Faits:
A. A.a G._, ressortissant italien né en 1956, a été mis au bénéfice d'une rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er septembre 1994, assortie d'une rente complémentaire pour sa fille S._ (née en 1985), ainsi que de prestations complémentaires fédérales et cantonales à partir du 1er mars 1996.
Par lettre du 7 mai 2002, l'intéressé a informé l'Office cantonal genevois des personnes âgées (OCPA; depuis le 1er mai 2008: Service des prestations complémentaires de la République et canton de Genève [SPC]) de son départ définitif du canton de Genève pour l'Italie le 30 juin 2002. L'administration a alors indiqué à G._ qu'elle supprimait le versement de toutes les prestations à cette date, en raison de son départ de V._ (courrier du 1er juillet 2002). Trois jours plus tard, G._ a informé l'OCPA de sa décision de rester en Suisse. En conséquence, l'administration a derechef accordé des prestations complémentaires à l'intéressé à partir du 1er juillet 2002 (décision du 22 juillet 2002).
A.b Le 15 janvier 2009, sur requête du SPC, G._ a certifié être domicilié et avoir sa résidence effective sur le territoire du canton de Genève. Par la suite, il a indiqué n'avoir pas séjourné hors de V._ pendant plus de trois mois par année, ni payé de loyer lors de séjours à R._ (I) ou à L._ (I) pour rendre visite à sa fille. Il a également fait parvenir au SPC des relevés bancaires relatifs à un compte auprès de la Banque X._ pour les années 2004 à 2008 et à un compte auprès de la Banque Y._, en Italie. Le collaborateur du SPC en charge du dossier de l'intéressé a constaté que celui-ci avait régulièrement effectué des versements du compte bancaire X._ en sa faveur ou en faveur de sa fille sur le compte bancaire italien et qu'il disposait d'un téléphone portable avec un numéro italien.
Par décisions des 11 et 12 août 2009, le SPC a demandé à G._ la restitution de 59'193 fr. 95 correspondant aux prestations complémentaires versées pendant la période du 1er septembre 2004 au 31 décembre 2007 (soit 34'948 fr.), aux subsides destinés à la couverture des primes de l'assurance-maladie alloués du 1er septembre 2004 au 31 août 2009 (soit 23'877 fr. 60) et aux frais médicaux remboursés en 2006 et 2009 (soit 368 fr. 35, factures des 17 février 2006, 14 janvier 2009 et 17 mars 2009). En bref, le SPC a considéré que le droit à des prestations complémentaires cantonales et fédérales devait être supprimé au 1er septembre 2004, parce que le centre d'intérêts de l'ayant droit n'était pas dans le canton de Genève (courrier du 13 août 2009).
G._ s'est opposé à ces décisions, en faisant valoir qu'il avait toujours résidé à V._ et n'avait pas séjourné en Italie plus d'un mois par an pour de brèves visites. Il a par ailleurs produit une attestation de clôture (au 26 novembre 2007) de son compte bancaire auprès de la Banque Y._, ainsi que les courriers par lesquels S._ avait annoncé, le 14 octobre 2004, son départ de Suisse (au 15 septembre 2004) pour suivre des études à R._ (I), respectivement, le 20 juin 2009, son retour sur territoire genevois. Après avoir motivé son point de vue (courrier du 27 novembre 2009), le SPC a rejeté l'opposition de l'intéressé par décision (sur opposition) du 16 mars 2010.
B. G._ a déféré cette décision à la Cour de justice, Cour des assurances sociales, de la République et canton de Genève, qui l'a entendu le 1er septembre 2010, ainsi que sa fille, le 10 novembre suivant. Par jugement du 19 janvier 2011, la Cour de justice genevoise a partiellement admis le recours, annulé la décision du 16 mars 2010 "en ce qu'elle a supprimé le droit aux prestations complémentaires à compter du mois de juin 2009 et réclamé la restitution d'un montant supérieur à 57'999 fr. 95" et l'a confirmé pour le surplus. Elle a par ailleurs renvoyé la cause au SPC pour qu'il examine le droit aux prestations complémentaires à compter du mois de juin 2009 et rende une nouvelle décision sur ce point.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, G._ conclut à ce que le Tribunal fédéral annule le jugement cantonal, reconnaisse qu'il ne doit pas restituer la somme de 57'999 fr. 95, maintienne son droit aux prestations complémentaires à compter du 1er septembre 2004 et renvoie la cause au SPC pour qu'il rétablisse son droit aux prestations complémentaires avec effet au 1er juin 2009. Il sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif à son recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 11 avril 2011, ainsi que le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Le SPC conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (<ref-law>) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (<ref-law>) et qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause (<ref-law>), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (<ref-law>). Selon l'<ref-law>, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
Dans un arrêt <ref-ruling>, le Tribunal fédéral a précisé les notions de décisions finales, partielles, préjudicielles et incidentes au sens des art. 90 à 93 LTF. Il a considéré qu'un jugement de renvoi ne met pas fin à la procédure, de sorte qu'il ne constitue pas une décision finale au sens de la LTF. Les jugements de renvoi qui tranchent une question de droit matériel ne sont pas non plus des décisions partielles au sens de l'<ref-law> car il ne s'agit pas de décisions qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. Ils constituent bien plutôt des décisions incidentes qui peuvent être attaquées séparément aux conditions prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 481 et les références).
1.2 Dans un arrêt <ref-ruling>, le Tribunal fédéral a jugé que lorsqu'une autorité de première instance tranche définitivement le droit à une rente de l'assurance-invalidité relativement à une période déterminée et renvoie la cause à l'administration pour nouvelle décision concernant la période postérieure, la partie de la décision qui se rapporte à la question définitivement tranchée constitue une décision partielle susceptible d'être attaquée séparément et qui, en cas de non-contestation, entre en force de façon indépendante et ne peut plus être attaquée par la suite. Il a considéré que lorsqu'une prestation durable est l'objet d'un litige sur une assez longue période et que la juridiction précédente n'a statué matériellement que sur une partie de cette période, le jugement rendu est une décision partielle susceptible d'être attaquée séparément, à défaut de quoi il entre en force (<ref-ruling> consid. 1.4.4-1.4.6 p. 146 ss).
1.3 Par décisions des 11 et 12 août 2009, confirmées sur opposition le 16 mars 2010, l'intimé a supprimé (rétroactivement) le droit du recourant à des prestations complémentaires cantonales et fédérales, au remboursement de frais médicaux et aux subsides destinés à la couverture des primes de l'assurance-maladie à partir du 1er septembre 2004 et lui a réclamé le montant correspondant à l'ensemble des prestations versées, soit 59'193 fr. 95. Par le jugement attaqué, la juridiction cantonale a confirmé que le recourant n'avait pas droit à ces prestations pour la période du 1er septembre 2004 au 31 mai 2009 et qu'il était tenu de les rembourser à hauteur de 57'999 fr. 95, et elle a renvoyé la cause à l'intimé pour qu'il statue sur le droit du recourant à des prestations complémentaires à compter du 1er juin 2009.
En ce qui concerne, en l'espèce, le droit éventuel du recourant à des prestations complémentaires à partir du 1er juin 2009, le jugement attaqué est une décision incidente car la juridiction cantonale renvoie la cause à l'administration pour nouvelle décision. En ce qui concerne la période du 1er septembre 2004 au 30 mai 2009, les premiers juges ont en revanche statué matériellement sur le droit aux prestations (qu'ils ont nié). Par conséquent, conformément à la jurisprudence ci-dessus exposée - qu'il y a lieu d'appliquer par analogie à la présente cause (cf. arrêt 8C_140/2010 du 12 octobre 2010 dans le domaine de l'assurance-chômage) -, le jugement attaqué doit être qualifié de décision partielle en tant qu'il concerne la période du 1er septembre 2004 au 30 mai 2009. Il est dès lors séparément attaquable devant le Tribunal fédéral (<ref-law>) et le recours en matière de droit public est admissible dans la mesure où il concerne la restitution des prestations perçues par le recourant durant la période en question. Il est en revanche irrecevable en tant qu'il se rapporte à la période à compter du 1er juin 2009, les conditions de l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF n'étant pas réalisées.
2. 2.1 Le litige porte sur l'obligation du recourant de restituer à l'intimé la somme de 57'999 fr. 95 correspondant à des prestations complémentaires de droit fédéral et cantonal, à des frais médicaux remboursés au recourant (en tant que bénéficiaire d'une prestation complémentaire annuelle) et aux subsides destinés à la couverture des primes de l'assurance-maladie perçus du 1er septembre 2004 au 30 mai 2009.
Les prestations complémentaires cantonale, de même que les subsides en matière d'assurance-maladie obligatoire ici en cause - auxquels la législation cantonale confère un droit (cf. art. 19 de la loi du 29 mai 1997 d'application genevoise de la loi fédérale sur l'assurance-maladie [LaLAMal; RSGE J 3 05]), de sorte que le recours ne tombe pas sous le coup de l'exception prévue par l'art. 83 let. k LTF (voir <ref-ruling> consid. 1.2 p. 314) -, sont fondées sur le droit cantonal genevois, dont la violation ne peut pas être directement invoquée au regard de la LTF (<ref-law> a contrario). Comme le recourant invoque l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) en rapport avec l'application du droit cantonal (et l'appréciation des preuves), le Tribunal fédéral peut examiner ce grief.
2.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer les constatations de faits que si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou encore lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des conclusions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9). L'appréciation des preuves doit être arbitraire non seulement en ce qui concerne les motifs évoqués par la juridiction cantonale pour écarter un moyen de preuve, mais également dans son résultat. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle retenue par l'autorité précédente pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 sv.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148).
3. 3.1 Conformément au principe prévu à l'<ref-law> (jusqu'au 31 décembre 2007, art. 2 al. 1 aLPC), selon lequel les personnes qui ont leur domicile et leur résidence habituelle (<ref-law>) en Suisse ont droit à des prestations complémentaires, pour autant qu'elle réalise les autres conditions mentionnées, il n'existe un droit aux prestations complémentaires qu'en cas de domicile et de résidence habituelle en Suisse.
3.2 Selon l'<ref-law> auquel renvoie l'<ref-law>, une personne est réputée avoir sa résidence habituelle au lieu où elle séjourne un certain temps même si la durée du séjour est d'emblée limitée. Selon la jurisprudence, la notion de résidence doit être comprise dans un sens objectif, de sorte que la condition de la résidence effective en Suisse n'est en principe plus remplie à la suite d'un départ à l'étranger. Il n'y a cependant pas interruption de la résidence en Suisse lorsque le séjour à l'étranger, correspondant à ce qui est généralement habituel, est dû à des motifs tels qu'une visite, des vacances, une absence pour affaires, une cure ou une formation. De tels séjours ne peuvent en principe dépasser la durée d'une année. Des motifs contraignants et imprévisibles, tels que la maladie ou un accident, peuvent justifier de prolonger au-delà d'une année la durée du séjour. Il en va de même lorsque des motifs contraignants existant dès le début exigent une résidence à l'étranger de durée supérieure à une année, par exemple pour des motifs d'assistance, de formation ou de traitement d'une maladie (<ref-ruling> consid. 4 p. 182; arrêt 9C_696/2009 du 15 mars 2010 consid. 3.3; voir également arrêt H 71/89 du 14 mai 1990 consid. 2a, in RCC 1992 p. 36; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2e éd. 2009, n° 15 ss ad <ref-law>).
Par ailleurs, selon la jurisprudence (rendue en matière de droit civil), la notion de résidence habituelle d'une personne physique correspond à l'endroit où la personne intéressée a le centre de ses relations personnelles et se déduit, non de sa volonté subjective, mais de circonstances de fait extérieurement reconnaissables attestant de sa présence dans un lieu donné (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 292 et les références).
4. 4.1 La juridiction cantonale a nié le droit du recourant aux prestations en cause, au motif qu'il n'avait pas résidé à V._ pendant la majeure partie de la période litigieuse, mais en Italie. De 2004 à 2008, il avait en effet versé une part importante de ses revenus en Italie. Ainsi, il ne lui restait en 2004 que la somme de 9780 fr. 50 en Suisse, en 2005 1933 fr. 75, en 2006 7591 fr. 30, en 2007 8795 fr. 20 et en 2008 9922 fr. 40. Sur ces sommes, le recourant devait payer son loyer (385 fr. par mois y compris les charges), la taxe radio et télévision de 20 fr. et au moins 200 fr. par an pour les Services Industriels (SI). S'ajoutaient probablement à ces charges des frais médicaux (franchise et participation de 10% aux frais), les primes pour les assurances-ménage et responsabilité civile, ainsi que les factures du téléphone mobile et les frais de transport ferroviaire en Italie, où le recourant avait indiqué s'être rendu dix fois par an environ, soit 1200 fr. par an. Au vu de ces dépenses, il paraissait tout à fait invraisemblable, de l'avis des premiers juges, que le recourant ait pu vivre à V._ avec les sommes modestes qui lui restaient après le transfert de la majeure partie de ses revenus en Italie. Par ailleurs, les sommes versées par le recourant à sa fille en Italie (environ 3000 à 3700 fr. par mois) étaient disproportionnées par rapport aux besoins d'un étudiant de parents modestes, même à V._. S._ avait du reste déclaré lors de son audition à titre de renseignements qu'elle dépensait environ 1500 euros par mois. La juridiction cantonale a notamment écarté comme non crédible, respectivement non décisives l'attestation d'un ami du recourant, N._, et celles de trois communes italiennes selon lesquelles G._ n'y avait pas été inscrit comme résident.
4.2 Le recourant conteste le point de vue de la juridiction cantonale en lui reprochant avant tout une appréciation arbitraire des faits et des preuves. En tant qu'il invoque, en plus, une violation de l'<ref-law> en soutenant que sa résidence à V._ est établie au regard des documents qu'il a fournis et parce que l'intimé n'avait pas prouvé qu'il n'avait pas occupé l'appartement qu'il louait à V._, le grief se confond avec celui d'arbitraire dans la constatation des faits et l'appréciation des preuves et sera examiné sous cet angle.
5. 5.1 Des faits établis par la juridiction cantonale, il ressort que pendant la période litigieuse le recourant a versé la quasi totalité (78 à 95%) de ses revenus (rentes de l'assurance-invalidité et prestations complémentaires) sur un compte bancaire ouvert auprès d'une banque italienne. Au regard des charges que l'intéressé avait à V._ et des faibles montants qui lui restaient sur son compte bancaire suisse, il ne disposait alors pas de suffisamment de ressources pour vivre en Suisse.
De ces faits, que le recourant ne conteste pas en tant que tels, les premiers juges ont déduit que, selon le degré de vraisemblance prépondérante, il ne résidait plus en Suisse pendant la période concernée, mais en Italie, là où étudiait sa fille et où il avait fait verser presque la totalité de ses revenus.
5.2 Quoi qu'en dise le recourant, une telle appréciation n'est pas arbitraire au regard de l'ensemble des circonstances. On rappellera tout d'abord que les prestations complémentaires ont pour but d'assurer un revenu minimum aux bénéficiaires de rentes de l'AVS et de l'AI qui ne peuvent pas couvrir leurs besoins vitaux (cf. art. 112a Cst.). Il n'est dès lors pas insoutenable de considérer qu'une personne qui verse la majeure partie des revenus lui servant à couvrir ses besoins vitaux dans un pays dans lequel son enfant s'est rendu pour suivre des études pendant une certaine durée y ait également déplacé le centre effectif de sa vie et de ses attaches pour cette période. A cet égard, le recourant n'a tout au long de la procédure administrative et judiciaire donné aucune explication sur les moyens financiers qui lui auraient permis de continuer à vivre à V._, alors qu'il n'y disposait pratiquement plus de ressources (lesquelles suffisaient au demeurant à peine, voire pas [en 2005], à couvrir ne serait-ce que son loyer et les charges annuels). Il se limite à alléguer "l'existence de prêt de la part des membres de la famille", sans apporter cependant aucun élément de preuve y relatif, ce qui ne suffit pas à retenir qu'il disposait à V._ d'une source de revenus assurant la couverture de ses besoins vitaux.
En ce qui concerne ensuite l'emploi des montants transférés, au sujet desquels la juridiction cantonale a constaté qu'ils étaient disproportionnés par rapport aux besoins d'un étudiant de parents disposant de ressources financières modestes, le recourant soutient que les frais courants de sa fille en Italie s'élevaient au minimum à 2250 fr. par mois (ou 27'000 fr. par an). Ce faisant, il n'explique toutefois pas ce qu'il advenait de la différence entre ces coûts et les montants versés (laquelle représente, compte tenu des faits établis par l'autorité cantonale de recours, un montant variant, selon les années, de près de 10'000 fr. à 17'000 fr. par an). Il n'y a dès lors pas lieu de s'écarter des constatations de la juridiction cantonale, selon lesquelles le recourant avait transféré en Italie des sommes plus importantes que celles nécessitées par sa fille durant ses études, dont on peut dès lors admettre, selon la vraisemblance prépondérante, qu'elles ont servi à couvrir les besoins du recourant en Italie.
5.3 Le recourant soutient avoir démontré qu'il résidait à V._, puisqu'il y occupait un appartement dont il avait toujours payé le loyer et les charges (paiements aux SI), qu'un ami avait attesté de leurs rencontres régulières et que les communes italiennes de L._, C._ et A._ avaient confirmé qu'il ne s'était jamais inscrit auprès de l'une d'entre elles.
Ces arguments ne suffisent cependant pas à établir le caractère arbitraire de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale. S'il est vrai, tout d'abord, que la location d'un appartement constitue un fait qui est habituellement propre, parmi d'autres, à établir la résidence d'une personne, cet élément n'est pas suffisant en l'espèce. Contrairement à ce que soutient le recourant, le paiement du loyer ne démontre pas encore qu'il ait effectivement occupé l'appartement en question. Il ressort par ailleurs des faits établis en instance cantonale qu'il a disposé successivement de trois adresses en Italie aux endroits où sa fille a étudié pendant la période litigieuse (auxquelles il se faisait envoyer sa correspondance bancaire), ce qui constitue une circonstance de fait extérieurement reconnaissable indiquant sa présence dans un lieu donné. A cet égard, les attestations des trois communes italiennes démontrent que le recourant ne s'y était pas fait enregistré, mais non pas qu'il n'y avait pas résidé. Ensuite, l'appréciation qu'a faite la juridiction cantonale de la valeur probante de la déclaration de N._ en considérant qu'elle ne paraissait pas crédible, n'est pas arbitraire au regard de l'ensemble des autres éléments qu'elle a mis en évidence. Compte tenu des explications requises de manière répétée par l'intimé puis par la juridiction cantonale au cours de la procédure, on pouvait attendre du recourant qu'il fournisse davantage d'indices propres à rendre vraisemblable le maintien de sa résidence à V._ sur une période de quatre ans: l'attestation d'un ami (dont on ne peut exclure qu'elle relève en partie du moins de complaisance), et la copie des paiements effectués en faveur des SI ne constituent pas des éléments suffisants, vu l'absence de toute explication crédible de la part du recourant sur ses moyens de subsistance à V._. Il en va de même, dans ce contexte, du certificat médical signé le 25 septembre 2009 par le médecin traitant du recourant, qui a certes attesté que celui-ci était son patient depuis 1993 et le consultait régulièrement, sans toutefois préciser si, et le cas échéant quand l'intéressé était venu le voir pendant la période en cause.
5.4 Il découle de ce qui précède que la juridiction cantonale était en droit de retenir que le recourant n'avait pas sa résidence habituelle à V._ de septembre 2004 à mai 2009 et avait, de ce fait, perçu indûment des prestations complémentaires pendant cette période.
Dans la mesure où le recourant ne met pas en cause la réalisation des autres conditions mises à l'obligation de restituer des prestations accordées prévue à l'<ref-law> - laquelle implique que soient réunies les conditions d'une reconsidération (cf. <ref-law>) ou d'une révision procédurale (cf. <ref-law>) de la décision par laquelle les prestations ont été accordées (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 319 sv.) -, il n'y a pas lieu de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle examine si ces conditions sont réalisées. Il apparaît, en effet, que l'intimé a alloué des prestations complémentaires à partir de septembre 2004, parce qu'il ignorait que le recourant ne résidait plus à V._, ce dont il n'a eu connaissance que postérieurement à cette date. Dès lors que l'absence de résidence, qui implique le défaut de l'une des conditions du droit aux prestations complémentaires, constitue un fait important de nature à conduire à une appréciation juridique différente, mais qui a été découvert après coup, on est en présence d'un motif de révision procédurale.
Le jugement attaqué n'est par conséquent pas critiquable et le recours se révèle mal fondé, dans la mesure où il est recevable. On rappellera encore, à la suite de la juridiction cantonale, que le recourant a la possibilité de demander une remise de l'obligation de restituer, conformément à l'art. 25 al. 1 deuxième phrase LPGA.
6. Vu l'issue du litige, les frais de justice sont en principe à la charge du recourant, qui ne peut prétendre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Il convient toutefois d'accepter sa demande d'assistance judiciaire, dès lors qu'il a établi son indigence, que le recours n'était pas d'emblée dénué de chances de succès et que l'assistance d'un avocat était indiquée (cf. art. 64 al. 1 et 2 LTF). Le recourant est rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal s'il se trouve ultérieurement en mesure de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Maître Guillaume Fauconnet est désigné en tant qu'avocat d'office du recourant et une indemnité de 2800 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, supportée par la caisse du Tribunal.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 octobre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
La Greffière: Moser-Szeless