Erwägungen:
1.
A._, 1966 geborener britischer Staatsangehöriger, reiste am 11. Juli 2007 in die Schweiz ein und erhielt eine bis zum 10. Juli 2012 gültige Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA zum Zweck der unselbstständigen Erwerbstätigkeit. Nach der Einreise arbeitete er drei Wochen als Pizzaiolo; seither hat er nie mehr gearbeitet. Seit Oktober 2009 war zu er 100 % arbeitsunfähig; ein Gesuch um Ausrichtung einer IV-Rente wurde am 16. Dezember 2011 rechtskräftig abgewiesen. Seit Ende 2007 lebt er ausschliesslich von Sozialhilfe.
Mit Verfügung vom 6. August 2013 lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Der dagegen erhobene Rekurs blieb erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 11. März 2014), und mit Urteil vom 4. Juni 2014 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Entscheid der Sicherheitsdirektion erhobenen (durch zwei Anwälte verfassten) Beschwerden von A._ ab. Ebenso wurde dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht stattgegeben.
Mit Beschwerde vom 17. Juli 2014 beantragt A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; "es sei die unentgeltliche Verbeiständung gutzuheissen".
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>).
2.1.1. Der Beschwerdeführer ist Staatsangehöriger des Vereinigten Königreichs, eines EU-Mitglieds. Er kann sich im Hinblick auf seine Anwesenheit in der Schweiz an sich auf das Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) berufen. Ihm wurde denn auch im Juli 2007 eine Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA erteilt. Den mit der Bewilligungserteilung verbundenen Zweck der unselbstständigen Erwerbstätigkeit (Art. 6 Anhang I FZA) erfüllte er bereits nach wenigen Wochen nicht mehr. Auch die Voraussetzungen für einen erwerbslosen Aufenthalt (Art. 24 Anhang I FAZ) sind nicht erfüllt. Offenbar hat der Beschwerdeführer bereits vor der Vorinstanz weitgehend anerkannt, dass er sich nicht auf das FZA berufen kann (E. 2 des angefochtenen Urteils). Einen völkerrechtlichen Anspruch macht er jedenfalls vor Bundesgericht nicht geltend, und seinen heutigen Ausführungen lassen sich keine Anhaltspunkte für einen allfälligen derartigen Bewilligungsanspruch entnehmen. Er befasst sich in keiner Weise mit <ref-law>; er nimmt diese Bestimmung nicht zur Kenntnis und argumentiert in verfahrensrechtlicher Hinsicht vielmehr allein mit dem hier nicht massgeblichen Bundesgesetz vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG). Materiell macht er geltend, die Aufenthaltsbewilligung müsse ihm angesichts seiner gesundheitlichen Probleme als Härtefallbewilligung im Sinne von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG bzw. <ref-law> verlängert werden. Auch diese Bestimmungen räumen keinen Rechtsanspruch auf Bewilligungserteilung ein (Urteil 2C_400/2011 vom 2. Dezember 2011 E. 2.1.2; neuestens Urteil 2C_107/2014 vom 4. Februar 2014 E. 2.2 mit Hinweis).
Da sich der Beschwerdeführer auf keine Norm des Landes- oder Völkerrechts beruft bzw. berufen kann, die ihm einen Anspruch auf Bewilligungsverlängerung verschaffte, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Anwendung von <ref-law> unzulässig. Dies gilt angesichts des Grundsatzes der Einheit des Prozesses (<ref-ruling> E. 3 S. 144; <ref-ruling> E. 1.3 S. 195; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.) auch, soweit der Beschwerdeführer die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung durch die Vorinstanz bemängelt.
2.2. Damit steht als bundesrechtliches Rechtsmittel allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zur Verfügung (<ref-law>). Mit diesem Rechtsmittel kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>); entsprechende Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Der Beschwerdeführer, dem mangels Rechtsanspruch auf Bewilligungsverlängerung ohnehin weitgehend die Legitimation zur Verfassungsbeschwerde fehlte (<ref-law>, dazu <ref-ruling>), legt nicht dar, welches verfassungsmässige Recht inwiefern durch das angefochtene Urteil verletzt worden sei. Die Rechtsschrift enthält keine im Rahmen der Verfassungsbeschwerde zulässige Rüge.
2.3. Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.4. Dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Prozessführung kann wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG).
Damit sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller