Sachverhalt:
A. A.a X._ wurde am 7. Dezember 1961 geboren. Seit 1998 bezieht sie aufgrund von Depressionen, chronischem Alkoholabusus und Folgeerkrankungen (Leberzirrhose, Kleinhirnataxie, chronisches Rücken-Schmerzsyndrom) monatliche Rentenleistungen von Fr. 7'066.--.
A.b Nachdem X._ im September 2008 aufgrund ihres schlechten Gesundheitszustandes ins Kantonsspital Graubünden eingeliefert werden musste, liess sie sich am 7. Juli 2009 erneut im Kantonsspital Graubünden hospitalisieren, wo am 16. Juli 2009 eine fürsorgerische Freiheitsentziehung verfügt und sie in die Klinik Z._ eingewiesen wurde. Mit der Einweisung wurden die Psychiatrischen Dienste Graubünden beauftragt, ein Gutachten zum Gesundheitszustand und der Handlungsfähigkeit von X._ zu erstellen. Gleichzeitig wurde für die Zeit des Klinikaufenthaltes eine Vertretungsbeistandschaft nach <ref-law> angeordnet. Die Psychiatrischen Dienste erstatteten ihr Gutachten am 28. Dezember 2009, in dem sie zum Ergebnis kamen, es liege eine Geistesschwäche im Sinne von <ref-law> und eine Alkoholabhängigkeit im Sinne der Trunksucht nach <ref-law> vor. X._ sei in allen Lebensbereichen auf Unterstützung angewiesen und deshalb empfehle sich eine Bevormundung und Unterbringung in einem Pflegeheim. In einer Ergänzung des Gutachtens vom 22. Januar 2010 wurde sodann festgehalten, dass sich der Gesundheitszustand geringfügig verbessert habe.
B. Gestützt auf das Gutachten entmündigte die Vormundschaftsbehörde X._ mit Entscheid vom 9. Februar 2010 in Anwendung von <ref-law>. Eine Beschwerde von X._ gegen diesen Beschluss wies der Bezirksgerichtsausschuss B._ mit Entscheid vom 17. Mai 2010 ab. Der von X._ erhobenen Berufung gab das Kantonsgericht Graubünden mit Urteil vom 30. August 2010 nicht statt.
C. Gegen das Urteil des Kantonsgerichts gelangt X._ mit Beschwerde vom 16. November 2010 an das Bundesgericht. Sie verlangt zur Hauptsache die Aufhebung der Vormundschaft. Allenfalls sei die Sache zur Aufhebung der Vormundschaft an das Kantonsgericht von Graubünden zurückzuweisen. Vernehmlassungen sind nicht eingeholt worden.
D. Auf Antrag der Beschwerdeführerin hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts am 18. März 2011 der Beschwerde in dem Sinne aufschiebende Wirkung zuerkannt, dass die Entmündigung vorerst nicht publiziert werden darf.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>; <ref-law>) betreffend Entmündigung und damit ein öffentlich-rechtlicher Entscheid im Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Er ist kantonal letztinstanzlich und von einem oberen Gericht erlassen worden (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit gegeben.
1.2 Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 und Art. 96 BGG beanstandet werden. Das Bundesgericht ist im Beschwerdeverfahren aber an den von der letzten kantonalen Instanz festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Gegen die Feststellung des Sachverhalts lässt sich somit nur vorbringen, sie sei offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis), oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law>, soweit die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Es gilt das strenge Rügeprinzip gemäss <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am festgestellten Sachverhalt nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots beanstandet, reicht es nicht aus, die eigene Sichtweise darzustellen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht in Willkür verfallen sein soll (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4.3 S. 522).
Die Beschwerdeführerin kritisiert in erster Linie, der angefochtene Entscheid sei insofern widersprüchlich, als das Kantonsgericht bezüglich der Trunksucht auf das Gutachten abstelle, welches es selbst als nicht schlüssig und nicht aktuell bezeichne. Überdies ziehe es aus dem Bericht der Beiständin falsche Schlüsse, indem es immer noch von einer umfassenden und andauernden Betreuungsbedürftigkeit ausgehe. Damit wird sowohl eine falsche Anwendung des Begriffs der Betreuungsbedürftigkeit gerügt als auch eine falsche Würdigung der Feststellungen im Gutachten geltend gemacht. Die Beschwerdeführerin beanstandet somit einerseits eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung und andererseits eine falsche Anwendung des Bundesrechts, was wie dargelegt zulässig ist. Soweit sich ihre Kritik allerdings bloss in appellatorischer Weise gegen die Beweiswürdigung als solche richtet, ist sie mit ihren Vorbringen nicht zu hören.
2. Die Beschwerdeführerin ist gemäss dem sowohl vom Bezirksgericht B._ wie auch vom Kantonsgericht geschützten Entscheid der Vormundschaftsbehörde nach <ref-law> entmündigt worden. Aufgrund der durch die gerichtlichen Instanzen bestätigten Dispositivziffer 2 des vormundschaftsbehördlichen Entscheides vom 9. Februar 2010 steht ausschliesslich dieser Entmündigungsgrund zur Diskussion; eine Entmündigung nach <ref-law> fällt ausser Betracht.
2.1 Eine Entmündigung nach <ref-law> setzt zum einen voraus, dass eine Person sich oder ihre Familie der Gefahr eines "Notstandes oder der Verarmung aussetzt, zu ihrem Schutze dauernd des Beistandes und der Fürsorge" bedarf "oder die Sicherheit anderer gefährdet". Zum andern umschreibt das Gesetz die Ursachen, auf welche diese Gefahren zurückzuführen sein müssen. Im vorliegenden Fall steht diesbezüglich ausschliesslich die Trunksucht im Raum.
2.2 Von den verschiedenen in <ref-law> aufgeführten Tatbestandsvarianten kommt vorliegend die Gefahr einer Verarmung nicht infrage. Mit Blick auf ein monatliches Einkommen von rund Fr. 7'000.- ist das bescheidene Vermögen für den Lebensunterhalt der Beschwerdeführerin ohne Bedeutung. Die Erhaltung des Vermögens stellt folglich keinen Grund für eine Entmündigung dar. Das Einkommen kann aber durch die Beschwerdeführerin nicht gefährdet werden, da es sich um Rentenleistungen handelt. Dass eine Gefahr bestünde, durch unsinnige Geschäfte Schulden anzuhäufen, ist nicht dargetan. Dem Umstand, dass die Betroffene offenbar keine Steuererklärungen ausfüllt, kann mit milderen Massnahmen als mit einer Entmündigung begegnet werden, soweit diesbezüglich überhaupt ein vormundschaftliches Handeln geboten ist. Da sich auch die Gefahr eines Notstandes auf die wirtschaftlichen Verhältnisse bezieht (vgl. Ernst Langenegger, in: Honsell/ Vogt/Geiser, Basler Kommentar, 4. Aufl. 2010, N. 10 zu <ref-law>), ist auch diese Tatbestandsvariante hier nicht näher zu erörtern. Das Kantonsgericht hat zu Recht die entgegengesetzte Argumentation des Bezirksgerichts verworfen. Nachdem auch keine Gefährdung Dritter zu sehen ist, verbleibt als mögliche Variante somit nur das Bedürfnis nach dauerndem Beistand und dauernder Fürsorge.
3. 3.1 Auch wenn <ref-law> die ärztliche Begutachtung der betroffenen Person nicht als formelle Voraussetzung der Entmündigung aufstellt, liegt auf der Hand, dass sowohl die Beistands- und Fürsorgebedürftigkeit wie auch deren Grund, nämlich die Trunksucht, nicht ohne Beurteilung durch Fachpersonen festgestellt werden können. Die Vormundschaftsbehörde und das Bezirksgericht stützten sich denn auch auf ein medizinisches Gutachten. Damit setzt sich das Kantonsgericht ausführlich auseinander und hält es - wie die Beschwerdeführerin richtig bemerkt - teilweise für nicht aktuell und teilweise für widersprüchlich. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz Willkür vor, weil sie trotz dieser Feststellungen dennoch teilweise auf das Gutachten abstellt. Sie übersieht dabei indes, dass die Vorinstanz diesbezüglich zusammenfassend zu folgenden Schlüssen kommt:
"Entgegen der Auffassung der Vorinstanz lässt dieser Widerspruch durchaus Zweifel an der Schlüssigkeit des Gutachtens - zumindest hinsichtlich eines Teils der Diagnose und der daraus abgeleiteten Schutzbedürftigkeit der Berufungsklägerin - aufkommen. Auf dieses wird deshalb nur insoweit abgestellt werden können, als es durch die neueren Beurteilungen der behandelnden Ärzte wie auch durch die seitherige Entwicklung der Berufungsklägerin, namentlich seit ihrem Austritt aus der Klinik A._, nicht widerlegt wurde."
Das Kantonsgericht differenziert somit, indem es zwischen jenen Teilen und Schlüssen des Gutachtens unterscheidet, bei denen die genannten Mängel sich auswirken und jenen Feststellungen, die davon nicht betroffen sind. Insoweit kann dem Kantonsgericht aber nicht vorgeworfen werden, es argumentiere widersprüchlich; der Willkürvorwurf ist unbegründet.
3.2 Wie das Kantonsgericht richtig festhält, deckt sich der rechtliche Begriff der Trunksucht nicht mit dem medizinischen. Trunksucht im Sinne des Gesetzes liegt vor, wenn jemand mangels Einsicht oder Willens auf Dauer nicht mehr in der Lage ist, aus eigener Kraft auf den übermässigen Genuss von Alkohol zu verzichten (vgl. Langenegger, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>). Der rechtliche Begriff ist weiter als der medizinische, sodass vormundschaftliche Massnahmen ergriffen werden können, bevor eine Schädigung im medizinischen Sinne eingetreten ist (Schnyder/Murer, Berner Kommentar, 1984, N. 72 und 109 ff. zu <ref-law>). Dieser weite Begriff erlaubt es auch, aufgrund der konkreten Umstände und der Eigenschaften der betroffenen Person zu bestimmen, was als Übermass beim Alkoholkonsum zu betrachten ist. Das Kantonsgericht ist somit von einem zutreffenden Begriff der Trunksucht ausgegangen.
Die Vorinstanz nahm eine Trunksucht im dargelegten Sinne aufgrund verschiedener Umstände des Einzelfalls an. Insofern handelt es sich um eine vom Bundesgericht nur auf Willkür zu überprüfende Beweiswürdigung. Im Einklang mit seinen allgemeinen Ausführungen zum medizinischen Gutachten stellt das Kantonsgericht nicht auf dieses allein, ja nicht einmal in erster Linie darauf ab. Es berücksichtigt vielmehr die Stellungnahme der verschiedenen Ärzte und Betreuungspersonen und würdigt auch die Abstinenzphasen der Beschwerdeführerin. Es hält zudem aufgrund eines neueren ärztlichen Zeugnisses fest, dass der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin eine vollständige Abstinenz erfordere, wenn eine vorsichtig positive Prognose möglich sein soll. Überdies würdigt das Gericht das Verhalten der Betroffenen dahin, dass die Zurückhaltung im Alkoholkonsum nur unter Druck des Entmündigungsverfahrens und der damit verbundenen Betreuung erfolgt. Das Gericht hat damit sehr wohl auf weitere Umstände und nicht nur auf das von ihm selbst teilweise in Zweifel gezogene Gutachten abgestellt. Diese Beweiswürdigung hält somit vor dem Vorwurf der Willkür stand.
3.3 Der Begriff des Bedürfnisses nach dauerndem Schutz oder dauernder Fürsorge ist in <ref-law> gleich auszulegen wie in <ref-law> (Schnyder/Murer, a.a.O., N. 185 zu <ref-law>). Es geht dabei in erster Linie um die persönlichen Angelegenheiten, nicht um die Vermögensfürsorge. Der Begriff "Beistand und Fürsorge" ist als Einheit auszulegen. Beistand und Fürsorge besteht insbesondere darin, einer Person zu helfen, sich im Alltag zu Recht zu finden, wenn sie dies allein nicht kann. Es geht um alltägliche Dinge, wie zum Beispiel Körperpflege, Haushaltführung, regelmässige Ernährung. Der Schwächezustand muss von einer gewissen Dauer sein, wie das Gesetz ausdrücklich festhält (Langenegger, a.a.O., N. 27 zu <ref-law>). Allerdings kann das nicht bedeuten, dass bei jeder Verbesserung der Entmündigungsgrund sofort entfiele. Die gegenüber der medizinischen Begriffsbestimmung vorverlegte Definition der Trunksucht zeigt, dass eine Drehtürvormundschaft vermieden werden soll. Es ist nicht im Sinne des Schutzes der betroffenen Person, die Massnahme nur zu verfügen, wenn sich der Zustand verschlechtert hat, sie aber bei einer Besserung aufzuheben und sie später wieder anzuordnen, sobald sich der Zustand erwartungsgemäss wieder verschlechtert hat.
Die Vorinstanz stellt fest, dass sich zwar der Allgemeinzustand der Beschwerdeführerin erheblich verbessert habe und sie nicht mehr in allen Lebensbereichen des Beistandes und der Fürsorge bedürfe. Die Verbesserung sei aber die Folge des Klinikaufenthaltes mit der damit verbundenen vollständigen Abstinenz, die nun nicht mehr so bestehe, des von der Beiständin organisierten und aufrecht erhaltenen Betreuungsnetzes und des sanften Drucks durch das Entmündigungsverfahren. Das Kantonsgericht schliesst daraus, dass sich die Verhältnisse sehr schnell wieder verschlechterten, wenn der Druck entfiele und dann auch die freiwillige Betreuung nicht mehr sichergestellt wäre. Daraus ergibt sich auch, dass die Beschwerdeführerin ohne die Betreuung nicht auskommt. Die Frage ist damit nur, ob es für diese Betreuung einer vormundschaftlichen Massnahme bedarf oder nicht.
Diese Ausführungen im angefochtenen Entscheid zeigen, dass das Kantonsgericht den Begriff der Betreuungs- und Fürsorgebedürftigkeit sehr wohl bundesrechtskonform ausgelegt hat. Zu Recht hält die Beschwerdeführerin fest, dass der benötigte Schutz nicht nur geringfügige Angelegenheiten betreffen darf. Die Entmündigung ist ein äusserst schwerer Eingriff in die persönliche Freiheit einer Person und darf deshalb nicht leichtfertig angeordnet werden. Die Vorinstanz geht aber davon aus, dass die Beschwerdeführerin für eine regelmässige und kontinuierliche Regelung elementarer Lebensbedürfnisse auf Hilfe angewiesen ist, die sie eben nur sehr beschränkt selbst organisieren kann. Insofern verkennt die Beschwerdeführerin die Argumentation des Kantonsgerichts.
Soweit es um die der Beurteilung zugrunde liegenden Tatsachen geht, kann der Vorinstanz auch keine Willkür in der Sachverhaltsfeststellung vorgeworfen werden. Sie hat sich hier nicht einfach auf das fragliche Gutachten der Psychiatrischen Dienste abgestützt, sondern vielmehr die gesamten auch neueren Informationen in die Entscheidfindung einfliessen lassen und gegeneinander abgewogen. Die dagegen vorgebrachte Kritik der Beschwerdeführerin erschöpft sich im Wesentlichen in einer appellatorischen und damit nicht zulässigen Kritik an der Beweiswürdigung der Vorinstanz.
3.4 Schliesslich weist die Beschwerdeführerin zu Recht darauf hin, dass die vormundschaftliche Massnahme verhältnismässig sein muss. Entsprechend ist die Stufenfolge der vormundschaftlichen Massnahmen zu beachten. Es fragt sich, ob nicht eine leichtere Massnahme, wie beispielsweise eine Beistandschaft ausgereicht hätte. Das Kantonsgericht argumentiert im Zusammenhang mit der Notwendigkeit der Fürsorge und des Beistandes selbst damit, dass das "Feindbild" Vormundschaftsbehörde bei der Beschwerdeführerin Ressourcen mobilisiere, welche vorher verkümmert seien. Dieses Feindbild bestünde aber wohl auch, wenn zurzeit nur eine Beistandschaft errichtet würde, sodass der Beistand eine gewisse Kontrolle ausüben und bei einer Verschlechterung eine Vormundschaft beantragen könnte.
Indessen kommt bei der Wahl der geeigneten Massnahme dem Sachgericht ein erhebliches Ermessen zu (vgl. dazu z.B. Urteil 5A_540/2009 vom 29. Oktober 2009 E. 2.). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide übt das Bundesgericht Zurückhaltung. Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände nicht in Betracht gezogen hat, die hätten beachtet werden müssen. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 51; <ref-ruling> E. 4.3 S. 576; je mit Hinweisen). Insoweit kann auch hier der Entscheid der Vorinstanz nicht beanstandet werden. Verbessert sich allerdings der Zustand weiter, sollte die Vormundschaftsbehörde sehr schnell die Massnahme überprüfen und gegebenenfalls durch eine leichtere ersetzen bzw. sie ersatzlos aufheben.
4. Die Beschwerde ist folglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Damit wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>).
5. Die Beschwerdeführerin ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Diese ist einer bedürftigen Partei zu gewähren, wenn ihr Rechtsmittel nicht aussichtslos ist (<ref-law>). Letztere der beiden kumulativen Voraussetzungen ist hier ohne Weiteres gegeben. Inwiefern aber bei einem Einkommen rund Fr. 7'000.- Bedürftigkeit vorliegen soll, legt die Beschwerdeführerin nicht substanziiert dar. Sie beschränkt sich vielmehr darauf, auf das relativ hohe Einkommen, auf Steuerschulden und die hohen Krankenkosten in der Vergangenheit hinzuweisen, und kommt damit der Obliegenheit nicht nach, ihre aktuellen Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend offenzulegen und auszuweisen (<ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.). Ist aber die Bedürftigkeit nicht erstellt, führt dies zur Abweisung des Gesuchs.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin der Vormundschaftsbehörde Y._ und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden