Sachverhalt:
A. Am 30. Dezember 2012 wurde X._ festgenommen, nachdem sich anlässlich einer Polizeikontrolle im Anschluss an einen Verkehrsunfall in Egnach der Verdacht der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz ergeben hatte. Mit Verfügung vom 3. Januar 2013 versetzte das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Thurgau X._ einstweilen bis am 30. Januar 2013 in Untersuchungshaft. Das Zwangsmassnahmengericht bejahte den dringenden Tatverdacht und die besonderen Haftgründe der Kollusions- und der Fluchtgefahr.
Am 25. Januar 2013 stellte X._ bei der Staatsanwaltschaft Bischofszell ein Haftentlassungsgesuch. Die Staatsanwaltschaft lehnte das Gesuch ab und leitete es zusammen mit einem Haftverlängerungsgesuch an das Zwangsmassnahmengericht weiter. Gleichentags eröffnete die Staatsanwaltschaft X._ die Anklageschrift im abgekürzten Verfahren (Erledigungsvorschlag) und setzte ihm gemäss <ref-law> (SR 312.0) eine Frist von zehn Tagen, um zu erklären, ob er der Anklageschrift zustimme oder sie ablehne.
Mit Verfügung vom 28. Januar 2013 wies das Zwangsmassnahmengericht das Haftentlassungsgesuch von X._ ab und verlängerte die Untersuchungshaft bis zum 1. März 2013. Diese Verfügung focht X._ mit Beschwerde vom 29. Januar 2013 beim Obergericht des Kantons Thurgau an. Die Staatsanwaltschaft und das Zwangsmassnahmengericht beantragten in ihren Vernehmlassungen die Beschwerdeabweisung. Am 6. Februar 2013 nahm X._ zu den Eingaben der Staatsanwaltschaft und des Zwangsmassnahmengerichts Stellung und führte unter anderem aus, das Missverständnis betreffend die Zuständigkeit zur Abgabe der Zustimmungserklärung sei geklärt, und die Zustimmung zur Anklage sei gegenüber der Staatsanwaltschaft nachgeholt worden.
Am 7. Februar 2013 erhob die Staatsanwaltschaft beim Bezirksgericht Arbon Anklage gegen X._ und beantragte zugleich beim Zwangsmassnahmengericht die Anordnung von Sicherheitshaft bis zum 6. Mai 2013. Mit Verfügung vom 11. Februar 2013 gab das Zwangsmassnahmengericht diesem Antrag statt.
Mit Entscheid vom 21. Februar 2013 wies das Obergericht die von X._ gegen die Verlängerung der Untersuchungshaft geführte Beschwerde ab, soweit diese nicht gegenstandslos geworden sei. Das Obergericht bejahte den dringenden Tatverdacht und den besonderen Haftgrund der Fluchtgefahr. Es erwog zusammenfassend, der junge, unverheiratete und arbeitslose Beschwerdeführer sei österreichischer Staatsbürger mit Wurzeln in Kroatien und habe keine Beziehungen zur Schweiz.
Mit Entscheid vom 28. Februar 2013 verurteilte das Bezirksgericht X._ im Sinne der Anklage zu einer Freiheitsstrafe von 12 Monaten, unter Anrechnung der erstandenen Untersuchungs- und Sicherheitshaft von 61 Tagen. Den Vollzug der Strafe schob es bedingt auf, unter Ansetzung einer Probezeit von zwei Jahren. Zugleich entschied es, die Sicherheitshaft werde per sofort aufgehoben und X._ aus der Haft entlassen.
Mit Entscheid vom 7. März 2013 hiess das Obergericht eine von X._ gegen die Anordnung von Sicherheitshaft ab 7. Februar 2013 erhobene Beschwerde gut und stellte fest, die Anordnung der Sicherheitshaft sei nicht rechtmässig gewesen.
B. Mit Eingabe vom 11. April 2013 führt X._ gegen den Entscheid des Obergerichts vom 21. Februar 2013 betreffend die Verlängerung der Untersuchungshaft Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass sein Festhalten in der Untersuchungshaft ab 25. Januar 2013 rechtswidrig gewesen sei.
Das Obergericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung. X._ erklärt seinen Verzicht auf eine abschliessende Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Entscheid ist die Beschwerde in Strafsachen gegeben (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG).
2. 2.1 Verfahrensgegenstand bildet die Rechtmässigkeit der Untersuchungshaft in der Zeit vom 25. Januar 2013 bis zur Anordnung der Sicherheitshaft am 7. Februar 2013.
2.2 Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach <ref-law> berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Der Beschwerdeführer muss ein aktuelles praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde haben. Dieses Erfordernis soll sicherstellen, dass das Bundesgericht konkrete und nicht bloss theoretische Fragen entscheidet. Nach der Rechtsprechung hat der Betroffene nach Beendigung der Untersuchungshaft kein aktuelles praktisches Interesse an der Behandlung der Haftbeschwerde (<ref-ruling> E 1.3 S. 276 f. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer wurde mit Entscheid des Bezirksgerichts vom 28. Februar 2013 per sofort aus der Haft entlassen. Damit fehlt ihm das aktuelle praktische Interesse zur Beschwerdeführung vor Bundesgericht. Unter besonderen Umständen sind bestimmte Rügen jedoch trotz Entlassung des Beschwerdeführers aus der Haft materiell zu behandeln (<ref-ruling> E. 1.3 S. 276 f. mit Hinweisen; vgl. nachfolgend E. 2.2.2 und E. 2.2.3).
2.2.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, trotz seiner Haftentlassung habe er ein aktuelles und konkretes Rechtsschutzinteresse, weil beim Bezirksgericht ein Antrag betreffend Genugtuungsanspruch wegen zu Unrecht erlittener Untersuchungs- und Sicherheitshaft hängig sei.
Diese Argumentation geht fehl. Ein rechtlich geschütztes Interesse dafür, die Unrechtmässigkeit der Dauer des Freiheitsentzugs festzustellen, ist im Hinblick auf allfällige Entschädigungsansprüche des Beschwerdeführers zu verneinen, denn Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche können vor Gericht unabhängig davon geltend gemacht werden, ob die Rechtswidrigkeit einer Zwangsmassnahme vorgängig festgestellt worden ist (<ref-ruling> E. 4a S. 397).
2.2.2 Besondere Umstände nimmt das Bundesgericht indes bei einer offensichtlichen Verletzung der Europäischen Menschenrechtskonvention (EMRK) an. Diesfalls entspricht es dem Gebot des fairen Verfahrens (<ref-law>) und der Prozessökonomie, die entsprechende Rüge sogleich zu behandeln und dem Beschwerdeführer durch die Feststellung der Verletzung der EMRK Wiedergutmachung zu verschaffen. Behandelt das Bundesgericht die Beschwerde materiell, ist damit Art. 13 EMRK in jedem Fall Genüge getan (<ref-ruling> E. 1.3 S. 276 f. mit Hinweisen).
Im zu beurteilenden Fall liegt keine offensichtliche Verletzung der EMRK vor, was vom Beschwerdeführer im Übrigen auch nicht substanziiert behauptet wird:
Das Haftverfahren wurde formell korrekt durchgeführt. Das Zwangsmassnahmengericht wies mit Verfügung vom 28. Januar 2013 das Haftentlassungsgesuch des Beschwerdeführers vom 25. Januar 2013 ab und verlängerte die Untersuchungshaft auf Antrag der Staatsanwaltschaft bis zum 1. März 2013. Da die Untersuchungshaft mit dem Eingang der Anklage beim erstinstanzlichen Gericht am 7. Februar 2013 endete, stellte die Staatsanwaltschaft formell korrekt gleichzeitig mit der Anklageerhebung ein Gesuch um Fortdauer der Haft in Form von Sicherheitshaft.
Entgegen den Ausführungen in der Beschwerde hat die Vorinstanz ihre Begründungspflicht (als Teilgehalt des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> bzw. Art. 6 EMRK) nicht verletzt. Vielmehr hat die Vorinstanz dargelegt, weshalb aus ihrer Sicht ein dringender Tatverdacht besteht und der besondere Haftgrund der Fluchtgefahr zu bejahen ist. Weiter hat die Vorinstanz festgehalten, dass sich ihres Erachtens vorliegend die Frage der Verhältnismässigkeit der Haftdauer erst ab dem Zeitpunkt der Anklageerhebung stellt.
2.2.3 Das aktuelle praktische Interesse ist ferner nicht erforderlich, wenn sich die aufgeworfene Frage jederzeit unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen könnte, an ihrer Beantwortung wegen der grundsätzlichen Bedeutung ein hinreichendes öffentliches Interesse besteht und eine rechtzeitige bundesgerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre (<ref-ruling> E. 1.1 S. 81 mit Hinweis).
Diese Voraussetzungen sind hier nicht erfüllt. Aus den Vorbringen des Beschwerdeführers sind keine Grundsatzfragen ersichtlich, welche sich für eine Vielzahl Betroffener jederzeit in ähnlicher Weise stellen und die das Bundesgericht bei Nichteintreten kaum je rechtzeitig beantworten könnte (vgl. zum Ganzen auch Urteil 1B_704/2012 vom 14. Dezember 2012 E. 2).
3. Auf die Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig. Angesichts seiner schwierigen finanziellen Verhältnisse rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Damit ist der Antrag auf unentgeltliche Prozessführung gegenstandslos. Da die Beschwerde aussichtslos war, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Bischofszell und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. April 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner