Nach Einsicht
in die ausdrücklich als subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichnete und als solche entgegengenommene Eingabe gegen den Entscheid vom 5. Juli 2010 des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden, das auf eine Rechtsverweigerungsbeschwerde des Beschwerdeführers gegen seine Verpflichtung zur Bezahlung von reduzierten Kinderunterhaltsbeiträgen (Fr. 700.-- statt Fr. 800.-- für jedes der beiden Kinder) nicht eingetreten ist,
in das sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege,

in Erwägung,
dass die Verfassungsbeschwerde zum Vornherein unzulässig ist, soweit der Beschwerdeführer Schadenersatzforderungen gegen den Kanton Appenzell Ausserrhoden geltend macht, weil diese Forderungen nicht Gegenstand des kantonalen Verfahrens bildeten und daher auch nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens sein können,
dass sodann in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass ausserdem in einem Fall wie dem vorliegenden, wo sich die Beschwerde gegen einen auf mehreren selbstständigen Begründungen beruhenden Entscheid richtet, auf Grund jeder dieser Begründungen darzutun ist, inwiefern der kantonale Entscheid verfassungswidrig sein soll (<ref-ruling> E. 6),
dass das Obergericht im Entscheid vom 5. Juli 2010 erwog, einerseits enthalte die kantonale Beschwerdeschrift - trotz entsprechender Aufforderung durch das Obergericht - keinen klaren Beschwerdeantrag, anderseits habe der Beschwerdeführer nicht dargetan, inwiefern der erstinstanzliche Entscheid einen der drei in <ref-law>/AR abschliessend genannten Beschwerdegründe erfüllen soll, insbesondere lasse sich den Beschwerdevorbringen keine Willkür als Akt der Rechtsverweigerung entnehmen, der Beschwerdeführer beschränke sich vielmehr auf unsubstantiierte Vorwürfe gegen den Kantonsgerichtspräsidenten, weshalb auf die Rechtsverweigerungsbeschwerde nicht einzutreten sei,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die beiden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen aufzeigt, inwiefern der angefochtene Entscheid vom 5. Juli 2010 verfassungswidrig sein soll,
dass offenbleiben kann, ob gegen den obergerichtlichen Entscheid die Beschwerde in Zivilsachen offen gestanden hätte, weil auch dieses Rechtsmittel mangels einer rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG) unzulässig wäre,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Verfassungsbeschwerde nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht von Appenzell Ausserrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann