Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die Staatsanwaltschaft See/Oberland des Kantons Zürich führte eine Strafuntersuchung gegen X._ betreffend sexuelle Handlungen mit seinen Töchtern. Die Untersuchung wurde mit Verfügung vom 8. Februar 2006 definitiv eingestellt.
Nach Abschluss des Strafverfahrens beantragte X._, es seien die Kopien der Videobefragungen seiner Töchter den Therapeutinnen der Kinder und der Vormundschaftsbehörde auszuhändigen, und die Akten seien während 25 Jahren aufzubewahren. In der Folge modifizierte er seine Anträge dahin, dass die Videoaufnahmen an ihn selber auszuhändigen seien. Zudem verlangte er die Herausgabe eines anlässlich einer Hausdurchsuchung sichergestellten Kinderbuchs sowie der Tatortfotografien. Schliesslich verlangte er Auskunft über alle bei der Staatsanwaltschaft See/Oberland, der Jugendschutzbehörde und anderen in den Fall involvierten Stellen bearbeiteten Daten.
Mit Verfügung vom 10. September 2007 wies die Staatsanwaltschaft See/Oberland den Antrag von X._ auf Aushändigung der Videoaufzeichnungen der Befragung der Kinder an Verfahrensbeteiligte und auch an die Therapeutinnen der Kinder und die Vormundschaftsbehörde ab. Zugleich stellte die Staatsanwaltschaft fest, dass die Untersuchungsakten während mindestens 15 Jahren aufbewahrt werden.
Dagegen erhob X._ mit Eingabe vom 2. Oktober 2007 Rekurs.
Mit Entscheid vom 20. Dezember 2007 hiess die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich den Rekurs insoweit teilweise gut, als sie die Herausgabe des Kinderbuchs anordnete. Im übrigen Umfang wurde auf den Rekurs nicht eingetreten. Die Oberstaatsanwaltschaft stellte zunächst fest, in Bezug auf die Aufbewahrung der Akten habe sich die Staatsanwaltschaft zutreffend geäussert. In Bezug auf die Videoaufzeichnungen führte sie aus, X._ könne sich nach dem rechtskräftigen Abschluss der gegen ihn geführten Strafuntersuchung nicht auf das ihm als Beschuldigten in einer laufenden Strafuntersuchung zustehende Akteneinsichtsrecht als Instrument der Verteidigung berufen. Zudem stünden einer Herausgabe der Videobefragungen die Persönlichkeitsrechte der Kinder sowie der mit der Befragung betrauten Funktionäre und das öffentliche Interesse der Kantonspolizei daran, dass nicht Informationen über die Vernehmungstechnik und -taktik in einem derart sensiblen Bereich unkontrolliert an die Öffentlichkeit gelangen, entgegen. In Bezug auf die Tatortfotografien ging die Oberstaatsanwaltschaft davon aus, dass seitens der Staatsanwaltschaft die Entwicklung der Fotografien nicht in Auftrag gegeben worden sei und somit keine entsprechenden Abzüge existierten. Auf die übrigen Anträge trat sie infolge Unzulässigkeit nicht ein. In der Rechtsmittelbelehrung gegen ihre Verfügung nannte die Oberstaatsanwaltschaft einerseits die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht und anderseits die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, soweit sich ihr Entscheid auf das kantonale Gesetz über den Schutz von Personendaten stütze.
X._ wendet sich mit Beschwerde in Strafsachen vom 22. Januar 2008 ans Bundesgericht und beantragt unter anderem, die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, die Daten auf einem sicheren Datenträger während 25 Jahren aufzubewahren und ihm die Kopien der Videobefragungen seiner beiden Kinder auszuhändigen, und die Untersuchungsbehörden seien zu verpflichten, über den Verbleib der Tatortfotografien Auskunft zu erteilen (6B_61/2008, act. 1, S. 6 Ziff. 2, 3 und 4).
X._ führte gemäss Rechtsmittelbelehrung des Entscheids der Oberstaatsanwaltschaft vom 20. Dezember 2007 auch Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Beschluss vom 13. Februar 2008 auf die Beschwerde nicht ein, da es ausser in hier nicht zutreffenden Fällen des Steuerstrafrechts sowie des Vollzugsrechts für das Gebiet des Strafrechts nicht zuständig sei.
X._ wendet sich in Bezug auf den Beschluss des Verwaltungsgerichts mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten/Beschwerde in Strafsachen vom 13. März 2008 ans Bundesgericht und beantragt unter anderem, es sei zu bestätigen, dass die Oberstaatsanwaltschaft im konkreten Fall auch in Angelegenheiten des Datenschutzes letzte kantonale Instanz sei (6B_202/2008, act. 1, S. 3 Ziff. 1).
Von der ihm eingeräumten Möglichkeit, seine Beschwerde vom 22. Januar 2008 zu ergänzen, hat er mit Eingabe vom 29. April 2008 Gebrauch gemacht (6B_61/2008, act. 11).
2. Da die vorliegend zu behandelnde Angelegenheit im Zusammenhang mit einem Strafverfahren steht, dürfte vor Bundesgericht jedenfalls zur Hauptsache die Beschwerde in Strafsachen gegeben sein. Es kann allerdings offenbleiben, ob und inwieweit für gewisse Punkte die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten oder sogar eine Beschwerde in Zivilsachen (vgl. Beschluss des Verwaltungsgerichts vom 13. Februar 2008, S. 6 E. 5 unten) gegeben sein könnte, weil die Beschwerden vom 22. Januar und 13. März 2008 samt Ergänzung vom 29. April 2008 offensichtlich unbegründet sind.
3. In Bezug auf die Beschwerde vom 22. Januar 2008 können im vorliegenden Verfahren nur die Anträge 2, 3 und 4 geprüft werden (6B_61/2008, act. 1, S. 6), denn nur die in diesen Anträgen aufgeworfenen Fragen der Aufbewahrung der Akten sowie der Aushändigung der Videobefragungen bzw. der Tatortfotografien sind Gegenstand des Entscheids der Oberstaatsanwaltschaft vom 20. Dezember 2007. Demgegenüber ist auf die Anträge 1 (Ergänzung der Akten), 5 (Kosten der Psychotherapie der Töchter und Genugtuung) und 6 (Rüge betreffend unkorrekte Strafuntersuchung) nicht einzutreten, weil diese Fragen nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids bilden.
Mit Beschwerde kann beim Bundesgericht gerügt werden, dass der angefochtene Entscheid schweizerisches Recht verletzt (<ref-law>). Zum schweizerischen Recht gehört auch das Verfassungsrecht. In der Begründung der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid das Recht verletzt (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
In der Beschwerde vom 22. Januar 2008 (vgl. 6B_61/2008, act. 1, S. 7/8 Ziff. 2 und 3) sowie in der teilweise nur schwer verständlichen Beschwerdeergänzung vom 29. April 2008 (act. 11) wird keine Bestimmung des schweizerischen Rechts genannt, die vorschriebe, wie und wie lange Akten eines Strafverfahrens aufbewahrt werden müssen. Ebenfalls wird keine Bestimmung des schweizerischen Rechts genannt, wonach dem Beschwerdeführer nach Abschluss des gegen ihn geführten Strafverfahrens Kopien der Videobefragungen seiner Kinder angehändigt werden müssten. Solche Bestimmungen sind denn auch nicht ersichtlich. Davon, dass das gegen ihn geführte Strafverfahren mit der definitiven Einstellung nicht abgeschlossen worden wäre, kann keine Rede sein, und die Frage, wie es sich im Falle einer rein hypothetischen Wiederaufnahme des Verfahrens verhielte, muss heute nicht geprüft werden. Soweit der Beschwerdeführer andeutet, es könnten unkorrekte Vernehmungstechniken angewendet worden sein, spricht nichts dafür, dass dieser Verdacht zutreffen könnte. Eine Verletzung seiner Grundrechte macht er im Übrigen nicht in einer <ref-law> genügenden Weise geltend. Auch ergibt sich aus der Beschwerde (vgl. act. 1 S. 9 Ziff. 4) nicht, dass die tatsächliche Feststellung der Oberstaatsanwaltschaft, von den Tatortfotografien existierten keine Abzüge, offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> wäre. Dafür, dass solche Bilder auf einem anderen Datenträger existieren könnten, spricht nichts. Die Beschwerde vom 22. Januar 2008 ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4. In Bezug auf die Beschwerde vom 13. März 2008 ist davon auszugehen, dass sich die Frage, welche Instanz in einem Kanton auf einem bestimmten Gebiet die letzte Instanz ist, nach dem kantonalen Recht richtet. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass und inwieweit die Auffassung des Verwaltungsgerichts gegen das Willkürverbot von <ref-law> oder sonst gegen seine Grundrechte verstossen könnte. Auf die Beschwerde vom 13. März 2008 ist ebenfalls im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
5. Die Beschwerden sind im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juni 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn