Sachverhalt:
A.
Die 1965 geborene A._ arbeitete ab dem 1. August 2000 als Sonderschullehrerin für die Gemeinde U._/TG. Da sie über keine Fachausbildung im Fach Chemie verfügte, führte ihr Lehrerkollege B._ jeweils nach Schulschluss mit ihr die durchzuführenden Chemieexperimente durch. Am 9. Januar 2001 machten die beiden einen Versuch mit "Chäpselipistolenpulver"; dabei wird Schwefel mit Kaliumchlorat vermischt und durch Reibung mit dem Pistill in der Mörserschale zur Explosion gebracht. Nachdem die ersten beiden Versuche nicht funktioniert hatten, leerte B._ die Restsubstanzen zusammen in eine grössere Mörserschale und liess dieses Restgemisch erneut von A._ zerreiben, wobei es zu einer heftigen Explosion kam. A._ erlitt dabei eine lebensgefährliche Inhalationsverletzung der Lungen und Explosionsverletzungen an beiden Händen. Der linke Daumen und der rechte Zeigefinger konnten nicht erhalten werden und der rechte Daumen und weitere Finger sind verkürzt und teilweise versteift. Beide Hände sind im Alltag nur noch unter Einsatz von Hilfsmitteln einsetzbar. In der Folge verurteilte die bezirksgerichtliche Kommission V._ B._ wegen fahrlässiger schwerer Körperverletzung und fahrlässiger Gefährdung durch Sprengstoffe zu einer bedingten Gefängnisstrafe von zwei Wochen und einer Geldbusse von Fr. 1'000.--.
Aufgrund ihrer schweren Verletzungen wurde A._ auf Kosten der Invalidenversicherung zur Heilpädagogin umgeschult. Seit Abschluss der Umschulung gilt sie als rentenausschliessend wieder eingegliedert.
B.
Am 22. November 2012 erhob die Eidgenössische Invalidenversicherung Klage beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und beantragte, die Gemeinde U._ sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 354'975.50 nebst Zins zu 5% auf Fr. 255'563.90 seit dem 1. November 2012 zu bezahlen. Dabei machte sie im Wesentlichen geltend, dass der Versicherungsträger gegenüber einem Dritten, der für den Versicherungsfall hafte, im Zeitpunkt des Ereignisses bis auf die Höhe der gesetzlichen Leistungen in die Ansprüche der versicherten Person eintrete. Ein Rückgriffsanspruch gegenüber dem Arbeitgeber stehe dem Versicherungsträger im Sinne des Arbeitgeberprivilegs nur zu, wenn dieser den Versicherungsfall zumindest grobfahrlässig herbeigeführt habe. Hier sei das Verhalten von B._ sowie allenfalls der Gemeinde U._ als grobfahrlässig einzustufen, womit das Arbeitgeberprivileg entfalle und die Gemeinde U._ bzw. deren Haftpflichtversicherer der Eidgenössischen Invalidenversicherung ersatzpflichtig sei. Die Gemeinde U._ bestritt sowohl eine Haftbarkeit nach dem kantonalen Verantwortlichkeitsgesetz wie auch ein grobfahrlässiges Verhalten von B._. Zudem machte sie u.a. geltend, die Forderung sei verjährt.
Mit Urteil vom 25. September 2013 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Klage gut. Die Gemeinde U._ wurde verpflichtet, der Eidgenössischen Invalidenversicherung Fr. 354'975.50 nebst Zins von 5% auf Fr. 255'563.90 seit dem 1. November 2012 zu bezahlen.
C.
Mit Eingabe vom 15. November 2013 erhebt die Gemeinde U._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 25. September 2013 sei aufzuheben und die Klage der Eidgenössischen Invalidenversicherung abzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid, der Schadenersatzansprüche bzw. eine Forderung aus Regress gegenüber der Gemeinde U._ zum Gegenstand hat und damit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts im Sinne von <ref-law> betrifft. Da kein Ausschlussgrund nach Massgabe von <ref-law> gegeben ist und - zumal ein Haftungsfall im Sinne von <ref-law> (d.h. eine vermögensrechtliche Angelegenheit) im Streit liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 141 f. mit Hinweisen) - auch die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- offensichtlich erreicht wird, steht dagegen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> offen.
1.2. Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften sind in erster Linie zur Beschwerde berechtigt, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt (<ref-law>). Um eine Beschwerdeberechtigung auf Grundlage dieser spezifischen Bestimmung annehmen zu können, muss das Gemeinwesen allerdings die Existenz solcher ihm zuerkannten verfassungsmässigen Garantien rechtsgenüglich dartun (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 92 sowie das Urteil 2C_226/2012 vom 10. Juni 2013 E. 2.1). Dies ist vorliegend nicht der Fall, da sich die Beschwerdeführerin nicht auf <ref-law> beruft, so dass im Hinblick auf die Berechtigung zur Beschwerde allenfalls noch das aus <ref-law> fliessende allgemeine Beschwerderecht in Frage kommt (Urteile 2C_226/2012 vom 10. Juni 2013 E. 2; 2C_1016/2011 vom 3. Mai 2012 E. 1.2.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Da diese Regelung vornehmlich auf Privatpersonen zugeschnitten ist (Urteil 1C_403/2012 vom 23. Mai 2013 E. 3.1), dürfen Gemeinwesen gestützt auf die allgemeine Legitimationsklausel nur restriktiv zur Beschwerdeführung zugelassen werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 93; <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 509; <ref-ruling> E. 1.3 S. 47).
Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften sind zur Beschwerde nach <ref-law> berechtigt, falls sie durch einen angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie ein Privater oder aber in qualifizierter Weise in schutzwürdigen und wichtigen eigenen hoheitlichen Interessen berührt sind und nicht bloss das allgemeine Interesse an der richtigen Rechtsanwendung geltend machen (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 93; <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 508 mit Hinweisen). Ebenfalls bejaht hat das Bundesgericht die Legitimation mit der Begründung, der Kanton sei in Bezug auf den Schutz seines Verwaltungs- oder Finanzvermögens analog wie ein Privater betroffen, so etwa in Fällen der Staatshaftung (BGE <ref-ruling> E. 2.1.2 und 2.3 S. 508 ff.; Urteile 2C_397/2012 vom 19. November 2012 E. 1.6; 2C_111/2011 vom 7. Juli 2011 E. 1.3, in: RDAF 2011 I S. 594).
Praxisgemäss ist somit hier - auch wenn sich die Beschwerdeführerin nicht näher zur Problematik äussert - grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten, wobei die Anforderungen an die Begründungspflicht (vgl. E. 1.4 hiernach) vorbehalten bleiben.
1.3. Soweit sich der angefochtene Entscheid auf kantonales Staatshaftungs- bzw. Verantwortlichkeitsrecht stützt, kommt als Beschwerdegrund im Wesentlichen die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht, insbesondere von verfassungsmässigen Rechten der Bundesverfassung, in Frage (<ref-law>). Die Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund. Überprüft werden kann insoweit nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung sonst wie gegen übergeordnetes Recht verstossen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.). Willkür liegt dabei nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dass das angefochtene Urteil mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei nicht übereinstimmt oder eine andere Lösung oder Würdigung vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, genügt für die Begründung von Willkür praxisgemäss nicht (<ref-ruling> E. 4.2 S. 560; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4 mit Hinweisen).
Frei prüft das Bundesgericht sodann nur die geltend gemachten Verletzungen von Bundesrecht (hier im Wesentlichen die Auslegung der Regressvereinbarung, die Anwendung des Haftungsprivilegs des Arbeitgebers und der Subrogationsgrundsätze sowie der Umfang des Regressanspruchs, vgl. E. 3.3, 4, 5 und 6 hiernach).
1.4. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287). Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400 sowie Urteil 2C_87/2010 vom 7. September 2010 E. 2.1 mit Hinweisen). Die vorliegende Beschwerdeschrift genügt diesen Anforderungen nur teilweise, zumal sich die Beschwerdeführerin in erheblichem Ausmass mit bloss appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid begnügt (<ref-ruling> E. 3.8 S. 144). Nach dem Gesagten kann auf die vorliegende Beschwerde - mangels genügend spezifischer Begründung - teilweise nicht eingetreten werden.
2.
2.1. Im vorliegenden Fall findet vorab das Gesetz [des Kantons Thurgau] vom 14. Februar 1979 über die Verantwortlichkeit (Verantwortlichkeitsgesetz, VG/TG; RB 170.3) Anwendung. Gemäss § 1 VG/TG unterstehen dem Gesetz der Staat, die Gemeinden, die Organisationen des kantonalen öffentlichen Rechtes mit eigener Rechtspersönlichkeit und die Personen, die mit öffentlichen Aufgaben dieser Gemeinwesen betraut sind, seien sie Behördemitglieder oder Mitarbeitende, seien sie vollamtlich, nebenamtlich, ständig oder vorübergehend tätig. Sodann wird in § 4 Abs. 1 VG/TG der Grundsatz der Haftung des Staates gegenüber Dritten unter der Marginalie "Haftung aus widerrechtlicher Tätigkeit" wie folgt umschrieben: "Der Staat haftet für den Schaden, den eine mit öffentlichen Aufgaben betraute Person in Ausübung amtlicher Verrichtungen einem Dritten dadurch zufügt, dass sie dessen Rechte verletzt."
2.2. Die heute für alle Sozialversicherungsrechtszweige geltende Regressregelung von Art. 72 ff. des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) ist erst am 1. Januar 2003 in Kraft getreten (vgl. AS 2002 3393); auf Ansprüche, welche - wie die hier geltend gemachte Regressforderung - vor diesem Zeitpunkt entstanden sind, findet sie keine Anwendung (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 492; Urteil 2A.726/2006 vom 8. November 2007 E. 2). Massgebend sind deshalb vorliegend noch die bis Ende Dezember 2002 in Kraft gestandenen Regelungen von aArt. 52 des Bundesgesetzes vom 19. Juni 1959 über die Invalidenversicherung (IVG; Fassung vom 24. Juni 1977 [AS 1978 408]) in Verbindung mit aArt. 48ter ff. des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1946 über die Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHVG; Fassung vom 7. Oktober 1994 [AS 1978 401 und AS 1996 2480]) bzw. aArt. 41 ff. des Bundesgesetzes vom 20. März 1981 über die Unfallversicherung (UVG; in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung; AS 1982 1688). Demnach tritt die (Invaliden-) Versicherung gegenüber einem Dritten, der für den Tod oder die Gesundheitsschädigung eines Versicherten haftet, im Zeitpunkt des Ereignisses bis auf die Höhe ihrer gesetzlichen Leistungen in die Ansprüche des Versicherten ein, wobei aArt. 44 UVG [Haftungs- und Regressprivileg] vorbehalten bleibt (a<ref-law> Abs. 1 i.V.m. aArt. 48ter AHVG).
3.
Zu prüfen ist vorab die Rüge der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe zu Unrecht auf Nichteintritt der geltend gemachten Verjährung der Regressforderung erkannt.
3.1. Die Vorinstanz hat dazu im angefochtenen Entscheid zunächst festgestellt, dass aufgrund des Verweises in § 13 VG/TG ("Ergänzendes Recht") im vorliegenden Fall <ref-law> bei der Bestimmung des Verjährungszeitpunktes zu berücksichtigen sei. Daraus folge weiter, dass die strafrechtliche Verfolgungsverjährung von fünf Jahren (aArt. 70 Abs. 3 StGB) massgeblich sei. Daraus zog die Vorinstanz den Schluss, dass zum Zeitpunkt der Regressanmeldung durch die Beschwerdegegnerin am 26. November 2002 die Verjährung der Forderung noch nicht eingetreten war (vgl. angefochtener Entscheid E. 4).
Weiter hat die Vorinstanz ausgeführt, dass die Verjährungsverzichtsvereinbarung 1 HMV-BSV vom 13. Januar 1982 zwischen dem Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) und der Versicherung C._ als Haftpflichtversicherer der Beschwerdeführerin auch für die Beschwerdeführerin selber massgeblich sei. Da das Verhalten der Versicherung C._ (Abschluss der Verjährungsverzichtsvereinbarung) der Beschwerdeführerin anzurechnen sei, habe dies zur Folge, dass gemäss Ziff. 2c der Vereinbarung ab dem 26. November 2002 (Anmeldung des Regresses) ein Verjährungseinredeverzicht bis zum 26. November 2012 gegolten habe. Damit sei die eingeklagte Forderung zum Zeitpunkt der Klageeinreichung am 22. November 2012 noch nicht verjährt gewesen (vgl. angefochtener Entscheid E. 5).
3.2. Soweit die Beschwerdeführerin die Anwendung der längeren strafrechtlichen (Verfolgungs-) Verjährung im kantonalen Staatshaftungsrecht in Frage stellen will, kann ihr nicht gefolgt werden: Wie bereits erwähnt (vgl. E. 1.3 hiervor) können die kantonalen Verjährungsregeln - worunter hier auch die gestützt auf § 13 VG/TG erfolgte analoge Anwendung von <ref-law> fällt - nur auf Willkür hin überprüft werden. Den Ausführungen der Beschwerdeführerin - soweit sie denn überhaupt die Begründungsanforderungen erfüllen (vgl. E. 1.4 hiervor) - kann nicht entnommen werden, inwiefern der vorinstanzliche Schluss, wonach in Anwendung von <ref-law> i.V.m. aArt. 70 Abs. 3 StGB zum Zeitpunkt der Regressanmeldung durch die Beschwerdegegnerin am 26. November 2002 die Verjährung der Forderung noch nicht eingetreten war, geradezu willkürlich sein soll. Auch die Anrufung von § 16 KV/TG (SR 131.228) ist diesbezüglich nicht zielführend, beschränkt sich doch diese Bestimmung bloss auf den Hinweis, wonach der Staat nach dem Gesetz für den Schaden haftet, der durch seine Organe verursacht wird. Schliesslich kann die Beschwerdeführerin aus <ref-ruling> nichts zu ihren Gunsten ableiten, da sich dieser Entscheid auf die Bestimmungen im Bundesgesetz vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördemitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz, VG; SR 170.32) bezieht, die entscheidend von der Regelung im VG/TG abweichen (vgl. dazu angefochtener Entscheid E. 4.3).
3.3. Bei der umstrittenen Vereinbarung 1 HMV-BSV vom 13. Januar 1982 handelt es sich um einen bundesrechtlichen Vertrag (gestützt auf a<ref-law> i.V.m. a<ref-law>). Für dessen Auslegung kommen folgende Grundsätze zur Anwendung: Was die Parteien beim Vertragsabschluss gewusst, gewollt oder tatsächlich verstanden haben, ist Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.3 S. 681; <ref-ruling> E. 4.1 S. 611); die tatsächliche Ermittlung des subjektiven Parteiwillens (subjektive Vertragsauslegung) beruht auf Beweiswürdigung, die der bundesgerichtlichen Überprüfung nur in den Schranken von <ref-law> zugänglich ist (<ref-ruling> E. 3.3 S. 681; <ref-ruling> E. 3.1 S. 632; <ref-ruling> E. 4c/bb S. 182). Die objektive Vertragsauslegung nach dem Vertrauensgrundsatz ist demgegenüber Rechtsfrage, die vom Bundesgericht bei bundesrechtlichen Verträgen frei (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 3.3 S. 181; <ref-ruling> E. 3.1 S. 632) überprüft wird (vgl. auch Urteil 2C_1055/2012 vom 22. Januar 2014 E. 2.3).
3.3.1. Ziff. 2a bis 2c der Vereinbarung lauten wie folgt:
"a) Im Rahmen der versicherten Deckung und unter ausdrücklicher Offenlassung der Haftungs- und Passivlegitimationsfragen verzichten die beteiligten Versicherungsgesellschaften gegenüber Regressansprüchen gemäss <ref-law> und <ref-law> für sich und ihre Versicherten auf die Einrede der Verjährung, sofern der Regressanspruch vor Eintritt der Verjährung dem Haftpflichtigen oder der Versicherungsgesellschaft angemeldet worden ist.
b) Als Beginn der jeweils geltenden Verjährungsfrist gilt der Tag, an dem die Anmeldung zum Leistungsbezug bei den zuständigen Organen der AHV oder IV (Ausgleichskassen oder IV-Kommissionen) eingeht.
c) Der Verjährungsverzicht gemäss Ziffer 2a) fällt 10 Jahre nach der Anmeldung des Regressansprüche dahin, es sei denn, dass eine besondere Vereinbarung getroffen oder die Verjährung mit den gesetzlichen Mitteln unterbrochen wird."
[...]
3.3.2. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, die Vereinbarung könne keine Drittwirkung entfalten und verstosse gegen <ref-law>.
Zur Frage der Drittwirkung der Verjährungsverzichtserklärung hat die Vorinstanz alles Wesentliche ausgeführt (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.2 bis 5.4). Insbesondere hat sie verbindlich festgestellt, die Versicherung C._ als Haftpflichtversicherer der Beschwerdeführerin habe die Anmeldung des Regresses entgegengenommen und mit keinem Wort die Auffassung vertreten, die Vereinbarung sei nicht anwendbar oder die Forderung bereits verjährt. Die Beschwerdeführerin bestreitet sodann nicht, dass sie im vorliegenden Fall die Schadensregulierung ihrem Haftpflichtversicherer überlassen hat. Mit den Ausführungen der Vorinstanz, wonach es einer haftpflichtrechtlichen Gepflogenheit entspreche, dass die Haftpflichtversicherung auch für ihre Versicherten einen Verzicht auf eine Verjährungseinrede unterzeichne bzw. die Regeln der Regressvereinbarung auch für die Beschwerdeführerin massgeblich seien, namentlich weil diese keine anderslautende Vereinbarung zwischen ihr und der Versicherung C._ eingereicht habe, setzt sich die Beschwerdeführerin sodann nicht näher auseinander; sie verfällt in unzulässige appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid (vgl. E. 1.4 hiervor).
Dazu kommt, dass die Rüge der fehlenden Drittwirkung nur im Zusammenhang mit einem Verstoss gegen <ref-law> ("Auf die Verjährung kann nicht zum voraus verzichtet werden") begründet wird. Der Regress ist zwar als solcher bundesrechtlicher Natur (vgl. E. 2.2 hiervor); die Forderung, in welche die Beschwerdegegnerin regressiert, ist aber eine kantonalrechtliche, weshalb auch die Frage, ob und unter welchen Voraussetzungen auf die Verjährung verzichtet werden kann, kantonalrechtlich geregelt ist. Unter diesen Umständen (vgl. zur eingeschränkten Kognition E. 1.3 hiervor) ist nicht ersichtlich, inwiefern das kantonale Recht willkürlich angewendet worden sein soll: So steht nicht fest, dass das kantonale Recht eine analoge Regelung kennt, wie sie <ref-law> vorsieht. Zudem ist auch im Bundesrecht die Auslegung von <ref-law> umstritten (vgl. dazu <ref-ruling>), so dass hier verschiedene Lösungen vertretbar scheinen. Schliesslich erhebt die Beschwerdeführerin auch keine Rüge der Verletzung der Begründungspflicht, weil sich die Vorinstanz nicht mit der Verletzung von <ref-law> auseinandergesetzt hat. Damit erweisen sich die vorinstanzlichen Ausführungen zumindest im Ergebnis nicht als unhaltbar und sind unter Willküraspekten nicht zu beanstanden.
3.3.3. Die Vorinstanz hat sich sodann ausführlich mit der Auslegung von Ziff. 2a bis 2c der Vereinbarung befasst (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.4). Dabei hat sie richtigerweise festgehalten, dass unter der "jeweils geltenden Verjährungsfrist" gemäss Ziff. 2b der Vereinbarung die mindestens fünfjährige strafrechtliche Verfolgungsverjährungsfrist zu verstehen sei (vgl. dazu E. 3.2 hiervor). Daraus hat die Vorinstanz zu Recht den Schluss gezogen, auch wenn diese Frist bereits mit der IV-Anmeldung im Mai 2001 zu laufen begonnen hätte, wäre die Anmeldung des Regresses am 26. November 2002 noch während der Verjährungsfrist erfolgt. Damit braucht im Ergebnis nicht näher auf die Argumentation der Beschwerdeführerin eingegangen zu werden, wonach die vertragliche Regelung die gesetzliche Regelung der Verjährung derogiere (vgl. dazu auch <ref-law>). Im Übrigen beschränkt sich die Beschwerdeführerin auch hier im Wesentlichen darauf, ihre bereits vor der Vorinstanz vorgebrachten Argumente zu wiederholen (vgl. E. 1.4 hiervor).
3.4. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz im Ergebnis damit willkürfrei erkannt, dass die eingeklagte Forderung am 22. November 2012 noch nicht verjährt war.
4.
Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, die Vorinstanz sei zu Unrecht von einem grobfahrlässigen Verhalten von B._ ausgegangen, weshalb das (altrechtliche) Haftungsprivileg des Arbeitgebers hier nicht entfallen sei. Zudem habe die Vorinstanz zu Unrecht ein Selbstverschulden von A._ und damit verbunden eine reduzierte Haftungsquote verneint.
4.1. Gemäss a<ref-law> i.V.m. aArt. 48ter AHVG subrogiert die Versicherung in jenem Umfang in die Ansprüche, welche dem Geschädigten gegenüber dem Haftpflichtigen zukommen, in dem sie Ersterem die gesetzlichen Leistungen erbracht hat. Somit können die in Anspruch genommenen Sozialversicherungen ihre Aufwendungen grundsätzlich vom haftpflichtigen Schädiger zurückfordern. Durch aArt. 44 Abs. 2 UVG wird dieses Rückgriffsrecht allerdings begrenzt: Die bis Ende Dezember 2002 geltende Gesetzgebung sieht zugunsten des Arbeitgebers des Versicherten ein Haftungs- und Regressprivileg vor (für das heutige Recht vgl. <ref-law>). Durch das Regressprivileg wird die Möglichkeit der Sozialversicherer beschränkt, den Arbeitgeber gestützt auf eine Subrogation nach a<ref-law> i.V.m. aArt. 48ter AHVG zu belangen; ein Rückgriff ist nur dann möglich, wenn der Versicherungsfall absichtlich oder zumindest grobfahrlässig verursacht worden ist (vgl. Urteil 2A.726/2006 vom 8. November 2007 E. 2.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2b/bb S. 286).
4.2. Mithin bleibt hier das Verschulden des rechtskräftig verurteilten B._ zu beurteilen: Ist diesem Grobfahrlässigkeit vorzuwerfen, so kann die Invalidenversicherung trotz des Haftungs- und Regressprivilegs auf die Beschwerdeführerin Rückgriff nehmen; liegt demgegenüber nur einfache Fahrlässigkeit vor, so ist ein Regress ausgeschlossen. Der Begriff der Grobfahrlässigkeit im Sinne von aArt. 44 UVG bzw. a<ref-law> i.V.m. aArt. 48ter AHVG ist grundsätzlich gleich wie im zivilrechtlichen Haftpflichtrecht zu verstehen. Grobfahrlässig handelt mithin, wer elementare Vorsichtsgebote verletzt, die jeder verständige Mensch in der gleichen Lage und unter den gleichen Umständen beachten würde (vgl. Urteile 2A.726/2006 vom 8. November 2007 E. 3; 4C.286/2003 vom 18. Februar 2004 E. 3 mit zahlreichen Hinweisen).
4.3. Die Beschwerdeführerin wiederholt im Wesentlichen ihre bereits vor der Vorinstanz dargelegten Argumente, wonach B._ nicht grobfahrlässig gehandelt haben soll. Die Vorinstanz habe ausser Acht gelassen, dass B._ die mit den Abfallprodukten herbeigeführte Reaktion nicht habe erkennen können bzw. selber erstaunt war, dass er überhaupt noch eine Reaktion habe herbeiführen können. Zudem habe es sich um ein Standardexperiment gehandelt, das in Lehrmitteln beschrieben worden sei. Sein Verhalten sei deshalb durchaus entschuldbar gewesen.
4.4. Der Begriff der Grobfahrlässigkeit als unbestimmter Rechtsbegriff unterliegt grundsätzlich als Rechtsfrage einer uneingeschränkten Überprüfung durch das Bundesgericht (vgl. Urteile 8C_7/2012 vom 4. April 2012 E. 4.1; 2A.585/2004 vom 11. Januar 2005 E. 4). Praxisgemäss verfügt aber das Sachgericht bei der Verschuldensbeurteilung über einen gewissen Beurteilungsspielraum, in den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift, namentlich wenn die Vorinstanz Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid keine Rolle spielen dürfen oder umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen (Urteil 4C.286/2003 vom 18. Februar 2004 E. 4.2.
4.5. Die Vorinstanz hat in für das Bundesgericht verbindlicher Weise festgestellt (vgl. angefochtener Entscheid E. 7.4), dass B._ wusste, dass nur kleine Mengen der beiden reagierenden Substanzen verrieben werden durften und er - entgegen den Empfehlungen in der Fachliteratur - trotzdem grössere Mengen der beiden Substanzen verwendet hat. Namentlich aus dem Umstand, dass B._ überaus deutlich zu grosse Mengen Stoff (nicht im Milligramm- sondern im Grammbereich) verwendete, hat die Vorinstanz auf grobe Fahrlässigkeit geschlossen.
Die Beschwerdeführerin wiederholt vor Bundesgericht weitgehend die vor der Vorinstanz bereits vorgebrachten Rügen und kritisiert am vorinstanzlichen Urteil im Wesentlichen, dass die Ausführungen zur Grobfahrlässigkeit nur kurz ausgefallen seien. Indessen hat die Vorinstanz die für die Beurteilung wesentlichen Aspekte dargelegt. Sie hat auch begründet, weshalb sie nicht auf das Strafurteil abgestellt hat: Dieses habe sich nicht dezidiert und begründet mit der Frage befasst, welchen Grad die Fahrlässigkeit aufgewiesen habe, aber es habe B._ strafmindernd zu Gute gehalten, dass er es auf sich nahm, in seiner Freizeit eine unerfahrene Lehrkraft anzuleiten. Dieser für die Strafzumessung bedeutsame Aspekt ändert aber nichts daran, dass B._ nach der Feststellung der Vorinstanz eine wesentlich grössere Menge eines bekanntermassen explosiven Gemisches verwendet hat als empfohlen. Darin hat die Vorinstanz mit Recht eine Grobfahrlässigkeit erblickt.
4.6. Ebenso wenig ist die Schlussfolgerung der Vorinstanz zu beanstanden, wonach das Selbstverschulden von A._ nur als leicht zu bezeichnen ist (vgl. angefochtener Entscheid E. 7.5). Zwar mögen die diesbezüglichen vorinstanzlichen Ausführungen etwas kurz geraten sein; immerhin hat sie aber festgestellt, dass A._ aufgrund der Umstände (langjährige Unterrichtstätigkeit von B._ im Fach Chemie, Unkenntnis des zur Diskussion stehenden Experiments bzw. fehlende Unterlagen vor Durchführung der Experimente) darauf vertrauen durfte, dass B._ wusste, was er tat. Auch in diesem Punkt beschränkt sich die Beschwerdeführerin im Wesentlichen auf eine Wiederholung ihrer Argumentation vor der Vorinstanz (vgl. E. 1.4). Sie legt insbesondere nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt haben soll (vgl. Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich mehrfach Bestimmungen der ZPO (SR 272) anruft, ist ihr entgegenzuhalten, dass die ZPO im vorliegenden (Verwaltungs-) Verfahren weder als Bundeszivilrecht noch als subsidiäres kantonales Recht zur Anwendung kommt.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der Subrogationsgrundsätze von a<ref-law> i.V.m. aArt. 48quinquies AHVG, weil die Vorinstanz zu Unrecht reine Verwaltungskosten (Arztberichtskosten, Gutachtenskosten, Regresszinsen) zum Regress zugelassen habe.
5.2. Die Vorinstanz hat dazu ausgeführt, dass auch Kosten für Arztberichte und Gutachten, die nötig waren, um die Heilung an die Hand zu nehmen bzw. um den Umschulungsbedarf abzuklären, zu den Heilungs- und Eingliederungskosten gehörten (vgl. angefochtener Entscheid E. 10.3).
5.3. Die Sichtweise der Vorinstanz ist nicht zu beanstanden: Gemäss aArt. 48quinquies Abs. 1 AHVG (bzw. <ref-law>) gehen nur die Ansprüche für Leistungen gleicher Art auf die Versicherung über. Der Katalog der "Leistungen gleicher Art" in aArt. 48quinquies Abs. 2 AHVG und aArt. 52 Abs. 2 IVG (bzw. <ref-law>) ist sodann nicht abschliessend. Dieser Grundsatz der sachlichen Kongruenz war schon vor Inkrafttreten des ATSG gesetzlich verankert ( UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, <ref-law> N. 2). Der Umstand, dass in <ref-law> neu die Vergütungen für Heilungs- und Eingliederungskosten ausdrücklich erwähnt ist, spricht dafür, dass diese Kategorie auch schon unter der alten Regelung von aArt. 48quinquies Abs. 2 AHVG als gleichartig anzusehen war, da nicht ersichtlich ist, dass der Gesetzgeber in diesem Bereich etwas ändern wollte ( KIESER, a.a.O., <ref-law> N. 2 und 6; vgl. Urteil 4C.374/2005 vom 10. Januar 2006 E. 3; vgl. zur Kongruenz auch <ref-ruling> E. 4.5 S. 494 ff.). Eine "unzulässige Vorwirkung des ATSG" ist unter diesen Umständen nicht ersichtlich.
6.
6.1. Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin die Schadensberechnung durch die Vorinstanz und bestreitet den Umfang des Regressanspruchs. Trotz der bestehenden Lohnfortzahlungspflicht des Arbeitgebers seien Leistungen unter Annahme eines vollen Erwerbsausfalls zugesprochen worden.
6.2. Die Vorinstanz hat dazu für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass A._ vom 1. August 2002 bis zum 20. Oktober 2003 kein Wartezeittaggeld (vgl. aArt. 52 Abs. 2 lit. b IVG bzw. <ref-law>) ausbezahlt worden sei, womit in Bezug auf die Lohnzahlungen von Januar bis Juli 2003 keine "Doppelzahlung" vorzuliegen scheine (vgl. angefochtener Entscheid E. 10.3). Auch hier genügen die Ausführungen der Beschwerdeführerin nicht, um diese Sachverhaltsdarstellung als offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen (vgl. E. 1.4 hiervor). Insbesondere sind die zahlreichen Hinweise auf die ZPO unbeachtlich (vgl. E. 4.7 hiervor).
6.3. Die Beschwerdeführerin machte sodann schon vor der Vorinstanz geltend, für das im Juni und Juli 2002 ausgerichtete Wartezeittaggeld bestehe kein Regressanspruch, da während diesen beiden Monaten noch die zweijährige Lohnfortzahlungspflicht der Arbeitgeberin zum Tragen gekommen sei. Die Vorinstanz ist darauf mangels Substantiierung nicht eingegangen (vgl. angefochtener Entscheid E. 10.3). Der Beschwerdeführerin ist zwar insofern zuzustimmen, dass aufgrund der gesetzlichen Lohnfortzahlungspflicht des Arbeitgebers das für die gleiche Periode geltend gemachte Wartezeittaggeld nicht zum Regress zugelassen werden könnte. Wie bereits vor der Vorinstanz vermag aber die Beschwerdeführerin auch vor dem Bundesgericht nicht nachzuweisen, dass im Zeitraum Juni und Juli 2002 die Lohnfortzahlungspflicht noch zum Tragen gekommen sein soll. Insgesamt kann der Vorinstanz hier keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vorgehalten werden.
7.
Die Beschwerde erweist sich demnach als unbegründet und ist abzuweisen. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig, da sie mit ihrer Beschwerde Vermögensinteressen geltend gemacht hat (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Die Beschwerdegegnerin obsiegt in ihrem amtlichen Wirkungskreis, weshalb ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger