Sachverhalt:
A.
Die 1969 geborene F._ war bis 30. Juni 2009 beim Kanton Schwyz angestellt und bei der Pensionskasse des Kantons Schwyz berufsvorsorgeversichert. Seit 1. Juli 2009 arbeitet sie zu 60 % bei der X._ AG. Am 31. Juli 2009 wurde ihre Austrittsleistung in der Höhe von Fr. 100'528.95 an die Vorsorgeeinrichtung der neuen Arbeitgeberin, die Pensionskasse der Ascoop (Pensionskasse des Personals schweizerischer Transportunternehmungen), überwiesen.
Mit Wirkung auf den 31. Dezember 2009 kündigte die X._ AG den Anschlussvertrag für ihr Personal mit der Pensionskasse der Ascoop. Seit 1. Januar 2010 ist sie für die Durchführung der beruflichen Vorsorge der Helvetia Sammelstiftung angeschlossen. Die Pensionskasse der Ascoop überwies der Helvetia Sammelstiftung eine wegen Unterdeckung reduzierte Austrittsleistung in der Höhe von Fr. 92'745.10. Aus einem Risikoschwankungsfonds wurde die Austrittsleistung um Fr. 3'493.10 aufgestockt, so dass per 1. Mai 2010 ein Guthaben von Fr. 96'238.20 bestand. F._ und die Pensionskasse der Ascoop waren sich in der folgenden Korrespondenz uneinig über die Höhe der Austrittsleistung.
Am 13. Dezember 2010 verfügte das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) die Liquidation der Pensionskasse der Ascoop.
B.
Am 10. Januar 2011 erhob F._ Klage gegen die Pensionskasse der Ascoop in Liquidation mit dem Rechtsbegehren, diese sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 5'771.10 zuzüglich Zinsen zurückzuerstatten. Des Weitern ersuchte sie am 23. Mai 2011 um Sicherstellung einer Parteientschädigung von Fr. 4'000.- und des eingeklagten Forderungsbetrages zuzüglich Zins im Sinne einer vorsorglichen Massnahme. Mit Entscheid vom 1. Juni 2011 schrieb das Verwaltungsgericht des Kantons Bern das Gesuch um eine vorsorgliche Massnahme als gegenstandslos geworden ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es verpflichtete die Pensionskasse der Ascoop in Liquidation, den Betrag von Fr. 5'771.10 zuzüglich Zins zu 2 % seit 1. Januar 2010 zu Gunsten von F._ an die Helvetia Sammelstiftung zu überweisen (Dispositiv-Ziffer 2).
C.
Die Pensionskasse der Ascoop in Liquidation lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei - unter Kosten- und Entschädigungsfolgen - der kantonale Entscheid aufzuheben, die Klage abzuweisen und F._ zu verpflichten, ihr eine Entschädigung für ihre Aufwendungen in erster Instanz zu bezahlen. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Sachverhaltsergänzung und Entscheidung an das kantonale Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
F._ und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das BSV äussert sich zur Frage des Vorgehens bei Teilliquidation einer untergedeckten Vorsorgeeinrichtung, ohne einen formellen Antrag zu stellen.
D.
Auf Gesuch der Pensionskasse der Ascoop in Liquidation hin hat die Instruktionsrichterin der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt (Verfügung vom 12. Oktober 2011).
E.
Am 16. Mai 2012 wurde eine publikumsöffentliche Beratung durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Die Behebung des Mangels muss für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (vgl. <ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2.
2.1. Als die Beschwerdegegnerin ihre Stelle bei der X._ AG am 1. Juli 2009 antrat, brachte sie ihre Austrittsleistung (per 31. Juli 2009: Fr. 100'528.95) in die Beschwerdeführerin als neue Vorsorgeeinrichtung ein (vgl. Art. 2 Abs. 1 FZG in Verbindung mit Art. 3 Abs. 1 FZG). Die Auflösung des Anschlussvertrages durch die X._ AG löste - wie unbestritten ist - eine Teilliquidation der Beschwerdeführerin aus (Art. 53 [recte: 53b] Abs. 1 lit. c BVG; vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 2.1.3 S. 117; Jürg Brühwiler, Obligatorische berufliche Vorsorge, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2. Aufl. 2007, S. 2010 Rz. 35). Infolge Unterdeckung wurde die Austrittsleistung nur im Umfang des (am Aufhebungsdatum bestehenden) Deckungsgrades an die neue Vorsorgeeinrichtung mitgegeben.
2.2. Klageweise forderte die Beschwerdegegnerin unter dem Titel "Einforderung von überhöhter Freizügigkeitsleistung bei Eintritt, ev. unzulässige Anwendung der Unterdeckung auf eingebrachte Freizügigkeitsleistung bei Eintritt" von der Pensionskasse der Ascoop in Liquidation die Erstattung des Betrages von Fr. 5'771.10. Sie machte geltend, mit der Kürzung der Austrittsleistung sei ihr ein Schaden entstanden, weil die Pensionskasse ihr keine Gelegenheit eingeräumt habe, bei Eintritt lediglich einen Teil des Vorsorgeguthabens einzubringen. Demgegenüber vertrat die Pensionskasse die Auffassung, ein sog. Exzedent nach Art. 13 FZG habe gar nicht vorgelegen; sie sei zu keiner Information verpflichtet gewesen.
Die Vorinstanz erwog, dass sich die Frage nach einem allfälligen Verschulden und einer Informationspflicht der Pensionskasse gar nicht stelle. Zu prüfen sei vielmehr die Berechnung der Austrittsleistung, namentlich die Berücksichtigung der Unterdeckung. Sie ermittelte den Mindestbetrag nach Art. 17 FZG (Fr. 102'176.85) und gelangte zum Ergebnis, dass die Pensionskasse mit der Austrittsleistung von Fr. 96'238.20 den Betrag von Fr. 5'938.65 zu wenig überwiesen habe. Das kantonale Gericht verpflichtete die Pensionskasse, der Helvetia Sammelstiftung (als neuer Vorsorgeeinrichtung) den von der Versicherten eingeklagten Betrag (Fr. 5'771.10) zu überweisen. Zu diesem Vorgehen war das kantonale Gericht - da es nicht über den Streitgegenstand hinausging - grundsätzlich befugt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 26 oben).
3.
Streitig und zu prüfen sind die Auswirkungen der Unterdeckung der Pensionskasse der Ascoop in Liquidation auf die Austrittsleistung der Beschwerdegegnerin.
3.1. Tritt ein Versicherter aus einer Vorsorgeeinrichtung aus, besteht, auch wenn sich diese in einer Unterdeckung befindet, grundsätzlich Anspruch auf die volle, ungekürzte Freizügigkeitsleistung, welche nach Art. 15-17 FZG berechnet wird. Der Versicherte erhält auf diese Weise eine Austrittsleistung, die nicht der tatsächlichen finanziellen Lage der Vorsorgeeinrichtung entspricht. Dies hat zur Folge, dass sich der Deckungsgrad zu Lasten der verbleibenden Versicherten verschlechtert (vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1.6 S. 118; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 82/04 vom 30. Juni 2005 E. 4.1, in: SVR 2006 BVG Nr. 5 S. 19; Hermann Walser, in: Schneider/Geiser/Gächter, BVG und FZG, 2010, S. 1585 N. 3 zu Art. 19 FZG; Carl Helbling, Personalvorsorge und BVG, 8. Aufl. 2006, S. 449; Hans-Ulrich Stauffer, Berufliche Vorsorge [nachfolgend: Vorsorge], 2005, S. 433 Rz. 1157; Derselbe, Berufliche Vorsorge zwischen Solidarität und Individualisierung [nachfolgend: Solidarität], in: Zukunft BVG, 2010, S. 130 ff., 138).
3.2. Liegt ein Teilliquidationsbestand vor, darf die Vorsorgeeinrichtung, die sich an den Grundsatz der Bilanzierung in geschlossener Kasse halten muss (was bei der Pensionskasse der Ascoop als privatrechtlicher Vorsorgeeinrichtung der Fall war [Art. 69 Abs. 1 BVG]), gemäss Art. 53d Abs. 3 BVG (in Kraft seit 1. Januar 2005; vgl. auch die bis Ende 2004 gültig gewesene Bestimmung des Art. 23 Abs. 3 FZG) versicherungstechnische Fehlbeträge anteilsmässig abziehen, sofern dadurch das Altersguthaben (Art. 15 BVG) nicht geschmälert wird (vgl. auch Art. 19 Satz 2 FZG; <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 116 f.; Brühwiler, a.a.O., S. 2011 f. Rz. 37; Walser, BVG und FZG, S. 1585 N. 6 ff. zu Art. 19 FZG; Derselbe, Sanierungsmassnahmen von Vorsorgeeinrichtungen und die Rechtsstellung der beruflich noch aktiven Versicherten, in: SZS 2009 S. 597 ff., 605; Helbling, a.a.O., S. 281; Stauffer, Vorsorge, S. 440 Rz. 1176 und S. 599 Rz. 1581; Derselbe, Solidarität, S. 138; Roland A. Müller, Rolle der Arbeitgeber bei Unterdeckung, in: SZS 2009 S. 573 ff., 591; Riemer/Riemer-Kafka, Das Recht der beruflichen Vorsorge in der Schweiz, 2. Aufl. 2006, S. 144 Rz. 131; Fritz Steiger, Die Teilliquidation nach Artikel 53b BVG, AJP 2007 S. 1051 ff., 1061).
Die Auffassung der Vorinstanz, wonach sich der Abzug des versicherungstechnischen Fehlbetrages nur auf dasjenige Deckungskapital bezieht, das bei der fraglichen Vorsorgeeinrichtung angehäuft wurde, findet weder im Wortlaut des Gesetzes noch in den Materialien (Botschaft vom 26. Februar 1992 zu einem Bundesgesetz über die Freizügigkeit in der beruflichen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge, BBl 1992 III 533 ff., S. 594 Ziff. 634.5) eine Stütze. Sie steht auch nicht im Einklang mit der Gesetzessystematik: Die effektive Austrittsleistung bestimmt sich anhand einer Vergleichsrechnung gemäss Art. 15-17 FZG. Hätte der Gesetzgeber die Unterdeckung per se nicht auf eingebrachten Freizügigkeitsleistungen in Abzug bringen wollen, hätte er dies unmittelbar in Art. 17 FZG geregelt. Demgegenüber hat er sowohl den Grundsatz der Gewährleistung der obligatorischen Vorsorge (Art. 18 FZG) als auch die Handhabe des versicherungstechnischen Fehlbetrags (Art. 19 FZG) von der Vergleichsrechnung ausgeklammert und dieser hintangestellt. Gegen die vorinstanzliche Auffassung spricht auch die versicherungstechnische Gegebenheit, dass es sich bei der Unterdeckung um eine Verhältniszahl des Vorsorgekapitals (bestehend aus dem Deckungskapital und den technischen Rückstellungen) zum verfügbaren Vermögen handelt (Art. 44 Abs. 1 BVV 2; Jürg Brechbühl, in: Schneider/Geiser/Gächter, a.a.O., S. 1053 f. N. 10 zu Art. 65 c BVG; Fachwörterbuch für die berufliche Vorsorge, 2. Aufl. 2010, S. 49 f.). Das Deckungskapital der aktiven Versicherten - welches hier im Vordergrund steht - wird dabei als Ganzes in die Berechnung der Verhältniszahl miteinbezogen. Der anteilsmässige Abzug des versicherungstechnischen Fehlbetrages bezieht sich somit grundsätzlich auf die volle Austrittsleistung und nicht nur auf dasjenige (Deckungs-) Kapital, das bei der fraglichen Vorsorgeeinrichtung angehäuft wurde (vgl. auch Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 20/97 vom 24. August 1999 E. 4, in: SVR 2000 BVG Nr. 1 S. 1; Isabelle Vetter-Schreiber, BVG, 2. Aufl. 2009, N. 11 zu Art. 53d BVG [proportional zum Altersguthaben]; Steiger, a.a.O., S. 1061 [Aufteilung aufgrund des Vorsorgekapitals]).
3.3. Im Weitern gilt es zu beachten, dass es sich bei den freien Mitteln und der Unterdeckung um ungleiche Grössen handelt. Die freien Mittel sind eine kollektive Grösse, erwirtschaftet aus beispielsweise Zins-, Risiko- oder Mutationsgewinnen. Sie gehören allen Destinatären der Stiftung (Arbeitnehmer, Rentner, Invalide und Ehemalige). Entsprechend besteht primär ein kollektiver Anspruch auf die freien Mittel. Das Deckungskapital, vor allem der hier interessierenden aktiven Versicherten, ist eine individuelle Grösse. Es wird jedem Einzelnen gutgeschrieben. Entsprechend besteht von vornherein ein individueller Anspruch darauf. Nur die Verteilung einer kollektiven Grösse bedarf eines Verteilschlüssels. Eine individuelle Grösse ist bereits verteilt. Eine Unterdeckung wird denn auch - im Gegensatz zu den freien Mitteln - regelmässig individuell weitergegeben (Art. 27g Abs. 3 BVV 2). Während sich in Bezug auf die freien Mittel die Frage stellt, wie der Überschuss unter allen Destinatären zu verteilen ist, stellt sich in Bezug auf die Unterdeckung die Frage nach der Finanzierung des individuellen Anspruchs (die freien Mittel sind bereits "finanziert"). Aufgrund dieser Unterschiedlichkeiten ist es somit nicht zwingend, die Verteilkriterien in Bezug auf die freien Mittel (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.2-4.5 S. 398 ff.) auch auf die Unterdeckung resp. Defizittragung anzuwenden. Würde diesbezüglich zum Beispiel ebenfalls auf die Dauer der Betriebszugehörigkeit abgestellt, so würde dies zu einer Querfinanzierung resp. Umverteilung führen, indem langjährige Mitarbeiter für einen Teil der Deckungslücke erst kurzzeitig Angestellter aufkommen müssten. Mit anderen Worten würde der individuelle Anspruch langjähriger Mitarbeiter übermässig reduziert. Eine solche Querfinanzierung resp. Umverteilung ist jedoch BVG-sachfremd.
3.4. Dass die Pensionskasse der Ascoop den Fehlbetrag (9.15 % gemäss Schlussabrechnung vom 20. April 2010) auf dem gesamten Vorsorgekapital aller am 31. Dezember 2009 austretenden aktiven Versicherten in Abzug gebracht hat und diese proportional mit ihrem gesamten Alterskapital an der Unterdeckung partizipierten, stimmt mit den dargelegten Grundsätzen (E. 3.2 und 3.3) überein. Insbesondere wurde damit das Altersguthaben der Versicherten gemäss Art. 15 BVG (Fr. 63'957.05 gemäss Austrittsabrechnung per 31. Dezember 2009) gewahrt. Das Vorgehen der Beschwerdeführerin steht auch mit den reglementarischen Vorschriften im Einklang. Denn die (den Verteilplan regelnde) Bestimmung des Art. 22 Teilliquidationsreglement sieht vor, dass der versicherungstechnische Fehlbetrag grundsätzlich proportional zum Sparguthaben bzw. zum Deckungsgrad der betroffenen Personen verteilt wird (wobei - hier nicht zur Diskussion stehende - getätigte Einkäufe, Vorbezüge für Wohneigentum sowie Auszahlungen infolge Scheidung berücksichtigt werden können). Sodann hält die proportionale Umlegung des Unterdeckungsgrades auf alle am Stichtag der Vorsorgeeinrichtung angehörenden aktiven Versicherten auch dem Gleichbehandlungsgebot stand: Die austretenden und die verbleibenden Destinatäre werden rechtsgleich behandelt, indem deren Bilanz den gleichen Deckungsgrad wie die Bilanz zur Feststellung des tatsächlichen Vermögens vor der Teilung aufweist (Steiger, a.a.O., S. 1061; Ueli Kieser, in: Schneider/Geiser/Gächter, a.a.O., S. 878 N. 45 zu Art. 53d BVG; Fachrichtlinien für Pensionsversicherungsexperten, Stand 1. Januar 2009, FRP 3 Teilliquidation, S. 18 und 21 f. [Beispiel 2 der Erläuterungen]). Das Gleichbehandlungsgebot ist auch unter den austretenden Versicherten gewahrt, indem sie alle gleichmässig am Defizit resp. an der Unterdeckung partizipieren.
3.5. Bei dieser Rechtslage geht die Sache - um den Parteien nicht eine Rechtsmittelinstanz vorzuenthalten - zurück an das kantonale Gericht, damit es über die Klage beziehungsweise die offen gelassenen Punkte (neu) befinde. Dabei wird vorab abzuklären sein, ob die Versicherte zu Recht davon ausgeht, die Austrittsleistung aus dem früheren Vorsorgeverhältnis sei so hoch gewesen, dass sie nicht vollständig für den Einkauf in die vollen reglementarischen Leistungen benötigt worden sei, so dass ein Teil übrig gewesen sei (sog. Exzedent; vgl. Art. 13 FZG; vgl. dazu auch Walser, BVG und FZG, S. 1565 N. 1 zu Art. 13 FZG), was die Vorsorgeeinrichtung unter Hinweis darauf, die Versicherte sei mit dem Modul R1 versichert gewesen, bestreitet. In diesem Punkt sind die Akten nicht schlüssig. Gelangt die Vorinstanz zum Ergebnis, dass ein Exzedent bestand, wird sie weiter zu prüfen haben, inwieweit die Vorsorgeeinrichtung die Versicherte darüber bzw. über die Möglichkeiten, den Vorsorgeschutz in anderer Form aufrechtzuerhalten (vgl. Art. 13 Abs. 1 FZG), zu informieren hatte, und gegebenenfalls, ob sie dieser Pflicht nachgekommen ist.
Offenbleiben kann unter diesen Umständen, inwieweit die Vorinstanz mit ihrer Berechnung einen neuen Aspekt eingebracht hat, mit dem die Beschwerdeführerin nicht hätte rechnen müssen und zu welchem sie deshalb vorgängig grundsätzlich anzuhören gewesen wäre, oder inwieweit eine allfällige Gehörsverletzung als geheilt gilt.
4.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).
Nach <ref-law> wird Behörden oder mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen keine Parteientschädigung zugesprochen, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegen. Dies gilt auch für die Träger oder Versicherer der beruflichen Vorsorge gemäss BVG (<ref-ruling> E. 4a S. 150). Vom Grundsatz des fehlenden Parteientschädigungsanspruchs weicht die Rechtsprechung nur ab, wenn die besondere Art des Prozesses die Zusprechung von Parteikosten rechtfertigt (Urteil 9C_920/2008 vom 16. April 2009 E. 7, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 BVG Nr. 30 S. 109), wie beispielsweise in Verfahren um Rückforderungen des Sicherheitsfonds für sichergestellte Leistungen (Urteil 9C_920/2008 vom 16. April 2009 E. 7 mit Hinweis auf Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 10/05 vom 30. März 2006 E. 10.2, in: SVR 2006 BVG Nr. 34 S. 131). Da der vorliegende Streit um die Höhe der Austrittsleistung keine derartige Besonderheit aufweist, kann die Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung beanspruchen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 1. Juni 2011 wird aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Klage neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Mai 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann