Faits:
A.
Le 30 novembre 2012, A._, ressortissant guinéen, a été arrêté et placé en détention provisoire sous la prévention d'infraction à la loi fédérale sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) pour séjourner illégalement en Suisse depuis sa dernière interpellation, le 12 octobre 2012, et se trouver à Genève, à tout le moins le 29 novembre 2012, en se soustrayant aux autorités compétentes du canton d'Argovie qui entreprenaient les mesures pour mettre à exécution la décision de renvoi de Suisse dont il faisait l'objet.
Par acte d'accusation du 12 décembre 2012, le prénommé a été renvoyé en jugement devant le Tribunal de police du canton de Genève pour les faits précités. Cette autorité avait déjà été saisie récemment pour des faits similaires (cf. ordonnances sur opposition rendues par le Ministère public les 19 septembre et 13 novembre 2012). Plusieurs condamnations pour séjour illégal et non-respect d'une assignation à un lieu de résidence figurent au casier judiciaire du prénommé.
A la demande du Ministère public, le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Genève (ci-après: le Tmc) a ordonné la détention pour des motifs de sûreté le 17 décembre 2012. Par ordonnance du 28 décembre 2012, la direction du Tribunal de police s'est opposée à la demande de mise en liberté introduite par le prévenu et a transmis cette demande au Tmc qui l'a rejetée par décision du 2 janvier 2013.
B.
Par jugement rendu le 30 janvier 2013, dont le dispositif a été notifié séance tenante, le Tribunal de police a reconnu A._ coupable de séjours illégaux et non-respect d'une assignation à un lieu de résidence aux sens des art. 115 al. 1 let. b et 119 LEtr et l'a condamné à une peine privative de liberté de 6 mois (sous déduction de 66 jours de détention subie avant jugement), révoquant en outre le sursis octroyé le 27 mai 2011 à la peine de 10 jours-amende à 30 fr. Il a enfin ordonné le maintien en détention de l'intéressé pour une durée de 3 mois en application de l'<ref-law> (RS 312.0). Le 4 février 2013, A._ a formé une déclaration d'appel.
C.
Par écriture du 4 février 2013, A._ a formé recours contre le jugement du Tribunal de police auprès de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice); il se plaignait notamment d'une violation de son droit d'être entendu. Le Tribunal de police a communiqué à la Cour de justice le jugement motivé complet en annexe à ses observations du 7 février 2013; les motifs du maintien en détention pour des motifs de sûreté du recourant étaient explicités dans ledit jugement.
Le 20 février 2013, la Cour de justice a rejeté le recours et a confirmé le maintien de A._ en détention pour des motifs de sûreté. Elle a estimé qu'en indiquant les motifs de sa décision de maintien en détention avec le jugement motivé au fond rendu le 7 février 2013 et notifié le lendemain aux parties, le Tribunal de police respectait néanmoins encore le principe de célérité; elle a en outre retenu que les motifs de sa détention avaient été communiqués oralement lors de l'audience du 30 janvier 2013. Cela étant, même si l'on devait admettre qu'un tel délai consacrait une violation du droit d'être entendu du détenu, celui-ci aurait été réparé en procédure de recours. Enfin, sur le fond, l'instance précédente a admis l'existence du risque de fuite, qu'aucune mesure de substitution ne pouvait pallier.
D.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cette décision, de constater la violation de son droit d'être entendu par le Tribunal de police et d'ordonner sa mise en liberté immédiate principalement sans condition, subsidiairement moyennant une ou plusieurs mesures de substitution. Il conclut également à l'allocation d'une indemnité de dépens pour la procédure cantonale et fédérale.
La Cour de justice se réfère à sa décision. Le Ministère public conclut au rejet du recours aux termes de ses observations.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière pénale (<ref-law>) est ouvert contre une décision relative à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law>. Formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision prise en dernière instance cantonale (<ref-law>) et qui touche le recourant dans ses intérêts juridiquement protégés (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF), le recours en matière pénale est recevable.
2.
Invoquant une violation de l'art. 226 al. 2 deuxième phrase CPP, ainsi que des art. 3 al. 2 let. c CPP et 29 al. 2 Cst. (droit d'être entendu), le recourant soutient que le maintien en détention pour des motifs de sûreté ordonné par le Tribunal de première instance conformément à l'<ref-law> devait faire l'objet d'une décision motivée écrite séparée du jugement au fond rendue dans les plus brefs délais. Il critique la solution de la Cour de justice qui applique l'<ref-law> au cas d'espèce.
2.1. La détention pour des motifs de sûreté commence lorsque l'acte d'accusation est notifié au tribunal de première instance et s'achève lorsque le jugement devient exécutoire, que le prévenu commence à purger sa sanction privative de liberté ou qu'il soit libéré (<ref-law>). Conformément à l'<ref-law>, au moment du jugement, le tribunal de première instance détermine si le prévenu qui a été condamné doit être placé ou maintenu en détention pour des motifs de sûreté: (let. a ) pour garantir l'exécution de la peine ou de la mesure prononcée ou (let. b) en prévision de la procédure d'appel.
La procédure relative à la détention pour des motifs de sûreté devant le tribunal des mesures de contrainte est régie par l'<ref-law>. Cette disposition renvoie selon qu'il y a eu ou non détention provisoire préalable respectivement aux art. 225 et 226 (<ref-law>) ou à l'<ref-law> (<ref-law>).
L'<ref-law> dispose que le tribunal des mesures de contrainte statue immédiatement, mais au plus tard dans les 48 heures suivant la réception de la demande (al. 1). Il communique immédiatement et verbalement sa décision au ministère public, au prévenu et à son défenseur, ou par écrit si ceux-ci sont absents; la décision leur est en outre notifiée par écrit et brièvement motivée (al. 2).
Quant à l'<ref-law>, il porte sur la prolongation de la détention provisoire et prévoit que:
1 A l'expiration de la durée de la détention provisoire fixée par le tribunal des mesures de contrainte, le ministère public peut demander la prolongation de la détention. Si la durée de la détention n'est pas limitée, la demande doit être présentée dans les trois mois suivant le début de la détention.
2 Le ministère public transmet au tribunal des mesures de contrainte la demande de prolongation écrite et motivée, au plus tard quatre jours avant la fin de la période de détention, et y joint les pièces essentielles du dossier.
3 Le tribunal des mesures de contrainte accorde au détenu et à son défenseur le droit de consulter le dossier en sa possession et leur impartit un délai de trois jours pour s'exprimer par écrit sur la demande de prolongation.
4 Il peut ordonner une prolongation de la détention provisoire jusqu'à ce qu'il ait statué.
5 Le tribunal des mesures de contrainte statue au plus tard dans les cinq jours qui suivent la réception de la réplique ou l'expiration du délai fixé à l'al. 3. Il peut astreindre le ministère public à procéder à certains actes de procédure ou ordonner une mesure de substitution.
6 En règle générale, la procédure se déroule par écrit; toutefois, le tribunal des mesures de contrainte peut ordonner une audience; celle-ci se déroule à huis clos.
7 La détention provisoire peut être prolongée plusieurs fois, chaque fois de trois mois au plus et, dans des cas exceptionnels, de six mois au plus.
2.2. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst., art. 3 al. 2 let. c CPP) l'obligation pour le juge de motiver ses décisions afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Le juge doit ainsi mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités).
2.3. En l'espèce, le maintien en détention pour des motifs de sûreté du recourant a été ordonné en application de l'<ref-law> par le Tribunal de police dans le dispositif de son jugement rendu en présence des parties le 30 janvier 2013, dont les considérants écrits n'ont pas été notifiés immédiatement. Le Tribunal de police affirme avoir communiqué oralement au recourant, lors de l'audience de jugement du 30 janvier 2013, les motifs de sa détention; le procès-verbal de cette audience indique en effet que "la Présidente donne connaissance du dispositif, avec motivation orale brève, lequel est notifié séance tenante". Il n'y a dès lors pas lieu de douter de cette autorité lorsqu'elle soutient avoir donné une motivation orale sur ce point, ce d'autant moins que le recourant avait expressément conclu à la levée de la détention pour des motifs de sûreté pendant les débats. Cela étant, une motivation écrite sur la détention n'a été notifiée au recourant qu'avec le jugement au fond motivé rendu le 7 février 2013 et communiqué à l'intéressé le lendemain, soit plus de 9 jours après le prononcé du jugement de première instance. Il convient d'examiner si un tel procédé est conforme au droit.
2.4. Dans l'arrêt attaqué, l'instance précédente relève que si le juge d'appel - qui prononce la détention en application de l'<ref-law> - doit respecter le délai très bref découlant de l'<ref-law> (applicable par analogie; cf. <ref-ruling>) pour motiver la mise en détention pour des motifs de sûreté, le délai dont dispose le Tribunal de première instance est, quant à lui, celui qui résulte de l'<ref-law> portant sur la prolongation de la détention. La Cour de justice estime qu'aucune raison ne justifie que le juge du fond devrait rendre, après avoir condamné le prévenu, une décision plus rapidement que ne devait le faire auparavant le juge du contrôle de la détention, à savoir "dans les cinq jours qui suivent la réception de la réplique ou l'expiration du délai fixé à l'alinéa 3 de cette disposition" (cf. art. 227 al. 5 et 229 al. 3 let. b CPP); elle soutient que si la juridiction de jugement n'a pas encore rendu sa décision motivée sur le fond et sur le maintien de la détention à l'échéance de ce délai, elle doit, pour respecter le principe de célérité et le droit d'être entendu du recourant, rendre une décision motivée séparée sur la détention. Dans ces circonstances, la Cour de justice a estimé que le principe de célérité n'avait pas été violé ni, par conséquent, le droit d'être entendu du recourant.
Le recourant critique cette appréciation. Selon lui, les considérations évoquées par le Tribunal fédéral dans l'<ref-ruling> en lien avec une détention pour des motifs de sûreté prononcée par la juridiction d'appel en application de l'<ref-law> ("Détention pour des motifs de sûreté pendant la procédure devant la juridiction d'appel") vaudraient également pour le cas d'espèce, de sorte que les exigences découlant de l'<ref-law> seraient applicables par analogie. Par conséquent, le maintien en détention pour des motifs de sûreté ordonné par le Tribunal de police devait faire l'objet d'une décision motivée écrite séparée du jugement au fond rendue dans les plus brefs délais.
2.5. L'arrêt publié aux <ref-ruling> dont se prévaut le recourant a été rendu dans une cause où les motifs de détention du prévenu n'étaient apparus qu'au cours de la procédure devant la juridiction d'appel. Celle-ci avait alors ordonné, dans le cadre de son jugement sur appel, l'arrestation du condamné et son placement en détention pour des motifs de sûreté en application de l'<ref-law>. Dans cet arrêt, le Tribunal fédéral a confirmé que la décision de mise en détention pour des motifs de sûreté prise par la juridiction d'appel en application de cette disposition était soumise aux exigences de l'<ref-law>, applicable par analogie. Selon cette norme, le tribunal communique immédiatement et verbalement sa décision au ministère public, au prévenu et à son défenseur, la décision leur étant en outre notifiée par écrit et brièvement motivée. En se référant à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral a considéré qu'il n'était pas suffisant de prononcer la mesure de détention selon l'<ref-law> dans le dispositif du jugement sur appel, dès lors que la motivation de ce jugement n'était pas notifiée immédiatement. Il y avait lieu de rendre une décision séparée sur la détention afin que le condamné soit en mesure de contester utilement cette mesure. Conformément à la jurisprudence relative à l'<ref-law>, cette décision pouvait être notifiée après l'audience. Compte tenu des enjeux pour le condamné et du caractère sommaire de la décision exigée, la décision devait être expédiée dans les plus brefs délais (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 ss. p. 84 s.; arrêt 1B_564/2011 du 27 octobre 2011 consid. 3.1 et les références).
2.6. L'argumentation de la Cour de justice ne convainc pas. Il ne faut en effet pas confondre le délai dont dispose l'autorité compétente pour statuer sur le maintien en détention et celui pour motiver par écrit sa décision. La Cour de justice perd en outre de vue que le Tribunal de première instance a effectivement statué sur le maintien en détention pour des motifs de sûreté le 30 janvier 2013. Elle fonde par ailleurs toute son argumentation sur la distinction qu'il y aurait lieu de faire selon qu'il y a eu ou non détention préalable. Cette distinction n'est pas pertinente dès lors que la seule question qui se posait en l'espèce était de savoir dans quel délai la motivation écrite devait intervenir. Sur ce point, il n'y a pas lieu de s'écarter des principes développés par la jurisprudence précitée rendue à propos d'un jugement sur appel ordonnant le placement du condamné en détention pour des motifs de sûreté (cf. consid. 2.5 supra). L'<ref-law> est également applicable à la décision relative à la détention prise par le tribunal de première instance au moment de son jugement, à savoir à l'issue de l'audience de première instance (cf. art. 84 al. 1 et 2 CPP).
Dans les causes pénales ne présentant pas de difficulté particulière, le jugement peut en principe être notifié à l'audience avec motivation écrite tant sur le fond que sur la détention. Si la motivation écrite concernant la détention ne peut pas intervenir au moment du prononcé oral du jugement, elle doit alors être notifiée par une décision séparée dans les plus brefs délais, conformément au principe de célérité (<ref-law>). Il importe en effet que, dans tous les cas, le condamné puisse prendre connaissance de cette motivation pour pouvoir exercer ses droits de recours à bon escient et en temps utile (cf. <ref-ruling> consid. 2.5 p. 85).
2.7. En l'espèce, une motivation écrite suffisante relative au maintien en détention pour des motifs de sûretés a été notifiée au recourant seulement 9 jours après que le Tribunal de police a statué sur ce point. Il y a donc eu, durant cette période, une violation des art. 3 al. 2 let. c et 226 al. 2 CPP en relation avec l'art. 29 al. 2 Cst., ces dispositions exigeant qu'une décision écrite sur la détention, au moins sommairement motivée, soit notifiée dans les plus brefs délais. La présente cause ne présentait au demeurant aucune difficulté particulière (cf. infra consid. 3) et le Tribunal de police avait d'ailleurs déjà examiné récemment la question de la détention du recourant en se prononçant sur la demande de libération déposée par ce dernier en décembre 2012.
Le recours doit donc être admis sur ce point. A l'instar de la violation de certains délais procéduraux, la violation des art. 3 al. 2 let. c et 226 al. 2 CPP en relation avec l'art. 29 al. 2 Cst. peut être réparée par une constatation de celle-ci, une admission partielle du recours sur ce point et l'octroi de pleins dépens au recourant (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 in fine p. 121 s. et les références citées).
3.
Le recourant se plaint d'une violation des art. 221 et 231 CPP. Il conteste l'existence d'un risque de fuite et soutient que des mesures de substitution adéquates pouvaient palier ce danger.
3.1. Conformément à l'<ref-law>, la détention pour des motifs de sûreté peut être ordonnée s'il y a sérieusement lieu de craindre que le prévenu se soustraie à la procédure pénale ou à la sanction prévisible en prenant la fuite. Selon la jurisprudence, le risque de fuite doit s'analyser en fonction d'un ensemble de critères tels que le caractère de l'intéressé, sa moralité, ses ressources, ses liens avec l'État qui le poursuit ainsi que ses contacts à l'étranger, qui font apparaître le risque de fuite non seulement possible, mais également probable (<ref-ruling> consid. 4a p. 70 et la jurisprudence citée). La gravité de l'infraction ne peut pas, à elle seule, justifier la prolongation de la détention, même si elle permet souvent de présumer un danger de fuite en raison de l'importance de la peine dont le prévenu est menacé (<ref-ruling> consid. 3a p. 62, 117 Ia 69 consid. 4a p. 70, 108 Ia 64 consid. 3 p. 67). Il est sans importance que l'extradition du prévenu puisse être obtenue (<ref-ruling> consid. 3d p. 36 s.).
3.2. En l'occurrence, il n'est pas contesté que le recourant est de nationalité étrangère, que son statut en Suisse est précaire et qu'il n'a pas de domicile fixe. Il ne fait en outre valoir aucune attache particulière avec la Suisse. Il a par ailleurs affirmé ne pas aimer le canton d'Argovie dans lequel il était assigné à résidence dans l'attente de l'exécution de son renvoi. Dans ces conditions, c'est à juste titre que la Cour de justice a considéré qu'il existait un risque concret que le recourant quitte la Suisse ou y demeure en se soustrayant aux autorités pénales. Celui-ci a d'ailleurs à maintes reprises violé ses obligations d'assignation à un lieu de résidence et a tenté de prendre la fuite lorsqu'il a été interpellé par la police le 30 novembre 2012. Le fait qu'il ne lui resterait que quelques mois de prison à purger au vu de la peine prononcée en première instance, n'est pas susceptible de modifier cette appréciation, compte tenu de l'importance du risque de fuite présenté par le recourant; en outre, contrairement à ce que celui-ci soutient, il n'y a pas lieu de tenir compte de la possibilité d'une libération conditionnelle dès lors qu'il n'est pas d'emblée évident que celle-ci sera octroyée (cf. arrêts 1B_122/2009 du 10 juin 2009 consid. 2.3); le recourant ne démontre d'ailleurs pas le contraire.
3.3. Les mesures de substitution susceptibles de pallier le risque de fuite proposées par le recourant apparaissent clairement insuffisantes au regard de l'intensité dudit risque. En effet, l'obligation de se présenter périodiquement aux autorités suisses, l'obligation faite à l'Office des migrations (ci-après: ODM) d'informer les autorités pénales en cas de disparition du recourant et la fourniture d'une caution de 500 francs ne sont pas de nature à empêcher une personne dans la situation du recourant de s'enfuir à l'étranger ou de disparaître dans la clandestinité. Il en va de même de la mesure proposée tendant à ce que le recourant soit acheminé par "train street" de la prison de Champ-Dollon au bureau de l'ODM. On ne voit au demeurant pas quelle mesure pourrait atteindre le même but que la détention. Le grief du recourant doit dès lors être rejeté.
3.4. Par ailleurs, contrairement à ce que soutient le recourant, la durée de la détention pour des motifs de sûretés subie à ce jour (environ 4 mois) respecte encore le principe de la proportionnalité. Le caractère proportionné de la détention s'examine en effet en principe à la lumière de la peine prononcée en première instance, en l'occurrence une peine privative de liberté ferme de six mois (cf. arrêts 1B_406/2012 du 31 juillet 2012 consid. 2.5 et 1B_122/2009 du 10 juin 2009 consid. 2).
Enfin, invoquant les vingt principes directeurs sur le retour forcé adopté par le Conseil de l'Europe en 2005, le recourant se plaint des conditions carcérales de sa détention. Son argumentation est toutefois dénuée de pertinence pour la résolution du litige dès lors que le recourant est soumis au régime de la détention pénale et non pas administrative. Le recours doit également être rejeté sur ce point.
4.
Il s'ensuit que le recours doit être admis partiellement en ce sens qu'il est constaté que la notification tardive d'une décision motivant le maintien en détention du recourant pour des motifs de sûreté viole les art. 3 al. 2 let. c et 226 al. 2 CPP en relation avec l'art. 29 al. 2 Cst., que les frais d'arrêt sont mis à la charge de l'Etat de Genève et que le recourant a en outre droit à une indemnité en raison de la constatation qui précède. L'arrêt attaqué doit donc être réformé sur ces points. Le recours est rejeté pour le surplus, notamment en tant que l'intéressé conclut à sa mise en liberté immédiate. Le recourant, qui obtient partiellement gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a aussi droit à des dépens réduits pour la présente procédure, à la charge de l'Etat de Genève (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Pour le reste, il peut être fait droit à la demande d'assistance judiciaire du recourant, celui-ci ne disposant pas de ressources suffisantes et les conclusions de son recours ne paraissant pas d'emblée vouées à l'échec (<ref-law>). L'intervention d'un avocat était nécessaire à la sauvegarde des droits du recourant, de sorte qu'il y a lieu de désigner Me Daniel Kinzer comme avocat d'office et de fixer d'office ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Enfin, il n'y a pas lieu de percevoir des frais judiciaires pour la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis partiellement et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens qu'il est constaté que la notification tardive d'une décision écrite motivant le maintien en détention du recourant pour des motifs de sûreté viole les art. 3 al. 2 let. c et 226 al. 2 CPP en relation avec l'art. 29 al. 2 Cst., que les frais de la procédure cantonale de recours sont mis à la charge de l'Etat de Genève et qu'une indemnité de procédure de 1'500 fr. est allouée au recourant, à la charge de l'Etat de Genève. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Une indemnité de 1'000 fr. est allouée au recourant à titre de dépens, à la charge de l'Etat de Genève.
3.
La demande d'assistance judiciaire est admise. Me Daniel Kinzer est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 27 mars 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Aemisegger
La Greffière: Arn