A.- M._ a travaillé en qualité d'aide de cuisine dans un hôtel, puis de concierge et de manoeuvre dans un garage. Il a cessé toute activité lucrative le 8 mars 1995 en raison de lombalgies.
Souffrant d'une hernie discale paramédiane droite L5-S1, il a subi une intervention chirurgicale (hémilaminectomie) au mois de mai 1995. Dans un rapport du 3 no- vembre 1995, le docteur F._, médecin associé au Service de rhumatologie, médecine physique et réhabilitation de X._, a constaté que l'évolution postopératoire semblait subjectivement défavorable avec une recrudescence des lombalgies, sans que l'on puisse réellement objectiver une souffrance segmentaire ou nerveuse. De son côté, le docteur W._, médecin traitant de l'assuré, a fait état d'une régression dans une pathologie somatoforme à forte composante psychogène (rapport du 14 mars 1996).
M._ a déposé une demande de rente de l'assurance-invalidité le 4 mars 1996. Après avoir confié une expertise au docteur V._, spécialiste en psychiatrie (rapport du 12 décembre 1996), l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud a rendu une décision, le 6 mars 1997, par laquelle il a rejeté la demande de rente, motif pris que l'assuré ne présente pas d'atteinte à la santé l'empêchant d'exercer son activité lucrative habituelle.
B.- a) Saisi d'un recours, le Tribunal des assurances du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 20 janvier 1998.
Par arrêt du 5 février 1999, le Tribunal fédéral des assurances a admis le recours de l'assuré contre ce jugement, en ce sens que celui-ci a été annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouveau jugement.
b) Le tribunal cantonal a confié une expertise au docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 7 décembre 1999).
Par jugement du 14 mars 2000, il a admis le recours dont il était saisi. La décision entreprise a été réformée en ce sens que l'assuré s'est vu reconnaître le droit à une rente entière dès le 1er mars 1996. Le prénommé a été mis au bénéfice d'une indemnité de 2000 fr. à titre de dépens pour l'ensemble de la procédure cantonale.
C.- L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il requiert l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à l'administration pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise et nouvelle décision "sur la base de renseignements précis, détaillés et fiables".
M._ conclut au rejet du recours, sous suite de dépens. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales propose implicitement son admission.

Considérant en droit :
1.- Le litige porte sur le droit de l'intimé à une rente entière d'invalidité à partir du 1er mars 1996.
Le jugement cantonal du 20 janvier 1998 expose de manière exacte et complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables en matière d'évaluation de l'invalidité. Il suffit donc d'y renvoyer.
2.- En principe, le juge ne s'écarte pas sans motifs impératifs des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Selon la jurisprudence, peut constituer une raison de s'écarter d'une expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (<ref-ruling> sv. consid. 3b/aa et les références; VSI 2000 p. 154 consid. 2b).
L'élément décisif pour apprécier la valeur probante d'une pièce médicale n'est en principe ni son origine, ni sa désignation sous la forme d'un rapport ou d'une expertise, mais bel et bien son contenu (<ref-ruling> consid. 3a; Spira, La preuve en droit des assurances sociales, in :
Mélanges en l'honneur de Henri-Robert Schüpbach, Bâle, Genève et Munich 2000, p. 268; Omlin, Die Invalidität in der obligatorischen Unfallversicherung, thèse Fribourg 1995, p. 297 sv.; Morger, Unfallmedizinische Begutachtung in der SUVA, in RSAS 32/1988 p. 332 sv.). Il importe, pour conférer pleine valeur probante à un rapport médical, que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées (<ref-ruling> consid. 3a et les références).
3.- Dans un récent arrêt (cf. VSI 2000 p. 152), le Tribunal fédéral des assurances a défini, en se fondant principalement sur une étude de Mosimann (Somatoforme Störungen : Gerichte und [psychiatrische] Gutachten, in RSAS 1999, p. 1 ss et 105 ss), la tâche du médecin ou de l'expert, lorsque celui-ci doit se prononcer sur le caractère invalidant de tels troubles. Selon cette jurisprudence, l'expert doit, sur le plan psychiatrique, poser un diagnostic dans le cadre d'une classification reconnue et se prononcer sur le degré de gravité de l'affection. Il doit évaluer le caractère exigible de la reprise par l'assuré d'une activité lucrative. Ce pronostic tiendra compte de divers critères, tels une structure de la personnalité présentant des traits prémorbides, une comorbidité psychiatrique, des affections corporelles chroniques, une perte d'intégration sociale, un éventuel profit tiré de la maladie, le caractère chronique de celle-ci sans rémission durable, une durée de plusieurs années de la maladie avec des symptôme stables ou en évolution, l'échec de traitements conformes aux règles de l'art. Le cumul des critères précités fonde un pronostic défavorable. Enfin, l'expert doit s'exprimer sur le cadre psycho-social de la personne examinée. Au demeurant, la recommandation de refus d'une rente doit également reposer sur différents critères. Au nombre de ceux-ci figurent la divergence entre les douleurs décrites et le comportement observé, l'allégation d'intenses douleurs dont les caractéristiques demeurent vagues, l'absence de demande de soins, les grandes divergences entre les informations fournies par le patient et celles ressortant de l'anamnèse, le fait que des plaintes très démonstratives laissent insensible l'expert, ainsi que l'allégation de lourds handicaps malgré un environnement psycho-social intact (VSI 2000 p. 155 consid. 2c).
4.- a) Dans son rapport d'expertise du 12 décembre 1996, le docteur M._ a indiqué que le recourant se trouvait dans un état de régression et que les douleurs dont il souffre peuvent être considérées comme un trouble somatoforme indifférencié résultant de sa personnalité passive et dépendante. Il ne s'est toutefois pas prononcé sur la capacité de travail de l'intéressé, se limitant à indiquer que ce dernier est apte du point de vue psychiatrique à participer à des mesures de réadaptation professionnelle.
Dans son arrêt du 5 février 1999, le Tribunal fédéral des assurances a considéré que cet avis médical ne permet pas d'exclure l'existence d'une incapacité de travail.
De son côté, le docteur C._ a posé le diagnostic de syndrome douloureux somatoforme persistant, d'épisode dépressif moyen avec syndrome somatique, ainsi que d'une personnalité fruste, avec traits de personnalité dépendante, caractérielle et passive-agressive. Il a conclu à une incapacité de travail de 100 % sans changements depuis le mois de mars 1995 (rapport du 7 décembre 1999).
b) L'office recourant ne conteste pas sérieusement les conclusions du docteur C._. Par ailleurs, bien que le docteur M._ ne se soit pas prononcé sur l'incapacité de travail de l'assuré, il se contente d'alléguer que celui-ci pourrait travailler en faisant preuve de bonne volonté, du moment que ce médecin a attesté l'aptitude de l'intéressé à participer à des mesures de réadaptation professionnelle.
c) Cette argumentation n'est pas convaincante et ne justifie pas que l'on s'écarte des conclusions du docteur C._. Il ressort en effet du rapport de l'expert judiciaire que sont réalisés la plupart des divers critères cités plus haut pour justifier le fait que la reprise d'une activité lucrative n'est pas exigible de sa part. En particulier, l'expert a constaté que le discours de l'assuré se concentrait sur ses douleurs, au point que celles-ci expliquent tous les troubles dont il souffre. En outre, il a fait état de troubles de l'attention et de la concentration, ainsi que d'une symptomatologie dépressive bien réelle.
Selon l'expert, la personnalité de l'assuré, dotée de capacités de mentalisation très limitées, a été fortement perturbée par la survenance de l'atteinte à la santé. Enfin, à l'instar des autres médecins qui se sont prononcés sur le cas, le docteur C._ a exclu l'existence d'une simulation des symptômes, d'un trouble factice ou d'une exagération des symptômes physiques.
Ces constatations médicales sont suffisantes pour qu'on puisse se convaincre, en accord avec les critères dégagés par la jurisprudence citée au consid. 3, du caractère invalidant du trouble somatoforme douloureux de l'intimé.
d) Avec les premiers juges, on doit ainsi admettre que l'incapacité de travail de 100 % présentée par l'intimé depuis le mois de mars 1995 entraîne une perte de gain de plus de 66 2/3 %, ce qui justifie l'octroi d'une rente entière d'invalidité à compter du 1er mars 1996 (art. 28 et 29 LAI).
Le recours se révèle ainsi mal fondé.
5.- L'intimé, qui obtient gain de cause, est représenté par le Service juridique de la Fédération suisse pour l'intégration des handicapés (FSIH). Il a droit à une indemnité de dépens à la charge de l'office recourant (<ref-ruling> consid. 2; SVR 1997 IV n° 110 p. 341).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances
prononce :
I. Le recours est rejeté.
II. Il n'est pas perçu de frais de justice.
III. Le recourant versera à l'intimé la somme de 1500 fr.
(y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de
dépens pour l'instance fédérale.
IV. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 2 avril 2001
Au nom du
Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIIe Chambre :
Le Greffier :