Sachverhalt:
A.
Am 29. Mai 2013 sprach das Bezirksgericht Zurzach A._ der einfachen Körperverletzung, mehrfacher Drohungen, mehrfacher Hausfriedensbrüche, mehrfacher Sachbeschädigungen, mehrfacher Beschimpfungen, der Tätlichkeit, des Ungehorsams im Betreibungs- und Konkursverfahren, der Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittel-, das Strassenverkehrs-, das Ausländer- und das Umweltgesetz sowie der Widerhandlung gegen das kantonale Baugesetz schuldig und verurteilte ihn zu 12 Monaten Freiheitsstrafe, einer Geldstrafe von Fr. 5'400.-- und einer Busse von Fr. 2'000.--. Der Vollzug der Freiheitsstrafe wurde zugunsten einer stationären therapeutischen Massnahme (Art. 59 StGB) aufgeschoben. Zudem widerrief das Bezirksgericht den bedingten Vollzug betreffend zwei früher ausgefällte Geldstrafen. Die vom Beschuldigten am 31. Oktober 2013 gegen dieses Urteil erklärte Berufung ist noch beim Obergericht des Kantons Aargau hängig.
B.
Der Beschuldigte befindet sich seit 6. Januar 2012 in strafprozessualer Haft. Am 27. September 2012 bewilligte die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm den vorzeitigen Massnahmenvollzug. Am 3. August 2014 reichte der Beschuldigte (zuletzt) ein Haftentlassungsgesuch beim Obergericht ein. Mit Verfügung vom 19. August 2014 wies das Obergericht (Strafgericht, 1. Kammer, Verfahrensleiter) das Haftentlassungsgesuch ab.
C.
Gegen den Haftprüfungsentscheid des Obergerichtes gelangte der amtliche Verteidiger des Beschuldigten mit Beschwerde vom 20. August 2014 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die sofortige Haftentlassung des Beschwerdeführers. Am 24. August (Postaufgabe: 26. August) 2014 reichte der Beschwerdeführer in gleicher Sache auch noch eine eigene Beschwerdeeingabe beim Bundesgericht ein. Auch darin beantragt er sinngemäss seine Haftentlassung.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft verzichteten am 22. August (Posteingang: 28. August) bzw. 25. August 2014 je ausdrücklich auf Vernehmlassungen. Die Laieneingabe vom 24. August 2014 wurde ihnen zur Kenntnisnahme zugestellt. Der Beschwerdeführer und sein amtlicher Verteidiger erhielten Gelegenheit zu einer (fakultativen) weiteren Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 78 ff. BGG sind grundsätzlich erfüllt und geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer bringt Folgendes vor: Er befinde sich seit zwei Jahren und acht Monaten in strafprozessualer Haft. Erstinstanzlich sei er zu 12 Monaten Freiheitsstrafe verurteilt worden. Die Staatsanwaltschaft habe keine Anschlussberufung erhoben. Die ausgefällte (und berufungsweise angefochtene) Freiheitsstrafe habe er daher längst, nämlich seit einem Jahr und acht Monaten, durch anrechenbare strafprozessuale Haft verbüsst. Zwar habe das Bezirksgericht den Vollzug der Freiheitsstrafe zugunsten einer stationären therapeutischen Massnahme aufgeschoben. Dagegen habe er jedoch (am 31. Oktober 2013) ebenfalls Berufung beim Obergericht eingereicht. Das Berufungsurteil stehe noch aus. Ausserdem werde ihm seit zwei Jahren der provisorische Massnahmenantritt verweigert. Obwohl die Staatsanwaltschaft sein Gesuch um vorzeitigen Massnahmenvollzug am 27. September 2012 bewilligt habe, sei er bis heute im Sicherheitstrakt des Zentralgefängnisses Lenzburg inhaftiert geblieben. Eine therapeutische Massnahme sei nie tatsächlich begonnen worden, der ihm in Aussicht gestellte Eintritt in eine therapeutische Massnahmeeinrichtung bisher nicht erfolgt. Das Bundesgericht habe die kantonalen Instanzen schon mit Urteil 1B_141/2014 vom 7. Mai 2014 angemahnt, ihm (dem Beschwerdeführer) einen geeigneten Therapieplatz bereitzustellen. Dennoch hätten die kantonalen Behörden diesbezüglich nichts unternommen. Am 11. August 2014 habe er im vorinstanzlichen Haftprüfungsverfahren beantragt, es sei ein Bericht des kantonalen Amtes für Justizvollzug zum Stand der Bemühungen einzuholen. Das Obergericht habe den Antrag unbeachtet gelassen. Im angefochtenen Haftprüfungsentscheid vom 19. August 2014 begnüge sich die Vorinstanz mit der Bemerkung, die Abklärungen des Amtes für Justizvollzug seien "offensichtlich noch nicht abgeschlossen", und entsprechende Berichte oder Stellungnahmen seien dem Obergericht nicht zugegangen. Nach Zustellung des angefochtenen Entscheides habe sich das Amt für Justizvollzug veranlasst gesehen, von sich aus einen auf 18. August 2014 datierten Bericht einzureichen. Laut diesem Bericht sei der vom Bundesgericht am 7. Mai 2014 erteilte Auftrag, einen geeigneten Therapieplatz bereitzustellen, "definitiv aussichtslos". Da keine geeignete Massnahmeneinrichtung zur Verfügung stehe, sei der strafprozessuale Freiheitsentzug (gemäss Art. 56 Abs. 5-6 StGB) auch unter dem Titel des provisorischen Massnahmenvollzuges aufzuheben. Bei dieser Sachlage erweise sich die Fortdauer der Haft als unverhältnismässig und bundesrechtswidrig. Insbesondere sei Art. 212 Abs. 2 StPO verletzt.
3.
3.1. Die Verfahrensleitung kann der beschuldigten Person bewilligen, Freiheitsstrafen oder freiheitsentziehende Massnahmen sofort anzutreten, sofern der Stand des Verfahrens es erlaubt (Art. 236 Abs. 1 StPO). Sobald die Voraussetzungen der strafprozessualen Haft, insbesondere in Form des vorzeitigen Massnahmenvollzuges, nicht mehr erfüllt sind oder die zulässige Haftdauer abgelaufen ist, muss die freiheitsentziehende Zwangsmassnahme aufgehoben werden (Art. 212 Abs. 2 lit. a-b und Abs. 3 StPO). Das Gericht ordnet eine therapeutische Massnahme in der Regel nur an, wenn eine geeignete Einrichtung zur Verfügung steht (Art. 56 Abs. 5 StGB). Die therapeutischen Einrichtungen (im Sinne der Art. 59-61 StGB) sind vom Strafvollzug getrennt zu führen (Art. 58 Abs. 2 StGB). Die stationäre therapeutische Behandlung von psychischen Störungen erfolgt in einer geeigneten psychiatrischen Einrichtung oder einer Massnahmenvollzugseinrichtung (Art. 59 Abs. 2 StGB). Solange die Gefahr besteht, dass der Täter flieht oder weitere Straftaten begeht, wird er in einer geschlossenen Einrichtung behandelt. Er kann auch in einer Strafanstalt (nach Art. 76 Abs. 2 StGB) behandelt werden, sofern die nötige therapeutische Behandlung durch Fachpersonal gewährleistet ist (Art. 59 Abs. 3 StGB). Der mit der stationären Behandlung verbundene Freiheitsentzug beträgt in der Regel höchstens fünf Jahre (Art. 59 Abs. 4 Satz 1 StGB). Eine Massnahme, für welche die Voraussetzungen nicht mehr erfüllt sind, ist aufzuheben (Art. 56 Abs. 6 StGB).
3.2. Gemäss Art. 31 Abs. 3 BV und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich abgeurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Sie liegt dann vor, wenn die Haftfrist die mutmassliche Dauer der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion übersteigt (vgl. auch Art. 212 Abs. 3 StPO). Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer ist namentlich der Schwere der untersuchten Straftaten Rechnung zu tragen. Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 275; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170; 270 E. 3.4.2 S. 281; je mit Hinweisen). Nach der Praxis des Bundesgerichtes kann nicht ohne weiteres von der Höhe einer aufgeschobenen (schuldadäquaten) Freiheitsstrafe auf die voraussichtliche Dauer der gleichzeitig angeordneten freiheitsentziehenden Massnahme geschlossen werden (vgl. <ref-ruling> E. 5d S. 178). In Fällen wie dem vorliegenden ist die Fortdauer der strafprozessualen Haft verhältnismässig, wenn aufgrund der Aktenlage mit einer rechtskräftigen Verurteilung zu einer freiheitsentziehenden Massnahme ernsthaft zu rechnen ist, deren gesamter Vollzug deutlich länger dauern könnte als die bisherige strafprozessuale Haft (<ref-ruling> E. 5e S. 178; Urteile 1B_524/2011 vom 13. Oktober 2011 E. 3.1; 1B_281/2009 vom 19. Oktober 2009 E. 3.1-3.2; 1B_165/2009 vom 30. Juni 2009 E. 4.3-4.4). Im Weiteren kann eine Haft die bundesrechtskonforme Dauer auch dann überschreiten, wenn das Strafverfahren nicht genügend vorangetrieben wird (vgl. Art. 31 Abs. 4 BV und Art. 5 Abs. 2 StPO). Eine Haftentlassung kommt allerdings nur bei besonders schwer wiegenden bzw. häufigen Versäumnissen in Frage, die erkennen lassen, dass die verantwortlichen Behörden nicht gewillt oder nicht in der Lage sind, dem Beschleunigungsgebot in Haftsachen Rechnung zu tragen. Die Frage, ob eine Haftdauer als übermässig bezeichnet werden muss, ist aufgrund der konkreten Verhältnisse des einzelnen Falles zu beurteilen. Eine Verletzung des Beschleunigungsgebotes ist im Dispositiv des Urteils festzustellen. Das Bundesgericht kann nötigenfalls prozessuale Anordnungen erlassen bzw. Fristen für ausstehende Verfahrenshandlungen ansetzen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 96; <ref-ruling> E. 2.3 S. 278; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170 f.; 270 E. 3.4.2 S. 281; <ref-ruling> E. 4.1 S. 27 f.; <ref-ruling> E. 4.4 S. 154; <ref-ruling> E. 5d S. 92 f.; Urteile 1B_41/2013 vom 27. Februar 2013, E. 3.7 und E. 4; 1B_165/2009 vom 30. Juni 2009 E. 5.3; je mit Hinweisen).
3.3. Der Massnahmenvollzug wurde im erstinstanzlichen Strafurteil auf unbestimmte Dauer angeordnet (vgl. Art. 59 Abs. 4 StGB). Die stationäre Behandlung von psychischen Störungen hat grundsätzlich in einer geeigneten psychiatrischen Einrichtung oder einer Massnahmevollzugseinrichtung zu erfolgen (Art. 59 Abs. 2 StGB). Zwar hat die Staatsanwaltschaft am 27. September 2012 den vorzeitigen Massnahmenantritt (Art. 236 StPO) bewilligt. Dieser wird jedoch unbestrittenermassen seit knapp zwei Jahren weiterhin (wie zuvor die U-Haft) im Sicherheitstrakt des Zentralgefängnisses Lenzburg provisorisch vollzogen. Die bisherige strafprozessuale Haftdauer (U-Haft und vorzeitiger Massnahmenvollzug) beträgt ca. 32 Monate. Nach den vorliegenden Akten kann nicht ausgeschlossen werden, dass sich (nach einer Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils im Berufungsverfahren) noch ein ordentlicher Massnahmenvollzug anschliessen könnte, mit der Folge, dass die Dauer des stationären Massnahmenvollzuges (vorzeitig und ordentlich) insgesamt bei ca. drei Jahren liegen könnte (zur voraussichtlichen Massnahmendauer vgl. auch konnexe Urteile des Bundesgerichtes 1B_141/2014 vom 7. Mai 2014 E. 2.2; 1B_585/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 2.4).
3.4. Weiter ist zu prüfen, ob Versäumnisse der kantonalen Behörden vorliegen, die (im Lichte der dargelegten Praxis) eine sofortige Haftentlassung oder andere richterliche Vorkehren zur Nachachtung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen erfordern:
3.4.1. Schon im konnexen Verfahren 1B_141/2014 hatten die kantonalen Instanzen geltend gemacht, es sei bisher nicht möglich gewesen, den am 27. September 2012 bewilligten vorzeitigen Massnahmenantritt in einer geeigneten therapeutischen Einrichtung zu vollziehen, da kein geeigneter Platz habe gefunden werden können. In seinem Urteil vom 7. Mai 2014 erwog das Bundesgericht dazu Folgendes: Bei den vom kantonalen Amt für Justizvollzug am 6. März 2014 dargelegten Schwierigkeiten einer Unterbringung (Platzprobleme, mangelhafte Deutschkenntnisse, geringe Motivation des Beschwerdeführers, mögliche Gefährdung von Drittpersonen) habe es sich um eine "Momentaufnahme" gehandelt. Bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Urteils werde sich das Amt für Justizvollzug "deshalb weiter um einen geeigneten Therapieplatz bemühen" müssen. Das Obergericht habe in dieser Hinsicht namentlich auf die "bisher offenbar noch nicht abgeklärte Möglichkeit der Unterbringung in der Klinik für Forensische Psychiatrie Rheinau oder in einer Strafanstalt (vgl. Art. 59 Abs. 3 StGB) " hingewiesen. Es dürfe "nicht leichthin" davon ausgegangen werden, dass die Durchführung einer Massnahme "aussichtslos" wäre oder eine geeignete Einrichtung nicht existiert. Nach Art. 377 Abs. 3 i.V.m. Art. 59 Abs. 2 StGB bestehe im Übrigen die "Pflicht der Kantone, die gesetzlich für den Massnahmenvollzug vorgesehenen Einrichtungen zu errichten und zu betreiben" (Urteil 1B_141/2014 vom 7. Mai 2014 E. 2.2).
3.4.2. Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haft fällt zunächst ins Gewicht, dass der vorzeitige Massnahmenvollzug hier nach wie vor in der Sicherheitsabteilung des Zentralgefängnisses Lenzburg erfolgt. Zudem ist der aufgeschobenen Freiheitsstrafe (von 12 Monaten) angemessen Rechnung zu tragen (vgl. Art. 212 Abs. 3 StPO) : Zwar darf ein Massnahmenvollzug (angesichts seiner gesetzlichen Zwecke) grundsätzlich länger dauern als die ersatzweise aufgeschobene schuldangemessene Freiheitsstrafe. Der stationäre Massnahmenvollzug muss aber (bei gesamthafter Betrachtung der konkreten Umstände des Einzelfalles) noch in einer vernünftigen zeitlichen Relation stehen zur aufgeschobenen Freiheitsstrafe. Im vorliegenden Fall hat der Beschwerdeführer die aufgeschobene Freiheitsstrafe von 12 Monaten bereits seit einem Jahr und acht Monaten durch anrechenbare strafprozessuale Haft verbüsst. Die Staatsanwaltschaft hat unbestrittenermassen keine Anschlussberufung (gegen die Höhe der Freiheitsstrafe) erhoben.
3.4.3. Es kommt hinzu, dass weder die Vorinstanz noch die Staatsanwaltschaft darlegen, inwiefern den Erwägungen im Bundesgerichtsurteil vom 7. Mai 2014 Rechnung getragen wurde, wonach für den Beschwerdeführer ein geeigneter Therapieplatz bereitzustellen ist (vgl. (Art. 212 Abs. 2 lit. a-b und Art. 236 StPO i.V.m. Art. 56 Abs. 5-6 StGB). Dieser hat am 11. August 2014 im vorinstanzlichen Haftprüfungsverfahren förmlich beantragt, es sei ein Bericht des kantonalen Amtes für Justizvollzug zum Stand dieser Bemühungen einzuholen. Im angefochtenen Entscheid vom 19. August 2014 wird dazu lediglich ausgeführt, es lägen keine "Berichte oder Stellungnahmen" des Amtes für Justizvollzug vor. Die behördlichen Abklärungen seien "offensichtlich noch nicht abgeschlossen". Das gelte auch für die vom Obergericht (in einer früheren Haftverfügung vom 26. März 2014) selber festgehaltenen Vorschläge betreffend Möglichkeiten einer therapeutischen Unterbringung (angefochtener Entscheid, S. 4 E. 3.2). Vor Bundesgericht hat der Beschwerdeführer einen Bericht vom 18. August 2014 des Amtes für Justizvollzugs eingereicht, der ihm am 20. August 2014 (unmittelbar nach Eröffnung des angefochtenen Entscheides) separat zugestellt wurde. Dort wird dargelegt, dass namentlich wegen "Wartelisten" oder Spezialisierungen der Massnahmeeinrichtungen bzw. mangels eines rechtskräftigen Massnahmenurteils nach wie vor keine Platzierung in einer geeigneten therapeutischen Einrichtung möglich gewesen sei. Weder das Obergericht noch die Staatsanwaltschaft haben sich zum Bericht des Amtes für Strafvollzug vernehmen lassen.
3.4.4. Ebenso wenig legt die Vorinstanz dar, weshalb das seit dem 31. Oktober 2013 hängige schriftliche Berufungsverfahren (mit Eingang der Berufungsbegründung am 14. Februar 2014) bisher noch nicht abgeschlossen werden konnte und wann das Berufungsurteil im vorliegenden dringenden Haftfall (Art. 5 Abs. 2 StPO, Art. 31 Abs. 4 BV) zu erwarten ist. Ein unbegründetes Hinauszögern des (laut obergerichtlicher Verfügung vom 22. November 2013 im schriftlichen Verfahren zu erlassenden) Berufungsurteils könnte in der vorliegenden Konstellation zu einer unnötigen Verlängerung der strafprozessualen Haft und sogar zu einer massiven Überhaft führen. Der zügige Abschluss des Berufungsverfahrens drängt sich hier umso mehr auf, als das kantonale Amt für Justizvollzug die nun schon lange anhaltenden Schwierigkeiten einer therapeutischen Unterbringung unter anderem damit begründet, dass "noch kein rechtskräftiges Urteil" vorliege.
3.5. Bei dieser Sachlage ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, und es ist festzustellen, dass das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt wurde. Zu dessen Nachachtung drängt sich im vorliegenden Fall folgende Anordnung auf (Art. 107 Abs. 2 Satz 1 BGG) : Die Vorinstanz hat entweder das hängige schriftliche Berufungsverfahren nunmehr zügig abzuschliessen und das kantonale Amt für Justizvollzug anzuweisen, einen geeigneten (vorläufigen) Therapieplatz für den Beschwerdeführer zeitnah bereitzustellen, oder aber unverzüglich dessen Haftentlassung anzuordnen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Laieneingabe des Beschwerdeführers enthält keine über das bereits Dargelegte hinausgehenden zulässigen bzw. substanziierten Rügen (vgl. Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG).
4.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen, und es ist festzustellen, dass die Vorinstanz das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt hat. Das Bundesgericht erlässt die in E. 3.5 erwähnte Verfahrensanordnung. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Gerichtskosten sind nicht zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Aargau hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer (antragsgemäss) eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 BGG). Der betreffende Honoraranspruch wird dem amtlichen Verteidiger persönlich zugesprochen (vgl. Art. 64 Abs. 2 Satz 2 BGG). Damit wird das (subsidiär gestellte) Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, und es wird festgestellt, dass die Vorinstanz das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt hat.
2.
Das Bundesgericht erlässt folgende Verfahrensanordnung: Die Vorinstanz hat entweder das hängige schriftliche Berufungsverfahren zügig abzuschliessen und das kantonale Amt für Justizvollzug anzuweisen, einen geeigneten vorläufigen Therapieplatz für den Beschwerdeführer bis 15. November 2014 bereitzustellen, oder aber unverzüglich dessen Haftentlassung anzuordnen.
3.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Der Kanton Aargau (Kasse des Obergerichtes) hat dem amtlichen Verteidiger des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Kenad Melunovic, eine Parteientschädigung von Fr. 1'800.-- (pauschal, inkl. MWST) zu entrichten.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, Verfahrensleiter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. September 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Forster