Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1977) und B._ (geb. 1982) sind seit dem Jahr 2002 verheiratet. Sie sind Eltern von C._ (geb. 2001) und D._ (geb. 2006).
B.
B.a. Am 18. November 2012 leitete B._ ein Eheschutzverfahren beim Kantonsgericht Glarus ein.
B.b. Mit superprovisorischer Verfügung vom 30. Januar 2013 stellte das Kantonsgericht die Kinder für die Dauer vom 30. Januar 2013 bis 4. Februar 2013 unter die Obhut von A._. Mit Zwischenentscheid vom 31. Januar 2013 übertrug es sodann die Obhut ab 4. Februar 2013 B._, dies unter Einräumung eines Besuchsrechts zwischen Vater und Kindern.
Am 1. Februar 2013 errichtete das Kantonsgericht für die Kinder eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 3 ZGB und erliess begleitende Weisungen.
B.c. Mit Eheschutzentscheid vom 8. März 2013 beliess das Kantonsgericht die Kinder unter der Obhut von B._. Das Besuchsrecht von A._ legte es auf Dienstag, 18.00 Uhr, bis Mittwoch, Schulbeginn, und in geraden Wochen zusätzlich von Freitag, 19.00 Uhr, bis Sonntag, 19.00 Uhr, fest. Weiter sah es ein Ferienrecht von drei Wochen pro Jahr vor (jeweils maximal zwei Wochen aneinander und innert der Schulferien zu beziehen). Die eheliche Wohnung wies es A._ zur alleinigen Nutzung zu. Den von A._ für jedes Kind geschuldeten Unterhaltsbeitrag setzte es auf Fr. 230.-- vom 1. Dezember 2012 bis 28. Februar 2013 sowie auf je Fr. 850.-- ab 1. März 2013 fest, zuzüglich allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen. Der Ehegattenunterhalt zugunsten von B._ sollte ab 1. März 2013 Fr. 200.-- betragen.
C.
C.a. Gegen dieses Urteil erhob A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Glarus. Er verlangte unter Kosten- und Entschädigungsfolgen eine Ausdehnung des Ferienrechts auf jährlich fünf Wochen, wovon maximal drei Wochen aneinander. Zudem sei der Kinderunterhalt ab 1. März 2013 auf maximal Fr. 550.-- zuzüglich allfälliger Zulagen festzusetzen; auf einen Ehegattenunterhalt sei zu verzichten. B._ beantragte die Abweisung der Berufung.
C.b. Mit Urteil vom 17. Mai 2013 wies das Obergericht die Berufung ab, soweit es darauf eintrat. Die Gerichtskosten auferlegte es A._ und es verpflichtete ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung an B._.
D.
Hiergegen gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er hält an den bereits vor der Vorinstanz gestellten Rechtsbegehren fest.
Das Bundesgericht hat die Akten, in der Sache selbst aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzliches Eheschutzurteil, mithin eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und 2, <ref-law>; zur Qualifikation als Endentscheid <ref-ruling> E. 4 S. 395 f.). Die Beschwerde richtet sich abgesehen von der Unterhaltsfrage auch gegen die Regelung des persönlichen Verkehrs, womit die Beschwerde streitwertunabhängig zulässig ist. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Frist ist eingehalten (<ref-law>). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist somit einzutreten.
1.2. Weil Eheschutzentscheide vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> darstellen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 397), kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
Der Beschwerdeführer verlangt, ihm sei ein ausgedehnteres Ferienrecht von fünf anstatt drei Wochen einzuräumen.
2.1. Gemäss <ref-law> haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder die Obhut nicht zustehen, und das unmündige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr (<ref-law>), worunter neben dem Besuchsrecht auch das Ferienrecht fällt. Bei der Ausgestaltung der Kontaktrechte steht das Kindeswohl im Vordergrund (<ref-ruling> E. 5 S. 212). Welche Ordnung des persönlichen Verkehrs zwischen Eltern und Kindern angemessen ist, lässt sich nicht objektiv und abstrakt umschreiben, sondern entscheidet sich im konkreten Einzelfall nach richterlichem Ermessen (vgl. Urteil 5A_432/2011 vom 20. September 2011 E. 2.5, in: FamPra.ch 2012 S. 212 mit Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer führt zur Begründung seines Antrags aus, er habe bereits vor der Vorinstanz dargelegt, wie sehr er an seinen Kindern hänge und umgekehrt. Das Obergericht sei darauf nicht eingegangen. Er sei ein Vertreter der jungen Generation von Vätern, die sich aktiv um die Kinder kümmern würden. Die Kinder seien noch klein und bräuchten ihn in gleichem Masse wie die Mutter. Es sei blanker Hohn, wenn das Obergericht behaupte, es sei ihm ein grosszügiges Besuchsrecht zugesprochen worden. Die Vorinstanzen hätten Art. 176 und Art. 273 ff. ZGB missachtet.
Der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer kann so verstanden werden, dass er eine willkürliche Anwendung von <ref-law> rügen will.
2.3. Soweit der Beschwerdeführer dabei mit dem (seiner Ansicht nach nicht grosszügigen) Besuchsrecht argumentiert, ist darauf von vornherein nicht einzugehen, verlangt er doch vor Bundesgericht gar kein ausgedehnteres Besuchsrecht.
Zum Ferienrecht selbst führt der Beschwerdeführer sodann mit keinem Wort aus, weshalb das Ferienrecht auf die beantragten fünf Wochen ausgedehnt werden müsste. Er beschränkt sich auf allgemeine Ausführungen zu seiner Rolle als Vater und generelle Kritik am vorinstanzlichen Entscheid, womit die Willkürrüge unsubstanziiert bleibt (vgl. vorstehend E. 1.2). Da ein Ferienrecht von drei Wochen überdies im üblichen Rahmen liegt, ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz ihr Ermessen (E. 2.1) überschritten haben sollte.
2.4. Im Zusammenhang mit dem Ferienrecht rügt der Beschwerdeführer auch eine Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs.
Die Vorinstanz hielt fest, dass der Beschwerdeführer in seiner Berufung nicht aufgezeigt habe, inwiefern die erste Instanz in Bezug auf das Ferienrecht den Sachverhalt unrichtig festgestellt oder Recht unrichtig angewendet hätte, die Berufung sei daher abzuweisen. Im Übrigen habe die erste Instanz eine gerichtsübliche Ferienregelung getroffen; diese erscheine als ausgewogen. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz damit ihren Entscheid sehr wohl begründet, womit der Rüge die Grundlage entzogen ist.
3.
Strittig ist sodann die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers gegenüber den Kindern einerseits und gegenüber der Beschwerdegegnerin anderseits.
3.1. Das Kantonsgericht berechnete die Unterhaltsbeiträge für den hier massgebenden Zeitraum ab 1. März 2013 basierend auf monatlichen Nettoeinkommen des Beschwerdeführers von Fr. 6'100.-- (inkl. Anteil 13. Monatslohn) sowie der Beschwerdegegnerin von Fr. 1'400.-- (inkl. Kinderzulagen). Den erweiterten Notbedarf des Beschwerdeführers setzte es auf Fr. 4'189.-- fest, denjenigen der Beschwerdegegnerin mit den Kindern auf Fr. 4'732.--. Auf dieser Grundlage berechnete das Kantonsgericht auf der Seite der Beschwerdegegnerin ein Manko von über Fr. 3'000.-- sowie auf der Seite des Beschwerdeführers einen Überschuss von rund Fr. 1'900.--. Es erwog dann, dieser könne daher Unterhaltsbeiträge von Fr. 850.-- für jedes Kind sowie Fr. 200.-- an die Ehefrau leisten.
Zu erwähnen ist, dass im Eheschutzurteil vom 8. März 2013 gemäss übereinstimmendem Antrag der Parteien die vormals eheliche Wohnung dem Beschwerdeführer zugewiesen wurde, da er diese für die Berufsausübung benötige. Den für die Wohnung geschuldeten Mietzins von Fr. 2'400.-- befand das Gericht aber für unangemessen hoch, weshalb es ihm ab dem 1. März 2013 einen (hypothetischen) Mietzins von Fr. 1'200.-- einsetzte. Der Beschwerdeführer müsse entweder eine neue Wohnung finden oder aber mit dem Arbeitgeber eine Vereinbarung treffen, bei welcher er für die Wohnung nicht mehr als Fr. 1'200.-- bezahlen müsse. Diesen Punkt hat der Beschwerdeführer in der Berufung nicht angefochten.
3.2. Vor der Vorinstanz brachte der Beschwerdeführer dann aber vor, sein Arbeitgeber habe seinen Lohn "um die Miete" gekürzt, wie aus einer Bestätigung des Arbeitgebers vom 13. März 2013 hervorgehe. Damit sei die Unterhaltsberechnung offensichtlich falsch.
Hierzu erwog die Vorinstanz, dass der Arbeitgeber zwar weniger Lohn auszahle, dieser gemäss der Bestätigung aber (zusätzlich) Fr. 1'200.-- an die Miete des Beschwerdeführers plus Fr. 300.-- für einen Geschäftsraum übernehme; der Beitrag des Arbeitgebers an die Wohnkosten stelle demnach Lohnbestandteil dar. Die Vorinstanz hält dabei fest, dass die erste Instanz den Betrag von Fr. 300.-- noch nicht einmal berücksichtigt habe, faktisch stünden dem Beschwerdeführer sogar Fr. 300.-- mehr Einkommen zur Verfügung als von dieser angenommen. Wenn überhaupt, wäre daher die Unterhaltsregelung zu seinen Lasten abzuändern. Der Beschwerdeführer versuche auf diese Weise nur, das erstinstanzliche Urteil zu umgehen. Entsprechend wies die Vorinstanz die Berufung bezüglich Unterhaltsberechnung ab.
3.3. Wie vorstehend dargelegt, hätte der Beschwerdeführer Willkür darzutun (E. 1.2).
Aus den vom Beschwerdeführer vorgelegten Lohnblättern der Monate März bis Mai 2013 ergibt sich ein durchschnittlicher Nettolohn von rund Fr. 5'400.--. Aus der Bestätigung des Arbeitgebers vom 13. März 2013 geht hervor, dass dieser den Nettolohn um die Miete kürzt. Sodann wird festgehalten, dass die Miete von insgesamt Fr. 1'500.-- (Fr. 1'200.-- plus Fr. 300.-- aus vorbestehendem Untermietvertrag) aufgrund eines neuen Untermietvertrages mit dem Beschwerdeführer auf dessen Konto überwiesen wird. Wie der Beschwerdeführer ausführt, handelt es sich bei den Fr. 300.-- um das Entgelt für einen Lagerraum. Daraus fliesse ihm kein Nutzen zu. Was die Fr. 1'200.-- angeht, bestreitet er aber nicht, dass er diesen Betrag für die Wohnungsmiete zusätzlich zum Lohn erhält. Etwas anderes geht auch nicht aus der vom Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren neu eingereichten Bestätigung des Arbeitgebers vom 14. Juni 2013 hervor, soweit diese überhaupt berücksichtigt werden könnte (<ref-law>).
Vor diesem Hintergrund ist keine Willkür ersichtlich, wenn die Vorinstanz befand, dass die Miete Lohnbestandteil bilde. Die anderen Posten der Unterhaltsberechnung rügt der Beschwerdeführer nicht.
4.
Der Beschwerdeführer beantragt schliesslich, es sei ihm zu erlauben, in der vormals ehelichen Wohnung zu bleiben (bei einem monatlichen Mietzins von Fr. 1'200.--). Nachdem die Frage der Wohnungszuweisung überhaupt nicht strittig ist, braucht auf diesen Punkt nicht eingegangen zu werden.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
5.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Glarus schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann