Faits:
A. Ressortissante équatorienne née en 1977, X._ vit et travaille sans autorisation dans le canton de Vaud depuis le 1er mai 2001. Elle est mère de quatre enfants, nés respectivement en 1994, 1996, 1997 et 1999, qui vivent en Equateur auprès de la famille.
Le 16 mars 2009, X._ a annoncé son arrivée à Lausanne, demandant la délivrance d'un permis de séjour pour cas individuel d'extrême gravité, en faisant valoir que, à la suite de l'abandon du domicile familial par le père de ses enfants, en mars 1999, elle s'était résolue à venir en Suisse, afin d'assurer à sa famille le minimum vital.
B. Après que le Service cantonal de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) l'eut informée qu'il envisageait de lui refuser l'octroi d'une autorisation de séjour, X._ a fait valoir sa position le 27 juillet 2009. Elle a notamment allégué qu'elle avait subi des violences conjugales de la part du père de ses enfants et qu'elle souffrait d'une paralysie faciale qui était suivie par un médecin, ajoutant que, compte tenu des vacances estivales, cet élément serait développé à réception du rapport médical attendu.
Par décision du 24 août 2009, le Service cantonal a refusé de délivrer à X._ une autorisation de séjour et lui a imparti un délai de deux mois pour quitter la Suisse.
X._ a recouru contre la décision du Service cantonal auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: le Tribunal cantonal). Devant cette autorité, elle a produit un certificat médical daté du 29 août 2009 de son médecin, attestant qu'elle était en investigations et en traitement pour une durée estimée à une année environ, en raison d'une hémiparésie faciale droite due à une maltraitance. Elle présentait en outre des céphalées résistant "actuellement" à tout traitement.
Par la suite, X._ a produit une attestation médicale du même praticien datée du 14 octobre 2009, qui mentionnait qu'elle était suivie régulièrement depuis le 7 mai 2009 et que, pour raison médicale, elle n'était pas à même de regagner son pays, dans lequel elle courait un danger de mort, compte tenu des maltraitances physiques graves qu'elle avait déjà subies.
Renonçant à un échange d'écritures, le Tribunal cantonal, par arrêt du 5 novembre 2009, a rejeté le recours et confirmé la décision du 24 août 2009.
C. Contre l'arrêt du 5 novembre 2009, X._ forme un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'admission du recours, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal a renoncé à présenter des observations, se référant aux considérants de son arrêt. Le Service cantonal ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit:
1. La demande d'autorisation de séjour litigieuse est soumise à la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), car elle a été déposée après le 1er janvier 2008 (cf. art. 126 al. 1 LEtr).
2. 2.1 La recourante n'a à juste titre pas interjeté de recours en matière de droit public. En effet, ni le droit interne ni le droit international ne lui confèrent un droit de séjour au sens de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. Elle se prévaut uniquement d'un cas individuel d'une extrême gravité au sens de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr, soit d'un cas de dérogation aux conditions d'admission, que l'art. 83 let. c ch. 5 LTF exclut expressément de la voie du recours en matière de droit public (arrêt 2C_216/2009 du 20 août 2009 consid. 1.3). La voie de recours ordinaire étant exclue, le recours constitutionnel subsidiaire est a priori ouvert (<ref-law>), dès lors que la décision attaquée est finale (art. 90 et 117 LIFD) et qu'elle émane d'une autorité judiciaire supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 86 et 114 LTF).
2.2 L'<ref-law> subordonne la qualité pour interjeter un tel recours au fait d'avoir été partie à la procédure devant l'autorité précédente ou d'avoir été privé de le faire (let. a) et à l'existence d'un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b). La jurisprudence a précisé que le recourant qui, comme en l'espèce, ne dispose pas d'un droit, notamment à obtenir une autorisation de séjour, n'est pas légitimé, sous l'angle de l'<ref-law>, à remettre en cause, par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, le refus de lui octroyer une telle autorisation (cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 197 s.; arrêt 2C_635/2009 du 26 mars 2010 consid. 5.4 in fine). Il ne peut faire valoir que la violation de droits de partie qui équivalent à un déni de justice formel, pour autant que, par ce biais, il n'invoque pas, même indirectement, des moyens ne pouvant être séparés du fond (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 198 s.; arrêt 2C_345/2009 du 22 octobre 2009 consid. 3.2). Seuls les griefs de nature formelle qui sont séparés de l'examen de la cause au fond peuvent donc être formés (<ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 253; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 199). En revanche, les griefs qui reviennent de facto à critiquer l'arrêt attaqué sur le plan matériel sont exclus.
3. La recourante reproche au Tribunal cantonal d'avoir violé son droit d'être entendue à deux égard.
3.1 Premièrement, elle lui fait grief d'avoir renoncé à un échange d'écritures, qui seul aurait permis au Service cantonal de se prononcer au sujet des deux attestations médicales, datées du 25 août 2009 et du 14 octobre 2009, produites au cours de la procédure devant le Tribunal cantonal. En y renonçant, les juges cantonaux l'auraient privée d'un examen en opportunité de son état de santé, puisque les règles de procédure (art. 98 de la loi vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative; LPA-VD; RS/VD 173.36) ne permettent pas au Tribunal cantonal de revoir l'opportunité de la décision attaquée.
3.1.1 En l'espèce, les juges cantonaux ont statué immédiatement sur le recours, renonçant à un échange d'écritures en application de la procédure prévue à l'art. 82 LPA-VD. Ils ont examiné les attestations médicales produites, mais n'ont pas considéré qu'elles justifiaient d'octroyer une autorisation de séjour à la recourante.
3.1.2 On ne voit pas que cette façon de procéder ait porté atteinte au droit d'être entendue de la recourante. Ce droit comprend le droit de prendre connaissance de toute prise de position soumise au tribunal et de se déterminer à ce propos (<ref-ruling> consid. 4.6 p. 104). Il ne comprend en revanche pas le droit pour la partie qui a elle-même fourni la prise de position, assortie éventuellement d'éléments de preuves, d'exiger que ceux-ci soient transmis à l'autorité qui a rendu la décision attaquée pour que cette dernière se prononce à leur sujet. Le fait que les juges cantonaux aient estimé, sur la base des pièces et de l'écriture de la recourante, être en possession des éléments suffisants pour trancher ne constitue donc pas, en tant que tel, une violation du droit d'être entendu.
Certes, les juges cantonaux ne revoient pas la décision attaquée en opportunité (cf. art. 98 LPA-VD; BENOÎT BOVAY, La loi vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative, RDAF 2009 I p. 185 s.). Ils sont toutefois chargés de vérifier l'application du droit, y compris l'excès ou l'abus du pouvoir d'appréciation, ainsi que la constatation inexacte et incomplète des faits pertinents (art. 98 LPA-VD). S'ils estiment que des faits déterminants n'ont pas été pris en compte, ils peuvent donc en tirer eux-mêmes les conséquences. Dans ce contexte, on ne saisit pas en quoi les juges cantonaux n'auraient pu, sous l'angle du droit d'être entendue de la recourante, considérer que les attestations médicales produites par celle-ci ne justifiaient pas de lui accorder une autorisation de séjour, sans recueillir au préalable les observations du Service cantonal. La recourante ne le démontre du reste pas, alors que l'<ref-law> (applicable par renvoi de l'<ref-law>) le lui imposait. Il n'y a donc pas lieu d'entrer plus avant sur ce point.
3.2 En second lieu, la recourante soutient que le Tribunal cantonal aurait violé l'obligation de motiver sa décision, telle que garantie par les art. 35 LPA-VD, 27 al. 2 Cst.-VD et 29 al. 2 Cst., car il lui appartenait de déterminer si et dans quelles conditions elle pouvait bénéficier des traitements nécessaires à son état de santé dans son pays d'origine et d'expliquer pourquoi son état de santé lui permettrait actuellement de voyager jusqu'en Equateur.
3.2.1 Dès lors que la recourante n'indique pas que le droit cantonal lui offrirait des garanties plus étendues que celles découlant du droit constitutionnel fédéral, son grief sera examiné exclusivement à la lumière de l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 16).
3.2.2 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision, afin que l'intéressé puisse la comprendre et l'attaquer utilement s'il y a lieu et que l'autorité de re- cours puisse exercer son contrôle (<ref-ruling> consid. 2a/aa p. 17, 97 consid. 2b p. 102). Pour répondre à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités).
En l'espèce, les juges cantonaux se sont prononcés sur les attestations médicales produites par la recourante, mais n'ont pas considéré que ces pièces étaient de nature à exclure le retour de la recourante dans son pays d'origine. Il n'y a donc pas défaut de motivation contraire à l'art. 29 al. 2 Cst. La recourante se plaint en définitive que les juges cantonaux n'aient pas donné à ces attestations la portée qu'elle aurait souhaitée. Une telle critique ne relève pas du droit d'être entendu, mais de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves, soit d'un moyen que la recourante n'est pas légitimée à soulever dans la présente procédure, car il suppose de revoir la cause au fond (cf. supra, consid. 2.2).
Dans ces circonstances, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
4. Au vu de l'issue du litige les frais seront mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué à la représentante de la recourante, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 29 avril 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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