Sachverhalt:
A. A.a X._, aus Nigeria stammend, gelangte im Dezember 1996 in die Schweiz und heiratete am 25. Januar 1997 in Zürich die Schweizer Bürgerin Y._. In der Folge erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Zürich.
Gestützt auf seine Ehe ersuchte X._ am 2. November 2001 um erleichterte Einbürgerung. Im Rahmen des Einbürgerungsverfahrens unterzeichneten die Ehegatten am 28. Oktober 2002 eine gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Gleichzeitig unterzeichnete X._ eine Erklärung betreffend Beachtung der Rechtsordnung. Gemäss dieser Erklärung würden gegen ihn keine ungelöschten Vorstrafen und kein hängiges Strafverfahren bestehen. Auch habe er in den letzten fünf Jahren die Rechtsordnung der Schweiz sowie seines jeweiligen Aufenthaltsstaates beachtet und über diese fünf Jahre hinaus keine Delikte begangen, für die er heute noch mit einer Strafverfolgung oder Verurteilung rechnen müsste. X._ nahm unterschriftlich zur Kenntnis, dass diesbezügliche falsche Angaben zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen können.
Am 13. Dezember 2002 wurde X._ eingebürgert und erwarb die Bürgerrechte von Winterthur/ZH und Niedererlinsbach/SO.
A.b Am 23. Februar 2004 reichte die Ehefrau beim Bezirksgericht Zürich ein Eheschutzbegehren ein. Gemäss Eheschutzverfügung vom 29. März 2004 leben die Ehegatten seit dem 5. Januar 2004 getrennt.
A.c Am 12. Juli 2005 erkannte das Bezirksgericht Bülach X._ des mehrfachen Betrugs, der mehrfachen Urkundenfälschung sowie des mehrfachen Missbrauchs einer Datenverarbeitungsanlage (teilweise begangen im Oktober 2002) für schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingten Freiheitsstrafe von neun Monaten.
A.d Aufgrund dieser Umstände eröffnete das Bundesamt für Migration am 17. Oktober 2005 ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. Am 26. und 31. Januar 2007 erteilten die Kantone Solothurn und Zürich als Heimatkantone ihre Zustimmung zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. Mit Verfügung vom 9. Februar 2007 erklärte das Bundesamt für Migration die Einbürgerung von X._ für nichtig.
Mit Urteil vom 8. Mai 2009 wies das Bundesverwaltungsgericht die von X._ gegen die Verfügung des Bundesamtes erhobene Beschwerde ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._ beim Bundesgericht, es sei der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung zu verzichten. Ferner ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde.
C. Sowohl das Bundesverwaltungsgericht als auch das Bundesamt für Migration haben auf Vernehmlassung verzichtet.
D. Mit Verfügung vom 13. Juli 2009 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), betrifft eine Nichtigerklärung einer gestützt auf Art. 27 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0) gewährten erleichterten Einbürgerung, somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss <ref-law> erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2. Gemäss <ref-law> kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizer Bürgerin lebt. Die erleichterte Einbürgerung setzt zudem voraus, dass der Bewerber in der Schweiz integriert ist, die schweizerische Rechtsordnung beachtet und die innere oder äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährdet (<ref-law>). Die Voraussetzungen der erleichterten Einbürgerung müssen sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids vorhanden sein (vgl. zu <ref-law> <ref-ruling> E. 2 S. 165 mit Hinweisen).
Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt daher nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 2 S. 165; <ref-ruling> E. 3.1 S. 115).
3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
4. Gemäss dem angefochtenen Urteil des Bundesverwaltungsgerichts verübte der Beschwerdeführer einen Teil der Straftaten, wegen denen ihn das Bezirksgericht Bülach am 12. Juli 2005 verurteilte, während des laufenden Einbürgerungsverfahrens bzw. vor der erleichterten Einbürgerung. So habe der Beschwerdeführer am 7. Oktober 2002 fünf Konten bei drei verschiedenen Bankinstituten eröffnet, wobei er sich unter Vorlegung eines nicht ihm zustehenden britischen Passes als Z._ ausgewiesen und Bankdokumente unterzeichnet habe, indem er die im Pass enthaltene Unterschrift nachgeahmt habe. Die Konten seien eröffnet worden, um Fluchtgelder aus Afrika einzuzahlen. Ferner habe der Beschwerdeführer am 30. und 31. Oktober 2002 mit einer Karte, welche zu einem der vorher eröffneten Konten gehört habe, an verschiedenen Tankstellenshops in und um Zürich insgesamt 24 Einkäufe getätigt. Dies habe er getan, obwohl er einerseits damit habe rechnen müssen, dass das betreffende Konto kein Geld enthalten habe und ihm andererseits bewusst gewesen sei, dass sie nicht ihm gehört habe sowie auf eine ihm nicht bekannte Person ausgestellt gewesen sei, und er weiter damit habe rechnen müssen, dass die Bezüge nie gedeckt werden würden.
Diese Ausführungen stützte das Bundesverwaltungsgericht auf die Anklageschrift der Staatsanwaltschaft Zürich vom 10. Februar 2005, welche dem Strafurteil des Bezirksgerichts Bülach zugrunde lag. Der Beschwerdeführer war geständig, weshalb das Strafurteil nicht begründet werden musste.
Das Bundesverwaltungsgericht schloss, der Beschwerdeführer habe im massgebenden Zeitraum strafbare Handlungen begangen, die einer erleichterten Einbürgerung entgegen gestanden hätten. Indem er die Einbürgerungsbehörde in Unkenntnis der Tatsachen gelassen habe, von denen er gewusst habe, dass sie zur Verweigerung seines Gesuchs um erleichterte Einbürgerung führen würden, habe der Beschwerdeführer die Einbürgerung erschlichen und somit die Voraussetzungen für die Nichtigerklärung nach <ref-law> erfüllt.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer beanstandet, die Vorinstanz habe sich bei ihrem Entscheid über die Nichtigerklärung der Einbürgerung auf die Anklageschrift der Staatsanwaltschaft Zürich vom 10. Februar 2005 abgestützt.
5.2 Das Bundesverwaltungsgericht stellte auf das Strafurteil des Bezirksgericht Bülach vom 12. Juli 2005 ab. Dieses wiederum stützte sich bezüglich der im Oktober 2002 begangenen Straftaten vollumfänglich auf die Anklageschrift der Staatsanwaltschaft vom 10. Februar 2005. Der Beschwerdeführer war geständig, weshalb das Strafurteil nicht begründet werden musste.
Das Bundesgericht hat im Zusammenhang mit dem administrativen Führerausweisentzug Grundsätze dazu entwickelt, inwieweit die Verwaltungs- und Strafbehörden gegenseitig an ihre Erkenntnisse gebunden sind. Danach ist die Verwaltungsbehörde in reinen Rechtsfragen nicht an die Beurteilung durch das Strafgericht gebunden, da sie sonst in ihrer freien Rechtsanwendung beschränkt würde (Urteil des Bundesgerichts 1C_45/2007 vom 30. November 2007 E. 4.3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Hingegen darf die Verwaltungsbehörde von den tatsächlichen Feststellungen des Strafgerichts nur abweichen, wenn sie aufgrund eigener Beweiserhebungen Tatsachen feststellt, die dem Strafgericht unbekannt waren oder die es nicht beachtet hat, ferner wenn neue entscheiderhebliche Tatsachen vorliegen, wenn die Beweiswürdigung des Strafgerichts feststehenden Tatsachen klar widerspricht oder wenn das Strafgericht bei der Rechtsanwendung auf den Sachverhalt nicht alle Rechtsfragen abgeklärt hat (Urteil 1C_45/2007, a.a.O., E. 4.3 mit Hinweisen).
5.3 Im Einzelnen macht der Beschwerdeführer geltend, die tatsächliche Annahme der Vorinstanz, dass er bei der Unterzeichnung von Bankdokumenten die Unterschrift eines ihm nicht bekannten Passinhabers nachgeahmt und auch gewusst habe, dass die Konten für Fluchtgelder aus Afrika bestimmt waren, sei aktenwidrig. Zur Untermauerung seines Vorbringens verweist der Beschwerdeführer pauschal auf die Akten der Staatsanwaltschaft, deren Beizug er beantragt. Der Beschwerdeführer lässt ausser Acht, dass er vor dem Bezirksgericht Bülach seine Straftaten eingestanden hat. Im Verfahren der Nichtigerklärung der Einbürgerung kann er daher nicht behaupten, die Beweiswürdigung des Strafgerichts bzw. die beweismässigen Schlussfolgerungen der Staatsanwaltschaft seien aktenwidrig. Die Voraussetzungen, unter denen das Bundesverwaltungsgericht von den tatsächlichen Feststellungen der Strafbehörden hätte abweichen dürfen (vgl. E. 5.2 hiervor), sind vorliegend nicht erfüllt.
Die Vorinstanz hat, indem sie auf das Strafurteil resp. den eingestandenen Sachverhalt der Anklageschrift abstellte, die in der Praxis entwickelten Grundsätze über die Bindung der Verwaltungsbehörden an die Erkenntnisse der Strafbehörden korrekt angewendet und bei der Sachverhaltsfeststellung folglich keine Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> begangen (vgl. E. 3 hiervor).
5.4 In seinen weiteren Ausführungen beschränkt sich der Beschwerdeführer auf die Behauptung, er habe von der Strafbarkeit seines Verhaltens nichts gewusst, sei leichtsinnig und naiv gewesen und habe demzufolge nicht bewusst falsche Angaben zuhanden der Einbürgerungsbehörde gemacht. Der Beschwerdeführer setzt sich damit, wie gesagt, in Widerspruch zu seinem Geständnis vor dem Strafgericht sowie auch der vorliegenden Beschwerdeschrift, wonach er den Eventualvorsatz anerkannt habe. Im Übrigen handelt es sich bei seinen Ausführungen um unzulässige appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil. Damit ist der Beschwerdeführer nicht zu hören.
6. Insgesamt ist nicht ersichtlich, inwiefern die Nichtigerklärung der Einbürgerung nicht bundesrechtskonform wäre. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Zusprechung einer Parteientschädigung fällt ausser Betracht (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. November 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder