Sachverhalt:
A. Die Schweizerische Post AG baut in Härkingen ein Briefpostzentrum. Dafür hat sie am 7. Juni 2006 Gesuche gestellt für eine vorübergehende Bauwasserhaltung, für einen Einbau unter den höchsten Grundwasserspiegel sowie für die Versickerung von Meteorwasser. Am 20. Juni 2006 hat sie überdies ein Bewilligungsgesuch für eine Grundwasserwärmepumpe zu Kühlzwecken sowie für die Rückversickerung des gepumpten Grundwassers eingereicht. Gleichzeitig ersuchte sie um Erteilung der hierzu erforderlichen Konzession zur Grundwasserentnahme von maximal 7'200 l/min.
Die Wasserversorgung Härkingen und der Zweckverband Regionale Wasserversorgung Gäu erhoben gegen das Gesuch um Grundwasserentnahme und Rückversickerung Einsprache. In einer gemeinsamen Einsprache wehrten sich zudem der Zweckverband Wasserversorgung Untergäu, die Einwohnergemeinde Hägendorf und die Städtischen Betriebe Olten gegen eine Konzession zur Grundwasserentnahme zu Kühlzwecken mit anschliessender Rückgabe des Pumpwassers über eine Versickerungsgalerie.
Mit Beschluss vom 26. September 2006 (RRB 2006/1806) erteilte der Regierungsrat des Kantons Solothurn der Schweizerischen Post für den Neubau des Briefpostzentrums Härkingen die Bewilligung zur Erstellung und zum Betrieb einer Grundwasserwärmepumpe zu Kühlzwecken mit Rückversickerung. Gleichzeitig verlieh er für den Betrieb der Wärmepumpe die Konzession zur Entnahme von Wasser aus dem öffentlichen Grundwasser. Die Bewilligungen enthielten zahlreiche Bedingungen und Auflagen. Schliesslich bewilligte der Regierungsrat mit dem gleichen Beschluss das Versickerungsbauwerk inkl. Versickerungsleitung und die Versickerung von Meteorwasser für den Neubau.
B. Den Regierungsratsbeschluss vom 26. September 2006 zogen der Zweckverband Wasserversorgung Untergäu, die Einwohnergemeinde Hägendorf und die Städtischen Betriebe Olten sowie die Bürgergemeinde Härkingen an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn weiter. Dieses wies die Beschwerden mit Urteil vom 15. Januar 2007 ab, soweit es darauf eintreten konnte.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 21. Februar 2007 beantragen der Zweckverband Wasserversorgung Untergäu, die Einwohnergemeinde Hägendorf und die Bürgergemeinde Härkingen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 15. Januar 2007 sei aufzuheben. Weiter verlangen sie, die beantragten Bewilligungen und die anbegehrte Konzession seien zu verweigern. Eventualiter seien sie unter Rückweisung des Verfahrens an die Vorinstanz an weitere Auflagen und Bedingungen zu knüpfen.
D. Mit Präsidialverfügung vom 23. März 2007 wurde ein Gesuch der Beschwerdeführer um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
E. Die Schweizerische Post beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen und die beantragten Bewilligungen sowie die Konzession seien zu erteilen. Der Regierungsrat schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht äussert sich unter Hinweis auf die Begründung des angefochtenen Entscheids nicht zur Beschwerde.
Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) gelangt zum Schluss, die vom Gesuchsteller vorgelegten Expertenberichte wiesen die Einhaltung der Anforderungen an den Schutz der Gewässer nach und die Auflagen des Regierungsrats gewährleisteten einen ausreichenden Schutz der Gewässer. Die Erteilung der gewässerschutzrechtlichen Bewilligung für die Erstellung und den Betrieb der Grundwasserwärmepumpe entspreche den Gewässerschutzvorschriften des Bundes. Das Verwaltungsgericht und die Schweizerische Post verzichten darauf, sich zur Vernehmlassung des BAFU zu äussern. Die Beschwerdeführer halten an den Ausführungen in ihrer Beschwerdeschrift fest.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz [BGG; SR 173.110]) in Kraft getreten. Der angefochtene Entscheid erging nach dem 1. Januar 2007. Gemäss <ref-law> ist hier das Bundesgerichtsgesetz anwendbar.
2. 2.1 Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht auch auf dem Gebiet des Gewässerschutzrechts sowie der Wasserrechtskonzessionen zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu keinen Ausschlussgrund (<ref-law>).
2.2 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (<ref-law>). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer (<ref-law>), dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (<ref-law>) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (<ref-law>). Die Nähe der Beziehung zum Streitgegenstand muss bei Bauprojekten insbesondere in räumlicher Hinsicht gegeben sein. Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann (vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4236). Die Voraussetzungen von <ref-law> hängen eng zusammen; insgesamt kann insoweit an die Grundsätze, die zur Legitimationspraxis bei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach Art. 103 lit. a des früheren Organisationsgesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) entwickelt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 51 f., 379 E. 4b S. 386 f.), angeknüpft werden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 252 f.; zur Publikation bestimmtes Urteil 1C_94/2007 vom 3. September 2007 E. 3).
In Anwendung von Art. 103 lit. a OG war zur Erhebung einer Verwaltungsgerichtsbeschwerde befugt, wer durch die angefochtene Verfügung berührt war und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hatte. Dieses Interesse konnte rechtlicher oder auch bloss tatsächlicher Natur sein; verlangt wurde nach ständiger Praxis, dass der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid stärker als jedermann betroffen sei und in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache stehe (<ref-ruling> E. 2b S. 174; <ref-ruling> E. 4b S. 386 f., je mit Hinweisen). Dieses allgemeine Beschwerderecht, das heute wie erwähnt in <ref-law> geregelt ist, ist grundsätzlich auf Privatpersonen zugeschnitten. Gemeinwesen können es für sich in Anspruch nehmen, wenn sie durch die angefochtene Verfügung gleich oder ähnlich wie Private betroffen sind (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 427 ff.; <ref-ruling> E. 1b S. 36; <ref-ruling> E. 1b S. 616; <ref-ruling> E. 2 S. 130, 112 Ia 59 E. 1b S. 62, je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung kann jedoch ein Gemeinwesen auch zur Beschwerde legitimiert sein, wenn es durch die fragliche Verfügung in seinen hoheitlichen Befugnissen und Aufgaben berührt wird. Die Gemeinden sind mithin zur Anfechtung der Bewilligung für ein mit Immissionen verbundenes Werk befugt, wenn sie als Grundeigentümerinnen gleich wie Private immissionsbelastet sind oder wenn sie als Gebietskorporationen öffentliche Anliegen wie den Schutz der Einwohner zu vertreten haben und insofern durch Einwirkungen, welche von Bauten und Anlagen ausgehen, in hoheitlichen Befugnissen betroffen werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.3 S. 759 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 304; <ref-ruling> E. 2c S. 374 f., mit zahlreichen Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind im vorliegenden Fall in Bezug auf die beschwerdeführenden Gemeinden und den Zweckverband Wasserversorgung Untergäu erfüllt.
2.3 Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die vorliegende Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten.
3. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Bezüglich der Überprüfung und Anwendung von kantonalem Recht sind in <ref-law> gewisse Teilbereiche aufgeführt, so kantonale verfassungsmässige Rechte (lit. c), kantonale Bestimmungen über die politische Stimmberechtigung sowie über Volkswahlen und -abstimmungen (lit. d) und interkantonales Recht (lit. e). Ausserhalb des Anwendungsbereichs von Art. 95 lit. c-e BGG bleibt die Kognition des Bundesgerichts bezüglich des kantonalen und kommunalen Rechts unter dem Bundesgerichtsgesetz im Vergleich zum früheren Recht unverändert. Diesbezüglich bildet die Verletzung kantonaler bzw. kommunaler Bestimmungen nur dann einen zulässigen Beschwerdegrund, wenn eine derartige Rechtsverletzung einen Verstoss gegen Bundesrecht im Sinne von <ref-law> - so das Raumplanungs-, Gewässerschutz- und Umweltschutzrecht des Bundes usw., ferner auf Verfassungsstufe beispielsweise gegen das Willkürverbot (<ref-law>) - oder gegen Völkerrecht im Sinne von <ref-law> zur Folge hat (vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4335).
In Ergänzung zu den Rügen, die sich auf Art. 95 f. BGG stützen, sind unter den engen Voraussetzungen von <ref-law> auch Vorbringen gegen die Sachverhaltsfeststellung zulässig. Ein solcher Einwand kann nach der letztgenannten Bestimmung jedoch nur erhoben werden, wenn die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Die Rüge, im Rahmen der Sachverhaltsfeststellung sei der grundrechtliche Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden, kann jedoch uneingeschränkt erhoben werden (vgl. Regina Kiener, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, in: Neue Bundesrechtspflege, Berner Tage für die juristische Praxis, BTJP 2006, Bern 2007, S. 277).
4. 4.1 Gemäss Art. 19 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 24. Januar 1991 über den Schutz der Gewässer (Gewässerschutzgesetz, GSchG, SR 814.20) bedürfen die Erstellung und Änderung von Bauten und Anlagen sowie Grabungen, Erdbewegungen und ähnliche Arbeiten in besonders gefährdeten Bereichen einer kantonalen Bewilligung, wenn sie die Gewässer gefährden können. Insbesondere benötigen Grundwassernutzungen (einschliesslich Nutzungen zu Heiz- und Kühlzwecken) in besonders gefährdeten Bereichen - wie dem vorliegend zur Diskussion stehenden Gewässerschutzbereich Au - gemäss Art. 32 Abs. 2 lit. c Gewässerschutzverordnung vom 28. Oktober 1998 (GSchV, SR 814.201) eine solche Bewilligung. Die Gesuchsteller müssen nachweisen, dass die Anforderungen zum Schutze der Gewässer erfüllt sind und die dafür notwendigen Unterlagen beibringen (Art. 32 Abs. 3 GSchV). Die zuständige Behörde erteilt die gewässerschutzrechtliche Bewilligung, wenn mit Auflagen und Bedingungen ein ausreichender Schutz der Gewässer gewährleistet werden kann (Art. 32 Abs. 4 GSchV). In Anhang 2 der Gewässerschutzverordnung des Bundes werden die Anforderungen an die Wasserqualität festgelegt. Für unterirdische Gewässer verlangt dabei Ziff. 21 Abs. 3 Anhang 2 GSchV, dass die Temperatur des Grundwassers durch Wärmeeintrag oder Wärmeentzug gegenüber dem natürlichen Zustand um nicht mehr als 3°C verändert wird; vorbehalten sind örtlich eng begrenzte Temperaturveränderungen, welche gemäss Wegleitung Grundwasserschutz, BUWAL 2004, im Umkreis von maximal 100 Metern möglich sind.
Die Erteilung gewässerschutzrechtlicher Bewilligungen obliegt nach § 9 Abs. 1 und 2 der kantonalen Verordnung vom 19. Dezember 2000 zum Schutz der Gewässer (Gewässerschutzverordnung, GSchV-SO, BGS 712.912) dem Bau- und Justizdepartement. Dieses ist gemäss den §§ 9 ff. GSchV-SO für den Vollzug des Gewässerschutzrechts zuständig und hat insbesondere darüber zu wachen, dass keine Gewässerverunreinigungen entstehen (§§ 10 und 11 GSchV-SO). Für die Konzessionierung namhafter Grundwasserentnahmen ist der Regierungsrat zuständig (§ 13 Abs. 2 und § 14 Abs. 1 Ziff. 2 des kantonalen Gesetzes über die Rechte am Wasser vom 27. September 1959, WRG-SO, BGS 712.11).
4.2 Im vorliegenden Fall hat der Regierungsrat aus Koordinationsgründen erstinstanzlich sowohl über die gewässerschutzrechtlichen Bewilligungen als auch über die Wasserrechtskonzession entschieden. In Ziff. 3.4.8 seines Beschlusses Nr. 2006/1806 vom 26. September 2006 hat er einem Anliegen der Einsprecher und heutigen Beschwerdeführer entsprechend folgende Auflage angeordnet:
- Die Bewilligungsempfängerin hat dem AfU ausserdem innerhalb von 3 Monaten nach Inkrafttreten des vorliegenden Beschlusses ein Konzept für die Temperaturüberwachung des Grundwassers im Zu- und Abstrombereich des neu zu errichtenden Versicherungsbauwerkes zur Genehmigung einzureichen. Die Temperaturüberwachung hat die Längs- und Querrichtung sowie die gesamte Mächtigkeit des Grundwasserleiters zu umfassen und muss sich - im Abstrombereich - bis zum Pumpwerk Zelgli erstrecken. Hierfür sind im Grundwasser an verschiedenen Orten geeignete Messstellen zu errichten. Die Messstelle im Oberlauf muss in einem angemessenen Abstand zum Versickerungsbauwerk liegen, der gewährleistet, dass die gemessene Temperatur von der dort eingetragenen Wärme unbeeinflusst bleibt. Die Temperaturmessungen des Grundwassers müssen mindestens 6 Monate vor Inbetriebnahme der Grundwasserwärmepumpe beginnen."
Mit dieser Auflage wird die - für Vergleichszwecke unerlässliche - fortlaufende Erhebung der natürlichen Temperatur des Grundwassers gewährleistet. Nach Auffassung des Regierungsrats erlaubt diese Massnahme auch das Erkennen eines allfälligen "hydraulischen Kurzschlusses", d.h. des Umstands, dass von den Pumpen - gegenüber dem natürlichen Zustand - bereits erwärmtes Wasser angesaugt werden sollte. In diesem Fall würde bereits das im Vorlauf des Systems installierte Thermometer einen höheren Wert ausweisen als das im Oberlauf der Anlage platzierte. Indessen soll ein derartiger Kurzschluss bei der geplanten Anlage nach den Ausführungen des Regierungsrats nicht nur unwahrscheinlich sein, sondern er wäre - sollte er dennoch eintreten - von geringem Ausmass und von absehbarer Folge für das Grundwasser. Das gegebene Restrisiko sei deshalb tragbar.
4.3 Das BAFU führt in seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht aus, die Gesuchstellerin habe rechtsgenüglich nachgewiesen, dass alle Anforderungen zum Schutz der Gewässer erfüllt seien (Art. 32 Abs. 3 GschV). Die von ihr eingereichte Expertenstudie, welche Modellrechnungen zu den Auswirkungen eines Temperatur- resp. Leistungseintrags enthalte, komme zum Schluss, die von der Gewässerschutzverordnung vorgeschriebene maximale Temperaturveränderung von 3°C werde eingehalten. Die Pflicht zur Nachreichung eines Konzepts zur dauernden Überwachung der Grundwassertemperatur zur Genehmigung durch das kantonale Amt für Umwelt (AfU) sei eine Auflage des Regierungsrats im Sinne von Art. 32 Abs. 4 GSchV, welche den Schutz der Gewässer sicherstellen solle. Der Regierungsrat mache dementsprechend genaue Vorgaben, wie die Temperaturüberwachung zu gestalten sei und schreibe einen Messbeginn sechs Monate vor Inbetriebnahme der Grundwasserwärmepumpe vor. Ausserdem lege er in den Auflagen fest, dass die kontinuierlich aufzuzeichnenden Temperaturmessungen jährlich und unzulässige Temperaturüberschreitungen unverzüglich dem AfU mitzuteilen seien. Mit der so vorgeschriebenen Verifizierung der Prognosen der Expertenstudie sei ein ausreichender Schutz der Gewässer gewährleistet.
4.4 Wie schon im vorinstanzlichen Verfahren machen die Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht geltend, die vorn zitierte Ziff. 3.4.8 des Regierungsratsbeschlusses verstosse gegen Art. 32 GSchV. Das Verwaltungsgericht und wie erwähnt das BAFU kommen dagegen zum Schluss, die bundesrechtlichen Gewässerschutzvorschriften seien nicht zuletzt mit Blick auf diese Auflage eingehalten. Das Bundesgericht schliesst sich diesem Standpunkt an und hält vor allem die vorn wiedergegebenen Darlegungen des BAFU zu dieser Frage für zutreffend. Mit der umstrittenen Auflage will der Regierungsrat dem zuständigen Bau- und Justizdepartement überdies die diesem Departement obliegenden Kontroll- und Vollzugsarbeiten ermöglichen und erleichtern (vgl. §§ 9 ff. GSchV-SO). Was die Beschwerdeführer gegen diese Beurteilung vorbringen, vermag nicht zu überzeugen. Insbesondere geht auch ihre Rüge fehl, der Regierungsrat und das Verwaltungsgericht hätten ihnen bezüglich der genannten Auflage das rechtliche Gehör verweigert. Sie hatten vor dem verwaltungsgerichtlichen Urteil davon Kenntnis und konnten sich dagegen hinreichend zur Wehr setzen. Mit der differenziert umschriebenen und ausgestalteten Auflage zur Einreichung des Temperaturkonzepts werden die Voraussetzungen zur Erteilung der gewässerschutzrechtlichen Bewilligung erfüllt. Die Anwendung des nach den Vorgaben des Kantons auszugestaltenden Konzepts ist Sache des späteren Vollzugs der erteilten Bewilligung. Sollten diesbezüglich später Mängel auftreten, welche sie rechtserheblich betreffen, so haben die Beschwerdeführer die Möglichkeit, sich dagegen zur Wehr zu setzen.
5. Es ergibt sich, dass die Beschwerde als unbegründet abzuweisen ist.
Den Beschwerdeführern, die im Interesse der öffentlichen Trinkwasserversorgung Beschwerde führen, sind für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Gemäss <ref-law> wird die unterliegende Partei in der Regel verpflichtet, der obsiegenden Partei alle durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten zu ersetzen. Nach der bundesgerichtlichen Praxis haben obsiegende Parteien grundsätzlich nur dann Anspruch auf eine Parteientschädigung, wenn sie durch einen externen Anwalt vertreten sind, und deshalb tatsächlich Anwaltskosten anfallen. Parteien, die sich - wie die Schweizerische Post - durch ihren Rechtsdienst vertreten lassen, wird daher regelmässig keine Parteientschädigung zugesprochen (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1P.68/2007 vom 17. August 2007 E. 5 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern und der Schweizerischen Post AG, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Oktober 2007
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: