Stiftungsaufsicht, Abwahl eines Stiftungsrats, hat sich ergeben:
A.- Unter dem Namen "Stiftung X._" ist im Handelsregister Graubünden seit dem 27. Oktober 1966 eine Stiftung im Sinne der <ref-law> eingetragen. Sie wurde am 11. November 1959 durch letztwillige Verfügung des Stifters gleichen Namens errichtet und gab sich am 16. Mai 1994 neue, am 6. Oktober 1994 aufsichtsbehördlich genehmigte Satzungen ("Stiftungsstatut" und "Reglement über die Geschäftsordnung der Stiftung").
Gemäss Statut bezweckt die Stiftung "die Ausrichtung von Beiträgen an die Ausbildung junger protestantischer Bündner und Bündnerinnen, die sich in schwierigen finanziellen Verhältnissen befinden, in Schulen und Berufen jeder Art" (Art. 2 Abs. 1). Der Stiftungsrat besteht aus fünf bis sieben Mitgliedern mit unbeschränkter Amtsdauer; er konstituiert und ergänzt sich selbst, entscheidet in allen Angelegenheiten, die nicht ausdrücklich anderen Organen - dem Geschäftsführer oder der Revisionsstelle (Art. 4) - übertragen sind, und legt die Aufgaben der einzelnen Stiftungsorgane in einem von ihm zu erlassenden Reglement fest (Art. 5 und Art. 6). Das Reglement wiederholt und konkretisiert diese Bestimmungen. Beschlussfähig ist eine ordnungsgemäss einberufene Stiftungsratssitzung, wenn die Mehrheit der Mitglieder anwesend ist; bei Abstimmungen gilt das einfache Mehr mit Stichentscheid des Präsidenten bei Stimmengleichheit (Art. 3 Abs. 4).
In seiner letztwilligen Verfügung hatte X._ den ersten Stiftungsrat ernannt und namentlich als Mitglied seine Ehefrau O._ und als Präsidenten Y._ bezeichnet. Auf deren Antrag wurde V._ am 18. Januar 1983 in den Stiftungsrat aufgenommen. Mit Beschluss vom 18. Dezember 1998 wählte der sechsköpfige Stiftungsrat sein Mitglied V._, der sich zuvor in den Ausstand begeben hatte, mit drei gegen zwei Stimmen ab. Der Hauptgrund dafür lag nach den Schilderungen des Präsidenten Y._ darin, dass V._ seine nächste blutsverwandte Vollschwester W._ anlässlich der Erbteilungsverfahren von Vater und Mutter zu übervorteilen versucht hatte.
B.- Gegen den Beschluss des Stiftungsrats vom 18. Dezember 1998 erhob V._ beim Justiz-, Polizei- und Sanitätsdepartement Graubünden als Stiftungsaufsichtsbehörde Beschwerde. Das Departement trat darauf nicht ein mit der Begründung, es werde von keiner Partei behauptet, der Beschluss gefährde den Stiftungszweck oder die Funktionsfähigkeit der Stiftung (Verfügung vom 6. April 1999). In letzter kantonaler Instanz hiess das Kantonsgericht (Zivilkammer) von Graubünden die als Berufung entgegengenommene Beschwerde von V._ gut und hob die angefochtene Verfügung wie auch den Beschluss des Stiftungsrats der Stiftung X._ auf (Urteil vom 13. Juli 1999).
C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Stiftung X._ dem Bundesgericht, das kantonsgerichtliche Urteil aufzuheben und festzustellen, dass der Beschluss des Stiftungsrats vom 18. Dezember 1998 rechtens sei; eventualiter sei V._ vom Bundesgericht aus dem Stiftungsrat der Stiftung X._ abzuberufen. Der Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Nach Eingang der Vernehmlassungen dazu gewährte der Präsident der II. Zivilabteilung des Bundesgerichts der Verwaltungsgerichtsbeschwerde die aufschiebende Wirkung; gleichzeitig untersagte er der Stiftung X._ bis zum Vorliegen des bundesgerichtlichen Beschwerdeentscheids, eine Ersatzwahl für V._ in den Stiftungsrat vorzunehmen (Verfügung vom 29. November 1999).
In der Sache schliessen V._ und das Kantonsgericht auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (EJPD) stellt keinen Antrag und beschränkt seine Stellungnahme auf die Frage der Befugnisse der Stiftungsaufsichtsbehörde im Zusammenhang mit der Abberufung eines Mitglieds des Stiftungsrats.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Das kantonal letztinstanzliche Urteil betrifft die Stiftungsaufsicht, die formell im Bundesprivatrecht untergebracht ist, materiell aber zum öffentlichen Recht im Sinne von <ref-law> zählt (Art. 97 und Art. 98 lit. g OG; <ref-ruling> E. 2 S. 407 ff.). Als Verfügungsadressatin ist die Beschwerdeführerin zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde berechtigt (Art. 103 lit. a OG; <ref-ruling> E. 2 S. 440; vgl. dazu statt vieler: Karlen, Verwaltungsgerichtsbeschwerde, in: Prozessieren vor Bundesgericht, 2.A. Basel 1998, N. 3.21 und N. 3.40; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2.A. Bern 1983,
S. 89 Ziffer 2 und S. 156 Ziffer 4.1).
Die kantonsgerichtliche Sachverhaltsfeststellung bindet das Bundesgericht, ausser sie wäre offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen zustande gekommen (Art. 105 Abs. 2 OG; <ref-ruling> E. 6 S. 54); zu den wesentlichen Verfahrensvorschriften gehört der Anspruch auf rechtliches Gehör (Gygi, a.a.O., S. 287 Ziffer 9), dessen Verletzung die Beschwerdeführerin behauptet, und die von ihr gerügte Willkür läuft auf den Vorwurf offensichtlich unrichtiger oder unvollständiger Sachverhaltsermittlung hinaus (Karlen, a.a.O, N. 3.61 bei und in Anm. 117). Frei und von Amtes wegen überprüft das Bundesgericht hingegen die Rechtsanwendung, und es ist ihm an sich unbenommen, eine Beschwerde aus anderen als den durch die Parteien vorgebrachten Gründen abzuweisen oder gutzuheissen (Art. 114 Abs. 1 OG; <ref-ruling> E. 2c S. 275; Karlen, a.a.O., N. 3.87; Gygi, a.a.O., S. 211 ff. Ziffer 1). Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist zwar reformatorischer Natur (Art. 114 Abs. 2 OG), doch bedeutet das nicht, dass das Bundesgericht die Rechtmässigkeit des Stiftungsratsbeschlusses feststellen müsste, nachdem die Beschwerdeführerin auch gar kein konkretes Interesse an dieser Feststellung substantiiert (zuletzt: <ref-ruling> E. 1c S. 362; <ref-ruling> E. 3 S. 98); vielmehr reicht aus, wenn das Bundesgericht im Gutheissungsfalle das angefochtene Urteil aufhebt und die Berufung des heutigen Beschwerdegegners abweist, womit es beim departementalen Nichteintretensentscheid bzw. beim Stiftungsratsbeschluss sein Bewenden hat. Der Beschwerde lässt sich in diesem Sinn entnehmen, was zur Hauptsache verlangt wird (zuletzt: <ref-ruling> E. 1a S. 336 mit Hinweisen).
Auf die weiter frist- und formgerecht (Art. 106 und Art. 108 OG) erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann mit dem erwähnten Vorbehalt eingetreten werden.
2.- Strittig ist vorab die Zuständigkeit des Stiftungsrats, eines seiner Mitglieder abzuberufen. Der Beschwerdegegner spricht ihm diese Befugnis ab, während die Beschwerdeführerin sie ebenso klar bejaht.
a) Über das Ausscheiden von Mitgliedern aus dem Stiftungsrat enthalten die Satzungen der Stiftung keine Bestimmungen. Zwar ergänzt der Stiftungsrat sich selbst, wird ihm eine weitreichende Organisationsfreiheit eingeräumt und spricht für ihn eine Zuständigkeitsvermutung in allen Belangen, doch fehlt eine ausdrückliche Vorschrift darüber, ob er eines seiner Mitglieder und - bejahendenfalls - ob nur mit oder auch ohne Angabe von Gründen bei einfachem oder qualifiziertem Mehr ausschliessen darf. Aus diesem Schweigen der Satzungen, aber auch aus der unbeschränkten Amtsdauer des Stiftungsrats darf entgegen der Ansicht des Beschwerdegegners nicht gefolgert werden, der Stifter habe dem Stiftungsrat verbieten wollen, - z.B. urteilsunfähige oder pflichtvergessene - Mitglieder aus dem obersten Stiftungsorgan wieder zu entfernen; für eine derartige - wenig sinnvolle - Auslegung des Stifterwillens fehlen jegliche Anhaltspunkte (zur Massgeblichkeit des Stifterwillens: <ref-ruling> E. 2 S. 444; <ref-ruling> E. 6c S. 396; <ref-ruling> E. 5d S. 485).
b) Wann immer ein Stiftungsorgan sich aus mehreren Personen zusammensetzt, liegt es nahe, die <ref-law> über die Art und Weise des Funktionierens der Vereinsorgane heranzuziehen, soweit in Stiftungsurkunde und -reglement nichts bestimmt ist (vgl. mit vielen Nachweisen: Riemer, Berner Kommentar, N. 36 des Syst. Teils vor Art. 80-89bis und N. 32 f. zu <ref-law> sowie N. 136 ff. des Syst. Teils vor Art. 60-79 ZGB). Bei Stillschweigen der Satzungen hat nicht einfach die Stiftungsaufsichtsbehörde einzugreifen; vielmehr sind die Mitglieder des Stiftungsrats, der sich selber ergänzt (Kooptation) und konstituiert, mangels eigener Ordnung zuständig, in analoger Anwendung jener vereinsrechtlichen Bestimmungen über die Organisation und unter Wahrung der satzungsmässigen Verfahrensregeln eines ihrer Mitglieder wieder abzuwählen (vgl. dazu auch Grüninger, Basler Kommentar, N. 8 zu <ref-law>; Spring, Der Inhalt einer Stiftungsurkunde: einLeitfaden, Basel1995, S.12ff. Ziffer3. 1.1).
c) Das Departement verweist auf Musterstatuten der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht, wonach der Stiftungsrat mit 2/3-Mehrheit über die Abberufung von Stiftungsratsmitgliedern beschliesst, und wirft die Frage auf, ob für den folgenschweren Entscheid über die jederzeit mögliche Abberufung aus wichtigen Gründen nicht allgemein eine qualifizierte Mehrheit erforderlich sein müsse. Es trifft vorab zu, dass - vorbehältlich abweichender Stiftungssatzung - eine regelrechte Kompetenzvermutung zu Gunsten des Stiftungsrats (Nicati, Stiftungen, Stiftungspraxis, SJK Nr. 81, März 1998, S. 16) freilich nur im Rahmen des Stiftungszweckes besteht, dessen Verwirklichung die Aufsichtsbehörde zu überwachen hat (E. 3a hiernach), und dass mangels statutarischer Ordnung auf die vereinsrechtlichen Regeln über Einberufung, Beratung, Beschlussfassung usw. seit jeher zurückgegriffen wird; für die Abberufung stützt sich die Rechtsprechung jeweilen auf die "wichtigen Gründe" im Sinne von Art. 72 Abs. 3 und nicht von <ref-law>, wie das Departement dies offenbar befürwortet (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 100 und 471 E. 2 S. 472). Gewiss kann eine Abberufung aus dem Stiftungsrat auch folgenschwer sein, doch rechtfertigt sich die Festlegung eines qualifizierten Mehrs hierfür nicht: Zum einen sprechen Gründe der Praktikabilität (kleine Anzahl Stiftungsräte, Mitglieder im Ausland, usw. ) klar dagegen (Nicati, a.a.O. S. 17), und zum anderen hat ein zwingend zu beachtendes qualifiziertes Quorum keine Entsprechung im analog anwendbaren Vereinsrecht (Riemer, N. 68 zu <ref-law>; Heini/Scherrer, Basler Kommentar, N.13 zu <ref-law>). Die erforderliche Mehrheit für die Abberufung des Beschwerdegegners ist reglementsgemäss zustande gekommen.
3.- Die Zuständigkeit des Stiftungsrats zur Abberufung eines seiner Mitglieder schliesst die Stiftungsaufsicht in diesem Bereich nicht aus. Die rechtliche Grundlage für ein Eingreifen der Stiftungsaufsichtsbehörden ist Folgende:
a) Nach <ref-law> hat die Aufsichtsbehörde dafür zu sorgen, dass das Stiftungsvermögen seinen Zwecken gemäss verwendet wird. Das kantonale Einführungsgesetz zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch (BR 210. 100) ergänzt, dass das Vermögen der ihr unterstellten Stiftung bestimmungsgemäss verwendet wird, die Stiftung gemäss der Stiftungsurkunde und den Reglementen organisiert bleibt und die Verwaltung ordnungsgemäss geführt wird (Art. 23 EGzZGB). Die Umschreibung deckt sich mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Die Aufsichtsbehörde hat darüber zu wachen, dass die Organe der Stiftung keine Verfügungen treffen, die der Stiftungsurkunde oder dem Reglement bzw. dem Gesetz widersprechen oder unsittlich sind. In diesem Rahmen ist die Aufsichtsbehörde befugt, Mittel zur Behebung vorgekommener Unregelmässigkeiten oder begangener Fehler und zu deren Vermeidung einzusetzen. Es bleibt aber zu beachten, dass Stiftungsaufsicht nicht Vormundschaft gleichkommt. Die Stiftung ist grundsätzlich voll handlungsfähig. Die Aufsichtsbehörde darf deshalb nicht einfach an Stelle des Stiftungsrats handeln. In reinen Ermessensfragen hat sie sich zurückzuhalten und nur einzuschreiten, wenn die Stiftungsorgane bei der Ausführung des Stifterwillens das ihnen zustehende Ermessen überschritten oder missbraucht haben, mit anderen Worten, wenn einer ihrer Entscheide unhaltbar ist, d.h. auf sachfremden Kriterien beruht oder einschlägige Kriterien ausser Acht lässt. Greift die Aufsichtsbehörde ohne gesetzliche Grundlage in den Autonomiebereich der Stiftungsorgane ein, so verletzt sie Bundesrecht (<ref-ruling> E. 3 S. 99 sowie <ref-ruling> E. 5a S. 358 und 497 E. 5 S. 499 mit Hinweisen; ausführlich: Riemer, N. 48 f., N. 88 ff., N. 116-118 und N. 123 ff., sowie Grüninger, N. 9 f. und N. 12 ff., je zu <ref-law>; vgl. auch Nicati, a.a.O., S. 8 f. Ziffer 3.3; Sprecher/von Salis-Lütolf, Die schweizerische Stiftung: ein Leitfaden, Zürich 1999, S. 170 ff. Ziffern 207-215).
b) Die Aufsichtsbehörde ist befugt, Stiftungsorgane abzuberufen. Ihr Eingreifen setzt voraus, dass das Verhalten eines Stiftungsrats im Hinblick auf eine gesetzes- und satzungsmässige Tätigkeit der Stiftung nicht mehr tragbar ist, die weitere Ausübung seiner Funktionen die Zweckverwendung des Stiftungsvermögens objektiv beeinträchtigt oder gefährdet und andere, weniger einschneidende Massnahmen keinen Erfolg versprechen (<ref-ruling> E. 5a S. 326; Riemer, N. 98 f. zu <ref-law>). Das kantonale Recht sieht auch diese schwerste Disziplinarmassnahme der Amtsentsetzung vor (Art. 24 EGzZGB), wobei es auf die dafür geforderte Schwere des Verschuldens nicht ankommen kann (BGE, a.a.O.; zum Verhältnis Bundesrecht und kantonales Recht: Riemer, N. 39 ff., und Grüninger, N. 3, je zu <ref-law>; D. Piotet, Droit cantonal complémentaire, SPR I/2, Basel 1998, S. 86 ff. N. 267-273). Die genannten Voraussetzungen gelten auch für die Abberufung einzelner Mitglieder eines Stiftungsrats: Die Aufsichtsbehörde ist auf Grund von <ref-law> befugt, in die Zusammensetzung des Stiftungsrats einzugreifen, wenn dies nötig ist, um die Stiftung funktionsfähig zu erhalten oder ihr Vermögen zu sichern.
Nach denselben Kriterien wird entschieden, ob die Aufsichtsbehörde den Beschluss eines Stiftungsrats, eines seiner Mitglieder auszuschliessen, überprüfen darf: Wo eine Störung der Stiftungstätigkeit befürchtet werden muss und die Funktionsfähigkeit der Stiftung als gefährdet erscheint, ist die Aufsichtsbehörde zuständig, über die Frage des Ausschlusses zu entscheiden (<ref-ruling> E. 4 und 5 S. 100 f. und 471 E. 3b S. 472/473; vgl. auch Grüninger, N. 15 zu <ref-law>; Spring, a.a.O., S. 12).
c) Entgegen der Ansicht des Departements und teilweise der Parteien ist nicht jeder Entscheid über den Ausschluss eines Stiftungsratsmitglieds einfach geeignet, die Aktivitäten der Stiftung zu stören; das Regest zu einem BGE gibt den Inhalt der Urteilserwägungen von seiner Funktion her zwangsläufig etwas verkürzt wieder. Mit Rücksicht auf den Autonomiebereich der Stiftung hat die Aufsichtsbehörde nach dem Gesagten vielmehr erst zu prüfen, ob aus den gezeigten Gründen Anlass zum Handeln besteht, und alsdann zu beurteilen, ob die verlangte oder angefochtene Abberufung eines Stiftungsratsmitglieds das richtige Mittel zu berechtigtem Zweck ist. Es gibt somit einen Bereich, in welchem der Staat einzugreifen nicht befugt ist, als Stiftungsaufsichtsbehörde nicht, wenn die Abberufung des Stiftungsratsmitglieds in die Autonomie des betreffenden Organs fällt (z.B. <ref-ruling> E. 3b S. 472), und - in diesem Verfahren ausser Frage stehend - auch als Zivilrichter nicht, wenn das abberufene Stiftungsratsmitglied kein subjektives Recht auf Einsitznahme in diesem Organ hat (z.B. <ref-ruling> E. 4, zusammengefasst in: JdT 136/1988 I S. 542; vgl. dazu Sprecher/von Salis-Lütolf, a.a.O., S. 126 Ziffer 137). Es ist dies Ausfluss der Stiftungsfreiheit, der für die Auslegung des Stiftungsrechts zu berücksichtigenden obersten Maxime, die auch die organisatorische Ausgestaltung der Stiftung umfasst (Grüninger, N. 6 der Vorbemerkungen zu Art. 80-89bis ZGB; Nicati, a.a.O., S. 4; Sprecher/von Salis-Lütolf, a.a.O., S. 60 Ziffer 26).
4.- Das Kantonsgericht hat sich für berechtigt angesehen, das formelle Vorgehen des Stiftungsrats und die inhaltliche Richtigkeit des angefochtenen Stiftungsratsbeschlusses zu überprüfen. Es ist im Ergebnis zu Recht davon ausgegangen, dass die Abberufung des Beschwerdegegners als Mitglied des Stiftungsrats in die Zuständigkeit des Stiftungsrats fällt und - soweit überhaupt strittig - in Beachtung der Stiftungssatzungen formell korrekt erfolgt ist (E. 2 hiervor). Es hat ein Eingreifen der Aufsichtsbehörde für erlaubt und erforderlich gehalten, weil es Grund zur Befürchtung gebe, der Ausschluss des Beschwerdegegners könnte die Stiftungstätigkeit beeinträchtigen (E. 3 soeben). Die Parteien beantworten diese Frage der Funktionsfähigkeit unterschiedlich, je nach ihrem
Standpunkt, ob von einem Verbleiben oder einem Ausschluss des betroffenen Stiftungsratsmitglieds auszugehen ist.
a) Das Kantonsgericht hat ausgeführt, im Dezember 1998 hätten dem Stiftungsrat sechs Personen angehört, unter ihnen der Stiftungsratspräsident, der seinerzeit vom Stifter in dieses Amt berufen worden sei und der während Jahrzehnten (bis Ende Juni 1993) auch die Geschäftsführung besorgt habe. Heute liege die Geschäftsführung in den Händen seines Sohnes, der ebenfalls Mitglied des Stiftungsrats sei. Damit komme Vater und Sohn innerhalb des Stiftungsrats ein besonderes Gewicht zu, dies umso mehr, als dem Präsidenten bei einstehenden Stimmen der Stichentscheid zufalle.
Ziehe man in Betracht, dass die angeblichen Charakterdefizite des Beschwerdegegners innerhalb des Stiftungsrats nie zu einer Aussprache geführt hätten, sondern vom Präsidenten unvermittelt zum Anlass genommen worden seien, den Ausschluss des Beschwerdegegners auf die Traktandenliste zu nehmen, bedenke man weiter, dass der Beschwerdegegner laut den bei den Akten liegenden Protokollen praktisch als einziger Fragen in Zusammenhang mit der Abgeltung der Geschäftsführungstätigkeit und der Offenlegung des Verwaltungsaufwands aufgeworfen habe, und berücksichtige man schliesslich, mit welchem Nachdruck im laufenden Verfahren die Verdienste des Präsidenten und des Geschäftsführers um die Stiftung hervorgehoben worden seien, entstehe gesamthaft betrachtet sehr wohl der Eindruck, dass unter einem Vorwand ein lästig gewordenes Mitglied aus persönlicher Abneigung aus dem Stiftungsrat entfernt werden sollte.
Für den Aussenstehenden erweckten die Umstände der Abwahl jedenfalls den Verdacht, dass sich nebst den verbleibenden auch die neu hinzukommenden Mitglieder des Stiftungsrats, wenn sie hiervon erfahrten, durch das Geschehen veranlasst sehen könnten, Vorkehren der in der Leitung und Verwaltung der Stiftung tätigen Personen leichthin zu genehmigen und Kritik selbst dann nicht zu äussern, wenn sie an sich geboten wäre, was bedeuten würde, dass der Stiftungsrat seine Aufgabe nicht mehr korrekt erfüllen könnte (E. 3 S. 8 f. des angefochtenen Urteils).
b) Die Beschwerdeführerin kritisiert die Beurteilung des Sachverhalts zu Recht als unvollständig. Die angeführten Gründe zu Gunsten eines aufsichtsbehördlichen Eingreifens in die Zusammensetzung des Stiftungsrats erweisen sich bei Einbezug aller festgestellten und entscheiderheblichen Tatsachen nicht als stichhaltig:
Zum einen kann in einem Stiftungsrat mit mindestens fünf Mitgliedern von einem beherrschenden Einfluss durch zwei Mitglieder - auch mit dem Recht des einen auf Stichentscheid - schon rein zahlenmässig nicht gesprochen werden, und "ein besonderes Gewicht" von Stiftungsratspräsident und Geschäftsführer der Stiftung wird nachgerade widerlegt: Der Ausschluss des Beschwerdegegners ist im Stiftungsrat einlässlich und kontrovers diskutiert worden, was sich auch in der nur knappen Gutheissung des Antrags auf Abwahl des Beschwerdegegners mit drei gegen zwei Stimmen niedergeschlagen hat; im Blick darauf ist nicht erkennbar, weshalb verbleibende oder dereinst zu bestellende Stiftungsratsmitglieder eine sachliche Auseinandersetzung inskünftig zu fürchten haben sollten.
Zum anderen lässt sich nicht vertreten, dass ohne die Mitwirkung des Beschwerdegegners im Stiftungsrat, namentlich ohne dessen kritische Rückfragen zu Abgeltung der Geschäftsführungstätigkeit und zu Verwaltungsaufwand, die korrekte Erfüllung der Funktionen des Stiftungsrats nicht mehr gewährleistet wäre: Vermögensrechnung mit Vermögensausweis und Verwaltungsrechnung samt Bericht der Kontrollstelle sind der Aufsichtsbehörde alljährlich zur Genehmigung zu unterbreiten (Verfügung vom 2. April 1975, act. 07.2-26) bzw. zur Kenntnis zu bringen, wie dies Art. 5 lit. b der Verordnung betreffend die Aufsicht über die Stiftungen (BR 219. 100) den Stiftungsorganen ausdrücklich vorschreibt. Als gewiss gelten kann umgekehrt, dass die Tätigkeit der Stiftung durch den Ausschluss des Beschwerdegegners nicht beeinträchtigt wird: Die Ausrichtung der Stiftungsleistungen ist offenbar reglementiert (act. 07.2-16 und 29) und, wie das Kantonsgericht festgehalten hat (E. 4 S. 13), wird nur mit dem Stiftungsratspräsidenten oder dem Geschäftsführer zu tun haben und sich nicht dafür interessieren, ob diese und allfällige weitere Stiftungsratsmitglieder sich in ihrem privaten oder geschäftlichen Bereich bisher jeweils völlig selbstlos verhalten haben, wer sich an die Stiftung wendet, um ein Stipendium oder ein Darlehen zu erhalten.
c) In rechtlicher Hinsicht entscheidend ist, dass die regelmässige Kontrolle des Jahresabschlusses genügt, um einer Gefährdung des Stiftungszwecks zu begegnen und eine reibungslose Stiftungstätigkeit zu garantieren. Zur Erhaltung der Funktionstüchtigkeit des Stiftungsrats ist die Mitgliedschaft des Beschwerdegegners in demselben nach dem Gesagten nicht unabdingbar. Mit seinem Urteil hat das Kantonsgericht in den Autonomiebereich des Stiftungsrats eingegriffen und damit Bundesrecht verletzt.
Unzutreffenderweise scheinen das Kantonsgericht und die Parteien die Eingriffsbefugnis der Stiftungsaufsicht hier unter Hinweis auf <ref-ruling> Nr. 18 für rechtens zu halten. Das Bundesgericht hat dort dafürgehalten, die Abberufung des Stiftungsratsmitglieds X.-Y., die ihren Grund unmittelbar in dessen Verhalten und vorab in Meinungsverschiedenheiten zwischen der Familie Y. und dem Stiftungsrat gehabt hatte, sei allgemein geeignet, die Stiftungstätigkeit zu stören (BGE, a.a.O., E. 4 S. 100). Indessen darf der Hintergrund des konkret beurteilten Falls nicht ausgeblendet werden: Zwar ist es nicht um den Stiftungsrat einer eigentlichen Familienstiftung gegangen, wie irrtümlich im Sachverhalt geschrieben steht (BGE, a.a.O., S. 98; vgl. Berichtigungen auf S. 519), wohl aber um eine Stiftung, die von einer Familie allein gegründet worden ist, wobei der Stiftungsrat zwingend Mitglieder der Stifterfamilie umfassen musste (BGE, a.a.O., E. 4 S. 100, Abs. 1). Dass unter diesen Umständen der Streit zwischen der Stiftungsratsmitglieder entsendenden Stifterfamilie und dem Stiftungsrat generell geeignet ist, die Funktionsfähigkeit der Stiftung zu gefährden (BGE, a.a.O., E. 5 S. 101, Abs. 2) oder - wie das Bundesgericht in einem späteren Urteil gesagt hat - eine Störung der Stiftungstätigkeit befürchten zu lassen (<ref-ruling> E. 3b S. 473), liegt auf der Hand.
Der daraus zu ziehende Umkehrschluss leuchtet ebenfalls ohne Weiteres ein, dass nämlich die familiären Zwistigkeiten zwischen Stiftungsratspräsident und Beschwerdegegner - beides Geschwisterkinder - in einer Stiftung ohne derartigen satzungsmässig engen Familienbezug nicht von den Stiftungsaufsichtsbehörden zu schlichten sind, ausser es wäre in jener Gefolge tatsächlich eine Störung der Stiftungstätigkeit zu befürchten gewesen, was auf Grund des gegebenen Sachverhalts nicht angenommen werden durfte. Dass die Funktionsfähigkeit der Stiftung durch den angeblich eingetretenen Vertrauensverlust ernstlich gefährdet wird, ist denn auch nicht als nachgewiesen festgestellt; mehr als sachlich unbegründete Mutmassungen enthält - wie die Beschwerdeführerin dies hervorhebt - das angefochtene Urteil dazu nicht.
5.- Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdegegner kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 1 und 2 OG). Zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigung für das kantonale Verfahren wird die Sache an das Kantonsgericht zurückgewiesen (Art. 157 und Art. 159 Abs. 6 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, das Urteil des Kantonsgerichts (Zivilkammer) von Graubünden vom 13. Juli 1999 wird aufgehoben und in Dispositiv-Ziffer 1 wie folgt geändert: "Die Berufung wird abgewiesen. "
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'500. -- wird dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.- Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000. -- zu entschädigen.
4.- Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigung für das kantonale Verfahren an das Kantonsgericht (Zivilkammer) von Graubünden zurückgewiesen.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht (Zivilkammer) von Graubünden und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement (EJPD) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 27. März 2000
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: