Sachverhalt:
A. A.a Die X._ AG (Gesuchsgegnerin und Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in Y._. Sie bezweckt die Entsorgung von Schrott, Metallen, Papier, Kunststoffen, Sonderabfällen und anderen Materialien, die Erbringung von Transportdienstleistungen sowie den Erwerb, die Verwaltung, Nutzung und Veräusserung von Gütern.
Das Aktienkapital der Gesellschaft beträgt Fr. 150'000.-- und ist in 150 Namenaktien mit einem Nennwert von Fr. 1'000.-- unterteilt. Die beiden Aktionäre der Gesuchsgegnerin, AX._ (Nebenintervenient 1 auf Seiten des Gesuchstellers) und B._ (Nebenintervenient 2 auf Seiten der Gesuchsgegnerin), halten je 75 Namenaktien, d.h. je 50 % des Aktienkapitals.
A.b Mit Gesuch vom 24. Februar 2011 teilte das Handelsregisteramt des Kantons St. Gallen (Gesuchsteller und Beschwerdegegner) dem Präsidenten des Handelsgerichts des Kantons St. Gallen mit, dass die Gesuchsgegnerin Mängel in der gesetzlich zwingend vorgeschriebenen Organisation aufweise, und stellte den Antrag, es seien gestützt auf <ref-law> die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen.
Zur Begründung führte das Handelsregisteramt aus, es lasse sich dem Protokoll der Generalversammlung der Gesuchsgegnerin vom 10. Dezember 2010 entnehmen, dass sich die beiden Aktionäre AX._ und B._ nicht über die Einsetzung der Revisionsstelle hätten einigen können. Die Amtsdauer der Revisionsstelle betrage gemäss den Statuten der Gesuchsgegnerin ein Jahr und sei damit abgelaufen. Die Revisionsstelle sei an der Generalversammlung vom 10. Dezember 2010 nicht wiedergewählt und es sei auch keine neue Revisionsstelle gewählt worden. Damit fehle der Gesuchsgegnerin die Revisionsstelle und es seien auch keine Unterlagen für einen Verzicht auf eine eingeschränkte Revision gemäss <ref-law> (Opting-Out) eingegangen. Die der Gesuchsgegnerin angesetzte Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustandes sei unbenutzt verstrichen.
Mit Brief vom 25. Februar 2011 wies der Handelsgerichtspräsident die Gesuchsgegnerin darauf hin, dass er die Gesellschaft gestützt auf <ref-law> auflösen und ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs anordnen werde, sofern die Gesuchsgegnerin nicht bis zum 3. April 2011 den Nachweis erbringe, dass die Mängel in der gesetzlich zwingend vorgeschriebenen Organisation behoben worden sind.
A.c Mit Eingabe vom 18. März 2011 beantragte AX._ dem Handelsgerichtspräsidenten, er sei als Nebenintervenient gemäss <ref-law> auf Seiten des Gesuchstellers zuzulassen und die Gesuchsgegnerin sei gemäss <ref-law> wegen Mängeln in der Organisation aufzulösen und es sei deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs anzuordnen.
Zur Begründung führte AX._ insbesondere aus, dass er und der Verwaltungsratspräsident sowie Mitaktionär B._ seit mehreren Jahren im Streit lägen. Bereits im November 2007 habe ihm B._ erstmals den Verkauf seines Aktienanteils und das Ausscheiden aus der Gesellschaft angekündigt. In den Jahren 2008 und 2009 seien diverse Schriftwechsel erfolgt, in denen die Parteien ihren Unmut über die Lage im Unternehmen und die Zusammenarbeit der Organe der Gesellschaft geäussert oder mit dem Austritt aus der Gesellschaft gedroht hätten. Es seien in der Vergangenheit weder Verwaltungsratssitzungen noch Generalversammlungen durchgeführt worden. Eine einvernehmliche Einigung zwischen den Parteien über die Zukunft der Gesuchsgegnerin sei ebenfalls nie zustande gekommen und beide Parteien seien im Unternehmen tätig geblieben. An der ordentlichen Generalversammlung vom 10. Dezember 2010 habe kein einziger Beschluss gefasst werden können, weil die beiden Aktionäre sich nicht hätten einigen können bzw. das Beschlussquorum gemäss Art. 12 der Statuten in keinem Fall erreicht worden sei. Entsprechend habe auch keine Revisionsstelle gewählt werden können. Bei der vorliegenden paritätischen Zweipersonengesellschaft könne das Mehrheitsprinzip nicht spielen. In Anbetracht der nicht beizulegenden Streitigkeiten zwischen den beiden Aktionären und Verwaltungsräten der Gesuchsgegnerin sei es unmöglich, eine Einigung betreffend die Einsetzung einer Revisionsstelle zu finden, weshalb die Gesellschaft durch Entscheid des Handelsgerichtspräsidenten aufzulösen sei.
A.d Mit Eingabe vom 4. April 2011 reichte die Gesuchsgegnerin, vertreten durch den Verwaltungsratspräsidenten B._, eine Stellungnahme ein und stellte dem Handelsgerichtspräsidenten folgende Anträge:
"1. Es sei durch Entscheid des Handelsgerichtspräsidenten gemäss <ref-law> für die Gesuchsgegnerin eine Revisionsstelle einzusetzen.
2. Das Interventionsgesuch von AX._ vom 18. März 2011 zu einer Nebenintervention auf Seiten des Gesuchstellers sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Begehren von AX._ vom 18. März 2011 um Auflösung der Gesuchsgegnerin gemäss <ref-law> wegen fehlender Revisionsstelle sei abzuweisen.
4. Das Begehren von AX._ vom 18. März 2011 um Auflösung der Gesuchsgegnerin gemäss <ref-law> wegen angeblich anderer Mängel in deren Organisation der Gesellschaft als dem Fehlen einer Revisionsstelle sei nicht einzutreten, eventuell sei das Begehren abzuweisen.
5. Sollte der Handelsgerichtspräsident zum Schluss kommen, die Gesuchsgegnerin sei auf Grund des Präsidialbeschlusses ihres Verwaltungsratspräsidenten vom 04.03.2011 nicht hinreichend vertreten, sei der Unterzeichnete zur Interessenwahrung und Vertretung der Gesuchsgegnerin im vorliegenden Verfahren nach <ref-law> als "Sachwalter" einzusetzen.
6. Soweit der Handelsgerichtspräsident für die Massnahmen nach Rechtsbegehren Ziff. 1 und 2 einen Kostenvorschuss festsetzt, sei dieser der Gesuchsgegnerin aufzuerlegen und deren Bankverbindung durch den Handelsgerichtspräsidenten unmittelbar anzuweisen, den festgesetzten Betrag an die von ihm bestimmte Zahlstelle zu überweisen."
Zur Begründung führte die Gesuchsgegnerin aus, ihr Hauptantrag auf Einsetzung einer Revisionsstelle durch den Handelsgerichtspräsidenten sei gemäss <ref-law> ohne weiteres möglich und zulässig. Angesichts der Zerstrittenheit der Parteien sei zu befürchten, dass jedem Vorschlag der einen Seite von der anderen widersprochen würde. Es sei deshalb zielführender, wenn der Handelsgerichtspräsident selber einige Vorschläge mache und nach Anhören der Parteien im Hinblick auf allfällige Ablehnungsgründe direkt eine Revisionsstelle einsetze. Von einer konkursamtlichen Liquidation gemäss <ref-law> sei abzusehen. Eine solche schiesse mangels Überschuldung und Illiquidität der Gesellschaft über das Ziel hinaus, und es bestehe die Gefahr, dass unnötig wirtschaftliche Werte vernichtet würden. Die Gesuchsgegnerin bestätigte, dass das gegenseitige Vertrauensverhältnis der beiden Aktionäre tief greifend gestört sei. Die Situation sei aber nicht von vornherein unheilbar, da es u.a. organisatorische Möglichkeiten gebe, wie z.B. die Erweiterung des Verwaltungsrates, Änderung der Beteiligungsverhältnisse und Einbezug einer neutralen Drittperson mit Stichentscheid etc., und es sei nicht auszuschliessen, dass sich die beiden Aktionäre doch noch zu entsprechenden Schritten durchringen könnten. Es sei deshalb einstweilen eine Revisionsstelle einzusetzen, womit die Möglichkeit bestehen bleibe, dass ein Rettungs- oder Übernahmeszenario irgendwelcher Art aufgegleist werden könne. Sollte dies nicht gelingen, könne immer noch die Einsetzung eines Sachwalters oder eine Auflösung und Liquidation erwogen werden.
A.e Mit Eingabe vom 4. April 2011 stellte B._ dem Handelsgerichtspräsident folgende Anträge:
"1. Es sei B._ als Nebenintervenient gemäss <ref-law> auf Seiten der Gesuchsgegnerin zuzulassen.
2. Es sei für die Gesuchsgegnerin eine Revisionsstelle einzusetzen.
3. Für den Fall einer Verneinung einer rechtsgültigen Bevollmächtigung von Rechtsanwalt Dr. Christoph Rohner zu Interessenwahrung und Vertretung der Gesuchsgegnerin aufgrund des Verwaltungsrats-Präsidialbeschlusses vom 04.03.2011, sei Rechtsanwalt Dr. Christoph Rohner für das vorliegende Verfahren als "Sachwalter" gemäss <ref-law> zur Vertretung der Gesuchsgegnerin einzusetzen und es sei dessen Eingabe dementsprechend zuzulassen und zu behandeln.
4. Das Interventionsgesuch von AX._ vom 18. März 2011 zu einer Nebenintervention auf Seiten des Gesuchstellers sei abzuweisen.
5. Das Begehren von AX._ vom 18. März 2011 um Auflösung der Gesuchsgegnerin gemäss <ref-law> wegen fehlender Revisionsstelle sei abzuweisen.
6. Auf das Begehren von AX._ vom 18. März 2011 um Auflösung der Gesuchsgegnerin gemäss <ref-law> wegen angeblich anderer Mängel in deren Organisation der Gesellschaft als dem Fehlen einer Revisionsstelle sei nicht einzutreten, eventuell sei das Begehren abzuweisen."
B._ brachte insbesondere vor, eine richterliche Auflösung und Liquidation der Gesellschaft nach den Vorschriften über den Konkurs führe zu einer massiven Verminderung und zu einem Verlust von erheblichen Vermögenswerten der Gesellschaft. Er habe als Aktionär mit einer Beteiligung von 50 % an der Gesellschaft und als Verwaltungsratsmitglied bzw. -präsident der Gesellschaft ein rechtliches Interesse an der Erhaltung der Gesuchsgegnerin. Die sowohl bilanz- als auch ertragsmässig sehr gut bestellte Gesuchsgegnerin sei zu erhalten, es sei die Zerstörung von Vermögenswerten in Folge einer konkursrechtlichen Liquidation allein wegen einer böswilligen Verhinderung einer Wieder- oder Neuwahl einer Revisionsstelle durch AX._ zu vermeiden. Nachdem dieser während 15 Jahren die Funktion als Verwaltungsratspräsident inne gehabt habe, sei zwischen ihm und B._ ein Übergang des Präsidiums auf B._ vereinbart und am 29. November 2005 im Handelsregister eingetragen worden. Entgegen den Ausführungen von AX._ sei für die Zeit ab 2005 kein Präsidiumswechsel im Dreijahresrhythmus vereinbart worden. Auf Grund eines treuwidrigen Verhaltens von AX._ sei am 29. November 2005 die vormalige Einzelzeichnungsberechtigung der beiden Verwaltungsräte in eine Zeichnungsberechtigung mit Kollektivunterschrift zu zweien geändert worden. Wie bereits von der Gesuchsgegnerin ausgeführt, sei im Jahre 2007 eine Unternehmensbewertung durchgeführt worden, worauf AX._ es abgelehnt habe, sein Aktienpaket an B._ oder an einen Dritten abzutreten und das von B._ gemachte Übernahmeangebot von Fr. 2.15 Mio gemäss einem externen Gutachten anzunehmen. An der Generalversammlung vom 10. Dezember 2010 habe AX._ eine Wiederwahl der bisherigen Revisionsstelle ohne Wahlvorschlag für eine andere neue Revisionsstelle abgelehnt und habe versucht, B._ als Mitglied und Präsident des Verwaltungsrats abzuwählen. Damit habe offenkundig ein Mangel in der Organisation der Gesellschaft zum Zwecke der Auslösung eines Verfahrens gemäss <ref-law> erreicht werden sollen. Bei der Anordnung der Massnahmen gemäss <ref-law> sei der Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu beachten. Nachdem die Gesuchsgegnerin in keiner Weise konkursreif sei, könne der Mangel einer fehlenden Revisionsstelle ohne weiteres durch richterliche Bestellung einer Revisionsstelle gemäss <ref-law> behoben werden.
A.f Mit Schreiben vom 15. April 2011 verzichtete das Handelsregisteramt auf eine Stellungnahme zu den erwähnten Eingaben und hielt fest, es werde der richterlichen Entscheidfindung überlassen, welche Massnahmen im vorliegenden Fall zu treffen sind.
B. Mit Entscheid vom 27. Mai 2011 urteilte der Handelsgerichtspräsident wie folgt:
"1. Die X._ AG wird aufgelöst. Es wird ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs angeordnet. Diese ist vom Konkursamt des Kantons St. Gallen nach Rechtskraft dieses Entscheides durchzuführen.
2. Die Gesuchsgegnerin bezahlt die Entscheidgebühr von Fr. 2'500.--.
3. AX._, die Gesuchsgegnerin und B._ tragen je ihre Parteikosten selber."
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Gesuchsgegnerin dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Handelsgerichtspräsidenten vom 27. Mai 2011 aufzuheben und es sei für die Gesuchsgegnerin gemäss <ref-law> eine Revisionsstelle einzusetzen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und es sei die Vorinstanz anzuweisen, für die Gesuchsgegnerin gemäss <ref-law> eine Revisionsstelle einzusetzen. Subeventualiter sei bei Abweisung der Beschwerde in der Hauptsache im Dispositiv des bundesgerichtlichen Entscheids vorzusehen, dass die Auflösung der Gesuchsgegnerin bzw. die Konkurseröffnung frühestens 30 Tage nach Eröffnung des bundesgerichtlichen Entscheids wirksam wird. Weiter sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
AX._ schliesst in seiner Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten, während B._ die Gutheissung der Beschwerde beantragt. Der Beschwerdegegner und die Vorinstanz haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführerin reichte eine Replik ein.
D. Mit Präsidialverfügung vom 1. Juli 2011 wurde festgestellt, dass der Beschwerde im Umfang der Begehren von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zukommt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) in einer Zivilsache (<ref-law>), der von einem oberen kantonalen Gericht erging, das als Fachgericht für handelsrechtliche Streitigkeiten und einzige kantonale Instanz eingesetzt ist (<ref-law>). Da auch die weiteren Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz offensichtlich unrichtige bzw. unvollständige Sachverhaltsfeststellungen vor. Die Vorinstanz schliesse aus einer Pattsituation im Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin bzw. aus dessen Handlungsunfähigkeit darauf, dass sich die festgestellten Mängel in der Organisation der Beschwerdeführerin nicht mehr beheben liessen. Die tatsächlichen Grundlagen, gestützt auf welche die Vorinstanz die Handlungsunfähigkeit ableite, träfen jedoch nicht zu: Die Feststellung auf den Seiten 9 und 11 des angefochtenen Entscheids, wonach die beiden Aktionäre und Verwaltungsratsmitglieder B._ und AX._ lediglich über eine Kollektivzeichnungsberechtigung verfügten, sei falsch. Vielmehr sei am 11. April 2011 eine Einzelzeichnungsbefugnis des Verwaltungsratspräsidenten B._ im Handelsregister eingetragen worden, womit die Beschwerdeführerin entgegen der Auffassung der Vorinstanz nach aussen durchaus handlungsfähig sei. Der entsprechende Handelsregistereintrag sei der Vorinstanz mit der Eingabe von AX._ vom 18. April 2011 eingereicht worden.
2.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die Beschwerdeführerin, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Soweit die Beschwerdeführerin den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2). Überdies ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2).
2.2 Eine Eintragung im Handelsregister wird gegenüber Dritten an dem nächsten Werktag wirksam, der auf den aufgedruckten Ausgabetag derjenigen Nummer des Schweizerischen Handelsamtsblatts (SHAB) folgt, in der die Eintragung veröffentlicht ist (<ref-law>). Die Einwendung, dass jemand eine Dritten gegenüber wirksam gewordene Eintragung im Handelsregister nicht gekannt habe, ist ausgeschlossen (<ref-law>). Daraus ergibt sich, dass es sich bei rechtskonform publizierten Handelsregistereinträgen um Tatsachen handelt, die jedermann zugänglich sind und deren Kenntnis fingiert wird. Prozessual handelt es sich um offenkundige bzw. notorische Tatsachen (Urteil 5A_62/2009 vom 2. Juli 2009 E. 2.1, in: Praxis 99/2010 Nr. 17 S. 120; Urteil 2C_952/2010 vom 29. März 2011 E. 2.3). Als solche müssen Handelsregistereinträge im kantonalen Verfahren weder behauptet noch bewiesen zu werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 89; <ref-ruling> E. 3.4 S. 121) und können im Verfahren vor Bundesgericht von Amtes wegen berücksichtigt werden (<ref-law>; Urteil 5A_288/2011 vom 18. November 2011; 5A_62/2009 vom 2. Juli 2009 E. 2.1, in: Praxis 99/2010 Nr. 17 S. 120; <ref-ruling> E. 4a S. 214).
2.3 Gemäss dem am 7. April 2011 im SHAB publizierten Handelsregistereintrag wurde B._ als Verwaltungsratspräsident der Beschwerdeführerin die Einzelunterschrift erteilt. Der entsprechende Handelsregistereintrag wurde bei der Vorinstanz mit Eingabe von AX._ vom 18. April 2011 eingereicht. Damit ist die Feststellung, dass die Beschwerdeführerin durch B._ und AX._ mit Kollektivunterschrift zu zweien vertreten werde und die Gesellschaft nur dann handlungs- und beschlussfähig sei, wenn die beiden Aktionäre gemeinsam handeln, offensichtlich unrichtig. Die Behebung dieses Mangels kann für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein, da die Vorinstanz der angeblichen Handlungsunfähigkeit des Verwaltungsrats der Beschwerdeführerin entscheidtragende Bedeutung zumisst. Die Sachverhaltsrüge der Beschwerdeführerin erweist sich insoweit als begründet.
Zutreffend und hiermit in Anwendung von <ref-law> festzustellen ist, dass B._ im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils Verwaltungsratspräsident der Beschwerdeführerin war und über eine Einzelunterschrift verfügte.
3. Die Beschwerdeführerin macht eine Verletzung von <ref-law> geltend. Ihrer Auffassung nach hätte die Vorinstanz zur Behebung des Organisationsmangels gestützt auf <ref-law> das fehlende Organ, d.h. eine Revisionsstelle ernennen sollen, anstatt sogleich die Auflösung der Gesellschaft gestützt auf <ref-law> anzuordnen. Mit ihrem Vorgehen habe die Vorinstanz unverhältnismässig gehandelt, zumal es sich bei der Beschwerdeführerin grundsätzlich um ein funktionierendes Unternehmen handle und die Auflösung eine ultima ratio darstelle. Wenn AX._ die Auflösung der Beschwerdeführerin anstrebe, so stehe ihm hierzu die Auflösungsklage gemäss <ref-law> zur Verfügung.
3. Die Beschwerdeführerin macht eine Verletzung von <ref-law> geltend. Ihrer Auffassung nach hätte die Vorinstanz zur Behebung des Organisationsmangels gestützt auf <ref-law> das fehlende Organ, d.h. eine Revisionsstelle ernennen sollen, anstatt sogleich die Auflösung der Gesellschaft gestützt auf <ref-law> anzuordnen. Mit ihrem Vorgehen habe die Vorinstanz unverhältnismässig gehandelt, zumal es sich bei der Beschwerdeführerin grundsätzlich um ein funktionierendes Unternehmen handle und die Auflösung eine ultima ratio darstelle. Wenn AX._ die Auflösung der Beschwerdeführerin anstrebe, so stehe ihm hierzu die Auflösungsklage gemäss <ref-law> zur Verfügung.
3.1 3.1.1 Aktiengesellschaften haben ihre Jahresrechnung durch eine Revisionsstelle ordentlich (<ref-law>) oder gegebenenfalls eingeschränkt (<ref-law>) prüfen zu lassen, wobei wenigstens ein Mitglied der Revisionsstelle seinen Wohnsitz in der Schweiz haben muss (<ref-law>). Nach <ref-law> kann mit Zustimmung sämtlicher Aktionäre auf eine eingeschränkte Revision verzichtet werden, wenn die Gesellschaft im Jahresdurchschnitt nicht mehr als zehn Vollstellen hat (sog. Opting-out).
3.1.2 Gemäss <ref-law> kann ein Aktionär, ein Gläubiger oder der Handelsregisterführer dem Richter beantragen, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen, falls der Gesellschaft eines der vorgeschriebenen Organe fehlt oder eines dieser Organe nicht rechtmässig zusammengesetzt ist (Abs. 1 Ingress). Der Richter kann insbesondere der Gesellschaft unter Androhung ihrer Auflösung eine Frist ansetzen, binnen derer der rechtmässige Zustand wieder herzustellen ist (Abs. 1 Ziff. 1), das fehlende Organ oder einen Sachwalter ernennen (Abs. 1 Ziff. 2) oder die Gesellschaft auflösen und ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs anordnen (Abs. 1 Ziff. 3).
Mit dieser Norm hat der Gesetzgeber eine einheitliche Ordnung für die Behebung und Sanktionierung organisatorischer Mängel innerhalb einer Gesellschaft geschaffen (<ref-ruling> E. 11.4.1 mit Hinweisen). Die Bestimmung erfasst diejenigen Fälle, in denen eine zwingende gesetzliche Vorgabe hinsichtlich der Organisation der Gesellschaft nicht oder nicht mehr eingehalten wird (Urteil 4A_457/2010 vom 5. Januar 2011 E. 2.2.1; PETER/CAVADINI, in: Commentaire romand, Code des obligations II, 2008, N. 1 zu <ref-law>; WATTER/WIESER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 3. Aufl. 2008, N. 1 zu <ref-law>; Botschaft vom 19. Dezember 2001 zur Revision des Obligationenrechts [GmbH-Recht sowie Anpassungen im Aktien-, Genossenschafts-, Handelsregister- und Firmenrecht], BBl 2002, S. 3231 f.). Sie bezieht sich sowohl auf das Fehlen als auch die nicht rechtsgenügende Zusammensetzung obligatorischer Gesellschaftsorgane (Botschaft, a.a.O., S. 3231).
3.1.3 Die Behebung von Organisationsmängeln steht im Interesse eines funktionierenden Rechtsverkehrs und kann die Interessen von Anspruchsgruppen (Stakeholder) berühren, die sich am Verfahren nach <ref-law> nicht beteiligen (Arbeitnehmer, Gläubiger, Aktionäre). Aufgrund der Interessen Dritter sowie der Öffentlichkeit ist der Richter an spezifizierte Anträge der Parteien nicht gebunden (Botschaft, a.a.O., S. 3232; BGE 4A_630/2011 vom 7. März 2012 E. 3.5). Das im Summarium durchzuführende Organisationsmängelverfahren (BGE 4A_630/2011 vom 7. März 2012 E. 3.9) ist mithin vom Offizialgrundsatz beherrscht (<ref-law>): Die Parteien haben keine Verfügungsbefugnis über den Streitgegenstand und können sich namentlich auch nicht vergleichen (vgl. WATTER/WIESER, a.a.O., N. 9 zu <ref-law>; BÜRGE/GUT, Richterliche Behebung von Organisationsmängeln der AG und der GmbH - Normgehalt und verfahrensrechtliche Aspekte von <ref-law>, SJZ 2009, S. 161; FRANCO LORANDI, Konkursverfahren über Handelsgesellschaften ohne Konkurseröffnung - Gedanken zu <ref-law>, AJP 2008, S. 1384; PETER LEHMANN, Die "kleine" Aktienrechtsrevision [Teil 2], GesKR 2007, S. 423).
3.1.4 Bei den in den Ziffern 1 - 3 von <ref-law> genannten Massnahmen zur Behebung des Organisationsmangels handelt es sich um einen exemplifikativen, nicht abschliessenden Katalog (<ref-ruling> E. 11.4.1 S. 371; WATTER/WIESER, a.a.O., N. 16 zu <ref-law>; PETER/CAVADINI, a.a.O., N. 7 zu <ref-law>). Mit <ref-law> wollte der Gesetzgeber dem Richter ähnlich wie bei der Auflösungsklage gemäss <ref-law> einen hinreichenden Handlungsspielraum gewähren, um eine mit Blick auf die konkreten Umstände des Einzelfalles angemessene Massnahme treffen zu können (Botschaft, a.a.O., S. 3232; <ref-ruling> E. 11.4.1 S. 371; BGE 4A_630/2011 vom 7. März 2012 E. 3.5). Der Richter ist bei der Ausübung dieses Handlungsspielraums freilich nicht ungebunden: Die Lehre geht zutreffend davon aus, dass die in <ref-law> genannten Massnahmen in einem Stufenverhältnis stehen (LORANDI, a.a.O., S. 1385; BÜRGE/GUT, a.a.O., S. 159 f.). Der Richter soll die drastische Massnahme der Auflösung gemäss Ziffer 3 erst anordnen, wenn die milderen Massnahmen gemäss Ziffer 1 (Fristansetzung zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands) und Ziffer 2 (Ernennung des fehlenden Organs oder eines Sachwalters) nicht genügen oder erfolglos geblieben sind. Es gilt mithin wie im Verfahren nach <ref-law> das Verhältnismässigkeitsprinzip (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280; BÜRGE/GUT, a.a.O., S. 159 f.). Die Auflösung nach <ref-law> stellt eine ultima ratio dar, also das letztmögliche Mittel, das erst zur Anwendung gelangt, wenn sich mildere Mittel nicht als sachgerecht bzw. zielführend erweisen (<ref-ruling> E. 11.4.1 S. 371; VON BÜREN/STOFFEL/WEBER, Grundriss des Aktienrechts, 3. Aufl. 2011, N. 743, 1184; PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4. Aufl. 2009, § 13 N. 492; LORANDI, a.a.O., S. 1385; PETER/CAVADINI, a.a.O., N. 21 zu <ref-law>; BÜRGE/GUT, a.a.O., S. 159 f.; PIERRE-ALAIN RECORDON, Les premiers pas de l'article 731b CO, SZW 2010, S. 4; DANIEL S. WEBER, Mängel in der Organisation von Gesellschaften, in: Haunreiter et al. [Hrsg.], Auswirkungen von Krisen auf Wirtschaft, Recht und Gesellschaft, 2009, S. 365). Dies ist etwa der Fall, wenn Verfügungen nicht zustellbar sind oder wenn sich die Gesellschaft in keiner Art und Weise vernehmen lässt (BÜRGE/GUT, a.a.O., S. 160).
3.1.5 Besteht im Aktionariat einer Gesellschaft eine Pattsituation bzw. Blockade (sog. Deadlock), kann dies dazu führen, dass die Revisionsstelle als obligatorisches Gesellschaftsorgan nicht bestellt werden kann. In der Lehre wird die Auffassung vertreten, dass zur Behebung eines solchen Organisationsmangels, der auf eine Pattsituation im Aktionariat zurückgeht, die Ernennung des fehlenden Organs gemäss <ref-law> die grundsätzlich angemessene Massnahme darstellt (RECORDON, S. 3; vgl. auch BÖCKLI, a.a.O., § 13 N. 491, 493 sowie BÜRGE/GUT, a.a.O, S. 160). Auch in der Botschaft wird gerade die "andauernde Pattsituation" als Beispiel einer Situation genannt, in der die richterliche Ernennung des fehlenden Organs zum Zuge kommt (Botschaft, a.a.O., S. 3232).
3.1.6 Beantragt ein Aktionär gestützt auf <ref-law> die Auflösung der Gesellschaft, hat der Richter bei der Ausübung seines Ermessens zu beachten, dass die strengen Voraussetzungen der Auflösungsklage gemäss <ref-law> nicht unterlaufen werden. Denn in den Gesetzesmaterialien finden sich keine Anhaltspunkte dafür, dass der Gesetzgeber mit <ref-law> die Möglichkeit einer erleichterten Auflösung von Aktiengesellschaften schaffen wollte. Mit dem Auflösungsgesuch gemäss <ref-law> soll dem Aktionär, der sich in der Pattsituation einer Lösung widersetzt, kein Instrument an die Hand gegeben werden, mit dem er die Auflösung der Gesellschaft erwirken kann, ohne dass gleichzeitig die strengen Voraussetzungen einer Auflösungsklage gemäss <ref-law> vorliegen.
Nach der im Leitentscheid <ref-ruling> E. 2.2.2 bestätigten Rechtsprechung ist die Auflösung einer Aktiengesellschaft aus wichtigem Grund eine subsidiäre Massnahme, die nicht angeordnet werden darf, solange sich bei einer Prüfung der konkreten Umstände des Einzelfalles zeigt, dass der um Auflösung ersuchende Aktionär seine legitimen Interessen mit weniger einschneidenden Mitteln verteidigen kann, wie z.B. mittels Anfechtung von Generalversammlungsbeschlüssen oder mittels Klagen auf Auskunftserteilung (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280; <ref-ruling> E. 1a und 2a; <ref-ruling> E. 4 S. 142; <ref-ruling> E. 6c S. 125 und E. 6d S. 126 f.; <ref-ruling> E. 1a S. 35; <ref-ruling> E. 1 S. 47; 67 II 162 E. d S. 166). Die Auflösung muss verhältnismässig sein, was eine Abwägung aller auf dem Spiel stehenden Interessen voraussetzt (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280; <ref-ruling> E. 7 S. 127). Zu beachten ist dabei nicht nur das Interesse des klagenden Aktionärs, sondern auch das der übrigen Aktionäre und weiteren Anspruchsgruppen (namentlich der Arbeitnehmer) am Fortbestand der Gesellschaft (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280; <ref-ruling> E. 1c S. 270; <ref-ruling> E. 7 S. 128), wobei zu berücksichtigen ist, dass die Aktiengesellschaft eine Kapital- und nicht eine Personengesellschaft ist, so dass - jedenfalls bei grösseren Gesellschaften - grundsätzlich nur die finanziellen Interessen der Aktionäre massgeblich sind (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280; 67 II 162 E. b S. 164). Am Ende des Abwägungsprozesses muss sich eine Situation präsentieren, die derart gravierend ist, dass der Fortbestand der Gesellschaft nach Treu und Glauben als nicht mehr tragbar erscheint, die beklagte Gesellschaft mithin ihr Existenzrecht verwirkt hat und verschwinden muss (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280; 67 II 162 E. c S. 165).
3.2 Die Vorinstanz erwog, dass die Beschwerdeführerin über keine Revisionsstelle verfügt und auch nicht auf eine eingeschränkte Revision gemäss <ref-law> verzichtet hat. Damit liege ein Mangel in der Gesellschaftsorganisation gemäss <ref-law> vor. Solange die beiden Aktionäre, die je 50 % der Aktien halten, keine Lösung finden, sei die Behebung dieses Mangels nicht möglich. Denn bei diesem Stimmenverhältnis könnten in der Generalversammlung der Beschwerdeführerin nur Beschlüsse gefällt werden, wenn beide Aktionäre zustimmen. Zudem sei auch der Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin nur beschluss- und handlungsfähig, wenn beide Aktionäre zustimmen bzw. gemeinsam handeln. Dass das seit längerer Zeit zwischen den beiden Aktionären bestehende Patt einvernehmlich beendet werden könnte, erscheine ausgeschlossen, da AX._ im vorinstanzlichen Verfahren die Auflösung der Gesuchsgegnerin gemäss <ref-law> und deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs beantragt habe.
Die Vorinstanz gelangte zum Schluss, dass "gemäss der konstanten Praxis des Handelsgerichtspräsidenten" nur noch die der Beschwerdeführerin bereits angedrohte Auflösung und Liquidation bleibe, nachdem die milderen Massnahmen, d.h. insbesondere die Aufforderungen des Handelsregisteramtes und des Handelsregisterpräsidenten zur Mängelbehebung, nicht zum Ziel geführt haben. Der Beschwerdeführerin sei in Anwendung von <ref-law> praxisgemäss unter Androhung der Auflösung eine Frist angesetzt worden, binnen derer der rechtmässige Zustand wiederherzustellen war. Da diese Frist unbenutzt verstrichen sei, müsse die Gesellschaft aufgelöst und ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs angeordnet werden.
Die richterliche Ernennung einer Revisionsstelle fällt nach Auffassung der Vorinstanz unter anderem deshalb ausser Betracht, weil sich die beiden Aktionäre auch in der Zukunft nicht auf eine Revisionsstelle einigen könnten. Von "entscheidender Bedeutung" sei jedoch, dass die Beschwerdeführerin nicht in der Lage wäre, einen Kostenvorschuss für die zu ernennende Revisionsstelle zu leisten, da AX._ als kollektivzeichnungsberechtigtes Verwaltungsratsmitglied offensichtlich nicht bereit wäre, eine solche Zahlungsanweisung zu unterzeichnen. Damit sei auf die Massnahme, richterlich eine Revisionsstelle zu ernennen, zu verzichten, da diese aussichtslos erscheine. Es verbleibe ausschliesslich die Möglichkeit, die Gesellschaft aufzulösen und ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs anzuordnen.
Dem fügte die Vorinstanz bei, dass das Konkursamt den Umstand zu berücksichtigen haben werde, dass die Beschwerdeführerin nicht überschuldet zu sein scheine, und es sich bei ihr abgesehen von der Pattsituation im Aktionariat um ein funktionierendes Unternehmen handle. In Berücksichtigung des Verhältnismässigkeitsprinzips müsse das Konkursamt deshalb dafür besorgt sein, dass das Unternehmen als Einheit an AX._, B._ oder an einen meistbietenden Dritten verkauft werden kann.
Dem fügte die Vorinstanz bei, dass das Konkursamt den Umstand zu berücksichtigen haben werde, dass die Beschwerdeführerin nicht überschuldet zu sein scheine, und es sich bei ihr abgesehen von der Pattsituation im Aktionariat um ein funktionierendes Unternehmen handle. In Berücksichtigung des Verhältnismässigkeitsprinzips müsse das Konkursamt deshalb dafür besorgt sein, dass das Unternehmen als Einheit an AX._, B._ oder an einen meistbietenden Dritten verkauft werden kann.
3.3 3.3.1 Mit diesen Erwägungen verkennt die Vorinstanz das Verhältnismässigkeitsprinzip, welches bei der Auswahl der zur Behebung eines Organisationsmangels erforderlichen Massnahmen nach <ref-law> gilt (oben E. 3.1.4 f.). Die Vorinstanz hat der Beschwerdeführerin zwar zunächst korrekterweise eine Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustandes angesetzt (<ref-law>). Sie hat in der Folge jedoch zu Unrecht die richterliche Ernennung der fehlenden Revisionsstelle gestützt auf <ref-law> als milderes Mittel zur Auflösung nach <ref-law> verworfen. Denn der von der Vorinstanz hierfür als von "entscheidender Bedeutung" angeführte Grund, dass die Beschwerdeführerin nicht in der Lage wäre, einen Kostenvorschuss für die zu ernennende Revisionsstelle zu leisten, beruht auf der Annahme, dass der Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin nicht handlungsfähig sei. Dies trifft - wie oben in E. 2.3 dargelegt - nicht zu, da die Gesellschaft jedenfalls durch ihren Verwaltungsratspräsidenten, der über eine Einzelzeichnungsbefugnis verfügt, vertreten werden kann. Zudem ist die Beschwerdeführerin bei richterlicher Ernennung der Revisionsstelle gestützt auf <ref-law> ohnehin direkt im Urteilsdispositiv zu verpflichten, die Kosten der ernannten Revisionsstelle zu tragen und dieser einen Vorschuss zu leisten. Mit dieser Regelung wird verhindert, dass die richterliche Ernennung eines entsprechenden Organs faktisch daran scheitert, dass eine blockierte Gesellschaft die Kosten bzw. Vorschüsse für das entsprechende Mandat nicht bezahlt (BÖCKLI, a.a.O., § 13 N. 494; RECORDON, a.a.O., S. 3). Unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit rechtfertigt es sich somit nicht, bei einem Fehlen der Revisionsstelle, das auf eine Pattsituation im Aktionariat zurückzuführen ist, sogleich die drastische Massnahme der Auflösung anzuordnen, zumal wenn es sich wie bei der Beschwerdeführerin um ein im Aussenverkehr handlungsfähiges und gemäss den Feststellungen der Vorinstanz grundsätzlich funktionierendes und finanziell gesundes Unternehmen handelt.
3.3.2 Die Auflösung der Beschwerdeführerin wird in erster Linie von AX._ beantragt, während es das Handelsregisteramt in das Ermessen der Vorinstanz gestellt hat, mit welcher Massnahme der Organisationsmangel zu beheben ist. AX._ versucht mithin, mit dem Instrumentarium von <ref-law> ein Resultat zu erwirken, das für einen Aktionär grundsätzlich nur mittels einer Auflösungsklage nach <ref-law> zu erreichen ist. Die Gutheissung einer Auflösungsklage nach <ref-law> würde indessen voraussetzen, dass das Interesse von AX._ an der Auflösung der Beschwerdeführerin dasjenige von B._ und der weiteren Anspruchsgruppen (Arbeitnehmer, Gläubiger) am Fortbestand der Gesellschaft überwiegt (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280). Dass dem so wäre, ist gestützt auf die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht ersichtlich. Eine Situation, die derart gravierend ist, dass der Fortbestand der Gesellschaft nach Treu und Glauben als nicht mehr tragbar erscheint, so dass die Beschwerdeführerin geradezu ihr Existenzrecht verwirkt hätte (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280), hat AX._ weder vor der Vorinstanz noch vor Bundesgericht dargetan. Mit der sofortigen Anordnung einer Auflösung der Beschwerdeführerin würden somit nicht nur das im Rahmen von <ref-law> zu beachtende Verhältnismässigkeitsprinzip verletzt, sondern auch die in der Rechtsprechung entwickelten, strengen Voraussetzungen von <ref-law> unterlaufen (oben E. 3.1.6).
Vorliegend ist der Mangel in der Organisation der Beschwerdeführerin daher einstweilen dadurch zu beheben, dass die fehlende Revisionsstelle gemäss <ref-law> richterlich ernannt wird.
3.3.3 Die Vorinstanz hat Bedenken geäussert, dass sich die beiden Aktionäre auch in der Zukunft nicht zu gemeinsamem Handeln durchringen könnten. Selbst wenn sich diese als berechtigt herausstellen und die Pattsituation die Gesellschaft auf Dauer funktionsunfähig machen sollte, ist darauf hinzuweisen, dass die Auflösung der Gesellschaft nicht die einzige Lösung ist, um den Deadlock zu beheben. Gestützt auf <ref-law> bzw. <ref-law> kann das Gericht nämlich Massnahmen anordnen, die für die Gesellschaft und die weiteren Anspruchsgruppen des Unternehmens weniger einschneidend sind als eine Auflösung und anschliessende Liquidation. Bei einer blockierten Zweimanngesellschaft ist etwa an eine Übernahme der Aktien des einen Aktionärs durch den anderen im Rahmen einer richterlich angeordneten Versteigerung zu denken (dazu HANS CASPAR VON DER CRONE, Lösung von Pattsituationen bei Zweimanngesellschaften, SJZ 1993, S. 42 ff.; ferner rechtsvergleichend MERKT/GÖTHEL, US-amerikanisches Gesellschaftsrecht, 2. Aufl., Frankfurt a.M. 2006, N. 759 ff., zu den Möglichkeiten einer Auflösung der Pattsituation mittels eines buyouts). Mit einer solchen oder ähnlichen Massnahme kann der Beibehaltung des Fortführungswerts der Gesellschaft (going concern value) im richterlichen Urteilsdispositiv selbst Rechnung getragen werden. Eine entsprechende (letztlich unverbindliche) Empfehlung in den Urteilserwägungen, wie sie die Vorinstanz vorliegend dem Konkursamt erteilt hat, würde sich damit erübrigen.
4. Die Beschwerde erweist sich als begründet. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese gestützt auf <ref-law> die fehlende Revisionsstelle der Beschwerdeführerin ernenne und die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens neu regele (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).
Die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt (<ref-law>). Der Beschwerdegegner ist im bundesgerichtlichen Verfahren nicht kostenpflichtig (<ref-law>). Das Bundesgericht befindet nach seinem Ermessen über die Berücksichtigung der Nebenintervenienten im Kosten- und Entschädigungspunkt (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Während der Beschwerdegegner auf eigene Anträge verzichtete, hat AX._ als Nebenintervenient auf Seiten des Beschwerdegegners eigene Anträge gestellt und ist damit vollumfänglich unterlegen. Aufgrund seines persönlichen Interesses an der Abweisung der Beschwerde rechtfertigt es sich daher, ihm die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen.
Die Parteikosten der Beschwerdeführerin sind vom Beschwerdegegner und AX._ sodann solidarisch und intern zu gleichen Teilen zu tragen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). B._ als Nebenintervenient auf Seiten der Beschwerdeführerin hat sich deren Anträgen lediglich angeschlossen; ihm hierfür eine Parteientschädigung auszurichten, rechtfertigt sich nicht (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 578).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der angefochtene Entscheid des Handelsgerichtspräsidenten des Kantons St. Gallen vom 27. Mai 2011 wird aufgehoben.
Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen zur Ernennung der fehlenden Revisionsstelle der Beschwerdeführerin und zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'500.-- werden AX._ auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner und AX._ haben die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren (unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen) mit Fr. 6'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, den Nebenintervenienten und dem Handelsgerichtspräsident des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni