Sachverhalt:
A.
In ihrer Steuererklärung 2009 deklarierten die Eheleute A.B._ und B.B._ geb. C._, wohnhaft in U._/BE, lediglich Einkünfte aus unselbständiger Erwerbstätigkeit (Fr. 47'959.--) und ein weiteres, allerdings nicht steuerbares Einkommen (Sozialhilfe). Unter Berücksichtigung der Abzüge ergab sich für die Eheleute und die beiden unmündigen Kinder gemäss Selbstschatzung ein steuerbares Einkommen von rund Fr. -3'000.--. Im Vermögen wiesen sie ein Auto im Wert von Fr. 3'780.-- und Schulden von Fr. 19'301.-- aus. Die Selbstschatzung veranlasste die Steuerverwaltung des Kantons Bern zur Vornahme einer Vermögensrechnung nach der üblichen kombinierten Methode (Vermögensentwicklung und Privataufwand). Die Berechnung der Vermögensentwicklung ergab einen Privatverbrauch von Fr. 29'399.--. Aufgrund des pauschal ermittelten Privataufwands der vierköpfigen Familie von Fr. 79'595.-- stellte sich ein Fehlbetrag von Fr. 50'196.-- ein. Diesen beabsichtigte die Steuerverwaltung im Sinne eines Ermessenszuschlags aufzurechnen. Mit Schreiben vom 2. September 2010 gewährte die Steuerverwaltung den Eheleuten B._-C._ das rechtliche Gehör, von welchem die Eheleute keinen Gebrauch machten. Infolge dessen rechnete die Steuerverwaltung des Kantons Bern den Fehlbetrag auf. Dadurch ergab sich ein steuerbares Einkommen von Fr. 51'000.-- (Kanton) bzw. Fr. 68'400.-- (Bund) und ein steuerbares Vermögen von Fr. -66'000.--. Der Schlussabrechnung zufolge schuldeten die Eheleute B._-C._ Kantons- und Gemeindesteuern von Fr. 8'518.10 und direkte Bundessteuern von Fr. 757.--. Die beiden Veranlagungsverfügungen vom 3. November 2010 traten unangefochten in Rechtskraft.
B.
Die Eheleute B._-C._ ersuchten am 2. Dezember 2010 um Erlass der Steuern. Mit Entscheid vom 9. März 2011 wies die Steuerverwaltung der Einwohnergemeinde U._/BE das Gesuch ab. Einen dagegen erhobenen Rekurs wies die Steuerrekurskommission des Kantons Bern am 2. Mai 2012 ab (Kantons- und Gemeindesteuern), wogegen sie die Beschwerde hinsichtlich der direkten Bundessteuer guthiess.
C.
Mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern beantragten die Eheleute B._-C._, die geschuldeten Kantons- und Gemeindesteuern seien zu erlassen, eventuell sei die Veranlagung 2009 für nichtig zu erklären. Mit Urteil vom 10. Juli 2014 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es erhob keine Verfahrenskosten und schrieb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos ab.
D.
Mit Eingabe vom 14. August 2014 erheben die Eheleute B._-C._ beim Bundesgericht Verfassungsbeschwerde. Sie wiederholen das vor der Vorinstanz gestellte Rechtsbegehren; zudem beantragen sie unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung.
Das Verwaltungsgericht und die Steuerverwaltung des Kantons Bern beantragen Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht beurteilt Verfassungsbeschwerden gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, soweit keine Beschwerde nach den Art. 72-89 BGG zulässig ist (<ref-law>). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über die Stundung und den Erlass von Abgaben. Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde unter Vorbehalt des Nachfolgenden grundsätzlich gegeben.
1.2. Angefochten ist ein verfahrensabschliessender Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 114 i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2; Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Mit der Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Es gilt das qualifizierte Rüge- und Begründungsprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Dies bedeutet, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 8 S. 156).
1.3. Die Steuerpflichtigen erheben im Wesentlichen die Rüge der Willkür (<ref-law>; zum Willkürbegriff: <ref-ruling> E. 3.3 S. 166; <ref-ruling> E. 2.5.2 S. 250). Praxisgemäss verschafft <ref-law>, ebenso wie <ref-law>, für sich allein kein hinreichendes rechtlich geschütztes Sachinteresse im Sinne von <ref-law>. Legitimiert zur Willkürrüge ist die betroffene Person nur, soweit sie sich auf eine anspruchsverleihende oder individualschützende Norm zu berufen vermag. Eine solche kann sich einerseits aus kantonalem oder eidgenössischem Gesetzesrecht, anderseits unmittelbar aus einem angerufenen speziellen Grundrecht ergeben, falls die Interessen auf dem Gebiet liegen, das die betreffende Verfassungsbestimmung beschlägt (<ref-ruling> E. 1.3 S. 308; <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 130; <ref-ruling> E. 2 S. 308; zum Ganzen Urteil 2C_702/2012 vom 19. März 2013 E. 3.2, in: StR 68/2013 S. 464).
1.4. Im vorliegenden Fall sind die Steuerpflichtigen aufgrund dessen zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>), dass Art. 240 Abs. 5 des Steuergesetzes (des Kantons Bern) vom 21. Mai 2000 (StG/BE; BSG 661.11) bei Erfüllung der gesetzlichen Voraussetzungen einen Rechtsanspruch auf Steuererlass gewährt (Urteil 2C_702/2012 vom 19. März 2013 E. 3.4 mit zahlreichen Hinweisen). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Nach Art. 240 Abs. 1 StG/BE kann die Zahlung von rechtskräftig festgesetzten Steuern erlassen werden, wenn sie mit einer erheblichen Härte verbunden ist. Für den Entscheid, ob ein Härtefall vorliegt, sind die gesamten wirtschaftlichen Verhältnisse der steuerpflichtigen Person zum Zeitpunkt des Entscheides unter Berücksichtigung der Zukunftsaussichten massgebend (Art. 240a Abs. 2 Satz 1 StG/BE). Trotz Vorliegens eines Härtefalls kann gemäss Art. 240c Abs. 1 StG/BE von einem Steuererlass abgesehen werden, wenn die steuerpflichtige Person u.a. im Veranlagungsverfahren ihre Pflichten ernstlich verletzt hat, so dass eine Beurteilung der damaligen finanziellen Situation nicht mehr möglich ist (lit. a), oder wenn sie zum Zeitpunkt der Fälligkeit der Steuerforderung trotz vorhandener verfügbarer Mittel weder Zahlungen leistet noch Rückstellungen vornimmt (lit. e).
2.2.
2.2.1. Die Vorinstanz hat erwogen, das Vorliegen eines wirtschaftlichen Härtefalls werde von keiner Seite angezweifelt. Anders als die Unterinstanz kommt die Vorinstanz aber zum Schluss, die Voraussetzungen von Art. 240c Abs. 1 lit. a StG/BE (ernstliche Verletzung der Mitwirkungspflicht im Veranlagungsverfahren) fehlten. Sie begründet dies damit, dass die Steuerpflichtigen zwar auf eine Stellungnahme zur drohenden Aufrechnung verzichtet hätten, dass dieses Stillschweigen aber nicht als (ernstliche) Pflichtverletzung gewertet werden dürfe.
2.2.2. Hingegen sei, so die Vorinstanz, der Ausschlussgrund von Art. 240c Abs. 1 lit. e StG/BE gegeben: Die Steuerpflichtigen hätten gemäss rechtskräftiger Veranlagungsverfügung, die im Erlassverfahren nicht überprüft werden könne, im Jahr 2009 Einnahmen von Fr. 98'155.-- erzielt. Dem stehe ein betreibungsrechtlicher Existenzbedarf von Fr. 58'960.-- gegenüber. Mit dem Differenzbetrag, der frei verfügbaren Einkommensquote von Fr. 39'195.--, hätten sie die geschuldete Steuer ohne weiteres bezahlen oder dafür Rückstellungen machen können, so die Vorinstanz.
2.3.
2.3.1. Die vorinstanzliche Anwendung von Art. 240c Abs. 1 lit. a StG/BE hat das Bundesgericht mangels Vorliegens einer Rüge nicht zu prüfen (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vorne E. 1.2).
2.3.2. Die Steuerpflichtigen werfen der Vorinstanz eine willkürliche Anwendung von Art. 240c Abs. 1 lit. e StG/BE vor. Dieser Norm zufolge kann von einem Steuererlass ganz oder teilweise abgesehen werden, wenn die steuerpflichtige Person "zum Zeitpunkt der Fälligkeit der Steuerforderung trotz vorhandener verfügbarer Mittel weder Zahlungen leistet noch Rückstellungen vornimmt".
2.3.3. Diese Rüge ist begründet: Die Veranlagungsperiode 2009 war Ende des Jahres 2009 (Jahr "n") abgeschlossen (Art. 67 StG/BE). Ihr liegen die finanziellen Verhältnisse zugrunde, wie sie im Verlauf des Jahres "n" (Einkommen) bzw. am Ende desselben (Vermögen) herrschten. Nach dem klaren Wortlaut von Art. 240c Abs. 1 lit. e StG/BE wird der Rechtsanspruch auf Erlass allerdings (nur) zurückgedrängt, wenn die steuerpflichtige Person "zum Zeitpunkt der Fälligkeit der Steuerforderung" weder Zahlungen leistet noch Rückstellungen vornimmt, obwohl sie hierzu in der Lage wäre. Es fragt sich damit, in welchem Zeitpunkt ein veranlagter Ermessenszuschlag fällig wird. Gemäss Art. 231 Abs. 4 StG/BE wird der ganze Steuerbetrag mit der Eröffnung der Veranlagungsverfügung fällig, "soweit er nicht bereits mit früheren Rechnungen fällig geworden ist". Eine etwaige Bestreitung des Steueranspruchs lässt die Fälligkeit unberührt (Art. 231 Abs. 6 StG/BE). Im vorliegenden Fall ist zwar anzunehmen, dass drei Ratenrechnungen (Art. 231 Abs. 1 StG/BE) ergangen sind, die jeweils und noch im Jahr "n" zur Fälligkeit des in Rechnung gestellten Betrags geführt haben (Art. 231 Abs. 5 StG/BE). Anders verhält es sich mit dem Ermessenszuschlag. Er wurde erstmals mit der Eröffnung der Veranlagungsverfügung 2009 wirksam und konnte begrifflich erst mit der Eröffnung im betreffenden Jahr (hier: "n+1") fällig werden (Art. 231 Abs. 4 StG/BE).
2.3.4. Während somit für das Veranlagungsverfahren die Einkommens- und Vermögensverhältnisse des Jahres "n" massgebend sind, stellt sich die Frage im Erlassverfahren anders. Hier geht es zwar nach wie vor um die (rechtskräftig veranlagten) finanziellen Verhältnisse des Jahres "n". Die Frage nach dem Vorliegen eines Ausschlussgrundes (Art. 240c Abs. 1 lit. e StG/BE) geht aber dahin, in welchen finanziellen Verhältnissen sich die steuerpflichtige Person bei Fälligkeit der Steuerrechnung befunden hat. Geht es um einen Ermessenszuschlag, der als solcher erstmals in der Veranlagungsverfügung erscheinen kann, sind die Umstände bei der Eröffnung derselben (bzw. eines Einsprache- oder Rechtsmittelentscheides; Art. 231 Abs. 4 StG/BE) massgebend.
2.3.5. Aus den für das Bundesgericht verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen (<ref-law>) und den Akten (<ref-law>) ergibt sich, dass die Steuerverwaltung des Kantons Bern die Steuerpflichtigen für die Steuerperiode 2009 rechtskräftig mit einem steuerbaren Einkommen von Fr. 51'000.-- (Kanton) bzw. Fr. 68'400.-- (Bund) veranlagt hat, dies bei einem Vermögen von null Franken. Praxisgemäss ergibt sich sodann, dass nur die Entscheidformel (das Dispositiv) einer Verfügung, nicht aber die Sachverhaltsfeststellungen oder die Erwägungen zur Rechtslage (die Motive) in Rechtskraft treten kann (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 120). Im Steuerrecht bedeutet dies, dass (nur) die Steuerfaktoren an der Rechtskraft teilhaben (<ref-ruling> E. 2.4.3 S. 120). Dasselbe ergibt sich aus dem deklaratorisch gehaltenen Art. 240a Abs. 5 StG/BE, wonach eine rechtskräftige Veranlagungsverfügung im Rahmen des Erlassverfahrens nicht (mehr) überprüft werden kann. Auch im vorliegenden Fall stehen die rechtskräftig festgesetzten Faktoren und die sich daraus ergebende Steuer (hier: Fr. 8'518.10 und Fr. 757.--; vorne lit. A) damit nicht zur Diskussion. Hierzu hätte es einer Einsprache oder eines Rechtsmittels, gegebenenfalls eines ausserordentlichen, gegen die Veranlagungsverfügung bedurft. Dies ist aber unterblieben.
2.3.6. Die Steuerpflichtigen haben indes bereits im Erlassgesuch vom 2. Dezember 2010 und danach wiederholt im Rechtsmittelverfahren geltend gemacht, sie seien im Jahr 2009 von der Sozialhilfe unterstützt worden. Diese Aussage bezieht sich auf das Jahr "n". Mit Blick auf den fraglichen Zeitpunkt (3. November 2010) ist dies aber zumindest als starkes Indiz dafür zu werten, dass die Sozialhilfeabhängigkeit (auch) im Jahr "n+1" bestand. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich jedenfalls nichts entnehmen, was hinsichtlich des Jahrs 2010 auf eine finanzielle Gesundung schliessen liesse. Die Steuerpflichtigen haben zum Beweis ihrer Sozialhilfeabhängigkeit verschiedene Schriftstücke vorgelegt und überdies Abklärungen beim Sozialdienst ihrer Wohnortgemeinde beantragt. Unter diesen Umständen und mit Blick auf den gemäss Art. 240c Abs. 1 lit. e StG/BE massgebenden Zeitpunkt durfte die Vorinstanz nicht unbesehen auf das in der rechtskräftigen Veranlagungsverfügung ausgewiesene (Vorjahres-) Einkommen abstellen. Ihre Aufgabe hätte vielmehr darin bestanden, die per Anfang November 2010 herrschenden finanziellen Gegebenheiten in Erfahrung zu bringen und anhand dieser Sachlage zu beurteilen, ob sich mit Recht sagen lässt, die Steuerpflichtigen hätten "trotz vorhandener verfügbarer Mittel weder Zahlungen geleistet noch Rückstellungen vorgenommen".
2.4. Da dies unterblieben ist, stellt sich die vorinstanzliche Auslegung und Anwendung von Art. 240c Abs. 1 lit. e StG/BE bei einer verfassungsrechtlichen Prüfung als unhaltbar dar.
3.
3.1. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet; die Sache ist zu neuer Untersuchung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.2.
3.2.1. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens werden dem Kanton Bern auferlegt, um dessen Vermögensinteressen es geht (<ref-law>).
3.2.2. Der Kanton Bern hat den Steuerpflichtigen für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>). Bei deren Festsetzung ist zu berücksichtigen, dass der Vertreter der Steuerpflichtigen nicht als Rechtsanwalt tätig ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, vom 10. Juli 2014 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.- werden dem Kanton Bern auferlegt.
3.
Der Kanton Bern hat den Beschwerdeführern für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Dezember 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher