Sachverhalt:
A. D._ bezog zunächst ab September 1999 eine ganze, ab Oktober 2007 noch eine Viertelsrente der Invalidenversicherung (vgl. Urteil des Bundesgerichts 9C_546/2008 vom 9. März 2009). Die IV-Stelle des Kantons Solothurn teilte ihm am 8. Dezember 2011 mit, sie gedenke im Hinblick auf eine Überprüfung des Leistungsanspruchs beim Institut X._ ein medizinisches Gutachten einzuholen. Der Versicherte beantragte, die Begutachtung sei - falls überhaupt notwendig - bei einer anderen Stelle durchführen zu lassen, und unterbreitete Ergänzungsfragen (Eingabe vom 23. Dezember 2011). Die IV-Stelle hielt indes an der in Aussicht genommenen Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS), dem Institut X._, fest (Verfügung vom 28. März 2012).
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn hiess die Beschwerde gegen die Verfügung vom 28. März 2012 teilweise gut und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit sie die Begutachtung nach dem Zufallsprinzip vergebe. Hinsichtlich der ebenfalls beantragten Anweisung an die IV-Stelle, den Versicherten durch eine andere Stelle begutachten zu lassen (respektive die von ihm vorgeschlagenen Gutachterstellen im Hinblick auf eine Einigung zu prüfen), und ihm nach Feststellung des Gutachterinstituts Frist zur Einreichung von Ergänzungsfragen zu setzen, wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 12. November 2012).
C. D._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben; es sei festzustellen, dass die Vorinstanz das hängige Ausstandsbegehren in Verletzung von <ref-law> nicht beurteilt habe, und die Sache zur gerichtlichen Abklärung und Beurteilung der Ausstandsfrage an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Eventuell sei die IV-Stelle "anzuweisen, im Hinblick auf die geltend gemachten Gründe der Besorgnis der Voreingenommenheit der Gutachter des Instituts X._ sowie unabhängig davon im Lichte der neuen Mitwirkungsrechte bei der Auswahl der Gutachter und der Pflicht der Klärung einer Einigung gemäss <ref-ruling> die Begutachtung bei einer anderen Gutachterstelle als dem Institut X._ in Auftrag zu geben und die vom Versicherten vorgeschlagenen Gutachterstellen eingehend zu Gunsten einer möglichen Einigung zu prüfen". Weiter sei die IV-Stelle anzuweisen, dem Versicherten erneut Frist zur Einreichung von Ergänzungsfragen an die Gutachterstelle zu setzen, sobald die Gutachterstelle definitiv feststehe. Schliesslich sei eine öffentliche Verhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK durchzuführen und der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Zwischenentscheid im Sinne von Art. 92 f. BGG (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 481). Gerichtliche Zwischenentscheide, die sich mit Verfügungen der IV-Stellen über die Einholung von medizinischen Gutachten befassen, sind vor Bundesgericht nur dann selbständig anfechtbar, wenn sie den Ausstand einer sachverständigen Person betreffen (<ref-law>; <ref-ruling>). Hinsichtlich anderer Aspekte überprüft das Bundesgericht die Anordnung des Gutachtens gegebenenfalls im Rahmen eines Endentscheids auf deren Bundesrechtskonformität hin (vgl. <ref-law>).
1.2 Inwieweit es hier, wie geltend gemacht, um Ausstands- oder Ablehnungsgründe (<ref-ruling> E. 6 S. 106) geht, kann indes offen bleiben: Das kantonale Gericht hat in teilweiser Gutheissung der Beschwerde erkannt, das Vorgehen der IV-Stelle, den Auftrag direkt an eine Gutachterstelle zu vergeben, verstosse gegen <ref-law> und sei, was die Rahmenbedingungen der Auftragsvergabe und die Auswahl der Gutachterstelle angehe, auch nicht mit <ref-ruling> vereinbar. Demnach hob die Vorinstanz die Verfügung vom 28. März 2012 auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit diese den Begutachtungsauftrag nach dem Zufallsprinzip, unter Berücksichtigung der im Kreisschreiben über das Verfahren in der Invalidenversicherung (KSVI; Rz. 2080 ff.) sowie in dessen Anhang V festgelegten zusätzlichen Rahmenbedingungen, vergebe (E. 6a und 7 des angefochtenen Entscheids, mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 276).
Insoweit stellt sich die vom Beschwerdeführer bezüglich des Instituts X._ aufgeworfene Ausstandsfrage nicht. Der Antrag auf Feststellung einer Rechtsverweigerung oder -verzögerung ist gegenstandslos; es besteht kein aktuelles Rechtsschutzinteresse. Mit dem vorinstanzlichen Erkenntnis ebenfalls hinfällig geworden ist das letztinstanzlich (eventualiter) erneuerte Begehren, die Begutachtung sei bei einer anderen MEDAS als dem Institut X._ in Auftrag zu geben und die vom Versicherten vorgeschlagenen Gutachterstellen seien im Hinblick auf eine mögliche Einigung zu prüfen. Das kantonale Gericht wird sich mit den gegen das Institut X._ geltend gemachten konkreten Ablehnungsgründen befassen, falls - wenig wahrscheinlich - zufallsbasiert nochmals dieselbe Gutachterstelle bezeichnet werden sollte, alsdann die Verwaltung (im Rahmen einer Einigungsbemühung) die Einwände (wiederum) verwirft und folglich erneut eine Begutachtung durch das Institut X._ verfügt. Schliesslich befasst sich das Bundesgericht nach dem in E. 1.1 Gesagten nicht schon im Rahmen der Anfechtung eines Zwischenentscheids mit dem Antrag, die IV-Stelle sei anzuweisen, dem Versicherten erneut Frist zur Einreichung von Ergänzungsfragen an die Gutachterstelle zu setzen, sobald die Gutachterstelle definitiv festgestellt ist.
1.3 Die Beschwerde ist insgesamt offensichtlich unzulässig (<ref-law>).
2. In Anwendung von <ref-law> werden zufolge Erledigung im vereinfachten Verfahren reduzierte Gerichtskosten erhoben (vgl. Urteil 9C_743/2012 vom 10. Oktober 2012).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Januar 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub