Faits:
A.
A.a. M._ travaille comme agente de propreté et d'hygiène à l'Hôpital X._. Souffrant de douleurs chroniques, elle a déposé le 13 janvier 2004 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a recueilli des renseignements médicaux auprès du docteur E._, spécialiste en médecine interne générale et médecin traitant de l'assurée, lequel a indiqué que sa patiente souffrait d'un syndrome douloureux chronique (avec importante composante de contractures et tensions musculaires cervicales et dorsales irradiantes aux deux bras) et d'un état anxio-dépressif latent réactionnel (rapport du 11 juillet 2004). Il a ensuite confié la réalisation d'un examen clinique rhumato-psychiatrique à son Service médical régional (SMR). Dans leur rapport du 12 juin 2006, les docteurs G._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, et V._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, ont posé les diagnostics - sans répercussion sur la capacité de travail - de syndrome douloureux généralisé sans substrat organique, de dorsalgies et cervico-brachialgies bilatérales (dans le cadre de troubles statiques modérés et de discrets troubles dégénératifs du rachis avec séquelles de maladie de Scheuermann) et d'obésité; l'assurée ne présentait pas d'incapacité de travail dans le cadre de son travail habituel. Par décision du 14 novembre 2006, l'office AI a rejeté la demande de prestations de l'assurée.
A.b. M._ a, par l'intermédiaire du docteur E._, déposé le 23 juin 2008 une nouvelle demande de prestations. Elle a par la suite versé plusieurs rapports médicaux établis par la doctoresse A._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, attestant qu'elle souffrait désormais d'un trouble dépressif récurrent sévère avec syndrome somatique (certificat du 10 juillet 2008 et rapports des 16 octobre 2008 et 14 mai 2009).
Après n'être dans un premier temps pas entré en matière sur la nouvelle demande, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise bidisciplinaire aux docteurs U._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, et O._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans leur rapport du 3 décembre 2009, ces médecins ont retenu les diagnostics - avec répercussion sur la capacité de travail - d'épisode dépressif moyen sans syndrome somatique (présent depuis fin 2006) et - sans répercussion sur la capacité de travail - de fibromyalgie (présente depuis 2001), d'obésité morbide et d'hypertension artérielle; l'assurée présentait en raison de ses problèmes psychiques une incapacité de travail de 50 % dans tout type d'activités depuis mi-décembre 2006.
Suivant une suggestion faite dans l'expertise, le SMR a requis de l'assurée qu'elle adapte le traitement psychotrope qui lui était prescrit. Dans un rapport du 20 février 2011, le docteur E._ a informé le SMR que l'augmentation de la dose du traitement antidépresseur n'avait pas modifié la situation de l'assurée.
L'office AI a alors demandé à la doctoresse O._ qu'elle procède à un complément d'expertise psychiatrique. Dans son rapport du 28 mai 2011, complété le 9 août suivant, ce médecin a posé les diagnostics - sans répercussion sur la capacité de travail - de syndrome douloureux somatoforme persistant (présent depuis 2001) et d'épisode dépressif léger sans syndrome somatique (épisode dépressif moyen de fin 2006 à l'été 2010; épisode dépressif léger depuis l'été 2010), et retenu l'existence d'une pleine capacité de travail.
Malgré les objections formulées par la doctoresses A._ (avis médical du 31 août 2011), l'office AI a, sur la base de l'avis médical du SMR du 19 décembre 2011, rejeté la demande de prestations, au motif que les symptômes dépressifs d'intensité moyenne développés par l'assurée étaient postérieurs au syndrome douloureux généralisé (décision du 6 janvier 2012).
B.
M._ a déféré cette décision devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève. En cours d'instruction, celle-ci a confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur S._. Dans son rapport du 5 octobre 2012, ce médecin a posé les diagnostics de trouble dépressif récurrent (épisode actuel moyen avec syndrome somatique) et de trouble somatoforme indifférencié, et retenu l'existence d'une capacité résiduelle de travail de 50 % dans une activité adaptée.
Par jugement du 21 novembre 2012, la Cour de justice a rejeté le recours formé par l'assurée.
C.
M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2.
2.1. La juridiction cantonale a jugé que la recourante ne souffrait pas d'une atteinte à la santé psychique à l'origine d'une incapacité de travail. Il ressortait clairement du dossier que la recourante était affectée en premier lieu d'une symptomatologie douloureuse sans substrat organique (qualifiée par la suite de fibromyalgie). Ce n'est qu'à partir de 2006 qu'un trouble dépressif était venu se greffer sur cette symptomatologie. A part les douleurs, il n'y avait en effet aucun facteur qui pouvait expliquer le développement d'un état dépressif à ce moment-là, si ce n'est la décision administrative négative du 14 novembre 2006. Il ne pouvait par conséquent être retenu, au degré de la vraisemblance prépondérante, que le trouble dépressif dont souffrait la recourante était indépendant du trouble somatoforme douloureux. Au surplus, la juridiction cantonale a considéré que les critères dégagés par la jurisprudence pour juger du caractère invalidant d'un syndrome somatique dont l'étiologie est incertaine n'étaient pas remplis, la recourante disposant de ressources psychiques suffisantes pour surmonter ses douleurs.
2.2. La recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits pertinents consécutive à une mauvaise appréciation des preuves et d'avoir violé le droit fédéral, en retenant qu'elle présentait un trouble dépressif depuis 2006 seulement et en considérant que celui-ci était secondaire à la symptomatologie douloureuse. Elle lui fait notamment grief de s'être écartée des éléments médicaux en sa possession afin de procéder à une appréciation très personnelle et lapidaire de la situation médicale. Ainsi, à aucun moment n'a-t-elle expliqué les motifs pour lesquels elle s'est écartée de l'expertise judiciaire, laquelle concordait pourtant avec plusieurs autres avis médicaux. Elle s'étonne en outre que la juridiction cantonale se soit fondée sur les conclusions de la seconde expertise réalisée par la doctoresse O._, alors même qu'elle en avait souligné le caractère contradictoire. Même à considérer que le trouble dépressif devait être associé à la symptomatologie douloureuse, il y avait lieu d'admettre que ce trouble constituait une comorbidité psychiatrique suffisamment sévère au regard des critères dégagés par la jurisprudence. En tout état de cause, il convenait de retenir qu'elle présentait une capacité de travail de 50 % dans une activité légère du fait d'un trouble dépressif récurrent.
3.
Le tableau clinique présenté par la recourante est caractérisé notamment par la présence de douleurs multiples et diffuses associées à une symptomatologie dépressive. Il n'est pas contesté que les douleurs ne trouvent pas leur origine dans une affection somatique susceptible d'expliquer, à elle seule, l'importance de l'incapacité de travail et de gain. Dès lors, la question qu'il convient d'examiner est celle de savoir si la recourante souffre d'une atteinte à la santé psychique invalidante ou d'un syndrome douloureux dont les effets ne pourraient plus être surmontés par un effort de volonté raisonnablement exigible.
4.
4.1. La jurisprudence a dégagé au cours de ces dernières années un certain nombre de principes et de critères normatifs pour permettre d'apprécier - sur les plans médical et juridique - le caractère invalidant de syndromes sans pathogenèse ni étiologie claires et sans constat de déficit organique. Selon la jurisprudence, de tels syndromes n'entraînent pas, en règle générale, une limitation de longue durée de la capacité de travail pouvant conduire à une invalidité (<ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 354). Il existe une présomption que ces syndromes ou leurs effets peuvent être surmontés par un effort de volonté raisonnablement exigible (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 50). Le Tribunal fédéral a toutefois reconnu qu'il existe des facteurs déterminés qui, par leur intensité et leur constance, rendent la personne incapable de fournir cet effort de volonté, et a établi des critères permettant d'apprécier le caractère invalidant de ces syndromes (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 354 et 131 V 49 consid. 1.2 p. 50). A cet égard, on retiendra, au premier plan, la présence d'une comorbidité psychiatrique importante par sa gravité, son acuité et sa durée. Parmi les autres critères déterminants, doivent être considérés comme pertinents, un processus maladif s'étendant sur plusieurs années sans rémission durable (symptomatologie inchangée ou progressive), des affections corporelles chroniques, une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie et l'échec de traitements ambulatoires ou stationnaires conformes aux règles de l'art (même avec différents types de traitement), cela en dépit de l'attitude coopérative de la personne assurée. En présence d'une comorbidité psychiatrique, il sera également tenu compte de l'existence d'un état psychique cristallisé résultant d'un processus défectueux de résolution du conflit, mais apportant un soulagement du point de vue psychique (profit primaire tiré de la maladie, fuite dans la maladie). Enfin, on conclura à l'absence d'une atteinte à la santé ouvrant le droit aux prestations d'assurance, si les limitations liées à l'exercice d'une activité résultent d'une exagération des symptômes ou d'une constellation semblable (par exemple une discordance entre les douleurs décrites et le comportement observé, l'allégation d'intenses douleurs dont les caractéristiques demeurent vagues, l'absence de demande de soins, de grandes divergences entre les informations fournies par le patient et celles ressortant de l'anamnèse, le fait que des plaintes très démonstratives laissent insensible l'expert, ainsi que l'allégation de lourds handicaps malgré un environnement psychosocial intact; <ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 71).
4.2. En vertu du principe de la libre appréciation des preuves, consacré notamment à l'art. 61 let. c LPGA, le juge est tenu de procéder à une appréciation complète, rigoureuse et objective des rapports médicaux en relation avec leur contenu (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 396); il doit examiner objectivement tous les documents à disposition, quelle que soit la provenance, puis décider s'ils permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux. S'il existe des avis contradictoires, il ne peut trancher l'affaire sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion plutôt qu'une autre (<ref-ruling> consid. 3a p. 352).
4.3. En ce qui concerne l'évaluation de l'invalidité, il convient de distinguer ce qui relève des constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de ce qui relève de l'application qu'elle a fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale; sur l'ensemble de la question, voir <ref-ruling> consid. 3 p. 397). Dans la mesure où il en va de l'évaluation de l'exigibilité d'une activité professionnelle au regard de l'expérience générale de la vie, il s'agit d'une question de droit qui peut être examinée librement en instance fédérale; il en va ainsi des conclusions tirées de l'expérience médicale, comme par exemple, la présomption que les troubles somatoformes douloureux ou un autre syndrome semblable dont l'étiologie est incertaine et leurs effets peuvent être surmontés par un effort de volonté raisonnablement exigible (cf. supra consid. 4.1). La jurisprudence a précisé par la suite que parmi les éléments qui ne peuvent être contrôlés que sous un angle restreint figurent notamment le point de savoir si l'on est en présence de troubles somatoformes douloureux (ou d'un autre syndrome semblable dont l'étiologie est incertaine) et, dans l'affirmative, s'il existe une comorbidité psychiatrique ou d'autres circonstances qui empêchent de surmonter les douleurs. Constitue en revanche une question de droit qui peut être examinée librement en instance fédérale le point de savoir si une comorbidité psychiatrique est suffisamment importante par sa gravité, son acuité et sa durée ou si un ou plusieurs des autres critères déterminants présentent une intensité et une constance suffisantes pour que l'on puisse conclure, au final, que le syndrome douloureux ne peut plus être surmonté par un effort de volonté raisonnablement exigible et qu'il s'agit par conséquent d'une atteinte à la santé invalidante (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 66 et les références).
5.
5.1. Comme le met en évidence la recourante, c'est depuis 2002 à tout le moins - et non 2006 comme l'a retenu la juridiction cantonale - que la présence de troubles de l'humeur revêtant un degré plus ou moins important de gravité a été constatée: indéniable état anxio-dépressif latent multi-factoriel (rapport du docteur E._ du 20 avril 2002); probable état dépressif sous-jacent (rapport de la doctoresses Pasqualini du 12 juin 2002); état anxio-dépressif latent réactionnel depuis 2001 (rapport du docteur E._ du 11 juillet 2004); absence de signe de la lignée dépressive ou anxieuse (rapport du SMR du 12 juin 2006); trouble dépressif récurrent sévère avec syndrome somatique (rapport de la doctoresse A._ du 16 octobre 2008); épisode dépressif moyen sans syndrome somatique présent depuis 2006 (rapport d'expertise des docteurs U._ et O._ du 3 décembre 2009); épisode dépressif léger sans syndrome somatique (rapport d'expertise de la doctoresses O._ du 28 mai 2011); trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen avec syndrome somatique (expertise judiciaire du docteur S._ du 5 octobre 2012). Le docteur S._ a résumé la situation en expliquant que l'assurée "souffr [ait] d'un trouble dépressif récurrent, trouble évoluant en dents de scie, en d'autres termes caractérisé par la survenue répétée d'épisodes dépressifs moyens à sévères avec de courts moments de rémissions partielles".
5.2. Sans trancher la question de la qualification des troubles de l'humeur affectant la recourante et de leur gravité, les premiers juges ont écarté l'hypothèse de l'existence d'une comorbidité psychiatrique importante, au motif que le trouble dépressif observé par les médecins consultés par la recourante devait tout au plus être considéré comme réactionnel à la symptomatologie douloureuse. Certes, il est exact que selon la doctrine médicale, sur laquelle se fonde le Tribunal fédéral, les états dépressifs peuvent constituer des manifestations (réactives) d'accompagnement des troubles somatoformes douloureux, de sorte qu'ils ne sauraient, dans cette hypothèse, faire l'objet d'un diagnostic séparé. Cela ne saurait toutefois être le cas lorsque l'état dépressif présente les caractères de sévérité susceptibles de le distinguer sans conteste d'un tel trouble (<ref-ruling> consid. 3.3.1 in fine p. 358). Or, il y a lieu de constater en l'espèce qu'il n'y a pas unanimité au sein du corps médical au sujet de la gravité réelle des symptômes dépressifs affectant la recourante (cf. supra consid. 5.1), ce d'autant que ceux-ci peuvent varier au fil du temps. Aussi, la conclusion qu'a tirée la juridiction cantonale de la présence d'une symptomatologie dépressive apparaît, en l'absence de plus amples précisions, quelque peu hâtive. Qui plus est, les raisons avancées par la juridiction cantonale pour conclure au caractère purement réactionnel de la symptomatologie dépressive sont succinctes et en contradiction avec les faits tels qu'ils ressortent du dossier. Il n'est dès lors pas possible de suivre, en l'état, le raisonnement adopté par la juridiction cantonale.
5.3. Par ailleurs, et comme le relève à juste titre la recourante, la juridiction cantonale s'est exclusivement référée aux observations et conclusions de la seconde expertise réalisée par la doctoresse O._, sans expliquer en quoi il se justifiait d'écarter l'expertise judiciaire du docteur S._, le point de vue de la doctoresse A._ ou encore les conclusions de la première expertise à laquelle avait participé la doctoresse O._ (à tout le moins en ce qui concerne la période courant de la date du dépôt de la nouvelle demande jusqu'à la date de la seconde expertise). Le jugement entrepris est par conséquent également lacunaire quant à sa motivation.
5.4. Faute pour le jugement entrepris de reposer sur des constatations de fait suffisantes, le Tribunal fédéral n'est pas en mesure d'examiner la conformité au droit des considérations de la juridiction cantonale sur le caractère invalidant de la symptomatologie dépressive et douloureuse présentée par la recourante. Cette lacune ne saurait être réparée dans le cadre de la présente procédure, eu égard au pouvoir d'examen limité du Tribunal fédéral. Il convient par conséquent de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle rende une nouvelle décision en complétant, le cas échéant, l'instruction médicale du dossier.
6.
Vu l'issue du litige, les frais et les dépens de la procédure sont mis à la charge de l'office intimé (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 21 novembre 2012 est annulé. La cause est renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 2 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Piguet