Sachverhalt:
A.
A.X._ erstattete am 5. August 2008 Strafanzeige gegen seinen ehemaligen Vermögensverwalter Y._. Dieser war zur Zeit der angeblich begangenen Straftaten Partner der S._ AG und betreute von 1999 bis 2002 das Vermögen von A.X._ sowie zwei weiteren Personen. Gemäss Anzeige und deren Ergänzungen vom 8. Juli 2009 und 20. Dezember 2010 legte Y._ A.X._ falsche Quartalsberichte vor, schloss Anlagegeschäfte trotz Stop-Loss-Order ab, kaufte weisungswidrig V._ Aktien ("Junk-Titel") und behielt Retrozessionen ein.
B.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich stellte das Verfahren am 5. September 2012 ein.
Die Beschwerde von A.X._ gegen die Einstellungsverfügung wies das Obergericht des Kantons Zürich am 5. Juli 2013 ab.
C.
A.X._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich anzuweisen, gegen Y._ Anklage zu erheben. Eventualiter sei sie anzuweisen, die Untersuchung mit den notwendigen Befragungen zu ergänzen und Anklage zu erheben.
D.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung. Y._ lässt sich vernehmen, stellt jedoch keine Anträge. A.X._ repliziert.

Erwägungen:
1.
Die Privatklägerschaft ist nach Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 5 BGG zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wenn sie vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat und wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann. Der Beschwerdeführer hat darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1). Bei Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 248). Selbst wenn dies der Fall wäre (siehe <ref-law>), würde die Staatsanwaltschaft, welche das Verfahren nicht an die Hand nimmt oder einstellt, die Zivilklage nicht behandeln (vgl. <ref-law>; Urteil 6B_936/2013 vom 14. Februar 2014 E. 1.1). In jedem Fall hat die Privatklägerschaft im Verfahren vor Bundesgericht zu erläutern, welche Zivilansprüche sie gegen die beschuldigte Person stellen möchte, sofern dies - etwa aufgrund der Natur der untersuchten Straftat - nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.4 S. 223; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer konstituierte sich im kantonalen Verfahren als Privatkläger und forderte Schadenersatz und Genugtuung vom Beschwerdegegner. Er begründet seine Zivilklage unter anderem mit dem Verlust des von ihm investierten Geldes. Seine Beschwerde genügt den dargelegten Begründungsanforderungen, weshalb darauf eingetreten werden kann.
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, es lägen keine Einstellungsgründe vor. Die gegenteilige Ansicht der Vorinstanz basiere auf einer willkürlichen Beweiswürdigung und verstosse gegen den Grundsatz "in dubio pro duriore". Die Vorinstanz verletze sein rechtliches Gehör (<ref-law>), wenn sie weder die Staatsanwaltschaft anweise, die von ihm beantragten Beweise abzunehmen, noch begründe, weshalb darauf verzichtet werden könne.
2.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweis). Diese Rüge ist vorweg zu behandeln.
2.2. Dem Beschwerdegegner wird unter anderem vorgeworfen, dem Beschwerdeführer falsche Quartalsberichte vorgelegt und ihn über den wahren Vermögensstand der verwalteten Depots im Wissen darum getäuscht zu haben, dass er dies nicht überprüfen würde. Der Beschwerdegegner habe die Tatbestände des Betrugs (<ref-law>), der Urkundenfälschung (<ref-law>) und der ungetreuen Geschäftsbesorgung (<ref-law>) erfüllt (Beschluss S. 7 Ziff. 3).
Hinsichtlich des Tatbestands der Urkundenfälschung führt die Vorinstanz aus, die Quartalsabrechnungen gehörten nicht zur Buchhaltung der S._ AG, sondern seien Rechenschaftsberichte zur Erfüllung des zwischen dem Beschwerdeführer und der S._ AG oder dem Beschwerdegegner bestehenden Vermögensverwaltungsvertrags. Ob der Beschwerdegegner in seiner Funktion als Vermögensverwalter eine garantenähnliche Stellung eingenommen habe und die von ihm erstellten Quartalsabrechnungen als Urkunden qualifiziert werden müssten, lässt die Vorinstanz offen, da der subjektive Tatbestand nicht erfüllt sei. Der Beschwerdegegner habe sich in den Einvernahmen auf den Zivilprozess berufen, welchen der Beschwerdeführer gegen die S._ AG geführt und verloren habe (siehe Urteil 4A_210/2009 vom 7. April 2010). Weitere Aussagen habe er verweigert. Es ergäben sich zu wenig klare Anhaltspunkte, um dem Beschwerdegegner nachzuweisen, dass er vorsätzlich unvollständige oder unwahre Abrechnungen habe ausstellen wollen, und dabei die Absicht gehabt habe, den Beschwerdeführer über den wahren Vermögensstand und die Verluste aus dem Effektenhandel zu täuschen. Ebenso gut sei denkbar, dass der Beschwerdegegner aus Unaufmerksamkeit oder Nachlässigkeit nicht die nötige Sorgfalt bei der Erfüllung des Vermögensverwaltungsvertrags aufgebracht habe. Der Beschwerdeführer habe vom Beschwerdegegner nie eine Gesamtübersicht über das Nettovermögen verlangt. Dies würde erklären, dass der Beschwerdegegner zeitweise den Überblick über die Geschäfte und die Gesamtvermögenslage verloren haben könnte. Der Vorwurf, der Beschwerdegegner habe dem Beschwerdeführer Belege vorenthalten, sei angesichts der Widersprüche in den Aussagen des Beschwerdeführers zweifelhaft (Beschluss S. 9 ff. Ziff. 4.3).
Zum Tatbestand des Betrugs erwägt die Vorinstanz, zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner habe kein besonderes Vertrauensverhältnis bestanden. Es könne nicht ausgeschlossen werden, dass es dem Beschwerdeführer möglich gewesen wäre, die Abrechnungen anhand der Belege zu überprüfen. Jedenfalls könne nicht nachgewiesen werden, dass der Beschwerdegegner dem Beschwerdeführer Belege vorenthalten und dadurch eine Überprüfung der Abrechnungen verunmöglicht habe. Das Tatbestandselement der Arglist sei nicht erfüllt. Auch könne nicht rechtsgenüglich festgestellt werden, dass der Beschwerdegegner den Beschwerdeführer habe täuschen wollen (Beschluss S. 13 f. Ziff. 5.3).
Beim Tatbestand der ungetreuen Geschäftsbesorgung ergäben sich nicht genügend Hinweise, dass der Beschwerdegegner seine Pflichten aus dem Vermögensverwaltungsvertrag vorsätzlich verletzt habe. Der Beschwerdegegner wäre zwar verpflichtet gewesen, den Beschwerdeführer über die Verluste rechtzeitig zu informieren. Es lasse sich aber nicht ausschliessen, dass der Beschwerdegegner die Übersicht über die Geschäftslage verloren habe oder aus Nachlässigkeit bis zum 27. Dezember 2002 untätig geblieben sei (Beschluss S. 16 Ziff. 6.3).
2.3. Der Beschwerdeführer argumentiert, seine Ehefrau habe die fehlenden Belege am 14. Februar 2003 beim Beschwerdegegner abgeholt und könne sachdienliche Hinweise zu dessen Verhalten machen. Da der Beschwerdegegner die Aussage verweigere, seien die Angaben seiner Ehefrau massgebend. Der Bankfachmann Z._ habe im Frühling 2003 den Konkurs des Ehepaars X._ verhindert. Er könne Auskunft über die Zusammensetzung und die Dokumentation des Vermögens des Beschwerdeführers nach dem 27. Dezember 2002 geben. W._ habe im Februar 2003 mit dem Beschwerdeführer die einzelnen Tradingpositionen mit den Bankabzügen abgestimmt und festgestellt, dass Belege fehlten. Er könne darlegen, welche Belege gefehlt hätten und nachträglich vom Beschwerdegegner herausgegeben worden seien.
2.4. Entsprechendes führte der Beschwerdeführer bereits vor der Vorinstanz aus (kantonale Akten, act. 2 S. 11 f. Ziff. 17). Diese äussert sich im Beschluss nicht zu den beantragten Einvernahmen. Der Beschwerdeführer hat überzeugend dargelegt, dass mindestens zwei Personen bestätigen könnten, dass der Beschwerdegegner Belege zurückbehalten habe. Die Vorinstanz begründet ihren Beschluss im Wesentlichen damit, es könne nicht nachgewiesen werden, dass der Beschwerdegegner vorsätzlich und in Täuschungsabsicht gehandelt habe. Sie weist zu Recht darauf hin, dass sich das Gericht für den Nachweis des Vorsatzes eines nicht geständigen Täters regelmässig nur auf äusserlich feststellbare Indizien und Erfahrungsregeln stützen könne, die ihm Rückschlüsse auf die innere Einstellung des Täters erlaubten (Beschluss S. 9 Ziff. 4.2; <ref-ruling> E. 8.4.1 mit Hinweisen). Sollte der Beschwerdeführer dem Beschwerdegegner bewusst Belege vorenthalten haben, könnte darin ein Indiz für ein vorsätzliches Vorgehen gesehen werden. Auch würde es darauf hindeuten, dass der Beschwerdeführer die Abrechnungen des Beschwerdegegners nicht ohne Weiteres überprüfen konnte (vgl. Beschluss S. 14 Ziff. 5.3). Die Aussagen von B.X._, Z._ und W._ sind geeignet, die Beweislage zu verändern. Indem die Vorinstanz ausführt, es könne nicht nachgewiesen werden (Beschluss S. 14 Ziff. 5.3) bzw. es sei zweifelhaft (Beschluss S. 12 Ziff. 4.3), dass der Beschwerdegegner dem Beschwerdeführer Belege vorenthalten habe, ohne sich mit den Beweisanträgen des Beschwerdeführers auseinanderzusetzen, verletzt sie sein rechtliches Gehör.
3.
Bei dieser Sachlage erübrigt es sich, auf die weiteren Rügen einzugehen.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Juli 2013 aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).
Dem Beschwerdegegner sind weder Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>) noch hat er eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>), da er keine Anträge stellte.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Juli 2013 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. April 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Andres