Erwägungen:
1. X._ (geb. 1975) stammt aus dem Irak. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 12. Dezember 2007 in Ausschaffungshaft, welche das Haftgericht III Bern-Mittelland am 5. März 2008 bis zum 10. September 2008 verlängerte. X._ beantragt vor Bundesgericht, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Seine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden; es erübrigt sich unter diesen Umständen, das Vorliegen der Eintretensvoraussetzungen zu prüfen:
2.1 Der Beschwerdeführer ist unbestrittenermassen im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden und hätte das Land verlassen müssen, was er nicht getan hat. Er weigert sich nach wie vor, freiwillig in den Irak zurückzukehren. Es besteht bei ihm gestützt hierauf Untertauchensgefahr im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 AuG; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.). Der Beschwerdeführer ist am 13. Dezember 2007 als irakischer Staatsangehöriger anerkannt und sein Fall zur weiteren Prüfung nach Bagdad weitergeleitet worden. Sobald die Modalitäten für eine allfällige zwangsweise Rückschaffung geklärt sind, wird der Beschwerdeführer auch gegen seinen Willen in seine Heimat verbracht werden können (vgl. Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG). Es bestehen keine Hinweise dafür, dass sich die schweizerischen Behörden nicht weiterhin mit Nachdruck hierum bemühen werden (Art. 76 Abs. 4 AuG). Der angefochtene Entscheid verletzt deshalb kein Bundesrecht.
2.2 Was der Beschwerdeführer einwendet, überzeugt nicht: Der Umstand, dass sich seine Ausschaffung schwierig gestaltet, lässt die Ausschaffungshaft nicht bereits unverhältnismässig erscheinen; gerade wegen solcher Probleme hat der Gesetzgeber die Haftdauer erhöht und die Möglichkeit der Haftverlängerung - inzwischen bis zu achtzehn Monaten - geschaffen (Art. 76 Abs. 3 AuG; <ref-ruling> E. 4.2). Der Asyl- bzw. Wegweisungsentscheid kann im vorliegenden Verfahren nicht mehr in Frage gestellt werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197; <ref-ruling> E. 2 S. 220 f.; Art. 105 Abs. 1 Satz 2 AsylG [SR 142.31]). Die Haftverlängerung direkt um sechs Monate erscheint zwar als relativ lang, nachdem die Haftbehörden selber davon ausgehen, dass das Verfahren noch etwa "drei bis vier Monate" dauern dürfte; da mit dem Irak aber entsprechende Erfahrungen fehlen, kann nicht gesagt werden, sie sei geradezu unverhältnismässig, zumal es der Beschwerdeführer jederzeit in der Hand hat, seine Haft zu beenden, indem er freiwillig in seine Heimat zurückkehrt. In diesem Fall können die Papiere für ihn innert weniger Tage beschafft werden.
2.3 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, bei einer Haftentlassung sofort ohne Papiere in ein anderes Land zu reisen, verkennt er, dass die schweizerischen Behörden nicht bewusst zu einer illegalen Einreise in einen Drittstaat Hand bieten dürfen (<ref-ruling> E. 4.2.2). Der Beschwerdeführer hätte die Schweiz längst verlassen müssen; er hatte genügend Zeit, eine legale Ausreise in ein anderes Land zu organisieren. Soweit er geltend macht, allenfalls zu einem Cousin in die Vereinigten Staaten reisen zu können, steht es ihm frei, sich um eine entsprechende Einreisebewilligung zu bemühen; liegt eine solche vor, wird ein Wegweisungsvollzug dorthin geprüft werden können (vgl. Art. 69 Abs. 2 AuG); andernfalls ist nur sein Heimatstaat verpflichtet, ihn zurückzunehmen (<ref-ruling> E. 4.2.2).
3. Aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, absehbarer Wegweisungsvollzug usw.) kann davon abgesehen werden, Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. März 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar