Faits:
A. A._ exploite avec son épouse le Café-Restaurant X._, à Pully, depuis le 1er juin 2003 au bénéfice d'une licence qui lui a été délivrée le 24 septembre 2003 par le Département de l'économie du canton de Vaud pour une salle de consommation de cinquante places et une terrasse de trente places. L'établissement se situe à proximité de la gare de Pully-Nord, dans un quartier d'habitations auquel le degré de sensibilité II au bruit a été attribué.
B._ et C._, qui occupent avec leurs deux enfants un appartement dans un immeuble voisin, sont intervenus en date du 2 juin 2006 auprès du Service de l'économie, du logement et du tourisme du canton de Vaud pour que des mesures soient prises afin de faire cesser les nuisances sonores causées par l'exploitation de la terrasse après 22h00. Le 4 juillet 2006, à 14h00, ledit service a procédé à une visite des lieux en présence des exploitants, des époux B._ et C._ ainsi que des représentants de la Commune de Pully et du Service de l'environnement et de l'énergie du canton de Vaud. Il a constaté à cette occasion la présence de 44 chaises sur la terrasse.
Le Service de l'environnement et de l'énergie a formulé, en date du 6 juillet 2006, un préavis favorable à la poursuite de l'exploitation de la terrasse pour autant que le nombre de places soit maintenu à trente, qu'aucune musique n'y soit diffusée, que l'utilisation maximale se fasse entre 08h00 et 22h00, nettoyage et rangement inclus, et que l'exploitant soit rendu attentif au maintien de la tranquillité sur la terrasse, en particulier dès 19h00. Par décision du 11 juillet 2006, le Service de l'économie, du logement et du tourisme a soumis l'exploitation de la terrasse du Café-Restaurant X._ aux conditions fixées dans ce préavis. Il chargeait la Municipalité de Pully de faire respecter cette décision.
Le Tribunal administratif du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal administratif ou la cour cantonale) a confirmé cette décision au terme d'un arrêt rendu le 27 novembre 2007 sur recours de l'exploitant.
B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que l'exploitation maximale de la terrasse du Café-Restaurant X._ n'est pas limitée de 08h00 à 22h00, nettoyages et rangements inclus, mais bien de 08h00 à 24h00. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi du dossier au Tribunal administratif pour nouvelle décision dans le sens des considérants du Tribunal fédéral.
Le Tribunal administratif, le Service de l'économie, du logement et du tourisme du canton de Vaud et la Commune de Pully concluent au rejet du recours. B._ et C._ s'en remettent à justice.
Invité à se déterminer, l'Office fédéral de l'environnement a confirmé le bien-fondé des mesures prises. Le recourant a pris des conclusions subsidiaires tendant à autoriser l'ouverture de la terrasse au public jusqu'à 23h00, les rangements ayant lieu après cette dernière heure ou le lendemain matin.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision portant sur les conditions d'exploitation d'une terrasse d'un établissement public, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110). Aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'est réalisée. Le recourant a participé à la procédure de recours devant le Tribunal administratif. En tant qu'exploitant du Café-Restaurant X._, il est manifestement touché dans un intérêt digne de protection par l'arrêt attaqué qui fixe à 22h00 l'heure de fermeture de la terrasse de son établissement. Pour le surplus, formé en temps utile contre une décision finale prise en dernière instance cantonale, le recours répond aux exigences des art. 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Le recourant se plaint d'une application erronée du droit fédéral sur la protection contre le bruit. L'aménagement de la terrasse de son café-restaurant est intervenu avant l'entrée en vigueur de la loi fédérale sur la protection de l'environnement (LPE; RS 814.01). Les travaux exécutés ultérieurement n'emporteraient aucune modification notable de l'installation de nature à imposer une restriction des conditions d'exploitation par une limitation des horaires d'ouverture. A cet égard, la constatation de fait retenue dans l'arrêt attaqué selon laquelle la capacité de la terrasse aurait été portée de vingt places en 1990 à soixante places en 2001 après l'exécution de travaux d'aplanissement et de dallage en 2000 serait en contradiction manifeste avec les pièces du dossier. Il n'y aurait pas davantage eu d'augmentation des immissions de bruit provenant de la terrasse à la suite des travaux effectués en 2006, propre à justifier une modification des horaires d'exploitation en vertu de l'art. 8 de l'ordonnance sur la protection contre le bruit (OPB; RS 814.41). Enfin, le Tribunal administratif aurait complètement occulté le bruit du trafic ferroviaire dans l'appréciation de la situation. Vu l'environnement sonore existant, le quartier aurait dû se voir attribuer un degré de sensibilité III au bruit et la terrasse être assimilée à une installation peu gênante. Le recourant reproche enfin à la cour cantonale de ne pas avoir fait usage de la possibilité que lui offre l'<ref-law> d'accorder des allégements en cas d'assainissement. Il demande en conséquence à pouvoir exploiter sa terrasse jusqu'à minuit comme le prévoit le règlement général de police de la Ville de Pully du 1er août 2005.
2.1 La terrasse du Café-Restaurant X._ est une installation fixe dont l'exploitation produit du bruit extérieur, notamment sous la forme de bruits de comportement des utilisateurs et des bruits de vaisselle. A ce titre, elle est soumise aux prescriptions du droit fédéral en matière de protection contre le bruit (cf. <ref-law> en relation avec l'<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3c p. 225; <ref-ruling> consid. 4a p. 327).
La loi fédérale sur la protection de l'environnement et l'ordonnance sur la protection contre le bruit posent des exigences différentes en matière de limitation des émissions de bruit suivant qu'il s'agit d'une installation existante ou d'une installation nouvelle; alors que les nouvelles installations ne doivent en principe pas produire d'émissions excédant les valeurs de planification dans le voisinage, conformément aux <ref-law> et 7 al. 1 let. b OPB, seules les valeurs limites d'immissions doivent être respectées par les installations existantes, en vertu des art. 8 et 13 al. 1 OPB, indépendamment des mesures requises en vertu du principe de prévention (arrêt 1A.111/1998 du 20 novembre 1998 consid. 3a paru in DEP 1999 p. 264).
La terrasse litigieuse existait déjà lors de l'entrée en vigueur de la loi fédérale sur la protection de l'environnement, le 1er janvier 1985, de sorte qu'il ne s'agit pas d'une installation nouvelle, d'un point de vue temporel, mais d'une installation fixe déjà existante, au sens des <ref-law> et des art. 8 et 13 ss OPB. La jurisprudence assimile toutefois à de telles installations celles qui ont été modifiées après cette date, sur un plan fonctionnel, dans une mesure telle que les éléments qui subsistent apparaissent secondaires par rapport aux éléments nouveaux, et les soumet au même régime que les installations nouvelles. De même, la transformation, par des travaux de construction ou par un changement du mode d'exploitation, d'une installation existante silencieuse ou peu bruyante en une installation provoquant des nuisances dans le voisinage peut être traitée de la même manière que la construction d'une nouvelle installation du point de vue de la limitation des émissions de bruit (<ref-ruling> consid. 17a p. 670; <ref-ruling> consid. 4c/aa p. 329). Pour trancher cette question, il importe notamment de connaître les caractéristiques de l'exploitation avant et après la date déterminante du 1er janvier 1985, en se fondant sur différents critères, tels que les étapes de développement de l'établissement en cause, la clientèle visée, les prestations fournies, la capacité d'accueil ou encore le nombre de places de stationnement disponibles (arrêt 1A.19/2000 du 19 juin 2000 consid. 2b cité par Anne-Christine Favre, La protection contre le bruit dans la loi sur la protection de l'environnement, thèse Lausanne 2002, note 1286, p. 304).
Les conditions posées par la jurisprudence pour assimiler la terrasse litigieuse à une nouvelle installation fixe ne sont manifestement pas réunies en l'espèce. Le Tribunal administratif a en revanche estimé que les travaux effectués au printemps 1990 par l'ancien propriétaire des lieux et le triplement de la capacité de la terrasse qui en est résulté constituaient une modification notable de l'installation au sens de l'<ref-law>. L'Office fédéral de l'environnement partage cet avis. Le Service cantonal de l'énergie et de l'environnement a considéré quant à lui se trouver dans un cas d'assainissement selon les <ref-law> et 13 OPB. Cette question peut demeurer indécise car s'agissant d'une installation existante, les valeurs limites d'immission doivent en tous les cas être respectées, indépendamment d'une procédure d'autorisation de construire (cf. <ref-law> et art. 8 al. 2 et 13 al. 2 OPB; Alexandra Gerber, Des einen Freud - des andern Lärm: bundesgerichtliche Rechtsprechung zum öffentlichrechtlichen Schutz gegen Gaststättenlärm in der Schweiz, Mélanges Pierre Widmer, Zurich 2003, p. 47).
2.2 Aucune des annexes à l'ordonnance sur la protection contre le bruit ne s'applique au bruit des établissements publics, de sorte que l'autorité compétente en matière de protection contre le bruit doit évaluer les immissions de bruit en se fondant directement sur les principes de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 296 et les arrêts cités); il faut veiller à ce que l'exploitation ne provoque pas de gêne sensible pour les voisins en tenant compte du genre de bruit, du moment où il se produit, de la fréquence à laquelle il se répète, du niveau de bruit ambiant ainsi que des caractéristiques et du degré de sensibilité de la zone dans laquelle les immissions de bruit sont perçues (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 297 et les arrêts cités); ainsi un quartier urbain situé au centre ville, doté de plusieurs établissements publics et fréquenté la nuit peut être traité différemment d'un quartier résidentiel périphérique tranquille dans la mesure où l'on peut exiger des voisins qu'ils tolèrent dans une plus large mesure le bruit nocturne dans le premier cas (arrêt 1A.240/2005 du 9 mars 2007 consid. 4.4 et les arrêts cités). Il convient également de tenir compte, selon l'<ref-law>, de l'effet des immissions sonores sur des catégories de personnes particulièrement sensibles, telles que les enfants, les malades, les personnes âgées et les femmes enceintes, étant précisé que la phase de l'endormissement, qui se situe entre 22h00 et 23h30, mérite particulièrement d'être protégée (arrêt 1A.86/1996 du 24 juin 1997 consid. 6d publié in DEP 1997 p. 503).
2.3 Les nuisances doivent être appréciées sur la base d'un constat concret effectué lors d'une inspection locale compte tenu notamment de la situation des voisins, de leur nombre, de leur éloignement par rapport à la source de bruit, du type d'établissement, du nombre de places et des horaires d'exploitation de l'installation à l'origine des nuisances sonores, ainsi que du risque d'émergence des bruits vis-à-vis du bruit de fond (cf. à ce sujet, la Directive du 10 mars 1999 du Cercle Bruit relative à la détermination et à l'évaluation des nuisances sonores liées à l'exploitation des établissements publics). La terrasse litigieuse se trouve en l'occurrence dans un quartier d'habitation auquel le degré de sensibilité II au bruit a été attribué et où les entreprises gênantes sont en principe interdites en vertu de l'<ref-law>. Le recourant estime il est vrai qu'un degré de sensibilité III au bruit aurait été plus adapté. Il ne cherche cependant pas à établir, comme il lui appartenait de le faire en vertu de l'<ref-law>, que les conditions posées par la jurisprudence pour remettre en cause le plan d'affectation des zones sur ce point seraient réunies (cf. <ref-ruling> consid. 2.4.1 p. 110; <ref-ruling> consid. 3b p. 211). Au demeurant, le Service cantonal de l'environnement et de l'énergie précise que selon la pratique actuelle, seul le bien-fonds sur lequel se trouvent le Café-Restaurant X._ et la terrasse pourrait bénéficier du degré de sensibilité III au bruit alors que les parcelles voisines se verraient appliquer un degré de sensibilité II au bruit. Le bruit des trains est intermittent et n'est pas comparable par sa fréquence et son intensité à celui du trafic automobile auquel viendrait se superposer le bruit des voix et de vaisselle sur la terrasse et dont il conviendrait de tenir compte (cf. arrêt 1A.232/2000 du 29 mars 2001 consid. 3b publié in DEP 2001 p. 462). De même, l'établissement du recourant ne se situe pas au centre de la localité ou dans un endroit fréquenté et animé, qui exigerait de la part des voisins une tolérance accrue (cf. arrêt 1A.232/2000 du 29 mars 2001 consid. 3e, s'agissant d'un établissement public avec terrasse au bord du lac).
Le bruit en provenance de la terrasse du Café-Restaurant X._ après 22h00 a suscité plusieurs plaintes depuis que le recourant en a repris l'exploitation. Ces plaintes n'émanent pas uniquement des époux B._ et C._, mais également d'autres familles ayant des enfants qui se trouvent à proximité immédiate de la terrasse. Elles concernent essentiellement le bruit de comportement de la clientèle qui se manifeste après 22h00, soit durant la phase d'endormissement qui doit en principe être respectée dans toute la mesure du possible. Le bruit de comportement des clients et les bruits de vaisselle liés au service sur la terrasse (nettoyage et rangement) sont d'un point de vue objectif propres à gêner de manière sensible la population dans son bien-être et sont ressentis comme particulièrement gênants par les voisins, notamment après 22h00. A cet égard, le fait que l'un des voisins direct ne soit pas incommodé par le bruit parce qu'il ne se couche jamais avant 22h00 n'est nullement décisif. L'autorité devait prendre en compte les personnes d'une sensibilité particulière, telles que les enfants (cf. <ref-law>). La police municipale est intervenue à plusieurs reprises à la demande des voisins en raison du bruit provenant de la terrasse. Dans ces conditions, on doit admettre que le seuil de tolérance fixé à l'<ref-law> pour ce type d'installation est dépassé et que des mesures doivent être prises pour assurer le bien-être des voisins dans le respect du principe de prévention (<ref-law>).
2.4 En l'absence de mesures constructives propres à réduire les nuisances en provenance de la terrasse, la seule possibilité tendant à concilier les intérêts en cause consiste dans la limitation des horaires d'exploitation de la terrasse (cf. art. 12 al. 1 let. c LPE; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 35). Le recourant ne le conteste pas et ne propose pas d'autres mesures alternatives aptes à rétablir une situation conforme au droit (cf. sur l'éventail des mesures à disposition des autorités, Alexandra Gerber, op. cit., III.1 p. 48 et IV.1, p. 54). Il prétend certes que la fermeture de la terrasse à 22h00, rangement et nettoyage compris, rendrait son établissement moins attractif et menacerait à terme la survie de ce dernier. Il ne démontre cependant nullement que la fermeture de la terrasse à 22h00 empêcherait une exploitation rentable de son établissement et serait économiquement insupportable. Il se borne à cet égard à prétendre que compte tenu des nettoyages, les clients devraient quitter la terrasse peu après 21h00, ce qui ne laisserait pas le temps de consommer. Cet argument n'est guère convaincant. Le bruit de la vaisselle ramenée à l'intérieur de l'établissement après le départ des convives est tout aussi dérangeant que celui de la clientèle qui discute sur la terrasse. Il n'y a donc pas lieu de traiter différemment ces deux sources de bruit et de permettre le nettoyage et le rangement de la terrasse après 22h00. Au demeurant, le rangement d'une terrasse de trente places peut se faire rapidement, quitte à ce que les tables ne soient nettoyées, puis dressées à nouveau que le lendemain matin. Enfin, le recourant peut également demander à ses clients de se rendre à l'intérieur de l'établissement pour terminer leur repas et prendre le café. Il est au surplus incontestable qu'une telle mesure est propre à limiter le bruit perçu par les habitants voisins aux heures durant lesquelles le repos doit être préservé. Il est certes possible qu'avec de telles conditions, la terrasse soit moins attractive et que l'établissement subisse une baisse de fréquentation; mais le recourant ne prétend pas que le droit fédéral privilégierait les intérêts économiques du propriétaire ou exploitant par rapport à ceux des voisins exposés à des inconvénients graves (cf. Anne-Christine Favre, Le bruit des établissements publics, RDAF 2000 I p. 19). Une restriction partielle de l'horaire d'ouverture à 23h00, avec la possibilité de procéder ultérieurement ou le lendemain au rangement et au nettoyage de la terrasse, comme le préconise le recourant dans ses dernières observations, n'entre pas davantage en considération que ce soit en vertu du principe de la proportionnalité ou au titre de mesure d'allégement en vertu de l'<ref-law> dans la mesure où le bruit dont se plaignent les voisins est précisément celui qui intervient après 22h00, durant la phase particulièrement sensible de l'endormissement.
2.5 Le recourant se réfère enfin en vain à l'arrêt 1A.179/2006 du 17 octobre 2006 publié in DEP 2007 p. 501. Dans cet arrêt, le Tribunal fédéral s'est borné à constater que la fermeture des terrasses des établissements publics après minuit, du dimanche soir au jeudi soir, tel que le prévoyait le nouveau règlement de police de la Ville de Carouge, était une mesure préventive conforme à l'<ref-law>. Il n'a en revanche nullement exclu une limitation plus sévère des horaires d'exploitation d'une terrasse en présence de circonstances particulières. De même, il est sans importance que le règlement général de police de la Ville de Pully autorise l'ouverture des terrasses des établissements publics jusqu'à minuit. La jurisprudence admet que des horaires plus stricts que ceux découlant d'une simple application des règles générales de police du commerce peuvent être fixés en vertu du droit fédéral sur la protection de l'environnement, lorsque la situation concrète justifie pareille limitation (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 38; arrêt 1A.43/2004 du 19 août 2004 consid. 3.4 publié in ZBl 106/2005 p. 40; arrêt 1A.262/2000 du 6 juillet 2001 consid. 3f/aa publié in DEP 2001 p. 1098 et les références citées). Au demeurant, le règlement de police impose aux tenanciers d'établissements publics de faire en sorte que le bruit occasionné par la clientèle ne gêne pas le voisinage à partir de 22h00, ce qui n'a pas été le cas en l'espèce. Il ne leur confère au demeurant aucun droit absolu à pouvoir ouvrir jusqu'à minuit, mais permet au contraire à la Municipalité d'imposer en tout temps un horaire de fermeture plus restrictif ou toute autre mesure nécessaire.
2.6 Cela étant, l'arrêt attaqué qui confirme la fermeture de la terrasse du Café-Restaurant X._ à 22h00 est conforme au droit fédéral.
3. Le recours doit par conséquent être rejeté dans la mesure où il est recevable, aux frais du recourant qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Les époux B._ et C._, qui s'en sont remis à justice, ne sauraient prétendre à des dépens. ll en va de même de la Commune de Pully (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant et de la Municipalité de la Commune de Pully, à B._ et C._, au Service de l'économie, du logement et du tourisme et au Tribunal administratif du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral de l'environnement.
Lausanne, le 23 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Le Greffier:
Aemisegger e.r. Truttmann