Sachverhalt:
A. Der Bundesrat erteilte der Casinò Admiral SA (vormals Grand Casinò Admiral SA) am 24. September 2002 eine Konzession zum Betrieb einer Spielbank des Typs B in Mendrisio (TI). Am 27. Januar 2004 reichte die Casinò Admiral SA der Eidgenössischen Spielbankenkommission (ESBK) die Steuererklärung für die Spielbankenabgabe des Geschäftsjahres 2003 ein. Sie machte eine Abgabeermässigung wegen Verwendung eines wesentlichen Umfanges der Erträge für öffentliche Interessen im Sinne von Art. 42 des Bundesgesetzes vom 18. Dezember 1998 über Glücksspiele und Spielbanken (Spielbankengesetz, SBG; SR 935.52) geltend.
Nach diversen Schriftwechseln lehnte die ESBK am 20. Dezember 2005 die begehrte Ermässigung ab und setzte den Abgabesatz auf 59,902407 % sowie die daraus resultierende Spielbankenabgabe auf Fr. 51'414'939.-- fest. In Bezug auf die begehrte Abgabeermässigung wendete die ESBK ein, es sei nicht hinlänglich nachvollzieh- bzw. verifizierbar, ob die geltend gemachten Zuwendungen tatsächlich für öffentliche Interessen oder für gemeinnützige Zwecke verwendet wurden.
Hiegegen erhob die Casinò Admiral SA Beschwerde mit dem Antrag, die Spielbankenabgabe für das Jahr 2003 auf Fr. 47'827'745.15 zu reduzieren. Am 14. April 2009 hiess das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde gut, hob die Verfügung der ESBK vom 20. Dezember 2005 auf und wies ihr die Sache "zur Neubeurteilung im Sinn der Erwägungen" zurück.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. Mai 2009 beantragt die ESBK dem Bundesgericht, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 14. April 2009 aufzuheben.
Die Casinò Admiral SA ersucht um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> wird das Verfahren in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids geführt. Dieser erging vorliegend auf Deutsch. Auch wenn die Beschwerdegegnerin ihre Spielbank im Kanton Tessin betreibt, besteht keine Veranlassung, von der erwähnten Regel abzuweichen. Die Beschwerdegegnerin hatte unter anderem schon ihr Rechtsmittel an das Bundesverwaltungsgericht - wie auch ihre Vernehmlassung im bundesgerichtlichen Verfahren - in deutscher Sprache abgefasst. Die ESBK hat ihre Beschwerde an das Bundesgericht ebenfalls auf Deutsch formuliert.
2. Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts bezüglich der Spielbankenabgabe können beim Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden. Die ESBK ist hierzu befugt (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Sie kann den Rückweisungsentscheid des Bundesverwaltungsgerichts anfechten, gleich ob dieser als End- oder als Zwischenentscheid zu qualifizieren ist. Denn sie wird durch den Rückweisungsentscheid gezwungen, eine ihrer Ansicht nach rechtswidrige Verfügung zu erlassen, welche sie hernach selber nicht mehr anfechten kann (vgl. Art. 90 und 93 Abs. 1 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 1.3 S. 127 f. mit Hinweisen).
3. 3.1 Gemäss <ref-law> ist für die Errichtung und den Betrieb von Spielbanken eine Konzession des Bundes erforderlich. Dieser erhebt eine ertragsabhängige Spielbankenabgabe, welche 80 Prozent der Bruttospielerträge aus dem Betrieb der Spielbanken nicht übersteigen darf. Die Abgabe wird zur Deckung des Bundesbeitrags an die Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung verwendet (<ref-law>).
3.2 Spielbanken sind gemäss <ref-law> Unternehmungen, die gewerbsmässig Gelegenheit zum Glücksspiel im Sinne von <ref-law> anbieten. Die Betriebskonzession, welche für den Betrieb einer Spielbank erforderlich ist (<ref-law>), setzt gemäss <ref-law> die Bedingungen und Auflagen fest. Der Bundesrat entscheidet über die Erteilung einer Konzession, wobei sein Entscheid nicht anfechtbar ist (<ref-law>).
Das Gesetz unterscheidet nach <ref-law> zwischen zwei Kategorien von Spielbanken: Zum einen die Grand Casinos mit der Konzession A, die Tischspiele und das Spiel an Glücksspielautomaten (dazu <ref-law>) anbieten, und zum anderen die Kursäle mit Konzession B, die höchstens drei Tischspiele sowie das Spiel an Glücksspielautomaten anbieten. Die Beschwerdegegnerin verfügt - wie erwähnt - für die Spielbank in Mendrisio über eine Konzession B (Kursaal).
3.3 Das Spielbankengesetz bezweckt die Gewährleistung eines sicheren und transparenten Spielbetriebs, die Verhinderung von Kriminalität und Geldwäscherei in oder durch Spielbanken sowie die Vorbeugung sozialschädlicher Auswirkungen des Spielbetriebs (<ref-law>). Im Rahmen dieser Zweckbestimmungen soll das Spielbankengesetz ausserdem den Tourismus fördern sowie dem Bund und den Kantonen Einnahmen verschaffen (<ref-law>).
Dementsprechend erhebt der Bund gemäss <ref-law> auf den Bruttospielerträgen eine Abgabe (sog. Spielbankenabgabe). Der Bruttospielertrag ist die Differenz zwischen den Spieleinsätzen und den ausbezahlten Spielgewinnen (<ref-law>). Mit Blick auf die Spielbankenabgabe wird die Betriebskonzession denn auch nur erteilt, wenn die Gesuchstellerin darlegt, wie die Voraussetzungen für die ordnungsgemässe Veranlagung der Abgabe geschaffen werden (<ref-law>).
Nach <ref-law> legt der Bundesrat den Abgabesatz so fest, dass nach betriebswirtschaftlichen Grundsätzen geführte Spielbanken eine angemessene Rendite auf dem investierten Kapital erzielen können (Abs. 1). Er kann für beide Kategorien von Spielbanken unterschiedliche Abgabesätze festlegen und diese progressiv gestalten (Abs. 2). Der Abgabesatz beträgt mindestens 40 und höchstens 80 Prozent (Abs. 3). Der Bundesrat hat den Abgabesatz in Art. 79 und 80 der Verordnung vom 23. Februar 2000 über Glücksspiele und Spielbanken (Spielbankenverordnung, aVSBG; AS 2000 766 ff.) festgelegt. Diese Verordnung wurde am 1. November 2004 durch die gleichlautende Verordnung vom 24. September 2004 abgelöst (VSBG; SR 935.521, AS 2004 4395 ff.); sie gilt aber noch für das hier massgebende Jahr 2003. Danach beträgt der Basisabgabesatz für Spielbanken mit einer Konzession B bei Bruttospielerträgen bis zu 10 Millionen Franken 40 Prozent. Für jede weitere Million Franken Bruttospielertrag steigt der Grenzabgabesatz um ein Prozent bis zum Höchstsatz von 80 Prozent (Art. 80 aVSBG).
3.4 Gemäss <ref-law> "kann" der Bundesrat für Kursäle (Konzession B) den nach <ref-law> festgelegten Abgabesatz um höchstens einen Viertel reduzieren, sofern die Erträge der Spielbank "in wesentlichem Umfang für öffentliche Interessen der Region, namentlich zur Förderung kultureller Tätigkeiten, oder für gemeinnützige Zwecke verwendet werden". Diese Regelung wird ergänzt durch Art. 82 aVSBG. Danach können von der Ermässigung nach <ref-law> Spielbanken mit einer Konzession B profitieren, die auf Grund ihrer Statuten, auf Grund gesetzlicher Bestimmungen oder anderer verbindlicher Regelungen ihre Erträge in wesentlichem Umfang für öffentliche Interessen der Region oder für gemeinnützige Zwecke verwenden (Abs. 1). Der Bundesrat legt unter Berücksichtigung der Statuten, gesetzlicher Bestimmungen oder anderer verbindlicher Regelungen, auf Grund derer die Spielbank ihre Erträge für öffentliche Interessen der Region oder für gemeinnützige Zwecke einsetzt, nach Anhörung des Standortkantons die Abgabeermässigung in der Konzession fest (Abs. 2). Die Reduktion entspricht dem tatsächlich aufgewendeten Betrag, jedoch höchstens 25 Prozent der geschuldeten Abgabe (Abs. 3). Gemäss Art. 82 Abs. 4 aVSBG gilt als im öffentlichen Interesse der Region oder zu Gunsten gemeinnütziger Zwecke insbesondere die Unterstützung der Kultur im weiteren Sinn wie die Unterstützung künstlerischen Schaffens und von Veranstaltungen (lit. a), des Sports und sportlicher Veranstaltungen (lit. b), von Massnahmen im sozialen Bereich, im Bereich der öffentlichen Gesundheit und der Bildung (lit. c), von Gemeinwesen (lit. d) und des Tourismus (lit. e). Hiezu sei ergänzend bemerkt, dass die am 1. November 2004 in Kraft getretene neue Spielbankenverordnung im entsprechenden Art. 85 Abs. 4 bis auf das "Gemeinwesen" die gleichen Beispiele enthält.
Darüber hinaus kann der Bundesrat den Abgabesatz um bis zu einem Drittel verringern, wenn die Standortregion des Kursaales wirtschaftlich von ausgeprägt saisonalem Tourismus abhängig ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 und 3 SBG und Art. 86 VSBG). Ausserdem reduziert er die Abgabe für Kursäle, soweit der Standortkanton für diese eine gleichartige Abgabe erhebt (vgl. <ref-law>).
4. 4.1 Der Bundesrat setzte in Ziff. 3.5 der Konzession fest, dass der Abgabesatz nach <ref-law> um fünf Prozent sinkt, wenn 1/8 des Nettospielertrages für öffentliche Interessen der Region oder gemeinnützige Zwecke verwendet wird. Wird mehr als 1/8 des Nettospielertrages entsprechend verwendet, reduziert sich der Abgabesatz um 10 %. Wenn es mehr als 2/8, 3/8 bzw. 4/8 sind, beträgt die Ermässigung jeweils 15 %, 20 % bzw. 25 %. Weder die Vorinstanz noch die Beschwerdegegnerin haben diese Regelung beanstandet. Offenbar werden solche Ermässigungen einheitlich allen Spielbanken, die von der Abgabeermässigung nach <ref-law> profitieren können, gewährt. Sie stehen im Einklang mit dem Wortlaut der erwähnten Bestimmung. Vor allem erheischt diese nicht, eine Abgabeermässigung zu gewähren, wenn weniger als 1/8 des Nettospielertrages die erwähnte Verwendung findet (vgl. "in wesentlichem Umfang").
4.2 Die ESBK stellte fest, dass bei dem ausgewiesenen Nettospielertrag der Beschwerdegegnerin von Fr. 34'416'234.-- die erwähnte Minimalgrenze von 1/8 für die Abgabeermässigung nach <ref-law> bei Fr. 4'302'029.-- liegt. Diese Zahlen werden von den Beteiligten nicht in Frage gestellt. Einzig zu klären ist, ob die Beschwerdegegnerin Zahlungen geleistet hat, die für die Abgabereduktion zu berücksichtigen sind und den zuletzt genannten Betrag übersteigen oder zumindest erreichen.
4.3 Die Beschwerdegegnerin macht geltend, sie habe insgesamt Fr. 6'003'008.-- entsprechend aufgewendet. Davon erkennt die Vorinstanz - wie zuvor die ESBK - Zuwendungen von Fr. 1'140'100.-- allerdings nicht an, weil der von Beschwerdegegnerin eingesetzte Intermediär diesen Betrag im Jahr 2003 weder ausbezahlt noch als Aufwand verbucht hat (E. 8.1.3 des angefochtenen Urteils). Da die Beschwerdegegnerin sich hiermit nicht substantiiert befasst, ist darauf nicht zurückzukommen.
4.4 Streitig ist vor allem, ob der Betrag von Fr. 1'882'761.--, welche die Beschwerdegegnerin der Gemeinde Mendrisio bezahlt hat, im Rahmen von <ref-law> zu berücksichtigen ist. Die Vorinstanz ist der Auffassung, bereits die Zuwendung der Mittel an die Gemeinde selbst genüge für deren Berücksichtigung. Damit will sich die ESBK unter Hinweis auf Ziff. 3.5 der Konzession hingegen nicht begnügen.
5. 5.1 Der Bundesrat hat in die der Beschwerdegegnerin erteilte Konzession unter Ziff. 3.5 zahlreiche Bedingungen der Abgabeermässigung nach <ref-law> aufgenommen. Die Vorinstanz ist der Auffassung, die interessierenden Konzessionsbestimmungen würden im Vergleich zu <ref-law> und Art. 82 Abs. 4 lit. d aVSBG die Voraussetzungen für eine Abgabereduktion verschärfen. Wenn ein Gemeinwesen gesetzmässige Tätigkeiten ausübe, könne in der Regel gleichzeitig angenommen werden, dass es dabei öffentliche Interessen verwirkliche. Deshalb sei gemäss den soeben genannten Gesetzes- und Verordnungsbestimmungen jede Zuwendung an Gemeinwesen der Region für die Abgabeermässigung zu berücksichtigen; es komme nicht darauf an, wie die Gemeinden die empfangenen Mittel verwenden. <ref-law> ermächtige den Bundesrat nicht, die Voraussetzungen für die Gewährung der Abgabereduktion einzuschränken. Hiezu würden aber die Regelungen in der Konzession führen, da ihnen zufolge nicht alle Zuwendungen an Gemeinwesen anzuerkennen seien. Damit würde aber gegen das vorrangige Gesetzes- und Verordnungsrecht und demzufolge auch gegen das Legalitätsprinzip verstossen. Deshalb seien die betreffenden Konzessionsbestimmungen unzulässig und mithin unbeachtlich. Demzufolge sei das Rechtsmittel der Beschwerdegegnerin in Bezug auf sämtliche im Jahr 2003 vorgenommenen Zahlungen der Beschwerdegegnerin bzw. ihres Intermediären an Gemeinden und öffentlich-rechtliche Körperschaften, die von der ESBK nicht akzeptiert wurden, gutzuheissen.
5.2 Bei den streitigen Bestimmungen der Ziff. 3.5 der Konzession handelt es sich namentlich um den letzten Unterabschnitt mit dem Titel "Il caso particolare delle collettività pubbliche". Danach rechtfertigen Zahlungen in die allgemeine Kasse einer öffentlich-rechtlichen Körperschaft zur Finanzierung ihrer üblichen Aufgaben keine Ermässigung, selbst wenn sie im öffentlichen Interesse liegen. Einzig zweckgebundene Leistungen im öffentlichen Interesse oder Leistungen, die in den erweiterten Aufgabenbereich einer öffentlich-rechtlichen Körperschaft fallen und darauf abzielen, die Attraktivität der Gegend zu erhöhen, können zu einer Reduktion des Abgabesatzes führen. Diese Zahlungen müssen in einer gesonderten Buchhaltung erfasst werden (Lemma 2 Sätze 1 bis 3). Wenn eine öffentlich-rechtliche Körperschaft die Verteilung der von der Spielbank geleisteten Zahlungen selber vornimmt, muss sie über genaue und überprüfbare Verteilkriterien verfügen (Lemma 3).
5.3 Der Vorinstanz ist Recht zu geben, dass die erwähnten Konzessionsbestimmungen nicht jede Verwendung von Erträgen der Spielbank, die öffentlichen Interessen dient, genügen lassen, um eine Abgabeermässigung zu erwirken (s. zitiertes Lemma 2 Satz 1). Nach dem angefochtenen Entscheid verletzen sie deshalb <ref-law> und Art. 82 Abs. 1 aVSBG. Es fragt sich, ob den Konzessionsbestimmungen bereits deswegen - entsprechend der Auffassung der Vorinstanz - keine Wirkungen zukommt.
5.4 Nach dem klaren Wortlaut von <ref-law> besteht - im Gegensatz zu <ref-law> und zu den von der Vorinstanz zum Vergleich angeführten Art. 33a und 59 Abs. 1 lit. c DBG (SR 642.11) - keine Verpflichtung, die Abgabeermässigung zu gewähren. Die Regelung wurde in allen drei Amtssprachen als Kann-Bestimmung formuliert ("kann", "peut" und "può").
Auch war es der Wille des Gesetzgebers, dass der Bundesrat wegen fehlender Erfahrungen mit der Besteuerung von Spielbanken einen weiten Spielraum bzw. eine grosse Bandbreite bei der Bestimmung der Höhe der Spielbankenabgabe hat. Neben der Festsetzung des Abgabesatzes nach <ref-law>, sollte er auch die "Möglichkeit" haben, den Steuersatz unter anderem nach Art. 42 Abs. 1 zu ermässigen. Über die Reduktion sollte im Einzelfall entschieden werden (vgl. Bundesrat Koller, Berichterstatter Lauper und Nationalräte Loretan und Bosshard in AB 1998 N 1891, 1928 1930 und 1934; Berichterstatter Küchler und Ständerat Maissen in AB 1997 S 1297, 1317 und 1321 f.; erwähnte Botschaft zum SBG, BBl 1997 III 164 und 185 f. Ziff. 153.7 und 235.3).
Dem Gesetzgeber ging es im Wesentlichen darum, dass die Spielbanken zwar lebensfähig sind (vgl. <ref-law>), die Spielerträge aber in erster Linie entsprechend dem Verfassungsauftrag nach <ref-law> der AHV und IV zugute kommen (BGE 2C_123/2009 vom 1. Oktober 2009 E. 4.2 und 4.3). Lediglich aufgrund dieses finanziellen Argumentes war das ursprünglich bestehende Spielbankenverbot aufgehoben worden (vgl. die diversen Ausführungen der Parlamentarier zum Eintreten auf die Vorlage zum SBG und zu Art. 40 - 45 in AB 1997 S 1295 ff. sowie AB 1998 N 1883 ff. und 1928 ff.; Bundesrat Stich, Berichterstatter Bonny und Nationalrat Züger in AB 1992 N 1905-1907; zit. Botschaft BBl 1997 III 149, 156 f. und 163 f. Ziff. 11, 151, 152 und 153.7; Paul Richli, in: Jean-François Aubert et al., Kommentar zur Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft vom 29. Mai 1874, N. 24 f. zu <ref-law>; ders., Harmonisierungsbedarf zwischen den Gesetzgebungen über Spielbanken, Geschicklichkeits-Spielautomaten und Lotterien, AJP 1995 S. 459). Dementsprechend sollte das Spielbankengesetz und damit auch <ref-law> nicht als Instrument zur Finanzierung bzw. Förderung beliebiger öffentlicher Interessen oder gemeinnütziger Ziele dienen (Berichterstatter Küchler in AB 1997 S 1322).
Gemäss Botschaft zum Spielbankengesetz sollte sich der Reduktionsgrund nach <ref-law> insoweit rechtfertigen, als Spielbanken der Kategorie B "wie die Lotteriegesellschaften" mit ihren Erträgen in wesentlichem Ausmass öffentliche Interessen fördern und gemeinnützige Zwecke erfüllen (BBl 1997 III 186 Ziff. 235.3 zu Art. 42). Wie die ESBK richtig bemerkt, werden Lotterien nur bewilligt, wenn sie einem "gemeinnützigen oder wohltätigen Zweck" dienen (französisch: "but d'utilité publique ou de bienfaisance", italienisch: "scopo d'utilità pubblica o di beneficenza"). Lotterien zur Erfüllung öffentlich-rechtlicher gesetzlicher Verpflichtungen sind von der Bewilligung ausgeschlossen (Art. 5 des Bundesgesetzes vom 8. Juni 1923 betreffend die Lotterien und die gewerbsmässigen Wetten, Lotteriegesetz, LG; SR 935.51). Auch der damalige Bundespräsident Koller sprach in der Parlamentsdebatte zu <ref-law> von einer Reduktion, bloss wenn die "Kursäle gemeinnützige Zwecke verfolgen" (AB 1997 S 1322). Das deutet darauf hin, dass Zuwendungen der Spielbanken, die in die allgemeine Kasse einer öffentlich-rechtlichen Körperschaft zur Finanzierung auch der üblichen Aufgaben fliessen, im Rahmen von <ref-law> nicht anerkannt werden sollen. In diese Richtung ist auch der französische Text dieser Bestimmung zu verstehen, wenn dort von der Investition der Erträge der Spielbank in "Projekte" von allgemeinem Interesse ("projets d'intérêt général") die Rede ist und nicht bloss wie der deutsche und italienische Gesetzeswortlaut von der Verwendung für öffentliche Interessen ("utilizzati [...]. per interessi pubblici"). Ebenso ist die - erst vom Nationalrat ins Gesetz aufgenommene - Erwähnung des Beispiels der "Förderung kultureller Tätigkeiten" zu interpretieren. Wäre jegliche Verwendung im öffentlichen Interesse bei <ref-law> zu berücksichtigen, würde sich die ausdrückliche Nennung des erwähnten Beispiels im Gesetz erübrigen.
5.5 Demzufolge besteht - entgegen der Ansicht der Vorinstanz - seitens des Bundesrates keine Pflicht, sämtliche Zahlungen an öffentlich-rechtliche Körperschaften für die Abgabereduktion nach <ref-law> zu berücksichtigen (vgl. allg. zur Gesetzesauslegung: <ref-ruling> E. 1.6 S. 203; <ref-ruling> E. 3a S. 117; erwähnter BGE 2C_123/2009 E. 3). Der Bundesrat konnte die hier interessierenden Regelungen rechtsgültig und damit verbindlich in die Konzession aufnehmen. Das gilt auch für die zur erleichterten Kontrolle vorgesehene Erfassung der Zuwendungen in einer gesonderten Buchhaltung sowie für das Erfordernis genauer und überprüfbarer Verteilkriterien.
Anders als die Vorinstanz meint, wird dabei das steuerrechtliche Legalitätsprinzip nach Art. 164 Abs. 1 lit. d und 127 Abs. 1 BV nicht verletzt (vgl. allg. <ref-ruling> E. 2.1 S. 374; <ref-ruling> E. 3.1 S. 565; erwähnter BGE 2C_123/2009 E. 5.1, je mit Hinweisen). Wohl gilt dieses entgegen den Andeutungen der ESBK grundsätzlich auch für Abgabeermässigungen. Danach dürfen Abgabepflichtigen Vergünstigungen im Grundsatz nur gewährt werden, wenn und soweit das Gesetz diese zulässt (<ref-ruling> E. 2b S. 34, 505 E. 3b S. 513; vgl. auch Urteil 2A.227/2006 vom 10. Oktober 2006 E. 3.1, in: ASA 76 S. 748; Peter Locher, Legalitätsprinzip im Steuerrecht, ASA 60 S. 13 f.). Dem wird mit <ref-law> entsprochen. Eine andere Frage bildet, wie diese Bestimmung genau auszulegen ist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.4 S. 566 f.; Locher, a.a.O., S. 6 f.). Nach dem Dargelegten durfte der Bundesrat das Nähere zur Abgabereduktion regeln; er musste dabei nicht jede Zahlung an öffentlich-rechtliche Körperschaften akzeptieren. Mit den hier streitigen Bestimmungen in Ziff. 3.5 der Konzession hat er sich sowohl an die gesetzlichen Vorgaben als auch an <ref-law> gehalten und die Voraussetzungen für die Abgabeermässigung in diesem Rahmen in zulässiger Weise präzisiert. Diese Voraussetzungen hat er offenbar einheitlich für alle betroffenen Spielbanken formuliert. Selbst wenn der Gesetzgeber dem Bundesrat allenfalls einen zu weiten Spielraum eingeräumt haben sollte, wäre dies mit Blick auf <ref-law> von den rechtsanwendenden Behörden hinzunehmen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 566).
5.6 Nach dem Dargelegten sind die erwähnten Bestimmungen in Ziff. 3.5 der Konzession als verbindlich anzusehen. Da diesen in Bezug auf die Gemeinde Mendrisio nicht entsprochen wurde, hat die ESBK zu Recht den der Gemeinde im Jahr 2003 überlassenen Betrag von Fr. 1'882'761.-- im Rahmen von <ref-law> nicht anerkannt.
6. Demnach können von den Zuwendungen über Fr. 6'003'008.--, welche die Beschwerdegegnerin angeblich für das Jahr 2003 im Sinne von <ref-law> erbracht hat, mindestens Fr. 1'882'761 einerseits (s. E. 4.4 und E. 5 hievor) sowie Fr. 1'149'100 anderseits (s. E. 4.3 hievor) nicht berücksichtigt werden. Insoweit verbleiben bloss noch Zahlungen über Fr. 2'971'147.--. Mithin wird der Mindestbetrag von Fr. 4'302'029.-- nicht erreicht (s. E. 4.1 und 4.2 hievor). Deshalb hat die ESBK der Beschwerdegegnerin die Abgabereduktion nach <ref-law> zu Recht verweigert. Ob die übrigen Zahlungen der Beschwerdegegnerin von Fr. 2'971'147.-- im Rahmen dieser Bestimmung überhaupt zu berücksichtigen gewesen wären - die ESBK anerkannte nur Zuwendungen über knapp eine Million Franken -, braucht nicht mehr abgeklärt zu werden.
Demzufolge ist die Beschwerde gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Verfügung der ESBK vom 20. Dezember 2005 zu bestätigen.
7. Diesem Ausgang entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Kosten des bundesgerichtlichen und des vorinstanzlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 - 67 BGG, Art. 37 VGG und <ref-law>). Parteientschädigungen werden weder für das bundesgerichtliche noch für das vorinstanzliche Verfahren geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 3 und 5 BGG, <ref-law> [SR 173.320.2]).

Das Bundesgericht erkennt:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 14. April 2009 aufgehoben und die Verfügung der Eidgenössischen Spielbankenkommission vom 20. Dezember 2005 bestätigt.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 20'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren und Fr. 10'000.-- für das vorinstanzliche Verfahren werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. April 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Merz