Erwägungen:
1. X._ erhob am 27. Oktober 2003 Strafanzeige gegen Y._ wegen Drohung, Sachbeschädigung und Beschimpfung. Nachdem der aktuelle Wohnsitz der beschuldigten Person nicht ermittelt werden konnte, erfolgte am 28. April 2005 die Ausschreibung zur Aufenthaltsnachforschung.
Am 19. Januar 2006 erhob X._ gegen das Untersuchungsrichteramt und die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn Rechtsverzögerungs- bzw. Rechtsverweigerungsbeschwerde. Die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn wies die Beschwerde mit Urteil vom 5. April 2006 ab. Ein Kontumazurteil sei nicht möglich, da der beschuldigten Person das rechtliche Gehör bisher nicht habe gewährt werden können.
Nachdem die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn die Mitteilung erhielt, die beschuldigte Person wolle in die Schweiz einreisen, eröffnete sie am 20. April 2010 eine Strafuntersuchung wegen mehrfacher Drohung, evtl. mehrfacher Nötigung, mehrfacher Beschimpfung und Sachbeschädigung. Sie ersuchte die Polizei um Einvernahme der angeschuldigten Person, die indessen nun doch nicht in die Schweiz einreiste. Mit Verfügung vom 9. November 2010 stellte die Staatsanwaltschaft die Strafuntersuchung wegen Verjährung ein. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 10. Dezember 2010 Beschwerde, welche die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn mit Urteil vom 13. Januar 2011 abwies, soweit sie darauf eintrat. Die Beschwerdekammer führte zur Begründung zusammenfassend aus, dass gemäss <ref-law> die Verjährungsfristen nach der abstrakten Methode bestimmt werden. Massgebend sei die vom Gesetz angedrohte Höchststrafe; Strafschärfungs- und Strafmilderungsgründe des Allgemeinen Teils würden nicht berücksichtigt. Weiter sei kein erstinstanzliches Urteil im Sinne von <ref-law> ergangen.
2. X._ führt mit Eingabe vom 28. Februar 2011 Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn. Da das angefochtene Urteil der Beschwerde nicht beilag, forderte das Bundesgericht den Beschwerdeführer mit Verfügung vom 2. März 2011 auf, den fehlenden vorinstanzlichen Entscheid nachzureichen. Der Beschwerdeführer kam dieser Aufforderung fristgerecht nach. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Der Beschwerdeführer stellt sinngemäss ein Ausstandsbegehren gegen sämtliche Bundesrichter, die bereits einmal gegen ihn entschieden hatten. Einem Richter kann indessen die Unabhängigkeit nicht abgesprochen werden, nur weil er bereits in früheren Verfahren gegen den Beschwerdeführer entschieden hatte (vgl. <ref-law>). Das Vorbringen des Beschwerdeführers vermag daher den Ausstand von vornherein nicht zu begründen, weshalb kein Ausstandsverfahren nach <ref-law> durchgeführt zu werden braucht. Auf das gestellte Ausstandsbegehren ist vielmehr nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1 S. 279; Urteil des Bundesgerichts 2C_253/2007 vom 26. Juni 2007 E. 2).
4. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
In einer den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügenden Weise macht der Beschwerdeführer - wenn überhaupt - einzig geltend, die Beschwerdekammer habe die Verjährungsfrist falsch berechnet sowie in rechtswidriger Anwendung von <ref-law> Verjährung angenommen.
5. 5.1 Massgebend für die Bestimmung der Verjährungsfrist ist die vom Gesetz angedrohte Höchststrafe und somit ein rein formales Merkmal. Dabei ist - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - die abstrakte Betrachtungsweise anwendbar (<ref-ruling> E. 4.3.3.2). Massgebend ist somit die Strafe, die das Gesetz auf die betreffende strafbare Handlung androht, und nicht die Strafe, die der Täter nach den Grundsätzen der Strafzumessung im Einzelfall zu erwarten hat (<ref-ruling> E. 2a). Die Rüge, die Verjährungsfrist sei falsch bestimmt worden, ist daher unbegründet.
5.2 Ist vor Ablauf der Verjährungsfrist ein erstinstanzliches Urteil ergangen, so tritt die Verjährung nicht mehr ein (<ref-law>). Unter erstinstanzlichen Urteilen sind ausschliesslich verurteilende Erkenntnisse zu verstehen (<ref-ruling> E. 2.1). Inwiefern ein solches Urteil in der vorliegenden Angelegenheit ergangen sein soll, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht geltend gemacht.
5.3 Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf einzutreten ist.
6. Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Gesuch ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law>). Somit trägt der Beschwerdeführer entsprechend dem Verfahrensausgang die Gerichtskosten (<ref-law>).
Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Pfäffli