Sachverhalt:
A.
A.a. Die X._, Zürich, (Beklagte, Beschwerdeführerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts mit dem Zweck, italienische Arbeitnehmer und ihre Familien in der Schweiz bei der Ausübung ihrer Rechte im Bereich der Sozialversicherung und der Ansprüche aus der Erwerbstätigkeit (auch vor Gericht) zu vertreten. Sie wird von Y._ mit Sitz in J._ gefördert.
A._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist italienischer Staatsangehöriger, lebt aber seit längerem in der Schweiz und war hier auch erwerbstätig.
A.b. A._ hatte sich schon mehrmals bei der X._ beraten lassen und diese auch mit der Erstellung seiner Steuererklärungen betraut gehabt, als er sich im April 2004 erneut an sie wandte. Er wollte sich das Vorsorgeguthaben der zweiten Säule auszahlen lassen, um es neu anzulegen.
Zu diesem Zweck unterzeichnete er am 6. April 2004 zwei Dokumente: Zum einen eine Vollmacht, welche die X._ allgemein "zum Empfang von Geldern" bzw. "ricevere ... denaro" ermächtigt. Im Betreff heisst es: "Auflösung FZ-Kto. xxxx und Ueberweisung Guthaben Bank Z._ AG Nr. zzzz lautend auf X.Q._ - Auszahlungsgrund: Pensionierung"; unten neben der Unterschriftszeile ist der Stempel der Beklagten angebracht und der Namenszug des Geschäftsführers von deren Büro in Zürich, B._. Zum anderen unterzeichnete der Kläger einen an die Zürcher Kantonalbank (ZKB) gerichteten "Zahlungsauftrag" mit denselben Angaben zur Zahlstelle wie in der Vollmacht. Diese beiden Dokumente schickte B._ mit einem Begleitschreiben gleichen Datums an die ZKB. Wie sich später herausstellte, handelte es sich beim angegebenen Bankkonto, auf welches das Alterskapital in der Folge überwiesen wurde, um ein privates Konto von B._ bei der Bank Z._ AG.
Ab März 2006, als der Kläger 62 Jahre alt wurde, erhielt er monatliche Zahlungen von Fr. 1'852.--. Auf der Gutschriftsanzeige ist als Einzahler "X._ Inhaber B._" mit der Geschäftsadresse der Beklagten genannt. Wie sich später auch aus anderen Fällen ergab, liess B._ den Betrogenen aus eigenem bzw. von anderen ertrogenem Geld eine Zeitlang "Renten" zukommen, um seine Machenschaften so lange als möglich zu verschleiern. Es ist davon auszugehen, dass B._ das ihm von der ZKB ausbezahlte Kapital im Mehrbetrag veruntreut hat.
B.
B.a. Am 10. Januar 2011 klagte A._ beim Bezirksgericht Zürich gegen die X._ auf Zahlung von Fr. 463'999.80, zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 15. April 2004. Die Bank Z._ AG schloss sich dem Kläger als Nebenintervenientin an.
Mit Urteil vom 11. September 2012 hiess das Bezirksgericht Zürich die Klage gut.
B.b. Mit Urteil vom 26. Februar 2013 wies das Obergericht des Kantons Zürich eine von der Beklagten gegen das bezirksgerichtliche Urteil vom 11. September 2012 erhobene Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. Februar 2013 aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Die Beschwerdeführerin reichte dem Bundesgericht am 14. Mai 2013 eine Replik ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
1.2. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - auf die Beschwerde einzutreten.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht des Beschwerdeführers (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden ( <ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.1). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Macht der Beschwerdeführer beispielsweise eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5 S. 5; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgrundsatz zuwiderläuft. Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 2.2.2. S. 318 f.; je mit Hinweisen).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 sowie <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 400; <ref-ruling> E. 3 S. 749). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 387 f.; je mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substantiiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden. Ausserdem hat der Beschwerdeführer mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen genannt hat (Urteile 4A_627/2012 vom 9. April 2013 E. 3.2; 4A_614/2011 vom 20. März 2012 E. 1.2; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f., 393 E. 7.1 S. 398, 462 E. 2.4 S. 466 f.).
1.5. Die Beschwerde lässt über weite Strecken keine Auseinandersetzung mit den konkreten Erwägungen im angefochtenen Entscheid erkennen; vielmehr unterbreitet die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht losgelöst vom Urteil der Vorinstanz ihren Standpunkt, wonach die Klage abzuweisen sei, als ob das Bundesgericht die Klage von Grund auf neu beurteilen könnte. Damit verfehlt sie die erwähnten Begründungsanforderungen an eine hinreichende Beschwerde.
Teilweise weicht die Beschwerdeführerin von den Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid ab oder erweitert diese, ohne eine hinreichende Sachverhaltsrüge zu erheben. Die entsprechenden Ausführungen in der Beschwerde haben daher unbeachtet zu bleiben und es ist - vorbehaltlich der nachfolgend zu beurteilenden Willkürrüge -einzig auf die Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid abzustellen.
2.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz zunächst eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vor.
2.1. Sie bringt vor, die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, es handle sich beim Beschwerdegegner um einen "einfachen Arbeiter oder Angestellten in einem fremden Land". Sie schliesse implizit aus seiner Herkunft, seiner beruflichen Tätigkeit und im Sinne eines Umkehrschlusses aus dem Leistungsangebot der Beschwerdeführerin auf einen besonders bescheidenen Grad an Geschäftskunde des Beschwerdegegners, ohne dass konkrete, über seine allgemeine berufliche und geschäftliche Stellung hinausgehende Erkenntnisse vorliegen würden. Die dem angefochtenen Urteil zugrunde liegende Annahme einer sehr bescheidenen und unterdurchschnittlichen Geschäftsgewandtheit des Beschwerdegegners sei daher als willkürlich zu qualifizieren; vielmehr sei von einer durchschnittlichen Geschäftsgewandtheit auszugehen.
2.2. Die Vorinstanz erwog, es sei an die Möglichkeit des Beschwerdegegners, einer Unkorrektheit oder gar einem Betrug auf die Spur zu kommen, zu Lasten der Beschwerdeführerin kein strenger Massstab anzulegen. Sie berücksichtigte dabei - was in der Beschwerde unerwähnt bleibt -, unter anderem den ihr aus weiteren hängigen Fällen bekannten Umstand, dass die Kundschaft der Beschwerdeführerin vor allem aus einfachen Personen ohne besondere geschäftliche Kenntnisse bestand. Im Weiteren stellte sie darauf ab - worauf die Beschwerde ebenfalls nicht eingeht -, dass die Beschwerdeführerin selber keine besonderen Kenntnisse oder Erfahrungen behauptet habe, die es dem Beschwerdegegner ermöglicht hätten, die Machenschaften von B._ zu durchschauen, womit die klägerischen Vorbringen im Ergebnis als unbestritten betrachtet wurden. Die Behauptung der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe ihre Annahme ausschliesslich aus der Herkunft und der beruflichen Tätigkeit des Beschwerdegegners sowie dem Leistungsangebot der Beschwerdeführerin abgeleitet, trifft insoweit nicht zu.
Im Übrigen zeigt die Beschwerdeführerin im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht nicht mit Aktenhinweisen auf, dass sie bereits im vorinstanzlichen Verfahrenentsprechende Behauptungen hinsichtlich der Geschäftsgewandtheit des Beschwerdegegners aufgestellt hätte. Sie vermag die Annahmen der Vorinstanz hinsichtlich der Geschäftsgewandtheit des Beschwerdegegners mit ihren Ausführungen insgesamt nicht als willkürlich auszuweisen.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt weiter, der angefochtene Entscheid gehe zu Unrecht von der Annahme aus, dass sie durch die Verwendung einer Vollmacht, die auch Inkassomassnahmen umfasste, den Anschein erweckt habe, auch die Entgegennahme und Verwaltung von Geldern anzubieten.
3.1. Sie setzt sich dabei nicht mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids der Vorinstanz auseinander, sondern zitiert wörtlich einzelne Sätze des erstinstanzlichen Entscheids und trägt gestützt darauf ihre Rechtsauffassung hinsichtlich ihrer Verantwortlichkeit vor, ohne jedoch eine konkrete Bundesrechtsverletzung aufzuzeigen. Eine willkürliche Sachverhaltsermittlung, wie sie die Beschwerdeführerin behauptet, ist nicht dargetan: Sie zeigt in ihren Ausführungen nicht auf, welche tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sein sollen, sondern bezeichnet die Ausführungen im angefochtenen Entscheid in tatsächlicher Hinsicht im Gegenteil als zutreffend, bestreitet jedoch die Bindungswirkung des Handelns von B._.
3.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet im Übrigen zu Recht nicht, dass die von ihr verwendete Vollmacht, die im konkreten Fall auch der Beschwerdegegner unterzeichnete, ausdrücklich die allgemeine Ermächtigung der Beschwerdeführerin "zum Empfang von Geldern" ("ricevere ... denaro") aufführte. Angesichts dieser unstreitig von der Beschwerdeführerin ausgehenden Erklärung hat die Vorinstanz ihren Einwand, die Verwahrung von Geld gehöre nicht zu ihrem Tätigkeitsbereich und eine solche Leistung ihrerseits habe vom Beschwerdegegner nicht erwartet werden dürfen, mit nachvollziehbarer Begründung als nicht stichhaltig erachtet. Der geschäftlich unerfahrene Beschwerdegegner durfte angesichts dieser Umstände - entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht - nach Treu und Glauben (<ref-law>) davon ausgehen, dass ihm die Beschwerdeführerin, zu deren unbestrittenem Tätigkeitsbereich die Vertretung gegenüber Arbeitgebern und Sozialversicherungen gehört, auch Dienstleistungen im Zusammenhang mit der Verwahrung oder Verwaltung von Pensionskassenguthaben anbot. Der Einwand der Beschwerdeführerin, die von der regulären Schriftweise abweichende Bezeichnung des Zahlungskontos mit dem Zusatz "X._" hätte einen durchschnittlich aufmerksamen Dritten zu näheren Abklärungen veranlassen müssen, ist nicht nachvollziehbar.
Inwiefern die Vorinstanz die massgebenden Grundsätze der Auslegung nach dem Vertrauensprinzip missachtet und damit Bundesrecht verletzt hätte, ist nicht ersichtlich.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).
Da der Beschwerdegegner erst in seiner Beschwerdeantwort um Sicherstellung der Parteikosten ersucht hat, waren ihm im Zeitpunkt der Gesuchstellung sämtliche Parteikosten bereits entstanden, so dass das Gesuch als gegenstandslos abzuschreiben ist (<ref-ruling> E. 2 S. 88).
Das Gesuch des Beschwerdegegners um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege behält unter diesen Umständen nur Bedeutung für den Fall, dass sich die Parteientschädigung als uneinbringlich erweisen sollte (<ref-law>). Da der Beschwerdegegner im Prozess obsiegt hat, eine Bedürftigkeit angesichts des Prozessausgangs aber nur im Falle der Uneinbringlichkeit der zugesprochenen Forderung als ausgewiesen gelten kann, wird ihm die unentgeltliche Rechtspflege in dem Sinne gewährt, dass die von der Beschwerdeführerin geschuldete Parteientschädigung bei Uneinbringlichkeit seinem Rechtsvertreter aus der Bundesgerichtskasse zu entrichten ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwalt Fabrizio N. Campanile, Zürich, als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen. Im Falle der Uneinbringlichkeit wird dieser Betrag Rechtsanwalt Fabrizio N. Campanile aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Nebenintervenientin und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Leemann