Sachverhalt:
A. Auf Antrag des Stiftungsrats der Schweizer Paraplegiker-Stiftung nahm das Eidgenössische Departement des Innern (EDI) als zuständige Aufsichtsbehörde Änderungen der Stiftungsurkunde vor. Es stimmte der beantragten neuen Umschreibung des Stiftungszwecks und der Verlegung des Stiftungssitzes zu (Verfügung vom 3. Februar 2006). Diese Urkundenänderung vom 3. Februar 2006 wurde im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB) Nr. 129 vom 6. Juli 2006 veröffentlicht.
B. Am 16. März 2007 erhoben die REHAB Basel AG und der Schweizerische Verein Balgrist Beschwerde gegen die Genehmigung einer Zweckänderung der Schweizer Paraplegiker-Stiftung. Sie stellen Feststellungsbegehren und beantragen, die Verfügung des EDI unbekannten Datums betreffend die Änderung des Zwecks der Schweizer Paraplegiker-Stiftung aufzuheben. In ihrer Eingabe vom 19. April 2007 haben die Beschwerdeführer Akten nachgereicht. Die Schweizer Paraplegiker-Stiftung und das EDI stellen den Antrag, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventualiter sie abzuweisen.
C. Das Bundesverwaltungsgericht ist auf die Beschwerde der REHAB Basel AG und des Schweizerischen Vereins Balgrist nicht eingetreten und hat die Angelegenheit zuständigkeitshalber an das Bundesgericht überwiesen (Urteil vom 21. August 2007).

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die Verfügung des EDI betreffend die Änderung der Stiftungsurkunde ist am 3. Februar 2006 ergangen, so dass das am 1. Januar 2007 in Kraft getretene Bundesgesetz über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG, SR 173.110) nicht anwendbar ist (<ref-law>). Gemäss dem Bundesrechtspflegegesetz von 1943 (OG) unterliegen Verfügungen des EDI als Aufsichtsbehörde über Stiftungen der Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht (Art. 97 Abs. 1 OG i.V.m. <ref-law> und Art. 98 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 2 S. 388 mit Hinweisen).
2. Nach Auffassung der Beschwerdegegnerin und des EDI haben die Beschwerdeführer die Frist zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde versäumt. Die Beschwerdefrist beträgt hier gemäss Art. 106 Abs. 1 OG dreissig Tage.
2.1 Privatrechtliche Stiftungen bedürfen der Eintragung in das Handelsregister (<ref-law>). Laut Handelsregisterverordnung (HregV, SR 221.411) werden unter anderem der Zweck und jede nachträgliche Änderung des Zwecks der Stiftung eingetragen (vgl. Art. 102 lit. e und Art. 103b HregV). Gemäss <ref-law> wird eine Eintragung im Handelsregister gegenüber Dritten erst an dem nächsten Werktage wirksam, der auf den aufgedruckten Ausgabetag derjenigen Nummer des Schweizerischen Handelsamtsblattes folgt, in der die Eintragung veröffentlicht ist; dieser Werktag ist auch der massgebende Tag für den Lauf einer Frist, die mit der Veröffentlichung der Eintragung beginnt. Die Einwendung, dass jemand eine Dritten gegenüber wirksam gewordene Eintragung nicht gekannt habe, ist ausgeschlossen (<ref-law>). Es gilt die Fiktion - die unwiderlegbare Vermutung - allgemeiner Kenntnis des Registerinhaltes. Dieser Grundsatz der positiven Publizitätswirkung kennt Ausnahmen und wird unter anderem durch das Gebot von Treu und Glauben eingeschränkt. Die Nichteinsicht in das Handelsregister schadet dem Gutgläubigen namentlich dann nicht, wenn die Gegenpartei Anlass zum guten Glauben an eine vom Registereintrag abweichende Rechtslage gegeben hat (vgl. Küng, Berner Kommentar, 2001, N. 40 ff., und Eckert, Basler Kommentar, 2002, N. 6 f., je zu <ref-law>, mit Hinweisen).
2.2 Das Bundesgericht hat die Anwendbarkeit dieser Grundsätze auf Änderungen des Stiftungszwecks ausdrücklich bestätigt. Mit der Veröffentlichung im SHAB wird die von der Aufsichtsbehörde genehmigte Zweckänderung wirksam. Gleichzeitig beginnt die Frist zur Anfechtung der Genehmigungsverfügung zu laufen. Die Bestimmungen über die Wirksamkeit des Handelsregistereintrags gehen als lex specialis den allgemeinen Vorschriften über die Eröffnung einer Verfügung durch amtliche Publikation gemäss den Bestimmungen des Bundesgesetzes über das Verwaltungsverfahren (VwVG, SR 172.021) vor (Urteil 2A. 162/2005 vom 10. Januar 2006, E. 4.3 und E. 4.4, zusammengefasst in: Schweizerische Zeitschrift für Sozialversicherung und berufliche Vorsorge, SZS 2006 S. 463 f.).
2.3 Die mit der Verfügung des EDI vom 3. Februar 2006 genehmigte Änderung des Zwecks der Schweizer Paraplegiker-Stiftung wurde im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB) Nr. 129 vom 6. Juli 2006 veröffentlicht. Die Frist zur Anfechtung der Genehmigungsverfügung war im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung am 16. März 2007 längst abgelaufen. Die Hinweise der Beschwerdeführer auf <ref-law> sind nach dem Gesagten (E. 2.2 soeben) unbehelflich. Eine besondere Vertrauensgrundlage, die zur Annahme berechtigt hätte, es sei keine Zweckänderung erfolgt, ist nicht ersichtlich. Sie wird von den Beschwerdeführern, denen entsprechende Vorbringen oblegen hätten, auch nicht behauptet (vgl. Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2.A. Bern 1983, S. 74).
Mängel, die die Genehmigungsverfügung als nichtig erscheinen liessen, sind ebenso wenig ersichtlich (vgl. zum Begriff: <ref-ruling> E. 2.1 S. 346). Tatsächliche und potenzielle Destinatäre sind zwar zur Anfechtung von Änderungen des Stiftungszwecks grundsätzlich berechtigt (<ref-ruling> E. 2 S. 440), haben aber mangels Gesetzesgrundlage keinen Rechtsanspruch auf Anhörung im Abänderungsverfahren (vgl. Riemer, Berner Kommentar, 1975, N. 28 zu Art. 85/86 ZGB; Sprecher/von Salis-Lütolf, Die schweizerische Stiftung: ein Leitfaden, Zürich 1999, S. 182; Vez, La fondation: lacunes et droit désirable, Bern 2004, N. 1019 S. 278). Insoweit kann auch nicht von einem Verstoss gegen grundlegende Parteirechte ausgegangen werden, dessen besondere Schwere die Annahme von Nichtigkeit der Verfügung rechtfertigte (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 364). Schliesslich lassen sich der Beschwerdeschrift und den Akten auch keine Anhaltspunkte für inhaltliche Mängel entnehmen, die in seltenen Ausnahmefällen die Nichtigkeit einer Verfügung begründen können (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 27).
Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann aus den dargelegten Gründen wegen Fristversäumnis nicht eingetreten werden.
3. Die Beschwerdeführer werden kosten- und gegenüber der Beschwerdegegnerin entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und 7 sowie Art. 159 Abs. 2 und 5 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Eidgenössischen Departement des Innern, Eidgenössische Stiftungsaufsicht, sowie dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber: