Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1959 geborene I._ ist im April 2005 zusammen mit ihrem Sohn A._, geboren 1991, aus der Türkei in die Schweiz eingereist. Nachdem ihre Asylgesuche am 11. Oktober 2005 gutgeheissen worden waren, erhielten sie vorab eine Aufenthalts- und per 21. April 2010 die Niederlassungsbewilligung. Die Asylbegehren der beiden älteren, sich seit 2006 in der Schweiz aufhaltenden Söhne B._ (geb. 1980) und C._ (geb. 1983) wurden am 14. Juni 2011 definitiv abgelehnt. Im September 2011 zog I._ von E._, wo sie seit Jahren vom Sozialdienst unterstützt worden war, nach Bern. Auf den im Oktober 2011 gestellten Antrag um Ausrichtung von Sozialhilfe trat die Einwohnergemeinde Bern, vertreten durch das Sozialamt, (nachfolgend: Einwohnergemeinde) mit - in Rechtskraft erwachsener - Verfügung vom 16. November 2011 nicht ein, da die Leistungsansprecherin für die Ermittlung der Bedürftigkeit erforderliche Unterlagen nicht eingereicht und daher ihre Mitwirkungspflichten verletzt habe.
A.b. Am 10. Januar 2012 gelangte I._ erneut an die Sozialhilfebehörde. Nach Abklärung der Verhältnisse trat diese auf das Gesuch abermals infolge ungenügender Mitwirkung der Antragstellerin nicht ein (Verfügung vom 20. Februar 2012). Ein dagegen angehobenes Beschwerdeverfahren beschied das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland, namentlich nach Kenntnisnahme des Abschlussberichts des Sozialinspektorats der Stadt Bern vom 29. Februar 2012, mit Entscheid vom 2. August 2012 abschlägig.
B.
Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, u.a. in Würdigung eines Berichts der psychiatrischen Dienste Q._ vom 11. Oktober 2012, ab (Entscheid vom 26. November 2012 ).
C.
I._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien ihr Sozialhilfeleistungen zuzusprechen. Die Einwohnergemeinde sei sodann umgehend anzuweisen, ihr existenzsichernde Unterstützung zukommen zu lassen. Ferner sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das kantonale Gericht und die Einwohnergemeinde schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Dazu hat sich I._ vernehmen lassen.
D.
Mit Verfügung vom 30. April 2013 wurde dem Gesuch um vorsorgliche Massnahmen im Sinne der Ausrichtung von finanzieller Soforthilfe im Umfang der normalen wirtschaftlichen Unterstützung (einschliesslich der Übernahme der Krankenkassenprämien sowie sämtlicher Krankheitskosten) ohne Integrationszulage und ohne situationsbedingte Leistungen mit Blick auf die entsprechende Zusage der Einwohnergemeinde stattgegeben.

Erwägungen:
1.
Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht somit grundsätzlich auch auf dem Gebiet der kantonalen Sozialhilfe zu Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu in Art. 83 keinen Ausschlussgrund.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, namentlich die Überschreitung oder der Missbrauch des Ermessens, gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht (mit Ausnahme der Grundrechte) von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten - einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht - prüft es dagegen nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Für derartige Rügen gelten qualifizierte Begründungsanforderungen (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht ist an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden, soweit dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Rechtsverletzungen stellen etwa die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln dar (vgl. Urteil 8C_56/2013 vom 16. Juli 2013 E. 1 am Ende mit Hinweisen).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz das Nichteintreten auf das am 10. Januar 2012 gestellte Unterstützungsgesuch der Beschwerdeführerin infolge ungenügender Mitwirkung bei der Abklärung der finanziellen Verhältnisse zu Recht geschützt hat.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht vorab eine Verletzung des rechtlichen Gehörs gemäss <ref-law> geltend, indem das kantonale Gericht in seiner Entscheidfindung ihrer akuten aktuellen Notlage zu wenig Rechnung getragen bzw. sich mit den entsprechenden Vorbringen nicht einlässlich auseinandergesetzt habe. Ferner verstosse der angefochtene Entscheid gegen ihren Anspruch auf Sicherung der wirtschaftlich menschenwürdigen Existenz im Sinne von <ref-law> und Art. 29 der kantonalbernischen Verfassung vom 6. Juni 1993 (KV/BE; SR 131.212) und verletze damit ihre Menschenwürde und persönliche Integrität. Schliesslich basiere die Verneinung des Anspruchs auf Sozialhilfe nach Art. 23 und 30 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Bern vom 11. Juni 2001 über die öffentliche Sozialhilfe (Sozialhilfegesetz, SHG; BSG 860.1) auf einer willkürlichen Würdigung des rechtserheblichen Sachverhalts und auf einer krassen Verletzung grundlegender Prinzipien der Sozialhilfe wie des Individualisierungsgebotes und des Abschiebeverbotes (Art. 25 f. SHG).
4.
Im angefochtenen Entscheid wurden die zur Anwendung gelangenden rechtlichen Grundlagen zutreffend wiedergegeben. Es betrifft dies namentlich die folgenden Bestimmungen und Grundsätze:
4.1. Gemäss Art. 23 Abs. 1 SHG hat jede bedürftige Person Anspruch auf persönliche und wirtschaftliche Hilfe. Als bedürftig gilt nach Abs. 2 der Bestimmung, wer für seinen Lebensunterhalt nicht hinreichend oder nicht rechtzeitig aus eigenen Mitteln aufkommen kann.
4.2. Art. 18 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Bern vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BSG 155.21) stipuliert, dass die zuständigen Behörden den Sachverhalt von Amtes wegen feststellen, wobei die Parteien eine Mitwirkungspflicht trifft (Art. 20 Abs. 1 VRPG). Diese wird in den jeweiligen Gesetzgebungen näher konkretisiert.
4.2.1. So haben Personen, die Sozialhilfe beanspruchen, dem Sozialdienst die erforderlichen Auskünfte über ihre persönlichen und wirtschaftlichen Verhältnisse zu geben und diesbezügliche Änderungen unaufgefordert und unverzüglich mitzuteilen (Art. 28 Abs. 1 SHG). Die Richtlinien der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe für die Ausgestaltung und Bemessung der Sozialhilfe, welche in der vierten überarbeiteten Ausgabe von April 2005 mit den Ergänzungen 12/05, 12/07, 12/08 und 12/10 (nachfolgend: SKOS-Richtlinien) für die Bemessung der wirtschaftlichen Hilfe massgebend sind (Art. 31 Abs. 1 SHG in Verbindung mit Art. 8 der Verordnung des Kantons Bern vom 24. Oktober 2001 über die öffentliche Sozialhilfe [Sozialhilfeverordnung, SHV; BSG 860.111]), sehen sodann in Ziff. A.5.2 vor, dass, wer Sozialhilfe beantragt, verpflichtet ist, bei der Abklärung des Sachverhalts mitzuwirken. Die hilfesuchende Person hat wahrheitsgetreu über ihre Einkommens-, Vermögens- und Familienverhältnisse Auskunft zu geben. Insbesondere muss Einblick in Unterlagen gewährt werden, die für die Feststellung der Unterstützungsbedürftigkeit und für die Budgetberechnung relevant sind (Mietverträge, Lohnabrechnungen, Bankbelege, Gerichtsentscheide usw., vgl. auch Claudia Hänzi, Die Richtlinien der schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe, Diss. 2011, S. 141 ff.; Carlo Tschudi, Die Auswirkungen des Grundrechts auf Hilfe in Notlagen auf sozialhilferechtliche Sanktionen, in: Grundrecht auf Hilfe in Notlagen, 2005, S. 117 ff., insb. S. 119). Nach Art. 36 Abs. 1 SHG wird die wirtschaftliche Hilfe bei Pflichtverletzungen oder bei selbstverschuldeter Bedürftigkeit gekürzt, wobei in leichten, begründeten Fällen von einer Kürzung abgesehen werden kann. Die Leistungskürzung muss dem Fehlverhalten der bedürftigen Person angemessen sein und darf den absolut nötigen Existenzbedarf nicht berühren. Sie darf nur die fehlbare Person selber treffen (Art. 36 Abs. 2 SHG).
4.2.2. An die Mitwirkungspflicht dürfen keine überspannten Anforderungen gestellt werden. So können von der betroffenen Person etwa nicht Unterlagen verlangt werden, die sie nicht hat oder die sie auch mit vernünftigem Aufwand nicht beschaffen kann (vgl. allgemein Felix Wolffers, Grundriss des Sozialhilferechts, 2. Aufl. 1999, S. 107; Hänzi, a.a.O., S. 143 und 150). Gegenstand des vorliegend zu erbringenden Beweises bildet die Bedürftigkeit. Da folglich das Fehlen hinreichender Mittel dargetan werden muss, hat die betroffene Person eine so genannt negative Tatsache zu beweisen. Der entsprechende Beweis ist dadurch zu erbringen, dass positive Sachumstände nachgewiesen werden, aus welchen die negative Tatsache gefolgert werden kann. Die Sozialhilfebehörde ist verpflichtet, anhand positiver Sachumstände (zum Beispiel Kündigung des Arbeitsverhältnisses, Vermögensentwicklung auf dem Sparkonto, Gesundheitszustand, familiäre Pflichten etc.) abzuklären, ob eine Bedürftigkeit vorliegt. Die gesuchstellende Person ihrerseits ist zur Mitwirkung angehalten, indem sie die notwendigen Aussagen macht respektive die erforderlichen Dokumente zu den Akten reicht (Tschudi, a.a.O., S. 119 f.). Da es naturgemäss leichter ist, das "Haben" zu beweisen als das "Nicht-Haben", sind die Schwelle der rechtsgenüglichen Beweiserbringung sowie die Anforderungen an die Vollständigkeit des Gesuchsdossiers vernünftig anzusetzen (Hänzi, a.a.O., S. 150; siehe auch <ref-ruling> E. 6a S. 208 mit Hinweisen; Urteil [des Eidg. Versicherungsgerichts] P 11/88 vom 1. März 1989 E. 3, in: ZAK 1989 S. 408 [beide Urteile zu Ergänzungsleistungen]).
5.
5.1. In sachverhaltsmässiger Hinsicht stellt sich die Situation nach den unbestrittenen und daher für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz wie folgt dar: Die Beschwerdeführerin hatte am 3. Dezember 2010 in der Funktion als einzelunterschriftsberechtigte Geschäftsführerin und Alleininhaberin die in K._ domizilierte Einzelunternehmung "X._" gegründet mit dem Zweck "Umzug und Reinigung, Entsorgung und Transport". Ab dem 10. Februar 2011 firmierte das Unternehmen unter der Bezeichnung "X._ Umzug + Reinigungen". Am 8. bzw. 14. Juni 2011 wurde die Firma infolge Geschäftsübergangs aus dem Handelsregister gelöscht. Unter der Adresse www.yyy.ch war sie indessen - zusammen mit der "Y._ Umzüge und Reinigungen" - auch nach der Löschung auf dem Internet präsent. Am 8. bzw. 14. Juni 2011 gründete der jüngste Sohn der Beschwerdeführerin, A._, an der gleichen Adresse als Geschäftsführer und Alleininhaber mit Einzelunterschriftsberechtigung die Einzelunternehmung "X._" (Zweck: "Umzug, Reinigung, Entsorgung und Transport").
5.2. Das kantonale Gericht, das Regierungsstatthalteramt und die Beschwerdegegnerin begründen die Verletzung der Mitwirkungspflicht im Wesentlichen damit, dass die Beschwerdeführerin trotz mehrfacher Aufforderung keine Unterlagen über die Geschäftstätigkeit der Einzelunternehmung "X._" bzw. "X._ Umzug + Reinigungen" einschliesslich der Firmenfahrzeuge eingereicht habe. Sie habe auf die damals bereits gelöschte Einzelfirma ein Auto eingelöst; zudem seien zwei weitere Fahrzeuge noch bis am 11. Oktober 2011 auf die gelöschte Einzelunternehmung immatrikuliert gewesen. Ferner hätten die beiden älteren Söhne der Beschwerdeführerin, B._ und C._, anlässlich einer am 28. Juni 2011 durchgeführten Polizeikontrolle angegeben, als Angestellte des Unternehmens "Y._ Umzug und Reinigungen", K._, unterwegs zu sein, das durch ihre Mutter "vertreten" sei. Schliesslich habe der Betreiber des (aktuell infolge Geschäftsaufgabe aus dem Handelsregister gelöschten) Umzugs- und Reinigungsunternehmens "Z._ Transporte", H._, am 13. September 2011 ausgesagt, die Beschwerdeführerin habe versucht, ihm Aufträge weiterzugeben. Es deute somit insgesamt einiges darauf hin, dass die Beschwerdeführerin auch nach der Löschung ihrer Einzelfirma aus dem Handelsregister einer (operativen) Tätigkeit als Geschäftsführerin nachgegangen sei bzw. noch weiter nachgehe. Selbst wenn davon auszugehen wäre, dass sie faktisch nicht mehr an der Geschäftsleitung teilgenommen habe, schliesse dies die Zugriffsmöglichkeit auf die Aufzeichnungen des Unternehmens keineswegs aus. Stichhaltige Gründe, weshalb entsprechende Informationen und Unterlagen (Steuerakten, Buchhaltung, Aufzeichnung der Geschäftsvorfälle, Kontoauszüge etc.) nicht hätten verfüg- und behändigbar sein sollen, würden weder geltend gemacht noch seien sie ersichtlich. Indem die Beschwerdeführerin es trotz ausdrücklicher Aufforderung versäumt habe, klärende Anhaltspunkte beizubringen, sei sie ihrer bei der Feststellung des Sachverhalts geltenden Mitwirkungspflicht verschuldetermassen nicht bzw. nur unzureichend nachgekommen.
6.
6.1. Zu beurteilen war vorinstanzlich die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin bei Erlass der Verwaltungsverfügung vom 20. Februar 2012. Nicht Gegenstand des Verfahrens bildete demgegenüber die Frage einer allfälligen vorangegangenen Notlage (vgl. unangefochten in Rechtskraft erwachsene Verfügung der Beschwerdegegnerin vom 16. November 2011).
6.2. Das Sozialinspektorat der Stadt Bern hat die geschäftlichen Aktivitäten der Beschwerdeführerin näher beleuchtet und in der Folge zusätzliche Auskünfte verlangt, welche unstreitig nicht erteilt worden sind. Ob der Beschwerdeführerin im massgeblichen Zeitpunkt Einkünfte aus selbstständiger unternehmerischer Tätigkeit zugeflossen sind, konnte daher mangels gesicherter Angaben letztlich nicht definitiv beantwortet werden. Fraglich ist, ob die Beschwerdeführerin dadurch ihre Mitwirkungspflicht verschuldetermassen verletzt hat und der Anspruch auf Sozialhilfe auf Grund dieser Unterlassung nicht hinreichend zu ermitteln war. Nur wenn die fehlende Mitwirkung zur Folge hatte, dass erhebliche Zweifel an der Unterstützungsbedürftigkeit der Beschwerdeführerin im massgeblichen Zeitpunkt Anfang 2012 nicht ausgeräumt werden konnten, rechtfertigt sich eine Leistungsverweigerung.
6.2.1. Den im Abschlussbericht des Sozialinspektorats vom 29. Februar 2012 wiedergegebenen Recherchen ist zu entnehmen, dass es sich bei den fraglichen Geschäftstätigkeiten der Beschwerdeführerin in erster Linie um solche im Zusammenwirken mit den beiden älteren Söhnen gehandelt hat. Diese hatten jedoch gemäss unbestritten gebliebener Darstellung die Schweiz im Juli 2011 auf negativen Asylentscheid hin verlassen und waren in Frankreich untergetaucht (vgl. etwa Beschwerde, S. 6; vorinstanzliche Beschwerde, S. 6; Bericht der psychiatrischen Dienste Q._ vom 11. Oktober 2012, S. 2 oben; Kriminalrapport der Polizei P._ vom 15. September 2011, S. 3). Erwiesenermassen war ferner die formell von der Beschwerdeführerin geleitete Einzelunternehmung "X._" bzw. "X._ Umzug + Reinigungen" im Juni 2011 aus dem Handelsregister gelöscht worden und hatte ihr jüngster Sohn parallel an der gleichen Adresse als Geschäftsführer und Alleininhaber mit Einzelunterschriftsberechtigung die Unternehmung "X._" gegründet. Die Beschwerdeführerin hatte folglich ab Juli 2011 - mit dem Wegzug ihrer beiden älteren Söhne - formell keine geschäftsführende Funktion mehr inne.
6.2.2. Die geschilderten Fakten deuten darauf hin, dass die Beschwerdeführerin zur Zeit ihrer zweiten Gesuchseinreichung Anfang 2012 nicht mehr selbstständig erwerbstätig war und über kein Einkommen aus einer derartigen Beschäftigung verfügte. Die als Hinweis auf eine faktisch weiterhin aufrechterhaltene Geschäftstätigkeit interpretierten Vorgänge (Immatrikulation von Fahrzeugen auf die bereits gelöschte Unternehmung, Aussage von H._, die Beschwerdeführerin habe versucht, ihm Aufträge weiterzugeben) stammen sodann von September/Oktober 2011 und stellen keine positiven Sachumstände im Sinne gewichtiger Indizien dar, welche für sich allein eine aktuelle Bedürftigkeit der Leistungsansprecherin auszuschliessen vermöchten. Die Beschwerdegegnerin hatte denn auch bereits Ende 2011 anerkannt, dass im Falle der Beschwerdeführerin Nothilfe im Sinne der Übernahme von Wohnungsmiete, Krankenkassenprämie und Lebensbedarf offensichtlich erforderlich sei. Die Feststellung der Vorinstanz, die Beschwerdeführerin sei, indem sie trotz mehrfacher Aufforderung keine Unterlagen und Informationen über die Geschäftstätigkeit der Einzelunternehmung "X._" bzw. "X._ Umzug + Reinigungen" einschliesslich der Firmenfahrzeuge beigebracht habe, ihrer Mitwirkungspflicht bei der Ermittlung des rechtserheblichen Sachverhalts nur ungenügend nachgekommen mit der Folge, dass die Beschwerdegegnerin auf das am 10. Januar 2012 gestellte Unterstützungsgesuch zu Recht nicht eingetreten sei, beruht vor diesem Hintergrund auf einer willkürlichen Beweiswürdigung. Der vorinstanzliche Entscheid, der Entscheid des Regierungsstatthalteramtes vom 2. August 2012 und die Verfügung der Beschwerdegegnerin vom 20. Februar 2012 sind daher infolge qualifizierter Rechtsfehlerhaftigkeit aufzuheben.
Die Beschwerdegegnerin, an welche die Sache zurückzuweisen ist, wird auf das Ersuchen der Beschwerdeführerin einzutreten und darüber unter Berücksichtigung des in E. 4.2.1 und 4.2.2 hievor Ausgeführten zu befinden haben. Dabei wird namentlich dem Grundsatz, wonach im Hinblick auf allfällige Leistungskürzungen an die Beweisbarkeit des Fehlens genügender finanzieller Mittel als negativer Tatsache keine zu hohen Anforderungen gestellt werden dürfen, Rechnung zu tragen sein.
7.
Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu erneuter Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1). Demgemäss sind die Prozesskosten der Beschwerdegegnerin zu überbinden. Ferner hat sie der fachkundig vertretenen Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung auszurichten. Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Entscheide des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 26. November 2012 und des Regierungsstatthalteramtes Bern-Mittelland vom 2. August 2012 sowie die Verfügung der Beschwerdegegnerin vom 20. Februar 2012 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Beschwerdegegnerin zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und hernach erneut verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. März 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl