Faits :
A.
La fondation X._ (ci-après: la fondation ou l'intéressée) est une fondation de droit suisse constituée le 24 novembre 2010, dont le siège est dans le canton de Neuchâtel. Aux termes de ses statuts, elle a pour but de "promouvoir et soutenir toutes activités scientifiques, culturelles et humanitaires qu'elle jugera utile". Les statuts comprennent aussi une liste non exhaustive d'exemples:
- favoriser l'étude, la diffusion et la promotion de la culture, de la musique et de la littérature asiatique, en particulier du Viêt Nam et des pays environnants;
- favoriser et promouvoir la recherche médicale dans différents domaines et régions, notamment mais non exclusivement celle concernant le cancer et les maladies tropicales;
- octroyer des bourses à des personnes poursuivant des études ou des recherches dans le domaine scientifique, culturel ou humanitaire;
- soutenir le développement de structures locales, privées ou publiques, actives dans les domaines précités;
- collaborer avec d'autres institutions (Fondations, associations, sociétés privées ou publiques, organisations non gouvernementales, etc.) poursuivant un but semblable.
Selon le règlement de fonctionnement de la fondation du 23 décembre 2010, un forfait a été conclu avec l'étude Y._ concernant la domiciliation de la fondation, ainsi que son fonctionnement général sur le plan administratif, comptable, fiscal et financier. Ce forfait, fixé pour la première année à 12'000 fr., comprend également les frais des membres du conseil de fondation, lesquels renoncent au surplus à toute rémunération.
Les comptes de la fondation font état d'une perte de 59'213 fr. 18 pour 2013 et d'actifs pour un total de 7'351'813 fr. 59 au 31 décembre 2013.
B.
A la fin de l'année 2012, la fondation a sollicité son exonération fiscale. Par décision du 25 mars 2013, le Service des contributions du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a refusé d'accorder l'exonération requise.
La fondation a réitéré sa demande le 18 mars 2014 en présentant la liste des aides accordées en 2013, ainsi que celles prévues pour 2014 et les années ultérieures. En particulier, en 2013, l'intéressée a distribué des aides à cinq bénéficiaires pour un montant total de 62'000 fr. Sur cette base, la fondation a conclu à son exonération fiscale à partir du 1 er janvier 2013 tant en matière d'impôt fédéral direct (ci-après: IFD) que d'impôts cantonal et communal (ci-après: ICC).
Le 2 mai 2014, le Service cantonal a rejeté la requête de l'intéressée. Statuant sur la réclamation formée par la fondation, l'autorité fiscale a confirmé sa position par décision du 11 août 2014.
Saisie d'un recours de la fondation contre cette décision, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) l'a rejeté le 8 mai 2015. Les juges cantonaux ont retenu, en substance, que la fondation remplissait seulement en partie les conditions d'exonération des personnes morales. Le Tribunal cantonal a ainsi jugé que les buts de l'intéressée étaient d'intérêt général et que le cercle des bénéficiaires des prestations offertes par celle-ci était assez large. Cependant, il a considéré que, au vu des moyens financiers dont disposait la fondation, celle-ci n'avait pas consacré assez de ressources à la poursuite de ses buts statutaires. En affectant seulement 62'000 fr. en 2013 à la réalisation de ces buts, alors qu'elle disposait d'actifs pour environ 7 millions de francs, l'intéressée visait "en réalité en premier lieu la thésaurisation de ses actifs", de sorte qu'une exonération fiscale n'était pas justifiée.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la fondation demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt rendu le 8 mai 2015 par le Tribunal cantonal et, avec ou sans renvoi, de lui octroyer l'exonération fiscale pour les impôts fédéraux, cantonaux et communaux dès le 1er janvier 2013.
Le Service cantonal dépose des observations et conclut au rejet du recours. Le Tribunal cantonal se réfère aux motifs de son arrêt et propose le rejet du recours. L'Administration fédérale des contributions se rallie au dispositif et aux considérants de l'arrêt entrepris et conclut au rejet du recours. La recourante a répliqué.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué concerne l'exonération fiscale de la recourante dès le 1er janvier 2013 pour l'IFD et l'ICC. Le Tribunal cantonal a rendu un seul arrêt pour les deux catégories d'impôts, ce qui est admissible lorsque la question juridique à trancher est réglée de la même façon en droit fédéral et dans le droit cantonal harmonisé (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 262 s.). Tel est le cas en l'espèce s'agissant des conditions de l'exonération fiscale pour les personnes morales qui poursuivent des buts de service public ou d'utilité publique (cf. art. 56 let. g de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'impôt fédéral direct [LIFD; RS 642.11]; art. 23 al. 1 let. f de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes [LHID; RS 642.14]).
Dans ces circonstances, on ne peut reprocher à la recourante d'avoir pris des conclusions valant pour les deux catégories d'impôts dans son recours devant le Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.3 p. 264). Par souci d'unification par rapport à d'autres cantons dans lesquels deux décisions sont rendues, la Cour de céans a toutefois ouvert deux dossiers, l'un concernant les impôts cantonal et communal (2C_484/2015), l'autre l'impôt fédéral direct (2C_485/2015). Les causes seront néanmoins jointes et il sera statué dans un seul arrêt (cf. <ref-law> et 24 PCF [RS 273]; arrêt 2C_416/2013 du 5 novembre 2013 consid. 1, non publié in <ref-ruling> mais in RDAF 2014 II 40).
2.
2.1. La décision attaquée relève du droit public et aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'est réalisée, de sorte que la voie du recours en matière de droit public est ouverte sur la base de l'<ref-law>. L'<ref-law> confirme du reste l'existence de cette voie de droit pour l'IFD. S'agissant de l'ICC, l'exonération des personnes morales étant une matière harmonisée à l'<ref-law>, la voie du recours en matière de droit public est aussi réservée par l'<ref-law>.
2.2. Déposé en temps utile (cf. <ref-law>) et dans les formes prescrites (cf. <ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (cf. <ref-law>) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Par ailleurs, il a été interjeté par la contribuable destinataire de la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (cf. <ref-law>). Il convient donc d'entrer en matière.
3.
3.1. D'après l'<ref-law>, le Tribunal fédéral applique le droit d'office. Il examine en principe librement l'application du droit fédéral, ainsi que la conformité du droit cantonal harmonisé et de son application par les instances cantonales aux dispositions de la LHID.
3.2. Le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313 s.) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y sont pas contenus (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 288).
Dans son recours, l'intéressée indique qu'elle aurait reçu du fondateur un apport de 700'000 fr. en 2011, pour compenser une perte sur placements subie cette même année. L'arrêt entrepris se limite à constater que la fondation avait invoqué ce fait dans son recours au Tribunal cantonal, mais n'en tient pas compte par la suite. Dans la mesure où la recourante n'invoque ni l'arbitraire, ni une constatation manifestement inexacte des faits à ce sujet, le Tribunal fédéral ne peut pas le prendre en considération.
4.
La recourante se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits, en relation avec l'examen des comptes 2013 de la fondation effectué par l'instance précédente. Selon l'intéressée, le Tribunal cantonal n'aurait pas tenu compte de la comptabilité de la fondation de manière globale. Ainsi, les juges précédents auraient retenu de manière arbitraire que la provision de 215'642 fr. 16 concernant le poste "attribution à la réserve sur titres" était "un artifice comptable visant à diminuer le bénéfice de l'exercice" (cf. recours, p. 5).
4.1. S'agissant de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266).
4.2. En l'espèce, il n'est pas contesté que la comptabilité 2013 de la fondation comprend une "attribution à la réserve sur titres" à hauteur de 215'642 fr. 16. Le Tribunal cantonal a mentionné ce poste comptable dans son arrêt, mais il l'a ajouté au bénéfice de la fondation, ce que critique la recourante. L'analyse de la portée qu'il faut donner à cette provision par rapport à la disponibilité financière de l'intéressée n'est toutefois pas une question de fait, mais relève du droit comptable. Au demeurant, le fait de tenir compte de la provision en question dans l'examen des moyens dont disposait la fondation en 2013, n'est pas de nature à modifier l'arrêt attaqué (cf. infra consid. 5.5.3). Partant, le grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit être écarté.
I. Impôt fédéral direct
5.
Le présent litige porte sur le point de savoir si c'est à juste titre que le Tribunal cantonal a considéré que la fondation ne remplissait pas les conditions pour bénéficier d'une exonération fiscale. A ce sujet, la recourante invoque une violation de l'art. 56 let. g LIFD.
5.1. D'après l'art. 56 let. g LIFD, sont notamment exonérées de l'impôt les personnes morales qui poursuivent des buts d'utilité publique, sur le bénéfice exclusivement et irrévocablement affecté à ces buts.
5.2. L'Administration fédérale des contributions a exposé son point de vue sur cette question dans la circulaire n o 12 du 8 juillet 1994 (ci-après: la circulaire n o 12). Cette circulaire ne lie pas le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 11), qui peut cependant s'en inspirer (cf. par exemple arrêt 2C_143/2013 du 16 août 2013 consid. 3.3 et 4.2).
5.3. Selon la jurisprudence, l'exonération d'une personne morale sur la base de l'art. 56 let. g LIFD suppose la réalisation de trois conditions générales: l'exclusivité de l'utilisation des fonds, l'irrévocabilité de l'affectation des fonds et l'activité effective ( tatsächliche Tätigkeit) de l'institution conformément à ses statuts (cf. arrêts 2C_143/2013 du 16 août 2013 consid. 3.3; 2C_251/2012 du 17 août 2012 consid. 2.1; 2C_592/2008 du 2 février 2009 consid. 2.3). En outre, l'exonération fondée sur la poursuite de buts d'utilité publique (gemeinnützige Zwecke) suppose le respect de deux conditions spécifiques: l'exercice d'une activité d'intérêt général ( Allgemeininteresse) en faveur d'un cercle ouvert de destinataires et le désintéressement ( Uneigennützigkeit) (cf. arrêts 2C_251/2012 du 17 août 2012 consid. 2.1 et 2C_592/2008 du 2 février 2009 consid. 2.3 in fine).
5.4. En l'espèce, il n'est pas contesté que les conditions générales de l'exclusivité, de l'irrévocabilité et de l'effectivité de l'affectation des fonds sont remplies.
Concernant les conditions spécifiques d'une exonération fondée sur la poursuite de buts d'utilité publique, le Tribunal cantonal a relevé que l'activité de la fondation était d'intérêt général et que celle-ci agissait en faveur d'un cercle ouvert de destinataires. Les juges précédents ont toutefois considéré que la condition du "désintéressement" faisait défaut. En particulier, selon les juges cantonaux, la fondation n'avait pas consacré assez de ressources à la poursuite de ses buts statutaires et elle avait donc thésaurisé ses actifs d'une manière incompatible avec une exonération fiscale.
5.5.
5.5.1. La condition du désintéressement suppose que l'activité de l'institution se fonde sur l'altruisme. En ce sens, il est exigé que la personne morale qui requiert le bénéfice de l'art. 56 let. g LIFD agisse sans but lucratif. De plus, elle ne doit pas poursuivre ses propres intérêts, ce qui exclut l'exonération pour les institutions d'assistance mutuelle et les associations de loisir (cf. arrêt 2C_251/2012 du 17 août 2012 consid. 3.1.1). Les membres dirigeants de la personne morale sont en principe tenus d'exercer leurs fonctions de manière bénévole, sous réserve d'un remboursement de leurs frais effectifs (cf. NICOLAS URECH, ad <ref-law>, in Commentaire romand - Impôt fédéral direct, 2008, n. 67 p. 700; voir aussi, sous l'empire de l'ancien droit, GEORGES METTRAU, L'exonération fiscale des institutions d'utilité publique, 1992, p. 143 s.).
Le désintéressement exige un sacrifice au profit de tiers, dans l'intérêt de la communauté. Ce sacrifice doit revêtir une certaine importance par rapport aux moyens dont dispose la personne morale (cf. RICHNER/FREI/KAUFMANN/MEUTER, ad <ref-law>, in Handkommentar zum DBG, 2 e éd., 2009, n. 72 p. 704 s.; NICOLAS URECH, ad <ref-law>, op. cit., n. 67 p. 699 s.; MARKUS REICH, Gemeinnützigkeit als Steuerbefreiungsgrund, in ASA 58 465, p. 472). Concernant le rapport entre les moyens de l'institution et son activité, la circulaire n o 12 précise que "les fondations qui ont pour but principal de constituer des capitaux en accumulant le produit de leurs placements ("fondation de thésaurisation") sans commune mesure avec la réalisation de tâches futures, n'ont aucun droit à l'exonération" (circulaire n o 12, ch. II/2/d). Cette position a été reprise par la doctrine. Ainsi, NICOLAS URECH indique que "une institution qui thésaurise ses moyens financiers et n'en affecte qu'une très petite partie au but fiscalement privilégié, par exemple les intérêts du capital d'une fondation, ne pourra bénéficier de l'exonération" (NICOLAS URECH, ad <ref-law>, op. cit., n. 59 p. 698). Selon PETER LOCHER, qui confirme l'approche de la circulaire, les fondations dont le but principal est l'accumulation de capital, qui constituent des réserves hors de proportion avec la réalisation de leurs tâches futures, n'ont pas droit à l'exonération (PETER LOCHER, ad <ref-law>, in Kommentar zum DBG, vol. II, 2004, n. 80 p. 178). Enfin, dans un arrêt rendu sous l'empire de l'ancien droit, le Tribunal fédéral avait considéré que "la simple accumulation de fortune ne donne pas droit à une exonération fiscale, faute d'activité altruiste de l'institution en cause" (<ref-ruling> consid. 3a p. 377).
5.5.2. En l'occurrence, il ne ressort nullement des faits constatés dans l'arrêt attaqué, qui lient la Cour de céans (cf. <ref-law>), que la recourante aurait agi dans un but lucratif. En outre, le Tribunal cantonal relève que les membres du conseil de fondation de l'intéressée ne perçoivent aucune rémunération pour leur travail, hormis le remboursement de leurs frais. Le seul élément litigieux par rapport à la condition du "désintéressement" concerne donc la question de savoir si la fondation a consacré assez de ressources à la poursuite de ses buts statutaires ou si, au contraire, elle a thésaurisé ses actifs.
5.5.3. Selon les constatations de l'autorité cantonale, les comptes de la recourante pour l'année 2013 font état d'actifs pour un total de 7'351'813 fr. 59. La fondation a accordé en 2013 des aides et soutiens à plusieurs bénéficiaires, conformément à ses statuts, à hauteur de 62'000 fr. En outre, le compte d'exploitation de l'intéressée pour 2013 présente une perte de 59'213 fr. 18. A ce sujet, en faisant abstraction d'une provision de 215'642 fr. 16 concernant le poste "attribution à la réserve sur titres", dont ils ont tenu compte à titre de bénéfice, les juges cantonaux ont fondé leur raisonnement sur un bénéfice de 156'428 fr. 98 pour 2013 (cf. supra consid. 4.2).
Qu'on tienne compte ou non de la provision de 215'642 fr. 16, on ne peut pas reprocher à la recourante d'avoir thésaurisé ses avoirs de manière incompatible avec une exonération. En effet, si l'on admet cette provision, la fondation a subi une perte de 59'213 fr. 18 en 2013, ce qui exclut l'hypothèse d'une thésaurisation. Inversement, en faisant abstraction de ladite provision - comme l'a fait le Tribunal cantonal - la fondation aurait terminé l'année 2013 avec un bénéfice de 156'428 fr. 98, après avoir affecté à ses buts des aides d'un montant de 62'000 fr. Or distribuer un tel montant n'est pas hors de proportion avec les moyens dont disposait la fondation en 2013, et cela même si l'on tenait compte d'un bénéfice de 156'428 fr. 98. En effet, dans ce cas, la fondation aurait distribué en 2013 des aides et soutiens correspondant à environ un tiers de son bénéfice annuel, ce qui ne saurait représenter une fraction hors de proportion avec ses moyens (cf. supra consid. 5.5.1).
Il faut aussi relever que le patrimoine de la recourante est composé essentiellement de titres, de sorte qu'il n'est pas possible pour elle de distribuer chaque année des dons correspondant exactement à son bénéfice pour la période en question, faute de pouvoir prévoir à l'avance quelle sera l'évolution de son patrimoine. Enfin, la question de savoir si la requérante remplit les conditions donnant droit à une exonération peut être examinée à nouveau à chaque période de taxation (cf. PETER LOCHER, ad <ref-law>, op. cit., n. 5 p. 150; cf. aussi, sous l'empire de l'ancien droit, <ref-ruling> consid. 2a p. 376). Partant, l'autorité fiscale demeure libre, pour les périodes fiscales postérieures à 2013, de refuser d'exonérer la fondation s'il devait s'avérer que celle-ci affecte à ses buts un montant trop faible, hors de proportion avec ses bénéfices.
5.5.4. En conclusion, en attribuant en 2013 un montant de 62'000 fr. conformément à ses buts statutaires, la fondation a poursuivi des buts d'utilité publique, sans qu'on puisse lui reprocher d'avoir thésaurisé ses avoirs de manière incompatible avec ses moyens.
Par conséquent, c'est en violation du droit fédéral que le Tribunal cantonal a confirmé la décision du Service cantonal refusant d'accorder à la fondation l'exonération requise. Le recours est admis s'agissant de l'impôt fédéral direct 2013.
II. Impôts cantonal et communal
6.
L'art. 81 let. f. de la loi neuchâteloise du 21 mars 2000 sur les contributions directes (LCdir/NE; RS/NE 631.0) a exactement la même teneur que l'art. 23 al. 1 let. f LHID. Ces articles correspondent à l'art. 56 let. g LIFD, sous réserve du fait qu'en matière d'ICC l'exonération s'étend aussi au capital (cf. arrêt 2C_143/2013 du 16 août 2013 consid. 6.1).
Il s'ensuit que les considérations développées ci-dessus relatives à l'exonération fiscale de la recourante s'appliquent aux impôts cantonal et communal. Par conséquent, le recours doit également être admis en ce qui concerne les impôts cantonal et communal 2013.
III. Frais et dépens
7.
Succombant, la République et canton de Neuchâtel, dont l'intérêt patrimonial est en cause, doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 et art. 66 al. 4 LTF a contrario). Ayant obtenu gain de cause avec l'aide d'un mandataire professionnel, la recourante a droit à une indemnité de partie à la charge de la République et canton de Neuchâtel (<ref-law>). La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour qu'il procède à une nouvelle répartition des frais et dépens de la procédure qui s'est déroulée devant lui (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 2C_484/2015 et 2C_485/2015 sont jointes.
2.
Le recours est admis en tant qu'il concerne l'impôt fédéral direct de la période fiscale 2013.
3.
Le recours est admis en tant qu'il concerne l'impôt cantonal et communal de la période fiscale 2013.
4.
L'arrêt attaqué est annulé et la recourante est exonérée d'impôt pour la période fiscale 2013.
5.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la République et canton de Neuchâtel.
6.
Une indemnité de partie, arrêtée à 3'000 fr., est allouée à la recourante, à la charge de la République et canton de Neuchâtel.
7.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure devant lui.
8.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire de la recourante, au Service des contributions de la République et canton de Neuchâtel, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 10 décembre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
Le Greffier : Ermotti