Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1925) deklarierte in ihrer Steuererklärung für das Jahr 2006 Einkünfte von insgesamt Fr. 30'823.--. Bei der Staatssteuer machte sie als Abzug für Versicherungsprämien und Sparzinsen den hiefür vom kantonalen Recht vorgesehenen Höchstbetrag von Fr. 3'100.-- geltend. Das Gemeindesteueramt R._/TG verweigerte diesen Abzug, woran es mit Einspracheentscheid vom 18. Mai 2007 festhielt. Auf Rekurs hin bewilligte die Steuerrekurskommission des Kantons Thurgau am 18. Dezember 2007 den Versicherungsabzug von Fr. 3'100.--. Dagegen gelangte die Steuerverwaltung des Kantons Thurgau an das kantonale Verwaltungsgericht. Dieses hiess ihre Beschwerde am 14. Mai 2008 teilweise gut und wies die Sache im Sinne seiner Erwägungen an die Steuerverwaltung zur Neuveranlagung zurück. Es reduzierte den X._ zu gewährenden Versicherungsabzug von Fr. 3'100.-- auf Fr. 454.--. Hinzu addierte es noch einen Sparzinsbetrag von Fr. 26.--, so dass es einen Abzug von insgesamt Fr. 480.-- zuliess.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. Juni 2008 beantragt die Steuerverwaltung des Kantons Thurgau dem Bundesgericht, den Entscheid der Verwaltungsgerichts vom 14. Mai 2008 aufzuheben und die Veranlagung gemäss Einspracheentscheid vom 18. Mai 2007 zu bestätigen.
C. Das Verwaltungsgericht sowie die Eidgenössische Steuerverwaltung verzichten auf eine Vernehmlassung, Letztere mit der Begründung, es gehe nur um Fragen der Auslegung von kantonalem Steuerrecht. Mit Eingabe vom 10. Juli 2008 stellt X._ den Antrag, die Beschwerde der kantonalen Steuerverwaltung abzuweisen. Ausserdem beantragt sie sinngemäss, den erwähnten Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und denjenigen der Steuerrekurskommission vom 18. Dezember 2007 zu bestätigen.

Erwägungen:
1. Das Verwaltungsgericht hat einen Rückweisungsentscheid gefällt, gegen den die kantonale Steuerverwaltung vorliegend Beschwerde an das Bundesgericht führen kann, gleich ob der angefochtene Entscheid als Endentscheid oder als Zwischenentscheid zu qualifizieren ist (vgl. Art. 90 und 93 Abs. 1 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 1.3 S. 127 f. mit Hinweisen). Sie ist beschwerdebefugt, da der angefochtene Entscheid eine im zweiten Titel des Steuerharmonisierungsgesetzes geregelte Materie betrifft (Einkommens- und Vermögenssteuer der natürlichen Personen); ob dieses dem Kanton insofern einen gewissen Gestaltungsspielraum lässt, spielt für die Legitimation keine Rolle (vgl. <ref-law>, Art. 73 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG, Steuerharmonisierungsgesetz; SR 642.14]; § 142 Ziff. 4 des Gesetzes des Kantons Thurgau vom 14. September 1992 über die Staats- und Gemeindesteuern [StG/TG]; <ref-ruling> E. 2 S. 128 ff., insb. E. 2.6.3, 186 E. 1.4 S. 189 f.). Trotz Art. 73 Abs. 3 StHG - kassatorische Natur der Beschwerde im Steuerharmonisierungsrecht - ist nicht nur der Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Urteils zulässig, sondern auch derjenige auf Bestätigung des Einspracheentscheids (vgl. <ref-law> als lex posterior; <ref-ruling> E. 1.5 S. 190 ff.).
2. Die Beschwerdegegnerin beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und den Entscheid der Steuerrekurskommission zu bestätigen. Dieses Begehren ist nicht zulässig, da das Bundesgerichtsgesetz die Anschlussbeschwerde nicht kennt (<ref-ruling> E. 2.5 S. 335; vgl. immerhin <ref-ruling> E. 5b S. 94 f.).
3. Gemäss Art. 9 Abs. 1 StHG werden von den gesamten steuerbaren Einkünften unter anderem die allgemeinen Abzüge abgerechnet. Hierzu gehören gemäss Art. 9 Abs. 2 lit. g StHG die Einlagen, Prämien und Beiträge für die Lebens-, die Kranken- und die nicht unter Litera f fallende Unfallversicherung sowie Zinsen von Sparkapitalien des Steuerpflichtigen und der von ihm unterhaltenen Personen, "bis zu einem nach kantonalem Recht bestimmten Betrag, der pauschaliert werden kann".
Die kantonalen Instanzen sind sich über die Anwendung von § 239 StG/TG, der Art. 9 Abs. 2 lit. g StHG für das Jahr 2006 im Kanton Thurgau umsetzte, uneinig. § 239 StG/TG lautet wie folgt:
1 In Abweichung zu § 34 Absatz 1 Ziffer 9 werden bis zur Inkraftsetzung des mit dem Gesetz vom 30. Juni 2004 betreffend Änderung des Gesetzes über die Staats- und Gemeindesteuern (Steuergesetz) geänderten § 34 Absatz 1 Ziffer 9 von den Einkünften abgezogen:
die Einlagen, Prämien und Beiträge für die Lebens-, die Kranken- und die nicht unter § 34 Absatz 1 Ziffer 8 fallende Unfallversicherung sowie die Zinsen von Sparkapitalien des Steuerpflichtigen und der von ihm vertretenen Personen bis zum Gesamtbetrag von:
a. Fr. 6 200.-- für verheiratete Personen, die in ungetrennter Ehe leben;
b. Fr. 3 100.-- für die übrigen Steuerpflichtigen;
c. zusätzlich Fr. 800.-- für jedes minderjährige oder in Ausbildung stehende Kind, für deren Unterhalt er aufkommt.
2 Die erhaltenen Prämienverbilligungen sind von den in Absatz 1 angeführten Gesamtbeträgen in Abzug zu bringen.
4. Die Vorinstanzen haben festgestellt, dass bei der Beschwerdegegnerin im Jahre 2006 Krankenkassenprämien von Fr. 3'886.-- angefallen sind. Ausserdem erhielt die Beschwerdegegnerin für dieses Jahr Leistungen nach dem Bundesgesetz vom 19. März 1965 über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (aELG; AS 1965 537).
4.1 Das Gemeindesteueramt hat den maximalen Abzugsbetrag, der alleinstehenden Steuerpflichtigen gemäss § 239 Abs. 1 lit. b StG/TG zusteht (d.h. Fr. 3'100.--), um die erhaltenen Ergänzungsleistungen reduziert. Es beruft sich hierbei auf § 239 Abs. 2 StG/TG. Weil diese Leistungen höher als Fr. 3'100.-- ausfielen, hat es den von der Beschwerdegegnerin geltend gemachten Versicherungsabzug vollständig verweigert.
4.2 Die Steuerrekurskommission vertritt demgegenüber die Ansicht, § 239 Abs. 2 StG/TG erfasse nur die individuellen Prämienverbilligungen "im eigentlichen Sinn" und nicht die Ergänzungsleistungen. Daher sei eine Kürzung des maximalen Abzugsbetrages nach dieser Bestimmung nicht zulässig und der Beschwerdegegnerin der volle Versicherungsabzug von Fr. 3'100.-- zu gewähren.
4.3 Das Verwaltungsgericht hält unter Hinweis auf § 26 Ziff. 6 StG/TG fest, dass Ergänzungsleistungen dem steuerbaren Einkommen nicht hinzuzurechnen seien; das gelte auch für denjenigen Betrag, der der Erstattung der Krankenkassenprämien diene. Umgekehrt könnten dann aber durch Ergänzungsleistungen bezahlte Krankenkassenprämien logischerweise auch nicht als steuerrechtliche Abzüge geltend gemacht werden. Ein Abzug von den Einkünften gemäss § 239 StG/TG komme deshalb nur in Betracht, soweit der Steuerpflichtige über die ihm durch Ergänzungsleistungen erstatteten Krankenkassenprämien hinaus selber Prämien bezahlt habe, sei es, weil seine Krankenkasse tatsächlich teurer als die Durchschnittskasse sei oder weil er über die Grunddeckung hinaus Zusatzversicherungen abgeschlossen habe. In diesem Umfang sei dann von einer Selbstvorsorge des Steuerpflichtigen auszugehen. Bei einer effektiven Krankenkassenprämie der Beschwerdegegnerin im Jahre 2006 von Fr. 3'886.-- und einer für dieses Jahr festgelegten Durschnittsprämie von Fr. 3'432.--, ergebe sich aus der Differenz der Betrag von Fr. 454.-- als Selbstvorsorge, der gemäss § 239 StG/TG von den Einkünften abgezogen werden könne. Eine andere Auslegung von § 239 Abs. 2 StG/TG würde klar gegen die abschliessende Regelung von Art. 9 Abs. 2 lit. g StHG verstossen und wäre bundesrechtswidrig.
5. Die Steuerverwaltung macht geltend, die Lösung des Verwaltungsgerichts widerspreche dem klaren Wortlaut von § 239 Abs. 2 StG/TG und verletze Bundesrecht. Dieses habe durch Art. 9 Abs. 2 lit. g StHG dem kantonalen Gesetzgeber "bei der Ausgestaltung des Pauschalabzugs freie Hand gelassen". Art. 9 Abs. 2 StHG enumeriere zwar abschliessend die zulässigen allgemeinen Abzüge. Bei der "betraglichen Limitierung" sei den Kantonen hingegen ein Gestaltungsspielraum eingeräumt worden. Das Verwaltungsgericht gehe zu Unrecht davon aus, dass § 239 Abs. 2 StG/TG harmonisierungswidrig sei und daher entgegen dessen klaren Wortlaut anders bzw. gar nicht angewendet werden müsse.
6. Die Beachtung der Vorgaben der Steuerharmonisierung prüft das Bundesgericht mit voller Kognition. Soweit der Bundesgesetzgeber dem kantonalen Gesetzgeber indessen einen Gestaltungsspielraum einräumt, ist die Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts beschränkt (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 724; <ref-ruling> E. 3.1 S. 206). Die Anwendung von nicht harmonisierungsbedürftigem kantonalem Recht wird nur auf Willkür hin überprüft (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158). Die kantonale Steuerverwaltung wäre zwar berechtigt gewesen, eine Verletzung von Bundesverfassungsrecht geltend zu machen (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 und 3.4 S. 132 f.). Das hat sie aber nicht - oder zumindest nicht in substantiierter Weise - getan, so dass sich eine diesbezügliche Prüfung erübrigt (vgl. Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Ihre rechtsgenüglichen Rügen beschränken sich auf die falsche Anwendung des Steuerharmonisierungsrechts.
7. Die allgemeinen Abzüge sind in Art. 9 Abs. 2 StHG abschliessend geregelt. Zum einen sind andere Abzüge als diejenigen, die in Art. 9 StHG vorgesehen sind, nicht zulässig (Art. 9 Abs. 4 StHG). Zum anderen müssen die Kantone die in Art. 9 Abs. 2 StHG aufgezählten Abzüge auch tatsächlich gewähren (<ref-ruling> E. 4b S. 71). Mit den allgemeinen Abzügen wird effektiven Ausgaben, welche die Steuerpflichtigen getätigt haben, Rechnung getragen (Markus Reich, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Bd. I/1, StHG, 2. Aufl. 2002, N. 23 zu Art. 9 StHG).
Gemäss Art. 9 Abs. 2 lit. g StHG sollen die Kantone die Abzüge für Versicherungs- und Sparzinsen betragsmässig beschränken. Allerdings können dem Steuerharmonisierungsgesetz keine Anhaltspunkte entnommen werden, wie hoch der diesbezügliche maximale Abzugsbetrag sein darf. Nur insoweit steht den Kantonen ein Gestaltungsspielraum zu, der allenfalls durch Art. 8 Abs. 1 und Art. 9 BV begrenzt wird (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 71; Markus Reich, a.a.O., N. 29 und 31 zu Art. 9 StHG). Die Regelungen in Art. 9 StHG sollen neben einer Harmonisierung zwischen den Kantonen (horizontal) auch eine Angleichung zwischen der direkten Bundessteuer und den Staatssteuern der Kantone (vertikal) und damit eine bessere Transparenz des schweizerischen Steuersystems bewirken (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 72; <ref-ruling> E. 5.2 S. 73). Entgegen der Ansicht der kantonalen Steuerverwaltung besteht zwischen Art. 9 Abs. 2 lit. g StHG und <ref-law> (SR 642.11), der ebenfalls den Versicherungs- und Sparzinsenabzug vorsieht, keine erhebliche Abweichung. Der einzige Unterschied liegt darin, dass im DBG die maximalen Abzugsbeträge beziffert werden.
8. 8.1 Gemäss Art. 26 der Verordnung vom 15. Januar 1971 über die Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (ELV; SR 831.301) erhalten Bezüger von jährlichen Ergänzungsleistungen einen Gesamtbetrag (Ergänzungsleistung und Differenzbetrag zur Prämienverbilligung), der mindestens der Höhe der Prämienverbilligung entspricht, auf die sie Anspruch haben. Nach § 9 Abs. 2 der Verordnung des Regierungsrates des Kantons Thurgau vom 19. Dezember 1995 zum Gesetz über die Krankenversicherung erstattet das kantonale Amt für AHV und IV den Empfängern von Ergänzungsleistungen die Krankenversicherungsprämie monatlich im Ausmass der vom Eidgenössischen Departement des Innern (EDI) festgelegten Durchschnittsprämien. Wie die Vorinstanz richtig festgehalten hat, beträgt diese jährliche Durchschnittsprämie im Jahr 2006 für den Kanton Thurgau Fr. 3'432.-- (vgl. Art. 4 der Verordnung des EDI vom 25. Oktober 2005 über die kantonalen Durchschnittsprämien 2006 der Krankenpflegeversicherung für die Berechnung der Ergänzungsleistungen, AS 2005 5197).
Nach dem Gesagten sind die Steuerverwaltung und das Verwaltungsgericht zu Recht davon ausgegangen, dass sich die von der Beschwerdegegnerin für das Jahr 2006 empfangenen Fr. 3'432.-- Ergänzungsleistungen auf die Belastung durch die Krankenkassenprämien beziehen und nicht - wie die Beschwerdegegnerin meint - zu einem überwiegenden Teil auf andere Ausgaben zu verteilen sind (vgl. auch Erwin Carigiet/Uwe Koch, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, Supplement, 2000, S. 83; Dieter Widmer, Die Sozialversicherung in der Schweiz, 6. Aufl. 2008, S. 128).
8.2 Wie die Vorinstanz ausserdem richtig ausführt, sind die Ergänzungsleistungen nach § 26 StG/TG steuerfrei. Diese Regel entspricht den Vorgaben von Art. 7 Abs. 4 lit. k StHG und gilt gemäss <ref-law> auch für die direkte Bundessteuer. Konsequenterweise ist dann aber auch kein Versicherungsabzug nach § 239 StG/TG möglich, soweit die Krankenkassenprämien durch steuerfreie Ergänzungsleistungen ausgeglichen wurden. Denn in besagtem Umfang fehlt es an effektiven Ausgaben, die der Steuerpflichtige selber zu tragen hatte (s. E. 7 hievor). Ebenso wird bei der direkten Bundessteuer im Rahmen von <ref-law> verfahren (vgl. Peter Locher, Kommentar zum DBG, 2001, N. 75 zu <ref-law>; Gladys Laffely Maillard, in: Commentaire romand, Impôt fédéral direct, 2008, N. 84 zu <ref-law>; Agner/Jung/Steinmann/Neuhaus, Kommentar zum Gesetz über die direkte Bundessteuer, Ergänzungsband, 2000, N. 21a zu <ref-law>; Rundschreiben der Eidgenössischen Steuerverwaltung vom 27. September 1996 zur steuerlichen Auswirkung des neuen Krankenversicherungsgesetzes, lit. III, publ. in: Die Praxis der Bundessteuern, Peter Agner [Hrsg.], Die direkte Bundessteuer, Bd. 6, Rundschreiben).
Demzufolge kommt - entgegen der Ansicht der Steuerrekurskommission - als Abzug für die Krankenversicherung nur der von der Beschwerdegegnerin letztlich selber getragene Teilbetrag von Fr. 454.-- (d.h. Versicherungsprämie von Fr. 3'886.-- abzüglich Erstattungsbetrag in Form von Ergänzungsleistungen in Höhe von Fr. 3'432.--) in Betracht.
8.3 Wie ausgeführt (E. 7 hievor), müssen die Kantone Abzüge für Krankenversicherungsprämien zulassen. Sie sind nur frei, zu bestimmen, wie hoch der maximale Versicherungs- und Sparzinsenabzug sein darf. Hingegen dürfen sie - im Gegensatz zu den Krankheitskosten nach Art. 9 Abs. 2 lit. h StHG - namentlich nicht einen Selbstbehalt vorsehen, der überschritten werden muss, damit Abzugsbeträge angemeldet werden können. Ebenso wenig dürfen sie andere Schranken setzen, die verhindern, dass vom Steuerpflichtigen effektiv selbst getragene Kosten anerkannt werden. Der Kanton Thurgau hat den Maximalbetrag nach Art. 9 Abs. 2 lit. g StHG für das Jahr 2006 pauschal auf Fr. 3'100.-- festgesetzt. Bis zu diesem Betrag muss der Steuerpflichtige die in dieser Bestimmung genannten Beiträge und Prämien, die ihm nicht anderweitig steuerfrei erstattet wurden, denn auch als allgemeine Abzüge geltend machen können. Der Lösungsansatz des Verwaltungsgerichts gewährleistet dies, derjenige der kantonalen Steuerverwaltung hingegen nicht. Denn Letztere verwehrt der Beschwerdegegnerin den Abzug der von ihr effektiv getragenen Prämienanteile, die zusammen mit den erwähnten Sparzinsen den in § 239 Abs. 1 StG/TG festgesetzten Maximalbetrag nicht erreichen.
Zwar mag die Auffassung der kantonalen Steuerverwaltung im Wortlaut von § 239 Abs. 2 StG/TG eine Stütze finden (vgl. allgemein zur Auslegung: <ref-ruling> E. 1.6 S. 203; <ref-ruling> E. 3a S. 117, 521 E. 3c/aa S. 525). Ob das - wie von ihr behauptet - auch dem wirklichen Willen des kantonalen Gesetzgebers entspricht, ist jedoch ungewiss; sie hat dazu nichts dargelegt. Darauf kommt es letztlich auch nicht an. Entscheidend ist hier, dass die Lösung des Verwaltungsgerichts harmonisierungskonform ist, während diejenige der Steuerverwaltung Art. 9 Abs. 2 lit. g StHG widerspricht und daher mit Blick auf Art. 72 Abs. 2 StHG keine Anwendung finden kann. Die Vorgehensweise des Verwaltungsgerichts zu der Staatssteuer steht im Übrigen mit derjenigen nach dem DBG im Einklang. Bezeichnenderweise gewährte denn auch die kantonale Steuerverwaltung der Beschwerdegegnerin für die direkte Bundessteuer den Versicherungs- und Sparzinsenabzug in Höhe von Fr. 480.--.
9. 9.1 Dem Gesagten zufolge erweist sich die Beschwerde der kantonalen Steuerverwaltung als unbegründet und ist abzuweisen.
9.2 Da es um Vermögensinteressen des Kantons Thurgau geht, hat dieser gemäss Art. 65 und 66 Abs. 1 und 4 BGG die Verfahrenskosten zu tragen. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung der Beschwerdegegnerin ist damit gegenstandslos. Der anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung auszurichten (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Kanton Thurgau auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Merz