Sachverhalt:
A.
A.A._ und C.A._ sind die Kinder von D.A._ und der im Jahre 1981 verstorbenen E.A._. B.A._ ist die zweite Ehefrau von D.A._. Er starb im Jahre 2011.
B.
B.a. Am 21. November 2012 reichte B.A._ beim Bezirksgericht Frauenfeld gegen die Miterben A.A._ und C.A._ eine Klage betreffend güterrechtliche Auseinandersetzung im Erbfall ein. Gefordert wurde aus dem Ehe- und Erbvertrag vom 15. November 2007 der Betrag von Fr. 174'104.50. C.A._ unterzog sich bereits zu Beginn des Verfahrens dem Urteil. A.A._ widersetzte sich der Klage.
B.b. Am 5. November 2013 fand die Hauptverhandlung statt. Gemäss dem Protokoll dieser Sitzung unterbreitete die vorsitzende Bezirksrichterin den Prozessparteien im Anschluss daran in Anwesenheit der Gerichtsschreiberin und der Praktikantin einen Vergleichsvorschlag. A.A._ verlangte daraufhin die Berichtigung des Protokolls; das Begehren wurde vom Bezirksgericht am 28. Februar 2014 abgewiesen. Gegen den bezirksgerichtlichen Entscheid reichte er Beschwerde an das Obergericht des Kantons Thurgau ein.
B.c. In der Hauptsache setzte das Bezirksgericht die Beweisverhandlung auf den 10. April 2014 an. Daraufhin beantragte A.A._ die Sistierung des Verfahrens; das Gesuch wurde vom Bezirksgericht am 24. März 2014 abgewiesen. Auch gegen diesen Entscheid erhob A.A._ Beschwerde beim Obergericht. Er ersuchte um Vereinigung der beiden Beschwerden und um Verzicht auf eine Erhebung eines weiteren Kostenvorschusses. Der verfahrensleitende Oberrichter wies das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab und bestätigte auf das Wiedererwägungsgesuch von A.A._ hin die Kostenvorschusspflicht.
B.d. Am 13. April 2014 beantragte A.A._, die beiden Beschwerdeverfahren ohne Kostenfolgen abzuschreiben. Das Obergericht erkannte am 30. April 2014, dass die Beschwerden zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt abgeschrieben werden (Ziff. 1). Die Gerichtskosten setzte es für beide Verfahren auf Fr. 2'000.-- fest und auferlegte sie A.A._, welcher B.A._ insgesamt mit Fr. 2'460.60 zu entschädigen hat (Ziff. 2).
C.
Mit einer als "Beschwerde in Zivilsachen - Subsidiäre Verfassungsbeschwerde" bezeichneten Eingabe vom 3. Juli 2014 ist A.A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Prozesskostenentscheides (Ziff. 2) und die Zusprechung einer Parteientschädigung für das gesamte kantonale Verfahren. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Subeventualiter seien die ihm auferlegten Gerichtskosten und die Parteientschädigung angemessen herabzusetzen.
Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 521).
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, mit dem die Vorinstanz zwei Beschwerden gegen die von der Erstinstanz abgewiesene Protokollberichtigung und gegen eine Sistierung des Hauptverfahrens als gegenstandslos abgeschrieben und über die bei ihr aufgelaufenen Prozesskosten befunden hat. Es handelt es sich um einen Rechtsmittelentscheid, der den Streit um zwei prozessuale Anordnungen beendet, nicht aber die Hauptsache erledigt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382), mithin um einen Zwischenentscheid. Hiebei geht es um eine Zivilsache mit Vermögenswert, wobei die gesetzliche Streitwertgrenze erreicht wird (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Von der Sache her ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben, womit die Verfassungsbeschwerde entfällt (<ref-law>).
1.2. Ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid ist indes beim Bundesgericht nur anfechtbar, sofern die Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils gegeben ist (<ref-law>). Ein solcher muss rechtlicher Natur sein, was voraussetzt, dass er sich auch nach einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die Erfüllung dieser Voraussetzung ist in der Beschwerde darzutun, es sei denn, die Möglichkeit eines Rechtsnachteils sei offensichtlich gegeben (<ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 1.2 S. 429). Der Beschwerdeführer äussert sich zu dieser Eintretensvoraussetzung in keiner Weise. Er hat gegenüber der Vorinstanz um die Abschreibung der beiden Beschwerden ersucht, worauf diese den nunmehr angefochtenen Entscheid gefällt hat. Die Annahme eines möglichen Rechtsnachteils drängt sich nicht auf. Damit wäre auf eine Beschwerde gegen den Abschreibungsentscheid nicht einzutreten.
1.3. Ist wie vorliegend einzig die in einem solchen Zwischenentscheid enthaltene Regelung der Prozesskosten strittig, so könnte diese nur im Rahmen einer Beschwerde gegen den Zwischenentscheid im Hauptpunkt an das Bundesgericht weitergezogen werden. Sind die diesbezüglichen Voraussetzungen nicht erfüllt, wie soeben dargelegt (E. 1.2), so kann die Kosten- und Entschädigungsregelung nicht selber einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss <ref-law> bewirken (<ref-ruling> E. 1.2.1 und 1.2.2 S. 332 ff.).
2.
Nach dem Dargelegten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante