Sachverhalt:
A. Das Flugfeld A._ umfasst eine Flugpiste, die zum grössten Teil auf Grundstück Nr._m liegt, sowie einen Hangar auf Grundstück Nr._n. Beide Grundstücke stehen im Eigentum der Y._ AG, wobei letzteres Gegenstand eines betreibungsrechtlichen Pfandverwertungsverfahrens bildet. Das östliche Ende der Piste (ca. 70 Meter) befindet sich auf einem Grundstück, das im Eigentum eines Dritten steht. Inhaberin der Betriebsbewilligung für das Flugfeld A._ ist die Fluggruppe A._. Bis Ende 2009 war die Fluggruppe A._ Pächterin oder Mieterin aller Grundstücke, die zum Flugplatz gehören. Ende 2009 liefen die Miet- und Pachtverträge für die im Eigentum der Y._ AG stehenden Grundstücke aus, sodass die Fluggruppe A._ das Flugfeld nicht mehr nutzen konnte. Der Flugbetrieb ist seit Ende 2009 eingestellt, die demontierbare Infrastruktur entfernt und in der Nähe des Flugplatzes eingelagert. Die Fluggruppe A._ ist jedoch noch immer Pächterin des östlichen Pistenendes und Inhaberin der Überflugrechte am angrenzenden Grundstück.
Am 16. Dezember 2009 reichte die X._ AG, welche wie die Y._ AG von Z._ als alleiniger Verwaltungsrat geführt wird, beim Bundesamt für Zivilluftfahrt (BAZL) ein Gesuch um Erteilung der Betriebsbewilligung für das Flugfeld A._ sowie ein Betriebsreglement ein. Das BAZL bezog die Fluggruppe A._ in das Verfahren ein, welche sich zum Gesuch der X._ AG ablehnend äusserte und überdies festhielt, sie wolle ihre Betriebsbewilligung behalten.
Mit Verfügung vom 18. Juni 2010 wies das BAZL das Gesuch der X._ AG ab.
B. Gegen die Nichterteilung der Betriebsbewilligung erhob die X._ AG Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Dieses lud die Fluggruppe A._ zum Verfahren bei, führte eine öffentliche Verhandlung durch und wies die Beschwerde mit Urteil vom 21. Oktober 2011 ab.
C. Die X._ AG erhebt beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Betriebsbewilligung für das Flugfeld sei ihr zu übertragen; alternativ sei in zwei Schritten vorzugehen, indem die Betriebsbewilligung zuerst der Fluggruppe A._ entzogen und in einem zweiten Schritt ihr - der Beschwerdeführerin - erteilt werde, sobald sie die weiteren Voraussetzungen erfülle; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanzen zurückzuweisen mit der Weisung, im dargelegten Sinne vorzugehen. Zudem beantragt sie, die Beigeladene sei aus dem Verfahren auszuschliessen.
Das BAZL und die Fluggruppe A._ beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a sowie Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist als Adressatin der ursprünglichen Verfügung und des angefochtenen Entscheids zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Auf die frist- und formgerecht (Art. 42 Abs. 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist daher grundsätzlich einzutreten (unter Vorbehalt von E. 1.2 und E. 1.3 hiernach).
1.2 Streitgegenstand vor Bundesgericht kann nur sein, was bereits vor der Vorinstanz Streitthema war. Das BAZL hatte im Dispositiv seiner Verfügung vom 18. Juni 2010 bloss das Gesuch der Beschwerdeführerin um Bewilligungserteilung abgewiesen, aber keinen Entscheid über einen allfälligen Entzug der Bewilligung gegenüber der Beschwerdegegnerin getroffen. In den Erwägungen hatte es allerdings ausgeführt, es liege kein Grund vor, der (ins Verfahren einbezogenen) Fluggruppe A._ die Bewilligung zu entziehen. Vor dem Bundesverwaltungsgericht hatte die Beschwerdeführerin wie auch jetzt vor Bundesgericht beantragt, die Bewilligung sei von der Fluggruppe A._ auf sie - die Beschwerdeführerin - zu übertragen. Das Bundesverwaltungsgericht erwog, Gegenstand des Beschwerdeverfahrens sei die Betriebsbewilligung für das Flugfeld A._ und damit auch die Frage, ob diese der Fluggruppe A._ zu Recht belassen worden sei. Es hat indessen im Dispositiv bloss die Beschwerde abgewiesen und damit die Verfügung des BAZL bestätigt. Betreffend den Entzug der bisherigen Bewilligung der Fluggruppe A._ liegt daher noch kein formeller Entscheid vor. Soweit die Beschwerdeführerin vorliegend beantragt, es sei der Beschwerdegegnerin die Betriebsbewilligung zu entziehen, geht dies demzufolge über den Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens hinaus, sodass in diesem Umfang auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann und die entsprechenden Ausführungen der Beschwerdeführerin nicht zu hören sind.
1.3 Das Bundesgericht prüft die richtige Anwendung des Bundesrechts frei und von Amtes wegen (Art. 95 lit. a und Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Verletzung von Grundrechten prüft es nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung beruhen (<ref-law>).
2. Vorab rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe ihr Ermessen missbraucht und sei in Willkür verfallen, indem sie die Fluggruppe A._ zum Verfahren beigeladen und ihr damit Parteistellung zugestanden habe.
Die Rüge geht fehl: Wie das Bundesverwaltungsgericht zutreffend aufgezeigt hat, bestimmt <ref-law>, dass als Parteien u.a. die Personen gelten, deren Rechte oder Pflichten die Verfügung berühren soll. Da die Fluggruppe A._ gegenwärtig die Betriebsbewilligung für das Flugfeld A._ innehat und sie nach wie vor Pächterin des östlichen Pistenendes und Inhaberin der Überflugrechte des angrenzenden Grundstücks ist, erhellt ohne Weiteres, dass die Fluggruppe A._ durch das vorinstanzliche Verfahren in ihren Rechten und Pflichten berührt wird. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn das Bundesverwaltungsgericht die Parteistellung der Fluggruppe A._ bejaht hat. Von Willkür und Ermessensmissbrauch kann diesbezüglich jedenfalls keine Rede sein.
Gleiches gilt auch für das Verfahren vor Bundesgericht. Aus diesem Grund ist der (Verfahrens-)Antrag der Beschwerdeführerin auf Ausschluss der Beschwerdegegnerin aus dem bundesgerichtlichen Verfahren unbegründet.
3. Soweit ihre Ausführungen den Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens betreffen (vgl. E. 1.2 hiervor), rügt die Beschwerdeführerin, dass ihr die Betriebsbewilligung für das Flugfeld A._ zu Unrecht verweigert worden sei. In diesem Zusammenhang macht sie ebenfalls geltend, dass die Vorinstanz in Willkür verfallen sei, indem sie im angefochtenen Entscheid festgehalten habe, der vom BAZL erhobene Sachverhalt treffe im Wesentlichen zu.
3.1 Für den Betrieb eines Flugfeldes ist eine Betriebsbewilligung des BAZL erforderlich (Art. 36b Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 21. Dezember 1948 über die Luftfahrt [Luftfahrtgesetz, LFG; SR 748.0]).
Die Betriebsbewilligung beinhaltet das Recht, ein Flugfeld gemäss den Zielen und Vorgaben des Sachplans Infrastruktur der Luftfahrt (SIL) zu betreiben, und die Verpflichtung des Flugfeldhalters, die Voraussetzungen für eine geordnete Benützung sicherzustellen und das Flugfeld nach den gesetzlichen Bestimmungen sowie den Bestimmungen des Betriebsreglements zu betreiben (Art. 17 Abs. 1 der Verordnung vom 23. November 1994 über die Infrastruktur der Luftfahrt [VIL; SR 748.131.1]). Die Betriebsbewilligung wird erteilt bzw. die Änderung der Betriebsbewilligung wird genehmigt, wenn das Projekt den Zielen und Vorgaben des SIL entspricht, der Gesuchsteller über die erforderlichen Fähigkeiten, Kenntnisse und Mittel verfügt, um einen rechtmässigen Betrieb aufrechtzuerhalten, und das Betriebsreglement genehmigt werden kann (<ref-law>).
Mit der Betriebsbewilligung für ein Flugfeld wird - anders als bei einer Betriebskonzession für einen Flughafen (Art. 36a LFG) - weder das Recht zum gewerbsmässigen Betrieb einer dem öffentlichen Verkehr dienenden Anlage noch ein Enteignungsrecht übertragen. Auch die übrigen zu Gunsten von Flughäfen vorgesehenen Eigentumsbeschränkungen zum Nachteil Dritter (Art. 42-44 LFG) gelten für Flugfelder nicht; die nötigen Massnahmen zur Gewährleistung des Betriebs sind auf privatrechtlichem Weg zu treffen (Art. 44b Abs. 1 und Abs. 2 LFG; Urteil 2A.388/1996 vom 26. November 1997 E. 3a). Allerdings sieht Art. 44b Abs. 3 LFG vor, dass die Bewilligung für den Betrieb des Flugplatzes zu verweigern oder zu entziehen ist, wenn auf dem privatrechtlichen Weg die Einhaltung der einschlägigen Vorschriften nicht gewährleistet ist. Insofern wird eine Verbindung zwischen dem Luftfahrtrecht und der privatrechtlichen Situation geschaffen.
3.2 Das BAZL hat die Bewilligungserteilung an die Beschwerdeführerin im Wesentlichen mit folgender Begründung verweigert: Bezüglich die im Eigentum der Y._ AG stehenden Grundstücke, auf denen der grösste Teil des Flugfeldes liege, sei ein Verfahren zur Grundpfandverwertung hängig, sodass die Beschwerdeführerin auf absehbare Zeit nicht darüber verfügen könne. Zudem besitze die Beschwerdeführerin auch nicht die Rechte zur Nutzung der weiteren durch das Flugfeld belegten Grundstücke oder für den direkten Überflug der angrenzenden Grundstücke. Da für ein Flugfeld jeweils nur eine einzige Betriebsbewilligung an einen einzigen Halter erteilt werde, könnte dem Gesuch der Beschwerdeführerin ohnehin nur dann entsprochen werden, wenn die bisherige Bewilligungsinhaberin, die Fluggruppe A._, auf die Bewilligung verzichten würde oder sie ihr entzogen werden müsste, was hier beides nicht der Fall sei.
Die Vorinstanz hat den massgebenden Sachverhalt dahingehend korrigiert, dass sich das Grundpfandverwertungsverfahren nur auf das Grundstück mit dem Hangar, nicht aber auf dasjenige mit dem Grossteil der Flugpiste beziehe. Dies sei aber kein entscheidendes Element der Sachverhaltsfeststellung: Die Beschwerdeführerin könne eine allfällige Betriebsbewilligung derzeit nicht nutzen, weil sie nicht die Berechtigung habe, das Grundstück mit dem Hangar und dasjenige am östlichen Pistenende zu benutzen; die Nutzung des Hangars hänge vom Fortgang der Grundpfandverwertung ab. Im Übrigen bestätigte das Bundesverwaltungsgericht die Praxis des BAZL, für ein Flugfeld nur eine einzige Betriebsbewilligung zu erteilen: Die gesetzliche Verpflichtung des Bewilligungsinhabers, die Voraussetzungen für eine geordnete Benützung sicherzustellen und das Flugfeld nach den einschlägigen Vorschriften zu betreiben, könne nicht auf verschiedene, voneinander unabhängig handelnde oder gar unter sich zerstrittene Personen oder Organisationen aufgeteilt werden. Im vorliegenden Fall seien die Beschwerdeführerin und die Fluggruppe A._ beide an je einem Teil der Flugpiste berechtigt und behinderten sich gegenseitig an der Ausübung dieser Rechte.
3.3 Die Auffassung der Vorinstanz und des BAZL, dass für ein Flugfeld nur eine einzige Betriebsbewilligung erteilt werden kann, erscheint überzeugend. Tatsächlich ist nicht erkennbar, wie zwei Personen oder Organisationen gleichzeitig mit der Gesamtverantwortung für den Betrieb desselben Flugfeldes betraut werden könnten. Dieser Grundsatz wird denn auch von der Beschwerdeführerin nicht beanstandet. Da für das Flugfeld A._ bereits der Fluggruppe A._ eine Betriebsbewilligung erteilt wurde, erhellt ohne Weiteres, dass eine Bewilligungserteilung an die Beschwerdeführerin erst in Frage kommen kann, wenn die Bewilligung der Fluggruppe A._ formell widerrufen worden ist. Wie jedoch bereits festgehalten wurde, bildete ein Widerruf der Betriebsbewilligung der Fluggruppe A._ formell nicht Gegenstand der Entscheide des BAZL bzw. des Bundesverwaltungsgerichts, weshalb diese Frage auch im vorliegenden Verfahren vor Bundesgericht nicht geprüft werden kann (vgl. E. 1.2 hiervor). Bei der gegenwärtigen Sachlage verstösst es daher nicht gegen die Bestimmungen des Luftfahrtgesetzes und erst recht nicht gegen das Willkürverbot von <ref-law>, wenn die Vorinstanzen den Anspruch der Beschwerdeführerin auf Erteilung einer eigenen Betriebsbewilligung für das Flugfeld A._ verneint haben.
Auch eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz ist nicht zu erkennen: Dass die Beschwerdeführerin über den grösseren Teil der Piste zivilrechtlich verfügen kann, wird von keiner Seite in Abrede gestellt. Betreffend den Hangar macht die Beschwerdeführerin wie schon vor Bundesverwaltungsgericht geltend, sie sei Mieterin des Hangars und könne diesen ungeachtet des Grundpfandverwertungsverfahrens nutzen; die Vorinstanz hat diesbezüglich erwogen, die Beschwerdeführerin habe "unstreitig" keine Berechtigung, das Grundstück mit dem Hangar zu nutzen. Diese Feststellung ist zwar unrichtig, da es jedenfalls denkbar ist, dass die Beschwerdeführerin ungeachtet des laufenden Grundpfandverwertungsverfahrens noch am Hangar nutzungsberechtigt ist, sofern sie wirklich einen entsprechenden Mietvertrag haben sollte, wozu die Vorinstanz keine Sachverhaltsfeststellungen getroffen hat. Indessen ändert dieser Umstand nichts an der wesentlichen Feststellung der Vorinstanz, dass die Beschwerdeführerin eine allfällige Betriebsbewilligung für das Flugfeld A._ gar nicht benutzen könnte: Fest steht nämlich, dass die Beschwerdeführerin gegenwärtig kein Recht auf Nutzung des östlichen Pistenendes sowie zum Überflug des angrenzenden Grundstücks hat. Diesbezüglich brachte die Beschwerdeführerin zwar vor, sie könnte einerseits mit dem Eigentümer dieser Grundstücke die erforderlichen Rechte vereinbaren, und andererseits sei es auch möglich, mit Luftfahrzeugen zu landen oder zu starten, welche weder dieses Pistenende noch die Überflugrechte benötigen. Diese Einwendungen blieben jedoch gänzlich unbelegt und sind deshalb unbeachtlich.
4. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde unbegründet und somit abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist.
Das im bundesgerichtlichen Verfahren vorgetragene Gesuch der Beschwerdeführerin um Widerruf der Betriebsbewilligung der Beschwerdegegnerin (vgl. E. 1.2 hiervor) ist zuständigkeitshalber an das BAZL zu überweisen. Dieses hat zu prüfen, ob es auf das Gesuch der Beschwerdeführerin als Drittbetroffene eintreten kann. Gegebenenfalls hat es bezüglich den Widerruf der Betriebsbewilligung der Beschwerdegegnerin einen materiellen Entscheid zu fällen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin zudem eine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Widerruf der Betriebsbewilligung der Beschwerdegegnerin wird zuständigkeitshalber an das Bundesamt für Zivilluftfahrt überwiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu entrichten.
5. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Mai 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler