Sachverhalt:
A. Zwischen der X._ AG und C._ ist ein Schiedsverfahren gemäss SIA-Richtlinie 150 hängig. Obmann des Schiedsgerichts mit Sitz in Liestal ist Rechtsanwalt Dr. B._ (Beschwerdegegner). Er verlangte von Architekt A._ (Beschwerdeführer) die Edition gewisser Urkunden. Nachdem dieser die Edition verweigert hatte, ersuchte der Beschwerdegegner das Kantonsgericht Basel-Landschaft unter Bezugnahme auf Art. 34 Abs. 2 der SIA-Richtlinie 150 um Mitwirkung bei der Beweiserhebung im Sinne von Art. 3 lit. d und Art. 27 Abs. 2 des Konkordats über die Schiedsgerichtsbarkeit vom 27. März 1969.
Mit Verfügung vom 17. Dezember 2007 verpflichtete der Präsident der Abteilung Zivil- und Strafrecht des Kantonsgerichts A._, dem Obmann des Schiedsgerichts bis zum 4. Januar 2008 (nicht erstreckbar) Kopien des Architekturvertrags zwischen dem Baukonsortium "D._" und dem Architekten A._ sowie des Konsortialvertrags für das Baukonsortium "D._" zu edieren, dies unter Androhung einer Strafe von Fr. 500.-- im Unterlassungsfall (§ 142 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>-BL). Gegen diese Verfügung wurde kein Rechtsmittel ergriffen.
B. Mit Eingabe vom 14. Januar 2008 teilte der Beschwerdegegner dem Kantonsgericht mit, dass der Beschwerdeführer innert Frist die verlangten Dokumente nicht ediert habe und dass die im Schreiben des Beschwerdeführers vom 28. Dezember 2007 genannten Gründe für die unterbliebene Edition widersprüchlich seien. Er beantragte, dem Beschwerdeführer die angedrohte Strafe von Fr. 500.-- aufzuerlegen und ihm nochmals eine Frist zur Edition anzusetzen. Letzteren Antrag liess er fallen, nachdem der Beschwerdeführer mit Schreiben vom 14. Januar 2008 eine Begründung vorgebracht hatte, warum die verlangten Dokumente nicht existierten. Am Antrag auf Ausfällung der Busse hielt der Beschwerdegegner fest.
Der Präsident der Abteilung Zivil- und Strafrecht des Kantonsgerichts auferlegte dem Beschwerdeführer mit Beschluss vom 21. Januar 2008 gestützt auf § 142 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>-BL eine Busse von Fr. 500.--, zahlbar bis 18. Februar 2008 (Dispositivziffer 1). Sodann schrieb er das Verfahren als erledigt ab und auferlegte die Kosten vorläufig der X._ AG, vorbehalten ein abweichendes Endurteil des Schiedsgerichts (Dispositivziffer 2).
C. Der Beschwerdeführer beantragt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, der Beschluss vom 21. Januar 2008 sei vollumfänglich aufzuheben.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Vorinstanz verweist auf den angefochtenen Entscheid.
D. Mit dem Entscheid in der Sache wird der Antrag des Beschwerdeführers auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Eine solche ist gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig, soweit keine Beschwerde nach den Artikeln 72-89 BGG gegeben ist (<ref-law>). In Betracht fällt vorliegend eine Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) oder eine Beschwerde in Strafsachen (<ref-law>).
1.1 Nach <ref-law> sind die Kantone befugt, die Übertretung ihrer Verwaltungs- und Prozessvorschriften mit Strafe zu bedrohen. Der Kanton Basel-Landschaft hat davon unter anderem in <ref-law>-BL Gebrauch gemacht. Danach kann das Gericht dem Zeugen, der sich weigert, Zeugnis abzulegen oder den Zeugeneid bzw. ein Handgelübde an Eidesstatt zu leisten, eine Ordnungsbusse von bis zu 500 Franken auferlegen. Diese Strafdrohung gilt auch bei Missachtung einer Editionspflicht (<ref-law>-BL). Gestützt auf diese rechtliche Grundlage wurde dem Beschwerdeführer in der Verfügung vom 17. Dezember 2007 eine Busse von Fr. 500.-- für den Fall angedroht, dass er die verlangten Urkunden nicht innert Frist edieren würde, und schliesslich in Dispositivziffer 1 des hier angefochtenen Beschlusses vom 21. Januar 2008 ausgefällt. Dem angefochtenen Beschluss liegt insoweit kantonales Strafrecht zugrunde, was für eine Beschwerde in Strafsachen spricht (vgl. Thommen, Basler Kommentar, N. 1 zu <ref-law>).
1.2 Indessen gilt dies nicht auch für Dispositivziffer 2 des angefochtenen Beschlusses (Abschreibung des Verfahrens betreffend rechtshilfeweise Beweiserhebung im Sinne von Art. 3 lit. d und Art. 27 Abs. 2 des Konkordats über die Schiedsgerichtsbarkeit und diesbezügliche Kostenauflage), welche der Beschwerdeführer mit seinem Antrag auf vollumfängliche Aufhebung des Beschlusses des Kantonsgerichts vom 21. Januar 2008 ebenfalls anficht. Insofern stützt sich der angefochtene Beschluss nicht auf Strafrecht, sondern auf Zivil(prozess)recht, was für eine Beschwerde in Zivilsachen spricht.
1.3 Vorliegend kann offen bleiben, welche Beschwerde gegeben ist, da auf sie in Anwendung der für beide Beschwerdearten geltenden Verfahrensvorschriften ohnehin nicht eingetreten werden kann:
Zunächst ist das Rechtsbegehren auf vollumfängliche Aufhebung des Beschlusses des Kantonsgerichts überhaupt nicht begründet, soweit sich die Beschwerde gegen Dispositivziffer 2 desselben richtet. Der Beschwerdeführer lässt insoweit entgegen <ref-law> jegliche Begründung vermissen, was Nichteintreten zur Folge hat.
Soweit sich die Beschwerde gegen Dispositivziffer 1 des angefochtenen Beschlusses richtet, ist mit Blick auf die reformatorische Natur der Beschwerden an das Bundesgericht (<ref-law>) fraglich, ob der blosse Antrag auf Aufhebung ohne Antrag zur Sache genügt. Immerhin wird aus den Ausführungen in der Beschwerde hinreichend klar, dass der Beschwerdeführer den Verzicht auf die Ausfällung einer Busse verlangt. Indessen kann auch insoweit nicht auf die Beschwerde eingetreten werden, weil die diesbezüglich erhobenen Rügen nicht rechtsgenüglich begründet sind.
So werden die Rügen der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör und des überspitzten Formalismus in der Beschwerde nicht näher begründet und sind daher nicht zu prüfen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 399). Immerhin ist zu bemerken, dass die Vorinstanz nicht einseitig auf die Eingabe des Beschwerdegegners abstellte, sondern auch sämtliche Korrespondenz des Beschwerdeführers berücksichtigte. Sodann durfte der Beschwerdeführer nicht mit einer Nachfrist zur Aktenedition rechnen, zumal die in der Verfügung vom 17. Dezember 2007 angesetzte Frist ausdrücklich als "nicht erstreckbar" bezeichnet wurde.
Die weiter geltend gemachte Verletzung des Willkürverbots ist ebenfalls nicht rechtsgenüglich dargetan, zeigt der Beschwerdeführer doch nicht im Einzelnen auf, inwiefern der angefochtene Beschluss offensichtlich unhaltbar sein, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgrundsatz zuwiderlaufen soll (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262). Er baut seine Beschwerde auf der Behauptung auf, er sei gebüsst worden, weil er eine verspätete Begründung für die Nichtexistenz der zu edierenden Urkunden abgegeben habe. Dies trifft jedoch nicht zu. Aus der Begründung des Beschlusses vom 21. Januar 2008 geht klar hervor, dass androhungsgemäss die Missachtung der gerichtlich angeordneten Editionspflicht mit der Busse von Fr. 500.-- sanktioniert wurde und nicht der Umstand, dass der Beschwerdeführer erst am 14. Januar 2008 und damit nach Ablauf der richterlichen Editionsfrist eine plausible Begründung für die Nichtexistenz der Urkunden abgegeben hatte. Jener Umstand bildete nicht Gegenstand der Bestrafung. Er ist nur insofern relevant, als der Beschwerdeführer möglicherweise eine Bestrafung wegen Missachtung der Editionspflicht hätte verhindern können, wenn er rechtzeitig glaubhaft erläutert hätte, weshalb er die Urkunden nicht edieren könne, wozu er aufgrund der erneuten Nachfrage des Beschwerdegegners vom 28. Dezember 2007 überdies allen Anlass gehabt hätte.
Soweit er schliesslich geltend macht, die Verfügung vom 17. Dezember 2007 sei rechtswidrig, weil sie die Edition von Unterlagen anordne, die nicht existierten, kann er im vorliegenden Verfahren, das sich gegen den Beschluss vom 21. Januar 2008 richtet, nicht mehr gehört werden. Dies hätte er gegebenenfalls mit einer Beschwerde gegen die Verfügung vom 17. Dezember 2007 vorbringen müssen.
2. Auf die Beschwerde kann nicht eingetreten werden. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Corboz Widmer