Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen eines Raubüberfalles auf einen Kiosk, verübt am 11. Februar 2013. Mit Verfügung vom 14. Februar 2013 ordnete das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Luzern Untersuchungshaft gegen den Beschuldigten an (längstens bis am 26. März 2013). Eine von diesem gegen die Haftanordnung gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, mit Beschluss vom 6. März 2013 ab.
B. Gegen den Beschluss des Obergerichtes gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 11. März 2013 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides sowie seine umgehende Haftentlassung.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht verzichteten am 14. bzw. 18. März 2013 je auf Stellungnahmen. Das Zwangsmassnahmengericht beantragte am 14. März 2013 die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer erhielt Gelegenheit zur Replik. Am 26. März 2013 wurde er aus der Untersuchungshaft entlassen.

Erwägungen:
1. Zwar wurde der Beschwerdeführer zwischenzeitlich aus der Haft entlassen und ist der entsprechende Antrag gegenstandslos geworden. Er hat seine Beschwerde gegen die Haftanordnung jedoch nicht zurückgezogen, und es besteht grundsätzlich weiterhin ein aktuelles Rechtsschutzinteresse (<ref-law>) an der Prüfung der Frage, ob die Haftanordnung (bzw. die Untersuchungshaft zwischen 14. Februar und 26. März 2013) bundesrechtskonform erfolgte. Darüber hinaus wird in der Beschwerde eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung aufgeworfen, deren Klärung der Rechtssicherheit in strafprozessualen Haftfällen dient (Tragweite der Bundesgerichtspraxis zur qualifizierten Wiederholungsgefahr, vgl. <ref-ruling>). In der vorliegenden Konstellation ist daher auf die Beschwerde einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 397 f.; s. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 276 f.; je mit Hinweisen).
2. Der Beschwerdeführer ist geständig, am 11. Februar 2013, bewaffnet mit einer Luftdruckpistole (Marke Walter, Modell CP99, Kaliber 4,5 mm), einen Raubüberfall auf einen Kiosk verübt zu haben. Damit ist der allgemeine Haftgrund des dringenden Tatverdachtes eines Verbrechens oder Vergehens (<ref-law>) erfüllt. Der Beschwerdeführer bestreitet jedoch den (von kantonalen Instanzen bejahten) besonderen Haftgrund der Wiederholungsgefahr (<ref-law>).
3. Die kantonalen Instanzen haben die Annahme von Wiederholungsgefahr wie folgt begründet: Am 11. Februar 2013 habe sich der (gesundheitlich angeschlagene und finanziell von der Sozialhilfe abhängige) Beschwerdeführer mit der von ihm gekauften Luftdruckpistole zunächst zum Sozialamt begeben wollen. Dieses sei jedoch geschlossen gewesen. Während der anschliessenden Busfahrt sei er auf die Idee gekommen, einen (regelmässig von ihm besuchten) Kiosk zu überfallen. Das Tatvorgehen erscheine "einigermassen befremdlich und wenig zielgerichtet", zumal der Beschwerdeführer die Kioskangestellte (vom Sehen) gekannt habe. Er habe ihr gesagt, dass es sich um einen Überfall handle, und dabei die Pistole auf sie gerichtet. Nach einer ersten Einschätzung eines Psychiaters der Ambulanten Dienste der Luzerner Psychiatrie bestehe beim Beschwerdeführer der Verdacht einer Anpassungsstörung und einer "schizoiden Persönlichkeitsstörung", was "differenzialdiagnostisch mit einer organischen Wesensveränderung vergleichbar" sei. Im Einverständnis mit dem Beschwerdeführer sei dieser in die Psychiatrische Klinik Luzern (stationär) eingewiesen worden (wo er anschliessend auch die Untersuchungshaft absolvierte). Einer wirkungsvollen Heilbehandlung habe er sich bisher nicht unterzogen. Aktuell müsse "auf einen psychisch instabilen Hintergrund und folglich eine vom Beschuldigten ausgehende ernsthafte Bedrohung für die öffentliche Sicherheit" geschlossen werden. Bis zum Vorliegen der psychiatrischen Begutachtung durch den Forensischen Dienst der Luzerner Psychiatrie sei daher von Wiederholungsgefahr für schwere Delikte auszugehen. Im Hinblick auf das besondere Beschleunigungsgebot in Haftsachen und angesichts der einschlägigen Praxis des Bundesgerichtes habe die Staatsanwaltschaft "darauf hinzuwirken, dass der beauftragte Gutachter insbesondere seine Stellungnahme zur Rückfallgefahr und allenfalls zur Art der Heilbehandlung möglichst rasch erstattet, dies gegebenenfalls in einem Vorbericht". Nach Eintreffen des psychiatrischen Kurzberichts werde die Frage der Wiederholungsgefahr (gestützt auf die fachmedizinischen Feststellungen des Gutachters) nötigenfalls "erneut zu prüfen sein" (angefochtener Entscheid, S. 5-7).
4. Der Beschwerdeführer wendet Folgendes ein: Die Rechtsprechung des Bundesgerichtes zur qualifizierten Wiederholungsgefahr (ausnahmsweiser Verzicht auf das gesetzliche Vortatenerfordernis bei akut drohenden Schwerverbrechen) sei in einem Teil der Lehre kritisiert worden. Jedenfalls sei, wie das Bundesgericht dies auch selber verlange, ein Verzicht auf das Vortatenerfordernis besonders zurückhaltend anzuwenden.
Im vorliegenden Fall lägen weder einschlägige Vortaten vor, noch habe er, der Beschwerdeführer, die Begehung ähnlicher oder anderer Delikte angedroht. Die Rechtsprechung des Bundesgerichtes zur qualifizierten Wiederholungsgefahr beziehe sich auf drohende Tötungsdelikte. Auf das Vortatenerfordernis dürfe nur bei akut drohenden Schwerverbrechen verzichtet werden. Eine ernsthafte und konkrete Gefahr für die Sicherheit von Dritten sei hier nicht gegeben. Er sei mehr als 60 Jahre alt und herzkrank. Zwar handle es sich bei ihm um einen "etwas am Rande der Gesellschaft" lebenden und gelegentlich "aufbrausenden" Einzelgänger. Er sei aber sonst "gut zu leiten". Sein Vorgehen sei zwar "einigermassen spontan" gewesen, aber (entgegen der Ansicht der Vorinstanz) nicht unmotiviert, denn es sei ihm bei dem Raubüberfall "um Geld" gegangen. Er, der Beschwerdeführer, habe allerdings wenig kriminelle Energie an den Tag gelegt. Ein Plan sei nicht erkennbar gewesen, und er habe damit rechnen müssen, dass ihn die Kioskfrau erkennen würde, zumal er nicht maskiert gewesen sei.
Die verwendete Luftdruckpistole habe nicht das gleiche Gefährdungspotential aufgewiesen wie eine grosskalibrige "richtige" Schusswaffe. Zwar könnten bei unglücklichen Konstellationen auch Druckluftpistolen schwere Verletzungen verursachen. Eine entsprechende konkrete Gefahr habe aber hier nie bestanden. Auch der Umstand, dass die von ihm verwendete Pistole in der Schweiz nur mit einem Waffenerwerbsschein angeschafft werden dürfe, ändere an ihrer relativ geringen Gefährlichkeit nichts. Gemäss den Aussagen der überfallenen Kioskfrau habe er die Waffe "etwa auf ihre Bauchgegend gerichtet". Das Opfer sei (mit mehreren Schichten) gut bekleidet gewesen. Eine Absicht zu schiessen, habe er ohnehin nicht gehabt. Der von einem Psychiater (in dessen forensisch-psychiatrischem Überweisungsschreiben vom 12. Februar 2013) geäusserte Verdacht, er, der Beschwerdeführer, könnte an einer Anpassungsstörung sowie an einer schizoiden Persönlichkeitsstörung leiden, beruhe nicht auf einer forensischen Begutachtung, sondern auf einer eher oberflächlichen Kurzdiagnose. Mangels eines ausreichenden gesetzlichen Haftgrundes verletze die Haftanordnung und Haftfortdauer insbesondere <ref-law> und Art. 10 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>.
5. Wiederholungsgefahr liegt vor, wenn ernsthaft zu befürchten ist, dass die beschuldigte Person durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat (<ref-law>).
5.1 Nach der Praxis des Bundesgerichtes kann die Anordnung bzw. Fortsetzung von strafprozessualer Haft wegen Wiederholungsgefahr dem Verfahrensziel der Beschleunigung dienen, indem verhindert wird, dass sich der Strafprozess durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht. Auch die Wahrung des Interesses an der Verhütung weiterer schwerwiegender Delikte ist nicht verfassungs- und grundrechtswidrig. Vielmehr anerkennt Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK ausdrücklich die Notwendigkeit, Beschuldigte an der Begehung strafbarer Handlungen zu hindern, somit Spezialprävention, als Haftgrund (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen). Bei der Annahme, dass ein Beschuldigter weitere schwere Delikte begehen könnte, ist allerdings Zurückhaltung geboten. Da Präventivhaft einen schwerwiegenden Eingriff in das Recht der persönlichen Freiheit darstellt, muss sie auf einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage beruhen, im öffentlichen Interesse liegen und verhältnismässig sein. Die Aufrechterhaltung von strafprozessualer Haft wegen Fortsetzungsgefahr ist nach der bundesgerichtlichen Praxis zulässig, wenn einerseits die Rückfallprognose sehr ungünstig und anderseits die zu befürchtenden Delikte von schwerer Natur (im Sinne von <ref-law>) sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen. Schliesslich gilt auch bei der Präventivhaft - wie bei den übrigen Haftarten - dass sie nur als "ultima ratio" angeordnet oder aufrecht erhalten werden darf. Wo sie durch mildere Massnahmen ersetzt werden kann, muss von der Anordnung oder Fortdauer der Haft abgesehen und an ihrer Stelle eine dieser Ersatzmassnahmen verfügt werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4-4 S. 17 ff.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 73; je mit Hinweisen).
5.2 Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen strafprozessualer Haft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung der StPO frei. <ref-law> gelangt bei strafprozessualen Zwangsmassnahmen nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2 S. 125, 340 E. 2.4 S. 346; Urteil des Bundesgerichtes 1B_277/2011 vom 28. Juni 2011 E. 1.2). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 2.5 S. 73 f.).
6. 6.1 Wie das Bundesgericht in <ref-ruling> E. 3.2 S. 85 f. bereits entschieden hat, entsprechen der deutsche und der italienische Wortlaut von <ref-law> (drohende "schwere Verbrechen oder Vergehen"/"gravi crimini o delitti") weder der bisherigen Rechtsprechung, noch dem Sinn und Zweck der Bestimmung. Gestützt auf den französischen Wortlaut ("des crimes ou des délits graves") können grundsätzlich auch drohende Verbrechen oder schwere Vergehen für die Annahme von Wiederholungsgefahr genügen (bestätigt u.a. in den Urteilen 1B_435/2012 vom 8. August 2012 E. 3.4; 1B_397/2011 vom 29. August 2011 E. 6.1; 1B_384/2011 vom 8. August 2011 E. 2.3-2.4; 1B_379/2011 vom 2. August 2011 E. 2.7-2.9; vgl. zum Ganzen MARC FORSTER, in: Basler Kommentar StPO, Basel 2011, Art. 221 N. 10-13).
6.2 Unbestrittenermassen besteht im vorliegenden Fall ein dringender Tatverdacht des vollendeten Versuchs eines bewaffneten Raubüberfalls. Dabei handelt es sich um ein Verbrechen (Art. 140 i.V.m. <ref-law>). Dem Beschwerdeführer wird vorgeworfen, er habe mit einer Luftdruckpistole des Kalibers 4,5 mm auf die überfallene Kioskangestellte gezielt. Nach den bisherigen Ermittlungen war für sie nicht ohne Weiteres erkennbar, dass es sich bei der auf sie gerichteten Schusswaffe "nur" um eine Luftdruckpistole handelte. Der Raubüberfall führte somit für das Opfer (nach den vorläufigen Untersuchungsergebnissen) zu einem schweren Eingriff in dessen psychische Integrität. Wie der Beschwerdeführer einräumt, sei die Kioskangestellte denn auch "erschrocken" gewesen. Aufgrund eines zuvor bereits erlittenen Überfalles sei das Opfer sogar "retraumatisiert" worden. Im Übrigen können auch mit (versehentlich ausgelösten oder absichtlich abgegebenen) Schüssen aus Luftdruckpistolen durchaus schwere Verletzungen verursacht werden, namentlich, wenn das Gesicht des Opfers getroffen wird.
6.3 Zu prüfen ist weiter, ob der Beschwerdeführer (im Sinne von <ref-law>) "bereits früher" in gleichartiger Weise delinquiert hat und ob weitere schwere sicherheitsgefährdende Delikte konkret drohen. Zwar räumen die kantonalen Instanzen ein, dass er bisher nicht wegen einschlägigen Gewaltdelikten verurteilt wurde; der ihm vorgeworfene bewaffnete Raubüberfall bildet erst Gegenstand der hängigen Strafuntersuchung. Gemäss der Lehre und Rechtsprechung kann jedoch auch die sehr grosse Wahrscheinlichkeit einer Verurteilung im konkreten Einzelfall als Nachweis von schwerer Vordelinquenz genügen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 86; Urteile 1B_435/2012 vom 8. August 2012 E. 3.4; 1B_397/2011 vom 29. August 2011 E. 6.3; vgl. Forster, a.a.O., Art. 221 N. 15 Fn. 60; Markus Hug, in: Zürcher Kommentar StPO, Zürich 2010, Art. 221 N. 36; NIKLAUS SCHMID, Praxiskommentar StPO, Zürich 2009, Art. 221 N. 12; ALEXIS SCHMOCKER, in: CPP - Commentaire Romand, Basel 2011, Art. 221 N. 18). Bei akut drohenden Schwerverbrechen könnte nach der Praxis des Bundesgerichtes sogar ausnahmsweise auf das Vortatenerfordernis ganz verzichtet werden (vgl. <ref-ruling> E. 3-4 S. 18 ff.; zu dieser Rechtsprechung s. Marc Forster, Das Haftrecht der neuen StPO auf dem Prüfstand der Praxis, ZStrR 130 [2012] 334 ff., S. 338-342).
6.4 Im hier zu beurteilenden Fall ist der Beschwerdeführer geständig, und die objektive Beweislage erscheint bereits im jetzigen Untersuchungsstadium liquide. Bei Vorliegen eines klaren und nachvollziehbaren Geständnisses mit sehr grosser Wahrscheinlichkeit einer strafrechtlichen Verurteilung darf der Haftrichter nach der dargelegten Lehre und Praxis grundsätzlich von Vordelinquenz im Sinne des Gesetzes ausgehen. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer (neben diversen SVG-Delikten) jedenfalls wegen mehrfachen Hausfriedensbruchs und mehrfachen Diebstahls vorbestraft ist. Bei dieser Sachlage kann offen bleiben, ob hier sogar Schwerverbrechen (im Sinne von <ref-ruling>) drohen könnten, bei denen nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes ausnahmsweise vom Vordelinquenzerfordernis gänzlich abgesehen werden dürfte. Weiter bestehen aufgrund der bisherigen Untersuchungsergebnisse ernsthafte konkrete Anhaltspunkte für psychische Störungen des Beschwerdeführers, die sich in einer deutlich ausgeprägten Unberechenbarkeit und Neigung zu Impulsdurchbrüchen äussert. Er befand sich - bis zu seiner Haftentlassung am 26. März 2013 - auch deswegen in stationärer psychiatrischer Abklärung. Das betreffende Gesamtgutachten (zur Frage der Schuldfähigkeit, zur Rückfallgefahr, zur gebotenen Massnahme usw.) war von der Staatsanwaltschaft am 25. Februar 2013 in Auftrag gegeben worden, mit dem Hinweis, dass der Eingang des Gesamtgutachtens (angesichts des Haftfalles) "spätestens in drei Monaten" erwartet werde.
6.5 Während der Abklärung des psychischen Gesundheitszustandes des Beschwerdeführers bestanden im aktuellen (noch sehr frühen) Untersuchungsstadium konkrete Anhaltspunkte für drohende weitere schwere und sicherheitsgefährdende Straftaten ähnlicher Art. Die Bejahung des Haftgrundes der Wiederholungsgefahr (bis zur zwischenzeitlich erfolgten Haftentlassung) hielt nach dem Gesagten vor dem Bundesrecht stand.
7. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit sie (bezüglich Haftentlassungsantrag) nicht gegenstandslos geworden ist.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (und insbesondere die Bedürftigkeit des Gesuchstellers sich aus den Akten ergibt), kann dem Ersuchen stattgegeben werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit sie nicht gegenstandslos geworden ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen:
2.1 Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2 Dem Rechtsbeistand des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Heinz Ottiger, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Forster