Sachverhalt:
A.
A.a. Am 14. Juli 2008 entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Glarus A._ erstmals den Führerausweis wegen Lenkens eines Personenwagens mit einer Blutalkoholkonzentration von mindestens 1,24 o/oo. Am 21. Oktober 2011 verwarnte die Staats- und Jugendanwaltschaft des Kantons Glarus, Abteilung Administrativmassnahmen, A._ wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand.
A.b. Gestützt auf einen Bericht der Kantonspolizei Glarus vom 17. Dezember 2012 erging eine Anzeige gegen A._ wegen Erwerbs, Besitzes und Konsums von Kokain. Am 21. Dezember 2012 verfügte die Staats- und Jugendanwaltschaft den vorsorglichen Sicherungsentzug des Führerausweises von A._ auf unbestimmte Zeit. Nach Einholung eines verkehrsmedizinischen Gutachtens am Institut für Rechtsmedizin Zürich (IRMZ) entzog dieselbe Behörde am 5. April 2013 den Führerausweis auf unbestimmte Zeit.
B.
Am 6. Mai 2013 erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Glarus. Am 28. Mai 2013 hielt das IRMZ an seinem Gutachten fest. Ein neu erstelltes Gutachten des IRMZ vom 30. August 2013 bejahte jedoch später die Fahreignung von A._. Gestützt darauf ordnete die Staats- und Jugendanwaltschaft am 20. September 2013 die Wiedererteilung des Führerausweises von A._ unter Auflagen an. Dieser hielt in der Folge an seiner am Verwaltungsgericht hängigen Beschwerde fest. Am 6. November 2013 schrieb dieses die Beschwerde ab und auferlegte A._ die Verfahrenskosten von Fr. 1'000.--.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. Dezember 2013 an das Bundesgericht beantragt A._ in der Sache, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen.
D.
Die Staats- und Jugendanwaltschaft, das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Strassen ASTRA schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
E.
Mit Eingabe vom 5. Mai 2014 hält A._ an seinem Standpunkt fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen; ein Ausnahmegrund liegt nicht vor (<ref-law>).
1.2. Streitgegenstand ist die prozessuale Frage, ob das Verwaltungsgericht auf die bei ihm hängige Beschwerde wegen Gegenstandslosigkeit zu Recht nicht eingetreten ist bzw., falls dies als zulässig zu beurteilen ist, dem Beschwerdeführer zu Recht die Verfahrenskosten auferlegt hat. Nicht unmittelbar Streitgegenstand ist, ob dem Beschwerdeführer am 5. April 2013 der Führerausweis zu Recht entzogen wurde. Nicht strittig ist hier sodann die Wiedererteilung des Führerausweises unter Auflagen gemäss der Verfügung des zuständigen Amtes vom 20. September 2013.
1.3. Der Beschwerdeführer ist vom prozessualen Entscheid der Vorinstanz unmittelbar berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Abänderung. Er ist mithin gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
1.4. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden Möglichkeiten abgesehen, lediglich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird; das gilt namentlich, soweit die willkürliche Auslegung und Anwendung kantonalen Rechts geltend gemacht wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S 254 mit Hinweisen).
2.
2.1. Der angefochtene Entscheid beruht auf kantonalem Verfahrensrecht. Der Beschwerdeführer begründet nur unvollständig, weshalb es Bundesrecht verletzen sollte, dass die Vorinstanz seine Beschwerde als gegenstandslos abgeschrieben hat. Er beruft sich dazu einzig auf <ref-law>. Die Vorinstanz ging jedoch davon aus, die vor ihr hängige Beschwerde sei wegen nachträglichen Wegfalls des schutzwürdigen Interesses gegenstandslos geworden. Der Beschwerdeführer legt nicht nachvollziehbar dar, weshalb die entsprechende prozessuale Erkenntnis der Vorinstanz gegen die vom Beschwerdeführer angerufene materielle Bestimmung des Strassenverkehrsrechts des Bundes verstossen sollte. Er macht nicht geltend, das kantonale Verfahrensrecht bzw. dessen Auslegung und Anwendung verstiessen gegen Bundesrecht und bringt namentlich nicht einmal sinngemäss vor, der angefochtene Entscheid sei diesbezüglich willkürlich. Überdies legt er nicht dar, worin seine allfälligen schutzwürdigen Interessen an der nachträglichen Überprüfung des inzwischen aufgehobenen Führerausweisentzuges liegen sollten. Auf die Beschwerde kann daher insoweit mangels genügender Begründung nicht eingetreten werden.
2.2. Was die Kostenverlegung betrifft, so macht der Beschwerdeführer ebenfalls nicht geltend, die Verlegung der Kosten nach dem Kriterium des gemäss einer summarischen Prüfung ermittelten mutmasslichen Verfahrensausgangs verletze Bundesrecht. Einzig mit Blick auf den von der Vorinstanz angenommenen mutmasslichen Verfahrensausgang selbst beruft sich der Beschwerdeführer auf eine Bestimmung des Bundesrechts, nämlich erneut auf <ref-law> und die entsprechende Rechtsprechung. Nur insoweit kann daher auf die Beschwerde eingetreten werden.
3.
Ausgangspunkt ist somit, dass die Rechtmässigkeit des Führerausweisentzugs nur mit Blick auf die Frage der Kostenverlegung und insoweit lediglich summarisch zu prüfen war. Der Beschwerdeführer geht selbst davon aus, die Vorinstanz habe diese Frage teilweise etwas vertiefter als bloss summarisch behandelt. Das beanstandet er aber nicht. Vielmehr verlangt er sinngemäss sogar eine noch weitergehende Prüfung des Bundesrechts. Seine Rügen gehen nämlich über eine summarische Beurteilung der Rechtslage hinaus und beruhen auf einer eingehenden Auseinandersetzung mit <ref-law> und der dazu ergangenen Rechtsprechung. Das kann jedoch nicht Inhalt einer lediglich summarischen Prüfung sein, sondern läuft auf eine umfassende Rechtskontrolle hinaus. Der Beschwerdeführer vermag nicht darzutun, dass die dem Entscheid über die Kostenverlegung zugrunde liegende summarische Prüfung seiner Fahreignung dem Bundesrecht widersprechen würde. Im Gegenteil durfte die Vorinstanz aufgrund der beschränkten Rechtskontrolle und unter entsprechendem Rückgriff auf die Rechtsprechung (vgl. insbes. <ref-ruling> sowie die Verfügung des Bundesgerichts 1C_128/2012 vom 18. Oktober 2012) davon ausgehen, dass die Fahreignung des Beschwerdeführers wegen seines regelmässigen Drogenkonsums beeinträchtigt erschien. Gestützt darauf durfte das Verwaltungsgericht ohne Verletzung von Bundesrecht den mutmasslichen Verfahrensausgang als für den Beschwerdeführer nachteilig beurteilen.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Sicherheit und Justiz, Staats- und Jugendanwaltschaft, Administrativmassnahmen, des Kantons Glarus, dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, I. Kammer, und dem Bundesamt für Strassen ASTRA, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax