Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 13. April 2010 wies das Richteramt Olten-Gösgen das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsöffnungsverfahren ab (Ziff. 1), erteilte dem Beschwerdegegner in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes Olten-Gösgen definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 300.-- nebst Zins zu 5% seit dem 21. Dezember 2009 sowie für die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 30.-- (Ziff. 2), verpflichtete den Beschwerdeführer, dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 50.-- zu bezahlen (Ziff. 3), ferner den Beschwerdegegner die Verfahrenskosten von Fr. 150.-- vorzuschiessen, wobei sie ihm vom Beschwerdeführer zurückzuerstatten seien (Ziff 4). Aufgrund der schriftlichen Rechtsmittelbelehrung steht mit Bezug auf die Ziffern 1, 3 und 4 der Rekurs an das Obergericht des Kantons Solothurn offen. Mit Bezug auf Ziff. 2 gibt es kein kantonales Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer hat mit Postaufgabe vom 3. Mai 2010 Ziff. 2 des vorinstanzlichen Entscheides angefochten. Er ersucht namentlich um Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens und um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
2. In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234).
2.1 Mit Bezug auf das Rechtsöffnungsbegehren hat das Richteramt erwogen, der Beschwerdegegner lege als Rechtsöffnungstitel eine rechtskräftige Verfügung des Kantonsgerichts Schwyz vom 18. Februar 2009 vor, wonach der Beschwerdeführer Gerichtskosten von Fr. 300.-- zu bezahlen habe. Diese Forderung beruhe auf einem vollstreckbaren Urteil. Der Beschwerdeführer bringe im Rechtsöffnungsverfahren keine der Einwendungen gemäss Art. 81 Abs. 1 und 2 SchKG vor. Sein Hinweis, aus den vom Beschwerdegegner bereits eingereichten Urkunden seien seine Einwendungen ersichtlich, steche ins Leere, zumal sich diese Unterlagen ausschliesslich auf das Rekursverfahren vor Kantonsgericht Schwyz bezögen.
2.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, der eingeforderte Betrag sei über zwei Instanzen falsch festgesetzt worden. Die Kostenteilung sei am Prozesstag anders vereinbart worden. Er erhebe Einspruch gegen die vom Kanton Schwyz eingeleiteten Vollzugsmassnahmen. Schliesslich sei auf einen Prozesstag einseitig verzichtet worden. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander, wonach die Forderung auf einer rechtskräftigen Verfügung beruht, keine Einwendungen im Sinn von Art. 81 Abs. 1 und 2 SchKG erhoben worden seien und sich seine Einwendung auf das das Rekursverfahren vor dem Kantonsgericht bezögen. Der Beschwerdeführer richtet sich in Tat und Wahrheit gegen das Urteil des Kantonsgerichts, das aber nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet. Schliesslich zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, inwiefern der Verzicht auf eine mündliche Verhandlung seine verfassungsmässigen Rechte verletzt haben soll.
3. Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (<ref-law>) durch die Präsidentin der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer nicht einzutreten.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist wegen offensichtlicher Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Richteramt Olten-Gösgen, Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden