Sachverhalt:
A. Am 9. Januar 2008 erliess der Eidgenössische Datenschutz- und Öffentlichkeitsbeauftragte (EDÖB) eine Empfehlung an die Adresse der Logistep AG. Er hielt fest, die Logistep AG suche mittels der von ihr entwickelten Software in verschiedenen Peer-to-Peer-Netzwerken (auch P2P-Netzwerke genannt) nach angebotenen urheberrechtlich geschützten Werken. Beim Herunterladen dieser Werke würden folgende Übermittlungsdaten aufgezeichnet und in einer Datenbank abgespeichert:
der Benutzername des Nutzers des P2P-Netzwerks;
die IP-Adresse des verwendeten Internetanschlusses;
die GUID (eine Identifikationsnummer der vom Anbieter des urheberrechtlich geschützten Werks verwendeten Software);
das verwendete P2P-Netzwerkprotokoll;
den Namen und elektronischen Fingerabdruck (Hashcode) des urheberrechtlich geschützten Werks;
das Datum, die Uhrzeit und den Zeitraum der Verbindung zwischen der Software der Logistep AG und der Software des Anbieters des jeweiligen urheberrechtlich geschützten Werks.
Die so erhobenen Daten würden anschliessend an die Urheberrechtsinhaber weitergegeben und von diesen zur Identifikation des Inhabers des Internetanschlusses verwendet. Zu diesem Zweck reichten die Urheberrechtsinhaber unter anderem Strafanzeige gegen Unbekannt ein und verschafften sich die Identitätsdaten im Rahmen des Akteneinsichtsrechts. Diese Daten würden sodann zur Geltendmachung von Schadenersatzforderungen verwendet. Der EDÖB gelangte zum Schluss, dass die Bearbeitungsmethoden der Logistep AG geeignet seien, die Persönlichkeit einer grösseren Anzahl von Personen zu verletzen (Art. 29 Abs. 1 lit. a DSG). Daher empfahl er dieser mit Schreiben vom 9. Januar 2008 gestützt auf Art. 29 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 19. Juni 1992 über den Datenschutz (DSG; SR 235.1), die Datenbearbeitung unverzüglich einzustellen, solange keine ausreichende gesetzliche Grundlage für eine zivilrechtliche Nutzung der durch sie erhobenen Daten bestehe.
Nachdem die Logistep AG die Empfehlung mit Schreiben vom 14. Februar 2008 abgelehnt hatte, legte der EDÖB die Angelegenheit mit Klage vom 13. Mai 2008 dem Bundesverwaltungsgericht zum Entscheid vor. Er beantragte in erster Linie, die Logistep AG sei aufzufordern, die von ihr praktizierte Datenbearbeitung (inklusive der Weitergabe an die Urheberrechtsinhaber) unverzüglich einzustellen, solange keine ausreichende gesetzliche Grundlage für eine generelle Überwachung von Peer-to-Peer-Netzwerken bestehe. Mit Urteil vom 27. Mai 2009 wies das Bundesverwaltungsgericht die Klage ab und hob die Empfehlung des EDÖB vom 9. Januar 2008 auf.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 29. Juni 2009 beantragt die Association Razorback im Wesentlichen die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts.
Das Bundesverwaltungsgericht und der EDÖB verzichten in ihrer jeweiligen Vernehmlassung auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin beantragt in erster Linie, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten.
C. Die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat die Angelegenheit am 8. September 2010 an einer öffentlichen Sitzung beraten.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG; Urteil 1C_285/2009 vom 8. September 2010 E. 1.1 mit Hinweisen).
1.2 Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. Mai 2009 hatte auch der EDÖB Beschwerde erhoben. Das Bundesgericht hat das Rechtsmittel gutgeheissen und den angefochtenen Entscheid aufgehoben (Urteil 1C_285/2009 vom 8. September 2010). Wegen der rechtskräftigen Erledigung jenes Verfahrens hat die Beschwerdeführerin kein Rechtsschutzinteresse mehr an der Beurteilung ihrer Beschwerde durch das Bundesgericht. Das Verfahren ist zufolge Gegenstandslosigkeit abzuschreiben (<ref-law>).
2. 2.1 Erklärt das Bundesgericht einen Rechtsstreit als erledigt, entscheidet es mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (<ref-ruling> E. 2a S. 374 f.; Urteil 1B_2/2009 vom 10. Februar 2009 E. 2.1; je mit Hinweisen).
2.2 Zunächst ist zu prüfen, ob auf die Beschwerde überhaupt einzutreten gewesen wäre. Das Bundesgericht prüft dies von Amtes wegen und mit freier Kognition; immerhin muss die Eingabe aber auch bezüglich der Prozessvoraussetzungen hinreichend begründet werden (<ref-law>). Sind die Legitimationsvoraussetzungen - wie hier - nicht ohne weiteres ersichtlich, ist es nicht seine Aufgabe, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern die Beschwerde führende Partei zum Verfahren zuzulassen ist (<ref-ruling> E. 1 S. 121 mit Hinweis).
2.3 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (<ref-law>). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer (lit. a), dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (lit. b) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (lit. c). Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann (<ref-ruling> E. 1.3 S. 413 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin legt dar, der EDÖB sei auf ihre Anzeige hin gegen die Logistep AG tätig geworden. Zudem gehöre es zu ihren Zielen, P2P-Netzwerke zu verteidigen. Im Übrigen habe eines ihrer Gründungsmitglieder auf seine legitimen Anfragen von der Logistep AG keine Antwort erhalten.
Mit diesen Ausführungen hat die Beschwerdeführerin ihre Beschwerdebefugnis nicht hinreichend dargelegt (<ref-law>). Der Umstand allein, dass die Anfrage eines Gründungsmitglieds von der Logistep AG nicht beantwortet wurde und dass der EDÖB auf die Anzeige der Beschwerdeführerin hin tätig geworden ist, begründet noch keine Legitimation im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2 S. 471 f.; Urteil 2C_260/2007 vom 26. November 2007 E. 1.2 f.; je mit Hinweisen). Auch die behauptete Zielsetzung, P2P-Netzwerke verteidigen zu wollen, verschafft für sich allein noch keine legitimationsbegründende enge Beziehung zur Streitsache (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 122 f. mit Hinweisen).
3. Es ist demnach anzunehmen, dass auf die Beschwerde nicht einzutreten gewesen wäre. Bei diesem Ausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Sie hat der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin eine dem Aufwand entsprechende Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird als gegenstandslos geworden vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr 2'000.-- auszurichten.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Eidgenössischen Datenschutz- und Öffentlichkeitsbeauftragten sowie dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. September 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold