Faits:
A. A._ était assurée du 1er janvier 1996 au 31 décembre 2003 auprès de SWICA Assurance-maladie (à l'époque SWICA Organisation de santé) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie.
Présentant des séquelles physiques et psychiques d'une encéphalite herpétique, A._ a été admise le 30 janvier 2001 au Centre X._ puis, peu après, à l'institution Z._; ces deux établissements sont sis dans le canton de Genève. Selon l'intéressée, seul le personnel de ces institutions, spécialement formé et habitué à composer avec des personnes cérébrolésées, est à même d'exercer de manière optimale la surveillance et la prise en charge dont elle a besoin.
Par décision du 29 avril 2002, la SWICA a refusé de rembourser les prestations fournies au Centre X._ et à l'institution Z._, au motif que ces établissements n'étaient pas des fournisseurs de prestations admis à pratiquer à la charge de l'assurance obligatoire des soins, que ce soit en qualité d'hôpital ou d'établissement médico-social. La prise en charge des soins prodigués par un autre fournisseur de prestations dûment reconnu demeurait cependant réservée.
Le 14 août 2002, la SWICA a admis partiellement l'opposition formée par l'assurée. Elle a nié le droit de l'opposante à la prise en charge de ses frais au titre de soins dispensés en milieu hospitalier, dans un établissement médico-social ou par une organisation de soins et d'aide à domicile. En revanche, elle a décidé de procéder à un complément d'instruction sur le point de savoir si l'assurée avait reçu dans les établissements précités des soins prodigués par des infirmières et infirmiers sur prescription ou mandat médical (soins à domicile).
Après s'être enquise de la nature et des modalités des soins dispensés à l'assurée, la SWICA a, par décision du 21 mai 2003, confirmée sur opposition le 31 juillet suivant, refusé d'intervenir au titre des soins à domicile pour les prestations fournies au Centre X._ et à l'institution Z._.
Par jugement du 7 septembre 2004, le Tribunal administratif du canton de Genève a rejeté le recours formé par l'assurée contre la décision du 14 août 2002 et transmis celui formé contre la décision du 31 juillet 2003 au Tribunal cantonal des assurances sociales comme objet de sa compétence.
Par arrêt du 21 mars 2006, le Tribunal fédéral des assurances a rejeté le recours formé par l'assurée à l'encontre du jugement rendu par le Tribunal administratif du canton de Genève (arrêt K 137/04 du 21 mars 2006).
B. A._ est assurée depuis le 1er janvier 2004 auprès de Mutuel Assurances (à l'époque Mutuelle Valaisanne Caisse Maladie) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie.
Par décision du 18 mars 2005, confirmée sur opposition le 28 juillet suivant, Mutuel Assurances a, pour les mêmes raisons que celles invoquées par la SWICA, refusé d'allouer ses prestations pour les soins fournis à l'institution Z._. L'assurée a formé recours auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales.
C. Par jugements séparés du 8 septembre 2006, le Tribunal des assurances sociales a rejeté les recours de l'assurée formés contre la décision sur opposition du 31 juillet 2003 de la SWICA et la décision sur opposition du 28 juillet 2005 de Mutuel Assurances, en considérant notamment que les soins dispensés par le personnel de l'institution Z._ l'étaient sans mandat médical.
D. A._ a interjeté un recours de droit administratif contre ces deux jugements et a conclu, sous suite de dépens, principalement, à l'octroi des prestations légales pour les soins (à domicile) dispensés par les collaborateurs des établissements dans lesquels elle a résidé ou réside, et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire.
La SWICA a conclu au rejet du recours, tandis que Mutuel Assurances n'a pas déposé de prise de position. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé pour sa part à se déterminer.

Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 395).
2. Dans la mesure où les deux recours portent sur le même complexe de faits et soulèvent le même problème juridique, il y a lieu de joindre les causes et de statuer par un seul arrêt en procédure fédérale (<ref-ruling> consid. 1 p. 126 et les références; voir également <ref-ruling> consid. 1 p. 194).
3. A l'arrêt K 137/04 du 21 mars 2006, publié in SVR 2006 KV n° 30 p. 107, le Tribunal fédéral des assurances a considéré que la recourante ne pouvait prétendre la prise en charge des prestations dispensées au Centre X._ et dans l'institution Z._, dans la mesure où ces institutions n'étaient pas admises à pratiquer dans le canton de Genève à la charge de l'assurance obligatoire des soins, que ce soit en qualité d'établissement hospitalier, d'établissement médico-social ou d'organisation de soins et d'aide à domicile. Aussi, seule demeure litigieuse la question de savoir si les assureurs intimés peuvent être tenus de prendre en charge les soins prodigués par le personnel de l'institution Z._ au titre de prestations dispensées par des personnes fournissant des soins sur prescription ou sur mandat médical.
4. 4.1 En vertu de l'<ref-law>, l'assurance obligatoire des soins prend en charge les coûts des prestations définies aux art. 25 à 31 en tenant compte des conditions des art. 32 à 34 LAMal. Ces prestations comprennent notamment les examens, traitements et soins dispensés sous forme ambulatoire au domicile du patient, en milieu hospitalier ou semi-hospitalier ou dans un établissement médico-social par des médecins, des chiropraticiens et des personnes fournissant des prestations sur prescription ou sur mandat médical (art. 25 al. 2 let. a ch. 3 LAMal).
4.2 Selon l'<ref-law>, les fournisseurs de prestations qui remplissent les conditions des art. 36 à 40 LAMal sont admis à pratiquer à la charge de l'assurance obligatoire des soins. Au nombre de ceux-ci figurent les personnes prodiguant des soins sur prescription ou sur mandat médical (art. 35 al. 2 let. e LAMal).
En vertu de la norme de délégation prévue à l'<ref-law>, le Conseil fédéral a reçu la compétence de régler l'admission des fournisseurs de prestations énumérés à l'art. 35 al. 2 let. c à g et m; il a adopté à cet effet les <ref-law>. Selon l'<ref-law>, sont notamment admis en tant que personnes dispensant des soins sur prescription médicale les infirmières et les infirmiers qui exercent à titre indépendant et à leur compte (al. 1 let. c) et qui sont admis en vertu du droit cantonal (al. 2). Aux termes de l'<ref-law>, les infirmières et les infirmiers doivent par ailleurs être titulaires du diplôme d'une école de soins infirmiers reconnu ou reconnu équivalent par l'organisme désigné en commun par les cantons ou d'un diplôme reconnu selon la loi fédérale du 13 décembre 2002 sur la formation professionnelle (let. a) et avoir exercé pendant deux ans leur activité auprès d'une infirmière ou d'un infirmier admis en vertu de l'OAMal, ou dans un hôpital ou dans une organisation de soins et d'aide à domicile sous la direction d'une infirmière ou d'un infirmier qui remplissent les conditions d'admission de l'OAMal (let. b).
Les prestations à effectuer par les infirmières et les infirmiers prises en charge par l'assurance obligatoire des soins sont définies plus précisément à l'<ref-law>.
4.3 Il n'existe aucun droit de recevoir, en lieu et place des prestations légales, des prestations moins coûteuses et qui ne sont pas obligatoirement à la charge de l'assurance obligatoire des soins. Il ne saurait en effet y avoir un droit à la substitution de la prestation, lorsque celui-ci aboutit à ce qu'une prestation obligatoirement à la charge de l'assurance soit remplacée par une prestation qui ne l'est pas. Dès lors, si pour quelque raison que ce soit, un assuré choisit des soins et traitements qui ne font pas partie des prestations à charge de l'assurance, ou un fournisseur de prestations qui n'est pas admis à pratiquer à charge de l'assurance, il perd son droit (<ref-ruling> consid. 1b p. 332; <ref-ruling> consid. 2a p. 327).
5. Bénéficiaire d'une allocation pour impotence grave au sens de l'<ref-law>, la recourante estime que les premiers juges ne pouvaient nier que les soins dispensés à l'institution Z._ le sont sur prescription médicale. De plus, le statut de salarié du personnel de l'établissement où elle réside - qui répond aux exigences légales en matière de formation professionnelle - ne saurait s'opposer à ce que celui-ci fournisse des soins pour le compte de l'assurance obligatoire. Le fait de refuser la prise en charge des prestations délivrées par les membres du personnel de l'institution Z._, au motif qu'ils n'exerceraient pas leur activité à titre indépendant, entraînerait en effet des frais supplémentaires à la charge de l'assurance obligatoire, puisque l'établissement concerné se verrait contraint de recourir aux services de fournisseurs externes, en principe plus coûteux, ce qui ne serait pas conforme au but légal qui tend à la maîtrise des coûts de la santé.
6. 6.1 En premier lieu, la recourante conteste qu'il n'existerait pas en l'espèce de mandat médical au sens où l'entend la loi. Elle se prévaut à cet égard de l'<ref-law>, selon lequel l'attestation médicale qui justifie l'allocation pour impotence grave ou moyenne versée par l'assurance-vieillesse et survivants, par l'assurance-invalidité ou par l'assurance-accidents vaut comme prescription ou mandat médical de durée illimitée en ce qui concerne les prestations de soins nécessitées par l'impotence.
S'il semble ressortir du dossier que la recourante - qui allègue ce moyen pour la première fois en instance fédérale - est effectivement au bénéfice d'une allocation pour impotence grave, elle n'a toutefois pas jugé utile de produire l'attestation médicale justifiant l'allocation précitée. Cela étant, la question de savoir si les soins dispensés à l'institution Z._ le sont sur prescription ou mandat médical peut en l'espèce demeurer indécise, car le droit aux prestations doit, en tout état de cause, être nié pour les raisons qui vont suivre.
6.2 Dans les différentes réponses qu'il a apportées aux questions de SWICA et de la recourante (lettres des 21 octobre et 12 décembre 2002 et du 16 avril 2003), le directeur de l'institution Z._ a indiqué que les soins infirmiers dispensés par le personnel de cette institution l'étaient sans mandat médical et correspondaient aux prestations énumérées à l'art. 7 al. 2 let. a et c OPAS. Les soins étaient compris dans le forfait journalier en vigueur à la Fondation Y._, selon la pratique en vigueur dans tous les établissements accueillant des personnes handicapées. Les soins infirmiers, quand ils existaient, n'étaient pas dissociables de la globalité de la prise en charge, ni facturés séparément. Les membres du personnel infirmier employés de l'institution Z._ ne possédaient pas de numéro de concordat et ne facturaient pas les soins donnés quelle que soit leur nature.
De ce qui précède, et nonobstant le point de savoir s'ils sont admis à pratiquer en vertu du droit cantonal et remplissent les conditions fixées à l'<ref-law> (possession d'un diplôme reconnu et exercice pendant deux ans de l'activité auprès d'une personne ou d'une institution qualifiée), il ressort que les membres du personnel infirmier de l'institution Z._ n'exercent pas leur activité à titre indépendant et pour leur compte. Ils ne remplissent par conséquent pas l'une des conditions posées par l'OAMal pour pratiquer à la charge de l'assurance obligatoire des soins.
6.3 De l'avis de la recourante, l'exigence de l'indépendance prévue à l'<ref-law> serait contraire à la loi. Ce point de vue, défendu par une partie de la doctrine (Jean-Louis Duc, LAMal: soins à domicile, soins en EMS, Institut de recherches sur le droit de la responsabilité civile et des assurances [IRAL], n° 31, Berne 2005, p. 229 sv.; Guy Longchamp, Conditions et étendue du droit aux prestations de l'assurance-maladie sociale, thèse, Berne 2004, p. 497 sv.), ne saurait être suivi.
6.3.1 Selon la jurisprudence, l'<ref-law> octroie délibérément au Conseil fédéral une très importante marge d'appréciation. Au travers de cette disposition, le législateur a clairement exprimé sa volonté de donner au Conseil fédéral la compétence exclusive de déterminer les conditions d'admission des personnes prodiguant des soins sur prescription médicale et des organisations qui les emploient (<ref-ruling> consid. 4e p. 291). Le fait que seuls les infirmières et les infirmiers, aux conditions des art. 46 et 49 OAMal, et les organisations de soins et d'aide à domicile, aux conditions de l'<ref-law>, soient admis à pratiquer à la charge de l'assurance obligatoire au titre des soins à domicile ne viole ainsi pas la loi (<ref-ruling> consid. 1c p. 333; voir également arrêt K 62/00 du 5 septembre 2000, consid. 1; à propos de la situation sous le régime de la LAMA, voir ATF <ref-ruling> consid. 2a p. 327).
6.3.2 Contrairement à ce que soutient la recourante, le Conseil fédéral ne s'est pas mis en contradiction avec le Message concernant la révision de l'assurance maladie du 6 novembre 1991 (FF 1992 I 77). On peut à cet égard lire à propos de l'admission des fournisseurs de prestations ce qui suit:
"(...), nous n'avons pas donné suite aux voeux exprimés au cours de la procédure de consultation et demandant d'inclure dans le projet - en tant que fournisseurs de prestations, assimilés aux médecins - les psychothérapeutes, les praticiens en physiothérapie, les infirmières et infirmiers diplômés, le personnel prodiguant des soins à domicile, les 'guérisseurs' reconnus, les logopédistes, les conseillères en diététique, les personnes donnant des conseils aux diabétiques, les thérapeutes de la psychomotricité, etc. Nous sommes, en outre, de l'avis qu'il ne serait guère judicieux de donner dans la loi une liste exhaustive des fournisseurs de prestations 'paramédicales'. En définitive, cela ne profiterait à personne. L'évolution est trop prononcée dans ce domaine. Une ordonnance est, dès lors, mieux à même de s'adapter rapidement à une telle situation. La formulation figurant dans la loi a d'ailleurs sciemment été rédigée de manière souple. L'on parle de 'personnes prodiguant des soins sur prescription médicale' et d' 'organisations qui les emploient', ce qui permet à ces personnes soit d'exercer une activité à titre indépendant et pour leur propre compte (Ord. VI sur l'assurance-maladie du 11 mars 1966; RS 832.156.1) - tel est le cas aujourd'hui - soit d'exercer une activité comme employé(e), par exemple d'un service appelé à prodiguer des soins à domicile, d'un organisme donnant des instructions aux diabétiques, d'un service fournissant des conseils aux stomisés, d'un dispensaire, d'une commune, d'une association offrant des soins à domicile, etc. L'on veut ainsi tenir compte du potentiel qui existe actuellement dans ces domaines, au niveau des structures, des capacités et des expériences acquises, ainsi que de son évolution éventuelle et garantir, dans l'assurance-maladie sociale, son utilisation coordonnée et dans des limites raisonnables" (FF 1992 I 146).
Quels que puissent être les arguments avancés par la recourante, force est de constater que les dispositions réglementaires de l'OAMal reflètent fidèlement la volonté exprimée par le Conseil fédéral dans son message. Il ressort clairement de celui-ci, et le principe n'a d'ailleurs pas fait l'objet de discussions au cours des travaux parlementaires, que le Conseil fédéral n'entendait reconnaître que deux formes bien précises d'exercice des professions paramédicales: l'exercice en qualité de travailleur indépendant («personnes prodiguant des soins sur prescriptions médicales») et l'exercice en qualité d'employé d'une institution qui, elle-même, a été admise, aux conditions fixées par le Conseil fédéral, à pratiquer pour le compte de l'assurance obligatoire des soins («organisations qui les emploient»).
6.4 Sur le vu de ce qui précède, il y a lieu de retenir que les prestations dispensées par une infirmière ou un infirmier, qui n'exerce pas à titre indépendant et à son compte ou au service d'un fournisseur de prestations lui-même admis à pratiquer, ne sauraient être prises en charge par l'assurance obligatoire des soins.
7. 7.1 Pratiquer à la charge de l'assurance obligatoire des soins procède d'un choix délibéré de la part du fournisseur de prestations. La loi fixe à cet égard de manière impérative les conditions auxquelles celui-ci peut être admis à pratiquer. Un fournisseur de prestations non admis - parce qu'ils ne remplit pas les conditions d'admission ou parce qu'il ne souhaite tout simplement pas participer au système de l'assurance obligatoire des soins - ne saurait voir les prestations qu'il a fournies être remboursées par l'assurance obligatoire des soins. Ni les autorités politiques ni le juge n'ont le pouvoir de contraindre un établissement, une organisation ou un professionnel de la santé de pratiquer à la charge de l'assurance obligatoire des soins (arrêt K 137/04 du 21 mars 2006, consid. 4.3; voir également Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Soziale Sicherheit, 2ème éd., Bâle 2007, p. 630, n. 707; Guy Longchamp, op. cit., p. 277 sv.).
7.2 Au regard des propos explicites tenus par le directeur de l'institution Z._ au cours de la procédure (consid. 6.2), cette institution n'a jamais souhaité pratiquer, sous quelque forme que ce soit, à la charge de l'assurance obligatoire des soins (arrêt K 137/04 du 21 mars 2006, consid. 4.3). Cela étant, le Tribunal fédéral ne saurait aller à l'encontre de la volonté clairement exprimée par l'institution Z._ de ne pas participer au système de l'assurance obligatoire des soins.
8. Le litige ayant pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, la procédure est gratuite (art. 134 OJ). La recourante, qui succombe, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 159 al. 1 en corrélation avec l'art. 135 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes K 124/06 et K 125/06 sont jointes.
2. Les recours sont rejetés.
3. Il n'est pas perçu de frais de justice.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 28 mars 2007
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le greffier: