Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Mit Verfügung vom 2. September 1996 hat die SUVA ihre weitere Leistungspflicht für die Folgen des Unfalls vom 18. April 1996 formell rechtskräftig abgelehnt. Der Beschwerdeführer reichte hiegegen erst am 20. November 1998, über zwei Jahre nach Ablauf der 30-tägigen Frist, Einsprache ein, welche die Anstalt zufolge Fristversäumnis mit Entscheid vom 13. Januar 1999 abwies. Anfechtungsgegenstand bildet insoweit einzig die Frage, ob SUVA und Vorinstanz die Voraussetzungen für die Wiederherstellung der versäumten Einsprachefrist zu Recht verneint haben. Andererseits hat die SUVA in Bestätigung der Verfügung vom 8. März 1999 mit Einspracheentscheid vom 28. Mai 1999 das Gesuch des Beschwerdeführers um prozessuale Revision der Verfügung vom 2. September 1996 abgewiesen. In Bezug auf diesen Entscheid ist lediglich zu prüfen, ob die SUVA es zu Recht abgelehnt hat, die in formelle Rechtskraft erwachsene Verfügung vom 2. September 1996 in Revision zu ziehen. Auf den in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde gestellten Hauptantrag auf Feststellung der Unfallkausalität der Beschwerden und Zusprechung der gesetzlichen Leistungen ist demgegenüber nicht einzutreten, da es mangels (rechtzeitig angefochtener) Verfügung insoweit an einem Anfechtungsgegenstand und damit an einer Sachurteilsvoraussetzung fehlt (<ref-ruling> Erw. 1a, 119 Ib 36 Erw. 1b, je mit Hinweisen).
2.- Die Vorinstanz hat die massgebliche Gesetzesbestimmung über die Wiederherstellung der Frist (<ref-law>, anwendbar auf die SUVA nach <ref-law>) und die hiezu ergangene Rechtsprechung (<ref-ruling> Erw. 2a) zutreffend dargelegt. Darauf kann verwiesen werden. Das Kantonsgericht hat in Würdigung der medizinischen Unterlagen, insbesondere des Zeugnisses des Dr. med. B._ vom 18. April 1997, der dem Versicherten ab 16. März 1997 volle Arbeitsfähigkeit attestierte, sowie gestützt auf die Tatsache, dass sich der Beschwerdeführer im März 1997 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug anmeldete und am 7. April 1997 Antrag auf Arbeitslosenentschädigung stellte, richtig festgehalten, dass die bei Erlass der Verfügung vom 2. September 1996 bestehende Krankheit den Beschwerdeführer zwar daran hinderte, innert Frist Einsprache zu erheben, er aber in der Zeit danach, spätestens im Frühjahr 1997, in der Lage gewesen wäre, einen Dritten mit der Interessenwahrung zu beauftragen. Da er dies unterlassen und erst lange nach Wegfall des Hindernisses einen Rechtsanwalt mit der Geltendmachung seiner Ansprüche betraut hat, fällt eine Wiederherstellung der versäumten Einsprachefrist ausser Betracht. Hieran vermögen die Vorbringen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nichts zu ändern. Der Einwand, das Zeugnis des Dr. med. B._ vom 18. April 1997 enthalte eine Fehlbeurteilung, ist eine durch nichts belegte Behauptung.
3.- Nach der Rechtsprechung ist die Verwaltung verpflichtet, im Rahmen einer so genannten prozessualen Revision auf eine formell rechtskräftige Verfügung zurückzukommen, wenn neue Tatsachen oder neue Beweismittel entdeckt werden, die geeignet sind, zu einer anderen rechtlichen Beurteilung zu führen (<ref-ruling> Erw. 4b, 46 Erw. 2b, je mit Hinweisen).
Das Kantonsgericht hat unter Hinweis auf die Rechtsprechung zu den Begriffen der neuen Tatsache und des neuen Beweismittels (<ref-ruling> Erw. 2) in einlässlicher Würdigung der medizinischen Akten richtig festgestellt, dass diese keine abweichende Beurteilung der Kausalitätsfrage zulassen. Insbesondere fehlt der Nachweis einer unfallbedingten organischen Schädigung, welche als wahrscheinliche Ursache für die massiven psychischen Beschwerden zu betrachten wäre. In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde werden keine stichhaltigen Einwendungen gegen die Auffassung der Vorinstanz, wonach die SUVA eine prozessuale Revision der formell rechtskräftigen Verfügung vom 2. September 1996 zu Recht abgelehnt habe, vorgebracht. Namentlich ist diese Verfügung auch nicht mit derart schwerwiegenden Mängeln behaftet, dass auf deren Nichtigkeit geschlossen werden müsste.
4.- Der Beschwerdeführer hat nachträglich einen audioneurootologischen Bericht des Dr. med. C._ vom 2. November 2001 eingereicht. Ungeachtet der Frage, ob dieses nach Ablauf der Rechtsmittelfrist beigebrachte Privatgutachten letztinstanzlich berücksichtigt werden könnte (vgl. <ref-ruling>), gilt es festzustellen, dass zu entscheiden ist, ob die SUVA zu Recht die Revision der formell rechtskräftigen Verfügung vom 2. September 1996 abgelehnt hat. Massgebend für die Beurteilung dieser Frage sind die Tatsachen und Beweismittel, die dem Einspracheentscheid vom 28. Mai 1999 zu Grunde lagen, mit welchem die Voraussetzungen für die prozessuale Revision in Bestätigung der Verfügung vom 8. März 1999 verneint wurden (vgl. <ref-ruling> Erw. 1a; RKUV 2001 Nr. U 419 S. 101 Erw. 2a). Ob der Bericht des Dr. C._ vom 2. November 2001 neue Tatsachen enthält oder als neues Beweismittel anzuerkennen ist, das im Lichte der Rechtsprechung eine Revision der Verfügung vom 2. September 1996 begründet, müsste zunächst die SUVA entscheiden. Da der Beschwerdeführer den Bericht jedenfalls innert 90 Tagen seit der damit verbundenen Entdeckung des allfälligen Revisionsgrundes (<ref-law>; RKUV 1994 Nr. U 191 S. 145) dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eingereicht hat, könnte ihm die SUVA insoweit keine Fristversäumnis entgegenhalten, wenn er nach Erhalt des vorliegenden Urteils ein neues Revisionsgesuch stellen sollte.
5.- Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG). Da der Versicherte unterliegt, steht ihm keine Parteientschädigung zu (Art. 159 in Verbindung mit Art. 135 OG). Demgemäss entfällt auch der Anspruch auf Vergütung der Kosten der vom Beschwerdeführer in Auftrag gegebenen medizinischen Gutachten und Berichte (<ref-ruling>).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen,
soweit darauf einzutreten ist.
II. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer
auferlegt und mit dem geleisteten Kostenvorschuss
verrechnet.
III. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht
Appenzell I.Rh. und dem Bundesamt für Sozialversicherung
zugestellt.
Luzern, 29. Mai 2002
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: