Erwägungen:
1.
Im November 2008 und im März 2009 wurde A._, geb. 1934, von der Kantonspolizei Basel-Stadt aufgefordert, sich der gemäss <ref-law> vorgeschriebenen ärztlichen Kontrolluntersuchung als Motorfahrzeuglenker zu unterziehen oder auf seinen Führerausweis zu verzichten. Er unterliess es in der Folge, auf diese Schreiben zu reagieren, so dass die Kantonspolizei am 12. Mai 2009 den Sicherungsentzug des Führerausweises verfügte und ein Fahrverbot aussprach. Diese Verfügung konnte A._ indes erst am 19. April 2012 anlässlich einer Kontrolle durch die Grenzwache am Flughafen Basel-Mulhouse ausgehändigt werden.
Mit Eingabe vom 24. April 2012 rekurrierte A._ gegen die Verfügung und verlangte u.a., es sei ihm die unentgeltliche Prozessführung bzw. amtliche Verbeiständung zu bewilligen. Am 30. Mai 2012 wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt dieses Begehren ab.
In der Folge gelangte A._ gegen diesen letztgenannten Entscheid an den Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt. Dieser liess die Sache zuständigkeitshalber dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht zukommen.
Das Verwaltungsgericht forderte den Rekurrenten mehrmals vergeblich auf, betreffend uP-Gesuch seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen, ein Zustelldomizil in der Schweiz zu bezeichnen und abgesehen davon auch eine Rekursbegründung einzureichen. Mit Urteil vom 16. Oktober 2013 erklärte es daher den Rekurs als dahingefallen, wobei es dem Rekurrenten die auf Fr. 500.-- festgesetzten Kosten des Rekursverfahrens auferlegte.
2.
Gegen das ihm am 1. Dezember 2013 zugestellte Urteil vom 16. Oktober 2013 erhob A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht. In erster Linie beantragte er die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils.
Mit Urteil vom 5. Februar 2014 ist das Bundesgericht auf die Beschwerden nicht eingetreten, da diese den gesetzlichen Formerfordernissen nach <ref-law> nicht zu genügen vermochten (Verfahren 1C_40/2014). Gleichzeitig hat es das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung wegen offensichtlich aussichtsloser Beschwerdeführung als unbegründet abgewiesen (<ref-law>; E. 4 des Urteils vom 5. Februar 2014), wobei es jedoch bei den gegebenen Verhältnissen davon abgesehen hat, Verfahrenskosten zu erheben (<ref-law>).
3.
Mit Eingabe vom 12. März 2014 ersucht A._ um Revision des Urteils vom 5. Februar 2014.
4.
4.1. Die Aufhebung oder Abänderung eines wie hier in Rechtskraft erwachsenen Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes möglich.
4.2. Der Gesuchsteller kritisiert den bundesgerichtlichen Nichteintretensentscheid vom 5. Februar 2014, wobei er sich im Rahmen der Gesuchsbegründung auf die Revisionsgründe von Art. 136 lit. c und d des früheren Bundesrechtspflegegesetzes (OG) beruft. Damit meint er indes offenbar - gemäss seinen Gesuchsbeilagen - die gleich lautenden Bestimmungen von Art. 121 lit. c und d des nunmehr geltenden Bundesgerichtsgesetzes (BGG).
4.3. Zunächst macht der Gesuchsteller geltend, die kantonalen Instanzen wie hernach das Bundesgericht hätten die internationalen Übereinkommen über den internationalen Zugang zur Rechtspflege (SR 0.274.133) bzw. die Zustellung gerichtlicher und aussergerichtlicher Schriftstücke im Ausland in Zivil- oder Handelssachen (SR 0.274.131) entgegen seinen Ausführungen missachtet und damit den Revisionsgrund von Art. 136 lit. d OG bzw. eben <ref-law> gesetzt, also - aus seiner Sicht - in den Akten liegende erhebliche Tatsachen nicht berücksichtigt.
Das Appellationsgericht als Verwaltungsgericht hatte den Gesuchsteller - wie erwähnt - mehrmals vergeblich aufgefordert, den prozessualen Vorgaben entsprechend sein uP-Gesuch zu substantiieren und abgesehen davon auch eine Rekursbegründung einzureichen. Wegen formeller Mängel erklärte es daher den Rekurs als dahingefallen (vorstehende E. 1).
Das Bundesgericht seinerseits trat mit Urteil vom 5. Februar 2014 auf die vom Gesuchsteller gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil erhobenen Beschwerden nicht ein, da es diese als den gesetzlichen Formerfordernissen nach <ref-law> nicht genügend erachtete (vorstehende E. 2).
Was der Gesuchsteller unter Berufung auf die genannten Übereinkommen vorbringt, sind nicht auf die zugrunde liegende Streitsache (Führeraus- d.h. Sicherungsentzug, Schadenersatz- und Genugtuungsbegehren sowie darauf bezogenes uP-Gesuch) bezogene, versehentlich unberücksichtigt gebliebene Tatsachen bzw. Aktenstellen (s. zum Ganzen auch BSK BGG, Elisabeth Escher, 2. Aufl., Art. 121 N 9). Vielmehr kritisiert der Gesuchsteller das angefochtene bundesgerichtliche Urteil (bzw. auch den Basler Entscheid) mit Blick auf diese Übereinkommen in rechtlicher Hinsicht, indem er geltend macht, die unentgeltliche Prozessführung und damit auch amtliche Verbeiständung sei ihm in Missachtung dieser Übereinkommen nicht gewährt worden.
Was er insoweit geltend macht, beschränkt sich somit auf eine appellatorische, im Revisionsverfahren nicht zu hörende rechtliche Kritik am Ausgang des vorangegangenen bundesgerichtlichen (bzw. kantonalen) Verfahrens. Dabei unterlässt er es indes, in Bezug auf den in Anwendung von <ref-law> ergangenen bundesgerichtlichen Nichteintretensentscheid selber einen der gesetzlichen Revisionsgründe (<ref-law>) darzulegen. Dem Revisionsgesuch kann daher insoweit kein Erfolg beschieden sein.
4.4. Sodann macht der Gesuchsteller unter Bezugnahme auf Art. 136 lit. c OG bzw. <ref-law> geltend, sein Begehren, "es sei ihm eine unentgeltliche Rechtshilfe zu gewähren ...", sei missachtet worden, was für sich alleine zur Revision des Urteils vom 5. Februar 2014 führen müsse.
Wie ausgeführt, hat das Bundesgericht dieses Gesuch, welches die Prozessführung insgesamt betraf (Unentgeltlichkeit des Verfahrens wie auch amtliche Verbeiständung, was <ref-law> ausdrücklich beides regelt unter der Marginalie "unentgeltliche Rechtspflege"), gemäss dem angefochtenen Urteil vom 5. Februar 2014 wegen aussichtsloser Beschwerdeführung ausdrücklich abgewiesen. Auch insoweit ist daher ein Revisionsgrund nicht ersichtlich.
4.5. Am Rande verweist der Gesuchsteller noch darauf, "evtl. sei nach Art. 23c OG zu verfahren". Diese Bestimmung des früheren Bundesrechtspflegegesetzes betraf das Ablehnungsverfahren bzw. die Ablehnungsgründe in Bezug auf die Gerichtspersonen. Nach Art. 121 lit. a des nunmehrigen Bundesgerichtsgesetzes (BGG) kann die Revision eines Urteils verlangt werden, wenn die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind (<ref-law>).
Inwiefern in Bezug auf wen ein Ausstands- bzw. Ablehnungsgrund vorliegen soll, führt der Gesuchsteller indes mit keinem Wort aus. Auf das Gesuch ist daher auch insoweit nicht einzutreten.
4.6. Nach dem Gesagten ist das Revisionsgesuch unbegründet und ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
5.
Bei den gegebenen Verhältnissen kann davon abgesehen werden, für das vorliegende Verfahren Kosten zu erheben (s. <ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. September 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Bopp