Sachverhalt:
A. Am 17. August 2006 erstattete X._ bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl Strafanzeige gegen Y._. Er stellte das Begehren, der Angeschuldigte sei im Strafverfahren adhäsionsweise zu verpflichten, ihm als zivilrechtlichen Anspruch Fr. 30'000.-- (nebst 5% Zins seit 1. Juni 2005) zu bezahlen. Am 28. Februar 2007 überwies die Staatsanwaltschaft die Strafuntersuchung zuständigkeitshalber an das Statthalteramt des Bezirkes Zürich.
B. Mit Strafverfügung vom 14. Juni 2007 verurteilte das Statthalteramt Zürich Y._ wegen Widerhandlung gegen das Lotteriegesetz und die Lotterieverordnung (Organisation eines sogenannten privaten "Schenkkreises" auf der Basis eines illegalen Schneeballsystems) zu einer Busse von Fr. 500.--. Gleichzeitig wurde der Gebüsste zur Rückerstattung des deliktisch erzielten Gewinnes von Fr. 105'000.-- verpflichtet. Ein Akteneinsichtsgesuch des Strafanzeigers vom 19. Juni 2007 wies das Statthalteramt mit Verfügung vom 20. Juni 2007 ab.
C. Der Gebüsste und der Strafanzeiger verlangten mit Eingaben vom 22. bzw. 25. Juni 2007 an das Statthalteramt je die gerichtliche Beurteilung der Strafverfügung. Der Strafanzeiger hielt an seiner Zivilforderung fest und verlangte (in der entsprechenden Höhe) die adhäsionsweise Zusprechung einer Ersatzforderung bezüglich des erzielten deliktischen Gewinnes.
D. Mit Schreiben vom 22. November 2007 teilte das Statthalteramt dem Strafanzeiger mit, dass er nicht als Geschädigter im Strafverfahren zugelassen sei. Seine Eingabe vom 25. Juni 2007 werde daher (im Hinblick auf die Verfügung vom 20. Juni 2007 betreffend Akteneinsicht) als Rekurs an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich übermittelt. In ihrem Entscheid vom 8. Januar 2008 stellte die Sicherheitsdirektion fest, dass die Eingabe des Strafanzeigers vom 25. Juni 2007 nicht als Rekurs zu behandeln, sondern vom Statthalteramt als Begehren um gerichtliche Beurteilung an die Hand zu nehmen sei. Am 23. April 2008 überwies das Statthalteramt das Begehren um gerichtliche Beurteilung der Strafverfügung an das Bezirksgericht Zürich.
E. Mit Verfügung vom 16. Juni 2008 entschied das Bezirksgericht Zürich, Einzelrichteramt für Zivil- und Strafsachen, wie folgt:
"Die Akten werden an das Statthalteramt des Bezirkes Zürich zurückgewiesen zur Zulassung" des Strafanzeigers "als Geschädigter (...) und damit zur Gewährung der Akteneinsicht sowie zur Durchführung des weiteren Verfahrens im Sinne der vorstehenden Erwägungen. Das Verfahren wird hierorts als dadurch erledigt abgeschrieben."
Das Bezirksgericht erwog, der Strafanzeiger sei als Geschädigter am hängigen Strafverfahren zu beteiligen. Insbesondere sei ihm von der Untersuchungsbehörde Akteneinsicht zu gewähren, und es sei in der Abschlussverfügung über seine adhäsionsweise gestellte Zivilforderung förmlich zu entscheiden; in Frage komme diesbezüglich auch ein Nichteintretensentscheid. Dementsprechend würden die Akten "zur Beendigung des Strafverfahrens" an das Statthalteramt zurückgewiesen.
F. Gegen den Entscheid des Bezirksgerichtes vom 16. Juni 2008 gelangte die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich mit Beschwerde vom 29. August 2008 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Nichtzulassung des Strafanzeigers als Geschädigter im Strafverfahren.
Das Bezirksgericht und der private Beschwerdegegner (Strafanzeiger) haben am 9. September bzw. 3. Oktober 2008 je auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet.

Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich um eine strafprozessuale Zwischenverfügung. Die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichtes behandelt alle Beschwerden in Strafsachen gegen verfahrensrechtliche Zwischenentscheide (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 280; nicht amtlich publ. E. 3 von <ref-ruling>).
2. Es fragt sich zunächst, ob die Oberstaatsanwaltschaft hier zur Beschwerde legitimiert ist. Zur Beschwerde in Strafsachen ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat (oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhielt, <ref-law>) und zudem ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides nachweist (was insbesondere bei Staatsanwaltschaften der Fall sein kann, Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG).
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Strafuntersuchung sei vom Statthalteramt geführt und mit Strafverfügung abgeschlossen worden. Sie, die Oberstaatsanwaltschaft, sei Aufsichtsbehörde über die kantonale Strafverfolgung. Als solche sei sie "anstelle des vor Bundesgericht nicht beschwerdeberechtigten Statthalteramtes" grundsätzlich zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert. Die Vorinstanz habe die strafprozessuale Geschädigtenstellung des privaten Beschwerdegegners willkürlich bejaht. Die Frage sei (im Zusammenhang mit illegalen Lotteriegeschäften) bisher von den Gerichten "kaum erschöpfend beantwortet" worden. Es sei wichtig, sie vom Bundesgericht prüfen zu lassen, da ihre Beantwortung in anderen Fällen (insbesondere TV-Gewinnspielen mit Telefongebühren-Einsätzen von mehreren Millionen Franken) schwerwiegende Folgen nach sich ziehen könne.
Die Oberstaatsanwaltschaft war im kantonalen Verfahren (betreffend Zulassung des privaten Beschwerdegegners als Geschädigter und Rückweisung des Strafverfahrens zur Ergänzung und Beendigung der Untersuchung) nicht förmlich beteiligt. Die Strafuntersuchung ist beim Statthalteramt des Bezirkes Zürich hängig. Die Rückweisung erfolgte durch das Bezirksgericht Zürich. Die Oberstaatsanwaltschaft erhebt die vorliegende Beschwerde als kantonale Aufsichtsbehörde über die Strafverfolgung. Es erscheint fraglich, ob sie in der vorliegenden Konstellation befugt ist, den Beschwerdeweg zur Wahrnehmung allgemeiner behördlicher Interessen (bzw. zur Klärung offener Probleme des kantonalen Prozessrechts) zu beschreiten. Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, braucht diese Frage hier aber nicht abschliessend geprüft zu werden.
3. Vorbehältlich der (hier nicht gegebenen) Fälle von <ref-law> ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide nur zulässig, wenn diese einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>).
3.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, im vorliegenden Fall seien die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt.
3.2 Soweit <ref-law> auf Straffälle wie den vorliegenden überhaupt anwendbar erscheint, ist die Bestimmung (nach ihrem Sinn und Zweck) restriktiv auszulegen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2-3.3 S. 292 f. mit Hinweisen).
Im hier zu beurteilenden Fall würde eine Gutheissung der Beschwerde noch nicht zu einem Endentscheid führen. Der Gebüsste hat vielmehr die gerichtliche Beurteilung der Strafverfügung verlangt. Darüber hinaus behauptet die Oberstaatsanwaltschaft auch nicht, dass im hängigen Straffall ("Schenkkreis") ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren droht. Sie macht vielmehr geltend, es gebe andere Fälle, namentlich "im Zusammenhang mit TV-Gewinnspielen", auf die sich der angefochtene Zwischenentscheid ungünstig und präjudizierlich auswirken könnte. Die betreffenden wichtigen Rechtsfragen sollten bereits "endgültig" durch das Bundesgericht entschieden werden. Wie den Akten zu entnehmen ist, beschränkt sich die von der Vorinstanz angeordnete Ergänzung des Verfahrens im hier zu beurteilenden (weder komplexen noch schwerwiegenden) Fall darauf, dass das Statthalteramt dem privaten Beschwerdegegner nachträglich Akteneinsicht zu gewähren und (in einer neuen Abschlussverfügung) über dessen adhäsionsweise erhobene Zivilforderung förmlich zu entscheiden habe. In Frage komme diesbezüglich auch ein Nichteintretensentscheid. Eine mögliche präjudizielle Auswirkung des angefochtenen Zwischenentscheides auf die Geschäftslast der Strafverfolgungsbehörden in anderen Fällen wird vom Gesetz nicht als zulässiger Ausnahmefall genannt. Analoges gilt für das Anliegen der Oberstaatsanwaltschaft, wichtige in Aussicht stehende Rechtsfragen möglichst früh zu klären. Die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> sind somit offensichtlich nicht gegeben.
3.3 Zwar macht die Beschwerdeführerin nicht ausdrücklich geltend, es drohe ihr als Folge des angefochtenen Zwischenentscheides ein nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>. In anderem Zusammenhang (nämlich im Hinblick auf Art. 81 Abs. 1 bzw. <ref-law>) bringt sie jedoch Folgendes vor:
Der angefochtene Entscheid habe "für das Statthalteramt des Bezirkes Zürich weit reichende Folgen und zwar über diesen konkreten Fall hinaus". Beim Statthalteramt seien mehrere Strafverfahren "teils rechtskräftig abgeschlossen und teils hängig", welche TV-Gewinnspiele beträfen, an denen tausende von Zuschauern teilgenommen hätten. In diesen Verfahren seien Beträge von mehreren Millionen Franken als mutmassliche illegale Gewinne bei Telefongesellschaften beschlagnahmt worden. Verschiedene Gerichtsinstanzen setzten sich derzeit mit den sich stellenden Rechtsfragen auseinander. Falls der hier angefochtene einzelrichterliche Entscheid "Schule machen" würde, müsse mit einer Flut von Rückforderungsklagen gerechnet werden, "und zwar in erster Linie von Personen, die im Zusammenhang mit den obgenannten TV-Gewinnspielen überrissene Telefongebühren bezahlt" hätten. Die Strafverfolgungsbehörden seien "daran interessiert, diese grundsätzliche Rechtsfrage" schon jetzt "in einem raschen und endgültigen Verfahren zu klären".
3.4 Als oberste rechtsprechende Behörde des Bundes soll sich das Bundesgericht in der Regel nur einmal mit der gleichen Streitsache befassen müssen. Nach ständiger Praxis zu <ref-law> (und schon zum altrechtlichen Art. 87 Abs. 2 OG) ist ein Vor- oder Zwischenentscheid daher nur ausnahmsweise anfechtbar, sofern ein konkreter rechtlicher Nachteil droht, der auch durch einen (für die rechtsuchende Partei günstigen) Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 3.1 S. 86 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 45; <ref-ruling> E. 4 S. 141, 288 E. 3.1 S. 291, 355 E. 4 S. 338, je mit Hinweisen). Ein nicht verfahrensabschliessender Rückweisungsentscheid begründet grundsätzlich selbst dann keinen nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteil, wenn er zu einem zusätzlichen Verfahrensaufwand führt (<ref-ruling> E. 1.3 S. 125). Dies gilt insbesondere für die Rückweisung eines Strafverfahrens zur weiteren Untersuchung, welche eine Verfahrensverzögerung oder zusätzliche Kosten nach sich zieht (BGE <ref-ruling> E. 4 S. 141 mit Hinweisen).
3.5 Im vorliegenden Fall droht der Oberstaatsanwaltschaft (als kantonale Aufsichtsbehörde über die Strafverfolgung) kein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law>. Eine gewisse Verteuerung oder Verzögerung des hier streitigen Strafverfahrens ("Schenkkreis") oder eine mögliche Erhöhung der Geschäftslast in anderen (hier nicht zur Beurteilung stehenden) Straffällen gehört nicht zu den Nachteilen rechtlicher Natur im Sinne der dargelegten Praxis.
Der angefochtene Rückweisungsentscheid wirkt sich materiellrechtlich nicht präjudiziell (und in diesem Sinne auch nicht teilweise verfahrensabschliessend) aus: Über allfällige Zivilansprüche des privaten Beschwerdegegners wird erst im ausstehenden Endentscheid materiell zu befinden sein (nämlich in einer neuen Abschlussverfügung des Statthalteramtes und gegebenenfalls durch den zuständigen Straf- oder Zivilrichter). Auch die Frage, ob eine adhäsionsweise Beurteilung im Strafverfahren überhaupt möglich erscheint (oder ob sich diesbezüglich ein Nichteintreten bzw. eine Verweisung auf den Zivilweg aufdrängt), wurde im angefochtenen Zwischenentscheid ausdrücklich offen gelassen. Die dort streitige prozessuale Rechtsfrage kann nötigenfalls (unter den Voraussetzungen von <ref-law>) auch noch im Rahmen einer Beschwerde gegen den letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid aufgeworfen werden.
4. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Gerichtskosten sind nicht zu erheben (<ref-law>). Der private Beschwerdegegner hat sich (über den Vernehmlassungsverzicht hinaus) am Verfahren vor Bundesgericht nicht beteiligt. Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich, dem privaten Beschwerdegegner, dem Bezirksgericht Zürich, Einzelrichteramt für Zivil- und Strafsachen, sowie dem Statthalteramt des Bezirkes Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster