Faits:
A.
La société Y._ S.A. (ci-après: la société) exploite une pizzeria, à l'enseigne du même nom. En date du 9 octobre 2012, les inspecteurs du Service de l'emploi du canton de Vaud (ci-après: le Service de l'emploi) ont procédé à un contrôle de l'établissement. A cette occasion, le Service de l'emploi a constaté la présence de X._, originaire de Macédoine, né en 1971, qui ne bénéficiait ni d'une autorisation de travail ni d'un permis de travail.
Le 10 octobre 2012, la société a déposé auprès du Service de l'emploi une demande d'autorisation de séjour avec activité lucrative en faveur de X._ pour une activité de "pizzaiolo" et de "pastaiolo". Cette demande a été rejetée par le Service de l'emploi le 5 novembre 2012.
Par arrêt du 26 février 2013, le Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours déposé par la société et X._ contre la décision du 5 novembre 2012. Il a considéré, en substance, que la société n'avait pas démontré avoir cherché un travailleur correspondant au profil recherché et que la cuisson de pizzas était une activité pour laquelle des travailleurs étaient disponibles sur le marché indigène. Dans ces circonstances, l'engagement de X._ résultait d'une pure convenance personnelle de la part de la société.
B.
Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, la société et X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt attaqué.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 43; <ref-ruling> consid. 1 p. 103).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions dans le domaine du droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. En raison de sa formulation potestative, l'art. 21 LEtr ne confère pas, en tant que tel, un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour (arrêt 2C_860/2011 du 25 octobre 2011 consid. 2). C'est par conséquent à bon droit que les recourants ont déposé un recours constitutionnel subsidiaire.
1.2. L'acte de recours ne contient aucune conclusion sur le fond, ses auteurs se bornant à demander l'admission du recours et l'annulation de l'arrêt attaqué, ce qui est en principe irrecevable (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317). Il n'est fait exception à cette règle que lorsque le Tribunal fédéral, en cas d'admission du recours, ne serait de toute manière pas en situation de statuer lui-même sur le fond et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 383; arrêt 4D_57/2009 du 13 juillet 2009 consid. 1.2 et références). On peut se demander si cette situation est réalisée en l'espèce, dès lors que les recourants invoquent le grief de la violation du droit d'être entendu et que l'admission du recours impliquerait le renvoi de la cause à l'autorité précédente. Vue l'issue du recours, cette question peut toutefois rester indécise.
2.
La qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire suppose un "intérêt juridique" à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Les recourants, qui ne peuvent se prévaloir de l'art. 21 LEtr au vu de sa formulation potestative ni invoquer de manière indépendante l'interdiction de l'arbitraire, n'ont pas une position juridique protégée leur conférant la qualité pour agir au fond sous cet angle. La situation se serait présentée différemment si les recourants avaient pu faire valoir un droit à une autorisation de séjour sur la base de l'accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681). Dans ce cas, tant X._ que la société recourante, en tant qu'employeur potentiel de ce dernier (cf. arrêt 2D_50/2012 du 1er avril 2013 consid. 1.4) auraient pu invoquer un véritable droit à une autorisation de séjour.
Même s'ils n'ont pas qualité pour agir au fond, les recourants peuvent se plaindre par la voie du recours constitutionnel subsidiaire de la violation de leurs droits de partie équivalent à un déni de justice formel, pour autant qu'il ne s'agisse pas de moyens ne pouvant être séparés du fond (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 308; <ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 130; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 437).
3.
Invoquant l'interdiction de l'arbitraire, les recourants reprochent au Tribunal cantonal d'avoir refusé d'entendre les dirigeants de la société recourante. Ce faisant, les recourants se plaignent en réalité de la violation de leur droit d'être entendus.
3.1. Découlant de l'art. 29 al. 2 Cst., ce droit ne comprend cependant pas celui d'être entendu oralement par un tribunal (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 148; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 428). Un droit à des débats publics oraux n'existe, en vertu des garanties constitutionnelles de procédure, que pour les causes bénéficiant de la protection de l'art. 6 par. 1 CEDH ou lorsque les règles de procédure le prévoient ou encore lorsque sa nécessité découle des exigences du droit à la preuve (<ref-ruling> consid. 2 p. 290).
En l'espèce, les recourants n'invoquent aucune norme cantonale de procédure leur conférant un droit à des débats publics devant le Tribunal cantonal.
3.2. De jurisprudence constante, les décisions relatives au séjour et au renvoi d'étrangers n'entrent pas dans le champ d'application de l'art. 6 par. 1 CEDH. De telles décisions ne portent ni sur des contestations sur les droits ou obligations de caractère civil d'une personne, ni sur le bien-fondé d'une accusation en matière pénale (arrêts [de la CourEDH] Mamatkulov et Askarov contre Turquie du 4 février 2005 § 84; Mir Zakria Sadiq contre Suisse du 26 mars 2002, in JAAC 2002 n° 116 p. 1322; ATF <ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 133; arrêts 2C_831/2012 du 24 mars 2013 consid. 4.1; 2C_672/2012 du 26 février 2013 consid. 1.5; 2C_644/2010 du 12 mars 2011 consid. 3.1; 2P.323/2006 du 27 mars 2007 consid. 1.3). Le fait d'invoquer le droit de demeurer en Suisse dans l'optique d'y exercer une activité lucrative ne suffit, en particulier, pas à conférer au litige la qualité de droit de caractère civil au sens de l'art. 6 par. 1 CEDH (ATF <ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 134; cf. Zünd/Hugi Yar, Aufenthaltsbeendende Massnahmen im schweizerischen Ausländerrecht insbesondere unter dem Aspekt des Privat- und Familienlebens, in EuGRZ 2013 p. 4). Les recourants invoquent les arrêts de la CourEDH Koottummel contre Autriche du 10 décembre 2009 et Jurisic and Collegium Mehrerau contre Autriche du 27 juillet 2006 qui étendent le champ d'application de l'art. 6 par. 1 CEDH aux autorisations d'exercer une activité lucrative délivrées par les autorités administratives compétentes aux ressortissants étrangers. Ils ne peuvent toutefois rien tirer de cette jurisprudence puisqu'elle subordonne l'application de l'art. 6 par. 1 CEDH à l'existence d'un droit subjectif à l'obtention d'une autorisation de séjour, fondé sur la législation interne (arrêt Jurisic and Collegium Mehrerau contre Autriche du 27 juillet 2006 § 55 ; cf. aussi Coorplan-Jenni and Hascic contre Autriche du 27 juillet 2006 § 53). Or, un tel droit est nié lorsque l'autorité agit de manière discrétionnaire (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 375), comme c'est le cas en matière d'autorisation de séjour en vue de l'exercice d'une activité lucrative (cf. supra consid. 1.1). Le Tribunal cantonal pouvait dès lors, sans violer le droit d'être entendu des recourants, se dispenser de tenir des débats oraux. Le grief des recourants doit donc être rejeté.
4.
Les recourants reprochent au Tribunal cantonal de ne pas avoir requis de l'Office régional de placement la liste des chômeurs spécialisés dans la cuisson des pizzas au feu de bois. Ce faisant, ils se plaignent implicitement d'une appréciation anticipée des preuves ce qui est un grief indissociable du fond de la cause et par conséquent irrecevable.
5.
Invoquant les art. 30 Cst. et 6 CEDH, les recourants reprochent au Tribunal cantonal d'avoir appliqué la directive de l'Office fédéral des migrations sur le séjour avec activité lucrative, faisant ainsi preuve d'un manque d'indépendance.
Comme indiqué (supra consid. 3.2), l'art. 6 CEDH ne trouve pas application dans le cas d'espèce. Quant à l'art. 30 al. 1 Cst., il confère à toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire le droit à ce que sa cause soit portée devant un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial. Les recourants n'exposent pas, de manière compréhensible à tout le moins, en quoi l'application de la directive de l'Office fédérale des migrations porte atteinte à l'art. 30 al. 1 Cst., de sorte que la recevabilité de ce grief apparaît d'emblée douteuse au regard des exigences de motivation de l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>. Par ailleurs, dans la mesure où l'argumentation présentée revient à se plaindre de la mauvaise application du droit, la critique des recourants ne peut pas être séparée de l'examen du fond. Or, les recourants ne sauraient se prévaloir de leurs droits de nature formelle pour remettre indirectement en cause la décision de l'instance précédente. Quoi qu'il en soit, le grief doit de toute façon être rejeté puisqu'il n'a manifestement aucun rapport avec les garanties conférées par l'art. 30 al. 1 Cst. Le grief des recourants est dès lors rejeté dans la mesure où il est recevable.
6.
Succombant en tous points, les recourants doivent supporter les frais judiciaires solidairement entre eux (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge des recourants solidairement entre eux.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire des recourants, au Service de l'emploi, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 8 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor