Sachverhalt:
A. Die 1961 geborene F._ meldete sich am 25. Mai 2004 bei der Invalidenversicherung an und beantragte u.a. eine Rente. Mit Verfügung vom 21. Januar 2005 lehnte die IV-Stelle des Kantons Solothurn das Leistungsbegehren ab. Mit Einspracheentscheid vom 21. September 2005 hob sie die Verfügung auf und ordnete weitere Abklärungen an. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie mit Verfügung vom 20. April 2007 bei einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % und einem Invaliditätsgrad von 28 % einen Rentenanspruch der F._.
B. Die Beschwerde der F._ wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 11. April 2008 ab.
C. F._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 11. April 2008 sowie die Verfügung der IV-Stelle vom 20. April 2007 seien aufzuheben und es sei ihr eine Invalidenrente nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von mindestens 50 % zuzusprechen.
Die IV-Stelle und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
1.2 Auf der nicht medizinischen beruflich-erwerblichen Stufe der Invaliditätsbemessung charakterisieren sich als Rechtsfragen die gesetzlichen und rechtsprechungsgemässen Regeln über die Durchführung des Einkommensvergleichs (<ref-ruling> E. 3.4 S. 348, 128 V 29 E. 1 S. 30, 104 V 135 E. 2a und b S. 136 f.), einschliesslich derjenigen über die Anwendung der schweizerischen Lohnstrukturerhebung/LSE (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 475 f., 124 V 321 E. 3b/aa S. 322 f.) und der Dokumentation von Arbeitsplätzen/DAP (<ref-ruling> ff.). In dieser Sicht stellt sich die Feststellung der beiden hypothetischen Vergleichseinkommen als Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht, hingegen als Rechtsfrage, soweit sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet. Letzteres betrifft etwa die Frage, ob Tabellenlöhne anwendbar sind, welches die massgebliche Tabelle ist und ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Leidensabzug vorzunehmen sei (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399; zur Publikation in BGE 134 V bestimmtes Urteil 8C_255/2007 vom 12. Juni 2008).
2. Nach <ref-law> (in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung) besteht bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 40 % Anspruch auf eine (Teil-)Rente der Invalidenversicherung. Für die Bestimmung des Invaliditätsgrades wird das Erwerbseinkommen, das die versicherte Person nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung der medizinischen Behandlung und allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte, in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das sie erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre (<ref-law>). Als Erwerbseinkommen im Sinne von Artikel 16 ATSG gelten mutmassliche jährliche Erwerbseinkommen, von denen Beiträge gemäss AHVG erhoben würden (<ref-law>).
3. Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin nach medizinisch-theoretischer Schätzung seit 1. Oktober 2003 zu 50 % in ihrer Arbeitsfähigkeit eingeschränkt ist. Unbestritten ist auch, dass sie als Gesunde zu 100 % erwerbstätig wäre. Streitig und zu prüfen sind die Höhe des hypothetischen Einkommens ohne Invalidität (Valideneinkommen) sowie des Invalideneinkommens und der daraus resultierende Invaliditätsgrad.
3.1 Soweit es bei der Invaliditätsbemessung um die Frage geht, welche Löhne an einer bestimmten Stelle bezahlt werden oder erreicht werden können, handelt es sich um Feststellungen tatsächlicher Natur, die letztinstanzlicher Korrektur nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> zugänglich sind. Hingegen ist die Frage, welche hypothetischen Erwerbseinkommen im Rahmen des Einkommensvergleichs nach <ref-law> miteinander in Beziehung zu setzen sind, eine Rechtsfrage, welche vom Bundesgericht frei zu prüfen ist, dies analog zur Frage, ob Tabellenlöhne anwendbar sind und welches die massgebende Tabelle ist (E. 1.2; Urteil 9C_189/2008 vom 19. August 2008 E. 4.1).
3.2 Die Vorinstanz hat das Valideneinkommen auf Fr. 44'360.- festgesetzt. Zu dessen Bestimmung sei grundsätzlich vom Lohn auszugehen, welcher vor Eintritt der Gesundheitsschädigung am 19. Juli 2002 erzielt worden sei. Dieser lasse sich jedoch nicht zuverlässig ermitteln, weshalb die IV-Stelle zu Recht auf die Lohnstrukturerhebung des Bundesamtes für Statistik 2004, Tabelle TA1, Sektor 55 (Gastgewerbe), Niveau 4 (einfache und repetitive Tätigkeiten), Frauen, abgestellt habe. Demgegenüber macht die Versicherte geltend, dass sie bei guter Gesundheit die gegenwärtige Tätigkeit als Mitarbeiterin in einem Personalrestaurant in einem vollen Pensum statt (invaliditätsbedingt) nur zu 50 % ausüben und ein dementsprechendes Einkommen erzielen würde.
Die Festsetzung des hypothetischen Valideneinkommens durch das kantonale Gericht verletzt Bundesrecht. Ausschlaggebend für die Höhe ist nicht der statistisch ermittelte, durchschnittlich erzielbare Lohn, sondern das Einkommen, das die Versicherte mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erzielen würde, wenn sie nicht invalid geworden wäre. Das vor dem Eintritt des Gesundheitsschadens erzielte Einkommen ist dafür in der Regel der Anknüpfungspunkt, doch ist davon abzuweichen, wenn mit überwiegender Wahrscheinlichkeit etwas anderes erstellt ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 224). Die Beschwerdeführerin war 2004 trotz des erheblichen Gesundheitsschadens in der Lage, bei einem Teilzeitpensum auf ein Jahr hochgerechnete Einkünfte von Fr. 30'907.- zu erzielen (vgl. E. 3.3). Dies spricht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie ohne Gesundheitsschaden mit voller Leistungsfähigkeit ein Einkommen in doppelter Höhe des einem halben Arbeitspensum entsprechenden Grundlohnes, somit Fr. 52'000.-, hätte erreichen können (vgl. Urteil 9C_189/2008 vom 19. August 2008 E. 4.2). Es besteht somit kein Anlass, auf Tabellenlöhne abzustellen.
3.3 Das Invalideneinkommen hat die Vorinstanz auf Fr. 30'907.- festgelegt. Dabei hat sie nebst dem von Mai bis Dezember 2004 erzielten Gehalt die Überstundenentschädigungen, nicht aber die zusätzlich ausbezahlten Leistungsprämien berücksichtigt und das Ergebnis auf ein Jahr hochgerechnet. Die Versicherte habe in sieben von acht Monaten Überstundenarbeit geleistet, was als regelmässig zu bezeichnen sei. Hingegen könne bei den Leistungsprämien nicht von einem festen Lohnbestandteil gesprochen werden. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, es sei nur auf den vertraglich vereinbarten Grundlohn von Fr. 26'000.- abzustellen.
Das kantonale Gericht hat zu Recht auf die konkrete beruflich-erwerbliche Situation der Versicherten abgestellt (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 475) und insofern auch die Entschädigung für regelmässig - und vorbehaltlos - geleistete Überstundenarbeit berücksichtigt (vgl. <ref-law> sowie Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 381/04 vom 16. November 2004 E. 3.1.1 mit Hinweisen). Dass die tatsächliche Leistungsfähigkeit der Versicherten offenbar grösser als die im Umfang von 50 % ausgewiesene medizinisch-theoretische Arbeitsunfähigkeit ist, spricht im Übrigen auch nicht gegen deren Berücksichtigung. Inwiefern die vorinstanzlichen Feststellungen in Bezug auf die Regelmässigkeit von Überstunden und Leistungsprämien und damit die Zusammensetzung des Invalideneinkommens sowie dessen Höhe und Berechnung offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen (E. 1.1), ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht. Immerhin geht aus den Akten hervor, dass die Versicherte in den Jahren 2005 und 2006 einerseits weiterhin regelmässig Überstundenarbeit in erheblichem Umfang leistete und andererseits keine Leistungsprämie mehr bezog. Die Festsetzung des Invalideneinkommens ist nicht zu beanstanden.
3.4 Wird als Valideneinkommen der Betrag von Fr. 52'000.- herangezogen, resultiert bei einem Invalideneinkommen von Fr. 30'907.- ein Invaliditätsgrad von 41 %, mit der Folge, dass die Beschwerdeführerin eine Viertelsrente der Invalidenversicherung beanspruchen kann. Entsprechend der nicht offensichtlich unrichtigen und unbestrittenen Feststellung der Vorinstanz betreffend Eintritt der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit besteht der Anspruch ab 1. Oktober 2004 (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung).
4. Die Verfahrenskosten sind entsprechend dem Ausmass des Obsiegens und Unterliegens aufzuteilen (<ref-law>). Die teilweise obsiegende Beschwerdeführerin hat Anspruch auf eine entsprechend reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Vorinstanz wird die Parteikosten für das erstinstanzliche Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Verfahrens festzulegen haben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 11. April 2008 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Solothurn vom 20. April 2007 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Beschwerdeführerin ab 1. Oktober 2004 Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung hat. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin Fr. 250.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 250.- auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'250.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. September 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Dormann