Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Der 1957 geborene P._ war seit 1. Juli 1997 der Ausgleichskasse des Kantons Thurgau als Selbstständigerwerbender im Bereich «Textilan- und -verkauf/Versicherungsvermittlungen» angeschlossen. In der Erfassungsbestätigung vom 15. August 1997 wurde darauf hingewiesen, dies bedeute jedoch nicht, dass alle Erwerbseinkünfte in selbstständiger Stellung erzielt würden. Vielmehr müsse im Einzelfall geprüft werden, ob eine selbstständige Tätigkeit vorliege. Somit könne er für eine allenfalls zusätzlich ausgeübte Tätigkeit als Arbeitnehmer gelten. Ab 2000 war P._ für die Firma X._ mit Sitz in Y._ tätig. Er arbeitete als Unterakkordant in der Montage und Demontage von Messeständen. Der Betrieb war der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) unterstellt.
Im Januar 2003 ersuchte P._ die Ausgleichskasse unter Hinweis darauf, seit ungefähr drei Jahren als freischaffender Monteur zu arbeiten, um entsprechende Änderung der Registrierung als Selbstständigerwerbender. In der Folge klärte die SUVA die sozialversicherungsrechtliche Stellung von P._ in Bezug auf die Tätigkeit für die Firma X._ ab. Mit Schreiben vom 4. Juli 2003 teilte die Anstalt der Firma mit, es liege unselbstständige Erwerbstätigkeit vor. P._ sei als Arbeitnehmer der Firma X._ zu betrachten. Dem Schreiben beigelegt war die als Beitragsverfügung bezeichnete und mit einer Rechtsmittelbelehrung versehene Prämienrechnung vom 3. Juli 2003 für die Berufs- und Nichtberufsunfallversicherung für 2000 in der Höhe von Fr. 2454.50. Eine Kopie der Rechnung mit dem Hinweis auf sein Einspracherecht wurde auch P._ zugestellt. Von dieser Möglichkeit machte er indessen nicht Gebrauch. Auf Einsprache der Firma X._ hin bestätigte die SUVA mit Entscheid vom 6. Oktober 2003 den Status von P._ als Arbeitnehmer der Firma sowie die Höhe der in Rechnung gestellten Prämienforderung für 2000.
Im Januar 2003 ersuchte P._ die Ausgleichskasse unter Hinweis darauf, seit ungefähr drei Jahren als freischaffender Monteur zu arbeiten, um entsprechende Änderung der Registrierung als Selbstständigerwerbender. In der Folge klärte die SUVA die sozialversicherungsrechtliche Stellung von P._ in Bezug auf die Tätigkeit für die Firma X._ ab. Mit Schreiben vom 4. Juli 2003 teilte die Anstalt der Firma mit, es liege unselbstständige Erwerbstätigkeit vor. P._ sei als Arbeitnehmer der Firma X._ zu betrachten. Dem Schreiben beigelegt war die als Beitragsverfügung bezeichnete und mit einer Rechtsmittelbelehrung versehene Prämienrechnung vom 3. Juli 2003 für die Berufs- und Nichtberufsunfallversicherung für 2000 in der Höhe von Fr. 2454.50. Eine Kopie der Rechnung mit dem Hinweis auf sein Einspracherecht wurde auch P._ zugestellt. Von dieser Möglichkeit machte er indessen nicht Gebrauch. Auf Einsprache der Firma X._ hin bestätigte die SUVA mit Entscheid vom 6. Oktober 2003 den Status von P._ als Arbeitnehmer der Firma sowie die Höhe der in Rechnung gestellten Prämienforderung für 2000.
B. Die Firma X._ liess beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Beschwerde einreichen und beantragen, der Einspracheentscheid vom 6. Oktober 2003 und die Prämienrechnung vom 3. Juli 2003 seien aufzuheben.
Die SUVA schloss auf Abweisung des Rechtsmittels.
Das kantonale Gericht führte eine öffentliche mündliche Verhandlung durch. Im Weitern vernahm sie P._ sowie den Geschäftsführer der Firma als Zeugen ein.
Mit Entscheid vom 30. Juni 2004 hiess das thurgauische Verwaltungsgericht die Beschwerde gut.
Mit Entscheid vom 30. Juni 2004 hiess das thurgauische Verwaltungsgericht die Beschwerde gut.
C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben.
Die Firma X._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
P._ hat sich nicht vernehmen lassen.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Streitgegenstand bildet die vom kantonalen Gericht aufgehobene Prämienforderung der SUVA vom 3. Juli 2003 für die Berufs- und Nichtberufsunfallversicherung von P._ für 2000. Dabei stellt sich in erster Linie die Frage, ob der Genannte in Bezug auf seine Tätigkeit für die Beschwerdegegnerin (Montage und Demontage von Messestandbauten) als Arbeitnehmer im Sinne von <ref-law> (in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung) zu betrachten ist.
Das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts ist nicht anwendbar (<ref-ruling> f. Erw. 2.2 und 2.3; Urteil S. vom 5. Mai 2004 [C 51/04] Erw. 1).
Das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts ist nicht anwendbar (<ref-ruling> f. Erw. 2.2 und 2.3; Urteil S. vom 5. Mai 2004 [C 51/04] Erw. 1).
2. 2.1 Im angefochtenen Entscheid wird der Begriff des Arbeitnehmers nach alt <ref-law> zutreffend dargelegt (vgl. <ref-ruling> Erw. 1, 115 V 55 sowie RKUV 1999 Nr. U 329 S. 120 Erw. 2; vgl. auch RKUV 1998 S. 72 und 87). Darauf wird verwiesen.
2. 2.1 Im angefochtenen Entscheid wird der Begriff des Arbeitnehmers nach alt <ref-law> zutreffend dargelegt (vgl. <ref-ruling> Erw. 1, 115 V 55 sowie RKUV 1999 Nr. U 329 S. 120 Erw. 2; vgl. auch RKUV 1998 S. 72 und 87). Darauf wird verwiesen.
2.2 2.2.1 Nach der Rechtsprechung zu <ref-law> üben Akkordanten in der Regel eine unselbstständige Erwerbstätigkeit aus. Sie können bloss dann als Selbstständigerwerbende betrachtet werden, wenn sie Inhaber eines eigenen Betriebes sind und so als gleichberechtigte Geschäftspartner mit eigenem Unternehmerrisiko für den Akkordvergeber arbeiten (ZAK 1989 S. 24 Erw. 3a mit Hinweisen).
2.2.2 Es ist Sache der SUVA, nötigenfalls aufgrund eigener Erhebungen über den Status eines Akkordanten zu befinden, wenn die in Frage stehende Tätigkeit für resp. in einem ihr unterstellten Betrieb nach <ref-law> ausgeübt wird (ZAK 1989 S. 25 Erw. 3b mit Hinweisen).
Es steht fest, dass P._ im Jahr 2000 als Unterakkordant für die Firma X._ tätig war. Der Betrieb dieser Firma ist der SUVA unterstellt. Die Anstalt war somit zur Abklärung und Festsetzung des sozialversicherungsrechtlichen Status von P._ befugt.
Es steht fest, dass P._ im Jahr 2000 als Unterakkordant für die Firma X._ tätig war. Der Betrieb dieser Firma ist der SUVA unterstellt. Die Anstalt war somit zur Abklärung und Festsetzung des sozialversicherungsrechtlichen Status von P._ befugt.
3. Das kantonale Gericht hat zum Status von P._ in Bezug auf seine Tätigkeit für die Beschwerdegegnerin im Jahr 2000 erwogen, die Arbeit der Montage/Demontage von Messeständen könne durch Arbeitnehmer oder (selbstständigerwerbende) so genannte Freelancer im Rahmen eines Werkvertrages oder Auftrages erledigt werden. Die Firma bediene sich beider Formen, ohne dass sie - abgesehen von P._- mit der SUVA deswegen Probleme gehabt hätte. Betrachte man das Verhältnis von P._ zur Firma X._, spreche zwar einiges für Unselbstständigkeit. Es seien aber Komponenten für selbstständige Erwerbstätigkeit vorhanden, die ebenso klar im Vordergrund stünden. So sei eine gewisse arbeitsorganisatorische Unabhängigkeit von P._ nicht zu verkennen, habe er sich doch ausdrücklich vorbehalten, an von ihm ausgewählten Tagen nicht zu arbeiten. Im Weiteren stehe fest, dass der Wille von P._ im Jahre 2000 eindeutig darauf gerichtet gewesen sei, als Selbstständigerwerbender für die Firma im Umfang von etwa 70 % zeitlicher Beanspruchung tätig zu sein, um daneben anderen Beschäftigungen nachgehen zu können. Schliesslich habe auch P._ wie alle selbstständigen Mitarbeiter am 23. Januar 2001 unterschriftlich bestätigt, «alle notwendigen Abrechnungen, wie Altersvorsorge, Unfall, Haftpflicht, Krankenversicherung etc. für das Jahr 2000 korrekt abgerechnet zu haben».
Im Weiteren habe der Geschäftsführer der Firma X._ beim Amt für AHV und IV den Status von P._ telefonisch nachgefragt. Dieses habe den Status als Selbstständigerwerbender bestätigt. Die Firma habe sich auf die Richtigkeit dieser Auskunft verlassen dürfen. Zwar treffe zu, dass die Erfassungsbestätigung vom 15. August 1997 «Textilan- und -verkauf/Versicherungsvermittlungen» als Bereich selbstständiger Tätigkeit nenne. Ebenfalls werde darauf hingewiesen, dass bei einer allenfalls zusätzlich ausgeübten Tätigkeit geprüft werden müsse, ob sie in selbstständiger oder unselbstständiger Stellung ausgeübt werde. Eine solche Einschränkung liege für übliche kleinere Unternehmen indessen nicht auf der Hand und hätte daher vom Amt auf Anfrage hin klar kommuniziert werden müssen. Insofern könne der Firma nicht mangelnde Sorgfalt bei der ihr obliegenden notwendigen Abklärungen vorgeworfen werden. Im Übrigen habe P._ unterschriftlich bestätigt, «alle notwendigen Abrechnungen, wie Altersvorsorge, Unfall, Haftpflicht, Krankenversicherung etc. für das Jahr 2000 korrekt abgerechnet zu haben». Auch darauf habe sich die Firma verlassen dürfen. Das führe aufgrund des Vertrauensschutzes zur Gutheissung der Beschwerde.
Im Weiteren habe der Geschäftsführer der Firma X._ beim Amt für AHV und IV den Status von P._ telefonisch nachgefragt. Dieses habe den Status als Selbstständigerwerbender bestätigt. Die Firma habe sich auf die Richtigkeit dieser Auskunft verlassen dürfen. Zwar treffe zu, dass die Erfassungsbestätigung vom 15. August 1997 «Textilan- und -verkauf/Versicherungsvermittlungen» als Bereich selbstständiger Tätigkeit nenne. Ebenfalls werde darauf hingewiesen, dass bei einer allenfalls zusätzlich ausgeübten Tätigkeit geprüft werden müsse, ob sie in selbstständiger oder unselbstständiger Stellung ausgeübt werde. Eine solche Einschränkung liege für übliche kleinere Unternehmen indessen nicht auf der Hand und hätte daher vom Amt auf Anfrage hin klar kommuniziert werden müssen. Insofern könne der Firma nicht mangelnde Sorgfalt bei der ihr obliegenden notwendigen Abklärungen vorgeworfen werden. Im Übrigen habe P._ unterschriftlich bestätigt, «alle notwendigen Abrechnungen, wie Altersvorsorge, Unfall, Haftpflicht, Krankenversicherung etc. für das Jahr 2000 korrekt abgerechnet zu haben». Auch darauf habe sich die Firma verlassen dürfen. Das führe aufgrund des Vertrauensschutzes zur Gutheissung der Beschwerde.
4. Das kantonale Gericht hat die streitige Statusfrage nicht entschieden. Vielmehr hat es die Prämienforderung für die Berufs- und Nichtberufsunfallversicherung von P._ für 2000 gestützt auf den öffentlichrechtlichen Vertrauensschutz bei unrichtigen behördlichen Auskünften (vgl. dazu <ref-ruling> Erw. 3a, 126 II 387 Erw. 3a, 121 V 66 Erw. 2a mit Hinweisen) aufgehoben. Dieser Grundsatz kommt vorliegend indessen nicht zum Tragen, wie die SUVA zu Recht einwendet. Die Vorinstanz hält selber fest, weder der genaue Inhalt der Frage des Geschäftsführers der Firma noch die Antwort des Kantonalen Amtes für AHV und IV seien bekannt. Ebenfalls kann über den Zeitpunkt der angeblichen Auskunfterteilung nichts gesagt werden. Von einer bewiesenen vertrauensbegründenden Zusicherung der Verwaltung kann entgegen den Vorbringen in der Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin nicht die Rede sein. Von weiteren Abklärungen sind keine neuen Erkenntnisse zu erwarten. Bei dieser Tatsachenlage kann der öffentlichrechtliche Vertrauensschutz von vornherein nicht spielen. Denn von einer falschen Auskunft kann nur gesprochen werden, wenn und soweit die Behörde den ihr unterbreiteten Sachverhalt unzutreffend würdigt und den anfragenden Bürger aus diesem Grund falsch berät. Erweisen sich später einzelne Sachverhaltselemente, auf welche die Behörde bei der Auskunfterteilung abstellen konnte und durfte, als unzutreffend, kann nicht rückwirkend eine sachverhaltsbezogen richtige Auskunft zu einer falschen werden (nicht veröffentlichtes Urteil A. vom 19. Februar 1997 [C 79/96]). Umso weniger kann von einer falschen Auskunft gesprochen werden, wenn sich der der Behörde unterbreitete Sachverhalt nicht rechtsgenüglich erstellen lässt. Abgesehen davon hatte im vorliegenden Fall die Firma X._ nach eigenen Angaben P._ eine (feste) Anstellung zu einem Monatslohn von Fr. 4900.- angeboten, was jener indes ablehnte. Dies deutet darauf hin, dass die Firma selber berechtigte Zweifel an dem vom Genannten beanspruchten Status als selbstständigerwerbender (Unter-)Akkordant gehabt hatte. P._ sich der am Recht stehenden Firma gegenüber vertragswidrig verhalten hat, ist für die Statusfrage nicht von entscheidender Bedeutung. Im Übrigen hat nicht das Sozialversicherungsgericht über Forderungsstreitigkeiten als Folge einer von den Vertragsparteien abweichenden Beurteilung ihrer erwerblichen Rechtsbeziehungen durch die Verwaltung (Ausgleichskasse oder SUVA) zu befinden.
4. Das kantonale Gericht hat die streitige Statusfrage nicht entschieden. Vielmehr hat es die Prämienforderung für die Berufs- und Nichtberufsunfallversicherung von P._ für 2000 gestützt auf den öffentlichrechtlichen Vertrauensschutz bei unrichtigen behördlichen Auskünften (vgl. dazu <ref-ruling> Erw. 3a, 126 II 387 Erw. 3a, 121 V 66 Erw. 2a mit Hinweisen) aufgehoben. Dieser Grundsatz kommt vorliegend indessen nicht zum Tragen, wie die SUVA zu Recht einwendet. Die Vorinstanz hält selber fest, weder der genaue Inhalt der Frage des Geschäftsführers der Firma noch die Antwort des Kantonalen Amtes für AHV und IV seien bekannt. Ebenfalls kann über den Zeitpunkt der angeblichen Auskunfterteilung nichts gesagt werden. Von einer bewiesenen vertrauensbegründenden Zusicherung der Verwaltung kann entgegen den Vorbringen in der Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin nicht die Rede sein. Von weiteren Abklärungen sind keine neuen Erkenntnisse zu erwarten. Bei dieser Tatsachenlage kann der öffentlichrechtliche Vertrauensschutz von vornherein nicht spielen. Denn von einer falschen Auskunft kann nur gesprochen werden, wenn und soweit die Behörde den ihr unterbreiteten Sachverhalt unzutreffend würdigt und den anfragenden Bürger aus diesem Grund falsch berät. Erweisen sich später einzelne Sachverhaltselemente, auf welche die Behörde bei der Auskunfterteilung abstellen konnte und durfte, als unzutreffend, kann nicht rückwirkend eine sachverhaltsbezogen richtige Auskunft zu einer falschen werden (nicht veröffentlichtes Urteil A. vom 19. Februar 1997 [C 79/96]). Umso weniger kann von einer falschen Auskunft gesprochen werden, wenn sich der der Behörde unterbreitete Sachverhalt nicht rechtsgenüglich erstellen lässt. Abgesehen davon hatte im vorliegenden Fall die Firma X._ nach eigenen Angaben P._ eine (feste) Anstellung zu einem Monatslohn von Fr. 4900.- angeboten, was jener indes ablehnte. Dies deutet darauf hin, dass die Firma selber berechtigte Zweifel an dem vom Genannten beanspruchten Status als selbstständigerwerbender (Unter-)Akkordant gehabt hatte. P._ sich der am Recht stehenden Firma gegenüber vertragswidrig verhalten hat, ist für die Statusfrage nicht von entscheidender Bedeutung. Im Übrigen hat nicht das Sozialversicherungsgericht über Forderungsstreitigkeiten als Folge einer von den Vertragsparteien abweichenden Beurteilung ihrer erwerblichen Rechtsbeziehungen durch die Verwaltung (Ausgleichskasse oder SUVA) zu befinden.
5. Es steht fest und ist unbestritten, dass P._ im interessierenden Zeitraum 2000 Akkordarbeit für die Beschwerdegegnerin geleistet hatte. Praxisgemäss kommt Akkordanten in der Regel Arbeitnehmer-Status zu (Erw. 2.2.1). Davon abzuweichen, besteht vorliegend kein Anlass. In arbeitsorganisatorischer Hinsicht sowie in Bezug auf die Weisungsgebundenheit von der Beschwerdegegnerin weist die SUVA zu Recht und grundsätzlich unwidersprochen auf den zeitlichen Umfang, die genauen Vorgaben bezüglich Termin sowie die Art und Weise der Arbeitsausführung hin. Ob P._ daneben noch anderweitig erwerbstätig war und ob der Beschäftigungsgrad näher bei 70 % als bei 150 % lag, wie die Firma in der Vernehmlassung einwendet, ist nicht entscheidend. Dass der Genannte es immer wieder abgelehnt habe, an Donnerstagen oder Freitagen zu arbeiten, schliesst die Arbeitnehmereigenschaft ebenfalls nicht aus. Dies gilt umso mehr, als es offenbar regelmässig die selben beiden Wochentage betraf. Im Übrigen ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht, inwiefern diese von der Beschwerdegegnerin im Übrigen akzeptierte Arbeitszeitregelung arbeitsorganisatorische Abhängigkeit und Weisungsgebundenheit ausschliesst. Das Gleiche gilt auch in Bezug auf die angeblich von P._ immer wieder verweigerte Mitarbeit an Projekten, wenn es ihm nicht gepasst habe. Unter dem Gesichtspunkt der arbeitsorganisatorischen Einbindung und Weisungsgebundenheit sodann ist unerheblich, dass er das Angebot der Firma für eine Anstellung als Arbeitnehmer ablehnte und auf dem Status als selbstständigerwerbender Akkordant beharrte. Im Weiteren bestand für P._ kein unternehmerisches Risiko. Weder führte er selber einen Betrieb mit eigenen Angestellten noch tätigte er nennenswerte Investitionen in Betriebsmittel. Sein wirtschaftliches Risiko erschöpfte sich in der Zahlungsunfähigkeit oder -willigkeit der Firma, wie die SUVA richtig festhält. Ein typisches Unternehmerrisiko etwa in dem Sinne, dass P._ wirtschaftlich abhängig gewesen war vom jeweiligen Auftragsvolumen der Firma X._ und er jeweils sehr kurzfristig telefonisch zur Arbeitsleistung angefordert worden war, bestand nicht (vgl. ASA 61 S. 814 Erw. 3). Schliesslich kann unter den gegebenen Umständen auch der fehlende Eintrag im Handelsregister als Indiz für den Arbeitnehmer-Status betrachtet werden (ASA a.a.O.).
Überwiegen somit klar die Merkmale unselbstständiger Erwerbstätigkeit, hat P._ in Bezug auf seine Tätigkeit für die Beschwerdegegnerin im Jahr 2000 als Arbeitnehmer im Sinne von alt <ref-law> zu gelten. Die in masslicher Hinsicht nicht bestrittene Prämienforderung gemäss Einspracheentscheid vom 6. Oktober 2003 erging daher zu Recht. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist begründet.
Überwiegen somit klar die Merkmale unselbstständiger Erwerbstätigkeit, hat P._ in Bezug auf seine Tätigkeit für die Beschwerdegegnerin im Jahr 2000 als Arbeitnehmer im Sinne von alt <ref-law> zu gelten. Die in masslicher Hinsicht nicht bestrittene Prämienforderung gemäss Einspracheentscheid vom 6. Oktober 2003 erging daher zu Recht. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist begründet.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau vom 30. Juni 2004 aufgehoben.
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau vom 30. Juni 2004 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 600.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt. Der von der SUVA geleistete Kostenvorschuss von Fr. 600.- wird rückerstattet.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 600.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt. Der von der SUVA geleistete Kostenvorschuss von Fr. 600.- wird rückerstattet.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, dem Bundesamt für Gesundheit und P._ zugestellt.
Luzern, 22. Februar 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: