Sachverhalt:
A. B._ (Arbeitnehmer) arbeitete vom 22. Oktober 2006 bis zum 9. November 2006 als Taxichauffeur bei A._ (Arbeitgeber). Für die Zeit vom 1. Dezember 2006 bis zum 20. März 2007 schlossen die Parteien einen schriftlichen befristeten Arbeitsvertrag.
Vom 25. bis 28. Januar 2007 fand in St. Moritz die Bob-Weltmeisterschaft (WM) statt. Der Arbeitnehmer behauptete, mit dem Arbeitgeber vereinbart zu haben, dass er während diesen Tagen für die Bob-WM tätig sein dürfe, falls er einen Ersatzchauffeur vermittle. Am Morgen des 26. Januar 2007 erschien der Arbeitnehmer nach mehreren Telefongesprächen um 12.30 Uhr beim Arbeitgeber. Als der Arbeitnehmer nicht zusicherte, an den beiden folgenden Tagen als Taxichauffeur für den Arbeitgeber zu arbeiten, forderte dieser ihn auf, die Autoschlüssel abzugeben. Am 27. Januar 2007 ermahnte der Arbeitgeber auf dem Gelände der Bob-WM den dort tätigen Arbeitnehmer, seine Arbeit als Taxichauffeur wieder aufzunehmen. Der Arbeitnehmer weigerte sich jedoch, dies während der WM zu tun. Mit Schreiben vom 29. Januar 2007 liess er dem Arbeitgeber mitteilen, dass er seine Dienste als Taxichauffeur vertragsgemäss bis zum 20. März 2007 anbiete, und den Arbeitgeber auffordern, ihm Fahraufträge zu erteilen. Der Arbeitgeber kam dieser Aufforderung nicht nach.
B. Am 4. April 2007 klagte der Arbeitnehmer beim Vermittleramt des Kreises Oberengading gegen den Arbeitgeber mit den Begehren, dieser sei zu verpflichten, ihm brutto Fr. 6'360.-- zuzüglich 5 % Zins seit dem 26. Februar 2007 sowie Fr. 1'384.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. November 2006 zu zahlen und innert 10 Tagen seit Zahlung dem Arbeitnehmer eine Abrechnung über die abgezogenen Sozialversicherungsbeiträge zuzustellen. Nach erfolgloser Vermittlungsverhandlung prosequierte der Arbeitnehmer die Klage beim Bezirksgerichtsausschuss Maloja und reduzierte sie später um Fr. 1'384.--.
Mit Urteil vom 6. Februar 2008 wies der Bezirksgerichtsausschuss Maloja die Klage ab. Er nahm an, der Arbeitnehmer habe durch die Arbeitsverweigerung konkludent eine fristlose Kündigung ausgesprochen. Auf Beschwerde des Arbeitnehmers hin verpflichtete das Kantonsgericht von Graubünden mit Urteil vom 27. Mai 2008 den Arbeitgeber, dem Arbeitnehmer Fr. 4'730.-- (brutto) nebst 5 % Zins seit dem 26. Februar 2007 zu bezahlen, auf dem Betrag von Fr. 5'480.-- die ordentlichen Sozialabzüge abzuführen und dem Arbeitnehmer innert 10 Tagen seit Zahlung der Sozialabgaben darüber eine Abrechnung zuzustellen.
Zur Begründung führte das Kantonsgericht zusammengefasst aus, der Arbeitnehmer habe seine Freistellung während der Dauer der WM nicht nachweisen können. Eine fristlose Kündigung des Arbeitnehmers sei zu verneinen, da klar gewesen sei, dass dieser nur während des WM-Wochenendes fehlen, aber nicht das Arbeitsverhältnis fristlos beenden wollte. Der Arbeitgeber habe ebenfalls keine fristlose Kündigung ausgesprochen, bzw. eine solche zurückgezogen, weshalb er die ab dem 29. Januar 2007 angebotene Arbeit des Arbeitnehmers zu Unrecht abgelehnt habe. Da ein Annahmeverzug des Arbeitgebers vorliege, habe dieser den Lohn bis zum vereinbarten Ende des Arbeitsvertrages zu bezahlen.
C. Der Arbeitgeber erhebt Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 27. Mai 2008 sei aufzuheben, und die Klage sei abzuweisen.
Der Arbeitnehmer beantragt, auf die Beschwerde in Zivilsachen sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen; die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sei abzuweisen. Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. 1.1 In arbeitsrechtlichen Fällen ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 15'000.-- beträgt (<ref-law>). Dies trifft im vorliegenden Fall nicht zu.
1.2 Wird der massgebende Streitwert nicht erreicht, ist die Beschwerde ausnahmsweise dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Diese Bedeutung ist zu bejahen, wenn ein allgemeines Interesse an einer höchstrichterlichen Klärung einer umstrittenen Rechtsfrage besteht (<ref-ruling> E. 1.3).
1.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, da das Kantonsgericht Beweismittel willkürlich gewürdigt, <ref-law> verletzt und die Wirkungen einer ausgesprochenen Kündigung bundesrechtswidrig bestimmt habe.
1.4 Aus diesen Ausführungen geht nicht hervor, welche der Klärung bedürftige Rechtsfragen durch das Bundesgericht beantwortet werden sollen, weshalb auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten ist. Gestützt auf Art. 113 und Art. 119 BGG ist damit die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig.
2. 2.1 Mit der Verfassungsbeschwerde macht der Beschwerdeführer geltend, das Kantonsgericht habe gegen <ref-law> verstossen.
2.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür behandelt zu werden. Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn er offensichtlich unhaltbar ist. Dies trifft namentlich zu, wenn er zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2a). Im Bereich der Beweiswürdigung steht den kantonalen Gerichten ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Die Beweiswürdigung ist daher nur willkürlich, wenn ein Gericht sein Ermessen missbraucht, indem es zum Beispiel offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht oder erhebliche Beweise übersieht (<ref-ruling> E. 2.1. S. 9; <ref-ruling> E. 4b S. 40, mit Hinweisen).
2.3 Im Einzelnen rügt der Beschwerdeführer, das Kantonsgericht sei in Willkür verfallen, wenn es festgestellt habe, es sei klar gewesen, dass der Beschwerdegegner nur das fragliche Wochenende habe fehlen, das Arbeitsverhältnis aber nicht definitiv habe beenden wollen. Der Beschwerdegegner habe sich am Samstag den 27. Januar 2007 trotz der Mahnung des Beschwerdeführers geweigert, die Arbeit sofort aufzunehmen und diesem zudem den Stinkefinger gezeigt. Diese beiden Tatsachen liessen nur den Schluss zu, der Beschwerdegegner werde nicht an seinen Arbeitsplatz zurückkehren.
2.4 Entgegen der Annahme des Beschwerdeführers ist es nicht unhaltbar anzunehmen, der Beschwerdegegner habe seine Arbeit nur während seiner Tätigkeit für die Bob-WM verweigern wollen, zumal er den Beschwerdeführer über diese Tätigkeit informiert hatte und der Beschwerdegegner nach Abschluss der WM seine Arbeit wieder anbot. Daran vermag das Zeigen des Stinkefingers nichts zu ändern. Dieser Geste kann bezüglich der beabsichtigten Dauer der Arbeitsverweigerung keine eindeutige Bedeutung zugemessen werden. Der Vorwurf der willkürlichen Beweiswürdigung erweist sich damit als unbegründet.
3. 3.1 Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, die Feststellung des Kantonsgerichts, die von ihm ausgesprochene fristlose Kündigung sei in beidseitigem Einverständnis zurückgenommen worden, gebe keinen Sinn und sei aktenwidrig. Er habe immer bestritten, eine solche Kündigung ausgesprochen zu haben.
3.2 Auch das Kantonsgericht ging gemäss den Angaben der Parteien davon aus, der Beschwerdeführer habe das Arbeitsverhältnis nicht gekündigt. Lediglich für den Fall, dass der Beschwerdegegner aus dem Verhalten des Beschwerdeführers auf eine solche Kündigung hätte schliessen müssen, stellte es fest, diese sei im gegenseitigen Einverständnis zurückgenommen worden. Dieser Eventualbegründung kommt somit keine entscheiderhebliche Bedeutung zu, weshalb auf die dagegen gerichtete Willkürrüge des Beschwerdeführers nicht einzutreten ist.
4. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Gemäss dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 Abs. 4 lit. c und Art. 66 Abs. 1 BGG), der zudem den Beschwerdegegner für das Verfahren vor Bundesgericht zu entschädigen hat (<ref-law>). Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist gutzuheissen, da er bedürftig ist und sich sein Standpunkt nicht als aussichtslos erwies (<ref-law>). Ferner ist er für das vorliegende Verfahren auf rechtskundige Vertretung angewiesen, weshalb Rechtsanwalt Thomas Schütt als unentgeltlicher Rechtsvertreter zu bestimmen ist. Im Fall der Uneinbringlichkeit der zugesprochenen Entschädigung ist ihm diese aus der Bundesgerichtskasse zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, und Rechtsanwalt Thomas Schütt wird als unentgeltlicher Rechtsvertreter ernannt.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen. Bei Uneinbringlichkeit wird dieser Betrag Rechtsanwalt Thomas Schütt aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, Kantonsgerichtsausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Corboz Gelzer