<ref-law> (Eheschutz), hat sich ergeben:
A.-Die Parteien heirateten am 5. Dezember 1980. Aus der Ehe gingen die zwei Kinder A._ (1981) und B._ (1983) hervor.
B.-Mit Entscheid vom 1. Juni 2001 im Eheschutzverfahren zwischen M.F._ und D.F._ hielt der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises XII Fruttigen-Niedersimmental fest, dass der gemeinsame Haushalt der Parteien seit 1. November 2000 aufgehoben ist. Er stellte den Sohn B._ unter die Obhut der Ehefrau und legte den monatlichen Unterhaltsbeitrag des Ehemannes an die Ehefrau und den Sohn inklusive Kinderzulagen für die Zeit von 1. Januar 2001 bis 31. August 2001 auf Fr. 1'725.--, danach auf Fr. 113.-- fest.
Diesen Entscheid focht die Ehefrau beim Appellationshof des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, an. Der Appellationshof erhöhte daraufhin den monatlichen Unterhaltsbeitrag für den Zeitraum vom 1. Januar bis zum 31. August 2001 auf Fr. 1'973.--, für die Zeit danach auf Fr. 621.--, inklusive Kinderzulagen. Im Übrigen wies er die Begehren ab.
C.-Mit staatsrechtlicher Beschwerde an das Bundesgericht beantragt die Ehefrau, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Überdies ersucht sie um die unentgeltliche Rechtspflege.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-a) Entscheide der oberen kantonalen Instanzen betreffend Eheschutzmassnahmen gelten nicht als Endentscheide im Sinne von Art. 48 Abs. 1 OG und können folglich nicht mit Berufung angefochten werden (BGE 43 II 275 f.; letzt- mals bestätigt in 127 III 474 E. 2c). Zulässig sind einzig eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde (<ref-ruling> E. 1 S. 416; <ref-ruling> E. 1 S. 71) oder staatsrechtliche Beschwerde (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1 S. 20; <ref-ruling> E. 1 S. 23). Im vorliegenden Fall werden keine Rügen im Sinne von Art. 68 ff. OG erhoben. Im Lichte der absoluten Subsidiarität (Art. 84 Abs. 2 OG) erweist sich die staatsrechtliche Beschwerde somit als zulässig.
b) Der angefochtene Entscheid schliesst das in Frage stehende Eheschutzverfahren ab. Es liegt demnach ein Endentscheid im Sinne von Art. 86 Abs. 1 i.V.m. Art. 87 OG vor.
2.- Die Rügen richten sich allesamt gegen die Berechnung der Unterhaltsbeiträge. Nach Darstellung der Beschwerdeführerin ist es willkürlich, ihr ein hypothetischen Einkommen anzurechnen. Als willkürlich rügt sie auch die Anrechnung beziehungsweise die Höhe gewisser Faktoren im Existenzminimum des Beschwerdegegners.
a) aa) Bei der Festsetzung der Unterhaltsbeiträge gemäss <ref-law> ist grundsätzlich von der bisherigen Aufgabenteilung zwischen den Ehegatten und damit auch von ihrem jeweiligen tatsächlichen Einkommen auszugehen (<ref-law>). Zugleich gilt der Grundsatz, dass jeder Ehegatte nach seinen Kräften an den gebührenden Unterhalt der Familie beizutragen hat (<ref-law>). Mit der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts ändern sich regelmässig sowohl der Bedarf der Familie als auch die Grundlagen der vereinbarten Aufgabenteilung. Ist die Änderung erheblich und von Dauer, so kann einem Ehegatten ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, soweit ihm eine Einkommenssteigerung möglich und zumutbar ist (<ref-ruling> E. 4a S. 316). <ref-law> umschreibt die Kriterien, welche für das zumutbare Einkommen im Hinblick auf den nachehelichen Unterhalt gelten. Diese sind auch für die Ermittlung des hypothetischen Einkommens im Zusammenhang mit Eheschutzmassnahmen massgeblich.
bb) Die Beschwerdeschrift muss im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 1c S. 76).
cc) Willkür liegt nach ständiger Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt den angefochtenen Entscheid wegen Verletzung von <ref-law> nur auf, wenn er im Ergebnis mit den tatsächlichen Verhältnissen in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2b). Rügt die Beschwerdeführerin Willkür in der Feststellung der Tatsachen, so verlangen die Begründungsanforderungen gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG, dass sie die der Feststellung widersprechenden Akten bezeichnet und den klaren Widerspruch aufzeigt (<ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 3a S. 115).
dd) Neue tatsächliche Vorbringen sind im Rahmen der Willkürbeschwerde grundsätzlich unzulässig. Massgeblich ist der Sachverhalt, wie er dem angefochtenen Entscheid zugrunde gelegt worden ist, es sei denn die Beschwerdeführerin weise nach, dass die kantonale Instanz verfassungswidrig unrichtige oder unvollständige tatsächliche Feststellungen getroffen hat (<ref-ruling> E. 5a mit Hinweisen).
b) Der Gerichtspräsident des Gerichtskreises XII Fruttigen-Niedersimmental, auf dessen Ausführungen der Appellationshof verweist, ist auf Seiten der Beschwerdeführerin ab 1. April 2001 von einer Arbeitsfähigkeit von fünfzig und ab 1. September 2001 von hundert Prozent ausgegangen.
Dabei hat er sich auf das von ihr eingereichte Arztzeugnis gestützt. Die Beschwerdeführerin bringt nun vor, angesichts der Tatsache, dass ihr die psychiatrische Fachärztin ab August 2001 einen mehrwöchigen stationären Klinikaufenthalt verordnet habe, sei die Annahme einer hundertprozentigen Arbeitsfähigkeit ab 1. September willkürlich.
Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, dass die Würdigung des Arztzeugnisses durch die kantonalen Instanzen willkürlich gewesen wäre. Dass sie sich stationär in eine Klinik begeben musste, geht aus dem Entscheid des Appellationshofs nicht hervor. Das Vorbringen ist also neu und deshalb unbeachtlich.
c) Was den Einwand der Beschwerdeführerin zur Höhe des erzielbaren Lohns betrifft, so vermag sie den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht zu genügen: Anstatt die behauptete Willkür im angefochtenen Entscheid im Einzelnen darzulegen, begnügt sie sich mit der Äusserung von vagen Zweifeln. Auf diese Rüge ist deshalb nicht einzutreten.
d) Die Beschwerdeführerin macht überdies geltend, sie sei während zwanzig Jahren vorwiegend als Familienfrau tätig gewesen. Diese Rollenverteilung habe der Appellationshof ausser Acht gelassen.
Die unter den Parteien vereinbarte Rollenverteilung ist im Rahmen der Zumutbarkeit insofern von Bedeutung, als sie aufgrund ihrer langen Dauer bei einem Ehegatten ein berechtigtes Vertrauen auf ihre Weitergeltung begründen kann (<ref-ruling> E. 4 S. 16). Die kantonalen Instanzen sind davon ausgegangen, dass die Beschwerdeführerin durch ihre familiären Verpflichtungen nur noch äusserst geringfügig belastet wird, nachdem beide Kinder die Mündigkeit erlangt haben. Sie haben weiter berücksichtigt, dass die Beschwerdeführerin 41 Jahre alt ist, über mehrjährige Berufserfahrung verfügt und seit einigen Jahren wieder zu zwanzig Prozent als Aushilfsangestellte in ihrem Beruf arbeitet. Unter diesen Umständen erweist sich das Abweichen von der bisherigen Rollenverteilung und die Zumutung eines vollen Wiedereinstiegs in die berufliche Tätigkeit nicht als willkürlich, zumal die kantonalen Instanzen der Beschwerdeführerin aufgrund ihres Gesundheitszustandes eine Übergangsfrist eingeräumt haben.
e) Die Feststellung des Appellationshofs über die Höhe der Liegenschaftskosten im Existenzminimum des Beschwerdegegners ficht die Beschwerdeführerin einzig dadurch an, dass sie ihr eine eigene Berechnung entgegenhält. Dass und inwiefern die Feststellung der kantonalen Instanz in klarem Widerspruch zu den Akten steht, legt sie nicht dar.
Auf diese Rüge kann demnach nicht eingetreten werden.
f) Auf die Rüge bezüglich der vom Appellationshof angenommenen Höhe der Steuern ist mangels klarer Begründung ebenfalls nicht einzutreten (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
g) Als willkürlich ficht die Beschwerdeführerin ferner an, dass die kantonalen Instanzen im Existenzminimum des Beschwerdegegners einen Unterhaltsbeitrag an die Tochter im Betrag von Fr. 800.-- berücksichtigt haben. Sie macht namentlich geltend, es sei nicht Sache des Eheschutzrichters, über Bestand und Höhe eines Unterhaltsbeitrages an ein mündiges Kind zu entscheiden.
Gemäss den Erwägungen im erstinstanzlichen Entscheid - die aufgrund des Verweises des Appellationshofs massgeblich sind - wurde der Unterhaltsbeitrag an die Tochter in das Existenzminimum des Beschwerdegegners aufgenommen, weil sich die Parteien auf diesen geeinigt haben.
Mit dieser Begründung setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Nachdem sie im erstinstanzlichen Verfahren selber beantragt hatte, der Beschwerdegegner sei bei seiner Bereitschaft zu behaften, der Tochter einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 800.-- zu bezahlen, erscheint die Berücksichtigung dieses Betrags nicht als willkürlich.
h) Was schliesslich die Wohnkosten im Existenzminimum des Beschwerdegegners anbelangt, bringt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht zum ersten Mal vor, er teile seine Wohnung mit seiner neuen Partnerin. Das Vorbringen ist neu und damit unbeachtlich. Die Vorinstanz hat keine Feststellungen darüber getroffen, wieviele Personen in der Wohnung des Beschwerdegegners wohnen beziehungsweise gemäss Mietvertrag wohnen können. Dass und wieso sie dahingehende Feststellungen hätte treffen müssen, legt die Beschwerdeführerin nicht in einer den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügenden Weise dar. Auf die Rüge betreffend Wohnkosten ist demnach nicht einzutreten.
3.-Zusammenfassend erweist sich die staatsrechtliche Beschwerde als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Nach diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin zu überbinden (Art. 156 Abs. 1 OG). Da die staatsrechtliche Beschwerde als von vornherein aussichtslos zu beurteilen gewesen ist, muss das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen werden (Art. 152 OG). Eine Parteientschädigung an den Beschwerdegegner fällt mangels Einladung zur Vernehmlassung nicht in Betracht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.-Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.-Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.-Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.-Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationshof des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 22. November 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: