Faits:
A. X._, ressortissant du Kosovo, né en 1966, a bénéficié d'autorisations de courte durée de quatre mois dans le canton de Fribourg en 1991, 1992 et 1993. Il a ensuite fait l'objet de deux procédures d'asile négatives et a été mis sous le coup d'une interdiction d'entrée en Suisse, valable du 26 mars 2001 au 25 mars 2004, à l'issue de la seconde. Entre 2004 et 2006, il a séjourné et travaillé illégalement en Suisse à plusieurs reprises.
Le 19 octobre 2007, X._ a épousé, à Bulle, une ressortissante suisse et a bénéficié d'une autorisation de séjour régulièrement renouvelée jusqu'en 2011.
Le 24 mars 2009, les époux se sont séparés; ils ont ensuite été autorisés à vivre séparément pour une durée indéterminée, par prononcé du Président du Tribunal civil de la Gruyère du 14 mai 2009. Les époux ont repris la vie commune le 5 septembre 2009, avant de se séparer à nouveau à une date indéterminée, mais au plus tard le 31 octobre 2010, selon un avis du Contrôle des habitants de la Ville de Bulle.
B. Par décision du 13 juillet 2011, le Service de la population et des migrants du canton du Fribourg (ci-après: le Service de la population) a révoqué l'autorisation de séjour de X._ et ordonné son renvoi de Suisse.
X._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) qui, par arrêt du 5 juin 2012, a rejeté le recours. Les premiers juges ont retenu en bref que l'exception à l'exigence du ménage commun prévue par l'art. 49 de la loi fédérale sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) n'était pas remplie et qu'aucune autorisation de séjour ne pouvait être délivrée au recourant sur la base de l'art. 50 al. 1 LEtr.
C. X._ forme auprès du Tribunal fédéral un recours en matière de droit public, subsidiairement un recours constitutionnel subsidiaire, et conclut, avec suite de frais, à l'annulation de l'arrêt du 5 juin 2012 et de la décision du Service de la population du 13 juillet 2011, son renvoi de Suisse n'étant pas exécuté.
Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours, en renvoyant aux considérants de son arrêt, de même que le Service de la population qui a produit le dossier cantonal. De son côté, l'Office fédéral des migrations propose de rejeter le recours.
Le recourant a encore produit des déterminations, le 26 novembre 2012.
D. Par ordonnance présidentielle du 12 juillet 2012, l'effet suspensif a été attribué au recours.

Considérant en droit:
1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
1.1 Selon l'art. 42 al. 1 LEtr, le conjoint d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui. Bien que toujours marié avec une citoyenne suisse depuis le 19 octobre 2007, le recourant ne vit plus avec son épouse, de sorte qu'il ne peut en principe invoquer que les art. 49 et 50 LEtr. La question de savoir s'il a droit au renouvellement de son autorisation de séjour sur la base de ces dispositions relève du fond et non de la recevabilité (consid. 2.1.2 non publié de l'<ref-ruling>; arrêt 2C_618/2009 du 27 janvier 2010 consid. 2.2). Par conséquent, le recours est recevable sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF.
1.2 Compte tenu de l'effet dévolutif du recours formé au plan cantonal, les conclusions relatives à la modification de la décision de l'autorité cantonale de première instance sont irrecevables devant le Tribunal fédéral. Tel est le cas de la conclusion du recourant tendant à l'annulation de la décision du Service de la population du 13 juillet 2011.
1.3 Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. En vertu de cette disposition, le Tribunal fédéral ne revoit en effet pas d'office la violation des droits constitutionnels. Il appartient ainsi au recourant d'exposer de manière claire et précise en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 176; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 310). Cette exigence n'est pas remplie en l'espèce, dès lors que, dans ses déterminations du 26 novembre 2012, le recourant demande seulement que son recours soit aussi examiné sous l'angle des art. 5 al. 2, 8, 9, 13 Cst. et 8 CEDH, sans expliquer en quoi ces normes seraient violées par la décision entreprise. Son recours n'est donc pas recevable au regard de ces dispositions.
1.4 Pour le reste, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF); en outre, le recours a été déposé en temps utile et dans les formes requises (art. 42 et 100 al. 1 LTF) par le destinataire de l'acte attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). Sous les réserves précitées, il y a donc lieu d'entrer en matière sur le recours en matière de droit public. Partant, le recours est irrecevable comme recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law> a contrario).
1.5 De jurisprudence constante, les décisions relatives au séjour et au renvoi d'étrangers n'entrent pas dans le champ d'application de l'art. 6 § 1 CEDH (cf. <ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 133 s. et les références citées). Par ailleurs, les parties n'ont en principe aucun droit à des débats (<ref-law>) ou à une séance publique (<ref-law>), qui n'ont lieu qu'exceptionnellement devant le Tribunal fédéral, la règle étant de statuer par voie de circulation (<ref-law>; arrêt 5A_880/2011 du 20 février 2012, consid. 1.5). La requête du recourant tendant à la tenue d'une audience ou de débats publics, au demeurant nullement motivée (cf. <ref-law>), doit dès lors être rejetée.
2. Le recourant se prévaut de l'exception à l'exigence du ménage commun prévue par l'art. 49 LEtr, en alléguant qu'il est toujours marié et qu'il entretient de bonnes relations avec son épouse. Il précise que les conjoints ont seulement préféré vivre séparément en raison des divergences culturelles qui les opposent.
2.1 Sur ce point, le recourant reproche tout d'abord aux juges cantonaux de ne pas avoir procédé à son audition et à celle de son épouse, mais ne dit pas en quoi ces auditions auraient été utiles pour comprendre la situation actuelle des époux, dont il n'est pas contesté qu'ils vivent séparément depuis le 31 octobre 2010. Le recourant a d'ailleurs pu exprimer librement ses arguments par écrit. En tant qu'il soulève implicitement une éventuelle violation de son droit d'être entendu, son grief ne répond pas aux exigences de motivation de l'<ref-law> et n'est donc pas recevable.
2.2 Celui qui se prévaut de l'art. 49 LEtr doit démontrer que la communauté familiale subsiste, même si les époux vivent séparés pour des raisons majeures. L'art. 76 de l'ordonnance relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201) précise que les raisons majeures sont dues notamment à des obligations professionnelles ou à une séparation provisoire en raison de problèmes familiaux importants. La décision librement consentie des époux de " vivre ensemble séparément " ne constitue pas, à elle seule, une raison majeure au sens de l'art. 49 LEtr (arrêt 2C_40/2012 du 15 octobre 2012, consid. 4 et les arrêts cités). Le but de l'art. 49 LEtr n'est en effet pas de permettre aux époux de vivre séparés en Suisse pendant une longue période et exige que la communauté familiale soit maintenue (arrêt 2C_308/2011 du 7 septembre 2011, consid. 1 et les arrêts cités). Après plus d'un an de séparation, il y a présomption que la communauté conjugale est rompue (arrêt 2C_575/2009 du 1er juin 2010, consid. 3.5). Quant aux problèmes familiaux importants, ils doivent provenir de situations particulièrement difficiles, telles que les violences domestiques (arrêt 2C_635/2009 du 26 mars 2010, consid. 4.4).
2.3 Il est en l'espèce établi que, depuis leur séparation au 31 octobre 2010, les conjoints ont chacun leur domicile et n'ont pas repris la vie commune, ni envisagé de le faire durant cette période de plus de deux ans. La communauté conjugale est donc inexistante depuis lors et la seule volonté des époux de la maintenir en vivant séparément pour des motifs de divergences culturelles ne saurait constituer une raison majeure au sens de l'art. 49 LEtr. Dans la mesure où le recourant ne fait valoir aucun autre motif qui justifierait l'absence de ménage commun, il ne peut se prévaloir d'aucun droit au renouvellement de son autorisation de séjour sur la base de l'art. 42 LEtr, ainsi que l'ont constaté les premiers juges, qui ont encore examiné les conditions de séjour du recourant sur la base de l'art. 50 al. 1 LEtr.
3. 3.1 Selon l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 LEtr subsiste si l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie. Il s'agit de deux conditions cumulatives (<ref-ruling>13 consid. 3.3.3 p. 119). Le délai de trois ans prévu par cette disposition se calcule en fonction de la durée pendant laquelle les époux ont fait ménage commun en Suisse (<ref-ruling> consid. 2 p. 231; <ref-ruling> consid. 3.3.5 p. 120; arrêt 2C_430/2011 du 11 octobre 2011 consid. 4.1) et vaut de façon absolue, quand bien même la fin de la vie conjugale serait intervenue quelques jours ou semaines seulement avant l'expiration du délai (arrêts 2C_40/2012 du 15 octobre 2012, consid. 6; 2C_735/2010 du 1er février 2011 consid. 4.1 et les arrêts cités). D'après les constatations figurant dans l'arrêt entrepris, qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>), les époux n'ont fait ménage commun que pendant deux ans et sept mois, soit du 19 octobre 2007 au 24 mars 2009 et du 5 septembre 2009 au 31 octobre 2010 au plus tard. Le recourant ne peut donc pas bénéficier d'une autorisation de séjour sur la base de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, indépendamment de la question de savoir si son intégration est ou non réussie selon la deuxième condition de cette disposition.
3.2 Le recourant ne se trouve pas davantage dans une situation où la poursuite de son séjour en Suisse s'imposerait pour des raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr. Cette condition est réalisée, notamment lorsque le conjoint est victime de violence conjugale et que la réintégration sociale dans le pays de provenance semble fortement compromise. Il s'agit de motifs personnels graves exigeant la poursuite du séjour en Suisse (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 395, 229 consid. 3.1 p. 232 et les références citées). La question n'est donc pas de savoir s'il est plus facile pour la personne concernée de vivre en Suisse, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de sa réintégration sociale, au regard de sa situation personnelle, professionnelle et familiale, seraient gravement compromises (137 II 1 consid. 4.1 p. 7; arrêt 2C_467/2012 du 25 janvier 2013, consid. 2.3).
Comme l'ont constaté les premiers juges, le recourant n'invoque aucun élément pertinent qui permettrait d'admettre qu'il rencontrerait des difficultés insurmontables en cas de retour dans son pays d'origine, où se trouvent d'ailleurs ses deux enfants. La durée de son séjour en Suisse doit être également relativisée, du moment qu'il s'agissait seulement d'autorisations d'une durée de quatre mois de 1991 à 1993, de séjours illégaux, ou encore de séjours au bénéfice de l'effet suspensif durant les deux procédures d'asile qui ne peuvent pas être pris en considération (cf. <ref-ruling> consid. 4.4 p. 14).
Il n'existe donc, en l'espèce, aucune raison personnelle majeure justifiant l'application de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
4. Au vu de ce qui précède, le recours en matière de droit public doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité, avec suite de frais à la charge du recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Le recours est irrecevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service de la population et des migrants du canton de Fribourg, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ie Cour administrative, et à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 26 février 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Rochat