Sachverhalt:
A.
Auf Ersuchen des Kantons Schwyz, des Bezirks March und der Gemeinde Y._ erteilte der Einzelrichter am Bezirksgericht March in der gegen X._ laufenden Betreibung Nr. xxx des Betreibungskreises Altendorf-Lachen die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 66'361.75 nebst Zinsen und Kosten. X._ gelangte daraufhin an das Kantonsgericht Schwyz, welches auf seine Beschwerde am 27. Mai 2014 nicht eintrat.
B.
Gegen diese kantonsgerichtliche Verfügung erhob X._ mit Eingabe vom 2. Juni 2014 beim Bundesgericht "Einspruch". Zudem stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Kantonsgericht hat sich am 14. August 2014 geäussert, ohne einen formellen Antrag zu stellen. Der Kanton Schwyz, der Bezirk March und die Gemeinde Y._ haben sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Nichteintretensentscheid aufgrund eines Rechtsöffnungsgesuchs, mithin in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache, wobei die gesetzliche Streitwertgrenze erreicht ist (<ref-law>, 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher gegeben.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich grundsätzlich von Amtes wegen und mit freier Kognition an (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Das Bundesgericht legte seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Nichtleistung des Kostenvorschusses in einem kantonalen Rechtsmittelverfahren.
2.1. Mit Verfügung vom 18. Februar 2014 setzte das Kantonsgericht dem Beschwerdeführer eine Frist bis spätestens 28. Februar 2014 zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 750.--. Auf Ersuchen des Beschwerdeführers wurde ihm die Ratenzahlung von Fr. 250.-- per 3. März 2014, 1. April 2014 und 1. Mai 2014 bewilligt. Nach unbenutztem Ablauf der ersten und zweiten Frist setzte das Kantonsgericht ihm eine Nachfrist und wies auf die Säumnisfolgen hin. Nachdem der Beschwerdeführer daraufhin bloss die zweite, nicht aber die erste Rate überweisen hatte, trat das Kantonsgericht androhungsgemäss auf die Beschwerde nicht ein.
2.2. Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen die Pflicht, für das kantonale Verfahren einen Kostenvorschuss leisten zu müssen. Er weist auf seine finanzielle Lage hin, die ihm weder die Zahlung eines Kostenvorschusses noch die Entschädigung eines Anwaltes erlaube. Daher stehe ihm ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu, welcher ihm das Kantonsgericht verweigert habe.
2.3. Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Begehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, besteht darüber hinaus ein Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand (<ref-law>). Mit <ref-law> wird der als verfassungsrechtliche Minimalgarantie in <ref-law> verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auf Gesetzesstufe geregelt (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 218; Urteil 5A_395/2012 vom 16. Juli 2012 E. 3.2).
2.4. Ob die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und der Verbeiständung im konkreten Fall gegeben sind, hat das Kantonsgericht bisher nicht geprüft. Stattdessen hat es vom Beschwerdeführer einen Kostenvorschuss angefordert und ist infolge (teilweiser) Nichtleistung androhungsgemäss auf die Beschwerde nicht eingetreten. Dass das Kantonsgericht über die Leistung des Kostenvorschusses und die Gewährung der diesbezüglichen Nachfrist mit anfechtbarer Verfügung samt Rechtsmittelbelehrung befunden hat, gegen welche sich der Beschwerdeführer nicht zur Wehr setzte, kann nicht als stillschweigender Verzicht auf die unentgeltliche Rechtspflege verstanden werden. Dem Kantonsgericht kann auch nicht gefolgt werden, wenn es in der Vernehmlassung vorbringt, der Beschwerdeführer habe kein Armenrechtsgesuch gestellt, sondern nur um Ratenzahlungen für den Kostenvorschuss nachgefragt. Bereits in seiner Eingabe an das Kantonsgericht vom 17. Februar 2014 wies der Beschwerdeführer darauf hin, dass er sich keinen Anwalt leisten könne, und er eine Verbeiständung auf Kosten des Staates durch Rechtsanwalt A._ wünsche. Nach Erhalt der gerichtlichen Aufforderung zur Leistung des Kostenvorschusses hat er um Ratenzahlung gebeten und (erneut) auf seine finanzielle Lage hingewiesen. Damit hat der (nicht anwaltlich vertretene) Beschwerdeführer sein Anliegen unmissverständlich dargetan. Das Kantonsgericht wird daher zu prüfen haben, ob die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und die Notwendigkeit einer unentgeltlichen Verbeiständung gegeben sind. Auf die Vorbringen des Beschwerdeführers in der Sache ist nicht einzugehen, da Gegenstand der vorliegenden Beschwerde einzig das Eintreten auf das kantonale Rechtsmittel bildet.
3.
Der Beschwerde ist Erfolg beschieden. Ungeachtet des Verfahrensausgangs werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos. Zudem ist ihm kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, die Verfügung des Kantonsgerichts Schwyz vom 27. Mai 2014 wird aufgehoben und die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. September 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante