Faits:
A. S._, étudiante, née en 1982, s'est inscrite au chômage le 16 janvier 2008. Elle s'est rendue à l'Office cantonal genevois de l'emploi (ci-après : l'office) le 7 février suivant pour y déposer plusieurs documents. Par lettre du 11 février 2008, l'office l'a invitée à lui faire parvenir trois documents pour que son dossier soit "tout à fait complet". L'assurée s'est exécutée quelques jours plus tard, le 21 février. Entre-temps, elle a trouvé un emploi.
Par décision du 19 mai 2008, confirmée sur opposition le 16 juin 2008, la Caisse cantonale genevoise d'assurance-chômage (ci-après : la caisse) a refusé d'indemniser l'assurée pour le mois de janvier 2008 au motif que celle-ci ne lui avait pas remis la formule "Indications de la personne assurée" [IPA] dans le délai de trois mois suivant la fin janvier 2008.
B. L'intéressée a déféré la décision sur opposition (du 16 juin 2008) au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales.
Après avoir entendu l'assurée, le tribunal a admis le recours, annulé la décision litigieuse et renvoyé la cause à la caisse pour nouvelle décision au sens des considérants (jugement du 10 novembre 2008).
C. La caisse interjette un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de sa décision sur opposition. A titre préalable, elle requiert que l'effet suspensif soit attribué à son recours.
S._ conclut au rejet du recours. Le Secrétariat d'Etat à l'économie a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. La décision attaquée est une décision de renvoi qui doit être assimilée à une décision finale et qui peut, à ce titre, faire l'objet d'un recours en matière de droit public (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 127).
2. Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
3. 3.1 Selon l'art. 20 al. 3, première phrase, LACI, le droit à l'indemnité de chômage s'éteint s'il n'est pas exercé dans les trois mois suivant la fin de la période de contrôle à laquelle il se rapporte, notamment par la remise des documents énumérés à l'<ref-law>. Ce délai de trois mois est un délai de péremption dont l'inobservation entraîne l'extinction du droit à l'indemnité pour une période de contrôle d'un mois. Il ne peut être ni prolongé ni interrompu, mais il peut faire l'objet d'une restitution s'il existe une excuse valable pour justifier le retard (<ref-ruling>; DTA 2000 n° 6 p. 31 consid. 2a).
3.2 D'après l'<ref-law>, pour la première période de contrôle pendant le délai-cadre, l'assuré doit présenter à la caisse : a. sa demande d'indemnité dûment remplie; b. le double de la demande d'emploi (formule officielle); c. les attestations de travail concernant les deux dernières années; d. l'extrait du fichier "Données de contrôle" ou la formule "Indications de la personne assurée"; e. tous les autres documents que la caisse exige pour juger de son droit aux indemnités. Au besoin, la caisse impartit à l'assuré un délai convenable pour compléter les documents et le rend attentif aux conséquences d'une négligence (<ref-law>).
4. 4.1 Devant les premiers juges, S._ a déclaré qu'elle était sûre d'avoir déposé le formulaire IPA avec le reste de son dossier au guichet de l'office le 7 février 2008. Elle s'en rappelait bien car ce formulaire avait la couleur jaune. Comme elle avait fait l'objet d'une décision de suspension par cet office - contre laquelle elle s'était opposée -, elle ne s'était plus préoccupée de son indemnisation avant d'avoir reçu la décision sur opposition annulant cette suspension. Elle avait ensuite pris contact avec la caisse. Apprenant par celle-ci que le formulaire IPA manquait dans son dossier, elle avait immédiatement renvoyé ce document le 16 mai 2008. Enfin, elle précisait savoir par d'autres personnes qu'il arrivait à l'administration de perdre des documents qui lui avaient été remis par les assurés.
4.2 La juridiction cantonale a considéré que les explications de S._ au sujet de la remise, au guichet de l'office, du formulaire IPA étaient convaincantes, quand bien même la prénommée n'avait pas été en mesure d'en apporter la preuve. Les circonstances invoquées justifiaient qu'il ne soit pas fait application des conséquences négatives découlant de l'<ref-law> en relation avec l'<ref-law>. Au surplus, en l'absence dudit document, la caisse aurait dû accorder à l'assurée un délai convenable pour compléter son dossier en vertu de l'<ref-law>.
4.3 Pour la recourante, les premiers juges ont méconnu tant la portée de l'<ref-law> que celle de la règle de la vraisemblance prépondérante applicable à l'établissement des faits en matière d'assurance sociale. Prenant appui sur la jurisprudence, d'après laquelle un délai supplémentaire ne doit être accordé que pour compléter les premiers documents et non pour pallier leur absence, elle estime qu'elle n'avait pas à avertir l'assurée du fait que le formulaire IPA ne figurait pas parmi les documents déposés. Il fallait également dissocier les démarches que l'administration était tenue d'effectuer pour constituer le dossier du demandeur de prestations, de ce qu'il incombait à celui-ci de faire pour exercer son droit au chômage (notamment déposer le formulaire IPA) et qui relevait de sa seule responsabilité.
5. En l'occurrence, il n'y a pas lieu de s'écarter de la solution des premiers juges. Les assureurs ont un devoir de conseil à l'égard des assurés qui font valoir leurs droits auprès d'eux (<ref-law>). Le but visé à l'<ref-law> est de permettre à la personne intéressée d'adopter un comportement dont les effets juridiques cadrent avec les exigences posées par le législateur pour que se réalise le droit à la prestation (SVR 2007 EL n° 7 p. 15, P 44/06, consid. 5.2.1). L'assureur doit ainsi rendre la personne assurée attentive au fait que son comportement pourrait mettre en péril la réalisation de l'une des conditions du droit aux prestations (<ref-ruling>). Or, dans le cas particulier, il ressort sans ambiguïté des termes de la lettre de l'office adressée à S._ le 11 février 2008, qu'il manquait seulement trois documents pour compléter "tout à fait" son dossier de chômage (à savoir l'attestation d'études, le diplôme obtenu ainsi qu'une copie de l'ex-matriculation de l'Université). Aussi bien, de deux choses l'une : soit l'assurée avait bel et bien remis le formulaire IPA au guichet de l'office le 7 février 2008 et ce document a été perdu par l'administration ensuite; soit ce formulaire ne figurait pas au dossier. Dans ce cas, l'office ne pouvait se contenter de requérir la production des trois autres documents manquants sans être tenu, conformément aux règles de la bonne foi et à son devoir de conseil, de rendre également attentive l'assurée sur l'absence du formulaire IPA. En toute hypothèse, la recourante n'est pas fondée à opposer à l'intimée les conséquences négatives de l'échéance du délai de trois mois prévu par l'<ref-law>. On ajoutera encore qu'il apparaît douteux que la jurisprudence citée par la recourante (DTA 1998 no 48 p. 241, consid. 1b) trouve application dans les cas - comme en l'espèce - où l'on peut déduire du comportement de la personne assurée que celle-ci a l'intention de poursuivre les démarches nécessaires à l'exercice du droit à l'indemnité malgré l'omission de produire un des documents énumérés à l'<ref-law> (voir par exemple DTA 2005 p. 135, C 7/03, et l'arrêt C 240/04 du 1er décembre 2005). Il n'est toutefois pas nécessaire d'examiner ce point plus avant, dès lors que la question du délai convenable supplémentaire de l'<ref-law> n'a pas de pertinence ici.
Le recours est mal fondé.
6. Vu l'issue du litige, la requête d'effet suspensif n'a plus d'objet. La recourante doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 4 juin 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung von Zwehl