Sachverhalt:
A.
D._ wurde mit Tagesregister-Eintrag vom 7. Juni 2011 als Präsident des Verwaltungsrates der X._ AG in das Handelsregister eingetragen.
Mit Entscheid vom 26. November 2012 traf der Handelsgerichtspräsident des Kantons St. Gallen gestützt auf <ref-law> folgende Anordnungen:
"1. Es wird festgestellt, dass die X._ AG Mängel in der Organisation aufweist, namentlich der Verwaltungsrat nicht ordnungsgemäss besetzt und handlungsunfähig ist, und die ordnungsgemässe Durchführung einer Generalversammlung und Organisation der Geschäftsführung nicht zu gewährleisten vermag.
2. Für die X._ AG wird anstelle des Verwaltungsrates ein Sachwalter eingesetzt. Die Massnahme dauert, bis ein neuer Verwaltungsrat gewählt und im Handelsregister eingetragen ist, längstens jedoch bis 26. November 2014. Der Sachwalter hat den Auftrag, umgehend über das SHAB zu einer ausserordentlichen Generalversammlung einzuladen, an der die Neuwahl des Verwaltungsrates zu traktandieren ist. Er hat die ausserordentliche Generalversammlung durchzuführen, an welcher der gesamte Verwaltungsrat neu zu bestellen ist. Im Übrigen hat der eingesetzte Sachwalter sämtliche Befugnisse eines Verwaltungsrates.
3. Als Sachwalter über die X._ AG wird E._ eingesetzt.
4. Das Handelsregister St. Gallen wird angewiesen, nach unbenutztem Ablauf der Rechtsmittelfrist bzw. nach Entzug der aufschiebenden Wirkung oder Abweisung einer Beschwerde gegen diesen Entscheid, die im Handelsregister eingetragenen Verwaltungsräte D._, F._ und G._ aus dem Handelsregister zu streichen und E._ als Sachwalter mit den Befugnissen eines Verwaltungsrates in das Handelsregister einzutragen."
Gegen diesen Entscheid reichte die X._ AG, handelnd durch D._, Beschwerde in Zivilsachen beim Bundesgericht ein. Mit Urteil 4A_695/2012 vom 15. Januar 2013 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein. Auf das dagegen erhobene Revisionsgesuch trat das Bundesgericht mit Urteil 4F_3/2013 vom 9. April 2013 ebenfalls nicht ein.
Mit Schreiben vom 21. Januar 2013 teilte der Handelsgerichtspräsident dem Handelsregisteramt mit, dass der Entscheid vom 26. November 2012 nunmehr in Rechtskraft erwachsen und die Anweisung zum Eintrag des Sachwalters daher zu vollziehen sei.
In der Folge wurden mit Tagesregister-Eintrag vom 25. Januar 2013 die Verwaltungsräte D._, F._ und G._ aus dem Handelsregister gelöscht und der Sachwalter eingetragen.
B.
Mit Eingabe vom 31. Januar 2013 erhob D._ Beschwerde beim Kantonsgericht St. Gallen mit dem Antrag, es sei die vom Handelsgerichtspräsident verfügte Mutation vom 25. Januar 2013 zu löschen und den ursprünglichen Stand im Handelsregister der X._ AG wiederherzustellen.
Mit Entscheid vom 18. Februar 2013 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt D._ dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und das Handelsregisteramt sei anzuweisen, die Mutationen vom 25. Januar 2013 teilweise rückgängig zu machen und D._ wiederum als Präsident des Verwaltungsrats mit Kollektivunterschrift zu zweien, F._ als Verwaltungsrat mit Kollektivunterschrift zu zweien und G._ als Verwaltungsrätin ohne Unterschriftsberechtigung ins Handelsregister einzutragen und zu ermächtigen, zusammen mit dem eingesetzten Sachwalter die notwendigen gesellschaftsrechtlichen Handlungen vorzunehmen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
D.
Mit Verfügung vom 6. Juni 2013 wies das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ab.
Mit Verfügung vom 18. Juni 2013 wies das Bundesgericht das dagegen eingelegte Revisionsgesuch ab, soweit es darauf eintrat.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1 S. 103, 470 E. 1 S. 472; <ref-ruling> E. 1 S. 216).
1.1. Die vorliegende Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid über die Führung des Handelsregisters, der gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt. Als Vorinstanz hat ein oberes Gericht im Kanton auf ein Rechtsmittel hin letztinstanzlich entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der angefochtene Beschluss schliesst ein Verfahren betreffend die Löschung und Eintragung diverser Tatsachen im Handelsregister (Personalmutationen) ab und ist demnach als Endentscheid zu qualifizieren (<ref-law>). Entgegen den gesetzlichen Vorschriften (<ref-law>) finden sich im angefochtenen Urteil keine Angaben zum Streitwert. Mit Blick auf die wirtschaftlichen Auswirkungen der genannten Eintragung kann vorliegend ohne gegenteilige Anhaltspunkte jedoch davon ausgegangen werden, dass der Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (<ref-law>).
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, der Entscheid des Handelsgerichtspräsidenten vom 26. November 2012 sei nicht nur anfechtbar, sondern nichtig. Die in diesem Entscheid angeordneten Mutationen hätten vom Handelsregisteramt daher nicht vorgenommen werden dürfen. Vielmehr hätte das Handelsregisteramt die angebliche Nichtigkeit des Entscheides vom 26. November 2012 von Amtes wegen beachten müssen. Die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, indem sie das Vorgehen des Handelsregisteramts geschützt und die angebliche Nichtigkeit des Entscheides vom 26. November 2012 ebenfalls nicht beachtet habe.
2.1. Die Nichtigkeit eines Entscheides ist jederzeit und von sämtlichen rechtsanwendenden Behörden von Amtes wegen zu beachten. Sie kann auch im Rechtsmittel- und selbst noch im Vollstreckungsverfahren geltend gemacht werden (<ref-ruling> E. 2 S. 363 mit Hinweisen).
Fehlerhafte Entscheide sind nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung nichtig, wenn der ihnen anhaftende Mangel besonders schwer ist, wenn er offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und wenn zudem die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird (<ref-ruling> E. 2.1 S. 363 mit Hinweisen). Als Nichtigkeitsgründe fallen vorab funktionelle und sachliche Unzuständigkeit der entscheidenden Behörde sowie krasse Verfahrensfehler in Betracht, wobei nur ein besonders schwer wiegender Verstoss gegen grundlegende Parteirechte Nichtigkeit zur Folge haben kann. Inhaltliche Mängel einer Entscheidung führen nur ausnahmsweise zur Nichtigkeit (<ref-ruling> E. 2.1 S. 364 mit Hinweisen); in der Lehre wird hierfür als Beispiel etwa das Urteil genannt, das eine Rechtsfolge zuspricht, die dem schweizerischen Recht unbekannt ist ( WALTHER J. HABSCHEID, Schweizerisches Zivilprozess- und Gerichtsorganisationsrecht, 2. Aufl. 1990, Rz. 459).
2.2.
2.2.1. Der Beschwerdeführer begründet die angebliche Nichtigkeit des Entscheids des Handelsgerichtspräsidenten vom 26. November 2012 damit, dass mit der Absetzung der Verwaltungsräte der X._ AG eine Rechtsfolge angeordnet worden sei, welche in <ref-law> nicht vorgesehen sei.
Diese Auffassung ist unzutreffend: Mit <ref-law> wollte der Gesetzgeber dem Gericht einen hinreichenden Handlungsspielraum gewähren, um eine mit Blick auf die konkreten Umstände des Einzelfalles angemessene Massnahme treffen zu können (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 298; <ref-ruling> E. 3.5 S. 170; <ref-ruling> E. 11.4.1 S. 371). Bei den in den Ziffern 1 - 3 von <ref-law> genannten Massnahmen zur Behebung des Organisationsmangels handelt es sich um einen exemplifikativen, nicht abschliessenden Katalog (BGE <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 298; <ref-ruling> E. 11.4.1 S. 371). Das Gericht kann - wie etwa im Rahmen der Auflösungsklage nach <ref-law> - auch eine nicht gesetzlich typisierte Massnahme anordnen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 303 f.), wozu auch die Abberufung von Verwaltungsräten gehört (dazu PHILIPP HABEGGER, Die Auflösung der Aktiengesellschaft aus wichtigen Gründen, Diss. Zürich 1996, S. 249 f.).
2.2.2. Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, der Entscheid des Handelsgerichtspräsidenten vom 26. November 2012 sei in schwerwiegender Verletzung seines rechtlichen Gehörs gefällt worden, da der Handelsgerichtspräsident ihm als betroffenem Verwaltungsrat keine Gelegenheit gegeben habe, zu einer allfälligen Abberufung Stellung zu nehmen. Auch dieser Einwand geht fehl, handelte der Beschwerdeführer im entsprechenden Verfahren doch als Verwaltungsratspräsident für die X._ AG und hatte damit Gelegenheit, zu den drohenden Massnahmen Stellung zu nehmen. Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss eine überraschende Rechtsanwendung geltend macht, ist dieser Einwand zudem unbegründet, gehört doch - wie soeben ausgeführt - die Abberufung von Verwaltungsräten ohne weiteres zu den im Rahmen des Verfahrens nach <ref-law> möglichen Massnahmen zur Beseitigung eines Organisationsmangels.
2.2.3. Von einer Nichtigkeit des Entscheids des Handelsgerichtspräsidenten vom 26. November 2012 kann nach dem Gesagten keine Rede sein, womit sich die Beschwerde als unbegründet erweist.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Diesem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Aufsichtsbehörde über das Handelsregister, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni