Sachverhalt:
A. Der 1942 geborene M._ war seit 1. Januar 1990 bei der Luzerner Pensionskasse berufsvorsorgeversichert. Im Sommer 1999 teilte er der Vorsorgeeinrichtung mit, er setze seine Lebenspartnerin, Frau S._, im Falle einer Auszahlung von Todeskapital zu 100 % als Begünstigte ein. Infolge Teilpensionierung auf Ende September 2004 bezog M._ ab 1. Oktober 2004 eine 24 % Altersrente sowie eine AHV-Ersatzrente. Am 26. Dezember 2004 verstarb M._. Das Gesuch von S._ um Auszahlung des Todesfallkapitals lehnte die Luzerner Pensionskasse unter Hinweis auf den Bezug von Versicherungsleistungen in Form einer Teil-Altersrente seit 1. Oktober 2004 ab.
B. Am 8. Juni 2006 liess S._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Klage gegen die Luzerner Pensionskasse einreichen mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verurteilen, in Folge Todesfall von Herrn M._ ihr ein Todesfallkapital in der reglementarischen Höhe auszuzahlen, nebst Zins zu 5 % ab 26. Dezember 2004.
Die Luzerner Pensionskasse beantragte in ihrer Antwort die Abweisung der Klage. In Replik und Duplik hielten die Parteien an ihren Standpunkten fest.
Mit Entscheid vom 31. August 2007 wies die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern die Klage ab.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und die Gutheissung der Klage beantragen.
Die Luzerner Pensionskasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts ist letztinstanzlich zuständig zum Entscheid über den streitigen Anspruch auf Zahlung eines Todesfallkapitals an die Beschwerdeführerin nach § 31 der Verordnung vom 11. Mai 1999 über die Luzerner Pensionskasse (VoLUPK [SRL 131]; Art. 73 BVG und Art. 35 lit. e des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BgerR]; <ref-ruling> E. 2 S. 315). Da auch die übrigen formellen Gültigkeitserfordernisse gegeben sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG), sofern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Urteil 9C_249/2007 vom 6. Dezember 2007; vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Geht es im Besonderen um Leistungen der beruflichen Vorsorge, überprüft das Bundesgericht im Rahmen von Art. 73 Abs. 4 BVG die Anwendung kantonalen und kommunalen Vorsorgerechts grundsätzlich frei (Urteil 9C_654/2007 vom 28. Januar 2008 E. 1.2; SVR 2008 BVG Nr. 2 S. 6 E. 3 [B 104/06]).
3. § 31 VoLUPK (in der bis 31. Dezember 2005 gültig gewesenen, hier anwendbaren Fassung) regelt unter dem Titel Hinterlassenenleistungen den Anspruch auf Zahlung eines Todesfallkapitals, den Kreis der möglichen Anspruchsberechtigten (Begünstigten) sowie die Bemessung der Leistung. Die Vorschrift, soweit vorliegend von Bedeutung, lautet wie folgt:
1 Hat das Mitglied nie Versicherungsleistungen bezogen und entstehen bei seinem Tod keine Ansprüche gemäss § 28 [Witwen-/Witwerrente] oder § 29 [Rente der geschiedenen Ehegattin/des geschiedenen Ehegatten], haben die Kinder oder die vom Mitglied massgeblich unterstützten Personen Anspruch auf die Zahlung eines Todesfallkapitals in der Gesamthöhe von drei Jahresrenten gemäss § 28 Absatz 3.
2 Die Unterstützung ist massgeblich, wenn sie dauernd und in einer für den Lebensstandard der unterstützten Person erheblichen Weise gewährt wurde.
3 (Reihenfolge der Begünstigten)
4 Das Mitglied kann schriftlich eine andere Aufteilung des Todesfallkapitals auf die Personen gemäss Absatz 3 festlegen.
Gemäss § 1 lit. i VoLUPK fallen unter den Begriff der Versicherungsleistungen die Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenleistungen. Zu den Altersleistungen zählt u.a. die in § 24 VoLUPK geregelte Teil-Altersrente. Nach dieser Vorschrift hat das Mitglied Anspruch auf eine Teil-Altersrente, wenn es das 58. Lebensjahr vollendet hat und sein Beschäftigungsgrad um mindestens 20 % der Normalarbeitszeit herabgesetzt ist (Abs. 1). Das Altersguthaben wird im Verhältnis des Beschäftigungsgrades des Mitglieds vor und nach der Herabsetzung geteilt. Der eine Teil wird mit dem Umwandlungssatz gemäss § 23 Absatz 3 in eine Teil-Altersrente umgewandelt. Der andere Teil ist dem Altersguthaben eines voll erwerbstätigen Mitglieds gleichgestellt (Abs. 2).
4. Vorliegend ist umstritten, ob der Umstand, dass der verstorbene Lebenspartner der Beschwerdeführerin seit 1. Oktober 2004 eine Teil-Altersrente bezogen hatte, deren Anspruch auf Zahlung eines Todesfallkapitals ausschliesst.
4.1 Bei der Luzerner Pensionskasse handelt es sich um eine Vorsorgeeinrichtung des öffentlichen Rechts. Die Interpretation von § 31 Abs. 1 VoLUPK hat daher nach den Regeln der Gesetzesauslegung zu erfolgen (<ref-ruling> E. 3b S. 118; <ref-ruling> E. 2 S. 221 mit Hinweisen). Demnach ist in erster Linie der Wortlaut massgebend. Lässt dieser verschiedene Deutungen zu, muss nach seiner wahren Tragweite gesucht werden unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente, namentlich des Zweckes, des - auch kontextbezogen zu ermittelnden - Sinnes und der dem Text zu Grunde liegenden Wertung (<ref-ruling> E. 4.1 S. 316 mit Hinweisen).
Bei der Auslegung und Anwendung von statutarischen und reglementarischen Bestimmungen im weitergehenden Vorsorgebereich, wozu auch § 31 Abs. 1 VoLUPK gehört, ist zudem zu berücksichtigen, dass die Vorsorgeeinrichtungen in der Ausgestaltung der Leistungen grundsätzlich autonom sind (Art. 49 BVG). Dabei haben sie jedoch das Gebot der Rechtsgleichheit, das Willkürverbot und das Verhältnismässigkeitsprinzip zu beachten. Die Rechte der Versicherten dürfen nur soweit beschränkt werden, als dies für die sachgerechte Durchführung des Vorsorgeverhältnisses erforderlich ist (<ref-ruling> E. 5.2.4 in fine S. 154; <ref-ruling> E. 4 S. 149 mit Hinweisen auf die Lehre; <ref-ruling> E. 4b S. 109; SVR 2008 BVG Nr. 2 S. 7 E. 5.1 [B 104/06]).
4.2 Nach Auffassung des kantonalen Gerichts schliesst (auch) der Bezug einer Teil-Altersrente den Anspruch auf ein Todesfallkapital nach § 31 Abs. 1 VoLUPK aus. Der Wortlaut dieser Bestimmung unterscheide nicht danach, ob Versicherungsleistungen aufgrund eines vollen oder nur teilweisen Eintritts des Leistungsfalls (Alter, Invalidität) bezogen worden seien. Der ursprüngliche Sinn und Zweck eines Todesfallkapitals, wie er sich aus den Materialien zur Vorgängerbestimmung (§ 28a der Verordnung vom 3. Januar 1989 über die Kantonale Pensionskasse Luzern, in Kraft gestanden vom 1. Januar 1995 bis 31. Dezember 1999) ergebe, habe darin bestanden, bei Versicherten, welche selber nie Versicherungsleistungen bezogen und die gleichen Beiträge bezahlt hätten, wie jene, welche nach dem Tod Hinterbliebenenleistungen auslösten, eine Ausrichtung zumindest eines Teils ihres Altersguthabens an gewisse Personenkreise zu ermöglichen. Unter diesen Umständen sei § 31 Abs. 1 VoLUPK so auszulegen, dass der erstmalige Eintritt eines Leistungsfalls jeglichen Anspruch auf ein Todesfallkapital ausschliesse. Diese Interpretation verletze das Gleichheitsgebot nach <ref-law> nicht. Insbesondere treffe der Einwand der Klägerin nicht zu, dass sie gegenüber Bezügern von Austrittsleistungen (Freizügigkeitsleistungen und freizügigkeitsähnliche Leistungen) benachteiligt sei.
4.2 Nach Auffassung des kantonalen Gerichts schliesst (auch) der Bezug einer Teil-Altersrente den Anspruch auf ein Todesfallkapital nach § 31 Abs. 1 VoLUPK aus. Der Wortlaut dieser Bestimmung unterscheide nicht danach, ob Versicherungsleistungen aufgrund eines vollen oder nur teilweisen Eintritts des Leistungsfalls (Alter, Invalidität) bezogen worden seien. Der ursprüngliche Sinn und Zweck eines Todesfallkapitals, wie er sich aus den Materialien zur Vorgängerbestimmung (§ 28a der Verordnung vom 3. Januar 1989 über die Kantonale Pensionskasse Luzern, in Kraft gestanden vom 1. Januar 1995 bis 31. Dezember 1999) ergebe, habe darin bestanden, bei Versicherten, welche selber nie Versicherungsleistungen bezogen und die gleichen Beiträge bezahlt hätten, wie jene, welche nach dem Tod Hinterbliebenenleistungen auslösten, eine Ausrichtung zumindest eines Teils ihres Altersguthabens an gewisse Personenkreise zu ermöglichen. Unter diesen Umständen sei § 31 Abs. 1 VoLUPK so auszulegen, dass der erstmalige Eintritt eines Leistungsfalls jeglichen Anspruch auf ein Todesfallkapital ausschliesse. Diese Interpretation verletze das Gleichheitsgebot nach <ref-law> nicht. Insbesondere treffe der Einwand der Klägerin nicht zu, dass sie gegenüber Bezügern von Austrittsleistungen (Freizügigkeitsleistungen und freizügigkeitsähnliche Leistungen) benachteiligt sei.
4.3 4.3.1 Nach dem Wortlaut des § 31 Abs. 1 VoLUPK setzt der Anspruch auf ein Todesfallkapital voraus, dass der oder die verstorbene Versicherte «nie Versicherungsleistungen bezogen» hat. Dabei wird weder nach der Art der bezogenen Leistungen (Alters- oder Invalidenleistungen) noch nach dem Umfang des Leistungsanspruchs differenziert. Dies allein heisst jedoch nicht, dass der Bezug einer Teil-Altersrente nach § 24 VoLUPK den Anspruch auf Zahlung eines Todesfallkapitals ausschliesst.
4.3.2 Im Zuge der Anpassung der Verordnung über die Kantonale Pensionskasse (VoKPK) an das zum 1. Januar 1995 in Kraft getretene Freizügigkeitsgesetz (FZG) wurde ein neuer § 28a geschaffen, welcher den Anspruch auf ein Todesfallkapital regelte. Die bis 31. Dezember 1999 in Kraft gestandene Bestimmung entspricht im Wesentlichen dem am 1. Januar 2000 in Kraft getretenen § 31 VoLUPK in der hier anwendbaren Fassung. In der Botschaft des Regierungsrates vom 20. September 1994 (B 193) wurde zum neuen § 28a VoKPK Folgendes ausgeführt: «Stirbt ein unverheirateter Versicherter ohne unterstützungsberechtigte Kinder vor seiner Pensionierung, so werden nach heutigem Recht überhaupt nie Versicherungsleistungen ausgerichtet. Trotzdem muss der Versicherte genau die gleichen Beiträge bezahlen wie sein verheirateter Kollege. Diese 'Solidaritätsbeiträge' unverheirateter Personen werden von vielen Betroffenen als unbillig betrachtet. Mit der Einführung des Todesfallkapitals (...) könnte die Situation entschärft werden. Allerdings soll das Todesfallkapital nur an Personen ausgerichtet werden, die der Versicherte massgeblich unterstützt hat. Die vorbehaltlose Ausrichtung des Todesfallkapitals oder gar eine testamentarische Verfügungsbefugnis darüber wäre bundesrechtlich nicht möglich» (vgl. Protokoll der Sitzung des Grossen Rates vom 28. November 1994 [GR 4/1994 S. 1608]).
Entgegen der Auffassung der Vorinstanz kann aus den Erläuterungen zum neuen § 28a VoKPK nicht gefolgert werden, den Vorgaben des Verordnungsgebers entsprechend solle nur dann ein Todesfallkapital zur Ausrichtung gelangen, wenn der Versicherte überhaupt nie Versicherungsleistungen bezogen habe. Weder an der besagten noch an anderer Stelle in der Botschaft wird erwähnt, dass der verstorbene Versicherte nie Versicherungsleistungen bezogen haben dürfe, andernfalls kein Todesfallkapital zur Ausrichtung gelangen könne. Der Verordnungsgeber wollte eine als unbillig empfundene Ungleichbehandlung unter den Versicherten in Bezug auf Versicherungsleistungen im Todesfall mildern. Dabei sollte der Kreis der Anspruchsberechtigten eng gezogen werden. Lediglich Personen, welche der verstorbene Versicherte massgeblich unterstützt hatte, sollten in den Genuss des Todesfallkapitals kommen. Weitere anspruchsrelevante Aussagen lassen sich dem Botschaftstext nicht entnehmen. Insbesondere finden sich keine Hinweise, dass der frühere Bezug von Versicherungsleistungen durch den oder die verstorbene Versicherte die Ausrichtung eines Todesfallkapitals in jedem Fall gänzlich ausschliessen soll. Gegen einen solchen Willen des Verordnungsgebers spricht auch, dass beim Tod verheirateter oder geschiedener Versicherter und von Versicherten mit Kindern auch bei einem allfälligen früheren Bezug von Versicherungsleistungen durch den Verstorbenen Anspruch auf Witwen- oder Witwenrenten, Renten an den geschiedenen Ehegatten und Waisenrenten besteht.
4.3.3 Aufgrund des Wortlauts und der Materialien ist davon auszugehen, dass der Gesetzgeber bei der Einführung des Todesfallkapitals nicht an die Bezügerinnen und Bezüger einer Teil-Altersrente dachte oder zumindest bei solchen Personen den Anspruch auf Zahlung eines Todesfallkapitals nicht im Sinne eines qualifizierten Schweigens ausschliessen wollte. Es liegt somit in Bezug auf die streitige Frage eine nach der Regel des <ref-law> zu füllende echte Lücke vor (vgl. <ref-ruling> E. 4b cc S. 41 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2b S. 173).
Laut § 24 Abs. 2 VoLUPK sind Bezüger einer Teil-Altersrente in Bezug auf den für die Finanzierung der Leistung - nach dem System des Beitragsprimats - nicht benötigten Teil des Altersguthabens einem voll erwerbstätigen Mitglied gleichgestellt. In dieser Regelung kommt zum Ausdruck, dass es sich nach der Konzeption der am Recht stehenden Vorsorgeeinrichtung bei jeder Teilpensionierung um einen neuen, selbständigen Vorsorge- oder Versicherungsfall handelt, wie auch in der Beschwerde unter Hinweis auf SVR 1997 BVG Nr. 79 S. 244 E. 2c ausgeführt wird. Die freiwillige Reduktion des Arbeitspensums altershalber stellt somit in Bezug auf den verbleibenden Beschäftigungsgrad keinen Versicherungsfall und folgerichtig die Teil-Altersrente insoweit keine Versicherungsleistung im Sinne von § 31 Abs. 1 VoLUPK dar. Der Bezug einer Teil-Altersrente schliesst daher den Anspruch auf Zahlung eines anteilmässigen (nach dem noch aktiven Altersguthaben bemessenen) Todesfallkapitals nicht aus. Mit dieser Regelbildung werden Versicherte, welche eine Teil-Altersrente beziehen, den im gleichen zeitlichen Umfang teilerwerbstätigen Versicherten in Bezug auf den Anspruch auf Zahlung eines Todesfallkapitals gleichgestellt, was im Sinne der verfassungsrechtlichen Gleichbehandlung geboten ist.
Dass die am Recht stehende Vorsorgeeinrichtung jahrelang kein Todesfallkapital ausrichtete, wenn der oder die verstorbene Versicherte eine Teil-Altersrente bezog, ist in Anbetracht der angeführten Gründe für eine lückenfüllende Auslegung von § 31 Abs. 1 VoLUPK kein Anlass, diese als gesetzwidrig erkannte Praxis auch im konkreten Fall zur Anwendung zu bringen. Abgesehen davon ist jede Praxisänderung zwangsläufig mit einer Ungleichbehandlung der früheren und der neuen Fälle verbunden (<ref-ruling> E. 4c/aa S. 162; SVR 2006 IV Nr. 47 S. 172 E. 3.3 [I 68/02]; Urteil 9C_566/2007 vom 3. Januar 2008 E. 2.5.2)
4.4 Der Anspruch der Beschwerdeführerin auf Zahlung eines Todesfallkapitals nach § 31 VoLUPK kann somit nicht mit der Begründung verneint werden, ihr verstorbener Lebenspartner habe im Zeitpunkt des Todes eine Teil-Altersrente der beruflichen Vorsorge gemäss § 24 VoLUPK bezogen. Dieser Umstand ist allenfalls für die von der Vorinstanz noch zu prüfende weitere Anspruchsvoraussetzung der massgeblichen Unterstützung der begünstigten Person durch das verstorbene Mitglied im Sinne von § 31 Abs. 2 VoLUPK von Bedeutung.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid vom 31. August 2007 aufgehoben und die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern zurückgewiesen wird, damit es die weiteren Voraussetzungen des Anspruchs auf ein Todesfallkapital prüfe und darüber neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Luzerner Pensionskasse auferlegt.
3. Die Luzerner Pensionskasse hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. März 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler