Faits:
A. R._ s'est marié avec S._ en 2004. Il est arrivé en Suisse en mai 2005. Du 15 novembre au 15 décembre 2005, il a trouvé un emploi temporaire auprès l'entreprise X._ Sàrl et était, à ce titre, assuré contre le risque d'accident par la Caisse nationale suisse en cas d'accidents (CNA).
Le samedi 26 novembre 2005, R._ a fait une chute de la fenêtre de la cuisine située au 4ème étage de l'immeuble où il habitait avec son épouse et le fils de celle-ci, T._. Les secours et la gendarmerie sont arrivés sur les lieux peu de temps après. R._ a été immédiatement transporté au Centre hospitalier Y._ où les médecins ont diagnostiqué un polytraumatisme avec syndrome partiel de la queue de cheval sur fracture burst de L3.
Selon le rapport de police établi le 24 janvier 2006, la centrale avait été alertée vers 15h22 par T._, qui avait indiqué que son beau-père venait de sauter par la fenêtre de la cuisine. Des déclarations de S._ entendue sur place, il ressortait notamment que son mari souffrait de troubles psychiques et qu'il lui arrivait d'avoir des crises (5 en moyenne par semaine), ce qu'elle supportait difficilement; que cet après-midi là, il se trouvait dans la cuisine et qu'ils parlaient fort; qu'elle lui avait proposé de retourner dans son pays pour réfléchir à leur situation; qu'au moment où elle lui avait dit qu'elle allait sortir et qu'elle se dirigeait vers la porte, elle l'avait vu enjamber la fenêtre de la cuisine et sauter dans le vide sans rien dire de spécial. La police a également recueilli la déposition de H._, un ami de T._ présent dans l'appartement le jour même, qui a dit que les parents s'étaient disputés verbalement et qu'il avait entendu la maman crier, au moment où elle s'apprêtait de sortir de l'appartement, «R._ arrête, arrête». Un inspecteur de l'identité judiciaire a relevé une trace de pas, l'avant en direction du vide, sur le rebord extérieur de la fenêtre de la cuisine. Aucune enquête pénale n'a été ouverte à la suite de cet événement.
Le 17 janvier 2006, S._ a été interrogée par un inspecteur de la CNA à son domicile. Elle a déclaré que son mari souffrait de crises d'épilepsie et qu'il avait récemment accepté de voir un médecin. Elle-même venait de faire une fausse couche. Le jour du drame, vers 15h, ils discutaient d'un voyage à l'étranger dans la famille de celui-ci. Elle incitait son mari à y aller pour se ressourcer mais elle ne voulait pas l'accompagner car elle ne se sentait pas encore assez bien après son curetage. R._ se trouvait près de la fenêtre assis sur le congélateur. Il n'avait pas mangé et beaucoup fumé. Elle devait sortir et ils avaient convenu de rediscuter le soir. Alors qu'elle se dirigeait vers la porte de la cuisine pour partir, elle a entendu un bruit sourd et s'est retournée. Son mari avait déjà basculé de la fenêtre. Elle a crié : R._ arrête arrête, mais il était déjà trop tard pour faire quelque chose. Elle a affirmé que lorsqu'elle avait été entendue par la police, elle était sous médicaments et avait signé sa déposition sans la lire, le gendarme lui ayant précisé qu'il avait retranscrit ce qu'elle avait dit. Selon elle, son mari ne s'était pas jeté en bas de la fenêtre.
L'assuré a été entendu par la CNA le 5 décembre 2006. A cette occasion, il a déclaré qu'il était sujet à des malaises et des vertiges depuis son adolescence à la suite de divers chocs reçus à la tête en jouant au foot. Le matin du samedi du 26 novembre 2005, il était sorti pour aller au travail. Il n'avait rien mangé hormis un croissant très tôt le matin et beaucoup fumé. De retour à la maison après midi, sa femme et lui parlaient d'un voyage à l'étranger à Noël. Elle ne voulait pas venir avec lui. Ils parlaient fort. Tout en discutant, il s'était assis sur le rebord de la fenêtre. Il avait un café à côté de lui et était en train de fumer. Il avait d'abord posé ses pieds sur la tablette métallique qui jouxtait le rebord de la fenêtre puis les avaient laissés pendre à l'extérieur. Il avait l'habitude de s'asseoir ainsi pour regarder les matches de foot qui se déroulaient sur le terrain voisin. Après un moment, sa femme lui avait annoncé qu'elle allait sortir en ville. Tandis qu'il s'était redressé pour revenir à l'intérieur de la cuisine, il avait vu comme un voile noir devant ses yeux. Il avait dû basculer en avant alors que sa femme revenait à la cuisine. Selon lui, sa chute était due à un état de faiblesse. Il revenait de trouver un emploi et n'avait aucune raison de se suicider.
Après avoir invité le service de neurochirurgie de Y._ et la Clinique Z._ à répondre à un questionnaire (voir leurs rapports respectifs des 2 mars et 26 mars 2007), la CNA a refusé de prendre en charge l'événement, considérant qu'il s'agissait d'une tentative de suicide (décision du 30 avril 2007, confirmée sur opposition le 22 mai suivant).
B. L'assuré et son assureur-maladie, la KPT/CPT Caisse-maladie SA (ci-après : la CPT), ont tous deux recouru contre la décision sur opposition de la CNA devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois.
Le tribunal cantonal a joint les causes. Par jugement du 3 février 2010, il a admis les recours et annulé la décision litigieuse, en ce sens que la CNA est tenue de prendre en charge les suites de l'événement du 26 novembre 2005.
C. La CNA interjette un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de sa décision sur opposition du 22 mai 2007.
R._ conclut au rejet du recours et sollicite l'assistance judiciaire. La CPT conclut également au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Interjeté par une partie particulièrement atteinte par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation (<ref-law>), le recours, dirigé contre un jugement final (<ref-law>) rendu dans une cause de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), est recevable, dès lors qu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi et que l'on ne se trouve pas dans l'un des cas d'exceptions mentionnés à l'<ref-law>.
2. Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets (arrêt 8C_584/ 2009 du 2 juillet 2010 consid. 4).
3. 3.1 Selon l'<ref-law>, si l'assuré a provoqué intentionnellement l'atteinte à la santé ou le décès, aucune prestation d'assurance n'est allouée, sauf l'indemnité pour frais funéraires. Même s'il est prouvé que l'assuré entendait se mutiler ou se donner la mort, l'art. 37, al. 1, de la loi n'est pas applicable si, au moment où il a agi, l'assuré était, sans faute de sa part, totalement incapable de se comporter raisonnablement, ou si le suicide, la tentative de suicide ou l'automutilation est la conséquence évidente d'un accident couvert par l'assurance (<ref-law>).
3.2 Lorsqu'il y a doute sur le point de savoir si la mort est due à un accident ou à un suicide, il faut se fonder sur la force de l'instinct de conservation de l'être humain et poser comme règle générale la présomption naturelle du caractère involontaire de la mort, ce qui conduit à admettre la thèse de l'accident. Le fait que l'assuré s'est volontairement enlevé la vie ne sera considéré comme prouvé que s'il existe des indices sérieux excluant toute autre explication qui soit conforme aux circonstances. Il convient donc d'examiner dans de tels cas si les circonstances sont suffisamment convaincantes pour que soit renversée la présomption du caractère involontaire de la mort. Lorsque les indices parlant en faveur d'un suicide ne sont pas suffisamment convaincants pour renverser objectivement la présomption qu'il s'est agi d'un accident, c'est à l'assureur-accidents d'en supporter les conséquences (voir arrêt 8C_550/2010 du 6 septembre 2010 consid. 2.3; RAMA 1996 no U 247 p. 172 consid. 2b).
4. La juridiction cantonale a retenu que la version des faits d'une chute de l'assuré à la suite d'un malaise était l'hypothèse la plus vraisemblable, les indices en faveur d'une tentative de suicide n'étant pas suffisamment convaincants pour renverser la présomption d'un accident. En effet, selon les constatations médicales au dossier, l'assuré ne présentait, au moment déterminant, aucune pathologie psychiatrique (état dépressif, psychose ou impulsivité pathologique), les crises psychiques décrites par l'épouse pouvant être attribuées à une épilepsie, un malaise vagal ou une lypothymie. Si R._ se trouvait certes à l'époque dans une situation psychologique difficile, celui-ci n'avait cependant jamais manifesté de tendance suicidaire et avait toujours été constant dans ses affirmations d'un malaise survenu alors qu'il se trouvait sur le rebord de la fenêtre de la cuisine, les pieds tournés vers l'extérieur. En définitive, la thèse de la tentative de suicide prenait uniquement appui sur les premières déclarations de l'épouse, qui étaient sujettes à caution et dont il convenait de s'écarter eu égard à ses déclarations subséquentes. Il y avait également lieu de rejeter l'argumentation subsidiaire de la CNA, d'après laquelle la circonstance de se tenir sur le rebord d'une fenêtre du 4ème étage d'un immeuble constituait une entreprise téméraire, compte tenu de la configuration des lieux (plateau métallique jouxtant un large rebord de la fenêtre au-dessus d'un avant-toit).
5. La recourante reproche aux premiers juges d'avoir procédé à une mauvaise appréciation de preuves. Ils n'auraient pas dû s'écarter des déclarations initiales de S._ auxquelles il fallait accorder la préférence, même si la prénommée avait par la suite soutenu une version des faits différente. Il n'y avait en effet aucun motif de mettre en doute la crédibilité de la première version donnée sous le coup de l'événement, qui était au demeurant corroborée par d'autres indices (en particulier les termes employés par T._ lorsqu'il a alerté la gendarmerie et la trace de pas sur le rebord de la fenêtre). Quant aux allégations de l'assuré, elles étaient peu crédibles : alors qu'il avait signalé aux médecins une amnésie - ses premiers souvenirs remontant à son arrivée à l'hôpital -, il était en mesure, une année plus tard, de faire une description détaillée des circonstances de sa chute. Tous ces éléments plaidaient en faveur d'un acte intentionnel.
6. En l'occurrence, on doit admettre avec la recourante qu'il existe des indices sérieux de nature à renverser la présomption du caractère involontaire de la chute de l'assuré. Sous l'angle médical, bien que les médecins n'aient pas diagnostiqué l'existence d'une affection psychique telle qu'un état dépressif ou psychotique constitué, ils ont tout de même relevé des troubles de la personnalité (rapport du 12 décembre 2005 du service de neurochirurgie de Y._; voir également le rapport du 9 mars 2007 de la Clinique psychiatrique W._, ce qui est d'ailleurs confirmé par l'épouse de l'assuré. Il est également établi que les époux vivaient à l'époque dans une situation difficile tant sur le plan personnel que financier. Le comportement de R._ avait engendré des tensions dans le couple; sa femme venait de faire une fausse couche et l'emploi qu'il avait trouvé était précaire. Mais surtout, le contenu de la déposition de S._ retranscrite dans le rapport de police ne laisse guère place pour une interprétation équivoque du déroulement des faits. Il en ressort que le 26 novembre 2005, le couple s'était disputé et qu'il était question d'une séparation. S._ a déclaré avoir été témoin de la scène et avoir vu son mari enjamber la fenêtre et sauter dans le vide. Par ailleurs, H._ l'a entendue crier «R._ arrête, arrête», termes que la prénommée a admis avoir tenus et qui font penser à un cri d'appel pour empêcher son mari d'accomplir un geste fatal. Enfin, T._, qui n'a rien vu de la scène, a pourtant alerté la gendarmerie en précisant - cette circonstance ne pouvait que lui avoir été rapportée par sa mère - que son beau-père venait de sauter par la fenêtre. Devant ces indications claires et concordantes qui vont toutes dans le même sens, on ne peut que difficilement s'expliquer le revirement complet de l'épouse à l'inspecteur de la CNA, qui ne concerne pas des points de détails mais des faits essentiels. Cette différence ne trouve aucune explication cohérente dans ses déclarations selon lesquelles elle était sous médicaments. En tout état de cause, aucun élément concret ne permet de retenir que lors de sa déposition, ses facultés étaient à ce point amoindries qu'elle n'était pas en mesure de faire des déclarations exactes. Par ailleurs, à aucun moment elle n'a fait valoir que ses propos auraient été faussement retranscrits par l'agent de police qui l'avait interrogée. C'est donc à tort que les premiers juges se sont écartés de la première version des faits de S._ dont on a aucune raison de douter qu'elle ne soit pas conforme à la réalité. Quant aux allégations de l'assuré lui-même, elles n'ont certes pas varié mais apparaissent peu crédibles dans le contexte des événements du 26 novembre 2005.
Il s'ensuit que la recourante était fondée à nier le droit de l'assuré aux prestations d'assurance en application de l'<ref-law>. Le recours se révèle bien fondé.
7. La procédure est onéreuse (<ref-law>). Les intimés, qui succombent, doivent en supporter les frais (<ref-law>). En l'espèce, on se trouve en présence de deux litiges joints opposant, d'une part, l'assuré à la CNA et, d'autre part, la caisse-maladie CPT à la CNA. L'<ref-law>, qui prévoit un émolument réduit en cas de litige entre un assuré et un assureur social portant sur des prestations d'assurance sociale, ne vise pas les litiges entre assureurs auxquels s'applique la règle générale de l'<ref-law> (voir les arrêts 8C_552/2009 du 8 avril 2010 consid. 6 et 9C_799/2007 du 25 avril 2008 consid. 4). Il se justifie par conséquent de fixer les frais judiciaires de l'instance fédérale à 2'000 fr. et de les répartir de la manière suivante : 1'500 fr. à charge de la Caisse-maladie CPT et 500 fr. à la charge de l'assuré.
8. R._ a déposé une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires et à la désignation d'un avocat d'office. Dans la mesure où il ne dispose que de moyens économiques limités - il est au bénéfice d'un revenu d'insertion - et que l'assistance d'un avocat était indiquée, il y a lieu de lui accorder l'assistance judiciaire (<ref-law>). R._ est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal s'il devient ultérieurement en mesure de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois du 3 février 2010 est annulé.
2. L'assistance judiciaire est accordée à R._.
3. Les frais de justice, d'un montant de 2'000 fr., sont mis à la charge par 1'500 à la KPT/CPT Caisse-maladie SA et par 500 fr. à la charge de R._, ce dernier montant étant provisoirement supporté par la caisse du Tribunal fédéral.
4. Les honoraires (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) de Me Ridha Ajmi, avocat d'office, sont fixés à 2'500 fr. pour la procédure fédérale et seront provisoirement supportés par la caisse du tribunal.
5. La cause est renvoyée à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure cantonale.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la KPT/CPT Caisse-maladie SA, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 16 mars 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung von Zwehl