<ref-law> (Rechtsöffnung), hat sich ergeben:
A.- Am 1. November 2000 stellte die Bank X._ das Begehren, es sei ihr definitive Rechtsöffnung zu erteilen in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes Zürich 1 (Arrest Nr. ...; Zahlungsbefehl vom 25. August 2000) für
Fr. 9'188'000.-- nebst Zins zu 5% seit 9. November 1984,
Fr. 7'508'000.-- nebst Zins zu 5% seit 1. März 1985,
Fr. 95'850.-- nebst Zins zu 5% seit 22. August 2000.
Die Bank X._ stützte ihr Rechtsöffnungsbegehren auf das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. März 1998 (bestätigt durch das Urteil [5C. 109/1998] des Bundesgerichts vom 14. August 2000), das in Dispositiv- Ziff. 1 wie folgt lautet:
"Der Beklagte 1 [G._] wird verpflichtet, der
Klägerin [Bank X._] Zug um Zug gegen die Herausgabe
der von ihr als Pfand gehaltenen Aktien der
G._ Investment AG und der D._ Ltd.
US$ 8'000'000.-- zuzüglich 5% Zins ab 9. November
1984 sowie Fr. 7'508'000.-- zuzüglich 5% Zins ab
1. März 1985 zu bezahlen.. "
Weiter berief sich die Bank X._ auf die Dispositiv-Ziff.
3 und 6, in denen G._ zur Zahlung von Prozessentschädigungen von insgesamt Fr. 95'850.-- verpflichtet wird.
B.- Mit Verfügung vom 21. Februar 2001 hiess die Einzelrichterin im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Zürich das Rechtsöffnungsbegehren der Bank X._ teilweise gut; im Umfang der (verarrestierten) Forderung von Fr. 9'188'000.-- nebst Zins, d.h. für die in Schweizer Franken betriebene Forderung von 8 Mio. US$, wies sie das Begehren ab. Hiergegen erhob die Bank X._ kantonale Nichtigkeitsbeschwerde und machte im Wesentlichen geltend, die Voraussetzungen für die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung seien auch in Bezug auf die Forderung von Fr. 9'188'000.-- nebst Zins gestützt auf Dispositiv-Ziff. 1 des Urteils vom 13. März 1998 gegeben. Mit Erledigungsbeschluss vom 22. Juni 2001 wies das Obergericht (III. Zivilkammer) des Kantons Zürich die Nichtigkeitsbeschwerde ab.
C.- Mit Eingabe vom 17. Juli 2001 und (ergänzend) vom 17. August 2001 führt die Bank X._ staatsrechtliche Beschwerde und beantragt dem Bundesgericht, der Erledigungsbeschluss des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die kantonale Instanz zurückzuweisen.
Weiter ersucht sie, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
G._ und das Obergericht haben zum Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht Stellung genommen. Mit Verfügung vom 23. August 2001 hat der Präsident der II. Zivilabteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Letztinstanzliche kantonale Entscheide in Rechtsöffnungssachen können nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden (<ref-ruling> E. 1a S. 257).
b) Die vorliegende Beschwerde richtet sich gegen einen im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde ergangenen Entscheid des Zürcher Obergerichts. Der angefochtene Entscheid ist kantonal letztinstanzlich im Sinne von Art. 86 Abs. 1 OG (vgl. <ref-law>/ZH; Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 16 zu § 272, N. 2 zu <ref-law>/ZH); die staatsrechtliche Beschwerde ist insoweit zulässig.
c) Das Obergericht hatte den Entscheid des Rechtsöffnungsrichters in Bezug auf die Anwendung des materiellen Rechts nur auf grobe Verstösse und Irrtümer, mithin mit beschränkter Kognition zu überprüfen (vgl. <ref-law>/ZH; Frank/Sträuli/Messmer, a.a.O., N. 51 zu <ref-law>/ZH). Unter diesen Umständen prüft das Bundesgericht im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde wegen Verletzung von <ref-law> praxisgemäss frei, ob die letzte kantonale Instanz die Verletzung klaren materiellen Rechts zu Unrecht verneint hat (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1a/cc).
2.- a) Die Einzelrichterin am Bezirksgericht hat erwogen, die Dispositiv-Ziff. 1 des Urteils vom 13. März 1998 erwähne "Aktien" und es sei nicht klar, ob die im Zusammenhang mit der Verpfändung der Aktien ausgehändigten Blankozessionsurkunden von der Herausgabepflicht auch erfasst sind; sodann habe die Beschwerdeführerin am 22. August 2000 beim Betreibungsamt Zürich 1 lediglich Aktienzertifikate hinterlegt.
Der Beschwerdegegner stelle sich zudem auf den Standpunkt, die Beschwerdeführerin habe ihm die sich in ihrem Pfandbesitz befindlichen Inhaberaktien zu übergeben bzw. die ihr als Pfand übertragenen Namenaktien rechtsgeschäftlich auf ihn zu übertragen, während die Beschwerdeführerin die Pflicht zur Übertragung irgendwelcher Rechte verneine. Die Einzelrichterin ist zum Schluss gekommen, dass sich die von der Beschwerdeführerin zu erbringende Gegenleistung nicht liquid aus dem zu vollstreckenden Urteil ergebe und sich die Parteien offensichtlich uneinig über den konkreten Gegenstand der von der Beschwerdeführerin geschuldeten Gegenleistung seien. Das Urteil vom 13. März 1998 stelle daher für die von einer Gegenleistung abhängige Forderung der Beschwerdeführerin keinen vollstreckbaren Titel dar.
b) Das Obergericht hat die Nichtigkeitsbeschwerde abgewiesen und damit die (teilweise) Verweigerung der definitiven Rechtsöffnung im Ergebnis geschützt, ohne auf die erstinstanzlichen Erwägungen einzugehen. Zur Begründung hat es ausgeführt, dass das Urteil vom 13. März 1998 auf Leistung Zug um Zug dann ein definitiver Rechtsöffnungstitel auch für Fr. 9'188'000.-- sei, wenn der betreibende Gläubiger zweifelsfrei den Nachweis erbringe, seiner Leistungspflicht nachgekommen zu sein, oder wenn er zumindest die eigene Leistung anbiete. Die Beschwerdeführerin habe nicht behauptet, dem Beschwerdegegner nach Erlass des Urteils Erfüllung angeboten zu haben, und die Hinterlegung der Aktien durch die Beschwerdeführerin beim Betreibungsamt stelle kein gehöriges Leistungsangebot gegenüber dem Beschwerdegegner dar.
3.- Die Beschwerdeführerin rügt, es sei überspitzt formalistisch und sachlich nicht gerechtfertigt (vgl. Art. 9 und Art. 29 Abs. 1 BV), wenn das Obergericht verlangt, dass sie ihre Gegenleistung zur Vollstreckung des Urteils vom 13. März 1998 nochmals anzubieten habe. Dieser Einwand ist unbehelflich.
Gemäss Dispositiv-Ziff. 1 des Urteils vom 13. März 1998 kann die Beschwerdeführerin die ihr zugesprochene Geldsumme von 8 Mio. US$ (bzw. Fr. 9'188'000.--) nicht fordern, ohne Zug um Zug die von ihr als Pfand gehaltenen Aktien herauszugeben.
Mit dem Urteil, das sie vollstrecken will, wurde ihre Klage nicht vorbehaltlos gutgeheissen, sondern in dem Sinne geschützt, dass der Beschwerdegegner zur Leistung von 8 Mio.
US$ Zug um Zug, d.h. zu einer aufschiebend bedingten Verpflichtung verurteilt wurde (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 200, m.H.). Folglich liegt die - von Amtes wegen zu prüfende - Vollstreckbarkeit des Urteils erst vor, wenn feststeht, dass die im Urteil vorgesehene Bedingung, d.h. die Herausgabe der als Pfand gehaltenen Aktien, eingetreten ist.
Im Weiteren ist dem Rechtsöffnungsrichter verwehrt, das ihm vorgelegte Urteil auf seine materielle Richtigkeit hin zu prüfen oder ein unvollständiges Urteil zu ergänzen oder unklare Stellen auszulegen (<ref-ruling> E. 3a S. 503, m.H.; Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, N. 21 zu Art. 80, N. 31 u. 32 zu <ref-law>). Die Beschwerdeführerin macht daher vergeblich geltend, das Obergericht habe zu Unrecht ausser Acht gelassen, dass die Verpflichtung zur Leistung Zug um Zug im Urteil vom 13. März 1998 falsch sei, sondern eine Verurteilung des Beschwerdegegners zur unbedingten Leistung von 8 Mio. US$ (bzw. Fr. 9'188'000.--) richtig wäre. Insoweit legt die Beschwerdeführerin mit ihren Vorbringen nicht dar, inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt worden seien (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
4.-Die Beschwerdeführerin bringt sodann vor, mit der Zustellung des Zahlungsbefehls bzw. des beigehefteten Anhangs an den Beschwerdegegner sei dieser orientiert worden, dass die fraglichen Aktien beim Betreibungsamt Zürich 1 hinterlegt seien; damit habe der Beschwerdegegner gewusst, dass er die Aktien dort in Empfang nehmen konnte. Diese Hinterlegung stelle ein hinreichendes Angebot (Realoblation) der von ihr (der Beschwerdeführerin) zu erbringenden Gegenleistung dar.
Daher habe das Obergericht die Vollstreckbarkeit des definitiven Rechtsöffnungstitels zu Unrecht verneint. Diese Vorbringen gehen fehl.
a) Ist ein Urteil auf Leistung Zug um Zug ergangen, kann ein zweites Verfahren hinsichtlich der ordnungsgemässen Bewirkung der festgelegten klägerischen Leistung notwendig werden (<ref-ruling> E. 4c S. 270; Weber, Berner Kommentar, N. 225 zu <ref-law>; Vogel/Spühler, Grundriss des Zivilprozessrechts,
7. Aufl. 2001, 15. Kap. Rz. 47; vgl. <ref-law>/ZH; ZR 84/1985 Nrn. 69 u. 87). Wenn der Gläubiger die definitive Rechtsöffnung verlangt, kann er in der Regel nur anhand dieses zweiten Entscheides den Nachweis erbringen, dass er seiner eigenen Leistungspflicht nachgekommen ist (BGE 67 III 116 S. 118; 58 II 411 E. 1 S. 417, m.H.; vgl. <ref-ruling> S. 75). Denn ein Urteil auf Leistung Zug um Zug als bedingtes Urteil ist nur dann ein definitiver Rechtsöffnungstitel im Sinne von <ref-law>, wenn der betreibende Gläubiger zweifelsfrei den Nachweis erbringt, seiner Pflicht zur Gegenleistung nachgekommen zu sein; das Rechtsöffnungsverfahren ist nicht der Ort, die Leistungserbringung durch den Gläubiger eingehend abzuklären (Weber, a.a.O., N. 233 zu <ref-law>). Der Gläubiger braucht für die Rechtsöffnung die eigene Leistungserbringung allerdings nicht durch den Richter feststellen zu lassen, wenn der Eintritt dieser Bedingung notorisch oder unbestritten ist (Gilliéron, a.a.O., N. 32-34 zu <ref-law>, m.H.).
b) Die Beschwerdeführerin kann gestützt auf das Urteil vom 13. März 1998 gemäss Dispositiv-Ziff. 1 die ihr zugesprochene Geldsumme von 8 Mio. US$ (bzw. Fr. 9'188'000.--) nicht fordern, ohne gleichzeitig ihre eigene Leistung, die Herausgabe der von ihr als Pfand gehaltenen Aktien, ordnungsgemäss anzubieten. Dass die Beschwerdeführerin einen gerichtlichen Entscheid zum Nachweis vorgelegt habe, dass sie ihrer eigenen Leistungspflicht gemäss Urteil vom 13. März 1998 nachgekommen ist, geht aus dem angefochtenen Entscheid nicht hervor und hat sie im Übrigen selber nicht behauptet.
Das Argument der Beschwerdeführerin, mit der blossen Beilage zum Zahlungsbefehl und der gleichzeitigen Hinterlegung der Aktien habe sie dem Rechtsöffnungsrichter nachweisen können, dass die im Urteil enthaltene Bedingung zur Vollstreckbarkeit erfüllt ist, geht fehl, denn es ist allein schon strittig, ob die dem Beschwerdegegner zustehende Gegenleistung betreffend Gegenstand ordnungsgemäss erbracht worden ist (vgl. E. 2a hiervor). Der Rechtsöffnungsrichter hätte demnach - was die umstrittene Frage der vollständigen und richtigen Erbringung der Gegenleistung betrifft - eine materielle Entscheidung treffen müssen, die über den Inhalt des als Rechtsöffnungstitel vorgelegten Urteils hinausgeht; dafür ist er indessen nicht zuständig (BGE 67 III 116 S. 118/119; vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 503). Da die inhaltlich ordnungsgemässe Erbringung der Gegenleistung der Beschwerdeführerin umstritten ist und die Frage im Rechtsöffnungsverfahren nicht entschieden werden kann, ist die materiellrechtliche Auffassung des Obergerichts, die Hinterlegung der Aktien beim Betreibungsamt stelle kein gehöriges Leistungsangebot der Beschwerdeführerin dar, daher ohne Belang; insofern können auch die materiellrechtlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin zur gehörigen Erbringung ihrer Gegenleistung im vorliegenden Verfahren nicht gehört werden. Wenn vor diesem Hintergrund das Obergericht zum Ergebnis gelangt ist, der Rechtsöffnungsrichter habe für die gestützt auf Dispositiv-Ziff. 1 des Urteils vom 13. März 1998 in Betreibung gesetzte Forderung (8 Mio. US$ bzw. Fr. 9'188'000.--) zu Recht die definitive Rechtsöffnung verweigert, kann von Willkür (<ref-law>) nicht die Rede sein (<ref-ruling> E. 2b S. 56).
5.- Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG sowie Art. 153 u. Art. 153a OG i.V.m. Ziff. 3 des Tarifs für die Gerichtsgebühren im Verfahren vor Bundesgericht; SR 173. 118.1). Eine Parteientschädigung schuldet sie jedoch nicht, da auf die Einholung einer Beschwerdeantwort verzichtet worden ist und dem Beschwerdegegner keine Kosten entstanden sind (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 20'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (III. Zivilkammer) des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 27. November 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: