Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 4. Juni 2013 (8C_181/2013) wies das Bundesgericht die von Z._ erhobene Beschwerde gegen den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 22. Februar 2013 unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren ab. Mit dem bestätigten kantonalen Entscheid waren die von der IV-Stelle des Kantons Zürich am 22. März 2011 für die Dauer vom 1. April 2007 bis 30. September 2009 bei einem Invaliditätsgrad von 54% zugesprochene halbe Invalidenrente und die für die Zeit danach aufgrund eines ermittelten Invaliditätsgrades von 14% festgehaltene Verneinung eines Rentenanspruchs geschützt worden. Mit gleichem Entscheid vom 22. Februar 2013 hatte das kantonale Gericht die unentgeltliche Prozessführung entsprechend des nachträglich eingereichten Gesuches vom 10. Juni 2011 bewilligt und die Gerichtskosten von Fr. 800.00 auf die Gerichtskasse genommen, jedoch das Gesuch um unentgeltliche Rechtsvertretung abgewiesen. In der hiegegen erhobenen Beschwerde vom 4. März 2013 - im zweiten Teilsatz des Rechtsbegehrens Ziffer 4, womit Z._ vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersuchte - beantragte sie sinngemäss auch die Gewährung der unentgeltlichen Rechtsvertretung für das vorinstanzliche Verfahren.
B.
Mit Revisionsgesuch vom 14. Juni 2013 verlangt Z._ um nachträgliche Beurteilung des Rechtsbegehrens gemäss zweitem Teilsatz von Antrag Ziffer 4 der Beschwerdeschrift vom 4. März 2013, wonach ihr nicht nur für das letztinstanzliche Verfahren, sondern "auch für das Verfahren vor der Vorinstanz" die unentgeltliche Rechtsvertretung zu gewähren sei. Sinngemäss ersucht Z._ zudem für das Revisionsverfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne einer Befreiung von den Gerichtskosten.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zugrunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Ein solcher Revisionsgrund ist ausdrücklich geltend zu machen, wobei es nicht genügt, das Vorliegen eines solchen zu behaupten. Der geltend gemachte Revisionsgrund ist im Revisionsgesuch unter Angabe der Beweismittel anzugeben, wobei aufzuzeigen ist, weshalb er gegeben und inwiefern deswegen das Dispositiv des früheren Urteils abzuändern sein soll (Urteil 8F_10/2012 vom 28. August 2012 E. 1 mit Hinweis).
2.
Die Gesuchstellerin stützt ihr Begehren auf den Revisionsgrund von <ref-law>.
2.1. Gemäss <ref-law> kann die Revision eines Bundesgerichtsentscheids verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind. Das Bundesgericht hat die Anträge der Parteien zu behandeln, sofern sie gesetzeskonform gestellt werden. Darunter fallen solche in der Sache wie etwa auch Anträge zu den Kosten- und Entschädigungsfolgen. Keine Anträge im Sinne des Gesetzes bilden einzelne Vorbringen bzw. Rügen der Parteien (Urteil 1F_4/2013 vom 15. Februar 2013 E. 2.2 mit Hinweis auf Elisabeth Escher, Basler Kommentar Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, <ref-law> N. 8).
2.2. Antrag Ziffer 4 der vom Bundesgericht im Verfahren 8C_181/2013 beurteilten Beschwerdeschrift vom 4. März 2013 lautete:
"Es sei der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege mit unentgeltlicher Rechtsvertretung durch den Unterzeichnenden zu gewähren, dies auch für das Verfahren vor der Vorinstanz."
Abgesehen von der verfassungsmässigen Grundlage von <ref-law> ist der Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung im sozialversicherungsrechtlichen Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht in <ref-law> verankert, wobei die Bemessung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes im kantonalen Verfahren dem kantonalen Recht überlassen ist (SVR 2013 IV Nr. 8 S. 19, 9C_387/2012 E. 2.1 mit Hinweisen), während sich der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege vor Bundesgericht nach <ref-law> richtet. Ob die Gesuchstellerin vor Bundesgericht mit dem zitierten Antrag nach dem Wortlaut in gesetzeskonformer Weise das - nur sinngemäss so zu verstehende - Rechtsbegehren stellte, dass ihr nicht nur das Bundesgericht für das letztinstanzliche Verfahren "die unentgeltliche Rechtspflege mit unentgeltlicher Rechtsvertretung" zu bewilligen, sondern das kantonale Versicherungsgericht "auch für das Verfahren vor der Vorinstanz" - nur, aber immerhin - die unentgeltliche Rechtsvertretung zu gewähren habe, kann mit Blick auf die selbstkritischen Bemerkungen der Gesuchstellerin im Revisionsgesuch offenbleiben.
2.3. Das Bundesgericht hat mit Urteil 8C_181/2013 vom 4. Juni 2013 zum Antrag Ziffer 4 der Beschwerdeschrift vom 4. März 2013 nur insoweit ausdrücklich Stellung genommen, als es für das Verfahren vor Bundesgericht die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung bejahte und darüber in den Dispositiv-Ziffern 2 bis 4 verfügte. Wie die Gesuchstellerin dem Sinne nach zutreffend darlegt, hat das Bundesgericht jedoch im genannten Urteil 8C_181/2013 angesichts der für das vorinstanzliche Verfahren vom kantonalen Gericht gewährten unentgeltlichen Prozessführung das zusätzliche Rechtsbegehren im zweiten Teilsatz von Antrag Ziffer 4 der Beschwerdeschrift vom 4. März 2013 übersehen und darüber folglich noch nicht entschieden. Angesichts dieses Mangels ist die beantragte Urteilsergänzung insoweit begründet und dem (fristgerecht gestellten; <ref-law>) Revisionsgesuch zu entsprechen, als sich dieses auf die nachträgliche Beurteilung des strittigen Anspruchs auf unentgeltliche Rechtsvertretung für das kantonale Verfahren bezieht.
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat im Entscheid vom 22. Februar 2013 ausführlich und unmissverständlich dargelegt, weshalb die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtsvertretung praxisgemäss erst ab Stellung des Begehrens erfolgt. Denn aus dem Bundesrecht (<ref-law>; <ref-law>) ergibt sich grundsätzlich kein Anspruch auf rückwirkende Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für Kosten, die bereits vor Einreichung des Armenrechtsgesuchs entstanden sind (Urteil 5A_843/2009 vom 23. Februar 2010 E. 4.2), wobei es der kantonalen Rechtsetzung oder -sprechung überlassen ist, diese Frage zu regeln (Urteil 8C_83/2008 vom 9. Dezember 2008 E. 4.2.4; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 204, 120 Ia 14 E. 3 S. 15 mit Hinweis; vgl. auch STAEHLIN/STAEHLIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht nach dem Entwurf für eine Schweizerische Zivilprozessordnung und weiteren Erlassen - unter Einbezug des internationalen Rechts, Zürich/Basel/Genf 2008, S. 232). Die Gesuchstellerin vermochte nicht, sich auf eine solche kantonale Rechtsgrundlage zu berufen. Soweit sie sich in der Beschwerdeschrift vom 4. März 2013 überhaupt mit der sachbezüglichen Begründung des kantonalen Entscheids vom 22. Februar 2013 betreffend Nichtgewährung der unentgeltlichen Rechtsvertretung auseinandersetzte, legte sie nicht dar, inwiefern der angefochtene Entscheid bundesrechtswidrig sei.
3.2. Dass die Gesuchstellerin auch im Übrigen aus der mit Beschwerdeschrift vom 4. März 2013 (S. 10) angeführten Begründung im hier interessierenden Zusammenhang nichts zu ihren Gunsten abzuleiten vermag, erhellt aus E. 3.1 des Urteils 8C_181/2013 vom 4. Juni 2013, wonach das Bundesgericht die von der Gesuchstellerin bereits mit nachträglicher Eingabe vom 22. Juni 2012 im kantonalen Verfahren erfolglos geltend gemachte und vor Bundesgericht unter Ziffer 11 der Beschwerdebegründung vom 4. März 2013 wiederholte Argumentation betreffend Befangenheit des Dr. med. J._ gleichermassen wie das kantonale Gericht verworfen hat.
3.3. Ist die Beschwerde nach dem Gesagten auch im unbeurteilt gebliebenen Punkt abzuweisen, hat dies keinen Einfluss auf das Dispositiv des angefochtenen Urteils.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, im Revisionsverfahren keine Kosten zu erheben (Urteil 8F_1/2012 vom 30. April 2012 E. 3). Das sinngemäss - nur in Bezug auf die Kostenvorschusspflicht - gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird gutgeheissen. Das Urteil 8C_181/2013 vom 4. Juni 2013 wird insofern ergänzt, als sich die Abweisung auch auf die für das Verfahren vor der Vorinstanz beantragte unentgeltliche Rechtsvertretung bezieht.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Juli 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Hochuli