Sachverhalt:
A. Der 1952 geborene S._ erhielt seit 1. Juni 2005 für sich, seine Ehefrau D._ und seine zwei Kinder (geb. 4. September 1996 und 4. Juni 2001) wirtschaftliche Sozialhilfe. Mit Beschluss vom 11. Januar 2007 stellte die Sozialbehörde X._ (nachfolgend Sozialbehörde) die Unterstützung per 31. August 2006 ein unter Hinweis darauf, S._, der als Selbstständigerwerbender gearbeitet habe, habe seit August 2006 keine für eine weitere Unterstützung notwendigen Unterlagen mehr beigebracht; die offenen Krankenkassenprämien und Spitalrechnungen im Gesamtbetrag von Fr. 7'621.70 würden gestützt auf das KVG übernommen. Ab Februar 2007 wurde die wirtschaftliche Sozialhilfe für die Familie S._ wieder aufgenommen. Gegen den Beschluss vom 11. Januar 2007 erhob S._ beim Bezirksrat B._ (nachfolgend Bezirksrat) Rekurs und verlangte, die Einstellung der Unterstützung per 31. August 2006 sei rückgängig zu machen; die Mietzinse und Krankenkassenprämien der Monate August 2006 bis Januar 2007 seien von der Sozialhilfe zu übernehmen; die ergänzende Sozialhilfe sei so lange zu entrichten, bis sich die Situation in vier bis sechs Monaten stabilisiert habe. Mit Beschluss vom 16. Mai 2007 entschied der Bezirksrat, soweit auf den Rekurs einzutreten sei, werde er im Sinne der Erwägungen bezüglich Einstellung der generellen Unterstützung abgewiesen (Dispositiv Ziff. Ia); bezüglich der ausstehenden Mietzinse werde das Geschäft an die Sozialbehörde zurückgewiesen mit dem Auftrag, die Perspektiven im Sinne einer fairen Lösung mit dem Wohnungsvermieter zu klären (Dispositiv Ziff. Ib). Unter Bezugnahme auf diesen Beschluss ersuchte der Wohnungsvermieter die Sozialbehörde am 17. Juli 2007, ihm zu bestätigen, dass sie mit der Weiterführung des Mietverhältnisses und der Übernahme der ausstehenden Mietzinse einverstanden sei; ansonsten erwarte er eine anfechtbare Verfügung; falls sie die ausstehenden Mietzinse nicht übernehme, werde dies zur zwangsweisen Ausweisung des Mieters führen. Mit Schreiben vom 25. Juli 2007 machte die Stabsstelle Soziales der Stadt X._ dem Wohnungsvermieter das Angebot, dass die Mietzinse seit Februar 2007 und bis auf Weiteres wieder zu Lasten der Sozialhilfe übernommen würden; die ausstehenden Mietzinse der Monate August 2006 bis Januar 2007 im Gesamtbetrag von Fr. 9'480.-- blieben weiterhin von S._ geschuldet und vom Vermieter bis auf Weiteres zinslos gestundet; der Sozialdienst werde mit dem Ehepaar S._ eine Vereinbarung treffen, wonach ihnen jeden Monat Fr. 150.-- von der wirtschaftlichen Sozialhilfe abgezogen und dem Vermieter à conto der Mietzinsausstände überwiesen würden. Weiter führte die Stabsstelle aus, für den Fall, dass der Vermieter die Exmission der Familie S._ vollziehen lasse, werde die Sozialbehörde den Betroffenen eine Notwohnung zuweisen, sofern sie bis dahin keine andere Wohnung angemietet hätten. Sowohl der Wohnungsvermieter als auch S._ lehnten diesen Vorschlag am 15. bzw. 23. August 2007 ab. Am 28. August 2007 gelangte die Sozialbehörde an den Bezirksrat mit dem Ersuchen, ihren dem Vermieter unterbreiteten Vorschlag vom 25. Juli 2007 aufsichtsrechtlich zu prüfen: sodann ersuchte sie um Erläuterung der Erwägungen 6.2 und 7 sowie Dispositiv Ziff. Ib seines Beschlusses vom 16. Mai 2007. Mit Beschluss vom 19. September 2007 (versandt am 24. September 2007), betitelt als Erläuterung Bezirksratsbeschluss vom 16. Mai 2007, führte der Bezirksrat aus, dass die Sozialbehörde seinen Beschluss vom 16. Mai 2007 richtig interpretiere und sich ihr Vorschlag vom 25. Juli 2007 mit seinem Willen decke; wenn der Vorschlag der Sozialbehörde nicht umgesetzt werde, blieben die Mieten geschuldet und Mieter sowie Vermieter müssten als Vertragspartner selber eine Lösung finden. Auf Anfrage des Vermieters vom 2. Oktober 2007 teilte der Bezirksrat diesem mit, die 30-tägige Rechtsmittelfrist gemäss seinem Beschluss vom 16. Mai 2007 sei unbenützt abgelaufen; gegen seine Erläuterung vom 19. September 2007 sei kein ordentliches Rechtsmittel gegeben.
B. Die gegen den Bezirksratsbeschluss vom 19. September 2007 eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich im Sinne der Erwägungen ab; es bewilligte den Beschwerdeführern die unentgeltliche Prozessführung, wies aber ihr Begehren um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung ab (Entscheid vom 19. Dezember 2007).
C. Mit Beschwerde beantragen S._ und D._, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei in der Sache zu entscheiden. Eventuell sei der Rechtsstreit zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Weiter beanstanden sie die Nicht-Bewilligung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung für das vorinstanzliche Verfahren. Zudem verlangen sie die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das letztinstanzliche Verfahren.
Die Sozialbehörde schliesst am 24. April 2008 auf Beschwerdeabweisung, während das kantonale Sozialamt und der Bezirksrat auf eine Vernehmlassung verzichten.
Mit Eingabe vom 14. Mai 2008 nehmen die Beschwerdeführer zur Vernehmlassung der Sozialbehörde Stellung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführer bezeichnen ihre Eingabe als staatsrechtliche Beschwerde. Hiebei handelt es sich um ein Rechtsmittel nach dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG), welches am 1. Januar 2007 durch das Bundesgerichtsgesetz vom 17. Juni 2005 (BGG) aufgehoben wurde. Da der angefochtene Entscheid am 19. Dezember 2007 erging, richtet sich das Verfahren nach dem BGG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395; Urteil 8C_156/2007 vom 11. April 2008, E. 1.1).
2. 2.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140).
Eine Ermessensfrage ist letztinstanzlicher Korrektur nur mehr dort zugänglich, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung vorliegt (nicht publ. E. 3.1 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2008 ALV Nr. 12 S. 35, 8C_31/2007). Ermessensmissbrauch ist gegeben, wenn die Behörde zwar im Rahmen des eingeräumten Ermessens bleibt, sich aber von unsachlichen, dem Zweck der massgebenden Vorschriften fremden Erwägungen leiten lässt oder allgemeine Rechtsprinzipien, wie das Verbot von Willkür und von rechtsungleicher Behandlung, das Gebot von Treu und Glauben sowie den Grundsatz der Verhältnismässigkeit verletzt (<ref-ruling> E. 1b S. 116, 123 V 150 E. 2 S. 152 mit Hinweisen). Dagegen liegt Ermessensüberschreitung vor, wenn die Behörde Ermessen walten lässt, wo ihr das Gesetz keines einräumt, oder wo sie statt zweier zulässiger Lösungen eine dritte wählt. In diesem Zusammenhang ist auch die Ermessensunterschreitung bedeutsam, die darin besteht, dass die entscheidende Behörde sich als gebunden betrachtet, obschon sie nach Gesetz berechtigt wäre, nach Ermessen zu handeln, oder dass sie auf Ermessensausübung ganz oder teilweise von vornherein verzichtet (nicht publ. E. 2.2 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2008 AlV Nr. 14 S. 41, 8C_179/2007).
Steht die Verletzung kantonalen Rechts in Frage, kommt als Beschwerdegrund lediglich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten in Frage (vgl. <ref-law>; Urteil 8C_313/2007 vom 28. Juni 2007, E. 2.1).
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. BGG). Hingegen hat eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheides in tatsächlicher Hinsicht ebenso zu unterbleiben wie eine Prüfung der Ermessensbestätigung nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle. Das Bundesgericht prüft nur die geltend gemachten Rügen (nicht publ. E. 1.2 und 2.2 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2008 ALV Nr. 12 S. 35). Auch besteht Bindung an die Parteianträge (<ref-law>).
3. Die Beschwerdeführer fordern letztinstanzlich unter dem Titel "Anträge", in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei in der Sache zu entscheiden; eventuell sei der Rechtsstreit zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Ein präzises Begehren zu den verlangten materiellen Leistungen stellen sie an dieser Stelle nicht. Aus der Beschwerdebegründung geht aber hervor, dass sie die Übernahme der ausstehenden Wohnungsmietzinse für die Monate August 2006 bis Januar 2007 im Betrag von Fr. 9'480.-- durch die Sozialbehörde verlangen. Weiter bemängeln sie im Rahmen der Beschwerdebegründung die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das vorinstanzliche Verfahren. In diesem Sinne ist die Eintretensvoraussetzung des rechtsgenüglichen Antrags erfüllt (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 8C_508/2007 vom 16. Mai 2008, E. 2).
4. Mit letztinstanzlicher Beschwerde legen die Beschwerdeführer neu Schreiben von S._ bzw. D._ an die Gemeindeverwaltung X._ vom 31. August 2006 und 26. Januar 2007 sowie an den Bezirksrat vom 8. und 22. Februar sowie 9. März 2007 auf. Diesbezüglich ist festzuhalten, dass neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden dürfen, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Demnach sind die Parteien grundsätzlich gehalten, alle rechtsrelevanten Tatsachen und Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen zu nennen. Gründe zur Abweichung von dieser Regel sind vorliegend nicht erkennbar, zumal der Versicherte nicht darlegt, dass ihm die vorinstanzliche Beibringung obiger Schreiben prozessual unmöglich und objektiv unzumutbar war (vgl. auch Urteil 8C_608/2007 vom 9. Juni 2008, E. 5 mit Hinweisen).
5. 5.1 Gemäss Art. 15 des Bundesgesetzes über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte vom 23. Juni 2000 (BGFA) melden die kantonalen Gerichts- und Verwaltungsbehörden der Aufsichtsbehörde ihres Kantons unverzüglich das Fehlen persönlicher Voraussetzungen nach Artikel 8 sowie Vorfälle, welche die Berufsregeln verletzen könnten (Abs. 1). Die eidgenössischen Gerichts- und Verwaltungsbehörden melden der Aufsichtsbehörde des Kantons, in dem eine Anwältin oder ein Anwalt eingetragen ist, unverzüglich das Fehlen persönlicher Voraussetzungen nach Artikel 8 sowie Vorfälle, welche die Berufsregeln verletzen könnten (Abs. 2).
5.2 Der Beschwerdegegner macht in der Vernehmlassung vom 24. April 2008 - wie schon vorinstanzlich - in formeller Hinsicht geltend, es liege eine Interessenkollision vor, weil die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführer in der gleichen Anwaltskanzlei arbeite wie der Wohnungsvermieter der Letzteren. Gestützt auf <ref-law> stellte die Vorinstanz den angefochtenen Entscheid dem Obergericht des Kantons Zürich als Aufsichtskommission über die Anwältinnen und Anwälte zu.
Die Beschwerdeführer legen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 6. März 2008 auf, wonach das Verfahren nicht anhand genommen wurde, da kein hinreichender Verdacht einer Berufsregelverletzung seitens ihrer Rechtsvertreterin vorliege. Dieser Beschluss ist zu berücksichtigen, da der vorinstanzliche Entscheid zu dessen Einreichung Anlass gab (<ref-law>). Gestützt darauf ist die vom Beschwerdegegner aufgeworfene Frage der Interessenkollision erledigt, weshalb sich für das Bundesgericht eine Meldung nach <ref-law> an das Obergericht des Kantons Zürich erübrigt.
6. Streitig und zu prüfen ist, ob die Sozialbehörde die ausstehenden Wohnungsmietzinse der Beschwerdeführer für die Monate August 2006 bis Januar 2007 im Betrag von insgesamt Fr. 9'480.-- zu übernehmen hat.
Die Vorinstanz hat § 22 der kantonalzürcherischen Verordnung zum Sozialhilfegesetz vom 21. Oktober 1981 (SHV) zutreffend dargelegt. Danach übernimmt die Fürsorgebehörde ausnahmsweise Schulden, wenn damit einer bestehenden oder drohenden Notlage zweckmässig begegnet werden kann. Die Vorinstanz hat erwogen, die Sozialbehörde habe im Beschluss vom 11. Januar 2007 angeordnet, die Unterstützung des S._ werde rückwirkend per "31. August 2006" eingestellt. Aus ihrer Darstellung in der Rekursantwort an den Bezirksrat vom 16. Februar 2007 ergebe sich, dass sie die Unterstützung jedoch bereits per 31. Mai 2006 eingestellt, wobei sie "versehentlich" noch zwei weitere Mietzinse überwiesen habe, die sie von S._ jedoch zurückgefordert habe. Die Mietzinsausstände von total Fr. 9'480.-- beträfen somit die Zeit von August 2006 bis Januar 2007. Ab Februar 2007 sei die Unterstützung wieder aufgenommen worden. Die nachträgliche Übernahme dieser Mietzinsausstände komme nur gestützt auf § 22 SHV in Betracht. Nach übereinstimmender Darstellung der Parteien verfüge der Vermieter aufgrund eines Exmissionsverfahrens über einen rechtskräftigen Ausweisungsbefehl vom 26. Juni 2007 per 10. Juli 2007, den er bisher aber nicht habe vollstrecken lassen. Würden die Mietzinsausstände nicht beglichen, bestehe die Gefahr einer Vollstreckung des Ausweisungsbefehls. Dies spreche für die Annahme einer drohenden Notlage im Sinne von § 22 SHV, die es rechtfertigen würde, ausnahmsweise die Schulden zulasten der Sozialhilfe zu begleichen. Indes obliege es in erster Linie der Beurteilung durch die Sozialbehörde, wie auf eine drohende Notlage angemessen zu reagieren sei. Es sei beispielsweise bei einer Ausweisung durchaus möglich, dass Sozialhilfeempfängern anstelle der bisherigen Wohnung eine Notwohnung zur Verfügung gestellt werde, wie dies anscheinend bei den Beschwerdeführern bereits Ende 2004 der Fall gewesen sei und was die Sozialbehörde auch für den Fall einer Ausweisung in Aussicht gestellt habe. Darin würde im vorliegenden Fall keine unzumutbare Härte liegen, da nach der glaubwürdigen Darstellung der Sozialbehörde zumindest S._ seine Mitwirkungspflichten im Sozialhilfeverfahren verletzt habe, sodass die Notlage grösstenteils als selbstverschuldet erscheine. Jedenfalls lasse sich aus § 22 SHV unter den gegebenen Umständen nicht die Pflicht der Sozialbehörde ableiten, die ausstehenden Mietzinse für die Zeit von August 2006 bis Januar 2007 zu übernehmen.
7. Die Beschwerdeführer machen geltend, abgelehnt werde die Übernahme der ausstehenden Mietzinse aufgrund der von ihnen angeblich verletzten Mitwirkungspflicht. Diese Behauptung werde bestritten. Vorinstanzlich seien sie zu keinem Zeitpunkt mit dem Vorwurf der "fehlenden Mitwirkung" konfrontiert worden. Selbst der Bezirksrat habe diese Frage unerwähnt gelassen, weshalb sich die Frage stelle, warum die vorinstanzliche Beschwerdeabweisung mit der im Prozess nie diskutierten Mitwirkungspflicht begründet werde. Dieses Vorgehen sei schon deshalb inakzeptabel, weil die Vorinstanz lediglich von einer "glaubhaften Darstellung der Beschwerdegegnerin" spreche, ohne die Beschwerdeführer mit diesem Vorwurf zu konfrontieren, geschweige denn darüber Beweis zu erheben. Da ihnen vorinstanzlich keine Akten betreffend die angeblich fehlende Mitwirkungspflicht zur Kenntnis gebracht worden seien, hätten sie auch keine Gelegenheit gehabt, hiezu Stellung zu nehmen, was einen klaren Verstoss gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör und gegen <ref-law> darstelle. Gleichzeitig werde eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsdarstellung indiziert, weshalb eine Rüge nach <ref-law> angezeigt sei. Zudem liege ein Verstoss gegen <ref-law> (Willkürverbot) vor. Die Einstellung der Sozialhilfe, in concreto die Nichtbezahlung der Mietzinse, unter Hinweis auf die Verletzung der Mitwirkungspflichten sei willkürlich, zumal S._ alle erforderlichen Unterlagen vorgelegt habe. Der Bezirksrat habe keine Auflagen in Form einer Mitwirkungspflicht verfügt. Genauso wenig sei die Mitwirkungspflicht in den Vernehmlassungen zur vorinstanzlichen Klageerhebung bemängelt worden, womit die Vorinstanz dies willkürlich als Entscheidbegründung herangezogen habe.
8. 8.1 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-law>; Urteil 4A_223/2007 vom 30. August 2007, E. 3.2). <ref-law> bestimmt, dass das Bundesgericht seinem Entscheid jenen Sachverhalt zugrunde legt, den die Vorinstanz festgestellt hat. Ob die behauptete Tatsache neu ist, ergibt sich aus dem Vergleich mit den Vorbringen im vorausgehenden (kantonalen) Verfahren: wurde die vor Bundesgericht behauptete Tatsache nicht schon der Vorinstanz vorgetragen oder fand sie nicht auf anderem Wege in prozessual zulässiger Weise Eingang in das Dossier (z.B. durch die Rechtsschriften der Gegenpartei, durch Aktenbeizug auf Antrag oder von Amtes wegen, wo gesetzlich vorgesehen usw.), ist sie neu, andernfalls nicht. Hat die Partei im kantonalen Verfahren schon einen bestimmten Standpunkt vertreten, ist es zulässig, dazu letztinstanzlich sachbezogene Präzisierungen vorzunehmen. Ein neu eingereichtes Beweismittel hat Novencharakter, wenn es neue Sachverhalte enthält oder wenn es sich auf schon in den Prozess eingeführte Tatsachen bezieht. Grundsätzlich kann die rechtssuchende Partei dem Bundesgericht nicht erstmals Tatsachen oder Beweismittel unterbreiten, die vorzutragen oder einzureichen sie im vorinstanzlichen Verfahren einerseits prozessual Gelegenheit und anderseits nach Treu und Glauben Anlass gehabt hat (Urteil 8C_18/2007 vom 1. Februar 2008, E. 3.2 mit Hinweisen).
8. 8.1 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-law>; Urteil 4A_223/2007 vom 30. August 2007, E. 3.2). <ref-law> bestimmt, dass das Bundesgericht seinem Entscheid jenen Sachverhalt zugrunde legt, den die Vorinstanz festgestellt hat. Ob die behauptete Tatsache neu ist, ergibt sich aus dem Vergleich mit den Vorbringen im vorausgehenden (kantonalen) Verfahren: wurde die vor Bundesgericht behauptete Tatsache nicht schon der Vorinstanz vorgetragen oder fand sie nicht auf anderem Wege in prozessual zulässiger Weise Eingang in das Dossier (z.B. durch die Rechtsschriften der Gegenpartei, durch Aktenbeizug auf Antrag oder von Amtes wegen, wo gesetzlich vorgesehen usw.), ist sie neu, andernfalls nicht. Hat die Partei im kantonalen Verfahren schon einen bestimmten Standpunkt vertreten, ist es zulässig, dazu letztinstanzlich sachbezogene Präzisierungen vorzunehmen. Ein neu eingereichtes Beweismittel hat Novencharakter, wenn es neue Sachverhalte enthält oder wenn es sich auf schon in den Prozess eingeführte Tatsachen bezieht. Grundsätzlich kann die rechtssuchende Partei dem Bundesgericht nicht erstmals Tatsachen oder Beweismittel unterbreiten, die vorzutragen oder einzureichen sie im vorinstanzlichen Verfahren einerseits prozessual Gelegenheit und anderseits nach Treu und Glauben Anlass gehabt hat (Urteil 8C_18/2007 vom 1. Februar 2008, E. 3.2 mit Hinweisen).
8.2 8.2.1 Im Beschluss vom 11. Januar 2007 stellte die Sozialbehörde die Unterstützung gegenüber S._ mit der Begründung ein, er habe seit August 2006 keine für eine weitere Unterstützung notwendigen Unterlagen mehr beigebracht. Mit Beschluss vom 16. Mai 2007 wies der Bezirksrat den hiegegen erhobenen Rekurs betreffend die Einstellung der generellen Unterstützung ab. Zur Begründung führte er in Erwägung 6.1 dieses Beschlusses unter anderem aus, S._ habe es trotz Beschlusses der Sozialbehörde vom 8. Dezember 2005 versäumt, ihr alle Veränderungen in den Einkommens-, Vermögens- und Wohnverhältnissen sofort unaufgefordert mitzuteilen (§ 28 SHV). Unter diesen Umständen hätten der Sozialbehörde die Grundlagen für die (Neu-)Festsetzung der Unterstützung gefehlt. Die Einstellung der Sozialhilfe per Ende Mai (bzw. für Mietzins Ende Juli) 2006 sei daher als gerechtfertigt erschienen. Weshalb sie letztlich per 31. August 2006 beschlossen worden sei, gehe aus dem Beschluss nicht hervor. Jedenfalls sei der Sozialbehörde unter diesen Umständen kein unkorrektes Vorgehen vorzuwerfen und ihr Entscheid sei zu schützen. Im Beschluss vom 19. September 2007, betitelt als Erläuterung Bezirksratsbeschluss vom 16. Mai 2007, legte der Bezirksrat dar, im letztgenannten Beschluss habe er in Erwägung 6.1 festgestellt, die Einstellung der Unterstützungsleistungen an die Familie S._ per Ende Mai bzw. Ende Juli 2006 sei zu Recht erfolgt; dazu gehöre auch, dass die Mietzinse ab diesem Zeitpunkt nicht mehr ausgerichtet werden müssten. Bei den ausstehenden Mieten ab August 2006 handle es sich demnach um Schulden, die nur im Rahmen von § 22 SHV übernommen werden könnten.
8.2.2 Nach dem Gesagten hat der Bezirksrat im streitigen Erläuterungs-Beschluss vom 19. September 2007 unter Hinweis auf seinen Beschluss vom 16. Mai 2007 erwogen, dass die Einstellung der Sozialhilfe auf Ende Juli 2006 wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht seitens des S._ (Versäumnis, der Sozialbehörde alle Veränderungen in den Einkommens-, Vermögens- und Wohnverhältnissen mitzuteilen) zu Recht erfolgt sei.
Es wäre Sache der Beschwerdeführer gewesen, diese Argumentation des Bezirksrates betreffend Verletzung der Mitwirkungspflicht vorinstanzlich zu beanstanden, falls sie damit nicht einverstanden waren. Dies haben sie in den vorinstanzlichen Rechtsschriften unbestrittenermassen nicht getan. Vielmehr sind sie in der vorinstanzlichen Eingabe vom 17. Januar 2008 selber davon ausgegangen, massgeblich sei vorliegend allein § 22 SHV, der die Übernahme von Schulden durch die Fürsorgebehörde betrifft (vgl. E. 6.1 hievor). Auch wenn es eine frei überprüfbare Rechtsfrage ist, ob die Sozialbehörde die Sozialhilfe in Anwendung der einschlägigen Normen aufgrund der Verletzung der Mitwirkungspflicht zu Recht eingestellt hat, ist nicht einzusehen, weshalb die Beschwerdeführer entsprechende rechtserhebliche Einwände nicht bereits vorinstanzlich vorbrachten. Unter den gegebenen Umständen widerspricht es Treu und Glauben, wenn sie erst letztinstanzlich geltend machen, die Mitwirkungspflicht sei nicht verletzt worden (Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBI 2001 S. 4344 f.). Es kann auch nicht gesagt werden, der vorinstanzliche Entscheid habe den Beschwerdeführern dazu Anlass gegeben, die Frage der Verletzung der Mitwirkungspflicht letztinstanzlich neu aufzuwerfen, zumal die Vorinstanz diesbezüglich lediglich den Standpunkt der Verwaltung wiedergegeben hat (vgl. auch erwähntes Urteil 8C_18/2007, E. 3.3 mit Hinweisen). Aus dem Umstand, dass die Vorinstanz lediglich ausführte, es sei nach Darstellung der Beschwerdegegnerin "glaubwürdig", dass S._ die Mitwirkungspflichten wiederholt verletzt habe, können die Beschwerdeführer unter den gegeben Umständen nichts zu ihren Gunsten ableiten.
Demnach handelt es sich bei den letztinstanzlichen Einwänden der Beschwerdeführer betreffend die Frage der Verletzung der Mitwirkungspflicht um unzulässige neue Vorbringen (<ref-law>), auf die nicht einzutreten ist. Unbehelflich sind demnach ihre in diesem Zusammenhang erhobenen Rügen betreffend Verletzung von Art. 9 und <ref-law>, <ref-law> und § 24 SHV (vgl. E. 7 hievor).
9. Es ist somit einzig zu prüfen, ob die Sozialbehörde die ausstehenden Mietzinsschulden von total Fr. 9'480.-- im Lichte von § 22 SHV zu übernehmen hat. Die Vorinstanz hat dies verneint (vgl. E. 6 hievor).
9.1 Die Beschwerdeführer wenden im Wesentlichen ein, durch das seitens des Vermieters erwirkte Ausweisungsbegehren habe ihnen der Wohnungsverlust gedroht, weshalb sie sich unzweifelhaft in einer Notlage befunden hätten. Dies sei von der Sozialbehörde selber durch die erneute Aufnahme der Sozialhilfe (ab Februar 2007) bestätigt worden. Im Rahmen der hier vorzunehmenden Abwägung überwiege der Schutz an der Wohnung, zumal diese auch von minderjährigen Kindern bewohnt werde. Die Hinnahme des Wohnungsverlusts sei unverhältnismässig und verstosse damit gegen <ref-law>. Die Vorinstanz habe ihr Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt. Sie habe die gebotene Abwägung der gegenseitigen Interessen auf Beibehaltung des Obdachs einerseits und Einstellung der Sozialhilfe anderseits unterlassen. Diese Abwägung ergebe jedoch, dass das Interesse am Verbleib in der Wohnung aufgrund der unbestrittenen Notlage höher zu bewerten sei als das Einsparen von Sozialgeldern. Ein Verstoss gegen das Willkürverbot (<ref-law>) ergebe sich somit zum einen aus der unterlassenen Abwägung, zum anderen aus der falschen Gewichtung der sich widersprechenden Interessen. Fehl gehe die Annahme der Vorinstanz, einer Notlage müsse im Falle nicht erfüllter Auflagen nicht abgeholfen werden. Zwar stehe der Behörde grundsätzlich ein Ermessen zu, in welcher Form einer Notlage abgeholfen werden könne. Ob einer Notlage abzuhelfen sei, stelle dagegen keine Ermessensfrage dar. Tatsächlich hätte der drohenden Notlage durch eine Notwohnung abgeholfen werden können. Eine konkrete Notwohnung sei ihnen jedoch nie angeboten worden. In Aussicht gestellt worden sei lediglich eine 2 1/2-Zimmerwohnung, die für eine vierköpfige Familie ungeeignet sei. Zudem handle es sich bei der von ihnen bewohnten Wohnung bereits um eine Notwohnung. Hinzuweisen sei darauf, dass sie von der Sozialbehörde jüngst aufgefordert worden seien, sich eine neue Wohnung zu suchen, was vermuten lasse, dass keine andere Notwohnung zur Verfügung stehe. Zu berücksichtigen sei weiter, dass selbst für den Fall einer vorhandenen Notwohnung erhöhte Umzugskosten angefallen wären, welche die Sozialbehörde ebenfalls hätte tragen müssen. Die Nichtannahme des von der Sozialbehörde vorgeschlagenen Vergleichs sei nicht ihnen anzulasten, da es allein Sache des Vermieters gewesen sei, zu entscheiden, ob er einer Abzahlung der offen stehenden Mieten zustimme.
9.2 Nach <ref-law> hat, wer in Not gerät und nicht in der Lage ist, für sich zu sorgen, Anspruch auf Hilfe und Betreuung und auf die Mittel, die für ein menschenwürdiges Dasein unerlässlich sind. Dieses Grundrecht garantiert nicht ein Mindesteinkommen; verfassungsrechtlich geboten ist nur, was für ein menschenwürdiges Dasein unabdingbar ist und vor einer unwürdigen Bettelexistenz zu bewahren vermag. Der Anspruch umfasst einzig die in einer Notlage im Sinne einer Überbrückungshilfe unerlässlichen Mittel (in Form von Nahrung, Kleidung, Obdach und medizinischer Grundversorgung), um überleben zu können. Diese Beschränkung des verfassungsrechtlichen Anspruches auf ein Minimum im Sinne einer "Überlebenshilfe" bedeutet, dass Schutzbereich und Kerngehalt zusammenfallen. Durch das ausdrückliche Erwähnen des Subsidiaritätsprinzips hat der Verfassungsgeber somit (bereits) den Anspruch als solchen relativiert. Grundsätzliche Voraussetzung der Anwendbarkeit von <ref-law> ist das Vorliegen einer aktuellen, d.h. tatsächlich eingetretenen oder unmittelbar drohenden Notlage (<ref-ruling> E. 3.1 S. 172, E. 3.2 S. 173, 130 I 71 E. 4.1 S. 74 f., je mit Hinweisen). <ref-law> umfasst nur eine auf die konkreten Umstände zugeschnittene, minimale individuelle Nothilfe. Sie beschränkt sich auf das absolut Notwendige und soll die vorhandene Notlage beheben. Insofern unterscheidet sich der verfassungsmässige Anspruch auf Hilfe in Notlagen vom kantonalen Anspruch auf Sozialhilfe, die umfassender ist (Margrith Bigler-Eggenberger, in: Bernhard Ehrenzeller/Philippe Mastronardi/Rainer J. Schweizer/Klaus A. Vallender [Hrsg.], Die Schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 2. Aufl. 2008, Rz. 12, 13 und 20 zu <ref-law>).
9.3 Der Anspruch der Beschwerdeführer auf Obdach wird von der Sozialbehörde nicht in Frage gestellt. Diese weigert sich nur, sechs ausstehende Wohnungsmietzinse im Betrag von total Fr. 9'480.--, welche die Beschwerdeführer dem Vermieter schulden, nachzuzahlen. Dies hat einzig (aber immerhin) zur Folge, dass den Beschwerdeführern die Ausweisung aus der Wohnung droht. Falls der Vermieter die Ausweisung tatsächlich vollstrecken sollte, werden die Beschwerdeführer jedoch nicht obdachlos. Ihnen wird, wie die Stadt X._ im Schreiben vom 25. Juli 2007 in Aussicht gestellt hat, eine Notwohnung zugewiesen, welche die Anforderungen an <ref-law> zu erfüllen hat (hinsichtlich Grösse, hygienische Verhältnisse usw.). Ein solches Vorgehen entspricht auch lit. B.3-2 der Richtlinien für die Ausgestaltung und Bemessung der Sozialhilfe der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe (SKOS; Stand Dezember 2007). Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung, der Sozialbehörde stünden entsprechende Notwohnungen zur Verfügung, ist entgegen dem Einwand der Beschwerdeführer nicht zu beanstanden.
Nach dem Gesagten ist der Kerngehalt bzw. der damit zusammenfallende Schutzbereich des <ref-law> nicht verletzt. Somit liegt kein Eingriff in das Grundrecht auf Hilfe in Notlagen vor. Demnach ist das von den Beschwerdeführern angerufene Verhältnismässigkeitsgebot nur dann verletzt, wenn die gestützt auf § 22 SHV ergangene kantonalrechtliche Anordnung offensichtlich unverhältnismässig ist und damit gleichzeitig gegen das von ihnen ebenfalls ins Feld geführte Willkürverbot verstösst (<ref-ruling> E. 4 S. 156 ff.; vgl. auch Matthias Suter, Der neue Rechtsschutz vor dem Bundesgericht, Bamberg 2007, S. 255 f.).
Nach der Rechtsprechung ist eine Entscheidung willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Willkürliche Rechtsanwendung liegt zudem nicht schon vor, wenn eine andere Lösung vertretbar oder sogar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148, 133 I 149 E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen).
9.4 Da kein Fall der Eingriffs-, sondern ein solcher der Leistungsverwaltung vorliegt (vgl. dazu Beatrice Weber-Dürler, Zur neusten Entwicklung des Verhältnismässigkeitsprinzips, in: Mélanges Pierre Moor, Bern 2005, S. 602), kann zum vornherein nicht gesagt werden, mit einer milderen Massnahme hätte derselbe Zweck erreicht werden können. Die Sozialbehörde hatte grundsätzlich nur die Möglichkeit, die Mietzinsausstände zu bezahlen oder dies nicht zu tun.
Man kann sich daher höchstens fragen, ob das Vorgehen der Sozialbehörde zweckmässig war, zumal die Zuweisung einer Notwohnung und der damit verbundene Umzug ebenfalls mit Kosten verbunden ist, für welche die Sozialbehörde aufzukommen hat. Für die Sozialbehörde geht es indessen nicht nur um den offenen Mietzinsbetrag von total Fr. 9'480.--, sondern auch um die Frage, ob sie dazu verhalten werden kann, Mietzinsausstände von Sozialhilfeempfängern aus einem Zeitraum vor Gewährung der Sozialhilfe zu begleichen. Wäre dem so, könnten sich Wohnungsmieter und -vermieter darauf verlassen, dass offene Mietzinse von der Sozialhilfe bezahlt werden, wenn mit der Ausweisung gedroht wird. Das Inkassorisiko hat aber nicht in erster Linie der Staat, sondern der Vermieter zu tragen. Zudem stünde zu befürchten, dass Wohnungsmieter Mietzinsschulden anwachsen lassen könnten im Wissen darum, dass später die Sozialbehörde dafür aufzukommen haben werde.
Insgesamt ergibt eine Interessenabwägung, dass Gründe sowohl für als auch gegen die Übernahme der Mietzinsschulden der Beschwerdeführer von Fr. 9'480.-- durch die Sozialbehörde sprechen. Dass erstere Lösung ebenfalls vertretbar gewesen wäre oder den von den Beschwerdeführern angeführten Interessen (E. 9.1 hievor) allenfalls gar besser gerecht geworden wäre, ist indessen unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots ohne Belang (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 156). § 22 SHV schreibt denn auch vor, dass Schulden nur ausnahmsweise, d. h. in der Regel nicht zu übernehmen sind. Dies entspricht auch lit. A.4-2 der SKOS-Richtlinien. Wenn sich die Sozialbehörde an diese Regel gehalten und in casu keine Ausnahme gemacht hat, ist dies nicht unhaltbar und willkürlich (vgl. E. 9.3 hievor). Von einer rechtsfehlerhaften Ermessensausübung (E. 2.1 hievor) kann ebenfalls nicht gesprochen werden. Nach dem Gesagten ist der angefochtene Entscheid in diesem Punkt nicht zu beanstanden.
10. Streitig und zu prüfen ist weiter der Anspruch auf unentgeltliche anwaltliche Verbeiständung für das vorinstanzliche Verfahren.
10.1 Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. (<ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2 S. 182, 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135, je mit Hinweisen; Urteil 8C_710/2007 vom 10. März 2008, E. 2.1). Gemäss § 16 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich vom 24. Mai 1995 ist Privaten, welchen die nötigen Mittel fehlen un deren Begehren nicht offensichtlich aussichtslos erscheint, auf entsprechendes Ersuchen die Bezahlung von Verfahrenskosten und Kostenvorschüssen zu erlassen (Abs. 1). Sie haben überdies Anspruch auf die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes, wenn sie nicht in der Lage sind, ihre Rechte im Verfahren selbst zu wahren (Abs. 2).
Hinsichtlich der Notwendigkeit der Verbeiständung sind im Rahmen der Einzelfallprüfung die Eigenheiten der anwendbaren Verfahrensvorschriften sowie die Besonderheiten des jeweiligen Verfahrens zu berücksichtigen. Dabei fallen neben der Komplexität der Rechtsfragen und der Unübersichtlichkeit des Sachverhalts auch in der Person des Betroffenen liegende Gründe in Betracht, wie etwa seine Fähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (Schwander, Anmerkung zu <ref-ruling>, in: AJP 1996 S. 495). Falls ein besonders starker Eingriff in die Rechtsstellung des Bedürftigen droht, ist die Verbeiständung grundsätzlich geboten, andernfalls bloss, wenn zur relativen Schwere des Falls besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller auf sich alleine gestellt nicht gewachsen ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 182, 125 V 32 E. 4b S. 35 f., je mit Hinweisen). Die sachliche Notwendigkeit der Verbeiständung wird nicht allein dadurch ausgeschlossen, dass das in Frage stehende Verfahren von der Offizialmaxime oder dem Untersuchungsgrundsatz beherrscht wird, die Behörde also gehalten ist, an der Ermittlung des rechtserheblichen Sachverhaltes mitzuwirken. Die Offizialmaxime rechtfertigt es jedoch, an die Voraussetzungen, unter denen eine Verbeiständung durch einen Rechtsanwalt oder eine Rechtsanwältin sachlich geboten ist, einen strengen Massstab anzulegen (<ref-ruling> E. 4b S. 36 mit Hinweisen; Urteil U 310/05 vom 26. Januar 2006, E. 3.2).
10.2 Rechtsfrage ist, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Tatumstände erstellt sind (<ref-ruling> E. 2c S. 307). Analoges gilt hinsichtlich der Fragen der sachlichen Gebotenheit der anwaltlichen Verbeiständung und der Bedürftigkeit der gesuchstellenden Person (Urteil 8C_463/2007 vom 28. April 2008, E. 8.1.4).
10.3 Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführern die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten gewährt, da sie mittellos und ihre Rechtsbegehren nicht offensichtlich aussichtslos seien. Hingegen hat sie den Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung verneint. Die Interessen der Beschwerdeführer seien zwar erheblich betroffen. Indessen habe das Verfahren weder besondere rechtliche noch tatsächliche Schwierigkeiten geboten, die den Beizug eines Rechtsvertreters unbedingt erforderlich gemacht hätten. S._, der eine selbstständige Erwerbstätigkeit ausgeübt habe, sei durchaus in der Lage gewesen, seinen Standpunkt gegen über der Verwaltungsbehörde selber zu vertreten, wie er dies auch im Rekursverfahren vor dem Bezirksrat getan habe.
Dieser Argumentation ist entgegenzuhalten, dass S._ im Verwaltungsverfahren vor dem Bezirksrat unterlegen war. Hieraus kann mithin nicht geschlossen werden, er habe sich im kantonalen Gerichtsverfahren ohne Dritthilfe zurechtfinden können (vgl. auch Urteil I 475/06 vom 30. Oktober 2006, E. 6.2.1 mit Hinweis). Gleiches gilt für den von der Vorinstanz angerufenen Umstand, S._ habe eine selbstständige Erwerbstätigkeit ausgeübt. Weiter ist zu beachten, dass die Beschwerdeführer seit Februar 2007 und auch im Zeitpunkt der vorinstanzlichen Beschwerdeeinreichung wiederum Sozialhilfe bezogen. Demnach ist eine erhebliche Tragweite der Sache angesichts der Streitsumme von Fr. 9'480.-- zu bejahen, wie auch die Vorinstanz erkannt hat. Zudem kann entgegen der vorinstanzlichen Auffassung nicht gesagt werden, das Verfahren sei sachverhaltsmässig und rechtlich einfach. In Würdigung der gesamten Aspekte des Falles ist es nicht zu beanstanden, wenn sich die rechtsunkundigen Beschwerdeführer vorinstanzlich anwaltlich verbeiständen liessen, um ihren Standpunkt zu bekräftigen. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz Bundesrecht verletzt, wenn sie eine anwaltliche Verbeiständung der Beschwerdeführer als nicht erforderlich erachtete (vgl. auch erwähntes Urteil 8C_463/2007, E. 8.3.2). Die vorinstanzliche Bejahung der Mittellosigkeit der Beschwerdeführer und der Nichtaussichtslosigkeit ihrer Begehren ist nicht zu beanstanden, weshalb der Anspruch auf unentgeltliche anwaltliche Verbeiständung für das kantonale Verfahren gegeben ist.
11. Angesichts der speziellen Umstände des Einzelfalls wird ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>; vgl. auch Urteil 8C_253/2007 vom 23. Januar 2008, E. 4). Die Beschwerdeführer unterliegen in der Frage der Übernahme der ausstehenden Mietzinse durch die Sozialbehörde und obsiegen in der Frage des Anspruchs auf unentgeltliche Verbeiständung für das vorinstanzliche Verfahren. Die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der unentgeltlichen Verbeiständung kann ihnen gewährt werden, da die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde nicht von vornherein als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung notwendig war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372; vgl. auch Urteil 8C_700/2007 vom 18. März 2008, E. 5). Sie werden der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben, wenn sie später dazu in der Lage sind (<ref-law>). Da sie teilweise obsiegen, steht ihnen eine dementsprechend reduzierte Parteientschädigung zu (<ref-law>). In diesem Umfang ist ihr Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 19. Dezember 2007 wird hinsichtlich der Verneinung des Anspruchs der Beschwerdeführer auf unentgeltliche Verbeiständung aufgehoben und die Sache wird an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen, damit es die Höhe der anwaltlichen Entschädigung für das kantonale Gerichtsverfahren festlege. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 800.-- zu entschädigen.
4. Rechtsanwältin Dr. Gesine Wirth-Schuhmacher, Kloten, wird als unentgeltliche Anwältin der Beschwerdeführer bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'700.-- ausgerichtet.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, dem Bezirksrat B._ und der Sicherheitsdirektion, Kantonales Sozialamt, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. November 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar