Sachverhalt:
A. A.a Die 1962 geborene S._ arbeitete ab 25. April 1995 als Service-Angestellte in einer Café-Bar. Am 25. Juni 1998 erlitt sie bei der Arbeit einen Unfall. Am 16. Dezember 1998 wurde ihr unter sofortiger Freistellung auf Ende März 1999 gekündigt. Ab 12. April 1999 war S._ arbeitslos gemeldet und bezog Arbeitslosenentschädigung. Ab 23. November 2000 arbeitete sie im Rahmen eines Beschäftigungsprogrammes der Arbeitslosenversicherung im Service eines Restaurants. Am 30. März 2001 stürzte sie auf einem Bahnhofperron, worauf sie sich in ärztliche Behandlung begab. Am 1. April 2001 trat S._ - einen Monat früher als ursprünglich vereinbart - die Stelle als Service-Mitarbeiterin im Restaurant X._ an. Mit Schreiben vom 31. Juli 2001 wurde ihr auf den 18. August 2001 gekündigt. Am 2. August 2001 arbeitete sie letztmals.
A.b Am 22. Oktober 2001 meldete S._ bei der Winterthur-Versicherungen einen am 2. August 2001 erlittenen Berufsunfall an. Mangels Nachweis eines Unfalles oder einer unfallähnlichen Körperschädigung im Rechtssinne verneinte der obligatorische Unfallversicherer eine Leistungspflicht, was in dem von der Versicherten angestrengten verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren bestätigt wurde (vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 277/03 vom 28. Januar 2004).
Im April 2002 meldete sich S._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Einholung eines Gutachtens bei der Medizinischen Abklärungsstelle [MEDAS]) sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 26. Mai 2005 aufgrund einer gesundheitlich bedingten Erwerbsunfähigkeit von 55 % rückwirkend ab 1. August 2002 eine halbe Invalidenrente zu.
A.c S._ war als Arbeitslose in der Zeit vom 12. April 1999 bis 31. März 2001 bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, im Rahmen ihrer Anstellung im Restaurant X._ ab 1. April 2001 bei der Winterthur-Columna Stiftung für berufliche Vorsorge versichert. Diese verneinte mit Schreiben vom 2. Februar 2006 und 11. Juli 2007 eine Leistungspflicht und lehnte die Ausrichtung einer Invalidenrente der beruflichen Vorsorge ab. Demgegenüber anerkannte die Stiftung Auffangeinrichtung BVG ihre Leistungspflicht ("Abrechnung Invalidenrente" vom 24. Juni 2007).
B. Am 18. Juli 2007 liess S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Winterthur-Columna Stiftung für berufliche Vorsorge einreichen und zur Hauptsache beantragen, die Beklagte sei zu verpflichten, ab 1. August 2002, eventualiter ab dem Ende der Krankentaggeldberechtigung, eine Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 55 % gemäss Reglement auszurichten.
Das Gericht holte die Klageantwort ein, lud die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zum Verfahren bei und führte einen zweiten Schriftenwechsel durch. Weiter holte es u.a. beim Restaurant X._ Beweisauskünfte ein, wozu die Verfahrensbeteiligten Stellung nehmen konnten. Nach einer Referentenaudienz und nach Einsichtnahme in die Akten durch die Beigeladene wies das kantonale Sozialversicherungsgericht mit Entscheid vom 22. September 2009 die Klage ab.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der Entscheid vom 22. September 2009 sei aufzuheben und die AXA Stiftung für Berufliche Vorsorge (Rechtsnachfolgerin der Winterthur-Columna Stiftung für berufliche Vorsorge) zu verpflichten, ihr mit Wirkung ab 1. August 2002 eine Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 55 % gemäss Reglement auszurichten, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung.
Die AXA Stiftung für Berufliche Vorsorge beantragt die Abweisung der Beschwerde, desgleichen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> und <ref-law>). Die konkrete Beweiswürdigung ist wie die darauf beruhende Sachverhaltsfeststellung ebenfalls nur unter diesem eingeschränkten Blickwinkel überprüfbar (Urteil 9C_801/2008 vom 6. Januar 2009 E. 2.2). Demgegenüber ist die richtige Anwendung der Beweiswürdigungsregeln durch das kantonale Versicherungsgericht nach <ref-law> eine Rechtsfrage und als solche im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei zu prüfen (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; SVR 2009 IV Nr. 56, 9C_323/2009 E. 3).
2. 2.1 Der Anspruch auf Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge setzt voraus, dass die Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) eingetreten ist (aArt. 23 BVG; seit 1. Januar 2005: Art. 23 lit. a BVG). Unter Arbeitsunfähigkeit ist die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich zu verstehen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23 mit Hinweisen). Sie muss mindestens 20 Prozent betragen (SVR 2008 BVG Nr. 34, 9C_127/2008 E. 2.3 mit Hinweisen; Urteil 9C_990/2009 vom 8. Juli 2009 E. 3.1).
Nach der Rechtsprechung muss eine Einbusse an Leistungsvermögen arbeitsrechtlich in Erscheinung treten, so etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte, aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle. Eine erst nach Jahren rückwirkend festgelegte medizinisch-theoretische Arbeitsunfähigkeit, ohne dass der frühere Arbeitgeber die Leistungseinbusse bemerkt hätte, genügt nicht. Es sind die vertraglich festgesetzte Pflicht zur Erbringung von Arbeit und die dafür vorgesehene Entlöhnung sowie weitere im Rahmen des Arbeitsverhältnisses getroffene Vereinbarungen in der Regel als den realen Gegebenheiten entsprechend zu werten. Nur bei Vorliegen besonderer Umstände darf die Möglichkeit einer von der arbeitsrechtlich zu Tage tretenden Situation in Wirklichkeit abweichenden Lage - etwa in dem Sinne, dass ein Arbeitnehmer zwar zur Erbringung einer vollen Arbeitsleistung verpflichtet war und auch entsprechend entlöhnt wurde, tatsächlich aber eben doch keine volle Arbeitsleistung hat erbringen können - in Betracht gezogen werden. Dabei ist gegebenenfalls Zurückhaltung geboten, da ansonsten die Gefahr bestünde, den Versicherungsschutz zu vereiteln. Indessen gilt hier ebenfalls, dass die Leistungseinbusse auch und vor allem dem Arbeitgeber aufgefallen sein muss (Urteile 9C_368/2008 vom 11. September 2008 E. 2 und 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.1.3 mit Hinweisen).
2.2 Der Anspruch auf Invalidenleistungen setzt weiter einen engen zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus. Dieser Konnex ist unterbrochen, wenn der Leistungsansprecher während einer bestimmten Zeit wieder arbeitsfähig ist resp. die Arbeitsfähigkeit wiedererlangt hat oder bei Wiederherstellung der Erwerbsfähigkeit (<ref-ruling> E. 5.1 S. 25). Massgebend ist die Arbeitsunfähigkeit resp. Arbeitsfähigkeit in einer der gesundheitlichen Beeinträchtigung angepassten zumutbaren Tätigkeit (<ref-ruling> E. 5.3 S. 27; Urteil 9C_990/2008 vom 8. Juli 2009).
3. Die Vorinstanz hat die Akten dahingehend gewürdigt, es sei nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen, dass die während des Vorsorgeverhältnisses bestandene Arbeitsunfähigkeit und die auf einen im Wesentlichen gleichartigen, teils körperlichen, teils psychischen Gesundheitsschaden zurückzuführende Invalidität in einem engen zeitlichen Zusammenhang stünden. Weitere Abklärungen vermöchten an diesem Beweisergebnis nichts zu ändern, was nach den Regeln der Beweislastverteilung zur Klageabweisung führe.
4. Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Beweiswürdigung durch die Vorinstanz als Folge einer bundesrechtswidrig zu starken Gewichtung der von der behandelnden Rheumatologin Dr. med. R._ ab 30. März 2001 attestierten Arbeitsunfähigkeit von 50 % gegenüber der Tatsache, dass sie bei Antritt der Stelle im Restaurant X._ am 1. April 2001 (Beginn des Vorsorgeverhältnisses mit der am Recht stehenden Vorsorgeeinrichtung) ohne Fehlzeiten bis zum 2. August 2001 vollzeitlich gearbeitet habe. Die Rüge ist im folgenden Sinne begründet.
4.1 Nach insoweit unbestrittener Feststellung der Vorinstanz war die Beschwerdeführerin bei Antritt der Stelle im Restaurant X._ am 1. April 2001 gesundheitlich angeschlagen. Die behandelnde Rheumatologin hatte ab 30. März 2001 eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % attestiert. An diesem Tag war die Beschwerdeführerin vom Tritt eines Eisenbahnwagens auf ein Perron gestürzt (vgl. MEDAS-Gutachten vom 3. Juli 2003 S. 2). Eine gesundheitliche Beeinträchtigung muss indessen nicht notwendigerweise zu einer Arbeitsunfähigkeit führen (vgl. Urteil B 46/06 vom 29. Januar 2007 E. 6.1.1). Die Beschwerdeführerin verzeichnete denn auch keine Absenzen bis zum Vorfall vom 2. August 2001, welcher für die IV-Stelle massgebend war für die Eröffnung der einjährigen Wartezeit (<ref-law> in der damaligen Fassung). Es kommt dazu, dass ein schriftliches Attest von Dr. med. R._ einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % ab 30. März 2001 erst vom 29. Oktober 2001 datiert.
Weiter fiel zwar nach insoweit ebenfalls unbestrittener Feststellung der Vorinstanz die Arbeitsleistung der Klägerin im Restaurant X._ von Anfang an und anhaltend von den betriebsüblichen Anforderungen und Erwartungen ab. Daraus kann indessen nicht zwingend auf gesundheitliche Ursachen geschlossen werden. Davon geht auch die Vorinstanz aus, welche diesen Schluss einzig mit dem Hinweis auf die gesamten medizinischen Akten zu unterlegen vermag. Die Minderleistung war denn auch vom Arbeitgeber in keinem Moment mit gesundheitlichen Gründen in Verbindung gebracht worden. Ebenfalls waren keine Arbeitsausfälle und Absenzen zu verzeichnen.
4.2 Die vorstehenden Darlegungen zeigen, dass nach der konkreten Aktenlage der direkte Beweis einer während des Vorsorgeverhältnisses vor dem 2. August 2001 bestandenen Arbeitsunfähigkeit mangels Arbeitsausfällen ausscheidet. Somit müssen die für den indirekten Beweis herangezogenen Indizien im sachlichen Bereich der Arbeitsunfähigkeit angesiedelt sein. Diese Beweiseignung der Indizien ist entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht gegeben: Gesundheitlich angeschlagen zu sein und nicht entsprechend den Erwartungen des Arbeitgebers zu arbeiten, ist mit der Annahme einer intakten Arbeitsfähigkeit durchaus vereinbar und nicht selten, wie die Erfahrung zeigt.
Somit ist von einem Eintritt der Arbeitsunfähigkeit am 2. August 2001 auszugehen und demzufolge der berufsvorsorgerechtlich erforderliche enge zeitliche Zusammenhang mit der Invalidität zu bejahen. Der sachliche Konnex ist unbestritten. Die Beschwerdeführerin hat daher Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge aufgrund eines Invaliditätsgrades von 55 % zu Lasten der Beschwerdegegnerin.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 22. September 2009 wird aufgehoben und die Beschwerdegegnerin verpflichtet, der Beschwerdeführerin aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit von 55 % Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge gemäss Gesetz und Reglement auszurichten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat die Parteientschädigung für das vorangegangene Klageverfahren neu festzusetzen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. März 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler