Sachverhalt:
A.
Am 8. Februar 2013 verstarb Z._. In ihrer letztwilligen Verfügung vom 29. August 2012 bestätigte sie für drei ihrer Kinder die gesetzliche Erbfolge, während sie ihrem Sohn X._ die Erbenstellung entzog und verfügte, dass er seinen Pflichtteil als Vermächtnis erhalten solle. Zudem beauftragte sie Y._ mit der Willensvollstreckung.
B.
Auf Begehren von X._ ordnete das Einzelgericht in Erbschaftssachen des Bezirksgerichtes Horgen am 12. März 2013 die Aufnahme eines öffentlichen Inventars an. Y._ wehrte sich gegen diesen Entscheid und gelangte ans Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 17. Juni 2013 hob dieses den vorinstanzlichen Entscheid auf und wies das Begehren um Aufnahme eines öffentlichen Inventars im Nachlass von Z._ ab.
C.
Mit Eingabe vom 23. August 2013 führt X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde vor Bundesgericht. Er verlangt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Aufnahme des öffentlichen Inventars im Nachlass seiner Mutter zu bewilligen. Ferner verlangt er eine Prozessentschädigung, für die Y._ (Beschwerdegegner) aufzukommen habe.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten beigezogen und sowohl den Beschwerdegegner wie auch das Bezirksgericht zur Vernehmlassung eingeladen. Das Obergericht erklärte am 26. September 2013, auf eine Vernehmlassung zu verzichten. Dasselbe tat am 1. Oktober 2013 auch das Bezirksgericht. Demgegenüber reichte der Beschwerdegegner am 16. Oktober 2013 eine Beschwerdeantwort ein, in der er beantragte, die Beschwerde abzuweisen. Diese Beschwerdeantwort wurde dem Beschwerdeführer am 18. Oktober 2013 zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 90 und 75 Abs. 1 BGG). Sie erfolgte rechtzeitig (<ref-law>) und in der vom Gesetz vorgesehen Form (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils (<ref-law>).
1.2. Die Aufnahme eines Inventars nach <ref-law> ist ein Akt der freiwilligen Gerichtsbarkeit. Auch so bleibt die Angelegenheit, wie dies im Erbrecht die Regel ist, vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_434/2012 vom 18. Dezember 2012 E. 1.2 mit Hinweisen). Auch wenn die gesetzliche Streitwertgrenze (<ref-law>) erreicht ist, kann der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend machen, da es sich beim Inventar nach <ref-law> um eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law>) handelt (vgl. Urteile 5A_434/2012 a.a.O. und 5A_892/2011 vom 21. Juni 2012 E. 2.1).
2.
2.1. Nach <ref-law> wird die Aufnahme eines Inventars angeordnet, wenn einer der Erben es verlangt. Umstritten ist einzig die Frage, ob Erbe im Sinne dieser Bestimmung auch der pflichtteilsgeschützte Erbe ist, den der Erblasser von der Erbfolge ausgeschlossen hat, um ihm dafür ein Vermächtnis in Höhe seines Pflichtteils auszurichten. Nach Meinung der Vorinstanz ist dies nicht der Fall. Ihrer Auffassung nach ist der Beschwerdeführer ein blosser Vermächtnisnehmer, dem so lange keine Erbenstellung zukommt, als er nicht mit einer Ungültigkeits- oder einer Herabsetzungsklage obsiegt hat. Der Beschwerdeführer sieht die Sache umgekehrt. Er hält dafür, dass ihm Erbenstellung zukomme und sich die Aufnahme eines Inventars gerade im Hinblick auf eine mögliche Klage aufdränge.
2.2.
2.2.1. Es entspricht langjähriger bundesgerichtlicher Rechtsprechung, dass pflichtteilsgeschützte Erben auch dann als Erben gelten, wenn der Erblasser sie von der Erbfolge ausgeschlossen hat, ohne dass ein Grund für eine Enterbung (<ref-law>) vorliegt (BGE 70 II 142 E. 2 S. 147; 56 II 17 E. 2 S. 20). Nach Kritik in der Lehre an diesem Standpunkt (vgl. namentlich Paul Piotet, La protection du réservataire en droit successoral suisse, ZSR 1972 I, S. 25 ff.) hat das Bundesgericht die Frage später offen gelassen (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 40 unter Hinweis auf <ref-ruling> E. II.3b/bb), ohne seine frühere Rechtsprechung je aufzugeben. Entgegen Peter Weimar (Berner Kommentar, 2009, Vorbemerkungen vor <ref-law>, N 22) ist dies auch in <ref-ruling> nicht geschehen. Ein Grund, diese Rechtsprechung zu ändern, besteht auch heute nicht. Zwar trifft es zu, dass eine Verfügung von Todes wegen, die den Pflichtteil verletzt, nicht nichtig, sondern bloss anfechtbar ist. Entsprechend muss der Erbe, dessen Pflichtteil verletzt wird, innert den im Gesetz vorgesehen Fristen auf Ungültigkeit oder auf Herabsetzung klagen, um zu seinem Pflichtteil zu kommen. Bis zur rechtskräftigen Gutheissung dieser Klage sieht die Lehre im Kläger zu Recht einen blossen virtuellen Erben ("héritier virtuel", s. Paul Piotet, a.a.O., S. 30). Auch als solcher bleibt er aber legitimiert, die Aufnahme eines Inventars nach <ref-law> zu verlangen.
2.2.2. Das Inventar nach <ref-law> hat keine materiellrechtliche Bedeutung (Urteil 5A_434/2012 vom 18. Dezember 2012 E. 1.2), sieht man davon ab, dass die Frist zur Ausschlagung mit dem Tag beginnt, an dem die Behörde den Erben Kenntnis vom Abschluss des Inventars gegeben hat (<ref-law>). Das Inventar präjudiziert damit nicht die Erbteilung (Urteil 5A_892/2011 vom 21. Juni 2012 E. 5.1.2). Soweit bundesrechtlich vorgeschrieben, beschränkt sich der Zweck des Inventars darauf, den Erben einen Überblick über die Nachlassaktiven zu verschaffen und so deren Wegschaffen oder Unterdrücken zu erschweren. An einem solchen Überblick ist ohne Zweifel auch jener Erbe interessiert, der seinen Pflichtteil als Vermächtnis erhalten soll. Von ihm zu verlangen, dass er dafür vorerst erfolgreich eine Ungültigkeits- oder eine Herabsetzungsklage anstrengt, ist in doppelter Weise nicht sachgerecht. Zum einen wird dadurch das Ziel verfehlt, dass ein Inventar in der Regel binnen zwei Monaten seit dem Tode des Erblassers durchzuführen ist (<ref-law>). Zum andern kann der pflichtteilsgeschützte Erbe gar nicht erfolgreich auf Herabsetzung klagen, wenn er seinen Pflichtteil dem Werte nach bereits zu Lebzeiten des Erblassers erhalten hat (<ref-law>; vgl. Paul Piotet, a.a.O., S. 39). Damit der pflichtteilsgeschützte Erbe eine Vorstellung vom Nachlass und der Höhe seines Vermächtnisses erhält, macht es Sinn, dass auch er die Aufnahme eines Inventars verlangen kann. Daran vermag auch die von der Vorinstanz ins Feld geführte langjährige gegenteilige zürcherische Praxis nichts zu ändern. Anders wäre höchstens im Fall eines offensichtlichen Rechtsmissbrauchs (<ref-law>) zu entscheiden, das heisst wenn der pflichtteilsgeschützte Erbe die Aufnahme eines Inventars aus blosser Schikane verlangt. Entsprechendes wird dem Beschwerdeführer im konkreten Fall nicht vorgeworfen und ist auch nicht ersichtlich.
Indem die Vorinstanz ohne überzeugende Begründung von der bisherigen bundesgerichtlichen Praxis Abstand genommen hat, wonach auch der bloss virtuelle Erbe die Aufnahme eines Inventars verlangen kann, ist sie in Willkür verfallen.
2.2.3. Im Übrigen ist die Aufnahme eines Inventars an keine weiteren Voraussetzungen geknüpft. Der Erbe braucht seinen diesbezüglichen Antrag auch nicht näher zu begründen. Er kann damit die Aufnahme eines Inventars auch verlangen, wenn seine Ansprüche nicht als gefährdet gelten. Die Aufnahme eines Inventars unterscheidet sich damit von den Massregeln, die ein Vermächtnisnehmer sonst zur Sicherung seiner Ansprüche verlangen kann. Einen Anspruch auf diese hat der Vermächtnisnehmer nur, wenn er begründete Besorgnis hat, dass seine Forderungen nicht bezahlt werden (<ref-law>).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdegegner, der in der Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde beantragt hat. Er hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>), schuldet dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer aber keine Parteientschädigung, denn ein Entschädigungsanspruch lässt sich nicht mit dem blossen Hinweis auf Umtriebe begründen (vgl. Urteil 5A_564/2012 vom 21. November 2012 E. 3.2).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 17. Juni 2013 aufgehoben und die Aufnahme eines öffentlichen Inventars angeordnet. Die Sache wird zur Durchführung an das Einzelgericht in Erbschaftssachen des Bezirksgerichtes Horgen zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Einzelgericht in Erbschaftssachen des Bezirksgerichtes Horgen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn