Faits :
A.
A.a. A._, d'origine étrangère, a subi une perforation oculaire bilatérale lors d'un accident de la circulation survenu le 1er février 1981 dans ce pays. Il est entré sur le territoire suisse en juin 1991 et a épousé en 1998 une ressortissante suisse.
Le 20 juillet 2001, le prénommé s'est annoncé auprès de l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du Valais (ci-après: l'office AI). Par décision du 29 janvier 2003, l'administration a considéré qu'il présentait un taux d'invalidité de 79.5 % depuis le 1er décembre 1983 (premier jour du mois suivant son dix-huitième anniversaire); elle lui a cependant dénié le droit à une rente au motif qu'il ne comptait à cette date ni une année entière de cotisations en Suisse ni le même nombre d'années de cotisations que les personnes de sa classe d'âge. Pour la même raison, l'office AI a refusé à l'intéressé le droit à une allocation pour impotent par décision du 31 janvier 2003. Ces décisions n'ont pas été attaquées et sont entrées en force.
A.b. Le 25 février 2005, A._ a déposé une nouvelle demande de prestations auprès de l'office AI, invoquant une rupture aortique et un accident vasculaire cérébral survenus le 2 mai 2004. Il a précisé qu'il avait obtenu la nationalité suisse le 29 septembre 2003.
Par décision sur opposition du 1er décembre 2005, l'office AI a rejeté la demande en ce qu'elle concernait l'octroi d'une rente, considérant que ces circonstances étaient dénuées de pertinence car postérieures au 1er décembre 1983, soit la date de la survenance de l'invalidité ouvrant le droit théorique à une telle prestation. Le Tribunal cantonal du canton du Valais et le Tribunal fédéral ont rejeté les recours successifs de A._ (jugement du 19 juin 2006, respectivement arrêt I 574/06 du 17 août 2007).
Se fondant sur les mêmes motifs, l'administration a dénié à l'intéressé le droit à une allocation pour impotent par décision sur opposition du 18 mai 2006, en précisant qu'une éventuelle augmentation du degré d'impotence consécutive aux événements de mai 2004 pourrait être pertinente dans le cadre d'une procédure de révision mais ne saurait constituer un nouveau cas d'assurance. Cette décision a été confirmée par le Tribunal cantonal du canton du Valais puis par le Tribunal fédéral (jugement du 5 février 2007 et arrêt 9C_9/2007 du 16 octobre 2007).
A.c. Par décision du 16 avril 2009, l'office AI a refusé d'entrer en matière sur une nouvelle demande de prestations déposée par A._ le 22 décembre 2008. Cet acte n'a pas été attaqué et est entré en force.
A.d. Le 19 mai 2010, A._ a sollicité de l'administration l'octroi d'une rente. Celle-ci a refusé d'entrer en matière par décision du 11 juin suivant, confirmée par le Tribunal cantonal du canton du Valais le 18 février 2011.
A.e. Le 15 février 2011, le prénommé a déposé une demande tendant à l'octroi d'une allocation pour impotent, que l'office AI a rejetée par décision du 31 octobre 2012.
B.
Statuant sur recours de A._ contre cette dernière décision, le Tribunal cantonal du canton du Valais a rendu le 29 novembre 2013 un jugement dont le dispositif est le suivant:
"1. Le recours est rejeté.
2. Le dossier est toutefois renvoyé à l'Office cantonal AI pour qu'il procède conformément au considérant 4.
3. Les frais, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de A._.
4. Il n'est pas alloué de dépens. "
Dans le considérant 4 dudit jugement, le tribunal cantonal a retenu que A._ remplissait les conditions d'assurance compte tenu de son acquisition de la nationalité suisse le 29 septembre 2003 et que l'office AI devait par conséquent examiner si les autres conditions pour avoir droit à une allocation pour impotent étaient satisfaites à partir de cette date.
C.
L'office AI et A._ interjettent séparément un recours en matière de droit public contre ce jugement. Le premier en sollicite l'annulation et conclut à la confirmation de sa décision du 31 octobre 2012, éventuellement au renvoi de la cause au Tribunal cantonal du canton du Valais pour nouveau jugement (cause 9C_50/2014). Le second demande l'annulation dudit jugement et conclut à l'octroi de dépens pour la procédure judiciaire cantonale ainsi qu'à la mise à la charge de l'office AI des frais de justice de première instance, éventuellement au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour nouvelle décision sur les frais et dépens de première instance (cause 9C_924/2013).
L'office AI requiert le rejet du recours formé par A._, éventuellement la mise à la charge de l'État du Valais des frais et dépens de première instance. A._ conclut au rejet du recours interjeté par l'office AI.

Considérant en droit :
1.
Les deux recours déposés céans visent le même jugement. Ils concernent des faits de même nature. Ils portent sur des questions juridiques communes. Il se justifie par conséquent de joindre les causes et de les liquider en un seul arrêt (<ref-ruling> consid. 1 p. 60).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 3 et la référence). En tant qu'il renvoie la cause à l'administration, le jugement entrepris doit être qualifié de décision incidente (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 481 s. et les références).
2.2. Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Le renvoi de la cause pour instruction complémentaire et nouvelle décision n'occasionne un dommage irréparable à l'autorité administrative que dans la mesure où la décision de renvoi comporte des instructions contraignantes sur la manière dont cette autorité devra trancher certains aspects du rapport litigieux, restreignant ainsi de manière importante sa latitude de jugement, si bien qu'elle ne peut plus s'en écarter (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 483).
2.3.
2.3.1. En l'occurrence, le jugement attaqué constitue une décision incidente. Malgré la teneur du chiffre 1 du dispositif, aux termes duquel le recours est rejeté, le chiffre 2 indique que la cause est renvoyée à l'administration pour nouvelle décision. Le jugement cantonal a donc un effet contraignant pour l'office AI, en ce sens que celui-ci doit examiner le droit de A._ à une allocation pour impotent en tenant compte de ce que ce dernier remplit les conditions d'assurance. Dès lors, l'acte en question entraîne sans aucun doute un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF pour l'office, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière sur son recours (cause 9C_50/2014).
2.3.2. Le recours de A._ est en revanche irrecevable (9C_924/2013). Ce dernier se plaint d'une violation de l'art. 61 let. g première phrase LPGA (au terme duquel le recourant qui obtient gain de cause a droit au remboursement de ses frais et dépens dans la mesure fixée par le tribunal). Selon lui, les premiers juges auraient dû admettre son recours dès lors qu'ils ont renvoyé la cause à l'office AI et, partant, mettre les frais de la procédure à la charge de cet office et lui allouer une indemnité de dépens. Or, selon la jurisprudence, le prononcé accessoire sur les frais et dépens, contenu dans une décision incidente, n'est pas de nature à causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. La réglementation des frais et dépens ne peut être attaquée devant le Tribunal fédéral qu'une fois que la décision finale est rendue (<ref-ruling>).
3.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Il n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
4.
Au vu du dispositif du jugement cantonal, des griefs formulés contre cet acte ainsi que de l'exigence d'allégation et de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; voir également Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2014, n° 24 ad art. 42 LTF), le litige porte sur le droit de A._ à une allocation pour impotent.
5.
5.1. Selon la juridiction cantonale, l'accident du 1er février 1981 avait entraîné la perte définitive de la vision de l'oeil droit ainsi qu'une sévère diminution de l'acuité visuelle de l'oeil gauche. Par la suite, le recourant avait perdu la vision de cet oeil. Les documents médicaux figurant au dossier ne permettaient cependant pas de retenir que cette évolution (la cécité de l'oeil gauche) aurait été causée par le seul accident vasculaire cérébral survenu en 2004. Au surplus, une telle aggravation de l'état de santé n'était pas propre, par sa nature et sa gravité, à ouvrir le droit à une allocation pour impotent au sens de l'art. 4 al. 2 LAI et ne pouvait donc pas constituer un cas d'assurance distinct de celui survenu le 1er février 1981. Cela étant, compte tenu du type de prestation demandé, A._ remplissait en tant que citoyen suisse les conditions d'assurance en lien avec l'accident dont il avait été victime en 1981. Son droit à une allocation pour impotent en raison de cet événement était toutefois distinct de l'objet du litige (lequel se limitait à la question de savoir si l'aggravation de l'atteinte ophtalmologique à la suite de l'accident vasculaire cérébral de 2004 lui ouvrait le droit à une telle prestation), si bien que la cause devait être renvoyée à l'administration afin que celle-ci statue à nouveau.
5.2. L'office AI critique le renvoi auquel ont procédé les premiers juges. Il soutient qu'en agissant de la sorte au lieu de se prononcer eux-mêmes sur le droit de A._ à une allocation pour impotent, ceux-ci ont commis un déni de justice sous forme de refus de statuer; selon cet office, étant donné que l'intéressé ne remplissait pas les conditions d'assurance au moment déterminant, soit le 1er février 1981, la juridiction cantonale devait lui dénier le droit à une telle prestation bien qu'il ait par la suite obtenu la nationalité suisse.
6.
Dans un arrêt du 23 juillet 2009 (9C_1042/2008, publié in SVR 2009 IV 54 168, SJ 2010 I 16 ainsi que RSAS 2009 483 et 2010 47), le Tribunal fédéral a jugé que le droit pour un ressortissant suisse à une allocation pour impotent n'exigeait pas de celui-ci qu'il ait été assuré ou qu'il ait compté une durée minimale de cotisation lors de la survenance de l'impotence mais qu'il suffisait pour le demandeur d'être assuré et d'avoir son domicile et sa résidence habituelle en Suisse (consid. 4). Or, le 15 février 2011 (date du dépôt de la demande rejetée par la décision litigieuse), A._, citoyen suisse depuis septembre 2003, remplissait ces exigences. L'office AI, qui à l'appui de son affirmation selon laquelle celui-ci ne remplit pas les conditions d'assurance se réfère uniquement à l'arrêt 9C_9/2007 précité (cf. supra consid. A.b) - rendu le 16 octobre 2007, soit près de deux ans avant l'arrêt de principe qui vient d'être mentionné -, n'invoque pas de motifs pertinents qui justifieraient une modification de la jurisprudence (sur les conditions d'un changement de jurisprudence, voir <ref-ruling> consid. 5.3.3. p. 39; <ref-ruling> consid. 3.2.4.1 p. 360 et les références). L'argumentation de l'office tirée de la violation des règles sur les conditions d'assurance est donc mal fondée. Par ailleurs, l'office AI n'ayant pas examiné la question de savoir si l'ensemble des conditions spécifiques de l'octroi d'une allocation pour impotent sont en l'occurrence réunies (et, le cas échéant, depuis quand), c'est à bon droit que les premiers juges lui ont renvoyé la cause afin qu'il l'instruise sur ce point puis rende une nouvelle décision.
7.
7.1. Il suit de ce qui précède que la juridiction cantonale n'a ni violé le droit fédéral ni procédé à une constatation des faits manifestement inexacte en considérant que les conditions d'assurance étaient remplies en l'espèce, respectivement en renvoyant la cause à l'office AI pour qu'il rende une nouvelle décision après instruction complémentaire sur les autres conditions du droit à une allocation pour impotent, ce qui conduit au rejet du recours de l'office.
7.2. A toutes fins utiles, il convient de préciser que le Tribunal cantonal n'a pas voulu définitivement fixer la date déterminante pour l'octroi éventuel de l'allocation pour impotent. Le consid. 4 du jugement attaqué, auquel renvoie le chiffre 2 du dispositif, se limite à mentionner que la cause est transmise à l'office AI afin qu'il examine le droit à l'allocation "à compter du 29 septembre 2003". À titre indicatif, le Tribunal cantonal a réservé le délai de péremption de l'art. 24 al. 1 LPGA; au même titre qu'il aurait pu également mentionner l'art. 29 al. 1 LAI (auquel renvoie l'art. 42 al. 4 LAI), qui ouvre le droit éventuel à une allocation pour impotent six mois après la date de la présentation de la demande, ainsi que les décisions antérieures de l'office AI et du tribunal cantonal entrées en force qui pourraient limiter le versement rétroactif de la prestation.
8.
Vu l'issue du litige, les frais afférents à la cause 9C_50/2014 seront supportés par l'office AI, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF) et versera une indemnité de dépens à A._ dans la mesure où il est intervenu dans la procédure en tant qu'intimé (art. 68 al. 1 LTF). Pour la procédure 9C_924/2013, il n'est pas perçu de frais de procédure ni alloué de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 9C_924/2013 et 9C_50/2014 sont jointes.
2.
Le recours de A._ est irrecevable.
3.
Le recours de l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du Valais est rejeté.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du Valais.
5.
L'Office cantonal de l'assurance-invalidité du Valais versera à A._ la somme de 1'200 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 août 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Le Greffier :
Kernen Bouverat