Sachverhalt:
A. Die 1962 geborene, zuletzt als Produktionsmitarbeiterin bei der X._ AG tätig gewesene U._ meldete sich im Mai 2008 unter Hinweis auf verschiedene gesundheitliche Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern holte Berichte der behandelnden Ärzte sowie ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten des Instituts Y._ vom 16. Juli 2009 ein und zog die medizinischen Akten des involvierten Krankentaggeldversicherers, worunter zwei von diesem veranlasste psychiatrische Gutachten des Dr. med. B._ vom 30. Juli 2008 und des Dr. med. F._ vom 10. Dezember 2008, bei. Die Versicherte legte ein von ihr eingeholtes psychiatrisches Gutachten des Dr. med. H._ vom 31. Dezember 2009 auf. Mit Verfügung vom 28. April 2010 verneinte die IV-Stelle einen Anspruch auf eine Invalidenrente mit der Begründung, es liege keine gesundheitsbedingte Einschränkung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit vor.
B. Hiegegen erhob U._ Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern führte eine öffentliche Verhandlung durch, an welcher es die Versicherte einvernahm. Mit Entscheid vom 15. März 2012 hiess das Gericht die Beschwerde teilweise gut, hob die Verwaltungsverfügung vom 28. April 2010 auf und verpflichtete die IV-Stelle, U._ aufgrund einer invalidisierenden somatoformen Schmerzstörung ab November 2008 eine ganze Invalidenrente nebst 5 % Verzugszins ab 1. November 2010 auszurichten.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Richtigkeit der Verfügung vom 28. April 2010 festzustellen; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Während U._ auf Abweisung der Beschwerde schliessen lässt, beantragt das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) deren Gutheissung. Hiezu hat sich U._ nochmals vernehmen lassen.
D. Mit Verfügung vom 20. November 2012 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin an einer somatoformen Schmerzstörung leidet, welche einen Anspruch auf eine Invalidenrente begründet.
2.1 Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen und Grundsätze zum Begriff Invalidität, insbesondere bei psychischen Gesundheitsstörungen, zum Anspruch auf eine Invalidenrente, zur Bestimmung des Invaliditätsgrades mittels Einkommensvergleich, zur Aufgabe von Arzt oder Ärztin bei der Invaliditätsbemessung sowie zu den Anforderungen an beweiswertige medizinische ärztliche Berichte und Gutachten zutreffend dargelegt.
Das gilt namentlich auch für die mit <ref-ruling> begründete Rechtsprechung zur Frage, wann eine somatoforme Schmerzstörung als invalidisierend zu betrachten ist. Danach begründet eine fachärztlich (psychiatrisch) diagnostizierte anhaltende somatoforme Schmerzstörung als solche noch keine Invalidität. Vielmehr besteht eine Vermutung, dass die somatoforme Schmerzstörung oder ihre Folgen mit einer zumutbaren Willensanstrengung überwindbar sind. Bestimmte Umstände, welche die Schmerzbewältigung intensiv und konstant behindern, können den Wiedereinstieg in den Arbeitsprozess unzumutbar machen, weil die versicherte Person alsdann nicht über die für den Umgang mit den Schmerzen notwendigen Ressourcen verfügt. Ob ein solcher Ausnahmefall vorliegt, entscheidet sich im Einzelfall anhand verschiedener Kriterien. Im Vordergrund steht die Feststellung einer psychischen Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer. Massgebend sein können auch weitere Faktoren, so: chronische körperliche Begleiterkrankungen; ein mehrjähriger, chronifizierter Krankheitsverlauf mit unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne länger dauernde Rückbildung; ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens; ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr beeinflussbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn; "Flucht in die Krankheit"); das Scheitern einer konsequent durchgeführten ambulanten oder stationären Behandlung (auch mit unterschiedlichem therapeutischen Ansatz) trotz kooperativer Haltung der versicherten Person. Je mehr dieser Kriterien zutreffen und je ausgeprägter sich die entsprechenden Befunde darstellen, desto eher sind - ausnahmsweise - die Voraussetzungen für eine zumutbare Willensanstrengung zu verneinen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 4.1 f. mit Hinweisen).
Kognitionsrechtlich (vgl. E. 1 hievor) gilt hiebei Folgendes: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 66 mit Hinweis). Die Beantwortung dieser Rechtsfrage obliegt nicht den Ärztinnen und Ärzten, sondern den rechtsanwendenden Behörden. Es können sich daher Konstellationen ergeben, bei welchen von der im medizinischen Gutachten festgestellten Arbeitsunfähigkeit abzuweichen ist, ohne dass dieses seinen Beweiswert verlöre (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 356; Urteile 8C_842/2011 vom 16. Oktober 2012 E. 4.2.2; 8C_979/2008 vom 1. Juli 2009 E. 5 Ingress mit Hinweis).
3. Das kantonale Gericht ist gestützt auf eine Auseinandersetzung mit den medizinischen Akten zum Ergebnis gelangt, für die Beurteilung des psychischen Gesundheitszustandes und seiner Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit sei auf das psychiatrische Gutachten F._ vom 10. Dezember 2008 abzustellen. Einzig dieser Expertise könne vorbehaltlos uneingeschränkte Beweiskraft beigemessen werden. So sei sie von einem Versicherer nach dem vorgegebenen Verfahrensrecht in Auftrag gegeben worden und äusserst umfangreich und nachvollziehbar begründet. Das Abstützen auf das Gutachten F._ erscheine auch deshalb angemessen, weil sämtliche involvierten medizinischen Experten eine somatoforme Schmerzstörung und, mit Ausnahme des Gutachters des Instituts Y._, eine psychische Komorbidität in Form einer chronischen bzw. rezidivierenden depressiven Störung diagnostiziert hätten. Das Vorliegen einer bis auf Weiteres als behandlungsresistent einzustufenden Komorbidität in Form einer komplexen depressiven Störung gehe überdies aus den Austrittsberichten der Klinik S._ vom 8. September 2008 und der Klinik U._ vom 17. März 2011 hervor. Zudem habe sich auch anlässlich der gut zweistündigen gerichtlichen Einvernahme vom 28. November 2011 ein objektiv feststellbar beeinträchtigter psychischer Zustand feststellen lassen. So sei das dabei gezeigte Verhalten zwar auch unverkennbar durch die aus den Akten bereits bekannte Verweigerungshaltung und die ebenfalls aktenkundigen Verdeutlichungstendenzen beeinflusst gewesen. Es habe aber dennoch das Bild einer schmerzgeplagten und in depressivem Überdruss verhafteten Frau, welche in ihrem Handlungsvermögen (insbesondere in ihrer Durchhaltefähigkeit) eingeschränkt sei, zu vermitteln vermögen. In Anbetracht des Gutachtens F._, der erwähnten Austrittsberichte und des anlässlich der gerichtlichen Einvernahme gezeigten Verhaltens erscheine es unrealistisch und lebensfremd, von der Versicherten zu fordern, ihren ausgeprägten sozialen Rückzug zu überwinden, damit sie den elementaren Erfordernissen eines Arbeitsplatzes, insbesondere betreffend Einhaltung der Arbeitszeiten, zu genügen vermöge. Damit sei mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt, dass eine die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigende psychische Störung vorliege, deren Überwindung der Versicherten zur Zeit nicht zumutbar sei. Demnach sei eine volle Arbeitsunfähigkeit für jegliche Tätigkeit erwiesen. Unter diesen Umständen sei, ohne dass noch ein Einkommensvergleich durchgeführt werden müsse, ein Anspruch auf eine ganze Rente zu bejahen.
4. Die Beschwerde führende IV-Stelle wendet ein, die Vorinstanz habe zu Unrecht das Gutachten F._ und nicht die Gutachten B._ sowie des Instituts Y._, in welchen eine psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit übereinstimmend verneint werde, für beweiskräftig erachtet. Damit sei der Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt worden. Das kantonale Gericht habe zudem die diagnostizierte somatoforme Schmerzstörung entgegen den nach der bundesgerichtlichen Praxis geltenden Grundsätzen als invalidisierend beurteilt. Sollte trotz dieser Einwände ein Rentenanspruch nicht verneint werden können, sei auf eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes durch die Vorinstanz zu schliessen und die Sache zur weiteren Abklärung an diese zurückzuweisen.
5. Der vorinstanzliche Entscheid ist insofern nicht umstritten, als auf eine somatoforme Schmerzstörung (resp. gemäss dem Gutachten F._ vom 10. Dezember 2008: chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren) als hauptsächliches psychisches Leiden geschlossen wird.
Das kantonale Gericht geht wie dargelegt davon aus, die Schmerzstörung sei im Wesentlichen aufgrund einer psychischen Komorbidität im Sinne einer komplexen depressiven Störung und eines ausgeprägten sozialen Rückzugs nicht überwindbar. Die Beschwerdeführerin und das BSV wenden ein, diese Kriterien seien nicht resp. nicht in genügender Weise erfüllt, um die Schmerzstörung als unüberwindbar betrachten zu können.
5.1 Im von der Vorinstanz für massgeblich erachteten Gutachten F._ vom 10. Dezember 2008 wird nebst der Schmerzstörung eine depressive Störung gemäss ICD-10: F32.1 diagnostiziert, mithin eine mittelgradige depressive Episode (Dilling/Mombour/Schmidt [Hrsg.], Internationale Klassifikation psychischer Störungen, ICD-10 Kapitel V [F], Klinisch-diagnostische Leitlinien, 7. Aufl. 2010, S. 152). Diese wird in der Expertise ausdrücklich in einen Zusammenhang gestellt mit den Schmerzen und mit einer psychosozialen Überforderung durch eine familiäre/berufliche Doppelbelastung sowie durch einen Arbeitsplatzverlust. Eine psychische Komorbidität, welche gestatten würde, die Schmerzstörung im Sinne der Rechtsprechung als nicht überwindbar zu betrachten, liegt damit nicht vor. Die übrigen medizinischen Akten rechtfertigen keine andere Betrachtungsweise.
5.2 Das im Vordergrund stehende Kriterium, welches den Schluss auf fehlende Überwindbarkeit der Schmerzstörung gestatten könnte, ist nach dem Gesagten nicht in genügender Weise gegeben. Die zusätzlichen Kriterien müssten demnach besonders ausgeprägt gegeben sein, damit die Schmerzstörung dennoch ausnahmsweise als unüberwindbar zu betrachten wäre.
Von diesen Kriterien ist gemäss dem angefochtenen Entscheid einzig das des sozialen Rückzugs gegeben. Die Versicherte macht zwar zumindest sinngemäss geltend, das kantonale Gericht habe noch weitere Kriterien bejaht. Das trifft aber bei genauer Betrachtung der vorinstanzlichen Erwägungen nicht zu. Inwiefern der angefochtene Entscheid diesbezüglich offensichtlich unrichtig oder sonstwie rechtswidrig sein soll, wird von keiner Seite begründet und ist auch sonst nicht ersichtlich.
Das von der Vorinstanz bejahte Kriterium setzt einen schwerwiegenden, nahezu umfassenden sozialen Rückzug mit gleichsam apathischem Verharren in sozialer Isolierung voraus (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 359). Aus den Akten ergeben sich Anzeichen dafür, dass die Versicherte nurmehr wenige soziale Kontakte pflegt. Immerhin besteht aber offenbar ein gutes Verhältnis zu ihrem Ehemann. Zudem ist die Beschwerdegegnerin in der Lage, zumindest abends draussen spazieren zu gehen. Gesamthaft kann zwar auf einen deutlichen sozialen Rückzug geschlossen werden. Dieser ist aber nicht derart ausgeprägt, dass er als einziges Kriterium zusammen mit der bestehenden depressiven Episode genügen würde, um die Schmerzstörung ausnahmsweise als unüberwindbar zu betrachten.
5.3 Bei gesamthafter Betrachtung liegen die nach der Rechtsprechung erforderlichen Kriterien demnach nicht in genügender Weise vor, um die Schmerzstörung als invalidisierend anzusehen.
Die Ergebnisse der vom kantonalen Gericht durchgeführten Verhandlung und der hiebei erfolgten Einvernahme der Versicherten führen zu keinem anderen Ergebnis. Für die hier relevante Diagnosestellung und Beurteilung der Arbeitsfähigkeit lassen sich daraus keine entscheidrelevanten Erkenntnisse gewinnen, welche nicht schon den medizinischen Akten entnommen werden könnten.
Die IV-Stelle hat einen Rentenanspruch mithin zu Recht verneint. Die Beschwerde ist demnach begründet, was zur Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids führt.
6. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdegegnerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 15. März 2012 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 28. April 2010 bestätigt.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, zurückgewiesen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. April 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz