Faits:
A.
P._ exerçait l'activité de maçon; il a été victime d'une chute survenue le 3 mars 2006 dans le cadre de son travail; il en est résulté une contusion à la hanche droite, dont les séquelles douloureuses et incapacitantes ont été assumées par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA); le dossier constitué par cette dernière a été versé en cause.
Les séquelles de l'accident ont également motivé la demande de prestations communiquée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 28 avril 2008.
L'office AI a recueilli l'avis des médecins traitants; ceux-ci ont diagnostiqué des lombo-pygialgies - dans le contexte d'un syndrome piriforme droit ayant justifié une opération (ténotomie du muscle pyramidal, neurolyse du nerf sciatique) - totalement incapacitantes; une reconversion était néanmoins possible (rapports des docteurs O._, spécialiste FMH en médecine interne générale, et E._, médecin associé auprès du Département de l'appareil locomoteur de la Clinique X._, des 13 mai et 20 juin 2008); le stage d'observation professionnelle réalisé par l'administration dans le cadre d'une mesure de réadaptation (communication du 21 août 2008) a établi qu'il était illusoire de vouloir mettre en valeur une capacité théorique de travail tant que l'assuré était focalisé sur les problèmes algiques (rapports du docteur D._, spécialiste FMH en médecine interne générale et médecin-conseil pour les Établissements publics pour l'intégration agissant comme Centre d'observation professionnelle de l'office AI [COPAI], ainsi que du COPAI des 27 septembre et 16 octobre 2008). L'administration a aussi mandaté son Service médical régional (SMR) afin qu'il mette en oeuvre un examen clinique rhumatologique et psychiatrique; les examinateurs ont considéré que seul le syndrome pyramidal droit retenu par le docteur E._ engendrait des limitations fonctionnelles qui n'entravaient cependant plus l'exercice d'une activité adaptée depuis le 15 mars 2008; les status post-opératoires, l'exagération des symptômes, la dysthymie et le syndrome algique observés également n'avaient pas d'incidence sur la capacité de travail (rapport du 10 novembre 2008).
Se fondant sur le rapport du SMR, l'office AI a envisagé d'allouer à l'intéressé une rente entière limitée à la période allant du 1er avril 2007 au 30 juin 2008 (projet de décision du 24 décembre 2008). Il a néanmoins poursuivi l'instruction de la cause compte tenu des observations soulevées par P._ contre l'octroi temporaire de la rente et des nouveaux avis médicaux produits (rapports des docteurs I._, neurologue, S._, radiologue, et R._, Chef de clinique dans le Département de l'appareil locomoteur de X._, des 8 et 11 août 2009 ainsi que 5 janvier 2009); il a confié l'accomplissement d'une expertise au docteur U._, spécialiste FMH en neurologie; celui-ci a déduit de ses constatations et de son analyse du dossier radiologique en particulier que les lombalgies et douleurs des deux membres inférieurs n'avaient pas de substrat somatique clairement objectivable et n'entravaient en rien la reprise d'une activité adaptée, à plein temps et à plein rendement; il suggérait cependant l'exécution d'une expertise psychiatrique eu égard à une prévalence des éléments psychiques sur les éléments physiques (rapport du 25 janvier 2010); le SMR a écarté la suggestion de l'expert au motif que l'assuré avait subi un examen psychiatrique et qu'aucun élément ne permettait d'établir une détérioration sur ce plan (rapport du docteur M._ des 10 mai et 15 décembre 2010); l'administration a toutefois demandé une appréciation de la doctoresse G._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie traitant l'intéressé depuis le 29 septembre 2008; celle-ci a signalé la présence d'un épisode dépressif moyen mais ne s'est pas exprimée à propos de la capacité de travail de son patient dans une activité de substitution (rapport du 23 juin 2011); les éléments avancés par le praticien n'ont pas infléchi la position du SMR quant à l'inexistence de troubles psychiques invalidants (rapport du docteur M._ du 6 juillet 2011).
Sur cette base, l'office AI a confirmé l'octroi d'une rente entière pour la période comprise entre les 1er avril 2007 et 30 juin 2008 (décision du 7 novembre 2011).
B.
P._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales; il sollicitait l'exécution d'une expertise psychiatrique judiciaire et concluait au maintien d'une rente, dont le taux serait fonction du résultat de l'expertise, postérieurement au 30 juin 2008 ou au renvoi du dossier à l'administration pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision; il estimait en substance que l'office AI avait procédé à une appréciation arbitraire des preuves. L'administration a conclu au rejet du recours. Invitées à se déterminer une seconde fois, les parties ont maintenu leurs conclusions respectives; l'assurée se référait à une expertise privée réalisée à l'étranger (rapport de la doctoresse A._ du 7 mai 2011) qui n'a pas influencé l'opinion du SMR (rapport du docteur M._ du 10 juillet 2012).
Le tribunal cantonal a débouté l'intéressé de ses conclusions, considérant à l'issue d'une appréciation du dossier médical que la décision administrative du 7 novembre 2011 n'était pas critiquable dans la mesure où elle retenait une capacité totale de travail dans une activité adaptée dès le 1er juillet 2008 (jugement du 11 septembre 2013).
C.
P._ recourt contre ce jugement; il en demande la réforme ou l'annulation et prend sous suite de frais et dépens les mêmes conclusions qu'en première instance; il sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.

Considérant en droit:
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (cf. <ref-law>) interjeté pour violation du droit fédéral (comprenant les droits fondamentaux) au sens de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (<ref-law>) qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il n'examine en principe que les griefs allégués et motivés (<ref-law>) surtout s'il portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant n'est habilité à critiquer la constatation des faits influant sur le sort du litige que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Le litige porte sur le droit de l'assuré à une rente de l'assurance-invalidité, singulièrement sur le maintien au-delà du 30 juin 2008 de la rente entière allouée pour la période limitée comprise entre les 1er avril 2007 et 30 juin 2008. Compte tenu des considérants et du dispositif du jugement attaqué, des griefs et des conclusions du recourant ainsi que des exigences de motivation et d'allégation prévues à l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; cf. aussi Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad <ref-law>), il y a tout particulièrement lieu d'examiner si, en refusant d'ordonner la réalisation d'une expertise judiciaire, la juridiction cantonale a violé le droit de l'assuré à un procès équitable (art. 29 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH) ou contrevenu à son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et si, en niant le caractère incapacitant des troubles psychiatriques diagnostiqués ou évoqués par les médecins consultés au cours de la procédure, elle a procédé à une appréciation arbitraire des preuves (art. 9 Cst.) ou constaté les faits de façon manifestement inexacte. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et la jurisprudence nécessaires à la résolution du cas particulier. Il suffit donc d'y renvoyer. On précisera que le bien-fondé de la décision octroyant une rente temporaire doit être examiné à l'aune de l'<ref-law> (cf., p. ex., arrêt 9C_50/2010 du 6 août 2010 consid. 4 et les références).
3.
3.1. Le recourant reproche au tribunal cantonal d'avoir violé l'art. 29 al. 1 et 2 Cst. et l'art. 6 par. 1 CEDH; ce grief doit être examiné préalablement dès lors qu'il porte sur des droits de nature formelle dont la violation cause l'annulation de l'acte attaqué indépendamment des chances de succès sur le fond (cf. <ref-ruling> consid. 3d/aa p. 437).
3.2. L'assuré soutient essentiellement que la négation par les premiers juges de l'existence d'une affection psychiatrique invalidante et leur refus d'ordonner la réalisation d'une expertise psychiatrique judiciaire reposent uniquement sur le rapport d'examen clinique psychiatrique pratiqué le 23 octobre 2008 par l'un des conseillers du SMR spécialisé en psychiatrie et ne tiennent pas compte de tous les éléments du dossier. L'évocation du volet psychiatrique du rapport d'examen du SMR en relation avec l'allusion à d'autres éléments du dossier démontre que l'argumentation du recourant est surtout orientée sur une analyse comparative et l'appréciation des documents médicaux. Or une contravention au droit d'être entendu au sens de l'art. 29 al. 2 Cst. - qui constitue la concrétisation du droit à une procédure équitable consacré par l'art. 29 al. 1 Cst., qui correspond lui-même à la garantie similaire conférée par l'art. 6 par. 1 CEDH à l'égard des autorités judiciaires proprement dites (cf. arrêt 9C_548/2011 du 9 mars 2012 consid.3.2) - invoquée en relation avec l'administration des preuves (sur cette notion, cf., p. ex., <ref-ruling> consid. 3.1 p. 370) n'a aucune portée spécifique par rapport au second grief de l'assuré qui critique l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale (cf., p. ex., arrêt 9C_369/2008 du 5 mars 2009 consid. 3.1); les autorités administratives et judiciaires peuvent effectivement renoncer à certains actes d'instruction sans que cela ne cause une violation du droit d'être entendu si, en se basant sur une appréciation consciencieuse des preuves disponibles (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 352), elles sont convaincues que les faits sont établis de façon satisfaisante (sur le degré de la preuve; cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 45) et que des mesures probatoires complémentaires ne pourraient pas modifier leurs positions (sur l'appréciation anticipée des preuves, cf. notamment <ref-ruling> consid. 3 p. 157). L'argumentation développée sera donc traitée avec le fond du litige.
4.
4.1. Sur le fond du litige, le recourant considère que les premiers juges ont apprécié les preuves et établi les faits de façon arbitraire (sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 319 et les références; voir également <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références).
4.2.
4.2.1. L'assuré reproche d'abord à la juridiction cantonale d'avoir fondé son jugement sur le seul rapport du SMR qui, d'après lui, était pourtant clairement contredit par les rapports des doctoresses G._ et A._; il soutient que ces rapports établissaient l'existence d'une dépression incapacitante justifiant que le versement d'une rente soit maintenu après le 30 juin 2008 ou suffisaient à tout le moins à jeter le doute sur la pertinence des conclusions des médecins du SMR et à motiver la mise en oeuvre d'une expertise. Il en veut pour preuve le caractère obsolète ou dépassé du rapport du SMR établi cinq ans avant le jugement attaqué, la détérioration dûment attestée de son état de santé psychiatrique durant ce laps de temps, la suggestion du docteur U._ de réaliser une expertise psychiatrique eu égard à la prévalence des éléments psychiatriques sur les éléments somatiques dans le tableau clinique et les diagnostics d'état dépressif moyen ou de syndrome dépressif léger posés par les doctoresses G._ et A._; il conteste également que la spécialisation médicale du docteur U._ et l'absence de prescription de médicaments par la doctoresse G._ puissent suffire pour légitimer l'éviction de leurs observations respectives.
4.2.2. Le jugement cantonal critiqué n'est pas remis en cause par cette argumentation. Le temps écoulé depuis l'époque où le SMR a effectué son examen jusqu'à celle où le tribunal cantonal a statué ne saurait en l'espèce être déterminant dès lors que seules importent les circonstances prévalant lorsque la décision administrative litigieuse a été rendue (sur la notion d'état de fait déterminant en matière d'assurances sociales, cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 4), ce qui réduit de deux ans le laps de temps durant lequel la détérioration de la situation alléguée pourrait être prise en compte. Le recourant omet également de préciser que, si les premiers juges ont bel et bien fondé leur raisonnement sur les conclusions de l'examen du SMR, leur façon de raisonner découle de l'appréciation de toutes les pièces médicales pertinentes; ceux-ci ont ainsi estimé que l'avis des examinateurs du SMR présentait sur le plan psychiatrique une pleine valeur probante qui n'était pas mise en doute par les docteurs U._, G._ ou A._; ils ont concrètement considéré que la suggestion du premier de réaliser une expertise psychiatrique ne reposait que sur l'absence de substrat organique justifiant l'amplification majeure des douleurs constatées, que le caractère lacunaire du status établi par la deuxième ne permettait pas d'expliquer l'intensité du trouble dépressif diagnostiqué ou la survenance d'une péjoration de la situation et que les conclusions de la troisième devaient être relativisées dans la mesure où elles s'appuyaient essentiellement sur les plaintes de l'assuré et n'étaient pas étayées par des observations concluantes. On relèvera encore que les arguments tels que la spécialisation médicale du docteur U._, l'absence de traitement préconisé par la doctoresse G._ ou l'absence de référence à une classification scientifique des diagnostics par la doctoresse A._ sont uniquement des arguments ampliatifs qui n'ont en soi pas été déterminants pour l'appréciation du cas.
4.2.3. On ne saurait dès lors reprocher à la juridiction cantonale d'avoir dans ces circonstances omis de prendre en compte un élément propre à modifier son jugement, de s'être manifestement trompée sur le sens ou la portée de l'un de ces éléments ou d'en avoir inféré un résultat insoutenable, d'autant moins que son appréciation correspond pour l'essentiel à celle du docteur M._ qui est régulièrement intervenu pendant les procédures administrative et judiciaire, comme cela ressort de la partie factuelle de l'acte attaqué. Le recours doit donc être rejeté sur ce point.
4.3.
4.3.1. L'assuré reprend un raisonnement similaire pour l'analyse du caractère invalidant d'un trouble somatoforme douloureux. Il reproche de nouveau au tribunal cantonal de s'être fondé exclusivement sur le rapport d'examen clinique psychiatrique du SMR et d'avoir négligé les observations de la doctoresse G._, qui attesterait la persistance d'une dépression en dépit d'une prise en charge médicamenteuse et psychothérapeutique ainsi qu'une perte d'intégration sociale liée à la difficulté de se déplacer.
4.3.2. Cet argument n'est pas plus fondé que le précédent. On ne saurait en effet faire grief aux premiers juges d'avoir arbitrairement privilégié l'avis des médecins du SMR au détriment de celui de la doctoresse G._ dès lors que les examinateurs du SMR sont en l'occurrence les seuls praticiens consultés à mentionner le diagnostic de trouble somatoforme douloureux même s'ils ne le retiennent pas de manière formelle, que leur rapport analyse expressément et exhaustivement les critères pouvant conférer un caractère invalidant à un trouble somatoforme douloureux, que la médication psychotrope prescrite au demeurant par le somaticien traitant et non pas par le psychiatre traitant était parfaitement connue des praticiens mandatés par le SMR, que l'allusion à une dépression attestée par un médecin dont le rapport a été écarté en raison de son caractère lacunaire (cf. consid. 4.2.2) ne permet pas de revoir l'appréciation de l'influence du trouble diagnostiqué sur la capacité de gain et que la perte d'intégration sociale liée à la difficulté de se déplacer est juste alléguée et résulte uniquement d'un document déposé en instance fédérale, dont il n'y a pas lieu de tenir compte (<ref-law>). Le recours doit donc également être rejeté sur ce point.
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'assuré (<ref-law>) qui ne peut prétendre des dépens (<ref-law>). L'assistance judiciaire lui est toutefois accordée puisqu'il en remplit les conditions (art. 64 al. 1 et 2 LTF); il est rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal, s'il devient ultérieurement en mesure de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée au recourant et M e Ana Rita Perez est désignée comme avocate d'office.
3.
Les frais judiciaires arrêtés à 800 fr. sont mis à la charge du recourant. Ils sont provisoirement supportés par la caisse du Tribunal.
4.
Une indemnité de 2'800 fr. est allouée à M e Ana Rita Perez à titre d'honoraires. Elle est provisoirement supportée par la caisse du Tribunal.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton