Sachverhalt:
A.
A.a. Der nigerianische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1977) reiste am 20. Juli 2002 in die Schweiz ein. Gestützt auf die am 2. August 2002 geschlossene Ehe mit der Schweizer Bürgerin C._ (geb. 1980) erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung. Der gemeinsame Sohn D._ war am 7. Juni 2002 geboren worden. Am 1. Januar 2006 hoben die Eheleute den gemeinsamen Haushalt auf.
A.b. Das Kreisgericht IV Aarwangen-Wangen verurteilte A.A._ am 17. Januar 2006 wegen Widerhandlungen gegen die Betäubungsmittelgesetzgebung, begangen zwischen Sommer 2004 und Januar 2005, zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 18 Monaten (bei einer Probezeit von vier Jahren), weshalb er am 23. Februar 2006 ausländerrechtlich verwarnt wurde. Die Verwarnung enthielt folgenden Passus:
"Durch Ihr Verhalten und Ihre Verurteilung haben Sie das Gastrecht in der Schweiz massiv missbraucht. Wir machen Sie darauf aufmerksam, dass vorbestrafte Ausländer aus der Schweiz ausgewiesen werden können. Nur mit Rücksicht auf den Umstand, dass Sie mit einer Schweizerbürgerin verheiratet sind, verzichten wir im Moment auf fremdenpolizeiliche Massnahmen. Sollten Sie jedoch erneut zu gerichtlichen Verurteilungen wegen eines Verbrechens oder Vergehens Anlass geben, können Sie nicht mehr mit unserer Nachsicht rechnen."
Am 1. Februar 2007 wurde A.A._ wegen Missbrauchs von Ausweisen und Schildern, Fahrens ohne Fahrzeugausweis oder Kontrollschilder und Fahrens ohne Haftpflichtversicherung zu einer bedingten Geldstrafe von fünf Tagessätzen zu je Fr. 70.-- (bei einer Probezeit von zwei Jahren) und einer Busse von Fr. 250.-- verurteilt.
A.c. Am 7. Januar 2009 wurde die Ehe geschieden und das Kind D._ unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern wies das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.A._ am 19. Juni 2009 ab. Die dagegen ergriffenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern vom 17. November 2009; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 8. September 2010). Das Bundesgericht bestätigte die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung mit Urteil 2C_787/2010 vom 16. Juni 2011. Die Begründung lautete dahingehend, die Voraussetzungen von Art. 50 AuG (SR 142.20) seien nicht erfüllt: Weder liege eine erfolgreiche Integration im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vor noch seien wichtige persönliche Gründe gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG gegeben, welche einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen würden.
In diesem Verfahren war eine Verurteilung vom 4. März 2010 wegen grober Verkehrsregelverletzung zu einer bedingten Geldstrafe von 15 Tagessätzen zu je Fr. 60.-- (bei einer Probezeit von drei Jahren) und einer Verbindungsbusse von Fr. 420.-- noch nicht berücksichtigt.
B.
Seit dem 1. Juni 2011 ist A.A._ mit der Schweizer Bürgerin B.A._ (geb. 1959) verheiratet. Die Einwohnergemeinde Bern wies das am 1. Juli 2011 eingereichte Familiennachzugsgesuch der Eheleute am 27. September 2011 ab. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern vom 28. Februar 2013; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 5. November 2013).
C.
A.A._ und B.A._ erheben am 9. Dezember 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und A.A._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Das Verwaltungsgericht, die Polizei- und Militärdirektion und das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde. A.A._ und B.A._ verzichten ausdrücklich auf eine Replik, reichen jedoch ein Arztzeugnis von Dr. med. E._, Facharzt für Innere Medizin FMH, vom 31. März 2014 ein, welches Angaben zum aktuellen Gesundheitszustand von A.A._ enthält.
Mit Präsidialverfügung vom 16. Dezember 2013 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil wurde von einer letztinstanzlich zuständigen kantonalen Gerichtsbehörde erlassen und betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts; es unterliegt grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. Art. 82 lit. a BGG, Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG, Art. 90 BGG). Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Weil der Beschwerdeführer 1 in ungetrennter Ehe mit einer Schweizerin zusammenlebt, hat er aus Art. 42 Abs. 1 AuG einen bundesrechtlichen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Zudem kann er sich auf das Recht auf Achtung des Familienlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK berufen; dies gilt auch für die Beschwerdeführerin 2. Die Beschwerde ist zulässig.
1.2. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind offensichtlich erfüllt, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Art. 99 Abs. 1 BGG zielt auf Tatsachen ab, die erst durch das angefochtene Urteil rechtserheblich werden. Tatsachen oder Beweismittel, welche sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, sich jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind, können von vornherein nicht durch das angefochtene Urteil veranlasst worden sein (Urteil 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 1.2 mit Hinweis). Diese so genannten "echten Noven" sind im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344). Das am 31. März 2014 datierte Arztzeugnis ist nach dem angefochtenen Urteil vom 5. November 2013 entstanden und daher als echtes Novum unbeachtlich.
3.
3.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Der Anspruch auf Familiennachzug erlischt, wenn ein Widerrufsgrund nach Art. 63 AuG vorliegt (Art. 51 Abs. 1 lit. b AuG).
3.2. Art. 63 Abs. 1 lit. a AuG verweist auf Art. 62 lit. b AuG, wonach die Aufenthaltsbewilligung widerrufen werden kann, wenn die ausländische Person zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde. Praxisgemäss liegt eine längerfristige Freiheitsstrafe im Sinn von Art. 62 lit. b AuG vor, wenn diese ein Jahr überschreitet (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 379 ff.).
3.3. Die Verweigerung der Bewilligung kann indessen erst verfügt werden, wenn die erforderliche Interessenabwägung die Massnahme verhältnismässig erscheinen lässt (Art. 96 Abs. 1 AuG). Dabei sind den öffentlichen Interessen die persönlichen Verhältnisse und der Grad der Integration der ausländischen Person gegenüberzustellen.
3.4. Die Notwendigkeit einer Verhältnismässigkeitsprüfung ergibt sich auch aus Art. 8 Ziff. 2 EMRK. Danach ist ein Eingriff in das von Art. 8 Ziff. 1 EMRK geschützte Familienleben statthaft, wenn er gesetzlich vorgesehen ist und eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ordnung, das wirtschaftliche Wohl des Landes, die Verteidigung der Ordnung oder zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutz der Gesundheit und Moral sowie der Rechte und Freiheiten anderer notwendig erscheint. Bei der Interessenabwägung im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK sind insbesondere die Schwere des begangenen Delikts, der seit der Tat vergangene Zeitraum, das Verhalten der ausländischen Person während dieser Periode sowie deren familiäre Situation zu berücksichtigen. Zudem sind die Dauer der ehelichen Beziehung und weitere Gesichtspunkte relevant, welche Rückschlüsse auf deren Intensität zulassen (Geburt und Alter allfälliger Kinder; Kenntnis der Tatsache, dass die Beziehung wegen der Straftat unter Umständen nicht in der Schweiz gelebt werden kann). Von Bedeutung sind auch die Nachteile, welche dem Ehepartner oder den Kindern erwachsen würden, müssten sie dem Betroffenen in dessen Heimat folgen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 149; <ref-ruling> E. 4.3 S. 381 f.; je mit Hinweisen auf die Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte).
4.
4.1. Die Vorinstanz begründet die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung wie folgt: Der Beschwerdeführer 1 habe mit der Verurteilung zu einer Gefängnisstrafe von 18 Monaten den Widerrufsgrund der längerfristigen Freiheitsstrafe nach Art. 62 lit. b AuG gesetzt. Durch die Tat (Erlangung, Besitz und Verkauf von mindestens 150 Gramm Kokaingemisch an verschiedene Abnehmerinnen und Abnehmer während mehrerer Monate) habe er ein erhebliches Verschulden auf sich geladen. Zudem sei er am 1. Februar 2007 wegen Missbrauchs von Ausweisen und Schildern, Fahrens ohne Fahrzeugausweis oder Kontrollschilder und Fahrens ohne Haftpflichtversicherung zu einer bedingten Geldstrafe von fünf Tagessätzen zu je Fr. 70.-- (bei einer Probezeit von zwei Jahren) und zu einer Busse von Fr. 250.-- verurteilt worden. Am 4. März 2010 sei - im abgeschlossenen ausländerrechtlichen Verfahren noch nicht berücksichtigt - die Verurteilung wegen grober Verkehrsregelverletzung zu einer bedingten Geldstrafe von 15 Tagessätzen zu je Fr. 60.-- (bei einer Probezeit von drei Jahren) und einer Verbindungsbusse von Fr. 420.-- erfolgt. Drei dieser Delikte seien als Vergehen zu qualifizieren; jedenfalls die zuletzt begangene grobe Verkehrsregelverletzung sei keineswegs zu bagatellisieren. Auch wenn diese jüngsten Verurteilungen für sich genommen keinen Widerrufsgrund setzen würden, seien sie bei der Interessenabwägung zu berücksichtigen. Das Bundesgericht verfolge mit Blick auf den Kampf gegen den Drogenhandel eine strenge Praxis. Das Interesse an der Fernhaltung von Personen, die sich - wie der Beschwerdeführer 1 - einer schweren Betäubungsmitteldelinquenz schuldig gemacht hätten, sei bedeutend und erhalte mit Blick auf die teilweise erhebliche SVG-Delinquenz zusätzliches Gewicht. Auch unter Berücksichtigung der seit der schweren Betäubungsmitteldelikte vergangenen Zeit sei nach wie vor von einem erheblichen öffentlichen Fernhalteinteresse auszugehen.
Der Eheschluss der Beschwerdeführenden sei am 1. Juni 2011 und damit nur wenige Tage vor dem bundesgerichtlichen Entscheid betreffend Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung erfolgt. Die Beschwerdeführenden hätten bei dieser Ausgangslage nicht auf den Verbleib des Beschwerdeführers 1 in der Schweiz vertrauen dürfen. Vielmehr hätten sie - im Unterschied zur Konstellation während der ersten Ehe des Beschwerdeführers 1, welche vor dessen Straffälligkeit geschlossen worden sei - schon von Beginn an damit rechnen müssen, dass die Ehe nicht in der Schweiz würde gelebt werden können. Die Ehe sei zudem kinderlos geblieben und vermöge unter den genannten Umständen keine besonders ausgeprägte familiäre Beziehung zur Schweiz zu begründen, wenngleich der 54-jährigen Beschwerdeführerin 2 mit Schweizer Bürgerrecht das Eheleben in Nigeria kaum zumutbar sei.
Im Übrigen sei der Beschwerdeführer 1 nicht besonders gut integriert, weder lägen vertiefte soziale Beziehungen noch eine stabile Arbeitssituation vor. Dem 36-jährigen Beschwerdeführer 1 sei eine Rückkehr nach Nigeria, wo er den grössten Teil seines Lebens verbracht habe, durchaus zumutbar.
4.2. Die Beschwerdeführenden bestreiten nicht, dass der Beschwerdeführer 1 durch die Verurteilung zu einer Gefängnisstrafe von 18 Monaten einen Widerrufsgrund im Sinn von Art. 62 lit. b AuG gesetzt hat. Sie bestreiten auch nicht, dass die Beschwerdeführerin 2, als sie den Beschwerdeführer 1 kennenlernte, um dessen Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von 18 Monaten gewusst hat. Sie machen jedoch geltend, aufgrund der bereits erfolgten Verwarnung sei die Angelegenheit für die Beschwerdeführerin 2 in ausländerrechtlicher Hinsicht erledigt gewesen. Sie seien davon ausgegangen, die Verurteilungen seien mit der Verwarnung abgegolten gewesen und das damals hängige Verfahren habe mit der Scheidung des Beschwerdeführers 1 in Verbindung gestanden. Seit der Verurteilung im Jahr 2006 sei das Verhalten des Beschwerdeführers 1 grundsätzlich "ausländerrechtlich gesetzeskonform" gewesen. Die beurteilten Straftaten lägen beinahe zehn Jahre, die Verurteilungen wegen SVG-Widerhandlungen beinahe vier Jahre zurück. Die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung sei unverhältnismässig. Im Urteil 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3.3 habe das Bundesgericht erwogen, eine strafrechtliche Verurteilung verunmögliche die Erteilung einer neuen Aufenthaltsbewilligung nicht ein für alle Mal. Soweit der Betroffene, gegen den eine Entfernungsmassnahme ergriffen worden sei, weiterhin in den Kreis der nach Art. 42 ff. AuG nachzugsberechtigten Personen falle und es seinen hier anwesenden nahen Angehörigen nicht zumutbar sei, ihm ins Heimatland zu folgen und dort das Familienleben zu pflegen, sei - so das Bundesgericht - eine Neubeurteilung angezeigt, wenn er sich seit der Verurteilung bzw. Strafverbüssung bewährt und sich für eine angemessene Dauer in seiner Heimat klaglos verhalten habe. Dass nach der Verurteilung des Beschwerdeführers 1 im Jahr 2006 als mildere Massnahme im Vergleich zur Ausweisung eine Verwarnung ausgesprochen worden sei, könne nicht dazu führen, dass der Beschwerdeführer 1 schlechter dastehe, als wenn er im Jahr 2006 ausgewiesen worden wäre und zusammen mit der Beschwerdeführerin 2 im Jahr 2011 ein Gesuch um Familiennachzug gestellt hätte. Der Beschwerdeführer 1 lebe seit über elf Jahren in der Schweiz. Er habe nie Sozialhilfe bezogen und keine Schulden angehäuft. Er arbeite temporär, hätte aber gerne eine Festanstellung. Seine Integration sei weder in sprachlicher noch in sozialer Hinsicht zu beanstanden; er verbringe den grössten Teil seiner Freizeit mit seiner Familie. In seinem Heimatland habe er keine engen Verwandten mehr.
5.
5.1. Den Beschwerdeführenden ist darin zuzustimmen, dass das abgeschlossene Verfahren betreffend die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht durch die Verurteilung vom 17. Januar 2006 ausgelöst worden war, sondern durch die Scheidung des Beschwerdeführers 1 von seiner ersten Ehefrau. Aus dieser Tatsache können die Beschwerdeführenden indessen nichts zu ihren Gunsten ableiten:
Weil die eheliche Gemeinschaft mehr als drei Jahre gedauert hatte, prüften sowohl das Verwaltungsgericht als auch das Bundesgericht einen Anspruch aus Art. 50 AuG, verneinten diesen jedoch wegen fehlender Integration; auch ein nachehelicher Härtefall wurde verneint. Im Zusammenhang mit Art. 50 AuG thematisierten beide Gerichtsinstanzen die Straffälligkeit des Beschwerdeführers 1. Insbesondere das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 8. September 2010 enthält diesbezüglich eine ausführliche Würdigung. Diese mündete in der Feststellung, insgesamt würden die erhebliche Straffälligkeit und die damit manifestierte kriminelle Energie des Beschwerdeführers 1 gegen das Vorliegen einer erfolgreichen Integration in der Schweiz sprechen (Urteil vom 8. September 2010 E. 4.1.2). Das Bundesgericht bestätigte diese Einschätzung implizit und hielt seinerseits im Zusammenhang mit der Beziehung zum Sohn D._ fest, der Beschwerdeführer 1 habe "namentlich angesichts seiner nicht unbedeutenden strafrechtlichen Verurteilungen zu erheblichen Klagen Anlass gegeben" (Urteil 2C_787/2010 vom 16. Juni 2011 E. 3.2).
Auch wenn nicht erwogen wurde, der Widerrufsgrund nach Art. 62 lit. b AuG sei erfüllt, spielte die wiederholte Straffälligkeit des Beschwerdeführers 1 in den Gerichtsentscheiden des abgeschlossenen Verfahrens eine massgebliche Rolle. Aufgrund der recht ausführlichen Erwägungen (insbesondere des Verwaltungsgerichts) zur Straffälligkeit des Beschwerdeführers 1 durften die Beschwerdeführenden nicht annehmen, die Verurteilung vom 17. Januar 2006 zu einer Freiheitsstrafe von 18 Monaten 2006 sei mit der Verwarnung "abgegolten" gewesen und habe im Verfahren um die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung keine Rolle gespielt. Dies umso weniger, als sich der Beschwerdeführer 1 auch nach der Verwarnung nicht klaglos verhalten hatte. Nachdem er schliesslich am 4. März 2010 noch wegen grober Verkehrsregelverletzung zu einer bedingten Geldstrafe und einer Verbindungsbusse verurteilt worden war, musste den Beschwerdeführenden vor der Eheschliessung am 1. Juni 2011 klar sein, dass die Verurteilungen auch im bevorstehenden Familiennachzugsverfahren berücksichtigt werden würden. Das Vorbringen, sie seien davon ausgegangen, das abgeschlossene Verfahren habe (lediglich) im Zusammenhang mit der Scheidung gestanden, ist nur in formeller Hinsicht zutreffend und damit nicht stichhaltig. Die Beschwerdeführenden durften folglich nicht darauf vertrauen, dass sie ihre Ehe in der Schweiz würden leben können.
5.2. Den Beschwerdeführenden kann auch in ihrer Auffassung nicht beigepflichtet werden, wonach der Beschwerdeführer 1 nicht schlechter gestellt werden dürfe, als wenn er damals im Jahr 2006 ausgewiesen (statt verwarnt) worden wäre. Die von den Beschwerdeführenden angeführte Rechtsprechung setzt gerade voraus, dass die wegen Straffälligkeit von einer ausländerrechtlichen Massnahme betroffene Person sich während einer angemessenen Zeit im Ausland bewährt hat, damit allenfalls ein Anspruch auf Familiennachzug erneut geprüft werden kann (Urteil 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3.3). Der Beschwerdeführer 1 hat die Schweiz nach dem Abschluss des ersten Verfahrens nicht verlassen, so dass er aus dieser Rechtsprechung nichts zu seinen Gunsten ableiten kann. Die seit den Betäubungsmitteldelikten verstrichene Zeit ist bei der Interessenabwägung zu berücksichtigen (vgl. E. 3.4).
6.
6.1. Ausgangspunkt für das migrationsrechtliche Verschulden ist die vom Strafgericht ausgesprochene Strafe (<ref-ruling> E. 4.2 S. 23; <ref-ruling> E. 3.1 S. 216). Diese liegt mit 18 Monaten Freiheitsentzug noch in der Nähe zur widerrufsrelevanten Schwelle von einem Jahr (vgl. E. 3.2). Allerdings wird nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts und des EGMR im Zusammenhang mit Betäubungsmitteldelikten, welche nicht der Sucht des Täters oder der Täterin entspringen, eine strenge Praxis verfolgt. Danach überwiegt bei Betäubungsmitteldelikten von einer gewissen Schwere regelmässig das öffentliche Interesse an einer Beendigung des Aufenthalts (<ref-ruling> E. 2.5 S. 149 f. mit Hinweisen auf die Rechtsprechung des EGMR; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 360; <ref-ruling> E. 7 S. 221 ff.; <ref-ruling> E. 4a/aa S. 527). In diesem Zusammenhang ist zu bemerken, dass der "Drogenhandel" zu den Anlasstaten gehört, die gemäss Art. 121 Abs. 3 lit. a BV zum Verlust aller Rechtsansprüche auf Aufenthalt in der Schweiz führen sollen. Diese Bestimmung ist zwar gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung nicht unmittelbar anwendbar (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 26), doch ist den darin enthaltenen verfassungsrechtlichen Wertungen bei der Auslegung des Gesetzes insoweit Rechnung zu tragen, als dies zu keinem Widerspruch zu übergeordnetem Recht führt (zur "praktischen Konkordanz" bei der Anwendung dieser Norm vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 34; <ref-ruling> E. 2.5 S. 150).
Die verfahrensauslösende Delinquenz endete im Januar 2005; im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils lag sie knapp neun Jahre zurück. Ein beträchtlicher Teil dieser Zeit geht indessen auf die aufschiebende Wirkung der eingelegten Rechtsmittel zurück, weshalb die Dauer bereits aus diesem Grund zu relativieren ist (Urteile 2C_496/2013 vom 15. November 2013 E. 3.4; 2C_578/2011 vom 1. Dezember 2011 E. 3.4.5). Es kommt hinzu, dass auch nach der Betäubungsmitteldelinquenz nicht von einem Wohlverhalten gesprochen werden kann: Der Beschwerdeführer 1 hat sich trotz der Verwarnung mehrere Vergehen zuschulden kommen lassen, wenngleich es sich um geringfügigere Delikte handelt. Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, lässt insbesondere die grobe Verkehrsregelverletzung darauf schliessen, dass der Beschwerdeführer 1 Mühe hat, sich an die Rechtsordnung zu halten. Von einem "ausländerrechtlich gesetzeskonformen Verhalten" kann schon deshalb nicht gesprochen werden, weil es ein solches Verhalten nicht gibt: Eine Person verhält sich entweder gesetzeskonform oder eben nicht. Dass die nach der verfahrensauslösenden Verurteilung begangenen Delikte für sich genommen keinen (weiteren) Widerrufsgrund darstellen, hilft den Beschwerdeführenden nur begrenzt, denn bei der Verhältnismässigkeit von Entfernungs- bzw. Fernhaltemassnahmen ist das seit der verfahrensauslösenden Tat gezeigte Verhalten in die Interessenabwägung einzubeziehen (vgl. E. 3.4). Der Beschwerdeführer 1 hat die ihm gebotene Chance insofern nicht genutzt, als er nach der Verwarnung weiterhin (wenn auch nur in eher geringem Ausmass) straffällig geworden ist. Ein öffentliches Interesse an der Verweigerung des Familiennachzugs ist daher zu bejahen.
6.2. Wie dargelegt, mussten die Beschwerdeführenden damit rechnen, dass die Ehe mit grosser Wahrscheinlichkeit nicht in der Schweiz würde gelebt werden können. Die Vorinstanz weist zu Recht darauf hin, dass dies bei der ersten Ehe des Beschwerdeführers 1 anders war: Jene Ehe war vor der Begehung von Straftaten geschlossen worden, weshalb ihr in der Interessenabwägung, welche zur Verwarnung geführt hatte, grösseres Gewicht zukam als der Ehe der Beschwerdeführenden (vgl. auch <ref-ruling> E. 3.6 S. 153). Nachdem die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung - unter eingehender Erörterung der wiederholten Straffälligkeit des Beschwerdeführers 1 - bereits vom Verwaltungsgericht bestätigt war, haben die Beschwerdeführenden bei der Eheschliessung das Risiko der Verweigerung des Familiennachzugs bewusst in Kauf genommen. Dies gilt insbesondere auch für die Beschwerdeführerin 2, wenngleich ihr als Schweizer Bürgerin nicht zugemutet werden kann, dem Beschwerdeführer 1 nach Nigeria zu folgen. Ferner haben die Beschwerdeführenden keine gemeinsamen Kinder. Unter diesen Umständen ist das auf die Ehe bezogene Interesse am Familiennachzug als beschränkt einzuschätzen.
Nachdem sich der Beschwerdeführer 1 - anders als im Verfahren vor der Vorinstanz - nicht mehr auf die Beziehung zu seinem Sohn D._ beruft, ist diese Frage hinfällig geworden. Zudem ist der Beschwerdeführer 1 als Erwachsener in die Schweiz gekommen und nicht besonders gut integriert. Nach einer Aufenthaltsdauer von gut elf Jahren ist es dem (im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils) 36-jährigen Beschwerdeführer 1 zumutbar, nach Nigeria zurückzukehren und dort eine Existenz aufzubauen. Der Kontakt zwischen den Eheleuten kann mittels Besuchen und elektronischen Kommunikationsmitteln aufrecht erhalten werden.
7.
Aus dem Gesagten ergibt sich, dass die Verweigerung des Familiennachzugs verhältnismässig ist. Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen.
Die Gerichtskosten sind den unterliegenden Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Ausgangsgemäss ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner