Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wendet sich dagegen, dass auf Strafanzeigen wegen Amtsmissbrauchs und schwerer Körperverletzung infolge von Mobbing nicht eingetreten und im angefochtenen Entscheid dagegen gerichtete Beschwerden abgewiesen wurden. Zusammenfassend stellt die Vorinstanz fest, in Bezug auf den angeblichen Amtsmissbrauch sei nicht zu erkennen, inwieweit der Beschwerdeführer durch ein allfälliges strafbares Verhalten unmittelbar geschädigt oder gefährdet worden wäre, und die von ihm geltend gemachten Körperverletzungen seien offensichtlich nicht in strafrechtlicher Weise verursacht worden (angefochtener Entscheid S. 7/8). In der Beschwerde müsste dargelegt werden, dass und inwieweit diese Schlussfolgerungen gegen das schweizerische Recht im Sinne von <ref-law> verstossen sollen (<ref-law>). Dieser Voraussetzung genügt die vorliegende Beschwerde nicht.
So kann zum Beispiel mit Vorwürfen, wonach im Kanton Solothurn "nachweislich bis hinauf zum Regierungsrat gelogen, betrogen und dumme Sprüche gemacht" würden, und die Beschwerden "einfach von den gleichen Leuten und von der gleichen Beschwerdekammer beim Obergericht mehrmals hin und her geschoben" worden seien (Beschwerde S. 1), eine Beschwerde ans Bundesgericht von vornherein nicht begründet werden. Im Übrigen kann zum Beispiel mit dem Vorbringen, der Herzinfarkt und die psychologischen Probleme seien dadurch hervorgerufen worden, dass "andere Personen durch strafbare Handlungen begünstigt worden" seien (Beschwerde S. 2), nicht dargelegt werden, dass die gesundheitlichen Probleme durch ein gegen den Beschwerdeführer gerichtetes strafbares Verhalten ausgelöst worden wären. Und schliesslich kann zum Beispiel mit der Angabe, bei einem Regierungsrat handle es sich um einen ehemaligen Oberrichter (Beschwerde S. 3), für sich allein nicht nachgewiesen werden, dass die am angefochtenen Entscheid beteiligten Oberrichter gegenüber dem Beschwerdeführer befangen gewesen wären.
Ohne dass sich das Bundesgericht zu allen ähnlichen Vorbringen des Beschwerdeführers ausdrücklich äussern müsste, ist auf die Beschwerde im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn