Faits:
A.
A.a. Par décisions des 4 mars et 1 er avril 2003, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a mis A._ au bénéfice d'une demi-rente de l'assurance-invalidité à partir du 1 er décembre 1998, puis d'une rente entière, fondée sur un taux d'invalidité de 80 % dès le 1 er août 2001. Il a considéré que la capacité de travail de l'assuré dans son activité de menuisier indépendant était considérablement restreinte depuis le 28 juin 1997, date à laquelle il avait été victime d'un accident de la circulation entraînant un traumatisme thoraco-abdominal, une contusion au genou droit et une entorse à la cheville droite; l'état de santé de l'intéressé s'était encore aggravé depuis le mois de mai 2001.
A.b. Initiant une procédure de révision en octobre 2009, l'office AI a recueilli divers rapports médicaux. Il a également soumis A._, qui continuait d'exercer une activité d'artisan indépendant à temps partiel, à un examen auprès du docteur B._, spécialiste FMH en médecine interne. Dans son rapport du 28 janvier 2011, ce médecin a conclu à une capacité de travail entière dans la profession exercée jusqu'alors. Le 6 février 2012, l'office AI a rendu une décision par laquelle il a supprimé la rente de l'assuré à partir du 1 er avril suivant, au motif que celui-ci avait recouvré une pleine capacité de travail dans toute activité.
B.
A._ a déféré cette décision à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre des assurances sociales. Celle-ci a mis en oeuvre une expertise auprès de la doctoresse C._, spécialiste FMH en rhumatologie, qui a établi son rapport le 14 mars 2013. La Chambre des assurances sociales a également confié une expertise au docteur D._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, qui a rendu ses conclusions le 1 er octobre 2013. Par jugement du 15 janvier 2014, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours; elle a réformé la décision administrative en ce sens que la rente d'invalidité entière était remplacée par une demi-rente dès le 1 er avril 2012.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'office AI demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et de confirmer sa décision du 6 février 2012.
Invité à se prononcer sur la requête d'octroi de l'effet suspensif également présentée par l'office AI, A._ se détermine spontanément aussi sur le recours quant au fond et conclut à son rejet, sous suite de frais et dépens.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), n'examine en principe que les griefs invoqués (<ref-law>) et fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire de manière arbitraire et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références).
2.
Le litige en instance fédérale porte sur le point de savoir si la juridiction cantonale a réduit à juste titre, par la voie de la révision, la rente entière allouée à l'intimé jusque-là à une demi-rente à partir du 1 er avril 2012, au lieu de la supprimer à cette date, comme le soutient le recourant en se référant à sa décision du 6 février 2012.
Le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales et les principes jurisprudentiels sur la notion et l'évaluation de l'invalidité, ainsi que sur la révision (<ref-law>) et le principe de la libre appréciation des preuves. Il suffit d'y renvoyer.
3.
3.1. Dans un premier moyen de nature formelle, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu en ne se prononçant pas sur certains aspects du litige - valeur probante des expertises médicales au dossier et caractère invalidant des troubles réactionnels de l'assuré à la décision du 6 février 2012 -, qu'il avait cependant évoqués en procédure cantonale.
3.2. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre aux exigences de motivation, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision; elle n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 2b p. 102 s.).
En l'occurrence, le jugement attaqué indique de manière suffisamment claire les motifs retenus, qui ont trait en particulier au défaut d'une modification notable des circonstances au sens de l'<ref-law>, même si la juridiction cantonale n'a pas pris position sur tous les arguments invoqués dans le recours. Sous l'angle de l'obligation de motivation, le grief de violation du droit d'être entendu se révèle ainsi mal fondé. Par ailleurs, en reprochant à la juridiction cantonale de n'avoir pas examiné la valeur probante de certains rapports médicaux au dossier, le recourant soulève un grief qui se confond avec un moyen concernant les règles sur l'appréciation des preuves en instance cantonale (art. 61 let. c LPGA). Il convient donc de l'examiner avec le fond du litige.
4.
Examinant l'évolution de l'état de santé de l'assuré entre le moment des décisions initiales des 4 mars et 1 er avril 2003 et celui de la décision administrative litigieuse, l'autorité cantonale de recours a considéré qu'était seule déterminante une éventuelle modification sur le plan psychique. Selon elle, la décision de rente avait en effet été fondée sur une incapacité de travail de 80 % due à des troubles psychiques (cf. rapport de la doctoresse E._, psychiatre traitant, du 25 octobre 2002). S'appuyant sur les conclusions du docteur D._, la juridiction cantonale a constaté que l'état de santé psychique de l'intimé ne s'était pas amélioré, de sorte qu'il n'y avait pas de motif de révision au sens de l'<ref-law>.
Les premiers juges se sont ensuite penchés sur les conséquences des atteintes à la santé sur la capacité de gain de l'assuré. Ils ont constaté que son chiffre d'affaires avait augmenté, ce qui démontrait qu'il disposait d'une capacité de travail supérieure à celle qui avait été retenue en 2003 (20 %). Compte tenu de l'évolution du bénéfice brut à hauteur de 35,72 %, ils ont fixé à 55 % la capacité de gain de l'assuré au moment de leur prononcé (soit 20 % [capacité de travail en 2003] + 35 %). Ce taux justifiait le maintien d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1 er avril 2012.
5.
Comme le soutient à juste titre le recourant, le jugement entrepris repose sur des constatations de fait manifestement inexactes au sens de l'<ref-law>. En effet, pour retenir l'absence d'une amélioration de l'état de santé psychique de l'intimé, la juridiction cantonale s'est fondée essentiellement sur une conclusion de l'expertise psychiatrique judiciaire, prise isolément. Elle n'a pas, à l'inverse, pris en compte les constatations du docteur D._ dans son ensemble pour en faire une appréciation globale au regard de la question litigieuse.
5.1. À la lecture de l'expertise du docteur D._, on constate certes que le médecin, invité à se prononcer sur la question d'une éventuelle amélioration de l'état de santé psychique de l'assuré depuis mars 2003, a répondu que "l'état psychique de M. A._ est stable depuis mars 2003". Il ressort toutefois de ses constatations établies à l'issue de deux entretiens avec l'intimé et d'un bilan neuropsychologique, que l'assuré ne présentait plus les symptômes à la base des trois types de diagnostics (troubles cognitifs, anxieux et dépressifs) qui avaient été évoqués par le passé, notamment par la doctoresse E._ en 2002.
Le docteur D._ a indiqué de façon circonstanciée que l'assuré ne souffrait pas de troubles de la concentration et de la mémoire, les résultats du bilan neuropsychologique mettant en évidence des résultats quasiment normaux, sous réserve de discrètes altérations n'ayant pas de répercussions sur son activité lucrative. Les troubles anxieux devaient également être écartés, les indices y relatifs n'apparaissant pas de façon significative: les éléments décrits par le patient relevaient de tendances anxieuses, d'une certaine irritabilité et nervosité, sans correspondre cependant à un diagnostic de trouble anxieux au sens de la Classification internationale des maladies (CIM-10). L'expert n'avait pas non plus perçu et constaté de facteurs conduisant à diagnostiquer un trouble dépressif. Aussi, avait-il conclu que l'intimé souffrait d'une dysthymie, soit un trouble anxio-dépressif chronique et reconnu, mais d'intensité faible et sans répercussion significative sur la capacité de travail; l'assuré ne présentait pas, au moment de l'expertise, d'incapacité de travail sur le plan psychiatrique.
5.2. Au regard de l'ensemble de ces observations, comparées à celles faites au moment de la décision initiale de rente, la constatation du jugement entrepris selon laquelle l'état de santé psychique de l'assuré ne s'était pas amélioré apparaît manifestement erronée. En effet, comme le met en évidence l'expert, un certain nombre d'indices et de signes objectifs sur lesquels avaient été fondées les conclusions médicales au moment de la décision initiale de rente faisaient défaut en octobre 2013. Ainsi, dans son rapport du 6 novembre 2002, la doctoresse E._ avait fait état de troubles de la mémoire et de la concentration, ainsi que de crises de panique sans agoraphobie, en mentionnant les plaintes du patient y relatives ("palpitations, angoisse de mort, douleurs dans les membres ou le ventre, sueurs froides, respiration courte"). Ces plaintes ne se retrouvent plus dans l'expertise du docteur D._. Les investigations neuropsychologiques qu'il a mises en oeuvre (telles que préconisées par la doctoresse E._ dans un rapport du 9 avril 2013) ont par ailleurs montré "des performances dans la norme, voire supérieures à la moyenne à la majorité des fonctions testées" (rapport du 1 er octobre 2013). Elles ont donc permis d'écarter tout symptôme de troubles cognitifs.
En conséquence, il y a lieu de s'écarter des constatations du jugement entrepris et de retenir que l'intimé ne souffrait plus d'une atteinte psychiatrique limitant sa capacité de travail au moment de la décision administrative litigieuse.
6.
Il convient ensuite d'examiner l'évolution de l'état de santé du recourant sur le plan somatique. En l'absence de toute constatation de la juridiction cantonale à ce sujet, la cour de céans peut elle-même constater les faits déterminants et les apprécier (<ref-law>), puisqu'elle est en mesure de le faire au regard des pièces médicales au dossier, en particulier de l'expertise judiciaire mise en oeuvre par l'autorité cantonale de recours.
6.1. Dans son rapport du 14 mars 2013, la doctoresse C._ a indiqué que l'assuré présentait certaines limitations (positions debout prolongées, travaux lourds, port répété de lourdes charges, positions accroupie ou agenouillée, marche en terrain irrégulier et dans les escaliers) dues aux atteintes diagnostiquées (gonalgies bilatérales, prédominant à droite, sur gonarthose débutante, douleurs de la cheville droit avec troubles dégénératifs discrets de l'astragalo-scaphoïdienne et instabilité résiduelle à la suite d'une entorse de la cheville droite en 1997, lombalgies chroniques avec de discrets troubles statiques lombaires). Elle a conclu à une capacité de travail de 50 % dans l'activité habituelle et à 100 % dans une activité adaptée, ainsi qu'à une absence d'amélioration de l'état de santé sur le plan rhumatologique depuis le début de l'année 2003.
6.2. Compte tenu de la jurisprudence sur la valeur probante d'une expertise judiciaire, dûment rappelée par le jugement entrepris, il n'y a pas lieu de s'écarter des conclusions de la doctoresse C._, dont le rapport ne contient pas de contradictions, ni n'est mis sérieusement en doute par d'autres spécialistes émettant une opinion contraire.
C'est en vain, en particulier, que le recourant tente d'opposer les conclusions du docteur B._ à celles de l'expert judiciaire. La juridiction cantonale a précisément mis en oeuvre l'examen auprès de la doctoresse C._, afin d'éclaircir la situation médicale qui ne lui paraissait pas suffisamment établie au vu du rapport du docteur B._, notamment en l'absence de tout examen radiologique récent (cf. ordonnance d'expertise du 26 septembre 2012). L'expert judiciaire a par ailleurs expliqué les raisons pour lesquelles son examen clinique ne rejoignait pas entièrement celui de son confrère B._ (expertise, p. 14). Pour le reste, l'avis succinct du Service médical régional du recourant du 12 avril 2013 ne peut être considéré comme une appréciation suffisamment étayée émanant d'un spécialiste susceptible de mettre sérieusement en doute les conclusions d'une expertise judiciaire.
De son côté, l'intimé ne peut rien tirer non plus du fait que la doctoresse C._ n'aurait pas tenu compte des séquelles abdominales qu'il présenterait encore. La rhumatologue a en effet mentionné les plaintes de l'assuré y relatives et son examen clinique a également porté sur l'abdomen. Même si elle a indiqué ne pas avoir d'explication aux douleurs abdominales récidivantes, l'expert judiciaire a cependant effectué une évaluation globale de l'état de santé de l'assuré sur le plan somatique et a tenu compte de ses plaintes dans l'évaluation de la capacité de travail. Au demeurant, dans sa réponse au recours, l'intimé ne se réfère à aucun document médical postérieur à celui du docteur G._ du 9 août 1999, pour alléguer des séquelles abdominales invalidantes au moment déterminant, soit plus de douze ans plus tard. Ce médecin se disait du reste étonné de l'importance des plaintes au plan abdominal et rassuré par l'examen clinique du docteur H._ "qui ne découvre finalement pas grand chose". En procédure cantonale, l'intimé s'était de surcroît rallié aux conclusions de la doctoresse C._ (déterminations des 19 avril et 28 novembre 2013).
6.3. En conséquence de ce qui précède, la cour de céans constate que l'état de santé de l'intimé s'est amélioré depuis la décision initiale de rente sur le plan psychique, sous l'angle duquel sa capacité de travail est entière. Au niveau somatique, l'intimé dispose au moment déterminant d'une capacité de travail de 50 % dans l'activité de menuisier et de 100 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles décrites dans le dossier médical. On relèvera à cet égard que l'instruction initiale de l'administration n'a pas porté sur la capacité résiduelle de travail de l'intimé dans une activité adaptée, ce point n'ayant pas été abordé par les médecins qui se sont prononcés jusqu'en 2003 (cf. par exemple, rapport du docteur H._, spécialiste FMH en chirurgie, du 19 juillet 1999).
7.
En ce qui concerne les répercussions de cette modification des circonstances sur le degré d'invalidité de l'assuré, elles ne peuvent être déterminées sans complément d'instruction.
7.1. Comme le fait valoir à juste titre le recourant, on ne saurait en effet suivre les considérations de la juridiction cantonale sur ce point, qui a fixé le taux d'invalidité à 55 %, en additionnant le taux de capacité de travail présenté par l'assuré en 2003 (20 %) et la moyenne annuelle en pour-cent de l'augmentation du bénéfice brut de l'intimé entre 1997/2000 et 2003/2010 (35,72 %). Cette manière d'évaluer le degré d'invalidité ne correspond à aucune des méthodes d'évaluation prévues par la loi, de sorte qu'elle est contraire au droit.
7.2. Le recourant soutient qu'il y a lieu d'appliquer la méthode extraordinaire d'évaluation.
7.2.1. Ce point de vue peut être suivi, parce que les deux revenus déterminants pour la méthode de la comparaison des revenus (cf. <ref-law> en corrélation avec l'<ref-law>) ne pourraient pas être déterminés ou évalués sûrement. Les données comptables de l'entreprise de l'assuré ne sauraient constituer une base valable pour évaluer son incapacité de gain, car elles ne permettent pas de distinguer à quelle prestation personnelle de travail de l'intimé elles correspondent effectivement et, en particulier, si elles sont fondées sur la mise en valeur d'une capacité de travail de 50 %, dont l'exigibilité a été reconnue médicalement. En l'occurrence, seule la procédure extraordinaire d'évaluation de l'invalidité est de nature à permettre, dans le cas particulier, une évaluation conforme au droit fédéral des effets de l'atteinte à la santé sur la capacité de gain de l'assuré.
À cet égard, on rappellera que selon la jurisprudence (arrêt 9C_236/2009 du 7 octobre 2009 consid. 4.2, in SVR 2010 IV n° 11 p. 35), dans le cas d'un assuré de condition indépendante, on peut exiger, pour autant que la taille et l'organisation de son entreprise le permettent, qu'il réorganise son emploi du temps au sein de celle-ci en fonction de ses aptitudes résiduelles. Il ne faut toutefois pas perdre de vue que plus la taille de l'entreprise est petite, plus il sera difficile de parvenir à un résultat significatif sur le plan de la capacité de gain. Au regard du rôle secondaire des activités administratives et de direction au sein d'une entreprise artisanale, un transfert de tâches d'exploitation proprement dites vers des tâches de gestion ne permet en principe de compenser que de manière très limitée les répercussions économiques résultant de l'atteinte à la santé (arrêt 9C_580/2007 du 17 juin 2008 consid. 5.4). Aussi, lorsque l'activité exercée au sein de l'entreprise après la survenance de l'atteinte à la santé ne met pas pleinement en valeur la capacité de travail résiduelle de l'assuré, celui-ci peut être tenu, en fonction des circonstances, de mettre fin à son activité indépendante au profit d'une activité salariée plus lucrative (arrêt I 840/81 du 26 avril 1982, in RCC 1983 p. 246; voir également arrêt 8C_748/2008 du 10 juin 2009 consid. 4).
7.2.2. Il n'incombe cependant pas à la cour de céans d'appliquer, pour la première fois au cours de la procédure de révision, la méthode extraordinaire d'évaluation de l'invalidité, laquelle suppose une comparaison des activités et l'évaluation du degré d'invalidité d'après l'incidence de la capacité de rendement amoindrie sur la situation économique concrète (arrêt 9C_236/2009, cité, consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1 p. 30).
7.3. Dans ces circonstances, il convient d'annuler le jugement entrepris, ainsi que la décision du 6 février 2012, et de renvoyer la cause au recourant pour qu'il complète l'instruction sur les répercussions de la capacité de travail déterminée ci-avant ( supra consid. 6.3) sur le degré d'invalidité de l'assuré.
Le recours est, partant, bien fondé.
8.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimé (<ref-law>). Le recourant, qui obtient gain de cause, n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. La décision de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 15 janvier 2014 et la décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité du 6 février 2012 sont annulées.
2.
La cause est renvoyée à l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité pour qu'il complète l'instruction au sens des considérants, puis rende une nouvelle décision.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales pour nouvelle décision sur les frais de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 9 mai 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : La Greffière :
Kernen Moser-Szeless