A.- D._, né en 1970, et dame D._, née en 1962, se sont mariés le 30 novembre 1996. Ils avaient alors un enfant, B._, né le 11 mai 1995.
B.- Par jugement du 13 mars 2001, le Tribunal de première instance du canton de Genève a prononcé le divorce des époux, attribué la garde et l'autorité parentale sur l'enfant au père, réservé un large droit de visite usuel à la mère, instauré une curatelle d'organisation et de surveillance du droit de visite et une curatelle d'appui éducatif, fixé la contribution de la mère à l'entretien de l'enfant, compensé les dépens et débouté les parties de toutes autres conclusions.
Sur appel de l'épouse, la Chambre civile de la Cour de justice a, par arrêt du 14 septembre 2001, confirmé le jugement de première instance et compensé les dépens d'appel.
C.- L'épouse a interjeté un recours en réforme au Tribunal fédéral le 10 octobre 2001. Reprenant pour l'essentiel les conclusions qu'elle a articulées devant la cour cantonale, elle demande en bref que la garde et l'autorité parentale sur l'enfant lui soient attribuées, sous réserve d'un droit de visite en faveur du père, que l'audition de l'enfant par un pédopsychiatre ou par un éducateur spécialisé ou par le juge soit préalablement ordonnée, de même que l'établissement d'un rapport du Service de protection de la Jeunesse, que des pièces produites par son mari (nos 21, 22, 23, 26 à 31) soient écartées de la procédure, que celui-ci soit condamné à contribuer à son entretien et à celui de l'enfant, ainsi qu'à lui payer la moitié de la valeur d'un véhicule qu'il s'est approprié et une somme à titre de participation au rachat du mobilier prétendument détruit par lui.
La recourante sollicite également l'assistance judiciaire.
L'intimé n'a pas été invité à répondre.

Considérant en droit :
1.- Dès lors que le litige soumis au Tribunal fédéral porte à la fois sur l'attribution de l'enfant des parties, contestation de nature non pécuniaire, et sur la contribution d'entretien qui lui est due, contestation de nature pécuniaire, le recours en réforme est recevable, sans qu'il y ait lieu de tenir compte d'une valeur litigieuse au sens de l'art. 46 OJ (<ref-ruling> consid. 2b et les références).
Interjeté en temps utile contre une décision finale rendue par le tribunal suprême du canton, le recours est aussi recevable au regard des art. 48 al. 1 et 54 al. 1 OJ.
2.- a) Saisi d'un recours en réforme, le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement sur la base des faits contenus dans la décision attaquée, à moins que des dispositions fédérales en matière de preuve n'aient été violées, qu'il n'y ait lieu à rectification de constatations reposant sur une inadvertance manifeste (art. 63 al. 2 OJ) ou qu'il ne faille compléter les constatations de l'autorité cantonale parce que celle-ci n'a pas tenu compte de faits pertinents et régulièrement allégués (art. 64 OJ; <ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 5c/aa). Dans la mesure où un recourant présente un état de fait qui s'écarte de celui contenu dans l'arrêt attaqué sans se prévaloir avec précision de l'une des exceptions qui viennent d'être rappelées, il n'est pas possible d'en tenir compte (<ref-ruling> consid. 2c). Au surplus, il ne peut être présenté dans un recours en réforme de griefs contre les constatations de fait, ni de faits ou de moyens de preuve nouveaux (art. 55 al. 1 let. c OJ), même si sont en jeu des questions - pourtant soumises à la maxime d'office - étroitement liées au sort des enfants (<ref-ruling> consid. 1c; <ref-ruling> consid. 3d p. 408 et les références).
Les faits qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris et que la recourante invoque sans pouvoir se prévaloir de l'une ou l'autre des exceptions susmentionnées sont donc irrecevables.
Ainsi en va-t-il des événements qui seraient survenus le 8 février 1999, de la liaison de l'intimé avec K._ ou des démarches entreprises par F._. Le recours n'est pas recevable non plus lorsqu'il conteste l'appréciation des preuves.
b) Le recours fédéral en réforme n'est recevable que pour violation du droit fédéral (art. 43 al. 1 OJ). Dès lors, dans la mesure où il se fonde sur la violation du droit cantonal de procédure, le présent recours est irrecevable. Tel est le cas lorsqu'il tend au retrait des pièces déposées après enquête ou remet en question le principe de la réaudition du témoin F._ ou encore lorsqu'il invoque la loi cantonale en relation avec l'établissement d'un rapport par le Service de protection de la jeunesse.
3.- Le principal point à trancher est celui du sort de l'enfant des parties. Avant de l'aborder, il faut toutefois examiner deux questions d'ordre procédural soulevées par la recourante: celle de l'audition de l'enfant et celle de l'établissement d'un rapport par le Service de protection de la jeunesse. Elles relèvent en effet des art. 144 et 145 CC, normes fédérales de procédure dont la violation peut être invoquée à l'appui d'un recours en réforme (Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. II, Berne 1990, n 1.3.2 ad art. 43 OJ).
a) Selon l'<ref-law>, le juge ou un tiers nommé à cet effet entend les enfants personnellement, de manière appropriée, pour autant que leur âge ou d'autres motifs importants ne s'opposent pas à l'audition. En soi, l'audition d'un enfant de six ans n'est pas exclue (<ref-ruling> consid. 4c; <ref-ruling> consid. 3c) mais, sauf circonstances extraordinaires, elle n'entre guère en considération (Heinz Hausheer, Die wesentlichen Neuerungen des neuen Scheidungsrechts, RJB 135/1999 p. 29). Il faut examiner, d'une part, l'intérêt à l'établissement d'un état de fait complet et, d'autre part, les motifs légitimes de renoncer à l'audition, notamment en relation avec l'équilibre psychique de l'enfant (R. Reusser, Die Stellung der Kinder im neuen Scheidungsrecht, in Vom alten zum neuen Scheidungsrecht, Berne 1999, n. 4.85).
aa) L'autorité cantonale a renoncé à procéder à l'audition de l'enfant en raison, d'une part, de son âge et, d'autre part, des circonstances de vie difficiles et douloureuses qui étaient les siennes. La recourante soutient au contraire que son audition serait opportune, voire nécessaire:
l'enfant irait beaucoup mieux et serait bien suivi; compte tenu de l'ensemble des circonstances, il semblerait bien préférable qu'il soit entendu par un pédopsychiatre que par un juge.
bb) Dans la mesure où la recourante fait état d'un mieux-être et d'un bon suivi de l'enfant, elle se prévaut de faits nouveaux, qui sont irrecevables (cf. supra consid. 2a).
cc) En soutenant que l'audition de l'enfant est nécessaire, par un pédopsychiatre plutôt que par un juge, la recourante se plaint d'une mauvaise application de l'<ref-law>.
Force est cependant de retenir, sur la base des constatations de fait de l'arrêt attaqué - complètes quant à la situation de l'enfant -, que tant l'âge que la fragilité de celui-ci permettent de renoncer à son audition tant par le juge que par un tiers.
b) Selon l'<ref-law>, le juge établit d'office les faits (al. 1); au besoin, il fait appel à des experts et se renseigne auprès de l'autorité tutélaire ou d'un autre service d'aide à la jeunesse (al. 2).
La recourante a sollicité de la cour cantonale qu'un rapport soit établi par le Service de protection de la jeunesse.
La cour a considéré que plusieurs rapports, dont certains extrêmement complets et détaillés, avaient été établis par ledit service au cours de la procédure; en outre, le curateur de l'enfant avait été entendu longuement. Le rapport demandé n'aurait donc fait que prolonger inutilement la procédure.
Devant le Tribunal fédéral, la recourante conteste ce point de vue, du fait que le "seul rapport" établi par le Service de protection de la jeunesse l'a été dans le contexte différent de mesures protectrices de l'union conjugale. La question de savoir si l'établissement d'un autre rapport se justifiait est en principe une question d'appréciation des preuves, qui ne peut être revue dans le cadre du recours en réforme. Même s'il fallait comprendre le grief de la recourante comme une critique de l'application faite en l'espèce de la notion de "besoin" d'expertise ou de rapport contenue à l'<ref-law>, savoir une mauvaise application de cette disposition, le grief devrait de toute façon être rejeté. En effet, l'autorité cantonale était largement renseignée par "les rapports" détaillés établis par le Service de protection de la jeunesse, déjà au stade des mesures protectrices et par l'audition du curateur. Il n'y avait donc pas de besoin à faire établir un rapport supplémentaire par ledit service.
4.- Le point, déterminant, de l'attribution de l'autorité parentale est régi par l'<ref-law>. A cet égard, le juge tient compte de toutes les circonstances importantes pour le bien de l'enfant. Il s'agit en particulier de la personnalité de l'enfant, de la situation de chaque parent, de sa disponibilité pour avoir l'enfant durablement sous sa garde, pour s'occuper de lui et l'élever personnellement (Franz Werro, Concubinage, mariage et démariage, Berne 2000, no 738 et les arrêts cités).
a) A ce propos, l'arrêt attaqué retient notamment ce qui suit: la recourante a occupé les services sociaux dès 1987 relativement à ses deux premiers enfants qui ont été placés; après la naissance de l'enfant commun des parties, elle a montré qu'elle ne pourrait, malgré l'amour qu'elle lui portait, lui donner des soins réguliers et assurer son éducation; l'intimé était parvenu, au contraire, à prendre en charge l'enfant et lui assurer, dans son nouveau ménage, la stabilité nécessaire à son épanouissement. Pour la cour cantonale, l'attribution de l'autorité parentale à l'intimé, moyennant un large droit de visite en faveur de la recourante, était donc justifiée.
b) La recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir mal apprécié l'ensemble des circonstances pour statuer sur l'attribution de l'autorité parentale et de la garde sur l'enfant.
L'appréciation des circonstances de fait dans le cadre de l'application du droit, c'est-à-dire la détermination de leur portée juridique, est certes une question qui peut être revue dans le cadre du recours en réforme (question de droit). En l'espèce, cependant, la recourante invoque à l'appui de son grief des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué (dangerosité de l'intimé, témoignage de H._, lettre de F._, déclarations de sa fille C._), ce qui rend le grief irrecevable.
c) Vu l'octroi de l'autorité parentale à l'intimé, les conclusions concernant le droit de visite et la contribution d'entretien de celui-ci sont sans objet.
5.- L'arrêt attaqué n'a pas alloué de contribution d'entretien à la recourante. Prétendant y avoir droit, celle-ci se borne à affirmer que l'autorité cantonale a fait une mauvaise application de l'<ref-law>, sans dire en quoi et pourquoi elle y aurait contrevenu. Le renvoi qu'elle fait à la motivation développée dans la procédure cantonale est insuffisant (Poudret, op. cit. , n. 1.5.2.4 ad art. 55 OJ).
Quant au grief que la recourante formule au sujet de sa capacité de travail, dont le taux ne serait pas celui constaté par l'autorité cantonale, il n'est pas recevable au regard de l'art. 55 al. 1 let c OJ.
6.- Enfin, l'arrêt attaqué ne retient aucun fait de nature à fonder les prétentions de la recourante en relation avec la liquidation du régime matrimonial ou d'éventuels actes illicites.
7.- Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
L'échec prévisible des conclusions de la recourante entraîne le rejet de sa demande d'assistance judiciaire (art. 152 al. 1 OJ) et sa condamnation aux frais (art. 156 al. 1 OJ). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à se déterminer.

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable,
2. Rejette la requête d'assistance judiciaire de la recourante.
3. Met à la charge de la recourante un émolument judiciaire de 1'000 fr.
4. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
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Lausanne, le 28 février 2002 FYC/frs
Au nom de la IIe Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE :
Le Président,
Le Greffier,