Sachverhalt:
A. Die Stiftung Y._ mit Sitz in A._/GR schrieb im offenen Verfahren Montagebauarbeiten aus. Der Ausschreibung zufolge endete die Eingabefrist am "Mittwoch, 21. März 2012, A-Post (Poststempel massgebend)". Es gingen zwei Angebote ein: Die Offerte der X._ AG, B._/TG, lautete auf rund Fr. 732'000.--, jene der Z._ AG, C._/GR, auf rund Fr. 741'000.-- und nach Offertbereinigung auf noch rund Fr. 720'000.--. Mit Beschluss vom 12. April 2012 erteilte der Stiftungsrat der Z._ AG den Zuschlag, deren Eingabe er als das wirtschaftlich günstigste Angebot erachtete.
B. Die X._ AG reichte am 30. April 2012 beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden Beschwerde gegen den Vergabeentscheid ein. Sie beantragte, der angefochtene Vergabeentscheid sei aufzuheben und der Zuschlag sei ihr zu erteilen. Die Z._ AG und die Stiftung Y._ liessen sich am 9. Mai bzw. 22. Mai 2012 vernehmen. In ihrer Replik vom 4. Juni 2012 machte die X._ AG neben Rügen in der Sache namentlich geltend, die berücksichtigte Offerte trage das Datum vom 23. März 2012. Die Eingabe sei verspätet erfolgt und dementsprechend sei die Z._ AG aus dem Submissionsverfahren auszuschliessen. Die Stiftung Y._ duplizierte am 13. Juni 2012, worauf das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, die Beschwerde am 12. Juli 2012 abwies, soweit es darauf eintrat.
Hinsichtlich der Frage der Rechtzeitigkeit der berücksichtigten Offerte erkannte das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, die in der Replik vom 4. Juni 2012 erhobene Rüge der X._ AG, wonach die Eingabe der Z._ AG (hiernach: die Zuschlagsempfängerin) verspätet erfolgt sei, stelle eine unzulässige Ausdehnung des ursprünglichen Rechtsbegehrens dar. Da nach Ablauf der Beschwerdefrist erfolgt, sei diese "Erweiterung" nicht zu hören. Ohnehin sei nicht die Datierung der Offerte, sondern der Poststempel massgebend. Das abgestempelte Couvert finde sich in den Akten allerdings nicht.
C. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 12. Juli 2012 gelangt die X._ AG an das Bundesgericht. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde, beantragt sie die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Erteilung des Zuschlags an sie. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Ergänzung der Sachverhaltsabklärungen und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subventualiter sei die Widerrechtlichkeit des Vergabeentscheids festzustellen. Zudem sei der Beschwerde superprovisorisch die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts entsprach am 9. Oktober 2012 superprovisorisch dem Gesuch der X._ AG (hiernach: die Beschwerdeführerin) um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung. Nach Anhörung der Parteien - vernehmen liess sich einzig die Stiftung Y._ - und Kenntnisnahme davon, dass der Werkvertrag am 2. Oktober 2012 unterzeichnet worden sei, schrieb er am 31. Oktober 2012 das Gesuch ab.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden beantragt die Abweisung der Beschwerde und verweist auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid. Die Stiftung Y._ (hiernach: die Vergabebehörde) schliesst ebenso auf Abweisung der Beschwerde und reicht eine detaillierte Vernehmlassung ein.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit des Rechtsmittels von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 476; <ref-ruling> E. 1 S. 475; <ref-ruling> E. 1.4 S. 262; <ref-ruling> E. 1 S. 417).
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit des Rechtsmittels von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 476; <ref-ruling> E. 1 S. 475; <ref-ruling> E. 1.4 S. 262; <ref-ruling> E. 1 S. 417).
1.2 1.2.1 Gegen (End-)Entscheide letzter kantonaler Instanzen in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts ist an sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Allerdings schliesst Art. 83 lit. f BGG die Beschwerde aus gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrages den massgebenden Schwellenwert des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (BöB; SR 172.056.1) oder des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Gemeinschaft über bestimmte Aspekte des öffentlichen Beschaffungswesens (SR 0.172.052.68) nicht erreicht (Ziff. 1) und sich zudem keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Ziff. 2; <ref-ruling> E. 1.1 S. 146; <ref-ruling> E. 2.1 S. 398; Urteil 2D_49/2011 vom 25. September 2012 E. 1.2.1).
1.2.2 Bei der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung muss es sich um einen Aspekt des öffentlichen Beschaffungsrechts handeln, mithin um eine spezifisch beschaffungsrechtliche Fragestellung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 195; Urteil 2D_29/2012 vom 21. November 2012 E. 1.1, in: JdT 2013 I 36). Der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage höchstrichterlich noch nicht zu entscheiden war, genügt nicht, um sie als Grundsatzfrage im Sinne von Art. 83 lit. f Ziff. 2 BGG erscheinen zu lassen. Unerlässlich ist vielmehr, dass ein (beschaffungsrechtlicher) Aspekt zur Diskussion steht, dessen Entscheidung für die Praxis tatsächlich wegleitend sein kann und aufgrund seiner Tragweite einer bundesgerichtlichen Klärung ruft. Über diesen materiellen Aspekt hinaus ist in formeller Hinsicht erforderlich, dass aus der Beschwerdeschrift hervorgeht, warum dies im gegebenen Fall zutrifft (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG). Andernfalls ist auf das Rechtsmittel nicht einzutreten (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.1.2 S. 147; <ref-ruling> E. 1.1.1 S. 316; <ref-ruling> E. 1.3 S. 195; <ref-ruling> E. 2.2 S. 399; Urteil 2C_720/2012 vom 1. Februar 2013 E. 1.2.1).
1.2.3 Das Erfordernis der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ("question juridique de principe", "questione di diritto d'importanza fondamentale") ist restriktiv zu handhaben (<ref-ruling> E. 1.1.2 S. 147; <ref-ruling> E. 1.1 S. 494 f.). Selbst im Fall der Unzulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bleibt der beschwerdeführenden, im Submissionsverfahren mit ihrem Angebot nicht berücksichtigten Partei ein hinreichender Rechtsschutz gewahrt. Bei kantonalrechtlichen Submissionen steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zur Verfügung (Art. 113 ff. BGG; dazu E. 1.3 hiernach). Bei Submissionen durch eidgenössische Verwaltungsorgane kann, soweit sie aufgrund ihres Auftragswertes den Vorschriften des Beschaffungsrechts unterstehen (Art. 6 BöB), letztinstanzlich das Bundesverwaltungsgericht angerufen werden (Art. 27 Abs. 1 BöB; vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege [BBl 2001 4202, insb. 4321 f.; ALAIN WURZBURGER, in: Corboz/Wurzburger/Ferrari/Frésard/Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2009, N. 90 ff. zu Art. 83 BGG; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, N. 2844 f. zu Art. 83 BGG; HANSJÖRG SEILER, in: Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 45 ff. zu Art. 83 BGG).
1.2.4 Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Bundesgericht habe in seiner bisherigen Praxis noch nicht zu entscheiden gehabt, wie "im streitigen Beschwerdeverfahren die Beweislast bezüglich der Einhaltung oder Nichteinhaltung einer Frist zu verteilen" sei. Der Beschwerdeführerin ist darin beizupflichten, dass die Beweislastverteilung eine Rechtsfrage ist (<ref-ruling> E. 5 S. 327), wogegen die gerichtliche Beweiswürdigung, selbst wenn sie auf Indizien beruht, und die sich daraus ergebenden tatsächlichen Schlussfolgerungen unter die Tatfragen fallen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 485; <ref-ruling> E. 3.2 S. 507; <ref-ruling> E. 3.3 S. 399; Urteile 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 1.4; 2C_92/2012 vom 17. August 2012 E. 4.3, in: StR 67/2012 S. 828; 2C_704/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3.3).
Nicht ersichtlich ist hingegen die spezifisch beschaffungsrechtliche Grundsätzlichkeit der Fragestellung (Art. 83 lit. f Ziff. 2 BGG). Die aufgeworfene Frage könnte sich in einem anderen Zusammenhang ebenso stellen, was dazu führt, dass ihr die erforderliche Nähe zum Sachgebiet fehlt. Praxisgemäss gilt es ohnehin als unzureichend, lediglich vorzutragen, die angebliche Rechtsfrage sei vom Bundesgericht noch nicht entschieden worden (E. 1.2.2 hiervor). Allem voran hat sich die Vorinstanz zur Frage der Beweislast gar nicht geäussert, da sie die Rüge der Verspätung auch nicht geprüft hat. Deshalb kann sich das Bundesgericht dazu ohnehin nicht äussern. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist demnach nicht nachgewiesen. Ob die Vergabesumme im vorliegenden Fall den massgebenden Schwellenwert erreicht hat, bedarf damit keiner näheren Prüfung.
1.2.5 Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist folglich nicht einzutreten. Im Übrigen ist festzuhalten, dass selbst bei Eintreten keine umfassende Prüfung erfolgen könnte, wie sie die Beschwerdeführerin offensichtlich anstrebt. Kantonales Gesetzesrecht, beispielsweise Submissionsrecht, unterliegt der bundesgerichtlichen Prüfung nur insoweit, als in seiner Anwendung eine Verletzung von Bundesrecht zu erblicken ist (Art. 95 lit. a BGG). Im Wesentlichen kann geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen die verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze mit Einschluss des Willkürverbots (<ref-ruling> E. 3.1 S. 227; <ref-ruling> E. 2.2 S. 69; <ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 3 S. 351; Urteil 2C_20/2012 vom 24. April 2012 E. 1.2). Im Ergebnis bliebe die Verletzung des Submissionsrechts des Kantons Graubünden auch im Anwendungsbereich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter dem Gesichtspunkt des Willkürverbots (Art. 9 BV) zu prüfen.
1.2.5 Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist folglich nicht einzutreten. Im Übrigen ist festzuhalten, dass selbst bei Eintreten keine umfassende Prüfung erfolgen könnte, wie sie die Beschwerdeführerin offensichtlich anstrebt. Kantonales Gesetzesrecht, beispielsweise Submissionsrecht, unterliegt der bundesgerichtlichen Prüfung nur insoweit, als in seiner Anwendung eine Verletzung von Bundesrecht zu erblicken ist (Art. 95 lit. a BGG). Im Wesentlichen kann geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen die verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze mit Einschluss des Willkürverbots (<ref-ruling> E. 3.1 S. 227; <ref-ruling> E. 2.2 S. 69; <ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 3 S. 351; Urteil 2C_20/2012 vom 24. April 2012 E. 1.2). Im Ergebnis bliebe die Verletzung des Submissionsrechts des Kantons Graubünden auch im Anwendungsbereich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter dem Gesichtspunkt des Willkürverbots (Art. 9 BV) zu prüfen.
1.3 1.3.1 Soweit die Beschwerde nach den Art. 72 bis 89 BGG nicht zulässig ist, steht gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen grundsätzlich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (Art. 113 BGG). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Voraussetzung hierzu ist namentlich ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (Art. 115 lit. b BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 308).
1.3.2 Die Beschwerdeführerin rügt hauptsächlich eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV; zum Willkürbegriff: <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5). Praxisgemäss verschafft Art. 9 BV für sich allein kein hinreichendes rechtlich geschütztes Sachinteresse im Sinne von Art. 115 lit. b BGG (<ref-ruling> E. 3.2 S. 235; <ref-ruling> E. 5 und 6 S. 193 ff.). Legitimiert zur Willkürrüge ist die betroffene Person demnach bloss, soweit sie sich auf eine gesetzliche Norm berufen kann, die ihr im Bereich der betreffenden und angeblich verletzten Interessen einen Rechtsanspruch verschafft oder zumindest den Schutz ihrer Interessen bezweckt (<ref-ruling> E. 2 S. 308; <ref-ruling> E. 4 S. 156; <ref-ruling> E. 6.1 S. 197 f.; <ref-ruling> E. 3 ff. S. 85 ff.). Entsprechendes gilt für das allgemeine Gleichbehandlungsgebot des Art. 8 Abs. 1 BV (<ref-ruling> E. 1.3 S. 308 f.).
Die anspruchsverleihende oder individualschützende Norm kann sich einerseits aus kantonalem oder eidgenössischem Gesetzesrecht, andererseits aber auch unmittelbar aus einem angerufenen speziellen Grundrecht ergeben, sofern die Interessen auf dem Gebiet liegen, das die betreffende Verfassungsbestimmung beschlägt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 235; <ref-ruling> E. 4 S. 191; Urteil 2C_694/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 1.3.2). Im Submissionsrecht besteht ein Rechtsanspruch auf die Erteilung des Auftrags an denjenigen Anbieter, der die günstigste Offerte eingereicht hat (SEILER, a.a.O., N. 16 zu Art. 115 BGG). Dies ergibt sich aus dem Bundesgesetz vom 6. Oktober 1995 über den Binnenmarkt (BGBM; SR 943.02) und der Interkantonalen Vereinbarung vom 15. März 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen (IVöB; aSR 172.056.5; AS 2003 196; <ref-ruling> E. 4 S. 95 f.; Urteile 2C_720/2012 vom 1. Februar 2013 E. 2.1; 2D_49/2011 vom 25. September 2012 E. 1.3.1).
1.3.3 Unerlässlich ist weiter, dass die beschwerdeführende, im Submissionsverfahren erfolglose Partei eine reelle Chance gehabt hätte, im Fall der Gutheissung des Rechtsmittels den Zuschlag zu erhalten (Urteile 2C_720/2012 vom 1. Februar 2013 E. 2.2; 2D_49/2011 vom 25. September 2012 E. 1.3.2). Andernfalls kann die behauptete Rechtswidrigkeit des Entscheids nicht kausal für den möglicherweise eingetretenen Schaden gewesen sein. Ist der Vertrag, wie vorliegend, bereits abgeschlossen worden, bleibt das Rechtsschutzinteresse bestehen. In einem solchen Fall hat das Bundesgericht bei erfüllten Voraussetzungen die Bundesrechtswidrigkeit des angefochtenen Entscheids festzustellen (Art. 9 Abs. 3 BGBM). Dies erlaubt den Betroffenen gegebenenfalls die Geltendmachung von Schadenersatz (BGE <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 317; <ref-ruling> E. 1.2 S. 157; <ref-ruling> E. 1.2 S. 261; <ref-ruling> E. 5b S. 97 f.).
1.3.4 Ein derartiges rechtlich geschütztes Sachinteresse ist gegeben. Erwiese sich das Angebot der Zuschlagsempfängerin als verspätet, wäre es von der Berücksichtigung auszuschliessen gewesen (Art. 22 lit. a des Submissionsgesetzes [des Kantons Graubünden] vom 10. Februar 2004 [SubG/GR; BR 803.300]) und stellte sich die Frage nach der Rechtwidrigkeit des Zuschlags und des etwaigen Schadenersatzes.
1.3.5 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, sodass auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde einzutreten ist.
1.4 Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur unter Rüge- und Begründungsvorbehalt (Art. 117 i. V. m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen im Sinne von Art. 106 Abs. 1 BGG, wie er im Bereich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten herrscht, gilt hier nicht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 228; <ref-ruling> E. 2.2 S. 69; <ref-ruling> E. 10 S. 318; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die bundesgerichtliche Praxis verlangt, dass die angebliche Verfassungsverletzung klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8 S. 494 mit Hinweisen; Urteile 2C_545/2012 vom 22. Februar 2013 E. 2.2; 2C_605/2012 vom 20. Februar 2013 E. 2.3).
2. 2.1 Gemäss Art. 25 Abs. 1 SubG/GR kann gegen Verfügungen des Auftraggebers beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden Beschwerde erhoben werden. Mit der Beschwerde lassen sich Rechtsverletzungen einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens (Art. 27 Abs. 1 lit. a SubG/GR) sowie die unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts (lit. b derselben Norm) rügen. Die Beschwerdegründe entsprechen damit jenen nach Art. 51 Abs. 1 des Gesetzes [des Kantons Graubünden] vom 31. August 2006 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/GR; BR 370.100).
In verfahrensrechtlicher Hinsicht verweist Art. 26 Abs. 2 Satz 3 SubG/GR auf das "beschleunigte Verfahren gemäss Zivilprozessordnung". Gemeint sind bzw. waren damit die Art. 135 f. der seinerzeitigen Zivilprozessordnung des Kantons Graubünden (ZPO/GR; aBR 320.000). Die kantonale Zivilprozessordnung stand vom 1. Januar 1986 bis zum 31. Dezember 2010 in Kraft und wurde durch die Schweizerische Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 (ZPO; SR 272) abgelöst. Zumindest hilfweise kann unter diesen gewandelten Umständen, was den Streitgegenstand und dessen Änderung anbelangt, das allgemeine kantonale Verwaltungsverfahrensrecht herangezogen werden. Danach dürfen die Parteien Rechtsbegehren, die sie im vorinstanzlichen Verfahren nicht gestellt haben, vor Verwaltungsgericht nicht ausdehnen (Art. 51 Abs. 2 VRG/GR). Ausdrücklich zulässig bleiben hingegen neue Tatsachenbehauptungen und Beweisanträge (Art. 51 Abs. 3 VRG/GR).
Zum selben Ergebnis gelangte man, wenn die einstige kantonale Zivilprozessordnung herangezogen würde. Gemäss Art. 136 Abs. 2 ZPO/GR galten "im Übrigen", d. h., soweit das Gesetz keine Ausnahme vorsah, auch im beschleunigten Verfahren die Vorschriften des ordentlichen Verfahrens. Nach Art. 227 Abs. 1 Satz 1 ZPO/GR waren die Parteien im Parteivortrag vor Kantonsgericht "auf das vor erster Instanz Vorgetragene nicht beschränkt". Neue rechtliche Standpunkte - dazu E. 2.4 hiernach - waren damit auch vor Oberinstanz möglich, wogegen neue Beweismittel vor der Berufungsinstanz grundsätzlich nicht mehr angerufen werden konnten (Art. 226 Abs. 1 Satz 1 ZPO/GR).
2.2 Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (Art. 118 Abs. 1 BGG) hatte die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde vom 30. April 2012 an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden beantragt, der angefochtene Vergabeentscheid sei aufzuheben und ihr - der Beschwerdeführerin - sei der Zuschlag zu erteilen. In der Replik vom 4. Juni 2012 an die Vorinstanz machte sie sodann geltend, nach Einsichtnahme in die Offerte der Zuschlagsempfängerin halte sie die Eingabefrist für versäumt. Die Vorinstanz erblickte in dieser Auffassung eine [unzulässige] Ausdehnung des ursprünglichen Rechtsbegehrens. Da nach Ablauf der Beschwerdefrist erfolgt, sei diese "Erweiterung" nicht zu hören.
2.3 Die Sichtweise der Vorinstanz überzeugt unter verschiedenen Gesichtspunkten nicht. Was in formeller Hinsicht das ursprüngliche Rechtsbegehren anbelangt, ist vorweg festzuhalten, dass dieses durch die replikweise vorgebrachten Einwendungen der Beschwerdeführerin keine Änderung erfuhr. Nach wie vor lautete es in der Hauptsache auf Aufhebung des angefochtenen Vergabeentscheids. Unter materiellen Gesichtspunkten verhält es sich gleichermassen. Der Streitgegenstand - die Vergabe an die Konkurrentin - blieb unberührt, jedenfalls wurde er nicht ausgedehnt. Nach der Verwaltungsrechtspflegegesetzgebung des Kantons Graubünden, die nach dem Gesagten analogieweise heranzuziehen ist, nachdem die kantonale Zivilprozessordnung ausser Kraft steht, sind vor Verwaltungsgericht [lediglich] neue Rechtsbegehren unzulässig, während namentlich neue Tatsachenbehauptungen und Beweisanträge zugelassen sind (Art. 51 Abs. 2 und 3 VRG/GR). Mit ihrem Einwand brachte die Beschwerdeführerin freilich (nur) den neuen Rechtsstandpunkt ein, aufgrund der Säumnis, von welcher sie ausgehe, müsse das Angebot der Konkurrentin aus dem Wettbewerb ausgeschlossen werden.
2.4 Neue Rechtsstandpunkte im Sinne einer überarbeiteten oder ergänzten rechtlichen Begründung ("argumentation juridique nouvelle") fallen weder unter die [unzulässigen] neuen Rechtsbegehren (Art. 51 Abs. 2 VRG/GR) noch stellen sie [zulässige] neue Tatsachenbehauptungen und Beweisanträge (hier: im Sinne von Art. 51 Abs. 2 VRG/GR) dar (<ref-ruling> E. 4.5 S. 277). Die Zulässigkeit neuer Rechtsstandpunkte und neuer rechtlicher Argumentationen ist in Praxis und Doktrin unstreitig (zur Abgrenzung der Institute im bundesgerichtlichen Verfahren, das hierzu mit Art. 51 VRG/GR übereinstimmt, SEILER, a.a.O., N. 7 zu Art. 99 BGG; ULRICH MEYER/JOHANNA DORMANN, in: Marcel A. Niggli/Peter Uebersax/Hans Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar, BGG, 2. Aufl., 2011, N. 23 zu Art. 99 BGG; NICOLAS VON WERDT, Die Beschwerde in Zivilsachen, 2010, N. 648 [argumentum e contrario]). Selbst im Verfahren vor Bundesgericht, wo neue Tatsachen und Beweismittel grundsätzlich unzulässig sind (Art. 99 Abs. 1 BGG), sind neue Rechtsstandpunkte und neue rechtliche Argumentationen im Rahmen des Streitgegenstandes zulässig, jedenfalls solange, als sie sich auf vorinstanzlich festgestellte oder aktenkundige Sachverhalte stützen (Urteil 8C_200/2011 vom 13. Januar 2012 E. 7.4, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2.4 f. S. 220 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 366 f.; <ref-ruling> E. 4.5 S. 277; <ref-ruling> E. 5.3.2 S. 651; <ref-ruling> E. 4.4 S. 34; <ref-ruling> E. 2e S. 311 f.).
Mit dieser Einschränkung fallen neue rechtliche Ausführungen nicht unter die Noven (LAURENT KILLIAS, in: Heinz Hausheer/Hans Peter Walter [Hrsg.], Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 7 zu Art. 229 ZPO). Vorliegend beruht die neue rechtliche Argumentation darauf, dass die Offerte erst nach dem 21. März 2012 eingereicht worden sei. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG) war davon in der Beschwerde vom 30. April 2012 noch keine Rede gewesen, sondern erst in der Replik vom 4. Juni 2012. Daraus ist zu schliessen, dass die Beschwerdeführerin erst nach erfolgter Beschwerdeeinreichung vom Akteneinsichtsrecht Gebrauch machte. Da aber das Verwaltungsgericht eine unbeschränkte Sachverhaltskognition hat, kann dies kein Hinderungsgrund sein, um das neue rechtliche Argument zu prüfen.
2.5 Vor diesem Hintergrund hat die Vorinstanz das kantonale Verwaltungsverfahrens- und Submissionsrecht in qualifiziert bundesrechtswidriger Weise gehandhabt. Es ist willkürlich und überspitzt formalistisch, ein ausdrückliches Rechtsbegehren auf Ausschluss der Zuschlagsempfängerin zu verlangen, wenn das gestellte Rechtsbegehren bereits auf Aufhebung des Zuschlags lautet.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat daher auf die Rüge der verspäteten Offerte einzutreten, wenngleich auch hierzu gilt, dass der Werkvertrag bereits abgeschlossen worden ist und es nur noch um die Prüfung der Widerrechtlichkeit des Vergabeentscheids geht (E. 1.3.3). Die Frage der Rechtswidrigkeit des (bereits vollzogenen) Zuschlags ist damit im bundesgerichtlichen Verfahren noch nicht liquid, sodass sich das Bundesgericht auf die Aufhebung des angefochtenen Entscheids beschränkt (BGE <ref-ruling> E. 1.2 S. 261; <ref-ruling> E. 5b S. 97; Urteil 2D_49/2011 vom 25. September 2012 E. 11.2). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist folglich gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden zurückzuweisen.
3.2 Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu erneuter Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Verlegung der Gerichtskosten sowie der Parteientschädigung als volles Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; Urteile 2D_49/2011 vom 25. September 2012 E. 11.3; 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1). Die infolge der Rückweisung der Sache vorzunehmende Neubeurteilung kann zu einer Gutheissung der Beschwerde führen. Demzufolge sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Vergabebehörde und der Zuschlagsempfängerin aufzuerlegen (Art. 65 i.V.m. Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG), je zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit (Art. 66 Abs. 5 BGG). Die Vergabebehörde ist als Organisation, die zwar mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraut ist, aber hier Vermögensinteressen wahrnimmt, von der Kostenpflicht nicht ausgenommen (Art. 66 Abs. 4 i.V.m. Abs. 1 Satz 1 BGG; <ref-ruling> E. 8.1.2 f. S. 40 f.; Urteil 2D_49/2011 vom 25. September 2012 E. 11.3).
3.3 Der Beschwerdeführerin steht eine Parteientschädigung zulasten der Vergabebehörde und der Zuschlagsempfängerin zu (Art. 68 Abs. 1 i.V.m. Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 12. Juli 2012 aufgehoben und die Sache im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden zurückgewiesen.
3. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 8'000.-- werden der Stiftung Y._ und der Z._ AG, zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit, insgesamt ausmachend je Fr. 4'000.--, auferlegt.
4. Die Stiftung Y._ und die Z._ AG werden zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit verpflichtet, die X._ AG für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher