Faits:
A.
M. A.X._, né en 1964, et Mme B.X._, née en 1960, se sont mariés à C._ le 4 avril 1998. Deux enfants sont issus de cette union: D._, née en 1996 et E._, née en 1999.
La famille s'est installée à F._ dans le courant de l'année 2001. En mai 2003, l'épouse est retournée vivre à C._ avec les enfants. Les conjoints se sont séparés le 1er janvier 2006.
Par jugement du 6 mai 2010, le Tribunal de première instance de Genève a, notamment, prononcé le divorce des parties, attribué l'autorité parentale et la garde des enfants à la mère, sous réserve du droit de visite du père, et condamné celui-ci à verser, d'une part, des contributions d'entretien de 1'300 fr. par mois jusqu'à 13 ans révolus, puis de 1'600 fr. par mois jusqu'à la majorité, voire au-delà, mais jusqu'à 25 ans au plus, en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières, en faveur de chacune de ses filles, et, d'autre part, une contribution post-divorce, indexée, de 800 fr. par mois jusqu'au 31 mars 2015, pour sa femme, allocations familiales et indexation en sus.
Par arrêt du 31 mai 2011, la Cour de justice du canton de Genève a, entre autres points, réduit les contributions à l'entretien des enfants à 1'100 fr. par mois jusqu'à 13 ans révolus, puis à 1'300 fr. par mois jusqu'à la majorité, voire au-delà, mais jusqu'à 25 ans au plus, en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières.
A partir de 2009, le père ne s'était acquitté que partiellement, voire pas du tout, de ses obligations fixées sur mesures provisoires et avait cessé tout versement en mars 2011. La mère perçoit, depuis le 7 juillet 2011, des avances de pensions de 1'300 fr. par mois du Service social de la ville de C._, soit 650 fr. pour chacune de ses filles; le montant mensuel de ces avances a été porté à 936 fr. par enfant dès le 1er janvier 2013. Le 23 décembre 2011, ledit service réclamait au père un montant de 92'454 fr.
B.
Le 22 février 2012, le père a formé une demande en modification du jugement de divorce du 6 mai 2010 et de l'arrêt du 31 mai 2011, concluant à la suppression des contributions à l'entretien de l'épouse et des enfants à compter du dépôt de la demande.
Par jugement du 1er février 2013, le Tribunal de première instance a admis la demande.
La mère a interjeté appel contre ce jugement, concluant au rejet de la demande de modification. Elle a produit un courrier du 21 février 2013, dans lequel elle expliquait que le Service social de la Ville de C._ lui réclamait le remboursement de 16'500 fr. versés à titre d'avance de contributions alimentaires.
Par arrêt du 28 juin 2013, la Cour de justice a, notamment, condamné le père à verser mensuellement, en faveur de chacune de ses filles, 650 fr. du 22 février 2012 au 31 décembre 2012, 936 fr. du 1er janvier 2013 au prononcé de son arrêt puis 550 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà, mais jusqu'à 25 ans au plus, si l'enfant bénéficiaire poursuit une formation professionnelle ou des études sérieuses et régulières. La contribution d'entretien due à l'épouse a été supprimée avec effet au 22 février 2012.
C.
Par acte du 4 septembre 2013, le mari exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 28 juin 2013. Il conclut, principalement, à la suppression, avec effet au 22 février 2012, des contributions d'entretien dues tant pour les enfants que pour l'épouse. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le recourant solllicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimée propose, à la forme, l'irrecevabilité du recours et, sur le fond, son rejet.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), prise par un tribunal cantonal supérieur statuant sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire civile (<ref-law>) de nature pécunaire dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a, 51 al. 4 1ère phrase et 74 al. 1 let. b LTF). Il a en outre été interjeté en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue par la loi (<ref-law>), par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente (<ref-law>) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>).
1.2. Eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.2). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (arrêt 5A_129/2007 du 28 juin 2007 consid. 1.4). Le Tribunal fédéral ne connaît en outre de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été soulevé et dûment motivé par le recourant (principe d'allégation, <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (<ref-law>), à savoir que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.4.1; <ref-ruling> consid. 1.2.2), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (cf. supra, consid. 1.2).
2.
Le recours a pour objet la modification du jugement de divorce, en ce sens que l'obligation d'entretien du père en faveur de ses deux filles est supprimée.
Les juges précédents ont considéré que, lors du prononcé du jugement de divorce du 6 mai 2010 et de l'arrêt du 31 mai 2011, le mari percevait, depuis mai 2009, des indemnités de l'assurance chômage d'un montant de 6'750 fr. par mois. Dans ledit arrêt, il avait toutefois été estimé qu'on pouvait raisonnablement exiger de lui qu'il retrouve un emploi lui procurant des revenus de l'ordre de 8'000 fr. par mois. Depuis le prononcé du divorce, la situation de l'intéressé s'était péjorée, dans la mesure où il ne percevait plus aucun revenu et vivait, depuis août 2011, des prestations du Revenu minimum cantonal d'aide sociale (RMCAS), qui s'élevaient à 2'669 fr. 75 par mois. Cette situation perdurait depuis près de deux ans, en dépit des nombreuses recherches d'emploi effectuées par le mari. Ces éléments constituaient une modification durable et notable des circonstances, justifiant le réexamen de la situation financière des parties.
Considérant, d'une part, qu'il y avait lieu d'imputer au débirentier un salaire mensuel net hypothétique de 4'500 fr. pour des charges de 3'380 fr., soit un solde de 1'120 fr., alors que l'épouse bénéficiait d'un disponible de 610 fr. par mois (revenu: 3'330 fr. - charges: 2'720 fr.), et, d'autre part, que le minimum vital de chaque enfant s'élevait à 680 fr., respectivement 800 fr. par mois, l'autorité cantonale a ensuite arrêté les contributions mensuellement dues pour l'entretien de ceux-ci à 550 fr. par enfant (soit 1'100 fr. au total), allocations familiales non comprises. Elle a par ailleurs confirmé la suppression de la pension en faveur de l'épouse, le mari ne disposant plus, après paiement de ses propres charges et des contributions à l'entretien de ses filles, que d'un solde de 20 fr. par mois (4'500 fr. - 3'380 fr. - 1'100 fr.).
3.
Le recourant fait grief à la cour cantonale de lui avoir imputé un revenu hypothétique. Il se plaint sur ce point d'une violation des art. 134 al. 2, 285 et 286 CC, ainsi que d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans la constatation des faits.
3.1.
3.1.1. La modification ou la suppression de la contribution d'entretien de l'enfant, fixée dans un jugement de divorce, est régie par l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>. Elle suppose que des faits nouveaux importants et durables soient survenus dans la situation du débirentier ou du parent gardien, qui commandent une réglementation différente; la procédure de modification n'a pas pour but de corriger le premier jugement, mais de l'adapter aux circonstances nouvelles intervenant chez les parents ou l'enfant. Le fait revêt un caractère nouveau lorsqu'il n'a pas été pris en considération pour fixer la contribution d'entretien dans le jugement de divorce. Le moment déterminant pour apprécier si un fait nouveau s'est produit est la date du dépôt de la demande de modification (<ref-ruling> consid. 4.1.1; <ref-ruling> consid. 2.7.4; <ref-ruling> consid. 3a, 285 consid. 4b).
La survenance d'un fait nouveau - important et durable - n'entraîne pas automatiquement une modification de la contribution d'entretien de l'enfant. Ce n'est que si la charge d'entretien devient déséquilibrée entre les deux parents, vu les circonstances prises en compte dans le jugement précédent, en particulier si cette charge devient excessivement lourde pour le parent débirentier qui aurait une condition modeste, qu'une modification de la contribution peut entrer en considération (<ref-ruling> consid. 2.2.2). Le juge ne peut donc pas se limiter à constater une modification dans la situation d'un des parents pour admettre la demande; il doit procéder à une pesée des intérêts respectifs de l'enfant et de chacun des parents pour juger de la nécessité de modifier la contribution d'entretien dans le cas concret (<ref-ruling> consid. 4 et les arrêts cités). Lorsqu'il admet que les conditions susmentionnées sont remplies, le juge doit alors fixer à nouveau la contribution d'entretien, après avoir actualisé tous les éléments pris en compte pour le calcul dans le jugement précédent. Pour que le juge puisse procéder à cette actualisation, il n'est pas nécessaire que la modification survenue dans ces autres éléments constitue également un fait nouveau (cf. <ref-ruling> consid. 11.1.1 et les références).
3.1.2. A teneur de l'<ref-law>, la contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère (arrêt 5A_511/2010 du 4 février 2011 consid. 2.1). L'obligation d'entretien trouve sa limite dans la capacité contributive du débirentier, en ce sens que le minimum vital de celui-ci doit être préservé (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 3b/bb et consid. 5 in fine). S'agissant toutefois de l'obligation d'entretien d'un enfant mineur, les exigences à l'égard des père et mère sont plus élevées, en sorte que ceux-ci doivent réellement épuiser leur capacité maximale de travail et ne peuvent pas librement choisir de modifier leurs conditions de vie si cela a une influence sur leur capacité à subvenir aux besoins de l'enfant mineur (<ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 5A_513/2012 du 17 octobre 2012 consid. 4). Il s'ensuit que lorsqu'il ressort des faits que l'un des parents, ou les deux, ne fournissent pas tous les efforts que l'on peut attendre d'eux pour assumer leur obligation d'entretien, le juge peut s'écarter du revenu effectif des parties pour fixer la contribution d'entretien, et imputer un revenu hypothétique supérieur, tant au débiteur de l'entretien qu'au parent gardien. Il s'agit ainsi d'inciter la personne à réaliser le revenu qu'elle est en mesure de se procurer et dont on peut raisonnablement exiger d'elle qu'elle l'obtienne afin de remplir ses obligations à l'égard du mineur (<ref-ruling> consid. 4a; arrêts 5A_165/2013 du 28 août 2013 consid. 4.1; 5A_99/2011 du 26 septembre 2011 consid. 7.4.1 publié in: FamPra.ch 2012 p. 228). Le fait qu'un débirentier bénéficie d'indemnités de chômage ne dispense pas le juge civil d'examiner si l'on peut lui imputer un revenu hypothétique. Les critères qui permettent de retenir un tel revenu sont différents en droit de la famille et en droit social; ceux valables en matière d'assurance chômage ne peuvent pas être repris sans autre considération en droit de la famille (<ref-ruling> consid. 3.1), en particulier lorsque l'entretien d'un enfant mineur est en jeu; ainsi en droit de la famille, en présence de situations financières modestes, le débirentier peut se voir imputer un revenu basé sur une profession qu'il n'aurait pas eu à accepter selon les règles prévalant en matière d'assurance sociale (<ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 5A_248/2011 du 14 novembre 2011 consid. 4.1).
Lorsque le juge entend tenir compte d'un revenu hypothétique, il doit examiner successivement deux conditions. Tout d'abord, il doit juger si l'on peut raisonnablement exiger de cette personne qu'elle exerce une activité lucrative ou augmente celle-ci, eu égard, notamment, à sa formation, à son âge et à son état de santé; il s'agit d'une question de droit (arrêts 5A_243/2013 du 24 juillet 2013 consid. 2.1; 5A_99/2011 précité). Lorsqu'il tranche celle-ci, le juge ne peut pas se contenter de dire, de manière toute générale, que la personne en cause pourrait obtenir un revenu supérieur en travaillant; il doit préciser le type d'activité professionnelle que cette personne peut raisonnablement devoir accomplir. Ensuite, il doit examiner si la personne a la possibilité effective d'exercer l'activité ainsi déterminée et quel revenu elle peut en obtenir, compte tenu des circonstances subjectives susmentionnées, ainsi que du marché du travail; il s'agit-là d'une question de fait (<ref-ruling> consid. 4.2.2.2; <ref-ruling> consid. 4c/bb; arrêt 5A_587/2013 du 26 novembre 2013 consid. 6.1.2).
3.2. En l'espèce, l'autorité cantonale a admis qu'une modification importante et durable s'était produite dans la situation du débirentier, et a ainsi confirmé le jugement de première instance en ce qu'il admettait d'entrer en matière sur la requête de modification déposée par le recourant. Les art. 134 al. 2 et 286 al. 2 CC n'apparaissent donc pas violés.
En ce qui concerne la prise en compte d'un revenu hypothétique, la Cour de justice a considéré que le mari, qui était âgé de 48 ans, ne présentait aucun problème de santé l'empêchant de travailler, mais qu'il était sans emploi depuis mai 2009 et qu'il percevait l'aide sociale depuis août 2011. L'Hospice général n'avait sanctionné aucun manque d'effort de sa part, ce qui constituait un indice en faveur de recherches d'emploi effectuées de manière sérieuse et régulière. L'examen des documents versés à la procédure, et plus particulièrement les réponses négatives reçues par l'intéressé à ses demandes d'emploi, permettaient effectivement de retenir que celui-ci avait effectué de nombreuses recherches visant des postes à responsabilité, mais également des postes moins qualifiés. Il y avait lieu d'en déduire qu'en raison de son éloignement du marché du travail depuis quatre ans, le mari rencontrait beaucoup de difficultés pour retrouver une activité susceptible de lui procurer un revenu similaire à celui perçu durant la vie commune des parties. Aucun autre frein à son employabilité ne pouvait toutefois être observé. Vu son âge, son état de santé, son niveau de formation et son expérience, il devait donc être en mesure de retrouver dans son domaine de compétence un emploi moins qualifié que ceux exercés précédemment, tel que commercial expérimenté. Compte tenu de ses obligations d'entretien envers ses enfants mineurs, il pouvait ainsi être raisonnablement exigé de lui qu'il intensifie ses recherches visant des emplois moins qualifiés. Dès lors que, sur la base des statistiques, le salaire mensuel brut moyen pour un poste à 100% dans le domaine de la vente de consommation ou de détail, pour un niveau de qualification nécessitant des connaissances professionnelles spécialisées, s'élevait à environ 5'000 fr. par mois, il y avait donc lieu de retenir un salaire mensuel net hypothétique de 4'500 fr. par mois (5'000 fr. - 10% de charges sociales).
Selon le recourant, les juges précédents se contredisent en retenant que ses recherches d'emploi démontrent qu'il est dans l'incapacité de trouver un emploi moins qualifié, tout en concluant qu'il devrait être en mesure de trouver un tel emploi. Il soutient que les mesures probatoires ont mis en évidence son impossibilité de trouver un travail qualifié et moins qualifié. Dès lors, retenir qu'il lui est loisible de réaliser un revenu mensuel de l'ordre de 5'000 fr., alors qu'il s'y efforce en vain depuis bientôt cinq ans, provoquera à long terme des conséquences financières catastrophiques pour lui. Cette argumentation ne met en évidence aucune violation du droit fédéral dans le raisonnement de l'autorité cantonale, pas plus qu'elle ne démontre d'arbitraire dans l'appréciation des faits. En particulier, l'opinion de la Cour de justice selon laquelle, compte tenu des obligations d'entretien du débirentier envers ses enfants mineurs, il peut être raisonnablement exigé de lui qu'il intensifie ses recherches visant des emplois moins qualifiés, n'apparaît pas critiquable, quand bien même celui-ci a déjà effectué des recherches en ce sens. Par conséquent, les critiques du recourant ne peuvent être admises.
4.
Dans un autre grief, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir enfreint l'<ref-law> en estimant que le Service social de la ville de C._ avait la «légitimation passive» à l'action en modification du jugement de divorce à concurrence des contributions d'entretien avancées par la collectivé publique.
4.1. Selon l'<ref-law>, la prétention à la contribution d'entretien passe avec tous les droits qui lui sont rattachés à la collectivité publique lorsque celle-ci assume l'entretien de l'enfant. Cette disposition crée un cas de subrogation légale au sens de l'<ref-law>. L'<ref-law> vise en particulier les prestations de l'assistance publique ou de l'aide sociale, y compris les avances. Il inclut aussi bien les prestations futures que celles versées par le passé. Lorsque la collectivité publique fournit une aide qui se situe en deçà de la prétention à l'entretien de l'enfant, elle n'est subrogée dans les droits de celui-ci que jusqu'à concurrence des prestations versées; pour le surplus, l'enfant conserve la qualité de créancier des contributions d'entretien dues par les père et mère. La collectivité publique qui procède en qualité de cessionnaire légal des contributions d'entretien dues aux enfants a notamment le droit de réclamer l'entretien en justice, de demander la modification de la contribution alimentaire, de faire aviser les tiers débiteurs et d'exiger des sûretés (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling>61 consid. 4; <ref-ruling> consid. 2 et les références; arrêt 5P.193/2003 du 23 juillet 2003 consid. 1.1.2). Si, comme dans le cas particulier, la collectivité publique n'est que partiellement subrogée dans les droits de l'enfant (cf. Cyril Hegnauer, Commentaire bernois, n. 83 ad <ref-law>), l'enfant conserve la qualité pour agir, mais il est opportun de coordonner la conduite du procès par les parties et celle effectuée par le juge, de même que d'assurer une représentation commune de l'enfant et de la collectivié publique (Hegnauer, op. cit., n. 92 ad <ref-law>). L'action en modification du jugement de divorce du parent débirentier est dirigée contre l'enfant (ou son représentant) et contre la collectivité publique lorsque celle-ci est subrogée dans la prétention de l'enfant à une contribution d'entretien ( HEGNAUER, op. cit., n. 63 et 64 ad <ref-law>).
4.2. L'autorité cantonale a considéré que, l'entretien des enfants étant assumé par le Service social de la ville de C._ depuis le mois de juillet 2011, l'État de C._ avait la «légitimation passive» à concurrence des montants avancés de 650 fr. par mois jusqu'au 31 décembre 2012 puis de 936 fr. par mois. Dès lors que ces sommes étaient inférieures aux montants mensuels de 1'100 et de 1'300 fr. auxquels le débirentier avait été condamné par arrêt du 31 mai 2011, les enfants conservaient la «légitimation active» (sic) pour le passé à concurrence de la part des contributions non avancée. Les juges précédents en ont déduit que les pensions mensuelles dues à chacune des filles devaient être réduites à 650 fr. du 22 février 2012 - date du dépôt de la demande - au 31 décembre 2012, à 936 fr. du 1er janvier 2013 au prononcé de leur arrêt, puis à 550 fr.
Ce raisonnement n'apparaît pas contraire au droit fédéral. Comme il a été rappelé ci-dessus (cf. consid. 4.1), quand la prétention à l'entretien de l'enfant passe à la collectivité publique, l'action en modification du parent débirentier doit être dirigée contre elle. Cependant, lorsque la collectivité publique n'est que partiellement subrogée dans les droits de l'enfant, celui-ci garde la qualité de créancier, et donc la «légitimation passive», pour le surplus. En l'occurrence, l'action en modification du jugement de divorce a été intentée exclusivement contre la mère des enfants. L'autorité cantonale ne pouvait toutefois inviter le Service social de la ville de C._ à participer à l'instance («Beiladung»), le Code de procédure civile (CPC) ne le prévoyant pas. Les maximes inquisitoire et d'office, applicables ici (cf. <ref-ruling> consid. 5), ne lui permettaient au surplus pas non plus de revoir la part avancée par ledit service, dès lors que celui-ci n'était pas partie à la procédure. En revanche, selon ces principes, il incombait aux juges précédents de réserver les droits dudit service (cf. <ref-ruling> consid. 3b non publié). En refusant de fixer, pour le passé et pour toute la durée de la procédure, les contributions d'entretien en deçà des montants avancés par la collectivité publique, la cour cantonale s'est donc conformée aux règles susmentionnées. Le recourant n'avance du reste aucun argument qui permettrait de se convaincre du contraire. Dans la mesure où il affirme qu'au moment de l'introduction de l'action en modification - soit le 22 février 2012 -, il ignorait que le Service social de la ville de C._ avançait les contributions d'entretien des enfants, son allégation se heurte au demeurant à la constatation de l'arrêt attaqué selon laquelle ledit service lui réclamait un montant de 92'454 fr. le 23 décembre 2011 déjà.
5.
Vu ce qui précède, le recours ne peut qu'être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les conclusions prises par le recourant n'étaient cependant pas d'emblée vouées à l'échec et ses ressources sont faibles, de sorte que sa requête d'assistance judiciaire peut être agréée (<ref-law>). Cet octroi ne le dispense pas pour autant de payer des dépens à sa partie adverse, qui l'emporte (<ref-ruling> consid. 2c). Le recourant supportera en outre les frais de la présente procédure (<ref-law>), qui seront cependant provisoirement pris en charge par la Caisse du Tribunal fédéral.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est admise et Me Benoît Dayer, avocat, lui est désigné comme conseil d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant, mais ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2'000 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
5.
La Caisse du Tribunal fédéral versera au mandataire du recourant une indemnité de 2'000 fr. à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 12 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Mairot