Sachverhalt:
A. T._ (geb. 1978) arbeitete, ohne zuvor eine Berufslehre absolviert zu haben, in der Verpackungsindustrie und zuletzt als hauswirtschaftliche Kraft im Zentrum X._ in S._. Schon seit längerer Zeit wegen Rückenbeschwerden in ärztlicher Behandlung, erlitt sie am 25. Juni 2005 als Beifahrerin einen Autounfall, bei welchem sie sich eine Wirbelkörperberstungsfraktur im thorakolumbalen Übergangsbereich zuzog. Auf Anmeldung zum Leistungsbezug vom 19. Oktober 2006 hin klärte die IV-Stelle des Kantons Luzern die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse sowie die beruflichen Eingliederungsmöglichkeiten ab; namentlich liess sie die Versicherte im Institut Y._ untersuchen. Gestützt auf die Expertise des Instituts Y._ vom 7. April 2008 lehnte die IV-Stelle, nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens, den Rentenanspruch bei einem Invaliditätsgrad von 25 Prozent ab (Verfügung vom 19. Januar 2009).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Durchführung eines einfachen Schriftenwechsels und einer öffentlichen Gerichtsverhandlung ab (Entscheid vom 18. März 2010).
C. Die Versicherte lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, die Sache sei, unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides, an die IV-Stelle zur weiteren Abklärung im Sinne der Erwägungen zurückzuweisen, dies unter entsprechender Verlegung der Gerichts- und Parteikosten im vor- und letztinstanzlichen Verfahren. Auf die Begründung wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen.
Während kantonales Gericht und IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliessen, hat das Bundesamt für Sozialversicherungen von einer Vernehmlassung abgesehen.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls darauf nicht eingetreten wird (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Die Voraussetzungen für eine Sachverhaltsrüge nach <ref-law> und für eine Berichtigung des Sachverhalts von Amtes wegen nach <ref-law> stimmen im Wesentlichen überein. Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensregel ermittelt worden ist, sind strenge Anforderungen an die Begründungspflicht der Beschwerde gerechtfertigt. Entsprechende Beanstandungen sind vergleichbar mit den in <ref-law> genannten Rügen. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift nach den erwähnten gesetzlichen Erfordernissen darzulegen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von <ref-law>, die dem Richter geradezu in die Augen springen (<ref-ruling> E. 6.2 S. 288; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255; zur Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Bereich der Invaliditätsbemessung vgl. <ref-ruling>).
2. Im angefochtenen Entscheid finden sich - in Ergänzung zur Verfügung vom 19. Januar 2009 - die Rechtsgrundlagen in materiell- und formellrechtlicher Hinsicht, namentlich in Bezug auf die Beweisgrundsätze, welche zur Beurteilung des streitigen Anspruches auf eine Invalidenrente massgeblich sind, zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht hat, nach Entkräftung der gegen die Begutachtung des Instituts Y._ erhobenen Rügen (dazu unten E. 4) und als Ergebnis einer pflichtgemässen freien Würdigung der gesamten medizinischen Aktenlage (Art. 61 lit. c in fine ATSG) geschlossen, dass die Beschwerdeführerin für körperlich leichte, adaptierte Tätigkeiten eine zumutbare Arbeits- und Leistungsfähigkeit von 80 Prozent - bei ganztägiger Präsenz und mit etwas reduziertem Rendement aufgrund eines erhöhten Pausenbedarfs - aufweist (angefochtener Entscheid, S. 13 E. 5g). Davon ausgehend hat die Vorinstanz in einem in der letztinstanzlichen Beschwerde nicht weiter in Frage gestellten Einkommensvergleich bei einem Valideneinkommen von Fr. 50'278.- und einem Invalideneinkommen von Fr. 36'200.- auf einen Invaliditätsgrad von 28 Prozent erkannt (S. 14 E. 6c), welcher keinen Anspruch auf Invalidenrente begründet (<ref-law> [in der Fassung gemäss der 5. IVG-Revision, in Kraft seit 1. Januar 2008]).
4.1 4.1.1 Nach <ref-law> prüft der Versicherungsträger die Begehren, nimmt die notwendigen Abklärungen von Amtes wegen vor und holt die erforderlichen Auskünfte ein (Satz 1). Das Gesetz weist somit dem Durchführungsorgan die Aufgabe zu, den rechtserheblichen Sachverhalt nach dem Untersuchungsgrundsatz abzuklären, und zwar richtig und vollständig, so dass gestützt darauf die Verfügung über die jeweils in Frage stehende Leistung ergehen kann (<ref-law>). Auf dem Gebiet der Invalidenversicherung obliegen diese Pflichten der (örtlich zuständigen) Invalidenversicherungsstelle (Art. 54-56 in Verbindung mit Art. 57 Abs. 1 lit. c-g IVG). Was den für die Invaliditätsbemessung (<ref-law> und <ref-law>) erforderlichen medizinischen Sachverstand angeht, kann die Invalidenversicherungsstelle sich hierfür - nebst dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD; <ref-law>), den Berichten der behandelnden Ärztinnen und Ärzte (<ref-law>) und den externen medizinischen Sachverständigen (<ref-law>) - auf die medizinischen Abklärungsstellen (MEDAS) stützen (<ref-law>). Laut <ref-law> trifft das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) mit Spitälern oder anderen geeigneten Stellen Vereinbarungen über die Errichtung von medizinischen Abklärungsstellen, welche die zur Beurteilung von Leistungsansprüchen erforderlichen ärztlichen Untersuchungen vornehmen (Satz 1); es regelt Organisation und Aufgaben dieser Stellen und die Kostenvergütung (Satz 2).
4.1.2 Nach ständiger Rechtsprechung handelt die IV-Stelle nicht als Partei, sondern als zur Neutralität und Objektivität verpflichtetes Organ des Gesetzesvollzuges, solange in der Sache kein Beschwerdeverfahren angehoben ist (<ref-ruling> E. c S. 211; <ref-ruling> E. 5a S. 234; in <ref-ruling> nicht publizierte E. 1b des Urteils I 551/86 vom 25. Mai 1987, so zuletzt bestätigt im Urteil 8C_845/2008 vom 4. März 2009 E. 3.1). Nach Eintritt der Rechtshängigkeit wird die Verwaltung zwar im prozessualen Sinne zur Partei; sie ist lite pendente indessen weiterhin der Objektivität verpflichtet und hat daher nicht auch im materiellen Sinn Parteieigenschaft. Auf dieser Rechtslage beruht auch die Judikatur über die Beweiskraft versicherungsmedizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling>; <ref-ruling>). Bei formell einwandfreien und materiell schlüssigen (das heisst beweistauglichen und beweiskräftigen) medizinischen Entscheidungsgrundlagen des Versicherungsträgers (Administrativgutachten) besteht daher nach der - kürzlich bestätigten - Rechtsprechung kein Anspruch auf eine gerichtliche Expertise (<ref-ruling> E. 4 S. 467).
4.2 Unter Bezugnahme auf das von Prof. Dr. iur. Jörg Paul Müller und Dr. iur. Johannes Reich verfasste "Rechtsgutachten zur Vereinbarkeit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur medizinischen Begutachtung durch Medizinische Abklärungsstellen betreffend Ansprüche auf Leistungen der Invalidenversicherung mit Art. 6 der Konvention vom 4. November 1950 zum Schutze der Menschenrechte und Grundfreiheiten" vom 11. Februar 2010 (im Folgenden: Rechtsgutachten) erhebt die Beschwerdeführerin gestützt auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK verschiedene (nicht spezifisch auf ihren Fall bezogene) Rügen formellrechtlicher Art (fehlende Unabhängigkeit der MEDAS von der Invalidenversicherung, Verletzung des Fairnessgrundsatzes, Verstoss gegen das rechtliche Gehör).
4.2.1 Nach der Rechtsauffassung, wie sie in der gesetzlichen Ordnung über die Amtsermittlungspflicht des Sozialversicherungsträgers zum Ausdruck kommt, wird Beweis über sozialversicherungsrechtliche Ansprüche schwergewichtig auf der Stufe des Administrativverfahrens geführt, nicht im gerichtlichen Prozess. Hierin liegt eine Grundentscheidung des Gesetzgebers, deren Abänderung im formellen Gesetz vollzogen werden müsste (vgl. Art. 164 Abs. 1 lit. e-g BV). An der Ordnung schweizerischen Zuschnitts des sozialversicherungsrechtlichen Abklärungsverfahrens hat der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) bislang nicht Anstoss genommen (vgl. den Nichtzulassungsentscheid 33957/96 vom 22. Juni 1999 [VPB 64/2000 Nr. 138 S. 1341] betreffend BGE <ref-ruling>), ebensowenig an der Rechtsprechung, die ein abschliessendes Abstellen auf MEDAS-Gutachten erlaubt (Nichtzulassungsentscheid der Europäischen Menschenrechtskommission [EKMR, bis 1998] 39759/98 vom 20. April 1998 [VPB 62/1998 Nr. 95 S. 917] betreffend <ref-ruling>; vgl. auch AHI 1997 S. 120, I 41/95).
4.2.2 Die Rechtsgutachter gelangen zum Ergebnis, die gegenwärtige Ausgestaltung des Verfahrens zur Beurteilung von IV-Leistungsansprüchen genüge im Hinblick auf das grosse Gewicht der von den MEDAS erstellten Gutachten - jedenfalls ohne genügende kompensatorische Behelfe - dem in Art. 6 EMRK verankerten Recht auf ein faires Verfahren nicht. Nach ihrer Auffassung werden die IV-Stellen aufgrund von deren Beschwerdelegitimation im bundesgerichtlichen Verfahren (<ref-law> und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) zur Partei; die beigezogenen MEDAS-Administrativgutachten seien folglich als Beweismittel einer Partei zu betrachten. Damit hafte dem gesamten Abklärungsverfahren der Anschein der Einseitigkeit an, was die konventionsrechtlich geforderte Fairness und Waffengleichheit in Frage stelle.
Zu bedenken ist indessen, dass die Verwaltung aufgrund von <ref-law> immer dann zur Beschwerde berechtigt ist, wenn der angefochtene Akt die Bundesgesetzgebung in ihrem Aufgabenbereich verletzen kann. Daraus ist offenkundig nicht abzuleiten, jede - meist vorgängige - Sachverhaltsabklärung im nichtstreitigen Verwaltungsverfahren durch die betreffende Verwaltungseinheit sei Parteihandeln und das gerichtliche Abstellen darauf EMRK-widrig. Der rechtsgutachterlichen Schlussfolgerung liegt nicht die dargelegte rechtliche Konzeption zugrunde, wonach das Durchführungsorgan der Sozialversicherung als Behörde auch nach dem Übergang zum Anfechtungsstreitverfahren - trotz seiner formellen Parteistellung - an die rechtsstaatlichen Grundsätze (<ref-law>) gebundenes Verwaltungsorgan bleibt, welches zur Neutralität und Objektivität verpflichtet ist (vgl. nebst den in E. 4.1.2 zitierten Urteilen <ref-ruling> E. 1 S. 188; Isabelle Häner, Die Beteiligten im Verwaltungsverfahren und Verwaltungsprozess, Zürich 2000, Rz. 281 ff., 388 ff. und 391 ff.; Stéphane Blanc, La procédure administrative en assurance-invalidité, Freiburg 1999, S. 11 ff. und 121 f.; Franz Schlauri, Grundstrukturen des nichtstreitigen Verwaltungsverfahrens in der Sozialversicherung, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Verfahrensfragen in der Sozialversicherung, St. Gallen 1996, S. 26 f.; Vera Marantelli-Sonanini/Said Huber, Praxiskommentar zum VwVG, Zürich 2009, N 53 zu Art. 6; Merkli/Aeschlimann/Herzog, Kommentar zum Gesetz vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern [VRPG], N 5 und 26 zu Art. 12 VRPG/BE; André Grisel, Traité de droit administratif, Vol. II, Neuchâtel 1984, S. 838 f.). Im Hinblick auf diese verfassungsrechtliche Lage darf aus der formellen Parteieigenschaft der Durchführungsstelle im gerichtlichen Prozess bzw. der Legitimation zur Erhebung von Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht gefolgert werden, auch die Beweiserhebungen der IV-Stelle im (vorausgehenden) nichtstreitigen Verfahren bis zum Verfügungserlass seien Handlungen einer (formellen) Partei. Denn das Verfügungsverfahren zählt nicht zur Verwaltungsrechtspflege im Sinne des Anfechtungsstreitverfahrens, das heisst des Beschwerdeverfahrens (Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. Bern 1983, S. 14, 16 und 169; Rhinow/Koller /Kiss, Öffentliches Prozessrecht und Justizverfassungsrecht des Bundes, Basel/Frankfurt a.M. 1996, S. 7 Rz. 25, S. 8 Rz. 31 und S. 144 Rz. 748). Was vor der IV-Stelle stattfindet, ist ein Einparteienverfahren mit dem/der Leistungsgesuchssteller/in als Partei und der IV-Stelle als Behörde, welche nach den Grundsätzen des Amtsbetriebes die Herrschaft über das Verfahren innehat (SVR 2007 IV Nr. 22 S. 77 E. 2.2.4.3; Peter Saladin, Das Verwaltungsverfahrensrecht des Bundes, Basel/Stuttgart 1979, S. 87 Ziff. 11.22, S. 113 ff. und 119 ff.; Häner, a.a.O., S. 147 Rz. 263; Benoît Bovay, Procédure administrative, Bern 2000, S. 87; Blaise Knapp, Précis de droit administratif, 4. Aufl. Basel/Frankfurt a.M. 1991, S. 217 Ziff. 953; Pierre Moor, Droit administratif, Vol. II, Bern 1991, S. 126 f.; zur Frage der Rechtsanwendung von Amtes wegen und des Amtsbetriebs statt vieler: Alfred Kölz/Isabelle Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl. Zürich 1998, Rz. 112 ff. und 117 f.; Urs Müller, Das Verwaltungsverfahren in der Invalidenversicherung, Bern 2010, Rz. 911 ff. und 292 ff.). Im Übrigen trifft die Verwaltung in vielen anderen Zweigen der öffentlichen Verwaltung ebenfalls eingehende Sachverhaltsabklärungen (vgl. beispielsweise Art. 26 ff. des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1995 über Kartelle und andere Wettbewerbsbeschränkungen [SR 251], Art. 5 des Bundesgesetzes vom 1. Juli 1966 über den Natur- und Heimatschutz [SR 451], Art. 22 des Kernenergiehaftpflichtgesetzes [SR 732.44], Art. 10a des Bundesgesetzes vom 7. Oktober 1983 über den Umweltschutz [SR 814.01], Art. 8 des Preisüberwachungsgesetzes vom 20. Dezember 1985 [SR 942.20] oder Art. 24 ff. des Bundesgesetzes vom 22. Juni 2007 über die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht [SR 956.1]).
4.2.3 Hinsichtlich der Fragen, wie es sich mit der im Rechtsgutachten konstatierten wirtschaftlichen Abhängigkeit der MEDAS von den IV-Stellen verhält und ob, wie ebenda gefordert, verfahrensmässige Korrektive angezeigt sind, gibt der vorliegende Fall zu keinen Weiterungen Anlass. Immerhin ist darauf hinzuweisen, dass den kantonalen Gerichten die Kompetenz zur vollen Tatsachenprüfung zufällt (<ref-law>), die sie nötigenfalls durch Einholung gerichtlicher Expertisen auszuschöpfen haben.
5. Im Lichte dieser Erwägungen ergibt sich für den Fall der Beschwerdeführerin was folgt.
5.1 Wird eine MEDAS mit einer Begutachtung beauftragt, sind die Mitwirkungsrechte nach <ref-law> zu wahren (<ref-ruling>). Durch Mitteilung vom 15. August 2007 stellte die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin eine medizinische Abklärung durch das Institut Y._ in Aussicht. Die Versicherte erklärte sich hiermit nicht einverstanden; eine Begutachtung durch das Institut Y._ sei ihr nicht zumutbar (Schreiben vom 28. August 2007). Die Beschwerdegegnerin antwortete am 30. August 2007, gemäss <ref-law> könnten triftige Gründe bei angeordneten Begutachtungen "nur bei natürlichen Personen vorgebracht werden"; dies führe dazu, "dass für ein Gutachten im Institut Y._ oder ähnlichen Institutionen, z.B. MEDAS, <ref-law> keine Anwendung" finde; deshalb kämen "der versicherten Person in diesen Fällen auch keine Mitwirkungsrechte (Gutachterablehnung, Gegenvorschläge, Fragen stellen) zu". Diese Rechtsauffassung der Beschwerdegegnerin widerspricht offensichtlich dem schon am 14. Juli 2006 ergangenen <ref-ruling>. In dieser Beziehung leidet die Gutachtenseinholung an einem Fehler, von dem sich fragt, ob er in der Folge behoben worden ist. Das kantonale Gericht hat in diesem Zusammenhang auf die Mitteilung des Instituts Y._ vom 17. Januar 2008 Bezug genommen, worin der Beschwerdeführerin das auf Montag, 3. März 2008 terminierte Untersuchungsprogramm psychiatrischer, orthopädischer und neurologischer Fachrichtung unter Angabe der dafür in Aussicht genommenen Gutachter (Dres. med. Z._, H._ und L._) bekannt gegeben worden war. Da die Beschwerdeführerin, so die Vorinstanz weiter, weder im Anschluss an die Mitteilung vom 17. Januar 2008 noch im Rahmen des Vorbescheidverfahrens Einwände gegen die Mitwirkung dieser Ärzte erhoben hatte - auch nicht gegen die Mitwirkung des Institutsleiters, Dr. med. A._, FMH Innere Medizin, welche in der Mitteilung vom 17. Januar 2008 nicht angekündigt worden war -, könne sie nach Treu und Glauben nicht mehr darauf zurückkommen. Entgegen den Einwendungen in der Beschwerde verletzt diese Auffassung Bundesrecht nicht.
5.2 Verschiedene weitere Rügen der Beschwerdeführerin betreffend das Abstellen auf das Gutachten des Instituts Y._ begründen ebenfalls keine Bundesrechtswidrigkeit des angefochtenen Entscheides: Die Behauptung, der medizinische Sachverhalt sei "ungenügend und lückenhaft durch eine pauschalhonorierte MEDAS abgeklärt worden", ist nicht substantiiert. Insbesondere ist in keiner Weise ersichtlich, dass die Fallpauschale, eine durchaus verbreitete Form tarifvertraglicher Leistungsabgeltung (vgl. <ref-law>), im Falle der Beschwerdeführerin dazu geführt hätte, dass nicht allen invaliditätsrechtlich erheblichen gesundheitlichen Beeinträchtigungen nachgegangen worden wäre. Die Vorbringen im Zusammenhang mit der posttraumatischen Belastungsstörung (PTBS) lassen ausser Acht, dass dazugehörende Erscheinungen wie Flashbacks zufolge frühzeitiger und erfolgreicher Behandlung nur noch selten auftreten (so schon der Bericht der Klinik B._ vom 21. Juli 2005, wo die Beschwerdeführerin vom 5. bis 15. Juli 2005 zwecks Rehabilitation hospitalisiert gewesen war). Deswegen ist nicht einzusehen, inwiefern die Versicherte dadurch in ihrer Arbeitsfähigkeit beeinträchtigt wäre. Die Einwendungen gegen die Annahme der Gutachter des Instituts Y._, die Schmerzverarbeitungsstörung habe schon vor dem im Sommer 2005 erlittenen Unfall bestanden, sind invaliditätsrechtlich unerheblich. Nachdem eine leichte Intelligenzminderung und gewisse neuropsychologische Einbussen bestätigt und nicht in Frage zu stellen sind, besteht kein Anlass zu einer weiteren testpsychologischen Abklärung. Insgesamt ist festzustellen, dass die Angaben des Instituts Y._ zur gesundheitlichen Situation (Diagnosen eines chronischen thorakolumbovertebralen Schmerzsyndroms ohne radikuläre Symptomatik sowie einer Anpassungsstörung [Angst und depressive Reaktion gemischt]) und seine Stellungnahmen zur Arbeitsunfähigkeit (Arbeitsfähigkeit von 80 Prozent für leichte Tätigkeiten bei ganztägiger Präsenz und etwas reduziertem Rendement aufgrund eines erhöhten Pausenbedarfs) sich schlüssig in das Bild einfügen, welches die weiteren bei den Akten liegenden Berichte der behandelnden Ärzte und stationären Einrichtungen zeichnen. So wird im Bericht der Schmerzklinik D._ vom 17. Januar 2007 zwar nicht abschliessend zur Arbeitsunfähigkeit Stellung bezogen, aber eine grundsätzlich günstige Prognose ausgesprochen, was durch den Austrittsbericht der Klinik C._, vom 28. August 2008 bestätigt wird (erhaltene Introspektionsfähigkeit, Veränderungsbereitschaft, Schmerzsymptomatik rückt in den Hintergrund u.a.m.). Im Rahmen der am 1. Juli 2008 erfolgten Arbeitsvermittlung hatte sich die Beschwerdeführerin demgegenüber noch auf starke Rückenschmerzen berufen, welche ihr einen weitergehenden Einsatz als die seit dem 2. Juni 2008 als Mitarbeiterin der Werkgemeinschaft der Stiftung E._ geleisteten anderthalb bis zwei Stunden pro Tag verunmöglichen würden. Soweit in den medizinischen Unterlagen Differenzen bestehen, lassen sie sich durch die Verschiedenheit von Behandlungs- und Begutachtungsauftrag (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4 S. 175; Urteile 9C_24/2008 vom 27. Mai 2008 E. 2.3.2, I 701/05 vom 5. Januar 2007 E. 2 in fine und I 506/00 vom 13. Juni 2001 E. 2b) zwanglos erklären. Die (auch neuropsychologisch) erhobenen Befunde und Beeinträchtigungen (vgl. dazu insbesondere den Bericht der Schmerzklinik D._ vom 12. Februar 2007, wonach der Beschwerdeführerin im Einzelnen erklärt worden war, dass ihre Ängste vor einer Schädigung des Rückens unbegründet sind) hindern die Beschwerdeführerin nicht daran, eine einfache, sie körperlich und mental nicht belastende Hilfsarbeit wiederaufzunehmen, wie das kantonale Gericht nach pflichtgemässer Beweiswürdigung des gesamten umfangreichen medizinischen Dossiers weder qualifiziert unrichtig noch rechtsverletzend (oben E. 1) festgestellt hat. Damit entfällt ein Rentenanspruch.
6. Insgesamt enthält die Beschwerde nichts, was auf Bundesrechtswidrigkeit des angefochtenen Entscheides schliessen liesse. Die Beschwerde ist unbegründet und kostenfällig abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. September 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub