Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Eingabe vom 17. August 2012 beantragte das Handelsregisteramt des Kantons Solothurn dem Amtsgericht Solothurn-Lebern, es seien gegenüber der A._ AG wegen Fehlens der Revisionsstelle die erforderlichen Massnahmen nach <ref-law> zu ergreifen.
Mit Verfügung vom 21. August 2012 forderte der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern die A._ AG dazu auf, bis am 11. September 2012 zum Gesuch des Handelsregisteramts Stellung zu nehmen und den gesetzmässigen Zustand wieder herzustellen, unter Androhung der Auflösung und Liquidation der Gesellschaft im Säumnisfall.
Die Zustellung dieser Verfügung an die A._ AG auf dem Postweg erwies sich als nicht möglich, worauf eine Publikation im Amtsblatt des Kantons Solothurn Nr. xxx vom yy.yy.yyyy erfolgte. Innert der angesetzten Frist erfolgte seitens der A._ AG indessen keine Reaktion.
A.b. Mit Urteil vom 18. September 2012 ordnete der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern gestützt auf <ref-law> die Auflösung der A._ AG und deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs an. Den Zeitpunkt der Auflösung setzte der Amtsgerichtspräsident auf den 18. September 2012, 8.00 Uhr, fest. Weiter beauftragte er das kantonale Konkursamt mit der konkursamtlichen Liquidation und wies das Handelsregisteramt des Kantons Solothurn an, das kantonale Konkursamt als Liquidatorin einzutragen.
Das darauf von der A._ AG erhobene Wiederherstellungsgesuch vom 11. Oktober 2012 wies der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern mit Verfügung vom 31. Oktober 2012 ab.
Die dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 12. Dezember 2012 ebenfalls ab.
B.
B.a. Am 12. Dezember 2013 reichte die A._ AG beim Richteramt Solothurn-Lebern ein Gesuch "betreffend Konkurs infolge Liquidation wegen Organisationsmangel" ein und beantragte, der über sie eröffnete Konkurs sei zu widerrufen und das Handelsregisteramt des Kantons Aargau sei anzuweisen, die Gesellschaft gemäss der Anmeldung vom 7. November 2012 beim Handelsregisteramt Aargau einzutragen.
Mit Replik vom 17. Januar 2014 bestätigte die A._ AG die gestellten Anträge und machte dabei eine analoge Anwendung von <ref-law> geltend.
Mit Urteil vom 22. Januar 2014 wies der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern das Gesuch vom 12. Dezember 2013 ab und auferlegte der A._ AG die Gerichtskosten.
B.b. Dagegen erhob die A._ AG am 3. Februar 2014 Berufung beim Obergericht des Kantons Solothurn und beantragte die Aufhebung des angefochtenen Urteils, die Gutheissung des Gesuchs um Widerruf des Konkurses und die Anweisung des Handelsregisteramts des Kantons Aargau zur Eintragung gemäss der Anmeldung vom 7. November 2012.
Mit Urteil vom 10. März 2014 wies das Obergericht die Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die A._ AG dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn aufzuheben, das Gesuch um Widerruf des Konkurses sei gutzuheissen und das Handelsregisteramt des Kantons Aargau sei anzuweisen, die Gesellschaft gemäss der Anmeldung vom 7. November 2012 im Handelsregister einzutragen.
Das Handelsregisteramt des Kantons Solothurn und das Eidgenössische Amt für das Handelsregister haben Stellungnahmen eingereicht, ohne Antrag zu stellen. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Rechtsmittelentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (<ref-law> i.V.m. <ref-law>), ist innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (<ref-law>) eingereicht worden und bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>) mit einem Fr. 30'000.-- übersteigenden Streitwert (<ref-law>). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe ihr Gesuch um Widerruf des Konkurses zu Unrecht nicht gutgeheissen. Sämtliche Forderungsbeträge der Gläubiger seien beglichen und auch der Organisationsmangel, der zur Auflösung der Beschwerdeführerin geführt habe, sei in der Zwischenzeit behoben worden. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin hätte die Vorinstanz deshalb den Konkurs in analoger Anwendung von <ref-law> widerrufen müssen.
2.1. Die Vorinstanz führte aus, dass der rechtskräftige Auflösungsentscheid vom 18. September 2012 nicht aufgrund des SchKG ergangen sei. Es habe damit auch gar keine Konkurseröffnung nach SchKG stattgefunden, womit ein Widerruf nach den Bestimmungen des SchKG ausgeschlossen sei. In der Lehre werde zwar die Auffassung vertreten, dass eine analoge bzw. "modifizierte Anwendung" von <ref-law> möglich sei, sofern einerseits der Mangel in der Organisation nach Massgabe der anwendbaren Bestimmungen nachträglich behoben worden ist und andererseits die Voraussetzungen von <ref-law> gegeben sind (Franco Lorandi, Konkursverfahren über Handelsgesellschaften zufolge Organisationsmangel [<ref-law>], Blätter für Schuldbetreibung und Konkurs 2012, S. 49 f.). Gleichwohl sehe <ref-law> keine Möglichkeit vor, den rechtskräftigen und vollstreckbaren gerichtlichen Auflösungsentscheid nachträglich zu widerrufen.
2.2.
2.2.1. Fehlt der Gesellschaft eines der vorgeschriebenen Organe oder ist eines dieser Organe nicht rechtmässig zusammengesetzt, so kann ein Aktionär, ein Gläubiger oder der Handelsregisterführer dem Richter beantragen, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen (<ref-law>). Der Richter kann insbesondere der Gesellschaft unter Androhung ihrer Auflösung eine Frist ansetzen, binnen derer der rechtmässige Zustand wieder herzustellen ist (Abs. 1 Ziff. 1), das fehlende Organ oder einen Sachwalter ernennen (Abs. 1 Ziff. 2) oder die Gesellschaft auflösen und ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs anordnen (Abs. 1 Ziff. 3).
Bei diesem Organisationsmängelverfahren handelt es sich gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung um ein streitiges Verfahren (Urteil 4A_321/2008 vom 5. August 2010 E. 2), welches im Summarium durchzuführen ist (<ref-ruling> E. 3.9 S. 172 f.).
2.3.
2.3.1. Ordnet der Richter gestützt auf <ref-law> die Auflösung der Gesellschaft und deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs an, wird ein normales Konkursverfahren durchgeführt (Urteil 5A_137/2013 vom 12. September 2013 E. 1.2.2).
2.3.2. Gemäss <ref-law> widerruft das Konkursgericht den Konkurs und gibt dem Schuldner das Verfügungsrecht über sein Vermögen zurück, wenn dieser nachweist, dass sämtliche Forderungen getilgt sind (Ziff. 1), er von jedem Gläubiger eine schriftliche Erklärung vorlegt, dass dieser seine Konkurseingabe zurückzieht (Ziff. 2), oder ein Nachlassvertrag zustande gekommen ist (Ziff. 3).
Die Lehre ist sich einig darüber, dass ein Konkursverfahren, welches vom Richter gestützt auf <ref-law> angeordnet wurde, nicht gestützt auf <ref-law> widerrufen werden kann. Denn die Durchführung des Konkursverfahrens beruht diesfalls nicht auf einem Konkurs, sondern auf einem richterlichen Auflösungsentscheid. Es hat mithin nie eine Konkurseröffnung durch ein Konkursgericht stattgefunden, welche widerrufen werden könnte (Lukas Berger et al., Die Behebung von Organisationsmängeln- handelsregisterrechtliche und zivilprozessuale Aspekte, REPRAX 2012, S. 25; Lorandi, a.a.O., S. 48 f.; ders., Konkursverfahren über Handelsgesellschaften ohne Konkurseröffnung - Gedanken zu <ref-law>, AJP 2008, S. 1391; Marcel Schönbächler, Die Organisationsklage nach <ref-law>, Diss. Zürich 2013, S. 288; Bürge/Gut, Richterliche Behebung von Organisationsmängeln der AG und der GmbH - Normgehalt und verfahrensrechtliche Aspekte von <ref-law>, SJZ 2009, S. 160; Watter/Pamer-Wieser, in: Basler Kommentar, 4. Aufl., 2012, N. 26 zu <ref-law>; Amonn/Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl., 2013, § 38 Rz. 47; Charles Jaques, Scioglimento e liquidazione di società prive di organi, RTiD I 2010, S. 1033).
Zwei Autoren befürworten demgegenüber eine analoge Anwendung von <ref-law> für den Fall, dass zum einen der Organisationsmangel nachträglich behoben worden ist und zum anderen auch die Voraussetzungen von <ref-law> gegeben sind. Wenn diese beiden Voraussetzungen erfüllt seien, könne der Richter, welcher die Auflösung gestützt auf <ref-law> angeordnet hat, seinen Auflösungsentscheid widerrufen (Lorandi, AJP 2008, S. 1391; ders., BlSchK 2012, S. 49 f.; Schönbächler, a.a.O., S. 289 f.).
2.4. Das Bundesgericht hat sich nie ausdrücklich zur Frage geäussert, ob ein gestützt auf <ref-law> ergangener Auflösungsentscheid aufgrund nachträglicher Behebung des Organisationsmangels gestützt auf eine analoge Anwendung von <ref-law> widerrufen werden kann. Es ist daher im Folgenden zu prüfen, ob die methodischen Voraussetzungen einer Analogie gegeben sind.
2.5.
2.5.1. Voraussetzung für eine analoge Anwendung eines Rechtssatzes ist das Vorliegen einer Lücke im Gesetz (statt aller EMMENEGGER/TSCHENTSCHER, in: Berner Kommentar, 2012, N. 380 zu <ref-law>). Eine solche besteht dann, wenn sich eine Regelung als unvollständig erweist, weil sie jede Antwort auf die sich stellende Rechtsfrage schuldig bleibt. Hat der Gesetzgeber eine Rechtsfrage nicht übersehen, sondern stillschweigend - im negativen Sinn - mitentschieden (qualifiziertes Schweigen), bleibt jedoch kein Raum für richterliche Lückenfüllung. Eine Gesetzeslücke, die vom Gericht zu füllen ist, liegt nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts nur dann vor, wenn der Gesetzgeber etwas zu regeln unterlassen hat, was er hätte regeln sollen, und dem Gesetz diesbezüglich weder nach seinem Wortlaut noch nach dem durch Auslegung zu ermittelnden Inhalt eine Vorschrift entnommen werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.5.1 S. 213; <ref-ruling> E. 4.2 S. 416 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 386).
2.5.2. <ref-law> äussert sich nicht zur Frage, ob ein Auflösungsentscheid bei nachträglicher Behebung des Organisationsmangels widerrufen werden kann.
Demgegenüber enthält die ZPO zwar keine ausdrückliche Regel zur Frage der Widerrufbarkeit von Organisationsmängelentscheiden. Es gilt im Zivilprozess aber der allgemeine Grundsatz, wonach Summarentscheide den ordentlichen Entscheiden hinsichtlich Rechtskraft gleichgestellt sind, d.h. mit Ablauf der Rechtsmittelfrist formell rechtskräftig und damit - unter Vorbehalt einer Revision nach <ref-law> - unwiderrufbar werden ( CHEVALIER, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl., 2013, N. 4 f. zu <ref-law>). Denn die ZPO sieht einzig für Summarentscheide betreffend freiwillige Gerichtsbarkeit (<ref-law>) und vorsorgliche Massnahmen (<ref-law>) die Möglichkeit einer nachträglichen Aufhebung oder Abänderung vor ( CHEVALIER, a.a.O., N. 9 f. zu <ref-law>).
Summarentscheide aus Verfahren, die nicht in einem ordentlichen Verfahren zu prosequieren sind, in denen der Richter hinsichtlich der Rechtsanwendung über volle Kognition verfügt und in denen das Regelbeweismass gilt, sind demgegenüber definitiv (vgl. FABIENNE HOHL, Procédure civile, Band II, 2. Aufl., 2010, N. 1556, 1582, 1613). Dies trifft auch für Auflösungsentscheide nach <ref-law> zu, gilt in Organisationsmängelverfahren doch das Regelbeweismass und hinsichtlich der Rechtsanwendung volle Kognition des Gerichts. Schliesslich sind Auflösungsentscheide auch nicht in einem nachfolgenden ordentlichen Verfahren zu bestätigen, womit sie nach Ablauf der Rechtsmittelfrist formell rechtskräftig und damit unwiderrufbar werden.
2.5.3. Die Unwiderrufbarkeit von Auflösungsentscheiden gestützt auf <ref-law> scheint auch den Vorstellungen des Gesetzgebers zu entsprechen: Gemäss der Botschaft vom 19. Dezember 2001 zur Revision des Obligationenrechts (GmbH-Recht sowie Anpassungen im Aktien-, Genossenschafts-, Handelsregister- und Firmenrecht, BBl 2002, S. 3232) soll die zwangsweise Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs gerade auch dann zur Anwendung gelangen, wenn die Gesellschaft nicht überschuldet ist. Dass der Gesetzgeber dabei die Möglichkeit einer nachträglichen Behebung des Organisationsmangels übersehen hätte, kann schwerlich behauptet werden. Es ist vielmehr anzunehmen, dass der Gesetzgeber eine nachträgliche Widerrufbarkeit des Auflösungsentscheids stillschweigend ausgeschlossen hat.
2.5.4. In diese Richtung gehen auch die Erwägungen in <ref-ruling>: Das Bundesgericht musste sich in diesem Entscheid zur Frage äussern, ob die nach dem Auflösungsentscheid erfolgte, nachträgliche Behebung des Organisationsmangels im Berufungsverfahren nach der alten Tessiner Zivilprozessordnung trotz strengem Novenverbot noch vorgebracht werden kann. Das Bundesgericht kam unter Hinweis auf die erwähnte Stelle in der bundesrätlichen Botschaft zum Schluss, dass die zwangsweise Liquidation dem ausdrücklichen Willen des Gesetzgebers entspreche; zudem sei mit der Einführung des <ref-law> auch die in Art. 86 Abs. 3 aHRegV vorgesehene Möglichkeit entfallen, die Auflösung zu widerrufen, sofern die Gesellschaft innert dreier Monate den gesetzmässigen Zustand wiederhergestellt hat (<ref-ruling> E. 11.4.2 S. 371 f.). Damit erscheine das Novenverbot im Tessiner Berufungsverfahren durchaus im Einklang mit den Vorstellungen des Gesetzgebers und es stelle keinen überspitzten Formalismus dar, wenn die nachträgliche Behebung des Organisationsmangels im Berufungsverfahren nicht mehr berücksichtigt würde (<ref-ruling> E. 11.4.3 S. 372).
2.5.5. Von einer Gesetzeslücke bezüglich der Frage, ob ein Auflösungsentscheid bei nachträglicher Behebung des Organisationsmangels widerrufen werden kann, kann damit keine Rede sein. Denn zum einen sieht die ZPO mit dem Grundsatz der formellen Rechtskraft von Summarentscheiden eine Regelung vor, welche einen Widerruf des Organisationsmängelentscheids ausserhalb einer Revision nach <ref-law> ausschliesst. Zum anderen ist davon auszugehen, dass der Gesetzgeber eine nachträgliche Widerrufbarkeit des Auflösungsentscheids gestützt auf <ref-law> stillschweigend ausgeschlossen hat. Damit besteht kein Raum für eine analoge Anwendung von <ref-law>.
2.6. Dieses Ergebnis steht auch im Einklang mit der Konzeption des Organisationsmängelverfahrens, wie sie die bundesgerichtliche Rechtsprechung herausgearbeitet hat. Denn nach der Rechtsprechung stehen die in <ref-law> genannten Massnahmen in einem Stufenverhältnis: Das Gericht soll die drastische Massnahme der Auflösung gemäss Ziffer 3 erst anordnen, wenn die milderen Massnahmen gemäss Ziffer 1 und Ziffer 2 nicht genügen oder erfolglos geblieben sind (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409, 294 E. 3.1.4 S. 298 f.). Es gilt mithin das Verhältnismässigkeitsprinzip: Nur wenn sich mildere Mittel nicht als sachgerecht bzw. zielführend erweisen, kommt als ultima ratio die Auflösung der Gesellschaft nach <ref-law> zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409, 294 E. 3.1.4 S. 299; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280). Dies ist etwa der Fall, wenn - wie vorliegend im Verfahren vor dem Amtsgericht Solothurn-Lebern - Verfügungen nicht zustellbar sind oder wenn sich die Gesellschaft in keiner Art und Weise vernehmen lässt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409, 294 E. 3.1.4 S. 299). Ist aber die Auflösung einer Gesellschaft gestützt auf <ref-law> ohnehin erst auszusprechen, wenn alle milderen Mittel versagt bzw. sich als nicht mehr zielführend herausgestellt haben, muss der Auflösungsentscheid mit Eintritt der formellen Rechtskraft definitiv sein.
2.7. Die Vorinstanz hat damit eine analoge Anwendung von <ref-law> zutreffend verneint und das Gesuch der Beschwerdeführerin zu Recht abgewiesen.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner steht hingegen keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Eidgenössischen Amt für das Handelsregister (EHRA) und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni