Sachverhalt:
A.
Die 1956 geborene, zuletzt als selbstständige Wirtin tätig gewesene F._ bezog gestützt auf die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 16. April 1998 ab 1. November 1997 bei einem Invaliditätsgrad von 90 % eine ganze Invalidenrente der Invalidenversicherung. Aufgrund einer anonymen Mitteilung liess die IV-Stelle die Versicherte im Herbst 2010 und Frühling 2011 observieren. Sie traf zudem medizinische und erwerbliche Abklärungen. Mit Verfügung vom 25. Juni 2012 hob die Verwaltung die Rente auf das Ende des der Verfügungszustellung folgenden Monats revisionsweise auf, da keine rentenbegründende Invalidität mehr ausgewiesen sei.
B.
F._ erhob Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, es sei die Verfügung vom 25. Juni 2012 aufzuheben und mindestens eine Dreiviertelsrente zuzusprechen. Die IV-Stelle beantragte die Abweisung der Beschwerde, wobei sie festhielt, es rechtfertige sich auch eine wiedererwägungsweise Aufhebung der Rentenverfügung vom 16. April 1998. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen kündigte der Versicherten eine mögliche Schlechterstellung an und bot ihr Gelegenheit zum Rückzug der Beschwerde. F._ hielt an dieser fest. Mit Entscheid vom 1. Oktober 2013 erkannte das Versicherungsgericht, die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung seien nicht erfüllt. Hingegen lasse sich infolge einer spätestens im Juli 2008 eingetretenen Verbesserung der Arbeitsfähigkeit nurmehr ein Anspruch auf eine halbe Rente begründen. Die Rente sei daher revisionsweise herabzusetzen. Das erfolge wegen einer Meldepflichtverletzung der Versicherten rückwirkend ab 1. Oktober 2008. Entsprechend hiess das Gericht die Beschwerde teilweise gut, hob die Verfügung vom 25. Juni 2012 auf, setzte den Leistungsanspruch ab 1. Oktober 2008 auf eine halbe Invalidenrente herab und wies die Sache zur Berechnung des Rentenbetrages an die Verwaltung zurück).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei, soweit auf Zusprechung einer halben Rente ab 1. Oktober 2008 lautend, aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Versicherte ab diesem Zeitpunkt keinen Rentenanspruch mehr habe. Zudem wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
F._ lässt auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten sei, schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Die Beschwerdegegnerin begründet ihren Nichteintretensantrag damit, die Beschwerde sei ungenügend begründet. Der Einwand ist nicht stichhaltig. Die Beschwerdebegründung genügt den gesetzlichen Anforderungen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen sind - unbestrittenermassen - ebenfalls erfüllt.
3.
Letztinstanzlich ist nicht umstritten, dass die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung der Rentenverfügung vom 16. April 1998 nicht erfüllt sind. Es steht sodann fest und ist ebenfalls nicht umstritten, dass die ab 1. November 1997 bezogene ganze Rente infolge einer - in einer gesundheitlichen Besserung begründeten - Änderung des Invaliditätsgrades zu revidieren ist und dies wegen einer Meldepflichtverletzung der Versicherten rückwirkend auf den 1. Oktober 2008 Wirkung zu entfalten hat.
Streitig und zu prüfen ist, ob die ganze Rente auf diesen Zeitpunkt auf eine halbe Rente herabzusetzen oder ganz aufzuheben ist. Die Vorinstanz ist gestützt auf einen Einkommensvergleich zum Ergebnis gelangt, der Invaliditätsgrad betrage nunmehr 50.2 %. Damit bestehe noch Anspruch auf eine halbe Rente. Die Beschwerde führende IV-Stelle macht geltend, das kantonale Gericht habe hiebei die Regeln zur Bestimmung der Vergleichseinkommen verletzt. Bei korrektem Vorgehen resultiere ein nicht mehr rentenbegründender Invaliditätsgrad. Die Beschwerdegegnerin postuliert, es sei der vorinstanzlichen Beurteilung zu folgen.
4.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die Bestimmungen und Grundsätze zum nach der Höhe des Invaliditätsgrades abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente (mit den vorausgesetzten Mindestinvaliditätsgraden von 40 % für eine Viertelsrente, 50 % für eine halbe Rente, 60 % für eine Dreiviertelsrente und 70 % für eine ganze Rente) und zur Bestimmung des Invaliditätsgrades mittels Einkommensvergleich. Darauf wird verwiesen.
5.
Das kantonale Gericht hat erkannt, gestützt auf die medizinischen Akten sei davon auszugehen, dass die Versicherte allerspätestens seit Juli 2008 in einer leidensadaptierten Tätigkeit zu 50 % arbeitsfähig sei. Ausgehend davon sei nach Massgabe von Art. 16 ATSG ein Einkommensvergleich vorzunehmen. Das Einkommen ohne invalidisierende Gesundheitsschädigung (Valideneinkommen) sei gestützt auf sog. Tabellenlöhne (statistische Durchschnittslöhne gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung [LSE]) für das Jahr 2010 auf Fr. 47'736.- festzusetzen. Das trotz gesundheitsbedingter Beeinträchtigung zumutbarerweise noch erzielbare Einkommen (Invalideneinkommen) betrage für dasselbe Jahr, ebenfalls ausgehend von Tabellenlöhnen sowie unter Berücksichtigung der hälftigen Restarbeitsfähigkeit und eines leidensbedingten Abzuges von 10 %, Fr. 23'756.-. Der Vergleich der Einkommen ergebe einen Invaliditätsgrad von 50.2 %.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Valideneinkommen sei entgegen der vorinstanzlichen Beurteilung nicht anhand von Tabellenlöhnen, sondern aufgrund des Einkommens, das die Versicherte im Gesundheitsfall als Wirtin erzielen würde, festzusetzen. Das führe zu einem tieferen Valideneinkommen. Zudem habe das kantonale Gericht beim Invalideneinkommen zu Unrecht einen leidensbedingten Abzug vorgenommen.
6.
Ob zur Bestimmung der Vergleichseinkommen auf Tabellenlöhne oder auf andere Grundlagen abzustellen ist, stellt eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 399; Urteil 8C_90/2001 vom 12. März 2008 E. 3.2.1). Hingegen können Sachverhaltsfeststellungen, welche die Vorinstanz zur Beantwortung dieser Rechtsfrage getroffen hat, vom Bundesgericht nur im Rahmen von Art. 105 Abs. 2 BGG überprüft werden (E. 1 hievor).
6.1. Für die Ermittlung des Valideneinkommens ist entscheidend, was die versicherte Person im massgeblichen Zeitpunkt nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdient hätte. Dabei wird in der Regel am zuletzt erzielten, nötigenfalls der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepassten Verdienst angeknüpft, da es empirischer Erfahrung entspricht, dass die bisherige Tätigkeit ohne Gesundheitsschaden fortgesetzt worden wäre. Ausnahmen müssen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sein (<ref-ruling> E. 4.1 S. 325; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 224 mit Hinweisen; Urteil 8C_567/2013 vom 30. Dezember 2013 E. 2.2.1). Lässt sich aufgrund der tatsächlichen Verhältnisse das ohne gesundheitliche Beeinträchtigung realisierbare Einkommen nicht hinreichend genau beziffern, darf auf statistische Werte wie die LSE zurückgegriffen werden, sofern dabei die für die Entlöhnung im Einzelfall relevanten persönlichen und beruflichen Faktoren mitberücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 30; erwähntes Urteil 8C_567/2013 E. 4.4).
6.2. Das kantonale Gericht hat erwogen, die Versicherte sei in der Zeit von 1990 bis 1997 einer selbstständigen Erwerbstätigkeit als Wirtin nachgegangen. Die IV-Stelle habe in der Verfügung vom 25. Juni 2012 das Valideneinkommen anhand der Buchhaltungsunterlagen des Restaurants aus dem Jahr 1995 ermittelt. Darin sei ein Reingewinn resp. Bruttoeinkommen von Fr. 22'264.- ausgewiesen. Da jedoch nicht eruierbar sei, in welchem Ausmass konjunkturelle, betriebswirtschaftliche, buchhalterische oder gesundheitliche Gründe das Betriebsergebnis beeinflusst hätten, und auch beispielsweise die Konkurrenzsituation einen zahlenmässig nicht definierbaren Einfluss auf das Betriebsergebnis haben könne, lasse sich das Valideneinkommen nicht anhand eines für das Jahr 1995 in der Erfolgsrechnung der Buchhaltung ausgewiesenen Betrags ermitteln. Dieser Wert sei jedenfalls nicht repräsentativ und erlaube keine Rückschlüsse auf das werbliche Leistungsvermögen der Versicherten. Zudem habe deren Rückenproblematik bereits 1992 begonnen, wobei Rückenbeschwerden schon früher erwähnt worden seien. Damit schieden auch die übrigen in der näheren Vergangenheit erzielten Einkommen aus, denn sie vermöchten die erwerbliche Leistungsfähigkeit der Versicherten ohne die Gesundheitsbeeinträchtigung nicht mit der nötigen Wahrscheinlichkeit abzubilden. Entgegen dem Vorbringen der Verwaltung im kantonalen Verfahren sei auch nicht davon auszugehen, dass "Erfahrungswerte" der Einkommen von selbstständigen Wirtinnen in der Höhe von Fr. 20'000.- bis Fr. 25'000.- bestünden.
Ausgehend von diesen Erwägungen bestimmte die Vorinstanz das Valideneinkommen anhand von Tabellenlöhnen. Sie stellte hiebei fest, die Versicherte verfüge über keine Berufslehre. Das von ihr erworbene Wirtepatent könne hinsichtlich der erforderlichen Kenntnisse und Fähigkeiten einer solchen Lehre nicht gleichgestellt werden. Demzufolge sei der Tabellenlohn für weibliche Hilfskräfte in der Gastronomie gemäss LSE 2010 heranzuziehen. Das ergebe unter Berücksichtigung der betriebsüblichen Wochenarbeitszeit ein Valideneinkommen von Fr. 47'736.-.
6.3.
6.3.1. Die Verwaltung bringt zunächst vor, das kantonale Gericht habe in verbindlicher Weise erkannt, die Versicherte wäre im Gesundheitsfall weiterhin als selbstständigerwerbende Wirtin tätig. Eine solche Feststellung lässt sich dem vorinstanzlichen Entscheid indessen nicht entnehmen.
6.3.2. Die IV-Stelle hält sodann an ihrer Auffassung fest, wonach zur Bestimmung des Valideneinkommens jedenfalls vom als Wirtin im Jahr 1995 erzielten Einkommen auszugehen sei. Sie verweist dabei auf die Erfolgsrechnungen des Restaurants von 1994 - 1997. Darin habe die Versicherte Reingewinne zwischen Fr. 15'588.- und Fr. 34'780.- ausgewiesen, wobei in den letztgenannten, das Jahr 1997 betreffenden Betriebserfolg mutmasslich auch Erträge aus der Liquidation des Restaurants geflossen seien. In diesem Zusammenhang beanstandet die Verwaltung überdies, die Vorinstanz habe zu Unrecht die Buchhaltung der früheren Jahre nicht eingeholt.
Die Betriebsrechnungen der Jahre 1994 bis 1997 weisen recht schwankende Ergebnisse aus. Das ist in selbstständigen Betrieben nicht unüblich und schliesst noch nicht aus, beispielsweise über mehrere Jahre hinweg berechnete Durchschnittseinkünfte dem Valideneinkommen zugrunde zulegen. Ein einzelnes Jahresergebnis herauszugreifen, wie dies die Verwaltung getan hat, erscheint hingegen bei einem so variablen Geschäftsverlauf wenig zweckmässig. Hinzu kommt als entscheidender Gesichtspunkt, dass zwischen der Aufgabe des Restaurantbetriebs im Jahr 1997 und dem Jahr 2010, für welches hier der Einkommensvergleich vorgenommen wurde, rund 13 Jahre liegen. Die IV-Stelle räumt richtigerweise selber ein, dass die konkrete Einkommenssituation eines Gastbetriebs durch konjunkturelle, betriebswirtschaftliche und buchhalterische Faktoren sowie durch die Konkurrenzsituation beeinflusst wird. Das gilt erst recht, wenn seit der letzten Ausübung dieser Tätigkeit so lange Zeit wie im vorliegenden Fall verstrichen ist. Entsprechend hoch ist hier denn auch der Unsicherheitsfaktor bezüglich der hypothetisch anzunehmenden Betriebsergebnisse für die Zeit bis ins Jahr 2010. Wenn das kantonale Gericht die früheren Einkünfte nicht als verlässliche Grundlage zur Bestimmung des aktuellen hypothetischen Valideneinkommens betrachtet und stattdessen Tabellenlöhne verwendet hat, ist dies daher nicht bundesrechtswidrig.
6.3.3. Was die Beschwerdeführerin weiter vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Die zur Edition beantragten Buchhaltungen aus der Zeit vor 1994 sind nicht entscheidrelevant, weshalb zu Recht von ihrem Beizug abgesehen wurde. Den im Individuellen Konto der Versicherten für die Jahre der Wirtinnentätigkeit verzeichneten Einkünften und den Einkommen vor der Betriebsübernahme kommt nach dem Gesagten ebenfalls keine Bedeutung zu. Gleiches gilt für die Frage, inwieweit die damaligen Betriebsergebnisse allenfalls bereits durch Rückenprobleme beeinflusst wurden, und hinsichtlich des Zivilstands der Versicherten. Die Annahmen der IV-Stelle zu allfälligen Gewinnerwartungen ähnlicher Betriebe sind spekulativ und stellen keine verlässliche Entscheidgrundlage dar. Sodann trifft zwar zu, dass es entgegen der Formulierung im angefochtenen Entscheid beim Valideneinkommen nicht um das "erwerbliche Leistungsvermögen" im Sinne des im Gesundheitsfall erzielbaren Einkommens geht, sondern um das im Gesundheitsfall mutmasslich erzielte Einkommen (E. 6.1 hievor). Abgesehen von dieser missverständlichen Begriffsverwendung ist der vorinstanzliche Entscheid aber nicht zu beanstanden.
Ein zusätzlicher Einwand geht dahin, die Bestimmung des Valideneinkommens liege auch vom Ergebnis her weit ausserhalb eines vertretbaren Ermessens und sei damit willkürlich. Dem kann mit Blick auf den verwendeten, nicht etwa überhöhten Tabellenlohn und die überzeugenden vorinstanzlichen Erwägungen nicht beigepflichtet werden. Die rechnerische Festsetzung des Valideneinkommens wird im Übrigen nicht beanstandet und gibt keinen Anlass zu Weiterungen.
7.
Zum zweiten Vergleichseinkommen hat das kantonale Gericht im Wesentlichen erwogen, der Versicherten stünden nach Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung noch verschiedene Hilfstätigkeiten offen. Ausgehend von statistischen Durchschnittslöhnen für einfache und repetitive Tätigkeiten sei der Invalidenlohn für das Jahr 2010 auf Fr. 52'790.- festzusetzen. Unter Berücksichtigung eines leidensbedingten Abzuges von 10 % und der noch gegebenen Arbeitsfähigkeit von 50 % ergebe sich ein Invalideneinkommen von Fr. 23'756.-. Die Gegenüberstellung mit dem Valideneinkommen von Fr. 47'736.- führe zu einem Invaliditätsgrad von 50.2 %.
Die Beschwerdeführerin erachtet die Gewährung eines Leidensabzugs als rechtswidrig.
7.1.
7.1.1. Praxisgemäss kann von dem anhand von LSE-Tabellenlöhnen ermittelten Invalideneinkommen unter bestimmten Voraussetzungen ein leidensbedingter Abzug vorgenommen werden. Dieser soll persönlichen und beruflichen Umständen (leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad) Rechnung tragen, welche negative Auswirkungen auf die Lohnhöhe der gesundheitlich beeinträchtigten Person haben können. Der Einfluss sämtlicher Merkmale auf das Invalideneinkommen ist nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen, wobei der Abzug auf höchstens 25 % zu begrenzen ist (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481; <ref-ruling>; vgl. auch: <ref-ruling> E. 5.2 S. 301; <ref-ruling> E. 5.2 S. 327 f.).
Wurde bei der Festsetzung des Abzugs vom Tabellenlohn ein Merkmal oder ein bestimmter Aspekt eines Merkmals zu Unrecht nicht berücksichtigt, ist nicht vom von der IV-Stelle oder von der Vorinstanz vorgenommenen Abzug auszugehen und dieser angemessen zu erhöhen. Vielmehr haben das kantonale Gericht oder das Bundesgericht den Abzug gesamthaft neu zu schätzen (vgl. SVR 2011 IV Nr. 31 S. 90, 9C_728/2009 E. 4.2.1; Urteil 9C_796/2013 vom 28. Januar 2014 E. 3.2). Nichts anderes gilt, wenn ein Merkmal oder ein Aspekt davon zu Unrecht berücksichtigt wurde. Auch dies bedingt eine gesamthafte Neuschätzung.
7.1.2. Ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Abzug vom hypothetischen Invalideneinkommen vorzunehmen sei, ist eine Rechtsfrage. Demgegenüber stellt die Höhe des Abzuges eine typische Ermessensfrage dar, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, d.h. bei Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 72 f. mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.3 in fine S. 399).
7.2. Die Vorinstanz hat den Abzug damit begründet, die Versicherte sei im Zeitpunkt des Erlasses der Verwaltungsverfügung vom 25. Juni 2012 knapp 56jährig gewesen. Ältere Personen seien auf dem Arbeitsmarkt bekannterweise benachteiligt, was bei Zusammenfallen mit gesundheitlichen Beschwerden umso mehr gelte. Das Alter der Versicherten könne daher bei der Ermittlung des Tabellenlohnabzuges nicht gänzlich ausser acht gelassen werden. Auch angesichts der gesundheitsbedingten Beschränkung auf körperlich leichte Arbeiten, die erhöhte Anforderungen an einen adaptierten Arbeitsplatz stelle und erhöhte Rücksichtnahme des Arbeitgebers verlange, sei damit zu rechnen, dass die Versicherte ihre Restarbeitsmarkt auf dem Arbeitsmarkt nur zu einem unterdurchschnittlichen Einkommen verwerten könne. In Würdigung aller konkreten Umstände erscheine ein Abzug von 10 % angemessen.
7.3. Die IV-Stelle wendet ein, der Versicherten erwachse mit dem wegen des Alters gewährten Abzug ein Vorteil aus ihrer Meldepflichtverletzung. Denn im Anpassungszeitpunkt 2008 seien sie erst 52 Jahre alt gewesen. Zu berücksichtigen seien auch weitere Umstände. So sei die Beschwerdegegnerin regelmässig für Grossanlässe aufgeboten worden. Das sei nur möglich, weil sie zuverlässig und sehr produktiv sei, was auch anlässlich der Observation eindrücklich habe dokumentiert werden können. Die Versicherte habe bei ihren Einsätzen deutlich über 50 % liegende Pensen geleistet. Sie könne zudem in hohem Masse selbstständig sowie verantwortungsbewusst arbeiten und sei keineswegs arbeitsentwöhnt.
Ob der Einwand betreffend Meldepflichtverletzung begründet ist, kann offen bleiben. Denn ein Abzug vom Tabellenlohn wegen des Lebensalters rechtfertigt sich ohnehin nicht. Statistisch gesehen sind die Löhne von Arbeitnehmenden im Altersbereich der Beschwerdegegnerin für einfache und repetitive Tätigkeiten (LSE-Anforderungsniveau 4) nicht tiefer, sondern eher höher als diejenigen jüngerer Arbeitnehmenden. Und dass das Alter die Stellensuche faktisch negativ beeinflussen kann, muss als invaliditätsfremder Faktor unberücksichtigt bleiben (vgl. LSE 2010 Tabelle TA9; RtiD 2008 II S. 274, 9C_13/2007 E. 5; AHI 1999 S. 237, I 377/98 E. 4c; sodann aus jüngerer Zeit: Urteile 8C_939/2011 vom 13. Februar 2012 E. 5.2.3; 9C_858/2011 vom 2. Februar 2012 E. 3.2; 8C_594/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 5).
Sodann würde alleine die leidensbedingte Einschränkung offensichtlich auch nach der Auffassung der Vorinstanz keinen Abzug von 10 % rechtfertigen. Wird - ohne abschliessend zu beurteilen, ob überhaupt ein Abzug vorzunehmen ist - von der nächst tieferen Abzugsstufe von 5 % (vgl. zur Stufung Urteil 9C_643/2010 vom 27. Dezember 2010 E. 3.4 in fine) ausgegangen, resultiert bei der gegebenen hälftigen Restarbeitsfähigkeit ein Invalideneinkommen von Fr. 25'075.25. Die übrigen Berechnungsfaktoren des Invalideneinkommens werden im Übrigen nicht bestritten und geben keinen Anlass zu Weiterungen.
7.4. Die Gegenüberstellung des Invalideneinkommens von Fr. 25'075.25 mit dem Valideneinkommen von Fr. 47'736.- ergibt eine Erwerbseinbusse von Fr. 22'660.75, entsprechend einem Invaliditätsgrad von 47.47 %. Damit besteht Anspruch auf eine Viertelsrente. Die Beschwerde ist mithin teilweise gutzuheissen.
8.
Mit dem vorliegenden Urteil ist das Gesuch betreffend aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
9.
Das teilweise Obsiegen der Beschwerdeführerin rechtfertigt, die Kosten hälftig auf die Parteien zu verteilen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es besteht ein Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 1. Oktober 2013 wird aufgehoben, soweit auf Zusprechung einer halben Rente lautend, und es wird festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin ab 1. Oktober 2008 Anspruch auf eine Viertelsrente hat. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden zu Fr. 400.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 400.- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Februar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz