Sachverhalt:
Mit Verfügung vom 23. Juni 2009 hob die Intras Krankenkasse den von B._ im Betreibungsverfahren betreffend ausstehender Prämien aus obligatorischer Krankenpflegeversicherung für Dezember 2008 bis Februar 2009 erhobenen Rechtsvorschlag auf und verpflichtete die Versicherte zur Bezahlung eines Betrages von Fr. 1014.80. Auf deren Eingabe vom 26. August 2009 hin lehnte es die Krankenkasse ab, einen Einspracheentscheid zu erlassen, da die Einsprachefrist verpasst worden sei (Schreiben vom 16. September 2009).
B._ erhob beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Rechtsverweigerungsbeschwerde. Weil sie den in Betreibung gesetzten Betrag inzwischen vollständig an das Betreibungsamt überwiesen hatte, schrieb das kantonale Gericht das Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit ab (Verfügung vom 8. Februar 2010).
B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids.

Erwägungen:
1. Nach der Rechtsprechung sind die Versicherer befugt, den gegen eine Prämienforderung im Bereich der obligatorischen Krankenpflegeversicherung erhobenen Rechtsvorschlag im Rahmen des Verwaltungsverfahrens mittels Verfügung oder Einspracheentscheid aufzuheben (vgl. <ref-law>). Dabei muss ausdrücklich auf die Betreibung Bezug genommen und der Rechtsvorschlag als aufgehoben erklärt werden. Die Verwaltungsbehörde fällt in dieser Konstellation nicht nur einen Sachentscheid, sondern handelt gleichzeitig auch als Rechtsöffnungsinstanz. Gleiches gilt im Beschwerdefall für die Gerichte (<ref-ruling> E. 2b S. 331; RKUV 2004 Nr. KV 274 S. 129 E. 4.2.1, K 107/02; Urteil 9C_903/2009 vom 11. Dezember 2009 E. 2.1). Die Versicherte hat die in Betreibung gesetzte Prämienforderung vollständig beglichen, für welche sich die Krankenkasse mit Verfügung vom 23. Juni 2009 Rechtsöffnung erteilt hatte (Abrechnung des Betreibungsamtes Hombrechtikon vom 22. Oktober 2009).
2. 2.1 Das kantonale Gericht ist davon ausgegangen, nach der Bezahlung der Prämienschuld an das Betreibungsamt sei kein aktuelles Rechtsschutzinteresse im Hinblick auf den anbegehrten Einspracheentscheid mehr gegeben, so dass die Angelegenheit gegenstandslos geworden sei. Die Frage, ob die Krankenkasse einen formellen Einspracheentscheid zu erlassen habe (vgl. <ref-law>), sei mithin obsolet geworden. Die Beschwerdeführerin ficht den Abschreibungsbeschluss an mit der Begründung, die Zahlung an das Betreibungsamt sei "zwecks Schadensminimierung", aber ohne Anerkennung einer Rechtspflicht erfolgt.
2.2 In der Tat hat die Beschwerdeführerin die Rechtmässigkeit der Forderung mit Schreiben vom 13. Oktober 2009 an das Betreibungsamt zuhanden der Krankenkasse bestritten; die Überweisung diene "lediglich der Schadensminimierung, da der Schaden durch die angedrohte unrechtmässige Pfändung höher ausfallen würde". Doch auch unabhängig von dieser ausdrücklichen Willensbekundung konnte nach den Umständen an sich nicht ohne Weiteres davon ausgegangen werden, die Bezahlung der Forderung sei als Anerkennung zu werten. Denn die im Rahmen von <ref-law> ergangene Verfügung ist nicht nur betreibungsrechtlich bedeutsam, sondern auch ein Sachentscheid (vgl. oben E. 1), der mit dem Wegfall der Betreibung nicht ohne Weiteres gegenstandslos wird. Insofern hätte die Beschwerdeführerin weiterhin ein schützenswertes Interesse am Erhalt eines Einspracheentscheids.
2.3 Indessen steht fest, dass die Verfügung vom 23. Juni 2009 rechtskräftig geworden ist, weil dagegen keine formgültige Einsprache erhoben worden ist; bei der Einspracheschrift vom 26. August 2009 fehlten sowohl die Unterschrift als auch die Vollmacht. Die Kasse hat der Beschwerdeführerin Nachfrist bis zum 30. September 2009 gesetzt, um diese Mängel zu beheben (Schreiben vom 16. September 2009). Die Beschwerdeführerin unterliess dies und gelangte stattdessen an das Sozialversicherungsgericht. Da die strittige Verfügung aus diesem Grund rechtskräftig geworden ist, kann die Frage der Fristeinhaltung offen bleiben. Das kantonale Gericht hätte unter diesen Umständen auf die Beschwerde nicht eintreten sollen, anstatt den Prozess als gegenstandslos abzuschreiben. Diese Modalität der Verfahrenserledigung berührt jedoch die Rechtsstellung der Beschwerdeführerin nicht. Das vorinstanzliche Erkenntnis ist daher mit der vorstehenden substituierten Begründung zu bestätigen. Die Gewährung des rechtlichen Gehörs hierzu (vgl. SVR 2010 IV Nr. 19 S. 58 E. 4.1, 9C_272/2009) erübrigt sich mit Blick auf die ausgewiesene Formungültigkeit der Einsprache vom 26. August 2009 sowie auf das mutwillige prozessuale Verhalten der Beschwerdeführerin.
3. Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. März 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Borella Traub