Faits:
A.
La société B._ SA est propriétaire de la parcelle n° 1367 du registre foncier de la commune de Pully. D'une superficie de 2'470 m 2et de la forme approximative d'un rectangle, la parcelle supportait une maison d'habitation, détruite en 2006, et compte une bambouseraie, ainsi qu'un certain nombre d'arbres de diverses espèces, dont une majorité de thuyas.
Le 16 décembre 2011, B._ SA a déposé auprès de la Municipalité de Pully une demande de permis de construire un bâtiment d'habitation de 8 appartements avec garage souterrain pour 17 véhicules et trois places de parc couvertes; l'accès au garage souterrain est prévu au moyen d'une rampe. Mis à l'enquête publique le 25 janvier 2012, le projet a suscité l'opposition de voisins, dont A._ propriétaire de la parcelle voisine n° 1368, et de l'Association vaudoise pour la construction adaptée aux handicapés (AVACAH) : les premiers ont principalement critiqué l'abattage d'arbres sur la parcelle, tandis que la seconde a uniquement demandé qu'au moins une place de parc souterraine et une place visiteur, adaptées à l'usage des personnes handicapées soient intégrées au projet. Ces oppositions ont amené la constructrice à déposer des plans modifiés comportant désormais l'aménagement de deux places de stationnement adaptées aux personnes handicapées - en lieu et place des trois places de parc couvertes - et le maintien de sept arbres d'ornement.
B.
Se fondant sur la synthèse des autorisations spéciales et des préavis recueillis par la Centrale des autorisations de construire (CAMAC), la Municipalité a, par décision du 14 septembre 2012, levé les oppositions et délivré le permis de construire le bâtiment projeté. A._ a interjeté recours contre cette décision, se plaignant notamment d'une violation de la réglementation en matière de construction adaptée aux handicapés et des normes cantonales et communales relatives à l'abattage des arbres. L'AVACAH n'a pas participé à la procédure de recours.
Après avoir instruit la cause, en particulier au moyen d'une inspection locale, le Tribunal cantonal a rejeté le recours, dans la mesure où il était recevable, avec suite de frais et dépens à charge du recourant, par arrêt du 7 août 2013. S'agissant des griefs tirés des normes sur l'accessibilité, pour les personnes handicapées, des immeubles d'habitation, la cour cantonale a considéré que A._ n'avait pas la qualité pour recourir, ce qui rendait irrecevable cet aspect-là de son recours.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal ainsi que la décision de la Municipalité de Pully.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de son arrêt. B._ SA et la Municipalité de Pully concluent au rejet du recours. Le recourant n'a pas déposé d'observations complémentaires.
Par ordonnance du 23 septembre 2013, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1.
L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public des constructions (art. 82 let. a LTF). Le recourant a pris part à la procédure de recours devant l'instance précédente (art. 89 al. 1 let. a LTF). En tant que propriétaire d'une parcelle directement voisine du projet de construction litigieux, le recourant est particulièrement touché par l'arrêt attaqué confirmant la décision d'abattage d'une trentaine d'arbres, qu'il tient en particulier pour non conforme à l'art. 1 et 3 LAT. Il peut ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Il a dès lors qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. L'instance inférieure a par ailleurs dénié au voisin la qualité pour recourir sur un de ses griefs et a en conséquence déclaré son recours partiellement irrecevable. Le voisin est aussi habilité à recourir contre la décision d'irrecevabilité d'un de ses griefs; cependant seule la question de la recevabilité de ce grief devant l'instance cantonale peut être portée devant le Tribunal fédéral qui n'a, à ce stade, pas à examiner le contenu matériel dudit grief (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 317).
Le recours est ainsi en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée.
2.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant se plaint d'une appréciation arbitraire des faits.
2.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 LTF, il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 314). Si la recourante entend se prévaloir de constatations de fait différentes de celles de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), elle doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui retenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356 et les arrêts cités).
2.2. En l'occurrence, le recourant fait grief à l'instance précédente de ne pas avoir retenu que l'avocat de l'intimée est à la fois son conseil et son administrateur avec signature individuelle, ce qui aurait une importance s'agissant de l'octroi des dépens. Vu le raisonnement qui suit (cf. infra consid. 5.2), un éventuel complément de l'état de fait litigieux ne permettrait pas de trancher différemment la question de l'octroi de dépens à la constructrice. Faute d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure, ce grief doit être écarté.
Le recourant reproche aussi à la cour cantonale de ne pas avoir mentionné dans l'arrêt attaqué une lettre de l'AVACAH du 30 avril 2013, qu'il avait produite devant elle; il soutient qu'il aurait dû en être tenu compte dans la mesure où le Tribunal cantonal a déclaré irrecevable le grief soulevé par le recourant s'agissant des conditions d'accès au bâtiment pour les personnes handicapées par le fait que l'AVACAH n'aurait pas fait état d'une violation des normes de construction dans son opposition. Le recourant se méprend cependant, puisque la cour cantonale n'a pas motivé ainsi l'irrecevabilité du grief (cf. infra consid. 3.2) ; elle a d'ailleurs simplement mentionné que l'AVACAH n'avait pas préconisé l'installation d'une plate-forme monte-escaliers. A nouveau, le grief de constatation arbitraire des faits doit être rejeté, faute d'influer sur l'issue de la cause.
3.
Sur le fond, le recourant dénonce d'abord une violation de l'art. 33 al. 3 let. a LAT, en lien avec les art. 95 à 98 et 111 LTF; il se plaint aussi d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst). A le suivre, la cour cantonale aurait - s'agissant des griefs tirés de la violation de la législation en matière de protection des personnes handicapées - restreint de manière contraire au droit fédéral sa qualité pour recourir au niveau cantonal, ce qui aurait conduit à un déni de justice.
3.1. L'art. 33 al. 3 let. a LAT impose aux cantons de reconnaître, sur le plan cantonal, la qualité pour recourir au moins dans les mêmes limites que pour le recours en matière de droit public devant le Tribunal fédéral. On retrouve ce principe à l'art. 111 al. 1 LTF qui prescrit que la qualité de partie à la procédure devant toute autorité cantonale précédente doit être reconnue à quiconque a qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral. Ainsi, comme l'a retenu à juste titre la cour cantonale, la qualité pour recourir du droit cantonal, à savoir l'art. 75 de la loi cantonale du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative (LPA-VD; RS/VD 173.36), doit être définie au moins aussi largement qu'à l'art. 89 al. 1 LTF (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 32).
Aux termes de l'art. 89 LTF, la qualité pour recourir est reconnue à toute personne atteinte par la décision attaquée et qui dispose d'un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification. Selon la jurisprudence rendue en application de cette disposition, le recourant doit se trouver dans une relation spéciale, étroite et digne d'être prise en considération avec l'objet de la contestation. Le voisin direct de la construction ou de l'installation litigieuse a en principe la qualité pour recourir (<ref-ruling> consid. 2b p. 174). La proximité avec l'objet du litige ne suffit pas à elle seule à conférer au voisin la qualité pour recourir contre l'octroi d'une autorisation de construire. Celui-ci doit en outre retirer un avantage pratique de l'annulation ou de la modification de la décision contestée qui permette d'admettre qu'il est touché dans un intérêt personnel se distinguant nettement de l'intérêt général des autres habitants de la collectivité concernée; il doit ainsi invoquer des dispositions du droit public des constructions susceptibles d'avoir une incidence sur sa situation de fait ou de droit; peu importe à cet égard que ces dispositions ne soient pas destinées à protéger le recourant; toutefois, de manière à endiguer l'action populaire, la seule poursuite d'un intérêt général et abstrait à la correcte application du droit ne suffit pas (<ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 33). On admet que le recourant retire un avantage pratique à la procédure si l'issue favorable du recours empêche la réalisation de la construction selon les plans autorisés (ATF précité consid. 2.3 p. 34).
La jurisprudence a considéré que des voisins, situés à environ 100 mètres de la construction projetée, ne sont pas particulièrement atteints par ce projet s'ils ne voient pas depuis leur propriété la toiture qu'ils critiquent (arrêt 1C_338/2011 du 30 janvier 2012 consid. 3, publié in SJ 2012 I 422). De même, la qualité pour recourir est en principe déniée au voisin lorsque l'objet du litige concerne uniquement l'application de règles relatives à l'aménagement intérieur des constructions puisque l'impact visuel de la construction ne serait de toute manière pas modifié (arrêt 1C_565/2012 du 23 janvier 2013 consid. 2.3, publié in SJ 2013 I 526).
3.2. La cour cantonale a retenu que, pour les personnes handicapées, l'accès au bâtiment projeté est garanti en automobile; en outre, en réponse à l'opposition de l'AVACAH, l'aménagement de deux places de stationnement destinées aux personnes handicapées a été prévu, ce point n'étant d'ailleurs plus litigieux devant le Tribunal fédéral. La cour cantonale a cependant constaté que, lorsqu'elles ne sont pas conductrices ou passagères d'une voiture, les personnes handicapées peuvent uniquement accéder au bâtiment par la rampe qui conduit au garage; cette rampe comportera sur un côté des marches d'escalier dites "italiennes", soit d'une longueur d'environ 1 mètre. L'architecte en charge du projet a exposé lors de l'inspection locale qu'il serait possible, pour les fauteuils roulants, d'installer une plate-forme reliée à un rail latéral le long de ces escaliers; cette décision incombera, en temps voulu, à la copropriété. Les juges cantonaux ont déduit de ces éléments que, si la pente se révélait excessive au regard des normes en matière de protection des personnes handicapées, cela aurait tout au plus pour conséquence la réalisation d'un monte-escaliers le long de la rampe d'accès au garage; en revanche, cela n'empêcherait pas la réalisation du bâtiment tel que prévu; dans la mesure où le recourant ne retirerait aucun avantage pratique en lien avec ce grief, son recours devait être déclaré irrecevable en tant qu'il dénonçait les conditions d'accès au bâtiment pour les personnes handicapées.
Le recourant soutient que la rampe prévue aurait une pente de 13%, soit 7% de plus que la pente autorisée selon la norme SIA 500 "Constructions sans obstacles", applicable par renvoi de l'art. 36 al. 2 du Règlement d'application de la loi sur l'aménagement du territoire et des constructions du 19 septembre 1986 (RLATC; RS/VD 700.11.1). Il avance que l'installation d'un monte-escaliers ne résoudrait pas le problème puisqu'il obligerait les personnes handicapées à emprunter cette machine "lente, souvent défectueuse et parfois dangereuse" plutôt qu'une rampe moins raide; en outre, de telles plates-formes élévatrices ne pourraient pas être utilisées par des personnes munies de cannes ou dépendantes de déambulateurs; enfin, on ignorerait si cette solution est techniquement réalisable. Le recourant en déduit que la seule solution envisageable serait la reconfiguration du chemin d'accès, ce qui entraînerait le probable redimensionnement du bâtiment lui-même. En d'autres termes, le recourant pourrait retirer un avantage pratique à ce que la cour cantonale traite la problématique de l'accès des personnes handicapées au bâtiment.
3.3. La loi fédérale sur l'élimination des inégalités frappant les personnes handicapées du 13 décembre 2002 (LHand; RS 151.3) a pour but de prévenir, de réduire ou d'éliminer les inégalités qui frappent les personnes handicapées (art. 1 al. 1), ce qui ne permet cependant pas dans tous les cas d'atteindre une égalité de fait entière (<ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 295). A teneur de l'art. 7 al. 1 let. a de la loi, toute personne qui subit une inégalité peut en cas de construction ou de rénovation d'une construction ou d'une installation demander à l'autorité compétente, dans la procédure d'autorisation de construire, qu'on s'abstienne de l'inégalité. La loi définit l'inégalité dans l'accès à une construction lorsque cet accès est impossible ou difficile aux personnes handicapées pour des raisons d'architecture (art. 2 al. 3 LHand). Elle s'applique, notamment, aux habitations collectives de plus de huit logements pour lesquelles l'autorisation de construire est accordée après son entrée en vigueur (art. 3 let. c LHand), soit à compter du 1er janvier 2004. La qualité pour recourir est réservée aux personnes qui subissent une inégalité (art. 8 LHand) ainsi qu'aux organisations d'importance nationale d'aide aux personnes handicapées si elles existent depuis dix ans au moins (art. 9 LHand).
Pour les constructions et installations que la Confédération fait édifier ou subventionne, le Conseil fédéral édicte des prescriptions sur les mesures à prendre en faveur des personnes handicapées (art. 15 al. 2 LHand). Ces prescriptions sont adaptées régulièrement à l'état de la technique. Le Conseil fédéral peut déclarer obligatoires des normes techniques ou d'autres règles établies par des organisations privées (art. 15 al. 3 LHand), lesquelles constituent alors du droit fédéral. S'agissant de constructions qui ne font pas l'objet de subventions fédérales, le canton de Vaud renvoie à la norme SIA 500 (art. 36 al. 2 RLATC), qui constitue donc du droit cantonal.
3.4. Comme on l'a vu, l'irrecevabilité d'un grief du recours par la cour cantonale est susceptible de violer le droit fédéral (cf. supra consid. 3.1). Cette éventuelle irrecevabilité dépend cependant de la question de savoir si, dans le cas particulier, le recourant peut retirer un avantage pratique à la procédure. Déterminer cet avantage dépend des faits établis par l'instance précédente (cf. supra consid. 3.2) et de la portée du droit cantonal (cf. supra consid. 3.3). Conformément à l'art. 42 al. 2 LTF, il incombe au recourant d'alléguer les faits qu'il considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 251 [droit des constructions]; <ref-ruling> consid. 3 p. 88 [procédure pénale]; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 539 [droit civil]). S'agissant de l'établissement du droit cantonal, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain, ce qu'il appartient au recourant de démontrer selon l'art. 106 al. 2 LTF. En outre, pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (136 III 552 consid. 4 p. 560).
La cour cantonale a retenu qu'une application stricte des règles en matière de protection des personnes handicapées, si la pente de la rampe se révélait trop raide, conduirait tout au plus à l'installation d'un monte-escaliers le long de la rampe d'accès au garage; elle n'empêcherait cependant pas la réalisation du bâtiment tel que prévu. S'agissant de la pente de la rampe, telle que prévue dans les plans, elle dépasse de 1% le maximum admis sous réserve (norme SIA 500, ch. 9.4.1), à savoir lorsque des difficultés de réalisation découlent, notamment, de la topographie de l'endroit (norme SIA 500, ch. 1.2). Vu ce faible écart avec la norme applicable, qui reste d'ailleurs dans la marge de tolérance prévue par la même norme (ch.1.4.3), l'instance précédente pouvait laisser indécise la question de savoir si ladite rampe contrevenait aux dispositions relatives à la protection des handicapés, sans sombrer dans l'arbitraire. Cette conclusion pouvait d'autant plus s'imposer que les précédents juges ont considéré que, en tout état, une mesure de remplacement, sous la forme d'un monte-escaliers, pouvait être justifiée (norme SIA 500 ch. 3.8.1). A ce propos, le recourant émet certes des critiques générales sur les monte-escaliers et met en doute le caractère techniquement réalisable d'une telle installation. Il ne démontre cependant pas, par une argumentation suffisamment précise, en quoi la solution adoptée par la cour cantonale serait manifestement contraire aux faits de la cause ou contreviendrait de manière arbitraire aux règles applicables. Il ne cherche en particulier pas à expliquer quelles contraintes physiques, topographiques ou techniques seraient susceptibles d'empêcher l'installation d'un monte-escaliers à cet endroit. On peut d'ailleurs relever à cet égard qu'une telle réalisation, évoquée par l'architecte de la constructrice lors de l'inspection locale, n'a alors suscité aucune réaction de la part des parties.
3.5. Il apparaît en définitive que la cour cantonale pouvait retenir, sans violer l'interdiction de l'arbitraire, qu'une application des règles cantonales en matière d'accessibilité, pour les personnes handicapées, des immeubles d'habitation n'était pas susceptible de procurer un avantage pratique au voisin. Ce dernier ne soutient au demeurant pas que l'éventuelle installation d'un monte-escaliers le long de la rampe d'accès au garage du bâtiment projeté serait visible depuis sa parcelle ou qu'elle lui causerait un quelconque préjudice.
Par conséquent, le prononcé d'irrecevabilité du présent grief par la cour cantonale ne viole pas le droit fédéral et le recours doit être rejeté sur ce point.
4.
Le recourant dénonce dans la décision d'autoriser l'abattage d'une trentaine d'arbres protégés une violation des art. 1 et 3 LAT ainsi qu'une application arbitraire des dispositions cantonales et communales en la matière. Il critique dans ce contexte la pesée d'intérêts à laquelle a procédé la cour cantonale.
4.1. A teneur de l'art. 6 al. 1 de la loi cantonale sur la protection de la nature, des monuments et des sites du 10 décembre 1969 (LPNMS; RSV 450.11), l'autorisation d'abattre des arbres ou arbustes protégés devra être notamment accordée pour les arbres dont l'état sanitaire n'est pas satisfaisant et pour les arbres, les haies et boqueteaux lorsqu'ils empêchent une exploitation agricole rationnelle ou lorsque des impératifs techniques ou économiques l'imposent (création de routes, chemins, canalisation de ruisseau, etc.).
L'art. 15 al. 1 ch. 4 du règlement d'application de la loi du 10 décembre 1969 sur la protection de la nature, des monuments et des sites du 22 mars 1989 (RLPNMS; RSV 450.11.1) prévoit que l'abattage ou l'arrachage des arbres, cordons boisés, boqueteaux, ou haies vives classés est autorisé par la municipalité lorsque des impératifs l'imposent tels que l'état sanitaire d'un arbre, la sécurité du trafic, la stabilité des rives bordant un cours d'eau, la création d'une route ou la canalisation d'un ruisseau.
4.2. S'agissant des faits, la cour cantonale a posé que le projet de construction litigieux implique l'abattage d'une trentaine d'arbres protégés; il prévoit cependant le maintien de sept arbres d'ornement - dont un pin sylvestre et un buis - ainsi que la plantation d'au moins cinq arbres d'ornement, de taille majeure et d'essence indigène (platanes et frênes). Sur le plan juridique, les juges cantonaux ont considéré que l'abattage des arbres protégés est motivé exclusivement pour les besoins du projet de construction litigieux: cela n'est pas en soi contraire aux exigences des art. 6 al. 1 LPNMS et 15 al. 1 ch. 4 RLPNMS, à condition que la pesée complète des intérêts en présence soit effectuée entre, d'une part, les motifs qui ont conduit à la protection des arbres et, d'autre part, l'intérêt public à la densification des constructions.
Selon les constatations cantonales, les arbres à abattre - en majorité des thuyas - n'ont pas de valeur biologique ou esthétique particulière; vu le nombre d'arbres restant sur la parcelle, les juges cantonaux ont retenu que les abattages autorisés ne modifiaient pas fondamentalement l'aspect arborisé du secteur; enfin, la parcelle comprendrait après l'opération douze arbres ayant un intérêt biologique ou esthétique majeur, soit deux fois plus que les exigences minimales posées par l'art. 46 RCATC. Après avoir examiné les possibilités évoquées par le recourant de déplacer le bâtiment, la cour cantonale est arrivée à la conclusion que, suivant en cela l'appréciation de l'autorité communale, la manière la plus rationnelle d'exploiter les possibilités de bâtir offertes par la parcelle litigieuse était l'implantation choisie par la constructrice. Au regard de ces éléments, l'intérêt privé du recourant au maintien de quelques arbres ne pouvait prévaloir sur l'intérêt public à densifier la zone concernée par la construction de plusieurs logements.
4.3. Le recourant ne remet pas en cause le fait que les abattages projetés puissent être autorisés sur la base des art. 6 al. 1 LPNMS et 15 al. 1 ch. 4 RLPNMS. Se référant à des précédents cantonaux, il soutient cependant une application stricte de ces dispositions et s'en prend essentiellement à la pesée des intérêts effectuée par la cour cantonale, laquelle procéderait d'un raisonnement manifestement insoutenable.
A suivre le recourant, qui stigmatise en particulier le caractère luxueux des appartements destinés à être mis en vente, il serait parfaitement arbitraire de prétendre que la création de huit logements répondrait à l'intérêt public de la densification de la zone. Il expose également, sans entrer dans plus de détails, qu'un déplacement et un léger redimensionnement du bâtiment, ainsi qu'une modification des accès pourraient assurer la conservation des arbres protégés. Il qualifie aussi de choquant le fait de conserver uniquement les seuls arbres remarquables, au détriment des autres arbres protégés. Enfin, il reproche à la cour cantonale d'avoir violé les principes fondamentaux de l'aménagement qui commandent d'utiliser le sol de manière rationnelle.
4.4. L'utilisation judicieuse et mesurée du sol constitue l'un des buts principaux de l'aménagement du territoire (art. 75 al. 1 Cst. et 1 al. 1 LAT). Cela implique une rationalisation de la zone à bâtir plutôt que son extension (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 27 et les réf.), ce qui signifie concentrer le peuplement dans les zones à bâtir et empêcher de construire en ordre dispersé (arrêt 1C_225/2008 du 9 mars 2009 consid. 4.2 publié in RDAF 2011 p. 563). Dans ce contexte, le Tribunal fédéral a eu à arbitrer les intérêts divergents entre, d'une part, la densification du milieu bâti - par exemple au moyen d'immeubles de haute taille - et, d'autre part, l'intérêt privé à ne pas perdre l'ensoleillement de son logement (arrêt 1C_539/ 2011 du 3 septembre 2012 consid. 4.9). De telles questions dépendent de l'appréciation des circonstances de chaque cas concret et doivent faire l'objet d'une pesée complète des intérêts en présence. Lorsqu'il doit se prononcer sur de telles questions d'appréciation ou tenir compte de circonstances locales, dont les autorités cantonales on une meilleure connaissance que lui, le Tribunal fédéral s'impose une certaine retenue (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 181 et les réf.). Les mêmes principes s'appliquent en matière de pesée des intérêts (<ref-ruling> consid. 1b p. 397).
L'autorité cantonale, qui a procédé à une inspection locale, a décrit avec précision les arbres destinés à être abattus: s'appuyant notamment sur ses propres constatations, elle a considéré que ceux-ci étaient, dans leur ensemble, sans valeur biologique ou esthétique particulière. En l'absence de démonstration d'arbitraire des éléments retenus par l'instance précédente, il n'y a pas lieu de revenir sur cette appréciation des circonstances locales. La cour cantonale a ajouté que l'aspect arborisé du secteur ne serait pas fondamentalement modifié par l'exécution du projet, ce que confirme le nombre élevé d'arbres ayant un intérêt biologique ou esthétique qui seront présents sur la parcelle après les remplacements prévus. Le recourant peut certes regretter l'évolution urbanistique de son quartier, mais cela ne constitue pas encore un intérêt privé suffisant pour s'opposer à la réalisation de plusieurs logements en ville de Pully. Quant aux critiques dirigées contre le caractère luxueux du bâtiment prévu, elles ne remettent pas en cause l'intérêt public à densifier l'habitat dans les centres urbains. Dans ces conditions, il n'y a pas lieu de s'écarter de la pesée globale des intérêts à laquelle a procédé l'instance cantonale.
S'agissant de l'emplacement du bâtiment, la critique du recourant est purement appellatoire: alors que la cour cantonale a pris le soin d'exposer pour quels motifs précis les possibilités de construire étaient moindres dans certaines parties de la parcelle que dans d'autres, le recourant se limite à énoncer des hypothèses. Il ne fait pas non plus état d'une appréciation arbitraire des faits en relation avec ces questions. Enfin, il ne démontre pas en quoi les règles cantonales ou communales applicables auraient été violées de manière manifeste. Dénué de fondement, le recours doit dès lors être rejeté sur ce point également.
5.
Dans un dernier moyen, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé de manière arbitraire l'art. 55 de la loi vaudoise sur la procédure administrative du 28 octobre 2008 (LPA-VD; RSV 173.36) en octroyant des dépens à l'intimée, alors que celle-ci avait agi par son administrateur, avocat au barreau vaudois. Il dénonce en outre une absence d'indépendance entre la fonction d'administrateur et celle d'avocat. Enfin, il s'en prend à l'absence de motivation de la décision entreprise et se plaint d'une violation de son droit d'être entendu.
5.1. A teneur de l'art. 55 LPA-VD, l'autorité de recours alloue une indemnité à la partie qui obtient totalement ou partiellement gain de cause, en remboursement des frais qu'elle a engagés pour défendre ses intérêts (al. 1). Cette indemnité est mise à la charge de la partie qui succombe (al. 2).
La jurisprudence reconnaît à l'autorité cantonale de recours un large pouvoir d'appréciation dans la fixation et la répartition des frais et dépens de la procédure cantonale, s'agissant d'une matière qui relève de la législation cantonale de procédure applicable à la cause (<ref-ruling> consid. 4a p. 49). Le Tribunal fédéral n'intervient que si cette autorité a interprété ou appliqué de manière arbitraire le droit cantonal concerné ou si elle a abusé de son pouvoir d'appréciation, notamment si la décision ne peut se justifier par des raisons objectives (<ref-ruling> consid. 2 p. 509).
5.2. En l'occurrence, le Tribunal cantonal a mis à la charge du recourant une indemnité de 2'500 fr. valant dépens en faveur de la constructrice. Pour ce faire, il s'est référé à l'art. 55 LPA-VD et il a indiqué que la constructrice avait procédé par l'intermédiaire d'un avocat et avait obtenu gain de cause. Dans la mesure où le recourant n'avait pas évoqué devant la juridiction précédente la question du prétendu manque d'indépendance de l'avocat de la constructrice, on ne saurait reprocher à cette juridiction de ne pas avoir abordé cette question: cela vide de son contenu le grief de violation du droit d'être entendu évoqué par le recourant.
Sur la question de savoir si la constructrice a engagé des frais pour défendre ses intérêts devant l'instance précédente, force est de constater que, tant dans l'intitulé de la décision entreprise que dans les écritures déposées par la constructrice, celle-ci n'agissait pas en personne mais apparaissait comme étant représentée par un avocat inscrit au barreau vaudois; elle a d'ailleurs constamment pris des conclusions en allocation de frais et dépens, sans que cela ne suscite de réaction de la part de son adverse partie. Il ne ressort pas non plus des observations du recourant, ni d'autres pièces du dossier cantonal, que l'indépendance de cet avocat aurait été mise en doute au cours de la procédure.
5.3. Dans ces conditions, on ne saurait reprocher à l'instance précédente d'avoir violé arbitrairement l'art. 55 LPA-VD en condamnant le recourant à verser à l'intimée des dépens de 2'500 fr. Le recours doit aussi être rejeté sur ce point.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet complet du recours en matière de droit public. Le recourant, qui succombe, prendra en charge les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a en revanche pas lieu d'allouer des dépens à la Commune (art. 68 al. 3LTF). La société intimée, dont l'avocat est aussi l'administrateur unique ainsi que cela est désormais établi, n'a pas droit à des dépens, dans la mesure où il n'a pas été prouvé qu'une grande activité avait été déployée dans cette affaire peu complexe lors de la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 68 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 5 p. 304).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la Municipalité de Pully ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 28 avril 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller