Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 1964) und Y._ (geb. 1968) heirateten 1999. Sie sind Eltern des gemeinsamen Sohnes A._ (geb. 1999). Die Ehegatten trennten sich im September 2001 und stellten am 22. Oktober 2003 ein gemeinsames Scheidungsbegehren. Das Kreisgericht B._ schied die Ehe und regelte die Scheidungsfolgen (Entscheid vom 13. März 2007).
A.b Am 3. November 2004 hob das Kreisgericht B._ das Besuchs- und Ferienrecht auf Antrag der Kindsmutter wegen Verdachts sexueller Übergriffe durch den Kindsvater auf. Das Besuchsrecht wurde zunächst in Begleitung der Beiständin des Kindes bis anfangs Mai 2007 ausgeübt. Mit Schreiben vom 19. Juni 2007 betraute die Beiständin C._, damals schon seit mehreren Jahren Lebenspartnerin des Kindsvaters, mit der Begleitung der Besuchstage und legte den nächsten Besuchstag fest. Die Kindsmutter lehnte die Begleitperson ab und weigerte sich, den angesetzten Besuchstermin einzuhalten. Gegen die darauf vom Kreisgericht B._ getroffene Vollzugsanordnung (Entscheid vom 24. Juli 2007) erklärte sie Rekurs an den Einzelrichter des Kantonsgerichts, und gegen dessen abweisenden Entscheid vom 24. Oktober 2007 führte sie Beschwerde an das Bundesgericht, welche geschützt wurde (Urteil 5A_627/2007 vom 28. Februar 2008). Dieses erachtete eine Vollstreckung des im Rahmen vorsorglicher Massnahmen angeordneten Besuchsrechts in Begleitung einer Person, die das Vertrauen der obhutsberechtigten Kindsmutter nicht geniesst, vor einer vertieften Prüfung der im Raum stehenden Verdächtigungen und der Festlegung der davon abhängenden Modalitäten des Besuchsrechts im Scheidungsurteil als willkürlich.
B. B.a Am 6. Juni 2007 stellte die Mutter beim Vormundschaftsamt B._ ein (zweites) Gesuch um Beistandswechsel. Dieses wies den Antrag am 11. Januar 2008 als unbegründet ab. Dagegen führte die Mutter Beschwerde beim Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen in seiner Eigenschaft als vormundschaftliche Aufsichtsbehörde und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Das Departement wies dieses Gesuch ab, weil es die Beschwerde für aussichtslos hielt (Entscheid vom 12. Februar 2008).
B.b Der von X._ beim Kantonsgericht St. Gallen erhobene Rekurs blieb erfolglos; der Präsident der II. Zivilkammer wies den Rekurs ebenfalls wegen Aussichtslosigkeit ab (Entscheid vom 18. Februar 2009).
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. März 2009 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht und beantragt, ihr sei für das Beschwerdeverfahren vor dem Sicherheits- und Justizdepartement die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung zu gewähren. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie ebenfalls um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden ist. Beim Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131), dessen ungeachtet, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dessen Hauptentscheid oder nach diesem ergangen ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Im vorliegenden Fall betrifft es die unentgeltliche Rechtspflege in einem vormundschaftlichen Verfahren (Beistandswechsel). Dieses gilt als öffentlich-rechtliches Verfahren, das in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 7 BGG), und welches nicht dem Streitwerterfordernis von <ref-law> unterliegt. Somit ist gegen den Entscheid in der Hauptsache die Beschwerde in Zivilsachen zulässig, womit sie auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid ergriffen werden kann.
1.3 Zur Beschwerde berechtigt ist, wer am kantonalen Verfahren teilgenommen und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Dies ist vorliegend offensichtlich der Fall, zumal die Beschwerdeführerin bei Gutheissung des Gesuchs gegenüber ihrer eigenen Anwältin vollumfänglich von der Kostentragungspflicht befreit würde, während sie bei Aufrechterhaltung des angefochtenen Entscheids Schuldnerin des Anwaltshonorars bliebe (s. dazu einlässlich <ref-ruling> E. 3.b S. 325 f.).
1.4 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch auf Grund von <ref-law> (bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK). Das Bundesgericht untersucht die Rüge der Verletzung von direkt aus <ref-law> (bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK) hergeleiteten Rechtspflegeansprüchen mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 3 S. 180; <ref-ruling> E. 2.3; je mit Hinweisen). Auf Willkür beschränkt ist die Prüfungsbefugnis, soweit tatsächliche Feststellungen beanstandet werden (BGE <ref-ruling> E. 2.3, mit Hinweis).
1.5 An die kantonalen Sachverhaltsfeststellungen ist das Bundesgericht grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398).
Was die Rüge willkürlicher Sachverhaltsfeststellung anbelangt, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Feststellungen für den Ausgang des Verfahrens im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, auf einem offenkundigen Versehen beruhen oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lassen sollen (BGE <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene Rügen, die soweit möglich zu belegen sind, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 2 S. 639).
2. Die Beschwerdeführerin rügt die Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs (<ref-law>).
2.1 Zur Begründung führt sie insbesondere aus, die Vorinstanz gehe nicht oder nur unzulänglich auf ihre Argumente ein; ihre Vorbringen seien nicht mit der notwendigen Sachlichkeit auf ihre Erfolgsaussicht hin geprüft worden. Es sei vielmehr ein Urteil gefällt worden, das den Entscheid in der Hauptsache pauschal und apodiktisch vorweg nehme.
2.2 Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgt, dass das Gericht seinen Entscheid zu begründen hat. Der Rechtsunterworfene soll wissen, warum die Behörde entgegen seinem Antrag entschieden hat. Die Begründung eines Entscheids muss deshalb so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Die genannten Grundsätze gelten erst recht für eine Rechtsmittelinstanz. Das bedeutet aber nicht, dass sich diese ausdrücklich mit jeder Tatsachenbehauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 3.3 S. 445 mit Hinweisen).
Der angefochtene Entscheid erweist sich ohne Weiteres als hinreichend begründet. Dass die Beschwerdeführerin in der Lage war, den Entscheid in allen Teilen umfassend und sachgerecht anzufechten, zeigen ihre weiteren Rügen bzw. Ausführungen. Vor diesem Hintergrund ist nicht ersichtlich, weshalb die Vorinstanz die Begründungspflicht verletzt haben soll. Die Rüge einer Verletzung des rechtlichen Gehörs erweist sich demnach als unbegründet.
3. Weiter macht die Beschwerdeführerin geltend, die verfassungsrechtlichen Minimalgarantien nach <ref-law> seien missachtet worden.
3.1 Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat nach <ref-law> Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2c mit Hinweisen).
3.2 Es ist jedoch nicht Aufgabe des Bundesgerichts, dem Sachgericht vorgreifend zu prüfen, ob das vom Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren gestellte Begehren zu schützen sei oder nicht. Bei der Abklärung, ob die fehlende Aussichtslosigkeit als Voraussetzung für einen grundrechtlichen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege gegeben ist, hat das Bundesgericht lediglich zu prüfen, ob der vom Bedürftigen verfolgte Rechtsstandpunkt im Rahmen des sachlich Vertretbaren liegt bzw. nicht von vornherein unbegründet erscheint (<ref-ruling> E. 3a).
Im Rechtsmittelverfahren geht es um die Erfolgsaussichten des Rechtsbehelfs (HAEFLIGER, Alle Schweizer sind vor dem Gesetze gleich, Bern 1985, S. 167 f. Ziffer 6). Die Frage lautet, ob das Rechtsmittel offenbar prozessual unzulässig oder aussichtslos ist (BGE 60 I 179 E. 1 S. 182; 78 I 193 E. 2 S. 195). Dass der angefochtene Entscheid oder das vorinstanzliche Verfahren an einem Mangel leidet, genügt für die Bejahung der Erfolgsaussichten nicht; entscheidend ist allein, ob das Rechtsmittel voraussichtlich gutgeheissen werden muss (vgl. POUDRET/SANDOZ-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation0 judiciaire, Bd. V, Bern 1992, N. 5 zu Art. 152 OG, S. 123).
Die prognostische Beurteilung der Erfolgsaussichten eröffnet nicht nur dem Sachgericht sondern auch der Rechtsmittelinstanz einen Beurteilungsspielraum, in den das Bundesgericht auch bei freier Prüfung der Rechtsfragen nur mit Zurückhaltung eingreift. Erforderlich ist, dass das Sachgericht von anerkannten Rechtsgrundsätzen abgewichen ist, dass es Umstände berücksichtigt hat, die für die Prognose im Einzelfall keine Rolle spielen dürfen oder umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen (dazu allgemein: <ref-ruling> E. 5.4 S. 211; <ref-ruling> E. 12.2.2; mit Bezug auf die Erfolgsaussichten: das Urteil des Bundesgerichts 4P.74/2005 vom 12. April 2005 E. 2.2; je mit Hinweisen).
3.3 Das Kantonsgericht hat das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen offenkundiger Aussichtslosigkeit des Beschwerdeverfahrens vor dem Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen abgewiesen. In der Sache selbst hat es im Wesentlichen festgehalten, dass die Beiständin ihr Amt bisher kompetent und engagiert ausgeübt habe und dass sie auch für die Zukunft als die geeignete Person erscheine, um im Verhältnis zwischen den extrem zerstrittenen Eltern zu vermitteln und sich in die Situation des tief verunsicherten Kindes einzufühlen. Das Bundesgericht habe ihren Entscheid, die Lebenspartnerin als Begleitperson einzusetzen, für willkürlich gehalten. Mit dem Ausdruck Willkür verbinde sich zwar die Vorstellung, dass ein Behördenmitglied eigenmächtig und bewusst falsch gehandelt habe. Im rechtlichen Sinne werde aber von Willkür schon gesprochen, wenn ein Entscheid objektiv unhaltbar sei. Dies genüge allerdings nicht, ein Unvermögen der Beiständin zu begründen, zumal diese ihre Wahl aus nachvollziehbaren Motiven und gewiss nicht in einer Begünstigungsabsicht getroffen habe. Die Einstellung der Mutter sei geprägt von einem jahrelangen Kampf gegen den als bedrohlich empfunden Vater. Sie erwarte von der Beiständin keine sachliche Beratung, sondern eine unkritische Unterstützung ihrer eigenen Position. In dieser Haltung dürfe sie nicht bestärkt werden. Insgesamt lägen keine Gründe vor, um das von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Ungenügen im Sinne von <ref-law> zu begründen.
3.4 Die Beschwerdeführerin stellt ihren rechtlichen Vorbringen eine eigene Sachverhaltsdarstellung voran. Sie weicht darin zumindest teilweise von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne substantiiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung gemäss Art. 105 Abs. 2 und <ref-law> geltend zu machen. Ihre Vorbringen haben insoweit unbeachtet zu bleiben (vgl. E. 1.5 hiervor).
3.4 Die Beschwerdeführerin stellt ihren rechtlichen Vorbringen eine eigene Sachverhaltsdarstellung voran. Sie weicht darin zumindest teilweise von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne substantiiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung gemäss Art. 105 Abs. 2 und <ref-law> geltend zu machen. Ihre Vorbringen haben insoweit unbeachtet zu bleiben (vgl. E. 1.5 hiervor).
3.5 3.5.1 Sodann bringt die Beschwerdeführerin vor, der angefochtene Entscheid sei vom gleichen Richter erlassen worden, der auch den Vollstreckungsentscheid im Rekursverfahren geschützt und damit die Rüge des Bundesgerichts auf sich gezogen habe. Ein Anschein von Befangenheit sei angesichts dieser Personalunion und des aufgebrachten Tons der Urteilsbegründung nicht von der Hand zu weisen.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung wird gestützt auf den auch für die Privaten geltenden Grundsatz von Treu und Glauben und das Verbot des Rechtsmissbrauchs (<ref-law>) verlangt, dass ein echter oder vermeintlicher Organmangel so früh wie möglich, d.h. nach dessen Kenntnis bei erster Gelegenheit, geltend gemacht wird. Es verstösst gegen Treu und Glauben, Einwände dieser Art erst im Rechtsmittelverfahren vorzubringen, wenn der Mangel schon vorher hätte festgestellt und gerügt werden können (<ref-ruling> E. 4.3 S. 496 f.; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 21; je mit Hinweisen). Da die Beschwerdeführerin sich schon unmittelbar nach Erlass des Vollstreckungsentscheids auf einen nach ihrer Ansicht bestehenden Ausstandsgrund hätte berufen können, hat ihre Rüge als verwirkt zu gelten.
3.5.2 Ferner wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vor, sie habe das Verhältnis von Gewinnaussicht und Verlustrisiko nicht im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gewichtet. Sie begründe nicht, weshalb nach ihrer Auffassung die Gewinnaussichten die Verlustrisiken in einem Masse übersteigen, dass geradezu von einer mutwilligen Prozessführung auszugehen sei. Die Heftigkeit, mit der sie die Beschwerdeführerin rüge, könne eine sachliche Begründung nicht ersetzen. Zu ihrem Negativentscheid könne die Vorinstanz nur gelangt sein, indem sie wesentliche vorgebrachte Fakten ignoriert habe. Von einer mutwilligen Prozessführung könne angesichts der Tragik und der Tragweite der Gründe, die die Beschwerdeführerin für den Beistandswechsel vorbringe im Ernst nicht gesprochen werden. Die Begründung der Vorinstanz verstosse daher in grober Weise gegen <ref-law>.
Mit diesen Ausführungen beschränkt sich die Beschwerdeführerin auf eine appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid. Sie setzt sich nicht rechtsgenüglich mit den Erwägungen des Kantonsgerichts auseinander. Weder führt sie an, welche Fakten dieses ignoriert haben soll, noch zeigt sie auf, inwiefern die Vorinstanz bei der Beurteilung der Prozesschancen von anerkannten Rechtsgrundsätzen abgewichen ist, dass sie Umstände berücksichtigt hat, die für die Prognose im Einzelfall keine Rolle spielen dürfen oder umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen. Insofern überhaupt auf diese Rüge eingetreten werden kann, erweist sie sich als unbegründet.
4. Zusammenfassend hat die Vorinstanz den verfassungsmässigen Anspruch der Beschwerdeführerin auf unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> nicht verletzt, indem sie ihre Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung unter Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsvertreters wegen Aussichtslosigkeit ihrer Prozessbegehren ablehnte. Die Beschwerde ist damit abzuweisen.
Damit wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Kantonsgericht St. Gallen, Präsident der II. Zivilkammer als Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. April 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett