Erwägungen:
1.
1.1. X._ (geb. 1977) stammt aus dem Kosovo. Sie heiratete am 15. Januar 2008 in Serbien einen in der Schweiz niedergelassenen Landsmann und reiste am 10. August 2008 in die Schweiz ein. Nachdem sich die Ehegatten anfangs 2009 getrennt hatten, lehnte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt es am 22. März 2010 ab, die Aufenthaltsbewilligung von X._ zu verlängern, was das Appellationsgericht auf Rekurs hin am 29. August 2013 kantonal letztinstanzlich bestätigte.
1.2. X._ beantragt vor Bundesgericht, die Entscheide der kantonalen Instanzen aufzuheben und diese "einzuladen", ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Sie macht geltend, die kantonalen Behörden seien zu Unrecht davon ausgegangen, dass kein Härtefall vorliege. Sie hätten die Beweise willkürlich gewürdigt und ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt.
2.
2.1. Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bildet ausschliesslich das letztinstanzliche kantonale Urteil. Diesem zugrunde liegende Verfügungen gelten als mit angefochten. Sie können im bundesgerichtlichen Verfahren indessen nicht eigenständig beanstandet werden (Devolutiveffekt). Auf den diesbezüglichen Aufhebungsantrag und die entsprechenden Ausführungen ist deshalb nicht weiter einzugehen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 144; Urteil 2C_97/2013 vom 26. August 2013 E. 1.2).
2.2. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die Vorinstanz habe Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG (SR 142.20; "allgemeiner Härtefall") nicht hinreichend geprüft bzw. das Vorliegen der entsprechenden Voraussetzungen zu Unrecht verneint, ist ihre Eingabe weder als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten noch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig: Bei der allgemeinen Härtefallbewilligung handelt es sich um einen Ermessens- und keinen Anspruchsentscheid (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348). Die von der Beschwerdeführerin erhobenen verfahrensrechtlichen Rügen (formelle Rechtsverweigerung wegen fehlender vertiefter Prüfung) können von der Bewilligungsfrage selber nicht getrennt werden, weshalb es ihr diesbezüglich an der erforderlichen Beschwerdebefugnis fehlt (<ref-law>: "Star"-Praxis; <ref-ruling> E. 2 S. 308; THOMAS H UGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Alberto Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2012/2013, S. 31 ff., dort 100 mit Hinweisen).
2.3.
2.3.1. Nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben die Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Es ist dabei in gedrängter Form darzutun, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist in Auseinandersetzung mit den Überlegungen der Vorinstanz in gezielter Form auf die für das Ergebnis des Verfahrens massgeblichen Ausführungen im Einzelneneinzugehen (<ref-ruling> E. 2.1 - 2.3). Wird die Sachverhaltsfeststellung als fehlerhaft gerügt, hat der Beschwerdeführende darzulegen, dass und inwiefern diese in entscheidwesentlichen Punkten willkürlich erscheint oder auf einer Verletzung von Verfahrensrechten beruht (willkürliche Anwendung kantonaler Verfahrensvorschriften, Verletzung des rechtlichen Gehörs durch antizipierte Beweiswürdigung usw.; <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.5 S. 129 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; zu <ref-law> [antizipierte Beweiswürdigung]: <ref-ruling> E. 3 S. 157).
2.3.2. Soweit die Beschwerdeführerin lediglich wiederholt, was sie bereits vor der Vorinstanz ausgeführt hat, und sich mit deren Überlegungen nicht weiter auseinandersetzt bzw. sie nicht darlegt, inwiefern das angefochtene Urteil gegen Bundesrecht verstossen oder die einschlägige bundesgerichtliche Praxis verkennen würde, ist ihre Eingabe unzureichend begründet (soweit es sich dabei nicht sowieso um unzulässige neue Vorbringen handelt; vgl. <ref-law>). Es genügt in einem Fall wie dem vorliegenden nicht, lediglich zu schildern, inwiefern in einem anderen Staat ein patriarchalisches System bzw. eine "Macho-Gesellschaft" vorherrschen soll, ohne darzulegen, dass und inwiefern wegen der Verweigerung der Bewilligungsverlängerung konkreteine unzumutbare, konventions- oder verfassungswidrige Situation bzw. ein ausländerrechtlich relevanter Härtefall besteht. Allgemeine Hinweise auf staatliche Schutzpflichten oder Sozialziele - wie sie die Beschwerdeführerin anführt - genügen hierfür nicht (vgl. das Urteil 2C_1000/2012 vom 21. Februar 2013 E. 5.2.2 mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin lebte in der Schweiz mit ihrem Gatten nur wenige Monate zusammen, sodass sie sich trotz ihrer zwischenzeitlichen Integration nicht auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG berufen kann. Die kantonalen Behörden durften - ohne Bundesrecht zu verletzen - auch das Vorliegen eines nachehelichen Härtefalls im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG (in Verbindung mit Abs. 2) verneinen. Danach besteht der Bewilligungsanspruch trotz gescheiterter Ehe fort, falls wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen, was bei häuslicher bzw. ehelicher Gewalt von einer gewissen Intensität der Fall sein kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 348 ff.).
3.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, von ihrem Mann nicht respektvoll behandelt und bei ihrem Bruder einfach "abgegeben" worden zu sein, weil er nicht mehr mit ihr habe zusammenleben wollen. Ohne Verlängerung der Bewilligung müsse sie, nachdem sie während der Rechtsmittelverfahren die hiesigen Freiheiten und ihre Unabhängigkeit zu geniessen gelernt habe, in ein patriarchalisches System zurückkehren, wo ihr Auskommen als geschiedene Frau nicht gesichert erscheine und sie mit Ächtungen rechnen müsse. Ihre Ausführungen genügen, wie die Vorinstanz zutreffend dargelegt hat, nicht, um einen nachehelichen Härtefall im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG zu begründen. Nicht jede unglückliche, belastende und nicht den eigenen Vorstellungen entsprechende Entwicklung einer Beziehung bildet bereits einen nachehelichen Härtefall und verschafft der betroffenen Person ein weiteres, nicht mehr nur abgeleitetes, sondern nunmehr originäres Aufenthaltsrecht im Land. Die anhaltende, erniedrigende Behandlung muss von einem gewissen Gewicht sein. Dass eine Ehe, welche relativ schnell eingegangen wurde, nach wenigen Wochen scheitert, weil sich die Eheleute in ihren Vorstellung über den Partner und dessen Verhalten getäuscht gesehen haben, bildet keine im Rahmen von Art. 50 AuG relevante psychische Unterdrückung.
3.3. Die Beschwerdeführerin ist im Alter von 30 Jahren in die Schweiz eingereist und somit in ihrem Heimatland sozialisiert worden. Weitere Angehörige halten sich nach wie vor dort auf. Sie ist mit der heimatlichen Sprache und Kultur bestens vertraut. Die Beschwerdeführerin hält sich erst seit relativ kurzer Zeit in der Schweiz auf. Aus der Beziehung zu ihrem Gatten sind keine Kinder hervorgegangen, deren Interessen mitzuberücksichtigen wären. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern eine erneute Integration in den heimatlichen Verhältnissen besondere, unüberwindbare Probleme stellen würde (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350). Die von ihr während der Dauer der Beschwerdeverfahren erworbenen Kenntnisse (Sprache usw.) können ihr hierbei dienlich sein (vgl. zu einer Übersicht über die bundesgerichtliche Rechtsprechung bei HUGI YAR, a.a.O., S. 77 ff., dort 88).
4.
4.1. Die Eingabe kann ohne Schriftenwechsel oder Beizug der Akten im Verfahren nach <ref-law> erledigt werden. Für alles Weitere wird ergänzend auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>). Mit dem Urteil in der Sache selber wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
4.2. Die Beschwerdeführerin hat die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Unabhängig davon, ob sie als bedürftig im Sinne von <ref-law> gelten kann, was aufgrund ihrer Angaben zweifelhaft erscheint, hatte die vorliegende Eingabe als zum Vornherein aussichtslos zu gelten; ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist deshalb abzuweisen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1.2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar