Sachverhalt:
A.
Das Amt für Umwelt des Kantons Thurgau stellte mit Entscheid vom 22. Juli 2013 betreffend "Beanstandung baulicher Gewässerschutz" fest, A._ halte die Vorschriften des Gewässerschutzgesetzes sowie der zugehörigen Ausführungsbestimmungen mindestens seit dem 21. Oktober 2009 nicht ein. Es ordnete diverse Massnahmen und Sofortmassnahmen an und drohte die Ersatzvornahme an; einem allfälligen Rekurs entzog es teilweise die aufschiebende Wirkung.
Am 12. August 2013 erhob A._ gegen diesen Entscheid Rekurs beim Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau und beantragte sinngemäss die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Departement forderte A._ auf, den Rekurs und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu begründen, und wies A._ darauf hin, dass bei ausbleibender Begründung ein Nichteintretensentscheid ergehe. Mit Entscheid vom 14. Oktober 2013 trat das Departement weder auf den Rekurs noch auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ein. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, A._ habe trotz des Hinweises auf die Säumnisfolgen den Rekurs nicht innert angesetzter Nachfrist begründet und auch keine Unterlagen über seine persönlichen und finanziellen Verhältnisse eingereicht.
Mit Schreiben vom 4. November 2013 erhob A._ gegen diesen Nichteintretensentscheid Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und beantragte sinngemäss die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Entscheid vom 22. Januar 2014 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es auf diese eintrat. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies es zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ebenfalls ab.
B.
Mit Eingabe vom 24. Februar 2014 führt A._ gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt in der Hauptsache die Aufhebung der kantonalen Entscheide.
Das Verwaltungsgericht und das Departement für Bau und Umwelt beantragen in ihren Vernehmlassungen die Beschwerdeabweisung. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Es liegt keine Ausnahme im Sinn von <ref-law> vor. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig, womit für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde kein Raum bleibt. Der Beschwerdeführer hat am kantonalen Verfahren teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>).
Nicht einzutreten ist auf den Antrag des Beschwerdeführers, auch den erstinstanzlichen Entscheid aufzuheben. Dieser ist mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht selbstständig anfechtbar, sondern wird mit Blick auf den Devolutiveffekt durch den Entscheid der letzten kantonalen Instanz ersetzt und gilt mit der dagegen gerichteten Beschwerde als mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Departement für Bau und Umwelt sei zu Unrecht nicht auf seinen Rekurs (vgl. E. 2.1) und auf sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (vgl. E. 2.2) eingetreten. Die Vorinstanz habe diesen Nichteintretensentscheid in Verletzung von Bundesrecht geschützt.
2.1. Der Beschwerdeführer brachte in seinem Rekurs vom 12. August 2013 vor, es werde "wieder einmal Amtsmissbrauch, eventuell auch willkürliche Amtsführung betrieben", weil er am Morgen bis 7.00 Uhr im Gefängnis Frauenfeld zurückgehalten und erst nach etlichen Telefongesprächen gehen gelassen worden sei. Mit dem Inhalt des Entscheids des Amts für Umwelt vom 22. Juli 2013 betreffend "Beanstandung baulicher Gewässerschutz" setzte sich der Beschwerdeführer hingegen mit keinem Wort auseinander. Es war deshalb folgerichtig, dass das Departement den Beschwerdeführer vorab zur Rekursbegründung aufforderte und alsdann mangels Reaktion des Beschwerdeführers innert der angesetzten, angemessenen Nachfrist nicht auf den Rekurs eintrat (vgl. § 45 Abs. 1 und § 46 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Thurgau über die Verwaltungsrechtspflege vom 23. Februar 1981 [VRG/TG; RB 170.1]). Das Vorgehen des Departements war somit gesetzeskonform und weder überspitzt formalistisch noch willkürlich. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die kantonalen Behörden gegen Treu und Glauben oder gegen den Grundsatz des fairen Verfahrens verstossen haben sollten.
Ebenso wenig liegt, wie vom Beschwerdeführer vorgebracht, eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes vor. Zwar haben die zuständigen Behörden im Verwaltungsverfahren grundsätzlich von sich aus für die richtige und vollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts zu sorgen. Der Untersuchungsgrundsatz gelangt indes erst zur Anwendung, wenn der Rekurs zumindest den minimalen Begründungsanforderungen genügt, d.h. überhaupt darauf eingetreten werden kann. Dies ist vorliegend gerade nicht der Fall.
Ferner geht aus der Rekursschrift entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers nicht hervor, dass und weshalb er verhindert gewesen sein soll, den Rekurs und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege innert der angesetzten Nachfrist zu begründen.
Die Vorinstanz hat den Nichteintretensentscheid des Departements daher zu Recht geschützt. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
2.2. Der vom Beschwerdeführer angeführte Untersuchungsgrundsatz wird durch die Mitwirkungspflicht der Parteien relativiert. Diese Pflicht trifft die Verfahrensbeteiligten insbesondere dort, wo sie ein Verfahren im eigenen Interesse eingeleitet haben, oder wo es um Tatsachen geht, die eine Partei besser kennt als die Behörden und welche diese ohne deren Mitwirkung gar nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand erheben können. Bei der Prüfung der Mittellosigkeit im Rahmen eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege kommt dem Gesuchsteller eine umfassende Mitwirkungspflicht zu, da die Behörde vollständige Kenntnis der gesamten finanziellen Situation des Gesuchstellers haben muss und hierfür auf dessen Mitwirkung angewiesen ist. Dieser hat seine wirtschaftliche Situation offenzulegen und seine Mittellosigkeit substanziiert darzutun. Verweigert er die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben, so kann die Behörde die Bedürftigkeit ohne Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs (<ref-law>) verneinen (<ref-ruling> E. 3a S. 181 f.; Urteil 9C_84/2011 vom 24. Mai 2011 E. 2.2).
Der Beschwerdeführer reichte im Verfahren vor dem Departement einzig eine Bestätigung des Fürsorgeamts seiner Wohnsitzgemeinde vom 12. August 2013 ein, dass er einen Antrag auf Sozialhilfeunterstützung gestellt hat. Konkrete Angaben zu seiner finanziellen Situation machte er hingegen keine. Mangels tauglichen Nachweises seiner Bedürftigkeit forderte das Departement ihn deshalb zu Recht dazu auf, seine Mittellosigkeit zu dokumentieren. Dieser Aufforderung kam der Beschwerdeführer nicht nach. Er füllte weder das ihm zugestellte amtliche Formular aus, noch reichte er andere Unterlagen ein, welche eine verlässliche Beurteilung seiner finanziellen Verhältnisse erlaubt hätten. Dementsprechend verletzt der Nichteintretensentscheid auch insoweit kein Bundesrecht und wurde von der Vorinstanz zu Recht geschützt.
2.3. Schliesslich ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abgewiesen hat, verletzte der Beschwerdeführer doch, wie dargelegt, seine Mitwirkungspflicht im Rekursverfahren in offensichtlicher und erheblicher Weise.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Da die Beschwerde aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege auch im bundesgerichtlichen Verfahren nicht bewilligt werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Umwelt des Kantons Thurgau, dem Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner