Sachverhalt:
A.
X._ (Beschwerdeführerin) stürzte am 25. Februar 1996 bei einem Skiunfall auf die rechte Schulter. Wegen anhaltender Schmerzen wurde sie von einem ihrer damaligen behandelnden Ärzte an Dr. Y._ (Beschwerdegegner) zur weiteren Behandlung überwiesen. Dieser behandelte X._ in der Zeit vom 20. Juni 1997 bis Februar 2000.
Im September 2003 wurde X._ auf Veranlassung der Unfallversicherung rheumatologisch begutachtet. Auf Empfehlung des Gutachters wurde in der Folge eine schulterorthopädische Beurteilung bei Dr. A._ eingeholt. Schliesslich führten Dr. A._ und Dr. B._ am 2. Dezember 2003 eine Arthroskopie des rechten Schultergelenks von X._ durch. Am 18. Juli 2007 erfolgte eine weitere Operation der rechten Schulter.
Nach Angaben von X._ sind ihre Beschwerden trotz der Eingriffe nicht ganz beseitigt, da das Gewebe infolge jahrelanger Fehldiagnose und -therapie derart geschädigt sei, dass es sich nie mehr ganz erholt habe. Aufgrund dessen leide sie auch heute noch an den Folgen der Fehlbehandlung.
B.
B.a. Mit Gesuch vom 3. Februar 2012 beantragte X._ dem Bezirksgericht Arlesheim, es sei im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung durch einen gerichtlich zu bestimmenden medizinischen Sachverständigen eine Expertise über die in Gesuchsbeilage 49 (recte: 50) aufgeführten Fragen erstellen zu lassen.
Mit Entscheid vom 2. Juli 2012 wies das Bezirksgericht Arlesheim das Gesuch ab.
B.b. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hiess mit Entscheid vom 2. Juli 2012 die von X._ gegen den bezirksgerichtlichen Entscheid erhobene Berufung teilweise gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Bezirksgericht zurück.
B.c. Mit Entscheid vom 15. April 2013 wies das Bezirksgericht das Gesuch erneut ab, auferlegte X._ eine Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- und verurteilte sie zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 16'923.60 an den Gesuchsgegner.
B.d. Mit Entscheid vom 10. Juli 2013 wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft die Berufung gegen den bezirksgerichtlichen Entscheid ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde stellt X._ dem Bundesgericht folgende Anträge:
"1. Die Beschwerde sei gutzuheissen und die Ziff. 1 und Ziff. 2 des angefochtenen Urteils des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Zivilrecht, vom 10. Juli 2013 seien aufzuheben.
2. Das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme vom 3.2.12 in Form eines gerichtlich in Auftrag zu gebenden medizinischen Gutachtens sei gutzuheissen.
3. Die Kosten des obergerichtlichen Verfahrens seien dem Beschwerdegegner aufzuerlegen und dieser zu verpflichten, der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung für das obergerichtliche Verfahren zu bezahlen.
4. Im Uebrigen sei die Sache an die Erstinstanz zurückzuweisen, damit diese einen medizinischen Sachverständigen zum Gutachter ernennt, auf der Grundlage der Fragenkataloge der Parteien einen Fragenkatalog erstellt, das Gutachten in Auftrag gibt und die Kosten- und Entschädigungsfolgen des erstinstanzlichen Verfahrens nach den verbindlichen Erwägungen des Bundesgerichts neu regelt.
5. Die Gerichtskosten seien dem Beschwerdegegner aufzuerlegen.
6. Der Beschwerdegegner sei zu verurteilen, der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine gerichtlich festzusetzende Parteientschädigung auszurichten."
Y._ stellt in seiner Vernehmlassung die folgenden Anträge:
"1. Es sei die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Eventualiter sei die Sache an das Bezirksgericht ArIesheim zurückzuweisen zur Prüfung der noch nicht beurteilten Einwände des Beschwerdegegners gegen das Gesuch der Beschwerdeführerin.
3. Subventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Prüfung der noch nicht beurteilten Einwände des Beschwerdegegners gegen das Gesuch der Beschwerdeführerin.
4. Subsubeventualiter, im Falle der Anordnung eines Gutachtens, 3.1 sei das Gutachten auf die Frage einer allfälligen Sorgfaltspflichtsverletzung des Beschwerdegegners und der Kausalität zu beschränken, 3.2 sei die Beschwerdeführerin zu verpflichten, sämtliche sie betreffenden medizinischen Unterlagen, insbesondere sämtliche Untersuchungs-, Behandlungs- und Operationsberichte (von Ärzten, Physiotherapeuten, Chiropraktikern und allfälligen anderen Heilbehandlern) für den Zeitraum von 1993 bis zum heutigen Tag zu edieren, 3.3 sei dem Beschwerdegegner danach Frist anzusetzen für die Formulierung von Gutachterfragen, 3.4 seien dem Gutachter vom Gericht nur konkret bezeichnete medizinische Akten auszuhändigen, 3.5 sei dem Gutachter nicht zu erlauben, die behandelnden Ärzte zu befragen, 3.6 sei als Gutachter ein vom Gericht zu bestimmender Rheumatologe zu ernennen, eventualiter ein vom Gericht zu bestimmender Rechtsmediziner, subeventualiter ein polydisziplinäres Gutachten von einem vom Gericht zu bestimmenden Rheumatologen in Zusammenarbeit mit einem vom Gericht zu bestimmenden Orthopäden anzuordnen.
5. Es seien die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen und es sei dem Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zu Lasten der Beschwerdeführerin zuzusprechen."
Die Vorinstanz beantragt Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1).
1.1. Der angefochtene Entscheid betrifft ein Gesuch um vorsorgliche Beweisführung, auf das die Bestimmungen über die vorsorglichen Massnahmen Anwendung finden (<ref-law>). Massnahmenentscheide gelten nur dann als Endentscheide im Sinne von <ref-law>, wenn sie in einem eigenständigen Verfahren ergehen. Selbständig eröffnete Massnahmenentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens Bestand haben bzw. unter der Bedingung, dass ein Hauptverfahren eingeleitet wird, stellen Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 79; <ref-ruling> E. 3.1 S. 86 f.).
Der vorliegend angefochtene Entscheid ist in einem Gesuchsverfahren betreffend vorsorgliche Beweisführung ergangen, das von der Einleitung eines ordentlichen Hauptverfahrens unabhängig und damit eigenständig ist. Mit dem angefochtenen Entscheid wurde das Gesuch abgewiesen und damit das Gesuchsverfahren zum Abschluss gebracht. Es handelt sich folglich um einen Endentscheid i.S. von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 79; <ref-ruling> E. 1.1 S. 46 f.). Dagegen ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
1.2. Bei einem Entscheid über vorsorgliche Beweisführung handelt es sich um einen Entscheid i.S. von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 S. 46; <ref-ruling> E. 2 S. 639). Dagegen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden.
Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444 f.; je mit Hinweisen).
1.3.
1.3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören nicht nur die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, sondern auch jene über den Ablauf des kantonalen Verfahrens, wie namentlich die Parteivorbringen in demselben (Urteil 4A_225/2013 vom 14. November 2013 E. 1.2, zur Publikation vorgesehen). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4 S. 466). Soweit die Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2). Überdies hat sie darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3, 396 E. 3.1 S. 399).
1.3.2. Diese Grundsätze verkennt die Beschwerdeführerin, soweit sie der Vorinstanz unter dem Titel "C. Zur Verletzung des Willkürverbots gemäss <ref-law>/2. Willkürliche Feststellung des massgeblichen Sachverhalts" vorwirft, diese habe den Prozesssachverhalt aktenwidrig bzw. widersprüchlich festgestellt:
Nach den Feststellungen im angefochtenen Entscheid hat die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren keine Angaben zu Dauer und Umfang der durch den Gesundheitsschaden bedingten Schmerzen gemacht und auch nicht ausreichend behauptet, dass ihr ein tatsächlicher Schaden entstanden sei. Diese Feststellungen über die erfolgten Parteivorbringen vermag die Beschwerdeführerin nicht als aktenwidrig oder widersprüchlich auszuweisen, indem sie lediglich pauschal auf die "eingereichten medizinischen Belege " verweist bzw. ohne konkrete Aktenhinweise das Gegenteil behauptet. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen an eine Sachverhaltsrüge nicht, weshalb auf die entsprechende Kritik am vorinstanzlich festgestellten Prozesssachverhalt nicht einzutreten ist.
2.
Unter dem Titel "A. Zur Verletzung des Rechts auf Beweis, Verletzung <ref-law> und Art. 6 EMRK " rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung ihres aus dem rechtlichen Gehör fliessenden Rechts auf Beweis (<ref-law>, Art. 6 EMRK), indem die Vorinstanz das schutzwürdige Interesse der Beschwerdeführerin an der vorsorglichen Beweiserhebung verneint habe.
Diese Rüge verfängt nicht. Denn weder <ref-law> noch Art. 6 EMRK gewähren einen Anspruch auf vorsorgliche Beweisführung, vielmehr geht das Institut der vorsorglichen Beweisführung nach <ref-law> über die verfassungsrechtlichen Vorgaben hinaus (Urteil 4A_336/2013 vom 10. Dezember 2013 E. 2). Aus <ref-law> bzw. Art. 6 EMRK kann die Beschwerdeführerin zum Vornherein keinen Anspruch auf vorsorgliche Begutachtung ableiten.
3.
Unter dem Titel "Zur Verletzung des Grundsatzes auf Vorrang und Einhaltung des Bundesrechts gemäss <ref-law> " macht die Beschwerdeführerin eine Verletzung der derogatorischen Kraft des Bundesrechts geltend, indem die Vorinstanz die bundesrechtlichen Anforderungen an die Glaubhaftmachung eines schutzwürdigen Interesses nach <ref-law> verschärft und damit die Durchsetzung des einheitlich anzuwendenden Bundesrechts vereitelt habe.
Auch mit dieser Rüge geht die Beschwerdeführerin fehl. Der in <ref-law> verankerten Vorrang des Bundesrechts bedeutet, dass die Kantone in Sachgebieten, die das Bundesrecht nicht abschliessend ordnet, nur solche Vorschriften erlassen können, die nicht gegen Sinn und Geist des Bundesrechts verstossen und dessen Zweck nicht beeinträchtigen oder vereiteln (<ref-ruling> E. 4.1 S. 115 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 87; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern die Vorinstanz kantonales Recht angewendet haben soll, welches Bundesrecht beeinträchtigen oder vereiteln würde.
4.
Unter dem Titel "C. Zur Verletzung des Willkürverbots gemäss <ref-law>/ 3. Willkürliche Anwendung des Rechts" rügt die Beschwerdeführerin einen Verstoss gegen das Willkürverbot im Zusammenhang mit der Festlegung der Parteientschädigung im erstinstanzlichen Verfahren.
4.1. Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Praxis nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211; je mit Hinweisen).
4.2.
4.2.1. Das Bezirksgericht setzte die Parteientschädigung nach der Baselbieter Tarifordnung für die Anwältinnen und Anwälte vom 18. November 2003 (SGS 178.112; TO) fest. Es wies darauf hin, dass sich gemäss § 2 TO die Parteientschädigung in Verfahren betreffend Anordnung einer vorsorglichen Expertise nach dem Zeitaufwand bemesse. Die vom Rechtsvertreter des Beschwerdegegners beantragte Parteientschädigung von total Fr. 16'923.60 (inkl. Auslagen und MWSt) entspreche einem Aufwand von 51,35 Stunden. Unter Berücksichtigung des Umfangs der Rechtsschriften mit zahlreichen Verweisen auf Literatur und Rechtsprechung, der Tragweite des Verfahrens für einen allfälligen späteren Hauptprozess und der Tatsache, dass es sich beim Institut der vorsorglichen Beweisführung um ein mit der ZPO neu eingeführtes und der alten Baselbieter ZPO in dieser Form nicht bekanntes Instrument handle, sei dieser Aufwand nicht als übermässig zu bezeichnen und daher nicht zu beanstanden. Der Stundenansatz von Fr. 300.-- halte sich an den Rahmen von § 3 TO und entspreche der ortsüblichen Höhe für derartige Verfahren mit nicht tagtäglich auftretenden Fragestellungen. Demnach sei dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung in der beantragten Höhe zuzusprechen.
4.2.2. Gemäss den Feststellungen im angefochtenen Entscheid hat die Beschwerdeführerin in ihrer Berufung weder die Berechnung nach Zeitaufwand noch den veranschlagten Stundenansatz beanstandet, sondern einzig geltend gemacht, der vom Rechtsvertreter des Beschwerdegegners in Rechnung gestellte Aufwand von 51,35 Stunden sei übertrieben. Objektiv geboten und gerechtfertigt sei maximal ein Drittel dieses Aufwandes. Nach Auffassung der Vorinstanz ist es aber grundsätzlich sachgerecht, dass das Bezirksgericht auf die Honorarnoten des Rechtsvertreters des Beschwerdegegners abgestellt hat. Die Beschwerdeführerin hätte sich mit den einzeln ausgewiesenen Bemühungen auseinandersetzen und darlegen müssen, inwiefern konkrete Aufwandposten nicht gerechtfertigt sein sollen. Dies habe sie aber in ihrer Berufungseingabe nicht getan, sondern lediglich in allgemeiner Weise einen zu hohen Aufwand gerügt mit dem Hinweis, die Eingaben des gegnerischen Rechtsvertreters seien weitschweifig und unnötig gewesen. Nach Auffassung der Vorinstanz sind die Rechtsschriften des Rechtsvertreters des Beschwerdegegners zwar in der Tat teilweise umfangreicher als die Eingaben der Beschwerdeführerin; dies sei indes nicht zwingend als Indiz für unnötige Weitschweifigkeit zu qualifizieren. Die im vorliegenden Gesuchsverfahren anwendbare Dispositions- und Eventualmaxime habe im Hinblick auf die anwaltliche Sorgfaltspflicht vielmehr geboten, zu allen klägerischen Vorbringen Stellung zu nehmen und alle möglichen Einwendungen vorzubringen. So habe sich der Rechtsvertreter des Beschwerdegegners nicht darauf beschränken können, die Abweisung des Gesuchs zu beantragen, sondern sich auch für den Fall der Gutheissung mit den einzelnen Expertenfragen und folglich auch mit den umfangreichen medizinischen Unterlagen auseinandersetzen müssen. Entgegen dem Dafürhalten der Beschwerdeführerin seien aus den Akten auch keine unnötigen Eingaben des gegnerischen Anwalts ersichtlich. Sämtliche Rechtsschriften seien gerichtlich angeordnet worden und daher nicht von ihm zu verantworten, ebensowenig wie das Rechtsmittelverfahren ans Kantonsgericht. Insgesamt erscheine der Aufwand zwar hoch, gemessen an den erwähnten Umständen bewege er sich aber noch innerhalb des vorinstanzlichen Ermessensspielraumes.
4.3. Dagegen wendet die Beschwerdeführerin ein, es handle sich beim Verfahren der vorsorglichen Beweisführung nicht um ein Hauptverfahren, sondern um ein Summarverfahren, was sich in jeder kantonalen Gebührenordnung durch tiefere Entschädigungsbandbreiten niederschlage. Zudem bilde die Abnahme eines einzigen Beweismittels das Prozessthema, womit auch kein besonders grosser Aktenumfang vorliege oder besondere Schwierigkeiten in tatsächlicher Hinsicht bestünden. Im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung nach <ref-law> gebe es auch keine besonderen rechtlichen Schwierigkeiten, weil die herrschende Lehrmeinung und die ständige bundesgerichtliche Rechtsprechung dem Rechtsanwender nicht nur Sinn und Zweck, sondern namentlich auch die Anwendung dieses Instruments mit hohem Detaillierungsgrad bereits vorgegeben hätten. Für weitschweifige Ausführungen eines Anwalts zum Umfang der beantragten Gutachtertätigkeit bleibe damit kein Raum. Wenn ein Parteivertreter das Studium der bundesrechtlichen Vorgaben versäume oder sich in davon abweichenden, bloss rechtstheoretischen und realitätsfremden Weiterungen verliere, könne von objektiv gebotenem Aufwand selbstverständlich keine Rede mehr sein. Damit könne sich der im vorliegenden Verfahren gebotene Aufwand eines fachlich ausgewiesenen Anwalts nur darauf beziehen, zu einem möglichen Sachverständigen Stellung zu nehmen, Ergänzungsfragen an den Gutachter zu formulieren, die Verdachtsmomente auf Verletzung der ärztlichen Sorgfaltspflicht formell zu bestreiten und allenfalls auch den Gesundheitsschaden zu negieren. Dass für diese Vorkehren ein Aufwand in Höhe der vom Beschwerdegegner geltend gemachten 51,35 Stunden noch gerechtfertigt sein und dem sog. "gebotenen Aufwand" entsprechen sollen, sei schlechterdings nicht nachvollziehbar. All diese in der Berufungsschrift vorgebrachten Einwände habe die Vorinstanz unberücksichtigt gelassen, womit sie in Willkür verfallen sei.
4.4. Entgegen ihrer Auffassung vermag die Beschwerdeführerin mit diesen Ausführungen die vorinstanzlichen Erwägungen nicht als willkürlich auszuweisen. Sie übersieht bzw. blendet in ihrer Kritik an den vorinstanzlichen Erwägungen aus, dass das erstinstanzliche Verfahren nach dem Rückweisungsentscheid der Vorinstanz vom 2. Juli 2012 wiederholt bzw. fortgesetzt werden musste, was nahezu zu einer Verdoppelung des normalerweise gebotenen Aufwands im erstinstanzlichen Verfahren führte. Angesichts dessen kann von einer willkürlichen Festsetzung der Parteientschädigung für das erstinstanzliche Verfahren keine Rede sein.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivilrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni