Faits:
Faits:
A. M._, né en 1955, a travaillé en qualité de bûcheron jusqu'au 11 février 1998. Souffrant de maux de dos, il s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 5 mars 1998.
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a confié un mandat d'expertise au Service d'orthopédie et de traumatologie de l'appareil moteur du Centre Hospitalier V._. Dans son rapport du 8 novembre 2000, le docteur F._ a attesté que l'exercice d'une activité légère, offrant des alternances de postures et des ports de charge inférieurs à 10kg était compatible avec l'état de l'appareil locomoteur du patient. Il a ajouté qu'une réinsertion professionnelle dans une activité plus adaptée pourrait être exigée, dans laquelle la capacité de travail du patient serait alors d'au moins 50 %. Le docteur F._ a toutefois précisé qu'un avis psychiatrique serait décisif. Cet examen a été réalisé par le docteur S._, médecin adjoint au Département de Psychiatrie Adulte et par le docteur R._, médecin-assistant. Dans leur rapport du 8 janvier 2001, ces médecins ont diagnostiqué un syndrome douloureux somatoforme persistant F45.4 ainsi que des troubles mixtes de la personnalité à traits paranoïaques, immatures et psychotiques F61.0. Selon ces psychiatres, le patient n'a aucune capacité de travail d'un point de vue psychiatrique; quant aux capacités d'adaptation, les experts les jugent trop restreintes.
Dans une appréciation du 16 mars 2001, le docteur A._, médecin au Service médical régional AI (SMR), a estimé notamment que le trouble de la personnalité ne justifie pas une incapacité totale de travail, en l'absence de comorbidité psychiatrique grave. A son avis, les plaintes actuelles reflètent la difficulté de l'assuré à s'adapter aux circonstances de l'émigration et à ses problèmes professionnels.
L'office AI, après comparaison des revenus, a conclu que la perte de gain était pratiquement nulle. En conséquence, par décision du 22 juin 2001, il a nié le droit de l'assuré à la rente.
L'office AI, après comparaison des revenus, a conclu que la perte de gain était pratiquement nulle. En conséquence, par décision du 22 juin 2001, il a nié le droit de l'assuré à la rente.
B. M._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité depuis le 1er mars 1998, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI.
Par jugement du 20 mai 2003, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision attaquée en ce sens qu'elle a mis l'assuré au bénéfice d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er février 1999.
Par jugement du 20 mai 2003, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision attaquée en ce sens qu'elle a mis l'assuré au bénéfice d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er février 1999.
C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut au renvoi de la cause, soit aux premiers juges soit à lui-même, afin de mettre en oeuvre une expertise pluridisciplinaire.
L'intimé conclut au rejet du recours avec suite de dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le taux d'invalidité de l'intimé et, par voie de conséquence, sur son droit à une rente.
1. Le litige porte sur le taux d'invalidité de l'intimé et, par voie de conséquence, sur son droit à une rente.
2. 2.1 La solution du litige ressortit aux art. 4, 28 et 41 LAI, dans leur teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002 et jusqu'au 31 décembre 2003 respectivement.
2.2 Pour pouvoir calculer le degré d'invalidité, l'administration (ou le juge, s'il y a eu un recours) a besoin de documents que le médecin, éventuellement aussi d'autres spécialistes, doivent lui fournir. La tâche du médecin consiste à porter un jugement sur l'état de santé et à indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est incapable de travailler. En outre, les données médicales constituent un élément utile pour déterminer quels travaux on peut encore, raisonnablement, exiger de l'assuré (<ref-ruling> consid. 4, 115 V 134 consid. 2, 114 V 314 consid. 3c, 105 V 158 consid. 1).
En ce qui concerne, par ailleurs, la valeur probante d'un rapport médical, ce qui est déterminant c'est que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées. Au demeurant, l'élément déterminant pour la valeur probante n'est ni l'origine du moyen de preuve ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bel et bien son contenu (<ref-ruling> consid. 3a, 122 V 160 consid. 1c et les références).
2.3 Récemment, la Cour de céans s'est exprimée sur les conditions auxquelles des troubles somatoformes douloureux persistants peuvent présenter un caractère invalidant (arrêt N. du 12 mars 2004, I 683/03, destiné à la publication; arrêt P. du 21 avril 2004, I 870/02). Elle a notamment considéré ce qui suit, au consid. 3.3 de l'arrêt P. :
3.3.1 Selon la jurisprudence, des troubles somatoformes douloureux peuvent, dans certaines circonstances, conduire à une incapacité de travail (<ref-ruling> consid. 2c/cc; RAMA 1996 no U 256 p. 217 ss consid. 5 et 6). De tels troubles entrent dans la catégorie des affections psychiques, pour lesquelles une expertise psychiatrique est en principe nécessaire quand il s'agit de se prononcer sur l'incapacité de travail qu'ils sont susceptibles d'entraîner (VSI 2000 p. 160 consid. 4b; arrêt N. du 12 mars 2004, destiné à la publication, I 683/03, consid. 2.2.2 et les arrêts cités). Compte tenu des difficultés, en matière de preuve, à établir l'existence de douleurs, les simples plaintes subjectives de l'assuré ne suffisent pas pour justifier une invalidité (entière ou partielle). Dans le cadre de l'examen du droit aux prestations de l'assurance sociale, l'allégation des douleurs doit être confirmée par des observations médicales concluantes, à défaut de quoi une appréciation de ce droit aux prestations ne peut être assurée de manière conforme à l'égalité de traitement des assurés (arrêt N. précité, consid. 2.2.2).
3.3.2 Un rapport d'expertise attestant la présence d'une atteinte psychique ayant valeur de maladie - tels des troubles somatoformes douloureux - est une condition juridique nécessaire, mais ne constitue pas encore une base suffisante pour que l'on puisse admettre qu'une limitation de la capacité de travail revêt un caractère invalidant (arrêt N. précité consid. 2.2.3; Ulrich Meyer-Blaser, Der Rechtsbegriff der Arbeitsunfähigkeit und seine Bedeutung in der Sozialversicherung, namentlich für den Einkommensvergleich in der Invaliditätsbemessung, in : René Schauffhauser/Franz Schlauri (éd.), Schmerz und Arbeitsunfähigkeit, St. Gall 2003, p. 64 sv., et note 93). En effet, selon la jurisprudence, les troubles somatoformes douloureux persistants n'entraînent pas, en règle générale, une limitation de longue durée de la capacité de travail pouvant conduire à une invalidité au sens de l'<ref-law> (voir sur ce point Meyer-Blaser, op. cit. p. 76 ss, spéc. p. 81 sv.). Une exception à ce principe est admise dans les seuls cas où, selon l'estimation du médecin, les troubles somatoformes douloureux se manifestent avec une telle sévérité que, d'un point de vue objectif, la mise en valeur de sa capacité de travail ne peut, pratiquement, - sous réserve des cas de simulation ou d'exagération (SVR 2003 IV no 1 p. 2 consid. 3b/bb; voir aussi Meyer-Blaser, op. cit. p. 83, spéc. 87 sv. ) - plus raisonnablement être exigée de l'assuré, ou qu'elle serait même insupportable pour la société (<ref-ruling>; VSI 2001 p. 224 sv. consid. 2b et les références; arrêt N. précité consid. 2.2.3 et les arrêts cités; cf. aussi <ref-ruling> consid. 4c in fine).
Admissible seulement dans des cas exceptionnels, le caractère non exigible d'un effort de volonté en vue de surmonter la douleur et de la réintégration dans un processus de travail suppose, dans chaque cas, soit la présence manifeste d'une comorbité psychiatrique d'une acuité et d'une durée importantes, soit le cumul d'autres critères présentant une certaine intensité et constance. Ce sera le cas (1) des affections corporelles chroniques ou d'un processus maladif s'étendant sur plusieurs années sans rémission durable, (2) d'une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie, (3) d'un état psychique cristallisé, sans évolution possible au plan thérapeutique, marquant simultanément l'échec et la libération du processus de résolution du conflit psychique (profit primaire tiré de la maladie), ou enfin (4) de l'échec de traitements ambulatoires ou stationnaires conformes aux règles de l'art et de mesures de réhabilitation, cela en dépit de la motivation et des efforts de la personne assurée pour surmonter les effets des troubles somatoformes douloureux (VSI 2000 p. 155 consid. 2c; arrêt N. précité, consid. 2.2.3 in fine; Meyer-Blaser, op. cit. p. 76 ss, spéc. 80 ss).
3.3.3 Dès lors qu'en l'absence de résultats sur le plan somatique le seul diagnostic de troubles somatoformes douloureux ne suffit pas pour justifier un droit à des prestations d'assurance sociale, il incombe à l'expert psychiatre, dans le cadre large de son examen, d'indiquer à l'administration (et au juge en cas de litige) si et dans quelle mesure un assuré dispose de ressources psychiques qui - eu égard également aux critères mentionnés au considérant 3.3.2 ci-dessus - lui permettent de surmonter ses douleurs. Il s'agit pour lui d'établir de manière objective si, compte tenu de sa constitution psychique, l'assuré peut exercer une activité sur le marché du travail, malgré les douleurs qu'il ressent (cf. arrêt N. précité consid. 2.2.4. et les arrêts cités).
3.3.4 Les prises de position médicales sur la santé psychique et sur les ressources dont dispose l'assuré constituent une base indispensable pour trancher la question (juridique) de savoir si et dans quelle mesure on peut exiger de celui-ci qu'il mette en oeuvre toute sa volonté pour surmonter ses douleurs et réintégrer le monde du travail. Dans le cadre de la libre appréciation dont ils disposent (<ref-law> en liaison avec l'<ref-law>; art. 95 al. 2 en liaison avec 113 et 132 OJ; VSI 2001 p. 108 consid. 3a), l'administration et le juge (en cas de litige) ne sauraient ni ignorer les constatations de fait des médecins, ni faire leurs les estimations et conclusions médicales relatives à la capacité (résiduelle) de travail, sans procéder à un examen préalable de leur pertinence du point de vue du droit des assurances sociales. Cela s'impose en particulier lorsque l'expert atteste une limitation de la capacité de travail fondée uniquement sur le diagnostic de troubles somatoformes douloureux. Dans un tel cas, il appartient aux autorités administratives et judiciaires d'examiner avec tout le soin nécessaire si l'estimation médicale de l'incapacité de travail prend en considération également des éléments étrangers à l'invalidité (en particulier des facteurs psychosociaux et socio-culturels) qui ne sont pas pertinents du point de vue des assurances sociales (<ref-ruling> consid. 5a; VSI 2000 p. 149 consid. 3), ou si la limitation (partielle ou totale) de la capacité de travail est justifiée par les critères juridiques déterminants, énumérés aux consid. 3.3.2 et 3.3.3 ci-dessus (cf. arrêt N. précité consid. 2.2.5).
3.3.4 Les prises de position médicales sur la santé psychique et sur les ressources dont dispose l'assuré constituent une base indispensable pour trancher la question (juridique) de savoir si et dans quelle mesure on peut exiger de celui-ci qu'il mette en oeuvre toute sa volonté pour surmonter ses douleurs et réintégrer le monde du travail. Dans le cadre de la libre appréciation dont ils disposent (<ref-law> en liaison avec l'<ref-law>; art. 95 al. 2 en liaison avec 113 et 132 OJ; VSI 2001 p. 108 consid. 3a), l'administration et le juge (en cas de litige) ne sauraient ni ignorer les constatations de fait des médecins, ni faire leurs les estimations et conclusions médicales relatives à la capacité (résiduelle) de travail, sans procéder à un examen préalable de leur pertinence du point de vue du droit des assurances sociales. Cela s'impose en particulier lorsque l'expert atteste une limitation de la capacité de travail fondée uniquement sur le diagnostic de troubles somatoformes douloureux. Dans un tel cas, il appartient aux autorités administratives et judiciaires d'examiner avec tout le soin nécessaire si l'estimation médicale de l'incapacité de travail prend en considération également des éléments étrangers à l'invalidité (en particulier des facteurs psychosociaux et socio-culturels) qui ne sont pas pertinents du point de vue des assurances sociales (<ref-ruling> consid. 5a; VSI 2000 p. 149 consid. 3), ou si la limitation (partielle ou totale) de la capacité de travail est justifiée par les critères juridiques déterminants, énumérés aux consid. 3.3.2 et 3.3.3 ci-dessus (cf. arrêt N. précité consid. 2.2.5).
3. 3.1 L'office recourant conteste l'impartialité de l'expert S._, co-auteur du rapport du 8 janvier 2001 et co-signataire d'un courrier de lecteur qu'il juge diffamatoire à son égard (cf. «24heures» du 17 juillet 2002). Il en déduit que l'avis de ce médecin serait dénué de valeur probante.
A l'instar d'un motif de récusation, pareil grief - qu'il soit dirigé contre un juge ou un expert - doit être invoqué dès que possible, à défaut de quoi le plaideur est réputé avoir tacitement renoncé à s'en prévaloir (<ref-ruling> sv. et les arrêts cités; VSI 2001 p. 111 consid. 4a/aa; Egli/Kurz, La garantie du juge indépendant et impartial dans la jurisprudence récente, Recueil de jurisprudence neuchâteloise [RJN] 1990 p. 28 sv.). En procédure cantonale, l'office AI n'a toutefois pas soulevé ce moyen, bien qu'il eût disposé de près d'une année pour le faire entre le moment où il avait pris connaissance de la missive incriminée et le prononcé du jugement attaqué. Le recourant est dès lors forclos, au stade de la procédure fédérale, pour invoquer l'apparence de prévention à l'encontre de l'expert S._.
3.2 Par ailleurs, l'office AI allègue qu'un traducteur aurait dû assister au déroulement de l'expertise, dans la mesure où l'expert-psychiatre a fait état de difficultés de compréhension.
On peut s'étonner que le recourant ne soulève ce genre de critiques qu'au stade de la procédure de recours de droit administratif alors qu'il avait toute latitude au stade de l'instruction de la cause, d'ordonner une nouvelle expertise s'il estimait qu'elle n'avait pas été réalisée dans des conditions normales. Toutefois, l'incidence des difficultés de compréhension sur la pertinence des conclusions du rapport du 8 janvier 2001 peut demeurer indécise, car le recours doit être admis pour un autre motif, ainsi qu'on va le voir.
On peut s'étonner que le recourant ne soulève ce genre de critiques qu'au stade de la procédure de recours de droit administratif alors qu'il avait toute latitude au stade de l'instruction de la cause, d'ordonner une nouvelle expertise s'il estimait qu'elle n'avait pas été réalisée dans des conditions normales. Toutefois, l'incidence des difficultés de compréhension sur la pertinence des conclusions du rapport du 8 janvier 2001 peut demeurer indécise, car le recours doit être admis pour un autre motif, ainsi qu'on va le voir.
4. 4.1 Selon les conclusions de l'expert S._, l'intimé présente un trouble somatoforme douloureux (F45.4 CIM-10) accompagné de troubles mixtes de la personnalité à traits paranoïaques, immatures et psychotiques (F61.0 CIM-10).
Eu égard aux principes qui viennent d'être exposés, il s'agit de déterminer si l'AI doit répondre de l'incapacité de travail que cette affection psychique engendre.
4.2 Si le critère de la comorbidité psychiatrique est certes réalisé par la présence des troubles mixtes de la personnalité à traits paranoïaques, immatures et psychotiques (F61.0 CIM-10), on ignore en revanche l'acuité et la durée concrètes de ces affections psychiques. En effet, les experts psychiatres attestent que le patient présente une rigidité psychique très importante, une détresse importante et une personnalité mal structurée (cf. p. 3 du rapport d'expertise). Or, à défaut de plus amples explications émanant de ces spécialistes en psychiatrie, l'administration et le juge ne sont pas en mesure de savoir si les troubles de la personnalité dont souffre l'intimé atteignent réellement le seuil de gravité exigé par la jurisprudence pour qu'ils puissent être considérés comme une comorbidité psychiatrique grave (cf. consid. 3.3.2 de l'arrêt P. précité).
Pour ce qui est des autres critères, l'expertise ne permet pas de trancher en l'état. Les experts attestent, certes, un retrait social important, dont l'assuré ne semble toutefois pas souffrir. Mais l'expertise ne contient pas suffisamment de renseignements pour que l'on puisse se convaincre, en particulier, de l'inexigibilité d'une reprise d'activité ou d'un reclassement. Les experts se contentent de noter en conclusion de leur rapport - sans toutefois que l'on trouve des éléments à l'appui de cette affirmation dans le corps de l'expertise - que le patient présente des capacités d'adaptation trop restreintes et une souffrance psychique trop profonde pour espérer mieux que de pouvoir l'accompagner dans son invalidité actuelle (p. 4 du rapport).
Pour ce qui est des autres critères, l'expertise ne permet pas de trancher en l'état. Les experts attestent, certes, un retrait social important, dont l'assuré ne semble toutefois pas souffrir. Mais l'expertise ne contient pas suffisamment de renseignements pour que l'on puisse se convaincre, en particulier, de l'inexigibilité d'une reprise d'activité ou d'un reclassement. Les experts se contentent de noter en conclusion de leur rapport - sans toutefois que l'on trouve des éléments à l'appui de cette affirmation dans le corps de l'expertise - que le patient présente des capacités d'adaptation trop restreintes et une souffrance psychique trop profonde pour espérer mieux que de pouvoir l'accompagner dans son invalidité actuelle (p. 4 du rapport).
5. Quant à l'expertise rhumatologique, elle n'est pas exempte de contradictions, ou du moins d'imprécisions. En effet, l'expert paraît attester aussi bien une capacité totale de travail dans une activité légère qu'une capacité de 50 % au moins dans un emploi adapté après une réinsertion professionnelle (ch. 5 p. 6 du rapport).
5. Quant à l'expertise rhumatologique, elle n'est pas exempte de contradictions, ou du moins d'imprécisions. En effet, l'expert paraît attester aussi bien une capacité totale de travail dans une activité légère qu'une capacité de 50 % au moins dans un emploi adapté après une réinsertion professionnelle (ch. 5 p. 6 du rapport).
6. Dans ces conditions, la cause n'est pas en état d'être jugée. C'est dès lors à juste titre que l'office recourant conclut à la mise en oeuvre d'un complément d'instruction, de nature pluridisciplinaire. Cette tâche lui incombe (cf. <ref-ruling> consid. 1d; RAMA 1993 n° U 170 p. 136), dans la mesure où il a rendu sa décision litigieuse sur la base d'expertises qui ne permettaient ni de connaître la gravité des troubles de la personnalité dont l'intimé est affecté, ni les ressources psychiques éventuelles qui lui permettraient de surmonter ses douleurs, et qui laissaient planer un certain doute quant à l'étendue de la capacité de travail.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 20 mai 2003 ainsi que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 22 juin 2001 sont annulés, la cause étant renvoyée au recourant pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 20 mai 2003 ainsi que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 22 juin 2001 sont annulés, la cause étant renvoyée au recourant pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 17 août 2004
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre: Le Greffier: