Sachverhalt:
A. E._, Jahrgang 1922, lebte nach der Scheidung seiner Ehe im Jahre 1995 mit B._ zusammen. Zu seinen Kindern pflegte er wenig oder praktisch keinen Kontakt. Am 10. November 2003 wurde er wegen Schmerzen im linken Fuss (Durchblutungsstörung) sowie wegen Atembeschwerden und Husten (Lungenkrebs mit Ablegern) in das Kantonsspital eingewiesen. Im Rahmen der Schmerzbehandlung erhielt er Morphium in zeitlichen Abständen und in Dosen von je 5 mg verabreicht. Auf seinen Wunsch hin rief B._ den Notar N._ an, der am 11. November 2003 vormittags E._ aufsuchte, um mit ihm den Inhalt seiner letztwilligen Verfügung zu besprechen. Der Notar kehrte danach in seine Kanzlei zurück, bereitete über Mittag die Urkunde vor und traf am späteren Nachmittag wieder im Kantonsspital ein, wo die öffentliche letztwillige Verfügung unter Mitwirkung der Zeugen errichtet wurde. E._ widerrief darin sämtliche früheren letztwilligen Verfügungen, setzte seine Nachkommen auf den Pflichtteil und bezeichnete als Erbin für die verfügbare Quote seine Lebenspartnerin B._, der er überdies eine Entschädigung von Fr. 50'000.-- für Pflege und Betreuung während der letzten fünf Jahre zu schulden anerkannte. Die öffentliche letztwillige Verfügung enthielt weiter Vorschriften über die Teilung (Einräumung eines Wohnrechts), über die Beerdigung und über die Wahrung der Pflichtteilsansprüche. Zwei Tage später, am 13. November 2003, starb E._ (im Folgenden: Erblasser).
B. Die Testamentseröffnung fand am 30. Januar 2004 statt. Gesetzliche Erben sind K._ und L._, Kinder des Erblassers (fortan: Beschwerdeführer). Sie klagten am 27. Oktober 2004 gegen die eingesetzte Erbin B._ (fortan: Beschwerdegegnerin) und begehrten die Ungültigerklärung der öffentlichen letztwilligen Verfügung vom 11. November 2003, eventuell die Herabsetzung der letztwilligen Zuwendungen. Die Beschwerdegegnerin schloss auf Abweisung. Das Amtsgericht G._ beschränkte das Verfahren auf die Testierfähigkeit des Erblassers (Verfügung vom 22. Januar 2007). Es hiess die Klage gut und stellte die Ungültigkeit der letztwilligen Verfügung fest (Urteil vom 14. Juni 2007). Die Beschwerdegegnerin appellierte dagegen. Das Obergericht des Kantons Solothurn hiess die Appellation gut mit der Begründung, die Beschwerdeführer hätten nicht bewiesen, dass ihr Vater bei Errichtung des Testaments am 11. November 2003 urteilsunfähig gewesen sei. Es wies die Ungültigkeitsklage ab und stellte fest, dass die letztwillige Verfügung des Erblassers vom 11. November 2003 gültig ist. Die Akten wurden zur Durchführung des Herabsetzungsverfahrens an das Amtsgericht zurückgewiesen (Urteil vom 17. November 2008).
C. Dem Bundesgericht beantragen die Beschwerdeführer vorab, die letztwillige Verfügung des Erblassers vom 11. November 2003 für ungültig zu erklären. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Das Obergericht hat kantonal letztinstanzlich darüber entschieden, ob der Erblasser die öffentliche letztwillige Verfügung zu einer Zeit errichtet hat, da er nicht verfügungsfähig war (Art. 467 i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde gemäss <ref-law> ist zulässig. Das Urteil über die Ungültigkeitsklage im Rahmen des Ungültigkeits- und Herabsetzungsprozesses ist als Teilentscheid anfechtbar (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 409). Weitere formelle Einzelfragen werden im Sachzusammenhang zu erörtern sein. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden. Streitig ist die Ermittlung und Feststellung des für die Beurteilung der Urteilsfähigkeit massgebenden Sachverhalts (<ref-law>).
2. Das Obergericht ist davon ausgegangen, die Beschwerdeführer trügen für die Urteilsunfähigkeit des Erblassers die Beweislast (E. 3 S. 7 ff.) und hätten den Beweis nicht erbracht, dass der Erblasser bei Errichtung des Testaments am 11. November 2003 urteilsunfähig gewesen sei (E. 4-9 S. 9 ff. des angefochtenen Urteils). Die Beschwerdeführer wenden ein, das Obergericht habe die Beweislast falsch verteilt (S. 21 f. Rz. 45 und S. 24 Rz. 51 der Beschwerdeschrift).
2.1 Wer urteilsfähig ist und das 18. Altersjahr zurückgelegt hat, ist gemäss <ref-law> befugt, unter Beobachtung der gesetzlichen Schranken und Formen über sein Vermögen letztwillig zu verfügen. Urteilsfähig im Sinne dieses Gesetzes ist gemäss <ref-law> ein jeder, dem nicht wegen seines Kindesalters oder infolge von Geisteskrankheit, Geistesschwäche, Trunkenheit oder ähnlichen Zuständen die Fähigkeit mangelt, vernunftgemäss zu handeln. Die Urteilsfähigkeit ist die Regel und wird vermutet. Folglich hat derjenige, der ihr Nichtvorhandensein behauptet, die Urteilsunfähigkeit zu beweisen. Führt die Lebenserfahrung - etwa bei Kindern, bei bestimmten Geisteskrankheiten oder altersschwachen Personen - zur umgekehrten Vermutung, dass die handelnde Person ihrer allgemeinen Verfassung nach im Normalfall als urteilsunfähig gelten muss, ist der Beweispflicht insoweit Genüge getan und die Vermutung der Urteilsfähigkeit umgestossen; der Gegenpartei steht in diesem Fall der Gegenbeweis offen, dass die betreffende Person trotz ihrer grundsätzlichen Urteilsunfähigkeit aufgrund ihrer allgemeinen Gesundheitssituation in einem luziden Intervall gehandelt hat (vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 8 f.; <ref-ruling> E. 4.3.3 S. 240 f.).
2.2 Die Beschwerdeführer behaupten, im für die Errichtung der letztwilligen Verfügung massgebenden Zeitpunkt, d.h. am 11. November 2003 ab 15.30 Uhr, sei der Erblasser seiner "allgemeinen Verfassung nach im Normalfall" urteilsunfähig gewesen. Die Beschwerdegegnerin müsse die Urteilsfähigkeit in diesem Zeitpunkt, d.h. ein luzides Intervall des Erblassers beweisen. Die Auffassung kann nicht geteilt werden, führte sie doch zu einer generellen Umkehr der Beweislast zum Nachteil desjenigen, der immerhin in einer letztwilligen Verfügung als Erbe bezeichnet ist und zumindest vorläufig den Rechtsschein für seine Erbberechtigung geniesst. Die Beweislast wird nach der Rechtsprechung deshalb nur umgekehrt, wenn der Erblasser über einen längeren Zeitraum hinweg und nicht bloss in der Stunde der Testamentserrichtung als urteilsunfähig anzusehen war. Die Vermutung der Urteilsunfähigkeit betrifft Fälle, wo sich der Erblasser zur Zeit der Testamentserrichtung in einem dauernden Zustand alters- und krankheitsbedingten geistigen Abbaus befand, wie er bei altersdementen Menschen notorisch ist (vgl. die Hinweise auf die Praxis des Bundesgerichts bei Schröder, in: Praxiskommentar Erbrecht, Basel 2007, N. 27 zu <ref-law>; seither: Urteile 5A_723/2008 vom 19. Januar 2009 E. 3-4 und 5C.282/2006 vom 2. Juli 2007 E. 3.1). Die Urteilsunfähigkeit wird hingegen nicht vermutet und ist zu beweisen, wenn ein Erblasser im fortgeschrittenen Alter nur gebrechlich, gesundheitlich angeschlagen und zeitweise verwirrt ist (Urteil 5C.193/2004 vom 17. Januar 2005 E. 4, in: ZBGR 87/2006 S. 111 f.), lediglich Absenzen infolge eines Hirnschlags hat (Urteil 5C.98/2005 vom 25. Juli 2005 E. 2.3.2, in: Pra 96/2007 Nr. 17 S. 99) oder bloss an altersbedingten Erinnerungslücken leidet (Urteil 5A_204/2007 vom 16. Oktober 2007 E. 5, zusammengefasst in: successio 2008 S. 243 f.).
2.3 Die Voraussetzungen für eine Beweislastumkehr sind hier nicht erfüllt. Wie die Beschwerdeführer zutreffend hervorheben, geht selbst der von ihnen angerufene Gerichtsgutachter davon aus, dass der Erblasser nur zeitweise urteilsunfähig gewesen ist. Die Aussage des Hausarztes über eine eingeschränkte Hirnleistung des Erblassers seit geraumer Zeit konnten weder der Gerichtsgutachter noch die übrigen fachkundigen Zeugen bestätigen. Der Gerichtsgutachter spricht von einem wechselnden Bewusstseinszustand zwischen örtlich und zeitlich orientiert und teilweise verwirrt infolge der periodisch verabreichten Medikamente. Das Kurzgutachten stimmt damit überein. Der erstbehandelnde Arzt beschreibt den Erblasser als "fortwährend ansprechbar und orientiert" und hat als Zeuge bestätigt, dass der Erblasser ansprechbar gewesen sei, die Situation (wie Ort und Zeit) erfasst und die eigene Situation richtig wiedergegeben habe sowie die Fragen richtig habe beantworten können. Allein schon aufgrund des fachärztlichen Befundes kann nicht davon ausgegangen werden, der Erblasser sei bereits vor dem Eintritt in das Spital und während der Dauer des Spitalaufenthalts seinem allgemeinen Gesundheitszustand nach und im Normalfall urteilsunfähig gewesen. Die Beurteilung des Obergerichts, der Erblasser sei nicht permanent urteilsunfähig gewesen, kann nicht beanstandet werden. Die Beweislast der für die Beurteilung der Urteilsunfähigkeit notwendigen Tatsachengrundlage und die Folgen ihrer allfälligen Beweislosigkeit haben somit die Beschwerdeführer zu tragen.
3. Die Beschwerdeführer wenden ein, das Obergericht habe für die Urteilsunfähigkeit den absoluten Beweis statt bloss eine überwiegende Wahrscheinlichkeit verlangt und damit das geforderte Beweismass verletzt (S. 23 f. Rz. 47 und Rz. 52 der Beschwerdeschrift).
3.1 Nach der Rechtsprechung genügt für den Beweis der Urteilsunfähigkeit einer verstorbenen Person eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit, die jeden ernsthaften Zweifel ausschliesst, weil in diesem Fall die Natur der Sache einen absoluten Beweis unmöglich macht (BGE 74 II 202 E. 1 S. 205 und die seitherige Rechtsprechung). In Anlehnung an andere Rechtsgebiete hat das Bundesgericht dieses herabgesetzte Beweismass als "überwiegende Wahrscheinlichkeit" bezeichnet (Urteil 5C.32/2004 vom 6. Oktober 2004 E. 3.2; vgl. FORNI/ PIATTI, Basler Kommentar, 2007, N. 17 a.E. zu Art. 519/520 ZGB).
3.2 Das Obergericht hat die Herabsetzung des Beweismasses entgegen der Darstellung der Beschwerdeführer nicht übersehen und auf die Rechtsprechung verwiesen. Dass es dabei das Beweismass - wie bis anhin - mit "sehr grosser Wahrscheinlichkeit" umschrieben hat (E. 2 S. 6 des angefochtenen Urteils), schadet nicht. Es handelt sich lediglich um eine Frage der Begrifflichkeit. Entscheidend ist, dass das Obergericht nicht gefordert hat, die Tatbestandsmerkmale der Urteilsunfähigkeit müssten zu seiner vollen Überzeugung gebracht werden, und vielmehr von einem auf "Wahrscheinlichkeit" herabgesetzten Beweismass ausgegangen ist (vgl. zur Abgrenzung: <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 88 f.; <ref-ruling> E. 6.1 S. 45).
3.3 Zur Hauptsache machen die Beschwerdeführer geltend, das Obergericht habe zu Unrecht angenommen, sie hätten die Urteilsunfähigkeit des Erblassers nicht überwiegend wahrscheinlich gemacht. Ihre Rüge betrifft nicht die Rechtsfrage nach dem richtigen Beweismass, sondern die gerichtliche Beweiswürdigung, die die Frage beantwortet, ob der den bundesrechtlichen Anforderungen entsprechende Beweis von der beweisbelasteten Partei tatsächlich erbracht worden ist (<ref-ruling> E. 5 S. 327 f.). Darauf ist im Folgenden einzugehen.
4. Die Beschwerdeführer rügen, das Obergericht habe die Urteilsunfähigkeit bezogen auf einen falschen Zeitpunkt beurteilt. Massgebend sei nicht der Morgen des 11. November 2003, weil der Erblasser das Testament am Nachmittag errichtet habe, und zwar im Zeitraum zwischen 15.30 Uhr und 17.30 Uhr und nicht zwischen 15.30 Uhr und 17.00 Uhr, wie das Obergericht willkürlich angenommen habe (S. 17 f. Rz. 33-34 der Beschwerdeschrift).
4.1 Die Frage der Urteilsfähigkeit stellt sich bezogen auf eine konkrete Verfügung im Zeitpunkt ihrer Errichtung (<ref-ruling> E. 2a S. 233). Vorliegend handelt es sich um eine öffentliche letztwillige Verfügung (<ref-law>). Ihre Beurkundung ist im sog. Sukzessivverfahren erfolgt, d.h. Vor- und Hauptverfahren haben zeitlich auseinander gelegen. Die Mitteilung des Willens von Seiten des Erblassers, die Beratung und die Rechtsbelehrung sowie die Vorbereitung der Urkunde durch den Notar (Vorverfahren) haben am Morgen stattgefunden, während das Lesen der vorbereiteten Urkunde und deren Genehmigung durch den Erblasser sowie die Bestätigung der Zeugen (Hauptverfahren) am späteren Nachmittag des gleichen Tags erfolgt sind (vgl. für die Einzelheiten: RUF/JEITZINER, Basler Kommentar, 2007, N. 22 ff. zu Art. 499 und N. 5 zu <ref-law>; STEINAUER, La procédure d'instrumentation des testaments publics, des pactes successoraux, des contrats de mariage et des conventions sur les biens, in: Schmid, Ausgewählte Fragen zum Beurkundungsverfahren - La procédure d'instrumentation des actes authentiques, Zürich 2007, S. 91 ff., S. 99, mit Hinweisen).
4.2 Entgegen der Annahme der Beschwerdeführer ist Urteilsfähigkeit sowohl im Zeitpunkt der Beratung als auch in der Realisationsphase notwendig (vgl. BREITSCHMID, Basler Kommentar, 2007, N. 12 zu Art. 467/468 ZGB). Erfahrungsgemäss sind die Anforderungen an die Urteilsfähigkeit des Erblassers im Rahmen der Beratung und damit der eigentlichen Willensbildungsphase (vgl. BREITSCHMID, a.a.O., N. 11 zu Art. 467/468 ZGB) höher als beim Beurkundungsvorgang, wo der Erblasser an sich nur mehr kontrolliert, was hier wenige Stunden zuvor abgemacht wurde, d.h. den vorbereiteten Entwurf selbst liest oder sich vorlesen lässt, darin seinen eigenen Willen wiedererkennt und ihn genehmigt (vgl. DIEDERICHSEN, Juristische Voraussetzungen, in: Venzlaff/Foerster, Psychiatrische Begutachtung, 4.A. München 2004, Ziff. 23.14.3 S. 491; HAGENA, Münchener Kommentar, 2004, N. 4, und SOERGEL/MAYER, Bürgerliches Gesetzbuch, Erbrecht, 2003, N. 18, je zu § 2229 BGB, mit Hinweisen). Das Obergericht hat sich deshalb zu Recht auch zur Frage geäussert, ob der Erblasser am Morgen bei der Besprechung und Vorbereitung der letztwilligen Verfügung mit dem Notar urteilsfähig war (vgl. E. 5 hiernach).
4.3 Das Hauptverfahren hat nach den Feststellungen des Obergerichts am Nachmittag zwischen 15.30 Uhr und 17.00 Uhr stattgefunden. Die Beschwerdeführer behaupten, die öffentliche letztwillige Verfügung sei zwischen 15.30 Uhr und 17.30 Uhr verfasst worden. Die Frage soll entscheidend sein, weil der Erblasser um 17.00 Uhr eine weitere 5 mg-Dosis an Morphium erhalten hat. Das Obergericht ist von den Angaben des Notars ausgegangen, wonach er den Termin zur Verurkundung auf 15.30 Uhr in seiner Agenda eingetragen habe und die Unterzeichnung zwischen ca. 15.30 Uhr und 16.15 Uhr stattgefunden habe. Dem Einwand, die Beschwerdeführerin sei bis um ca. 16.15 Uhr beim Erblasser gewesen und habe keine Testamentserrichtung miterlebt, hat das Obergericht entgegnet, selbst wenn die Angabe zutreffen sollte, wäre die Verurkundung vor 17.00 Uhr beendet gewesen, weil nicht anzunehmen sei, der Notar habe eine Stunde oder länger gebraucht, um das in sämtlichen Punkten bereits am Morgen mündlich vorbesprochene Testament zu verurkunden (E. 4 S. 9 des angefochtenen Urteils). Für ihre abweichende Sachdarstellung vermögen die Beschwerdeführer keinerlei Anhaltspunkte aufzuzeigen, die die obergerichtliche Beweiswürdigung als willkürlich erscheinen lassen könnten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Unter diesen Umständen ist davon auszugehen, dass die Beurkundung der öffentlichen letztwilligen Verfügung unter Mitwirkung der Zeugen am 11. November 2003, nachmittags zwischen 15.30 Uhr und 17.00 Uhr stattgefunden hat. Für diesen Zeitrahmen hat das Obergericht die Urteilsfähigkeit des Erblassers auch prüfen müssen (vgl. E. 6-7 hiernach).
5. Die Ergebnisse des Beweisverfahrens haben nach Ansicht des Obergerichts ausgeschlossen, dass der Erblasser beim Eintritt in das Spital am 10. November 2003 bzw. am darauffolgenden Tag der Testamentserrichtung an einer die Urteilsfähigkeit beeinträchtigenden Demenz gelitten habe (E. 5 S. 10 f. des angefochtenen Urteils).
5.1 Der Gerichtsgutachter hat festgestellt, der Erblasser habe keine Hirnmetastasen gehabt und sei gemäss Statusblatt bei Klinikeintritt nicht dement gewesen. Auf Grund der Aussagen der fachkundigen Zeugen (behandelnde Ärzte und betreuende Krankenschwestern) hat das Obergericht das Vorliegen einer fortgeschrittenen Demenz zumindest bis zum hier interessierenden Zeitpunkt (11. November 2003 bis längstens 17.00 Uhr) als nicht erstellt betrachtet. Entscheidend ist auch die Aussage des Notars über die Besprechung mit dem Erblasser am Morgen des 11. November 2003 gewesen. Danach sei es das Hauptanliegen des Erblassers gewesen, für seine Lebenspartnerin zu schauen. Der Erblasser habe ihr eigentlich alles geben wollen, worauf er als Notar ihm erklärt habe, dass das wegen den Pflichtteilserben nicht gehe. Das wichtigste für den Erblasser sei gewesen, seine Lebenspartnerin für die sieben Jahre, die sie ihn gepflegt habe, zu entschädigen. Der Erblasser habe auch unbedingt gewollt, dass sie im Haus bleiben könne. Er als Notar habe überhaupt keine Zahlen gehabt. Der Erblasser habe ihm dann gesagt, dass das Haus bis auf Fr. 100'000.-- abbezahlt sei und dass ca. Fr. 25'000.-- in bar vorhanden seien. Nach gewalteter Diskussion über die Entschädigung für die jahrelange Pflege habe er als Notar dem Erblasser vorgeschlagen, hiefür Fr. 50'000.-- einzusetzen und der Lebenspartnerin ein Wohnrecht zu erteilen. Der Erblasser sei damit einverstanden gewesen. Nach Ansicht des Notars hat der Erblasser das Ergebnis der Besprechung schlussendlich begriffen, nicht aber den technischen Weg, wie man darauf gekommen ist. Auf Grund der Zeugenaussage hat das Obergericht bestätigt gesehen, dass der Erblasser am 11. November 2003 nicht dement gewesen sein könne, zumal ein unter fortgeschrittener Demenz leidender und mithin urteilsunfähiger Mensch nicht in der Lage sei, derart exakte Anweisungen zu geben und seine Vermögensverhältnisse genau darzulegen. Dem Inventar vom 11. März 2004 lasse sich nämlich entnehmen, dass die Hypothekarschuld Fr. 119'000.-- und das Vermögen am Todestag Fr. 27'665.35.-- betragen hätten, was in etwa den Angaben des Erblassers entspreche.
5.2 Da die Beschwerdeführer - zu Unrecht (E. 4.2 hiervor) - nur die Urteilsfähigkeit am Nachmittag des 11. November 2003 für entscheidend halten, gehen sie auf die Besprechung zwischen dem Erblasser und dem Notar nicht näher ein (<ref-law>). Von der grundsätzlichen Urteilsfähigkeit des Erblassers am Morgen des 11. November 2003 ist deshalb auszugehen. Geprüft werden muss hier die Frage, ob es sich bei der besprochenen letztwilligen Verfügung um ein derart anspruchsvolles Geschäft gehandelt hat, dass der Erblasser dessen Sinn, Zweckmässigkeit und Auswirkungen nicht zu erkennen vermochte (vgl. zur intellektuellen Komponente der Urteilsfähigkeit: <ref-ruling> E. 1a S. 7 f.; <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 239). Die Beschwerdeführer wenden ein, es könne entgegen der Annahme des Obergerichts (E. 8 S. 12 f.) nicht von einem einfachen Geschäft ausgegangen werden (S. 19 Rz. 38 der Beschwerdeschrift). Dem Obergericht ist indessen beizupflichten, dass Verfügungen von Todes wegen nicht generell anspruchsvoll sind und stets hohe Anforderungen an die Urteilsfähigkeit stellen. Als anspruchsvoll kann eine letztwillige Verfügung nach der Rechtsprechung dann erscheinen, wenn sie auf komplexen Entscheidungsgrundlagen beruht und schwierig zu beurteilende Auswirkungen hat (Urteil 5C.193/2004 vom 17. Januar 2005 E. 2.3.1, in: ZBGR 87/2006 S. 110). Letztere Voraussetzungen sind hier nicht erfüllt.
5.3 Die letztwillige Verfügung hat auf einfachen Wünschen und Vorstellungen beruht. Der Erblasser wollte seine Lebenspartnerin für die geleisteten Dienste in bar entschädigen, im grösstmöglichen Umfang erbrechtlich begünstigen und ihr dabei einen Verbleib im bisher bewohnten Haus ermöglichen, und zwar alles unter Wahrung der Pflichtteilsrechte der Nachkommen (E. 5.1 soeben). Schwierig daran war allenfalls die rechtstechnische Umsetzung des letzten Willens in Anbetracht der grossen Pflichtteilsansprüche (vgl. Art. 457 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) und des zur Hauptsache aus der Liegenschaft bestehenden Nachlassvermögens. Der Erblasser hat damit einen Notar als Fachmann betraut und brauchte sich darum auch nicht selber in allen Einzelheiten zu kümmern. Es hat genügt, dass er sich des konkreten Inhalts der Verfügung bewusst war. Andernfalls könnte in jedem Prozess, wo der Betrag der Herabsetzung letztwilliger Zuwendungen - wie hier - durch Gerichtsgutachter bestimmt werden muss, auch einfach die pflichtteilsverletzende letztwillige Verfügung wegen Urteilsunfähigkeit des Erblassers für ungültig erklärt werden. An das Mass der inhaltlichen Konkretisierung und an die Urteilsfähigkeit dürfen mit anderen Worten keine überspannten Anforderungen gestellt werden, soll doch der Erblasser auch in prekären Situationen physischer oder psychischer Belastung oder Schwäche verfügen dürfen (Urteil 5C.193/2004 vom 17. Januar 2005 E. 2.3.1, in: ZBGR 87/2006 S. 110/111; vgl. PETERMANN, Urteilsfähigkeit, Zürich/St. Gallen 2008, S. 46 f. N. 145-146).
5.4 Die Entscheidung zu Gunsten der erbrechtlichen Begünstigung seiner Lebenspartnerin wurde dem Erblasser auch insofern vereinfacht, als er nach den Feststellungen des Obergerichts (E. 7 S. 12) mit seinen beiden pflichtteilsberechtigten Kindern während Jahren (gemäss Angabe in der Pflegeanamnese seit zwölf Jahren) keinen Kontakt mehr gehabt hat. Die Beschwerdeführer wenden dagegen Willkür ein. Dass zwischen ihnen und dem Erblasser seit zwölf Jahren kein Kontakt mehr bestanden habe, sei eine unzutreffende Behauptung der Beschwerdegegnerin (S. 18 Rz. 35-36 der Beschwerdeschrift). Die Zahl von zwölf Jahren lässt sich der Pflegeanamnese (Beschwerde-Beilage Nr. 11) und dem Bericht des erstbehandelnden Arztes entnehmen (Beschwerde-Beilage Nr. 10, S. 1 siebentletzte Zeile). Woher sie stammt, steht nicht fest, ist aber auch nicht entscheidend, zumal das Obergericht von einem fehlenden Kontakt "während Jahren" ausgegangen ist. Diese Feststellung lässt sich auf die Aussagen der Beschwerdeführer an der amtsgerichtlichen Verhandlung vom 14. Juni 2007 stützen (S. 4 des Protokollauszugs, act. 112) und erscheint damit nicht als willkürlich. Mit Blick darauf kann die Annahme nicht beanstandet werden, dem Erblasser sei es nicht schwer gefallen, seine langjährige Lebenspartnerin erbrechtlich zu begünstigen und seine Kinder dafür auf den Pflichtteil zu setzen, wenn die familiären Bande lose waren und der Erblasser mit seinen Kindern in den letzten Jahren vor seinem Tod praktisch keinen persönlichen Kontakt mehr gepflegt hat. Ein Vorwurf ist damit nicht verbunden. Es geht lediglich um die Feststellung der Entscheidungsgrundlage.
5.5 Aus den dargelegten Gründen durfte angenommen werden, der Erblasser sei anlässlich der Vorbereitung der letztwilligen Verfügung im Gespräch mit seinem Notar in der Lage gewesen, seine Wünsche und Vorstellungen klar zu äussern, deren geplante Umsetzung als letztwillige Verfügung zumindest in den Grundzügen zu begreifen und die erbrechtlichen Folgen für seine pflichtteilsberechtigten Kinder abzuschätzen. Insoweit war sich der Erblasser des konkreten Inhalts der zu unterzeichnenden letztwilligen Verfügung bewusst. Es verletzt somit kein Bundesrecht, dass das Obergericht eine Urteilsunfähigkeit des Erblassers am Morgen des 11. November 2003 als nicht erstellt betrachtet und insbesondere ausgeschlossen hat, dass der Erblasser damals an einer fortgeschrittenen, die Urteilsfähigkeit beschränkenden Demenz gelitten habe.
6. Für die Beurteilung der Urteilsfähigkeit am 11. November 2003 zwischen 15.30 Uhr und 17.00 Uhr ist entscheidend, wie sich die Verabreichung von Morphium auswirkt. Die Beschwerdeführer rügen, das Obergericht sei diesbezüglich ohne erkennbaren Grund vom Gutachten abgewichen (S. 14 ff. Rz. 28-32 der Beschwerdeschrift).
6.1 Wie jedes andere Beweismittel unterliegt das Gerichtsgutachten der freien Beweiswürdigung. Kriterien der Beweiswürdigung bilden die Vollständigkeit, die Nachvollziehbarkeit und die Schlüssigkeit des Gutachtens. Das Gericht hat zu prüfen, ob das Gutachten alle Fragen beantwortet, sich auf den zutreffenden Sachverhalt stützt und den Befund ausreichend begründet. Für die Sachverhaltsermittlung und Beweisabnahme bleibt das Gericht verantwortlich. Aus diesem Grund muss es die Schlussfolgerungen des Gutachtens - gegebenenfalls nach einer mündlichen Erläuterung durch den Gutachter - derart nachvollziehen können, dass es zu beurteilen in der Lage ist, ob die gutachterlichen Folgerungen in sich geschlossen sind. Jeder Widerspruch zwischen den vom Gutachter erörterten Grundlagen und seinen Folgerungen kann Zweifel an der Schlüssigkeit des Gutachtens wecken. Sodann hat das Gericht den gutachterlichen Befund - z.B. die geistige Störung in einem bestimmten Zeitpunkt und deren Auswirkungen auf das konkrete Rechtsgeschäft - auf seine rechtliche Erheblichkeit zu prüfen. Beweiswert hat nur das schlüssige Gutachten. Sofern die gutachterlichen Folgerungen weder als offensichtlich widersprüchlich erscheinen noch auf irrtümlichen tatsächlichen Feststellungen beruhen, muss sich das Gericht an die Auffassung des Gutachters halten. Es darf nur aus triftigen Gründen davon abweichen (vgl. Urteil 5P.39/2004 und 5P.40/2004 vom 6. Oktober 2004 E. 4.2 und E. 6.1 Abs. 3, betreffend Testierfähigkeit, teilweise wiedergegeben bei SCHRÖDER, a.a.O., N. 34-36 zu <ref-law>; allgemein: <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 391; <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 269, je mit Hinweisen).
6.2 Im Gerichtsgutachten (Beschwerde-Beilage Nr. 14) wird festgestellt, dass der Wachheitszustand des Erblassers am 11. November 2003 sehr variabel gewesen sei, was auf die fraktionierten Morphingaben zurückzuführen sein dürfte. Die Urteilsfähigkeit des Erblassers zum massgebenden Zeitpunkt hänge von der aktuellen Morphinmedikation einerseits und von einer allfälligen Demenz andererseits ab (S. 4 Ziff. 3). Eine Demenz hat das Obergericht willkürfrei verneint (E. 5 hiervor). Entscheidend sind deshalb nur mehr die gutachterlichen Aussagen zum Einfluss des verabreichten Morphiums auf die Urteilsfähigkeit des Erblassers am 11. November 2003 zwischen 15.30 Uhr und 17.00 Uhr:
6.2.1 Der Gutachter hat bestätigt, dass der Erblasser am 11. November 2003 zwischen 01.00 Uhr morgens und 05.00 Uhr in der Frühe insgesamt 12.5 mg Morphin und dann wieder am Nachmittag je 5 mg Dosen Morphin um 13.15 Uhr, 14.15 Uhr, 17.00 Uhr und 19.15 Uhr erhalten hat. Nach Ansicht des Gutachters wurde das Schmerzmittel nicht in ungebührlich hohen Mengen verabreicht (S. 8 Ziff. 6.1 und 6.3).
6.2.2 Im Pflegebericht finden sich die Angaben zum Zustand des Erblassers für die Zeit um 06.45 Uhr ("Hr. E._ wusste nicht wo er war"), um 13.10 Uhr ("Patient scheint mir örtlich und zeitlich orientiert"), um 14.15 Uhr ("Habe den Eindruck Pat. ist teilweise desorientiert") und um 19.00 Uhr ("Hr. E._ meldet sich mit Sz" [Sz = Schmerzen]). Der Gutachter hat daraus geschlossen, der offenbar wechselnde Bewusstseinszustand spreche für eine Beeinträchtigung durch Medikamente, die periodisch verabreicht wurden (S. 6 Ziff. 1.2). Auf Befragen hat der Gutachter erläutert, zur Zeit der abklingenden Wirkung des Morphins sei der Erblasser offenbar zeitlich und örtlich orientiert gewesen und habe intakt kommunizieren können. Es könne angenommen werden, dass der Erblasser zumindest zu bestimmten Zeitpunkten in der Lage gewesen sei, einem Gespräch zu folgen und den Sinn zu verstehen. Die intravenösen fraktionierten Morphingaben hätten jedoch mit Sicherheit temporär zu einer Urteilsunfähigkeit geführt. Bei der intravenösen Gabe werde der maximale analgetische und auch sedierende Effekt innerhalb von 20 Minuten erreicht und der Spiegel sinke innerhalb von ein bis fünf Stunden auf die Hälfte ab (S. 6 Ziff. 1.3).
6.2.3 Auf die Frage, wie er den Pflegebericht im Hinblick auf die Testierfähigkeit des Erblassers beurteile, hat der Gutachter geantwortet, der Erblasser habe zwischen 05.00 Uhr und 13.15 Uhr keine Morphindosen erhalten. Der Bewusstseinszustand sei zwischen 06.45 Uhr und 13.15 Uhr nicht protokolliert worden. Somit sei es durchaus möglich, dass der Erblasser in diesem Zeitraum korrekt urteilsfähig gewesen sei. Im Gutachten heisst es dann wörtlich: "Dies war jedoch gemäss Pflegebericht im Laufe des Nachmittags nicht mehr der Fall. Zwischen 13.15 Uhr am 11.11.2003 und 09.00 Uhr am 12.11.2003 erhielt der Patient insgesamt 30 mg Morphin. Unter den 5 mg iv Dosen von Morphin war der Patient, welcher früher noch nicht mit Morphin behandelt worden ist, mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nicht mehr urteilsfähig" (S. 7 Ziff 2.2).
6.3 Das Obergericht hat auf die Wirkung der verabreichten Morphindosen abgestellt und ausgeführt, der Erblasser habe bei der Unterzeichnung des Testaments insgesamt 10 mg Morphium erhalten gehabt. Da die Unterzeichnung des Testaments zwischen 15.30 Uhr und 16.15 Uhr bzw. nach Angaben der Beschwerdeführer sogar erst nach 16.15 Uhr stattgefunden habe, sei davon auszugehen, dass das Morphium nicht mehr allzu stark gewirkt habe, zumal der Erblasser seine letzte Morphium-Dosis vor der Unterzeichnung bereits um 14.15 Uhr erhalten habe und der maximale analgetische und sedierende Effekt damit längstens überschritten gewesen sei. Zudem hätten dem Erblasser weitere 5 mg Morphium bereits kurz nach der Unterzeichnung um 17.00 Uhr wieder verabreicht werden müssen, was beweise, dass die schmerzstillende und sedierende Wirkung rasch abgenommen habe (E. 6 S. 11 des angefochtenen Urteils). Die zeitlichen Abstände der verabreichten Morphium-Dosen wie auch die angenommenen Wirkungen der Verabreichung von 5 mg Morphium lassen sich auf das Gutachten stützen (E. 6.2.1-6.2.2 soeben). Danach hat die Wirkung des um 14.15 Uhr verabreichten Morphiums gegen 14.45 Uhr ihren höchsten Stand erreicht, war ab dann wieder am Verflachen und musste bereits um 17.00 Uhr wegen eintretender Schmerzempfindung erneuert werden. Es ist deshalb nicht ausgeschlossen, dass der Erblasser zwischen 16.15 Uhr und 17.00 Uhr zumindest in der Lage war, Inhalt und Bedeutung des ihm vorgelesenen Testamentes noch zu erkennen und dem Gehörten nach frei gefasstem Entschluss zuzustimmen (vgl. E. 4.2 hiervor).
6.4 Ihre Willkürrügen begründen die Beschwerdeführer mit dem gutachterlichen Befund, dass im Gegensatz zum Zeitraum von 06.45 Uhr bis 13.10 Uhr, wo der Erblasser korrekt urteilsfähig gewesen sei, dies gemäss Pflegebericht im Laufe des Nachmittags nicht mehr der Fall gewesen sei und dass unter den 5 mg intravenös (iv) verabreichten Dosen von Morphium der Erblasser mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nicht mehr urteilsfähig gewesen sei (E. 6.2.3 soeben). Willkür in der gegenteiligen Annahme, die Urteilsunfähigkeit sei nicht überwiegend wahrscheinlich gemacht, kann damit indessen nicht begründet werden. Zum einen widerspricht der gutachterliche Befund nicht der Erläuterung des zeitlichen Wirkungsverlaufs einer Dosis von 5 mg Morphium, deren Verabreichung der Erblasser innert zwanzig Minuten urteilsunfähig macht, ein erstes Wiedererwachen der Aufnahmefähigkeit nach Verstreichen weniger Stunden aber nicht ausschliesst. Zum anderen fällt auf, dass sich der Gutachter auf den Pflegebericht stützt, der am Nachmittag ab 14.15 Uhr bis 19.00 Uhr den Bewusstseinszustand des Erblassers genauso wenig protokolliert wie am Vormittag zwischen 06.45 Uhr und 13.10 Uhr. Gleichwohl ist der Gutachter davon ausgegangen und hat das Beweisverfahren ergeben, dass der Erblasser am Vormittag urteilsfähig war (E. 5 hiervor), d.h. nur wenige Stunden nach der Beurteilung um 06.45 Uhr "Hr. E._ wusste nicht wo er war" gemäss Pflegebericht. Weshalb diese Urteilsfähigkeit rund zwei Stunden nach der Beurteilung um 14.15 Uhr "teilweise desorientiert" nicht ebenso wiederhergestellt gewesen sein könnte, leuchtet nicht ein. Unter Willkürgesichtspunkten erscheint vielmehr die Annahme berechtigt, die Wirkung des Morphiums sei soweit verflacht, dass Urteilsunfähigkeit im Zeitpunkt der Testamentserrichtung nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit bejaht werden darf. Es kann ergänzt werden (<ref-law>), dass gemäss Pflegebericht um 15.30 Uhr die Beurteilung "Sz sind besser" erfolgt ist (Beschwerde-Beilage Nr. 11). Die Ergänzung ist deshalb wichtig, weil die Verabreichung von Morphium an einen Krebskranken im Endstadium aus schmerztherapeutischen Gründen nicht nur die Urteilsfähigkeit beeinträchtigen kann, sondern auch erst einen derart schmerzfreien Zustand erreichen lässt, der Urteilsfähigkeit überhaupt wieder möglich macht (vgl. PETERMANN, a.a.O., S. 25 Anm. 100).
6.5 Mit ihren Vorbringen vermögen die Beschwerdeführer Willkür in der Würdigung des Gutachtens nicht darzutun. Insbesondere mit Rücksicht auf den gutachterlich festgestellten Wirkungsverlauf einer verabreichten Dosis von 5 mg Morphium erscheint zumindest die Feststellung nicht als willkürlich, Urteilsunfähigkeit im Zeitpunkt der Testamentsverurkundung sei nicht überwiegend wahrscheinlich gemacht. Das aber genügt (vgl. E. 2-3 hiervor).
7. Seine Würdigung des Gutachtens hat das Obergericht in der Zeugenerklärung der Krankenschwester S._ bestätigt gesehen. Die Beschwerdeführer wollen der Testamentszeugenerklärung keinen Beweiswert zumessen (S. 18 f. Rz. 37 der Beschwerdeschrift).
7.1 Der Notar hat ausgesagt, er habe vor der Besprechung mit dem Erblasser bezüglich dessen Urteilsfähigkeit beim zuständigen Arzt nachgefragt, der ihm geantwortet habe, er erachte den Erblasser in der zu besprechenden Angelegenheit als urteilsfähig (E. 3 S. 8 des angefochtenen Urteils). Zur Beurkundung hat der Notar dann die Krankenschwester S._ beigezogen. Der Notar ist damit korrekt vorgegangen. Er hat sich bei fachkundigem Spitalpersonal informiert und dessen Mitwirkung bei der Beurkundung veranlasst. Die Erklärung der Testamentszeugen, der Erblasser habe sich nach ihrer Wahrnehmung im Zustande der Verfügungsfähigkeit befunden (Art. 501 Abs. 2 und Art. 502 Abs. 2 ZGB), ist zwar lediglich ein Indiz zu Gunsten der Urteilsfähigkeit (vgl. <ref-ruling> E. 1c S. 9), doch ist dieses Indiz umso gewichtiger, wenn die Wahrnehmung über den Zustand der Urteilsfähigkeit vom behandelnden Arzt oder der betreuenden Krankenschwester stammt (vgl. BRÜCKNER, Schweizerisches Beurkundungsrecht, Zürich 1993, N. 2420 S. 678; STEINAUER, a.a.O., S. 94/95 und S. 105, mit Hinweisen). Es erscheint deshalb nicht als bundesrechtswidrig, dass das Obergericht die Bestätigung der Krankenschwester berücksichtigt hat, wonach sich der Erblasser nach ihrer freien Wahrnehmung im Zustand der Verfügungsfähigkeit befunden habe.
7.2 Die Beschwerdeführer wenden gegen den Beweiswert der Testamentszeugenerklärung ein, die Krankenschwester sei skeptisch gewesen, ob der Erblasser urteilsfähig war. Auf den verwiesenen Protokollauszug vom 14. Juni 2007 lässt sich der Einwand in der vorgetragenen Form nicht stützen. Es heisst dort zwar, die Krankenschwester "war zuerst skeptisch, war dann aber doch bereit mitzuwirken" (S. 2, act. 110). Dass die Skepsis in Zweifeln an der Urteilsfähigkeit begründet lag, kann der zitierten Belegstelle nicht entnommen werden, ist aber unwahrscheinlich in Anbetracht der Tatsache, dass die Krankenschwester anschliessend doch mitgewirkt und ihre Wahrnehmung bestätigt hat, dass sich der Erblasser im Zustand der Urteilsfähigkeit befunden habe.
7.3 Die Berücksichtigung der fachkundigen Aussage der Testamentszeugin S._ als Indiz zu Gunsten der Urteilsfähigkeit des Erblassers verletzt kein Bundesrecht. Ausser Betracht lassen die Beschwerdeführer zudem die Aussage des Notars, der die Urteilsfähigkeit des Erblassers ebenfalls bejaht hat und dessen Amtspflicht es war, sich vor der Beurkundung von der Urteilsfähigkeit des Erblassers zu überzeugen (vgl. BRÜCKNER, a.a.O., N. 989-990 S. 296 f.; MOOSER, Le droit notarial en Suisse, Bern 2005, S. 80 ff.).
8. Aus den dargelegten Gründen kann die Ermittlung und Feststellung des für die Beurteilung der Urteilsfähigkeit massgebenden Sachverhalts nicht beanstandet werden. Das Obergericht hat die abgenommenen Beweise entgegen der Darstellung der Beschwerdeführer (S. 19 ff. Rz. 39-41) nicht einseitig gewürdigt, sondern willkürfrei nicht in deren Sinn (E. 4-7). Es hat weder die Beweislast unrichtig verteilt (E. 2) noch auf ein falsches Beweismass abgestellt (E. 3 hiervor). Sein Ergebnis, die Beschwerdeführer hätten den Beweis nicht erbracht, dass der Erblasser bei Errichtung des Testaments am 11. November 2003 urteilsunfähig gewesen sei, hält bundesgerichtlicher Überprüfung Stand (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62, betreffend <ref-law> und <ref-law>).
9. Insgesamt muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführer werden damit unter solidarischer Haftbarkeit für den ganzen Betrag kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist hingegen nicht geschuldet, da bei der Beschwerdegegnerin keine Vernehmlassung eingeholt wurde (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher von Roten