Sachverhalt:
A. Der nigerianische Staatsangehörige X._, geb. 1988, reiste im Juli 2008 illegal in die Schweiz ein und stellte hier ein Asylgesuch. Das Bundesamt für Migration trat auf sein Gesuch nicht ein und wies ihn aus der Schweiz weg. X._ erhob dagegen Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Mit Strafmandat vom 29. Mai 2009 wurde X._ wegen rechtswidrigen Aufenthalts und Verstosses gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu Fr. 20.-- verurteilt.
Der Beziehung mit einer Schweizerbürgerin entsprang am 4. November 2009 ein gemeinsamer Sohn. X._ stellte daraufhin ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern wies das Gesuch am 14. April 2011 ab. Am 3. Mai 2011 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde gegen den Asylentscheid ab, hob jedoch wegen des hängigen ausländerrechtlichen Verfahrens die vom Bundesamt für Migration angeordnete Wegweisung auf.
B. Gegen die Verfügung des Amtes für Migration und Personenstand des Kantons Bern erhob X._ erfolglos Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern und anschliessend an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Dieses wies mit Urteil vom 21. März 2012 die Beschwerde ab und setzte dem Beschwerdeführer eine Ausreisefrist bis 3. Mai 2012.
C. X._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde, mit dem Antrag, es sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, eventuell die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er beantragt weiter, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und es sei ihm das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu erteilen.
D. Mit Verfügung vom 4. Mai 2012 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern und das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Mit Eingabe vom 16. August 2012 hält der Beschwerdeführer an seinem Begehren fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den (End-)Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist an sich gegeben (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, 90 BGG i.V.m. Art. 112 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; SR 142.20]). Von diesem Grundsatz bestehen im Bereich des Ausländerrechts verschiedene Ausnahmen. So ist die Beschwerde namentlich unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>).
1.2 Für das Eintreten auf die Sache genügt es in einem solchen Fall, dass die beschwerdeführende ausländische Person durch einen Verwaltungsakt in ihrer Eigenschaft als möglicher Träger des angerufenen Rechtsanspruchs auf Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung berührt ist (Urteil 2C_993/2011 vom 10. Juli 2012 E. 1, zur Publ. bestimmt; <ref-ruling> E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.). Der behauptete Anspruch ist dabei in vertretbarer Weise geltend zu machen bzw. zu substantiieren (Urteile 2C_821/2011 vom 22. Juni 2012 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 2C_459/2011 vom 26. April 2012 E. 1.1, nicht publ. in <ref-ruling>; generell zur Geltendmachung von Ansprüchen, die sich aus der EMRK ergeben, <ref-ruling> E. 2.5 S. 315 f.). Zudem muss der potenzielle Rechtsanspruch ernsthaft in Betracht fallen (vgl. Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 1; 2C_942/2010 vom 27. April 2011 E. 1.3; 2C_75/2011 vom 6. April 2011 E. 1.1). Ob die (weiteren) Bewilligungsvoraussetzungen gegeben sind, ist dann eine Frage der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 287, 305 E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146).
1.3 Der Beschwerdeführer beruft sich als Vater eines minderjährigen Kindes mit gefestigtem Aufenthaltsrecht in vertretbarer Weise auf den Anspruch auf Achtung des Familienlebens im Sinne von Art. 8 Ziff. 1 EMRK. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde verbleibt damit kein Raum (<ref-law>).
1.4 Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 2.2 S. 540; <ref-ruling> E. 3 S. 386; <ref-ruling> E. 2.2. S. 550).
Trotz der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht es in jedem Fall nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.5 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz können nur berichtigt werden, sofern sie entweder offensichtlich unrichtig, d. h. willkürlich ermittelt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; zum Willkürbegriff: <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Zudem hat die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
1.6 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 170, 217 E. 2.2 f. S. 220; <ref-ruling> E. 3.2 f. S. 364 f.). Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder erst danach entstanden sind (sog. "echte" Noven), können von vornherein nicht durch das weitergezogene Urteil veranlasst worden sein. Sie sind somit im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unzulässig (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; <ref-ruling> E. 5.1.3 S. 103; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Die vom Beschwerdeführer in seiner - unaufgefordert eingereichten - Eingabe vom 16. August 2012 vorgebrachten neuen Sachverhalte und Beweismittel können daher nicht berücksichtigt werden.
2. 2.1 Streitgegenstand ist die erstmalige Erteilung einer ausländerrechtlichen Aufenthaltsbewilligung. Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer aufgrund des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer keinen Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung geltend machen kann. Er beruft sich, wie schon vor der Vorinstanz, auf einen konventions- oder verfassungsrechtlichen Anspruch gemäss Art. 8 EMRK oder <ref-law>. Während der verfassungsrechtliche Anspruch verbindlich (<ref-law>) durch die Bundesgesetzgebung konkretisiert wird, ist derjenige gemäss EMRK zu prüfen.
2.2 Unter den Schutzbereich des Anspruchs auf Achtung des Familienlebens im Sinne von Art. 8 Ziff. 1 EMRK fällt ein ausländischer Elternteil, falls er sich auf eine intakte Beziehung zu seinem Kind in der Schweiz berufen kann. Dies gilt selbst dann, wenn er weder über das Sorge- noch das Obhutsrecht gemäss <ref-law> verfügt (<ref-ruling> E. 1d S. 3 f.). Vorausgesetzt wird, dass das in der Schweiz lebende Kind in eigener Person über ein gefestigtes, originäres Anwesenheitsrecht verfügt (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145 f.; <ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Zudem begründet Art. 8 Ziff. 1 EMRK kein absolutes Recht auf Aufenthalt in einem Konventionsstaat in dem Sinn, dass dieser verpflichtet wäre, ausländischen Personen die Einreise, die Erteilung oder Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vorbehaltlos zu gewähren (<ref-ruling> E. 4.1 S. 249; Urteil des EGMR Gezginci gegen Schweiz vom 9. Dezember 2010 [16327/05], § 54 ff.). Vielmehr lässt Art. 8 Ziff. 2 EMRK unter Vorbehalt einer umfassenden Abwägung aller öffentlichen und privaten Interessen durchaus Eingriffe in den Anspruch auf Achtung des Familienlebens zu (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 147; <ref-ruling> E. 2 S. 6; <ref-ruling> E. 4a S. 24 f.). Entsprechendes gilt mit Blick auf Art. 13 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>. Das Verfassungsrecht verleiht hier keine zusätzlichen Ansprüche (Urteil 2C_406/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2 S. 218 f.; <ref-ruling> E. 4c/bb S. 433).
2.3 Zur Ausübung des Besuchsrechts gegenüber einem Kind ist nicht zwingend erforderlich, dass der ausländische Elternteil sich dauerhaft im selben Land wie das Kind aufhält. Die Erteilung des Anwesenheitsrechts stellt insofern keine Notwendigkeit dar. Ein Anspruch des besuchsrechtsberechtigten ausländischen Elternteils auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ist bloss anzunehmen, wenn zwischen ihm und seinem hier lebenden Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung herrscht (positives Anspruchselement). Unter diesem Gesichtspunkt ist erforderlich, dass die Beziehung sich, würde die Bewilligung nicht erteilt oder nicht verlängert, wegen der Entfernung zum Land, in welches der ausländische Elternteil vermutlich auszureisen hätte, kaum aufrechterhalten lassen kann. Vom ausländischen Elternteil ist überdies zu verlangen, dass er sich in der Schweiz tadellos verhalten hat ("comportement irréprochable" bzw. "comportamento irreprensibile" als negatives Anspruchselement; so schon <ref-ruling> E. 3c S. 5, 22 E. 4a/b S. 25 f. im Anschluss an das Urteil des EGMR Berrehab gegen Niederlande vom 21. Juni 1988 [10730/84]).
Nur unter diesen kumulativen Voraussetzungen kann das private Interesse am Verbleib im Land gestützt auf ein Besuchsrecht ausnahmsweise das öffentliche Interesse an einer einschränkenden nationalen Einwanderungspolitik überwiegen (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 251; Urteil des EGMR Rodrigues da Silva gegen Niederlande vom 31. Januar 2006 [50435/99], § 42 f., in: EuGRZ 33/2006 S. 562). Die Durchsetzung einer restriktiven Einwanderungspolitik stellt ein anerkanntes öffentliches Interesse an der Verweigerung einer auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK beruhenden ausländerrechtlichen Bewilligung dar (<ref-ruling> E. 2.1 S. 288; <ref-ruling> E. 2.2 S. 147; <ref-ruling> E. 4b S. 5, 22 E. 4a S. 25).
3. 3.1 Auszugehen ist von den folgenden, für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Feststellungen (<ref-law>). Danach handelt es sich beim Kind um den Sohn des Beschwerdeführers, wobei allerdings eine Vaterschaftsanerkennung nicht bei den Akten liegt. Der Sohn besitzt das Schweizerbürgerrecht Der Beschwerdeführer ist nicht sorgeberechtigt, besucht aber seit August 2011 den Sohn jeweils an zwei Nachmittagen pro Woche bei der Kindsmutter, nachdem in der Vergangenheit wegen der problematischen Beziehung der Kindseltern Besuche nur seltener und begleitet möglich waren. Inzwischen hat sich dieses Besuchsrecht eingespielt und der Beschwerdeführer bemühe sich um seinen Sohn. Eine Intensivierung des Kontakts ist nach einer ersten Bewährungsphase nicht zustande gekommen, und eine Regelung des Besuchs konnte bisher nicht vereinbart werden.
Der Beschwerdeführer, der in der Schweiz nicht arbeiten darf, leistet keine finanzielle Unterstützung an seinen Sohn. Er wurde mit Strafmandat vom 29. Mai 2009 wegen rechtswidrigen Aufenthalts und Verstosses gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu Fr. 20.-- verurteilt. Nicht ausdrücklich von der Vorinstanz festgestellt - aber aus dem zeitlichen Ablauf ersichtlich - ist, dass der Sohn zu einem Zeitpunkt gezeugt wurde, als das Beschwerdeverfahren hinsichtlich des abgewiesenen Asylgesuchs vor dem Bundesverwaltungsgericht noch hängig war.
3.2 In rechtlicher Hinsicht hat die Vorinstanz erwogen, es sei fraglich, ob der Schutzbereich von Art. 8 EMRK überhaupt betroffen sei; dies könne jedoch offen bleiben. Auch dann habe gemäss Rechtsprechung (Urteil 2C_787/2010 vom 16. Juni 2011 E. 3.2) der nicht sorgeberechtigte Elternteil eines minderjährigen Kindes mit Schweizerbürgerrecht nur einen Anwesenheitsanspruch in der Schweiz, wenn zum Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht, die im Falle einer Wegweisung ins Heimatland wegen der Distanz dazu praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte, und wenn zusätzlich das bisherige Verhalten des Ausländers zu keinerlei Klagen Anlass gegeben habe. Im konkreten Fall könne nicht von einem grosszügig ausgestalteten Besuchsrecht bzw. einer besonders engen affektiven Beziehung ausgegangen werden. Der Beschwerdeführer leistet keinen Unterhaltsbeitrag an seinen Sohn, sodass keine besonders enge wirtschaftliche Beziehung vorliege. Zudem könne das Verhalten des Beschwerdeführers nicht als tadellos bezeichnet werden, habe er doch unbestritten Kokainkugeln besessen und verkaufen wollen.
3.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe in willkürlicher Weise auf das Kriterium der besonders engen wirtschaftlichen Beziehung abgestellt. Er könne mangels Vorliegens einer Arbeitsbewilligung nicht arbeiten und habe deshalb nur geringe finanzielle Möglichkeiten. Die für das Aufenthaltsrecht massgebliche finanzielle Unterstützung müsse daher relativ - im Verhältnis zu den zur Verfügung stehenden Mitteln - bestimmt werden. Mit dem von der Vorinstanz angewendeten Massstab würden minderbemittelte Personen diskriminiert (<ref-law>) und damit diejenigen Personen vom Schutz von Art. 8 EMRK ausgeschlossen, für die der menschenrechtliche Schutz des Familienlebens von Relevanz sei. Aufgrund seiner eigenen wirtschaftlichen Situation und jener der Kindsmutter sei es auch ausgeschlossen, das Besuchsrecht von Nigeria aus wahrzunehmen. Der Eingriff in das Familienleben sei daher unverhältnismässig.
3.4 Die Feststellungen der Vorinstanz sind nicht offensichtlich unrichtig, und die daraus gezogenen Folgerungen entsprechen der ständigen Praxis des Bundesgerichts und des EGMR. Der Beschwerdeführer trägt in finanzieller Hinsicht nichts zum Unterhalt seines Sohnes bei und hat sich mit Blick auf das Betäubungsmitteldelikt, das zu einer Verurteilung führte, auch keineswegs "tadellos" im Sinne der zitierten Rechtsprechung verhalten. Mit Blick auf die Verurteilung vom 29. Mai 2009 erhellt, dass der Beschwerdeführer schon bald nach seiner Einreise vom Juli 2008 in die Schweiz straffällig geworden ist. Damit kann der Beschwerdeführer offenkundig nicht für sich in Anspruch nehmen, strafrechtlich unbescholten zu sein, was (negative) Voraussetzung für den Anspruch gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK wäre (E. 2.3 hiervor). Selbst wenn ein Anspruch im Sinne von Art. 8 Ziff. 1 EMRK bestünde, gälte es zu beachten, dass das Bundesgericht bei Betäubungsmitteldelikten eine strenge Praxis verfolgt. In einem solchen Fall anerkennt es in ständiger Rechtsprechung ein ausgeprägtes öffentliches Interesse an der Fernhaltung ausländischer Drogenhändler (u. a. Urteile 2C_141/2012 vom 30. Juli 2012 E. 6.1; 2C_292/2012 vom 19. Juni 2012 E. 2.6; 2C_932/2011 vom 7. Juni 2012 E. 5.2; 2C_768/2011 vom 4. Mai 2012 E. 4.3; <ref-ruling> E. 4a/aa und 4a/bb S. 526 ff.).
Zur Frage des Unterhaltsbeitrags bzw. der in wirtschaftlicher Hinsicht besonders engen Beziehung führt der Beschwerdeführer aus, er könne mangels Vorliegens einer Arbeitsbewilligung keiner Erwerbstätigkeit nachgehen. Aus diesem Grund sei es ihm nicht möglich, seinen Sohn finanziell zu unterstützen. Auf dieses Argument ist freilich nicht näher einzugehen, da es vor dem Hintergrund des verübten Betäubungsmitteldelikts von vornherein nicht ausschlaggebend sein kann.
Ausgehend davon, dass der nicht sorgeberechtigte Beschwerdeführer seit August 2011 seinen Sohn jeweils an zwei Nachmittagen pro Woche bei der Kindsmutter besucht, lässt sich schliesslich auch nicht von einer in affektiver Hinsicht besonders engen Vater-Sohn-Beziehung sprechen. Das Besuchsrecht hat sich zwar inzwischen eingespielt, und die Vorinstanz attestiert dem Beschwerdeführer, sich um seinen Sohn zu bemühen. In der Vergangenheit erfolgten nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz die Besuche in tieferer Kadenz und lediglich begleitet, was mit der problembehafteten Beziehung der Eltern zu tun gehabt habe. Wenngleich dies nicht (alleine) dem Beschwerdeführer anzulasten ist, erlebte und erlebt der Sohn seine frühkindliche Phase ohne erkennbare Anwesenheit des Vaters. Der Sohn hat nie während längerer Zeit bewusst mit seinem Vater zusammengelebt und eine vertiefte Beziehung zu ihm aufbauen können. Wohl hat sich mittlerweile die Ausübung des Besuchsrechts eingespielt, doch bleibt der Beschwerdeführer die Erklärung schuldig, weshalb er seinen Sohn zwingend so häufig wie bis anhin sehen müsse. Zur Ausübung des Besuchsrechts ist nicht erforderlich, dass der Elternteil sich dauerhaft im selben Land wie das Kind befindet und dort über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt. Auch in Scheidungsfällen unter anwesenheitsberechtigten Eltern lässt sich der im vorliegenden Fall herrschende Rhythmus nicht ausnahmslos aufrechterhalten, weswegen dann beispielsweise die Ferien beim besuchsberechtigten Elternteil verbracht werden. Insofern ist nicht ersichtlich, weshalb die Rückkehr in die Heimat eine Ausübung des Besuchsrechts a priori ausschliessen sollte.
Eine in affektiver Hinsicht besonders enge Beziehung, wie dies die Praxis für den Anspruch auf Achtung des Familienlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK voraussetzt, ist damit ebenso wenig gegeben wie eine strafrechtliche Unbescholtenheit. Wie ausgeführt, erübrigt es sich vor diesem Hintergrund zu prüfen, ob die Erklärungen des Beschwerdeführers für den fehlenden Unterhaltsbeitrag stichhaltig sind.
3.5 Bei dieser Rechtslage läuft die Rüge des Beschwerdeführers, er werde aufgrund seiner wirtschaftlichen Bedürftigkeit diskriminiert, von vornherein ins Leere: Er hätte auch dann keinen aus Art. 8 EMRK abgeleiteten Anspruch auf die Aufenthaltsbewilligung, wenn er vermögend wäre und seinen Sohn finanziell unterstützen könnte.
4. 4.1 Bundes- (<ref-law>) und Völkerrecht (<ref-law>) werden damit durch den angefochtenen Entscheid nicht verletzt. Die Beschwerde ist demzufolge abzuweisen.
4.2 Bei diesem Ausgang sind dem Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Er stellt ein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Prozessführung (<ref-law>). Die Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheides war angesichts der eindeutigen Praxis des Bundesgerichts und des EGMR aussichtslos. Das Gesuch ist dementsprechend abzuweisen. Den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist mit einer reduzierten Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen. Dem Kanton Bern, der obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern, der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Dezember 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher