Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. P._, geboren 1953, arbeitete ab Juli 1990 als Angestellte in der Hauswirtschaft/Lingerie des Alters- und Pflegeheims Q._ und war bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend "Winterthur") unfallversichert. Am 21. März 1995 stürzte sie auf einer Treppe; das gleichentags aufgesuchte Spital X._ diagnostizierte eine Commotio cerebri, eine Coccyxfraktur sowie unklare wandernde Rückenschmerzen. Da P._ nicht aus der Spitalpflege entlassen werden wollte, wurde sie am 29. März 1995 in das Spital Y._ verlegt, wo die konservative Therapie bis zum 27. April 1995 weitergeführt wurde.
Am 12. Juni 1995 war P._als Beifahrerin in einen Autounfall verwickelt, als der von ihrem Ehemann gelenkte Wagen wegen eines anderen Fahrzeuges von der Fahrbahn abkam und fahrerseitig in mehrere Bäume prallte. P._wurde in das Spital Y._ eingewiesen, welches eine Commotio cerebri, ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) und eine Wirbelsäulenkontusion diagnostizierte. Die "Winterthur" nahm medizinische Abklärungen vor und zog die entsprechenden Berichte bei, so u.a. mehrere des Hausarztes Dr. med. G._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH, der Höhenklinik W._ vom 27. Oktober 1995, der psychiatrischen Klinik Z._ vom 19. März und 3. April 1996 sowie der Rehabilitationsklinik O._ vom 26. Juli 1996. Mit Verfügung vom 29. März 1996 sprach die "Winterthur" P._ eine Integritätsentschädigung für eine Integritätseinbusse von 15 % zu und stellte die Heilbehandlung ein. Gegen diese Verfügung wurde kein Rechtsmittel ergriffen.
Im Mai 1997 liess P._ den Antrag stellen, über den Rentenanspruch zu verfügen. Nachdem sich die "Winterthur" geweigert hatte, wurde sie mit Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. September 1999 dazu angehalten. In Nachachtung dieses Entscheides verneinte die "Winterthur" mit Verfügung vom 10. Dezember 2001 den Rentenanspruch mangels natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs, nachdem sie intern eine Stellungnahme ihres beratenden Arztes Dr. med. R._, Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 7. resp. 21. November 2001 eingeholt hatte. Mit Einspracheentscheid vom 10. Juli 2002 bestätigte die "Winterthur" die Verfügung von Dezember 2001, wobei sie auf den Bericht ihres beratenden Psychiaters Dr. med. C._ vom 5. Juni 2002 und den eingeholten Bericht der Klinik Z._ vom 19. Juni 1996 verwies.
Im Mai 1997 liess P._ den Antrag stellen, über den Rentenanspruch zu verfügen. Nachdem sich die "Winterthur" geweigert hatte, wurde sie mit Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. September 1999 dazu angehalten. In Nachachtung dieses Entscheides verneinte die "Winterthur" mit Verfügung vom 10. Dezember 2001 den Rentenanspruch mangels natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs, nachdem sie intern eine Stellungnahme ihres beratenden Arztes Dr. med. R._, Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 7. resp. 21. November 2001 eingeholt hatte. Mit Einspracheentscheid vom 10. Juli 2002 bestätigte die "Winterthur" die Verfügung von Dezember 2001, wobei sie auf den Bericht ihres beratenden Psychiaters Dr. med. C._ vom 5. Juni 2002 und den eingeholten Bericht der Klinik Z._ vom 19. Juni 1996 verwies.
B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 6. Mai 2003 ab.
B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 6. Mai 2003 ab.
C. P._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit den Anträgen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und des Einspracheentscheides sei die "Winterthur" anzuweisen, den Sachverhalt abzuklären, und es sei ihr eine Invalidenrente zuzusprechen.
Die "Winterthur" lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, während das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Kranken- und Unfallversicherung (ab dem 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit), auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Wie das kantonale Gericht zu Recht festgehalten hat, ist das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 nicht anwendbar, da nach dem massgebenden Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Einspracheentscheides (Juli 2002) eingetretene Rechts- und Sachverhaltsänderungen vom Sozialversicherungsgericht nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> Erw. 1.2 mit Hinweisen; RKUV 2001 Nr. U 419 S. 101).
Die Vorinstanz hat im Weiteren die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers zunächst vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) zutreffend dargelegt (<ref-ruling> Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, 117 V 360 Erw. 4a). Dasselbe gilt für die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers weiter notwendigen adäquaten Kausalzusammenhang zwischen einem Unfall mit Schleudertrauma der HWS ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle und den hernach andauernden Beschwerden mit Einschränkung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit (<ref-ruling>). Das kantonale Gericht hat sodann richtig ausgeführt, dass die Beurteilung der Adäquanz in denjenigen Fällen, in welchen die zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas der HWS oder eines Schädel-Hirn-Traumas gehörenden Beeinträchtigungen zwar teilweise gegeben sind, im Vergleich zur vorliegenden ausgeprägten psychischen Problematik aber ganz in den Hintergrund treten, nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfällen geltenden Rechtsprechung (<ref-ruling>) vorzunehmen ist (<ref-ruling> Erw. 5b/bb). Darauf wird verwiesen.
Die Vorinstanz hat im Weiteren die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers zunächst vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) zutreffend dargelegt (<ref-ruling> Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, 117 V 360 Erw. 4a). Dasselbe gilt für die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers weiter notwendigen adäquaten Kausalzusammenhang zwischen einem Unfall mit Schleudertrauma der HWS ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle und den hernach andauernden Beschwerden mit Einschränkung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit (<ref-ruling>). Das kantonale Gericht hat sodann richtig ausgeführt, dass die Beurteilung der Adäquanz in denjenigen Fällen, in welchen die zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas der HWS oder eines Schädel-Hirn-Traumas gehörenden Beeinträchtigungen zwar teilweise gegeben sind, im Vergleich zur vorliegenden ausgeprägten psychischen Problematik aber ganz in den Hintergrund treten, nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfällen geltenden Rechtsprechung (<ref-ruling>) vorzunehmen ist (<ref-ruling> Erw. 5b/bb). Darauf wird verwiesen.
2. Streitig ist der Anspruch auf eine Invalidenrente der Unfallversicherung und in diesem Zusammenhang insbesondere die Frage der Unfallkausalität der geklagten Beschwerden. Nicht Streitgegenstand sind dagegen Heilbehandlung und Integritätsentschädigung; darüber hat die "Winterthur" am 29. März 1996 rechtskräftig verfügt.
2.1 Das kantonale Gericht hat das Vorliegen eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und den geklagten Beschwerden offen gelassen, da die Adäquanz (und folglich auch der Anspruch auf Invalidenrente) verneint werden müsse.
Die Beschwerdeführerin rügt demgegenüber, dass die "Winterthur" den Sachverhalt ungenügend abgeklärt habe, da die Akten der Invalidenversicherung nicht beigezogen worden seien und zudem der letzte Arztbericht aus dem Jahr 1996 stamme, obwohl der Sachverhalt zur Zeit des Einspracheentscheides (d.h. Juli 2002) massgebend sei. Im Weiteren ist die Versicherte der Auffassung, dass nicht nur psychische, sondern auch körperliche Beschwerden vorlägen, habe doch die "Winterthur" eine Integritätsentschädigung für eine Integritätseinbusse von 15 % zugesprochen; zudem sei es "notorisch", dass Steissbeinbeschwerden "zu erheblicher Invalidität führen" könnten.
2.2 Die Höhenklinik W._ diagnostizierte im Bericht vom 27. Oktober 1995 (neben einer generalisierten Pandorsalgie und einem Schulter-Nackensyndrom) eine schwere Depression mit somatoformer Schmerzstörung, während die psychiatrische Klinik Z._ im Austrittsbericht vom 19. Juni 1996 die Diagnose einer posttraumatisch persistierenden depressiven Reaktion mit ausgeprägter Konversionssymptomatik (ICD-10 F32.11, F60.4) stellte. Die Rehabilitationsklinik O._, in welcher die Versicherte im Anschluss an den Aufenthalt in der Klinik Z._ hospitalisiert war, ging im Austrittsbericht vom 26. Juli 1996 von einer erheblichen Symptomausweitung bei Konversionsneurose, depressiver Antriebslosigkeit und Verstimmung aus. Schon das Spital Y._ sprach im Bericht vom 20. Juni 1995 davon, dass die deutliche depressive Verstimmung im Vordergrund stehe, was mit der Auffassung des Spitals X._ übereinstimmt, das im Bericht vom 5. April 1995 (also noch vor dem zweiten, am 12. Juni 1995 erfolgten Unfall) keine klinischen Befunde für die diagnostizierten unklaren wandernden Rückenschmerzen objektivieren konnte und ein depressives Zustandsbild erhoben hatte. Im Weiteren diagnostizierte auch der Hausarzt Dr. med. G._ bereits im Bericht vom 26. Mai 1995 eine reaktive Depression und sprach im Bericht vom 7. September 1995 von einer psychosomatischen Überlagerung. Diese psychischen Gesundheitsschäden, die sich gemäss dem Austrittsbericht der Rehabilitationsklinik O._ vom 26. Juli 1996 auch in pseudoepileptischen Anfällen und einer psychogenen links- und armbetonten Tetraparese äussern, und von der Klinik Z._ im Bericht vom 3. April 1996 als Regression bezeichnet werden, drängen allfällige Folgen eines Schädel-Hirntraumas resp. eines Schleudertraumas der HWS vollständig in den Hintergrund: Die zum typischen Beschwerdebild einer solchen Verletzung gehörenden Beeinträchtigungen (diffuse Kopfschmerzen, Schwindel, Konzentrations- und Gedächtnisstörungen, Übelkeit, rasche Ermüdbarkeit, Visusstörungen, Reizbarkeit, Affektlabilität, Depression, Wesensveränderung usw.; <ref-ruling> Erw. 4b, vgl. <ref-ruling> Erw. 2) werden - ausser den Kopf- und Nackenschmerzen sowie der Depression - in den vorliegenden Arztberichten denn auch kaum oder gar nicht erwähnt.
Auch die von der Versicherten geltend gemachten Beschwerden aufgrund des Steissbeinbruchs sind gemäss Aktenlage nicht ausgewiesen; vielmehr wird bereits im Austrittsbericht des Spitals Y._ vom 27. April 1995 darauf hingewiesen, dass die Coccyx-Fraktur "allmählich abzuheilen" scheine, während die Rehabilitationsklinik O._ im Bericht vom 26. Juli 1996 die Steissbeinfraktur resp. diesbezügliche Gesundheitsprobleme in der Austrittsbeurteilung gar nicht mehr erwähnt. Es ist im Übrigen - entgegen der Auffassung in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde - auch nicht "notorisch", dass solche Beschwerden zu einer erheblichen Invalidität führen können; sogar wenn dies der Fall wäre, liegen hier keinerlei medizinische Anhaltspunkte dafür vor. Nichts zu ihren Gunsten kann die Beschwerdeführerin schliesslich aus der Einschätzung der Rehabilitationsklinik O._ ableiten, wonach sie unter "ausschliesslicher Berücksichtigung der unfallbedingten, medizinisch fassbaren Funktionsstörungen ... theoretisch zumindest halbtags zu leichten manuellen Tätigkeiten imstande sein" müsse, da dies nicht ohne weiteres bedeutet, dass allein aufgrund der Steissbeinbeschwerden eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit vorliegt. Wie der Beurteilung der Rehabilitationsklinik O._ entnommen werden kann, ist das gesamte Ausmass der Symptomatik und dabei insbesondere der fehlende Armeinsatz links sowie die pseudoepileptischen Anfälle und die übrigen generalisierten Schmerzen medizinisch nicht fassbar; anders verhält es sich mit der depressiven Antriebslosigkeit und der gedrückten Stimmung, sodass diese beiden psychischen Gesundheitsbeeinträchtigungen bei der Einschätzung der Arbeitsfähigkeit berücksichtigt werden konnten.
2.3 Die Unfallversicherung hat für die geklagten psychischen Leiden nur bei Vorliegen eines adäquaten Kausalzusammenhanges zu den Unfällen von März und Juni 1995 einzustehen. Da die zum typischen Beschwerdebild eines Schädel-Hirn-Traumas und eines Schleudertraumas der HWS gehörenden Beeinträchtigungen zwar teilweise vorliegen, im Vergleich zur psychischen Problematik aber jeweils bereits kurz nach den Unfällen ganz in den Hintergrund getreten sind (Erw. 2.2 hievor), hat die Prüfung der Adäquanz nach den in <ref-ruling> Erw. 6c/aa für Unfälle mit psychischen Folgeschäden aufgestellten Grundsätzen zu erfolgen (<ref-ruling> Erw. 5b/bb; RKUV 2002 Nr. U 456 S. 438 Erw. 3a).
In Anbetracht der Umstände ist der Vorinstanz zuzustimmen, wenn sie sowohl den Unfall vom 21. März 1995 (Treppensturz) als auch denjenigen vom 12. Juni 1995 (Autounfall) jeweils den mittelschweren Ereignissen zuordnet, wobei mindestens der Unfall von März 1995 zu den Ereignissen im Grenzbereich zu den leichten Unfällen zu zählen ist. Da sich bei Unfällen im mittleren Bereich die adäquate Kausalität nicht allein aufgrund des Unfalles schlüssig beurteilen lässt, sind gemäss Rechtsprechung weitere objektiv erfassbare Kriterien heranzuziehen (<ref-ruling> Erw. 6c/aa):
- Der Treppensturz von März 1995 wies keine besonders drama- tischen Begleitumstände auf und war auch nicht besonders ein- drücklich; dem Autounfall von Juni 1995 kann zwar eine gewisse Eindrücklichkeit nicht abgesprochen werden, dennoch war die Ein- drücklichkeit objektiv nicht besonders ausgeprägt (vgl. BGE 115 V 141 oben). Die Versicherte wurde denn anlässlich dieser beiden Unfälle auch nicht besonders schwer oder gar lebensgefährlich verletzt; beim Unfall von Juni 1995 wurde ihr Ehemann zudem
offenbar nicht verletzt und es waren auch keine weiteren Personen in den Unfall verwickelt.
- Die erlittenen Verletzungen (offenbar nur leichte Hirnerschütterun- gen, Steissbeinfraktur, Schleudertrauma der HWS und Wirbel- säulenkontusion) als solche waren nicht besonders schwer, und angesichts dessen erfahrungsgemäss auch nicht geeignet, psychi- sche Fehlentwicklungen auszulösen.
- Die Dauer der ärztlichen Behandlung, die geklagten Dauer- schmerzen sowie der schwierige Heilungsverlauf basieren nicht auf einem somatischen Substrat, sondern auf der schnell, schon vor dem zweiten Unfall erfolgten psychischen Überlagerung (vgl. Erw. 2.2 hievor); damit fallen auch Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit kaum ins Gewicht.
- Eine ärztliche Fehlbehandlung, die die Unfallfolgen erheblich ver- schlimmert hätte, ist nicht ersichtlich.
Somit liegen die gemäss Rechtsprechung bei einem mittleren Unfall notwendigen objektiven Kriterien weder gehäuft vor, noch ist eines davon besonders ausgeprägt (<ref-ruling> Erw. 6c/bb), weshalb der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den beiden Unfällen und den geklagten psychischen Beschwerden zu verneinen ist. Dies hat zur Folge, dass der Unfall zwar unter Umständen eine natürlich kausale Teilursache der psychischen Beschwerden darstellt, ihm aber rechtlich nicht zugerechnet werden kann. Da die Frage der natürlichen Kausalität somit letztlich offen bleiben kann, erübrigen sich auch die in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragten diversen weiteren Abklärungen, welche als solche nur den natürlichen Kausalzusammenhang betreffen können. An dieser Überlegung ändert nichts, dass der letzte Arztbericht aus dem Jahr 1996 datiert; es ist zudem darauf hinzuweisen, dass eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes nicht einmal behauptet ist (vgl. <ref-ruling> Erw. 4a).
2.4 Entgegen der Auffassung in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann auch aus der rechtskräftig gewordenen Zusprechung einer Integritätsentschädigung durch die "Winterthur" für das vorliegende Verfahren nichts zu Gunsten der Versicherten abgeleitet werden. Denn aufgrund einer rechtskräftigen (und einer gerichtlichen Überprüfung deshalb nicht mehr zugänglichen) Anerkennung eines unfallbedingten Integritätsschadens kann ein Versicherer bezüglich später geltend gemachter anderer Leistungsansprüche nicht behaftet werden (Urteil F. vom 28. Juni 2001, U 50/99). So sehen denn <ref-law> und <ref-law> jeweils eigene Anspruchsvoraussetzungen für Rente und Integritätsentschädigung vor.
2.5 Mangels adäquaten Kausalzusammenhangs hat die Beschwerdeführerin keinen Anspruch auf eine Rente der Unfallversicherung. Es kann auch nicht auf den Entscheid der Invalidenversicherung, die gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 100 % seit März 1996 eine ganze Rente ausrichtet, abgestellt werden, da diese - wegen ihrer Ausgestaltung als finale Versicherung (vgl. <ref-ruling> Erw. 3b mit Hinweisen) - nicht zwischen physischen und psychischen Komponenten unterscheidet.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 5. Mai 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: