Sachverhalt:
A. Im Jahre 2002 gründeten die Gemeinden Seewen/SO, Büren/SO und der Kanton Solothurn die Forstbetriebsgemeinschaft "Dorneckberg Süd". Diese schloss im Oktober 2003 mit A._ (geb. 1985) einen Lehrvertrag zur (Zusatz-)Ausbildung als Forstwart, beginnend am 1. August 2004, ab. Am 8. November 2004 erlitt A._ bei der Arbeit einen schweren Unfall. Er liegt seither im Wachkoma in einem für körperlich Schwerstbehinderte spezialisierten Pflegeheim.
B. B.a Mit Schreiben vom 20. Januar 2009 gelangte Advokat Sebastian Laubscher im Namen von A._ sowie von dessen Vater, Mutter und Schwester an die Forstbetriebsgemeinschaft und machte Schadenersatz und Genugtuung geltend. Mit Schreiben vom 2. April 2009 lehnte die Forstbetriebsgemeinschaft ihre Haftung ab.
B.b Am 20. Juli 2009 reichte Advokat Sebastian Laubscher beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zwei getrennte Klagen gegen den Kanton Solothurn ein, nämlich einerseits für A._, worin er Schadenersatz und Genugtuung nebst Zins verlangte, andererseits für C._, B._ und D._ (Vater, Mutter und Schwester) mit dem Antrag auf Genugtuung von je Fr. 100'000.-- (insgesamt Fr. 300'000.--) nebst Zins.
B.c Mit Urteil vom 11. August 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die beiden Klagen wegen Verwirkung ab. Gleichzeitig wies es die Begehren von A._ und D._ um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsbeistand wegen Aussichtslosigkeit ab.
C. C.a A._, B._, C._ und D._ erheben am 13. September 2010 "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und eventuell Beschwerde in Zivilsachen und subsidiär Verfassungsbeschwerde" mit dem Rechtsbegehren, es sei "das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24.02.2010 (B 2009/53)" aufzuheben und im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem beantragen sie Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Zur Begründung machen sie im Hauptstandpunkt geltend, die Vorinstanz hätte auf die Klage nicht eintreten dürfen, da der Streit privatrechtlich sei; im Eventualstandpunkt bestreiten sie die Verwirkung des Anspruchs.
C.b Mit Verfügung der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 8. November 2010 wurde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels Nachweis der Bedürftigkeit abgewiesen. In der Folge wurde der Kostenvorschuss fristgerecht bezahlt.
C.c Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Kanton Solothurn schliesst auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil stammt vom Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und datiert vom 11. August 2010. Die Beschwerdeführer beantragen in ihrem Rechtsbegehren die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. Februar 2010. Aus dem Rubrum und der Begründung der Beschwerde geht indessen hervor, dass es sich dabei um einen Verschrieb handelt und sich die Beschwerde gegen das erwähnte Solothurner Urteil richtet. Das Rechtsbegehren ist entsprechend zu berichtigen.
2. 2.1 Gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide in Zivilsachen ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (Art. 72 Abs. 1 und Art. 75 Abs. 1 BGG), in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts demgegenüber die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Für die Bestimmung des zulässigen Rechtsmittels an das Bundesgericht ist massgeblich, ob die vom Kläger bzw. Beschwerdeführer erhobene Forderung privat- oder öffentlich-rechtlicher Natur ist (Urteil 2C_58/2009 vom 4. Februar 2010 E. 1.1). Entscheidend ist nicht, welches Verfahren die kantonalen Behörden eingeschlagen haben, sondern ob die Parteien Ansprüche des Bundeszivilrechts oder des öffentlichen Rechts erheben (Urteil 1C_382/2007 vom 24. April 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 415 mit Hinweisen), was sich nach den Sachvorbringen des Klägers richtet (<ref-ruling> E. 1a S. 239).
2.2 Die Beschwerdeführer haben in ihren Klagen vor der Vorinstanz ausdrücklich eine Forderung aus Staatshaftung geltend gemacht und die Vorinstanz hat den Anspruch nach kantonalem Staatshaftungsrecht beurteilt. Nach einhelliger Lehre und Rechtsprechung gehört die Staatshaftung dem öffentlichen Recht an. Entsprechende letztinstanzliche kantonale Entscheide sind vor Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbar (Urteil 2C_391/2008 vom 1. September 2008 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Ausgenommen ist einzig die hier nicht zur Diskussion stehende Staatshaftung aus medizinischer Tätigkeit, die trotz ihrer öffentlich-rechtlichen Natur im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen von der I. zivilrechtlichen Abteilung behandelt wird (Art. 31 Abs. 1 lit. d des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht [BGerR; SR 173.110.131]; <ref-ruling> E. 1.1 S. 331; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465). Gegen den angefochtenen Entscheid ist somit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da auch die Streitwertgrenze erreicht ist (<ref-law>). Dass die Beschwerdeführer vor Bundesgericht geltend machen, es hätte nicht das kantonale Staatshaftungsrecht, sondern Bundeszivilrecht angewendet werden müssen, ändert daran nichts.
Die Verfassungsbeschwerde ist im Verhältnis zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten subsidiär (<ref-law>). Da hier die Letztere zur Verfügung steht, ist die gleichzeitig erhobene Verfassungsbeschwerde nicht zulässig, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
2.3 Die Beschwerdeführer haben als Kläger vor der Vorinstanz Schadenersatz und Genugtuung geltend gemacht und wurden mit diesem Begehren abgewiesen. Sie sind zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Das gilt entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners auch für die Beschwerdeführer 2-4; es wäre überspitzt formalistisch, auf deren Eingabe nicht einzutreten, bloss weil sie im Rubrum der Beschwerde nur als "Angehörige des Beschwerdeführers", aber nicht selber als "Beschwerdeführer" bezeichnet werden.
2.4 Der Kanton Solothurn bringt vor, das Rechtsbegehren sei nicht hinreichend bestimmt; zudem fehle es an einem Rechtsschutzinteresse, wenn die Beschwerdeführer beantragten, das angefochtene Urteil aufzuheben mit der Begründung, die Vorinstanz sei gar nicht zuständig gewesen. In der Tat erscheint das prozessuale Verhalten der Beschwerdeführer seltsam, zunächst beim Verwaltungsgericht eine Staatshaftungsklage gestützt auf kantonales Verantwortlichkeitsrecht einzureichen und dann die Aufhebung des Sachurteils zu beantragen mit der Begründung, der geltend gemachte Anspruch sei in Wirklichkeit privatrechtlich. Doch haben die Beschwerdeführer mindestens in Bezug auf ihren Eventualstandpunkt (Verneinung der Verwirkung) ein Rechtsschutzinteresse und insoweit ist auch das Rechtsbegehren genügend klar formuliert.
3. 3.1 Die Beschwerdeführer hatten Klagen beim Verwaltungsgericht eingereicht und dort eine Forderung aus Staatshaftung gemäss dem Verantwortlichkeitsgesetz [des Kantons Solothurn] vom 26. Juni 1966 (VG/SO; BGS 124.21) geltend gemacht. In der Stellungnahme vom 9. Dezember 2009 stellten sich die Kläger auf den Standpunkt, das private Haftpflichtrecht komme zur Anwendung, äusserten sich aber auch eventualiter für den Fall, dass kantonales Staatshaftungsrecht anwendbar sein sollte. Das Verwaltungsgericht erwog, es brauche nicht geklärt zu werden, ob es sich bei den eingeklagten Ansprüchen um solche aus öffentlichem Recht oder aus Zivilrecht handle, da für zivilrechtliche Ansprüche ausschliesslich die Zivilgerichte zuständig seien. Es wies die Klagen in Anwendung des kantonalen Verantwortlichkeitsgesetzes wegen Verwirkung ab und wies in den Erwägungen darauf hin, dass es den Klägern unbenommen sei, privatrechtliche Klagen beim zuständigen Amtsgericht einzureichen.
3.2 Vor Bundesgericht machen die Beschwerdeführer geltend, ihre Forderung sei nicht nach kantonalem Staatshaftungsrecht, sondern nach Bundeszivilrecht zu beurteilen, da der Betrieb einer Forstwirtschaft gewerblich und das Lehrlingsverhältnis auch zu einem öffentlich-rechtlichen Arbeitgeber privatrechtlich sei. Sie bestreiten nicht, dass das Verwaltungsgericht für die Beurteilung einer zivilrechtlichen Klage nicht zuständig ist. Sie bringen jedoch vor, das Verwaltungsgericht hätte auf die Klage gar nicht eintreten dürfen, sondern es hätte die Sache an das zuständige Zivilgericht bzw. Vermittleramt überweisen müssen; mit der Abweisung der Klage habe es die Anwendbarkeit des Staatshaftungsrechts bejaht und die Anwendbarkeit der zivilrechtlichen Haftungsordnung verneint und damit jegliche Haftung für den Unfall ausgeschlossen. Mit dem vom Verwaltungsgericht angegebenen Verfahren entstünde ein negativer Kompetenzkonflikt, wenn auch die Zivilgerichte ihre Zuständigkeit verneinen würden.
3.3 Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführer hat das Verwaltungsgericht mit der Abweisung der Klage nicht jegliche Haftung verneint:
3.3.1 Ein und derselbe Sachverhalt kann nach mehreren gesetzlichen Bestimmungen anspruchsbegründend sein (Anspruchskonkurrenz; vgl. statt vieler: HEINZ REY, Ausservertragliches Haftpflichtrecht, 4. Aufl. 2008, S. 11 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 397; <ref-ruling> E. 3d/dd S. 149; <ref-ruling> E. 2a S. 242; <ref-ruling> E. 1b S. 136; <ref-ruling> E. 3 S. 247; Urteile 4C.307/2005 vom 25. Januar 2006 E. 2; 4C.163/2002 vom 9. Juli 2003 E. 3.3; 4C.120/1996 vom 12. Februar 1997 E. 5). Ist für alle in Frage kommenden Anspruchsgrundlagen dasselbe Gericht zuständig, so verursacht die Anspruchskonkurrenz keine besonderen verfahrensrechtlichen Probleme: Das zuständige Gericht prüft den geltend gemachten Anspruch unter allen in Frage kommenden Rechtstiteln. Sind aber für die einzelnen Anspruchsgrundlagen unterschiedliche Gerichte zuständig, so müssen (soweit nicht durch besondere Regelungen [s. heute für den Zivilprozess <ref-law> {SR 272}], Kompetenzattraktion, Einlassung oder Prorogation eine gemeinsame Zuständigkeit geschaffen werden kann, vgl. <ref-ruling> E. 3.5.2 S. 289) die verschiedenen Anspruchsgrundlagen von den jeweils zuständigen Gerichten in gesonderten Verfahren beurteilt werden. Ein negativer Kompetenzkonflikt kann dabei nicht entstehen: Jedes Gericht prüft die von ihm anzuwendenden Rechtsnormen und beurteilt dementsprechend die bei ihm erhobenen Klagen. Die Abweisung der einen Klage durch das eine Gericht bedeutet nur, dass nach der von diesem Gericht anzuwendenden Rechtsnorm eine Haftung nicht besteht, präjudiziert aber in keiner Weise die von einem anderen Gericht auf einer anderen Rechtsgrundlage zu beurteilenden Ansprüche.
3.3.2 Eine Anspruchskonkurrenz ist grundsätzlich auch zwischen privat- und öffentlich-rechtlichen Ansprüchen denkbar (JOST GROSS, Schweizerisches Staatshaftungsrecht, 2. Aufl. 2001, S. 152), soweit nicht die eine der in Frage kommenden Rechtsgrundlagen Exklusivität oder Subsidiarität vorsieht (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 243 zu Art. 3 Abs. 2 des Verantwortlichkeitsgesetzes vom 14. März 1958 [VG; SR 170.32]). Es gilt alsdann dasselbe wie im Falle der Anspruchskonkurrenz zwischen privatrechtlichen Anspruchsnormen: Wenn unterschiedliche Gerichte zuständig sind, prüft grundsätzlich jedes davon den von ihm zu beurteilenden Rechtsanspruch unpräjudiziell für andere Ansprüche.
3.3.3 Vorliegend hat das Verwaltungsgericht nicht ausgeschlossen, dass eine privatrechtliche Forderung bestehen könnte; es hat sich jedoch dafür mit Recht als unzuständig erachtet. Es hat demgemäss nur die geltend gemachte Staatshaftungsklage gegen den Kanton Solothurn nach kantonalem öffentlichem Recht abgewiesen. Ob der Kanton Solothurn (oder sonst jemand) für den Unfall aus Privatrecht haftet, ist damit in keiner Weise präjudiziert (vgl. ISABELLE STEINER, Der Dualismus von öffentlichem und privatem Recht in der Arzthaftung, ZBJV 142/2006 S. 126 ff.).
3.4 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer war das Verwaltungsgericht nicht verpflichtet, mit dem zuständigen Zivilgericht zu klären, welche Haftungsordnung anwendbar ist. Zwar gilt im Verwaltungsrecht bzw. im Beschwerdeverfahren ein vielfach gesetzlich positivierter Grundsatz, wonach unzuständige Behörden eine bei ihnen eingereichte Eingabe an die zuständige zu überweisen haben (vgl. z.B. <ref-law> [SR 172.021], Art. 30 und Art. 58 Abs. 3 ATSG [SR 830.1], <ref-law>). Eine derartige Regel enthält auch § 6 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes [des Kantons Solothurn] vom 15. November 1970 (VRG/SO; BGS 124.11), worauf sich die Beschwerdeführer berufen. Indessen bezieht sich diese Bestimmung nach ihrem klaren Wortlaut nur auf den Verkehr zwischen Amtsstellen in Verwaltungssachen. Im Verhältnis zwischen Zivil- und ursprünglicher Verwaltungsjustiz besteht eine solche Weiterleitungspflicht ohne spezialgesetzliche Regelung nicht (vgl. <ref-ruling> E. 4 und 5 S. 517 ff.). Dagegen spricht schon die im Zivilprozess geltende Dispositionsmaxime, wonach es Sache der Kläger ist, ob sie bei einem bestimmten Gericht einen bestimmten Anspruch verfolgen wollen. Hinzu kommt, dass vorliegend das Verwaltungsgericht gar nicht unzuständig war. Es war zuständig für den von den Klägern geltend gemachten Staatshaftungsanspruch und hat diesen auch beurteilt. Es gab keinen Grund, weshalb es anschliessend die Sache an ein Zivilgericht hätte überweisen sollen: Wenn die Beschwerdeführer beim Verwaltungsgericht einen Staatshaftungsanspruch erhoben haben, kann daraus nicht gefolgert werden, sie hätten eine Zivilklage beim Zivilgericht erheben wollen.
4. Zu prüfen bleibt, ob das Verwaltungsgericht die Staatshaftungsklage mit Recht abgewiesen hat.
4.1 Die Vorinstanz hat sich auf § 11 Abs. 3 VG/SO gestützt, wonach die Haftung des Staates erlischt, wenn der Geschädigte sein Begehren nicht innert eines Jahres seit Kenntnis des Schadens einreicht, auf alle Fälle nach zehn Jahren seit dem Tage der schädigenden Handlung. Sie hat erwogen, es handle sich dabei um eine Verwirkungsfrist. Der Begriff "Kenntnis des Schadens" sei ergänzend nach den Vorschriften von <ref-law> zu verstehen. Der Schaden sei schon seit langer Zeit, spätestens im August 2006, bekannt gewesen, denn der Anwalt der Kläger habe schon im September 2005 der SUVA geschrieben, der medizinische Endzustand sei erreicht. Am 8. Dezember 2005 habe die SUVA eine Integritätsentschädigung von 100 % verfügt, die IV am 23. Dezember 2005 eine ganze Rente. Einem Schreiben der SUVA vom 26. Mai 2006 lasse sich entnehmen, der Gesundheitszustand des Verunfallten habe sich soweit stabilisiert, dass die verbleibenden Unfallrestfolgen abschliessend beurteilt werden könnten. Im Juli 2006 habe die SUVA die Heilkosten- und Taggeldleistungen eingestellt und dafür eine Komplementärrente ausgerichtet. Obwohl es sich bei § 11 Abs. 3 VG/SO um eine Verwirkungsfrist handle, sei nach Treu und Glauben eine Verwirkung nicht anzunehmen, wenn über Jahre hinweg wiederholt Verjährungsverzichtserklärungen abgegeben worden seien. Vorliegend habe jedoch die Schweizerische Mobiliar nur einmal, am 20. Juni 2005, für sich und ihren Kunden, die Forstbetriebsgemeinschaft "Dorneckberg Süd", darauf verzichtet, bis am 31. Dezember 2010 die Einrede der Verjährung zu erheben. Der Kanton handle nicht gegen Treu und Glauben, wenn er ausführe, die Klagen seien verspätet.
4.2 Die Beschwerdeführer beanstanden die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen als solche nicht. Sie machen aber geltend, der Pflegeschaden sei im August 2006 noch nicht hinreichend bekannt gewesen. Erst mit dem Eintritt in das Wohnheim Tangram am 5. Februar 2007 sei eine längerfristig stabile Betreuungs- und Pflegesituation vorgelegen, doch habe die SUVA über die Höhe der Pflegeentschädigung erst am 14. Juli 2010 definitiv verfügt. Es bestehe infolge des per 1. Januar 2008 eingeführten neuen Finanzausgleichs bis heute keine Klarheit darüber, ob und in welcher Höhe der Wohnsitz- bzw. Standortkanton für den Aufenthalt des Beschwerdeführers 1 aufzukommen habe. Der Pflegeschaden sei deshalb bisher erst im Grundsatz, aber nicht in der Höhe bekannt. Auch der Genugtuungsanspruch der Beschwerdeführer 2-4 sei nicht verwirkt, da sie nicht nur durch die Tatsache des Unfalls, sondern auch durch die nachfolgenden Begleitumstände, das immer noch hängige Strafverfahren und die Ungewissheit, ob der Schaden gedeckt werde, belastet würden. Sie seien auch durch die anfänglich ungenügende Pflegesituation zusätzlich traumatisiert worden.
4.3 Das Bundesgericht prüft die Auslegung und Anwendung kantonalen Rechts, von hier nicht vorliegenden Fällen (Art. 95 lit. c und d BGG) abgesehen, nur daraufhin, ob dadurch Bundesrecht (mit Einschluss der Bundesverfassung, namentlich des Willkürverbots), Völkerrecht oder interkantonales Recht verletzt wird (Art. 95 lit. a, b und e BGG). Für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte, kantonalen und interkantonalen Rechts gilt dabei eine besondere Rügepflicht (<ref-law>), namentlich auch für die Rüge, kantonales Recht sei willkürlich angewendet worden. Das gilt auch, soweit - wie hier - die Vorinstanz <ref-law> als ergänzendes kantonales Recht herangezogen hat (Urteil 2C_616/2008 vom 16. Juni 2009 E. 3.1; 4A_580/2008 vom 17. März 2009 E. 2.1). Diesen Anforderungen vermag die Beschwerdeschrift kaum zu genügen, setzt sie doch einfach die eigene Auffassung der Beschwerdeführer derjenigen der Vorinstanz entgegen, ohne darzulegen, dass und inwiefern die vorinstanzliche Auffassung willkürlich sein soll.
4.4 Nach der Rechtsprechung zu <ref-law> liegt Kenntnis des Schadens vor, wenn die wesentlichen Elemente des Schadens zumindest in den grossen Zügen bekannt sind (<ref-ruling> E. 3c S. 163; <ref-ruling> E. 4 S. 123). Der Geschädigte braucht nicht genau zu wissen, wie hoch der Schaden ziffernmässig ist, zumal auch künftiger Schaden eingeklagt werden und dieser nötigenfalls nach <ref-law> geschätzt werden kann (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 68; <ref-ruling> E. 2a S. 256; <ref-ruling> E. 1c S. 100). Dauert die schädigende Handlung noch an, kann in der Regel der Schaden noch nicht hinreichend bekannt sein (Urteil vom 2. August 1982 E. 2b, nicht publ. in: <ref-ruling>), ebenso im Falle von Personenschäden, wenn noch ungewiss ist, wie sich die gesundheitliche Situation entwickelt und ob ein Dauerschaden zurückbleibt (BGE <ref-ruling> E. 4 S. 123; BREHM, Berner Kommentar, 3. Aufl. 2006, N. 29 zu <ref-law>, mit Hinweisen). Hingegen liegt genügende Kenntnis vor, wenn die medizinischen Folgen der schädigenden Handlung abzusehen und mit grosser Wahrscheinlichkeit zu bestimmen sind (BGE <ref-ruling> E. 2b S. 257), namentlich wenn der Invaliditätsgrad feststeht, in der Regel spätestens mit dem Rentenentscheid des Unfallversicherers (BREHM, a.a.O., N. 41 und 43 zu <ref-law>). Die Höhe der Leistungen des Unfallversicherers muss aber nicht endgültig bekannt sein (BREHM, a.a.O., N. 45 zu <ref-law>; Urteile 4A_454/2010 vom 6. Januar 2011 E. 3.1; 2C.1/1999 vom 12. September 2000 E. 3c).
4.5 Die vorinstanzlichen Erwägungen entsprechen der bundesgerichtlichen Praxis und wären sogar bei freier Prüfung nicht zu beanstanden. Sie können umso weniger willkürlich sein. Die Auffassung der Beschwerdeführer, die Frist könne nicht zu laufen beginnen, weil die Pflegeleistungen der SUVA, die Finanzierung der Pflegeheime und damit die Höhe der ungedeckten Pflegekosten noch nicht endgültig bekannt seien, würde im Ergebnis darauf hinauslaufen, dass bei Dauerinvaliden die Verjährungsfrist überhaupt nie zu laufen beginnen kann, weil während des ganzen Lebens Änderungen in der Pflegesituation und den damit verbundenen Kosten zu erwarten sind.
4.6 Der Genugtuungsanspruch der Angehörigen gründet auf der Tatsache, dass der Beschwerdeführer 1 invalid geworden ist (<ref-ruling> E. 2a S. 206), was spätestens im August 2006 bekannt war. Allenfalls nachfolgende Begleitumstände könnten nur dann von Einfluss auf den Lauf der Verwirkungsfrist sein, wenn sie ihrerseits selbständig genugtuungsbegründend wären (<ref-ruling> E. 2b S. 207). Das trifft für die von den Beschwerdeführern vorgebrachten Umstände nicht zu, abgesehen davon, dass es sich dabei mindestens teilweise um unzulässige Noven handelt (<ref-law>) und diese Vorkommnisse nicht dem Kanton Solothurn anzulasten sind.
4.7 Die Beschwerdeführer berufen sich weiter auf eine Verjährungsverzichtserklärung.
4.7.1 Nach der von den Beschwerdeführern nicht beanstandeten Auffassung der Vorinstanz handelt es sich bei der Frist nach § 11 Abs. 3 VG/SO um eine Verwirkungsfrist. Verwirkungsfristen sind weder einer Erstreckung noch einer Unterbrechung oder Wiederherstellung zugänglich (<ref-ruling> E. 3b S. 124 mit Hinweis). Nach der Rechtsprechung kann aber der Grundsatz von Treu und Glauben der Anwendung einer Verwirkungsfrist entgegenstehen, namentlich dann, wenn der Schuldner den Gläubiger durch ein dessen Vertrauen erweckendes Verhalten, z.B. durch Einlassung auf Verhandlungen, von der rechtzeitigen Geltendmachung seines Anspruchs abgehalten hat (<ref-ruling> E. 1.3 S. 69; <ref-ruling> E. 3b/aa S. 153; Urteile 1A.127/1999 vom 22. Dezember 1999 E. 5c; 9C_999/2009 vom 7. Juni 2010 E. 6.2).
4.7.2 Vorliegend berufen sich die Beschwerdeführer auf eine Erklärung der Mobiliar Versicherungsgesellschaft vom 20. Juni 2005, worin diese bestätigt, "dass wir auch im Namen unseres Kunden, der Forstbetriebsgemeinschaft Dorneckberg Süd, bis zum 31. Dezember 2010 gegenüber Herrn A._, sowie seiner Angehörigen, auf die Einrede der Verjährung" verzichten. Die Erklärung wurde somit nicht im Namen des Kantons Solothurn, sondern der Forstbetriebsgemeinschaft abgegeben. Der Kanton ist zwar Mitglied dieser Gemeinschaft. Aus den Akten geht aber hervor, dass Unklarheit darüber bestand, ob sich die Haftung auf Privatrecht oder auf Staatshaftungsrecht stützt und ob die Forstbetriebsgemeinschaft als selbständiges Haftungssubjekt oder aber nur deren Mitglieder einzeln in Anspruch genommen werden können; die Beschwerdeführer haben denn auch zunächst ein Verfahren gegen die Forstbetriebsgemeinschaft eingeleitet (vgl. Sachverhalt lit. B.a hiervor). Die Beschwerdeführer haben in ihrer Stellungnahme vom 9. Dezember 2009 vor der Vorinstanz ausgeführt, aufgrund des privatrechtlichen Anstellungsverhältnisses und der auf den Namen der Forstbetriebsgemeinschaft abgeschlossenen Betriebshaftpflichtpolice seien alle Beteiligten, insbesondere die Forstbetriebsgemeinschaft und deren Haftpflichtversicherer, davon ausgegangen, dass die privatrechtliche Haftungsordnung anwendbar sei. Der Haftpflichtversicherer habe denn auch einen Verjährungsverzicht bis 31. Dezember 2010 abgegeben. Die Beschwerdeführer sind somit selber davon ausgegangen, dass sich dieser Verjährungsverzicht auf das allfällige privatrechtliche Haftpflichtverhältnis bezieht, worauf schon der Wortlaut der Erklärung hinweist, die von Verjährungsverzicht spricht. Sie konnten unter diesen Umständen nach Treu und Glauben nicht davon ausgehen, dass dieser Verzicht auch für die Verwirkungsfrist im Staatshaftungsverfahren gegen den Kanton gilt.
5. Schliesslich beanstanden die Beschwerdeführer die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch die Vorinstanz.
5.1 Die Vorinstanz hat erwogen, für die Eltern C._ und B._ sei keine Bedürftigkeit geltend gemacht worden. Ob A._ und D._ bedürftig seien, könne offen bleiben, da die Klagen aussichtslos gewesen seien. Zudem habe D._ gemeinsam mit den Eltern geklagt und A._ habe bereits eine Genugtuung erhalten, so dass es wohl auch bei ihm an der Bedürftigkeit fehle.
5.2 Die Beschwerdeführer setzen sich mit der Frage der Bedürftigkeit und der Notwendigkeit einer anwaltlichen Vertretung auseinander. Zur Frage der Aussichtslosigkeit bringen sie nur vor, die Einleitung des Staatshaftungsverfahrens sei notwendig geworden, weil das Obergericht des Kantons Solothurn vorfrageweise die Anwendung der Staatshaftung statt der zivilen Haftungsordnung erwogen habe. Damit ist aber nicht dargetan, dass die Staatshaftungsklage nicht aussichtslos gewesen sei. Nachdem die Beschwerdeführer im Hauptstandpunkt die Auffassung vertreten, die Vorinstanz hätte auf die von ihnen eingereichte Staatshaftungsklage gar nicht eintreten dürfen, bringen sie selber zum Ausdruck, dass ihre Klage aussichtslos war. Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege ist damit nicht zu beanstanden.
6. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Bei diesem Ausgang des Verfahrens tragen die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Der Kanton Solothurn hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Kanton Solothurn, vertreten durch das Volkswirtschaftsdepartement, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Karlen Winiger