Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm führte gegen X._ eine Strafuntersuchung. Mit Entscheid vom 6. Januar 2012 ordnete das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau die Untersuchungshaft an. In der Folge verlängerte es sie mehrmals. Eine Beschwerde gegen die von der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau bestätigte Haftverlängerung vom 29. August 2012 wies das Bundesgericht mit dem Urteil 1B_585/2012 vom 30. Oktober 2012 ab.
Auf Gesuch von X._ bewilligte die Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 27. September 2012 den vorzeitigen Massnahmenvollzug.
Mit Urteil vom 29. Mai 2013 sprach das Bezirksgericht Zurzach den Beschuldigten der einfachen Körperverletzung, des Ungehorsams im Betreibungs- und Konkursverfahren sowie der Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz, das Ausländergesetz, das Umweltschutzgesetz, das Betäubungsmittelgesetz und das kantonale Baugesetz schuldig, ferner der mehrfachen Drohung, mehrfachen Beschimpfung, der Tätlichkeit, des mehrfachen Hausfriedensbruchs und der mehrfachen Sachbeschädigung. Es verurteilte ihn zu 12 Monaten Freiheitsstrafe, zu einer Geldstrafe von 180 Tagessätzen à Fr. 30.-- sowie zu einer Busse von Fr. 2'000.--. Der Vollzug der Freiheitsstrafe wurde gestützt auf <ref-law> zugunsten einer stationären therapeutischen Massnahme nach <ref-law> aufgeschoben. Zudem wurde der bedingte Vollzug zweier früher ausgesprochener Geldstrafen widerrufen. Der Freiheitsentzug von insgesamt 510 Tagen bis zum Urteilszeitpunkt wurde angerechnet.
Gegen das Urteil des Bezirksgerichts Zurzach hat X._ beim Obergericht Berufung erklärt. Das Berufungsverfahren ist noch hängig.
Am 12. März 2014 hat X._ das Obergericht um die Entlassung aus dem vorzeitigen Massnahmenvollzug ersucht. Dabei verwies er auf einen Bericht des Amts für Justizvollzug des Kantons Aargau vom 6. März 2014, der eine vorzeitige stationäre Massnahme als nicht durchführbar bezeichnet. Mit Präsidialverfügung vom 26. März 2014 wies das Obergericht das Gesuch ab. Es bejahte in Bezug auf die erfolgte und angedrohte Anwendung körperlicher Gewalt die Wiederholungsgefahr im Sinne von <ref-law>. Ausserdem seien bis zum Abschluss des Berufungsverfahrens die Bemühungen zur Ermittlung einer geeigneten therapeutischen Einrichtung oder Strafanstalt fortzusetzen.
B.
Mit Eingaben vom 28. März 2014 und 4. April 2014 erhob X._ Beschwerde ans Bundesgericht. Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde nicht ein, da sie offensichtlich unzureichend begründet war (Urteil 1B_131/2014 vom 8. April 2014). Da die Beschwerdefrist noch nicht abgelaufen war, wies es den Beschwerdeführer, dem im Strafverfahren ein amtlicher Verteidiger beigegeben worden war, auf die Möglichkeit hin, innert der Beschwerdefrist eine den gesetzlichen Begründungsanforderungen entsprechende Beschwerde einzureichen.
C.
Mit Eingabe vom 9. April 2014 erhebt Rechtsanwalt Kenad Melunovic im Namen von X._ Beschwerde ans Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen die Aufhebung der Präsidialverfügung des Obergerichts des Kantons Aargau und die sofortige Entlassung seines Mandanten aus dem vorzeitigen Massnahmenvollzug. Mit Schreiben vom 12. und 16. April 2014 erhebt X._ zudem selbständig Beschwerde. Er verlangt ebenfalls primär seine Entlassung, fordert jedoch darüber hinaus eine Entschädigung für Überhaft.
Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Der Beschwerdeführer hat sich in der Folge nicht mehr vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft die Entlassung aus dem vorzeitigen Massnahmenvollzug. Der vorzeitige Massnahmenvollzug wurde zwar nur formell angeordnet und konnte vom Beschwerdeführer bislang nicht angetreten werden; dieser befindet sich nach wie vor im Zentralgefängnis Lenzburg (vgl. <ref-law>, wonach die Untersuchungshaft unter anderem mit dem vorzeitigen "Antritt" einer freiheitsentziehenden Sanktion endet). Hinsichtlich der Möglichkeit, ein Entlassungsgesuch zu stellen, ist dies indessen nicht von Bedeutung (<ref-ruling> E. 2.1 S. 178 f.; Urteil 1B_304/2013 vom 27. September 2013 E. 2.1; je mit Hinweisen). Sowohl bei Untersuchungshaft als auch bei vorzeitigem Massnahmenvollzug ist auf ein Entlassungsgesuch hin zu prüfen, ob die Haftvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1d S. 79 f.; Urteil 1B_585/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 1; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer ist mithin in jedem Fall nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
Die vom Beschwerdeführer eigenhändig verfassten Eingaben sind weitgehend unverständlich. Es kann ihnen nicht entnommen werden, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Darauf ist nicht einzutreten (<ref-law>). Die Eingabe des Rechtsvertreters des Beschwerdeführers ist dagegen hinreichend begründet.
Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass (<ref-law>). Auf die Beschwerde in Strafsachen ist mit dem genannten Vorbehalt einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, dass er trotz der Bewilligung vom 27. September 2012 den vorzeitigen Massnahmenvollzug bis heute nicht habe antreten können. Die erstinstanzlich ausgefällte Freiheitsstrafe, die im Berufungsverfahren nicht mehr erhöht werden könne, habe er durch den Freiheitsentzug im Zentralgefängnis Lenzburg verbüsst. Eine Weiterführung der Haft lasse sich nur noch mit der angeordneten stationären therapeutischen Massnahme rechtfertigen. Gemäss dem Bericht des Amts für Justizvollzug vom 6. März 2014 stehe aber fest, dass eine solche Massnahme gar nicht durchführbar sei. Sie dürfe deshalb weder angeordnet noch könne sie vorzeitig vollzogen werden. Zudem könne eine bereits verbüsste Straftat nicht Grundlage für eine Weiterführung der strafprozessualen Haft sein. Indem die Vorinstanz dies verkannt habe, habe sie Art. 212 Abs. 2 lit. a und <ref-law> verletzt.
2.2. Bei der Beurteilung der Dauer der Haft bzw. des vorzeitigen Straf- oder Massnahmenvollzugs ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung neben der zu erwartenden Freiheitsstrafe auch die Möglichkeit einer freiheitsentziehenden Massnahme zu berücksichtigen (Urteile 1B_353/2013 vom 4. November 2013 E. 5.1; 1B_585/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 2.4 mit Hinweisen). Die Gesamtdauer der Haft und des vorzeitigen Straf- oder Massnahmenvollzugs darf dabei nicht in grosse Nähe zur zu erwartenden Sanktion rücken, um diese nicht zu präjudizieren (<ref-ruling> E. 3.1 S. 275 mit Hinweisen). Im Fall des Beschwerdeführers hat das Bezirksgericht eine Freiheitsstrafe von 12 Monaten ausgefällt und deren Vollzug zugunsten einer stationären therapeutischen Massnahme aufgeschoben. Davon ausgehend stellte das Obergericht richtigerweise auf die zu erwartende Dauer der Massnahme (<ref-law>) ab, denn gemäss <ref-law> ist der mit der Massnahme verbundene Freiheitsentzug auf die Strafe anzurechnen; zudem ist vorliegend von einer länger dauernden Massnahme auszugehen, wie das Bundesgericht bereits im ebenfalls den Beschwerdeführer betreffenden Urteil 1B_585/2012 vom 30. Oktober 2012 festgestellt hat (a.a.O, E. 2.4). Der Beschwerdeführer bezieht sich mit seiner Kritik denn auch nicht auf die Dauer der Massnahme, sondern macht geltend, es habe sich herausgestellt, dass diese faktisch gar nicht durchführbar sei.
Im Bericht des Amts für Justizvollzug wird ausgeführt, dass es mehrere angefragte Institutionen abgelehnt hätten, den Beschwerdeführer aufzunehmen. Dabei seien je nach Institution Platzprobleme, die mangelhaften Deutschkenntnisse und die geringe Motivation des Beschwerdeführers sowie die mögliche Gefährdung von Drittpersonen geltend gemacht worden. Der vorzeitige Vollzug der stationären Massnahme sei deshalb nicht möglich.
Bei dieser Einschätzung des Amts für Justizvollzug handelt es sich um eine Momentaufnahme. Das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer ist noch nicht abgeschlossen. Bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Urteils wird sich das Amt für Justizvollzug deshalb weiter um einen geeigneten Therapieplatz bemühen müssen. Das Obergericht hat in dieser Hinsicht auf die bisher offenbar noch nicht abgeklärte Möglichkeit der Unterbringung in der Klinik für Forensische Psychiatrie Rheinau oder in einer Strafanstalt (vgl. <ref-law>) hingewiesen. Im Übrigen ist selbst nach Vorliegen eines rechtskräftigen Urteils nicht leichthin davon auszugehen, dass die Durchführung einer Massnahme aussichtslos ist oder eine geeignete Einrichtung nicht existiert ( MARIANNE HEER, in: Basler Kommentar, Strafrecht I, 3. Aufl. 2013, N. 18 und 24, mit dem Hinweis auf die gemäss <ref-law> bestehende Pflicht der Kantone, die gesetzlich für den Massnahmenvollzug vorgesehenen Einrichtungen zu errichten und zu betreiben). Wie es sich damit dannzumal verhalten wird, ist hier nicht zu entscheiden. Jedenfalls erscheint es im jetzigen Zeitpunkt nicht als geradezu ausgeschlossen, dass die Suche nach einem Therapieplatz schliesslich noch erfolgreich sein wird.
Der Argumentation des Beschwerdeführers, für die Aufrechterhaltung der Haft bzw. des vorzeitigen Massnahmenvollzugs bestehe keine Grundlage, weil die Massnahme undurchführbar und die Sanktion damit bereits vollzogen sei, ist somit nicht zu folgen. Die Vorinstanz hat weder Art. 212 Abs. 2 lit. a noch <ref-law> verletzt, indem sie vom Gegenteil ausgegangen ist.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Kenad Melunovic wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Mai 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold