Fatti:
A. A.a In data 20 aprile 2004, il datore di lavoro di C._ ha annunciato alla Swica Assicurazioni SA che la propria dipendente il 2 aprile (recte: 31 marzo) 2004, durante un safari in Kenia, aveva subito un colpo sulla jeep, riportando un trauma del tipo "colpo di frusta" alla colonna cervicale. Il medico che l'ha visitata il 19 aprile 2004, qualche giorno dopo il suo rientro in Svizzera, ha diagnosticato una contusione frontale e un trauma assiale alle vertebre cervicali. Nel compilare il questionario sottopostole successivamente dalla Swica a spiegazione dell'accaduto, l'interessata il 27 aprile 2004 ha dichiarato di avere nei giorni successivi all'evento accusato dolori al collo e nella parte superiore della schiena, motivo per cui avrebbe fatto capo, il 3 aprile 2004, alle cure di un medico locale.
La Swica ha assunto il caso e ha corrisposto le prestazioni di legge. L'assicurata ha ripreso la propria attività lavorativa a partire dal 4 maggio 2004, mentre la cura medica è terminata il 18 giugno 2004.
A.b Il 22 febbraio 2005 il datore di lavoro ha annunciato una ricaduta, determinata dalla presenza di disturbi localizzati alla spalla destra, all'origine di un'incapacità lavorativa totale dell'assicurata a far tempo dal 14 febbraio precedente.
Sentito il parere del proprio medico di fiducia, la Swica, con decisione del 25 aprile 2005, sostanzialmente confermata il 22 novembre 2005 anche in seguito all'opposizione dell'interessata, ha negato il proprio obbligo di prestazioni in relazione ai disturbi alla spalla destra per difetto del necessario nesso causale con l'evento del 31 marzo 2004.
B. Patrocinata dall'avv. Taborelli, l'assicurata si è aggravata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale, per pronuncia del 6 dicembre 2006, ha accolto il gravame. Accertata l'esistenza di una lesione parificata ai postumi d'infortunio in rapporto di causalità naturale e adeguata con l'evento in oggetto, e lasciando per il resto aperta la questione di sapere se quest'ultimo costituisse un infortunio ai sensi di legge, i giudici cantonali hanno annullato la decisione su opposizione querelata e hanno rinviato gli atti alla Swica per definire il diritto alle prestazioni dell'interessata dal profilo materiale e temporale. Rispetto alle ipotesi formulate dal medico fiduciario dell'ente assicuratore, secondo l'autorità giudiziaria cantonale era molto più verosimile che il danno alla spalla destra si fosse prodotto a causa dell'episodio in parola.
C. Tramite l'avv. Notari la Swica ha interposto un ricorso di diritto amministrativo al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, chiede l'annullamento del giudizio cantonale e il ripristino della decisione su opposizione denegante l'erogazione di prestazioni assicurative in relazione alla ricaduta notificata nel febbraio 2005.
L'assicurata, sempre assistita dall'avv. Taborelli, propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determinarsi.

Diritto:
1. Il 1° gennaio 2007 è entrata in vigore la legge sul Tribunale federale del 17 giugno 2005 (LTF; RS 173.110; RU 2006 1205, 1241). Poiché la decisione impugnata è stata pronunciata precedentemente a questa data, la procedura resta disciplinata dall'OG (art. 132 cpv. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 1.2 pag. 395).
2. Oggetto della lite è la questione di sapere se a ragione l'autorità giudiziaria cantonale, a differenza di quanto stabilito dall'assicuratore ricorrente, abbia riconosciuto un obbligo prestativo di quest'ultimo in relazione ai disturbi alla spalla destra.
3. 3.1 Nei considerandi del giudizio impugnato, cui si rinvia, è stato esposto in maniera corretta che, ai sensi dell'art. 4 LPGA, per infortunio si intende qualsiasi influsso dannoso, improvviso e involontario, apportato al corpo umano da un fattore esterno straordinario che comprometta la salute fisica, mentale o psichica o provochi la morte.
3.2 I primi giudici hanno poi esattamente ricordato che l'assicurazione contro gli infortuni è tenuta a corrispondere le prestazioni pure per le lesioni corporali enunciate dall'elenco esaustivo di cui all'art. 9 cpv. 2 lett. a-h OAINF, le quali, eccezion fatta per la straordinarietà del fattore esterno, devono presentare tutti gli elementi caratteristici dell'infortunio (cfr. <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 467; <ref-ruling> consid. 2b pag. 44; RAMI 2001 no. U 435 pag. 332) e sono ad esso assimilate anche se la loro causa prima è da ricondurre ad una malattia o a fenomeni degenerativi, purché un evento a carattere infortunistico abbia aggravato o reso manifesto il preesistente danno alla salute (DTF <ref-ruling> consid. 2b pag. 45 e riferimenti).
3.3 Come pertinentemente rilevato dai primi giudici, il diritto a prestazioni a dipendenza di un infortunio (o di una lesione parificata ai postumi d'infortunio) presuppone in primo luogo l'esistenza di un nesso di causalità naturale fra l'evento infortunistico (rispettivamente fra l'episodio a carattere infortunistico) e il danno alla salute. Questo presupposto è da considerarsi adempiuto qualora sia lecito ammettere che, senza l'evento infortunistico, il danno alla salute non si sarebbe potuto verificare del tutto o comunque non nel modo in cui si è prodotto. Non occorre, viceversa, che l'infortunio sia stato la sola o immediata causa del danno alla salute; è sufficiente che l'evento, se del caso unitamente ad altri fattori, abbia comunque provocato un danno all'integrità corporale o psichica dell'assicurato, vale a dire che l'evento appaia come una condizione sine qua non del danno. È questione di fatto lo stabilire se tra evento infortunistico e danno alla salute esista un nesso di causalità naturale; su detta questione amministrazione e giudice, fondandosi essenzialmente su indicazioni di natura medica, si determinano secondo il principio della probabilità preponderante applicabile generalmente nell'ambito dell'apprezzamento delle prove in materia di assicurazioni sociali. Ne discende che ove l'esistenza di un nesso di causalità tra infortunio e danno sembri possibile, ma non possa essere reputata probabile nel caso di specie, il diritto a prestazioni derivato dall'infortunio assicurato dev'essere negato (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 181, 402 consid. 4.3.1 pag. 406; <ref-ruling> consid. 1 pag. 337; <ref-ruling> consid. 1b pag. 289 e sentenze ivi citate).
3.4 Il diritto a prestazioni assicurative presuppone pure l'esistenza di un nesso di causalità adeguata tra l'infortunio e il danno che ne deriva. Un evento è da ritenere causa adeguata di un determinato effetto quando secondo il corso ordinario delle cose e l'esperienza della vita il fatto assicurato è idoneo a provocare un effetto come quello che si è prodotto, sicché il suo verificarsi appaia in linea generale propiziato dall'evento in questione (<ref-ruling> consid. 3.2 pag. 181, 402 consid. 2.2 pag. 405; <ref-ruling> consid. 5a pag. 461 e sentenze ivi citate). A quest'ultimo proposito occorre aggiungere che in presenza di un danno alla salute fisica la questione della causalità adeguata praticamente non si pone, in quanto l'assicuratore risponde anche in caso di complicazioni particolarmente singolari e gravi che, secondo l'esperienza medica, non si producono abitualmente (DTF <ref-ruling> consid. 3a pag. 291). È quindi essenzialmente in presenza di un'affezione psichica che la causalità adeguata riveste un ruolo importante.
3.5 È utile infine rammentare che le prestazioni vengono accordate anche in caso di ricadute o di conseguenze tardive (art. 11 OAINF). Secondo la giurisprudenza è data una ricaduta quando vi è recidiva di un danno alla salute ritenuto guarito, e necessita di un trattamento medico rispettivamente provoca una (nuova) incapacità lavorativa. Con conseguenze tardive si intende per contro un danno alla salute ritenuto guarito che causa, durante un lasso di tempo prolungato, delle modifiche organiche o psichiche, per cui si crea uno stato patologico differente. Le ricadute e le conseguenze tardive si riferiscono quindi per definizione ad un infortunio effettivo. Esse non giustificano perciò l'erogazione di prestazioni da parte dell'assicuratore infortuni se non esiste un nesso di causalità naturale e adeguata tra le nuove affezioni ed il danno alla salute causato all'epoca dall'infortunio (<ref-ruling> consid. 2c pag. 296 e riferimenti citati; RAMI 1994 no. U 206 pag. 327 consid. 2; sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni U 35/03 del 1° giugno 2004, consid. 2.2).
4. Avendo in concreto ammesso l'esistenza di una lesione parificabile ai postumi d'infortunio a norma dell'art. 9 cpv. 2 OAINF, i giudici cantonali hanno lasciato aperta la questione di sapere se l'evento annunciato dal datore di lavoro dell'assicurata, verificatosi il 31 marzo 2004 durante un safari in Kenia, costituisse un infortunio ai sensi dell'art. 4 LPGA. Questo Tribunale ritiene di poter condividere l'operato dell'istanza precedente e di poter lasciare a sua volta irrisolta tale questione.
5. 5.1 Dalle indicazioni nel questionario per traumi cervicali compilato dalla dott.ssa E._ il 28 aprile 2004 risulta che l'assicurata ha accusato, subito dopo l'evento, dolori cervicali con irradiazione alle spalle, nonché cefalee e capogiri. Il successivo 21 maggio, il medico medesimo ha precisato che le cervicalgie, le contratture muscolari come pure le vertigini erano con certezza riconducibili all'evento traumatico in esame. Visto il persistere dei dolori alla spalla destra, in data 24 maggio 2004 l'assicurata, che a partire dal precedente 4 maggio aveva ripreso la propria attività lavorativa, si è fatta visitare dal dott. K._, specialista in malattie reumatiche, il quale le ha diagnosticato una leggera periartropatia omero-scapolare tendinopatica.
Nel mese di febbraio 2005, il datore di lavoro ha annunciato una ricaduta, determinata dalla presenza di disturbi alla spalla destra, all'origine di un'incapacità lavorativa totale dell'assicurata a far tempo dal 14 febbraio 2005. Mediante rapporto del 25 febbraio 2005, il dott. G._, anch'egli specialista in malattie reumatiche, dopo avere esaminato i dati anamnestici, ha accertato una periartropatia omero-scapolare tendinotica cronica posttraumatica con sindrome d'attrito sotto-acromiale in presenza di una lesione probabilmente transmurale dell'infraspinato. Dal profilo eziologico, ha rilevato che la sintomatologia era apparsa in seguito a traumatizzazione indiretta del rachide e della spalla destra. Nel questionario compilato il 3 marzo 2005, lo stesso dott. G._ ha ritenuto non essere ancora raggiunto lo status quo sine, ossia lo stato di salute che, secondo l'evoluzione ordinaria, sarebbe intervenuto anche senza l'evento in esame (cfr. RAMI 1994 no. U 206 pag. 328 consid. 3b, 1992 no. 142 pag. 75 consid. 4b e riferimenti). Interpellato dall'assicuratore ricorrente, il dott. K._, che aveva visitato l'assicurata il 24 maggio 2004, ha precisato in data 8 marzo 2005 che la paziente in occasione dell'esame medico in questione presentava una sindrome algica diffusa, a suo parere ben compatibile con una fibromialgia. Era comunque possibile che i dolori lamentati dall'interessata alla spalla destra e scatenati da alcuni ripetuti traumi subiti qualche settimana prima durante un viaggio in Kenia fossero dovuti ad una periartropatia della spalla. Un'artro-TAC della spalla destra eseguita in data 22 aprile 2005 ha poi evidenziato la presenza di una possibile traumatizzazione ma senza stacco e fessura del labbro glenoidale anteriore, nonché un possibile stato dopo stiramento del legamento glenomerale medio. Dal 6 al 24 giugno 2005 l'assicurata è stata degente presso il centro di riabilitazione di L._, dove le veniva riscontrata una lesione del labbro glenoidale anteriore con consecutiva instabilità anteriore della spalla destra. Secondo il medico responsabile di detto centro, dott. A._, alla luce dei dati anamnestici e clinici, ai disturbi localizzati alla spalla destra doveva dal profilo reumatologico essere riconosciuta, con verosimiglianza preponderante, un'eziologia traumatica, compatibile con l'episodio di fine marzo 2004. Nello stesso referto del 24 giugno 2005, il dott. A._ ha escluso ampiamente un'origine cerebrale dei dolori alla spalla. In data 19 agosto 2005, l'assicurata è stata sottoposta a un intervento artroscopico alla spalla destra a cura del dott. B._, specialista in chirurgia ortopedica. Il rapporto operatorio riferiva di una lesione al labbro ventro-craniale con disinserzione del tendine del capo lungo del muscolo bicipite. Chiamato a pronunciarsi, il dott. Z._, medico fiduciario della Swica, il 28 ottobre 2005 ha riconosciuto che la lesione dello SLAP evidenziata dall'esame artro-TAC del 22 aprile 2005 era del tutto compatibile con un'origine traumatica, senza però essere in grado di meglio precisare se essa fosse intervenuta durante il safari in Kenia oppure prima o dopo il 31 marzo 2004. Nel corso della procedura giudiziaria cantonale, l'assicurata ha prodotto un attestato medico 27 marzo 2006, nel quale il dott. B._ confermava le indicazioni precedenti, osservando che l'origine del danno alla spalla destra era di natura post-traumatica e che nel caso di lesione quale quella presentata dall'interessata i disturbi potevano a volte sicuramente sorgere anche dopo alcuni giorni. Interpellato a tal proposito dai primi giudici, il dott. B._, autore dell'intervento artroscopico del 19 agosto 2005, ha rilevato che la disinserzione del tendine del capolungo del bicipite al tubercolo sovra-glenoidale consisteva in un'avulsione, perciò in una lacerazione inserzionale del tendine a livello della sua inserzione.
5.2 Tutto ben ponderato, questa Corte ritiene di potere condividere le conclusioni dei giudici cantonali che, sulla base della citata documentazione medica, hanno ammesso la presenza di una lesione corporale parificabile ai postumi d'infortunio, e, più precisamente, una lacerazione dei tendini ai sensi dell'art. 9 cpv. 2 lett. f OAINF. È vero, come è stato rilevato nella pronuncia impugnata, che in un primo tempo, in particolare compilando il questionario sottopostole dall'assicuratore insorgente, l'assicurata aveva omesso di menzionare il fatto che nell'evento in parola, giustamente considerato episodio a carattere infortunistico nel senso sopra esposto (consid. 3.2) dall'istanza precedente, era rimasto coinvolto, oltre alla colonna cervicale, anche l'arto superiore destro. Tuttavia, non le può essere rimproverato di avere successivamente modificato la propria versione dei fatti per fini di copertura assicurativa, nella misura in cui, già in occasione della consultazione del 24 maggio 2004 presso il dott. K._, aveva riferito - piuttosto completando anziché contraddicendo, come a torto sostenuto dall'ente assicuratore, la precedente descrizione dell'accaduto - di aver contuso pure la spalla. Infine, il giudizio cantonale non è neppure censurabile nella misura in cui i giudici di primo grado, alla luce degli atti medici all'inserto e, più in particolare, del parere espresso dal dott. A._ del centro di riabilitazione di L._, hanno ritenuto provato, con il grado di verosimiglianza preponderante richiesto, che i disturbi alla spalla destra lamentati dall'assicurata costituissero una conseguenza naturale e adeguata dell'evento del 31 marzo 2004. Non si dimentichi del resto, a tal riguardo, che lo stesso dott. Z._, medico di fiducia dell'insorgente, ha riconosciuto l'eziologia traumatica del danno alla salute in oggetto, pur non avendo poi potuto stabilire, con il necessario grado di verosimiglianza preponderante, l'esistenza di un nesso di causalità naturale con l'evento traumatico in esame.
5.3 In tali condizioni, la pronuncia cantonale merita di essere tutelata, mentre il ricorso di diritto amministrativo della Swica dev'essere disatteso in quanto infondato.
6. Vertendo sull'assegnazione o il rifiuto di prestazioni assicurative, la procedura è gratuita (art. 134 OG). Vincente in causa, C._, patrocinata da un legale, ha diritto ad un'indennità per ripetibili in sede federale (art. 135 e 159 OG).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso di diritto amministrativo è respinto.
2. Non si prelevano spese giudiziarie.
3. La Swica verserà all'assicurata opponente la somma di fr. 2'500.- (comprensiva dell'imposta sul valore aggiunto) a titolo di indennità di parte per la procedura federale.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.