Sachverhalt:
A. In der von der Stiftung S._ gegen die X._ AG in A._ eingeleiteten Betreibung Nr. 1 erliess das Betreibungsamt Z._ am 9. Oktober 2008 die Konkursandrohung. Diese wurde der X._ AG am 15. Oktober 2008 zugestellt.
B. Mit einer vom 21. Oktober 2008 datierten und am 22. Oktober 2008 der Post übergebenen Eingabe, die nicht unterzeichnet war, erhob die X._ AG beim Einzelrichter in Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Nidwalden als kantonaler Aufsichtsbehörde Beschwerde gegen die Konkursandrohung.
Am 23. Oktober 2008 erliess der Einzelrichter eine Verfügung, worin er die X._ AG auf die fehlende Unterschrift und daneben auch darauf aufmerksam machte, dass die Eingabe ungenügend begründet sei, und sie auf die Möglichkeit hinwies, innert der durch die Zustellung der Konkursandrohung ausgelösten Beschwerdefrist von zehn Tagen eine verbesserte Beschwerdeschrift einzureichen. Eine neue Eingabe ging bei der kantonalen Aufsichtsbehörde hierauf nicht ein.
Am 3. November 2008 erkannte der Einzelrichter, dass auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. In der in seinem Entscheid enthaltenen Rechtsmittelbelehrung wird erklärt, dass innert 30 Tagen ab Zustellung beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen eingereicht werden könne.
C. Mit einer vom 1. Dezember 2008 datierten und am 3. Dezember 2008 zur Post gebrachten Eingabe führt die X._ AG Beschwerde in Zivilsachen.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
Die Sache ist anlässlich einer öffentlichen Sitzung vom heutigen Tag beraten worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid stammt von der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Als Beschwerdeentscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde über eine Konkursandrohung, d.h. eine betreibungsamtliche Verfügung im Sinne von <ref-law>, stellt er einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 351) und ist er unabhängig von einem allfälligen Streitwert anfechtbar (<ref-law>).
1. 1.1 Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid stammt von der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Als Beschwerdeentscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde über eine Konkursandrohung, d.h. eine betreibungsamtliche Verfügung im Sinne von <ref-law>, stellt er einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 351) und ist er unabhängig von einem allfälligen Streitwert anfechtbar (<ref-law>).
1.2 1.2.1 Für Beschwerden gegen Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen beträgt die Frist zehn Tage (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin nahm den angefochtenen Entscheid am 6. November 2008 in Empfang. Der letzte Tag der genannten Frist war mithin der 16. November 2008. Da dieser auf einen Sonntag fiel, hätte die Beschwerde spätestens am Montag, dem 17. November 2008, der Post übergeben werden müssen (<ref-law>). Die vorliegende am 3. Dezember 2008 aufgegebene Beschwerde ist aus dieser Sicht demnach verspätet.
1.2.2 In der Rechtsmittelbelehrung des angefochtenen Entscheids wird auf die für Beschwerden an das Bundesgericht im Allgemeinen geltende Beschwerdefrist von 30 Tagen (<ref-law>) hingewiesen.
1.2.2.1 Gemäss <ref-law> dürfen den Parteien aus unrichtiger Rechtsmittelbelehrung keine Nachteile erwachsen. Hiermit wurde der für die (frühere) Verwaltungsgerichtsbeschwerde in Art. 107 Abs. 3 OG verankerte Grundsatz übernommen (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4299), dem in der Praxis bereits früher allgemeine Tragweite zukam (<ref-ruling>, E. 2 S. 298 f., und 421, E. 2c S. 423 f., je mit Hinweisen). Den erwähnten Schutz kann eine Prozesspartei nur dann beanspruchen, wenn sie sich nach Treu und Glauben auf die fehlerhafte Rechtsmittelbelehrung verlassen durfte. Wer die Unrichtigkeit erkannte oder bei gebührender Aufmerksamkeit hätte erkennen können, kann sich nicht auf <ref-law> berufen, wobei allerdings nur eine grobe prozessuale Unsorgfalt der betroffenen Partei oder ihres Anwalts eine unrichtige Rechtsmittelbelehrung aufzuwiegen vermag. Der Vertrauensschutz versagt zudem nur dann, wenn der Mangel in der Rechtsmittelbelehrung für den Rechtsuchenden bzw. seinen Rechtsvertreter allein schon durch Konsultierung der massgebenden Verfahrensbestimmung ersichtlich gewesen wäre (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 202 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 134 f.; <ref-ruling> E. 1a/aa S. 258; <ref-ruling> E. 2a S. 422; je mit weiteren Hinweisen). Zu bedenken ist schliesslich, dass mit der in <ref-law> neu verankerten Pflicht der kantonalen Instanzen, ihre Entscheide mit einer Rechtsmittelbelehrung zu versehen, den Beteiligten, namentlich den nicht rechtskundig vertretenen Prozessparteien, die Aufgabe erleichtert werden sollte.
1.2.2.2 Wann der Prozesspartei, die sich auf eine unrichtige Rechtsmittelbelehrung verlassen hat, eine als grob zu wertende Unsorgfalt vorzuwerfen ist, beurteilt sich nach den konkreten Umständen und nach ihren Rechtskenntnissen (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 19). Ist sie rechtsunkundig und auch nicht rechtskundig vertreten, darf sie nicht der anwaltlich vertretenen Partei gleichgestellt werden (dazu BERNHARD EHRENZELLER, Basler Kommentar, N. 18 zu <ref-law>), es sei denn, sie verfüge namentlich aus früheren Verfahren über einschlägige Erfahrungen. Eine Überprüfung der in der Rechtsmittelbelehrung enthaltenen Angaben kann von einer Prozesspartei im Übrigen nur dann verlangt werden, wenn diese über die Kenntnisse verfügt, die es ihr überhaupt ermöglichen, die massgebende Gesetzesbestimmung ausfindig zu machen und gegebenenfalls auszulegen.
Die Beschwerdeführerin ist nicht anwaltlich vertreten und war es auch im kantonalen Verfahren nicht. Anhaltspunkte dafür, dass die für sie handelnde Person über hinreichende Rechtskenntnisse verfügte oder (namentlich aufgrund früherer Verfahren) die Länge der Frist für Beschwerden gegen Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen gekannt hätte oder zumindest hätte kennen müssen, sind nicht ersichtlich. Wenn die erwähnte Person unter den gegebenen Umständen den - auf die ordentliche Frist für Beschwerden in Zivilsachen (<ref-law>) hinweisenden - Angaben des Einzelrichters vertraut und diese nicht überprüft hat, liegt darin keine Unsorgfalt, die es nicht zuliesse, das Vertrauen auf die unzutreffende Rechtsmittelbelehrung zu schützen (dazu FRANÇOIS BOHNET, in: Schweizerische Zeitschrift für Zivilprozessrecht [SZZP] 2008, S. 22). Im Übrigen ist zu bemerken, dass die Vorinstanz den die Beschwerdefrist regelnden <ref-law> nicht ausdrücklich genannt hat und dass zudem diese Bestimmung nicht für jeden juristischen Laien ohne weiteres verständlich ist.
1.2.2.3 Bei einer hier durch die Zustellung des angefochtenen Entscheids am 6. November 2008 ausgelösten Frist von 30 Tagen war die Beschwerde spätestens am 8. Dezember 2008 aufzugeben, zumal der dreissigste Tag, der 6. Dezember 2008, auf einen Samstag fiel. Die am 3. Dezember 2008 der Post übergebene Beschwerde ist nach dem Gesagten als rechtzeitig eingereicht zu betrachten, so dass auf sie aus dieser Sicht einzutreten ist.
2. Der Einzelrichter hat seinen Nichteintretensentscheid damit begründet, dass der bei ihm eingereichten nicht unterzeichneten Beschwerdeschrift und den beigelegten Unterlagen nicht ansatzweise zu entnehmen sei, inwiefern dem Betreibungsamt hinsichtlich des Erlasses der beanstandeten Konkursandrohung eine Gesetzesverletzung oder eine Unangemessenheit im Sinne von <ref-law> vorzuwerfen sein soll. Der Aufforderung vom 23. Oktober 2008, innert der Beschwerdefrist von <ref-law> eine rechtsgenügliche, unterzeichnete Beschwerde nachzureichen, sei die Beschwerdeführerin nicht nachgekommen.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Missachtung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör und macht geltend, die vorinstanzliche Verfügung vom 23. Oktober 2008 sei ihr nie zugekommen, sondern versehentlich an das Betreibungsamt gesandt worden. Es sei ihr deshalb gar nicht möglich gewesen, eine rechtsgültig unterzeichnete Beschwerde nachzureichen. Sie verweist auf ein an sie gerichtetes Schreiben des Betreibungs- und Konkursamtes Z._ vom 4. November 2008 ("Weiterleitung Konkursandrohung mit Beilagen"), wonach "diese Schreiben" irrtümlich an das Amt gelangt seien. Im Übrigen erklärt die Beschwerdeführerin, sie schulde der Stiftung S._ für die Zeit von Mai bis Dezember 2005 Prämien in der Höhe von insgesamt Fr. 15'403.20; woher die von der Gläubigerin geforderten Beträge von Fr. 60'000.-- bzw. von (korrigiert) Fr. 30'437.15 stammten, sei ihr unerklärlich.
3.2 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist der Einzelrichter nicht davon ausgegangen, sie habe die Beschwerdefrist nicht eingehalten. Er hat seinen Entscheid unter anderem mit der fehlenden Unterschrift auf der Beschwerdeschrift begründet. Indessen sah er darin nicht den einzigen Grund für das Nichteintreten auf die Beschwerde. Im Sinne einer eigenständigen Begründung hat er vielmehr (hauptsächlich) festgehalten, die Beschwerdeführerin lege nicht dar, inwiefern das Betreibungsamt mit dem Erlass der Konkursandrohung (im Sinne von <ref-law>) Bundesrecht verletzt haben soll. Es braucht unter diesen Umständen nicht abschliessend erörtert zu werden, wie die Vorinstanz angesichts der fehlenden Unterschrift - nach Massgabe des hierfür geltenden kantonalen Prozessrechts (vgl. Art. 20a Abs. 2 und 3 SchKG) - zu verfahren gehabt hätte bzw. ob für die Verbesserung der Beschwerdeschrift in diesem Punkt nicht eine eigentliche Nachfrist anzusetzen gewesen wäre (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2a S. 289; zum Verfahren vor Bundesgericht vgl. <ref-law>). Unerheblich ist aus der Sicht des Fehlens der Unterschrift auf der Beschwerde auch, dass der Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Verfügung vom 23. Oktober 2008 - mit dem Hinweis auf diesen Mangel und die Möglichkeit zur entsprechenden Verbesserung - nicht (rechtzeitig) zugekommen sei.
3.3 Die Beschwerdeführerin macht sodann selbst nicht geltend, sie habe von Bundesrechts wegen Anspruch gehabt, von der kantonalen Aufsichtsbehörde auf die mangelhafte Begründung ihrer Beschwerde aufmerksam gemacht zu werden, um Nachbesserungen anbringen zu können. Festzuhalten ist auf alle Fälle, dass es sich bei den Fristen nach <ref-law> (Beschwerde an die untere bzw. einzige kantonale Aufsichtsbehörde) und <ref-law> (Weiterzug an die obere kantonale Aufsichtsbehörde) um gesetzliche Fristen handelt, die nicht erstreckt werden können. Das bedeutet, dass innert der Beschwerdefrist eine rechtsgenügend begründete Beschwerdeschrift einzureichen ist; eine mangelhafte Begründung der Beschwerde gilt nicht etwa als verbesserlicher Fehler im Sinne von <ref-law>, so dass eine Nachfrist zur Behebung eines solchen Mangels von vornherein ausser Betracht fällt (<ref-ruling>, E. 1b S. 31, und 288, E. 2a S. 289; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 247 f.). Von diesen Grundsätzen hat sich der Einzelrichter in seiner Verfügung vom 23. Oktober 2008 denn auch leiten lassen. Diese enthält somit nicht etwa vertrauensbegründende Angaben, aufgrund derer eine nachträgliche Ergänzung der Begründung allenfalls noch hätte zugelassen werden müssen (dazu <ref-ruling> E. 3a S. 190 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 6). Es ist mithin auch aus dieser Sicht ohne Bedeutung, dass die erwähnte Verfügung nicht (rechtzeitig) an die Beschwerdeführerin gelangt sein soll. Worin unter den dargelegten Umständen eine Verletzung des Gehörsanspruchs gelegen haben soll, ist nicht ersichtlich.
4. Mit der Feststellung des Einzelrichters, der bei ihm eingereichten Beschwerde sei nicht zu entnehmen, inwiefern das Betreibungsamt gegen Bundesrecht verstossen haben soll, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander, und sie legt somit auch nicht dar, inwiefern die Auffassung des vorinstanzlichen Richters gegen Bundesrecht verstossen soll (vgl. <ref-law>). Statt dessen bestreitet sie auch im vorliegenden Verfahren den Bestand bzw. die Höhe der der Betreibung zugrundeliegenden Forderung. Darüber zu befinden, ist indessen nicht Sache der betreibungsrechtlichen Aufsichtsbehörde, sondern gegebenenfalls des Richters, so dass auch hier die entsprechenden Vorbringen nicht zu hören sind.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Gerichtskosten sind ausgangsgemäss der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Da keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt worden sind, entfällt die Frage einer Parteientschädigung von vornherein.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Betreibungsamt Z._ und dem Einzelrichter in Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Nidwalden als Aufsichtsbehörde schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. März 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel