Sachverhalt:
A.
Im Vorfeld der Grossratswahlen im Kanton Luzern vom 6. April 2003 veröffentlichte die Zeitung R._ am xx.xx.xxxx einen Artikel von Y._ mit dem Titel "Kandidaten via Inserat gesucht". In diesem Beitrag ist u.a. davon die Rede, dass X._s Stiftung Q._ auf ihrer Homepage mit S._s damaligem Stadtpräsidenten W._ für parteilose Politik werbe. Z._, Rechtskonsulent der Stadt S._, bezeichne dieses Vorgehen als unlauter, weil das Bild des Stadtpräsidenten für eigene Interessen verwendet worden sei.
B.
Mit Eingabe vom 29. Juni 2004 klagten X._ und die Stiftung Q._, vor dem Amtsgericht Luzern-Stadt. Die Kläger beantragten festzustellen, dass die Zeitung R._ AG, Y._, Z._ und die Stadt S._ durch Äusserung bzw. Weiterverbreitung ehrenrühriger Tatsachen oder falscher Zitate ihre Persönlichkeit verletzt hätten. Die Beklagten seien solidarisch zur Leistung von Schadenersatz und Genugtuung und die Stadt S._, eventuell Z._, sei zusätzlich zur Zahlung eines Honorars aus Auftrag zu verpflichten. Weiter sei festzustellen, dass die Zeitung R._ AG widerrechtlich eine Gegendarstellung gemäss Art. 28g und 28k ZGB unterlassen habe. Das Urteil sei zu veröffentlichen; eventuell seien die Beklagten zu verpflichten, in der Zeitung R._ AG eine Berichtigung gemäss <ref-law> zu publizieren. Das Amtsgericht wies die Klage mit Urteil vom 28. September 2010 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 15. Oktober 2010 stellten X._ und die Stiftung Q._ unter dem Titel "Appellationserklärung und Nichtigkeitsbeschwerde" beim Obergericht des Kantons Luzern folgende Anträge:
"1. Ziffern 1 und 2 des Urteils 21 04 33 vom 28.9.2010 der II. Abt. des Amtsgerichts Luzern-Stadt, seien aufzuheben.
2. Die Sache sei gem. <ref-law> an das Amtsgericht zurückzuweisen zwecks Abhaltung einer Instruktionsverhandlung gem. <ref-law> mit den Traktanden lit. a-c und e-f, zur Abhaltung eines Beweisverfahrens nach § 145-148 ZPO, so wie zur Abhaltung einer Hauptverhandlung nach <ref-law>; es sei durch das Amtsgericht ein Vorentscheid betr. Verjährung zu treffen und eventuell sei danach die Klage gutzuheissen soweit sie nicht teilweise wegen überlanger Verfahrensdauer dahingefallenen Rechtsschutzinteresses gem. § 100 I d ZPO gegenstandslos wurde.
3. Es sei die Verletzung des Beschleunigungsgebotes festzustellen. Zu den Konsequenzen dieser Verletzung (betr. Kostenneufestsetzung und Kostenverteilung) seien im Rückweisungsentscheid verbindliche Erwägungen für die Vorinstanz anzubringen.
4. Dieses Appellations- und Nichtigkeitsbeschwerdeverfahren sei eventuell zu sistieren und die Klägerschaft aufzufordern, dieser Appellation und Nichtigkeitsbeschwerde ein begründetes Urteil beizulegen, falls dies das Obergericht als Eintretensvoraussetzung betrachtet.
5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beklagten und/oder des Staates gem. § 120 III ZPO."
In ihrer Appellationsbegründung vom 20. Dezember 2010 verlangten die Kläger zusätzlich zur Feststellung der Verletzung des Beschleunigungsgebots, das Verfahren in der Hauptsache eventualiter einzustellen.
C.b. Am 21. Februar 2011 und am 12. Juni 2012 wurde den Klägern auf Anfrage die Zusammensetzung des Obergerichts bekannt gegeben. Am 1. Juni 2011 verkündeten X._ und die Stiftung Q._ dem Kanton Luzern den Streit. Der Regierungsrat teilte dem Obergericht mit, dass sich der Kanton nicht als Nebenintervenient am Prozess beteiligen werde (Schreiben vom 8. Juli 2011). Am 25. September 2012 fand vor dem Obergericht eine Appellationsverhandlung statt.
C.c. Mit Urteil vom 2. November 2012 (Versand am 19. November 2012) stellte das Obergericht fest, dass das Amtsgericht das Beschleunigungsgebot verletzt habe. Im Übrigen wies es die Klage ab. Weiter verurteilte es X._ und die Stiftung Q._, alle Prozesskosten je hälftig unter solidarischer Haftbarkeit zu tragen.
D.
D.a. Mit einer als "Beschwerde in Zivilsachen evtl. subsidiäre Verfassungsbeschwerde" betitelten Eingabe vom 3. Januar 2013 wenden sich X._ und die Stiftung Q._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. In der Sache stellen sie den Antrag, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und die Sache an das Obergericht zurückzuweisen, damit dieses den Antrag auf Verfahrenseinstellung behandle und "mit Erlass der nötigen Rechtssprüche" die drei eingereichten Rechtsmittel Appellation, Kostenbeschwerde und Nichtigkeitsbeschwerde beurteile (Ziffer 1). Eventuell sei das Verfahren einzustellen; subeventuell die Klage auf Feststellung der Widerrechtlichkeit der Persönlichkeitsverletzung gutzuheissen; "subsubeventuell sei das ganze Verfahren wegen Verletzung des Beschleunigungsgebots und Wegfall des Rechtsschutzinteresses unter Neuverlegung der Kosten einzustellen" (Ziffer 2). Sodann setzen sich die Beschwerdeführer gegen die Verlegung der kantonalen Verfahrenskosten zur Wehr (Ziffern 3 und 4). Weiter ersuchen sie das Bundesgericht, vier Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> "zur Rechtsvereinheitlichung in Koordination beider Zivilabteilungen des Bundesgerichts zu entscheiden" (Ziffer 5). Schliesslich beantragen die Beschwerdeführer, ihrem Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu erteilen (Ziffer 6).
D.b. Mit Verfügung vom 24. Januar 2013 wies der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
D.c. In seiner Vernehmlassung vom 21. März 2013 verzichtet das Obergericht des Kantons Luzern darauf, einen Antrag zu stellen. Z._ und die Stadt S._ (Beschwerdegegner 3 und 4) schliessen mit Eingabe vom 11. April 2013 auf Abweisung der Beschwerde. Den gleichen Antrag stellen die Zeitung R._ AG und Y._ (Beschwerdegegner 1 und 2) in ihrer Vernehmlassung vom 2. Mai 2013. Die Stellungnahmen wurden den Beschwerdeführern zugestellt, worauf diese mit einer Replik vom 22. Mai 2013 antworteten. Diese Eingabe wurde den Beschwerdegegnern zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich in der Sache gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), der eine Persönlichkeitsverletzung verneint und die darauf gestützten weiteren Begehren um Leistung von Schadenersatz, Genugtuung und Honorar aus Auftrag abweist. Steht - wie hier - der Streit um die Feststellung der vermeintlich erlittenen Persönlichkeitsverletzung im Vordergrund, so unterliegt diese Zivilsache (<ref-law>) dem Streitwerterfordernis gemäss <ref-law> nicht (s. Urteile 5A_92/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 1 und 5A_349/2009 vom 23. Juni 2009 E. 1.1). Dass die Beschwerdeführer sich auch gegen die vorinstanzliche Kosten- und Entschädigungsregelung zur Wehr setzen, ändert daran nichts. Diesbezüglich folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 47 f.). Die Beschwerdeführer sind im vorinstanzlichen Verfahren unterlegen (<ref-law>). Unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen ist auf die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) eingereichte Beschwerde einzutreten. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt damit kein Platz (<ref-law>).
2.
Nicht einzutreten ist auf den Antrag, mit dem die Beschwerdeführer dem Bundesgericht vier Rechtsfragen zur Beantwortung unterbreiten, die ihrer Meinung nach von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> sind und bezüglich derer sie eine Koordination beider Zivilabteilungen nach <ref-law> verlangen (s. Sachverhalt Bst. D.a). Nachdem die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig vom Streitwerterfordernis zulässig ist (E. 1), erübrigt es sich, das Erfordernis einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung zu thematisieren; abgesehen davon tun die Beschwerdeführer nicht dar, warum die von ihnen aufgeworfenen Fragen von grundsätzlicher Bedeutung sein sollen (s. <ref-ruling> E. 2.4 S. 648). Soweit sie sich auf <ref-law> berufen, übersehen sie, dass sich diese Norm an die Abteilungen des Bundesgerichts richtet. Ein justiziabler Anspruch darauf, dass die befasste Abteilung die Zustimmung anderer - angeblich betroffener - Abteilungen einholt, folgt daraus nicht.
3.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft frei, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in ihrem Schriftsatz sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Unter Vorbehalt von offensichtlichen Fehlern prüft das Bundesgericht nur die in der Beschwerde geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen). In der Begründung ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht geltend gemacht wird. Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4.1 S. 589; je mit Hinweisen).
4.
4.1. In der Sache konzentrieren sich die Beschwerdeführer auf das Argument, schon am 28. September 2010, dem Datum des erstinstanzlichen Urteils, habe sich die behauptete Persönlichkeitsverletzung, die siebeneinhalb Jahre zuvor geschehen sein soll, "offensichtlich nicht mehr störend" ausgewirkt. Die kantonalen Instanzen hätten ihr Interesse an der Feststellung der Widerrechtlichkeit der behaupteten Verletzung im Sinne von <ref-law> und ihr Rechtsschutzinteresse im Sinne von § 100 Abs. 1 lit. d des luzernischen Gesetzes über die Zivilprozessordnung vom 27. Juni 1994 (aZPO/LU; in Kraft bis 31. Dezember 2010) daher verneinen müssen und auf die Klage gar nicht mehr eintreten dürfen. Das Obergericht habe sich mit den entsprechenden Vorbringen nicht befasst und dadurch das rechtliche Gehör verletzt. Vor Bundesgericht geht es den Beschwerdeführern nun darum, die "Verfahrenseinstellung" zu erwirken (Anträge Ziffern 1 und 2, s. Sachverhalt Bst. D.a).
4.2. Soweit sich die Beschwerdeführer auf § 100 Abs. 1 lit. d aZPO/LU berufen, zeigen sie nicht auf, inwiefern das Obergericht diese Vorschrift in geradezu verfassungswidriger Weise angewendet hätte; auf diese Rüge ist deshalb nicht einzutreten (E. 3). Unbehelflich ist auch der Einwand, die kantonalen Instanzen hätten <ref-law> verletzt. Der Tatbestand dieser Vorschrift setzt eine widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung im Sinne von <ref-law> voraus. Nur wenn eine solche Verletzung vorliegt, stellt sich die Frage, ob sich "diese weiterhin störend auswirkt". Das Obergericht kommt zur Erkenntnis, die Beschwerdegegner hätten die Persönlichkeit der Beschwerdeführer nicht verletzt. Es brauchte sich deshalb nicht mehr mit der Frage zu beschäftigen, ob die Beschwerdeführer am 28. September 2010 noch ein schutzwürdiges Interesse an der Beseitigung der Verletzung hatten. Allein unter diesem Gesichtspunkt kann von einer Verletzung von Bundesrecht nicht die Rede sein. Im Übrigen zeigen die Beschwerdeführer in keiner Weise auf, inwiefern ihnen ein Nachteil daraus erwüchse, dass das Obergericht keinen Nichteintretensentscheid gefällt, sondern die Klage abgewiesen hat. Insbesondere behaupten sie auch nicht, dass ein reines Prozessurteil zu anderen Kostenfolgen hätte führen müssen. Ist der behauptete Fehler aber ohne ersichtliche praktische Relevanz, so kann es von vornherein nicht Aufgabe des Bundesgerichts sein, den angefochtenen Entscheid diesbezüglich in Frage zu stellen.
4.3. Über den angeblich erforderlichen Nichteintretensentscheid hinaus pochen die Beschwerdeführer auf eine "Verfahrenseinstellung" durch das Obergericht. Sie zeigen aber nicht auf, inwiefern das anwendbare kantonale Prozessrecht eine solche Massnahme vorsieht, das Obergericht sich über einschlägige Normen willkürlich hinweggesetzt hat und die Nichtbehandlung des entsprechenden Antrags sich in entscheidender Weise auf das Ergebnis des obergerichtlichen Urteils ausgewirkt hätte. Nur unter dieser Voraussetzung könnte das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid in diesem Punkt aufheben (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen). Das Begehren, die Sache zur Behandlung des Einstellungsantrags an das Obergericht zurückzuweisen, ist mithin nicht hinreichend begründet (E. 3); darauf ist nicht einzutreten. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer trifft das Obergericht auch nicht der Vorwurf einer Gehörsverletzung, wenn es sich mit ihrer These des erloschenen Interesses an einer Feststellung nach <ref-law> und mit der Forderung nach einer Verfahrenseinstellung nicht einlässlich auseinandergesetzt hat. Denn <ref-law> schreibt der Behörde nicht vor, sich mit allen Standpunkten einer Partei im Detail zu befassen und jedes einzelne Vorbringen zu widerlegen. Vielmehr kann sich die Behörde auf diejenigen Gesichtspunkte beschränken, die für den Entscheid wesentlich sind und es dem Rechtsunterworfenen ermöglichen, sich über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft zu geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterzuziehen. In diesem Sinne muss die Behörde wenigstens kurz die Überlegungen nennen, von denen sie sich leiten lässt und auf die sie ihren Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Inwiefern der angefochtene Entscheid diesen Minimalanforderungen nicht genügen würde, ist nicht ersichtlich.
4.4. Auch nicht einzutreten ist auf die Anträge, mit denen die Beschwerdeführer das Bundesgericht selbst um die Feststellung ersuchen, dass das Feststellungsinteresse gemäss <ref-law> schon vor dem erstinstanzlichen Urteil vom 28. September 2010 infolge Verletzung des Beschleunigungsgebots erloschen und das Verfahren einzustellen sei, bzw. vom Bundesgericht verlangen, das ganze Verfahren einzustellen. Was das erste Rechtsbegehren angeht, ist weder dargetan noch ersichtlich, welches aktuelle und praktische Interesse (vgl. Urteil 5A_54/2011 vom 23. Mai 2011 E. 1.3) die Beschwerdeführer an einer derartigen Feststellung hätten. Der zweite Antrag erweist sich als unzulässig, denn eine "Verfahrenseinstellung" sieht das Gesetz im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen nicht vor.
4.5. "Subeventuell" beantragen die Beschwerdeführer, ihre Klage auf Feststellung der Widerrechtlichkeit der Persönlichkeitsverletzung gutzuheissen. Sie präzisieren die eventuelle Natur ihres Antrags: Sie verlangen die Klagegutheissung ausdrücklich nur für den Fall, "dass sowohl am Tag des Amtsgerichtsurteils (28.9.2010), als auch am Tag des Obergerichtsurteils (2.11.2012) als auch heute noch immer ein Feststellungsinteresse der Kläger angenommen werden muss (obwohl diese das Rechtsschutzinteresse verneinen) ". Nun kommt das Bundesgericht aber gerade nicht zum Schluss, das Feststellungsinteresse sei "auch heute noch" gegeben. Vielmehr steht nach dem Gesagten fest, dass das Obergericht diese Frage offenlassen konnte, nachdem es erkannte, dass keine widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung vorliege (E. 4.2). Bestreiten die Beschwerdeführer trotzdem mit aller Hartnäckigkeit, dass sich die behauptete Persönlichkeitsverletzung im heutigen Zeitpunkt noch störend auswirkt, so sind sie beim Wort zu nehmen, und es muss damit sein Bewenden haben. Mithin braucht das Bundesgericht unter diesen Voraussetzungen nicht zu prüfen, ob die vorinstanzliche Erkenntnis, wonach die fraglichen Presseäusserungen nicht als unwahr zu werten sind und keinen unnötig verletzenden oder beleidigenden Angriff auf die Beschwerdeführer darstellen, vor Bundesrecht standhält. In diesem Sinne ist auch auf den erwähnten Subeventualantrag nicht einzutreten.
5.
Die Beschwerdeführer verlangen aus einem weiteren Grund die Rückweisung der Sache an das Obergericht: Dieses solle über die Appellation, die Nichtigkeitsbeschwerde und die Kostenbeschwerde die "nötigen Rechtssprüche" erlassen. Die Beschwerdeführer sind der Meinung, sie hätten gestützt auf <ref-law> Anspruch darauf, dass zu jedem eingelegten Rechtsmittel je für die ins Recht gefasste Gegenpartei auch ein Rechtsspruch gefällt werde. Sie werfen dem Obergericht vor, sich nicht dazu geäussert zu haben, ob es die drei Rechtsmittel gutheisse, abweise oder nicht darauf eintrete. Überdies übersehe das Obergericht, dass es im erstinstanzlichen Urteil an einer "differenzierten" Rechtsmittelbelehrung für jede beklagte Partei gefehlt habe. Aus all diesen Gründen habe das Obergericht das "Recht verweigert bzw. das rechtliche Gehör verletzt". Die Vorwürfe sind unbegründet:
Wie in Erwägung 4.3 erwähnt, muss ein Entscheid so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In dieser Hinsicht genügt der angefochtene Entscheid den Anforderungen von <ref-law>. Er äussert sich nicht nur zur Hauptsache, der Persönlichkeitsverletzung, sondern auch zu einer Reihe prozessualer Fragen, welche die Beschwerdeführer dem Obergericht unterbreiten, insbesondere zur Durchführung einer Instruktions- und einer Hauptverhandlung sowie zur Festsetzung der Gerichts- und Anwaltskosten im erstinstanzlichen Verfahren. Die Beschwerdeführer waren denn auch ohne weiteres in der Lage, das Urteil des Obergerichts in allen Teilen umfassend und sachgerecht anzufechten. Dies zeigen ihre weitschweifigen Ausführungen vor Bundesgericht. Ob das Obergericht, nachdem es den Weiterzug der Beschwerdeführer als Appellation behandelte und auf dieses Rechtsmittel eintrat, auch hinsichtlich der anderen Rechtsmittel bzw. für jede der betroffenen Parteien separat noch einen ausdrücklichen "Rechtsspruch erlassen" musste, ist nicht eine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern der Anwendung des kantonalen Prozessrechts. Das Gleiche gilt für die Frage, ob schon die erste Instanz für die verschiedenen Parteien gesonderte Urteile hätte aussprechen und diese je mit speziellen Rechtsmittelbelehrungen hätte versehen müssen. Diesbezüglich erheben die Beschwerdeführer indessen keine Verfassungsrüge, sondern nennen lediglich einzelne luzernische Vorschriften, von denen sie behaupten, das Obergericht habe sie verletzt. Das allein aber genügt nicht, um eine verfassungswidrige Anwendung des kantonalen Rechts darzutun (E. 3).
6.
Hauptsächlich wehren sich die Beschwerdeführer dagegen, dass das Obergericht ihnen für die beiden kantonalen Verfahren Gerichtskosten von total Fr. 3'000.-- auferlegt und sie verurteilt, die Beschwerdegegner für diese Verfahren mit insgesamt Fr. 20'722.80 zu entschädigen. Sie erheben in diesem Zusammenhang eine Reihe von Vorwürfen.
6.1. So rügen die Beschwerdeführer, es fehle an einer Gesetzesgrundlage für die Beurteilung ihrer Kostenbeschwerde. Als sie ihre Rechtsmittel eingereicht hätten, habe das kantonale Gesetz über die Kosten im Verfahren vor den Gerichtsbehörden vom 8. März 1966 (aKoG) noch gegolten. Nach dessen § 5 Abs. 1 und 2 sei gegen die Höhe und Verlegung der Gerichts- und Anwaltskosten die Beschwerde ans Obergericht zulässig gewesen. Per 31. Dezember 2010 sei dieses Gesetz aber "ersatzlos aufgehoben" worden; am 2. November 2012, dem Datum des angefochtenen Urteils, sei es nicht mehr in Kraft gewesen. Die Rüge ist unbegründet. Nach <ref-law> gilt für die Rechtsmittel das Recht, das bei der Eröffnung des Entscheids in Kraft ist. Das Urteil des Amtsgerichts Luzern-Stadt wurde den Beschwerdeführern im Herbst 2010 eröffnet. Für den Weiterzug an das Obergericht galt demnach das bisherige Recht, also auch das erwähnte Gerichtskostengesetz. Auch das Obergericht verweist auf <ref-law>. Es trifft daher nicht zu, dass es die Frage des anwendbaren Rechts nicht beantwortet hätte. Auch dem Vorwurf der Gehörsverletzung ist damit der Boden entzogen.
6.2. Die Beschwerdeführer wollen dem angefochtenen Entscheid entnommen haben, dass das Obergericht eine Begründung für die erstinstanzlich zugesprochenen Parteientschädigungen "nachschiebe" und so den als Gehörsverletzung gerügten Mangel "heile". Sie meinen, das Obergericht hätte ihre Kostenbeschwerde in diesem Punkt gutheissen und die "verspätete Begründung" bei der Kostenverlegung berücksichtigen müssen. Die Beschwerdeführer verkennen die Tragweite der Begründungspflicht hinsichtlich des Kostenpunkts. Nach der Rechtsprechung muss der Entscheid über die Höhe der Parteientschädigung in der Regel nicht begründet werden. Ist eine Prozesspartei - wie hier - anwaltlich vertreten und hat sie sich das Wissen ihres Gehilfen deshalb entgegenhalten zu lassen, so muss sie wissen, dass der Richter die Parteientschädigung in Abhängigkeit von der Natur und vom Ausmass der Bemühungen festsetzt, die der Prozess im konkreten Fall erforderte. Eine allgemeine Begründungspflicht im Bereich der Festsetzung der Parteientschädigung liefe Gefahr, in formelhaften Standardsätzen zu münden, die einer fehlenden Begründung kaum vorzuziehen wären. Strengere Begründungsanforderungen gelten, wenn der Richter einen vorgegebenen Tarifrahmen nicht einhält oder ausserordentliche Umstände vorliegen (<ref-ruling> E. 2a S. 1 f.). Dass das luzernische Recht eine spezielle Pflicht zur Begründung des Entschädigungspunktes vorsieht, tun die Beschwerdeführer nicht dar. War das Amtsgericht aber nicht zur Begründung des Kostenpunktes verpflichtet, so kann auch nicht gesagt werden, das Obergericht habe mit seinen diesbezüglichen Ausführungen eine "Gehörsverletzung geheilt" und eine Begründung "nachgeschoben". Der angefochtene Entscheid hält deshalb vor Bundesrecht stand, wenn er das Rechtsmittel in diesem Punkt nicht gutheisst und den Beschwerdeführern folglich auch bei der Kostenverlegung nicht entgegenkommt.
6.3. Auch der Entscheid über die Parteientschädigungen für das Appellationsverfahren ist nach der Auffassung der Beschwerdeführer "zu kassieren". Das Obergericht nenne "keinerlei Gesetzesbestimmung, die es erlaubt, diese Anwaltshonorare zuzusprechen". Das verletze den verfassungsmässigen Gehörsanspruch (<ref-law>) und <ref-law>, wonach Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, die Angabe der angewendeten Gesetzesbestimmungen enthalten müssen. In seinen Ausführungen zur Höhe der erstinstanzlich zugesprochenen Parteientschädigungen verweist das Obergericht auf § 51 Abs. 1 und 2 seiner Kostenverordnung, die bis zum 31. Dezember 2010 in Kraft war (aKoV). Danach komme es in Verfahren wie dem vorliegenden, in denen das Honorar bei Fehlen eines Streitwertes und eines Gebührenansatzes nach Ermessen festzusetzen sei, auf die Bedeutung der Sache für die Partei in persönlicher und wirtschaftlicher Hinsicht, auf die Schwierigkeit der Sache, auf den Umfang und die Art der Bemühungen sowie auf den Zeitaufwand an. Zwar äussert sich das Obergericht dort, wo es die zweitinstanzlichen Anwaltskostenentschädigungen festlegt, nicht zu den anwendbaren Vorschriften. Indessen schickt es seinen Erwägungen zur Sache die aus <ref-law> gewonnene Erkenntnis voraus, dass das Rechtsmittelverfahren dem bisherigen luzernischen Prozessrecht unterstehe. Angesichts dessen konnten und mussten die anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer erkennen, dass das Obergericht auch die Honorare für das zweitinstanzliche Verfahren wiederum gestützt auf den - bereits erwähnten - § 51 aKoV festsetzte. Unter diesen Umständen und eingedenk der Anforderungen an die Begründung von Kostenentscheiden (E. 6.2) ist dem Obergericht keine Gehörsverletzung vorzuwerfen, wenn es am gegebenen Ort nicht erneut explizit auf § 51 aKoV hinweist. Auch mit <ref-law> vermögen sich die Beschwerdeführer nicht zu behelfen, denn diese Vorschrift deckt sich mit dem Anspruch auf eine hinreichende Begründung, wie er sich aus <ref-law> ergibt (Urteil 5A_368/2007 vom 18. September 2007 E. 2). Die Beschwerde erweist sich auch in dieser Hinsicht als unbegründet. Ob das Obergericht mit § 51 aKoV die richtige Norm anwendete bzw. ob es den gegnerischen Rechtsvertretern gemäss § 57 aKoV nur 20-60 % der erstinstanzlichen Anwaltskosten hätte zusprechen dürfen, ist im Übrigen nicht eine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der Rechtsanwendung (dazu sogleich E. 6.4).
6.4. Die Beschwerdeführer stören sich daran, dass das Obergericht im Hinblick auf die Festsetzung der Prozesskosten von einem Verfahren ohne Streitwert ausgeht. Die "Weigerung aller Amts- und Oberrichter, im konkreten Fall eine Schätzung des Streit- oder Interessenwertes vorzunehmen", verletze nicht nur § 21 Abs. 2 aZPO/LU und §§ 1 und 3 aKoV, sondern sei eine "klare Rechtsverweigerung". Letzteres trifft offensichtlich nicht zu, denn das Obergericht hat einen Entscheid gefällt und darin auch die aufgeworfene Streitfrage beantwortet: Es kommt zum Schluss, die Angelegenheit sei nicht vermögensrechtlicher Natur, weshalb kein Streitwert festzusetzen sei (zum Begriff der Rechtsverweigerung vgl. Urteil 5A_598/2010 vom 20. Oktober 2010 E. 1 mit Hinweisen). Soweit aber - wie hier - einzig die Festsetzung der Prozesskosten für das kantonale Verfahren in Frage steht, bestimmt sich im Verfahren vor dem Obergericht ausschliesslich nach dem vorliegend noch anwendbaren kantonalen Prozessrecht, ob der Streitgegenstand in Geld geschätzt werden kann bzw. unter welchen Voraussetzungen die Angelegenheit als streitwertabhängig anzusehen ist. Dass das Obergericht bei der Anwendung dieses kantonalen Prozessrechts die Verfassung verletzt hätte, insbesondere in Willkür verfallen wäre, behaupten die Beschwerdeführer jedoch nicht und ist auch nicht ersichtlich; bloss eine Verletzung gewisser Vorschriften der kantonalen Zivilprozessordnung und der Kostenverordnung zu behaupten, genügt nicht (E. 3). Soweit die Beschwerdeführer von einem Streitwert von ca. Fr. 10'000.-- ausgehen und geltend machen, die Festsetzung der kantonalen Prozesskosten sei unangemessen bzw. sprenge den für diesen Streitwert vorgegebenen Rahmen, laufen ihre Vorbringen demnach ins Leere bzw. begründen sie keine Willkür.
6.5. Die Beschwerdeführer klagen, die vorinstanzliche Feststellung, dass das Amtsgericht das Beschleunigungsgebot verletzt hat, sei in Bezug auf die Kostenverlegung "ohne jede Konsequenz" geblieben.
6.5.1. Zunächst machen die Beschwerdeführer geltend, die Verletzung des Beschleunigungsgebots sei "objektiv ein kostenwirksamer Fehler", weshalb nach § 120 Abs. 2 aZPO/LU der Kanton Luzern die Prozesskosten hätte übernehmen müssen. Mit den diesbezüglichen Ausführungen des Obergerichts setzen sie sich jedoch nicht auseinander. Stattdessen schildern sie ihre Sicht der Rechtslage. Eine taugliche Verfassungsrüge tragen sie nicht vor. Unbegründet ist insbesondere der Vorwurf der Rechtsverweigerung, zumal sich das Obergericht mit der zitierten Vorschrift auseinandersetzt und zur Erkenntnis gelangt, sie komme nicht zum Tragen (s. E. 6.4).
6.5.2. Weiter berufen sich die Beschwerdeführer auf die rechtsstaatlichen Grundsätze der Verhältnismässigkeit und des Handelns nach Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 2 f. BV), auf das verfassungsmässige Willkürverbot (<ref-law>) und auf das "Fairnessgebot" gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Daraus soll derjenige, der durch das Beschleunigungsgebot verletzt wurde, einen "Anspruch auf vorteilhafte Kostenverlegung" haben.
Nach der Rechtsprechung besteht die Rechtsfolge einer Verletzung des Beschleunigungsgebots zunächst in der Gutheissung des Rechtsmittels und in der Feststellung der Verletzung im Urteilsspruch; diese stellt eine Form der Wiedergutmachung dar. Daneben gibt es die Möglichkeit, materiellen und immateriellen Schadenersatz vom Gemeinwesen zu verlangen (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 55 f.; Urteil 1P.338/2000 vom 23. Oktober 2000 E. 4d/aa). Weiter hat das Bundesgericht erkannt, dass die Feststellung der Verletzung auch bei der Aufteilung der Gerichts- und Parteikosten eine Rolle spielen kann, dies im Sinne einer moralischen Wiedergutmachung (<ref-ruling> E. 5.3 S. 333; <ref-ruling> E. 1.3 S. 417 mit Hinweis). Im Urteil 1B_222/2010 vom 19. November 2010, auf das sich die Beschwerdeführer berufen und das eine Beschwerde in Strafsachen betrifft, stellt das Bundesgericht eine Verletzung des Beschleunigungsgebots fest und erkennt, dass die Vorinstanz das Rechtsmittel teilweise hätte gutheissen müssen, was bei der Kostenregelung zu berücksichtigen gewesen wäre; es rechtfertige sich daher, die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens herabzusetzen und dem Beschwerdeführer für das teilweise Obsiegen im Rekursverfahren eine Entschädigung auszurichten. Mit anderen Worten folgt allein aus <ref-law> oder dem in dieser Hinsicht deckungsgleichen Art. 6 Ziff. 1 EMRK (Urteil 4A_744/2011 vom 12. Juli 2012 E. 11.2) kein unbedingter Anspruch des Verletzten auf eine "vorteilhafte Kostenverlegung", falls das Gericht eine Rechtsverzögerung feststellt. Indessen ergibt sich aus der erwähnten Rechtsprechung, dass das Rechtsmittel desjenigen, der eine Verletzung des Beschleunigungsgebots rügt, im entsprechenden Umfang gutzuheissen ist, wenn die Rechtsmittelinstanz eine Rechtsverzögerung feststellt. Obsiegt der Verletzte in diesem Punkt, so gebietet es das grundsätzlich massgebende Unterliegerprinzip (s. Urteil 4A_521/2008 vom 26. Februar 2009 E. 10.2), dass sich dieser Prozessgewinn in aller Regel in der Liquidation der Gerichts- und Parteikosten des Rechtsmittelverfahrens zugunsten der obsiegenden Partei auswirken muss. Wohl steht dem Richter auch im Rahmen des Unterliegerprinzips ein weites Ermessen bei der Regelung der Kostenfolgen zu. Will er die obsiegende Partei in dieser Hinsicht aber gänzlich leer ausgehen lassen, so muss er die Gründe für diese Abweichung vom Normalfall klar und deutlich offenlegen (vgl. E. 6.2).
Dieser Rechtsprechung trägt das Obergericht nur zum Teil Rechnung: Obwohl es eine Verletzung des Beschleunigungsgebots feststellt, weist es die Appellation der Beschwerdeführer als "insgesamt unbegründet" ab, anstatt sie teilweise gutzuheissen, und kommt zum Schluss, "bei diesem Ausgang des Verfahrens" hätten die Beschwerdeführer die Kosten des Appellationsverfahrens zu tragen. Immerhin trägt das Obergericht der Feststellung der Rechtsverzögerung mit einer Reduktion der Gerichtskosten Rechnung. Der Einwand der Beschwerdeführer, der erhobene Betrag von Fr.1'500.-- sei "keinesfalls reduziert", geht fehl, denn er gründet auf der unzutreffenden (E. 6.4) Annahme, das Obergericht sei an den Tarifrahmen für einen Streitwert bis Fr. 30'000.-- gebunden gewesen. Trotz der unterlassenen Gutheissung hält der angefochtene Entscheid mit Bezug auf die Liquidation der Gerichtskosten daher zumindest im Ergebnis vor Bundesrecht stand.
Das Gegenteil ist der Fall, was die Regelung der Parteikosten angeht: Nachdem weder die Beschwerdeführer noch die Beschwerdegegner, sondern vielmehr das (damalige) Amtsgericht Luzern-Stadt die Verletzung des Beschleunigungsgebots zu verantworten hat, ist es grundsätzlich der Staat Luzern, der für die Parteikosten der Beschwerdeführer in demjenigen Umfang aufkommen muss, in welchem die Appellation begründet und das Rechtsmittel gutzuheissen war, und der den Beschwerdeführern in demselben Umfang auch gegenüber den Beschwerdegegnern keine Entschädigungspflicht auferlegen darf. Zu Recht rügen die Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang die verfassungswidrige "Nichtanwendung" von § 120 Abs. 3 aZPO/LU, wonach der Staat "in der Regel" die Prozesskosten trägt, die weder eine Partei noch Dritte verursacht haben. Aus der unzutreffenden Überlegung heraus, die Appellation der Beschwerdeführer sei "insgesamt unbegründet", liefert das Obergericht keine nachvollziehbare Erklärung dafür, warum die erwähnte Vorschrift im vorliegenden Fall entgegen der "Regel" nicht anwendbar sei, die Beschwerdeführer trotz des festgestellten groben Verfahrensfehlers also keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung haben und auch für die gesamten Parteikosten der Beschwerdegegner aufkommen sollen. Damit ist das Obergericht in Willkür verfallen. Die Sache ist an das Obergericht zurückzuweisen, damit es in teilweiser Gutheissung der Appellation im beschriebenen Sinne neu über die Liquidation der Parteikosten befinde. Den weiteren Rügen betreffend die Verletzung von <ref-law> kommt damit keine eigenständige Bedeutung mehr zu.
6.5.3. Die Beschwerdeführer bestehen darauf, dass die Kosten des externen Rechtsvertreters der Stadt S._ im Sinne von § 16 Abs. 2 aKoG "unnötig" seien, weil die Stadt über einen internen Rechtsdienst verfüge; unnötige Kosten dürften der unterliegenden Partei nicht auferlegt werden. Das Obergericht hält diesbezüglich fest, weder aus dem Kostengesetz noch aus der Kostenverordnung ergebe sich, dass einem obsiegenden Gemeinwesen mit internem Rechtsdienst keine Parteientschädigung zugesprochen werden könne. Deshalb komme das Kriterium des Obsiegens zum Tragen; dass die Verrichtungen des Vertreters der Beschwerdegegner 3 und 4 nicht notwendig gewesen wären, werde zu Recht nicht behauptet. Inwiefern das Obergericht das kantonale Prozessrecht damit in willkürlicher oder sonst verfassungswidriger Weise angewendet hätte, zeigen die Beschwerdeführer nicht auf. Untauglich sind insbesondere ihre Hinweise auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung, denn in den zitierten Entscheiden geht es um die Anwendung von Art. 159 Abs. 2 OG.
6.5.4. Auch mit ihren weiteren Argumenten, weshalb ihnen das Obergericht nicht 100 % der Prozesskosten hätte auferlegen dürfen, vermögen die Beschwerdeführer nicht zu überzeugen: So scheitern sie mit dem Nachweis, dass das Amtsgericht zu Unrecht keine Hauptverhandlung durchgeführt und erst das Obergericht diesen angeblichen Mangel geheilt habe. Das Obergericht stellt fest, das Amtsgericht habe an der Instruktionsverhandlung vom 17. November 2005 eine Frist bis zum 28. November 2005 angesetzt, binnen der die Parteien eine Hauptverhandlung verlangen konnten, und darauf hingewiesen, dass andernfalls keine Hauptverhandlung stattfinden und das Beweisverfahren geschlossen werde. Nachdem binnen Frist keine Hauptverhandlung verlangt worden sei, habe das Amtsgericht von einem Verzicht ausgehen können. Inwiefern <ref-law> oder Art. 6 Ziff. 1 EMRK ein solches Vorgehen verböten, tun die Beschwerdeführer nicht dar. Unbegründet ist auch der Vorwurf, das Obergericht übergehe ihre Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs, der zufolge das Amtsgericht nur eine unvollständige Instruktionsverhandlung durchgeführt und die Beweislage nach Einlieferung neuer Urkunden nicht erörtert habe. Das Obergericht hält fest, es habe kein Anspruch auf Erörterungen zur Rechts- und Beweislage bestanden. Inwiefern das Gegenteil der Fall wäre und ihnen aus dem anwendbaren Prozessrecht ein solcher Anspruch erwüchse, zeigen die Beschwerdeführer nicht auf. Vergeblich führen die Beschwerdeführer schliesslich ins Feld, erst das Obergericht habe die Begründung für die erstinstanzlichen Anwaltshonorare geliefert und damit die Verletzung der Begründungspflicht "geheilt"; diesbezüglich kann auf Erwägung 6.2 verwiesen werden.
7.
Eine Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK erblicken die Beschwerdeführer darin, dass das am 22. Oktober 2010 zugestellte begründete Urteil des Amtsgerichts die Unterschrift von Amtsrichterin V._ trage. Nachdem Amtsrichter U._ zu diesem Zeitpunkt bereits das Amt eines Oberrichters ausgeübt habe, könne Amtsrichterin V._ nicht seine Stellvertreterin gewesen sein. Das Obergericht hält fest, für die gehörige Besetzung des Gerichts sei das Datum der Urteilsfällung am 28. September 2010 massgebend; gemäss § 119 Abs. 1 lit. i i.V.m. § 42 Abs. 1 aZPO/LU habe das begründete Urteil durch U._s Stellvertreterin bzw. durch ein anderes Mitglied desselben Gerichts unterzeichnet werden können. Angesichts dieser alternativen Möglichkeit ist dem Vorwurf, V._ habe das Urteil vom 28. September 2010 als Stellvertreterin von U._ unterzeichnet, der Boden entzogen, konnte die Richterin das Urteil doch ohnehin auch in eigenem Namen unterschreiben.
8.
Verletzt sehen sich die Beschwerdeführer auch in ihrem Recht auf unparteiische und unbefangene Richter (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Ihr Vorwurf, dass aufgrund der zahlreichen Verfahrensfehler der "Gesamteindruck der Parteilichkeit" entstehe, fällt jedoch in sich zusammen. Denn wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, sind ihre Rügen abgesehen von einer Ausnahme unbegründet. Ebenso wenig kann der These gefolgt werden, die kantonalen Richter hätten ein Interesse daran, eine Staatshaftung nach § 120 Abs. 3 aZPO/LU "abzulehnen", und seien als Lohnempfänger des streitberufenen Kantons Luzern nicht unabhängig.
9.
Schliesslich meinen die Beschwerdeführer, sie würden für ihre "offiziell erlaubte politische Tätigkeit für Transparenz" von der Justiz diskriminiert, was eine Verletzung des Diskriminierungsverbots gemäss <ref-law> und Art. 14 EMRK darstelle. Von einer unzulässigen Diskriminierung gemäss <ref-law> kann nur dann gesprochen werden, wenn Personen in vergleichbarer Situation allein deshalb ungleich behandelt werden, weil sie einer historisch und in der gegenwärtigen sozialen Wirklichkeit tendenziell ausgegrenzten oder sonst als minderwertig behandelten Gruppe angehören (<ref-ruling> E. 6.3.3.4 S. 54; <ref-ruling> E. 6a S. 392 f. mit Hinweisen). Inwiefern die Beschwerdeführer einer solchen Gruppe angehören, zeigen sie nicht auf. Die blosse Behauptung, sie seien politisch tätig, genügt nicht. Auf die Rüge ist nicht einzutreten. Unzulässig ist auch die Rüge der Verletzung von Art. 14 EMRK. Diese Vorschrift hat keine selbständige Geltung als Menschenrecht (<ref-ruling> E. 4c S. 477), und ein anderes konventionsmässig garantiertes Menschenrecht rufen die Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang nicht an.
10.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Die Beschwerdeführer unterliegen mit ihren Vorbringen in der Sache und dringen auch mit ihren zahlreichen verfahrensrechtlichen Rügen nur in einem einzigen Punkt durch (s. E. 6.5.2). Es rechtfertigt sich, ihnen vier Fünftel der Gerichtskosten aufzuerlegen. Für den Rest haben die Beschwerdegegner aufzukommen, denn sie liessen beantragen, die Beschwerde "vollumfänglich abzuweisen". Soweit sie unterliegen, haben die Beschwerdeführer die Beschwerdegegner auch zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziffer 2 des Urteils des Obergerichts des Kantons Luzern, I. Kammer als Appellationsinstanz, vom 2. November 2012 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden zu Fr. 3'200.-- den Beschwerdeführern und zu Fr. 800.-- den Beschwerdegegnern auferlegt, je unter solidarischer Haftbarkeit.
3.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 2'000.-- für die Beschwerdegegner 1 und 2 und mit Fr. 2'000.-- für die Beschwerdegegner 3 und 4 zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer als Appellationsinstanz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn