Faits:
A. A._, né en ****, a fait l'objet de plusieurs condamnations pénales à la suite desquelles il a été placé sous mandat d'arrêt. Pour échapper à l'exécution de ces jugements, il a quitté en juillet 2007 l'appartement qu'il occupait avec sa compagne, B._, au no ** de l'avenue de C._, à X._. Depuis lors, il est sans résidence connue.
Par décision du 6 février 2008, le Contrôle des habitants de la commune de X._ a enregistré le départ de A._ à mi-juillet 2007 pour une destination inconnue.
A._ a recouru contre ce prononcé à la municipalité de X._.
Le 18 février 2008, deux agents de la police municipale de X._ se sont rendus au domicile de B._ en vue de remettre des documents en mains propres à A._. B._ leur a déclaré qu'elle n'avait pas revu ce dernier depuis l'été 2007, qu'elle ignorait où il se trouvait et qu'elle lui faisait suivre son courrier par l'intermédiaire de son avocat.
Le 3 mars 2008, la municipalité de X._ a rejeté le recours de A._.
Par acte du 17 mars 2008, A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, en concluant à son annulation. A titre préalable, il a demandé que son recours soit doté de l'effet suspensif et que l'assistance judiciaire lui soit accordée.
Par décision incidente du 31 mars 2008, le juge instructeur a rejeté les requêtes d'effet suspensif et d'assistance judiciaire, au motif notamment que le recours de A._ apparaissait manifestement mal fondé.
Au vu des motifs de ladite décision, un délai au 21 avril 2008 a été imparti à A._, par courrier du même jour, soit pour retirer son recours, soit pour en compléter la motivation.
A._ a déposé une écriture complémentaire datée du 21 avril 2008. Comme le prénommé y réitérait ses requêtes d'effet suspensif et d'assistance judiciaire, celle-ci a été considérée comme un recours à l'encontre de la décision incidente du 31 mars 2008.
Par arrêt du 28 mai 2008, le Tribunal cantonal a statué sur le fond et rejeté le recours formé le 17 mars 2008. Il a considéré que le rôle du contrôle des habitants est d'enregistrer les personnes qui résident durablement sur le territoire communal, qu'elles y soient établies ou en séjour, notions qui ne coïncident pas nécessairement avec celle du domicile au sens du droit civil. Dans le cas particulier, il était notoire que A._ avait quitté son appartement de X._ en été 2007 pour échapper à l'exécution des condamnations pénales dont il avait fait l'objet et qu'il était depuis lors sans résidence connue. Ainsi, c'était à bon droit que le Contrôle des habitants de cette commune avait d'office enregistré son départ. Le fait que le prénommé conservait des liens avec X._ et qu'il avait l'intention d'y maintenir son domicile n'y changeait rien.
Par prononcé du 4 juillet 2008, le juge instructeur a déclaré sans objet le recours interjeté contre la décision incidente du 31 mars 2008 et a rayé la cause du rôle. Il n'a pas perçu de frais ni alloué de dépens.
B. Par acte du 30 juin 2008 (date de la remise à la poste) intitulé "recours de droit public", A._ interjette recours au Tribunal fédéral à l'encontre de l'arrêt du 28 mai 2008, en concluant à son annulation (affaire 2C_478/2008). A titre préalable, il demande que son recours soit doté de l'effet suspensif et que l'assistance judiciaire lui soit accordée, Me D._, à Lausanne, étant commis d'office à la défense de ses intérêts.
Par acte du 2 août 2008 (date de la remise à la poste), A._ interjette recours à l'encontre du prononcé du 4 juillet 2008, dont il demande l'annulation (affaire 2C_572/2008).
Sans prendre de conclusions formelles, l'autorité intimée observe que le recours interjeté le 30 juin 2008 (procédure 2C_478/2008) contient pour l'essentiel des critiques de nature appellatoire et que la requête d'effet suspensif est sans objet. La municipalité de X._ conclut, sous suite de dépens, au rejet du recours et de la requête d'effet suspensif, pour autant que celle-ci ait un objet. Le Contrôle des habitants ne s'est pas déterminé.
Il n'a pas été requis d'observations dans la procédure 2C_572/2008.

Considérant en droit:
1. 1.1 Les procédures 2C_478/2008 et 2C_572/2008 opposent les mêmes parties et reposent sur le même état de fait. Les recours sont dirigés l'un contre la décision finale sur le fond, l'autre contre un arrêt de classement par lequel le recours dirigé contre la décision incidente rendue dans la même procédure a été rayé du rôle. Dans ces conditions, il se justifie de joindre les deux procédures et de statuer sur les deux recours dans un seul arrêt (cf. art. 24 de la loi fédérale de procédure civile fédérale du 4 décembre 1947 [RS 273], applicable par analogie en vertu de l'art. 71 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral [LTF; RS 173.110]).
1.2 Le recourant a intitulé son recours du 30 juin 2008 "recours de droit public", voie de droit qui était prévue par l'ancienne loi fédérale d'organisation judiciaire, du 16 décembre 1943 (OJ; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2006). Dans son recours du 2 août 2008, il n'a pas indiqué par quelle voie de droit il procédait.
L'intitulé erroné du mémoire de recours ne saurait préjuger de la voie de droit. Comme l'absence d'indication y relative, une telle erreur ne saurait en outre porter préjudice au recourant, pour autant que son écriture remplisse les conditions formelles de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 302/303, 308 consid. 4.1 p. 314; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 399), soit en l'occurrence le recours en matière de droit public.
1.3 Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui.
En outre, aux termes de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal ou de droit intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. Cette disposition reprend le principe de l'allégation (Rügeprinzip) que la pratique relative au recours de droit public avait établi en relation avec l'art. 90 OJ (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254; <ref-ruling> consid. 6 p. 397). Selon cette pratique, l'acte de recours doit, à peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation. Le recourant ne saurait se contenter de soulever de vagues griefs ou de renvoyer aux actes cantonaux (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 261/262, 26 consid. 2.1 p. 31 et les références). Ainsi, pour les griefs de violation des droits constitutionnels, du droit cantonal et du droit intercantonal, les exigences de motivation sont accrues.
1.4 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
I. Procédure 2C_478/2008
2. Formellement, le recourant conclut uniquement à l'annulation de la décision attaquée. Il ressort toutefois de la conclusion relative à l'effet suspensif (rétablissement du "status quo ante") et de la motivation du recours qu'il demande au surplus à être réinscrit au Contrôle des habitants de X._.
Interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (cf. <ref-law>), le recours, dirigé contre un jugement final (cf. <ref-law>) rendu dans une cause de droit public (cf. <ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 lettre d LTF), est en principe recevable comme recours en matière de droit public, puisqu'il a été déposé dans le délai (cf. <ref-law>) et - sous réserve des considérants suivants - en la forme (cf. <ref-law>) prévus par la loi et ne tombe sous aucun des cas d'exceptions mentionnés à l'<ref-law>.
3. 3.1 Depuis l'entrée en vigueur (échelonnée entre le 1er novembre 2006 et le 1er janvier 2008) de la loi fédérale du 23 juin 2006 sur l'harmonisation des registres des habitants et d'autres registres officiels de personnes (loi sur l'harmonisation de registres, LHR; RS 431.02), les registres cantonaux et communaux des habitants ne sont plus seulement régis par le droit cantonal et communal (en l'occurrence la loi vaudoise du 9 mai 1983 sur le contrôle des habitants [LCH; RS/VD 142.01] et son règlement d'application du 28 décembre 1983 [RLCH; RS/VD 142.01.1]), mais également par ladite loi (art. 2 al. 2 lettre a LHR) ainsi que par l'ordonnance du Conseil fédéral du 21 novembre 2007 sur l'harmonisation de registres (OHR; RS 431.021). L'harmonisation doit être achevée au plus tard le 15 janvier 2010 (art. 28 al. 1 OHR).
3.2 Selon l'art. 1er LCH, le contrôle des habitants des communes est destiné à fournir aux administrations publiques les renseignements dont elles ont besoin sur l'identité, l'état civil et le lieu d'établissement ou de séjour des personnes résidant plus de trois mois sur le territoire communal (al. 1).
Faisant partie du chapitre II "Déclarations obligatoires" et intitulé "Déclaration d'arrivée", l'art. 3 al. 1 LCH prévoit que quiconque réside plus de trois mois consécutifs ou plus de trois mois par an dans une commune du canton est tenu d'y annoncer son arrivée.
Intitulé "Lieu d'enregistrement", l'art. 3 du règlement d'application de la loi vaudoise du 9 mai 1983 sur le contrôle des habitants (RLCH; RS/VD 142.01.1) dispose qu'à l'exception des détenus, toute personne, y compris les mineurs et les interdits, doit être annoncée et inscrite à son lieu de résidence effective, quel que soit le lieu de son domicile civil.
D'après l'art. 9 al. 1 LCH, sur la base des indications fournies, le bureau compétent enregistre le nouvel arrivant, en mentionnant s'il s'établit dans la commune ou s'il ne fait qu'y séjourner. Une personne est réputée établie à l'endroit où le contrôle des habitants a procédé à son inscription en résidence principale et, à défaut d'une telle inscription, à l'endroit où se trouve le centre de ses intérêts (lieu de résidence principal). Il ne peut y avoir qu'un lieu d'établissement (art. 9 al. 2 LCH).
Sous le titre "Déclaration de départ", l'art. 6 LCH dispose que celui qui cesse de résider dans la commune ou dont la durée du séjour n'atteint plus trois mois par an est tenu d'annoncer sans délai son départ et sa destination.
3.3 La loi fédérale sur l'harmonisation de registres définit la commune d'établissement comme celle dans laquelle une personne réside, de façon reconnaissable pour des tiers, avec l'intention d'y vivre durablement et d'y avoir le centre de ses intérêts personnels. Une personne est réputée établie dans la commune où elle a déposé le document requis. Elle ne peut avoir qu'une commune d'établissement (art. 3 lettre b 1ère phr.).
La commune de séjour est celle dans laquelle une personne réside dans un but particulier sans intention d'y vivre durablement, mais pour une durée d'au moins trois mois consécutifs ou répartis sur une même année; il s'agit notamment de la commune dans laquelle une personne séjourne pour y fréquenter les écoles ou se trouve placée dans un établissement d'éducation, un hospice, un hôpital ou une maison de détention (art. 3 lettre c LHR).
Ces définitions de l'établissement et du séjour s'appuient sur la notion de domicile au sens du droit civil ainsi que sur la pratique des cantons et des communes (Message du Conseil fédéral du 23 novembre 2005 concernant l'harmonisation de registres officiels de personnes, FF 2006 p. 439 ss, 469).
Intitulé "Exhaustivité des registres", l'art. 5 LHR dispose que les registres doivent contenir des données actuelles, exactes et complètes par rapport à l'ensemble des personnes visées.
3.4 Le Code civil distingue trois sortes de domiciles: le domicile volontaire, les domiciles légaux et les domiciles fictifs.
Selon l'<ref-law>, le domicile volontaire est le lieu où une personne réside avec l'intention de s'y établir. Cette disposition fait donc dépendre la constitution du domicile de deux conditions: d'une part, la résidence, soit un séjour d'une certaine durée dans un endroit donné et la création en ce lieu de rapports assez étroits et, d'autre part, l'intention de se fixer pour une certaine durée au lieu de sa résidence, intention qui doit être reconnaissable pour les tiers et donc ressortir de circonstances extérieures et objectives. Cette intention implique la volonté manifestée de faire d'un lieu le centre de ses relations personnelles et professionnelles (Deschenaux/Steinauer, Personnes physiques et tutelle, 4ème éd., Berne 2001, n. 370 ss et la jurisprudence citée).
Les <ref-law> obéissent au principe de la nécessité du domicile: toute personne doit nécessairement avoir un domicile civil. C'est pourquoi l'<ref-law> établit des règles subsidiaires qui permettent de déterminer un domicile fictif en l'absence d'un domicile volontaire ou légal (Deschenaux/Steinauer, op. cit., n. 399 ss). L'une de ces règles est que l'intéressé est censé conserver son ancien domicile jusqu'à ce qu'il en ait acquis un nouveau (<ref-law>).
3.5 L'établissement et le séjour au sens de la loi vaudoise sur le contrôle des habitants et de la loi fédérale sur l'harmonisation de registres sont des notions de police qui doivent être distinguées du domicile civil de l'<ref-law> (cf. art. 3 in fine RLCH), même si elles s'appuient sur cette dernière notion. Ces notions doivent être distinguées également des domiciles spéciaux tels que le domicile politique (cf. art. 3 al. 1 de la loi fédérale du 17 décembre 1976 sur les droits politiques [RS 161.1] et art. 4 al. 1 de la loi vaudoise du 16 mai 1989 sur l'exercice des droits politiques [LEDP; RS/VD 160.01]) et le domicile d'assistance (cf. art. 4 de la loi fédérale du 24 juin 1977 sur la compétence en matière d'assistance des personnes dans le besoin [loi fédérale en matière d'assistance, LAS; RS 851.1]). L'établissement et le séjour, le domicile civil de l'<ref-law> et les domiciles spéciaux sont déterminés par des autorités différentes dans des procédures distinctes. Pour ce faire, les autorités compétentes se servent toutefois de critères analogues sinon identiques, de sorte que la détermination de l'établissement et du séjour n'est pas sans influence sur la fixation des différents domiciles.
Contrairement à ce qui vaut pour le domicile civil, il n'existe pas d'obligation d'être établi quelque part, de sorte que, dans des cas certes exceptionnels, l'établissement peut faire défaut. Lorsque quelqu'un quitte l'endroit où il réside sans s'établir ailleurs, on ne saurait par conséquent - sans autres liens avec cet endroit - considérer qu'il demeure établi là où il l'était précédemment (Karl Spühler, Die Rechtsprechung zur polizeilichen Meldepflicht bei Niederlassung und Aufenthalt, ZBl 93/1992 p. 337 ss, 339 s.). Il ne saurait donc y avoir d'établissement fictif, seule la résidence effective étant de nature à constituer l'établissement (cf. art. 3 RLCH).
4. 4.1 Le recourant fait grief à l'autorité intimée d'avoir violé l'art. 6 de la Convention de sauvegarde des droits de l'homme et des libertés fondamentales du 4 novembre 1950 (CEDH; RS 0.101) en renonçant à entendre le témoignage de B._, qu'il avait expressément requis. En outre, l'autorité intimée aurait agi de manière arbitraire et violé son droit d'être entendu en ne se prononçant pas sur l'argumen- tation contenue dans son mémoire de recours du 17 mars 2008 et en "laissant en suspens" celle développée dans son mémoire complémentaire du 21 avril 2008. Toujours au plan formel, le recourant se plaint d'une violation du principe de l'égalité des armes, du fait que la municipalité de X._ a été assistée d'un avocat durant toute la procédure cantonale, tandis que son avocat à lui a révoqué le mandat en cours de procédure.
Par ailleurs, le recourant soutient que la décision attaquée porte atteinte à la loi fédérale du 18 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10) ainsi qu'au principe de l'égalité devant la loi: elle aurait selon lui pour conséquence que les autorités vaudoises pourront lui refuser les subsides pour le paiement des primes d'assurance-maladie, de sorte qu'au vu de sa situation économique précaire, il ne pourra plus avoir une telle assurance, contrairement à ce que prescrit la loi en question. En outre, l'enregistrement du départ du recourant aurait pour effet de le priver de son droit à l'assistance judiciaire, lequel est garanti par la Convention de sauvegarde des droits de l'homme et des libertés fondamentales. Il aurait aussi pour conséquence de l'empêcher de participer aux élections et votations et, partant, d'exercer ses droits civiques. Enfin, il l'empêcherait d'obtenir l'assistance sociale, ce qui serait à nouveau contraire au principe de l'égalité devant la loi.
Le recourant prétend finalement que toute personne doit avoir un domicile et que le fait de le priver du sien constitue derechef une violation du principe de l'égalité devant la loi. Enfin, il serait "irréel" de prétendre que le "centre de vie" de quelqu'un se trouve là où il vit dans la clandestinité.
4.2 Le recourant se contente d'affirmer que la décision attaquée porterait atteinte, à plusieurs égards, à la Convention de sauvegarde des droits de l'homme et des libertés fondamentales ainsi qu'au principe constitutionnel de l'égalité de traitement, sans le démontrer. Non conformes aux exigences de l'<ref-law>, telles qu'elles ont été rappelées ci-dessus (consid. 1.3), les griefs de nature constitutionnelle sont donc irrecevables et il n'est pas nécessaire de déterminer si l'art. 6 par. 1 CEDH est applicable à la présente cause, ce qui ne va nullement de soi, car cette disposition régit seulement, outre les procédures pénales, les contestations portant sur des "droits et obligations de caractère civil".
4.3 Au demeurant, s'agissant du droit d'être entendu, l'art. 6 par. 1 CEDH n'offre pas une protection plus étendue que l'art. 29 al. 2 Cst. Or, selon la jurisprudence rendue en relation avec cette dernière disposition (et avec l'art. 4 aCst.), la motivation d'une décision est suffisante lorsque l'autorité mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. L'autorité ne doit pas se prononcer sur tous les moyens des parties; elle peut se limiter aux questions décisives (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 88; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 445; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 477). En l'occurrence, la décision entreprise satisfait incontestablement à ces exigences, de sorte qu'à supposer que le grief soulevé par le recourant ait été recevable, il aurait dû être rejeté. Il en va du reste de même du grief tiré du refus d'entendre le témoignage de sa compagne (cf. consid. 4.3 ci-après).
4.4 La présente procédure porte sur la question de savoir si c'est à bon droit que l'intimé a enregistré le départ du recourant de la commune de X._ à la mi-juillet 2007, en considérant que celui-ci n'y était plus établi ni en séjour à compter de cette date.
Il ressort de ce qui a été dit plus haut que l'établissement au sens large - comprenant l'établissement au sens étroit et le séjour - en un lieu suppose que l'intéressé réside effectivement à cet endroit, d'une façon reconnaissable pour les tiers. Or, l'autorité intimée a retenu, d'une manière qui lie le Tribunal de céans (consid. 1.4), que le recourant avait quitté en juillet 2007 l'appartement qu'il occupait à X._ avec sa compagne, pour une destination inconnue, ce qui signifie en d'autres termes qu'il n'a plus résidé dans cette commune à compter de cette date. Le recourant ne prétend pas et démontre encore moins que cette constatation de fait serait manifestement inexacte ou qu'elle aurait été établie en violation du droit. Il a au contraire déclaré dans un courrier du 3 janvier 2008 adressé à l'intimé qu'il "séjournait actuellement à son poste de partisan quelque part dans la nature". Dans son recours au Tribunal de céans, il affirme de même "vivre en clandestinité".
Le recourant se limite à affirmer que le centre de ses intérêts personnels demeure à X._, en arguant de sa relation avec sa compagne. Il a produit une déclaration de cette dernière datée du 19 avril 2008 et adressée à l'autorité intimée, d'où il ressort que leur relation "est solide et résiste à toute épreuve et que le centre de leur vie de couple se trouve toujours à l'avenue de C._ **, à X._"; sa compagne se disait en outre prête à répéter ces propos de vive voix devant l'autorité intimée. Or, le fait que le recourant continue à entretenir une relation avec une personne domiciliée dans cette commune ne permet aucunement, à lui seul, d'admettre qu'il y est établi, alors qu'il n'y réside pas lui-même. Dès lors, l'autorité intimée n'a pas violé le droit d'être entendu du recourant en estimant, par appréciation anticipée de la preuve qui lui était encore proposée, que celle-ci ne pourrait l'amener à modifier son opinion et en renonçant ainsi à entendre le témoignage de sa compagne.
Au demeurant, le fait que le recourant, vivant dans la clandestinité, ne se serait pas constitué un nouveau "centre de vie" ailleurs n'implique pas qu'il demeure établi à X._. En effet, comme on l'a vu (consid. 3.5), l'établissement n'obéit pas, à cet égard, aux mêmes règles que le domicile civil; il ne saurait, en particulier, y avoir d'établissement fictif à un endroit où l'on ne réside plus.
Au vu de ce qui précède, c'est à juste titre que l'intimé a enregistré le départ du recourant de la commune de X._ à la mi-juillet 2007.
4.5 Il est très douteux que les griefs de violation de la loi fédérale sur l'assurance-maladie du fait de la perte prétendue du droit aux subsides pour le paiement des primes, de violation du droit à l'assistance judiciaire, d'entrave à l'exercice des droits civiques et de violation du droit à l'assistance sociale satisfassent aux exigences de motivation de l'article 42 al. 1 et 2 et, pour certains d'entre eux, de l'article 106 al. 2 LTF et soient ainsi recevables. Quoi qu'il en soit, ils sont mal fondés déjà pour le motif que l'enregistrement litigieux est la conséquence d'un comportement délibéré du recourant, qui a volontairement cessé de résider à X._ pour entrer dans la clandestinité aux fins d'échapper à l'exécution des peines prononcées contre lui.
Au demeurant, l'enregistrement litigieux n'a pas les conséquences que le recourant lui prête. En effet, dans le canton de Vaud, le droit aux subsides pour le paiement des primes d'assurance-maladie ne dépend pas de l'enregistrement auprès du contrôle des habitants, mais du domicile dans le canton (art. 2 de la loi d'application vaudoise de la loi fédérale sur l'assurance-maladie, du 25 juin 1996 [LVLAMal; RS/VD 832.01]); l'art. 26 al. 2 du règlement du 18 septembre 1996 concernant la loi du 25 juin 1996 d'application vaudoise de la loi fédérale sur l'assurance-maladie (RLVLAMal; RS/VD 832.01.1) précise qu'en cas de départ du canton, la perte du droit au subside ne dépend pas de l'annonce du départ au contrôle des habitants. Le droit à l'assistance judiciaire est quant à lui indépendant du domicile - ainsi que de l'établissement - et doit être reconnu également à des personnes domiciliées à l'étranger (cf. p. ex. <ref-ruling> consid. 1 p. 219). Les droits politiques s'exercent au domicile politique, défini comme la commune où l'électeur habite ou a son domicile civil et s'est annoncé à l'autorité locale (cf. respectivement art. 3 al. 1 de la loi fédérale sur les droits politiques et art. 4 al. 1 LEDP). Les électeurs sont inscrits dans un registre spécial, appelé registre ou rôle des électeurs (cf. respectivement art. 4 de la loi fédérale sur les droits politiques et art. 6 LEDP), soit dans un document distinct du registre des habitants. Dans le canton de Vaud, il existe une procédure particulière permettant de contester l'inscription au rôle des électeurs et la radiation dudit registre, en formant une réclamation à la municipalité (art. 7 LEDP). D'ailleurs, dans le cas particulier, le recourant affirme lui-même avoir obtenu le matériel de vote pour le scrutin du 24 février 2008, qu'il avait réclamé au greffe de la commune de X._ le 8 février 2008, soit après l'enregistrement - en date du 6 février 2008 - par l'intimé de son départ de la commune. Enfin, un citoyen suisse peut prétendre à des prestations d'assistance non seulement à l'égard du canton où il a son domicile d'assistance - au sens du canton où il réside avec l'intention de s'y établir et s'est annoncé à la police des habitants (art. 4 LAS) - mais aussi, lorsqu'il n'a pas un tel domicile, à l'égard du canton où il séjourne effectivement (art. 11 al. 1 et 12 al. 2 LAS).
II. Procédure 2C_572/2008
5. 5.1 Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 236; <ref-ruling> consid. 1 p. 37; <ref-ruling> consid. 1 p. 140).
Selon l'art. 89 al. 1 lettre c LTF, la qualité pour former un recours en matière de droit public suppose notamment que le recourant ait un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée.
En outre, le Tribunal fédéral examine d'office également si les conditions de recevabilité étaient réunies devant l'instance précédente et si, partant, c'est à bon droit que celle-ci est entrée en matière (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 95).
5.2 En l'occurrence, la décision attaquée est le prononcé du 4 juillet 2008 par lequel le juge instructeur a rayé l'affaire du rôle en considérant qu'à la suite de l'arrêt du 28 mai 2008, le recours interjeté contre la décision incidente du 31 mars 2008 rejetant les requêtes d'effet suspensif et d'assistance judiciaire était devenu sans objet.
Interjetant recours contre une telle décision, le recourant doit démontrer par une argumentation topique en quoi son recours n'était pas devenu sans objet et n'aurait, partant, pas dû être rayé du rôle. Or, il n'apparaît pas que son mémoire de recours du 2 août 2008 contienne une motivation pertinente et conforme aux exigences rappelées plus haut. Pour ce motif déjà, son acte est irrecevable.
5.3 En outre, selon l'art. 50 al. 1 lettres a et b de la loi vaudoise du 18 décembre 1989 sur la juridiction et la procédure administratives (LPJA; RS/VD 173.36), un recours incident peut être formé notamment à l'encontre de la décision par laquelle le juge instructeur refuse l'effet suspensif ou l'assistance judiciaire. Le recours doit être interjeté dans les dix jours à compter de la communication de la décision attaquée (art. 51 al. 1 LPJA).
Dans le cas particulier, le recours contre la décision incidente du 31 mars 2008 devait donc être exercé dans un délai de dix jours à compter de la notification de celle-ci. Prévu par la loi, ce délai ne pouvait être prolongé (cf. art. 32 al. 2 LPJA). Il n'a en particulier pas été prolongé par le courrier du 31 mars 2008 par lequel le juge instruisant le recours dirigé contre la décision de la municipalité de X._ du 3 mars 2008 a imparti au recourant un délai au 21 avril 2008 soit pour retirer son recours, soit pour en compléter la motivation, car ce courrier concernait uniquement cette autre procédure. Quant au fait que la décision incidente du 31 mars 2008 n'indiquait pas la voie de droit, il n'est pas critiquable, car l'art. 56 al. 1 LPJA impose une telle indication "lorsque le droit fédéral le prescrit". Or, tel n'était pas le cas en l'espèce, puisque l'<ref-law>, en particulier, n'était pas applicable - ladite décision n'émanant pas d'une autorité cantonale de dernière instance (il existait en effet une voie de recours cantonale) et ne pouvant dès lors faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral - et qu'au demeurant le droit constitutionnel fédéral n'exige pas de manière générale que les décisions cantonales contiennent une indication des voies de droit (<ref-ruling> consid. 8a p. 237 s.). Au surplus, l'absence d'indication de la voie de droit posait d'autant moins problème que, jusqu'au 10 avril 2008 (date du courrier par lequel le mandataire du recourant a informé l'autorité intimée de la fin de son mandat), le recourant était encore assisté d'un avocat, auquel la décision du 31 mars 2008 a été notifiée.
Il découle de ce qui précède que, si elle entendait traiter l'écriture complémentaire du 21 avril 2008 comme un recours à l'encontre de la décision incidente du 31 mars 2008, l'autorité cantonale devait, à proprement parler, déclarer celui-ci irrecevable pour cause de tardiveté, au lieu de considérer qu'il était devenu sans objet à la suite du prononcé de l'arrêt du 28 mai 2008 (sans compter que cette conséquence n'allait nullement de soi dans la mesure où le recours portait sur la question de l'assistance judiciaire).
Quoi qu'il en soit, le recourant n'a aucun intérêt digne de protection à ce que le Tribunal fédéral annule la décision du 4 juillet 2008 et retourne le dossier à l'autorité intimée pour qu'elle rende une nouvelle décision déclarant irrecevable son recours incident. Cela ne présenterait en effet aucune utilité pratique pour le recourant, pas même au plan des frais, puisqu'il n'a pas eu à en supporter pour la procédure cantonale et qu'il n'y a pas non plus lieu d'en percevoir pour la présente procédure (cf. consid. 6). Partant, son recours est irrecevable également pour cette raison.
III. Frais et dépens
6. Vu ce qui précède, le recours interjeté le 30 juin 2008 (affaire 2C_478/2008) est rejeté dans la mesure où il est recevable. Avec la présente décision, la requête d'effet suspensif devient sans objet.
Le recours interjeté le 2 août 2008 (affaire 2C_572/2008) est déclaré irrecevable.
Succombant dans l'affaire 2C_478/2008, le recourant supporte les frais judiciaires (cf. <ref-law>). Ses conclusions apparaissant dénuées de toute chance de succès, la requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (cf. <ref-law> a contrario). Les frais de justice seront fixés compte tenu de sa situation financière (cf. <ref-law>). L'intimée, qui obtient gain de cause dans l'exercice de ses attributions officielles, n'a pas droit à des dépens (cf. <ref-law>).
Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires dans la cause 2C_572/2008 (cf. art. 66 al. 1 in fine LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 2C_478/2008 et 2C_572/2008 sont jointes.
2. Le recours interjeté contre l'arrêt du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 28 mai 2008 (affaire 2C_478/2008) est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Le recours interjeté contre la décision du juge instructeur du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 4 juillet 2008 (affaire 2C_572/2008) est irrecevable.
4. Des frais judiciaires de 800 fr. sont mis à la charge du recourant dans la cause 2C_478/2008.
5. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Contrôle des habitants de la commune de X._, au mandataire de la Municipalité de X._ ainsi qu'à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 23 septembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Merkli Vianin