Sachverhalt:
A. A.a W._ (geb. xxxx 1988; nachfolgend Mutter) wohnte seit ihrem 17. Altersjahr mit ihrem Freund X._ (geb. xxxx 1985; nachfolgend Vater) und dessen Familie zusammen. Am 13. März 2006, kurz vor ihrer Volljährigkeit, gebar sie den Sohn V._. Die Mutter ist Inhaberin der alleinigen elterlichen Sorge über dieses Kind. Da sich die Beziehung zum Kindsvater als schwierig erwies und in der Folge sogar von häuslicher Gewalt geprägt war, trennte sich die Mutter vom Vater, als das gemeinsame Kind 9 Monate alt war. Am 10. Juli 2007 traten Mutter und Kind ins begleitete Wohnen der Stiftung S._ ein.
A.b Im November 2007 nahm die Mutter erneut Kontakt mit dem Vater auf und erlaubte ihm, das Kind für ein Wochenende zu sich zu nehmen. Auf diesen Vorfall hin wurde der Vertrag der Stiftung mit der Mutter gekündigt. Diese gab das Kind in die Obhut des Vaters und dessen Familie in B._, wo es ohne seine Mutter etwas mehr als 4 Jahre in dieser Familiengemeinschaft lebte.
A.c Im Dezember 2011 erklärte die Mutter gegenüber dem Sozialdienst A._, sie wolle ihr Kind wieder in ihre Obhut übernehmen. Im Rahmen der am 10. Januar 2012 durchgeführten Anhörung gab der Vater an, er habe wegen Raubes und Geiselnahme eine Wegweisungsverfügung aus der Schweiz erhalten. Er habe nun nichts mehr zu verlieren, nur noch seinen Sohn, den er nicht der Mutter überlassen werde. Gestützt auf diese Äusserungen schloss die Sozialbehörde auf eine drohende Entführung des Kindes ins Ausland durch den Vater; sie liess es deshalb unter Beihilfe der Polizei bei den Grosseltern abholen und zusammen mit der Mutter in einem Frauenhaus unterbringen.
B. B.a Am 15. Januar 2012 ersuchten der Vater und seine Eltern, Y._ und Z._ (nachfolgend Gesuchssteller) bei der Vormundschaftsbehörde des Sozialdienstes A._ um Erlass von Kindesschutzmassnahmen. Sie beantragten im Wesentlichen, der Mutter die Obhut über das Kind zu entziehen und dieses bei den Eltern des Vaters unterzubringen. Im Rahmen vorsorglicher Massnahmen beantragten sie superprovisorisch bzw. vorsorglich, es sei das Kind unverzüglich den Gesuchstellern zurückzubringen und für die Dauer des Verfahrens vor der Vormundschaftsbehörde bei den Gesuchstellern zu belassen und der Mutter die Rücknahme des Kindes zu untersagen. Mit Verfügung vom 23. Januar 2012 wies die Sozialhilfe und Vormundschaftskommission A._ das Gesuch um Erlass von Kindesschutzmassnahmen ab und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B.b Die Gesuchsteller gelangten dagegen an das Departement des Innern des Kantons Solothurn und erneuerten ihre Anträge bezüglich der Kindesschutzmassnahmen und der zu erlassenden superprovisorischen bzw. vorsorglichen Massnahmen. Mit Entscheid vom 2. März 2012 wies das Departement die Sache in teilweiser Gutheissung der Beschwerde zwecks weiterer Abklärungen, insbesondere zur Einholung eines kinderpsychiatrischen Gutachtens und zu neuem Entscheid an die Vormundschaftsbehörde A._ zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
B.c Die Gesuchsteller beschwerten sich daraufhin beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn, soweit ihren Anträgen betreffend superprovisorische bzw. vorsorgliche Massnahmen nicht entsprochen worden war, und ersuchten um unentgeltliche Rechtspflege für das verwaltungsgerichtliche Verfahren. Mit Urteil vom 30. Juli 2012 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und auferlegte den Gesuchstellern die Kosten des Verfahrens.
C. Die Gesuchsteller (nachfolgend Beschwerdeführer) haben am 19. August 2012 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragen, die Ziffern 1 bis 3 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn seien aufzuheben. Das Kind sei im Rahmen vorsorglicher Massnahmen zu ihnen zurückzubringen und für die Dauer des Verfahrens vor der Vormundschaftsbehörde bis zu deren rechtskräftigem Entscheid bei ihnen zu belassen. Des weiteren sei ihnen für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ein amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Ebenso ersuchen sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist einmal ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid betreffend vorsorgliche Massnahmen für die Dauer des bei der Vormundschaftsbehörde hängigen Kindesschutzverfahrens. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinn von <ref-law>. Die Beschwerdeführer machen geltend, mit der Wegnahme des Kindes am 10. Januar 2012 habe die Beschwerdegegnerin dessen Aufenthaltsort verändert. Auch wenn das Kind durch den Endentscheid der Vormundschaftsbehörde in die Obhut der Beschwerdeführer gegeben werde, bleibe ihnen die Obhut für die verstrichene Zeit entzogen. Wie die Beschwerdeführer zu Recht behaupten, droht ihnen damit ein nicht wiedergutzumachender Nachteil. In der Sache geht es um Kindesschutzmassnahmen und damit um eine öffentlich rechtliche Angelegenheit in engem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit b Ziff. 7 BGG), womit die Beschwerde in Zivilsachen in der Sache und damit auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid ergriffen werden kann (<ref-ruling> E. 2.2. S. 645).
Liegen vorsorgliche Massnahmen im Streit, kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dabei das Recht nicht von Amtes wegen an, sondern prüft die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und hinreichend begründet worden ist (<ref-law>). In der Beschwerde ist folglich klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6 S. 397; <ref-ruling> E. 3.2. S. 88 mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots - einschliesslich der Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) - geltend gemacht, muss im Einzelnen aufgezeigt werden, in welcher Hinsicht der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweis).
1.2 Was die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht anbelangt, so liegt insoweit ebenfalls ein Zwischenentscheid vor, der einen nicht wiederzuzumachenden rechtlichen Nachteil bewirken kann (<ref-ruling> E. 1.1). Dass es sich nicht um einen Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts in seiner Eigenschaft als Rechtsmittelinstanz handelt (<ref-law>), schadet nicht (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.1).
1.3 Die Beschwerdeführer waren Partei im Verfahren (<ref-law>) und verfügen über ein schützenswertes Interesse an der Aufhebung bzw. Änderung des Entscheids (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 die staatsrechtliche Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid gemäss <ref-law> betreffend). Auf die im Übrigen fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist somit einzutreten.
2. Die Beschwerdeführer haben die Weigerung der Vormundschaftsbehörde und des Departementes des Innern, das Kind für die Dauer des vormundschaftlichen Verfahrens gemäss <ref-law> bei ihnen unterzubringen, mit kantonaler Verwaltungsgerichtsbeschwerde angefochten. Das Verwaltungsgericht hat die Beschwerde abgewiesen und zur Begründung im Wesentlichen erwogen, gemäss § 36 Abs. 4 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes (VRG; 124.11) könne die Beschwerdeinstanz von Amtes wegen oder auf Begehren nach Einreichung der Beschwerde zur Aufrechterhaltung des bestehenden tatsächlichen oder rechtlichen Zustandes vorsorgliche Massnahmen anordnen. Gemäss <ref-law>, der mangels anderweitiger Regelung auf das Verwaltungsverfahren sinngemäss Anwendung finde (<ref-law>), treffe das Gericht die notwendigen vorsorglichen Massnahmen, wenn die gesuchstellende Partei eine Verletzung bzw. drohende Verletzung eines ihr zustehenden Anspruchs glaubhaft mache und ihr aus der Verletzung ein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil drohe. Die Beschwerdeführer betrachteten beide Voraussetzungen mit der rechtswidrigen Wegnahme des Kindes durch die Beschwerdegegnerin am 10. Januar 2012 als erfüllt. Das Verwaltungsgericht hat offen gelassen, ob die Intervention vom 10. Januar 2012 als rechtswidrig zu qualifizieren ist, zumal seiner Ansicht nach Art. 3 Abs. 1 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kindesrechtekonvention; KRK; SR 0.107) gebietet, beim Erlass von Kindesschutzmassnahmen das Wohl des Kindes in die Erwägungen mit einzubeziehen. Nach eingehender Würdigung der tatsächlichen Verhältnisse hat es eine Unterbringung des Kindes bei den Beschwerdeführern für die Dauer des nunmehr hängigen Verfahrens nach <ref-law> als nicht dem Kindeswohl entsprechend betrachtet.
Die Beschwerdeführer erachten auch vor Bundesgericht die Frage von zentraler Bedeutung, ob die Intervention vom 10. Januar 2012 rechtens sei. Sie erörtern näher, gestützt auf <ref-law> könnten sich die Inhaber der faktischen Obhut einer Rückgabe des Kindes an den Inhaber des alleinigen Sorgerechts widersetzen. In diesem Fall habe die Vormundschaftsbehörde gestützt auf <ref-law> ein Verfahren zu eröffnen und die notwendigen Abklärungen vorzunehmen. Im vorliegenden Fall habe nicht die dafür zuständige Vormundschaftsbehörde am 10. Januar 2012 eine Verfügung erlassen und das Kind bei seiner Mutter untergebracht. Vielmehr hätten die Mitarbeiter des Sozialdienstes A._ eigenmächtig gehandelt. Die Auffassung der Vorinstanz, es brauche keine Verfügung und die Intervention vom 10. Januar 2012 sei formell in Ordnung, verletze <ref-law> krass und sei daher willkürlich. Unter Angabe verschiedener Tatsachen machen die Beschwerdeführer ferner geltend, auch in materieller Hinsicht hätten keine Gründe bestanden, das Kind bei seiner Mutter unterzubringen, weshalb der Entscheid auch insoweit willkürlich sei. Als unhaltbar erweise er sich in diesem Zusammenhang auch insofern, als er sich auf Art. 3 Abs. 1 KRK stütze, obwohl diese Bestimmung für sich allein nicht unmittelbar zur Anwendung gelange. Schliesslich sei das rechtliche Gehör der Beschwerdeführer verletzt worden.
Die Beschwerdeführer erachten auch vor Bundesgericht die Frage von zentraler Bedeutung, ob die Intervention vom 10. Januar 2012 rechtens sei. Sie erörtern näher, gestützt auf <ref-law> könnten sich die Inhaber der faktischen Obhut einer Rückgabe des Kindes an den Inhaber des alleinigen Sorgerechts widersetzen. In diesem Fall habe die Vormundschaftsbehörde gestützt auf <ref-law> ein Verfahren zu eröffnen und die notwendigen Abklärungen vorzunehmen. Im vorliegenden Fall habe nicht die dafür zuständige Vormundschaftsbehörde am 10. Januar 2012 eine Verfügung erlassen und das Kind bei seiner Mutter untergebracht. Vielmehr hätten die Mitarbeiter des Sozialdienstes A._ eigenmächtig gehandelt. Die Auffassung der Vorinstanz, es brauche keine Verfügung und die Intervention vom 10. Januar 2012 sei formell in Ordnung, verletze <ref-law> krass und sei daher willkürlich. Unter Angabe verschiedener Tatsachen machen die Beschwerdeführer ferner geltend, auch in materieller Hinsicht hätten keine Gründe bestanden, das Kind bei seiner Mutter unterzubringen, weshalb der Entscheid auch insoweit willkürlich sei. Als unhaltbar erweise er sich in diesem Zusammenhang auch insofern, als er sich auf Art. 3 Abs. 1 KRK stütze, obwohl diese Bestimmung für sich allein nicht unmittelbar zur Anwendung gelange. Schliesslich sei das rechtliche Gehör der Beschwerdeführer verletzt worden.
2.1 2.1.1 Hat ein Kind - wie hier - längere Zeit bei seinen Pflegeeltern verbracht, kann die Vormundschaftsbehörde den Eltern seine Rücknahme untersagen, wenn diese die Entwicklung des Kindes ernstlich zu gefährden droht (<ref-law>). Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass das Kind seit 2007 in der Familiengemeinschaft der Beschwerdeführer gelebt und die Beschwerdegegnerin erst im Dezember 2011 gegenüber dem Sozialdienst A._ erklärt hat, sie wolle ihr Kind wieder in ihre Obhut übernehmen. Wie die Beschwerdeführer zu Recht bemerken, kann eine Rücknahme des Kindes nicht ohne ein durch die zuständige Vormundschaftsbehörde durchzuführendes Verfahren veranlasst werden (vgl. <ref-ruling>; <ref-ruling>). Sowohl die Verweigerung der Rücknahme als auch deren Bewilligung durch die Vormundschaftsbehörde können von den leiblichen bzw. den Pflegeeltern durch Beschwerde nach <ref-law> angefochten werden (PETER BREITSCHMID, Basler Kommentar ZGB I, 4. Aufl. 2010, N. 26 zu <ref-law>). Im vorliegenden Fall ist nicht geklärt, ob überhaupt die zuständige Vormundschaftsbehörde das nach <ref-law> erforderliche Verfahren eröffnet und durchgeführt hat. Erstellt ist einzig die Einvernahme des Beschwerdeführers durch den Sozialdienst und die anschliessende Neuplatzierung des Kindes durch den genannten Dienst bei der Beschwerdegegnerin, der Inhaberin der alleinigen elterlichen Sorge. Nicht durchgeführt worden ist eine Befragung der Eltern des Beschwerdeführers, in dessen Familie das Kind seit November 2007 gelebt hat. Dem angefochtenen Urteil kann auch nicht entnommen werden, ob im Anschluss an die Neuplatzierung des Kindes an einem geheimen Ort sämtlichen Beteiligten das rechtliche Gehör gewährt worden ist und wie das Verfahren nach <ref-law> seinen Abschluss gefunden hat. Insbesondere wird im angefochtenen Urteil kein den Parteien zugestellter Entscheid in der Sache erwähnt. Der Vorwurf der Beschwerdeführer, das Kind sei ihnen rechtswidrig entzogen worden, erscheint daher verständlich. Erstellt ist aber ebenso, dass sie gegen das Vorgehen der Sozialbehörde kein Rechtsmittel erhoben und ihnen insbesondere auch nicht auf dem Wege der Beschwerde nach <ref-law> Rechtsverweigerung bzw. eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorgeworfen haben. Vielmehr gingen sie unverzüglich dazu über, ein selbständiges Verfahren nach <ref-law> in die Wege zu leiten.
2.1.2 Zudem ist auch keineswegs erstellt, dass das Kind während des gestützt auf <ref-law> hängigen Verfahrens bei den Eltern des Beschwerdeführers verblieben wäre: Zwar soll das Kind nach der neuesten bundesgerichtlichen Rechtsprechung in der Regel während eines hängigen Verfahrens in der Obhut der Hauptbetreuungsperson belassen werden; doch kann eine Abweichung von diesem Grundsatz aus Gründen der Gefährdung des Kindeswohls geboten sein (zur Publikation bestimmtes Urteil 5A_303/2012 vom 30. August 2012 E. 4.3). Die Sozialbehörde hat aufgrund der Aussage des Beschwerdeführers, er sei aus der Schweiz ausgewiesen worden und werde das Kind nicht der Mutter überlassen, auf eine drohende Entführungsgefahr geschlossen und hat daher eine Platzierung des Kindes bei seiner Mutter veranlasst. Soweit die Beschwerdeführer unter Hinweis auf eigene von der Vorinstanz nicht festgestellte Tatsachenbehauptungen eine Entführungsgefahr bestreiten, sind sie nicht zu hören. Mit derart allgemein gehaltener appellatorischer Kritik lässt sich Willkür in der Tatsachenfeststellung nicht belegen (E. 1.1). Ob das Vorgehen des Sozialdienstes im Rahmen des Verfahrens durch die zuständige Behörde bzw. die Beschwerdeinstanz geschützt worden wäre oder ob das Kind auch unter den gegebenen Umständen bei den Eltern des Beschwerdeführers verblieben wäre, ist nicht entschieden.
2.1.3 Aufgrund der gegebenen tatsächlichen Umstände lässt sich daher - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer - nicht zwingend schliessen, das Kind hätte in dem nunmehr von den Beschwerdeführern angehobenen Verfahren nach <ref-law> allein aufgrund des Vorfalles vom 10. Januar 2012 für die Dauer des Verfahrens den Beschwerdeführern übergeben werden müssen. Die gegenteilige Auffassung der Vorinstanz ist jedenfalls nicht willkürlich (<ref-law>).
2.2 Bei der Prüfung des Gesuchs um Erlass superprovisorischer bzw. vorsorglicher Massnahmen in dem von den Beschwerdeführern angehobenen Verfahren nach <ref-law> hat das Verwaltungsgericht unter Berufung aus Art. 3 KRK dem Kindeswohl entscheidende Bedeutung beigemessen. Der Entscheid über die Unterbringung des Kindes erfolgt gestützt auf <ref-law> und hat sich damit aufgrund des in der Sache unmittelbar anwendbaren materiellen Privatrechts am Kindeswohl auszurichten (<ref-ruling> E. 3.1). Damit erübrigen sich Ausführungen zur Frage der direkten Anwendbarkeit von Art. 3 KRK. Das Verwaltungsgericht hat insbesondere berücksichtigt, dass die Situation bei den Beschwerdeführern unklar ist, zumal dem Vater des Kindes die Ausweisung aus der Schweiz droht und die Eignung der Eltern des Beschwerdeführers nicht geklärt ist. Das Verwaltungsgericht hat sodann berücksichtigt, dass die "KOFA-Abklärung" bei der Beschwerdegegnerin überwiegend positiv ausgefallen ist, weshalb davon ausgegangen werden kann, die Beschwerdegegnerin werde gut für ihr Kind sorgen und dessen Wohl sei durch den Aufenthalt bei der Mutter nicht gefährdet. Damit aber ist das Verwaltungsgericht nicht in Willkür verfallen, indem es von der Anordnung vorsorglicher Massnahmen im Sinn der Anträge der Beschwerdeführer abgesehen hat.
3. Mit Bezug auf die vor Bundesgericht ebenfalls angefochtene Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren hat das Verwaltungsgericht erwogen, im Verfahren betreffend Erlass von Kindesschutzmassnahmen stehe das Wohl des Kindes im Vordergrund, was auch den Beschwerdeführern bei Einreichen der Beschwerde habe klar sein müssen. Nachdem bereits die Vorinstanz auf das mit Blick auf das Kindeswohl problematische Hin und Her des Aufenthaltsortes hingewiesen habe, hätten die Beschwerdeführer nicht mit einer Siegeschance von 50% oder mehr rechnen können, insbesondere nachdem zur Gewährleistung des Kindeswohls auch eine sozialpädagogische Familienbegleitung der Beschwerdegegnerin eingerichtet worden sei. Die Beschwerde habe damit von Anfang an kaum Aussicht auf Erfolg gehabt, sodass das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerdebegehren abzuweisen sei.
Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung von <ref-law> und machen im Wesentlichen geltend, das Verwaltungsgericht habe bei der Beurteilung der Aussichtslosigkeit dem Vorfall vom 10. Januar 2012 nicht die Bedeutung beigemessen, die ihm tatsächlich zukomme. insbesondere habe es nicht beachtet, dass das Kind am 10. Januar 2012 widerrechtlich zu seiner Mutter verbracht worden sei, sodass die Erfolgsaussichten der Beschwerde nicht verneint werden könnten.
3.1 Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat nach <ref-law> Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218). Die Prozesschancen sind in vorläufiger und summarischer Prüfung des Prozessstoffes abzuschätzen, wobei es im Rechtsmittelverfahren um die Erfolgsaussichten des Rechtsbehelfs geht. Die Frage lautet, ob das Rechtsmittel offenbar prozessual unzulässig oder aussichtslos ist (BGE 60 I 179 E. 1 S. 182; 78 I 193 E. 2 S. 195). Dass der angefochtene Entscheid oder das vorinstanzliche Verfahren an einem Mangel leidet, genügt für die Bejahung der Erfolgsaussichten nicht; entscheidend ist allein, ob das Rechtsmittel voraussichtlich gutgeheissen werden muss (Urteil 5A_373/2008 vom 7. Juli 2008 E. 2).
3.2 Aufgrund des gegen den Beschwerdeführer ausgesprochenen Ausweisungsentscheides, der nicht geklärten Verhältnisse bei seinen Eltern und der überwiegend als positiv bezeichneten Umstände bei der Beschwerdegegnerin konnten die Beschwerdeführer nicht ernsthaft damit rechnen, dass ihrer Beschwerde beim Verwaltungsgericht Erfolg beschieden sein wird. Allein die Berufung auf ein angeblich widerrechtliches Verbringen des Kindes zur Mutter (Vorfall vom 10. Januar 2012) vermag an den geringen Erfolgsaussichten nichts zu ändern, zumal aufgrund der konkreten vom Verwaltungsgericht ohne Willkür festgestellten tatsächlichen Umstände nicht ohne weiteres davon ausgegangen werden kann, das Kind wäre für die Dauer des Verfahrens nach <ref-law> bei den Eltern des Beschwerdeführers belassen worden (E. 2.1.2). Der Vorwurf der Verletzung von Art. 29 Abs. 3 bzw. <ref-law> erweist sich als unbegründet.
4. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>), wobei sie für die Kosten solidarisch haften (<ref-law>). Die Frage der Entschädigung stellt sich nicht.
5. Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, da sich die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen hat (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Vormundschaftsbehörde A._, W._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden