Erwägungen:
1. X._ studierte an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Lausanne (EPFL). Die im ersten Semester im Winter 2009/2010 durchgeführten Leistungskontrollen hatte er absolviert, wobei die Resultate ungenügend waren. Im April 2010 erkundigte er sich nach der Möglichkeit, sich aufgrund persönlicher Umstände vom Sommerprüfungsblock 2009/2010 abzumelden. Er erhielt die Antwort, dass er sich nur unter Vorlage eines ärztlichen Zeugnisses abmelden könne, wobei aber die im Winter absolvierten Prüfungen zählen würden und nicht annulliert werden könnten; zudem wurde erwähnt, dass selbst bei Vorliegen valabler Hinderungsgründe die an der allenfalls dennoch angetretenen (Sommer-)Prüfung erzielten Resultate nicht annulliert werden könnten. In der Folge legte der Studierende der EPFL ein Arztzeugnis vom 5. Mai 2010 vor, worin stand: "Il ne pourra pas se présenter dans de bonnes conditions à ses examens de juin 2010 ...". Nachdem ihm in der Folge vom Sachbearbeiter des Service académique gesagt worden war, dass der erste Prüfungsversuch angerechnet würde, was am Ende des laufenden Semesters trotz ärztlichen Zeugnisses zu einem premier échec führen werde, zumal die nicht annullierbaren (ungenügenden) Noten der Winterprüfung mit denjenigen vom Sommer zusammengezählt würden, nahm er im Sommer 2010 am Prüfungsblock teil. Das Ergebnis der Prüfungen (Winter und Sommer) war gemäss dem Notenblatt vom 2. August 2010 bei einem ausgewiesenen Notendurchschnitt von bloss 1,65 ungenügend. Das Notenblatt enthielt zudem die Bemerkungen "Crédits obtenus - 0" sowie "Résultat provisoire - Echoué". Ein Rechtsmittel wurde nicht ergriffen.
Im zur Wiederholung der Grundstufenprüfung absolvierten Prüfungsblock 2010/2011 brach X._ die Prüfung "Physik II" ab und legte hierfür ein Arztzeugnis vor. Aus dem Notenblatt vom 2. August 2011 geht hervor, dass das Gesamtergebnis ungenügend war und die Grundstufenprüfung definitiv nicht bestanden sei; die abgebrochene Physikprüfung war mit "manque" erfasst.
Mit Schreiben vom 5. August 2011 legte X._ der EPFL dar, dass er vor dem Sommer-Prüfungsblock 2009/2010 ein ärztliches Zeugnis vorgelegt habe, um diese Prüfungen nicht schreiben zu müssen; nun habe sich erst in der vergangenen Woche herausgestellt, dass er im Sommer 2010 aufgrund des ärztlichen Zeugnisses hätte dispensiert werden müssen, weshalb der erste Versuch nicht angerechnet werden dürfe und er nicht endgültig von der EPFL abgewiesen worden sei, sodass er sich im Studiengang Chemie einschreiben könne. Die EPFL antwortete am 17. August 2011, sie gehe von einem definitiven Nichtbestehen aus. Mit an die EPFL gerichtetem Schreiben vom 7. September 2011 teilte X._ mit, er erhebe Einsprache gegen seine Exmatrikulation; weil er vor dem Abbruch der Physikprüfung im Sommer 2011 ein Arztzeugnis eingereicht und er diese Prüfung noch nicht absolviert habe, könne er nicht endgültig gescheitert sein. Die EPFL ihrerseits verweigerte ihm am 14. September 2011 den Studienwechsel zum Lehrgang Chemie, dies aufgrund des definitiven Scheiterns an der Grundstufenprüfung. Am 12. Oktober 2011 sodann gelangte X._ an die ETH-Rekurskommission; er rügte die Nichtbehandlung seiner Eingaben vom 5. August und 7. September 2011. Nach verfahrensrechtlichem Hin und Her gelangte die Angelegenheit schliesslich an das Bundesverwaltungsgericht, welches die Beschwerde mit Urteil vom 14. Januar 2013 abwies, soweit darauf einzutreten war.
Mit vom 18. Februar 2013 datierter, am 20. Februar 2013 fristgerecht zur Post gegebener Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten stellt X._ dem Bundesgericht die Rechtsbegehren, der premier échec sei zu annullieren; ebenso sei das endgültige Scheitern aufzuheben; er sei zum Studium an der EPFL zuzulassen; der richtige Sachverhalt sei festzustellen; sämtliche Urteile und Entscheide mit Ausnahme der Entscheide betreffend unentgeltliche Rechtspflege seien aufzuheben; alternativ sei ein neues Urteil zu fällen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Die Begehren des Beschwerdeführers zielen darauf ab, nicht als zweimal an der Grundstufenprüfung in seinem EPFL-Studiengang gescheitert zu gelten und weiterhin an der EPFL studieren zu können. Das Bundesverwaltungsgericht hat hinsichtlich der ersten Prüfung 2009/2010 erkannt, dass deren Ergebnis nicht fristgerecht angefochten worden sei, der diesbezügliche Entscheid nicht an Nichtigkeit leide und das negative Prüfungsergebnis auch nicht aus Gründen von Treu und Glauben ungültig sei. Hinsichtlich der zweiten Prüfung 2010/2011 hat es festgehalten, dass der Abbruch der Teil-Prüfung Physik II ungeachtet allfälliger medizinischer Gründe am Nichtbestehen der Prüfung nichts ändere. Wenn eine dieser Annahmen gerichtlicher Prüfung nicht standhalten sollte, wäre die Beschwerde gutzuheissen und könnte der Beschwerdeführer nicht als definitiv in seinem Studium gescheitert gelten. Andernfalls wäre der Beschwerde - ungeachtet der weiteren vom Beschwerdeführer behandelten Aspekte des Verfahrens - kein Erfolg beschieden. Erste Voraussetzung für eine mögliche Gutheissung der Beschwerde ist, dass zu einer der beiden erwähnten Annahmen der Vorinstanz eine den gesetzlichen Anforderungen genügende Beschwerdebegründung vorgetragen wird.
2.2 Rechtsschriften haben gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Beschwerde führende Partei hat sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Gerügt werden kann die Verletzung schweizerischen Rechts (<ref-law>). Dazu gehören auch die verfassungsmässigen Rechte; deren Verletzung prüft das Bundesgericht allerdings nicht von Amtes wegen; vielmehr bedarf es diesbezüglich spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-law>), und zwar auch im Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, die hier zulässig ist, weil die (wiewohl Prüfungen betreffende) Streitigkeit nicht unter Art. 83 lit. t BGG fällt. Besonderes gilt hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanzen des Bundesgerichts. An diese ist das Bundesgericht grundsätzlich gebunden (<ref-law>), es sei denn, sie seien offensichtlich unrichtig oder beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 105 Abs. 2 bzw. 97 Abs. 1 BGG). Dabei fallen letztlich bloss die Rügen in Betracht, die Sachverhaltsfeststellung sei willkürlich oder sie beruhe auf der Verletzung von Verfahrensrechten (willkürliche Anwendung kantonaler Verfahrensvorschriften, Verletzung des rechtlichen Gehörs); entsprechende Rügen müssen den strengen Begründungsanforderungen von <ref-law> genügen (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
2.3 Zur ersten Prüfung 2009/2010, gegen deren Ergebnis erst fast ein Jahr nach Eröffnung Beschwerde erhoben worden war, hat das Bundesverwaltungsgericht die verschiedenen Kontaktnahmen zwischen dem Beschwerdeführer und der EPFL detailliert geschildert. Es hat diese - unter anderem auf dem Hintergrund der im Prüfungsblock Winter 2009/2010 erzielten ungenügenden Noten, zu welchem Aspekt sich der Beschwerdeschrift nichts entnehmen lässt - umfassend gewürdigt und ist zur Auffassung gelangt, dass unter Berücksichtigung aller Umstände die Voraussetzungen zur Annahme, der Beschwerdeführer sei auf falscher Vertrauensgrundlage, in einer mit <ref-law> nicht vereinbaren Weise, dazu verleitet worden, im Sommer 2010 die Prüfung anzutreten, nicht erfüllt seien (E. 4.2). Die rein appellatorischen Ausführungen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 246) des Beschwerdeführers hierzu sind nicht geeignet, eine offensichtlich falsche Sachverhaltsermittlung oder eine Verletzung von <ref-law> (Willkür, Treu und Glauben) darzulegen. Weder zu den Erwägungen der Vorinstanz zum Vorliegen eines Wiedererwägungsgrundes (E. 4.3) noch zur vom Beschwerdeführer behaupteten Nichtigkeit (E. 4.4) sodann lässt sich der wortreichen Beschwerdeschrift etwas Substanzielles entnehmen. Was das Nichtbestehen des ersten Prüfungsversuchs bzw. die Rechtskraft des diesbezüglichen Entscheids vom 2. August 2010 betrifft, fehlt es an einer hinreichenden Beschwerdebegründung.
2.4 Der Beschwerdeführer anerkennt das Scheitern an der Prüfung 2010/2011 mit der Begründung nicht, dass er diese gar nicht beendet bzw. absolviert habe, dies aus durch ein Arztzeugnis bescheinigten gesundheitlichen Gründen. Das Bundesverwaltungsgericht hat ungeachtet verschiedener anderer gegen eine diesbezügliche Gutheissung sprechender Gründe festgestellt, dass gemäss Notenblatt vom 2. August 2011 alle abgelegten Prüfungen ungenügend (Noten zwischen 1 und 3) waren; lediglich eine Semesterleistung sei als genügend bewertet worden; es sei unbestritten, dass die Physikprüfung das Gesamtergebnis auch dann nicht in den genügenden Bereich verschieben könnte, wenn die Bestnote erzielt würde; das Argument des Beschwerdeführers, die formale Möglichkeit der Wiederholung ermögliche ihm einen Studienwechsel, dringe aufgrund des bereits feststehenden definitiven Nichtbestehens nicht durch. Mit dieser den negativen Entscheid betreffend die Prüfung 2010/2011 für sich allein rechtfertigenden Erwägung (E. 5.4) setzt sich der Beschwerdeführer überhaupt nicht auseinander.
2.5 Die zwar umfangreiche Beschwerdeschrift enthält zu den massgeblichen, das Ergebnis des angefochtenen Urteils rechtfertigenden Erwägungen der Vorinstanz offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>), weshalb auf das Rechtsmittel mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
2.6 Da die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law>). Entsprechend sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der ETH-Beschwerdekommission und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Februar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller