Sachverhalt:
A.
A.a. Am 17. Juni 2012 wurde in T._ das Kind D._, geb. 2007, von dem von A._ gelenkten Personenwagen angefahren. Es erlag den dabei erlittenen Verletzungen.
A.b. Am 19. Juni 2012 verzichtete der Vater C._ ausdrücklich auf die Beteiligung als Strafkläger am Strafverfahren und die entsprechenden Parteirechte, kündigte aber an, zivilrechtliche Ansprüche aus der Straftat geltend machen zu wollen. Am 6. Juli 2012 erklärten die Eltern C._ und B._ über ihren Anwalt, in ihrer Eigenschaft als Opfer einer Straftat die entsprechenden Verfahrensrechte zu beanspruchen.
A.c. Nach Anhörung der Eltern stellte die Staatsanwaltschaft Appenzell Ausserrhoden das gegen A._ eröffnete Strafverfahren am 14. Februar 2013 ein.
B.
Gegen die Einstellungsverfügung erhoben C._ und B._ Beschwerde beim Obergericht von Appenzell Ausserrhoden. Mit Zwischenentscheid vom 24. September 2013 beschloss das Obergericht, auf die Beschwerde von B._ einzutreten. Zur Begründung wurde im Wesentlichen ausgeführt, der Verzicht von C._ auf eine Strafklage am 19. Juni 2012 erstrecke sich nicht auf seine Ehefrau. Ob sich diese korrekt als Privatstrafklägerin konstituiert habe, könne offen bleiben, da sie in der Folge von der Staatsanwaltschaft als solche behandelt worden sei, weshalb sie unter dem Gesichtspunkt von Treu und Glauben davon habe ausgehen dürfen, als Privatstrafklägerin im Verfahren zugelassen worden zu sein. Im Übrigen sei ihre Legitimation nicht in Frage zu stellen.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 27. Januar 2014 an das Bundesgericht beantragt A._, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur Fassung eines Nichteintretensbeschlusses an das Obergericht zurückzuweisen.
D.
B._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft liess sich innert Frist nicht vernehmen. Das Obergericht machte von der Möglichkeit zur Stellungnahme keinen Gebrauch.
E.
A._ verzichtete darauf, sich nochmals zur Sache zu äussern.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (Art. 95 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 44; <ref-ruling> E. 1 S. 369; <ref-ruling> E. 1 S. 475).
2.
Der Begriff "Entscheide in Strafsachen" gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG umfasst sämtliche Entscheidungen, denen materielles Strafrecht oder Strafprozessrecht zu Grunde liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 273). Der angefochtene Entscheid stützt sich auf Art. 319 Abs. 1 lit. b StPO und damit auf Strafprozessrecht des Bundes. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen zur Verfügung.
3.
3.1. Mit dem angefochtenen Beschluss beschloss die Vorinstanz, auf die bei ihr erhobene Beschwerde einzutreten. In der Sache muss sie aber noch entscheiden. Der Eintretensbeschluss schliesst das Verfahren nicht ab, sondern stellt einen Zwischenentscheid dar. Er wurde selbständig eröffnet.
3.2. Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, die wie hier weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn alternativ der Vor- und Zwischenentscheid entweder einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
3.2.1. Die Durchführung eines Strafverfahrens begründet nach konstanter Rechtsprechung keinen Nachteil rechtlicher Natur im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, der mit einem für die beschuldigte Person günstigen Entscheid nicht behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 4 S. 140 f.).
3.2.2. Ebenso fällt eine Anfechtung gestützt auf Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG ausser Betracht. Bei Gutheissung des Antrags des Beschwerdeführers läge zwar ein Endentscheid vor. Kumulativ erforderlich ist jedoch, dass damit ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. Das Bundesgericht legt diese Voraussetzung im Strafverfahren restriktiv aus (vgl. Urteile 1C_585/2013 vom 17. September 2013 E. 1.2.2 sowie 1B_155/2011 vom 14. Juni 2011 E. 1.4). Die Regelung von Art. 93 Abs. 1 BGG dient nicht in erster Linie den Interessen der Verfahrensbeteiligten, sondern soll das Bundesgericht entlasten, weshalb die Ausnahmen zurückhaltend zu handhaben sind (vgl. SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 11 zu Art. 93 BGG).
3.2.3. Mit einer bedeutsamen Einsparung ist hier nicht zu rechnen: Muss die Vorinstanz über die bei ihr hängige Beschwerde inhaltlich entscheiden, geht es nur um die Frage der Einstellung des Strafverfahrens nach Art. 319 Abs. 1 lit. b StPO, d.h. wegen Fehlens eines Straftatbestandes. Damit ist voraussichtlich kein grosser Aufwand an Kosten bzw. zusätzlichen Beweismassnahmen verbunden. Bei einer allfälligen Bestätigung der Einstellung könnte unmittelbar auch lediglich der Einstellungsentscheid beim Bundesgericht angefochten werden. Eine Aufhebung der Einstellungsverfügung wäre zwar mit Weiterungen verbunden. Diese blieben aber angesichts des in Frage stehenden Delikts überschaubar; überdies wären sie nach der Gesetzeslage in Kauf zu nehmen und würden keinen Vorrang beanspruchen, ist doch die Anklageerhebung als solche nicht anfechtbar (vgl. Art. 324 Abs. 2 StPO). Im Übrigen blieben die Parteirechte des Beschwerdeführers im Strafverfahren gewahrt.
3.2.4. Ist mithin weder mit der Ersparnis eines bedeutenden Aufwandes an Zeit oder Kosten noch eines weitläufigen Beweisverfahrens zu rechnen, erweist sich die Beschwerde gegen den angefochtenen Zwischenentscheid als unzulässig.
4.
Somit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der unterliegende Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Überdies hat er die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Appenzell Ausserrhoden und dem Obergericht von Appenzell Ausserrhoden, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax