Sachverhalt:
A.
A.a. Der Aargauische Haustechnik-Verband (AHTV; heute: suissetec aargau Gebäudetechnik-Genossenschaft) führt im Kanton Aargau die überbetrieblichen Kurse sowie die praktischen Lehrabschlussprüfungen der Branchen Spenglerei/Flachdachbau/Fassadenbau, Sanitär, Heizung, Rohrleitungsbau/Werkleitungen, Lüftung, Klima und Kälte durch. Die A._ AG war bis Ende 2006 Mitglied des AHTV. Zwei Rechnungen des AHTV (vom 22. März 2008 in der Höhe von Fr. 4'800.- sowie vom 10. Juli 2008 in der Höhe von Fr. 3'600.-) für den Besuch überbetrieblicher Kurse bzw. einer Lehrabschlussprüfung bezahlte die A._ AG nicht. Der AHTV erhob für die beiden Forderungen am 26. September 2008 bzw. 12. Februar 2009 Klage beim Bezirksgericht Bremgarten. Dieses trat mit Urteilen vom 5. März 2009 bzw. 15. April 2009 auf die Klagen nicht ein, da es sich nicht um privatrechtliche Streitigkeiten handle.
A.b. Am 13. Mai 2009 ersuchte der AHTV das Departement Bildung, Kultur und Sport, Abteilung Berufsbildung und Mittelschule, um Erlass einer Verfügung über die streitigen Kosten. Das Departement teilte dem AHTV am 28. Mai 2009 mit, es sei zum Erlass der anbegehrten Verfügung nicht zuständig, diese Kompetenz stehe dem AHTV selbst zu.
A.c. Am 25. November 2009 erliess der AHTV eine Verfügung, worin er die A._ AG verpflichtete, ihm den Betrag von Fr. 8'400.- nebst Zins zu bezahlen.
B.
Die A._ AG erhob dagegen erfolglos Beschwerde an den Regierungsrat des Kantons Aargau. Gegen dessen Entscheid vom 10. August 2011 erhob sie Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau mit dem Antrag, es sei die Nichtigkeit der Verfügung des AHTV vom 25. November 2009 festzustellen. Eventuell sei die Verfügung aufzuheben und die Sache dem Departement zu neuem Entscheid zuzuweisen. Subeventuell seien die verlangten Beträge angemessen herabzusetzen.
In Gutheissung der Beschwerde hob das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 20. September 2012 den Entscheid des Regierungsrates vom 10. August 2011 und die Verfügung des AHTV vom 25. November 2009 auf. Es erwog, bei den streitigen Forderungen handle es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit. Nach der hier noch anwendbaren Rechtslage bestehe jedoch keine gesetzliche Grundlage, dass der AHTV die streitigen Beiträge verfügungsweise festsetzen könne. Vielmehr stehe dafür der Weg der verwaltungsrechtlichen Klage offen.
C.
Mit Eingabe vom 22. Januar 2013 erhebt die suissetec aargau Gebäudetechnik-Genossenschaft beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und den Entscheid des Regierungsrates vom 10. August 2011 sowie die Verfügung vom 25. November 2009 zu bestätigen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau verzichtet auf Vernehmlassung. Die A._ AG beantragt Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von kantonalem Recht ist ausser in den Fällen von Art. 95 lit. c und d BGG kein zulässiger Beschwerdegrund. Überprüft werden kann diesbezüglich nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder sonst wie gegen übergeordnetes Recht verstösst (<ref-ruling> E. 2.4 und E. 2.5.2 S. 249 f.; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 151 f.). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht: Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287). Das gilt
namentlich auch für die Rüge, kantonales Recht sei willkürlich angewendet worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 63 Abs. 1 BV erlässt der Bund Vorschriften über die Berufsbildung. Gestützt auf diese Norm hat der Gesetzgeber das Bundesgesetz vom 13. Dezember 2002 über die Berufsbildung (Berufsbildungsgesetz, BBG; SR 412.10) erlassen. Gemäss Art. 1 BBG ist die Berufsbildung eine gemeinsame Aufgabe von Bund, Kantonen und Organisationen der Arbeitswelt. Die Anbieter der beruflichen Grundbildung werden in den Art. 20 ff. BBG aufgeführt. Hinsichtlich der überbetrieblichen Kurse enthält das BBG die folgende Bestimmung:
Art. 23 BBG: Überbetriebliche Kurse und vergleichbare dritte Lernorte
1 Die überbetrieblichen Kurse und vergleichbare dritte Lernorte dienen der Vermittlung und dem Erwerb grundlegender Fertigkeiten. Sie ergänzen die Bildung in beruflicher Praxis und die schulische Bildung, wo die zu erlernende Berufstätigkeit dies erfordert.
2 Die Kantone sorgen unter Mitwirkung der Organisationen der Arbeitswelt für ein ausreichendes Angebot an überbetrieblichen Kursen und vergleichbaren dritten Lernorten.
3 (...)
4 Wer überbetriebliche Kurse und vergleichbare Angebote durchführt, kann von den Lehrbetrieben oder den Bildungsinstitutionen eine angemessene Beteiligung an den Kosten verlangen. Organisationen der Arbeitswelt, die überbetriebliche Kurse und vergleichbare Angebote durchführen, können zur Vermeidung von Wettbewerbsverzerrungen von Betrieben, die nicht Mitglied der Organisation sind, eine höhere Kostenbeteiligung verlangen.
(...)
Hinsichtlich der Aufsicht und des Vollzugs des Gesetzes enthält das BBG die folgenden Bestimmungen:
Art. 24 BBG:
1 Die Kantone sorgen für die Aufsicht über die berufliche Grundbildung.
2 Zur Aufsicht gehören die Beratung und Begleitung der Lehrvertragsparteien und die Koordination zwischen den an der beruflichen Grundbildung Beteiligten.
3 Gegenstand der Aufsicht sind darüber hinaus insbesondere:
a. die Qualität der Bildung in beruflicher Praxis, einschliesslich der überbetrieblichen Kurse und vergleichbarer dritter Lernorte;
(...)
Art. 66 BBG: Kantone
Soweit der Vollzug nicht dem Bund zugewiesen ist, obliegt er den Kantonen.
Art. 67 BBG: Übertragung von Aufgaben an Dritte
Bund und Kantone können Organisationen der Arbeitswelt Vollzugsaufgaben übertragen. Diese können für Verfügungen und Dienstleistungen Gebühren erheben.
Gestützt auf die Vollzugsnorm von Art. 66 BBG hat der Kanton Aargau das Gesetz vom 6. März 2007 über die Berufs- und Weiterbildung erlassen (GBW; SAR 422.200).
2.2. Das Verwaltungsgericht hat zunächst erwogen, das Bundesrecht begründe keine Verfügungskompetenz des Verbandes; es hat sich dabei auf <ref-ruling> berufen: Dort hat das Bundesgericht ausgeführt, dass die Übertragung einer Verfügungskompetenz auf Private einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage bedürfe, die sich zwar auch implizit aus der Übertragung einer Aufgabe ergeben könne, aber damit nicht automatisch verbunden sei (E. 6). Eine solche Verfügungskompetenz sei bezüglich der Beiträge an verbindlich erklärte Berufsbildungsfonds (Art. 60 BBG) vor dem Erlass von Art. 68a der Verordnung vom 19. November 2003 über die Berufsbildung (Berufsbildungsverordnung, BBV; SR 412.101; Art. 68a in Kraft seit 1. Januar 2011) nicht vorgesehen gewesen, so dass die Beiträge auf dem Wege der verwaltungsrechtlichen Klage geltend zu machen seien (E. 7). Sodann hat das Verwaltungsgericht geprüft, ob sich im kantonalen Recht eine Verfügungskompetenz des Verbandes finde, und auch diese Frage verneint.
2.3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, der von der Vorinstanz zitierte <ref-ruling> sowie Art. 68a BBV würden sich nur auf die Beiträge an den Berufsbildungsfonds beziehen, nicht auf die Beiträge an die überbetrieblichen Kurse. Das trifft an sich zu. Die Überlegungen, die das Bundesgericht im erwähnten Entscheid für die Beiträge an den Berufsbildungsfonds angestellt hat, treffen aber auch für die Beiträge an überbetriebliche Kurse (Art. 23 BBG) zu: Bei beiden geht es darum, dass Organisationen der Arbeitswelt Aus- und Weiterbildungsaktivitäten durchführen und von den Betrieben dafür eine Kostenbeteiligung verlangen können (für überbetriebliche Kurse: Art. 23 Abs. 4 und 5 BBG sowie Art. 21 Abs. 2 und 3 BBV; für Berufsbildungsfonds: Art. 60 Abs. 3, 5 und 6 BBG sowie Art. 68a BBV). Weder aus Art. 23 Abs. 4 noch aus Art. 67 Satz 2 BBG lässt sich entnehmen, in welcher Formdie Organisationen der Arbeitswelt diese Kostenbeteiligung einfordern können. Da der Berufsverband ohne Weiteres die Möglichkeit hat, die Kostenbeteiligung auf dem Weg der verwaltungsrechtlichen Klage geltend zu machen, erscheint eine entsprechende Verfügungsgewalt auch nicht als unerlässlich, um die ihm übertragene Organisation und Durchführung der überbetrieblichen Kurse wirksam umzusetzen (vgl. <ref-ruling> E. 7.4.3 S. 417). Etwas anderes ergibt sich auch nicht aus dem von der Beschwerdeführerin angerufenen Urteil des Bundesgerichts 2C_715/2008 vom 15. April 2009 E. 3.2; auch dort wurde gesagt, dass mit der Übertragung einer öffentlichen Aufgabe an eine verwaltungsexterne Einheit die vom Übertragungsakt abgedeckten hoheitlichen Befugnisse verbunden sind, die zur Erfüllung der übertragenen öffentlichen Aufgaben erforderlich erscheinen. Im Unterschied zu Art. 68a BBV (für die Beiträge an Berufsbildungsfonds) enthält sodann Art. 21 BBV gerade keine Verfügungskompetenz.
2.4. Die Beschwerdeführerin verweist auf die Durchführung von Qualifikationsverfahren (Art. 40 BGG), für welche die Verfügungskompetenz der Organisationen der Arbeitswelt bejaht werde. Es trifft zu, dass auch in Art. 40 BBG eine Verfügungskompetenz der Organisationen der Arbeitswelt nicht ausdrücklich festgelegt ist. Indessen ist die Durchführung von Qualifikationsverfahren nicht vergleichbar mit der Erhebung von Beiträgen: Sie muss naturgemäss in einem hoheitlichen Entscheid bestehen, welcher verbindlich festlegt, ob die Qualifikation erreicht ist oder nicht; ein Klageverfahren wäre dafür nicht geeignet. Demgegenüber kann eine Geldleistung ohne weiteres auf dem Wege der ursprünglichen Verwaltungsrechtspflege (verwaltungsrechtliche Klage) einverlangt werden.
2.5. Aus diesem Grund ist es nicht zu beanstanden, wenn das Verwaltungsgericht zum Schluss gelangt ist, dass das Bundesrecht keine Verfügungskompetenz des - heute als Genossenschaft auftretenden - Verbandes vorsieht oder erfordert (vgl. auch Urteil 2C_768/2012 vom 29. April 2013 i.S. suissetec Kanton Bern Gebäudetechnikverband).
2.6. In Bezug auf das kantonale Recht legt die Beschwerdeführerin nicht dar, dass und inwiefern die Auslegung der Vorinstanz willkürlich sein soll (vorne E. 1.2). Zudem wird entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin bei der Auffassung des Verwaltungsgerichts nicht der Betroffene, der sich gegen Organisationen der Arbeitswelt wehren will, auf den "umständlichen und kostspieligen Weg der verwaltungsrechtlichen Klage verwiesen": Die Klage hat im Bestreitungsfall die Organisation der Arbeitswelt zu erheben, nicht der Betroffene, der sich gegen die Forderung wehrt. Sodann ist die verwaltungsrechtliche Klage auch nicht per se umständlicher als der Weg der nachträglichen Verwaltungsjustiz.
3.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die unterliegende Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin ausserdem eine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten in Höhe von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Regierungsrat des Kantons Aargau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 4. Kammer, sowie dem Eidgenössischen Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein