Faits:
A.
A.a. M. A.X._, né en 1963, et Mme B.X._, née en 1967, se sont mariés en 1988. De cette union sont issus deux enfants, C._, né en 1995, et D._, né en 2004.
A.b. Les époux sont copropriétaires depuis 1999 d'une villa à Collonge-Bellerive, où ils ont habité durant leur vie commune.
Mme B.X._ a quitté le logement conjugal en février 2013 et s'est installée provisoirement chez une amie en France voisine. Les enfants sont restés avec leur père dans la villa.
A.c. Il ressort du jugement de première instance que, ayant cessé son activité professionnelle d'informaticien en 2003, M. A.X._ se consacre depuis lors à des projets musicaux ainsi qu'à l'éducation de ses enfants. Il dispense notamment des cours de musique à son domicile.
Mme B.X._ est médecin. Elle a travaillé à plein temps jusqu'en 1999, à 80% jusqu'en janvier 2010, puis à 65% depuis lors.
B.
B.a. Statuant par jugement du 21 mars 2013 sur requête de mesures protectrices de l'union conjugale déposée par Mme B.X._ le 5 juin 2012, le Tribunal de première instance de Genève a notamment attribué à Mme B.X._ la garde des enfants (ch. 2), réservé à M. A.X._ un droit de visite sur les enfants (ch. 3), ordonné une mesure de curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles (ch. 4), attribué à Mme B.X._ la jouissance du domicile conjugal (ch. 5), imparti à M. A.X._ un délai au 30 avril 2013 pour évacuer le domicile conjugal de sa personne et de ses biens (ch. 6), et condamné Mme B.X._ à verser à M. A.X._, par mois et d'avance, à partir du moment où il aura quitté le domicile conjugal, un montant de 780 fr. à titre de contribution à son entretien (ch. 7).
Sur ordonnance du tribunal, le Service de la protection des mineurs a rendu en décembre 2012 un rapport d'évaluation sociale, dans lequel il relève que la situation ne donne pas lieu à préoccupation et que les capacités éducatives des parents sont équivalentes, le père étant toutefois plus permissif et la mère plus stricte avec les enfants.
B.b.
B.b.a. Chacune des parties a formé appel auprès de la Cour de justice du canton de Genève contre cet arrêt, en requérant l'effet suspensif.
En substance, M. A.X._ requiert la garde des enfants, sous réserve du droit de visite de Mme B.X._, la jouissance exclusive du domicile conjugal, la condamnation de Mme B.X._ à quitter ce domicile dans les 30 jours, et une contribution mensuelle à l'entretien de la famille de 7'000 fr., allocations familiales en sus, dès le 5 juin 2012.
En substance, Mme B.X._ requiert principalement l'annulation de la contribution d'entretien due à M. A.X._ et subsidiairement la limitation de cette contribution à une période de 6 mois.
B.b.b. Par arrêt du 23 mai 2013, la Présidente de la Chambre civile de la Cour de justice a suspendu l'effet exécutoire attaché au chiffre 7 du dispositif du jugement attaqué et a rejeté les requêtes d'effet suspensif pour le surplus.
C.
Par acte déposé le 25 juin 2013, M. A.X._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, avec requête de mesures superprovisoires et provisoires. Il conclut principalement à sa réforme, en ce sens qu'est ordonnée la suspension de l'effet exécutoire du jugement du Tribunal de première instance du 21 mars 2013 jusqu'à droit jugé au fond sur l'appel formé par lui, et subsidiairement à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. En substance, il se plaint de la violation de l'art. 9 Cst.
Il a également requis d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invitées à déposer leurs observations, l'intimée s'est référée à ses déterminations sur la requête de mesures provisoires déposée par le recourant, alors que l'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D.
Par ordonnance du 26 juin 2013, l'effet suspensif a été superprovisoirement accordé à l'appel du recourant contre le jugement du Tribunal de première instance du 21 mars 2013 quant à l'attribution de la garde des enfants et de la jouissance de la villa familiale à la mère.
Par ordonnance du 9 juillet 2013, ces mesures ont été confirmées à titre de mesures provisionnelles.

Considérant en droit:
1.
La décision querellée refuse de suspendre l'exécution d'une décision de mesures protectrices attribuant la garde des enfants à l'intimée, réservant un droit de visite soumis à curatelle au recourant et attribuant la jouissance exclusive de la villa familiale à l'intimée. Il s'agit là d'une décision incidente en matière civile (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 et les références).
Hormis les décisions mentionnées à l'<ref-law>, une décision préjudicielle ou incidente peut être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>). Selon la jurisprudence, la décision entreprise peut entraîner un préjudice irréparable: puisque la garde est en effet arrêtée pour la durée de la procédure, même si le recourant obtient finalement gain de cause au fond, aucune réparation ne sera possible pour la période écoulée (<ref-ruling> consid. 1 et les références). L'attribution de la garde dépendant du logement convenable du parent, il faut admettre que l'attribution de la villa familiale cause également un tel préjudice (arrêt 5A_514/2012 du 4 septembre 2012 consid. 1.1).
L'autorité cantonale n'a pas statué sur recours mais en qualité d'instance cantonale unique sur l'effet suspensif requis dans le cadre d'une procédure d'appel; le recours en matière civile est cependant admissible en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.2).
Interjeté en temps utile par une partie qui a succombé dans ses conclusions en instance cantonale, contre une décision rendue dans une contestation de nature non pécuniaire dans son ensemble (arrêt 5A_13/2013 du 11 février 2013 consid. 1 et les références), le recours est également recevable au regard des art. 100 al. 1, 76, et 74 al. 1 LTF.
2.
La décision refusant l'effet suspensif, comme celle d'exécution provisoire, et celle de retrait ou d'octroi de l'effet suspensif (<ref-ruling> consid. 2 et les références), est une décision de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law>, de sorte que seule la violation de droits constitutionnels peut être invoquée. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés conformément au principe d'allégation (<ref-law>), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.4). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2; cf. ATF 136 I précité et 134 II 244 consid. 2.1).
En particulier, le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi manifestement insoutenable (<ref-ruling> consid. 3 et les références).
3.
Le recourant se plaint de la violation de l'art. 9 Cst. en tant que l'autorité cantonale n'a pas accordé d'effet suspensif à son appel.
3.1.
3.1.1. L'autorité cantonale a jugé que, au regard de l'intérêt prépondérant des enfants, aucune circonstance exceptionnelle ne conduisait à suspendre l'effet exécutoire attaché au jugement attaqué: quant à l'aîné, qui avait exprimé le souhait de demeurer auprès de son père, il serait majeur en juillet 2013 et donc libre, dès ce moment, de décider où il veut séjourner; quant au cadet, il importait que celui-ci conserve son cadre de vie, de sorte qu'il convenait de rejeter la requête s'agissant aussi bien de la garde et du droit de visite que du logement conjugal, étant précisé que, si le recourant quittait ce lieu, rien ne laissait supposer qu'il ne pourrait pas le réintégrer par la suite, louer provisoirement une chambre meublée et venir dans le logement conjugal pour dispenser ses cours de musique. Enfin, l'autorité cantonale a relevé que les deux parties concluaient à la suspension de l'effet exécutoire du chiffre 7 du dispositif de la décision attaquée (contribution d'entretien en faveur du recourant), de sorte qu'elle a accordé l'effet suspensif dans cette seule mesure.
3.1.2. Le recourant soutient que la décision attaquée est arbitraire, en tant qu'elle fait fi de la répartition des rôles durant la vie commune, à savoir qu'il s'occupait des enfants, et qu'un changement à cet égard bouleverserait l'équilibre de ceux-ci. Il ajoute que, même à supposer qu'il puisse louer une chambre meublée, il ne pourrait pas y accueillir ses enfants, ni pour manger ni pour dormir; il ne pourrait pas non plus y dispenser ses cours de musique, seule activité lucrative qu'il exerce, et il est selon lui illusoire de penser que son épouse le laisserait revenir à cette fin dans le logement conjugal, au vu des relations tendues qui existent entre eux.
3.1.3. L'intimée reprend les arguments de l'autorité cantonale et affirme qu'il est dans l'intérêt de l'enfant cadet de demeurer auprès d'elle. Ses autres arguments, fondés sur des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué et dont elle ne démontre pas l'établissement arbitraire sont irrecevables, faute de motivation conforme au principe d'allégation (cf. supra consid. 2). Au demeurant, pour les raisons qui suivent, les faits allégués - soit les motifs qui l'auraient poussée à quitter le logement conjugal et le fait que, durant la vie commune, le recourant ne se serait occupé ni des enfants ni du ménage - ne sont pas susceptibles d'influer sur le sort de la cause.
3.2.
3.2.1. L'appel n'a en principe pas d'effet suspensif lorsqu'il a pour objet des décisions portant sur des mesures provisionnelles (<ref-law>). À teneur de l'<ref-law>, l'exécution des mesures provisionnelles peut exceptionnellement être suspendue si la partie concernée risque de subir un préjudice difficilement réparable. Saisie d'une demande d'effet suspensif, l'autorité de recours doit faire preuve de retenue et ne modifier la décision de première instance que dans des cas exceptionnels; elle dispose cependant d'un large pouvoir d'appréciation permettant de tenir compte des circonstances concrètes du cas d'espèce. Les mesures protectrices de l'union conjugale, comme les mesures provisionnelles rendues dans une procédure de divorce, constituent des mesures provisionnelles au sens de l'art. 315 al. 4 let. b et 5 CPC (<ref-ruling> consid. 4.3.1; <ref-ruling> consid. 4.1 et les références).
3.2.2. Selon la jurisprudence rendue en matière de procédures de mesures protectrices ou de mesures provisionnelles pour la durée de la procédure de divorce, les principes suivants sont applicables:
Lorsqu'en vertu de la décision de première instance, l'enfant demeure chez le parent qui prenait principalement soin de lui avant l'introduction de la procédure (parent de référence/ Bezugsperson ), l'instance d'appel doit rejeter la requête d'effet suspensif du parent sollicitant un changement de garde, des motifs sérieux devant toutefois être réservés, notamment lorsque la décision attaquée menace le bien de l'enfant et apparaît manifestement infondée (<ref-ruling> consid. 4.3.2; arrêt 5A_780/2012 du 8 novembre 2012 consid. 3.3.2).
En revanche, lorsque le juge de première instance statue sur la garde ou modifie celle-ci de sorte que l'enfant devrait être séparé du parent qui prend actuellement soin de lui, le bien de l'enfant commande alors, dans la règle, de maintenir les choses en l'état et de laisser celui-ci auprès de la personne qui lui sert de référence. La requête d'effet suspensif du parent qui entend conserver la garde doit ainsi généralement être admise, sauf si l'appel paraît sur ce point d'emblée irrecevable ou manifestement infondé (<ref-ruling> consid. 4.3.2; arrêt 5A_194/2012 du 8 mai 2012 consid. 5.1.3). Le fait que la décision querellée ne paraisse pas insoutenable n'est en revanche pas suffisant pour refuser l'effet suspensif (<ref-ruling> consid. 4.3.2; arrêt 5A_780/2012 du 8 novembre 2012 consid. 3.3.2 et les références).
3.3. En l'espèce, l'autorité cantonale a versé dans l'arbitraire en s'écartant de la jurisprudence précitée sans motifs convaincants: au moment où elle a statué sur l'effet suspensif, le 23 mai 2013, les enfants demeuraient auprès de leur père, dans la villa familiale, l'intimée ayant quitté ce logement en février 2013. Par ailleurs, selon les conclusions du SPMi que l'autorité cantonale a reprises, les capacités éducatives de parents sont équivalentes. Enfin, il ne ressort pas de la décision attaquée que l'appel du recourant paraîtrait d'emblée irrecevable ou manifestement infondé.
Au vu de ce qui précède, l'autorité cantonale a violé l'art. 9 Cst. dans l'application de l'<ref-law> en refusant d'accorder l'effet suspensif à l'appel interjeté par le recourant, de façon à ce que les enfants puissent continuer à demeurer auprès de leur père, parent de référence à ce stade, dans la villa familiale pour la durée de la procédure d'appel.
4.
En conclusion, le recours en matière civile est admis et la décision attaquée est réformée en ce sens que l'effet exécutoire attaché au dispositif du jugement JTPI/4347/2013, rendu le 21 mars 2013 par le Tribunal de première instance est suspendu jusqu'à droit connu sur l'appel. Vu la situation économique du recourant qui a de plus en charge les enfants, dont les revenus ont été fixés en première instance au maximum à 2'500 fr. par mois et dont les conclusions n'étaient par ailleurs pas dénuées de chances de succès, il convient d'accéder à sa requête d'assistance judiciaire (<ref-law>), Me Alain Berger lui étant désigné comme avocat d'office.
L'intimée doit être condamnée au paiement des frais et dépens de l'instance fédérale (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). En l'occurrence, il y a lieu de faire une réserve concernant le paiement des honoraires de l'avocat d'office par la Caisse du Tribunal fédéral.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et la décision attaquée réformée en ce sens que l'effet exécutoire attaché au dispositif du jugement JTPI/4347/2013, rendu le 21 mars 2013 par le Tribunal de première instance est suspendu jusqu'à droit connu sur l'appel.
2.
La demande d'assistance judiciaire du recourant est admise et Me Alain Berger lui est désigné comme avocat pour la procédure fédérale.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
Une indemnité de 1'500 fr., à payer à l'avocat du recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée. Au cas où ces dépens ne pourraient être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera à Me Alain Berger une indemnité de 1'500 fr. à titre d'honoraires
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 11 septembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Achtari