Faits:
A.
Le 26 octobre 2009, le Tribunal de première instance du canton de Genève, statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale, a autorisé les époux X_ à vivre séparés et a attribué la jouissance exclusive du domicile conjugal à l'épouse, B.X._. Par arrêt du 18 juin 2010, la Chambre civile de la Cour de justice de la République et canton de Genève a décidé que l'époux, A.X._, devait supporter seul la charge hypothécaire, ainsi que les frais d'entretien de la villa, sous réserve des frais d'entretien courant. Le divorce a été prononcé par jugement du 7 septembre 2011, mais la liquidation du régime matrimonial, le sort des avoirs de prévoyance professionnelle, ainsi que la fixation de la contribution d'entretien ont été réservés à un stade ultérieur de la procédure.
En décembre 2011, la société Z._ SA a procédé au remplacement de la chaudière de la villa pour un montant de 22'600 fr. 05, selon un devis du 5 décembre 2011 sur lequel figure à l'emplacement de la signature du client "C.X._, A.X._". Par courrier du 27 février 2012, B.X._ a demandé à son ex-mari de prendre en charge le paiement de ces travaux. Surpris de ne pas avoir été consulté préalablement, A.X._ a contacté l'entreprise en question, recevant de leur part une copie du devis, ainsi qu'une note manuscrite du 10 décembre 2011 de D._ indiquant que "Monsieur A.X._" avait signé le devis pour accord. A.X._ a refusé le 13 mars 2012 de payer les travaux, contestant notamment leur caractère urgent et immédiat.
B.
Le 23 mars 2012, A.X._ a porté plainte contre son ex-épouse, B.X._, ainsi que contre toute autre personne, du chef de faux dans les titres. Il lui reprochait d'avoir imité sa signature ou d'avoir donné instruction à une autre personne de le faire, afin de commander des travaux qu'il n'avait pas autorisés.
Entendue le 7 mai 2012 en tant que prévenue, B.X._ a expliqué que la chaudière de la villa avait explosé de sorte qu'une intervention rapide était nécessaire. Ne parvenant pas à joindre son ex-époux et elle-même se trouvant à l'étranger, elle avait demandé à leur ancien jardinier, D._, de faire établir trois devis pour le changement de la chaudière, puis de les transmettre à son fils, C.X._. Ce dernier, ne parvenant pas non plus à joindre son père, avait opté pour le devis le moins cher, l'avait signé et faxé à D._ qui s'était ensuite chargé de le transmettre à l'entreprise pour effectuer les travaux.
Le Ministère public de la République et canton de Genève a décidé, par ordonnance du 23 mai 2012, de ne pas entrer en matière sur la plainte pénale, au motif que le devis litigieux avait été signé par le fils du plaignant, de sorte que la prévenue ne pouvait être poursuivie pour cet acte. Quant à C.X._, il n'avait pas eu la volonté d'imiter la signature de son père, le nom mentionné sur le devis n'apparaissant pas comme une imitation de celle-ci.
C.
Dans le cadre de l'instruction du recours interjeté par le plaignant contre cette ordonnance, a en particulier été invité à se déterminer C.X._, qui a souligné qu'une intervention rapide s'imposait en raison de la température hivernale qui aurait pu entraîner des dégâts considérables en raison du gel. Par arrêt du 4 septembre 2012, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours de A.X._.
D.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt cantonal, de renvoyer la cause au Ministère public, principalement, pour ouvrir une instruction pénale visant notamment à mettre en prévention B.X._ ou toute autre personne ayant participé aux faits dénoncés ou, subsidiairement, pour ouvrir et compléter l'instruction en entendant notamment C.X._, D._ et A.X._. Il invoque une violation de l'<ref-law>, soutenant que les conditions de l'<ref-law> sont réalisées, en particulier l'élément subjectif de l'infraction.
Le Ministère public a indiqué qu'il n'avait pas d'observations. Quant à la Chambre pénale de recours, elle a précisé le 25 octobre 2012 que le recourant n'avait pas rendu vraisemblable une intention délictueuse de la part de son ex-épouse, ni de son fils et que la signature du devis avait probablement permis d'éviter l'apparition de dommages importants. Enfin, elle a souligné que A.X._ ne paraissait pas avoir payé la réparation. Dans ses observations complémentaires du 26 novembre 2012, le recourant a soutenu qu'il appartenait au Ministère public d'instruire sur la question du conflit familial qui était, selon lui, la cause de l'infraction. Il a reconnu n'avoir pas payé la facture, mais a affirmé que l'absence de préjudice n'était pas déterminante. Enfin, il a contesté qu'un état de nécessité ait pu légitimer l'acte reproché. Quant à l'intimée, elle a expliqué dans une détermination spontanée que la chaudière n'était plus conforme aux normes et qu'elle était intervenue afin d'éviter que des dégâts plus considérables ne surviennent.

Considérant en droit:
1.
L'arrêt attaqué confirme la décision de non-entrée en matière dans une procédure pénale. Rendu en matière pénale (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>), il met fin à ladite procédure (<ref-law>). Partant, il peut faire l'objet d'un recours en matière pénale selon les <ref-law>.
Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions, celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Lorsque le recours est dirigé contre une décision de non-entrée en matière ou de classement de l'action pénale, il n'est pas nécessaire que la partie plaignante ait déjà pris des conclusions civiles. En revanche, elle doit expliquer dans son mémoire quelles prétentions civiles elle entend faire valoir contre l'intimé à moins que, compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée, l'on puisse déduire directement et sans ambiguïté quelles prétentions civiles pourraient être élevées et en quoi la décision attaquée pourrait influencer négativement leur jugement (<ref-ruling> consid. 3 p. 87 s. et les références citées).
En l'espèce, le recourant soutient dans son mémoire de recours qu'il entend exiger de l'auteur du faux dans les titres le paiement des frais des travaux litigieux qui lui ont été indûment facturés. En revanche, dans ses observations du 26 novembre 2012, il indique qu'il n'a effectivement pas supporté la dépense engagée par son ex-épouse. Dès lors, on ne voit pas quelles sont les prétentions civiles susceptibles d'être invoquées par le recourant, ni en quoi la décision de non-entrée en matière du Ministère public pourrait influencer négativement un jugement sur ce point.
La question de la qualité pour agir du recourant peut toutefois demeurer indécise, vu l'issue du recours.
2.
Le recourant voit une violation de l'<ref-law> dans la décision de la Chambre pénale de recours de ne pas entrer en matière sur sa plainte. A le suivre, il n'est pas possible de conclure en l'espèce à l'absence manifeste de réalisation des éléments constitutifs de l'<ref-law>, en particulier de l'élément subjectif de l'infraction.
2.1. Selon l'<ref-law>, le ministère public rend immédiatement une ordonnance de non-entrée en matière s'il ressort de la dénonciation ou du rapport de police que les éléments constitutifs de l'infraction ou les conditions à l'ouverture de l'action pénale ne sont manifestement pas réunis (let. a). Il peut faire de même en cas d'empêchement de procéder (let. b) ou en application de l'<ref-law> (let. c). Le ministère public doit ainsi être certain que les faits ne sont pas punissables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 287 et les références citées).
Le principe "in dubio pro duriore" découle du principe de la légalité (art. 5 al. 1 Cst. et 2 al. 2 CPP en relation avec les art. 319 al. 1 et 324 CPP; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 91). Il signifie, qu'en principe, un classement ou une non-entrée en matière ne peuvent être prononcés par le ministère public que lorsqu'il apparaît clairement que les faits ne sont pas punissables ou que les conditions de la poursuite pénale ne sont pas remplies. Le ministère public et l'autorité de recours disposent, dans ce cadre, d'un pouvoir d'appréciation que le Tribunal fédéral revoit avec retenue. La procédure doit se poursuivre lorsqu'une condamnation apparaît plus vraisemblable qu'un acquittement ou lorsque les probabilités d'acquittement et de condamnation apparaissent équivalentes, en particulier en présence d'une infraction grave (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 91; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 288). Une non-entrée en matière s'impose lorsque le litige est de nature purement civile (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 287). L'<ref-law> permet également au ministère public de rendre une ordonnance de non-entrée en matière lorsque les éléments constitutifs de l'infraction ne sont manifestement pas réunis.
2.2. La Chambre pénale de recours a rappelé que l'infraction de faux dans les titres est réalisée lorsqu'une personne signe un titre comme représentant d'autrui alors qu'elle n'a pas le pouvoir de s'exprimer en son nom (<ref-ruling> consid 2b p. 19). Le fils du recourant a accepté une offre et a ainsi donné naissance à un droit, ce qui est suffisant en terme de soupçon d'infraction. En revanche, l'autorité précédente a indiqué que l'infraction de faux dans les titres exige un dessein spécial qui peut se présenter sous deux formes alternatives, à savoir le dessein de nuire ou l'obtention d'un avantage illicite. En l'occurrence, la cour cantonale a spécifié que le recourant s'était contenté de dire que son fils avait agi sur l'initiative de sa mère afin de porter atteinte à ses intérêts pécuniaires. Mais il n'avait à aucun moment dans ses écritures mis en exergue de précédents litiges avec son fils, ni de véritables raisons ayant pu pousser ce dernier à faire croire à son père que la chaudière était en panne ou à choisir le devis le plus onéreux. Il en va de même pour l'intimée, le recourant n'étant pas parvenu à démontrer en quoi cette dernière aurait pu vouloir porter atteinte à son ex-époux ou se procurer un avantage illicite. Au contraire, la Chambre pénale de recours a souligné que l'épouse avait agi conformément aux intérêts présumés du recourant.
Pour sa part, le recourant estime que le comportement des intimés tombe sous le coup de l'<ref-law>. Il relève que l'autorité précédente a admis que les éléments objectifs de l'infraction étaient réalisés. Quant à la réalisation de l'élément subjectif, il soutient qu'il a largement fait état dans ses écritures des rapports conflictuels qu'il entretient avec son fils, ainsi qu'avec son ex-épouse. Au demeurant, seule une enquête pénale aurait permis d'établir l'implication et la volonté des personnes visées par la plainte, ainsi que de déterminer si le remplacement de la chaudière était nécessaire. En conclusion, le recourant soutient que le Ministère public ne pouvait, sans violer l'art. 310 al. 1 lit. a CPP, refuser d'entrer en matière sur la plainte pénale.
2.3. En l'espèce, les intimés ne se sont pas rendus coupables de faux dans les titres, car la volonté de nuire leur faisait manifestement défaut. En effet, le dessein spécial n'est ici pas réalisé, tant pour le fils du recourant qui a signé l'offre, que pour sa mère. Le recourant n'est pas parvenu à démontrer que son ex-épouse ou son fils aurait pu avoir la volonté de lui nuire au point de commander des travaux qui n'étaient pas nécessaires. Il se contente de faire référence aux rapports extrêmement conflictuels qu'il entretient avec l'intimée pour soutenir qu'il demeure convaincu que son fils et son ex-femme tentaient de porter atteinte à ses intérêts pécuniaires. Une conviction personnelle ne suffit pas à étayer les dires du recourant alors que rien au dossier ne permet de conclure que les intimés auraient inventé la panne de la chaudière. Cela supposerait en effet que la société Z._ SA aurait procédé au remplacement d'une chaudière en parfait état de marche, ce que le recourant n'allègue pas. Le recourant ne prétend pas non plus que son fils aurait choisi le devis le plus onéreux afin de lui porter préjudice. Au contraire, tout porte à croire que les deux intimés ont agi conformément aux intérêts du recourant, propriétaire de la maison, en lui évitant le risque de dommages considérables. Le recourant l'admet lui-même, lorsque dans son écriture du 27 juin 2012 à l'autorité cantonale, il précise que s'il avait été avisé d'un défaut aussi conséquent que celui allégué par son ex-épouse et son fils, il n'aurait pas manqué d'ordonner immédiatement les travaux de réparation nécessaires. Quoi qu'il en soit la question de la nécessité des travaux ou du montant du devis est à l'évidence une contestation civile.
En estimant que l'infraction de faux dans les titres ne peut être retenue à l'encontre des intimés, la Chambre pénale de recours n'a pas mésusé du pouvoir d'appréciation qui était le sien; une non-entrée en matière ne viole ainsi pas l'<ref-law>. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté.
3.
Au vu de l'issue de la procédure, les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant qui succombe (<ref-law>). Les intimés ont procédé sans avocat et ne prétendent pas, ni n'établissent que le litige leur aurait occasionné d'autres frais indispensables, si bien qu'ils ne peuvent prétendre à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 2 septembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf