Sachverhalt:
A. X._ stammt aus Serbien und verfügt seit dem 4. November 1999 im Kanton Nidwalden über eine Niederlassungsbewilligung. Am 5. Mai 2006 ersuchte er das kantonale Amt für Justiz erfolglos darum, ihm den Nachzug seiner zweiten Ehefrau und des gemeinsamen Sohns sowie dreier Kinder aus erster Ehe zu gestatten. Die Justiz- und Sicherheitsdirektion des Kantons Nidwalden bestätigte den negativen Entscheid auf Beschwerde hin am 23. Mai 2007. Am 13. September 2007 kam das Amt für Justiz wiedererwägungsweise auf seine Verfügung zurück, worauf das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden das bei ihm hängig gemachte Beschwerdeverfahren am 1. Oktober 2007 als gegenstandslos abschrieb. Es auferlegte die Gerichtskosten von Fr. 600.-- dem Amt für Justiz und verpflichtete dieses, den anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer mit Fr. 3'186.25 zu entschädigen.
B. Das Amt für Justiz Nidwalden beantragt vor Bundesgericht, den Kostenspruch des Verwaltungsgerichts aufzuheben und festzustellen, dass weder Gerichtskosten zu erheben noch Parteientschädigungen zuzusprechen seien. Das Amt macht geltend, in Missachtung des Willkürverbots (Art. 9 BV) zu Unrecht als unterliegend bezeichnet und in offensichtlicher Verletzung des kantonalen Verfahrensrechts mit Kosten belastet worden zu sein.
C. Das Bundesgericht hat darauf verzichtet, die Akten einzuholen und einen Schriftenwechsel durchzuführen.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen der Ausschlussgründe von Art. 83 BGG fällt. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist deshalb zulässig (Art. 82 ff. BGG), falls das Amt für Justiz Nidwalden hierzu legitimiert (vgl. Art. 89 BGG) und seinen gesetzlichen Begründungsanforderungen (vgl. Art. 42 BGG) nachgekommen ist.
2. 2.1 Zu Recht beruft sich das Amt nicht auf eine besondere Beschwerdebefugnis im Sinne von Art. 89 Abs. 2 BGG: Es ist weder Träger von speziellen, für Gemeinden und vergleichbare Körperschaften geschaffenen Verfassungsgarantien (Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG), noch ist es gestützt auf eine besondere bundesgesetzliche Norm ermächtigt, vorliegend an das Bundesgericht zu gelangen (Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG). Die Befugnis, kantonale Entscheide im Bereich des Ausländerrechts mittels Behördenbeschwerde anzufechten, steht ausschliesslich dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement (EJPD) sowie dem Bundesamt für Migration (BFM) zu, indessen nicht auch den kantonalen Bewilligungsbehörden (vgl. Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG; Art. 14 Abs. 2 OV-EJPD [SR 172.213.1]; <ref-ruling> E. 1.1 S. 3 f.; zum BGG bestätigt in Urteil 2C_411/2007 vom 6. November 2007, E. 1).
2. 2.1 Zu Recht beruft sich das Amt nicht auf eine besondere Beschwerdebefugnis im Sinne von Art. 89 Abs. 2 BGG: Es ist weder Träger von speziellen, für Gemeinden und vergleichbare Körperschaften geschaffenen Verfassungsgarantien (Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG), noch ist es gestützt auf eine besondere bundesgesetzliche Norm ermächtigt, vorliegend an das Bundesgericht zu gelangen (Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG). Die Befugnis, kantonale Entscheide im Bereich des Ausländerrechts mittels Behördenbeschwerde anzufechten, steht ausschliesslich dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement (EJPD) sowie dem Bundesamt für Migration (BFM) zu, indessen nicht auch den kantonalen Bewilligungsbehörden (vgl. Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG; Art. 14 Abs. 2 OV-EJPD [SR 172.213.1]; <ref-ruling> E. 1.1 S. 3 f.; zum BGG bestätigt in Urteil 2C_411/2007 vom 6. November 2007, E. 1).
2.2 2.2.1 Das kantonale Amt für Justiz beruft sich für seine Legitimation auf das allgemeine Beschwerderecht im Sinne von Art. 89 Abs. 1 BGG. Danach ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten befugt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Art. 89 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 404). Diese Regelung ist zwar in erster Linie auf Privatpersonen zugeschnitten, doch kann sich auch das Gemeinwesen darauf stützen, falls es durch einen angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie ein Privater betroffen wird (<ref-ruling> E. 2.4.2 mit Hinweisen). Darüber hinaus können Gemeinwesen zur Beschwerde gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG legitimiert sein, soweit sie in schutzwürdigen eigenen hoheitlichen Interessen berührt sind (zur Fortführung der bisherigen Praxis: <ref-ruling> E. 2.4.2). Das kann bei vermögensrechtlichen Interessen der Fall sein - etwa als Subventionsempfänger (<ref-ruling> E. 2b S. 383), als Gläubiger von Kausalabgaben (<ref-ruling> E. 2e S. 391; <ref-ruling> E. 2a/bb S. 195), als lohnzahlungspflichtiger öffentlicher Arbeitgeber (<ref-ruling> E. 1e S. 417 f.) oder als Erbringer von Fürsorgeleistungen (ZBl 98/1997 S. 414 ff.) -, aber auch bei Eingriffen in spezifische eigene öffentliche Sachanliegen (vgl. Bernhard Waldmann, in: Niggli/Uebersax/ Wiprächtiger, Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, Rz. 43 f. zu Art. 89 BGG; Hansjörg Seiler, in: Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, Rz. 35 zu Art. 89 BGG). Das allgemeine Interesse an der richtigen Rechtsanwendung verschafft indessen keine Beschwerdebefugnis im Sinne dieser Regelung; insbesondere ist die im Rechtsmittelverfahren unterlegene Vorinstanz nicht berechtigt, gegen den sie desavouierenden Entscheid an das Bundesgericht zu gelangen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 62; <ref-ruling> E. 2e S. 38 mit Hinweisen). Zur Begründung des allgemeinen Beschwerderechts genügt auch nicht jedes beliebige, mit der Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe direkt oder indirekt verbundene finanzielle Interesse des Gemeinwesens (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 407; <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 194; <ref-ruling> E. 1.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1e/bb S. 418; <ref-ruling> E. 3c S. 428; Waldmann, a.a.O., Rz. 44 zu Art. 89 BGG).
2.2.2 Das Amt für Justiz wäre vorliegend - unbestrittenermassen - in der Sache selber nicht legitimiert gewesen, den kantonalen Rechtsmittelentscheid anzufechten: Es fehlt an einer Norm, die es als Behörde hierzu ermächtigen würde. Durch die Pflicht, eine einzelne ausländerrechtliche Bewilligung zu erteilen, wird auch der Kanton nicht in relevanter Weise in schutzwürdigen eigenen Hoheitsinteressen betroffen. Wer jedoch in der Sache selber nicht legitimiert ist, Beschwerde zu führen, kann grundsätzlich auch den damit verbundenen Kostenentscheid nicht beanstanden. Durch die Pflicht zur Tragung von Verfahrens- und Parteikosten in einem einzelnen Rechtsmittelverfahren wird das Gemeinwesen regelmässig nicht derart belastet, dass ihm - trotz fehlender Legitimation bzw. unabhängig von der Legitimation in der Sache selber - ein schutzwürdiges Interesse an der Anfechtung der Kostenregelung einzuräumen wäre.
2.2.3 Inwieweit dies in besonderen Fällen ausnahmsweise anders sein könnte, braucht hier nicht weiter geklärt zu werden: Die Beschwerde des Amtes für Justiz scheitert schon daran, dass es seine Befugnis, den Kanton Nidwalden als Partei des Rechtsmittelverfahrens vor Bundesgericht zu vertreten, in der Beschwerdeschrift nicht dartut und eine solche auch nicht ohne weiteres als ersichtlich gelten kann; es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern ein Beschwerdeführer zur Beschwerde zuzulassen ist; es obliegt in Zweifelsfällen diesem, die entsprechenden Grundlagen hierfür zu liefern (<ref-ruling> E. 2 S. 404). Die Befugnis, öffentlich-rechtliche Korporationen prozessual zu vertreten, steht praxisgemäss, soweit nichts Abweichendes bestimmt ist, nur der obersten vollziehenden Behörde zu (Matthias Suter, Der neue Rechtsschutz in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vor dem Bundesgericht, Diss. St. Gallen 2007, S. 29, mit Hinweisen). Gemäss Art. 65 Abs. 1 der Kantonsverfassung von Nidwalden (SR 131.216.2) vertritt der Regierungsrat den Kanton nach aussen. Es wäre deshalb Sache des beschwerdeführenden Amtes gewesen, darzulegen, aufgrund welcher kantonalen Vorschriften es sich als zuständig erachtet, für den Kanton zu handeln. Nur das Gemeinwesen als solches kann im Rahmen von Art. 89 Abs. 1 BGG an das Bundesgericht gelangen, nicht eine einzelne Behörde oder ein Verwaltungszweig ohne eigene Rechtspersönlichkeit (BGE <ref-ruling> E. 2f S. 38). Auf die vorliegende Eingabe ist deshalb schon mangels hinreichender Substantiierung der Beschwerdevoraussetzungen nicht einzutreten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1, 353 E. 1, 400 E. 2).
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Kanton Nidwalden die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen: Sein Amt für Justiz hat in Verfolgung von Vermögensinteressen gehandelt, wobei der Kanton sich dessen Vorgehen verfahrensrechtlich anrechnen lassen muss (Art. 66 Abs. 4 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet, da dem Beschwerdegegner kein weiterer Aufwand entstanden ist (vgl. Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Kanton Nidwalden auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden, Verwaltungsabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2007
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar