Sachverhalt:
A. Am 20. Mai 2008 erteilte die Bausektion des Stadtrates Zürich dem Hochbauamt der Baudirektion des Kantons Zürich die baurechtliche Bewilligung für die Erneuerung bzw. Erhaltung des Rechberg-Gartens in Zürich. Mit Verfügung vom 7. März 2008 hatte die Baudirektion bereits die zusätzlich erforderliche denkmalpflegerische Bewilligung erteilt.
Gegen beide Bewilligungen gelangte die Schweizerische Gesellschaft für Gartenkultur (SGGK) am 2. Juli 2008 an die Baurekurskommission I des Kantons Zürich, welche das Rechtsmittel am 7. April 2009 abwies.
Die von der SGGK gegen diesen Entscheid am 11. Mai 2009 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 24. Februar 2010 ab.
B. Mit Eingabe vom 11. Juni 2010 führt die SGGK, c/o Dr. X._, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Entscheidung in ihrem Sinne, eventualiter die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung. Sinngemäss ersucht sie um Wiederherstellung der Beschwerdefrist.
Mit Verfügung vom 6. Juli 2010 erkannte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Baudirektion des Kantons Zürich und die Bausektion des Stadtrates Zürich stellen den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei diese abzuweisen.
Mit Eingabe vom 29. September 2010 hält die Beschwerdeführerin an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1. Das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. Februar 2010 ging bei der Beschwerdeführerin in vollständiger Ausfertigung am 24. März 2010 ein, womit die 30-tägige Beschwerdefrist gemäss <ref-law> zur Einreichung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> zu laufen begann. Die Beschwerdeschrift datiert vom 11. Juni 2010 und wurde damit anerkanntermassen erst nach Ablauf der gesetzlichen Frist eingereicht. Das Bundesgericht kann auf die verspätet eingereichte Beschwerde nur eintreten, wenn ein Fristwiederherstellungsgrund gemäss <ref-law> vorliegt.
2. Dr. X._ führt aus, an der Generalversammlung der SGGK vom 17. April 2010 - und damit während der nach dem Entscheid der Vorinstanz laufenden Rechtsmittelfrist - sei der bisherige Vorstand, welchem auch sie selbst angehört habe, unrechtmässig abgewählt und durch einen neuen Vorstand ersetzt worden. Damit sei der bisherige Vorstand nicht mehr handlungsfähig und ein Einreichen der Beschwerde innert der gesetzlichen Frist nicht mehr möglich gewesen, wäre doch bei einer allfälligen Beschwerdeführung postwendend der Einwand der fehlenden Legitimation erhoben worden. Folglich sei es angezeigt gewesen, zuerst die Rechtslage bezüglich der Organschaft des Vereins zu klären.
Dr. X._ präzisiert, sie habe die aus ihrer Sicht unrechtmässige Abwahl als Vorstandsmitglied beim Einzelrichter des Bezirksgerichts Horgen angefochten. Mit Verfügung vom 10. Mai 2010 habe dieser im summarischen Verfahren die Beschlüsse der Generalversammlung der SGGK vom 17. April 2010 betreffend Ab- und Neuwahl des Vorstands aufgehoben und festgestellt, dass der bisherige Vorstand weiter im Amt sei. Zugleich habe der Einzelrichter ihr eine Frist angesetzt, um die ordentliche Klage beim zuständigen Gericht einzuleiten. Erst mit der Verfügung vom 10. Mai 2010 sei ihre Legitimation, im Namen der SGGK Beschwerde zu führen, rückwirkend wiederhergestellt worden. Diese Verfügung sei bei ihr am 12. Mai 2010 eingegangen, womit die 30-tägige Wiederherstellungsfrist gemäss <ref-law> am 13. Mai 2010 zu laufen begonnen habe. Diese Frist sei mit ihrer Eingabe ans Bundesgericht vom 11. Juni 2010 gewahrt.
3. Ist eine Partei oder ihr Vertreter beziehungsweise ihre Vertreterin durch einen anderen Grund als die mangelhafte Eröffnung unverschuldeterweise abgehalten worden, fristgerecht zu handeln, so wird die Frist wiederhergestellt, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt (<ref-law>).
Auf Wiederherstellung der Frist ist nur zu erkennen, wenn die Säumnis auf ein unverschuldetes Hindernis, also auf die objektive oder subjektive Unmöglichkeit, rechtzeitig zu handeln, zurückzuführen ist. Waren die gesuchstellende Person respektive ihre Vertretung wegen eines von ihrem Willen unabhängigen Umstands verhindert, zeitgerecht zu handeln, liegt objektive Unmöglichkeit vor. Subjektive Unmöglichkeit wird angenommen, wenn zwar die Vornahme einer Handlung objektiv betrachtet möglich gewesen wäre, die betroffene Person aber durch besondere Umstände, die sie nicht zu verantworten hat, am Handeln gehindert worden ist. Die Wiederherstellung ist nach der bundesgerichtlichen Praxis nur bei klarer Schuldlosigkeit zu gewähren (Urteil 1P.123/2005 vom 14. Juni 2005 E. 1, in: ZBl 107/2006 S. 390; Urteil 6S.54/2006 vom 2. November 2006 E. 2.2.1).
4. Dr. X._ hat gegen den Beschluss der Mitgliederversammlung vom 17. April 2010, durch welchen sie als Vorstandsmitglied der SGGK abgewählt wurde, innert der vom Einzelrichter des Bezirksgerichts Horgen mit Verfügung vom 10. Mai 2010 angesetzten Frist Anfechtungsklage im Sinne von <ref-law> erhoben. Über diese Klage ist noch nicht rechtskräftig entschieden. Würde sie gutgeheissen, würde der angefochtene Beschluss der Mitgliederversammlung rückwirkend aufgehoben. Bis dahin besteht ein resolutiver Schwebezustand, das heisst, der Beschluss entfaltet trotz der (allfälligen) späteren Aufhebung Rechtswirkungen (vgl. Anton Heini/Urs Scherrer, Basler Kommentar ZGB I, 2. Aufl. 2002, Art. 75 N. 29; Hans Michael Riemer, Berner Kommentar ZGB, 3. Aufl. 1990, Art. 75 N. 79 ff.; derselbe, Anfechtungs- und Nichtigkeitsklage im schweizerischen Gesellschaftsrecht, 1998, S. 95 ff.).
Diese auf Seiten des beschwerdeführenden Vereins vorhandene Rechtsunsicherheit, wer als rechtmässiger Vorstand zur Geschäftsführung und Vertretung des Vereins berechtigt ist, rechtfertigt es indessen nicht, bezüglich des vorliegend umstrittenen Bauvorhabens die gesetzliche Beschwerdefrist verstreichen zu lassen und mit der Beschwerdeführung bis zur (rechtskräftigen) Entscheidung über die vereinsrechtliche Anfechtungsklage gemäss <ref-law> zuzuwarten. Interne Vereinsstreitigkeiten - vorliegend der Umstand, dass der neue im Gegensatz zum bisherigen Vorstand der Gesellschaft bewusst von der Anfechtung des verwaltungsgerichtlichen Entscheids vom 24. Februar 2010 absehen wollte - berühren die Möglichkeit fristgerechten prozessualen Handelns nicht. Zwar setzt die rechtsgültige Beschwerdeführung im Namen der Gesellschaft voraus, dass den für sie handelnden Personen Organstellung zukommt. Die Strittigkeit dieser Frage hinderte den abgewählten Vorstand jedoch nicht daran, im Sinne einer Geschäftsführung ohne Auftrag innerhalb der Rechtsmittelfrist zu handeln und die Beschwerde rechtzeitig einzureichen (Riemer, a.a.O., Art. 69 N. 25 und 70). Dem Bundesgericht wäre es diesfalls offen gestanden, angesichts der umstrittenen Legitimation das Verfahren bis zum (rechtskräftigen) Entscheid über die Anfechtungsklage zu sistieren.
Eine objektive oder subjektive Unmöglichkeit zur rechtzeitigen Einlegung der Beschwerde ans Bundesgericht bestand mithin nicht, das heisst, die Abwahl als Vorstand kann nicht als unverschuldetes Hindernis im Sinne von <ref-law> gelten.
5. Das Gesuch um Wiederherstellung der Frist ist demnach abzuweisen, und auf die ohne zureichenden Grund verspätet eingereichte Beschwerde ist nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um Wiederherstellung der Frist wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Bausektion des Stadtrates Zürich sowie der Baudirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner