Fatti:
A.
A.a. P._ ha lavorato alle dipendenze dello Stato del Cantone Ticino, da ultimo in qualità di docente a orario completo con sede di servizio presso la Scuola X._.
A.b. A seguito di diverse lamentele giunte da più parti alla direzione della scuola relative a presunti comportamenti scorretti o inadeguati, P._ nel maggio 2010 è stato convocato per un incontro chiarificatore, in occasione del quale sono state discusse le diverse situazioni problematiche che vedevano coinvolto il docente. Visto il per-durare della situazione caratterizzata da un comportamento contrario agli obiettivi della scuola e inadeguato al ruolo di docente, nel novembre dello stesso anno si è tenuto un ulteriore colloquio nel cui corso all'interessato è stata segnalata l'intenzione dello Stato di scogliere il rapporto di lavoro. Nel contempo, egli è stato esonerato con effetto immediato da ogni prestazione lavorativa.
A.c. P._ si è rivolto alla Commissione conciliativa per il personale dello Stato. Preso atto dell'esito negativo della ricerca di eventuali posti disponibili e compatibili con le caratteristiche professionali dell'istante da parte della Sezione delle risorse umane del Dipartimento delle finanze e dell'economia, la Commissione nel marzo 2011 ha dichiarato fallito il tentativo di conciliazione.
A.d. Nel frattempo, il Consiglio di Stato con decisione 22 febbraio 2011 aveva disdetto il rapporto di impiego di P._ con effetto 31 agosto 2011.
B.
B.a. L'interessato ha impugnato questa decisione dinanzi al Tribunale cantonale amministrativo, chiedendone l'annullamento, in primo luogo poiché la stessa sarebbe stata emanata quando la procedura di conciliazione era ancora in corso.
B.b. Prima ancora di presentare una risposta al gravame, il Consiglio di Stato il 22 marzo 2011 ha revocato la sua precedente decisione, emanandone una nuova, di identico contenuto se non per il termine di disdetta, prorogato al 30 settembre 2011.
B.c. L'interessato ha deferito anche questa risoluzione al Tribunale cantonale amministrativo al quale ha chiesto di annullarla. In particolare ha censurato la violazione del suo diritto di essere sentito per non aver potuto partecipare all'assunzione delle prove da parte della direzione della Scuola X._. Egli ha poi rimproverato all'amministrazione di aver sciolto il rapporto di impiego senza approfondire la fondatezza degli addebiti mossi nei suoi confronti e posti a fondamento del licenziamento, ignorando le sue precarie condizioni psichiche e organiche che lo avrebbero portato ad assumere atteggiamenti poco consoni alla sua funzione di docente.
B.d. La Corte cantonale ha indetto un'udienza pubblica che si è tenuta il 30 marzo 2012 alla presenza delle parti. Confermando in sostanza l'operato del Consiglio di Stato, i primi giudici per pronuncia del 22 marzo 2013 hanno respinto i due gravami dell'interessato, di cui il primo nella misura in cui non era divenuto privo di oggetto.
C.
C.a. Patrocinato dallo Studio di consulenza legale Zoppi-Agustoni, P._ ha presentato ricorso al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, chiede l'annullamento del giudizio cantonale e delle risoluzioni governative del 22 febbraio e del 22 marzo 2011 con contestuale rinvio degli atti alla precedente istanza perché statuisca di nuovo sul merito delle censure sollevate e sul diritto a un'indennità di fine rapporto d'impiego. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
C.b. Il Consiglio di Stato, protestate spese e tasse, propone la reiezione del gravame, mentre il Tribunale cantonale amministrativo si riconferma nelle conclusioni del suo giudizio.
C.c. Con atto dell'11 luglio 2013 P._ ribadisce le richieste ricorsuali.

Diritto:
1.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con pieno potere di esame la sua competenza (<ref-law>), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 117).
1.1. Giusta l'art. 83 lett. g LTF, nei rapporti di lavoro di diritto pubblico, nella misura in cui, come nel caso di specie, non è in discussione la questione della parità dei sessi, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni che concernono una controversia di natura non patrimoniale. La vertenza sottoposta al giudizio dell'autorità cantonale non verte sul versamento di una somma in denaro ma sull'annullamento di una decisione di destituzione. In tale misura, si può ritenere che la contestazione sia di natura pecuniaria e che non si applichi il motivo di esclusione dell'art. 83 lett. g LTF (cfr. sentenza 8C_448/2012 del 17 gennaio 2013 consid. 1.1 non pubblicato in <ref-ruling>).
1.2. Perché il ricorso sia ammissibile occorre ancora, di massima, che il valore litigioso raggiunga i fr. 15'000.- (<ref-law>). Dato che la contestazione verte potenzialmente sul salario di diversi mesi o anni, il valore litigioso supera ampiamente l'importo minimo dell'<ref-law>.
1.3. Il ricorrente è inoltre legittimato ad agire in virtù dell'<ref-law>. Infine, presentato tempestivamente e nelle forme richieste contro una decisione finale di un'autorità cantonale di ultima istanza non suscettibile di ricorso al Tribunale amministrativo federale, il ricorso adempie complessivamente le esigenze degli art. 42, 86 cpv. 1 lett. d, 90 e 100 cpv. 1 LTF.
2.
2.1. Il ricorso in materia di diritto pubblico (<ref-law>) può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Pur applicando d'ufficio il diritto (<ref-law>), tenuto conto dell'esigenza di motivazione posta dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il Tribunale federale esamina solamente le censure sollevate (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 550), mentre non è tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se queste ultime non sono presentate in sede federale (<ref-ruling> consid. 1.4.1 pag. 254). Il diritto federale ai sensi dell'<ref-law> include i diritti costituzionali. Per contro la violazione del diritto cantonale - ad eccezione delle lettere c e d che però non sono di rilievo nella fattispecie - non costituisce motivo di ricorso. Tuttavia è possibile fare valere che l'errata applicazione del diritto cantonale costituisce una violazione del diritto federale - in particolare perché arbitraria ai sensi dell'<ref-law> - o di una disposizione direttamente applicabile del diritto internazionale. Per quanto concerne invece l'accertamento dei fatti determinanti ad opera dell'autorità di ricorso cantonale, esso può essere censurato unicamente se è avvenuto in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (<ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62), oppure in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-law>).
2.2. Secondo giurisprudenza, l'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura preferibile a quella contestata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità. Ciò che spetta al ricorrente dimostrare (<ref-ruling> consid. 1.3 pag. 4 seg.; <ref-ruling> consid. 3.1 pag. 265 seg.; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 211 con rinvii). Per quanto concerne più in particolare l'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti, il giudice incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 9).
3.
Nella pronuncia del 22 marzo 2013 il Tribunale cantonale amministrativo ha esaurientemente esposto i motivi che l'hanno indotto a ritenere ragionevolmente inesigibile la continuazione del rapporto d'impiego dell'interessato ai sensi dell'art. 60 cpv. 3 della Legge cantonale sull'ordinamento degli impiegati dello Stato e dei docenti (LORD). I primi giudici hanno poi spiegato che un'altra funzione adeguata non era disponibile nell'ambito dei posti vacanti. A tale dettagliata esposizione può essere fatto riferimento.
4.
Il ricorrente critica il giudizio cantonale per diversi aspetti.
4.1. L'interessato lamenta in primo luogo una violazione del principio di celerità. Egli tuttavia non indica i motivi per i quali la durata di circa due anni della procedura di ricorso al Tribunale cantonale amministrativo sarebbe contraria al diritto federale o altrimenti lesiva dei suoi diritti costituzionali. Nella misura in cui viene denunciata una situazione di ritardata giustizia, occorre ricordare al ricorrente che la censura di violazione dell'<ref-law> è limitata ai casi in cui un'autorità rimane tacitamente o espressamente inattiva (sentenza 1C_433/2008 del 16 marzo 2009 consid. 1.4). Nell'evenienza concreta, esiste comunque una decisione impugnabile dei primi giudici. Spetterebbe al ricorrente dimostrare perché la lunga durata della procedura ricorsuale cantonale comporti l'annullamento della pronuncia di primo grado. Sennonché il presente ricorso non soddisfa la predetta esigenza. Né sono ravvisabili indizi in tal senso.
4.2. Il ricorrente si aggrava inoltre di una lesione del diritto di essere sentito. Egli omette però di esporre in che misura l'istanza precedente avrebbe disatteso il suo diritto di esaminare le prove assunte. Dall'inserto emerge piuttosto che l'interessato ha potuto esprimersi sul risultato dell'assunzione delle prove, facendo abbondantemente uso di questa possibilità.
4.3. Ai primi giudici non può poi nemmeno essere rimproverato un accertamento dei fatti manifestamente inesatto, incompleto o comunque contrario al diritto. In particolare, l'interessato non spiega perché e in quale misura l'assunzione di ulteriori prove avrebbe portato l'autorità di ricorso cantonale a un risultato diverso.
4.4. Nel suo complesso, la disdetta pronunciata dal Consiglio di Stato risulta quindi conforme al diritto federale. Il licenziamento non si basa su un'applicazione o un'interpretazione arbitraria dell'art. 60 cpv. 3 LORD. Nel ricorso, l'insorgente omette di dimostrare in che modo le censure da lui sollevate lascino apparire la disdetta del rapporto d'im-piego come arbitraria nel suo risultato. Sulla base dei fatti accertati la stessa appare piuttosto comprensibile e giustificata da motivi plausibili. Né si può affermare che la disdetta sia lesiva di un principio giuridico incontestato o risulti manifestamente insostenibile. Al riguardo giova ribadire che non è ravvisabile arbitrio già nella possibilità che anche un'altra soluzione sembri eventualmente sostenibile o addirittura preferibile (v. sopra, consid. 2.2).
4.5. Infine, nella misura in cui il ricorrente censura una violazione del principio della proporzionalità, dev'essergli ricordato che nell'ambito della presente procedura tale principio non ha portata autonoma. Secondo la giurisprudenza, infatti, a prescindere dalle restrizioni dei diritti fondamentali (<ref-law>), il Tribunale federale sanziona una violazione del principio di proporzionalità solo se il provvedimento di diritto cantonale è manifestamente sproporzionato e lede simultaneamente il divieto dell'arbitrio (<ref-ruling> consid. 4 pag. 156). Ipotesi che, come s'è visto, non si avvera in concreto.
5.
Per quanto concerne la questione dell'indennità di fine rapporto d'impiego, si osserva che l'istanza precedente non ha ancora statuito al riguardo. Come indicato nella querelata pronuncia, il tema sarà oggetto di separato giudizio, suscettibile anch'esso d'impugnazione davanti al Tribunale federale qualora sia raggiunto il valore litigioso di cui all'<ref-law>. Nella misura in cui l'insorgente chiede il rinvio degli atti alla Corte cantonale perché statuisca su detto punto, il gravame si rivela quindi privo di oggetto.
6.
Ne segue che il ricorso, in larga misura di natura meramente appellatoria, dev'essere respinto nella misura in cui non è privo di oggetto. Le spese seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico del ricorrente (<ref-law>). Nessun diritto a ripetibili può per contro essere riconosciuto al Consiglio di Stato (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui non è privo di oggetto, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 3000.- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Comunicazione alle parti e al Tribunale cantonale amministrativo.