Fatti:
A.
Il 21 novembre 2011 S._, nato nel 1964 e da ultimo attivo in qualità di operaio meccanico, ha presentato una domanda di prestazioni AI. Mediante decisione del 12 febbraio 2013, preavvisata il 22 novembre 2012, l'Ufficio AI (UAI) del Cantone Ticino ha respinto la richiesta per carenza di invalidità di grado pensionabile.
B.
L'assicurato si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino al quale ha chiesto di rinviare gli atti all'amministrazione per complemento istruttorio e riconoscimento di almeno una mezza rendita.
Per pronuncia del 25 novembre 2013 la Corte cantonale ha accolto il ricorso nel senso che ha annullato la decisione amministrativa e ha riconosciuto un quarto di rendita dal 1° marzo 2012. Accertata una (in) capacità lavorativa residua del 50% per cause psichiatriche (sindrome depressiva ricorrente con episodio di media gravità: ICD-10: F 33.1) dal mese di marzo 2011, il giudice di prime cure ha stabilito un grado d'invalidità del 46% e il diritto alla prestazione parziale trascorso l'anno di attesa.
C.
L'UAI ha presentato ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale, in via principale, chiede di annullare il giudizio cantonale e di confermare la propria decisione amministrativa, mentre in via subordinata domanda che il quarto di rendita sia tutt'al più versato dal 1° maggio 2012, ossia sei mesi dopo la rivendicazione del diritto a prestazioni.
L'assicurato propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali non si è determinato.

Diritto:
1.
Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Costituisce una violazione del diritto federale, liberamente riesaminabile, in particolare anche l'accertamento incompleto dei fatti determinanti come pure la violazione della massima inquisitoria che costituisce una norma essenziale di procedura (cfr. sentenza 9C_468/2009 del 9 settembre 2009 consid. 1.2 con riferimento). Il riesame di una tale questione entra in particolare in linea di conto nell'ipotesi in cui un fatto decisivo è stato stabilito sulla base di un sostrato probatorio incompleto. Per il resto, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può rettificare o completare d'ufficio l'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore se è stato svolto in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (<ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62), oppure in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 (<ref-law>), e a condizione che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
2.
La Corte cantonale, accertato un grado di (in) capacità lavorativa del 50% dal mese di marzo 2011 - non più contestato in sede federale -, ha stabilito un reddito senza invalidità di fr. 43'722.- (anno di riferimento: 2012), anch'esso non più (esplicitamente) censurato. Il primo giudice ha in seguito osservato che quest'ultimo importo era inferiore del 30% rispetto a quello che l'interessato avrebbe potuto realizzare, nello stesso anno, in media a livello svizzero nell'industria manifatturiera (fr. 65'469.-). In assenza di indizi, negli atti, secondo i quali l'assicurato si sarebbe accontentato di un guadagno modesto, il giudice di prime cure ha quindi ridotto il reddito base da invalido (fr. 62'420.-) del 25% - ossia, per la parte eccedente la soglia del 5% (<ref-ruling> consid. 6.1.3 pag. 304 seg.) - per tenere conto di questa differenza (gap salariale), ottenendo così un importo di fr. 46'815.-, poi ulteriormente ridotto del 50% in considerazione della residua capacità lavorativa. Raffrontando il reddito da valido (fr. 43'722.-) con quello da invalido (fr. 23'407.-), l'autorità giudiziaria cantonale ha accertato un grado d'invalidità del 46% conferente il diritto a un quarto di rendita che è stato fatto decorrere dal 1° marzo 2012, vale a dire trascorso l'anno di attesa ai sensi dell'<ref-law>.
3.
Il Tribunale federale ha già avuto modo di affermare che se una persona assicurata, per motivi estranei all'invalidità (per esempio a causa della sua carente formazione scolastica o professionale, delle sue carenti competenze linguistiche, delle limitate possibilità di assunzione dovute a uno statuto di lavoratore stagionale, ecc.), ha realizzato un reddito considerevolmente inferiore alla media dei salari nazionali conseguibili nello stesso ambito professionale (cfr. ad esempio RtiD 2009-II pag. 194, 9C_83/2008) - tale limite essendo stato fissato al 5% - senza che vi si sia spontaneamente accontentata, si procede a un parallelismo dei due redditi di paragone per la parte percentuale eccedente la soglia del 5% (<ref-ruling>). In pratica, questo parallelismo può avvenire a livello di reddito da valido aumentando in maniera adeguata il reddito effettivamente conseguito oppure facendo capo ai valori statistici oppure ancora a livello di reddito da invalido mediante una riduzione adeguata del valore statistico (<ref-ruling>).
Questa giurisprudenza intende garantire che i due redditi di riferimento vengano stabiliti sulla medesima base. Ora, se una persona assicurata realizzava nell'attività svolta senza danno alla salute un salario considerevolmente inferiore alla media poiché le sue qualità personali rendevano impossibile il conseguimento di un salario medio, non si può presumere che la stessa persona con il pregiudizio alla salute possa realizzare (anche solo in proporzione) un salario medio. Di conseguenza, se si prende in considerazione un salario senza invalidità che per i detti motivi si situava considerevolmente al di sotto della media, allora si deve tenere conto degli stessi fattori estranei all'invalidità anche per determinare il reddito ipotetico da invalido. Il parallelismo dei redditi tiene così conto della circostanza che la persona assicurata, da invalida, non è realisticamente in grado di realizzare il salario statistico medio, per cui occorre riconoscerle un salario da invalida conseguentemente più basso. Non si giustificherebbe in effetti in alcun modo contrapporre a un reddito senza invalidità nettamente al di sotto della media (nazionale) un reddito da invalido medio (nazionale: SVR 2007 UV n. 17 pag. 56, U 75/03) realisticamente irrealizzabile. Per converso, laddove un reddito da invalido di fascia media è realisticamente conseguibile rispettivamente ragionevolmente esigibile, un reddito da valido inferiore alla media (per motivi economici) non deve essere adattato al livello medio (<ref-ruling> consid. 3.4.3 e 3.4.4 pag. 61 segg.; cfr. pure sentenza 9C_179/2013 del 26 agosto 2013 consid. 4.4).
4.
4.1. L'UAI lamenta in primo luogo una violazione del diritto in quanto la Corte cantonale avrebbe applicato alla fattispecie il principio del parallelismo dei redditi senza che però fossero realizzate tutte le condizioni per procedervi. In particolare contesta che il giudice di prime cure potesse apoditticamente concludere che l'assicurato non si sarebbe accontentato di un guadagno modesto. Oltre a censurare questa conclusione perché adottata senza procedere ad alcuna verifica, l'Ufficio ricorrente reputa che gli atti indurrebbero a ritenere piuttosto la tesi contraria.
4.2. I dati di riferimento vanno adeguati in base al principio del parallelismo dei redditi soltanto se è comprovato che l'assicurato non intendeva accontentarsi di un salario modesto. Come rileva a ragione l'insorgente, non vi è una presunzione in tal senso (sentenza 9C_205/2011 del 10 novembre 2011 consid. 8.4, in RtiD 2012 II pag. 414 segg.).
Secondo la Corte cantonale, agli atti non vi sarebbero indizi secondo cui l'opponente si sarebbe accontentato di un reddito modesto. Tale affermazione non risulta tuttavia minimamente comprovata e viene messa in dubbio dalle affermazioni addotte dall'amministrazione in questa sede.
4.3. Il Tribunale federale può rettificare o completare d'ufficio l'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto (cfr. sopra, consid. 1) ma non può supplire ai suoi compiti in totale assenza di accertamenti sui fatti determinanti per l'esame di una questione giuridica. Tralasciando di analizzare la condizione menzionata e di stabilire i fatti necessari a questa analisi, l'autorità di primo grado ha violato il diritto federale. Il giudizio impugnato deve di conseguenza essere annullato e la causa rinviata al Tribunale cantonale affinché determini se l'opponente - per motivi estranei all'invalidità - si sia deliberatamente accontentato di un reddito considerevolmente inferiore a quello che avrebbe potuto ottenere nel settore specifico e statuisca poi di nuovo (cfr. sentenza 9C_409/2009 dell'11 dicembre 2009 consid. 3.3, in Plädoyer 2010/1). In tale occasione l'istanza precedente dovrà pure ricalcolare in maniera corretta il gap sariale. Salta in effetti all'occhio che per stabilire questa differenza essa ha, forse inavvertitamente, raffrontato il reddito percepito dall'opponente prima del danno alla salute con quello dedotto dal valore totale dell'intero settore privato di cui alla Tabella TA1 (livello di qualifica 4) dell'inchiesta svizzera sulla struttura dei salari (ISS) edita dall'Ufficio federale di statistica, anziché, come avrebbe dovuto, con quello usuale a livello nazionale nello specifico settore economico (cfr., fra le tante, sentenza 9C_83/2008 del 19 gennaio 2009 consid. 4.3, in RtiD 2009 II pag. 194).
5.
L'annullamento del giudizio cantonale e il rinvio della causa all'istanza precedente per nuova pronuncia rendono superflui l'esame della conclusione ricorsuale subordinata come pure la verifica, già in questa fase, degli eventuali fattori "sociali" di riduzione del reddito da invalido invocati da controparte (cfr. <ref-ruling>).
6.
Le spese seguono la soccombenza e andrebbero pertanto poste a carico dell'opponente (<ref-law>), in quanto il rinvio della causa equivale a un pieno successo (<ref-ruling> consid. 6.1 pag. 235). Quest'ultimo ha tuttavia chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. In considerazione delle particolari circostanze del caso e della situazione economica dell'interessato, l'istanza tendente alla concessione dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio va accolta (<ref-law>; v. <ref-ruling>). L'opponente viene però reso attento che qualora fosse più tardi in grado di pagare, sarà tenuto a risarcire la cassa del Tribunale (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è accolto nel senso che, annullato il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 25 novembre 2013, la causa è rinviata alla Corte cantonale affinché proceda conformemente ai considerandi e renda un nuovo giudizio.
2.
All'opponente viene concessa l'assistenza giudiziaria e l'avvocato Sergio Sciuchetti viene designato quale patrocinatore.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 800.- sono poste a carico dell'opponente e per il momento assunte dalla cassa del Tribunale.
4.
La cassa del Tribunale verserà al patrocinatore dell'opponente un'indennità di fr. 2000.-.
5.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.