Sachverhalt:
A.
A.a. Am 1. Juli 2011 erliess die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (nachfolgend: FINMA) eine Verfügung gegen die X._ Fonds Management AG (nachfolgend: X._), in welcher im Dispositiv Folgendes angeordnet wurde:
"1. Es wird festgestellt, dass die X._ Fonds Management AG aufsichtsrechtliche Bestimmungen schwer verletzt hat.
2. Die Verfahrenskosten in der Höhe von CHF 10'000.-- werden der X._ Fonds Management AG auferlegt. Sie werden mit separater Post in Rechnung gestellt und sind innert 30 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft zu begleichen."
In Randziffer 35 der Erwägungen wird über den ehemaligen Vizepräsidenten des Verwaltungsrates der X._, Dr. A._ Folgendes festgehalten:
"Sowohl A._ wie auch B._ waren für die Verwaltung bzw. Geschäftsführung der X._ verantwortlich und zudem direkt oder indirekt an ihr massgebend beteiligt. Durch die oben beschriebenen Geschäftsvorfälle haben sich A._ und B._ zum Schaden der X._ materielle Vorteile verschafft. Dieses Verhalten kann nicht als integer bezeichnet werden und widerspricht in krasser Weise dem, was von einem redlichen Organ eines bewilligten Institutes erwartet wird. Damit ist den Erfordernissen der Gewähr und eines guten Rufes nicht Genüge getan. Die Verletzung des Gewährserfordernisses muss sich die X._ als Bewilligungsträgerin anrechnen lassen."
Auch in weiteren Randziffern der Erwägungen wird das Verhalten des namentlich genannten A._ kritisiert. Gemäss Eröffnungsvermerk wurde die Verfügung an die X._ eröffnet und zur Kenntnisnahme der Y._ AG mitgeteilt.
A.b. Im Zeitpunkt des Erlasses der genannten Verfügung hatte A._ keine Organstellung bei der X._ mehr inne und war er auch nicht mehr direkt oder indirekt an ihr beteiligt; er musste aber als Verwaltungsrat und Geschäftsführer der Z._ Invest AG Gewähr für eine einwandfreie Geschäftstätigkeit bieten. Diese verfügte im Verfügungszeitpunkt über keine Beteiligung an der X._ mehr, war jedoch mit dieser hinsichtlich Personal und Infrastruktur eng verbunden und stand in besonderer Beziehungsnähe zu ihr.
A.c. Auf Anfrage der FINMA hin teilte die X._ mit Schreiben vom 31. August 2011 der FINMA mit, dass keine Strafanzeige gegen A._ eingereicht werde. Am 6. Oktober 2011 erstattete die FINMA bei der Staatsanwaltschaft in Zürich Strafanzeige gegen A._ wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung. Das Verfahren wurde mit Verfügung vom 16. Mai 2012 eingestellt.
A.d. Mit Schreiben vom 13. Oktober 2011 teilte A._ der FINMA mit, dass die Z._ Invest AG wegen seiner gesundheitlichen Beschwerden ihre Aktivitäten im Bereich Anlagefondsvertrieb per 31. Oktober 2011 einstellen müsse. Entsprechend verzichtete die Z._ Invest AG auf ihre Bewilligung als Vertriebsträger, weshalb die FINMA A._ mit Schreiben vom 25. November 2011 bekannt gab, dass es der Z._ Invest AG nunmehr verboten sei, kollektive Kapitalanlagen öffentlich anzubieten und zu vertreiben.
In einem weiteren Schreiben vom 16. Dezember 2011 teilte die FINMA A._ mit, dass er derzeit keine Organfunktion in einem von ihr überwachten Unternehmen mehr einnehme. Entsprechend sei eine am 15. August 2011 versandte Gesprächseinladung, welche A._ aus gesundheitlichen Gründen bis zum Zeitpunkt des Schreibens nicht wahrnehmen konnte, hinfällig geworden.
A.e. Mit Schreiben vom 21. Dezember 2011, dem sogenannten "Gewährsbrief", empfahl die FINMA A._, sich mit der FINMA in Verbindung zu setzen, sofern er gedenke, bei einem von ihr beaufsichtigten Unternehmen wieder eine Gewährsstellung einzunehmen und insofern wieder Gewähr für eine einwandfreie Geschäftstätigkeit bieten müsse. In diesem Schreiben an A._ nahm die FINMA erstmals Bezug auf ihre - in der Zwischenzeit rechtskräftig gewordene - Verfügung vom 1. Juli 2011.
Mit Schreiben vom 6. Januar 2012 verlangte der nunmehr anwaltlich vertretene A._ Akteneinsicht, die ihm am 20. Februar 2012 gewährt wurde. A._ erhielt nach seinen Angaben in diesem Zeitpunkt erstmals Kenntnis vom Inhalt der Verfügung vom 1. Juli 2011.
Anlässlich eines auf Wunsch von A._ erfolgten Gesprächs vom 19. Oktober 2012 mit der FINMA erklärte diese, dass nach ihrer Ansicht die Verfügung vom 1. Juli 2011 rechtskräftig und das Verfahren abgeschlossen sei. Da A._ zu diesem Zeitpunkt keine konkrete Gewährsstellung in einem von der FINMA überwachten Institut in Aussicht habe, sei auch keine Gewährsprüfung möglich. Es stehe ihm jedoch frei, entlastende Dokumente einzureichen, welche die FINMA anlässlich einer allfälligen künftigen Gewährsprüfung berücksichtigen werde.
B.
Mit Schreiben vom 28. Februar 2013 verlangte A._ von der FINMA den Erlass einer anfechtbaren Verfügung. Darin sei festzustellen, dass die Sachverhaltsabklärungen, die zur Verfügung vom 1. Juli 2011 gegen die X._ geführt hatten, unvollständig und - entsprechend den bereits damals vorliegenden Beweismitteln - die in der Verfügung beschriebenen Geschäftsvorfälle bzw. die Verletzungen der Gewährsbestimmungen unzutreffend gewesen seien.
Mit Schreiben vom 22. März 2013 erklärte die FINMA, dass der Erlass einer weiteren Verfügung auf Grundlage der von A._ eingereichten Dokumente nicht möglich sei. Zudem wiederholte sie ihre im Gespräch vom 19. Oktober 2012 gemachten Ausführungen.
C.
Mit Beschwerde vom 24. April 2013 wandte sich A._ mit folgenden Anträgen an das Bundesverwaltungsgericht:
"1. Es sei festzustellen, dass die Verfügung der FINMA vom 1. Juli 2011 nichtig ist.
Eventualiter:
2. Es sei festzustellen, dass sich die FINMA zu Unrecht weigert, mit Bezug auf das Schreiben von Dr. A._ vom 28. Februar 2013 eine beschwerdefähige Verfügung zu erlassen.
3. Es sei die Sache mit der Anweisung an die FINMA zurückzuweisen, den Sachverhalt in Bezug auf die Einhaltung der Gewährserfordernis und des Aufsichtsrechts durch Dr. A._ unter Einbezug sowohl der vollständigen Belege als auch der Mitwirkung von Dr. A._, ohne Verzug neu festzustellen; und
Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Staates."
Mit Urteil B-2343/2013 vom 4. Juni 2014 erkannte das Bundesverwaltungsgericht:
1. Auf das Gesuch um Feststellung der Nichtigkeit der Verfügung der FINMA vom 1. Juli 2011 gegen die X._ Fonds Management AG wird nicht eingetreten.
2. Die Rechtsverweigerungsbeschwerde wird abgewiesen.
Die Kosten wurden A._ auferlegt.
D.
A._ (nachfolgend: der Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei festzustellen, dass die Verfügung der FINMA vom 1. Juli 2011 nichtig sei.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die FINMA beantragt Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen (Nichteintretens-) Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Finanzmarktaufsicht), der das Verfahren abschliesst. Er kann beim Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG). Die Vorinstanz ist auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers nicht eingetreten. Dieser ist Adressat des Nichteintretensentscheids und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung; deswegen ist er zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>; Urteil 2C_936/2013 vom 31. Januar 2014 E. 1.4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.2. Der Streitgegenstand kann gegenüber dem vorinstanzlichen Verfahren nicht geändert oder erweitert werden (<ref-law>). Ist ein Nichteintretensentscheid angefochten, beschränkt sich der Streitgegenstand vor der Rechtsmittelinstanz demnach grundsätzlich auf die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht einen Nichteintretensentscheid gefällt hat. Erweist sich dieser als rechtmässig, bleibt es dabei und hat das Bundesgericht sich mit den materiellrechtlichen Fragen, die der Sache zugrunde liegen, nicht auseinanderzusetzen.
Zeigt sich hingegen, dass der angefochtene Nichteintretensentscheid rechtswidrig ist, hebt ihn das Bundesgericht auf und weist es die Sache zur weiteren Prüfung an die Vorinstanz zurück, ohne sich zum materiellen Recht zu äussern (<ref-law>). Anders verhält es sich nur, soweit die Vorinstanz über die Eintretensfrage hinaus in einer Eventualbegründung materiellrechtliche Überlegungen angestellt hat und dabei zum Schluss gelangt ist, selbst wenn auf die Sache einzutreten gewesen wäre, hätte die Beschwerde aus materiellrechtlichen Gründen abgewiesen werden müssen. Enthält der Nichteintretensentscheid eine solche Eventualbegründung, hat sich die Beschwerdebegründung sowohl mit der Frage der Zulässigkeit als auch der Begründetheit der Beschwerde zu befassen. Dies ermöglicht es dem Bundesgericht, die vorinstanzliche Eventualbegründung zu prüfen. Überzeugen die materiellrechtlichen Überlegungen der Vorinstanz, sieht das Bundesgericht aus prozessökonomischen Gründen davon ab, den Entscheid aufzuheben und weist es die Beschwerde ab (zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.2 S. 235 f.).
1.3. Vor der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer im Hauptbegehren die Feststellung der Nichtigkeit der Verfügung der FINMA vom 1. Juli 2011 beantragt. Auf diesen Antrag ist die Vorinstanz nicht eingetreten. Sie hat dazu erwogen, im Falle der Nichtigkeit liege ein schutzwürdiges Interesse an einer Feststellungsverfügung dann vor, wenn Anhaltspunkte dafür bestünden, dass eine Verfügung nichtig sein könnte. Der Beschwerdeführer mache als Nichtigkeitsgrund eine besonders krasse Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend, weil er beim Erlass der Verfügung vom 1. Juli 2011 nicht angehört worden sei. Eine Gehörsverletzung setze aber voraus, dass der Beschwerdeführer beim Erlass der Verfügung Parteistellung gehabt hätte; dies sei jedoch zu verneinen. Damit sei dem Vorwurf der Gehörsverletzung der Boden entzogen. Selbst wenn dem Beschwerdeführer die Parteistellung zuzustehen gewesen wäre, erscheine eine allfällige damit verbundene Gehörsverletzung nicht als derart krass, dass die Verfügung als nichtig anzusehen wäre. Die Vorinstanz ist somit auf das Feststellungsbegehren nicht eingetreten, hat aber im Sinne einer Eventualbegründung trotzdem materiell die Frage der Nichtigkeit beurteilt. Diese kann daher nach dem Gesagten (E. 1.2) auch Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht bilden. Auf das Rechtsbegehren ist einzutreten.
1.4. Den Eventualantrag hat das Bundesverwaltungsgericht zutreffend als Rechtsverweigerungsbeschwerde verstanden und als solche abgewiesen mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe mangels eines aktuellen Rechtsschutzinteresses keinen Anspruch auf Erlass der beantragten Feststellungsverfügung gehabt, weshalb keine Rechtsverweigerung vorliege. Dagegen wäre die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich zulässig, doch stellt der Beschwerdeführer kein entsprechendes Rechtsbegehren. Selbst wenn in Ziff. 1 des Rechtsbegehrens, lautend auf Aufhebung des angefochtenen Urteils, auch ein Antrag auf Gutheissung der Rechtsverweigerungsbeschwerde erblickt werden könnte, würde eine diesbezügliche Begründung fehlen (<ref-law>), sodass darauf nicht einzutreten wäre.
2.
2.1. Die materielle Prüfung daraufhin, ob die Verfügung der FINMA vom 1. Juli 2011 nichtig ist, setzt an sich voraus, dass der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid zuvor als rechtswidrig qualifiziert wird. Wie die Vorinstanz aber zutreffend erwogen hat, steht der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und auf Eröffnung der Verfügung (<ref-law>) nur den Parteien (<ref-law>; zum Begriff: <ref-ruling> E. 2.2 S. 282; <ref-ruling> E. 4.1 S. 335; <ref-ruling> E. 3.3 S. 508 f.) zu (<ref-ruling> E. 2.8 S. 529). Demzufolge kommt Nichtigkeit infolge Gehörsverletzung nur in Frage, soweit der Beschwerdeführer im Verfahren der Verfügung vom 1. Juli 2011 überhaupt über Parteistellung verfügte oder ihm diese fälschlicherweise nicht eingeräumt wurde. Die Vorinstanz hat die Parteistellung des Beschwerdeführers verneint und ist daher auf das Feststellungsbegehren nicht eingetreten. Ob dies zu Recht erfolgte, kann offen bleiben, wenn sich erweist, dass die Verfügung der FINMA vom 1. Juli 2011 auch dann nicht nichtig wäre, wenn dem Beschwerdeführer Parteistellung zukäme.
2.2. Fehlerhafte Verwaltungsakte sind in der Regel nicht nichtig, sondern bloss anfechtbar, und sie erwachsen dementsprechend durch Nichtanfechtung in Rechtskraft. Nichtigkeit der Verfügung oder des Entscheids tritt nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung ein, wenn:
(a) der ihnen anhaftende Mangel besonders schwer ist,
(b) er offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und
(c) zudem die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird.
Als Nichtigkeitsgründe fallen vorab funktionelle und sachliche Unzuständigkeit der entscheidenden Behörde sowie krasse Verfahrensfehler in Betracht. Inhaltliche Mängel einer Verfügung oder eines Entscheids führen nur ausnahmsweise zur Nichtigkeit (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 503 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 275; <ref-ruling> E. 2.4.3 S. 225; <ref-ruling> E. 3.3 S. 495 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 367).
2.3. Der Beschwerdeführer erblickt die Nichtigkeit darin, dass die Verfügung der FINMA ihm einerseits nicht eröffnet wurde und andererseits darin ihm gegenüber Vorwürfe erhoben worden seien, ohne ihn vorher anzuhören.
2.4.
2.4.1. Nach <ref-law> darf den Parteien aus mangelhafter Eröffnung kein Nachteil erwachsen. Wie die Vorinstanz mit Recht erwogen hat, bedingt dies jedoch nicht, dass die Unterlassung der Eröffnung in jedem Fall zur Nichtigkeit führt. Dem Schutz der Parteien ist genügend Rechnung getragen, wenn die ungenügende Eröffnung trotzdem ihren Zweck erreicht (<ref-ruling> E. 3a/aa S. 98 f.; Urteil 2C_848/2012 vom 8. März 2013 E. 4.1; Alfred Kölz/Isabelle Häner/Martin Bertschi, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013, N. 641). Von Nichtigkeit wird etwa ausgegangen, wenn eine Verfügung überhaupt nicht eröffnet wurde (<ref-ruling> E. 3a/bb S. 99 f.; Felix Uhlmann/Alexandra Schwank, in: Bernhard Waldmann/Philippe Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar VwVG, 2009 N. 9 zu Art. 38). In der Rechtsprechung wird im Zivil- und im Schuldbetreibungsrecht Nichtigkeit angenommen, wenn die betroffene Person von einer Entscheidung mangels Eröffnung gar keine Kenntnis hat und auch keine Gelegenheit erhalten hat, an einem gegen sie laufenden Verfahren teilzunehmen (<ref-ruling> E. 6.2 und 6.3 S. 574; <ref-ruling> E. 2.1 S. 363 f.).
2.4.2. Diese Rechtsprechung ist allerdings nicht anwendbar, soweit es um Personen geht, die zwar nicht Adressaten der Verfügung sind, aber als betroffene Dritte dennoch Parteistellung haben können (<ref-law>) : Der Kreis dieser Dritten steht häufig nicht ohne Weiteres fest, so dass für die Behörden im Voraus nicht ersichtlich ist, welchem Personenkreis das rechtliches Gehör zu gewähren und die Verfügung zu eröffnen ist. Es wäre der Rechtssicherheit übermässig abträglich, wenn immer dann Nichtigkeit angenommen würde, sobald sich im Nachhinein herausstellt, dass eine Drittperson (auch) Parteistellung gehabt hätte, aber beim Erlass der Verfügung nicht begrüsst worden ist. Vielmehr sind die Rechtsfolgen der Unterlassung in einer Weise zu regeln, dass die betroffene Person vor Nachteilen geschützt wird, die sie infolge des Mangels erleiden würde (<ref-ruling> E. 4 S. 312). Dies kann insbesondere dadurch geschehen, dass den betroffenen Kreisen eine nachträgliche Anfechtung ermöglicht wird, sobald sie vom Inhalt der Verfügung Kenntnis erhalten haben. Aus dem Gebot des Verhaltens nach Treu und Glauben folgt denn auch, dass die Drittperson den Beginn des Fristenlaufs nicht beliebig hinauszögern darf. Es ist von ihr zu verlangen, dass sie reagiert, sobald sie von der sie berührenden Entscheidung erfahren hat (<ref-ruling> E. 4.2 und 4.3 S. 312 ff.; <ref-ruling> E. 1 S. 197; <ref-ruling> E. 3a S. 325 f.; KATHRIN AMSTUTZ/PETER ARNOLD, in: Basler Kommentar, BGG, 2. Aufl. 2011, Beispiel 1 in N. 13 zu <ref-law>; Lorenz Kneubühler, in: Christoph Auer/Markus Müller/Benjamin Schindler [Hrsg.], Kommentar VwVG, 2008, N. 10 f. zu <ref-law>; Kölz/Häner/Bertschi, a. a. O., N. 642).
2.5. Vorliegend ist der Beschwerdeführer kein Adressat der Verfügung. In Betracht kommt eine Parteistellung höchstens als Drittinteressierter. Gemäss unbestrittenen und für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) erhielt der Beschwerdeführer mit dem Schreiben der FINMA vom 21. Dezember 2011 Kenntnis von den gegen ihn in der mittlerweile rechtskräftigen Verfügung erhobenen Vorwürfen. Am 20. Februar 2012 wurde ihm Akteneinsicht gewährt, wodurch er vom Inhalt der Verfügung vom 1. Juli 2011 Kenntnis nahm. Anlässlich eines Gesprächs vom 19. Oktober 2012 erklärte ihm die FINMA, dass die Verfügung rechtskräftig und das Verfahren abgeschlossen sei. Spätestens dann hätte er reagieren und innert der Rechtsmittelfrist die Verfügung anfechten müssen, wodurch seine Rechtsschutzinteressen (soweit sie überhaupt bestanden) hinreichend gewahrt gewesen wären. Wenn er stattdessen erst mit Schreiben vom 28. Februar 2013 an die FINMA und mit Beschwerde vom 24. April 2013 an das Bundesverwaltungsgericht gelangt ist, hat er es sich selber zuzuschreiben, dass er die Verfügung nicht mehr anfechten konnte. Nichtig ist diese deswegen nicht.
3.
Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Kosten des Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher