Sachverhalt:
A. B.F._, der Vater von A.F._ (Beschwerdeführer), eröffnete 1981 bei der damaligen Bank G._ (die Bank G._ fusionierte 1998 mit der Bank X._; Beschwerdegegnerin) im Namen des Beschwerdeführers ein in Schweizer Franken zu führendes Konto und Wertschriftendepot mit der Konto Nr. 1._. Als Identifikationsnachweis legte B.F._ den Pass CH2._ vor. Als Korrespondenzsprache wurde Deutsch und als Korrespondenzadresse Frau C.F._, H._-Strasse, in J._, angegeben. Unter "Besondere Instruktionen" wurde festgehalten, dass bis zur Volljährigkeit des Beschwerdeführers der Vater B.F._ verfügungsberechtigt sei.
Am 8. Februar 1986 unterzeichnete der mittlerweile volljährige Beschwerdeführer einen Antrag zur Kontoeröffnung, mit welchem ein in Schweizer Franken zu führendes Konto und Wertschriftendepot eröffnet wurde. Das Konto, ein Jugendsparheft (JSK), und Wertschriftendepot erhielten wiederum die Konto Nr. 1._. Als rechtliches Domizil des Beschwerdeführers wurde H._-Strasse, in J._, und als Beruf Student angegeben. Als Identifikationsnachweis diente erneut der Pass CH2._. Die Korrespondenz sollte unverändert in Deutsch erfolgen und weiterhin an Frau C.F._, H._-Strasse, in J._, gesandt werden. Gleichentags unterzeichnete der Beschwerdeführer eine Bankvollmacht zugunsten seines Vaters. Die Bankvollmacht hatte folgenden Wortlaut:
"Ich Unterzeichnende(r)
A.F._
wohnhaft in England
erteile(n) unbeschränkte Vollmacht, mit dem Recht zur Substitution, an
Herrn B.F._, H._-Strasse, in J._
zu meiner Vertretung gegenüber der Bank G._ in Basel und insbesondere zur Verfügung über die sämtlichen auf meinen Namen bei ihm hinterlegten Vermögenswerte und zur Eingehung von Verbindlichkeiten.
Demzufolge ist mein Bevollmächtigter insbesondere befugt, rechtsverbindlich in meinem Namen Titel zu hinterlegen, zu kaufen, zu verkaufen, zu verpfänden, zu konvertieren und zurückzuziehen, alle Einzahlungen oder Abhebungen in irgendwelcher Form, sei es durch Checks oder auf andere Weise, vorzunehmen alle Abrechnungen, Quittungen, Entlastungen, Richtigbefunde, Abtretungen sowie Übertragungen zu unterzeichnen, Wechsel, Checks, Anweisungen oder ähnliche Papiere irgendwelcher Art auszustellen, anzunehmen, zu indossieren oder zu quittieren, sich Korrespondenzen, Rechnungs- und Depotauszüge sowie Aufstellungen aushändigen zu lassen, einen Gerichtsstand zu erwählen, ausserdem alles zu tun, was er als nützlich oder erforderlich erachtet. Diese Vollmacht umfasst auch Verfügungen des Bevollmächtigten zu eigenen Gunsten.
Der Bevollmächtigte ist berechtigt, für sich allein zu handeln.
[...]
London, 8.2.1986
[...]"
Ende 1986 lagen rund CHF 250'000.-- auf dem Konto des Beschwerdeführers, die aber nicht vom Beschwerdeführer stammten. Wie bereits vor 1986 kümmerte sich in der Folge ausschliesslich B.F._ um das Konto. Der Beschwerdeführer selber hat nie Vermögenswerte in diese Kontobeziehung eingebracht.
Am 18. Mai 1991 unterzeichnete der Beschwerdeführer sodann für das Konto/Depot Nr. 1._ die "Erklärung bei Eröffnung eines Kontos oder Depots" resp. das sogenannte Formular A. Als an den einzubringenden Werten wirtschaftlich berechtigt gab er sich selber sowie seine beiden Geschwister D.F._ und E.F._, alle drei wohnhaft an der H._-Strasse in J._, an.
Vom 9. Juni 1997 datiert ein von B.F._ im Namen des Beschwerdeführers mit der Beschwerdegegnerin geschlossener Portfolio Management Vertrag. Die Beschwerdegegnerin war beauftragt, die Vermögenswerte auf dem Konto Nr. 1._ nach freiem Ermessen in Aktien anzulegen.
Aus einem Schreiben von B.F._ an die Beschwerdegegnerin vom 6. Oktober 1998 geht hervor, dass er am Vortag den Portfolio Management Vertrag gekündigt hatte. B.F._ beabsichtigte, die Verwaltung des Kontos selber zu übernehmen, sich auf einige wenige Aktien zu spezialisieren und aktiv Handel mit Profit zu treiben.
Am 11. März 1999 erhöhte die Beschwerdegegnerin auf Antrag von B.F._ eine bereits bestehende Kreditlinie von CHF 4'500'000.-- auf CHF 5'000'000.--. Von 1998 bis 2001 kaufte und verkaufte B.F._ Wertpapiere spekulativen Charakters, vor allem an der NASDAQ. Die sogenannten "net assets" auf dem Konto Nr. 1._ entwickelten sich folgendermassen:
"31. Dezember 1999 USD 7'010'997
31. März 2000 USD 6'537'954
30. Juni 2000 USD 4'758'106
30. September 2000 USD 4'024'549 "
Dann folgte der Zusammenbruch an der Börse und es ergaben sich folgende Saldi:
"31. Dezember 2000 USD 822'156
31. März 2001 USD 814'711
30. Juni 2001 USD 873'497"
B.F._ teilte der Beschwerdegegnerin am 18. August 2000 mit, es solle keine Post mehr nach J._ gesendet werden und instruierte sie dann am 30. September 2000, die Post banklagernd aufzubewahren. Mit Schreiben vom 19. Dezember 2000 verlangte B.F._ schliesslich, die zukünftige Korrespondenz in Englisch an ihn, c/o L._-Strasse, London, England, zu schicken. Zwischen Oktober und Ende Dezember 2000 brachte B.F._ seine Unzufriedenheit mit der Entwicklung auf dem Konto Nr. 1._ und der Beratung der Beschwerdegegnerin in mehreren Schreiben an diverse Exponenten und Organe der Beschwerdegegnerin zum Ausdruck.
Mit Schreiben vom 27. Dezember 2000 ersuchte die Beschwerdegegnerin B.F._ um die Vervollständigung des "Tax Form US Withholding Tax". Dieser Aufforderung kam der Beschwerdeführer nicht nach.
Am 31. Januar 2001 kündigte die Beschwerdegegnerin die Kontobeziehung Nr. 1._ und die ausstehende Kreditlinie fristlos und verlangte von B.F._, die ausstehende Kreditschuld von USD 653'608.84 bis 16. Februar 2001 zurückzubezahlen, ansonsten die sich im Depot befindlichen Titel verwertet würden. Die Beschwerdegegnerin sandte die Kündigung an die von B.F._ zuletzt bekannt gegebene Adresse in London, übermittelte diese ebenfalls per Fax an die Faxnummer von B.F._ in K._ und hielt diese ausserdem noch banklagernd. Die Kündigung konnte B.F._ in London nicht zugestellt werden und wurde von der Post retourniert. Die Beschwerdegegnerin sandte diese deshalb am 7. Februar 2001 schliesslich auch noch an die Adresse in J._.
Die Beschwerdegegnerin verkaufte am 26. und 27. Februar 2001 mehrere Titel aus dem Depot des Kontos Nr. 1._, um den ausstehenden Kredit abzulösen. Auf Instruktion von B.F._ sollten die restlichen Titel auf ein Konto bei der Bank M._ in Gibraltar überwiesen werden. Die Überweisung stellte sich dann aber als unmöglich heraus. Die Beschwerdegegnerin versuchte daraufhin am 6. Juli 2001 und 15. August 2001 vergeblich, B.F._ den Schlusssaldo von USD 873'858.34 mit einem Check auszustellen.
Mit Schreiben vom 16. Januar 2002 teilten N._ Solicitors der Beschwerdegegnerin mit, sie seien von B.F._ mit dem Transfer der Vermögenswerte, die die Beschwerdegegnerin für die Familie F._ halte, auf ihr Klientenkonto bei der Bank O._ beauftragt worden. Sie würden die Beschwerdegegnerin die vollständigen Details wissen lassen. Die Beschwerdegegnerin wandte sich daraufhin am 21. Januar 2002 an B.F._, machte ihn darauf aufmerksam, dass sie ohne entsprechende Vollmacht nicht befugt sei, der Aufforderung von N._ Solicitors Folge zu leisten und bat ihn, die Überweisungsinstruktion zu bestätigen. Mit Faxschreiben vom 23. Januar 2002 bestätigte B.F._, dass die betreffenden Vermögenswerte und zwei Briefumschläge dem Klientenkonto von N._ Solicitors bei der Bank O._ zu überweisen seien. Gestützt auf diese Instruktion sandte die Beschwerdegegnerin am 24. Januar 2002 einen Check [über USD 873'858.34], zwei Briefumschläge sowie die seit August 2000 bis Januar 2001 banklagernd gehaltene Korrespondenz an N._ Solicitors.
In der Folge verlangte der Beschwerdeführer von der Beschwerdegegnerin erfolglos die Auszahlung des Schlusssaldos an ihn.
B. Der Beschwerdeführer gelangte mit Teilklage vom 13. Februar 2006 an das Handelsgericht des Kantons Zürich und beantragte mit in der Replik geändertem Rechtsbegehren, die Beschwerdegegnerin sei unter Vorbehalt von Nachklagen zu verpflichten, ihm Fr. 30'000.-- nebst Zins, eventuell USD 18'750.-- nebst Zins zu bezahlen. Zur Begründung führte er zum einen an, die Beschwerdegegnerin habe nicht mit befreiender Wirkung die Instruktion des Bevollmächtigten, B.F._, befolgen dürfen, den Schlusssaldo auf ein Klientenkonto von N._ Solicitors zu überweisen. Zum anderen sei der tatsächliche Schlusssaldo höher als der überwiesene Betrag gewesen. Ihm stehe deshalb nach wie vor ein Erfüllungsanspruch zu.
Das Handelsgericht wies die Klage am 30. September 2008 ab.
C. Gegen das betreffende Urteil des Handelsgerichts erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen. Er beantragt, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Klage gutzuheissen, eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Handelsgericht zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Handelsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Damit ein kantonaler Entscheid mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden kann, muss der Instanzenzug im Kanton erschöpft sein (<ref-law>). Für Rügen, die mit der Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden können, darf kein kantonales Rechtsmittel mehr offen stehen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 527). Wurde keine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde erhoben, so ist daher auf Rügen, die mit diesem Rechtsmittel einer weiteren kantonalen Instanz hätten vorgetragen werden können, mangels Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheids nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer hat gegen das Urteil des Handelsgerichts vom 30. September 2008 keine Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich erhoben. Dennoch macht er eine Verletzung des Grundsatzes der Rechtsanwendung von Amtes wegen geltend. Die Rüge der Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes hätte indessen dem Kassationsgericht nach <ref-law>/ZH mit Nichtigkeitsbeschwerde vorgetragen werden können. Dazu gehört auch das Prinzip der Rechtsanwendung von Amtes wegen, wie es explizit in <ref-law>/ZH statuiert wird (FRANK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., 1997, N. 16 zu § 281, u.a. mit Hinweis auf <ref-law>/ZH; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4 S. 587). Auf die Rüge der Verletzung des Grundsatzes der Rechtsanwendung von Amtes wegen kann somit im vorliegenden Beschwerdeverfahren mangels Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzuges nicht eingetreten werden.
2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, mithin willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4; <ref-ruling> E. 6.2).
Nachdem der Beschwerdeführer gegen das Urteil des Handelsgerichts keine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde erhoben hat, ist er vorliegend allerdings mit Sachverhaltsrügen nach <ref-law> ausgeschlossen, soweit er sie mit Rechtsverletzungen begründet, die das Kassationsgericht auf Nichtigkeitsbeschwerde hin hätte prüfen können (Erwägung 1 vorne), wie namentlich Verletzungen des rechtlichen Gehörs oder des Willkürverbots (<ref-ruling> E. 3.4 S. 587 f.). Demnach kann auf die Beschwerde namentlich nicht eingetreten werden, soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt gestützt auf die Rüge ergänzen will, die Vorinstanz sei auf im strittigen Zusammenhang bedeutsame Vorbringen betreffend Sorgfalts- und Treuepflichtverletzungen der Beschwerdegegnerin nicht eingegangen und habe insoweit "bundesrechtliche Tatsachen" unvollständig im Sinne von <ref-law> erhoben. Denn damit macht er sinngemäss geltend, der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt sei infolge einer Gehörsverletzung unvollständig.
Beide Parteien weichen in ihren Rechtsschriften von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitern diese. Da sie dazu keine zulässigen Sachverhaltsrügen gemäss Art. 105 Abs. 2 und <ref-law> substantiieren, haben ihre Vorbringen insoweit unbeachtet zu bleiben und ist auf Rügen, die gestützt auf diese erhoben werden, nicht einzutreten.
3. Strittig ist vorliegend einzig, ob die Beschwerdegegnerin den Kontosaldo unter den gegebenen Umständen gestützt auf die ihr kundgegebene Vollmacht des Beschwerdeführers und die Instruktion des Bevollmächtigten mit befreiender Wirkung an die N._ Solicitors überweisen konnte. Etwas anders macht der Beschwerdeführer auch im Rahmen seiner - im vorliegenden Verfahren unzulässigen (Erwägung 1 vorne) - Rüge der Verletzung der richterlichen Pflicht zur Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht geltend.
Die Vorinstanz erwog, sowohl der Erfüllungsanspruch aus der Bankbeziehung zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin als auch die Wirkungen der Bevollmächtigung von B.F._ im Zusammenhang mit der von der Beschwerdegegnerin vorgenommenen Überweisung seien nach schweizerischem Recht zu beurteilen. Diese Erwägungen sind zutreffend und werden im vorliegenden Verfahren nicht in Frage gestellt.
4. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe Art. 104 und 107 OR verletzt, indem sie ihm verweigert habe, die ihm aus dieser Bestimmung zustehende nachträgliche Erfüllung mit Verzugszins zugesprochen zu erhalten, und ihn statt dessen auf ein Schadenersatzbegehren verwiesen habe.
Die Rüge geht an der Sache vorbei. Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführer nicht auf einen Schadenersatzanspruch an Stelle eines wegen Unmöglichkeit im Sinne von <ref-law> untergegangenen Erfüllungsanspruchs verwiesen, wie er dazu geltend macht. Sie entschied vielmehr, der Erfüllungsanspruch des Beschwerdeführers, konkret der Anspruch auf Auszahlung des Kontosaldos, sei durch Erfüllung mit befreiender Wirkung untergegangen, indem die Beschwerdegegnerin den Saldo auf das Klientenkonto von N._ Solicitors überwiesen habe. Weshalb sie damit die angerufenen Bestimmungen verletzt haben soll, ist nicht nachvollziehbar.
5. Die Vorinstanz entschied, die Beschwerdegegnerin habe den Schlusssaldo des Kontos Nr. 1._3 mit befreiender Wirkung gemäss der Weisung von B.F._ vom 23. Januar 2002 auf das Klientenkonto von N._ Solicitors überweisen dürfen. Der vom Beschwerdeführer geltend gemachte Anspruch sei damit rechtswirksam erfüllt worden. Er müsse sich auf der von ihm am 8. Februar 1986 unterzeichneten Vollmacht behaften lassen. Er habe diese nie widerrufen. Die Vollmacht sei weder anlässlich der Unterzeichnung des Formulars A beziehungsweise der Umwandlung des Jugendsparkontos in ein Privatkonto noch durch die Kündigung der Kontobeziehung seitens der Beschwerdegegnerin erloschen. Es seien keine Umstände dargetan und ersichtlich, anhand der die Beschwerdegegnerin hätte erkennen können oder müssen, dass die Weisung von B.F._ zur Überweisung des Schlusssaldos den Interessen des Beschwerdeführers als Kontoinhaber hätte zuwiderlaufen können und damit eine Vollmachtsüberschreitung hätte angenommen werden müssen, zumal der Beschwerdeführer selber unbestrittenermassen nie irgendwelche Vermögenswerte auf das Konto eingebracht habe, das mehrheitlich von B.F._ alimentiert worden sei, und es sich dabei um eine Art Familienkonto gehandelt habe.
5.1 Der Beschwerdeführer macht unter dem Titel "kein Vorrang der Vollmacht gegenüber den Treue- und Sorgfaltspflichten bei diesen Umständen" geltend, die Beschwerdegegnerin hätte entgegen der Auffassung der Vorinstanz unter den vorliegend gegebenen Umständen nicht auf die Vollmacht aus dem Jahre 1986 abstellen dürfen. Die Beschwerdegegnerin habe ihre Treue- und Sorgfaltspflicht nach <ref-law> und ihre Schutzpflicht nach <ref-law> verletzt, indem sie ihn als Kontoinhaber nicht kontaktiert habe, bevor sie die Überweisung vorgenommen habe. Überdies habe die Vorinstanz <ref-law> verletzt, indem sie angenommen habe, der Beschwerdeführer hätte die Vollmacht trotz der durch den Bevollmächtigten provozierten Kündigung der Kontobeziehung bestätigt, und die Beschwerdegegnerin müsse nicht mit ihm Kontakt aufnehmen.
5.2 Diese Rügen gehen insoweit fehl, als nicht ersichtlich ist, inwieweit sich aus <ref-law> "Schutzpflichten" der beauftragten Bank ergeben sollen, und als sich vorliegend die Frage nicht stellt, ob aus den vom Beschwerdeführer geltend gemachten Umständen und Tatsachen auf die Verletzung einer Sorgfaltspflicht im Sinne von <ref-law> zu schliessen wäre. Denn, ohne dass näher auf die Rechtsnatur der zwischen den Parteien bestehenden Vertragsbeziehung eingegangen werden muss, ist die Bank aufgrund der vertraglichen Beziehung, die zur Errichtung des Kontos geführt hat, jedenfalls gehalten, dem Kontoinhaber auf sein Verlangen hin das auf dem Konto bestehende Guthaben gemäss Kontobedingungen auszuzahlen. Führt die Bank Weisungen eines unberechtigten Dritten bzw. eines Bevollmächtigten aus, der den Umfang der ihm erteilten Vollmacht überschreitet, wird sie grundsätzlich von ihrer Leistungspflicht nicht befreit, und der Kontoinhaber kann auf der richtigen Erfüllung des Kontosaldos beharren. Er verlangt in diesem Fall - wie die Vorinstanz zutreffend erkannte - nicht Schadenersatz, der an die Voraussetzung einer Sorgfaltspflichtverletzung der Bank geknüpft wäre (<ref-law>), sondern Erfüllung des Vertrages, weil sich die Bank nicht rechtswirksam von ihrer Leistungspflicht befreit hat (<ref-ruling> E. 2 S. 451 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 454; <ref-ruling> E. 1a/b; <ref-ruling> E. 2).
5.3 Es ist damit einzig zu prüfen, ob B.F._ den Beschwerdeführer gestützt auf die Vollmacht vom 8. Februar 1986 gegenüber der Beschwerdegegnerin rechtswirksam vertreten konnte, mithin, ob sich jene gültig von ihrer Leistungspflicht befreite, indem sie den Kontosaldo gemäss seiner Weisung auszahlte.
Nach <ref-law> beurteilt sich der Umfang einer durch Rechtsgeschäft eingeräumten Ermächtigung nach dessen Inhalt, über den die Vorinstanz indessen keine Feststellungen getroffen hat. Wird die Ermächtigung vom Vollmachtgeber einem Dritten mitgeteilt, so beurteilt sich ihr Umfang diesem gegenüber nach Massgabe der erfolgten Kundgebung (<ref-law>). Wird die Ermächtigung vom Vollmachtgeber dem Dritten mitgeteilt, so kann er nach Abschluss eines Vertretungsgeschäfts, an das er entgegen <ref-law> nicht gebunden sein will, diesem Dritten nicht entgegenhalten, er habe tatsächlich keine Vollmacht bzw. keine Vollmacht im kundgegebenen Umfang erteilt, es sei denn, der Dritte habe oder müsste davon Kenntnis haben, sei mithin nicht gutgläubig im Sinne von <ref-law> (ZÄCH, Berner Kommentar, N. 124 f. zu <ref-law>). Massgebend für den Umfang der Vollmacht im Verhältnis zum gutgläubigen Dritten ist demnach, wie der Dritte die Mitteilung über den Umfang der Vollmacht nach dem Vertrauensprinzip (vgl. zu diesem <ref-ruling> E. 4 S. 27 f.; <ref-ruling> E. 4.1. S. 611; <ref-ruling> E. 3.2), d.h. ihrem Wortlaut und Zusammenhang und den gesamten Umständen verstehen durfte und musste (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.1/3.2 S. 517 f.; <ref-ruling> E. 2). Dabei steht dem Vertretenen der Nachweis offen, dass der Dritte nicht mit dem gehörigen Mass an Sorgfalt gehandelt hat, das nach den Umständen von diesem zu verlangen gewesen wäre, und damit nicht gutgläubig war. Zerstört wird der gute Glaube vor allem dann, wenn der Dritte erkannte oder hätte erkennen sollen, dass das abgeschlossene Geschäft den Interessen des Vertretenen widerspricht, wobei aber keine generelle Erkundungs- oder Nachforschungspflicht besteht (WATTER/SCHNELLER, Basler Kommentar, N. 35 zu <ref-law>; ZÄCH, a.a.O., N. 156 zu <ref-law>). Insoweit sind die vom Beschwerdeführer vorgetragenen Umstände, aufgrund derer er der Beschwerdegegnerin unsorgfältiges Handeln im Zusammenhang mit der Überweisung des Kontosaldos vorwirft, von Bedeutung, unter dem Vorbehalt, dass sie in den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz eine Stütze finden.
5.4 Der Beschwerdeführer bestreitet im vorliegenden Verfahren nicht mehr, dass die von ihm am 8. Februar 1986 zugunsten von B.F._ unterzeichnete Vollmacht rechtsgültig erteilt worden ist und von ihrem Wortlaut her die erteilte Weisung abdeckt, den Schlusssaldo des Kontos auf das Kundenkonto von N._ Solicitors zu überweisen.
Es bleibt somit einzig zu prüfen, ob die Beschwerdegegnerin unter den gegebenen Umständen auf die ihr mitgeteilte Vollmacht des Beschwerdeführers abstellen durfte oder ob ihr dazu der gute Glaube fehlte, wie der Beschwerdeführer sinngemäss geltend macht.
5.4.1 Der Beschwerdeführer beruft sich zunächst auf die im vorstehenden Sachverhalt (lit. A) wiedergegebenen Feststellungen der Vorinstanz zum Verlauf der Kontobeziehung und zur Rolle seines Vaters von der Eröffnung des Jugendsparkontos im Jahre 1981 bis zur Auszahlung des Schlusssaldos nach der fristlosen Kündigung der Kontobeziehung durch die Bank. Er hält dafür, die Beschwerdegegnerin könne sich aufgrund des ungewöhnlichen und auch ungewöhnlich voluminösen Verlaufs der Kundenbeziehung zu einem ihr unbekannten jungen Mann nicht auf eine vor vierzehn Jahren unterzeichnete und nie durch Identifikation verifizierte Vollmacht berufen, sondern sie hätte ihn kontaktieren müssen.
Wenn der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang geltend macht, er sei der Beschwerdegegnerin unbekannt gewesen bzw. von ihr nie vorschriftsgemäss als am Konto wirtschaftlich Berechtigter und als Vollmachtgeber identifiziert worden, beruft er sich auf tatsächliche Elemente, zu denen die Vorinstanz keine Feststellungen getroffen hat, weshalb er damit nicht zu hören ist (Erwägung 2 vorne). Dasselbe gilt, soweit er geltend macht, die Kundenbeziehung sei ungewöhnlich voluminös gewesen und für ihn als Verlagsangestellten hätten sich auf dem Konto astronomische Summen befunden. Mangels entsprechender Feststellungen ist der Beschwerdeführer auch nicht zu hören, wenn er sich darauf beruft, seine Eltern hätten sich während der Geschäftsbeziehung mit der Beschwerdegegnerin scheiden lassen, wobei er ohnehin nicht geltend macht, die Beschwerdegegnerin hätte davon Kenntnis gehabt oder haben müssen.
Inwiefern der Verlauf der Kundenbeziehung im Übrigen in einer Weise aussergewöhnlich gewesen sein soll, dass die Beschwerdegegnerin nicht mehr gutgläubig auf die Vollmacht hätte abstellen dürfen und Nachforschungen darüber anstellen müssen, ob die strittige Anweisung noch dem Willen des Vollmachtgebers entspricht, legt der Beschwerdeführer nicht näher dar und ist auch nicht erkennbar. Insbesondere ist darin nichts Aussergewöhnliches zu sehen, dass die Vollmacht vierzehn Jahre vor der strittigen Überweisung erteilt wurde und sich der Kontoinhaber, nach den Feststellungen der Vorinstanz zu schliessen, während dieser Zeit nie selber aktiv um das Konto kümmerte. Aufgrund dieser Gegebenheiten eine Erkundigungspflicht der Bank anzunehmen, ginge zu weit und hiesse die Anforderungen an die Aufmerksamkeit einer Bank im Rahmen des normalen Geschäftsverkehrs zu überspannen. Dasselbe gilt für den Umstand, dass sich die Beziehung zwischen dem Bevollmächtigten und der Bank nach Eintritt der Verluste auf dem Konto in den Jahren 1999-2001 offenbar verschlechtert hat und dieser seine Unzufriedenheit mit der Entwicklung auf dem Konto und der Beratung durch die Bank in mehreren Schreiben an dieselbe zum Ausdruck gebracht hatte.
5.4.2 Unbehelflich ist es sodann, wenn der Beschwerdeführer geltend macht, B.F._ habe seine Vollmacht für die Beschwerdegegnerin erkennbar voll ausgenutzt, indem er die Kreditlimite auf CHF 5'000'000.-- habe anheben lassen und an der NASDAQ spekuliert habe, und die Treuepflicht der Beschwerdegegnerin hätte es geboten, in diesem Zusammenhang mit dem Beschwerdeführer Kontakt aufzunehmen. Denn diese Umstände sind für die Frage, ob sich die Beschwerdegegnerin auf ihren guten Glauben berufen kann, wenn sie der Weisung von B.F._ zur Auszahlung des Schlusssaldos nachkam, von vornherein nicht relevant.
5.4.3 Nicht zu hören ist der Beschwerdeführer sodann, wenn er geltend macht, die Beschwerdegegnerin habe B.F._ ausdrücklich um Unterzeichnung des "Tax Form US Withholding Tax" durch den Kontoinhaber persönlich und nicht durch den Bevollmächtigten ersucht, und die Nichtreaktion von B.F._ hätte aufgrund der Treuepflicht der Beschwerdegegnerin eine Information des Beschwerdeführers auslösen müssen. Denn die Vorinstanz hat keine dahingehende Feststellung getroffen, die Beschwerdegegnerin habe um Unterzeichnung des Formulars durch den Kontoinhaber persönlich ersucht, sondern in ihrem Urteil lediglich die entsprechenden Vorbringen des Beschwerdeführers in der Klageschrift wiedergegeben. Sie hielt insoweit lediglich fest, die Beschwerdegegnerin habe B.F._ um die Vervollständigung des Formulars ersucht und der Beschwerdeführer sei dieser Aufforderung nicht nachgekommen, traf aber keine Feststellungen darüber, weshalb es nicht zur Einreichung des vervollständigten Formulars kam und ob B.F._ dafür verantwortlich war. Weshalb die Beschwerdegegnerin aufgrund der vorinstanzlich festgestellten Umstände nicht mehr gutgläubig auf die Vollmacht des Beschwerdeführers zugunsten von B.F._ hätte vertrauen dürfen, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich.
5.4.4 Die Vorinstanz hielt fest, es seien keine Umstände ersichtlich, anhand der die Beschwerdegegnerin hätte erkennen können oder müssen, dass die Überweisung des Schlusssaldos des Kontos auf ein Klientenkonto von N._ Solicitors den Interessen des Beschwerdeführers zuwiderlaufen und damit eine Vollmachtsüberschreitung vorliegen könnte.
Der Beschwerdeführer hält dem entgegen, angesichts des Umstands, dass er der berechtigte Kontoinhaber gewesen sei und seine beiden Geschwister der Bank mit dem Formular A als Mitberechtigte genannt worden seien, die N._ Solicitors hingegen nicht, hätte für eine treue Bank kein Anlass bestanden, anzunehmen, dass die Überweisung irgendwie im Interesse des Beschwerdeführers sein könnte, zumal zwischen der Kontokündigung und der Überweisung fast ein ganzes Jahr verstrichen sei und Versuche der Beschwerdegegnerin, dem Bevollmächtigten im Sommer 2001 einen Check über den Saldobetrag auszustellen, scheiterten. Diese Argumentation ist indessen nicht nachvollziehbar. Denn wenn ein Betrag, wie vorliegend, auf das Klientenkonto einer Anwaltskanzlei überwiesen wird, kann daraus offensichtlich nichts darüber abgeleitet werden, in wessen Interesse die Überweisung erfolgt. Dasselbe gilt für die Umstände, dass zwischen der Kontokündigung und der Überweisung fast ein ganzes Jahr verging und es der Beschwerdegegnerin im Sommer 2001 nicht gelang, dem Bevollmächtigten einen Check über den Saldobetrag auszustellen.
Überdies ist die Argumentation des Beschwerdeführers schon im Ansatz falsch. Zu fragen ist nicht, ob die Bank Anlass zur Annahme hatte, die Überweisung liege im Interesse des Beschwerdeführers, sondern vielmehr, ob für sie erkennbare, ihren guten Glauben zerstörende Anzeichen bestanden, dass die Überweisung den Interessen des Beschwerdeführers und Vollmachtgebers widersprach. Denn ohne Vorliegen besonderer Anzeichen braucht die Bank die ihr von einem Bevollmächtigten erteilten Weisungen nicht in Frage zu stellen (vorstehende Erwägung 5.3). Da der gute Glaube zu vermuten ist (<ref-law>), liegt es im Übrigen am Vollmachtgeber, der den guten Glauben der Bank bestreitet, Umstände zu behaupten und zu beweisen, aus denen - wie bei erkennbarem Handeln wider das Interesse des Vollmachtgebers - auf die fehlende Gutgläubigkeit der Bank beim Abstellen auf die ihr mitgeteilte Vollmacht geschlossen werden könnte. Auch die in diesem Zusammenhang erhobene Rüge, die Vorinstanz habe vom Beschwerdeführer zu Unrecht verlangt, er hätte dartun müssen, dass und inwiefern die Überweisung nicht in seinem Interesse gewesen sein sollte, ist somit unbegründet.
5.4.5 Schliesslich hält der Beschwerdeführer dafür, die Beschwerdegegnerin hätte aufgrund der Umstände der vom Bevollmächtigten provozierten Kündigung nicht davon ausgehen dürfen, dass der Beschwerdeführer die Vollmacht in dieser Situation bestätigt hätte. Indessen hat die Vorinstanz keine tatsächliche Feststellung darüber getroffen, dass der Bevollmächtigte die Kündigung provoziert hat, weshalb der Beschwerdeführer damit nicht zu hören ist (Erwägung 2). Auch vermag er den guten Glauben der Beschwerdegegnerin bei der Ausführung der Überweisung von vornherein nicht in Frage zu stellen, indem er sich pauschal auf die Umstände in diesem Zusammenhang beruft, ohne diese im Einzelnen zu substantiieren. Darauf ist nicht einzutreten.
5.4.6 Zusammenfassend hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie entschied, die Beschwerdegegnerin habe gestützt auf die vom Beschwerdeführer erteilte Vollmacht die Weisung des Bevollmächtigten zur Auszahlung des Kontosaldos an die N._ Solicitors befolgen dürfen und sie habe damit die von ihr geschuldete Leistung mit befreiender Wirkung erbracht.
6. Der Vollständigkeit halber sei abschliessend angemerkt, dass der Beschwerdeführer seine Teilklage mit dem Rechtsbegehren auf Bezahlung von Fr. 30'000.-- mit zwei selbständigen Begründungen motivierte, die je für sich zur Gutheissung der Klage hätten führen können. So brachte er zum einen vor, die Beschwerdegegnerin habe noch nicht den ganzen Saldo des Kontos ausbezahlt, den N._ Solicitors auf USD 974'390.-- errechnet habe. Sie habe somit ihre vertraglich geschuldete Leistung noch nicht vollständig erbracht. Zum anderen stellte er sich auf den Standpunkt, die Überweisung von USD 873'858.34 an die N._ Solicitors stelle keine rechtswirksame Erfüllung dar. Der Beschwerdeführer bringt nun vor, die geltend gemachte Differenz zwischen dem an N._ Solicitors überwiesenen Betrag und dem wirklichen Saldo sei im vorinstanzlichen Verfahren nicht Streitgegenstand gewesen, sondern bloss, ob ihm die Beschwerdegegnerin den eingeklagten Betrag schulde, und welches der zutreffende Saldo war, sei später zu entscheiden. Dem kann nicht gefolgt werden. Denn der Streitgegenstand bestimmt sich nicht bloss nach dem gestellten Rechtsbegehren, sondern aus diesem in Verbindung mit dem Sachverhalt, auf den es gestützt wird (<ref-ruling> E. 1 S. 242 mit Hinweisen; VOGEL/SPÜHLER, Zivilprozessrecht, 8. Aufl., 2006, S. 215 Rz. 16 ff.; Habscheid, Schweizerisches Zivilprozess- und Gerichtsorganisationsrecht, 2. Aufl., 1990, S. 221). Wenn der Beschwerdeführer sein im vorinstanzlichen Verfahren gestelltes Rechtsbegehren (unter anderem) damit begründete, der tatsächliche Saldo seines Kontos sei höher gewesen als der ausbezahlte Betrag, so bildete diese Frage mithin sehr wohl Teil des Streitgegenstands. Die Vorinstanz hat sie in ihrem Urteil denn auch beurteilt, ging aber mangels hinreichender Substantiierung der behaupteten Differenz davon aus, der Saldo habe den ausbezahlten Betrag nicht überschritten. Über die Frage der Höhe des Saldos wurde damit abschliessend entschieden und es liegt auch insoweit eine abgeurteilte Sache vor.
7. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer