Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1972) stammt aus Deutschland. Er kam am 29. Januar 2006 in die Schweiz und verfügte hier gestützt auf ein unbefristetes Arbeitsverhältnis als Handwerksmeister über eine bis zum 31. August 2011 gültige Aufenthaltsbewilligung B (EU/EFTA-B). Sein Dienstverhältnis wurde am 9. Mai 2008 aufgelöst, nachdem es zu einer tätlichen Auseinandersetzung am Arbeitsplatz gekommen war. A._ bezog von Juli 2008 bis Juni 2010 Arbeitslosengelder.
B.
B.a. Am 20. Juni 2011 ersuchte A._ das Migrationsamt des Kantons Solothurn, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern, was dieses am 4. Juli 2011 um ein Jahr, d.h. bis zum 31. August 2012 tat. Das Migrationsamt wies A._ darauf hin, dass sein freizügigkeitsrechtlicher Aufenthaltsanspruch erlösche, falls er nach einem Jahr immer noch arbeitslos sein sollte. Am 26. September 2012 informierte das Sozialamt U._ das Migrationsamt, dass A._ nach wie vor vollumfänglich unterstützt werden müsse. Er habe insgesamt Sozialhilfeleistungen in der Höhe Fr. 41 ́680.60 bezogen. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn lehnte es am 8. März 2013 androhungsgemäss ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ ein weiteres Mal zu verlängern, und forderte ihn auf, das Land zu verlassen.
B.b. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies am 20. Januar 2014 die von A._ hiergegen eingereichte Beschwerde ab. Zwar habe dieser während der Verlängerung seines Aufenthalts mehrere Praktika absolviert, doch sei er im entscheidenden Zeitpunkt der Verlängerung immer noch arbeitslos gewesen, weshalb nicht weiter geprüft werden müsse, ob seine Praktika (vom 1. September bis zum 31. November 2011 [B._] und vom 15. März 2012 bis 31. Juli 2012 [C._]) als Erwerbstätigkeit zu gelten hätten. Sein Verlängerungsanspruch sei so oder anders erloschen, da er im Entscheidzeitpunkt keiner Erwerbstätigkeit nachgegangen sei. Sein ursprüngliches Dienstverhältnis sei nicht wegen dauernder Arbeitsunfähigkeit aufgelöst worden, womit kein Verbleiberechtsanspruch bestehe. Im Übrigen habe A._ nach eigenen Angaben Praktika absolviert, ohne geltend zu machen, nicht voll arbeitsfähig zu sein. Bis zum Ablauf seiner Aufenthaltsbewilligung lägen aufgrund der durch die IV-Stelle in die Wege geleiteten Abklärungen keine Hinweise auf eine dauernde Arbeitsunfähigkeit im Sommer 2012 vor. A._ habe zwar inzwischen sieben Jahre in der Schweiz verbracht, sei aber seit bald fünf Jahren nicht mehr erwerbstätig und habe 34 Jahre in Deutschland gelebt, weshalb keine Gründe ersichtlich seien, welche die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im Rahmen einer Härtefallregelung rechtfertigen würden.
C.
C.a. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 20. Januar 2014 aufzuheben und das Migrationsamt zu verpflichten, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Er sei in der Schweiz unfreiwillig arbeitslos geworden. Seine Praktika hätten als Erwerbstätigkeit zu gelten, womit ihm im Jahr 2012 für 6 Monate Arbeitnehmereigenschaft zugekommen sei und er nach wie vor von den damit verbundenen Freizügigkeitsrechten profitieren könne. Im Übrigen sei er wegen seiner Rückenprobleme nicht voll arbeitsfähig. Während der Abklärungen der IV hinsichtlich der Frage der Arbeitsfähigkeit im Vorfeld allfälliger beruflicher Integrationsmassnahmen habe er Anspruch darauf, dass seine Bewilligung verlängert werde. Das Verbleiberecht nach Art. 4 Anhang I zum Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) erzeuge diesbezüglich "eine gewisse Vorwirkung". A._ ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
C.b. Mit Verfügung vom 27. Februar 2014 hat das präsidierende Abteilungsmitglied der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt. Die kantonalen Behörden und das Bundesamt für Migration (heute: Staatssekretariat für Migration [SEM]) beantragen, die Beschwerde abzuweisen bzw. abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer beruft sich in vertretbarer Weise auf einen freizügigkeitsrechtlichen Bewilligungs- bzw. Verbleiberechtsanspruch (vgl. Art. 6 bzw. 4 Anhang I FZA). Seine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a, 83 lit. c Ziff. 2, 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Ob und in welchem Umfang der behauptete Anspruch tatsächlich besteht, bildet praxisgemäss Gegenstand der materiellen Beurteilung und nicht des Eintretens (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179; Urteil 2C_587/ 2013 vom 30. Oktober 2013 E. 1).
1.2. Nicht einzugehen ist auf die Ausführungen des Beschwerdeführers, soweit er geltend macht, es bestehe bei ihm ein Härtefall im Sinne von Art. 20 der Verordnung vom 22. Mai 2002 über die schrittweise Einführung des freien Personenverkehrs zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Union und deren Mitgliedstaaten sowie unter den Mitgliedstaaten der Europäischen Freihandelsassoziation [VEP; SR 142.203]). Zwar können Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA erteilt werden, wenn wichtige Gründe dies gebieten und die Voraussetzungen für eine Zulassung zu einem Aufenthalt ohne Erwerbstätigkeit nicht erfüllt sind. Die entsprechende Verordnungsbestimmung begründet indessen keinen Bewilligungsanspruch: Es handelt sich dabei - analog der allgemeinen Härtefallregelung in Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG (SR 142.20) - um einen Ermessensentscheid, gegen den allenfalls die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offensteht (vgl. THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2012/2013, 2013, S. 31 ff., dort 95 ff.). Mangels des für diese erforderlichen rechtlich geschützten Interesses (vgl. <ref-ruling> ff.) bzw. der Rüge einer von der Sache selber losgelöst beurteilbaren formellen Rechtsverweigerung ("Star"-Praxis; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 308) ist auf die vorliegende Eingabe nicht einzutreten, soweit sie diesbezüglich als solche entgegenzunehmen wäre.
1.3.
1.3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern sich der festgestellte Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung als klar und eindeutig mangelhaft - mit anderen Worten willkürlich - erweist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3).
1.3.2. Willkür liegt nicht bereits dann vor, wenn eine andere Sicht ebenfalls vertretbar oder sogar zutreffender erscheint, sondern nur, wenn die vorinstanzliche Beurteilung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt bzw. in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 3 S. 104 f.). In rechtlicher Hinsicht ist - in Auseinandersetzung mit der Begründung im angefochtenen Entscheid - darzutun, inwiefern dieser Bundesrecht verletzt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 - 2.3). Hierfür genügt nicht, lediglich auf die Ausführungen und die Akten im kantonalen Verfahren zu verweisen; erforderlich sind sachbezogene Darlegungen und nicht blosse Bestreitungen der rechtlichen Überlegungen der Vorinstanz.
1.3.3. Der Beschwerdeführer beanstandet den Sachverhalt bzw. die Beweiswürdigung des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn in verfassungsrechtlicher Hinsicht nicht, sondern stellt lediglich - in Wiederholung seiner Eingabe an die Vorinstanz - seine Sicht der Dinge jener im angefochtenen Entscheid gegenüber. Dem vorliegenden Urteil ist deshalb der von den kantonalen Behörden festgestellte Sachverhalt zugrunde zu legen.
2.
2.1.
2.1.1. Ein Arbeitnehmer, der Staatsangehöriger einer Vertragspartei ist und mit einem Arbeitgeber des Aufnahmestaates ein Arbeitsverhältnis mit einer Dauer von mindestens einem Jahr eingeht, erhält eine Aufenthaltserlaubnis mit einer Gültigkeitsdauer von fünf Jahren, gerechnet ab dem Zeitpunkt der Erteilung der Erlaubnis (EU/EFTA-B-Bewilligung). Diese wird automatisch um mindestens fünf Jahre verlängert. Bei der ersten Verlängerung kann die Gültigkeitsdauer indessen beschränkt werden, wenn der Inhaber seit mehr als zwölf aufeinanderfolgenden Monaten unfreiwillig arbeitslos ist; die Dauer der Bewilligungsverlängerung darf dabei ein Jahr nicht unterschreiten (vgl. Art. 6 Abs. 1 Anhang I FZA). Einem Arbeitnehmer, der mit einem Arbeitgeber des Aufnahmestaates ein Arbeitsverhältnis mit einer Dauer von mehr als drei Monaten und weniger als einem Jahr eingegangen ist, wird eine Aufenthaltserlaubnis mit einer Gültigkeitsdauer erteilt, die der Dauer des Arbeitsvertrags entspricht (Art. 6 Abs. 2 Anhang I FZA; EU/EFTA-L-Bewilligung).
2.1.2. Nach Art. 6 Abs. 6 Anhang I FZA darf einer arbeitnehmenden Person eine gültige Aufenthaltsbewilligung nicht allein deshalb entzogen werden, da sie keine Beschäftigung mehr hat, weil sie infolge von Krankheit oder Unfall vorübergehend arbeitsunfähig oder unfreiwillig arbeitslos geworden ist, falls das zuständige Arbeitsamt dies ordnungsgemäss bestätigt. Der Unterbruch der Erwerbstätigkeit infolge von Krankheit oder Unfall, die von der zuständigen Behörde bestätigte Zeit unfreiwilliger Arbeitslosigkeit und der unfreiwillige Erwerbsunterbruch von unselbständig Erwerbstätigen gelten als Beschäftigungszeiten (vgl. Art. 4 Abs. 2 Anhang I FZA i.V.m. Art. 2 Abs. 1 und Art. 4 Abs. 2 der Verordnung Nr. 1251/70/EWG über das Recht der Arbeitnehmer, nach der Beendigung einer Beschäftigung im Hoheitsgebiet eines Mitgliedstaates zu verbleiben [ABl. 1970 L 142 vom 30. Juni 1970, S. 24 ff.]).
2.2.
2.2.1. Das Bundesgericht hat in Auslegung dieser Grundlagen entschieden, dass eine arbeitnehmende Person ihren freizügigkeitsrechtlichen Status als unselbständig erwerbstätige Person verlieren kann, (1) wenn sie freiwillig arbeitslos geworden ist, (2) aufgrund ihres Verhaltens feststeht, dass keinerlei ernsthafte Aussichten (mehr) darauf bestehen, dass sie in absehbarer Zeit eine andere Arbeit finden wird ( Dahinfallen des Arbeitnehmerstatus; vgl. das Urteil des EuGH vom 26. Mai 1993 C-171/91 Tsiotras, Slg. 1993 I-2925 Randnr. 14) oder (3) ihr Verhalten gesamthaft als rechtsmissbräuchlich bezeichnet werden muss, da sie ihre Bewilligung (etwa) gestützt auf eine fiktive bzw. zeitlich kurze Erwerbstätigkeit einzig zum Zweck erworben hat, von günstigeren Sozialleistungen als im Heimat- oder einem anderen Vertragsstaat zu profitieren (Urteile 2C_412/2014 vom 27. Mai 2014 E. 3.2 und 2C_390/2013 vom 10. April 2014 E. 3.2 u. 4.3; zu diesem Entscheid: VÉRONIQUE BOILLET, La notion de travailleur au sens de l'ALCP et la révocation des autorisations de séjour avec activité lucrative, in: Dang/Petry [Hrsg.], Actualité du droit des étrangers, 2014, Bd. 1, S. 11 ff.; BENEDIKT PIRKER, Zum Verlust der Arbeitnehmereigenschaft im Freizügigkeitsabkommen, in: AJP 9/2014 S. 1217 ff.; RAHEL DIETHELM, Widerruf der Aufenthaltsbewilligung langzeitarbeitsloser EU/EFTA-Bürger, in: dRSK, publiziert am 10. Juni 2014, Rzn. 13 ff.; <ref-ruling> E. 3.4 S. 347 mit Hinweisen). Die zuständige Behörde kann in diesen Situationen Kurzaufenthalts-, Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA und Grenzgängerbewilligungen EU/EFTA widerrufen oder nicht verlängern, wenn die Voraussetzungen für deren Erteilung nicht oder nicht mehr erfüllt sind (Art. 23 VEP). Da es dabei nicht darum geht, bestehende Freizügigkeitsrechte zu beschränken, sondern die (deklaratorische) bewilligungsrechtliche Rechtslage an die (rechtsbegründende) anspruchsrechtliche (vgl. <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4) anzupassen, kommt Art. 5 Anhang I FZA (Erfordernis des Schutzes der öffentlichen Ordnung) nicht zur Anwendung; besteht kein freizügigkeitsrechtlicher Anspruch, kann dieser auch nicht unter Beachtung der Vorgaben von Art. 5 Anhang I FZA beschränkt werden.
2.2.2. Der Arbeitnehmerstatus dauert zur Stellensuche über die Beendigung des Arbeitsvertrags hinaus (Urteil 2A.513/2002 vom 27. Februar 2003 E. 4.1 mit zahlreichen Hinweisen auf die Rechtsprechung des EuGH; zur unionsrechtlichen "finanziellen Solidarität" gestützt auf die Unionsbürgerschaft [Art. 18 i.V.m. 21 AEUV]: MONIKA PUSTUL, Freizügigkeit der Unionsbürger und das Recht auf Sozialleistungen in der EU und unter dem Freizügigkeitsabkommen Schweiz-EU, 2014, S. 74 f.; SONJA BUCKEL, "Welcome to Europe" - Die Grenzen des europäischen Migrationsrechts, Bielefeld 2013, S. 81 ff.). Nach Beendigung eines Dienstverhältnisses mit einer Dauer von weniger als einem Jahr haben die Staatsangehörigen der Vertragsparteien das Recht, im Land zu verbleiben, um sich eine andere Beschäftigung zu suchen und sich während eines angemessenen Zeitraums von bis zu sechs Monaten dort aufzuhalten, sofern dies erforderlich ist, um von den ihrer beruflichen Befähigung entsprechenden Stellenangeboten Kenntnis zu nehmen und gegebenenfalls die erforderlichen Massnahmen für eine Einstellung zu treffen (vgl. das Urteil des EuGH vom 26. Februar 1991 C-292/89 Antonissen, Slg. 1991 I-745 Randnr. 21; BOILLET, a.a.O., S. 12). Art. 18 VEP sieht vor, dass Freizügigkeitsberechtigte zur Stellensuche bis zu einem Aufenthalt von drei Monaten keiner Bewilligung bedürfen; für eine länger dauernde Stellensuche wird ihnen pro Kalenderjahr eine Kurzaufenthaltsbewilligung von drei Monaten erteilt; diese kann bis zu einem Jahr verlängert werden, sofern Suchbemühungen nachgewiesen sind und eine begründete Aussicht darauf besteht, dass eine Beschäftigung gefunden werden dürfte. Während der Dauer ihres Aufenthalts können Stellensuchende, welche die Arbeitnehmereigenschaft verloren haben, von der Sozialhilfe ausgeschlossen werden (Art. 2 Abs. 1 Anhang I FZA); allfällige Leistungen der Arbeitslosenversicherung gelten indessen als eigene Mittel des Stellensuchenden und nicht als Sozialhilfebeiträge.
2.2.3. Die Auslegung des freizügigkeitsrechtlichen Arbeitnehmerbegriffs und des damit verbundenen Status erfolgt in Übereinstimmung mit der unionsrechtlichen Rechtsprechung, wie sie vor der Unterzeichnung des Freizügigkeitsabkommens (21. Juni 1999) bestand. Neuere Entscheide des EuGH berücksichtigt das Bundesgericht im Interesse einer parallelen Rechtslage, soweit keine triftigen Gründe hiergegen sprechen (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen). Der unselbständig erwerbstätige Vertragsausländer muss demgemäss (1) während einer bestimmten Zeit (2) Leistungen für eine andere Person nach deren Weisungen erbringen und (3) als Gegenleistung hierfür eine Vergütung erhalten (<ref-ruling> E. 3 u. 4; Urteil 2A.513/2002 vom 27. Februar 2003 E. 4.1; BOILLET, a.a.O., S. 14 ff.; PIRKER, a.a.O., S. 1217 ff.; EPINEY/BLASER, in: Amarelle/Nguyen, Code annoté des droit des migrations, Bd. III, Accord sur la libre circulation des personnes [ALCP], N. 22 ff. zu Art. 4 FZA).
2.2.4. Grundsätzlich kommt es dabei weder auf den zeitlichen Umfang der Aktivität noch auf die Höhe des Lohnes oder die Produktivität der betroffenen Person an (vgl. Urteile des EuGH vom 3. Juni 1986 C-139/85 Kempf, Slg. 1986 1741 Randnr. 14; vom 26. Februar 1992 C-3/90 Bernini, Slg. 1992 I-1071 Randnr. 16; vgl. BETTINA KAHIL-WOLFF, Le système de la sécurité sociale vu sous l'angle européen, in: ZSR 2014 II 115 ff., S. 139 ff.). Erforderlich ist jedoch quantitativ wie qualitativ eine echte und tatsächliche wirtschaftliche Tätigkeit (Urteil des EuGH vom 31. Mai 1989 C-244/87 Bettray, Slg. 1989 1621 Randnr. 13). Die Beurteilung, ob eine solche besteht, muss sich auf objektive Kriterien stützen und - in einer Gesamtbewertung (Urteil des EuGH vom 4. Februar 2010 C-14/09 Genc, Slg. 2010 I-931, Randnr. 26) - allen Umständen Rechnung tragen, welche die Art der Tätigkeit und des fraglichen Arbeitsverhältnisses betreffen. Es ist dabei auch zu berücksichtigen, ob die erbrachten Leistungen auf dem allgemeinen Beschäftigungsmarkt als üblich gelten können (vgl. Urteile des EuGH Bettray, a.a.O., Randnr. 17; vom 7. September 2004 C-456/02 Trojani, Slg. 2004 I-7573 Randnr. 24 [Person, die in einem Wohnheim gegen Naturalleistungen arbeitet]; MARCEL DIETRICH, Die Freizügigkeit der Arbeitnehmer in der Europäischen Union unter Berücksichtigung des schweizerischen Ausländerrechts, 1995, S. 271 ff.).
2.2.5. Im Urteil 2C_390/2013 vom 10. April 2014 hat das Bundesgericht entschieden, dass arbeitslosenversicherungsrechtliche Beschäftigungsmassnahmen nicht geeignet sind, die Arbeitnehmereigenschaft der betroffenen Person zu begründen bzw. fortdauern zu lassen (E. 4.2) : Diese unterschieden sich von einer klassischen Arbeitstätigkeit auf dem ordentlichen Beschäftigungsmarkt insofern, als kein Arbeitsvertrag bestehe, die Tätigkeit dem Betroffenen vielmehr unter Androhung von Leistungseinstellungen zugewiesen werde (Art. 30 Abs. 1 lit. d, 59 Abs. 1-1bis und Art. 64a Abs. 1 AVIG [SR 837.0]) und die betroffene Person keinen arbeitsrechtlichen Lohn erhalte, sondern lediglich das versicherungsrechtliche Taggeld (vgl. Art. 59c und 59c bis AVIG; <ref-ruling> E. 4.1 S. 540; kritisch hierzu: BOILLET, a.a.O., S. 16 ff.).
3.
3.1. Dem Beschwerdeführer war gestützt auf seinen überjährigen Arbeitsvertrag eine EU/EFTA-B-Bewilligung erteilt worden, welche bis zum 31. August 2011 gültig war. Da er zu diesem Zeitpunkt ununterbrochen länger als 12 Monate keiner Arbeit mehr nachging, durfte seine weitere Anwesenheitsberechtigung am 4. Juli 2011 auf ein Jahr (bis 31. August 2012) beschränkt und an die Folge geknüpft werden, dass der Aufenthaltsanspruch untergehe, sollte er nach Ablauf der Frist - allfällige Verbleiberechte bzw. einen erwerbslosen Aufenthalt bei Erfüllen der entsprechenden Voraussetzungen vorbehalten - nach wie vor ohne Arbeit sein (Art. 6 Abs. 1 Anhang 1 FZA) bzw. sich inzwischen nicht wieder in den Arbeitsmarkt integriert haben (vgl. DIETRICH, a.a.O., S. 293 f.).
3.2.
3.2.1. Das Verwaltungsgericht hat zu Unrecht nicht weiter geprüft, ob der Beschwerdeführer - wie von ihm behauptet - innert dieser Frist wieder einer reellen Erwerbstätigkeit nachgegangen ist oder nicht; seine Begründung, es sei nicht massgebend, ob der Betroffene das ganze Jahr über arbeitslos gewesen sei, sondern einzig, ob er zum Zeitpunkt des erneuten Verlängerungsentscheids über eine Stelle verfügt habe, überzeugt nicht. Sie übersieht, dass je nach Situation auch eine vorübergehende bzw. zeitlich beschränkte Wiederaufnahme einer Erwerbstätigkeit geeignet sein kann, den freizügigkeitsrechtlichen Status als unselbständig erwerbstätige Person mit den damit verbundenen Rechten fortbestehen oder allenfalls wieder aufleben zu lassen (vgl. die Urteile 2C_390/2013 vom 10. April 2014 E. 4.4 und 2C_967/2010 vom 17. Juni 2011 E. 4.2 e contrario; PIRKER, a.a.O., S. 1221 ff.). Es ist systemwidrig und unverhältnismässig, eine während der Verlängerung für mehrere Monate gefundene echte und tatsächliche wirtschaftliche Aktivität bei der Beurteilung der Bewilligung des weiteren Aufenthalts (gegebenenfalls im Rahmen einer EU/EFTA-L-Bewilligung; dazu oben E. 2.1.1) nicht zu berücksichtigen, nur weil die betroffene Person (unter Umständen etwa saisonbedingt) am Stichtag keiner Erwerbstätigkeit nachgeht. Die von der Vorinstanz vertretene schematisierende Lösung führt ohne sachlichen Grund zu einer Ungleichbehandlung je nach Antritt bzw. Beendigung eines allenfalls zeitlich beschränkten Arbeitsverhältnisses (Antritt oder Beendigung kurz vor Stichdatum), dies, obwohl dessen Dauer und Umfang bei der Umschreibung der freizügigkeitsrechtlichen Arbeitnehmereigenschaft gerade keine Rolle spielt. Erforderlich ist sowohl nach der Rechtsprechung des EuGH wie des Bundesgerichts eine Gesamtsicht, welche der Praxis zum Recht auf Stellensuche von bereits in den hiesigen Arbeitsmarkt integrierten freizügigkeitsberechtigten unselbständig erwerbstätigen Personen, aber auch dem Grundsatz einer nicht übermässigen Belastung des Sozialsystems angemessen Rechnung trägt (vgl. auch Art. 2 Abs. 1 Anhang I FZA; DIETHELM, a.a.O., Rz. 17; EPINEY/BLASER, a.a.O., N. 25 zu Art. 7 FZA).
3.2.2. Die Vorinstanz begründet ihren Standpunkt mit den Weisungen des BFM vom 1. Mai 2011 zum Freizügigkeitsabkommen: Zwar hält das Bundesamt dort fest, dass die betroffene Person weggewiesen werden kann, wenn sie nach einem Jahr immer noch arbeitslos ist; weist sie jedoch eine dauerhafte Erwerbstätigkeit nach, hat sie Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA oder - wenn keine dauerhafte Erwerbstätigkeit vorliegt - (immerhin) auf eine (weitere) Kurzaufenthaltsbewilligung EU/EFTA für die Dauer der Erwerbstätigkeit (Ziff. 12.2.2). Damit kann die Arbeitnehmereigenschaft selbst nach Ansicht des Bundesamtes wieder "aufleben" und allenfalls gestützt auf die Arbeitnehmereigenschaft ein Anwesenheitsanspruch über die ursprüngliche Bewilligungsverlängerung von einem Jahr hinaus bestehen (Art. 6 Abs. 1 Anhang I FZA). Auch nach den Weisungen des BFM darf somit nicht darauf verzichtet werden, zu prüfen, ob der Beschwerdeführer gestützt auf seine Aktivitäten weiterhin über einen freizügigkeitsrechtlichen Bewilligungsanspruch verfügt bzw. einen solchen erneut erworben hat. Im Übrigen wäre - selbst wenn die Passage in den Weisungen so verstanden werden müsste, wie die Vorinstanz dies tut - die entsprechende Auffassung für das Bundesgericht nicht verbindlich; entscheidend ist das Freizügigkeitsabkommen und dessen gesetzliche Umsetzung, nicht eine von der Verwaltungsbehörde gewählte, mit übergeordnetem Recht allenfalls in Widerspruch stehende Auslegung (zur Rechtsnatur von Weisungen: <ref-ruling> E. 4.1 S. 54; <ref-ruling> E. 8.1 S. 315; <ref-ruling> E. 3.2 S. 204 f. mit Hinweisen).
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdeführer stand vom 1. Juni 2006 bis zum 9. Mai 2008 in einem zeitlich unbeschränkten Dienstverhältnis. Dieses wurde wegen seines Verhaltens aufgelöst, worauf er von Juli 2008 bis Juni 2010 Taggelder der Arbeitslosenversicherung bezog. Von Juni 2008 bis August 2009 wurde er zudem unregelmässig ergänzend von der Sozialhilfebehörde unterstützt. Seit Juni 2010 muss diese vollumfänglich für ihn aufkommen (Fr. 41'680.60 bis zum 26. September 2012). Sein Dienstverhältnis wurde ursprünglich (allenfalls) von ihm verschuldet durch den Arbeitgeber einseitig aufgelöst; in der Folge war der Beschwerdeführer indessen unfreiwillig arbeitslos gemeldet, weshalb er in den Genuss entsprechender Versicherungsleistungen kam. Mit seiner Aussteuerung im Juni 2010 mochte zweifelhaft sein, ob er in absehbarer Zeit auf dem hiesigen Beschäftigungsmarkt mit einer weiteren Beschäftigung rechnen konnte. Seine Bewilligung wurde in Anwendung von Art. 6 Anhang I FZA am 4. Juli 2011 dennoch zu Recht verlängert, womit ihm aufgrund der Inländergleichbehandlung (Art. 9 Abs. 1 und 2 Anhang I FZA) während des entsprechenden Jahres - soweit erforderlich - weitere Sozial (hilfe) leistungen gemäss dem kantonalen Recht geschuldet waren.
3.3.2. Bis zum 31. August 2012 absolvierte der Beschwerdeführer in der Folge zwei Praktika: Vom 1. September 2011 bis zum 31. November 2011 wurde ihm von der Sozialhilfebehörde ermöglicht, sich in Deutschland bei der B._ weiterzubilden. Dabei handelte es sich um eine Aktivität im Rahmen der Tätigkeit eines gemeinnützigen Vereins. Die Vergütung für das entsprechende Praktikum bestand einzig darin, dass ihm eine Unterkunft zur Verfügung gestellt wurde. Die bei Eignung für eine allfällige Anstellung erforderliche Weiterbildung während des Volontariats ging zu seinen Lasten, wobei er weiterhin schweizerische Sozialhilfeleistungen bezog. Das entsprechende, zeitlich beschränkte Praktikum hat den Arbeitnehmerstatus des Betroffenen unter diesen Umständen nicht wieder aufleben oder fortbestehen lassen, da es sich dabei nicht um eine Arbeitstätigkeit im Sinn des FZA gehandelt hat. Das von ihm - in Deutschland und nicht in der Schweiz - absolvierte Volontariat erfolgte im Wesentlichen im Sinne einer Weiterbildungs-/ Beschäftigungsmassnahme in seinem Interesse. Gleiches gilt für das vom 15. März 2012 bis 31. Juli 2012 absolvierte Praktikum im "Zentrum C._" in V._: Durch dieses wurde ihm - so der Praktikumsbeschrieb - die Möglichkeit gegeben, "den Alltag und den Aufbau einer Gemeinschaft zu leben" und an Volontärstreffen teilzunehmen. Die bei dieser Zielsetzung von ihm erbrachten Küchen- und Hauswirtschaftsarbeiten sind weder quantitativ noch qualitativ einer echten und tatsächlichen wirtschaftlichen Tätigkeit gleichzustellen.
3.4. Der Beschwerdeführer kann sich bei gesamthafter Betrachtung somit nicht (mehr) auf den freizügigkeitsrechtlichen Status als unselbständig erwerbstätiger Arbeitnehmer berufen; er hat diesen verloren (vgl. DIETRICH, a.a.O., S. 314 ff.), da er auch im Rahmen der nach Art. 6 Abs. 1 Anhang I FZA gebotenen Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung - selbst zeitlich beschränkt - nicht mehr unselbständig im Sinne der Rechtsprechung des EuGH erwerbstätig war. Ihm wurde hinreichend Gelegenheit gegeben, sich im Sinne von Art. 2 Abs. 1 Anhang I FZA in der Schweiz um weitere Stellen zu bewerben (vgl. Urteil 2C_967/2010 vom 17. Juni 2011 E. 4.3); seine Bemühungen blieben indessen ohne Erfolg. Zwar befindet er sich seit nunmehr sieben Jahren im Land, doch ist er seit rund fünf Jahren nicht mehr im Arbeitsprozess. Auch wenn der Beschwerdeführer einwendet, arbeiten zu wollen, sich entsprechend bemüht zu haben und sich nicht missbräuchlich zu verhalten, ergibt sich aus dem Gesamtzusammenhang doch, dass derzeit keine ernsthaften Aussichten (mehr) darauf bestehen, dass er in absehbarer Zeit auf dem hiesigen Arbeitsmarkt wieder eine Stelle finden könnte. Er macht denn auch nicht geltend, sich um eine solche weiter zu bemühen, sondern konzentriert sich nunmehr darauf, wegen einer allfälligen Arbeitsunfähigkeit invalidenversicherungsrechtliche Leistungen zu erwirken. Im Resultat hat die Vorinstanz das Fortbestehen eines freizügigkeitsrechtlichen Anwesenheitsanspruchs als erwerbstätige Person zu Recht verneint. Da der Beschwerdeführer über keine eigenen Mittel verfügt, kann er sich nicht auf einen freizügigkeitsrechtlichen Anspruch ohne Erwerbstätigkeit berufen (vgl. Art. 24 Abs. 1 lit. a Anhang I ["ausreichende finanzielle Mittel"]).
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, falls Art. 6 bzw. Art. 2 Anhang I FZA nicht zur Anwendung kommen sollten, liege bei ihm ein Verbleiberechtsanspruch nach Art. 4 Anhang I FZA vor (dauernde Arbeitsunfähigkeit). Die Bestimmung habe insofern eine "Vorwirkung", als er sich gestützt darauf weiter im Land müsse aufhalten können, bis (auch) über die invalidenversicherungsrechtliche Lage entschieden sei.
4.1. EU-/EFTA-Angehörige, die nach zweijährigem ständigem Aufenthalt in der Schweiz dauernd arbeitsunfähig werden bzw. "infolge dauernder Arbeitsunfähigkeit eine Beschäftigung im Lohn- oder Gehaltsverhältnis" aufgeben, verfügen als Wanderarbeitnehmende, welche von der Personenfreizügigkeit Gebrauch gemacht haben, über ein autonomes Verbleiberecht (vgl. DIETRICH, a.a.O., S. 295 ff.). Die Karenzfrist von zwei Jahren entfällt, falls die Arbeitsunfähigkeit auf einen Arbeitsunfall oder eine Berufskrankheit zurückgeht und ein Anspruch auf eine Rente eines schweizerischen Versicherungsträgers besteht (Art. 4 Anhang I FZA i.V.m. Art. 2 Abs. 1 lit. b der Verordnung Nr. 1251/70/EWG; vgl. DIETER GROSSEN/STEFAN DÄPP, § 4 Sonderregelungen für Staatsangehörige der EU- und EFTA-Mitgliedstaaten, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, N. 4.44 ff.; THOMAS HUGI YAR, a.a.O., S. 57 ff.; ANDREAS ZÜND/LADINA ARQUINT HILL, § 8 Beendigung der Anwesenheit, Entfernung und Fernhaltung, in: Uebersax et al. [Hrsg.], a.a.O., N. 8.37; MARC SPESCHA, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli [Hrsg.], Migrationsrecht, 3. Aufl. 2012, N. 4 zu Art. 4 Anhang I FZA). Wer sich auf ein Verbleiberecht berufen kann, behält seine als Arbeitnehmer erworbenen Rechte und hat insbesondere auch Anspruch auf Sozialhilfe (vgl. Art. 22 VEP). Nach Art. 4 Abs. 2 der Verordnung Nr. 1251/70/EWG gelten die vom zuständigen Arbeitsamt ordnungsgemäss bestätigten Zeiten unfreiwilliger Arbeitslosigkeit und die Abwesenheit infolge Krankheit oder Unfall als anrechenbare Beschäftigungsperioden.
4.2.
4.2.1. Im Urteil 2C_587/2013 vom 30. Oktober 2013 hat das Bundesgericht festgehalten, dass die Migrationsbehörde grundsätzlich nicht über den weiteren Aufenthaltsstatus entscheiden darf, solange die IV-Abklärungen in Bezug auf die dauernde Arbeitsunfähigkeit noch im Gang sind. In Zweifelsfällen ist die Verfügung der zuständigen IV-Stelle abzuwarten; regelmässig kann nur gestützt auf deren Entscheid abschliessend beurteilt werden, ob eine Arbeitsunfähigkeit im Sinne von Art. 2 Abs. 1 lit. b der Verordnung Nr. 1251/70/EWG vorliegt. Sie darf den Aufenthaltsstatus nur dann früher regeln, wenn die IV-rechtliche Ausgangslage als Vorfrage zum Bewilligungsentscheid klar und eindeutig erscheint. Das Bundesgericht hat diese Auffassung im Entscheid 2C_1102/2013 vom 8. Juli 2014 bestätigt. In beiden Urteilen kam es zum Schluss, dass es sich zumindest im konkret zu beurteilenden Fall gestützt auf die Gesamtumstände nicht gerechtfertigt habe, den Aufenthalt nicht bis zum IV-Entscheid weiter zu gestatten.
4.2.2. Der Beschwerdeführer darf gemäss eines Arztzeugnisses vom 19. Oktober 2009 bei der Arbeit nicht mehr als 20 Kilogramm heben. Er war in der Folge vom 3. bis 8. September 2012 und vom 21. bis 30. September 2012 krankgeschrieben. Weitere Arbeitsunfähigkeiten sind nicht attestiert. Im IV-Verfahren ist durch die Ärztin bisher eine Anpassungsproblematik bei psychosozialer Belastungssituation mit Trennung, Arbeitslosigkeit und aktuell fehlender Aufenthaltsbewilligung mit reaktiv zunehmend körperlichen Beschwerden (Rückenschmerzen) ohne relevantes organisches Korrelat festgestellt worden. Durch stufenweise Integrationsmassnahmen könne eine 100%-ige Arbeitsfähigkeit in einer Disponenten- oder Verweistätigkeit erreicht werden. Die entsprechenden Integrationsmassnahmen wurden von der IV-Stelle nicht in die Wege geleitet, da beim Versicherten eine besondere Situation bestehe, welche Anlass gebe, vor Beginn von beruflichen Integrationsmassnahmen mittels psychiatrischer Abklärung den medizinischen Leistungsanspruch zu ermitteln (Quantifizierung einer allfällig krankheitsbedingten Leistungseinschränkung).
4.2.3. Der Beschwerdeführer hat sich selber bis zum negativen Bewilligungsentscheid immer als arbeitsfähig bezeichnet und sich nach Erschöpfung der Taggelder über Volontariate um Arbeit bemüht. Er beruft sich in erster Linie auf seinen Status als Arbeitnehmer, womit die behauptete dauernde Arbeitsunfähigkeit im Widerspruch steht. Er verweist vor Bundesgericht auf seine Rückenprobleme, die noch während der Anstellung im unbefristeten Arbeitsverhältnis begonnen haben sollen, von ihm aber danach nicht als Grund für eine dauernde Arbeitslosigkeit geltend gemacht wurden. Während zweier Jahre bezog er Arbeitslosenentschädigungen, was voraussetzte, dass er vermittelbar war; auch danach machte er bei seinen Volontariaten nicht geltend, arbeitsunfähig zu sein. Der Umstand, dass er, nachdem er seine Arbeitnehmereigenschaft verloren hatte, psychisch belastet war, da sein weiterer Aufenthalt gefährdet erschien, erlaubt nicht die Berufung auf eine auf dem entsprechenden Status beruhende dauernde Arbeitsunfähigkeit. Art. 2 Abs. 1 lit. b der Verordnung Nr. 1251/70/EWG verlangt für das Verbleiberecht, dass der Arbeitnehmer eine Beschäftigung im Lohn- oder Gehaltsverhältnis deswegen aufgegeben hat; nur in diesem Fall rechtfertigt es sich, seine Rechte als Wanderarbeitnehmer über das Dahinfallen des Arbeitnehmerstatus nach einem minimalen Aufenthalt von zwei Jahren hinaus fortbestehen zu lassen. Dies war hier nicht der Fall: Der Beschwerdeführer hat seine Beschäftigung im Lohn- und Gehaltsverhältnis nicht "infolge dauernder Arbeitsunfähigkeit" aufgegeben, wie Art. 2 Abs. 1 lit. b der Verordnung Nr. 1251/70/EWG dies voraussetzt (Anknüpfung an die Arbeitnehmereigenschaft); ihm wurde vielmehr wegen seines Verhaltens gekündigt. In der Folge bezog er Arbeitslosenleistungen, womit er als vermittelbar galt. Er verlor nach seiner Aussteuerung die Arbeitnehmereigenschaft, weshalb seine erst am 4. April 2013 bei der IV-Stelle geltend gemachte dauernde Arbeitsunfähigkeit kein Verbleiberecht begründet; zu dieser Zeit war der erstinstanzliche Wegweisungsentscheid bereits ergangen. Er kann sich somit - auch unter Berücksichtigung von Art. 4 Abs. 2 der Verordnung Nr. 1251/70/EWG - nicht auf ein Verbleiberecht im Sinne von Art. 4 Anhang I FZA berufen. Sämtliche berufliche Eingliederungsmassnahmen sind gescheitert, womit der Beschwerdeführer bei vorher verlorenem Arbeitnehmerstatus nicht im Hinblick auf weitere solche Massnahmen seitens der Invalidenversicherung einen Anspruch auf Bewilligungsverlängerung hat. Soweit zusätzliche versicherungsrechtliche Abklärungen in der Schweiz erforderlich sind, können diese im Rahmen des freien Aufenthalts grenzüberschreitend wahrgenommen werden.
5.
5.1. Die Beschwerde erweist sich nach dem Dargelegten als unbegründet und ist deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird.
5.2. Da die Eingabe nicht als zum Vornherein aussichtslos gelten konnte, ist dem Gesuch des bedürftigen Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu entsprechen (Art. 64 BGG). Den kantonalen Behörden sind keine Entschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Dem Beschwerdeführer wird Fürsprech Jürg Walker, Olten, als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben und diesem aus der bundesgerichtlichen Kasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Januar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar