Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1964 geborene R._, verheiratet und zweifache Mutter, meldete sich im Juli 2002 bei der Invalidenversicherung zum Bezug einer Rente an. Nach Abklärungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit (u.a. Gutachten der Klinik S._ vom 14. März 2005) sowie der Einschränkung im erwerblichen Bereich und im Haushalt (Berichte vom 24. Januar 2003 und 20. Mai 2005) lehnte die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügung vom 27. Juli 2005 das Leistungsbegehren ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 fest.
A. Die 1964 geborene R._, verheiratet und zweifache Mutter, meldete sich im Juli 2002 bei der Invalidenversicherung zum Bezug einer Rente an. Nach Abklärungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit (u.a. Gutachten der Klinik S._ vom 14. März 2005) sowie der Einschränkung im erwerblichen Bereich und im Haushalt (Berichte vom 24. Januar 2003 und 20. Mai 2005) lehnte die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügung vom 27. Juli 2005 das Leistungsbegehren ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 fest.
B. Die Beschwerde der R._ hiess die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 19. Mai 2006 mit der Feststellung teilweise gut, dass ab 1. Juli 2001 bis 30. April 2003 Anspruch auf eine ganze Rente sowie vom 1. Mai bis 31. Dezember 2003 Anspruch auf eine halbe Rente und ab 1. Januar 2004 auf eine Dreiviertelrente bestehe.
B. Die Beschwerde der R._ hiess die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 19. Mai 2006 mit der Feststellung teilweise gut, dass ab 1. Juli 2001 bis 30. April 2003 Anspruch auf eine ganze Rente sowie vom 1. Mai bis 31. Dezember 2003 Anspruch auf eine halbe Rente und ab 1. Januar 2004 auf eine Dreiviertelrente bestehe.
C. Die IV-Stelle führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid der kantonalen Rekurskommission sei aufzuheben.
R._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf deren Gutheissung schliesst.
R._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf deren Gutheissung schliesst.
D. In einer weiteren Eingabe hat die IV-Stelle an ihrem Rechtsbegehren festgehalten.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Der angefochtene Entscheid betrifft Leistungen der Invalidenversicherung. Nach Art. 132 Abs. 1 OG in der Fassung gemäss Ziff. III des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Änderung des IVG (in Kraft seit 1. Juli 2006) kann das Eidgenössische Versicherungsgericht in Verfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen in Abweichung von den Art. 104 und 105 OG auch die Unangemessenheit der angefochtenen Verfügung beurteilen und ist an die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts nicht gebunden. Gemäss Art. 132 Abs. 2 OG gelten diese Abweichungen jedoch nicht, wenn der angefochtene Entscheid Leistungen der Invalidenversicherung betrifft. Nach Ziff. II lit. c des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 gilt indessen bisheriges Recht für die im Zeitpunkt des In-Kraft-Tretens der Änderung beim Eidgenössischen Versicherungsgericht hängigen Beschwerden. Dies trifft auf die hier zu beurteilende Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu. Die Kognition richtet sich somit noch nach Art. 132 Abs. 1 OG.
1. Der angefochtene Entscheid betrifft Leistungen der Invalidenversicherung. Nach Art. 132 Abs. 1 OG in der Fassung gemäss Ziff. III des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Änderung des IVG (in Kraft seit 1. Juli 2006) kann das Eidgenössische Versicherungsgericht in Verfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen in Abweichung von den Art. 104 und 105 OG auch die Unangemessenheit der angefochtenen Verfügung beurteilen und ist an die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts nicht gebunden. Gemäss Art. 132 Abs. 2 OG gelten diese Abweichungen jedoch nicht, wenn der angefochtene Entscheid Leistungen der Invalidenversicherung betrifft. Nach Ziff. II lit. c des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 gilt indessen bisheriges Recht für die im Zeitpunkt des In-Kraft-Tretens der Änderung beim Eidgenössischen Versicherungsgericht hängigen Beschwerden. Dies trifft auf die hier zu beurteilende Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu. Die Kognition richtet sich somit noch nach Art. 132 Abs. 1 OG.
2. Die kantonale Rekurskommission hat der Beschwerdegegnerin für die Zeit vom 1. Juli 2001 bis 30. April 2003 eine ganze, vom 1. Mai bis 31. Dezember 2003 eine halbe und ab 1. Januar 2004 (Inkrafttreten der Änderungen u.a. des <ref-law> gemäss Bundesgesetz vom 21. März 2003 [4. IV-Revision]) eine Dreiviertelrente der Invalidenversicherung zugesprochen. Die entsprechenden Invaliditätsgrade von 71% (0,4 x 100% + 0,6 x 51%) und 60% (0,4 x 100% + 0,6 x 33 %) hat sie nach der gemischten Methode bei einem - unbestrittenen - Anteil der Erwerbstätigkeit von 0,4 (= zeitlicher Umfang gemessen an einem Normalarbeitspensum, in welchem die Versicherte ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre) ermittelt (vgl. dazu <ref-ruling> ff. Erw. 2a-c sowie <ref-ruling> und SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151 [I 156/04]). Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, nach dem schlüssigen Gutachten der Klinik S._ vom 14. März 2005 könnte die Versicherte, ausgehend von einem theoretischen Beschäftigungsgrad von 100%, als Büroangestellte theoretisch ganztags mit vermehrten Pausen von ca. 10 Min. pro Stunde arbeiten. Die Tätigkeit als Hausfrau sei theoretisch ebenfalls ganztags mit vermehrten Pausen von ca. 10 Min. pro Stunde zumutbar. In einer Gesamtwürdigung komme das Gutachten zum Schluss, dass mit den gegebenen körperlichen Beeinträchtigungen (Schulter- und Rückenbeschwerden sowie belastungsabhängige Knieschmerzen) eine ausserhäusliche Tätigkeit zusätzlich zur Haushaltarbeit die Belastbarkeit der Versicherten übersteige und zu immer wiederkehrenden Schmerzexazerbationen sowie zu einer Dekompensation führte. Es sei daher unter den konkreten Umständen von einer 100%igen Arbeitsunfähigkeit im erwerblichen Bereich auszugehen. Damit betrage der gewichtete erwerbliche Teilinvaliditätsgrad 40% (0,4 x 100%). Die Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt sei entsprechend den Ergebnissen der Abklärungen vor Ort vom 24. Januar 2003 und 19. Mai 2005 auf 51% bis Ende April 2003 sowie 33 % ab 1. Mai 2003 festzulegen. In diesem Monat habe der Ehemann der Versicherten gemäss ihren Angaben bei einem Verkehrsunfall ein Schleudertrauma erlitten. Dies habe sie offenbar gezwungen, Haushaltarbeiten, bei welchen sie zuvor durch ihren Ehegatten entlastet worden sei, wieder vermehrt selber zu übernehmen.
2. Die kantonale Rekurskommission hat der Beschwerdegegnerin für die Zeit vom 1. Juli 2001 bis 30. April 2003 eine ganze, vom 1. Mai bis 31. Dezember 2003 eine halbe und ab 1. Januar 2004 (Inkrafttreten der Änderungen u.a. des <ref-law> gemäss Bundesgesetz vom 21. März 2003 [4. IV-Revision]) eine Dreiviertelrente der Invalidenversicherung zugesprochen. Die entsprechenden Invaliditätsgrade von 71% (0,4 x 100% + 0,6 x 51%) und 60% (0,4 x 100% + 0,6 x 33 %) hat sie nach der gemischten Methode bei einem - unbestrittenen - Anteil der Erwerbstätigkeit von 0,4 (= zeitlicher Umfang gemessen an einem Normalarbeitspensum, in welchem die Versicherte ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre) ermittelt (vgl. dazu <ref-ruling> ff. Erw. 2a-c sowie <ref-ruling> und SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151 [I 156/04]). Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, nach dem schlüssigen Gutachten der Klinik S._ vom 14. März 2005 könnte die Versicherte, ausgehend von einem theoretischen Beschäftigungsgrad von 100%, als Büroangestellte theoretisch ganztags mit vermehrten Pausen von ca. 10 Min. pro Stunde arbeiten. Die Tätigkeit als Hausfrau sei theoretisch ebenfalls ganztags mit vermehrten Pausen von ca. 10 Min. pro Stunde zumutbar. In einer Gesamtwürdigung komme das Gutachten zum Schluss, dass mit den gegebenen körperlichen Beeinträchtigungen (Schulter- und Rückenbeschwerden sowie belastungsabhängige Knieschmerzen) eine ausserhäusliche Tätigkeit zusätzlich zur Haushaltarbeit die Belastbarkeit der Versicherten übersteige und zu immer wiederkehrenden Schmerzexazerbationen sowie zu einer Dekompensation führte. Es sei daher unter den konkreten Umständen von einer 100%igen Arbeitsunfähigkeit im erwerblichen Bereich auszugehen. Damit betrage der gewichtete erwerbliche Teilinvaliditätsgrad 40% (0,4 x 100%). Die Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt sei entsprechend den Ergebnissen der Abklärungen vor Ort vom 24. Januar 2003 und 19. Mai 2005 auf 51% bis Ende April 2003 sowie 33 % ab 1. Mai 2003 festzulegen. In diesem Monat habe der Ehemann der Versicherten gemäss ihren Angaben bei einem Verkehrsunfall ein Schleudertrauma erlitten. Dies habe sie offenbar gezwungen, Haushaltarbeiten, bei welchen sie zuvor durch ihren Ehegatten entlastet worden sei, wieder vermehrt selber zu übernehmen.
3. 3.1 Mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde führenden IV-Stelle ist es auf Grund der trotz der gesundheitlichen Beeinträchtigung in jedem einzelnen Tätigkeitsbereich bestehenden Arbeitsfähigkeit schwer nachvollziehbar, dass die Beschwerdegegnerin nicht in der Lage sein soll, neben dem Haushalt einem Teilerwerb im Bürobereich oder im Käseverkauf im Rahmen eines zumutbaren Arbeitspensums (von höchstens 40%) nachzugehen. Selbst wenn indessen die Beschäftigung im Haushalt die Versicherte laut Gutachter derart beanspruchte, dass jegliche Teilerwerbstätigkeit daneben ausser Betracht fiele, könnte gestützt darauf jedenfalls nicht der erwerbliche Invaliditätsgrad auf 100% festgesetzt werden. Diese - abzulehnende - Argumentationsweise widerspricht der gesetzlichen Konzeption der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung, indem dem Aufgabenbereich Haushalt gegenüber dem erwerblichen Bereich ein grösseres Gewicht beigemessen wird. Mit ebenso gutem Grund liesse sich fragen, inwieweit bei voller Ausschöpfung der verbliebenen Arbeitsfähigkeit im erwerblichen Bereich Haushaltarbeit noch zumutbar ist (vgl. auch <ref-ruling> ff. Erw. 5a). Eine andere Frage ist, inwiefern einer allfälligen verminderten Leistungsfähigkeit im erwerblichen Bereich oder im Aufgabenbereich Haushalt infolge der Beanspruchung im jeweils anderen Tätigkeitsfeld zu berücksichtigen ist. Dazu hat das Eidgenössische Versicherungsgericht im Urteil E. vom 13. Dezember 2005 (SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151 [I 156/04]) Folgendes erwogen:
«6.2 Die trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung noch bestehende Arbeitsfähigkeit im versicherten Tätigkeitsbereich bildet unverzichtbare Grundlage für die Bemessung der Invalidität. Dies gilt auch bei teilerwerbstätigen Versicherten, die sich daneben in einem Aufgabenbereich nach <ref-law> und <ref-law> betätigen (Schlauri a.a.O. S. 328 f.). Dabei hat grundsätzlich eine gleichzeitige Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit sowie der noch zumutbaren Tätigkeiten und Verrichtungen (<ref-ruling> oben) in beiden Bereichen unter Berücksichtigung allfälliger Wechselwirkungen zu erfolgen (Alexandra Rumo-Jungo, Ausgewählte Gerichtsentscheide aus dem Sozialversicherungsrecht im Zusammenhang mit Teilzeitarbeitsverhältnissen, in: Freiburger Sozialrechtstag 1996, Neue Erwerbsformen - veraltetes Arbeits- und Sozialversicherungsrecht?, S. 208 f.). Das setzt entsprechende klare Fragestellungen der IV-Stellen und Sozialversicherungsgerichte an den Arzt voraus.
Die gleichzeitige Einschätzung der gesundheitlich bedingt noch zumutbaren Arbeitsfähigkeit im dargelegten Sinne ist nicht leicht. Vorab besteht zwischen erwerblichem Bereich und Aufgabenbereich grundsätzlich keine Rangordnung in dem Sinne, dass lediglich zu fragen wäre, ob die volle Ausschöpfung der Arbeitsfähigkeit bei der einen Tätigkeit sich bei der andern zusätzlich leistungsvermindernd auswirkt. Es kommt im Besonderen bei Versicherten, die den Haushalt führen und daneben einem Teilerwerb nachgehen, dazu, dass für die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit im erwerblichen Bereich dem Faktor Zeit eine grosse Bedeutung zukommt. Hier bemisst sich die zu erbringende Leistung grundsätzlich nach der in einer bestimmten Zeit verrichteten Arbeit. Demgegenüber besteht bei der Besorgung des Haushalts in der Regel mehr Spielraum für die Einteilung der Arbeit und auch wie sie ausgeführt wird. Verglichen mit dem erwerblichen Bereich erscheint die Einschätzung der trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung zumutbaren Arbeitsfähigkeit im Haushalt denn auch mit mehr Unsicherheit behaftet und es wird darauf lediglich in Ausnahmefällen direkt abgestellt werden können (Urteil I. vom 25. Oktober 2002 [I 245/02] Erw. 3.1; vgl. auch ZAK 1984 S. 140 oben). Im Übrigen haben bei der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit Fragen der Schadenminderungspflicht - zu denken ist hier in erster Linie an die zumutbare Mitarbeit Familienangehöriger im Haushalt (vgl. <ref-ruling> Erw. 3.3.3, AHI 2003 S. 218 Erw. 2.3.3 sowie ZAK 1992 S. 89 Erw. 2c) - ausser Acht zu bleiben. Darüber haben die rechtsanwendenden Organe bei der Ermittlung des Behinderungsgrades durch Betätigungsvergleich (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>, in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2003) zu befinden. Der Arzt wird den aufgezeigten Unterschieden bei seiner Einschätzung der Arbeitsfähigkeit im erwerblichen Bereich und im Aufgabenbereich nach <ref-law> und <ref-law> Rechnung tragen, soweit möglich und quantifizierbar unter Berücksichtigung der jeweils anderen, allenfalls sich leistungsvermindernd auswirkenden Tätigkeit.»
Die medizinischen Akten erlauben vorliegend keine zuverlässige (gleichzeitige) Beurteilung der Arbeitsfähigkeit im erwerblichen Bereich und im Aufgabenbereich Haushalt. Die Einschätzungen im Gutachten der Klinik S._ vom 14. März 2005 beziehen sich auf die einzelnen Bereiche unter Ausblendung des jeweils anderen Tätigkeitsfeldes. Es geht jedoch um die Arbeitsfähigkeit im Rahmen eines 40%igen Arbeitspensums unter Berücksichtigung der Beschäftigung im Haushalt und umgekehrt (Urteil F. vom 19. September 2006 [I 295/06] Erw. 3.1.2 in fine).
3.2 Im Weitern besteht auch Unklarheit in Bezug auf die gesundheitlich bedingte Einschränkung im Haushalt. Die kantonale Rekurskommission hat die Schätzungen von 51% und 33% in den Abklärungsberichten vom 24. Januar 2003 und 20. Mai 2005 als schlüssig erachtet. Die Begründung des erheblichen Unterschieds von 18% überzeugt jedoch nicht. Dass und soweit der Ehemann seit Mai 2003 wegen der gesundheitlichen Folgen eines Verkehrsunfalles nicht mehr im gleichen Umfang im Haushalt mithelfen konnte, spricht für eine Zunahme der Einschränkung in diesem Aufgabenbereich. Entgegen der IV-Stelle handelt es sich hiebei nicht um einen unbeachtlichen invaliditätsfremden psychosozialen Grund. Dasselbe gilt auch in Bezug auf den offenbar erhöhten erzieherischen Aufwand für den hyperaktiven Sohn. Dass die im Zeitpunkt der zweiten Abklärung vor Ort vom 19. Mai 2005 zehn Jahre alte Tochter die vermehrt wieder auf ihrer Mutter lastenden Haushaltarbeiten durch entsprechend verstärkte zumutbare Mithilfe kompensieren konnte, ist nicht, zumindest nicht ohne weiteres anzunehmen. Anderseits kann dem schon in der vorinstanzlichen Beschwerde vorgebrachten Einwand, lediglich wegen übermässigen Schmerzmittelkonsums sei die im Haushalt zusätzlich zu übernehmende Arbeit zu bewältigen, nicht jegliche Bedeutung abgesprochen werden, wenn er beweismässig erhärtet werden kann.
3.3 Im Sinne des Vorstehenden fehlt für eine rechtskonforme Ermittlung des Invaliditätsgrades und damit eines allfälligen Anspruchs auf eine Rente der Invalidenversicherung eine schlüssige Einschätzung der Arbeitsfähigkeit sowie der Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt. Die IV-Stelle wird weitere Abklärungen vorzunehmen haben. Dabei steht es ihr offen, bei der Klinik S._ ergänzende Auskünfte einzuholen. Danach wird sie über den Anspruch auf eine Invalidenrente neu verfügen.
3.3 Im Sinne des Vorstehenden fehlt für eine rechtskonforme Ermittlung des Invaliditätsgrades und damit eines allfälligen Anspruchs auf eine Rente der Invalidenversicherung eine schlüssige Einschätzung der Arbeitsfähigkeit sowie der Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt. Die IV-Stelle wird weitere Abklärungen vorzunehmen haben. Dabei steht es ihr offen, bei der Klinik S._ ergänzende Auskünfte einzuholen. Danach wird sie über den Anspruch auf eine Invalidenrente neu verfügen.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG e contrario in Verbindung mit Art. 135 OG). Mit Bezug auf das kantonale Verfahren gilt sie hingegen nach wie vor als obsiegende Partei. Die vorinstanzlich zugesprochene Parteientschädigung ist daher zu belassen (Art. 159 Abs. 6 OG; Urteil G. vom 13. Juni 2006 [I 914/05] Erw. 6 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid der AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau vom 19. Mai 2006 (mit Ausnahme der Parteientschädigung) und der Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 aufgehoben werden und die Sache an die IV-Stelle des Kantons Thurgau zurückgewiesen wird, damit sie nach Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine Rente der Invalidenversicherung neu verfüge.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid der AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau vom 19. Mai 2006 (mit Ausnahme der Parteientschädigung) und der Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 aufgehoben werden und die Sache an die IV-Stelle des Kantons Thurgau zurückgewiesen wird, damit sie nach Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine Rente der Invalidenversicherung neu verfüge.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 14. November 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: