Sachverhalt:
A.
Der kubanische Staatsangehörige A._ (geb. 1968) reiste am 5. Oktober 2002 in die Schweiz ein. Nach Ablauf seines Visums am 30. November 2002 blieb er in der Schweiz, worauf er wegen verschiedener Verstösse gegen die Ausländergesetzgebung wie folgt bestraft wurde:
- 19. Januar 2004: 25 Tage Gefängnis bedingt und Busse von Fr. 300.--;
- 9. September 2004: Busse von Fr. 900.--;
- 6. September 2005: 30 Tage Gefängnis bedingt;
- 28. Februar 2006: 45 Tage Gefängnis unbedingt.
Ein am 6. September 2005 gestelltes Asylgesuch wie das Bundesamt für Migration am 28. September 2005 ab; auf einen dagegen erhobenen Rekurs trat die (damalige) Asylrekurskommission am 22. November 2005 nicht ein. A._ liess die Ausreisefrist ungenutzt verstreichen, worauf der Bereich Dienste (heute: Migrationsamt) des Kantons Basel-Stadt ihn am 19. Dezember 2005 vom ganzen Kantonsgebiet ausgrenzte. Nachdem A._ seine Gefängnisstrafe von 45 Tagen verbüsst hatte, wurde er unter Androhung der Ausschaffungshaft zum unverzüglichen Verlassen der Schweiz verpflichtet.
Am 27. Juli 2006 heiratete A._ die in der Schweiz niederlassungsberechtigte kubanische Staatsangehörige B._, worauf ihm am 10. Mai 2007 die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Basel-Stadt unter diversen Bedingungen vorläufig für sechs Monate erteilt und die Ausgrenzung aufgehoben wurde.
Die Ehegemeinschaft wurde am 24. März 2008 aufgegeben. Am 6. November 2008 wurde E.C._ geboren, der gemeinsame Sohn von A._ und der brasilianischen Staatsangehörigen D.C._. A._ anerkannte seinen Sohn am 15. Januar 2010. Die Ehe mit B._ wurde am 19. April 2010 geschieden.
Zwischen 1. April 2009 und 30. September 2010 wurde A._ von der Sozialhilfe mit einem Gesamtbetrag von Fr. 9'476.75 unterstützt.
B.
Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs ordnete das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt am 4. November 2010 die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung an und wies A._ aus der Schweiz weg. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 14. März 2013 ab. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 27. Januar 2014.
C.
A._ erhebt am 10. März 2014 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Er beantragt die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Appellationsgericht, das Justiz- und Sicherheitsdepartement und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil wurde als Endentscheid von einer letzten kantonalen Gerichtsinstanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts erlassen, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten dagegen grundsätzlich offen steht (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Der Beschwerdeführer, der die Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug gestützt auf Art. 43 Abs. 1 AuG (SR 142.20) erhalten und weniger als drei Jahre mit seiner Ehefrau zusammengelebt hatte, kann sich auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG (nachehelicher Härtefall) berufen. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig.
1.2. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) des nach Art. 89 Abs. 1 BGG legitimierten Beschwerdeführers ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Aufgrund der Rechtsanwendung von Amtes wegen ist das Bundesgericht weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 3 S. 415). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, einschliesslich solcher, die sich aus Völkerrecht ergeben, gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (vgl. E. 2.1 am Ende).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Unzulässig sind damit neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129).
Tatsachen oder Beweismittel, welche sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, sich jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind, können von vornherein nicht durch das angefochtene Urteil veranlasst worden sein (Urteile 2C_1102/2013 vom 8. Juli 2014 E. 2.3; 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 1.2 mit Hinweis). Diese so genannten "echten Noven" sind im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344).
3.
3.1. Gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft besteht der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre gedauert hat und eine erfolgreiche Integration besteht (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG). Wichtige Gründe im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG können namentlich vorliegen, wenn die Ehegattin oder der Ehegatte Opfer ehelicher Gewalt wurde oder die Ehe nicht aus freiem Willen geschlossen hat oder die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (Art. 50 Abs. 2 AuG). Die Aufzählung dieser Gründe ist nicht abschliessend (<ref-ruling> E. 5.3).
Der Beschwerdeführer beruft sich zu Recht nicht mehr auf Art. 50 Abs. 1 AuG. Die für diesen Anspruch erforderliche Dauer einer ehelichen Gemeinschaft von drei Jahren ist offensichtlich nicht erfüllt. Zu prüfen bleibt, ob ein nachehelicher Härtefall im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG vorliegt.
3.2. Bei der Auslegung von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG ist entscheidend, ob die persönliche, berufliche und familiäre Eingliederung der betroffenen ausländischen Person bei einer Rückkehr in ihre Heimat als stark gefährdet zu gelten hätte, und nicht, ob ein Leben in der Schweiz einfacher wäre und - aus welchen Gründen auch immer - vorgezogen würde. Ein persönlicher, nachehelicher Härtefall setzt aufgrund der gesamten Umstände eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben voraus, die mit der Lebenssituation nach dem Dahinfallen der abgeleiteten Anwesenheitsberechtigung verbunden sein muss (<ref-ruling> E. 6 S. 403; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350). Hat der Aufenthalt nur kürzere Zeit gedauert und wurden keine engen Beziehungen zur Schweiz geknüpft, lässt sich der Anspruch auf weiteren Verbleib nicht begründen, wenn die erneute Integration im Herkunftsland keine besonderen Probleme bereitet (<ref-ruling> E. 3.1 S. 231 f. mit Hinweis auf die Botschaft zum AuG vom 8. März 2002, BBl 2002 3709, 3754 Ziff. 1.3.7.6).
3.2.1. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, als praktizierender Christ wäre er in Kuba Repressalien ausgesetzt, ist darauf nicht einzugehen. Das angefochtene Urteil enthält keine Erwägungen zur Konfession des Beschwerdeführers und allfällige damit zusammenhängende Schwierigkeiten im Fall einer Rückkehr nach Kuba, was vor Bundesgericht nicht als unvollständige Sachverhaltsfeststellung beanstandet wird. Das Vorbringen stellt somit ein unechtes Novum dar. Weil der Beschwerdeführer seine Konfession und die Furcht vor Repressalien bereits im Verfahren vor der Vorinstanz hätte thematisieren können, ist das Novum gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG unzulässig (vgl. E. 2.3).
3.2.2. Das Vorbringen des Beschwerdeführers, seine Frau sei schwanger und werde bald das zweite gemeinsame Kind zur Welt bringen, stellt ein echtes Novum dar und ist damit unzulässig (vgl. E. 2.3).
3.2.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, sein Familienleben könne er nirgendwo anders als in der Schweiz in zumutbarer Weise führen. Diese Rüge geht zum vornherein fehl, weil seine Lebensgefährtin und Mutter des gemeinsamen Sohns E.C._, D.C._, nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden ist. Im Verfahren vor der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer selbst bestätigt, dass seine Partnerin ihr Leben zusammen mit dem Kind in Brasilien fortsetzen werde. Ein Familienleben in der Schweiz ist somit - rechtlich betrachtet - von vornherein unmöglich.
3.2.4. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, eine Rückkehr nach Kuba sei nicht zumutbar, weil er sich mit einem kubanischen Gehalt kaum selbst ernähren, geschweige denn seine Tochter in den USA oder seine Lebenspartnerin und die beiden gemeinsamen Kinder in Brasilien unterstützen könnte, kann ihm nicht beigepflichtet werden. Wirtschaftliche Schwierigkeiten im Herkunftsland stellen in aller Regel keinen wichtigen Grund im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG und Art. 50 Abs. 2 AuG dar (vgl. E. 3.2). Das Gleiche gilt für das Vorbringen des Beschwerdeführers, er könne auch nicht nach Brasilien gehen, weil er und seine Partnerin auf dem dortigen Arbeitsmarkt keine grossen Chancen hätten und daher von Armut bedroht wären.
3.3. Als Zwischenergebnis ist festzuhalten, dass eine Wiedereingliederung in Kuba grundsätzlich nicht mit besonderen Schwierigkeiten verbunden wäre.
3.4. Der Beschwerdeführer macht geltend, er könne nicht nach Kuba zurückkehren, weil er nicht über eine Einreisegenehmigung verfüge. Zwar habe er seit dem 14. Januar 2013 die Möglichkeit, ein Gesuch um Rückkehr zu stellen; es bestehe jedoch kein Rechtsanspruch auf Rückkehr. Die Bearbeitung eines entsprechenden Gesuchs könne 90 Tage oder mehr in Anspruch nehmen. Eine Wegweisung sei (wenn überhaupt) erst sinnvoll, wenn ein Entscheid der kubanischen Behörden ergangen sei.
3.4.1. Die rechtliche Unmöglichkeit, in das Heimatland zurückzukehren, ist ein Wegweisungsvollzugshindernis, welches nach der Praxis des Bundesgerichts einen nachehelichen Härtefall begründen kann (Urteil 2C_13/2012 vom 8. Januar 2013 E. 3.4; BGE <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 351). Die dem zitierten Urteil 2C_13/2012 vom 8. Januar 2013 zugrunde liegende kubanische Rechtslage wurde indessen mit Wirkung ab 14. Januar 2013 geändert. Wie die Vorinstanz unter Verweis auf eine Stellungnahme des Bundesamtes für Migration vom 22. Februar 2013 einlässlich darlegt, beinhaltet die neue Gesetzgebung die Möglichkeit der definitiven Rückkehr nach Kuba für alle kubanischen Staatsangehörigen im Ausland, unabhängig von der Dauer ihres bisherigen Auslandaufenthalts, vom Rechtsstatus im Aufenthaltsstaat und von ihrem bisherigen "Auslandsstatus" nach kubanischem Recht. Auch Personen mit Status als Emigrant sei es grundsätzlich möglich, jederzeit definitiv nach Kuba zurückzukehren. Es bestehe zwar kein Rechtsanspruch auf eine Bewilligung; eine entsprechende Gesuchstellung sei aber ausdrücklich zulässig und die Praxis bleibe abzuwarten.
3.4.2. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer kein Gesuch um definitive Rückkehr nach Kuba gestellt. In der im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Konsularbescheinigung der Republik Kuba vom 30. Juli 2013 wurde bestätigt, dass er keine kubanische Genehmigung für die Residenz im Ausland besitze und deswegen keine ständige Residenz in Kuba haben könne. Weiter wurde bestätigt, dass kubanische Staatsangehörige mit ständigem Wohnsitz im Ausland und fehlender Genehmigung für diese Residenz gemäss dem kubanischen Migrationsgesetz als Emigranten erklärt würden und deswegen kein Recht auf eine permanente Residenz in Kuba hätten.
3.4.3. Die Vorinstanz hat richtig erwogen, dass ein nachehelicher Härtefall sich nur aus der Abweisung eines formellen Gesuchs um Rückkehr nach Kuba unter Hinweis auf die gescheiterte Ehe und den daraus folgenden geänderten (bzw. unsicheren) Aufenthaltsstatus ergeben könnte. Mit der vorgelegten Konsularbescheinigung hat der Beschwerdeführer den Nachweis nicht erbracht, dass eine Rückkehr für ihn rechtlich unmöglich ist. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz bestätigt die Konsularbescheinigung zwar, dass kubanische Emigranten nach einem 24 Monate überschreitenden Aufenthalt im Ausland nicht ohne weiteres in ihre Heimat zurückkehren können. Indessen lassen sich daraus keine Schlüsse ziehen über die Berechtigung des Beschwerdeführers, nach Kuba zurückzukehren, weil darüber noch nicht entschieden wurde. Der Beschwerdeführer kann aus der Tatsache, dass er kein Gesuch eingereicht hat, nichts zu seinen Gunsten ableiten, zumal ihn gemäss Art. 90 AuG eine Mitwirkungspflicht an der Feststellung des massgebenden Sachverhalts trifft. Ob die Behandlung des Gesuchs 90 Tage oder mehr dauert, spielt dabei keine Rolle, könnte doch ein Gerichtsverfahren in der Schweiz angesichts eines hängigen Gesuchs um Rückkehr auch sistiert werden. Die Unmöglichkeit der Rückkehr ist nicht erstellt.
3.5. Zusammenfassend vermag der Beschwerdeführer keine wichtigen persönlichen Gründe im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG und Art. 50 Abs. 2 AuG darzutun, welche den weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen würden. Ein nachehelicher Härtefall ist zu verneinen.
4.
Eine ausländerrechtlich motivierte Entfernungsmassnahme muss in jedem Fall verhältnismässig sein (<ref-ruling> E. 4.3 S. 381). Gemäss Art. 96 Abs. 1 AuG berücksichtigen die zuständigen Behörden bei der Ermessensausübung die öffentlichen Interessen und die persönlichen Verhältnisse sowie den Grad der Integration der ausländischen Person.
4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, er lebe seit 12 Jahren in der Schweiz. Die Vorinstanz habe bei der Würdigung der Aufenthaltsdauer zu Unrecht nur die Zeit berücksichtigt, während der er über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt habe.
Die Vorinstanz erwog zunächst, die Gesamtaufenthaltsdauer in der Schweiz (seit der Einreise am 5. Oktober 2002 bis zum angefochtenen Entscheid vom 27. Januar 2014) könne nicht mehr als kurz bezeichnet werden. Sodann wies sie zu Recht darauf hin, dass die ordentliche Aufenthaltsdauer nur rund dreieinhalb Jahre gedauert hat (seit der Erteilung der Bewilligung am 10. Mai 2007 bis zur Verweigerung der Bewilligungsverlängerung am 4. November 2010), und kam zum Ergebnis, mit Blick auf die relativ kurze relevante Aufenthaltsdauer sei dem Beschwerdeführer die Rückkehr zuzumuten. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist bei der Verhältnismässigkeitsprüfung in Bezug auf die relevante Aufenthaltsdauer folgendermassen zu differenzieren: Die Zeit, die eine von einer Entfernungsmassnahme betroffene Person in der Schweiz im Gefängnis verbracht hat, wird nicht berücksichtigt (Urteil 2C_977/2012 vom 15. März 2013 E. 3.6); der Zeit des illegalen Aufenthalts sowie des Aufenthalts, welcher aus der aufschiebenden Wirkung eines Rechtsmittels resultiert, kommt untergeordnete Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 4.3 S. 8). Nachdem sich der Beschwerdeführer rund viereinhalb Jahre (zwischen 1. Dezember 2002 und 10. Mai 2007) illegal in der Schweiz aufgehalten hat und seit der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 4. November 2010 nur noch von der aufschiebenden Wirkung der eingelegten Rechtsmittel profitiert, erweist sich die relevante Aufenthaltsdauer als relativ kurz. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Rückkehr des Beschwerdeführers mit Blick auf die relevante Aufenthaltsdauer als zumutbar erachtet hat.
4.2. Dem Beschwerdeführer kann auch insofern nicht gefolgt werden, als er eine gute Integration geltend macht. Gemäss eigenen Angaben bezog er im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils Arbeitslosengelder und hatte Schulden. Weder beruflich noch sozial scheint er in der Schweiz verankert zu sein; seit der rechtskräftigen Wegweisung seiner Partnerin bestehen (über das gemeinsame Kind) auch keine familiären Anknüpfungspunkte mehr.
4.3. Weitere Aspekte, welche im Rahmen von Art. 96 Abs. 1 AuG zu prüfen wären, werden in der Beschwerde nicht thematisiert und sind auch nicht ersichtlich. Der angefochtene Entscheid erweist sich damit als verhältnismässig.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang hätte der unterliegende Beschwerdeführer die Kosten zu tragen; er hat indessen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Seine Mittellosigkeit ist erstellt, nachdem er einen Betreibungsregisterauszug, den Mietvertrag und weitere Unterlagen betreffend Ausgaben sowie die Taggeldabrechnung der Arbeitslosenversicherung eingereicht hat. Das Rechtsmittel kann mit Blick auf die Tatsache, dass sich nach der Lockerung der kubanischen Bestimmungen betreffend Aus- und Wiedereinreise noch keine Praxis des Bundesgerichts herausgebildet hat, nicht als aussichtslos bezeichnet werden. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher gestützt auf Art. 64 Abs. 1 BGG gutzuheissen und der Beschwerdeführer von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien. Ausgangsgemäss besteht kein Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Dezember 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner