Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 1998) legte vom 10. bis zum 12. März 2014 die Aufnahmeprüfung für das Gymnasium an der Kantonsschule Burggraben, St. Gallen, ab. Am 14. März 2014 verfügte der Rektor der Kantonsschule, mit der erreichten Notensumme von 14 Punkten (Deutsch = 3.4; Französisch = 4.0; Mathematik 1 = 3.6; Mathematik 2 = 3.0) habe B.A._ die Aufnahmeprüfung für den Eintritt in das Gymnasium nicht bestanden.
A.b. Bereits Ende Dezember 2013 hatten die damaligen Mathematik- und Sprachlehrkräfte des Sekundarschülers bei der Kantonsschule Burggraben nachgefragt, ob dieser die Aufnahmeprüfung, mindestens aber den Aufsatz im Fach Deutsch mit Computer absolvieren könne. In Stresssituationen sei B.A._s Schrift dermassen unleserlich, dass niemand sie entziffern könne. Gleiches hatte der Vater, A.A._, aufgrund von visuomotorischen Schwierigkeiten beantragt, als er B.A._ am 1. Februar 2014 zur Prüfung anmeldete. Seinem Antrag verlieh er mit einem Bericht des Zentrums für Schulpsychologie und therapeutische Dienste des Kantons Appenzell Ausserrhoden (SPD/AR) vom 29. Januar 2014 Nachdruck. Darin wird empfohlen, B.A._ als Nachteilsausgleich bei der Aufnahmeprüfung sowie bei allen künftigen schriftsprachlichen Prüfungen an der Kantonsschule die Verwendung eines Computers, zu ermöglichen. Der Computer sei indessen nur eine Erleichterung, das Problem an sich seien "Blackouts", von denen B.A._ berichte. Durch die computergestützte Arbeit könne es gelingen, die Leistungen bis zum "Blackout" zu verbessern.
A.c. Am 28. Februar 2014, das heisst zehn Tage vor der Prüfung, eröffnete der Kantonsschulrektor den Eltern und B.A._ anlässlich einer mündlichen Besprechung, B.A._ dürfe weder den Computer benützen noch bekomme er zusätzliche Zeit für das Lösen der Aufgaben. Die prüfenden Lehrpersonen würden jedoch über die Schreibschwäche informiert und seien angehalten, das Geschriebene zu entziffern. In der Folge wurde B.A._ ermöglicht, den Aufsatz im Fach Deutsch im Anschluss an die Prüfung auf einen Tonträger zu sprechen.
B.
Mit Rekurs gegen den negativen Prüfungsentscheid gelangte A.A._ an den Erziehungsrat. Er beantragte insbesondere, die Verfügung vom 14. März 2014 sei aufzuheben und die gesamte Prüfung sei unter Gewährung normaler, international anerkannter Nachteilsausgleiche (Computerbenützung, mehr Zeit) innert einvernehmlicher Frist zu wiederholen. Der Erziehungsrat wies den Rekurs ab. Dagegen erhob A.A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht. Er ersuchte darum, den angefochtenen Rekursentscheid und die Verfügung der Kantonsschule vom 14. März 2014 aufzuheben. Der Entscheid der Kantonsschule sei durch eine Verfügung zu ersetzen, wonach B.A._ die Aufnahmeprüfung bestanden habe; auch seien keine Gebühren oder Kosten zu erheben. Das Verwaltungsgericht lehnte die Beschwerde am 16. September 2014 ab.
C.
Mit Eingabe vom 22. Oktober 2014 beantragt A.A._ für B.A._ dem Bundesgericht, das Urteil vom 16. September 2014 sei aufzuheben; die Sache sei an das Verwaltungsgericht zur Gutheissung der Beschwerde oder zu weiteren Abklärungen an den Erziehungsrat zurückzuweisen. Ihm sei für das kantonale Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren und eine Parteientschädigung zuzusprechen. Der Beschwerde sei mit Bezug auf die Kosten aufschiebende Wirkung zu gewähren; zudem sei als vorsorgliche Massnahme dem Rektor der Kantonsschule Trogen (AR) zu gestatten, "den Abweisungsentscheid der Kantonsschule zu ignorieren und gemäss eigenem Ermessen eine Aufnahme B.A._s zu verfügen".
Am 25. November 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen abgewiesen.
Das Bildungsdepartement des Kantons St. Gallen und das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene letztinstanzliche kantonale Endentscheid (<ref-law>) beschlägt eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens sind nicht die Ergebnisse der gymnasialen Aufnahmeprüfung an sich, sondern formale Erleichterungen in Bezug auf deren Ablauf und Durchführung. Solche organisatorische bzw. verfahrensrechtliche Gesichtspunkte - die denn auch mit der Beschwerde ausschliesslich gerügt werden - sind vom Ausschlussgrund in Art. 83 lit. t BGG nicht erfasst und können im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten überprüft werden (Urteile 2C_368/2014 vom 19. Dezember 2014 E. 1.1; 2D_31/2014 vom 22. April 2014 E. 2.2.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 und 1.2 S. 44 f.). Auf die Beschwerde ist daher als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten. Für die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt kein Raum (<ref-law>).
1.2. Die Anträge der Beschwerde ans Bundesgericht sind insofern missverständlich, als geltend gemacht wird, "die Sache an das Verwaltungsgericht St. Gallen zurückzuweisen mit der Weisung, dass die Beschwerde entweder gutzuheissen oder zu weiteren Tatsachenabklärungen an den Erziehungsrat St. Gallen zurückzuweisen ist" (Ziff. 1). Bei der Vorinstanz war beantragt worden, die Verfügung vom 14. März 2014 dahin gehend zu ersetzen, dass B.A._ die Aufnahmeprüfung bestanden habe (vgl. Sachverhalt Ziff. B). Das wörtlich verstandene Begehren wäre abzuweisen, weil damit verlangt würde, die fachlichen Anforderungen an die Aufnahme ins Gymnasium herabzusetzen (vgl. hernach E. 3.4; Aufnahme ohne Leistungsnachweis). Aus der Begründung der Eingabe ans Bundesgericht geht jedoch hervor, dass der Beschwerdeführer - mit Ausnahme des abgelehnten Massnahmegesuchs - nunmehr eine Wiederholung der Prüfung mit Nachteilsausgleich verlangt (vgl. Beschwerdeschrift Ziff. 9.1). Eine Reduktion des Streitgegenstandes auf die Frage der behindertengerechten Prüfung ist zulässig.
Der Beschwerdeführer beantragte noch vor dem Erziehungsrat die Wiederholung der gesamten Prüfung; im bundesgerichtlichen Verfahren demgegenüber ausdrücklich, dass B.A._ "die schriftlichen Prüfungen in Deutsch und Französisch auf dem Computer solle schreiben dürfen" (Ziff. 14 der Beschwerde). Er geht selbst davon aus, dass "eine Nachteilserleichterung in Mathematik schwerer zu erzielen ist" (S. 17 der Beschwerde; vgl. auch die Rüge, dass er sich auf die Prüfungen in Deutsch und Französisch bezogen habe; Ziff. 14 der Beschwerde). Der Antrag ist daher als Wiederholung der Fächer Deutsch und Französisch unter Gewährung des Nachteilsausgleichs zu verstehen.
1.3. Der Beschwerdeführer ist gesetzlicher Vertreter von B.A._ (vgl. <ref-law>) und gemäss <ref-law> zur Ergreifung dieses Rechtsmittels grundsätzlich sowohl in eigenem Namen als auch für B.A._ legitimiert (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 181 f.; vgl. Urteil 2C_433/2011 vom 1. Juni 2012 E. 1.2). Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Rechtsschutzinteresse an einer Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids voraus (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 41 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 81). Der vorinstanzliche Entscheid bestätigt, dass B.A._ keinen Anspruch auf formale Erleichterungen in Bezug auf die Prüfungsteile mit freier Textproduktion hatte. Erwiese sich diese Einschätzung als unrichtig, würde damit das verfügte negative Prüfungsergebnis infrage gestellt. Es besteht somit ein aktuelles und schützenswertes Interesse (vgl. <ref-law>) an der Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids.
1.4. Mit der Beschwerde beim Bundesgericht kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Verletzung kantonalen Rechts ist hingegen vor Bundesgericht - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - kein selbstständiger Rügegrund, sondern kann nur daraufhin überprüft werden, ob damit Bundesrecht verletzt wird, wozu namentlich auch eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts gehört (<ref-ruling> E. 2 S. 149; <ref-ruling> E. 2.4 S. 249).
2.
2.1. Die Kantonsschule Burggraben St. Gallen ist staatlich (Art. 4 Abs. 1 lit. a des Mittelschulgesetzes, sGS 215.1 [MSG/SG]). Für die Aufnahme in die erste Klasse des Gymnasiums ist eine Prüfung abzulegen, wenn nicht zuvor das Untergymnasium besucht worden ist (Art. 3 Abs. 1 und 2 des Aufnahmereglements der Mittelschule, sGS 215.110, [Aufnahmereglement MS/SG]). Prüfungsfächer sind Deutsch, Französisch und Mathematik. Geprüft wird grundsätzlich schriftlich. In Mathematik finden zwei schriftliche Prüfungen statt. Bleibt ein Bewerber in den schriftlichen Prüfungen unter einer Notensumme von 16 Punkten, wird er in den Fächern Deutsch und Französisch zusätzlich mündlich geprüft (Art. 9 Abs. 1 und 2 Aufnahmereglement MS/SG). Aufgenommen wird - unter Mitberücksichtigung allfälliger mündlicher Prüfungen -, wer eine Prüfungspunktzahl von wenigstens 16 erreicht. Wer darunter liegt, wird abgewiesen (vgl. Art. 21 Abs. 1 und 2 Aufnahmereglement MS/SG). Vorbehalten bleiben Prüfungsresultate in der sog. "Bandbreite". Dies betrifft namentlich Bewerberinnen und Bewerber aus der zweiten Klasse der Oberstufe, welche eine Prüfungspunktzahl von mindestens 15 erreicht haben (vgl. Art. 22 Abs. 1 lit. a Aufnahmereglement MS/SG). Die Prüfungskonferenz berücksichtigt beim Entscheid über die Zulassung solcher Kandidaten den Eignungsbericht - namentlich die Beurteilung der Schülerin oder des Schülers durch die bisherigen Lehrpersonen (Art. 35 Abs. 2 MS/SG) -, die Dauer der Vorbildung und besondere Umstände.
2.2. Die Aufnahmeprüfung von B.A._ wurde wie folgt bewertet:
Deutsch
Aufsatz 2.0
Sprachprüfung 4.1
Mündlich 4.0
Total (Fachnote) 3.4
Französisch
HörverstehenITextverständnis 4.6
Wortschatz/Grammatik/Freie Textproduktion 3.4
Mündlich 4.0
Total (Fachnote) 4.0
Mathematik 1 3.6
Mathematik 2 3.0
Total 14.0
Mit einer Gesamtpunktzahl von 14.0 hat B.A._ die Aufnahmeprüfung nicht bestanden. Das Resultat liegt auch ausserhalb der "Bandbreite". Die Kantonsschule hielt in ihrer Stellungnahme an die Vorinstanz des Weiteren fest, auch die Vorschule erachte B.A._ sowohl im sprachlichen wie auch im mathematischen Bereich nur bedingt geeignet für das Gymnasium, was nicht als Empfehlung für die Aufnahme gewertet werde.
2.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, sein Sohn sei behindert und habe Anrecht auf Nachteilsausgleich. Die Aufnahmeprüfung sei in einer Art und Weise durchgeführt worden, die es B.A._ verunmöglicht habe, sein intellektuelles Wissen und Können zu beweisen. Die Kantonsschule habe jeglichen Nachteilsausgleich verweigert.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> darf niemand wegen einer körperlichen, geistigen oder psychischen Behinderung diskriminiert werden. Verboten ist eine sachlich nicht begründete Anknüpfung an das verpönte Merkmal der Behinderung, namentlich eine mit dieser verbundene Benachteiligung, die als Herabwürdigung oder Ausgrenzung zu gelten hat (<ref-ruling> E. 7.3.2 S. 177; <ref-ruling> E. 3.3 S. 316 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 53 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 108). Eine Regelung kann eine solche unzulässige Differenzierung entweder selbst vorsehen (sog. direkte oder unmittelbare Diskriminierung) oder aber in ihren tatsächlichen Auswirkungen Angehörige spezifisch gegen Diskriminierung geschützter Gruppen besonders benachteiligen, ohne dass dies sachlich begründet wäre (sog. indirekte oder mittelbare Diskriminierung; vgl. <ref-ruling> E. 8.2.1 S. 303; <ref-ruling> E. 3.3 S. 316 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 53 f.). Mit Blick auf die Benachteiligungen behinderter Personen besteht ein eigenständiger verfassungsrechtlicher Beseitigungsauftrag (<ref-law>), welchen der Gesetzgeber zu konkretisieren hat (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 294; <ref-ruling> E. 5 S. 108 mit Hinweisen; Urteil 2C_590/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 3.1 [zur Publikation vorgesehen]).
3.2. Der Bund hat den Gesetzgebungsauftrag im Bereich seiner Zuständigkeit insbesondere mit Erlass des Behindertengleichstellungsgesetzes vom 13. Dezember 2002 (BehiG; SR 151.3) wahrgenommen. Dieses bezweckt, Benachteiligungen zu verhindern, zu verringern oder zu beseitigen, denen Menschen mit Behinderungen ausgesetzt sind (<ref-law>). Ein Mensch mit Behinderungen ( Behinderte, Behinderter ) ist eine Person, der es eine voraussichtlich dauernde körperliche, geistige oder psychische Beeinträchtigung erschwert oder verunmöglicht, alltägliche Verrichtungen vorzunehmen, soziale Kontakte zu pflegen, sich fortzubewegen, sich aus- und fortzubilden oder eine Erwerbstätigkeit auszuüben (<ref-law>; Urteile 2C_368/2014 vom 19. Dezember 2014 E. 3.1; 2C_130/2012 vom 9. Mai 2012 E. 5; 2C_930/2011 vom 1. Mai 2012 E. 3.3). Eine Benachteiligung liegt vor, wenn Behinderte rechtlich oder tatsächlich anders als nicht Behinderte behandelt und dabei ohne sachliche Rechtfertigung schlechtergestellt werden als diese, oder wenn eine unterschiedliche Behandlung fehlt, die zur tatsächlichen Gleichstellung Behinderter und nicht Behinderter notwendig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 294). Gemäss <ref-law> liegt eine Benachteiligung bei der Inanspruchnahme von Aus- und Weiterbildung insbesondere vor, wenn die Verwendung behindertenspezifischer Hilfsmittel oder der Beizug notwendiger persönlicher Assistenz erschwert werden (lit. a) oder die Dauer und Ausgestaltung des Bildungsangebots sowie Prüfungen den spezifischen Bedürfnissen Behinderter nicht angepasst sind (lit. b). Wer durch das Gemeinwesen im Sinn von <ref-law> benachteiligt wird, kann beim Gericht oder bei der Verwaltungsbehörde verlangen, dass das Gemeinwesen die Benachteiligung beseitigt oder unterlässt (<ref-law>; Urteile 2C_368/2014 vom 19. Dezember 2014 E. 3.1; 2C_686/2012 vom 13. Juni 2013 E. 6.1).
3.3. Für das Schulwesen sind die Kantone zuständig (<ref-law>). Sie sorgen für einen ausreichenden, an öffentlichen Schulen unentgeltlichen Grundschulunterricht, der obligatorisch ist und allen Kindern offen steht (Art. 19 und Art. 62 Abs. 2 BV). Die Kantone sorgen sodann für eine ausreichende Sonderschulung aller behinderten Kinder und Jugendlichen bis längstens zum vollendeten 20. Lebensjahr (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3.4 S. 157). Gemäss <ref-law> achten die Kantone darauf, dass behinderte Kinder und Jugendliche eine Grundschulung erhalten, die ihren besonderen Bedürfnissen angepasst ist (<ref-law>). Sie fördern, soweit dies möglich ist und dem Wohl des behinderten Kindes oder Jugendlichen dient, mit entsprechenden Schulungsformen die Integration behinderter Kinder und Jugendlicher in die Regelschule (<ref-law>; vgl. auch Art. 3 der Interkantonalen Vereinbarung über die Zusammenarbeit im Bereich der Sonderpädagogik vom 25. Oktober 2007). Insbesondere sorgen die Kantone dafür, dass wahrnehmungs- oder artikulationsbehinderte Kinder und Jugendliche und ihnen besonders nahestehende Personen eine auf die Behinderung abgestimmte Kommunikationstechnik erlernen können (<ref-law>; vgl. hierzu Botschaft zur Volksinitiative "Gleiche Rechte für Behinderte" und zum Entwurf eines Bundesgesetzes über die Beseitigung von Benachteiligungen behinderter Menschen vom 11. Dezember 2000 BBl 2001 1715 ff., Ziff. 4.3.2 S. 1786; vgl. sodann Schweizerische Konferenz der kantonalen Erziehungsdirektoren, Kommentar zur Interkantonalen Vereinbarung über die Zusammenarbeit im Bereich der Sonderpädagogik vom 25. Oktober 2007, S. 3; <http://www.edk.ch/dyn/12917.php>; besucht am 26. März 2015). Die Sicherstellung der Bildung von behinderten Personen mit angemessenen Massnahmen - namentlich durch das Zurverfügungstellen geeigneter alternativer Kommunikationsmittel - statuiert auch Art. 24 Abs. 3 lit. a und Art. 2 der UN-Behindertenkonvention, die für die Schweiz am 15. Mai 2014 in Kraft getreten ist (SR 0.109; vgl. Botschaft zur Genehmigung des Übereinkommens vom 13. Dezember 2006 über die Rechte von Menschen mit Behinderungen vom 19. Dezember 2012, 661 ff., Ziff. 3.3 S. 700).
3.4. Die angeführten Bestimmungen des BehiG gehen inhaltlich in der Regel nicht über die verfassungsrechtlichen Grundsätze zum Diskriminierungsverbot nach <ref-law> hinaus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 164 f.; Schefer/Hess-Klein, Behindertengleichstellungsrecht, 2014, S. 330, 341 f.; Andrea Aeschlimann-Ziegler, Der Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht von Kindern und Jugendlichen mit einer Behinderung, Diss., Bern 2011, S. 86 f.; Peter Uebersax, Der Anspruch Behinderter auf ausreichende Grund- und Sonderschulung, in: Gabriela Riemer-Kafka [Hrsg.], Kinder und Jugendliche mit Behinderungen, 2011, S. 36). Die dargestellten Prinzipien des Behindertengleichstellungsrechts konkretisieren denn auch vielmehr - für die Aufnahme in die erste Klasse der Kantonsschule als neuntem Schuljahr auch im Zusammenhang mit den Garantien von Art. 19 und Art. 62 BV - die Auslegung von <ref-law>. Sie sind insofern ungeachtet der Frage, ob das Behindertengleichstellungsgesetz unmittelbar zur Anwendung kommt, massgeblich.
Das in <ref-law> enthaltene Verbot der mittelbaren Diskriminierung gewährt Personen mit Behinderung demnach einen Anspruch auf formale Prüfungserleichterungen, die ihren individuellen Bedürfnissen angepasst sind (sog. Nachteilsausgleich ). Die gebotene formale Anpassung des Prüfungsablaufs an spezifische Behinderungssituationen kann auf verschiedene Arten geschehen, wobei jeweils Art und Grad der Behinderung zu berücksichtigen sind. In Betracht kommen dabei namentlich Prüfungszeitverlängerungen, längere oder zusätzliche Pausen, eine stärkere Prüfungsgliederung, die Abnahme der Prüfung in mehreren Etappen, andere Prüfungsformen oder die Benutzung eines Computers (Urteil 2D_7/2011 vom 19. Mai 2011 E 3.2; vgl. oben E. 3.2). Eine Anpassungsmassnahme in Konkretisierung von <ref-law> führt demgegenüber nicht dazu, dass zentrale Fähigkeiten, deren Vorhandensein mit der infrage stehenden Ausbildung sichergestellt werden sollen, nicht mehr überprüft werden können (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5 S. 108 f.; <ref-ruling> E3c/aa S. 136; Urteil 2D_7/2011 vom 19. Mai 2011 E. 3.2; vgl. Fachstelle Integration Handicap für die Gleichstellung von Menschen mit Behinderung und Diskriminierungsschutz, Focus 12, Mai 2014; www.egalite-handicap.ch; besucht am 26. März 2015; vgl. Schefer/Hess-Klein, Behindertengleichstellungsrecht, a.a.O., S. 358; Aeschlimann-Ziegler, a.a.O., S. 255). Auch müssen Behinderungen von einer unabhängigen Stelle hinreichend abgeklärt sein (vgl. Plotke, Schweizerisches Schulrecht, 2. Aufl. 2003, S. 468; Aeschlimann-Ziegler, a.a.O., S. 261 ff.).
3.5. Mit Blick auf die Kognition ist zu beachten, dass das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts auf eine Verletzung des Willkürverbots hin prüft; ob das entsprechende Resultat den dargelegten bundesrechtlichen Mindestgrundsätzen zu <ref-law> entspricht, würdigt es frei (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 166; <ref-ruling> E. 4 S. 355; Urteil 2C_590/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 3.3 [zur Publikation vorgesehen]).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Kantonsschule hätte für B.A._ einen Computer für die Deutsch- und Französischprüfung als Hilfsmittel zulassen müssen. Er verweist auf die Empfehlung des Zentrums für Schulpsychologische und therapeutische Dienste des Kantons Appenzell Ausserrhoden, die er unbestrittenermassen zusammen mit der Anmeldung vor der Prüfung dem zuständigen Prorektor zur Kenntnis gebracht hat. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> und macht sinngemäss geltend, der angefochtene Entscheid berücksichtige <ref-law> in unzureichender Weise.
4.2. Im Fachbericht vom 29. Januar 2014 wird ausgeführt, B.A._ könne seine Überlegungen nur mit sehr grossem Energieaufwand und in beinahe unleserlicher Form aufs Papier bringen. Der Computer erleichtere die Umsetzung schriftsprachlicher Aufgabenstellungen und entlaste ihn, weil er sich so besser auf die inhaltliche Arbeit konzentrieren könne. Die visuomotorischen Probleme bewältigen zu können, strenge ihn an und verursache "Stress". Das Problem an sich bestehe aber in Blackouts. Der Schulpsychologe hält dazu im Fachbericht weiter fest: "Durch die PC unterstützte Arbeit dürften diese nicht verschwinden, allenfalls aber weniger werden, weil ein grosser Druck wegfällt und so mehr Energie für die inhaltliche Arbeit übrig bleibt. Was aber mit der Arbeit an dem PC gelingen kann, ist die qualitative Verbesserung der gezeigten Leistung bis zu dem 'Blackout', wie er [B.A._] das nennt". Die Sekundarlehrer von B.A._ führten am 20. Dezember 2013 aus, in Stresssituationen sei B.A._s Schrift so unleserlich, dass niemand sie entziffern könne. Mindestens den Aufsatz sollte er mit Computer schreiben können.
4.3. Die Vorinstanz stellt sich auf den Standpunkt, sowohl die Angaben zur Behinderung selbst als auch diejenigen zum benötigten Nachteilsausgleich seien "nicht konsistent". Während der Beschwerdeführer betone, B.A._ sei schwer schreibbehindert und auf einen Computer und auf eine Zeitverlängerung angewiesen, führe der Schulpsychologe im Fachbericht aus, B.A._ "leide primär unter 'Blackouts'" (angefochtenes Urteil E. 7.4.3). Andernorts führt das Verwaltungsgericht an, B.A._s Problem bestehe "lediglich in der Unleserlichkeit seiner Schrift"; sie sei "in der Tat schwer lesbar" (angefochtenes Urteil E. 7.4.3 in fine und E. 7.4.4 in fine). Wohl im Sinne eines Eventualstandpunktes führt die Vorinstanz sodann aus, das Zurverfügungstellen eines Computers als Schreibhilfe würde "auf die Besserstellung des behinderten Kandidaten hinauslaufen" (angefochtenes Urteil E. 7.4.5). Aus den Erwägungen geht demnach nicht klar hervor, ob das Verwaltungsgericht eine Behinderung B.A._s anerkennt oder nicht; teils wird für ihn der Begriff eines "behinderten Kandidaten" verwendet, teils auf eine bloss unleserliche Schrift verwiesen.
4.4.
4.4.1. Zweifelsohne können "Blackouts" bzw. nicht weiter abgeklärte Einschränkungen der Konzentrationsfähigkeit für sich nicht dazu führen, die Bedingungen einer Aufnahme in die Kantonsschule für den Fall von B.A._ zu erleichtern. Die vorinstanzlichen Erwägungen sind in dieser Hinsicht nicht zu beanstanden. Indessen wird vom Fachbericht vom 29. Januar 2014 der Nachteilsausgleich nicht für entsprechende Konzentrationsstörungen empfohlen ("Blackouts"), sondern vielmehr für motorische Schwierigkeiten beim Umsetzen der Gedanken auf das Blatt: Der in den Akten liegende Aufsatz entspricht in keiner Weise einem Schriftbild eines Jugendlichen in B.A._s Alter, und der Fachbericht bestätigt weiter, dass B.A._ seine Überlegungen nur mit einem sehr grossen Energieaufwand und in beinahe unleserlicher Form aufs Papier bringen könne (visuomotorische Störung). Der PC diene ihm als Erleichterung in der Umsetzung schriftsprachlicher Aufgabenstellungen, weswegen er aus fachlicher Sicht im Sinne eines Nachteilsausgleichs für die Prüfung sinnvoll sei. Mit der Schreibhilfe könnten intellektuelle Leistungsmöglichkeiten mehr für das inhaltliche Arbeiten verwendet werden anstatt für den Versuch, die visuomotorischen Umsetzungsprobleme zu bewältigen. Sodann wird bestätigt, dass die Handschrift und das Umsetzen von Ideen auf das Papier bei B.A._ "seit jeher Thema" war.
4.4.2. Einem Schüler im Sekundarschulalter, der seine Gedanken "seit jeher" aufgrund von visumotorischen Schwierigkeiten nur unter sehr grosser Anstrengung und kaum lesbar aufs Papier bringen kann, ist es in erheblicher Weise erschwert, eine Aufnahmeprüfung, die auch Aufgaben mit längerer freier Textproduktion enthält, handschriftlich abzulegen. Die festgestellte erhebliche Störung bei der motorischen Umsetzung der Ideen auf Papier hat als Behinderung zu gelten (vgl. <ref-law>; vgl. hiervor E. 3.2). Infolge der festgestellten visuomotorischen Probleme war B.A._ während der Sekundarschulzeit für längere schriftliche Arbeiten denn auch stets ein Computer als Schreibhilfe zur Verfügung gestellt worden (vgl. <ref-law>; vgl. hiervor E. 3.3); nach den Angaben in der Beschwerdeschrift wird B.A._ seit der Primarschule ein Computer zur Verfügung gestellt. Bereits Ende Dezember 2013 hatten die damaligen Mathematik- und Sprachlehrkräfte des Sekundarschülers bei der Kantonsschule nachgefragt, ob dieser die Aufnahmeprüfung, mindestens aber den Aufsatz im Fach Deutsch, mit Computer absolvieren könne. Auch der Schulpsychologe hatte im der Prüfungsanmeldung beigelegten Fachbericht festgehalten, es sei im Sinne eines Nachteilsausgleichs sinnvoll, B.A._ bei der Umsetzung schriftsprachlicher Arbeiten mit einem Computer als Schreibhilfe zu unterstützen. Er bezeichnete den PC nicht als Lösung aller Probleme, aber als eine "wichtige Erleichterung".
4.4.3. Die Vorinstanz durfte vor diesem Hintergrund zunächst nicht davon ausgehen, es ergäben sich diesbezüglich "lediglich Probleme mit der Leserlichkeit" von B.A._s Schrift. Vielmehr wären die motorischen Umsetzungsschwierigkeiten als Behinderung zu berücksichtigen, und (auch) für die Aufnahmeprüfung ins neunte Schuljahr ein Nachteilsausgleich in der Form einer Schreibhilfe geboten gewesen (<ref-law>; vgl. Art. 19 sowie Art. 62 BV). Erst durch diese formale Erleichterung hätte B.A._ die Möglichkeit offen gestanden, intellektuelle Fähigkeiten für Prüfungsteile mit freier Textproduktion trotz seiner Schreibbehinderung, die in keiner Weise mit einer Intelligenzverminderung verbunden ist, unter Beweis zu stellen (vgl. Art. 2 Abs. 5 lit. b und <ref-law>; vgl. Art. 24 Abs. 3 lit. a UN-Behindertenkonvention; hiervor E. 3.3 und 3.4; vgl. zur Abgrenzung von Entwicklungsstörungen der motorischen Funktionen zu Intelligenzstörungen ICD-Code F82 ["ICD" steht für International Classification of Diseases bzw. "Internationale Klassifikation von Krankheiten"; F82 betrifft die "Entwicklungsstörung der motorischen Funktionen"; http://www.icd-code.de]). Die am 28. Februar 2014 - zehn Tage vor der Prüfung - erfolgte Mitteilung der Kantonsschule, wonach der Computer als Schreibhilfe nicht zur Verfügung gestellt werden könne, ist vor diesem Hintergrund als unzulässige Benachteiligung anzusehen (vgl. hiervor E. 3.2). Das Nichtgewähren der Nachteilserleichterung erfordert in solchen Fällen eine qualifizierte Begründung (<ref-ruling> E. 5.4 S. 213; <ref-ruling> E. 3.3 S. 316; <ref-ruling> E. 7.1 S. 305 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 61; <ref-ruling> E. 6.1.2 S. 357).
4.4.4. Das Verwaltungsgericht führt aus, wenn B.A._ ein Computer zur Verfügung gestellt worden wäre, hätte dies zu einer unzulässigen Besserstellung des behinderten Kandidaten geführt. Denn es sei notorisch, dass das computergestützte Verfassen von längeren Texten mit einer erleichterten Arbeitsmethodik und einer höheren Arbeitsgeschwindigkeit einhergehe. Jedenfalls könne von einer mittelbaren Diskriminierung vor dem Hintergrund, dass B.A._ im Anschluss an die Prüfung den Aufsatz ohnehin auf einen Tonträger habe vorlesen können, nicht ausgegangen werden. Die vorinstanzlichen Erwägungen sind insoweit zutreffend, als weder das Behindertengleichstellungsrecht noch die Diskriminierungsverbote einen Anspruch darauf gewähren, die Leistungsanforderungen an eine Ausbildung in irgendeiner Weise zu verringern (Urteil 2D_7/2011 vom 19. Mai 2011 E. 3.2; vgl. hiervor E. 3.4). Zweifelsohne dürfen die fachlichen Anforderungen an einen Kandidaten einer Aufnahmeprüfung ins Gymnasium durch Nachteilserleichterungen nicht herabgesetzt werden. Indessen dient der Computer, der für entsprechende Prüfungen von Kandidaten mit Behinderungen ein reines Schreib- (nicht etwa ein Korrektur-) Programm enthält, alleine dazu, behinderungsbedingte Erschwernisse der motorischen Umsetzung auszugleichen. Mit dem Zurverfügungstellen der Schreibhilfe ist entgegen der Ansicht der Vorinstanz keine materielle Herabsetzung der Prüfungsanforderungen verbunden. Solche Massnahmen zum Ausgleich von Benachteiligungen der Behinderten stellen auch keine Ungleichbehandlung von Prüfungskandidaten ohne motorische Störungen dar und sind nach Artikel 8 Absatz 1 BV zulässig (vgl. <ref-law>). Im Unterschied hierzu ist das vom Verwaltungsgericht angeführte nachträgliche Sprechen des - wahrscheinlich auch für B.A._ selbst kaum lesbaren - Aufsatzes auf einen Tonträger reine Korrekturhilfe. Ein Nachteilsausgleich für die motorische Schreibschwäche kann darin nicht erblickt werden. Damit wurde B.A._ der Nachteilsausgleich infolge seiner Schreibbehinderung zu Unrecht und ohne qualifizierte Begründung vorenthalten. Der Anspruch auf eine formale Anpassung der Aufnahmeprüfung aus dem verfassungsrechtlichen Diskriminierungsverbot von <ref-law> ist verletzt.
4.5. Nach dem Gesagten ist B.A._ - entsprechend den Empfehlungen der Fachstelle - ein Computer als Schreibhilfe für Prüfungsteile mit freier Textproduktion zur Verfügung zu stellen (<ref-law>). Die Prüfung ist in den Fächern mit freier Textproduktion (Deutsch und Französisch) zu wiederholen. Demgegenüber sind keine Gründe für eine Verlängerung der Prüfungszeiten belegt. Sie gehen auch nicht aus den Empfehlungen der Fachstelle hervor. Dem Antrag, im Sinne eines Nachteilsausgleichs sei auch die Prüfungszeit der Wiederholungsprüfungen zu verlängern, kann nicht gefolgt werden.
Dass die abgelegte Prüfung schliesslich auch in den mathematischen Fächern nicht genügend ausgefallen war und die Sekundarlehrer B.A._ nur bedingt für das Gymnasium empfehlen konnten, vermag - entgegen den Ausführungen der Vorinstanz - das Vorenthalten des Nachteilsausgleichs nicht zu rechtfertigen. Rechnerisch ist das direkte Bestehen der Prüfung und allenfalls wenigstens das Erreichen der sog. "Bandbreite" (vgl. hiervor E. 2.1) trotz ungenügender Noten in den Fächern Mathematik 1 und 2 jedenfalls nicht ausgeschlossen (vgl. hiervor E. 2.2). Bei der Überprüfung des Diskriminierungsverbots gegen Menschen mit einer Behinderung besteht kein Raum für weitere Wahrscheinlichkeitsüberlegungen. Es ist demnach dafür zu sorgen, dass B.A._ die Aufnahmeprüfung so rasch als möglich unter Bedingungen absolvieren kann, welche seine Behinderung berücksichtigen.
5.
Die Beschwerde ist gutzuheissen. Der vorinstanzliche Entscheid vom 16. September 2014 wird aufgehoben. B.A._ ist die Gelegenheit zur Wiederholung der Prüfungsfächer mit freier Textproduktion (Fächer Deutsch und Französisch) einzuräumen, unter Gewährung des Computers als Schreibhilfe. Dem Antrag auf längere Prüfungszeit ist demgegenüber nicht zu entsprechen.
In Anbetracht des Ausgangs sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Mit der Aufhebung des angefochtenen Entscheids (auch im Kostenpunkt) und des Verzichts auf Gerichtskosten aufgrund des Obsiegens im bundesgerichtlichen Verfahren ist auf die Ausführungen des Beschwerdeführers zur Kostenfreiheit behindertenrechtlicher Verfahren nicht näher einzugehen. Dem Beschwerdeführer sind keine anwaltlichen Vertretungskosten entstanden; es ist ihm weder für das kantonale noch das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. September 2014 aufgehoben. Der Kanton St. Gallen hat B.A._ die Prüfungswiederholung unter Verwendung eines Computers als Schreibhilfe für die Fächer mit freier Textproduktion (Deutsch und Französisch) zu gestatten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. April 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni