Faits:
A. A._ est propriétaire de la parcelle n° 753 du registre foncier de la commune d'Essertines-sur-Rolle. Ce bien-fonds de 148'593 m2 est inclus dans le périmètre du Syndicat d'améliorations foncières d'Essertines-sur-Rolle (ci-après: le syndicat), qui a pour but le remaniement parcellaire ainsi que la construction de chemins et d'ouvrages d'assainissement et d'amélioration du sol. Il a été englobé dans le périmètre du plan partiel d'affectation "les Dudes", approuvé le 26 novembre 2008 par le Département de l'économie du canton de Vaud. Une zone spéciale permettant notamment de légaliser les installations destinées à des activités équestres a ainsi été créée sur cette parcelle, qui était auparavant classée en zone agricole. La Commission de classification du syndicat (ci-après: la commission de classification) a dressé un tableau de répartition provisoire des frais, afin que les propriétaires concernés participent aux frais proportionnellement aux avantages procurés à leurs bien-fonds par les travaux collectifs.
B. Le 17 novembre 2008, le syndicat a tenu une assemblée générale au cours de laquelle il a été décidé de fixer des versements anticipés sur la base du tableau de répartition établi par la commission de classification. Les paiements devaient être échelonnés sur cinq ans et un taux d'intérêt moratoire de 4 % a été prévu. Le 18 novembre 2008, le syndicat a adressé à A._ une facture d'un montant de 8'320 fr., payable au 31 décembre 2008, correspondant aux versements anticipés pour 2008 en application des décisions prises lors de l'assemblée générale. Les 11 mars et 10 juin 2009, le syndicat a adressé des rappels au prénommé, qui n'y a pas donné suite.
Par décision du 10 octobre 2009, le syndicat a notifié à A._ un ultime rappel portant sur la contribution de 8'320 fr., augmentée d'un montant de 273 fr. correspondant aux intérêts moratoires pour la période allant du 1er janvier au 15 octobre 2009. A._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté le recours par arrêt du 6 mai 2010. En substance, cette autorité a considéré que la répartition des versements anticipés avait été effectuée correctement.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de constater que l'affectation en zone équestre de sa parcelle ne constitue pas un motif pour adapter à la hausse les versements anticipés. Il conclut subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. Il invoque notamment une violation de la loi fédérale sur l'agriculture (LAgr; RS 910.1) et de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700). Il requiert en outre l'effet suspensif. Le comité de direction et la commission de classification du syndicat se sont déterminés uniquement sur la requête d'effet suspensif. Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours, en se référant aux considérants de son arrêt.
D. Par ordonnance du 28 juin 2010, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 43; <ref-ruling> consid. 1 p. 331 et les arrêts cités).
1.1 La décision litigieuse ayant été rendue dans une cause de droit public, au sens de l'<ref-law>, sans qu'une des exceptions prévues à l'<ref-law> ne soit réalisée, seule la voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte en l'espèce, à l'exclusion du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>).
1.2 L'arrêt attaqué a pour objet une décision relative à des versements anticipés, fondés sur une répartition provisoire des frais du syndicat d'améliorations foncières. Selon l'art. 43 al. 1 de la loi cantonale du 29 novembre 1961 sur les améliorations foncières (LAF; RSV 913.11), les versements anticipés sont des avances sur les contributions des propriétaires aux frais de l'entreprise de remaniement parcellaire. Ainsi, la décision litigieuse ne met pas fin à la procédure (<ref-law>) et elle ne statue pas sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause (<ref-law>). Il s'agit donc d'une décision incidente au sens de l'<ref-law>. La décision en cause peut du reste être assimilée à un bordereau de taxation provisoire, que la jurisprudence qualifie également de décision incidente (cf. arrêts 2C_608/ 2007 du 30 mai 2008 consid. 1.2; 2P.8/2004 du 29 janvier 2004).
1.3 Conformément à l'<ref-law>, le recours n'est ouvert contre une décision incidente que si celle-ci peut causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). L'objectif poursuivi par cette disposition est de décharger le Tribunal fédéral en faisant en sorte que, dans la mesure du possible, celui-ci soit amené à trancher l'ensemble du litige dans une seule décision (<ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 34). Les exceptions permettant de recourir contre une décision préjudicielle ou incidente doivent donc être appréciées restrictivement, ce d'autant que les parties n'en subissent en principe pas de préjudice, puisqu'elles peuvent encore attaquer la décision préjudicielle ou incidente avec la décision finale en vertu de l'<ref-law> (cf. arrêt 1C_315/2010 du 18 août 2010 consid. 3 et les références citées).
1.3.1 Un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> est un dommage qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (<ref-ruling> consid. 1.3.4 p. 36; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 190 et les références). La prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci n'est pas considéré comme un dommage irréparable (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 632 et les références). Il appartient au recourant d'alléguer et d'établir que la décision préjudicielle ou incidente lui cause un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a, à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 632).
En l'espèce, le recourant explique en substance qu'il conteste l'adaptation à la hausse des versements anticipés, au motif que les travaux du remaniement parcellaire ne lui auraient procuré aucun avantage. Cela étant, il n'apparaît pas d'emblée évident que la décision sur les versements anticipés cause un dommage irréparable au recourant et celui-ci ne le démontre aucunement. Il ne s'agit en effet que d'une répartition provisoire des frais et le montant exigé doit être versé à titre d'avance (art. 43 al. 1 LAF), de sorte que les corrections nécessaires pourront être effectuées le cas échéant dans le cadre de la décision finale. Le Tribunal cantonal relève d'ailleurs que le décompte final des frais et la clef de répartition définitive feront l'objet d'une enquête publique, au cours de laquelle le recourant pourra formuler ses remarques. Les griefs soulevés dans le présent recours pourront donc être repris dans cette procédure et un hypothétique dommage serait selon toute vraisemblance réparé si l'intéressé devait obtenir une décision finale favorable. On ne saurait dès lors retenir que la décision litigieuse cause un préjudice irréparable au recourant.
1.3.2 Par ailleurs, la recevabilité du recours immédiat au sens de l'<ref-law> suppose cumulativement que le Tribunal fédéral puisse mettre fin une fois pour toutes à la procédure en jugeant différemment la question tranchée dans la décision préjudicielle ou incidente et que la décision finale immédiate qui pourrait ainsi être rendue permette d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-ruling> consid. 2.4.1 et les références citées). Ces conditions ne sont pas réalisées en l'espèce. En effet, on ne voit pas quelle procédure probatoire longue et coûteuse pourrait être évitée et une éventuelle admission du recours ne mettrait pas un terme définitif à la procédure.
2. Il s'ensuit que le recours doit être déclaré irrecevable. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens au comité de direction et à la commission de classification du syndicat, qui ne se sont pas déterminés sur le fond avec l'assistance d'un avocat et qui sont au demeurant chargés de tâches de droit public (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Commission de classification du Syndicat d'améliorations foncières d'Essertines-sur-Rolle, ainsi qu'au Département de l'économie et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 6 septembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener