Faits:
A.
X._, soudeur de formation, a adhéré au Syndicat Z._, association au sens de l'<ref-law> (ci-après: Z._), le 1er avril 1995. Sa cotisation à titre de sociétaire s'élève à 229 fr. par année.
Depuis le 26 avril 1999, il a été placé par la société de travail temporaire A._ auprès de l'entreprise B._ SA.
Le 12 juillet 1999, une pièce métallique de grande taille est tombée sur ses pieds, ce qui lui a causé plusieurs fractures ouvertes au pied gauche et une luxation cunéo-métarsienne ouverte au pied droit. Depuis lors, il a présenté diverses périodes d'incapacité de travail.
A la suite de l'accident, le lésé a sollicité de la part de Z._ des prestations de protection juridique afin d'agir en responsabilité contre ses ex-employeurs.
Une première expertise, dont les frais ont été pris en charge par Z._, indique que les chances de succès d'une action en responsabilité contre ses anciens employeurs étaient inexistantes.
Sur la base de cet avis, Z._ a décidé de cesser de fournir ses prestations d'assistance juridique.
B.
Le 22 juin 2009, X._ a ouvert action devant le Tribunal de district de Sion contre T._ et B._ SA en concluant au paiement de 719'172 fr., intérêts en sus, au titre de dommages-intérêts.
Le premier juge ayant rejeté sa requête d'assistance judiciaire partielle, le demandeur a demandé à Z._ de prendre en charge la garantie pour les dépens de 50'000 fr. qui lui était réclamée dans la procédure civile.
Z._ a refusé de prendre en charge ces frais.
Le 21 mai 2012, X._ a ouvert action contre Z._ devant le juge du district de Monthey, concluant à la condamnation de la défenderesse à lui verser la somme de 53'186 fr.15, intérêts en sus.
La défenderesse a conclu à l'irrecevabilité de la demande pour défaut de compétence locale du juge du district de Monthey.
Le 29 mai 2013, le juge de ce district, par décision du 29 mai 2013, a déclaré la demande irrecevable.
Le Tribunal cantonal du canton du Valais, par décision du 14 octobre 2013, a rejeté l'appel formé par le demandeur et confirmé la décision attaquée.
C.
X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision cantonale valaisanne. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à son annulation, à ce qu'il soit dit que la demande déposée devant le premier juge est recevable ratione loci, et au renvoi de la cause à ce magistrat pour instruction et jugement au fond.
L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens.

Considérant en droit:
1.
1.1. La décision entreprise, qui confirme un jugement d'incompétence à raison du lieu, met fin à la procédure, en sorte qu'il s'agit d'une décision finale au sens de l'<ref-law> (arrêt 5A_423/2011 du 15 mai 2012 consid. 1.2 non publié in <ref-ruling>).
Interjeté par la partie qui a entièrement succombé dans ses conclusions en paiement et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>), dirigé contre une décision rendue en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. de l'<ref-law>, le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2. Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 336) et apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant d'ordinaire aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (<ref-law>; (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 584).
1.3. Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (<ref-law>). La juridiction fédérale peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62), ou établies en violation du droit comme l'entend l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Il lui incombe alors d'indiquer de façon précise en quoi les constatations critiquées sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, à défaut de quoi le grief est irrecevable (<ref-ruling> ibidem).
1.4. Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>).
2.
2.1. La cour cantonale indique que le recourant devait, en vertu de l'<ref-law>, introduire sa demande au for du siège de l'intimée (Berne), le rapport juridique entre celle-ci et celui-là ne remplissant pas les conditions d'application du for spécial prévu à l'<ref-law> (contrats conclus avec des consommateurs). Elle relève en particulier que la prétention du recourant est fondée sur sa qualité de membre de l'association intimée (<ref-law>) et qu'elle est indépendante de la conclusion d'un contrat (d'assurance) entre les intéressés, qu'il paraît ensuite douteux qu'une action en paiement de plus de 53'000 fr. puisse encore porter sur une prestation de consommation courante, qu'enfin, la prestation qui est réclamée de l'intimée est directement en rapport avec l'activité professionnelle du recourant et que, partant, elle ne tend pas à satisfaire ses seuls besoins personnels ou familiaux.
Reprochant à la cour cantonale d'avoir transgressé l'<ref-law>, le recourant revient brièvement sur chacun de ces motifs.
2.2. Selon l'<ref-law>, en cas de litige concernant les contrats conclus avec des consommateurs, le for est celui du domicile ou du siège de l'une des parties lorsque l'action est intentée par le consommateur (al. 1 let. a). Sont réputés contrats conclus avec des consommateurs les contrats portant sur une prestation de consommation courante destinée aux besoins personnels ou familiaux du consommateur et qui a été offerte par l'autre partie dans le cadre de son activité professionnelle ou commerciale (al. 2). Cet article, qui a la teneur de l'ancien art. 22 LFors, contient une définition similaire à celle inscrite à l'<ref-law> (arrêt 5A_545/2011 du 24 octobre 2011 consid. 4.2.2; cf. <ref-ruling> consid. 5c p. 339).
L'application de l'<ref-law> présuppose l'existence d'un contrat (cf. entre autres auteurs: ANNE-CHRISTINE FORNAGE, La mise en oeuvre des droits du consommateur contractant, Berne 2011, n. 98 ss p. 24 ss). Celui-ci doit porter sur une prestation de consommation courante - soit n'importe quel type de prestations (livraison de biens ou de services) correspondant aux besoins usuels courants - destinée aux besoins personnels ou familiaux (cf. <ref-ruling> consid. 5d p. 339; JACQUES HALDY, in Code de procédure civile commenté, Bohnet et al. [éd], 2011, no 7 ad <ref-law>).
Certains contrats d'assurance répondent à cette définition, comme l'assurance ménage ou une assurance responsabilité civile pour détenteur d'un véhicule automobile privé (sous l'angle de l'<ref-law>: arrêt 5C.222/2005 du 12 janvier 2006 consid. 2.1 publié in SJ 2006 I p. 416). Dans la mesure où une assurance ne concerne plus le domaine privé du (prétendu) consommateur, mais la sphère professionnelle ou commerciale, l'<ref-law> ne trouve pas application (cf. <ref-ruling> consid. 5d p. 339; arrêt 5C.222/2005 déjà cité consid. 2.1 et 2.2; FELLER/BLOCH, op. cit., nos 19 s. et 46 ad <ref-law>; BALZ GROSS, in Zum Gerichtsstand in Zivilsachen, Gauch/Thürer [éd.], 2002, p. 101 s. et 105 s.).
2.3. Le rapport juridique noué entre une association et un de ses membres n'est pas de nature contractuelle et il ne tombe en principe pas dans le champ d'application de l'<ref-law>. Certes, l'adhésion à l'association résulte bien de l'échange de manifestations de volonté (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.5.2 p. 633), mais son effet juridique se limite à l'accession au sociétariat. La relation entre le nouveau membre et l'association n'est ensuite plus régie par la relation contractuelle initiale, mais par un rapport juridique particulier soumis au droit de l'association ( BÉNÉDICT FOËX, in Commentaire romand, Code civil I, 2010, nos 5 et 10 ad <ref-law>; HANS MICHAEL RIEMER, in Berner Kommentar, 1990, no 47 ad <ref-law>). Celui-ci règle les droits dont le sociétaire est titulaire (y compris le droit d'utilisation et celui d'obtenir des prestations pécuniaires) ainsi que les obligations qui sont les siennes vis-à-vis de l'association (cf. RIEMER, op. cit., no 167 ss ad <ref-law>).
Selon la doctrine, devraient toutefois être réservés les litiges entre l'association et l'un de ses membres dans les (rares) situations où l'aspect associatif est relégué au second plan et où il existe entre eux un véritable rapport d'échange portant sur une prestation de consommation courante ( BALZ GROSS, in Gerichtsstandgesetz, in Müller/Wirth [éd.], 2001, nos 47 s. ad art. 22 LFors; sur cette question cf. infra consid. 2.5).
En outre, dans certains cas de figure, en plus de la relation particulière relevant du droit de l'association, il peut exister une ou des relations contractuelles entre l'association et un sociétaire. Tel est le cas, lorsque le sociétaire est engagé en tant qu'employé ou lorsqu'un contrat de bail est conclu ( RIEMER, op. cit., no 123 ad <ref-law>).
La charge de la preuve des faits fondant l'application de l'<ref-law> incombe à celui qui se réclame de la qualité de consommateur ( FELLER/BLOCH, op. cit., no 14 ad <ref-law>; FRIDOLIN WALTHER, in Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, no 28 ad <ref-law>).
2.4. Il résulte en l'espèce des constatations cantonales que le recourant est membre de l'association intimée et qu'il doit, en cette qualité, s'acquitter d'une cotisation annuelle de 229 fr., calculée en fonction de son revenu (art. 11 des statuts et art. 14 ss du règlement " Cotisations et prestations " de l'intimée). Selon les statuts de l'intimée, celle-ci représente et encourage les intérêts des travailleurs dans les domaines sociaux, économiques, politiques, professionnels et culturels; dans ce cadre, elle offre à ses membres des prestations individuelles, en particulier dans le domaine de la formation, des conseils et de la protection juridique (art. 12 des statuts). Cette dernière prestation est octroyée à certaines conditions (fixées dans le règlement sur la protection juridique du syndicat Z._), en particulier à celle que le " point de vue " du membre n'apparaisse pas dénué de chances de succès (art. 3 al. 2 du règlement précité).
On ne saurait reprocher à la cour cantonale d'avoir inféré de ces constatations - qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>) - que la qualité de membre de l'association confère en soi au recourant le droit de bénéficier, à certaines conditions, des prestations de protection juridique offertes par celle-là.
Le recourant soutient qu'une partie des cotisations sert à financer les prestations de protection juridique; il en déduit qu'il s'agit d'une contrepartie qui démontre l'existence d'une situation " similaire à un contrat d'assurance ". L'argumentation n'est toutefois pas exempte de contradiction puisque le recourant reconnaît lui-même que les prestations fournies par le syndicat résultent exclusivement de sa réglementation statutaire et réglementaire. Il ne tente pas de démontrer que l'intimée offrirait à ses membres, voire à des tiers, la possibilité de bénéficier d'une protection juridique indépendante de celle prévue par les statuts et le règlement de l'association, soit une prestation qui trouverait son fondement dans une relation contractuelle.
Il ressort de l'état de fait dressé par l'autorité précédente que la cotisation annuelle de 229 fr. couvre l'ensemble des prestations fournies par l'association. Déterminer la partie de ce montant due en contrepartie de la seule protection juridique conférée par l'intimée relèverait d'une construction artificielle, ce d'autant plus que le montant de la cotisation est fixé en fonction du revenu de chaque employé.
Enfin le recourant ne conteste pas que les conditions de la protection juridique (à l'instar des autres prestations offertes par l'association), de même que le calcul de la cotisation annuelle, pourraient être modifiés unilatéralement par l'association selon les règles statutaires et réglementaires qui leur sont applicables, ce qui exclut la nature contractuelle du rapport juridique noué entre les parties (cf. RIEMER, op. cit., no 123 ad <ref-law>).
2.5. S'agissant de la réserve exprimée en doctrine visant les litiges entre l'association et un de ses membres (cf. supra consid. 2.3), il n'est pas utile de prendre position sur cet avis. Quoi qu'il en soit, l'aspect associatif n'est en l'espèce pas relégué au second plan, la prestation litigieuse (protection juridique) servant à concrétiser l'objectif principal visé par le syndicat, à savoir la défense collective des intérêts des travailleurs dans leur entreprise et dans le monde du travail en général. Le fait que la protection juridique comprenne une prestation pécuniaire en faveur du sociétaire n'est pas problématique au regard du but idéal de l'association, les prestations de protection juridique ne représentant que le prolongement naturel du premier but du syndicat (cf. RIEMER, op. cit., no 76 ad <ref-law> et no 171 ad <ref-law>).
Il n'est au demeurant pas contesté que le recourant requiert la couverture des frais de procédure et d'avocat pour un litige qui l'oppose à ses anciens employeurs, à la suite d'un accident de travail survenu le 12 juillet 2009. La prétention du travailleur est en rapport direct avec son activité professionnelle et la prestation réclamée au syndicat ne remplit donc pas le critère de la consommation courante prévu à l'<ref-law> (cf. supra consid. 2.2). Il n'est ainsi pas nécessaire de se demander, contrairement à ce que semble penser le recourant, si le " contrat " remplit le critère fonctionnel de l'usage personnel ou familial, ou de déterminer s'il existe un déséquilibre entre les parties (cf. arrêt 5C.222/2005 déjà cité consid. 2.2).
2.6. Cela étant, le raisonnement mené par la cour cantonale portant sur le droit de l'association n'a en l'espèce rien d'artificiel, et il n'y a pas lieu d'entreprendre une qualification différente (soit de soumettre le rapport juridique entre les parties au droit des contrats) pour l'application des règles de for ou, comme le requiert le recourant, pour celle du droit administratif de surveillance. La critique soulevée à cet égard est sans consistance.
C'est donc à juste titre que la cour cantonale a tiré la conclusion que le rapport juridique entre l'association et l'un de ses membres, qui relève du droit de l'association (<ref-law>), est exclu du champ d'application de l'<ref-law>.
Le moyen tiré de la violation du droit fédéral est infondé.
3.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours doit être rejeté.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1, 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour civile II.
Lausanne, le 11 mars 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Piaget