Sachverhalt:
A. Der 1996 geborene H._ ist bei der Helsana Versicherungen AG obligatorisch krankenpflege- und unfallversichert. Als er am 2. Juli 2005 auf einem Jahrmarkt in X._ einen Auto-Scooter lenkte, schlug er bei einem Zusammenstoss mit dem Kopf am Lenkrad auf und zog sich dabei eine Schädigung mehrerer Zähne zu (Zahnluxation und -subluxation mit breitflächigem Riss des Zahnfleischs; Bericht des Dr. med. dent. R._ vom 5. September 2005). Der Zahnarzt repositionierte und fixierte die betroffenen Zähne mittels einer Traumaschiene. Die definitive Versorgung stellte er mit Blick auf mögliche Langzeitfolgen zurück; es sei eine mindestens fünfjährige Beobachtung nötig.
Die Helsana lehnte die Vergütung der Behandlungskosten von Fr. 564.20 ab, weil das zum Zahnschaden führende Geschehen keinem Unfall im Rechtssinn entspreche (mit Einspracheentscheid vom 16. Dezember 2005 bestätigte Verfügung vom 19. Oktober 2005).
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 25. September 2006).
C. H._ lässt, gesetzlich vertreten durch seinen Vater, Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die Helsana sei, unter Aufhebung von vorinstanzlichem und Einspracheentscheid, zu verpflichten, ihm für die Folgen des Unfalls vom 2. Juli 2005 die gesetzlichen Leistungen (Vergütung der Zahnbehandlung) zu erbringen.
Die Helsana und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Streitig ist, ob der Beschwerdeführer einen Unfall im Rechtssinn erlitten und deswegen einen grundsätzlichen Anspruch darauf hat, dass ihm im Rahmen der obligatorischen Kranken- und Unfallversicherung gemäss KVG zahnärztliche Kosten vergütet werden.
2.1 Die soziale Krankenversicherung gewährt Leistungen bei Krankheit und Mutterschaft sowie bei Unfall im Sinne von <ref-law>, soweit dafür keine Unfallversicherung aufkommt, das heisst sofern und soweit die Versicherung nicht zufolge entsprechender UVG-Deckung sistiert ist (Art. 1a Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Dementsprechend übernimmt die obligatorische Krankenpflegeversicherung die Kosten der Behandlung von Schäden des Kausystems, wenn diese durch einen Unfall verursacht worden sind (<ref-law>; Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Ulrich Meyer [Hrsg.], Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Band XIV, Soziale Sicherheit, 2. Aufl. Basel 2007, S. 550 ff. Rz. 452 ff.). Weitergehend fällt die zahnärztliche Behandlung nur unter den Schutz der obligatorischen Krankenpflegeversicherung, wenn sie durch eine schwere, nicht vermeidbare Erkrankung des Kausystems oder durch eine schwere Allgemeinerkrankung oder ihre Folgen bedingt ist, oder wenn sie zur Behandlung einer schweren Allgemeinerkrankung oder ihrer Folgen notwendig ist (Art. 31 Abs. 1 lit. a-c KVG).
Entgegen dem Wortlaut des Rechtsbegehrens umfasst der Leistungsanspruch nicht die zahnärztliche Behandlung als solche, wie dies in der Militär- oder Unfallversicherung der Fall ist (Naturalleistungsprinzip); die Krankenkasse trifft vielmehr bei Bejahung der Leistungsvoraussetzungen nur die Pflicht, die zahnärztlichen Behandlungskosten nach Massgabe der einschlägigen gesetzlichen Bestimmungen zu vergüten (Art. 24 und 28 KVG; Kostenvergütungsprinzip; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, Zürich 2003, Rz. 5 zu Art. 14).
2.2 Unfall ist die plötzliche, nicht beabsichtigte schädigende Einwirkung eines ungewöhnlichen äusseren Faktors auf den menschlichen Körper, die eine Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit oder den Tod zur Folge hat (<ref-law>). Diese Legaldefinition gilt seit dem 1. Januar 2003 auch im Gebiet der obligatorischen Krankenversicherung (<ref-law>). Sie führt, wie schon die bis Ende 2002 in Kraft gestandenen <ref-law> und 2 Abs. 2 KVG (<ref-ruling> E. 2.1 S. 404; <ref-ruling> E. 1 S. 232), die ständige Rechtsprechung zum Unfallbegriff weiter, an deren Geltung sich mit dem Inkrafttreten des ATSG zu Beginn des Jahres 2003 also nichts änderte (RKUV 2004 Nr. U 530 S. 576 = SVR 2005 UV Nr. 2 S. 4 [U 123/04]; BBl 1999 4544 f.; Kieser, a.a.O., Rz. 2 ff. zu Art. 4).
2.3 Es steht fest, dass vier der fünf Tatbestandsmerkmale des Unfallbegriffs - Körperverletzung, äussere Einwirkung, Plötzlichkeit und fehlende Absicht - gegeben sind. Verwaltung und Vorinstanz erachten hingegen die erforderliche Ungewöhnlichkeit der äusseren Einwirkung als nicht gegeben.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer suchte als neunjähriges Kind einen Jahrmarkt ("Chilbi") auf und absolvierte dort eine Fahrt in einer Auto-Scooter-Anlage (je nach Dialektraum auch "Putschauto", "Putschibahn" oder anders geheissen; vgl. dazu Ulrich Ammon et al., Variantenwörterbuch des Deutschen, Berlin/New York 2004, S. 707). Dabei handelt es sich um ein Fahrgeschäft, bei welchem "kleine Elektroautos, die über Stromabnehmer versorgt werden, frei über eine Fläche gesteuert werden, wobei die Fahrzeuge gegen Rempler mit einem breiten umlaufenden Gummiring gesichert sind. (...) Im Innenraum der Fahrzeuge befindet sich das mittig angebrachte Lenkrad und ein Pedal im Fussbereich des linken Sitzes. (...) Da alle Elektroautos in gleicher Höhe einen rundumlaufenden Gummipuffer besitzen, sind bei den niedrigen Geschwindigkeiten der Autos Unfälle wie Frontalzusammenstösse oder Auffahrunfälle nahezu ungefährlich" (aus: Wikipedia - Die freie Enzyklopädie, http://de.wikipedia.org/wiki/Autoscooter). Gleichwohl zog sich der Versicherte nicht unerhebliche Verletzungen im Bereich von Gebiss und Zahnfleisch zu, als er infolge eines Zusammenstosses mit dem Mund am Lenkrad anschlug.
Die Krankenversicherung lehnte die Vergütung der dadurch entstandenen zahnärztlichen Kosten unter Hinweis auf ein Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 4. November 2005 ab. Es liege begrifflich kein versicherter Unfall vor, da kein ungewöhnlicher äusserer Faktor ausgewiesen sei, der schädigend auf den Körper eingewirkt habe. Auf die konkrete Wirkung des äusseren Faktors komme es nicht an.
3.2 Das Eidgenössische Versicherungsgericht erwog mit Urteil vom 4. November 2005 (K 90/03, auszugsweise publiziert in RKUV 2006 Nr. KV 351 S. 3), der Zusammenstoss von Auto-Scootern stelle nichts Ungewöhnliches dar. Da sich die Ungewöhnlichkeit nicht auf die Wirkung des äusseren Faktors, sondern nur auf diesen selber beziehen könne, ändere sich daran durch das Anschlagen des Mundes nichts. Eine äussere Einwirkung liege zwar vor; doch sei die Verletzung durch eine heftige Körperbewegung verursacht worden, die ihrerseits Folge des gewollten Zusammenstosses sei. Zweck der Vergnügungsfahrt sei, sich einem unkoordinierten, unprogrammierten und damit auch von vornherein unkontrollierbaren Bewegungsablauf auszusetzen. Der gesamte Bewegungsablauf bilde eine Einheit. Daher könne auch die Störung der - durch den Aufprall ausgelösten - unkontrollierbaren Bewegung des Körpers durch das Hindernis Lenkrad nicht als Programmwidrigkeit angesehen werden, welche eine Ungewöhnlichkeit begründen würde. Ein Anschlagen des Kiefers liege nicht ausserhalb des Alltäglichen und Üblichen (E. 3.3).
3.3 Zu prüfen ist, ob an der Praxis zum Begriffsmerkmal der Ungewöhnlichkeit des äusseren Faktors festzuhalten ist, soweit sie bei einem Geschehen wie dem hier zu beurteilenden zur Verneinung eines Unfalls im Rechtssinn führt.
Eine Änderung der Rechtsprechung setzt wichtige Gründe voraus. Sie lässt sich mit der Rechtssicherheit grundsätzlich nur vereinbaren, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der Ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelten Rechtsanschauungen entspricht (<ref-ruling> E. 5.3.3 S. 39; <ref-ruling> E. 4 S. 777; <ref-ruling> E. 3.2.4.1 S. 360 mit Hinweisen).
4. 4.1 Der äussere Faktor ist ungewöhnlich, wenn er - nach einem objektiven Massstab - nicht mehr im Rahmen dessen liegt, was für den jeweiligen Lebensbereich alltäglich und üblich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 404).
4.1.1 Der äussere Faktor ist zentrales Begriffscharakteristikum eines jeden Unfallereignisses; er ist Gegenstück zur - den Krankheitsbegriff konstituierenden - inneren Ursache. Die Bezeichnung der massgebenden Genese wird aber erst durch die weiter erforderliche Ungewöhnlichkeit des äusseren Faktors ermöglicht. Die meisten Krankheiten beruhen auf einer Wechselwirkung von inneren und äusseren Faktoren; oft ist die letztlich pathogene innere Ursache ihrerseits ohne Umwelteinflüsse nicht denkbar. Das Begriffsmerkmal der Ungewöhnlichkeit wurde entwickelt, um die "tausendfältigen kleinen und kleinsten Insulte des täglichen Lebens, die als solche gänzlich unkontrollierbar sind und deshalb nur beim Hinzutreten von etwas Besonderem Berücksichtigung finden sollen", aus dem Unfallbegriff auszuscheiden (Werner Lauber, Praxis des sozialen Unfallversicherungsrechts der Schweiz, Bern 1928, S. 298; Alfred Bühler, Der Unfallbegriff, in: Alfred Koller [Hrsg.], Haftpflicht- und Versicherungsrechtstagung 1995, S. 234). Das Merkmal des Ungewöhnlichen macht den alltäglichen Vorgang zum einmaligen Vorfall (EVGE 1944 S. 103 E. 2). Einwirkungen, die aus alltäglichen Vorgängen resultieren, taugen in aller Regel nicht als Ursache einer Gesundheitsschädigung. Liegt der Grund somit allein im Innern des Körpers, ist Krankheit gegeben. Daran ändert die blosse Auslösung des Gesundheitsschadens durch einen äusseren Faktor nichts; Unfall setzt vielmehr begrifflich voraus, dass das exogene Element so ungewöhnlich ist, dass eine endogene Verursachung ausser Betracht fällt.
4.1.2 Paul Piccard hat dem Erfordernis einer Abgrenzung von Unfall und Krankheit erstmalig Ausdruck verliehen. In seinem Werk "Haftpflichtpraxis und Soziale Unfallversicherung" (Zürich 1917) hat er zum Erfordernis eines ungewöhnlichen äusseren Faktors ausgeführt, die Ungewöhnlichkeit des auf den Körper einwirkenden schädigenden Faktors sei als Kriterium zur Ausscheidung von (nicht versicherten) Krankheiten unentbehrlich, während sichtbare äussere Verletzungen auch dann als Unfälle zu qualifizieren seien, wenn es sich um erfahrungsgemäss recht häufige Einwirkungen handle wie beispielsweise die Verletzung der Hand mit dem Taschenmesser (S. 27 f.; derselbe, in: Gelpke/Schlatter [Hrsg.], Unfallkunde, 2. Aufl. Bern 1930, S. 38 f.). Die spätere Lehre hat diese Sichtweise beibehalten (H. Giorgio/ P. Nabholz, Die schweizerische obligatorische Unfallversicherung, Zürich 1918, S. 116 f.; Lauber, a.a.O., S. 92 f.; E. Haymann, La notion d'accident dans l'assurance obligatoire contre les accidents en Suisse, in: Revue internationale du travail, Genf 1937, S. 629 ff.; Alfred Maurer, Recht und Praxis der schweizerischen obligatorischen Unfallversicherung, 2. Aufl. Bern 1963, S. 88; derselbe, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, Bern 1985, S. 167; Aldo Borella, La giurisprudenza del Tribunale federale delle assicurazioni sulla nozione d'infortunio, in: Temi scelti di diritto delle assicurazioni sociali, Basel 2006, S. 12; Jean-Maurice Frésard/Margit Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in: SBVR, a.a.O., S. 860 Rz. 71).
4.1.2 Paul Piccard hat dem Erfordernis einer Abgrenzung von Unfall und Krankheit erstmalig Ausdruck verliehen. In seinem Werk "Haftpflichtpraxis und Soziale Unfallversicherung" (Zürich 1917) hat er zum Erfordernis eines ungewöhnlichen äusseren Faktors ausgeführt, die Ungewöhnlichkeit des auf den Körper einwirkenden schädigenden Faktors sei als Kriterium zur Ausscheidung von (nicht versicherten) Krankheiten unentbehrlich, während sichtbare äussere Verletzungen auch dann als Unfälle zu qualifizieren seien, wenn es sich um erfahrungsgemäss recht häufige Einwirkungen handle wie beispielsweise die Verletzung der Hand mit dem Taschenmesser (S. 27 f.; derselbe, in: Gelpke/Schlatter [Hrsg.], Unfallkunde, 2. Aufl. Bern 1930, S. 38 f.). Die spätere Lehre hat diese Sichtweise beibehalten (H. Giorgio/ P. Nabholz, Die schweizerische obligatorische Unfallversicherung, Zürich 1918, S. 116 f.; Lauber, a.a.O., S. 92 f.; E. Haymann, La notion d'accident dans l'assurance obligatoire contre les accidents en Suisse, in: Revue internationale du travail, Genf 1937, S. 629 ff.; Alfred Maurer, Recht und Praxis der schweizerischen obligatorischen Unfallversicherung, 2. Aufl. Bern 1963, S. 88; derselbe, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, Bern 1985, S. 167; Aldo Borella, La giurisprudenza del Tribunale federale delle assicurazioni sulla nozione d'infortunio, in: Temi scelti di diritto delle assicurazioni sociali, Basel 2006, S. 12; Jean-Maurice Frésard/Margit Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in: SBVR, a.a.O., S. 860 Rz. 71).
4.2 4.2.1 Die ältere Rechtsprechung hat vor allem auf das Element der Ungewöhnlichkeit Bezug genommen, wenn es darum ging, krankhafte Schädigungen abzugrenzen, dies namentlich bei arbeitsbedingten Überanstrengungen und körpereigenen Traumen (vgl. dazu Borella, a.a.O., S. 10 und 13). Statt vieler sei das Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts in Sachen S. vom 6. April 1960 (zitiert bei Maurer, Recht und Praxis, S. 88 Fn. 19a) genannt: Das Gericht verneinte die Ungewöhnlichkeit, weil beim Tragen einer Last von 100 Kilogramm, einer für den Versicherten berufsüblichen Arbeit, nichts Ungewöhnliches geschah. Könne eine bestimmte Körperverletzung ebenso gut rein krankhafter Natur sein, so dürfe auf unfallmässige Entstehung nur geschlossen werden, wenn ein plötzlich aufgetretener ungewöhnlicher äusserer Faktor schädigend auf den Körper des Patienten eingewirkt habe. Der Wirbelbruch war denn auch auf eine vorbestehende Osteoporose zurückzuführen.
4.2.2 Im Urteil U 32/82 vom 7. Februar 1984 (wiedergegeben in: SUVA-Bericht 1984 Nr. 2 S. 3) wies das Gericht zunächst auf die Rechtsprechung hin, wonach bei Gesundheitsschädigungen, die erfahrungsgemäss auch als alleinige Folge von Krankheit bei durchaus normalem Geschehensablauf auftreten könnten, die Merkmale des Unfallbegriffs besonders deutlich erfüllt sein müssten; vor allem müsse dann die unmittelbare Ursache der Schädigung unter besonders sinnfälligen Umständen gesetzt worden sein (vgl. SUVA-Bericht 1980 Nr. 5 S. 9 E. 1b [U 1/80]). Sodann hat es erkannt, wenn ein Taucher beim Aufstieg zu wenig Luft abgebe und deswegen einen - in jenem Fall letztlich tödlichen - Lungenriss erleide, so sei nicht der (in der Lunge entstandene) Überdruck als solcher auslösendes Moment, sondern die unzureichende Luftabgabe durch den Versicherten während des Auftauchens. Der Mechanismus der Luftabgabe sei ein physiologisches Geschehen, das sich im Körperinnern abspiele. Der Unfallcharakter könne nur bejaht werden, wenn die Fehlreaktion in sinnfälligen äusseren Umständen begründet liege. Es sei aber nicht erstellt, dass ein unerwartetes, schreckendes Ereignis wie beispielsweise ein grosser Fisch oder eine plötzliche starke Wasserbewegung die zur Abwendung eines Lungenüberdrucks erforderliche automatische oder willkürliche Tätigkeit der Atemmuskulatur behindert habe. Das Kriterium eines ungewöhnlichen äusseren Faktors sei daher zu verneinen, weshalb kein versicherter Unfall vorliege (vgl. auch RKUV 2005 Nr. U 539 S. 119 [U 203/04]; Urteil U 220/96 vom 13. Juli 1998). Dieser Entscheid wurde in der Lehre mit dem Argument kritisiert, der plötzliche Druckabfall sei ungewöhnlich, weil er den Rahmen des im betreffenden Lebensbereich Alltäglichen und Üblichen sprenge (Guido Brusa, Tauchunfall, in: SZS 1986 S. 30 ff.; Bühler, a.a.O., S. 233). Von der SUVA wurde er offenbar seit Jahren nicht mehr befolgt (Roland Schaer, in: ZBJV 142/2006 S. 721).
4.2.3 Bisweilen wurden bei der Beurteilung der Ungewöhnlichkeit des äusseren Faktors persönliche Eigenschaften - wie die Konstitution oder die berufliche oder ausserberufliche Gewöhnung - berücksichtigt (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 139; RKUV 1994 Nr. U 180 S. 38 E. 2). In dem (in RKUV 1992 Nr. U 156 S. 258 teilweise publizierten) Urteil U 43/92 vom 14. September 1992 war für die Annahme, ein Hechtsprung (saut de carpe), der zu einer Knöchelverletzung führte, sei "programmwidrig" verlaufen, wesentlich, dass die Versicherte eine geübte Turnerin war; "il en irait autrement si une personne ne pratiquant pas la gymnastique tentait d'effectuer un saut de carpe: il serait alors fort possible que l'exercice se déroule mal, de sorte qu'une mauvaise réception au sol ou un autre incident du même genre ne présenterait pas un caractère extraordinaire ou inhabituel". Nach Auffassung der Lehre sind die individuellen Fähigkeiten jedoch kein massgebendes Kriterium für die - sich nach objektiven Gesichtspunkten richtende - Bejahung oder Verneinung der Ungewöhnlichkeit (Frésard/Moser-Szeless, a.a.O., S. 862 Rz. 75; Thomas Locher, Grundriss des Sozialversicherungsrechts, 3. Aufl. Bern 2003, S. 114 Rz. 14; Kieser, a.a.O., Rz. 17 zu Art. 4; Bühler, a.a.O., S. 234 f., 244 f.; Jean-Louis Duc, Les assurances sociales en Suisse, Lausanne 1995, S. 79 f., 81 f. Fn. 90 und 93; Roberto Garavagno, La cause extraordinaire dans la définition de l'accident, in: Cahiers genevois et romands de sécurité sociale 1993, S. 39 Ziff. 46).
4.2.3 Bisweilen wurden bei der Beurteilung der Ungewöhnlichkeit des äusseren Faktors persönliche Eigenschaften - wie die Konstitution oder die berufliche oder ausserberufliche Gewöhnung - berücksichtigt (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 139; RKUV 1994 Nr. U 180 S. 38 E. 2). In dem (in RKUV 1992 Nr. U 156 S. 258 teilweise publizierten) Urteil U 43/92 vom 14. September 1992 war für die Annahme, ein Hechtsprung (saut de carpe), der zu einer Knöchelverletzung führte, sei "programmwidrig" verlaufen, wesentlich, dass die Versicherte eine geübte Turnerin war; "il en irait autrement si une personne ne pratiquant pas la gymnastique tentait d'effectuer un saut de carpe: il serait alors fort possible que l'exercice se déroule mal, de sorte qu'une mauvaise réception au sol ou un autre incident du même genre ne présenterait pas un caractère extraordinaire ou inhabituel". Nach Auffassung der Lehre sind die individuellen Fähigkeiten jedoch kein massgebendes Kriterium für die - sich nach objektiven Gesichtspunkten richtende - Bejahung oder Verneinung der Ungewöhnlichkeit (Frésard/Moser-Szeless, a.a.O., S. 862 Rz. 75; Thomas Locher, Grundriss des Sozialversicherungsrechts, 3. Aufl. Bern 2003, S. 114 Rz. 14; Kieser, a.a.O., Rz. 17 zu Art. 4; Bühler, a.a.O., S. 234 f., 244 f.; Jean-Louis Duc, Les assurances sociales en Suisse, Lausanne 1995, S. 79 f., 81 f. Fn. 90 und 93; Roberto Garavagno, La cause extraordinaire dans la définition de l'accident, in: Cahiers genevois et romands de sécurité sociale 1993, S. 39 Ziff. 46).
4.3 4.3.1 Nach der Rechtsprechung bezieht sich das Begriffsmerkmal der Ungewöhnlichkeit nicht auf die Wirkung des äusseren Faktors, sondern nur auf diesen selber. Ohne Belang für die Prüfung der Ungewöhnlichkeit ist insoweit, dass der äussere Faktor allenfalls schwerwiegende, unerwartete Folgen nach sich zog (<ref-ruling> E. 2.1 S. 404). Ausschlaggebend ist also, dass sich der äussere Faktor vom Normalmass an Umwelteinwirkungen auf den menschlichen Körper abhebt. Ungewöhnliche Auswirkungen allein begründen keine Ungewöhnlichkeit.
4.3.2 Hingegen ist die Wirkung, das heisst die Natur des Gesundheitsschadens, mit Blick auf die Bedeutung des Abgrenzungskriteriums im Einzelfall durchaus beachtlich.
4.3.2.1 Ein gesteigertes Abgrenzungsbedürfnis besteht dort, wo der Gesundheitsschaden seiner Natur nach auch andere Ursachen als eine plötzliche schädigende Einwirkung haben kann, also keine gesicherte Zuordnung zum exogenen Faktor erlaubt. Dies gilt nach der Rechtsprechung insbesondere dann, wenn die Gesundheitsschädigung erfahrungsgemäss auch als alleinige Folge von Krankheit, insbesondere von vorbestandenen degenerativen Veränderungen eines Körperteils, innerhalb eines durchaus normalen Geschehensablaufs auftreten kann. In solchen Fällen muss die unmittelbare Ursache der Schädigung unter besonders "sinnfälligen" Umständen gesetzt worden sein (<ref-ruling> E. 1 S. 138; RKUV 1999 Nr. U 345 S. 422 E. 2b). Ist eine Verletzung wiederholten Mikrotraumata des täglichen Lebens zuzuschreiben, welche zu einer allmählichen Abnützung geführt haben, so ist sie (im Bereich der obligatorischen Unfallversicherung unter Vorbehalt von <ref-law>) als Krankheitsfolge zu betrachten (RKUV 1986 Nr. K 685 S. 295; EVGE 1969 S. 24; zur Bedeutung des weiteren Begriffselements der Plötzlichkeit in diesem Zusammenhang vgl. RKUV 2001 Nr. U 437 S. 344 mit Hinweisen).
Somit wird eine Einwirkung ohne offensichtliche Schadensneigung erst durch das Hinzukommen eines zusätzlichen Ereignisses zum ungewöhnlichen äusseren Faktor. Stellt sich nach einer Fahrt auf einem Auto-Scooter (oder einer anderen Vergnügungsbahn) beispielsweise ein Zervikalsyndrom infolge Distorsion der Halswirbelsäule ein, so bedarf es - neben den üblichen auf den Körper einwirkenden Kräften - eines schadensspezifischen Zusatzgeschehens, damit ein Unfall angenommen werden kann (vgl. RKUV 1998 Nr. U 311 S. 468, 1996 Nr. U 253 S. 199; vgl. auch SVR 2006 UV Nr. 18 S. 65 [U 296/05]). Entsprechendes gilt mit Bezug auf eine Hyperflexionsbewegung der Halswirbelsäule bei der Vollbremsung eines Autos ohne Kollision, weil es hier um einen im betreffenden Lebensbereich alltäglichen und üblichen Vorgang geht, zu dem nichts Besonderes ("Programmwidriges" oder "Sinnfälliges") hinzugetreten ist (Urteile U 131/03 vom 25. März 2004, E. 3.3 und 3.4, und U 349/99 vom 3. August 2000; vgl. auch Urteil U 79/98 vom 20. Juli 2000, E. 3). Ein solches Zusatzgeschehen - und mit diesem das Merkmal des ungewöhnlichen äusseren Faktors im Sinne einer den normalen Bewegungsablauf störenden Programmwidrigkeit - ist gegeben bei einem Skifahrer, der auf einer Buckelpiste auf einer vereisten Stelle ausgleitet, ohne zu stürzen, danach unkontrolliert einen Buckel anfährt, abgehoben wird und bei verdrehter Oberkörperhaltung hart auf dem Boden aufschlägt (RKUV 1999 Nr. U 345 S. 420), nicht aber, wenn beim Skifahren auf einer steilen, buckligen Piste und Kompression in einer Wellenmulde eine Diskushernie auftritt (SUVA-Bericht 1991 Nr. 3 S. 5 [U 16/91]).
4.3.2.2 Ist die Gesundheitsschädigung hingegen typische Folge einer äusseren Einwirkung, so erlaubt dies allenfalls, Rückschlüsse auf die Ungewöhnlichkeit zu ziehen. Unter Umständen kann aufgrund des medizinischen Befunds erstellt sein, dass eine Schädigung auf eine ungewöhnliche äussere Einwirkung und somit auf ein Unfallereignis zurückzuführen ist. Der mangelnde Nachweis eines Unfalls lässt sich zwar nur selten durch medizinische Feststellungen ersetzen. Diese dienen mitunter aber als Indizien im Beweis für oder gegen das Vorliegen eines Unfalls (RKUV 1996 Nr. U 253 S. 203 E. 4b mit Hinweis; Maurer, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, S. 264). Im Bereich der obligatorischen Unfallversicherung sind die in <ref-law> abschliessend aufgezählten Schädigungen - im Wesentlichen des Bewegungsapparats, etwa von Knochen, Muskeln, Sehnen und Bändern - denn auch selbst ohne ungewöhnliche äussere Einwirkung Unfällen gleichgestellt, wenn sie nicht eindeutig auf eine Erkrankung oder eine Degeneration zurückzuführen sind (vgl. <ref-ruling>).
Auch ausserhalb der unfallähnlichen Körperschädigungen kann es sich ergeben, dass von der Auswirkung eines von aussen betrachtet regulär verlaufenden Geschehens zwangsläufig auf einen tatsächlich ungewöhnlichen Verlauf geschlossen werden muss. So hat das Eidgenössische Versicherungsgericht im Jahre 1964 festgehalten, es liege ein Unfall im Rechtssinn vor, wenn das Trommelfell eines Wasserspringers durch den Wasserdruck perforiert wird. Wasser sei als ungewöhnlicher äusserer Faktor zu bewerten, wenn es eine Gesundheitsschädigung bewirke, indem es plötzlich in den Körper eines Badenden eindringe. Bei dem umstrittenen Turmsprung habe durch das Untertauchen der äussere Druck auf das Trommelfell plötzlich zugenommen, wie ein Schlag gewirkt und eine Perforation verursacht. Wie ein geübter Mineur einmal ein akustisches Trauma erleiden oder wie Wasser in das Mittelohr eindringen und zu einer tödlichen Infektion führen könne, so vermöge auch unter Umständen der Wasserdruck das Trommelfell eines Wasserspringers zu schädigen, zumal wenn dieser vom höchsten Brett abspringe. Ob der Sprung technisch einwandfrei ausgeführt werde oder aber misslinge, sei in diesem Zusammenhang unerheblich (EVGE 1964 S. 65 E. 2d S. 69 mit Hinweis; vgl. nun <ref-law>).
4.3.3 Die hier interessierende Zahnverletzung infolge eines Zusammenstosses während einer Auto-Scooter-Fahrt lässt sich - anders als ein Zervikalsyndrom aus gleicher Ursache - ihrer Natur nach zweifelsfrei einem äusseren Faktor zuordnen. Zudem ist mit dem Anschlagen des Kopfes am Lenkrad ein sinnfälliges und nicht regelmässig bei Auto-Scooter-Fahrten vorkommendes Zusatzereignis gegeben, das für sich allein die Ungewöhnlichkeit des Geschehens begründet.
5. 5.1 Die rechtliche Bestimmung des Kriteriums der Ungewöhnlichkeit besteht vorab darin, Unfälle von krankheitsbedingten Schädigungen der körperlichen oder psychischen Integrität abzugrenzen. An der Praxis, wonach das Unfallbegriffsmerkmal des ungewöhnlichen äusseren Faktors bei Zahnschäden verneint wird, die durch die Benützung von Auto-Scooter-Anlagen entstanden sind (oben E. 3.2), kann zufolge besserer Erkenntnis der Ratio legis (E. 3.3) nicht länger festgehalten werden. Die I. zivilrechtliche Abteilung und die I. sozialrechtliche Abteilung haben dieser Änderung der Rechtsprechung zugestimmt (<ref-law>).
5.2 Der Beschwerdeführer hat nach dem Gesagten einen versicherten Unfall erlitten, weshalb der streitige Anspruch unter diesem Gesichtspunkt begründet ist.
6. In Verfahren betreffend die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ist von der Auferlegung von Gerichtskosten abzusehen (Art. 134 OG). Dem Prozessausgang entsprechend steht dem durch eine Rechtsschutzversicherung qualifiziert vertretenen Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu (Art. 135 in Verbindung mit Art. 159 OG; Urteil K 44/91 vom 27. Januar 1992, E. 6).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 25. September 2006 und der Einspracheentscheid der Helsana Versicherungen AG vom 16. Dezember 2005 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Beschwerdegegnerin zurückgewiesen, damit sie, nach Prüfung der weiteren Leistungsvoraussetzungen, über den Anspruch des Beschwerdeführers auf Vergütung der zahnärztlichen Behandlungskosten neu befinde.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Beschwerdegegnerin hat dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wird über eine Parteientschädigung für das kantonale Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses zu befinden haben.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Januar 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub