Faits:
A.
A.a. Le 28 mars 2011, l'Office du contentieux général du canton de Neuchâtel a adressé à l'Office des poursuites de Neuchâtel une réquisition de continuer la poursuite (n° xxxx) à l'encontre de la société A._ SA; cette poursuite, tendant au paiement de xxxx fr. (= impôt cantonal et communal 2007) avec intérêts et frais, se fonde sur un commandement de payer notifié le 24 août 2010 à la poursuivie. L'opposition que celle-ci avait formée a été levée définitivement par prononcé du 23 mars 2011; cette décision a été communiquée sous pli recommandé au siège de la société, puis, comme l'envoi a été retourné au tribunal avec la mention « non réclamé », réexpédiée sous pli simple le 11 avril 2011.
A.b. Le 31 mars 2011, l'office des poursuites a avisé la poursuivie qu'il serait procédé à la saisie le 12 avril 2011. Le 30 mars 2012, il a dressé un procès-verbal des opérations de la saisie, un délai au 16 avril 2012 étant octroyé à l'administrateur de la poursuivie (B._) pour déposer une « plainte 17 LP », le « dossier [étant] laissé en suspens dans l'intervalle ».
B.
Le 16 avril 2012, la poursuivie a porté plainte contre la saisie. En bref, elle a fait valoir que l'avis de saisie était entaché de « nullité » en raison d'un vice de la notification, celle-ci étant intervenue à l'adresse privée de l'administrateur, et non pas au siège de la société; le commandement de payer a été en outre notifié à l'épouse de l'administrateur, alors que la dette n'était pas de nature privée; enfin, la notification du jugement de mainlevée était aussi irrégulière, ce qui l'a empêchée de participer à l'audience de mainlevée, puis de recourir.
Statuant le 22 novembre 2012, l'Autorité inférieure de surveillance des offices des poursuites et des faillites du canton de Neuchâtel a rejeté la plainte. Par arrêt du 8 février 2013, l'Autorité supérieure de surveillance en matière de poursuites et de faillites du canton de Neuchâtel a rejeté le recours de la plaignante.
C.
Par mémoire du 1er mars 2013, la plaignante interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral; elle conclut à l'annulation de cet arrêt et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invités à répondre, l'office des poursuites ne formule pas d'observations complémentaires, alors que l'autorité précédente n'a pas procédé.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) à l'encontre d'une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 et la jurisprudence citée) rendue en matière de poursuite pour dettes et de faillite (<ref-law>, en relation avec l'<ref-law>) par une autorité de surveillance statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>); il est recevable sans égard à la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. c LTF); la plaignante, qui a été déboutée par l'autorité précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>).
1.2. La recourante conclut à l'annulation de la décision entreprise, chef de conclusions qui ne répond pas en principe aux exigences posées à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.3 et les citations). Il ressort cependant de son mémoire qu'elle demande l'annulation du commandement de payer, ainsi que de l'avis de saisie et du procès-verbal des opérations de la saisie qui se fondent sur la réquisition de continuer la poursuite consécutive au prononcé de la mainlevée. Le recours est dès lors recevable sous cet angle ( cf. <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 4, avec les citations).
1.3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il s'ensuit que les nombreux faits que la recourante expose sont inadmissibles en tant qu'ils s'écartent des constatations des juges cantonaux, sous réserve des moyens tirés de l'inexactitude manifeste de ces constatations (<ref-law>), motivés en conformité avec les exigences de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 et les arrêts cités).
2.
Il n'appartient pas aux autorités saisies d'une plainte ou d'un recours de se prononcer sur l'existence de la créance - ici fiscale - en poursuite ( cf. <ref-ruling> consid. 2b; <ref-ruling> consid. 2). Les explications de la recourante à ce sujet apparaissent ainsi hors de propos.
3.
3.1. Comme l'a retenu à juste titre l'autorité précédente, la notification du commandement de payer n'est entachée d'aucun vice. En effet, la jurisprudence admet qu'un tel acte destiné à une personne morale soit notifié d'emblée au domicile privé d'un représentant au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.1 et les références); dans cette éventualité, il peut alors être remis conformément à l'<ref-law> à toute personne adulte de son ménage (ATF 72 III 71 p. 73/74), dont l'épouse fait clairement partie.
Au demeurant, il ressort de l'arrêt entrepris (<ref-law>) que le commandement de payer est bien parvenu en main de l'administrateur de la recourante, qui l'a frappé d'opposition totale. En toute hypothèse, la notification n'était donc pas nulle (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2 et les références) et ne pouvait plus être contestée à l'occasion d'une plainte contre le procès-verbal de saisie (<ref-law>).
3.2. La citation à l'audience de mainlevée et la notification du jugement de mainlevée sont, en revanche, plus problématiques.
3.2.1. La citation destinée à une personne morale - en l'occurrence une société anonyme - est en principe effectuée à son siège (Gasser/Rickli, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, n° 5 ad <ref-law>; Huber, in : Schweizerische Zivilprozessordnung, Kommentar, 2011, n° 41 ad <ref-law>; A. Staehelin, in : Kommentar zur ZPO, 2e éd., 2013, n° 5 ad <ref-law>); mais d'aucuns estiment - comme pour la notification du commandement de payer ( cf. supra, consid. 3.1) - qu'elle peut aussi intervenir à l'adresse privée du représentant légal (Bohnet/Brügger, La notification en procédure civile suisse, in : RDS 2010 I p. 308 ch. III et les références).
En l'espèce, il ressort des constatations de la juridiction précédente et de la pièce à laquelle elle s'est référée que la citation à l'audience de mainlevée et le jugement de mainlevée ont été expédiés à l'adresse «...», qui correspond au siège statutaire de la société recourante; en revanche, les actes de poursuite litigieux ont été notifiés à l'adresse privée de son administrateur. Quoi qu'en dise la recourante, cette situation ne peut être imputée à l'office des poursuites, car la citation à l'audience de mainlevée et l'envoi du prononcé de mainlevée sont le fait du Tribunal civil régional du Littoral et du Val-de-Travers, dont le procédé ne saurait être examiné dans le contexte d'une plainte (ou d'un recours). Tout autre est la question de l'incidence de la procédure de mainlevée sur les actes de poursuite subséquents à l'octroi de la mainlevée ( cf. infra, consid. 3.2.2).
3.2.2. Devant les magistrats précédents, la recourante a fait valoir que l'autorité inférieure de surveillance avait omis un « fait important antérieur à l'envoi recommandé du 23 mars 2011»: elle ne « savait même pas qu'il y avait une audience de la demande de mainlevée d'opposition à Boudry », dès lors qu'une « quelconque convocation n'a pas été reçue par [l'administrateur]»; a fortiori ne pouvait-elle s'« attendre avec quelque vraisemblance à recevoir [le prononcé de mainlevée de l'opposition du 23 mars 2011]» ( recours cantonal, p. 3 ch. 4/5 ). La recourante reprend ce moyen en instance fédérale ( p. 5 ch. 11).
L'autorité cantonale a réfuté ce grief en appliquant « la fiction de l'article 138 al. 3 litt. a CPC, puisque, partie à cette procédure de poursuites mais également selon ses propres dires [de la recourante] à d'autres procédures judiciaires, la société devait s'attendre à des notifications de la part des autorités ». Cette opinion est erronée. De jurisprudence constante, le prononcé de la mainlevée d'opposition ouvre une nouvelle procédure, en sorte que la fiction de notification ne vaut pas à l'égard d'une telle décision (<ref-ruling> consid. 3.1 et les arrêts cités). En outre, la décision attaquée ne cite pas d'autres procédures en rapport avec la procédure de mainlevée qui pourraient corroborer la conclusion de la juridiction précédente: l'arrêt de la Cour de cassation du 22 février 2010 - cité à plusieurs reprises dans le recours cantonal - concernait une procédure d'expulsion; quant aux procédures conduites « jusqu'au Tribunal fédéral » ( recours cantonal, p. 4 ch. 8), elles se rapportent à la procédure d'expulsion (4A_204/2011 du 9 mai 2011) et à un litige en matière de bail (4A_63/2013 du 13 mars 2013). Enfin, l'arrêt attaqué ne comporte aucun indice qui permettrait d'admettre que la recourante a eu effectivement connaissance à temps de la citation, ce qui pourrait rendre son moyen abusif (<ref-law>; cf. à ce sujet: Bohnet/Brügger, op. cit., p. 329 ss et les références).
L'opposition au commandement de payer n'ayant pas été valablement écartée, les actes de poursuite accomplis en vertu de la réquisition de continuer la poursuite - en l'espèce l'avis de saisie et le procès-verbal des opérations de la saisie - sont nuls (arrêt 5A_755/2011 du 17 janvier 2012 consid. 2.1 et les références). Il s'ensuit que le recours apparaît fondé sur ce point.
4.
En conclusion, le recours doit être partiellement admis dans la mesure de sa recevabilité et l'arrêt attaqué réformé dans le sens des motifs qui précèdent. Le présent arrêt est rendu sans frais (<ref-law>), ni dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF) puisque la recourante a procédé sans le concours d'un avocat (<ref-ruling> consid. 4). Cela étant, la requête d'assistance judiciaire devient sans objet, ce qui dispense d'examiner si les conditions permettant de concéder exceptionnellement l'assistance judiciaire à une personne morale seraient remplies en l'espèce ( cf. sur ce point: ordonnance 2C_93-94/2013 du 28 février 2013 consid. 3.1 et les arrêts cités).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable; l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que l'avis de saisie et le procès-verbal des opérations de la saisie établis par l'Office des poursuites de Neuchâtel dans la poursuite n° xxxx sont déclarés nuls.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Il n'est pas alloué de dépens à la recourante.
5.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, à l'Office des poursuites de Neuchâtel et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 29 août 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
Le Greffier: Braconi