Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1954 geborene S._ meldete sich im August 2001 bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Mit Verfügung vom 24. März 2003 lehnte die IV-Stelle des Kantons Solothurn das Leistungsbegehren ab, was sie nach weiteren Abklärungen mit Einspracheentscheid vom 26. November 2004 bestätigte.
A. Die 1954 geborene S._ meldete sich im August 2001 bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Mit Verfügung vom 24. März 2003 lehnte die IV-Stelle des Kantons Solothurn das Leistungsbegehren ab, was sie nach weiteren Abklärungen mit Einspracheentscheid vom 26. November 2004 bestätigte.
B. Die Beschwerde der S._ hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 19. Juli 2006 in dem Sinne gut, dass es Einspracheentscheid und Verfügung mit der Feststellung aufhob, es bestehe Anspruch auf eine Viertelsrente, und die Akten an die IV-Stelle zurückwies, damit diese die Rentenhöhe sowie den Leistungsbeginn bestimme.
B. Die Beschwerde der S._ hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 19. Juli 2006 in dem Sinne gut, dass es Einspracheentscheid und Verfügung mit der Feststellung aufhob, es bestehe Anspruch auf eine Viertelsrente, und die Akten an die IV-Stelle zurückwies, damit diese die Rentenhöhe sowie den Leistungsbeginn bestimme.
C. Die IV-Stelle führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben.
S._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine (Viertels-)Rente der Invalidenversicherung.
1. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine (Viertels-)Rente der Invalidenversicherung.
2. Nach Art. 132 Abs. 2 OG, in Kraft seit 1. Juli 2006, beschränkt sich das Eidgenössische Versicherungsgericht in Streitigkeiten betreffend Leistungen der Invalidenversicherung auf die Prüfung, ob der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens (Art. 104 lit. a OG), oder ob das kantonale Gericht den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt hat (Art. 104 lit. b OG und Art. 105 Abs. 2 OG).
Diese neue kognitionsrechtliche Regelung in invalidenversicherungsrechtlichen Streitigkeiten kommt in allen nach dem 30. Juni 2006 anhängig gemachten Verwaltungsgerichtsbeschwerden, somit auch vorliegend zur Anwendung (vgl. Ziff. II lit. c und Ziff. III der Übergangsbestimmungen zur Änderung des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung [IVG] vom 16. Dezember 2005 [AS 2006 2003] sowie Erw. 1.2 des zur Publikation in BGE 132 V bestimmten Urteils B. vom 28. September 2006 [I 618/06]).
Diese neue kognitionsrechtliche Regelung in invalidenversicherungsrechtlichen Streitigkeiten kommt in allen nach dem 30. Juni 2006 anhängig gemachten Verwaltungsgerichtsbeschwerden, somit auch vorliegend zur Anwendung (vgl. Ziff. II lit. c und Ziff. III der Übergangsbestimmungen zur Änderung des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung [IVG] vom 16. Dezember 2005 [AS 2006 2003] sowie Erw. 1.2 des zur Publikation in BGE 132 V bestimmten Urteils B. vom 28. September 2006 [I 618/06]).
3. Das kantonale Gericht hat in Anwendung der gemischten Methode (vgl. dazu <ref-ruling> ff. Erw. 2a-c sowie <ref-ruling> und SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151 [I 156/04]) einen Invaliditätsgrad von 46 % (0,5 x 80 % + 0,5 x 11 %; zum Runden <ref-ruling>) ermittelt, was Anspruch auf eine Viertelrente gibt (<ref-law>). Dabei entspricht 0,5 (50 %/100 %) dem zeitlichen Umfang gemessen am Normalarbeitspensum, in welchem die Versicherte ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre. 80 % beträgt die Einschränkung im erwerblichen Bereich, 11 % im Aufgabenbereich Haushalt. Den Invaliditätsgrad im erwerblichen Bereich ermittelte die Vorinstanz durch Einkommensvergleich (<ref-ruling> Erw. 1). Dabei stellte sie beim Validen- und beim Invalideneinkommen auf die Schweizerische Lohnstrukturerhebung 2002 des Bundesamtes für Statistik ab (<ref-ruling> f. Erw. 4.2.1, 124 V 321). Ausgehend vom selben Tabellenlohn errechnete das kantonale Gericht bei einer Arbeitsfähigkeit von 25 % in dem Leiden angepassten Tätigkeiten unter Berücksichtigung eines Abzuges von 20 % (<ref-ruling>) einen Invaliditätsgrad von 80 % ([1-0,25 x 0,8] x 100 %). Für die Bestimmung der Unmöglichkeit, sich im Aufgabenbereich Haushalt zu betätigen (<ref-law>), stellte das kantonale Gericht wie schon die IV-Stelle auf den Abklärungsbericht Haushalt vom 2. September 2004 ab.
3. Das kantonale Gericht hat in Anwendung der gemischten Methode (vgl. dazu <ref-ruling> ff. Erw. 2a-c sowie <ref-ruling> und SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151 [I 156/04]) einen Invaliditätsgrad von 46 % (0,5 x 80 % + 0,5 x 11 %; zum Runden <ref-ruling>) ermittelt, was Anspruch auf eine Viertelrente gibt (<ref-law>). Dabei entspricht 0,5 (50 %/100 %) dem zeitlichen Umfang gemessen am Normalarbeitspensum, in welchem die Versicherte ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre. 80 % beträgt die Einschränkung im erwerblichen Bereich, 11 % im Aufgabenbereich Haushalt. Den Invaliditätsgrad im erwerblichen Bereich ermittelte die Vorinstanz durch Einkommensvergleich (<ref-ruling> Erw. 1). Dabei stellte sie beim Validen- und beim Invalideneinkommen auf die Schweizerische Lohnstrukturerhebung 2002 des Bundesamtes für Statistik ab (<ref-ruling> f. Erw. 4.2.1, 124 V 321). Ausgehend vom selben Tabellenlohn errechnete das kantonale Gericht bei einer Arbeitsfähigkeit von 25 % in dem Leiden angepassten Tätigkeiten unter Berücksichtigung eines Abzuges von 20 % (<ref-ruling>) einen Invaliditätsgrad von 80 % ([1-0,25 x 0,8] x 100 %). Für die Bestimmung der Unmöglichkeit, sich im Aufgabenbereich Haushalt zu betätigen (<ref-law>), stellte das kantonale Gericht wie schon die IV-Stelle auf den Abklärungsbericht Haushalt vom 2. September 2004 ab.
4. Die Anwendung der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung bei einem Anteil der Erwerbstätigkeit von 0,5 steht ausser Frage. Nicht mehr bestritten sind sodann die trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung zumutbare Arbeitsfähigkeit von 25 % im erwerblichen Bereich sowie die Einschränkung im Haushalt. Es besteht, zumal bei der in tatsächlicher Hinsicht eingeschränkten Kognition (Erw. 2), kein Anlass zu einer näheren Prüfung von Amtes wegen (<ref-ruling> Erw. 1b und 417 oben, 110 V 53 Erw. 4a). Anzufügen ist, dass die Ärzte der Neurologischen Poliklinik des Spitals X._ bei der Einschätzung der medizinisch-theoretischen Arbeitsfähigkeit die zeitliche Einschränkung und die Notwendigkeit vieler Pausen bei der Arbeit im Haushalt mitberücksichtigten (Ergänzungsbericht vom 27. September 2004 zum Gutachten vom 2. Juli 2004; vgl. SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151).
4. Die Anwendung der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung bei einem Anteil der Erwerbstätigkeit von 0,5 steht ausser Frage. Nicht mehr bestritten sind sodann die trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung zumutbare Arbeitsfähigkeit von 25 % im erwerblichen Bereich sowie die Einschränkung im Haushalt. Es besteht, zumal bei der in tatsächlicher Hinsicht eingeschränkten Kognition (Erw. 2), kein Anlass zu einer näheren Prüfung von Amtes wegen (<ref-ruling> Erw. 1b und 417 oben, 110 V 53 Erw. 4a). Anzufügen ist, dass die Ärzte der Neurologischen Poliklinik des Spitals X._ bei der Einschätzung der medizinisch-theoretischen Arbeitsfähigkeit die zeitliche Einschränkung und die Notwendigkeit vieler Pausen bei der Arbeit im Haushalt mitberücksichtigten (Ergänzungsbericht vom 27. September 2004 zum Gutachten vom 2. Juli 2004; vgl. SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151).
5. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde führende IV-Stelle beanstandet die vorinstanzliche Invaliditätsbemessung zu Recht insofern, als der erwerbliche Invaliditätsgrad bezogen auf eine Ganztagestätigkeit ermittelt wurde. Dies widerspricht der zuletzt ausdrücklich im Urteil E. vom 13. Dezember 2005 (SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151) bestätigten Gerichts- und Verwaltungspraxis. Danach sind bei der Bemessung der Invalidität im erwerblichen Bereich durch Einkommensvergleich Validen- und Invalideneinkommen im zeitlichen Rahmen der ohne Gesundheitsschaden (voraussichtlich dauernd) ausgeübten Teilerwerbstätigkeit zu bestimmen (<ref-ruling> Erw. 5.1.1, 125 V 150 Erw. 2b). Sind diese Vergleichseinkommen auf statistischer Grundlage und - entgegen der IV-Stelle auch vorliegend - ausgehend vom selben Tabellenlohn zu ermitteln, entspricht der Invaliditätsgrad dem Grad der Arbeitsunfähigkeit bezogen auf das erwerbliche Arbeitspensum ohne gesundheitliche Beeinträchtigung unter Berücksichtigung eines allfälligen Abzugs gemäss <ref-ruling> (Urteil F. vom 19. September 2006 [I 295/06] Erw. 3.2.3 mit Hinweis). Dies ergibt 60 % ([1-[0,25/0,5] x 0,8] x 100 %). Der Invaliditätsgrad beträgt somit 36 % (0,5 x 60 % + 0,5 x 11 %). Es besteht daher kein Rentenanspruch (<ref-law>).
Der eine Viertelrente zusprechende kantonale Entscheid verletzt Bundesrecht.
Der eine Viertelrente zusprechende kantonale Entscheid verletzt Bundesrecht.
6. Dem Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (<ref-ruling> Erw. 4a), in Bezug auf die unentgeltliche Verbeiständung in dem von der Rechtsvertreterin geltend gemachten masslichen Umfang gemäss Kostennote vom 7. November 2006. Es wird wird indessen ausdrücklich darauf hingewiesen, dass sie nach Art. 152 Abs. 3 OG der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie dazu später im Stande ist.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 19. Juli 2006 aufgehoben.
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 19. Juli 2006 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege werden sie einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege werden sie einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 500.- wird der IV-Stelle des Kantons Solothurn zurückerstattet.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 500.- wird der IV-Stelle des Kantons Solothurn zurückerstattet.
4. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Rechtsanwältin Marie-Christine Müller Leu, Olten, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse der Betrag von Fr. 804.75 ausgerichtet.
4. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Rechtsanwältin Marie-Christine Müller Leu, Olten, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse der Betrag von Fr. 804.75 ausgerichtet.
5. Die Akten werden dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zugestellt, damit es über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das kantonale Verfahren entscheide.
5. Die Akten werden dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zugestellt, damit es über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das kantonale Verfahren entscheide.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn, der Ausgleichskasse des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 19. Dezember 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: