Sachverhalt:
A.
In einem Scheidungsverfahren vor dem Kantonsgericht des Kantons Glarus ersuchte A._ (geb. 1952) am 22. August 2012 um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und der unentgeltlichen Verbeiständung durch seinen damaligen Rechtsanwalt, nachdem ein erstes Gesuch bereits im März 2012 abgelehnt worden war. Dieses neue Gesuch wies die Kantonsgerichtsvizepräsidentin mit Entscheid vom 12. September 2012 mangels Bedürftigkeit ab.
B.
Hiergegen erhob der nun nicht mehr anwaltlich vertretene A._ am 20. Januar 2013 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Glarus. Er beantragte, ihm sei vor beiden Instanzen die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Mit Urteil vom 1. März 2003[recte 2013] wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Postaufgabe vom 16. April 2013 ist A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht gelangt. Er verlangt, das Urteil der Vorinstanz (Beschwerdegegner) vom 1. März 2013 sei aufzuheben, und ihm sei im kantonalen Scheidungsverfahren wie im bundesgerichtlichen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Eventualiter sei ihm eine Frist zur Ergänzung seiner Beschwerdebegründung gemäss <ref-law> zu gewähren. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit welchem die unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen wurde.
Der die unentgeltliche Rechtspflege abweisende Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 403). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). In dieser geht es um ein Scheidungsverfahren, mithin eine Zivilsache, die keiner Streitwertgrenze unterliegt (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 BGG). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1, Art. 46 Abs. 1 BGG) ist eingehalten, womit die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist.
2.
Der Beschwerdeführer kritisiert, die Vorinstanzen seien ihrer Untersuchungspflicht nicht nachgekommen und das Obergericht habe sich zu diversen Punkten, in denen er die Notbedarfsberechnung angefochten habe, "nicht einmal geäussert". Dabei listet er die bereits vor der Vorinstanz vorgebrachten betroffenen Argumente auf. Dies kann nur so verstanden werden, dass der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer eine Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs rügen will (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677).
2.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law> ist formeller Natur. Ist er verletzt worden, führt dies ungeachtet der Erfolgsaussichten zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197; <ref-ruling> E. 2.2 S. 190). Die entsprechenden Verfassungsrügen sind deshalb vorweg zu prüfen.
2.2. Das rechtliche Gehör nach <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677; je mit weiteren Hinweisen).
3.
3.1. In seiner Beschwerde an das Obergericht des Kantons Glarus rügte der Beschwerdeführer, die erste Instanz sei ihrer "Untersuchungspflicht" nicht nachgekommen, indem sie sich bei der Beurteilung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege auf Akten des Scheidungsverfahrens abgestützt habe, ohne weitere Erkundigungen einzuholen. In materieller Hinsicht beanstandete er namentlich folgende Positionen der erstinstanzlichen Bedarfsberechnung:
- Bei ihm selbst seien als Mietkosten zu Unrecht nur Fr. 300.-- für eine Untermiete in Zürich angerechnet worden anstatt zusätzlich Fr. 1'782.-- für die Wohnung in Buttikon.
- Bei der Beschwerdegegnerin (der Ehefrau) sei (in der gemeinsamen Bedarfsberechnung) der Grundbedarf fälschlicherweise auf Fr. 1'200.-- anstatt Fr. 1'350.-- festgesetzt worden.
- Er beanstandete sinngemäss, dass nur Fr. 185.-- für öffentliche Verkehrsmittel in seinem Bedarf berücksichtigt worden seien statt Arbeitswegkosten für das Auto zuzüglich der geltend gemachten Leasingkosten.
- Ausdrücklich verlangte er die Berücksichtigung von Fr. 400.-- für Steuerzahlungen in seinem Bedarf.
- Er kritisierte, dass keine Gesundheitskosten angerechnet wurden, allerdings ohne die behaupteten Kosten zu beziffern.
- Schliesslich warf er die Frage seiner Arbeits (un) fähigkeit und damit des ihm angerechneten Einkommens auf.
3.2. Das Obergericht verneinte in seinem Entscheid vom 1. März 2013 eine Verletzung der Untersuchungspflicht mit dem Argument, dass der Beschwerdeführer nicht dargelegt habe, was weiter abzuklären gewesen wäre.
In materieller Hinsicht ging das Obergericht lediglich kurz auf die Rüge betreffend Mietzins ein, welche es abwies. Die restlichen beanstandeten Positionen aus der Bedarfsrechnung erwähnte das Obergericht mit keinem Wort. Dem angefochtenen Urteil lässt sich demnach nicht entnehmen, ob das Obergericht die weiteren Rügen des Beschwerdeführers für unzulässig, unbegründet oder für im Ergebnis irrelevant hielt. Damit hat die Vorinstanz ihre Begründungspflicht und das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und das angefochtene Urteil ist aufzuheben. Die Angelegenheit ist an die Vorinstanz zurückzuweisen zum Neuentscheid (Art. 107 Abs. 2, Art. 112 Abs. 3 BGG). Dass der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer keinen ausdrücklichen Rückweisungsantrag gestellt hat, schadet unter den gegebenen Umständen nicht.
Bei diesem Resultat erübrigt es sich, die weiteren vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht vorgebrachten Rügen zu prüfen. Sein subsidiär gestelltes Gesuch um Fristerstreckung zur Beschwerdeergänzung gemäss <ref-law> wird, soweit diese Bestimmung vorliegend überhaupt hätte zur Anwendung kommen können, gegenstandslos.
5.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Dem Beschwerdeführer ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>), er macht einen solchen auch nicht geltend. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird somit ebenfalls gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Glarus vom 1. März 2013 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung der Frage der Bedürftigkeit an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann