Nach Einsicht
in die zunächst als Verfassungsbeschwerde, dann (in Anbetracht des in der Hauptsache Fr. 30'000.-- übersteigenden Streitwertes: <ref-law>) als Beschwerde nach Art. 72ff. BGG entgegengenommene Eingabe gegen den Beschluss vom 6. April 2009 des Kantonsgerichts Schwyz, das auf eine Nichtigkeitsbeschwerde des Beschwerdeführers gegen die (nach rechtskräftiger Gutheissung eines Kautionsbegehrens der Beschwerdegegnerin im Lastenbereinigungsverfahren und nach - ebenso rechtskräftiger - Abweisung eines Armenrechtsgesuchs des Beschwerdeführers erfolgte) Aufforderung zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 5'000.-- nicht eingetreten ist,
in die - das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abweisende - Verfügung des Bundesgerichts vom 7. Mai 2009 samt Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 700.--,
in die Bestätigung der Bundesgerichtskasse, wonach der Kostenvorschuss fristgerecht geleistet worden ist,

in Erwägung,
dass das Kantonsgericht seinen Nichteintretensentscheid vom 6. April 2009 mit den Erwägungen begründete, die rechtskräftige Bewilligung des Kautionsbegehrens könne vor Kantonsgericht ebenso wenig angefochten werden wie die rechtskräftige Abweisung des Armenrechtsgesuchs, gegen die Kautionsverfügung stehe (entsprechend dem Rechtsmittel gegen Gerichtskostenvorschussverfügungen) nur die subsidiäre Nichtigkeitsbeschwerde offen, trotz (mit einlässlicher Rechtsmittelbelehrung versehener) Aufforderung zur Verbesserung weise der Beschwerdeführer auch in seiner weiteren Eingabe keinen Nichtigkeitsgrund im Sinne <ref-law>/SZ nach und lege auch nicht dar, weshalb ihm (als Voraussetzung für die selbstständige Anfechtung von prozessleitenden Verfügungen) ein schwer wieder gutzumachender Nachteil drohen würde oder inwiefern (durch die Zulassung der Beschwerde) ein wesentlicher Zeit- oder Kostenaufwand für ein weitläufiges Verfahren erspart werden könnte (<ref-law>/SZ), schliesslich seien die neuen Beschwerdevorbringen, die auf neuen Akten beruhten, ohnehin unzulässig,
dass die Beschwerde nach Art. 72ff. BGG nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (<ref-law>), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen, 133 IV 286 E. 1.4 S. 287f.),
dass sich der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise mit den einlässlichen kantonsgerichtlichen Erwägungen auseinandersetzt,
dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand dieser Erwägungen klar und detailliert aufzeigt, inwiefern der Beschluss des Kantonsgerichts vom 6. April 2009 rechts- oder verfassungswidrig sein soll, zumal der Verweis auf kantonale Eingaben zum Vornherein unbeachtlich ist, weil die Beschwerdeschrift selbst die nach Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG vorausgesetzte Begründung zu enthalten hat,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Mai 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann