Sachverhalt:
A.
Am 24. Dezember 2010 erhob B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) über einen Betrag von Fr. 88'862.30 nebst Zins. In der begründeten Klage forderte sie Fr. 60'265.55.-- nebst Zins. Die Forderung steht im Zusammenhang mit einer ehemals im Eigentum der Parteien stehenden Liegenschaft.
B.
Mit Beschluss vom 17. Juni 2013 setzte das Bezirksgericht dem Beklagten gestützt auf § 74 des Gesetzes des Kantons Zürich über den Zivilprozess vom 13. Juni 1976 (aZPO/ZH) Frist zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 28'200.-- an unter der Androhung, dass bei Säumnis sein Vorbringen nur insoweit berücksichtigt werden könnte, als es unbestritten geblieben oder durch die Akten bewiesen sei.
Dagegen erhob der Beklagte Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich und beantragte, er sei von der Leistung einer Prozesskaution zu befreien. Mit Urteil vom 5. August 2013 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
C.
Der Beklagte beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben.
Die Klägerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Der Beschwerdeführer replizierte. Die Beschwerdegegnerin verzichtete auf Gegenbemerkungen.
Mit Präsidialverfügung vom 1. Oktober 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.
Mit Präsidialverfügung vom 4. November 2013 wurde das Sicherstellungsbegehren der Beschwerdegegnerin gutgeheissen und der Beschwerdeführer aufgefordert, als Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung Fr. 2'500.-- zu hinterlegen. Am 10. Dezember 2013 überwies der Beschwerdeführer die Sicherheit an die Bundesgerichtskasse.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Mit dem angefochtenen Urteil des Obergerichts wurde die Verpflichtung zur Leistung einer Prozesskaution für die Gerichtskosten und die Prozessentschädigung im erstinstanzlichen Verfahren bestätigt. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, da das Verfahren damit nicht abgeschlossen wurde.
1.2. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2). Diese betrifft eine vermögensrechtliche Zivilrechtsstreitigkeit mit einem Fr. 30'000.-- übersteigenden Streitwert (vgl. Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Damit ist grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen gegeben, weshalb auf die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten ist (<ref-law>).
1.3. Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen, ist die Beschwerde zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Die zweite Variante fällt hier ausser Betracht.
Gemäss der Rechtsprechung zu <ref-law> kann die Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses oder einer Sicherheitsleistung verbunden mit der Androhung, dass im Säumnisfall auf die Klage bzw. das Rechtsmittel nicht eingetreten wird, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken (Urteil 4A_26/2013 vom 5. September 2013 E. 1.1 mit Hinweisen).
Vorliegend wurde - gestützt auf das noch anwendbare kantonale Recht (vgl. Erwägung 3.1) - der beklagten Partei eine Prozesskaution auferlegt. Als Säumnisfolgen wurde demnach nicht das Nichteintreten auf die Klage angedroht, sondern, dass bei Säumnis das Vorbringen nur insoweit berücksichtigt werden könnte, als es unbestritten geblieben oder durch die Akten bewiesen ist (vgl. § 80 Abs. 2 aZPO/ZH). Ob auch in diesen Säumnisfolgen ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> zu erblicken ist, kann offen bleiben, weil, wie nachfolgend aufzuzeigen ist, ohnehin nicht auf die Beschwerde eingetreten werden kann.
2.
2.1. Soweit sich der vorinstanzliche Entscheid auf kantonales Recht stützt, kommt als Beschwerdegrund die Verletzung von Bundesrecht, insbesondere von verfassungsmässigen Rechten, in Frage (vgl. <ref-law>). Das Bundesgericht prüft eine Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 1.2). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.3).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 3 und 7.1, 462 E. 2.4). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3).
3.
3.1. Da das Verfahren bereits vor Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung beim Bezirksgericht Zürich rechtshängig war, gilt das bisherige Verfahrensrecht bis zum Abschluss vor dieser Instanz (<ref-law>). Die Kautionspflicht war demnach durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Entsprechend stützt sich die angefochtene Kautionierung auf § 74 aZPO/ZH. Dieser bestimmt unter dem Titel "bei verheimlichtem Wohnsitz": "Weigert sich eine Partei, ihren Wohnsitz oder ihren Aufenthaltsort dem Gericht bekannt zu geben, hat sie Kaution zu leisten."
3.2. Der Beschwerdeführer erhebt zwei Rügen: Einerseits macht er eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung geltend, andererseits moniert er die willkürlich falsche Anwendung von § 74 aZPO/ZH. Bezüglich beider - an sich zulässiger - Rügen verfehlt er indessen die Begründungsanforderungen. Dabei ist vorab klarzustellen, dass die Ausführungen des Beschwerdeführers in der Replik keine Beachtung finden können, soweit diese verwendet werden, um die Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.3.4).
3.3. Die Sachverhaltsrüge begründet der Beschwerdeführer damit, dass es mit Blick auf die bei den Akten liegende Wohnsitzbestätigung aktenwidrig sei, wenn die Vorinstanz davon ausgehe, er habe seinen Wohnsitz in P._ aufgegeben bzw. verschleiert.
Eine aktenwidrige Sachverhaltsfeststellung wird damit nicht hinreichend begründet. Die Vorinstanz hat die Wohnsitzbestätigung vom 23. Mai 2012 durchaus gesehen und berücksichtigt. Doch hat sie in nachvollziehbarer Weise festgehalten, dass es nach dem kantonalen Recht auf den tatsächlichen und nicht einen fiktiven Wohnsitz im Sinne von <ref-law> ankomme (siehe Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 9 zu <ref-law>/ZH; vgl. ferner zu <ref-law> Urteil 5A_733/2012 vom 16. November 2012 E. 2.1). Dazu genügt die Anmeldung bei einer Gemeinde nicht; sie ist bloss ein Indiz für das Vorliegen eines Lebensmittelpunktes (Urteil 5A_733/2012 vom 16. November 2012 E. 2.2.2). Dementsprechend würdigte die Vorinstanz weitere Umstände und Angaben betreffend den Wohnsitz bzw. tatsächlichen Aufenthalt des Beschwerdeführers, namentlich die Akten der Polizei und der Staatsanwaltschaft. Sie schloss, es könne nicht davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer an der Strasse S._ in P._ seinen faktischen Wohnsitz habe. Vielmehr habe er letzteren verheimlicht. Zu diesem Ergebnis gelangte sie demnach in Würdigung der aktenkundigen Indizien und Beweise und nicht etwa, weil sie die Wohnsitzbestätigung vom 23. Mai 2012 übersehen hätte. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den eingehenden Erwägungen der Vorinstanz, wonach nicht vom tatsächlichen Wohnsitz in P._ auszugehen sei, nicht auseinander und zeigt in keiner Weise auf, inwiefern diese unhaltbar sein sollen. Seine Rüge geht somit an der Sache vorbei und erweist sich als unzulässig (vgl. Erwägung 2.2).
3.4. Ebenso wenig wird die angeblich "willkürlich falsche" Anwendung von § 74 aZPO/ZH mit einer hinlänglich begründeten Willkürrüge geltend gemacht: Der Beschwerdeführer beharrt lediglich darauf, er habe seinen Wohnsitz immer noch in P._, was er gegenüber dem Gericht weiterhin habe bestätigen können bzw. müssen. Er habe eine Wohnsitzmeldung nicht verweigert. Die Vorinstanz ging demgegenüber gestützt auf ihre tatsächlichen Feststellungen davon aus, der Beschwerdeführer habe seinen Wohnsitz verheimlicht und damit einen Kautionsgrund im Sinne von § 74 aZPO/ZH geschaffen. Inwiefern sie bei dieser Sachlage das kantonale Verfahrensrecht willkürlich angewendet hat, wenn sie dem Beschwerdeführer einen Prozesskostenvorschuss auferlegte, wird in der Beschwerde nicht dargetan (vgl. Erwägung 2.1).
3.5. Auf die Beschwerde kann daher mangels rechtsgenügender Begründung nicht eingetreten werden.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 68 Abs. 2 BGG). Dem geringen Aufwand für den Nichteintretensentscheid wird durch eine reduzierte Gerichtsgebühr Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen. Diese Entschädigung wird aus der an die Gerichtskasse bezahlten Sicherheitsleistung ausgerichtet.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz