Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 6. Juni 2002 verneinte das Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Solothurn den Anspruch von W._ (geb. 1945) auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. April 2002 bis auf Weiteres. Am 25. Juni 2002 ersetzte das AWA diese Verfügung durch eine neue, mit welcher der genannte Anspruch vom 1. April bis 13. Mai 2002 weiterhin verneint, ab 14. Mai 2002 hingegen im Umfang eines anrechenbaren Arbeitsausfalls von 50% bejaht wurde. Die gegen die zweite Verfügung erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 8. Mai 2003 ab.
A. Mit Verfügung vom 6. Juni 2002 verneinte das Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Solothurn den Anspruch von W._ (geb. 1945) auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. April 2002 bis auf Weiteres. Am 25. Juni 2002 ersetzte das AWA diese Verfügung durch eine neue, mit welcher der genannte Anspruch vom 1. April bis 13. Mai 2002 weiterhin verneint, ab 14. Mai 2002 hingegen im Umfang eines anrechenbaren Arbeitsausfalls von 50% bejaht wurde. Die gegen die zweite Verfügung erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 8. Mai 2003 ab.
B. Am 17. Juni 2003 erliess das AWA eine neue Verfügung, mit welcher es den Anspruch von W._ auf die erwähnte Leistung ab 14. Mai 2002 bis auf Weiteres verneinte. Diese Verfügung bestätigte das AWA mit Einspracheentscheid vom 28. August 2003.
B. Am 17. Juni 2003 erliess das AWA eine neue Verfügung, mit welcher es den Anspruch von W._ auf die erwähnte Leistung ab 14. Mai 2002 bis auf Weiteres verneinte. Diese Verfügung bestätigte das AWA mit Einspracheentscheid vom 28. August 2003.
C. Auf Beschwerde von W._ hin hob das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Einspracheentscheid und Verfügung mit Entscheid vom 1. März 2004 auf.
C. Auf Beschwerde von W._ hin hob das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Einspracheentscheid und Verfügung mit Entscheid vom 1. März 2004 auf.
D. Das AWA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der kantonale Entscheid sei aufzuheben.
Während W._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Das kantonale Gericht hob den Einspracheentscheid vom 28. August 2003 und die Verfügung vom 17. Juni 2003 mit der Begründung auf, in seinem unangefochten gebliebenen Entscheid vom 8. Mai 2003 sei der Anspruch des Versicherten auf Arbeitslosenentschädigung im Umfang eines anrechenbaren Arbeitsausfalls von 50% ab 14. Mai 2002 bejaht worden. Es gehe nicht an, mit späteren Verfügungen bzw. Einspracheentscheiden in diesen gerichtlich bestätigten Anspruch einzugreifen. Mit der Verfügung vom 17. Juni 2003 habe das AWA aber gerade dies getan, habe es doch die Anspruchsberechtigung des Versicherten wiederum ab 14. Mai 2002 verneint und damit den rechtskräftigen kantonalen Entscheid missachtet. Eine Abänderung desselben sei jedoch nur über ein Revisionsgesuch möglich. Ein solches habe das AWA bislang nie gestellt. Daher seien die Verfügung vom 17. Juni 2003 und der dazu gehörige Einspracheentscheid ohne weiteres aufzuheben.
Das AWA bringt hiegegen vor, die Verfügung vom 17. Juni 2003 und der Einspracheentscheid vom 28. August 2003 seien als Gesuch um Revision des Entscheides vom 8. Mai 2003 zu betrachten. Zudem habe sich die Vorinstanz materiell auf die Prüfung der Revisionsvoraussetzungen eingelassen, also Verfügung und Einspracheentscheid effektiv als Revisionsgesuch behandelt.
Das AWA bringt hiegegen vor, die Verfügung vom 17. Juni 2003 und der Einspracheentscheid vom 28. August 2003 seien als Gesuch um Revision des Entscheides vom 8. Mai 2003 zu betrachten. Zudem habe sich die Vorinstanz materiell auf die Prüfung der Revisionsvoraussetzungen eingelassen, also Verfügung und Einspracheentscheid effektiv als Revisionsgesuch behandelt.
2. Mit dem Entscheid vom 8. Mai 2003 hat die Vorinstanz rechtskräftig entschieden, dass der Versicherte ab 14. Mai 2002 Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung im Umfang eines anrechenbaren Arbeitsausfalls von 50% habe. Mit der neuen Verfügung vom 17. Juni 2003, mit welcher dieser Anspruch ab dem selben Datum verneint wurde, hat das AWA in diesen Entscheid eingegriffen. Das war nicht zulässig, wie die Vorinstanz richtig festgestellt hat. Nachdem die ordentliche Rechtsmittelfrist unbenutzt abgelaufen war, stand für eine Änderung des Entscheides vom 8. Mai 2003 nur noch der Weg über ein Revisionsgesuch offen. Die Argumentation des AWA, die neue Verfügung vom 17. Juni 2003 sei sinngemäss als Revisionsgesuch zu betrachten, ist abwegig. Denn diese Verfügung ging an den Versicherten und gelangte überhaupt nicht an die Vorinstanz, gegen deren Entscheid sich ein Revisionsgesuch hätte richten müssen. Dass das kantonale Gericht doch noch Kenntnis der neuen Verfügung erhielt, ist einzig dem Versicherten zuzuschreiben, der das Verfahren durch Einsprache und Beschwerde erneut weitergezogen hat. Ein Revisionsgesuch hingegen hätte ein aktives Vorgehen des AWA bei der Vorinstanz erfordert. Hernach wäre diese und nicht etwa das AWA, welches die Verfügung vom 17. Juni 2003 erliess, für eine allfällige Neubeurteilung des Falles zuständig gewesen. Verfügung und Einspracheentscheid lassen sich somit nicht in ein Revisionsgesuch umdeuten.
2. Mit dem Entscheid vom 8. Mai 2003 hat die Vorinstanz rechtskräftig entschieden, dass der Versicherte ab 14. Mai 2002 Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung im Umfang eines anrechenbaren Arbeitsausfalls von 50% habe. Mit der neuen Verfügung vom 17. Juni 2003, mit welcher dieser Anspruch ab dem selben Datum verneint wurde, hat das AWA in diesen Entscheid eingegriffen. Das war nicht zulässig, wie die Vorinstanz richtig festgestellt hat. Nachdem die ordentliche Rechtsmittelfrist unbenutzt abgelaufen war, stand für eine Änderung des Entscheides vom 8. Mai 2003 nur noch der Weg über ein Revisionsgesuch offen. Die Argumentation des AWA, die neue Verfügung vom 17. Juni 2003 sei sinngemäss als Revisionsgesuch zu betrachten, ist abwegig. Denn diese Verfügung ging an den Versicherten und gelangte überhaupt nicht an die Vorinstanz, gegen deren Entscheid sich ein Revisionsgesuch hätte richten müssen. Dass das kantonale Gericht doch noch Kenntnis der neuen Verfügung erhielt, ist einzig dem Versicherten zuzuschreiben, der das Verfahren durch Einsprache und Beschwerde erneut weitergezogen hat. Ein Revisionsgesuch hingegen hätte ein aktives Vorgehen des AWA bei der Vorinstanz erfordert. Hernach wäre diese und nicht etwa das AWA, welches die Verfügung vom 17. Juni 2003 erliess, für eine allfällige Neubeurteilung des Falles zuständig gewesen. Verfügung und Einspracheentscheid lassen sich somit nicht in ein Revisionsgesuch umdeuten.
3. 3.1 Nun ist zu beachten, dass der kantonale Entscheid vom 8. Mai 2003 seine Wirkungen nur bis zum Datum der damals angefochtenen Verfügung, d.h. bis zum 25. Juni 2002, zu entfalten vermag (<ref-ruling> Erw. 1b), wie in den Erwägungen dieses Entscheides denn auch ausdrücklich festgehalten wurde. Für die nach diesem Stichdatum liegende Zeitspanne war das AWA daher grundsätzlich frei, die Lage neu zu beurteilen und den Anspruch des Versicherten zu verneinen. Eines Revisionsgesuchs bedurfte es dafür nicht.
3.2 Der vorinstanzliche Entscheid vom 1. März 2004 begnügt sich damit festzustellen, dass kein Revisionsgesuch vorliege, und die Verfügung vom 17. Juni 2003 samt dem Einspracheentscheid vom 28. August 2003 aufzuheben. Dies führte im Ergebnis dazu, dass der Versicherte ab 14. Mai 2002 weiterhin Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung von 50% hätte. Die Verwaltung ist der Auffassung, dass kein solcher Anspruch besteht. In seinen Rechtsmitteln hat der Versicherte jedoch sinngemäss volle Leistungen (100%) auch über den vom Entscheid vom 8. Mai 2003 nicht mehr erfassten Zeitraum ab 25. Juni 2002 verlangt. Wie es sich damit verhält, hat die Vorinstanz nicht geprüft, obwohl die zeitliche Grenze ihrer Überprüfungsbefugnis das Datum des Einspracheentscheides vom 28. August 2003 ist (<ref-ruling> Erw. 1). Daher wird die Sache an das kantonale Gericht zurückgewiesen, damit es den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 26 Juni 2002 festlege.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 1. März 2004 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 1. März 2004 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn, der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 20. September 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: