Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 14./21. Februar 2008 hiess der Einzelrichter am Bezirksgericht Münchwilen die Klage des Vereins gegen Tierfabriken Schweiz (VgT) teilweise gut und verpflichtete die 20 Minuten AG, eine Gegendarstellung in der nächstmöglichen Ausgabe der Zeitschrift "20minuten" (Ausgabe St. Gallen) zu veröffentlichen. Das Begehren des VgT, es sei ihm ein Belegexemplar der Gegendarstellung zuzustellen, wurde unter Hinweis auf eine fehlende gesetzliche Grundlage für einen solchen Anspruch abgewiesen.
B. Auf kantonalrechtliche Berufung sowohl des VgT wie auch der 20 Minuten AG (einschliesslich einer Anschlussberufung) hin bestätigte das Obergericht des Kantons Thurgau am 11. September 2008 dieses Urteil.
C. Der VgT (Beschwerdeführer) gelangt mit einer als "zivilrechtliche Beschwerde" bezeichneten Eingabe vom 9. Oktober 2008 an das Bundesgericht und verlangt zur Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Urteils und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz; eventuell sei die 20 Minuten AG (Beschwerdegegnerin) unter Kosten und Entschädigungsfolge zu verpflichten, dem Beschwerdeführer ein Belegexemplar der Gegendarstellung zuzustellen.
Beschwerdegegnerin und Obergericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Der Beschwerdeführer hat zu den Vernehmlassungen Stellung genommen.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Urteil des Obergerichts gilt als Endentscheid im Sinn von <ref-law>. Die Klage auf Gegendarstellung betrifft eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 195). Daran ändert nichts, dass vorliegend nicht die Gegendarstellung als solche, sondern die Frage strittig ist, ob die betroffene Person einen Anspruch auf ein Belegexemplar der Gegendarstellung hat: Der Antrag des Beschwerdeführers verfolgt kein wirtschaftliches Ziel, sondern ist Bestandteil eines umfassenden Begehrens (ideeller Natur) um Ausübung des Gegendarstellungsrechts. Die kantonalen Instanzen haben dem Antrag des Beschwerdeführers auf Zustellung eines Belegexemplars nicht entsprochen. Der Beschwerdeführer verfügt damit über ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung bzw. Änderung des angefochtenen Urteils (<ref-law>). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist unter Vorbehalt von E. 1.2 einzutreten.
1.2 Der Beschwerdeführer beantragt in erster Linie, die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter verlangt er aber, die Klage auf Zustellung eines Belegexemplars gutzuheissen. Inwiefern eine Rückweisung notwendig sein sollte, falls sich sein Standpunkt als zutreffend erweist, begründet er nicht. Es ist deshalb nicht auf den Haupteintrag sondern nur auf den Eventualantrag einzutreten.
1.3 Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung der in Art. 6 EMRK enthaltenen Begründungspflicht rügt, erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
Die Vorinstanz hat in verständlicher und nachvollziehbarer Weise begründet, weshalb ihrer Ansicht nach keine Gesetzeslücke vorliegt und der Beschwerdeführer hat das Urteil sachgerecht anfechten können. Eine Verletzung der Begründungspflicht im Sinn von <ref-law> ist nicht auszumachen (zum Begriff: <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Die aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK fliessende Begründungspflicht geht nicht über das hinaus, was das Bundesgericht aus dem verfassungsmässigen Recht auf eine Begründung des Entscheids (Art. 4 aBV bzw. heute <ref-law>) ableitet (vgl. Urteil des EGMR i.S. H. c. Belgien vom 30. November 1987, Serie A, Band 127, Ziff. 53; vgl. zum Ganzen Urteil 1P.472/1999 vom 12. Oktober 1999 E. 2b, Art. 4 aBV betreffend). Eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK bzw. 29 Abs. 2 BV ist nicht ersichtlich.
2. Die Vorinstanz hat die Klage auf Übergabe eines Belegexemplars abgewiesen, weil das Gesetz keinen solchen Anspruch vorsehe. Der Beschwerdeführer macht geltend, zwar sei zutreffend, dass das Gesetz nicht ausdrücklich einen solchen Anspruch einräume. Insoweit bestehe aber eine Gesetzeslücke. Der Gesetzgeber habe eine Frage nicht geregelt, welche hätte geregelt werden müssen.
2.1 Eine Lücke im Gesetz liegt vor, wenn sich eine Regelung als unvollständig erweist, weil sie jede Antwort auf eine sich stellende Rechtsfrage schuldig bleibt oder eine Antwort gibt, die aber als sachlich unhaltbar angesehen werden muss (<ref-ruling> E. 5.1 S. 478; <ref-ruling> E. 1d/aa S. 225 f. mit Hinweisen). Hat der Gesetzgeber eine Rechtsfrage nicht übersehen, sondern stillschweigend - im negativen Sinn - mitentschieden (qualifiziertes Schweigen), ist kein Platz für richterliche Lückenfüllung (<ref-ruling> E. 5.1 S. 478).
Das Gegendarstellungsrecht ist im Vergleich zu den übrigen Ansprüchen aus Persönlichkeitsschutz relativ ausführlich geregelt. Neben den Voraussetzungen enthält das Gesetz detaillierte Bestimmungen zum Verfahren, wobei zwischen dem vorprozessualen und dem Gerichtsverfahren zu unterscheiden ist. In den Art. 28g und 28h ZGB wird bestimmt, unter welchen Voraussetzungen jemand eine Gegendarstellung verlangen kann und wie diese gestaltet werden muss. Anschliessend wird festgehalten, wie der Gegendarstellungspetent vorzugehen hat, um zur Gegendarstellung zu gelangen (<ref-law>). <ref-law> regelt sodann, wie das Medienunternehmen der Verpflichtung zur Gegendarstellung nachzukommen hat. In <ref-law> ist schliesslich die gerichtliche Durchsetzung geregelt. Wie das Medienunternehmen dem Richterspruch nachzukommen hat, ist dann aber nicht mehr ausdrücklich normiert. Vielmehr richtet sich dies, wie die aussergerichtliche Erfüllung des Anspruchs, nach <ref-law>. Daraus folgt, dass die Frage, ob ein besonderer Anspruch auf ein Belegexemplar besteht, sich für die gerichtliche und die aussergerichtliche Durchsetzung grundsätzlich gleich entscheidet.
Die Bestimmungen über die Gegendarstellung äussern sich nun aber in der Tat nicht ausdrücklich zur Frage, ob der Gegendarstellungspetent Anspruch auf ein Belegexemplar hat. Es wird nur festgehalten, dass die Veröffentlichung so bald als möglich und so zu erfolgen hat, dass sie den gleichen Personenkreis erreicht wie die ursprüngliche Publikation (<ref-law>). Sie muss als Gegendarstellung gekennzeichnet sein und das Medienunternehmen darf nur die Bemerkung anhängen, dass es an seiner Darstellung festhält, bzw. mitteilen, auf welche Quellen es sich stützt (<ref-law>). Schliesslich wird festgehalten, dass die Veröffentlichung kostenlos zu erfolgen hat (<ref-law>).
2.2 Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers lässt sich nicht behaupten, dass der Gesetzgeber die Frage, ob ein Anspruch auf ein Belegexemplar bestehe, ausdrücklich hätte regeln müssen. Das Ziel der Gegendarstellung, nämlich im Bereich der öffentlichen Medien in einem gewissen Umfang gleich lange Spiesse zu schaffen, ist erreicht, wenn die Gegendarstellung publiziert wurde und damit an das gleiche Publikum gelangt ist wie der ursprüngliche Artikel. Die Zustellung eines Belegexemplars schützt die Persönlichkeit des Betroffenen nicht zusätzlich.
Der Betroffene wird sie allerdings häufig als eine Art Genugtuung empfinden. Einen Anspruch auf eine solche hat er aber nicht. Die Gegendarstellung setzt weder eine Persönlichkeitsverletzung noch eine widerrechtliche Handlung noch ein Verschulden voraus (Matthias Schwaibold, in: Basler Kommentar, 3. Aufl. 2006, N. 1 zu <ref-law>). Aus dem Umstand, dass ein Medienunternehmen zur Publikation einer Gegendarstellung verurteilt worden ist, kann nicht geschlossen werden, es habe etwas Unzulässiges getan. Das Urteil sagt nicht einmal darüber etwas aus, ob die Aussagen in der fraglichen Publikation richtig oder falsch waren. Nur bei offensichtlicher Unrichtigkeit der Gegendarstellung kann deren Publikation verweigert werden (<ref-law>).
Die Zustellung eines Belegexemplars könnte von daher nur die Funktion haben, der betroffenen Person anzuzeigen, dass das Urteil tatsächlich befolgt worden ist. Das an sich verständliche Bedürfnis, den Vollzug gemeldet zu bekommen, besteht indessen bei jedem Rechtsstreit, bei dem der Anspruch nicht in einer Sach- oder Geldleistung an den Kläger besteht. In allen jenen Fällen, in denen der Beklagte zu einer Leistung an einen Dritten oder zu einem bestimmten Verhalten - namentlich zu einem Unterlassen - verurteilt worden ist, erfährt der Kläger nicht ohne weiteres vom Vollzug des Urteils. Daraus ergibt sich aber kein genereller Anspruch auf Mitteilung des Vollzuges. Inwiefern im Zusammenhang mit der Gegendarstellung ein besonderes Bedürfnis nach einer solchen Mitteilung bestehen soll, ist nicht ersichtlich. Überdies wäre dafür die Zustellung eines Belegexemplars auch gar nicht erforderlich. Vielmehr könnte die Meldung des Vollzuges auch auf andere Weise, namentlich durch die Veröffentlichung erfolgen.
2.3 Zu Recht hält somit die Vorinstanz fest, dass sich auch aus <ref-law> kein Anspruch auf ein Belegexemplar ergibt. Die Norm behandelt nicht den Fall der gerichtlichen Anordnung einer Gegendarstellung, sondern das aussergerichtliche Vorverfahren. Dem Gesetzgeber war es ein Anliegen, dass das Gegendarstellungsrecht schnell, unkompliziert und damit möglichst ohne gerichtliches Verfahren zum Tragen kommen kann (vgl. Botschaft über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Persönlichkeitsschutz: <ref-law> und 49 OR] vom 5. Mai 1982, BBl 1982 II 672 ff.). Deshalb hat die betroffene Person zuerst ein Gesuch innert der gesetzlichen Frist an das Medienunternehmen zu richten (<ref-law>). Die betroffene Person muss nun wissen, ob das Medienunternehmen die Gegendarstellung abdruckt oder nicht. Sonst kann sie nicht entscheiden, ob sie an das Gericht gelangen muss.
Die Notwendigkeit, diese Information zu erhalten, hat sich durch die bundesgerichtliche Rechtsprechung noch verstärkt. Diese hat nämlich in Analogie zu <ref-law> festgehalten, dass der Gesuchsteller innert 20 Tagen seit Kenntnis der ablehnenden Stellungnahme des Medienunternehmens an das Gericht gelangen muss (<ref-ruling>), ansonsten an der Gegendarstellung kein schützenswertes Interesse mehr besteht. Eine solche Frist setzt zwingend voraus, dass das Medienunternehmen dem Gesuchsteller seine Stellungnahme zur Gegendarstellung mitteilt, zumal andernfalls die Frist gar nicht zu laufen beginnt. Diese Mitteilung kann sehr wohl durch die Zustellung eines Belegexemplars erfolgen. Es ist aber auch möglich, dass das Medienunternehmen dem Gesuchsteller nur mitteilt, dass es die Gegendarstellung publizieren wird. Sehr häufig wird es mit dem Gesuchsteller schon deshalb Kontakt aufnehmen, weil es eine Kürzung oder Änderung der Formulierung vorschlägt und sich dann über den genauen Wortlaut mit der betroffenen Person einigt.
In diesem Zusammenhang steht denn auch die von der Vorinstanz und vom Beschwerdeführer zitierte Literaturstelle (SCHWAIBOLD, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>). Nimmt das Medienunternehmen das Gesuch um Gegendarstellung stillschweigend an, so entspricht es in der Tat einem Gebot des Anstandes, ein Belegexemplar zuzustellen. Der Gesuchsteller muss schnell entscheiden, ob er an das Gericht zu gelangen hat. Dafür muss er aber wissen, ob seinem Gesuch entsprochen worden ist. Nach der gerichtlichen Anordnung der Gegendarstellung ist die Situation eine andere. Kommt das Medienunternehmen der gerichtlichen Anordnung nicht nach, stehen der betroffenen Person die üblichen Mittel zur Vollstreckung des Urteils zur Verfügung, ohne dass sie an kurze Fristen gebunden wäre. Von daher besteht auch kein Grund eine Mitteilungspflicht oder gar die Verpflichtung vorzusehen, ein Belegexemplar zuzustellen.
3. Was der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift an weiterer Kritik an der Begründung des vorinstanzlichen Urteils vorträgt, vermag die Rechtslage nicht in einem anderen Licht erscheinen lassen.
Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ist es ohne jede Bedeutung, welche Äusserungen Mitglieder der für die damalige Revision zuständigen Expertenkommission im Nachhinein über die damaligen Beratungen machen. Belanglos ist ferner, ob die Parteien seit Jahren in Auseinandersetzungen verwickelt sind. Zu beurteilen ist nur der vorliegende Rechtsstreit.
Dass die Gegendarstellung korrekt publiziert wurde, ist vorliegend unbestritten. Ob die Ausführungen des Gerichts darüber, wie der Beschwerdeführer zu einem Exemplar der Gegendarstellung hätte gelangen können, in tatsächlicher Hinsicht zutreffend sind, ist unerheblich. Wie dargelegt besteht kein Anspruch, ein Exemplar zu erhalten. Mangels eines Anspruchs kann es auch nicht darauf ankommen, ob es im konkreten Fall dem Kläger einfach oder nur mit grossem Aufwand möglich war, sich ein Belegexemplar zu beschaffen. Insofern ist es auch ohne Bedeutung, ob die diesbezügliche Argumentation der Vorinstanz widersprüchlich ist oder nicht.
4. Besteht kein Anspruch auf Zustellung eines Belegexemplars, erübrigt es sich, auf die weiteren in den Stellungnahmen des Beschwerdeführers zu den Vernehmlassungen des Obergerichts und der Beschwerdegegnerin enthaltenen Ausführungen einzugehen. Diese Erörterungen des Beschwerdeführers erschöpfen sich über weite Strecken in einer Wiederholung der bereits in der Beschwerdeschrift vorgebrachten Argumente und enthalten im Übrigen nichts, was eine andere Rechtsauffassung aufdrängte.
5. Die Beschwerde ist somit abzuweisen und der Beschwerdeführer hat die Kosten zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin ist nicht anwaltlich vertreten. Ihre eigenen Auslagen und der persönliche Aufwand dürften nicht derart erheblich gewesen sein, dass sich eine Parteientschädigung rechtfertigen würde. Ihr ist deshalb für das bundesgerichtliche Verfahren keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-ruling> E. 4 S. 446 mit Hinweis auf den zu Art. 159 Abs. 1 OG ergangenen <ref-ruling> E. 5 S. 21).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Für das bundesgerichtliche Verfahren wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. März 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden