Sachverhalt:
A. X._ (Jahrgang 1968) und Z._ (Jahrgang 1970) hatten am xxxx 1992 geheiratet. Sie sind die Eltern der Kinder S._ (geb. xxxx 1995) und T._ (geb. xxxx 1996). Am 18. April 2001 schied das Bezirksgericht Bülach die Ehe. Gemäss Scheidungsurteil hat X._ an den Unterhalt und die Erziehung der Kinder bis zum Abschluss deren ordentlicher Erstausbildung, falls nötig über die Mündigkeit hinaus, pro Monat je Fr. 610.-- zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. X._ wurde überdies verpflichtet, seiner Frau an deren eigenen Unterhalt bis Ende 2012 monatlich Fr. 100.-- zu bezahlen. Das Scheidungsurteil hält fest, dass mit dieser Unterhaltsregelung der gebührende Unterhalt der Ehefrau von Fr. 3'607.35 nicht gedeckt werde.
Nach der Scheidung heiratete X._ am 3. März 2003 erneut.
B. Mit Eingabe vom 27. Januar 2010 ersuchte Z._ das Bezirksgericht Bülach um Abänderung des Scheidungsurteils. Sie verlangte eine angemessene Erhöhung der Unterhaltsbeiträge für die beiden Kinder, ohne diese jedoch zu beziffern. Das Bezirksgericht erhörte die Mutter. Es hob die Unterhaltsbeiträge rückwirkend ab 1. Februar 2009 an, für S._ auf Fr. 950.-- und für T._ auf Fr. 1'200.-- pro Monat, je zuzüglich Kinder- bzw. Ausbildungszulagen (Urteil vom 29. Juli 2010).
C. Darauf erhob X._ am 23. August 2010 Berufung. Vor dem Obergericht des Kantons Zürich beantragte er, das Abänderungsbegehren seiner früheren Ehefrau betreffend die Kinderunterhaltsbeiträge vollumfänglich abzuweisen. In seinem Urteil vom 7. Juli 2011 bestimmte das Obergericht die Unterhaltsbeiträge neu mit Wirkung ab 1. Februar 2010 auf Fr. 800.-- (für S._) bzw. Fr. 1'000.-- (für T._).
D. D.a Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 12. September 2011 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. In der Hauptsache stellt er den Antrag, in Aufhebung des Urteils des Obergerichts sei das Begehren seiner früheren Ehefrau (nachfolgend Beschwerdegegnerin) betreffend die Abänderung der Kinderunterhaltsbeiträge gemäss Scheidungsurteil des Bezirksgerichts Bülach vom 18. April 2001 vollumfänglich abzuweisen; eventuell sei das Berufungsurteil aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung nach Durchführung eines Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersuchte er darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
D.b Mit Eingabe vom 28. September 2011 beantragte die Beschwerdeführerin, das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen. Zugleich ersuchte Sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Am 29. September 2011 erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde hinsichtlich der gemäss dem obergerichtlichen Urteil von Februar 2010 bis und mit August 2011 geschuldeten Kinderunterhaltsbeiträge sowie hinsichtlich der Gerichtskosten die aufschiebende Wirkung zu.
D.c Das Bundesgericht hat die Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, der die Abänderung des Kinderunterhalts, mithin eine Zivilsache zum Gegenstand hat (Art. 72 Abs. 1, 75 Abs. 1, 90 BGG). In dieser vermögensrechtlichen Angelegenheit ist die gesetzliche Streitwertgrenze offensichtlich erreicht (<ref-law>). Auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) an sich mit freier Kognition. Soweit sich der Rechtsstreit um die Unterhaltsfestsetzung dreht, gilt es allerdings zu beachten, dass der Richter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 141; Botschaft, BBl 1996 I S. 115 f.). Deshalb übt das Bundesgericht bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung: Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 1 S. 99).
In jedem Fall legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesbezüglich kann die Beschwerdeführerin nur einwenden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1), insbesondere auf der Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift (BGE <ref-ruling>, E. 1.4.3 S. 255). Überdies ist darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt schliesslich das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft demnach nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2. Der Beschwerdeführer nennt drei Gründe, weshalb das Obergericht die Unterhaltsbeiträge für seine Kinder zu Unrecht erhöht haben soll: Erstens ist er der Ansicht, die Beschwerdegegnerin verhalte sich rechtsmissbräuchlich, wenn sie eine Erhöhung der Unterhaltsbeiträge verlange und zugleich den Kontakt zu seinen Kindern verweigere und erfolgreich sabotiere. Zweitens macht er geltend, anlässlich der Ehescheidung sei voraussehbar gewesen, dass sich sein Einkommen erhöhen und er wieder heiraten werde; daher liessen sich diese Umstände nicht als Abänderungsgründe im Sinne von <ref-law> heranziehen. Drittens sei der Beschwerdegegnerin gestützt auf <ref-law> zuzumuten, selbst auch einen bescheidenen Beitrag an den finanziellen Unterhalt der Kinder zu leisten. Diese drei Argumentationslinien sind im Folgenden zu prüfen.
3. 3.1 Im Zusammenhang mit dem Rechtsmissbrauchsverbot wirft der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin vor, sie hintertreibe seit der Trennung mit allen Mitteln den regelmässigen Kontakt zu seinen Kindern, indem sie sich ständig bei der Vormundschaftsbehörde und beim Besuchsbeistand beschwere, den Kindern Briefe gegen den Vater diktiere und mit unbegründeten Strafanzeigen wegen sexuellen Missbrauchs jahrelange Besuchsrechtssistierungen erwirke. Aufgrund dieser Umstände habe er seine Freizeit erfolgreich in Weiterbildungen investiert und sein Einkommen steigern können. Wenn die Beschwerdegegnerin nun diese Einkommenssteigerung zur Erhöhung der Kinderalimente abschöpfen wolle, nachdem sie den Kinderkontakt erfolgreich sabotiert habe, verhalte sie sich rechtsmissbräuchlich im Sinne von <ref-law>. Das Obergericht befand, selbst wenn zu prüfen wäre, ob sich die Beschwerdegegnerin in der Tat so verhalten hat, wie der Beschwerdeführer es ihr vorwirft, führe dies nicht dazu, "dass auf einen Rechtsmissbrauch geschlossen werden muss". Es erscheine zumutbar, den Bedarf der unmündigen Kinder weiterhin durch den unterhaltspflichtigen Teil bestreiten zu lassen und eine entsprechende Anpassung vorzunehmen. Ein Beweisverfahren zur Frage der Rechtsmissbräuchlichkeit erübrige sich daher.
3.2 Nach der Rechtsprechung hängt die Unterhaltspflicht gegenüber unmündigen Kindern nicht vom Recht auf persönlichen Verkehr ab und untersteht auch sonst keiner Bedingung. Die Unmöglichkeit, das Besuchsrecht auszuüben, rechtfertigt daher keine Abänderung des Unterhaltsbeitrags (<ref-ruling> E. 3b S. 179 mit Hinweisen). Wohl finden auch diese Maximen ihre Grenze im Verbot des Rechtsmissbrauchs (<ref-law>). Diese Schranke kommt aber nur ausnahmsweise, das heisst in offensichtlichen Fällen zum Tragen. Zu denken ist etwa an den Fall, da der Inhaber der elterlichen Sorge seine Pflichten aufs gröbste verletzt, zugleich aber, einer versteckten Rente gleich, direkt von den Kinderunterhaltsbeiträgen profitiert, weil die finanziellen Verpflichtungen des Unterhaltsschuldners weit über dem liegen, was unter den gegebenen Umständen üblich wäre. Missbräuchlich verhält sich auch das unmündige, wenn auch kurz vor der Mündigkeit stehende Kind, das in bewusster Missachtung seiner gesetzlichen Pflicht den persönlichen Verkehr mit dem unterhaltspflichtigen Elternteil grundlos verweigert (BGE a.a.O., E. 4a S. 180). Nicht einmal das Verhalten des Kindes selbst kann jedoch ein Grund dafür sein, die Alimente ganz zu streichen oder so stark herabzusetzen, dass die Kosten für seinen Lebensunterhalt und seine Ausbildung nicht mehr gedeckt sind (BGE a.a.O.; <ref-ruling> E. 3 S. 388; <ref-ruling> E. 2 S. 92). Umso grössere Zurückhaltung ist bei der Anwendung von <ref-law> geboten, wenn das vermeintlich missbräuchliche Verhalten nicht vom Träger des in Frage stehenden Rechts - hier vom unmündigen Kind als Träger des Unterhaltsanspruches - ausgeht, sondern von einer Drittperson, im vorliegenden Fall von der sorgeberechtigten Mutter. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass die Mutter als gesetzliche Vertreterin des Kindes dessen Unterhaltsanspruch vor Gericht in eigenem Namen geltend machen kann (vgl. dazu <ref-ruling> S. 244 f.).
3.3 Die weitschweifigen Ausführungen des Beschwerdeführers reduzieren sich im Wesentlichen auf das Argument, in Anbetracht des Verhaltens der Beschwerdegegnerin dürften die Kinderalimente deshalb nicht erhöht werden, weil im Falle einer Nichterhöhung anders als bei einer Herabsetzung gar keine finanzielle Schlechterstellung der Kinder eintrete, sondern lediglich eine nachträgliche Besserstellung unterbleibe. Allein damit vermag der Beschwerdeführer seine These vom Rechtsmissbrauch freilich nicht aufrechtzuerhalten. Denn ob die Unterhaltsbeiträge gestützt auf <ref-law> nicht erhöht oder herabgesetzt werden, macht keinen Unterschied: In beiden Fällen wäre der Rechtsmissbrauch der Grund, den Kindern nicht diejenige Geldsumme zuzusprechen, die sie aufgrund ihrer Bedürfnisse unter Berücksichtigung der Leistungsfähigkeit des Unterhaltsschuldners eigentlich beanspruchen könnten. Die Umstände, unter denen die Beschwerdegegnerin den väterlichen Anspruch auf persönlichen Verkehr "sabotiert" haben soll, führen aber auch sonst nicht zum Schluss, dass den unmündigen Kindern die Erhöhung ihrer Unterhaltsbeiträge verweigert und ihr gesetzlicher Unterhaltsanspruch ausnahmsweise beschnitten werden müsste. Insbesondere ist weder geltend gemacht noch ersichtlich, dass die Beschwerdegegnerin mit ihren angeblichen Widerständen gegen den persönlichen Verkehr ausschliesslich im finanziellen Interesse ihrer Kinder gehandelt und den Beschwerdeführer auf diese Weise unter Druck gesetzt hätte, ein höheres Einkommen zu erzielen. Ebenso wenig bestehen Anhaltspunkte dafür, dass die erhöhten Unterhaltsbeiträge weit über dem Rahmen des Üblichen lägen und der Beschwerdeführerin aus deren Erhöhung im Sinne einer "versteckten Rente" ein persönlicher Vorteil erwüchse. Im Ergebnis ist der angefochtene Entscheid unter dem Blickwinkel des Rechtsmissbrauchsverbots (<ref-law>) nicht zu beanstanden.
3.4 Eventualiter macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht hätte zur Frage der Rechtsmissbräuchlichkeit ein Beweisverfahren durchführen müssen und diese Frage nicht als irrelevant einstufen dürfen; darin liege eine Verletzung von <ref-law>. Ob die Umstände, die für einen Rechtsmissbrauch ins Feld geführt werden, nachgewiesen sind, ist keine Rechts- sondern eine Tatfrage (Urteil 5A_655/2010 vom 5. Mai 2011 E. 2.2.1). Dasselbe gilt für die Frage, ob das Obergericht auf weitere Abklärungen zum Vorwurf des Rechtsmissbrauchs mit der Begründung verzichten durfte, die vom Beschwerdeführer behaupteten Tatsachen liessen nicht auf einen Rechtsmissbrauch schliessen (E. 3.1): Hier steht nicht die Anwendung von <ref-law> zur Diskussion, sondern die vorinstanzliche Beweiswürdigung. Diesbezüglich ist das Bundesgericht an den angefochtenen Entscheid gebunden (<ref-law>; s. E. 1.2). Dass das Obergericht den Sachverhalt offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich festgestellt hätte und das von ihm erwünschte Beweisverfahren auch für den Ausgang des Verfahrens entscheidend gewesen wäre, zeigt der Beschwerdeführer indessen nicht in einer Weise auf, die den strengen Anforderungen des Rügeprinzips genügt. Daher ist auf dieses Vorbringen gar nicht einzutreten.
4. 4.1 Neben der Verletzung von <ref-law> wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, eine "erhebliche Veränderung der Verhältnisse" im Sinne von <ref-law> bejaht zu haben. Schon im Zeitpunkt der Scheidung sei voraussehbar gewesen, dass er eine Einkommenssteigerung erzielen und ein zweites Mal heiraten würde. Diese Umstände kämen daher nicht als Abänderungsgründe in Frage. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gelte überdies die tatsächliche Vermutung, dass vorhersehbare Veränderungen bereits im Zeitpunkt der Unterhaltsfestsetzung berücksichtigt werden. Dass seiner Einkommenssteigerung und seiner Heirat im Scheidungszeitpunkt aber nicht Rechnung getragen worden wäre, die beschriebene tatsächliche Vermutung also widerlegt sei, ergebe sich weder aus den Vorbringen der Beschwerdegegnerin noch aus den Feststellungen des Obergerichts. Dieser Sicht der Dinge kann nicht gefolgt werden.
4.2 Gemäss <ref-law> kann das Gericht den Unterhaltsbeitrag für das Kind nur dann neu festsetzen oder aufheben, wenn sich die Verhältnisse erheblich verändert haben. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kommt es nicht so sehr auf die Vorhersehbarkeit einer bestimmten Veränderung an, sondern darauf, ob die Parteien den Unterhaltsbeitrag mit Blick auf diese vorhersehbare Veränderung festgelegt haben (<ref-ruling> E. 2.7.4 S. 199 mit Hinweisen). In diesem Zusammenhang hat das Bundesgericht erkannt, im Sinne einer tatsächlichen Vermutung sei anzunehmen, dass vorhersehbare Veränderungen bei der ursprünglichen Festsetzung des Unterhalts berücksichtigt wurden (Urteil 5A_448/2010 vom 11. August 2010 E. 2.1). Diese tatsächliche Vermutung kommt allerdings nur dann zum Tragen, wenn über die Berücksichtigung der voraussehbaren Veränderung Ungewissheit herrscht. Dies trifft auf den vorliegenden Fall aber gerade nicht zu. Im angefochtenen Urteil hält das Obergericht nämlich ausdrücklich fest, die Unterhaltsbeiträge seien nicht im Hinblick auf eine allenfalls vorhersehbare Einkommenssteigerung des Beschwerdeführers festgelegt worden; Gleiches gelte sinngemäss mit Bezug auf den Umstand der Wiederverheiratung. In Anbetracht dieser Gewissheiten ist die beschriebene tatsächliche Vermutung von vornherein widerlegt und damit entbehrlich. Dazu kommt, dass die zitierten Feststellungen des Obergerichts den Sachverhalt betreffen. Das Bundesgericht ist deshalb an sie gebunden (<ref-law>; E. 1.2). Um die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ins Wanken zu bringen, müsste der Beschwerdeführer in einer dem Rügeprinzip (<ref-law>) genügenden Weise dartun, dass das Obergericht den Sachverhalt offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich festgestellt hat und die Behebung dieses Mangels für den Ausgang des Verfahrens hätte entscheidend sein können (<ref-law>). Dies tut er aber offensichtlich nicht, wenn er ausschliesslich eine Verletzung von <ref-law> geltend macht.
4.3 Steht nach dem Gesagten in tatsächlicher Hinsicht aber fest, dass bei der ursprünglichen Unterhaltsfestsetzung weder die spätere Einkommenssteigerung des Beschwerdeführers von mittlerweile 28 Prozent noch seine erneute Eheschliessung berücksichtigt wurden, so kommt es nach dem Gesagten (E. 4.2) auch nicht darauf an, ob diese Umstände vorhersehbar waren. Dass die besagten Umstände an sich als erhebliche Veränderungen der Verhältnisse im Sinne von <ref-law> gelten müssen, stellt der Beschwerdeführer zu Recht nicht in Frage. Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde auch mit Bezug auf den Vorwurf der Verletzung von <ref-law> als unbegründet.
5. Als Verletzung von <ref-law> rügt der Beschwerdeführer schliesslich, dass die Vorinstanz von der Beschwerdegegnerin keinen finanziellen Beitrag an den Unterhalt verlange und ihr nicht zumute, ihre Erwerbstätigkeit auf 100 oder zumindest 80 Prozent auszudehnen.
5.1 Das Obergericht hielt fest, einerseits komme der zufolge gesundheitlicher Probleme fremdplatzierte Sohn am Wochenende, an den Feiertagen und in den Ferien nach Hause. Anderseits sei die Tochter erst 14-jährig, so dass die Beschwerdegegnerin ohnehin nicht verpflichtet sei, eine volle Erwerbstätigkeit aufzunehmen. Mit ihrem gegenwärtigen Einkommen von derzeit Fr. 2'344.-- (inklusive Unterhaltsbeitrag von Fr. 109.--) könne die Beschwerdegegnerin weiterhin keinen Beitrag an die Kosten der Kinder leisten. Der Beschwerdeführer erachtet es demgegenüber als "nicht mehr zeitgemäss", der sorgeberechtigten Mutter erst ab dem 16. Altersjahr des jüngsten Kindes eine volle Erwerbstätigkeit zuzumuten. Heutzutage könne der sorgeberechtigte Elternteil eine Erwerbstätigkeit in aller Regel schon dann aufnehmen, wenn das jüngste Kind in den Kindergarten oder in die Primarschule eintrete. Entsprechend sei spätestens ab Eintritt in die Oberstufe bzw. ab dem 12. Altersjahr eine Erwerbstätigkeit von 100 oder mindestens 80 Prozent zumutbar. Der Beschwerdeführer rechnet dem Bundesgericht vor, mit den indexierten Unterhaltsbeiträgen von Fr. 1'324.--, den Familienzulagen von Fr. 500.-- sowie dem medizinischen Selbstkostenanteil von Fr. 29.-- seien bereits 91 Prozent des Kinderbedarfs von Fr. 2'033.80 gedeckt. Nachdem der Sohn fremdplatziert sei und die Tochter als Gymnasiastin tagsüber nicht mehr der Anwesenheit der Beschwerdegegnerin bedürfe, sei dieser zuzumuten, die restlichen 9 Prozent bzw. Fr. 180.80 durch ihren eigenen Arbeitserwerb zu decken, zumal sie bei einer Erwerbstätigkeit von 80 Prozent mindestens Fr. 3'576.--, bei einer solchen von 100 Prozent sogar Fr. 4'470.-- verdienen könne.
5.2 Entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, gilt auch unter den heutigen gesellschaftlichen Verhältnissen als Richtlinie, dass dem betreuenden Elternteil die (Wieder-)Aufnahme einer Erwerbstätigkeit im Umfang von 50 Prozent erst zumutbar ist, wenn das jüngste Kind 10-jährig ist, und zu 100 Prozent erst dann, wenn das jüngste Kind das 16. Altersjahr erreicht hat. Vor noch nicht langer Zeit hat das Bundesgericht diese Rechtsprechung bestätigt und ausdrücklich festgehalten, die unmittelbare persönliche Betreuung und Pflege auch bereits im obligatorischen Schulalter stehender Kinder diene deren Interesse und bilde einen wesentlichen Gesichtspunkt für die Zuteilung der elterlichen Sorge (<ref-ruling> E. 4.2.2.2 S. 109; Urteil 5A_210/2008 vom 14. November 2008 E. 3.1 und 3.2 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Sachrichter hat diese Leitsätze freilich nicht wie starre Regeln, sondern in pflichtgemässer Ausübung seines weiten Ermessens in Unterhaltsfragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 580) und unter Berücksichtigung der konkreten Umstände des Einzelfalles anzuwenden (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2.2 S. 109). Dass der angefochtene Entscheid mit diesen - nach wie vor gültigen - Grundsätzen nicht vereinbar wäre, macht der Beschwerdeführer zu Recht nicht geltend. Denn im Lichte des Gesagten erscheint es auch im vorliegenden Fall durchaus vertretbar, der Beschwerdegegnerin eine Ausdehnung ihrer Erwerbstätigkeit über 50 Prozent nicht zuzumuten - umso mehr, als sich das Bundesgericht bei der Überprüfung derartiger Entscheide eine gewisse Zurückhaltung auferlegt (E. 1.2). Insofern erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
6. Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin liess sich zur Hauptsache nicht vernehmen. Sie hat sich lediglich gegen die Erteilung der aufschiebenden Wirkung gewehrt, ist in diesem Punkt aber unterlegen. Eine Parteientschädigung ist ihr daher nicht geschuldet (<ref-law>). An ihr haften bleiben demnach ihre Parteikosten für die Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung. Wie die Erwägungen in der Verfügung vom 29. September 2911 (Bst. D.b) zeigen, muss ihr Antrag auf Abweisung dieses Gesuchs jedoch als von Anfang an aussichtslos angesehen werden, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege mangelt (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege ist somit abzuweisen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Dezember 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn