Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führt eine Strafuntersuchung gegen Y._ wegen Drohung und weiterer Straftaten. Am 2. Juli 2012 ersuchte die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich um Bestellung einer amtlichen Verteidigung für Y._. Mit Verfügung vom 4. Juli 2012 bestellte die Oberstaatsanwaltschaft Rechtsanwalt X._ als amtlichen Verteidiger. Mit Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich verlangte Y._, die Verfügung der Oberstaatsanwaltschaft vom 4. Juli 2012 sei aufzuheben und Rechtsanwalt Bernhard Hediger sei ihm als amtlicher Verteidiger beizugeben. Mit Beschluss vom 11. Oktober 2012 wies das Obergericht die Beschwerde ab. Eine gegen diesen Beschluss gerichtete Beschwerde in Strafsachen von Y._ hiess das Bundesgericht mit Urteil 1B_686/2012 vom 25. Januar 2013 gut. Das Obergericht wurde mit diesem Urteil zur neuen Beurteilung der Angelegenheit eingeladen, worauf es mit Beschluss vom 13. Februar 2013 Rechtsanwalt Bernhard Hediger als amtlichen Verteidiger von Y._ mit Wirkung auf den 3. Juli 2012 bestellte.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 21. März 2013 beantragt Rechtsanwalt X._ in eigenem Namen, der Beschluss des Obergerichts vom 13. Februar 2013 sei aufzuheben, und er sei als amtlicher Verteidiger von Y._ entsprechend der Verfügung der Oberstaatsanwaltschaft vom 4. Juli 2012 zu belassen.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft verzichten auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Y._, vertreten durch Rechtsanwalt Bernhard Hediger, beantragt im Wesentlichen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft eine Strafsache im Sinne von <ref-law> und wurde von einer letzten kantonalen Instanz gefällt (Art. 80 Abs. 1 und 2 BGG). Es handelt sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid, der das Strafverfahren nicht abschliesst. Angefochten ist lediglich die Bestellung der amtlichen Verteidigung. Für den Anwalt, dessen Ernennung als amtlicher Verteidiger widerrufen wird, kann der Entscheid einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> darstellen oder einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirkt (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 339). Im vorliegenden Fall liegt kein Widerruf der Ernennung des Beschwerdeführers als amtlicher Verteidiger vor. Vielmehr wurde seine Ernennung als amtlicher Verteidiger vom 4. Juli 2012 im Rechtsmittelverfahren gegen diese Verfügung vom Obergericht aufgehoben. Insoweit liegt für den Beschwerdeführer ein Endentscheid im Sinne von <ref-law> vor.
2.
Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Der amtliche Verteidiger ist in der nicht abschliessenden Aufzählung von <ref-law> nicht als zur Beschwerde berechtigte Person aufgeführt. Indessen anerkennt die Rechtsprechung ein rechtlich geschütztes Interesse des amtlichen Verteidigers im Sinne von <ref-law>, soweit es um seine Ansprüche aus der Ernennung zum amtlichen Verteidiger geht (namentlich Anspruch auf Entschädigung und eigene Verfahrensrechte bei Ausübung des Mandats; <ref-ruling> E. 5 S. 340 mit Hinweisen; vgl. Marc Thommen, Basler Kommentar BGG, 2. Auflage 2011, N. 75 zu Art. 81; kritisch Niklaus Schmid, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 2009, Rz. 1652 Fn. 515). In Bezug auf die Höhe der Entschädigung für die amtliche Verteidigung bejaht das Bundesgericht auch die Beschwerdeberechtigung der Staatsanwaltschaft (Urteil 6B_611/2012 vom 19. April 2013 E. 2, zur Publikation vorgesehen). Die erwähnte Rechtsprechung zur Legitimation des amtlichen Verteidigers bezieht sich auf Fälle, in welchen die Entschädigung des amtlichen Verteidigers umstritten ist oder die Beendigung eines Mandats als amtlicher Verteidiger zur Diskussion steht. Wurde ein Rechtsanwalt indessen nicht als amtlicher Verteidiger eingesetzt, so hat er kein rechtlich geschütztes Interesse, diesen Entscheid mit Beschwerde in Strafsachen anzufechten (Urteil des Bundesgerichts 1B_705/2011 vom 9. Mai 2012 E. 2 mit Hinweisen).
In der vorliegenden Angelegenheit wurde der Beschwerdeführer mit Verfügung der Oberstaatsanwaltschaft vom 4. Juli 2012 zum amtlichen Verteidiger ernannt. Diese Verfügung hat das Obergericht mit dem hier angefochtenen Beschluss vom 13. Februar 2013 aufgehoben und Rechtsanwalt Bernhard Hediger als amtlichen Verteidiger mit Wirkung auf den 3. Juli 2012 bestellt. Der Beschwerdeführer war in der vorliegenden Strafsache nicht für den Angeschuldigten tätig und beruft sich nicht auf einen Anspruch auf Entschädigung oder auf eigene Verfahrensrechte, die ihm als amtlicher Verteidiger zustehen würden. Er hat somit kein rechtlich geschütztes Interesse an der Beschwerdeführung im Sinne von <ref-law>, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
3.
Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat sowie der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Haag