Faits:
A.
Par acte notarié du 13 septembre 2007, A._ et C._ ont fondé B._ Sàrl, société inscrite au registre du commerce du canton de Vaud le 20 septembre 2007. Chacun est titulaire de 100 parts sociales de 100 fr. Tous deux sont associés gérants, C._ étant également président de la société; ils disposent d'un pouvoir de signature collective à deux.
Par lettre du 25 septembre 2009, C._ a informé A._ qu'il mettait fin à son activité dans le cadre de B._ Sàrl pour le 31 décembre 2009; il invoquait des raisons de santé. Le 27 octobre 2009, il a avisé son coassocié qu'il quittait définitivement les locaux de la société deux jours plus tard et qu'il emportait, conformément au modus vivendi convenu, certains dossiers, du mobilier et des éléments informatiques; en ce qui concerne la cessation des activités de la société, il précisait rester dans l'attente de l'intégralité de la comptabilité 2008.
Selon A._, C._ a paralysé les activités de la société à partir de ce moment-là, notamment en refusant sa signature. Dès la fondation de la société, il aurait également violé ses devoirs de non-concurrence, de fidélité et de diligence, en continuant l'activité de son entreprise individuelle parallèlement à celle de B._ Sàrl.
B.
Le 19 octobre 2010, A._ a déposé une demande "en retrait des pouvoirs de gestion et de représentation" contre B._ Sàrl auprès du Tribunal d'arrondissement de Lausanne. Ses conclusions se présentaient ainsi:
" I. L'action est admise.
II. M. C._ n'est plus gérant de la société B._
Sàrl; son pouvoir de signature collective à deux est radié.
III. M. A._ est associé-gérant de la société B._
Sàrl avec pouvoir de signature individuelle.
IV. Ordre est donné au registre du commerce du Canton de Vaud
d'inscrire et de publier ces modifications. "
Le même jour, A._ a déposé une requête de mesures provisionnelles et préprovisionnelles, également dirigée contre B._ Sàrl; ses conclusions étaient similaires à celles de la demande susmentionnée.
La Présidente du Tribunal civil a rejeté la requête de mesures préprovisionnelles le 26 octobre 2010, puis, par ordonnance du 16 mars 2011, la requête de mesures provisionnelles. Saisie d'un appel de A._, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a confirmé l'ordonnance attaquée, sauf sur les dépens, en date du 20 décembre 2011. Par arrêt du 12 avril 2012, le Tribunal fédéral a rejeté le recours de A._ contre cette décision (cause 4A_72/2012).
A l'audience préliminaire du 25 septembre 2012, la Présidente du Tribunal civil a ordonné la disjonction de la question de la légitimation passive et dit que cette question serait traitée préalablement à toute autre opération. Comme B._ Sàrl n'était pas représentée valablement à l'audience, il a été décidé de passer au jugement par défaut.
Par jugement du 29 octobre 2012, dont les considérants ont été notifiés le 29 janvier 2013, la Présidente du Tribunal civil a dit que la défenderesse B._ Sàrl n'avait pas la légitimation passive.
A._ a interjeté appel. Par arrêt du 14 août 2013 dont les considérants ont été notifiés le 18 novembre 2013, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a rejeté l'appel et confirmé le jugement attaqué.
C.
A._ interjette un recours en matière civile. Il demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt attaqué et de dire que B._ Sàrl a la légitimation passive dans l'action en retrait des pouvoirs de gestion et de représentation de C._; à titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Par ailleurs, A._ a requis d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire totale, comprenant la dispense du paiement des frais judiciaires et de la fourniture de sûretés en garantie des dépens, ainsi que la désignation d'un mandataire d'office. Par ordonnance du 8 mai 2014, la cour de céans a admis la demande d'assistance judiciaire et désigné Me Colette Lasserre Rouiller comme avocate d'office du recourant.
L'ordonnance fixant à la société intimée un délai pour prendre position sur le recours a été retournée au Tribunal fédéral, quand bien même elle a été envoyée à l'adresse actuelle de la société selon le registre du commerce.

Considérant en droit:
1.
1.1. A la suite du juge de première instance, la cour cantonale a nié la légitimation passive (ou qualité pour défendre) de la société intimée. L'absence de légitimation (active ou passive) entraîne le rejet de l'action (<ref-ruling> consid. 2b/bb p. 55). La décision attaquée met donc un terme à la procédure; elle est finale au sens de l'<ref-law>.
Dans les affaires pécuniaires, le recours en matière civile est recevable, pour les causes ne relevant ni du droit du travail ni du droit du bail à loyer, dès que la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (<ref-law>). Pour qu'une affaire soit considérée comme pécuniaire, il n'est pas nécessaire que les conclusions de la demande portent directement sur un paiement ou une libération de dette; il suffit que le demandeur sollicite une mesure qui, par sa finalité, tend à défendre ses intérêts patrimoniaux (consid. 1.1 non publié de l'<ref-ruling>). Tel est le cas en l'espèce, dès lors que le recourant prétend qu'il ne perçoit aucune rétribution quelconque à la suite de la paralysie de la société, laquelle serait liée à l'inertie de son coassocié gérant. La valeur litigieuse est déterminée par les conclusions prises devant l'autorité précédente (<ref-law>). Lorsque, comme en l'espèce, les conclusions ne tendent pas au paiement d'une somme d'argent déterminée, la valeur litigieuse est fixée par appréciation (<ref-law>). Avec le recourant, on peut admettre que les intérêts financiers en jeu dans la société en cause, comptant deux courtiers en assurance expérimentés, dépassent manifestement le seuil de 30'000 fr.
Au surplus, interjeté par la partie qui n'a pas obtenu gain de cause (<ref-law>) et dirigé contre une décision rendue en matière civile (<ref-law>) par un tribunal cantonal supérieur statuant sur recours en dernière instance (<ref-law>), le recours est en principe recevable puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. c et <ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, à respecter sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine que les questions juridiques qui sont soulevées devant lui; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2 p. 88 s.; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Dès lors qu'une question est discutée, le Tribunal fédéral n'est limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 2 p. 89; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 336; <ref-ruling> consid. 4 p. 317 s.; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
2.
La question litigieuse porte sur la qualité pour défendre dans l'action fondée sur l'<ref-law>. Selon l'arrêt attaqué, l'action en révocation du gérant doit être dirigée contre ce dernier lorsque, comme en l'espèce, le litige oppose les deux associés d'une société à responsabilité limitée. Le point de savoir ce qu'il en est dans les autres cas de figure a été laissé ouvert.
2.1. Le recourant se plaint d'une violation de l'<ref-law>. D'après lui, l'action en retrait des pouvoirs du gérant doit toujours être intentée contre la société.
A titre liminaire, le recourant observe que, contrairement aux déductions de la cour cantonale, l'arrêt du 12 avril 2012 rendu dans le cadre des mesures provisionnelles ne valide pas la solution retenue par les juges vaudois en matière de légitimation passive, car le Tribunal fédéral n'a alors ni discuté, ni tranché cette question.
Sur le fond, l'analogie avec l'<ref-law> régissant le retrait à un associé du droit de représenter la société en nom collectif n'aurait pas lieu d'être, car le nouveau droit de la société à responsabilité limitée, entré en vigueur en 2008, s'est précisément éloigné du droit de la société en nom collectif pour se rapprocher du droit de la société anonyme. Par ailleurs, l'argument, invoqué par la cour cantonale, selon lequel l'associé gérant répondrait personnellement des griefs qui lui sont reprochés, procéderait d'une confusion entre l'action en responsabilité et l'action en retrait des pouvoirs. Le recourant observe au surplus que, selon la doctrine, le for de l'action en révocation au sens de l'<ref-law> se trouve au siège de la société. Enfin, il conteste tout parallèle avec le droit de la propriété par étages, dès lors que la communauté des copropriétaires d'étages n'est pas une personne morale, contrairement à la société à responsabilité limitée.
2.2. Comme le recourant le relève à juste titre, la cour de céans ne s'est pas prononcée sur la question de la légitimation passive à l'action fondée sur l'<ref-law> dans son arrêt du 12 avril 2012, rendu dans le cadre des mesures provisionnelles. En effet, la décision cantonale entreprise, refusant les mesures requises, était fondée sur plusieurs motivations, dont l'absence de qualité pour défendre. Cette motivation-ci n'a pas été examinée par le Tribunal fédéral, dès lors que les autres motivations - suffisantes pour justifier le refus des mesures provisionnelles - résistaient aux griefs de violation des droits constitutionnels soulevés par le recourant conformément à l'<ref-law>.
2.3. L'ancien <ref-law>, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007, prévoyait que le retrait du pouvoir de gérer et de représenter avait lieu, entre associés de la société à responsabilité limitée, de la même manière que dans la société en nom collectif. Ce renvoi concernait notamment l'<ref-law>. Selon cette disposition, chaque associé peut retirer à un autre associé, pour de justes motifs, le droit de représenter la société (al. 1) ou, s'il y a péril en la demeure et que les justes motifs sont rendus vraisemblables, demander au juge le retrait provisoire, qui sera alors inscrit au registre du commerce (al. 2). Il s'agit là du corollaire du droit de révocation pour justes motifs du pouvoir de gestion, lequel est accordé à chaque associé par l'<ref-law>, applicable à la société en nom collectif par renvoi de l'<ref-law> ( PIERRE-ALAIN RECORDON, in Commentaire romand, Code des obligations II, 2008, n° 1 ad <ref-law>). Selon cet auteur, l'action en constatation d'un juste motif de retrait ou la mesure provisionnelle de l'<ref-law> doit être dirigée contre l'associé en cause, au for de son domicile (op. cit., n° 12 ad 565 CO).
Le nouveau droit de la société à responsabilité limitée ne connaît pas de référence au droit de la société en nom collectif. Aux termes de l'<ref-law>, l'assemblée des associés peut révoquer à tout moment un gérant qu'elle a nommé. Le gérant peut être associé ou non ( ROLF WATTER, in Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 4 e éd. 2012, n° 4 ad <ref-law>; Message concernant la révision du code des obligations du 19 décembre 2001, FF 2002 p. 3014), mais son mandat doit se fonder sur une décision de l'assemblée des associés, en dérogation à l'<ref-law> qui institue la gestion collective par tous les associés ( Selbstorganschaft ) tout en réservant des dispositions statutaires différentes ( CHRISTOPHE BUCHWALDER, in Commentaire romand, Code des obligations II, 2008, n° 4 ad <ref-law>). En outre, dans les cas problématiques, chaque associé peut demander au juge de retirer ou de limiter les pouvoirs de gestion et de représentation d'un gérant (associé ou non) pour de justes motifs, en particulier si le gérant a gravement manqué à ses devoirs ou s'il est devenu incapable de bien gérer la société (<ref-law>; Message précité, p. 3014).
Cette disposition ne détermine pas la personne qui a la qualité pour défendre à l'action en révocation pour justes motifs. La doctrine paraît également muette sur ce point. Plusieurs auteurs indiquent toutefois que le for de l'action en retrait des pouvoirs se trouve au siège de la société (cf. art. 3 al. 1 let. b LFors en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010; <ref-law>; ROLF WATTER, op. cit., 4 e éd. 2012, n° 15 ad <ref-law>; CHRISTOPHE BUCHWALDER, op. cit., n° 11 ad <ref-law>). En ce qui concerne la révocation pour justes motifs des administrateurs dans la société coopérative (<ref-law>), la doctrine qui s'exprime sur le sujet précise que la qualité pour défendre appartient à la société, et non aux personnes mises en cause ( PASCAL MONTAVON, Abrégé de droit commercial, 5 e éd. 2011, p. 802; BLAISE CARRON, in Commentaire romand, Code des obligations II, 2008, n° 8 ad <ref-law>; JACQUES-ANDRÉ REYMOND/RITA TRIGO TRINDADE, Die Genossenschaft, in Schweizerisches Privatrecht VIII/5, 1998, p. 207).
La qualité pour défendre appartient aux conditions matérielles de la prétention litigieuse. Elle se détermine selon le droit de fond. L'admission de la légitimation passive signifie que le demandeur peut faire valoir sa prétention contre le défendeur, en tant que sujet passif de l'obligation en cause (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 540 s.; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 367; <ref-ruling> consid. 1a p. 63; <ref-ruling> consid. 1a p. 83 s.).
Les prescriptions relatives à la révocation des gérants et au retrait du pouvoir de représentation visent à garantir la capacité fonctionnelle des organes sociaux dans la perspective de la continuation de la société; en ce sens, l'<ref-law> constitue une clause de sauvegarde ( SIFFERT/FISCHER/PETRIN, GmbH-Recht, 2008, n° 5 ad <ref-law>, p. 288; Message précité, p. 3014). Est déterminant, dans l'action en révocation pour justes motifs, l'intérêt de la société; il s'agit d'examiner si le maintien du pouvoir de gestion et de représentation de l'associé en cause permet encore d'assurer la poursuite du but de la société ( CHRISTOPH NATER, Die Willensbildung in der GmbH, 2010, p. 213). Ce qui est en jeu dans l'action de l'<ref-law>, c'est donc l'intérêt de la société à une organisation lui permettant de poursuivre son but, et non l'intérêt propre du gérant mis en cause. Il s'ensuit que la société dispose de la qualité pour défendre à l'action en retrait pour justes motifs des pouvoirs de gestion et de représentation d'un gérant d'une société à responsabilité limitée. Au surplus, s'il ne paraît a priori pas exclu que le gérant mis en cause intervienne dans la procédure, aucun élément du droit matériel n'autorise à conclure qu'il devrait obligatoirement être partie au procès, formant avec la société une consorité nécessaire (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 738).
Contrairement à ce que la cour cantonale soutient, la légitimation passive de la société est donnée même lorsque la société à responsabilité limitée est composée exclusivement de deux associés. L'analogie avec la propriété par étages n'est pas pertinente à cet égard. Selon la jurisprudence, l'action en nomination ou en révocation de l'administrateur de la propriété par étages (art. 712q al. 1 et art. 712r al. 2 CC) doit être ouverte en principe contre la communauté des copropriétaires, qui a la qualité pour défendre (<ref-ruling> consid. 5 p. 408; arrêt 5C.27/2003 du 22 mai 2003 consid. 2.1, in ZBGR 85/2004 p. 430 et in Pra 2004 n° 39 p. 210). Dans la constellation particulière d'une communauté composée de deux copropriétaires disposant chacun d'une quote-part de 500/1000, le Tribunal fédéral a toutefois admis que l'action de l'un des copropriétaires soit dirigée contre l'autre copropriétaire, qui dispose dès lors de la légitimation passive (arrêt précité du 22 mai 2003 consid. 2.2). Si cette solution exceptionnelle peut se justifier dans le cas d'une communauté de copropriétaires dépourvue de la personnalité juridique (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 350 s.), elle n'a pas de raison d'être lorsque, comme en l'espèce, c'est l'intérêt de la corporation elle-même qui est au centre du litige et que celle-ci est une personne morale, distincte de ses associés.
Sur le vu de ce qui précède, le grief tiré d'une violation de l'<ref-law> est fondé, ce qui conduit à l'admission du recours, à l'annulation de l'arrêt cantonal et à la constatation que la société intimée a la qualité pour défendre dans l'action en retrait des pouvoirs introduite par le recourant.
3.
Les frais judiciaires seront mis à la charge de l'intimée, qui succombe (<ref-law>). Celle-ci versera en outre des dépens au recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF); au cas où ils ne pourraient pas être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera une indemnité à la mandataire d'office du recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
B._ Sàrl a la légitimation passive dans l'action en retrait des pouvoirs de gestion et de représentation de C._ introduite par A._.
2.
La cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
L'intimée versera au recourant une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
Au cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera à Me Colette Lasserre Rouiller une indemnité de 2'500 fr. à titre d'honoraires d'avocate d'office.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 6 juin 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : La Greffière :
Klett Godat Zimmermann