Sachverhalt:
A. Die 1984 geborene P._ war arbeitslos und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 24. Oktober 2005 als Fussgängerin von einem Fahrrad angefahren wurde und zu Boden stürzte. Im Spital A._, in welchem P._ vom 24. bis 27. Oktober 2005 hospitalisiert war, wurde die Diagnose einer Commotio cerebri, einer ausgeprägten anterograden Amnesie, einer Ellbogenkontusion rechts sowie einer Schädelkontusion gestellt. Am 27. Oktober 2005 konnte die Versicherte nach Ausschluss einer Fraktur oder Blutung mittels Computertomogramm in gutem Allgemeinzustand nach Hause entlassen werden. Nach einer kreisärztlichen Untersuchung vom 30. Januar 2006 und weiteren medizinischen Abklärungen, namentlich der Einholung eines neurologischen Berichts vom 27. März 2006 sowie eines psychiatrisch-psychotherapeutischen Berichts vom 15. Mai 2006, stellte die SUVA mit Verfügung vom 13. Juni 2006 die Leistungen (Taggeld und Heilungskosten) ab 20. Juni 2006 ein und verneinte zugleich einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Die vom obligatorischen Krankenpflegeversicherer von P._ erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die SUVA mit Einspracheentscheid vom 19. Oktober 2006 ab.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 29. Mai 2007 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt P._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die SUVA anzuweisen, weitere Sachverhaltsabklärungen zu treffen und über die weitere Ausrichtung von Taggeldern und Heilungskosten ab 20. Juni 2006 sowie den Anspruch auf eine Invalidenrente und Integritätsentschädigung neu zu entscheiden.
Während die SUVA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügungen vom 10. März 2008 erhielten die Parteien letztinstanzlich Gelegenheit, ihre Vorbringen in Anbetracht des in der Zwischenzeit ergangenen, die so genannte Schleudertrauma-Praxis bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden präzisierenden Urteils <ref-ruling> zu ergänzen. Davon machte die SUVA mit Eingabe vom 7. April 2008 Gebrauch.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Unfall vom 24. Oktober 2005 über den 20. Juni 2006 hinaus.
2.1 Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung im Allgemeinen (<ref-law>), über den Anspruch auf Heilbehandlung (<ref-law>), auf Taggeld (<ref-law>), auf eine Invalidenrente (<ref-law>) und auf eine Integritätsentschädigung (<ref-law>) im Besonderen sowie die Grundsätze zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; <ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen), zum im Sozialversicherungsrecht geltenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) und zum Beweiswert sowie zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis) richtig wiedergegeben. Ebenfalls zutreffend dargelegt ist die Rechtsprechung über den zusätzlich zum natürlichen Kausalzusammenhang erforderlichen adäquaten Kausalzusammenhang (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181 mit Hinweis). Danach spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen). C._ verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (<ref-ruling> E. 6 S. 366 ff. und 369 E. 4 S. 382 ff., 115 V 133 E. 6 S. 138 ff.). Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140), während bei Schleudertraumen (<ref-ruling> E. 6a S. 367) und äquivalenten Verletzungen der HWS (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) sowie bei Schädel-Hirntraumen, soweit sich die Folgen mit denjenigen eines Schleudertraumas der HWS vergleichen lassen (<ref-ruling> E. 4b S. 383), auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f. mit Hinweisen).
2.2 Im erwähnten <ref-ruling> hat das Bundesgericht die Praxis zur Kausalitätsprüfung bei Unfall mit Schleudertrauma, äquivalenter Verletzung der HWS oder Schädel-Hirntrauma ohne organisch objektiv ausgewiesene Beschwerden (so genannte Schleudertrauma-Praxis) in mehrfacher Hinsicht präzisiert. Gemäss diesem Urteil ist am Erfordernis einer besonderen Adäquanzprüfung bei Unfällen mit solchen Verletzungen festzuhalten (E. 7-9 des erwähnten Urteils). Auch besteht keine Veranlassung, die bewährten Grundsätze über die bei dieser Prüfung vorzunehmende Einteilung der Unfälle nach deren Schweregrad und den abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls erforderlichen Einbezug weiterer Kriterien in die Adäquanzbeurteilung zu ändern (E. 10.1). Das Bundesgericht hat aber die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigt, erhöht (E. 9) und die adäquanzrelevanten Kriterien teilweise modifiziert (E. 10).
3. Das kantonale Gericht ist - wie die SUVA - davon ausgegangen, dass bei der Versicherten keine organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen vorliegen, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchten. Diese Beurteilung ist nach Lage der medizinischen Akten, welche verschiedene Arztberichte, u.a. einen kreisärztlichen Bericht vom 31. Januar 2006, eine neurologische Beurteilung vom 27. März 2006 und einen psychiatrisch-psychotherapeutischen Bericht vom 15. Mai 2006, sowie die Ergebnisse bildgebender Untersuchungen enthalten, richtig. In der Beschwerde wird ebenfalls davon ausgegangen, dass keine organischen Befunde nachgewiesen sind. Es werden jedoch weitere Abklärungen zur Wesensveränderung und zu den psychischen Auffälligkeiten der Versicherten verlangt. Dass sich daraus zuverlässige Anhaltspunkte für eine organische Unfallschädigung ergeben könnten, ist indessen in Anbetracht der bereits vorgenommenen Abklärungen unwahrscheinlich, weshalb in antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3 S. 157 mit Hinweisen, 124 V 90 E. 4b S. 94) von einer Rückweisung an die SUVA zur Vornahme weiterer Sachverhaltsabklärungen abzusehen ist.
Der adäquate Kausalzusammenhang ist demnach, anders als bei organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen (vgl. E. 2.1 hievor), besonders zu prüfen. Auf weitere Beweisvorkehren zur natürlichen Kausalität der organisch nicht erklärbaren Beschwerden kann verzichtet werden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang ohnehin zu verneinen ist (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c).
4. Die Meinungen der Verfahrensbeteiligten gehen hiebei zunächst in der Beantwortung der Frage auseinander, ob die Adäquanz gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen oder aber nach der sogenannten Schleudertrauma-Praxis, welche bei Schleudertraumen der HWS und analog bei äquivalenten Verletzungsmechanismen sowie Schädel-Hirntraumen mit entsprechenden Verletzungen zur Anwendung gelangt, zu prüfen ist. Während SUVA und Vorinstanz davon ausgehen, ein Zusammenhang der organisch nicht nachweisbaren Beschwerden mit dem unfallkausalen leichten Schädel-Hirntrauma sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auszuschliessen und die psychischen Probleme stünden im Vordergrund, weshalb die Adäquanz gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen geprüft werden müsse, lässt die Versicherte sinngemäss vorbringen, die massiven gesundheitlichen Probleme psychischer Natur seien als Symptome des Schädel-Hirntraumas zu werten und gehörten zum typischen Beschwerdebild, was die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertige.
4. Die Meinungen der Verfahrensbeteiligten gehen hiebei zunächst in der Beantwortung der Frage auseinander, ob die Adäquanz gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen oder aber nach der sogenannten Schleudertrauma-Praxis, welche bei Schleudertraumen der HWS und analog bei äquivalenten Verletzungsmechanismen sowie Schädel-Hirntraumen mit entsprechenden Verletzungen zur Anwendung gelangt, zu prüfen ist. Während SUVA und Vorinstanz davon ausgehen, ein Zusammenhang der organisch nicht nachweisbaren Beschwerden mit dem unfallkausalen leichten Schädel-Hirntrauma sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auszuschliessen und die psychischen Probleme stünden im Vordergrund, weshalb die Adäquanz gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen geprüft werden müsse, lässt die Versicherte sinngemäss vorbringen, die massiven gesundheitlichen Probleme psychischer Natur seien als Symptome des Schädel-Hirntraumas zu werten und gehörten zum typischen Beschwerdebild, was die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertige.
4.1 4.1.1 Das Vorliegen eines Schleudertraumas der HWS oder eines äquivalenten Verletzungsmechanismus im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist - wie das kantonale Gericht zutreffend dargelegt hat - nicht diagnostiziert worden und es fehlen in der medizinischen Aktenlage Hinweise, die auf eine derartige Verletzung schliessen liessen. Dies wird von der Beschwerdeführerin denn auch nicht bestritten. Sie beruft sich indessen auf das Vorliegen der Symptome eines Schädel-Hirntraumas.
4.1.2 Was die streitige Frage eines unfallbedingten Schädel-Hirntraumas anbelangt, ergibt sich aus den Akten folgendes: Im Spital A._, in welches die Beschwerdeführerin am 24. Oktober 2005 nach dem Unfall eingeliefert wurde und wo sie bis am 27. Oktober 2005 hospitalisiert war, wurde die Diagnose einer Commotio cerebri mit ausgeprägter anterograder Amnesie, Ellbogenkontusion rechts sowie Schädelkontusion gestellt. Bei Eintritt präsentierte sich die Versicherte in einem unauffälligen Allgemeinzustand, war allseits orientiert und wies einen die Schwere eines Schädel-Hintraumas klassifizierenden Glasgow-Coma-Skala-Wert (GCS) von 15 auf, was dem bestmöglichen Wert entspricht. Die stationäre Aufnahme erfolgte zur neurologischen Überwachung und Analgesie. Während der Hospitalisation betrug der GCS stets 15. Aufgrund der Radiologiebefunde incl. eines Computertomogramms des Schädels konnten Frakturen und eine Blutung ausgeschlossen werden. Die Versicherte wurde in einem guten Allgemeinzustand nach Hause entlassen (Austrittsbericht vom 28. Oktober 2005). Gemäss einer telefonischen Auskunft der Hausärztin Frau Dr. med. B._ vom 9. Januar 2006 waren die organischen Beschwerden fast ausgeheilt. Eine Physiotherapie besuche die Versicherte nicht mehr. Sie leide indessen noch unter Kopfschmerzen und psychischen Beschwerden, wobei letztere schon besser seien. Spätestens Ende Januar - so die Ärztin - werde die Patientin wieder arbeitsfähig sein. Am 12. Januar 2006 teilte eine Mitarbeiterin der Opferhilfestelle der SUVA mit, die Versicherte leide an grossen Ängsten und psychischen Problemen. Ein MRI des Schädels vom 17. Januar 2006 zeigte eine altersentsprechend unauffällige Darstellung des Cerebrums ohne Nachweis ischämischer Läsion, einer cerebralen Raumforderung bzw. einer intracraniellen Blutung und auch Kontusionsherde konnten nicht nachgewiesen werden. Anlässlich der kreisärztlichen Untersuchung vom 30. Januar 2006 klagte die Versicherte über nach wie vor bestehende Kopfschmerzen. Zudem zittere ihr Körper manchmal und sie schwitze. Dr. med. C._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie, kam zum Schluss, dass aus orthopädisch-traumatologischer Sicht keine Unfallfolgen und keine die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigenden strukturellen Läsionen nachgewiesenen werden könnten. Aufgrund der berichteten Kopfschmerzen, der Konzentrationsstörungen und der Angststörung empfahl er eine neurologische sowie eine psychiatrische Untersuchung. Im Bericht der neurologischen Abklärung vom 27. März 2006 hielt Dr. med. D._ fest, die Patientin klage über stechende Kopfschmerzen, Nausea, Erbrechen, Einschlaf- und Durchschlafstörungen sowie Attacken mit Zittern, Schwitzen und Todesangst. Er diagnostizierte einen Status nach Commotio cerebri bei unklarem Unfallhergang sowie Verdacht auf posttraumatische Belastungsstörung und hielt fest, aus neurologischer Sicht habe die Patientin eine Commotio cerebri mit maximal stundendauernder Bewusstlosigkeit erlebt und hätten sich keine Hinweise auf eine Contusio cerebri klinisch oder kernspintomographisch ergeben. Es könne somit von einem leichten Schädel-Hirntrauma mit guter funktioneller Prognose ausgegangen werden, wobei ein postcomotioneller Spannungskopfschmerz durchaus möglich sei. Im Vordergrund stehe - so der Neurologe - die Verhaltensänderung der Patientin, welche in keinem Verhältnis zu dem erlittenen ZNS-Trauma stehe. Im Bericht der Psychiatrisch-psychotherapeutischen Praxis vom 15. Mai 2006 wurde der depressive Eindruck der Patientin hervorgehoben und festgehalten, dass es sich diagnostisch am ehesten um eine posttraumatische Belastungsstörung handle.
4.1.3 Aufgrund der geschilderten Aktenlage kann mit der Vorinstanz zuverlässig gesagt werden, dass ein allfälliges Schädel-Hirntrauma höchstens den Schweregrad einer Commotio cerebri nicht im Grenzbereich zu einer Contusio cerebri erreichte. Dies genügt grundsätzlich nicht für die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis (Urteile U 588/06 vom 11. Dezember 2007, E. 4.2.2, U 419/05 vom 24. März 2006, E. 4.1, U 276/04 vom 13. Juni 2005, E. 2.2 und U 6/03 vom 6. Mai 2003, E. 3.2). Zudem wurden - wie das kantonale Gericht zutreffend dargelegt hat - allfällige für ein Schädel-Hirntrauma typische Beschwerden bis auf die Kopfschmerzen nicht vor Januar 2006, somit über 2 1⁄2 Monate nach dem Unfallereignis medizinisch erhoben und der Zusammenhang mit dem erlittenen Trauma ärztlicherseits verneint. Hingewiesen wurde im neurologischen Bericht vom 27. März 2006 zudem auf psychosoziale Belastungselemente in Form einer Trennung der Eltern und dem Tod der nahestehenden Grossmutter. Es kann in Würdigung der medizinischen Aktenlage somit nicht von einem im Anschluss an das Unfallereignis aufgetretenen komplexen und vielschichtigen Beschwerdebild mit eng ineinander verwobenen, einer Differenzierung kaum zugänglichen Beschwerden physischer und psychischer Natur ausgegangen werden. Die Verneinung einer die Schleudertrauma-Praxis rechtfertigenden Verletzung durch SUVA und kantonales Gericht ist daher nicht zu beanstanden. Sie hält unter der mit <ref-ruling> begründeten Rechtsprechung, wonach für die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis nebst der medizinischen Diagnose eines Schleudertraumas der HWS das weitgehende Vorliegen des für eine derartige Verletzung typischen Beschwerdebildes genügte (<ref-ruling> E. 4b S. 360), und erst recht im Lichte der mit <ref-ruling> erhöhten Anforderungen an den Nachweis derartiger Verletzungen stand.
5. Nicht gefolgt werden kann der Beschwerdeführerin sodann auch, soweit sie rügt, die SUVA habe die Adäquanz zu früh geprüft. Wie das Bundesgericht in <ref-ruling> erkannt hat, ist nicht danach zu fragen, in welchem Zeitpunkt die Adäquanzprüfung vorzunehmen ist, sondern wann der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat (erwähntes Urteil, E. 3.2 S. 113). Da sich die bei den psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall anlässlich der Adäquanzprüfung einzig zu berücksichtigenden physischen Komponenten im Zeitpunkt, in welchem von einer Fortsetzung der auf die somatischen Leiden gerichteten ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung mehr erwartet werden kann, zuverlässig beurteilen lassen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 116), ist der vorliegend per 20. Juni 2006 erfolgte Fallabschluss nicht zu beanstanden.
6. Auf Grund des augenfälligen Geschehensablaufs ist das Ereignis vom 24. Oktober 2005 mit SUVA und kantonalem Gericht den mittelschweren Unfällen, eher im Grenzbereich zu den leichten, einzuordnen (<ref-ruling> E. 6 S. 138). Damit müssen von den in <ref-ruling> E. 6c/aa S. 140 erwähnten Kriterien mehrere oder eines in besonders auffälliger Weise gegeben sein (<ref-ruling> E. 6c/bb S. 140).
Der Unfall hat sich weder unter besonders dramatischen Umständen abgespielt noch war er von besonderer Eindrücklichkeit. Die Versicherte hat sich keine schweren physischen Verletzungen oder solche besonderer Art zugezogen. Aus somatischer Sicht war keine ärztliche Behandlung von ungewöhnlich langer Dauer nötig. Sie leidet auch nicht unter körperlichen Dauerschmerzen, sind doch ihre geklagten Beschwerden psychischen Ursprungs. Es liegen weder eine ärztliche Fehlbehandlung noch ein schwieriger Heilungsverlauf oder erhebliche Komplikationen vor. Schliesslich ist auch das Erfordernis einer physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit zu verneinen, muss doch aufgrund der Aktenlage davon ausgegangen werden, dass die ärztlich bestätigte Arbeitsunfähigkeit schon bald nach dem Unfall in der psychischen Problematik begründet war.
Damit ist keines der massgeblichen Kriterien gegeben, so dass die psychischen Beschwerden der Versicherten nicht adäquat kausal zum Unfallereignis vom 24. Oktober 2005 sind. Die Vorinstanz hat damit zu Recht die Leistungseinstellung der SUVA per 20. Juni 2006 bestätigt.
7. Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch