Sachverhalt:
A. A.a Der 1956 geborene S._, Tunnelbauer, meldete sich am 1. Februar 2002 wegen den Folgen einer HWS-Distorsion bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug. Die IV-Stelle Uri führte erwerbliche Abklärungen durch und zog das in Auftrag der Zürich-Versicherungen erstattete Gutachten des Zentrums Y._ vom 28. Januar 2004 bei. Gestützt darauf und den Schlussbericht der Abklärungsstelle X._ vom 15. August 2003 sprach die IV-Stelle eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung mit Wirkung ab 1. Februar 2004 bei einem Invaliditätsgrad von 67 % zu (Verfügung vom 16. Juli 2004). Die dagegen erhobene Einsprache zog der Versicherte am 11. Juli 2005 zurück.
A.b Im August 2005 leitete die Verwaltung ein Rentenrevisionsverfahren ein und liess S._ durch die Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) polydisziplinär begutachten. Gemäss Expertise vom 23. März 2007 waren zufolge mangelnder Kooperation keine Aussagen zur Arbeitsfähigkeit möglich. Der Versicherte unterzog sich im Dezember 2007 in der MEDAS erneut einer Begutachtung, worauf die Verwaltung einen Invaliditätsgrad von 68 % ermittelte und die bisherige Höhe der Invalidenrente bestätigte (Verfügung vom 23. Juli 2008).
B. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Uri mit Entscheid vom 11. Dezember 2009 in dem Sinne teilweise gut, als es einen Anspruch auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung ab 1. Dezember 2007 bejahte.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es seien der angefochtene Entscheid und die Verfügung vom 23. Juli 2008 insoweit aufzuheben, als für die Zeit vor 1. Dezember 2007 ein Anspruch auf eine ganze Invalidenrente verneint werde; und der Rentenbeginn sei spätestens auf 1. Januar 2007 festzusetzen. Sodann sei die Vorinstanz zu verpflichten, auf die Erhebung von Verfahrenskosten zu verzichten und ihm eine ungekürzte Parteientschädigung von Fr. 2'000.- zuzusprechen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) enthält sich der Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
1.2 Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es hingegen um eine Rechtsfrage (<ref-ruling>). Analoges gilt für die Frage, ob sich eine Arbeitsunfähigkeit revisionsrechtlich erheblich verändert hat (Art. 17 ATSG; Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV; Urteil 9C_878/2007 vom 4. Juli 2008 E. 2.2 mit Hinweis). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140).
2. Nach Art. 17 Abs. 1 ATSG ist die Rente bei einer erheblichen Änderung des Invaliditätsgrades von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend zu erhöhen, herabzusetzen oder aufzuheben. Revisionsbegründend kann u.a. eine Änderung des Gesundheitszustandes oder der erwerblichen Auswirkungen sein (<ref-ruling> E. 6.1 S. 546; <ref-ruling> E. 3.5 S. 349 ff.). Dabei kann auch eine geringfügige Änderung des Sachverhalts Anlass zu einer Revision geben, sofern sie zu einer Über- oder Unterschreitung des rentenbestimmenden Schwellenwertes beim Invaliditätsgrad führt (<ref-ruling> E. 7 S. 548). Die Frage, ob eine erhebliche, d.h. mit Bezug auf den Invaliditätsgrad rentenwirksame Änderung der tatsächlichen Verhältnisse (persönliche Verhältnissen der versicherten Person, namentlich gesundheitliche Umstände oder erwerbliche Faktoren) eingetreten ist, beurteilt sich durch Vergleich des Sachverhaltes, wie er im Zeitpunkt der ursprünglichen Rentenverfügung bestanden hat, mit demjenigen im Zeitpunkt der streitigen Revisionsverfügung (BGE <ref-ruling> E. 3.5.2 S. 351; Urteil 8C_871/2008 vom 24. März 2009 E. 2.2.1 mit weiteren Hinweisen). Geringfügige Änderungen statistischer Daten führen nicht zu einer Revision von Invalidenrenten, selbst wenn durch solche Veränderungen ein Schwellenwert über- oder unterschritten wird; denn sie widerspiegeln nicht die persönlichen Verhältnisse der versicherten Person, sondern allgemeine wirtschaftliche Entwicklungen, mit denen Gesunde wie Invalide stets rechnen müssen (<ref-ruling> E. 7.1 und 7.3 S. 548 f.).
3. Streitig und zu prüfen ist der Zeitpunkt, ab welchem die vorinstanzlich revisionsweise zugesprochene ganze Rente der Invalidenversicherung auszuzahlen ist.
3.1 Zutreffend und verbindlich stellte das kantonale Gericht fest, gestützt auf das Gutachten der MEDAS vom 18. April 2008 sei dem Beschwerdeführer eine körperlich leichte Tätigkeit im Umfang von 50 % zuzumuten (Art. 105 Abs. 1 BGG). Keine Feststellungen traf die Vorinstanz hinsichtlich der Frage, ob seit der erstmaligen Rentenfestsetzung - als hier revisionsrechtlich massgeblichem Vergleichszeitpunkt (<ref-ruling> E. 5.4 S. 114) - unter erwerblichen oder medizinischen Aspekten eine gemäss Art. 17 ATSG relevante Änderung eingetreten ist. Vorab ist daher das der Verfügung vom 16. Juli 2004 zu Grunde gelegte Zumutbarkeitsprofil festzustellen (Art. 105 Abs. 2 BGG), welches hienach mit dem aktuell gültigen zu vergleichen ist. Denn bei der Invalidität handelt es sich um einen wirtschaftlichen Begriff (Art. 16 ATSG, Art. 28a Abs. 2 IVG; ZAK 1980 S. 344), weshalb iv-rechtlich eine gesundheitliche Verschlechterung nur von Bedeutung ist, falls sie sich auf die Erwerbsfähigkeit oder die Betätigung im Aufgabenbereich niederschlägt (Art. 7 Abs. 1 ATSG, Art. 28a Abs. 2 IVG).
3.2 Die Verwaltung schloss ursprünglich auf einen Invaliditätsgrad von 67 % (Verfügung vom 16. Juli 2004), wobei sie sich an die im Schlussbericht der Abklärungsstelle X._ vom 16. März 2004 erwähnte Restarbeitsfähigkeit hielt. Danach war eine körperlich leichte wechselbelastende Tätigkeit im Umfang von 50 % zumutbar. Diese Verfügung erwuchs in Rechtskraft (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 416). Keine davon abweichende Einschätzung enthält die im Revisionsverfahren erstellte und hier unstrittige Expertise der MEDAS vom 18. April 2008 (vgl. E. 3.1 hievor), weshalb eine leistungsbeeinflussende Änderung der Arbeitsfähigkeit seit der erstmaligen Rentengewährung ungeachtet der veränderten Symptomatik nicht erwiesen ist. Die Rentenanhebung im angefochtenen Entscheid basiert denn auch allein auf geringfügig geänderten statistischen Löhnen (Validenlohn: ursprünglich Fr. 86'857.-, neu Fr. 90'892.-; Invalidenlohn: neu Fr. 25'717.-, vorher Fr. 28'600.-), wobei der tiefere Invalidenlohn massgeblich darauf zurückzuführen ist, dass die Vorinstanz einen Leidensabzug von 15 % gewährte, wogegen die Verwaltung im Rahmen der erstmaligen Rentenfestsetzung das statistische Invalideneinkommen unter diesem Titel nicht reduziert hat. Gründet ein tieferer Invalidenlohn auf einem anlässlich der Rentenrevision erstmals eingeräumten Leidensabzug und einer Anpassung der statistischen Vergleichslöhne an die Lohnentwicklung, ohne dass sich die Leistungsfähigkeit geändert hätte, ist der sich daraus ergebende höhere Invaliditätsgrad revisionsrechtlich irrelevant (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 548). Diesfalls sind die Voraussetzungen für eine Rentenanpassung gemäss Art. 17 ATSG nicht gegeben. Denn der Leidensabzug wird bei der erstmaligen Rentenfestsetzung anhand des Zumutbarkeitsprofils und weiterer persönlicher Merkmale wie Alter, Dauer der Betriebszugehörigkeit, Nationalität oder Aufenthaltskategorie sowie Beschäftigungsgrad (<ref-ruling> E. 5.2 S. 327, 126 V 75 E. 5b/aa S. 79) bestimmt. Diese Faktoren sind mehrheitlich statischer Natur, weswegen allein der Zeitablauf deren Neubeurteilung nicht rechtfertigt. Soweit sich hingegen der leidensbedingte Abzug nach der beruflichen Leistungsfähigkeit richtet, ist dessen allfällige spätere Anpassung an eine veränderte Zumutbarkeit gebunden.
3.3 Weil sich die Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers zwischenzeitlich nicht massgeblich verändert hat, war nach dem Gesagten im Revisionsverfahren kein Leidensabzug anzurechnen. Mit Blick auf Art. 107 Abs. 1 BGG, wonach das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen darf und demzufolge das vorinstanzliche Urteil nicht zu deren Ungunsten abändert, besteht kein Raum für eine Reduktion der vorinstanzlich zugesprochenen ganzen Invalidenrente. Der Antrag des Beschwerdeführers, es sei bereits ab 1. Januar 2007 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen, ist unbegründet und abzuweisen.
4. Der Versicherte beanstandet sodann die vorinstanzlich auf Fr. 1'600.- reduzierte Parteientschädigung wegen nur teilweisem Obsiegen. Im Hauptpunkt sei die Beschwerde durchgedrungen, und allein der Umstand des Unterliegens im Nebenpunkt des Rentenbeginns erlaube keine Reduktion der Entschädigung.
4.1 Gemäss Art. 61 lit. g ATSG hat im kantonalen Beschwerdeverfahren die obsiegende Beschwerde führende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten. Diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen. Ist das Quantitativ einer Leistung streitig, rechtfertigt eine "Überklagung" nach der in Rentenangelegenheiten ergangenen Rechtsprechung eine Reduktion der Parteientschädigung nur, wenn das ziffernmässig bestimmte Rechtsbegehren den Prozessaufwand beeinflusst hat (<ref-ruling> E. 2c S. 407; EVGE 1967 S. 215 E. 3a). Bildet beispielsweise ein invalidenversicherungsrechtlicher Rentenanspruch Anfechtungs- und Streitgegenstand, führt demgemäss der Umstand allein, dass im Beschwerdeverfahren abweichend von dem auf eine ganze oder zumindest eine höhere Rente gerichteten Rechtsbegehren keine ganze oder aber eine geringere Rente als beantragt zugesprochen wird, noch nicht zu einer Reduktion der Parteientschädigung (Urteile 9C_466/2007 vom 25. Januar 2008 E. 5 und 8C_471/2007 vom 1. Februar 2008 E. 3.2).
4.2 Die Verwaltung hat im Verfahren vor kantonalem Gericht den Anspruch auf eine ganze Rente schliesslich anerkannt, nachdem sie zuvor das Revisionsgesuch abgewiesen hatte. Auch wenn im Beschwerdeverfahren eine revisionsweise Anhebung der Invalidenrente anerkannt wurde, musste das Gericht unabhängig der Anträge über den Beginn der abgeänderten Rente befinden. Die grundsätzliche Anerkennung eines ganzen Rentenanspruchs hat daher den Prozessaufwand des Gerichts nicht beeinflusst. Die Parteientschädigung hätte demzufolge vom kantonalen Gericht nicht allein wegen teilweisen Obsiegens reduziert werden dürfen. Andere Gründe für eine Reduktion sind nicht ersichtlich und werden vom kantonalen Gericht auch nicht genannt.
4.3 Der Beschwerdeführer rügt schliesslich die nach Massgabe seines Unterliegens vorinstanzlich überbundenen Verfahrenskosten, wobei er sich auch hier auf die erwähnte, zur Parteientschädigung ergangene Rechtsprechung beruft (vgl. E. 4.1 hievor). Diese gründet darauf, dass die Parteientschädigung nach der Bedeutung des zu beurteilenden Sachverhalts und der Schwierigkeit des Prozesses zu bemessen ist und nicht gemäss dem anteilsmässigen Prozesserfolg, wenn das ziffernmässig bestimmte Rechtsbegehren den Prozessaufwand nicht beeinflusst hat (Art. 61 lit. g ATSG; <ref-ruling> E. 2c). Im Gegensatz dazu enthält das Bundesrecht für die Kostenverteilung keine mit Art. 61 lit. g ATSG zu vergleichende Regelung. Art. 69 Abs. 1bis IVG sieht für das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren allein vor, dass die Kosten nach dem Verfahrensaufwand und unabhängig vom Streitwert im Rahmen von 200-1000 Franken festgelegt werden. Die Rechtsprechung zur Bemessung der Parteientschädigung ist daher nicht auf die Verteilung der Verfahrenskosten übertragbar, weshalb der Beschwerdeführer daraus nichts zu seinen Gunsten herleiten kann. Unter anderen Aspekten rügt der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Kostenverteilung nicht (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245).
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Verfahrenskosten nach Massgabe des Obsiegens den Parteien aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer hat zulasten der Beschwerdegegnerin Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 3 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Uri vom 11. Dezember 2009 wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit diese über die streitige Parteientschädigung neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer Fr. 400.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 100.- auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Mai 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Borella Ettlin