Sachverhalt:
A. B._ ist bei der Wincare Versicherungen obligatorisch krankenpflegeversichert. Mit Rechtsschriften vom 17. und 25. September 2007 focht er beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ein mit "Einspracheentscheid betreffend der Verfügung des Regionalen Service Centers Winterthur vom 21. November 2005" betiteltes Dokument des Krankenversicheres vom 17. August 2006 an. Der kantonale Instruktionsrichter stellte mit verfahrensleitender Verfügung vom 10. Dezember 2007 fest, dem von B._ ins Recht gelegten Entscheid vom 17. August 2006 könne nicht entnommen werden, ob es sich um eine Verfügung oder um einen Einspracheentscheid handle; die Wincare Versicherungen habe "sich zu diesen Vorbringen zu äussern und gegebenenfalls auch zu den auf Leistungen zielenden Rechtsbegehren des Versicherten Stellung zu nehmen". Der Beschwerdegegnerin werde daher eine Kopie der Eingabe des Beschwerdeführers vom 17. September 2007 zugestellt und es werde ihr eine Frist von 30 Tagen gesetzt, um "dazu im Sinne der Erwägungen schriftlich Stellung zu nehmen". Die Beschwerdegegnerin werde ausserdem verpflichtet, dem Gericht zusammen mit der Beschwerdeantwort unter anderem das vollständige Dossier einzureichen. Die Verfügung wurde B._ zur Kenntnisnahme zugestellt. Das kantonale Gericht erstreckte dem Krankenversicherer auf Gesuch hin die Frist zur Beschwerdeantwort bis zum 10. März 2008.
B. B._ führt Rechtsverzögerungsbeschwerde mit den Anträgen, das kantonale Gericht sei anzuweisen, die durch die Eingabe vom 17. September 2007 anhängig gemachte Streitsache sofort an die Hand zu nehmen und ihm eine Eingangsbestätigung zuzustellen; es sei ihm kein Kostenvorschuss abzuverlangen; schliesslich sei ihm eine Umtriebsentschädigung zuzusprechen (Eingaben vom 12. Dezember 2007, 7. Januar 2008 und 17. Januar 2008).
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Eine Gerichts- oder Verwaltungsbehörde muss jeden Entscheid binnen einer Frist fassen, die nach der Natur der Sache und nach den gesamten übrigen Umständen angemessen erscheint (<ref-ruling> E. 1.1 S. 409; <ref-ruling> E. 5 S. 323; SVR 1997 ALV Nr. 105 S. 324 E. 4b; Rüedi, Die Bedeutung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts für die Verwirklichung des Sozialversicherungsrechts des Bundes, in: ZBJV 1994 S. 74 ff.; Schmuckli, Die Fairness in der Verwaltungsrechtspflege, Diss. Freiburg 1990, S. 100 ff.), ansonsten sie dem Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsverbot zuwiderhandelt (Art. 6 Ziff. 1 EMRK und <ref-law>; vgl. dazu Jörg Paul Müller, Grundrechte in der Schweiz, 3. Aufl., Bern 1999, S. 495 ff.). Rechtsverzögerung kann nicht nur im Ausbleiben der Entscheidfällung selber begründet sein, sondern auch in langdauerndem Untätigbleiben bezüglich notwendiger Prozessvorkehren.
1.2 Gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids kann Beschwerde geführt werden (<ref-law>). Gemäss <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Im Falle einer Rechtsverweigerungs- oder -verzögerungsbeschwerde muss darauf abgestellt werden, zu welchem Rechtsgebiet der Entscheid gehört, der angeblich verweigert oder ungebührlich verzögert wird. Im vorliegenden Fall richtet sich die Beschwerde gegen die angebliche Verfahrensverschleppung durch ein kantonales Sozialversicherungsgericht. Die Rechtsverzögerungsbeschwerde beschlägt damit ein Gebiet des Verwaltungsrechts, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben ist.
2. <ref-law> verschafft dem Rechtssuchenden unter anderem den Anspruch auf ein einfaches und rasches kantonales Beschwerdeverfahren. Der Beschwerdeführer rügt die Frist, welche die Vorinstanz hat verstreichen lassen, bis sie nach Empfang der Rechtsschriften vom 17. und 25. September 2007 verfahrensleitende Schritte unternommen hat.
2.1 Die Rechtsschriften des B._ sind dem kantonalen Gericht am 19. und am 28. September 2007 zugegangen. Am 10. Dezember 2007 erliess der Instruktionsrichter eine erste verfahrensleitende Verfügung. Im Gegensatz zu den Fällen, in denen Wartezeiten von spruchreifen Dossiers zu beurteilen sind, stellt sich hier nicht die Frage nach einem angemessenen Ausgleich zwischen dem Interesse des Rechtsuchenden an einer beförderlichen Verfahrenserledigung und den begrenzten Ressourcen der Gerichtsbehörde. Ob die mehrwöchige Nachrichtenlosigkeit einer Rechtsverzögerung gleichkommt, muss indes dahingestellt bleiben.
2.2 Das Rechtsbegehren des Beschwerdeführers zielt auf Anordnungen ab, welche die Vorinstanz zwischenzeitlich realisiert hat. Das aktuelle Rechtsschutzinteresse (<ref-law>) des Beschwerdeführers ist mit der kantonalgerichtlichen Verfügung vom 10. Dezember 2007, die der Beschwerdeführer nach eigenen Angaben am 17. Dezember 2007, also nach Eintritt der Rechtshängigkeit beim Bundesgericht, rechtsgültig in Empfang genommen hat, weggefallen. Liegt das aktuelle Interesse im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung vor, fällt es aber nachträglich im Laufe des Verfahrens dahin, ist die Rechtsverzögerungsbeschwerde als gegenstandslos abzuschreiben (SVR 1998 UV Nr. 11 S. 29). Im Falle einer Beschwerdeerhebung zu einem Zeitpunkt nach der anbegehrten gerichtlichen Prozesshandlung hätte von Beginn weg kein aktuelles Rechtsschutzinteresse bestanden und wäre auf die Beschwerde nicht einzutreten gewesen (vgl. Urteil I 25/99 vom 14. Februar 2000, E. 1).
Anzumerken bleibt, dass es auch in der Verantwortung der an einem Entscheid interessierten Verfahrenspartei liegt, die Behörde auf eine ohne ersichtlichen Grund eintretende Säumnis hinzuweisen. Damit kann eine solche Situation im Regelfall ohne Weiterungen bereinigt werden, soweit sie, wie hier vermutlich der Fall, auf ein Versehen der Behörde zurückzuführen ist.
2.3 Der Beschwerdeführer stellt darüber hinaus die Angängigkeit einer Fristsetzung über 30 Tage als übermässig in Frage; geschweige denn sollten im Rahmen des Schriftenwechsels Fristerstreckungen gewährt werden. Ein solches Vorgehen sei mit einem raschen Verfahren nicht zu vereinbaren. Die Anordnungen im Rahmen der seit dem 10. Dezember 2007 betriebenen Verfahrensleitung sind jedoch nicht zu beanstanden. Die Verfahrensbeschleunigung ist dahingehend begrenzt, als den Verfahrensbeteiligten realistische zeitliche Vorgaben zur Wahrnehmung ihrer Verfahrensrechte und -obliegenheiten gesetzt werden müssen. Die hier praktizierten Fristansetzungen entsprechen durchaus den Gepflogenheiten kantonaler Sozialversicherungsprozesse. Insoweit begründet auch die dem Krankenversicherer eingeräumte Fristverlängerung bis zum 10. März 2008 keine Rechtsverzögerung. Für die Sicherung gefährdeter Rechtspositionen während des Verfahrens stehen die Rechtsinstitute der aufschiebenden Wirkung des Rechtsmittels bzw. der vorsorglichen Massnahmen zur Verfügung. Der Beschwerdeführer rügt denn auch, das kantonale Gericht habe "den gestellten Antrag auf Gewährung der aufschiebenden Wirkung" nicht behandelt und argumentiert sinngemäss mit einer Gefährdung des obligatorischen Versicherungsschutzes. Gegenstand der Verfügung der Wincare vom 17. August 2006 ist indes nur die Feststellung, der Adressat schulde ihr den Betrag von Fr. 1663.25. Die Ausführungen über allfällige Rechtsfolgen einer (anscheinend hypothetischen) Auflösung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung beziehen sich nur auf den Fall, dass diese Auflösung durch den Versicherten selbst erfolgt. Somit ist nicht ersichtlich, inwiefern diesem eine Notlage drohen sollte.
3. Der Beschwerdeführer beantragt eine Umtriebsentschädigung. Wie bei der Parteientschädigung entscheidet das Bundesgericht darüber im Falle des Gegenstandsloswerdens einer Streitsache aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Dabei ist im Besonderen auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (<ref-ruling> E. 2a S. 375).
Zur Entscheidung über die beantragte Umtriebsentschädigung muss indes nicht geprüft werden, wie die Rechtsverzögerungsbeschwerde ohne Gegenstandslosigkeit des Verfahrens zu behandeln gewesen wäre. Denn die Interessenwahrung zog keinen Arbeitsaufwand nach sich, welcher den Rahmen dessen überschreitet, was der Einzelne üblicher- und zumutbarerweise auf sich zu nehmen hat (<ref-ruling> S. 82). Der Anspruch entfällt daher von vornherein.
4. Bei diesem Verfahrensausgang hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird, soweit nicht gegenstandslos, abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführer hat die Gerichtskosten in Höhe von Fr. 1000.- zu tragen.
3. Es wird keine Umtriebsentschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Wincare Versicherungen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Februar 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub