Sachverhalt:
A.
Die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich entschied mit Verfügung vom 17. Oktober 2013 über den "Umfang der Mitfinanzierung von ausserkantonalen Wahlbehandlungen" und beschränkte dabei ab 1. Oktober 2013 die Finanzierungsbeiträge des Kantons Zürich für Zürcher Patienten der im Kanton Thurgau gelegenen Klinik A._. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. Oktober 2013 fest.
B.
Dagegen erhob die Klinik A._ am 31. Oktober 2013 Beschwerde, worauf das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 2. Dezember 2013 unter Verweis auf fehlende sachliche Zuständigkeit nicht eingetreten ist.
C.
Die Klinik A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 2. Dezember 2013 sei aufzuheben und das kantonale Gericht sei anzuweisen, die Beschwerde vom 31. Oktober 2013 zu behandeln bzw. innert nützlicher Frist einen Entscheid in der Sache zu fällen und der Beschwerdeführerin zu eröffnen.
Der Kanton Zürich schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft in Bezug auf das vorinstanzliche Verfahren die Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Urteil 9C_135/2013 23. Dezember 2013 E. 4, zur Publikation vorgesehen; <ref-ruling> E. 2 S. 9).
2.
Die Vorinstanz hat ihre Zuständigkeit verneint mit der Begründung, ein konkreter Anwendungsfall falle zwar in den Anwendungsbereich des ATSG (SR 830.1) und somit in die Zuständigkeit des Sozialversicherungsgerichts. Die Gesundheitsdirektion habe denn auch im angefochtenen Entscheid explizit festgehalten, dass sie in jedem Einzelfall berechtigt und verpflichtet sei, die Leistungsvoraussetzungen gemäss KVG materiell zu prüfen. Hier jedoch werde der Beschwerdeführerin als Leistungserbringerin die künftig geltende Praxis bei der Handhabung von Gesuchen um Kostengutsprache für Wahlbehandlungen von Zürcher Patientinnen und Patienten angekündigt. Eine solche Anordnung einer Direktion sei nach § 19a in Verbindung mit § 19b Abs. 2 lit a des Zürcherischen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG; ZH-Lex 175.2) mittels Rekurs beim Regierungsrat anfechtbar.
3.
3.1.
3.1.1. Gegen Einspracheentscheide oder Verfügungen, gegen welche eine Einsprache ausgeschlossen ist, kann Beschwerde erhoben werden (<ref-law>). Nach <ref-law> ist das kantonale Sozialversicherungsgericht - mithin die Vorinstanz (§ 2 des Zürcherischen Gesetzes vom 7. März 1993 über das Sozialversicherungsgericht [GSVGer; ZH-Lex 212.81]) - zuständig für die Beurteilung von Beschwerden aus dem Bereich der Sozialversicherung.
Gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> sind die Bestimmungen des ATSG auf die Krankenversicherung anwendbar, soweit das KVG nicht ausdrücklich eine Abweichung davon vorsieht. Sie finden u.a. im Bereich Tarife, Preise und Globalbudget (Art. 43-55 KVG) keine Anwendung (<ref-law>).
3.1.2. Die Vorinstanz hat zutreffend erkannt, dass es hier nicht um einen Anspruch aufgrund eines konkreten Leistungsfalles, sondern um die künftige Praxis des Kantons bei der Anerkennung von Forderungen der Beschwerdeführerin geht. Die Verfügung vom 17. Oktober 2013 und der Einspracheentscheid vom 28. Oktober 2013 betreffen die Grundsätze für die auf <ref-law> basierende Abgeltung der stationären Leistungen durch den Kanton. Daran ändert nichts, dass diese Norm in konkreten Fällen in Verbindung mit Art. 41 Abs. 1 bis KVG (und weiteren Bestimmungen; vgl. <ref-law>) zum Tragen kommt. Der Anspruch eines Leistungserbringers gegen den Kanton (vgl. <ref-law>) auf anteilmässige Vergütung der stationären Behandlung lässt sich aus Art. 41 Abs. 1 bis KVG nicht abstrakt, sondern nur anhand eines konkreten Falles ableiten. Zudem ist ein Anspruch auf Erteilung von Kostengutsprachen (in bestimmter Anzahl) im KVG ohnehin nicht vorgesehen, und eine solche ist für die Leistungspflicht des Kantons auch nicht vorausgesetzt. Somit ist auch die von der Beschwerdeführerin angerufene Rechtsprechung von <ref-ruling> E. 3a S. 315 hier nicht einschlägig, ging es doch dort - anders als hier - um einen konkreten Leistungsanspruch (ebenso <ref-ruling> E. 3b/bb S. 297; vgl. auch etwa SVR 2011 KV Nr. 4 S. 17, 9C_835/2010).
Damit handelt es sich der Sache nach um eine Tarifstreitigkeit zwischen Leistungserbringerin und Kanton - auch wenn Patienten davon indirekt betroffen sein können. Darauf sind die Bestimmungen des ATSG nach dem klaren Wortlaut von <ref-law> von vornherein nicht anwendbar. Das steht im Einklang mit dem Grundsatz, wonach das ATSG primär auf das Verhältnis Versicherte-Versicherer zugeschnitten ist, und mit <ref-law> diejenigen Bereiche vom Geltungsbereich des ATSG ausgenommen werden sollten, für welche das ATSG-Verfahren nicht geeignet ist (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 85 mit Hinweisen).
3.1.3. Bei diesem Ergebnis braucht nicht geprüft zu werden, ob die "Anordnung" der Gesundheitsdirektion überhaupt als Verfügung resp. Einspracheentscheid im Sinne von <ref-law> (SR 172.021) zu betrachten ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 391; Urteil 8C_666/2008 vom 2. Februar 2009 E. 3.2; vgl. auch HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl. 2010, S. 194 f. Rz. 859 f.), d.h. ob sie ein zulässiges Anfechtungsobjekt im Sinne von <ref-law> darstellt.
3.1.4. Nach dem Gesagten lässt sich eine Zuständigkeit für die Überprüfung des Einspracheentscheids vom 28. Oktober 2013 nicht aus Bundesrecht herleiten. Die Frage nach einer zuständigen Beschwerdeinstanz richtet sich ausschliesslich nach kantonalem Recht.
3.2.
3.2.1. Das Bundesgericht überprüft die Auslegung und Anwendung kantonalen und kommunalen Rechts nur auf Willkür (<ref-law>) hin. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 1.2 S. 177; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f.; je mit Hinweisen; Urteil 1C_426/2012 vom 26. März 2013 E. 2.4). Mit freier Kognition beurteilt es indessen die Frage, ob die als vertretbar erkannte Auslegung des kantonalen Prozessrechts mit den Garantien der <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK vereinbar ist (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 338; Urteil 8C_701/2012 vom 15. Januar 2013 E. 2).
Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht, <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde substanziiert vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
3.2.2. Dass die Vorinstanz bei der Verneinung ihrer Zuständigkeit kantonales Recht willkürlich ausgelegt oder angewendet haben soll, ist nicht ersichtlich und wird von der Beschwerdeführerin auch nicht ansatzweise vorgebracht. Auf die Rüge einer Verletzung des Anspruchs auf das gesetzlich geschaffene und zuständige Gericht (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK) ist daher nicht weiter einzugehen.
3.3. Sodann sind für dieses Verfahren sämtliche Ausführungen materieller Natur ohne Belang, geht es doch hier ausschliesslich um die Frage, ob das kantonale Gericht durch sein Nichteintreten Bundesrecht verletzt hat (vgl. <ref-law>). Die Beschwerde ist unbegründet.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Februar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann