Faits:
A. Par arrêt du 22 janvier 2008, la Cour d'assises du canton de Genève a reconnu X._ coupable de délit manqué de meurtre sur la personne de Y._. Elle lui a infligé une peine privative de liberté de six ans et l'a condamné à payer à Y._ la somme de 15'000 francs avec intérêts à 5 % dès le 14 février 2007, à titre d'indemnité pour tort moral.
B. Statuant le 29 août 2008, la Cour de cassation genevoise a rejeté le pourvoi formé par X._. En substance, cet arrêt repose sur les faits suivants:
Originaire du Kosovo, Y._ travaillait comme ouvrier du bâtiment. Depuis octobre 2000, il vivait en chambre, au 3e étage d'un immeuble situé à la rue Monthoux à Genève. En octobre 2002, X._, requérant d'asile somalien, s'est installé dans la chambre voisine. Les deux locataires utilisaient des locaux communs, à savoir une cuisine, la douche, les WC et le lavabo; les deux pièces n'étaient séparées que par une fine paroi.
Rapidement des disputes verbales sont survenues entre les deux locataires, car X._ ne veillait pas au maintien de la propreté des locaux communs et faisait du bruit la nuit. En novembre 2006, X._, qui n'acceptait pas les remontrances de Y._, a menacé celui-ci avec un couteau. Pour ces faits, il a été condamné à une amende de 600 francs.
Le 4 février 2007, alors qu'il se trouvait devant le lavabo commun, Y._ a vu surgir dans le miroir X._, muni d'un grand couteau. A peine s'était-il retourné qu'il a reçu un violent coup de couteau dans la poitrine. X._ a frappé de haut en bas, transperçant la peau et le cartilage, qui se trouve entre l'artère et le sternum, sectionnant l'artère mammaire interne, puis la plèvre et provoquant plusieurs lésions graves. Avant de s'écrouler, Y._ a vu X._ quitter les lieux en courant et descendre précipitamment les escaliers. Malgré la gravité de ses blessures, il a pu appeler la police avec son téléphone portable. L'intervention médicale rapide lui a sauvé la vie. Cependant, il souffre actuellement encore d'importantes séquelles.
C. Contre l'arrêt cantonal, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il dénonce une application arbitraire du droit de procédure cantonale ainsi que la violation de son droit d'être entendu (défaut de motivation). En outre, il se plaint d'une fausse application des art. 12 al. 2 et 111 CP. Il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière pénale peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente. Il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui. Il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
1.2 Saisi d'un recours en matière pénale, le Tribunal fédéral ne réexamine l'établissement des faits - sous réserve de l'allégation d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> - que lorsqu'il est entaché d'inexactitude manifeste (<ref-law>), à savoir d'arbitraire (<ref-ruling>, consid. 1.4.1). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 6 p. 397).
2. 2.1 Dans son jugement, la cour cantonale a refusé de retenir la circonstance atténuante du repentir sincère en ces termes: «le recourant use d'arguments appellatoires pour substituer son appréciation à celle de l'autorité de jugement ». « (...) le refus d'admettre que le geste financier accompli par le recourant à l'approche du procès pénal et les regrets exprimés constituent un repentir sincère n'apparaît pas comme outrepassant le large pouvoir d'appréciation de l'autorité de jugement, ni, partant, consacrer une violation de l'<ref-law> ».
Dans un premier grief, le recourant dénonce une application arbitraire des art. 340 let. a et 350 du code de procédure pénale genevois (ci-après: CPP/GE) au motif que la cour cantonale aurait limité son pouvoir d'examen à l'arbitraire. Il fait valoir en outre que son argumentation n'était pas appellatoire, car tous les éléments qu'il invoquait (attente après les faits, prise en charge psychiatrique) ressortaient expressément de l'arrêt rendu par la Cour d'assises.
2.2 En procédure cantonale genevoise, les arrêts de la Cour d'assises genevoise peuvent être attaqués par la voie d'un pourvoi auprès de la Cour de cassation genevoise (art. 339 al. 1 let. c CPP/GE). Voie de droit extraordinaire, le pourvoi est ouvert notamment pour violation de la loi pénale, question que la Cour de cassation genevoise examine librement; en revanche, s'agissant des faits, son pouvoir d'appréciation est limité à l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 182).
Pour sa part, le Tribunal fédéral revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal sous l'angle de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 219; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 315 et les arrêts cités). Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'interprétation défendue par la cour cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 148; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 219; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9 et les arrêts cités). En outre, l'annulation de la décision attaquée ne se justifie que si celle-ci est arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3 p. 178), ce qu'il appartient au recourant de démontrer (<ref-ruling> consid. 5 p. 250).
2.3 L'art. 48 let. d CP prévoit que le juge atténue la peine si l'auteur a manifesté par des actes un repentir sincère, notamment s'il a réparé le dommage autant qu'on pouvait l'attendre de lui. Selon la jurisprudence, cette circonstance atténuante n'est réalisée que si l'auteur adopte un comportement particulier, désintéressé et méritoire, qui constitue la preuve concrète d'un repentir sincère. L'auteur doit agir de son propre mouvement dans un esprit de repentir, et non pas en fonction de considérations tactiques liées à la procédure pénale. Le délinquant doit faire la preuve de son repentir en tentant, au prix de sacrifices, de réparer le tort qu'il a causé (<ref-ruling> consid. 1 et les références citées).
2.4 En l'espèce, le recourant a versé une somme de 3'700 francs à la partie civile juste avant le procès pénal. Les premiers juges ont toutefois jugé que le versement de cette somme d'argent n'était pas la preuve concrète d'un repentir sincère, compte tenu du fait que le recourant avait tenté de faire porter à la partie civile la responsabilité des événements (arrêt attaqué p. 9).
Savoir si le geste du recourant dénote un esprit de repentir ou repose sur des considérations tactiques est une question d'appréciation des faits. La cour cantonale, dont le pouvoir d'appréciation est sur ce point limité à l'arbitraire, pouvait dans cette mesure restreindre son examen. Elle n'a ainsi nullement appliqué de manière arbitraire le droit de procédure cantonale. De sa motivation, certes maladroite, on peut aisément comprendre qu'elle a considéré, ce qui n'est pas critiquable, que les éléments invoqués par le recourant ne permettaient pas une autre appréciation du geste du recourant dans le cadre restreint de son examen. Mal fondés, les griefs soulevés doivent être rejetés.
3. Se fondant sur son droit d'être entendu, le recourant reproche ensuite à la cour cantonale de ne pas s'être prononcée sur plusieurs griefs relatifs à la réalisation du dol éventuel.
3.1 Le droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., impose au juge l'obligation de motiver ses décisions afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Pour satisfaire cette exigence, il suffit que le juge mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision. Il n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 148; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 2b p. 102). Cette garantie tend à assurer une décision compréhensible pour son destinataire (CORBOZ, La motivation de la peine, RJB 131 (1995), p. 1 ss, spéc. p. 5).
3.2 En l'espèce, la cour cantonale a rappelé d'abord les principes applicables en matière de dol éventuel. Elle a ensuite exposé les éléments retenus par les premiers juges en tant que révélateurs du contenu de la conscience et de la volonté, à savoir le climat conflictuel, la dimension du poignard que l'accusé s'était procuré dans ce but, la violence du coup porté à la victime, ainsi que la manière de donner le coup dans la poitrine de haut en bas; elle en a conclu que ceux-ci permettaient de considérer que le recourant avait envisagé et accepté la mort de sa victime. Cette motivation est amplement suffisante et la cour cantonale n'avait pas nécessairement à se prononcer sur tous les arguments du recourant. Le grief tiré du défaut de motivation doit donc être rejeté.
4. Le recourant soutient enfin qu'il ne voulait que blesser sa victime. Il conteste avoir envisagé et accepté que l'intimé ait pu être mortellement atteint.
4.1 L'<ref-law> punit d'une peine privative de liberté de cinq ans au moins celui qui aura intentionnellement tué une personne. Selon l'<ref-law>, agit intentionnellement quiconque commet un crime ou un délit avec conscience et volonté. L'auteur agit déjà intentionnellement lorsqu'il tient pour possible la réalisation de l'infraction et l'accepte au cas où celle-ci se produirait.
4.2 Déterminer ce qu'une personne a su, envisagé, voulu ou accepté relève des constatations de faits, qui lient la Cour de droit pénal, à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte (cf. supra consid. 1). Est en revanche une question de droit, celle de savoir si l'autorité cantonale s'est fondée sur une juste conception du dol éventuel et si elle l'a correctement appliquée au vu des éléments retenus (<ref-ruling> consid. 3c p. 252 e arrêts cités; MARTIN SCHUBARTH, Nichtigkeitsbeschwerde - Staatsrechtliche Beschwerde - Einheitsbeschwerde, PJA 1992 p. 849 ss, spéc. 851 s.). Parmi les éléments extérieurs permettant de conclure que l'auteur s'est accommodé du résultat dommageable pour le cas où il se produirait figurent notamment la probabilité (connue par l'auteur) de la réalisation du risque et l'importance de la violation du devoir de prudence. Plus celles-ci sont grandes, plus sera fondée la conclusion que l'auteur, malgré d'éventuelles dénégations, avait accepté l'éventualité de la réalisation du résultat dommageable (<ref-ruling> consid. 3c in fine p. 252; <ref-ruling> consid. 3a/aa p. 253; <ref-ruling> consid. 5a p. 3). Peuvent également constituer des éléments extérieurs révélateurs les mobiles de l'auteur et la manière dont il a agi (<ref-ruling> consid. 3c in fine p. 252).
4.3 En l'espèce, le recourant a frappé la victime avec un couteau d'une longueur de 15,5 cm et d'une largeur de 2,5 cm dans la poitrine, à savoir dans une région où se trouvent le coeur et les poumons. En outre, son coup de couteau était d'une rare violence puisqu'il a transpercé la peau et le cartilage qui se trouve entre le sternum et les côtes, a sectionné l'artère mammaire puis la plèvre, le diaphragme et le foie. Avec un tel coup, porté dans le thorax, au moyen d'un couteau de cette dimension, la mort de l'intimé ne pouvait apparaître que comme très vraisemblable. En définitive, si la victime a pu être sauvée, ce n'est que grâce à une intervention médicale rapide et efficace, à savoir des circonstances indépendantes de la volonté du recourant. Dans ces conditions, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en considérant que le recourant ne pouvait qu'envisager les suites mortelles de son coup de couteau et qu'il s'en est accommodé. Mal fondé, le grief de violation de l'<ref-law> doit être rejeté, ce qui entraîne le rejet du recours.
5. Comme les conclusions du recourant étaient d'emblée vouées à l'échec, celui-ci doit être débouté de sa demande d'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 et 2 LTF) et supporter les frais de justice (art. 65 et 66 al. 1 LTF), réduits à 800 fr. compte tenu de sa situation financière actuelle.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 francs, sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de cassation du canton de Genève.
Lausanne, le 5 novembre 2008
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Schneider Kistler Vianin