Faits:
A.
Le plan partiel d'affectation "Château de l'Aile - Jardin du Rivage" (ci-après: le PPA), en ville de Vevey, est délimité par le quai qui borde le Lac Léman au sud, la rue de la Madeleine à l'ouest, la Grande Place à l'est et la rue Louis-Meyer au nord. Du côté de la Grande Place se trouvent le Château de l'Aile et son jardin, ainsi que le bâtiment contigu du Casino du Rivage, qui occupe l'angle nord-est du périmètre et s'étend le long de la rue Louis-Meyer. L'essentiel du périmètre est constitué par la parcelle 367, propriété de la commune de Vevey, et dont la partie libre de construction est aménagée en jardin public, le Jardin du Rivage. La parcelle 368, qui supporte le Château de l'Aile et son jardin, a été acquise par un particulier.
Construit à la fin du 17ème siècle, puis transformé entre 1840 et 1846, le Château de l'Aile figure au recensement architectural avec la note *1*, soit comme monument d'importance nationale à conserver dans sa forme et sa substance; il est porté à l'inventaire des monuments historiques.
Inauguré en 1908, le Casino du Rivage est constitué de trois parties: au centre, la Salle del Castillo, à l'est un vestibule-foyer, à l'ouest un restaurant. Le vestibule-foyer et la Salle del Castillo sont estimés de valeur 2 (monument d'importance régionale) par le recensement architectural du canton de Vaud. Quant au restaurant Casino du Rivage, il s'agit d'un bâtiment construit à la hâte pour abriter les répétitions de la Fête des Vignerons de 1955. Il a été jugé sans intérêt historique ou architectural et s'est vu attribuer la note 6 du recensement par le Service Immeubles, Patrimoine et Logistique (ci-après: le SIPAL) le 15 mars 2012.
A l'issue d'une procédure communale ratifiée par referendum populaire en 2007, la partie comprenant le restaurant Casino du Rivage a fait l'objet d'une promesse de vente, le 1er mars 2007, à la société C._ SA. L'acte indique que lors de l'élaboration du PPA, il sera procédé au fractionnement de la parcelle 367, propriété de la commune de Vevey, en deux nouvelles parcelles distinctes, dont l'une recevra un nouveau bâtiment destiné à remplacer celui abritant l'actuel restaurant du Casino du Rivage.
B.
Le 22 septembre 2009, un premier projet de PPA a été soumis au Service du développement territorial (ci-après: le SDT) pour examen préalable. Il avait pour objectifs la restauration de la Salle del Castillo et sa mise en réseau avec le tissu environnant, sa conservation et celle du Château de l'Aile, le réaménagement du jardin du Rivage et l'édification d'un nouveau bâtiment à l'ouest de la Salle del Castillo au lieu de la construction actuelle.
Le dossier de PPA a été complété sur la base des résultats du concours d'architecture et d'architecture paysagère lancé par la municipalité pour le réaménagement du Jardin du Rivage et de la Salle del Castillo. Le 1er septembre 2010, le dossier a été transmis à nouveau au SDT pour examen préalable complémentaire. Le périmètre prévu se subdivise en deux zones d'affectation: une zone de sports et loisirs et une zone de centre de localité. Cette dernière comprend notamment une aire des constructions et installations dignes d'être protégées qui contient la "Salle del Castillo" et le "Château de l'Aile" et une aire d'implantation de la construction future devant accueillir le futur Bâtiment du Rivage après la démolition de l'actuel restaurant du Rivage.
D'une surface de 892,5 m2 (30 x 29.75) selon le plan, l'aire d'implantation de la construction future comprend deux secteurs: dans le premier situé au nord le long de la rue Louis-Meyer, la construction peut atteindre une hauteur de 18 mètres, alors que dans le second, la construction peut, d'après les cotes d'altitudes du plan, atteindre une hauteur de 7 mètres. La surface de plancher maximale du futur Bâtiment du Rivage est de 2'900 m2 et sa surface au sol maximale est de 760 m2 (contre environ 535 m2 actuellement).
Le 1er septembre 2011, le Conseil communal de Vevey a adopté le PPA "Château de l'Aile - Jardin du Rivage" et son règlement d'application. Le Département de l'intérieur a approuvé préalablement le PPA "Château de l'Aile - Jardin du Rivage" le 24 janvier 2012.
C.
Helvetia Nostra, A._ et B._ ont recouru auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) contre la décision d'approbation du Département de l'intérieur du 24 janvier 2012.
Après avoir tenu une audience avec inspection locale, le Tribunal cantonal a admis le recours dans la mesure où il était recevable, par arrêt du 29 août 2012, et annulé les décisions du Département de l'Intérieur du 24 janvier 2012 et du Conseil communal de Vevey du 1er septembre 2011. Il a considéré en substance que le PPA en cause ne contenait pas les prescriptions nécessaires à l'intégration du nouveau bâtiment dans le périmètre sensible où il prendrait place.
D.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Conseil communal de Vevey demande au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du 29 août 2012, en ce sens que les décisions du Département de l'Intérieur du 24 janvier 2012 et du Conseil communal de Vevey du 1er septembre 2011 sont confirmées. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi du dossier à la cour cantonale en vue d'une décision écartant le recours et confirmant l'entrée en force du PPA litigieux. Plus subsidiairement, le recourant conclut à ce que que les dispositions non contestées du PPA litigieux soient validées, leur entrée en force étant subordonnée à l'introduction de dispositions relatives à l'esthétique et à l'intégration du futur bâtiment C._ SA. Le recourant reproche en substance au Tribunal cantonal d'avoir méconnu le rôle du PPA, les détails de la construction devant être contrôlés au stade de la procédure de permis de construire.
Le Tribunal cantonal renonce à déposer une réponse et se réfère aux considérants de son arrêt. Les intimés Helvetia Nostra, A._ et B._ concluent au rejet du recours. C._ SA demande au Tribunal fédéral d'admettre le recours et de réformer l'arrêt attaqué en ce sens que le PPA est adopté préalablement, respectivement approuvé, moyennant introduction à l'art. 10 d'un al. 5 rédigé comme suit: "Les nouvelles constructions doivent proposer une expression architecturale s'inscrivant dans le contexte établi par les deux bâtiments remarquables existants et contribuer à la préservation de la valeur patrimoniale du site." Le SDT et le SIPAL soutiennent la proposition faite par les représentants de l'autorité communale lors de l'audience du 25 juin 2012 de réintroduire la disposition réglementaire précitée.
Les parties ont déposé des écritures complémentaires. Dans leurs observations du 15 janvier 2013, les intimés s'en prennent au consid. 3 de l'arrêt attaqué, qui ne fait toutefois pas l'objet du recours.

Considérant en droit:
1.
Dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions, le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée.
Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, les communes ont qualité pour recourir en invoquant la violation de garanties qui leur sont reconnues par les Constitutions cantonale ou fédérale. Le Conseil communal, qui invoque l'autonomie dont il bénéficie en matière d'aménagement du territoire, a ainsi qualité pour agir. La question de savoir s'il est réellement autonome dans ces domaines relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 45; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 319 et les références).
2.
Selon l'art. 50 al. 1 Cst., l'autonomie communale est garantie dans les limites fixées par le droit cantonal. Une commune bénéficie de la protection de son autonomie dans les domaines que le droit cantonal ne règle pas de façon exhaustive, mais qu'il laisse en tout ou partie dans la sphère communale, conférant par là aux autorités municipales une liberté de décision relativement importante. L'existence et l'étendue de l'autonomie communale dans une matière concrète sont déterminées essentiellement par la constitution et la législation cantonales (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 45; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 131; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 413; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 320 et les arrêts cités).
2.1. En droit cantonal vaudois, les communes jouissent d'une autonomie maintes fois reconnue lorsqu'elles définissent, par des plans, l'affectation de leur territoire, et lorsqu'elles appliquent le droit des constructions (art. 139 al. 1 let. d Cst./VD; cf. notamment <ref-ruling> consid. 3d p. 118 s., 363 consid. 3b p. 367; <ref-ruling> consid. 2b p. 76 s.; arrêt 1P.167/2003 consid. 3 publié in RDAF 2004 p. 114). Cela ressort en particulier de l'art. 2 al. 1 de la loi vaudoise du 4 décembre 1985 sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC; RS/VD 700.11), selon lequel l'Etat laisse aux communes la liberté d'appréciation nécessaire à l'accomplissement de leurs tâches. Le droit cantonal se borne ainsi à poser quelques règles sur l'esthétique, la solidité et la salubrité des constructions, sur la suppression des barrières architecturales et l'utilisation rationnelle de l'énergie (art. 86 à 102 LATC). En revanche, il ne contient aucune disposition sur la densité des constructions, en particulier sur le coefficient d'utilisation du sol, la hauteur et le nombre de niveaux admissibles. Ces domaines ressortissent au seul droit communal (arrêt 1P.167/2003 du 3 juillet 2003), de même que les dispositions sur l'esthétique des constructions, dont les communes doivent assortir leurs règlements afin d'éviter l'enlaidissement des localités et de leurs abords (art. 86 al. 3 LATC).
2.2. Lorsqu'elle est reconnue autonome dans un domaine spécifique, une commune peut dénoncer tant les excès de compétence d'une autorité cantonale de contrôle ou de recours que la violation par celle-ci des règles du droit fédéral, cantonal ou communal qui régissent la matière (<ref-ruling> consid. 2b p. 9; <ref-ruling> consid. 2 p. 136). Le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation du droit constitutionnel; en revanche, il vérifie l'application de règles de rang inférieur à la constitution cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire (art. 9 Cst.; <ref-ruling> consid. 2b p. 9; <ref-ruling> consid. 8b p. 290 et la jurisprudence citée). Dans ce cas, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 133; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
3.
L'arrêt attaqué annule le PPA "Château de l'Aile - Jardin du Rivage" au motif qu'il ne contiendrait pas les prescriptions nécessaires à l'intégration du nouveau bâtiment du Rivage dans le périmètre sensible où il prendrait place. En effet, comme il n'était fait mention ni de la forme de la toiture, ni de la hauteur à la corniche de la construction future, le PPA litigieux et son règlement permettraient l'édification d'un bâtiment dont le toit plat culminerait à 18 m de hauteur, ce qui constituerait un contraste écrasant par rapport à la Salle del Castillo.
Le recourant estime qu'en invalidant le plan d'affectation "Château de l'Aile - Jardin du Rivage" pour les motifs précités, le Tribunal cantonal a méconnu le rôle du PPA tel que défini par les art. 44 ss LATC. Le PPA litigieux constituait un cadre légal et réglementaire offrant une protection suffisante et adéquate sans qu'il y ait lieu d'envisager des dispositions de technique architecturale plus précises, le règlement communal des constructions reprenant la clause d'esthétique de l'art. 86 LATC. Ce faisant, le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir substitué sa propre appréciation à celle de la municipalité et d'avoir ainsi violé son autonomie communale.
3.1. Selon la jurisprudence, le libre examen dont doit disposer l'autorité de recours cantonale, en vertu de l'art. 33 al. 3 let. b de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700), ne se réduit pas à un contrôle de la constatation des faits et de l'application du droit; il comporte aussi un contrôle de l'opportunité. L'autorité doit vérifier que la planification contestée devant elle est juste et adéquate. Son rôle spécifique d'autorité de recours ne se confond toutefois pas avec celui de l'organe compétent pour adopter le plan; elle doit préserver la liberté d'appréciation dont celui-ci a besoin dans l'accomplissement de sa tâche (art. 2 al. 3 LAT). Cette liberté d'appréciation implique qu'une mesure d'aménagement appropriée doit être confirmée; l'autorité de recours n'est pas habilitée à lui substituer une autre solution qui serait également convenable. Elle suppose également que le contrôle de l'opportunité s'exerce avec retenue sur des points qui concernent principalement des intérêts locaux, tandis que, au contraire, la prise en considération adéquate d'intérêts d'ordre supérieur, dont la sauvegarde incombe au canton, doit être imposée par un contrôle strict (arrêt 1C_82/2008 du 28 mai 2008, consid. 6.1 non publié in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 3b/aa p. 242).
3.2. En l'espèce, le PPA litigieux contient les prescriptions relatives à la volumétrie ainsi qu'à l'aire d'implantation de la construction future. L'art. 10 du règlement du PPA (RPPA), intitulé "aire d'implantation de la construction future", fixe en effet la surface maximale au sol ainsi que la surface brute de plancher maximale; les hauteurs et altitudes maximales figurent sur les coupes du plan. Il n'est toutefois fait mention ni de la forme de la toiture, ni de la hauteur à la corniche du futur bâtiment. Comme le relève le Tribunal cantonal, rien n'empêche dès lors le constructeur d'opter pour un bâtiment à toit plat d'une hauteur de 18 m d'une forme cubique. L'ouvrage prendrait dans cette hypothèse un aspect imposant, sans rapport avec l'environnement sensible du PPA, en particulier le Château et la Salle del Castillo, qui a une hauteur à la corniche de 12,6 m. Les juges cantonaux ont ainsi considéré que, dépourvu de toute prescription relative à l'esthétique et à l'intégration de la nouvelle construction, le règlement litigieux ne respecterait pas l'art. 86 al. 3 LATC, qui prévoit expressément que les règlements communaux doivent contenir des dispositions en vue d'éviter l'enlaidissement des localités et de leurs abords.
Le recourant ne démontre pas que l'art. 86 al. 3 LATC aurait été appliqué de manière arbitraire. Il se contente d'affirmer que la clause générale d'esthétique de cette disposition s'adresse en première ligne aux règlements généraux sur les constructions des communes et non pas aux règlements particuliers tels ceux qui traitent d'un PPA, les dispositions générales du règlement sur les constructions étant de toute manière applicables à titre supplétif. Or, contrairement à l'avis du recourant, il n'est pas insoutenable de considérer qu'en utilisant le terme de "règlements communaux", le législateur cantonal n'a pas exclu les plans d'affectation, qui comprennent les plans proprement dits et les dispositions règlementaires qui s'y rapportent (cf. art. 43 al. 2 LATC).
Il n'est pas contesté que le secteur de la Grande Place est particulièrement sensible pour la ville de Vevey. Dans ces conditions, un simple renvoi du RPPA à la clause esthétique contenue dans le règlement communal de la ville de Vevey sur les constructions apparaît insuffisant. Le Tribunal cantonal pouvait ainsi considérer, sans tomber dans l'arbitraire, qu'en tant qu'il se bornait à délimiter des gabarits rectangulaires de grande dimension, le PPA litigieux ne pouvait être admis. En effet, comme l'ont relevé les juges cantonaux, lorsqu'un plan d'affectation permet l'édification d'une construction nouvelle dans un site sensible caractérisé par la présence de constructions existantes de grande valeur patrimoniale, sa réglementation doit contenir non seulement des dispositions générales sur l'esthétique et sur l'intégration au site, mais encore des prescriptions précises garantissant cette intégration en tenant compte des caractéristiques des bâtiments existants, telles que des dispositions relatives à la volumétrie, aux façades, à la toiture, etc. En jugeant dans ce sens, le Tribunal cantonal a contrôlé l'opportunité du PPA litigieux et est arrivé à la conclusion que celui-ci n'était pas adéquat, puisqu'il n'assurait pas l'intégration de la construction future. Il n'a ainsi pas excédé ses compétences ni par conséquent violé l'autonomie communale du recourant.
4.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté, à la charge de C._ SA qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 et 4 LTF). Les intimés, assistés d'un avocat, ont droit à des dépens, à la charge du Conseil communal de Vevey et de C._ SA (art. 68 al. 1, 2 et 4 en relation avec l'art. 66 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de C._ SA.
3.
Une indemnité de 3'000 fr. est allouée aux intimés à titre de dépens, à la charge du Conseil communal de Vevey et de C._ SA, solidairement entre eux.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Service du développement territorial du canton de Vaud, au Service Immeubles, Patrimoine et Logistique du canton de Vaud, à C._ SA et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 5 août 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Aemisegger
La Greffière: Mabillard