Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1979, türkischer Staatsangehöriger, reiste am 26. Juli 2003 in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, welches am 15. März 2004 abgelehnt wurde. Noch während der Hängigkeit der dagegen erhobenen Beschwerde heiratete A._ am 6. August 2004 eine Schweizerin, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau erteilt und das Asylverfahren abgeschrieben wurde.
A.b. Nachdem die Ehe am 27. August 2009 geschieden worden war, stimmte das Bundesamt für Migration am 26. August 2010 im Zustimmungsverfahren der weiteren Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu, worauf diese durch das Migrationsamt gleichentags bewilligt wurde; am 28. Juni 2011 wurde sie bis zum 5. August 2012 verlängert.
A.c. Am 7. Juli 2011 heiratete A._ in der Türkei die 1982 geborene Türkin B._, mit welcher er noch während seiner ersten Ehe die im April 2009 geborene Tochter C._ gezeugt hatte. Nachdem A._ am 5. August 2011 ein Nachzugsgesuch für seine zweite Ehefrau und die gemeinsame Tochter gestellt hatte, wies das Migrationsamt mit Verfügung vom 27. Februar 2012 sein Gesuch ab, widerrief die Aufenthaltsbewilligung von A._ und setzte diesem Frist zum Verlassen der Schweiz.
B.
Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion vom 23. April 2013; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Dezember 2013).
C.
A._ erhebt mit Eingabe vom 17. Februar 2014 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei ihm seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und seiner Ehefrau und seiner Tochter die Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 44 AuG zu erteilen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur weiteren Abklärung an das Migrationsamt zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde, die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich verzichtet auf Vernehmlassung.
Mit Verfügung des präsidierenden Mitglieds der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 20. Februar 2014 wurde der Beschwerde - antragsgemäss - die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Ausgangspunkt des Verfahrens war ursprünglich der Widerruf der Aufenthaltsbewilligung, welche bis zum 5. August 2012 befristet war (vorne lit. A.b) und inzwischen längst abgelaufen ist. Streitgegenstand kann deshalb - wie bereits im Zeitpunkt des Rekursentscheids der Sicherheitsdirektion und wie vom Beschwerdeführer bereits vor der Vorinstanz und auch vor Bundesgericht richtigerweise beantragt - nicht mehr der Widerruf, sondern nur eine Verlängerung der Bewilligung sein. Diesbezüglich ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, sofern ein Rechtsanspruch auf die Bewilligung besteht (<ref-law>). Der Beschwerdeführer macht für sich selber in vertretbarer Weise einen Verlängerungsanspruch gestützt auf Art. 50 AuG geltend, so dass insoweit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist. In Bezug auf den Nachzug von Frau und Kind beruft er sich auf Art. 44 AuG; dieser vermittelt jedoch keinen Anspruch auf Bewilligung, so dass diesbezüglich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht zulässig ist, zumal sich der Beschwerdeführer nicht auf Art. 8 EMRK beruft (<ref-ruling> E. 1.2 S. 332 f.; <ref-ruling> E. 1.2 und 1.3 S. 286 f.). Mangels Verfassungsrügen (Art. 116 und 117 i.V.m. <ref-law>) kann die Eingabe insoweit auch nicht als Verfassungsbeschwerde an die Hand genommen werden.
2.
Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die richtige Anwendung des Bundesrechts (Art. 95 lit. a und Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig (d.h. willkürlich) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_678/2013 vom 28. April 2014 E. 3.3; 2C_1273/2012 vom 13. Juni 2013 E. 1.7, ASA 82 S. 72; in Bezug auf Scheinehe: Urteile 2C_389/2014 vom 19. Mai 2014 E. 2.1; 2C_217/2014 vom 20. März 2014 E. 2.1; 2C_244/2010 vom 15. November 2010 E. 3.3).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat ihren Entscheid mit folgenden Erwägungen begründet:
Die Bewilligung sei altrechtlich gestützt auf Art. 7 Abs. 1 ANAG bis im August 2007 verlängert worden, obwohl sich die damalige Ehefrau des Beschwerdeführers bereits im September 2005 vom gemeinsamen ehelichen Wohnsitz abgemeldet hatte. Spätestens ab Ende 2008 sei die Ehegemeinschaft auch nach Darstellung des Beschwerdeführers nicht mehr gelebt worden, so dass ein Anspruch auf Niederlassungsbewilligung nie bestanden habe. Die nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG verlangte dreijährige Ehegemeinschaft sei nicht erfüllt, da die im Sommer 2005 erfolgte Trennung nicht nur vorübergehender Natur gewesen sei. Wichtige Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b bzw. Abs. 2 AuG seien nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer habe somit keinen Bewilligungsanspruch nach Art. 50 AuG (E. 2.2.2/2.2.3), ebenso wenig gestützt auf Art. 8 EMRK (E. 2.3). Sodann prüfte die Vorinstanz, ob nach Ermessen (Art. 33 AuG) die Bewilligung zu verlängern sei. Aufenthaltsbewilligungen nach Auflösung einer weniger als drei Jahre dauernden ehelichen Gemeinschaft würden in der Regel nach freiem Ermessen nur erneuert, wenn besondere individuelle Umstände einer Wegweisung entgegenstünden; solche Umstände seien nicht dargelegt (E. 2.4). Die Aufenthaltsbewilligung hätte daher spätestens bei der Beurteilung des am 8. Oktober 2009 gestellten Verlängerungsgesuchs nicht mehr verlängert bzw. gemäss Art. 62 lit. d AuG widerrufen werden können (E. 2.5). Ein nachträglicher Widerruf der Bewilligung sei allerdings ausgeschlossen, wenn die Bewilligung trotz Kenntnis eines bewilligungskritischen Verhaltens erteilt worden sei (E. 2.6.1); nicht ausgeschlossen sei aber der Widerruf, wenn nachträglich weitere entscheidrelevante Umstände im Sinne von Art. 62 lit. a AuG hinzukämen, welche der Bewilligungsbehörde verschwiegen wurden, um den Aufenthalt bewilligt zu erhalten (E. 2.6.2).
Weiter erwog das Verwaltungsgericht, vorliegend sei den Bewilligungsbehörden zwar die im Sommer 2005 erfolgte Trennung des Beschwerdeführers von seiner Ehefrau bekannt gewesen; trotzdem seien alle Verlängerungen bis und mit derjenigen vom 23. Januar 2007 in Kenntnis dieses Umstandes erfolgt; damals sei aber die Dreijahresfrist nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG noch nicht erreicht gewesen (E. 2.6.3). Der Beschwerdeführer habe auch nachher noch behauptet, die Trennung von der Ehefrau sei nur vorübergehender Natur; gemäss Eingabe vom 10. Februar 2010 sei die Ehe erst nach Ende 2008 schlechter geworden; in der Eingabe vom 11. Juni 2010 habe der Beschwerdeführer angegeben, die eheliche Beziehung sei bis Herbst 2008 aufrechterhalten worden resp. bis mindestens Ende 2007 erlebt und gepflegt worden. Dabei habe der Beschwerdeführer aber verschwiegen, dass er im Juli oder August 2008 in der Türkei mit seiner späteren zweiten Ehefrau sexuelle Kontakte gehabt habe und aufgrund dessen im April 2009 Vater geworden sei. Den nachfolgenden Verlängerungsentscheiden vom 26. August 2010 und 28. Juni 2011 habe damit ein Verschweigen bewilligungswesentlicher Tatsachen zugrunde gelegen. Angesichts der Umstände erscheine eine noch im Herbst oder gar Ende 2008 gelebte Ehegemeinschaft fragwürdig. Das Bundesamt für Migration habe dem Beschwerdeführer am 16. April 2010 mitgeteilt, es erwäge, die Zustimmung zur Verlängerung der Bewilligung zu verweigern. Dennoch habe der Beschwerdeführer die offenkundig bedeutsame Tatsache, noch während der behaupteten ehelichen Gemeinschaft ein aussereheliches Kind gezeugt zu haben, verschwiegen. Das Verschweigen ausserehelicher Kinder sei auch unabhängig von der Frage nach dem Auflösungszeitpunkt einer ehelichen Gemeinschaft oder einem allfälligen Verdacht auf Scheinehe als wesentliche Tatsache einzustufen (E. 2.6.4). Angesichts der zuvor schon bestehenden Zweifel an einer intakten und gelebten Ehe sei es wahrscheinlich, dass bei Bekanntgabe des ausserehelichen Kindes die Bewilligung im Sommer 2010 nicht verlängert worden wäre. Da der Beschwerdeführer die bewilligungswesentliche Tatsache verschwiegen habe, sei der Widerruf der Bewilligung nach Art. 62 lit. a AuG zulässig gewesen.
3.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, das kantonale Migrationsamt wie auch (im Zustimmungsverfahren) das Bundesamt für Migration hätten im Jahre 2010 die Bewilligung verlängert, dies in Kenntnis der gesamten Umstände der ehelichen Beziehung, namentlich der getrennten Wohnorte seit 2005 und der Zerrüttung ab Anfang 2008. Damit hätten die Behörden einen Rechtsanspruch auf Verlängerung gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG bejaht. Aus Vertrauensschutzgründen sei es nicht zulässig, auf diesen Entscheid zurückzukommen. Zwar hätten die Behörden damals keine Kenntnis von der im Sommer 2008 ausserehelich gezeugten Tochter gehabt. Das Verschweigen dieser Tatsache sei jedoch kein Widerrufsgrund im Sinne von Art. 62 lit. a AuG: Denn diese Tatsache sei nicht mehr bewilligungswesentlich gewesen, nachdem die Behörden gewusst hätten, dass die Ehe bereits Anfangs 2008 zerrüttet war. Rechtserheblich sei allein, dass die Behörden zur Überzeugung gelangt seien, die Ehe mit einer Schweizerin habe mindestens drei Jahre (d.h. bis mindestens August 2007) gedauert. Die im Sommer 2008 erfolgte Zeugung des Kindes mit der späteren Ehefrau lasse keine Rückschlüsse auf diese mindestens drei Jahre gelebte Ehe zu.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bestreitet die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung nicht, dass die eheliche Gemeinschaft bereits im Sommer 2005 aufgehoben worden sei. Er bringt auch nicht vor, für die getrennten Wohnorte hätten wichtige Gründe (Art. 49 AuG) vorgelegen. Ebenso wenig beruft er sich auf wichtige Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG. Damit besteht kein Anspruch auf Bewilligungsverlängerung nach Art. 50 AuG.
4.2. Wenn der Beschwerdeführer geltend macht, ein Widerrufsgrund nach Art. 62 lit. a AuG liege nicht vor, weil die Tatsache, dass er im Sommer 2008 eine aussereheliche Tochter gezeugt habe, für die Verlängerung der Bewilligung nicht wesentlich gewesen sei, verkennt er, dass nicht der Widerruf einer Bewilligung zur Diskussion steht, sondern die Verlängerung einer abgelaufenen Bewilligung (vorne E. 1). Die Erwägungen der Vorinstanz (und auch die vorinstanzliche Minderheitsmeinung) zum Bewilligungswiderruf stehen denn auch im Zusammenhang mit der Prüfung einer ermessensweisen Bewilligungsverlängerung, welche nach Art. 33 Abs. 3 AuG voraussetzt, dass keine Widerrufsgründe nach Art. 62 AuG vorliegen. Im Unterschied zur Vorinstanz hat aber das Bundesgericht über Ermessensbewilligungen von vornherein nicht zu entscheiden, sondern nur über Anspruchsbewilligungen (vorne E. 1). Besteht kein Bewilligungsanspruch (E. 4.1), ist unerheblich, ob Widerrufsgründe vorliegen.
4.3. Soweit der Beschwerdeführer direkt aus dem Vertrauensschutz einen Anspruch auf Bewilligungsverlängerung abzuleiten scheint, ist daran zu erinnern, dass die blosse Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung grundsätzlich kein geschütztes Vertrauen im Hinblick auf weitere Verlängerungen schafft. Zwar kann eine behördliche Zusicherung oder ein sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten der Behörden unter Umständen auch einen Anspruch auf Erteilung oder Verlängerung einer fremdenpolizeilichen Bewilligung ergeben (<ref-ruling> E. 3a S. 387 mit Hinweisen). Eine schützenswerte Vertrauensbasis setzt jedoch voraus, dass die Behörde über den Sachverhalt richtig und vollständig orientiert worden ist und in Kenntnis aller Umstände eine vorbehaltlose Zusicherung erteilte (Urteil 2C_126/2007 vom 18. Juni 2007 E. 2.7). Die blosse Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung begründet für sich allein kein schutzwürdiges Vertrauen in die Erneuerung derselben (<ref-ruling> E. 3b S. 387 f.; Urteil 2C_869/2010 vom 19. April 2011 E. 4.2). Das gilt insbesondere auch bei Anspruchsbewilligungen: Die Migrationsbehörde darf eine Bewilligung bzw. deren Verlängerung, auf die Anspruch besteht, nicht bereits beim ersten oder bei einem geringen Verdacht verweigern, sondern braucht dafür die nötige Beweislage. Nur schon deshalb kann in erteilten Bewilligungsverlängerungen grundsätzlich nicht ein vertrauensbegründendes Verhalten der Migrationsbehörde gesehen werden (Urteil 2C_140/2010 vom 17. Juni 2010 E. 5.3).
4.4. Vorliegend war das Bundesamt für Migration im Rahmen der Bewilligungsverlängerung im Jahre 2010 zunächst der Ansicht, angesichts der bereits im Sommer 2005 erfolgten Trennung sei die Dreijahresfrist nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG nicht erfüllt. Der Beschwerdeführer machte daraufhin gegenüber dem BfM geltend, die eheliche Beziehung sei bis Herbst 2008 vollumfänglich aufrechterhalten worden bzw. bis mindestens Ende 2007 erlebt und gepflegt worden. Wenn in der Folge das Bundesamt eine Zustimmung erteilte und die kantonalen Behörden die Bewilligung verlängerten, so kann darin unter diesen Umständen nicht eine verbindliche Zusicherung im Hinblick auf weitere Verlängerungen erblickt werden. Insbesondere ist damit nicht für die Zukunft verbindlich entschieden worden, dass die Voraussetzungen nach Art. 50 AuG erfüllt seien. Angesichts der zuvor schon bestehenden Zweifel an einer intakten und gelebten Ehe ist es vielmehr wahrscheinlich, dass bei Bekanntgabe des ausserehelichen Kindes die Bewilligung bereits im Sommer 2010 nicht verlängert worden wäre. Zudem hatten die Behörden auch die Möglichkeit, trotz weiter bestehenden Zweifeln am Bestehen eines Rechtsanspruchs die Bewilligung ermessensweise zu verlängern. Liegt somit keine Vertrauensgrundlage für die Verlängerung der Bewilligung vor, erübrigt es sich, die weiteren Voraussetzungen des Vertrauensschutzes zu prüfen.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Dezember 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein