Sachverhalt:
A.
Interieursuisse, der schweizerische Verband der Innendekorateure und des Möbelfachhandels (nachfolgend: interieursuisse), hat seinen Sitz in der Stadt Solothurn. Mit Leistungsvereinbarung vom 18. September 2010 wurde interieursuisse vom Kanton Solothurn damit beauftragt, die zur beruflichen Grundbildung zählenden überbetrieblichen Kurse für die Berufe Innendekorateur, Innendekorationsnäher, Wohntextilgestalter und Dekorationsnäher durchzuführen. An diesen Kursen im Ausbildungszentrum von interieursuisse in Selzach/SO beteiligten sich auch Lehrlinge des Dekorationsbetriebes von X._ in A._/VD. Nachdem es bezüglich der Bezahlung der Kursgelder zu Meinungsverschiedenheiten zwischen interieursuisse und X._ gekommen war, verpflichtete interieursuisse X._ mit Verfügung vom 18. August 2011 zur Bezahlung von Fr. 312.75 zuzüglich Zins zu 3.5 % seit dem 26. Juli 2011.
B.
Gegen diese Verfügung beschwerte sich X._ bei der Beschwerdekommission der Berufsbildung des Kantons Solothurn, wobei er deren Zuständigkeit für die Beurteilung des erhobenen Rechtsmittels bestritt und um entsprechende Feststellung der Unzuständigkeit ersuchte. Mit Zwischenentscheid vom 2./15. September 2011 erklärte sich die Beschwerdekommission indes für zuständig.
Den Zwischenentscheid der Beschwerdekommission vom 2./15. September 2011 focht X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn an und beantragte im Wesentlichen die Feststellung, dass die Beschwerdekommission der Berufsbildung des Kantons Solothurn für die Behandlung der Beschwerde gegen die Verfügung von interieursuisse vom 18. August 2011 nicht zuständig sei; die Angelegenheit sei stattdessen an das "Département de la formation, de la jeunesse et de la culture" des Kantons Waadt, eventualiter an das Bundesamt für Berufsbildung und Technologie zu überweisen. Mit Urteil vom 10. September 2012 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. Es führte im Wesentlichen aus, interieursuisse nehme mit der Durchführung der überbetrieblichen Kurse eine kantonale Aufgabe wahr und sei deswegen auch verfügungsbefugt, zumal die Verwaltungsbefugnis grundsätzlich eine entsprechende Verfügungsbefugnis miteinschliesse. Rechtsmittelbehörde für Verfügungen kantonaler Behörden und von Anbietern mit kantonalem Auftrag auf dem Gebiet der Berufsbildung sei im Kanton Solothurn die Beschwerdekommission der Berufsbildung, welche ihre Zuständigkeit somit zu Recht bejaht habe; auf den Wohnsitz der Lernenden komme es in diesem Zusammenhang nicht an.
C.
Mit Eingabe vom 19. Oktober 2012 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Wie bereits bei der Vorinstanz stellt er im Wesentlichen den Antrag, es sei festzustellen, dass die Beschwerdekommission der Berufsbildung des Kantons Solothurn für die Behandlung der Beschwerde gegen die Verfügung von interieursuisse vom 18. August 2011 nicht zuständig ist; die Angelegenheit sei stattdessen an das "Département de la formation, de la jeunesse et de la culture " des Kantons Waadt, eventualiter an das Bundesamt für Berufsbildung und Technologie zu überweisen.
Das Verwaltungsgericht und die Beschwerdekommission der Berufsbildung des Kantons Solothurn sowie interieursuisse schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 6. Dezember 2012 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde teilweise aufschiebende Wirkung zu.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit des Rechtsmittels von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 476; <ref-ruling> E. 1 S. 475; <ref-ruling> E. 1.4 S. 262; <ref-ruling> E. 1 S. 417).
1.1. Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts hatte (ausschliesslich) die Rechtmässigkeit des selbstständig eröffneten Zwischenentscheids der Beschwerdekommission der Berufsbildung des Kantons Solothurn über deren Zuständigkeit zum Gegenstand. Gegen solche Zwischenentscheide steht die Beschwerde beim Bundesgericht gemäss Art. 92 Abs. 1 BGG offen: Anfechtbar sind dabei Entscheide, welche sich auf die örtliche, sachliche oder auch auf die funktionelle Zuständigkeit beziehen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 290).
Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind prozessuale Entscheide mit dem gleichen Rechtsmittel anzufechten wie der Entscheid in der Sache selber. Bei der vorliegend im Streit liegenden Kostenbeteiligung für überbetriebliche Kurse handelt es sich um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a BGG). Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn ist ein oberes kantonales Gericht i.S.v. Art. 86 Abs. 2 BGG, welches als letzte kantonale Instanz entschieden hat (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), weswegen gegen sein Urteil die Beschwerde beim Bundesgericht zulässig ist. Der Beschwerdeführer ist gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 2.2 S. 540; <ref-ruling> E. 3 S. 386; <ref-ruling> E. 2.2. S. 550).
Trotz der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Die Verletzung von kantonalem Recht ist ausser in den Fällen von Art. 95 lit. c und lit. d BGG kein zulässiger Beschwerdegrund. Überprüft werden kann diesbezüglich nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder sonst wie gegen übergeordnetes Recht verstösst (<ref-ruling> E. 2.4 und E. 2.5.2 S. 249 f.; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 151 f.).
Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht: Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig - d.h. in willkürlicher Weise - oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft erscheint (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255; <ref-ruling> E. 1.3 S. 352).
2.
2.1. Art. 67 des Bundesgesetzes vom 13. Dezember 2002 über die Berufsbildung (Berufsbildungsgesetz, BBG; SR 412.10) sieht vor, dass Bund und Kantone den Organisationen der Arbeitswelt Vollzugsaufgaben übertragen können (Satz 1). Die Organisationen können für Verfügungen und Dienstleistungen Gebühren erheben (Satz 2). Gemäss Art. 23 Abs. 4 BBG kann, wer überbetriebliche Kurse und vergleichbare Angebote durchführt, von den Lehrbetrieben oder den Bildungsinstitutionen eine angemessene Beteiligung an den Kosten verlangen (Satz 1). Organisationen der Arbeitswelt, die überbetriebliche Kurse und vergleichbare Angebote durchführen, können zur Vermeidung von Wettbewerbsverzerrungen von Betrieben, die nicht Mitglied der Organisation sind, eine höhere Kostenbeteiligung verlangen (Satz 2).
2.2. In seinem Entscheid 2C_768/2012 vom 29. April 2013 E. 4.2 bestätigte das Bundesgericht seine bisherige Rechtsprechung, wonach jede Übertragung der Verfügungsbefugnis an Private eine hinreichende, formellgesetzliche Grundlage voraussetzt. Eine Übertragung der Verfügungsbefugnis kann zwar auch implizit erfolgen, wenn ein Privater gesetzlich mit der Wahrnehmung einer öffentlichen Aufgabe betraut wird. Eine solche implizite Übertragung der Verfügungskompetenz setzt jedoch voraus, dass diese zur Erfüllung der übertragenen öffentlichen Aufgabe unerlässlich ("indispensable") ist; keinesfalls beinhaltet die Delegation einer Verwaltungsaufgabe an Private automatisch auch die Übertragung einer entsprechenden Verfügungskompetenz (<ref-ruling> E. 6.1 ff. S. 412 f. mit Hinweis). Sodann hielt das Bundesgericht im genannten Urteil 2C_768/2012 fest, dass sich weder aus Art. 23 Abs. 4 BBG noch aus Art. 67 Satz 2 BBG entnehmen lässt, in welcher Form die Organisationen der Arbeitswelt von den Lehrbetrieben eine Kostenbeteiligung an den überbetrieblichen Kursen einfordern können. Da der betroffene Berufsverband ohne Weiteres die Möglichkeit hat, die Kostenbeteiligung auf dem Weg der verwaltungsrechtlichen Klage geltend zu machen, erachtete das Bundesgericht eine entsprechende Verfügungsgewalt auch nicht als unerlässlich, um dem Berufsverband eine wirksame Umsetzung der ihm übertragenen Organisation und Durchführung der überbetrieblichen Kurse zu ermöglichen (vgl. <ref-ruling> E. 7.4.3 S. 417). Das Bundesrecht sieht somit keine Verfügungskompetenz des Berufsverbandes vor. Aus diesem Grund prüfte das Bundesgericht im genannten Urteil 2C_768/2012, ob allenfalls das kantonale Recht (dort jenes des Kantons Bern) eine Delegation der Verfügungskompetenz an den betroffenen Berufsverband beinhaltet, doch verneinte es diese Frage für den dort zu beurteilenden Sachverhalt ebenfalls.
2.3. Im vorliegenden Fall macht der Beschwerdeführer in der Hauptsache geltend, dass nicht die Beschwerdekommission der Berufsbildung des Kantons Solothurn über das von ihm ergriffene Rechtsmittel gegen die Verfügung von interieursuisse vom 18. August 2011 hätte entscheiden dürfen, sondern vielmehr die zuständige Rechtsmittelinstanz des Kantons Waadt. Zur Begründung führt er ins Feld, bezüglich seiner Lehrlinge habe interieursuisse im Auftrag des Kantons Waadt gehandelt, welcher sich auch an den Kurskosten beteiligt habe. Im Sinne einer Eventualbegründung macht er geltend, dass das Bundesamt für Berufsbildung und Technologie als Rechtsmittelbehörde zu amten habe, wenn ein Berufsverband im Auftrag von mehreren Kantonen tätig sei. Im Zusammenhang mit diesen Vorbringen behauptet er eine unvollständige Feststellung des Sachverhalts, eine Missachtung des rechtlichen Gehörs sowie eine Verletzung von Bundesrecht. Die Beanstandungen des Beschwerdeführers zielen somit ausschliesslich auf die Bestreitung der örtlichen und sachlichen Zuständigkeit der Beschwerdekommission der Berufsbildung des Kantons Solothurn als Rechtsmittelinstanz ab. Indessen macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht in keiner Weise geltend, interieursuisse sei überhaupt nicht zum Erlass einer Verfügung berechtigt gewesen.
2.4. Aufgrund der obenstehend aufgezeigten bundesgerichtlichen Rechtsprechung erscheint es jedoch als fraglich, ob interieursuisse Verfügungskompetenz übertragen wurde. Wie dargelegt, bietet jedenfalls das Bundesrecht keine Grundlage für eine entsprechende Annahme. Zur Frage, ob dem Berufsverband allenfalls durch kantonales Recht die Verfügungsgewalt eingeräumt wurde, äusserte sich die Vorinstanz nicht, da sie irrtümlicherweise davon ausging, dass die Übertragung einer öffentlichen Aufgabe stets auch die entsprechende Verfügungsbefugnis beinhaltet. Aus diesem Grund ist es notwendig, die Angelegenheit zu ergänzenden Abklärungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückzuweisen: Enthält auch das kantonale Recht keine Übertragung der Verfügungskompetenz, so ist die Verfügung von interieursuisse vom 18. August 2011 von einer sachlich unzuständigen (Erst-) Instanz erlassen worden, was es selbst dann zu überprüfen gilt, wenn der Beschwerdeführer wie im vorliegenden Fall keine entsprechende Rüge erhoben hat. Die Vorinstanz hätte diesfalls die bei ihr eingereichte Beschwerde gutzuheissen und den Zwischenentscheid der Beschwerdekommission der Berufsbildung ersatzlos aufzuheben.
Kommt das Verwaltungsgericht dagegen zum Schluss, dass interieursuisse durch kantonales Recht Verfügungskompetenzen übertragen erhält, so muss es sich in einem zweiten Schritt erneut mit den Vorbringen des Beschwerdeführers zur behaupteten örtlichen und sachlichen Unzuständigkeit der Beschwerdekommission der Berufsbildung des Kantons Solothurn als Rechtsmittelinstanz auseinandersetzen: Namentlich müsste das Verwaltungsgericht dann vorab darüber befinden, ob das öffentlich-rechtliche Verhältnis zwischen Berufsverband und den Organisationen der Arbeitswelt (vgl. Urteil 2A.249/2002 vom 7. November 2002 E. 2.3) im vorliegenden Fall auf solothurnischem oder aber auf waadtländischem Recht beruht, wobei im letzteren Fall eine Überweisung zu erfolgen hätte. In diesem Zusammenhang könnte es sich als bedeutsam erweisen, ob zwischen interieursuisse und dem Kanton Waadt eine Leistungsvereinbarung betreffend die Lehrlinge aus diesem Kanton abgeschlossen wurde, oder ob interieursuisse die Lernenden des Beschwerdeführers allenfalls ohne entsprechende Verpflichtung aufgenommen hat.
Im Übrigen würde sich die Frage des Gerichtsstands auch bei Fehlen einer Verfügungsbefugnis stellen. Im Klageverfahren richtet sich die örtliche und sachliche Zuständigkeit in erster Linie nach dem jeweiligen Prozessrecht der angerufenen Klageinstanz. Diese hat über ihre Entscheidkompetenz von Amtes wegen zu befinden und darzulegen, welche Anknüpfungspunkte sie im interkantonalen Verhältnis als massgeblich erachtet (Sitz des Berufsverbands, Ausbildungsort oder Wohnsitz des Schuldners).
3.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich somit im obengenannten Sinne als begründet. Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 10. September 2012 ist aufzuheben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der unterliegende Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer ausserdem eine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 10. September 2012 wird aufgehoben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten in Höhe von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'800.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler