Sachverhalt:
A. Mit drei Verfügungen vom 25. April 2001 sprach die IV-Stelle Luzern der 1966 geborenen K._ für die Zeit ab 1. Mai 2001 eine ganze Invalidenrente und für ihre beiden 1988 und 1994 geborenen Kinder B._ und M._ je eine Kinderrente zu. Rückwirkend für die Zeit ab 1. Januar 1999 bis 30. April 2001 wurden mit drei weiteren Verfügungen vom 4. Juli 2001 ebenfalls eine ganze Invalidenrente für die Versicherte sowie zwei Kinderrenten zugesprochen. Teilweise wurden die verfügten Rentennachzahlungen mit Rückforderungen der Arbeitslosenkasse sowie der Sozialämter X._ und Y._ verrechnet. Am 5. Dezember 2001 verfügte die IV-Stelle eine Reduktion der mit Verfügung vom 4. Juli 2001 vorgenommenen Verrechnung der Rentennachzahlung für K._ mit einer Rückforderung des Sozialamtes Y._.
B. Gegen sämtliche Verfügungen vom 25. April, 4. Juli und 5. Dezember 2001 liessen die Adressaten Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern einreichen, wobei insbesondere der verfügte Rentenbeginn, die errechneten Rentenbeträge und die vorgenommenen Verrechnungen angefochten wurden. Nach erfolgter Verfahrensvereinigung erkannte das kantonale Gericht, dass die IV-Stelle K._ nach Abzug der zulässigen Verrechnungen noch einen Betrag von Fr. 1701.55 zu bezahlen habe. In diesem Sinne hiess es die Beschwerde gegen die K._ selbst betreffende Verfügung vom 4. Juli 2001 mit Entscheid vom 20. Dezember 2002 teilweise gut; im Übrigen wies es sämtliche Beschwerden ab, soweit darauf einzutreten war.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt K._ die Aufhebung des kantonalen Entscheids insoweit beantragen, als damit die Verrechnung von Rentenzahlungen mit einer Forderung der Gemeinde Y._ über Fr. 16'530.- geschützt wird. Zudem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst unter Hinweis auf eine beigelegte Stellungnahme der Ausgleichskasse Luzern vom 10. März 2003 auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde; des Weitern beantragt sie, der vorinstanzliche Entscheid sei betreffend der Anweisung, den Betrag von Fr. 1701.55 an die Versicherte auszubezahlen, aufzuheben. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Streitigkeiten über die Drittauszahlung von Leistungen der Invalidenversicherung zwecks Verrechnung gestützt auf <ref-law> in Verbindung mit dem auf den 1. Januar 1997 in Kraft getretenen <ref-law> (in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung) betreffen rechtsprechungsgemäss nicht die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen im Sinne von Art. 132 OG (<ref-ruling> Erw. 2; AHI 2003 S. 165 Erw. 1, je mit Hinweisen). Bei Prozessen um den Auszahlungsmodus hat das Eidgenössische Versicherungsgericht deshalb nur zu prüfen, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG; <ref-ruling> f. Erw. 2, 118 V 90 f. Erw. 1a; AHI 2003 S. 165 Erw. 1, je mit Hinweisen). Das Eidgenössische Versicherungsgericht ist an den Beschwerdeantrag gebunden (Art. 114 Abs. 1 OG). Zudem ist das Verfahren kostenpflichtig (Umkehrschluss aus Art. 134 OG).
2. 2.1 Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen auch im Invalidenversicherungsbereich geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Verfügung (hier: 4. Juli 2001) eingetretenen Sachverhalt abstellt (<ref-ruling> Erw. 1b), sind die bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Bestimmungen anwendbar (vgl. <ref-ruling> Erw. 3.5, 333 Erw. 2.3, 425 Erw. 1.1, 447 Erw. 1.2.1, je mit Hinweisen).
2.2 Nach <ref-law> finden für die Sicherung der Leistungen und die Verrechnung die Art. 20 und 45 AHVG sinngemäss Anwendung. Nachzahlungen von Leistungen können gemäss <ref-law> in Abweichung von <ref-law> an Drittpersonen oder Drittstellen, welche im Hinblick auf die Leistung der Invalidenversicherung Vorschussleistungen erbracht haben, ausgerichtet werden. Laut <ref-law> (in der seit 1. Januar 1999 geltenden Fassung) können Arbeitgeber, Einrichtungen der beruflichen Vorsorge, Krankenversicherungen, öffentliche und private Fürsorgestellen oder Haftpflichtversicherungen mit Sitz in der Schweiz, welche im Hinblick auf eine Rente der Invalidenversicherung Vorschussleistungen erbracht haben, verlangen, dass die Nachzahlung dieser Rente bis zur Höhe ihrer Vorschussleistungen verrechnet und an sie ausbezahlt wird. Die bevorschussenden Stellen haben ihren Anspruch mit besonderem Formular frühestens bei der Rentenanmeldung und spätestens im Zeitpunkt der Verfügung der IV-Stelle geltend zu machen. Nach <ref-law> gelten als Vorschussleistungen einerseits freiwillige Leistungen, sofern die versicherte Person zu deren Rückerstattung verpflichtet ist und sie der Auszahlung der Rentennachzahlung an die bevorschussende Stelle schriftlich zugestimmt hat (lit. a), und andererseits die vertraglich oder auf Grund eines Gesetzes erbrachten Leistungen, soweit aus dem Vertrag oder dem Gesetz ein eindeutiges Rückforderungsrecht infolge der Rentennachzahlung abgeleitet werden kann (lit. b). Die Nachzahlung darf der bevorschussenden Stelle höchstens im Betrag der Vorschussleistungen und für den Zeitraum, in welchem diese erbracht worden ist, ausbezahlt werden (<ref-law>).
3. Auf Grund des für das Eidgenössische Versicherungsgericht verbindlichen Antrages in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde (Erw. 1 hievor) ist letztinstanzlich einzig noch streitig und als Frage des Bundesrechts frei zu prüfen, ob der kantonale Gerichtsentscheid dadurch Bundesrecht verletzt, dass er eine Nachzahlung der aufgelaufenen Rentenbetreffnisse im Umfang von Fr. 16'530.- an die Gemeinde Y._ bestätigt. Die übrigen vorinstanzlich beurteilten Fragen sind nicht mehr Gegenstand des letztinstanzlichen Prozesses. Der in der Vernehmlassung der IV-Stelle gestellte Antrag, der kantonale Entscheid sei betreffend der Anweisung, den Betrag von Fr. 1701.55 an die Versicherte auszubezahlen, aufzuheben, ist unzulässig (vgl. <ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweis).
4. 4.1 Es ist unbestritten und nach der Aktenlage nicht in Frage zu stellen, dass sich die an die Gemeinde Y._ zwecks indirekter Verrechnung mit dem sozialhilferechtlichen Rückerstattungsanspruch der Gemeinde gegenüber der Versicherten ausbezahlten Rentenbetreffnisse in Höhe von Fr. 16'530.- auf Zeiten beziehen, für welche die heutige Beschwerdeführerin tatsächlich von der Gemeinde Y._ Sozialhilfeleistungen bezogen hat. Im Zentrum der Argumentation in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde steht der Einwand, die Leistungen der Gemeinde Y._ seien nicht, wie es <ref-law> verlange, "im Hinblick auf eine Rente der Invalidenversicherung" gewährt worden. Dazu wird ausgeführt, die Gemeinde habe ihre Leistungen im Zeitraum zwischen dem 1. Januar 1999 und dem 30. April 2001 ausgerichtet, während die Anmeldung zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung erst am 7. Januar 2000 erfolgt sei. Von dieser Anmeldung habe die Gemeinde nichts gewusst. Sie habe die Versicherte vielmehr zur Aufnahme einer Arbeit angehalten und bei der Arbeitslosenversicherung angemeldet. Die Versicherte habe denn auch beim Arbeitsamt der Gemeinde Y._ gestempelt. Ohne invalidenversicherungsrechtliches Verfahren oder ohne Kenntnis desselben könne eine Vorschussleistung aber nicht "im Hinblick auf eine Rente der Invalidenversicherung" erbracht worden sein, sodass die in <ref-law> genannte Voraussetzung für eine Drittauszahlung nicht erfüllt sei. Dies habe die Vorinstanz ungeprüft gelassen.
4.2 In der bisher ergangenen Rechtsprechung zu dem auf den 1. Januar 1994 in Kraft getretenen <ref-law> - die auf den 1. Januar 1999 erfolgte Neufassung ist rein redaktioneller Art und kann vorliegend vernachlässigt werden - hat das in dieser Bestimmung genannte Erfordernis der "im Hinblick auf eine Rente der Invalidenversicherung erbrachten Vorschussleistungen", soweit ersichtlich, keine Rolle gespielt (vgl. <ref-ruling>, 123 V 25; SVR 2001 IV Nr. 13 S. 39). Auch der zur Drittauszahlung extra legem ergangenen Rechtsprechung vor dem In-Kraft-Treten des <ref-law> lässt sich diesbezüglich nichts entnehmen (vgl. <ref-ruling>; vgl. auch nachstehende Erw. 5.2).
Mit der Einfügung des Abs. 2 in <ref-law> auf den 1. Januar 1997 hat <ref-law> eine ausdrückliche gesetzliche Grundlage erhalten (<ref-ruling> Erw. 2d; Meyer-Blaser, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], in: Murer/Stauffer [Hrsg.], Die Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Zürich 1997, S. 289 f.). Auch <ref-law> spricht von Nachzahlungen von Leistungen an Drittpersonen oder Drittstellen, welche "im Hinblick auf die Leistung der Invalidenversicherung Vorschussleistungen erbracht haben" (Satz 1); der Bundesrat regelt das Verfahren sowie die Voraussetzungen der Auszahlung an Dritte (Satz 2).
5. Es ist einzuräumen, dass sich der Standpunkt der Beschwerdeführerin auf den Wortlaut sowohl des <ref-law> wie auch des <ref-law> stützen kann. Unbestrittenermassen ist das gemäss Wortlaut verlangte Erfordernis der "im Hinblick auf die Leistung der Invalidenversicherung" (<ref-law>) oder der "im Hinblick auf eine Rente der Invalidenversicherung" (<ref-law>) erbrachten Vorschussleistungen im vorliegenden Fall nicht gegeben (in der französischsprachigen Fassung: "... qui ont accordé des avances dans l'attente de l'octroi des prestations de l'assurance-invalidité" [art. 50 al. 2 LAI] oder: "... qui, en vue de l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité, ont fait une avance ..." [art. 85bis al. 1 RAI]; in der italienischsprachigen Version: "... che hanno accordato anticipi in attesa della concessione di prestazioni dell'assicurazione per l'invalidità" [art. 50 cpv. 2 LAI] oder : "... che, in vista della concessione di una rendita dell'assicurazione invalidità, hanno effettuato anticipi ..." [art. 85bis cpv. 1 OAI]). Indessen fragt sich, ob der Wortlaut auch den für die Gesetzesauslegung massgeblichen Rechtssinn ausdrückt.
5.1 Das Gesetz ist in erster Linie nach seinem Wortlaut auszulegen. Ist der Text nicht ganz klar und sind verschiedene Auslegungen möglich, so muss nach seiner wahren Tragweite gesucht werden unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente, namentlich des Zwecks, des Sinnes und der dem Text zu Grunde liegenden Wertung. Wichtig ist ebenfalls der Sinn, der einer Norm im Kontext zukommt. Vom klaren, d.h. eindeutigen und unmissverständlichen Wortlaut darf nur ausnahmsweise abgewichen werden, u.a. dann nämlich, wenn triftige Gründe dafür vorliegen, dass der Wortlaut nicht den wahren Sinn der Bestimmung wiedergibt. Solche Gründe können sich aus der Entstehungsgeschichte der Bestimmung, aus ihrem Grund und Zweck oder aus dem Zusammenhang mit andern Vorschriften ergeben (<ref-ruling> Erw. 3.1, 129 V 103 Erw. 3.2, je mit Hinweisen).
5.2 Die Formulierung "im Hinblick auf die Leistung der Invalidenversicherung" resp. "im Hinblick auf eine Rente der Invalidenversicherung" erbrachte Vorschussleistungen ist zunächst auf dem Hintergrund der Entstehungsgeschichte von <ref-law> und <ref-law> zu würdigen. Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht in <ref-ruling> ausgeführt hat, stand die damalige, rein auf der Grundlage einer Verwaltungspraxis entwickelte Drittauszahlung in einem Spannungsverhältnis zum gesetzlichen Abtretungsverbot (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), und zwar in jenen Fällen, in welchen die seit jeher normativ bestehenden Voraussetzungen für die Sicherstellung einer zweckgemässen Rentenverwendung (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>) nicht erfüllt waren. Es ist daher verständlich, dass der Verordnungsgeber - eingedenk einerseits des Fehlens einer formell gesetzlichen Grundlage und andererseits des vom Eidgenössischen Versicherungsgericht in <ref-ruling> Entschiedenen - eine restriktive Formulierung wählte, welche die später Gegenstand der indirekten Verrechnung darstellenden Sozialhilfeleistungen gleichsam als Vorschussleistungen der Invalidenversicherung betrachtete. Nachdem nun aber mit <ref-law> eine ausdrückliche formell gesetzliche Grundlage geschaffen worden ist, um die Nachzahlung an bevorschussende Stellen in Abweichung vom gesetzlichen Leistungsabtretungsverbot zu regeln, besteht an sich kein Anlass mehr für eine solche zurückhaltende Betrachtungsweise. Daran ändert nichts, dass <ref-law> selber den Passus "im Hinblick auf die Leistung der Invalidenversicherung" enthält. Hier stellt sich die Frage, ob die an sich klare Formulierung in <ref-law> und <ref-law> zu weit gefasst ist und im Sinne einer teleologischen Reduktion einer vom Wortlaut abweichenden, restriktiven Interpretation zu weichen hat (vgl. <ref-ruling> Erw. 4.2.1 mit Hinweis; Ernst A. Kramer, Teleologische Reduktion - Plädoyer für einen Akt methodentheoretischer Rezeption, in: Rechtsanwendung in Theorie und Praxis, Symposium zum 70. Geburtstag von Arthur Meier-Hayoz, Basel 1993, S. 65). Sinn und Zweck von <ref-law> und <ref-law> ist die Leistungskoordination von Invalidenversicherung einerseits und Sozialhilfe andererseits. Mit dem Passus "im Hinblick auf ..." geht der Wortlaut allerdings zu weit. Es kann für die Herstellung der Leistungskoordination nur darauf ankommen, dass objektiv für den gleichen Zeitraum Sozialhilfe- und Invalidenversicherungsleistungen fliessen und dass für die zur Verhinderung eines doppelten Leistungsbezuges erforderliche Drittauszahlung die weiteren normativen Erfordernisse des Art. 85bis Abs. 1 bis 3 IVV erfüllt sind, hingegen nicht, dass die Sozialhilfeleistungen in subjektiver Kenntnis eines (bereits eingereichten oder später zu stellenden) Antrages um Zusprechung einer Rente der Invalidenversicherung ausgerichtet werden.
5.3 Für diese objektive Betrachtungsweise sprechen ferner folgende systematische Auslegungsüberlegungen: Abs. 2 von <ref-law> umschreibt den Begriff Vorschussleistungen in den beiden Formen der freiwilligen (lit. a) und der vertraglich oder auf Grund eines Gesetzes erbrachten (lit. b) Leistungen abschliessend, ohne dass für das Vorliegen einer solchen Vorschussleistung verlangt wird, dass sie "im Hinblick auf eine Rente der Invalidenversicherung" erbracht worden ist. Durch Abs. 3, wonach die Nachzahlung der bevorschussenden Stelle höchstens im Betrag der Vorschussleistung und für den Zeitraum, in welchem diese erbracht worden ist, ausbezahlt werden darf, ist weiter auch der Grundsatz der sachlichen Kongruenz der miteinander indirekt zu verrechnenden Leistungen sichergestellt. Darüber hinaus auch noch zu verlangen, dass die bevorschussende Stelle ihre Leistung in Kenntnis eines schon anhängig gemachten oder später noch zu stellenden Rentenbegehrens gegenüber der Invalidenversicherung erbracht hat, macht nach dem Gesagten keinen Sinn. Ein wörtliches Verständnis des Passus "im Hinblick auf ... " würde gegenteils ein Einfallstor bieten für Zufälligkeiten, welche je nachdem die Drittauszahlung erlauben oder ihr entgegenstehen. Derjenige Sozialhilfebezüger, welcher den - schon eingereichten oder noch einzureichenden - Rentenantrag der Sozialhilfebehörde verschweigt, hätte nicht mit der Nachzahlung der später festgesetzten Rente der Invalidenversicherung an die Gemeinde zu rechnen, weil die Sozialhilfe bei Abstellen auf die subjektive Kenntnis der Gemeinde, nicht "im Hinblick auf" die künftige Rente der Invalidenversicherung ausgerichtet worden wäre. Hingegen hätte derjenige Versicherte, welcher der Sozialhilfebehörde von seinem Antrag bei der Invalidenversicherung Kenntnis gibt, später unter den Voraussetzungen des <ref-law> (Erfordernis eines eindeutigen Rückforderungsrechtes) eine Nachzahlung mit indirekter Verrechnung zu gewärtigen. Dies wäre im Lichte des verfassungsmässigen Gleichbehandlungsgrundsatzes (<ref-law>) ein stossendes Ergebnis, das es auf dem Wege der Auslegung zu vermeiden gilt (zur Bedeutung des Rechtsgleichheitsgrundsatzes für die Auslegung vgl. <ref-ruling> Erw. 4b).
6. 6.1 In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird weiter geltend gemacht, die Gemeinde Y._ habe als bevorschussende Stelle ihren Nachzahlungsanspruch nicht, wie es <ref-law> verlangt, auf besonderem Formular geltend gemacht; auch habe die Beschwerdeführerin einer Auszahlung der Rente an die Gemeinde Y._ nie zugestimmt.
6.2 Beide Rügen sind unbegründet. Im Rahmen von <ref-law> ist - im Gegensatz zu den freiwilligen Leistungen nach lit. a - keine Zustimmung der versicherten Person nötig; vielmehr wird diese durch das Erfordernis eines "eindeutigen Rückforderungsrechts" ersetzt. Die Abgabe der Zustimmung auf dem dafür vorgesehenen amtlichen Formular im Sinne der vor dem In-Kraft-Treten des <ref-law> auf den 1. Januar 1994 ergangenen Rechtsprechung (<ref-ruling> Erw. 3) kann daher nicht mehr die gleiche Bedeutung haben. Vielmehr kommt dem letzten Satz von <ref-law>, wonach die bevorschussenden Stellen ihren Anspruch mit besonderem Formular geltend zu machen haben, nurmehr Ordnungscharakter zu.
7. Weil das Verfahren nicht die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen im Sinne von Art. 134 OG betrifft, ist es kostenpflichtig (Erw. 1 hievor). Die Gerichtskosten wären grundsätzlich von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG). Ihr kann indessen die beantragte unentgeltliche Prozessführung im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten und die unentgeltliche Verbeiständung gewährt werden (Art. 152 in Verbindung mit Art. 135 OG), da die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen (Erw. 4 und 5 hievor) und die Vertretung geboten war (<ref-ruling> Erw. 4a und 372 Erw. 5b, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 152 Abs. 3 OG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1400.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege werden sie einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Rechtsanwalt Daniel Vonesch, Luzern, aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse Luzern, dem Bundesamt für Sozialversicherung und der Gemeinde Y._ zugestellt.
Luzern, 5. August 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: