Sachverhalt:
A. Die am xxxx 1949 geborene X._ war wegen schizoaffektiver Störungen vom 27. Oktober 2010 bis 26. November 2010 und vom 24. Mai 2011 bis 28. Juni 2011 bereits zum 27. bzw. zum 28. Mal in der psychiatrischen Klinik A._ untergebracht worden. Nachdem sich ihre psychische Situation kurz nach dem Austritt aus der Klinik per Ende Juni 2011 erneut verschlechtert hatte, sie psychotisch und logorrhoisch geworden war und ihr Sohn gar befürchtet hatte, seine Mutter werde davonlaufen, verfügte der Amtsarzt Z._ am 19. Juli 2011 die erneute Einweisung von X._ im Rahmen fürsorgerischer Freiheitsentziehung in die Psychiatrische Klinik A._.
B. Mit Fax vom 29. Juli 2011 liess X._ durch Rechtsanwalt Y._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau um sofortige Entlassung aus der Klinik ersuchen. Das Verwaltungsgericht hörte die nunmehr durch Rechtsanwalt Adriano Marti verbeiständete X._ anlässlich der Verhandlung vom 9. August 2011 an. Mit Urteil vom gleichen Tag hiess es die Beschwerde teilweise gut und verfügte die sofortige Entlassung von X._ (1). Das Verwaltungsgericht überband die Kosten des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens von Fr. 945.-- zur Hälfte (Fr. 472.50) X._ (2) und wies die Obergerichtskasse an, ihr die vor Verwaltungsgericht entstandenen Parteikosten von Fr. 2'542.-- zur Hälfte, d.h. um Umfang von Fr. 1'271.-- zu ersetzen (3). Dabei ging es davon aus, die fürsorgerische Freiheitsentziehung sei bis zum 5. August 2011 gerechtfertigt gewesen, weshalb nur eine teilweise Gutheissung der Beschwerde angenommen werden könne.
C. X._ (Beschwerdeführerin) hat am 24. Oktober 2011 (Postaufgabe) gegen das ihrem Rechtsbeistand am 23. September 2011 in voller Ausfertigung zugestellte Urteil des Verwaltungsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, das angefochtene Urteil sei bezüglich der getroffenen Kosten- und Entschädigungsregelung in Ziff. 1 bis 3 aufzuheben; ferner sei ihr der Aufwand dem Ausgang des Verfahrens entsprechend (Entlassung aus der fürsorgerischen Freiheitsentziehung) zu entschädigen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin ist aufgrund des Urteils des Verwaltungsgerichts aus der Klinik entlassen worden und verfügt damit über kein aktuelles schützenswertes Interesse an der Überprüfung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung; sodann behauptet sie auch nicht, in ihrem Fall sei ein virtuelles Interesse gegeben. Entgegen der in <ref-ruling> wiedergegeben Praxis muss vorliegend dennoch auf die Beschwerde eingetreten werden: Obwohl die Entlassung der Beschwerdeführerin aus der Anstalt angeordnet worden ist, hat ihr das Verwaltungsgericht einen Teil der Gerichtskosten auferlegt und ihre Entschädigung für das verwaltungsgerichtliche Verfahren gekürzt. Mit Bezug auf diese beiden Punkte hat sie trotz erfolgter Entlassung ein aktuelles schützenswertes Interesse an der Behandlung der Beschwerde (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Insbesondere ist sie bezüglich der Parteientschädigung auch nicht auf den Weg der Verantwortlichkeitsklage nach Art. 429a ZGB zu verweisen, zumal das Verwaltungsgericht über den Anspruch auf Erstattung der Kosten der Verbeiständung entschieden hat. Gegenstand des Verfahrens bildet aber nicht die Rechtmässigkeit der fürsorgerischen Freiheitsentziehung, sondern ausschliesslich die Frage, ob die Auferlegung der Kosten und die Reduktion der Parteientschädigung angesichts der angeordneten Entlassung aus der Anstalt mit dem Bundesrecht zu vereinbaren sind.
1.2 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG) betreffend fürsorgerische Freiheitsentziehung und damit ein öffentlich-rechtlicher Entscheid in engem Zusammenhang mit dem Zivilrecht, der grundsätzlich der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die beanstandeten Regelungen der Gerichts- und Parteikosten sind Teil des Endentscheides in der Sache und können somit ungeachtet ihres Streitwertes mit dem gleichen Rechtsmittel wie der Sachentscheid angefochten werden (<ref-ruling>).
1.3 Die Beschwerdeführerin verlangt die Aufhebung der Dispositiv-Ziffer bezüglich der Gerichtskosten und will damit im Ergebnis, dass ihr keine Kosten überbunden werden. Insoweit liegt ein klarer materieller Antrag vor. Ferner stellt sie das Begehren, sie sei "ausgangsgemäss" nach Aufwand zu entschädigen. Mit diesem Rechtsbegehren lässt sie unbeachtet, dass ein Antrag auf Geldleistung grundsätzlich zu beziffern ist (<ref-ruling> E. 2 S. 236 f.). Nach der Begründung der Beschwerde, die für die Auslegung der Begehren beizuziehen ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136), fordert die Beschwerdeführerin unter dem Titel "Entschädigung" Fr. 3'201.--. Auch insoweit kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.4 Die Beschwerde ist zu begründen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie vom Obergericht verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749; 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Die Begründung muss in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein; auf blosse Verweise auf andere Rechtsschriften ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2 S. 93 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 201; <ref-ruling> E. 2.3 S. 387 f.; zur Weitergeltung dieser Rechtsprechung für die Beschwerde in Zivilsachen vgl. Urteile 4A_115/2007, E. 2.1; 4A_137/2007, E. 4). Verfassungsverletzungen werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287; <ref-ruling> E. 3.2. S. 88 mit Hinweisen).
Die Ausführungen der Beschwerdeführerin vermögen diesen Anforderungen über weite Strecken nicht zu genügen. Die Beschwerde erweist sich insbesondere als unzulässig, soweit einfach eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV behauptet wird, ohne im Einzelnen darzutun, inwiefern diese Bestimmung verletzt worden sein soll. Darauf ist nicht einzutreten.
2. 2.1 Nach § 67o des aargauischen Einführungsgesetzes zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch und Partnerschaftsgesetz [EG ZGB] ist das Verwaltungsgericht für die gerichtliche Beurteilung einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung (Art. 397d ZGB) zuständig. Soweit nicht das Bundesrecht (Art. 397e und 397f ZGB) oder das kantonale Einführungsgesetz zum ZGB das Verfahren regelt, gelten die Vorschriften des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; § 67q EGZGB/AG). § 31 Abs. 2 VRPG entsprechend werden die Verfahrenskosten im Beschwerdeverfahren in der Regel nach Massgabe des Unterliegens und Obsiegens auf die Parteien verlegt. Die gleiche Regel stellt § 32 Abs. 2 VRPG für die Parteikosten auf.
2.2 Das Verwaltungsgericht hat im Rahmen seiner Zuständigkeit aufgrund des Begehrens der Beschwerdeführerin um sofortige Entlassung in einem ersten Schritt geprüft, ob die Anordnung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung durch den Amtsarzt am 19. Juli 2011 mit Art. 397a Abs. 1 ZGB zu vereinbaren sei. Es hat im Wesentlichen erwogen, bei der Beschwerdeführerin liege nach wie vor eine Geisteskrankheit im Sinn von Art. 397a Abs. 1 ZGB vor, zumal sie seit Jahren unverändert an einer schizoaffektiven Störung leide. Aufgrund der in den Akten enthaltenen Feststellungen ist das Verwaltungsgericht schliesslich zum Schluss gelangt, die amtsärztliche Einweisung sei im Interesse der Beschwerdeführerin erfolgt und somit verhältnismässig. Im Weiteren hat das Verwaltungsgericht aufgrund der erstellten Aktenlage ausgeführt, spätestens zum Zeitpunkt, als die Klinik die Aushändigung des Freiwilligenscheines erwogen habe (welche es der Beschwerdeführerin ermöglicht, sich ohne Begleitung an die Verhandlung über die gerichtliche Beurteilung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung zu begeben), seien die Voraussetzungen für eine fürsorgerische Freiheitsentziehung nicht mehr erfüllt gewesen, weshalb diese ungefähr ab dem 5. August 2011 hätte aufgehoben werden müssen. In seinem Urteil vom 9. August 2011 ordnete das Verwaltungsgericht schliesslich die Entlassung der Beschwerdeführerin an. Mit Bezug auf die Kosten- und Entschädigung betrachtete es sie als lediglich teilweise obsiegend und auferlegte ihr dementsprechend die Hälfte der Gerichtskosten.
2.2 Das Verwaltungsgericht hat im Rahmen seiner Zuständigkeit aufgrund des Begehrens der Beschwerdeführerin um sofortige Entlassung in einem ersten Schritt geprüft, ob die Anordnung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung durch den Amtsarzt am 19. Juli 2011 mit Art. 397a Abs. 1 ZGB zu vereinbaren sei. Es hat im Wesentlichen erwogen, bei der Beschwerdeführerin liege nach wie vor eine Geisteskrankheit im Sinn von Art. 397a Abs. 1 ZGB vor, zumal sie seit Jahren unverändert an einer schizoaffektiven Störung leide. Aufgrund der in den Akten enthaltenen Feststellungen ist das Verwaltungsgericht schliesslich zum Schluss gelangt, die amtsärztliche Einweisung sei im Interesse der Beschwerdeführerin erfolgt und somit verhältnismässig. Im Weiteren hat das Verwaltungsgericht aufgrund der erstellten Aktenlage ausgeführt, spätestens zum Zeitpunkt, als die Klinik die Aushändigung des Freiwilligenscheines erwogen habe (welche es der Beschwerdeführerin ermöglicht, sich ohne Begleitung an die Verhandlung über die gerichtliche Beurteilung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung zu begeben), seien die Voraussetzungen für eine fürsorgerische Freiheitsentziehung nicht mehr erfüllt gewesen, weshalb diese ungefähr ab dem 5. August 2011 hätte aufgehoben werden müssen. In seinem Urteil vom 9. August 2011 ordnete das Verwaltungsgericht schliesslich die Entlassung der Beschwerdeführerin an. Mit Bezug auf die Kosten- und Entschädigung betrachtete es sie als lediglich teilweise obsiegend und auferlegte ihr dementsprechend die Hälfte der Gerichtskosten.
2.3 2.3.1 Die Beschwerdeführerin rügt mit Bezug auf die Gerichtskosten eine willkürliche Anwendung von Art. 31 Abs. 2 VRPG und macht zur Begründung im Wesentlichen geltend, sie sei im Verfahren gemäss Art. 397d ZGB mit ihrem Antrag auf Entlassung durchgedrungen. Das Verwaltungsgericht verfalle daher in Willkür, indem es sie als lediglich teilweise obsiegend betrachte, ihr folglich die Hälfte der Gerichtskosten auferlege. Zudem verletze sie Art. 6 EMRK, indem sie nicht vom Sachverhalt ausgehe, wie er zum Zeitpunkt des Urteils bestanden habe.
2.3.2 Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin ist die Vorinstanz sehr wohl vom Sachverhalt ausgegangen, wie er zum Zeitpunkt des Urteils bestanden hat. Die von der Beschwerdeführerin aufgeworfene Frage betrifft denn auch gar nicht eine Verletzung von Art. 6 EMRK, sondern ausschliesslich die willkürliche Anwendung kantonalen Rechts (Art. 31 Abs. 2 VRPG).
In diesem Zusammenhang darf nicht übersehen werden, dass die Beschwerdeführerin am 19. Juli 2011 vom Amtsarzt in Anwendung von Art. 397a Abs. 1 ZGB in die psychiatrische Klinik eingewiesen worden ist und am 29. Juli 2011 beim Verwaltungsgericht um sofortige Entlassung aus der fürsorgerischen Freiheitsentziehung ersucht hat. Aufgrund dieser Sachlage hatte das Verwaltungsgericht als zuständige Instanz im Sinne von Art. 397d ZGB in erster Linie zu prüfen, ob die Einweisung der Beschwerdeführerin mit Art. 397a Abs. 1 ZGB zu vereinbaren war, was es im betreffenden Verfahren denn auch getan hat. Als Ergebnis dieser Überprüfung hat es die Rechtmässigkeit der Einweisung bejaht. Da die betroffene Person aus der Anstalt entlassen werden muss, sobald es ihr Zustand erlaubt (Art. 397a Abs. 3 ZGB), hat das Verwaltungsgericht in einem weiteren Schritt festgehalten, dass die Zurückbehaltung der Beschwerdeführerin auch nach der Einweisung, und zwar bis zum 5. August 2011, im Lichte von Art. 397a Abs. 1 ZGB gerechtfertigt war. Die durch das Verwaltungsgericht getroffenen tatsächlichen Feststellungen und seine rechtlichen Schlussfolgerungen werden hier - wie bereits erwähnt (E. 1.1) - nicht überprüft. Im Lichte der tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts und seiner rechtlichen Würdigung der Sachlage ist die Kostenregelung im Ergebnis und in der Begründung mit Art. 9 BV vereinbar.
2.4 Die Beschwerdeführerin macht ferner geltend, die Regelung der Parteikosten sei angesichts der angeordneten Entlassung nicht mit Art. 5 Ziff. 5 EMRK zu vereinbaren.
2.4.1 Nach Art. 5 Ziffer 1 EMRK darf die Freiheit nur in den und lit. a bis f aufgezählten Fällen und nur auf die gesetzlich vorgeschriebene Weise entzogen werden. Litera e erwähnt den rechtmässigen Entzug bei psychisch Kranken, welcher im Landesrecht in Art. 397a ZGB geregelt ist. Nach Art. 5 Ziff. 5 EMRK hat jede Person, die unter Verletzung dieses Artikels (Art. 5 EMRK) von Freiheitsentziehung betroffen ist, Anspruch auf Schadensersatz. Im konkreten Fall ist somit Schadensersatz zuzusprechen, wenn eine Verletzung von Art. 397a Abs. 1 ZGB bejaht werden muss. Über die Kosten, welche der betroffenen Person zum Zwecke der Wahrung ihrer durch die Konvention gewährten Rechte entstanden sind, entscheidet die zuständige Instanz nach billigem Ermessen (vgl. dazu: FROWEIN/PEUKERT, Europäische Menschenrechtskonvention, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, S. 587 N. 85 zu Art. 41 EMRK).
2.4.2 Im vorliegenden Fall gilt es zu berücksichtigen, dass die Beschwerdeführerin wie in E. 2.3 hiervor dargelegt, Art. 397a Abs. 1 ZGB entsprechend in die Klinik eingewiesen worden ist. Ferner hat sich auch ihre Zurückbehaltung in der Anstalt bis zum 5. August 2011 im Lichte der genannten Bestimmung als rechtmässig erwiesen. Lag somit nur über einen sehr kurzen Zeitraum (vom 5. August bis 9. August 2011) betrachtet eine unrechtmässige Freiheitsentziehung vor, erscheint die vom Verwaltungsgericht vorgenommene Kürzung der Parteientschädigung um die Hälfte als angemessen. Eine Verletzung von Art. 5 Ziff. 5 EMRK ist nicht ersichtlich.
3. 3.1 Das Verwaltungsgericht hat gestützt auf § 3 Abs. 1 lit. b Anwaltstarif eine Grundentschädigung festgesetzt, welche die Instruktion, das Aktenstudium, rechtliche Abklärungen, Korrespondenz und Telefongespräche sowie eine Rechtsschrift und die Teilnahme an der Verhandlung abdeckt (§ 6 Abs. 1 Anwaltstarif). Unter Berücksichtigung aller Faktoren hat es die Grundentschädigung schliesslich auf Fr. 2'300.-- festgesetzt. Nach Einbezug eines angemessenen Beitrages für die von Rechtsanwalt Y._ verfasste "Rechtsschrift", der Mehrwertsteuer und der auf Fr. 117.-- bezifferten Auslagen hat sich ein Gesamtbetrag der Entschädigung von Fr. 2'542.-- ergeben. Das Verwaltungsgericht ist ferner auf den Einwand der Beschwerdeführerin eingegangen, wonach die Parteien einen Stundenansatz von Fr. 280.-- vereinbart hätten, und hat dazu bemerkt, das Honorar des Anwalts für seine Tätigkeit richte sich grundsätzlich nach der zwischen Anwalt und Klient auf Grundlage der Privatautonomie getroffenen Honorarvereinbarung. Für die von den Gerichten festzusetzende Parteientschädigung gelte indes die kantonale Tarifordnung; das Gericht sei an die zwischen Anwalt und Klient geschlossene Vereinbarung nicht gebunden.
3.2 Die Beschwerdeführerin will den vom Anwalt geltend gemachten Betrag von Fr. 3'201.-- berücksichtigt wissen und behauptet, die Kostenliste sei anerkannt. Entsprechendes lässt sich indes dem angefochtenen Urteil gerade nicht entnehmen. Die Beschwerdeführerin setzt sich im Übrigen mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids nicht auseinander. Was die Höhe der Entschädigung anbelangt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (E. 1.4).
4. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. November 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden