Sachverhalt:
A. X._ hat am 3. Januar 2005 beim Bezirksgericht Zürich eine Klage gegen seine geschiedene Frau Y._ auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 6. Juli 1989 eingereicht. In diesem Verfahren sind beide Parteien anwaltlich vertreten. Mit Eingabe vom 24. November 2005 lehnte X._ die für den Zivilprozess zuständige Einzelrichterin am Bezirksgericht ab. Er begründete das Ausstandsbegehren damit, der Rechtsvertreter der Beklagten sei gleichzeitig Vizepräsident des Kassationsgerichts des Kantons Zürich; daher erwecke die Richterin den Anschein der Befangenheit. Gleichzeitig verlangte er, das Gericht habe die Beklagte aufzufordern, dass sie einen anderen Rechtsvertreter bezeichne, der nicht dem Kassationsgericht angehöre.
B. Das Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, wies das Ausstandsbegehren am 6. Januar 2006 ab. Wie sich aus den Erwägungen dieses Entscheids ergibt, trat es auf den Antrag betreffend Auswechslung des Rechtsvertreters der Gegenpartei nicht ein. Gegen den Entscheid des Obergerichts gelangte X._ mit staatsrechtlicher Beschwerde an das Bundesgericht. Dieses überwies die Beschwerde mit Urteil vom 27. März 2006 an das Kassationsgericht des Kantons Zürich zur Behandlung (<ref-ruling>). Das Kassationsgericht wies die Beschwerde in der Folge mit Entscheid vom 23. Juni 2006 ab.
C. Gegen den Entscheid des Kassationsgerichts erhebt X._ erneut staatsrechtliche Beschwerde. Er verlangt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Gerügt wird eine Verletzung von Art. 8, 9, 29 und 30 BV bzw. von Art. 6 EMRK.
Das Kassationsgericht nimmt zur Beschwerde in ablehnendem Sinne Stellung, stellt jedoch keinen Antrag. Y._ und das Obergericht verzichten auf eine Stellungnahme. Richterin A._ gibt die Erklärung ab, nicht befangen zu sein, und verzichtet im Übrigen ebenfalls auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der angefochtene Entscheid ist kantonal letztinstanzlich und stützt sich auf kantonales Recht. Das Kassationsgericht hat zur Hauptsache die Abweisung des Ausstandsbegehrens, das gegen die Richterin gerichtet ist, bestätigt; damit wurde die Fortführung des hängigen Zivilprozesses zugelassen. Angefochten ist diesbezüglich ein Zwischenentscheid im Sinne von Art. 87 Abs. 1 OG, gegen den die staatsrechtliche Beschwerde zulässig ist. Gleichzeitig hat das Kassationsgericht die Beschwerde auch insoweit abgewiesen, als sich diese gegen das Nichteintreten des Obergerichts auf den Antrag betreffend Wechsel in der Vertretung der Gegenpartei wendet. In diesem Punkt liegt ein Endentscheid vor, der ebenfalls mit staatsrechtlicher Beschwerde anfechtbar ist (Art. 86 Abs. 1 OG). Zwar hat sich Y._ im Verfahren vor dem Bundesgericht nicht mehr durch den Rechtsanwalt vertreten lassen, dessen Prozessführungsbefugnis der Beschwerdeführer letztlich in Frage stellt. Es bestehen aber keine Anhaltspunkte, dass Y._ im hängigen Zivilprozess künftig auf den Beizug dieses Anwalts verzichten würde. Das aktuelle praktische Interesse an der Beurteilung der Beschwerde kann unter diesen Umständen bejaht werden (Art. 88 OG). Auf die Beschwerde ist - unter dem Vorbehalt gehörig begründeter Rügen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 120) - grundsätzlich einzutreten.
2. In weitgehend appellatorischer Weise wehrt sich der Beschwerdeführer gegen das Nichteintreten auf die von ihm verlangte Anordnung eines Anwaltswechsels bei der Gegenpartei. Sinngemäss macht er eine formelle Rechtsverweigerung (<ref-law>) geltend. Es kann offen bleiben, ob die Rüge hinreichend begründet ist; sie vermag ohnehin nicht durchzudringen. Die kantonalen Behörden haben erläutert, dass der fragliche Antrag nicht im gleichen Verfahren wie das Ausstandsbegehren zu behandeln ist. Gestützt auf § 29 der Zürcher Zivilprozessordnung vom 13. Juni 1976 (ZPO/ZH; LS 271) liegt der Entscheid über die Zulassung eines Parteivertreters bei dem mit dem Zivilprozess befassten Richter. Dieser Zwischenentscheid ist mit den dafür zur Verfügung stehenden Rechtsmitteln anzufechten. Hingegen hat direkt die Verwaltungskommission des Obergerichts über Ausstandsbegehren gegen Mitglieder eines Bezirksgerichts zu befinden (§ 101 des kantonalen Gerichtsverfassungsgesetzes vom 13. Juni 1976 [GVG/ZH; LS 211.1] und § 31 Ziff. 4 lit. b der Verordnung über die Organisation des Obergerichts vom 22. Juni 2005 [VOG/ZH; LS 212.51]). Es ist richtig, dass die beiden Verfahrensanträge, die der Beschwerdeführer im Zivilprozess ursprünglich zusammen gestellt hatte, hier inhaltlich in einem engen Zusammenhang stehen. Dennoch ist es nachvollziehbar, dass das Ausstandsbegehren gegen die zuständige Richterin vorab behandelt worden ist. Hat dieses Begehren Erfolg, so könnte die Unparteilichkeit der Richterin nur unter der Voraussetzung bejaht werden, dass sie den Rechtsvertreter der Gegenpartei - im Sinne des anderen Verfahrensantrags - nicht zur Prozessführung zulässt. Im gegenteiligen Fall dürfte jener andere Antrag chancenlos sein.
3. Weiter beklagt der Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>). Er habe im kantonalen Verfahren ausführlich dargelegt, weshalb er das Amt des Vizepräsidenten des Kassationsgerichts für unvereinbar mit einem Mandat als Anwalt vor einer unteren Instanz erachte. Mit diesen Vorbringen habe sich das Kassationsgericht im angefochtenen Entscheid nur oberflächlich befasst. Die Verfassungsrüge geht wiederum fehl. Das Kassationsgericht hat dem Beschwerdeführer hinreichend klar gemacht, dass es seine Rechtsauffassung zur umstrittenen Unvereinbarkeitsfrage nicht teilt. Dem Beschwerdeführer war es ohne weiteres möglich, den Entscheid des Kassationsgerichts in diesem Punkt anzufechten. Folglich ist es nicht zu beanstanden, wenn der angefochtene Entscheid nicht auf jeden Aspekt der Argumentation des Beschwerdeführers eingeht (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 102 f. mit Hinweisen). Eine Verletzung des Gehörsanspruchs liegt nicht vor.
4. In der Beschwerdeschrift wird dem Kassationsgericht vorgeworfen, es hätte in der vorliegenden Sache von sich aus in den Ausstand treten müssen. Zwar räumt der Beschwerdeführer ein, dass er im Vorfeld auf den Ausstand der am Entscheid mitwirkenden Richter verzichtet habe. Die im angefochtenen Entscheid vertretene Rechtsauffassung zeige aber mit aller Deutlichkeit, dass das Kassationsgericht nicht über seinen eigenen Schatten habe springen mögen. An sich ist die prozessuale Geltendmachung des Ausstandsanspruchs gegen die Richter, die am angefochtenen Entscheid beteiligt waren, verwirkt (<ref-ruling> E. 2b S. 85 mit Hinweisen). Wie in E. 6 hiernach aufzuzeigen sein wird, erweisen sich diese Verfassungsvorwürfe auch inhaltlich als unbegründet. So hatten die Kassationsrichter nicht einzig deswegen in den Ausstand zu treten, weil sie den Anschein erwecken könnten, kollegiale Gefühle zum fraglichen Gegenanwalt zu haben (vgl. E. 6.4.4 und 6.6).
5. Zur Hauptsache bringt der Beschwerdeführer vor, die Offenheit seines Zivilprozesses werde durch den Umstand in Frage gestellt, dass der Rechtsvertreter der Gegenpartei gleichzeitig Vizepräsident des Kassationsgerichts - und damit einer allfälligen Rechtsmittelinstanz - sei. Eine derartige Konstellation missachte den Anspruch des Beschwerdeführers auf einen unbefangenen Richter (<ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK) und das Fairnessgebot (<ref-law>). Gleichzeitig sei auch das Gleichbehandlungsgebot (<ref-law>) im Hinblick auf die Nebenbeschäftigungen von Richtern im Kanton Zürich verletzt. Die berufsmässige Vertretung vor einem unteren Gericht werde in § 3 Abs. 2 GVG/ZH einzig den Mitgliedern des Kassationsgerichts gestattet. Es trifft zu, dass § 3 Abs. 2 Ziff. 3 GVG/ZH den Mitgliedern des Kassationsgerichts die berufsmässige Vertretung von Parteien nur vor dem Gericht untersagt, dem sie angehören. Der Beschwerdeführer verlangt, die Norm sei vorfrageweise auf ihre Verfassungsmässigkeit zu überprüfen.
5.1 Mit der staatsrechtlichen Beschwerde gegen einen Einzelakt kann die Verfassungswidrigkeit der zur Anwendung gelangten kantonalen Norm gerügt werden (sog. akzessorische Normenkontrolle). Das Bundesgericht prüft dabei die Verfassungsmässigkeit der beanstandeten Norm nicht generell auf alle möglichen Konstellationen hin, sondern nur unter dem Gesichtswinkel der Anwendung auf den konkreten Fall. Wenn sich die Verfassungsrüge als begründet erweist, hebt das Bundesgericht nicht die beanstandete Norm als solche, sondern lediglich den gestützt auf sie ergangenen Anwendungsakt auf (<ref-ruling> E. 4 S. 54; <ref-ruling> E. 3.1 S. 274, je mit Hinweisen).
5.2 Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, die in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite besitzen, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem durch Gesetz geschaffenen, zuständigen, unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantie verletzt ist, prüft das Bundesgericht frei (<ref-ruling> E. 2.1.2.1 S. 34 f., 113 E. 3.2 S. 115, je mit Hinweisen).
Unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK wird meist die Frage aufgeworfen, ob besondere Umstände betreffend das Verhältnis zwischen einem Richter und einer Partei bei objektiver Betrachtung geeignet seien, den Anschein der Befangenheit des Richters zu erwecken. Indessen ist es denkbar und von der Rechtsprechung ebenso anerkannt, dass - wie hier - besondere Gegebenheiten hinsichtlich des Verhältnisses zwischen einem Richter und einem Parteivertreter die Voreingenommenheit des Ersteren begründen können (<ref-ruling> E. 5 S. 276; Urteil 1P.711/2004 vom 17. März 2005, E. 3.2, in: Pra 2005 Nr. 112 S. 791 mit weiteren Hinweisen).
5.3 Vorliegend steht die Konstellation zur Diskussion, dass ein Parteivertreter gleichzeitig - in Drittverfahren - ein Richteramt bekleidet. Es stellt sich die Frage, ob in einem solchen Fall darüber hinaus der Anspruch auf Waffengleichheit tangiert wird.
5.3.1 Die Rechtsprechung leitet aus <ref-law> und aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK das Gebot eines fairen Verfahrens ab (BGE <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 274; <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 173, je mit Hinweis). Das Gebot der Waffengleichheit bildet daraus einen Teilgehalt, der auch im Zivilprozess gilt (vgl. Urteil des EGMR i.S. Ankerl gegen Schweiz vom 23. Oktober 1996, Recueil CourEDH 1996-V S. 1553 Ziff. 38; <ref-ruling> E. 6c S. 255; <ref-ruling> E. 1 S. 219). Der Grundsatz der Waffengleichheit im Zivilprozess bedeutet namentlich, dass jeder Partei angemessene Gelegenheit geboten werden muss, ihren Fall mit Einschluss der einschlägigen Beweise zu präsentieren, und zwar zu Bedingungen, die keinen wesentlichen Nachteil gegenüber der Gegenpartei darstellen.
5.3.2 Ausgehend von diesen Grundsätzen regt Regina Kiener an, die Problematik des allfälligen Übergewichts einer Partei wegen der besonderen Stellung ihres Parteivertreters als nebenamtlicher Richter unter dem Aspekt der Waffengleichheit zu prüfen (Richterliche Unabhängigkeit [im Folgenden: Unabhängigkeit], Bern 2001, S. 134; Kiener, Anwalt oder Richter? [im Folgenden: Anwalt] in: Festschrift 100 Jahre Aargauischer Anwaltsverband, Zürich 2005, S. 3 ff., 20). Im vorliegenden Fall haben beide Parteien ihren Rechtsvertreter selbst ausgewählt. Es steht ihnen frei, unter den zugelassenen Rechtsanwälten denjenigen zu mandatieren, der ihnen am besten geeignet erscheint, um ihre Interessen wirksam zu verfolgen. Im kantonalen Verfahren hat der Beschwerdeführer in allgemeiner Weise auf die Gefahr der Einschüchterung hingewiesen, die bei einem Anwalt aufkommen könnte, wenn er einem als Parteivertreter auftretenden nebenamtlichen Kassationsrichter gegenüber steht. Der Beschwerdeführer hat aber nicht behauptet, diese Gefahr sei auch in seinem konkreten Fall gegeben. Im Gegenteil hat sein Anwalt das vorliegende Ausstandsbegehren durchaus selbstbewusst vorgetragen. Vor diesem Hintergrund besteht hier kein Anlass, die Ausstandsfrage verfassungsrechtlich zusätzlich unter dem Gesichtswinkel der Waffengleichheit zu überprüfen.
5.4 Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law>. Dabei geht es ihm nicht um die Chancengleichheit der Parteien in seinem Zivilprozess; vielmehr wendet er sich gegen eine angebliche Privilegierung der Kassationsrichter gegenüber anderen Richtern durch die Regelung der anwaltlichen Nebentätigkeit in § 3 Abs. 2 GVG/ZH. Die Frage der rechtsgleichen Behandlung verschiedener Richterkategorien in diesem Punkt berührt den Beschwerdeführer jedoch nicht in eigenen rechtlich geschützten Interessen (Art. 88 OG). Er macht bloss allgemeine öffentliche Interessen geltend; dies steht ihm im Rahmen der staatsrechtlichen Beschwerde nicht zu.
5.5 Inwiefern es gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstossen soll, dass dem Ausstandsbegehren nicht stattgegeben wurde, führt der Beschwerdeführer nicht im Einzelnen aus. Auf die Willkürrüge ist somit nicht einzutreten (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
5.6 Zusammengefasst: Ob die vom Beschwerdeführer abgelehnte, erstinstanzliche Richterin wegen des Auftretens des Gegenanwalts in dem bei ihr hängigen Zivilprozess als befangen erscheint, ist vorliegend lediglich im Licht von <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu beurteilen. Dabei ist vorfrageweise § 3 Abs. 2 Ziff. 3 GVG/ZH auf die Vereinbarkeit mit dieser Verfassungs- bzw. Konventionsgarantie zu untersuchen. Die Vorfrage beschränkt sich aber auf die konkret beanstandete Anwaltstätigkeit von Mitgliedern des Kassationsgerichts vor einem unteren Gericht. Nicht überprüft werden kann hier die Zulässigkeit der anwaltlichen Nebentätigkeit von anderen Richterkategorien.
6. 6.1 Der angefochtene Entscheid enthält Hinweise auf die Materialien zu § 3 Abs. 2 GVG/ZH. Daraus lässt sich entnehmen, dass der kantonale Gesetzgeber den Mitgliedern des Kassationsgerichts bewusst erlauben wollte, als Anwälte vor unteren Gerichten im gleichen Sachgebiet - Obergericht und Bezirksgerichte - aufzutreten. Diese gesetzgeberische Absicht kann freilich für sich allein keine Rolle spielen im Hinblick auf die Verfassungsmässigkeit von § 3 Abs. 2 Ziff. 3 GVG/ZH. Ergibt sich ein Ausstandsgrund nicht aus der besonderen Konstellation im Einzelfall, sondern aus der vom Kanton gewählten Gerichtsorganisation, so erweist sich diese als verfassungswidrig (<ref-ruling> E. 3a S. 122 mit Hinweis). Der fraglichen Norm kann die Anwendbarkeit aber nur dann versagt werden, wenn sie sich jeglicher verfassungs- und völkerrechtskonformen Auslegung entzieht (<ref-ruling>, nicht veröffentlichte E. 1.2).
6.2 <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sind verletzt, wenn bei einem Richter - objektiv betrachtet - Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 3.4 S. 116 mit Hinweisen). Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken (<ref-ruling> E. 1.1 S. 25 mit Hinweisen). Mit anderen Worten muss gewährleistet sein, dass der Prozess aus Sicht aller Beteiligten als offen erscheint.
6.3 Vorliegend steht zur Diskussion, ob die abgelehnte Richterin wegen der kantonalen Gerichtsorganisation den Anschein der Parteilichkeit erwecke. Es geht um die Befürchtung, diese Richterin lasse sich übermässig vom Rechtsvertreter der Gegenpartei - aufgrund seines Prestiges als ranghoher kantonaler Richter - beeinflussen. Nach dem Beschwerdeführer ist zu bedenken, dass der Gegenanwalt als Kassationsrichter in Drittverfahren über Entscheide der abgelehnten Richterin urteile.
Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, das bisherige Verhalten der Richterin lasse an ihrer Neutralität zweifeln. Auch ist deren Unabhängigkeit in ihrer rechtsprechenden Tätigkeit gesetzlich gewährleistet (§ 104 GVG/ZH). Insbesondere übt das Kassationsgericht keine administrative Aufsichtstätigkeit über Obergericht und Bezirksgerichte aus; ebenso wenig besitzt es Kompetenzen hinsichtlich der Besoldung oder Beförderung von Ober- und Bezirksrichtern. Die diesbezüglichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid werden vom Beschwerdeführer nicht bestritten.
Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, das bisherige Verhalten der Richterin lasse an ihrer Neutralität zweifeln. Auch ist deren Unabhängigkeit in ihrer rechtsprechenden Tätigkeit gesetzlich gewährleistet (§ 104 GVG/ZH). Insbesondere übt das Kassationsgericht keine administrative Aufsichtstätigkeit über Obergericht und Bezirksgerichte aus; ebenso wenig besitzt es Kompetenzen hinsichtlich der Besoldung oder Beförderung von Ober- und Bezirksrichtern. Die diesbezüglichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid werden vom Beschwerdeführer nicht bestritten.
6.4 6.4.1 Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) hat im Urteil i.S. Steck-Risch u.a. gegen Liechtenstein vom 19. Mai 2005 (Nr. 63151/00), überprüft, ob ein nebenamtlicher Richter deswegen als parteilich erscheine, weil er gleichzeitig als Anwalt zusammen mit einem vorinstanzlichen Richter eine Bürogemeinschaft betreibt. Der Gerichtshof verneinte die Frage. Für ihn war einerseits wesentlich, dass der Richter im Verhältnis zu den Parteien keine Doppelfunktion ausübte (Urteil Steck-Risch, a.a.O., Ziff. 44); anderseits bestand im Rahmen der betreffenden Anwaltsgemeinschaft weder eine finanzielle Abhängigkeit noch eine enge Freundschaft (a.a.O., Ziff. 46 ff.). Auch in anderen Entscheiden zur Parteilichkeit nebenamtlicher Richter stellte der EGMR die Frage einer Rollenvermischung im Einzelfall (dualité de fonctions, dual role) in den Vordergrund seiner Überlegungen (vgl. Urteile i.S. Wettstein gegen Schweiz vom 21. Dezember 2000, Recueil CourEDH 2000-XII S. 403 Ziff. 44 ff.; Pescador Valero gegen Spanien vom 17. Juni 2003, Recueil CourEDH 2003-VII S. 103 Ziff. 23 ff.; Puolitaival u.a. gegen Finnland vom 23. November 2004, Nr. 54857/00, Ziff. 44 ff.; Mežnaric gegen Kroatien vom 15. Juli 2005, Nr. 71615/01, Ziff. 31 ff.).
6.4.2 Das Bundesgericht hat die Gefahr der Befangenheit bei hauptberuflich als Anwalt tätigen Richtern bis zu einem gewissen Grad als systemimmanent bezeichnet (<ref-ruling> E. 3b S. 124). In seiner bisherigen Rechtsprechung hat es aber den Umstand, dass das Mitglied eines Gerichts gleichzeitig als Anwalt tätig ist und in anderen Verfahren vor demselben Gericht als Anwalt auftritt, nicht in allgemeiner Weise als hinreichenden Ausstandsgrund anerkannt (<ref-ruling> E. 2a S. 85). Immerhin hat das Bundesgericht es in einem jüngeren, den Kanton Aargau betreffenden Fall - aus Sicht der Wirtschaftsfreiheit - als verhältnismässig erachtet, dass einer teilzeitlich beschäftigten Gerichtsschreiberin an einem Bezirksgericht die Anwaltstätigkeit nur ausserhalb des Zuständigkeitsbereichs dieses Gerichts gestattet wird (Urteil 2P.301/2005 vom 23. Juni 2006, E. 5.6, in: ZBl 107/2006 S. 586).
6.4.3 Eine Ausstandspflicht kann gegeben sein, wenn das Richteramt - ausserhalb paritätisch besetzter Spezialgerichte (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 237 f.) - von eigentlichen Interessen- bzw. Branchenvertretern ausgeübt wird (vgl. Urteil des EVG U 326/05 vom 26. Mai 2006, E. 1.6 mit Hinweisen, und Urteil 4P.261/2000 vom 26. Februar 2001, E. 3b/bb). Die Ausstandsfrage stellt sich ferner, wenn ein Richter in einem parallelen Verfahren ohne Bezug zu den Parteien eine Drittperson vertritt, welche die gleichen Interessen wie die Gegenpartei des Beschwerdeführers verfolgt. Es soll vermieden werden, dass der Richter in einer Weise über eine Streitfrage entscheidet, die seine anwaltliche Stellung im Parallelverfahren verbessern kann (vgl. <ref-ruling> E. 3d S. 87 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 126). Nach den beiden soeben genannten Urteilen muss der Richter in derartigen Fällen in den Ausstand treten, wenn er Streitfragen zu beurteilen hätte, die noch nicht präjudiziell entschieden sind. Das Bundesgericht erwog, es sei realitätsfremd anzunehmen, ein Anwalt vermöge, sobald er als Richter fungiere, von den Konsequenzen zu abstrahieren, die beispielsweise die Auslegung einer prozessualen Vorschrift für seine Arbeit als beruflicher Prozessvertreter und für die Position seiner Klienten (in parallel laufenden Verfahren) haben könnte (<ref-ruling> E. 3b S. 124 f.).
6.4.4 Die vorstehend dargelegten Grundsätze betreffen die Ausstandspflicht von nebenamtlichen Richtern wegen ihrer eigenen Anwaltstätigkeit. Zur Frage, ob ein hauptberuflicher Richter gegenüber einem Anwalt, der am gleichen Gericht nebenamtlich als Richter wirkt, befangen ist, bestehen nur vereinzelte Entscheide. Das Bundesgericht hat eine Parteilichkeit des Berufsrichters gegenüber einem derartigen Anwalt einzig wegen ihrer anderweitigen Zusammenarbeit am Gericht in Drittverfahren verneint (Urteil 1P.76/1998 vom 17. März 1998, E. 2, in: ZBl 100/1999 S. 136). Die Möglichkeit kollegialer Gefühle erweckt in der Regel noch nicht den Anschein der Befangenheit (vgl. <ref-ruling> E. 1d S. 304). Die vorliegende Konstellation hat eine gewisse Ähnlichkeit mit den letztgenannten Entscheiden. Hinzu kommt hier der Umstand, dass der Anwalt in Drittverfahren nicht am gleichen Gericht, sondern in einer Rechtsmittelinstanz richterlich tätig ist.
6.4.4 Die vorstehend dargelegten Grundsätze betreffen die Ausstandspflicht von nebenamtlichen Richtern wegen ihrer eigenen Anwaltstätigkeit. Zur Frage, ob ein hauptberuflicher Richter gegenüber einem Anwalt, der am gleichen Gericht nebenamtlich als Richter wirkt, befangen ist, bestehen nur vereinzelte Entscheide. Das Bundesgericht hat eine Parteilichkeit des Berufsrichters gegenüber einem derartigen Anwalt einzig wegen ihrer anderweitigen Zusammenarbeit am Gericht in Drittverfahren verneint (Urteil 1P.76/1998 vom 17. März 1998, E. 2, in: ZBl 100/1999 S. 136). Die Möglichkeit kollegialer Gefühle erweckt in der Regel noch nicht den Anschein der Befangenheit (vgl. <ref-ruling> E. 1d S. 304). Die vorliegende Konstellation hat eine gewisse Ähnlichkeit mit den letztgenannten Entscheiden. Hinzu kommt hier der Umstand, dass der Anwalt in Drittverfahren nicht am gleichen Gericht, sondern in einer Rechtsmittelinstanz richterlich tätig ist.
6.5 6.5.1 Im Zivilprozess des Beschwerdeführers hat der Gegenanwalt einzig eine Parteirolle inne und kann keine richterlichen Funktionen ausüben. Insbesondere ist er bei einem Weiterzug der Sache an das Kassationsgericht als Richter ausgeschlossen (§ 95 Abs. 1 Ziff. 3 GVG/ZH; Robert Hauser/Erhard Schweri, Kommentar zum zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz, Zürich 2002, Rz. 37 zu § 95 GVG/ZH). Ebenso muss er in seiner Eigenschaft als Kassationsrichter in Drittverfahren im gleichen Rechtsgebiet in den Ausstand treten, falls er dort an einem Präjudiz über sachverwandte Streitfragen mitwirken würde (vgl. E. 6.4.3). Aus diesen Gründen lässt sich annehmen, dass die unterinstanzlichen Zürcher Gerichte im einzelnen Prozess klar zwischen der Stellung des vor ihnen auftretenden Anwalts als einseitiger Parteivertreter und dessen richterlicher Tätigkeit am Kassationsgericht in Drittverfahren trennen können.
6.5.2 Nach dem Beschwerdeführer besitzt der umstrittene Gegenanwalt bei der abgelehnten Richterin unabhängig davon eine besondere Autorität, weil er in seinem Nebenamt als Kassationsrichter - in anderen Drittverfahren - Entscheide von ihr überprüft. Im Richteramt des letzteren ist jedoch eine ausstandsrelevante Rollenvermischung mit seiner Anwaltstätigkeit ausgeschlossen (vgl. E. 6.4.3). Bei dieser Sachlage sind die Bedenken, dass ein unterinstanzlicher Richter gegenüber einem Anwalt wegen dessen oberinstanzlichen Richteramts innerlich nicht mehr frei sei (so Kiener, Anwalt, S. 17), nicht angebracht. Einerseits zieht der unterinstanzliche Richter keinen persönlichen Vorteil daraus, dass seine Entscheide von der Rechtsmittelinstanz geschützt werden. Anderseits wird seine Stellung ebenso wenig dadurch erschüttert, dass ein Rechtsmittelentscheid anders ausfällt als sein eigener Entscheid (vgl. Urteil Steck-Risch, a.a.O., Rz. 47).
6.6 Damit geht die Beziehung eines unterinstanzlichen Richters zu einem Anwalt, der gleichzeitig Mitglied einer Rechtsmittelinstanz ist, im Allgemeinen nicht wesentlich über die Kollegialität unter Mitgliedern desselben Gerichts hinaus.
6.6.1 Verschiedene Autoren betrachten freilich die Unparteilichkeit von Richtern in Verfahren, in denen nebenamtliche Mitglieder desselben Gerichts als Anwälte beteiligt sind, ebenfalls kritisch. Die berufliche Beziehung zwischen dem als Anwalt auftretenden Richter und seinen mit der Sache befassten Richterkollegen gehe über die üblichen sozialen Bindungen hinaus (Kiener, Anwalt, S. 17; vgl. auch Kiener, Unabhängigkeit, S. 133; Patrick Sutter, Der Anwalt als Richter, die Richterin als Anwältin, in: AJP 2006, S. 30 ff., 37; Jörg Paul Müller/ Markus Schefer, Grundrechte in der Schweiz, 3. Aufl. mit Ergänzungsband, Bern 1999/2005, S. 577 f.; Alfred Kölz, in: Kommentar aBV, Rz. 20 zu Art. 58 aBV).
6.6.2 Dieser Kritik kann nicht jede Berechtigung abgesprochen werden. Für Rechtsuchende, die nur punktuell an ein Gericht gelangen, ist es schwierig abzuschätzen, ob aufgrund der langjährigen Zusammenarbeit der Gerichtsmitglieder die Gefahr einer sachfremden Solidarisierung besteht. Eine derartige Befürchtung kann selbst durch eine Regelung nicht gänzlich ausgeräumt werden, wonach ein nebenamtlicher Richter das Anwaltsmandat - wie nach § 3 Abs. 2 GVG/ZH - nicht vor "seinem" Gericht, sondern nur vor unteren Instanzen ausüben darf. Seine persönliche Verknüpfung mit dem Fall bleibt aus den Akten ersichtlich. Wenn er berechtigt ist, einen Fall - wie im Kanton Zürich - über zwei untere Instanzen hinweg zu vertreten, kann er in dieser Funktion einen prägenden Einfluss im Prozess ausüben.
6.6.3 Die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung hat eine Ausstandspflicht in derartigen Fällen verneint (vgl. E. 6.4.4). Sie gründet auf der Überlegung, dass die Mitglieder eines Kollegialgerichts in ihrer Stellung voneinander unabhängig sind (vgl. zu diesem Argument in etwas anderem Zusammenhang auch <ref-ruling> E. 2.1.2.2 S. 35 f.). Der pauschale Vorwurf, ein als Anwalt auftretendes Gerichtsmitglied besitze bei seinen Kollegen regelmässig erhöhte Autorität bzw. einen "Insider"-Vorteil, vermag die genannte Praxis nicht umzustossen. Die Gerichtsmitglieder sind persönlich - und nicht etwa als Team - dem Recht verpflichtet. Die individualistische Grundstruktur der Kollegialgerichte findet ihren sichtbaren Ausdruck in der öffentlichen Urteilsberatung. Eine solche ist in § 135 Abs. 1 GVG/ZH auch am Zürcher Kassationsgericht vorgesehen; in der Praxis kommt sie aber nur in beschränktem Umfang zum Tragen (vgl. Hauser/Schweri, a.a.O., Rz. 14 zu § 135 GVG/ZH; Richard Frank/Hans Streuli/Georg Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., Zürich 1997, Anhang II, Rz. 7 zu § 135 GVG/ZH). Auf den Anteil der Gerichtsentscheide, die einstimmig bzw. nicht erkennbar als Mehrheitsentscheid gefällt werden, kann es indessen im vorliegenden Zusammenhang nicht ankommen. Wesentlich ist die grosszügige Veröffentlichung der Rechtsprechungsgrundsätze - nicht zuletzt im Internet -, wie sie gerade beim Zürcher Kassationsgericht gehandhabt wird. Diese Publikationen vermitteln allen fachkundigen Interessierten eine rasche und differenzierte Orientierung über die Gerichtspraxis. Eine derartige Transparenz wirkt einerseits der grundsätzlichen Gefahr eines verpönten Insiderwissens bezüglich der Rechtsfindung an einem Kollegialgericht entgegen; sie verwehrt es anderseits gleichzeitig dem Gericht, zugunsten eines Einzelnen von den bekannt gemachten Grundsätzen abzuweichen. Im Übrigen lässt sich auch aus der bei E. 6.4.1 dargelegten, neueren Rechtsprechung des EGMR keine generelle Ausstandspflicht für Gerichtsmitglieder ableiten, wenn ein Richterkollege vor ihren Schranken oder vor Vorinstanzen berufsmässig Dritte vertritt. Vor diesem Hintergrund ist an der bisherigen Praxis festzuhalten, wonach die blosse Kollegialität unter Gerichtsmitgliedern keine Ausstandspflicht gebietet.
6.7 Im Ergebnis erscheint die Neutralität unterinstanzlicher Richter objektiv nicht dadurch gefährdet, dass ein Parteivertreter gleichzeitig im Nebenamt Mitglied einer Rechtsmittelinstanz ist. Eine Ausstandspflicht kann jedoch gegeben sein, wenn konkrete Umstände auf mangelnde Unvoreingenommenheit des unterinstanzlichen Richters schliessen lassen. Demzufolge erweist sich § 3 Abs. 2 Ziff. 3 GVG/ZH dahingehend als verfassungs- bzw. konventionskonform, dass Bezirks- und Oberrichter nicht den Anschein der Parteilichkeit gegenüber einem Anwalt erwecken, der nebenamtlich Mitglied des Kassationsgerichts ist.
6.8 Allerdings ist daran zu erinnern, dass die Zulässigkeit der anwaltlichen Tätigkeit vor den unteren Instanzen gleichzeitig die Ausübung des Nebenamts als Kassationsrichter einschränkt. Das latente Risiko von Interessenkollisionen erschwert die Vereinbarkeit von Anwaltsberuf und kantonal höchstrichterlichem Amt. Dieses Spannungsfeld tritt umso stärker beim Präsidenten und beim Vizepräsidenten des Kassationsgerichts zutage. Die beiden Amtsträger werden vom Kantonsrat aus den Mitgliedern des Kassationsgerichts jeweils für eine sechsjährige Amtsperiode gewählt (§ 66 GVG/ZH i.V.m. § 32 des kantonalen Gesetzes über die politischen Rechte vom 1. September 2003 [LS 161]). Aus Sicht der Wahlbehörde sollen Präsident und Vizepräsident für die nötige Kontinuität in der Rechtsprechung des Kassationsgerichts sorgen (Hauser/Schweri, a.a.O., Rz. 2 zu § 66 GVG/ZH). Ob diese die ihnen zugedachte Rolle tatsächlich erfüllen können, wenn sie wiederholt wegen Interessenkollisionen zu ihren Anwaltsmandaten in den Ausstand treten müssen, erscheint als fraglich, muss hier aber nicht näher erörtert werden. Bei dieser Sachlage wird es immerhin nachvollziehbar, dass der Vizepräsident des Kassationsgerichts im angefochtenen Entscheid mit einem Ersatzrichter an einer oberen Instanz verglichen wird, der nur gelegentlich zum Einsatz kommt.
6.9 Ausserhalb der vorfrageweisen Überprüfung von § 3 Abs. 2 GVG/ZH macht der Beschwerdeführer nicht geltend, der Zivilprozess vor der abgelehnten erstinstanzlichen Richterin sei wegen des Auftretens des Rechtsvertreters der Gegenpartei nicht mehr offen (vgl. E. 6.3).
7. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 156 Abs. 1 OG). Da Y._ im bundesgerichtlichen Verfahren auf eine Vernehmlassung verzichtet hat, steht ihr keine Parteientschädigung zu.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Bezirksrichterin A._, Y._, dem Obergericht, Verwaltungskommission, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Dezember 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: