Sachverhalt:
A. Auf Begehren von Z._ (für eine Forderung von Fr. 25'985.35 nebst Zins und Kosten) eröffnete der Gerichtspräsident des Bezirksgerichts Sissach am 15. Oktober 2009, 11.00 Uhr, den Konkurs über die X._ AG.
B. Gegen dieses Konkurserkenntnis appellierte die X._ AG beim Kantonsgericht Basel-Landschaft. Mit Urteil vom 15. Dezember 2009 wies das Kantonsgericht die Appellation ab und bestätigte das bezirksgerichtliche Konkurserkenntnis.
C. C.a Die X._ AG (nachfolgend Beschwerdeführerin) ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 15. Februar 2010 (Postaufgabe am 15. Februar 2010) an das Bundesgericht gelangt. Sie verlangt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Urteils, eventuell die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung. Überdies ersucht sie um aufschiebende Wirkung.
C.b Das präsidierende Mitglied hat der Beschwerde entgegen den eingeholten Anträgen des Kantonsgerichts und der Gegenpartei mit Verfügung vom 17. März 2010 die aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen zuerkannt. Da Z._ am 14. Februar 2010 verstarb, sistierte es zudem das Verfahren für die Dauer von drei Monaten.
C.c In der Erbbescheinigung vom 22. März 2010 anerkannte die Bezirksschreiberei Liestal Y._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) als Alleinerbin von Z._. Die Beschwerdegegnerin verlangt in ihrem Schreiben vom 26. April 2010 die Fortsetzung des Verfahrens.
Es wurden in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Das letztinstanzliche Konkurserkenntnis unterliegt als Entscheid in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde gegen Entscheide des Konkursrichters ist an keinen Streitwert gebunden (<ref-law>). Der konkursgerichtliche Entscheid beendet ein Verfahren und stellt damit einen Endentscheid nach <ref-law> dar. Hingegen kommt er keiner einstweiligen Verfügung gleich (<ref-ruling> E. 1.2 S. 689 f.).
1.2 Der angefochtene Entscheid ist der Beschwerdeführerin am 14. Januar 2010 zugestellt worden. Damit hat sie die Beschwerde fristgerecht eingereicht (<ref-law>).
1.3 Die Beschwerdegegnerin ist an die Stelle des ursprünglichen Betreibungsgläubigers getreten, der während des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens verstorben ist (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
2. 2.1 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), worunter ebenfalls verfassungsmässige Rechte des Bundes fallen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 382 f. mit Hinweisen).
Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie vom Kantonsgericht verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 748 f.). Die Begründung muss in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein; auf blosse Verweise auf andere Rechtsschriften ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2 S. 93 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 387 f.).
Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und gehörig begründet wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.; <ref-ruling> E. 3.2. S. 88). Es muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides dargelegt werden, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 591 f.).
Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 401) oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein. Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
2.2 In der Beschwerde dürfen überdies keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (<ref-law>). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226 f.).
3. Die Beschwerdeführerin rügt in einem ersten Schritt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und der Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law>. Zudem wirft sie dem Kantonsgericht überspitzten Formalismus vor. Diese Rügen wenden sich im Grunde gegen die kantonsgerichtliche Beweiswürdigung. Die Sachverhaltsfeststellung (betreffend der Zahlung der Schuld) wird aber von der Beschwerdeführerin nicht explizit gerügt. Insoweit genügt die Beschwerde den Anforderungen gemäss <ref-law> (vgl. E. 2.1 oben) nicht und es ist nicht darauf einzutreten. In Anbetracht dessen ist auch auf die Beweisanträge der Beschwerdeführerin nicht einzugehen, zumal sie nicht darlegt, inwiefern die Voraussetzungen für die Einreichung neuer Tatsachen und Beweismittel gemäss <ref-law> gegeben sein sollen (vgl. E. 2.2 oben).
4. 4.1 Wegen der formellen Natur des rechtlichen Gehörs, wonach dessen Verletzung in der Regel ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides führt (132 V 387 E. 5.1 S. 390), werden Gehörsrügen regelmässig vorweg behandelt.
4.2 Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (Urteil 2A.496/2006 vom 15. Oktober 2007 E. 5.1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Zudem hat das Gericht die Vorbringen der Parteien zu prüfen und in der Entscheidfindung zu berücksichtigen. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 293).
4.2 Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (Urteil 2A.496/2006 vom 15. Oktober 2007 E. 5.1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Zudem hat das Gericht die Vorbringen der Parteien zu prüfen und in der Entscheidfindung zu berücksichtigen. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 293).
4.3 4.3.1 Die Verletzung des rechtlichen Gehörs begründet die Beschwerdeführerin einerseits damit, dass das Kantonsgericht für die Beurteilung der Appellation offensichtlich nicht die wesentlichen vorgelegten Beweise beachtet, sondern nur auf die Angaben auf den Kontoauszügen abgestellt habe (Ziff. 24 - 26 der Beschwerde).
4.3.2 Das Kantonsgericht hat sämtliche vorhandenen Beweismittel gewürdigt und die Beschwerdeführerin hat sich überdies mehrmals äussern können (neben der Appellationsschrift weitere Eingaben vom 12., 17. und 19. November 2009). Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist daher nicht ersichtlich.
4.3.2 Das Kantonsgericht hat sämtliche vorhandenen Beweismittel gewürdigt und die Beschwerdeführerin hat sich überdies mehrmals äussern können (neben der Appellationsschrift weitere Eingaben vom 12., 17. und 19. November 2009). Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist daher nicht ersichtlich.
4.4 4.4.1 Andererseits sieht die Beschwerdeführerin ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, weil das Kantonsgericht die Appellationsbegründung fälschlicherweise so verstanden habe, dass eine Tilgung der Schuld innert der Appellationsfrist geltend gemacht worden sei. Tatsächlich habe sie aber die Tilgung vor der (erstinstanzlichen) Konkursverhandlung geltend gemacht. Darüber habe das Kantonsgericht gar nicht geurteilt, sondern nur die Schuldentilgung während der Appellationsfrist geprüft (Ziff. 27 der Beschwerde).
4.4.2 Das Kantonsgericht hat in seinem Entscheid in Anwendung von <ref-law> (i.V.m. <ref-law>) geprüft, ob die Forderung der Beschwerdegegnerin vor der erstinstanzlichen Konkursverhandlung bereits getilgt war (Ziff. 3 - 5 des angefochtenen Urteils). Sodann hat es in einem zweiten Schritt <ref-law> angewendet und geprüft, ob die Schuld zwischenzeitlich, das heisst während der Appellationsfrist, getilgt wurde (Ziff. 6 - 10 des angefochtenen Urteils). Im Ergebnis berücksichtigte es dabei auch nochmals den Zeitraum vor der Appellation (zum Anwendungsbereich von <ref-law> siehe <ref-ruling> E. 2 S. 690 f.).
4.4.3 Die Ausführungen der Beschwerdeführerin erweisen sich damit als unzutreffend. Das Kantonsgericht hat sehr wohl (und ausführlich) geprüft, ob die Forderung der Beschwerdegegnerin vor der erstinstanzlichen Konkursverhandlung getilgt wurde. Damit ist auch diesbezüglich die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs unbegründet.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin wirft dem Kantonsgericht zudem vor, es habe versäumt, die eingereichten Belege gehörig zu prüfen (Ziff. 25 der Beschwerde). Es habe nur auf die Angaben auf den Kontoauszügen abgestellt und die wesentlichen vorgelegten Beweise nicht beachtet. Damit erachtet die Beschwerdeführerin die Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law> als verletzt. Da das Kantonsgericht zudem ausschliesslich auf die formale Bezeichnung der Kontoauszüge abstelle, habe es zudem überspitzt formalistisch gehandelt (Ziff. 24 und 26 der Beschwerde).
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin wirft dem Kantonsgericht zudem vor, es habe versäumt, die eingereichten Belege gehörig zu prüfen (Ziff. 25 der Beschwerde). Es habe nur auf die Angaben auf den Kontoauszügen abgestellt und die wesentlichen vorgelegten Beweise nicht beachtet. Damit erachtet die Beschwerdeführerin die Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law> als verletzt. Da das Kantonsgericht zudem ausschliesslich auf die formale Bezeichnung der Kontoauszüge abstelle, habe es zudem überspitzt formalistisch gehandelt (Ziff. 24 und 26 der Beschwerde).
5.2 5.2.1 Nach <ref-law> spricht das Gericht den Konkurs aus, sofern nicht ein Konkurshinderungsgrund gemäss Art. 172 - 173a SchKG vorliegt. Das Gericht hat konkurshindernde Tatsachen von Amtes wegen zu beachten, es gilt diesbezüglich die Untersuchungsmaxime (BGE 36 I 383 E. 2 S. 387 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 155 ff.; Urteil 5P.368/1999 vom 23. November 1999 E. 4c).
5.2.2 Das Kantonsgericht hat den Konkurshinderungsgrund der Schuldentilgung geprüft (vgl. E. 4.4.2 oben) und hat dabei auf die zahlreichen von der Beschwerdeführerin eingereichten Unterlagen abgestellt. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, welche konkurshindernden Tatsachen das Kantonsgericht ausser Acht gelassen und inwiefern deshalb Recht verletzt worden sein soll. Von einer Verletzung der Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law> kann daher keine Rede sein. Die Beschwerde ist auch insoweit abzuweisen.
5.2.2 Das Kantonsgericht hat den Konkurshinderungsgrund der Schuldentilgung geprüft (vgl. E. 4.4.2 oben) und hat dabei auf die zahlreichen von der Beschwerdeführerin eingereichten Unterlagen abgestellt. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, welche konkurshindernden Tatsachen das Kantonsgericht ausser Acht gelassen und inwiefern deshalb Recht verletzt worden sein soll. Von einer Verletzung der Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law> kann daher keine Rede sein. Die Beschwerde ist auch insoweit abzuweisen.
5.3 5.3.1 Das Verbot des überspitzten Formalismus beruht auf <ref-law> (<ref-ruling> E. 5 S. 252 f.). Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung ist gegeben, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9).
5.3.2 Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern das Kantonsgericht prozessuale Vorschriften treuwidrig oder mit übertriebener Strenge angewendet haben soll. Damit ist aber der Schutzbereich von <ref-law> nicht betroffen und die Beschwerde erweist sich diesbezüglich als unbegründet.
6. 6.1 Das Kantonsgericht ist bei der Prüfung von <ref-law> zum Ergebnis gelangt, dass die Forderung der Beschwerdegegnerin innerhalb der Appellationsfrist nicht getilgt worden ist. Der Vollständigkeit halber hat es noch die zweite Voraussetzung (Zahlungsfähigkeit) gemäss <ref-law> geprüft.
Gestützt auf den Betreibungsregisterauszug der Beschwerdeführerin sei ersichtlich, dass diese innerhalb der letzten knapp zwei Jahre über einen Gesamtbetrag von Fr. 891'871.90 betrieben worden sei. Auch wenn ein Teil dieser Forderungen zwischenzeitlich beglichen worden sei, ergäben sich nach wie vor etliche offene Forderungen, wobei sich darunter auch Forderungen von öffentlich-rechtlichen Institutionen sowie Schulden für Kleinstbeträge befänden. Die von der Beschwerdeführerin eingereichte "Korrektur (Richtigstellung) des Betreibungsauszuges" sei nicht aussagekräftig, blieben doch diese Behauptungen unbelegt. Es könne deshalb nicht von einem kurzfristigen finanziellen Engpass ausgegangen werden und der Beschwerdeführerin sei es im Ergebnis nicht gelungen, ihre Zahlungsfähigkeit glaubhaft zu machen (S. 8 - 10 des angefochtenen Entscheides).
6.2 Das Gericht kann die Konkurseröffnung aufheben, wenn der Schuldner einerseits mit der Einlegung des Rechtsmittels seine Zahlungsfähigkeit glaubhaft macht und andererseits (kumulativ) durch Urkunden beweist, dass inzwischen die Schuld, einschliesslich der Zinsen und Kosten, getilgt ist (<ref-law>). Glaubhaft gemacht ist eine Tatsache schon dann, wenn für deren Vorhandensein gewisse Elemente sprechen, selbst wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnte (<ref-ruling> E. 3.1 S. 719 f.). Konkret heisst dies im Hinblick auf die Aufhebung der Konkurseröffnung, dass die Zahlungsfähigkeit des Konkursiten wahrscheinlicher sein muss als die Zahlungsunfähigkeit. In diesem Bereich dürfen keine zu strengen Anforderungen gestellt werden. Die wichtigste Unterlage zum Glaubhaftmachen der Zahlungsfähigkeit ist der Auszug aus dem Betreibungsregister (Urteil 5A_80/2007 vom 4. September 2007 E. 3.1 und 5.2).
6.3 Die Beschwerdeführerin wendet ein, es genüge nicht, auf einen Betreibungsregisterauszug abzustellen und daraus abzuleiten, dass seit Jahren Zahlungsschwierigkeiten bestanden hätten. Im Übrigen verweist die Beschwerdeführerin auf ihre Eingabe an das Kantonsgericht vom 12. November 2009 (Ziff. 31 und 32 der Beschwerde).
6.4 Die Begründungsanforderungen gemäss <ref-law> (oder gegebenenfalls <ref-law>) finden ebenfalls Anwendung, wenn sich die Beschwerde (auch) gegen eine Eventualbegründung des vorinstanzlichen Entscheides wendet (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.).
Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den Ausführungen des Kantonsgerichts nicht auseinander. Vielmehr begnügt sie sich mit appellatorischer Kritik am Sachverhalt (Ziff. 31 der Beschwerde), äussert sich nicht rechtsgenüglich zur behaupteten Verletzung von Bundesrecht oder verweist auf ihre frühere Eingabe an das Kantonsgericht (siehe zu Letzterem: Urteil 2C_445/2008 vom 26. November 2008 E. 2, in: RDAF 2008 II S. 530). Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
7. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten (<ref-law>). Ihr ist keine Parteientschädigung aufzuerlegen, da sich die Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin nur auf die aufschiebende Wirkung bezieht und sie in diesem Punkt unterlegen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, und im Dispositiv dem Betreibungs- und Konkursamt Sissach, dem Grundbuchamt Sissach sowie dem Handelsregisteramt Basel-Landschaft schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Bettler