Sachverhalt:
A. Das Betreibungsamt Region Solothurn stellte Y._ in der gegen ihn laufenden Betreibung Nr. 1 am 5. Dezember 2007 durch die Post den Zahlungsbefehl zu. Auf dem Schuldnerexemplar des Zahlungsbefehls befindet sich in der für die Erhebung des Rechtsvorschlages vorgesehenen Rubrik die Unterschrift des Schuldners; eine Bescheinigung des zustellenden Beamten über die Erhebung des Rechtsvorschlages fehlt, währenddem auf dem Gläubigerdoppel "Kein Rechtsvorschlag" amtlich bescheinigt wird. Am 30. Januar 2008 erhielt der Schuldner die Pfändungsankündigung.
Am 19. Februar 2008 verfügte die Amtsschreiberei Region Solothurn bzw. das Betreibungsamt Region Solothurn (wiedererwägungsweise), der Rechtsvorschlag von Y._ werde als gültig anerkannt. Gegen diese Verfügung erhob X._ (Betreibungsgläubiger) Beschwerde. Die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn hiess die Beschwerde mit Urteil vom 22. April 2008 gut, hob die Verfügung des Betreibungsamtes Region Solothurn vom 19. Februar 2008 auf und wies das Betreibungsamt an, dem Fortsetzungsbegehren des Beschwerdegegners stattzugeben. Das Bundesgericht wies die von Y._ erhobenen Beschwerde in Zivilsachen mit Urteil 5A_316/2008 vom 18. August 2008 ab, soweit darauf eingetreten wurde.
B. Y._ gelangte am 8. Mai 2008 an das Betreibungsamt, erhob in der betreffenden Betreibung erneut Rechtsvorschlag und stellte am 9. Mai 2008 bei der Aufsichtsbehörde das Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist. Mit Urteil vom 25. August 2008 hiess die Aufsichtsbehörde das Gesuch gut und bewilligte in der Betreibung Nr. 1 den Rechtsvorschlag.
Mit Eingabe vom 8. September 2008 führt X._ Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 5A_597/2008). Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, der Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde vom 25. August 2008 sei aufzuheben und auf das Fristwiederherstellungsgesuch sei nicht einzutreten, eventualiter sei dieses abzuweisen.
Vernehmlassungen zu diesem Verfahren sind nicht eingeholt worden.
C. Mit Beschluss vom 17. Oktober 2008 wies die kantonale Aufsichtsbehörde das Betreibungsamt von Amtes wegen an, in der Betreibung Nr. 1 den Rechtsvorschlag des Schuldners Y._ zuzulassen.
Mit Eingabe vom 3. November 2008 führt X._ ebenfalls Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 5A_745/2008). Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, es sei die Nichtigkeit des Beschlusses der kantonalen Aufsichtsbehörde vom 17. Oktober 2008 festzustellen; eventualiter sei der Beschluss aufzuheben.
Y._ (Beschwerdegegner) und die Aufsichtsbehörde beantragen in diesem Verfahren die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. Die Beschwerden richten sich gegen Entscheide, die zwischen den gleichen Parteien ergangen sind und in einem verfahrensmässigen Zusammenhang stehen; zudem wird sowohl in den angefochtenen Entscheiden als auch in den Beschwerdebegründungen aufeinander Bezug genommen. Unter diesen Umständen rechtfertigt sich die Vereinigung der Beschwerden (vgl. Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 BZP; <ref-ruling> E. 1 S. 217).
2. 2.1 Die Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig vom Streitwert der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG).
2.2 Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden sind nicht nur Beschwerdeentscheide (Art. 17 f. SchKG), sondern liegen auch vor, wenn die kantonale Aufsichtsbehörde Entscheidungen trifft, welche ihr vom Bundesrecht - wie in Art. 33 Abs. 4 SchKG betreffend die Wiederherstellung einer Frist - zugewiesen werden. Indem das BGG in seinem Anhang (Art. 131 Abs. 2 BGG) Art. 13 SchKG nicht geändert hat, wurde die Möglichkeit einer einzigen kantonalen Aufsichtsbehörde - wie im Kanton Solothurn - und damit eine Ausnahme vom doppelten Instanzenzug (Art. 75 Abs. 2 BGG) sanktioniert. Soweit die kantonale Aufsichtsbehörde das Betreibungsamt von Amtes wegen (Art. 22 SchKG) angewiesen hat, in der Betreibung den Rechtsvorschlag des Beschwerdegegners zuzulassen, handelt es sich um individuell-konkrete, in das hängige Vollstreckungsverfahren eingreifende Anordnungen der Aufsichtsbehörde (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 127). Ob solche Anordnungen kraft Aufsichtsrecht (Art. 13 SchKG) oder als Beschwerdeentscheid (Art. 17 f. SchKG) getroffen werden, ändert nichts daran, dass es sich um einen Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde handelt, welcher mit Beschwerde in Zivilsachen anfechtbar ist. Die Beschwerden sind grundsätzlich zulässig.
2.3 Die Beschwerde nach Art. 72 ff. BGG hat nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Bundesverfassungsrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Verletzung von Grundrechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
3. 3.1 Die kantonale Aufsichtsbehörde hat in ihrem Urteil vom 25. August 2008 festgehalten, dass die Unterschrift des Beschwerdegegners aufgrund einer Fehlmanipulation mit dem Durchschlagspapier nicht auf das Gläubigerdoppel des Zahlungsbefehls durchgepaust worden, aber als farbloser Abdruck sichtbar sei. Dass sich diese Tatsache erst nach dem 22. April 2008 klar manifestiert habe und vom Bundesgericht im Urteil 5A_316/2008 vom 18. August 2008 (in E. 2.3) wegen des Novenverbots nicht zu berücksichtigen gewesen sei, hindere die Aufsichtsbehörde nicht, diese neue Tatsache zu würdigen. Der Schuldner habe in guten Treuen vom wirksam erhobenen Rechtsvorschlag ausgehen dürfen, so dass ihn kein Verschulden treffe, sein rechtzeitiges Gesuch um Wiederherstellung gestützt auf Art. 33 Abs. 4 SchKG zu bewilligen und die gültige Erhebung des Rechtsvorschlages festzustellen sei.
3.2 Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, sie habe sich mit ihrer Feststellung, der Schuldner habe "tatsächlich unterschriftlich Rechtsvorschlag erhoben", über die materielle Rechtskraft ihres Urteils vom 22. April 2008 und des Bundesgerichtsurteils 5A_318/2008 vom 18. August 2008 hinweggesetzt. Sodann habe den Schuldner gar kein unverschuldetes Hindernis an der Erhebung des Rechtsvorschlages gehindert. Die angeblichen Beweisschwierigkeiten im vorangegangenen Verfahren, auf welche sich der Schuldner berufe, würden keine Wiederherstellung der Frist gemäss Art. 33 Abs. 4 SchKG erlauben. Zudem sei das Gesuch um Wiederherstellung verspätet, da der Schuldner bereits nach der Pfändungsankündigung vom 25. Januar 2008 hätte handeln können und müssen.
3.3 Anlass zur Beschwerde gibt im Wesentlichen, ob die Aufsichtsbehörde den vom Beschwerdegegner aufgeworfenen Umstand der Fehlmanipulation mit dem Durchschlagspapier mit Blick auf den Nachweis der rechtzeitigen Rechtsvorschlagserhebung beurteilen durfte.
3.3.1 Will der Betriebene Rechtsvorschlag erheben, so hat er dies sofort dem Überbringer des Zahlungsbefehls oder innert zehn Tagen nach der Zustellung dem Betreibungsamt mündlich oder schriftlich zu erklären (Art. 74 Abs. 1 SchKG). Die Beurkundungen auf dem Zahlungsbefehl schliessen einen durch andere Beweismittel erbringbaren Gegenbeweis nicht aus (vgl. Art. 8 Abs. 2 SchKG, Art. 9 ZGB; BGE 26 I 239 S. 240; <ref-ruling> S. 15). Der Beschwerdeführer stellt zu Recht grundsätzlich nicht in Frage, dass der Beschwerdegegner den Nachweis, trotz einer Fehlmanipulation mit dem Durchschlagspapier anlässlich der Zustellung des Zahlungsbefehls sei Rechtsvorschlag erhoben worden, erbringen kann.
3.3.2 Der Beschwerdeführer kritisiert hingegen zu Recht, dass die Aufsichtsbehörde im anbegehrten Nachweis der rechtzeitigen Erhebung des Rechtsvorschlages einen Grund für die Wiederherstellung einer Frist erblickt hat. Da es nicht um die Frage geht, ob der Beschwerdegegner durch ein (unverschuldetes) Hindernis davon abgehalten wurde, innert der Rechtsvorschlagsfrist zu handeln, sondern (im Gegenteil) um den Nachweis rechtzeitigen Handelns geht, fällt die Wiederherstellung einer Frist gemäss Art. 33 Abs. 4 SchKG ausser Betracht. Bleibt zu prüfen, ob sich die von der Aufsichtsbehörde angeordnete Anerkennung des Rechtsvorschlages auf die Aufsichtsbefugnis (Art. 13, Art. 22 SchKG) stützen lässt.
3.3.3 Betreibungshandlungen, die trotz eines wirksamen Rechtsvorschlages vorgenommen werden, sind nichtig im Sinne von Art. 22 SchKG (BGE <ref-ruling> S. 14; <ref-ruling> E. 2 S. 55). Der Beschwerdegegner konnte sich daher grundsätzlich an die Aufsichtsbehörde wenden, um die nach Erhalt des Zahlungsbefehls ergangenen Betreibungshandlungen - konkret die am 30. Januar 2008 erhaltene Pfändungsankündigung - in Frage zu stellen mit dem Hinweis, es liege ein wirksamer Rechtsvorschlag vor. Ob eine Verfügung nichtig ist, kann und muss von den kantonalen Aufsichtsbehörden jederzeit festgestellt werden (<ref-ruling> E. 2c S. 119; <ref-ruling> E. 2 S. 144). Damit steht fest, dass der Vorinstanz grundsätzlich zusteht, von Amtes wegen (Art. 22 SchKG) einzuschreiten und die Wirksamkeit des Rechtsvorschlages zu überprüfen.
3.3.4 Die materielle Rechtskraft eines Beschwerdeentscheides ist beschränkt auf dasjenige Vollstreckungsverfahren, in welchem er ergeht; ein formell rechtskräftiger Beschwerdeentscheid kann dann abgeändert werden, wenn sich die Verhältnisse, die Grundlage des Beschwerdeentscheides waren, wesentlich verändert haben (<ref-ruling> E. 2.1 S. 592 mit Hinweisen). Vorliegend haben sich die Verhältnisse seit der Zustellung des Zahlungsbefehls am 5. Dezember 2007 nicht geändert, sondern der Beschwerdegegner hat sich - nach Abschluss des Beschwerdeverfahrens - auf neue Sachverhaltselemente zur damaligen Zustellung berufen. Nach Abschluss eines Beschwerdeverfahrens ist ein Eingreifen der Aufsichtsbehörde nur möglich, sofern es um die Feststellung einer Nichtigkeit gemäss Art. 22 SchKG geht (COMETTA, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 21 a.E. zu Art. 15; LORANDI, Betreibungsrechtliche Beschwerde und Nichtigkeit, N. 48 zu Art. 13 mit Hinweisen).
Es ist unbestritten, dass der vom Beschwerdegegner aufgeworfene Umstand der Fehlmanipulation mit dem Durchschlagspapier anlässlich der Zustellung des Zahlungsbefehls nicht Gegenstand der Beurteilung im vorangegangenen Beschwerdeverfahren war (Urteil der Aufsichtsbehörde vom 22. April 2008, Urteil 5A_316/2008 des Bundesgerichts vom 18. August 2008). Vor dem Hintergrund, dass der vom Beschwerdegegner angeführte Umstand mit Blick auf die mögliche Nichtigkeit der nachfolgenden Betreibungshandlungen (Pfändungsankündigung vom 25. Januar 2008) erheblich ist, jedoch den Aufsichtsbehörden nicht zur Beurteilung vorgelegen hatte, ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Fehlmanipulation mit den Dokumenten des Zahlungsbefehls überprüft hat.
3.3.5 Die kantonale Aufsichtsbehörde hat - in tatsächlicher Hinsicht - festgestellt, dass auf dem Gläubigerdoppel des Zahlungsbefehls unzweifelhaft der farblose Abdruck der Unterschrift des Beschwerdegegners sichtbar sei, und daraus geschlossen, dass dieser am 5. Dezember 2007 (Zustellungsdatum) auf dem Schuldnerdoppel des Zahlungsbefehls unterschriftlich Rechtsvorschlag erhoben habe; wegen einer Fehlmanipulation mit dem Durchschlagspapier sei die Unterschrift nicht auf das Gläubigerdoppel durchgepaust worden. Das Bundesgericht ist an diese vorinstanzlichen Feststellungen gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dass die Vorinstanz bei der Beweiswürdigung in Willkür verfallen sei (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Damit bleibt es beim rechtlichen Schluss, dass der Beschwerdegegner am 5. Dezember 2005 rechtsgültig Rechtsvorschlag erhoben hat.
3.4 Nach dem Dargelegten ist nicht zu beanstanden, wenn die Aufsichtsbehörde zum Ergebnis gelangt ist, der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. 1 sei rechtswirksam. Der Beschwerde im Verfahren 5A_597/2008 ist damit kein Erfolg beschieden.
4. 4.1 Mit Beschluss vom 17. Oktober 2008 hat die kantonale Aufsichtsbehörde von Amtes wegen das Betreibungsamt angewiesen, in der Betreibung Nr. 1 den Rechtsvorschlag des Beschwerdegegners zu bewilligen. Zur Begründung hielt die Vorinstanz fest, was bereits in ihrem Urteil vom 25. August 2008 zur Bewilligung des Rechtsvorschlages führte (Fehlmanipulation mit dem Durchschlagspapier).
4.2 Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vorab eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, weil er keine Möglichkeit gehabt habe, sich vor Erlass des Beschluss zu äussern. Kantonale Aufsichtsbehörden, welche gestützt auf ihre Aufsichtsbefugnis von Amtes wegen (Art. 13, Art. 22 SchKG) in das hängige Verfahren eingreifen, haben dafür zu sorgen, dass die von ihrer Verfügung Betroffenen davon Kenntnis erhalten, damit diese - gestützt auf die Minimalgarantie von Art. 29 Abs. 2 BV - vorgängig davon Stellung nehmen können (Urteil 5P.490/2006 vom 2. April 2007 E. 2; Jaeger/Walder/Kull/Kottmann, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 4. Aufl. 1997, N. 2 zu Art. 13).
4.3 Die Aufsichtsbehörde bestreitet nicht, dass der Beschwerdeführer vor Erlass des Beschlusses vom 17. Oktober 2008 keine Gelegenheit zur Stellungnahme hatte. Vorliegend ist über eine Gehörsverletzung jedoch nicht zu entscheiden. Mit dem Beschluss vom 17. Oktober 2008 wird in der Sache nichts Neues angeordnet. Die Vorinstanz hat mit dem angefochtenen Beschluss die Bewilligung des Rechtsvorschlages lediglich bestätigt, weil sie diese bereits mit Urteil vom 25. August 2008 angeordnet hatte. Jenes Urteil hält aber - wie dargelegt (E. 3) - vor Bundesrecht stand. In der Beschwerdeschrift wird nicht dargelegt und es ist nicht ersichtlich, welches schutzwürdige Interesse der Beschwerdeführer an der Aufhebung des Beschlusses vom 17. Oktober 2008 hätte. Selbst die Aufhebung dieses Beschlusses würde nichts an der bereits angeordneten, rechtmässigen Bewilligung des Rechtsvorschlages ändern. Daran vermögen auch die weiteren Rügen des Beschwerdeführers nichts zu ändern.
4.4 Nach dem Dargelegten fehlt es dem Beschwerdeführer an einem rechtlich geschützten Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Beschlusses vom 17. Oktober 2008. Auf die Beschwerde im Verfahren 5A_745/2008 kann daher nicht eingetreten werden (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG).
5. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde im Verfahren 5A_597/2008 abzuweisen und auf die Beschwerde im Verfahren 5A_745/2008 nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer wird für beide Verfahren kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG) und für das Verfahren 5A_745/2008 entschädigungspflichtig (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 5A_597/2008 und 5A_745/2008 werden vereinigt.
2. 2.1 Die Beschwerde in Zivilsachen im Verfahren 5A_597/2008 wird abgewiesen.
2.2 Auf die Beschwerde in Zivilsachen im Verfahren 5A_745/2008 wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren 5A_745/2008 mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante