Sachverhalt:
A.
Der 1976 geborene A._ ist bei der SUPRA-1846 SA (nachfolgend: SUPRA) obligatorisch krankenversichert. Er meldete sich für deren elektronische Plattform "SUPRAnet" an, welche die Korrespondenz via Internet vorsieht. Die SUPRA leitete zwei Betreibungen für die ausstehenden Prämien vom 1. Januar bis 31. März 2013 einerseits und vom 1. April bis 31. Mai 2013 andererseits ein. Gegen beide Zahlungsbefehle Nr. xxx und Nr. yyy erhob der Versicherte jeweils Rechtsvorschlag. Diese beseitigte die SUPRA mit Verfügungen vom 24. Juli und 25. September 2013. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 13. Dezember 2013 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 19. Juni 2014 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, die erhobenen Rechtsvorschläge seien zu bestätigen und das Betreibungsamt sei anzuweisen, die Betreibungen zu löschen; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die SUPRA beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. A._ lässt sich mit einer ergänzenden Stellungnahme zur Sache vernehmen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Gemäss <ref-law> hat der Versicherer einer versicherten Person, die fällige Prämien oder Kostenbeteiligungen nicht bezahlt, nach mindestens einer schriftlichen Mahnung eine Zahlungsaufforderung zuzustellen, ihr eine Nachfrist von 30 Tagen einzuräumen und sie auf die Folgen des Zahlungsverzuges (Abs. 2) hinzuweisen.
Ziffer 5e der Nutzungsbestimmungen von "SUPRAnet" (nachfolgend: Nutzungsbestimmungen) lautet wie folgt:
"Mit der Beitrittserklärung zum Online-Vertrag SUPRAnet verzichtet die Vertragspartei auf jeglichen Versand via Postweg. Es liegt in ihrer Verantwortung, SUPRAnet zu konsultieren und ihren finanziellen Verpflichtungen gegenüber der SUPRA mit Hilfe eines elektronischen Zahlungsverkehrssystems der Post oder der Bank oder per Lastschriftverfahren fristgerecht nachzukommen. Die Vertragspartei wird darauf aufmerksam gemacht, dass ihr die SUPRA mit Ausnahme von Dokumenten, die nicht auf elektronischem Weg übermittelt werden können, keine Informationen auf dem Postweg zukommen lässt. Es ist Sache der Vertragspartei, die auf SUPRAnet publizierten Dokumente wie Policen, Versicherungsbedingungen, Einzahlungsscheine, Leistungsabrechnungen, Kontoauszüge u.ä. zur Kenntnis zu nehmen."
3.
3.1. Die Vorinstanz hat hinsichtlich der Prämien für die Monate Januar bis März 2013 festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer mit den als "Zahlungserinnerung" bezeichneten Schreiben vom 21. Februar und 13. März 2013 erstmals auf die ausstehenden Prämienzahlungen hingewiesen habe. Am 27. März 2013 habe sie ihre Prämienforderungen unter Einräumung einer dreissigtägigen Nachzahlungsfrist gemahnt, verbunden mit der Androhung einer Betreibung, sollte die Zahlung nicht innert der angesetzten Frist erfolgen. Die Schreiben seien dem Beschwerdeführer via "SUPRAnet" in seinen elektronischen Briefkasten zugestellt worden. Dies hat das Verwaltungsgericht als hinreichend erachtet.
In Bezug auf die Prämien für die Monate April und Mai 2013 geht aus dem angefochtenen Entscheid in sachverhaltlicher Hinsicht hervor, dass die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer im Schreiben vom 24. Mai 2013 erstmals an die ausstehenden Zahlungen erinnert habe. Mit "letzter Mahnung" sei der Beschwerdeführer am 27. Juni 2013 zur Prämienzahlung aufgefordert worden. Diese Mitteilung habe die Betreibungsandrohung und die dreissigtägige Zahlungsfrist beinhaltet. In der Einsprache vom 25. Oktober 2013 habe der Beschwerdeführer auf ein Schreiben vom 19. September 2013 und in der Beschwerde vom 14. Januar 2014 auf ein solches vom 31. Oktober 2013 verwiesen, die ihm die Beschwerdegegnerin beide mit gewöhnlicher Post zugestellt habe. Es erscheine damit wenig plausibel, dass er ausgerechnet die Mahnungen für die Prämien der Monate April und Mai 2013 nicht erhalten haben soll.
3.2. Es ist nicht ersichtlich, dass das Verwaltungsgericht den Sachverhalt offensichtlich unrichtig oder unvollständig festgestellt hat. Insbesondere liegt nicht schon dann eine offensichtliche Unrichtigkeit vor, wenn es allenfalls im Bereich des Möglichen liegt, dass die erwähnte Korrespondenz dem Beschwerdeführer nicht zugegangen sein könnte (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_967/2008 vom 5. Januar 2009 E. 5.1). Das Fehlen eines "Postrückläufers" bringt diesbezüglich keine verwertbaren Erkenntnisse. Eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes ist nicht ersichtlich. Ebenso liegen keine Anhaltspunkte für eine willkürliche Beweiswürdigung vor. Damit sind die vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen für das Bundesgericht verbindlich (E. 1).
4.
Die Vorinstanz hat in rechtlicher Hinsicht erwogen, dass Schriftlichkeit im Sinne von <ref-law> einzig als Gegensatz zu blosser Mündlichkeit zu verstehen sei. Ob der Krankenversicherer seine Mahnungen in Papierform oder via "SUPRAnet" als PDF-Dokument zustellen wolle, bleibe ihm überlassen. Der Beschwerdeführer rügt, die als PDF via "SUPRAnet" hinterlegte Mahnung genüge dem Formerfordernis der Schriftlichkeit nicht. Den auf "SUPRAnet" hinterlegten PDF-Dokumenten fehle es ausserdem an einer elektronischen Signatur und an der Urkundenqualität. Streitig ist damit, ob die von der Beschwerdegegnerin gewählte Zustellung als PDF-Dokument den formellen Anforderungen gemäss <ref-law> genügt.
4.1. Die Auslegung des Gesetzes ist auf die Regelungsabsicht des Gesetzgebers und die von ihm erkennbar getroffenen Wertentscheidungen auszurichten. Ausgangspunkt der Auslegung einer Norm bildet ihr Wortlaut. Vom daraus abgeleiteten Sinn ist abzuweichen, wenn triftige Gründe dafür bestehen, dass der Gesetzgeber diesen nicht gewollt haben kann (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2.1 S. 92). Solche Gründe können sich insbesondere aus der Entstehungsgeschichte der Norm, aus ihrem Zweck oder aus dem Zusammenhang mit anderen Vorschriften ergeben (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 116; <ref-ruling> E. 11.4.1 S. 404; <ref-ruling> E. 2b S. 322 f.).
4.2. Nach dem Wortlaut von <ref-law> muss die Mahnung des Versicherers "schriftlich" erfolgen ( "un rappel écrit"; "un sollecito scritto"). Darunter ist gemäss dem alltäglichen Sprachgebrauch die Überlieferung eines Textes auf Papier zu verstehen.
4.3. Im Obligationenrecht bedarf die Mahnung grundsätzlich keiner besonderen Form, wenn sie genügend bestimmt und deutlich ist ( ROLF H. WEBER, in: Berner Kommentar, 2000, N. 82 zu <ref-law>). Das Sozialversicherungsrecht weicht schon in <ref-law> vom obligationenrechtlichen Grundsatz ab. Daraus geht hervor, dass der Leistungsträger über Leistungen, Forderungen und Anordnungen, die erheblich sind oder mit denen die betroffene Person nicht einverstanden ist, schriftlich Verfügungen zu erlassen hat. Die Rechtsprechung hat das Erfordernis der Schriftlichkeit im Bereich der Massenverwaltung jedoch erheblich relativiert. So stellt die Unterschrift bei Massenverfügungen kein Gültigkeitserfordernis dar. Vielmehr muss die verfügende Instanz die Möglichkeit haben, sich gedruckter Formulare zu bedienen oder Verfügungen auf elektronischem Weg zu erlassen (Urteil 5P.178/2003 vom 2. Juni 2003 E. 3.3 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4b S. 252). Mit Blick auf diese Rechtsprechung kann für die Mahnungen eines Krankenversicherers, die ebenfalls ein Massengeschäft darstellen (vgl. BBl 2004 4340), nichts anderes gelten. Auch hier kann die Unterschrift aus systematischen Überlegungen kein Gültigkeitserfordernis für die Mahnung darstellen. Auch neuere Gesetze verlangen lediglich eine Form, die den Nachweis durch Text ermöglicht (vgl. <ref-law>; Art. 5 Abs. 1 und 178 Abs. 1 IPRG [SR 291]).
4.4. Der Zweck der in <ref-law> enthaltenen Vorgaben bezüglich des Mahnverfahrens besteht in einer Warn- und Schutzfunktion. Die Versicherer müssen gegen säumige Versicherte ein mehrstufiges Mahnverfahren durchführen, bevor sie ihre Leistungen aufschieben und betreibungsrechtliche Schritte einleiten (BBl 2004 4340). Hintergrund ist gemäss der Botschaft des Bundesrates vom 26. Mai 2004, dass gemäss konstanter Rechtsprechung (vgl. <ref-ruling>) für Versicherte ungeachtet ausstehender Prämien und Kostenbeteiligungen die Möglichkeit eines Versicherungswechsels bestand. Dies führte zur Aufhebung des damaligen <ref-law> (SR 832.102) per 1. Januar 2003 (AS 2002 3908). Mit <ref-law> wurde eine neue gesetzliche Grundlage geschaffen. Das in Abs. 1 geregelte Mahnverfahren sollte einerseits angesichts der auf einem hohen Niveau stabilen Zahlungsausstände den Vollzug der Prämienzahlungs- und Kostenbeteiligungspflicht gewährleisten (BBl 2004 4340). Andererseits bietet es den Versicherten den erwähnten Schutz vor der Zwangsvollstreckung. Sie haben auch nach ein- oder mehrmaliger Mahnung durch den Krankenversicherer noch die Möglichkeit, Vereinbarungen über die ausstehenden Zahlungen zu treffen oder ihren Zahlungspflichten direkt nachzukommen, bevor der Krankenversicherer eine Betreibung anheben darf (vgl. auch BBl 2009 6620). Die vom Gesetzgeber bezweckte Warn- und Schutzfunktion ist bei einer Mahnung im PDF-Format ebenso erfüllt wie in Papierform; die Möglichkeiten des betroffenen Versicherten, die Betreibung abzuwenden, sind dadurch nicht beeinträchtigt.
4.5. Somit ist bis hierhin festzuhalten, dass die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer durch das auf "SUPRAnet" gespeicherte PDF-Dokument grundsätzlich gültig gemahnt hat. Die elektronische Hinterlegung im PDF-Format, entsprechend den Nutzungsbestimmungen des Online-Vertrags (vgl. E. 5 nachfolgend), genügt den formellen Anforderungen gemäss <ref-law>; eine Mahnung in Papierform ist nicht erforderlich. Mit diesem Auslegungsresultat stimmt auch die in der Literatur vertretene und von der Vorinstanz zitierte Auffassung überein, wonach PDF-Dokumente die Erfordernisse der Dauerhaftigkeit und Beständigkeit gleichermassen erfüllen wie Papierdokumente (vgl. INGEBORG SCHWENZER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht, 3. Aufl. 2003, N. 3 zu <ref-law> S. 130; CLAIRE HUGUENIN, Obligationenrecht, 2. Aufl. 2014, S. 107). Was schliesslich den zivilprozessualen Urkundenbegriff anbelangt, so ist dieser ohnehin weiter gefasst als die einfache Schriftlichkeit und damit für die hier zu beurteilende Frage ohne Belang (vgl. THOMAS WEIBEL, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2010, N. 9 ff. zu <ref-law> S. 1063 f.).
5.
Im Weiteren ist die Zulässigkeit von Ziffer 5e der Nutzungsbestimmungen (E. 2) zu prüfen. Diesbezüglich erwog das Verwaltungsgericht, durch seine Anmeldung für "SUPRAnet" habe sich der Beschwerdeführer mit der elektronischen Zustellung von Mahnungen einverstanden erklärt und damit rechnen müssen. Zwar werde die Mahnung in der bloss enumerativen Aufzählung von Ziffer 5e nicht explizit erwähnt. Mangels einer konkreten Nennung derjenigen Dokumente, die per Post zugestellt würden, sowie in Anbetracht des Wortlauts habe der Beschwerdeführer aber nicht ohne Weiteres annehmen dürfen, dass die elektronische Zustellung von Mahnungen ausgeschlossen sei. Vielmehr stünden diese in engem Zusammenhang mit der durch "SUPRAnet" bezweckten, internetbasierten Abwicklung des Rechnungs- und Zahlungswesens. Es sei daher vom Grundsatz der elektronischen Zustellung auszugehen. Der Beschwerdeführer hält dem entgegen, die Vorinstanz hätte auf Ziffer 5e die Ungewöhnlichkeits- und die Unklarheitsregel anwenden müssen. Die Nichtaufzählung der Mahnung führe zur Unklarheit der fraglichen Vertragsbestimmung. Dass die Beschwerdegegnerin von <ref-law> habe abweichen wollen, sei für ihn nicht erkennbar gewesen.
5.1. Vorformulierte Vertragsbestimmungen sind grundsätzlich nach den gleichen Regeln wie individuell verfasste Vertragsklauseln auszulegen (<ref-ruling> E. 2 S. 6). Die Ermittlung des mutmasslichen Parteiwillens erfolgt nach dem Vertrauensgrundsatz. Dabei hat das Gericht vom Wortlaut auszugehen und die Klauseln im Zusammenhang so auszulegen, wie sie nach den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 632 mit Hinweisen); es hat dabei auch zu berücksichtigen, was sachgerecht erscheint. Mehrdeutige Klauseln müssen gegen den Versicherer als deren Verfasser ausgelegt werden. Die sog. Unklarheitsregel gelangt jedoch erst zur Anwendung, wenn die übrigen Auslegungsmittel versagen (<ref-ruling> E. 2a S. 121; <ref-ruling> E. 1b S. 158). Ungewöhnliche Bestimmungen sind nach der Ungewöhnlichkeitsregel gänzlich unwirksam (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 51 f. mit Hinweisen).
5.2. Die Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) enthalten keine Bestimmungen zur "SUPRAnet"-Plattform. Art. 17.1 AVB ist bezüglich des Zahlungsverzugs der versicherten Person Folgendes zu entnehmen (1. Satz) :
"Der Versicherte, der einer ersten Aufforderung zur Prämienzahlung keine Folge leistet, wird gemahnt."
Es fehlt an einer Vorschrift zur Form der Mahnung. Der Beschwerdeführer konnte demnach aus den anwendbaren AVB selbst bei seinem Verständnis der Schriftlichkeit nicht ohne Weiteres darauf schliessen, dass die Zustellung einer Mahnung in Papierform erfolgt.
5.3. Dies bestätigt Ziffer 5e der Nutzungsbestimmungen. Daraus geht eindeutig hervor, dass der Vertragspartei keine Informationen auf dem Postweg zugestellt werden und die Kenntnisnahme der auf "SUPRAnet" hinterlegten Dokumente in deren Risikobereich fällt (E. 2). Auch in der Präsentation von "SUPRAnet" wirbt die Beschwerdegegnerin explizit damit, dass durch den Abschluss eines Online-Vertrages die Zustellung von Briefpost und Einzahlungsscheinen wegfällt. Dem Beschwerdeführer und jedem anderen Versicherten musste klar sein, dass der Sinn und Zweck von "SUPRAnet" in der Kostenersparnis liegt, welche die Beschwerdegegnerin gerade dadurch erreicht, dass sie keine Korrespondenz auf dem Postweg zustellt. Dieser Zweck würde durch den Ausschluss des Mahnwesens als Massengeschäft (E. 4.2) vom Grundsatz der elektronischen Zustellung vereitelt. Demnach ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass sich die Anwendbarkeit von Ziffer 5e der Nutzungsbestimmungen auf Mahnungen für den durchschnittlichen Leser ohne Weiteres aus der Gesamtbetrachtung ergibt. Da die konkrete Vertragsauslegung nach dem Vertrauensprinzip somit zu einem klaren Ergebnis führt, bleibt für die Anwendung der Unklarheitsregel von vornherein kein Raum (<ref-ruling> E. 2.2.2.3 S. 69). Dass Mahnungen in der Aufzählung der Vertragsziffer 5e nicht ausdrücklich erwähnt sind, ändert daran nichts. Vielmehr ergibt sich aus deren letztem Satz ausdrücklich, dass sogar Policen auf "SUPRAnet" hinterlegt werden können. Auch dies musste für den Beschwerdeführer darauf hindeuten, dass für Mahnungen, an die geringere Rechtswirkungen geknüpft sind, nichts anderes gilt. Daraus folgt, dass es sich bei den in Ziffer 5e genannten Versicherungsdokumenten lediglich um Beispiele für auf "SUPRAnet" hinterlegbare Korrespondenz handelt; dazu sind aus dem Zusammenhang auch Mahnungen zu zählen. Im Weiteren legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern Ziffer 5e ungewöhnlich sein soll. Schliesslich lässt sich auch aus Ziffer 5a des Online-Vertrages, der die Verantwortlichkeit für die technischen Mittel zum Inhalt hat, nichts zu Gunsten des Beschwerdeführers ableiten. Schon der Wortlaut der Bestimmung besagt klar, dass die Vertragspartei das Risiko für Zugriffsschwierigkeiten trägt. Auch diese Regelung war für den Beschwerdeführer und jede andere Vertragspartei ohne Weiteres verständlich und zu erwarten. Der Beschwerdeführer begründet auch bezüglich Ziffer 5a nicht, worin deren Ungewöhnlichkeit liegen soll. Das Verwaltungsgericht hat nach dem Dargelegten im Ergebnis weder die Grundsätze der normativen Vertragsauslegung verkannt noch das rechtliche Gehör verletzt.
5.4. Insgesamt ergibt sich aus der Gesetzesauslegung, dass die Zustellung der Mahnung via "SUPRAnet" mit <ref-law> vereinbar ist. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer somit formgültig gemahnt und ihre Prämienforderungen zu Recht in Betreibung gesetzt. Die Beschwerde ist unbegründet.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Bei diesem Ergebnis erübrigen sich weitere Ausführungen zu einer Parteientschädigung für sich selber vertretende Rechtsanwälte sowie zu einer allfälligen, damit zusammenhängenden Praxisänderung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Dezember 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder