Sachverhalt:
A. A.a Die Freizügigkeitsstiftung X._ (nachfolgend: Freizügigkeitsstiftung) löste am 28. Februar 2006 das seit kurzem bestehende Freizügigkeitskonto des D._ vorzeitig auf und zahlte die Austrittsleistung von Fr. 106'329.30 nach dessen Weisungen aus. Seine Ehefrau P._ erhob am 3. April 2006 Klage auf Scheidung. In diesem Verfahren bestritt die Freizügigkeitsstiftung die Existenz einer teilbaren Austrittsleistung, während die Ehefrau geltend machte, die Saldierung des Freizügigkeitskontos sei ohne ihre Zustimmung erfolgt. Mit Entscheid des Kreisgerichts vom 7. Dezember 2006 wurde die Ehe der P._ und des D._ geschieden (Dispositiv-Ziffer 1) und u.a. der jeweilige Anspruch der Parteien auf die Hälfte der nach Freizügigkeitsgesetz für die Ehedauer zu ermittelnden Austrittsleistung des anderen Ehegatten festgestellt (Dispositiv-Ziffer 6). Am 27. Februar 2007 überwies das Kreisgericht die Sache zur weiteren Beurteilung an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen. Dieses räumte P._ Gelegenheit ein, gegen die Freizügigkeitseinrichtung beim "zuständigen Versicherungsgericht des Kantons Basel-Landschaft" Klage zu erheben und sistierte das bei ihm anhängig gemachte Vorsorgeausgleichsverfahren.
A.b P._ erhob am 27. Juni 2008 beim Kantonsgericht Basel-Landschaft Klage gegen die Freizügigkeitsstiftung mit folgenden Rechtsbegehren:
1. Es sei festzustellen, dass die Beklagte die Freizügigkeitsleistung des D._ im Betrag von Fr. 106'214.95 am 20. Februar 2006 an ihn ausbezahlt hat, ohne dass die erforderliche Zustimmung der Klägerin als Ehefrau vorlag.
2. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin auf deren Vorsorgeeinrichtung mit Fr. 53'107.45 zuzüglich gesetzliche Zinsen vom 21. Februar 2006 bis zur effektiven Überweisung (abzüglich 1⁄2 der eigenen Austrittsleistung gemäss <ref-law>) den ihr gemäss Scheidungsurteil zustehenden hälftigen Anspruch zu bezahlen.
Mit Entscheid vom 21. November 2008 trat das Gericht mangels örtlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein und überwies die Angelegenheit zuständigkeitshalber zur weiteren Behandlung an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen. Die von der Freizügigkeitsstiftung dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 9C_1060/2008 vom 26. Mai 2009 ab.
B. Mit Entscheid vom 8. Februar 2010 wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Klage ab (Dispositiv-Ziffer 1) und verweigerte die Teilung der Austrittsleistung der P._ im Sinn der Anordnung des Scheidungsurteils (Dispositiv-Ziffer 2).
C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit folgenden Rechtsbegehren:
1. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 8. Februar 2010 sei aufzuheben.
2. Es sei festzustellen, dass beklagte Partei nicht D._ sel. ist, sondern die Freizügigkeitsstiftung.
3. Es sei festzustellen, dass die Freizügigkeitsstiftung die Freizügigkeitsleistung des D._ sel. im Betrag von Fr. 106'329.30 an ihn ausbezahlt hat, ohne dass die erforderliche Zustimmung der Klägerin als Ehefrau vorlag.
4. Die Freizügigkeitsstiftung sei zu verpflichten, der Klägerin auf deren Vorsorgeeinrichtung mit Fr. 53'107.45 zuzüglich gesetzliche Zinsen vom 21. Februar 2006 bis zur effektiven Überweisung (abzüglich 1⁄2 der eigenen Austrittsleistung gemäss <ref-law>) den ihr gemäss Scheidungsurteil zustehenden hälftigen Anspruch zu bezahlen.
5.-6. (...)
Die Freizügigkeitsstiftung lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 In das an die Scheidung anschliessende Verfahren betreffend die Teilung der Austrittsleistungen der beruflichen Vorsorge - in welchem die Rechtmässigkeit einer während der Ehe erfolgten Barauszahlung einer Freizügigkeitsleistung und eines sich daraus ergebenden Schadenersatzanspruchs vorfrageweise zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 2.4 S. 236) - sind neben den geschiedenen Ehegatten auch alle beteiligten Vorsorge- und Freizügigkeitseinrichtungen einzubeziehen (<ref-law> und Art. 25a Abs. 2 FZG; <ref-ruling> E. 2.3 S. 235). Die geforderte Leistung (Austrittsleistungen resp. Schadenersatz) ist im Fall ihrer Bejahung denn auch direkt durch eine Vorsorgeeinrichtung des anderen geschiedenen Ehegatten und nicht durch diesen zu erbringen, jedoch mit entsprechenden Auswirkungen auf das zwischen geschiedenem Ehegatten und verpflichteter Vorsorgeeinrichtung bestehende Rechtsverhältnis. Beteiligt ist, wessen Leistungspflicht grundsätzlich in Betracht fällt; die Parteistellung einer bestimmten Person ergibt sich jedenfalls nicht aus dem Ausgang des Verfahrens. Die Beschwerdeführerin hat in ihren Eingaben stets Forderungen gegen die Freizügigkeitsstiftung geltend gemacht. Diese ist im Rubrum des angefochtenen Entscheids nicht als Partei aufgeführt; dennoch hat die Vorinstanz deren Verfahrensbeteiligung betreffend die Schadenersatzforderung bejaht, über die Teilung der Austrittsleistungen sowie den Schadenersatzanspruch entschieden und auch ihr den Entscheid mitgeteilt. Die Freizügigkeitsstiftung ist daher Beschwerdegegnerin im letztinstanzlichen Verfahren.
1.2 Was die Freizügigkeitsstiftung anbelangt, ist das Leistungsbegehren zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 236). Hinsichtlich des geschiedenen Ehemannes trifft zu, dass mit dessen Tod seine Rechts- und Parteifähigkeit in Bezug auf die streitigen Belange dahingefallen ist. Ein schutzwürdiges Interesse (<ref-law>) betreffend die Feststellungsanträge - soweit diese nicht ohnehin neu und daher unzulässig sind (<ref-law>) - ist indessen nicht ersichtlich, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist.
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
3. Die Vorinstanz ist der Auffassung, die Freizügigkeitsstiftung habe sich keine Sorgfaltspflichtverletzung zuschulden kommen lassen, und hat - ohne Prüfung der weiteren Voraussetzungen, insbesondere der schriftlichen Zustimmung durch die Ehefrau - einen Anspruch auf Schadenersatz verneint. Deswegen und weil der potentiell begünstigte geschiedene Ehemann gestorben sei, ergebe die vom Scheidungsgericht angeordnete Teilung der Austrittsleistung der Beschwerdeführerin keinen Sinn mehr, weshalb sie in analoger Anwendung von <ref-law> verweigert werde.
Streitig und zu prüfen ist die Rechtmässigkeit der während der Ehe erfolgten Barauszahlung der Freizügigkeitsleistung des (damaligen) Ehemannes im Hinblick auf die laut Art. 5 Abs. 2 FZG [SR 831.42] dafür erforderliche Zustimmung der Ehefrau.
4. 4.1 Ein Freizügigkeitskonto wird im Rahmen der Säule 2b durch einen privatrechtlichen Vorsorgevertrag begründet, der rechtsdogmatisch den Innominatverträgen zuzuordnen ist (<ref-ruling> mit Hinweisen auf <ref-ruling> E. 4b und 122 V 145 E. 4b). Bei nicht gehöriger Erfüllung dieses Vorsorgevertrags gelangen die in <ref-law> festgelegten Regeln zur Anwendung. Eine Vorsorgeeinrichtung hat daher nach <ref-law> für den durch die fehlerhafte Barauszahlung entstandenen Schaden Ersatz zu leisten, sofern sie nicht beweist, dass ihr keinerlei Verschulden, wobei bereits leichte Fahrlässigkeit genügt, zur Last falle. Ob einer Einrichtung der beruflichen Vorsorge eine Verletzung der ihr zukommenden Sorgfaltspflicht vorgeworfen werden kann, weil sie die (gefälschte) Unterschrift auf dem Auszahlungsformular nicht überprüft hat, ist aufgrund der konkreten Umstände des Einzelfalles zu beurteilen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 109 f.; SZS 2007 S. 164, B 126/04 E. 2.2; SZS 2006 S. 460, B 98/04 E. 2.2; Urteil B 58/01 vom 7. Januar 2004 E. 3.2).
4.2 Die Vorinstanz hat nicht offensichtlich unrichtig und daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 2) festgestellt, die Freizügigkeitsstiftung habe D._ am 2. Februar 2006 die Eröffnung des Freizügigkeitskontos und den Eingang des Betrags von Fr. 106'214.95 (Valuta 31. Januar 2006) angezeigt. Am 20. Februar 2006 habe er die Barauszahlung verlangt. Dem Antrag, worauf unterschriftlich bestätigt die Zustimmung der Ehefrau vermerkt gewesen sei, habe er u.a. eine Kopie des jugoslawischen Reisepasses seiner Frau beigelegt. Die Freizügigkeitsstiftung habe am 28. Februar 2006 die Auszahlung von insgesamt Fr. 106'329.30 veranlasst. Im Hinblick auf die Sorgfaltspflicht der Freizügigkeitsstiftung hat das kantonale Gericht erwogen, es habe nichts darauf hingedeutet, dass das Auszahlungsbegehren mit der Unterschrift der Ehefrau manipuliert worden sei, und angesichts des seriös wirkenden und umfassend dokumentierten Gesuchs sei es nicht sorgfaltswidrig, dass ein solcher Verdacht nicht aufgekommen sei. Die Stiftung habe daher von der Zustimmung der Ehefrau ausgehen dürfen. Ein getrennter Wohnsitz stelle kein Auszahlungshindernis dar und hinsichtlich der kurzen zeitlichen Abfolge von Kontoeröffnung und Auszahlungsbegehren bestehe keine Begründungspflicht, weshalb diesen Umständen keine eigenständige Bedeutung zukomme.
Dieser Auffassung ist nicht beizupflichten (zur Qualifikation als Rechtsfrage vgl. Urteil K 70/06 vom 30. Juli 2007 E. 5.4 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>). Aus den vorinstanzlichen Ausführungen, den Parteibehauptungen und den Unterlagen geht hervor, dass die Freizügigkeitsstiftung allenfalls den Auszahlungsgrund (die Aufnahme einer selbstständigen Erwerbstätigkeit im Sinn von Art. 5 Abs. 1 lit. b FZG), nicht jedoch das formelle Erfordernis der schriftlichen Zustimmung der Ehefrau (Art. 5 Abs. 2 FZG) ausreichend überprüfte, sondern diesbezüglich nichts weiter unternahm, als die Unterschrift auf dem Auszahlungsbegehren mit jener auf der Kopie des Reisepasses zu vergleichen. Es liegt in der Natur einer gefälschten Unterschrift, dass Hinweise auf deren Manipulation vertuscht werden. Der Vergleich mit der kopierten Unterschrift im Reisepass - dessen Ausstelldatum im Übrigen nicht ersichtlich ist - erlaubt zwar den Schluss, dass die Unterschriften nicht (wesentlich) voneinander abweichen, nicht aber, dass mit dem Auszahlungsbegehren die Zustimmung tatsächlich erteilt wurde oder dass weitere Abklärungen nicht angezeigt gewesen wären. Weiter führt die Beschwerdegegnerin Freizügigkeitskonten für eine Vielzahl von Personen, die nicht (mehr) der obligatorischen beruflichen Vorsorge unterstehen. So ist nicht ersichtlich und wurde resp. wird auch nicht geltend gemacht, dass ihr der Kontoinhaber oder dessen Ehefrau bekannt gewesen wären (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 110; Urteil B 58/01 vom 7. Januar 2004 E. 3.3) oder dass sie mit diesen Geschäftsbeziehungen gepflegt hätte. Ausserdem wurde ihr die Austrittsleistung nicht von einer Vorsorgeeinrichtung, wie es im Rahmen der Aufgabe einer unselbstständigen Tätigkeit üblich ist, sondern von einer anderen Freizügigkeitsstiftung überwiesen. Bereits nach rund drei Wochen verlangte der Kontoinhaber die Auszahlung, obwohl er sie aufgrund der wenige Monate zuvor aufgenommenen Tätigkeit als selbstständig Erwerbender direkt von der überweisenden Stiftung hätte verlangen können. Unter den gegebenen Umständen hat die Freizügigkeitsstiftung ihre Sorgfaltspflicht verletzt, indem sie auf die im Auszahlungsbegehren ersichtliche Zustimmung abgestellt hat, ohne weitere Abklärungen zu treffen.
4.3 In Bezug auf die behauptete fehlende Zustimmung der Ehefrau resp. die von ihr stets bestrittene Echtheit der Unterschrift fehlen im angefochtenen Entscheid abschliessende Feststellungen. Die Vorinstanz hat hinsichtlich der Möglichkeit einer fototechnischen Übertragung festgehalten, dies lasse sich "aus Sicht des Laien und des Gerichts" nicht beantworten. Sie wird diesbezüglich - etwa durch Anordnung eines Schriftgutachtens - sowie hinsichtlich der übrigen Anspruchsvoraussetzungen (E. 4.1; <ref-law>) den Sachverhalt (von Amtes wegen, vgl. Art. 73 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 BVG [SR 831.40]) abzuklären und anschliessend die Forderung der Beschwerdeführerin neu zu beurteilen haben.
4.4 Das Scheidungsurteil vom 7. Dezember 2006 kann in guten Treuen so verstanden werden, dass bei beiden Ehegatten das Vorliegen einer teilbaren Austrittsleistung resp. eines Schadenersatzanspruchs unterstellt wurde. Kommt das kantonale Vorsorgegericht zum Schluss, dass dies nicht zutrifft und ist deshalb eine Teilung der Vorsorgeansprüche nicht möglich (vgl. Art. 122 und 124 ZGB), wird die Sache anschliessend von Amtes wegen an den zuständigen Scheidungsrichter zu überweisen sein (BGE 9C_388/2009 vom 10. Mai 2010 E. 5.3).
5. Der unterliegenden Freizügigkeitsstiftung sind die Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Überdies hat sie der materiell vollständig obsiegenden Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde - soweit darauf einzutreten ist - wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 8. Februar 2010 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch der Beschwerdeführerin neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. September 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Dormann