Erwägungen:
1.
X._ und Y._ erhoben gegen ein von der Z._ AG am 8. Oktober 2012 eingereichtes Baugesuch Einsprache. Die Gemeinde Val Müstair bewilligte das Vorhaben am 14./19. November 2012. Gleichzeitig wies sie die Einsprache ab.
Hiergegen wandten sich X._ und Y._ mit einer Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dessen 5. Kammer wies die Beschwerde mit Urteil vom 21. Dezember 2012 ab und auferlegte die auf Fr. 900.-- bestimmten Gerichtskosten den Beschwerdeführern. Gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil gelangten diese mit Beschwerde vom 18. Januar 2013 ans Bundesgericht.
Gemäss Schreiben vom 31. Juli 2013 hat die Bauherrschaft bzw. Beschwerdegegnerin ihr Baugesuch zurückgezogen.
2.
2.1. Durch den Rückzug des Baugesuchs ist die vorliegende Beschwerde gegenstandslos geworden. Sie ist daher als erledigt abzuschreiben (<ref-law>), wobei mit summarischer Begründung über die Prozesskosten zu entscheiden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Die Beschwerdeführer halten dafür, allfällige Verfahrenskosten seien der Bauherrschaft aufzuerlegen.
2.2. Die Verfahrenskosten werden derjenigen Partei auferlegt, die sie verursacht hat (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Demgemäss rechtfertigt es sich, der Beschwerdegegnerin die Kosten der durch den Baugesuchsrückzug gegenstandslos gewordenen Rechtsmittelverfahren aufzuerlegen. Aufgrund des Rückzugs des Baugesuchs in einem frühen Stadium des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die diesbezüglichen Kosten auf eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- festzusetzen (<ref-law> analog).
Mit Blick auf das soeben Gesagte, den Baugesuchsrückzug und das Verursacherprinzip, steht der (ohnehin nicht anwaltlich vertretenen) Beschwerdegegnerin keine Parteientschädigung zu.
Die Beschwerdeführer ihrerseits sind nicht anwaltlich vertreten und haben daher praxisgemäss ebenfalls keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.
Ebenso steht der in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätigen Gemeinde keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; s. dazu <ref-ruling>).
3. Wie ausgeführt, ist das vorliegende Verfahren mit dem Baugesuchsrückzug gegenstandslos geworden.
Durch die am 22. Mai 2013 ergangenen Urteile des Bundesgerichts betreffend Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und unmittelbare Anwendbarkeit der Art. 75b und 197 Ziff. 9 BV (Verfahren 1C_614/2012, 1C_646/2012 und 1C_649+650/2012; s. Webseite www.bger.ch / "Rechtsprechung (gratis) " / "Weitere Urteile ab 2000", mit Eingabe der entsprechenden Verfahrensnummer ins Suchfeld) ist die Basis des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 21. Dezember 2012 und des ursprünglichen kommunalen Entscheids vom 14./19. November 2012 massgebend verändert worden, was selbstredend Auswirkungen auf deren Kostenregelungen zur Folge hat (s. auch das Konnexverfahren 1C_109/2013, Helvetia Nostra c/ Z._ AG und Gemeinde Val Müstair).
Hinsichtlich des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist es angezeigt, dass das Bundesgericht die diesbezügliche Kostenregelung wie schon in früheren Fällen sogleich selber neu trifft. Nachdem die Beschwerdegegnerin ihr Baugesuch zurückgezogen hat, rechtfertigt es sich, ihr die verwaltungsgerichtlichen Kosten, gemäss Urteil vom 21. Dezember 2012 ausmachend Fr. 900.--, aus denselben Gründen wie die bundesgerichtlichen Kosten aufzuerlegen. Sodann steht den Beschwerdeführern auch für das kantonale Verfahren keine Parteientschädigung zu, da sie auch damals nicht anwaltlich vertreten waren.
Auf welche Weise die Gemeinde Val Müstair den nunmehrigen Abschluss des kommunalen Baubewilligungs- und Einsprache-verfahrens im Kostenpunkt gemäss ihren Verfahrenstarifen zu regeln haben wird, lässt sich hier nicht abschätzen. Die Sache geht daher insoweit zurück an die Gemeinde.

Demnach wird erkannt:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_48/2013 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
Es wird festgestellt, dass der am 14./19. November 2012 ergangene kommunale Baubewilligungs- und Einspracheentscheid sowie das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 21. Dezember 2012 gegenstandslos geworden sind. Die Sache geht zurück an die Gemeinde Val Müstair zur Prüfung der Kostenfrage hinsichtlich des nunmehrigen Abschlusses des kommunalen Verfahrens.
2.
Der Beschwerdegegnerin Z._ AG werden die auf Fr. 900.-- festgesetzten verwaltungsgerichtlichen Kosten und die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 300.-- auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Val Müstair und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp