Sachverhalt:
A.
In der Pfändung gegen den selbständigen Schreiner X._ verfügte das Betreibungsamt A._ am 27. Januar 2012, dass die Firma Z._ AG zukünftige Zahlungen an X._ nur noch an das Amt leisten dürfe. Das Bundesgericht schützte diese Verfügung (Urteil 5A_334/2012 vom 18. Juni 2012). Ein weiteres Aufsichtsverfahren endete - soweit hier noch von Interesse - mit der Anweisung des Bezirksgerichts Münchwilen an das Betreibungsamt A._, nach Erhalt des Guthabens durch die Firma Z._ AG jeweils jeden Monat Fr. 4'000.-- direkt X._ zu überweisen, sofern das Existenzminimum für den entsprechenden Monat infolge fehlender Unterlagen noch nicht exakt bestimmt werden konnte, in Anrechnung oder Verrechnung des später zu berechnenden Existenzminimumanteils. Auch dieses Verfahren zog X._ erfolglos bis vor das Bundesgericht (s. Urteil 5A_131/2013 vom 25. Juni 2013).
B.
Am 16. Januar 2013 reagierte X._ auf zwei Schreiben des Betreibungsamts A._ vom 19. Dezember 2012 und 9. Januar 2013 mit einer weiteren Aufsichtsbeschwerde. In der Sache beantragte er dem Bezirksgericht Münchwilen als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde, das Betreibungsamt anzuhalten, "unverzüglich die willkürlichen Zahlungen rechtsentsprechend nachzuholen". Das Bezirksgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 13. Februar 2013 ab. Auf X._s Beschwerde hin hob das Obergericht des Kantons Thurgau diesen Entscheid am 21. März 2013 wegen einer Verletzung des rechtlichen Gehörs auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht zurück. Dieses wies in seinem neuen Entscheid vom 3. Mai 2013 X._s Beschwerde erneut "vollumfänglich" ab.
C.
Mit Beschwerde vom 6. Mai 2013 wandte sich X._ an das Obergericht des Kantons Thurgau als obere kantonale Aufsichtsbehörde und beantragte, den Entscheid des Bezirksgerichts aufzuheben und die Sache neu zu beurteilen. In einem Nachtrag zur Beschwerde vom 15. Mai 2013 stellte er zwei "Ergänzungsanträge": Erstens bat er darum, die Befangenheit der erstinstanzlichen Richterin umfassend zu überprüfen und diese von sämtlichen offenen und laufenden Verfahren und Entscheiden auszuschliessen. Zweitens seien sämtliche Entscheide und/oder damit verbundene Fristen umgehend mit aufschiebender Wirkung bis zu einem rechtskräftigen Entscheid in der Sache zu sistieren. Das Obergericht sandte diesen Nachtrag dem Betreibungsamt A._ und dem Bezirksgericht Münchwilen zur Kenntnis und zum Miteinbezug in die zu erstattende Beschwerdeantwort/Stellungnahme. X._s Sistierungsantrag wies es ab (Schreiben vom 21. Mai 2013).
D.
Hierauf gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. In seiner Eingabe vom 3. Juni 2013 (Postaufgabe) verlangt er, den "Zwischenentscheid aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen." Überdies ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Stellungnahmen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und frei, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 216; <ref-ruling> E. 1 S. 117, je mit Hinweisen).
2.
Der Antrag, den die Vizepräsidentin des Obergerichts mit Schreiben vom 21. Mai 2013 abweist, erschöpft sich darin, "sämtliche Entscheide und/oder damit verbundene Fristen" bis zum Entscheid über die behauptete Befangenheit der erstinstanzlichen Richterin zu sistieren. Seinem Inhalt nach betrifft der angefochtene Entscheid also nicht unmittelbar das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren, denn mit dem Antrag bezweckt der Beschwerdeführer gerade nicht die Sistierung des hängigen Verfahrens vor dem Obergericht. Vielmehr will er das Obergericht dazu bringen, sämtliche "offenen und laufenden Verfahren", an denen Y._, Einzelrichterin am Bezirksgericht Münchwilen, beteiligt ist, bis zum rechtskräftigen Urteil über das Ausstandsbegehren einzustellen. Der Entscheid über diese prozessuale Massnahme ist nicht in einem eigenständigen Verfahren, sondern im Rahmen eines laufenden Hauptverfahrens ergangen. Ihrem Sinn nach soll die Massnahme nur für die Dauer des Verfahrens betreffend das Ausstandsbegehren Bestand haben. Der angefochtene Entscheid schliesst das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren nicht ab. Die Verweigerung der Sistierung ist deshalb kein End- oder Teilentscheid (Art. 90 f. BGG), sondern ein Zwischenentscheid (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 86).
3.
Zwar hat der Beschwerdeführer die Rechtsnatur des angefochtenen Entscheids erkannt, bezeichnet er das Schreiben vom 21. Mai 2013 doch selbst als Zwischenentscheid. Er unterliegt jedoch einem Irrtum, wenn er befürchtet, das Obergericht habe "offensichtlich ohne jegliche Prüfung" seiner Eingaben vom 6. und 15. Mai 2013 über sein Ausstandsbegehren entschieden und damit seinen Anspruch auf eine Entscheidbegründung verletzt. Der angefochtene Entscheid betrifft nicht das Ausstandsbegehren als solches (Art. 92 BGG). Zwar führt die Vizepräsidentin des Obergerichts zur Begründung der Abweisung aus, das Obergericht habe schon im Entscheid BS.2013.11/12 vom 18. April 2013 ausdrücklich festgestellt, dass ein Grund für eine Ausstandspflicht der vorinstanzlichen Einzelrichterin nicht gegeben sei. Dieser Verweis dient aber lediglich der Begründung, weshalb der umfassende Sistierungsantrag des Beschwerdeführers abgewiesen werde. Allein daraus folgt nicht, dass das Obergericht ausdrücklich oder stillschweigend auch die Befangenheitsvorwürfe beurteilt hätte, die der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeergänzung vom 15. Mai 2013 vorträgt. Das Schreiben vom 21. Mai 2013 lässt nur den Schluss zu, dass das Obergericht die vom Beschwerdeführer verlangte Sistierung aller hängigen Verfahren nicht als erforderlich erachtet, nachdem sich schon die früher gestellten Ausstandsbegehren als unbegründet erwiesen hatten.
4.
4.1. Mithin hat es das Bundesgericht mit einem selbständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG zu tun. Die Beschwerde ist somit nur unter den in dieser Vorschrift genannten Voraussetzungen zulässig. Dass die Sistierung sämtlicher Verfahren keinen Endentscheid herbeiführen würde, liegt auf der Hand, so dass eine Zulässigkeit nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG ausscheidet. Die Beschwerde ist nur zulässig, wenn der angefochtene Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Nach der Rechtsprechung muss dieser Nachteil rechtlicher Natur sein. Ein rein tatsächlicher Nachteil, der als natürliche Folge des Verfahrensfortgangs erscheint, genügt nicht. Der Nachteil muss überdies irreparabel sein, was nicht der Fall ist, wenn ein für den Beschwerdeführer günstiger Endentscheid den Nachteil vollumfänglich behöbe (<ref-ruling> E. 1.3 S. 525 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Eintretensvoraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632 und E. 2.4.2 S. 633).
4.2. Nach dem in Erwägung 3 Gesagten wird sich das Obergericht zu den Umständen, aufgrund derer sich der Beschwerdeführer zu einem neuerlichen Ausstandsbegehren gegen Einzelrichterin Y._ veranlasst sieht, im ausstehenden Beschwerdeentscheid erst noch zu äussern haben, soweit es auf den fraglichen Ergänzungsantrag eintritt. Allein unter dem Gesichtspunkt des (erneut) erhobenen Befangenheitsvorwurfs erleidet der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid also noch keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil.
4.3. Weiter meint der Beschwerdeführer, es sei "nach Treu und Glauben nicht davon auszugehen", dass die besagte Einzelrichterin "die Ordnungsvorschriften und damit das Handwerkzeug nicht kennt". Wie sich seinen weitschweifigen Ausführungen zumindest sinngemäss entnehmen lässt, unterstellt er der Richterin, sich systematisch über das Verfahrensrecht hinwegzusetzen, indem sie ihm die Stellungnahmen des Betreibungsamts zu seinen Beschwerden jeweils erst zusammen mit dem Beschwerdeentscheid zukommen lasse. Den Ausführungen im Entscheid des Obergerichts vom 18. April 2013, auf die das Schreiben vom 21. Mail 2013 verweist und denen zufolge der erstinstanzlichen Richterin trotz der aufgetretenen Gehörsverletzungen noch keine konsequente Missachtung von Verfahrensvorschriften vorgeworfen werden kann, hat der Beschwerdeführer indessen nichts entgegenzusetzen, was auf einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil schliessen lässt.
Ins Leere läuft auch der Vorwurf, das Obergericht blende völlig aus, dass bereits eine Beschwerde bezüglich Gehörsverweigerung betreffend den Entscheid des Bezirksgerichts vom 30. November 2012 respektive denjenigen des Obergerichts vom 14. Januar 2013 beim Bundesgericht "hängig sei". Dem inzwischen ergangenen Urteil des Bundesgerichts lässt sich nämlich entnehmen, dass der Beschwerdeführer in jenem Prozess den Vorwurf der Gehörsverletzung vor Obergericht gar nicht erhoben hatte (Urteil 5A_131/2013 vom 25. Juni 2013 E. 3.1). Von einem "Ausblenden" kann demnach keine Rede sein. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, die Einzelrichterin habe spätestens am 1. März 2013, als sie dem Obergericht in zwei anderen Verfahren die Abweisung der Beschwerde beantragte, Kenntnis vom Vorwurf der Gehörsverweigerung haben müssen; trotzdem habe sie ihm die Stellungnahmen des Betreibungsamts in einem weiteren Verfahren wiederum erst mit dem Beschwerdeentscheid vom 18. März 2013 zukommen lassen. Im aktenkundigen Entscheid vom 18. April 2013 weist das Obergericht darauf hin, es habe über die zwei Beschwerden erst am 21. März 2013 befunden und die begründeten Entscheide am 8. April 2013 versandt. Am 18. März 2013 war die Einzelrichterin also noch nicht mit dem Entscheid des Obergerichts konfrontiert, dem zufolge es mit Art. 29 Abs. 2 BV offensichtlich nicht vereinbar ist, dem Beschwerdeführer die Eingaben des Betreibungsamtes erst mit dem Beschwerdeentscheid zur Kenntnis zu bringen. Daran ändert auch nichts, dass der Beschwerdeführer beteuert, seine Gehörsrüge mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung untermauert zu haben.
4.4. Schliesslich beklagt sich der Beschwerdeführer darüber, dass ihm aufgrund des Handelns des Bezirksgerichts nicht nur ein erheblicher Zeitaufwand, sondern auch psychische Belastungen entstehen, die den Rahmen des Erträglichen längst sprengten. Damit macht er aber lediglich tatsächliche Nachteile geltend, die allein die Zulässigkeit der Beschwerde nicht zu begründen vermögen (s. E. 4.1 ). Inwiefern allein aus den behaupteten Belastungen eine "Rechtsunsicherheit" resultieren soll, tut der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich.
5.
Nach dem Gesagten ist das Schreiben vom 21. Mai 2013, mit dem die Vizepräsidentin des Obergerichts den Antrag des Beschwerdeführers um Sistierung sämtlicher Entscheide und Fristen abweist, mangels eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG vor Bundesgericht nicht als selbständig eröffneter Zwischenentscheid anfechtbar. Das hat zur Folge, dass das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht eintreten kann. Bei diesem Ausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Betreibungsamt A._ ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt A._, dem Obergericht des Kantons Thurgau als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs und dem Bezirksgericht Münchwilen als unterer Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungssachen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn