Sachverhalt:
A. Das Betreibungsamt Schaffhausen stellte am 23. März 2007 in der gegen die X._ AG laufenden Betreibung Nr. xxxx (Gläubigerin: Y._ GmbH) die Konkursandrohung zu.
B. Gegen die Konkursandrohung erhob die X._ AG am 30. März 2007 Beschwerde beim Obergericht Schaffhausen als kantonaler Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen und machte geltend, sie habe nie einen Zahlungsbefehl erhalten, weshalb die Konkursandrohung nichtig sei. Mit Entscheid vom 17. Juli 2007 wies die kantonale Aufsichtsbehörde die Beschwerde unter Kostenfolgen (Fr. 600.--) ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. Juli 2007 beantragt die X._ AG dem Bundesgericht, der Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde sei aufzuheben und es sei die Nichtigkeit der Konkursandrohung festzustellen; eventuell sei diese aufzuheben.
Das Betreibungsamt und die Aufsichtsbehörde haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Gläubigerin als Beschwerdegegnerin schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen, welche in diesem Bereich an die Stelle der Beschwerde in Betreibungssachen tritt (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Beschwerdeentscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden über Verfügungen der Vollstreckungsorgane gemäss <ref-law> - wie hier die Konkursandrohung - sind Endentscheide im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 351). Der Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze anfechtbar (<ref-law>). Die fristgerecht erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig (<ref-law>).
1.2 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Unter dieses fallen auch verfassungsmässige Rechte des Bundes (<ref-ruling> E. 3.1 S. 447; <ref-ruling> E. 1 S. 203).
2. Die kantonale Aufsichtsbehörde hat im Wesentlichen festgehalten, dass sich der vom Betreibungsamt Schaffhausen am 20. November 2006 erlassene Zahlungsbefehl in der Betreibung Nr. xxxx gegen die Beschwerdeführerin richte. Als Schuldnerin sei die Beschwerdeführerin mit ihrer Adresse und als Zustelladresse sei die Privatadresse des Verwaltungsratspräsidenten der Beschwerdeführerin, V._ in T._, aufgeführt. Der Zahlungsbefehl sei auf dem Rechtshilfeweg dessen Ehefrau am 5. Dezember 2006 übergeben worden. Die Zustellung des Zahlungsbefehls an den Verwaltungsratspräsidenten der Beschwerdeführerin an dessen Wohnsitz und dort ersatzweise an dessen Ehefrau sei nicht zu beanstanden. Daran ändere nichts, dass die Ehefrau in der Folge beim Betreibungsamt gegen die Aushändigung protestierte. Gegen den Zahlungsbefehl sei kein Rechtsvorschlag erhoben worden, so dass die Fortsetzung der Betreibung durch die Konkursandrohung nicht zu beanstanden sei.
2.1 Die Beschwerdeführerin hält der Vorinstanz im Wesentlichen entgegen, dass der Zahlungsbefehl gemäss <ref-law> nicht unmittelbar dem Verwaltungsratspräsidenten an dessen Privatadresse zugestellt werden dürfe; ebenso wenig sei eine Ersatzzustellung - wie gemäss <ref-law> betreffend Zustellung an natürliche Personen - an eine andere im Haushalt angetroffene Person zulässig, zumal die Ehefrau des Verwaltungsratspräsidenten weder Organ noch Arbeitnehmerin der Beschwerdeführerin sei. Im Übrigen müsse der Protest der Ehefrau auf dem Betreibungsamt als Rechtsvorschlag ausgelegt werden.
3. 3.1 Ist die Betreibung gegen eine juristische Person gerichtet, so erfolgt die Zustellung an den Vertreter derselben; als solcher gilt u.a. für eine Aktiengesellschaft jedes Mitglied der Verwaltung (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin - eine Aktiengesellschaft - unter Hinweis auf den Wortlaut der Bestimmung in Frage stellt, dass der Zahlungsbefehl ihrem Verwaltungsratspräsidenten direkt ausserhalb des Geschäftslokals zugestellt werden könne, geht sie fehl. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> ff. nach Auseinandersetzung mit den Lehrmeinungen und unter Hinweis auf seine Rechtsprechung (BGE 72 III 71 mit Hinweis auf BGE 44 III 21) entschieden, dass Betreibungsurkunden den in <ref-law> genannten Personen auch ausserhalb des Geschäftslokals der betriebenen juristischen Person oder Gesellschaft zugestellt werden können, ohne dass vorgängig die Zustellung im Geschäftslokal versucht werden muss (<ref-ruling> E. 2b S. 385). Diese Rechtsprechung wird in der Lehre bestätigt (Jeanneret/Lembo, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, Basel 2005, N. 18 zu <ref-law> mit Hinweisen; Gilliéron, Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 4. Aufl. Basel 2005, Rz. 491). Entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführerin ist an dieser Rechtsprechung festzuhalten.
3.2 Die Beschwerdeführerin bringt vor, dass eine Ersatzzustellung gemäss <ref-law> - hier an die Ehefrau des Verwaltungsratspräsidenten der Aktiengesellschaft - unzulässig sei, wenn der betreffende Vertreter einer juristischen Person oder Gesellschaft in seiner Wohnung nicht angetroffen werde. Der Einwand geht fehl. In der Lehre ist anerkannt, dass bei einer direkten Zustellung der Betreibungsurkunden an die in <ref-law> genannten Personen ausserhalb des Geschäftslokals der betriebenen juristischen Person oder Gesellschaft für die Ersatzzustellung <ref-law> anzuwenden ist, wenn der betreffende Vertreter nicht persönlich angetroffen wird (Jeanneret/Lembo, a.a.O.). Die kantonale Aufsichtsbehörde hat zu Recht festgehalten, dass <ref-law>, der die Zustellung an natürliche Personen regelt, einen allgemeinen Grundsatz enthält, der - soweit nötig - die Bestimmungen des <ref-law> zu ergänzen hat (BGE 72 III 71 S. 72; 44 III 21 S. 23). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ändert nichts daran, dass die Ersatzzustellung hier nicht an einen Angestellten, sondern an die Ehefrau, welche nichts mit der Beschwerdeführerin zu tun habe, erfolgt ist. Bereits in BGE 44 III 21 (S. 22 f.) hat das Bundesgericht für den Fall, dass der Vertreter einer Gesellschaft in seiner Wohnung nicht angetroffen wird, entschieden, dass eine zur Haushaltung des Schuldners gehörende erwachsene Person die gleichen Garantien für eine Übermittlung an den eigentlichen Schuldner bietet wie ein Angestellter. Es sind keine Anhaltspunkte ersichtlich, welche die auf diese Überlegung gestützte Praxis in Frage stellen würden. Vor diesem Hintergrund liegt keine Rechtsverletzung vor, wenn die kantonale Aufsichtsbehörde zum Ergebnis gelangt ist, dass die Zustellung des Zahlungsbefehls am 5. Dezember 2006 an den Verwaltungsratspräsidenten der Beschwerdeführerin an dessen privatem Wohnsitz und dort ersatzweise an dessen Ehefrau wirksam sei. Der Einwand der Beschwerdeführerin, die kantonale Aufsichtsbehörde habe zu Unrecht angenommen, dass sich die Konkursandrohung auf einen wirksam zugestellten Zahlungsbefehl stütze, geht fehl und die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
3.3 Weiter macht die Beschwerdeführerin geltend, in der von der Ehefrau des Verwaltungsratspräsidenten gegenüber dem Betreibungsamt Reiat abgegebenen Erklärung sei ein mündlich erhobener und wirksamer Rechtsvorschlag zu erblicken. Dazu hat sich die Vorinstanz nicht geäussert; ebenso wenig hatte sie entsprechende Veranlassung. Die Beschwerdeführerin hat in ihrer Beschwerde an die kantonale Aufsichtsbehörde lediglich bemängelt, die Konkursandrohung sei nichtig, weil ihr kein Zahlungsbefehl zugestellt worden sei. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin, wonach für den Fall, dass der Zahlungsbefehl wirksam zugestellt worden sei, in der von der Ehefrau abgegebenen Erklärung ein Rechtsvorschlag zu erblicken sei, laufen auf den Antrag hinaus, es sei das Betreibungsamt anzuweisen, den Rechtsvorschlag zuzulassen. Dieser Antrag wurde im kantonalen Verfahren nicht gestellt und ist als neues Begehren im vorliegenden Verfahren unzulässig (<ref-law>).
4. Die Beschwerdeführerin wendet sich schliesslich dagegen, dass ihr die kantonale Aufsichtsbehörde die Verfahrenskosten auferlegt hat. Gemäss <ref-law> können im Verfahren vor den kantonalen Aufsichtsbehörden bei bös- oder mutwilliger Prozessführung einer Partei oder ihrem Vertreter Bussen bis zu Fr. 1'500.-- sowie Gebühren und Auslagen auferlegt werden. Die Vorinstanz begründet die Auferlegung der Verfahrenskosten im Wesentlichen damit, dass die Beschwerdeführerin den Zahlungsbefehl in der Betreibung Nr. xxxx verschwiegen und versucht habe, mit dem Hinweis auf eine andere Betreibung Verwirrung zu stiften. Der Einwand der Beschwerdeführerin, der Verwaltungsratspräsident habe die Zustellung des Zahlungsbefehls in der Betreibung Nr. xxxx nicht mehr gegenwärtig gehabt und nach dem Protest der Ehefrau beim Betreibungsamt als "erledigt" betrachtet, ist unbehelflich. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern die kantonale Aufsichtsbehörde ihr Ermessen in gesetzwidriger Weise ausgeübt habe, wenn sie erwogen hat, die Beschwerdeführerin habe durch die Behauptung, es sei ihr nie ein Zahlungsbefehl zugestellt worden, nicht in guten Treuen Beschwerde geführt (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 97, 103 E. 2 S. 104; Cometta, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 11 zu <ref-law>). Auf die insoweit nicht substantiierte Beschwerde kann nicht eingetreten werden (<ref-law>).
5. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 OG). Eine Parteientschädigung ist nicht zu sprechen, da die Beschwerdegegnerin keinen entsprechenden Antrag gestellt hat und eine Entschädigung in der Sache nicht gerechtfertigt ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Dezember 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Levante