Erwägungen:
1.
A._, 1981 geborene Staatsangehörige von Kamerun, reiste am 3. März 2010 in die Schweiz ein. Sie erhielt im Kanton Aargau zunächst eine Kurzaufenthaltsbewilligung, dann eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Master-Studiums an der Fachhochschule Nordwestschweiz in Olten. 2013 bewilligte ihr das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt den Kantonswechsel. Im Gesuch vom 2. Oktober 2013 um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gab sie an, einen neuen Master-Studiengang an einer neuen Institution mit Studiendauer bis 31. Oktober 2014 aufgenommen zu haben. Am 16. Dezember 2013 gebar sie einen Sohn; bereits zuvor war bei ihr ein Brustkrebs festgestellt worden.
Am 27. Januar 2014 wies das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Ein Rekurs an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt blieb erfolglos, und mit Urteil vom 7. Januar 2015 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht den gegen den Rekursentscheid des Departements vom 31. März 2014 erhobenen Rekurs ab.
Mit undatierter, am 23. Februar 2015 bei der Post aufgegebener subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und ihr eine Aufenthaltsbewilligung zu Studienzwecken zu erteilen, respektive die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventualiter sei festzustellen, dass sie sich bis heute rechtmässig in der Schweiz aufgehalten habe.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf die streitige Aufenthaltsbewilligung, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig ist (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BG) und als bundesrechtliches Rechtsmittel allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zur Verfügung steht (<ref-law>), welches Rechtsmittel die Beschwerdeführerin denn auch ausdrücklich erhebt.
2.2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>); solche Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Steht dem Ausländer kein Anspruch auf die beantragte ausländerrechtliche Bewilligung zu, ist er durch deren Verweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, weshalb ihm die Legitimation zur Anfechtung des negativen Bewilligungsentscheids bzw. eines diesen bestätigenden Rechtsmittelentscheids in der Sache selbst fehlt; namentlich kann er nicht die Verletzung des Willkürverbots rügen (<ref-ruling>). Das gilt auch in Bezug auf das allgemeine Rechtsgleichheitsgebot gemäss <ref-law> (Urteil 2D_49/2010 vom 22. September 2010 E. 2 mit Hinweisen). Beim ebenfalls angerufenen Verhältnismässigkeitsgrundsatz handelt es sich bloss um ein verfassungsmässiges Prinzip, nicht aber um ein mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde selbstständig anrufbares verfassungsmässiges Recht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 156). Was schliesslich den Grundsatz von Treu und Glauben betrifft, zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, inwiefern sich vorliegend unter dem Aspekt des Vertrauensschutzes für die Frage der Bewilligungsverlängerung etwas ableiten liesse (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 287 f.; s. auch Urteil 2P.245/2006 vom 6. November 2006 E. 2.2. und 2.3; allgemein zu den Voraussetzungen behördlicher Bindung aus Gründen des Vertrauensschutzes <ref-ruling> E. 2.5.1 S. 72 f.; <ref-ruling> E. 6 S 636 ff.); ihren Darlegungen lässt sich namentlich nicht entnehmen, welche nicht rückgängig zu machenden Dispositionen sie gestützt auf welche konkreten vertrauensbildenden behördlichen Handlungen getroffen hätte.
Die Beschwerdeführerin ist, was die materielle Bewilligungsfrage betrifft, unter keinem Titel zur Beschwerde legitimiert. Ohnehin führt sie an, dass sie letztlich auf eine Bewilligungsverlängerung nicht mehr angewiesen sei, da sie das Studium beendet habe, womit ihr bereits das notwendige faktische Interesse an der Behandlung des Antrags auf Bewilligungsverlängerung fehlte. (Diese Darstellung ist allerdings nur schwer vereinbar mit ihrem Antrag auf aufschiebende Wirkung bzw. mit dessen Begründung). Die Beschwerdeführerin behauptet spezifisch ein Rechtsschutzinteresse an der Feststellung der Rechtmässigkeit ihrer Anwesenheit seit dem Zeitpunkt des Ablaufs der früheren Bewilligung. Dieses Feststellungs-Interesse ist wenig nachvollziehbar substantiiert. Ohnehin aber entsteht demjenigen, dem selbst bei noch bestehendem aktuellen Interesse das qualifizierte Rechtsschutzinteresse gemäss <ref-law> abgeht, nach Wegfall des aktuellen Interesses nicht neu ein rechtlich geschütztes Feststellungsinteresse in derselben Sache.
2.3. Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist der Ausländer zur Rüge berechtigt, ihm zustehende Verfahrensgarantien seien verletzt worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei oder sich nicht mit sämtlichen Argumenten auseinandersetze oder dass die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt worden seien; ebenso wenig ist der Vorwurf zu hören, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonst wie willkürlich festgestellt oder Beweisanträge seien wegen willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt worden (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 313; <ref-ruling> E. 1.4 S. 222; <ref-ruling> E. 7b S. 94; <ref-ruling> E. 1c S. 236; zur Weiterführung dieser so genannten "Star-Praxis" unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes s. <ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f.; s. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; spezifisch zum Ausländerrecht <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f. und <ref-ruling> E. 2 S. 308). Die Beschwerdeführerin rügt, das angefochtene Urteil verletzte ihren Anspruch auf rechtliches Gehör und das Verbot des überspitzten Formalismus. Was sie dazu vorbringt, läuft auf eine im beschriebenen Sinn unzulässige Kritik am vorinstanzlichen Sachentscheid hinaus.
2.4. Auf die Verfassungsbeschwerde ist mangels zulässiger bzw. hinreichend begründeter Rügen (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG) mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.5. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin aussichtslos erschienen (<ref-law>). Mithin sind ihr als unterliegende Partei die Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG), wobei bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr nebst ihrer finanziellen Lage der Art der Prozessführung (übermässig weitschweifige Rechtsschrift) Rechnung zu tragen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Februar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller