Sachverhalt:
A. X._ hat bereits wiederholt ohne Erfolg um Wechsel seines Offizialverteidigers ersucht (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1B_37/2008 vom 31. März 2008 und die dort genannten weiteren Urteile). Am 16. Februar 2008 stellte X._ wiederum einen Antrag auf Verteidigerwechsel. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, trat auf diesen Antrag mit Verfügung vom 19. Februar 2008 nicht ein.
B. Gegen die Verfügung vom 19. Februar 2008 legt X._ beim Bundesgericht Beschwerde ein. Er ersucht im Wesentlichen darum, das Kantonsgericht sei zu verpflichten, auf seinen Antrag einzutreten. Ausserdem stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft hat sich nicht vernehmen lassen. Der Offizialverteidiger beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. X._ hat zu diesen Eingaben Stellung genommen.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Nichteintretensentscheid stützt sich auf kantonales Strafprozessrecht. In Betracht fällt einzig die Beschwerde in Strafsachen (<ref-ruling> E. 2 S. 337 f.). Die angefochtene Verfügung schliesst das Strafverfahren, das gegen den Beschwerdeführer geführt wird, nicht ab; sie bildet somit einen Zwischenentscheid. Ob dieser Entscheid im Lichte von <ref-law> selbstständig anfechtbar ist, kann auch im vorliegenden Verfahren offen bleiben, denn die vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen vermögen sachlich nicht durchzudringen.
2. Zur Hauptsache macht der Beschwerdeführer eine Missachtung seines Gehörsanspruchs im Sinne einer formellen Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV) geltend. Seinen weiteren Anträgen und Rügen kommt keine weitergehende Bedeutung zu.
2.1 Der Beschwerdeführer hat in seinem Antrag vom 16. Februar 2008 einen neuen Grund für einen Verteidigerwechsel angeführt. Er hält dafür, dass die Vorinstanz folglich auf sein Begehren einzutreten habe. Dabei geht es um Folgendes: Der Beschwerdeführer hat gegen seinen Offizialverteidiger ein Disziplinarverfahren bei der Anwaltsaufsichtskommission des Kantons Basel-Landschaft angestrengt. In jenem Verfahren war der Verteidiger von dieser Aufsichtsbehörde eingeladen worden, zu den Vorwürfen des Beschwerdeführers Stellung zu nehmen. Mit Schreiben vom 12. Februar 2008 gab der Verteidiger gegenüber dieser Behörde eine Stellungnahme ab. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass in diesem Rahmen eine förmliche Entbindung des Verteidigers vom Anwaltsgeheimnis unterblieben sei. Er wirft dem Verteidiger vor, mit dem Schreiben vom 12. Februar 2008 das Anwaltsgeheimnis verletzt zu haben.
2.2 Die Vorinstanz hat die summarische Begründung der angefochtenen Verfügung in der Vernehmlassung an das Bundesgericht hinreichend ergänzt. Danach ist sie aufgrund des massgeblichen Verfahrensrechts - soweit hier von Interesse - nur dann gehalten, auf einen neuen Antrag um Verteidigerwechsel einzutreten, wenn seit dem vorangegangenen Entscheid eine wesentliche Änderung der Umstände eingetreten ist. Die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Umstände hält die Vorinstanz nicht für wesentlich. Sie beruft sich dabei auf den Grundsatz, dass ein Anwalt für seine Vernehmlassung in dem gegen ihn gerichteten Disziplinarverfahren praxisgemäss vom Anwaltsgeheimnis entbunden sei.
2.3 Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass die Vorinstanz die Eintretenspflicht von der Wesentlichkeit der neu vorgebrachten Gründe abhängig machen darf. Ferner räumt er ein, dass die Vorinstanz die Praxis der kantonalen Anwaltsaufsichtskommission richtig wiedergegeben hat. Vor diesem Hintergrund ist es nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz einen Nichteintretensentscheid gefällt hat. Im kantonalen Verfahren betreffend Verteidigerwechsel kann es nicht darum gehen, ob eine andere kantonale Behörde die Vorschriften von <ref-law> richtig handhabt. Es hilft dem Beschwerdeführer daher im vorliegenden Verfahren nicht weiter, wenn er sein eigenes Verständnis dieser Norm darlegt und die Praxis der Anwaltsaufsichtskommission kritisiert.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Angesichts der Aussichtslosigkeit der vorliegenden Beschwerde ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann aber verzichtet werden (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, weil ihm als Anwalt in eigener Sache kein besonderer Aufwand entstanden ist (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 304).

erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Parteientschädigungen werden nicht zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. April 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet