zieht das Bundesgericht in Erwägung:
1.- X._ erhob gegen die Schlussverfügung der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt vom 27. Februar 2001 in Sachen Rechtshilfeersuchen der Staatsanwaltschaft Freiburg i.Br. am 26. März 2001 Beschwerde. Die Rekurs- kammer des Strafgerichts Basel-Stadt wies mit Entscheid vom 14. September 2001 die Beschwerde ab. Mit Eingabe vom 22. Oktober 2001 erhob X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Entscheid der Rekurskammer. Gleichzeitig ersuchte er um Erstreckung der Frist zur Einreichung einer Beschwerdebegründung um wenigstens zwei Wochen. Zur Begründung seiner Beschwerde verwies er vorläufig auf seine "Vorbringen vom 9.11.2000 und 12.03.2001. " Das Bundesgericht teilte ihm mit Schreiben vom 24. Oktober 2001 mit, dass Beschwerdefristen als gesetzliche Fristen nicht erstreckt werden können (Art. 33 Abs. 1 OG). Nachdem sich der Beschwerdeführer in der Folge nicht mehr vernehmen liess, teilte ihm das Bundesgericht mit Schreiben vom 9. November 2001 mit, dass es aufgrund einer vorläufigen Prüfung auf die Beschwerde vom 22. Oktober 2001 wegen fehlender Begründung nicht werde eintreten können.
2.- Mit Schreiben vom 19. November 2001 teilte X._ dem Bundesgericht mit, dass seinem deutschen Prozessbevollmächtigten auf Anfrage vom Strafgericht Basel-Stadt mitgeteilt worden sei, eine Fristverlängerung zur Begründung seiner Verwaltungsgerichtsbeschwerde könne ohne weiteres bewilligt werden.
3.- Gemäss Art. 108 Abs. 2 OG hat eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde u.a. die Begehren und deren Begründung zu enthalten. An diese sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung keine allzu hohen Anforderungen zu stellen. Erforderlich ist eine sachbezogene Begründung; es muss aus der Beschwerdeschrift ersichtlich sein, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird (<ref-ruling> E. 2). Ein lediglich pauschaler Verweis auf frühere Rechtsschriften im gleichen Verfahren genügt der Begründungspflicht nicht (<ref-ruling> E. 1).
4.- Die fristgerecht eingereichte Beschwerdeschrift vom 22. Oktober 2001, in welcher einzig auf zwei frühere Rechtsschriften verwiesen wird, genügt der Begründungspflicht nicht. Da es sich um eine den Anforderungen von Art. 108 Abs. 2 OG nicht genügende Beschwerdeschrift handelt, ist eine nachträgliche Verbesserung nicht möglich. Eine Nachfrist im Sinne von Art. 108 Abs. 3 OG ist nur anzusetzen, wenn die Angaben in der Beschwerde unklar, d.h. mehrdeutig sind. Die Nachfrist kann nicht dazu dienen, eine inhaltlich ungenügende Rechtsschrift zu ergänzen (<ref-ruling> E. 6b/ bb S. 369). Demnach kann mangels einer genügenden Begründung auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 22. Oktober 2001 nicht eingetreten werden.
5.- Es bleibt zu prüfen, ob die vom Beschwerdeführer mit Eingabe vom 19. November 2001 geltend gemachte unrichtige Auskunft ein unverschuldetes Hindernis im Sinne eines Fristwiederherstellungsgrundes darstellt.
Wiederherstellung gegen die Folgen der Versäumung einer Frist wird erteilt, wenn der Gesuchsteller oder sein Vertreter durch ein unverschuldetes Hindernis davon abgehalten worden ist, innert Frist zu handeln, und binnen zehn Tagen nach Wegfall des Hindernisses unter Angabe desselben die Wiederherstellung verlangt und die versäumte Rechtshandlung nachholt (Art. 35 Abs. 1 OG). Die Wiederherstellung setzt ein "unverschuldetes Hindernis" voraus; jedwelches Verschulden einer Partei oder ihres Vertreters beziehungsweise beigezogener Hilfspersonen (<ref-ruling> E. 2 und 3), so geringfügig es auch sein mag, schliesst sie aus. Diese Lösung kann im Einzelfall zu Härten führen, doch steht es dem Bundesgericht nicht zu, den klaren Gesetzestext gegen seinen Wortlaut auszulegen.
Vorliegend scheitert die Fristwiederherstellung bereits daran, dass der Beschwerdeführer nicht binnen zehn Tagen nach Wegfall des Hindernisses die versäumte Rechtshandlung nachgeholt hat. Mit Schreiben vom 24. Oktober 2001 hat ihm das Bundesgericht mitgeteilt, dass die Beschwerdefrist als gesetzliche Frist nicht erstreckt werden könne (Art. 33 Abs. 1 OG). Demnach hätte der Beschwerdeführer binnen zehn Tagen nach Erhalt dieses Schreibens die fehlende Beschwerdebegründung beim Bundesgericht einreichen müssen.
Ausserdem liegt auch kein unverschuldetes Hindernis im Sinne von Art. 35 Abs. 1 OG vor. Der angefochtene Entscheid enthielt eine richtige Rechtsmittelbelehrung. Auf eine unrichtige (mündliche?) Auskunft eines Mitarbeiters des Strafgerichts Basel-Stadt bezüglich einer Fristerstreckungspraxis des Bundesgerichts durfte sich der Beschwerdeführer nicht verlassen. Er hätte sich direkt beim Bundesgericht erkundigen bzw. sein Fristerstreckungsgesuch nicht erst kurz vor Ablauf der Beschwerdefrist stellen müssen. Die Voraussetzungen zur Wiederherstellung gegen die Folgen einer Fristversäumung im Sinne von Art. 35 Abs. 1 OG sind somit nicht erfüllt. Das sinngemäss gestellte Gesuch ist abzuweisen.
6.- Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 35 Abs. 2 und Art. 36a OG:
1.- Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.- Das Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, der Rekurskammer des Strafgerichts des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Justiz (Abteilung Internationale Rechtshilfe) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 29. November 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: