Faits :
A.
Le 26 mars 2004, les époux E.E._, née le 5 juin 1929, et F.E._, né le 12 février 1926, ont signé un pacte successoral par devant A._, alors notaire à U._.
Selon l'art. 4 du pacte, " le notaire A._, à U._, à défaut son successeur " était désigné exécuteur testamentaire au décès du second des conjoints.
Le pacte a été déposé auprès du notaire le 1er avril 2004.
En juin 2008, A._ a renoncé à sa patente, avec effet immédiat.
E.E._ est décédée le 1er mai 2014. Le 5 juin 2014, la Justice de paix du district de U._ (ci-après: la Justice de paix) a délivré par erreur une attestation d'exécuteur testamentaire à A._ pour cette succession, attestation dont elle a constaté la nullité par courrier du 2 octobre 2014.
Le décès de F.E._ est survenu le 26 février 2015. Le même jour, A._ a transmis le pacte successoral à la Justice de paix, en précisant que F.E._ en avait confirmé le dépôt auprès de lui le 23 mars 2009 et " par voie de conséquence, dans son prolongement, le mandat d'exécuteur testamentaire contenu dans lesdites dispositions ". A._ déclarait accepter d'ores et déjà cette mission.
Par courrier de son agent d'affaires du 12 mars 2015, B._, fille du défunt, s'est opposée à la reconnaissance de A._ comme exécuteur testamentaire et à la délivrance d'une attestation de cette qualité.
Par courrier du 19 mars 2015, A._ a conclu à la confirmation de son mandat d'exécuteur testamentaire.
B.
Par décision du 1er avril 2015, la Justice de paix a rejeté la " requête en exécution testamentaire ", considérant, en substance, que A._ avait été désigné exécuteur testamentaire en sa qualité de notaire et non à titre personnel. Dès lors qu'il n'exerçait plus cette fonction et qu'il n'avait pas de successeur, la clause de désignation n'était pas valable.
Par arrêt du 30 avril 2015, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par A._.
C.
Par acte du 21 août 2015, A._ exerce un recours, non intitulé, au Tribunal fédéral. Il conclut, avec suite de frais et dépens, à la réforme de l'arrêt entrepris, en ce sens que " [sa] désignation en qualité d'exécuteur testamentaire selon le pacte successoral des époux E.E._ et F.E._ est confirmée et, par voie de conséquence, [sa] désignation en qualité d'exécuteur testamentaire de la succession de F.E._ [est prononcée] ".
Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
1.1. Bien que le mémoire porte uniquement la mention " recours " sans autre précision, le recourant se réfère expressément aux art. 72 et 75 LTF pour ce qui est de la recevabilité de son acte, suggérant ainsi qu'il entend déposer un recours en matière civile.
1.2. Le recours a été interjeté à l'encontre d'une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>), par un tribunal supérieur ayant statué sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire de nature pécuniaire (cf. arrêts 5A_257/2009 du 26 octobre 2009 consid. 1.3 [concernant la délivrance d'une attestation d'exécuteur testamentaire]; 5A_395/2010 du 22 octobre 2010 consid. 1.2.2 et les références [en matière de surveillance de l'exécuteur testamentaire]; 5A_787/2008 du 22 janvier 2009, consid. 1.1 [concernant la nomination d'un représentant de la communauté héréditaire]).
Contrairement aux exigences de l'art. 112 al. 1 let. d LTF, la décision de l'autorité précédente ne mentionne pas la valeur litigieuse. Il ressort toutefois des pièces du dossier cantonal que celle-ci est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 2 et 74 al. 1 let. b LTF; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 574; <ref-ruling> consid. 1.1.1 p. 62). Le recourant, qui a succombé devant la juridiction précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>).
1.3. Le Tribunal fédéral a admis que le refus de délivrer une attestation d'exécuteur testamentaire est une mesure provisionnelle au sens de l'<ref-law>, ladite attestation n'ayant qu'un caractère déclaratoire et servant uniquement de preuve quant à la désignation de l'exécuteur testamentaire et à l'acceptation par celui-ci de ses fonctions (arrêt 5A_257/2009 du 26 octobre 2009 consid. 1.4). Cela étant, la qualification d'une décision comme jugement au fond ou mesure provisionnelle ne dépend pas de la procédure dont émane cette décision, mais bien de l'effet - provisoire ou définitif - que celle-ci revêt pour la prétention en cause (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 731). En l'espèce, l'autorité cantonale a statué sur le fond, sans réserver l'interprétation définitive du testament à la connaissance du juge ordinaire dans une procédure ultérieure. Sans préjudice de la compétence matérielle de l'autorité cantonale sur ce point, la décision attaquée ne constitue pas une mesure provisionnelle.
2.
2.1. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 3 p. 415; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'<ref-law>, sous peine d'irrecevabilité, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104 s.). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si de tels griefs ont été invoqués et motivés par le recourant (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 310 s.), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 234).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Il peut compléter ou rectifier, même d'office, les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252), ou établies en violation du droit (<ref-law>), si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de nature appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s.; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3.
3.1. La cour cantonale a retenu que si le défunt avait voulu désigner le recourant ad personam en qualité d'exécuteur testamentaire, il n'aurait pas nommé " à défaut son successeur ", cette mention ne pouvant être comprise que comme le notaire successeur. Partant, lorsque le recourant avait perdu sa qualité de notaire, il n'avait plus rempli les conditions de désignation du pacte successoral. Par ailleurs, il n'était pas établi, notamment par un document signé, que l'un des conjoints au pacte avait confirmé le recourant dans ses fonctions d'exécuteur testamentaire après la renonciation de celui-ci à sa patente.
3.2. Le recourant conteste l'interprétation de l'autorité précédente. En substance, il soutient que la mention de la fonction de l'exécuteur testamentaire ne l'emporte pas sur la désignation nominale; que le défunt a clairement exprimé le souhait que sa succession bénéficie d'une exécution testamentaire et que celle-ci soit opérée par le recourant; que le changement de profession du recourant, qui a par ailleurs continué à être actif dans le domaine de l'exécution testamentaire, n'était qu'un élément secondaire aux yeux du défunt, celui-ci, une fois informé de la renonciation du notaire à sa patente, n'ayant pas modifié sa volonté.
3.3.
3.3.1. La désignation d'un exécuteur testamentaire contenue dans un pacte successoral garde son caractère de disposition unilatérale, donc modifiable et révocable en tout temps (KARRER/VOGT/LEU, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch II, 5e éd. 2015, no 2 ad <ref-law>; HANS RAINER KÜNZLE, in: Berner Kommentar, 2011, no 18 ad art. 517-518 CC; GUINAND/STETTLER/LEUBA, Droit des successions, 6e éd. 2005, no 520). Contrairement à ce que retient la cour cantonale, son interprétation obéit dès lors aux principes applicables en matière testamentaire, et non en matière contractuelle, et doit viser à déterminer la volonté réelle du disposant. Le juge doit partir du texte du testament, qui seul exprime valablement la volonté manifestée du disposant. Si celui-ci est clair, il n'a pas à recourir à d'autres éléments d'interprétation. En revanche, si les dispositions testamentaires manquent de clarté au point qu'elles peuvent être comprises aussi bien dans un sens que dans un autre, le juge doit interpréter les termes dont le testateur s'est servi en tenant compte de la logique interne du testament, voire de circonstances extrinsèques lorsque celles-ci permettent d'éclairer la volonté exprimée dans le texte, aussi confuse ou incomplète soit-elle; il peut également se référer à l'expérience générale de la vie et au principe du favor testamenti, selon lequel, entre deux solutions possibles, il faut choisir la plus favorable au maintien de l'acte (<ref-ruling> consid 3 p. 416 s. et les références). Le juge doit toutefois toujours rechercher la volonté réelle du disposant; une interprétation fondée sur le principe de la confiance, selon le sens compris de bonne foi par le destinataire de la déclaration de volonté, est exclue (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 108 et les références; <ref-ruling> consid. 2a p. 184). Le Tribunal fédéral revoit librement l'interprétation des dispositions de dernière volonté. Il est toutefois lié par les constatations de fait, dont peuvent être déduites la volonté interne du disposant et les motifs qui l'ont inspiré (<ref-ruling> consid. 2 p. 109; <ref-ruling> consid. 3a p. 39; <ref-ruling> consid. 2a p. 184 et les références).
3.3.2. En l'espèce, l'argumentation du recourant concernant la volonté du défunt s'appuie sur des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué, notamment lorsqu'il indique que le défunt ne se serait pas opposé à la délivrance de l'attestation d'exécuteur testamentaire au décès de son épouse et qu'il aurait collaboré avec lui pour le règlement de cette succession. En tant que ces éléments divergent de ceux retenus dans l'arrêt cantonal et qu'ils ne sont pas critiqués sous l'angle de l'établissement arbitraire des faits (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>), il n'en sera pas tenu compte (cf. supra consid. 2.2).
3.3.3. S'agissant de l'interprétation de la clause litigieuse, il convient de se référer en premier lieu à son texte, examiné dans son intégralité. Selon celui-ci, " le notaire A._, à U._, à défaut son successeur " est désigné exécuteur testamentaire. Dans ce contexte, le terme " successeur " ne peut être compris que comme " notaire successeur ".
Le Tribunal fédéral a jusqu'à présent laissé indécise la question de savoir si une telle clause était valable (<ref-ruling> consid. 3 p. 182). Dès lors que la désignation du notaire successeur résulte d'une décision officielle, ce qui est le cas dans le canton de Vaud (cf. art. 37 al. 2 LNo/VD et 20 al. 4 RLNo/VD, selon lesquels le Département des institutions et de la sécurité [auparavant le Département des institutions et des relations extérieures] ratifie la désignation du notaire successeur), partant que la personne du successeur est déterminable, la validité de la clause peut en principe être admise (cf. MICHEL MOOSER, La désignation des personnes dans les dispositions pour cause de mort, in Journée de droit successoral 2015, p. 143; BERNARD ABRECHT, Problèmes liés à la désignation d'un exécuteur testamentaire de substitution, successio 2008 p. 184 ss, qui souligne que l'exécuteur de substitution doit pouvoir être identifié sans équivoque; PAUL-HENRI STEINAUER, Le droit des successions, 2e éd. 2015, no 1165a, qui admet la validité de la clause désignant " le notaire X ou son successeur ").
Cela étant, le choix du notaire successeur comme exécuteur testamentaire de remplacement n'a de sens que si le premier exécuteur testamentaire est désigné par sa fonction (cf. dans ce sens, LISE FAVRE, in L'exécution testamentaire, Conférence de l'Institut de consultation notariale du 24 septembre 1998, p. 2, qui indique qu'un exécuteur testamentaire de remplacement " peut être le successeur de l'exécuteur testamentaire désigné par sa fonction "). Au demeurant, les faits retenus par la juridiction précédente ne permettent pas de déduire que le défunt aurait eu des liens particuliers avec le recourant, justifiant la désignation de celui-ci indépendamment de sa qualité de notaire, ou que, ensuite de la renonciation du recourant à sa patente, le défunt aurait " confirmé " sa désignation ad personam comme exécuteur testamentaire.
Dans ces circonstances, le recourant affirme à tort que la mention de " notaire " n'est qu'une simple expression erronée, qu'il serait possible de corriger, au même titre par exemple que la mention inexacte de l'adresse d'un héritier.
Partant, le recourant, qui a perdu sa qualité de notaire, ne peut être désigné exécuteur testamentaire sur la base de la clause litigieuse.
4.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et à la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 24 novembre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Feinberg