Faits:
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A. Par jugement du 27 mars 2001, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a notamment condamné X._, pour prise d'otage qualifiée (<ref-law>), extorsion qualifiée (<ref-law>), utilisation frauduleuse d'un ordinateur (<ref-law>), abus de confiance (<ref-law>) et vol (<ref-law>), à la peine de 9 ans de réclusion, sous déduction de 800 jours de détention préventive, ordonnant en sa faveur un traitement ambulatoire en détention. Le tribunal a par ailleurs condamné plusieurs coaccusés et statué sur des conclusions civiles.
Saisie d'un recours en nullité et en réforme de X._, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois l'a écarté par arrêt du 20 décembre 2001.
Saisie d'un recours en nullité et en réforme de X._, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois l'a écarté par arrêt du 20 décembre 2001.
B. S'agissant des faits pertinents pour le jugement de la présente cause, cet arrêt retient, en résumé, ce qui suit.
B.a Dans le courant de l'année 1998, X._ a eu l'idée d'enlever le fils d'amis de ses parents, en vue d'obtenir de la famille de celui-ci une rançon de 5 millions de francs. A cette fin, il a imaginé un plan d'exécution et décidé de recourir à des hommes de main. A la mi-décembre 1998, une première équipe, recrutée dans les semaines précédentes, a tenté à cinq reprises mais sans succès d'enlever la victime. Une seconde équipe a alors été recrutée, qui, après plusieurs tentatives infructueuses entre le soir du 19 décembre et l'après-midi du 21 décembre 1998, est parvenue à ses fins. C'est ainsi que, le 21 décembre 1998, vers 19 heures, la victime a été assaillie près de son véhicule, à la rue de Genève, à Lausanne, par trois hommes cagoulés, dont deux brandissaient une arme à feu chargée; elle a ensuite été jetée sur la banquette arrière d'un véhicule, conduit par un quatrième homme, puis cagoulée et menottée, avant d'être emmenée dans une grange abandonnée au lieu-dit La Rasse, dans la région d'Evionnaz, en Valais. Sur place, elle a été dépouillée de son portefeuille et de sa montre, puis contrainte, sous menaces de mort, de fournir les numéros de code de ses cartes bancaires, postale et de crédit, au moyen desquelles des prélèvements de plusieurs milliers de francs ont été effectués par la suite, notamment par X._.
La victime a été séquestrée durant 45 heures, sous la surveillance de deux des quatre hommes, avant d'être libérée par la police vaudoise le 23 décembre 1998, vers 16 heures 20, à Aclens. Durant ces deux jours, la mère de la victime a été contactée à plusieurs reprises afin qu'une rançon de 5 millions de francs soit versée en échange de la libération de l'otage. La famille de la victime s'est exécutée en versant une somme de 500.000 francs, exigée à titre de premier acompte.
B.b Dans le cadre de précédentes affaires pénales, X._ avait été soumis à deux expertises psychiatriques, qui faisaient état d'un trouble de la santé mentale (trouble de la personnalité) et d'un développement mental incomplet (immaturité affective) et concluaient que ces troubles n'étaient pas de nature à atténuer la faculté de l'expertisé d'apprécier le caractère illicite de ses actes, mais diminuaient en revanche sa capacité de se déterminer d'après cette appréciation correcte dans une mesure moyenne à importante (expertise du 23 juillet 1992), respectivement dans une mesure moyenne (expertise du 25 février 1994).
Une nouvelle expertise a été effectuée dans le cadre de la présente procédure. Selon l'expert, qui a déposé son rapport le 21 juillet 2000, l'expertisé souffre d'un grave trouble narcissique de la personnalité, avec tendance antisociale et fonctionnement prépsychotique; à raison de ce trouble, l'expertisé, au moment d'agir, n'était pas privé, fût-ce partiellement, de sa capacité d'apprécier le caractère illicite de ses actes, mais sa capacité de se déterminer d'après cette appréciation était diminuée dans une mesure moyenne.
B.c A raison des faits décrits sous lettre B.a ci-dessus, X._ a été reconnu coupable de prise d'otage qualifiée au sens de l'<ref-law>, d'extorsion qualifiée au sens de l'<ref-law> et d'utilisation frauduleuse d'un ordinateur au sens de l'<ref-law>. Les infractions d'abus de confiance et de vol également retenues à son encontre l'ont été à raison de faits sans rapport direct avec le rapt.
Au stade de la fixation de la peine, les juges cantonaux ont notamment tenu compte d'une diminution moyenne de la responsabilité de l'accusé, faisant application des art. 11 et 66 CP. A cet égard, la cour de cassation cantonale a estimé que la diminution de responsabilité retenue justifiait une réduction de la peine d'environ 40 %. Compte tenu de cet élément et des autres, à charge et à décharge, à prendre en considération, elle a jugé que la peine de 9 ans de réclusion infligée en première instance à l'accusé, bien que sévère, n'était pas excessive.
Au stade de la fixation de la peine, les juges cantonaux ont notamment tenu compte d'une diminution moyenne de la responsabilité de l'accusé, faisant application des art. 11 et 66 CP. A cet égard, la cour de cassation cantonale a estimé que la diminution de responsabilité retenue justifiait une réduction de la peine d'environ 40 %. Compte tenu de cet élément et des autres, à charge et à décharge, à prendre en considération, elle a jugé que la peine de 9 ans de réclusion infligée en première instance à l'accusé, bien que sévère, n'était pas excessive.
C. X._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant une application arbitraire de l'art. 373 al. 2 du code de procédure pénale vaudois (CPP/VD) et, dans ce contexte, une violation des art. 29 al. 2 Cst. et 6 ch. 3 let. d CEDH, ainsi qu'une application arbitraire des art. 11, 13, 63 et 66 CP, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué.
La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt. Le Ministère public conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le recours de droit public au Tribunal fédéral est ouvert contre une décision cantonale pour violation des droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ). Il n'est en revanche pas ouvert pour se plaindre d'une violation du droit fédéral, qui peut donner lieu à un pourvoi en nullité (art. 269 al. 1 PPF) et ne peut donc être invoquée dans le cadre d'un recours de droit public, qui est subsidiaire (art. 84 al. 2 OJ; art. 269 al. 2 PPF).
1. Le recours de droit public au Tribunal fédéral est ouvert contre une décision cantonale pour violation des droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ). Il n'est en revanche pas ouvert pour se plaindre d'une violation du droit fédéral, qui peut donner lieu à un pourvoi en nullité (art. 269 al. 1 PPF) et ne peut donc être invoquée dans le cadre d'un recours de droit public, qui est subsidiaire (art. 84 al. 2 OJ; art. 269 al. 2 PPF).
2. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir nié que le jugement de première instance était insuffisamment motivé quant à la peine qui lui a été infligée, en violation arbitraire de l'art. 373 al. 2 let. a CPP/VD. Il ajoute que l'obligation du juge de motiver sa décision découle aussi directement des art. 29 al. 2 Cst. et 6 ch. 3 let. d CEDH.
2.1 L'art. 373 al. 2 let. a CPP/VD dispose que le jugement contient les considérants de fait, en indiquant brièvement les motifs de la conviction du tribunal sur les faits importants pour le jugement de la cause.
Il résulte du chiffre I.4 let. b de l'arrêt attaqué (p. 97 ss) que le droit à une décision motivée pouvant être déduit de cette disposition n'a pas une portée plus étendue que celle du même droit découlant du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. également Bovay/Dupuis/Moreillon/Piguet, Procédure pénale vaudoise, Code annoté, art. 373, ch. 3.1). Le recourant ne le conteste nullement, mais précise au contraire lui-même que le droit que lui confère la disposition de droit cantonal invoquée peut aussi être déduit directement de l'art. 29 al. 2 Cst.. Quant à l'art. 6 ch. 3 let. d CEDH, que le recourant se borne à citer en sus, il garantit à tout accusé le droit d'interroger ou de faire interroger les témoins à charge et d'obtenir la convocation et l'interrogatoire des témoins à décharge dans les mêmes conditions que les témoins à charge; il est donc sans relation avec le droit à une décision motivée invoqué par le recourant. Il suffit donc d'examiner le grief sous l'angle de l'art. 29 al. 2 Cst.
2.2 Le droit à une décision motivée découlant du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. correspond à l'obligation du juge de motiver sa décision de manière à ce que son destinataire puisse la comprendre et l'attaquer utilement s'il y a lieu et à ce que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle (<ref-ruling> consid. 2b p. 102). Il suffit, pour répondre à ces exigences, que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de sorte que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause; il n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties et il peut passer sous silence ce qui, sans arbitraire, lui paraît à l'évidence non établi ou sans pertinence (<ref-ruling> consid. 2b p. 102 s.; <ref-ruling> consid. 2a p. 149; <ref-ruling> consid. 1a p. 181; <ref-ruling> consid. 2c p. 34; <ref-ruling> consid. 6c p. 183 s.; <ref-ruling> consid. 2c p. 14 s.).
2.3 Il résulte des pages 217 ss du jugement de première instance que le Tribunal correctionnel a dûment motivé sa décision quant à la peine infligée au recourant, exposant sur près d'une page et demie de quels éléments, tant favorables que défavorables, il tenait compte pour la fixer. Le prononcé sur la peine a donc été motivé et cette motivation était suffisante pour que le recourant puisse comprendre comment la peine avait été arrêtée et exercer son droit de recours à bon escient; preuve en est d'ailleurs que le recourant a parfaitement été à même de critiquer dans son recours cantonal la peine qui lui avait été infligée en première instance. La cour de cassation cantonale pouvait dès lors admettre, sans violer le droit d'être entendu du recourant, que la peine avait été suffisamment motivée.
En réalité, le recourant, comme le montre son argumentation, se plaint essentiellement, si ce n'est exclusivement, de ce que la peine n'ait pas été motivée de manière suffisante pour que l'on puisse discerner si et dans quelle mesure il a été tenu compte des éléments pertinents à prendre en considération dans la fixation de la peine, donc si l'<ref-law> a été correctement appliqué. La question relève toutefois de l'application du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 3a p. 143; <ref-ruling> consid. 2 p. 15), dont une éventuelle violation ne peut être invoquée dans un recours de droit public, qui est par conséquent irrecevable sur ce point (cf. supra, consid. 1).
Le grief ne peut dès lors qu'être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le grief ne peut dès lors qu'être rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Le recourant se plaint d'une "application arbitraire des art. 11, 13, 63 et 66 CP". Il reproche d'abord à la cour cantonale d'avoir déduit arbitrairement de l'expertise du 21 juillet 2000 que la diminution de sa responsabilité pénale pouvait être évaluée à 40 %. Il soutient en outre que la peine qui lui a été infligée est excessive au regard des éléments à prendre en considération dans le cas d'espèce et qu'elle l'est également en comparaison de celles qui sont prononcées dans des cas similaires.
Il ressort clairement de l'arrêt attaqué que la cour cantonale ne s'est pas écartée de l'expertise, admettant au contraire expressément avec celle-ci une "diminution moyenne de la responsabilité du recourant". Statuant sur un grief de réforme du recourant, qui se plaignait notamment de ce que les premiers juges n'avaient pas indiqué dans quelle mesure ils diminuaient la peine à raison de sa responsabilité restreinte et observant qu'une diminution moyenne de la responsabilité ne signifie pas nécessairement que la peine doive être réduite de moitié, elle a considéré que, dans le cas particulier, cette diminution impliquait une réduction de la peine d'environ 40 %. Or, la question de savoir si la peine a été réduite dans une mesure suffisante au regard de la diminution de responsabilité retenue relève de l'application du droit fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 2 et 3 p. 4-6; 49 consid. 2 p. 50 ss). C'est au reste également une question d'application du droit fédéral que de savoir si la peine prononcée doit être considérée comme excessive au regard des éléments à prendre en considération (<ref-ruling> consid. 2c p. 104 et les arrêts cités) ou par rapport à des peines qui sont infligées dans des cas similaires (<ref-ruling> consid. 3a p. 144 et les arrêts cités).
Les griefs ainsi formulés, qui sont d'ailleurs également soulevés par le recourant dans le pourvoi en nullité qu'il a déposé parallèlement, sont par conséquent irrecevables dans un recours de droit public (cf. supra, consid. 1).
Les griefs ainsi formulés, qui sont d'ailleurs également soulevés par le recourant dans le pourvoi en nullité qu'il a déposé parallèlement, sont par conséquent irrecevables dans un recours de droit public (cf. supra, consid. 1).
4. Le recours doit ainsi être rejeté dans la faible mesure où il est recevable et le recourant, qui succombe, supportera les frais (art. 156 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 2000 francs est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 2000 francs est mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué en copie au mandataire du recourant, au Ministère public du canton de Vaud et au Tribunal cantonal vaudois, Cour de cassation pénale.
Lausanne, le 26 novembre 2002
Au nom de la Cour de cassation pénale
du Tribunal fédéral suisse
Le président: La greffière: