Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 7. September 1999 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich dem 1956 geborenen L._ bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Rente der Invalidenversicherung ab 1. August 1997 zu. Die zwischenzeitlich zuständig gewordene IV-Stelle des Kantons Aargau bestätigte mit Mitteilung vom 19. April 2004 einen unveränderten Rentenanspruch. Im Dezember 2009 leitete die Verwaltung erneut ein Revisionsverfahren ein. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob sie die Rente mit Verfügung vom 21. November 2011 auf Ende Dezember 2011 auf mit der Begründung, die ursprüngliche Verfügung werde in Wiedererwägung gezogen und beim aktuellen Invaliditätsgrad von 22 % bestehe kein Rentenanspruch. Gleichzeitig entzog sie einer allfälligen Beschwerde gegen diese Verfügung die aufschiebende Wirkung.
B. Mit Beschwerde vom 16. Januar 2012 beantragte L._ u.a., die aufschiebende Wirkung der Beschwerde sei per sofort wieder herzustellen. In teilweiser Gutheissung des Rechtsmittels hob das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 12. September 2012 die Verfügung vom 21. November 2011 auf und wies die Sache zur Vornahme ergänzender Abklärungen im Sinne der Erwägungen sowie zum anschliessenden Erlass einer neuen Verfügung an die Verwaltung zurück. Den Antrag betreffend die aufschiebende Wirkung hielt es für obsolet geworden, weshalb es darüber dispositivmässig nicht befand.
C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit folgenden Rechtsbegehren:
"1. In Ergänzung des Urteils vom 12. September 2012 des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau sei die aufschiebende Wirkung der Beschwerde vom 16. Januar 2012 wieder herzustellen.
2. Eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese zu verpflichten, den mit Beschwerde vom 16. Januar 2012 gestellten Verfahrensantrag zu beurteilen.
3. Dem Beschwerdeführer sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und der unterzeichnete Anwalt sei zu seinem unentgeltlichen Rechtsvertreter zu ernennen."
Ferner lässt er folgenden Verfahrensantrag stellen:
"Der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sei per sofort die aufschiebende Wirkung zu erteilen."

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 96; Urteil 8C_264/2009 vom 19. Mai 2009 E. 1; je mit Hinweisen).
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat es unterlassen, über den Antrag auf Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung zu befinden, weil es ihn mit dem Urteil in der Sache für gegenstandslos gehalten hat. Der Beschwerdeführer sieht darin eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Er ist der Auffassung, aufgrund der Rechtsprechung über die Weitergeltung der aufschiebenden Wirkung während des nachfolgenden Abklärungsverfahrens (SVR 2011 IV Nr. 33 S. 96, 8C_451/2010 E. 4) hätte das Gericht auf sein Rechtsbegehren eintreten und es gutheissen müssen, zumal vor der Durchführung von Eingliederungsmassnahmen der bisherige Invaliditätsgrad von 100 % unverändert bleibe.
2.2 Die Vorinstanz hat nicht abschliessend über den Rentenanspruch entschieden, sondern die Sache zu zunächst weiterer medizinischer Abklärung an die Verwaltung zurückgewiesen. Angesichts des Alters des Beschwerdeführers hat sie lediglich in allgemeiner Weise auf die allfällige Erforderlichkeit von Eingliederungsmassnahmen gemäss SVR 2011 IV Nr. 73 S. 220, 9C_228/2010 E. 3.3 - resp. des Mahn- und Bedenkzeitverfahrens nach <ref-law> - verwiesen, ohne eine konkrete Feststellung über die (Un-)Verwertbarkeit der erst noch festzustellenden Arbeitsfähigkeit zu treffen. Damit handelt es sich beim angefochtenen Entscheid, namentlich in Bezug auf die aufschiebende Wirkung, um einen Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>.
Dagegen ist die Beschwerde nur zulässig, (a) wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann oder (b) wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne des <ref-law> muss rechtlicher Natur sein, was voraussetzt, dass er durch einen späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht mehr vollständig behoben werden kann. Eine rein tatsächliche oder wirtschaftliche Erschwernis reicht in der Regel nicht (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 317 mit Hinweisen).
2.3 Ein Eintreten auf die Beschwerde gestützt auf <ref-law> fällt von vornherein ausser Betracht, da es sich bei der Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung um eine vorsorgliche Massnahme handelt.
Auch mit Blick auf <ref-law> ist die Beschwerde unzulässig: Einerseits stellt die notwendig gewordene finanzielle Unterstützung durch die Wohnsitzgemeinde keinen Nachteil von rechtlicher Natur dar. Anderseits wird nicht dargelegt und ist nicht ersichtlich, weshalb ein dem Versicherten durch die vorläufige Rentensistierung allenfalls erwachsender Nachteil nicht wieder gutzumachen sein soll etwa in dem Sinn, dass die Einstellung der Rentenzahlungen ihn zu kostspieligen oder sonstwie unzumutbaren Massnahmen zwingen könnte (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 233). Zudem werden die Leistungen bei späterer Bejahung des Anspruchs in vollem Umfang nachgezahlt.
2.4 Im Übrigen legt der Beschwerdeführer auch nicht substanziiert (vgl. <ref-law>) dar, inwiefern durch die Rentensistierung an sich verfassungsmässige Rechte (vgl. <ref-law>) verletzt sein sollen.
3. 3.1 Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens gehen die Gerichtskosten grundsätzlich zu Lasten des Beschwerdeführers (<ref-law>); sie werden jedoch zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege auf die Gerichtskasse genommen. Ferner hat der Beschwerdeführer Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372), wofür er ebenfalls der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).
3.2 Der unentgeltliche Rechtsbeistand hat Anspruch auf eine angemessene Entschädigung aus der Gerichtskasse (<ref-law>). Nach <ref-law> und Art. 2 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht vom 31. März 2006 (SR 173.110.210.3) umfasst die Parteientschädigung die Anwaltskosten und die notwendigen Auslagen für die Prozessführung, wobei sich die Anwaltskosten aus dem Anwaltshonorar und dem Auslagenersatz zusammensetzen. Praxisgemäss wird für einen Normalfall Fr. 2'800.- zugesprochen, Auslagen und Mehrwertsteuer inbegriffen (Urteile 8C_675/2012 vom 7. Dezember 2012 E. 6.2; 8C_370/2010 vom 7. Februar 2011 E. 8.2).
Die Höhe der Entschädigung, die sich grundsätzlich an jener einer Parteientschädigung im Sinn von <ref-law> orientiert, ist entgegen der vom Rechtsvertreter des Beschwerdeführers eingereichten Honorarnote vom 5. November 2012 nicht auf Fr. 6'565.30 festzusetzen. Darin werden weder der Arbeitsaufwand noch die Auslagen detailliert ausgewiesen; zudem fehlen Ausführungen zum Streitwert, zur Wichtigkeit der Streitsache und dem Umfang der Arbeitsleistung (vgl. Art. 3 Abs. 1 und 3 des genannten Reglements). Der Rechtsvertreter verweist lediglich in pauschaler Weise auf Art. 4 des Reglements, der Rahmenbeträge für den Streitwerttarif festlegt. Mit Blick darauf, dass die Streitsache nicht als überaus schwierig einzustufen ist, erscheint eine Entschädigung in praxisgemässer Höhe als angemessen.
4. Mit dem Urteil wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung gemäss <ref-law> - die sich allein auf den vorinstanzlichen Entscheid bezieht und gegebenenfalls sich nur auf die Dauer des letztinstanzlichen Verfahren erstreckt - gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Andreas Hübscher wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Januar 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann