Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1973), geschieden und Vater von zwei Kindern (geb. 2009 und 2010), ist Bezüger einer Invalidenrente und von Ergänzungsleistungen. Er leidet an einer paranoiden Schizophrenie mit Angstzuständen und wird deswegen psychologisch behandelt und von einer psychiatrischen Spitex betreut. Der Sozialdienst der Stadt Bern teilte der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Bern mit, der Betroffene riskiere, "die Bereiche Gesundheit, Wohnfähigkeit und Finanzen völlig zu vernachlässigen" (Schreiben vom 17. Dezember 2013).
A.b. Mit Kammerentscheid vom 11. Juni 2014 errichtete die KESB eine kombinierte Beistandschaft (<ref-law>) in Form einer Begleitbeistandschaft (<ref-law>) und einer Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung (Art. 394 und 395 ZGB).
Im Rahmen der Begleitbeistandschaft übertrug sie der Beistandsperson die Aufgaben (Dispositiv-Ziff. 2),
"a) stets für eine geeignete Wohnsituation besorgt zu sein und A._ bei allen in diesem Zusammenhang auftretenden Handlungen zu begleiten;
b) A._ bei Angelegenheiten betreffend seinem gesundheitlichen Wohl zu begleiten und ihn beim Aufgleisen einer ausreichenden medizinischen Betreuung in Zusammenarbeit mit Hr. B._ von der Spitex zu unterstützen;
c) A._ bei seinem sozialen Wohl zu unterstützen, insbesondere auch beim Aufgleisen von Kontakten zu Drittpersonen, allfällig auch zu seinen Kindern."
Im Rahmen der Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung übertrug die KESB der Beistandsperson die Aufgaben (Dispositiv-Ziff. 3),
"a) A._ beim Erledigen der finanziellen Angelegenheiten zu vertreten, insbesondere das Einkommen und Vermögen sorgfältig zu verwalten und nach Möglichkeit eine Schuldensanierung sowie einen Steuererlass in die Wege zu leiten;
b) A._ beim Erledigen der administrativen Angelegenheiten zu vertreten, insbesondere auch im Verkehr mit Behörden, Ämtern, Banken, Post, (Sozial-) Versicherungen, sonstigen Institutionen und Privatpersonen."
Des Weitern ermächtigte die KESB die Beistandsperson, soweit erforderlich die Post des Betroffenen zu öffnen (Dispositiv-Ziff. 4), und entzog diesem den Zugriff auf alle Konti, ausgenommen dasjenige, auf welches die Beträge zu seiner freien Verfügung überwiesen werden. Bis auf Weiteres wurde der Beistandsperson das alleinige Verfügungsrecht über die zu verwaltenden Vermögenswerte überantwortet (Dispositiv-Ziff. 5). Die Handlungsfähigkeit wurde nicht eingeschränkt (Ziff. II/6 und 9).
B.
Am 20. Juli 2014 liess A._ beim Obergericht des Kantons Bern (als Kindes- und Erwachsenenschutzgericht) gegen den Beschluss der KESB vom 11. Juni 2014 Beschwerde erheben. Er beantragte, der angefochtene Beschluss sei dahin abzuändern, dass lediglich eine Begleitbeistandschaft errichtet werde. Diese habe einerseits (wie von der KESB vorgesehen) die Bereiche Wohnen, Gesundheit und soziales Wohl abzudecken; anderseits sei (darüber hinaus und anstelle der angeordneten Vertretungsbeistandschaft) eine Unterstützung in finanziellen Angelegenheiten (insbesondere Sicherstellung der Bezahlung von Mietzinsen und anderen laufenden Kosten wie Krankenkassenprämien) einschliesslich einer Hilfestellung bei Schuldensanierung und Steuererlass vorzusehen.
Gleichentags liess A._ um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) ersuchen.
Das kantonale Gericht wies die Beschwerde und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab (Urteil vom 9. September 2014).
C.
A._ führte am 13. Oktober 2014 Beschwerde in Zivilsachen. Er erneuerte die vorinstanzlich gestellten Anträge. Ausserdem sei ihm für den vorinstanzlichen Prozess die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen resp. eine Parteientschädigung zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zur materiellen Neubeurteilung resp. Festsetzung einer angemessenen Entschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Der erwachsenenschutzrechtliche Entscheid ist öffentlich-rechtlich, steht aber in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Angelegenheit ist nicht vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_357/2011 vom 7. Oktober 2011 E. 2). Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen (vgl. <ref-law>). Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist insoweit einzutreten. Dies gilt auch, soweit die im Rahmen des Urteils in der Hauptsache erfolgte vorinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege angefochten ist (Urteil 5A_761/2014 vom 26. Februar 2015 E. 1.1 und 1.2).
2.
Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, jedoch keine rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
3.
3.1. Die Vorinstanz stellte fest, der Beschwerdeführer zeige ein ernsthaftes Beschwerdebild; er beziehe eine Invalidenrente und lebe sozial isoliert. Es bestehe die Gefahr, dass er Medikamente nicht regelmässig einnehme. Der Beschwerdeführer sei nicht fähig, sein Einkommen alleine zu verwalten. Ohne fremde Hilfe nehme er häufig Termine nicht wahr. Krankheitsbedingt habe er sich auch nicht in der Lage gesehen, eine Anmeldung für Ergänzungsleistungen zu unterzeichnen; der Sozialdienst habe dies für ihn erledigen müssen. Er habe Schulden in Höhe von etwa Fr. 24'000.-- bei Privatpersonen. Im Wesentlichen aus diesen Tatsachenfeststellungen schloss das kantonale Gericht, neben der (unbestrittenen) Begleitbeistandschaft erscheine auch die Vertretungsbeistandschaft als angemessene und zum Schutz der gesundheitlichen und materiellen Interessen des Beschwerdeführers notwendige Massnahme (E. IV./4. und 5.).
3.2. Der Beschwerdeführer lässt einwenden, auch der Begleitbeistand übe eine gewisse Kontrolle über die Vermögenssorge aus. Sei der Verbeiständete nicht kooperativ oder erfordere es seine Situation anderweitig, könne der Beistand weitere behördliche Vorkehrungen beantragen. Vorher aber genüge es, wenn dieser ihn in seinen finanziellen Angelegenheiten begleitend unterstütze. Die Anordnung einer Vertretungsbeistandschaft sei daher nicht verhältnismässig.
4.
Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer in persönlichen und finanziellen Belangen auf Hilfe angewiesen ist. Zu prüfen ist einzig, ob seine finanziellen und administrativen Angelegenheiten im Rahmen einer Begleitbeistandschaft hinreichend zuverlässig geregelt werden können, oder ob es dafür weiterreichender Vorkehrungen im Sinne der vorinstanzlich bestätigten Vertretungsbeistandschaft bedarf.
4.1.
4.1.1. Die Erwachsenenschutzbehörde errichtet eine Beistandschaft, wenn eine volljährige Person wegen einer geistigen Behinderung, einer psychischen Störung oder eines ähnlichen in der Person liegenden Schwächezustandes ihre Angelegenheiten nur teilweise oder gar nicht besorgen kann (<ref-law>; Urteil 5A_617/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 4.2 letzter Absatz und E. 4.3 mit Hinweisen). Die Behörde umschreibt die Aufgabenbereiche der Beistandschaft (Personensorge, Vermögenssorge, Rechtsverkehr) entsprechend den Bedürfnissen der betroffenen Person (Art. 391 Abs. 1 und 2 ZGB).
4.1.2. Zentrales Anliegen des neuen Erwachsenenschutzrechts ist das Selbstbestimmungsrecht. Das Gesetz verzichtet daher weitgehend auf gesetzlich umschriebene, starre Massnahmen zum Schutz hilfsbedürftiger Menschen (Urteil 5A_667/2013 vom 12. November 2013 E. 6.1). Als mildeste Massnahme sieht es die Begleitbeistandschaft vor (<ref-law>). Diese kann nur mit Zustimmung der hilfsbedürftigen Person errichtet werden und bezweckt, ihr für die Erledigung bestimmter Angelegenheiten begleitende Unterstützung zu gewährleisten. Demgegenüber wird eine Vertretungsbeistandschaft (<ref-law>) angeordnet, wenn die hilfsbedürftige Person bestimmte Angelegenheiten nicht selbst erledigen kann und deshalb vertreten werden muss. Diese Form der Beistandschaft kann auch gegen den Willen der hilfsbedürftigen Person angeordnet werden. Auch diese Massnahme schränkt aber die Handlungsfähigkeit der verbeiständeten Person nicht ein, sofern die Erwachsenenschutzbehörde nicht eine andere Anordnung trifft (<ref-law>). Im vorliegenden Fall hat die Behörde ausdrücklich festgehalten, dass die angeordnete Vertretungsbeistandschaft die Handlungsfähigkeit nicht tangiere.
4.2. In <ref-law> unterstellt der Gesetzgeber alle behördlichen Massnahmen des Erwachsenenschutzes den Maximen der Subsidiarität und der Verhältnismässigkeit.
4.2.1. Subsidiarität (<ref-law>) heisst, dass behördliche Massnahmen nur dann anzuordnen sind, wenn die Betreuung der hilfsbedürftigen Person auf andere Weise nicht angemessen sichergestellt ist (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht], BBl 2006 7042 Ziff. 2.2.1). Ist die gebotene Unterstützung der hilfsbedürftigen Person anderweitig - durch die Familie, andere nahestehende Personen (vgl. dazu Urteil 5A_663/2013 vom 5. November 2013 E. 3) oder private oder öffentliche Dienste - gewährleistet, so ordnet die Erwachsenenschutzbehörde keine Massnahme an (<ref-law>). Der Grundsatz der Subsidiarität betrifft somit das Verhältnis der erwachsenenschutzrechtlichen Massnahmen zu - sofern zielführend - vorrangig zu verwirklichenden alternativen Lösungen.
Kommt die Erwachsenenschutzbehörde zum Schluss, die vorhandene Unterstützung der hilfsbedürftigen Person reiche nicht aus, so muss ihre Massnahme verhältnismässig, das heisst erforderlich und geeignet sein (<ref-law>). Es gilt der Grundsatz "Soviel staatliche Fürsorge wie nötig, so wenig staatlicher Eingriff wie möglich" (vgl. Botschaft, a.a.O., S. 7017 Ziff. 1.3.4 a.E.; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 51). Die angeordnete Massnahme ist auf die Hilfsbedürftigkeit der betroffenen Person abzustimmen (<ref-law>). Unter verschiedenen geeigneten Varianten ist die zurückhaltendste zu wählen; diese muss zudem in einem vernünftigen Verhältnis zur Einschränkung des Selbstbestimmungsrechts stehen. Im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung sind ferner die Belastung und der Schutz von Angehörigen und Dritten zu berücksichtigen (<ref-law>); diese Interessen können eine weitergehende Massnahme rechtfertigen, jedoch nicht die Massnahme an sich begründen (erwähntes Urteil 5A_617/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 4.1 mit Hinweis).
4.2.2. Eine Vertretungsbeistandschaft nach <ref-law> darf daher nicht errichtet werden, wenn für die Bedürfnisse der betroffenen Person eine Begleitbeistandschaft genügt. Indessen bleibt die Wahl der richtigen Massnahme ein Ermessensentscheid (<ref-law>), der stark von der genauen Kenntnis des Sachverhalts abhängt. Angesichts dieses Beurteilungsspielraums hält sich das Bundesgericht bei der Überprüfung solcher Entscheide zurück: Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die im Ergebnis offensichtlich unbillig, in stossender Weise ungerecht sind (<ref-ruling> E. 3.1 S. 671 mit Hinweisen; erwähntes Urteil 5A_667/2013 E. 6.2).
4.3.
4.3.1. Nach dem Gesagten erfolgt die Priorisierung von gleichermassen in Betracht fallenden, aber unterschiedlich weitgehenden Varianten der Beistandschaft nach dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit. Dieser fordert nicht, dass die einschneidendere Massnahme generell erst zum Zuge kommt, nachdem sich die mildere als unzureichend herausgestellt hat; die Vorkehr muss zwar so zurückhaltend wie möglich, gleichzeitig aber auch so wirksam wie nötig sein (erwähntes Urteil 5A_617/2014 E. 4.2 mit Hinweisen). Anzuordnen ist somit von Beginn weg eine erfolgversprechende Massnahme. Eine unter dem Aspekt der Selbstbestimmung schonendere Variante indessen, die prognostisch grundsätzlich geeignet erscheint, das festgestellte Schutzbedürfnis im Einzelfall vollständig abzudecken, darf im Regelfall nicht - gewissermassen auf Vorrat (vgl. Helmut Henkel, Basler Kommentar Erwachsenenschutz, 2012, N. 11 zu <ref-law>) - zugunsten einer weitergehenden Massnahme zurückgestellt werden, nur weil sie noch unter dem Vorbehalt der praktischen Bewährung steht. Solange ein unverhältnismässiges Arrangement den angestrebten Zweck erfüllt, träte die Frage, ob dessen Umfang allenfalls übermässig sei, in der Praxis zu sehr in den Hintergrund; es käme daher kaum je zu einer nachträglichen Korrektur im Sinne der Verhältnismässigkeit. Auch deshalb ist regelmässig zuerst die zurückhaltendere Variante der Begleitbeistandschaft zu erproben, bevor allenfalls, vor allem bei mangelnder Mitarbeit des Betroffenen, eine Vertretungsbeistandschaft ins Auge gefasst wird (vgl. Philippe Meier, Les curatelles du nouveau droit de la protection de l'adulte: quelques notions/dispositions-pièges pour la pratique, in: FamPra 2012 S. 952). Vorbehalten bleiben Fälle, in denen die mildere Massnahme einen - nicht mehr rechtzeitig abwendbaren - erheblichen Schaden begünstigen könnte, wenn sie sich als unzureichend erweisen sollte; hier ist die weitergehende erwachsenenschutzrechtliche Vorkehrung prioritär anzuordnen.
4.3.2. Der Beschwerdeführer anerkennt zu Recht, dass er in den Bereichen Gesundheit (vor allem Sicherstellung der Medikamenteneinnahme) und Wohnen eine Begleitbeistandschaft braucht. Der umschriebene Schwächezustand führte in der Vergangenheit auch dazu, dass der Beschwerdeführer den Zahlungsverkehr und andere administrative Belange vernachlässigt hat. Das ergibt sich aus den Akten und ist im Übrigen auch nicht bestritten. Den konkreten Gegebenheiten nach schadet es mithin nicht, dass der psychische Schwächezustand und seine erwachsenenschutzrechtlich erheblichen medizinischen Auswirkungen nicht fachärztlich abgeklärt worden sind (zum grundsätzlichen Erfordernis eines Gutachtens: erwähntes Urteil 5A_617/2014 E. 4.3 a.E.).
4.3.3. Im Rahmen der bestehenden Hilfsbedürftigkeit soll die strittige Vertretungsbeistandschaft im Wesentlichen sicherstellen, dass der Beschwerdeführer die Rechnungen bezahlt und damit vor allem sein Obdach und den Krankenversicherungsschutz nicht gefährdet. Der angefochtene Entscheid enthält keine Hinweise auf fehlenden Zahlungswillen; der Bestand von Dauerzahlungsaufträgen wäre damit auch im Rahmen einer Begleitbeistandschaft nicht gefährdet. Insofern rechtfertigt ein Mangel an "adäquater Selbstwahrnehmung" (Beschluss vom 11. Juni 2014, Ziff. II./6.) noch keine weitergehende Massnahme.
Soweit die erwachsenenschutzrechtliche Betreuungsbedürftigkeit des Beschwerdeführers mit seiner Verschuldung begründet wird, ist massgeblich, wie die Schulden zustande gekommen sind. Die Vorinstanz legt nicht dar, welcher Art die Schulden über Fr. 24'000.-- sind und ob sie mit dem psychischen Schwächezustand im Sinne von <ref-law> zusammenhängen. Damit kann nicht beurteilt werden, ob eine Vertretungsbeistandschaft in Vermögensangelegenheiten notwendig ist, um eine (weitere) Zunahme der Verschuldung zu verhindern oder um eine - allerdings noch nicht aktuelle (vgl. Entscheid der KESB vom 11. Juni 2014, E. 8) - Schuldensanierung dereinst anzugehen. Immerhin hielt die KESB fest, in den ihr vorliegenden Berichten fänden sich keine Hinweise auf Handlungen, welche eine Einschränkung der Handlungsfähigkeit rechtfertigen würden (a.a.O. E. 6 a.E.). Dieser Aspekt wird im Rahmen einer späteren Überprüfung der Frage, ob die Massnahme im angeordneten Umfang weiterhin erforderlich sei, zu vertiefen sein.
4.3.4. Unter den dargelegten Umständen ist die Verhältnismässigkeit der Vertretungsbeistandschaft fraglich. Im Ergebnis jedoch ist sie (gerade noch) zu bestätigen: Die auf freiwilliger Basis funktionierende Begleitbeistandschaft deckt das Schutzziel jedenfalls nur solange ab (vgl. oben E. 4.3.1), als die relativ engmaschige Betreuung (Therapie und Psychiatrie-Spitex) die Situation soweit stabilisiert, dass die Mitwirkung des Betroffenen gewährleistet bleibt. Aus dem Bericht des Sozialdienstes der Stadt Bern vom 17. Dezember 2013 geht hervor, dass der Beschwerdeführer den Vertreter der Psychiatrie-Spitex anfänglich "vermehrt" nicht in die Wohnung gelassen habe und kaum zu Terminen bei Behörden und Ärzten erschienen sei (vgl. auch den Bericht des städtischen Amtes für Erwachsenen- und Kindesschutz vom 4. Februar 2014). Das habe sich zwar leicht gebessert. Eine nachhaltige Stabilisierung ist jedoch nicht ausgewiesen; nach Lage der Akten schwankt der psychische Zustand des Betroffenen stark. Vor diesem Hintergrund durfte das kantonale Gericht zwar nicht direkt vom Unvermögen, das Einkommen alleine zu verwalten, auf die Notwendigkeit einer Vertretungsbeistandschaft schliessen. Hingegen durfte es (sinngemäss) annehmen, die Verfügbarkeit des Beschwerdeführers und seine Mitwirkung (dazu Yvo Biderbost, Massschneidern im Kindes- und Erwachsenenschutz, in: Jusletter 31. März 2014 Rz. 18) sei zu wenig gefestigt, als dass eine Begleitbeistandschaft auch in finanziell-administrativen Belangen erfolgversprechend erscheine. Damit bewegt sich der Entscheid innerhalb des Beurteilungsspielraums der sach- und fachkundigen Behörde (oben E. 4.2.2), welche zuhanden der Vorinstanz ausgeführt hatte, "eine Beistandschaft mit einer Begleitung in den Bereichen Administration sowie Einkommens- und Vermögensverwaltung", wie sie der Beschwerdeführer beantrage, stelle "aufgrund dessen psychischer Krankheit und den damit einhergehenden Ausfällen ein nicht führbares Mandat dar" (Beschwerdeantwort vom 28. Juli 2014).
Hinzu kommt Folgendes: Wenn die Behörde aufgrund des in E. 4.3.1 und 4.3.3 Gesagten gerichtlich verpflichtet würde, den Umfang der Beistandschaft gleichsam "auf Probe" zu reduzieren, drohte sich ein solches Vorgehen kontraproduktiv auszuwirken. Auch mit Blick auf das konkrete Krankheitsbild bestünde nämlich die Gefahr, dass ein inzwischen aufgebautes Vertrauensverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beistand als Repräsentanten der KESB nachhaltig beeinträchtigt würde; den Akten ist zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer dazu neigt, sich "benachteiligt und hintergangen durch die Behörden" zu fühlen (Bericht des Sozialdienstes der Stadt Bern vom 17. Dezember 2013). Die für das Funktionieren der Begleitbeistandschaft unerlässliche Erreichbarkeit und Kooperation des Beschwerdeführers würde dadurch zusätzlich gefährdet.
5.
Strittig ist auch der vorinstanzliche Kostenentscheid.
5.1. Im Verwaltungsverfahren hatte die KESB die unentgeltliche Prozesshilfe gewährt und dem Betroffenen einen amtlichen Rechtsbeistand beigeordnet (Präsidialentscheid vom 17. März 2014). Für das kantonale Beschwerdeverfahren verweigerte die Vorinstanz hingegen die unentgeltliche Rechtspflege. Sie begründete dies mit Aussichtslosigkeit der Beschwerdeführung.
5.2. Das ZGB sieht keine Regelung über die Kosten vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz vor (vgl. <ref-law>). Die Bestimmungen der ZPO kommen nur zum Tragen, soweit die Kantone nichts anderes bestimmen (<ref-law>). Art. 70 Abs. 1 des bernischen Gesetzes vom 1. Februar 2012 über den Kindes- und Erwachsenenschutz (KESG; BSG 213.316) verweist auf das Gesetz vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BSG 155.21). Nach dessen Art. 111 Abs. 1 und 2 wird die gesuchstellende Partei von den Kosten- und allfälligen Vorschuss- sowie Sicherstellungspflichten befreit, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Unter den gleichen Voraussetzungen kann einer Partei eine Anwältin oder ein Anwalt beigeordnet werden, wenn die tatsächlichen und rechtlichen Verhältnisse es rechtfertigen (vgl. Markus Müller, Bernische Verwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 2011, S. 254, und Merkli/Aeschlimann/Herzog, Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, 1997, N. 19 zu Art. 111 VRPG).
Das kantonale Recht (vgl. auch Art. 26 Abs. 3 der Verfassung des Kantons Bern vom 6. Juni 1993) deckt sich mit den Mindestanforderungen von <ref-law>. Danach hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint; soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand (zum Verhältnis der verschiedenen Rechtsgrundlagen: <ref-ruling> E. 2.1 S. 133; vgl. auch Gerold Steinmann, St. Galler Kommentar zur BV, 3. Aufl. 2014, N. 7 zu <ref-law>; Stefan Meichssner, Das Grundrecht auf unentgeltliche Rechtspflege [<ref-law>], 2008, S. 25 ff.). Während die Anwendung von kantonalem Recht letztinstanzlich nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür (<ref-law>) beurteilt werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 149; Urteil 5A_130/2014 vom 20. März 2014 E. 2.2), überprüft das Bundesgericht rechtliche Fragen im Zusammenhang mit der Verfahrensgarantie von <ref-law> frei (vgl. aber <ref-law>).
5.3. Aus dem in E. 4.3 Gesagten ergibt sich ohne Weiteres, dass das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren nicht von vornherein aussichtslos war; die Gewinnaussichten waren nicht beträchtlich geringer als das Risiko des Unterliegens (vgl. <ref-ruling> E. 9.1 S. 537). Die Sache ist daher an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es eine Entschädigung unter dem Titel der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung für das kantonale Beschwerdeverfahren festlege (vgl. Art. 112 Abs. 1 VRPG).
5.4. Entgegen einem weiteren Antrag des Beschwerdeführers besteht unter dem Titel einer vorinstanzlich geheilten Verletzung des rechtlichen Gehörs (angefochtener Entscheid E. IV./3.) kein Anspruch auf Parteientschädigung. Wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat, betraf die Gehörsverletzung keinen entscheidungserheblichen Punkt. Sie konnte somit auch nicht Anlass zur Beschwerdeführung bilden (vgl. Urteil 1C_564/2013 vom 30. August 2013 E. 2.3).
6.
6.1. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren ist zu entsprechen: Die Beschwerde ist nicht aussichtslos, die Rechtsvertretung zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers notwendig und dessen Prozessarmut aktenkundig (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 5A_684/2014 vom 3. Dezember 2014 E. 5). Rechtsanwalt Oliver Lücke ist daher als amtlicher Rechtsbeistand für das bundesgerichtliche Verfahren zu bestellen.
6.2. In der Hauptsache unterliegt der Beschwerdeführer. Insoweit trägt er grundsätzlich die Gerichtskosten (<ref-law>). Zufolge Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege werden sie indessen vorläufig auf die Gerichtskasse genommen. Die Partei leistet dieser Ersatz, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>). Was sodann den Verfahrensausgang hinsichtlich der vorinstanzlichen Kostenverlegung angeht (oben E. 5.3), so trägt der Kanton Bern, der in seinen wirtschaftlichen Interessen betroffen ist, ebenfalls einen Teil der bundesgerichtlichen Verfahrenskosten (<ref-law>; Urteil 5A_732/2009 vom 4. Februar 2010 E. 4, nicht publ. in <ref-ruling>).
Dementsprechend hat der Kanton Bern dem Rechtsvertreter des (im Armenrecht prozessierenden) Beschwerdeführers eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen. Im Übrigen ist ihm für das bundesgerichtliche Verfahren ein Honorar aus der Bundesgerichtskasse zu entrichten (vgl. wiederum <ref-law>). Der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bern ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und Dispositiv-Ziff. 2 des Entscheids des bernischen Obergerichts vom 9. September 2014 (betreffend unentgeltliche Rechtspflege) aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers eine Entschädigung für das kantonale Beschwerdeverfahren zuspreche. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwalt Oliver Lücke als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden im Umfang von Fr. 250.- dem Kanton Bern auferlegt. Im Umfang von Fr. 750.- werden sie dem Beschwerdeführer auferlegt, jedoch vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Kanton Bern hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen. Rechtsanwalt Oliver Lücke wird für seine Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren überdies ein Honorar von Fr. 1'500.- aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern (Zivilabteilung, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub