In Erwägung,
dass die Gerichtspräsidentin III Aarberg-Büren-Erlach mit Entscheid vom 10. März 2009 feststellte, dass das Mietverhältnis zwischen der Beschwerdegegnerin und dem Beschwerdeführer gemäss Mietvertrag vom 22. Februar 2002 betreffend das Mietobjekt Y._ (Büroräume EG 124 m2, Lager/Produktionsfläche EG 512 m2) durch die rechtsgültige Kündigung vom 15. September 2008 mit Wirkung per 31. Oktober 2008 beendet sei, und den Beschwerdeführer anwies, die Mieträume bis am 10. April 2009 um 12.00 Uhr zu räumen und zu verlassen;
dass der Beschwerdeführer diesen Entscheid am 20. März 2009 mit Appellation beim Obergericht des Kantons Bern anfocht;
dass das Obergericht den Beschwerdeführer mit Verfügung vom 25. März 2009 aufforderte, innerhalb von zehn Tagen ab Erhalt der Verfügung einen Kostenvorschuss von Fr. 2'500.-- einzuzahlen;
dass diese Verfügung dem Beschwerdeführer am 26. März 2009 zugestellt wurde;
dass der Beschwerdeführer mit Schreiben vom 2. April 2009, das am folgenden Tag beim Obergericht einging, das Gesuch stellte, die Zahlungsfrist sei um fünfzehn Tage bis zum 21. April 2009 zu verlängern;
dass das Obergericht am 7. April 2009 Folgendes verfügte:
"Die Gesuchsgegnerin/Appellantin wird zum zweiten und letzten Mal aufgefordert, innert 5 Tagen ab Erhalt dieser Verfügung einen Kostenvorschuss von Fr. 2'500.00 auf das Postkonto 30-3016-1 der Obergerichtskanzlei einzuzahlen, unter Androhung der gesetzlichen Folgen im Unterlassungsfall (ZPO Art. 353 i.V. mit Art. 286: Nichtleistung innert Frist bewirkt das Dahinfallen der Appellation)."
dass diese Verfügung dem Beschwerdeführer am 8. April 2009 zugestellt wurde;
dass das Obergericht mit Beschluss vom 24. April 2009 die Appellation als dahingefallen erklärte und feststellte, dass der Entscheid der Gerichtspräsidentin 3 des Gerichtskreises III Aarberg-Büren-Erlach vom 10. März 2009 rechtskräftig geworden sei;
dass das Obergericht zur Begründung des Beschlusses ausführte, dass der Beschwerdeführer im Sinne von <ref-law> BE säumig sei, weil er trotz zweimaliger Aufforderung den verlangten Gerichtskostenvorschuss nicht geleistet habe, und die Säumigkeit gemäss dem kantonalen Verfahrensrecht zur Folge habe, dass die Appellation dahinfalle und das erstinstanzliche Urteil rechtskräftig werde;
dass der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eine vom 28. Mai 2009 datierte Eingabe einreichte, die als Beschwerde in Zivilsachen eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichnet wurde und mit der die Anträge gestellt wurden, der Beschluss des Obergerichts sei "abzuerkennen" und auf die Appellation vom 20. März 2009 sei einzutreten, wobei die dort im Detail gestellten Rechtsbegehren aufrecht erhalten und bestätigt würden;
dass der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eine weitere, vom 22. Juni 2009 datierte Eingabe einreichte, mit der er das Gesuch stellte, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren, eventualiter ihm eine angemessene Frist von 60 Tagen zur Räumung anzusetzen;
dass in einer Beschwerde an das Bundesgericht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheides dargelegt werden muss, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (<ref-law>), wobei eine allfällige Verletzung der bundesrechtlichen Verfassungsrechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn entsprechende Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (<ref-law>);
dass der Beschwerdeführer in der Beschwerdeschrift einzig vorbringt, er habe die Nachfristansetzung durch das Obergericht wegen des Fristerstreckungsgesuchs als hinfällig betrachtet und in guten Treuen annehmen können, dass die Nachfrist gelte, und es sei willkürlich, dass die Vorinstanz weder eine Bestätigung abgegeben noch eine Nachfrist gesetzt habe;
dass der Beschwerdeführer damit sinngemäss eine Verletzung von <ref-law> rügt, wonach jede Person Anspruch darauf hat, von den staatlichen Organen ohne Willkür und nach Treu und Glauben behandelt zu werden;
dass der in <ref-law> verankerte Grundsatz von Treu und Glauben das Verbot widersprüchlichen Verhaltens statuiert und einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten der Behörden gibt (<ref-ruling> E. 6.1);
dass indessen die Berufung auf Vertrauensschutz nach der Praxis des Bundesgerichts voraussetzt, dass sich die betroffene Person berechtigterweise auf die Vertrauensgrundlage verlassen durfte und gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann (<ref-ruling> E. 6 S. 636 ff.);
dass diese Voraussetzung im vorliegenden Fall fehlt, weil der Beschwerdeführer nach dem Erhalt der Verfügung des Obergerichts vom 7. April 2009 erkennen musste, dass sein Gesuch um Fristerstreckung vom Obergericht nicht beachtet worden war, und er deshalb ohne Rückfrage beim Obergericht nicht darauf vertrauen durfte, dass er den Kostenvorschuss innerhalb der von ihm selbst bestimmten Fristverlängerung zahlen konnte;
dass sich somit die einzige mit der Beschwerde erhobene Rüge als offensichtlich unbegründet erweist, weshalb die Beschwerde im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen ist;
dass das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung mit dem Entscheid in der Sache gegenstandslos wird;
dass die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen sind (<ref-law>);
dass die Beschwerdegegnerin keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung hat, weil ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist;

erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juli 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Huguenin