Faits:
A. S._, née en 1944, travaillait depuis le 1er juin 2002 comme coordinatrice à mi-temps auprès de l'Association X._ (l'association). Le 29 septembre 2003, elle a résilié son contrat de travail avec effet immédiat. Elle s'est trouvée en congé maladie du mois d'octobre à la mi-novembre 2003 et s'est annoncée le 2 décembre suivant à l'assurance-chômage, en demandant des indemnités à partir du 1er. Depuis le début de son délai-cadre d'indemnisation, l'assurée a encouru diverses mesures de suspension.
Le 17 décembre 2003, l'Office régional de placement pour les districts d'Yverdon et Grandson (l'ORP) a suspendu son droit aux prestations pour une durée de 3 jours parce qu'elle avait omis de chercher un emploi durant la période précédant son inscription au chômage. Cette décision n'a pas été attaquée. Après l'avoir invitée à s'expliquer sur les motifs de sa résiliation, la Caisse cantonale de chômage (la caisse) a également prononcé une suspension de son droit à l'indemnité d'une durée de 31 jours à compter du 2 décembre 2003, au motif qu'elle était sans travail par sa propre faute (décision du 24 février 2004, confirmée sur opposition le 21 septembre 2004).
Par la suite, S._ a derechef été suspendue pour une durée de deux fois 8 jours, respectivement de 2 fois 45 jours et une fois 3 jours, en raison de recherches d'emploi insuffisantes et d'une absence à un entretien de conseil (décisions sur opposition des 22 décembre 2004 et 8 septembre 2005 du Service de l'emploi du canton de Vaud (le service)). Ces décisions font chacune l'objet d'une procédure parallèle au Tribunal fédéral (causes C 77/06 et C 78/06).
B. Saisi d'un recours de l'assurée contre la décision sur opposition de la caisse (du 21 septembre 2004), le Tribunal administratif du canton de Vaud l'a rejeté, par jugement du 9 février 2006.
C. S._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement. Elle demande :
1. que toutes les décisions prises par la Caisse Cantonale d'Assurance chômage et par l'Office régional de placement du Nord Vaudois soient révisées en [sa] faveur.
2. qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité et tort moral [lui] soit versée par l'Etat de Vaud.
3. que l'Etat de Vaud ainsi que l'Organe de surveillance de la Loi fédérale sur le chômage sanctionnent et fixent un cadre clair au sujet de la surveillance des demandeurs d'emplois, ceci en conformité avec les directives du préposé à la protection des données.
La caisse s'en remet à justice. L'ORP ainsi que le Secrétariat d'Etat à l'économie ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2).
2. Dans la procédure juridictionnelle administrative, ne peuvent être examinés et jugés, en principe, que les rapports juridiques à propos desquels l'autorité administrative compétente s'est prononcée préalablement d'une manière qui la lie, sous la forme d'une décision. Dans cette mesure, la décision détermine l'objet de la contestation qui peut être déféré en justice par voie de recours. En revanche, dans la mesure où aucune décision n'a été rendue, la contestation n'a pas d'objet, et un jugement sur le fond ne peut pas être prononcé (<ref-ruling> consid. 1a, 119 Ib 36 consid. 1b et les références citées). Par conséquent les conclusions n° 2 et n° 3 du recours sont irrecevables.
3. Le droit de l'assuré à l'indemnité est suspendu lorsqu'il est établi que celui-ci est sans travail par sa propre faute (<ref-law>). Est notamment réputé sans travail par sa propre faute, l'assuré qui a résilié lui-même le contrat de travail, sans avoir été préalablement assuré d'obtenir un autre emploi, sauf s'il ne pouvait être exigé de lui qu'il conservât son ancien emploi (<ref-law>). Tel est notamment le cas s'il peut se prévaloir d'un motif de résiliation immédiate au sens de l'<ref-law>; si néanmoins l'existence d'une faute de l'assuré doit être admise mais que celui-ci peut faire valoir des circonstances atténuantes (par exemple une situation comparable à du mobbing ou des provocations continuelles de la part de l'employeur), la durée de la suspension sera réduite en fonction de la gravité de la faute concomitante commise par l'employeur (Boris Rubin, Assurance-chômage, Droit fédéral, Survol des mesures cantonales, Procédure, 2e éd., Zurich/Bâle/Genève 2006, p. 442). En dehors de ces circonstances particulières, le motif de suspension de l'<ref-law> en liaison avec l'<ref-law> est constitutif d'une faute grave (<ref-law>).
4. 4.1 Il est constant que la recourante a résilié les rapports de service qui la liaient à l'association sans s'être assurée d'avoir un autre emploi. Elle fait valoir à cet égard qu'elle a donné son congé pour "justes motifs" ("préserver sa santé ainsi que ses relations sociales et familiales"). Dans son recours de droit administratif, il est question de "harcèlement" et de "mobbing", de "résistances qui se sont accentuées avec les mois", ainsi que de "petits événements anodins" qu'elle aurait continué à "encaisser" même après son départ de l'association.
4.2 En l'espèce, les faits auxquels la recourante se rapporte pour expliquer les raisons de la résiliation de son contrat de travail, au demeurant peu clairs, ne permettent en tout cas pas d'en inférer que la situation dans laquelle elle se trouvait avait atteint un degré de gravité telle qu'elle justifiait une rupture immédiate des relations. A vrai dire, ils donnent à penser qu'elle a rencontré des difficultés avec certaines familles dont elle assurait le suivi plutôt qu'avec d'autres collègues ou les membres du comité de l'association, même si des dissensions internes sont évoquées en marge. C'est ce qui ressort aussi de sa lettre de résiliation du 29 septembre 2003 où elle n'exprime aucun véritable reproche à son employeur mais le sentiment de ne pas avoir été à la hauteur des attentes qu'on avait placées en elle ("j'ai ainsi eu conscience de n'avoir pu égaler ou remplacer auprès d'un certain nombre de familles la précédente et super coordinatrice V._") et d'avoir peu à peu "perdu [sa] motivation et [ses] forces". Du certificat médical qu'elle a produit, pour le moins laconique et insuffisamment motivé, on ne peut pas non plus conclure que la continuation des rapports de travail était de nature à mettre sa santé en danger. A l'instar des premiers juges, il y a dès lors lieu d'admettre qu'il était exigible qu'elle demeurât à son poste de travail, de sorte qu'une sanction est justifiée. Quant à la durée de la suspension prononcée par la caisse, correspondant à la limite inférieure prévue en cas de faute grave (cf. art. 45 al. 2 let. c OACI), elle n'apparaît pas disproportionnée compte tenu des mêmes faits. On ne voit en effet aucune circonstance atténuante légitimant une réduction de celle-ci (pour comp. voir par exemple l'arrêt du Tribunal fédéral des assurances du 20 avril 2001, C 155/00, où ce tribunal a retenu l'existence d'une faute légère dans le cas d'une assurée qui avait résilié son contrat de travail à la suite de remarques de nature sexuelle, établies et répétées, de la part de son supérieur hiérarchique). En particulier, les allégations de la recourante au sujet des démarches infructueuses qu'elle aurait entrepris auprès de son employeur pour faire connaître sa situation et en changer sont trop vagues et de surcroît non documentées pour être retenues en sa faveur.
Le recours se révèle mal fondé.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Dans la mesure où il est recevable, le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Vaud, à l'Office régional de placement et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 6 mars 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: p. la Greffière: