Faits:
A.
A._ a déposé une plainte contre le psychiatre chargé par une juridiction civile d'expertiser son épouse dans le cadre d'une procédure matrimoniale opposant les conjoints. La Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et patientes de l'Etat de Fribourg (ci-après: la Commission de surveillance), par décision du 29 mai 2012, a retenu que le plaignant n'avait pas la qualité de partie dans le contexte d'une procédure de dénonciation au sens de la législation cantonale sur la santé, au motif qu'il n'était pas le patient du professionnel de la santé mis en cause; elle a informé ce dernier qu'aucune suite ne serait donnée à sa dénonciation. La IIIe Cour administrative du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé cette décision par arrêt du 3 mai 2013.
Par arrêt du 22 août 2013 (cause 2C_537/2013), le Tribunal fédéral a rejeté dans la mesure de sa recevabilité le recours formé par A._ contre cet arrêt cantonal. Après avoir relevé le caractère prolixe du recours, le Tribunal fédéral a considéré en particulier que les juges cantonaux n'avaient pas versé dans l'arbitraire en refusant d'assimiler la situation du recourant à celle d'un patient et en déniant à celui-ci la qualité de partie dans le cadre de la dénonciation du psychiatre mandaté pour expertiser son épouse.
La demande de révision que A._ a déposée contre l'arrêt 2C_537/2013 a été rejetée, dans la mesure de sa recevabilité, par arrêt du 4 octobre 2013 (cause 2F_19/2013). A ce titre, le Tribunal fédéral a, en particulier, déclaré irrecevable la demande de récusation que le requérant avait formulée à l'encontre des juges fédéraux et greffier à l'origine de l'arrêt du 22 août 2013, de même que les arguments qu'il invoquait en lien avec ses droits de la personnalité et la protection des données.
B.
Le 10 mars 2014, A._ a demandé une nouvelle fois la révision de l'arrêt 2C_537/2013 du Tribunal fédéral (cause 2F_4/2014) et a formé également une demande de récusation, en se référant notamment à des requêtes déposées au titre de deux autres affaires pendantes devant le Tribunal fédéral (causes 2C_980/2013 et 2C_981/2013). Il sollicite en outre la suspension, par mesures provisionnelles, de deux causes actuellement pendantes devant le Tribunal cantonal, l'annulation de "tous les arrêts rendus en relation au dossier 2C_537/2013" ainsi que le renvoi de la cause à l'autorité compétente pour nouvelle décision. A._ conclut par ailleurs à ce qu'il soit renoncé à percevoir une avance de frais.
Il n'a pas été ordonné d'échange des écritures.
C.
Par courrier du 15 mars 2014, A._ a prié le Tribunal fédéral de l'informer en détail à propos de la composition de la cour amenée à statuer dans la cause 2F_4/2014. Il l'a en outre invité à procéder à l'examen des "<ref-law>, <ref-law> ainsi que de la qualification de partie du soussigné" dans un délai de trois jours, ainsi que d'indiquer et justifier le délai dans lequel il statuerait.

Considérant en droit:
1.
A titre préalable, le requérant demande la récusation, "en référence aux plaintes pénales déposées mentionnées, visant les personnes (...) intervenues dans les causes 2C_980/2013, 2C_981/2013 ainsi que 2C_537/2013 et 2F_19/2013". En l'absence d'autre explication de la part du requérant, et en tant que recevable, l'invocation de l'<ref-law> (examen de la compétence du Tribunal fédéral) dans la lettre du 15 mars 2014 doit être considérée comme tendant au même objectif.
1.1. En vertu de l'<ref-law>, la partie qui sollicite la récusation d'un juge ou d'un greffier doit présenter une demande écrite au Tribunal fédéral dès qu'elle a connaissance du motif de récusation. Elle doit rendre vraisemblables les faits qui motivent sa demande.
Selon l'<ref-law>, les juges et les greffiers se récusent, notamment, s'ils ont un intérêt personnel dans la cause (let. a), ou s'ils pouvaient être prévenus de toute autre manière, notamment en raison d'une amitié étroite ou d'une inimitié personnelle avec une partie ou son mandataire (let. e). Sont visées par cette dernière clause générale toutes les circonstances propres à révéler une apparence de prévention et à faire douter de l'impartialité du juge (arrêt 2C_755/2008 du 7 janvier 2009 consid. 3.2, SJ 2009 I 233). L'existence d'un motif de prévention au sens de l'art. 34 al. 1 let. e LTF est une question d'appréciation, qui doit être tranchée de manière objective. Il y a apparence de prévention lorsque les circonstances, envisagées objectivement, font naître un doute quant à l'impartialité du juge (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 6). Seul l'aspect objectif compte, les considérations subjectives ne sont pas pertinentes. Ainsi, une apparence de prévention ne saurait être retenue sur la base des impressions purement individuelles des parties au procès (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 21).
Au surplus, la participation à une procédure antérieure devant le Tribunal fédéral ne constitue pas à elle seule un motif de récusation (<ref-law>), de sorte que les juges et le greffier récusés pour ce motif peuvent participer à la procédure concernée (cf. <ref-ruling> consid. 3.7.1 p. 120; arrêts 2C_1179/2012 du 13 mai 2013 consid. 3.1; 2F_19/2011 du 22 décembre 2011 consid. 2.1).
1.2. En tant que le requérant formule sa demande de récusation en renvoyant à sa requête présentée dans le cadre des procédures fiscales 2C_980/2013 et 2C_981/2013, son argument doit être déclaré manifestement mal fondé. Il perd en effet de vue que, d'une part, ces procédures sont à distinguer de celle présentement déférée auprès de la Cour de céans, laquelle concerne un autre complexe de faits et d'autres acteurs. D'autre part, lesdites causes fiscales, y compris les requêtes y afférentes, se trouvent en cours d'examen devant le Tribunal fédéral, si bien que l'on ne saurait tirer un quelconque motif de prévention des juges et greffier concernés du simple fait que le Tribunal fédéral ne se serait pas encore prononcé sur ces cas. En outre, indépendamment de l'issue de ces procédures, la participation des mêmes juges et greffier ne constitue pas à elle seule un motif de récusation (consid. 1.1 supra). Il convient encore de préciser que, contrairement à ce que prétend le requérant, l'ordonnance du 16 décembre 2013 rendue dans lesdites causes fiscales n'a pas refusé de répondre à sa demande de récusation du 6 décembre 2013, mais a annoncé à l'intéressé qu'il "en sera tenu compte dans la mesure nécessaire". Au demeurant, cette première demande de récusation a subséquemment été écartée par ordonnance du 30 décembre 2013.
1.3. Le requérant semble par ailleurs reprocher aux juges fédéraux et greffier chargés d'examiner les causes précitées d'avoir, dans l'arrêt 2C_537/2013 querellé, de mauvaise foi et en contradiction avec des décisions cantonales et, en particulier, les art. 5 al. 3, 9 et 29 al. 1 Cst., retenu des propos diffamatoires, voire calomnieux à son encontre (requête, p. 3 s. ch. 1 et 4 s.). Il y perçoit un motif de récusation.
Ce faisant, le requérant perd de vue que le Tribunal fédéral s'est limité à examiner si, comme le prétendait A._, le rapport d'expertise psychiatrique du 7 novembre 2011 relatif à son épouse s'était également prononcé au sujet de l'état de santé de l'époux, de sorte à lui conférer la qualité de partie dans la procédure de dénonciation administrative devant la Commission de surveillance. Or, il apparaît à la lecture objective de l'arrêt 2C_537/2013 que le Tribunal fédéral n'a pas confirmé le contenu des observations de l'expert (eussent-elles même été inexactes), qui s'était au demeurant référé aux dossiers pénal et civil mis à sa disposition par les autorités cantonales. La Cour de céans a seulement considéré que le Tribunal cantonal avait jugé sans arbitraire, à l'instar de la Commission de surveillance, que les déductions opérées par l'expert dans son rapport litigieux n'étendaient pas, au regard du droit de procédure cantonal, le champ de l'expertise à la personne de A._. Par conséquent, ces griefs ne fournissent aucun motif pertinent pour mettre en doute la compétence ou la capacité du Tribunal fédéral de statuer en toute impartialité et indépendance.
1.4. Il s'ensuit que les griefs tirés du prétendu devoir de récusation des magistrats et greffier fédéraux doivent être écartés et la requête rejetée dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Le requérant sollicite la révision de l'arrêt 2C_537/2013 rendu par le Tribunal fédéral le 22 août 2013. Il estime que les membres de la Cour de céans à l'origine de cet arrêt auraient dû se récuser. En outre, l'arrêt aurait été influencé par un crime ou un délit. De surcroît, la Cour de céans n'aurait, par inadvertance, pas pris en considération des faits pertinents.
2.1. Selon l'<ref-law>, les arrêts du Tribunal fédéral entrent en force dès leur prononcé. Cela signifie qu'il n'existe pas de voie de recours ou d'opposition à leur encontre. Seule est envisageable une demande de révision, aux conditions des art. 121 et 123 LTF (arrêts 2F_23/2013 du 25 novembre 2013 consid. 2.1; 1F_25/2013 du 14 août 2013 consid. 1). Le requérant doit se prévaloir d'un motif de révision ou, à tout le moins, invoquer des faits constituant un tel motif légal. La question de savoir si un motif de révision existe effectivement ne relève pas de l'examen de la recevabilité, mais du fond. En revanche, la requête de révision est soumise aux exigences de motivation découlant de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF (arrêts 4F_20/2013 du 11 février 2014 consid. 2.1; 5F_3/2011 du 4 mai 2011 consid. 1.2).
Selon l'<ref-law>, la demande de révision doit être déposée devant le Tribunal fédéral, notamment, pour violation des dispositions sur la récusation, dans les 30 jours qui suivent la découverte du motif de récusation (let. a); pour violation d'autres règles de procédure, dans les 30 jours qui suivent la notification de l'expédition complète de l'arrêt (let. b [...]); pour les autres motifs, dans les 90 jours qui suivent la découverte du motif de révision, mais au plus tôt cependant dès la notification complète de l'arrêt ou dès la clôture de la procédure pénale (let. d). La question du respect des délais relève de la recevabilité de la requête (arrêt 4A_570/2011 du 23 juillet 2012 consid. 4.1).
2.2. En tant que le requérant reproche à la Cour de céans de ne pas avoir observé les dispositions concernant la récusation de ses membres, notamment en lien avec la commission d'infractions, il se réfère en substance aux motifs de révision figurant aux art. 121 let. a et 123 al. 1 LTF. Or, comme il a été vu précédemment, les griefs du requérant tendant à la récusation des juges fédéraux et greffier ayant siégé dans la cause 2C_537/2013 ne fournissent aucun motif pertinent pour mettre en doute la compétence ou la capacité du Tribunal fédéral de statuer en toute impartialité et indépendance (consid. 1 supra). Quant au reproche adressé aux membres concernés de la IIe Cour de droit public d'avoir participé à une procédure antérieure devant le Tribunal fédéral, celui-ci avait déjà été jugé irrecevable dans l'arrêt 2F_19/2013 du 4 octobre 2013 (consid. 2), arrêt sur lequel il n'y a pas lieu de revenir. Fondée sur les art. 121 let. a et 123 al. 1 LTF, la demande de révision doit donc être déclarée irrecevable.
2.3. Dans la mesure où le requérant affirme que la Cour de céans n'aurait pas pris en considération des faits pertinents, dont il n'aurait été, pour partie, capable de s'apercevoir que récemment, il se prévaut des art. 121 let. d LTF et 123 al. 2 let. a LTF. D'après cette première disposition, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier. Aux termes de la seconde disposition, la révision peut en outre être demandée, dans les affaires civiles et les affaires de droit public, si le requérant découvre après coup des faits pertinents ou des moyens de preuve concluants qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente, à l'exclusion des faits ou moyens de preuve postérieurs à l'arrêt.
Pour pouvoir entrer en matière sur ces deux causes de révision, il faut, en particulier, que l'on soit en présence de "faits pertinents" que le Tribunal fédéral n'aurait, par inadvertance, pas pris en considération, respectivement que le requérant aurait découverts après coup ("faux nova"). Il appartient au requérant d'apporter la preuve de ces circonstances, notamment en vue de la vérification des délais légaux précités (dans ce sens, arrêt 4A_570/2011 du 23 juillet 2012 consid. 4.1; cf. aussi arrêt 2C_349/2012 du 18 mars 2013 consid. 4.2.1).
En l'occurrence, il résulte de son écriture que le requérant entend, en substance, rediscuter les faits établis par les instances cantonales ou les conclusions de l'expert, voire revenir sur les prétendus manquements professionnels qu'il avait déjà reprochés à l'expert psychiatre devant la Commission de surveillance, le Tribunal cantonal ainsi que le Tribunal fédéral. Ce faisant, le requérant se contente de présenter sa propre version des faits, de reprendre les arguments développés dans son recours devant le Tribunal fédéral et de critiquer la manière dont cette juridiction a appliqué le droit, sans démontrer concrètement, en se fondant sur les considérants de l'arrêt entrepris, en quoi le Tribunal fédéral n'aurait pas statué sur certaines conclusions ni pris en considération des faits pertinents pour l'issue du litige, ni surtout en quoi le requérant n'aurait pas été en mesure de s'en prévaloir auparavant. Or, une telle argumentation lacunaire ne satisfait manifestement pas les exigences de motivation découlant des art. 121 ss cum 42 al. 1 et 2 LTF et est partant irrecevable.
Au demeurant, il n'est pas inutile de préciser que les prétendus faits nouveaux dont se prévaut le requérant ne sauraient en tout état se recouper avec les faits que celui-ci avait déjà invoqués dans sa première demande de révision, laquelle a été rejetée dans la mesure de sa recevabilité (arrêt 2F_19/2013 du 4 octobre 2013 consid. 6).
Au vu de ce qui précède, il n'est pas nécessaire de vérifier, en sus, si les "faits" que le requérant allègue avoir découverts l'ont bel et bien été dans les délais prévus par l'<ref-law>.
2.4. La requête de révision ne peut porter que sur un arrêt précis du Tribunal fédéral, en l'occurrence l'arrêt 2C_537/2013 (voir, dans ce sens, PIERRE FERRARI, ad <ref-law>, in Commentaire de la LTF, 2009, n. 3 ss p. 1191 s.). Les procédures de nature pénale, administrative ou privée que le requérant indique avoir diligentées, en parallèle, dans diverses autres causes pendantes devant des instances cantonales ou fédérales, voire auprès d'organismes privés, sans qu'il ne fût précisé en quoi elles fonderaient une cause de révision en relation avec la cause 2C_537/2013 sous examen (cf. consid. 2.3 supra), sont partant exorbitantes à la présente procédure et ne peuvent être prises en compte. Ne font, en particulier, pas l'objet de la présente procédure de révision: la procédure de recours que le requérant dit avoir introduite à l'encontre de divers professionnels de la santé devant la Commission de déontologie de la Fédération suisse des psychologues; les procédures pénales et administratives dont le requérant fait état en relation avec les avances de frais réclamées par le Tribunal cantonal; la plainte pénale pour calomnie que le requérant explique avoir déposée le 10 mars 2014 "en relation avec les propos tenus dans trois courriers récents" de son épouse, ainsi que les autres plaintes pénales "concernant des propos similaires tenus par son épouse", qui semblent du reste avoir été rejetées en dernière instance par la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral, dès lors que l'intéressé précise avoir "contesté" l'ensemble desdites décisions. Par ailleurs, en tant qu'il n'est pas démontré ni motivé à satisfaction de droit en quoi les mesures provisionnelles (suspension) que le requérant a sollicitées au sujet des causes nos "603 2014 7 et 603 2014 9 actuellement pendantes" devant le Tribunal cantonal se trouveraient dans un lien quelconque avec la présente demande de révision, ladite conclusion doit être déclarée irrecevable.
2.5. Il dérive des éléments qui précèdent que les diverses requêtes d'instruction, en particulier celles qui sont afférentes au versement à la présente procédure de documents et de dossiers concernant d'autres procédures cantonales, doivent être rejetées. L'attention du requérant est du reste attirée sur la circonstance que l'organisation de mesures probatoires doit en principe avoir lieu (et être dûment sollicitée) devant les instances judiciaires précédentes concernées, dès lors qu'il n'appartient pas à la Cour de céans, comme dernière instance de recours, d'instruire pour la première fois les faits prétendument pertinents (cf. arrêts 2C_463/2013 du 26 août 2013 consid. 5; 2C_300/2013 du 21 juin 2013 consid. 3.5).
3.
Au vu des considérations qui précèdent, la demande de révision doit être déclarée irrecevable dans son ensemble. Pour autant que la conclusion du requérant tendant à ce qu'aucune avance de frais ne soit prononcée puisse être interprétée en tant que demande d'assistance judiciaire, celle-ci devra être rejetée, dès lors que la présente cause paraissait d'emblée dépourvue de toute chance de succès (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 2). Etant donné l'issue du litige et l'expédition du présent arrêt, les requêtes que l'intéressé a formées dans son courrier du 15 mars 2014 sont sans objet. Les frais du présent arrêt sont mis à la charge du requérant qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
4.
Le requérant s'adresse pour la troisième fois consécutive au Tribunal fédéral en rapport avec le sort que les autorités cantonales ont réservé à la dénonciation qu'il avait introduite devant la Commission de surveillance cantonale contre l'expert psychiatre chargé d'examiner la situation de son épouse. Ces interventions devant la Cour de céans ont soit été rejetées au fond, dans la mesure où elles étaient recevables, soit déclarées irrecevables. Le requérant est partant rendu attentif au fait que le Tribunal fédéral se réserve le droit de ne plus traiter formellement de nouvelles interventions de sa part dans la cause ayant donné lieu à l'arrêt 2C_537/2013 (cf. <ref-law>; arrêts 5D_198/2012 du 19 décembre 2012 in fine; 6F_20/2011 du 1er mars 2012 consid. 3).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
La requête de récusation est rejetée dans la mesure où elle est recevable.
2.
La demande de révision est irrecevable.
3.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
5.
Le présent arrêt est communiqué au requérant, au Tribunal fédéral, IIe Cour de droit public, à la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et patientes du canton de Fribourg, ainsi qu'au Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, IIIe Cour administrative.
Lausanne, le 20 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Aubry Girardin
Le Greffier: Chatton