Faits:
A. A.a G._, née le 23 mars 1958, a été engagée dès le 2 décembre 1974 en qualité d'employée du service hôtelier (cafétéria) de l'Hôpital X._, à raison d'un horaire de travail complet. Veuve depuis le 30 avril 2002, elle a présenté entre le 1er mai 2002 et le 31 mars 2003 des périodes d'incapacité totale ou partielle de travail. Depuis le 1er avril 2003, elle n'effectue plus que la moitié de l'horaire de travail.
Le 9 février 2004, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur R._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant de l'assurée, a déposé un rapport du 16 mars 2004. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a confié une expertise au COMAI de Lausanne. Dans un rapport du 22 novembre 2004, les médecins de l'Hôpital Y._ ont retenu les diagnostics avec influence essentielle sur la capacité de travail de syndrome douloureux somatoforme persistant ([CIM-10] F45.4), de personnalité dépendante (F60.7) et de trouble de l'adaptation avec réaction dépressive prolongée (F43.21). Ils concluaient à une capacité de travail de 50 % dans l'activité actuelle.
Le 7 février 2005, l'office AI a avisé G._ qu'elle présentait une invalidité de 50 % dès le 1er mai 2003, date à partir de laquelle elle avait droit à une demi-rente. Par décision du 18 mars 2005, il lui a octroyé une rente.
A.b Dès le 29 septembre 2005, l'office AI a procédé à la révision du droit de l'assurée à une demi-rente d'invalidité.
Retenant les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail de lombosciatalgies bilatérales, de cervicalgies chroniques prédominantes en C7-D1 à gauche, d'état dépressif et de crises de panique, le docteur R._, dans un rapport du 19 octobre 2005, a indiqué que l'incapacité de travail de 50 % était inchangée.
Sur requête du docteur B._ (avis médical SMR du 25 janvier 2006), le docteur E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, a effectué un examen psychiatrique. Dans un rapport du 4 septembre 2006, il a retenu les diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail de personnalité dépendante (F60.7), de dysthymie (F34.1) et de syndrome douloureux somatoforme persistant (F45.4). Il indiquait que G._ présentait une capacité de travail exigible totale sur le plan strictement psychiatrique dans l'activité habituelle et dans une activité adaptée, conclusion qui a été reprise par le docteur B._ dans un rapport d'examen SMR du 13 octobre 2006.
Dans un projet de décision du 12 janvier 2007, l'office AI a informé G._ qu'elle ne présentait plus d'atteinte à la santé invalidante, ni sur le plan somatique ni sur le plan psychique, et que son droit à une demi-rente serait supprimé, ce que celle-ci a contesté par lettre du 24 janvier 2007. Le 25 janvier 2007, il l'a avisée que son courrier n'apportait aucun élément nouveau et qu'à défaut d'éléments probants, la décision de suppression du droit à la rente serait notifiée à l'échéance du délai de 30 jours de la procédure préalable. Par lettre du 1er février 2007, l'assurée a requis la prolongation du délai jusqu'au 28 février 2007, requête qu'elle a renouvelée le 8 février 2007 à la suite du refus de l'office AI du 5 février 2007. Le 13 février 2007, celui-ci l'a avisée qu'à défaut d'être en possession d'arguments probants d'ici au 20 février 2007, il lui notifierait la décision de suppression de son droit à la rente.
Par décision du 20 février 2007, l'office AI a supprimé le droit de G._ à une demi-rente dès le premier jour du 2ème mois suivant la notification de la décision.
B. Par jugement du 12 décembre 2007, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé par G._ contre cette décision.
C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celui-ci et de la décision de suppression du droit à la rente du 20 février 2007, la cause étant renvoyée à l'office AI, respectivement à la juridiction cantonale, pour nouvelle décision au sens des considérants, aux motifs que le premier a violé son droit d'être entendue et la seconde les principes en matière de révision.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel conclut au rejet du recours, ce que propose également l'Office fédéral des assurances sociales dans un préavis du 21 avril 2008.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
Au regard de la réglementation sur le pouvoir d'examen prévue par la LTF, il convient d'examiner sur la base des griefs soulevés dans le recours formé devant le Tribunal fédéral si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (<ref-law>), y compris une éventuelle constatation des faits contraire au droit (art. 97 al. 1, <ref-law>).
2. Le grief de violation du droit d'être entendu invoqué par la recourante est mal fondé, attendu qu'elle a pu l'exercer dans le délai de 30 jours fixé dans le préavis du 12 janvier 2007 de suppression du droit à la rente. En effet, ainsi que cela ressort de sa lettre du 24 janvier 2007, elle s'est opposée à la suppression de son droit à une demi-rente, en contestant les conclusions du SMR contenues dans le rapport du 4 septembre 2006 et en demandant une nouvelle expertise médicale. En outre, elle a pu faire part à l'office AI de ses observations sur le préavis dans ses écritures des 1er et 8 février 2007. Ainsi, la garantie du droit d'être entendu dans le cadre de la procédure préalable a été respectée. Par ailleurs, la recourante a pu s'exprimer sur l'administration des preuves devant la juridiction cantonale, dont le pouvoir d'examen était étendu. Peut dès lors demeurer indécis le point de savoir si, dans le cadre de la procédure de préavis, le délai de 30 jours de l'<ref-law> est susceptible d'être prolongé.
3. Le litige porte sur la suppression, par voie de révision, du droit de la recourante à une demi-rente d'invalidité.
3.1 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 s. (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398).
3.2 Le jugement cantonal expose correctement les règles légales et les principes jurisprudentiels sur la révision du droit à une rente d'invalidité (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.5 p. 349 s.). On peut ainsi y renvoyer.
4. Les premiers juges ont comparé la situation de la recourante au moment de la décision de rente du 18 mars 2005 et à l'époque de la décision de suppression du droit à la rente du 20 février 2007. Ils ont retenu que son état de santé s'était modifié de façon à influencer notablement le taux d'invalidité depuis la décision d'octroi de rente du 18 mars 2005.
4.1 La recourante le conteste, au motif que ce fait est manifestement faux étant donné qu'il ne ressort en rien du dossier ni de l'état de fait du jugement attaqué, qu'il n'est mentionné nulle part et qu'il est en contradiction avec la conclusion du docteur E._ selon laquelle l'amélioration est intervenue le 14 septembre 2004, date de l'examen par les experts du COMAI.
4.2 Il n'apparaît pas que la juridiction cantonale ait établi les faits pertinents de façon manifestement inexacte ou en violation du droit.
En retenant une modification de l'état de santé propre à influencer notablement la capacité de gain depuis la décision de rente du 18 mars 2005, les premiers juges se sont fondés sur le fait que le docteur E._, dans son rapport du 4 septembre 2006, avait retenu le diagnostic de dysthymie (F34.1), lequel était motivé non seulement par les dires de l'assurée elle-même au sujet de l'amélioration de son état mental, mais aussi sur ses propres constatations, et qu'il était arrivé à la conclusion qu'elle ne présentait plus, sur le plan strictement psychiatrique, de limitations fonctionnelles entraînant une incapacité de travail.
Cela est déterminant par rapport à la situation de la recourante lors de la décision de rente du 18 mars 2005. Ainsi que l'ont relevé les premiers juges, elle présentait à cette époque-là un trouble de l'adaptation avec réaction dépressive prolongée (F43.21), diagnostic qui avait été retenu par les médecins de l'Hôpital Y._ dans leur expertise du 22 novembre 2004 comme affection clairement en lien avec une incapacité de travail. Ils ont considéré qu'en s'arrêtant à ce diagnostic, les experts du COMAI avaient identifié une affection qui n'était que temporaire et que la constatation de la disparition de celle-ci par le docteur E._ lors de l'examen psychiatrique du 31 août 2006 n'avait rien de surprenant. Cela n'est pas discuté par la recourante.
Même si le docteur E._, dans son rapport du 4 septembre 2006, fait remonter le recouvrement d'une pleine capacité de travail au 14 septembre 2004, cela n'est pas décisif. En effet, la juridiction cantonale a retenu que le trouble de l'adaptation avec réaction dépressive prolongée avait disparu pendant la période déterminante. On ne voit pas que ce fait ait été établi de façon manifestement inexacte. Ainsi que cela ressort du dossier, les médecins de l'Hôpital Y._ ont examiné l'assurée les 8 et 14 septembre 2004. Dans leur rapport du 22 novembre 2004, ils n'ont pas indiqué à quand remontait le trouble de l'adaptation avec réaction dépressive prolongée. Ils n'ont pas non plus laissé entendre que ce trouble avait disparu le 14 septembre 2004.
4.3 Les autres griefs développés dans le recours n'y peuvent rien changer.
Ainsi, s'agissant de la valeur probante de l'expertise du docteur E._, les premiers juges ont admis que son rapport du 4 septembre 2006 remplissait tous les critères jurisprudentiels (<ref-ruling> consid. 3a p. 352) qui permettent de reconnaître aux rapports médicaux pleine valeur probante. La recourante fait référence à un arrêt I 755/04 du 25 septembre 2006 pour critiquer l'avis a posteriori de ce médecin sur sa capacité de travail à partir du 14 septembre 2004, mais n'indique pas quel(s) critère(s) ne serai(en)t pas rempli(s). Son affirmation, selon laquelle l'état de santé aurait dû être analysé globalement et non pas de façon séparée, n'est pas pertinente.
Le fait que le docteur B._, dans un avis médical SMR du 25 janvier 2006, a mis en doute la valeur probante de l'expertise des médecins de l'Hôpital Y._ du 22 novembre 2004 n'est pas non plus décisif. On ne saurait faire abstraction de l'appréciation du médecin du SMR du 26 janvier 2005, dont il ressort qu'il partageait l'avis des experts du COMAI.
4.4 Le fait que l'état de santé de la recourante s'est modifié pendant la période déterminante de façon à influencer notablement sa capacité de gain depuis la décision de rente du 18 mars 2005 constitue un motif de révision au sens de l'<ref-law>. Les conditions étaient ainsi réunies pour supprimer son droit à une demi-rente.
La question de la reconsidération de la décision initiale du 18 mars 2005 ne se pose pas. Sur ce point également, le jugement attaqué est conforme au droit.
Mal fondé, le recours doit par conséquent être rejeté.
5. Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par la recourante qui succombe (<ref-law>). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).
5. Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par la recourante qui succombe (<ref-law>). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).
5.1

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 8 septembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner