Sachverhalt:
A. Nachdem die Panorama Kranken- und Unfallversicherung das Gesuch von B._ um Übernahme der Kosten für zahnärztliche Behandlungen in der Höhe von Fr. 21'847.20 am 14. Februar und 20. März 2007 abgelehnt hatte, reichte dieser, nunmehr anwaltlich vertreten, am 17. November 2008 ein Wiedererwägungsgesuch ein. In der Folge übernahm die Krankenkasse den grössten Teil der durchgeführten Zahnbehandlung sowie die Kosten der Begutachtung am Spital X._. Hingegen lehnte sie es ab, B._ die vorprozessual entstandenen Anwaltskosten zu vergüten, woran sie mit Verfügung vom 23. Juni 2009 festhielt. Auf Einsprache hin bestätigte die Krankenkasse, es werde keine Entschädigung für Anwaltskosten im Betrag von Fr. 3'890.30 ausgerichtet (Entscheid vom 3. September 2009).
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde, mit welcher B._ hatte beantragen lassen, unter Aufhebung des Einspracheentscheides sei die Krankenkasse zu verpflichten, ihm die vorprozessualen Anwaltskosten im Betrag von Fr. 3'890.30 zuzüglich Fr. 1'693.10 für das Einspracheverfahren zu erstatten, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz ab (Entscheid vom 22. April 2010).
C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und die Krankenkasse sei zu verhalten, die vorprozessual aufgelaufenen Anwaltskosten zu übernehmen.

Erwägungen:
1. Nach <ref-law> ist das Einspracheverfahren kostenlos. Parteientschädigungen werden in der Regel nicht ausgerichtet. Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht erkannt hat, hat nur der Einsprecher, der im Falle des Unterliegens die unentgeltliche Verbeiständung beanspruchen könnte, bei Obsiegen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-ruling> E. 2 S. 571). Ob bei Vorliegen besonderer Umstände (etwa besonderer Aufwendungen und Schwierigkeiten) die Zusprechung einer Parteientschädigung in Betracht fällt, hat das Gericht offengelassen (E. 2.3.2 S. 573). Der Grundsatz des <ref-law> bezieht sich auf das Einspracheverfahren, gilt aber für das gesamte vorprozessuale Verwaltungsverfahren.
2. 2.1 Die Vorinstanz hat richtig dargelegt, dass der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf Parteientschädigung für das Verwaltungsverfahren hat, weil er im Falle des Unterliegens nicht die unentgeltliche Verbeiständung (<ref-law>) hätte beanspruchen können. Dass die wirtschaftlichen Voraussetzungen für die unentgeltliche Verbeiständung (Bedürftigkeit) nicht gegeben waren, hat die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt (<ref-law>). Des Weiteren sind besondere Umstände, welche nach der Rechtsprechung allenfalls die Zusprechung einer Parteientschädigung rechtfertigen könnten, nicht gegeben, weshalb die in <ref-ruling> E. 2.3.2. S. 573 offengelassene Frage, wie es sich diesbezüglich verhält, nach wie vor nicht abschliessend beurteilt werden muss. Abgesehen davon, dass das Verwaltungsverfahren im vorliegenden Fall bezüglich des Leistungsanspruchs nach KVG abgeschlossen wurde, bevor eine Verfügung im formellen Sinn erging, hatte der Beschwerdeführer es selbst zu vertreten, dass sich die Vergütung der zahnärztlichen Behandlung durch die Krankenkasse verzögerte, indem er Anlass dazu gab, dass diese Prof. S._ um Auskunft ersuchte. Dieser Zahnarzt erklärte dann, der Beschwerdeführer sei ihm als Patient nicht bekannt. Der später konsultierte Dr. med. dent. M._ reichte bei der Krankenkasse ein nicht hinreichend begründetes Gesuch um Kostengutsprache ein. Wie die Vorinstanz zutreffend dargelegt hat, musste der Beschwerdeführer bei dieser Sachlage erkennen, dass nicht die juristische Vertretung, sondern eine zuverlässige fachärztliche Beurteilung seiner Probleme im Kieferbereich für die Leistungspflicht der Krankenkasse ausschlaggebend war. Er hätte demnach bei der Kasse einen Antrag auf fachärztliche Begutachtung stellen können, nachdem die Krankenkasse zunächst sein Gesuch abgelehnt hatte. Besondere Schwierigkeiten, die höhere Aufwendungen erforderlich machten, sind in diesen Gegebenheiten nicht zu erkennen.
2.2 Die Ausführungen in der Beschwerde betreffen im Wesentlichen die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz und sind nicht geeignet, diese als offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen (Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>). Ebenso wenig vermag der Beschwerdeführer darzutun, inwiefern der angefochtene Entscheid Bundesrecht (<ref-law>), namentlich <ref-law> und die hiezu ergangene Rechtsprechung, verletzen soll.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. August 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Widmer