Sachverhalt:
A. X._ wurde am 27. März 2009 verhaftet und in Untersuchungshaft versetzt.
Mit Schreiben vom 30. April 2010 lehnte die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich ein Gesuch des Inhaftierten um vorzeitigen Strafantritt wegen Kollusionsgefahr ab. Die von X._ am 6. Mai 2010 dagegen eingereichte Beschwerde schrieb das Bundesgericht mit Verfügung vom 25. Mai 2010 als gegenstandslos ab (Verfahren 1B_148/2010).
B. Am 3. Mai 2010 erhob die Staatsanwaltschaft Anklage gegen X._ wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und mehrfacher Geldwäscherei.
Mit Verfügung vom 11. Mai 2010 versetzte die Haftrichterin des Bezirks Bülach X._ in Sicherheitshaft. Gleichzeitig verfügte sie, über den Antrag des Beschuldigten um Bewilligung des vorzeitigen Strafantritts werde in einem separaten Verfahren entschieden. Mit Verfügung vom 17. Mai 2010 wies die Haftrichterin das Gesuch von X._ um vorzeitigen Strafantritt ab und ordnete die Fortsetzung der Sicherheitshaft an.
C. Mit Eingabe vom 8. Juni 2010 erhebt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung der Haftrichterin des Bezirks Bülach vom 17. Mai 2010 sei aufzuheben, und ihm sei der vorzeitige Strafantritt zu bewilligen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Staatsanwaltschaft beantragt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. Die Haftrichterin verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme vom 18. Juni 2010 an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1. Bei der angefochtenen Verfügung der Haftrichterin vom 17. Mai 2010 handelt es sich um einen Entscheid in Strafsachen, welcher der Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> unterliegt. § 71a Abs. 3 der kantonalen Strafprozessordnung vom 4. Mai 1919 (StPO/ZH) bezeichnet den Entscheid über den vorzeitigen Strafantritt als endgültig. Die Beschwerde ist nach Art. 80 i.V.m. <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen und hat ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Er ist nach <ref-law> zur Beschwerde befugt. Da das Bundesgericht nach <ref-law> bei Gutheissung der Beschwerde in der Sache selbst entscheiden kann, ist der Antrag auf sofortige Gewährung des vorzeitigen Strafantritts zulässig (vgl. Urteil 1B_90/2007 vom 7. Juni 2007 E. 1). Auf die form- und fristgerecht erhobene Beschwerde ist damit einzutreten.
2. 2.1 Die Vorinstanz lehnt das Gesuch des Beschwerdeführers um vorzeitigen Strafantritt mit der Begründung ab, es liege Kollusionsgefahr vor. Sie führt aus, der Beschwerdeführer sei nicht geständig und werde vom Mitbeschuldigten Y._ erheblich belastet, sodass für ihn ein grosser Anreiz bestehe, Y._ oder dessen Familie zu beeinflussen bzw. unter Druck zu setzen. Da sich Y._ im vorzeitigen Strafvollzug befinde, wäre eine Kontaktaufnahme durchaus möglich, wenn dem Beschwerdeführer der vorzeitige Strafantritt gewährt würde.
2.2 Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, ihm könne nicht vorgeworfen werden, dass er jemals versucht habe, auf Zeugen oder Mitbeschuldigte Einfluss zu nehmen. Entscheidend sei, dass die Untersuchung abgeschlossen sei, er ein Teilgeständnis abgelegt habe und von niemandem belastet werde, in der Organisation jene Rolle inne gehabt zu haben, die ihm von der Staatsanwaltschaft zugeschrieben werde. Des Weiteren sei er mit allen relevanten Zeugen konfrontiert worden, sodass sich weitere Konfrontationseinvernahmen anlässlich der erstinstanzlichen Hauptverhandlung nicht aufdrängten. Mangels Kollusionsgefahr verletze die Nichtbewilligung des vorzeitigen Strafantritts seine persönliche Freiheit und erweise sich die Abweisung seines Gesuchs als unverhältnismässig.
2.3 Nach dem Zürcher Strafprozessrecht wird der vorzeitige Strafantritt bewilligt, wenn die Anordnung einer unbedingten Strafe zu erwarten ist und der Zweck des Strafverfahrens nicht gefährdet wird (<ref-law>/ZH).
Strittig ist vorliegend, ob Kollusionsgefahr besteht, sodass der Zweck des Strafverfahrens mit der Gewährung des vorzeitigen Strafantritts in Frage gestellt würde. Kollusion bedeutet insbesondere, dass sich der Beschuldigte mit Zeugen, Auskunftspersonen, Sachverständigen oder Mitbeschuldigten ins Einvernehmen setzt oder sie zu wahrheitswidrigen Aussagen veranlasst, oder dass er Spuren und Beweismittel beseitigt. Die strafprozessuale Sicherheitshaft wegen Kollusionsgefahr soll verhindern, dass der Beschuldigte die wahrheitsgetreue Abklärung des Sachverhalts vereitelt oder gefährdet. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts genügt indessen die theoretische Möglichkeit, dass der Beschuldigte kolludieren könnte, nicht, um die Fortsetzung der Haft unter diesem Titel zu rechtfertigen. Es müssen vielmehr konkrete Indizien für die Annahme von Verdunkelungsgefahr sprechen. Anhaltspunkte für Kollusionsgefahr können sich namentlich aus dem bisherigen Verhalten des Beschuldigten im Strafprozess, aus seiner Stellung und seinen Tatbeiträgen im Rahmen des untersuchten Sachverhalts sowie aufgrund seiner persönlichen Beziehungen zu ihn belastenden Personen ergeben. Bei der Frage, ob im konkreten Fall eine massgebliche Beeinträchtigung des Strafverfahrens wegen Verdunkelung droht, ist auch der Art und Bedeutung der von Beeinflussung bedrohten Aussagen bzw. Beweismittel, der Schwere der untersuchten Straftaten sowie dem Stand des Verfahrens Rechnung zu tragen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 23).
Nach Abschluss der Strafuntersuchung bedarf der Haftgrund der Kollusionsgefahr einer besonders sorgfältigen Prüfung. Er dient primär der Sicherung einer ungestörten Strafuntersuchung. Zwar ist auch die richterliche Sachaufklärung vor unzulässiger Einflussnahme zu bewahren, insbesondere im Hinblick auf die (in der Regel beschränkte) Unmittelbarkeit der Beweisaufnahme anlässlich der Hauptverhandlung. Je weiter das Strafverfahren vorangeschritten ist und je präziser der Sachverhalt bereits abgeklärt werden konnte, desto höhere Anforderungen sind jedoch grundsätzlich an den Nachweis von Verdunkelungsgefahr zu stellen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 24).
Führt eine Gesamtwürdigung zum Ergebnis, dass Kollusionsgefahr vorliegt, steht einer Aufrechterhaltung der Sicherheitshaft unter dem Gesichtswinkel der persönlichen Freiheit von <ref-law> nichts entgegen. Es ist diesfalls nicht verfassungswidrig, ein Gesuch des Sicherheitsgefangenen um vorzeitigen Strafantritt und damit um Überführung in den Strafvollzug abzuweisen, da in den Vollzugsanstalten nicht gewährleistet werden kann, dass die Kollusionsgefahr wirkungsvoll gebannt wird (vgl. Urteile des Bundesgerichts 1B_140/2008 vom 17. Juni 2008 E. 2 und 1P.724/2003 vom 16. Dezember 2003; Andreas Donatsch/Niklaus Schmid, Kommentar zur Strafprozessordnung des Kantons Zürich, 1999, <ref-law>/ZH N. 4; Niklaus Schmid, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2009, Art. 236 N. 3; Matthias Härri, Zur Problematik des vorzeitigen Strafantritts, Diss. Basel 1987, S. 136).
2.4 Die Staatsanwaltschaft hat vorliegend insgesamt fünf Personen angeklagt, deren im Untersuchungsverfahren gemachten Aussagen sich zum Teil widersprechen.
Der Beschwerdeführer gesteht einzig ein, "in der Vergangenheit in irgendeiner vom zuständigen Bezirksgericht noch festzustellenden Art und Weise in "Drogengeschäfte" involviert gewesen zu sein". Hingegen bestreitet er ausdrücklich "die ihm vorgehaltene Rolle in der Organisation der Drogengeschäfte bzw. -transporte" (Beschwerde S. 7). In seiner Schlusseinvernahme vor der Staatsanwaltschaft vom 27. April 2010 zeigte er sich nur teilweise geständig. Erheblich belastet wird der Beschwerdeführer vom Mitbeschuldigten Y._, wobei sich dessen Aussagen entgegen den Ausführungen in der Beschwerde (vgl. S. 12) nicht auf nicht eingeklagte Sachverhalte beschränken.
Bei dieser Ausgangslage ist die Einschätzung der Vorinstanz, es werde mit hoher Wahrscheinlichkeit notwendig sein, die Beschuldigten anlässlich der erstinstanzlichen Hauptverhandlung erneut bzw. in gewissen Punkten erstmals miteinander zu konfrontieren (angefochtene Verfügung S. 4), nicht zu beanstanden. Zwar werden die Beweise in der Regel bereits im Untersuchungsverfahren vollständig erhoben. Das Gericht fällt aber das Urteil nach seiner freien, aus den Untersuchungsakten und aus der Hauptverhandlung geschöpften Überzeugung (vgl. <ref-law>/ZH). In zentralen, umstrittenen Anklagepunkten kann oder muss das Gericht - auf Antrag einer Partei (<ref-law>/ZH) oder aus eigenem Antrieb (§ 183 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>/ZH) - bereits in der Untersuchung einvernommene Personen nochmals einvernehmen, um einen eigenen Eindruck von der Persönlichkeit der Beschuldigten und ihrem Aussagenverhalten zu gewinnen (vgl. Urteil 1P.788/2000 vom 11. Januar 2001 E. 2d/bb). Angesichts der von der Vorinstanz in Aussicht gestellten Konfrontation mit Y._ anlässlich der erstinstanzlichen Hauptverhandlung könnte der Beschwerdeführer versucht sein, auf Y._ (oder dessen Familie) Einfluss zu nehmen, damit dieser seine belastenden Aussagen widerrufe oder relativiere.
Die hiergegen erhobenen Rügen des Beschwerdeführers sind nicht stichhaltig. Nicht entscheidend ist, dass er im Untersuchungsverfahren, soweit ersichtlich, nicht auf Zeugen oder Mitbeschuldigte einwirkte, bietet dies doch keine Gewähr für das Ausbleiben zukünftiger Kollusionshandlungen. Ebenso wenig ist von Relevanz, dass die Vorinstanz die Anordnung der Sicherheitshaft mit dem Vorliegen von Fluchtgefahr begründete (Verfügung vom 11. Mai 2010; vgl. Sachverhalt lit. A), schliesst dies doch keineswegs aus, dass (zugleich) Kollusionsgefahr besteht. Schliesslich ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht näher begründet, inwiefern der angefochtene Entscheid mit der erst später erfolgten Ansetzung der Hauptverhandlung auf den 30. September/1. Oktober 2010 gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip verstossen sollte.
Zusammenfassend liegen damit in Anbetracht der fehlenden Geständigkeit des Beschwerdeführers und der Belastungen durch den mitbeschuldigten Y._ konkrete Anhaltspunkte für Kollusionsgefahr vor, weshalb die Verweigerung des vorzeitigen Strafantritts kein Recht verletzt.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen. Infolge seines Unterliegens wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig. Er ersucht indes um unentgeltliche Rechtspflege. Da die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Rechtsanwalt Tomas Kempf wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich und dem Bezirksgericht Bülach, Haftrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner