Sachverhalt:
A.
Der türkische Staatsangehörige A._ verliess am 19. Februar 2013 sein Heimatland. Am 21. Februar 2013 ersuchte er in der Schweiz um Asyl.
B.
Mit Verfügung vom 23. Mai 2013 erkannte das Bundesamt für Migration (BFM), A._ erfülle die Flüchtlingseigenschaft nicht, und lehnte das Asylgesuch ab. In Anbetracht des hängigen Auslieferungsverfahrens sah es von einer Wegweisung aus der Schweiz ab. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung lehnte es ab.
Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht (Abteilung V) am 4. Juni 2014 ab. Es erhob keine Verfahrenskosten. Dem als unentgeltlicher Rechtsbeistand eingesetzten Anwalt Guido Ehrler sprach es ein amtliches Honorar von Fr. 7'000.-- (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) zu.
C.
Mit Eingabe vom 18. Juni 2014 erhoben A._ und Guido Ehrler in eigenem Namen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts und die Verfügung des BFM seien aufzuheben, sowie weiteren Anträgen.
D.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtete auf Gegenbemerkungen.
Das BFM liess sich nicht vernehmen.
E.
Am 11. Juli 2014 ergänzten A._ und Guido Ehrler die Beschwerde.
F.
Das Bundesverwaltungsgericht reichte dazu Bemerkungen ein.
Das BFM verzichtete auf Vernehmlassung.
A._ und Guido Ehrler nahmen zu den Bemerkungen des Bundesverwaltungsgerichts Stellung.

Erwägungen:
1.
Am 1. April 2011 trat das Bundesgesetz vom 1. Oktober 2010 über die Koordination des Asyl- und des Auslieferungsverfahrens (Koordinationsgesetz; AS 2011 925 ff.) in Kraft. Dieses stellt einen Mantelerlass dar. Damit wurden ausschliesslich das Bundesgerichtsgesetz, das Asylgesetz (AsylG; SR 142.31) und das Rechtshilfegesetz (IRSG SR 351.1) geändert. Das Koordinationsgesetz bezweckt die Behebung der Probleme, die bei parallelen Auslieferungs- und Asylverfahren auftraten. Diese Verfahren werden nunmehr auf der Stufe des Bundesgerichts zusammengeführt. Das gewährleistet eine widerspruchsfreie Rechtsprechung unter Beachtung des Gebots des Non-Refoulement (näher dazu <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 515 f. mit Hinweisen).
Aufgrund eines türkischen Fahndungsersuchens wurde der Beschwerdeführer 1 am 28. Februar 2013 in Basel festgenommen und anschliessend in Auslieferungshaft versetzt. In der Folge ersuchte die türkische Botschaft in Bern um seine Auslieferung zur Strafverfolgung wegen des Verdachts der vorsätzlichen Tötung. Am 5. Juni 2013 bewilligte das Bundesamt für Justiz (BJ) die Auslieferung unter Vorbehalt des Entscheids des Bundesstrafgerichts über die Einrede des politischen Delikts und eines rechtskräftigen ablehnenden Asylentscheids. Die vom Beschwerdeführer 1 dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht (Beschwerdekammer) am 20. August 2013 ab; ebenso die Einrede des politischen Delikts. Dagegen reichte der Beschwerdeführer 1 am 2. September 2013 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein. Im Hinblick auf die Koordination mit dem Asylverfahren wartete das Bundesgericht mit dem Entscheid über jene Beschwerde zu, was nach <ref-law> zulässig ist. Es befindet darüber mit (separatem) Urteil vom heutigen Tag (1C_698/2013). Die Koordination des Asyl- und des Auslieferungsverfahrens ist damit sichergestellt.
Da die Akten des Auslieferungsverfahrens dem Bundesgericht vorliegen, ist <ref-law>, der ihren Beizug vorschreibt, Genüge getan.
2.
2.1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist nach <ref-law> die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben.
2.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Asyls, die vom Bundesverwaltungsgericht getroffen worden sind, ausser sie betreffen Personen, gegen die ein Auslieferungsersuchen des Staates vorliegt, vor welchem sie Schutz suchen.
Gegen den Beschwerdeführer 1 liegt ein türkisches Auslieferungsersuchen vor. Die Beschwerde ist daher zulässig.
2.3. Der Beschwerdeführer 1 ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Er ist nach <ref-law> zur Beschwerde befugt.
Der Beschwerdeführer 2 richtet sich einzig gegen die Festsetzung des ihm von der Vorinstanz zugesprochenen Honorars, das er als zu tief erachtet. Er ist insoweit in eigenem Namen zur Beschwerde berechtigt (<ref-ruling> E. 2 S. 363 f.; Urteil 5A_742/2013 vom 24. Dezember 2013 E. 1.2; je mit Hinweisen).
2.4. Der vorinstanzliche Entscheid stellt einen nach <ref-law> anfechtbaren Endentscheid dar.
2.5. Die Beschwerdeführer haben den vorinstanzlichen Entscheid am 11. Juni 2014 in Empfang genommen. Die Beschwerdefrist von 30 Tagen (<ref-law>) lief somit am 11. Juli 2014 ab. Sowohl die Beschwerde als auch ihre Ergänzung sind daher rechtzeitig.
2.6. Nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde, soweit die Beschwerdeführer die Aufhebung auch der Verfügung des BFM beantragen. Aufgrund des Devolutiveffekts ist der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts an deren Stelle getreten. Die Verfügung des BFM ist damit nicht mehr Anfechtungsgegenstand (<ref-ruling> E. 2.5 S. 415; Urteil 1A.12/2004 vom 30. September 2004 E. 1.3, in: ZBl 106/2005 S. 43; je mit Hinweisen).
2.7. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt der folgenden Erwägungen - einzutreten.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer 1 rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör nach <ref-law> (recte: <ref-law>), da er keine hinreichende Akteneinsicht gehabt habe.
3.2. Gemäss <ref-law> prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist. Insoweit besteht eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 60; <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 5; je mit Hinweisen).
3.3. Der Beschwerdeführer legt nicht in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise dar, dass er im Asylverfahren keine hinreichende Akteneinsicht gehabt habe. Er macht insbesondere nicht geltend, das BFM oder die Vorinstanz hätten ein Gesuch um Akteneinsicht abgelehnt.
Er hat am 20. März 2014 der Vorinstanz ein Gesuch um Einsicht in die Akten des Auslieferungsverfahrens gestellt. Dieses hat die Vorinstanz mit Zwischenentscheid vom 4. April 2014 abgewiesen. Sie erwog, bei den Akten des Auslieferungsverfahrens handle es sich um solche anderer Behörden. Dazu bestehe die Möglichkeit, mit dem im Auslieferungsverfahren mandatierten Rechtsanwalt Ozan Polatli oder den zuständigen Behörden - d.h. dem BJ und dem Bundesstrafgericht - Kontakt aufzunehmen.
Der vorinstanzliche Zwischenentscheid kann mit der Beschwerde gegen den Endentscheid angefochten werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer stellt jedoch keinen förmlichen Antrag auf Aufhebung des Zwischenentscheids. Ob man annehmen kann, dass er das zumindest sinngemäss tut, kann dahingestellt bleiben; ebenso, ob er sich in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise mit der Begründung des Zwischenentscheids auseinandersetzt. Dieser verletzt jedenfalls kein Bundesrecht. Ob es sinnvoll ist, dass sich der Beschwerdeführer 1 im Asyl- und Auslieferungsverfahren, in dem sich über weite Strecken dieselben Fragen stellen, von zwei verschiedenen Anwälten vertreten lässt, sei dahingestellt. Tut er das aber, darf von den Anwälten erwartet werden, dass sie ihre Tätigkeit koordinieren. Der Beschwerdeführer 1 hatte im Auslieferungsverfahren unstreitig Akteneinsicht. Damit musste auch der Beschwerdeführer 2 über den wesentlichen Inhalt der Akten des Auslieferungsverfahrens im Bild sein. Dass der Beschwerdeführer 2 seine Tätigkeit mit jener von Rechtsanwalt Ozan Polatli koordiniert hat, ergibt sich im Übrigen aus seinen Vorbringen zum von der Vorinstanz zugesprochenen Honorar (Beschwerdeergänzung S. 28 Ziff. 80). Dort macht er geltend, diese habe seine Bemühungen im Zusammenhang mit der Koordination zu Unrecht nicht entschädigt.
Die Beschwerde ist deshalb im vorliegenden Punkt, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann, unbegründet. Der Antrag, die Akten des Asyl- und Auslieferungsverfahrens seien zu edieren und dem Beschwerdeführer 1 sei eine Frist zur (nochmaligen) Beschwerdeergänzung anzusetzen, ist abzuweisen. Dem stattzugeben rechtfertigt sich umso weniger, als die umfangreiche Beschwerdeergänzung vom 11. Juli 2014 zeigt, dass auch dem Beschwerdeführer 2 der Inhalt sämtlicher wesentlicher Akten bekannt ist.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer 1 macht eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes geltend. Er leide an Krebs. Es seien keine hinreichenden Abklärungen zu seinem Gesundheitszustand getroffen worden und dazu, ob im türkischen Freiheitsentzug die notwendige medizinische Betreuung gewährleistet sei.
4.2. Das Vorbringen ist unbehelflich. Der Beschwerdeführer leidet unstreitig an Krebs. Während der Auslieferungshaft musste er sich einem operativen Eingriff unterziehen. Hinreichende Anhaltspunkte dafür, dass ihm im türkischen Freiheitsentzug, sofern es inzwischen nicht zu einer vollständigen Heilung kommen sollte, die notwendige medizinische Betreuung verweigert würde, bestehen nicht. Im Auslieferungsersuchen haben die türkischen Behörden unter der Überschrift "Garantien" unter anderem Folgendes erklärt:
"Der Verdächtige hat alle gesetzlichen Rechte, die in den von der Türkei ratifizierten internationalen Übereinkommen und im türkischen Recht vorgesehen sind."
Zu den von der Türkei ratifizierten internationalen Übereinkommen gehört die Europäische Menschenrechtskonvention, welche Folter oder unmenschliche oder erniedrigende Strafe oder Behandlung verbietet (Art. 3).
Aufgrund des völkerrechtlichen Vertrauensprinzips ist davon auszugehen, dass sich die Türkei an ihre Zusicherung halten und dem Beschwerdeführer somit in Haft die allenfalls notwendige medizinische Betreuung gewähren wird. Es liegt im Interesse der Türkei, sich an diplomatische Garantien zu halten. Andernfalls könnte sich das für sie nachteilig auf den künftigen Auslieferungsverkehr auswirken.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer 1 bringt vor, die Feststellung der Vorinstanz, es bestehe in der Türkei zwar ein Datenblatt über ihn, jedoch ohne politischen Vermerk, sei willkürlich.
5.2. Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Offensichtlich unrichtig bedeutet willkürlich (<ref-ruling> E. 2.4 S. 314 mit Hinweis).
Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339 mit Hinweisen).
Bei der Rüge der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung gelten erhöhte Begründungsanforderungen. Der Beschwerdeführer muss im Einzelnen darlegen, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leiden soll. Auf appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 10.1 S. 445; <ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 2.1 f.; je mit Hinweisen).
5.3. Die Vorinstanz stützt ihre Feststellung, wonach über den Beschwerdeführer zwar ein Datenblatt besteht, dieses jedoch keinen politischen Vermerk enthält, auf die entsprechende Auskunft der schweizerischen Botschaft in Ankara vom 11. Februar 2014.
Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, beschränkt sich auf Mutmassungen darüber, weshalb sich die Botschaft habe täuschen lassen müssen. Damit wird keine Willkür dargetan. Dass aus dem einen oder anderen Grund gegebenenfalls ein politisches Datenblatt bestehen könnte, reicht nach der dargelegten Rechtsprechung insoweit nicht. Die Auskunft der Botschaft ist eindeutig und dafür, dass sie zutrifft, bestehen nach den Erwägungen im angefochtenen Entscheid (E. 8.3.5 S. 22 ff.) plausible Gründe. Willkür kann der Vorinstanz deshalb nicht vorgeworfen werden.
Unbehelflich ist die Beschwerde ebenso, soweit der Beschwerdeführer 1 vorbringt, die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz beruhe auf einer Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör und damit einer Rechtsverletzung nach <ref-law>. Die Vorinstanz hat eine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Verfahren vor dem BFM als im Beschwerdeverfahren, in dem sich der Beschwerdeführer 1 umfassend äussern konnte, geheilt erachtet. Dagegen bringt er in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise nichts vor. Ist die Verletzung des rechtlichen Gehörs aber geheilt worden, beruht die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf keiner Rechtsverletzung (mehr).
6.
6.1. Der Beschwerdeführer 1 macht geltend, der angefochtene Entscheid verletze Art. 3 und 7 AsylG.
6.2. Gemäss <ref-law> sind Flüchtlinge Personen, die in ihrem Heimatstaat (...) wegen ihrer Rasse, Religion, Nationalität, Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe oder wegen ihrer politischen Anschauungen ernsthaften Nachteilen ausgesetzt sind oder begründete Furcht haben, solchen Nachteilen ausgesetzt zu werden (Abs. 1). Als ernsthafte Nachteile gelten namentlich die Gefährdung des Leibes, des Lebens oder der Freiheit sowie Massnahmen, die einen unerträglichen psychischen Druck bewirken (Abs. 2).
Wer um Asyl nachsucht, muss nach <ref-law> die Flüchtlingseigenschaft nachweisen oder zumindest glaubhaft machen (Abs. 1). Glaubhaft gemacht ist die Flüchtlingseigenschaft, wenn die Behörde ihr Vorhandensein mit überwiegender Wahrscheinlichkeit für gegeben hält (Abs. 2). Unglaubhaft sind insbesondere Vorbringen, die in wesentlichen Punkten zu wenig begründet oder in sich widersprüchlich sind, den Tatsachen nicht entsprechen oder massgeblich auf gefälschte oder verfälschte Beweismittel abgestützt werden (Abs. 3).
6.3. Nach den verbindlichen tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) wurde der Beschwerdeführer 1 1981, damals ein Student ohne politische Ambitionen, in der Türkei in Untersuchungshaft genommen. Im Jahr 1985, zur Zeit der Militärdiktatur, verurteilte ihn das Militärgericht wegen Verstosses gegen § 146 des damaligen türkischen Strafgesetzbuchs (Abschaffung der Verfassung mit Gewalt) zum Tode. Diese Strafe wandelte der militärische Kassationshof wegen guter Führung in eine lebenslange Freiheitsstrafe um. Im August 1991 wurde der Beschwerdeführer zusammen mit 2'000 weiteren Gefangenen bedingt entlassen.
6.4.
6.4.1. Der Beschwerdeführer gibt an, ab dem Jahr 2000 habe die politische Polizei in der Türkei begonnen, ihn in unregelmässigen Abständen zu behelligen. Die Vorinstanz erachtet dies als unglaubhaft.
Dies hält vor Bundesrecht stand. Nach seinen eigenen Angaben war der Beschwerdeführer weder Mitglied einer verbotenen Organisation noch führte er illegale Tätigkeiten für eine solche aus. Er nahm einzig an legalen Aktionen von kulturellen örtlichen Vereinen teil. Es ist nicht ersichtlich, weshalb er damit die Aufmerksamkeit der politischen Polizei hätte auf sich ziehen sollen. Dafür, weshalb diese, nachdem sie ihn nach seiner bedingten Entlassung 1991 neun Jahre in Ruhe gelassen hat, ab dem Jahr 2000 damit begonnen haben soll, ihm nachzustellen, ist kein überzeugender Grund erkennbar. Auch erscheint wenig stimmig, dass die politische Polizei bis zum Sommer 2012, also während 12 Jahren, Drohungen gegen ihn ausgesprochen haben soll, ohne je eine solche wahr zu machen.
Die Vorinstanz durfte auch das Vorbringen des Beschwerdeführers 1 als unglaubhaft werten, am 19. Februar 2013 hätten die türkischen Behörden im Rahmen einer gross angelegten Operation gegen Menschenrechtsaktivisten (Rechtsanwälte und Gewerkschafter) sein Haus aus politischen Gründen durchsucht, weshalb er in die Schweiz geflohen sei. Der Beschwerdeführer 1 ist weder Rechtsanwalt noch Gewerkschafter und er gehörte keiner verbotenen Partei an. Weshalb die türkischen Behörden im Rahmen der erwähnten Operation sein Haus hätten durchsuchen sollen, ist damit schwer nachvollziehbar.
6.4.2. Die Vorinstanz erachtet sodann das Vorbringen des Beschwerdeführers als nicht plausibel, die türkischen Behörden unterschöben ihm die Tötung lediglich, um ihn aus politischen Gründen zu verfolgen.
Der angefochtene Entscheid verletzt auch insoweit kein Bundesrecht. Wenn kein überzeugender Grund dafür ersichtlich ist, dass die türkische politische Polizei ab dem Jahr 2000 begonnen haben soll, den Beschwerdeführer zu behelligen, besteht auch kein Anlass zur Annahme, die türkischen Behörden unterschöben ihm die Tötung lediglich. Dies umso weniger, als ihn nach dem Auslieferungsersuchen seine eigene Tochter als Zeugin belastet. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, die türkischen Behörden instrumentalisierten seine Tochter, um ihn aus politischen Gründen verfolgen zu können.
6.4.3. Dass die Vorinstanz willkürfrei festgestellt hat, über den Beschwerdeführer bestehe zwar ein Datenblatt, jedoch ohne politischen Vermerk, wurde bereits gesagt.
6.4.4. Bei seiner Anhörung hat der Beschwerdeführer 1 nicht geltend gemacht, die türkischen Behörden hätten ihn wegen der Beziehung seines Bruders zur DHKP-C oder dessen Ausreise aus der Türkei behelligt. Wenn die Vorinstanz hinreichende Anhaltspunkte für eine Reflexverfolgung verneint hat, hält das deshalb vor Bundesrecht ebenfalls stand.
6.4.5. Würdigt man die wesentlichen Gesichtspunkte gesamthaft, ist die Auffassung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer 1 habe eine politische Verfolgung nicht glaubhaft gemacht, nicht zu beanstanden. Auf die ausführlichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid kann, was die Einzelheiten betrifft, verwiesen werden (<ref-law>).
7.
7.1. Der Beschwerdeführer 1 bringt vor, das BFM habe für dessen Verfahren das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung abgelehnt. Das habe die Vorinstanz in Verletzung von Bundesrecht geschützt.
7.2. Das BFM hat für sein Verfahren das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung in der Verfügung vom 23. Mai 2013 abgelehnt, da die Bedürftigkeit mangels Bestätigung der Fürsorgebehörde nicht belegt sei.
Die Vorinstanz lässt offen, ob diese Begründung zutrifft. Sie erachtet den Entscheid des BFM im Ergebnis für richtig, da im Verwaltungsverfahren zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers 1 keine anwaltliche Verbeiständung notwendig gewesen sei (angefochtener Entscheid E. 9.4 S. 26 f.).
7.3. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Bei der Beurteilung, ob eine unentgeltliche Rechtsverbeiständung notwendig ist, sind die konkreten Umstände zu berücksichtigen. Dazu zählen insbesondere die Schwere der Betroffenheit in grundlegenden Interessen, die tatsächlichen und rechtlichen Schwierigkeiten sowie die Fähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden. Die Rechtsprechung bejaht die Notwendigkeit der Verbeiständung, wenn das Verfahren besonders stark in grundlegende Rechtspositionen des Bedürftigen eingreift. Ist die Bedeutung bloss relativer Natur, besteht ein Anspruch auf Verbeiständung lediglich bei besonderen tatsächlichen und rechtlichen Schwierigkeiten. In Bagatellfällen entfällt der Anspruch (<ref-ruling> E. 2.5.2 S. 232 f.; GEROLD STEINMANN, in: Ehrenzeller und andere [Hrsg.], Die Schweizerische Bundesverfassung, Kommentar, 2. Aufl. 2008, N. 40 zu <ref-law>). Zu berücksichtigen sind fehlende Sprachkenntnisse (<ref-ruling> E. 5a S. 205) und eine länger dauernde Haft ( STEINMANN, a.a.O.). Die Anwendbarkeit des Untersuchungsgrundsatzes schliesst die Notwendigkeit einer Verbeiständung nicht aus (<ref-ruling> E. 3.2 S. 183 f.).
7.4. Der Beschwerdeführer 1 wurde am 28. Februar 2013, eine Woche nach seiner Einreise in die Schweiz, festgenommen. Seither befindet er sich in Auslieferungshaft. Die Fürsorgebehörde ist für ihn damit nicht zuständig und folglich auch nicht zur Bestätigung seiner Bedürftigkeit. Der Auffassung des BFM kann nicht gefolgt werden.
Mit Verfügung vom 13. September 2013 hiess die Vorinstanz das Gesuch des Beschwerdeführers 1 um unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeverfahren gut. Nach ihren dortigen Erwägungen ergibt sich die Bedürftigkeit aus den Akten. Von der Bedürftigkeit ist somit auszugehen; dies umso mehr, als sich der Beschwerdeführer seit über 1 1⁄2 Jahren in Haft befindet.
Das Asylgesuch war nicht aussichtslos.
Wie die Vorinstanz in der erwähnten Verfügung vom 13. September 2013 (S. 3) ausführt, stellten sich im Beschwerdeverfahren komplexe Sachverhalts- bzw. Rechtsfragen. Es bestanden - so die Vorinstanz weiter - erhöhte Schwierigkeiten und wesentliche Interessen des Beschwerdeführers waren in schwerwiegender Weise betroffen. Es ist nicht ersichtlich, weshalb es sich im Verfahren vor dem BFM anders hätte verhalten sollen, da sich dort im Wesentlichen die gleichen Sachverhalts- und Rechtsfragen stellten wie im Beschwerdeverfahren. Der Beschwerdeführer 1 ist überdies gesundheitlich angeschlagen. Zudem befindet er sich in Haft und versteht kein deutsch.
Unter diesen Umständen ist die Notwendigkeit der anwaltlichen Verbeiständung zu bejahen. Der Beschwerdeführer 1 hätte sich ohne anwaltliche Verbeiständung auch im Verfahren vor dem BFM nicht zurechtgefunden.
Das BJ hat im Auslieferungsverfahren die unentgeltliche Verbeiständung mit Verfügung vom 20. März 2013 im Übrigen bewilligt. Für einen abweichenden Entscheid im Asylverfahren besteht kein Grund.
7.5. Die Beschwerde ist im vorliegenden Punkt gutzuheissen.
Der Beschwerdeführer 2 hat der Vorinstanz eine Honorarnote für seine Bemühungen im Verfahren des BFM eingereicht (vorinstanzliche Akten, Beilage zu act. 37). Er macht einen Aufwand von 6 1⁄2 Stunden geltend und kommt zuzüglich der Auslagen auf einen Gesamtbetrag von Fr. 1'281.70 (inkl. Mehrwertsteuer). Dieser erscheint angemessen und ist zuzusprechen. Auf eine Rückweisung an das BFM zur Festsetzung des Honorars kann damit verzichtet werden (vgl. <ref-law>).
8.
8.1. Der Beschwerdeführer 2 macht geltend, das ihm von der Vorinstanz zugesprochene Honorar von Fr. 7'000.-- (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) sei deutlich zu tief.
8.2. Die Vorinstanz hat das amtliche Honorar in Anwendung von Art. 12 i.V.m. Art. 8-11 des Reglements vom 21. Februar 2008 über die Kosten und Entschädigungen vor dem Bundesverwaltungsgericht (SR 173.320.2) festgesetzt. Der Beschwerdeführer 2 legt nicht dar, inwiefern die Vorinstanz gegen diese Bestimmungen verstossen haben soll. Er beruft sich auf das Willkürverbot (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer 2 hat der Vorinstanz ein Honorar von Fr. 13'244.25 in Rechnung gestellt. Dabei hat er einen Aufwand von knapp 47 Stunden geltend gemacht. Die Vorinstanz hat einen Aufwand von insgesamt 23 Stunden als gerechtfertigt angesehen. Dies ist nicht offensichtlich unhaltbar. Der Beschwerdeführer 2 hat, wie dargelegt, für das Verfahren des BFM einen Zeitaufwand von 6 1/2 Stunden in Rechnung gestellt. Weshalb im Beschwerdeverfahren ein gut sieben mal höherer Aufwand gerechtfertigt gewesen sein soll, ist nicht nachvollziehbar und legt der Beschwerdeführer 2 nicht substanziiert dar. Als willkürlich kann die vorinstanzliche Festsetzung des Honorars daher nicht bezeichnet werden.
9.
Die Beschwerde ist demnach, soweit darauf eingetreten werden kann, teilweise gutzuheissen.
Soweit der Beschwerdeführer 1 obsiegt, trägt er keine Kosten und hat die Eidgenossenschaft dem Beschwerdeführer 2 als seinem Anwalt eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 f. BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> ist insoweit gegenstandslos.
Im Übrigen kann die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung bewilligt werden. Der Beschwerdeführer 1 trägt daher keine Kosten und dem Beschwerdeführer 2 wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung ausgerichtet.
Soweit der Beschwerdeführer 2 in eigenem Namen Beschwerde erhoben hat, unterliegt er. Er trägt daher insoweit die Kosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird, soweit darauf eingetreten werden kann, teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 4. Juni 2014 wird aufgehoben, soweit dieses die Ablehnung der unentgeltlichen Verbeiständung durch das BFM geschützt hat. Das BFM hat dem Beschwerdeführer 2 ein Honorar von Fr. 1'281.70 auszurichten. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers 1 um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, gutgeheissen.
3.
Dem Beschwerdeführer 1 werden keine Gerichtskosten auferlegt.
4.
Die Eidgenossenschaft (BFM) hat dem Beschwerdeführer 2 für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 300.-- zu bezahlen.
5.
Der Beschwerdeführer 2 wird für das bundesgerichtliche Verfahren als unentgeltlicher Rechtsbeistand eingesetzt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.- entschädigt.
6.
Dem Beschwerdeführer 2 wird eine Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- auferlegt.
7.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Bundesamt für Migration, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung V, dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Auslieferung, und dem Bundesstrafgericht (Beschwerdekammer) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri