Sachverhalt:
A. Die IV-Stelle des Kantons Zürich lehnte mit Verfügung vom 25. Mai 2011 das Gesuch des 1963 geborenen S._ um Rentenleistungen ab; der Invaliditätsgrad betrage nicht leistungsbegründende 21 Prozent.
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich sprach auf die dagegen erhobene Beschwerde hin dem Versicherten mit Wirkung ab November 2009 eine Viertelsrente (aufgrund eines Invaliditätsgrades von 42 Prozent) zu. Das Gericht ging davon aus, einstweilen sei nicht - wie administrativgutachtlich attestiert - von einer vollständigen Arbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten auszugehen, sondern - gestützt auf spitalärztliche Berichte - von einem ab März 2008 bestehenden Leistungsvermögen von 50 Prozent. Da dem Versicherten indes eine Behandlung der hierfür verantwortlichen Beschwerden zumutbar sei, obliege es der IV-Stelle, ihn auf seine Schadenminderungspflicht hinzuweisen und aufzufordern, sich einer adäquaten Therapie zu unterziehen (Entscheid vom 1. November 2011).
C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, es sei ihm mit Wirkung ab November 2009 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Verbeiständung.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer beansprucht eine halbe Invalidenrente anstelle der ihm vorinstanzlich zugesprochenen Viertelsrente (zur Auslegung der Rechtsbegehren nach Treu und Glauben, insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung SVR 2004 IV Nr. 25 S. 75, I 138/02 E. 3.2.1; Urteile 9C_251/2009 vom 15. Mai 2009 E. 1.3 und 4P.266/2006 vom 13. Dezember 2006 E. 1.3).
1.2 In diesem Rahmen (Art. 107 Abs. 1 BGG) ist aufgrund der Rügen in der Beschwerdeschrift zu prüfen, ob die Vorinstanz das Valideneinkommen (hypothetisches Gehalt ohne Gesundheitsschaden) im Hinblick auf den Einkommensvergleich zur Bemessung der Invalidität (Art. 16 ATSG) auf zutreffender Grundlage festgesetzt hat.
Das kantonale Gericht führte hierzu aus, der Beschwerdeführer habe als Vorarbeiter im Gemüseanbau nicht unerheblich schwankende Einkommen erzielt. Daher sei das Valideneinkommen aufgrund der in den letzten fünf Jahren vor Eintritt des Gesundheitsschadens durchschnittlich erzielten Jahreseinkommen (1996 bis 2000) zu bemessen (angefochtener Entscheid E. 6.6). Der Beschwerdeführer macht dagegen geltend, die Vorinstanz sei zu Unrecht von der Grundregel abgewichen, wonach das letzte tatsächlich erzielte AHV-pflichtige Jahreseinkommen massgebend sei. Denn sein Einkommen habe seit 1991 keinen schwankenden Verlauf genommen, sondern sei in dieser Zeit kontinuierlich angestiegen. Zu beachten sei auch, dass er zunächst als Saisonnier nur während neun Monaten im Jahr in der Schweiz gearbeitet habe; erst 1999, nach Erhalt einer Aufenthaltsbewilligung, habe er beim gleichen Arbeitgeber eine Ganzjahres-Festanstellung erlangt.
1.3 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
Soweit es bei der Invaliditätsbemessung um die Frage geht, welche Löhne an einer bestimmten Stelle bezahlt werden oder erreicht werden können, handelt es sich um Feststellungen tatsächlicher Natur, die letztinstanzlicher Korrektur nur unter den erwähnten Voraussetzungen zugänglich sind. Vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage ist hingegen, welche hypothetischen Erwerbseinkommen im Rahmen des Einkommensvergleichs nach Art. 16 ATSG miteinander in Beziehung zu setzen sind (SVR 2009 IV Nr. 6 S. 11, 9C_189/2008 E. 4.1; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
2.1 2.1.1 Für die Bemessung des Valideneinkommens ist entscheidend, was die versicherte Person im massgebenden Zeitpunkt des Rentenbeginns (<ref-ruling>) nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdienen würde. Die Ermittlung des Valideneinkommens muss so konkret wie möglich erfolgen. Da die bisherige Tätigkeit erfahrungsgemäss fortgesetzt worden wäre, ist in der Regel vom letzten Lohn auszugehen, der vor Eintritt der Gesundheitsschädigung erzielt wurde. Dieses Gehalt ist wenn nötig der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung anzupassen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 59).
2.1.2 Angesichts der in Art. 25 Abs. 1 IVV vorgesehenen Gleichstellung der invalidenversicherungsrechtlich massgebenden hypothetischen Vergleichseinkommen mit den nach AHV-Recht beitragspflichtigen Erwerbseinkommen kann das Valideneinkommen aufgrund der Einträge im Individuellen Konto der AHV bestimmt werden. Dies gilt einmal für Selbständigerwerbende (SVR 2010 IV Nr. 26 S. 79, 8C_9/2009 E. 3.3; SVR 2009 IV Nr. 28 S. 79, 8C_576/2008 E. 6.2 und 6.3), aber auch für (vormals) Unselbständigerwerbende (SVR 2008 IV Nr. 28 S. 89, I 433/06 E. 4.1.1).
2.2 Der Beschwerdeführer war bis zum Eintritt einer längerdauernden Arbeitsunfähigkeit im August 2001 im bisherigen Beruf tätig (vgl. Fragebogen für den Arbeitgeber, Angaben vom 27. November 2001). Gemäss dem Auszug aus dem Individuellen Konto erzielte er in den fünf vorangehenden Jahren Einkommen von Fr. 56'085.- (2000), 44'459.- (1999), 40'268.- (1998), 36'987.- (1997) und 33'775.- (1996).
2.2.1 Bei einem unsteten Einkommensverlauf stellt der letzte Lohn eine bloss zufällige Grösse dar; eine Momentaufnahme taugt hier für sich allein nicht als Ausgangspunkt zur Fortzeichnung der hypothetischen Lohnentwicklung im Gesundheitsfall. Nach der Rechtsprechung ist somit der während einer längeren Zeitspanne vor Eintritt der Erwerbsunfähigkeit erzielte Durchschnittsverdienst massgebend, sofern die Einkommen der vorangegangenen Jahre stark und verhältnismässig kurzfristig schwankten (SVR 2010 IV Nr. 26 S. 79, 8C_9/2009 E. 3.3 mit Hinweis); nicht gemeint sind regelmässige saisonale Schwankungen des Arbeitsanfalls. Wenn indes unterschiedlich hohe Einkommen in ihrer Abfolge über längere Zeit hinweg eine klare Tendenz verraten, so sind frühere Werte nicht in die Bemessungsgrundlage einzubeziehen, sondern höchstens als Indizien für den überwiegend wahrscheinlichen Verlauf der hypothetischen Einkommensentwicklung bedeutsam.
2.2.2 Nichts deutet darauf hin, dass der zwischen 1996 und 2000 verzeichnete Lohnanstieg im hypothetischen Gesundheitsfall nicht nachhaltig gewesen wäre und sich das Einkommen des Beschwerdeführers ab dem für den Einkommensvergleich massgebenden Jahr 2009 wieder innerhalb der Lohnspanne früherer Jahre (zuzüglich Nominallohnsteigerung) bewegt hätte. Die Angaben des Arbeitgebers zeigen, dass sich die Einkommenssituation des Beschwerdeführers - offenbar mit der Ablösung der vormaligen Saisonnierbewilligung - im Verlaufe des Jahres 1999 stabilisiert hat. Im Auszug aus dem Individuellen Konto ist für das Jahr 1999 denn auch erstmals ein ganzjähriges Beschäftigungsverhältnis ausgewiesen, während hinsichtlich der Vorjahre stets nur Beiträge für die Monate Februar/März bis November erfasst wurden. Aus den Angaben im Fragebogen für den Arbeitgeber geht hervor, dass der monatliche Verdienst (Stand November 2001) Fr. 4000.- (Fr. 52'000.- p.a.) betragen würde, wenn der Beschwerdeführer die bisherige Arbeit eines Vorarbeiters ohne gesundheitliche Einschränkungen weiterhin hätte ausüben können. Der höhere effektive Jahresverdienst von Fr. 56'085.- (2000) ergibt sich aus der Entschädigung für Überstunden. Das Entgelt hierfür ist in das Valideneinkommen einzurechnen, weil die saisonal anfallenden Überstunden im Betrachtungszeitraum regelmässig geleistet wurden (SVR 2002 IV Nr. 21 S. 63, I 357/01 E. 3b).
2.3 Die Einwendungen des Beschwerdeführers sind mithin begründet. Angesichts der stetigen Lohnsteigerungen in den Jahren 1996 bis 2000 liefert eine Durchschnittsrechnung keine geeignete Grundlage zur Bemessung des hypothetischen Lohns ohne Gesundheitsschaden. Das Valideneinkommen ist anhand des letzten nicht wesentlich von den Folgen des Gesundheitsschadens überlagerten effektiven Einkommens im Jahr 2000 zu bemessen. Ausgehend vom damaligen Jahresgehalt von Fr. 56'085.- beläuft es sich für das Jahr 2009 nominallohnindexiert auf Fr. 59'670.- (Entwicklung im Sektor Gartenbau: 1,7 % [2001], 2,3 % [2002], 1,4 % [2003], 0,9 % [2004], seit 2005 kein weiterer Zuwachs; Die Volkswirtschaft, Tab. B10.2). Im Vergleich mit dem vorinstanzlich angenommenen Invalideneinkommen von Fr. 26'089.- ergibt sich insoweit ein Invaliditätsgrad von 56 Prozent. Die Beschwerde ist begründet.
3. Andere Parameter der Invaliditätsbemessung sind nicht umstritten. Es besteht kein Anlass für eine Weiterung des Prüfungsprogramms (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 53; Urteil 9C_193/2009 vom 20. August 2009 E. 1.4). Der Beschwerdeführer hat nach dem Gesagten mit Wirkung ab November 2009 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente.
4. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer steht eine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Ziff. 1 des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 1. November 2011 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 25. Mai 2011 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass der Beschwerdeführer mit Wirkung ab November 2009 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente hat.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. März 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub