Sachverhalt:
A. Die Jugendanwaltschaft Zürich-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen (den noch nicht ganz 16-jährigen) X._ wegen versuchter Tötung. Der Beschuldigte wurde am 15. Juni 2011 deswegen verhaftet und in Untersuchungshaft versetzt. Mit Verfügung vom 18. Juli 2011 hob die Jugendanwaltschaft die Untersuchungshaft auf und ordnete stattdessen den weiteren Verbleib des Beschuldigten in der Jugendabteilung des Gefängnisses Limmattal im Rahmen einer vorsorglichen (stationären) Unterbringung an.
B. Mit Eingaben vom 26. bzw. 27. Juli 2011 fochten der Beschuldigte und dessen Vater (als gesetzlicher Vertreter) die Verfügung der Jugendanwaltschaft vom 18. Juli 2011 an. Sie beantragten die Entlassung des Beschuldigten aus der vorsorglichen stationären Unterbringung. Die Jugendanwaltschaft leitete die Rechtsschriften zuständigkeitshalber an das Obergericht des Kantons Zürich weiter, welches die Eingaben als jugendstrafprozessuale Beschwerde entgegennahm. Mit Beschluss vom 12. August 2011 wies das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, die Beschwerde ab.
C. Gegen den Entscheid des Obergerichtes gelangte X._ mit Beschwerde vom 26. August 2011 an das Bundesgericht. Er beantragt im Hauptstandpunkt, die vorsorgliche Unterbringung sei zwar fortzusetzen, "dies jedoch in einer geeigneten Institution" und "nicht in einem Gefängnis". Eventualiter sei die vorsorgliche stationäre Unterbringung in der Jugendabteilung des Gefängnisses Limmattal bis auf den 19. Oktober 2011 zeitlich zu begrenzen und anschliessend in einer geeigneten Institution fortzusetzen.
Die kantonale Oberjugendanwaltschaft beantragt mit Stellungnahme vom 2. September 2011 die Abweisung der Beschwerde, während die Jugendanwaltschaft Zürich-Stadt und das Obergericht auf Vernehmlassungen je ausdrücklich verzichtet haben. Der Beschwerdeführer hat am 13. September 2011 auf eine Replik verzichtet.

Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2011 sind die Schweizerische Strafprozessordnung (StPO; SR 312.0) und die Schweizerische Jugendstrafprozessordnung (JStPO; SR 312.1) in Kraft getreten. Steht gegen jugendstrafprozessuale Entscheide kein Rechtsmittel nach bisherigem Recht zur Verfügung, so richtet sich deren Anfechtung nach den Bestimmungen des neuen Rechts (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Der streitige erstinstanzliche Entscheid der Jugendanwaltschaft datiert vom 18. Juli 2011, der angefochtene Rechtsmittelentscheid vom 12. August 2011. Damit ist hier neues Recht (JStPO/ StPO) anwendbar.
2. Die Beschwerde ans Bundesgericht gegen eine vorsorgliche stationäre Unterbringung im Jugendstrafprozess ist grundsätzlich zulässig (vgl. Urteil des Bundesgerichtes 1B_32/2011 vom 15. Februar 2011 E. 1). Die Sachurteilserfordernisse von <ref-law> sind hier erfüllt.
3. Der Beschwerdeführer macht Folgendes geltend: Zwar sei er unterdessen mit einer vorsorglichen Unterbringung grundsätzlich einverstanden. Deren (auch nur provisorischer) Vollzug in einem Jugendgefängnis auf unbestimmte Zeit verletze jedoch Bundesrecht bzw. seine Grundrechte (<ref-law>, Art. 10 Abs. 2 und <ref-law>, Art. 5 Ziff. 1 lit. d EMRK). Es dränge sich daher seine Umplatzierung (innert 7 Tagen nach Eingang des bundesgerichtlichen Urteils) in eine besser geeignete Einrichtung auf. Eventualiter habe die Versetzung bis spätestens 19. Oktober 2011 zu erfolgen. Der Jugendanwaltschaft sei in diesem Sinne "eine Art Übergangsfrist zur dringlichen Suche eines passenden Orts zu gewähren". Der angefochtene Entscheid (inklusive Kostendispositiv) sei insofern aufzuheben.
4. 4.1 Während der jugendstrafprozessualen Untersuchung kann die zuständige Behörde gemäss <ref-law> vorsorglich die jugendstrafrechtlichen Schutzmassnahmen nach Art. 12-15 JStG anordnen. <ref-law> regelt die Schutzmassnahme der ambulanten Behandlung, <ref-law> jene der Unterbringung. Nach <ref-law> ordnet die urteilende Behörde die Unterbringung des Jugendlichen an, wenn dessen notwendige Erziehung und Behandlung nicht anders sichergestellt werden kann. Die Unterbringung erfolgt namentlich bei Privatpersonen oder in Erziehungs- oder Behandlungseinrichtungen, die in der Lage sind, die erforderliche erzieherische oder therapeutische Hilfe zu leisten. Die Unterbringung in einer geschlossenen Einrichtung darf gemäss <ref-law> nur angeordnet werden, wenn sie für den persönlichen Schutz oder für die Behandlung der psychischen Störung des Jugendlichen unumgänglich (lit. a) oder für den Schutz Dritter vor schwer wiegender Gefährdung durch den Jugendlichen notwendig ist (lit. b). Nach <ref-law> ordnet die urteilende Behörde vor der Unterbringung in einer geschlossenen Einrichtung eine medizinische oder psychologische Begutachtung des Jugendlichen an, falls eine solche nicht bereits erstellt wurde. Zur Anordnung der vorsorglichen Schutzmassnahmen nach Art. 12-15 JStG ist die Untersuchungsbehörde zuständig (<ref-law>).
4.2 Sämtliche vorsorglichen Schutzmassnahmen im Sinne von Art. 12 ff. i.V.m. <ref-law> müssen den Verfassungsgrundsatz der Verhältnismässigkeit gemäss <ref-law> wahren, das heisst, die Massnahme muss zur Zielerreichung geeignet und erforderlich sein, und es muss eine vernünftige Relation bestehen zwischen dem Eingriff und dem angestrebten Ziel (Urteil des Bundesgerichtes 1B_32/2011 vom 15. Februar 2011 E. 2.6; vgl. Hansueli Gürber/Christoph Hug/Patrizia Schläfli, in: Basler Kommentar StGB, 2. Aufl. 2007, vor <ref-law> N. 20 und <ref-law> N. 5; vgl. auch Marianne Heer, in: Basler Kommentar StGB, 2. Aufl. 2007, <ref-law> N. 34 ff.). Als für den Schutz des Jugendlichen unumgänglich (i.S.v. <ref-law>) kann sich eine vorsorgliche stationäre Massnahme etwa erweisen, wenn er während einer laufenden Schutzmassnahme immer wieder entweicht, da insoweit nur mittels Unterbringung in einer geschlossenen Einrichtung sichergestellt werden kann, dass der Jugendliche die erforderliche psychotherapeutische Behandlung erhält (Urteil des Bundesgerichtes 1B_32/2011 vom 15. Februar 2011 E. 2.7; vgl. Gürber/Hug/Schläfli, a.a.O., <ref-law> N. 11). Gemäss der Fachliteratur könne sich eine solche Massnahme (besonders bei Drittgefährdung im Sinne von <ref-law>) auch aufdrängen, wenn ein Jugendlicher jegliche Zusammenarbeit verweigert, therapeutisch-erzieherisch "unerreichbar" ist und zudem weitere schwere Delikte begeht bzw. sich in immer grössere Schwierigkeiten verstrickt (vgl. Gürber/Hug/Schläfli, a.a.O., <ref-law> N. 11). Zwar werde die Möglichkeit einer kurzfristigen vorläufigen Unterbringung "in Krisensituationen" in einer geschlossenen Einrichtung von <ref-law> nicht ausdrücklich erwähnt. Aus den Materialien ergebe sich jedoch eine entsprechende Kompetenz der zuständigen Behörde (etwa bis zum Vorliegen einer psychiatrischen Begutachtung oder zur Bewältigung einer akuten Krise bzw. zur Planung und Einleitung der geeigneten Schutzmassnahmen). Kurzfristig bzw. vorübergehend bedeute nach der bisherigen Praxis insgesamt ca. 3-6 Monate (vgl. Gürber/Hug/Schläfli, a.a.O., <ref-law> N. 10; Nicole Holderegger, Die Schutzmassnahmen des Jugendstrafgesetzes unter besonderer Berücksichtigung der Praxis in den Kantonen Schaffhausen und Zürich, Diss. Zürich 2009, S. 291 f.; Marcel Riesen-Kupper, in: Andreas Donatsch [Hrsg.], Kommentar StGB/JStG, 18. Aufl., Zürich 2010, <ref-law> N. 8-12; Botschaft zum JStG vom 21. September 1998, BBl 1999 2235).
4.3 Im Übrigen handelt es sich bei der vorsorglichen Unterbringung in einer geschlossenen Einrichtung - während der Strafuntersuchung und vor Erlass eines jugendstrafgerichtlichen Urteils - um strafprozessuale Haft im Rahmen des vorsorglichen Vollzugs einer jugendstrafrechtlichen Schutzmassnahme (vgl. <ref-law>). In diesem Zusammenhang dürfen die einschlägigen Verfahrensbestimmungen (und grundrechtlichen Garantien) der Jugend-Untersuchungshaft nicht faktisch unterlaufen werden. Untersuchungs- und Sicherheitshaft werden im Jugendstrafprozess nur in Ausnahmefällen und erst nach Prüfung sämtlicher Möglichkeiten von Ersatzmassnahmen angeordnet (<ref-law>). Ausserdem muss die Jugend-Untersuchungshaft nach spätestens einem Monat von Amtes wegen überprüft (bzw. jeweils neu verlängert) werden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
5. Die Jugendanwaltschaft hat im vorliegenden Fall (anstelle von Untersuchungshaft) eine vorsorgliche Unterbringung in einer geschlossenen Einrichtung (Jugendabteilung des Gefängnisses Limmattal) verfügt. Daher ist zu prüfen, ob die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind (vgl. Urteil des Bundesgerichtes 1B_32/2011 vom 15. Februar 2011 E. 2.6-2.8).
5.1 Im angefochtenen Entscheid wird Folgendes dargelegt:
Der Beschwerdeführer sei erstmals 2005 (im Alter von 10 Jahren) wegen massiver Verhaltensauffälligkeiten in die Tagesklinik des Zentrums für Kinder- und Jugendpsychiatrie und -psychotherapie eingewiesen worden. Mit 11 Jahren (am 13. Oktober 2006) sei er wegen Straftaten zum ersten Mal polizeilich verhaftet worden. Anschliessend sei der Beschuldigte von den Jugendfürsorge- bzw. Jugendstrafbehörden in verschiedenen Institutionen (auch in Pflegefamilien und im Ausland) untergebracht worden. Dazwischen seien immer wieder neue Verhaftungen erfolgt. Die Platzierungen in diversen Erziehungs- und Betreuungseinrichtungen hätten wegen des unkooperativen und (teils massiv) aggressiven Verhaltens des Beschwerdeführers gegen Personen und Material jeweils nach einiger Zeit wieder abgebrochen werden müssen. In dieser Zeit habe er vorübergehend auch bei seinem Vater gewohnt. Regelmässig sei es zu neuen Delikten und Verhaftungen gekommen.
Nach den Abbrüchen der Unterbringungen hätten sich die zuständigen Behörden zwar immer wieder um neue Platzierungen in anderen Erziehungs- und Betreuungseinrichtungen bemüht. Ab 2008 (als der Beschwerdeführer 13 Jahre alt wurde) sei es jedoch wegen des andauernden aggressiven Verhaltens des Beschuldigten immer schwieriger geworden, eine geeignete Institution zu finden, welche ihn aufnehmen wollte. Mit Urteil des Jugendgerichtes Zürich vom 16. November 2009 sei er wegen Angriffes, mehrfacher Sachbeschädigung, mehrfachen Hausfriedensbruches sowie Vergehen und Übertretungen gegen das Betäubungsmittelgesetz (begangen zwischen 2006 und 2009) verurteilt worden. Als Schutzmassnahme habe das Jugendgericht eine Unterbringung (i.S.v. <ref-law>) sowie eine ambulante Behandlung (i.S.v. <ref-law>) angeordnet. Zudem sei der Jugendliche zu einer unbedingten persönlichen Leistung während sechs Tagen verpflichtet worden. Am 5. November 2010 habe die Jugendanwaltschaft wegen zahlreicher weiterer Delikte eine Erziehungsverfügung (persönliche Betreuung und ambulante Behandlung i.S.v. Art. 13-14 JStG) erlassen. Mit Verfügung vom 13. Dezember 2010 habe sie gegen den Beschwerdeführer ein Verfahren betreffend Änderung der Massnahme eröffnet und rückwirkend eine vorsorgliche Unterbringung angeordnet. Am 13. Februar 2011 sei er wegen Gewalt und Drohung gegenüber Beamten vorübergehend inhaftiert worden. Am 15. Juni 2011 sei der Beschwerdeführer wegen versuchter Tötung mit einem Messer erneut verhaftet und in Untersuchungshaft versetzt worden.
5.2 Der Beschwerdeführer bestreitet diese Vorgeschichte nicht. Seine vorsorgliche Unterbringung in einer geschlossenen Einrichtung erweist sich bei dieser Sachlage als unumgänglich bzw. notwendig (im Sinne von Art. 15 Abs. 2 lit. a und b JStG sowie der dargelegten Lehre und Praxis). Auch besteht zwischen dem eingesetzten Mittel und den verfolgten Zwecken kein objektives Missverhältnis. Insbesondere sprechen weder das Alter des Beschwerdeführers noch die Art der untersuchten und früher begangenen Delikte gegen eine vorsorgliche stationäre Massnahme. Er macht vor Bundesgericht denn auch geltend, er bestreite (anders als noch vor der Vorinstanz) die Zulässigkeit der vorsorglichen stationären Unterbringung nicht mehr grundsätzlich. Er wendet sich jedoch gegen deren (nicht befristeten) Vollzug in der Jugendabteilung des Gefängnisses Limmattal. Zu prüfen bleibt daher noch, ob die Vollzugsmodalitäten der vorsorglichen Unterbringung bundesrechtskonform bzw. verhältnismässig erscheinen.
5.3 Im vorliegenden Fall wird der Beschuldigte, der sich zuvor im Jugendgefängnis in Untersuchungshaft befunden hatte, im Rahmen der verfügten vorsorglichen Schutzmassnahme vorläufig im Jugendgefängnis zurückbehalten, bis ein geeigneter Platz in einer spezialisierten Massnahmeneinrichtung gefunden werden kann. Der provisorische Vollzug der vorsorglichen Unterbringung in der Jugendabteilung des Gefängnisses Limmattal wurde von den kantonalen Instanzen nicht befristet. Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, bei der Jugendabteilung des Gefängnisses Limmattal handle es sich um eine geeignete Einrichtung im Sinne von <ref-law>. Die Jugendlichen würden dort (von Erwachsenen getrennt) separat betreut. Auf der Internet-Homepage des Jugendgefängnisses werde auf dessen spezielle Ausrichtung hingewiesen, insbesondere auf "optimale" Unterbringungs-, Arbeits- und Schulungsmöglichkeiten für Jugendliche sowie auf sozialpädagogisch ausgerichtete Arbeitsprogramme. Es bestünden "feste Strukturen im Sinne von klar strukturierten Tagesabläufen".
5.4 Für eine möglichst baldige Umplatzierung des Beschuldigten in Nachachtung des Verhältnismässigkeitsgebotes spricht zunächst, dass (auch stationäre) vorsorgliche Unterbringungen in der Regel (und soweit möglich) in einer spezialisierten erzieherisch-therapeutischen Massnahmeneinrichtung für Jugendliche erfolgen sollten. Jugendgefängnisse dienen (vor dem gerichtlichen Entscheid) primär dem Vollzug von Untersuchungs- und Sicherheitshaft (vgl. <ref-law>). In diesem Zusammenhang ist auch den grundrechtlichen Garantien des jugendstrafprozessualen Freiheitsentzuges sinngemäss Rechnung zu tragen (vgl. Art. 27 Abs. 1 und 3 JStPO; Art. 31 Abs. 4 und <ref-law>). Als vorübergehende Notlösung (bis zum Freiwerden eines besser geeigneten Platzes) erscheint die provisorische und zeitlich beschränkte Unterbringung in einem Jugendgefängnis jedoch nicht bundesrechtswidrig (vgl. Gürber/Hug/Schläfli, a.a.O., <ref-law> N. 10-11; Riesen-Kupper, a.a.O., N. 8-12). Ein völliger Ausschluss einer entsprechenden befristeten Übergangslösung erschiene (gerade in schwierigen Fällen wie dem vorliegenden) jedenfalls wenig sachgerecht und widerspäche dem Sinn und Zweck von <ref-law>.
5.5 Wie sich aus den Akten ergibt, hat es der Beschwerdeführer angesichts seines jahrelangen aggressiven und unkooperativen Verhaltens zunächst selbst mitzuverantworten, dass es in seinem Fall für die Jugendanwaltschaft sehr schwierig geworden ist, eine geeignete therapeutische Massnahmeneinrichtung zu finden. Er bestreitet nicht, dass er in entsprechenden Institutionen mehrfach Gewalt gegen Personen und Gegenstände angewendet hat. Im Übrigen wird in der Beschwerdeschrift keine konkrete geeignete Erziehungs- oder Behandlungseinrichtung mit freien Plätzen genannt. Ebenso wenig bestreitet der Beschwerdeführer den untersuchten dringenden Tatverdacht eines (versuchten) Tötungsdeliktes.
Die Oberjugendanwaltschaft weist in ihrer Stellungnahme vom 2. September 2011 darauf hin, dass die angefochtene vorsorgliche Unterbringung im Jugendgefängnis nur "vorübergehend" angeordnet worden sei, nämlich "bis eine geeignete Anschlussplatzierung möglich ist". Für solche vorübergehenden Einweisungen genüge das Vollzugsregime der Jugendabteilung des Gefängnisses Limmattal den Anforderungen von <ref-law>. Allerdings sei klar, dass die vorsorgliche Unterbringung "nicht längerfristig" im Jugendgefängnis vollzogen werden könne. Sobald sich eine geeignete Institution bereit erkläre, den Beschwerdeführer aufzunehmen, werde ein Übertritt verfügt werden. Er befinde sich auf der Warteliste für einen Eintritt in die jugendforensische Station der Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel, welche "voraussichtlich im November 2011 eröffnet" werde. Die Jugendanwaltschaft kläre auch noch weitere Platzierungsmöglichkeiten ab.
5.6 In Abwägung sämtlicher Gesichtspunkte drängt sich im vorliegenden Fall folgendes Vorgehen auf: Zwar erscheint im jetzigen Zeitpunkt ein (provisorischer) Vollzug der vorsorglichen stationären Unterbringung in der Jugendabteilung des Gefängnisses Limmattal (bis zum Auffinden einer geeigneteren Einrichtung) noch bundesrechtskonform. Eine provisorische vorsorgliche Schutzmassnahme nach <ref-law> verletzt in Fällen wie dem vorliegenden auch nicht die Unschuldsvermutung von <ref-law>. Die Jugendanwaltschaft ist jedoch anzuhalten, weiterhin intensiv nach einem Platz in einer geeigneten erzieherisch-therapeutischen Massnahmeneinrichtung Ausschau zu halten. Spätestens einen Monat nach Eröffnung des vorliegenden Urteils wird sie zu entscheiden haben, ob eine Versetzung aus dem Jugendgefängnis in eine spezialisierte Massnahmeneinrichtung für Jugendliche möglich ist. Nötigenfalls (und auf einen beschränkte Zeithorizont hin) haben analoge weitere Prüfungen (nach jeweils spätestens einem Monat) zu erfolgen. Die Beschwerde ist in diesem Sinne teilweise gutzuheissen (vgl. <ref-law>).
6. Die Beschwerde ist (im Sinne der obigen Erwägungen) teilweise gutzuheissen.
Bei diesem Verfahrensausgang (und angesichts des Gesuches des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung) kann auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (vgl. Art. 64 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer ist antragsgemäss eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen (pauschal, inkl. Mehrwertsteuer). Dabei rechtfertigt es sich im vorliegenden Fall nicht, im Rahmen des Eventualantrages auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung (und im Umfange des teilweisen Unterliegens) einen spezifischen Honoraranteil auszusondern und auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen (vgl. Art. 68 i.V.m. <ref-law>). Über die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens hat das Obergericht neu zu befinden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, und der Beschluss vom 12. August 2011 des Obergerichts des Kantons Zürich wird wie folgt ergänzt:
Spätestens einen Monat nach Eröffnung des vorliegenden Urteils hat die Jugendanwaltschaft zu prüfen, ob im Rahmen der vorsorglichen Unterbringung eine Versetzung des Beschwerdeführers aus dem Jugendgefängnis in eine geeignete erzieherisch-therapeutische Massnahmeneinrichtung für Jugendliche möglich ist. Die Jugendanwaltschaft wird angehalten, entsprechende konkrete Anstrengungen im Hinblick auf eine Umplatzierung zu unternehmen. Nötigenfalls haben (auf einen beschränkten Zeithorizont hin) weitere solche Prüfungen nach jeweils einem Monat zu erfolgen.
2. Ziffer 2 des angefochtenen Beschlusses (Gerichtsgebühr) wird aufgehoben. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Kanton Zürich (Kasse des Obergerichtes) hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu entrichten.
5. Die Angelegenheit wird zur Neuverlegung der Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens an das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Jugendanwaltschaft Zürich-Stadt sowie dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und der Oberjugendanwaltschaft des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster