Sachverhalt:
A.
A.a. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: SVA) sprach der 2004 geborenen B._ ab 1. Mai 2004 eine monatliche Ergänzungsleistung (EL) zu (Verfügung vom 22. Juli 2004). Es handelte sich dabei um einen Teilanspruch der ihrer Mutter, Bezügerin einer Invalidenrente, zustehenden Ergänzungsleistungen. Die IV richtete der Mutter zudem für die in einem Heim lebende Tochter eine Kinderrente aus. Am 21. Februar 2006 übersiedelte B._ zu Pflegeeltern. Die SVA berechnete die Ergänzungsleistungen ab März 2006 neu, dies in der Annahme, das Kind sei fortan eine Nichtheimbewohnerin. Im Januar 2009 verstarb die Mutter. Seit 1. Februar 2009 bezieht B._ (deren Vater unbekannt ist) eine Vollwaisenrente der AHV und dazu eine EL.
A.b. Mit Verfügung vom 9. Juni 2011 setzte die SVA den EL-Anspruch ab 1. Mai 2011 auf monatlich Fr. 572.- fest. Der Vormund von B._ erhob Einsprache. Die Durchführungsstelle drohte eine reformatio in peius an, da bei der Festsetzung der EL jeweils zu hohe Mietausgaben berücksichtigt worden seien. B._ hielt an der Einsprache fest. Die SVA wies diese mit Entscheid vom 4. November 2011 ab. Sie legte den EL-Anspruch ab Mai 2011 auf monatlich Fr. 319.- fest.
B.
Soweit es darauf eintrat, hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die von B._ hiegegen erhobene Beschwerde gut. Es hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur Neuberechnung des Anspruches ab 1. Mai 2011 an die SVA zurück. Dazu erwog es, eine Pflegefamilie mit behördlicher Bewilligung sei von Bundesrechts wegen als heimähnliche Institution zu betrachten; die SVA habe die ab Mai 2011 festzusetzende Ergänzungsleistung für B._ als Heimbewohnerin zu berechnen (Entscheid vom 11. Dezember 2012).
C.
Die SVA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt die Aufhebung des kantonalen Entscheides und Bestätigung des Einspracheentscheides.
B._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde und ersucht um unentgeltliche Prozessführung vor dem Bundesgericht. Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen vorinstanzlichen Entscheid handelt es sich aufgrund der dispositivmässigen Verpflichtung der SVA zur Neuberechnung des EL-Anspruchs und zu neuer Verfügung um einen Rückweisungsentscheid und damit um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Die in solchen Fällen für eine selbstständige Anfechtung erforderliche Voraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von lit. a der genannten Bestimmung ist erfüllt, da die Beschwerdeführerin gezwungen würde, entgegen ihrer Rechtsauffassung eine neue Verfügung zu erlassen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483; Urteil 8C_79/2010 vom 24. September 2010 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2.
2.1. Nach <ref-law> richten Bund und Kantone Ergänzungsleistungen aus an Personen, deren Existenzbedarf durch die Leistungen der Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung nicht gedeckt ist (Abs. 1). Das Gesetz legt den Umfang der Ergänzungsleistungen sowie die Aufgaben und Zuständigkeiten von Bund und Kantonen fest (Abs. 2).
2.2. Gemäss Art. 2 Abs. 1 ELG gewähren der Bund und die Kantone Personen, welche die Voraussetzungen nach den Art. 4-6 ELG erfüllen, Ergänzungsleistungen zur Deckung ihres Existenzbedarfs. Nach Art. 4 Abs. 1 lit. abis ELG haben Personen mit Wohnsitz und gewöhnlichem Aufenthalt in der Schweiz Anspruch auf Ergänzungsleistungen, wenn sie Anspruch auf eine Waisenrente der AHV haben. Aufgrund von Art. 9 Abs. 1 ELG entspricht die jährliche Ergänzungsleistung dem Betrag, um den die anerkannten Ausgaben (Art. 10 ELG) die anrechenbaren Einnahmen (Art. 11 ELG) übersteigen. Für in Heimen oder Spitälern wohnende Personen sind dazu in Art. 10 Abs. 2 und 11 Abs. 2 ELG spezielle Regelungen getroffen worden. So wird gemäss Art. 10 Abs. 2 ELG die Tagestaxe als Ausgabe anerkannt; die Kantone können die Kosten begrenzen, die wegen des Aufenthaltes in einem Heim oder Spital berücksichtigt werden; sie sorgen dafür, dass durch den Aufenthalt in einem anerkannten Pflegeheim in der Regel keine Sozialhilfe-Abhängigkeit begründet wird (lit. a).
2.3. Nach Art. 9 Abs. 5 lit. h ELG bestimmt der Bundesrat die Definition des Heimes. Auf dieser - weiten - Delegationsgrundlage hat er in Art. 25a Abs. 1 ELV geregelt, dass als Heim jede Einrichtung gilt, die von einem Kanton als Heim anerkannt wird oder über eine kantonale Betriebsbewilligung verfügt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat als Bezügerin einer Waisenrente der AHV einen gesetzlichen Anspruch auf EL zur Deckung ihres Existenzbedarfs (E. 2.2). Streitig und zu prüfen ist, ob die in einer Pflegefamilie betreute Bezügerin bei der Berechnung der Anspruchshöhe als zu Hause lebende Person (Art. 10 Abs. 1 ELG) oder als Person, die dauernd oder längere Zeit in einem Heim lebt (Art. 10 Abs. 2 ELG), zu betrachten ist.
3.1. Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der ratio legis. Dabei befolgt das Bundesgericht einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es namentlich ab, die einzelnen Auslegungselemente einer hierarchischen Ordnung zu unterstellen. Die Gesetzesmaterialien können beigezogen werden, wenn sie auf die streitige Frage eine klare Antwort geben (<ref-ruling> E. 6.6.2.1 S. 37; <ref-ruling> E. 7.1 S. 203; <ref-ruling> E. 5.1 S. 53; <ref-ruling> E. 5.2 S. 311). Verordnungsrecht ist gesetzeskonform auszulegen. Es sind die gesetzgeberischen Anordnungen, Wertungen und der in der Delegationsnorm eröffnete Gestaltungsspielraum mit seinen Grenzen zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 170 f. mit Hinweisen).
3.2. Wie die Vorinstanz bei der Prüfung der konkreten Verhältnisse anhand der kantonalrechtlichen Gegebenheiten festgestellt hat, ist die Pflegefamilie vom Kanton nicht als Heim anerkannt und verfügt auch nicht über eine kantonale Betriebsbewilligung. Demnach lebe die Beschwerdegegnerin nicht in einem Heim nach Art. 25a Abs. 1 ELV. Jedoch sei der Bundesrat hier mit der Heimdefinition der gesetzgeberischen Vorgabe in Art. 9 Abs. 5 lit. h ELG (vorne E. 2.3) nicht nachgekommen. In der Botschaft vom 7. September 2005 zur Ausführungsgesetzgebung zur Neugestaltung des Finanzausgleichs und der Aufgabenteilung zwischen Bund und Kantonen (NFA; BBl 2005 6029 ff.) sei zum entsprechenden Artikel ausdrücklich festgehalten worden, es müsse einheitlich definiert sein, was ein Heim ist; denn dies sei wesentlich bei Kantonswechseln der EL-beziehenden Person (BBl 2005 6228). Bei dieser gesetzgeberischen Vorgabe könne es nicht angehen, in der Verordnung die Heimdefinition an die Kantone weiterzudelegieren und ihnen, ohne wenigstens grobe Rahmenbedingungen zu setzen, dabei gänzlich freie Hand zu lassen. Es werde damit in Kauf genommen, dass auch äusserst restriktive kantonale Regelungen toleriert würden, mit denen der verfassungsmässige Anspruch auf Existenzsicherung unterschritten werde.
Da die ELV - so die Vorinstanz weiter - die bundesrechtlich geforderte Definition des Heimbegriffs nicht ausreichend und in gesetzmässiger Art normiere, habe dies die Rechtsprechung zu tun. Dazu seien die unter dem früheren EL-Recht mit <ref-ruling> höchstrichterlich vorgegebenen Leitlinien zur Abgrenzung der Heime oder heimähnlichen Institutionen nach wie vor tauglich. Entscheidend sei hier auf die Heimbedürftigkeit der betreuten Person und darauf abzustellen, ob die Institution jener in adäquater Weise zu genügen vermöge. Dies beurteile sich vorab danach, ob die erforderlichen organisatorischen, infrastrukturellen und personellen Voraussetzungen gegeben seien. Die Einstufung als Heim oder heimähnliche Institution im Sinne des Ergänzungsleistungsrechts könne auch dann erfolgen, wenn es (wie hier) an einer Anerkennung oder Bewilligung nach kantonalem Heimrecht fehle. Die Vorinstanz kam zum Schluss, die Pflegefamilie der Beschwerdegegnerin sei als Pflegefamilie mit dafür erforderlicher behördlicher Bewilligung von Bundesrechts wegen als heimähnliche Institution zu betrachten. Sie hob den Einspracheentscheid auf und wies die Verwaltung an, die ab Mai 2011 festzusetzende Ergänzungsleistung für die Beschwerdegegnerin als Heimbewohnerin zu berechnen.
3.3. Hiegegen wendet die Beschwerdeführerin ein, indem die Vorinstanz den vom Bundesrat erlassenen Art. 25a ELV als gesetzwidrig beurteile und den Begriff des Heims nach den Vorgaben von <ref-ruling> auf den konkreten Fall bezogen auslege, verletze sie Bundesrecht. Diese Prüfung obliege seit dem Inkrafttreten von Art. 25a ELV nicht mehr den Gerichten. Sie hätten sich vielmehr an den Vorgaben der Kantone und deren Einstufungen zu orientieren. Im Bundesrecht gelte im Bereich der AHV zudem eine analoge Regelung, indem gemäss <ref-law> als Heim im Sinne von <ref-law> jede Einrichtung gilt, die von einem Kanton als Heim anerkannt wird oder über eine kantonale Betriebsbewilligung als Heim verfügt. Das Bundesgericht habe mit Urteil 9C_177/2012 vom 3. Juli 2012 E. 3 diese (im Wortlaut gleich wie Art. 25a ELV ausgestaltete) Vorschrift als gesetzmässig geschützt und dabei festgehalten, dass es bei der unmissverständlichen Definition auf Verordnungsstufe nicht den Ausgleichskassen und Gerichten obliege, noch materielle Gesichtspunkte zu prüfen. Analog beurteile sich auch im EL-Recht allein nach formellen Kriterien, ob sich eine Person in einem Heim aufhält. Verwaltung und Sozialversicherungsgericht hätten sich daran zu orientieren, ob der Kanton eine Institution als Heim anerkannt oder dieser die Betriebsbewilligung erteilt habe.
4.
4.1. Die im Rahmen der Neugestaltung des Finanzausgleichs und der Aufgabenteilung zwischen Bund und Kantonen (NFA) auf den 1. Januar 2008 erfolgte Aufgabenentflechtung zwischen Bund und Kantonen hatte im Bereich der EL-Gesetzgebung zur Folge, dass das bisherige Subventionsgesetz durch ein Leistungsgesetz abgelöst wurde (BBl 2005 6031, Übersicht). Nach dem bis 31. Dezember 2007 in Kraft gestandenen Art. 196 Ziff. 10 Übergangsbestimmungen zu <ref-law> richtete der Bund den Kantonen Beiträge an die Finanzierung von Ergänzungsleistungen aus, solange die eidgenössische AHV/IV den Rentnerinnen und Rentnern den Existenzbedarf nicht deckte. Aufgrund des auf 1. Januar 2008 in Kraft gesetzten <ref-law> richten nun Bund und Kantone Ergänzungsleistungen aus an Personen, deren Existenzbedarf durch die Leistungen der AHV/IV nicht gedeckt ist, wobei das Gesetz den Umfang der Ergänzungsleistungen sowie die Aufgaben und Zuständigkeiten von Bund und Kantonen festlegt (E. 2.1).
4.2. Nach der Botschaft soll mit der Aufgabenneuverteilung die Deckung des allgemeinen Existenzbedarfs der EL-Bezügerinnen und -Bezüger zu fünf Achteln durch den Bund und zu drei Achteln durch die Kantone getragen werden. Die Finanzierung ist in Art. 13 ELG geregelt, in welchem der eben genannte Schlüssel mit Bezug auf die jährlichen Ergänzungsleistungen verankert ist (Abs. 1) und bestimmt wird, dass der Bund auch bei in Heimen oder Spitälern lebenden Personen fünf Achtel der jährlichen Ergänzungsleistungen übernimmt, soweit die in Art. 10 ELG vorgesehenen Beträge für den allgemeinen Lebensbedarf, den höchstmöglichen Mietzins und die anerkannten Ausgaben durch die anrechenbaren Einnahmen der EL-Bezügerinnen und -Bezüger nicht gedeckt sind (Abs. 2). Die mit dem Heim- oder Spitalaufenthalt in direktem Zusammenhang stehenden Einnahmen werden dabei nicht berücksichtigt. Den Rest tragen die Kantone. Es betrifft dies die EL zur Deckung zusätzlicher Heimkosten sowie der Krankheits- und Behinderungskosten, welche vollständig zu Lasten der Kantone gehen. Die Botschaft fasst die Teilentflechtung zwischen Bund und Kantonen wie folgt zusammen: Existenzsicherung: 5/8 Bund und 3/8 Kantone; Vergütung der Krankheits- und Behinderungskosten: 100 % Kantone. Dabei will der Bundesrat an minimalen Handlungsspielräumen der Kantone festhalten (BBl 2005 6223 Ziff. 2.9.8.1.6). Die Kantone bestimmen selbstständig die Höhe der anrechenbaren Heimtaxen und beeinflussen damit auch den von ihnen zu tragenden EL-Teil (BBl 2005 6224 Ziff. 2.9.8.2.2).
4.3. Nach der Botschaft muss einheitlich definiert sein, was ein Heim ist. Dies ist wesentlich bei Kantonswechseln der EL-beziehenden Person. Wichtig ist auch eine Koordination mit der Invalidenversicherung. Letzteres wird damit erreicht, dass eine Institution, die nach der Definition des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2006 über die Institutionen zur Förderung der Eingliederung von invaliden Personen (IFEG; SR 831.26) ein Heim ist - diese werden nach <ref-law> durch den Kanton anerkannt -, auch nach dem ELG als Heim gelten soll (BBl 2005 6228).
4.4. Die Delegationsnorm von Art. 9 Abs. 5 lit. h ELG lässt dem Bundesrat eine weite Gestaltungsfreiheit in der Setzung unselbstständigen Verordnungsrechts; sie enthält keine Vorgaben, unter welchen Voraussetzungen die Kantone Heime anzuerkennen oder ihnen eine Betriebsbewilligung zu erteilen haben. Nach den Materialien (Botschaft, Kommissionsprotokolle, AB) passierte die Regelung die Beratung der Gesetzesvorlage diskussionslos und unbestritten. Unter diesen Umständen hat sich das Bundesgericht nach <ref-law> auf die Prüfung zu beschränken, ob Art. 25a Abs. 1 ELV offensichtlich aus dem Rahmen der delegierten Kompetenz fällt oder aus anderen Gründen gesetzwidrig ist. Soweit das Gesetz den Bundesrat nicht ermächtigt, von der Verfassung abzuweichen, befindet das Gericht auch über die Verfassungsmässigkeit der unselbstständigen Verordnung. Die vom Verordnungsgeber in Art. 25a Abs. 1 ELV getroffene Regelung ist unter sämtlichen genannten Aspekten rechtlich nicht zu beanstanden. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, sich zu deren wirtschaftlichen oder politischen Sachgerechtigkeit zu äussern (vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 330 f. mit Hinweisen).
4.5. Wenn eine wesentliche Funktion der einheitlichen Heimdefinition nach Art. 9 Abs. 5 lit. h ELG in Verbindung mit Art. 25a Abs. 1 ELV darin bestehen soll, dass EL-Bezügerinnen und -Bezüger beim Kantonswechsel wissen, ob sie EL-rechtlich neu in ein Heim eintreten oder in ein anderes Heim wechseln oder mit dem Wechsel aus einem Heim austreten (was auch kantonsintern von Relevanz ist), wird dieser gesetzlichen Vorgabe mit einer kantonalen Liste ohne weiteres Genüge getan. Flankierend hinzu kommen die Regelung in Art. 25a Abs. 2 ELV (bei IV-Hilflosenentschädigung) und die bereits genannte Koordination mit dem IFEG (vorne E. 4.3). Aufgrund des übergeordneten Rechts besteht kein zusätzlicher Regelungsbedarf durch Verwaltung und Gerichte. Die Rechtsprechung nach <ref-ruling> ist durch die bundesrechtliche Neuregelung überholt. Ausgelegt nach Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihr zugrunde liegenden Wertungen ist die Regelung in Art. 25a ELV verfassungs- und gesetzeskonform. Wenn Art. 9 Abs. 5 lit. h ELG regelt, der Bundesrat bestimme die Definition des Heimes, kann dieser die Kompetenz an die Kantone weiterdelegieren. Es ist im Sinne der ratio legis, dass dafür die Kantone zuständig sind, soweit nicht ohnehin bundesrechtliche Regelungen Platz greifen.
5.
5.1. Damit wird entgegen der Befürchtung der Vorinstanz nicht in Kauf genommen, dass restriktive kantonale Regelungen zu tolerieren sind, mit denen der verfassungsmässige Anspruch auf Existenzsicherung unterschritten wird. Denn das aus den Materialien ersichtliche Postulat einer einheitlichen Heimdefinition ist von Art. 25a ELV in dem Sinne erfüllt, als die Verordnungsnorm die Anerkennungsvoraussetzungen klar und einheitlich definiert. Dass deren Erfüllung in concreto von einer kantonalen Heimzulassung abhängt, macht die bundesrechtlich geforderte Einheitlichkeit keineswegs rückgängig. Gemäss der Übersicht im kantonalen Entscheid über die einschlägigen kantonalrechtlichen Grundlagen (vorinstanzliche E. 4.3-4.6) sind im Kanton St. Gallen als Heime anerkannt die Leistungserbringer, welche in die gestützt auf <ref-law> (im Hinblick auf Pflege, medizinische Betreuung und Rehabilitation von Langzeitpatienten) erstellte Pflegeheimliste der Kantonsregierung (sGS 381.181; Liste im Anhang) aufgenommen sind. Welche Einrichtungen eine Betriebsbewilligung für das Betreiben eines privaten Betagten- oder Pflegeheims mit mehr als fünf Plätzen gemäss Art. 32 des Sozialhilfegesetzes des Kantons St. Gallen vom 27. September 1998 (sGS 381.1; vgl. die Verordnung vom 3. Februar 2004 über private Betagten- und Pflegeheime [VBP; sGS 381.18]) erhalten haben, ist aus einem Verzeichnis des kantonalen Departements des Innern ersichtlich. Über eine kantonale Bewilligung können ferner private Behinderteneinrichtungen verfügen. Der Kanton St. Gallen führt für Einrichtungen der Heimpflege von Unmündigen und Kindern unter zwölf Jahren auf der Grundlage von Art. 3 und 13 ff. der bundesrätlichen Verordnung vom 19. Oktober 1977 über die Aufnahme von Pflegekindern (Pflegekinderverordnung, PAVO; SR 211.222.338) gemäss Art. 4 der kantonalen Verordnung vom 21. September 1999 über Kinder- und Jugendheime (KJV; sGS 912.4) ein Verzeichnis der Kinder- und Jugendheime und der sozial- und heilpädagogischen Pflegefamilien mit Betriebsbewilligung. Nach Art. 1 Abs. 1 KJV gilt die Verordnung für Einrichtungen der Heimpflege, die dazu bestimmt sind, wenigstens drei Unmündige tags- und nachtsüber aufzunehmen (lit. a) und wenigstens sechs Kinder unter zwölf Jahren regelmässig tagsüber zu betreuen (lit. b).
5.2. Damit ist es denn auch keineswegs ausgeschlossen, dass sich eine Pflegefamilie als Heim im EL-rechtlichen Sinne vom Kanton anerkennen lassen kann, womit die Voraussetzung nach Art. 25a ELV erfüllt wäre. Zeigt sich im Einzelfall, dass dieser Anspruch durch die bestehenden kantonalen Regelungen nicht gewährleistet wird, sind diese entsprechend zu korrigieren. Dabei kann es auch erforderlich sein, dass der Kanton im Heimbereich seine Anerkennungs- oder Bewilligungsgrundlagen anpasst. Eine allenfalls bestehende Lücke bei der Deckung des Existenzbedarfes wäre vorübergehend durch Sozialhilfeleistungen zu überbrücken. Nach der Botschaft ist dies nicht explizit ausgeschlossen, es soll aber nach Möglichkeit verhindert werden, dass zu den Ergänzungsleistungen noch Sozialhilfe beansprucht werden muss (BBl 2005 6226 Ziff. 2.9.8.3 zu Art. 2 E-ELG). Dem wird unter dem neuen EL-Recht bereits durch den Wegfall früherer Anspruchsbegrenzungen entgegengewirkt (BBl 2005 6224 Ziff. 2.9.8.2.2). Soweit der Bund nicht Regelungen getroffen hat (bspw. in der Koordination mit der Invalidenversicherung oder der Hilflosenentschädigung; oben E. 4.3 und 4.5), liegt der Handlungsbedarf im Heimbereich grundsätzlich beim Kanton; denn die Ergänzungsleistungen des Bundes dienen ungeachtet der Wohnsituation der Bezüger der (teilweisen) Deckung des allgemeinen Existenzbedarfes der Berechtigten. Die Ergänzungsleistungen zur Deckung der zusätzlichen Heimkosten sowie der Krankheits- und Behinderungskosten gehen hingegen vollständig zu Lasten der Kantone (BBl 2005 6223 Ziff. 2.9.8.2.1).
6.
Folglich war der Beschwerdegegnerin aufgrund der im hier massgebenden Zeitpunkt bestehenden kantonalen Rechtslage die Ergänzungsleistung nicht als Heimbewohnerin zu berechnen. Die Pflegefamilie, bei der sie wohnt, war vom Kanton nicht als Heim anerkannt, und sie verfügte auch nicht über eine kantonale Betriebsbewilligung als solches. Die Beschwerde ist begründet.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird entsprochen (<ref-law>). Sie hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 11. Dezember 2012 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen vom 4. November 2011 bestätigt.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Dieter Studer, Kreuzlingen, wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdegegnerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.- ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Juni 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Schmutz