Sachverhalt:
A. X._ mietete in A._ eine Lagerhalle und bewahrte dort Spielautomaten auf. Diese Geräte versicherte er im Juli 2006 bei der B._ Versicherung zum Neuwert, und die maximale Versicherungssumme wurde auf Fr. 900'000.-- festgelegt. Am 22. Oktober 2006 brannte die Lagerhalle nieder. Die Spielautomaten erlitten grösstenteils Totalschaden. Am 23. Oktober 2006 meldete X._ der B._ Versicherung den Schaden. Diese leistete keine Zahlungen.
B. Mit Entscheid des Bezirksgerichts Muri vom 21. April 2009 wurde X._ schuldig gesprochen des versuchten Betrugs sowie der Brandstiftung. Das Bezirksgericht verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 3 Jahren, teilbedingt vollziehbar bei einer Probezeit von 5 Jahren und unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft von 1 Tag. Den zu vollziehenden Teil der Freiheitsstrafe legte es auf 1 1⁄2 Jahre fest. Ferner widerrief das Bezirksgericht den bedingten Vollzug zweier Gefängnisstrafen von 90 Tagen respektive 4 Monaten aus dem Jahre 2004. Es verpflichtete X._, der Aargauischen Gebäudeversicherung AGV Schadenersatz in der Höhe von Fr. 278'052.30 nebst Zins zu bezahlen. Die Forderung der B._ Versicherung verwies das Bezirksgericht auf den Zivilweg. Die dagegen von X._ erhobene Berufung hiess das Obergericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 14. Januar 2010 teilweise gut. Es verzichtete auf den Widerruf des bedingten Vollzugs der Strafen aus dem Jahre 2004 und verpflichtete ihn zu einem leicht reduzierten Schadenersatz gegenüber der kantonalen Gebäudeversicherung. Im Übrigen bestätigte es den erstinstanzlichen Entscheid im Schuld- und Strafpunkt.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt im Wesentlichen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 14. Januar 2010 sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf des versuchten Betrugs und der Brandstiftung freizusprechen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. Soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des Urteils des Bezirksgerichts Muri vom 21. April 2009 verlangt, wendet er sich nicht gegen den letztinstanzlichen Entscheid. Auf die Beschwerde ist in diesem Punkt nicht einzutreten, denn Anfechtungsobjekt bildet einzig das kantonal letztinstanzliche Urteil der Vorinstanz vom 14. Januar 2010 (<ref-law>).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine willkürliche Beweiswürdigung (<ref-law>) und die Verletzung der Unschuldsvermutung (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) vor.
2.2 Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 39). Die entsprechende Rüge prüft das Bundesgericht nur insoweit, als sie in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert begründet worden ist. Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; je mit Hinweisen).
Ebenfalls unter dem Gesichtspunkt der Willkür prüft das Bundesgericht, inwiefern das Sachgericht den Grundsatz "in dubio pro reo" verletzt hat. Diese aus der Unschuldsvermutung (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) abgeleitete Maxime hat das Bundesgericht wiederholt dargelegt, worauf zu verweisen ist (<ref-ruling> E. 2a S. 41 mit Hinweisen).
2.3 Unbestritten ist, dass das Feuer von einer in der Lagerhalle verlegten, ca. 13 Meter langen Regenrinne aus Kunststoff ausging, in welcher ca. 15 mit Benzin gefüllte PET-Flaschen aufgestellt waren. Die Konstruktion war mit Schilfmatten überdeckt. Umstritten ist, ob der Beschwerdeführer deren Urheber ist.
Die Vorinstanz legt insbesondere dar, der Beschwerdeführer habe ein Motiv für die Brandstiftung gehabt. Darauf deute die abgeschlossene Versicherung zum Neuwert und die daraus zu erwartende Versicherungsleistung von maximal Fr. 900'000.--. Die Versicherung habe der Beschwerdeführer zu einem Zeitpunkt abgeschlossen, als er finanziell angeschlagen gewesen sei und sich bereits mit dem Gedanken auseinandergesetzt habe, sich aus dem Geschäft zurückzuziehen. Der Beschwerdeführer habe sich am 22. Oktober 2006 dreimal in der Lagerhalle aufgehalten. Nach eigenen Angaben sei er das dritte Mal um 18.30 Uhr in der Halle gewesen, wobei er nichts von einer entsprechenden Konstruktion bemerkt habe. Ebenfalls laut Darstellung des Beschwerdeführers seien die Schilfmatten und möglicherweise auch die Dachrinne in der Halle gelagert gewesen. Die Brandmeldung erfolgte um 19.08 Uhr. Ein spontan handelnder Täter könne aus zeitlichen Gründen mit grosser Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen werden. Vielmehr spreche die aufwendige Konstruktion für einen Täter mit freiem Zugang zur Halle, der die Tat genau geplant und die Position der Spielautomaten gekannt habe und der sich ohne Zeitdruck dem Aufbau der Anlage habe widmen können. Auch habe der Täter gezielt eingeplant, welchen Weg das Feuer nehme und welche Automaten vom Feuer erfasst werden sollten. Es sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer am 21. und 22. Oktober 2006 die Vorbereitungen für den Brand getroffen habe. Dessen Aussagen, insbesondere betreffend seinen dritten Aufenthalt, den er in den ersten polizeilichen Einvernahmen verschwiegen habe, seien unglaubhaft (angefochtener Entscheid S. 10 ff. mit Hinweis auf das erstinstanzliche Urteil S. 7 ff.).
2.4 Die vom Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Beweiswürdigung erhobenen Einwände (Beschwerde S. 10 ff.) haben appellatorischen Charakter, stellt er doch der Würdigung der Vorinstanz lediglich seine eigene Sicht der Dinge gegenüber, ohne zu erörtern, inwiefern der angefochtene Entscheid (auch) im Ergebnis verfassungswidrig sein sollte.
Soweit der Beschwerdeführer beispielsweise vorbringt, die Vorinstanz habe verschiedene Umstände des Vertragsabschlusses mit der B._ Versicherung festgestellt (vgl. Beschwerde S. 11 und 12), gehen seine Ausführungen offensichtlich fehl. Vielmehr schätzt die Vorinstanz seine Aussagen betreffend den Versicherungsberater und die in Aussicht gestellte schnellere Abwicklung zweier offener Versicherungsfälle als unglaubhaft ein (angefochtener Entscheid S. 11). Ebenso wenig trifft zu, dass die Vorinstanz angenommen hätte, er habe mit seiner damaligen Lebenspartnerin einen Vertrag abgeschlossen (Beschwerde S. 11 f., angefochtener Entscheid S. 11 sowie erstinstanzlicher Entscheid S. 9). Der Beschwerdeführer macht wie bereits vor Vorinstanz weiter geltend, die Brandstiftung stehe im Zusammenhang mit dem zerrütteten Verhältnis innerhalb eines Dartsport-Verbands (Beschwerde S. 12 f.). Die erste Instanz, auf deren Erwägungen die Vorinstanz verweist, hält dazu fest, es sei zutreffend, dass auch Drittpersonen ein Motiv für die Brandstiftung gehabt haben könnten. Weitere Hinweise fehlten jedoch. Ausserdem sei das Feuer in einer Art und Weise gelegt worden, dass 20 teils noch original verpackte Dartgeräte vom Brand verschont geblieben seien. Dies spreche gegen eine Brandstiftung durch Drittpersonen (angefochtener Entscheid S. 10 mit Hinweis auf das erstinstanzliche Urteil S. 10 und 13). Mit diesen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Er stellt ihnen einzig seine davon abweichende Auffassung gegenüber, was keine Willkür respektive keine Verletzung der Unschuldsvermutung darzutun vermag. Auch die Behauptung des Beschwerdeführers, einer Drittperson wäre es möglich gewesen, die Tat im Detail zu planen und nach seinem letzten Besuch in der Lagerhalle die Konstruktion aufzustellen (Beschwerde S. 15 ff.), ist ungeeignet, Willkür aufzuzeigen. Er rügt zwar zutreffend, die eingeschlagene und mit einem Karton abgedeckte Scheibe beim Hintereingang lasse nicht darauf schliessen, dass ein gewaltsamer Zutritt vorgetäuscht worden sei (Beschwerde S. 15). Die diesbezüglichen vorinstanzlichen Erwägungen (angefochtenes Urteil S. 12) leuchten nicht ein. Dieser Umstand vermag jedoch die vorinstanzliche Beweiswürdigung im Ergebnis nicht zu erschüttern. Indem der Beschwerdeführer schliesslich seine Ausführungen vor Vorinstanz wiedergibt, wonach er sich an seinen dritten Besuch in der Lagerhalle erst zu einem späteren Zeitpunkt habe erinnern mögen, da er sich zu Beginn in einem Schockzustand befunden habe (Beschwerde S. 18), legt er einzig dar, wie seine Aussagen seiner Meinung nach richtigerweise zu würdigen gewesen wären. Dies vermag keine Willkür zu begründen. Mit den eingehenden Erwägungen der ersten Instanz, auf welche die Vorinstanz verweist (angefochtener Entscheid S. 13, erstinstanzliches Urteil S. 14 ff.), setzt er sich nicht auseinander.
Insgesamt zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, dass und inwiefern das vorinstanzliche Beweisergebnis schlechterdings nicht mehr vertretbar sein sollte, und eine Verletzung der Unschuldsvermutung ist nicht ersichtlich. Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet, soweit sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 und <ref-law> überhaupt zu genügen vermag.
3. Bei diesem Ergebnis erübrigt sich ein Eingehen auf die vom Beschwerdeführer gestellten Anträge, es sei auf die Zivilforderungen zufolge Freispruchs nicht einzutreten.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law> e contrario).
Die bundesgerichtlichen Kosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Seinen angespannten finanziellen Verhältnissen ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Faga