Sachverhalt:
A. Die 1956 geborene B._ meldete sich am 1. März 2004 unter Hinweis auf seit 1999 bestehende gesundheitliche Beschwerden (Bandscheibenprobleme, Gelenkschmerzen, Diabetes, Schlafapnoe, Depressionen, Angstzustände) bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Die IV-Stelle Uri klärte die Verhältnisse in medizinischer, beruflich-erwerblicher sowie haushaltlicher Hinsicht ab und gelangte gestützt darauf zum Schluss, dass kein rentenbegründender Invaliditätsgrad vorliege (Verfügung vom 24. Februar 2005). Sie ging dabei von einer Aufteilung der Aufgabenbereiche Erwerbstätigkeit/ Haushalt im Gesundheitsfall von 53 %/47 %, einer Arbeitsfähigkeit von mindestens 53 %, einer Erwerbsunfähigkeit von 0 % und einer Einschränkung in den häuslichen Verrichtungen von 20 %, d.h. einer gewichteten Invalidität von insgesamt 10 % ([0,53 x 0 %] + [0,47 x 20 %]), aus. Auf Einsprache hin modifizierte die Verwaltung die Bemessungsfaktoren insofern, als sie die ohne gesundheitliche Beeinträchtigungen angenommene Erwerbsquote auf 43 % reduzierte sowie die Arbeitsfähigkeit im Rahmen einer leidensadaptierten Tätigkeit auf 50 %, die Erwerbseinbusse auf 13 % und die Behinderung im Haushalt auf 21 % festsetzte, woraus ein - gewichteter - Invaliditätsgrad von 18 % ([0,43 x 13 %] + [0,57 x 21 %]) resultierte. Auf dieser Grundlage hielt sie mit Einspracheentscheid vom 14. Dezember 2005 im Ergebnis an ihrer Rentenablehnung fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Uri mit der Begründung ab, dass sich der Invaliditätsgrad - ausgehend von einer im Gesundheitsfall zu 70 % ausgeübten Erwerbstätigkeit, einer Arbeitsfähigkeit von 50 %, einer Erwerbseinbusse von 37 % sowie einer Einschränkung in den Haushaltsverrichtungen von 40 % - gewichtet auf rentenausschliessende 38 % ([0,7 x 37 %] + [0,3 x 40 %]) belaufe (Entscheid vom 19. Dezember 2006). Es sah von der mit Eingabe vom 23. Februar 2006 beantragten Durchführung einer mündlichen Verhandlung ab.
C. B._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und das Rechtsbegehren stellen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei ihr mindestens eine Dreiviertelsrente zuzusprechen, eventualiter sei die Sache zum Neuentscheid an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Während die IV-Stelle auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Damit wurden das Eidgenössische Versicherungsgericht (EVG) und das Bundesgericht in Lausanne zu einem einheitlichen Bundesgericht (an zwei Standorten) zusammengefügt (Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, S. 10 Rz. 75) und es wurde die Organisation und das Verfahren des obersten Gerichts umfassend neu geregelt. Dieses Gesetz ist auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist (<ref-law>). Da der kantonale Gerichtsentscheid am 19. Dezember 2006 und somit vor dem 1. Januar 2007 erlassen wurde, richtet sich das Verfahren nach dem bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) vom 16. Dezember 1943 (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
1.2 Der angefochtene Entscheid betrifft Leistungen der Invalidenversicherung. Nach Art. 132 Abs. 1 OG in der Fassung gemäss Ziff. III des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Änderung des IVG (in Kraft seit 1. Juli 2006) kann das Bundesgericht in Verfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen in Abweichung von Art. 104 und 105 OG auch die Unangemessenheit der angefochtenen Verfügung beurteilen und ist an die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts nicht gebunden. Gemäss Art. 132 Abs. 2 OG gelten diese Abweichungen nicht, wenn der angefochtene Entscheid Leistungen der Invalidenversicherung betrifft.
Im Hinblick darauf, dass die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach dem 30. Juni 2006 der Post übergeben worden und beim Bundesgericht eingegangen ist, findet das OG in der zitierten Fassung Anwendung (vgl. Ziff. II lit. c des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Änderung des IVG).
2. Die Beschwerdeführerin erblickt darin, dass das vorinstanzliche Verfahren ohne Durchführung einer mündlichen Verhandlung abgeschlossen wurde, eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Da mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde auch eine Verletzung der EMRK gerügt werden kann (<ref-ruling> E. 1 S. 50 mit Hinweis), stellt sich somit zunächst die Frage, ob das kantonale Rechtsmittelverfahren den sich aus dieser Konvention ergebenden prozessualen Erfordernissen genügt.
3. 3.1 Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat (Satz 1). Die Konvention selber sieht in Art. 6 Ziff. 1 Ausnahmen vom Öffentlichkeitsgrundsatz vor im Interesse der Sittlichkeit, der öffentlichen Ordnung oder der nationalen Sicherheit oder wenn die Interessen von Jugendlichen, der Schutz des Privatlebens von Prozessparteien oder die Gefahr einer Beeinträchtigung der Rechtspflege es gebieten (Satz 2).
3. 3.1 Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat (Satz 1). Die Konvention selber sieht in Art. 6 Ziff. 1 Ausnahmen vom Öffentlichkeitsgrundsatz vor im Interesse der Sittlichkeit, der öffentlichen Ordnung oder der nationalen Sicherheit oder wenn die Interessen von Jugendlichen, der Schutz des Privatlebens von Prozessparteien oder die Gefahr einer Beeinträchtigung der Rechtspflege es gebieten (Satz 2).
3.2 3.2.1 In <ref-ruling> hat sich das EVG eingehend mit der in Art. 6 Ziff. 1 EMRK gewährleisteten Garantie der Öffentlichkeit der Verhandlung im Sozialversicherungsprozess auseinandergesetzt und insbesondere die Voraussetzungen für Ausnahmen des von der Konvention geforderten Öffentlichkeitsgrundsatzes im erstinstanzlichen Rechtsmittelverfahren näher konkretisiert.
3.2.2 Ausgehend von der in <ref-ruling> und 120 V 1 publizierten Rechtsprechung bestätigte das Gericht in E. 3 zunächst, dass die von der EMRK geforderte Öffentlichkeit der Verhandlung primär im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren zu gewährleisten ist. Weiter hielt es in E. 3a daran fest, dass die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK einen entsprechenden Parteiantrag voraussetzt. Begehren um eine persönliche Anhörung oder Befragung, ein Parteiverhör, eine Zeugeneinvernahme oder einen Augenschein qualifizierte es dabei als blosse Beweisanträge, welchen nicht die Bedeutung eines Antrags auf konventionskonforme öffentliche Verhandlung zukommt.
3.2.3 Im Übrigen stellte das Gericht in E. 3b klar, dass der erstinstanzliche Richter grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung anzuordnen hat, wenn eine solche beantragt wurde; nur ausnahmsweise lasse es sich in solchen Fällen rechtfertigen, davon abzusehen. Als in Betracht fallende Ausnahmegründe führte es nebst den im zweiten Satz von Art. 6 Ziff. 1 EMRK genannten Umständen namentlich an, dass der Antrag nicht frühzeitig genug gestellt wurde, als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwiderläuft oder gar rechtsmissbräuchlich ist. Weiter erachtete es die Ablehnung einer beantragten öffentlichen Verhandlung durch den erstinstanzlichen Richter als zulässig, wenn sich auch ohne eine solche mit hin- reichender Zuverlässigkeit erkennen lässt, dass eine Beschwerde offensichtlich unbegründet oder unzulässig ist, oder wenn eine Materie hochtechnischen Charakters zur Diskussion steht, wobei darunter etwa rein rechnerische, versicherungsmathematische oder buchhalterische Probleme zu verstehen seien, nicht aber andere dem Sozialversicherungsprozess inhärente Fragestellungen wie beispielsweise die Würdigung medizinischer Gutachten. Schliesslich billigte es dem kantonalen Richter zu, von einem nachträglichen Verzicht auf eine zunächst verlangte öffentliche Verhandlung auszugehen, wenn er allein schon auf Grund der Akten zum Schluss gelangt, dass dem materiellen Rechtsbegehren der bezüglich der Verhandlung antragstellenden Partei zu entsprechen ist.
Diese Rechtsprechung wurde etwa mit Urteilen des EVG I 573/03 vom 8. April 2004, publ. in: SVR 2006 IV Nr. 1 S. 1, und U 210/03 vom 17. September 2004 (jeweils unter Hinweis auf die neuere Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte [EGMR] zu den besonderen Umständen, die trotz Vorliegens eines entsprechenden Antrags ein Absehen von der Durchführung einer öffentlichen Verhandlung rechtfertigen) bestätigt.
4. Unter diesen Gesichtspunkten ist auch im vorliegenden Verfahren zu prüfen, ob das kantonale Gericht von der Anordnung einer öffentlichen Verhandlung absehen durfte, ohne damit Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu verletzen.
4.1 Die Beschwerdeführerin hat ihren Parteiantrag auf Durchführung einer mündlichen Verhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK zwar nicht im Rahmen ihrer erstinstanzlichen Beschwerdeschrift (vom 27. Januar 2006) aber mit Eingabe vom 23. Februar 2006 - und damit unbestrittenermassen noch innerhalb des ordentlichen Schriftenwechsels - gestellt und replikweise (am 31. März 2006) ausdrücklich wiederholt. Entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts ist deshalb davon auszugehen, dass die Antragstellung rechtzeitig (<ref-ruling> E. 3b/bb in fine [mit Hinweisen] S. 56; Urteile des EVG U 57/04 vom 15. September 2005, E. 1.1 und 1.2, je mit Hinweisen, sowie K 116/03 vom 23. November 2004, E. 1) und, indem die Beschwerdeführerin deutlich und unmissverständlich zu verstehen gegeben hat, an einer konventionskonformen Verhandlung interessiert zu sein (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2 S. 38, 122 V 47 E. 3a S. 55; Urteile des EVG U 273/02 vom 17. Juni 2003, E. 1.2, publ. in: RKUV 2004 Nr. U 497 S. 153, und U 57/04 vom 15. September 2005, E. 1.2 mit Hinweisen), in rechtsgenüglicher Weise erfolgt ist. Von einem diesbezüglichen Versäumnis, wie vorinstanzlich angenommen, kann keine Rede sein.
4.2 Zu prüfen bleibt somit, ob die kantonalen Richterinnen und Richter ihren Entscheid auf Grund eines der rechtsprechungsgemäss vorgesehenen Ausnahmegründe (<ref-ruling> E. 3b S. 55 ff.) trotz Vorliegens eines entsprechenden Antrags ohne öffentliche Verhandlung fällen durften. Als Gründe, welche die Ablehnung der beantragten Verhandlung allenfalls zu rechtfertigen vermöchten, fallen vorliegend namentlich die bessere Eignung des schriftlichen Verfahrens bei hochtechnischen Fragen einerseits und die allgemein im Sozialversicherungsprozess gebotene Einfachheit und Raschheit des Verfahrens (vgl. <ref-law>) in Betracht, wobei letzterem Aspekt insbesondere bei offensichtlich unbegründeten oder unzulässigen Beschwerden Rechnung zu tragen ist. Die übrigen in <ref-ruling> E. 3b S. 55 ff. angeführten Ausnahmetatbestände liegen demgegenüber offensichtlich nicht vor, weshalb sich diesbezüglich weitere Ausführungen erübrigen. Insbesondere unterlässt es das kantonale Gericht, das verfahrensrechtliche Begehren als schikanös, eine Verzögerungstaktik verratend oder gar rechtsmissbräuchlich einzustufen (vgl. <ref-ruling> E. 3b/cc S. 56).
4.2.1 In materieller Hinsicht streitig ist, ob die Beschwerdeführerin Anspruch auf eine Invalidenrente hat. Dabei handelt es sich um eine Frage, für deren Beantwortung, jedenfalls hinsichtlich der noch verbliebenen Leistungsfähigkeit im Erwerbs- und Haushaltsbereich (zu den für die Statusfrage relevanten Anknüpfungspunkten vgl. namentlich <ref-ruling> E. 3b [mit zahlreichen Hinweisen auf Rechtsprechung und Literatur] S. 195), weitgehend auf die medizinischen Berichte sowie, soweit vorhanden, auf die von der Verwaltung an Ort und Stelle (im Haushalt der versicherten Person) vorgenommenen Abklärungen gemäss <ref-law> abzustellen ist. Die diesbezüglich vorhandenen Unterlagen müssen einer eingehenden Würdigung unterzogen werden, wobei es für das Ergebnis wesentlich auf die Gewichtung der einzelnen ärztlichen Stellungnahmen und Ergebnisse der Erhebungen vor Ort ankommt. Solange es in einer allfälligen Verhandlung einzig um die Auseinandersetzung mit den vorhandenen Äusserungen von Ärztinnen und Ärzten sowie der IV-Abklärungspersonen und nicht um das Einbringen beispielsweise neuer medizinischer Tatsachen geht, kann nicht von einer besseren Eignung des schriftlichen Verfahrens gesprochen werden. Diese für das Sozialversicherungsrecht typische Thematik lässt sich nicht als "hochtechnisch" im Sinne der Rechtsprechung bezeichnen (vgl. <ref-ruling> E. 2d und e S. 52 f. sowie E. 3b/ee S. 57 f., je mit Hinweisen). Auch kann nicht gesagt werden, dass unter solchen Umständen eine zuverlässige Urteilsfindung eher in einem ausschliesslich schriftlichen Verfahren gewährleistet wäre und von einer - nach erfolgtem Schriftenwechsel - zusätzlich durchgeführten mündlichen Verhandlung zum Vornherein keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären. Gerade in solchen Fällen, was im Übrigen auch bezüglich der hypothetisch zu beantwortenden Statusfrage zu gelten hat, erscheint eine mündliche Verhandlung als grundsätzlich geeignet, zur Klärung allfälliger noch streitiger Punkte beizutragen. Des Weitern wäre im vorliegenden Fall von einer Durchführung einer öffentlichen Verhandlung keine ernsthafte Gefahr für die im Sozialversicherungsprozess gebotene Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zu erwarten gewesen, zumal sich die erstinstanzliche Rechtsmittelergreifung schon angesichts der Tatsache nicht als offensichtlich unbegründet qualifizieren lässt, dass das kantonale Gericht hinsichtlich einzelner Invaliditätsbemessungsfaktoren (Aufteilung Erwerbs-/Haushaltsquote im Gesundheitsfall, Erwerbsunfähigkeit, krankheitsbedingte Behinderung im Haushalt) eine von den Feststellungen der Verwaltung abweichende Beurteilung vorgenommen hat. Triftige Gründe, welche dennoch gegen eine öffentliche Verhandlung sprechen, sind nicht ersichtlich und werden denn auch weder von der Vorinstanz noch von der Beschwerdegegnerin namhaft gemacht.
4.2.2 Indem unter derartigen Umständen von der ausdrücklich beantragten mündlichen Verhandlung gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMKR abgesehen wurde, hat das kantonal Gericht der konventionsrechtlich gewährleisteten Verfahrensgarantie nicht hinreichend Rechnung getragen. Es erweist sich somit als unumgänglich, die Sache an dieses zurückzuweisen, damit es den festgestellten Verfahrensmangel behebt und die verlangte öffentliche Verhandlung, in deren Rahmen der Beschwerdeführerin auch Gelegenheit zu einer mündlichen Stellungnahme einzuräumen sein wird, durchführt. Da die Vorinstanz demnach erneut über die Sache befinden muss, wird sie unter Berücksichtigung weiterer Parteivorbringen auch die Notwendigkeit zusätzlicher Abklärungen, etwa der Einholung eines weiteren medizinischen Gutachtens, nochmals zu prüfen haben.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 zweiter Satz OG [in der ab 1. Juli 2006 geltenden Fassung; vgl. E. 1.2 hievor]). Die Gerichtskosten sind der Beschwerdegegnerin als unterliegender Partei aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG). Der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin steht dem Verfahrensausgang entsprechend eine Parteientschädigung zu (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri vom 19. Dezember 2006 aufgehoben, und es wird die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der E. 4.2.2 verfahre und über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der IV-Stelle Uri vom 14. Dezember 2005 neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle Uri auferlegt.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 500.- wird der Beschwerdeführerin zurückerstattet.
4. Die IV-Stelle Uri hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 18. April 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
i.V.