Erwägungen:
1.
Der Gemeinderat Ernetschwil genehmigte am 10. August 2010 mit dem "Teilstrassenplan mit Strassenklassierungen" die Umklassierung des Eggwegs im über das Grundstück Nr. 555 verlaufenden Abschnitt zwischen der Züblistasse und dem Grundstück Nr. 362 als Gemeindeweg zweiter Klasse. Der Gemeinderat Ernetschwil wies am 29. November 2010 die von X._ gegen diese Umklassierung erhobene Einsprache ab. Den dagegen von X._ erhobenen Rekurs wies das Baudepartement des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 8. Juni 2012 ab. X._ erhob gegen diesen Entscheid Beschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 30. April 2013 abwies, soweit es darauf eintrat.
2.
X._ führt mit Eingabe vom 10. Juni 2013 (Postaufgabe 12. Juni 2013) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 30. April 2012. Da das angefochtene Urteil der Beschwerde nicht beilag, forderte das Bundesgericht den Beschwerdeführer mit Verfügung vom 13. Juni 2013 auf, das fehlende Urteil bis spätestens am 27. Juni 2013 beim Bundesgericht einzureichen. Mit Eingabe vom 24. Juni 2013 (Postaufgabe 26. Juni 2013) reichte X._ das angefochtene Urteil sowie eine Beschwerdeergänzung beim Bundesgericht ein. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, setzt sich mit der Begründung des angefochtenen Urteils des Verwaltungsgerichts überhaupt nicht auseinander. Aus seinen Ausführungen ergibt sich daher nicht, inwiefern die Begründung des verwaltungsgerichtlichen Urteils bzw. das Urteil selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Politischen Gemeinde Gommiswald sowie dem Baudepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juni 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli