Sachverhalt:
A. Der 1947 geborene V._ meldete sich am 8. Oktober 2004 unter Hinweis auf einen am 19. Dezember 2003 erlittenen Unfall und seither bestehende Arm- und Schulterbeschwerden zum Rentenbezug bei der Invalidenversicherung an. Nach beruflichen und medizinischen Abklärungen, namentlich der Einholung des psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. M. K._, Klinik G._, vom 18. Mai 2005, verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 13. Januar 2006 den Anspruch auf eine Invalidenrente (Invaliditätsgrad von 25 %). Auf erhobene Einsprache hin und unter Berücksichtigung der vom Versicherten eingereichten polydisziplinären Expertise des Instituts A._ vom 2. Februar 2006 hob die IV-Stelle die Verfügung vom 13. Januar 2006 auf und gab ihrerseits eine interdisziplinäre Begutachtung bei der Medizinischen Abklärungsstelle X._ (MEDAS) in Auftrag. Die Expertise datiert vom 23. Januar 2008. Gestützt darauf und die Einschätzung des RAD-Arztes Dr. med. O._ vom 7. März 2008 verneinte die IV-Stelle erneut einen Leistungsanspruch (Verfügung vom 4. August 2008).
B. Die hiegegen geführte Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 14. April 2010 in dem Sinne gut, als es ab 1. Februar 2006 einen Anspruch auf eine Viertelsrente und ab 1. März 2008 auf eine halbe Rente bejahte.
C. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Bestätigung der Verfügung vom 4. August 2008.
V._ lässt die Abweisung der Beschwerde und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege beantragen. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) enthält sich der Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Invalidenrente.
2.1 Das kantonale Gericht hat die für die Beurteilung der Leistungsstreitigkeit massgebenden materiellrechtlichen ATSG- und IVG-Bestimmungen (je in der bis Ende 2007 gültig gewesenen Fassung) sowie die einschlägige Rechtsprechung zum Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten und zur Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3 S. 352 ff.; <ref-ruling> E. 1c S. 160 ff., je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1 S. 400; zur antizipierten Beweiswürdigung Urteil I 362/99 vom 8. Februar 2000 E. 4 publ. in: SVR 2001 IV Nr. 10 S. 28; vgl. auch <ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.1 S. 428; <ref-ruling> E. 4a S. 211, je mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Darauf ist zu verweisen.
Zu korrigieren ist, dass für die Zeit vom 1. Januar 2008 bis zum Verfügungszeitpunkt (4. August 2008) die Bestimmungen des IVG in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung anwendbar sind (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 447), die allerdings, soweit hier von Bedeutung, keine inhaltliche Änderung darstellen.
2.2 Zu ergänzen ist sodann, dass somatoforme Schmerzstörungen oder ein sonstiger vergleichbarer ätiologisch-pathogenetisch unklarer syndromaler Zustand in der Regel keine lang dauernde, zu einer Invalidität im Sinne von <ref-law> führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu bewirken vermögen (<ref-ruling> E. 2.2.2 und 2.2.3 S. 353 f.; <ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>). Die - nur in Ausnahmefällen anzunehmende - Unzumutbarkeit einer willentlichen Schmerzüberwindung und eines Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess setzt das Vorliegen einer mitwirkenden, psychisch ausgewiesenen Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer oder aber das Vorhandensein anderer qualifizierter, mit gewisser Intensität und Konstanz erfüllter Kriterien wie chronische körperliche Begleiterkrankungen und mehrjähriger Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission, ein ausgewiesener sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens, ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn) oder schliesslich unbefriedigende Behandlungsergebnisse trotz konsequent durchgeführter Behandlungsbemühungen (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) und gescheiterte Rehabilitationsmassnahmen bei vorhandener Motivation und Eigenanstrengung der versicherten Person voraus (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 f.; Urteil 9C_709/2009 vom 14. Dezember 2009 E. 4.1.2).
3. 3.1 Nach den im Wesentlichen gestützt auf das - als beweiskräftig und ausschlaggebend erachtete - polydisziplinäre Gutachten der MEDAS vom 23. Januar 2008 getroffenen, letztinstanzlich nur im Rahmen von Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG überprüfbaren Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz sind dem Versicherten aufgrund der ärztlichen Diagnose einer ausgedehnten Rotatorenmanschettenruptur rechts bei Status nach heftiger Ellbogenkontusion rechts, Tätigkeiten über Schultergürtelhöhe und/oder mit repetitiven Kraftanwendungen rotatorischer Art nicht mehr zumutbar. In einer dem Leiden angepassten Beschäftigung besteht hingegen aus somatischer Sicht keine Leistungseinschränkung. Insofern beanstandet die Beschwerdeführerin weder die Beweistauglichkeit der Expertise der MEDAS noch die Feststellungen im angefochtenen Entscheid. Demgegenüber wendet sie ein, mit Blick auf die von Dr. med. S._ im psychiatrischen Konsiliargutachten vom 12. Dezember 2007 diagnostizierte Anpassungsstörung liege im Wesentlichen ein ätiologisch-pathogenetisch unerklärlicher syndromaler Leidenszustand vor, welcher zufolge fehlender Objektivierbarkeit nicht invalidisierend sei. Unzutreffend sei daher die vorinstanzliche Sichtweise, wegen fehlender Diagnose einer somatoformen Schmerzstörung gelange die hiezu ergangene Rechtsprechung nicht zur analogen Anwendung. Es seien weder eine psychische Komorbidität noch andere Faktoren mit dem erforderlichen Schweregrad erhoben, welche einer für die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit zumutbaren Willensanstrengung entgegen stünden. Zudem habe der Beschwerdegegner anlässlich der Begutachtung ein aggravatorisches Verhalten gezeigt, weswegen er in einer den körperlichen Befunden adaptierten Beschäftigung vollständig arbeitsfähig sei.
3.2 Das kantonale Gericht erwog, gemäss psychiatrischem Gutachten des Dr. med. S._ leide der Versicherte an einer Anpassungsstörung mit depressiven Phänomenen und Beeinträchtigung von andern Gefühlen (ICD-10: F43.23) sowie an einer psychischen Überlagerung somatischer Beschwerden (ICD-10: F54). Die Arbeitsfähigkeit sei um 40 bis 45 % eingeschränkt. Dr. med. S._ halte dafür, der Versicherte könne auf Grund seiner einfachen Persönlichkeitsstruktur seine psychische Situation nicht adäquat wahrnehmen oder beschreiben, weshalb er auf die somatischen Beschwerden fokussiere. Die geringen Ressourcen verhinderten die vollständige Überwindung der Arbeitsunfähigkeitsüberzeugung. Hinweis auf eine psychische Störung mit Krankheitswert sei sodann die regelmässige psychiatrische Behandlung ohne sichtbaren Therapieerfolg und die Medikation mit Antidepressiva und Anxiolytika. Demgegenüber - so das Gericht weiter - vermöge die Beurteilung des RAD nicht zu überzeugen. Namentlich sei die Auffassung nicht schlüssig, der Beschwerdegegner leide nicht an einer Anpassungsstörung, sondern an einer Dysthymia. Die Aktenlage verdeutliche hinreichend einen pathologischen Zustand und die daraus resultierende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit könne auch mit zumutbarer Willensanstrengung nicht vollständig überwunden werden.
4. 4.1 Für die Beurteilung, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung - oder ein sonstiger vergleichbarer pathogenetisch (ätiologisch) unklarer syndromaler Zustand (<ref-ruling> E. 3.2 S. 399) - mit invalidisierender Wirkung vorliegt, gilt Folgendes: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung bzw. ein vergleichbarer Zustand vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (Urteil I 683/06 vom 29. August 2007 E. 2.2, in: SVR 2008 IV 23 S. 71). Rechtsfrage ist auch, ob ein ärztlicherseits diagnostiziertes Leiden den Rechtsbegriff der invalidisierenden Krankheit im Sinne von <ref-law> erfüllt.
4.2 In Bezug auf die festgestellte und mit F54 klassifizierte psychische Überlagerung der somatischen Beschwerden liegt kein psychisches Leiden mit Krankheitswert vor. Bei den Störungen gemäss ICD-10: F50-F59 handelt es sich um Verhaltensauffälligkeiten mit körperlichen Störungen und Faktoren. Die Kategorie F54 umfasst psychologische oder Verhaltensfaktoren bei andernorts klassifizierten Krankheiten; sie sollte verwendet werden, um psychische Faktoren und Verhaltenseinflüsse zu erfassen, die eine wesentliche Rolle in der Ätiologie körperlicher Krankheiten spielen, welche in anderen Kapiteln der ICD-10 klassifiziert werden. Die sich hiebei ergebenden psychischen Störungen sind meist leicht, oft lang anhaltend (wie Sorgen, emotionale Konflikte, ängstliche Erwartung) und rechtfertigen nicht die Zuordnung zu einer der anderen Kategorien des Kapitels V (Urteile 8C_567/2009 vom 17. September 2009 E. 5 und 8C_1033/2009 vom 19. März 2010 E. 2.3.2). Dr. med. S._ sprach der psychischen Überlagerung der somatischen Beschwerden in der Expertise vom 15. November 2006 denn auch eine Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit ab. In diesem Zusammenhang ist zudem von Bedeutung, dass regelmässig keine versicherte Gesundheitsschädigung vorliegt, falls die Leistungseinschränkung auf Aggravation oder einer ähnlichen Konstellation beruht (BGE <ref-ruling> E. 1.2 S. 50). Die anlässlich der klinischen Untersuchung für das MEDAS-Gutachten vom 23. Januar 2008 festgestellte ausgeprägte Tendenz zur Schmerzausweitung und Aggravation war damit im Rahmen der Zumutbarkeitsbeurteilung von vornherein nicht zu berücksichtigen.
4.3 Zudem erlaubt die Expertise vom 12. Dezember 2007 - entgegen angefochtenem Entscheid - nicht den Schluss, der Beschwerdegegner sei dauerhaft psychisch erkrankt. Dr. med. S._ diagnostizierte eine Anpassungsstörung, welche rechtsprechungsgemäss nicht per se invalidisierend ist (Urteil 8C_322/2010 vom 9. August 2010 E. 5.2; Urteil 9C_65/2007 vom 30. November 2007 E. 2.3; Urteil I 950/05 vom 14. März 2006 E. 3.3.2), was die Vorinstanz übersieht. Gleichzeitig erklärte er jedoch in der ergänzenden Stellungnahme vom 28. Februar 2008 zur Expertise vom 12. Dezember 2007, in der Praxis würden längere Verläufe von Anpassungsstörungen beobachtet. Ferner liesse sich beim Versicherten auch eine depressive Störung diagnostizieren, weil er depressiv sei. Nebst dem beschreibt das psychiatrische Konsiliargutachten vom 12. Dezember 2007 eine stetige Zustandsverschlechterung mit Chronifizierung der Befunde, was für eine psychische Erkrankung von längerer Dauer spricht. Indessen äussert sich der Gutachter nicht zum Vorliegen der rechtsprechungsgemäss für die Annahme einer invalidisierenden Wirkung erforderlichen Kriterien (E. 4.1 hievor). Gestützt darauf lässt sich eine psychische Erkrankung von dauerhaftem Charakter folglich weder ausschliessen noch nachweisen (<ref-ruling> E. 3a S. 352; Urteil 8C_577/2010 vom 25. Oktober 2010 E. 4.3).
4.4 In der Stellungnahme vom 7. März 2008 hielt der RAD-Arzt, Dr. med. O._, dafür, mit Blick auf die Umschreibung der Anpassungsstörung in der ICD-10 Klassifizierung bewirke diese gleich wie die Dysthymie keine länger dauernde Arbeitsunfähigkeit. Dementspreend legte er - anders als im angefochtenen Entscheid festgehalten - der Beurteilung nicht eine Dysthymie zugrunde. Vielmehr hat er die Anpassungsstörung mit dem Hinweis auf die Dysthymie als nicht invalidisierendes Leiden beurteilt, welche Auffassung der Rechtsprechung entspricht (vgl. E. 4.3 hievor). Dr. med. O._ stützte sich allerdings nicht auf eine Untersuchung des Versicherten. Namentlich hat er keine medizinischen Befunde erhoben, sondern vorhandene Befunde abweichend gewürdigt. Es handelt sich nur um eine Empfehlung zur weiteren Bearbeitung des Leistungsbegehrens aus medizinischer Sicht im Sinne von <ref-law>. Die Stellungnahme vermag somit allenfalls Zweifel an der Richtigkeit des MEDAS-Gutachtens zu begründen, hingegen nicht ein Gutachten zu ersetzen (Urteil 8C_756/2008 vom 4. Mai 2009 E. 5.3). Daher kann nach Massgabe der RAD-Stellungnahme die Frage nicht abschliessend beantwortet werden, ob der Beschwerdegegner an einer dauerhaften psychischen Erkrankung leidet.
5. 5.1 Das kantonale Gericht hat das psychische Beschwerdebild und die in der Expertise vom 23. Januar 2008 mit 40 bis 45 % angegebene Arbeitsunfähigkeit als unüberwindbar erachtet. Dabei stützte es sich auf die Einschätzung des Dr. med. M. S._, wonach die psychische Dekompensation wegen fehlender Ressourcen in persönlicher, intellektueller und emotionaler Hinsicht eingetreten sei. Der vorinstanzlich daraus gezogene Schluss, dem Versicherten fehlten die Ressourcen zur Überwindung der Arbeitsunfähigkeitsüberzeugung, ist indes rechtlich nicht zulässig. Denn die subjektiven Gründe für die Dekompensation lassen nicht auch den Schluss auf eine objektiv invalidisierende Arbeitsunfähigkeit zu (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 355). Insbesondere hat Dr. med. S._ die Dekompensation anhand anderer Umstände erklärt, als sie gemäss Rechtsprechung für die objektive Fähigkeit, einer Arbeit nachzugehen, massgeblich sind (vgl. E. 2.2 hievor). Anders verhält es sich, wenn die eingeschränkten oder fehlenden Ressourcen ihrerseits Ausdruck eines psychischen Leidens sind.
5.2 Das vorinstanzliche Gericht lehnte die analoge Anwendung der in <ref-ruling> zur somatoformen Schmerzstörung entwickelten Kriterien mit der Begründung ab, es sei keine somatoforme Schmerzstörung diagnostiziert. Dabei wird verkannt, dass die analoge Rechtsanwendung nur bei andern Beschwerdebildern als der somatoformen Schmerzstörung überhaupt Platz greifen kann. Darüber hinaus wendet die Rechtsprechung die zur somatoformen Schmerzstörung entwickelten Kriterien bei der Beurteilung der invalidisierenden Wirkung pathogenetisch-ätiologisch unklarer syndromaler Beschwerdebilder grundsätzlich analog an (BGE 9C_510/2009 E. 3.2.3; BGE <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 71; <ref-ruling> E. 1.2 S. 50 f.; <ref-ruling> ff. und 396 ff.) namentlich auch für Anpassungsstörungen (Urteil 8C_322/2010 vom 9. August 2010 E. 5.2, 9C_274/2010 vom 30. April 2010 E. 4). Die Expertise vom 12. Dezember 2007 des Dr. med. S._ äussert sich zu den erwähnten Kriterien nicht, obschon der ärztlichen Stellungnahme in dieser Hinsicht rechtsprechungsgemäss Bedeutung zukommt (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 355). Gestützt darauf kann daher eine allfällige Unzumutbarkeit der willentlichen Überwindung einer psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit weder in medizinischer noch in rechtlicher Hinsicht abschliessend beurteilt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.5 S. 355). Der vorinstanzlichen Feststellung einer psychischen Erkrankung von Dauer fehlt beweisrechtlich die Grundlage (<ref-law>).
6. Die Sache ist zu ergänzender Abklärung an die Verwaltung zurückzuweisen. Dabei ist im Rahmen einer psychiatrischen Begutachtung oder einer entsprechenden Ergänzung des Gutachtens von Dr. med. S._ zu klären, ob der Versicherte an krankheitswertigen psychischen Beschwerden von Dauer leidet. Bei nachgewiesenem pathogenetisch-ätiologisch unklarem syndromalem Beschwerdebild ist aus ärztlicher Sicht zur objektiv zumutbaren Überwindbarkeit einer allfälligen psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit Stellung zu nehmen, wobei auf die zur somatoformen Schmerzstörung ergangene Rechtsprechung abzustellen wäre (im Einzelnen: BGE <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 71; <ref-ruling> E. 1.2 S. 50 f.; <ref-ruling> ff. und 396 ff.; vgl. auch <ref-ruling> E. 7.1.2 und 7.1.3 S. 212 f.; erwähnter BGE 9C_510/2009 E. 3.2.3; Urteil 9C_98/2010 vom 28. April 2010 E. 2.2.2). Hienach hat die Verwaltung erneut über den Leistungsanspruch zu verfügen.
7. 7.1 Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu erneuter Abklärung gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten als vollständiges Obsiegen im Sinne von <ref-law>, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1). Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten daher dem unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen.
7.2 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist stattzugeben, da der Prozess nicht aussichtslos war, der Beschwerdegegner bedürftig und die anwaltliche Verbeiständung geboten ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach die Parteien der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben, wenn sie später dazu in der Lage sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 14. April 2010 und die Verfügung vom 4. August 2008 aufgehoben werden und die Sache an die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Dem Beschwerdegegner wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Robert Baumann, St. Gallen, wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdegegners bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. November 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Ettlin