Sachverhalt:
A.
X._ (Kläger, Beschwerdeführer) arbeitete seit Oktober 1988 als nebenamtlicher Fachlehrer für Rechtslehren/HTL für das "Institut A._". Der Schulbetrieb wurde in der Folge wiederholt auf neue Rechtsträger übertragen. Zuletzt war die "Stiftung B._" (ab dem 13. Juli 2012 unter dem neuen Namen "Y._" [Beklagte, Beschwerdegegnerin]) bis am 31. Dezember 2011 Rechtsträgerin der damaligen Ingenieurschule. Per 1. Januar 2012 sollte der privatrechtliche Schulbetrieb der B._ der "Y._" angegliedert werden.
In einem gemeinsam verfassten Schreiben der B._ und der Y._ vom 9. Mai 2011 wurde dem Kläger mitgeteilt, dass er mit seinem Lehrpensum von weniger als 20 % der Personenkategorie "Einzelentschädiger" zugeteilt worden sei und dass die Angehörigen dieser Kategorie im Juni/August 2011 schriftlich über ihren künftigen Einsatz informiert würden.
Mit Schreiben vom 11. Mai 2011 kündigte die B._ dem Kläger das Arbeitsverhältnis per 15. August 2011. Im Zeitpunkt der Kündigung war der Kläger 70-jährig.
B.
Am 20. Juni 2012 reichte der Kläger beim Arbeitsgericht Zürich eine Forderungsklage gegen die Beklagte ein, mit dem Begehren, die Beklagte sei zu verurteilen, ihm Fr. 25'074.-- (9 Monatslöhne brutto) zuzüglich Zins ab 15. Februar 2012 (6 Monatslöhne) bzw. ab 31. Mai 2012 (3 Monatslöhne) zu bezahlen. Dabei hielt der Kläger den Anspruch auf Abgangsentschädigung aus langjährigem Arbeitsverhältnis ausdrücklich vor. Das Arbeitsgericht wies die Klage mit Urteil vom 24. April 2013 ab. Gegen dieses Urteil erhob der Kläger Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich, welches die Klage mit Urteil vom 25. Juni 2013 ebenfalls abwies.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 25. Juni 2013 sowie das Urteil des Bezirksgerichts Zürich (recte: Arbeitsgericht Zürich) vom 24. April 2013 seien aufzuheben und die Klage gutzuheissen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Der Beschwerdeführer reichte unaufgefordert eine Replik ein.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 417 mit Hinweisen).
Die Beschwerde richtet sich gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 25. Juni 2013 und gegen das Urteil des Arbeitsgerichts Zürich vom 24. April 2013. Soweit sich die Beschwerde gegen das Urteil des Arbeitsgerichts richtet, kann darauf mangels Letztinstanzlichkeit (<ref-law>) nicht eingetreten werden.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Die Beschwerde wurde innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) von der mit ihren Rechtsbegehren unterliegenden Partei (<ref-law>) eingereicht. Bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>), und zwar um eine arbeitsrechtliche Angelegenheit, bei welcher der Streitwert nach zutreffender Angabe der Vorinstanz die Mindestgrenze von Fr. 15'000.-- (<ref-law>) übersteigt. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 511 f.; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351, 393 E. 7.1 S. 398). Soweit sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht unter Hinweis auf <ref-ruling> geltend, mit seiner im Hinblick auf sein Alter und die Anstellungsbedingungen bei der Y._ ausgesprochenen Kündigung sei <ref-law> umgangen worden. Eine Umgehung zeige sich unter anderem darin, dass der Arbeitsplatz des entlassenen Arbeitnehmers mit einer Neuanstellung wieder besetzt werde. Seine Stelle sei sogleich nach der Kündigung durch eine neue Dozentin belegt worden. Die Vorinstanz begründe nicht, weshalb es "in der Natur der Sache" liegen solle, dass darin keine Gesetzesumgehung gesehen werden könne. Es könne nicht allein aufgrund des Alters des Beschwerdeführers gesagt werden, eine Kündigung - die im Zusammenhang mit einem Betriebsübergang erfolgt sei - stelle keine Umgehung von <ref-law> dar. Zudem verletze eine Nicht-Anwendung von <ref-law> im Hinblick auf das Alter das Diskriminierungsverbot gemäss <ref-law>.
Darüber hinaus sei eine Kündigung, die aufgrund des Alters ausgesprochen wurde, bereits per se missbräuchlich, da der Grund der Kündigung gemäss <ref-law> in der Eigenschaft des Arbeitnehmers gelegen habe. Sein Alter sei jahrelang nie ein Thema gewesen; er sei mehrere Jahre lang ohne Diskussion über eine angebliche "Altersgrenze" hinaus beschäftigt worden. Erst mit dem Betriebsübergang sei sein Alter plötzlich relevant geworden, womit die Kündigung - nebst einer Umgehung von <ref-law> - missbräuchlich sei.
3.2. <ref-law> bestimmt, dass wenn der Arbeitgeber den Betrieb oder einen Betriebsteil auf einen Dritten überträgt, das Arbeitsverhältnis mit allen Rechten und Pflichten mit dem Tage der Betriebsnachfolge auf den Erwerber übergeht, sofern der Arbeitnehmer den Übergang nicht ablehnt.
In dem vom Beschwerdeführer zitierten <ref-ruling>, hat das Bundesgericht festgehalten, dass nur die im Zeitpunkt des Betriebsübergangs bestehenden Arbeitsverhältnisse auf den Erwerber übergehen. Der Erwerber muss folglich beim Übergang nicht mehr bestehende Arbeitsverträge nicht übernehmen und es können sich nur diejenigen Arbeitnehmer, deren Arbeitsverhältnis im Zeitpunkt des Betriebsübergangs noch andauert, auf <ref-law> berufen; eine Berufung auf <ref-law> ist demnach nach wie vor möglich, wenn ein Arbeitsverhältnis auf einen Zeitpunkt nach dem Übergang gekündigt wird, nicht dagegen, wenn die Kündigung auf einen Zeitpunkt vor dem Betriebsübergang ausgesprochen wird (<ref-ruling> E. 3.1 S. 556 mit Hinweis).
Erfolgt eine Kündigung jedoch im Rahmen einer Betriebsübertragung, stellt sich die Frage, ob damit <ref-law> umgangen wurde: Mit dieser in der Lehre umstrittenen Frage, hat sich das Bundesgericht im zitierten <ref-ruling> befasst. Dabei hat es unter Bezugnahme auf das europäische Recht festgehalten, dass eine betriebsübergangsbedingte Kündigung bzw. eine Kündigung, die auf einen vor der Übernahme des Betriebes liegenden Termin oder auf denselben erfolgt, grundsätzlich zulässig ist und nicht in jedem Fall eine Umgehung von <ref-law> darstellt. Eine unzulässige Gesetzesumgehung liegt dann vor, wenn die Kündigung einzig den Zweck hat, den Übergang des Arbeitsverhältnisses oder seine Folgen zu verhindern. Der Veräusserer kann somit nicht die Verträge aller oder eines Teils seiner Angestellten kündigen, damit diese dann mit dem Erwerber neue Verträge schliessen und so die sich aus der Dauer der ursprünglichen Verträge ergebenden Vorteile verlieren. Ebenso wenig ist es zulässig, dass der Veräusserer eine oder bestimmte Personen entlässt, einzig weil der Übernehmer sie nicht haben will. Hingegen verstösst eine Kündigung nicht gegen <ref-law>, wenn diese durch wirtschaftliche, technische oder organisatorische Gründe gerechtfertigt ist (<ref-ruling> E. 3.3 S. 558 f.; bestätigt in <ref-ruling> E. 4.5.2 S. 495).
3.3. Der Beschwerdeführer wurde bei der Beschwerdegegnerin jeweils (nur) für die Dauer eines Schulsemesters als nebenamtlicher Fachlehrer angestellt, wobei der Anstellungsvertrag vorsah, dass sich sein Arbeitsverhältnis um die Dauer eines Semesters verlängere, sofern dieses nicht von einer Partei bis spätestens am 15. Februar bzw. 15. August gekündigt werde. Mit Schreiben vom 11. Mai 2011 kündigte die Beschwerdegegnerin das Arbeitsverhältnis mit dem Beschwerdeführer ordentlich auf den 15. August 2011 bzw. auf Ende des im Arbeitsvertrag vom 3./8. Oktober 1988 vorgesehenen Schulsemesters.
Das Arbeitsverhältnis endete somit bereits rund viereinhalb Monate vor dem Betriebsübergang auf die Y._; vom Betriebsübergang erfasst sind wie erwähnt nur die bestehenden Arbeitsverhältnisse (vgl. E. 3.2 hiervor). Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers geht aus den Feststellungen der Vorinstanz aber nicht - zumindest nicht primär - hervor, dass die Kündigung wegen des Betriebsübergangs erfolgt ist bzw. mit dem bevorstehenden Betriebsübergang begründet wurde. Dem angefochtenen Urteil kann nicht entnommen werden, dass dem Beschwerdeführer deshalb gekündigt wurde, "weil aufgrund des Betriebsübergangs" eine Weiterbeschäftigung nicht mehr möglich war. Die Vorinstanz hielt vielmehr fest, dass "wie dem Kündigungsschreiben zu entnehmen ist, wurde dem damals 70-jährigen Kläger gekündigt, weil er das Pensionierungsalter längst erreicht hatte und weil eine öffentlich-rechtliche Anstellung ab 1. Januar 2012 ausgeschlossen war undeine privatrechtliche Weiterbeschäftigung aus Gründen der Gleichbehandlung mit öffentlich-rechtlich Angestellten ausser Betracht fiel". Daraus ergibt sich, dass der eigentliche Grund für die Kündigung das Alter des Beschwerdeführers war. Dass darüber hinaus eine Beschäftigung nach der geplanten Betriebsübertragung ohnehin als ausgeschlossen angesehen wurde, ändert an diesem Grund für die ordentliche Kündigung nichts. Der Beschwerdeführer müsste darlegen, dass die zitierte tatsächliche Feststellung der Vorinstanz willkürlich ist. In seiner Beschwerdeschrift begnügt er sich jedoch lediglich damit, die Sachlage aus seiner eigenen Sicht darzulegen. Damit vermag er den Anforderungen an eine Sachverhaltsrüge nicht zu genügen (vgl. E. 2.2 hiervor).
3.4. Die Kündigung des Arbeitsverhältnisses durch die Beschwerdegegnerin wurde somit objektiv durch das Alter des Beschwerdeführers begründet. Eine ordentliche Kündigung bei Erreichen des Pensionsalters ist - vorbehaltlich besonderer Umstände - nicht missbräuchlich (vgl. Sylvie Pétremand, La fixation de l'âge de la retraite en droit international, européen et suisse de la sécurité sociale, 2013, S. 297 Rz. 954; Olivier Subilia/Jean-Louis Duc, Droit du travail, 2010, S. 556 N. 15 zu <ref-law> mit Hinweis auf andere Meinung bei Rehbinder, in: Berner Kommentar, 1992, N. 3 zu <ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang eine Diskriminierung aufgrund des Alters (<ref-law>) ausmacht, übergeht er, dass er sich im privatrechtlichen Arbeitsverhältnis nicht auf unmittelbar diesen grundrechtlichen Schutz berufen kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 480 f.). Im Übrigen sei darauf hingewiesen, dass der Europäische Gerichtshof, der sich gestützt auf die Richtlinie 2000/78 auch im Hinblick auf privatrechtliche Arbeitsverhältnisse schon öfters mit der Frage beschäftigen musste, ob Altersgrenzen eine Diskriminierung wegen des Alters beinhalteten, wiederholt festgehalten hat, solche Regelungen würden dem "legitimen sozialpolitischen Ziel" entsprechen, eine ausgewogene Altersstruktur zu schaffen und im Interesse einer Verteilung der Beschäftigung zwischen den Generationen die berufliche Eingliederung jüngerer Arbeitnehmer zu fördern. Entsprechend verneinte er eine Diskriminierung (Urteil des EuGH vom 5. Juli 2012 C-141/11 Hörnfeldt, Rz. 47; Urteil vom 21. Juli 2011 C-159/10 und C-160/10 Fuchs und Köhler, Rz. 50 und 64, unter Bezugnahme auf die früheren Urteile vom 16. Oktober 2007 C-411/05 Palacios de la Villa und vom 12. Oktober 2010 C-45/09 Rosenbladt).
Eine solche Kündigung bzw. eine Kündigung, die gegenüber einem Angestellten ausgesprochen wird, der mit seinen 70 Jahren das allgemeine Pensionsalter längst überschritten hat, wird auch nicht deshalb missbräuchlich, weil vier Monate später ein Betriebsübergang stattfindet. Ebenso wenig kann der Beschwerdeführer eine Anwendung von <ref-law> herbeireden, weil seine Stelle für das neue Schulsemester mit einer jüngeren Dozentin belegt wurde. Es liegt auf der Hand, dass nach erfolgter Pensionierung die frei gewordene Stelle von einer jüngeren Dozierenden übernommen wird, wenn sie nicht gestrichen wird.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG). Mit Blick auf den Streitwert und die Natur der Streitigkeit kommen reduzierte Kosten in Ansatz (<ref-law>). Dagegen ist die volle Parteientschädigung geschuldet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze