Faits:
A.
En juin 1999, le Service de protection de la jeunesse vaudois (ci-après: SPJ) a été chargé de la protection de X._ et de sa fratrie par le juge civil, conformément à l'<ref-law>, à la suite du divorce de leurs parents.
Le SPJ a traité cette affaire du 29 juin 1999 au 31 mai 2011, à savoir jusqu'aux 25 ans de X._, conformément à l'art. 17 al. 2 de la Loi vaudoise sur la protection des mineurs (LProMin; RSV 850.41), après quoi le dossier constitué a été archivé.
B.
La dernière assistante sociale chargée de ce dossier a utilisé les données personnelles sensibles qu'il contenait pour l'élaboration d'un mémoire de diplôme dans le cadre de sa formation. Ce texte a été publié dès 2010 sur le réseau vaudois du Réseau des bibliothèques de Suisse occidentale (RERO).
L'utilisation de ces données par l'assistante sociale en question n'a pas fait l'objet d'une autorisation. Le type d'anonymisation choisi n'était pas adéquat. Le consentement préalable de l'intéressé n'a pas non plus été requis.
C.
X._ a eu connaissance pour la première fois de cette publication en juillet 2012.
Le 23 juillet 2012, X._ a requis la suppression intégrale de tout document transcrit, informatique et manuscrit, archivé et non archivé, composant son dossier personnel au SPJ, ainsi que la suppression de toute référence à sa personne et à sa vie dans le mémoire de diplôme de l'assistante sociale concernée.
Le 18 septembre 2012, le SPJ a refusé de donner une suite positive à sa demande.
D.
Par arrêt du 30 août 2013, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Cour d'appel) a rejeté le recours formé par X._ contre cette décision, confirmant ainsi la décision entreprise.
E.
Par acte du 2 octobre 2013, X._ exerce un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre cette décision. Il conclut à ce que l'arrêt entrepris soit annulé et la destruction du dossier le concernant, lequel est en mains du SPJ, ordonnée. A l'appui de ses conclusions, il invoque la violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.), du principe de proportionnalité et de l'intérêt public (art. 5 al. 2 et 36 Cst.). Il se plaint également d'un emploi abusif des données le concernant au sens des art. 13 al. 2 Cst. et 29 LPrD/VD et d'une atteinte à sa sphère privée au sens de l'art. 8 par. 2 CEDH.

Considérant en droit:
1.
1.1. L'arrêt entrepris, qui a pour objet le refus de détruire le dossier archivé établi dans le cadre du suivi du recourant par le Service de protection de la jeunesse, est une décision prise en matière civile (<ref-law>). La question soumise au Tribunal fédéral est de nature non pécuniaire (arrêt 5C.242/2003 du 20 février 2004 consid. 1). Par ailleurs, le recours a été interjeté dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et justifiant d'un intérêt digne de protection à la modification ou à l'annulation de la décision attaquée (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>), rendue sur recours par une autorité supérieure (art. 75 al.1 et 2 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
1.2. Conformément aux voies de droit mentionnées dans l'arrêt du 30 août 2013, le recourant a introduit un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. L'indication erronée de la voie de droit ne saurait cependant lui nuire, pour autant que son écriture remplisse l'ensemble des conditions formelles de la voie de droit prévue par la loi (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 499; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382). La voie du recours en matière civile (<ref-law>) est donc en principe ouverte.
2.
Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité, à l'art. 42al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104 s.). Le recours en matière civile au Tribunal fédéral ne peut pas être interjeté pour violation du droit cantonal en tant que tel, mais il est possible de faire valoir qu'une mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2.3). Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits constitutionnels que pour autant que le recourant qui s'en plaint indique précisément quelle disposition constitutionnelle a été violée et démontre, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation ("principe d'allégation"; <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 310 s.; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287).
3.
3.1. Dans la décision entreprise, la cour cantonale a examiné le refus par l'autorité de première instance d'ordonner la destruction du dossier archivé du recourant. Elle a constaté que ce dernier est effectivement légitimé à faire valoir les droits que lui confère l'art. 29 de la Loi vaudoise du 11 septembre 2007 sur la protection des données personnelles (LPrD; RSV 172.65) et qui prévoit notamment la possibilité de solliciter la destruction des données ayant fait l'objet d'un traitement illicite. Elle a ensuite relevé qu'en sa qualité d'autorité compétente en matière de protection des mineurs et des jeunes adultes, il appartient au SPJ de tenir le dossier du recourant et de le conserver sous sa garde, étant donné qu'il est responsable de ses archives au sens de l'art. 1 de la Loi vaudoise du 14 juin 2011 sur l'archivage (LArch; RSV 432.11). Le dossier du recourant ayant acquis un statut d'archive intermédiaire au sens de l'art. 3 let. b LArch, vu que ce dernier n'est désormais plus suivi sur le plan socio-éducatif, la gestion de sa conservation incombe effectivement au SPJ conformément à l'art. 4 LArch. Le SPJ a, de ce fait, conformément à l'art. 5 LArch, adopté une Directive n° D1.20 qui arrête un calendrier de conservation de ses archives lequel prévoit une durée de conservation de huitante ans sous sa garde des dossiers d'enfants bénéficiaires de ses prestations. Le dies a quo de ce délai est la date à laquelle le dernier enfant de la fratrie atteint l'âge de la majorité. La cour a ensuite procédé à la pesée des intérêts en présence, à savoir l'intérêt privé du recourant à voir le dossier le concernant détruit et l'intérêt public commandant la conservation de ce même dossier durant huitante ans, pour finalement considérer que le second est prépondérant (cf. infra consid. 6.1).
3.2. Le recourant soutient, pour sa part, que son droit à voir son dossier supprimé doit primer celui de l'Etat à voir ce même dossier archivé puisque son droit fondamental à être protégé contre l'emploi abusif des données le concernant prévu par l'art. 13 al. 2 Cst. a été violé et que cette violation a été constatée par l'autorité cantonale. Il soutient en effet que la destruction du dossier prévue par l'art. 29 al. 2 let. a LPrD serait la seule mesure à même de garantir que ses droits fondamentaux ne fassent pas à nouveau l'objet d'une violation puisque les directives du SPJ n'ont en l'espèce pas suffi à éviter l'utilisation abusive des données le concernant. Il estime que l'argumentation de la cour cantonale est arbitraire dans la mesure où elle se fonde sur la valeur historique du dossier et se réfère à des exemples abstraits tel le placement de force d'enfants pauvres auprès de paysans et ne relève pas d'un examen approfondi du cas d'espèce au regard des violations perpétrées par l'Etat de Vaud à son égard. Il ajoute que l'Etat dispose de toute manière d'autres dossiers similaires qui n'ont pas fait l'objet d'une violation et qui permettraient aux historiens et aux chercheurs de procéder aux analyses historiques nécessaires. Il conteste l'appréciation de la cour qui estime que la destruction de son dossier pourrait constituer un précédent aux conséquences fâcheuses, estimant que son cas doit faire l'objet d'un examen particulier compte tenu des violations dont il a fait l'objet et que la destruction de son dossier interviendrait par conséquent à titre tout à fait exceptionnel. Le recourant invoque enfin une violation du droit international, estimant que l'art. 8 par. 2 CEDH ne prévoit pas que les questions liées à l'archivage des dossiers doivent primer sur son droit à voir sa vie privée et ses données personnelles respectées en toutes circonstances
4.
Il y a lieu de relever que le SPJ est en droit, conformément à l'art. 24 al. 1 LPrD, de constituer un dossier contenant des données sensibles au sens de l'art. 4 al. 1 ch. 2 LPrD. Une fois la procédure close, il doit le conserver sous sa garde conformément à l'art. 4 al. 1 LArch. Le dossier litigieux ayant la qualité d'archive intermédiaire au sens de l'art. 3 al. 1 let. b LArch, les directives internes du SPJ prévoient une durée d'archivage de huitante ans. L'accès aux archives est ensuite soumis à l'autorisation de l'autorité qui a versé les documents, celle-ci doit se prononcer conformément à la législation sur l'information et sur la protection des données personnelles (art. 10 al. 1 LArch). L'art. 24 al. 1 LPrD prévoit en particulier que les données personnelles peuvent être communiquées à des fins de recherche, de planification ou pour établir des statistiques pour autant qu'elles soient rendues anonymes, que le destinataire ne les communique qu'avec le consentement de l'entité qui les lui a transmises et que les résultats du traitement soient publiés sous une forme ne permettant pas d'identifier les personnes concernées. Les directives internes du SPJ prévoient en outre que les données doivent avoir été collectées de manière licite, que leur utilisation doit respecter le principe de la bonne foi et celui de la proportionnalité et que les données personnelles ne doivent être utilisées que dans le but indiqué; les directives rappellent enfin aux collaborateurs se référant à leur pratique professionnelle pour illustrer des propos théoriques qu'ils sont soumis au secret de fonction et qu'ils doivent évoquer les situations des enfants et des familles suivies de manière anonyme. A cela s'ajoute que le consentement de la personne concernée doit au préalable être requis.
Dans le cas d'espèce, seule est encore contestée par le recourant la pesée des intérêts à laquelle a procédé la Cour d'appel pour établir si l'intérêt privé de celui-ci à voir son dossier archivé détruit doit prévaloir sur l'intérêt public au maintien dans les archives de ce même dossier.
5.
Dans ce cadre, le recourant invoque en premier lieu une violation de son droit d'être entendu au sens de l'art. 29 al. 2 Cst.
5.1. Il reproche à l'autorité cantonale de ne pas avoir donné suite à sa requête d'audition de l'assistante sociale ayant utilisé les données litigieuses dans son mémoire. Selon lui, cette audition aurait permis de démontrer que les directives internes du SPJ ne sont pas propres à garantir que les données personnelles des personnes suivies par ce service ne fassent jamais l'objet de violation et que seule la destruction de son dossier permettrait à l'avenir de garantir le respect de ses droits fondamentaux.
Le recourant invoque également une violation des art. 27 al. 2 Cst./VD, 33 al. 1 LPA/VD et 34 al. 3 LPA/VD. Dans la mesure où il ne prétend cependant pas que le droit cantonal lui conférerait une protection plus étendue que celle de l'art. 29 al. 2 Cst., le grief tiré de la violation de son droit d'être entendu doit être traité exclusivement à la lumière de cette disposition constitutionnelle (arrêts 2C_463/2013 du 26 août 2013 consid. 4.1; 2P.177/2005 du 2 février 2006 consid. 4.1).
5.2. La garantie constitutionnelle de l'art. 29 al. 2 Cst. prévoit que toute personne a le droit de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, d'avoir accès au dossier, de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur la décision à rendre, de participer à l'administration des preuves valablement offertes, à moins que le fait à prouver ne soit dépourvu de pertinence ou que le moyen de preuve n'apparaisse manifestement inapte à établir le fait allégué, et de se déterminer à leur propos (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 370 s. et les références; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 504 s.; <ref-ruling> consid. 2c p. 578; <ref-ruling> consid. 2b p. 56). Le droit d'être entendu ne s'oppose pas à ce que l'autorité mette un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de forger sa conviction. Si le juge cantonal a refusé une mesure probatoire en procédant à une appréciation anticipée des preuves, il appartient au recourant qui entend la contester de soulever un grief détaillé à cet égard (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3 p. 157; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 428; <ref-ruling> consid. 3a p. 11/12 et 97 consid. 5b p. 101).
5.3. L'autorité cantonale a admis que les données archivées du recourant ont effectivement fait l'objet d'une utilisation abusive par l'assistante sociale en question, considérant toutefois que cette question est exorbitante du présent litige dans la mesure où elle n'a pas fait l'objet de conclusions devant l'autorité de première instance. Elle a également relevé que certaines directives internes du SPJ n'ont pas été respectées dans le cas d'espèce, mais que cela ne suffit cependant pas à démontrer qu'elles ne seraient pas aptes à prévenir l'utilisation abusive de données sensibles lorsqu'elles sont appliquées correctement. Compte tenu du fait que l'autorité cantonale a admis que le dossier archivé du recourant a été utilisé en faisant fi de plusieurs règles prévues notamment dans les directives internes du SPJ, on ne peut lui faire grief de n'avoir pas procédé à l'audition d'un témoin cité précisément dans le but de démontrer qu'une telle violation est possible. Le grief du recourant doit ainsi être rejeté.
6.
S'agissant ensuite de la pesée des intérêts en cause à proprement parler, le recourant conteste que les conditions de l'existence d'un intérêt public prépondérant à la conservation de son dossier ainsi que du respect du principe de la proportionnalité soient remplies.
6.1. L'autorité cantonale a exposé de manière circonstanciée pour quels motifs l'intérêt public à l'archivage des dossiers traités par le SPJ doit être considéré comme prépondérant sur l'intérêt privé du recourant à voir des données personnelles le concernant détruites. Elle a ainsi relevé que le recourant a indiscutablement un droit à l'oubli et à se prémunir contre l'utilisation illicite de son dossier archivé, de sorte qu'elle a considéré que son intérêt à voir celui-ci détruit revêtait en l'espèce une certaine importance. Elle a toutefois relevé que, compte tenu des nombreuses décisions que l'exécution des tâches qui sont confiées au SPJ implique et qui consistent à conseiller, soutenir ou aider les familles et les mineurs en difficulté, ce service doit être en mesure de légitimer les mesures prises à l'endroit de mineurs dont le développement est souvent menacé. A cet égard et dans l'hypothèse d'une action en responsabilité dirigée contre l'Etat, elle relève que la destruction du dossier du recourant constituerait un précédent fâcheux de nature à compromettre gravement la recherche de la vérité. Elle précise en outre que les archives publiques constituent la mémoire de la collectivité et permettent, d'une part, de se référer aux expériences passées, de les analyser et d'en tirer des conclusions et, d'autre part, aux citoyens de pouvoir vérifier a posteriori l'activité des autorités. Elle a en outre considéré que cette conclusion s'impose également en raison de l'intérêt que peuvent avoir les bénéficiaires et leurs descendants à connaître tant leur propre histoire que celle de leur famille ainsi que de l'intérêt des historiens et des chercheurs à pouvoir analyser ces archives dans le cadre de leurs recherches.
On ne décèle aucun arbitraire dans l'argumentation cantonale sus-exposée.
Le recourant invoque certes la violation du principe de l'interdiction de l'arbitraire estimant que l'argumentation de l'autorité cantonale conduirait de facto à réduire à néant son droit fondamental à voir ses données personnelles respectées. Toutefois, à l'examen de ses écritures, on constate que le recourant ne s'en prend pas aux arguments qui ont conduit l'autorité cantonale à considérer que l'intérêt public à la conservation du dossier litigieux était prépondérant.
Le recourant fonde en effet son argumentation sur le fait que ses données personnelles ont été utilisées abusivement, ce qui constituerait une violation des art. 13 al. 2 Cst. et 29 LPrD/VD, et qui offre selon lui une preuve que seule la destruction de son dossier est en mesure de le prémunir contre une nouvelle violation de ses droits fondamentaux puisque les directives internes mises en place par le SPJ n'ont pas suffi à empêcher la première atteinte. Toutefois, le recourant se méprend sur le sens à donner à l'art. 29 al. 2 let. a LPrD. Cette norme prévoit effectivement la possibilité de requérir la destruction de données par toute personne ayant un intérêt digne de protection, mais présuppose toutefois que ces données aient fait au préalable l'objet d'un traitement illicite au sens de l'art. 29 al. 1 LPrD. Or, comme déjà mentionné (cf. supra consid. 4), le SPJ était habilité à constituer un dossier incluant des données sensibles du recourant, de sorte que les données litigieuses n'ont pas fait l'objet d'un traitement illicite au sens de cette norme. C'est une fois archivées, que ces données collectées licitement ont été utilisées par une assistante sociale d'une manière non conforme aux directives internes du SPJ. Or, comme l'a relevé à juste titre l'autorité cantonale, le fait que les directives internes du SPJ n'aient pas été respectées dans un cas particulier ne suffit pas à démontrer qu'elles ne seraient pas aptes à prévenir l'utilisation abusive de données sensibles lorsqu'elles sont appliquées correctement, de sorte que le grief du recourant est infondé.
Le recourant estime ensuite que la destruction de son dossier interviendrait à titre exceptionnel puisqu'il s'agirait de la destruction de données ayant déjà fait l'objet d'une utilisation abusive, de sorte que ce cas ne pourrait ni constituer un précédent, ni empêcher d'éventuels travaux de recherches subséquents puisque l'Etat disposerait pour ce faire de "bon nombre de dossiers similaires". L'argumentation du recourant consistant à soutenir, d'une part, que les archives du SPJ devraient être détruites au motif que ses directives internes ne sont pas aptes à prévenir une utilisation abusive des données collectées et, d'autre part, à estimer que le cas d'espèce ne concernerait que la destruction d'un dossier bien particulier ne convainc pas. En effet, comme l'a exposé l'autorité cantonale, la destruction du dossier du recourant constituerait un précédent susceptible d'entraver non seulement l'activité des autorités qui, en l'absence de dossier, ne seraient plus en mesure de légitimer les mesures qu'elles ont prises, mais aussi l'activité d'historiens amenés à faire des recherches sur le sujet ou encore les recherches effectuées par les membres de la famille eux-mêmes afin de connaître leur histoire. Le recourant se méprend par conséquent lorsqu'il soutient que la destruction de son dossier aurait un caractère exceptionnel et ne pourrait dès lors constituer un précédent.
Le recourant fait également mention des conséquences de la divulgation de ses données personnelles sur son état de santé. Cependant, le certificat médical qu'il a produit ne fait état que de son incapacité à se présenter à une session d'examens sans pour autant évoquer les causes de cette incapacité, de sorte que cette pièce n'appuie pas ses dires. En outre, même si l'on peut parfaitement envisager que l'utilisation illicite des données personnelles du recourant, constatée par l'autorité cantonale, aura sans doute ébranlé ce dernier, il n'en demeure pas moins qu'elle n'est pas de nature à remettre en question le rôle du SPJ, les tâches qui lui sont confiées, ainsi que le fait que la bonne exécution de ses tâches implique la prise de décisions pouvant avoir des conséquences importantes sur la vie des mineurs suivis et que cette autorité doit par conséquent disposer des dossiers constitués à cette fin pour justifier son action. En conséquence, la motivation de la cour cantonale n'est pas arbitraire et les griefs de violation des art. 9, 13 al. 2 et 36 Cst. et de l'art. 29 LPrD/VD doivent être rejetés.
6.2. S'agissant du respect du principe de la proportionnalité (art. 5 al. 2 Cst.), l'autorité cantonale relève à juste titre que le délai d'archivage de huitante ans prévu pour ce type d'archives est certes exceptionnellement long mais qu'il s'avère toutefois nécessaire au regard de l'intérêt public concerné et pour permettre aux descendants de bénéficiaires de l'action socio-éducative et aux historiens de consulter ces dossiers. Elle a en outre émis des doutes quant au fait qu'une durée d'archivage plus brève aurait permis d'empêcher le traitement des données dont le recourant se plaint. Elle a enfin rappelé les différentes mesures et directives internes adoptées par le SPJ pour faire respecter la confidentialité des données sous sa garde, estimant que le seul fait qu'elles n'aient pas été respectées dans le cas d'espèce ne suffit pas à démontrer leur absence d'efficacité. Bien qu'il soulève un grief quant à la violation du principe de la proportionnalité, le recourant ne s'en prend pas à l'argumentation de la cour cantonale, admettant même que la durée de conservation d'un dossier n'a effectivement pas une grande importance dans la présente procédure puisqu'une nouvelle divulgation de ses données personnelles peut intervenir à tout moment. En conséquence, son grief est irrecevable.
7.
Il n'y a pas lieu d'examiner plus avant la violation de l'art. 8 par. 2 CEDH alléguée par le recourant, celui-ci ne démontrant pas que cette norme, dont le champ d'application concorde largement avec celui de l'art. 13 al. 1 Cst. (cf. supra consid. 4.1), lui offrirait en l'espèce une protection plus étendue que cette dernière disposition.
8.
En définitive, le recours doit être rejeté aux frais de son auteur (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'autorité intimée (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service vaudois de protection de la jeunesse et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 3 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Hildbrand