Faits:
Faits:
A. Après avoir bénéficié de trois délais-cadres d'indemnisation S._ a suivi un programme d'occupation cantonal (POC) à partir du 11 avril 2002. Dès juillet 2002, il a presque systématiquement fourni des preuves de recherches d'emploi sans le timbre de l'employeur et pratiquement sans justificatif. Il n'a communiqué aucune recherche d'emploi pour les mois de septembre, octobre et novembre 2002. Le 10 décembre 2002, le Service des arts et métiers et du travail du canton du Jura (SAMT) l'a averti que son aptitude au placement serait niée en cas de nouveau manquement à ses obligations. Les recherches du mois de décembre 2002 ont été faites par écrit, au dire de l'assuré, sans être accompagnées d'une copie des lettres de candidature.
S._ a travaillé au service de la société C._ du 6 janvier au 5 février 2003, date à laquelle l'employeur l'a licencié. L'assuré s'est adressé à l'Office régional de placement de Delémont (ORP) pour que lui soit versée l'indemnité journalière de chômage dès le mois de février 2003. L'ORP a invité à plusieurs reprises l'intéressé à lui faire parvenir les recherches d'emploi qu'il avait entreprises depuis son licenciement. Dans l'intervalle, l'assuré a été mis au bénéfice d'un nouveau POC le 22 avril 2003. En date du 13 mai 2003, la caisse de chômage compétente a ouvert un quatrième délai-cadre avec effet rétroactif au 17 février 2003. Sur demande du SAMT, l'assuré a dû quitter le POC le 21 mai 2003, au motif que son aptitude au placement était douteuse.
Par deux décisions du 10 juillet 2003, le SAMT a suspendu le droit de S._ aux indemnités de chômage durant dix jours, respectivement vingt jours, aux motifs qu'il n'avait pas apporté la preuve de recherches d'emploi en février 2003 (première décision) et que les recherches du mois de mars 2003 ont été déposées tardivement et sans timbre de l'employeur (deuxième décision).
Par une troisième décision du 10 juillet 2003 également, le SAMT a constaté l'inaptitude au placement de l'assuré à partir du 21 mai 2003, dès lors que les recherches d'emploi relatives au mois d'avril 2003 avaient été en réalité entreprises en mars 2003 et ne comportaient aucun timbre.
L'assuré a fait opposition aux trois décisions du SAMT du 10 juillet 2003. Par décision sur opposition du 22 octobre 2003, le SAMT a rejeté ces oppositions et confirmé les deux décisions de suspension du droit à l'indemnité de chômage (pour des durées respectives de dix et vingt jours) ainsi que la décision d'inaptitude au placement dès le 21 mai 2003.
L'assuré a fait opposition aux trois décisions du SAMT du 10 juillet 2003. Par décision sur opposition du 22 octobre 2003, le SAMT a rejeté ces oppositions et confirmé les deux décisions de suspension du droit à l'indemnité de chômage (pour des durées respectives de dix et vingt jours) ainsi que la décision d'inaptitude au placement dès le 21 mai 2003.
B. Saisi d'un recours contre cette décision, le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a admis partiellement par jugement du 13 mai 2004. Il a, d'une part, ramené à respectivement quatre et neuf jours la durée de la suspension du droit à l'indemnité de chômage prévue par les deux premières décisions du 10 juillet 2003, d'autre part, annulé la (troisième) décision d'inaptitude au placement. Il a considéré que l'insuffisance de recherches du mois de février 2003 constituait une faute légère, qui pour la première fois, devait être sanctionnée d'une suspension de trois à quatre jours maximum selon le barème du Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO). En outre, il a retenu que la deuxième suspension pour le même motif concernant le mois de mars 2003 justifiait une sanction d'une durée de 5 à 9 jours maximum. Par ailleurs, il a estimé que la décision d'inaptitude au placement violait le principe de la proportionnalité dans la progression des sanctions, que le manquement reproché à l'assuré en ce qui concerne le mois d'avril 2003 ne justifiait de toute manière pas une telle sanction et que les trois décisions incriminées avaient été rendues le même jour, de sorte que les effets des premières sur le comportement de l'intéressé n'avaient pas pu être mesurés.
B. Saisi d'un recours contre cette décision, le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a admis partiellement par jugement du 13 mai 2004. Il a, d'une part, ramené à respectivement quatre et neuf jours la durée de la suspension du droit à l'indemnité de chômage prévue par les deux premières décisions du 10 juillet 2003, d'autre part, annulé la (troisième) décision d'inaptitude au placement. Il a considéré que l'insuffisance de recherches du mois de février 2003 constituait une faute légère, qui pour la première fois, devait être sanctionnée d'une suspension de trois à quatre jours maximum selon le barème du Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO). En outre, il a retenu que la deuxième suspension pour le même motif concernant le mois de mars 2003 justifiait une sanction d'une durée de 5 à 9 jours maximum. Par ailleurs, il a estimé que la décision d'inaptitude au placement violait le principe de la proportionnalité dans la progression des sanctions, que le manquement reproché à l'assuré en ce qui concerne le mois d'avril 2003 ne justifiait de toute manière pas une telle sanction et que les trois décisions incriminées avaient été rendues le même jour, de sorte que les effets des premières sur le comportement de l'intéressé n'avaient pas pu être mesurés.
C. Le SAMT interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation.
L'assuré n'a pas répondu au recours. Le SECO a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Sont litigieuses les durées de suspension du droit à l'indemnité de chômage, ainsi que l'aptitude au placement de l'intimé dès le 21 mai 2003.
1. Sont litigieuses les durées de suspension du droit à l'indemnité de chômage, ainsi que l'aptitude au placement de l'intimé dès le 21 mai 2003.
2. Selon l'art. 30 al. 1 let. c LACI, le droit de l'assuré à l'indemnité est suspendu lorsqu'il est établi qu'il ne fait pas tout ce qu'on peut raisonnablement exiger de lui pour trouver un travail convenable.
2.1 Pour trancher le point de savoir si l'assuré a fait des efforts suffisants pour trouver un travail convenable, il faut tenir compte aussi bien de la quantité que de la qualité des démarches entreprises (<ref-ruling> consid. 4). Sur le plan quantitatif, la pratique administrative exige 10 à 12 offres d'emploi par mois en moyenne. On ne peut cependant pas s'en tenir à une limite purement quantitative et il faut bien plutôt examiner, au regard des circonstances concrètes, la qualité des démarches (Thomas Nussbaumer, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, ch. 701 et note de bas de page 1330). Sur le plan qualitatif, on peut attendre d'un assuré qu'il ne se contente pas de démarches par téléphone, mais qu'il réponde également à des offres d'emploi par écrit (Jacqueline Chopard, Die Einstellung in der Anspruchsberechtigung, thèse Zurich, 1998, p. 139 sv.).
2.2 La suspension du droit à l'indemnité de chômage prévue à l'<ref-law> n'a pas un caractère pénal. Elle constitue une sanction de droit administratif destinée à combattre les abus en matière d'assurance-chômage. Comme telle, cette mesure peut être prononcée de manière répétée, sans que soit applicable l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1c). Plusieurs mesures de suspension distinctes peuvent ainsi être prononcées, sauf - et exceptionnellement - en présence de manquements qui procèdent d'une volonté unique et qui, se trouvant dans un rapport étroit de connexité matérielle et temporelle, apparaissent comme l'expression d'un seul et même comportement En particulier, l'insuffisance de recherches d'emploi d'un assuré pendant plusieurs périodes de contrôle peut faire l'objet, même rétroactivement, de plusieurs mesures de suspension distinctes dans l'exercice du droit à l'indemnité de chômage (DTA 2003 n° 10 p. 119 et sv. consid. 3.et les références).
La durée de la suspension dans l'exercice du droit à l'indemnité est proportionnelle à la gravité de la faute (<ref-law>). Elle est de 1 à 15 jours en cas de faute légère, 16 à 30 jours en cas de faute d'une gravité moyenne, et 31 à 60 jours en cas de faute grave (<ref-law>).
2.3 Lorsque les recherches d'emploi sont continuellement insuffisantes, l'aptitude au placement (<ref-law>) peut être niée (<ref-ruling> consid. 3 et la référence).
En vertu du principe de la proportionnalité (<ref-ruling> consid. 4c; cf. aussi <ref-ruling>), l'insuffisance de recherches d'emploi doit cependant être sanctionnée, en premier lieu, par une suspension du droit à l'indemnité. Pour admettre une inaptitude au placement à raison de recherches insuffisantes, il faut qu'on se trouve en présence de circonstances tout à fait particulières. C'est le cas, notamment, si l'assuré, malgré une suspension antérieure de son droit à l'indemnité, persiste à n'entreprendre aucune recherche ou lorsque, nonobstant les apparences extérieures, on peut mettre en doute sa volonté réelle de trouver du travail. Il en va de même lorsque l'assuré n'entreprend aucune démarche pendant une longue période ou que ses recherches sont à ce point insuffisantes ou dépourvues de tout contenu qualitatif qu'elles sont inutilisables (sur ces divers points, DTA 1996/1997 n° 8 p. 31 consid. 3 et n° 19 p. 101 consid. 3b).
En vertu du principe de la proportionnalité (<ref-ruling> consid. 4c; cf. aussi <ref-ruling>), l'insuffisance de recherches d'emploi doit cependant être sanctionnée, en premier lieu, par une suspension du droit à l'indemnité. Pour admettre une inaptitude au placement à raison de recherches insuffisantes, il faut qu'on se trouve en présence de circonstances tout à fait particulières. C'est le cas, notamment, si l'assuré, malgré une suspension antérieure de son droit à l'indemnité, persiste à n'entreprendre aucune recherche ou lorsque, nonobstant les apparences extérieures, on peut mettre en doute sa volonté réelle de trouver du travail. Il en va de même lorsque l'assuré n'entreprend aucune démarche pendant une longue période ou que ses recherches sont à ce point insuffisantes ou dépourvues de tout contenu qualitatif qu'elles sont inutilisables (sur ces divers points, DTA 1996/1997 n° 8 p. 31 consid. 3 et n° 19 p. 101 consid. 3b).
3. Le recourant reproche au tribunal cantonal d'avoir violé l'<ref-law> en n'ayant pas pris en considération l'avertissement formel du 10 décembre 2002 dans l'évaluation de la gravité de la faute reprochée à l'intimé. Le fait d'avoir omis de tenir compte de cet avertissement a conduit la juridiction cantonale à sous-estimer la gravité respective (progressive) des manquements sanctionnés par les trois décisions du 10 juillet 2003. Le SAMT estime que le tribunal cantonal a violé son devoir de motivation (art. 61 let. h LPGA) en ignorant cet argument essentiel de sa réponse (du 12 décembre 2003) au recours cantonal interjeté par l'assuré.
Le SAMT fait également grief aux premiers juges de n'avoir pas tenu compte de l'absence de preuves de recherches d'emploi du mois d'avril 2003 (en sus des manquements de l'assuré relatifs aux mois de février et mars 2003) et d'avoir retenu, à tort, que l'administration a violé le principe de la proportionnalité dans l'application des sanctions.
3.1 En l'espèce, les listes de recherches communiquées par l'assuré pour juillet 2002 et août 2002 ne contiennent pas le timbre des dix employeurs potentiels qui auraient été approchés, ni aucun justificatif contrairement à la mention qui y figure. Ces circonstances sont assimilables à des recherches inexistantes. En septembre et octobre 2002, l'intimé n'a fourni aucun document de contrôle, malgré les rappels écrits de l'ORP des 3 octobre 2002 et 7 novembre 2002. En novembre 2002, l'assuré n'a pas non plus remis à l'administration une liste de ses recherches. Le 10 décembre 2002, le SAMT l'a averti formellement qu'en cas de nouveau manquement de sa part, son aptitude au placement serait niée conformément à la législation jurassienne concernant les chômeurs en fin de droit. Les recherches du mois de décembre ont été faites par écrit au dire de l'assuré, sans copie des lettres de candidature. Cette situation s'apparente à celle-décrite ci-dessus. On doit convenir que l'assuré n'a communiqué aucune recherche d'emploi utilisable pour les mois de juillet à décembre 2002. Ces manquements se sont produits peu avant l'ouverture (le 17 février 2003) d'un quatrième délai-cadre d'indemnisation.
Par la suite, l'intimé a pris un emploi pour une courte période auprès de la société C._. Après son licenciement, l'assuré n'a pas fourni de preuves de recherches d'emploi en temps utile pour le mois de février 2003, ainsi que l'ont constaté les premiers juges. En revanche, il a communiqué à l'ORP, le 25 juillet 2003, lors de la procédure d'opposition, la liste d'employeurs potentiels qu'il aurait contactés par des visites personnelles au cours du mois en cause. Dans la mesure où une vérification, en juillet 2003, de ces données relatives au mois de février était pratiquement irréalisable, l'admi-nistration n'en a à juste titre pas tenu compte. En ce qui concerne le mois de mars 2003, la liste de recherches d'emploi a été déposée le 3 avril 2003, soit tardivement. En outre, cette liste ne comprend par le timbre des entreprises que l'assuré a contactées, ni aucun justificatif d'aucune sorte, de sorte que les recherches pour le mois de mars 2003 sont inutilisables. Pour ce qui est du mois d'avril 2003, l'intimé n'a produit la liste des recherches d'emploi que le 5 mai 2003. De plus, cette liste n'est accompagnée d'aucun document justificatif, ni d'aucun timbre d'un employeur potentiel. On doit dès lors admettre, à l'instar des deux instances précédentes, que l'assuré n'a pas apporté la preuve des efforts fournis en vue de trouver un emploi au sens de l'art. 17 al. 1 troisième phrase LACI pour les mois de février, mars et avril 2003.
3.2 Le SAMT a sanctionné l'absence de recherches pour le mois de février 2003 et de mars 2003 d'une suspension du droit de l'assuré à l'indemnité de chômage dans l'un et l'autre cas. Ainsi que les premiers juges l'ont admis, ces suspensions sont justifiées, compte tenu des manquements reprochés à l'intéressé pour chacun de ces deux mois. En revanche, c'est à tort que la juridiction cantonale a réduit les durées de suspension. En effet, les durées de suspension telles qu'elles ont été déterminées par le recourant s'inscrivent dans les limites légales (cf. consid. 2.2. in fine). En particulier, en présence de démarches assimilables à des recherches inexistantes, le SAMT était fondé à fixer à dix jours la durée de la première suspension visant le manquement de février 2003 et à sanctionner par vingt jours de suspension le manquement de l'assuré relatif au mois de mars 2003.
3.3 Rendue après deux décisions de suspension du droit à l'indemnité, la décision d'inaptitude au placement vient sanctionner un nouveau comportement fautif (absence de recherches utilisables pour le mois d'avril 2003) qui s'inscrit dans le cadre d'une longue suite de manquements imputables à l'intimé depuis juillet 2002. Certes, dès lors que les trois décisions ont été rendues le même jour, les effets des deux décisions de suspension sur le comportement de l'intimé n'ont pas pu être mesurés. Cependant, l'assuré a été averti, en décembre 2002, qu'une telle sanction serait prononcée en cas de nouveau manquement de sa part. Quand bien même cet avertissement a été prononcé alors que l'assuré participait à un programme d'occupation selon la législation cantonale, l'intimé ne pouvait pas ignorer que les exigences en matière d'emploi et d'aptitude au placement étaient semblables sous le régime du droit fédéral de l'assurance-chômage, dès lors qu'il a bénéficié de trois délais-cadres d'indemnisation fondés sur le droit fédéral. En outre, il a été rendu à plusieurs reprises attentif à ses obligations en matière de recherches d'emploi. Il n'a tenu compte ni de l'avertissement du 10 décembre 2002, ni des nombreuses mises en garde dont il a fait l'objet. Bien au contraire, il a démontré tout au long de la période allant de juillet 2002 à avril 2003 qu'il n'avait pas la réelle intention de se mettre à la disposition du marché du travail. Dans ces circonstances, l'administration pouvait, en juillet 2003, prononcer la décision d'inaptitude au placement pour absence de recherches d'emploi en avril 2003, en même temps que les décisions de suspension relatives aux manquements de février et mars 2003. Le comportement affiché par l'intimé rendait vaine une progression des sanctions sous la forme d'une troisième suspension préalablement à la décision d'inaptitude au placement.
Il s'ensuit que le recours est en tous points bien fondé.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du 13 mai 2004 du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura est annulé.
1. Le recours est admis et le jugement du 13 mai 2004 du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura est annulé.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, à la Caisse publique d'assurance-chômage de la République et canton du Jura, à l'Office régional de placement et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 12 juillet 2005
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre: La Greffière: