Erwägungen:
1. Die Strafverfolgungsbehörden des Kantons Thurgau führen gegen den sich in Untersuchungshaft befindenden X._ ein Strafverfahren. Sein amtlicher Verteidiger stellte der Staatsanwaltschaft für Wirtschaftsstraffälle und Organisierte Kriminalität am 25. Februar 2011 eine Zwischenabrechnung über Fr. 32'482.15 zu. Die Staatsanwaltschaft teilte dem amtlichen Verteidiger mit Schreiben vom 15. März 2011 mit, die Entschädigung des amtlichen Verteidigers werde bei der gerichtlichen Erledigung vom damit befassten Gericht festgelegt. Insoweit könnten Zwischenabrechnungen lediglich zu den Akten genommen werden. Weiter beanstandete die Staatsanwaltschaft die Höhe des geltend gemachten Betrages und sandte die Rechnung zur Korrektur zurück.
Der amtliche Verteidiger reichte der Staatsanwaltschaft die gleiche Rechnung am 17. März 2011 wieder ein. Mit Schreiben vom 21. März 2011 teilte ihm die Staatsanwaltschaft mit, sie nehme die Rechnung "unter Hinweis auf <ref-law>" zu den Akten.
Gegen dieses Schreiben erhob der amtliche Verteidiger im Namen von X._ am 23. März 2011 Beschwerde und stellte den Antrag, die Staatsanwaltschaft sei zu verpflichten, dem amtlichen Verteidiger eine Akontozahlung zu leisten. Das Obergericht des Kantons Thurgau trat mit Entscheid vom 7. April 2011 auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte es aus, dass die beschuldigte Person nicht legitimiert sei, gegen eine zu niedrige Entschädigung des amtlichen Verteidigers Beschwerde zu erheben. Eine Beschwerde im eigenen Namen habe der amtliche Verteidiger nicht eingereicht. Obwohl das Obergericht auf die Beschwerde nicht eintrat, legte es dar, dass es einem amtlichen Verteidiger bei länger dauernden Strafuntersuchungen möglich sein müsse, Akontozahlungen zu erhalten. Nachdem es sich u.a. zu den Kopierkosten geäussert hatte, führte es zusammenfassend aus, dass der amtliche Verteidiger der Staatsanwaltschaft eine gemäss den vorstehenden Erwägungen korrigierte Honorarrechnung werde einreichen müssen; die Staatsanwaltschaft werde anschliessend zu prüfen haben, ob der Verteidigung eine Akontozahlung auszurichten sei.
2. X._ führt gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau mit Eingabe vom 10. Mai 2011 Beschwerde in Strafsachen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Mit dem angefochtenen Entscheid wird weder das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer abgeschlossen noch definitiv über den Honoraranspruch seines amtlichen Verteidigers bzw. die Möglichkeit einer Akontozahlung befunden. Der angefochtene Entscheid stellt einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid dar und kann nach <ref-law> nur angefochten werden, sofern er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann.
3.1 Nach der Rechtsprechung bedarf es für die Anfechtung eines Zwischenentscheides eines konkreten Nachteils rechtlicher Natur, der auch durch einen günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 263; <ref-ruling> E. 2.1 S. 45).
Der Beschwerdeführer sieht einen rechtlich nicht wieder gutzumachenden Nachteil darin, dass ihm sein amtlicher Verteidiger aufgrund der Verweigerung einer Akontozahlung angedroht habe, seine Verteidigungstätigkeit einzustellen. Damit ist ein solcher Nachteil nicht dargetan. Ein definitiver Entscheid über eine allfällige Akontozahlung liegt nämlich noch nicht vor. Das Obergericht hat in einem obiter dictum im angefochtenen Entscheid den amtlichen Verteidiger ja aufgefordert, eine korrigierte Honorarrechnung einzureichen und dabei angedeutet, dass dieser unter bestimmten Voraussetzungen Anspruch auf eine Akontozahlung habe. Ausserdem ist ein Offizialverteidiger verpflichtet, die Interessen seines Klienten wahrzunehmen. Die Befürchtung des Beschwerdeführers, sein amtlicher Verteidiger werde aufgrund der verweigerten Akontozahlung seine Verteidigungstätigkeit einstellen, erscheint daher als unbegründet. Der angefochtene Zwischenentscheid hat demnach keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge. Die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> liegen offensichtlich nicht vor, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
4. Die Beschwerde erweist sich als aussichtslos. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung ist daher abzuweisen (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft für Wirtschaftsstraffälle und Organisierte Kriminalität und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Pfäffli