Sachverhalt:
A.
A._ wurde von der Stadt Bern auf Rückzahlung von Sozialleistungen betrieben. Am 8. Juni 2015 pfändete das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, bei A._ 12 von insgesamt 20 Stammanteilen an der B._ GmbH mit einem Nennwert von je Fr. 1'000.--.
B.
Mit Entscheid vom 24. September 2015 wies das Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde ab.
C.
A._ (Beschwerdeführerin) gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. Oktober 2015 (Postaufgabe) an das Bundesgericht und beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben. In der Sache beantragt sie sinngemäss, ihr die Stammanteile an der B._ GmbH als unpfändbar zu belassen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Es wurden die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den Entscheid der Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen ist streitwertunabhängig die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c und Art. 75 Abs. 1 BGG). Die zehntägige Beschwerdefrist (<ref-law>) ist gewahrt.
1.2. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. für Ausnahmen Abs. 2 dieser Norm) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584 mit Hinweisen).
Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn die Feststellung offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Will der Beschwerdeführer die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten, muss er darlegen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
2.
Anlass zur Beschwerde gibt die Pfändung von zwölf, der Beschwerdeführerin gehörenden, Stammanteilen an einer GmbH.
2.1. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf die Unpfändbarkeit nach <ref-law>. Danach sind die Werkzeuge, Gerätschaften, Instrumente und Bücher, soweit sie für den Schuldner und seine Familie zur Ausübung des Berufs notwendig sind, unpfändbar. Der Begriff des Berufes im Sinne der vorerwähnten Gesetzesbestimmung setzt die Anwendung persönlicher Fähigkeiten, eigener Arbeitskraft und eigenen Wissens voraus (Urteil 5A_728/2011 vom 27. Januar 2012 E. 4.1; <ref-ruling> E. 2 S. 55; AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl. 2013, § 23 Rz. 22). Ferner muss sich der vom Schuldner ausgeübte Beruf als wirtschaftlich erweisen. Verlangt wird damit eine lohnende, konkurrenzfähige und nicht dauernd defizitäre berufliche Tätigkeit (<ref-ruling> E. 2 S. 51 f.; Vonder Mühll, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 2. Aufl. 2010, N. 21 zu <ref-law>).
2.2. Die Beschwerdeführerin macht - wie bereits im kantonalen Verfahren - geltend, die Stammanteile bzw. ihre finanzielle Beteiligung an der 2013 gegründeten B._ GmbH seien Arbeitsmittel (Werkzeuge) für ihre Medikamentenentwicklung.
2.3. Die Vorinstanz hat diese Argumentation verworfen und die Pfändung im Wesentlichen mit zwei Begründungen geschützt, von denen jede für sich den angefochtenen Entscheid selbständig zu stützen vermag:
In der Hauptbegründung hat sie erwogen, dass die Stammanteile an der B._ GmbH keine Werkzeuge oder ähnliche Hilfsmittel im Sinne der unpfändbaren Berufswerkzeuge gemäss <ref-law> darstellen würden. Die finanzielle Beteiligung an einem Unternehmen sei nicht zwingend mit der Ausübung des Berufs verbunden, ebenso wenig wie das Eigentum an einem landwirtschaftlichen Grundstück zwingend mit der Ausübung der landwirtschaftlichen Tätigkeit verbunden sei (vgl. dazu Urteil 7B.88/2002 vom 10. Juli 2002 E. 2.2; VONDER MÜHLL, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>). Auch die Tätigkeit der Beschwerdeführerin als Forscherin und Entwicklerin setze im Allgemeinen keine Beteiligung an einem Unternehmen und im Besonderen keine Beteiligung an der B._ GmbH voraus; dies gelte umso mehr, als die Beschwerdeführerin zwar die Mehrheit der Stammanteile besagter GmbH besitze (12 von 20), jedoch auch noch zwei weitere Gesellschafter mit je 4 Stammanteilen beteiligt seien.
In der Eventualbegründung ist die Vorinstanz zum Schluss gekommen, dass sich der von der Beschwerdeführerin ausgeübte Beruf - soweit in Bezug auf ihre wissenschaftliche Forschung überhaupt von einem solchen gesprochen werden könne - als unwirtschaftlich erweise. Gemäss eigenen Angaben sei sie ohne Verdienst. Ihr steuerbares Einkommen im Jahr 2014 habe Fr. 0.00 betragen. Auch in den früheren Jahren habe die Beschwerdeführerin kein substanzielles Einkommen erzielen können.
2.4. Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbständigen Begründungen, die je für sich den Ausgang des Rechtsstreits besiegeln, so hat der Beschwerdeführer darzulegen, dass jede von ihnen Recht verletzt; andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.).
2.5. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit dem zweiten Begründungsansatz nicht in nachvollziehbarer Weise auseinander. Ihre Ausführungen erschöpfen sich letztlich darin, die eigene Forschungstätigkeit ohne jeglichen Beleg als wirtschaftlich zu bezeichnen und die gegenteilige Schlussfolgerung der Vorinstanz pauschal zu bestreiten. Auf die Rüge der Verletzung von <ref-law> ist mangels Auseinandersetzung mit einer den Entscheid selbständig tragenden Begründung nicht einzutreten (<ref-law>), so dass nicht zu prüfen ist, ob die Begründungen der Vorinstanz vor Bundesrecht standhalten.
3.
Die weiteren Vorbringen und Rügen stehen in keinem erkennbaren Zusammenhang mit dem angefochtenen Entscheid, so dass auch auf diese nicht einzutreten ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 89). Gegenstand des angefochtenen Entscheids ist weder die Rechtmässigkeit der Rückforderung der von der Beschwerdeführerin bezogenen Sozialhilfeleistungen noch die Löschung von Einträgen aus ihrem Betreibungsregisterauszug, sondern einzig die Pfändung der Stammanteile an der B._ GmbH (E. 2 oben).
4.
Aus den dargelegten Gründen ist auf die Beschwerde insgesamt nicht einzutreten. Die Beschwerdeführerin hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, und dem Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. November 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss