Faits:
A. En 2003, un syndicat d'améliorations foncières a été constitué dans la Commune mixte de Rebeuvelier (JU) pour procéder à un remaniement parcellaire des terres agricoles. Le 21 août 2006, la commune a demandé au syndicat en question d'étudier la possibilité d'étendre le périmètre remanié aux pâturages bourgeois loués à différents exploitants, en vue d'adapter la répartition des terrains mis en location. Le 28 novembre 2006, le syndicat a établi un premier projet de nouvelle répartition des locations. Un nouveau projet a ensuite été établi par une Commission d'estimation, puis approuvé le 5 mars 2007 par le Conseil communal et une Commission des pâturages.
X._, agriculteur à Rebeuvelier, est concerné par cette nouvelle répartition des terrains mis en location. Il a demandé aux autorités communales d'examiner la régularité de la procédure suivie, en relevant que des personnes directement intéressées par la répartition ne s'étaient pas récusées. Le projet de nouvelle répartition des terres a été soumis à l'enquête publique par avis paru au Journal officiel du canton du Jura du 30 mai 2007. Un "plan de location" a également été déposé publiquement, mais à titre d'information uniquement, ce document n'étant "pas opposable".
Le 19 juin 2007, X._ a écrit au Conseil communal de Rebeuvelier qu'il prenait acte que le plan de location n'était "pas opposable en tant que tel", mais qu'il contestait ce plan et la nouvelle répartition des terres en découlant. Par courrier du 27 juin 2007, le conseil communal lui a répondu que le plan de location était "non opposable" et qu'il convenait d'attendre diverses décisions avant de "finaliser ce dossier de location des pâturages communaux" par la "dédite des anciens baux" et l'établissement de nouveaux contrats de bail.
B. En réaction à ce courrier, X._ a formé un recours auprès de la Juge administrative du Tribunal de première instance du canton du Jura (ci-après: le Tribunal de première instance), en se prévalant en substance du fait que divers membres du Conseil communal de Rebeuvelier et de la Commission des pâturages auraient dû se récuser. Le Tribunal de première instance a rejeté ce recours par jugement du 5 mars 2008. Il a notamment considéré que le plan de location litigieux n'était pas une décision sujette à recours au sens des art. 56 de la loi cantonale du 9 novembre 1978 sur les communes (LCom; RS/JU 190.11) et 2 al. 1 de la loi cantonale de procédure et de juridiction administrative et constitutionnelle du 30 novembre 1978 (Cpa; RS/JU 175.1).
X._ a recouru contre ce jugement auprès de la Chambre administrative du Tribunal cantonal du canton du Jura (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté le recours par arrêt du 12 septembre 2008. Cette autorité a considéré que le plan de location litigieux ne constituait pas un acte attaquable au sens de l'art. 56 LCom, de sorte que la juge de première instance ne pouvait pas entrer en matière sur le recours dont elle était saisie.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer l'affaire à l'autorité communale pour qu'elle prenne une décision formelle dans le respect des règles sur la récusation, subsidiairement de renvoyer l'affaire au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. Il se plaint en substance d'une violation de son droit d'être entendu, de déni de justice, d'une violation de l'<ref-law> et d'une application arbitraire des règles sur la récusation. Dans ses observations, le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours. La Commune mixte de Rebeuvelier s'est déterminée; elle conclut également au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision rendue dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110) auxquels renvoie l'art. 34 al. 1 LAT (<ref-ruling> consid. 2 p. 356, 249 consid. 1.2 p. 251). Aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'est réalisée. Le recourant est concerné par la mesure de planification litigieuse et il se plaint d'une violation de ses droits de partie, de sorte qu'il a la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public étant ouverte en l'espèce, le recours constitutionnel subsidiaire doit être déclaré irrecevable (<ref-law>).
2. Dans la première partie de son écriture, le recourant conteste partiellement des faits retenus par l'autorité intimée et présente son propre exposé des événements. Il perd cependant de vue que le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). En l'espèce, le recours ne comporte aucune démonstration du caractère manifestement inexact de l'état de fait de la décision attaquée, de sorte qu'il n'y a pas lieu de prendre en considération d'autres faits que ceux retenus dans ladite décision.
3. Au demeurant, les critiques du recourant quant à la constatation des faits se confondent avec son grief relatif à la violation du droit d'être entendu, constitutive d'un déni de justice formel. Le recourant se plaint en effet d'une violation du devoir de motivation de l'autorité, qui aurait ignoré ses griefs portant sur la récusation. Ce moyen rejoint également le grief de violation de l'<ref-law>.
3.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., confère à toute personne le droit d'exiger, en principe, qu'un jugement ou une décision défavorable à sa cause soit motivé. L'objet et la précision des indications à fournir dépendent de la nature de l'affaire et des circonstances particulières du cas; néanmoins, en règle générale, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée (<ref-ruling> consid. 2b p. 109; voir aussi <ref-ruling> consid. 3.3 p. 445; <ref-ruling> consid. 2b p. 102; <ref-ruling> consid. 2c p. 372). L'autorité peut se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige; il suffit que le justiciable puisse apprécier correctement la portée de la décision et l'attaquer à bon escient et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 277; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 540; <ref-ruling> consid. 2c p. 372 et les références). Quant à l'<ref-law>, il prévoit que les décisions qui peuvent faire l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral doivent contenir les motifs déterminants de fait et de droit, notamment les dispositions légales appliquées.
3.2 En l'espèce, l'arrêt attaqué confirme le jugement par lequel le Tribunal de première instance a considéré que le plan de location litigieux n'était pas un acte attaquable. Les décisions de justice précitées exposent clairement les raisons pour lesquelles le plan en question ne devait pas être considéré comme une décision sujette à recours en vertu du droit cantonal, si bien qu'il y a lieu de constater que les exigences de motivation susmentionnées sont respectées.
Par ailleurs, le recourant ne remet pas en cause les considérants de l'arrêt attaqué selon lesquels le plan de location contesté n'était pas un acte attaquable. Il se limite sur ce point à des considérations générales sur la nature et la portée du plan de location litigieux, mais il n'explique pas quelles dispositions auraient été violées à cet égard. Il ne prétend notamment pas que cette appréciation serait constitutive d'une violation du droit fédéral ou d'une application arbitraire du droit cantonal. Ces moyens ne respectent donc pas les exigences de motivation découlant des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 591 s. et les références). Le Tribunal fédéral ne revoyant pas ces questions d'office, il convient de retenir que le plan de location litigieux n'était pas une décision sujette à recours. Dans ces conditions, les griefs du recourant concernant la procédure d'adoption de cet acte ne pouvaient pas être examinés. Le Tribunal de première instance et le Tribunal cantonal n'avaient donc pas à entrer en matière sur les arguments relatifs à la récusation des personnes ayant contribué à l'élaboration ou l'adoption de ce plan et c'est en vain que le recourant se plaint d'un défaut de motivation ou d'un déni de justice à cet égard. Ces griefs doivent donc être rejetés.
4. Le recourant se plaint également d'une application arbitraire des art. 25 LCom, 39 Cpa et 10 de la loi fédérale sur la procédure administrative (PA; RS 172.021) relatifs à la récusation ainsi que des art. 31 Cpa et 8 PA relatifs à la transmission de l'affaire à l'autorité compétente. Vu ce qui précède, les moyens relatifs à la récusation apparaissent dénués de portée, dans la mesure où ils ne peuvent pas être rattachés à un acte attaquable. Il en va de même du grief relatif à la transmission de l'affaire à l'autorité compétente, dès lors que ce moyen vise le défaut de transmission d'un courrier dans lequel l'intéressé évoquait la récusation. En définitive, dans la mesure où l'on doit considérer que le plan de location n'était pas un acte attaquable (cf. supra consid. 3.2), on ne saurait entrer en matière sur les diverses récriminations formulées contre ce plan et la manière dont il a été adopté.
5. Il s'ensuit que le recours en matière de droit public doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens à la commune intimée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 7 p. 119).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de X._.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 10 mars 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener