Sachverhalt:
A. Der 1969 geborene A._ leidet seit Geburt an einer Störung der Knochenentwicklung, weswegen er sich mehreren operativen Eingriffen an der Wirbelsäule unterziehen musste. Er absolvierte eine Lehre als Carrosserie-Spengler. Später liess er sich durch die Invalidenversicherung zum Technischen Kaufmann umschulen. Seit 1. April 2002 bezog A._ eine halbe Invalidenrente. Im Rahmen eines im Februar 2008 von Amtes wegen eingeleiteten Revisionsverfahrens gelangte die IV-Stelle Uri zur Auffassung, dass der Versicherte weiterhin Anspruch auf eine halbe Rente habe, was sie ihm am 10. März 2009 eröffnete.
B. A._ liess Beschwerde führen mit dem Antrag, unter Aufhebung der Verfügung der IV-Stelle sei die halbe Invalidenrente revisionsweise auf eine ganze Rente zu erhöhen; eventuell sei eine Begutachtung zu veranlassen. Das Obergericht des Kantons Uri holte bei Prof. S._, Spital X._, ein Gutachten vom 24. November 2009 ein. Mit Entscheid vom 26. Februar 2010 hob das Gericht die angefochtene Verfügung in Gutheissung der Beschwerde auf und erhöhte die halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 70 % ab 1. Februar 2008 auf eine ganze Rente.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben; eventuell sei die Sache zu Abklärungen über das Vorliegen eines Revisionsgrundes und neuer Verfügung über den Rentenanspruch an die Verwaltung zurückzuweisen.
A._ lässt zur Hauptsache auf Abweisung der Beschwerde schliessen, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen über den Begriff der Invalidität (<ref-law>) und die Bemessung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Ergänzend ist <ref-law> (in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung) zu erwähnen, wonach u.a. bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 50 % Anspruch auf eine halbe und bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 70 % Anspruch auf eine ganze Invalidenrente besteht. Ferner ist <ref-law> massgebend, der wie folgt lautet: Ändert sich der Invaliditätsgrad einer Rentenbezügerin oder eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben. Die Frage nach einer wesentlichen Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen beurteilt sich durch Vergleich des Sachverhalts, wie er im Zeitpunkt der ursprünglichen Rentenverfügung bestanden hat, mit demjenigen zur Zeit der streitigen Revisionsverfügung (vgl. <ref-ruling>).
3. Im vorliegenden Fall stellt sich die Frage, ob im Zeitraum zwischen dem Erlass der ursprünglichen Verfügung von 4. Juni 2003 mit Zusprechung einer halben Invalidenrente ab 1. April 2002 und der Verfügung vom 10. März 2009 (Bestätigung der halben Rente) eine Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen eingetreten ist, welche entsprechend dem angefochtenen Gerichtsentscheid eine revisionsweise Erhöhung der halben auf eine ganze Rente begründet.
3.1 Das Obergericht hat gestützt auf die medizinischen Unterlagen, insbesondere das von ihm selbst veranlasste Gutachten des Prof. S._ vom 24. November 2009 festgestellt, dass in der Lungenfunktion des Beschwerdegegners seit 2002 eine erhebliche Verschlechterung eingetreten sei; die Vitalkapazität habe seither um über 25 % abgenommen. Nach Einschätzung des Gerichtsgutachters bestehe bereits seit November 2005 eine Ateminvalidität von über 70 % und auch die Arbeitsfähigkeit sei im gleichen Ausmass eingeschränkt. Diese für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen (E. 1 hievor) werden durch die Einwendungen der IV-Stelle nicht ernsthaft in Frage gestellt. Schon gar nicht vermag diese darzutun, inwiefern das Obergericht den rechtserheblichen medizinischen Sachverhalt offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig dargelegt haben sollte. Ebenso ist nicht zu erkennen, weshalb es nicht auf das von ihm veranlasste Gerichtsgutachten hätte abstellen dürfen. Die Kritik an der Fragestellung leuchtet nicht ein, nachdem die IV-Stelle selbst darauf verzichtet hat, dem Experten Fragen zu unterbreiten. Ihre Einwendungen erschöpfen sich vielmehr in weiten Teilen in einer unzulässigen appellatorischen Kritik an dem von der Vorinstanz gestützt auf die klaren Aussagen des Gutachters festgestellten medizinischen Sachverhalt. Eine Verletzung des Grundsatzes der freien Beweiswürdigung liegt entgegen der Behauptung der Verwaltung nicht vor. Die Feststellung, dass im Vergleich zur erstmaligen Rentenzusprechung eine Verschlimmerung der gesundheitlichen Situation gegeben ist, wurde von der Vorinstanz mit den vom Gerichtsgutachter gewonnenen Erkenntnissen hinreichend begründet. Zwar trifft es zu, dass das kantonale Gericht die einschlägige Revisionsbestimmung (<ref-law>) im angefochtenen Entscheid nicht zitiert hat; daraus kann jedoch nicht geschlossen werden, es habe den revisionsrechtlichen Aspekten nicht hinreichend Rechnung getragen. Aus den Erwägungen ergibt sich vielmehr, dass die Vorinstanz die aus den medizinischen Akten ersichtlichen Verschlechterungen des Gesundheitszustandes berücksichtigt hat und keineswegs analog zu einer erstmaligen Invaliditätsbemessung vorgegangen ist. Demgemäss hat sie auch hinsichtlich des Zeitpunktes der Rentenerhöhung die massgebliche Revisionsbestimmung des <ref-law> (Erhöhungszeitpunkt bei von Amtes wegen durchgeführten Revisionen) angewendet.
3.2 Aus dem in der Beschwerde unbeanstandet gebliebenen Einkommensvergleich der Vorinstanz resultierte ein Invaliditätsgrad von 70 %. Somit ist die halbe Invalidenrente des Versicherten gemäss <ref-law> ab 1. Februar 2008 auf eine ganze Invalidenrente heraufzusetzen.
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden IV-Stelle aufzuerlegen (<ref-law>). Diese hat dem Beschwerdegegner überdies eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Mai 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Widmer