Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Kammer, entschied am 11. März 2010 aufgrund einer Beschwerde von X._ betreffend eine Verfügung der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich vom 26. August 2009, mit welcher gegenüber X._ ein unbefristetes Verbot der Rezeptur von Natrium-Pentobarbital im Rahmen der Suizidbeihilfe erlassen wurde, in der Hauptsache was folgt: "Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziff. I des Dispositivs der Verfügung vom 26. August 2009 wird aufgehoben und durch folgende Formulierung ersetzt: 'Dr. med. X._ wird verboten, im Rahmen der Suizidbeihilfe für psychisch kranke Sterbewillige Natrium-Pentobarbital zu rezeptieren.' Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird."
Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 25. Mai 2010 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Zum Verfahren stellte er dabei u.a. die folgenden Anträge:
6. Die Sache sei im Ausstand jener Gerichtspersonen zu entscheiden, welche am Urteil in der Sache 2C_9/2010 vom 12. April 2010 beteiligt gewesen sind;
7. Die zum Entscheid berufenen Gerichtspersonen seien über die Problematik des vorliegenden Falles zu informieren und besonders auf die allfällig gegebene Ausstandspflicht hinzuweisen;
8. Dem Beschwerdeführer sei die Zusammensetzung des Spruchkörpers unter Angabe des religiösen Bekenntnisses der betreffenden Gerichtspersonen mitzuteilen und ihm Frist anzusetzen, um allenfalls einen Antrag auf Ablehnung stellen zu können.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer verlangt den Ausstand der Bundesrichter Zünd, Merkli, Karlen, Donzallaz, von Bundesrichterin Aubry Girardin sowie von Gerichtsschreiber Hugi Yar.
2.2 Gemäss <ref-law> haben Gerichtspersonen u.a. dann in den Ausstand zu treten, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse haben (lit. a), in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, in der gleichen Sache tätig waren (lit. b) oder aus anderen Gründen, insbesondere wegen besonderer Freundschaft oder persönlicher Feindschaft mit einer Partei oder ihrem Vertreter, befangen sein könnten (lit. e).
2.3 Der Beschwerdeführer beruft sich auf den Ausstandsgrund von <ref-law>. Er bringt vor, verschiedene - von ihm einzeln aufgeführte - Elemente der Verweigerung einer sorgfältigen Prüfung der Beschwerde im (nicht den Beschwerdeführer betreffenden) Verfahren 2C_9/2010 - entschieden mit Urteil vom 12. April 2010 - würden nicht nur den Unwillen der Kammer aufzeigen, die aufgeworfenen Fragen zu entscheiden, sondern auch die individuelle Voreingenommenheit der Mitwirkenden.
2.3.1 Vorab ist festzuhalten, dass nach expliziter Regelung in <ref-law> die Mitwirkung an einem früheren Verfahren des Bundesgerichts für sich allein keinen Ausstandsgrund bildet. Daraus ergibt sich ohne Weiteres, dass alleine der Umstand, dass einem Beschwerdeführer das Ergebnis eines solchen früheren Verfahrens nicht genehm ist, kein Grund für den Ausstand einer in jenem Verfahren mitwirkenden Gerichtspersonen darstellt. Ein Ausstandsgrund liegt vielmehr nur vor, wenn ein Tatbestand im Sinne von Art. 34 Abs. 1 lit. a bis e BGG gegeben ist (vgl. ISABELLE HÄNER, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N 22 zu <ref-law>; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, S. 297 f. N 600; ANDREAS GÜNGERICH, in Seiler/von Werdt/Güngerich [Hrsg.], Kommentar zum BGG, 2007, N. 7 zu Art. 34). Vorliegend steht einzig der Ausstandsgrund von <ref-law> zur Diskussion. Gemäss dieser Bestimmung hat eine Gerichtsperson in den Ausstand zu treten, wenn der Anschein der Befangenheit besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 364 f., auch zum Folgenden). Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist die Gefahr der Befangenheit gegeben, wenn Umstände vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit eines Richters zu erwecken (<ref-ruling> E. 3b S. 54 f. mit Hinweisen). Im Zusammenhang mit Fällen der Vorbefassung, d.h. in Anwendung von <ref-law>, hat das Bundesgericht erkannt, es müssten konkrete Anhaltspunkte dafür vorliegen, dass sich die einzelne Gerichtsperson bereits in einer Art festgelegt hat, dass sie einer anderen Bewertung der Sach- und Rechtslage nicht mehr zugänglich und der Verfahrensausgang deswegen nicht mehr offen erscheint (vgl. <ref-ruling> E. 3.7 S. 120 ff., mit Auseinandersetzung mit der Lehre). Dies gilt in analoger Weise, wenn zu beurteilen ist, ob eine Gerichtsperson aus anderen Gründen befangen sein könnte. Umstände, welche den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, können in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Gerichtsperson begründet sein. Bei der Beurteilung des Anscheins der Befangenheit kann allerdings nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abgestellt werden, sondern das Misstrauen in den Richter muss in objektiver Weise als begründet erscheinen (<ref-ruling> E. 3b S. 54 f.; zuletzt: <ref-ruling> E. 3.1 S. 210 mit weiteren Hinweisen).
2.3.2 Der Beschwerdeführer kritisiert das Urteil 2C_9/2010 vom 12. April 2010, an welchem die Gerichtspersonen mitwirkten, deren Ausstand er verlangt, in diversen Punkten. Er führt aus, inwiefern das Gericht damals seiner Ansicht nach fehlerhaft entschieden habe und welche Entscheide, die es hätte treffen sollen, es nicht getroffen habe. Es handelt sich bei seinen Ausführungen jedoch offensichtlich um appellatorische Kritik am genannten Urteil. Er vermag damit in keiner Weise aufzuzeigen, inwiefern die einzelnen damals mitwirkenden Personen sich in einer Art festgelegt haben sollten, dass sie einer anderen Bewertung der Sach- und Rechtslage nicht mehr zugänglich sein sollten. Es trifft wohl zu, dass aus Gründen der Rechtssicherheit das Bundesgericht den in früheren Entscheidungen eingenommenen Standpunkt innerhalb bestimmter Grenzen grundsätzlich übernimmt (vgl. zur normativen Kraft der Rechtsprechung bereits ARTHUR MEIER-HAYOZ, in: Berner Kommentar, 3. Aufl. 1962, N. 474 ff. zu <ref-law>; vgl. auch <ref-law> betreffend Praxisänderung und Präjudiz) und eine Änderung der Praxis regelmässig nur als begründet erachtet, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelter Rechtsanschauung entspricht (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 82; <ref-ruling> E. 3.3 S. 76; <ref-ruling> E. 4 S. 777). Dies bedeutet aber einerseits, dass auch für einen anders zusammengesetzten Spruchkörper eine solche beschränkte Befolgungspflicht bestünde, andererseits, dass es sowohl für einen anders zusammengesetzten Spruchkörper wie auch für den damaligen durchaus möglich wäre, bei Vorliegen der genannten Voraussetzungen die Rechtslage in einem neuen Fall anders zu beurteilen. Inwiefern sich diesbezüglich die Situation für die damals beteiligten Gerichtspersonen anders darstellen sollte, als für andere Gerichtspersonen, ist nicht ersichtlich.
2.3.3 Das Vorbringen des Beschwerdeführers vermag daher den Ausstand der genannten Gerichtspersonen von vorneherein nicht zu begründen, weshalb kein Ausstandsverfahren nach <ref-law> durchgeführt zu werden braucht. Auf das gestellte Ausstandsbegehren ist vielmehr nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1 S. 279; Urteile des Bundesgerichts 2C_71/2010 vom 22. September 2010 E. 2.2 und 2C_253/2007 vom 26. Juni 2007 E. 2).
2.3.4 Die Besetzung des Spruchkörpers gemäss <ref-law> im vorliegenden Verfahren hat demnach nach der Regelung von Art. 40 des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 (BGerR; SR 173.110.131) aus dem Kreise der ordentlichen Richter und der nebenamtlichen Richter der vorliegend zuständigen zweiten öffentlich-rechtlichen Abteilung zu erfolgen.
2.4 Der Beschwerdeführer verlangt im Weiteren, es sei ihm die Zusammensetzung des Spruchkörpers unter Angabe des religiösen Bekenntnisses der betreffenden Gerichtspersonen mitzuteilen und ihm Frist anzusetzen, um allenfalls einen Antrag auf Ablehnung stellen zu können.
2.4.1 Es erscheint als offensichtlich, dass die offizielle Bekanntgabe besonders schützenswerter Personendaten - wie dies Daten über religiöse Ansichten oder Tätigkeiten darstellen (vgl. Art. 3 lit. c Ziff. 1 des Bundesgesetzes über den Datenschutz vom 19. Juni 1992 [DSG; SR 235.1]) - von Gerichtspersonen nur in Frage kommt, wenn hiefür eine gesetzliche Grundlage besteht (vgl. allgemein zum Schutz der Privatsphäre und den Voraussetzungen für Eingriffe <ref-ruling> E. 5b S. 363 ff.; vgl. PASCAL MAHON, in Aubert/Mahon [Hrsg.], Petit commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse du 18 avril 1999, 2003, N 5 zu <ref-law>). Der Beschwerdeführer macht geltend, er benötige diese Daten, um allenfalls einen Antrag auf Ablehnung von Gerichtspersonen stellen zu können.
2.4.2 Der Beschwerdeführer stützt sich auch bezüglich des Begehrens betreffend Bekanntgabe des religiösen Bekenntnisses auf <ref-law>, wonach Gerichtspersonen in den Ausstand zu treten haben, wenn sie aus anderen Gründen befangen sein könnten. Die Bestimmung nennt beispielhaft als Grund für eine solche Befangenheit besondere Freundschaft oder persönliche Feindschaft mit einer Partei oder ihrem Vertreter. Abgesehen von solchen Gegebenheiten können auch andere Einflüsse, wie gesellschaftliche Sitten, Gewohnheiten, Werturteile, die öffentliche Meinung oder bestimmte politische Ereignisse, auf die Unabhängigkeit des richterlichen Urteils einwirken und die innere Freiheit des Richters beeinträchtigen (vgl. <ref-ruling> E. 6a S. 162 f., mit Hinweisen, auch zum Folgenden). Das Bundesgericht hat im zitierten Urteil festgehalten, dass kein Richter jemals frei von solchen Einflüssen sein wird, dass dies aber auch nicht wünschbar wäre, da vom Richter mit Recht Lebensnähe, Erfahrung und menschliches Verständnis erwartet werden darf. Der Anspruch auf unabhängige und unparteiische Richterpersonen will die für einen korrekten und fairen Prozess notwendige Offenheit sicherstellen und damit letztlich ein gerechtes Urteil ermöglichen, das von den Betroffenen wie von der Rechtsgemeinschaft akzeptiert werden kann (<ref-ruling> E. 3c S. 55 f.). Damit geht indessen kein Anspruch auf Richterpersonen einher, die unberührt von den Erfahrungen und Einflüssen des täglichen Lebens allein als Rechtstechniker funktionieren würden; sie wären zu sachgerechter, realitätsbezogener Rechtsanwendung auch kaum in der Lage. Vielmehr sollen Richterpersonen in der Lebenswelt verankert sein, in der sie Urteile sprechen, was eine bewusste Kontaktnahme mit der sozialen und politischen Wirklichkeit voraussetzt (REGINA KIENER, Richterliche Unabhängigkeit, 2001, S. 179 mit Hinweisen, vgl. auch S. 65 ff. und S. 188 ff.). Gerade weil der Richter nicht losgelöst von der sozialen Wirklichkeit urteilen kann, muss von ihm andererseits eine gewisse Festigkeit gegenüber solchen Einflüssen verlangt werden. Es kann und muss von ihm erwartet werden, dass er seine Unvoreingenommenheit wahrt (<ref-ruling> E. 3a S. 274). Dies ergibt sich direkt aus der verfassungsmässigen Umschreibung der richterlichen Unabhängigkeit, indem in <ref-law> festgehalten wird, dass die richterlichen Behörden in ihrer rechtsprechenden Tätigkeit unabhängig und nur dem Recht verpflichtet sind. Nicht jeder beliebige Einfluss der vorgenannten Art, dem der Richter im täglichen Leben ausgesetzt ist, vermag eine Befangenheit zu begründen, welche ihn unfähig macht, in einer Streitsache als Richter zu amten. Wie bereits erwähnt (vgl. E. 2.3.1 a.E.) muss das Misstrauen in den Richter zudem in objektiver Weise als begründet erscheinen (<ref-ruling> E. 3a).
2.4.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, vorliegend würden ganz besondere Rechtsfragen aufgeworfen, die einerseits in bestimmten Kreisen der Gesellschaft als eines der letzten Tabus gelten würden, die andererseits in weiten Kreisen weltanschaulich oder religiös heftig umstritten seien, weil sie von den unterschiedlichsten subjektiven "Wahrheitsörtern" her begriffen würden. Dies bringe es mit sich, dass Personen, die sich solchen religiösen Wahrheiten, die neben sich keine anderen zulassen, verpflichtet fühlten, eine Ausstandspflicht im Sinne von <ref-law> treffe, weil sie aufgrund ihrer inneren Anbindung zum Entscheid über die anstehenden Fragen nicht über die entsprechende innere Freiheit verfügen könnten. Der Beschwerdeführer verweist sodann auf eine "Lehrmässige Note zu einigen Fragen über den Einsatz und das Verhältnis der Katholiken im politischen Leben" vom 24. November 2002, welche vom damaligen Kardinal Joseph Ratzinger - dem gegenwärtigen Papst Benedikt XVI. - stamme, und führt aus, gläubige Katholiken würden notwendigerweise glauben, dass eine Zuwiderhandlung gegen diese lehrmässige Note für sie in schwerwiegender Weise nachteilig wäre.
2.4.4 Der vom Beschwerdeführer behauptete Konnex zwischen der Angehörigkeit zu einer bestimmten Religionsgemeinschaft einerseits und Voreinstellungen, welche in Bezug auf die vorliegend zu prüfenden Fragen zu Befangenheit führen könnten, andererseits, erscheint als sehr gesucht. Bereits die pauschalierte Annahme, jemand fühle sich nur schon aufgrund seiner Zugehörigkeit zu einer Kirche einer religiösen Wahrheit verpflichtet, die neben sich keine andere zulassen würde, erscheint realitätsfremd. Zudem unterstellt das vom Beschwerdeführer Behauptete, dass eine der römisch-katholischen Kirche angehörende Richterperson per se bereit sei, <ref-law> zu missachten und nicht dem Recht verpflichtet zu urteilen, sondern aufgrund von Anweisungen der Kirche. Es ist offensichtlich, dass eine derartige pauschale Annahme keine realen Grundlagen hat. Zu beurteilen ist im Übrigen, ob die Gefahr der Befangenheit bezüglich der involvierten Gerichtspersonen besteht. Ob allenfalls andere Angehörige der gleichen Religionsgemeinschaft sich in einer Weise geäussert haben, welche Anlass zur Annahme einer vorgefassten Meinung geben könnte, ist daher grundsätzlich ebenso irrelevant, wie es die Äusserungen von Politikern für die dessen Partei angehörenden Richterpersonen sind. Anders wäre die Situation allenfalls dann zu beurteilen, wenn eine Richterperson selber in einer Weise aktiv geworden oder sich geäussert hätte, die ein berechtigtes Misstrauen in ihre Unvoreingenommenheit erwecken könnte (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 3 S. 53 f., 172 E. 4b/cc S. 177).
2.4.5 Der Umstand alleine, dass eine Gerichtsperson einer bestimmten Kirche oder Religionsgemeinschaft zugehört, die für eine bestimmte Weltanschauung und moralische Grundsätze eintritt, welche den Auffassungen einer Prozesspartei widersprechen, vermag demnach nicht den Anschein zu erwecken, die Gerichtsperson könnte befangen sein. Diese Zugehörigkeit stellt für sich alleine keinen Ausstandsgrund dar (vgl. Urteil 2C_71/2010 vom 22. September 2010 E. 2.2, mit Hinweisen). Daraus folgt, dass die religiösen Bekenntnisse der Angehörigen des Spruchkörpers dem Beschwerdeführer nicht bekanntzugeben sind und das entsprechende Begehren abzuweisen ist.
2.5 Der Beschwerdeführer beantragt sodann, die zum Entscheid berufenen Gerichtspersonen seien über die Problematik des vorliegenden Falles zu informieren und besonders auf die allfällig gegebene Ausstandspflicht hinzuweisen.
Dieser Antrag stösst ins Leere. Die richterliche Unabhängigkeit und Unparteilichkeit bildet eine Sachurteilsvoraussetzung, weshalb diese von Amtes wegen zu beachten ist (Häner, a.a.O., N 1 zu <ref-law>). Gemäss <ref-law> haben deshalb Gerichtspersonen, bei denen ein Ausstandsgrund nach <ref-law> vorliegt, von sich aus dem Abteilungspräsidenten eine entsprechende Mitteilung zu machen. Es ist selbstverständliche Aufgabe jeder am Entscheid mitwirkenden Gerichtsperson, sich über die Problematik des konkreten Falles ins Bild zu setzen. Für die Richter ergibt sich dies bereits daraus, dass sie am Urteil mit Stimmzwang mitzuwirken haben (vgl. <ref-law>), was nicht bloss formelle Mitwirkung bedeuten kann, sondern Kenntnis des Falles voraussetzt. Für die Gerichtsschreiber ergibt es sich daraus, dass sie gemäss <ref-law> die Aufgabe haben, bei der Instruktion der Fälle und der Entscheidfindung mitzuwirken, und beratende Stimme haben. Auf das Begehren ist nicht einzutreten.
3. Es wird keine separate Gerichtsgebühr erhoben; die mit der vorliegenden Verfügung verbundenen Kosten werden zur Hauptsache geschlagen.

Demnach verfügt das Bundesgericht:
1. Die Anträge gemäss Ziff. 6, 7 und 8 werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Weitere verfahrensleitende Anordnungen werden, soweit erforderlich, mit separaten Verfügungen getroffen.
3. Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer, der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Kammer, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Stadelmann Moser