Sachverhalt:
A. Mit Eingabe vom 15. Mai 2008 führte die 1955 geborene B._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt Beschwerde gegen einen Einspracheentscheid der Öffentlichen Arbeitslosenkasse Basel-Stadt vom 29. April 2008.
Mit Verfügung vom 16. Mai 2008 setzte das kantonale Gericht B._ eine Frist zur Verbesserung der aus richterlicher Sicht ungenügenden Beschwerde, verbunden mit der Androhung, bei unterlassener Verbesserung innert Frist werde auf die Beschwerde nicht eingetreten. Nachdem B._ die Verfügung vom 16. Mai 2008 nicht innert der von der Post zur Abholung angesetzten Frist von sieben Tagen abgeholt hatte, erstreckte das Gericht die Frist mit Verfügung vom 2. Juni 2008 peremptorisch bis zum 23. Juni 2008.
Mit Verfügung vom 27. Juni 2008 trat das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt auf die Beschwerde nicht ein, da diese trotz Androhung der Säumnisfolgen innert der angesetzten und erstreckten Frist nicht verbessert worden sei.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ beantragen, in Aufhebung der vorinstanzlichen Verfügung vom 27. Juni 2008 sei die Angelegenheit zur materiellen Beurteilung an das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zurückzuweisen.
Die Kasse lässt singemäss auf Abschreibung des Verfahrens wegen Gegenstandslosigkeit schliessen. Die Vorinstanz beantragt Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 29. April 2008, mit welchem die Öffentliche Arbeitslosenkasse die auf einem versicherten Verdienst von Fr. 3320.- basierende Taggeldabrechnung für den Monat Februar 2008 bestätigte, zu Recht mittels Nichteintreten erledigte. Ob der Versicherten ab 1. Mai 2008 die Vermittlungsfähigkeit als eine Anspruchsvoraussetzung auf Arbeitslosentaggelder abgesprochen worden ist, kann offen bleiben, da dieser Umstand nicht zur Gegenstandslosigkeit des vorliegenden Verfahrens führte.
2. Die Vorinstanz bringt vor, die Beschwerde sei innert der unter Androhung der Säumnisfolgen angesetzten und erstreckten Frist nicht hinreichend ergänzt worden. Auf die Beschwerde sei daher in Anwendung von § 6 Abs. 2 Sozialversicherungsgesetz/BS nicht einzutreten gewesen.
Die Beschwerdeführerin wendet ein, die im kantonalen Verfahren eingereichte Beschwerde vom 15. Mai 2008 genüge auch ohne Ergänzung den gesetzlichen Anforderungen und sei daher materiell zu beurteilen. Der angefochtene Entscheid sei überspitzt formalistisch.
3. Nach <ref-law> muss die Beschwerde eine gedrängte Darstellung des Sachverhaltes, ein Rechtsbegehren und eine kurze Begründung enthalten. Genügt sie diesen Anforderungen nicht, so setzt das Versicherungsgericht der Beschwerde führenden Person eine angemessene Frist zur Verbesserung und verbindet damit die Androhung, sonst auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Der von der Vorinstanz angerufene § 6 Sozialversicherungsgesetz/BS entspricht dieser Regelung inhaltlich.
4. Erfüllt eine Beschwerde die gesetzlichen Mindestanforderungen nicht und wird sie innert einer unter Androhung der Säumnisfolgen angesetzten Frist nicht verbessert, ist nach dem Gesagten auf sie nicht einzutreten. Indessen geht es nicht an, dass das Gericht bei formgerechter Beschwerde deren materielle Beurteilung von einer Ergänzung des Rechtsmittels abhängig macht. Dies käme einer formellen Rechtsverweigerung gleich (vgl. Urteile 8C_145/2007 vom 8. Januar 2009 E. 4.2; U 440/99 vom 29. Februar 2000 E. 2).
5. Mit der Eingabe vom 15. Mai 2008 beantragte die Versicherte neben weiteren, an der Sache offenkundig vorbei zielenden Begehren eine "sachgemässe Abrechnung laut meines Einkommens rückwirkend auf 2 Jahre". Gleichzeitig spezifizierte sie dieses näher, indem sie verschiedene, teils global zusammengefasste Einkommensposten aufführte. Die Eingabe schloss sie ab mit dem Hinweis "Sollten Sie sich meinen Rechtsansprüchen widersetzen, werde ich meinen Anwalt einsetzen".
Eine Begründung, weshalb die behaupteten Einkommenspositionen bei der Ermittlung des versicherten Verdienstes anders Berücksichtigung finden sollten, als im angefochtenen Einspracheentscheid vorgenommen worden, findet sich in dieser Eingabe nicht; ebenso fehlt eine Auseinandersetzung mit den diesbezüglichen Erwägungen im angefochtenen Einspracheentscheid. Die Eingabe beschränkt sich vielmehr auf das Wiederholen des bereits im Einspracheverfahren gestellten Antrags. Wenn die Vorinstanz dergestalt auf eine nicht hinreichend begründete Beschwerde schloss, ist dies nicht zu beanstanden. Ebenso wenig kann ihr zum Vorwurf gereichen, wenn sie - nicht zuletzt mit Blick auf den die Eingabe vom 15. Mai 2008 abschliessenden Hinweis auf den Beizug eines Anwalts - die Versicherte lediglich in allgemeiner Form und Wiedergabe von § 6 Abs. 2 Sozialversicherungsgesetz/BS zur Verbesserung der Beschwerdeschrift aufforderte. Eine Verletzung der richterlichen Fürsorgepflicht ist nicht ersichtlich. Die Vorinstanz ist auf die Eingaben der Versicherten zu Recht nicht eingetreten.
6. Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde - wenn auch nur knapp - nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Advokatin Nadia Tarolli wird als unentgeltliche Anwältin der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1400.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, dem Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) Basel und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Februar 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Grünvogel