheid erhoben werden kann, zumal eine Heilung von Ausstandsfehlern nur sehr zurückhaltend anzunehmen ist (Urteile 5A_357/2011 vom 7. Oktober 2011 E. 3.3; 1C_378/2008 vom 27. Januar 2009 E. 2.7 und E. 3).
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die erhobenen Rügen müssen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f. mit Hinweisen). Die entsprechende Anmerkung des Beschwerdeführers (S. 3), wonach sich seine Beschwerde (im Umfang von 26 Seiten) "nur auf das Wesentliche" beschränke und die "bisherigen Eingaben an die Vorinstanzen (...) eine Fülle an Informationen zum besseren Verständnis enthalten" sollen, ist für das Bundesgericht damit unbeachtlich.
Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts (Art. 95 lit. a BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts - in den Grenzen der vom Beschwerdeführer hinreichend substantiierten Rügen (Art. 106 Abs. 2 BGG) - lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV), sowie der kantonalen Verfassungsrechte (Art. 95 lit. c BGG) geprüft werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314 mit Hinweisen), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Soweit der Beschwerdeführer eine eigene Darstellung des Sachverhalts vorträgt, ohne durch rechtsgenüglich erhobene Rügen die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz in Frage zu ziehen, ist darauf nicht einzugehen.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 29 Abs. 1 BV (Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen) sowie auf § 31 der Kantonsverfassung vom 16. März 1987 (KV/TG), welcher lautet:
Mitglieder einer Behörde haben den Ausstand zu wahren, wenn sie in einer Angelegenheit ein unmittelbares oder ein erhebliches mittelbares Interesse haben.
Dabei tut der Beschwerdeführer nicht dar, dass und inwiefern die genannte kantonale Verfassungsbestimmung weitergehende Ansprüche vermitteln würde als Art. 29 Abs. 1 BV. Er macht aber im Wesentlichen geltend, der Kantonstierarzt sei - u.a. aufgrund der gegen ihn gerichteten Strafanzeige wegen Amtsgeheimnisverletzung, aufgrund der im dortigen Verfahren gezeigten persönlichen Geringschätzung und Abneigung gegenüber dem beschwerdeführenden Landwirt und aufgrund seines gesamten Verhaltens bis hin zur unangemeldeten Kontrolle vom 13. September 2012 - ihm gegenüber voreingenommen gewesen. Ob der Kantonstierarzt diese Kontrolle "aus Retorsion oder um sich Vorteile zu beschaffen", durchgeführt habe, jedenfalls hätten "zwingende Ausstandsgründe" bestanden. Auch der Departementschef habe im Vorfeld seines Entscheides die "persönliche Geringschätzung gegenüber dem Beschwerdeführer (...) klar und deutlich zum Ausdruck" gebracht und überdies dem Kantonstierarzt ein "Gefälligkeitszeugnis" ausgestellt. Damit bestünden "gleich mehrere Verletzungen von Art. 29 Abs. 1 BV bzw. § 31 KV/TG (...), die - würden sie nicht geahndet - der Willkür in der thurgauischen Verwaltung Tür und Tor öffnen würde".
2.2. In Analogie zu Art. 30 Abs. 1 BV verpflichtet Art. 29 Abs. 1 BV eine Amtsperson zum Ausstand, wenn Umstände vorliegen, die nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 2b S. 198 f.). Nach der ständigen Rechtsprechung gilt für verwaltungsinterne Verfahren aber nicht der strenge, für unabhängige richterliche Behörden gültige Massstab von Art. 30 Abs. 1 BV (<ref-ruling> E. 3 S. 122 ff.), namentlich auch, was den Ausstand von Regierungsräten betrifft (Urteile 1A.28/1995 vom 14. März 1996 E. 4, nicht publ. in: <ref-ruling>; 1P.699/1994 vom 11. Juni 1996 E. 3a; 1C_442/2011 vom 6. März 2012 E. 2). Nichtrichterliche Amtspersonen haben im Wesentlichen nur dann in den Ausstand zu treten, wenn sie an der zu behandelnden Sache ein persönliches Interesse haben, zu einem früheren Zeitpunkt gegenüber der Partei ihre persönliche Geringschätzung oder Abneigung zum Ausdruck gebracht haben oder wenn ihnen Verfahrens- oder Ermessensfehler unterlaufen sind, die nach ihrer Natur oder wegen ihrer aussergewöhnlichen Häufung besonders schwer wiegen und auf eine gravierende Verletzung ihrer Amtspflichten gegenüber dem Betroffenen hinauslaufen (Urteile 1C_413/2012 vom 14. Juni 2013 E. 4.2; 2D_29/2009 vom 12. April 2011 E. 3.3; 2C_36/2010 vom 14. Juni 2010 E. 3.3; 1P.208/2001 vom 16. Juli 2001 E. 3b mit Hinweisen, vgl. auch <ref-ruling> E. 3e S. 124). Ein Ausstandsgrund kann auch dann vorliegen, wenn sich die Amtsperson schon vorher über die konkrete Sache geäussert hat (Urteil 2P.56/2004 vom 4. November 2004 E. 3), dagegen nicht, wenn sie schon früher Entscheide zum Nachteil der betroffenen Partei gefällt hat (<ref-ruling> E. 8 S. 217 ff.). Allein der Umstand, dass gegen eine Magistrats- oder Amtsperson Strafanzeige erhoben wurde, vermag deren Ausstand nicht zu rechtfertigen (Urteile 1B_224/2010 vom 11. Januar 2011 E. 4.7; 1P. 514/2002 vom 13. Februar 2003 E. 2.5; 1P.568/2002 vom 20. Januar 2003 E. 2).
3.
Aus dieser Rechtsprechung erhellt vorweg, dass der Beschwerdeführer mit seinem Argument, der Kantonstierarzt müsse infolge der gegen ihn erhobenen Strafanzeige wegen Amtsgeheimnisverletzung in den Ausstand treten, nicht durchzudringen vermag. Ebenso wenig zu beanstanden sind die Ausführungen der Vorinstanz, wonach ihrer Auffassung nach der Kantonstierarzt "keine strafbaren Handlungen begangen" habe; ein Verwaltungsgericht darf vorfrageweise strafrechtliche Fragen prüfen, wenn diese für seinen Entscheid relevant erscheinen. Selbst wenn die Herausgabe von Informationen an die Frau Gemeindeammann von U._ bzw. deren Beizug zur Informationsbeschaffung über die Tierhaltung auf dem Hof des Beschwerdeführers unrechtmässig gewesen wäre, könnte darin keine gravierende Amtspflichtverletzung erblickt werden und wäre damit ein Ausstandsgrund für den Kantonstierarzt ebenfalls nicht gegeben. Wenn dieser im Laufe der Strafuntersuchung ausgeführt hat, es gehe ihm darum, "nicht angeschossen" zu werden, meinte er damit, dass er sowohl von der Öffentlichkeit und den Politikern als auch von den Landwirten und Tierhaltern, also "immer von beiden Seiten gleich stark angeschossen" werde (vgl. Einvernahmeprotokoll vom 20. März 2012); darin liegt kein Ausstandsgrund.
Andere Aussagen des Kantonstierarztes in den Einvernahmen vor dem Staatsanwalt (vgl. vorne lit. A.b) dürfen sodann nicht aus dem Zusammenhang gerissen werden. Auch wenn sie ungeschickt erscheinen, müssen sie - zumal der Beschuldigte sich dort verpflichtet sah, eine seiner ureigensten Aufgaben (nämlich die Durchsetzung tierschutzrechtlicher Vorschriften) zu verteidigen - im Kontext der konkreten Situation beurteilt werden und kann allein darin jedenfalls keine unzulässige Vorverurteilung des Beschwerdeführers erblickt werden. Soweit dieser geltend macht, mit der unangemeldet durchgeführten Kontrolle vom 13. September 2012 sei absichtlich zugewartet worden, um gegen ihn einen Rachefeldzug zu starten, ist ihm entgegenzuhalten, dass dem Veterinäramt zwischenzeitlich neue Hinweise im Zusammenhang mit angeblich vorschriftswidriger Tierhaltung auf dem Hof von A._ zugetragen worden sind (angefochtener Entscheid S. 3). Von einer Retorsionsmassnahme kann also keine Rede sein. Der Beschwerdeführer bestreitet im Übrigen nicht, dass der Verdacht in der Sache (mangelhafte Tierhaltung) im September 2012 begründet war; seine Mutmassungen auf die Herkunft dieser Hinweise (Beschwerde S. 16 f.) ändern daran nichts.
4.
4.1. Was das Ausstandsbegehren gegen den zuständigen Departementsvorsteher betrifft, hat das Verwaltungsgericht festgehalten, dass das Departement - zumal ein ausdrücklicher entsprechender Antrag gestellt worden war - darüber hätte befinden müssen. Das Gericht sah in der Nichtbegründung eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (S. 11 des angefochtenen Entscheides). In der Folge hat es das Ausstandsbegehren aber materiell geprüft und das Vorliegen eines Ausstandsgrundes verneint. Eine solche Heilung ist nicht unzulässig; den formalen Einwänden des Beschwerdeführers (u.a. "faktische Entscheide", S. 21 f. der Beschwerdeschrift) ist damit die Grundlage entzogen.
4.2. Weiter hat das Verwaltungsgericht erwogen, es treffe zu, dass der Kantonstierarzt den zuständigen Regierungsrat vorgängig informiert habe. Dieser habe jedoch keinerlei Weisungen über einen allfälligen Entscheid erteilt. Auch hätten die beiden bloss generell über die Schwierigkeiten bei Abklärungen von allfälligen Verletzungen der Auslaufvorschriften gesprochen; eine unzulässige Vorbefassung des Departementsvorstehers liege damit nicht vor.
Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass der zuständige Regierungsrat und der Kantonstierarzt über das konkrete Ergebnis von Untersuchungen auf dem Hof von A._ debattiert haben. Eine Diskussion darüber, "wie man die Sache mit A._ abklären kann" (vgl. vorne lit. A.b), begründet noch keine Vorbefassung des zuständigen Departementsvorstehers. Von persönlicher Geringschätzung, welche der Letztere gegenüber dem Beschwerdeführer gezeigt haben soll, kann keine Rede sein. Unmutsäusserungen des Regierungsrats (etwa, dass das Verhalten des Rechtsvertreters "eines Rechtsanwaltes, Juristen und bei einem Thurgauer Bezirksgericht tätigen Kantonsangestellten nicht würdig und geradezu beschämend" sei), welche vom Beschwerdeführer moniert werden, richten sich nicht an diesen selber, sondern gegen dessen Rechtsvertreter.
Inwiefern der Departementsvorsteher dem Kantonstierarzt nachträglich ein "Gefälligkeitszeugnis" ausgestellt haben sollte, ist mit Blick auf den Ablauf der Ereignisse nicht ersichtlich. Selbst wenn die Darstellung des Beschwerdeführers, welcher sich u.a. auf eine Aussage des Staatsanwaltes beruft ("Ich frage mich einfach, wie man jemanden vom Amtsgeheimnis entbinden kann, wenn man gar nicht darüber gesprochen hat" [vgl. Einvernahmeprotokoll vom 16. August 2012 S. 6]) zutreffend wäre, läge darin jedenfalls keine gravierende Amtspflichtverletzung, welche den Ausstand des Departementsvorstehers geboten hätte (vorne E. 2.2).
5.
Die Beschwerde ist damit als unbegründet abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des Verfahrens (Art. 65/66 BGG). Zwar hatte er zunächst ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. Nach der Aufforderung, einen Bedürftigkeitsnachweis einzureichen, hat er aber den einverlangten Kostenvorschuss bezahlt und damit stillschweigend auf das prozessuale Armenrecht verzichtet.
Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Veterinäramt, dem Departement für Inneres und Volkswirtschaft und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein