Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung vom 30. Januar 2013 ordnete der Gerichtspräsident des Familiengerichts Bremgarten die psychiatrische Begutachtung von A._, geb. xx.xx.1964, an und gab ihr Gelegenheit, zur Fragestellung an den Gutachter Stellung zu nehmen sowie Änderungs- und Ergänzungsanträge zu stellen. In der Folge war A._ über längere Zeit landesabwesend.
A.b. Mit Eingabe vom 17. Mai 2013 ersuchte A._, nunmehr vertreten durch Rechtsanwältin Karin Meyer, die Verfügung vom 30. Januar 2013 in Wiedererwägung zu ziehen, auf welchen Antrag der Gerichtspräsident des Familiengerichts Bremgarten mit Verfügung vom 21. Mai 2013 eintrat und ihn abwies.
B.
A._ beschwerte sich mit Eingabe vom 27. Mai 2013 gegen die Verfügungen vom 30. Januar 2013 und 21. Mai 2013 beim Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, und beantragte, die Verfügungen aufzuheben und von einer psychiatrischen Behandlung abzusehen. Mit Entscheid vom 22. Juli 2013 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein.
C.
A._ hat mit Eingabe vom 11. September 2013 beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Obergerichts Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie ersucht im Wesentlichen um Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der Verfügungen vom 30. Januar 2013 und 21. Mai 2013 und beantragt im Übrigen, von einer psychiatrischen Begutachtung abzusehen.
D.
In seiner Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung weist das Obergericht darauf hin, dass die Verfügung vom 30. Januar 2013 nicht innert der 10-tägigen Beschwerdefrist angefochten worden sei, weshalb sich die Gewährung der aufschiebenden Wirkung erübrige. Mit Präsidialverfügung vom 23. September 2013 wurde der Beschwerde entgegen dem Antrag des Bezirksgerichts Bremgarten und des Obergerichts aufschiebende Wirkung erteilt.
E.
Das Obergericht hat sich am 9. Oktober 2013 vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerin hat am 22. Oktober 2013 repliziert. Weitere Schriftenwechsel fanden nicht statt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts betreffend zwei Beweisverfügungen (Anordnungen der psychiatrischen Begutachtung in Anwendung von <ref-law>). Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid. Die Anordnung, sich einer psychiatrischen Begutachtung zu unterziehen, greift unwiderruflich in das Grundrecht der persönlichen Freiheit (<ref-law>) ein und kann daher einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken (<ref-law>; Urteil 1P.662/2004 vom 3. Februar 2005 E. 1.1 unter Hinweis auf Art. 87 Abs. 2 OG und <ref-ruling> E. 1c S. 94). Soweit sich aus <ref-ruling> E. 2 und 3 etwas anderes ergibt, ist dem im vorliegenden Fall nicht zu folgen. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Die Beschwerdeführerin hat in ihrer Replik die Beschwerde mit Vorbringen ergänzt (fehlende Rechtsmittelbelehrung), die sie hätte in der Beschwerde vorbringen können. Auf ihre Ausführungen ist infolge Ablaufs der Rechtsmittelfrist nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
Das Obergericht hat erwogen, selbstständige Beweisverfügungen könnten als Zwischenentscheide grundsätzlich nur zusammen mit dem Endentscheid und mit dem Rechtsmittel in der Sache angefochten werden. Nur wenn der Betroffene nachzuweisen vermöge, dass für ihn ein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil drohe, sei eine separate Anfechtung mittels Beschwerde gemäss <ref-law> möglich. Ein solcher Nachteil sei hier nicht dargetan.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Anordnung einer psychiatrischen Begutachtung tangiere ihr Recht auf persönliche Freiheit (<ref-law>). Die Auffassung der Vorinstanz, es liege kein drohender nicht wiedergutzumachender Nachteil vor, erweise sich als unhaltbar).
2.1. Vorliegend geht es um die Anordnung einer psychiatrischen Begutachtung gestützt auf <ref-law>, mithin um eine Beweismassnahme im Rahmen des Erwachsenenschutzes. Nach § 60c Abs. 1 des aargauischen Einführungsgesetzes zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch und Partnerschaftsgesetz (EGZGB/AG) vom 27. März 1911 (Stand 1. August 2013; SGS 210.100) ist auf alle im Kindes- und Erwachsenenschutzrecht zu entscheidenden Fälle das summarische Verfahren gemäss den Art. 248 ff. der Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO) anwendbar; der Fristenstillstand gemäss den Art. 145 f. ZPO gilt weder in erster noch in zweiter Instanz (Art. 60c Abs. 2 EGZGB/AG). Nach der auf das Rechtsmittelverfahren anwendbaren ZPO (<ref-law>) sind andere als die in Art. 319 lit. a erwähnten erstinstanzlichen Entscheide und prozessleitenden Verfügungen mit Beschwerde anfechtbar, wenn durch sie ein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil droht (<ref-law>). Mit Bezug auf Entscheide, die im summarischen Verfahren ergangen sind, beträgt die Beschwerdefrist 10 Tage (<ref-law>). Die Verfügung vom 30. Januar 2013, die der Beschwerdeführerin am 31. Januar 2013 zugestellt worden ist, wurde demnach mit der Eingabe vom 27. Mai 2013 nicht rechtzeitig angefochten. Das Obergericht ist demnach insoweit zu Recht auf die Beschwerde nicht eingetreten.
2.2. Die Beschwerdeführerin hat auch die Verfügung vom 21. Mai 2013 angefochten, wobei hier die Beschwerde unbestrittenermassen rechtzeitig eingereicht worden ist. Dabei handelt es sich um eine Wiedererwägung derjenigen vom 30. Januar 2013. Im vorliegenden Fall ist fraglich, ob die Wiedererwägung unter der Herrschaft der Zivilprozessordnung überhaupt zulässig ist. Zu berücksichtigen gilt es indes, dass es sich vorliegend um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit handelt, die in engem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht. Überdies hat die erste Instanz ihre ursprüngliche Verfügung tatsächlich in Wiedererwägung gezogen. Beim Rechtsbehelf der Wiedererwägung wird in einem ersten Schritt geprüft, ob Gründe für ein Rückkommen auf eine Verfügung bestehen; in einem zweiten Schritt geht es darum, ob diese Gründe eine Änderung der Verfügung rechtfertigen ( HÄFELIN/MÜLLER/ UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl. 2010, Rz. 1032, 1042 ff.; zum Ganzen: Urteil 8C_264/2009 vom 19. Mai 2009 E. 1.2.2 mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall ist der Gerichtspräsident auf das Gesuch um Wiedererwägung eingetreten und hat es abgewiesen. Damit erging ein neuer Entscheid in der Sache, der an die Stelle der in Wiedererwägung gezogenen Verfügung vom 30. Januar 2013 trat. Diese neue Verfügung ist selbständig anfechtbar, selbst wenn sie im Ergebnis die ursprüngliche Verfügung bestätigt ( WALTER KÄLIN, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 1994, S. 155 Ziff. 2).
2.3. Wie in Erwägung 1 bereits aufgezeigt worden ist, greift die Anordnung, sich einer psychiatrischen Begutachtung zu unterziehen, unwiderruflich in das Grundrecht der persönlichen Freiheit (<ref-law>) ein und stellt daher einen drohenden nicht wiedergutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur dar. Im Lichte der bundesgerichtlichen Rechtsprechung lässt sich nicht vertreten, ein drohender nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil im Sinn von <ref-law> sei nicht dargetan. Der Standpunkt des Obergerichts erweist sich damit als unhaltbar.
3.
Das Obergericht hat im Weiteren im Rahmen einer Eventualerwägung begründet, weshalb die Abweisung des Wiedererwägungsgesuchs nicht gegen Bundesrecht bzw. kantonales Recht verstösst. Diese Ausführungen gehen indes nicht im Einzelnen auf die Begründung der Verfügung vom 21. Mai 2013 ein, sodass im Ergebnis auch nicht von einer Eventualbegründung die Rede sein kann. Im Übrigen kritisiert die Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der Gefährdungsmeldung der Stiftung Q._ vom 24. Juni 2013, auf die im angefochtenen Entscheid des Obergerichts Bezug genommen wurde, eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>); sie macht namentlich geltend, diese Urkunde sei ihr nicht zur Stellungnahme zugestellt worden. Den Akten lässt sich immerhin entnehmen, dass der Ehemann die Gefährdungsmeldung der Stiftung Q._ vom 24. Juni 2013 seiner Stellungnahme vom 30. Juni 2013 an das Gericht beigelegt hat. Indes ergibt sich nicht, dass der Beschwerdeführerin durch das Gericht ausdrücklich Gelegenheit geboten worden ist, sich zur Gefährdungsmeldung der Stiftung zu äussern.
4.
Damit ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Sache ist zur Behandlung der Beschwerde an das Obergericht zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden keine Kosten erhoben, zumal sie dem Kanton nicht auferlegt werden können (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton hat indes die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 22. Juli 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Behandlung der Beschwerde an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Aargau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bezirksgericht Bremgarten, Familiengericht, dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, und R._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden