Sachverhalt:
A. X._, geboren 1966, ist Staatsangehöriger der Demokratischen Republik Kongo. Im März 2001 reiste er in die Schweiz ein. Sein Asylgesuch, das er hier stellte, wies das damalige Bundesamt für Flüchtlinge im folgenden Monat ab und ordnete die Wegweisung aus der Schweiz an. X._ erhob Beschwerde an die seinerzeitige Schweizerische Asylrekurskommission. Er zog diese zurück, nachdem er im November 2002 eine Schweizerbürgerin, geboren 1959, geheiratet und vom Kanton Basel-Stadt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau erhalten hatte. Nach einer Ehedauer von rund 13 Monaten gaben die Eheleute den gemeinsamen Haushalt im Dezember 2003 auf. Die Ehe wurde im Oktober 2006 geschieden.
B. Bald nach Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes zog X._ bei einer Schweizerbürgerin ein, die 1956 geboren wurde. Im Hinblick auf die Scheidung und die beabsichtigte Verheiratung mit der Freundin wurde die Aufenthaltsbewilligung mehrfach verlängert (letztmals bis zum 20. November 2008). Die Freundin kam später auf ihre Absicht zurück und trennte sich von X._. Der Beziehung mit einer weiteren Schweizerbürgerin, geboren 1963, entsprang im August 2005 eine Tochter. X._ und die Kindsmutter hatten vor, die Ehe einzugehen. Zum Eheschluss kam es freilich nicht, ebenso wenig wie X._ in gemeinsamem Haushalt mit der Kindsmutter und seiner Tochter lebt. Aufgrund einer Vereinbarung vom Oktober 2005 schuldet der Kindsvater gegenüber seiner Tochter Unterhaltsbeiträge von Fr. 300.-- pro Monat. Aus der Unterhaltsvereinbarung geht kein verbindliches Besuchsrecht hervor. Auf einvernehmlicher Basis übt X._ ein solches jeweils an Sonntagen in Anwesenheit der Kindsmutter aus.
C. Aus anderen Beziehungen in seiner Heimat ist X._ Vater vier weiterer Kinder. Während langer Zeit war er in der Schweiz von der Sozialhilfe abhängig und bezog allein bis Ende März 2009 rund Fr. 65'000.--. Seit März 2011 ist er in einer Unternehmung angestellt, die Sozialhilfeempfänger beschäftigt. X._ leidet an einer Infektion mit dem humanen Immundefizienz-Virus (HIV). Die Krankheit hat das Stadium B erreicht. Aufgrund der antiretroviralen Therapie befindet X._ sich in gutem und stabilem medizinischem Allgemeinzustand.
D. Am 11. Dezember 2008 unterbreitete die Migrationsbehörde des Kantons Basel-Stadt dem Bundesamt für Migration das Gesuch zur erneuten Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 9. Februar 2009 verweigerte das Bundesamt seine Zustimmung. Dagegen gelangte X._ am 12. März 2009 an das Bundesverwaltungsgericht, das die Beschwerde mit Urteil vom 3. April 2012 abwies, soweit darauf einzutreten war.
E. Mit Eingabe vom 7. Mai 2012 an das Bundesgericht erhebt X._ (hiernach: der Beschwerdeführer) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, das angefochtene Urteil vom 3. April 2012 sei aufzuheben und es sei die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, eventualiter sei der Fall zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er beantragt weiter, es sei ihm das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu erteilen, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und die Tochter sei "angemessen anzuhören".
Während die Vorinstanz auf eine Vernehmlassung verzichtet, beantragt das Bundesamt für Migration die Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 11. Mai 2012 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den (End-)Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist an sich gegeben (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. a, 90 BGG i.V.m. Art. 112 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; SR 142.20]). Von diesem Grundsatz bestehen im Bereich des Ausländerrechts verschiedene Ausnahmen. So ist die Beschwerde namentlich unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>).
1.2 Für das Eintreten auf die Sache genügt es in einem solchen Fall, dass die beschwerdeführende ausländische Person durch einen Verwaltungsakt in ihrer Eigenschaft als möglicher Träger des angerufenen Rechtsanspruchs auf Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung berührt ist (Urteil 2C_993/2011 vom 10. Juli 2012 E. 1, zur Publ. bestimmt; <ref-ruling> E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f.; 497 E. 3.3 S. 500 f.). Der behauptete Anspruch ist dabei in vertretbarer Weise geltend zu machen bzw. zu substantiieren (Urteile 2C_940/2012 vom 1. Oktober 2012 E. 2.1; 2C_821/2011 vom 22. Juni 2012 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 2C_459/2011 vom 26. April 2012 E. 1.1, zur Publ. bestimmt; generell zur Geltendmachung von Ansprüchen, die sich aus der EMRK ergeben, <ref-ruling> E. 2.5 S. 315 f.). Zudem muss der potenzielle Rechtsanspruch ernsthaft in Betracht fallen (vgl. Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 1; 2C_942/2010 vom 27. April 2011 E. 1.3; 2C_75/2011 vom 6. April 2011 E. 1.1). Ob die Voraussetzungen des angeblichen Rechtsanspruchs im Einzelnen gegeben sind, ist dann eine Frage der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 287; 305 E. 2.5 S. 315).
1.3 Die Ehe des mittlerweile geschiedenen Beschwerdeführers hat weniger als drei Jahre gedauert (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG). Seiner schweizerischen Tochter gegenüber verfügt er lediglich über ein faktisches Besuchsrecht. In seiner Beschwerde setzt sich der Beschwerdeführer mit <ref-law> höchstens am Rande auseinander. Er bringt - freilich mit Blick auf <ref-law> - vor, er unterliege einem schweren Eintriff in das "Grundrecht auf Familie und Achtung des Familienlebens". Ohne weitere Begründung beruft er sich in der Folge auf Art. 8 EMRK sowie Art. 9, 13, 14 und 29 BV, um schliesslich in den Ausführungen zur Sache auch Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG heranzuziehen. Vor dem Hintergrund der tatsächlichen Verhältnisse vermögen die aufgeworfenen Rechtsgrundlagen nicht ohne Weiteres einen Rechtsanspruch auf Erteilung bzw. Verlängerung der ausländerrechtlichen Aufenthaltsbewilligung als plausibel erscheinen zu lassen. Ob der Beschwerdeführer mithin seinen Pflichten, die ihm im Rahmen der Eintretensfrage obliegen, hinreichend entspricht, ist damit zumindest fraglich. Dies kann letztlich offenbleiben, nachdem sich die Beschwerde in der Sache selbst ohnehin als unbegründet erweist und abzuweisen ist.
2. Streitgegenstand ist die Verweigerung der Zustimmung des Bundesamtes für Migration zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Art. 99 AuG i.V.m. Art. 85 Abs. 1 lit. a und Art. 77 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]).
3. 3.1 Anders als die allgemeine Härtefallbestimmung nach Art. 30 Abs. 1 AuG, die das Erteilen einer Ermessensbewilligung erlaubt, ist der nacheheliche Härtefall gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG als Anspruchsbewilligung ausgestaltet. Hier geht es darum, Härtefälle bei der Bewilligungsverlängerung nach der Auflösung der ehelichen Gemeinschaft abzuwenden (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348; <ref-ruling> E. 5.3 S. 4). Der nacheheliche Härtefall knüpft an den derivativen Anwesenheitsanspruch gemäss Art. 42 Abs. 1 bzw. Art. 43 Abs. 1 AuG an und verschafft bei gegebenen Voraussetzungen einen originären Anspruch auf Anwesenheit. Spricht Art. 50 Abs. 1 AuG von einem Weiterbestehen des Anspruchs nach Art. 42 bzw. 43 AuG, muss der geltend gemachte Härtefall im Zusammenhang mit der Ehe und dem damit verbundenen Aufenthalt stehen. Angesprochen sind "wichtige Gründe", die mit der Lebenssituation nach dem Entfallen der derivativen Anwesenheitsberechtigung (Art. 42, 43 AuG) verbunden sind und einen Bezug zur aufgelösten Ehe haben (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350; 2C_578/2011 vom 1. Dezember 2011 E. 3.2 a.E.; 2C_365/ 2010 vom 22. Juni 2011 E. 3.5; vgl. auch MARC SPESCHA, in: Spescha/ Thür/Zünd/Bolzli [Hrsg.] Migrationsrecht, 3. Aufl., 2012, N. 7 zu Art. 50 AuG).
3.2 Was der Beschwerdeführer unter diesem Titel vorträgt, lässt keinen hinreichenden Konnex zwischen der früheren Ehe und dem sich heute auswirkenden Nachteil erkennen. Lediglich von November 2002 bis Dezember 2003 in Ehegemeinschaft mit seiner Gattin, einer Schweizerbürgerin, lebend, fehlt zwischen der im August 2005 geborenen Tochter aus einer späteren Beziehung und der einstigen ehelichen Gemeinschaft jede Verbindung. Die Vater-Kind-Beziehung, die der Beschwerdeführer als besonders eng beschreibt, vermag unter diesen Umständen von vornherein keinen tauglichen "wichtigen Grund" im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG darzustellen.
3.3 Gleichermassen verhält es sich mit der Integration, die in den Augen des Beschwerdeführers als geglückt erscheint. Er lebe seit über elf Jahren in der Schweiz, beherrsche gleich zwei Amtssprachen, sei strafrechtlich unbescholten und heute in der Lage, "von der Sozialhilfe unabhängig zu existieren". Eine hochgradige Integration dokumentieren die für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz freilich nicht. Nach Aufgabe des gemeinsamen Haushaltes mit seiner Ehefrau beruhte der weitere Aufenthalt in der Schweiz primär darauf, dass der Beschwerdeführer wiederholt Heiratsabsichten mit anderen Schweizerbürgerinnen geäussert hatte. In den letzten dreieinhalb Jahren kam ihm die aufschiebende Wirkung der ergriffenen Rechtsmittel zugute. Trotz ausgedehnter Anwesenheit sind Gründe für eine besondere Verwurzelung in der Schweiz weder erkennbar noch behauptet. Die blosse Aufenthaltsdauer bildet ohnehin kein objektiviertes Kriterium in dem Sinne, dass es für sich allein einen nachehelichen Härtefall zu begründen vermöchte (vgl. z.B. Urteil 2C_66/2012 vom 3. August 2012 E. 3.4: 51-jährige ausländische Person mit bald 30-jährigem Aufenthalt in der Schweiz).
3.4 Ist der Konnex zwischen Ehe und späterem Nachteil eine Voraussetzung des härtefallbedingten originären Aufenthaltsrechts, erweist sich auch die Berufung auf die gesundheitliche Situation des Beschwerdeführers als unbehelflich. Im Übrigen hat sich die Vorinstanz eingehend mit dem Gesundheitszustand des Beschwerdeführers auseinandergesetzt und ausgeführt, auch in der Demokratischen Republik Kongo sei eine Behandlung seines stabilen Zustandes möglich. Die Vorbringen des Beschwerdeführers lassen diese Sachverhaltsfeststellung nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen. Dass der Stand des Gesundheitswesens in seinem Heimatland allenfalls schlechter ist als derjenige in der Schweiz, stellt keinen wichtigen Grund im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG dar und macht die Rückkehr nicht unzumutbar (Urteile 2C_429/2012 vom 17. August 2012 E. 2.2.5; 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 3.3.2; <ref-ruling> E. 5.3 S. 209 f.) Die Beschwerde kann dementsprechend auch unter diesem Aspekt nicht gutgeheissen werden. Selbst wenn man von einem grundsätzlich gegebenen originären Rechtsanspruch auf Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ausgehen wollte, bliebe der langjährigen Sozialhilfebedürftigkeit des Beschwerdeführers Rechnung zu tragen. Allein bis Ende März 2009 - Einreichung der Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht - bezog er netto rund Fr. 65'000.-- an Sozialhilfeleistungen. Ein Widerrufs- bzw. Verweigerungsgrund im Sinne von Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 lit. e AuG erscheint jedenfalls als nicht ausgeschlossen und wäre ernsthaft in Betracht zu ziehen.
4. 4.1 Zu prüfen ist, ob sich die auf Landesrecht gestützte Verweigerung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung als völkerrechtskonform darstellt. Unter den Schutzbereich des Anspruchs auf Achtung des Familienlebens im Sinne von Art. 8 Ziff. 1 EMRK fällt ein ausländischer Elternteil, falls er sich auf eine intakte Beziehung zu seinem Kind in der Schweiz berufen kann. Dies gilt selbst dann, wenn er weder über das Sorge- noch das Obhutsrecht gemäss <ref-law> verfügt (<ref-ruling> E. 1d S. 3 f.). Vorausgesetzt wird, dass das in der Schweiz lebende Kind in eigener Person über ein gefestigtes, originäres Anwesenheitsrecht verfügt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145 f.; <ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Zudem begründet Art. 8 Ziff. 1 EMRK kein absolutes Recht auf Aufenthalt in einem Konventionsstaat in dem Sinn, dass dieser verpflichtet wäre, ausländischen Personen die Einreise, die Erteilung oder Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vorbehaltlos zu gewähren (<ref-ruling> E. 4.1 S. 249; Urteil des EGMR Gezginci gegen Schweiz vom 9. Dezember 2010 [16327/05], § 54 ff.). Vielmehr lässt Art. 8 Ziff. 2 EMRK unter Vorbehalt einer umfassenden Abwägung aller öffentlichen und privaten Interessen durchaus Eingriffe in den Anspruch auf Achtung des Familienlebens zu (<ref-ruling> E. 2.1 S. 147; <ref-ruling> E. 2 S. 6; <ref-ruling> E. 4a S. 24 f.). Entsprechendes gilt mit Blick auf Art. 13 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>. Das Verfassungsrecht verleiht hier keine zusätzlichen Ansprüche (Urteil 2C_141/2012 vom 30. Juli 2012 E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2 S. 218 f.; <ref-ruling> E. 4c/bb S. 433).
4.2 Zur Ausübung des Besuchsrechts gegenüber einem Kind ist nicht zwingend erforderlich, dass der ausländische Elternteil sich dauerhaft im selben Land wie das Kind aufhält. Die Erteilung des Anwesenheitsrechts stellt insofern keine Notwendigkeit dar. Ein Anspruch des besuchsrechtsberechtigten ausländischen Elternteil auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ist bloss anzunehmen, wenn zwischen ihm und seinem hier lebenden Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht besonders enge Beziehungen herrschen. Diese müssten sich, würde die Bewilligung nicht erteilt oder nicht verlängert, wegen der Entfernung zum Land, in welches der ausländische Elternteil vermutlich auszureisen hätte, kaum aufrechterhalten lassen. Vom ausländischen Elternteil ist überdies zu verlangen, dass er sich in der Schweiz tadellos verhalten hat. Nur unter diesen kumulativen Voraussetzungen kann das private Interesse am Verbleib im Land gestützt auf ein Besuchsrecht ausnahmsweise das öffentliche Interesse an einer einschränkenden nationalen Einwanderungspolitik überwiegen (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 251; Urteil des EGMR i.S. Rodrigues da Silva gegen Niederlande vom 31. Januar 2006 [50435/99], Ziff. 42 f., in: EuGRZ 33/2006 S. 562). Die Durchsetzung einer restriktiven Einwanderungspolitik stellt praxisgemäss ein anerkanntes öffentliches Interesse an der Verweigerung einer auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK beruhenden ausländerrechtlichen Bewilligung dar (<ref-ruling> E. 2.1 S. 288; <ref-ruling> E. 2.2 S. 147; <ref-ruling> E. 4b S. 5; 22 E. 4a S. 25).
4.3 Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) verbringen Vater und Tochter einige gemeinsame Stunden pro Woche, dies meist sonntags. Die Vorinstanz geht denn auch von einer intakten und gelebten Beziehung zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Tochter aus. Der Beschwerdeführer beteuert mehrfach seine Bereitschaft, sich in weitergehendem Masse um seine Tochter zu kümmern, was die Kindsmutter aber hintertreibe. Freilich behauptet er nicht, sich ernstlich um die Verbesserung der Situation gekümmert zu haben, wenngleich diese in seinen Augen höchst unbefriedigend zu sein scheint. So wäre es ihm freigestanden, im Rahmen eines kindesrechtlichen Verfahrens die behördliche Regelung des formlos praktizierten Besuchsrechts herbeizuführen. Mit Recht stellt die Vorinstanz fest, die einvernehmlich festgelegte Dauer des wöchentlichen Besuchs falle knapp aus. Die nachgewiesenen Besuche entsprächen "sozusagen dem Mindeststandard, der es dem nicht sorgeberechtigten Elternteil erlaubt, seine Beziehung zum Kind aufrecht erhalten zu können". Vater und Kind hätten nie zusammengewohnt, und der Beschwerdeführer beteilige sich nicht massgeblich an der Betreuung seiner Tochter.
Mit der Vorinstanz ist eine besonders enge affektive Beziehung unter diesen Umständen weder ersichtlich, noch wird sie substanziiert behauptet. Was die wirtschaftliche Beziehung zwischen Vater und Tochter anbelangt, räumt der Beschwerdeführer ein, es handle sich beim Betrag von Fr. 300.-- pro Monat um "keine überdurchschnittliche Leistung". In wenig überzeugender Weise korrigiert er dies im weiteren Verlauf seiner Ausführungen zwar dahingehen, dass es sich dabei um eine "grosszügige Unterstützung" beschreibt. Immerhin führt er hierauf aus, die Zahlungen erfolgten "wenn immer möglich" (Beschwerde, S. 13 Ziff. 13), während er zuvor dargelegt hatte, er überweise den Unterhaltsbeitrag "regelmässig und pünktlich" (Beschwerde, S. 10 Ziff. 7).
4.4 Die vorinstanzliche Würdigung, die gelebte Vater-Tochter-Beziehung könne nicht als in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht besonders enge Beziehung bezeichnet werden, ist von Bundesrechts wegen nicht zu beanstanden. Dem Beschwerdeführer ist es zumutbar, den Kontakt zu seiner hiesigen Tochter mittels Briefen, Telekommunikation oder Reisen in die Schweiz aufrechtzuerhalten. Den Anforderungen von Art. 8 Ziff. 1 EMRK ist Genüge getan, wenn der Beschwerdeführer das Besuchsrecht - unter sachgerechter Anpassung der Modalitäten - vom Ausland her ausüben kann, nachdem die Beziehung zu seiner Tochter in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht nicht als besonders eng gelten kann (vgl. Urteil 2C_737/2012 vom 30. August 2012 E. 2.2.2 mit Hinweisen). In ihre Überlegungen, welche - anders als der Beschwerdeführer glaubt - den Interessen der Tochter durchaus und hinreichend Platz einräumen, schenkt die Vorinstanz insbesondere auch den Interessen der in der Heimat des Beschwerdeführers lebenden Kinder Beachtung. Nach der wiederum für das Bundesgericht verbindlichen Feststellung der Vorinstanz (<ref-law>) steht er zu den Kindern in Kontakt. Zumindest anfänglich scheint er - die Vorinstanz lässt es hier bei einer Vermutung bewenden, wobei diese durch den Beschwerdeführer nicht bestritten wird - die dortigen Kinder mit USD 250.-- pro Monat unterstützt zu haben.
Wenn von der Schweiz aus mit den in der Heimat lebenden Kindern der Kontakt unterhalten werden kann, so gilt Entsprechendes für den umgekehrten Fall. Es bleibt unklar, weshalb es dem Beschwerdeführer verwehrt sein sollte, vom Ausland aus mit seiner Tochter in Kontakt zu bleiben (vgl. Urteil 2A.116/2001 vom 28. Juni 2001 E. 3b). Die Würdigung der Interessen der in der Schweiz lebenden Tochter durch die Vorinstanz ist nicht zu beanstanden. Die behauptete Gehörsverletzung (<ref-law>) geht nicht über appellatorische Kritik am Zustandekommen des vorinstanzlichen Entscheides hinaus. Die Rüge ist schon mangels hinreichender Begründung nicht stichhaltig (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
4.5 Vor diesem Hintergrund ist dem Verfahrensantrag, die Tochter sei von Amtes wegen angemessen anzuhören, keine Folge zu geben. Anders als beispielsweise im Verfahren der Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes oder der Ehescheidung fallen die Interessen der Kinder und ihrer Eltern im ausländerrechtlichen Zusammenhang zusammen. Die Kindsinteressen können nach ständiger Rechtsprechung ausländerrechtlich durch die Eltern oder den Elternteil wahrgenommen werden, der Partei des ausländerrechtlichen Verfahrens ist (u.a. Urteile 2C_323/2010 vom 11. Oktober 2010 E. 2.1; 2C_746/2009 vom 16. Juni 2010 E. 4.1; 2A.615/2005 vom 14. März 2006 E. 4). Ohne Bundesrecht zu verletzen, durfte die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung davon ausgehen, dass die Befragung der heute siebenjährigen Tochter keine wesentlichen neuen Aspekte hervorbringen würde.
5. 5.1 Bundes- (<ref-law>) und Völkerrecht (<ref-law>) werden damit durch den angefochtenen Entscheid nicht verletzt.
5.2 Bei diesem Ausgang sind dem Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Er stellt ein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Prozessführung (<ref-law>). Die Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheides war gestützt auf die einlässliche Begründung des angefochtenen Urteils aussichtslos. Das Gesuch ist dementsprechend abzuweisen. Den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist mit einer reduzierten Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen. Dem Bundesamt für Migration, das obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher