Sachverhalt:
A. Am 23. November 2007 reichte X._, Geschäftsführer und Präsident des Stiftungsrats der "A._ Stiftung", beim Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland gegen B._ Privatstrafklage wegen Ehrverletzung ein. Anlass waren zwei von B._ an das Bundesamt für Sozialversicherung versandte E-Mails. Darin wurde u.a. die Frage einer allfälligen Veruntreuung von Stiftungsgeldern aufgeworfen und X._ eine beträchtliche kriminelle Energie zugeschrieben.
B. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2008 liess der Einzelrichter in Strafsachen des Bezirkes Zürich die Anklage wegen Ehrverletzung nicht zu. Einen von X._ dagegen erhobenen Rekurs wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 3. November 2009 ab.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben, und das Verfahren sei mit der Auflage, die Anklage zuzulassen, an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D. Das Obergericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet. B._ hat sich vernehmen lassen, ohne ausdrücklich einen Antrag zu stellen.

Erwägungen:
1. Gestützt auf § 287 des Gesetzes [des Kantons Zürich] vom 4. Mai 1919 betreffend den Strafprozess (StPO; LS 321) sind Ehrverletzungsklagen auf dem Weg der Privatstrafklage zu betreiben. Das Verfahren zeichnet sich dadurch aus, dass der Verletzte anstelle der sonst mit dieser Aufgabe betrauten staatlichen Organe die Rolle des Anklägers übernimmt und eine Verurteilung des Beschuldigten anstrebt (Niklaus Schmid, Strafprozessrecht, 4. Aufl. 2004, N. 871). Der Beschwerdeführer ist, weil er nach dem kantonalen Recht die Anklage ohne Beteiligung der Staatsanwaltschaft zu vertreten hat, zur Beschwerde berechtigt (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG).
2. Der Bezirksgerichtspräsident respektive der Einzelrichter verfügt bei Ehrverletzungen, die nicht durch die Medien begangen wurden, auf Grundlage der Weisung und der Anklageschrift über die Zulassung der Anklage (<ref-law>/ZH). Der Inhalt der Anklage ist auf ihre formale Ordnungsmässigkeit zu prüfen. Anklagen, bei denen die behaupteten Äusserungen gar nicht ehrenrührig sind, oder klarerweise ein Rechtfertigungsgrund gegeben ist, sind nicht zuzulassen. Es kann jedoch nicht Aufgabe der Zulassungsbehörde sein, in Zweifelsfällen dem Urteil des Sachrichters vorzugreifen (Niklaus Schmid, in: Kommentar zur Strafprozessordnung des Kantons Zürich, 1997, N. 8 zu <ref-law>; vgl. auch derselbe, Strafprozessrecht, a.a.O., N. 819).
3. 3.1 Dem Beschwerdegegner wird in der Anklageschrift vom 23. November 2007 zur Last gelegt, er habe als Kunde der "A._ Stiftung" dem Bundesamt für Sozialversicherung (nachfolgend A._ respektive BSV) zwei E-Mails mit ehrverletzendem Inhalt geschickt. Im E-Mail vom 21. August 2006 habe der Beschwerdegegner Folgendes ausgeführt:
"Die kriminelle Energie von Herrn X._ erscheint mir beträchtlich und ich fühle mich langsam aber sicher, da seine Berufsexistenz auf dem Spiel steht und Menschen in auswegslosen Lagen zu Kurzschlusshandlungen neigen, nicht mehr sicher. Wenn meine obigen Vermutungen zutreffen, müsste X._ wohl schnellstens in Untersuchungshaft genommen werden, u.a. auch, damit er sich nicht absetzen kann."
Zudem habe der Beschwerdegegner mit einem E-Mail vom 27. August 2006 dem Beschwerdeführer ungetreue Geschäftsbesorgung und die Veruntreuung von Stiftungsgeldern vorgeworfen (vorinstanzliche Akten act. 6/1).
3.2 Gemäss <ref-law> macht sich der üblen Nachrede schuldig, wer jemanden bei einem anderen eines unehrenhaften Verhaltens oder anderer Tatsachen, die geeignet sind, seinen Ruf zu schädigen, beschuldigt oder verdächtigt oder wer eine solche Beschuldigung oder Verdächtigung weiterverbreitet (vgl. auch <ref-law>).
Nach ständiger Rechtsprechung beschränkt sich der strafrechtliche Schutz von <ref-law> auf den menschlich-sittlichen Bereich. Die Bestimmung schützt somit den Ruf, ein ehrbarer Mensch zu sein, d.h. sich so zu benehmen, wie nach allgemeiner Anschauung ein charakterlich anständiger Mensch sich zu verhalten pflegt (sittliche Ehre bzw. ethische Integrität). Den Tatbestand erfüllen danach nur Behauptungen sittlich vorwerfbaren, unehrenhaften Verhaltens. Äusserungen, die geeignet sind, jemanden in anderer Hinsicht, z.B. als Geschäfts- oder Berufsmann, als Politiker oder Künstler in seiner gesellschaftlichen Geltung oder sozialen Funktion herabzusetzen (gesellschaftliche oder soziale Ehre), sind demgegenüber nicht ehrverletzend, solange die Kritik an den strafrechtlich nicht geschützten Seiten des Ansehens jedenfalls nicht zugleich die Geltung als ehrbarer Mensch trifft. Für die Frage, ob die Äusserung ehrenrührig ist, ist massgeblich, welcher Sinn ihr ein unbefangener Adressat unter den konkreten Umständen beilegt (<ref-ruling> E. 1a S. 58 mit Hinweisen). Unerheblich ist, ob der Dritte die Beschuldigung oder Verdächtigung für wahr hält oder nicht (<ref-ruling>). Die sittliche Ehre ist namentlich tangiert beim Vorwurf, vorsätzlich eine strafbare Handlung begangen zu haben (Franz Riklin, in: Basler Kommentar, Strafrecht, 2. Aufl. 2007, N. 18 vor <ref-law>).
Der subjektive Tatbestand verlangt Vorsatz, wobei Eventualvorsatz genügt. Dieser muss sich auf den ehrverletzenden Charakter der Mitteilung, die Eignung zur Rufschädigung und die Kenntnisnahme der Äusserung durch einen Dritten, nicht aber auf deren Unwahrheit beziehen. Eine besondere Beleidigungsabsicht ist nicht erforderlich (Trechsel/Lieber, in: Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2008, N. 11 zu <ref-law>).
3.3 Die Ausführungen des Beschwerdegegners im E-Mail vom 21. August 2006 an das BSV "Die kriminelle Energie von Herrn X._ scheint mir beträchtlich..." schreiben dem Beschwerdeführer ein strafbares Verhalten zu. Der Ausdruck "kriminelle Energie" trägt auch die Bedeutung "zu strafbaren Handlungen neigend". Die Aussage, der Beschwerdeführer sei kriminell, erfüllt daher zweifellos den objektiven Tatbestand der üblen Nachrede gemäss <ref-law>. Ebenso ist der vom Beschwerdegegner geäusserte Verdacht strafbaren Verhaltens im E-Mail vom 27. August 2006 geeignet, den Ruf des Beschwerdeführers zu schädigen. Ob der Beschwerdegegner auch den subjektiven Tatbestand der Ehrverletzung erfüllt hat, braucht hier nicht weiter geprüft zu werden (E. 4.4 nachfolgend).
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt, es liege entgegen den Erwägungen der Vorinstanz kein Rechtfertigungsgrund, zumindest aber kein klarer Rechtfertigungsgrund für die ehrverletzenden Äusserungen vor. Nur ein klarer, offensichtlicher Rechtfertigungsgrund, der mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit zu einem Freispruch führe, rechtfertige die Nichtzulassung der Anklage. Der vorinstanzliche Entscheid verletze deshalb Bundesrecht (Art. 14 und Art. 173 ff. StGB). Der Beschwerdegegner habe die E-Mails verfasst, nachdem ihm vom BSV bestätigt worden sei, dass die Revisionsstelle C._ einen positiven Bericht über die Geschäftsführung und Buchhaltung der A._ vorgelegt habe. Wer im Wissen darum, dass die berufliche Tätigkeit einer Person als ordnungsgemäss befunden werde, dennoch solche ehrverletzende Äusserungen tätige, könne sich nicht auf einen Rechtfertigungsgrund berufen. Dem Beschwerdegegner sei es deshalb zu keinem Zeitpunkt um eine sachliche Auseinandersetzung gegangen. Seine Äusserungen seien für die Anzeige an das BSV sachlich bedeutungslos gewesen und hätten ausschliesslich dazu gedient, ihn wider besseres Wissen schlecht zu machen, zu demütigen und zu schikanieren. Das eigentliche Motiv für die ehrverletzenden Äusserungen habe darin gelegen, dass der Beschwerdegegner von der A._ die Auszahlung seines Freizügigkeitsguthabens in bar verlangt habe, was er (der Beschwerdeführer) jedoch korrekterweise verweigert habe (Beschwerde S. 5 ff.).
4.2 Die Vorinstanz erwägt, es sei zu berücksichtigen, welche Umstände zum Verfassen der E-Mails geführt hätten, in welcher Form und an wen die E-Mails ergangen seien und was vom Verfasser damit in erster Linie bezweckt worden sei. Zwischen zulässiger und unzulässiger Kritik im Rahmen einer formellen Beschwerde verlaufe keine scharfe Grenze. Überspitzte Darstellungen und Übertreibungen seien zu tolerieren. Nur offensichtlich unnötige, nicht sachbezogene und ausschliesslich der Verletzung dienende Ausführungen seien von der Darlegungs- und Begründungspflicht im Rahmen einer Aufsichtsbeschwerde nicht mehr umfasst. Aus den Akten gehe hervor, dass nicht nur dem Beschwerdegegner, sondern zahlreichen andern Kunden der A._ Transparenz hinsichtlich der verrechneten Gebühren gefehlt hätte. Auch für den objektiven Betrachter sei der Eindruck entstanden, es werde mit den anvertrauten Vorsorgegeldern Profit zuungunsten der Kunden gemacht oder zumindest unprofessionell und nicht im Kundeninteresse gewirtschaftet. Die beanstandeten Äusserungen seien zwar hart und deutlich, jedoch nicht übertrieben. Auch würden sie nicht über das für die Erläuterung des Standpunkts und die Begründung einer Aufsichtsbeschwerde Notwendige hinausgehen. Allfällige Straftaten seien bloss als eine abzuklärende Möglichkeit respektive Vermutung thematisiert worden. Die Äusserungen seien deshalb klar gerechtfertigt, was im Rahmen der Anklagezulassung habe berücksichtigt werden dürfen. Die Nichtzulassung der Ehrverletzungsklage sei mithin zu Recht erfolgt (angefochtener Entscheid S. 10 ff.).
4.3 Die Erlaubtheit einer ehrverletzenden Äusserung kann sich aus <ref-law> ergeben. Gemäss dieser Bestimmung, die ihrem Gehalt nach grundsätzlich dem früheren Art. 32 aStGB entspricht, verhält sich rechtmässig, wer handelt, wie es das Gesetz gebietet oder erlaubt, auch wenn die Tat nach dem StGB oder einem andern Gesetz mit Strafe bedroht ist. Auf diesen Rechtfertigungsgrund können sich nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts beispielsweise Richter oder Beamte berufen, die in der Begründung von Urteilen oder Verfügungen ehrverletzende Äusserungen machen. Denn zu ihren Aufgaben gehört auch die Verpflichtung, Entscheide zu begründen. Soweit solche die Ehre des Betroffenen verletzenden Äusserungen mit dem Gegenstand des Entscheids zusammenhängen und der notwendigen Begründung dienen, sind sie gerechtfertigt (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 161 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 4a S. 95). Auch Prozessparteien können sich bei allfälligen ehrenrührigen Bemerkungen auf ihre prozessualen Darlegungspflichten und damit auf <ref-law> berufen. Die gleichen Befugnisse müssen auch dem Anwalt zustehen, der eine Partei vertritt, sofern seine Ausführungen sachbezogen sind, sich auf das für die Erläuterung des jeweiligen Standpunktes Notwendige beschränken, nicht wider besseres Wissen erfolgen und blosse Vermutungen als solche bezeichnen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 157 mit Hinweisen). Ebenso handelt der Zeuge aufgrund seiner Zeugnispflicht rechtmässig, wenn er aussagt, was er für wahr hält; dies gilt selbst, wenn er bei pflichtgemässer Aufmerksamkeit die Unrichtigkeit seiner vermeintlich wahren Angaben hätte erkennen können. Auf den Rechtfertigungsgrund von <ref-law> kann sich auch die polizeilich oder richterlich befragte Auskunftsperson berufen (<ref-ruling> E. 4 S. 177 ff. mit Hinweisen).
4.4 Der Auffassung der Vorinstanz, wonach die dem Beschwerdegegner zur Last gelegten Äusserungen im Sinne von <ref-law> klar gerechtfertigt seien und dies im Rahmen der Anklagezulassung habe berücksichtigt werden können, kann aus verschiedenen Gründen nicht gefolgt werden.
4.4.1 Die inkriminierten Äusserungen erfolgten gegenüber dem BSV als Aufsichtsbehörde der A._. Der Beschwerdegegner handelte nicht in Ausübung einer amtlichen Funktion, und es oblag ihm gegenüber dem BSV keine Informationspflicht. Ebenso wenig erfolgten die E-Mails im Rahmen einer ihm obliegenden prozessualen Darlegungs- und Begründungspflicht. Eine Aufsichtsbeschwerde verschafft dem Anzeiger keinerlei Parteirechte (vgl. <ref-law>). Die Situation des Beschwerdegegners ist mit derjenigen der Richter, Prozessparteien, Zeugen etc. (E. 4.3 hievor) nicht vergleichbar. Vielmehr veranlasste er eine blosse Behördenanzeige. Eine solche bildet keinen Rechtfertigungsgrund (<ref-ruling> E. 3c S. 209 mit Hinweisen). Wem es freisteht, ob er sich äussern will oder nicht, unterscheidet sich wesentlich von demjenigen, der verpflichtet ist, sich zu äussern. Es rechtfertigt sich, den zur Äusserung Verpflichteten von der Last des Gutglaubensbeweises im Sinne von <ref-law> zu befreien (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 99). Der Beschwerdegegner geniesst mithin über den (im Übrigen zumutbaren) Entlastungsbeweis nach <ref-law> hinaus keine Privilegierung. Sein Handeln ist im Rahmen eines allfälligen Wahrheits- oder Gutglaubensbeweises zu beurteilen, nicht jedoch anlässlich der Anklagezulassung. Indem die Vorinstanz einen Rechtfertigungsgrund bejaht, verletzt sie Bundesrecht (<ref-law>). Die Beschwerde ist in diesem Punkt gutzuheissen.
4.4.2 Selbst wenn die fraglichen Äusserungen in Ausübung einer Amts- oder Berufspflicht etc. erfolgt wären, könnte nicht von einem klaren Rechtfertigungsgrund gesprochen werden.
Der Beschwerdegegner schreibt dem Beschwerdeführer im E-Mail vom 21. August 2006 kriminelle Energie zu (vorinstanzliche Akten act. 6/2/3). Dieser Vorwurf ist keine unbedeutende Übertreibung. Vielmehr ist er erheblich und geht er über eine blosse überspitzte Darstellung der eigenen Sichtweise hinaus. Er ist weder sachbezogen noch dient er der Aufsichtsbehörde als Information. Für die sachliche Erläuterung des Standpunkts des Beschwerdegegners ist er deshalb nicht nötig. Ebenso wenig sind die geäusserten Verdachtsmomente im E-Mail vom 27. August 2006, wonach der Beschwerdeführer Stiftungsgelder zweckwidrig verwenden würde, für die Anrufung der Aufsichtsbehörde von vornherein unerlässlich. Dies gilt insbesondere unter Berücksichtigung der im selben E-Mail detaillierten Darlegung der gerügten Praktiken der A._ (beispielsweise fehlende Reglemente für die Verrechnung von Gebühren bei Kauf und Verkauf von Wertschriften, volle ordentliche Verwaltungskosten bei angebrochenem Kalenderjahr, vgl. vorinstanzliche Akten act. 6/2/3). Dass es somit notwendig gewesen sein sollte, die Vermutung strafbaren Verhaltens in den Raum zu stellen, scheint zumindest fraglich. Dies wäre in jedem Fall nicht im Rahmen der Anklagezulassung zu beurteilen. Die Grenzziehung zwischen zulässiger und unzulässiger Kritik obliegt dem Sachrichter.
4.5 Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese respektive die erste Instanz wird auf die Ehrverletzungsklage des Beschwerdeführers einzutreten haben.
Damit erübrigt es sich, die weiteren Rügen des Beschwerdeführers zu behandeln.
5. Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt (<ref-law>). B._ stellte keinen ausdrücklichen Antrag, weshalb ihm keine Kosten aufzuerlegen sind. Ebenso wenig sind dem Kanton Zürich Verfahrenskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat den Beschwerdeführer angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 3. November 2009 aufgehoben und die Sache im Sinne der Erwägungen zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Faga