Sachverhalt:
A. M._ (geb. 1989) ist bei der Panorama Kranken- und Unfallversicherung krankenversichert. Aufgrund einer diagnostizierten Verspannung im Bereich der Kaumuskulatur und damit zusammenhängenden Kopfschmerzen wurde sie im Jahr 2008 in der Klinik Y._ mittels einer Michiganschiene (Aufbissbehelf zwecks Entlastung der Kiefermuskeln und -gelenke) therapiert, was offenbar zu einer deutlichen Beschwerdelinderung führte. Mit Verfügung vom 19. Juni 2008 und bestätigendem Einspracheentscheid vom 30. Juli 2008 lehnte die Panorama Kranken- und Unfallversicherung die Übernahme der Kosten für die Michiganschiene im Betrag von Fr. 563.20 (Rechnung vom 14. Februar 2008) mit der Begründung ab, es handle sich nicht um eine Pflichtleistung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung.
B. Dagegen liess M._, vertreten durch Dr. med. dent. X._, Direktor der Klinik Y._, Beschwerde erheben. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die Beschwerde gut und verpflichtete die Panorama Kranken- und Unfallversicherung unter Aufhebung des Einspracheentscheids vom 30. Juli 2008, M._ Fr. 563.20 für die Behandlung mittels Michiganschiene zu bezahlen (Entscheid vom 18. Mai 2009).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Panorama Kranken- und Unfallversicherung die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids.
M._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen, während das Bundesamt für Gesundheit auf deren Gutheissung schliesst.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin die Kosten der Therapie mittels Michiganschiene im Rahmen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zu übernehmen hat. Dabei steht ausser Frage, dass es sich bei der fraglichen Therapie nicht um eine zahnärztliche Behandlung im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> der Verordnung des EDI über Leistungen in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung [KLV], sondern um eine von einem Zahnarzt durchgeführte ärztliche Behandlung im Sinne von <ref-law> handelt (<ref-ruling>).
2.1 Gemäss <ref-law> übernimmt die obligatorische Krankenpflegeversicherung die Kosten für jene Leistungen, die der Diagnose oder Behandlung einer Krankheit und ihrer Folgen dienen. Darunter fallen nach <ref-law> die von Ärzten durchgeführten Untersuchungen, Behandlungen und Pflegemassnahmen; sie gelten vermutungsweise als wirksam, zweckmässig und wirtschaftlich (<ref-law>) und sind kostenvergütungspflichtig, sofern sie nicht in der vom Bundesrat respektive vom Eidgenössischen Departement des Innern erstellten, abschliessenden Negativliste von der Leistungspflicht ausgenommen sind (Art. 33 Abs. 1 und 5 KVG in Verbindung mit <ref-law>; <ref-law> in Verbindung mit Anhang 1 KLV; <ref-ruling> E. 3.2 S. 170; <ref-ruling> E. 5b S. 28).
2.2 Die Übernahmepflicht umfasst sodann gemäss <ref-law> die ärztlich verordneten Analysen, Arzneimittel und die der Untersuchung oder Behandlung dienenden Mittel und Gegenstände. Hinsichtlich der - hier interessierenden - Mittel und Gegenstände im Sinne von <ref-law> ist nebst den allgemeinen, hier unstrittig erfüllten Voraussetzungen nach <ref-law> verlangt, dass sie auf der vom Departement gestützt auf Art. 52 Abs. 1 lit. a Ziff. 3 KVG und <ref-law> erstellten Mittel- und Gegenstände-Liste (MiGeL; Anhang 2 KLV i.V.m. <ref-law>) aufgeführt sind, andernfalls keine obligatorische Leistungspflicht besteht (RKUV 2002 Nr. KV 196 S. 7, K 157/00 E. 3b/aa). Diese (Positiv-) Liste ist abschliessend (<ref-ruling> E. 4.1 S. 86 mit Hinweisen); die darin aufgeführten Mittel und Gegenstände dürfen höchstens zu dem Betrag vergütet werden, der in der Liste für die entsprechende Art von Mitteln und Gegenständen angegeben ist (<ref-law>).
Ist im Einzelfall zu prüfen, ob die Nichtaufnahme eines Gegenstands oder Mittels in die MiGeL vor Gesetz und Verfassung standhält, hat sich das Bundesgericht praxisgemäss grösste Zurückhaltung zu auferlegen (RKUV 2002 Nr. KV 196 S. 7, K 157/00 E. 3c/bb mit weiteren Hinweisen; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 101/03 vom 22. Juli 2004, E. 4.2).
Ist im Einzelfall zu prüfen, ob die Nichtaufnahme eines Gegenstands oder Mittels in die MiGeL vor Gesetz und Verfassung standhält, hat sich das Bundesgericht praxisgemäss grösste Zurückhaltung zu auferlegen (RKUV 2002 Nr. KV 196 S. 7, K 157/00 E. 3c/bb mit weiteren Hinweisen; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 101/03 vom 22. Juli 2004, E. 4.2).
2.3 2.3.1 Der <ref-law> konkretisierende <ref-law> in der bis Ende Juli 2007 gültig gewesenen Fassung sah in Abs. 2 vor, dass Mittel und Gegenstände, die in den Körper implantiert werden, nicht in der MiGeL aufgeführt sind und ihre Vergütung mit der entsprechenden Behandlung in den Tarifverträgen geregelt wird. Diese Bestimmung statuiert mithin für Implantate eine Ausnahme von der Positivlistenpflicht gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law> (in der bis Ende Juli 2007 gültig gewesenen Fassung) und der damit verbundenen gesetzlichen Höchstvergütungsbetragsregelung gemäss <ref-law> (vgl. vorne E. 2.2).
2.3.2 Der seit 1. August 2007 in Kraft stehende, a<ref-law> ersetzende und hier anwendbare <ref-law> hält in Abs. 1 (wie a<ref-law>) den Grundsatz fest, dass die Mittel und Gegenstände in Anhang 2 nach Arten und Produktegruppen aufgeführt sind. Die Sonderregelung des a<ref-law> (vorne E. 2.3.1) ist in Art. 20a Abs. 2 neu dahingehend ergänzt worden, dass als nicht in der Liste aufgeführte Mittel und Gegenstände auch solche erwähnt werden, die von Leistungserbringern nach Artikel 35 Absatz 2 KVG im Rahmen ihrer Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung verwendet werden (Satz 1); ihre Vergütung wird, wie bei Körperimplantaten, mit der entsprechenden Untersuchung oder Behandlung in den Tarifverträgen geregelt (Satz 2).
3. Die als Pflichtleistung zur Diskussion stehende Michiganschiene ist unstrittig weder als einzelnes Produkt in der MiGeL aufgeführt noch kann sie einer der in der Liste erwähnten Produktgruppen zugeordnet werden. Dies wird von den Parteien nicht als gesetzes- oder verfassungswidrig gerügt. Uneins sind sie hinsichtlich der Rechtsfrage, ob die betreffende Schiene überhaupt als ein Mittel und Gegenstand im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> zu qualifizieren ist, für welchen die Positivlistenpflicht gemäss MiGeL gilt (vorne E. 2.2), oder ob sie davon ausgenommen ist und gestützt auf <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> (vorne E. 2.3.2) - allenfalls gestützt auf <ref-law> (vorne E. 2.1) - als Pflichtleistung gemäss Tarifvertrag zwischen der Schweizerischen Zahnärztegesellschaft SSO und dem Konkordat der Schweizerischen Krankenversicherer (heute: santésuisse), Position "L 4177: Michiganschiene" vergütet werden muss. Letztgenannte Auffassung vertreten Vorinstanz und Beschwerdegegnerin, wogegen die Beschwerdeführerin und vernehmlassungsweise das Bundesamt für Gesundheit den gegenteiligen Standpunkt einnehmen.
4. 4.1 Vorab ist festzuhalten, dass sich aus der ausdrücklichen Erwähnung der Michiganschiene im Zahnarzttarif (vorne E. 3 in fine) keine obligatorische Leistungspflicht - namentlich auch nicht gestützt auf <ref-law> - ableiten lässt. Ob eine konkrete ärztliche Vorkehr in den Pflichtleistungskatalog fällt, liegt nicht in der Vertragsautonomie der Tarifpartner, sondern beurteilt sich einzig nach dem Gesetz; der Zahnarzttarif regelt bloss die Vergütung (Tarifwert) der übernahmepflichtigen Leistung (vgl. Art. 43 Abs. 1 und 2 Satz 1 KVG). Der Umstand, dass eine bestimmte Leistung oder ein bestimmtes Produkt in einen Tarifvertrag aufgenommen wurde, lässt wohl darauf schliessen, dass die Vertragsparteien eine diesbezügliche gesetzliche Übernahmepflicht angenommen haben; für die Gerichte ist dies jedoch nicht verbindlich.
4.2 Hinsichtlich der umstrittenen Frage, ob die Michiganschiene unter die "Mittel und Gegenstände" im Sinne von <ref-law> fällt, ergibt die Rechts- und Sachlage Folgendes:
4.2.1 Mittel und Gegenstände im Sinne von <ref-law> sind solche, die der Behandlung oder der Untersuchung dienen. <ref-law> konkretisiert unter dem Titel "Grundsatz", die Versicherung leiste eine Vergütung an Mittel und Gegenstände, die der Behandlung oder der Untersuchung im Sinne einer Überwachung der Behandlung dienen, auf ärztliche Anordnung von einer Abgabestelle nach <ref-law> abgegeben werden und von der versicherten Person selbst oder mit Hilfe einer nichtberuflich an der Untersuchung oder der Behandlung mitwirkenden Person angewendet werden.
4.2.2 Die Michiganschiene ist eine durchsichtige, etwa 2 mm dicke Form aus durchsichtigem Kunststoff, die meistens auf die Zähne des Oberkiefers aufgesetzt wird. Sie wird in der Regel nachts getragen und verhindert, dass die Zähne durch das mechanische Abtragen von Zahnsubstanz zerstört werden. Durch das Aufbeissen auf die Schiene wird häufig auch eine Entspannung der Muskulatur erreicht, womit Symptome wie Kiefergelenks-, Kopf- und Muskelschmerzen vermindert werden; zu diesem therapeutischen Zweck (Behandlung von Verspannungen im Bereich der Kaumuskulatur und damit zusammenhängenden Kopfschmerzen) wurde sie auch bei der Beschwerdegegnerin eingesetzt. Die Schiene wird im Zahntechniklabor aufgrund der zahnärztlichen Unterlagen individuell angefertigt und anschliessend vom Zahnarzt der zu behandelnden Person anprobiert und abgegeben. Der Patient/die Patientin kann sie alsdann problemlos selber einsetzen und wieder entfernen sowie reinigen (vgl. zum Ganzen: «http://www.zahnar-t.ch/a-z/M/michiganschiene.htm; www.aeskulap-klinik.ch/pdf/Michiganschiene.pdf»).
4.2.3 Indem die Michiganschiene der Krankheitsbehandlung dient und von der versicherten Person ohne Weiteres selbst angewandt werden kann (E. 4.2.2), erfüllt sie jedenfalls zwei der drei Begriffsmerkmale der Mittel und Gegenstände im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>. Daran ändert nichts, dass sie individuell durch den Zahnarzt angepasst und im Zahntechniklabor hergestellt wird; auch andere Mittel und Gegenstände im Sinne der genannten Bestimmungen werden fachmännisch nach Mass angefertigt (z.B. Orthesen, Hörgeräte, Sehhilfen). Entscheidend ist, dass Endverbraucher der Mittel und Gegenstände gemäss <ref-law> stets die Patientin/der Patient ist und diese(r) das Produkt schliesslich allein oder mit Hilfe einer nichtberuflich mitwirkenden Person anwenden kann, was auf die Michiganschiene zweifellos zutrifft. Fraglich bleibt einzig, ob die Schiene vorliegend deshalb nicht unter die gesetzliche Definition der Mittel und Gegenstände fällt, weil sie der versicherten Person nicht auf ärztliche Anordnung von einer Abgabestelle nach <ref-law> (vgl. vorne E. 4.2.1), sondern direkt vom Zahnarzt selber abgegeben wird. Dies ist zu verneinen (so - implizit - auch Urteil K 101/03 vom 22. Juli 2004, E. 4): Mit dem Verweis in <ref-law> auf die Abgabestellen nach <ref-law> wird gesetzgeberisch klargestellt und soll gewährleistet sein, dass die Versicherung nur die von gesetzlich zugelassenen Leistungserbringern abgegebenen Mittel und Gegenstände vergütet. Die Ausgabe über die nach Art. 35 Abs. 2 lit. g und Art. 38 KVG in Verbindung mit <ref-law> zugelassenen Abgabestellen - worunter verschiedenste Institutionen wie Apotheken, Drogerien, Fachgeschäfte etc. fallen können (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 79/98 vom 4. Juli 2001 E. 4a) - bildet dabei den Regelfall und ist als solcher nachvollziehbarerweise in <ref-law> ausdrücklich erwähnt. Als Grundsatz-Regelung schliesst <ref-law> jedoch nicht aus, dass ein ärztlich angeordnetes Mittel oder ein ärztlich angeordneter Gegenstand ausnahmsweise, sofern notwendig, direkt vom zugelassenen, behandelnden Arzt oder Zahnarzt (Art. 35 Abs. 2 lit. a und Art. 36 KVG in Verbindung mit Art. 38 f. und Art. 42 f. KVV) abgegeben wird, wie dies auf massgefertigte zahntechnische Produkte regelmässig zutreffen dürfte. Wäre dementgegen die Herausgabe durch eine Abgabestelle nach <ref-law> unabdingbares Begriffsmerkmal der Mittel und Gegenstände im Sinne von <ref-law> und damit der grundsätzlichen Listenpflicht (vorne E. 2.2), dann bestünde die Gefahr, dass ärztliche Leistungserbringer die Listenpflicht beliebig durch eigenhändige Abgabe der Mittel und Gegenstände umgehen könnten, womit eine rechtsgleiche Vergütungspraxis entfiele: So könnte es beispielsweise nicht angehen, dass etwa ein Augenarzt die Limitierungen der MiGeL für Sehhilfen dadurch umginge, dass er selber einen Optiker beschäftigte, welcher Brillengläser oder Linsen in seinem Auftrag erstellt, um vom Arzt dann selbst direkt dem Patienten abgegeben und folglich über <ref-law> abgerechnet zu werden.
Nach dem Gesagten ist die Michiganschiene als Mittel und Gegenstand im Sinne des <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> zu qualifizieren, womit sie grundsätzlich der Listenpflicht gemäss <ref-law> untersteht. Die obligatorische Kostenübernahme für dieses Produkt gestützt auf <ref-law> fällt damit ausser Betracht, da die Tatbestände <ref-law> sich in Bezug auf ein- und dasselbe Leistungselement als Rechtsgrund der Leistungspflicht gegenseitig ausschliessen.
4.3 Zu prüfen bleibt, ob die Michiganschiene ausnahmsweise von der Listenpflicht gemäss <ref-law> und damit vom sachlichen Anwendungsbereich der MiGeL (<ref-law>) ausgenommen ist:
4.3.1 Nach dem bis Ende Juli 2007 in Kraft gestandenen a<ref-law> waren nur die in den Körper implantierten Mittel und Gegenstände nicht listenpflichtig (vorne E. 2.3.1); alle andern der Behandlung und Untersuchung dienenden Mittel und Gegenstände waren nach der gesetzlichen Konzeption ausschliesslich nach Massgabe der rechtsprechungsgemäss abschliessenden MiGeL vergütungspflichtig (vorne E. 2.2). Gestützt auf diese Rechtslage hatte das Eidg. Versicherungsgericht die - einer als ärztliche Behandlung eingestuften (Schnarch-)Therapie dienende - Unterkieferschiene des Typs SERENOX (Vorschub des Unterkiefers zwecks Verbesserung der Atmung; «www.medicalforum.ch/pdf/pdf_d/2003/2003-08/2003-08-450.PDF») folgerichtig deshalb als nicht leistungspflichtig eingestuft, weil das betreffende Produkt weder als Implantat einzustufen noch in der MiGeL ausdrücklich aufgeführt war und auch nicht einer der dort erwähnten Produktgruppen zugeordnet werden konnte (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 101/03 vom 22. Juli 2004). Zur Michiganschiene hat das Gericht in <ref-ruling> festgestellt, die entsprechende Therapie sei als ärztliche Behandlung zu qualifizieren und damit grundsätzlich nach Massgabe von <ref-law> - statt <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> (vgl. vorne E. 2 Ingress) - leistungspflichtig; nicht geäussert hat sich das Gericht im erwähnten Entscheid zur hier umstrittenen Positivlistenpflicht der Michiganschiene. Im Urteil K 159/00 vom 22. April 2002 hatte das Eidg. Versicherungsgericht eine medizinische Behandlung im Zusammenhang mit einer Aufbissschiene zu beurteilen, nicht jedoch - wie hier - die Kostenübernahme für die Schiene als solche.
Es ist kein Grund ersichtlich, weshalb hinsichtlich der Positivlistenpflicht der Michiganschiene nach der Rechtslage bis Ende Juli 2007 im Ergebnis hätte anders entschieden werden können als im erwähnten Urteil betreffend SERENOX-Schiene, zumal auch die Michigan-Schiene unstrittig kein Implantat im Sinne der Sonderregelung des aArt. 20 Abs. 2 KLV (und <ref-law>) ist und sie sich hinsichtlich Herstellung, Art und Beschaffenheit mit der SERENOX-Schiene durchaus vergleichen lässt. Die unterschiedlichen therapeutischen Zielsetzungen der beiden Produkte ändern daran nichts; die therapeutische Stossrichtung ist wohl wichtiges Kriterium für die Abgrenzung der zahnärztlichen Behandlungen nach <ref-law> von den ärztlichen Behandlungen des Zahnarztes nach <ref-law> (<ref-ruling>); für die Frage der Positivlistenpflicht im Rahmen des <ref-law> ist sie jedoch nicht massgebend.
4.3.2 Nicht zu beurteilen hatte das Bundesgericht bis anhin, ob die Michiganschiene unter der Herrschaft des seit 1. August 2007 geltenden <ref-law> (vorne E. 2.3.2) neu unter die Mittel und Gegenstände zu subsumieren ist, die von den Leistungserbringern nach Art. 35 Absatz 2 KVG im Rahmen ihrer Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung verwendet werden und als solche nicht in der MiGeL aufgeführt sind, wovon sinngemäss die Vorinstanz ausgeht (vgl. vorne E. 3). Massgebend sind dabei die allgemeinen Auslegungsregeln (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.1 S. 53,153 E. 4.1 S. 157, je mit Hinweisen), einschliesslich des Grundsatzes der gesetzeskonformen Auslegung von Verordnungsrecht (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 266 mit Hinweisen) und die Rechtsprechung, wonach Ausnahmebestimmungen weder restriktiv noch extensiv, sondern nach ihrem Sinn und Zweck im Rahmen der allgemeinen Regelung auszulegen sind (<ref-ruling> E. 2.2 S. 232 mit weiteren Hinweisen; nicht publizierte E. 5 des <ref-ruling>).
4.3.2.1 Während die listenpflichtigen Mittel und Gegenstände im Sinne des Art. 20 und <ref-law> solche sind, die von der versicherten Person selbst angewendet werden (vgl. vorne E. 4.2.1), spricht der Wortlaut des <ref-law> von Mitteln und Gegenständen, die der Leistungserbringer im Rahmen seiner Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung verwendet. Welche konkreten Mittel und Gegenstände darunter fallen können, ist dem Text nicht zu entnehmen, und es sind keine Materialien des Verordnungsgebers ersichtlich, welche hierüber beispielhaft näheren Aufschluss geben könnten. Auch das Bundesamt für Gesundheit äussert sich in der Vernehmlassung nicht dazu. Es wird sich vorab um solche Mittel und Gegenstände handeln, die für eine fachgerechte Durchführung der ärztlichen Behandlung unabdingbar sind; die Frage bedarf jedoch keiner abschliessenden Prüfung. Ausschlaggebend ist, dass <ref-law> die Abgrenzung der nicht listenpflichtigen von den (gemäss Art. 20 und <ref-law>) listenpflichtigen Mitteln und Gegenständen danach trifft, wer das betreffende Gerät/ Objekt braucht resp. anwendet oder verwendet. Im Falle der Mittel und Gegenstände nach <ref-law> ist dies - abgesehen von den Körperimplantaten, die hier nicht zur Diskussion stehen (vorne E. 4.2 in fine) - nach dem eindeutigen und unmissverständlichen Wortlaut der Bestimmung ausschliesslich der Leistungsbringer nach <ref-law>. Ein Gegenstand, welcher ab einem bestimmten Behandlungszeitpunkt durch die versicherte Person selber (allenfalls mit Hilfe einer nichtberuflich mitwirkenden Person; vgl. <ref-law>) angewendet und genutzt wird, fällt definitionsgemäss aus dem Geltungsbereich der Bestimmung heraus. Es bestehen keinerlei triftige Gründe zur Annahme, dass diese grammatikalische Auslegung nicht den wahren Sinngehalt der Vorschrift wiedergibt, was ein Abweichen vom Normtext rechtfertigen könnte (vgl. <ref-ruling> E. 7.2 S. 273 mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2 S. 211). Im Gegenteil spricht auch der gesetzessystematische Kontext für dieses Ergebnis: Danach ist die Listenpflicht und die gesetzliche Höchstvergütungsbetragsregelung bei Mitteln und Gegenständen die Regel (Art. 20, Art. 20a Abs. 1 und <ref-law>), die Nichtlistenpflicht gemäss <ref-law> dagegen die - auf Stufe des KVG nicht explizit erwähnte - Ausnahme. Eine extensivere Auslegung des <ref-law>, welche den Anwendungsbereich über die Implantate hinaus auf andere von der versicherten Person (als Endverbraucherin) angewandte Produkte ausdehnt, würde zudem die im Wortlaut klare Grenzziehung zu Art. 20 und <ref-law> in einer Weise verwischen, die in der Praxis zu erheblichen Anwendungsproblemen führen dürfte und das im Bereich der Mittel und Gegenstände grundsätzlich geltende Listenprinzip als solches auszuhöhlen drohte. Dies entspricht weder Sinn und Zweck der in <ref-law> gewählten Formulierung noch den zu Grunde liegenden gesetzgeberischen Wertungen (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 53, 153 E. 4.1 S. 157, je mit Hinweisen). Die Michiganschiene fällt demnach nicht in den Geltungsbereich des <ref-law>.
4.3.2.2 Soweit Vorinstanz und Beschwerdegegnerin aus dem Umstand, dass die MiGeL generell keine Produkte der Zahnheilkunde wie Schienen, Spangen, Prothesen, etc. enthält, für diesen Bereich einen im Gesetz nicht enthaltenen Nichtlistenpflicht-Tatbestand sui generis ableiten, kann dem nicht gefolgt werden: Das Fehlen der Zahnprodukte in der MiGeL liegt vorab in der gesetzlichen Grundkonzeption begründet, welche vom Regelfall ausgeht, dass der Zahnarzt zahnärztliche Behandlungen im engeren Sinne (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 145) durchführt, welche nur unter eng umschriebenen Voraussetzungen gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> kassenpflichtig sind und auf die somit die <ref-law> und <ref-law> von vornherein nicht anwendbar sind. Für den hier zu beurteilenden Fall der ärztlichen Behandlung durch einen Zahnarzt lassen sich daraus keine Schlüsse ziehen; namentlich kann nicht gefolgert werden, der Gesetzgeber habe die Produkte der Zahnheilkunde generell (wie vorgebracht wird) aus Gründen administrativer Vereinfachung von der Listenpflicht ausnehmen wollen. Vielmehr ist davon auszugehen, dass der Zahnarzt, soweit er ausnahmsweise eine ärztliche resp. arztäquivalente Behandlung durchführt, hinsichtlich der gesetzlichen Vergütungspflicht den Ärzten gleichgestellt ist: Die Gleichstellung gilt zum einen mit Bezug auf die eigentlichen Behandlungskosten, die nach <ref-law> vergütungspflichtig sind, sofern auch die übrigen Voraussetzungen nach Art. 25 Abs. 1 und Art. 32 KVG erfüllt sind (in diesem Sinne etwa <ref-ruling> E. 7 S. 141; Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts K 62/99 vom 9. April 2002 E. 4 und 5, K 152/01 vom 30. April 2002 E. 5a; K 86/99 vom 19. Dezember 2002 E. 6); sie gilt nach dem unter E. 4.1-4.3.2.1 hievor Gesagten aber auch hinsichtlich der ärztlich verordneten Mittel und Gegenstände, die der Behandlung dienen und damit dem Vergütungsregime des <ref-law> unterstehen. Etwas anderes lässt sich weder gesetzessystematisch noch unter dem Blickwinkel der rechtsgleichen Behandlung sachlich begründen; es ist diesbezüglich von einem qualifizierten Schweigen des Gesetzgebers auszugehen, das keinen Raum für eine ergänzende Regelung im Sinne richterlicher Lückenfüllung (<ref-ruling> E. 4.1 S. 185, 15 E. 2.3 S. 16, je mit weiteren Hinweisen) zulässt. Dies mag möglicherweise dazu führen, dass ein bestimmtes zahnmedizinisches Produkt wohl im Rahmen einer zahnärztlichen Behandlung nach <ref-law> (gemäss tarifvertraglicher Vereinbarung) von der Kasse zu übernehmen ist, nicht aber im Rahmen einer arztäquivalenten Behandlung nach <ref-law>. Darin liegt jedoch nur vordergründig eine "Ungereimtheit" (Zitat Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2. Aufl. 2007, S. 607 Rz. 627). Wie das Bundesamt für Gesundheit in seiner Vernehmlassung zu Recht feststellt, besteht jederzeit die Möglichkeit, ein Gesuch um Aufnahme der Michiganschiene in die MiGeL zu stellen; prinzipielle Gründe, welche der Aufnahme dieses Behandlungsgeräts oder anderer zahntechnisch angefertigter Schienen unter Limitation auf ärztliche/arztäquivalente Behandlungen durch den Zahnarzt entgegenstünden, sind nicht ersichtlich; namentlich wäre es auch möglich, bei dieser MiGeL-Position den anwendbaren Taxpunktwert gestützt auf die entsprechende Position im SSO-Zahnarzttarif festzulegen (vgl. MiGeL, Ziff. 23 betreffend "Orthesen"). Dem Bundesgericht steht eine Ergänzung der MiGeL nicht zu (vgl. vorne E. 2.2 in fine).
5. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerdegegnerin keinen Anspruch auf Übernahme der Kosten der Michiganschiene - als ein derzeit nicht in der MiGeL aufgeführter Gegenstand im Sinne von <ref-law> - durch die obligatorische Krankenversicherung hat. Da der hier umstrittene Rechnungsbetrag in der Höhe von Fr. 563.20 nach Lage der Akten allein die spezifischen Kosten für Material und Herstellung der Schiene (Modelle, Gegenmodelle, Anfertigung der Schiene im Zahntechniklabor) umfasst, ist die Leistungspflicht insgesamt zu verneinen. Nicht weiter zu prüfen ist hier, ob und inwieweit im Rahmen der ärztlichen Therapie mittels Michiganschiene zusätzlich eigentliche Behandlungskosten beim Zahnarzt angefallen sind (Untersuchungen, Diagnostik, Anpassungen, Kontrollen, etc.), welche gestützt auf <ref-law> von der Kasse zu vergüten wären (vorne E. 4.3.2.2).
6. Dem Prozessausgang entsprechend gehen die Gerichtskosten zu Lasten der Beschwerdegegnerin (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Die obsiegende Beschwerdeführerin hat als eine mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 18. Mai 2009 wird aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Februar 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Amstutz