Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1970) und Y._ (geb. 1966) heirateten am 15. Januar 1999. Sie haben drei Söhne: A._ (geb. 1999), B._ (geb. 2001) und C._ (geb. 2004). Seit Juni 2008 leben die Eheleute getrennt; Y._ verliess den gemeinsamen Haushalt. Jedenfalls seit Ende 2008 waren A._ beim Vater und die beiden anderen Söhne bei der Mutter untergebracht.
B. Am 5. März 2009 stellte Y._ beim Kantonsgerichtspräsidium Glarus ein Eheschutzgesuch. Anlässlich einer Referentenaudienz vom 4. Juni 2009 verständigten sich die Parteien darauf, dass der Sohn A._ für die Dauer des Eheschutzverfahrens weiterhin vom Vater und die beiden anderen Söhne von der Mutter betreut werden sollten. Am 25. November 2009 erliess die Kantonsgerichtsvizepräsidentin eine umfassende Eheschutzverfügung. Sie wies die eheliche Wohnung dem Ehemann zu, unter dessen Obhut sie auch die drei Söhne stellte; der Mutter räumte sie ein Besuchsrecht ein. Weiter legte sie den vom Ehemann rückwirkend und bis zur Rechtskraft der Eheschutzverfügung zu leistenden Unterhalt für die beiden jüngeren Söhne und für die Ehefrau fest. Die Richterin entband die Mutter von jeglicher Unterhaltspflicht mit Ausnahme allfälliger Kinderzulagen, die sie an den Ehemann weiterzuleiten hat. Demgegenüber verpflichtete sie den Ehemann, bis Ende März 2010 Frauenalimente von monatlich Fr. 1'300.-- zu bezahlen, und ordnete im Übrigen die Gütertrennung an. Schliesslich wies die Eheschutzrichterin Y._s Begehren um Leistung eines Prozesskostenvorschusses ab.
C. Anfang Juni 2010 reichte Y._ beim Kantonsgericht Glarus die Scheidungsklage ein. Das Scheidungsverfahren ist hängig.
D. In der Folge hiess das Obergericht des Kantons Glarus einen Rekurs der Ehefrau gegen die Eheschutzverfügung vom 25. November 2009 teilweise gut. Es stellte A._ für die Dauer des Getrenntlebens bzw. des Scheidungsverfahrens unter die Obhut des Vaters und die beiden Söhne B._ und C._ unter diejenige der Mutter, regelte das jeweilige Besuchs- und Ferienrecht der Eltern sowie den Kindes- und Frauenunterhalt und verurteilte X._ zur Bezahlung eines einmaligen Prozesskostenvorschusses an seine Ehefrau (Entscheid vom 9. Juli 2010). Hierauf ergriff der Ehemann die Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Dieses hiess das Rechtsmittel gut, soweit es darauf eintrat. Es befand, das Obergericht des Kantons Glarus habe beim Obhutsentscheid nicht alle rechtserheblichen Umstände abgeklärt, und wies die Sache zu neuem Entscheid an das Obergericht zurück. Zur ebenfalls angefochtenen Unterhaltsregelung äusserte sich das Bundesgericht nicht, da diese vom neuerlichen Entscheid über die Zuteilung der elterlichen Obhut abhängig war (Urteil 5A_552/2010 vom 23. Februar 2011).
E. Nachdem es beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst in P._ zur Frage der Obhuts- und Sorgerechtsregelung ein Gutachten eingeholt hatte und sich die Parteien hierzu äussern konnten, fällte das Obergericht des Kantons Glarus am 30. November 2012 sein neues Urteil. Soweit vor Bundesgericht noch streitig, verurteilte es X._, an Y._s persönlichen Unterhalt rückwirkend ab 1. Januar 2009 pro Monat Fr. 2'425.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziff. 6) und ihr einen einmaligen Prozesskostenvorschuss von Fr. 8'000.-- zu leisten (Dispositiv-Ziff. 9). Die Gerichtskosten für das erst- und zweitinstanzliche Verfahren auferlegte es den Parteien je zur Hälfte (Dispositiv-Ziff. 10); Parteientschädigungen sprach es keine zu (Dispositiv-Ziff. 11).
F. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Dezember 2012 wendet sich X._ (Beschwerdeführer) erneut an das Bundesgericht. Er beantragt, die erwähnten Ziffern des obergerichtlichen Urteilsspruchs vom 30. November 2012 aufzuheben und in diesen Punkten den Entscheid des Kantonsgerichts Glarus vom 25. November 2009 vollumfänglich zu bestätigen. "Im Falle der lediglich teilweisen Gutheissung der Beschwerde sei vom Bundesgericht ein neuer Entscheid im Sinne der nachfolgenden Ausführungen zu fällen". Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne seiner Ausführungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Auf Antrag des Beschwerdeführers erteilte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung, jedoch nur für die bis und mit November 2012 geschuldeten Unterhaltsbeiträge.
In ihrer Vernehmlassung vom 10. Mai 2013 beantragt Y._ (Beschwerdegegnerin), die Beschwerde "vollumfänglich abzuweisen". Das Obergericht des Kantons Glarus hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.

Erwägungen:
1. Binnen Frist ficht der Beschwerdeführer den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz an (Art. 75, 90 und 100 BGG). Zwar dreht sich der Streit vor Bundesgericht nur mehr um die Geldbeiträge, die der eine Ehegatte dem andern schuldet (Art. 176 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB), und um den Anspruch der Ehefrau auf einen Prozesskostenvorschuss. Der angefochtene Entscheid ist indessen auf einen Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts hin ergangen (s. Sachverhalt Bst. D). In jenem bundesgerichtlichen Verfahren waren sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Ansprüche streitig. Die Beschwerde in Zivilsachen bleibt daher zulässig, unabhängig davon, dass die nach dem Rückweisungsentscheid noch streitigen Angelegenheiten für sich allein genommen vermögensrechtlicher Natur sind und der Streitwert den gesetzlichen Mindestwert erreicht (vgl. Urteil 4A_225/2011 vom 15. Juli 2011 E. 1). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. Eheschutzentscheide unterstehen Art. 98 BGG (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (s. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Es gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es daher nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat.
3. Der Streit dreht sich zum einen um die Frage, welcher Geldbetrag dem Beschwerdeführer, der seit 2006 die Zahnarztpraxis seiner Schwiegereltern in Q._ führt, als monatliches Nettoeinkommen anzurechnen ist.
3.1 Als "qualifiziert falsch und damit willkürlich" bezeichnet der Beschwerdeführer die Erkenntnis der Vorinstanz, wonach die Kantonsgerichtsvizepräsidentin seinen Angaben über seine "angeblich familienfernen" Ausgaben "unbesehen gefolgt sei". Vielmehr sei die erste Instanz seinen substantiierten Darlegungen gefolgt und gestützt auf seine Belege zum Schluss gelangt, dass er seit 2007 von seinem Einkommen als Zahnarzt monatlich rund Fr. 9'000.-- für die Bedürfnisse der Familie aufgewendet und den Rest des Gewinns für ausserordentliche Investitionen und für Steuern verwendet habe. Der Beschwerdeführer besteht darauf, auch im Rekursverfahren an seinen Ausführungen festgehalten und bestritten zu haben, dass der Unterhalt aufgrund seines Jahreseinkommens im Jahr 2007 von Fr. 285'400.-- zu berechnen sei. Mit seinen "detaillierten Vorbringen" habe sich das Obergericht jedoch nicht auseinandergesetzt. Stattdessen sei es seinerseits "unbesehen" den pauschalen Einwendungen der Beschwerdegegnerin gefolgt.
Willkür kann indessen nicht schon im blossen Umstand liegen, dass das Obergericht der Kantonsgerichtsvizepräsidentin nicht folgt, sondern anders entscheidet und dem Beschwerdeführer gestützt auf die Verhältnisse der Familie im Jahr 2007 zur Bestreitung des Familienunterhalts monatlich weitere Fr. 2'000.--, also insgesamt Fr. 11'000.-- als Monatseinkommen anrechnet (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers trifft das Obergericht auch nicht der Vorwurf einer Gehörsverletzung, wenn es sich nicht mit all seinen Standpunkten einlässlich auseinandersetzt bzw. nicht jedes einzelne Vorbringen des Beschwerdeführers widerlegt. Unter dem Blickwinkel von Art. 29 Abs. 2 BV kann sich die Behörde auf diejenigen Gesichtspunkte beschränken, die für den Entscheid wesentlich sind und es dem Rechtsunterworfenen ermöglichen, sich über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft zu geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterzuziehen. In diesem Sinn muss die Behörde wenigstens kurz die Überlegungen nennen, von denen sie sich leiten lässt und auf den sie ihren Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Inwiefern der angefochtene Entscheid diesen Minimalanforderungen nicht genügen würde, ist nicht ersichtlich. Das Obergericht äussert sich sehr wohl dazu, weshalb dem Beschwerdeführer als massgebliches Einkommen nicht Fr. 9'000.--, sondern Fr. 11'000.-- anzurechnen seien. Wie es sich damit verhält, ist keine Frage der Verletzung des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der Anwendung des materiellen Rechts (dazu E. 3.2 hiernach).
3.2 In der Sache beanstandet der Beschwerdeführer es als willkürlich, dass das Obergericht die "substantiiert vorgetragenen und belegten Aufwendungen im Jahre 2007" von insgesamt Fr. 34'500.-- (Umbauarbeiten am ehelichen Wohnhaus für Fr. 16'000.--, Gartenarbeiten für Fr. 3'500.-- und Anschaffung von Möbeln für Fr. 15'000.--) "ohne weitere Begründung, weshalb das so sein soll, als Positionen des laufenden Bedarfs qualifiziert" und damit sein für den laufenden Bedarf eingesetztes Einkommen auf Fr. 11'000.-- pro Monat erhöht. Er macht im Wesentlichen geltend, bei den Umbauarbeiten und der Anschaffung von Möbeln und Ausstattungen handle es sich um einmalige Kosten, die für die Deckung des laufenden Bedarfs gerade nicht zur Verfügung gestanden hätten und aus diesem Grund auch nicht zu den Lebenshaltungskosten der Familie bzw. zu seinem anrechenbaren Einkommen gerechnet werden dürften.
Dass die fraglichen Ausgaben letztlich der Befriedigung der - wie das Obergericht schreibt - "gehobenen Bedürfnisse der Familie" dienten, stellt der Beschwerdeführer bei alledem nicht in Abrede. Indessen setzt er den laufenden Bedarf der Familie mit deren Lebenshaltungskosten gleich. Warum es für die Festsetzung seines Erwerbseinkommens aber einzig und allein auf den "laufenden" Bedarf, das heisst auf die Bedürfnisse des täglichen Lebens, und nicht auch auf die weiteren Auslagen für den gehobenen Lebensstandard der Familie ankommen soll, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist auch nicht ersichtlich. Im Gegenteil entspricht es der allgemeinen Lebenserfahrung, dass Eheleute ihre gesamten - nicht nur (mehr oder weniger) regelmässig, sondern auch einmalig anfallenden - Lebenshaltungskosten in erster Linie mit ihrem Einkommen bestreiten. Im Übrigen übersieht der Beschwerdeführer, dass das Obergericht ihm die im Jahr 2007 getätigten Aufwendungen nicht im vollen Umfang von Fr. 34'500.--, sondern nur in der Höhe von Fr. 2'000.-- pro Monat bzw. Fr. 24'000.-- pro Jahr anrechnet. Angesichts dessen kann von Willkür umso weniger die Rede sein. Vergeblich beruft sich der Beschwerdeführer schliesslich auch darauf, dass das Obergericht die fraglichen Aufwendungen, wenn es sie schon als Positionen des laufenden Bedarfs qualifiziere, konsequenterweise auch in seine Bedarfsrechnung aufnehmen müsste, da er diese Ausgaben getätigt habe. Diese Argumentation geht schon deshalb fehl, weil im angefochtenen Entscheid - wie soeben ausgeführt - von einer Qualifikation als "laufender Bedarf" gar nicht die Rede ist. Im Übrigen kann allein daraus, dass der Beschwerdeführer während des ehelichen Zusammenlebens für gewisse Auslagen mit seinem Erwerbseinkommen aufgekommen ist, auch nicht gefolgert werden, er könne für das Getrenntleben in entsprechender Höhe einen Zuschlag in seinem Bedarf in Anspruch nehmen.
3.3 Nach dem Gesagten ist die Festsetzung des Einkommens des Beschwerdeführers unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden. Die Beschwerde erweist sich insofern als unbegründet.
4. Anlass zur Beschwerde gibt zum anderen die Festsetzung des anrechenbaren Einkommens der Beschwerdegegnerin. Das Obergericht rechnet ihr lediglich ihr Monatseinkommen von Fr. 2'335.-- an, das sie als Physiotherapeutin mit einem Pensum von 40 Prozent erzielt, nicht aber den Betrag von monatlich Fr. 1'840.--, mit dem der Beschwerdeführer sie dafür entschädigt hat, dass sie für seine Zahnarztpraxis die Wäsche erledigte.
4.1 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, keine Begründung dafür zu liefern, weshalb es "auf der Hand liegen" soll, dass der Verdienst aus der Erledigung der Praxiswäsche "in der Zwischenzeit weggefallen" ist. Er stellt sich auf den Standpunkt, auch die Beschwerdegegnerin habe ihre eigene Erwerbsfähigkeit "maximal anzuspannen". Deshalb könne ihr jedenfalls während der Dauer des Verfahrens zugemutet werden, diese Einkünfte "nicht ohne Not und freiwillig aufzugeben". Genau dies habe die Beschwerdegegnerin aber "unvermittelt" getan. Dass sie "wider besseres Wissen" behauptet habe, es seien keine Zahlungen eingegangen, habe er schon im erstinstanzlichen Verfahren substantiiert vorgetragen und belegt. Nachdem die Beschwerdegegnerin ihn zur Besorgung der Praxiswäsche nicht einmal sehen müsste, sei ihr der Betrag von Fr. 1'840.-- als hypothetisches Einkommen anzurechnen.
4.2 Die Höhe des Unterhaltsbeitrags richtet sich nach den Bedürfnissen der Ehegatten und nach den persönlichen Umständen, das heisst nach der Lebensstellung und der Leistungsfähigkeit (Art. 163 Abs. 3 ZGB). Leistungsfähig ist der unterhaltsberechtigte (wie auch der unterhaltspflichtige) Ehegatte aber nicht nur dann, wenn er ein Einkommen hat, sondern auch, wenn er bei gutem Willen ein solches haben könnte (<ref-ruling> E. 2a S. 117). Bei der Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen darf daher von einem hypothetischen Einkommen ausgegangen werden, falls und soweit der Ehegatte bei ihm zuzumutender Anstrengung mehr verdienen könnte, als er effektiv verdient. Wo die reale Möglichkeit einer Einkommenssteigerung fehlt, muss eine solche jedoch ausser Betracht bleiben (<ref-ruling> E. 4a S. 5 mit Hinweisen). Die Zumutbarkeit und die Möglichkeit, ein Einkommen zu erzielen, sind zwei Voraussetzungen, die kumulativ erfüllt sein müssen. Welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint, ist eine Rechtsfrage. Ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist, bildet hingegen eine Tatfrage, die durch entsprechende Feststellungen oder durch die allgemeine Lebenserfahrung beantwortet wird (<ref-ruling> E. 2.3 S. 121 mit Hinweisen). Auch im letzteren Fall müssen aber die Tatsachen als vorhanden festgestellt sein, die eine Anwendung von Erfahrungssätzen überhaupt erst ermöglichen (<ref-ruling> E. 4c/bb S. 7).
4.3 Dass der angefochtene Entscheid in diesem Zusammenhang gänzlich unbegründet ist, kann entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht gesagt werden. Zusätzlich zu seiner Erkenntnis, wonach es "auf der Hand" liege, dass der streitige Verdienst aus der Praxiswäsche in der Zwischenzeit weggefallen ist, führt das Obergericht immerhin aus, die Sichtweise der ersten Instanz, wonach die Ehefrau die besagte Tätigkeit "während des Verfahrens freiwillig und ohne Not aufgegeben" und daher "die finanziellen Folgen selber zu tragen habe", sei nicht nachvollziehbar. Zwar wäre es gerade angesichts der gesetzlichen Begründungspflicht (Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG) nicht unangebracht, wenn das Obergericht die Dinge beim Namen nennen würde. Auch so lassen sich seine Erwägungen aber kaum anders als dahin gehend verstehen, dass es der Beschwerdegegnerin nicht zumuten will, nach der Trennung noch weiter Arbeiten für die Zahnarztpraxis ihres Ehemannes zu erledigen, und sei es auch nur für die Dauer des Eheschutzverfahrens. Dieser Sinn der vorinstanzlichen Erwägungen ist offensichtlich auch dem Beschwerdeführer nicht verborgen geblieben, macht er vor Bundesgericht doch geltend, die Beschwerdegegnerin müsste ihn zur Besorgung der Praxiswäsche "nicht einmal sehen". Entbindet das Obergericht die Beschwerdegegnerin aber zumindest implizite mit der beschriebenen Begründung davon, für den Beschwerdeführer weiterhin die Praxiswäsche zu erledigen, so ist diese Beurteilung des Zumutbarkeitskriteriums jedenfalls unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden. Denn vom einen Ehegatten nicht zu verlangen, auch nach der Trennung des Paares noch für den anderen eine entgeltliche Tätigkeit zu verrichten, ist nachvollziehbar. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht, um einen Entscheid als willkürlich aufzuheben (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen). Das gilt auch, wenn es - wie hier - nicht um die Ausweitung, sondern um die Fortsetzung der bisherigen Erwerbstätigkeit geht. Im Übrigen behauptet der Beschwerdeführer nicht, dass die Beschwerdegegnerin das Einkommen, das sie mit der Erledigung der Praxiswäsche erzielt, auch anderweitig erzielen könnte.
5. Der Beschwerdeführer hält dem Obergericht weiter entgegen, es habe der Beschwerdegegnerin auch deswegen einen zu hohen persönlichen Unterhaltsbeitrag zugesprochen, weil es unter Verletzung des Grundsatzes der Gleichbehandlung aller Kinder von den zur Verfügung stehenden Mitteln des Beschwerdeführers lediglich die beiden Unterhaltsbeiträge an die zwei jüngeren, der Beschwerdegegnerin zugeteilten Kinder in Abzug bringe, anstatt dem ältesten, ihm selbst zugeteilten Sohn zwar nicht formell, aber doch zumindest rechnerisch ebenfalls Fr. 1'200.-- als Unterhaltsbeitrag zukommen zu lassen. Im Ergebnis stehe ihm "aufgrund der Abführung des gesamten Überschusses an die Beschwerdegegnerin und die beiden jüngeren Söhne" für A._ nur der Betrag von Fr. 680.-- (Grundbetrag und Krankenkasse) zur Verfügung, während die jüngeren Geschwister B._ und C._ für ihren Lebensunterhalt je Fr. 1'200.-- erhielten.
Abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer den vorinstanzlichen Entscheid hinsichtlich der Kinderalimente (Dispositiv-Ziff. 5) gar nicht anficht, sind diese Vorwürfe auch in der Sache offensichtlich unbegründet. Erstens trifft es nicht zu, dass das Obergericht den ganzen Überschuss an die Beschwerdegegnerin und die beiden jüngeren Söhne "abführt". Vielmehr nimmt das Obergericht ausdrücklich eine "hälftige Teilung des verbleibenden Überschusses" von Fr. 3'652.50 vor. Ebenso wenig kann davon die Rede sein, dass das Obergericht die Alimente für B._ und C._ in irgendeiner Weise "in Abzug gebracht" hätte. Das Obergericht ermittelt für beide Streitparteien zunächst den (erweiterten) Notbedarf. Dabei setzt es für alle drei Kinder nichts anderes als den Grundbetrag und die Krankenversicherungskosten in die Unterhaltsrechnung ein. Die Kinderalimente für B._ und C._ von je Fr. 1'200.-- sind demgegenüber lediglich Anteile am Unterhaltsbetrag von insgesamt Fr. 4'825.--, den das Obergericht aus der Gegenüberstellung von Bedarf und Einkommen der Familie für die Beschwerdegegnerin und die zwei jüngeren Kinder errechnet und nach seiner "gerichtsüblichen Praxis" auf diese drei Personen aufteilt. Die Anwendung dieser Berechnungsmethode stellt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht in Frage.
6. Streitig ist unter den Parteien schliesslich auch der Anspruch der Beschwerdegegnerin auf einen Prozesskostenvorschuss.
6.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV). Er wirft der Vorinstanz vor, sie spreche der Beschwerdegegnerin einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 8'000.-- mit der blossen Begründung zu, seine "Zahlungsfähigkeit" sei "bei einem Reineinkommen von Fr. 285'000.-- (2007) bzw. Fr. 266'000.-- (2008) fraglos gegeben". Ob die Beschwerdegegnerin zur Finanzierung ihres Prozesses überhaupt auf seine Unterstützung angewiesen sei, prüfe die Vorinstanz nicht einmal. Dazu hätte sie schon deshalb Anlass gehabt, weil die Beschwerdegegnerin im erstinstanzlichen Verfahren trotz gegenteiliger Aufforderung und Verpflichtung keine hinreichenden Belege über ihre liquiden Mittel vorgelegt und die Kantonsgerichtsvizepräsidentin ihren Antrag auf Leistung eines Prozesskostenvorschusses abgewiesen habe.
6.2 Die Rüge ist begründet. Wie der Anspruch gegenüber dem Staat auf unentgeltliche Rechtspflege beruht auch derjenige gegenüber dem Ehegatten auf einen Prozesskostenvorschuss (unter anderem) auf der tatsächlichen Bedürftigkeit des ansprechenden Ehegatten (Urteile 5A_447/2012 vom 27. August 2012 E. 1.4; 5A_170/2011 vom 9. Juni 2011 E. 4.3; 5P.346/2005 vom 15. November 2005 E. 4.4). Nachdem der Beschwerdeführer vor Obergericht ausdrücklich bestritt, dass die Beschwerdegegnerin über keine eigenen Mittel zur Finanzierung ihrer Prozesskosten verfüge, musste sich das Obergericht mit dieser Anspruchsvoraussetzung auseinandersetzen. Indem es dies in keiner Weise tut und auch keinerlei Erklärungen dafür liefert, weshalb es von der zitierten höchstrichterlichen Rechtsprechung abweicht, verletzt das Obergericht die Verfassung. Die Beschwerde ist in diesem Punkt gutzuheissen und Ziff. 9 des vorinstanzlichen Urteilsspruchs aufzuheben. Das Obergericht wird in einem neuen Entscheid zu untersuchen haben, wie es um die Bedürftigkeit der Beschwerdegegnerin bestellt ist. Ein hypothetisches Einkommen kann dem Ehegatten in diesem Zusammenhang nicht entgegengehalten werden (Urteil 5P.346/2005 vom 5. November 2005 E. 4.4).
6.3 Der weitere Vorwurf des Beschwerdeführers, das Obergericht habe seine expliziten Vorbringen nicht gehört und damit sein rechtliches Gehör verletzt, hat nach dem Gesagten keine eigenständige Bedeutung mehr.
7. Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann. Neben Ziff. 9 des angefochtenen Entscheids ist auch der vorinstanzliche Kostenentscheid (Dispositiv-Ziff. 10 und 11) aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen. Nachdem der Beschwerdeführer im Streit um die Frauenalimente unterliegt und nur in der Auseinandersetzung um den Prozesskostenvorschuss obsiegt, rechtfertigt es sich, ihm vier Fünftel und der Beschwerdegegnerin ein Fünftel der Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer, der auch mit seinem Gesuch um die Erteilung der aufschiebenden Wirkung nur teilweise durchgedrungen ist, hat die Beschwerdegegnerin überdies mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und Ziff. 9-11 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Glarus vom 30. November 2012 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung, einschliesslich der Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens, an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden zu Fr. 2'000.-- dem Beschwerdeführer und zu Fr. 500.-- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Glarus schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn