Sachverhalt:
A. Die Vormundschaftsbehörde A._ ernannte X._ am 10. September 2002 einen Beistand. Am 31. März 2007 wurde die Beistandschaft aufgehoben.
X._ bevollmächtigte am 12. April 2009 ihren Sohn, Z._, im Zusammenhang mit der Beistandschaft "zu allen Rechtshandlungen eines Generalbevollmächtigten", insbesondere zur Vertretung vor Gericht. In der Folge beauftragte Z._ eine Anwältin mit der Wahrung der Interessen von X._.
Mit Schreiben vom 12. Februar 2010 machte X._, vertreten durch Z._ und dieser vertreten durch Rechtsanwältin Jucker gegenüber der Gemeinde A._ Schadenersatzansprüche im Zusammenhang mit der Beistandschaft geltend. Nachdem die Gemeinde diese Forderungen als unbegründet zurückgewiesen hatte, gelangte X._ am 29. April 2011 an das Bezirksgericht Meilen und forderte von der Gemeinde Schadenersatz von Fr. 2'464.95 (zuzüglich Zins zu 5% seit 10. September 2008) und Fr. 9'100.-- (zuzüglich Zins zu 5% seit 1. August 2007). Sie begründete diese Ansprüche mit Sorgfaltspflichtverletzungen des Beistandes.
B. Mit Verfügung vom 1. Juli 2011 beauftragte das Bezirksgericht den zuständigen Amtsarzt, es sei abzuklären, ob X._ für das eingeleitete Verfahren gegen die Gemeinde A._ "im Zeitpunkt der Klageeinleitung (Februar 2010) sowie im Zeitpunkt der Erteilung der Generalvollmacht an ihren Sohn (April 2009) urteilsfähig" gewesen sei.
C. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 14. Juli 2011 Beschwerde, die das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 27. Juli 2011 abwies.
D. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde vom 14. September 2011 sinngemäss, es sei das obergerichtliche Urteil aufzuheben und davon abzusehen, ihre Urteilsfähigkeit durch den Amtsarzt abzuklären.
Zudem stellt sie ein Gesuch um aufschiebende Wirkung. Die Gemeinde A._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) hat sich dazu nicht vernehmen lassen. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Verfügung vom 5. Oktober 2011 hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die Vorakten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 216).
1.2 Das angefochtene Urteil betrifft eine Klage über die vermögensrechtliche Verantwortlichkeit eines vormundschaftlichen Organs, die der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_594/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>) oder sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Ob aus der Klage vom 29. April 2011, deren Begründung die Beschwerdeführerin erst anlässlich der Hauptverhandlung vorbringen will, allenfalls auf eine Staatshaftungsklage und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu schliessen wäre, braucht nicht vertieft zu werden, da dies am nachfolgenden Ergebnis nichts ändern würde (vgl. <ref-law>).
Das Obergericht hat den Streitwert im angefochtenen Entscheid auf Fr. 11'564.95 beziffert. Da die Beschwerdeführerin nicht ausführt, inwiefern ein höherer Streitwert massgebend sein soll (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.1 S. 62) oder sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>), steht - wie beantragt - einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zur Verfügung (<ref-law>).
2. 2.1 Das angefochtene Urteil ist ein Rechtsmittelentscheid gegen eine Beweisverfügung, die im Anwendungsbereich des BGG einen Zwischenentscheid darstellt (<ref-ruling> E. 2 S. 190 f.; Urteil 4A_195/2010 vom 8. Juni 2010 E. 1.1). Da dieser weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betrifft (<ref-law>), unterliegt er als selbstständig eröffneter Zwischenentscheid lediglich unter den Voraussetzungen von <ref-law> der Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
2.2 Vorliegend kommt einzig die Variante gemäss <ref-law> in Betracht: Die Beschwerde gegen Zwischenentscheide ist zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können.
Dabei muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für die Beschwerdeführerin günstigen Entscheid in der Zukunft nicht oder nicht mehr gänzlich behoben werden kann. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Hingegen reichen rein tatsächliche Nachteile nicht aus.
Inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen gemäss <ref-law> erfüllt sind, hat die Beschwerdeführerin im Einzelnen darzulegen, es sei denn, das Vorliegen dieser Voraussetzungen sei offensichtlich (vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; <ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632).
2.3 Nachdem die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde an das Obergericht noch einen Nachteil tatsächlicher Natur geltend machte (S. 3 der Beschwerde an das Obergericht), führt sie vor dem Bundesgericht aus, der drohende Nachteil bestehe darin, dass sie sich einer ärztlichen Begutachtung zur Prüfung ihrer Urteilsfähigkeit unterziehen müsse. Dieser Nachteil könne durch einen späteren günstigen Endentscheid nicht behoben werden und sei rechtlicher Natur.
2.3 Nachdem die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde an das Obergericht noch einen Nachteil tatsächlicher Natur geltend machte (S. 3 der Beschwerde an das Obergericht), führt sie vor dem Bundesgericht aus, der drohende Nachteil bestehe darin, dass sie sich einer ärztlichen Begutachtung zur Prüfung ihrer Urteilsfähigkeit unterziehen müsse. Dieser Nachteil könne durch einen späteren günstigen Endentscheid nicht behoben werden und sei rechtlicher Natur.
2.4 2.4.1 Wie bereits nach der Rechtsprechung zu Art. 87 Abs. 2 des Bundesrechtspflegegesetzes von 1943 (OG), die für <ref-law> heranzuziehen ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 129), haben Beweisanordnungen regelmässig keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne dieser Bestimmungen zur Folge (<ref-ruling> E. 4.1 S. 95; <ref-ruling> E. 2.3 S. 191; <ref-ruling> E. 1 S. 438). Ausnahmsweise ist ein solcher Nachteil jedoch anzunehmen, beispielsweise wenn ein Beweismittel abgelehnt wird, dessen Existenz gefährdet ist, wenn Geheimhaltungsinteressen auf dem Spiel stehen, wenn eine Beweisanordnung mit der Strafandrohung nach <ref-law> verbunden wird oder wenn die zwangsweise Durchsetzung der Beweismassnahme angedroht wird (Urteile 4A_195/2010 vom 8. Juni 2010 E. 1.1.1; 5A_603/2009 vom 26. Oktober 2009 E. 3.1; 5P.444/2004 vom 2. Mai 2005 E. 1.1; 5P.472/2000 vom 15. März 2001 E. 1b).
2.4.2 Vorliegend ist eine solche Ausnahme weder ersichtlich noch wird eine solche von der Beschwerdeführerin behauptet und rechtsgenüglich (vgl. E. 2.2 oben) begründet. Die Beschwerde erweist sich als unzulässig (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
3. Aus den dargelegten Gründen ist auf die Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten. Die Beschwerdeführerin wird kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Dezember 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bettler