Sachverhalt:
A.
A.a. X._ bewirtschaftete ab Frühling 2007 eine Schrebergartenparzelle von 68 m2 auf dem Areal der Vereinigung K._ in L._. Der schriftliche Pachtvertrag dazu datiert vom 10. August 2007. Im August 2007 wurde X._ ebenfalls als Mitglied in die Vereinigung K._ aufgenommen.
A.b. An der Generalversammlung vom 26. August 2011 wurde X._ mit 20 zu 2 Stimmen aus dieser Vereinigung ausgeschlossen. X._ fühlt sich wegen Äusserungen, die im Vorfeld dieses Beschlusses gemacht worden waren, in ihrer Persönlichkeit verletzt. Sie klagte deswegen gegen A._ und B._, beide Vorstandsmitglieder der Vereinigung K._.
B.
B.a. Mit Urteil vom 22. Oktober 2012 wies das Einzelgericht des Bezirksgerichtes Zürich die Klage ab. Am 14. Dezember 2012 wies das Obergericht des Kantons Zürich die gegen dieses Urteil gerichtete Berufung ab. Dagegen reichte X._ (Beschwerdeführerin) mit Datum vom 17. Januar 2013 (Postaufgabe) Beschwerde beim Bundesgericht ein. Gleichzeitig stellte sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die Akten der Vorinstanz beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
B.b. A._ (Bschwerdegegner 1) sandte dem Bundesgericht am 24. März 2013 eine Vereinbarung vom 7. Januar 2013 des Friedensrichteramts der Kreise 6 und 10 der Stadt Zürich zu. Darin erklären die Beschwerdegegner, "die Klägerin künftighin in Ruhe zu lassen und die Freundlichkeit zu wahren und bedauern ausserdem die Geschehnisse" (Ziff. 4). Mit der Erfüllung dieser von der Beschwerdeführerin mitunterzeichneten Vereinbarung sollten die Parteien per Saldo aller gegenseitigen Ansprüche auseinandergesetzt sein (Ziff. 5). Die Eingabe von A._ wurde am 9. April 2013 der Beschwerdeführerin und B._ (Beschwerdegegner 2) zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.
B.c. Zusätzlich reichte X._ am 1. März 2013 (Postaufgabe) eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde ein. Diese richtete sich gegen den Beschluss und das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 30. Januar 2013, in welchem dieses den Ausschluss der Beschwerdeführerin aus der Vereinigung K._ bestätigte. Das Bundesgericht ist mit Urteil vom 21. März 2013 auf diese Beschwerde nicht eingetreten (Verfahren Nr. 5A_207/2013).
B.d. Weitere Eingaben der Beschwerdeführerin folgten am 12., 15. und 18. März 2013.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 216; <ref-ruling> E. 1 S. 117, je mit Hinweisen). Der angefochtene Entscheid betrifft das Begehren um Feststellung der Widerrechtlichkeit einer Persönlichkeitsverletzung (Art. 28 und 28a Abs. 1 Ziff. 3 ZGB) und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 483). Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht entschieden hat (Art. 90; 75 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerde ist zudem form- und fristgerecht eingereicht worden (Art. 42 Abs. 1; 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Zur Beschwerde in Zivilsachen ist nur berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (<ref-law>) und wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (<ref-law>). Letzteres erscheint im vorliegenden Fall als zweifelhaft, nachdem die Beschwerdeführerin am 7. Januar 2013 vor dem Friedensrichteramt einer Vereinbarung zugestimmt hat, die zumindest vom Beschwerdegegner 1 im Sinn eines Klagerückzugs interpretiert wird (s. Sachverhalt Bst. B). Tatsächlich mutet es widersprüchlich an, wenn die Beschwerdeführerin in dieser von allen Verfahrensbeteiligten und dem Friedensrichter unterzeichneten Vereinbarung erklärt, "per Saldo aller gegenseitigen Ansprüche auseinandergesetzt" zu sein, um dann wenige Tage später das im damaligen Zeitpunkt bereits bekannte Urteil des Obergerichts vom 14. Dezember 2012 ans Bundesgericht weiterzuziehen. Aus den folgenden Erwägungen ergibt sich, dass die Frage offen bleiben kann, ob mangels eines schutzwürdigen Interesses nicht auf die Beschwerde eingetreten werden kann.
1.3. Angefochten werden kann nur das vorinstanzliche Urteil (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin auch das Urteil des Bezirksgerichtes Zürich vom 22. Oktober 2012 anficht, ist auf ihre Beschwerde nicht einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerde muss ein Begehren enthalten und ist zu begründen (<ref-law>). Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerdeführerin wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 60). Das Bundesgericht, das das Recht von Amtes wegen anwendet (<ref-law>) prüft in der Regel nur jene rechtlichen Fragen, die die Beschwerdeführerin begründet rügt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 93). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Eine Verfassungsrüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen).
Ferner legt das Bundesgericht seinem Urteil jenen Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin kann die Feststellung des Sachverhalts nur rügen, wenn die Feststellung des Sachverhalts offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Die Beschwerdeführerin, die die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss rechtsgenüglich darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351; S. 398 E. 7.1; S. 466 f. E. 2.4).
2.2. Vorliegend hat die Beschwerdeführerin das folgende Rechtsbegehren gestellt: "Anlässlich den Generalversammlungen vom 26. August 2011 und 31. August 2012 wurden über mich unrichtige (wahrscheinlich irrtümliche) und damit blossstellende, also persönlichkeitsverletzende Aussagen gemacht, die dazu führen sollten, mir einen kleinen gepachteten Garten im Gartenareal der K._ wegzunehmen. Diese haben dazu geführt, dass auf Aufforderung des Präsidenten hin in dem Sinne abgestimmt wurde. Es soll dieser Sachverhalt festgestellt und mein ursprünglicher Stand als Pächterin des kleinen Gartens wieder hergestellt werden." Für den Fall, dass sie ihre Schlüssel zum Gartenareal zurückgebe, verlangte die Beschwerdeführerin in einem handschriftlich verfassten Zusatz zur Beschwerde eine "angemessene Entschuldigung an meine Person für alle die während der Jahre gemachten Anschuldigungen (die nicht zutreffen) ".
Es ist unverkennbar, dass das von der Beschwerdeführerin formulierte Rechtsbegehren primär auf Fortsetzung der Pacht zielt. Die verlangte Feststellung der behaupteten Persönlichkeitsverletzung erfolgt vorfrageweise und soll nach dem Verständnis der Beschwerdeführerin die Grundlage für die Fortsetzung der Pacht sein. Die Mitgliedschaft in der K._ und die damit verbundene Möglichkeit, eine Schrebergartenparzelle zu pachten, bilden nun aber nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids. Zulässig und genügend im Sinn von <ref-law> ist das Rechtsbegehren deshalb nur insofern, als die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegnern vorwirft, sie im Zusammenhang mit dem Ausschluss aus der K._ in ihrer Persönlichkeit verletzt zu haben.
2.3. Es bleibt zu prüfen, ob die Beschwerde auch den in E. 2.1 erwähnten Anforderungen an die Begründung entspricht. Dies ist nicht der Fall. Die Beschwerdeführerin schildert zwar ausführlich, wie sie die Vorkommnisse rund um die K._ erlebt hat. Sie geht aber mit keinem Wort auf das vorinstanzliche Urteil und dessen Begründung ein. Dabei wäre genau dies die Aufgabe der Beschwerdeführerin gewesen. Sie hätte in ihrer Beschwerde dartun müssen, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid Recht verletzt hat. Qualifizierte Anforderungen an die Rüge hätten bestanden, soweit die Beschwerdeführerin sinngemäss die willkürliche Feststellung des Sachverhalts rügt. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin weder im Verfahren vor Bundesgericht noch im Verfahren vor den Vorinstanzen anwaltlich vertreten gewesen ist.
3.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Wie den vorstehenden Ausführungen entnommen werden kann, konnte der Beschwerde von Beginn weg kein Erfolg beschieden sein, weshalb es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (<ref-law>) und das Gesuch entsprechend abzuweisen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn