Sachverhalt:
A.
Y._ (Beschwerdegegnerin) ist Eigentümerin des Grundstücks Parzelle Nr. zzz an der Strasse S._ in A._. Am 2. September 2009 schloss sie mit der X._ GmbH (Beschwerdeführerin) einen "Vermittlungs- und Verkaufsauftrag" zwecks Verkaufs ihrer Liegenschaft in A._ ab. Darin erteilte sie der Beschwerdeführerin "den Alleinauftrag zum Verkauf bzw. zum Nachweis eines Käufers" für die Liegenschaft. Der Verkaufsrichtpreis wurde zunächst auf Fr. 2'420'000.-- festgesetzt. Betreffend die Vergütung der Beschwerdeführerin wurde unter dem Titel "5. Erfolgshonorar" folgendes vereinbart:
"Das Erfolgshonorar bei Vermittlung beträgt pauschal CHF 60'000.-- (sechzigtausend Schweizerfranken) inkl. Mehrwertsteuer und ist fällig bei Eigentumsübertragung.
Der Auftraggeber verpflichtet sich, der Maklerin das Erfolgshonorar gemäss Abs. 1 hievor zu bezahlen, wenn die Maklerin durch Nachweis des nachmaligen Käufers, Vermittlung oder sonstige Mitwirkung den Abschluss eines öffentlich beurkundeten Kaufvertrags herbeigeführt hat. Das Honorar ist auch geschuldet, wenn der notariell verurkundete Kaufpreis unter dem Verkaufsrichtpreis gem. Ziff. 4 liegt.
Ferner ist das volle Honorar verdient und geschuldet wenn:
A.) die Maklerin einen abschlusswilligen Kaufinteressenten beigebracht hat und der Auftraggeber (aus welchen Gründen auch immer) nicht mehr verkaufen will;
[...]."
Nach einer Herabsetzung des Verkaufspreises auf Fr. 1'950'000.-- vereinbarten die Parteien auch eine Reduktion des Erfolgshonorars auf Fr. 40'000.--. Mit einem ersten von der Beschwerdeführerin beigebrachten Interessenten scheiterten die Verhandlungen, da keine Einigung über den Kaufpreis erzielt werden konnte. Danach fand sich mit den Ehegatten C._ ein zweiter Interessent. Diese besichtigten die Liegenschaft und waren auch mit dem Preis von Fr. 1'950'000.-- grundsätzlich einverstanden. Am 11. Oktober 2010 erhielt die Beschwerdeführerin die Finanzierungsbestätigung der Bank der Ehegatten C._. Schliesslich scheiterten jedoch auch diese Verhandlungen, und es kam kein Kaufvertrag zustande.
Mit Schreiben vom 28. Oktober 2010 kündigte die Beschwerdegegnerin den "Vermittlungs- und Verkaufsauftrag" per 1. Dezember 2010. Daraufhin stellte die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin ein Honorar von Fr. 40'000.-- in Rechnung. Die Beschwerdegegnerin leistete keine Zahlung.
B.
Mit Klage vom 8. Juli 2011 beantragte die Beschwerdeführerin dem Zivilgericht Basel-Stadt, die Beschwerdegegnerin sei zur Zahlung von Fr. 40'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2010 zu verurteilen. Am 14. März 2012 verurteilte das Zivilgericht die Beschwerdegegnerin, der Beschwerdeführerin Fr. 20'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2010 zu bezahlen und wies das weitergehende Klagebegehren ab. Es erkannte, der "Vermittlungs- und Verkaufsauftrag" sei wegen Dissens nicht zustande gekommen. Die Leistungsbeziehung zwischen den Parteien sei nach den Regeln der ungerechtfertigten Bereicherung rückabzuwickeln. Ex aequo et bono habe die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin für deren Leistungen einen Wertersatz von Fr. 20'000.-- nebst Zins zu leisten.
Gegen diesen Entscheid gelangte die Beschwerdegegnerin mit Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und beantragte in der Sache die Abweisung der Klage. Die Beschwerdeführerin erhob Anschlussberufung und begehrte die Gutheissung der Klage. Mit Entscheid vom 29. Juli 2013 hob das Appellationsgericht den Entscheid des Zivilgerichts auf und wies die Klage ab. Es erkannte, dass der "Vermittlungs- und Verkaufsauftrag" vom 2. September 2009 gültig zustande gekommen sei. Indessen seien die Voraussetzungen für den vereinbarten Honoraranspruch der Beschwerdeführerin nicht erfüllt. Die Beschwerdeführerin habe weder gemäss Ziff. 5 Abs. 2 des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags" den Abschluss eines öffentlich beurkundeten Kaufvertrags herbeigeführt noch im Sinne von Ziff. 5 Abs. 3 lit. A einen abschlusswilligen Kaufinteressenten beigebracht, den die Beschwerdegegnerin treuwidrig abgelehnt hätte.
C.
Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 29. Juli 2013 sei aufzuheben, ihre Klage vom 8. Juli 2011 sei vollumfänglich gutzuheissen und die Beschwerdegegnerin sei zur Zahlung des Honorars von Fr. 40'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2010 zu verurteilen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen und den angefochtenen Entscheid vollumfänglich zu bestätigen. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Sodann übersteigt der Streitwert (Fr. 40'000.--) die Grenze nach <ref-law>. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 2.2.1).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Überdies hat sie darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.2.2).
Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Sachverhaltsdarstellung vom verbindlich festgestellten Sachverhalt des angefochtenen Urteils abweicht bzw. diesen erweitert, kann darauf nicht abgestellt werden.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt eine falsche Auslegung des Begriffs "abschlusswilliger Kaufinteressent" im Sinne von Ziff. 5 Abs. 3 lit. A des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags" durch die Vorinstanz.
3.1. Der Inhalt eines Vertrags bestimmt sich in erster Linie durch subjektive Auslegung, das heisst nach dem übereinstimmenden wirklichen Parteiwillen (<ref-law>). Wenn dieser unbewiesen bleibt, sind zur Ermittlung des mutmasslichen Parteiwillens die Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 4.1 S. 611; <ref-ruling> E. 3.2). Für die Auslegung nach dem Vertrauensprinzip ist der Zeitpunkt des Vertragsabschlusses massgeblich. Das Bundesgericht überprüft diese objektivierte Auslegung von Willenserklärungen als Rechtsfrage, wobei es an die Feststellungen des kantonalen Richters über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten grundsätzlich gebunden ist (vgl. Erwägung 2; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 67 mit Hinweisen).
3.2. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe aufgrund des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags" einen Vorvertrag für den Grundstückkauf ausgefertigt. Dieser sei aber von den Ehegatten C._ nicht akzeptiert worden, womit feststehe, dass kein Kaufvertrag zustande gekommen sei und dass die Beschwerdeführerin nicht "durch Nachweis des nachmaligen Käufers, Vermittlung oder sonstige Mitwirkung den Abschluss eines öffentlich beurkundeten Kaufvertrags herbeigeführt" habe. Die Beschwerdegegnerin sei nicht bereit gewesen, auf den Änderungswunsch der Ehegatten C._ einzugehen und eine Zahl- und Treuhandstelle einzusetzen. Es frage sich daher, ob das Honorar geschuldet sei, weil die Beschwerdeführerin "einen abschlusswilligen Kaufinteressenten beigebracht hat und der Auftraggeber (aus welchen Gründen auch immer) nicht mehr verkaufen will".
Die Vorinstanz erwog zu dieser Frage, die Beschwerdegegnerin habe ihre Verkaufsbedingungen im Vorvertrag definiert. Wenn die Ehegatten C._ diese Bedingungen nicht akzeptierten, seien sie keine kaufbereiten bzw. "abschlusswilligen" Kaufinteressenten. Dabei sei nicht entscheidend, ob die Errichtung einer Zahl- und Treuhandstelle objektiv gesehen sinnvoll, zumutbar oder im Interesse der Käufer eventuell sogar geboten gewesen wäre. Die Beschwerdegegnerin habe ihre Verkaufsbedingungen gestellt und müsse nicht verkaufen, wenn diese nicht akzeptiert würden. Dies gelte auch, wenn sie eine Mäklerin eingeschaltet habe, die ein grösseres Interesse an einem Vertragsabschluss haben möge als sie selber. Sie könne nicht als "verkaufsunwillig" taxiert werden, wenn sie an ihren - der Mäklerin zum voraus bekannten - Bedingungen festhalte.
Eine Korrektur - so die Vorinstanz weiter - dränge sich auch nicht unter dem Gesichtspunkt von Treu und Glauben auf. So habe sich die Beschwerdegegnerin nicht speziell im Zusammenhang mit den Ehegatten C._ geweigert, eine Zahl- und Treuhandstelle einzurichten. Vielmehr habe sie bereits bei der Ausarbeitung der verschiedenen Entwürfe darauf bestanden, dass die Zahlung der Restkaufpreissumme auf ihr Bankkonto erfolge.
3.3. Die Vorinstanz stellte somit hinsichtlich des Begriffs "abschlusswilliger" Kaufinteressent keinen tatsächlich übereinstimmenden Parteiwillen fest, sondern legte dem Entscheid ihr objektiviertes Verständnis der Vertragsbestimmung zugrunde. Die Beschwerdeführerin macht denn auch nicht geltend, die Vorinstanz habe damit den Grundsatz des Vorranges der subjektiven vor der objektiven Vertragsauslegung verletzt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4b/aa S. 123; siehe ferner <ref-ruling> E. 2b S. 40). Sie ist vielmehr auch selber der Ansicht, dass eine Auslegung nach dem Vertrauensprinzip zu erfolgen habe, hält indessen die Auslegung der Vorinstanz für falsch und unterbreitet dem Bundesgericht ihre eigene Auffassung.
Sie moniert, die Auslegung der Vorinstanz, wonach die Ehegatten C._ nicht "abschlusswillig" gewesen seien, da sie die Bedingungen des Vorvertrags nicht akzeptiert hätten, berücksichtige weder den allgemeinen Sprachgebrauch des Begriffs "abschlusswillig" noch dessen Stellung im Kontext von Ziff. 5 Abs. 3 lit. A des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags" und im Gesamtkontext des Vertrags. Entgegen der Vorinstanz sei der Begriff "abschlusswillig" wie folgt auszulegen: Der Begriff "abschlusswilliger Kaufinteressent" stehe im "Vermittlungs- und Verkaufsauftrag" im Gegensatz zum "Käufer". Ein "Käufer" liege vor, sobald der Abschluss eines öffentlich beurkundeten Kaufvertrags herbeigeführt worden sei. Ein "abschlusswilliger Kaufinteressent" bestehe daher begriffsnotwendig schon in einem früheren Stadium. Abschlusswillig sei ein Kaufinteressent dann, wenn er den Willen zum Ausdruck bringe, einen Vertrag abzuschliessen, das Geschäft aber noch nicht abgewickelt und deshalb gerade noch kein Vertrag abgeschlossen worden sei.
Die Familie C._ - so die Beschwerdeführerin weiter - sei mit sämtlichen wesentlichen Vertragspunkten einverstanden gewesen, insbesondere auch mit dem Kaufpreis. Sie habe ihren Abschlusswillen überdies unterstrichen, indem sie die Finanzierungsbestätigung der Bank eingeholt habe. Sie sei damit als "abschlusswillige Kaufinteressentin" im Sinne des Vertrags zu betrachten. Die Vorinstanz spreche demgegenüber undifferenziert und pauschal von (sämtlichen) Verkaufsbedingungen der Beschwerdegegnerin, die seitens der Familie C._ nicht akzeptiert worden seien. Dabei handle es sich lediglich um die Zahlungsmodalität des Kaufpreises, die nach Ansicht der Familie C._ branchenüblich und für keine der Parteien nachteilig über eine Zahl- und Treuhandstelle hätte abgewickelt werden sollen.
Im Zeitpunkt des Abschlusses des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags" habe sie (die Beschwerdeführerin) aber noch nicht gewusst, dass ein Kaufvertragsabschluss nicht möglich sein würde, wenn ein Käufer eine Zahl- und Treuhandstelle einsetzen wolle. Eine vernünftige Partei habe unter den gegebenen Umständen bei Vertragsabschluss nach guten Treuen davon ausgehen dürfen, dass eine von ihr präsentierte Kaufinteressentin, die mit sämtlichen wesentlichen Vertragspunkten einverstanden sei und dafür eine Finanzierungsbestätigung ihrer Bank einhole und vorlege, als "abschlusswillig" im Sinne von Ziff. 5 Abs. 3 lit. A des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags" zu qualifizieren sei.
3.4. Ausgehend vom Wortlaut ist ein Kaufinteressent "abschlusswillig", wenn er den Willen zum Vertragsabschluss hat. Unterschiedliche Auffassungen bestehen unter den Parteien darüber, welchen Vertrag er abzuschliessen gewillt sein muss. Die Beschwerdeführerin meint, es genüge, dass er "einen" Kaufvertrag abschliessen wolle, solange Einigkeit über die Essentialia bestehe. Demgegenüber ist nach der Auslegung der Beschwerdegegnerin und der Vorinstanz erforderlich, dass der Kaufinteressent den Kaufvertrag zu den Bedingungen, wie sie von der Verkäuferin offeriert worden sind, abzuschliessen gewillt ist.
Die Argumentation der Beschwerdeführerin, die sich im Wesentlichen auf die Gegenüberstellung der Begriffe "abschlusswilliger Kaufinteressent" und "Käufer" stützt, verfängt nicht: Sie ist zwar insoweit zutreffend, als nach Abschluss eines Kaufvertrags nur noch von einem Käufer und nicht mehr von einem abschlusswilligen Kaufinteressenten gesprochen werden kann. Die zeitliche Abfolge der Verwendung der beiden Begriffe sagt aber entgegen der Beschwerdeführerin nichts darüber aus, welchen Vertrag der Kaufinteressent abzuschliessen gewillt sein muss, oder gar, dass der Wille genügt, "einen Vertrag" abzuschliessen. Die Antwort auf diese entscheidende Frage ergibt sich gerade nicht notwendig aus der Gegenüberstellung der beiden Begriffe.
Demgegenüber berücksichtigt die Auslegung der Vorinstanz Sinn und Zweck der vertraglichen Regelung des Erfolgshonoraranspruchs (Ziff. 5 des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags") und fügt sich auch logisch in den systematischen Aufbau derselben ein: So soll das Erfolgshonorar grundsätzlich dann geschuldet sein, wenn es (aufgrund der Bemühungen der Mäklerin) zum Abschluss eines Kaufvertrags gekommen ist (Ziff. 5 Abs. 2), aber darüber hinaus auch dann, wenn mit einem abschlusswilligen Kaufinteressenten kein Kaufvertrag abgeschlossen wurde, weil "der Auftraggeber (aus welchen Gründen auch immer) nicht mehr verkaufen will" (Ziff. 5 Abs. 3 lit. A). Auf der Käuferseite ist die Kaufbereitschaft bzw. Abschlusswilligkeit in beiden Varianten die gleiche: Der Käufer will den konkreten ihm offerierten Kaufvertrag abschliessen. Im ersten Fall kommt es tatsächlich zum Vertragsschluss, im zweiten Fall scheitert der Vertragsschluss aus Gründen, die beim Verkäufer bzw. Auftraggeber liegen. In beiden Fällen hat die Mäklerin die gleiche Leistung erbracht, nämlich einen Käufer vermittelt, der zu den offerierten Bedingungen abschliessen will. Sie soll somit gemäss dem Vertrag das Honorar erhalten, unabhängig davon, dass es aus Gründen des Auftraggebers nicht zu einem Vertragsabschluss gekommen ist. Wenn demgegenüber der vermittelte Kaufinteressent eine oder mehrere Verkaufsbedingungen nicht akzeptiert, fehlt ihm die Abschlusswilligkeit im Sinne von Ziff. 5 Abs. 3 lit. A des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags".
Die Vorinstanz legte ihrem Entscheid mithin zu Recht das dargestellte Begriffsverständnis zugrunde. Dass sie pauschal anführte, das Ehepaar C._ habe "diese Bedingungen" (wie von der Beschwerdegegnerin im Vorvertrag definiert) nicht akzeptiert, schadet nicht. Damit ist nur ausgesagt, dass die definierten Verkaufsbedingungen nicht uneingeschränkt akzeptiert wurden. Ob nur eine Bedingung (hier betreffend die Zahlungsmodalität) oder mehrere zurückgewiesen wurden, ändert nichts an der Tatsache, dass dem Ehepaar C._ der Wille fehlte, den Kaufvertrag zu den Bedingungen, wie sie ihm offeriert wurden, abzuschliessen.
Das Auslegungsergebnis der Vorinstanz ist schliesslich auch nicht unter dem Aspekt zu beanstanden, dass es bei der normativen Auslegung auf das Verständnis im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses ankommt (vgl. Erwägung 3.1). Denn nach der für zutreffend erachteten Auslegung ist unter dem Begriff "abschlusswilliger Kaufinteressent" ein solcher zu verstehen, der bereit ist, den Kaufvertrag zu denjenigen Bedingungen abzuschliessen, wie sie ihm von der Auftraggeberin offeriert werden würden. Hierüber einigten sich die Parteien bereits bei Abschluss des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags". Dabei war nicht erforderlich, dass die Beschwerdegegnerin zu jenem Zeitpunkt bereits alle ihre Verkaufsbedingungen festgelegt hatte.
3.5. Entgegen der Rüge der Beschwerdeführerin kann der Vorinstanz demnach nicht vorgeworfen werden, den Begriff "abschlusswilliger" Kaufinteressent falsch bzw. bundesrechtswidrig ausgelegt zu haben.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, wonach die Familie C._ keine "abschlusswillige" Kaufinteressentin gewesen sei, verletze das Willkürverbot und sei offensichtlich unrichtig. Die Vorinstanz habe einseitig das Argument der Beschwerdegegnerin hervorgehoben, dass die Ehegatten C._ den Vorvertrag nicht unterschrieben hätten. Demgegenüber seien die von der Beschwerdeführerin eingereichten Beweise, nämlich, dass die Familie C._ mit sämtlichen wesentlichen Vertragspunkten einverstanden gewesen sei und eine Finanzierungsbestätigung der Bank vorgelegt habe, nicht berücksichtigt worden. Ebenso wenig sei berücksichtigt worden, dass die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin "in keinem Zeitpunkt" mitgeteilt habe, die direkte Zahlung des Kaufpreises sei "zwingend". Wäre eine direkte Zahlung zwingend gewesen, hätte dies im Vertrag zwischen den Parteien festgehalten werden müssen. Mit dieser Argumentation habe sich die Vorinstanz nicht auseinander gesetzt
Die Rüge der Beschwerdeführerin basiert auf der von ihr vertretenen Auslegung des Begriffs "abschlusswilliger Kaufinteressent". Nachdem jedoch die hievon abweichende Auslegung der Vorinstanz der bundesgerichtlichen Überprüfung standhielt (Erwägung 3), entbehrt die Kritik der Beschwerdeführerin der Grundlage. Bei Zugrundelegung des Begriffsverständnisses der Vorinstanz war nicht ausschlaggebend, dass die Ehegatten C._ (angeblich) mit den wesentlichen Vertragspunkten, namentlich mit dem Preis, einverstanden waren und eine Finanzierungsbestätigung der Bank beibrachten. Ihr Abschlusswille im Sinne von Ziff. 5 Abs. 3 lit. A des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags" gebrach bereits an der fehlenden Bereitschaft, die von der Beschwerdegegnerin verlangte Zahlungsmodalität zu akzeptieren. Angesichts der zutreffenden vorinstanzlichen Auslegung des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags" hilft der Beschwerdeführerin sodann auch ihre Behauptung nicht, die Beschwerdegegnerin habe ihr zu keinem Zeitpunkt mitgeteilt, dass die direkte Zahlung des Kaufpreises "zwingend" sei. Zum einen war gerade nicht erforderlich, dass die Beschwerdegegnerin ihre Verkaufsbedingungen vorgängig festgelegt hätte (Erwägung 3.4). Zum anderen ist auch nicht ersichtlich, dass die Beschwerdegegnerin mit der Festlegung der Zahlungsmodalität in treuwidriger Weise lediglich bezweckt hätte, die Beibringung eines abschlusswilligen Kaufinteressenten zu vereiteln. Ohnehin kontrastiert die Behauptung mit der Feststellung der Vorinstanz, wonach die Beschwerdeführerin von der Weisung der Beschwerdegegnerin, dass der Restkaufpreis auf ihr Bankkonto zu leisten sei, nicht nur Kenntnis gehabt habe, sondern dass sie selber diese Zahlungsabwicklung in den verschiedenen von ihr gefertigten Entwürfen auch so eingesetzt habe. Da die erwähnten Vorbringen der Beschwerdeführerin für den Entscheid nicht ausschlaggebend waren, brauchte sich die Vorinstanz auch nicht eingehend damit auseinander zu setzen.
Die Beschwerdeführerin vermag mithin keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz aufzuzeigen.
5.
Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz