Faits :
A.
Par ordonnance du 16 janvier 2015, le Ministère public de l'arrondissement de l'Est vaudois a refusé d'entrer en matière sur la plainte pénale déposée le 20 octobre 2014 par X._ contre A._. A l'appui de son ordonnance, le Procureur a retenu que les éléments constitutifs des infractions de calomnie, subsidiairement diffamation, n'étaient manifestement pas réunis. Les infractions de dénonciation calomnieuse et de tentative de contrainte n'ont pas été discutées.
B.
Par arrêt du 1 er avril 2015, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours de X._ du 2 février 2015 contre cette ordonnance. La Chambre des recours pénale a considéré que dès lors que les infractions contre l'honneur réprimées aux <ref-law> ne se poursuivent que sur plainte et compte tenu du fait que X._ avait déposé plainte plus de trois mois après avoir eu connaissance de l'auteur de l'infraction, sa plainte était tardive, de sorte que l'ordonnance attaquée pouvait être confirmée pour ce motif.
C.
X._ interjette un recours en matière pénale et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Il conclut, avec suite de frais et dépens, à ce que l'arrêt cantonal soit réformé en ce sens que son recours du 2 février 2015 auprès de l'autorité intimée est admis, que l'ordonnance de non-entrée en matière rendue le 16 janvier 2015 par le Ministère public de l'arrondissement de l'Est vaudois est annulée et qu'une instruction en relation avec la plainte pénale déposée en date du 20 octobre 2014 est ordonnée. Subsidiairement, le recourant conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité intimée pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
D.
Invités à se déterminer sur le recours, la Chambre des recours pénale et le Ministère public y ont renoncé, se référant aux considérants de l'arrêt entrepris. A._ a conclu au rejet du recours, avec suite de frais et dépens.
E.
Par courrier du 28 septembre 2015, Me Bernard de Chedid, qui avait déposé le recours au nom et pour le compte de X._, a informé le Tribunal fédéral qu'il ne représentait plus les intérêts de ce dernier.
Le 28 octobre 2015, Me Eric C. Stampfli a déclaré se constituer pour la représentation des intérêts de X._.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué a été rendu en dernière instance cantonale dans une cause de droit pénal. Il peut donc faire l'objet d'un recours en matière pénale au sens des <ref-law>, de sorte que le recours constitutionnel subsidiaire est exclu (<ref-law>).
2.
Le recourant ne discute pas le raisonnement de la cour cantonale aux termes duquel le refus d'entrer en matière du Ministère public pouvait être confirmé au motif de la tardiveté de la plainte pénale en relation avec les infractions de calomnie et de diffamation. L'objet du recours est donc circonscrit aux infractions de dénonciation calomnieuse et de tentative de contrainte.
3.
3.1. Invoquant un déni de justice, le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir arrêté un état de fait incomplet et, en conséquence, d'avoir omis de se prononcer sur les infractions de dénonciation calomnieuse et de tentative de contrainte, pourtant dénoncées dans sa plainte pénale et rappelées dans son recours cantonal.
3.2. La question de savoir si le recourant dispose de la qualité pour recourir en vertu de l'<ref-law> peut souffrir de rester indécise. En effet, en tant que le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir omis de statuer sur l'un des griefs portés devant elle, il invoque la violation de droits que la loi de procédure applicable ou le droit constitutionnel lui reconnaît comme partie à la procédure, équivalent à un déni de justice formel (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 5; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 79; <ref-ruling> consid. 1.9 p. 40).
3.3. Selon la jurisprudence, l'autorité qui ne traite pas un grief relevant de sa compétence, motivé de façon suffisante et pertinente pour l'issue du litige, commet un déni de justice formel proscrit par l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9 ; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 232).
Il ressort expressément du recours cantonal que le recourant a fait grief au Ministère public d'avoir passé sous silence les infractions de dénonciation calomnieuse et de tentative de contrainte (recours du 2 février 2015, p. 17). Or on cherche en vain, dans l'arrêt entrepris, une quelconque mention de ce grief, comme l'admet du reste l'intimé. La Chambre des recours pénale a retenu que le recourant avait déposé plainte contre A._ pour calomnie, subsidiairement diffamation, soit des infractions poursuivies uniquement sur plainte. Elle en a conclu que la plainte était de toute façon tardive dès lors que le délai de trois mois de l'<ref-law> n'avait pas été respecté. En revanche, rien n'est indiqué sur le sort des infractions de dénonciation calomnieuse et de tentative de contrainte, poursuivies d'office. Il s'ensuit qu'en ne traitant pas la question qui lui avait été soumise en lien avec les infractions précitées, la Chambre pénale des recours a violé l'art. 29 al. 1 Cst.
Il convient d'admettre le recours sur ce point et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour que celle-ci se prononce sur les arguments du recourant relatifs aux infractions de dénonciation calomnieuse et de tentative de contrainte après avoir, au besoin, examiné sa légitimation pour recourir.
3.4. Invoquant une violation de l'art. 393 al. 2 let. c CPP, le recourant fait valoir que la décision de non-entrée en matière serait particulièrement inopportune, ce qui aurait dû être souligné par l'arrêt entrepris. Ce grief tendrait à démontrer qu'il aurait été préférable, au lieu de refuser d'entrer en matière sur la plainte pénale, de suspendre l'instruction liée à la plainte pour dénonciation calomnieuse jusqu'à droit jugé sur la procédure pénale dirigée contre le recourant pour appropriation illégitime. Ce grief est toutefois rendu sans objet, à ce stade, par l'admission du grief de déni de justice formel et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle se détermine sur les arguments du recourant à l'encontre de l'ordonnance de non-entrée en matière.
4.
Le recours doit ainsi être admis, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Exceptionnellement, le présent arrêt est rendu sans frais (<ref-law>). Dans la mesure où l'admission du recours découle de la commission, par la cour cantonale, d'un déni de justice formel, sans que l'intimé n'ait provoqué ce résultat, il y a lieu de mettre à la charge du canton de Vaud l'indemnité de dépens en faveur du recourant, qui a déposé son recours par l'intermédiaire d'un avocat (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt entrepris est annulé en tant qu'il ne se prononce pas sur le grief relatif aux infractions de dénonciation calomnieuse et de tentative de contrainte. La cause est renvoyée à la cour cantonale afin qu'elle rende une nouvelle décision sur ce point.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de 3000 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge du canton de Vaud.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale. Une copie de l'arrêt est adressée à Me Bernard de Chedid pour information.
Lausanne, le 29 octobre 2015
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Musy