Sachverhalt:
A.
A.a. Am 24. Januar 2011 erfuhr die Eidgenössische Spielbankenkommission (ESBK), dass gegen einen Spieler ein Strafverfahren eingeleitet worden ist, da dieser Geld veruntreut und im Casino A._ verspielt habe. Die ESBK führte am 1. Februar 2011 bei diesem eine Inspektion durch, wobei sie auch Einsicht in die Unterlagen des entsprechenden Spielers nahm. Am 15. Februar 2011 teilte sie der A._ AG mit, dass sie ein Administrativverfahren gegen sie eröffne, um zu überprüfen, ob im Zusammenhang mit dem betroffenen Spieler die spielbankenrechtlichen Vorschriften eingehalten worden seien.
A.b. Mit Verfügung vom 29. Juni 2011 sprach die ESBK gegen die A._ AG eine Sanktion in der Höhe von Fr. 4'939'000.-- aus und auferlegte ihr die Kosten des Verfahrens (Fr. 26'700.--). Sie begründete ihren Entscheid damit, dass die A._ AG die in ihrem Sozialkonzept vorgesehenen Prozesse und Massnahmen nicht eingehalten habe. Damit habe sie gegen die Spielbankengesetzgebung verstossen. Sie habe einen Vorteil von gerundet Fr. 2'822'420.-- erzielt. Die Unterlassungen seien gravierend gewesen, da das Personal auf praktisch allen Stufen versagt habe. Die Unterlassung sei schon fast als "eventualvorsätzlich" zu qualifizieren; es müsse von einem mittelschweren Verstoss ausgegangen werden, sodass sich ein Multiplikationsfaktor von 1.75 rechtfertige. Die Sank tionshöhe sei demzufolge auf gerundet Fr. 4'939'000.-- (Fr. 2'822'420.-- x 1.75) festzulegen.
B.
Dagegen erhob die A._ AG am 31. August 2011 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Sie beantragte die Verfügung der ESBK aufzuheben und auf eine Sanktion zu verzichten; eventuell sei die Sache an die ESBK zurückzuweisen, damit sie diese neu beurteile; subeventuell sei eine Sanktion von höchstens Fr. 778'000.-- auszusprechen.
Das Bundesverwaltungsgericht hiess am 26. Juni 2013 die Beschwerde teilweise gut und reduzierte die Sanktion auf Fr. 3'078'000.--. Der relevante Bruttospielertrag sei mit Fr. 4'020'859.-- zu beziffern; von diesem müsse die Spielbankenabgabe in Abzug gebracht werden (56,25 %), sodass der für die Sanktionsberechnung wesentliche gerundete Gewinn Fr. 1'759'125.-- betrage, was mit dem Faktor 1.75 multipliziert eine Sanktionshöhe von Fr. 3'078'000.-- ergebe.
C.
Die A._ AG beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und ihr gegenüber keine Sanktion auszusprechen; eventuell sei eine Sanktion in Höhe von maximal Fr. 1'069'746.--, subeventuell von maximal Fr. 1'283'695.-- gerechtfertigt.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die ESBK beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die A._ AG hält replizierend an ihren Anträgen und Ausführungen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts über Verwaltungssanktionen in Anwendung des Bundesgesetzes vom 18. Dezember 1998 über Glücksspiele und Spielbanken (Spielbankengesetz, SBG; SR 935.52) ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Auf die Eingabe der sanktionierten und damit beschwerdebefugten Casinobetreiberin ist einzutreten (<ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten (Art. 7 - 34 BV, nebst den übrigen verfassungsmässigen Rechten der BV [<ref-ruling> E. 6.1 S. 31 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 640] und den Rechtsansprüchen der EMRK [<ref-ruling> E. 4.3 S. 106]), von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht es jedoch nur, soweit eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet wird (<ref-law>); diese ist klar und vertieft anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids zu detaillieren. Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 3.8 S. 144; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 5).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie er im angefochtenen Entscheid festgehalten worden ist (<ref-law>). Es kann die vorinstanzlichen Feststellungen nur berichtigen, sofern sie entweder offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ermittelt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; zum Begriff der Willkür in der Rechtsanwendung: <ref-ruling> E. 7.1 S. 51 mit Hinweisen) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei hat in diesem Fall aufzuzeigen, inwiefern die Behebung des Mangels sich als entscheiderheblich erweist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
2.
2.1. Für die Errichtung und den Betrieb einer Spielbank ist eine Konzession des Bundes erforderlich (<ref-law>; <ref-law>). Konzessionsvoraussetzung ist unter anderem, dass ein Sicherheits- und ein Sozialkonzept vorliegen (<ref-law>), in denen dargelegt wird, mit welchen Massnahmen die Spielbank den sicheren Spielbetrieb sowie die Bekämpfung der Kriminalität und der Geldwäscherei gewährleisten und den sozial schädlichen Auswirkungen des Spiels vorbeugen oder diese beheben will (Art. 14 Abs. 1 und 2 SBG). Die Spielbank sperrt gemäss <ref-law> Personen vom Spielbetrieb aus, von denen sie auf Grund eigener Wahrnehmungen in der Spielbank oder auf Grund von Meldungen Dritter weiss oder annehmen muss, dass sie überschuldet sind oder ihren finanziellen Verpflichtungen nicht nachkommen (lit. a), Spieleinsätze riskieren, die in keinem Verhältnis zu ihrem Einkommen und ihrem Vermögen stehen (lit. b) oder den geordneten Spielbetrieb beeinträchtigen (lit. c). Verstösst eine Konzessionärin zu ihrem Vorteil gegen die Konzession oder gegen eine rechtskräftige Verfügung, so wird sie durch die ESBK mit einem Betrag bis zur dreifachen Höhe des durch den Verstoss erzielten Gewinnes belastet. Liegt kein Gewinn vor oder kann er nicht festgestellt oder geschätzt werden, so beträgt die Belastung bis zu 20 Prozent des Bruttospielertrages im letzten Geschäftsjahr (<ref-law>).
2.2. Streitgegenstand ist eine von der ESBK bzw. der Vorinstanz gegen die Beschwerdeführerin ausgesprochene Sanktion nach <ref-law>, die damit begründet wird, dass die Beschwerdeführerin ihre gesetzlichen und konzessionsrechtlichen Pflichten verletzt habe, indem sie gegen einen Spieler, der auffallend hohe Spieleinsätze tätigte, nicht spätestens Ende November 2005 eine Spielsperre ausgesprochen habe, wodurch sie einen unzulässigen Bruttospielertrag von Fr. 4'020'859.-- bzw. (nach Abzug der Spielbankenabgabe) einen Gewinn von Fr. 1'759'125.-- erzielte. Die Beschwerdeführerin macht geltend, bei der gegen sie verfügten spielbankenrechtlichen Sanktion handle es sich um ein Strafverfahren im Sinne von Art. 6 EMRK, ohne dass die ESBK die damit verbundenen strafprozessualen Grundsätze ("nemo tenetur"; Unschuldsvermutung) beachtet hätte (hierzu E. 3). Im Übrigen müsse der Vorfall spielbankenrechtlich als verjährt gelten (hierzu E. 4). Ihr könnten aufgrund der gesamten Umstände zudem keinerlei Pflichtverletzungen vorgeworfen werden (hierzu E. 5). Im Eventualstandpunkt rügt die Beschwerdeführerin, die Sanktion sei falsch berechnet (Methode zur Berechnung der Spielbankenabgabe bei der Ermittlung des Gewinns; hierzu E. 6) und die angebliche Pflichtverletzung zu Unrecht als mittelschwerer Verstoss qualifiziert worden (hierzu E. 7).
3.
3.1. Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, das spielbankenrechtliche Sanktionsverfahren falle nicht in den (strafrechtlichen) Anwendungsbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. <ref-law> richte sich nur an die Spielbankenkonzessionäre, mithin an einen stark eingeschränkten Adressatenkreis. Die Sanktionen könnten als eine spezielle Art von Disziplinarmassnahme aufgefasst werden. Die mögliche Höhe der entsprechenden Sanktionen weise allenfalls auf einen strafrechtlichen Charakter hin, doch stehe bei <ref-law>, anders als bei der eigentlichen Strafnorm nach <ref-law>, nicht die repressive, sondern die präventive Wirkung der Massnahme im Vordergrund. Eine konsequente Übernahme strafrechtlicher Grundsätze, namentlich des Aussageverweigerungsrechts, führe letztlich dazu, dass sich die spielbankenrechtliche Aufsichtsregelung nicht mehr anwenden und durchsetzen liesse. Insgesamt spreche sowohl die landesrechtliche Qualifikation, die Natur der Widerhandlung wie auch die Art und Schwere der Sanktion gegen den strafrechtlichen Charakter des Einzugs des um einen Sanktionsfaktor erhöhten sorgfaltspflichtwidrig erworbenen Gewinns, weshalb die von der Beschwerdeführerin als unzulässig erhoben gerügten Schriftstücke bei den Akten zu belassen seien.
3.2.
3.2.1. Gemäss der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte (EGMR) liegt eine strafrechtliche Anklage im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK vor, wenn alternativ entweder das nationale Recht eine staatliche Massnahme dem Strafrecht zuordnet oder die Natur des Vergehens oder die Art und Schwere des Vergehens und/ oder der Sanktionen für einen strafrechtlichen Charakter sprechen (sogenannte "Engel"-Kriterien, zurückgehend auf das EGMR-Urteil Engel gegen Niederlande vom 8. Juni 1976, Serie A Bd. 22; <ref-ruling> E. 2.2.2 mit zahlreichen Hinweisen). Das Bundesgericht hat in Anwendung dieser Kriterien die kartellrechtlichen Sanktionen nach Art. 49a des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1995 über Kartelle und andere Wettbewerbsbeschränkungen (KG; SR 251) wegen ihres abschreckenden und vergeltenden Charakters und der erheblichen Sanktionsdrohung - im Einklang mit dem EGMR (Urteil Menarini gegen Italien vom 27. September 2011 [Nr. 43509/08] § 41 ff.) - als strafrechtlich bzw. strafrechtsähnlich im Sinne von Art. 6 EMRK qualifiziert (<ref-ruling> E. 2.2.2).
3.2.2. Die dort angestellten Überlegungen gelten auch im vorliegenden Zusammenhang: Die Sanktionen nach <ref-law> haben Parallelen zu jenen von Art. 49a KG. Wie diesen kommt ihnen ein präventiver, gleichzeitig aber auch ein pönaler und repressiver Charakter zu, soweit damit nicht nur der durch den Verstoss erzielte Gewinn, sondern bis zum Dreifachen von diesem sanktionsweise eingezogen wird, was einen nach oben offenen Betrag in mehrfacher Millionenhöhe bedeuten kann. Der Sanktionszuschlag wird nach der vom Bundesgericht bestätigten (Urteil 2C_949/2010 vom 18. Mai 2011 E. 6) Praxis der ESBK unter Berücksichtigung der Schwere des Verstosses bzw. des Verschuldens der Konzessionärin bzw. der für sie handelnden natürlichen Personen bemessen. Der von der Vorinstanz betonte Umstand, dass nur eine kleine Zahl von Konzessionären der Sanktionsdrohung unterworfen sind, erscheint unter diesen Umständen nicht ausschlaggebend; es gibt - worauf die Beschwerdeführerin zu Recht hinweist - zahlreiche Strafdrohungen, die sich nur an einen bestimmten, unter Umständen auch sehr beschränkten Adressatenkreis richten (Sonderdelikte).
3.3. Obwohl es sich bei der angefochtenen Sanktion damit um eine strafähnliche Massnahme im Sinne von Art. 6 EMRK handelt, sind die sich hieraus ergebenden verfahrensrechtlichen Vorgaben sachgerecht gewahrt worden.
3.3.1. Die Beschwerdeführerin legt nicht substanziiert dar, dass und inwiefern die Berücksichtigung der angeblich rechtswidrig erhobenen Beweismittel bzw. der gestützt darauf festgestellte Sachverhalt für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte (<ref-law>; oben E. 1.3). Auch wenn die Sanktion als strafrechtlich im Sinne von Art. 6 EMRK zu gelten hat, unterliegt das Verfahren vor der ESBK landesrechtlich nicht der Strafprozessordnung (StPO; SR 312.0), sondern dem Verwaltungsverfahrensgesetz (<ref-law> [SR 172.021]; NADINE MAYHALL, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar VwVG, 2009, Rz. 24 zu <ref-law>; vgl. analog zum Kartellrecht <ref-ruling> E. 4). Die Parteien sind verpflichtet, an der Feststellung des Sachverhalts mitzuwirken, soweit ihnen nach einem anderen Bundesgesetz eine Auskunfts- oder Offenbarungspflicht obliegt (<ref-law>); dies ist im Bereich der Spielbankenaufsicht der Fall (<ref-law>). Die jeweilige Partei ist insbesondere gehalten, die erforderlichen Urkunden zu edieren (<ref-law> i.V.m. <ref-law>); diese Mitwirkungspflicht gilt selbst dann, wenn sie sich zu ihrem Nachteil auswirkt (<ref-ruling> E. 3.2; KIENER/RÜTSCHE/KUHN, Öffentliches Verfahrensrecht, 2012, Rz. 689, 1037). Die entsprechende landesrechtliche Rechtslage gilt (vgl. <ref-law>), soweit sie nicht im Widerspruch zu höherrangigem Recht steht ( CHRISTOPH AUER, in: Auer/Müller/Schindler [Hrsg.], Kommentar VwVG, 2008, Rz. 8 zu <ref-law>; KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013, S. 162 f.; MARTIN RAUBER, Verteidigungsrechte von Unternehmen im kartellrechtlichen Verwaltungsverfahren, insbesondere unter Berücksichtigung des "legal privilege", 2010, S. 167).
3.3.2. Nach der auf das EGMR-Urteil Saunders (vom 17. Dezember 1996, Recueil CourEDH 1996-VI S. 2044 § 68 [Nr. 19187/91]) zurückgehenden Auslegung des EGMR umfasst Art. 6 EMRK in strafrechtlichen Verfahren ein Schweigerecht und ein Recht, nicht zu seiner eigenen Verurteilung beitragen zu müssen; daraus ergibt sich, dass die Behörden Anklage führen müssen, ohne auf Beweismittel zurückzugreifen, die durch Druck oder Zwang in Missachtung des Willens des Angeklagten erlangt worden sind (<ref-ruling> E. 2.6.1; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen; vgl. auch STEFAN TRECHSEL, Human Rights in Criminal Proceedings, Oxford 2005, S. 340 ff.). Diese Formulierung geht in Fällen wie dem vorliegenden indessen zu weit und trägt den Besonderheiten des Verwaltungsverfahrens zu wenig Rechnung: Auch im Strafverfahren gibt es zulässige Beweismittel, die gegen den Willen des Angeklagten erlangt werden, jedoch hiervon unabhängig existieren, wie etwa im Rahmen einer Hausdurchsuchung beschlagnahmte Unterlagen oder die Verwertung einer zwangsweise angeordneten DNA-Analyse (Urteil Saunders, § 69; vgl. Art. 244 Abs. 2 lit. b i.V.m. <ref-law> bzw. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.6.1; Urteil 1P.519/2006 vom 19. Dezember 2006 E. 3.2). Nach der Praxis des EGMR ist nicht jede Pflicht unzulässig, Informationen zur Verfügung stellen zu müssen, die auch eine Strafsanktion nach sich ziehen können (EGMR-Urteil Weh gegen Österreich vom 8. April 2004 [Nr. 38544/97] § 44 f.; Nichtzulassungsentscheid Allen gegen Vereinigtes Königreich vom 10. September 2002 [Nr. 76574/01]; BGE <ref-ruling> E. 3.1; JENS MEYER-LADEWIG, Handkommentar EMRK, 3. Aufl. 2011, Rz. 133 zu Art. 6 EMRK). Art. 6 EMRK verbietet die " improper compulsion " ("coercition abusive"), d.h. eine missbräuchlich bzw. unverhältnismässig ausgeübte Form von Zwang (EGMR-Urteile Marttinen gegen Finnland vom 21. April 2009 [Nr. 19235/03] § 60; Murray gegen Vereinigtes Königreich vom 8. Februar 1996 [Nr. 18731/91], Recueil CourEDH 1996-I S. 30 § 45 f.; vgl. <ref-ruling> E. 2.6.1; <ref-ruling> E. 3.1; Regula Schlauri, Das Verbot des Selbstbelastungszwangs im Strafverfahren, 2003, S. 213 ff., 362). Als solche "improper compulsion" erachtet der EGMR etwa eine unter Strafandrohung erzwungene Herausgabe von potenziell belastenden Dokumenten z.B. in einem Zollstrafverfahren (Urteil Funke gegen Frankreich vom 25. Februar 1993 [Nr. 10588/83], PCourEDH Série A Bd. 256A § 44) oder in einem Steuerhinterziehungsverfahren (Urteile Chambaz gegen Schweiz vom 5. April 2012 [Nr. 11663/04] § 39, 54; J.B. gegen Schweiz vom 3. Mai 2001 [Nr. 31827/96]; vgl. dazu auch BGE <ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen und JOHN D. JACKSON/SARAH J. SUMMERS, The Internationalisation of Criminal Evidence, Beyond the Common Law and Civil Law Traditions, Cambridge 2012, S. 252 f.).
3.3.3. Im Einzelnen erweist sich das Case Law des EGMR nicht in allen Punkten als widerspruchsfrei (vgl. Simon Roth, Die Geltung von nemo tenetur im Verwaltungsverfahren, in: Jusletter 17. Februar 2014, Rz. 14 ff.; derselbe, Verwaltungsrechtliche Mitwirkungspflichten und nemo tenetur, in: ZStrR 129/2011 S. 296 ff., dort 310 ff.; Schlauri, a.a.O., S. 395 ff.; DOMINIQUE OTT, Der Grundsatz "nemo tenetur se ipsum accusare" unter besonderer Berücksichtigung der strassenverkehrsrechtlichen Pflichten, 2012, S. 152 ff., 350 ff., 371 ff.; STEFAN TRECHSEL, Bankgeheimnis - Steuerstrafverfahren - Menschenrechte, ZStrR 123/2005 S. 256 ff., dort 262 ff.). Es ergibt sich daraus zumindest aber, dass die Verpflichtung, eine Tatsache bekannt zu geben, nicht immer bereits eine unzulässige Selbstanschuldigung bedeutet (Urteile Weh, § 45 und Lückof und Spanner gegen Österreich vom 10. Januar 2008 [Nr. 58452/00] § 55; GRABENWARTER/PABEL, Europäische Menschenrechtskonvention, 5. Aufl. 2012, S. 457 f.; MEYER-LADEWIG, a.a.O., Rz. 137). So liegt etwa keine Verletzung von Art. 6 EMRK darin, dass ein Fahrzeughalter unter Strafandrohung verpflichtet wird, die Person zu benennen, welche das Fahrzeug im Zeitpunkt gelenkt hat, als mit diesem ein Strassenverkehrsdelikt begangen wurde. Zur Beurteilung der Frage, ob das Recht, zu schweigen und sich nicht selbst belasten zu müssen, verletzt ist, stellt der EGMR auf die Natur und den Grad des angewandten Zwangs zur Erlangung des Beweismittels, die Verteidigungsmöglichkeiten sowie den Gebrauch des Beweismaterials ab (vgl. Urteile O'Halloran und Francis gegen Vereinigtes Königreich vom 29. Juni 2007 [Nr. 15809/02 und Nr. 25624/02] § 55 ff.; Lückof und Spanner, § 51; vgl. dazu auch die Urteile des Bundesgerichts 6B_439/2010 vom 29. Juni 2010 E. 5.3 und 6B_571/2009 vom 28. Dezember 2009 E. 3.2).
3.3.4. Hieraus ergibt sich, dass die blosse Aufforderung, Dokumente einzureichen, zu deren Erstellung eine gesetzliche - hier spielbankenrechtliche - Pflicht besteht, für sich allein noch keinem Verstoss gegen Art. 6 EMRK gleichkommt. Die ESBK hat der Beschwerdeführerin angezeigt, dass sie ein aufsichtsrechtliches Verfahren einleitet und sie in dessen Rahmen um die umstrittenen Auskünfte und Unterlagen ersucht. Dabei wurden ihr keine spezifischen Folgen im Falle einer Mitwirkungsverweigerung angedroht (vgl. zur Rechtsnatur als "Obliegenheit" der allgemeinen Mitwirkungspflicht im Verwaltungsverfahren: KIENER/RÜTSCH/KUHN, a.a.O., Rz. 697). Insbesondere hat die ESBK ihre Verfügungen nicht mit dem Hinweis auf <ref-law> verbunden, wonach mit Busse bestraft wird, wer von der zuständigen Behörde unter Hinweis auf diesen Artikel an ihn erlassenen Verfügungen keine Folge leistet (vgl. KIENER/RÜTSCH/KUHN, a.a.O., RZ. 97). Die Aufforderung, am Verfahren mitzuwirken und bestimmte Unterlagen einzureichen, erging gegen die Beschwerdeführerin als juristische Person in einem besonderen Rechtsverhältnis mit dem Bund (Konzessionärin). Zwar gilt nach verbreiteter Auffassung der nemo-tenetur-Grundsatz auch zugunsten juristischer Personen und Unternehmen ( MEYER-LADEWIG, a.a.O., Rz. 138 zu Art. 6 EMRK; MARCEL ALEXANDER NIGGLI/ CHRISTOF RIEDO, Verwaltungsstrafrecht Teil 2, in: Häner/Waldmann [Hrsg.], Verwaltungsstrafrecht und sanktionierendes Verwaltungsrecht, 2010, S. 51 ff., dort 62 f.; MARCEL ALEXANDER NIGGLI/STEFAN MAEDER, Verwaltungsstrafrecht, Strafrecht und Strafprozessrecht - Grundprobleme, in: Andreas Eicker [Hrsg.], Aktuelle Herausforderungen für die Praxis im Verwaltungsstrafverfahren, 2013, S. 27 ff., 51; CARLO ANTONIO BERTOSSA, Unternehmensstrafrecht: Strafprozess und Sanktionen, 2003, S. 145 ff.; a.M. GUNTHER ARZT, Schutz juristischer Personen gegen Selbstbelastung, JZ 2003 S. 456 ff.). Der nemo-tenetur-Grundsatz ist bei juristischen Personen indessen differenziert zu umschreiben. Er geht nicht so weit, die Herausgabe von Unterlagen, deren Führung bzw. Anlage in einem konzessionsrechtlichen Aufsichtsverfahren gesetzlich vorgeschrieben sind, zu verunmöglichen (statt vieler: ARZT, a.a.O., 457 ff.; GÜNTER HEINE, Das kommende Unternehmensstrafrecht, in: ZStrR 121/2003 S. 24 ff., dort 43; derselbe, Praktische Probleme des Unternehmensstrafrechts, SZW 2005 S. 17 ff., dort 21 f.; KRAUSKOPF/EMMENEGGER, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], a.a.O., Praxiskommentar VwVG, 2009, Rz. 70 zu <ref-law>; NADINE QUECK, Die Geltung des nemo-tenetur-Grundsatzes zugunsten von Unternehmen, Berlin 2005, S. 271 ff.; CHRISTOPH TAGMANN, Die direkten Sanktionen nach Art. 49a Abs. 1 Kartellgesetz, 2007, S. 119). Unternehmen sind aus zahlreichen Gründen gehalten, bestimmte Dokumente und Unterlagen zu erstellen, zu führen und gegebenenfalls den Verwaltungsbehörden zur Verfügung zu stellen, z.B. Buchhaltungen oder Dokumentationen, welche die Einhaltung von Pflichten bezüglich Umweltschutz, Sozialversicherung, Arbeitssicherheit, Geldwäscherei usw. belegen (vgl. KRAUSKOPF/ EMMENEGGER, a.a.O., Rz. 19 ff. zu <ref-law>). Könnte der Staat auf diese Unterlagen trotz entsprechender gesetzlicher Grundlagen nicht mehr zurückgreifen, würde eine aufsichts- bzw. damit verbundene strafrechtsähnliche Durchsetzung der materiellen gesetzlichen Pflichten in beaufsichtigten Wirtschaftsbereichen (Finanzmarkt, Spielbanken usw.) praktisch verunmöglicht. Bildet der nemo-tenetur-Grundsatz bei natürlichen Personen (auch) einen Ausfluss aus der Menschenwürde, fehlt dieser - spezifisch grundrechtliche - Aspekt bei gesetzlichen Herausgabepflichten von juristischen Personen und Unternehmen. Solche Überlegungen können nicht als Negation der Rechtsstaatlichkeit bezeichnet und mit dem Hinweis entkräftet werden, es sei gerade der Zweck prozeduraler Garantien, die Arbeit der verwaltungsrechtlich eingesetzten Aufsichtsbehörden zu erschweren (vgl. so im Resultat CHRISTOF RIEDO, Wie man Grundrechte ausser Kraft setzt, Anmerkungen zum Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 26. Juni 2013 [B-4830/2011], in: AJP 2013 S. 1525 ff. dort 1530 Ziff. 5; wie hier KATHARINA PABEL, in: Christoph Grabenwarter [Hrsg.], Europäischer Grundrechteschutz [EnzEur Bd. 2, 2014], § 19 Justizgrundrechte, Rn. 95).
3.3.5. Auch nach Auffassung des EGMR gelten die Verfahrensgarantien von Art. 6 EMRK nicht absolut (statt vieler Urteil Al-Dulimi gegen Schweiz vom 26. November 2013 [Nr. 5809/08] § 124 [noch nicht rechtskräftig]; PABEL, a.a.O., Rn. 94). Das Verfahrensrecht dient dazu, auf eine faire Weise die Realisierung des materiellen Rechts zu ermöglichen. Es verstiesse gegen das Gebot der praktischen Konkordanz von Verfassungsinteressen (<ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 5.1), das Anliegen des Schutzes der Verfahrensparteien zu verabsolutieren, wie die Beschwerdeführerin dies tut, und dafür das ebenfalls verfassungsrechtliche Anliegen der Wirksamkeit des materiellen Rechts (vgl. <ref-law>) zu vereiteln. Entscheidend ist, dass keine "improper compulsion" ausgeübt wird (vgl. PABEL, a.a.O., Rn. 93), wie dies der EGMR wiederholt formuliert hat. Es ist ein angemessener Ausgleich der verschiedenen Interessen anzustreben, um auf eine faire Weise die materielle Wahrheit zu erforschen, was sachgerechte Anpassungen des grundsätzlich anwendbaren nemo-tenetur-Grundsatzes an die jeweilige konkrete Situation zulässt bzw. gebietet (juristische oder natürliche Person, Auskunftspflicht über Sachverhaltselemente oder implizite Schuldanerkennung, Qualität der Sanktion bei Vereitelung der Mitwirkungspflicht usw.).
3.3.6. Vorliegend geht es nicht um ein Geständnis und auch nicht um eine Aussage als Zeuge gegen sich selber im Sinne von Art. 14 Abs. 3 lit. g UNO-Pakt II (Internationaler Pakt vom 16. Dezember 1966 über bürgerliche und politische Rechte [SR 0.103.2]), weshalb diese Bestimmung von vornherein nicht verletzt sein kann, sondern um die Herausgabe von sachverhaltsbezogenen Unterlagen, zu deren korrekter Erstellung die Beschwerdeführerin - unabhängig von einem Straf- oder Sanktionsverfahren - spielbankenrechtlich verpflichtet ist. Sie hat um die Erteilung einer Betriebsbewilligung für ihr Casino in Kenntnis dieser Vorgaben ersucht und sich ihnen unterworfen, wobei mit der Beschwerdemöglichkeit an das Bundesverwaltungs- und das Bundesgericht ein doppelter Rechtsschutz gewahrt bleibt. Die aufsichtsrechtlich einverlangten Unterlagen über die Art und Weise, wie sie die ihr obliegenden Sorgfaltspflichten zur Bekämpfung der Geldwäscherei und zum Schutz der Spieler im Einzelfall wahrgenommen hat, werden nicht dadurch selbstbelastend, weil sie in einem Verwaltungsverfahren mit allenfalls strafähnlicher Sanktionsmöglichkeit erhoben wurden, zumal der Beschwerdeführerin dieser Umstand ab Verfahrenseröffnung bekannt war. Die Beschwerdeführerin bringt nur pauschal vor, die Vorinstanz habe das Aussageverweigerungsrecht und die damit verbundene Belehrungspflicht nicht beachtet; sie geht dabei offensichtlich davon aus, dass die unter Verletzung dieser Rechte und Pflichten erhobenen Beweise auszusondern wären. Wie dargelegt, steht es indessen nicht per se im Widerspruch zu Art. 6 EMRK, wenn eine Spielbank in einem gegen sie offengelegten Sanktionsverfahren verpflichtet wird, sachverhaltsbezogene Unterlagen und Dokumente gegenüber der spielbankenrechtlichen Aufsichtsbehörde herauszugeben, um dieser zu ermöglichen, die Einhaltung der gesetzlichen Bewilligungs- bzw. Konzessionsanforderungen zu prüfen. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar (vgl. oben E. 1.2), dass und inwiefern Beweismittel vorliegend unter einer "improper compulsion" erhoben worden wären. Der in der Replik hierzu gemachte Hinweis genügt nicht, die Herausgabe stehe unter der Strafandrohung von <ref-law>; denn die prozessleitenden Verfügungen, mit denen die Beschwerdeführerin zur Herausgabe der Unterlagen angehalten wurde, fallen nicht unter die Verfügungen, deren Verletzung aufgrund dieser Bestimmung sanktioniert wird.
3.4. Die auf Grund von <ref-law> i.V.m. <ref-law> bestehende Mitwirkungspflicht ist nicht EMRK-widrig und deshalb weiterhin anwendbar. Die einvernommenen Mitarbeiter waren nicht gehalten, sich selber oder ihre Arbeitgeberin zu belasten. Sie wurden als Auskunftspersonen lediglich zu Sachverhaltselementen (bspw. Spielverhalten des Spielers X., Einschätzung seines Umfelds und seiner Mittel, getroffene Massnahmen usw.) einvernommen. Bestand nach dem Gesagten gestützt auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK kein Aussageverweigerungsrecht, gab es seitens der ESBK auch keine Pflicht, auf ein solches hinzuweisen. Die Vorinstanz hat die Beweise gewürdigt und ist zum Schluss gekommen, dass die Beschwerdeführerin ihre konzessionsrechtlichen Pflichten verletzt habe. Unter diesen Umständen ist die Unschuldsvermutung ("in dubio pro reo") in ihrer Funktion als Beweislastregel (<ref-ruling> E. 2c) nicht tangiert. Als Beweiswürdigungsregel betrifft sie die Sachverhaltsfeststellung (<ref-ruling> E. 2c); diesbezüglich legt die Beschwerdeführerin nicht dar, inwiefern eine Rechtsverletzung vorliegen würde (vgl. oben E. 1.2).
4.
4.1. Das Bundesverwaltungsgericht hat erwogen, das Spielbankengesetz sehe für die Sanktionen nach <ref-law> (Verwaltungssanktion) keine Verjährungsfristen vor. Es rechtfertige sich aber, analog die für die Übertretungen gemäss <ref-law> geltende siebenjährige Frist anzuwenden (so das Urteil 6B_770/2010 vom 28. Februar 2011 E. 5.2). Die Verfügung der ESBK vom 29. Juni 2011 sei einem erstinstanzlichen Urteil im Sinne von <ref-law> (Verfolgungsverjährung) gleichzustellen, sodass die Verjährungsfrist eingehalten sei. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies: Die Sanktion nach <ref-law> sei als mit Busse bedrohte Tat eine Übertretung im Sinne von <ref-law>. Die Strafverfolgung verjähre daher nach <ref-law> in drei Jahren, allenfalls in Anwendung von Art. 11 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 22. März 1974 über das Verwaltungsstrafrecht (VStrR; SR 313.0) in Verbindung mit <ref-law> (Anwendung des Allgemeinen Teils auf andere Bundesgesetze) in vier Jahren. Zudem sei die Verfügung der ESBK kein erstinstanzliches Urteil im Sinne von <ref-law>, sodass erst durch das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts der Verlauf der Verjährungsfrist beendet worden sei. Damals sei jedoch die vierjährige Frist bereits abgelaufen gewesen.
4.2. Das Gesetz sieht für die Sanktionen nach <ref-law> keine Verjährungsfrist vor. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, ist die Verjährung jedoch ein allgemeiner Rechtsgrundsatz des öffentlichen Rechts, weshalb öffentlichrechtliche Ansprüche selbst beim Fehlen einer ausdrücklichen Gesetzesbestimmung der Verjährung oder Verwirkung unterliegen (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 3a S. 399, mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5). Dies muss umso mehr für Verwaltungssanktionen mit pönalem Charakter gelten. Fehlen Vorschriften zur Verjährung, so hält sich der Richter vorab an die Regeln, die der Gesetzgeber im öffentlichen Recht für verwandte Tatbestände aufgestellt hat; mangels entsprechender Regelungen sind die allgemeinen (zivilrechtlichen) Grundsätze über die Verjährung heranzuziehen, wonach für einmalige Leistungen eine zehnjährige, für periodische eine fünfjährige Frist gilt (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 4b; <ref-ruling> E. 5e S. 267; RENÉ WIEDERKEHR/PAUL RICHLI, Praxis des allgemeinen Verwaltungsrechts, Bd. I, 2012, Rz. 706).
4.3.
4.3.1. Der Beizug von Regelungen über die Verjährung für verwandte öffentlichrechtliche Tatbestände spricht hier am ehesten für eine analoge Anwendung von Art. 49a Abs. 3 lit. b KG; danach entfällt die Sanktionsmöglichkeit, wenn die Wettbewerbsbeschränkung bei Eröffnung der Untersuchung länger als fünf Jahre nicht mehr ausgeübt worden ist. Im Spielbankenrecht bedeutet dies, dass die Sanktion verjährt ist, wenn das zu sanktionierende Verhalten bei Eröffnung der Untersuchung seit länger als fünf Jahren beendet war. Der gegenüber der Beschwerdeführerin erhobene Vorwurf geht dahin, sie habe den Spieler X. nicht mit einer Spielsperre belegt, bis dieser am 18. November 2008 seinerseits freiwillig darum ersuchte, gegen ihn eine solche auszusprechen. Das zu sanktionierende Verhalten dauerte damit bis zum 18. November 2008 und war bei Eröffnung der Untersuchung am 15. Februar 2011 somit nicht verjährt.
4.3.2. Alternativ wären auch die Überlegungen der Vorinstanz nicht zu beanstanden, die für die Übertretungen nach <ref-law> geltende siebenjährige Frist auf die Sanktionen nach <ref-law> anzuwenden (<ref-law> i.V.m. Art. 97 Abs. 1 lit. c und <ref-law> in der Interpretation gemäss <ref-ruling> E. 2.1 und Urteil 6B_770/2010 vom 28. Februar 2011 E. 5.2), was der Vorgabe von <ref-law> entspräche. Angesichts der spezialgesetzlichen spielbankenrechtlichen Regelung besteht jedenfalls kein Anlass, die für Übertretungen geltenden allgemeinen Verjährungsfristen von <ref-law> oder Art. 11 Abs. 1 VStrR zur Anwendung zu bringen. Da bei Übernahme der strafrechtlichen Fristen die Verjährungsfrist erst am Tag zu laufen beginnt, an dem das strafbare Verhalten aufhört (<ref-law>), vorliegend also dem 18. November 2008 (vgl. zum Andauern der Sorgfaltspflicht bei Finanzintermediären: <ref-ruling> E. 2.4), ist die Frist in beiden Fällen mit dem Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 26. Juni 2013 eingehalten, sodass offenbleiben kann, ob die Verfügung der ESBK einem erst-instanzlichen Urteil gleichzusetzen ist oder nicht.
5.
5.1.
5.1.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid nach Monaten aufgeschlüsselt die Anwesenheitstage des Spielers X. und die an ihn erfolgten Auszahlungen festgestellt, die als solche unbestritten sind. Sie hat daraus gefolgert, der rasante Anstieg der Anwesenheitstage und die sprunghaft angestiegene Gesamthöhe der jeweiligen monatlichen Auszahlungen zwischen Juli (7 Tage, Auszahlungsbetrag Fr. 77'000.--) und November 2005 (26 Tage, Auszahlungsbetrag Fr. 1'573'400.--) hätte den Mitarbeitenden der Beschwerdeführerin auffallen müssen, zumal sich in den Akten umfassende Unterlagen im Zusammenhang mit identifizierungspflichtigen Transaktionen des Spielers X. und weitere GwG-Abklärungen befunden hätten. Es könne mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen werden, dass Auszahlungsbeträge von monatlich über Fr. 650'000.-- mit einem Minimum an Spieleinsätzen zu finanzieren gewesen seien. Trotz diesem aussergewöhnlichen Spielverhalten sei der Spieler X. einzig am 14. Februar 2006 zu seinen Einkommensverhältnissen befragt und anschliessend ein Meldezettel erstellt worden. Die Beschwerdeführerin habe damit die Kriterien ihres eigenen Sozialkonzepts nicht beachtet, wonach der Spieler X. gezielt hätte beobachtet werden müssen. Sie habe damit auch gegen <ref-law> verstossen; denn selbst in der beruflichen und einkommensmässigen Stellung des Spielers X. habe es höchst unwahrscheinlich erscheinen müssen, dass er sich dauerhaft derart hohe Spieleinsätze hätte leisten können. Die Beschwerdeführerin hätte deshalb spätestens im Oktober 2005 aktiv werden und weitere Abklärungen treffen und Ende November 2005 eine Spielsperre verhängen müssen.
5.1.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, aus damaliger Sicht hätten auf Grund der Aussagen des Eidgenössischen Datenschutzbeauftragten Zweifel an der Zulässigkeit der Verwendbarkeit der GwG-Daten bestanden. Wenn die entsprechenden Unterlagen unter diesen Umständen nicht beigezogen worden seien, könne ihr dies nicht vorgeworfen werden. Sie habe sich auf ihre auch der ESBK bekannten Checklisten verlassen dürfen; nach diesen hätten Änderungen in der Besuchsfrequenz noch nicht zu Abklärungen geführt. Der Spieler X. sei ein gepflegter "Gewinnertyp" gewesen mit familiärem Umfeld, der weder bei Verlusten noch Gewinnen exzessiv reagiert habe. Die Vorinstanz wende nicht hinreichend griffige Abgrenzungskriterien an, was das Bestimmtheitsgebot verletze. Zudem hätten zusätzliche Abklärungen höchstwahrscheinlich nichts genützt, da der Spieler X. im Fälschen von Unterlagen geübt gewesen sei und zweifellos auch der Spielbank gefälschte Unterlagen vorgelegt hätte.
5.2.
5.2.1. Finanzintermediäre, wozu auch die Spielbanken zählen (Art. 2 Abs. 2 lit. e des Bundesgesetzes über die Bekämpfung der Geldwäscherei und der Terrorismusfinanzierung im Finanzsektor; Geldwäschereigesetz, GwG; SR 955.0), müssen bei der Aufnahme von Geschäftsbeziehungen die Vertragspartei identifizieren (<ref-law>), über die getätigten Transaktionen und die erforderlichen Abklärungen Belege erstellen (<ref-law>) und gegebenenfalls die Meldestelle informieren (<ref-law>). Diese Pflichten werden durch die Verordnung der ESBK vom 12. Juni 2007 über die Sorgfaltspflichten der Spielbanken zur Bekämpfung der Geldwäscherei (Geldwäschereiverordnung ESBK, GwV ESBK; SR 955.021) konkretisiert. Namentlich muss die Spielbank bestimmte Transaktionen registrieren (Art. 2 und 3 GwV ESBK). Auf den so erhobenen Daten beruht die von der Vorinstanz erstellte Liste der Anwesenheitstage des Spielers X. und der an ihn erfolgten Auszahlungen; die Vorinstanz folgert daraus, dass dieser den Mitarbeitern der Beschwerdeführerin hätte auffallen müssen.
5.2.2. Nach Art. 4 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 19. Juni 1992 über den Datenschutz (DSG; SR 235.1) dürfen Personendaten nur zu dem Zweck bearbeitet werden, der bei der Beschaffung angegeben wurde, aus den Umständen ersichtlich oder gesetzlich vorgesehen ist. In diesem Zusammenhang hatte der Eidgenössische Datenschutzbeauftragte in einem Schreiben vom 24. August 2006 an den Casinoverband und vom 4. August 2006 an die ESBK ausgeführt, die Verwendung der GwG-Daten für die Umsetzung des Sozialschutzes sei ein "détournement de finalité" im Sinne von Art. 4 Abs. 3 DSG und weder explizit noch implizit gesetzlich vorgesehen; die Spielbanken könnten zwar einen Rechtfertigungsgrund im Sinne von Art. 13 DSG (überwiegendes Interesse) anrufen, doch wäre eine ausdrückliche gesetzliche Grundlage wünschenswert und müsste ein Datenbearbeitungskonzept vorliegen. Das Bundesgericht hat im Entscheid 2C_949/2010 vom 18. Mai 2011 den Rückgriff auf die GwG-Daten zur Anwendung des Sozialkonzepts als zulässig erklärt (dort E. 4.5) : Gemäss <ref-law> sperrt die Spielbank Personen vom Spielbetrieb aus, von denen sie auf Grund eigener Wahrnehmungen in der Spielbank oder auf Grund von Meldungen Dritter annehmen muss, dass sie überschuldet sind oder zu hohe Spieleinsätze riskieren. Das Gesetz verpflichtet die Spielbank damit ausdrücklich, aus Gründen des Sozialschutzes die von ihr wahrgenommenen Tatsachen über die finanziellen Verhältnisse der Kunden zur Anordnung einer Spielsperre zu verwenden. Hierzu gehören auch die Transaktionen, welche die Spielbanken gemäss Art. 2 Abs. 3 GwV ESBK bzw. Art. 3 Abs. 2 der bis 30. Juni 2007 in Kraft stehenden Verordnung mit dem gleichen Namen vom 28. Februar 2000 (aVESBK-BGW; AS 2000 808) besucherbezogen erheben müssen. Die Verwendung dieser Informationen zur Anordnung einer Spielsperre ist durch das Gesetz im Sinne von Art. 13 Abs. 1 DSG vorgeschrieben und damit im Lichte von Art. 4 Abs. 3 DSG ("gesetzlich vorgesehen") zulässig, zumal es sich bei den dadurch betroffenen finanziellen Informationen nicht um besonders schützenswerte Personendaten handelt (Art. 3 lit. c DSG e contrario). Die Beschwerdeführerin konnte und musste somit ihre GwG-Daten zur Umsetzung des Sozialkonzepts im Rahmen von <ref-law> verwenden. Dass dies aus damaliger Sicht umstritten war, ist nicht im Rahmen der Pflichtverletzung ausschlaggebend, sondern allenfalls bei der Bemessung der Sanktion zu berücksichtigen (unten E. 7).
5.2.3. Der Beschwerdeführerin musste aufgrund der GwG-Daten bekannt sein, dass sie dem Spieler X. ab September 2005 monatlich Auszahlungen von in der Regel mehr als einer halben Million Franken (in zwölf Monaten sogar mehr als je 1 Million Franken) tätigte, was nach den statistischen Grundsätzen, nach denen Glücksspielautomaten funktionieren (vgl. Art. 28 der Verordnung des EJPD vom 24. September 2004 über Überwachungssysteme und Glücksspiele, Glücksspielverordnung, GSV; SR 935.521.21), mit nahezu hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass er Einsätze machte, die noch deutlich höher liegen mussten. Da der Spieler X. nach seinen eigenen, der Beschwerdeführerin bekannten Darlegungen ein Jahreseinkommen im oberen sechsstelligen Bereich erzielt haben will, liegt es auf der Hand, dass er damit nicht dauerhaft die für diese Gewinne erforderlichen hohen Einsätze spielen konnte. Das hätte nach <ref-law> zur Anordnung einer Spielsperre führen müssen. Indem die Beschwerdeführerin während rund dreier Jahre nicht handelte, hat sie ihre Sorgfaltspflichten als Casinobetreiberin verletzt. Hieran ändert der Einwand nichts, der Spieler X. hätte ihr, wenn nachgefragt worden wäre, gefälschte Unterlagen vorgelegt. Die Spielbank trägt keine Erfolgsgarantie für die entsprechende Massnahme, doch trifft sie zumindest die Pflicht, die erforderlichen Abklärungen und Vorkehren einzuleiten; zudem hätten bereits die Angaben, die der Beschwerdeführerin bekannt waren und die ihr der Spieler X. selber gemacht hatte, zur Anordnung der Sperre führen müssen.
6.
6.1. Die Sanktion bemisst sich nach der Höhe des von der Spielbank "durch den Verstoss erzielten Gewinns" ("gain réalisé du fait de cette violation", "il guadagno ottenuto con l'infrazione"), soweit dieser bekannt ist (<ref-law>). Dabei handelt es sich um den spielbankenrechtlichen (nicht buchhalterischen) Nettogewinn, d.h. die Differenz zwischen dem tatsächlichen und hypothetischen Vermögensstand des Verletzers mit und ohne die Pflichtverletzung; vom Bruttogewinn abzuziehen sind grundsätzlich alle Kosten, welche zur Erzielung des Gewinnes angefallen sind (Urteil 2C_949/2010 vom 18. Mai 2011 E. 6.3). Solange nicht sämtliche Einsätze und Gewinne jedes einzelnen Spielers registriert werden ("player tracking"), bleibt die Berechnung der Höhe des Gewinns im Sinn von <ref-law> eine mehr oder weniger nachvollziehbare Schätzung. Der entsprechende (unzulässige) Gewinn ist jeweils so genau wie möglich und objektiv (noch) erstellbar zu ermitteln; andernfalls beträgt die Belastung bis zu 20 Prozent des Bruttospielertrags im letzten Geschäftsjahr (Art. 51 Abs. 1 zweiter Satz SBG).
6.2. Hier nicht mehr umstritten ist die Höhe des auf das pflichtwidrige Verhalten zurückgehenden Bruttogewinns; er beträgt für den massgeblichen Zeitraum Fr. 4'020'859.--. Im Urteil 2C_949/2010 hat das Bundesgericht erkannt, dass vom Bruttogewinn die Spielbankenabgabe abzuziehen ist, da diese gemäss <ref-law> auf den Bruttospielerträgen ("produit brut des jeux", "prodotto lordo dei giochi") erhoben wird, welche als Differenz zwischen den Spieleinsätzen und den ausbezahlten Spielgewinnen ("différence entre les mises des joueurs et les gains qui leur sont versés", "differenza tra le poste giocate e le vincite versate") zu verstehen sind (<ref-law>). Damals war - entgegen dem vorliegenden Fall - nicht zu beurteilen, wie die Spielbankenabgabe bei der Berechnung der Verwaltungssanktion zu berücksichtigen ist und sich auf deren Berechnung auswirkt. Dies bildet hier indessen Verfahrensgegenstand und ist im Folgenden zu prüfen. Weitere gewinnmindernde Aufwendungen macht die Beschwerdeführerin im bundesgerichtlichen Verfahren nicht (mehr) geltend.
6.3.
6.3.1. Die Spielbankenabgabe beträgt zwischen 40 und 80 % des Bruttospielertrags (Art. 40 Abs. 1 und 41 Abs. 3 SBG). In diesem Rahmen ist der Abgabesatz progressiv und steigt mit der Höhe des Bruttospielertrags (Art. 82 der Verordnung vom 24. September 2004 über Glücksspiele und Spielbanken; Spielbankenverordnung, VSBG; SR 935.521). In der für die hier zur Diskussion stehenden Jahre 2005 bis 2008 massgebenden ursprünglichen Fassung von Art. 82 VSBG (AS 2004 4395) wurde der Basisabgabesatz von 40 % bis zu einem Bruttospielertrag von 20 Millionen Franken erhoben; für jede weitere Million Franken Bruttospielertrag stieg der Grenzabgabesatz um 0,5 % bis zum Höchstsatz von 80 %.
6.3.2. Die Vorinstanz hat - wie schon die ESBK in ihrer Verfügung vom 29. Juni 2011 - festgestellt, der durchschnittliche Steuersatz der Beschwerdeführerin habe in den Jahren 2006 bis 2008 56,25 % des Bruttospielertrags betragen. Es wurden demzufolge vom massgebenden Bruttospielertrag von Fr. 4'020'859.-- 56,25 % abgezogen, was zu einem Nettogewinn von Fr. 1'759'125.-- führte. Die Beschwerdeführerin will vom Bruttogewinn die Differenz zwischen der von ihr tatsächlich bezahlten Abgabe und derjenigen, die sie ohne den vom betroffenen Spieler generierten Bruttospielertrag hätte bezahlen müssen, abziehen, was zu einem Nettogewinn von Fr. 855'797.-- führt. Die ESBK akzeptiert grundsätzlich die Sichtweise der Beschwerdeführerin, sich am Grenzsteuersatz zu orientieren, macht aber geltend, dies führe zu einer stossenden Ungleichbehandlung, da Casinos, die einen relativ geringen Bruttospielertrag generierten, aufgrund der prozentual tieferen Spielbankenabgabe eine wesentlich höhere Sanktion bezahlen müssten als Banken mit hohem Bruttospielertrag. Sie schlägt daher vor, bereits den Bruttospielertrag mit dem Sanktionsfaktor zu multiplizieren und erst davon die auf der Basis des Grenzsteuersatzes ermittelte Spielbankenabgabe abzuziehen. Mit diesem Ansatz werde eine umsatzschwächere Spielbank insgesamt an Spielbankenabgabe und Sanktionssumme gleich viel leisten wie eine bruttospielertragsstärkere.
6.4.
6.4.1. Der für die Berechnung der Sanktion nach <ref-law> relevante Nettogewinn fällt umso höher aus, je tiefer die Spielbankenabgabe ist; wird nur der Nettogewinn bis zum Dreifachen multipliziert, fällt der Betrag der Sanktion daher bei Spielbanken mit tieferer Abgabenbelastung höher aus als bei Banken mit hoher Abgabenbelastung. Das von der ESBK vorgeschlagene Vorgehen würde diesen Unterschied zwar ausgleichen, insgesamt aber zu deutlich höheren Sanktionen führen, was - wie die Vorinstanz zu Recht ausgeführt hat (dort E. 6.3) - mit dem Gesetz nicht in Einklang zu bringen ist: Wenn <ref-law> auf den "Gewinn" abstellt, so ist damit nicht der Bruttospielertrag (d.h. Differenz zwischen Einsätzen und ausbezahlten Gewinnen, <ref-law>) gemeint, sondern der Nettogewinn (Urteil 2C_949/2010 vom 18. Mai 2010 E. 6.3.1); andernfalls machte Satz 2 von <ref-law> keinen Sinn, der vorschreibt, dass, wenn kein Gewinn vorliegt bzw. dieser nicht ermittelt oder geschätzt werden kann, die Belastung bis zu 20 Prozent des Bruttospielertrags im letzten Geschäftsjahr beträgt. Nur auf dem durch den Verstoss erzielten Gewinn sieht das Gesetz (maximal) eine Verdreifachung vor. Soweit der daraus resultierende Unterschied in der Sanktionshöhe als stossend und rechtsungleich zu gelten hat, muss dem durch eine flexible und angepasste Handhabung des Multiplikationsfaktors Rechnung getragen werden.
6.4.2. Dem Grundsatz, wonach der Gewinn als Differenz zwischen dem tatsächlichen und hypothetischen Vermögensstand des Verletzers mit und ohne die Pflichtverletzung zu verstehen ist, entspricht die von der Beschwerdeführerin vorgeschlagene Berechnungsweise. Danach soll für jede Abgabeperiode zuerst die Spielbankenabgabe einerseits auf dem gesamten Bruttospielertrag und andererseits auf dem Bruttospielertrag ohne den Anteil des Spielers berechnet werden. Die daraus resultierenden Differenzbeträge seien pro Kalenderjahr zu addieren und hernach vom Bruttospielertrag des Spielers in Abzug zu bringen, womit sich unter Berücksichtigung der Progression ein Abzug von 78,72 % statt dem von der ESBK angewendeten von 56,25 % ergebe. Die ESBK gestand der Beschwerdeführerin vor dem Bundesverwaltungsgericht zu, dass die Abgabe mit und ohne den durch den Spieler verursachten Bruttospielertrag berechnet werden müsse, wobei der Differenzbetrag anschliessend in Abzug zu bringen sei; es sei somit auf den Betrag abzustellen, den die Spielbank ohne den durch den Spieler unter Verletzung der Sorgfaltspflichten generierten Bruttospielertrag erzielt hätte. Die Vorinstanz hat diese Lösung abgelehnt, da sich eine Spielbank bei der Spielbankenabgabe gemäss <ref-ruling> ff. eine Sorgfaltspflichtverletzung anrechnen lassen müsse. Damit solle verhindert werden, dass ihre Betreiberin nachträglich an anderer Stelle von einer Sorgfaltspflichtverletzung profitieren könne. Dieser Grundsatz gelte analog für die vorliegende Fallkonstellation. Zudem sei der Vorschlag der Beschwerdeführerin nicht praxistauglich, so etwa wenn für den gleichen Zeitraum ein weiterer Fall von Sorgfaltspflichtverletzungen bekannt werde (dort E. 6.5.1).
6.4.3. Der Hinweis der Vorinstanz auf <ref-ruling> ff. überzeugt nicht: Das Bundesgericht hat erkannt, dass für die Bemessung der Spielbankenabgabe auch derjenige Bruttospielertrag, der auf sorgfaltspflichtwidriges Verhalten der Spielbank zurückgeht, zu berücksichtigen ist (dort E. 6). Das bedeutet im vorliegenden Fall, dass die von der Beschwerdeführerin geschuldete Spielbankenabgabe in den Jahren 2005 bis 2008 auf der Grundlage des Bruttospielertrags einschliesslich dem vom Spieler X. generierten Ertrag erhoben werden darf, da diesbezüglich eine Pflichtverletzung vorliegt (E. 5). Die bereits erhobene Abgabe ist rechtmässig, unabhängig von Rechtskraftüberlegungen. Daraus folgt allerdings nicht, dass bei der Bemessung des unrechtmässigen Gewinns der durchschnittliche Steuersatz heranzuziehen wäre. Auszugehen ist von der Überlegung, dass sich das pflichtwidrige Verhalten für die Spielbank nicht lohnen soll (Urteil 2C_949/2010 vom 18. Mai 2011 E. 6.2.2). Mit der Spielbankenabgabe wurde bereits ein Teil des unrechtmässigen höheren Bruttogewinns abgeschöpft (nämlich dieser Gewinn multipliziert mit dem anwendbaren Steuersatz). Mit dem Vorgehen der Vorinstanz würde ein Teil dieses bereits abgeschöpften Gewinns nochmals unter dem Titel der Sanktion erfasst, was gesetzwidrig erscheint.
6.4.4. Der Einwand bezüglich der fehlenden Praktikabilität ändert hieran nichts: Sollte später für den gleichen Zeitraum ein zweiter Fall bekannt werden, kann dafür die Rechnung neu erstellt und der zusätzlich bekannt gewordene Gewinn sanktionsweise erfasst werden. Das sollte keine grösseren Probleme stellen, da die Sanktion nicht für die einzelnen Spieler separat berechnet werden muss, sondern für die Spielbank gesamthaft. Zwar bringt die ESBK vernehmlassungsweise vor, bei der Ermittlung des Gewinns sei die Vorinstanz bereits von für die Beschwerdeführerin ausgesprochen günstigen Annahmen ausgegangen, es kann aber nicht - gewissermassen kompensatorisch - hierfür eine gesetzlich nicht vorgesehene Doppelbelastung auf dem ermittelten Gewinn gerechtfertigt werden. Die Spielbankenabgabe ist bei der Gewinnermittlung so zu berücksichtigen, dass einerseits vom effektiv erzielten Bruttogewinn (inkl. den vom Spieler X. generierten Betrag von Fr. 4'020'859.--) die tatsächlich bezahlte Spielbankenabgabe abgezogen wird, was den tatsächlichen Vermögensstand mit Pflichtverletzung ergibt. Andererseits ist vom rechtmässig erzielten Bruttogewinn (d.h. effektiv erzielter Bruttogewinn minus vom Spieler X. generierter Bruttogewinn) die Spielbankenabgabe abzuziehen, die auf diesem rechtmässigen Bruttogewinn geschuldet wäre, was den hypothetischen Vermögensstand ohne Pflichtverletzung ergibt. Nach den insoweit übereinstimmenden Angaben der Beschwerdeführerin und der ESBK beträgt die Differenz bei Berücksichtigung der erfassten (GwG) Auszahlungen an den nicht als Durchschnittsspieler zu qualifizierenden X. auf den von ihm genutzten drei Spielapparaten Fr. 855'797.--. Formelhaft ausgedrückt gilt: (1) Bruttogewinn (total) minus Spielbankenabgabe (total); (2) Bruttogewinn (ohne Verstoss) minus Spielbankenabgabe (ohne Verstoss); die Differenz zwischen (1) und (2) bildet den Nettogewinn im Sinne von <ref-law>, welcher Grundlage für die anschliessende Multiplikation mit den Faktoren 1 bis 3 bildet (vgl. sogleich E. 7). Soweit die ESBK geltend macht, es sei von einem relevanten Bruttospielertrag von Fr. 5'413'108.-- statt Fr. 4'020'525.-- auszugehen, legt sie nicht dar, inwiefern die diesbezüglich abweichende Sachverhaltsfeststellung im angefochtenen Entscheid offensichtlich unhaltbar wäre (<ref-law>), weshalb von diesem auszugehen ist.
7.
7.1. Die Höhe der Sanktion ist maximal das Dreifache des durch den Verstoss erzielten (Netto-) Gewinns. In ihrer vom Bundesgericht bestätigten (Urteil 2C_949/2010 vom 18. Mai 2011 E. 6.2.2.) Praxis unterscheidet die ESBK zwecks einheitlicher und nachvollziehbarer Vorgehensweise nach der Schwere des Verstosses vier Kategorien und bemisst die Sanktion nach der Höhe des bezifferbaren Gewinns, multipliziert mit einem Faktor, der für jede dieser Kategorien einen bestimmten Rahmen umfasst (einfache Ordnungswidrigkeit: Faktor 1.0 bis 1.5; leichter Verstoss: Faktor 1.25 bis 1.75; mittelschwerer Verstoss: Faktor 1.5 bis 2.0; schwerer Verstoss: Faktor 1.75 bis 3.0).
7.2.
7.2.1. Die ESBK ist vorliegend von einem mittelschweren Verstoss ausgegangen und hat den Multiplikationsfaktor auf 1.75 festgelegt. Das Bundesverwaltungsgericht hat diese Einschätzung bestätigt: Der Sozialschutz als zentrales Ziel der Spielbankengesetzgebung sei durch die Pflichtverletzung der Beschwerdeführerin in nicht leichtzunehmender Weise gefährdet worden; eine Sperre sei trotz klarer Hinweise während rund dreier Jahre unterblieben; in diesem Zeitraum seien dem Spieler rund 24,5 Mio. Franken ausbezahlt worden, ohne dass die Beschwerdeführerin Finanzunterlagen eingeholt hätte. Umgekehrt habe sie sich aber stets kooperationsbereit gezeigt; ihre Mitarbeiter hätten davon ausgehen können, dass der Spieler ein Gewinnertyp gewesen sei; zudem sei er ein atypischer Spieler gewesen, sodass es durchaus möglich erscheine, dass er durch die Maschen des Kontrollnetzes habe fallen können. In Gewichtung aller Umstände sei die ESBK zu Recht von einem mittelschweren Verstoss ausgegangen und der Faktor von 1.75 erscheine gerechtfertigt.
7.2.2. Die Beschwerdeführerin beanstandet, die Vorinstanz habe völlig ausser Acht gelassen, dass im damaligen Zeitpunkt davon auszugehen war, dass die GwG-Daten zum Zweck des Sozialschutzes nicht verwendet werden dürften. Es trifft zu, dass sich die Vorinstanz mit dieser bereits bei ihr erhobenen Rüge nicht auseinandergesetzt und auch keine entsprechenden Feststellungen getroffen hat. Diese lassen sich jedoch aus den Akten vervollständigen (<ref-law>) : Daraus ergibt sich, dass sich sowohl der Casinoverband wie auch die ESBK im Jahre 2006 mit der Frage auseinandergesetzt hatten, ob die GwG-Daten für den Sozialschutz verwendet werden dürften; aus den dazu eingeholten Stellungnahmen des Eidgenössischen Datenschutzbeauftragten ergab sich nicht, dass die Verwendung der GwG-Daten für den Sozialschutz als unzulässig erachtet wurde; der Datenschutzbeauftragte bezeichnete zwar eine zusätzliche gesetzliche Regelung als wünschenswert, wies aber de lege lata auf den Rechtfertigungsgrund von Art. 13 DSG hin. Die Beschwerdeführerin hat in ihrem Schreiben an die ESBK vom 27. Februar 2006 selber dargelegt, die GwG-Unterlagen seien ein weiterer und ergänzender Erkennungsweg, der einen Hinweis auf regelmässige Auszahlungen und Besuche gebe; im Falle einer Zuhilfenahme der GwG-Daten führe eine hohe Auszahlungsfrequenz zu einer Aufnahme der Früherkennung; die dazu benötigten Informationen würden in Zusammenarbeit mit der Finanzabteilung intern genutzt; die Handhabung geschehe unter strengster Einhaltung des Datenschutzes. Auch in ihrer im Rahmen des hängigen Verfahrens abgegeben Stellungnahme an die ESBK vom 8. März 2011 führte die Beschwerdeführerin aus, die im Jahre 2006 erfolgte Einschätzung des Spielers X. habe "auf den Wahrnehmungen der Mitarbeiter sowie den GWG Unterlagen" basiert.
7.2.3. Gestützt hierauf ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin bereits früher die GwG-Unterlagen effektiv auch im Rahmen der Anwendung des Sozialkonzepts verwendete und ihr somit die hohe Zahl der Anwesenheitstage und die sehr hohen Auszahlungsbeträge nicht nur bekannt sein mussten, sondern auch bekannt waren. Sie hat zwar einige Abklärungen getroffen, diese haben aber nicht zu den gebotenen Massnahmen geführt. Vor allem angesichts der sehr langen Dauer der Pflichtverletzung ist die Einstufung als mittelschwerer Verstoss und die Festsetzung des Faktors auf 1.75 vertretbar. Selbst bei der Annahme eines leichten Verstosses wäre dieser im oberen Bereich anzusiedeln und der Multiplikationsfaktor 1.75 gerechtfertigt.
8.
8.1. Der von der Beschwerdeführerin gestützt auf den Verstoss gegen ihre spielbankenrechtlichen Pflichten im Fall des Spielers X. erzielte Gewinn beträgt Fr. 855'797.-- (vorne E. 6.4.4). Zur Berechnung der geschuldeten Sanktion ist dieser Betrag mit dem Faktor 1.75 zu multiplizieren, was Fr. 1'497'645.-- ergibt. Die angefochtene Verwaltungssanktion ist von Fr. 3'078'000.-- auf diesen Betrag zu reduzieren (<ref-law>). Nicht beanstandet und nicht zu verändern ist die von der ESBK auferlegte Verfügungsgebühr, deren Betrag nicht von der Höhe der Sanktion, sondern von dem mit dem Verfahren verbundenen Zeitaufwand bzw. den erforderlichen Sachkenntnissen abhängt (<ref-law>; Art. 113 VSBG).
8.2. Die Beschwerde erweist sich damit als teilweise begründet. Die Beschwerdeführerin trägt eine um die Hälfte reduzierte Gerichtsgebühr (<ref-law>). Der ESBK sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>); sie muss aber der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht verlegt entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Verfahrens die Kosten des Verfahrens vor Bundesverwaltungsgericht neu (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Ziffern 2, 3 und 4 des Dispositivs des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 26. Juni 2013 werden wie folgt abgeändert:
"2. Der Beschwerdeführerin wird eine Sanktion von Fr. 1'497'645.-- (zuzüglich der Gebühren der ESBK von Fr. 26'700.--) auferlegt.
3. Die Verfahrenskosten für das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht von Fr. 7'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Der Beschwerdeführerin wird für das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht zu Lasten der ESBK eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 30'000.-- zugesprochen."
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 15'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die ESBK hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 15'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Mai 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar