Niederlassungsbewilligung, hat sich ergeben:
A.- Der aus der Dominikanischen Republik stammende D._, geboren am **. ** 1971, reiste am 31. Mai 1995 in die Schweiz ein und heiratete am **. ** 1995 die am **. ** 1966 geborene Schweizerin B._. Am **. ** 1999 kam der gemeinsame Sohn C._ zur Welt.
Am 8. Oktober 1998 verurteilte der Einzelrichter in Strafsachen des Bezirksgerichts Zürich D._ wegen mehrfachen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Gefängnisstrafe von vier Monaten unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs. Hierauf verwarnte ihn die Fremdenpolizei des Kantons Zürich mit Verfügung vom 15. Januar 1999. Mit Urteil vom 6. März 2000 verurteilte das Obergericht des Kantons Zürich D._ in zweiter Instanz wegen mehrfachen Verbrechens gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Zuchthausstrafe von 27 Monaten; es ordnete zudem den Vollzug der am 8. Oktober 1998 vom Bezirksgericht Zürich ausgesprochenen viermonatigen Gefängnisstrafe an.
B.- Mit Verfügung vom 23. Juni 2000 verweigerte die Direktion für Soziales und Sicherheit des Kantons Zürich (Im Folgenden: Fremdenpolizei) D._ die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Dagegen rekurrierte dieser am 24. Juli 2000 an den Regierungsrat des Kantons Zürich. Mit Verfügung vom 9. Oktober 2000 entliess der Strafvollzugsdienst des Kantons Zürich D._ auf den 14. Januar 2001 bedingt aus dem Strafvollzug.
Mit Verfügung vom 26. April 2000 wies die Einzelrichterin in Ehesachen des Bezirksgerichts X._ das mit der Scheidungsklage von B._ verknüpfte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit ab, worauf B._ mit Schreiben vom 23. Mai 2000 die Scheidungsklage zurückzog. Mit Schreiben vom 19. September 2000 stellte sie beim Bezirksgericht X._ ein Eheschutzbegehren. Am 2. November 2000 ersuchte sie den Sozialdienst der Y._, ihren Ehemann nicht mehr zu ihr in den Urlaub zu entlassen; sie begrün-dete dieses Ersuchen mit unüberwindlichen Eheproblemen. Mit Verfügung vom 24. November 2000 merkte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Zürich vor, dass die Parteien seit dem
21. November 2000 getrennt leben, und stellte das Kind C._ für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut seiner Mutter. Sie setzte das Besuchsrecht des Vaters für den Fall, dass sich die Parteien nicht einigen könnten, auf zwei Sonntage im Monat fest und verpflichtete diesen, für das Kind einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 500.-- zu leisten.
Mit Beschluss vom 9. Januar 2001 wies der Regierungsrat des Kantons Zürich die Beschwerde gegen den Entscheid der Fremdenpolizei vom 23. Juni 2000 ab. Dagegen erhob D._ am 14. Februar 2001 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Er beantragte, den angefochtenen Beschluss aufzuheben und ihm die Niederlassungsbewilligung zu erteilen; eventualiter sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Mit Entscheid vom 23. Mai 2001 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.- Dagegen hat D._ beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben. Er beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Fremdenpolizei anzuweisen, ihm die Niederlassungsbewilligung zu erteilen; eventualiter sei die Fremdenpolizei anzuweisen, ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Er ersucht zudem darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Die Staatskanzlei (für den Regierungsrat) sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Ausländerfragen schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
D.- Dem Gesuch um aufschiebende Wirkung hat der Abteilungspräsident mit Formularverfügung vom 11. Juli 2001 insoweit Rechnung getragen, als er bis zum Entscheid darüber vorläufig alle Vollziehungsvorkehrungen untersagt hat.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Auf dem Gebiete der Fremdenpolizei ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde unzulässig gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die das Bundesrecht keinen Anspruch einräumt (Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG). Gemäss Art. 4 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142. 20) entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Der Ausländer hat damit grundsätzlich keinen Anspruch auf Erteilung bzw. Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, er oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags berufen, die ihm einen Anspruch auf eine solche Bewilligung einräumt (<ref-ruling> E. 1a S. 62 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 427, je mit Hinweisen).
b) Nach Art. 7 Abs. 1 ANAG hat der Beschwerdeführer als Ehegatte einer Schweizer Bürgerin grundsätzlich Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung; nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren hat er zudem Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung.
Im Zusammenhang mit der Eintretensfrage ist einzig darauf abzustellen, ob formell eine eheliche Beziehung besteht; anders als bei Art. 8 EMRK ist nicht erforderlich, dass die Ehe intakt ist und tatsächlich gelebt wird. Die Frage, ob die Bewilligung zu verweigern sei, weil einer der in Art. 7 ANAG genannten Ausnahmetatbestände oder ein Verstoss gegen das Rechtsmissbrauchsverbot gegeben ist, betrifft nicht das Eintreten, sondern bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1b S. 266, mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer ist nach wie vor mit einer Schweizerin verheiratet; auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist daher einzutreten.
c) Der ununterbrochene Aufenthalt des Beschwerdeführers nach seiner Heirat mit einer Schweizerin am 14. Oktober 1995 hat mehr als fünf Jahre gedauert. Es fragt sich damit, ob der Beschwerdeführer grundsätzlich einen Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung - und nicht nur auf eine blosse Aufenthaltsbewilligung - hat.
Wie es sich damit verhält, kann jedoch offen bleiben, da der Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Anwesenheitsbewilligung - sei es die Aufenthaltsbewilligung oder die Niederlassungsbewilligung - ohnehin erloschen ist.
2.- Der Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung oder der Niederlassungsbewilligung gemäss Art. 7 Abs. 1 ANAG entfällt, wenn ein Ausweisungsgrund vorliegt.
Nach Art. 10 Abs. 1 lit. a ANAG kann ein Ausländer aus der Schweiz ausgewiesen werden, wenn er wegen eines Verbrechens oder Vergehens gerichtlich bestraft werden soll. Die Ausweisung soll aber nur verfügt werden, wenn sie nach den gesamten Umständen verhältnismässig erscheint (Art. 11 Abs. 3 ANAG). Dabei ist namentlich auf die Schwere des Verschuldens des Beschwerdeführers, auf die Dauer seiner Anwesenheit in der Schweiz sowie auf die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile abzustellen (Art. 16 Abs. 3 der Vollziehungsverordnung vom 1. März 1949 zum Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAV; SR 142. 201]). Die Nichterteilung einer Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung an den wegen eines Verbrechens oder Vergehens verurteilten ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin setzt in gleicher Weise eine Interessenabwägung voraus. Der Anspruch auf Erteilung der Bewilligung gemäss Art. 7 Abs. 1 ANAG erlischt nicht bereits dann, wenn ein Ausländer wegen eines Verbrechens oder Vergehens verurteilt wurde, sondern erst, wenn auch die Interessenabwägung ergibt, dass die Bewilligung zu verweigern ist (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 12 f., mit Hinweis).
3.- a) Der Beschwerdeführer wurde wegen Drogendelikten zu einer Gefängnisstrafe von vier Monaten sowie zu einer Zuchthausstrafe von 27 Monaten verurteilt. Damit liegt ein Ausweisungsgrund im Sinne von Art. 10 Abs. 1 lit. a ANAG vor.
Das Obergericht hat in seinem Urteil vom 6. März 2000 ausgeführt, der Beschwerdeführer sei in drei grössere Drogengeschäfte verwickelt gewesen, indem er Ende Februar 1999 einem Abnehmer 100 Gramm Kokain zum Kauf angeboten, ihm das Rauschgift aber nicht verkauft habe, dass er ihm hingegen im März 1999 ca. 150 Gramm Kokain verkauft habe, und zudem im Mai 1999 von einer andern Person ca. 114, 7 Gramm Kokain übernommen habe mit der Absicht, davon den grössten Teil zu verkaufen. Das Obergericht ist davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer nicht auf der untersten Stufe der Händlerhierarchie - als Kleindealer auf der Gasse - anzusiedeln ist; es hat sein Verschulden insgesamt als schwer bezeichnet.
Aufgrund dieser Verfehlungen besteht ein gewichtiges Interesse an einer Fernhaltung des Beschwerdeführers aus der Schweiz.
b) Bei der Interessenabwägung sind die dem Beschwerdeführer und seiner Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen.
aa) Die Ehefrau des Beschwerdeführers hat am 25. April 2000 gegenüber der Fremdenpolizei ausgesagt, in den letzten zwei Jahren sei ihr Mann oft abwesend gewesen; sie habe später erfahren, dass er eine Freundin gehabt und mit dieser ein Kind gezeugt habe; sie habe das Gefühl, er habe sie nur geheiratet, um in der Schweiz zu bleiben. Sie führte aus, sie habe genug von ihrem Ehemann, und sie habe ihm geschrieben, dass er sie in Ruhe lassen solle; sie sehe im Moment keine Zukunft mit ihm und wehre sich nicht dagegen, dass er ausgeschafft werde. Gemäss Aktennotiz der Staatskanzlei des Kantons Zürich vom 26. Oktober 2000 teilte die Ehefrau dem zuständigen Rekurssekretär telefonisch mit, sie halte an ihrer Darstellung vom 25. April 2000 fest und sie sei nicht gewillt, die eheliche Wohn- und Lebensgemeinschaft jemals wieder aufzunehmen.
Der Beschwerdeführer hat schon im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eingeräumt, dass eine gelebte eheliche Beziehung mit seiner Ehefrau nicht mehr bestehe.
Auch vor Bundesgericht beruft er sich für die Interessenabwägung nicht mehr auf die Beziehung zu seiner Ehefrau.
Es ist daher davon auszugehen, dass keine reale Chance auf eine Wiedervereinigung der Eheleute besteht, womit eine durch das Verweigern einer Anwesenheitsbewilligung bedingte Trennung des Beschwerdeführers von seiner Ehefrau für die Interessenabwägung im vorliegenden Fall nicht von Bedeutung ist.
bb) Der Beschwerdeführer beruft sich hingegen auf die Beziehung zu seinem - nicht unter seiner Obhut stehen-den - Sohn.
Die Verweigerung einer Anwesenheitsbewilligung führt dazu, dass die schon bisher - aufgrund des Gefängnisaufenthalts des Beschwerdeführers - nur besuchsweise bestehende Beziehung zu seinem Sohn erschwert würde. Falls der Beschwerdeführer nach Italien, wo seine Mutter sowie zwei seiner Halbbrüder wohnen, ausreisen könnte, sollte indessen ein Besuch von ca. einmal pro Monat möglich bleiben. Schwieriger würde die Ausübung des Besuchsrechts, wenn der Beschwerdeführer in Italien kein Aufenthaltsrecht bekäme und in seine Heimat zurückkehren müsste: Angesichts der räumlichen Distanz zur Dominikanischen Republik sowie der Flugkosten wäre ein regelmässiges Besuchsrecht wohl kaum mehr realistisch. Die Trennung des Beschwerdeführers von seinem Sohn ist aber angesichts der Schwere der von ihm begangenen Delikte hinzunehmen.
cc) Aus der - ohnehin nicht sehr langen - Dauer seiner Anwesenheit in der Schweiz kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten, hat er doch schon Ende 1997 Drogen verkauft, was zum ersten Strafurteil vom 8. Oktober 1998 führte; die Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz, die zur 27-monatigen Zuchthausstrafe führten, beging er im Frühjahr 1999. Seit dem 14. Mai 1999 befand sich der Beschwerdeführer in Untersuchungshaft und anschliessend in Sicherheitshaft; der Normalvollzug begann am 6. März 2000, und die bedingte Entlassung fiel auf den
14. Januar 2001. Damit hat der Beschwerdeführer einen wesentlichen Teil seines Aufenthalts in der Schweiz im Gefängnis verbracht; von einer besonderen Integration in schweizerische Verhältnisse kann nicht die Rede sein.
Das Verweigern einer Anwesenheitsbewilligung an den Beschwerdeführer erweist sich auch unter diesem Gesichtspunkt als verhältnismässig. Dass dieser - falls er nicht nach Italien ausreisen kann - in der Dominikanischen Republik auch von seiner in Italien lebenden Mutter sowie den in Italien und in der Schweiz lebenden Halbbrüdern getrennt wird, mag zwar hart sein, ist aber angesichts der Schwere der von ihm begangenen Delikte zumutbar.
4.- a) Art. 8 EMRK - wie seit dem 1. Januar 2000 auch <ref-law> - gewährleistet das Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens. Darauf kann sich im Rahmen eines ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahrens berufen, wer nahe Verwandte mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht in der Schweiz hat. Wird in einem solchen Fall der Aufenthalt untersagt, kann dies Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) verletzen. Soweit eine familiäre Beziehung tatsächlich gelebt wird und intakt ist, wird das der zuständigen Behörde in Art. 4 ANAG grundsätzlich eingeräumte freie Ermessen beschränkt (BGE <ref-ruling> E. 2a S. 427, mit Hinweisen).
b) Der Beschwerdeführer kann sich in Bezug auf seine Ehefrau nicht auf Art. 8 EMRK berufen, da diese Beziehung nicht mehr gelebt wird.
Der Sohn C._ wurde am **. ** 1999 geboren, als sich der Beschwerdeführer schon im Strafvollzug befand.
Entsprechend konnte dieser eine Beziehung zu seinem Sohn zunächst nur im Rahmen der Besuche seiner Frau im Gefängnis - offenbar anfangs nur durch die Glasscheibe - aufbauen. Der Beschwerdeführer macht vor Bundesgericht geltend, er übe das - ihm am 24. November 2000 durch die Eheschutzrichterin eingeräumte - Besuchsrecht regelmässig aus und komme seiner Unterhaltspflicht nach.
Damit kann sich der Beschwerdeführer grundsätzlich in Bezug auf seinen Sohn auf Art. 8 EMRK berufen; indessen rechtfertigen seine Straftaten ohne weiteres einen Eingriff in das von Art. 8 Ziff. 1 geschützte Rechtsgut (Art. 8 Ziff. 2EMRK).
c) Der in <ref-law> garantierte Anspruch auf Achtung des Privat- und Familienlebens entspricht materiell der Garantie von Art. 8 EMRK und gewährt darüber hinaus im Bereich des Ausländerrechts keine zusätzlichen Ansprüche (<ref-ruling> E. 7 S. 394).
5.- Der Beschwerdeführer beruft sich auch auf Art. 9 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (UNO-Kinderrechtekonvention; SR 0.107). Das Bundesgericht hat jedoch festgehalten, dass sich der UNO-Kinderrechtekonvention in Bezug auf die Erteilung von fremdenpolizeilichen Bewilligungen keine gerichtlich durchsetzbaren Ansprüche entnehmen lassen (<ref-ruling> E. 5d S. 391 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 367, mit Hinweisen).
6.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 153 und Art. 153a OG). Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wir dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht (2. Kammer) des Kantons Zürich sowie dem Bundesamt für Ausländerfragen schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 23. Oktober 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: