Sachverhalt:
A.
Am 14. Dezember 2012 beschloss der Gemeinderat von Spiez die Überbauungsordnung "Gwatt-Zentrum" und eine Änderung des Uferschutzplans Nr. 10 "Heimstätte Gwatt-Unteres Kandergrien". Dagegen erhob A._ Rechtsmittel. Als letzte kantonale Instanz trat das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 22. April 2014 auf ihre Beschwerde nicht ein.
Auf eine von A._ gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil vom 10. Juni 2014 nicht ein (Verfahren 1C_292/2014, Dispositiv-Ziffer 1). Es hielt fest, die Beschwerdefrist sei nicht eingehalten worden. Gerichtskosten wurden nicht erhoben (Dispositiv-Ziffer 2).
B.
Mit Schreiben vom 17. Juni 2014 ersucht A._ das Bundesgericht sinngemäss, das Urteil vom 10. Juni 2014 zu revidieren oder die Beschwerdefrist wiederherzustellen. Zudem stellt sie ein Gesuch um aufschiebende Wirkung.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet (Art. 127 BGG). Von der Schweizerischen Post wurde eine Auskunft über das Datum der Sendungsaufgabe eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Gesuchstellerin macht geltend, sie sei am letzten Tag der Beschwerdefrist, dem 2. Juni 2014, eine Viertelstunde nach Schalterschluss bei der Schanzenpost in Bern eingetroffen. Dort habe man sie auf die Verspätung hingewiesen und ihr vorgeschlagen, ihren Brief entgegenzunehmen und am nächsten Tag per Swiss-Kurier Blitz zu versenden, sodass er noch am 3. Juni 2014 ankomme.
Die Schweizerische Post hält in ihrer Stellungnahme dazu fest, das beschriebene Vorgehen komme in der Praxis vor. In solchen Fällen würde das im System erfasste Aufgabedatum nicht mit den tatsächlichen Geschehnissen übereinstimmen.
Es kann somit davon ausgegangen werden, dass die Gesuchstellerin ihre Eingabe noch innert Frist zu Handen des Bundesgerichts der Schweizerischen Post übergeben hatte (Art. 48 Abs. 1 BGG). Unter diesen Voraussetzungen ist praxisgemäss von einem Revisionsgrund auszugehen (Urteil 5C.282/2006 vom 4. April 2007 E. 3 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 1F_10/2010 vom 17. Mai 2010 mit Hinweisen). Da auch die weiteren Voraussetzungen für eine Revision erfüllt sind, ist das Gesuch gutzuheissen und das Urteil des Bundesgerichts vom 10. Juni 2014 aufzuheben.
2.
2.1. Das Verfahren 1C_292/2014 ist somit wieder aufzunehmen und die Rechtslage unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Gesuchstellerin die Beschwerdefrist eingehalten hatte, neu zu beurteilen.
2.2. Die Beschwerde im Verfahren 1C_292/2014 richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Nichteintretensentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Auf die Beschwerde ist im Grundsatz einzutreten. Streitgegenstand ist indessen einzig, ob das Verwaltungsgericht mit seinem Urteil vom 22. April 2014 zu Recht einen Nichteintretensentscheid gefällt hat. Trifft dies zu, so hat es bei diesem Nichteintretensentscheid sein Bewenden. Erweist er sich hingegen als bundesrechtswidrig, so ist die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen zu weiterer Beurteilung des Falles. Soweit die Beschwerdeführerin Anträge stellt, die über eine reine Rückweisung hinausgehen, ist auf die Beschwerde mithin nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 41).
2.3. Die Beschwerdeführerin bringt vor, das Verwaltungsgericht hätte ihre Legitimation bejahen müssen. Ihre besondere Betroffenheit liege im Umstand begründet, dass sie sich hauptsächlich für die Natur und die Einhaltung politischer Rechte einsetze. Als Einwohnerin von Spiez habe sie ein Interesse an der Einhaltung der Gesetze. Zudem sehe sie von ihrem Wohnort aus das Gwatt-Zentrum und insbesondere die Zelthäuser. Letztere würden beim Bau des geplanten Hotels verdeckt und wären nur noch vom See aus sichtbar. Zwischen ihrem Wohnort und dem betroffenen Grundstück liege nur eine Wiese, eine Scheune und eine Strasse. Schliesslich sei sie Pächterin eines Verkaufswagens auf dem östlich angrenzenden Grundstück. Dass sie sich darauf berufen könne, habe sie bisher nicht gewusst.
2.4. Das Verwaltungsgericht legt dar, dass die Beschwerdeführerin mit ihren Anträgen zum Teil über den Prozessgegenstand hinausgehe, was die Beschwerdeführerin ihrerseits nicht substanziiert bestreitet (Art. 42 Abs. 2 BGG). Im Übrigen fehle ihr die Legitimation, da sie mehr als 250 m Luftlinie vom Perimeter der Überbauungsordnung entfernt wohne. In dieser Hinsicht macht die Beschwerdeführerin zwar geltend, sie sei Pächterin eines Verkaufswagens auf einer benachbarten Parzelle. Darauf berief sie sich indessen vor Verwaltungsgericht nicht, obwohl sie dazu Anlass hatte. Auf solche neue Vorbringen ist nicht einzutreten (Art. 99 Abs. 1 BGG). Im Übrigen reicht weder der Umstand, dass man von ihrem Wohnort das Gwatt-Zentrum sehen kann bzw. dass einzelne Gebäude verdeckt werden (vgl. Urteil 1C_306/2009 vom 8. Dezember 2009 E. 7), noch, dass sie als Einwohnerin der Gemeinde ein Interesse an der richtigen Rechtsanwendung hat. Die Rügen der Beschwerdeführerin lassen den angefochtenen Entscheid somit nicht als bundesrechtswidrig erscheinen. Auf dessen eingehende Begründung kann im Übrigen verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3.
Das Revisionsgesuch ist aus den genannten Gründen gutzuheissen und die gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts Bern vom 22. April 2014 gerichtete Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Fristwiederherstellungsgesuch und der Antrag um aufschiebende Wirkung werden damit gegenstandslos.
Es rechtfertigt sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird gutgeheissen und das Urteil des Bundesgerichts 1C_292/2014 vom 10. Juni 2014 aufgehoben.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_292/2014 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Für das Verfahren vor dem Bundesgericht werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird der Gesuchstellerin, der Einwohnergemeinde Spiez, der Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold