Erwägungen:
1. Mit Entscheid vom 30. November 2007 wies die Veranlagungsbehörde Solothurn das Gesuch um Steuererlass von X._ hinsichtlich der Staatssteuern 2006 ab. Mit Urteil vom 16. Juni 2008 bestätigte das Steuergericht des Kantons Solothurn diesen Entscheid.
2. Gegen den Entscheid des Steuergerichts führt X._ Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht.
3. Die Beschwerde ist offensichtlich unzulässig und mit kurzer Angabe des Unzulässigkeitsgrundes im Verfahren nach <ref-law> zu erledigen:
Gegen Entscheide über die Stundung oder den Erlass von Abgaben ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (<ref-law>). In Betracht fällt einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Diese setzt voraus, dass der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid in rechtlich geschützten Interessen betroffen ist (<ref-law>). Da die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nur zur Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte offen steht (vgl. <ref-law>), kann der Entscheid, mit dem ein Steuererlass verweigert worden ist, im Wesentlichen nur wegen Verletzung des verfassungsmässigen Verbots von Willkür (<ref-law>) angefochten werden. Dieses verschafft indessen für sich allein kein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 6).
Zur Willkürrüge ist deshalb nur legitimiert, wer sich auf eine gesetzliche Norm berufen kann, die ihm im Bereich seiner betroffenen und angeblich verletzten Interessen einen Rechtsanspruch einräumt. Ein solcher Anspruch auf Steuererlass besteht im Kanton Solothurn nicht. Gemäss § 182 Abs. 1 StG/SO können die geschuldeten Beträge ganz oder teilweise erlassen werden, wenn "der Steuerpflichtige durch besondere Verhältnisse wie Naturereignisse, Todesfall, Unglück, Krankheit, Arbeitslosigkeit, geschäftliche Rückschläge (...) in seiner Zahlungsfähigkeit stark beeinträchtigt" ist oder die "Bezahlung der Steuer, eines Zinses oder einer Busse zur grossen Härte würde". Das sind nur allgemeine Umschreibungen, die auf das Ermessen der Behörde verweisen. Auch die Steuerverordnung Nr. 11 vom 13. Mai 1986 über Zahlungserleichterungen, Erlass und Abschreibungen enthält nur die "Allgemeinen Grundsätze", welche für die Behörde wegleitend sein sollen, wie z.B. die Zukunftsaussichten oder die Zumutbarkeit von Einschränkungen in der Lebenshaltung. Weder aus § 182 Abs. 1 StG/SO noch aus der Steuerverordnung Nr. 11 ergibt sich genau, unter welchen Voraussetzungen dem Betroffenen der beantragte Vorteil zu gewähren ist (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 94 f.). Die Behörde, welche über das Erlassgesuch entscheidet, hat vielmehr eine Interessenabwägung vorzunehmen, welche im Rahmen der geschilderten gesetzlichen Erlassgründe so oder anders ausfallen kann. Ein justiziabler Anspruch auf Steuererlass besteht im Kanton Solothurn damit nicht. So entschieden hat das Bundesgericht bereits in einem anderen den Kanton Solothurn betreffenden Fall (Urteil 2D_135/2008 vom 26. Februar 2008).
Dem Beschwerdeführer fehlt es daher an der Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde. Auf seine Eingabe ist nicht einzutreten. Auf eine Kostenauflage ist angesichts der besonderen Umstände zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonalen Steuergericht Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Wyssmann