Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene C._ war seit April 2004 als Bauarbeiter bei der Q._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 4. April 2005 meldete die Arbeitgeberin der SUVA, der Versicherte habe am 29. März 2005 einen Unfall erlitten. Die SUVA zog verschiedene medizinische Unterlagen bei und liess den Versicherten am 1. November 2005 durch den Kreisarzt Dr. med. F._ untersuchen. Anschliessend stellte sie mit Verfügung vom 29. November 2005 ihre Taggeldleistungen per 28. November 2005 ein. Zur Begründung wurde erklärt, der Versicherte leide an Schulterbeschwerden, welche keine Arbeitsunfähigkeit mehr verursachten, und an Beschwerden im Bereich der Halswirbelsäule (HWS), welche nicht Folgen des Unfalls vom 29. März 2005 darstellten. An diesem Standpunkt hielt der Versicherer mit Einspracheentscheid vom 22. März 2006 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab (Entscheid vom 23. März 2007).
C. C._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, ihm über den 28. November 2005 hinaus die gesetzlichen Leistungen auszurichten. Ferner wird um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ersucht.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, das kantonale Gericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Er verlangt aus diesem Grund die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids.
1.1 Der Beschwerdeführer liess in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift vom 10. Juli 2006 die Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels beantragen. Zur Begründung wurde erklärt, sein Vertreter sei erst am Freitag, 7. Juli 2006, mandatiert worden und habe daher die Akten der Beschwerdegegnerin noch nicht einsehen können. Das kantonale Gericht holte die Beschwerdeantwort der SUVA vom 28. August 2006 ein. Dem Beschwerdeführer stellte es diese nach Lage der Akten erst mit Verfügung vom 23. November 2006 zu. Gleichzeitig erklärte es den Schriftenwechsel für geschlossen. Nach diesem Zeitpunkt unaufgefordert eingereichte Stellungnahmen einer Partei werden gemäss kantonalzürcherischer Gerichtspraxis aus dem Recht gewiesen (SVR 2008 UV Nr. 1 S. 1 E. 3.3.2, 8C_240/2007, mit Hinweis auf Christian Zünd, Kommentar zum Gesetz über das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, Zürich 1998, S. 140, N 9 zu § 19).
1.2 Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist ein Teilaspekt des allgemeinen Grundsatzes des fairen Verfahrens von <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Er umfasst unter anderem das Recht, von jeder dem Gericht eingereichten Stellungnahme Kenntnis zu nehmen und sich dazu äussern zu können, unabhängig davon, ob diese neue Tatsachen oder Argumente enthält und ob sie das Gericht tatsächlich zu beeinflussen vermag. Das auf <ref-law> gestützte Replikrecht gilt für alle gerichtlichen Verfahren, auch solche, die nicht in den Schutzbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK fallen (<ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 99; <ref-ruling> E. 4.3 - 4.6 S. 102 ff.; <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 47). Eine gerichtliche Instanz wird dem Anspruch auf rechtliches Gehör nicht gerecht, wenn sie einer Partei die Stellungnahme der Gegenpartei zustellt und gleichzeitig den Schriftenwechsel für geschlossen erklärt (Urteil 2C_688/2007 vom 11. Februar 2008, E. 2.2 und 2.3, mit Hinweisen). Die Vorinstanz beging demnach eine Gehörsverletzung, indem sie dem Versicherten bzw. seinem Vertreter mit ihrer Verfügung vom 23. November 2006 die Vernehmlassung des Versicherers vom 28. August 2006 zustellte und gleichzeitig den Schriftenwechsel für geschlossen erklärte. Mit Blick darauf, dass selbst dann eine Nachfrist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung anzusetzen gewesen wäre, wenn die Beschwerde wegen der kurzfristigen, eine vorgängige Akteneinsicht nicht mehr zulassenden Mandatierung lediglich summarisch oder gar nicht begründet worden wäre (<ref-law>; noch nicht in der amtlichen Sammlung veröffentlichtes Urteil 9C_853/2007 vom 15. April 2008, E. 5.1 und 5.2), hat die Gehörsverletzung als schwerwiegend zu gelten.
1.2 Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist ein Teilaspekt des allgemeinen Grundsatzes des fairen Verfahrens von <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Er umfasst unter anderem das Recht, von jeder dem Gericht eingereichten Stellungnahme Kenntnis zu nehmen und sich dazu äussern zu können, unabhängig davon, ob diese neue Tatsachen oder Argumente enthält und ob sie das Gericht tatsächlich zu beeinflussen vermag. Das auf <ref-law> gestützte Replikrecht gilt für alle gerichtlichen Verfahren, auch solche, die nicht in den Schutzbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK fallen (<ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 99; <ref-ruling> E. 4.3 - 4.6 S. 102 ff.; <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 47). Eine gerichtliche Instanz wird dem Anspruch auf rechtliches Gehör nicht gerecht, wenn sie einer Partei die Stellungnahme der Gegenpartei zustellt und gleichzeitig den Schriftenwechsel für geschlossen erklärt (Urteil 2C_688/2007 vom 11. Februar 2008, E. 2.2 und 2.3, mit Hinweisen). Die Vorinstanz beging demnach eine Gehörsverletzung, indem sie dem Versicherten bzw. seinem Vertreter mit ihrer Verfügung vom 23. November 2006 die Vernehmlassung des Versicherers vom 28. August 2006 zustellte und gleichzeitig den Schriftenwechsel für geschlossen erklärte. Mit Blick darauf, dass selbst dann eine Nachfrist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung anzusetzen gewesen wäre, wenn die Beschwerde wegen der kurzfristigen, eine vorgängige Akteneinsicht nicht mehr zulassenden Mandatierung lediglich summarisch oder gar nicht begründet worden wäre (<ref-law>; noch nicht in der amtlichen Sammlung veröffentlichtes Urteil 9C_853/2007 vom 15. April 2008, E. 5.1 und 5.2), hat die Gehörsverletzung als schwerwiegend zu gelten.
1.3 1.3.1 Nach der Rechtsprechung kann eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie die Rechtslage frei überprüfen kann. Unter dieser Voraussetzung ist darüber hinaus - im Sinne einer Heilung des Mangels - selbst bei einer schwerwiegenden Verletzung des Gehörs von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz abzusehen, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.2 S. 204, 132 V 387 E. 5.1 S. 390 mit Hinweis).
1.3.2 Das kantonale Gericht hat Feststellungen zum rechtserheblichen Sachverhalt getroffen. Insbesondere verneinte es - als zentrales Element seines Entscheids - den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis vom 29. März 2005 und den geltend gemachten, über den 28. November 2005 hinaus anhaltenden Beschwerden im Bereich der Halswirbelsäule. Infolge der ihm nicht gewährten Nachfrist zur Beschwerdeergänzung respektive der Verweigerung eines zweiten Schriftenwechsels war es dem Vertreter des Versicherten nicht möglich, in Kenntnis der Aktenlage auf diese Feststellungen einzuwirken. Das Bundesgericht kann zwar - unabhängig von der erweiterten Kognition bei Geldleistungen der Unfallversicherung gemäss Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG - grundsätzlich eine Sachverhaltsfeststellung, welche auf einer Rechtsverletzung beruht, berichtigen oder ergänzen (<ref-law>). Soweit der Vorinstanz eine Missachtung formeller Verfahrensgarantien vorgeworfen werden muss, bildet jedoch die Kassation ihres Entscheids weiterhin die Regel, zumal der Rechtsunterworfene grundsätzlich Anspruch auf Einhaltung des Instanzenzuges hat (Urteil 8C_147/2007 vom 27. Februar 2008, E. 4.4 mit Hinweis auf Markus Schott, Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, S. 957, Art. 97 N 24; Ulrich Meyer, ebenda, S. 1053 f., Art. 107 N 13 und 15). Eine Heilung des Verfahrensmangels im letztinstanzlichen Verfahren ist daher nicht angezeigt. Der vorinstanzliche Entscheid ist aufzuheben und die Sache ist an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
2. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Beschwerdegegnerin gilt als unterliegende Partei (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 235), weshalb ihr die Kosten aufzuerlegen sind (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat Anspruch auf eine Parteientschädigung zu Lasten der SUVA (<ref-law>). Damit wird sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. März 2007 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 22. März 2006 neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juni 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
i.V. Leuzinger Flückiger