Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 16. März 2010 ordnete das Bezirksgericht Zürich gegenüber X._ eine stationäre therapeutische Massnahme nach <ref-law> an. Seit 29. November 2011 befindet er sich in der Klinik A._.
Am 5. März 2013 beantragte X._ beim Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich seine sofortige Entlassung aus dem Massnahmevollzug und die gerichtliche Überprüfung des Freiheitsentzuges. Das Amt trat am 14. März 2013 auf das Gesuch um gerichtliche Überprüfung des Freiheitsentzuges nicht ein und lehnte das Gesuch um bedingte Entlassung aus der stationären therapeutischen Massnahme ab.
Am 28. März 2013 beantragte X._, vertreten durch den Verein B._, beim Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich seine sofortige Entlassung bzw. eine raschestmögliche Überprüfung der Massnahme durch ein Gericht. Das Zwangsmassnahmengericht trat am 3. April 2013 auf das Haftentlassungsgesuch nicht ein, da es nicht zuständig war, und überwies das Gesuch zuständigkeitshalber an die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich zur Behandlung als Rekurs. Die Kosten auferlegte das Gericht dem Verein B._.
Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 22. April 2013 ab, soweit es darauf eintrat.
X._ wendet sich mit Beschwerde ans Bundesgericht und beantragt unter anderem die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die gerichtliche Haftprüfung.
2. Der Beschwerdeführer hat innert Frist die erste Eingabe vom 4. Mai 2013 (act. 2) durch eine neue Eingabe vom 7. Mai 2013 (act. 7) ersetzt und die erste als hinfällig erklärt (vgl. act. 6).
3. Der Beschwerdeführer beantragt, das Verfahren bis zur Erledigung des vor der Justizdirektion hängigen Verfahrens zu sistieren (Beschwerde S. 8). Dafür besteht kein Anlass.
4. Soweit sich der Beschwerdeführer nicht zur Sache äussert und nicht darlegt, dass und inwieweit der angefochtene Entscheid gegen das Recht verstösst, ist darauf nicht einzutreten (<ref-law>). Zum Beispiel ist nicht im vorliegenden Verfahren zu prüfen, welche Vernehmlassungsfrist die Justizdirektion in dem bei ihr hängigen Rekursverfahren ansetzen darf und innert welcher Frist sie entscheiden muss (vgl. Beschwerde S. 4 und 8).
5. In Bezug auf die Zuständigkeit des Zwangsmassnahmengerichts kann auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. Verfügung S. 5 E. 4.2 mit Hinweis auf die Verfügung vom 3. April 2013). Zu der vom Beschwerdeführer aufgeworfenen Frage, ob es zulässig ist, vor der gerichtlichen Überprüfung ein ein- oder zweistufiges Verwaltungsverfahren vorzusehen (vgl. Beschwerde S. 4 und 6), kann auf die im angefochtenen Entscheid zitierte bundesgerichtliche Rechtsprechung verwiesen werden (zur Publikation bestimmtes Urteil 6B_603/2012 vom 14. Februar 2013, E. 3.2.3), von der abzuweichen - jedenfalls im vorliegenden Fall - kein Anlass besteht. Das Amt für Justizvollzug behandelte das Gesuch um Entlassung aus dem Massnahmevollzug innert neun Tagen, und das Zwangsmassnahmengericht überwies den fälschlich bei ihm eingereichten Rekurs nach sechs Tagen der zuständigen Direktion der Justiz und des Innern. Die Verzögerungen hat der Vertreter des Beschwerdeführers verursacht. Von einer unzulässig langen Dauer oder gar einer Verschleppung des Verwaltungsverfahrens (vgl. Beschwerde S. 8) kann nicht die Rede sein.
6. Soweit der Beschwerdeführer den Kostenentscheid anfocht, trat die Vorinstanz darauf nicht ein, weil er nicht beschwert sei und der Verein B._ kein Rechtsmittel eingereicht habe (vgl. Verfügung S. 4 E. 3.1 und 3.2). Inwieweit der Beschwerdeführer dem Vertreter die von diesem unnötig verursachten und ihm deshalb auferlegten Kosten zu ersetzen haben sollte, ist nicht ersichtlich (vgl. Beschwerde S. 6/7). Folglich kann von einer Beschwer nicht die Rede sein. Nachdem das kantonale Rechtsmittel nur im Namen des Beschwerdeführers erhoben und zudem nur von diesem eigenhändig unterschrieben worden war, lag offensichtlich keine Eingabe des Vereins B._ vor. Wer in dessen Namen auftreten darf, ist unerheblich.
7. Die Vorinstanz auferlegte die Gerichtsgebühr dem unterlegenen Beschwerdeführer (Verfügung S. 6 E. 7). Was daran gegen das Recht verstossen soll, ergibt sich aus der Beschwerde nicht. Dafür, dass die "mangelhafte Mandatsführung" des Vertreters abgestraft werden sollte (Beschwerde S. 6), spricht nichts.
8. Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren insbesondere angesichts der zur Hauptsache ungenügend begründeten Eingabe aussichtslos erschienen. Angesichts der Lage des Beschwerdeführers kann ausnahmsweise auf Gerichtskosten verzichtet werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Sistierungsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Mai 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Schneider
Der Gerichtsschreiber: Monn