Erwägungen:
1. Gestützt auf die vom Beschwerdeführer überbrachte Weisung vom 23. April 2008 und das Begleitschreiben vom 30. April 2008 verfügte der Einzelrichter für Zivil- und Strafsachen des Bezirks Zürich die Anordnung des Schriftverfahrens für die Klagebegründung und setzte dem Beschwerdeführer entsprechend Frist an. Des weiteren wurde der Beschwerdeführer verhalten, sich innert Frist über die Frage der Kautionspflicht zu äussern. Dagegen gelangte der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Zürich, welches auf den Rekurs mit Beschluss vom 10. Juni 2008 nicht eintrat und dem Beschwerdeführer neue Fristen zur Vornahme der vorgenannten Prozesshandlungen setzte. Der Beschwerdeführer hat gegen diesen Beschluss Beschwerde in Zivilsachen erhoben, mit der er im Wesentlichen die Aufhebung des Beschlusses verlangt.
2. Auf die Beschwerde ist von vornherein nicht einzutreten, soweit sie sich nicht gegen den Beschluss des Obergerichts vom 10. Juni 2008 richtet, stellt doch nur dieser Anfechtungsobjekt der Beschwerde dar (<ref-law>).
3. 3.1 Das Obergericht hat erwogen, prozessleitende Entscheide könnten nur mit Rekurs angefochten werden, wenn damit die Unzuständigkeitseinrede verworfen, die unentgeltliche Prozessführung verweigert, ein Verfahren eingestellt oder eine Anordnung nach <ref-law>/ZH getroffen werde, oder wenn diese Entscheide Prozess- bzw. Arrestkautionen bzw. vorsorgliche Massnahmen betreffen (<ref-law>). Keine der aufgezählten Fälle sei Gegenstand der angefochtenen Zwischenverfügung, insbesondere sei keine Prozesskaution auferlegt worden.
3.2 Die Beschwerde nach <ref-law> hat nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten wird. In der Beschwerdeschrift ist m.a.W. (entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen des Art. 55 Abs. 1 lit. c OG: Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001, S. 4207 ff., Ziff. 4.1.2.4 zu Art. 39 Entwurf, S. 4294) auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen, welche Vorschriften (Botschaft, a.a.O., Ziff. 2.2.4, S. 4232) und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 3 S. 749). Auch Verfassungsrügen sind in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>). Dabei ist in der Beschwerdeschrift (entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen des Art. 90 Abs. 1 lit. b OG: Botschaft, a.a.O., Ziff. 4.1.2.4 zu Art. 39 Entwurf, S. 4294) klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261f.).
3.3 Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Eingabe nicht den genannten Anforderungen entsprechend mit den Erwägungen des angefochtenen Beschlusses auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern der Beschluss Bundesrecht verletzt. Er begnügt sich vielmehr im Wesentlichen damit, eine Reihe von Gesetzes- und Konventionsbestimmungen zu zitieren, auf den self-executing-Charakter der EMRK und auf ein Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte in eigener Sache hinzuweisen.
4. Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG) durch den Präsidenten der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (<ref-law>) nicht einzutreten.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juli 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Zbinden