Faits:
A. Par décision du 27 avril 2009, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a rejeté la demande de prestations présentée par F._. En bref, il a considéré en se fondant notamment sur un rapport de la doctoresse C._, psychiatre au Service médical régional AI (SMR), que l'assurée disposait d'une capacité entière de travail dans toute activité.
B. Par recours daté du 26 mai 2009, complété par mémoire du 31 juillet suivant, F._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant notamment à l'audition des parties et à ce que soit ordonnée une expertise psychiatrique. Dans sa réponse du 31 août 2009, l'administration a conclu au rejet du recours. Statuant le 10 juin 2010, le Tribunal a débouté l'assurée.
C. F._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont elle demande l'annulation. Sous suite de dépens, elle conclut au renvoi de la cause au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales pour instruction complémentaire, en vue notamment qu'elle "puisse être auditionnée". Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Par exception à ce principe, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>).
2. 2.1 La recourante reproche uniquement aux premiers juges d'avoir violé son droit d'être entendue garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. en refusant de procéder à son audition personnelle. Elle leur avait spécifiquement demandé à pouvoir s'exprimer devant eux notamment sur les conclusions de l'expertise de la doctoresse C._.
2.2 Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou, à tout le moins, de s'exprimer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre. L'art. 29 al. 2 Cst. ne confère cependant pas le droit d'être entendu oralement (cf. <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148 et les références), pas plus du reste que la seconde disposition citée par la recourante, l'<ref-law>, qui s'applique à la procédure administrative en matière d'assurances sociales (arrêt C 128/04 du 20 septembre 2005, in SVR 2006 ALV n° 5 p. 15).
En l'espèce, la recourante a eu la possibilité de faire valoir son point de vue par écrit dans la procédure cantonale, au cours de l'échange d'écritures. Elle a ainsi complété son recours le 31 juillet 2009 en faisant notamment valoir des arguments à l'encontre de l'expertise du médecin du SMR. Entre le moment où la réponse de l'intimé à son recours lui a été communiquée (par courrier du 2 septembre 2009) et celui où le jugement entrepris a été rendu, elle a par ailleurs disposé de plus de neuf mois pour s'exprimer à nouveau par écrit si elle entendait ajouter ou préciser sa motivation (cf. <ref-ruling>). On ne saurait donc voir dans le seul fait que la juridiction cantonale n'a pas donné suite à la requête de comparution personnelle de la recourante une violation de son droit d'être entendue. Il ne s'agit pas, de plus, d'un cas où des circonstances particulières liées à la personnalité de l'intéressée auraient exceptionnellement commandé qu'elle fût entendue oralement (cf. <ref-ruling> consid. 4c p. 469).
2.3 Il suit de ce qui précède que les conclusions de la recourante, qui reposent sur le seul grief tiré de la violation de son droit d'être entendue, doivent être rejetées. Le recours se révèle manifestement mal fondé (<ref-law>).
3. Dans la mesure où les conclusions soumises par la recourante au Tribunal fédéral paraissaient d'emblée vouées à l'échec, compte tenu de la motivation de son recours au regard de la jurisprudence sur le droit d'être entendu, la demande d'assistance judiciaire - requête tendant aussi bien à la dispense de l'avance et du paiement des frais judiciaires qu'à la désignation d'un avocat d'office - doit être rejetée (<ref-law>). Cela étant, vu les circonstances particulières de la cause, le Tribunal fédéral renonce à mettre les frais judiciaires à la charge de la recourante (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 6 décembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless