Faits:
A. AX._ et BX._ se sont mariés le 24 juillet 1992.
AX._ a travaillé, dès le 1er mai 1993, en qualité d'ingénieur-électronicien au service de la société R._ SA pour un salaire mensuel net qui s'élevait en 2004 à 11'294 fr.15 et il a cotisé au fonds de prévoyance professionnelle T._. BX._, pour sa part, s'est consacrée pendant le mariage à l'éducation des enfants et elle n'a pas cotisé à un fonds de prévoyance professionnelle.
Le 1er décembre 2004, AX._ a déposé une demande en divorce. Il était assisté, dans la procédure, par Me Y._, avocat au Barreau de Genève.
Dans la demande rédigée par ce dernier, AX._ sollicitait du juge du divorce qu'il procède au partage par moitié des prestations de sortie résultant de la prévoyance professionnelle. Il était joint un certificat de T._, dont il ressortait que la prestation de libre passage accumulée par AX._, pour un début d'assurance au 1er mai 1993, s'élevait au 1er juillet 2004, à 450'769 fr.30.
Dans le cadre de la procédure de divorce, AX._ a été invité à actualiser cette attestation. Il a demandé à T._ un nouveau certificat, faisant état au 1er janvier 2005, d'une prestation de libre passage accumulée de 468'201 fr.25. AX._ a transmis ce document à l'avocat Y._, lequel l'a versé à la procédure.
Par jugement du 6 octobre 2005, le Tribunal de première instance de Genève a prononcé le divorce des époux X._ et il a notamment ordonné à T._ de transférer du compte de AX._ la somme de 234'100 fr.65 (correspondant à la moitié de 468'201 fr.25) sur le compte de libre passage de BX._.
AX._ a appelé de ce jugement, mais sans remettre en cause le point du dispositif rappelé ci-dessus.
Le transfert de cette somme étant ainsi acquis, T._, à l'invitation du Tribunal, a versé, le 14 mars 2006, le montant de 234'100 fr.65 sur le compte de libre passage de BX._, par le débit du compte de AX._.
Par la suite, AX._ s'est rendu compte que le chiffre indiqué par T._ englobait les avoirs qu'il avait accumulés auprès de la Caisse fédérale d'assurance, à laquelle il avait été affilié jusqu'au 30 avril 1993 et dont la prestation de libre passage en 79'320 fr. avait été transférée le 1er mai 1993 à T._.
Agissant par l'entremise de l'avocat Y._, AX._ a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève. Par arrêt du 2 août 2006, celui-ci a déclaré la demande irrecevable, constatant que la question du partage des prestations de sortie et du transfert du montant dû avait été entièrement réglée par un jugement civil entré en force de chose jugée.
Saisie d'une demande de rectification formée par AX._, représenté par Me Y._, la Cour de justice, par arrêt du 15 décembre 2006, l'a également déclarée irrecevable, constatant que ce n'était pas elle qui s'était prononcée sur cette question, puisque l'appel ne portait pas sur ce point.
Dans un ultime décompte du 6 juillet 2007, T._ a indiqué que les avoirs de AX._, accumulés durant le mariage, s'élevaient à 372'168 fr.55.
B. Par acte déposé au greffe du Tribunal de première instance du canton de Genève le 26 mars 2009, AX._ a formé une demande en paiement dirigée contre Y._, lui réclamant le montant de 48'016 fr.35 avec intérêts à 5% dès le 7 avril 2006. AX._ a soutenu que l'avocat avait mal exécuté son mandat et lui avait causé un dommage équivalant à la différence entre le montant qui a été transféré, qu'il a chiffré à 234'100 fr.60 (en lieu et place des 234'100 fr.65), et celui qui aurait dû l'être (372'168 fr.55 : 2 = 186'084 fr.25), s'élevant au total à 48'016 fr.35.
L'avocat a contesté la demande en totalité.
Par jugement du 14 janvier 2010, le Tribunal de première instance a débouté le demandeur, statuant par ailleurs sur les frais et dépens.
Par arrêt du 18 juin 2010, la Chambre civile de la Cour de justice de Genève a confirmé ce jugement avec suite de dépens. En résumé, elle a considéré que l'avocat ne pouvait pas détecter l'imprécision du document remis par son client. Elle a donc admis qu'il n'y avait pas eu de violation du devoir de diligence durant la procédure de divorce. Quant aux démarches vaines qui ont été entreprises ultérieurement auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales et auprès de la Cour de justice, elles sont postérieures à la réalisation du dommage et ne sont donc pas en relation de causalité avec le préjudice invoqué. Sur le point de savoir si l'on pouvait reprocher à l'avocat d'avoir omis une demande en rectification ou en révision devant le Tribunal de première instance, la cour cantonale a retenu que l'appelant n'avait pas précisé quelle disposition de droit fédéral ou de droit cantonal lui aurait permis d'aboutir au résultat escompté en entreprenant une telle démarche.
C. Ayant reçu cet arrêt le 24 juin 2010, AX._ a déposé dans un bureau de poste suisse, le 25 août 2010, un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant l'arbitraire dans les constatations de fait (art. 9 Cst.) et une violation des dispositions du droit fédéral sur la responsabilité du mandataire (art. 398 et 321e CO), il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de la décision attaquée et à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme de 48'016 fr.35 avec intérêts à 5% dès le 7 avril 2006; subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à la cour cantonale.
L'intimé a conclu au rejet du recours avec suite de frais et dépens.

Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement (<ref-law>) et dirigé contre un jugement final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. b, 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>), prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. En conséquence, il peut aussi être formé pour violation d'un droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 674; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
La partie recourante qui entend s'écarter des constations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 187; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287 et 6.2 p. 288). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur l'issue de la cause (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En l'espèce, le recourant fait valoir que la cour cantonale aurait arbitrairement retenu qu'il avait reproché à l'avocat de ne pas avoir chiffré la répartition de la prestation de sortie dès la demande en divorce et d'avoir produit, avec celle-ci, un document inapte à prouver les faits pertinents. Il affirme qu'il n'a jamais présenté une telle argumentation et qu'il était clair pour lui que seule était pertinente l'attestation produite en fin de procédure. Il n'est pas nécessaire d'approfondir cette question et il suffit de prendre acte que ces deux points ne sont plus litigieux.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
2. 2.1 Sur le fond, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir méconnu les règles régissant la responsabilité d'un mandataire.
2.2 Il a été établi - d'une manière qui lie le Tribunal fédéral (<ref-law>) - que le recourant a chargé l'avocat intimé de le représenter et de défendre ses intérêts dans le cadre de sa demande en divorce. Un contrat de mandat au sens de l'<ref-law> a donc été conclu, étant rappelé que les prestations professionnelles d'un avocat relèvent typiquement du mandat (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 537; <ref-ruling> consid. 1a p. 359).
Le mandataire (en l'occurrence: l'avocat) est responsable, envers le mandant, de la bonne et fidèle exécution du mandat (<ref-law>). L'<ref-law> renvoie aux règles régissant la responsabilité du travailleur dans les rapports de travail, soit à l'<ref-law>. Cette disposition prévoit que le travailleur est responsable du dommage qu'il cause à l'employeur, intentionnellement ou par négligence, et elle détermine la mesure de la diligence requise (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 123 s.). En cas d'inexécution ou de mauvaise exécution de son obligation de diligence, le mandataire est tenu de réparer le dommage en résultant, à moins qu'il ne prouve qu'aucune faute ne lui est imputable (<ref-law>).
La responsabilité du mandataire suppose la réunion de quatre conditions qui sont cumulatives: une violation d'un devoir de diligence, une faute, un dommage et une relation de causalité (naturelle et adéquate) entre la violation fautive du devoir de diligence et le dommage survenu; il appartient au demandeur d'apporter la preuve des faits permettant de constater que chacune de ces conditions est remplie (<ref-law>), sauf pour la faute qui est présumée (<ref-law>) (TERCIER/FAVRE, Les contrats spéciaux, 4e éd. 2009, nos 5196 ss, p. 779 ss).
S'agissant plus précisément de l'exigence de la causalité, il faut rappeler qu'un comportement est la cause naturelle d'un résultat s'il en constitue l'une des conditions sine qua non (<ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 470; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 718). L'existence d'un lien de causalité naturelle entre le fait générateur de responsabilité et le dommage est une question de fait que le juge doit trancher selon la vraisemblance prépondérante (<ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 470).
Comme les quatre conditions de la responsabilité sont cumulatives, il suffit que l'une d'elles fasse défaut pour que la demande doive être rejetée, sans qu'il y ait lieu de se pencher sur les autres.
2.3 Le recourant reproche à l'avocat de ne pas avoir détecté l'imprécision de la seconde attestation, parvenant au montant de 468'201 fr.25, qui a été versé à la procédure.
Il ressort cependant des constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>) - que le recourant a été rendu attentif, lors de son audition par le juge, au fait qu'il devait actualiser son attestation concernant l'avoir de prévoyance professionnelle accumulé pendant le mariage (arrêt attaqué p. 2 let. c). Il a pris contact avec son institution de prévoyance et il a reçu la deuxième attestation, soit celle qui a fondé le jugement de première instance. Le recourant était mieux placé que quiconque pour savoir qu'il avait été précédemment affilié à la Caisse fédérale d'assurance et il avait nécessairement reçu, en son temps, un document indiquant le transfert de sa prestation de libre passage. Il aurait donc dû, avant toute chose, se poser la question du sort de cet avoir transféré. Au lieu de cela, il a transmis la deuxième attestation à son avocat sans aucune observation ou réserve.
A la lecture de ce document, l'avocat ne pouvait pas détecter que le montant indiqué contenait des avoirs antérieurs au mariage. En effet, l'institution de prévoyance avait indiqué le 1er mai 1993 comme début de l'assurance. Or, sachant que les époux se sont mariés le 24 juillet 1992, l'avocat devait en déduire logiquement que l'avoir auprès de cette institution d'assurance avait commencé à être constitué le 1er mai 1993, soit après la conclusion du mariage. Rien ne lui permettait de penser qu'un avoir constitué auprès d'une autre institution avait été précédemment transféré. Compte tenu du salaire élevé du recourant, le montant indiqué n'était pas d'emblée insolite. Contrairement à ce que semble soutenir le recourant, ni l'art. 122 al. 1, ni l'<ref-law> ne prescrivent une forme particulière pour l'attestation indiquant le montant des avoirs déterminants pour le calcul des prestations de sortie à partager. Que le montant ait été plus élevé que celui figurant dans la première attestation résulte logiquement du fait que de nouveaux avoirs ont été accumulés durant la procédure de divorce. Il n'y avait donc rien qui ait pu attirer l'attention de l'avocat et qui aurait dû lui donner à penser que le chiffre indiqué n'était pas celui qui était pertinent pour le partage prévu par l'<ref-law>. Il faut d'ailleurs observer, à titre corroboratif, que le juge du divorce a statué sur la base de ce document, ce qui montre que lui-même, pas plus que le recourant ou l'avocat, n'avaient conçu le moindre doute à la lecture de ce document.
Pendant toute la procédure de divorce, en première instance et en appel, l'avocat a ignoré que le chiffre avancé était inexact et ceci sans que l'on puisse lui reprocher la moindre inattention, notamment dans l'examen de la pièce qui lui avait été remise.
En concluant que l'avocat n'avait pas manqué à son devoir de diligence, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral, en particulier les art. 398 et 321e CO, invoqués par le recourant. Dès lors qu'il manque l'une des conditions de la responsabilité, il est vain d'examiner les autres.
2.4 Le recourant invoque aussi, comme inutiles, les démarches faites par son avocat, après le transfert des fonds à son épouse, auprès du Tribunal cantonal des assurances et auprès de la Cour de justice. Ces procédures sont cependant postérieures à la réalisation complète du préjudice allégué. Le recourant ne prétend pas qu'elles lui auraient causé un autre préjudice ou accru son préjudice. Dès lors, on ne voit pas que ces démarches vaines soient en relation de causalité avec le dommage invoqué en justice. En niant l'existence d'un rapport de causalité, la cour cantonale n'a pas méconnu la notion juridique de causalité naturelle et elle n'a pas procédé à un établissement arbitraire des faits.
2.5 Le recourant reproche plutôt à l'avocat de ne pas avoir déposé une demande en révision ou en rectification devant le Tribunal de première instance, laquelle aurait permis, selon lui, de supprimer le préjudice.
La cour cantonale a retenu qu'il n'était nullement établi qu'une telle démarche aurait été couronnée de succès, de sorte que son omission ne peut pas être considérée comme en relation de causalité avec le dommage invoqué.
Savoir à quelles conditions le Tribunal de première instance aurait pu revenir sur son jugement entré en force est une question - dès lors que le Code suisse de procédure civile n'était pas en vigueur à l'époque - qui ne relève que du droit cantonal. Le Tribunal fédéral ne peut donc pas examiner cette question d'office (<ref-law>).
Le recourant se borne à affirmer que l'attestation sur laquelle s'est fondé le juge du divorce est une pièce fausse qui aurait pu donner lieu à une révision, en application de l'art. 157 de la Loi de procédure civile du canton de Genève du 10 avril 1987 (LPC/GE; E 3 05).
Il s'agit là d'une argumentation juridique nouvelle, portant sur une question de droit cantonal. Or, le recours en matière civile n'est pas ouvert pour se plaindre d'une violation du droit cantonal de procédure (cf. art. 95 et 96 LTF); une question de procédure cantonale ne peut être examinée par le Tribunal fédéral qu'en cas d'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst. (ATF <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382 s.; <ref-ruling> consid. 1 p. 203; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466). S'agissant d'un grief constitutionnel, il appartient au recourant d'expliquer de manière précise en quoi consiste l'arbitraire (<ref-law>).
Selon la doctrine cantonale, les circonstances qui peuvent justifier une révision en application de l'<ref-law>/GE ne sont pas un remède à la négligence des parties; elle suppose qu'un plaideur diligent n'ait pas pu faire valoir en temps utile l'élément qu'il invoque en révision (BERTOSSA/GAILLARD/GUYET/SCHMIDT, Commentaire de la loi de procédure civile du canton de Genève du 10 avril 1987, Tome II, nos 5 à 7 ad <ref-law>/GE). Or, il ressort des constatations cantonales - non contestées sur ce point par le recourant - qu'il s'est rendu compte de lui-même de l'inexactitude de cette attestation. Il faut dire qu'il disposait à cet égard des éléments nécessaires, puisqu'il savait qu'il avait été affilié auprès d'une autre institution de prévoyance précédemment et qu'il avait forcément été informé du transfert de sa créance de libre passage. On ne voit dès lors pas ce qui l'aurait empêché de se rendre compte plus tôt - c'est-à-dire en temps utile - de cette inexactitude. Il est donc fort possible que le Tribunal de première instance, s'il avait été saisi d'une demande, aurait considéré que le cas de révision n'était pas réalisé. En tout cas, le recourant n'est pas parvenu à démontrer que la cour cantonale aurait violé arbitrairement le droit cantonal en considérant qu'il n'était établi aucun cas de révision ou de rectification.
Le recours doit donc être rejeté.
3. Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, fixés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimé une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 1er décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Crittin