Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 15. August 2008 schied der Einzelrichter des Bezirkes Affoltern die Ehe zwischen X._ und Y._ und verpflichtete Ersteren zur Bezahlung eines nachehelichen monatlichen Unterhaltsbeitrages von Fr. 2'000.-- an seine ehemalige Ehefrau bis zu ihrem Eintritt ins ordentliche AHV-Alter. Auf die Berufung von X._ hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich am 4. Mai 2009 diese Unterhaltsverpflichtung. Das obergerichtliche Urteil blieb unangefochten.
B. Am 15. Juni 2009 reichte X._ beim Bezirksgericht Zürich eine Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils ein. Darin beantragte er sinngemäss die Reduktion der Unterhaltsbeiträge. Zudem ersuchte er um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung.
Mit Verfügung vom 7. September 2009 setzte der Einzelrichter des Bezirksgerichts Zürich X._ eine Frist von zehn Tagen zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 6'000.--, unter Androhung, dass bei Säumnis auf die Klage nicht eingetreten werde.
C. Gegen diese Verfügung erhob X._ Rekurs an das Obergericht des Kantons Zürich und ersuchte auch für das Rechtsmittelverfahren sinngemäss um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Auf Verfügung des Obergerichts betreffend formelle Erledigung des erstinstanzlichen Armenrechtsgesuchs hin wies der Bezirkseinzelrichter am 1. Oktober 2009 das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ab. Auch gegen diese Verfügung reichte X._ Rekurs ein. Nach Vereinigung der beiden Rekursverfahren wies das Obergericht mit Beschluss vom 4. März 2010 sowohl die beiden Rekurse wie auch die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege für die Rechtsmittelverfahren ab.
D. Gegen den obergerichtlichen Beschluss erhob X._ Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich, welche mit Zirkulationsbeschluss vom 2. Juni 2010 abgewiesen wurde. Desgleichen wurde das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und unentgeltlichen Rechtsbeistand für das Beschwerdeverfahren abgewiesen. Zudem wies das Kassationsgericht einen Antrag auf Beizug der Akten des Stadtammann- und Betreibungsamtes ab.
E. Gegen den Beschluss des Obergerichts vom 4. März 2010 und gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 2. Juni 2010 hat X._ (fortan: Beschwerdeführer) am 8. Juli 2010 Beschwerde erhoben. Er beantragt die Aufhebung der angefochtenen Beschlüsse sowie die Rückweisung des Verfahrens an das Bezirksgericht zur Anhandnahme des Verfahrens um Herabsetzung des Unterhaltsbeitrags. Zudem ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Schliesslich verlangt er den Beizug der Vorakten, der Akten des Sozialversicherungsgerichts und des Stadtammann- und Betreibungsamtes.
Das Bundesgericht hat einzig die Vorakten beigezogen. Vernehmlassungen sind keine eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten sind - binnen Frist (<ref-law>) - die Beschlüsse des Obergerichts und des Kassationsgerichts betreffend die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Es handelt sich um selbständig eröffnete Zwischenentscheide, die einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131 mit Hinweis). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (Urteil 5A_484/2008 vom 16. September 2008 E. 1.2). Diese betrifft die Abänderung eines Scheidungsurteils im Unterhaltspunkt und somit eine vermögensrechtliche Zivilsache, wobei der massgebliche Streitwert nach den kassationsgerichtlichen Feststellungen überschritten ist (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 51 Abs. 4 BGG; Urteil 5A_82/2009 vom 27. April 2009 E. 1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit im Grundsatz zulässig.
1.2 <ref-law> lässt die Beschwerde gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen und des Bundesverwaltungsgerichts zu. Letztinstanzlichkeit gemäss <ref-law> bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug für die dem Bundesgericht vorgelegten Rügen ausgeschöpft sein muss (<ref-ruling> E. 1.3 S. 527 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer rügt in seiner Beschwerde an das Bundesgericht sinngemäss eine Verletzung von <ref-law> (vgl. unten E. 1.3). Diese Rüge konnte dem Kassationsgericht mit Nichtigkeitsbeschwerde vorgetragen werden (§ 285 Abs. 2 Satz 2 der Zürcher Zivilprozessordnung, ZPO; LS 271) und die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege wurde von diesem auch geprüft. Damit erweist sich einzig der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts als letztinstanzlich, weshalb auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist, als sie sich gegen den obergerichtlichen Beschluss richtet (vgl. auch Urteil 5A_694/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 3).
1.2 <ref-law> lässt die Beschwerde gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen und des Bundesverwaltungsgerichts zu. Letztinstanzlichkeit gemäss <ref-law> bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug für die dem Bundesgericht vorgelegten Rügen ausgeschöpft sein muss (<ref-ruling> E. 1.3 S. 527 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer rügt in seiner Beschwerde an das Bundesgericht sinngemäss eine Verletzung von <ref-law> (vgl. unten E. 1.3). Diese Rüge konnte dem Kassationsgericht mit Nichtigkeitsbeschwerde vorgetragen werden (§ 285 Abs. 2 Satz 2 der Zürcher Zivilprozessordnung, ZPO; LS 271) und die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege wurde von diesem auch geprüft. Damit erweist sich einzig der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts als letztinstanzlich, weshalb auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist, als sie sich gegen den obergerichtlichen Beschluss richtet (vgl. auch Urteil 5A_694/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 3).
1.3 1.3.1 Eine Beschwerde hat einen Antrag zu enthalten und ist zu begründen (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 Satz 1 BGG). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 130 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Auf eine Beschwerde mit formell mangelhaftem Antrag oder mangelnder Begründung kann nicht eingetreten werden.
1.3.2 Der Beschwerdeführer stellt einen Aufhebungsantrag und einen Antrag auf Rückweisung an die erste Instanz zur Anhandnahme des Hauptsacheverfahrens. Dieser Antrag ist vom Wortlaut her an sich klar. Aus den angefochtenen Entscheiden erhellt aber, dass es dem Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht in erster Linie um die Anhandnahme des Prozesses geht - wie bei einer Rechtsverweigerungsbeschwerde -, sondern um die Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung für das Hauptsacheverfahren. Die Gewährung dieser Rechtswohltat bildet mittelbar Voraussetzung für die Anhandnahme des Hauptsacheprozesses, da der Beschwerdeführer offenbar die geforderte Prozesskaution nicht erbringen kann und auf diese bei Gewährung des Rechts zur unentgeltlichen Prozessführung verzichtet würde (<ref-law>). Weil sich somit ohne weiteres ergibt, was der Beschwerdeführer in der Sache verlangt, ist sein Begehren in diesem Sinne zu deuten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 415; Urteil 5A_766/2008 vom 4. Februar 2009 E. 2.3, in: FamPra.ch 2009 S. 422).
2. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweis). Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer summarischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen).
3. 3.1 Das Kassationsgericht hat mit den Vorinstanzen das Hauptsacheverfahren (Abänderungsklage auf Anpassung der Unterhaltsrente) als aussichtslos erachtet. Voraussetzung der Abänderung sei eine erhebliche, dauernde und im Scheidungszeitpunkt nicht voraussehbare Änderung der wirtschaftlichen Verhältnisse. Mithin kämen nur echte Noven in Betracht. Das Abänderungsverfahren diene hingegen nicht dazu, im Scheidungsverfahren (inklusive Rechtsmittelverfahren) Verpasstes nachzuholen und das rechtskräftig gewordene Scheidungsurteil zu korrigieren. Der Beschwerdeführer mache mit seiner Abänderungsklage aber gerade keine geänderten Verhältnisse geltend, sondern ziele auf die Korrektur des unangefochten gebliebenen Scheidungsurteils ab. Insbesondere sei bereits im Scheidungsverfahren bekannt gewesen, dass dem Beschwerdeführer seit Jahren von seiner Invalidenrente ein Betrag weggepfändet werde.
3.2 Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was an der Beurteilung des Kassationsgerichts etwas ändern könnte. Er gibt selber - mehr oder weniger direkt - zu, dass es ihm nicht um die Berücksichtigung geänderter Verhältnisse geht, sondern um die Korrektur des rechtskräftigen Scheidungsurteils. So äussert er sich etwa dahingehend, dass es prozesstaktisch höchstwahrscheinlich falsch gewesen sei, das damalige obergerichtliche Scheidungsurteil nicht weiterzuziehen, und dass er stattdessen ein neues Verfahren vor Bezirksgericht anhängig gemacht habe in der Meinung, auf diese Weise rascher zum Ziel zu kommen. Seine Ausführungen zur Anrechnung eines hypothetischen Einkommens und zur Wahrung des Existenzminimums des Schuldnerehegatten zielen denn auch auf Kritik am Scheidungsurteil und zeigen nicht auf, inwiefern sich die Verhältnisse seit Erlass desselben im Sinne von <ref-law> verändert hätten. Insbesondere behauptet er nicht, dass seine angebliche Leistungsschwäche erst nach der Festsetzung des Unterhaltsbeitrags im Scheidungsurteil eingetreten sei. Weitergehend scheint er der Ansicht zu sein, dass es gar keiner geänderter Verhältnisse bedarf, sondern die Folgen der Rechtskraft im Scheidungsrecht nicht mit derselben Härte angewendet werden dürften wie bei Forderungsklagen, weil sonst der behauptete unrechtmässige Zustand noch über Jahre fortgeschrieben würde. Dem kann angesichts unumstrittener prozessrechtlicher Grundsätze über die Bedeutung der materiellen Rechtskraft und des klaren Wortlauts von <ref-law> nicht gefolgt werden. Vielmehr durfte die Vorinstanz die Abänderungsklage angesichts dieser Umstände zurecht als aussichtslos beurteilen. Dieses Ergebnis hat nichts mit überspitztem Formalismus oder einer Missachtung des "gesunden Menschenverstandes" zu tun, sondern dient der Rechtssicherheit. Ein gerichtlich erledigter Streit soll nicht beliebig wieder vor Gericht getragen werden können. Demzufolge ist hinzunehmen, dass auch ein materiell unrichtiges Urteil Bestand hat, sofern es nicht rechtzeitig auf dem Rechtsmittelweg umgestossen wird. Inwiefern die vom Beschwerdeführer zusätzlich angerufenen Akten des Sozialversicherungsgerichts und des Stadtammann- und Betreibungsamtes etwas an dieser Beurteilung ändern könnten, ist nicht ersichtlich. Auf ihren Beizug ist zu verzichten.
3.3 Der Beschwerdeführer bezeichnet die ihm gestützt auf <ref-law> auferlegte Prozesskaution als "prozesstorpedierend". Soweit mit dieser Formulierung überhaupt eine Rüge erhoben sein soll, würde die Prozesskaution damit weder im Grundsatz noch in Bezug auf die Höhe in rechtsgenügender Weise angefochten, wird doch nicht aufgezeigt, inwiefern eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung (Art. 95 f. BGG) vorliegen könnte (vgl. oben E. 1.3.1).
4. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen, da die Beschwerde von Anfang an aussichtslos war (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg