Faits:
A. X._ est détenteur d'une chienne de race malinoise de trois ans appelée Zena.
Le 28 novembre 2008, à la suite de plaintes et d'incidents portés à sa connaissance, notamment deux blessures par morsures, le Service vétérinaire cantonal du canton du Jura (ci-après: le Service vétérinaire) a confié à la doctoresse A._, vétérinaire comportementaliste, un mandat d'expertise destiné "à évaluer la relation entre le chien (Zena) et son détenteur, en particulier le rappel et la maîtrise".
Après avoir pris connaissance des conclusions du rapport (du 17 décembre 2008) remis par la doctoresse A._, le Service vétérinaire, se fondant sur la législation fédérale en matière de protection des animaux, a ordonné, par décision du 22 décembre 2008, les mesures suivantes au détenteur du chien:
"1. Des cours d'éducation canine doivent être entrepris sans tarder pour exercer l'obéissance et le rappel de Zena. Celui-ci ne doit pas sauter sur les gens pour les saluer, même amicalement. Certaines personnes ont peur des chiens et il convient d'en tenir compte. De plus, des enfants ou des personnes âgées peuvent être renversées par un tel accueil. Des adresses d'éducateurs canins sont disponibles, par exemple sur le site de la Société cynologique suisse (SCS). Une fois que le rappel et l'obéissance seront acquis et maîtrisés, X._ en avertira le Service vétérinaire qui fera procéder à un contrôle.
2. Jusqu'au contrôle mentionné au point 1 et sauf pendant un cours d'éducation en terrain clôturé, Zena devra être tenue constamment en longue laisse d'une douzaine de mètres hors du domicile. Ainsi, Zena disposera d'une liberté relative et restera sous contrôle permanent.
3. La clôture du terrain, y compris les portails, côté route au domicile de X._ doit être rehaussée jusqu'à une hauteur minimale de deux mètres. La hauteur de la clôture actuelle est insuffisante car elle ne représente pas un obstacle insurmontable pour un chien de la trempe de Zena. Le délai de modification de la clôture est fixé au 31 mars 2009.
4. Les frais découlant des mesures ci-dessus sont à la charge de X._."
B. X._ a formé opposition contre la décision précitée du 22 décembre 2008.
Par décision sur opposition du 14 avril 2009, le Service vétérinaire a réformé le point 3 de sa première décision, en ce sens qu'il a laissé au détenteur de Zena la liberté de choisir entre le rehaussement de la clôture entourant sa propriété à une hauteur de deux mètres ou alors l'aménagement d'un enclos de même hauteur en retrait de la limite de propriété. Les autres points de la première décision ont été confirmés et l'effet suspensif à un éventuel recours a été retiré pour les points 1 et 2. En bref, le Service vétérinaire a considéré les mesures litigieuses comme justifiées au vu de la potentielle dangerosité de la chienne et des conclusions de l'experte.
X._ a recouru contre la décision sur opposition du Service cantonal. Pour l'essentiel, il a mis en doute la valeur probante de l'expertise établie par la doctoresse A._ et a contesté les mesures litigieuses qu'il a jugées erronées, disproportionnées et abusives. A l'appui de son point de vue, il a produit une contre-expertise du docteur B._, vétérinaire comportementaliste (rapport du 12 février 2009), ainsi que des déclarations écrites de diverses connaissances, notamment celles du 4 septembre 2009 de C._, éducateur canin lui donnant des cours depuis plusieurs années. Il a également soutenu que les mesures litigieuses, prises sur la base du droit fédéral, n'avaient pas de fondement légal suffisant. A titre de moyens de preuves, il a requis l'audition de plusieurs témoins, dont les dénommés C._ et l'une des deux personnes mordues par Zena.
Par arrêt du 30 novembre 2009, le Tribunal cantonal du canton du Jura, Chambre administrative (ci-après: le Tribunal cantonal) a écarté les réquisitions de preuves et rejeté le recours, en fixant à X._ un nouveau délai au 31 mars 2010 pour faire rehausser sa clôture ou aménager un enclos pour son chien.
C. X._ forme auprès du Tribunal fédéral un "recours de droit public" (recte: recours en matière de droit public) contre l'arrêt précité du Tribunal cantonal, dont il requiert l'annulation, sous suite de frais et dépens, avec la constatation "qu'aucune mesure ne se justifie à l'égard de Zena". Il se plaint de la violation de son droit d'être entendu, d'une constatation inexacte des faits, de l'absence de base légale aux mesures litigieuses, de l'inadéquation et de la disproportion de celles-ci, ainsi que d'une violation de la législation fédérale applicable.
Par ordonnance du 10 février 2010, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours en ce qui concerne le point 3 des mesures ordonnées au recourant (rehaussement de la clôture).
Le Service vétérinaire et le Tribunal cantonal renvoient à l'arrêt attaqué en concluant à sa confirmation et au rejet du recours. L'Office vétérinaire fédéral estime que, sur le principe, les mesures litigieuses trouvent une base légale suffisante dans la loi, en précisant qu'il ne lui appartient pas d'apprécier leur adéquation et leur proportionnalité dans un cas concret.
Le 8 octobre 2010, la Cour de céans a délibéré en séance publique dans la présente cause.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur les mesures prononcées à l'encontre du recourant sur la base de l'art. 79 de l'ordonnance du 23 avril 2008 sur la protection des animaux (OPAn; RS 455.1). Sous réserve de dispositions non topiques pour le présent cas (cf. art. 226 al. 1 et 2 OPAn), cette ordonnance est entrée en vigueur le 1er septembre 2008, soit en même temps que la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur la protection des animaux (LPA; RS 455).
2. Formé contre une décision de police vétérinaire prise en vertu du droit public fédéral, le présent recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Par ailleurs, en tant que destinataire des mesures litigieuses, le recourant est directement touché par la décision attaquée et a un intérêt digne de protection à en obtenir l'annulation ou la modification; il a dès lors qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>.
Pour le surplus, interjeté en temps utile contre une décision finale prise en dernière instance cantonale et non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
3. Dans un premier moyen, le recourant soutient qu'en refusant l'audition de certains témoins, les premiers juges ont violé son droit d'être entendu protégé par l'art. 29 al. 1 Cst, qui comprend notamment le droit d'obtenir qu'il soit donné suite à des offres de preuves pertinentes (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 277).
3.1 Dans la mesure où ce grief revient à contester l'appréciation anticipée des preuves opérée par le Tribunal cantonal (cf. <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148), il convient de le traiter conjointement avec les critiques que le recourant articule, plus loin dans son écriture, en lien avec l'établissement des faits. En effet, la question de savoir si les premiers juges disposaient de suffisamment d'éléments pour écarter des offres de preuves, par appréciation anticipée de celles-ci, et statuer en l'état du dossier, suppose nécessairement d'examiner quels faits ont été retenus, et sur quelle base.
3.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer ceux-ci que s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 7.1 p. 398) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (art. 97 al. 1; cf. aussi l'<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF). Celui qui entend invoquer que les faits ont été constatés de manière arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. doit, sous peine d'irrecevabilité, le démontrer par une argumentation précise conforme aux exigences de motivation accrues posées à l'<ref-law>. Les critiques de type appellatoire concernant l'établissement des faits ou l'appréciation - le cas échéant anticipée (cf. <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148) - des preuves opérés par l'autorité précédente ne sont pas recevables (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 254 s. et les arrêts cités).
3.2.1 Le Tribunal cantonal a tout d'abord retenu que la chienne du recourant avait mordu à deux reprises des personnes dans les circonstances suivantes:
- la première fois, le 28 mars 2008, profitant de l'ouverture inopinée du portail de la propriété de son maître, Zena s'était sauvée et avait sauté sur une passante, Dame 1, née en 1929; mordue au bras gauche, cette dernière avait dû se rendre à la pharmacie pour y recevoir des soins; l'assistante en pharmacie avait alors constaté que même si la manche de la patiente n'était pas trouée, celle-ci était néanmoins choquée et présentait une blessure au bras gauche, d'où coulait un peu de sang; elle lui avait conseillé de consulter un médecin;
- le second incident avait eu lieu le 14 novembre 2008 sur la personne de Dame 2, née en 1931; se fondant sur les notes prises par le Vétérinaire cantonal à la suite d'un entretien téléphonique avec la prénommée ainsi que sur un rapport établi le jour de l'incident aux urgences de l'Hôpital du Jura à Délémont, les premiers juges ont retenu que la chienne Zena avait mordu Dame 2, lui causant une perforation de l'épiderme au niveau des membres supérieurs.
Le recourant conteste les morsures constatées en faisant valoir les arguments suivants: "Mordre implique de serrer avec les dents de manière à entamer. Zena n'a jamais mordu et, d'ailleurs, dans les deux situations en cause, il est seulement question de blessures sur un côté de bras alors qu'une morsure impliquerait une blessure des deux côtés, ce d'autant qu'il est ici question de la peau de personnes âgées".
Manifestement appellatoires, de telles critiques sont irrecevables. De même en va-t-il lorsque le recourant met en doute sur le mode du procès d'intention ou en tirant prétexte d'arguties lexicales la valeur probante des témoignages ou des pièces médicales ayant permis de constater les deux morsures.
3.2.2 Quant aux offres de preuves formées en procédure cantonale dont le recourant estime que leur rejet a violé son droit d'être entendu, elles ne portaient pas sur les événements entourant la morsure subie par Dame 1. La seule directement en lien avec les morsures litigieuses visait le second incident et tendait à obtenir l'audition de Dame 2 afin, selon le recourant, que celle-ci puisse décrire exactement les circonstances de cet épisode.
Il ressort toutefois des constatations cantonales que Dame 2 avait déjà expressément confirmé à deux reprises au Vétérinaire cantonal, une fois par téléphone (le 27 novembre 2008), puis une fois par écrit (lettre du 6 décembre 2008), qu'elle avait été mordue par la chienne Zena. Le Tribunal cantonal pouvait donc raisonnablement se dispenser de son témoignage. Au demeurant, le recourant ne précise pas quels éclaircissements décisifs son audition aurait pu apporter. Tout au plus comprend-on qu'il souhaitait démontrer que sa chienne n'avait pas mordu, mais seulement "pincé" la victime, en faisant préciser les faits sur deux points: premièrement, l'incident serait survenu après que Dame 2 lui eut demandé de détacher sa chienne pour jouer avec elle; secondement, après l'incident, l'intéressée lui aurait déclaré qu'elle n'était pas blessée. Sur le second point, Dame 2 a déjà expliqué au Vétérinaire cantonal qu'elle avait effectivement d'abord cru n'avoir pas été blessée, mais qu'après avoir continué sa marche, elle avait commencé à ressentir des douleurs et avait décidé de se rendre aux urgences où une perforation de l'épiderme avait alors été diagnostiquée. Quant aux raisons qui auraient amené le détenteur à détacher sa chienne, elles ne changent rien à la réalité de la morsure et ne sont, par ailleurs, nullement de nature, comme semble le croire le recourant, à relativiser la potentielle dangerosité de son animal : en effet, à supposer que sa version des faits soit exacte, cela signifierait que sa chienne est capable de mordre sans raison une personne qui joue en confiance avec elle. Au vu des déclarations de la victime et des constatations médicales du même jour que l'incident, le Tribunal cantonal pouvait donc sans arbitraire renoncer à auditionner Dame 2 et retenir que celle-ci avait bien été mordue par la chienne Zena dans les circonstances décrites dans l'arrêt attaqué.
3.2.3 Le Tribunal cantonal a également constaté que la chienne du recourant n'obéissait pas bien à son maître, qu'en particulier le rappel posait problème, qu'elle avait tendance à bondir sur les gens de façon inopinée et qu'elle était susceptible de franchir la clôture de la propriété si son rehaussement à une hauteur de deux mètres n'était pas entrepris.
Le recourant conteste en bloc ces constatations, notamment fondées sur le rapport de la doctoresse A._, en leur opposant d'une manière largement appellatoire, et donc irrecevable, la contre-expertise du docteur B._ et les déclarations écrites de C._.
Quoi qu'il en soit, il ne ressort nullement de la contre-expertise précitée que, comme l'affirme le recourant, sa chienne serait "très bien éduquée", "dressée de manière irréprochable", et "parfaitement" obéissante. Sur la base de ses observations, le docteur B._ souligne au contraire que si le recourant n'avait rien entrepris après les incidents, "il y aurait [eu] un risque réel de l'augmentation de la dangerosité"; en outre, le contre-expert "encourage" l'intéressé "à poursuivre l'éducation de Zena quant au rappel et au contrôle total de la morsure et du saut sur les personnes" avant de conclure prudemment en ces termes: "Dans le cadre décrit [dans la contre-expertise], avec les mesures proposées, le risque de dangerosité est mineur, toutefois la prise en charge par un éducateur est conseillée".
Le Tribunal cantonal n'est donc pas tombé dans l'arbitraire en considérant que la contre-expertise ne contredisait nullement, sur les points essentiels, le rapport de la doctoresse A._. Certes, contrairement à l'experte, le docteur B._ n'estime pas nécessaire d'élever la clôture de la propriété à une hauteur de deux mètres. Déduite du simple fait que la chienne "n'a jamais franchi la clôture [actuelle] de 1.20 m.", cette opinion n'est toutefois pas de nature à faire apparaître comme insoutenable les constatations cantonales contraires fondées sur l'avis de la doctoresse A._, qui considère la mesure litigieuse comme adéquate au vu de la taille de la chienne.
3.2.4 Quant aux déclarations écrites du dénommé C._, elles n'émanent pas d'un vétérinaire comportementaliste et s'épuisent en une longue et peu convaincante énumération d'appréciations subjectives dénuées de nuances sur les prétendues qualités de la chienne et de son détenteur. En particulier, on s'étonne que le prénommé ne fasse même pas allusion aux deux morsures constatées, sinon pour affirmer de manière péremptoire et non étayée que "dans le cas concerné avec Zena l'intention d'agression n'y étais (sic) pas".
Dans ces conditions, les premiers juges pouvaient sans arbitraire écarter les déclarations écrites de l'intéressé et renoncer à son audition en s'appuyant sur les constatations et conclusions contraires de l'experte, notamment fondées sur un test de comportement de la chienne effectué en présence de son détenteur et du Vétérinaire cantonal.
3.2.5 Enfin, le recourant voit une violation de son droit d'être entendu dans le rejet de ses autres offres de preuves testimoniales en procédure cantonale.
Les premiers juges pouvaient, de manière soutenable, renoncer à l'audition du vétérinaire de Zena, le dossier contenant déjà une expertise et une contre-expertise comportementale de la chienne. Il en va de même s'agissant des voisins dont le recourant entendait obtenir le témoignage: l'arrêt attaqué retient, sans être contredit, que les relations de voisinage sont tendues, si bien que la mesure probatoire litigieuse ne ferait qu'envenimer les choses et n'apporterait aucun éclairage objectif décisif sur les faits de la cause, les personnes auditionnées se sentant obligées de prendre parti; du reste, les premiers juges ont pareillement renoncé à fonder leurs constatations sur la base des déclarations d'un voisin dont le témoignage était défavorable au recourant.
Dans ces circonstances, l'expertise et la contre-expertise précitées, ajoutées aux informations recueillies par le Vétérinaire cantonal, permettaient au Tribunal cantonal, par une appréciation anticipée des preuves exempte d'arbitraire, de renoncer aux auditions de témoins sollicitées.
3.3 Il s'ensuit que, dans la mesure où ils sont recevables, les griefs du recourant tirés de l'arbitraire concernant l'établissement des faits et l'appréciation (anticipée) des preuves - y compris en relation avec la violation du droit d'être entendu - sont infondés.
4. Invoquant les art. 80 Cst. et 1er LPA, le recourant soutient que la Confédération n'a aucune compétence pour édicter des dispositions réglementaires destinées à protéger l'être humain contre les chiens dangereux, si bien que les mesures litigieuses ont été prononcées sans fondement légal. Ce grief revient non seulement à contester la légalité des mesures litigieuses, mais aussi leur constitutionnalité au regard de la répartition des compétences entre la Confédération et les cantons prévue dans la Constitution fédérale.
4.1 A teneur de l'art. 190 Cst., le Tribunal fédéral est tenu d'appliquer les lois fédérales; il n'est donc pas habilité à sanctionner leur éventuelle inconstitutionnalité, mais peut, le cas échéant, la constater (cf. <ref-ruling> consid. 3.5.1 p. 130; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 70 et les références). Il doit appliquer les lois fédérales en privilégiant une interprétation conforme à la Constitution si les (autres) méthodes d'interprétation reconnues laissent subsister un doute sur leur sens ou leur portée (cf. <ref-ruling> consid. 5.2 p. 310; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 263 et les arrêts cités).
Lorsque le Tribunal fédéral se prononce sur une ordonnance du Conseil fédéral fondée sur une délégation législative, il doit se contenter d'examiner si l'autorité exécutive est restée dans les limites des compétences qui lui ont été octroyées. Quand la norme de délégation accorde un large pouvoir d'appréciation au Conseil fédéral, le Tribunal fédéral est lié à cet égard. Il ne peut pas substituer sa propre appréciation à celle du Conseil fédéral, mais doit seulement vérifier que l'ordonnance en cause ne sorte pas manifestement du cadre de la délégation de compétence prévue par la loi ou n'apparaisse pas, pour d'autres raisons, contraire à la loi ou à la Constitution (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 566; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 32 et les références). Au demeurant, dans la mesure où l'ordonnance reste dans le cadre de la délégation de compétence et ne fait que reprendre une inconstitutionnalité affectant la loi elle-même, le Tribunal fédéral ne peut, en vertu de l'art. 190 Cst., refuser de l'appliquer (ATF <ref-ruling> consid. 2.2 p. 32 et les références).
4.2 Aux termes de l'art. 80 Cst., la Confédération légifère sur la protection des animaux (al. 1) et, en particulier, règle les points suivants: la garde et la manière de traiter les animaux (al. 2 let. a), les atteintes à leur intégrité (al. 2 let. b), leur utilisation (al. 2 let. c), leur importation (al. 2 let. d), leur commerce et leur transport (al. 2 let. e) ainsi que leur abattage (al. 2 let. f).
De jurisprudence constante, la compétence de la Confédération découlant de l'art. 80 Cst. vise la seule protection de l'animal lui-même, mais non celle de l'homme, et il appartient aux cantons de prévoir des règles de police sur la détention des animaux destinées à préserver l'ordre et la sécurité publics (<ref-ruling> consid. 3 p. 4; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 254; <ref-ruling> consid. 2 p. 174 et les arrêts non publiés cités). A la suite d'une initiative parlementaire déposée le 7 décembre 2005 par le Conseiller national Pierre Kohler (05.453 - Interdiction des pitbulls en Suisse), les Chambres fédérales ont mis en consultation, puis adopté, le 9 juin 2009 respectivement le 15 mars 2010 (BO CN 2009 1133; BO CE 2010 220), un projet visant à introduire un nouvel art. 80 al. 2bis Cst. qui autorise la Confédération à légiférer sur la protection de l'être humain contre les blessures provoquées par des animaux gardés par l'être humain (projet d'arrêté fédéral sur la protection de l'être humain contre les animaux, in FF 2009 3137). Parallèlement, elles ont également mis en consultation puis entrepris l'examen d'un projet de loi sur les chiens (in FF 2009 3133) qui vise à réglementer la manière de détenir et de traiter les chiens dans un sens compatible avec la vie en société (art. 1er al. 1 let. a du projet), ainsi qu'à protéger la population contre les chiens présentant des troubles du comportement et contre les chiens dangereux (art. 1er al. 1 let. b du projet). A ce jour, il subsiste quelques divergences entre les Chambres, notamment sur la compétence des cantons d'édicter des dispositions plus sévères que celles prévues dans la loi fédérale: le Conseil national y est favorable (BO CN 2010 1220, 1221; BO CN 2010 1516), tandis que le Conseil des Etats, suivant l'avis de la majorité de sa commission, propose d'uniformiser les mesures au plan fédéral (art. 1 al. 1 let. c du projet; BO CE 2010 221, 222; BO CE 2010 848).
Malgré l'absence de loi fédérale réglant spécifiquement la question des chiens dangereux, les mesures adoptées dans la loi sur la protection des animaux peuvent également contribuer, indirectement, à protéger les personnes, notamment contre des attaques, car un animal bien traité présentera normalement moins de risques, y compris du point de vue de son agressivité, que celui qui ne l'aura pas été. Cela ne change toutefois rien au fait que les cantons sont en principe seuls compétents, à l'exception de la Confédération, pour prendre des mesures de police spécifiquement destinées à protéger l'homme contre les animaux dangereux (cf. ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 175). Les mesures qui visent simultanément la protection des animaux et des hommes ne relèvent de la compétence de la Confédération que pour autant que l'objectif de protéger les animaux soit réel et important et n'apparaisse pas manifestement subsidiaire par rapport à celui de protéger l'ordre ou la sécurité publics (cf. Markus Müller/Reto Feller, Gesetzgebungskompetenz des Bundes zum Schutz des Menschen vor gefährlichen Tieren [insb. Hunden], avis de droit du 16 novembre 2006 remis à la sous-commission "chiens dangereux" de la Commission de la science, de l'éducation et de la culture du Conseil national [CSEC-N; ci-après également citée: la Sous-commission du Conseil national], in JAAC 2007 no 10 p. 199 ss, p. 205; voir aussi l'avis de droit de l'Office fédéral de la justice du 5 septembre 2000 concernant la base constitutionnelle pour une législation fédérale sur la détention de chiens de combat, in JAAC 2000 no 1 p. 21 ss, p. 26).
4.3 En prévoyant que le but de la loi fédérale sur la protection des animaux est de protéger la dignité et le bien-être de l'animal (sur ces notions, cf. art. 3 let. a et b LPA), l'art. 1er LPA respecte la répartition des compétences prévue par l'art. 80 Cst.
D'après l'art. 6 al. 1 LPA, toute personne qui détient des animaux ou en assume la garde doit, d'une manière appropriée, en prendre soin et leur garantir l'activité et la liberté de mouvement nécessaires à leur bien-être. Après avoir consulté les milieux intéressés, le Conseil fédéral édicte des dispositions sur la détention d'animaux, en particulier des exigences minimales, en tenant compte des connaissances scientifiques, des expériences faites et de l'évolution des techniques (art. 6 al. 2 première phrase LPA; cf. aussi l'art. 32 al. 1 LPA). Il peut fixer les exigences auxquelles doivent satisfaire la formation et la formation continue des détenteurs d'animaux (art. 6 al. 3 LPA). L'exécution de ces mesures incombe aux cantons (cf. art. 32 al. 2 LPA).
Sur la base de la délégation de compétence prévue à l'art. 6 al. 2 LPA (en relation avec l'art. 32 LPA), le Conseil fédéral a édicté en matière de détention d'animaux des dispositions générales (cf. <ref-law>) réglant notamment l'alimentation, les soins et le logement de l'animal (art. 4, 5 et 7 OPAn), ainsi que des dispositions particulières pour les chiens domestiques (cf. art. 68 à 79 OPAn). Ces dernières imposent au (futur) détenteur d'un chien d'acquérir certaines compétences (<ref-law>) et réglementent certains besoins spécifiques de l'animal en termes de contacts sociaux (<ref-law>), de liberté de mouvement (<ref-law>) et de logement (<ref-law>); elles contiennent également des prescriptions générales sur la manière d'éduquer et de traiter les chiens afin de garantir leur socialisation, soit de favoriser le développement de relations avec leurs congénères et avec l'être humain et l'adaptation à leur environnement (<ref-law>).
4.4 Les mesures litigieuses ont été prises sur la base de l'<ref-law>, qui doit se lire conjointement avec l'<ref-law>. Ces dispositions figurent en fin de la section de l'ordonnance consacrée à la détention des chiens domestiques; édictées notamment sur la base des délégations législatives prévues aux art. 6 al. 2 et 3 LPA et 32 al. 1 LPA, elles ont la teneur suivante:
" Art. 78 Annonces des accidents
1 Les vétérinaires, les médecins, les responsables de refuges ou de pensions pour animaux, les éducateurs canins et les organes de douanes sont tenus d'annoncer au service cantonal compétent:
a. les accident causés par un chien qui a gravement blessé un être humain ou un animal, et
b. les chiens qui présentent un comportement d'agression supérieur à la norme.
2 Les cantons peuvent soumettre d'autres catégories de personnes à l'obligation d'annoncer.
Art. 79 Vérification des faits et mesures
1 Après réception de l'annonce, le service cantonal compétent vérifie les faits. Il peut s'assurer le concours d'experts à cette fin.
2 L'OVF fixe les modalités de la vérification des faits.
3 S'il apparaît, lors de la vérification des faits, que le chien présente un comportement attirant l'attention, notamment un comportement d'agression supérieur à la norme, le service cantonal compétent ordonne les mesures nécessaires."
Les art. 78 et 79 OPAn reprennent pratiquement mot pour mot les art. 34a et 34b de l'ancienne ordonnance sur la protection des animaux du 27 mai 1981 (aOPAn; RO 1981 572), si ce n'est que ces dernières dispositions prévoyaient expressément, au titre des mesures pouvant être ordonnées par les cantons, que les détenteurs de chiens pouvaient être astreints à suivre des cours spécifiques sur la manière de traiter les chiens (art. 34b al. 4 aOPAn), point qui fait aujourd'hui l'objet d'une prescription obligatoire à l'<ref-law>. Les art. 34a et 34b aOPAn avaient été introduits dans un paquet de mesures adoptées le 12 avril 2006 (RO 2006 1427) à la suite du décès tragique d'un enfant de six ans attaqué par trois pitbulls le 1er décembre 2005 à Oberglatt (ZH); ces dispositions avaient notamment pour but déclaré, avec les autres mesures prises concernant l'élevage et la socialisation des chiens (art. 30a aOPAn; 31 al. 1, 1bis, 4 et 5 aOPAn), de prévenir les accidents par morsure de chien (cf. rapport CSEC du 20 février 2009 concernant l'initiative parlementaire destinée à interdire les pitbulls en Suisse, in FF 2009 3099, p. 3103 et 3107).
L'expression "mesures nécessaires" au sens de l'<ref-law> est une notion juridique indéterminée, qui revient à confier aux cantons le choix des mesures à prendre, dans un cas particulier, en présence d'un chien présentant un comportement attirant l'attention. Comme le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de le préciser à propos de l'art. 34b aOPAn, cette notion juridique indéterminée doit s'interpréter à la lumière des compétences fédérales relatives à la protection des animaux ainsi que des dispositions légales édictées sur la base de ces compétences (cf. arrêt 2C_166/2009 du 30 novembre 2009, consid. 2.2.2). Autrement dit, la nature et le type de mesures fondées sur l'<ref-law> que peuvent et doivent prendre les services cantonaux compétents sont déterminés et délimités par la répartition des compétences découlant de l'art. 80 Cst. ainsi que par les objectifs poursuivis par la loi fédérale sur la protection des animaux. En principe, ces mesures doivent avant tout viser à assurer une bonne sociabilité du chien, par exemple, comme le prévoyait l'art. 34b al. 4 aOPAn, par des cours d'éducation canine, même si la composante de protection des personnes comprise dans cette mesure peut également être très présente (cf. ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 175 in fine); en effet, les aspects de socialisation de l'animal et de protection de l'être humain sont souvent indissociables quand il s'agit d'instruire le maître et d'agir sur le comportement de l'animal pour rendre ce dernier moins agressif (loc. cit. in initio).
4.5 C'est à la lumière de ces principes qu'il convient d'examiner la constitutionnalité et la légalité de chacune des mesures ordonnées au recourant, soit les cours d'éducation canine (infra consid. 4.5.1), l'obligation de tenir la chienne en laisse lors des promenades (infra consid. 4.5.2) et l'obligation de rehausser la clôture ou d'aménager un enclos (consid. 4.5.3).
4.5.1 Le Tribunal cantonal a constaté que la chienne n'obéissait pas à son maître, qu'elle avait un comportement inapproprié en présence des personnes, notamment qu'elle leur bondissait dessus pour les saluer, et que son maître ne la lâchait que rarement lors des promenades; par ailleurs, même s'il n'a pas été retenu, faute de preuves, que Zena avait mordu un autre chien comme annoncé par le Vétérinaire cantonal durant l'instruction du recours cantonal, l'arrêt attaqué relève néanmoins que le recourant avait admis que les chiens s'étaient "grognés"; enfin, il ressort de l'expertise que, non seulement le recourant manque d'autorité sur sa chienne, n'ayant aucun contrôle sur elle dans les situations de tous les jours, mais encore que celle-ci, faute de sollicitation suffisante de la part de son maître, n'utilise pas pleinement son potentiel et ses capacités.
Les cours d'éducation canine imposés au recourant visent donc à raffermir son autorité sur sa chienne, en vue notamment d'améliorer l'obéissance et le rappel de celle-ci, ainsi que, plus généralement, à instruire le détenteur sur le comportement et les besoins de l'animal. De tels cours sont certes indirectement de nature à diminuer l'agressivité et la dangerosité potentielles de la chienne. Il n'empêche qu'ils tendent prioritairement à instruire le maître en vue de combler son déficit de connaissances concernant la détention et l'éducation de son animal, ainsi qu'à socialiser celui-ci en vue de lui éviter des perturbations du comportement, notamment en présence de personnes ou d'autres chiens. A terme, ils devraient ainsi permettre au maître de sortir sa chienne sans laisse pour lui garantir le mouvement qui lui est nécessaire conformément aux prescriptions légales (cf. art. 6 al. 1 LPA et 71 al. 1 OPAn). En ce sens, les cours litigieux tendent à favoriser le bien-être de la chienne dans le respect de son statut d'animal domestique de compagnie (cf. art. 3 let. a et let. b ch. 1 et 2 LPA en relation avec les art. 70 al. 1 et 73 al. 1 OPAn). Par ailleurs, ils s'inscrivent dans la même logique que les attestations de compétences imposées à l'<ref-law> aux futurs détenteurs d'un chien (attestation de compétences prouvant l'acquisition de connaissances sur la manière de détenir et de traiter les chiens) ainsi qu'aux détenteurs d'un nouveau chien (attestation de compétences certifiant que le détenteur a le contrôle de son chien dans les situations de la vie courante). Autrement dit, ils poursuivent et renforcent la volonté du législateur, résumée de la façon suivante dans le texte à l'appui du projet de loi qui a débouché sur l'actuelle loi sur la protection des animaux: "Seuls des détenteurs d'animaux bien informés, éduqués et motivés sont en mesure d'atteindre les objectifs principaux du droit sur la protection des animaux en respectant ceux-ci" (cf. message du 9 décembre 2002 concernant la révision de la loi sur la protection des animaux, in FF 2003 595, p. 602 ad point 1.1.3.1 in fine et p. 610 ad point 2.2.1).
Il s'ensuit que les cours d'éducation canine ordonnés au recourant respectent la répartition des compétences entre la Confédération et les cantons (cf. supra consid. 4.2) et sont dans la ligne des objectifs poursuivis par la législation fédérale sur la protection des animaux en matière notamment de socialisation des chiens et de formation de leurs maîtres (cf. supra consid. 4.3 et 4.4). Qu'ils doivent, selon l'injonction cantonale litigieuse, se dérouler dans un terrain clôturé, n'est qu'une modalité, mais ne change rien à leur but éducatif.
Sur ce point, le recours est mal fondé.
4.5.2 Selon le Service vétérinaire, l'obligation de tenir Zena en laisse en dehors du domicile de son maître est, "au regard des accidents qui peuvent arriver à cause du comportement dommageable du chien, proportionnelle avec le but à atteindre, à savoir assurer la sécurité publique" (décision sur opposition, p. 4).
La poursuite de ce seul objectif ne peut toutefois s'appuyer sur l'<ref-law> puisque, comme on l'a vu, la législation fédérale vise à protéger la dignité et le bien-être de l'animal lui-même, mais non les personnes. Or, on ne voit pas en quoi la mesure litigieuse pourrait contribuer à favoriser le bien-être ou la dignité de l'animal. Au contraire, elle heurte l'<ref-law>, qui prévoit que les chiens doivent être sortis tous les jours en fonction de leurs besoins et que, durant ces sorties, ils doivent aussi, dans la mesure du possible, pouvoir se mouvoir librement sans être tenus en laisse. Une injonction allant, pour des motifs de sécurité publique, à l'encontre de cette prescription, nécessite dès lors une base légale. L'art. 3 du projet de loi actuellement discuté au Parlement énumère d'ailleurs les lieux où les chiens doivent être tenus en laisse, notamment pour des motifs de sécurité, à savoir: dans les bâtiments ouverts au public; au bord des routes à fort trafic; dans les véhicules des transports publics et aux arrêts; dans les gares et aéroports; sur les cours de récréation des écoles, sur les aires de jeux et de sport.
Bien que rendu attentif à ce problème de répartition des compétences et à la nécessité pour les cantons de légiférer sur les mesures propres à protéger la population contre les chiens potentiellement dangereux et à réduire le risque d'accidents par morsures de chien (cf. message du Gouvernement jurassien du 13 mai 2008, in Journal des débats du Parlement de la République et Canton du Jura, 2009, p. 219 ss, p. 226 ad art. 41 let. l), le Parlement jurassien a rejeté en première lecture, le 25 mars 2009, le projet de loi sur la détention des chiens qui lui était soumis (loc. cit., p. 242); entre autres dispositions, ce projet prévoyait notamment une énumération non exhaustive des mesures pouvant être prises par le Vétérinaire cantonal pour prévenir les accidents par morsure, parmi lesquelles : la désignation des personnes habilitées à promener un chien en dehors de son milieu de résidence habituelle, le port obligatoire de la laisse ou de la muselière, la stérilisation du chien, le suivi de cours d'éducation canine pour son détenteur et/ou d'une thérapie comportementale pour l'animal, le séquestre du chien ou encore son euthanasie (cf. art. 41 du projet, ad loc. cit. p. 226 et 231).
Comme le législateur jurassien a renoncé à donner au Vétérinaire cantonal la compétence d'ordonner des mesures destinées à protéger la population contre les chiens, il n'est pas possible de pallier à l'absence de base légale cantonale par la clause générale de police pour justifier l'obligation litigieuse. Le recours à une telle clause suppose en effet l'existence d'un danger grave et imminent, qui ne puisse pas être écarté par les moyens légaux ordinaires, et qui nécessite une intervention immédiate de l'autorité (cf. <ref-ruling> consid. 2.7 p. 331 s.). Il en découle, selon la jurisprudence, que des mesures de police ne peuvent en principe pas être ordonnées en présence d'une situation connue du législateur, comme en l'espèce, mais que celui-ci n'a expressément pas voulu réglementer (cf. <ref-ruling> consid. 7.3 p. 381; <ref-ruling> consid. 4d p. 118; <ref-ruling> consid. 4b/aa p. 27). Il faut certes réserver les cas de danger sérieux, direct et imminent (art. 36 al. 1 Cst.), notamment ceux qui mettent en péril la vie ou l'intégrité corporelle des personnes (cf. arrêt 2C_166/2009 du 30 novembre 2009, consid. 2.3.2.1 et les références citées). En l'espèce, toutefois, un tel péril fait défaut.
Le recours se révèle donc bien fondé en tant qu'il conteste l'obligation de tenir constamment Zena en laisse en dehors du domicile.
4.5.3 Selon l'<ref-law>, les logements et les enclos doivent être construits et équipés de façon notamment à ce que les animaux ne puissent pas s'en échapper (let. c). Conformément à la répartition des compétences entre la Confédération et les cantons et aux buts poursuivis par la loi fédérale sur la protection des animaux, cette exigence doit viser essentiellement le bien-être et la protection de ceux-ci, mais non la sécurité publique.
En l'espèce, il ressort de la décision attaquée que Zena est vive et impulsive comme de nombreux malinois et que sa taille lui permet aisément de franchir une barrière de 1 mètre 20. Par ailleurs, plusieurs enfants vivent dans le quartier et ont déjà provoqué la chienne qui a aboyé d'après les constatations cantonales. Le rehaussement de la clôture vise, selon les premiers juges, à empêcher Zena de s'échapper durant la journée et à "limiter les tentations pour les enfants" de déranger ou de provoquer la chienne.
Il est certainement conforme au bien-être de la chienne que des passants, notamment des enfants, ne la perturbent pas inutilement. Une clôture plus haute n'y changerait toutefois rien. On ne voit pas non plus en quoi un tel aménagement contribuerait à socialiser la chienne. En outre, l'arrêt attaqué ne contient aucune constatation établissant que la mesure litigieuse aurait pour objectif de protéger la dignité et le bien-être de l'animal. En réalité, celle-ci répond uniquement à des impératifs de sécurité publique, comme cela ressort clairement de l'expertise et de la décision du Vétérinaire cantonal qui motivent le rehaussement de la clôture par le danger que représente la chienne pour les passants, singulièrement les enfants. Comme elle vise à protéger les personnes, et non le chien lui-même, et qu'elle n'aboutit pas à socialiser l'animal, la mesure en cause n'est donc pas de la compétence de la Confédération au regard de l'art. 80 Cst., et le Vétérinaire cantonal ne pouvait pas l'ordonner au recourant sur la base de l'<ref-law>.
Par ailleurs, aussi bien le Service vétérinaire (dans sa décision sur opposition du 14 avril 2009) que le Tribunal cantonal (décision du 16 janvier 2009) ont décidé, après pesée des intérêts, d'accorder l'effet suspensif à la mesure litigieuse. Celle-ci n'est donc pas destinée, selon les constatations cantonales, à prévenir un danger grave et imminent, si bien qu'elle ne saurait être justifiée par la clause générale de police. A ce jour, la chienne n'a d'ailleurs jamais franchi la clôture pour s'en prendre à un passant. Les agressions ont toujours eu lieu lors de promenades.
Partant, dans la mesure où elle est fondée uniquement sur des motifs de sécurité, l'injonction faite au recourant de rehausser sa clôture ou d'aménager un enclos n'est pas admissible, faute de base légale fédérale ou cantonale spécifique l'autorisant. Le recours est également bien fondé sur ce point.
4.5.4 En résumé, des mesures prises sur la base de l'<ref-law>, seule la première (obligation de suivre des cours d'éducation canine) apparaît conforme à la répartition des compétences entre la Confédération et les cantons et repose sur une base légale suffisante, tandis que les deux autres (obligation de tenir la chienne en laisse et obligation de rehausser la clôture ou d'aménager un enclos) ne le sont pas et doivent être invalidées.
5. Dans un dernier moyen, le recourant soutient que les conditions de l'<ref-law> ne sont pas réunies pour prononcer la mesure litigieuse et que celle-ci n'est pas proportionnée aux circonstances.
Ce grief est manifestement mal fondé. En effet, le comportement de Zena, qui a mordu à deux reprises des personnes, démontre à satisfaction de droit que la chienne présente un comportement d'agression supérieur à la moyenne au sens de l'<ref-law>. Par ailleurs, les cours litigieux apparaissent nécessaires et proportionnés aux objectifs qu'ils visent, à savoir améliorer les capacités éducatives du maître et son autorité sur l'animal en vue de favoriser la sociabilité et le bien-être de celui-ci. Du reste, le recourant prétend lui-même que, quelle que soit l'issue du litige, il va continuer à fréquenter des cours avec sa chienne. L'obligation qui lui a été imposée n'est donc pas particulièrement intrusive, étant conforme à ses projets. Par ailleurs, elle est limitée dans le temps, puisqu'elle prendra fin dès que le recourant sera capable de contrôler son animal dans les situations de la vie quotidienne.
6. Il suit de ce qui précède que le recours doit être partiellement admis et l'arrêt attaqué réformé, en ce sens que le recourant ne doit ni rehausser la clôture de son terrain à une hauteur de deux mètres, ni aménager un enclos d'une même hauteur, ni tenir constamment son chien en laisse lors des promenades, contrairement aux points 2 et 3 de la décision sur opposition rendue le 22 décembre 2008 par le Vétérinaire cantonal, ces mesures n'ayant pas de base légale suffisante dans la législation fédérale et cantonale (cf. supra consid. 4.5.4).
Pour le surplus, le recours est rejeté.
7. Le recourant obtient gain de cause sur deux de ses conclusions, si bien qu'il a droit à une réduction appropriée des frais judiciaires mis à sa charge (<ref-law>). Le canton du Jura est dispensé de ceux-ci (<ref-law>), mais devra verser des dépens réduits au recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
L'admission partielle du recours implique une autre répartition des frais et des dépens devant l'instance inférieure. L'affaire est renvoyée au Tribunal cantonal pour qu'il statue à nouveau sur ces points (cf. art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis et l'arrêt du Tribunal cantonal du canton du Jura du 30 novembre 2009 est annulé dans la mesure où il oblige le recourant à rehausser la clôture du terrain ou aménager un enclos et à tenir son chien en laisse. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le canton du Jura versera au recourant une indemnité de dépens de 1'500 fr.
4. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton du Jura pour qu'il statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure cantonale.
5. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service vétérinaire et au Tribunal cantonal du canton du Jura, ainsi qu'à l'Office vétérinaire fédéral.
Lausanne, le 8 octobre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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