Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl führt gegen X._ eine Strafuntersuchung wegen Sachbeschädigung etc. Am 15. August 2013 stellte X._ ein Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Y._. Dieser leitete das Gesuch an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich weiter. Am 9. September 2013 stellte X._ ein Ausstandsgesuch gegen Oberrichter Z._. Mit Beschluss vom 21. Oktober 2013 trat die II. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich auf das gegen Oberrichter Z._ gestellte Ausstandsgesuch nicht ein. Auf eine von X._ gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil vom 12. November 2013 nicht ein (Verfahren 1B_397/2013). Mit Beschluss vom 17. Februar 2014 wies die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich das Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Y._ ab und trat im Übrigen auf das Ausstandsgesuch nicht ein. Zur Begründung führte die Strafkammer zusammenfassend aus, dass auf das Ausstandsgesuch nicht einzutreten sei, soweit es sich pauschal gegen die Behörden und ihre Mitglieder richte. Das dem Staatsanwalt Y._ vorgehaltene Verhalten erwecke weder im Einzelnen noch in seiner Kombination den Anschein der Befangenheit. Es lägen weder besonders krasse, noch ungewöhnlich häufige Versäumnisse und Mängel in der Verfahrensführung des Staatsanwaltes vor. Das Ausstandsgesuch erweise sich als unbegründet.
2.
X._ führt mit Eingabe vom 21. März 2014 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 17. Februar 2014. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Der Beschwerdeführer vermag mit seiner hauptsächlich appellatorischen Kritik nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer, die zur Abweisung des Ausstandsgesuch führte bzw. der Beschluss der III. Strafkammer selbst im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Die vorliegende Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. März 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli