Faits:
A.
A.a. Y._ est un ressortissant algérien titulaire d'un passeport diplomatique et d'un visa américain de type B1. Il est l'un des représentants et négociateurs politiques pour la cause T._ (...), notamment dans l'enceinte des Nations Unies.
En mars 1994, il a engagé une relation bancaire avec un établissement qui a ensuite été repris par Z._ SA (ci-après: la banque). Les parties ont convenu que la correspondance serait adressée au client "banque restante".
Au mois d'avril 1999, le client prénommé a constitué avec l'aide de la banque une fondation de droit liechtensteinois dénommée Fondation X._, dont il était le bénéficiaire. La fondation a ouvert auprès de la banque une relation de compte courant et de dépôt, ainsi qu'un dossier titres. La correspondance devait être retenue à la banque, les communications étant ainsi réputées parvenues à la cliente en bonne et due forme. La banque a reçu un mandat de gestion qui a été résilié en février 2000. Un pouvoir de gérance a ensuite été confié à Y._. Dans un formulaire A rempli en mars 2002, celui-ci a été désigné comme l'ayant droit économique des avoirs déposés au nom de la fondation.
Au sein de la banque, des employés différents (gestionnaires de compte) ont été chargés de s'occuper de la Fondation X._ et de Y._.
A.b. Entre 1999 et 2002, les deux clients précités ont fait des investissements importants dans les titres d'une vingtaine de sociétés américaines cotées en bourse.
En novembre 1999, les autorités fiscales américaines de l'IRS (Internal Revenue Service) ont publié une réglementation concernant l'imposition à la source des revenus américains, qui devait s'appliquer au plus tard le 1er janvier 2003. Les banques étrangères désirant proposer des titres américains à leurs clients devaient désormais revêtir le statut d'intermédiaire agréé ( Qualified Intermediary, QI). Elles devaient s'engager à effectuer un certain nombre d'identifications, en particulier déterminer si le client est une "US Person" ou une "Non-US Person", et assurer l'échange d'informations avec le fisc américain.
Entre avril 2000 et novembre 2002, l'Association Suisse des Banquiers (ASB) a édicté des circulaires concernant ce statut "QI". Elle a en particulier émis une circulaire n° 6971 du 7 avril 2000 assortie d'une annexe 1, préconisant en substance la méthode suivante: la banque doit contacter les clients non répertoriés comme américains pour déterminer s'ils ont néanmoins une obligation fiscale envers les Etats-Unis, compte tenu de la définition large des "US Persons". Celle-ci se fonde non seulement sur le domicile et la nationalité, mais aussi sur la détention d'une "Green Card" ou la résidence sur sol américain pendant une certaine durée. Pour les comptes insuffisamment documentés, la banque doit prélever un impôt à la source de 30 % sur les dividendes et intérêts des titres US, que les personnes non assujetties peuvent se faire rembourser auprès des autorités fiscales américaines; elle n'a en revanche aucune obligation de renseigner spontanément les autorités américaines, ni de prélever un impôt sur le produit de vente des titres US, du moment que les paiements sont effectués hors des Etats-Unis ou sur des comptes gérés hors de ce pays. Lorsque la banque identifie un client comme une "US Person", elle doit lui demander l'autorisation de communiquer ses coordonnées au fisc américain ou de vendre ses titres; en cas de refus, elle doit procéder à la vente des titres avant une certaine échéance, en l'occurrence fixée le 31 décembre 2002, si elle est juridiquement en mesure de le faire.
A.c. Au mois de novembre 2002, le gestionnaire du compte bancaire de la fondation s'est posé la question de savoir si Y._, soit son ayant droit économique désigné, devait être qualifié de "US Person". La banque a tenté sans succès de joindre la fondation et le prénommé en vue d'obtenir la documentation requise. Elle a notamment envoyé le 21 novembre 2002 un courrier à l'adresse de la fondation à Vaduz, dans lequel elle l'invitait à produire les documents requis et l'avertissait qu'à défaut, elle devrait procéder à la vente des titres américains avant la fin du mois de décembre 2002. Elle a découvert que Y._ n'était pas domicilié à l'adresse qu'il avait indiquée à Alger. Pendant deux jours, elle a vainement tenté de le joindre aux trois numéros de téléphone qu'il avait communiqués.
N'ayant obtenu aucune réponse, la banque a vendu entre le 19 et le 24 décembre 2002 tous les titres américains appartenant à la fondation. Le produit de la vente, soit USD 1'630'065.-, a été versé sur le compte de la fondation. Aucune vente n'a été opérée sur le portefeuille personnel de Y._.
A.d. Le 3 juillet 2003, ce dernier a rencontré le gestionnaire de son compte personnel, qui lui a fait remplir des documents concernant l'impôt à la source américain. Le client a répondu par la négative à toutes les questions concernant la qualité de "US Person".
Les 15 et 28 juillet 2003, la banque a décidé de bloquer les comptes de la fondation et de Y._ en attendant des éclaircissements. Elle avait notamment constaté que le prénommé avait donné des dates de naissance différentes dans les divers documents d'ouverture de compte et qu'il était très actif au sein (....[cause T._]).
A la fin juillet 2003, le client s'est entretenu par téléphone avec le gestionnaire du compte de la fondation, lequel lui a annoncé la vente des titres américains. Les deux hommes se sont rencontrés le 7 août 2003. Le gestionnaire a expliqué la réglementation "QI" et les conséquences de l'impôt à la source si les titres avaient été conservés. Il a précisé que la banque avait nourri des doutes quant à son statut de "US Person" en constatant que diverses instructions avaient été communiquées par fax depuis les Etats-Unis et que Y._ avait donné un numéro de téléphone portable américain. Le client a fait part de son incompréhension, reprochant à la banque d'avoir vendu les titres à un moment particulièrement défavorable. Toutefois, il n'a pas ordonné le rachat de ces titres, ni exprimé le souhait d'y procéder.
Dans un courrier du 19 septembre 2003, le client a reproché à la banque d'avoir vendu les titres américains de la fondation et d'avoir ainsi porté préjudice aux intérêts de celle-ci. La banque a répondu le 16 mars 2004 que la vente des titres américains s'imposait pour toutes les personnes n'ayant pas pu confirmer avant le 31 décembre 2002 qu'elles n'appartenaient à aucune catégorie des "US Persons". Le 21 avril 2004, le client a contesté ces explications, objectant qu'au regard de sa nationalité algérienne et de son visa diplomatique, les éléments avancés par la banque n'étaient pas suffisants pour justifier la vente forcée des titres de la fondation.
En octobre 2004 et février 2005, la banque a exprimé la volonté de mettre un terme aux relations contractuelles avec la fondation et le client Y._. Le 28 février 2005, ce dernier a signé les documents établis par la banque. Concernant son compte personnel, il a signé une instruction de vendre l'ensemble des titres et de solder le compte. Il a également signé l'ordre de dissoudre la fondation et de solder le compte de celle-ci. Il a accepté de donner ces instructions de clôture alors même qu'il ne comprenait pas la décision de la banque.
Le conseil de la fondation a adopté deux résolutions en date du 3 mars 2005, l'une relative à la distribution de fortune au bénéficiaire Y._, l'autre prononçant la dissolution et liquidation de la fondation.
Le client a émis des prétentions en dommages-intérêts à l'encontre de la banque. Celle-ci a indiqué qu'elle entrerait en matière dès que le client justifierait de ses pouvoirs de représenter la fondation.
Le 31 octobre 2006, le client a saisi les tribunaux liechtensteinois d'une requête visant à la désignation d'un curateur pour la fondation.
La demande a été rejetée le 2 avril 2007 par le Landgericht de Vaduz. Statuant sur recours, l' Obergericht de Vaduz a ordonné par arrêt du 5 juillet 2007 la désignation d'un curateur pour que la fondation puisse faire valoir ses prétentions à l'encontre de la banque. Un avocat liechtensteinois a été nommé curateur le 15 septembre 2008. Le Landgericht a validé la constitution d'un avocat genevois pour représenter la fondation devant les tribunaux suisses.
En raison de ces procédures, Y._ a encouru des frais judiciaires et honoraires d'avocat de 25'284 fr. Les frais liés à l'activité du curateur se sont élevés à 28'000 fr.
B.
B.a. Le 13 juillet 2009, Y._ et la Fondation X._, représentée par son curateur, ont actionné la banque devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Leurs conclusions tendaient en dernier lieu au paiement de USD 1'497'163.- en faveur de la fondation, pour le préjudice subi par la vente forcée de ses titres à un moment inopportun, respectivement au versement de CHF 53'284.- en faveur de Y._, pour les frais liés à la mise en place d'un curateur (CHF 25'284.- + 28'000.-).
Le premier poste (USD 1'497'163.-) correspond à la différence entre la valeur des titres au 28 février 2005, soit à la fin des relations contractuelles, et le produit de leur vente forcée en décembre 2002 (USD 3'127'227.57 - 1'630'065.-).
Par jugement du 13 décembre 2012, le tribunal a condamné la banque à verser USD 270'530.- plus intérêts à 5 % dès le 29 juillet 2005 en faveur de la fondation, et CHF 53'284.- plus intérêts dès le 15 septembre 2008 en faveur du client Y._. Les trois quarts des frais et dépens ont été mis à la charge de la banque. En substance, le tribunal a jugé que la banque avait agi en violation de ses obligations contractuelles et devait dédommager la fondation pour la hausse des titres enregistrée entre leur vente forcée en décembre 2002 (USD 1'630'065.-) et le 31 juillet 2003 (USD 1'900'595.-), date à laquelle la cliente avait découvert l'opération. La banque devait aussi répondre des frais engagés pour désigner un curateur à la fondation radiée.
B.b. Tant les demandeurs que la défenderesse ont déposé un appel auprès de la Chambre civile de la Cour de justice. Par arrêt du 27 septembre 2013, cette autorité a réformé le jugement, en ce sens que la somme de USD 270'530.- allouée à la fondation porte intérêts dès le 31 juillet 2003, et non pas dès le 29 juillet 2005. Elle a confirmé la décision pour le surplus.
C.
Les demandeurs Y._ et Fondation X._ ont déposé un recours en matière civile auprès du Tribunal fédéral. Ils requièrent la réforme partielle de l'arrêt attaqué, en ce sens que la banque est condamnée à payer à la fondation le montant de USD 1'497'163.- plus intérêts à 5 % dès le 24 décembre 2002 et doit supporter la totalité des frais et dépens de première et deuxième instance. Pour le surplus, l'arrêt devrait être confirmé en tant qu'il alloue CHF 53'284.- à l'autre demandeur. La banque conclut principalement à l'irrecevabilité du recours en tant qu'il émane de la fondation et à son rejet en tant qu'il est déposé par le demandeur Y._.
De son côté, la banque a également interjeté un recours en matière civile, par lequel elle entend principalement faire constater que la fondation n'a pas la qualité pour agir et que sa demande est irrecevable, respectivement faire prononcer le rejet des conclusions du demandeur Y._. Les deux demandeurs concluent au rejet de ce recours.
L'autorité précédente se réfère à son arrêt.

Considérant en droit:
1.
Les deux recours étant dirigés contre la même décision, il y a lieu de joindre les causes et de statuer par un arrêt unique.
2.
2.1. La banque dénonce une violation de la LDIP (RS 291), plus précisément de l'art. 8 (sic!). A son avis, la décision de l' Obergericht du Liechtenstein contreviendrait à l'ordre public suisse en tant qu'elle nomme un curateur à une société dissoute et radiée, et partant inexistante. Reconnaître la capacité d'être partie, même par l'intermédiaire d'un curateur, à une société dépourvue d'existence juridique contreviendrait aux principes essentiels du droit suisse. De surcroît, l'autorité précédente aurait nié à tort la nécessité de faire reconnaître au préalable la décision étrangère. Le curateur d'une entité dissoute serait dans une situation comparable au liquidateur d'une faillite étrangère, lequel est contraint de faire reconnaître la décision de faillite par une procédure indépendante.
2.2. A teneur de l'<ref-law>, la reconnaissance d'une décision étrangère doit notamment être refusée si elle est "manifestement incompatible avec l'ordre public suisse" (al. 1). La Suisse et la Principauté de Liechtenstein sont liées par une convention du 25 avril 1968 sur la reconnaissance et l'exécution de décisions judiciaires et de sentences arbitrales en matière civile (RS 0.276.195.141). Cet accord vise les décisions judiciaires rendues en matière civile dans l'un des deux Etats. L'art. 1 ch. 1 dispose que la reconnaissance de la décision ne doit pas être contraire à l'ordre public de l'Etat où la décision est invoquée.
2.2.1. L'arrêt attaqué retient en substance ce qui suit: la Fondation X._, constituée en 1999, disposait de la personnalité juridique en vertu du droit liechtensteinois. Elle a été dissoute et liquidée par résolution du conseil de fondation prise le 3 mars 2005. Les tribunaux du Liechtenstein ont ordonné une curatelle de représentation pour permettre à la fondation radiée de faire valoir ses prétentions contre la banque. La nomination d'un curateur pour représenter une personne morale dissoute en vue de compléter sa liquidation est une institution inconnue du droit suisse; toutefois, dans son résultat, cette solution ne diffère pas fondamentalement de celle prévue à l'<ref-law> (RS 221.411), qui permet d'obtenir la réinscription provisoire d'une personne morale radiée afin de mener à terme une procédure judiciaire. Pour le surplus, la décision étrangère vaut titre de preuve quant au pouvoir de représentation du curateur; comme telle, elle n'a pas à faire l'objet d'une reconnaissance préalable.
2.2.2. Le raisonnement de la banque se fonde sur une prémisse erronée, selon laquelle la fondation radiée n'aurait plus d'existence juridique. La lecture des décisions étrangères rendues les 2 avril et 5 juillet 2007 enseigne ce qui suit: la fondation liechtensteinoise, dotée de la personnalité juridique, conserve celle-ci jusqu'à ce que tous ses actifs soient liquidés. La radiation au registre du commerce n'a qu'un effet déclaratif. Tant que persistent des actifs, ne serait-ce que sous la forme d'une prétention en responsabilité contre les organes, l'entité conserve la jouissance des droits civils. Le pouvoir de représentation des organes qui étaient inscrits au registre du commerce lors de la radiation subsiste également. En l'occurrence, Y._ est un organe ayant la responsabilité exclusive d'administrer les biens de la fondation. Comme tel, il pourrait être coresponsable du dommage causé par la vente forcée des titres, pour n'avoir pas suffisamment surveillé la banque et relevé la correspondance. Il convient d'instituer une curatelle de représentation prévue notamment pour les cas de conflit d'intérêts, aux fins de représenter la fondation dans son action contre la banque.
En bref, il apparaît qu'une réinscription au registre du commerce n'était pas nécessaire, la fondation radiée ayant conservé sa personnalité juridique, à l'instar de certaines sociétés du droit suisse (cf. David Rüetschi, in Handelsregisterverordnung, 2013, n° 14 ad <ref-law>). Un curateur a été désigné en lieu et place de l'organe pour représenter la personne morale dans son action contre la banque, en raison d'une situation de conflit d'intérêts. L'ordre public suisse n'est nullement compromis par une telle décision, dont il n'y a pas à revoir le bien-fondé, même si la banque la qualifie de "nébuleuse". L'art. 3 de la convention précitée du 25 avril 1968 s'oppose en effet à un tel examen.
Pour le surplus, il n'y a pas à examiner plus avant si la décision étrangère peut être considérée comme une simple preuve des pouvoirs de représentation, non soumise à l'exigence de reconnaissance. En effet, la banque plaide qu'une procédure de reconnaissance aurait permis de constater que la décision contrevenait à l'ordre public. Or, la Cour de justice a précisément examiné cette question, en y répondant à juste titre par la négative, ce qui clôt toute discussion, y compris sur l'analogie que la banque voudrait établir avec le liquidateur d'une faillite étrangère. A cet égard, l'on se contentera d'observer que le refus d'autoriser une reconnaissance de faillite par voie préjudicielle est motivé par une particularité du droit des poursuites et faillite, à savoir le souci de ne pas contourner les règles sur l'ouverture d'une faillite ancillaire en Suisse (cf. <ref-ruling> consid. 5.1.2).
3.
3.1. La banque reproche ensuite aux juges genevois de lui avoir dénié le droit d'invoquer l'art. 2 de ses conditions générales (CG) pour le motif erroné qu'elle n'avait pas prouvé l'intégration de ces règles dans la relation contractuelle. De son point de vue, une telle preuve n'avait pas à être rapportée du moment que l'intégration n'était pas contestée par la partie adverse. Les juges auraient arbitrairement violé l'art. 192 al. 2 de l'ancienne loi de procédure civile genevoise (aLPC/GE) ainsi que son droit d'être entendue, en vertu duquel elle aurait dû être invitée à s'exprimer sur un point de droit que les parties n'avaient jusque-là jamais soulevé.
3.2. L'art. 2 CG prévoit que les dispositions prises par la banque, l'inexécution éventuelle d'un ordre ou les extraits établis sont considérés comme approuvés s'ils n'ont pas été contestés par le client dans un certain délai. La banque plaide qu'une telle clause, cumulée à la fiction de réception des documents notifiés en banque restante, implique que la fondation est réputée avoir ratifié la vente des titres, faute d'avoir réagi dans le délai d'un mois indiqué dans les extraits de compte.
3.3.
3.3.1. Des conditions générales sont applicables uniquement si les parties ont convenu, expressément ou par actes concluants, de les incorporer à leur contrat ( ARIANE MORIN, in Commentaire romand, 2 e éd. 2012, n° 169 ad <ref-law>; AHMET KUT, in Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 2 e éd. 2012, n° 51 ad <ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 2a). La partie qui entend se prévaloir d'une telle réglementation doit donc alléguer et prouver les circonstances de fait démontrant qu'il a été convenu de l'incorporer dans le contrat.
3.3.2. L'ancienne procédure genevoise, dont nul ne conteste qu'elle était applicable en première instance, prévoyait le système suivant en matière d'allégation et de preuve:
- Chaque partie articule en tête d'écriture les faits dont elle se prévaut, avec précision. La partie à laquelle ils sont opposés doit reconnaître ou dénier chacun des faits catégoriquement (art. 126 al. 1 et 2 aLPC/GE).
- La partie qui allègue un fait, que ce soit pour en déduire son droit ou sa libération, doit le prouver, à moins que l'autre partie ne déclare l'admettre ou que la loi permette de le tenir pour avéré (art. 186 al. 1 aLPC/GE).
- Les procédures probatoires portent seulement sur les faits contestés, à moins que la loi ne prescrive au juge de constater lui-même la réalité des faits dont son jugement dépend (art. 192 al. 2 aLPC/GE).
3.4. La banque soutient qu'elle a produit ses conditions générales et invoqué l'art. 2 de celles-ci dans sa réponse et dans ses conclusions après enquête. Toutefois, elle ne prétend pas avoir allégué les circonstances de fait établissant qu'elle aurait convenu avec la fondation d'intégrer cette réglementation dans leur relation contractuelle. La lecture des écritures confirme que la clause n'est invoquée qu'au stade de l'argumentation en droit. Il n'apparaît pas que la banque ait articulé conformément à l'art. 126 aLPC/GE des allégations sur lesquelles la partie adverse aurait pu clairement prendre position, en déclarant les admettre ou les contester. Le fait que la partie adverse ait discuté (et critiqué) la portée de l'art. 2 CG sans en contester au préalable l'applicabilité ne signifiait pas nécessairement qu'elle reconnaissait l'existence d'un accord sur l'intégration des conditions générales et entendait ainsi libérer la banque de l'obligation d'en rapporter la preuve. Dans ces circonstances, la cour cantonale n'a pas arbitrairement enfreint le droit cantonal en considérant que l'intégration des conditions générales ne pouvait pas être retenue.
3.5. Le grief relatif au droit d'être entendu n'est pas davantage fondé. Le juge, qui applique le droit d'office, n'est en principe pas tenu de signaler qu'il s'apprête à retenir un autre fondement juridique que celui discuté par les parties. Des exceptions sont réservées, lorsque le juge envisage de se fonder sur une norme ou un motif jamais discuté jusque-là, et dont les parties n'avaient raisonnablement pas à prévoir la prise en compte (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 505; <ref-ruling> consid. 5 p. 38 s.).
L'omission d'alléguer l'intégration des conditions générales n'entre manifestement pas dans ces exceptions. Il ne s'agit pas d'un argument imprévisible, la jurisprudence et la doctrine étant claires sur cette question. Pour le surplus, aucune règle ni aucun principe de droit fédéral ne contraignait le tribunal, dans une cause régie par la maxime des débats (arrêt attaqué, p. 21), à interpeller une partie assistée d'un avocat pour lui permettre de compléter des allégations insuffisantes.
3.6. Dans le cadre de son argumentation, la banque souligne que l'obligation de contester en temps utile une opération bancaire peut aussi avoir pour fondement le principe de la bonne foi; elle cite un arrêt de la cour de céans. Elle estime que la fondation a en tous les cas tardé à réagir après avoir pris connaissance de la vente.
Dans l'arrêt en question, il est effectivement constaté que celui qui reçoit - ou est réputé recevoir - un avis relatif à l'exécution d'une opération est soumis à la règle générale découlant de la bonne foi (<ref-law>) et concrétisée à l'<ref-law>, selon laquelle le silence vaut ratification de l'acte accompli si les circonstances exigent une réaction pour marquer son refus ou son désaccord (arrêt 4C.378/2004 du 30 mai 2005 consid. 2.2, in SJ 2006 I 1; cf. aussi arrêts 4C.52/1995 du 17 octobre 1995 consid. 3c et C.357/1984 du 7 décembre 1984 consid. 2c, in SJ 1985 246). Toutefois, la jurisprudence souligne aussi que le juge peut renoncer à appliquer la clause "banque restante" et la fiction de réception des documents qu'elle implique lorsqu'elle conduit à des suites choquantes et consacre un abus de droit (arrêt précité 4C.378/2004 consid. 2.2).
Dans le cas concret, la banque a vendu spontanément les titres de la cliente alors qu'elle se trouvait dans un rapport de simple exécutante. Au vu du caractère extraordinaire de l'opération, effectuée sans considération du cours des titres, sous la prétendue pression d'une réglementation étrangère, la banque devait savoir que la cliente n'approuverait pas l'avis de vente ou autre relevé faisant apparaître l'opération. Dans un tel contexte, l'application de la clause "banque restante" et de la fiction qu'elle comporte procéderait d'un abus de droit (cf. arrêt 4C.295/2006 du 30 novembre 2006 consid. 4.4, où la banque ne pouvait ignorer que les clients n'approuveraient pas les extraits de compte révélant une gestion risquée, contraire aux instructions claires qui avaient été données).
Enfin, la banque reproche à tort à la fondation d'avoir tardé à exprimer sa réclamation, une fois mise au courant des faits. Le 7 août 2003, la fondation a d'emblée montré sa désapprobation, puisqu'elle a fait part de son incompréhension en soulignant que la vente était survenue à un moment particulièrement défavorable. Elle a ensuite formellement fait valoir que la vente lui portait préjudice, par courrier du 19 septembre 2003. Après le 7 août 2003, la banque ne pouvait de bonne foi pas s'attendre à ce que la fondation en reste là, et il faut admettre que celle-ci n'a pas outrepassé le délai de réflexion raisonnable pour confirmer qu'elle n'entendait pas ratifier les opérations effectuées par la banque.
Le grief se révèle infondé.
4.
4.1. L'autorité précédente a constaté que la banque, agissant sans mandat de gestion dans le cadre d'une activité dite " execution only ", avait procédé sans instruction à la vente des titres de la fondation, alors que la réglementation américaine la contraignait tout au plus à prélever un impôt à la source de 30 % sur les dividendes et intérêts des titres; ce faisant, la banque avait violé ses obligations de diligence et de fidélité au sens des <ref-law> et 11 al. 1 LBVM (RS 954.1). Les parties ne discutent pas cette analyse juridique, qui est dès lors acquise (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2.1).
4.2. La fondation reproche toutefois aux juges genevois d'avoir retenu à tort qu'elle avait l'obligation de réduire le dommage causé par la banque dès le moment où elle était informée de la violation contractuelle. En réalité, la banque aurait dû renseigner et conseiller la fondation en constatant que son représentant Y._ exprimait son incompréhension de la situation et n'avait pas conscience de son devoir de minimiser le dommage. Au demeurant, l'on ne pouvait raisonnablement exiger de la lésée qu'elle prenne la décision de racheter des titres dont l'évolution n'était pas prévisible, de surcroît en déboursant USD 270'530.- supplémentaires par rapport au produit de vente touché. Le dommage aurait dû être mesuré à la date de résiliation des relations contractuelles (28 février 2005); une règle générale en matière d'obligations contractuelles permettrait au lésé de choisir le moment le plus favorable entre la violation contractuelle et le jour du jugement.
4.3. Consistant dans une diminution involontaire de la fortune nette, le dommage correspond à la différence entre le montant actuel du patrimoine du lésé et le montant que le même patrimoine aurait atteint si l'événement dommageable ou la violation du contrat ne s'était pas produite. Il peut consister dans une diminution ou une non-augmentation de l'actif, respectivement dans une augmentation ou une non-diminution du passif (<ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 471).
Selon la doctrine, il peut être délicat de déterminer le dommage, notamment le moment où mesurer celui-ci; tel est en particulier le cas lorsque la violation contractuelle est liée à des placements financiers tels que titres cotés en bourse, dont la valeur évolue constamment (cf. BENOÎT CHAPPUIS, La détermination du dommage dans la responsabilité du gérant de fortune, in Journée 2008 de droit bancaire et financier, p. 90 [cité ci-après: Journée 2008]; SUSAN EMMENEGGER, Le devoir d'information du banquier, in La responsabilité pour l'information fournie à titre professionnel, 2009, p. 85). Selon les circonstances, le moment déterminant pour fixer le dommage peut être celui où le lésé prend connaissance de la violation contractuelle et de ses conséquences dommageables, et se trouve en mesure d'y remédier ( BENSAHEL/MICOTTI, Nouveautés en matière de conseil en placements, in Jusletter du 15 décembre 2008, p. 6 s., qui se réfèrent à CHAPPUIS, Le moment du dommage, 2007, p. 356 n. 767 [cité ci-après: Dommage]).
La cour de céans a été saisie d'un cas où la banque, dans une relation de type "execution only", avait fautivement omis d'exécuter un ordre de vendre des options dont le cours avait ensuite chuté. Il a été jugé conforme à l'<ref-law> de retenir que la banque ne répondait plus de la baisse de cours à compter du jour où la cliente avait compris que sa position n'était plus protégée et savait - ou aurait dû savoir - que la baisse des titres était amorcée. La cliente aurait alors dû donner l'instruction de vendre, d'autant plus que la banque l'avait interpellée sur ce point à plusieurs reprises (arrêt 4C.191/2004 du 7 septembre 2004 consid. 5.2, résumé in PJA 2013 929).
S'agissant d'action en responsabilité contre le gérant de fortune, le juge se place fréquemment à la date de résiliation du mandat pour mesurer le dommage, en comparant le résultat du portefeuille administré en violation du mandat avec celui d'un portefeuille hypothétique de même ampleur géré pendant la même période conformément aux instructions du contrat (arrêt 4A_351/2007 du 15 janvier 2008 consid. 3.2.3, résumé et commenté notamment par CARRANZA/MICOTTI in Jusletter du 26 mai 2008 et CHAPPUIS in REAS 2/2008 p. 141 et in Journée 2008, p. 86; arrêt 4C.18/2004 du 3 décembre 2004 consid. 1.2 et 2.1, in Praxis 2005 566). Le gérant fautif n'a en principe pas à répondre des baisses de cours postérieures à la résiliation du mandat alors qu'il est avéré que le client est conscient des risques élevés de perte; la faute du client est de nature à rompre le lien de causalité entre le comportement du gérant et le dommage (arrêt 4C.126/2004 du 15 septembre 2004 consid. 3, in Praxis 2005 486; en matière de conseil en placements, cf. arrêt 4C.68/2007 du 13 juin 2008 consid. 11, résumé et commenté par BENSAHEL/MICOTTI, op. cit.).
4.4. Le raisonnement tenu par l'autorité précédente peut se résumer comme il suit: l'on ne saurait déterminer le dommage en se plaçant à la date de résiliation des relations contractuelles, comme le voudrait la fondation. Celle-ci se prévaut d'une jurisprudence concernant des mandats de gestion de fortune ou de conseil en placements, tandis qu'elle était liée à la banque par une relation de type "execution only". Or, la poursuite ou non d'une telle relation n'était pas susceptible d'influer sur le dommage subi par la fondation; la banque n'avait en effet aucune raison, ni aucun pouvoir de racheter spontanément les titres vendus ou d'en conseiller le rachat à la fondation. Le dommage doit être déterminé au moment où la fondation a appris les opérations litigieuses et aurait pu, si elle les jugeait contraires à ses intérêts, procéder au rachat des titres vendus. Dès cet instant, elle était tenue de faire son possible pour limiter son dommage. Son représentant (i.e Y._) était actif sur les marchés boursiers; l'on ne voit pas ce qui aurait pu l'empêcher de procéder au rachat des titres après avoir appris les opérations litigieuses à la fin juillet 2003. La lésée ne saurait attendre plusieurs années avant de demander la réparation de son préjudice et choisir, dans cet intervalle, le moment qui lui est le plus favorable. La vente indue des titres en décembre 2002 a rapporté USD 1'630'065.-. A la fin juillet 2003, leur valeur atteignait USD 1'900'595.-. La fondation a droit à la différence entre ces deux montants, soit USD 270'530.-. Elle peut prétendre à des intérêts compensatoires dès le 31 juillet 2003 (arrêt attaqué, p. 28 s. et p. 31).
4.5. Il faut admettre que la date de résiliation du contrat ne revêt pas la même signification selon que le client était lié à la banque par un mandat de gestion ou de conseil en placements, ou par une simple relation "execution only". Dans le premier cas, la fin du contrat marque l'expiration du devoir de gestion, respectivement du devoir d'information et de mise en garde; dans le second cas, le client conserve pendant toute la relation le pouvoir de gérer son patrimoine et effectue ses investissements sans avoir droit aux conseils et mises en garde de la banque.
En l'occurrence, la fondation a appris à la fin juillet 2003 que ses titres américains avaient été vendus. L'arrêt attaqué sous-entend qu'il était possible de racheter ces titres, qu'ils étaient donc disponibles sur le marché et qu'il n'y avait aucun obstacle juridique. La fondation ne discute pas ces éléments. Elle plaide que son représentant ne comprenait pas la situation et n'avait pas conscience de son devoir de minimiser le dommage causé par la banque.
Les constatations faites dans l'arrêt attaqué lient la cour de céans (<ref-law>). Il est constant que lors de la réunion du 7 août 2003 consécutive à l'annonce de la vente des titres, la banque a expliqué la réglementation "QI" au représentant de la fondation, soit Y._. Elle a justifié la vente des titres en raison de doutes quant à sa qualité de "US Person", doutes nés du fait que diverses instructions avaient été transmises par fax depuis les Etats-Unis et qu'un numéro de téléphone portable américain avait été donné. Le représentant de la fondation a fait part de son incompréhension en reprochant à la banque d'avoir vendu à un moment particulièrement défavorable. L'on ne saurait déduire de ce dernier point que le représentant ignorait la possibilité de racheter les titres. L'incompréhension dont il est question porte sur le fait que la banque s'est permis de vendre les titres sans autorisation, alors qu'elle n'avait pas de motif de le faire. La banque a certes cherché à légitimer cette opération en se retranchant derrière une interprétation erronée de la réglementation américaine, qui n'exigeait pas une telle mesure. L'on ne peut toutefois pas en déduire que la banque aurait fait accroire que cette même réglementation s'opposait à l'acquisition de nouveaux titres américains. Le 3 juillet 2003, Y._ avait rempli des documents pour sa propre relation bancaire et avait répondu par la négative à toutes les questions susceptibles de retenir un statut de "US Person". Il connaissait donc les critères relatifs à ce statut, et pouvait en déduire qu'il était possible de racheter des titres pour la fondation dont il était l'ayant droit économique. Au demeurant, le prénommé a montré dans son courrier du 21 avril 2004 qu'il n'était pas convaincu par les explications de la banque. Pour le surplus, il est dit qu'en février 2005, le prénommé a accepté de signer les ordres de clôturer les comptes et de dissoudre la fondation, sans comprendre la décision de la banque; l'incompréhension portait manifestement sur la volonté de mettre un terme à toute relation contractuelle, de sorte que ce point n'est pas pertinent pour la question du rachat des titres.
En bref, l'arrêt attaqué ne contient aucun élément selon lequel la fondation aurait été sous l'emprise d'une erreur quant à la possibilité juridique de racheter des titres américains. Elle était ainsi libre d'utiliser le produit de vente encaissé pour racheter les titres vendus sans son autorisation. La banque n'avait pas à attirer son attention sur une telle évidence.
Quant au risque inhérent à l'évolution du cours des titres, il appartenait à la fondation de le supporter, tout comme elle aurait dû le supporter si elle était restée en possession des titres. Si elle estimait que l'évolution des cours était trop incertaine pour racheter des titres, elle devait assumer les conséquences de sa décision. La fondation, qui admet que les professionnels eux-mêmes ne pouvaient prédire l'évolution, ne prétend pas que la banque aurait disposé d'informations spécialisées permettant de savoir que le cours des titres avait de sérieuses chances d'augmenter; la question d'un éventuel devoir de renseigner le lésé pour permettre de diminuer le dommage ne se pose donc pas.
La fondation objecte qu'elle aurait dû prendre le risque d'investir USD 270'530.- supplémentaires pour reconstituer son portefeuille vendu, puisque la banque niait toute responsabilité. Cela ne l'empêchait pas pour autant de réinvestir le produit de la vente, et d'exiger des dommages-intérêts pour la part de portefeuille qui n'avait pas pu être rachetée à cause de cette hausse de cours.
4.6. La fondation fait encore observer qu'elle a eu connaissance de la vente indue des titres par un téléphone de la banque à fin juillet 2003, et que l'on ne pouvait pas raisonnablement exiger d'elle qu'elle prenne sur-le-champ la décision de racheter les différents titres composant le portefeuille américain. Une étude de l'évolution de chacun de ces titres était nécessaire.
Sur le principe, il faut admettre que la fondation avait le droit à un temps de réflexion raisonnable avant de décider si elle devait racheter tout ou partie du portefeuille. Toutefois, il va de soi que ce délai ne saurait courir jusqu'au 28 février 2005, date de la fin des relations contractuelles, qui devrait selon la fondation représenter le moment déterminant pour établir le dommage. L'arrêt attaqué ne contient aucune constatation sur l'évolution de la valeur des titres entre le 31 juillet 2003 et le 28 février 2005. A défaut d'autres éléments, la Cour était fondée à s'appuyer sur la valeur des titres au 31 juillet 2003.
4.7. En bref, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en considérant que le moment décisif pour déterminer le dommage était celui où la lésée avait pris connaissance de la vente non autorisée, dès lors qu'elle était en mesure de remédier aux effets dommageables de cette opération non autorisée.
4.8. La banque objecte qu'il faudrait tenir compte de la faute concomitante de la fondation. Elle n'a pas soulevé le grief dans son propre recours, mais dans sa réponse au recours des demandeurs, soit en dehors du délai de recours. Le grief ne devrait donc être examiné que dans l'hypothèse où l'on admettrait que la fondation a droit à des dommages-intérêts plus élevés que ceux alloués dans la décision attaquée. Cette hypothèse n'étant pas vérifiée, il n'y a pas à statuer sur ce grief.
5.
La fondation reproche encore à la Cour de justice d'avoir alloué des intérêts compensatoires à compter du 31 juillet 2003, alors qu'ils devraient selon elle courir dès la vente forcée, soit dès le 24 décembre 2002.
5.1. L'intérêt compensatoire ( Schadenszins ) est dû dès le moment où l'événement dommageable entraîne des conséquences financières sur le patrimoine du lésé. En effet, la créance en dommages-intérêts est exigible dès cet instant, et l'intérêt compense le fait que le lésé n'a pas immédiatement touché le capital qui lui est dû. Il doit être placé dans la même situation que s'il avait obtenu réparation au jour de la survenance du dommage, respectivement de la réalisation de ses conséquences économiques (<ref-ruling> consid. 9.1; <ref-ruling> consid. 6).
5.2. Comme le souligne la cour cantonale, le dommage n'est pas nécessairement concomitant à la violation contractuelle, mais peut survenir après. La cour a expliqué qu'en procédant à la vente non autorisée des titres, la banque avait "cré[é] potentiellement la cause d'une non-augmentation ultérieure du patrimoine". Ce dommage s'était concrétisé le 31 juillet 2003, lorsque la fondation avait été privée de la possibilité de vendre les titres à un cours plus élevé. En conséquence, l'intérêt compensatoire devait courir à compter de ce moment (arrêt attaqué, p. 28 et 31).
Ce raisonnement est conforme à la notion d'intérêt compensatoire. Le cours des titres a augmenté entre la vente des 19 et 24 décembre 2002 et sa découverte par la cliente le 31 juillet 2003. Toutefois, les titres évoluent au jour le jour; au cours de cet intervalle, la valeur du portefeuille a pu même descendre sous le prix de vente. La fondation, qui n'a pas voulu racheter les titres, est placée dans la même situation que si elle avait décidé de les vendre le 31 juillet 2003. A cette date, mais à celle-ci uniquement, elle aurait pu obtenir une plus-value de USD 270'530.-. Elle doit donc toucher dès ce moment un intérêt qui compense le fait qu'elle n'a pas touché cette plus-value sur-le-champ. Le grief se révèle infondé.
6.
Dans un dernier grief, la banque dénonce une application arbitraire de l'art. 176 aLPC/GE relatif aux dépens. Elle plaide que les demandeurs n'ont finalement obtenu que le 18 % de leurs conclusions, de sorte qu'il serait arbitraire de mettre à sa charge les trois quarts des dépens.
Le moyen ne répond pas aux exigences de motivation qu'implique le grief d'arbitraire dans l'application du droit cantonal. En effet, la banque se borne à répéter l'argument émis en appel, fondé sur la proportion mathématique entre conclusions prises et conclusions allouées. Elle ne cherche pas à démontrer en quoi l'argumentation des juges d'appel serait arbitraire. Le grief est irrecevable.
7.
En définitive, l'un et l'autre recours se révèlent infondés. En conséquence, les frais de la présente procédure seront répartis par moitié entre les demandeurs d'une part, et la défenderesse d'autre part (art. 66 al. 1 et 5 LTF). Les dépens seront compensés (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Les causes 4A_548/2013 et 4A_550/2013 sont jointes.
2.
Le recours des demandeurs est rejeté. Le recours de la défenderesse est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 20'000 fr., sont mis pour une moitié à la charge des demandeurs, solidairement entre eux, et pour l'autre moitié à la charge de la défenderesse.
4.
Les dépens sont compensés.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 31 mars 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti