Faits:
A. A._ et B._ sont propriétaires de la parcelle n° 1'563 du registre foncier de la commune de Grandson. Ce bien-fonds supporte un bâtiment d'habitation implanté en limite de propriété et en contiguïté avec le garage sis sur la parcelle voisine n° 1'564, propriété de C._ et D._, sur laquelle une maison d'habitation est également construite. Les parcelles n° 1'563 et n° 1'564 sont situées dans le secteur de construction I du plan de quartier "Au Revelin", approuvé par le Conseil d'Etat du canton de Vaud le 18 juin 1982 (ci-après: le plan de quartier). Sur ces terrains, ledit plan délimite le périmètre A6, à l'intérieur duquel une zone d'implantation en ordre contigu est obligatoire.
Le 18 février 2006, A._ et B._ ont requis l'autorisation de construire une véranda vitrée accolée à la façade sud de leur villa, en limite de propriété avec le bien-fond voisin n° 1'564. La toiture de la véranda serait aménagée par une terrasse dallée, accessible non seulement depuis l'intérieur de la véranda par un escalier, mais aussi depuis la chambre située au premier étage de l'habitation. La longueur de la véranda serait de 8 m 10, la largeur de 4 m et la hauteur de 2 m 60. Sur la façade est, en limite de propriété, la véranda se présenterait sous la forme d'une prolongation du mur pignon dont le sommet reprendrait la pente de la toiture existante.
Soumis à l'enquête publique du 21 mars au 10 avril 2006, ce projet a suscité l'opposition des propriétaires voisins C._ et D._, qui faisaient valoir, entre autres griefs, une violation des dispositions du règlement du plan de quartier (ci-après: le RPQ ou le règlement communal) relatives à l'ordre contigu. Par décision du 19 juillet 2007, la Municipalité de Grandson a levé l'opposition et délivré le permis de construire requis, moyennant la fermeture de la terrasse prévue sur le toit de la véranda par un verre non transparent, dans le but d'empêcher une vue plongeante sur la parcelle n° 1'564.
B. Le 27 juin 2008, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a annulé cette décision, sur recours des opposants.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et, subsidiairement, de renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision au sens des considérants. Ils se plaignent d'une application arbitraire des art. 4 et 9 RPQ (art. 9 Cst.), d'une atteinte à leur droit de propriété (art. 26 Cst.) et d'une violation du principe d'égalité de traitement (art. 8 Cst.).
Les intimés concluent au rejet du recours. La Municipalité de Grandson renonce à formuler des observations. Le 10 novembre 2008, le Tribunal cantonal transmet le dossier à la Cour de céans. Il conclut au rejet du recours après avoir requis trois prolongations de délai, nonobstant les exigences de célérité qui prévalent en matière d'administration de la justice, pour déposer de très brèves observations dans lesquelles il fait valoir un motif dont la portée est incertaine et qui ne figure pas précisément dans l'arrêt attaqué, à savoir que "la réglementation du plan de quartier offre d'importantes possibilités d'extension aux recourants A._ et B._, hors de l'ordre contigu, ce que l'inspection locale a permis de constater". Par courrier du 26 novembre 2008, les recourants concluent à l'irrecevabilité du motif précité et sollicitent un second échange d'écritures dans l'hypothèse où ce moyen devait être considéré comme recevable. Par lettre du 5 décembre 2008, les intimés concluent au rejet de la demande d'un second échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions, le recours est recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF. Aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée. Les recourants ont pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. Ils sont particulièrement touchés par l'arrêt attaqué qui annule l'autorisation de construire que la Municipalité de Grandson leur avait délivrée: ils peuvent ainsi se prévaloir d'un intérêt digne de protection à ce que cette décision soit annulée. Ils ont donc qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF.
Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont réunies, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière sur le fond. Au surplus, vu l'issue du recours, la requête d'un second échange d'écritures formulée par les recourants est sans objet.
2. Les recourants dénoncent une application insoutenable de l'art. 9 al. 1 et 4 RPQ, conduisant selon eux à leur refuser de façon arbitraire l'octroi du permis de construire sollicité.
2.1 Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal ou communal ne constitue pas un motif de recours. Elle peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF, telle que l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Sur ce point, la loi sur le Tribunal fédéral n'apporte aucun changement à la cognition du Tribunal fédéral qui était la sienne sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire (<ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 251). Appelé à revoir l'application faite d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 133; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 260), ce que les recourants doivent démontrer en vertu de l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 400).
2.2 L'art. 9 RPQ régit l'implantation et l'ordre des constructions dans le secteur de construction I. Aux termes de l'alinéa premier de cette disposition, "les bâtiments doivent s'inscrire à l'intérieur des zones fixées par le plan". A teneur de l'art. 9 al. 4 RPQ, "la contiguïté des constructions est obligatoire, là où elle est prévue par le plan". Il est précisé dans cet alinéa que "la contiguïté peut également être réalisée par les garages hors-sol". Le plan de quartier délimite quant à lui différents périmètres à l'intérieur desquels les constructions doivent s'implanter soit en ordre contigu, soit en ordre non contigu.
L'ordre contigu se caractérise le plus souvent par l'implantation sur un alignement d'immeubles adjacents élevés en limite de propriété et séparés par un mur mitoyen (Zen-Ruffinen/Guy-Ecabert, Aménagement du territoire, construction, expropriation, 2001, n° 887 p. 387; Alexander Ruch, Öffentlichrechtliche Anforderungen an das Bauprojekt, in: Beraten und Prozessieren in Bausachen, 1998, p. 258; Haller/ Karlen, Raumplanungs- und Baurecht nach dem Recht des Bundes und des Kantons Zürich, 1992, n° 670 p. 157; Jean-Luc Marti, Distances, coefficients et volumétrie des constructions en droit vaudois, thèse Lausanne, 1988, p. 41; Peter Dilger, Raumplanungsrecht der Schweiz, Handbuch für die Baurechts-und Verwaltungspraxis, 1982, n° 101 p. 59). L'ordre contigu peut cependant être défini d'une autre manière dans les communes qui disposent d'un plan de limites des constructions. Ce sont alors des périmètres qui délimitent des zones d'implantation, à l'intérieur desquelles les bâtiments doivent s'implanter en ordre contigu (cf. Marti, op. cit., p. 41). C'est ainsi que le plan de quartier de la commune de Grandson et le règlement y relatif définissent l'ordre contigu.
2.3 En l'espèce, le plan de quartier prévoit que les bâtiments d'habitation construits à l'intérieur du périmètre A6 doivent s'implanter en ordre contigu. Les recourants ont construit leur villa en respectant cette règle générale de l'art. 9 al. 4 RPQ puisque la façade est se trouve implantée en limite de propriété. Ils ont requis l'autorisation de construire une véranda en se soumettant à cette même règle. L'immeuble des intimés est quant à lui contigu par le garage à la villa des recourants, ainsi que le permet subsidiairement l'art. 9 al. 4 RPQ.
2.3.1 Après avoir rappelé les définitions susmentionnées de l'ordre contigu, le Tribunal cantonal expose la jurisprudence cantonale relative à la profondeur maximale du mur mitoyen, au-delà de laquelle une distance à la limite de propriété doit être respectée pour les façades non contiguës (voir notamment arrêt du Tribunal administratif du canton de Vaud du 1er juin 1992, in RDAF 1992, p. 485 et les arrêts cités). Il s'en écarte finalement au profit d'un examen des caractéristiques du cas particulier et des objectifs recherchés par la contiguïté, en tenant compte de l'ensemble des circonstances. Il arrive à la conclusion qu'"en l'absence de règles fixées par le plan de quartier sur la profondeur des murs mitoyens ou contigus, une nouvelle contiguïté ne peut être créée sur un espace aménagé selon les règles de l'ordre non contigu".
Argumentant que l'on se trouve précisément dans un cas où le règlement communal ne fixe pas de profondeur maximale pour le mur mitoyen, le Tribunal cantonal en déduit que l'adjonction d'une véranda aurait "pour effet de créer une contiguïté de fait dans un espace où la villa des [intimés] a été construite dans l'ordre non contigu", le projet contesté ne s'intégrant dès lors plus dans l'ordre contigu mais créant un prolongement excessif du mur mitoyen dans une situation de non-contiguïté, sans l'accord exprès du voisin, motif pour lequel le permis de construire devrait être annulé.
2.3.2 Ce faisant, sans mettre en cause le règlement communal, le Tribunal cantonal refuse d'appliquer les règles relatives à l'ordre contigu (art. 9 al. 4 RPQ) à un projet de construction qui se trouve clairement dans une zone où l'implantation en ordre contigu est imposée. Il estime au contraire que les règles de l'ordre non contigu seraient déterminantes. Pour s'écarter de l'art. 9 al. 4 RPQ, le Tribunal cantonal fonde son argumentation, d'une part, sur le fait que la configuration des deux constructions actuelles relèverait davantage de l'ordre non contigu que de l'ordre contigu. Ce motif est clairement contraire au droit, dès lors que lesdites constructions et le projet litigieux se situent dans le périmètre A6 du plan de quartier à l'intérieur duquel l'art. 9 al. 4 RPQ prévoit le caractère obligatoire de la construction en ordre contigu. L'instance précédente estime, d'autre part, que le plan de quartier et le règlement communal ne contiendraient aucune règle sur la profondeur du mur mitoyen. Cet argument n'est pas non plus soutenable, dès lors que le plan de quartier ne fixe pas de limite des constructions par rapport à la voie publique ou par rapport à un alignement, mais définit des périmètres délimitant des zones à l'intérieur desquelles les bâtiments doivent s'implanter en ordre contigu. La profondeur de la construction en limite de propriété est ainsi déterminée par le périmètre A6 du plan de quartier. Loin de contenir une lacune à ce sujet, le règlement communal et le plan de quartier imposent une extension de la construction existante le long de la limite de propriété à l'intérieur du périmètre A6. En niant l'application de l'art. 9 al. 4 RPQ à la situation litigieuse sans cependant remettre en cause la validité d'une telle disposition, l'instance précédente a versé dans l'arbitraire.
Le Tribunal cantonal motive également l'annulation du permis de construire par l'impact qu'aurait l'édification d'une "façade relativement imposante" en limite de propriété sur la parcelle voisine. Ce motif ne saurait constituer un élément déterminant pour éluder l'art. 9 al. 4 RPQ, puisque cette disposition impose précisément la construction en ordre contigu dans les zones délimitées par le plan de quartier, ce qui l'emporte sur l'intérêt du voisin à ne pas avoir de façade contiguë à la limite de la propriété.
Enfin, il ne pouvait échapper aux autorités communales et cantonales - qui ont respectivement élaboré et approuvé le règlement communal - que la coexistence des deux règles de contiguïté figurant à l'art. 9 al. 4 RPQ était susceptible de conduire à la situation qui fait l'objet du présent litige. A cet égard, les recourants relèvent à juste titre que dans sa décision du 19 juillet 2007, la Municipalité de Grandson a précisé que la contiguïté peut se faire sur une partie seulement des constructions et que ces dernières ne sont pas limitées par la profondeur des bâtiments existants.
2.4 Sur le vu de ce qui précède, le Tribunal cantonal applique de façon insoutenable les règles de la non-contiguïté dans une zone où le règlement communal prévoit de façon claire et contraignante l'application des règles de contiguïté. Il est en effet arbitraire de refuser l'autorisation de construire la véranda litigieuse, alors que cette construction respecte l'ordre contigu tel qu'il est prévu à l'art. 9 al. 4 RPQ. Par conséquent, le grief tiré d'une violation arbitraire de l'art. 9 al. 4 RPQ est bien fondé.
3. Le recours doit par conséquent être admis et l'arrêt attaqué annulé sans qu'il soit nécessaire de se prononcer sur la recevabilité et la pertinence des autres moyens invoqués par les recourants. Le Tribunal cantonal ayant laissé ouverte la question de la conformité du projet à d'autres dispositions du règlement communal, il y a lieu de lui retourner le dossier pour instruction complémentaire et décision sur la conformité à l'art. 9 al. 2 RPQ relatif à l'orientation des façades, voire aux art. 4 et 16 al. 1 RPQ concernant l'esthétique des constructions. Les intimés, qui succombent, doivent supporter les frais de la présente procédure (art. 65 al. 1 et 66 LTF). Ils verseront en outre une indemnité à titre de dépens aux recourants, qui obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 LTF), sous réserve d'une partie qui sera mise à la charge de l'Etat de Vaud, le Tribunal cantonal ayant fait valoir dans ses déterminations du 10 novembre 2008 un motif à la portée incertaine, qui a amené les recourants à présenter des observations complémentaires le 26 novembre 2008 (art. 68 al. 4 en lien avec l'art. 66 al. 3 LTF; cf. <ref-ruling> consid. 5 p. 407 et les références; Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, n° 43 ad art. 66; Thomas Geiser, Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, n° 25 ad art. 66).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis; l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à CHF 2'000.-, sont mis à la charge de C._ et D._.
3. Une indemnité de CHF 2'000.- est allouée aux recourants, à titre de dépens, à concurrence respectivement de CHF 1'700.- à charge de C._ et D._ et de CHF 300.- à charge de l'Etat de Vaud.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la Municipalité de Grandson, ainsi qu'à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 13 janvier 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Tornay