Sachverhalt:
Mit Entscheid vom 18. Juni 2008 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich das von H._ in ihrer Beschwerde vom 10. April 2008 betreffend Leistungen der Invalidenversicherung gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mangels Bedürftigkeit beziehungsweise mangels hinreichender Substantiierung ab.
Die Versicherte lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, die Verfügung des Sozialversicherungsgerichts vom 18. Juni 2008 sei aufzuheben und es sei ihr für das kantonale Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Ferner wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege auch für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden beigezogen. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1. Gegen selbständig eröffnete, weder die Zuständigkeit noch den Ausstand (vgl. <ref-law>) betreffende Zwischenentscheide ist die Beschwerde an das Bundesgericht - abgesehen vom hier nicht gegebenen Ausnahmefall gemäss <ref-law> - nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>). Angefochten ist vorliegend ein in einem hängigen kantonalen Beschwerdeverfahren ergangener selbständig eröffneter Entscheid betreffend Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der gemäss Rechtsprechung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> begründet (<ref-ruling> E. 4 S. 338; Urteil 8C_530/2008 vom 25. September 2008, E. 2.3 mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist mithin einzutreten.
2. 2.1 Die Vorinstanz hat nach korrekter Wiedergabe der gesetzlichen Grundlage (<ref-law>) und der Rechtsprechung zum Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Verfahren, namentlich betreffend die Anspruchsvoraussetzungen der prozessualen Bedürftigkeit, erwogen, dass die Beschwerdeführerin es trotz mehrmaliger Aufforderungen seitens des Gerichts unterlassen habe, ihre recht komplexe Vermögenssituation, insbesondere ihre geltend gemachten umfangreichen Schulden, nachvollziehbar darzutun und entsprechend zu belegen. In der Folge hat das kantonale Gericht mit Blick auf die sich im Eigentum der Beschwerdeführerin befindliche Liegenschaft in X._ (TI) das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit bzw. mangels hinreichender Substantiierung abgewiesen. Dies ist nicht zu beanstanden.
2.2 Gemäss <ref-law> stellt das kantonale Versicherungsgericht unter Mitwirkung der Parteien die für den Entscheid erheblichen Tatsachen fest; es erhebt die notwendigen Beweise und ist in der Beweiswürdigung frei. Praxisgemäss hat die um unentgeltliche Rechtspflege ersuchende Person ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich zu belegen. Dabei dürfen umso höhere Anforderungen an eine umfassende und klare Darlegung der finanziellen Situation verlangt werden, je komplexer die ökonomischen Verhältnisse sind. Kommt sie dieser Obliegenheit nicht nach, ist das Gesuch abzuweisen (<ref-ruling> E. 4a, 120 Ia 182 E. 3a in fine; ALFRED BÜHLER, Die Prozessarmut, in: Gerichtskosten, Parteikosten, Prozesskaution, unentgeltliche Prozessführung, Bern 2001, S. 188 ff.; Urteil P 48/06 vom 5. Februar 2007 E. 4.2). Das kantonale Gericht hat die Beschwerdeführerin mit zwei separaten Verfügungen vom 14. April 2008 und vom 26. Mai 2008 aufgefordert, ihre finanzielle Situation zu substantiieren und entsprechend zu belegen, mit der Androhung, dass das Gesuch andernfalls abgewiesen werde. In der letzteren Verfügung hat sie überdies explizit darauf hingewiesen, dass gemäss Formular zur Abklärung der prozessualen Bedürftigkeit bei der Gemeindebehörde die Angaben bezüglich der steuerlichen Verhältnisse einzuholen sind. Eine entsprechende Bestätigung der Gemeindebehörde wurde von Seiten der anwaltlich vertretenen Gesuchstellerin nicht eingereicht. Zudem hat es die Beschwerdeführerin, wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, unterlassen, die geltend gemachten erheblichen Schulden nachvollziehbar zu belegen bzw. ein genaues Schuldenverzeichnis einzureichen. Eine abschliessende Beurteilung der Vermögenssituation war dem kantonalen Gericht unter diesen Umständen auf Grund der Aktenlage nicht möglich. Mithin hat es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu Recht androhungsgemäss abgewiesen. Eine Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>) ist darin nicht zu erkennen. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin vermögen daran nichts zu ändern. Die im letztinstanzlichen Verfahren nachgereichten weiteren Unterlagen können als unzulässige Noven (<ref-law>) keine Berücksichtigung finden. Sie hätten bereits im kantonalen Verfahren beigebracht werden können und im Rahmen der Mitwirkungspflicht auch müssen. Im Übrigen fehlt es auch darin an einer Substantiierung der angeführten Schulden.
3. Nach dem Gesagten erweist sich die die Beschwerde als offensichtlich unbegründet und ist abzuweisen (<ref-law>).
4. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren ist zufolge Aussichtslosigkeit abzuweisen (<ref-law>). Von der Erhebung von Gerichtskosten (<ref-law>) wird abgesehen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Oktober 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Weber Peter