Sachverhalt:
A. X._ ist unter anderem Eigentümer des unüberbauten Grundstücks Nr. 821 des Grundbuchs (GB) Nebikon. Das Grundstück gehört zum Gestaltungsplangebiet Oberdorf. Am 30. November 2009 stellte der Gemeindeammann von Nebikon fest, dass der Fussweg im Bereich der nordwestlichen Ecke der Parzelle Nr. 821 durch eine Bepflanzung mit Tannen unterbrochen wurde und deshalb für Fussgänger nicht mehr durchgehend begehbar sei.
Am 11. Dezember 2009 entschied der Gemeinderat Nebikon, die Bepflanzung widerspreche dem Gestaltungsplan. Er verpflichtete den Grundeigentümer, die widerrechtlich gepflanzten Tannen innert 30 Tagen seit Rechtskraft seines Entscheids zu beseitigen und innert derselben Frist den früheren Zustand des Fusswegs wiederherzustellen. Für den Fall der Nichtbefolgung drohte der Gemeinderat dem Grundeigentümer die Ersatzvornahme auf dessen Kosten und eine Busse nach <ref-law> an.
B. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 4. Januar 2010 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Er stellte die Anträge, der Entscheid des Gemeinderats vom 11. Dezember 2009 sei aufzuheben (Ziff. 1), und ihm sei die Frist zur einlässlichen Begründung der Beschwerde bis Mitte Februar 2010 zu erstrecken (Ziff. 2). Die Instruktionsrichterin am Verwaltungsgericht gewährte eine Frist zur Verbesserung der Beschwerde bis 25. Januar 2010, worauf X._ am 22. Januar 2010 die Beschwerdebegründung nachreichte und den Antrag gemäss Ziff. 1 der Beschwerde erneuerte. Mit Urteil vom 31. Mai 2010 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut und hob den Entscheid des Gemeinderats Nebikon vom 11. Dezember 2009 auf.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 2. Juli 2010 beantragt die Gemeinde Nebikon im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde von X._ nicht einzutreten sei. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventuell sei sie abzuweisen. Der private Beschwerdegegner stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. In ihrer Stellungnahme macht die Beschwerdeführerin geltend, ihre Beschwerdeberechtigung werde vom Verwaltungsgericht zu Unrecht bestritten.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid des Verwaltungsgerichts in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit. Ausschlussgründe liegen nicht vor (<ref-law>). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig (<ref-law>).
1.2 Das Verwaltungsgericht stellt die Legitimation der Gemeinde Nebikon in Frage. Diese setze sich nicht mit der materiellen Beurteilung der Streitsache auseinander, sondern beanstande lediglich die Ansetzung einer Nachfrist zur Beschwerdebegründung zugunsten des Beschwerdeführers im verwaltungsgerichtlichen Verfahren und damit die Verfahrensleitung. Sie lege nicht dar, dass sie dadurch wie ein Privater betroffen sei, und es sei offensichtlich, dass Fragen der Verfahrensleitung nicht den hoheitlichen Befugnissen der Gemeinden zugeordnet werden könnten. Ebenso wenig habe die Gemeinde ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Urteils.
1.2.1 Der Beschwerde liegt ein Streit über die Freihaltung des Fusswegs auf Parzelle Nr. 821 zugrunde. Die Gemeinde ist an diesem Verfahren als Trägerin der kommunalen Nutzungsplanung und als Baubewilligungsbehörde beteiligt (§§ 1 lit. a, 17 Abs. 4, 78, 196 und 209 Abs. 2 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes vom 7. März 1989; PBG/LU; SRL 735). Soweit sich in dieser Angelegenheit Verfahrensfragen stellen, welche direkte Auswirkungen auf die Beurteilung des Gestaltungsplans und der kommunalen Wiederherstellungsverfügung durch die kantonale Rechtsmittelinstanz haben, sind diese untrennbar mit dem materiellen Streitpunkt verbunden. Auch wenn nur eine Verfahrensfrage vor Bundesgericht umstritten ist, ist die Gemeinde als Trägerin der kommunalen Nutzungsplanung in ihren hoheitlichen Befugnissen betroffen, soweit die Verfahrensfrage sich auf die Beurteilung der materiellen Streitfrage auswirken kann. Damit ist die Gemeinde nach <ref-law> berechtigt, unter Berufung auf <ref-law> Beschwerde wegen Verletzung der Gemeindeautonomie zu erheben (<ref-ruling> E. 1.1 S. 304 mit Hinweisen). Ob ihr die beanspruchte Autonomie tatsächlich zukommt, ist eine Frage der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.2 S. 45 mit Hinweisen).
1.2.2 Zudem kann sich die Gemeinde auf die allgemeinen Legitimationsbestimmungen von Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG berufen. Dieses allgemeine Beschwerderecht ist grundsätzlich auf Privatpersonen zugeschnitten. Gemeinwesen können es für sich in Anspruch nehmen, wenn sie durch die angefochtene Verfügung gleich oder ähnlich wie Private betroffen sind (<ref-ruling> E. 1.3 S. 47; <ref-ruling> E. 3.1 S. 157; je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung kann jedoch ein Gemeinwesen auch zur Beschwerde legitimiert sein, wenn es durch den angefochtenen Entscheid in seinen hoheitlichen Befugnissen und Aufgaben berührt wird. Die Gemeinden sind mithin zur Beschwerdeführung befugt, wenn sie als Gebietskorporationen öffentliche Anliegen wie den Schutz der Einwohner zu vertreten haben und insofern durch Einwirkungen, welche von Bauten und Anlagen ausgehen, in hoheitlichen Befugnissen betroffen werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.3 S. 759 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 304; <ref-ruling> E. 2c S. 374 f.; mit zahlreichen Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind im vorliegenden Fall erfüllt. Die Gemeinde Nebikon wehrte sich mit der dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegenden Verfügung für die Öffnung eines Fusswegs im Interesse der Umsetzung des Gestaltungsplans. Sie erhebt die vorliegende Beschwerde als Trägerin der kommunalen Planungshoheit gegen die unerwünschten Auswirkungen, die sich ihrer Meinung nach aus der Bepflanzung des Fusswegs ergeben. Sie ist direkt durch den angefochtenen Beschluss berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1C_11/2010 vom 27. August 2010 E. 1.4).
1.3 Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde kann eingetreten werden.
2. Die Autonomie der Gemeinde Nebikon ergibt sich aus den ihr im Bereich der Nutzungsplanung und im Baubewilligungswesen zustehenden Befugnissen (§§ 1 lit. a, 17 Abs. 4, 78, 196 und 209 Abs. 2 PBG/LU). Eine in ihrer Autonomie betroffene Gemeinde kann unter anderem geltend machen, die kantonale Behörde habe die Tragweite von verfassungsmässigen Rechten missachtet. Sie kann sich auf das Willkürverbot und auf Verfahrensgrundrechte berufen, soweit diese Vorbringen mit der behaupteten Rüge der Autonomieverletzung in engem Zusammenhang stehen. Die Anwendung von eidgenössischem und kantonalem Verfassungsrecht prüft das Bundesgericht mit freier Kognition, die Handhabung von Gesetzes- und Verordnungsrecht unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots. Es auferlegt sich Zurückhaltung, soweit die Beurteilung der Streitsache von einer Würdigung der örtlichen Verhältnisse abhängt, welche die kantonalen Behörden besser überblicken (<ref-ruling> E. 1.2 S. 305 mit Hinweisen).
3. Die Gemeinde Nebikon macht im Wesentlichen geltend, das Verwaltungsgericht hätte auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht eintreten dürfen, weil innert der Beschwerdefrist lediglich die Anträge, jedoch keine Begründung der Beschwerde eingereicht worden sei.
3.1 Gemäss § 133 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/LU; SRL 40) muss eine Rechtsmittelschrift einen bestimmten Antrag und dessen Begründung enthalten. Wenn eine Rechtsschrift unleserlich oder unverständlich ist oder nicht alle notwendigen Angaben enthält, setzt die Behörde dem Eingabesender eine angemessene Frist zur Verbesserung oder Ergänzung (§ 135 Abs. 2 VRG/LU). Genügt sie diesen Anforderungen nicht, oder wird eine verbesserungsfähige Rechtsschrift nicht innert der gesetzten Frist verbessert, ist auf das Rechtsmittel nicht einzutreten (§§ 107 Abs. 2 lit. e und 135 Abs. 3 VRG/LU). Was als für das Eintreten auf eine Beschwerde genügende Begründung zu gelten hat, ist im Gesetz nicht weiter festgelegt. Das Verwaltungsgericht geht davon aus, dass der Gesetzgeber bei der Einführung des VRG jede Formstrenge vermeiden wollte. In der Botschaft dazu heisse es ausdrücklich, es sei praktisch ausgeschlossen, dass ein Rechtsmittel an den Formalien der Einreichung scheitere, wenn der Beschwerdeführer die Möglichkeit der Verbesserung ausnütze (Botschaft zum VRG, in: Verhandlungen des Grossen Rates 1972, Bemerkungen zu §§ 124-138, S. 246). Dementsprechend stellt das Verwaltungsgericht weder an den Antrag noch an dessen Begründung hohe Anforderungen (LGVE 1988 II Nr. 29 E. 3b/aa mit Hinweisen). Praxisgemäss genügt, wenn erkennbar ist, inwiefern die angefochtene Verfügung oder ihre Erwägungen beanstandet werden bzw. klar erkennbar ist, welche bereits vorher erhobenen Rügen weiter gelten sollen (Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 197).
3.2 Das Bundesgericht überprüft die Auslegung und Anwendung des kantonalen Gesetzesrechts auf Willkür hin. Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgrundsatz zuwiderläuft. Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f.; je mit Hinweisen).
3.3 Die Vorinstanz verweist zunächst auf ihre Praxis, wonach die Beschwerdefrist als eingehalten gilt, wenn der Wille zur Beschwerdeerhebung aus einer innert der gesetzlichen Beschwerdefrist eingereichten Eingabe klar erkennbar ist. Dies gilt auch für Eingaben, die als Fristerstreckungsgesuch bezeichnet sind und darin im Wesentlichen unter Hinweis auf die Ferienabwesenheit um Fristerstreckung für die Formulierung einer Verwaltungsgerichtsbeschwerde ersucht wird (LGVE 1982 II Nr. 6 E. 2). Weiter führt das Verwaltungsgericht aus, die Regelung von § 135 Abs. 2 VRG stimme ihrem Gehalt nach mit Art. 61 lit. b des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts vom 6. Oktober 2000 (ATSG; SR 830.1) überein. Nach dieser Bestimmung muss die Beschwerdeschrift eine gedrängte Darstellung des Sachverhalts, ein Rechtsbegehren und eine kurze Begründung enthalten. Genügt sie diesen Anforderungen nicht, so setzt das Versicherungsgericht der beschwerdeführenden Person eine angemessene Frist zur Verbesserung und verbindet damit die Androhung, dass sonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird. Grundsätzlich ist in jedem Fall einer ungenügenden Begründung eine Nachfrist anzusetzen, sofern der Beschwerdewille rechtzeitig und in prozessual gehöriger Form klar bekundet wird. Die Einräumung einer solchen Frist steht nicht im Belieben des Versicherungsgerichts. Vorbehalten ist der Fall eines offenbaren Rechtsmissbrauchs (zum Ganzen: <ref-ruling> mit zahlreichen Hinweisen).
3.4 Auf der Grundlage dieser Rechtsprechung ist die Vorinstanz zum Schluss gelangt, dass dem Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren eine Nachfrist zur Begründungsergänzung anzusetzen sei. Sie berücksichtigte dabei, dass die Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 4. Januar 2010 in materieller Hinsicht einen klaren Antrag enthielt und daraus der Beschwerdewille unmissverständlich hervor ging. Dieser Antrag wurde in der Nachbesserung weder geändert noch ergänzt. Die Rechtsbegehren durften vom Verwaltungsgericht im Lichte von § 135 Abs. 1 VRG/LU als genügend klar bezeichnet werden. Ungenügend war die Eingabe insoweit, als sie keine Begründung des gestellten Antrags enthielt. Im Lichte der erwähnten bundesgerichtlichen Rechtsprechung prüfte das Verwaltungsgericht, ob diesbezüglich ein offensichtlicher Rechtsmissbrauch vorlag. Es stellte dabei darauf ab, dass in der ersten Rechtsschrift ausgeführt wurde, der angefochtene Entscheid sei dem Eigentümer der Parzelle Nr. 821 am 16. Dezember 2009, kurz vor dessen Abreise in die Ferien, zugestellt worden. Infolge der Ferienabwesenheit bis Mitte Januar 2010 habe noch keine ausreichende Instruktion stattfinden können. In Berücksichtigung dieser Gründe gewährte die Instruktionsrichterin eine Nachfrist für die Verbesserung der Beschwerde in Bezug auf die Begründung, wobei entgegen dem Antrag des Beschwerdeführers nicht eine Frist bis Mitte Februar sondern bis 25. Januar 2010 (d.h. 10 Tage ab Rückkehr aus den Ferien) angesetzt wurde. Einen offensichtlichen Rechtsmissbrauch verneinte das Verwaltungsgericht, ohne dabei in Willkür zu verfallen.
3.5 Die Vorinstanz beachtete weiter, dass der angefochtene Entscheid glaubhaft erst kurz vor der Abreise des Beschwerdeführers im kantonalen Verfahren in die Ferien zugestellt wurde. Mit der Zustellung eines fristauslösenden Entscheids kurz vor Ferienantritt habe er jedoch nicht rechnen müssen. Wie aus dem Entscheid der Gemeinde hervorgehe, hatte der Gemeindeammann am 30. November 2009 die Pflanzung der Tannenhecke bemerkt, worauf der Gemeinderat bereits am 11. Dezember 2009 den Wiederherstellungsentscheid erlassen habe. Nach den dem Verwaltungsgericht vorliegenden Akten sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer zwischen Sachverhaltsfeststellung und Erlass des Entscheids von Seiten der Gemeinde weder kontaktiert noch darauf aufmerksam gemacht worden sei, dass die Tannenhecke wieder zu entfernen sei. Musste er aber mit der Zustellung eines anfechtbaren Entscheids kurz vor Antritt der Weihnachtsferien nicht rechnen, bestehe im Falle einer versäumten Beschwerdefrist sogar Anspruch auf deren Wiederherstellung (§ 36 Abs. 1 VRG/LU; vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 132 f.). Es könne daher dem Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren nicht angelastet werden, wenn vor seiner Ferienreise keine angemessene Instruktion des Rechtsvertreters erfolgen konnte. Umso mehr rechtfertige es sich, bei einer fristgerechten Beschwerde mit rechtskonformem Antrag, aber ohne summarische Begründung, für deren Verbesserung eine angemessene Nachfrist anzusetzen. Mit Eingabe vom 22. Januar 2010 habe der Rechtsvertreter die Beschwerde hinreichend begründet und damit die ihm gesetzte Nachfrist gewahrt.
3.6 Die Einwände der Gemeinde Nebikon gegen die Argumentation der Vorinstanz sind nicht geeignet, den angefochtenen Entscheid als willkürlich erscheinen zu lassen. Soweit sich die Gemeinde Nebikon auf die Praxis des Verwaltungsgerichts beruft, wonach eine Nachfrist zur Verbesserung einer Rechtsschrift nicht dazu dienen kann, überhaupt erst eine sachdienliche Begründung nachzuliefern, ist ihr entgegenzuhalten, dass die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen durfte, dass der Grundeigentümer rechtzeitig eine Beschwerde mit rechtsgenüglichem materiellen Antrag und klarem Beschwerdewillen eingereicht hatte. In seiner Eingabe vom 4. Januar 2010 legte er unmissverständlich dar, dass er die Aufhebung des Entscheids des Gemeinderats vom 11. Dezember 2009 verlange und wegen Ferienabwesenheit nicht in der Lage sei, vor Ablauf der Beschwerdefrist eine einlässliche Begründung seines Antrags zu verfassen. Es ist im Lichte der §§ 133 Abs. 1 und 135 Abs. 2 VRG/LU und unter Berücksichtigung der von der Vorinstanz dargelegten konkreten Umstände des Verfahrens nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht die Einräumung einer Nachfrist als gerechtfertigt erachtete. Die weiteren Einwände der Gemeinde ändern an dieser Beurteilung nichts.
4. Es ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist. Der Beschwerdeführerin sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Die hat jedoch dem anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Gemeinde Nebikon hat dem privaten Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag