Sachverhalt:
A. Der Kleine Landrat (Exekutive) der Landschaft Davos Gemeinde erliess am 15. Mai 2007 für das gesamte Gemeindegebiet eine Planungszone zur Sicherstellung der "Reglementierung" des Zweitwohnungsbaus (Kontingentierungs- und Lenkungsabgabepflicht für Zweitwohnungen).
Ziff. 3 dieses Beschlusses lautet wie folgt:
3. Lenkungsabgaben zur Förderung des Erstwohnungsbaus und zur Förderung der traditionellen Hotellerie
3.1 Der Gemeinde sind folgende Lenkungsabgaben zu entrichten:
Für jede erstellte Zweitwohnung eine Abgabe von Fr. 200.-- pro m2 BGF
Für jede in eine Zweitwohnung umgenutzte Erstwohnung Fr. 200.-- pro m2 BGF
Für jeden m2 BGF bisheriger Hotelnutzung (inkl. Bereich Hotels gemäss Art. 120 BauG) bei einer Umnutzung in Zweitwohnungen eine Abgabe von Fr. 1000.--.
3.2 Die Abgaben sind vor Baubeginn der Gemeinde zu bezahlen und werden von der Gemeinde verwaltet. Sollte die Planungszone aufgehoben werden oder die geplante gesetzliche Regelung keine Lenkungsabgaben vorsehen, werden die Beträge zurückerstattet mit dem gleichen Zins, den der Kanton Graubünden für Steuerrückzahlungen anwendet.
B. Mit Beschluss vom 22. April 2008 bewilligte der Kleine Landrat Landschaft Davos Gemeinde der X._ AG den Abbruch des Gebäudes Nr. 344 sowie den Neubau von 4 Mehrfamilienhäusern auf der in der Zone "Wohnen Dorf/Platz" gelegenen Parzelle Nr. 853 (Ziff. 1 des Beschlusses). In Ziff. 2 des Beschlusses wird die über die Parzelle Nr. 853 erlassene Planungszone aufgehoben und in Ziff. 3 des Beschlusses wird festgestellt, dass das geplante Bauvorhaben der Kontingents- und Lenkungsabgabenpflicht gemäss geltender Planungszone vom 15. Mai 2007 wie folgt unterstehe:
3.1 Die festgesetzte Lenkungsabgabe von Fr. 1'038'600.-- (4'982 m2 BGF à Fr. 200.--) ist vor Baubeginn der Gemeinde zu bezahlen.
3.2 Sollte die Planungszone aufgehoben werden oder die geplante gesetzliche Regelung keine oder eine andere Lenkungsabgabe vorsehen, wird eine allfällige Differenz zur veranlagten Lenkungsabgabe zurückerstattet bzw. nachbelastet.
C. Am 1. Juni 2008 lehnten die Stimmbürger sowohl die Initiative als auch den von der Gemeinde ausgearbeiteten Gegenvorschlag zur Reglementierung des Zweitwohnungsbaus ab. In der Folge wurde im kommunalen Parlament am 1. Juli 2008 eine Motion eingereicht, mit welcher die Ergänzung des Baugesetzes mit massvollen Zweitwohnungsbeschränkungen und Förderungsmassnahmen für Hotels und Wohnungen für Einheimische verlangt wurde. Aufgrund der Motion sah der Gemeindevorstand von einer Aufhebung der laufenden Planungszone ab.
D. Die X._ AG erhob gegen den Baubescheid vom 22. April 2008 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und verlangte in erster Linie, es seien die Ziff. 3.1 und 3.2 der Baubewilligung ersatzlos aufzuheben. Mit Urteil vom 28. April 2009 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut und entsprach den erwähnten Rechtsbegehren.
E. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 18. August 2009 beantragt die Landschaft Davos Gemeinde, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben. Ziff. 3 des Baubewilligungsentscheids vom 22. April 2008 sei zu bestätigen, wobei die Höhe der Lenkungsabgabe Fr. 987'400.-- betrage.
F. Die X._ AG und das Verwaltungsgericht beantragen Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren betreffend eine Baubewilligung verbunden mit einer Planungszone sowie einer darauf abgestützten Lenkungsabgabe und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde. Das Bundesgerichtsgesetz enthält auf dem Gebiet des Bau- und Planungsrechts und in Bezug auf die Erhebung öffentlicher Abgaben keinen Ausschlussgrund von der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG). Die Beschwerde ist somit grundsätzlich zulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 251, 400 E. 2.1 S. 404).
1.2 Mit dem angefochtenen Entscheid wird die in Ziff. 3.1 und 3.2 der Baubewilligung auferlegte Lenkungsabgabe aufgehoben. Es liegt damit ein Endentscheid im Sinne von <ref-law> vor.
1.3 Die Beschwerdeführerin erhebt eine Beschwerde wegen Verletzung der Gemeindeautonomie. Sie beruft sich auf <ref-law> und Art. 65 KV/GR (SR 131.226) und ist gestützt auf <ref-law> zur Beschwerdeführung berechtigt. Für das Eintreten auf die Beschwerde ist allein entscheidend, dass die Gemeinde vom angefochtenen Entscheid in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt berührt ist und eine Verletzung der Autonomie geltend macht. Ob die beanspruchte Autonomie tatsächlich besteht, ist keine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Dasselbe gilt für die Frage, ob die Autonomie im konkreten Fall tatsächlich verletzt wurde (<ref-ruling> E. 1.2 S. 45; <ref-ruling> E. 4.2 S. 319, 410 E. 1.1 S. 412 mit Hinweisen; BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 62 zu Art. 89). Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, fällt der Erlass von kommunalen Planungszonen und Bausperren im Kanton Graubünden in den Autonomiebereich der Gemeinden. Es ist somit nicht weiter zu prüfen, ob die Beschwerdeführerin auch gestützt auf <ref-law> zur Beschwerde berechtigt wäre (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 47; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 406).
1.4 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2. 2.1 <ref-law> gewährleistet die Gemeindeautonomie nach Massgabe des kantonalen Rechts. Eine Gemeinde ist in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt. Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung des kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine solche nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der Gemeindeautonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 241 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 130 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 294; je mit Hinweisen).
2.2 Die Gemeindeautonomie ist als kantonales verfassungsmässiges Recht in Art. 65 KV/GR gewährleistet. Ihr Umfang wird durch das kantonale Recht bestimmt.
Wird der Erlass oder die Änderung der Grundordnung oder eines Quartierplans in die Wege geleitet, kann der Gemeindevorstand nach Art. 21 Abs. 1 des Raumplanungsgesetzes für den Kanton Graubünden vom 6. Dezember 2004 (KRG) Planungszonen festsetzen. In diesen Planungszonen darf nach Art. 21 Abs. 2 KRG nichts unternommen werden, was die neue Planung erschweren oder dieser entgegenstehen könnte (vgl. auch Art. 27 Abs. 1 Satz 2 RPG, SR 700). Insbesondere dürfen Bauvorhaben nur bewilligt werden, wenn sie weder den rechtskräftigen noch den vorgesehenen Planungen und Vorschriften widersprechen. Ähnlich lauten die Vorschriften von Art. 13 des Baugesetzes der Landschaft Davos Gemeinde vom 4. März 2001 (BG Davos). Danach kann die Baubehörde für die entsprechenden Gebiete eine Planungszone erlassen, wenn eine Planungsmassnahme oder eine Baugesetzesänderung in die Wege geleitet werden soll (Abs. 1). In der Planungszone werden Bauten und Anlagen nicht bewilligt, wenn sie der vorgesehenen Massnahme widersprechen oder deren Ausführung beeinträchtigen könnten (Abs. 2). Aus diesen Regelungen ergibt sich, dass der Gemeinde im Bereich der Festsetzung von Planungszonen und deren Anwendung auf einzelne Baugrundstücke Autonomie zusteht.
2.3 Kommt einer Gemeinde in einem bestimmten Sachbereich Autonomie zu, so kann sie sich mit Beschwerde gegen eine Autonomieverletzung wehren und verlangen, dass die kantonale Behörde in formeller Hinsicht ihre Befugnisse nicht überschreitet und korrekt vorgeht und dass sie in materieller Hinsicht die kantonal- und bundesrechtlichen Vorschriften im autonomen Bereich nicht verletzt. Die Gemeinde kann in diesem Zusammenhang auch eine Verletzung des Willkürverbots sowie eine Verweigerung des rechtlichen Gehörs rügen, sofern diese Vorbringen mit der behaupteten Verletzung der Autonomie in engem Zusammenhang stehen. Soweit die Handhabung von eidgenössischem oder kantonalem Verfassungsrecht zur Diskussion steht, prüft das Bundesgericht das Vorgehen der kantonalen Behörden mit freier Kognition, ansonsten unter dem Gesichtspunkt der Willkür (<ref-law>; so auch die bisherige Praxis unter dem OG: vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 69 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 93; <ref-ruling> E. 2b S. 9; je mit Hinweisen).
Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 1.2 S. 177; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f.; je mit Hinweisen).
3. 3.1 In Ziff. 3.1 der Baubewilligung vom 22. April 2008 auferlegte die Gemeinde Davos der privaten Beschwerdegegnerin eine öffentliche Abgabe. Aus dem Legalitätsprinzip im Abgaberecht folgt, dass Abgaben in rechtssatzmässiger Form festgelegt sein müssen, so dass den rechtsanwendenden Behörden kein übermässiger Spielraum verbleibt und die möglichen Abgabepflichten voraussehbar und rechtsgleich sind (vgl. Art. 164 Abs. 1 lit. d und <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 739 mit Hinweisen). Das Erfordernis der gesetzlichen Grundlage (Legalitätsprinzip) im Abgaberecht ist ein selbstständiges verfassungsmässiges Recht, dessen Verletzung unmittelbar gestützt auf <ref-law> geltend gemacht werden kann (<ref-ruling> mit Hinweisen). Die formell-gesetzliche Grundlage muss zumindest den Kreis der Abgabepflichtigen, den Gegenstand und die Bemessungsgrundlagen selbst enthalten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 374; <ref-ruling> E. 3.2 S. 739 mit Hinweisen; Vallender/Wiederkehr, Die Schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 2. Aufl. 2008, Art. 127 N. 4 ff.). Diese Grundsätze gelten auch, wenn der Gesetzgeber die Kompetenz zur Festlegung einer Abgabe an eine nachgeordnete Behörde delegiert (<ref-ruling> E. 2.1 S. 374 mit Hinweisen).
3.2 Im vorliegenden Fall fehlt es offensichtlich an einer gesetzlichen Grundlage zur Abgabenerhebung, die den erwähnten Anforderungen entspricht. Art. 21 KRG und Art. 13 BG Davos regeln lediglich die Planungszonen (Bausperren; vgl. E. 2.2). In der Planungszone darf nichts unternommen werden, was die neue Planung erschweren oder dieser entgegenstehen könnte (Art. 21 Abs. 2 KRG; vgl. auch Art. 27 Abs. 1 Satz 2 RPG). Insbesondere dürfen Bauvorhaben nur bewilligt werden, wenn sie weder den rechtskräftigen noch den vorgesehenen neuen Planungen und Vorschriften widersprechen (Art. 21 Abs. 2 KRG; vgl. auch Ruch, RPG-Kommentar, Art. 27 N. 46). Insofern kommt der geplanten Regelung bereits eine negative Vorwirkung zu. Unzulässig ist dagegen die positive Vorwirkung, d.h. die Anwendung des künftigen, noch nicht in Kraft gesetzten Rechts unter Nichtanwendung des geltenden Rechts (<ref-ruling> E. 3c S. 282; <ref-ruling> E. 5d S. 161 f.; Urteil des Bundesgerichts 1C_274/2007 vom 1. Februar 2008 E. 4.1; Ruch, RPG-Kommentar, Art. 27 N. 47).
3.3 Von einer Ermächtigung der Gemeinde zur Erhebung einer Abgabe ist in den genannten Gesetzesvorschriften zur Planungszone keine Rede. Die Planungszone vom 15. Mai 2007 sieht in Ziff. 3 der dazu gehörenden Bestimmungen die Erhebung von Lenkungsabgaben zur Förderung des Erstwohnungsbaus und zur Förderung der traditionellen Hotellerie vor. Planungszone und dazu gehörende Bestimmungen sind vom Kleinen Landrat, der kommunalen Exekutive, erlassen worden und stützen sich auf die Art. 21 KRG und Art. 13 BG Davos. Sie gehen inhaltlich über die in den gesetzlichen Bestimmungen des kantonalen und kommunalen Rechts vorgegebenen Rahmen hinaus, indem sie öffentliche Lenkungsabgaben vorsehen, die in keinem formellen Gesetz eine klare Grundlage haben. Zwar können die Gemeinden gemäss Art. 27 Abs. 4 KRG zur Sicherung eines genügenden Angebots an erschwinglichen Wohnungen für die ortsansässige Bevölkerung und eines angemessenen Verhältnisses zwischen dauernd bewohnten Wohnungen und Ferienwohnungen Erstwohnungsanteile festlegen oder gleichwertige Regelungen treffen. Dazu können grundsätzlich auch Vorschriften über Lenkungsabgaben gehören. Sie können jedoch mit Blick auf das Legalitätsprinzip nur als Grundlage für Abgabeveranlagungen herangezogen werden, wenn sie den Anforderungen an die gesetzliche Grundlage im Abgaberecht entsprechen und in Kraft sind. Diese Voraussetzungen sind in der vorliegenden Angelegenheit offensichtlich nicht erfüllt.
3.4 Anders liegen die Dinge, wenn die Lenkungsabgabe in einem verwaltungsrechtlichen Vertrag zwischen der Gemeinde und dem Baugesuchsteller vereinbart wird mit der Bedingung, die Abgabe entfalle und müsse nachträglich zurückerstattet werden, wenn die mit der Planungszone in Aussicht genommene gesetzliche Grundlage nicht geschaffen werde. In diesem Fall bildet der verwaltungsrechtliche Vertrag die rechtlich zulässige Grundlage für die vorläufige Abgabenerhebung (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1C_501/2009 vom 4. Januar 2010 E. 4.3).
3.5 Zusammenfassend ergibt sich, dass die Aufhebung der mit der Baubewilligung vom 22. April 2008 verlangten Lenkungsabgabe weder das Willkürverbot (<ref-law>) noch die Gemeindeautonomie verletzt. Die Beschwerde ist somit abzuweisen.
4. Der Landschaft Davos Gemeinde sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Sie hat jedoch der privaten Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Landschaft Davos Gemeinde hat der privaten Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Januar 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag