Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich erhob am 16. Dezember 2011 beim Bezirksgericht Dietikon Anklage gegen X._ wegen Körperverletzung, Drohung, versuchter Nötigung und weiterer Straftaten. Gleichzeitig beantragte sie dem Zwangsmassnahmengericht, der Beschuldigte, der sich in Untersuchungshaft befinde, sei in Sicherheitshaft zu versetzen. Das Zwangsmassnahmengericht Dietikon wies diesen Antrag mit Verfügung vom 21. Dezember 2011 ab und auferlegte dem Beschuldigten als Ersatzmassnahmen ein Kontaktverbot mit der Geschädigten sowie ein näher umschriebenes Rayonverbot. Unmittelbar nach Erhalt der Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts verfügte die Staatsanwaltschaft die erneute vorläufige Festnahme des Beschuldigten. Rund eine Stunde später reichte sie beim Obergericht des Kantons Zürich eine Beschwerde gegen die Aufhebung der Sicherheitshaft durch das Zwangsmassnahmengericht ein. Als vorsorgliche Massnahme verlangte die Staatsanwaltschaft die Inhaftierung des Beschuldigten für die Dauer des Beschwerdeverfahrens.
Am 22. Dezember 2011 wies das Obergericht den Antrag auf vorsorgliche Inhaftierung ab. Es verfügte die unverzügliche Haftentlassung des Beschuldigten durch die Staatsanwaltschaft sowie ein Kontaktverbot mit der Geschädigten. Weiter drohte es dem Beschuldigten eine Bestrafung nach <ref-law> an, falls er die gerichtlichen Anordnungen missachten sollte.
Mit Beschluss vom 9. Januar 2012 wies das Obergericht die Beschwerde gegen den Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts Dietikon vom 21. Dezember 2011 unter Bestätigung des Kontakt- und Rayonverbots ab.
B. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich führt mit Eingabe vom 20. Januar 2012 an das Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt die Aufhebung der Verfügung des Obergerichts vom 22. Dezember 2011 sowie die Feststellung, dass das Obergericht den Antrag der Staatsanwaltschaft in der Beschwerde vom 21. Dezember 2011 betreffend vorläufige Inhaftierung des Beschuldigten für die Dauer des Beschwerdeverfahrens hätte gutheissen müssen. Weiter stellt die Staatsanwaltschaft die Anträge, es sei festzustellen, dass das Obergericht, wenn es nicht die Inhaftierung anordnet, die Haftentlassung selbst hätte anordnen müssen und dabei den Zeitpunkt der Entlassung so zu wählen habe, dass den Parteien vor der Haftentlassung die Anrufung des Bundesgerichts ermöglicht wird.
C. Das Obergericht bringt in seiner Stellungnahme vom 1. Februar 2012 zum Ausdruck, dass es die Beschwerde vor dem Hintergrund des zur Publikation bestimmten Urteils des Bundesgerichts 1B_442/2011 vom 4. Januar 2012 für unbegründet hält. Es stellt aber keinen eigenen Antrag zur vorliegenden Beschwerde. Das Zwangsmassnahmengericht und der Beschuldigte verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen die angefochtene Verfügung ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig. Die Oberstaatsanwaltschaft ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a i.V.m. lit. b Ziff. 3 BGG zur Beschwerde befugt (<ref-ruling> E. 1 S. 23, 87 E. 1; BGE 1B_442/2011 vom 4. Januar 2012 E. 1.1).
1.2 Die angefochtene Verfügung stellt einen Zwischenentscheid nach <ref-law> dar. Die Vorinstanz hat es abgelehnt, den Beschwerdegegner für die Dauer des Beschwerdeverfahrens in Haft zu versetzen. Damit bestand die Gefahr der Erschwerung oder gar Vereitelung des Strafverfahrens, da der Beschwerdegegner die von der Staatsanwaltschaft geltend gemachten Haftgründe (<ref-law>) verwirklichen könnte. Dies stellt für die Staatsanwaltschaft einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.1 S. 240). Die Beschwerde ist auch insoweit zulässig (vgl. BGE 1B_442/2011 vom 4. Januar 2012 E. 1.2).
1.3 Die Vorinstanz hat mit Beschluss vom 9. Januar 2011 die Beschwerde der Staatsanwaltschaft in der Sache selber abgewiesen. Das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren ist somit abgeschlossen. Die Beschwerdeführerin hat zufolge Gegenstandslosigkeit kein aktuelles praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde in Strafsachen mehr. Angesichts der Verfahrensumstände rechtfertigen sich jedoch die nachfolgenden Ausführungen.
2. 2.1 Das Bundesgericht führte im Urteil 1B_442/2011 vom 4. Januar 2012 E. 2 in einem vergleichbaren Fall folgendes aus:
Rekurriert die Staatsanwaltschaft nach einem abschlägigen Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts bei der Beschwerdeinstanz und verlangt sie - superprovisorisch oder provisorisch - die Inhaftierung des Beschuldigten, so kann sie einen (für sie) negativen Massnahmenentscheid nach <ref-law> - sei er superprovisorisch oder provisorisch - nicht beim Bundesgericht anfechten. Denn vor Bundesgericht würde diesfalls die gleiche Rechtsfrage anhängig gemacht, die vor der Beschwerdeinstanz noch zum (definitiven) Entscheid ansteht, und dies nicht während eines nicht absehbaren, unbestimmten Zeitraums, sondern nach den verfassungsrechtlichen und gesetzlichen Vorgaben sofort, d.h. innert wenigen Tagen. Bei dieser prozessualen Konstellation würde ein Weiterzug des Massnahmenentscheids an das Bundesgericht zu einer doppelten, konkurrierenden Zuständigkeit verschiedener Gerichtsinstanzen für die gleiche Streitfrage mit der Gefahr unkoordinierter und widersprüchlicher Entscheide und von Verfahrensverzögerungen führen. Dies verstiesse gegen das verfassungsrechtliche Gebot der Einheit und Widerspruchsfreiheit des Verfahrens (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3e S. 39) sowie gegen das Beschleunigungsgebot in Haftsachen (<ref-law>).
Hinzu käme, dass das Bundesgericht auf diese Weise aufgerufen würde, auf provisorischem Weg als erste gerichtliche Instanz die Inhaftierung eines Beschuldigten anzuordnen, was mit seiner Rolle als höchstes Gericht des Landes kaum vereinbar wäre und einer sinnvollen Gerichtsorganisation und Aufgabenteilung zuwiderliefe. Überdies müsste die Beurteilung eines Massnahmenentscheids durch das Bundesgericht auf der Grundlage bloss rudimentärer Informationen erfolgen, da die knappe zur Verfügung stehende Zeit zur Begründung des Massnahmenentscheids und zu seiner Anfechtung eine vollständige Darlegung der massgebenden Umstände in der Regel nicht erlaubt. Ausserdem wären praktische Schwierigkeiten bei der Verfahrensinstruktion unausweichlich, zumal die Akten, insbesondere das Hauptdossier, gleichzeitig anderweitig benötigt würden und rasch bearbeitet werden müssen (<ref-law>).
Mit Blick auf diese prozessualen Besonderheiten muss es der Staatsanwaltschaft verwehrt bleiben, die Verweigerung einer vorsorglichen Inhaftierung des Beschuldigten durch die Beschwerdeinstanz beim Bundesgericht anzufechten. Sie muss den Sachentscheid der Beschwerdeinstanz abwarten und kann nur gegen diesen Beschwerde beim Bundesgericht einlegen, sofern sie dannzumal noch über ein aktuelles praktisches Rechtsschutzinteresse verfügt (vgl. dazu <ref-ruling>).
2.2 Beim angefochtenen Entscheid des Obergerichts handelt es sich um eine in E. 2.1 beschriebene Verweigerung der vorsorglichen Inhaftierung eines Beschuldigten durch die Beschwerdeinstanz. Auf eine Beschwerde gegen den Entscheid der Beschwerdeinstanz über die beantragte vorsorgliche Inhaftierung kann das Bundesgericht nach dem Gesagten nicht eintreten, selbst wenn die Beschwerde nicht gegenstandslos wäre. Der Antrag, es sei festzustellen, dass der Zeitpunkt der Entlassung so zu wählen sei, dass den Parteien vor der Haftentlassung die Anrufung des Bundesgerichts ermöglicht wird, stösst somit ins Leere.
2.3 Soweit die Beschwerdeführerin die Kompetenz der Vorinstanz, die Staatsanwaltschaft mit dem Vollzug der Freilassung zu betrauen, in Frage stellt, ist im Übrigen nicht ersichtlich, inwiefern eine solche Anordnung für die Oberstaatsanwaltschaft eine aktuelle Beschwer im Sinne von <ref-law> darstellt. Im vorliegenden Fall besteht die Besonderheit, dass die Staatsanwaltschaft den Beschuldigten nach dem Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts am 21. Dezember 2011 unverzüglich erneut verhaftete, offenbar um seine sofortige Freilassung zu verhindern. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> E. 2.5 entschieden, dass die aufschiebende Wirkung der Beschwerde an die Beschwerdeinstanz nach StPO Teil des Beschwerderechts der Staatsanwaltschaft ist. Eine gleichzeitig mit der Beschwerdeerhebung erfolgende Neuinhaftierung durch die Staatsanwaltschaft ist somit nicht nötig, um die Haft bis zum vorsorglichen Entscheid der Beschwerdeinstanz über die Weiterführung der Haft sicherzustellen (vgl. zum konkreten Vorgehen BGE 1B_442/2011 vom 4. Januar 2012 E. 3.3 und 3.4). Das Obergericht legt in seiner Vernehmlassung dar, es habe die Staatsanwaltschaft zum Vollzug der Freilassung angewiesen, damit sie die von ihr angeordnete Neuinhaftierung rückgängig mache. Vorliegend sei dazu gekommen, dass die Beschwerdeinstanz mangels rechtzeitiger Zustellung der Akten nicht gewusst habe, wer die Verhaftung wo vollzogen habe. Sie habe gar keine andere Möglichkeit gehabt, als die verhaftende Behörde anzuweisen, die Freilassung vorzunehmen.
Die vom Obergericht dargelegten Umstände zeigen auf, dass das vorliegend durchgeführte Verfahren noch nicht in jeder Hinsicht mit den vom Bundesgericht in BGE 1B_442/2011 vom 4. Januar 2012 E. 3 festgelegten Grundsätzen übereinstimmte. Da jedoch kein aktuelles praktisches Rechtsschutzinteresse an der Beurteilung des vorliegenden Verfahrens besteht und aufgrund der Ausführungen in BGE 1B_442/2011 vom 4. Januar 2012 zu erwarten ist, dass sich die von der Beschwerdeführerin aufgeworfene verfahrensrechtliche Frage nicht mehr stellen wird, ist darauf nicht weiter einzugehen. Es liegt hier kein Fall vor, in welchem das Bundesgericht trotz fehlendem aktuellem Rechtsschutzinteresse eine Beschwerde ausnahmsweise materiell behandelt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 81 mit Hinweis).
3. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde als gegenstandslos vom Geschäftsverzeichnis abzuschreiben ist.
Der Kanton trägt keine Gerichtskosten (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat die Verfahrensumstände nicht zu vertreten und im Übrigen keinen Antrag auf Abweisung der Beschwerde gestellt. Er ist daher auch nicht mit Gerichtskosten zu belasten (<ref-law>).
Der Beschwerdegegner hatte im bundesgerichtlichen Verfahren keinen Aufwand. Es steht ihm deshalb keine Parteientschädigung zu. Ebenso ist dem Kanton keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Dietikon und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Februar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Haag