Sachverhalt:
A. A.a X._ und Z._ heirateten am 16. April 2003; sie sind die Eltern der beiden Söhne S._ (geb. xxxx 2004) und T._ (geb. xxxx 2006). In der Zeit von März 2002 bis September 2005 lebten die Eheleute in der Schweiz, wo X._ aufgewachsen war und ihre Eltern und Geschwister leben. Im September 2005 kehrte Z._ nach Grossbritannien zurück, worauf ihm X._ im Mai 2006 zusammen mit S._ nachfolgte.
A.b Die Ehe wurde am 4. Juni 2009 durch den North Shields County Court geschieden. Das Scheidungsurteil enthält keine Regelung bezüglich der Kinderbelange. Nach der Scheidung standen die Kinder unter der Obhut von X._, bei der sie sich während der Woche grösstenteils aufhielten. Am Wochenende und an zwei Abenden unter der Woche waren sie bei Z._ untergebracht.
A.c Im Juli 2009 reiste X._ im Einverständnis von Z._ mit beiden Söhnen zum Besuch der Verwandten in die Schweiz. Während dieses Ferienaufenthaltes suchte die ausgebildete Kindergärtnerin nach Arbeit. Nach Erhalt eines Angebotes der Schule R._ in A._ teilte sie Z._ mit E-Mail vom 7. August 2009, 13:25 Uhr, ihre Absicht mit, das betreffende Angebot anzunehmen und mit den Kindern in der Schweiz zu bleiben. Als Antwort auf diese E-Mail soll Z._ einem Verbleib der Kinder in der Schweiz vorbehaltlos zugestimmt haben. Die Parteien standen erwiesenermassen in der Folge in telefonischem Kontakt zueinander. Am 19. August 2009 unterschrieb X._ den Arbeitsvertrag. Z._ besuchte die Kinder weiterhin in der Schweiz, insbesondere auch im Jahr 2009. Überdies unterhielt er telefonischen Kontakt zu ihnen.
B. B.a Am 24. September 2009 stellte Z._ bei der englischen Zentralbehörde einen Antrag auf Rückführung seiner beiden Söhne nach England. Am 15. März 2010 ersuchte er bei der II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich um deren unverzügliche Rückführung. In diesem Verfahren wurde Rechtsanwältin Maya Stutzer als Prozessbeiständin der Kinder bestellt.
B.b Mit Beschluss vom 1. Juli 2010 befahl das Obergericht X._ unter Androhung der Strafen nach <ref-law>, die beiden Söhne innert 30 Tagen seit Zustellung des Beschlusses nach England zurückzuführen oder zurückführen zu lassen, und regelte die Modalitäten der Rückführung (Ziffer 1-10).
C. Gegen diesen Beschluss hat X._ am 15. Juli 2010 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, die Ziffern 1-10 des obergerichtlichen Beschlusses seien aufzuheben und das Rückführungsbegehren bezüglich der beiden Söhne abzuweisen. Ferner seien ihr ihre persönlichen Reisedokumente sowie jene der Kinder herauszuheben; eventuell sei die Sache zu weiteren Sachverhaltsabklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Mit Eingabe vom 26. Juli 2010 beantragt der Beschwerdegegner, das Gesuch um aufschiebende Wirkung und die Beschwerde in der Sache abzuweisen. Auch er ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
D. Die Rechtsbeiständin der Kinder hat mit Eingabe vom 16. August 2010 zur Beschwerde Stellung genommen und hat deren Abweisung beantragt. Sie verlangt überdies, die Rückführung habe innert 90 Tagen seit Zustellung des bundesgerichtlichen Urteils zu erfolgen und sei an die Bedingung zu knüpfen, dass der Beschwerdegegner schriftlich auf die Einleitung rechtlicher Schritte verzichte, welche die Verhaftung der Beschwerdeführerin zur Folge haben. Sodann ersucht sie darum, das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen.
Die Beschwerdeführerin hat sich am 24. August 2010 zu dieser Eingabe geäussert. Sie verlangt darin insbesondere, die Rückführung von einer Garantie der britischen Behörden abhängig zu machen, dass ihr nach erfolgter Rückführung keine Verhaftung oder sonstige Nachteile, beispielsweise im Zusammenhang mit einem allfälligen Sorgerechtsprozess, erwachsen werden.

Erwägungen:
1. 1.1 Beim Verfahren betreffend Rückführung eines Kindes nach dem Haager Übereinkommen vom 25. Oktober 1980 über die zivilrechtlichen Aspekte internationaler Kindesentführung (HKÜ; SR 0.211.230.02) geht es um die Regelung der Rechtshilfe zwischen den Vertragsstaaten, mithin um eine Angelegenheit öffentlich-rechtlicher Natur, die in unmittelbarem Zusammenhang mit der Respektierung und Durchsetzung ausländischen Zivilrechts steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen). Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 1. Juli 2010 als oberen kantonalen Gerichts gilt als letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid im Sinn von Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG (Art. 7 Abs. 1 des Bundesgesetzes über internationale Kindesentführung und die Haager Übereinkommen zum Schutz von Kindern und Erwachsenen [BG-KKE; SR 211.222.32]). Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher gegeben. Der angefochtene Entscheid ist der Beschwerdeführerin am 5. Juli 2010 zugestellt worden, womit die zehntägige Beschwerdefrist (<ref-law>) mit der Postausgabe vom 15. Juli 2010 auf jeden Fall eingehalten worden ist. Auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde ist somit einzutreten.
1.2 Geltend gemacht werden kann insbesondere die Verletzung von Völkerrecht, dessen Anwendung das Bundesgericht frei prüft (Art. 95 lit. b i.V.m. <ref-law>). Demgegenüber können Sachverhaltsfeststellungen nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252) sind, auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruhen und für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sind (<ref-law>).
1.3 Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie vom Obergericht verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749; 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Die Begründung muss in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein; auf blosse Verweise auf andere Rechtsschriften ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2 S. 93 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 201; <ref-ruling> E. 2.3 S. 387 f.; zur Weitergeltung dieser Rechtsprechung für die Beschwerde in Zivilsachen vgl. Urteile 4A_115/2007 vom 13. Juli 2007 E. 2.1; 4A_137/2007 vom 20. Juli 2007 E. 4).
Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Die Parteien können sich mit anderen Worten nicht darauf beschränken, den kantonalen Sachverhaltsfeststellungen die eigene Sicht der Dinge gegenüberzustellen. Auf eine explizite oder implizite Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Instanz, die den dargelegten Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Unzulässig sind insbesondere auch neue Sachverhaltsvorbringen oder Beweismittel, soweit nicht erst der Entscheid der letzten kantonalen Instanz dazu Anlass gegeben hat (<ref-law>).
Die Eingabe der Beschwerdeführerin entspricht über weite Strecken den vorgenannten Begründungsanforderungen nicht, namentlich, was die appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung der Vorinstanz anbelangt. Soweit die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht genügt, insbesondere keine genügende Auseinandersetzung mit den Erwägungen des Obergerichts enthält, ist darauf nicht einzutreten.
1.4 Auf die Beschwerde ist von vornherein nicht einzutreten, soweit die Beschwerdeführerin eine allfällige Rückweisung an Garantien der britischen Behörden geknüpft wissen will, handelt es sich doch um einen Antrag, der jedenfalls nach Ablauf der Beschwerdeschrift gestellt worden ist (<ref-law>).
1.5 Nicht einzugehen ist ebenso auf den Antrag der Rechtsbeiständin der Söhne, die Rückführung sei an die Bedingung zu binden, dass der Beschwerdegegner auf die Einleitung rechtlicher Schritte im Zusammenhang mit der Entführung verzichte. Unzulässig ist sodann auch der Antrag, die Frist zur Rückführung sei auf 90 Tage seit Zustellung des bundesgerichtlichen Entscheides anzuberaumen. Die Rechtsbeiständin hat den kantonalen Entscheid nicht selbst angefochten (vgl. <ref-law>). Auf die entsprechenden Anträge ist daher nicht einzutreten.
1.6 Auf die Ausführungen der Rechtsbeiständin der Kinder ist schliesslich nicht einzutreten, soweit sie sich damit nicht mit den entscheidwesentlichen Erwägungen des Obergerichts auseinandersetzt, sondern einfach ihre eigene Sicht der Dinge schildert und zahlreiche neue tatsächliche Vorbringen erörtert.
2. Das HKÜ bezweckt die sofortige Rückgabe widerrechtlich in einen Vertragsstaat verbrachter oder dort zurückgehaltener Kinder (Art. 1 lit. a). Als widerrechtlich gilt das Verbringen oder Zurückhalten eines Kindes, wenn dadurch das Sorgerecht verletzt wird, das einer Person, Behörde oder sonstigen Stelle allein oder gemeinsam nach dem Recht des Staates zusteht, in dem das Kind unmittelbar vor dem Verbringen oder Zurückhalten seinen gewöhnlichen Aufenthalt hatte (Art. 3 lit. a HKÜ) und dieses Recht im Zeitpunkt des Verbringens oder Zurückhaltens allein oder gemeinsam tatsächlich ausgeübt wurde oder ausgeübt worden wäre, falls das Verbringen oder Zurückhalten nicht stattgefunden hätte (Art. 3 lit. b). Im vorliegenden Fall steht fest, dass der gewöhnliche Aufenthalt der Kinder vor dem Verbringen in die Schweiz in Grossbritannien war und dass den Parteien nach dem massgebenden Recht dieses Landes die elterliche Sorge und Obhut gemeinsam zustehen. Strittig ist dagegen, ob der Beschwerdegegner die elterliche Sorge und Obhut auch tatsächlich ausgeübt hat.
2.1 Die Beschwerdegegnerin macht geltend, sie habe anlässlich der Verhandlung vor Obergericht vom 1. April 2010 einleuchtend negiert, dass der Beschwerdegegner sein Besuchsrecht gegenüber den Kindern auch tatsächlich ausübe. Die Rechtsbeiständin der Kinder macht namentlich geltend, die entsprechende Behauptung sei von der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren nicht erhoben worden.
2.2 Das Obergericht hat erwogen, von einer tatsächlichen Ausübung des Sorgerechts durch den Beschwerdegegner sei nach übereinstimmender Erklärung beider Parteien ohne weiteres auszugehen. Vor dem 15. Juli 2009 habe der Beschwerdegegner die Kinder an den Wochenenden und an zwei Abenden während der Woche betreut. Die Beschwerdeführerin legt nicht substanziiert dar, inwiefern diese Feststellung des Obergerichts willkürlich sein soll. Ihre Ausführungen zu diesem Punkt erschöpfen sich vielmehr in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid, auf die nicht eingetreten werden kann. Somit kann offenbleiben, ob die tatsächliche Ausübung der Obhut durch den Beschwerdegegner von der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren tatsächlich bestritten worden ist. Damit aber bleibt es bei der obergerichtlichen Feststellung, dass die elterliche Obhut vom Beschwerdegegner vor dem Verbringen der Kinder in die Schweiz auch tatsächlich ausgeübt worden ist, womit das Zurückbehalten der Kinder in die Schweiz durch die Beschwerdeführerin als widerrechtlich im Sinn von Art. 3 HKÜ zu werten ist.
3. Weist die Person, welche sich der Rückgabe des Kindes widersetzt, nach, dass der Gesuchsteller dem Verbringen oder Zurückhalten zugestimmt oder dieses nachträglich genehmigt hat, so ist die Rückgabe abzulehnen. Dem Zweck des HKÜ folgend sind hier strenge Anforderungen zu stellen. Es muss die klar (ausdrücklich oder stillschweigend) zum Ausdruck gebrachte Zustimmung zur dauerhaften Aufenthaltsänderung nachgewiesen werden. Dies gilt auch für die nachträgliche Genehmigung, die sich insbesondere nicht aus blosser zeitweiliger Hinnahme des Aufenthalts beim entführenden Elternteil ergibt. Der beweislastpflichtige entführende Elternteil hat die Verweigerungsgründe anhand substanziiert vorgetragener Anhaltspunkte objektiv glaubhaft zu machen (Urteil 5P.367/2005 vom 15. November 2005 E. 7.1, in SZIER 2007 S. 342). Ob die vorgetragenen Sachverhaltselemente glaubhaft gemacht sind, ist Tatfrage, die das Bundesgericht nur beschränkt überprüfen kann (E. 1.2). Frei zu prüfende Rechtsfrage ist hingegen, ob ein Verweigerungsgrund vorliegt.
3.1 Nach den Ausführungen des Obergerichts teilte die Beschwerdeführerin in ihrer E-Mail vom 7. August 2009, 13:25 Uhr, dem Beschwerdegegner zusammengefasst mit, ihr sei eine Stelle bei der Schule R._ in A._ angeboten worden; sie beabsichtige diese Stelle anzunehmen und mit den Kindern in der Schweiz zu bleiben. Das Obergericht hat im Weiteren erwogen, in der Folge habe der Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin angerufen und sie hätten darüber gesprochen, wie das funktionieren würde. Nach der Darstellung der Beschwerdeführerin hätten zunächst mehrere Telefonate stattgefunden, in denen die Parteien über die neue Entwicklung der Dinge gesprochen hätten. Um 23:01 Uhr habe der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin die fragliche E-Mail zukommen lassen, woraus die Beschwerdeführerin die vorbehaltlose Zustimmung zum dauerhaften Wechsel des Aufenthaltsortes herleite. Der Beschwerdegegner habe weiter ausgeführt, nach der E-Mail der Beschwerdeführerin vom 7. August 2009 sei er völlig überrumpelt gewesen und habe am folgenden Tag telefonisch die definitive Zustimmung davon abhängig gemacht, dass er zuerst die Kinder in der Schweiz besuchen könne, um sich davon zu überzeugen, dass es ihnen hier gut gehe. Unmittelbar nach der Rückkehr aus der Schweiz habe er am 31. August 2009 beschlossen, die Rückführung der Kinder an die Hand zu nehmen. Die Beschwerdeführerin habe sich in der Klageantwort nicht zum behaupteten Telefonat vom 8. August 2009 geäussert und habe überdies in der Stellungnahme zu den beschwerdegegnerischen Ausführungen zum Telefonat auf ihre eigenen Erörterungen verwiesen. Zum Telefonat selbst habe sie aber nichts ausgesagt. Gleichermassen habe sie sich in der persönlichen Befragung in der Hauptverhandlung nicht zum besagten Telefongespräch geäussert.
Eine isolierte Betrachtung der E-Mail des Beschwerdegegners vom 7. August 2009 (23:01 Uhr) indiziere dessen Zustimmung zum Verbleib der Kinder in der Schweiz. Gegen eine Zustimmung spreche aber, dass der Beschwerdegegner erst am 7. August 2009 von der Absicht der Beschwerdeführerin erfahren habe, in der Schweiz zu bleiben, und seine E-Mail in emotionaler Betroffenheit verfasst worden sei, was bereits aus der Wendung "I feel like my insides have been ripped out" herausgelesen werden könne. Im Gesamtzusammenhang betrachtet, stelle die E-Mail des Beschwerdegegners vom 7. August 2009 nicht das Ende der Diskussion zur Zustimmungserklärung dar. Aus der betreffenden E-Mail selbst gehe an zwei Stellen hervor, dass der Beschwerdegegner am Folgetag mit der Beschwerdeführerin darüber habe sprechen wollen ("before I speek to you tomorrow"). Der Beschwerdegegner behaupte unbestrittenermassen, er habe am Folgetag telefonisch die definitive Zustimmung davon abhängig gemacht, zuerst die Kinder in der Schweiz zu besuchen, um sich vergewissern zu können, dass es ihnen hier gut gehe. Andeutungsweise gehe diese Bedingung bereits aus der E-Mail des Beschwerdegegners hervor ("I genuinely only want the best for you and the children, if that means you guys move to Zurich then that is something I will have to learn to live with"). Dass der Beschwerdegegner gegenüber der Beschwerdeführerin über die Möglichkeit gesprochen habe, wie das funktionieren könnte [, in der Schweiz zu leben], dass die Parteien ferner über einen Umzug in die Schweiz gesprochen haben sollen und sich der Beschwerdegegner schliesslich für eine Stelle in der Schweiz beworben habe, bilde insgesamt keinen Nachweis für die Darstellung der Beschwerdeführerin. Es spreche vielmehr für den Beschwerdegegner, in der Zeit der Schwebe die Möglichkeit des Umzuges in die Schweiz ernsthaft in Betracht gezogen zu haben.
Das Obergericht ist daher zum Schluss gelangt, die Beschwerdeführerin habe insgesamt die behauptete vorbehaltlose Zustimmung des Beschwerdegegners zum Verbleib der Kinder in der Schweiz nicht hinreichend glaubhaft gemacht. Auch ihre Aussage an der Hauptverhandlung, der Gesamteindruck der E-Mail und der Telefonate hätten sie veranlasst, in der Schweiz zu bleiben, verfange nicht. Vielmehr sei davon auszugehen, der Beschwerdegegner habe seine Zustimmung davon abhängig gemacht, dass er die Kinder in der Schweiz besuchen und sich davon überzeugen könne, dass es ihnen hier gut gehe. Nach dem Besuch sei er Ende August 2009 zum Schluss gelangt, dem Kindeswohl sei nicht genüge getan, und habe daher die Rückführung in die Wege geleitet.
3.2 Die Beschwerdeführerin stellt sich wie vor Obergericht auf den Standpunkt, der Beschwerdegegner habe mit seiner E-Mail vom 7. Juli (23:01 Uhr) seine vorbehaltlose Zustimmung zum Verbleib der Kinder in der Schweiz erteilt. Im Weiteren hält sie zusammengefasst dafür, der Beschwerdegegner habe anlässlich der Gespräche vom 7. Juli 2009 mit keinem Wort erwähnt, dass die Parteien am 8. August 2009 weiter über die Zustimmung hätten sprechen wollen. Das Datum des 8. August 2009 erscheine denn auch nur auf Seite 11 des Protokolls. Es gebe keinen Grund, weshalb sie sich zu diesem nur einmal erwähnten Telefonat hätte äussern sollen, zumal der Beschwerdegegner mit seiner E-Mail vom 7. Juli 2009 seine vorbehaltlose Zustimmung erklärt habe. Soweit es der Vorinstanz wichtig gewesen wäre, die Ausführungen der Beschwerdeführerin zu diesem Telefonat zu hören, hätte sie sie (die Beschwerdeführerin) aufgrund der richterlichen Fragepflicht (<ref-law>/ZH) dazu befragen müssen. Im Weiteren sei nicht ersichtlich, weshalb der Beschwerdegegner detaillierte Informationen über die Wohngelegenheit und die schulische Situation der Kinder in der Schweiz eingeholt hätte, wenn er mit dem Verbleib der Kinder in der Schweiz nicht einverstanden gewesen wäre. Der Beschwerdegegner habe nach seinem Besuch im August 2009 immer mehr Zusagen der Beschwerdeführerin bezüglich des Aufenthalts der Kinder in der Schweiz eingefordert und habe damit seine Zustimmung mehrfach bestätigt. Soweit der Beschwerdegegner behaupte, er habe seine Zustimmung erst Ende August 2009 abgeben wollen, bleibe unerklärlich, weshalb er nach seinem kurzen Aufenthalt in der Schweiz trotz bisher nicht erfolgter Zustimmung hier nach einer Arbeitsstelle gesucht habe. Die Beschwerdeführerin verweist sodann auf ein Schreiben der Anwältin des Beschwerdegegners vom 15. September 2009, worin mit dem Rückführungsverfahren gedroht werde, falls die Beschwerdeführerin den Auskunftsbegehren des Beschwerdegegners über die Schul- und Wohnverhältnisse nicht nachkomme.
3.3 Der Beschwerdegegner vertritt in seiner Stellungnahme den Standpunkt des Obergerichts und bestreitet eine vorbehaltlose Zustimmung. Die Rechtsbeiständin der Kinder verzichtet auf Ausführungen zu diesem Punkt.
3.4 Aus der auf S. 8 des angefochtenen Urteils wiedergegebenen E-Mail vom 7. August 2009, 23.01 Uhr, ergibt sich nach den Ausführungen des Obergerichts zunächst, dass der Beschwerdegegner vom Vorhaben der Beschwerdeführerin völlig überrascht worden ist ("I feel like my insides have been ripped out"). Angesichts der emotionalen Betroffenheit des Beschwerdegegners, der durch die E-Mail der Beschwerdeführerin vom 7. August 2009 erstmals von deren Vorhaben erfahren hat, drängt sich eine zurückhaltende Interpretation seiner Äusserungen mit Bezug auf eine allfällige vorbehaltlos erklärte Zustimmung auf. Der E-Mail kann überdies laut den obergerichtlichen, nicht rechtsgenüglich als willkürlich angefochtenen Feststellungen entnommen werden, dass der Beschwerdegegner ausdrücklich weitere Gespräche der Parteien zum Vorhaben der Beschwerdeführerin vorbehalten hat ("I hope you will read this before I speek to you tomorrow"). Angesichts der Umstände, unter denen die E-Mail verfasst worden ist, und der Ankündigung weiterer Gespräche der Parteien zum Thema kann nicht gesagt werden, der Beschwerdegegner habe mit seiner E-Mail vom 7. August 2009, 23.01 Uhr, einem Verbleib der Kinder in der Schweiz vorbehaltlos zugestimmt. Der Beschwerdegegner hat sich vielmehr um das Wohl der Kinder gekümmert und hat deshalb weitere Gespräche in Aussicht gestellt.
Die Beschwerdeführerin bestreitet das Telefonat des Beschwerdegegners vom 8. August 2009, worin dieser seine Zustimmung zum Verbleib der Kinder in der Schweiz von persönlichen Abklärungen darüber abhängig gemacht habe, ob es den Kindern in der Schweiz gut gehe. Wie die Beschwerdeführerin zu Recht bemerkt, lassen sich den Plädoyernotizen keine Angaben zum genauen Zeitpunkt (angeblich 8. August 2009) des strittigen Telefonats entnehmen. In Ziffer 14 der Plädoyernotizen des Beschwerdegegners wird dazu nur gesagt, man habe in der Folge miteinander telefoniert und der Beschwerdegegner habe seine definitive Zustimmung von einem Besuch in der Schweiz und der Überprüfung der Verhältnisse, unter denen die Kinder leben, abhängig gemacht. Welches nun der genaue Zeitpunkt des Telefonats gewesen sein mag, kann letztlich offenbleiben. Die Beschwerdeführerin hat nach den obergerichtlichen Ausführungen im kantonalen Verfahren Gespräche über Auflagen im Zusammenhang mit der Zustimmung nicht ernsthaft bestritten. Sie hat zudem vor Bundesgericht auf ein Schreiben der Gegenanwältin vom 15. September 2009 verwiesen, worin mit dem Rückführungsverfahren gedroht wird, falls die Beschwerdeführerin den Auskunftsbegehren des Beschwerdegegners über die Schul- und Wohnverhältnisse nicht nachkomme. Somit ist auch die Feststellung des Obergerichts nicht willkürlich, der Beschwerdegegner habe unbestrittenermassen die Zustimmung vom Ergebnis der vorgenannten Abklärungen abhängig gemacht. Des Weiteren ist laut Obergericht erwiesen, dass der Beschwerdegegner die Kinder in der Schweiz besucht hat, um sich nach deren Wohlergehen zu erkundigen. Unter Berücksichtigung der geschilderten vom Obergericht festgestellten und von der Beschwerdeführerin zugestandenen tatsächlichen Umstände kann nicht gesagt werden, der Beschwerdegegner habe dem Verbleib der Kinder in der Schweiz vorbehaltlos zugestimmt. Daran vermag auch seine Suche nach Arbeit in der Schweiz nichts zu ändern, wird doch dadurch lediglich verdeutlicht, dass der Beschwerdegegner in der Übergangsphase um Nähe zu seinen Kindern bemüht gewesen ist. Liegt keine Zustimmung im Sinn von Art. 13 Abs. 1 lit. a HKÜ vor, bleibt noch zu prüfen, ob ein Verweigerungsgrund im Sinn von Art. 13 Abs. 1 lit. b HKÜ gegeben ist.
4. Nach Art. 13 Abs. 1 lit. b HKÜ ist das Gericht des ersuchten Staates nicht verpflichtet, die Rückgabe des Kindes anzuordnen, wenn nachgewiesen ist, dass sie mit der schwerwiegenden Gefahr eines körperlichen oder seelischen Schadens für das Kind verbunden ist oder das Kind auf andere Weise in eine unzumutbare Lage bringt. Die Ausschlussgründe von Art. 13 HKÜ sind eng auszulegen, damit der Entführer keinen Vorteil aus seinem Rechtsbruch ziehen kann. Zu berücksichtigen sind daher nur wirklich schwere Gefahren, nicht aber irgendwelche wirtschaftlichen oder erzieherischen Nachteile. Kein Platz ist im Rückgabeverfahren namentlich für Überlegungen, bei welchem Elternteil oder in welchem Land das Kind besser aufgehoben oder welcher Elternteil zur Erziehung und Betreuung des Kindes besser geeignet ist. Der Entscheid darüber ist dem Staat des gewöhnlichen Aufenthalts des Kindes vorbehalten (<ref-ruling> E. 2b S. 425). Gemäss <ref-law> bringt die Rückführung das Kind insbesondere dann in eine unzumutbare Lage nach Artikel 13 Abs. lit. b HKÜ, wenn die Unterbringung bei dem das Gesuch stellenden Elternteil offensichtlich nicht dem Wohl des Kindes entspricht (lit. a), der entführende Elternteil unter Würdigung der gesamten Umstände nicht in der Lage ist oder es ihm offensichtlich nicht zugemutet werden kann, das Kind im Staat zu betreuen, in dem es unmittelbar vor der Entführung seinen gewöhnlichen Aufenthalt hatte (lit. b) und die Unterbringung bei Drittpersonen offensichtlich nicht dem Wohl des Kindes entspricht (lit. c).
4. Nach Art. 13 Abs. 1 lit. b HKÜ ist das Gericht des ersuchten Staates nicht verpflichtet, die Rückgabe des Kindes anzuordnen, wenn nachgewiesen ist, dass sie mit der schwerwiegenden Gefahr eines körperlichen oder seelischen Schadens für das Kind verbunden ist oder das Kind auf andere Weise in eine unzumutbare Lage bringt. Die Ausschlussgründe von Art. 13 HKÜ sind eng auszulegen, damit der Entführer keinen Vorteil aus seinem Rechtsbruch ziehen kann. Zu berücksichtigen sind daher nur wirklich schwere Gefahren, nicht aber irgendwelche wirtschaftlichen oder erzieherischen Nachteile. Kein Platz ist im Rückgabeverfahren namentlich für Überlegungen, bei welchem Elternteil oder in welchem Land das Kind besser aufgehoben oder welcher Elternteil zur Erziehung und Betreuung des Kindes besser geeignet ist. Der Entscheid darüber ist dem Staat des gewöhnlichen Aufenthalts des Kindes vorbehalten (<ref-ruling> E. 2b S. 425). Gemäss <ref-law> bringt die Rückführung das Kind insbesondere dann in eine unzumutbare Lage nach Artikel 13 Abs. lit. b HKÜ, wenn die Unterbringung bei dem das Gesuch stellenden Elternteil offensichtlich nicht dem Wohl des Kindes entspricht (lit. a), der entführende Elternteil unter Würdigung der gesamten Umstände nicht in der Lage ist oder es ihm offensichtlich nicht zugemutet werden kann, das Kind im Staat zu betreuen, in dem es unmittelbar vor der Entführung seinen gewöhnlichen Aufenthalt hatte (lit. b) und die Unterbringung bei Drittpersonen offensichtlich nicht dem Wohl des Kindes entspricht (lit. c).
4.1 4.1.1 Die Beschwerdeführerin macht (sinngemäss) geltend, gemäss Art. 13 Abs. 1 lit. b HKÜ i.V.m. <ref-law> sei eine Rückführung nicht anzuordnen, wenn die Unterbringung bei der Gesuch stellenden Person das Kind in eine unzumutbare Lage bringe. Diese Regel habe das Obergericht verkannt. Insofern entbehrten die Ausführungen auf S. 15 des angefochtenen Beschlusses bezüglich der Wohnverhältnisse bei den Grosseltern jeglicher Grundlage.
4.1.2 Der Beschwerdegegner macht dazu im Wesentlichen geltend, die Beschwerde erschöpfe sich in appellatorischer Kritik. Eine Rückführung könne nur unterbleiben, wenn die kumulativen Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt seien.
4.1.3 Die Rechtsbeiständin der Kinder weist darauf hin, gemäss Art. 13 Abs. 1 lit. b HKÜ sei die Rückführung nur zu verweigern, wenn die Kinder dadurch in eine schwere Gefahr oder in eine unzumutbare Lage gebracht würden.
4.1.4 Von vornherein ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit die Beschwerdeführerin ihre Ausführungen nicht in der Beschwerdeschrift selbst vorträgt, sondern auf kantonale Rechtsschriften verweist (E. 1.3). Im Weiteren übersieht die Beschwerdeführerin, dass in <ref-law> beispielhaft drei Tatbestandselemente aufgestellt werden, die erfüllt sein müssen, damit eine Rückführung abgelehnt werden kann. Von daher ist nicht ersichtlich, inwiefern das Obergericht mit der Prüfung der Verhältnisse bei den Grosseltern des Beschwerdegegners die Bestimmungen der Konvention bzw. des BG-KKE verletzt haben könnte, kann doch gemäss <ref-law> eine Rückführung nicht verweigert werden, wenn eine Unterbringung der Kinder bei Drittpersonen (hier also den Grosseltern) dem Kindeswohl entspricht. Da eine Rückreise der Beschwerdeführerin ungewiss ist, waren somit auch die Verhältnisse bei den Grosseltern auf ihre Vereinbarkeit mit dem Kindeswohl zu überprüfen.
4.2 4.2.1 Die Beschwerdeführerin lässt des Weiteren ausführen, der Beschwerdegegner verfüge seinen eigenen Angaben zufolge lediglich über ein Zimmer für die Kinder; ferner leide S._ an Asthma und bedürfe daher besonderer Betreuung. Der Beschwerdegegner leide an einem Alkoholproblem und sei als Alkoholiker zu betrachten. Unter den gegebenen Umständen sei es mit dem Kindeswohl nicht zu vereinbaren, ihm ein drei- bzw. fünfjähriges Kind anzuvertrauen, zumal er die Kinder auch nicht persönlich betreuen könne. Daran ändere nichts, das seine 70 Jahre alten Eltern jederzeit zur Stelle seien. Im Übrigen habe der Beschwerdegegner auch verschwiegen, dass seine Eltern beabsichtigten, ihren Lebensabend in Schottland zu verbringen und dass demzufolge deren Unterstützung demnächst wegfalle.
4.2.2 Der Beschwerdegegner macht geltend, die Tatsache, dass es in seinem Haushalt nur ein Kinderzimmer gebe, spreche nicht gegen eine Rückführung. Im Übrigen gehe es vorliegend auch nicht um die Zuteilung des Sorgerechts. Seine Wohnung sei kindergerecht. Er habe immer bestritten, dass S._ an Asthma leide und es sei auch nicht ersichtlich, was die Beschwerdeführerin aus diesem Umstand ableite. Mit Bezug auf den Alkoholkonsum verweist er einerseits auf die obergerichtlichen Ausführungen und bestreitet anderseits, alkoholabhängig zu sein und betont, wie die Vorinstanz überdies zutreffend feststelle, habe der von der Beschwerdeführerin behauptete Alkoholkonsum keine Beschränkung des Sorgerechts bewirkt und habe die Beschwerdeführerin auch keine einschränkenden Massnahmen beantragt. Gesetzt den Fall, dass die Beschwerdeführerin die Kinder nicht nach Grossbritannien begleitete, seien seine Eltern bereit, ihre Umzugspläne zu verschieben. Zum andern gebe es auch in Grossbritannien Kinderkrippen. Zu beachten sei ferner, dass auch die Beschwerdeführerin einer Arbeit nachgehen müsse und folglich die Kinder nicht ganztags selbst betreuen könne.
Die Rechtsbeiständin der Kinder macht geltend, die Wohnverhältnisse beim Beschwerdegegner seien von nebensächlicher Bedeutung, zumal die Beschwerdeführerin klargestellt habe, dass die Kinder nicht ohne sie nach England zurückkehren würden.
4.2.3 Soweit die Rechtsbeiständin der Kinder darauf hinweist, dass die Kinder aufgrund der Aussagen der Mutter nicht ohne sie nach England zurückkehren würden, zeigt sie nicht auf, dass im angefochtenen Urteil entsprechende Feststellungen getroffen worden sind. Darauf ist nicht weiter einzugehen. Die Verhältnisse des Beschwerdegegners, insbesondere sein Alkoholproblem, waren laut den obergerichtlichen Feststellungen bereits im Scheidungsverfahren der Parteien vorgetragen worden und haben das Scheidungsgericht nicht veranlasst, dem Beschwerdegegner das Sorgerecht ganz zu entziehen und ihm jegliches Besuchsrecht zu versagen. Sodann hat die Art der Ausübung des Besuchsrechts durch den Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin auch nicht dazu veranlasst, den Erlass von Massnahmen zum Schutz der Kinder zu verlangen. Hat aber niemand im Rahmen des Scheidungsverfahrens und auch danach aufgrund der bekannten Verhältnisse die Betreuungsfähigkeit des Beschwerdegegners infrage gestellt, so kann im Rahmen der Prüfung des vorliegenden Rückführungsbegehrens nicht gesagt werden, die Unterbringung beim Beschwerdegegner widerspreche offensichtlich dem allem übergeordneten Wohl der Kinder (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin behauptet, die Unterstützung der Grosseltern falle demnächst infolge Wegzuges der Eltern dahin, handelt es sich um ein erstmals vor Bundesgericht vorgebrachtes und damit unzulässiges tatsächliches Vorbringen (<ref-law>), welches überdies auch bestritten ist. Darauf ist nicht einzutreten. Mit der Vorinstanz ist somit davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin nichts vorgetragen hat, was die Betreuungsfähigkeit des Beschwerdegegners infrage stellte. Insbesondere ist nicht einzusehen, weshalb die Kinder zu Beginn nicht in einem Zimmer untergebracht werden können. Zu Recht weist der Beschwerdegegner darauf hin, dass die Beschwerdeführerin ihrerseits die Kinder auch nicht ganztags selbst betreuen kann, zumal sie nunmehr einer beruflichen Tätigkeit nachgehen will. Gesamthaft betrachtet liegt somit nichts vor, was die Betreungsfähigkeit des Beschwerdegegners und damit das Wohl des Kindes infrage stellte.
4.2.3 Soweit die Rechtsbeiständin der Kinder darauf hinweist, dass die Kinder aufgrund der Aussagen der Mutter nicht ohne sie nach England zurückkehren würden, zeigt sie nicht auf, dass im angefochtenen Urteil entsprechende Feststellungen getroffen worden sind. Darauf ist nicht weiter einzugehen. Die Verhältnisse des Beschwerdegegners, insbesondere sein Alkoholproblem, waren laut den obergerichtlichen Feststellungen bereits im Scheidungsverfahren der Parteien vorgetragen worden und haben das Scheidungsgericht nicht veranlasst, dem Beschwerdegegner das Sorgerecht ganz zu entziehen und ihm jegliches Besuchsrecht zu versagen. Sodann hat die Art der Ausübung des Besuchsrechts durch den Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin auch nicht dazu veranlasst, den Erlass von Massnahmen zum Schutz der Kinder zu verlangen. Hat aber niemand im Rahmen des Scheidungsverfahrens und auch danach aufgrund der bekannten Verhältnisse die Betreuungsfähigkeit des Beschwerdegegners infrage gestellt, so kann im Rahmen der Prüfung des vorliegenden Rückführungsbegehrens nicht gesagt werden, die Unterbringung beim Beschwerdegegner widerspreche offensichtlich dem allem übergeordneten Wohl der Kinder (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin behauptet, die Unterstützung der Grosseltern falle demnächst infolge Wegzuges der Eltern dahin, handelt es sich um ein erstmals vor Bundesgericht vorgebrachtes und damit unzulässiges tatsächliches Vorbringen (<ref-law>), welches überdies auch bestritten ist. Darauf ist nicht einzutreten. Mit der Vorinstanz ist somit davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin nichts vorgetragen hat, was die Betreuungsfähigkeit des Beschwerdegegners infrage stellte. Insbesondere ist nicht einzusehen, weshalb die Kinder zu Beginn nicht in einem Zimmer untergebracht werden können. Zu Recht weist der Beschwerdegegner darauf hin, dass die Beschwerdeführerin ihrerseits die Kinder auch nicht ganztags selbst betreuen kann, zumal sie nunmehr einer beruflichen Tätigkeit nachgehen will. Gesamthaft betrachtet liegt somit nichts vor, was die Betreungsfähigkeit des Beschwerdegegners und damit das Wohl des Kindes infrage stellte.
4.3 4.3.1 Die Beschwerdeführerin lässt schliesslich ausführen, der Beschwerdegegner habe ihr zugesichert, in Grossbritannien noch keine Strafanzeige wegen Kindesentführung eingereicht zu haben, wobei diese Zusicherung durch keine amtlichen Dokumente belegt worden sei. Überdies könne der Beschwerdegegner eine entsprechende Anzeige jederzeit nachreichen. Im Fall eines Strafverfahrens habe sie mit einer Freiheitsstrafe von sechs Monaten bzw. mit einer Busse zu rechnen. Schliesslich könne der Beschwerdegegner in Grossbritannien einen Antrag auf Umteilung der Obhut einreichen mit der Folge, dass die Kinder für die Dauer der Sachverhaltsabklärung bei einer Pflegefamilie untergebracht würden.
4.3.2 Der Beschwerdegegner macht geltend, er beabsichtige keineswegs, eine Strafanzeige gegen die Beschwerdeführerin einzureichen. Selbst wenn, was bestritten werde, eine Strafanzeige erfolge, stehe diese einer Rückführung nicht entgegen, da die Kinder bei ihm bzw. bei seinen Eltern untergebracht werden könnten. Im Weiteren bestehe die Möglichkeit, in England die Umteilung der elterlichen Obhut zu beantragen, wofür die Gerichte am Aufenthaltsort der Kinder zuständig seien. Da diese Zuständigkeit durch das HKÜ geschützt werde, stehe auch die Möglichkeit eines Umteilungsverfahrens einer Rückführung nicht entgegen. Vom unzulässigen Antrag abgesehen (E. 1.5 hiervor) bemerkt die Rechtsbeiständin der Kinder, der Beschwerdegegner habe zugesichert, keine Strafanzeige wegen Kindesentführung einreichen zu wollen. Die Beschwerdeführerin habe nichts Gegenteiliges nachweisen können.
4.3.3 Die entsprechenden Ausführungen der Beschwerdeführerin beruhen grösstenteils auf Spekulationen über mögliche Ereignisse. Insbesondere aber wird nicht dargetan, dass die Beschwerdeführerin aufgrund ihrer Vorgeschichte bei einer Einreise in Grossbritannien unter allen Umständen mit einer unbedingten Freiheitsstrafe zu rechnen hat, die eine Trennung von den Kindern nach sich zöge. Bei einer Würdigung der gesamten Umstände kann nicht gesagt werden, der Beschwerdeführerin könne offensichtlich nicht zugemutet werden, die Kinder in Grossbritannien zu betreuen (<ref-law>). Im Übrigen weist der Beschwerdegegner zu Recht darauf hin, dass die Kinder auf jeden Fall bei ihm als dem anderen Elternteil oder bei den Grosseltern der Kinder untergebracht werden können. Damit kann eine Rückführung der Kinder nicht verweigert werden, selbst wenn der Beschwerdeführerin eine Rückreise nach England nicht zugemutet werden könnte.
4.4 Damit hat die Beschwerdeführerin keinen der kumulativen Verweigerungsgründe dargetan. Der angefochtene Beschluss ist demnach mit dem einschlägigen Bundesrecht vereinbar. Insgesamt erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
5. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
6. 6.1 Was die Kostenregelung anbelangt, ist Art. 26 HKÜ auf die Kosten des Vermittlungsverfahrens und der Mediation sowie der Gerichts- und Vollstreckungsverfahren in den Kantonen und auf Bundesebene anwendbar (<ref-law>). Artikel 14 BG-KKE stellt klar, dass der Rechtsweg an das Bundesgericht zum Verfahren im Sinne von Artikel 26 Absatz 2 HKÜ gehört (Botschaft zur Umsetzung der Übereinkommen über internationale Kindesentführung sowie zur Genehmigung und Umsetzung der Haager Übereinkommen über den Schutz von Kindern und Erwachsenen vom 28. Februar 2007, BBl. 2007 2628). In Anwendung dieser Bestimmung sind demnach für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten zu erheben.
6.2 Im vorliegenden Fall wird dem Rückführungsbegehren des antragstellenden Beschwerdegegners definitiv entsprochen. Bei einer Anordnung der Rückführung können die Gerichte gestützt auf Art. 26 Abs. 4 HKÜ der Person, die das Kind verbracht oder zurückgehalten hat, die Erstattung der dem Antragsteller selbst oder für seine Rechnung entstandenen notwendigen Kosten auferlegen; dazu gehören insbesondere auch die Kosten der Rechtsvertretung (5A_25/2010 vom 2. Februar 2010 E. 3.2; vgl. auch Urteil 5A_436/2010 vom 8. Juli 2010 E. 6). Somit ist die Beschwerdeführerin in Anwendung dieser Bestimmung zu verpflichten, den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
6.3 Die Beschwerdeführerin hat sodann die Rechtsbeiständin der Kinder für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen.
7. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da sich die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen hat (<ref-law>). Demgegenüber ist dem entsprechenden Gesuch des Beschwerdegegners stattzugeben, soweit es angesichts der vorstehenden Kosten- und Entschädigungsregelung nicht gegenstandslos geworden ist. Dem Beschwerdegegner ist ein amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen, dem im Fall der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung ein reduziertes Honorar aus der Bundesgerichtskasse zu entrichten ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 3d S. 326 f.).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist. Die mit Beschlusses des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 1. Juli 2010 gesetzten Fristen laufen ab Zustellung des begründeten bundesgerichtlichen Urteils.
2. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
3. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen; das entsprechende Gesuch des Beschwerdegegners wird dagegen gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Dem Beschwerdegegner wird Rechtsanwältin Karin Meyer als amtliche Rechtsbeiständin bestellt.
4. Es werden keine Kosten erhoben.
5. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen. Im Fall der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung wird Rechtsanwältin Karin Meyer ein reduziertes Honorar von Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
6. Die Beschwerdeführerin hat Rechtsanwältin Maya Stutzer für ihre Bemühungen als Rechtsbeiständin der beiden Söhne im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
7. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, dem Bundesamt für Justiz Dienste für internationale Kindesentführungen und dem Amt für Jugend und Berufsberatung Kanton Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden