Faits:
A. A.a Par décision du 22 février 2007, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a rejeté la demande de prestations de l'assurance-invalidité présentée le 15 décembre 2004 par P._, au motif que sa capacité de travail était entière dans toute activité adaptée aux limitations fonctionnelles - limitation des déplacements à 50 m environ et à plat, pas de station debout prolongée, pas de port de charges de plus de 15 kg - et qu'il n'avait aucun droit à des prestations. L'assuré a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, qui l'a rejeté par arrêt du 6 mars 2008, et contre ce jugement devant le Tribunal fédéral, qui l'a rejeté par arrêt du 5 mars 2009.
A.b P._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité les 27 avril et 20 mai 2009. Il a produit un rapport d'expertise privée du 18 avril 2008 du docteur C._ (spécialiste FMH en chirurgie orthopédique), ainsi que plusieurs autres documents médicaux.
Dans un avis du 14 septembre 2009, la doctoresse M._, médecin du SMR, a conclu à une incapacité de travail dans toute activité depuis le 9 novembre 2006, vu la survenance d'une épicondylite gauche, d'une capsulose rétractile de l'épaule gauche et de discopathies C3-C4 et C4-C5 depuis le dernier examen des médecins du SMR du 13 juillet 2006. Cet avis a été rectifié par la doctoresse S._, médecin du SMR, dans un avis du 4 janvier 2010 où se référant à la consultation du docteur O._ du 30 avril 2007 lors de laquelle ce médecin avait constaté une aggravation de l'état de santé du patient, elle a retenu que l'assuré avait présenté une aggravation de son état de santé avec une incapacité totale de travail dans toute activité depuis avril 2007. Dans un préavis du 15 janvier 2010, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a informé P._ que sa capacité de travail était considérablement restreinte depuis le 1er avril 2007 (début du délai d'attente d'un an) et qu'il présentait une invalidité de 100 % depuis le 1er avril 2008 et avait droit à une rente entière dès le 1er octobre 2009 (échéance de la période de six mois à compter de la date à laquelle il avait fait valoir son droit à des prestations). Par décision du 24 mars 2010, il lui a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er octobre 2009.
B. Le 5 mai 2010, P._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation en tant qu'elle fixait le début du droit à la rente au 1er octobre 2009. Il formulait également une demande de révision de la décision de l'office AI du 22 mars (recte: février) 2007 et de l'arrêt du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 6 mars 2008, dont il requérait l'annulation. La juridiction cantonale était invitée à dire et prononcer que le droit à une rente entière d'invalidité avait débuté le 1er novembre 2007 et à condamner l'office AI à allouer à l'assuré de manière rétroactive les prestations dues, avec un intérêt de 5 %.
Le 1er juin 2010, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a conclu au rejet du recours. Dans ses observations du 22 juin 2010, P._, en modification de ses conclusions précédentes faisant remonter le début du droit à la rente au 1er novembre 2007, a demandé que son droit à une rente entière d'invalidité soit reconnu dès le 1er février 2007 (trois mois à compter du 9 novembre 2006, date à laquelle la doctoresse M._ avait fait remonter l'incapacité de travail dans toute activité).
L'office AI, au vu des arguments avancés par l'assuré, a demandé qu'il soit procédé à un complément d'instruction (lettre du 13 juillet 2010). Interpellé par la juridiction cantonale, il a produit un avis médical de la doctoresse S._ du 9 août 2010 et requis le 13 août 2010 le renvoi de la cause pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise médicale indépendante, en vue d'une évaluation spécifique. Le 1er septembre 2010, P._ a déposé ses observations.
Par arrêt du 12 mai 2011, la juridiction cantonale a déclaré la demande de révision irrecevable et l'a transmise au Tribunal fédéral comme objet de sa compétence (ch. 1 et 2 du dispositif). Il a déclaré le recours recevable et l'a rejeté (ch. 3 et 4 du dispositif). Il a mis un émolument de 200 fr. à la charge de P._ (ch. 5 du dispositif).
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à l'annulation de la décision de l'office AI du 24 mars 2010 en tant qu'elle fixe le début du droit à la rente au 1er octobre 2009, le Tribunal fédéral étant invité à dire et prononcer que le droit à la rente entière d'invalidité ainsi que le droit à son paiement débutent le 1er novembre 2007, voire le 1er mai 2008 au plus tard.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law> et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (<ref-law>) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
2. Le litige, relatif au droit du recourant à une rente entière d'invalidité, a trait à l'état de santé de l'assuré et à son incidence sur sa capacité de travail et de gain et porte sur le point de savoir à quand remonte la naissance de son droit à la rente, singulièrement si la rente doit être versée au recourant à compter du 1er novembre 2007, voire du 1er mai 2008.
3. Les premiers juges ont retenu que le recourant avait présenté une incapacité de travail totale dans toute activité depuis le mois d'avril 2007. Ils ont admis que son invalidité était de 100 % depuis avril 2008.
3.1 La juridiction cantonale a considéré qu'il n'était nullement décisif que le docteur C._, en notant dans son rapport du 18 avril 2008 que l'incapacité totale de travail était très vraisemblablement demeurée constante en tout cas depuis le début 2006, n'ait pas indiqué avec précision le début de l'incapacité de travail. En effet, il était possible de dater la dégradation de l'état de santé du recourant grâce aux nombreux autres certificats médicaux versés au dossier, notamment le certificat du docteur O._ du 15 mai 2007 qui faisait état d'une aggravation au 30 avril 2007 par rapport au contrôle effectué en novembre 2006 et évoquait le diagnostic de maladie de Paget. C'est d'ailleurs en se fondant sur les constats du docteur O._ lors de la consultation du 30 avril 2007 que la doctoresse S._, dans son avis du 4 janvier 2010, avait conclu à une incapacité de travail totale dans toute activité dès le mois d'avril 2007; l'indication du début de l'incapacité de travail en novembre 2006 dans l'avis de la doctoresse M._ du 14 septembre 2009 "(semblait) à l'évidence résulter d'une erreur de plume, corrigée par la Dresse S._ le 4 janvier 2010".
3.2 Le recourant invoque une constatation manifestement inexacte des faits de la part de la juridiction cantonale. Faisant grief aux premiers juges d'avoir fixé au mois d'avril 2007 le début de son incapacité totale de travail, il se réfère au rapport du docteur O._ du 9 novembre 2006 et à d'autres rapports médicaux relatifs à la période entre le 20 novembre 2006 et le 6 février 2007, dont il allègue qu'ils établissent les atteintes à la santé conduisant à l'incapacité de travail totale, et en déduit que son incapacité de travail était totale en tout cas depuis le début de l'année 2006 selon les conclusions du docteur C._ dans son rapport du 18 avril 2008, voire depuis novembre 2006 selon les conclusions de la doctoresse M._ dans son avis du 14 septembre 2009. Il reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas pris en compte (parmi les pièces produites le 5 mai 2010 en première instance) les documents suivants: la lettre adressée à l'office AI du 23 avril 2007, la lettre adressée à l'office AI du 5 juin 2007 et le chargé complémentaire (II) daté du même jour, le certificat médical du docteur O._ du 15 mai 2007, la lettre adressée à l'office AI du 8 août 2007 et le chargé complémentaire (III) daté du même jour, la lettre adressée à l'office AI du 5 octobre 2007.
3.3 Il n'apparaît pas que les premiers juges aient violé le droit fédéral en ce qui concerne les documents adressés à l'office AI qui étaient postérieurs à la décision du 22 février 2007 de refus de prestations. Le recourant lui-même n'indique nullement en quoi il y aurait eu violation du droit fédéral sur ce point. Il reprend bien plutôt son argumentation de première instance, fondée sur la demande de prestations de l'assurance-invalidité présentée le 15 décembre 2004, et ne démontre pas le caractère insoutenable, voire arbitraire des éléments de fait retenus par la juridiction cantonale par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.6 p. 130 et l'arrêt cité, 134 II 244 consid. 2.2 p. 246, 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3.4 La juridiction cantonale a admis que l'expertise privée du docteur C._ du 18 avril 2008 remplissait les critères jurisprudentiels permettant de reconnaître à un rapport médical pleine valeur probante (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352). Elle a considéré que l'expertise se fondait sur une étude détaillée du dossier médical, contenait une anamnèse fouillée, tenait compte des plaintes du patient et avait été établie à la suite d'un examen clinique complet et que les conclusions quant à l'incapacité de travail du recourant étaient motivées.
Toutefois, les conclusions du docteur C._ relatives à la capacité de travail de l'assuré ne sont pas dûment motivées en ce qui concerne le moment à partir duquel le recourant a présenté une incapacité totale de travail. Dans le rapport du 18 avril 2008, ce médecin a estimé que compte tenu des différentes pathologies qui étaient bien réelles et posaient des problèmes difficiles de traitement (le docteur G._ trouvait le cas difficile), le recourant n'avait pas pu retrouver une capacité de travail ni partielle, ni totale. Le docteur C._ n'a pas donné la raison pour laquelle il a considéré qu'en tout cas depuis le début de l'année 2006, l'incapacité totale de travail était très vraisemblablement demeurée constante. Son rapport du 18 avril 2008 n'a ainsi pas pleine valeur probante sur ce point.
3.5 Du jugement entrepris, il ressort que les médecins du SMR ont procédé le 13 juillet 2006 à un examen orthopédique et psychiatrique et que dans un rapport du 24 août 2006, ils n'ont retenu aucun diagnostic avec répercussion sur la capacité de travail et ont conclu à une capacité de travail exigible de 100 % du point de vue psychiatrique et somatique dans l'activité habituelle et dans une activité adaptée, conclusions qui ont été reprises par la doctoresse U._ dans un rapport d'examen SMR du 3 octobre 2006. Dans son avis du 14 septembre 2009, la doctoresse M._ a noté, depuis l'examen SMR du 13 juillet 2006, la survenance d'une épicondylite gauche et d'une capsulose rétractile de l'épaule gauche et de discopathies C3-C4 et C4-C5. L'IRM lombaire du 2 avril 2007 avait mis en évidence une importante discarthrose L5-S1 et un aspect singulier de L5 et S1. Les examens radiologiques avaient confirmé une maladie de Paget en D8, L5, l'ensemble du sacrum, la clavicule droite et l'omoplate droite lors de la scintigraphie osseuse le 11 mai 2007. Se référant au rapport du docteur O._ du 9 novembre 2006, la doctoresse M._ a considéré qu'il y avait lieu de reconnaître une incapacité de travail totale dans toute activité depuis novembre 2006. A la différence de la doctoresse M._, la doctoresse S._ s'est référée dans son avis du 4 janvier 2010 à la consultation du docteur O._ du 30 avril 2007, lors de laquelle ce médecin avait constaté une aggravation de l'état de santé du patient.
Même s'il est inexact de la part des premiers juges de parler d'une erreur de plume en ce qui concerne l'avis de la doctoresse M._ du 14 septembre 2009, il n'est nullement démontré que la juridiction cantonale ait procédé à une appréciation arbitraire des preuves. Les premiers juges ont exposé sous ch. 31/1 de l'état de fait (en page 9 du jugement entrepris) les problèmes du recourant décrits par le docteur O._ dans son rapport du 9 novembre 2006. Il ressort de ce document qu'un bilan ENMG réalisé le 5 septembre 2006 avait confirmé la présence d'un syndrome du tunnel carpien bilatéral plus marqué à gauche. Cela étant, le docteur O._ n'a fait état dans le rapport du 9 novembre 2006 d'aucun élément objectivement vérifiable en ce qui concerne l'état de santé du patient qui aurait été ignoré par les médecins du SMR dans leur rapport du 24 août 2006, ni ne s'est prononcé sur sa capacité de travail.
Le recourant ne discute pas l'aggravation de son état de santé constatée par le docteur O._ au contrôle du 30 avril 2007. La juridiction cantonale a exposé sous ch. 21 de l'état de fait (en page 6 du jugement entrepris) en quoi consistait l'aggravation de l'état de santé décrite par ce médecin dans son certificat médical du 15 mai 2007. Se fondant sur le contrôle du 30 avril 2007 effectué par le docteur O._, elle a considéré qu'il était possible de dater la dégradation de l'état de santé. C'est la raison pour laquelle les premiers juges se sont ralliés aux conclusions de la doctoresse S._ dans son avis du 4 janvier 2010. Sur le vu du certificat médical du docteur O._ du 15 mai 2007 et de l'avis de la doctoresse S._ du 4 janvier 2010, les affirmations du recourant (supra, consid. 3.2) ne permettent pas de considérer que la juridiction cantonale, en retenant que le recourant avait présenté une incapacité de travail totale dans toute activité depuis le mois d'avril 2007, ait établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le recours est mal fondé de ce chef.
3.6 Il s'ensuit que le délai d'attente d'une année a commencé à courir dès le mois d'avril 2007 (<ref-law>, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007). Il est arrivé à échéance en avril 2008, la condition de l'<ref-law> (nouvelle teneur selon la novelle du 6 octobre 2006, en vigueur depuis le 1er janvier 2008) étant ainsi réalisée.
4. La juridiction cantonale a considéré qu'il y avait lieu d'appliquer l'<ref-law>, dans sa nouvelle teneur en vigueur depuis le 1er janvier 2008. Le recourant n'ayant déposé sa nouvelle demande qu'en avril 2009, il ne pouvait dès lors se prévaloir de l'exception prévue par l'OFAS dans la lettre-circulaire n° 253 du 12 décembre 2007, intitulée "La 5e révision de l'AI et le droit transitoire".
4.1 L'<ref-law> (nouvelle teneur selon la novelle du 6 octobre 2006 [5ème révision de l'AI], en vigueur depuis le 1er janvier 2008) dispose que le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'<ref-law>, mais pas avant le mois qui suit le 18e anniversaire de l'assuré (al. 1). La rente est versée dès le début du mois au cours duquel le droit prend naissance (al. 3).
La lettre-circulaire n° 253 de l'OFAS du 12 décembre 2007, intitulée "La 5e révision de l'AI et le droit transitoire", prévoit que la règle selon laquelle la rente peut être versée au plus tôt six mois après le dépôt de la demande n'est pas applicable dans les cas pour lesquels le délai d'attente a commencé avant le 1er janvier 2008 et est échu dans l'année 2008. Dans ces cas, il suffit que la demande soit déposée le 31 décembre 2008 au plus tard. En dérogation à l'<ref-law> nouvelle teneur en vigueur depuis le 1er janvier 2008, la rente peut alors être versée dès que l'année d'attente est achevée.
4.2 Au regard de l'<ref-law> dans sa teneur en vigueur depuis le 1er janvier 2008, le moment où la personne assurée s'est annoncée à l'AI (<ref-law>) est déterminant pour l'échéance des six mois (Message du Conseil fédéral du 22 juin 2005 concernant la modification de la loi fédérale sur l'assurance-invalidité [5e révision de l'AI], FF 2005 4323).
Il appartenait à la juridiction cantonale d'examiner si le recourant s'est annoncé à l'AI au titre d'une aggravation de son état de santé avant le 27 avril 2009. Dans sa réponse du 1er juin 2010 au recours cantonal, l'intimé a indiqué que des éléments déterminants pour le traitement des faits qui étaient à l'origine de la nouvelle demande du recourant avaient été portés à sa connaissance durant la procédure pendante devant l'instance cantonale, que la suspension pouvait permettre de mieux orienter le champ des investigations de l'office AI, lequel avait des raisons suffisantes de surseoir à un nouvel examen du cas jusqu'à droit connu sur le recours pendant devant les juridictions cantonale (TCAS) et fédérale. Etant donné que l'intimé a pris la décision de surseoir à un nouvel examen du cas et que celle-ci remonte à la procédure pendante devant le Tribunal cantonal des assurances sociales, on doit considérer que l'office AI savait déjà à ce stade qu'il y aurait lieu de procéder à un nouvel examen du cas; selon le principe de la bonne foi, l'intimé ne peut pas par la suite considérer qu'il n'a pas été saisi implicitement ou expressément d'une nouvelle demande avant le 27 avril 2009. Il convient ainsi de retenir que le recourant s'est annoncé une nouvelle fois à l'AI bien avant le 31 décembre 2008. Attendu que le délai d'attente d'une année est arrivé à échéance en avril 2008 (supra, consid. 3.6), la rente d'invalidité peut être versée au recourant à partir de ce moment-là (cf. la lettre circulaire n° 253 de l'OFAS). Sur ce point, le recours est bien fondé.
5. 5.1 Selon un principe général, la demande en révision, sur le fond, doit être formée devant l'autorité qui, en dernière instance, a statué au fond (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 47 s.; ELISABETH ESCHER, in: M.A. Niggli/P. Uebersax/H. Wiprächtiger [édit.], Bundesgerichtsgesetz, Bâle 2011 (2ème éd.), ad Art. 123 BGG, n° 6 p. 1599; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Berne 2008, ad <ref-law>, ch. m. 4691 p. 1689 s.).
Lorsque le Tribunal fédéral, statuant sur la base des faits constatés dans la décision de l'instance précédente, admet ou rejette le recours en matière de droit public, son arrêt se substitue à la décision entreprise et constitue la seule décision en force (cf. <ref-law>) susceptible d'être révisée pour les motifs énumérés aux art. 121 et 123 LTF, de sorte qu'une demande en révision ne peut plus être formée devant l'instance précédente (arrêt 8C_602/2011 du 30 septembre 2011, consid. 1.3 et les références à l'<ref-ruling> consid. 2.2 p. 670 s. et à la doctrine). En revanche, la demande en révision doit être formée devant l'instance précédente si le Tribunal fédéral n'est pas entré en matière sur le recours en matière de droit public ou si elle porte exclusivement sur des aspects qui ne constituaient plus l'objet du litige devant le Tribunal fédéral (arrêts 8C_602/2011 du 30 septembre 2011 consid. 1.3 et 8C_775/2010 du 14 avril 2011 consid. 4.2.1).
5.2 Le recours en matière de droit public formé contre le jugement du 6 mars 2008 du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a été rejeté par arrêt du Tribunal fédéral du 5 mars 2009. Dans cet arrêt, le Tribunal fédéral a statué au fond, de sorte que le recourant ne pouvait plus, indépendamment du respect du délai, former une demande en révision sur le fond auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (arrêts 8C_602/2011 du 30 septembre 2011 consid. 1.4 et 8C_775/2010 du 14 avril 2011 consid. 4.2.2). Aussi est-ce à juste titre que la juridiction cantonale n'est pas entrée en matière sur la demande de révision du 5 mai 2010 (ch. 1 du dispositif du jugement entrepris). Le recours est mal fondé de ce chef.
5.3 Vu l'issue du recours en matière de droit public formé contre l'arrêt cantonal du 12 mai 2011 selon laquelle le recourant, qui a présenté une incapacité de travail totale dans toute activité depuis le mois d'avril 2007, a droit à une rente entière d'invalidité à partir du 1er avril 2008, la demande de révision du 5 mai 2010 est sans objet, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner si les conditions de recevabilité étaient remplies.
6. Cela étant, il se justifie d'annuler le ch. 4 du dispositif du jugement entrepris et la décision administrative litigieuse. Vu l'issue du litige, le recourant obtient partiellement gain de cause. Il se justifie de répartir les frais judiciaires à raison d'un quart à la charge du recourant et des trois quarts à la charge de l'intimé (<ref-law>). L'office intimé versera au recourant des dépens réduits dans la même proportion (<ref-law>). Il convient d'annuler le ch. 5 du dispositif du jugement entrepris et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis, en ce sens que le ch. 4 du dispositif du jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 12 mai 2011 et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 24 mars 2010 sont annulés. P._ a droit à une rente entière d'invalidité pour une invalidité de 100 % depuis le 1er avril 2008, date à partir de laquelle l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève procédera à son versement. Le ch. 5 du dispositif du jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 12 mai 2011 est annulé.
2. La demande de révision du 5 mai 2010 est sans objet.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 125 fr. à la charge du recourant et pour 375 fr. à la charge de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève.
4. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève versera au recourant la somme de 2'100 fr., y compris la taxe à la valeur ajoutée, à titre de dépens pour la procédure de dernière instance.
5. La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 14 mai 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Wagner