Faits :
A.
A._ est né le 10 mai 2002 affecté d'une maladie génétique engendrant un grave dysfonctionnement hépatique. Condamné à court terme, il ne pouvait être sauvé que par une greffe de foie. Son frère aîné était décédé de la même maladie en 1993, à l'âge de 6 mois. Ses deux frères puînés ne souffrent pas de cette anomalie, mais l'un d'eux est né sans fontanelle, ce qui a nécessité un suivi médical pour s'assurer que son cerveau ne subirait pas de séquelles.
En décembre 2002, A._ a subi une transplantation du foie aux Hôpitaux Universitaires de Genève (HUG). La greffe a réussi. Toutefois, un risque lié à l'anesthésie s'est réalisé. L'enfant s'est retrouvé en état d'hypo-oxygénation cérébrale pendant l'opération; la perfusion destinée à se diffuser en intraveineuse dans le système sanguin s'est répandue dans les tissus du cou en raison d'un déplacement du cathéter central ou de l'éclatement d'une veine. Des lésions neurologiques graves et irréversibles en ont résulté; l'enfant est désormais lourdement handicapé. Les parents avaient accepté l'idée d'une transplantation - tel n'avait pas été le cas pour leur fils aîné - et avaient consenti à l'opération; toutefois, le risque de séquelles neurologiques n'avait pas été spécifiquement abordé.
B.
B.a. Le 15 décembre 2006, l'enfant, représenté par ses parents, a assigné les HUG devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Il concluait au paiement de quelque 17 millions de francs à titre de réparation du dommage subi. Le tribunal a rendu une première décision qui a été annulée en appel. L'assistance judiciaire a été accordée pour les frais d'appel, puis pour la continuation de la procédure devant le Tribunal de première instance. L'action en paiement a été rejetée par un nouveau jugement du 13 septembre 2013. Le tribunal a en substance considéré que les parents de l'enfant avaient reçu une information suffisante pour consentir à la transplantation de façon éclairée et qu'au demeurant, un consentement hypothétique pouvait être retenu.
Les parents de l'enfant ont divorcé en cours de procédure, soit en février 2008.
B.b. Le 4 octobre 2013, l'enfant, représenté par un avocat, a sollicité l'extension de l'assistance judiciaire à la procédure d'appel. Le 16 octobre 2013, il a formé appel contre le jugement au fond. La Vice-présidente du Tribunal civil a rejeté la demande d'assistance le 27 novembre 2013, au motif que les chances de succès d'un appel paraissent très faibles (<ref-law>). La Vice-présidente de la Cour de justice a confirmé ce refus d'assistance par décision du 30 janvier 2014.
C.
A._, représenté par le même avocat au bénéfice d'une procuration signée par la mère de l'enfant, saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile tendant à réformer la décision du 30 janvier 2014, en ce sens que l'assistance judiciaire est étendue à la procédure d'appel dirigée contre le jugement du 13 septembre 2013. A titre préalable, il a demandé à être dispensé de verser une avance de frais pour la présente procédure.
Par ordonnance du 20 juin 2014, la cour de céans a rejeté la demande d'assistance judiciaire; il n'était en effet pas démontré que le paiement d'une avance de frais de 2'500 fr. porterait atteinte au minimum nécessaire pour les besoins élémentaires du recourant et de sa famille. L'avance de frais a ensuite été versée en temps utile.

Considérant en droit :
1.
Le refus d'accorder l'assistance judiciaire est une décision incidente de nature à causer un préjudice irréparable au requérant, et partant susceptible d'un recours immédiat (<ref-law>; arrêt 5D_35/2008 du 16 juin 2008 consid. 1.1, in Praxis 2009 213; cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 338 et les arrêts cités). La cause au fond relève d'un domaine sujet au recours en matière civile (<ref-law> et art. 31 al. 1 let. d RTF; <ref-ruling> consid. 1.1); les conditions de recevabilité d'un tel recours sont en l'occurrence satisfaites. La partie adverse dans le procès civil principal n'a généralement pas qualité de partie à la procédure concernant l'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 343), sauf dans l'hypothèse, non réalisée en l'espèce, où elle requiert des sûretés en garantie des dépens.
2.
2.1. Le justiciable reproche à l'autorité précédente de lui avoir refusé à tort le droit à l'assistance judiciaire pour la procédure d'appel et dénonce ainsi implicitement une violation de l'<ref-law>. Ses griefs peuvent se résumer comme il suit: l'autorité précédente comme le juge du fond auraient versé dans l'arbitraire en définissant a posteriori le contenu du devoir d'information des médecins, à l'aune du seul risque s'étant réalisé. Les juges genevois auraient dû rechercher quels étaient les risques prévisibles avant l'opération; or, aux dires de l'expert judiciaire, le risque de lésions neurologiques n'est absolument pas rare. Les autorités genevoises auraient de surcroît violé son droit d'être entendu en omettant d'examiner cet argument. Enfin, elles auraient inversé le fardeau de la preuve et enfreint l'<ref-law> en imposant au patient de prouver qu'il aurait aussi refusé son consentement s'il avait été dûment informé sur les risques neurologiques.
2.2.
2.2.1. Une personne a droit à l'assistance judiciaire à la double condition qu'elle ne dispose pas de ressources suffisantes (<ref-law>) et que sa cause ne paraisse pas dépourvue de toute chance de succès (<ref-law>).
Un procès est dénué de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont sensiblement plus faibles que les risques de le perdre; le procès n'est en revanche pas dépourvu de chances de succès lorsque celles-ci sont à peu près équivalentes aux risques d'échec, ou guère inférieures. Est décisif le point de savoir si une partie raisonnable, disposant des ressources financières nécessaires, saisirait ou non le juge; le justiciable ne doit pas être poussé à mener un procès parce qu'il ne lui coûte rien, alors qu'il n'agirait pas s'il devait engager ses propres deniers (<ref-ruling> consid. 2.2.4; <ref-ruling> consid. 5).
2.2.2. Selon la jurisprudence, il appartient au médecin d'établir qu'il a suffisamment renseigné le patient et obtenu son consentement éclairé préalablement à l'intervention. En l'absence d'un tel consentement, la jurisprudence reconnaît au médecin la faculté de soulever le moyen du consentement hypothétique du patient. Le praticien doit alors établir que le patient aurait accepté l'opération même s'il avait été dûment informé. Le fardeau de la preuve incombe là aussi au médecin. Le patient doit toutefois collaborer à cette preuve en rendant vraisemblables, ou du moins en alléguant les motifs personnels qui l'auraient incité à refuser l'opération s'il en avait connu les risques. Il ne faut pas se baser sur le modèle abstrait d'un "patient raisonnable", mais sur la situation personnelle et concrète du patient concerné. En principe, le consentement hypothétique ne doit pas être admis lorsque le genre et la gravité du risque encouru auraient nécessité un besoin accru d'information, auquel le médecin n'a pas satisfait. Dans un tel cas, il est en effet plausible que le patient, s'il avait reçu une information complète, se serait trouvé dans un réel conflit quant à la décision à prendre et qu'il aurait sollicité un temps de réflexion (<ref-ruling> consid. 4.1.3).
2.2.3. L'appel peut être formé pour violation du droit et/ou constatation inexacte des faits (<ref-law>). Le juge d'appel dispose d'un pouvoir de cognition complet et revoit librement les questions de fait comme les questions de droit. En particulier, il contrôle librement l'appréciation des preuves effectuée par le juge de première instance et vérifie si celui-ci pouvait admettre les faits qu'il a retenus (<ref-ruling> consid. 4.3.1).
2.3. Le grief afférent au droit d'être entendu doit d'emblée être rejeté. Dans un passage évoqué par le recourant lui-même, l'autorité précédente a clairement dit ne pas pouvoir suivre celui-ci "lorsqu'il reproche aux autorités de première instance d'avoir circonscrit l'objet du litige au seul risque réalisé et d'avoir occulté la question d'un devoir d'information sur un risque général d'atteinte neurologique" (arrêt attaqué, p. 6). Savoir si la réponse donnée est appropriée ne ressortit plus au droit d'être entendu.
2.4. Dans son jugement du 13 septembre 2013, le Tribunal de première instance concède que le risque de séquelles neurologiques n'a pas été spécifiquement abordé. Il précise que selon les médecins entendus comme témoins, le risque neurologique est très rare, qu'il s'agisse du risque lié à l'opération elle-même, à la narcose, au rejet de la greffe, ou encore à une infection très grave. Quant à l'expert judiciaire, il a relevé que les problèmes neurologiques ne sont pas rares chez les enfants après une transplantation du foie, tout en soulignant que le cerveau des patients souffrant d'insuffisance hépatique chronique est déjà touché par une encéphalopathie hépatique, de sorte que les atteintes ischémiques sont susceptibles de déclencher des lésions potentiellement plus graves. L'expert a évoqué une étude publiée en août 2010 concernant 127 transplantations effectuées sur 117 enfants; 31,4 % d'entre eux présentaient des problèmes neurologiques antérieurs à la transplantation. Des problèmes neurologiques avaient été enregistrés après 31 transplantations (24,4 %) impliquant 29 enfants; dans plus de la moitié des cas, ces problèmes consistaient en crises d'épilepsie (17 cas), l'encéphalopathie occupant le deuxième rang (35,4 % des cas). Les auteurs de l'étude évoquaient d'autres contributions rapportant entre 8 et 46 % de problèmes neurologiques post-transplantation. Aux dires de l'expert, le risque d'une lésion cérébrale résultant d'une perte de sang était d'environ 1 pour 100'000; quant au risque qui s'est concrétisé, lié au déplacement d'une canule de perfusion, il se situait entre 1 pour 100'000 et 1 pour 1'000'000.
Dans ses considérants en droit, le Tribunal de première instance relève que le risque de séquelles neurologiques paraît à première vue une conséquence fréquente de l'opération subie par l'enfant, ce qui pourrait conduire à la conclusion qu'une information spécifique aurait dû être donnée. Il constate toutefois que l'étude citée par l'expert ne fournit pas de détails quant à la gravité des atteintes neurologiques évoquées, et que nombre de patients souffraient déjà de problèmes neurologiques avant la transplantation. Il ressort au contraire de l'expertise que le risque d'une atteinte aussi grave que celle ayant affecté le demandeur est très rare en chirurgie hépatique. Sur la base notamment de ces considérations, le Tribunal exclut une violation du devoir d'informer.
De surcroît, il admet le moyen tiré du consentement hypothétique pour les motifs suivants: les chances de succès de l'opération, qui était la seule alternative à une mort rapide de l'enfant, étaient estimées à près de 90 %. Le risque d'une atteinte neurologique grave était très faible, de l'ordre de 1 pour 100'000; le risque d'une telle atteinte par déplacement d'une canule de perfusion, qui s'est réalisé en l'occurrence, était chiffré pour sa part à 1 pour 100'000, voire 1 pour 1'000'000. Compte tenu de ces proportions, largement favorables à la réussite de l'opération, il n'était pas crédible de soutenir que les parents du demandeur, qui avaient accepté l'idée de la transplantation, contrairement à ce qu'ils avaient fait quelques années auparavant pour leur fils aîné, auraient finalement refusé l'opération, pour le seul motif qu'il existait un risque d'atteinte neurologique grave très rare. Ils avaient accepté de procéder à la transplantation malgré les risques élevés et nombreux qu'elle comportait, et qui leur avaient été mentionnés. A l'instar de tous parents, ils craignaient bien évidemment d'avoir un enfant handicapé. Ils avaient néanmoins passé outre cette crainte et accepté ce risque à chaque fois qu'ils avaient décidé d'avoir un enfant après le décès de leur fils aîné, étant précisé que les tests effectués avant la naissance ne permettent pas de déceler toute anomalie. En définitive, tant l'expérience générale de la vie, qui enseigne que les parents acceptent en principe les risques d'une transplantation dans l'espoir de sauver la vie de leur enfant, que les circonstances du cas particulier, dont il ressort que les parents du recourant étaient disposés à prendre un certain nombre de risques pour avoir un quatrième enfant, rendent peu plausible un refus de procéder à la transplantation, au motif qu'il existait un risque ténu de séquelles neurologiques graves.
2.5. Le juge du fond a considéré que le devoir d'informer, respectivement le consentement hypothétique, devait porter uniquement sur les lésions neurologiques graves. Ce point de vue ne prête pas matière à critique. Devant les différentes instances, y compris la cour de céans, le recourant a toujours répété que les médecins auraient dû informer ses parents du fait que la transplantation pouvait conduire non seulement à son décès, mais aussi provoquer des lésions graves le laissant lourdement et irréversiblement handicapé pour la fin de ses jours. Le Tribunal de première instance relève, sans être critiqué sur ce point par le recourant, que ses parents n'auraient vraisemblablement pas renoncé à l'opération si la possibilité de crises d'épilepsie leur avait par exemple été mentionnée.
Le tribunal est arrivé à la conclusion que le risque de lésions neurologiques graves était très faible. Afin de démontrer l'inexactitude de cette constatation de fait, le recourant se contente de faire observer que "le risque de lésions neurologiques plus ou moins graves (...) n'est absolument pas rare, aux dires de l'expert judiciaire nommé". L'on vient de souligner qu'il n'est pas critiquable de prendre en compte uniquement le risque de séquelles graves. Concernant l'ampleur du risque encouru, le juge du fond a expliqué qu'il fallait relativiser la remarque de l'expert selon laquelle les problèmes neurologiques étaient fréquents après une greffe de foie. Le recourant ne cherche pas à expliquer en quoi la motivation donnée serait inexacte. En particulier, l'on ne discerne pas en quoi il serait erroné de considérer que l'étude citée par l'expertise ne fournit pas de détails quant à la gravité des atteintes neurologiques évoquées. Outre le risque de crises d'épilepsie, dont on vient de souligner qu'il ne justifiait pas de pronostiquer un refus de consentement, l'étude évoque des encéphalopathies, qui peuvent en soi revêtir divers degrés de gravité. L'on ne discerne pas quels éléments devraient faire admettre qu'un grief contestant le caractère très rare du risque de lésions neurologiques graves présenterait des chances de succès sérieuses.
Pour le surplus, il n'est pas contesté que l'opération était la seule alternative à une mort rapide de l'enfant, les chances de succès de l'opération étant estimées à quelque 90 %. Le tribunal a jugé "pas crédible" de soutenir que les parents du demandeur, qui avaient accepté l'idée de la transplantation, contrairement à ce qui prévalait quelques années avant pour leur fils aîné, auraient finalement refusé l'opération pour le seul motif qu'il existait un très rare risque d'atteinte neurologique grave.
Il n'apparaît pas que le tribunal ait ainsi renversé le fardeau de la preuve relatif au consentement hypothétique, même si le jugement emploie une tournure ambiguë en soulignant que "les enquêtes n'ont pas permis de remettre en cause l'existence d'un consentement hypothétique des parents". En réalité, il est reproché au patient, dans le cadre du devoir de collaboration qu'est le sien, de n'avoir pas fourni de motifs rendant crédible un refus de consentement à l'opération. La mère du recourant a certes affirmé qu'elle aurait refusé l'opération même en sachant que le risque de lésions neurologiques graves était très faible. Le Tribunal de première instance a toutefois opposé le fait que le couple avait décidé d'avoir un quatrième enfant avec tous les risques de handicap non décelables qu'une telle décision pouvait comporter, après avoir eu un premier enfant affecté d'une maladie génétique mortelle non décelée, et un autre enfant né sans fontanelle, qui avait dû être surveillé médicalement; le recourant ne formule pas de critique particulière à ce sujet. En bref, les chances de succès d'un grief dirigé contre l'admission du consentement hypothétique apparaissent sensiblement inférieures au risque de rejet. La question de savoir si les parents du recourant ont donné un consentement éclairé est dès lors privée d'objet.
2.6. En définitive, l'autorité précédente n'a pas violé l'<ref-law>. L'une des deux conditions cumulatives à l'octroi de l'assistance judiciaire fait ainsi défaut.
3.
Le recourant succombe. En conséquence, il supportera les frais de la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais de la présente procédure, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant et à la Vice-présidente de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 28 août 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Klett
La Greffière : Monti