Faits:
A. Par décisions des 22 mars et 18 mai 2005, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a alloué à compter du 1er mars 2001 une rente d'invalidité à A._, née en 1955, fondée sur un degré d'invalidité de 45 % (demi-rente pour cas pénible, suivie d'un quart de rente).
A l'occasion d'une révision du droit à la rente, la Clinique C._, fonctionnant en tant que COMAI, a été mandatée à fin d'expertise pluridisciplinaire. Sur la base du rapport des docteurs O._ et M._ du 14 septembre 2007, l'office AI a admis que l'état de santé de l'assurée s'était amélioré. Il a fixé le degré de l'invalidité à 39 %, ce qui l'a conduit à supprimer la rente par décision du 24 octobre 2008.
B. A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice, Chambre des assurances sociales) en concluant au maintien du quart de rente ainsi qu'à l'octroi de mesures professionnelles. Par jugement du 3 mars 2009, la juridiction cantonale a rejeté le recours. Elle a toutefois substitué ses motifs à ceux de l'office AI, considérant que l'octroi du quart de rente était jadis manifestement erroné. Le tribunal a dès lors confirmé la suppression de rente, après avoir fixé le degré d'invalidité à 34 %.
Saisi par l'assurée, le Tribunal fédéral a annulé ce jugement, par arrêt du 22 janvier 2010 (9C_262/2009). Il a renvoyé la cause aux premiers juges afin qu'ils puissent inviter l'assurée à se déterminer sur la question de la reconsidération.
Le tribunal cantonal a entendu la doctoresse V._. Cette dernière a notamment déclaré que sa patiente est totalement incapable de travailler depuis août 2009 et de tenir son ménage; elle a précisé que la récidive de 2009 est probablement une récidive du cancer du sein de 2000, car il n'a pas été retrouvé de nouvelles lésions qui expliqueraient ce cancer de 2009 (cf. procès-verbal d'enquêtes du 20 avril 2010).
Par jugement du 27 avril 2010, la juridiction cantonale a admis le recours, annulé la décision du 24 octobre 2008, maintenu le droit au quart de rente octroyé par décision du 18 mai 2005 (ch. 2 du dispositif), reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité dès le 1er juillet 2009 (ch. 3), et jugé que la demande de mesures professionnelles était sans objet (ch. 4).
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut d'une part à la confirmation de sa décision du 24 octobre 2008, d'autre part à ce que la cause lui soit renvoyée pour examen du droit aux prestations à compter du mois de juillet 2009.
L'assurée conclut au rejet du recours, avec suite de dépens; elle sollicite d'être dispensée du paiement des frais de procédure. Quant à l'Office fédéral des assurances sociales, il propose l'admission du recours.
Par ordonnance du 10 septembre 2010, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif au recours présentée par l'office AI.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur la suppression du quart de rente d'invalidité par voie de révision, à compter du 1er décembre 2008, à teneur de la décision du 24 octobre 2008 (consid. 3 ci-après). Est également litigieux le droit de l'intimée à une rente entière à compter du 1er juillet 2009, que la juridiction cantonale lui a accordée en étendant l'objet de la contestation qui était portée devant elle (consid. 4 ci-après). Les questions de la reconsidération de la décision initiale de rente, de même que la prise en charge de mesures d'ordre professionnel, ne sont en revanche plus sujettes à discussion.
2. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3. 3.1 Les premiers juges ont exposé correctement les règles régissant la révision du droit à la rente, si bien qu'il suffit de renvoyer au consid. 5d du jugement attaqué.
En ce qui concerne les affections somatiques, la juridiction cantonale a retenu que les douleurs et la perte de force dans le bras gauche, consécutives au cancer du sein et à l'ablation de très nombreux ganglions touchés, ne s'étaient pas améliorées. Par ailleurs, elle a aussi relevé une aggravation des lombalgies et des sciatalgies. En revanche, les juges cantonaux ont constaté une légère amélioration de l'état de santé psychique chez l'intimée. Globalement, ils ont ainsi constaté que l'état de santé de l'intimée n'avait pas objectivement évolué de manière significative entre 2005 et 2008. Sur la base d'une capacité de travail s'étendant de 50 % à 60 %, fondée sur les divers avis médicaux, les juges cantonaux ont maintenu le degré de l'invalidité à 45 %.
3.2 L'office AI fait grief aux premiers juges d'avoir apprécié les preuves de façon arbitraire et d'avoir constaté les faits de manière inexacte. A cet égard, il relève qu'à teneur du volet psychiatrique du rapport d'expertise du COMAI du 14 septembre 2007, aucun diagnostic psychiatrique ne subsiste ayant une répercussion sur la capacité de travail. Dès lors que l'octroi initial de la rente avait été justifié, selon le recourant, en raison de la seule fragilité psychique de l'assurée qui engendrait une diminution de rendement de 30 à 40 %, les conditions d'une révision de la rente s'en trouvaient ainsi réalisées. L'office recourant ajoute que d'après le rapport du COMAI, les empêchements dans la tenue du ménage se sont grandement atténués, de sorte que la situation a évolué favorablement de manière significative.
3.3 De son côté, l'intimée estime que le recourant n'a pas contesté le principe de la révision en procédure cantonale. Elle se réfère à une écriture du recourant du 15 mars 2010, dont elle déduit que l'administration s'est en définitive ralliée au point de vue des premiers juges. Pour le surplus, elle s'en remet à leur appréciation sur cette question.
3.4 Contrairement à l'opinion que défend l'intimée, la question de la révision de la rente demeure litigieuse. Dans son écriture du 15 mars 2010, l'office recourant n'a pas abandonné ses prétentions découlant de sa décision du 24 octobre 2008, mais s'est exprimé sur la question de la reconsidération de la décision initiale de rente (au sens de l'<ref-law>), laquelle n'est d'ailleurs plus sujette à discussion.
En l'espèce, la juridiction cantonale de recours s'est en partie écartée du diagnostic psychiatrique posé par le docteur M._, notamment quant à la présence d'un trouble dépressif. Le tribunal cantonal n'a toutefois pas remis concrètement en cause l'appréciation que le docteur M._ avait portée sur l'incidence des affections psychiques sur la capacité de travail. Le psychiatre du COMAI ne s'est d'ailleurs pas vraiment exprimé sur l'évolution de l'état de santé psychique de l'intimée depuis l'époque où le quart de rente lui avait été alloué, mais son analyse a porté avant tout sur la situation actuelle. Dans ces conditions, on ne saurait faire grief aux premiers juges d'avoir procédé à une constatation insoutenable des faits d'ordre médical concernant l'évolution de l'état de santé psychique.
Les constatations de fait de la juridiction cantonale relatives à l'évolution de l'état de santé somatique de l'intimée n'apparaissent pas non plus arbitraires. A cet égard, le recourant n'aborde pas la question de la diminution de rendement d'environ 30 à 40 % que l'intimée subit dans les activités d'aide hospitalière et d'aide de cuisine. Pourtant, selon les médecins du COMAI (consilium pluridisciplinaire des docteurs M._ et O._, pp. 17 et 18), ces activités qui nécessitent de porter des charges lourdes et d'accomplir des mouvements répétitifs avec les membres supérieurs sont incompatibles avec ses antécédents locomoteurs et la présence d'une discopathie L5-S1. En d'autres termes, on peut admettre que l'état de santé somatique de l'intimée s'est aggravé depuis l'octroi initial de la rente, d'autant que le docteur S._ avait attesté une capacité de travail entière sur le plan physique dans son rapport du 3 octobre 2003 (p. 5).
En admettant que l'aggravation non contestée des lombalgies et sciatalgies "compense" l'amélioration de l'état dépressif, le tribunal cantonal a procédé à une appréciation de l'évolution globale de la situation, qui peut certes donner lieu à discussion pour ce qui est du volet psychiatrique, sans revêtir toutefois un caractère insoutenable. Dans ces conditions, il n'y avait pas matière à réviser la rente d'invalidité, si bien que la juridiction cantonale a annulé à juste titre la décision du 24 octobre 2008.
4. 4.1 Le tribunal cantonal a rappelé que la procédure juridictionnelle peut, à certaines conditions, être étendue à une question en état d'être jugée qui excède l'objet du litige (consid. 5f du jugement attaqué; ULRICH MEYER/ISABEL VON ZWEHL, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, Mélanges Pierre Moor, 2005, p. 446).
Sur la base des témoignages recueillis (voir en particulier le procès-verbal d'audition de la doctoresse V._, du 20 avril 2010), les premiers juges ont constaté que l'intimée est totalement incapable de travailler et de tenir son ménage, depuis le mois d'août 2009, en raison d'un cancer métastatique incurable. A leur avis, cette incapacité de travail a la même origine que celle qui était survenue en 2000, malgré une rémission du cancer de plus de trois ans intervenue dans l'intervalle. Dans ces conditions, l'augmentation de la rente ne doit pas être soumise au délai de carence d'un an.
4.2 L'office recourant estime que l'on ne se trouve pas en présence d'une reprise de l'invalidité au sens de l'<ref-law>, mais de deux cas d'assurance différents, situations pour lesquelles le droit à une rente est subordonné à l'écoulement de la période de carence imposée par l'<ref-law>. A défaut d'un état de fait commun, il en déduit que l'extension de la procédure juridictionnelle serait contraire au droit fédéral. Le recourant ne conteste cependant pas l'incapacité totale de travail et de gain existant depuis le mois d'août 2009.
4.3 Dès lors que le droit de l'intimée à un quart de rente est maintenu depuis son octroi, en raison de l'annulation de la décision de suppression du 24 octobre 2008 (consid. 3.4 supra), l'argument du recourant tiré de l'<ref-law> pour justifier une période de carence n'a plus de fondement.
Par ailleurs, la question de l'augmentation de la rente, en vertu des <ref-law> et 88a al. 2 RAI, du chef de l'aggravation de l'état de santé de l'intimée et de l'incapacité totale de travail corrélative retenue par les premiers juges à partir du mois d'août 2009, est en état d'être jugée. Les conditions de l'extension de la procédure juridictionnelle administrative sont ainsi réalisées.
Dans le cadre de l'<ref-law>, la rente est allouée pour tout le mois au cours duquel le droit à cette prestation est né (art. 29 al. 1 deuxième phrase LAI; <ref-ruling> consid. 4 p. 266; RCC 1986 p. 364 consid. 2c). Comme le changement résultant d'une aggravation de l'incapacité de gain avait duré trois mois entiers en novembre 2009, le droit à la rente entière prend naissance au début de ce mois-là. Le ch. 3 du dispositif du jugement attaqué sera dès lors réformé en ce sens que l'assurée a droit à une rente entière d'invalidité dès le 1er novembre 2009.
5. L'office recourant, qui succombe pour l'essentiel, supportera les frais et dépens de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).
Vu l'issue du litige, la requête d'assistance judiciaire, limitée à la dispense des frais, n'a plus d'objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le ch. 3 du dispositif du jugement attaqué est réformé en ce sens que l'intimée a droit à une rente entière d'invalidité dès le 1er novembre 2009.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 1'000 fr. (y compris la TVA) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, à la Caisse cantonale genevoise de compensation et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 juillet 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud