Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 12. Juni 2008 sprach das Geschworenengericht des Kantons Zürich X._ der versuchten vorsätzlichen Tötung (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, er sei von Schuld und Strafe freizusprechen. Eventualiter sei er wegen Verübung einer Tat in selbstverschuldeter Unzurechnungsfähigkeit (<ref-law>) zu verurteilen und angemessen zu bestrafen. Eventualiter sei er wegen (eventual-)vorsätzlicher Körperverletzung in Notwehrexzess zu verurteilen und angemessen zu bestrafen. Eventualiter sei er wegen versuchtem eventualvorsätzlichem Totschlag in Notwehrexzess zu verurteilen und angemessen zu bestrafen. Eventualiter sei er wegen versuchter eventualvorsätzlicher Tötung in Notwehrexzess zu verurteilen und milder zu bestrafen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung und Neufestsetzung des Strafmasses an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Ferner ersucht X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
C. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Geschworenengericht des Kantons Zürich haben auf Vernehmlassungen zur Beschwerde verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz geht von folgendem Sachverhalt aus:
Am Samstag, den 9. September 2006, weilten der Beschwerdeführer, Y._, Z._ und eine weitere (unbekannt gebliebene) Person in einem Park in Zürich und konsumierten eine grosse Menge Alkohol (angefochtenes Urteil S. 6 und S. 34).
Zwischen 20.30 Uhr und 21.30 Uhr kam es in der Nähe des Parks zu einer verbalen Auseinandersetzung zwischen dem Beschwerdeführer und Y._ (angefochtenes Urteil S. 6, S. 14 und S. 34). Dieser warf zuerst mit einer Baustellenlampe gegen den Beschwerdeführer und kam alsdann mit einem gelben "Molankegel" (auch "Leitkegel" oder "Verkehrshütchen" genannt) auf ihn zu und schlug ihn damit auf den Rücken (angefochtenes Urteil S. 46 ff.). Der Beschwerdeführer behändigte sein Taschenmesser der Marke "Victorinox" und stach Y._ mit der kürzeren der beiden Klingen (Klingenlänge von 4,1 Zentimeter) mit einer "aktiven Bewegung der Messerhand" in die Brust (angefochtenes Urteil S. 35 ff.), wobei er den Messerstich nicht gezielt führte, sondern beliebig in den Brustbereich stach. Das Opfer erlitt eine Stichverletzung von 1,5 Zentimeter Breite neben dem Brustbein beim sogenannten Schwertfortsatz und eine Verletzung des Herzbeutels. Es schwebte nicht in Lebensgefahr. Allerdings hätte bereits ein geringfügig abweichender bzw. geringfügig tieferer Stichkanal tödliche Folgen gehabt (angefochtenes Urteil S. 37 f. und S. 56).
Der Beschwerdeführer flüchtete, stellte sich aber am folgenden Tag der Polizei (angefochtenes Urteil S. 6). Eine Blutalkoholprobe wurde nicht (mehr) abgenommen.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz unterstelle ihm zu Unrecht eventualvorsätzliches Handeln zu einem Tötungsdelikt. Wer mit einem Messer mit einer rund vier Zentimeter langen Klinge ungezielt in den Oberkörper eines Menschen steche, nehme dessen Tod angesichts der nicht derart hohen Wahrscheinlichkeit des Todeseintritts nicht in Kauf. Dies gelte umso mehr, als dass das Tatmesser noch über eine ca. sieben Zentimeter lange Klinge verfüge, er sich aber bewusst dafür entschieden habe, die kürzere Klinge einzusetzen. Erfüllt sei (einzig) der Tatbestand der vorsätzlichen einfachen Körperverletzung (Beschwerde S. 8).
2.2 Die Vorinstanz hat erwogen, es habe nicht ermittelt werden können, welche der beiden Klingen der Beschwerdeführer verwendet habe. Da gemäss den Ausführungen des medizinischen Sachverständigen die Verletzungen von Y._ sowohl von der kürzeren als auch der längeren Klinge stammen könnten, sei zu Gunsten des Beschwerdeführers davon auszugehen, dass er die kürzere Klinge benutzt habe (angefochtenes Urteil S. 36 f.). Dass der Beschwerdeführer sich somit, wie er behauptet, bewusst für den Einsatz der kürzeren Klinge entschieden hat, hat die Vorinstanz nicht festgestellt.
Dieser Umstand - so hat die Vorinstanz weiter hervorgehoben - ändere aber nichts daran, dass sich dem Beschwerdeführer die Möglichkeit, dass der von ihm in die Brust von Y._ geführte Messerstich dessen Tod bewirken konnte, als derart wahrscheinlich habe aufdrängen müssen, dass er den Tod des Opfers in Kauf genommen habe (angefochtenes Urteil S. 40 und S. 44).
2.3 Vorsätzlich begeht ein Verbrechen oder Vergehen, wer die Tat mit Wissen und Willen ausführt (<ref-law>). Vorsätzlich handelt bereits, wer die Verwirklichung der Tat für möglich hält und in Kauf nimmt (<ref-law>).
Nach ständiger Rechtsprechung ist Eventualvorsatz gegeben, wenn der Täter den Eintritt des Erfolgs beziehungsweise die Tatbestandsverwirklichung für möglich hält, aber dennoch handelt, weil er den Erfolg für den Fall seines Eintritts in Kauf nimmt, sich mit ihm abfindet, mag er ihm auch unerwünscht sein. Für den Nachweis des Vorsatzes kann sich das Gericht - soweit der Täter nicht geständig ist - regelmässig nur auf äusserlich feststellbare Indizien und auf Erfahrungsregeln stützen, die ihm Rückschlüsse von den äusseren Umständen auf die innere Einstellung des Täters erlauben. Zu den äusseren Umständen, aus denen der Schluss gezogen werden kann, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen, zählt namentlich die Grösse des dem Täter bekannten Risikos der Tatbestandsverwirklichung und die Schwere der Sorgfaltspflichtverletzung. Je grösser dieses Risiko ist und je schwerer die Sorgfaltspflichtverletzung wiegt, desto eher darf gefolgert werden, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen (<ref-ruling> E. 3.2.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 8.2).
Was der Täter wusste, wollte und in Kauf nahm, betrifft sog. innere Tatsachen, ist damit Tatfrage und wird vom Bundesgericht nur auf Willkür überprüft. Rechtsfrage ist hingegen, ob im Lichte der festgestellten Tatsachen der Schluss auf Eventualvorsatz begründet ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 8.5).
2.4 Der Schluss der Vorinstanz auf ein eventualvorsätzliches Handeln des Beschwerdeführers verletzt kein Bundesrecht.
Die Sorgfaltspflichtverletzung des Beschwerdeführers wiegt nicht leicht, und bei einem Messerstich in den Brustbereich ist das Risiko der Tatbestandsverwirklichung, d.h. des Todes des Opfers, auch bei einer eher kurzen Messerklinge als hoch einzustufen. So hat die Vorinstanz denn auch unter Bezugnahme auf die rechtsmedizinischen Ergebnisse betont, dass bereits ein minim grösserer Stichkanal zum Tod des Opfers hätte führen können, der glimpfliche Ausgang damit einzig glücklicher Fügung zuzuschreiben sei (angefochtenes Urteil S. 58).
Daran ändert nichts Entscheidendes, dass der Beschwerdeführer den Messerstich nicht gezielt gegen das Herz von Y._ geführt, sondern beliebig in dessen Brust gestochen hat. Hätte er nämlich das Herz treffen wollen, läge ein direkter Vorsatz vor.
Insbesondere angesichts des hohen und dem Beschwerdeführer bekannten Risikos der Tatbestandsverwirklichung hat die Vorinstanz zusammenfassend zutreffend gefolgert, dass sich ihm bei seinem Messerstich die Möglichkeit tödlicher Verletzungen von Y._ als so wahrscheinlich aufdrängen musste, dass er mit seinem Handeln dessen Tod in Kauf nahm.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer stellt sich eventualiter auf den Standpunkt, die Vorinstanz habe den Tatbestand des Totschlags zu Unrecht als nicht erfüllt angesehen. Angesichts des Angriffs mit einer Baustellenlampe und einem Molankegel habe er sich in einer nicht selbstverschuldeten Stresssituation befunden und damit in einer entschuldbaren heftigen Gemütsbewegung gehandelt (Beschwerde S. 8 f.).
3.2 Die Vorinstanz hat demgegenüber ausgeführt, der Sachverhalt sei unter den Tatbestand der vorsätzlichen Tötung und nicht unter jenen des Totschlags zu subsumieren, denn es sei nicht dargetan, dass der Beschwerdeführer in einer nach den Umständen entschuldbaren heftigen Gemütsbewegung oder unter grosser seelischer Belastung agiert habe (angefochtenes Urteil S. 43 f.).
3.3 Gemäss <ref-law> wird wegen Totschlags verurteilt, wer vorsätzlich einen Menschen tötet und dabei in einer nach den Umständen entschuldbaren heftigen Gemütsbewegung oder unter grosser seelischer Belastung handelt.
Die heftige Gemütsbewegung stellt einen besonderen psychologischen Zustand dar, der nicht pathologisch begründet, sondern dadurch gekennzeichnet ist, dass der Täter von einer starken Gefühlserregung überwältigt wird, die in einem gewissen Grad seine Fähigkeit, die Situation einzuschätzen oder sich zu beherrschen, einschränkt. Typisch ist, dass der Täter mehr oder weniger unverzüglich auf ein Gefühl, das ihn plötzlich überwältigt, reagiert. Beispiele solcher Gefühle sind Jähzorn, Wut, Eifersucht, Verzweiflung, Angst oder Bestürzung. Mit der Privilegierung wird der Tatsache Rechnung getragen, dass der Täter aufgrund des emotionalen Erregungszustands im Moment der Tötungshandlung nur noch beschränkt in der Lage war, sein Verhalten zu kontrollieren (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2a; Günter Stratenwerth/Guido Jenny, Schweizerisches Strafrecht, BT I, 6. Aufl., 2003, § 1 N. 29; Christian Schwarzenegger, Basler Kommentar, Strafgesetzbuch II, 2. Aufl., 2007, <ref-law> N. 4).
Die heftige Gemütsbewegung muss überdies entschuldbar sein. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung setzt der Begriff der Entschuldbarkeit voraus, dass die heftige Gemütsbewegung und nicht etwa die Tat nach den sie auslösenden Umständen gerechtfertigt und die Tötung dadurch bei ethischer Beurteilung in einem wesentlich milderen Licht erscheint. Eine heftige Gemütsbewegung ist entschuldbar, wenn sie in Anbetracht der gesamten äusseren Umstände als menschlich verständlich erscheint. Es muss angenommen werden können, auch eine andere, anständig gesinnte Person wäre in der betreffenden Situation leicht in einen solchen Affekt geraten. Hat der Täter die Konfliktsituation, welche die Gemütsbewegung auslöste, selber verschuldet oder doch vorwiegend durch eigenes Verhalten schuldhaft herbeigeführt, so ist der Affekt nicht entschuldbar (<ref-ruling> E. 3a und b).
3.4 Vorliegend kann nicht davon ausgegangen werden, dass eine "Durchschnittsperson" in der Lage des Beschwerdeführers in eine heftige Gemütsbewegung im Sinne von <ref-law> geraten wäre, erscheint doch der Angriff mit einem Molankegel nicht als geeignet, eine besonnene Person in solche Angst zu versetzen, dass sie im Moment der Tötungshandlung nur noch eingeschränkt fähig wäre, ihr Verhalten zu kontrollieren.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz sei zu Unrecht lediglich von einem strafmildernden Notwehrexzess, statt von einer gerechtfertigten Notwehrhandlung im Sinne von <ref-law> ausgegangen. Wie die Vorinstanz verbindlich festgestellt habe (angefochtenes Urteil S. 49), könne ein Molankegel, wenn er mit Wucht gegen einen Menschen geschlagen werde, zu erheblichen Verletzungen führen. Seine Abwehrreaktion auf den Angriff mit dem Molankegel sei daher verhältnismässig erfolgt. Überdies habe seine starke Alkoholisierung seine Fähigkeit, die Situation abzuwägen, herabgesetzt (Beschwerde S. 6 f.).
4.2 Die Vorinstanz hat ausgeführt, der Beschwerdeführer habe sich in einer Notwehrlage befunden, da er von Y._ mit einer Baustellenlampe beworfen und mit einem Molankegel bedroht worden sei (angefochtenes Urteil S. 46 ff.; vgl. auch E. 1 hiervor). Er sei deshalb zur Abwehr des drohenden Angriffs berechtigt gewesen (angefochtenes Urteil S. 48).
Indem der Beschwerdeführer aber sein Taschenmesser eingesetzt und Y._ in die Brust gestochen habe, habe er unverhältnismässig gehandelt, d.h. zur Abwehr des Angriffs nicht das mildeste Mittel eingesetzt. Er habe mit anderen Worten die Grenzen der Notwehr überschritten. Das Beweisergebnis lasse den Schluss nicht zu, dass der Beschwerdeführer in entschuldbarer Aufregung oder Bestürzung über den Angriff gehandelt habe. Zusammenfassend sei dem Beschwerdeführer der Notwehrexzess strafmildernd anzurechnen (angefochtenes Urteil S. 49 f.).
4.3 Wird jemand ohne Recht angegriffen oder unmittelbar mit einem Angriff bedroht, so ist der Angegriffene und jeder andere berechtigt, den Angriff in einer den Umständen angemessenen Weise abzuwehren (<ref-law>). Überschreitet der Abwehrende die Grenzen der Notwehr, so mildert das Gericht die Strafe (<ref-law>). Überschreitet er die Grenzen der Notwehr in entschuldbarer Aufregung oder Bestürzung über den Angriff, so handelt er nicht schuldhaft (<ref-law>).
Nach der Rechtsprechung muss die Abwehr in einer Notwehrsituation nach der Gesamtheit der Umstände als verhältnismässig erscheinen. Eine Rolle spielen vor allem die Schwere des Angriffs, die durch den Angriff und die Abwehr bedrohten Rechtsgüter, die Art des Abwehrmittels und dessen tatsächliche Verwendung. Die Angemessenheit der Abwehr ist aufgrund jener Situation zu beurteilen, in der sich der rechtswidrig Angegriffene im Zeitpunkt seiner Tat befand. Besondere Zurückhaltung ist bei der Verwendung von gefährlichen Werkzeugen zur Abwehr (Messer, Schusswaffen etc.) geboten, da deren Einsatz stets die Gefahr schwerer oder gar tödlicher Verletzungen mit sich bringt. Angemessen ist die Abwehr, wenn der Angriff nicht mit weniger gefährlichen und zumutbaren Mitteln hätte abgewendet werden können, der Täter womöglich gewarnt worden ist und der Abwehrende vor der Benutzung des gefährlichen Werkzeugs das Nötige zur Vermeidung einer übermässigen Schädigung vorgekehrt hat. Auch ist eine Abwägung der auf dem Spiel stehenden Rechtsgüter unerlässlich. Doch muss deren Ergebnis für den Angegriffenen, der erfahrungsgemäss rasch handeln muss, mühelos erkennbar sein (<ref-ruling> E. 3).
4.4 Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, birgt das Zustechen mit einem Messer zweifelsohne ein grösseres Verletzungspotential als ein allfälliges Zuschlagen mit einem Molankegel (vgl. angefochtenes Urteil S. 49). Indem der Beschwerdeführer auf den verhältnismässig harmlosen Angriff von Y._ mit einem Molankegel ohne jede Vorwarnung sein Taschenmesser gezückt und sogleich eingesetzt hat, hat er unangemessen reagiert. Jedenfalls aber hat er die Grenzen der Notwehr dadurch überschritten, dass er den Stich in den Brustbereich - statt insbesondere in den Arm - des Angreifers ausgeführt hat.
Nicht stichhaltig ist die Argumentation des Beschwerdeführers, der Notwehrexzess sei entschuldbar gewesen. Ein gewalttätiger Angriff wird den Angegriffenen immer in eine besondere Spannungslage versetzen. Nicht jede noch so exzessive, gefährliche Abwehrreaktion kann wegen der durch den Angriff verursachten Aufregung straflos bleiben. An eine die Straflosigkeit von schweren Notwehrüberschreitungen rechtfertigende Emotion sind besondere Anforderungen zu stellen. Dabei müssen Art und Ausmass der unangemessenen Abwehr sowie die gesamten Umstände des Einzelfalls berücksichtigt werden.
Angesichts der konkreten Umstände ist das Vorbringen des Beschwerdeführers, er sei durch den Angriff mit dem Molankegel in entschuldbare Aufregung respektive Bestürzung versetzt worden, als blosse Schutzbehauptung zu qualifizieren.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, es sei in tatsächlicher Hinsicht erstellt, dass die Beteiligten vor der Tat zwei Flaschen Whiskey getrunken hätten. Y._ habe zum Tatzeitpunkt eine Blutalkoholkonzentration von bloss 1,22 o/oo aufgewiesen, was zum Schluss führe, dass er selbst eine viel grössere Menge Whiskey konsumiert haben müsse und demnach viel stärker alkoholisiert gewesen sei. Auszugehen sei von einem Alkoholisierungsgrad von rund 3 o/oo, was zu Unzurechnungsfähigkeit führen könne. Überdies sei es gerichtsnotorisch, dass Inder Alkohol pathologisch nicht richtig abbauen könnten.
Indem die Vorinstanz <ref-law> (Verübung einer Tat in selbstverschuldeter Unzurechnungsfähigkeit) nicht angewendet habe, habe sie Bundesrecht verletzt (Beschwerde S. 7). Zumindest aber hätte sie vorliegend die Anwendung von <ref-law> (verminderte Schuldfähigkeit infolge Alkoholkonsums) prüfen müssen (Beschwerde S. 7 und S. 9 f.).
5.2 Die Vorinstanz geht in tatsächlicher Hinsicht davon aus, die Beteiligten hätten ein bis zwei Flaschen Whiskey getrunken (vgl. angefochtenes Urteil S. 27). Der Beschwerdeführer habe mithin "eine grosse Menge Alkohol zu sich genommen" (angefochtenes Urteil S. 34) und sei zum Tatzeitpunkt "erheblich angetrunken" gewesen (angefochtenes Urteil S. 57).
Dieser Zustand habe jedoch gemäss der Beurteilung des psychiatrischen Sachverständigen keine Auswirkungen auf die Einsichts- und Steuerungsfähigkeit des Beschwerdeführers gehabt. Es bestehe kein Anlass von den Ausführungen und Erkenntnissen des Sachverständigen abzuweichen, weshalb dem Beschwerdeführer zum Tatzeitpunkt keine verminderte Schuldfähigkeit zugebilligt werden könne (angefochtenes Urteil S. 58).
5.3 Gemäss <ref-law> mit dem Randtitel "Schuldunfähigkeit und verminderte Schuldfähigkeit" ist der Täter nicht strafbar, wenn er zur Zeit der Tat nicht fähig war, das Unrecht seiner Tat einzusehen oder gemäss dieser Einsicht zu handeln (Abs. 1). War der Täter zur Zeit der Tat nur teilweise fähig, das Unrecht seiner Tat einzusehen oder gemäss dieser Einsicht zu handeln, so mildert das Gericht die Strafe (Abs. 2). Diese Bestimmungen sind nicht anwendbar, sofern der Täter die Schuldunfähigkeit oder die Verminderung der Schuldfähigkeit vermeiden und dabei die in diesem Zustand begangenen Taten voraussehen konnte (Abs. 4).
Nach <ref-law> mit der Marginalie "Verübung einer Tat in selbstverschuldeter Unzurechnungsfähigkeit" wird mit Geldstrafe bis zu 180 Tagessätzen bestraft, wer infolge selbstverschuldeter Trunkenheit oder Betäubung unzurechnungsfähig ist und in diesem Zustand eine als Verbrechen oder Vergehen bedrohte Tat verübt (Abs. 1). Hat der Täter in diesem selbstverschuldeten Zustand ein mit Freiheitsstrafe als einzige Strafe bedrohtes Verbrechen begangen, so ist die Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe (Abs. 2).
5.4 Die Vorinstanz hat sich entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers mit der Frage der Schuldfähigkeit auseinandergesetzt und unter Hinweis auf die Ausführungen des psychiatrischen Sachverständigen in seinem Gutachten vom 9. Juli 2007 (vorinstanzliche Akten act. 25/7) und anlässlich seiner Einvernahme vor Schranken (Einvernahme vom 4. Juni 2008; Protokoll S. 461 - 483) gefolgert, die Einsichts- und Steuerungsfähigkeit des Beschwerdeführers sei zum Tatzeitpunkt trotz seines grossen Alkoholkonsums nicht eingeschränkt gewesen.
In seinem Gutachten hat der Sachverständige ausgeführt, beim Beschwerdeführer bestehe ein Alkoholabhängigkeitssyndrom (ICD-10: F10.2). Zwischen dieser diagnostizierten Alkoholabhängigkeit und der Tathandlung bestehe jedoch kein kausaler Zusammenhang. Es gebe keine Hinweise auf einen schwankenden Gang des Beschwerdeführers, vielmehr sei dieser eigenen Angaben zufolge nach der Tat rasch weggelaufen. Ebenso wenig hätten die am Geschehen beteiligten Personen über ein Lallen berichtet, und auch der Beschwerdeführer habe sein Denken und Handeln im Tatzeitraum ausdrücklich als geordnet eingestuft. Seine Erinnerungen seien sehr detailliert und ohne Unschärfen, sowohl die Tatzeit, die Tatsituation selbst als auch die Zeit nach der Tat betreffend. Es bestünden folglich keine Indizien für eine Störung der Bewusstseinslage oder der kognitiven Fähigkeiten des Beschwerdeführers zum Tatzeitpunkt (Gutachten vorinstanzliche Akten act. 25/7 S. 27 ff.). Bei seiner Einvernahme vor der Vorinstanz hat der Sachverständige seine gutachterlichen Befunde bestätigt und betont, eine Verminderung der Einsichts- oder der Steuerungsfähigkeit des Beschwerdeführers zum Tatzeitpunkt sei nicht erkennbar (vgl. Einvernahme vom 4. Juni 2008; Protokoll S. 472). Präzisierend hat der Sachverständige weiter hervorgehoben, entscheidend sei nicht der Wert der Blutalkoholkonzentration, welcher vorliegend nicht ermittelt werden konnte, sondern die psychische Funktionsfähigkeit. Aus den Aussagen sämtlicher Beteiligten aber lasse sich folgern, dass die Funktionsfähigkeit des Beschwerdeführers zum Tatzeitpunkt nicht massgeblich beeinträchtigt gewesen sei (siehe Einvernahme vom 4. Juni 2008; Protokoll S. 480 f.).
Vor diesem Hintergrund hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie unter Bezugnahme auf die Beurteilung des psychiatrischen Sachverständigen auf eine nicht verminderte Schuldfähigkeit des Beschwerdeführers zum Tatzeitpunkt geschlossen hat. Dessen Berechnungen in seiner Beschwerde zur mutmasslichen Blutalkoholkonzentration vermögen nach dem Gesagten hieran ebenso wenig etwas zu ändern wie sein Hinweis auf die Problematik des Alkoholabbaus bei Indern.
Bei diesem Ergebnis konnte die Vorinstanz, ohne gegen Bundesrecht zu verstossen, darauf verzichten, auf die Bestimmung von <ref-law> einzugehen.
6. 6.1 Der Beschwerdeführer bringt schliesslich in Bezug auf die Strafzumessung vor, die Vorinstanz habe <ref-law> falsch angewendet, denn der anerkannte Notwehrexzess hätte zwingend zu einer wesentlich tieferen Strafe führen müssen (Beschwerde S. 10).
6.2 Im Strafzumessungspunkt hat die Vorinstanz erwogen, die Tatausführung, d.h. das Zustechen in den Brustbereich des Opfers, lasse auf eine erhebliche kriminelle Energie des Beschwerdeführers schliessen. Auf der anderen Seite falle bei der Verschuldensbewertung erleichternd ins Gewicht, dass er den Tod des Opfers nicht beabsichtigt, sondern lediglich in Kauf genommen habe. Zusammenfassend sei von einem erheblichen Tatverschulden auszugehen (angefochtenes Urteil S. 57 f.). Der vollendete Versuch sei leicht strafmindernd zu berücksichtigen, und der Notwehrexzess könne dem Beschwerdeführer in einem nicht unerheblichen Mass strafmindernd zugute gehalten werden (angefochtenes Urteil S. 58 f.). Der Beschwerdeführer sei 2005 insbesondere wegen einfacher Körperverletzung und Drohung schuldig gesprochen worden. Diese Vorstrafen seien aufgrund ihrer Einschlägigkeit erheblich straferhöhend zu veranschlagen (angefochtenes Urteil S. 60). Demgegenüber wirkten sich das Teilgeständnis des Beschwerdeführers und dessen Wohlverhalten in der Untersuchung minim strafmindernd aus. In Würdigung sämtlicher Strafzumessungsfaktoren erscheine eine Freiheitsstrafe von sechs Jahren als angemessen (angefochtenes Urteil S. 62).
6.3 Gemäss <ref-law> misst das Gericht die Strafe nach dem Verschulden des Täters zu. Es berücksichtigt das Vorleben, die persönlichen Verhältnisse sowie die Wirkung der Strafe auf das Leben des Täters. Die Bewertung des Verschuldens wird in <ref-law> dahingehend präzisiert, dass dieses nach der Schwere der Verletzung oder Gefährdung des betroffenen Rechtsguts, nach der Verwerflichkeit des Handelns, den Beweggründen und Zielen des Täters sowie danach bestimmt wird, wie weit der Täter nach den inneren und äusseren Umständen in der Lage war, die Gefährdung oder Verletzung zu vermeiden. Nach <ref-law> hat das Gericht die für die Zumessung der Strafe erheblichen Umstände und deren Gewichtung festzuhalten.
Es liegt im Ermessen des Sachgerichts, in welchem Umfang es die verschiedenen Strafzumessungsfaktoren berücksichtigt. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur in die Strafzumessung ein, wenn die Vorinstanz den gesetzlichen Strafrahmen über- oder unterschritten hat, wenn sie von rechtlich nicht massgebenden Kriterien ausgegangen ist oder wesentliche Gesichtspunkte ausser Acht gelassen bzw. in Überschreitung oder Missbrauch ihres Ermessens falsch gewichtet hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 2).
6.4 Die Vorinstanz hat die für die Zumessung der Strafe erheblichen Umstände eingehend gewürdigt und sämtliche Strafzumessungsfaktoren berücksichtigt. Eine ermessensverletzende Gewichtung der Faktoren ist nicht ersichtlich. Dass die Vorinstanz davon abgesehen hat, eine sog. Einsatzstrafe zu beziffern und in absoluten Zahlen oder Prozenten anzugeben, inwieweit sie den Notwehrexzess strafmindernd in Rechnung gestellt hat, ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2c). Im Übrigen könnte eine Beschwerde nicht allein deshalb gutgeheissen werden, um die Verbesserung oder Vervollständigung der Begründung der Strafzumessung zu veranlassen, wenn die ausgesprochene Strafe im Ergebnis vor Bundesrecht standhält (siehe BGE <ref-ruling> E. 2c).
Dies ist vorliegend der Fall. Die ausgesprochene Freiheitsstrafe von sechs Jahren ist hoch, sie bewegt sich aber noch in dem der Vorinstanz zustehenden Ermessensspielraum.
7. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer grundsätzlich die Kosten des Verfahrens (<ref-law>). Er stellt indes ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gemäss Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG. Dieses kann bewilligt werden, da von seiner Bedürftigkeit auszugehen, diese ausreichend belegt ist (<ref-ruling> E. 4) und seine Beschwerde nicht von vornherein aussichtslos war. Dem Beschwerdeführer sind deshalb keine Kosten aufzuerlegen. Seinem Vertreter ist aus der Bundesgerichtskasse eine angemessene Entschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Fürsprecher Peter Stein, wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Geschworenengericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Stohner