Faits:
A.
Le 19 juillet 2013, A._ a demandé au Tribunal civil du canton de Genève de lui accorder l'assistance juridique pour un recours formé auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice de la République et canton de Genève à l'encontre d'une décision de l'Office du logement du canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal du logement) du 19 juin 2013. Dans sa requête, elle a demandé la nomination de l'Association genevoise de défense des locataires (ci-après: l'ASLOCA) en tant que conseil juridique.
B.
Par décision du 22 juillet 2013, la Vice-présidente du Tribunal civil a rejeté cette demande, au motif que les conditions posées pour la nomination et la rémunération d'un mandataire professionnellement qualifié, soit en l'espèce l'ASLOCA, par l'assistance juridique n'étaient pas réalisées. Le fait que le droit cantonal autorisait une partie à se faire représenter par un mandataire professionnellement qualifié dans le cadre d'une procédure administrative n'était pas pertinent sous l'angle des règles applicables en matière d'assistance juridique.
Par acte du 28 août 2013, A._ a formé un recours contre cette décision auprès de la Cour de justice (Assistance judiciaire), qui, par l'entremise de sa Vice-présidente, l'a partiellement admis le 13 septembre 2013.
C.
Contre la décision du 13 septembre 2013, A._ interjette un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à l'annulation de la décision entreprise en tant qu'elle consacre une violation de son droit d'être entendue et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Subsidiairement, A._ demande l'annulation de la décision attaquée et à ce qu'elle soit mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours contre la décision de l'Office cantonal du logement et à ce que l'ASLOCA, respectivement un collaborateur de l'ASLOCA, soit nommé en tant que conseil juridique; plus subsidiairement, elle conclut au renvoi du dossier à l'autorité précédente dans le sens des considérants. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale et la nomination de Me Maurizio Locciola en tant qu'avocat d'office.
Le Tribunal fédéral a renoncé à demander une avance de frais et a informé la recourante qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire.
La Vice-Présidente de la Cour de justice a déposé des observations, se référant pour le surplus aux considérants de sa décision. La Vice-Présidente du Tribunal civil conclut au rejet du recours. Le 17 janvier 2014, la recourante a répondu aux observations formulées par l'autorité précédente.
D.
Le 1er octobre 2013, la Vice-présidente du Tribunal civil a octroyé à A._ l'assistance juridique limitée aux frais judiciaires pour le recours auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice contre la décision sur réclamation prononcée le 19 juin 2013 par l'Office cantonal du logement.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine librement et avec une pleine cognition la recevabilité des recours portés devant lui (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 p. 250).
1.1. Selon l'<ref-law>, une décision incidente peut faire l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral si elle peut causer un préjudice irréparable.
1.2. En procédure administrative, le refus de l'assistance juridique en matière administrative est une décision incidente qui cause en principe un dommage irréparable, de sorte que le recours au Tribunal fédéral est immédiatement ouvert (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 269; arrêts 2D_6/2012 du 31 juillet 2012 consid. 1.1; 8C_422/2009 du 28 novembre 2009 consid. 1.2; 2D_25/2009 du 25 mai 2009 consid. 1.1). En revanche, la décision par laquelle le juge refuse un changement de défenseur d'office ou rejette une requête tendant à la désignation d'un défenseur d'office expressément proposé n'entraîne en principe pas de préjudice irréparable (arrêts 8C_422/2009 du 28 novembre 2009 consid. 1.3; 2D_144/2008 du 23 mars 2009 consid. 5).
En l'espèce, la décision du 13 septembre 2013 confirme le refus de nommer l'ASLOCA, en tant que mandataire professionnellement qualifié, pour représenter la recourante dans le cadre du recours formé auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève, au motif que les conditions posées pour la nomination et la rémunération d'un mandataire professionnellement qualifié par l'assistance juridique ne sont pas réalisées. Le rejet de la demande d'assistance judiciaire est fondé non pas sur le refus de nommer un défenseur d'office expressément désigné en la personne de Me Locciola, mais bien sur le refus de principe de nommer un mandataire professionnellement qualifié en qualité de défenseur d'office en procédure administrative. Or un tel refus est susceptible de causer à la recourante un préjudice irréparable (cf. arrêts 2D_68/2009 du 26 janvier 2010 consid. 1.2.2; 2C_241/2008 du 27 mai 2008 consid. 1.2), de sorte que le recours au Tribunal fédéral est recevable au moins sous cet angle. En tant qu'elle octroie à la recourante l'assistance juridique limitée aux frais judiciaires pour le recours devant la Chambre administrative de la Cour de justice, la décision du 1er octobre 2013, rendue à la suite du renvoi ordonné par arrêt de la Cour de justice du 13 septembre 2013, ne change rien à ce qui précède.
1.3. La voie du recours contre une telle décision est déterminée par le litige principal (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 264; <ref-ruling> consid. 3 p. 144). En l'occurrence, le litige porte au fond sur le refus de cumuler une subvention personnalisée avec des prestations complémentaires fédérales et cantonales à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité. Il s'agit donc d'une cause de droit public (cf. <ref-law>; arrêt 2C_56/2010 du 9 avril 2010 consid. 1) qui ne tombe pas sous le coup de l'art. 83 lettre k LTF, du moment que l'art. 30A al. 1 de la loi générale [de la république et canton de Genève] du 4 décembre 1977 sur le logement et la protection des locataires (LGL; RSG I 4 05) donne aux locataires, proportionnellement à leur revenu, un droit à une subvention personnalisée afin de ramener leur taux d'effort au niveau de ceux fixés à l'art. 30 LGL.
1.4. Au surplus, le recours est dirigé contre une décision rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Il a été interjeté par la destinataire de l'arrêt attaqué, qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). Formé en temps utile (<ref-law>), dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), le recours en matière de droit public est principe recevable.
2.
Invoquant tout à la fois une violation de l'art. 29 al. 2 Cst. et de l'<ref-law>, la recourante se plaint d'un défaut de motivation, au motif que l'autorité cantonale ne se serait pas prononcée sur le grief d'absence de conformité de l'art. 10 al. 2 de la loi [de la république et canton de Genève] du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA; RSG E 5 10) aux art. 40 al. 4 Cst./GE (A 2 00), 29 al. 3 Cst. et 6 par. 3 let. c CEDH.
2.1. Il s'impose d'examiner en premier lieu ce grief de nature formelle, car son admission pourrait entraîner l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale sans examen de l'affaire au fond (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 190; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 250).
2.2. Selon l'<ref-law>, les décisions qui peuvent faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral doivent contenir, en particulier, les motifs déterminants de fait et de droit, notamment les dispositions légales appliquées (let. b). Il résulte de cette norme que ces décisions doivent indiquer clairement les faits qui sont établis et les déductions juridiques qui sont tirées de l'état de fait déterminant. Les exigences de motivation des décisions ont été déduites du droit d'être entendu, garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. Ce droit implique notamment l'obligation pour le juge de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Il suffit cependant, selon la jurisprudence, que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'est toutefois pas tenu d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties. Il n'y a violation du droit d'être entendu que si l'autorité ne satisfait pas à son devoir minimum d'examiner et de traiter les problèmes objectivement pertinents (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 183; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 88 s.; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 445 s.; arrêt 1C_70/2012 du 2 avril 2012 consid. 3.3). Il n'appartient toutefois pas au Tribunal fédéral de décider si les juges cantonaux auraient dû admettre ou non le moyen qui leur a échappé, à supposer qu'ils l'eussent traité. Cela reviendrait, en effet, à méconnaître la nature formelle du droit d'être entendu et la nécessité, en cas de violation de ce droit, d'annuler la décision attaquée indépendamment des chances de la partie recourante d'obtenir un résultat différent (arrêt 4A_46/2011 du 16 mai 2011 consid. 4.3.2 in fineet les arrêts cités).
Une violation du droit d'être entendu peut toutefois être réparée dans le cadre de la procédure de recours lorsque l'irrégularité n'est pas particulièrement grave et pour autant que la partie concernée ait la possibilité de s'exprimer et de recevoir une décision motivée de la part de l'autorité de recours disposant d'un pouvoir d'examen complet en fait et en droit (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 197 s.; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 204). Une telle réparation dépend de la gravité et de l'étendue de l'atteinte portée au droit d'être entendu et doit rester l'exception (<ref-ruling> consid. 2 p. 72). Elle peut également se justifier en présence d'un vice grave lorsque le renvoi constituerait une vaine formalité et aboutirait à un allongement inutile de la procédure (<ref-ruling> consid. 4.2.2.2 p. 126 s.; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 204).
2.3. En l'occurrence, la recourante a expressément soulevé devant l'autorité cantonale que l'art. 10 al. 2 LPA, en tant qu'il obligeait un justiciable souhaitant bénéficier de l'assistance juridique à recourir aux services d'un avocat, consacrait une atteinte injustifiée à son droit à l'assistance judiciaire garanti par les art. 6 par. 3 let. c CEDH, 29 al. 3 Cst. et 40 al. 4 Cst./GE. C'est en vain que l'on cherche dans la décision attaquée une quelconque réponse à ce grief. L'autorité intimée a rejeté le recours au seul motif que le droit cantonal avait été correctement appliqué par l'autorité inférieure. Elle a de la sorte failli à son devoir minimum de traiter un problème dont la pertinence est indéniable, puisque l'admission du grief aurait entraîné l'admission du recours. Or, le Tribunal fédéral n'a pas à statuer, pour la première fois en instance fédérale, sur les griefs déjà soulevés par la recourante en instance cantonale. Les conditions de réparation, en instance de recours, de la violation du droit d'être entendu ne sont au demeurant pas réunies. L'irrégularité - qui porte en l'occurrence sur le fond de la cause - doit être considérée comme particulièrement grave dans la mesure où l'intéressée a été privée de la possibilité de comprendre les raisons pour lesquelles son argumentation n'a pas été retenue. Quant au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision, il n'apparaît pas comme une vaine formalité, incompatible avec l'intérêt de la recourante à ce que sa cause soit tranchée dans un délai raisonnable. Il y a, partant, lieu d'admettre le grief de violation du droit d'être entendu formulé par la recourante.
3.
Le recours doit dès lors être admis pour ce motif, sans qu'il y ait lieu de discuter les moyens de fond. La cause est ainsi renvoyée à la Cour de justice (Assistance judiciaire) pour nouvelle décision après examen de l'ensemble des griefs soulevés par la recourante. En vertu de l'art. 68 al. 1 et 2 LTF, la recourante, qui obtient gain de cause, a droit à des dépens à la charge du canton de Genève. La jurisprudence consacrée par l'<ref-ruling> (consid. 1 p. 250 s.) ne trouve ici pas application dans la mesure où le monopole de représentation de l'avocat ne s'étend pas au recours en matière de droit public dans les causes relevant du droit public (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 522). Dans cette mesure, la demande d'assistance judiciaire devient sans objet. Conformément à l'<ref-law>, il n'est pas perçu de frais judiciaires.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis; l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la Cour de justice du canton de Genève, Assistance judiciaire, pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Une indemnité de dépens de 2'000 fr. est allouée à l'avocat de la recourante, à charge du canton de Genève.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à la Vice-présidente du Tribunal civil, Assistance juridique, et à la Cour de justice du canton de Genève, Assistance judiciaire.
Lausanne, le 27 mai 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : La Greffière :
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