Erwägungen:
1. X._ (geb. 1991) stammt nach eigenen Angaben aus Nigeria. Er reiste am 5. Januar 2009 in die Schweiz ein und durchlief hier erfolglos ein Asylverfahren. Das Migrationsamt des Kantons Appenzell Ausserrhoden nahm ihn am 26. Februar 2009 in Ausschaffungshaft, welche der Einzelrichter am Verwaltungsgericht am 2. März 2009 prüfte und bis zum 25. Mai 2009 bestätigte. X._ ist am 6. März 2009 mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht gelangt, ihm sei Asyl zu gewähren und er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Seine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) erweist sich aufgrund der eingeholten Akten als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden; es erübrigt sich unter diesen Umständen, das Vorliegen der Eintretensvoraussetzungen - insbesondere die Frage der Sachbezogenheit seiner Begründung (vgl. Art. 42 BGG; <ref-ruling> E. 2.1) - zu prüfen:
2.1 Der Beschwerdeführer ist unbestrittenermassen im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden und hätte - was ihm wiederholt erklärt worden ist - das Land verlassen müssen. Er hat sich weder darum bemüht, sich die hierfür nötigen Papiere zu beschaffen, noch ist er heute bereit, freiwillig in seine Heimat zurückzukehren. Gestützt auf dieses Verhalten besteht bei ihm Untertauchensgefahr im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.). Zwar hat er am 26. Februar 2009 von sich aus beim Migrationsamt vorgesprochen, doch hatte er ab dem 21. Februar 2009 als verschwunden gegolten; zudem ist das Bundesamt für Migration am 10. Februar 2009 in Anwendung von Art. 32 Abs. 2 lit. a AsylG (keine Abgabe von Papieren ohne entschuldbare Gründe) auf sein Asylgesuch nicht eingetreten, womit der Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 AuG gegeben ist (vgl. <ref-ruling> ff., 488 ff.). Es kann nicht davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer sich ohne Haft den Behörden bei Vorliegen der nötigen Reisepapiere zur Verfügung halten wird. Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind - insbesondere nicht gesagt werden kann, dass er nicht in absehbarer Zeit ausgeschafft werden könnte (vgl. Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG) bzw. die Behörden sich nicht weiterhin mit Nachdruck hierum bemühen werden (vgl. Art. 76 Abs. 4 AuG) -, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht.
2.2 Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Soweit er den Asyl- und Wegweisungsentscheid beanstandet, verkennt er, dass dieser im Haftprüfungsverfahren nicht (mehr) in Frage gestellt werden kann (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197; <ref-ruling> E. 2 S. 220 f.). Der Beschwerdeführer hat es in der Hand, seine Haft vor Ablauf der vom Haftrichter genehmigten drei Monate zu beenden, indem er bei der Organisation seiner Rückreise mit den Behörden zusammenarbeitet. Sollten es seine Reisepapiere erlauben, legal in einen Drittstaat auszureisen, wird allenfalls ein Wegweisungsvollzug dorthin geprüft werden können (vgl. Art. 69 Abs. 2 AuG); ohne solche ist nur sein Heimatstaat verpflichtet, ihn zurückzunehmen (<ref-ruling> E. 4.2.2). Für alles Weitere wird auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (vgl. Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Aufgrund der Umstände rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Das Migrationsamt das Kantons Appenzell Ausserrhoden wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons Appenzell Ausserrhoden, dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Hugi Yar