Erwägungen:
1. X._ (geb. 1980) stammt aus der Türkei. Er zog am 1. Juli 2003 sein Asylgesuch vom 9. Juli 2002 zurück, nachdem ihm am 11. Juni 2003 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Schweizer Gattin erteilt worden war. Die Bewilligung wurde am 29. August 2006 bzw. 30. März 2007 (Urteil des Rekursgerichts im Ausländerrecht des Kantons Aargau) nach längerer Trennung nicht mehr verlängert und X._ am 13. August 2007 aus der Schweiz weggewiesen. Das Migrationsamt des Kantons Aargau nahm ihn am 25. März 2008 in Ausschaffungshaft, welche der Präsident des Rekursgerichts am 27. März 2008 prüfte und bis zum 23. Juni 2008 genehmigte. X._ ist hiergegen am 8. April 2008 mit dem Antrag an das Bundesgericht gelangt, ihm zu helfen.
2. Die Eingabe erweist sich aufgrund der eingeholten Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden. Es braucht deshalb nicht geprüft zu werden, ob sie den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügt.
2.1 Der Beschwerdeführer ist rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden; trotz wiederholter Aufforderungen hat er das Land nicht verlassen, sondern ist hier untergetaucht. Bei Kontrollen gab er einen falschen Namen an; zum Verbleib seiner Reisepapiere machte er widersprüchliche Angaben. Schliesslich hat er wiederholt erklärt, auf keinen Fall bereit zu sein, in die Türkei zurückzukehren. Gestützt auf dieses Verhalten besteht bei ihm Untertauchensgefahr. Es kann nicht davon ausgegangen werden, dass er sich den Behörden ohne Festhaltung für den Vollzug seiner Wegweisung freiwillig zur Verfügung halten wird (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.).
2.2 Zwar hat er inzwischen erneut ein Asylgesuch gestellt, dieses lässt den Wegweisungsentscheid indessen nicht dahinfallen, wenn - wie hier - mit dem entsprechenden Entscheid in absehbarer Zeit gerechnet werden kann (<ref-ruling> E. 2b S. 380): Der Beschwerdeführer hat sein Asylgesuch erst bei seiner Anhaltung eingereicht (vgl. zum nachgeschobenen Asylgesuch Art. 75 Abs. 1 lit. f AuG bzw. Art. 33 i.V.m. <ref-law> [SR 142.31]) und am 25. März 2008 erklärt, es gehe ihm "einzig darum, [...] in der Schweiz zu bleiben". Er wolle hier leben, arbeiten und seine Schulden bezahlen. Im Hinblick hierauf kann davon ausgegangen werden, dass das Asylverfahren in Kürze wird abgeschlossen werden können. Die Asyl- und Wegweisungsfrage bildet als solche nicht Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens, weshalb darauf - was der Beschwerdeführer verkennt - hier nicht weiter eingegangen werden kann (vgl. <ref-law>).
2.3 Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind (Beschleunigungsgebot, Festhaltungsbedingungen usw.), verletzt der angefochtene Entscheid offensichtlich kein Bundesrecht. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, bereit zu sein, in ein anderes Land zu reisen, ist nicht ersichtlich, wie er dies ohne Reisepapiere rechtmässig tun könnte. Die schweizerischen Behörden dürfen nicht bewusst zu einer illegalen Einreise in einen Drittstaat Hand bieten (<ref-ruling> E. 4.2.2). Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>).
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es rechtfertigt sich indessen aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, absehbarer Vollzug der Wegweisung), von der Erhebung von Kosten abzusehen (<ref-law>). Das Migrationsamt des Kantons Aargau wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Migration sowie (zur Information) dem Rechtsbeistand des Beschwerdeführers im kantonalen Verfahren (Rechtsanwalt Dr. Marcel Buttliger) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. April 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar