Faits:
A.
Z._ Sàrl (ci-après: Z._) est une entreprise active dans le domaine des récupérateurs de chaleur; selon le registre du commerce, elle a pour but "toutes études, planifications et fabrications de châssis pour des récupérateurs rotatifs (énergie), ainsi que le montage et la maintenance". Du 1 er janvier 2008 au 31 octobre 2010, X._ a travaillé dans cette entreprise comme serrurier-constructeur et technicien de service.
B.
Après l'échec de la tentative de conciliation, X._ a, par demande du 18 avril 2011, ouvert action contre Z._ en paiement de 57'952 fr.95, soit 44'746 fr.15 à titre de salaire pour des heures supplémentaires et 13'206 fr.80 en indemnisation de vacances. Le demandeur fondait ses prétentions sur la convention collective de travail dans la branche suisse des techniques du bâtiment.
Par jugement du 27 janvier 2012, le Tribunal des prud'hommes de l'arrondissement de la Sarine a rejeté la demande.
Statuant le 24 avril 2013 sur appel de X._, la II e Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a confirmé la décision attaquée. Elle a jugé que Z._ n'était pas assujettie à la convention collective invoquée par le travailleur.
C.
X._ interjette un recours en matière civile. A titre principal, il reprend les conclusions en paiement formulées dans la procédure cantonale. Subsidiairement, il demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause à la II e Cour d'appel civil pour complément d'instruction, puis nouveau jugement.
Z._ propose le rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. requis par l'<ref-law> en matière de droit du travail. Il est interjeté par la partie qui a succombé en instance cantonale (<ref-law>). Déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, le recours en matière civile est en principe recevable.
1.2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 336; <ref-ruling> consid. 4 p. 317 s.; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été constatés de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
2.
Est litigieux le point de savoir si la société intimée est une entreprise entrant dans le champ d'application de la convention collective de travail dans la branche suisse des techniques du bâtiment du 31 mars 2009 (ci-après: CCT), qui a fait l'objet d'un arrêté d'extension du Conseil fédéral du 20 octobre 2009 entré en vigueur le 1 er janvier 2010 (ci-après: arrêté d'extension; FF 2009 7231).
L'art. 3.2.1 CCT, qui coïncide avec l'art. 2 al. 2 par. 1 et 2 de l'arrêté d'extension, a la teneur suivante:
" Les dispositions contractuelles déclarées de force obligatoire s'appliquent à tous les employeurs et travailleurs dans les entreprises d'installation, de réparation et de services intervenant dans le second-oeuvre dans les domaines suivants:
a. Ferblanterie/enveloppe du bâtiment;
b. Installations sanitaires incluant les canalisations et conduites industrielles;
c. Chauffage;
d. Climatisation/froid;
e. Ventilation.
Sont exceptées les entreprises de fabrication et de commerce dans la mesure où la livraison, le montage et la maintenance se limitent exclusivement à des composants et produits réalisés par ces entreprises ou livrés sous leur nom ainsi que les entreprises de froid artisanales. "
Selon l'arrêt attaqué, l'intimée n'entre pas dans le champ d'application de la CCT, car le travailleur, qui avait le fardeau de la preuve, n'a pas établi que l'employeur effectuait de la maintenance sur des produits autres que les siens. La cour cantonale a relevé tout d'abord que l'intimée avait allégué en première instance que son activité consistait à fabriquer des châssis pour récupérateurs rotatifs, qui étaient ensuite posés chez les clients et dont elle assurait l'entretien, ainsi qu'à entretenir le matériel déjà existant, limitant toutefois ses interventions à des composants et produits qu'elle réalisait elle-même; le recourant n'avait pas contesté ces faits. La II e Cour d'appel civil s'est ensuite référée au dossier d'une affaire parallèle (cause T._ c. Z._), produit d'office par le Tribunal des prud'hommes. Il ressortait de la procédure probatoire menée dans cette affaire que, même sur les centrales de ventilation monoblocs de la maison A._, invoquées par le travailleur concerné par cette procédure, les travaux de l'intimée consistaient soit en l'installation de ses propres récupérateurs, soit en la maintenance de ceux-ci; la cour cantonale a précisé à cet égard que le remplacement, sur des installations de la concurrence, de produits d'origine par ses propres produits ne pouvait être considéré comme de la maintenance sur des produits autres que les siens.
3.
3.1. Invoquant l'<ref-law>, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir renversé le fardeau de la preuve. A son sens, il appartenait à l'intimée de démontrer qu'elle réalisait l'exception prévue à l'art. 3.2.1 § 2 CCT et qu'elle n'était ainsi pas assujettie à la convention collective. Or, l'employeur n'aurait pas apporté de preuve formelle à ce sujet, de sorte qu'en niant la soumission de l'intimée à la CCT sans preuves suffisantes, les juges fribourgeois auraient violé l'<ref-law>.
3.2. En l'absence d'une disposition spéciale instituant une présomption, l'<ref-law> répartit le fardeau de la preuve pour toutes les prétentions fondées sur le droit fédéral et détermine, sur cette base, laquelle des parties doit assumer les conséquences de l'échec de la preuve. Il en résulte que la partie demanderesse doit prouver les faits qui fondent sa prétention, tandis que la partie adverse doit prouver les faits qui entraînent l'extinction ou la perte du droit. Ainsi, les faits qui empêchent la naissance d'un droit ou en provoquent l'extinction doivent être prouvés par la partie qui les allègue. S'il existe une exception à une règle générale, il appartient à la partie qui invoque cette exception de prouver que les conditions en sont remplies (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 9 s. et les arrêts cités).
En l'espèce, le recourant entendait tirer des droits de la CCT. Avant d'examiner si les prétentions du travailleur étaient justifiées au regard de la CCT, il fallait nécessairement déterminer si l'employeur entrait dans le champ d'application de ladite convention collective, défini à son art. 3.2.1. Les domaines concernés (ferblanterie, installations sanitaires, chauffage, climatisation, ventilation) sont décrits sous les lettres a à e. L'art. 3.2.1 distingue par ailleurs trois catégories d'entreprises: les entreprises d'installation, de réparation et de services intervenant dans le second oeuvre (1), les entreprises de fabrication et de commerce dont l'activité se limite exclusivement à des composants et produits réalisés par elles ou livrés sous leur nom (2) et les entreprises de froid artisanales (3); les deux dernières catégories sont exclues du champ d'application de la CCT.
L'utilisation de la formule verbale "sont exceptées" au § 2 est trompeuse. L'art. 3.2.1 CCT ne se présente pas sous la forme d'une règle générale - qui fonderait une prétention du travailleur - et d'une exception - qui empêcherait la naissance du droit en question ou provoquerait son extinction -, mais institue une seule règle énumérant les conditions d'application - positives et négatives - de la CCT. En ce sens, le fardeau de la preuve incombait au recourant, qui prétendait que la CCT s'appliquait. Il lui appartenait de démontrer que les conditions d'application de la CCT étaient réalisées et, le cas échéant, de supporter les conséquences de l'absence de preuve à ce sujet. Contrairement à ce que le travailleur prétend, ce n'était pas à l'employeur de prouver qu'il n'était pas assujetti à la CCT.
En l'espèce, il n'est pas contesté que l'intimée est une entreprise de fabrication active dans le domaine de la climatisation. La cour cantonale a considéré que le recourant devait démontrer la réalisation de la condition négative posée par l'art. 3.2.1 § 2 CCT, à savoir que l'activité de l'employeur ne se limitait pas à la livraison, au montage et à la maintenance de composants ou de produits réalisés par l'entreprise ou livrés sous son nom. Elle a retenu sur ce point qu'il n'était pas établi que l'intimée exécutait de la maintenance sur des produits autres que les siens et en a conclu à juste titre que l'employeur n'était pas assujetti à la CCT.
Ce faisant, les juges fribourgeois ont correctement réparti le fardeau de la preuve et n'ont pas violé l'<ref-law>. Le grief ne peut être qu'écarté.
4.
4.1. Le recourant s'en prend également au refus, opposé par la cour cantonale, à la réouverture de la procédure probatoire en appel. Invoquant les <ref-law>, 53 CPC et 29 al. 2 Cst., il se plaint d'une violation de son droit d'être entendu. Il explique qu'il n'a eu accès au dossier T._ qu'après le prononcé du jugement de première instance, qu'il s'est déterminé à ce sujet dans son mémoire d'appel et que la cour cantonale n'a tenu aucun compte de son argumentation et de ses offres de preuves avancées alors.
4.2. Devant la II e Cour d'appel civil, le recourant alléguait que l'intimée réalisait 70% de son chiffre d'affaires grâce à la maintenance de récupérateurs de chaleur qui n'étaient pas fabriqués ou assemblés par elle. Comme il prétendait n'avoir pas eu accès au dossier T._ en première instance, il demandait la réouverture en appel de la procédure probatoire, aux fins de déterminer la part des travaux de maintenance de l'intimée qui avait trait aux récupérateurs de chaleur de tiers et celle qui avait trait à ses propres produits.
En première instance, le travailleur n'a jamais allégué que l'intimée effectuait de la maintenance sur des produits autres que les siens. Comme ce fait pouvait sans autre être allégué devant le premier juge, la cour d'appel n'avait pas, conformément à l'<ref-law>, à tenir compte de ce fait, ni à réouvrir pour ce motif la procédure probatoire sur l'activité effective de l'intimée.
La valeur litigieuse étant supérieure à 30'000 fr., la présente cause est soumise à la procédure ordinaire et le tribunal ne devait pas établir les faits d'office (cf. art. 247 al. 2 let. b ch. 2 CPC). Comme il s'agissait de déterminer si l'intimée entrait dans le champ d'application de la CCT, le Tribunal des prud'hommes a toutefois produit d'office le dossier T._, dans lequel la même question se posait. Au début de l'audience du 14 juin 2011, le Président du tribunal a informé les parties de cette production; la procédure probatoire a été close le 26 juillet 2011. Il s'ensuit que le recourant a eu la possibilité de consulter le dossier T._ et qu'il disposait de plus d'un mois pour s'exprimer à ce sujet en première instance. Il ne l'a pas fait et ne saurait dès lors se plaindre à présent d'une violation de son droit d'être entendu.
5.
5.1. Le recourant prétend également que l'argumentation retenue dans la cause T._ n'est pas pertinente et qu'elle n'aurait donc pas dû prendre l'importance qui lui a été attribuée dans la présente cause. Il reproche à la cour cantonale d'avoir admis, dans cette affaire parallèle, que le Tribunal des prud'hommes pouvait, par une appréciation anticipée des preuves, renoncer à exiger la production de certains documents par l'intimée.
5.2. Lors de l'audience du 14 juin 2011, l'associé gérant de l'intimée a déclaré que l'entreprise fabriquait des châssis pour récupérateurs rotatifs, qu'elle posait ensuite chez les clients et dont elle assurait l'entretien, et qu'elle entretenait par ailleurs le matériel existant, limitant ses interventions à des composants et produits qu'elle réalisait elle-même. Le recourant n'a pas contesté ces faits.
A partir de là, le juge, dans une procédure soumise à la maxime des débats, pouvait déjà conclure qu'il n'était pas démontré que l'intimée effectuait la maintenance de produits ou composants autres que ceux réalisés par ses soins. Le Tribunal des prud'hommes et, à sa suite, la II e Cour d'appel civil ont tout de même examiné si la preuve d'une activité de l'intimée sortant du cadre défini à l'art. 3.2.1 § 2 CCT avait été rapportée dans la procédure parallèle T._ et sont parvenus à la conclusion que tel n'était pas le cas. Le recourant ne critique pas le fait que les juges fribourgeois se sont référés à un dossier parallèle; son moyen consiste à critiquer la manière dont la procédure probatoire a été menée dans l'affaire T._. En admettant que le recourant puisse ainsi s'en prendre à l'administration des preuves dans une autre procédure, force est de constater qu'il ne prétend pas que l'appréciation anticipée des preuves ayant conduit au refus d'ordonner la production de certains documents était entachée d'arbitraire. Il se contente d'affirmer que ces pièces étaient "nécessaires à l'établissement complet des faits pertinents". Faute de motivation précise, le grief est, en tout état de cause, irrecevable.
6.
6.1. A lire le recours, le Tribunal des prud'hommes aurait dû, en vertu de l'<ref-law>, interpeller le travailleur, qui n'était alors pas représenté, pour compléter sa demande dépourvue d'allégués ainsi que ses déclarations à l'audience, qui ne comportaient aucune contestation des allégués de l'intimée. En ne le reconnaissant pas, la IIe Cour d'appel civil aurait violé le droit fédéral.
6.2. Aux termes de l'<ref-law>, le tribunal interpelle les parties lorsque leurs actes ou déclarations sont peu clairs, contradictoires, imprécis ou manifestement incomplets et leur donne l'occasion de les clarifier et de les compléter. Lorsque, comme en l'espèce, la procédure est soumise à la maxime des débats, l'<ref-law> ne s'applique qu'en cas de manquement manifeste des parties (Message du 28 juin 2006 relatif au code de procédure civile suisse [CPC], FF 2006 6890 ch. 5.3.1). Par ailleurs, le juge sera plus sensible à l'obligation d'interpellation si la partie n'est pas assistée (arrêt 5A_538/2011 du 5 juin 2012 consid. 5.1).
En l'espèce, le recourant a rempli un formulaire de "demande de prud'hommes". Dans les motifs, il demandait à ce que la CCT soit respectée dès lors que l'intimée payait la commission paritaire Swisstec depuis 2007; il précisait que les montants réclamés avaient été calculés avec l'aide du syndicat B._. La demande n'était donc pas dépourvue de tout allégué. Et l'absence d'allégué précis sur la réalisation des conditions d'application de la CCT ne rendait pas la demande incomplète au point de justifier une interpellation de la part du juge. En outre, le travailleur mentionnait qu'il avait bénéficié de l'assistance d'un syndicat. De même, on ne saurait considérer que les déclarations du recourant lors de l'audience du 14 juin 2011 étaient manifestement incomplètes dans la mesure où il n'avait pas contesté les déclarations de l'administrateur à propos des activités de la société.
Le grief tiré d'une violation de l'<ref-law> doit être rejeté.
7.
7.1. Sous un grief intitulé "Violation des règles sur le contrat de travail", le recourant fait valoir que la CCT est applicable en l'espèce, sur la base des faits admis par l'intimée dans son mémoire de réponse à l'appel, ainsi que des éléments ressortant de l'arrêt attaqué.
Il prétend tout d'abord que, dans le mémoire précité, l'intimée aurait reconnu effectuer des maintenances sur d'autres produits que les siens, ce qui ressortirait également d'un courrier de sa fiduciaire. Dans la mesure où il entend ainsi compléter l'état de fait avec des éléments qui ne résultent pas de la décision entreprise, le recourant formule un grief irrecevable (cf. consid. 1.3 supra).
Le travailleur soutient ensuite qu'une activité mineure de maintenance sur d'autres produits que les siens, telle qu'envisagée par la cour cantonale, suffit pour que la CCT s'applique. Contrairement à ce que le recourant prétend, le passage cité à ce propos dans le recours ne figure pas dans l'arrêt attaqué, mais bien dans le jugement de première instance, lequel ne peut faire l'objet d'un recours en matière civile. Là aussi, le moyen est irrecevable.
Enfin, le recourant est d'avis que le remplacement de produits de la concurrence avec les propres produits de l'intimée constitue de la maintenance sur des produits autres que les siens au sens de l'art. 3.2.1 § 2 CCT. La IIe Cour d'appel civil a retenu que, sur des centrales de ventilation d'une autre entreprise, l'intimée avait parfois remplacé des produits d'origine par ses propres produits, soit des récupérateurs intégrés dans la centrale; elle a considéré qu'il ne s'agissait pas de maintenance d'un produit autre que le sien. Cette conclusion ne prête pas le flanc à la critique. L'art. 3.2.1 § 2 CCT mentionne non seulement les produits, mais aussi les composants; c'est dire qu'il s'applique également aux entreprises qui fabriquent ou commercialisent des parties d'une installation, comme les récupérateurs. Lorsqu'elle remplace un produit par son propre produit dans une installation, l'intimée livre et monte un produit réalisé par ses soins et exerce ainsi une activité tombant sous le coup de l'art. 3.2.1 § 2 CCT, comme la cour cantonale l'a admis à bon droit.
8.
Dans le dernier volet de son mémoire, le recourant, invoquant l'art. 9 Cst., reprend une grande partie des griefs de violations du droit fédéral soulevés précédemment en les assortissant du qualificatif "arbitraire".
Cette critique est dépourvue de toute motivation précise du grief d'ordre constitutionnel. Il n'y a dès lors pas lieu d'entrer en matière (cf. consid. 1.2 in fine supra).
9.
Sur le vu de ce qui précède, le recours sera rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>), dont le montant ne sera pas réduit étant donné que la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (cf. art. 65 al. 4 let. c LTF). Par ailleurs, il versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 3'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la II e Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 6 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann