Sachverhalt:
A.
X._ und Z._ (beide geb. 1983) heirateten im Januar 2005. Sie wurden Eltern eines Sohnes (Y._, geb. im Dezember 2006). Nach der Trennung der Ehegatten mussten die Folgen des Getrenntlebens gerichtlich geregelt werden (Verfügung des Eheschutzgerichts vom 5. Oktober 2007).
B.
Am 17. Januar 2008 leiteten die Ehegatten beim Bezirksgericht Andelfingen das Scheidungsverfahren ein.
Mit Urteil vom 3. Juni 2008 schied das Bezirksgericht die Parteien. Es stellte den gemeinsamen Sohn unter die elterliche Sorge der Mutter und ordnete an, die durch das Eheschutzgericht errichtete Beistandschaft zur Regelung und Überwachung des persönlichen Verkehrs sei von der zuständigen Vormundschaftsbehörde so lange weiterzuführen, als es diese für nötig erachte. Das Bezirksgericht betraute den Beistand sodann damit, das Besuchsrecht festzulegen, dessen Modalitäten zu regeln, dieses zu überwachen und über die Notwendigkeit und gegebenenfalls Dauer eines begleiteten Besuchsrechts zu entscheiden. Es nahm Vormerk davon, dass die Parteien allfällige Kosten für ein begleitetes Besuchsrecht je zur Hälfte tragen. Sodann urteilte es über die weiteren Nebenfolgen der Scheidung.
C.
Am 28. September 2009 reichte Z._ beim Bezirksgericht Andelfingen eine Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 3. Juni 2008 ein (bezüglich persönlichem Verkehr, Kinderunterhalt und nachehelichem Unterhalt). Strittig blieb der persönliche Verkehr. Auf Berufung von X._ und Anschlussberufung von Z._ gegen das bezirksgerichtliche Urteil vom 18. September 2012 hin urteilte das Obergericht des Kantons Zürich am 3. Juni 2013.
Es räumte Z._ das Recht wie folgt ein, seinen Sohn zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen (Ziff. 1 des Dispositivs) :
- Begleitetes Besuchsrecht am ersten Sonntag jedes Monats von zwei Stunden (September 2013 - November 2013), vier Stunden (Dezember 2013 - Februar 2014) und sechs Stunden (März 2014 - Mai 2014);
- (Unbegleitetes) Besuchsrecht von acht Stunden jeweils am ersten Sonntag jedes Monats (Juni 2014 - November 2014);
- (Unbegleitetes) Besuchsrecht jeweils am ersten Wochenende jedes Monats (ab Dezember 2014);
- Ferienrecht während der Schulferien von zwei Wochen (ab dem Jahr 2015) und von drei Wochen (ab dem Jahr 2019).
Weiter bestätigte es den bezirksgerichtlichen Entscheid, wonach die Mehrkosten für das in einer ersten Phase in begleiteter Form auszuübende Besuchsrecht zu 2/3 vom Vater und zu 1/3 von der Mutter zu tragen sind (Ziff. 2 des Dispositivs). Sodann ernannte es dem Kind einen Beistand gemäss <ref-law> zur Überwachung des persönlichen Verkehrs und forderte die zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde auf, einen solchen Beistand zu ernennen (Ziff. 3 - 5 des Dispositivs). Schliesslich bestätigte es den bezirksgerichtlichen Kostenspruch (Ziff. 6 des Dispositivs), auferlegte die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens den Parteien je zur Hälfte und sprach insoweit keine Parteientschädigungen zu (Ziff. 7 - 9 des Dispositivs).
D.
Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde vom 5. Juli 2013, die Ziff. 1 - 9 des obergerichtlichen Urteils vom 3. Juni 2013 seien aufzuheben und es sei festzustellen, dass derzeit kein Besuchsrecht festgelegt werden könne. Eventualiter sei die Angelegenheit an das Obergericht zurückzuweisen, damit gutachterlich abgeklärt werden könne, ob Y._ zum heutigen Zeitpunkt stabil genug sei, in Kontakt zu Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) zu treten und wie das Besuchsrecht gegebenenfalls auszugestalten wäre.
Zudem ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet (Schreiben vom 9. Juli 2013). Der Beschwerdegegner hat beantragt, das Gesuch abzuweisen; zudem ersucht auch er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren (Vernehmlassung vom 12. Juli 2013). Mit Verfügung vom 15. Juli 2013 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die Vorakten, in der Sache hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein auf Rechtsmittel hin ergangener kantonal letztinstanzlicher Endentscheid eines oberen Gerichts über die Abänderung beziehungsweise (mit Blick auf den persönlichen Verkehr) Ergänzung eines Scheidungsurteils und damit ein Entscheid in Zivilsachen in einer nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig. Auf formelle Einzelfragen ist im Sachzusammenhang einzugehen.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die obergerichtliche Anordnung und Ausgestaltung des Besuchsrechts und beantragt, dieses sei zurzeit zu verweigern.
2.2. Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das minderjährige Kind haben gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr (<ref-law>).
2.3. Wird das Wohl des Kindes durch den persönlichen Verkehr gefährdet, üben die Eltern ihn pflichtwidrig aus, haben sie sich nicht ernsthaft um das Kind gekümmert oder liegen andere wichtige Gründe vor, so kann ihnen das Recht auf persönlichen Verkehr verweigert oder entzogen werden (<ref-law>).
Gefährdet ist das Wohl des Kindes, wenn seine ungestörte körperliche, seelische oder sittliche Entfaltung durch ein auch nur begrenztes Zusammensein mit dem nicht obhutsberechtigten Elternteil bedroht ist. Als wichtige Gründe fallen Vernachlässigung, physische und psychische Misshandlung, insbesondere sexueller Missbrauch des Kindes, in Betracht. Erforderlich ist sodann, dass dieser Bedrohung nicht durch geeignete andere Massnahmen begegnet werden kann. Dies folgt aus dem Gebot der Verhältnismässigkeit, dem Verweigerung oder Entziehung des persönlichen Verkehrs als Kindesschutzmassnahme unterliegen. Der vollständige Entzug des Rechts auf persönlichen Verkehr bildet daher die "ultima ratio" und darf im Interesse des Kindes nur angeordnet werden, wenn die nachteiligen Auswirkungen des persönlichen Verkehrs sich nicht in für das Kind vertretbaren Grenzen halten lassen.
Können die befürchteten nachteiligen Auswirkungen des persönlichen Verkehrs für das Kind durch die persönliche Anwesenheit einer Drittperson (sog. begleitetes Besuchsrecht) in Grenzen gehalten werden, so verbietet sich die Verweigerung des persönlichen Verkehrs (vgl. <ref-ruling> E. 3b und 3c S. 407 f.; Urteil 5A_377/2009 vom 3. September 2009 E. 5.2, in: FamPra.ch 2010 S. 209 und SJ 2010 I S. 314).
2.4. Das Besuchsrecht wird nach richterlichem Ermessen festgesetzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 210). Das Bundesgericht übt bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung aus: Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst, wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 671).
3.
3.1. Gemäss den unbestrittenen obergerichtlichen Sachverhaltsfeststellungen kam es zwischen dem Beschwerdegegner und seinem Sohn zum ersten Kontakt, als dieser sechs Monate alt war. Anschliessend fanden meist begleitete Besuche statt, letztmals im Jahr 2009. Da - gemäss den Ausführungen der Beschwerdeführerin - die Situation (Kontakt zum Beschwerdegegner) Y._ damals überforderte und ihn an seine psychischen Grenzen brachte (Rz. 16 der Beschwerde), wurde das Besuchsrecht vom damaligen Beistand sistiert und konnte seither nicht wieder aufgenommen werden. Die Wiederaufnahme scheiterte im Übrigen auch daran, dass damals - wie das Obergericht in einem Beschwerdeverfahren gegen eine Verfügung der zuständigen Vormundschaftsbehörde feststellte - noch gar kein Besuchsrecht festgelegt worden war und sich damit auch die angeordnete Besuchsrechtsbeistandschaft erübrigte; aus diesem Grund hat der Beschwerdegegner am 28. September 2009 das vorliegende Verfahren auf Abänderung beziehungsweise (mit Blick auf den persönlichen Verkehr) Ergänzung des lückenhaften Scheidungsurteils einleiten müssen (Urteil des Obergerichts vom 20. August 2012, act. 174/9 der obergerichtlichen Akten; <ref-law>).
Der Beschwerdegegner hat demnach seinen Sohn seit dem Jahr 2009 nicht mehr gesehen. Y._ war im obergerichtlichen Urteilszeitpunkt sechseinhalb Jahre alt und besuchte den Kindergarten im zweiten Jahr. Er lebt bei seiner nicht erwerbstätigen Mutter und deren Lebenspartner, die zusammen einen Sohn haben (zwei Jahre alt) und (im Zeitpunkt des kantonalen Verfahrens) ein weiteres Kind erwarteten.
3.2. Das Obergericht hat in einem ersten Schritt geprüft, ob Gründe für eine - wie von der Beschwerdeführerin beantragte - Verweigerung des persönlichen Verkehrs vorliegen.
Es ist gestützt auf das Gutachten von Dr. phil. W._ vom 22. Juli 2010 und dessen mündlichen Erläuterungen vom 2. Dezember 2010 sowie der Aussagen der Beschwerdeführerin und mehrerer Zeugen (Lebenspartner der Beschwerdeführerin, Pate des Kindes, Beistand, Erziehungsberaterin) zum Schluss gelangt, aufgrund der aktuellen Verhältnisse bestehe kein wichtiger Grund, um den persönlichen Verkehr zwischen dem Beschwerdegegner und seinem Sohn gänzlich zu unterbinden und damit die völlige Entfremdung des Kindes von seinem Vater in Kauf zu nehmen. Angesichts des Alters des Kindes, seines baldigen Eintritts in die Primarschule und seiner normalen persönlichen Entwicklung könne in Übereinstimmung mit dem Gutachten von Dr. phil. W._ davon ausgegangen werden, dass der Sohn heute trotz allfälliger weiter bestehenden Spannungen zwischen seinen Eltern in der Lage sei, seinem Vater im Rahmen von Besuchen persönlich zu begegnen und zu diesem eine Beziehung aufzubauen. Entgegen der Empfehlung von Dr. phil. W._ sei es nicht gerechtfertigt, nunmehr (zu den heutigen Verhältnissen) ein neues Gutachten einzuholen: Einerseits würde dies zu einer weiteren Verzögerung des Verfahrens und damit des Unterbruchs des persönlichen Verkehrs führen, andererseits sei fraglich, ob sich angesichts der seit dem letzten Gutachten unveränderten Verhältnisse (langer Unterbruch der Besuche und damit verbundene Problematik für das Kind und die Eltern) überhaupt neue Erkenntnisse gewinnen lassen würden.
An diesem Ergebnis ändere der von der Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren neu vorgebrachte Bericht von Dr. med. V._ vom 27. März 2013 nichts, wonach eine Wiederaufnahme der Kontakte in den nächsten ein, zwei Jahren wegen einer sehr ernsthaften, tief gehenden Verunsicherung des Kindes verfrüht wäre: Dieser Bericht beruhe einzig auf der Behandlung des Kindes und den Angaben der Beschwerdeführerin und sei damit als Parteibericht zu qualifizieren. Sodann indizierten einige Aussagen des Gutachters eine gewisse Befangenheit. Die Einschätzung, es liege beim Kind eine sehr ernste und tief gehende Verunsicherung vor, stehe im Widerspruch zur Aussage der Beschwerdeführerin vom 12. Juni 2012, wonach das Kind körperlich und psychisch gesund sei. Schliesslich sei die Schlussfolgerung des Berichts, die Wiederherstellung des Kontakts zum Vater führe beim Kind zu einer Gesundheitsgefährdung, nicht überzeugend, bestünden doch keine Angaben über die Ursachen der diagnostizierten Verunsicherung und Traumatisierung.
4.
4.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234) oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>).
Die Sachverhaltsfeststellung beziehungsweise Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
4.2. In einem ersten Teil ihrer Beschwerde legt die Beschwerdeführerin ausführlich und ohne jeglichen Bezug zu den Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichts den Sachverhalt dar. Soweit ihre Darstellung vom Sachverhalt, den das Obergericht festgestellt hat, abweicht oder diesen ergänzt, unterlässt es die Beschwerdeführerin, die obergerichtlichen Feststellungen im beschriebenen Sinn zu rügen. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. E. 4.1 oben; <ref-ruling> E. 1.2 S. 512). Soweit die Beschwerdeführerin zudem neue Tatsachen und Beweismittel vorbringt, sind diese unzulässig und unbeachtlich (<ref-law>).
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Willkürverbots in der Beweiswürdigung (<ref-law>), weil das Obergericht den aktuellen Gesundheitszustand von Y._ und die Frage seiner genügenden Stabilität für Kontakte zu seinem Vater nicht gutachterlich habe abklären lassen. Dies sei aber nötig, um beurteilen zu können, ob ein Besuchsrecht aufgenommen werden könne und gegebenenfalls wie dieses auszugestalten sei. Dr. phil. W._ habe dies im Gutachten vom 22. Juli 2010 und an der Verhandlung vom 2. Dezember 2010 denn auch gefordert. Das Obergericht habe folglich geurteilt, obwohl es den aktuellen gesundheitlichen Zustand von Y._ gar nicht gekannt habe (Rz. 38 - 43, 51 und 53 - 54 der Beschwerde).
5.2.
5.2.1. Nach <ref-law> erforscht das Gericht bei Kinderbelangen in familienrechtlichen Angelegenheiten den Sachverhalt von Amtes wegen. Die Untersuchungsmaxime verpflichtet das Gericht, von sich aus alle Elemente in Betracht zu ziehen, die entscheidwesentlich sind, und unabhängig von den Anträgen der Parteien Beweise zu erheben. <ref-law> schreibt dem Gericht indessen nicht vor, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären ist. Ebenso wenig erfasst diese Bestimmung die Art der Erhebung von Beweismitteln. Wenn der massgebliche Sachverhalt sich auf andere Weise abklären lässt, verstösst demzufolge auch der Verzicht auf ein bestimmtes Gutachten nicht gegen Bundesrecht. Die Untersuchungsmaxime schliesst sodann eine vorweggenommene Beweiswürdigung nicht aus: Verfügt das Gericht über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann es auf weitere Beweiserhebungen verzichten (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735; Urteil 5A_911/2012 vom 14. Februar 2013 E. 6.3.1).
5.2.2. Sind Fragen rund um den persönlichen Verkehr zwischen einem Elternteil und seinem Kind zu beantworten, so liegt es im pflichtgemässen Ermessen des Gerichts, ob ein kinderpsychiatrisches oder kinderpsychologisches Gutachten einzuholen ist. Kann der massgebliche Sachverhalt auf andere Weise abgeklärt werden, so erweist sich der Verzicht auf die Anordnung eines Gutachtens nicht als bundesrechtswidrig (Urteil 5A_92/2009 vom 22. April 2009 E. 4.2.2).
Die massgebende Frage des Kindeswohls (vgl. E. 2.3 oben) entzieht sich einer starren Beurteilung und ist stets im Hinblick auf die aktuellen Verhältnisse zu beantworten. Dies kann dazu führen, dass das befasste Sachgericht gegebenenfalls weitere Beweise zu erheben, namentlich ein weiteres Gutachten einzuholen hat. Massgeblich ist dabei, ob neue Erkenntnisse zu erwarten oder ob die Ergebnisse der früheren Untersuchungen nach wie vor aktuell sind (Urteile 5A_911/2012 vom 14. Februar 2013 E. 6.4.3; 5A_138/2012 vom 26. Juni 2012 E. 4, in: FamPra.ch 2012 S. 1171; jeweils im Zusammenhang mit der Zuteilung der elterlichen Sorge).
5.2.3. Die antizipierte Beweiswürdigung ist Teil der Beweiswürdigung, die vom Bundesgericht nur auf Willkür (<ref-law>) hin überprüft werden kann (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376; vgl. E. 4.1 oben).
5.3. Die vom Obergericht vorgenommene antizipierte Beweiswürdigung erweist sich nicht als willkürlich. Das Obergericht hat sich einerseits auf die Aussagen von Dr. phil. W._ abgestützt, der in seinem Gutachten vom 22. Juli 2010 und seinen mündlichen Ergänzungen vom 2. Dezember 2010 zum Schluss gekommen war, nach einem Jahr Kindergarten oder nach der ersten Primarschulklasse könnte ein Kontakt zwischen Y._ und seinem Vater in kleinen Abstufungen etabliert werden. Das Obergericht hat sodann festgestellt, Y._ sei normal entwickelt und körperlich und psychisch gesund. Es hat sich dabei auf diverse Aussagen von Zeugen, aber insbesondere auch der Beschwerdeführerin selbst, abgestützt (S. 13 des obergerichtlichen Urteils). Es ist deshalb in tatsächlicher Hinsicht zum Ergebnis gelangt, Y._ sei nunmehr (nach zwei Kindergartenjahren und vor dem baldigen Eintritt in die Primarschule) in der Lage, seinem Vater im Rahmen von Besuchen zu begegnen und eine Beziehung zu diesem aufzubauen.
Gestützt auf dieses Sachverhaltsfeststellungen durfte das Obergericht vorliegend in antizipierter Beweiswürdigung auf eine (erneute) Begutachtung von Y._ verzichten, zumal es darauf hingewiesen hat, dass von einer neuen Begutachtung keine neuen Erkenntnisse zu erwarten seien, hätten sich doch die Verhältnisse seit der Begutachtung im Jahr 2010 nicht verändert. Dies bestreitet die Beschwerdeführerin denn auch nicht rechtsgenüglich, sondern verweist einzig darauf, das Obergericht hätte prüfen müssen, ob Y._ aktuell stabil genug sei. Dieser allgemeine Einwand rechtfertigt jedoch keine erneute Begutachtung und damit eine weitere Verzögerung des Besuchsrechts (vgl. dazu Urteil 5C.269/2006 vom 6. März 2007 E. 2.2.3).
5.4. Sodann wendet sich die Beschwerdeführerin gegen die obergerichtliche Beweiswürdigung zum aktuellen Gesundheitszustand von Y._. Es sei nicht nachvollziehbar, gestützt auf welche Grundlage das Obergericht zum Schluss komme, dass es dem Kind aktuell gut gehe.
So habe das Obergericht ihre (der Beschwerdeführerin) Aussagen nur unvollständig wiedergegeben und nicht vermerkt, dass sie ebenfalls darauf hingewiesen habe, Y._ sei psychologisch nicht einzuschätzen und es gebe oft Situationen, die nicht normal seien. Die Aussagen ihres Lebenspartners habe das Obergericht "aus dem Zusammenhang gerissen" und es sei nicht ersichtlich, inwiefern sein Hinweis auf die positive Entwicklung von Y._ für die Beurteilung des Besuchsrechts massgebend sein könne. Was die Würdigung der Aussagen des Paten von Y._ betreffe, sei es nachvollziehbar, dass dieser Y._ als aufgewecktes Kind bezeichne, halte er sich doch einerseits aus der Besuchsrechtsproblematik heraus und bekomme andererseits die alltäglichen Probleme von Y._ gar nicht mit. Was die Aussagen des früheren Beistands (S._) und der Erziehungsberaterin (T._) betrifft, hätten diese Y._ seit rund zwei Jahren nicht mehr gesehen und könnten deshalb den aktuellen Zustand von Y._ gar nicht beurteilen. Inwiefern schliesslich das Obergericht gestützt auf das Gutachten vom 2. Juli 2010 darauf schliesse, dass Y._ ein lebendiger Bub sei, recht intelligent wirke und schnell auf Beziehungen eingehe, sei nicht nachvollziehbar. Der Gutachter habe diese Aussagen selbst relativiert und wie sich aus dem Bericht von Dr. med. V._ vom 2. Juli 2013 (Beschwerdebeilage 16) ergebe, habe der Besuch des Kindergartens und die damit verbundene Trennung von Y._ von seiner Bezugsperson zu grossen Unsicherheiten und Ängsten geführt.
Die vom Obergericht berücksichtigten Aussagen seien demnach erstens veraltet, zweitens aus dem Zusammenhang gerissen und drittens könnten die meisten der befragten Personen mangels Fachkenntnis gar keine Auskünfte zum Gesundheitszustand von Y._ geben. Schliesslich sei es auch völlig unzumutbar, wenn das Obergericht den Bericht von Dr. med. V._ vom 27. März 2013 als Parteibericht qualifiziere.
Zusammenfassend könne deshalb festgehalten werden, dass die Beweiswürdigung des Obergerichts als willkürlich bezeichnet werden müsse.
5.5.
5.5.1. Beim (zweiten) Bericht von Dr. med. V._ vom 2. Juli 2013 handelt es sich um ein neues Beweismittel (<ref-law>), weshalb dieses unberücksichtigt zu bleiben hat.
5.5.2. Soweit sich die Beschwerdeführerin gegen die obergerichtliche Würdigung des (ersten) Berichts von Dr. med. V._ wendet, vermag sie den Anforderungen an eine Willkürrüge von vornherein nicht zu genügen (vgl. E. 4.1 oben). Das Obergericht hat ausführlich dargelegt, weshalb es nicht auf diesen Bericht abgestellt hat. Mit dieser Begründung setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander, sondern begnügt sich mit dem Hinweis, die Folgerung des Obergerichts sei unzumutbar.
Im Übrigen hat das Obergericht aufgrund eines Gesamtbilds und in Würdigung mehrerer Beweismittel auf den heutigen Gesundheitszustand von Y._ geschlossen. Dabei hat es sich massgeblich auf die Prognose des Gutachters Dr. phil. W._ abgestützt, aber auch Aussagen von aktuellen und früheren Bezugspersonen berücksichtigt. Insoweit (frühere Bezugspersonen) zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, inwiefern sich der Gesundheitszustand von Y._ in den letzten rund zwei Jahren verändert (nämlich verschlechtert) haben soll. Im Gegenteil verweist das Obergericht zurecht auf die Aussage der Beschwerdeführerin vom 12. Juni 2012, wonach Y._ zwar eher ängstlich und vorsichtig, aber körperlich wie auch psychisch gesund sei. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin damals ebenfalls ausgesagt hat, es gebe Situationen, die nicht normal seien (z.B. wenn ein Polizeifahrzeug mit Blaulicht vorbeifahre, renne Y._ auf sie zu und wolle im Internet sofort nachschauen, was geschehen sei; Y._ könne teilweise nicht in seinem Bett schlafen, weil er Angst habe; act. 142 S. 6 der bezirksgerichtlichen Akten; <ref-law>).
5.5.3. Inwiefern deshalb das Obergericht in seiner Beweiswürdigung in Willkür verfallen sein soll, ist nicht ersichtlich.
5.6. Besteht demnach aufgrund der obergerichtlichen Sachverhaltsfeststellung durch die Wiederaufnahme des Kontakts keine Gefährdung des Kindeswohls, besteht kein Grund, den persönlichen Verkehr zu verweigern. Das Obergericht hat zu Recht einen Anspruch auf persönlichen Verkehr bejaht.
6.
6.1. Das Obergericht hat in einem zweiten Schritt zur konkreten Ausgestaltung des Besuchsrechts erwogen, die besonderen Umstände des vorliegenden Falles (nämlich der lange Unterbruch des Kontakts zwischen Vater und Sohn, die Konfliktsituation der Eltern und die Ängste der Beschwerdeführerin) seien bei der Ausgestaltung des Besuchsrechts zu berücksichtigen. Mit regelmässigen und zeitlich abgestuften (immer längeren) Kontakten könne die Grundlage für eine intensivierte und positive Entwicklung der Eltern-Kind-Beziehung geschaffen werden. Aufgrund des langen Kontaktabbruchs dränge sich ein begleitetes Besuchsrecht auf, was von beiden Elternteilen grundsätzlich nicht bestritten werde. Da das begleitete Besuchsrecht grundsätzlich nur eine vorübergehende Massnahme sei und um einen freien und unbefangenen Kontakt zwischen dem Beschwerdegegner und Y._ nicht auf unbegrenzte Zeit zu verhindern, sei das Besuchsrecht nur in der Zeit ab September 2013 bis und mit Mai 2014 in begleiteter Form auszuüben.
6.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei völlig unangemessen, das Besuchsrecht einzig für neun Monate in begleiteter Form auszugestalten. Werde ein Besuchsrecht festgelegt, sei dies unbefristet in begleiteter Form festzulegen.
Auch die vom Obergericht vorgenommene zeitliche Abstufung des Besuchsrechts ab September 2013 erscheine nicht als sachgerecht. Y._ brauche länger, um sich auf eine ihm fremde Person einzulassen. Da nicht vorausgesehen werden könne, wie sich die Beziehung zwischen Y._ und dem Beschwerdegegner entwickle, könne auch nicht bereits zum jetzigen Zeitpunkt eine schrittweise Ausweitung des Besuchsrechts vorgesehen werden.
6.3. Eine rechtsfehlerhafte Ermessensausübung (vgl. dazu E. 2.4 oben) durch das Obergericht liegt nicht vor. Vielmehr kann die Anordnung eines anfänglichen (und damit vorübergehenden) begleiteten Besuchsrechts gerade dort angezeigt sein, wo - wie vorliegend - eine behutsame Wiederannäherung zwischen dem Vater und seinem Kind sichergestellt werden soll, bevor es dann zu einer Lockerung (Aufhebung der Begleitung) und Ausdehnung (in zeitlicher Hinsicht) hin zu einem gerichtsüblichen Besuchsrecht kommen kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 590 f.; Urteile 5A_92/2009 vom 22. April 2009 E. 5.3.2, in: FamPra.ch 2009 S. 786; 5A_647/2008 vom 14. November 2008 E. 4.4; 5C.211/2004 vom 9. März 2005 E. 4.3; 5C.247/2004 vom 10. Februar 2005 E. 7.2; zum Grundsatz, wonach das begleitete Besuchsrecht nur vorübergehend, das heisst für eine begrenzte Dauer, festzulegen ist vgl. Urteile 5C.197/2002 vom 18. November 2002 E. 2, in: Pra 2003 S. 232; 5P.33/2001 vom 5. Juli 2001 E. 3a, in: FamPra.ch 2002 S. 172). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin bestehen vorliegend keine Gründe, weshalb ein solches zeitlich abgestuftes und in einer ersten Phase begleitet auszuübendes Besuchsrecht nicht dem Kindeswohl dienen soll.
Die Beschwerdeführerin ist im Übrigen darauf hinzuweisen, dass den obhutsberechtigten Elternteil die Pflicht trifft, die Beziehung zwischen dem Kind und dem anderen Elternteil zu fördern und das Kind für die Kontaktpflege positiv vorzubereiten (vgl. auch <ref-law>). Es ist im sodann allgemein anerkannt, dass aufgrund des schicksalhaften Eltern-Kind-Verhältnisses die Beziehung des Kindes zu beiden Elternteilen sehr wichtig ist und bei dessen Identitätsfindung eine entscheidende Rolle spielen kann (<ref-ruling> E. 2.2.1 und E. 2.2.2 S. 589 f.).
7.
7.1. Schliesslich hat das Obergericht die Kosten, die durch das in einer ersten Phase begleitet auszuübende Besuchsrecht entstehen werden, dem Beschwerdegegner zu 2/3 und der Beschwerdeführerin zu 1/3 auferlegt.
Unter Verweis auf den bezirksgerichtlichen Entscheid, der insoweit nicht zu beanstanden sei, begründete es dies damit, dass die Begleitung aufgrund einer Konfliktlage, die beide Elternteile zu vertreten hätten, notwendig sei. Die Aufteilung im Verhältnis 2/3 zu 1/3 (statt einer hälftigen Aufteilung) rechtfertige sich damit, dass die Beschwerdeführerin im Gegensatz zum Beschwerdegegner aufgrund der Kinderbetreuung nicht erwerbstätig sei.
7.2. Die Beschwerdeführerin legt dar, vorliegend verunmögliche nicht in erster Linie die Konfliktlage zwischen den Eltern ein unbegleitetes Besuchsrecht, sondern die massive Verunsicherung und Traumatisierung von Y._. Da sie zudem über kein Erwerbseinkommen verfüge, seien die Kosten des begleiteten Besuchsrechts vollumfänglich vom Beschwerdegegner zu tragen.
7.3. Die Beschwerdeführerin legt ihrer Begründung einen Sachverhalt zugrunde (wonach sich das begleitete Besuchsrecht aufgrund einer massiven Verunsicherung und Traumatisierung von Y._ aufdränge), der nicht nur im angefochtenen Entscheid keine Stütze findet, sondern von diesem abweicht. Eine Sachverhaltsrüge (mit einer entsprechenden Begründung) erhebt die Beschwerdeführerin jedoch nicht. Darauf ist demnach von vornherein nicht einzutreten (vgl. E. 4.1 oben).
8.
Die Beschwerdeführerin ficht die obergerichtliche Kosten- und Entschädigungsregelung für das kantonale Verfahren nicht selbstständig an, sondern nur im Zusammenhang mit dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens. Da sich die Beschwerde als unbegründet beziehungsweise unzulässig erweist, hat auch der Kostenspruch des Obergerichts Bestand und braucht darauf nicht eingegangen zu werden.
9.
9.1. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird damit kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da sich die Vernehmlassung des Beschwerdegegners nur auf die aufschiebende Wirkung bezogen hat und er in diesem Punkt unterlegen ist (Art. 66 und Art. 68 BGG).
9.2. Dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, verdeutlichen doch die vorstehenden Erwägungen, dass die gestellten Begehren von Beginn an keinen Erfolg haben konnten (<ref-law>).
9.3. Auch das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren muss abgewiesen werden, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist (<ref-law>). In der Sache hat das Bundesgericht keine Vernehmlassungen eingeholt, und in Bezug auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung hat sich der Antrag des Beschwerdegegners in seiner Vernehmlassung vom 12. Juli 2013 als aussichtslos erwiesen. Im Übrigen begnügt sich der anwaltlich vertretene Beschwerdegegner für die materielle Voraussetzung der Bedürftigkeit mit dem blossen Hinweis, seine finanzielle Situation habe sich seit der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung durch die kantonalen Instanzen nicht verändert, er verfüge über kein Vermögen und sein unregelmässiges Einkommen decke nur knapp den Lebensunterhalt (zur Obliegenheit des Gesuchstellers, seine aktuellen Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend aufzuzeigen und soweit möglich zu belegen vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 164 f. und Urteil 5A_57/2010 vom 2. Juli 2010 E. 7, nicht publ. in: <ref-ruling>; sodann bestimmt das Bundesgericht die Bedürftigkeit autonom und ist durch die im kantonalen Verfahren bejahte Bedürftigkeit nicht gebunden, vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 393).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Bettler