Sachverhalt:
A. Seit 1. Januar 1995 bezieht M._ (geb. 1967) wegen eines seit Geburt bestehenden Hüftleidens eine halbe Rente der Invalidenversicherung. Der Anspruch wurde mehrfach revisionsweise bestätigt, letztmals mit Mitteilung der IV-Stelle des Kantons Solothurn vom 24. November 2006. Auf ein von der Versicherten im Dezember 2006 gestelltes Rentenerhöhungsgesuch hin klärte die IV-Stelle die medizinischen Verhältnisse ab, ermittelte neu einen Invaliditätsgrad von 36 % und hob die Rente mit Verfügung vom 7. Oktober 2008 (mit Wirkung auf Ende November 2008) auf.
B. Beschwerdeweise liess M._ das Rechtsbegehren stellen, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr weiterhin eine halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50 % auszurichten. Mit Entscheid vom 4. August 2009 wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde ab. M._ wurde die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt.
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und (in der verbesserten Rechtsschrift vom 4. September 2009) beantragen, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihr weiterhin eine halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50 % zu bezahlen. Des Weitern ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung).

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Diese gesetzliche Kognitionsbeschränkung in tatsächlicher Hinsicht gilt namentlich für die Einschätzung der gesundheitlichen und leistungsmässigen Verhältnisse (<ref-law>), wie sie sich im revisionsrechtlich massgebenden Vergleichszeitraum (<ref-ruling>) entwickelt haben (<ref-ruling>; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 692/06 vom 19. Dezember 2006 E. 3.1).
2. Im angefochtenen Entscheid werden die Voraussetzungen für eine Revision der Invalidenrente (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 132 f., 133 V 108 E. 5.4 S. 114, je mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Streitig und zu prüfen ist vorab, welches der zeitliche Ausgangspunkt für die Beurteilung einer anspruchserheblichen Änderung des Invaliditätsgrades bildet. Rechtsprechungsgemäss ist dies die letzte rechtskräftige Verfügung, welche auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs mit rechtskonformer Sachverhaltsabklärung, Beweiswürdigung und Durchführung eines Einkommensvergleichs beruht (<ref-ruling> E. 3 S. 132 f., 133 V 108 E. 5.4 S. 114, je mit Hinweisen).
Zu Unrecht lässt die Beschwerdeführerin geltend machen, die Vorinstanz hätte (ebenso wie die IV-Stelle) als Ausgangspunkt für die Beurteilung einer relevanten Sachverhaltsänderung nicht von der ursprünglichen Verfügung vom September 1995 ausgehen dürfen, sondern auf die (den Anspruch auf eine halbe Rente bestätigende) Mitteilung der IV-Stelle vom 24. November 2006 abstellen müssen. Denn wie sich aus den Akten ergibt, hat die Verwaltung im Verlaufe des im Mai 2006 eingeleiteten Revisionsverfahrens zur Ermittlung des medizinischen Sachverhalts einzig bei Dr. med. F._, Allgemeine Medizin FMH einen Bericht vom 17. Juli 2006 eingeholt, in welchem der Gesundheitszustand der Versicherten (wie auch von ihr selber) als stationär beschrieben und die Arbeitsfähigkeit unverändert mit 50 % beziffert wurde, weshalb sich weitere Abklärungen erübrigten. Bei dieser Sachlage kann nicht die Rede davon sein, es habe damals eine materielle Prüfung des Rentenanspruchs mit rechtskonformer Sachverhaltsabklärung, Beweiswürdigung und Durchführung eines Einkommensvergleichs stattgefunden, was indessen erforderlich wäre, um der Mitteilung - wie dies die Beschwerdeführerin für richtig hält und grundsätzlich möglich wäre (vgl. dazu SVR 2010 IV Nr. 4 S. 7 E. 3.1, 9C_46/2009) - Bedeutung als Vergleichsgrundlage zukommen zu lassen.
4. 4.1 Die Vorinstanz erwog, der ursprünglichen Rentenverfügung von 1995 habe die Annahme einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % in dem Hüftleiden (als einziger gesundheitlicher Beeinträchtigung) angepassten Tätigkeiten zugrunde gelegen. Der somatische Zustand habe sich mit der Einsetzung der Hüftprothesen in den Jahren 2001 und 2005 insofern verändert, als im orthopädischen Teilgutachten des Instituts X._ für körperlich leichte Tätigkeiten in wechselnder Position mit einem mindestens hälftigen Anteil im Sitzen eine zeitlich und leistungsmässig uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit attestiert werde. In psychischer Hinsicht hätten sich die gesundheitlichen Verhältnisse dahingehend verschlechtert, als im entsprechenden Teilgutachten des Instituts X._ eine leichte depressive Episode bei einer rezidivierenden depressiven Störung, eine Panikstörung und eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung festgestellt und die Arbeitsunfähigkeit auf 30 % festgesetzt werde. Gesamthaft seien die Gutachter zum Ergebnis gelangt, dass die Versicherte für leidensadaptierte Tätigkeiten seit Oktober 2005 (drei Monate nach der letzten Hüftprothesenimplantation vom Juli 2005) zu 70 % arbeitsfähig sei (Gutachten des Instituts X._ vom 5. Dezember 2007). Auf diese Einschätzung sei abzustellen. Dementsprechend sei gemäss überzeugender Einschätzung der Gutachter des Instituts X._ von einer Arbeitsfähigkeit von 70 % für leidensadaptierte Tätigkeiten auszugehen.
4.2 Diese Sachverhaltsfeststellung ist nach der gesamten Aktenlage weder offensichtlich unrichtig noch beruht sie auf einer Rechtsverletzung, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich ist (vgl. E. 1). Was in der Beschwerde dagegen vorgebracht wird, ist unbehelflich oder nicht stichhaltig.
Zu Unrecht macht die Beschwerdeführerin geltend, die vorinstanzliche Einschätzung, wonach sich ihr Gesundheitszustand nach der Totalprotheseimplantation seit spätestens Oktober 2005 verbessert habe, verletze - weil es sich bloss um eine Neubeurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts handle - <ref-law>, stelle eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung dar und sei in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes zustande gekommen. Denn die Gutachter des Instituts X._ haben klar festgehalten, dass die von ihnen festgestellte Arbeitsfähigkeit "seit spätestens Oktober 2005, nach Erholung von der Totalprotheseimplantation in der Hüfte rechts im Juli 2005" bestehe, wobei sie eine leichte Abnahme der inguinalen Beschwerden auf der rechten Seite (anders als auf der linken Seite) gegenüber dem präoperativen Zustand beschrieben, was - entgegen der Beschwerdeführerin - ohne Verletzung von Bundesrecht als Verbesserung der gesundheitlichen Verhältnisse verstanden werden darf. Davon ging offenbar auch Dr. med. F._ in seinem Verlaufsbericht vom 16. Juni 2006 aus, in welchem von gut funktionierenden Hüftprothesen und einer verbesserten Beweglichkeit der Hüfte die Rede ist, wenn er auch gleichzeitig einräumte, dass die Schmerzhaftigkeit unter Belastung geblieben sei und zum Teil belastungsunabhängige Hüftschmerzen bestehen würden. Des Weitern haben die Gutachter einleuchtend dargelegt, dass die Diskrepanz zur Einschätzung des Dr. med. F._ in seinem Bericht vom 5. Februar (recte: 29. Januar) 2007 (Arbeitsunfähigkeit von 75 %) darauf beruht, dass der Hausarzt sich auf die subjektiv geklagten Beschwerden stützte. Was die von der Versicherten geklagten Schmerzen anbelangt, so fanden diese im psychiatrischen Teilgutachten Berücksichtigung, in welchem die Arbeitsfähigkeit aufgrund einer leichten depressiven Episode, einer Panikstörung und einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung auf 70 % in einer den körperlichen Einschränkungen angepassten Tätigkeit festgelegt wurde. Gemäss den nachvollziehbaren Feststellungen der Gutachter des Instituts X._ beruht der Widerspruch zum Austrittsbericht der Klinik W._ vom 14. Dezember 2006 ([volle] Arbeitsunfähigkeit aus psychischer Sicht) im Wesentlichen darauf, dass die damals festgestellte posttraumatische Belastungsstörung jedenfalls nicht fortbestand (vgl. auch Stellungnahmen des Dr. med. F._ vom 8. und 29. Januar 2007, in welchen sich die Diagnose einer posttraumtischen Belastungsstörung bereits nicht mehr findet) und dass die depressive Episode von den Gutachtern nicht als mittel-, sondern als leichtgradig eingestuft wurde, was sie mit dem von der Versicherten selber geschilderten Tagesablauf und den von ihr angegebenen Aktivitäten überzeugend begründeten.
Unter diesen Umständen kann nicht von einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts gesprochen werden, und es verletzt auch sonst nicht Bundesrecht, wenn die Vorinstanz dem inhaltlich vollständigen und im Ergebnis schlüssigen Gutachten des Instituts X._ vom 5. Dezember 2007 höhere Beweiskraft zuerkannt hat als den Einschätzungen der behandelnden Ärzte.
4.3 Mit dem (zu einem rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von 36 oder 37 % führenden) Einkommensvergleich setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander, weshalb das Bundesgericht keine Veranlassung hat, darauf näher einzugehen (vgl. E. 1 hiervor).
5. Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten von der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die hierfür erforderlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Die Beschwerdeführerin wird jedoch darauf aufmerksam gemacht, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Advokat Erich Züblin wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. April 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann