Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Einspracheentscheid vom 8. April 2004 lehnte die IV-Stelle des Kantons Zürich den Antrag der A._ (geb. 1961) ab, es sei ihr eine Invalidenrente auszurichten. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und das Eidg. Versicherungsgericht bestätigten diesen Entscheid (Urteile vom 9. November 2004 und 10. Juli 2006 [I 807/04]).
A.b. Am 7. September 2006 meldete sich A._ erneut zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle nahm einen Invaliditätsgrad von 35 Prozent an und verneinte den Rentenanspruch (Verfügung vom 12. Februar 2009), ebenso denjenigen auf Hilflosenentschädigung resp. lebenspraktische Begleitung (Verfügung vom 10. März 2009). Dagegen erhob die Versicherte jeweils Beschwerde beim kantonalen Gericht. Dieses schrieb das Verfahren betreffend lebenspraktische Begleitung infolge Rückzugs der Beschwerde ab (Verfügung vom 8. Februar 2010). Mit Entscheid vom 24. August 2010 hob das kantonale Gericht die Verfügung betreffend Invalidenrente vom 12. Februar 2009 auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit diese den Sachverhalt weiter abkläre (polydisziplinäre Begutachtung) und sodann über den Rentenanspruch neu befinde.
Die IV-Stelle holte bei der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) D._ ein Gutachten ein. Unter anderem gestützt auf die MEDAS-Expertise vom 22. Februar 2011 ermittelte die Verwaltung einen Invaliditätsgrad von 24 Prozent und verneinte demgemäss den Rentenanspruch (Verfügung vom 21. Mai 2013).
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 28. November 2013).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr mit Wirkung ab September 2006 eine ganze Invalidenrente auszurichten. Eventuell sei die Sache zur Durchführung einer mündlichen und öffentlichen Verhandlung sowie zur Einholung eines interdisziplinären gerichtlichen Obergutachtens an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Ausserdem stellt sie den Antrag, die IV-Stelle habe sie für die Kosten eines Gutachtens von Dr. B._ von Fr. 5'390.- (zuzüglich MWSt) zu entschädigen.
Die IV-Stelle verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das kantonale Gericht nimmt Stellung zur Frage, ob eine öffentliche Verhandlung durchzuführen sei.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin rügt, das kantonale Gericht habe ihren Antrag, es sei unter Beizug eines Dolmetschers eine mündliche Verhandlung durchzuführen, nicht behandelt. Die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung (Art. 6 Ziff. 1 EMRK; <ref-ruling> E. 2.2 S. 18; <ref-ruling> E. 3b S. 7) setzt voraus, dass der entsprechende Parteiantrag wenigstens minimal begründet wurde (<ref-ruling> E. 3a und b S. 55 f.). Eine solche Begründung fehlte in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift. Laut letztinstanzlicher Beschwerdeschrift bezweckte der Antrag, dass "sich das Gericht [...] ein eigenes Bild der Beschwerdeführerin und ihrer Krankheiten, möglicherweise auch der wegleitenden Anfallproblematik" machen sollte. Insoweit strebte die Beschwerdeführerin die öffentliche Verhandlung im Hinblick auf eine Beweisabnahme an. Der Öffentlichkeitsgrundsatz beinhaltet indes keinen Anspruch darauf, dass bestimmte Beweismittel öffentlich und in Anwesenheit der Parteien abgenommen werden (vgl. Urteil 9C_559/2007 vom 17. Dezember 2007 E. 1.2 und 1.3 mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, das Gutachten der MEDAS sei formell nicht regulär zustandegekommen.
2.1. Sie erneuert die Verfahrensrüge, das Gutachten der MEDAS sei unverwertbar, weil die Namen der vorgesehenen Sachverständigen nur ihr selber, nicht aber ihrem Rechtsvertreter, mitgeteilt wurden (vgl. Art. 37 Abs. 3 und Art. 44 ATSG). Dazu hat das kantonale Gericht zutreffend festgehalten, dass dies die Versicherte nicht benachteiligte (E. 4.5.1 des angefochtenen Entscheids). Denn sie hat im weiteren Verlauf des Verfahrens nie Ablehnungsgründe gegen die betreffenden Gutachterpersonen genannt (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2.7 S. 256; ferner <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 277). Damit hat sie auch nicht begründet, weshalb ihr durch das Versehen der IV-Stelle ein Nachteil im Sinne von <ref-law> entstanden sei. Nicht stichhaltig ist das Argument, die in der vorinstanzlichen Beschwerde enthaltene Kritik an der MEDAS-Expertise betreffe nicht nur die Beweiswürdigung, sondern auch die fachliche Qualifikation der eingesetzten Gutachter: Die betreffenden Rügen beziehen sich auf den Inhalt des Gutachtens und nicht auf (schon im Zeitpunkt der Auftragserteilung absehbare) allfällige fachliche Mängel der Gutachter.
2.2. Weiter bringt die Beschwerdeführerin vor, sie habe keine Gelegenheit zu Ergänzungsfragen erhalten, als die IV-Stelle die MEDAS aufforderte, zum Privatgutachten (und weiteren nachgereichten Arztberichten) Stellung zu nehmen (Schreiben der IV-Stelle an die MEDAS vom 27. Dezember 2011; Stellungnahme der MEDAS vom 24. Januar 2012). Dazu ist mit der Vorinstanz (E. 4.5.3) festzuhalten, dass die von der IV-Stelle formulierten Gutachterfragen die von der Versicherten hervorgehobenen Punkte in der Expertise des Dr. C._ aufnehmen (vgl. Eingabe der Beschwerdeführerin vom 3. Juni 2011). In dieser Situation war eine weitergehende Verfahrensteilnahme der Beschwerdeführerin nicht erforderlich.
3.
3.1. In der Sache ist in diesem Fall einer Neuanmeldung nach vorgängiger Ablehnung eines Rentenanspruchs (<ref-law>) strittig, ob sich der Sachverhalt in der Zeit zwischen dem (letztinstanzlich vom Bundesgericht bestätigten) Einspracheentscheid vom 8. April 2004 und der jetzt strittigen Verfügung vom 21. Mai 2013 anspruchserheblich verändert hat.
3.2.
3.2.1. Die IV-Stelle stellte auf das von ihr eingeholte Gutachten der MEDAS vom 22. Februar 2011/24. Januar 2012 ab. Danach besteht eine leichte depressive Episode, eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung, ein chronisches panvertebrales Schmerzsyndrom ohne radikuläre Symptomatik sowie eine Beeinträchtigung der linken Schulter. Aufgrund dieser Diagnosen sei die Arbeitsfähigkeit sowohl in der angestammten Arbeit einer Raumpflegerin wie auch in anderen leichten bis mittelschweren wechselbelastenden Tätigkeiten zu 30 Prozent eingeschränkt.
Neben dem Administrativgutachten der MEDAS liegen unter anderem zwei psychiatrische Gutachten (des Dr. B._ vom 31. August 2012 sowie des Dr. C._ vom 22. Dezember 2009) vor, die im Auftrag der Beschwerdeführerin erstellt worden sind. Laut diesen beiden Parteigutachten besteht, nebst anderen psychischen Störungen, eine schwergradige depressive Episode und eine vollständige Arbeitsunfähigkeit.
3.2.2. Die Vorinstanz hielt fest, es seien keine entscheidungserheblichen Gesichtspunkte ersichtlich, die in der psychiatrischen Teilbegutachtung durch die MEDAS nicht erkannt worden wären. Die im Privatgutachten des Dr. C._ (2009) genannten Befunde entsprächen im Wesentlichen bloss den von der Beschwerdeführerin geklagten subjektiven Beschwerden (E. 4.4.1 des angefochtenen Entscheids). Dasselbe gelte für die Expertise des Dr. B._ (2012); auch dieser Gutachter begründe seine vom MEDAS-Gutachten abweichenden Schlussfolgerungen mit den Angaben der Beschwerdeführerin. Im Gegensatz zum psychiatrischen MEDAS-Teilgutachter setze er sich nicht kritisch mit der Divergenz von Befunden und geschilderten Beschwerden auseinander. Ferner deckten sich seine Erkenntnisse im Wesentlichen mit denjenigen von Dr. C._, welche das MEDAS-Gutachten ebensowenig in Zweifel zu ziehen vermöchten (E. 4.4.2).
Das kantonale Gericht schloss, in der Zeit seit Juli 2008 sei die Beschwerdeführerin in dem administrativgutachtlich umschriebenen Ausmass leistungseingeschränkt gewesen. Damit habe sich der Gesundheitszustand im Vergleich mit dem leistungsablehnenden Einspracheentscheid vom 8. April 2004 zwar verschlechtert (E. 4.6 des angefochtenen Entscheids), dies jedoch nicht in anspruchserheblichem Umfang. Nach wie vor bestehe kein rentenbegründender Invaliditätsgrad (E. 5).
3.2.3. Die Beschwerdeführerin macht willkürliche Beweiswürdigung geltend. Mit Blick auf Mängel der MEDAS-Expertise sowie auf den Beweiswert der widersprechenden Gutachten sei es nicht zu rechtfertigen, jener den Beweisvorrang zuzuweisen.
4.
Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte (<ref-law>), indem sie dem Administrativgutachten massgebenden Beweiswert zuerkannte.
4.1. Von MEDAS erstellte Administrativgutachten sind voll beweiswertig, sofern nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 353; vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 236). Solche Indizien können sich aus dem Gutachten selber ergeben (z.B. innere Widersprüche, mangelnde Nachvollziehbarkeit) oder auch aus Unvereinbarkeiten mit anderen ärztlichen Stellungnahmen.
Nach einer weiteren Beweiswürdigungsrichtlinie rechtfertigt der Umstand allein, dass eine ärztliche Stellungnahme von einer Partei eingeholt und in das Verfahren eingebracht wird, nicht Zweifel an ihrem Beweiswert (<ref-ruling> E. 3b/dd S. 353). Auch ein Parteigutachten enthält Äusserungen eines Sachverständigen, welche zur Feststellung eines medizinischen Sachverhalts beweismässig beitragen können. Daraus folgt indessen nicht, dass ein solches Gutachten den gleichen Rang wie ein vom Gericht oder vom Versicherungsträger nach geltendem Verfahrensrecht eingeholtes Gutachten besitzt. Es verpflichtet indessen das Gericht zu prüfen, ob das Parteigutachten die Auffassungen und Schlussfolgerungen des vom Gericht oder Versicherungsträger förmlich bestellten Gutachters in rechtserheblichen Fragen derart zu erschüttern vermag, dass darauf nicht mehr abgestellt werden kann (<ref-ruling> E. 3c S. 354; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 128/98 vom 24. Januar 2000 E. 3c, SVR 2001 IV Nr. 8 S. 19). Das Gericht ist somit angehalten, entscheiderhebliche Beweise tatsächlich zu würdigen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 468 mit Hinweisen).
4.2. Die vorinstanzliche Würdigung des MEDAS-Gutachtens beschränkt sich im Wesentlichen auf eine bejahende Wiedergabe der Beweiswertkriterien (E. 4.2 des angefochtenen Entscheids). Derweil ist die Auseinandersetzung mit den Parteigutachten - soweit überhaupt inhaltsbezogen - teilweise aktenwidrig: So leitet Dr. B._ die Diagnose einer schweren depressiven Episode keineswegs nur aus den Angaben der Beschwerdeführerin ab. Vielmehr greift er für die Feststellung, die von der ICD geforderten Kriterien einer schweren depressiven Episode seien erfüllt, (auch) auf die konkreten krankengeschichtlichen Daten aus einer seit Frühjahr 2004 andauernden psychiatrischen Behandlung zurück (Gutachten S. 24). Insbesondere verweist Dr. B._ auf die von Dr. C._ im Jahr 2009 erhobenen Befunde; dieser wiederum nannte verschiedene anamnestische Quellen für seine Bestandesaufnahme von depressiven Symptomen (Gutachten des Dr. C._ vom 22. Dezember 2009, S. 25 f.) und trennte die Angaben der Explorandin (S. 9 ff.) klar von den eigenen Befunden (S. 17 ff.). Es kann also nicht die Rede davon sein, die Privatgutachter hätten subjektiv Geklagtes einfach tel quel, ohne Bewertung aus sachverständiger Sicht aufgenommen.
Insoweit die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen lückenhaft sind, kann das Bundesgericht sie selbst ergänzen und die Beweismittel entsprechend frei würdigen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 366) :
4.3. Im psychiatrischen Teilgutachten der MEDAS fällt zunächst auf, dass die psychopathologischen Befunde (S. 16) nur punktuell, nicht aber systematisch auf die in ICD-10 (vgl. <ref-ruling>) vorgegebenen Kriterien einer Depression bezogen sind. Dies allein stellt noch keinen Mangel dar. Indessen muss der Eindruck des Gutachters, es liege eine nur leichte depressive Episode vor, zwingend auch vor den übrigen ärztlichen Einschätzungen bestehen. Ob dies der Fall ist, geht aus der psychiatrischen Beurteilung (S. 17 f.) nicht hervor. Der folgende Abschnitt "Stellungnahme zu früheren psychiatrischen Einschätzungen" ist an sich von grösster Bedeutung für ein Gutachten, das sich gegenüber anderslautenden Einschätzungen beweisrechtlich durchsetzen will. Der Teilgutachter zitiert dort jedoch bloss einige frühere ärztliche Stellungnahmen, bevor er wieder zu einer isolierten Eigenbeurteilung übergeht. Die sich im Aktenauszug andeutende kontinuierliche Entwicklung des psychischen Leidens bleibt unkommentiert, die wesentlichen Vorakten werden nicht in diese Entwicklung eingeordnet.
Bei der konsensualen Einschätzung der (auf 70 Prozent festgesetzten) Arbeitsfähigkeit betonen die Sachverständigen, die Explorandin zeige aufgrund einer ausgeprägten subjektiven Krankheitsüberzeugung wenig Motivation, trotz allfälliger Restbeschwerden sich aktiv um ihre Genesung zu bemühen (S. 27 und S. 28 Ziff. 6.5). Offen beibt dabei die für den Rechtsanwender zentrale Frage, ob die "subjektive Krankheitsüberzeugung" bewusstseinsnah ist - und damit von der Beschwerdeführerin auch geändert werden könnte - oder aber ob es sich dabei gerade um einen (für sie unbeeinflussbaren) Ausdruck der psychischen Beeinträchtigung handelt (vgl. dazu Renato Marelli, Nicht können oder nicht wollen? Beurteilung der Arbeitsfähigkeit bei somatoformen Störungen, typische Schwierigkeiten und ihre Überwindung, in: SZS 2007 S. 326 ff.). Eine rechtserhebliche Diskrepanz zwischen der gutachterlichen Beurteilung und den geklagten Beschwerden wäre an sich nur im ersteren Fall nachvollziehbar; allerdings fragte sich dann, weshalb die MEDAS-Gutachter gleichzeitig festhalten, die ausgeprägte subjektive Krankheitsüberzeugung (und die Regressionstendenzen) liessen sich durch Therapie kaum beeinflussen. Bei der Würdigung versicherungsmedizinisch entscheidender Punkte sollte der Rechtsanwender jedenfalls nicht auf solche spekulativen Überlegungen angewiesen sein.
4.4. Zusätzliche Gründe für eine beweisrechtliche Unverwertbarkeit des MEDAS-Gutachtens ergeben sich - insbesondere was Diagnose und Folgenabschätzung hinsichtlich der depressiven Störung angeht - aus den beiden Parteigutachten.
4.4.1. Dr. B._ legt auf der Grundlage des Gutachtens des Dr. C._ sowie der eigenen Untersuchung und fremdanamnestischer Erhebungen schlüssig dar, weshalb die vom kantonalen Gericht hervorgehobene grosse Divergenz zwischen den von der MEDAS festgehaltenen Befunden und den geschilderten Beschwerden aus seiner Sicht nicht besteht: Zunächst beschreibt er anhand der einschlägigen ICD-Kriterien (unter anderem ausgeprägte depressive Stimmung, verminderter Antrieb, verminderte Konzentration und Aufmerksamkeit, vermindertes Selbstwertgefühl, Hoffnungslosigkeit, Schlafstörungen, verminderter Appetit), wie er selber zur Diagnose einer schwergradigen depressiven Episode ohne psychotische Symptome kommt. Mit einer Ausnahme (Selbstverletzungen) seien sämtliche geforderten Kriterien erfüllt (S. 23 f.). Dies gehe auch aus zahlreichen Berichten der behandelnden Psychiater und des langjährigen Hausarztes hervor. Anschliessend zeigt der Parteigutachter detailliert auf, was auf eine unvollständige und unsorgfältige Untersuchung der MEDAS hindeute (Abklärung verschiedener im Raum stehender Symptome nicht zu Ende geführt, fehlender Abgleich der Beschwerdeangaben mit früheren Berichten und Gutachten, Unvereinbarkeit dokumentierter Beobachtungen mit depressionsspezifischen Befunden, gänzlich fehlende Behandlung bestimmter Parameter, Widerspruch zwischen der angeblichen Einschätzung eines behandelnden Arztes mit dem betreffenden Gesprächsprotokoll). Des Weitern weist er darauf hin, einschlägige ICD-Kriterien seien im Administrativgutachten unvollständig zitiert und undifferenziert umgesetzt worden (S. 25 ff.). So liege gemäss ICD bei einer schweren depressiven Episode "meist erhebliche Verzweiflung oder Agitiertheit" vor, "es sei denn, Hemmung ist ein führendes Syndrom". Die MEDAS gehe unzutreffend davon aus, "erhebliche Verzweiflung und Agitiertheit" müssten vorliegen. Hier indes sei die Explorandin gerade (im Sinne des in der ICD enthaltenen Vorbehalts) psychomotorisch deutlich gehemmt, ihr Selbstwertgefühl beeinträchtigt. Ähnlich verhalte es sich mit der Aussage der MEDAS, bei einer schweren depressiven Störung bestehe immer eine ausgeprägte Suizidalität. Diese Vorgabe stehe in klarem Widerspruch zur ICD; diese halte fest, dass in besonders schweren Fällen ein hohes Suizidrisiko besteht. Das aber heisse nicht, dass ausgeprägte Suizidalität zwingend mit einer schweren depressiven Episode verbunden sei; jene müsse immer auch im Zusammenhang mit den persönlichen Wertvorstellungen gesehen werden, die etwa stark religiöse Menschen oder Mütter kleiner Kinder selbst in schwerstem depressivem Zustand von Suizidhandlungen abhielten.
4.4.2. Angesichts der Schwächen des Gutachtens des MEDAS-Gutachtens (oben E. 4.3) bedeutsam sind auch die Ausführungen des Parteigutachters zur Bedeutung der Untersuchungsdauer. Es sei durchaus möglich, dass auch eine schwer depressive Person ein kürzeres Gespräch aufmerksam verfolgen könne. Mitunter zeige sich erst bei längerer Besprechung eine erhöhte Ermüdbarkeit sowie Verminderung von Konzentration und Aufmerksamkeit. Der MEDAS-Psychiater habe die Dauer der Untersuchung nicht vermerkt. Ohne diese Angabe könne nicht beurteilt werden, ob die Feststellung, Ausdauer, Konzentration und Aufmerksamkeit seien nicht beeinträchtigt, zuverlässig oder eher spekulativer Natur sei (S. 25).
Die Vorinstanz erwog dazu, die Untersuchungsdauer sei grundsätzlich nicht entscheidend und damit auch nicht zu beanstanden, wenn die Expertise inhaltlich vollständig und im Ergebnis schlüssig sei (angefochtener Entscheid E. 4.5.2). Die Kritik der Beschwerdeführerin an der zirkelhaften Natur dieses Arguments trifft zu: So hat das Bundesgericht im Zusammenhang mit einer anderen Problemstellung erwogen, ein in sich schlüssig erscheinendes, an sich nachvollziehbar begründetes Gutachten lasse für sich allein grundsätzlich nicht erkennen, ob ein Mangel die Zuverlässigkeit der Beurteilung beeinträchtigt hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 265). Hier zeigt sich die Bedeutung der Untersuchungsdauer darin, dass Dr. B._ im Verlauf des Untersuchungsgesprächs ein abnehmendes Konzentrationsvermögen und einen Wechsel der Stimmung "zunehmend in Richtung Verzweiflung und Ratlosigkeit" feststellte (Gutachten S. 8); die Explorandin sei "anfänglich aufmerksam und beteiligt am Gespräch", was sich nach 20 bis 30 Minuten sichtbar geändert habe (S. 17); die Psychomotorik sei im Lauf der Sitzung zunehmend verlangsamt, vorsichtig und unsicher geworden (S. 18).
4.4.3. Aufschlussreich ist schliesslich, dass der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) der Invalidenversicherung zunächst davon ausgegangen war, das MEDAS-Gutachten erfülle sämtliche Beweiswertanforderungen (Stellungnahme vom 16. März 2011). Nachdem er vom Gutachten des Dr. C._ Kenntnis genommen hatte, führte der RAD jedoch aus, "dass das Gutachten und das ergänzende Schreiben inhaltlich in der Güte der Begründung und dem Eingehen auf den Einzelfall weniger zu überzeugen vermag als das Gutachten von Herrn Dr. C._, das den versicherungspsychiatrischen Sachverhalt in seinen verschiedenen Facetten plausibler darlegt" (Stellungnahme vom 6. Februar 2012).
5.
Nach dem Gesagten stellen die Parteiexpertisen, insbesondere die aktuellere aus dem Jahr 2012, die Ergebnisse der MEDAS-Begutachtung derart infrage, dass darauf nicht abgestellt werden darf (vgl. oben E. 4.1). Indes kann der strittige Leistungsanspruch auch anhand der Parteigutachten nicht abschliessend beurteilt werden; dies zumal sie keine Grundlage zu den Fragen enthalten, wie es sich mit dem Krankheitswert der dissoziativen Störung verhält - das heisst, ob sich diese im Sinne von <ref-ruling> E. 5a S. 299 von den psychosozialen Umständen verselbständigt hat - sowie, gegebenenfalls, ob sie sich gemäss der Rechtsprechung nach <ref-ruling> invalidisierend auswirkt (dazu Urteil I 9/07 vom 9. Februar 2007 E. 4 a.E., SVR 2007 IV Nr. 45 S. 149; Urteil 9C_903/2007 vom 30. April 2008 E. 3.4).
Die Sache ist daher an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es zur umfassenden (auch die somatische Seite einbeziehenden) Klärung der vorhandenen Gesundheitsschädigungen, ihrer Wechselwirkungen (Komorbiditäten) und der gesamthaft resultierenden funktionellen Folgen in Beruf und Haushalt ein interdisziplinäres gerichtliches Obergutachten (<ref-ruling> E. 4.4.1.4 S. 264) einhole und nach dessen Würdigung im Kontext mit den weiteren ärztlichen Stellungnahmen den Leistungsanspruch der Beschwerdeführerin neu beurteile.
6.
Die Kosten des Privatgutachtens von Dr. B._ sind der IV-Stelle antragsgemäss zu überbinden, wenn die Expertise für die Beurteilung des Anspruchs unerlässlich war (Art. 45 Abs. 1 und Art. 61 lit. g ATSG). Diese Voraussetzung ist hier gegeben, weil das Privatgutachten massgeblich dazu beigetragen hat, dass die Sache zur weiteren Abklärung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird. Die (in ihrer Höhe nicht bestrittenen) Kosten des Privatgutachtens stellen somit notwendige Expertenkosten dar, welche die IV-Stelle zu übernehmen hat (<ref-ruling>; Urteil 9C_178/2010 vom 14. April 2010 E. 2, SVR 2011 IV Nr. 13 S. 35; Urteil 8C_231/2013 vom 18. Juli 2013 E. 6).
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Ausserdem hat sie der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Zürich vom 28. November 2013 wird aufgehoben und die Sache zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Die IV-Stelle hat der Beschwerdeführerin für das Privatgutachten des Dr. B._ vom 31. August 2012 eine Entschädigung von Fr. 5'390.- (zuzüglich Mehrwertsteuer) zu bezahlen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der IV-Stelle des Kantons Zürich auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Oktober 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub