Sachverhalt:
A. Z._ erlitt bei der Geburt vom 28. November 2005 ein Atemnotsyndrom im Sinne eines Geburtsgebrechens Ziff. 497 GgV-Anhang, eine diabetische Fetopathie mit Hypoglykämie entsprechend einem Geburtsgebrechen gemäss Ziff. 498 GgV-Anhang sowie eine Hyperbilirubinämie, welche gemäss ärztlichem Bericht vom 24. August 2006 eine Intensivpflegebehandlung in der neonatologischen Klinik des Universitätsspital X._ vom 28. November bis 12. Dezember 2005 erforderlich machten. Am 3. Februar 2006 stellte das Spital Y._ der Helsana Versicherungen AG (nachfolgend: Helsana), bei welcher Z._ obligatorisch gegen Krankheit versichert ist, für die stationäre Behandlung vom 12. bis 23. Dezember 2005 Fr. 4'347.- in Rechnung, welche von dieser beglichen wurde. Nachdem die Eltern den Versicherten am 3. Juli 2006 bei der Invalidenversicherung angemeldet hatten, leistete die IV-Stelle des Kantons Zürich in einer formlosen Mitteilung vom 18. Dezember 2006 Kostengutsprache für die Behandlung der Geburtsgebrechen ab 28. November 2005 bis zum Abschluss der Intensivbehandlung. Diese Mitteilung stellte sie sowohl den Eltern des Versicherten als auch der Helsana zu. Mit Schreiben vom 24. Mai 2007 ersuchte die Helsana die IV-Stelle um Rückerstattung des von ihr im Rahmen ihrer Vorleistungspflicht beglichenen Betrages von Fr. 4347.-, da die im Anschluss an den Aufenthalt im Universitätsspital erfolgte Behandlung im Spital Y._ ebenfalls im Zusammenhang mit den Geburtsgebrechen Ziff. 497 und Ziff. 498 GgV-Anhang gestanden habe. Mit Vorbescheid vom 13. Juni 2007 eröffnete die IV-Stelle die Abweisung des Leistungsbegehrens, da die Kostenübernahme über 12 Monate nach Entstehen des Leistungsanspruchs beantragt worden sei. Daran hielt sie mit Verfügung vom 21. August 2007 fest.
B. Die von der Helsana dagegen eingereichte Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 18. Februar 2008 gut, indem es die Verfügung vom 21. August 2007 mit der Feststellung aufhob, die Beschwerdeführerin habe Anspruch auf Ersatz der von ihr übernommenen Kosten durch die IV-Stelle für den Spitalaufenthalt des Z._ im Spital Y._ für die Zeit vom 12. bis zum 23. Dezember 2005.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und festzustellen, dass die Helsana keinen Anspruch auf Ersatz der von ihr übernommenen Kosten für den Spitalaufenthalt des Z._ im Spital Y._ vom 12. bis 23. Dezember 2005 habe.
Die Helsana schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während die Eltern des Versicherten und das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichten.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2. Die im Streite liegende Verfügung datiert vom 21. August 2007, weshalb die am 1. Januar 2008 in Kraft getretenen Änderungen des IVG vom 6. Oktober 2006 und der IVV vom 28. September 2007 (5. IV-Revision) nicht anwendbar sind (<ref-ruling> E. 1 S. 169).
3. 3.1 Begründet ein Versicherungsfall einen Anspruch auf Sozialversicherungsleistungen, bestehen aber Zweifel darüber, welche Sozialversicherung die Leistungen zu erbringen hat, so kann die berechtigte Person Vorleistung verlangen (<ref-law>). Vorleistungspflichtig ist die Krankenversicherung für Sachleistungen und Taggelder, deren Übernahme durch die Krankenversicherung, die Unfallversicherung, die Militärversicherung oder die Invalidenversicherung umstritten ist (<ref-law>). Die berechtigte Person hat sich bei den in Frage kommenden Sozialversicherungen anzumelden (<ref-law>). Damit werden Tatbestände geregelt, bei denen aufgrund der Aktenlage unbestritten ist, dass eine bestimmte Leistung erbracht werden muss, hingegen zweifelhaft ist, welcher von zwei Versicherern diese Leistung schuldet (<ref-ruling> E. 2 S. 81). Nach <ref-law> erbringt der vorleistungspflichtige Versicherungsträger die Leistungen nach den für ihn geltenden Bestimmungen (Satz 1). Wird der Fall von einem anderen Träger übernommen, so hat dieser die Vorleistungen im Rahmen seiner Leistungspflicht zurückzuerstatten (Satz 2).
3.2 Der übernehmende Träger hat im Rahmen des durch die versicherte Person in Gang gesetzten Abklärungsverfahrens (vgl. <ref-law>) über seine Leistungspflicht verfügungsweise zu entscheiden (<ref-law>; RKUV 2006 Nr. U 580 S. 186; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, N. 8 zu Art. 71). Erlässt ein Versicherer eine Verfügung, welche die Leistungspflicht eines anderen Trägers berührt, so hat er auch ihm die Verfügung zu eröffnen. Dieser kann die gleichen Rechtsmittel ergreifen wie die versicherte Person (<ref-law>). Im Entwurf der Kommission des Ständerates zum Gesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts vom 27. September 1990 (BBl 1991 II 186 ff.) war der dem heutigen <ref-law> entsprechende Art. 78 im Kapitel "Koordinationsregeln" (Art. 69 ff.) am Schluss der Vorschriften über die Leistungskoordination eingeordnet. Den Zweck, der materiellen Leistungskoordination zu dienen, hat die Bestimmung durch die Einordnung bei der Verfügungseröffnung nicht verloren (in <ref-ruling> nicht publizierte E. 3.3 des Urteils 8C_13/2007 vom 28. Januar 2008). Der Entscheid eines Sozialversicherers über einen ihm gegenüber geltend gemachten Anspruch kann namentlich die Leistungspflicht eines gemäss <ref-law> vorleistungspflichtigen Sozialversicherungsträgers beeinflussen (<ref-ruling> E. 4.1.4 S. 155 und E. 5.4 S. 159). Ihm ist die Verfügung auch dann zu eröffnen, wenn der eine Übernahme prüfende Träger eine Leistungspflicht ablehnt. Der vorleistungspflichtige Träger ist überdies im Sinne von <ref-law> legitimiert, dagegen ein Rechtsmittel einzureichen (RKUV 2006 Nr. U 580 S. 186). Wird gegen die Leistungsablehnung ein Rechtsmittel erhoben, besteht die Vorleistungspflicht nach <ref-law> bis zum späteren Gerichtsentscheid grundsätzlich weiter. Der vorleistungspflichtige Zweig hat die laufend anfallenden Leistungen des Versicherungsfalles nach seinen Vorschriften "vorläufig" (Art. 112 und Art. 113 KVV) zu erbringen, soweit noch nicht feststeht, von wem der Fall definitiv übernommen werden muss (vgl. zum Ganzen: UELI KIESER, a.a.O., N. 2 ff. zu Art. 71; FRANZ SCHLAURI, Die zweigübergreifende Verrechnung und weitere Instrumente der Vollstreckungskoordination des Sozialversicherungsrechts, in: René Schaffhauser/Franz Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungstagung 2004, St. Gallen 2004, S. 171 ff.).
4. 4.1 Die Vorinstanz legt die Rechtsgrundlagen für den Anspruch auf medizinische Massnahmen der Invalidenversicherung bei Geburtsgebrechen (<ref-law>) zutreffend dar. Ebenfalls richtig wiedergegeben hat sie die Bestimmungen über die (intersystemische) leistungsrechtliche Koordination. Es betrifft dies namentlich die ausschliessliche Übernahme der gesetzlich vorgeschriebenen Leistungen bei Heilbehandlung durch eine einzige Sozialversicherung (<ref-law>), die Prioritätenordnung (<ref-law>) und die Leistungspflicht bei stationärer Behandlung durch einen Sozialversicherungsträger bei einem (<ref-law>) und bei mehreren Gesundheitsschäden (<ref-law>).
5. Das kantonale Gericht gelangte in Würdigung der Akten zur Feststellung, aus der Mitteilung der IV-Stelle vom 18. Dezember 2006 ergebe sich die Kostenübernahme der Intensivbehandlung längstens bis 12. Dezember 2005. Über die daran anschliessende stationäre Behandlung vom 12. Dezember bis 23. Dezember 2005 habe die Verwaltung nicht entschieden. Dies sei ihr aufgrund der damals vorgelegenen medizinischen Unterlagen auch gar nicht möglich gewesen, da der Bericht des Universitätsspitals X._ vom 24. August 2006 nur die Diagnose enthalten habe, während die Rubrik "Behandlungsplan" vom Arzt nicht ausgefüllt worden sei. Die Übernahme weiterer Massnahmen habe die IV-Stelle ausdrücklich davon abhängig gemacht, dass deren Notwendigkeit und voraussichtliche Dauer vom Spital begründet und beantragt würden. Aufgrund dieser Gegebenheiten erübrigten sich laut Sozialversicherungsgericht Ausführungen zur Nachzahlung von Leistungen gemäss dem bis 31. Dezember 2007 in Kraft gestandenen <ref-law>. Weiter hat die Vorinstanz erwogen, der Klinikaufenthalt vom 12. bis 23. Dezember 2005 sei ausgewiesenermassen wegen der Geburtsgebrechen medizinisch indiziert gewesen. Da der Verordnungsgeber die Leistungen für die Geburtsgebrechen Ziff. 497 und Ziff. 498 GgV-Anhang zeitlich nicht beschränkt habe, sei die Invalidenversicherung für die ganze stationäre Behandlung bis zum 23. Dezember 2005 leistungspflichtig. Diese Betrachtungsweise stehe im Übrigen im Einklang mit <ref-law>.
6. Die IV-Stelle anerkennt in der Beschwerdeschrift, dass der stationäre Aufenthalt im Spital Y._ vom 12. bis 23. Dezember 2005 im Zusammenhang mit den Geburtsgebrechen Ziff. 497 und Ziff. 498 GgV-Anhang steht und dieser aufgrund der Koordinationsbestimmungen von <ref-law> grundsätzlich in den Leistungsbereich der Invalidenversicherung fällt. Sie stellt sich jedoch auf den Standpunkt, die Helsana hätte ihre Rückforderungsansprüche aufgrund von Art. 48 Abs. 2 aIVG ein Jahr nach Erhalt der Rechnung des Spitals Y._ vom 3. Februar 2006, somit spätestens am 5. Februar 2007 anmelden müssen. Das erst am 24. Mai 2007 der Post übergebene Gesuch sei somit verspätet erfolgt, was die Vorinstanz in Verletzung von Bundesrecht verkannt habe.
7. 7.1 Nach <ref-law> hat sich beim zuständigen Versicherungsträger in der für die jeweilige Sozialversicherung gültigen Form anzumelden, wer eine Versicherungsleistung beansprucht (vgl. auch <ref-law>). Nach der zu <ref-law> (in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2002) ergangenen, im Rahmen von <ref-law> ebenfalls anwendbaren Rechtsprechung (vgl. UELI KIESER, a.a.O., N. 11 zu Art. 29) wahrt die versicherte Person mit der Anmeldung grundsätzlich alle nach den Umständen vernünftigerweise in Betracht fallenden Leistungsansprüche, selbst wenn sie diese im Anmeldeformular nicht ausdrücklich oder im Einzelnen aufführt. Die Abklärungspflicht der IV-Stelle erstreckt sich auf die nach dem Sachverhalt und der Aktenlage im Bereich des Möglichen liegenden Leistungen. Insoweit trifft die Verwaltung auch eine Verfügungspflicht. Macht die versicherte Person später geltend, es bestehe abgesehen von der verfügungsmässig zugesprochenen bzw. verweigerten Leistung noch Anspruch auf eine andere Versicherungsleistung und sie habe sich hiefür rechtsgültig angemeldet, so ist nach den gesamten Umständen des Einzelfalles im Lichte des Grundsatzes von Treu und Glauben zu prüfen, ob jene frühere ungenaue Anmeldung auch den zweiten, allenfalls später substantiierten Anspruch umfasst (<ref-ruling>). <ref-law>, auf welchen Art. 48 Abs. 1 aIVG für die Nachzahlung von Leistungen verweist, bestimmt, dass der Anspruch auf ausstehende Leistungen fünf Jahre nach dem Ende des Monats erlischt, für welchen die Leistung geschuldet war.
7.2 Aus dem Verlauf des Administrativverfahrens und insbesondere aus dem Text der Verfügung vom 21. August 2007 geht hervor, dass nur die Leistungsanerkennung der Intensivpflege im Universitätsspital vom 28. November bis 12. Dezember 2005 Gegenstand der formlosen Mitteilung vom 18. Dezember 2006 bildete. Die IV-Stelle hält ausdrücklich fest, es sei ihr im Zeitpunkt, als sie mit der Mitteilung vom 18. Dezember 2006 über die Anmeldung entschieden und die damals beantragten Leistungen zugesprochen habe, nicht bekannt gewesen, dass der stationäre Aufenthalt über den 12. Dezember 2005 hinaus angedauert habe, da weder in der Anmeldung noch im Arztbericht des Universitätsspitals etwas Entsprechendes erwähnt worden sei. Damit unterscheidet sich der vorliegende Fall sachverhaltsmässig von den in der Beschwerdeschrift erwähnten Entscheiden des Sozialversicherungsgerichts Zürich vom 18. Januar 2008 und vom 26. Februar 2008, weshalb die IV-Stelle daraus bereits aus diesem Grund nichts abzuleiten vermag. In der Mitteilung vom 18. Dezember 2006 hatte die IV-Stelle ausdrücklich festgehalten, sie übernehme die Kosten für die Behandlung im Spital und für eine Nachkontrolle. Spätestens mit der Zustellung der Rechnung des Spitals Y._ vom 3. Februar 2006 durch die Helsana mit Schreiben vom 24. Mai 2007 erhielt die IV-Stelle Kenntnis davon, dass die stationäre Behandlung der bei der Geburt aufgetretenen gesundheitlichen Probleme nicht schon am 12. Dezember, sondern erst am 23. Dezember 2005 abgeschlossen worden war. Obwohl die stationäre Behandlung in zwei verschiedenen Spitälern durchgeführt wurde, stellt sie einen wegen der Geburtsgebrechen notwendig gewordenen Behandlungskomplex dar. Bei der geltend gemachten Kostenübernahme handelt es sich daher nicht um eine Neuanmeldung von Leistungen, die noch nicht beantragt worden waren, sondern um Leistungen, um die bereits mit der Anmeldung vom 3. Juli 2006 ersucht, über deren Anspruch jedoch materiell noch nicht entschieden worden war. Es kann daher offen bleiben, ob der obligatorische Krankenversicherer aufgrund seiner Vorleistungspflicht nach <ref-law> überhaupt legitimiert ist, eine Person für medizinische Eingliederungsmassnahmen bei der Invalidenversicherung anzumelden. Da es somit nicht um die Neuanmeldung eines Anspruchs geht, kommt Art. 48 Abs. 2 aIVG nicht zur Anwendung. Der Vorinstanz kann daher nicht zum Vorwurf gemacht werden, sie habe die Bedeutung dieser Bestimmung verkannt und damit Bundesrecht verletzt. Vielmehr käme eine fünfjährige Verwirkungsfrist zum Tragen (<ref-law>; vgl. auch Botschaft zur Änderung des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung (5. IV-Revision) vom 22. Juni 2005, BBl 2005 4570), welche im Zeitpunkt der Verfügung vom 21. August 2007 jedenfalls noch nicht abgelaufen war. Die vorinstanzliche Bejahung der Leistungspflicht der IV-Stelle für die stationäre Behandlung im Spital Y._ vom 12. bis 23. Dezember 2005 erweist sich daher als bundesrechtskonform.
8. 8.1 Erst wenn entschieden ist, welcher Sozialversicherungszweig letztendlich leistungspflichtig ist, kann in einem nächsten Schritt der entsprechende Ausgleich gegenüber dem vorleistenden Sozialversicherungszweig in Frage kommen. Steht rechtskräftig fest, dass die IV-Stelle leistungspflichtig ist, kommt es zur Rückabwicklung der von der Krankenversicherung getätigten Vorleistung, wobei der Ausgleich das Verhältnis zwischen den Sozialversicherern betrifft (SUSANNE LEUZINGER-NAEF, Die Leistungskoordination gemäss Art. 63 - 71 ATSG, in: Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG], René Schaffhauser/Ueli Kieser [Hrsg.], St. Gallen 2003, S. 193; FRANZ SCHLAURI, a.a.O., S. 174 ff.; UELI KIESER, Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG], in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Bd. XIV, Soziale Sicherheit, Ulrich Meyer [Hrsg.], 2. Aufl., Rz. 277; vgl. auch <ref-ruling> E. 3b/dd S. 490). Bezüglich der Verwirkungsfrist für die Ausgleichsforderung des vorleistungspflichtigen Sozialversicherungszweigs enthält <ref-law> keine Regelung. In der Literatur wird sowohl eine fünfjährige (FRANZ SCHLAURI, a.a.O., S. 179) wie auch eine einjährige relative und eine 10-jährige absolute Verwirkungsfrist (UELI KIESER, ATSG-Kommentar, N. 14 zu Art. 71) postuliert. Wie es sich damit verhält, braucht im vorliegenden Verfahren indessen nicht beurteilt zu werden, da die Rückforderung nicht Gegenstand der streitigen Verfügung vom 21. August 2007 bildet. Mit dieser Verfügung entschied die IV-Stelle über ihre Leistungspflicht und nicht über ihre allfällige Rückerstattungspflicht gegenüber der Helsana. Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten, soweit die IV-Stelle geltend macht, der Rückforderungsanspruch sei von der Helsana verspätet geltend gemacht worden.
8.2 Da die Rückerstattungsforderung der Helsana gegenüber der IV-Stelle nicht Gestenstand des Verfahrens bildet, hätte die Vorinstanz auch nicht feststellen dürfen, dass der Krankenversicherer Anspruch auf Ersatz der von ihm übernommenen Kosten durch die IV-Stelle für den Spitalaufenthalt im Spital Y._ vom 12. bis zum 23. Dezember 2005 hat.
9. 9.1 Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Da sich zwei Versicherer gegenüberstehen, gilt für die Gerichtsgebühr der ordentliche Rahmen nach <ref-law>, während <ref-law> keine Anwendung findet (in <ref-ruling> nicht veröffentlichte E. 6.1 des Urteils 8C_13/2007 vom 28. Januar 2008).
9.2 Als Organisation mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben, welche in ihrem amtlichen Wirkungskreis handelt, hat die Beschwerdegegnerin keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist. Dispositiv Ziffer 1 des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. Februar 2008 wird aufgehoben, soweit damit festgestellt wird, dass der Krankenversicherer Anspruch auf Ersatz der von ihm übernommenen Kosten durch die IV-Stelle für den Spitalaufenthalt von Z._ im Spital Y._ vom 12. bis zum 23. Dezember 2005 hat und es wird neu erkannt: Es wird festgestellt, dass die IV-Stelle für den Spitalaufenthalt von Z._ im Spital Y._ vom 12. bis zum 23. Dezember 2005 leistungspflichtig ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, den Eltern von Z._ und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Oktober 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer