Faits:
A. Après avoir obtenu son diplôme d'enseignement le 13 septembre 2004, A._ a été engagée depuis la rentrée d'août 2005 auprès de l'école B._. Elle a rapidement connu des différends avec certains enseignants et avec la direction de l'établissement, pour des questions de taux d'occupation, d'horaires ou de méthode d'enseignement. Ce n'est que le 15 décembre 2005 qu'un contrat de travail lui est parvenu; ce document mentionnait un engagement de durée déterminée du 1er août 2005 au 31 juillet 2006 en qualité de "maîtresse secondaire spécialiste", pour un salaire annuel brut de 52'112,40 francs.
Entre le 20 et le 22 décembre 2005, la doyenne de l'établissement a convoqué les élèves de A._ afin qu'ils donnent leur avis sur cette enseignante. Par courrier du 22 décembre 2005, le directeur général de l'enseignement postobligatoire de l'Etat de Vaud a informé A._ de l'ouverture d'une enquête administrative à son encontre et il a décidé de la libérer provisoirement de l'obligation de travailler, son salaire restant acquis. Par courrier du 29 mars 2006, il a décidé de mettre un terme à l'enquête administrative "par gain de temps et d'énergie", le contrat de durée déterminée d'A._ prenant fin le 31 juillet 2006.
B. A._ a recouru contre la décision susmentionnée du 22 décembre 2005 auprès du Tribunal de prud'hommes de l'administration cantonale. Par jugement du 17 juillet 2007 - dont les considérants ont été notifiés le 18 octobre 2007 - ce tribunal a constaté que A._ avait été victime d'une atteinte à la personnalité et a reconnu l'Etat de Vaud débiteur d'un montant de 12'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral et résiliation abusive du contrat de travail.
Sur recours de l'Etat de Vaud, la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a annulé ce jugement par arrêt du 17 avril 2008, dont les considérants ont été notifiés le 8 août 2008. Le Tribunal cantonal a estimé que les manquements de l'employeur relevés par les premiers juges ne constituaient pas une atteinte à la personnalité de A._. De plus, celle-ci ne pouvait pas prétendre à une indemnité pour congé abusif, dès lors que son contrat de durée déterminée n'avait pas été résilié mais avait simplement pris fin à son échéance.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens qu'une atteinte à la personnalité soit constatée et qu'un montant de 21'713,50 fr. lui soit versé par l'Etat de Vaud à titre d'indemnité pour tort moral et résiliation abusive du contrat de travail. Elle conclut subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle instruction et nouveau jugement. Elle se plaint d'une violation des règles sur la protection de la personnalité des travailleurs et la résiliation abusive du contrat de travail, ainsi que d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.) dans le cadre de l'enquête administrative ouverte à son encontre. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt. L'Etat de Vaud a présenté des observations; il conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. Ces déterminations ont été communiquées à A._.

Considérant en droit:
1. Le recours est intitulé "recours en matière civile". La décision attaquée concerne cependant des rapports de travail de droit public et n'a pas été rendue en matière civile au sens de l'<ref-law>. Contrairement à ce qu'indique l'arrêt attaqué, la voie du recours en matière civile n'est dès lors pas ouverte en l'espèce. Cela étant, à lui seul, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur si les conditions d'une conversion en la voie de droit adéquate sont réunies (<ref-ruling> consid. 1b p. 509 et les arrêts cités).
La voie du recours en matière de droit public selon les <ref-law> est en principe ouverte pour contester les décisions concernant les rapports de travail de droit public. La contestation étant de nature pécuniaire, le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. Dans la mesure où la recourante conclut au paiement d'une indemnité de 21'713,50 fr., la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public dans ce domaine (<ref-law>). Pour le surplus, la recourante a la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 let. b et c LTF) et le recours a été interjeté en temps utile, contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF), de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2. Dans la première partie de son écriture, la recourante conteste partiellement des faits retenus par l'autorité intimée et présente son propre exposé des événements. Elle perd cependant de vue que le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). En l'espèce, le recours ne comporte aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait de la décision attaquée, de sorte qu'il n'y a pas lieu de prendre en considération d'autres faits que ceux retenus dans ladite décision.
3. La recourante se plaint d'une violation des dispositions garantissant la protection de la personnalité des travailleurs, à savoir l'art. 5 al. 3 de la loi du 12 novembre 2001 sur le personnel de l'Etat de Vaud (LPers/VD; RSV 172.31) et l'<ref-law>.
3.1 Les motifs de recours au Tribunal fédéral sont énumérés aux art. 95 et 96 LTF. La violation du droit cantonal ne constitue en principe pas un motif de recours, sauf dans les cas prévus par l'art. 95 let. c à e LTF, qui n'entrent pas en considération en l'espèce. Par conséquent, une violation du droit cantonal ne peut être invoquée que si elle constitue également une atteinte au droit fédéral au sens de l'<ref-law> ou au droit international au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 251 s.).
L'atteinte au droit fédéral selon l'<ref-law> peut notamment résulter du fait que le droit cantonal a été appliqué de façon arbitraire (art. 9 Cst.; pour une définition de l'arbitraire, cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les références). Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme sous cet angle, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 133; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
Il appartient au recourant de démontrer en quoi le droit cantonal a été appliqué de façon arbitraire, conformément aux exigences déduites des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF. Selon cette dernière disposition, les griefs de violation du droit constitutionnel ne peuvent être examinés que s'ils sont invoqués et motivés; ils répondent en outre à des exigences de motivation accrues, correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254). Il appartient donc au recourant de démontrer dans quelle mesure la décision attaquée viole les droits fondamentaux invoqués. Le Tribunal fédéral n'examine que les griefs soulevés de manière claire et précise; il n'entre pas en matière sur les griefs insuffisamment motivés et sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2 p. 591 et les références).
3.2 L'<ref-law> est une disposition de droit privé et la recourante n'explique pas en vertu de quelles règles elle trouverait application en l'espèce. En principe, les dispositions du droit des obligations ne sont pas applicables comme telles aux contestations portant sur des rapports de travail de droit public, mais elles peuvent s'appliquer à titre subsidiaire et par analogie, comme droit cantonal supplétif (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 220 et les références; arrêt 2A.770/2006 du 26 avril 2007 consid. 4.2). A supposer que l'<ref-law> soit applicable, il devrait donc être considéré comme du droit cantonal, à l'instar de l'art. 5 al. 3 LPers/VD.
3.3 La recourante se borne en l'occurrence à critiquer l'application de ces dispositions sans aucunement démontrer, ni même alléguer, que cette application serait arbitraire ou qu'elle porterait atteinte à ses droits constitutionnels. Il lui appartenait pourtant de le faire, conformément aux exigences minimales de motivation exposées ci-dessus. L'exposé de la jurisprudence sur le mobbing et les critiques de nature appellatoire contenues dans le mémoire de recours ne remplissent pas ces exigences, étant rappelé qu'il n'y a pas lieu de remettre en question l'état de fait de l'arrêt querellé (cf. supra consid. 2). L'appréciation arbitraire de ces faits n'est pas davantage démontrée. La recourante se limite en effet à répéter sa propre appréciation des faits, comme si le Tribunal fédéral revoyait librement l'ensemble de la cause en fait et en droit indépendamment des griefs présentés, ce qui n'est pas le cas. Il lui appartenait au contraire d'invoquer l'art. 9 Cst. et de proposer une démonstration à cet égard, en expliquant concrètement en quoi l'appréciation du Tribunal cantonal était insoutenable et quels éléments précis permettraient de considérer que les dispositions dont elle se prévaut ont été appliquées de façon arbitraire au sens de la jurisprudence susmentionnée. Le Tribunal fédéral ne peut dès lors pas entrer en matière sur ce premier moyen, qui doit être déclaré irrecevable.
4. La recourante se plaint également d'une résiliation abusive de son contrat de travail. Elle n'expose cependant pas quelles dispositions légales ou constitutionnelles auraient été violées à cet égard. Au demeurant, la position du Tribunal cantonal selon laquelle la recourante était au bénéfice d'un contrat de durée déterminée ayant simplement pris fin à son échéance n'apparaît pas manifestement insoutenable. Le contrat de travail mentionne en effet un engagement de durée déterminée du 1er août 2005 au 31 juillet 2006. S'il est exact que le contrat n'a pas été signé par l'intéressée et qu'il lui a été envoyé très tardivement, alors que les relations professionnelles étaient déjà conflictuelles, aucun élément ne permet de retenir que les parties avaient convenu d'un engagement pour une durée indéterminée.
Quoi qu'il en soit, il n'est pas contesté que l'activité professionnelle ayant donné lieu au présent litige était le premier engagement de la recourante en qualité d'enseignante après l'obtention de son diplôme. Or, selon l'art. 80 de la loi scolaire du 12 juin 1984 (RSV 400.01; applicable par renvoi de l'art. 2 de la loi du 17 septembre 1985 sur l'enseignement secondaire supérieur [RSV 412.11]), le premier engagement du maître est provisoire pour une année (al. 1); après cette période probatoire, le service décide ou non d'un engagement par contrat de durée indéterminée (al. 2). C'est dès lors sans arbitraire que l'arrêt attaqué retient que le contrat litigieux ne pouvait être que de durée déterminée et qu'il a pris fin à l'échéance prévue, de sorte qu'il ne saurait être question de résiliation abusive.
5. Enfin, la recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue dans le cadre de l'enquête administrative ouverte à son encontre. Cette enquête a cependant été close le 29 mars 2006, au motif que le contrat de durée déterminée de la recourante prendrait fin le 31 juillet 2006. Dans la mesure où il n'est pas arbitraire de considérer que les rapports de travail de l'intéressée étaient régis par un contrat de durée déterminée ayant pris fin à cette date, il apparaît qu'il n'était pas nécessaire de poursuivre l'enquête administrative en vue d'un éventuel avertissement voire d'une résiliation du contrat de travail. Les démarches entreprises par les autorités à cet égard sont donc dénuées de toute portée, de sorte qu'il serait inutile d'entendre la recourante à ce sujet. Celle-ci n'a dès lors pas d'intérêt digne de protection, actuel et pratique, à voir cette question examinée, le grief étant sans objet.
6. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Etat de Vaud et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 5 décembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener