Sachverhalt:
A.
Der 1988 geborene äthiopische Staatsangehörige A._ ist abgewiesener Asylbewerber, dessen Ausreisefrist am 29. September 2008 abgelaufen ist. Seit Oktober 2008 bezieht er in der Gemeinde Y._ Nothilfe. Seine Partnerin, C._, und der am 3. April 2012 geborene und von ihm anerkannte gemeinsame Sohn D._ sind in der Schweiz aufenthaltsberechtigt und wohnen in X._. Das Gesuch von A._, Nothilfe in X._ zu beziehen, wies das Sozialamt der Stadt X._ am 25. Juli 2012 ab. Dies bestätigte der Stadtrat X._ am 27. August 2012.
Den von A._ dagegen erhobenen Rekurs wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen (SJD) mit Entscheid vom 20. Juni 2013 ab.
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies die Beschwerde des A._ mit Entscheid vom 16. April 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Gemeinde X._ zu verpflichten, auf das Gesuch um Nothilfe einzutreten; eventuell sei die Sache zwecks Ergänzung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem wird um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
Der Stadtrat X._ verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das kantonale Gericht schliesst unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid auf Abweisung der Beschwerde. A._ hat sich am 2. und am 10. September 2014 nochmals geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht kann insbesondere eine Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweis). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, darin eingeschlossen solcher, die sich aus Völkerrecht ergeben, gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 76 f.).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.). Abzustellen ist auf den Sachverhalt zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids; nachträglich eingetretene Tatsachen und Beweismittel ("echte Noven") bleiben damit im bundesgerichtlichen Verfahren unberücksichtigt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.5 S. 397; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229).
2.
2.1. Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer Nothilfe der Gemeinde Y._ bezieht. Er macht geltend, diese sei ihm am Wohnort seiner Freundin und des gemeinsamen Kindes in X._ zu gewähren. Der Stadtrat X._ verneinte einen solchen Anspruch mit der Begründung, die Nothilfe sei von jener Gemeinde auszurichten, welcher die anspruchsberechtigte Person von der vom Kanton eingesetzten Triagestelle, der Koordinationsstelle Migration, zugeteilt worden sei. Der Bezug von Nothilfeleistungen in einer anderen Gemeinde sei somit nicht möglich. Zudem sei das Kindesverhältnis bisher nicht festgestellt worden.
2.2. Nach der Gesetzgebung des Kantons St. Gallen hat, wer im Sinne von Art. 9 des kantonalen Sozialhilfegesetzes vom 27. September 1998 (SHG; sGS 381.1) für seinen Lebensunterhalt nicht hinreichend oder nicht rechtzeitig aus eigenen Mitteln aufkommen kann, Anspruch auf finanzielle Sozialhilfe. Für die Ausrichtung der Leistungen sind die Gemeinden zuständig (Art. 3 Abs. 1 SHG). Eine besondere Regelung für den Bezug von Nothilfe wurde im Kanton St. Gallen nicht getroffen.
2.3.
2.3.1. Die Vorinstanz hat unter Hinweis auf <ref-ruling> erwogen, für den Anspruch auf Nothilfe begründe der effektive Aufenthalt nach der geltenden st. gallischen Rechtsordnung keinen Unterstützungswohnsitz. Stehe der Aufenthaltsort nach erfolgter Zuweisung fest, sei es Sache derjenigen Gemeinde, der die Person zugewiesen worden sei (hier: Y._), dieser die nötige Hilfe zu leisten. Da der Fürsorgegemeinde X._ keine Entscheidungsbefugnis hinsichtlich der Regelung des Aufenthalts abgewiesener Asylbewerber mit rechtskräftiger Wegweisungsverfügung zustehe, habe sie das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der Nothilfe zu Recht abschlägig behandelt. Der Beschwerdeführer gehe zu Recht davon aus, in der Sache liege ein Nichteintretensentscheid des Sozialamtes der Gemeinde X._ vor.
2.3.2. Eine Verletzung des gemäss <ref-law> gewährten Grundrechts auf Hilfe in Notlagen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2 S. 276; <ref-ruling> E. 5.3 S. 123, je mit Hinweisen) wird vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht. Da ihm Nothilfe in der Gemeinde Y._ gewährt wird, ging die Vorinstanz richtigerweise davon aus, die Gemeinde X._ habe das Gesuch zu Recht abschlägig behandelt (vgl. in diesem Sinne bereits <ref-ruling>). Die vom Beschwerdeführer dagegen vorgebrachte Kritik ist nicht zu hören. Die Beschwerde ist insoweit abzuweisen.
2.4.
2.4.1. Weiter hält die Vorinstanz fest, mit dem Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde vom 12. Juli 2013 über die Genehmigung des Unterhaltsvertrages und des gemeinsamen elterlichen Sorgerechts seien die rechtlichen Grundlagen für eine familiäre Gemeinschaft geschaffen worden. Ob diese Gemeinschaft stabil gelebt werde und die Anforderungen an ein Familienleben im Sinne von <ref-law> und Art. 8 EMRK erfüllt seien, lasse sich den Akten nicht mit ausreichender Klarheit entnehmen. Wenn der Beschwerdeführer der Ansicht sei, er befinde sich in einer Situation, die aufgrund des Anspruchs auf den verfassungs- und völkerrechtlichen Schutz der Einheit der Familie eine Änderung der Zuteilung rechtfertige, müsse er sich dafür an das kantonale Migrationsamt wenden. Dieses werde gegebenenfalls die tatsächlichen Lebensverhältnisse abzuklären haben, um beurteilen zu können, ob ein schützenswertes Familienleben im Sinne von Art. 8 EMRK vorliege.
2.4.2. Der Beschwerdeführer begründet den geltend gemachten Anspruch auf Nothilfe in der Gemeinde X._ im Wesentlichen mit dem Umstand, dass er ansonsten gezwungen werde, getrennt von seinem Kind zu wohnen, was dem Kindeswohlprinzip gemäss Art. 3 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (UNO-Kinderrechtskonvention [KRK; SR 0.107]) widerspreche und Art. 9 KRK verletzte. In diesem Zusammenhang rügt er auch eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts und damit eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes durch die Vorinstanz, indem diese das Bestehen familiärer Beziehungen als ungewiss erachte, anstatt diese umfassend abzuklären. Weiter rügt der Beschwerdeführer einen unzulässigen Eingriff der Behörde in die Ausübung des Rechts auf Familienleben nach Art. 8 EMRK.
2.4.3. Der vorliegende Fall braucht nicht unter dem Blickwinkel von Art. 8 EMRK und den Bestimmungen der Kinderrechtskonvention geprüft zu werden. Behördliche Entscheide über die Zuweisung abgewiesener Asylbewerber auf die einzelnen Gemeinden zwecks gerechter Verteilung auf diese können grundsätzlich nicht im Rahmen der Beurteilung des Anspruchs auf Nothilfe infrage gestellt werden. Da die Zu- und Umteilung abgewiesener Asylbewerber mit Wegweisungsentscheid auf die Gemeinden rechtsprechungsgemäss nicht in die Zuständigkeit der Gemeinde-Fürsorgebehörden fällt (vgl. dazu <ref-ruling>), ist - wie die Vorinstanz richtig festhält - auf diese Frage im vorliegenden Verfahren nicht näher einzugehen. Der vorinstanzliche Entscheid ist daher auch in diesem Punkt nicht zu beanstanden.
2.4.4. Das laut Angaben des Beschwerdeführers beim SJD sistierte Verfahren zwecks Umteilung an die Gemeinde X._ wird weiterzuführen sein.
3.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit nicht zu entsprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Oktober 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer