Faits:
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A. Licenciée en lettres, Y._, née en 1946, a travaillé dans le domaine de l'édition, puis dans des musées, en qualité de conservatrice ou de responsable de collections et de bibliothèques historiques. X._ est un collectionneur d'objets et d'oeuvres d'art; il est régulièrement appelé à prêter des pièces de sa collection pour des expositions en Suisse et à l'étranger, voire à organiser des expositions complètes. Dès les années 1980, l'importance des aspects administratifs liés à la gestion de ses biens artistiques l'a amené à s'attacher les services d'une personne à plein temps. C'est ainsi qu'en février 1987, X._ a engagé Y._ comme collaboratrice scientifique. Celle-ci a notamment effectué des recherches et des traductions; elle s'est également occupée de la coordination des prêts de la collection X._, à l'entière satisfaction de son employeur. Elle a quitté son emploi le 31 décembre 1995 pour rejoindre le musée A._, où elle travaillera comme collaboratrice des commissions d'exposition chargée de l'organisation et de la coordination des projets et des catalogues.
A la fin de l'année 1999, X._ a proposé à Y._ de collaborer à nouveau avec lui. Le 30 novembre 1999, les parties ont conclu un contrat de travail de durée déterminée, allant du 1er mars 2000 au 31 août 2011; le salaire brut annuel s'élevait à 130'000 fr. et le droit au salaire en cas d'empêchement non fautif de travailler était fixé à six mois. Ayant collaboré avec X._ pendant huit ans, Y._ connaissait les avantages et les inconvénients liés à cet emploi. Il n'était ainsi pas toujours facile de travailler pour le collectionneur, doté d'un caractère passionné et exigeant, mais également nerveux au point de rendre l'ambiance de travail tendue. Par ailleurs, l'activité demandée, qui s'exerçait essentiellement au domicile de l'employeur, supposait une implication personnelle accrue dans la vie privée de X._.
Dès le 11 juin 2003, Y._ s'est trouvée, pour une durée indéterminée, en incapacité totale de travailler en raison d'un cancer. En septembre 2003, l'épouse de X._ a écrit à Y._, en particulier pour lui adresser des voeux de meilleure santé; son mari a ajouté quelques mots à la main. En novembre 2003, X._ a téléphoné à sa collaboratrice pour prendre de ses nouvelles. A cette occasion, il lui a confirmé que son salaire serait versé intégralement jusqu'à la fin décembre 2003, conformément au contrat; il lui a également fait savoir qu'un montant de 4'000 fr. par mois lui serait payé à bien plaire jusqu'au 30 juin 2004.
Par courrier de son conseil du 15 décembre 2003, Y._ a élevé divers griefs à l'encontre de X._; elle demandait ainsi à son employeur de lui fournir, avant qu'elle ne reprenne le travail, un certain nombre de garanties liées à la protection de sa personnalité (<ref-law>). Elle exigeait également le paiement de vingt-trois jours de vacances non pris en 2003, pour un montant total de 11'705 fr. L'employée a joint à cette lettre une «attestation médicale» établie le 4 décembre 2003 par son gynécologue. Selon ce document, l'état de santé de Y._, en particulier sa résistance immunitaire, se sont affaiblis «en relation directe avec son travail», source de stress; en conclusion, le médecin déconseille à sa patiente de reprendre son activité chez le même employeur.
Le 30 décembre 2003, X._ a versé à Y._ le montant qu'elle réclamait au titre des vacances non prises. Le même jour, il a annulé l'ordre de virement de 4'000 fr. par mois.
Par lettre du 8 janvier 2004, le conseil de X._ a résilié le contrat de travail avec effet immédiat. A son sens, le courrier du 15 décembre 2003 était de nature à rompre le rapport de confiance entre les parties et à fonder ainsi un licenciement immédiat pour justes motifs au sens de l'<ref-law>. Néanmoins, eu égard notamment à l'état de santé de l'employée, l'avocat du collectionneur préférait invoquer l'<ref-law>, Y._ se trouvant dans l'incapacité de fournir sa prestation de travail pour une période durable.
Par lettre du 8 janvier 2004, le conseil de X._ a résilié le contrat de travail avec effet immédiat. A son sens, le courrier du 15 décembre 2003 était de nature à rompre le rapport de confiance entre les parties et à fonder ainsi un licenciement immédiat pour justes motifs au sens de l'<ref-law>. Néanmoins, eu égard notamment à l'état de santé de l'employée, l'avocat du collectionneur préférait invoquer l'<ref-law>, Y._ se trouvant dans l'incapacité de fournir sa prestation de travail pour une période durable.
B. Par demande déposée le 19 janvier 2004, Y._ a assigné X._ en paiement de 1'076'213 fr. plus intérêts, soit:
- 985'834 fr. à titre de salaire jusqu'au terme du contrat;
- 65'000 fr. à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié;
- 20'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral;
- 5'379 fr. à titre d'indemnité au sens de l'art. 5 al. 3 de la loi fédérale sur l'égalité entre femmes et hommes (LEg; RS 151.1).
Le chargé accompagnant la demande comportait un certificat médical daté du 12 janvier 2004, par lequel un médecin du département de radio-oncologie des Hôpitaux Universitaires de Genève attestait de la capacité de travail totale de Y._ à partir du 1er février 2004.
Par courrier du 26 janvier 2004, le conseil de X._ a pris acte de ce fait et invité Y._ à se présenter sur son lieu de travail le 1er février. Cette lettre a été suivie des mises en demeure des 28 (recte: 27) et 30 janvier 2004, auxquelles Y._ n'a pas donné suite. Considérant que l'employée n'entendait pas assumer ses obligations, X._, toujours par l'intermédiaire de son conseil, lui a fait savoir, par courrier du 3 février 2004, qu'il résiliait le contrat de travail avec effet immédiat pour justes motifs au sens de l'<ref-law>.
Lors de l'audience du 26 avril 2004 devant le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève, X._ a renouvelé, en vain, son offre de reprendre Y._ à son service.
La caisse cantonale genevoise de chômage est intervenue à la procédure en vertu de sa subrogation dans les droits de Y._ à hauteur de 3'735 fr.95 pour février 2004, 5'825 fr.20 pour mars 2004, 5'563 fr.75 pour avril 2004, 5'301 fr.65 pour mai 2004, 5'563 fr.75 pour juin 2004 et 5'563 fr.75 pour juillet 2004.
Depuis le 1er août 2004, Y._ travaille comme responsable des relations publiques et de la coordination pour la Fondation B._ de la société F. Hoffmann-La Roche. Sa rémunération annuelle est de 112'000 fr.
Par jugement du 10 janvier 2005, le Tribunal des prud'hommes a débouté Y._ et la caisse de chômage de toutes leurs conclusions.
Statuant le 18 juillet 2005 sur appel de l'employée, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes a annulé le jugement de première instance. Elle a condamné X._ à payer à Y._ à titre de salaire le montant brut de 174'500 fr., plus intérêts à 5% dès le 19 janvier 2004, sous déduction des sommes dues à la caisse cantonale genevoise de chômage, soit:
- 3'735 fr.95 plus intérêts à 5% dès le 9 avril 2004;
- 5'825 fr.20 plus intérêts à 5% dès le 19 avril 2004;
- 5'563 fr.75 plus intérêts à 5% dès le 4 mai 2004;
- 5'301 fr.65 plus intérêts à 5% dès le 4 juin 2004;
- 5'563 fr.75 plus intérêts à 5% dès le 2 juillet 2004;
- 5'563 fr.75 plus intérêts à 5% dès le 27 juillet 2004.
En outre, X._ a été condamné à payer à Y._ le montant de 10'000 fr., plus intérêts à 5% dès le 19 janvier 2004, à titre d'indemnité pour résiliation immédiate injustifiée.
En outre, X._ a été condamné à payer à Y._ le montant de 10'000 fr., plus intérêts à 5% dès le 19 janvier 2004, à titre d'indemnité pour résiliation immédiate injustifiée.
C. X._ forme un recours de droit public. Il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de l'affaire à la Cour d'appel pour nouvelle décision.
Y._ propose le rejet du recours.
La caisse cantonale genevoise de chômage n'a pas été invitée à se déterminer.
Parallèlement, X._ a interjeté un recours en réforme contre le même arrêt. Y._ a formé un recours joint.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Conformément à la règle générale posée par l'art. 57 al. 5 OJ, il convient de traiter le recours de droit public avant le recours en réforme et le recours joint.
1. Conformément à la règle générale posée par l'art. 57 al. 5 OJ, il convient de traiter le recours de droit public avant le recours en réforme et le recours joint.
2. 2.1 Le recours de droit public au Tribunal fédéral est ouvert contre une décision cantonale pour violation des droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ).
L'arrêt attaqué est final dans la mesure où la cour cantonale a statué sur le fond du litige par une décision qui n'est susceptible d'aucun autre moyen de droit sur le plan fédéral ou cantonal, s'agissant du grief de violation directe d'un droit de rang constitutionnel (art. 84 al. 2 et art. 86 al. 1 OJ).
Le recourant, qui a succombé en partie dans ses conclusions libératoires, est personnellement touché par l'arrêt entrepris. Il a ainsi un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que cette décision n'ait pas été adoptée en violation de ses droits constitutionnels; en conséquence, la qualité pour recourir doit lui être reconnue (art. 88 OJ).
2.2 Le recours de droit public a, sauf exceptions non réalisées en l'espèce, une fonction purement cassatoire (<ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 131/132 et les arrêts cités). Par conséquent, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur un recours dans la mesure où il tend à obtenir autre chose que l'annulation de l'arrêt attaqué (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 176). En l'espèce, la conclusion du recourant tendant au renvoi à l'autorité cantonale pour nouvelle décision est irrecevable.
2.3 Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel soulevés et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling> consid. 2.1. p. 31, 258 consid. 1.3 p. 261/262; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 120; <ref-ruling> consid. 1c p. 53/54 et les arrêts cités). Le recourant ne peut se contenter de critiquer la décision attaquée comme il le ferait dans une procédure d'appel où l'autorité de recours peut revoir librement l'application du droit (<ref-ruling> consid. 7a). L'art. 90 al. 1 let. b OJ n'autorise pas l'auteur d'un recours de droit public à présenter sa propre version des événements (<ref-ruling> consid. 5.2.2).
2.3 Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel soulevés et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling> consid. 2.1. p. 31, 258 consid. 1.3 p. 261/262; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 120; <ref-ruling> consid. 1c p. 53/54 et les arrêts cités). Le recourant ne peut se contenter de critiquer la décision attaquée comme il le ferait dans une procédure d'appel où l'autorité de recours peut revoir librement l'application du droit (<ref-ruling> consid. 7a). L'art. 90 al. 1 let. b OJ n'autorise pas l'auteur d'un recours de droit public à présenter sa propre version des événements (<ref-ruling> consid. 5.2.2).
3. 3.1 Dans un premier grief, le recourant reproche à la cour cantonale de s'être livrée à une appréciation arbitraire des preuves, en écartant les moyens qui démontraient que la volonté interne commune des parties était de mettre fin au contrat de travail. Tout d'abord, l'intimée aurait posé, dans la lettre du 15 décembre 2003, des conditions relevant du pur prétexte pour reprendre son travail; preuve en serait que la cour cantonale elle-même a jugé que les actes de harcèlement moral dont l'employée se plaignait n'étaient pas établis. De cette circonstance, la Cour d'appel aurait dû déduire que l'intimée n'avait pas la volonté de reprendre son travail auprès du recourant. Deuxièmement, en annexant l'attestation médicale du 4 décembre 2003 au courrier du 15 décembre 2003, l'intimée a accusé le recourant de ruiner sa santé et démontré par là qu'elle n'entendait plus travailler pour lui. En troisième lieu, le recourant se réfère au comportement de l'intimée après l'envoi de la lettre du 15 décembre 2003, dont il ressortirait que l'employée n'avait aucunement la volonté de reprendre son travail. Ainsi, l'intimée a refusé catégoriquement toutes les offres du recourant, prêt à la reprendre à son service. De plus, selon le témoignage de sa soeur, elle cherchait un autre emploi depuis environ deux ans. Enfin, le recourant reprend à son compte le passage du jugement de première instance selon lequel la lettre du 15 décembre 2003, «conçue comme devant faire partie d'un dossier judiciaire», «démontre indirectement (...) que [l'intimée] entendait liquider une relation contractuelle devenue trop pesante»; le Tribunal des prud'hommes voit une confirmation de ce point de vue dans le fait que l'intimée «a préféré taire à son employeur le rétablissement imminent de son état de santé» et qu'elle a considéré la lettre du 8 janvier 2004 comme un licenciement avec effet immédiat.
3.2 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 2 p. 61; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 275 et les arrêts cités). En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur le sens et la portée d'un tel élément, ou encore lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2a p. 41; <ref-ruling> consid. 4a). Il appartient au recourant de démontrer, par une argumentation précise, en quoi la décision incriminée est arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1c p. 76).
3.3 En l'espèce, les éléments invoqués par le recourant n'étaient manifestement pas propres à démontrer, en fait, la volonté interne de l'intimée de résilier le contrat. Premièrement, le rejet de la prétention en tort moral de l'intimée, faute de preuves, n'autorise pas à conclure, ipso facto, que les doléances exprimées dans le courrier du 15 décembre 2003 n'étaient que pure invention. Du reste, sur la base des témoignages, la cour cantonale a retenu qu'il n'était pas toujours facile de collaborer avec une personne aussi exigeante que le recourant et que l'ambiance de travail s'en ressentait négativement. Quand bien même l'intimée aurait exagéré la gravité des griefs énumérés dans la lettre précitée, cette circonstance ne démontrerait pas pour autant que l'employée voulait résilier le contrat de travail. De même, le fait d'avoir annexé l'attestation du gynécologue au courrier du 15 décembre 2003 n'établit pas une telle volonté. Certes, le médecin considérait comme médicalement contre-indiqué pour l'intimée de réintégrer son emploi chez le recourant. Il n'en demeure pas moins que le but de la lettre du 15 décembre 2003 était d'obtenir, avant la reprise du travail, des garanties sur le respect du cahier des charges et de la personnalité de l'intimée; dans cette perspective, l'avis du médecin devait permettre de faire comprendre au destinataire l'importance que les garanties exigées revêtaient pour la collaboratrice. Au reste, on ne voit pas comment une annexe établie par un tiers pourrait constituer la preuve d'une volonté interne différente de celle manifestée par l'expéditrice dans son message principal. En outre, en refusant de revenir travailler chez le recourant une fois la procédure introduite en janvier 2004, l'intimée n'a pas non plus démontré qu'elle entendait mettre fin aux relations contractuelles en décembre 2003. D'ailleurs, la réponse apportée par le recourant au courrier du 15 décembre 2003, soit un licenciement avec effet immédiat, pouvait fort bien avoir influé sur la volonté de l'intimée. Quant à l'éventuelle recherche d'un autre emploi depuis deux ans, dont la soeur de l'intéressée a fait état, elle n'est pas de nature à établir que l'intention de la collaboratrice, en envoyant la lettre du 15 décembre 2003, était de résilier le contrat la liant au recourant. Les arguments du jugement de première instance, repris par le recourant, ne sont pas plus convaincants à ce sujet. Considérer le courrier du 15 décembre 2003 comme une pièce d'un dossier judiciaire futur et en tirer la conclusion que l'intimée entendait se libérer de ses engagements contractuels relève pour le moins du procès d'intention. En outre, il n'est pas soutenable de prétendre qu'en n'avertissant pas son ex-employeur, après la résiliation immédiate du contrat, de son prochain rétablissement, l'intimée aurait démontré a posteriori sa volonté de mettre fin aux rapports de travail. Enfin, il est difficile d'imaginer comment l'employée qui reçoit de son employeur un avis de résiliation avec effet immédiat ne peut pas le prendre à la lettre.
Au demeurant, une résiliation conventionnelle des rapports de travail suppose, si l'on en reste à une interprétation subjective, une volonté interne commune de mettre fin au contrat, comprise comme telle par chacune des parties (cf. <ref-law>). En d'autres termes, si l'une des parties n'a pas saisi la volonté réelle de résilier de l'autre partie, il n'y a pas échange de volontés et, donc, pas de convention mettant un terme aux relations contractuelles. Or, en l'espèce, rien ne permet de retenir en fait qu'à l'époque, le recourant a considéré la lettre du 15 décembre 2003 comme une offre de résilier le contrat de travail de manière bilatérale et qu'il l'a agréée. Sur ce point, le recourant semble se référer au licenciement immédiat du 8 janvier 2004. Or, à l'évidence, un tel acte ne constitue pas une acceptation d'une proposition de résiliation conventionnelle. Pour le reste, le recours est muet à ce sujet et, par conséquent, dépourvu de toute démonstration d'arbitraire. Il convient néanmoins de relever qu'en réponse au courrier litigieux, le conseil du recourant a, par lettre du 8 janvier 2004, non seulement résilié le contrat unilatéralement et sur-le-champ, mais encore proposé à l'employée de lui verser un montant mensuel de 4'000 fr. durant six mois, moyennant notamment l'acceptation de la fin des rapports contractuels. Une telle offre est manifestement incompatible avec le fait que la volonté réelle commune des parties, comprise comme telle par elles, aurait été de mettre un terme prématuré au contrat en décembre 2003.
En conclusion, le moyen fondé sur la violation de l'art. 9 Cst. ne peut être que rejeté.
En conclusion, le moyen fondé sur la violation de l'art. 9 Cst. ne peut être que rejeté.
4. 4.1 Dans un second grief, le recourant invoque l'art. 29 al. 2 Cst. et se plaint d'un défaut de motivation. Selon lui, la cour cantonale aurait dû exposer les raisons qui l'ont conduite à retenir qu'il n'avait pas apporté d'une quelconque manière la preuve que l'intimée ne désirait plus travailler à son service.
4.2 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties. Il n'y a violation du droit d'être entendu que si l'autorité ne satisfait pas à son devoir minimum d'examiner et de traiter les problèmes pertinents (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 540; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 2b p. 102 et les arrêts cités).
4.3 Selon l'arrêt attaqué, l'employeur n'a pas apporté la preuve que sa collaboratrice voulait mettre un terme aux rapports de travail. Le recourant pouvait ainsi comprendre que ses moyens de preuve n'avaient pas été jugés convaincants par la cour cantonale. L'obligation de motiver déduite de l'art. 29 al. 2 Cst. n'imposait pas à la Cour d'appel, après avoir interprété la lettre du 15 décembre 2003, de s'expliquer longuement sur les autres moyens de preuve invoqués par le recourant. Le grief fondé sur la violation de l'art. 29 al. 2 Cst. sera ainsi écarté.
4.3 Selon l'arrêt attaqué, l'employeur n'a pas apporté la preuve que sa collaboratrice voulait mettre un terme aux rapports de travail. Le recourant pouvait ainsi comprendre que ses moyens de preuve n'avaient pas été jugés convaincants par la cour cantonale. L'obligation de motiver déduite de l'art. 29 al. 2 Cst. n'imposait pas à la Cour d'appel, après avoir interprété la lettre du 15 décembre 2003, de s'expliquer longuement sur les autres moyens de preuve invoqués par le recourant. Le grief fondé sur la violation de l'art. 29 al. 2 Cst. sera ainsi écarté.
5. Sur le vu de ce qui précède, l'une des conclusions du recours est irrecevable et les moyens soulevés par le recourant se révèlent mal fondés. Par conséquent, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
5. Sur le vu de ce qui précède, l'une des conclusions du recours est irrecevable et les moyens soulevés par le recourant se révèlent mal fondés. Par conséquent, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
6. Comme la valeur litigieuse, selon les prétentions de l'intimée à l'ouverture de l'action (<ref-ruling> consid. 5b p. 41), dépasse 30'000 fr., la procédure n'est pas gratuite (art. 343 al. 2 et 3 CO). Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 156 al. 1 OJ). En outre, il versera des dépens à l'intimée (art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 6'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 6'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties, à la caisse cantonale genevoise de chômage et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 27 février 2006
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière: