Sachverhalt:
A. Die Mineral- und Heilbad Unterrechstein AG (im Folgenden: Bauherrschaft) ist Eigentümerin des gleichnamigen Heilbads in der Gemeinde Grub (AR). Im Erdgeschoss der Liegenschaft besteht eine Bäderlandschaft in einer Halle. Das Untergeschoss weist auf der Südwestseite einen Saunabetrieb auf (im Folgenden: alte Sauna). Der für das Publikum bestimmte Haupteingang zum Gebäude befindet sich bei der nordwestlichen Ecke; unmittelbar dahinter liegt der Kassenbereich. Der Zutritt zur alten Sauna erfolgt ab dem Bereich der Garderoben für das Heilbad. Im Jahr 2003 wurde die Liegenschaft im Rahmen der Erweiterungsetappe 1A mit einem bewilligten Aussenbad ergänzt. Zum Aussenbad gelangt das Publikum aus der Badehalle. Am 12. Mai 2006 erteilte der Gemeinderat Grub die Baubewilligung für die Erweiterungsetappe 1B. Dabei handelt es sich um einen Um- und Anbau im Untergeschoss auf der Nordostseite; darin wird ebenfalls ein Saunabetrieb untergebracht (im Folgenden: neue Sauna). Die neue Sauna ist für das Publikum ausschliesslich über eine vorbestehende Treppe ab der Badehalle erschlossen.
B. Am 1. Januar 2004 ist das Bundesgesetz über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen vom 13. Dezember 2002 (BehiG; SR 151.3) in Kraft getreten. Im Rahmen des Baubewilligungsverfahrens für die neue Sauna hatte die Procap (ehemals: Schweizerischer Invaliden-Verband) die uneingeschränkte und ungehinderte Zugänglichkeit und Benützbarkeit der ganzen Anlage für Mobilitätsbehinderte und Sinnesbehinderte verlangt und eine entsprechende Einsprache eingelegt. Der Gemeinderat erachtete das Anliegen für den Bereich der neuen Sauna und unter Berücksichtigung des eingerichteten Plattformlifts für die Treppe als erfüllt; insoweit erklärte er die Einsprache am 12. Mai 2006 für gegenstandslos. Gleichzeitig lehnte er das Begehren ab, soweit es das Erdgeschoss betraf.
C. Die Procap rekurrierte gegen den kommunalen Entscheid an das Departement Bau und Umwelt des Kantons Appenzell A.Rh. Dieses entzog dem Rekurs am 16. Juni 2006 die aufschiebende Wirkung; in der Folge wurde die Erweiterungsetappe 1B realisiert. Mit Entscheid vom 15. August 2006 hiess das Departement den Rekurs teilweise gut. Es erwog zusammengefasst, nicht nur der Anbau selbst, sondern auch alle der Nutzung dieses Gebäudeteils dienenden Bereiche des Hauptbaus hätten behindertengerechten Anforderungen zu entsprechen. Dies sei jedoch bei den bestehenden Badeanlagen nicht der Fall; sie müssten nicht angepasst werden.
D. Das Verwaltungsgericht des Kantons Appenzell A.Rh. wies die gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde der Procap mit Urteil vom 30. Mai 2007 in der Sache ab. Dabei stellte es fest, dass insoweit nur noch die Forderung nach Einstieghilfen in das Innen- und das Aussenbad umstritten war; die Bauherrschaft hatte den Rekursentscheid akzeptiert. Im Hinblick auf die Kostenverlegung nahm das Verwaltungsgericht im genannten Urteil eine Korrektur am Rekursentscheid vor.
E. Mit Eingabe vom 31. Januar 2008 führt die Procap beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie verlangt die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils. Die Gemeinde sei anzuweisen, die Baubewilligung mit einer Auflage zu versehen, wonach für das Innen- und das Aussenbad ein behindertengerechter Badeeinstieg zu erstellen sei; eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht oder an die erste Instanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Die Bauherrschaft ersucht um Abweisung der Beschwerde; das Verwaltungsgericht stellt sinngemäss denselben Antrag. Der Gemeinderat und das kantonale Departement haben Verzicht auf eine Vernehmlassung erklärt. Im zweiten Schriftenwechsel haben die Parteien an ihren Begehren festgehalten, ohne sich nochmals zur Sache zu äussern.

Erwägungen:
1. Auf das Beschwerdeverfahren ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) anwendbar (vgl. <ref-law>). Der angefochtene, kantonal letztinstanzliche Endentscheid betrifft eine Baubewilligung. Hiergegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 411 mit Hinweisen). Die Procap ist im Verzeichnis der nach BehiG beschwerde- und klageberechtigten Behindertenorganisationen aufgeführt (Art. 5 und Anhang 1 der Verordnung vom 19. November 2003 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen [BehiV; SR 151.31]). Sie ist im vorliegenden Zusammenhang zur Beschwerdeerhebung an das Bundesgericht befugt (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerde wirft die Frage auf, ob es eine Diskriminierung von Mobilitätsbehinderten bedeutet, wenn die Bauherrschaft im Rahmen des Projekts für die neue Sauna nicht verpflichtet wird, auch die vorbestehenden Becken des Hallen- und des Freibads mit geeigneten Einstieghilfen auszustatten. Dabei macht die Beschwerdeführerin ausschliesslich eine Verletzung von Bundesrecht geltend. Ihre Rügen betreffen das Diskriminierungsverbot nach <ref-law> sowie Bestimmungen des BehiG. Derartige Rügen sind nach <ref-law> zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 203).
2.2 Die Normen des BehiG geben - von hier nicht betroffenen Ausnahmen abgesehen - lediglich grundsätzliche Regeln und Rahmenbedingungen zur Umschreibung des Diskriminierungsverbots gegenüber Behinderten vor; diese Bestimmungen erfordern kantonalrechtliche materielle Bauvorschriften, um im konkreten Fall anwendbar zu sein (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 und 2.3.3 S. 84 f.). Das angefochtene Urteil stützt sich denn auch zur Hauptsache auf die kantonale Baugesetzgebung. Das kantonale Baugesetz vom 12. Mai 2003 (BauG/AR; bGS 721.1) ist - wie das BehiG - am 1. Januar 2004 in Kraft getreten. In Art. 117 BauG/AR sind Vorschriften für eine behindertengerechte Bauweise, unter anderem für Bauten mit Publikumsverkehr und öffentlichem Zugang, verankert. Nach Art. 117 Abs. 1 BauG/AR sind derartige Bauten und Anlagen so zu gestalten, dass ihre Benützung auch Personen mit Behinderungen möglich ist. Mit Bezug auf Umbauten regelt Art. 117 Abs. 2 BauG/AR, dass auf eine behindertengerechte Bauweise verzichtet werden kann, wenn der Aufwand und die Mehrkosten unverhältnismässig wären oder denkmalpflegerische Gründe dagegen sprechen. Die Beschwerdeführerin geht mit dem angefochtenen Urteil soweit einig, dass das einschlägige kantonale Recht im Hinblick auf die Forderung, auch die Becken des Heilbads nachzurüsten, nicht über die in <ref-law> bzw. im BehiG enthaltenen Mindestvorgaben hinausgeht.
2.3 Die Auslegung von <ref-law> und des BehiG prüft das Bundesgericht frei. In diesem Zusammenhang ist aber <ref-law> zu beachten, wonach Bundesgesetze für das Bundesgericht massgebend sind. Das schliesst die Anwendung allgemein anerkannter Auslegungsprinzipien nicht aus (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 310 mit Hinweisen). Ausgangspunkt jeder Auslegung bildet der Wortlaut der Bestimmung. Ist der Text nicht ganz klar und sind verschiedene Interpretationen möglich, so muss nach seiner wahren Tragweite gesucht werden unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente. Dabei dienen die Gesetzesmaterialien als Hilfsmittel, um den Sinn der Norm zu erkennen. Das Bundesgericht hat sich bei der Auslegung von Erlassen stets von einem Methodenpluralismus leiten lassen und nur dann allein auf das grammatische Element abgestellt, wenn sich daraus zweifelsfrei die sachlich richtige Lösung ergab (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 10 f. mit Hinweisen). Sind mehrere Lösungen denkbar, ist jene zu wählen, die der Verfassung entspricht. Allerdings findet die verfassungskonforme Auslegung - auch bei festgestellter Verfassungswidrigkeit - im klaren Wortlaut und Sinn einer Gesetzesbestimmung ihre Schranke (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 221, 697 E. 4.1 S. 703, je mit Hinweisen).
3. 3.1 Das Diskriminierungsverbot (<ref-law>) verbietet dem Staat, Menschen wegen ihrer Behinderung qualifiziert ungleich zu behandeln, indem an das Merkmal der Behinderung eine Benachteiligung geknüpft wird, die als Herabwürdigung oder Ausgrenzung zu verstehen ist (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 108 mit Hinweisen). Am Ausgangspunkt der vorliegenden Auseinandersetzung steht indessen nicht eine staatliche Diskriminierung; der Streit betrifft vielmehr die behördliche Schutzpflicht im Verhältnis unter Privaten. Geklärt werden soll, in welchem Umfang - mittels Auflagen im Rahmen einer Baubewilligung - eine faktische Benachteiligung von Behinderten auszugleichen ist, damit diese ein zwar öffentlich zugängliches, aber privates Gebäude benutzen können. Im Unterschied zu <ref-law> (Gleichberechtigung von Mann und Frau) enthält das Diskriminierungsverbot von <ref-law> kein Egalisierungsgebot (<ref-ruling> E. 6a S. 392; vgl. auch <ref-ruling> E. 5 S. 109 mit weiteren Hinweisen). Nach <ref-law> haben die Behörden dafür zu sorgen, dass die Grundrechte, soweit sie sich dazu eignen, auch unter Privaten wirksam werden. Die Frage nach der Tragweite dieser Verfassungsbestimmung geht hier in der Frage nach der richtigen Anwendung des BehiG auf. Der Bundesgesetzgeber hat im Rahmen dieses Erlasses den Mindestumfang der gerichtlich durchsetzbaren Ansprüche auf Abbau architektonischer Hindernisse bei bestehenden privaten Gebäuden verankert und dabei ausdrücklich an das Baubewilligungsverfahren angeknüpft.
3.2 Der Geltungsbereich des BehiG erfasst öffentlich zugängliche Bauten und Anlagen, für welche nach Inkrafttreten dieses Gesetzes eine Bewilligung für den Bau oder für die Erneuerung der öffentlich zugänglichen Bereiche erteilt wird (<ref-law>).
3.2.1 Wie sich aus <ref-law> und den Erläuterungen des Bundesamts für Justiz vom November 2003 zu dieser Verordnung (Erläuterungen, ad <ref-law>, S. 2) ablesen lässt, stimmt der Begriff der öffentlich zugänglichen Gebäude und Anlagen nach <ref-law> im vorliegenden Sachzusammenhang mit dem bundesrätlichen Entwurf überein (vgl. die Botschaft vom 11. Dezember 2000, BBl 2001 1715 ff., S. 1178). Darunter fallen auch Hallen- und Strandbäder, zu denen grundsätzlich alle Zugang haben, sofern sie die allenfalls bestehenden Voraussetzungen wie die Bezahlung einer Eintrittsgebühr erfüllen.
3.2.2 Was die Erneuerung bestehender Gebäude angeht, so weicht der Gehalt von <ref-law> vom bundesrätlichen Entwurf ab. Dieser Entwurf machte den gesetzlichen Geltungsbereich bei bestehenden Bauten noch vom finanziellen Umfang der Erneuerung abhängig (40 Prozent des Neuwerts des Gebäudes, vgl. Art. 2 Abs. 5 i.V.m. Art. 3 lit. a E-BehiG, BBl 2001 S. 1778, 1841). Der Ständerat stimmte diesem Entwurf zunächst am 2. Oktober 2001 mit einer redaktionellen Präzisierung zu (AB 2001 S 615, 617 f.). Der Nationalrat beschloss dann am 17. Juni 2002 die ersatzlose Streichung von Art. 2 Abs. 5 E-BehiG (vgl. AB 2002 N 932, 938 zu Art. 2 Abs. 5 und AB 2002 N 938-944 zu Art. 3 lit. a). Bei der Differenzbereinigung wählten die eidgenössischen Räte jedoch einen anderen Ansatz: Sie weiteten den gesetzlichen Geltungsbereich einerseits aus, indem nun kein minimales Investitionsvolumen mehr vorgeschrieben ist. Anderseits definierten sie diesen Geltungsbereich enger: Er ist auf bewilligungspflichtige Erneuerungen beschränkt; zudem muss die bewilligte Erneuerung die öffentlich zugänglichen Bereiche bzw. Räume betreffen. Wie der Berichterstatter im Ständerat anschaulich ausführte, kann nicht verlangt werden, dass auch der Eingang umgebaut wird, wenn eine (nicht öffentlich zugängliche) neue Küche installiert oder das Dach saniert wird (AB 2002 S 710). Dem entsprechenden Beschluss des Ständerats vom 23. September 2002 stimmte der Nationalrat am 25. November 2002 zu (AB 2002 N 1725 f.).
3.3 Im vorliegenden Fall besteht kein Zweifel, dass das betroffene Gebäude öffentlich zugänglich ist und das fragliche Umbauvorhaben an sich <ref-law> untersteht. Aus dem Gesetzeswortlaut geht allerdings nicht hervor, inwiefern mit dem Zugang im Sinne von <ref-law> auch die Benützbarkeit der öffentlich zugänglichen Bereiche eines Gebäudes bzw. einer Anlage hergestellt werden muss. Nach den erwähnten Erläuterungen zur BehiV hat der Bundesrat bewusst darauf verzichtet, den Begriff des Zugangs im Katalog der Definitionen von <ref-law> zu umschreiben. Dabei hatte er aber die Meinung, dass bei öffentlich zugänglichen Teilen von Gebäuden der vorliegenden Art die Benützbarkeit im Zugang inbegriffen ist (Erläuterungen, S. 4). Entsprechend statuiert Art. 117 Abs. 1 BauG/AR ausdrücklich, dass die Benützung von öffentlich zugänglichen Bauten und Anlagen mit Publikumsverkehr ermöglicht werden muss. Zu Recht haben die kantonalen Instanzen im Rahmen der hier zur Diskussion stehenden Baubewilligung Auflagen angeordnet, damit unter anderem Mobilitätsbehinderte die neuen Saunaanlagen und die dieser Nutzung dienenden Anlagen im unveränderten Altbau selbstständig benützen können. Folglich lassen sich auch die umstrittenen Einstieghilfen in die Badebecken unter den Begriff des Zugangs einordnen.
3.4 Im Mittelpunkt der Auseinandersetzung steht die Frage, inwiefern bauliche Anpassungen auch verlangt werden können, soweit sie nicht zwingend mit dem Umbauprojekt bzw. der bewilligungspflichtigen Erneuerung zusammenhängen. Die Beschwerdeführerin bezeichnet die Auslegung von <ref-law> in dieser Perspektive als Hauptthema ihrer Beschwerde. Streitentscheidend ist jedoch <ref-law>. Die letztgenannte Norm enthält die Rechtsansprüche, die durchgesetzt werden können, sofern ein Bauprojekt unter das BehiG fällt.
3.5 <ref-law> bestimmt, dass <ref-law> die Erstellung und die Änderung von Bauten und Anlagen betrifft, soweit sie einem kantonalen Bewilligungsverfahren unterstellt sind. Der Inhalt dieser Verordnungsbestimmung ist mehrdeutig. Das "soweit" kann gelesen werden als "sofern" oder als "insoweit"; auch eine Konsultation der Erläuterungen zur BehiV bringt keine Klärung. Die Tragweite von <ref-law> muss gedankenlogisch weiter gehen als das - unter Umständen nicht oder nicht vollständig behindertengerecht ausgestaltete - Umbauprojekt. Davon geht auch das Verwaltungsgericht aus. Grundsätzlich erfasst <ref-law> in einer ersten Grobbetrachtung das ganze Gebäude mit den nicht erneuerten Teilen. Eine andere Frage ist aber - und dies räumt auch die Beschwerdeführerin ein -, welche Rechtsfolgen daraus zu ziehen sind. Das Verwaltungsgericht begrenzt die Tragweite von <ref-law> im Ergebnis auf den Umfang der Anpassungen, die nach seiner Auslegung im Rahmen von <ref-law> zu gewährleisten sind. Diese Auffassung überzeugt und ist mit <ref-law> vereinbar. Der Gehalt von Art. 3 lit. a und von <ref-law> erweist sich mithin als deckungsgleich. Dies hat indessen den Nachteil, dass sich der Geltungsbereich des BehiG bei einem bestehenden Gebäude nicht leicht lokalisieren lässt, sondern erst am Schluss der Rechtsanwendung feststeht. Zu bestimmen bleibt somit, welche Rechtsansprüche <ref-law> verleiht.
4. 4.1 Nach <ref-law> kann bei der Erneuerung einer Baute oder Anlage im Sinne von <ref-law> verlangt werden, "dass die Benachteiligung [ergänze hier: im Hinblick auf die Benützbarkeit] unterlassen wird" ("qu'on s'abstienne de l'inégalité"; "che si rinunci allo svantaggio"). Es fällt auf, dass in <ref-law> nicht das Wort "beseitigt" verwendet wird. Im Gegensatz dazu steht dieses Wort in <ref-law>; diese letztere Norm bezieht sich auf das Zivilverfahren, mit dem die Beseitigung ("l'élimination"; "l'eliminazione") baulicher Hindernisse ausnahmsweise nach Realisierung des Bauvorhabens erwirkt werden kann. Bereits aus der Gegenüberstellung der beiden Bestimmungen lässt sich ableiten, dass es bei der Formulierung von <ref-law> nicht um eine Beseitigung aller vorbestehender architektonischer Hindernisse in einem Gebäude bzw. einer Anlage gehen kann. Diese Annahme wird bei Durchsicht der Materialien bestätigt.
4.2 Gemäss dem bundesrätlichen Entwurf, der noch einer ganz anderen Konzeption verpflichtet war (vgl. E. 3.2.2 hiervor), hätte gestützt auf Art. 7 Abs. 1 E-BehiG erwirkt werden können, dass der Gebäudeeigentümer die "Benachteiligung beseitigt" (BBl 2001 S. 1781, 1842). In der ersten ständerätlichen Beratung, die dem bundesrätlichen Entwurf zustimmte (vgl. ebenfalls E. 3.2.2 hiervor), wurde diese Wendung erweitert auf "Benachteiligung beseitigt oder unterlässt" (AB 2001 S 619; dem stimmte der Nationalrat zu: AB 2002 N 944). Entsprechend wurde auch im Zweckartikel von Art. 1 Abs. 1 ergänzt, dass mit dem Erlass nicht nur Benachteiligungen verringert oder beseitigt, sondern auch verhindert werden sollen (AB 2001 S 614; AB 2002 N 931 f.).
Als dann bei der Differenzbereinigung im Parlament der gesetzliche Geltungsbereich geändert worden ist, findet sich bereits nach der Fassung des Ständerats vom 23. September 2002 in Art. 7 Abs. 1 der Aspekt der Beseitigung nicht mehr (AB 2001 S 710 f.). Die weitere Differenzbereinigung drehte sich nicht mehr um diese Streichung, sondern nur noch um die Frage, inwiefern das erwähnte nachträgliche Zivilverfahren eröffnet werden sollte. Dabei ging es ebenfalls nicht um alle vorbestehenden Hindernisse im Gebäude, sondern nur um jene, die aus dem bewilligungspflichtigen Bauprojekt resultieren. Der Ständerat stand dem nachträglichen Zivilverfahren ablehnend gegenüber (vgl. das Votum von Bundesrätin Metzler in AB 2002 N 1728), während der Nationalrat daran festhielt (AB 2002 N 1726-1728). Daraufhin lenkte der Ständerat am 2. Dezember 2002 ein und schlug die heute in <ref-law> enthaltene Lösung vor (AB 2002 S 1071 f.). Dieser schloss sich der Nationalrat - mit Vorbehalten zum Wortsinn, die hier nicht von Bedeutung sind - am 4. Dezember 2002 an (AB 2002 N 1942-1944).
4.3 Aus den vorstehend beschriebenen Einzelheiten der parlamentarischen Beratung ergibt sich folgendes Gesamtbild: Nach dem bundesrätlichen Entwurf ging der Anspruch gemäss <ref-law> ursprünglich auf Beseitigung aller baulicher Hindernisse in einem Gebäude, wenn die 40 Prozent-Schwelle erreicht war. Ein solcher Anspruch hätte deshalb weit über das Bauprojekt hinausgewiesen. Aus Anlass dieser Erneuerung hätten auch alle übrigen Gebäudeteile hindernisfrei umgestaltet werden müssen. Anstatt einer solchen Alles-oder-Nichts-Lösung entschied sich die Bundesversammlung - offenbar mit Billigung der Behindertenorganisationen - für eine etappierte Anpassungspflicht bei bestehenden Gebäuden. Diese erfasst nur die Gebäude- und Anlagenteile, die vom bewilligungspflichtigen Bauvorhaben berührt sind (vgl. CAROLINE KLEIN, Die Rolle der Behindertenorganisationen bei der Schaffung des Behindertengleichstellungsrechts, in: LeGes 3/2004, S. 81 ff., 90). Dem Bundesgericht steht es nicht zu, sich im Anwendungsfall über diese gesetzgeberische Absicht hinwegzusetzen.
4.4 Der Beschwerdeführerin kann daher nicht gefolgt werden, wenn sie sinngemäss behauptet, <ref-law> setze keinen direkten Sachzusammenhang zwischen dem Bauprojekt und jener Bereiche voraus, die behindertengerecht nachgebessert werden müssten. Es vermag ihr nicht zu helfen, wenn sie sich für diese Meinung auf eine Lehrmeinung beruft (Alain Griffel, Bauen im Spannungsfeld zwischen Eigentumsgarantie und Bauvorschriften, ZBl 103/2002 S. 169 ff., 184 f.); es gilt zu berücksichtigen, dass jene Äusserung vor dem Erlass des BehiG erfolgt ist. Bereits aus demselben Grund erübrigt sich auch eine Auseinandersetzung mit dem von ihr erwähnten Entscheid des Zürcher Verwaltungsgerichts vom 17. November 1998 zur behindertengerechten Sanierung eines bestehenden Gebäudes bei einem Umbauprojekt (publ. in Baurechtsentscheide Kanton Zürich [BEZ] 19/1999 Nr. 2).
4.5 Demgegenüber hat das Verwaltungsgericht die einklagbaren Massnahmen bzw. Auflagen zu Recht nicht nur auf den direkt erneuerten oder angebauten Gebäudeteil selbst beschränkt. Da der Anbau vorliegend über keinen eigenen öffentlichen Eingang von aussen verfügt, mussten auch die übrigen Bereiche einbezogen werden, soweit letztere in diesem Rahmen eine Nutzungs- bzw. Zweckänderung erfahren. Auf diese Weise ist die gesetzliche Wendung "Benachteiligung unterlassen" richtigerweise ausdehnend zu interpretieren, ohne dass der verbindliche gesetzliche Rahmen überschritten wird. Die am Ausgang des kommunalen und kantonalen Verfahrens feststehenden Auflagen bezüglich des Altbaus beruhen auf dem Umstand, dass der Zweck der betroffenen Gebäudeteile aufgrund des Bauprojekts teilweise ändert. Die Beschwerdegegnerin räumt ein, dass ihr diese Auflagen im Vergleich zu den Investitionen für das Anbauprojekt keinen übermässigen Aufwand verursachen. Wenn sie sich diesen Auflagen unterzogen hat, so erfüllt sie nicht mehr als den ihr ohnehin obliegenden Umfang der Anpassungspflicht.
5. Anhand der ermittelten Grundsätze ist zu beurteilen, ob die Beschwerdegegnerin im Rahmen ihres Bauprojekts verpflichtet ist, die umstrittenen Einstieghilfen zu erstellen.
5.1 Beim Bauprojekt werden Hallen- und Freibad baulich nicht verändert. Zu prüfen ist höchstens, ob das Bauprojekt eine Nutzungsänderung bei diesen Bädern bewirkt. Die Beschwerdeführerin streicht den engen konstruktiven und funktionellen Zusammenhang zwischen dem Hauptbad und der neuen Sauna heraus. Sie weist darauf hin, dass sich die Besucher in den Umkleidekabinen umziehen und im Badeanzug durch die Halle, neben dem Hauptbecken des Innenbads vorbei, zum Abgang zur neuen Sauna begeben. Das Verwaltungsgericht hat diese Gegebenheiten nicht übersehen. Es erwog jedoch, die neue Sauna besitze im Untergeschoss eigene Fussbäder, Duschen, einen Eiscrash sowie einen eigenen Ruheraum. Die Benutzer der neuen Sauna seien auf die Benutzung von Innen- und Aussenbad nicht angewiesen. Ausserdem bleibe die vorbestehende, alte Sauna weiter in Betrieb. Die Einrichtung einer zweiten Saunalandschaft erweitere somit die Nutzungsmöglichkeiten des Hauptbades nicht. Daran ändere nichts, dass das Eintrittsticket derzeit zum Zugang zu allen Teilen der Anlage berechtige. Die Beschwerdegegnerin stimmt dem Verwaltungsgericht zu. Ihrer Ansicht nach gehören die bestehenden Bäder nicht zum zwingenden Angebot einer Sauna.
5.2 Hallenbad, Freibad und die beiden Saunaanlagen sind auch bei gemeinsamem Eingang baurechtlich einer getrennten Betrachtungsweise zugänglich. Die Halle des Innenbads erfährt insoweit eine Zweckänderung, als sie neben dem vorbestehenden Durchgang zum Freibad zusätzlich auch einen solchen zur neuen Sauna zu gewährleisten hat. Wie das Verwaltungsgericht zutreffend festgestellt hat, tangiert diese zusätzliche Raumnutzung der Badehalle die Badebecken selbst nicht in relevanter Weise. Es ist nicht zu beanstanden, wenn das Verwaltungsgericht eine Anpassungspflicht bezüglich Innen- und Aussenbad abgelehnt hat. Damit bleibt es dabei, dass sich Mobilitätsbehinderte für die Nutzung der neuen Sauna zwingend durch die Badehalle begeben müssen, ohne auch die darin befindlichen Badebecken selbstständig benutzen zu können. In ihrem subjektiven Empfinden dürfte allerdings die Ausgrenzung von der Badenutzung stärker augenfällig werden als vor der Realisierung der Erweiterungsetappe 1B, als ein hindernisfreier Zugang zum Gebäude noch nicht verlangt war. Dies gilt umso mehr, als z.B. Sinnesbehinderte im Gegensatz zu Mobilitätsbehinderten auf derartige Einstieghilfen nicht angewiesen sind; die Benützbarkeit der Gesamtanlage geht deswegen für verschiedene Kategorien von Behinderten nun unterschiedlich weit. In dieser Hinsicht mag das Ergebnis als unbefriedigend erscheinen. Es ergibt sich indessen aus der bundesgesetzlichen Regelung, an die das Bundesgericht gebunden ist.
5.3 Wie aus den Ausführungen bei E. 4.2 hiervor folgt, wäre einer Zivilklage nach <ref-law> auf Erstellung von Einstieghilfen in die bestehenden Bäder ebenfalls kein Erfolg beschieden. Diese Bestimmung erfasst lediglich die Beseitigung von Benachteiligungen, die aus dem Bauprojekt selbst hervorgehen.
Die Beschwerdeführerin stört sich vor allem daran, dass die Eintrittskarte für das ganze Bad gilt. Wie es sich mit der Tarifgestaltung verhält, hat das Verwaltungsgericht nicht im Einzelnen abgeklärt. Es spricht zwar einiges dafür, dass die Unmöglichkeit, ein separates bzw. billigeres Billett für die neue Sauna zu lösen, Mobilitätsbehinderte benachteiligen würde, weil sie die übrigen Angebote im Gebäudekomplex nicht selbstständig in Anspruch nehmen können. Diese Frage ist aber hier nicht weiter zu untersuchen und sie kann auch nichts am Ausgang des Verfahrens ändern. Im Rahmen einer Zivilklage nach Art. 8 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> liesse sich nicht einmal eine allfällige Diskriminierung bei den Eintrittspreisen beseitigen; noch viel weniger wäre das Begehren, auch die Badebecken nutzen zu können, durchsetzbar. Die Klage nach <ref-law> kann nur auf Entschädigung gehen; die Entschädigung beträgt höchstens Fr. 5'000.-- (<ref-law>). Der im Nationalrat gestellte Antrag, im Rahmen dieser Klage auch einen Beseitigungsanspruch vorzusehen, konnte sich nicht durchsetzen (AB 2002 N 944 f.; der Ständerat diskutierte die Frage in der Folge nicht mehr, vgl. AB 2002 S 711).
Das hier verfolgte Anliegen der Beschwerdeführerin vermag demzufolge mit den Rechtsansprüchen, die nach <ref-law> hinsichtlich des Baubewilligungsverfahrens gegeben sind, ebenso wenig durchzudringen.
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> ist das Verfahren vor Bundesgericht nicht von vornherein unentgeltlich. Angesichts des Ausgangs des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Besondere Umstände, derentwegen auf eine Kostenerhebung zu verzichten wäre, liegen nicht vor. Unter Berücksichtigung der massgeblichen Kriterien sind die Gerichtskosten innerhalb des von 200-1'000 Franken reichenden Rahmens (vgl. <ref-law>) auf Fr. 500.-- festzusetzen. Darüber hinaus hat die Beschwerdegegnerin Anspruch auf eine angemessene Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Grub, dem Departement Bau und Umwelt des Kantons Appenzell Ausserrhoden sowie dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet