Sachverhalt:
A.
D._ (Versicherter, Beschwerdeführer) ist bei der Krankenkasse X._ (Versicherung, Beschwerdegegnerin) obligatorisch krankenpflegeversichert. Zudem hat er bei ihr die Zusatzversicherungen Q._ und R._ nach dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1) abgeschlossen. Im Jahr 2008 trat beim Versicherten ein schweres Lyell-Syndrom mit Bindehautbeteiligung auf. Der Versicherte wurde daraufhin mehrmals am linken Auge operiert, wobei eine Hornhauttransplantation, eine Keratoprothetik und eine Konjunktivaplastik durchgeführt wurden. Im Zusammenhang mit der Behandlung der Augenproblematik verordnete der behandelnde Arzt der Augenklinik des Spitals L._ unter anderem die Augentropfen Fermavisc.
In der Folge wandte sich der Versicherte an die Versicherung und ersuchte um Kostenübernahme für die Augentropfen Fermavisc. Die Versicherung verweigerte die Übernahme (unter anderem) mit Schreiben vom 19. Mai 2011 und 6. Juni 2011, da die Kosten weder von der Grundversicherung noch aus der Zusatzversicherung Q._ übernommen werden könnten. Die Übernahme der Kosten durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung lehnte sie sodann mit Verfügung vom 3. Juli 2012 und Einspracheentscheid vom 13. Juli 2012 ab.
B.
Am 9. August 2012 reichte der Versicherte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt "Klage" bzw. "Beschwerde" ein. Darin verlangte er sinngemäss die Rückerstattung von Fr. 1'614.25 für die bis am 6. Juli 2012 bereits bezahlten Medikamente Fermavisc und NaCl Braun 0.9%-Lösung sowie die Kostenübernahme für dieselben Medikamente ab dem 6. Juli 2012. Es sei das Zahlungssystem "tiers payant" anzuwenden. Das Sozialversicherungsgericht eröffnete einerseits ein Beschwerdeverfahren hinsichtlich der umstrittenen Leistungspflicht aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (Verfahren KV 2012.13), andererseits ein Schlichtungsverfahren hinsichtlich der umstrittenen Leistungspflicht aus den Zusatzversicherungen (Verfahren SV 2012.11).
Nach Durchführung einer erfolglosen Vergleichs- und Schlichtungsverhandlung vor der Schlichtungsbehörde des Sozialversicherungsgerichts betreffend das Verfahren SV 2012.11 erhob der Versicherte Klage, wobei er im Wesentlichen an seinen in der Eingabe vom 9. August 2012 gestellten Rechtsbegehren festhielt (Verfahren ZV 2012.3). Mit zwei Urteilen vom 8. April 2013 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab (Urteil ZV 2012.3), und ebenso die Beschwerde, soweit es auf diese eintrat (Urteil KV 2012.13).
C.
Der Beschwerdeführer verlangt mit Beschwerde an das Bundesgericht, die Urteile KV 2012.13 und ZV 2012.3 des Sozialversicherungsgerichts vom 8. April 2013 vollumfänglich aufzuheben.
Gestützt darauf wurden zwei Verfahren eröffnet, nämlich das Verfahren 9C_539/2013 betreffend die Anfechtung des Urteils KV 2012.13 und das vorliegende Verfahren betreffend die Beschwerde gegen das Urteil ZV 2012.3 (Verfahren 4D_43/2013).
Die Beschwerdegegnerin beantragt im Verfahren 4D_43/2013, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen, unter Verweis auf die "Beschwerdeantworten im Vorverfahren" sowie auf das angefochtene Urteil. Die Vorinstanz trägt ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde an, mit Hinweis auf das angefochtene Urteil.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.2. Soweit sich die Beschwerde gegen das Urteil ZV 2012.3 richtet, betrifft sie eine Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung (KVG) dem VVG. Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 72-77 BGG in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1).
1.3. Mit der Beschwerde wird ein Endentscheid im Sinne von <ref-law> angefochten. Das Sozialversicherungsgericht hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> entschieden. Gegen seinen Entscheid steht die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig vom Streitwert offen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 4 f.).
1.4. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel darstellt (<ref-law>), ist grundsätzlich ein materieller Antrag erforderlich. Anträge, die auf blosse Aufhebung des angefochtenen Urteils und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung lauten, genügen in der Regel nicht und machen die Beschwerde unzulässig. Eine Ausnahme gilt dann, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Die Rechtsbegehren sind unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung nach dem Vertrauensprinzip auszulegen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136; <ref-ruling> E. 1.4.2).
Die Beschwerde enthält keinen materiellen Antrag. Der Beschwerdeführer begehrt lediglich, die beiden angefochtenen Urteile seien "vollumfänglich aufzuheben", schliesst jedoch nicht auf Gutheissung der Klage im Verfahren ZV 2012.3. Aus der Begründung der Beschwerde ergibt sich wohl, dass in der Sache eine Kostenübernahme durch die Beschwerdegegnerin verlangt wird. Indessen lässt der Beschwerdeführer ausdrücklich offen, ob und in welchem Umfang die Kosten von den Zusatzversicherungen gedeckt sein sollen und demnach - falls der Beschwerdeführer obsiegen sollte - seine Klage gutgeheissen werden müsste. Damit ist unter dem Gesichtspunkt des materiellen Antragserfordernisses fraglich, ob auf die Beschwerde eingetreten werden kann. Geht man zu Gunsten des nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführers davon aus, dass er sinngemäss jedenfalls auch die (vollumfängliche) Klagegutheissung verlangt, erweist sich die Beschwerde jedoch - wie nachfolgend aufzuzeigen ist - ohne Weiteres als unbegründet, soweit mit Blick auf die Begründungsanforderungen überhaupt auf sie eingetreten werden kann.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist im Hinblick auf dieses Erfordernis, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4).
2.2. Die Vorinstanz kam im hier angefochtenen Urteil ZV 2012.3 zum Schluss, dass weder Fermavisc noch die NaCl Braun 0.9%-Lösung von den Zusatzversicherungen Q._ und R._ erfasst würden, weshalb eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin aus den Zusatzversicherungen nach VVG entfalle. Im Einzelnen begründete sie dies damit, die Zusatzversicherung R._ erbringe bloss Leistungen bei Zahnbehandlungen, Zahnstellungskorrekturen, Zahnfleisch- und Kiefererkrankungen sowie an Hilfsmittel. Demgegenüber bestehe eine Leistungspflicht hinsichtlich der Zusatzversicherung Q._ gemäss Art. 3.1 der Zusätzlichen Versicherungsbedingungen der Beschwerdegegnerin (ZVB) bloss, wenn die von einem Arzt verordneten nicht kassenpflichtigen Medikamente bei der Heilmittelkontrollstelle des Bundes für die betreffende Indikation registriert seien. Diese Voraussetzung sei weder bei Fermavisc noch bei der NaCl Braun 0.9%-Lösung erfüllt. Ersteres sei auf der Liste (der Swissmedic) von nach dem Bundesgesetz vom 15. Dezember 2000 über Arzneimittel und Medizinprodukte (HMG; SR 812.21) zugelassenen Arzneimitteln nicht aufgeführt. Letztere sei darauf zwar erwähnt; indes werde als Indikation die Verwendung als Infusionslösung angegeben. Der Beschwerdeführer verwende die NaCl Braun 0.9%-Lösung als Spül- und nicht als Infusionslösung und damit nicht entsprechend der von Swissmedic zugelassenen medizinischen Indikation. Ergänzend führte die Vorinstanz mit Bezug auf Fermavisc an, dieses sei gemäss den Feststellungen im Parallelverfahren KV 2012.13 kein Arzneimittel, sondern ein Medizinprodukt, wofür nach Art. 1.2 ZVB ohnehin keine Leistungspflicht unter der Zusatzversicherung Q._ bestehe.
2.3. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen diese Beurteilung der Vorinstanz, indem er den Sachverhalt ausführlich aus eigener Sicht darstellt und die "medizinische Notwendigkeit, Wirksamkeit, Zweckmässigkeit und Wirtschaftlichkeit" der beiden Produkte zu belegen sucht, welche die Vorinstanz ungenügend berücksichtigt habe. Mit seinen entsprechenden Ausführungen weicht er über weite Strecken von den vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen ab und erweitert diese nach Belieben, ohne sie im Einzelnen als offensichtlich unrichtig oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhend zu rügen (vgl. Erwägung 2.1). Dies ist auch im Rahmen von Beschwerden gegen Urteile einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law> unzulässig, und der Beschwerdeführer kann mit seiner darauf beruhenden appellatorischen Kritik nicht gehört werden. Aus dem gleichen Grund kann auch nicht auf die Argumentation des Beschwerdeführers eingetreten werden, wonach aus den Unterlagen, welche die Beschwerdegegnerin der Schlichtungskommission unterbreitet habe, klar hervorgehe, dass sowohl in der Grundversicherung als auch in der Zusatzversicherung Q._ "Medikamente ausserhalb Arzneimittel- und Spezialitätenliste" und "Alternative Medizin" unter "Komplementärmedizin" erfasst würden, und ebenso wenig auf den damit im Zusammenhang stehenden Vorwurf des Beschwerdeführers, die Beschwerdegegnerin verwende "dieselben Begriffe zwischen dem Leistungsausweis und dem Reglement unterschiedlich".
Im Übrigen ist ohnehin nicht ersichtlich, inwiefern die Ausführungen des Beschwerdeführers eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin aus den bestehenden Zusatzversicherungen begründen sollen. Die entscheidrelevante Feststellung der Vorinstanz, dass weder Fermavisc noch die NaCl Braun 0.9%-Lösung bei der Swissmedic (für die fragliche Indikation) registriert seien und ihre Schlussfolgerung, dass somit nach Art. 3.1 ZVB keine Deckung durch die Zusatzversicherung Q._ bestehe (Erwägung 2.2), ficht er jedenfalls nicht sachgerecht an. Er stellt namentlich nicht in Frage, dass die NaCl Braun 0.9%-Lösung vorliegend als Spüllosung verwendet wird. Vielmehr meint er ohne nachvollziehbare Begründung, es "wäre entgegen ein jedes Verständnis", wenn ein Heilmittel, das per Infusion verabreicht werde, kassenpflichtig wäre, nicht aber, wenn es oral eingenommen werde oder anders verpackt sei. Damit vermag er nicht aufzuzeigen, dass die vorinstanzliche Vertragsauslegung betreffend die Zusatzversicherung Q._ Bundesrecht verletzt. Bei dieser Sachlage kann offen bleiben, ob auch die vom Beschwerdeführer ebenfalls kritisierte - auf das Urteil in der Sache KV 2012.13 abgestützte - Eventualbegründung der Vorinstanz trägt, wonach Fermavisc bereits deshalb nicht von der Zusatzversicherung gedeckt sei, weil es ein Medizinprodukt und kein Arzneimittel darstelle. Schliesslich behauptet der Beschwerdeführer zu Recht nicht, aus der von ihm zitierten Rechtsprechung betreffend den sogenannten off-label-use (Urteil 9C.305/2008 vom 5. November 2008 E. 1.3 sowie <ref-ruling>) ergebe sich eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin mit Bezug auf die vorliegend abgeschlossenen Zusatzversicherungen nach dem VVG.
3.
Auf die Beschwerde ist weitgehend nicht einzutreten; im übrigen Umfang ist sie abzuweisen. Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da ihr kein ausserordentlicher Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; Art. 1 lit. a und b des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]; Urteil 4A_24/2012 vom 30. Mai 2012 E. 7, nicht publ. in: <ref-ruling>1).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz