Faits:
A. Le 17 décembre 2007, A._ a été arrêté dans le cadre d'une enquête portant sur un trafic de cocaïne. Il a été inculpé le lendemain d'infractions à la loi fédérale sur les stupéfiants ainsi qu'à la loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers et il a été placé en détention préventive. Au terme de sa première audition par le Juge d'instruction du canton de Vaud (ci-après: le juge d'instruction), il a demandé la désignation d'un défenseur d'office. Par fax du 19 décembre 2007, Me Y._ a écrit au juge d'instruction qu'il avait été consulté par l'épouse de A._ pour défendre les intérêts de son mari; il demandait une autorisation de visite pour rencontrer le prénommé en prison. Ce fax a été envoyé aux alentours de 18h00 et le juge d'instruction n'en a eu connaissance que le lendemain. Par courrier du 20 décembre 2007, le Tribunal d'arrondissement de Lausanne (ci-après: le Tribunal d'arrondissement) a informé Me X._, avocat-stagiaire, qu'il était désigné en qualité de défenseur d'office de A._.
Le 21 décembre 2007, Me Y._ a écrit au juge d'instruction pour se plaindre de n'avoir pas pu rencontrer son client, qui était entendu par la police. Par courrier du 26 décembre 2007, le juge d'instruction a répondu qu'il n'était pas responsable du contretemps ayant empêché Me Y._ de rencontrer son client. Il informait également l'avocat prénommé de la désignation de Me X._ en qualité de défenseur d'office. Le 25 janvier 2008, Me X._ a demandé à être relevé de sa mission, ce qui a été fait le 28 janvier 2008, par prononcé du Président du Tribunal d'arrondissement. Le 29 janvier 2008, Me Y._ a confirmé avoir été mandaté comme défenseur de choix par A._ et il a produit une procuration signée par celui-ci.
B. Le 17 avril 2008, Me Y._ a requis sa désignation en qualité de défenseur d'office de A._. Il faisait valoir que son client, respectivement l'épouse de celui-ci, n'avaient plus les moyens de le rémunérer comme avocat de choix. Par prononcé du 3 juin 2008, le Président du Tribunal d'arrondissement a refusé de désigner Me Y._ comme défenseur d'office de A._. Il a considéré que le prévenu n'avait pas expressément demandé que Me Y._ soit désigné, que Me X._ n'avait pas désemparé dans sa mission de défenseur, que le lien de confiance avec le prévenu n'était pas rompu et, enfin, que Me Y._ n'avait pas allégué de circonstances exceptionnelles et imprévisibles faisant que son client ou sa famille ne pouvaient plus le rémunérer.
A._ a recouru contre ce prononcé auprès du Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté le recours par arrêt du 24 juin 2008. Considérant qu'il n'existait aucune raison objective de relever le défenseur d'office X._ de sa mission, le Tribunal cantonal a reproché à Me Y._ d'avoir fait relever le prénommé "en se prétendant consulté comme avocat de choix avant, quelques semaines plus tard, de vouloir être désigné d'office". Ce procédé reviendrait à permettre au prévenu de choisir son défenseur d'office.
C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour qu'il désigne Me Y._ en qualité de défenseur d'office et qu'il statue sur sa requête d'assistance judiciaire. Il requiert en outre l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral. Le Tribunal cantonal et le Tribunal d'arrondissement ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Selon l'<ref-law>, le Tribunal fédéral connaît des recours contre les décisions rendues en matière pénale. Cette notion comprend toute décision fondée sur le droit pénal matériel ou sur le droit de procédure pénale. En d'autres termes, toute décision relative à la poursuite ou au jugement d'une infraction fondée sur le droit fédéral ou sur le droit cantonal est en principe susceptible d'un recours en matière pénale (Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4111). Cette voie de recours est dès lors ouverte en l'espèce.
1.1 La décision par laquelle le juge refuse un changement de défenseur d'office ou rejette une requête tendant à la désignation d'un défenseur d'office constitue une décision incidente, qui ne met pas fin à la procédure (<ref-ruling> consid. 1a p. 209; <ref-ruling> consid. 2b p. 278 s.). Selon l'<ref-law>, une telle décision peut faire l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral si elle peut causer un préjudice irréparable. Conformément à la pratique développée sous l'empire de l'art. 87 al. 2 OJ, il doit s'agir d'un dommage de nature juridique (<ref-ruling> consid. 4 p. 338; 139 consid. 4 p. 141; Message précité, FF 2001 p. 4131).
Selon la jurisprudence, le refus de désigner un avocat d'office au prévenu est susceptible de lui causer un dommage irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4 p. 338; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 283; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 131). En revanche, la décision ayant pour objet de refuser un changement de défenseur d'office n'entraîne en principe aucun préjudice juridique, car le prévenu continue d'être assisté par le défenseur désigné (<ref-ruling> consid. 2b p. 211).
1.2 En l'espèce, il ne s'agit pas d'un cas de changement de défenseur d'office. Le 20 décembre 2007, lorsque Me X._ a été désigné en qualité de défenseur d'office du recourant, celui-ci avait déjà un avocat de choix en la personne de Me Y._. Les autorités avaient en effet déjà reçu le fax - et non le courrier, comme retenu dans l'arrêt attaqué - envoyé la veille au soir par Me Y._, les informant du fait qu'il était consulté par l'épouse du recourant pour défendre les intérêts de son mari. S'il est vrai que cette information pouvait paraître en contradiction avec la demande du recourant tendant à la désignation d'un avocat d'office, elle ne pouvait pas être purement et simplement ignorée; si les autorités pénales avaient des doutes à ce sujet, il leur appartenait d'éclaircir la situation avant de désigner un défenseur d'office. Par ailleurs, le fait que le juge d'instruction ait omis d'aviser à temps le Tribunal d'arrondissement de la constitution d'un avocat de choix ne saurait porter préjudice au prévenu.
Quoi qu'il en soit, cette situation insatisfaisante a été définitivement éclaircie le 28 janvier 2008, lorsque Me X._ a été relevé de sa mission au motif que le prévenu avait un avocat de choix. Le Tribunal cantonal semble y voir une manoeuvre de l'avocat Y._ pour obtenir un changement de défenseur d'office. Ces doutes ne sont toutefois aucunement étayés, ce d'autant moins que Me X._ a été relevé de sa mission près de trois mois - et non pas "quelques semaines" - avant la requête litigieuse. Dans ces conditions particulières, la requête du 17 avril 2008 concernait bien la désignation d'un avocat d'office au prévenu, si bien que le rejet de cette requête cause un préjudice irréparable au recourant. Celui-ci se voit en effet privé de défenseur, dans la mesure où, contrairement à ce que semble soutenir l'autorité intimée, on ne saurait exiger de l'avocat de choix qu'il poursuive son mandat sans être rémunéré.
1.3 Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale, le recours est recevable au regard des art. 42, 80, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir violé l'art. 29 al. 3 Cst. en lui déniant le droit à un avocat d'office. Il ne se plaint pas d'une application arbitraire du droit cantonal et il ne soutient pas que ce droit offre une protection plus étendue que celle garantie par la Constitution fédérale en la matière, de sorte que c'est uniquement à la lumière de l'art. 29 al. 3 Cstqu'il y a lieu d'examiner le présent recours.
2.1 A teneur de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas des ressources suffisantes a droit à l'assistance judiciaire gratuite, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès; elle a en outre le droit à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert (ATF <ref-ruling> consid. 2.1 p. 133; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 227; <ref-ruling> consid. 3b p. 205). L'assistance judiciaire n'est octroyée qu'à la personne qui ne dispose pas de moyens financiers suffisants pour mener ou soutenir le procès. Est indigente la partie qui ne peut assumer les frais liés à la défense de ses intérêts sans porter atteinte au minimum nécessaire à son entretien et celui de sa famille (ATF <ref-ruling> consid. 3b p. 205; <ref-ruling> consid. 4a p. 164; <ref-ruling> consid. 3b p. 98). Cette question doit être appréciée au regard des circonstances existant lors du dépôt de la demande, compte tenu de l'ensemble du dossier (<ref-ruling> consid. 3a p. 181). Selon la jurisprudence, la désignation d'un défenseur d'office dans une procédure pénale est nécessaire lorsque le prévenu est exposé à une longue peine privative de liberté ou qu'il est menacé d'une peine qui ne peut être assortie du sursis. Elle peut aussi l'être, selon les circonstances, lorsque le prévenu encourt une peine privative de liberté de quelques semaines à quelques mois si, à la gravité relative du cas, s'ajoutent des difficultés particulières du point de vue de l'établissement des faits ou des questions juridiques soulevées qu'il ne serait pas en mesure de résoudre seul (<ref-ruling> consid. 2a p. 44 et les références).
2.2 En l'occurrence, il est constant que le recourant se trouve dans un cas de défense nécessaire au sens de la jurisprudence susmentionnée. Même s'il ne s'en prévaut pas, il convient de relever qu'il remplit également les critères posés par l'<ref-law>/VD pour la désignation d'un "défenseur indispensable". On peut en outre considérer comme vraisemblable le fait qu'il ne dispose actuellement d'aucune ressource, puisqu'il se trouve en détention depuis fin décembre 2007 et que les sommes retrouvées sur lui ont été séquestrées. Le Tribunal cantonal a cependant rejeté sa requête en invoquant l'absence de motifs permettant de relever le précédent défenseur d'office de sa mission. Ces considérations ne sont pas pertinentes, dès lors que, comme cela a été exposé ci-dessus (cf. supra consid. 1.2), il ne s'agit pas en l'espèce d'un changement de défenseur d'office mais bien d'une requête en désignation d'un défenseur d'office.
Si le Tribunal cantonal entendait rejeter cette requête, il ne pouvait le faire, sous l'angle de l'art. 29 al. 3 Cst., que pour des motifs liés aux moyens financiers de l'intéressé. Il se justifie donc de renvoyer la cause à cette autorité pour qu'elle examine cette question. Le mandataire du recourant ayant motivé sa requête par le fait que son client et l'épouse de celui-ci n'avaient plus les moyens de le payer, l'instruction devra être complétée en ce qui concerne l'évolution des moyens financiers à disposition du recourant. Elle pourra l'être également à propos des provisions qui auraient été versées à Me Y._ en qualité d'avocat de choix, afin de déterminer si elles dépassent le montant destiné à couvrir l'activité utile déployée par l'avocat jusqu'à ce jour (cf. arrêt 1P.875/2005 du 22 février 2006). Enfin, on rappellera que même si le requérant n'a pas un droit inconditionnel au choix de son défenseur d'office, il y a en principe lieu de prendre ses voeux en considération (<ref-ruling> consid. 1d p. 302; arrêt 1B_74/2008 du 18 juin 2008 consid. 2; arrêt CourEDH Croissant c. Allemagne du 25 septembre 1992, Série A, vol. 237-B, par. 29).
3. Invoquant l'art. 29 al. 1 Cst., le recourant se plaint également d'un déni de justice, au motif que le Tribunal cantonal n'a pas statué sur sa requête d'assistance judiciaire. Il est exact que l'autorité intimée s'est limitée à des considérations sur le changement du défenseur d'office, sans aucunement se prononcer sur la requête d'assistance judiciaire présentée par l'intéressé ni exposer les raisons pour lesquelles elle s'en est abstenue. Le recours doit donc être admis pour ce motif également.
4. Il s'ensuit que le recours en matière de droit pénal doit être admis, l'affaire étant renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. Il n'y a pas lieu de percevoir des frais judiciaires (<ref-law>). Le recourant, assisté d'un avocat, a droit à des dépens, à la charge de l'Etat de Vaud (<ref-law>). Dans ces conditions, il n'y a pas lieu de statuer sur la requête d'assistance judiciaire, devenue sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis; l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée au Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal du canton de Vaud, pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Une indemnité de 2000 fr. est allouée au recourant à titre de dépens, à la charge de l'Etat de Vaud.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Président du Tribunal d'arrondissement de Lausanne et au Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 23 septembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener