Faits:
A. X._, ressortissant turc né en 1960, est arrivé la première fois en Suisse en 1985 ou 1986 en tant que requérant d'asile. Sa demande ayant été rejetée, il est retourné dans son pays en 1987. Il est revenu en Suisse en 1995 et a séjourné et travaillé illégalement pendant une année à Saint-Imier. Pour ces faits, une interdiction d'entrée en Suisse a été prononcée à son encontre le 16 février 1996, valable du 20 mars 1996 au 20 mars 1999. Le 15 mars 1996, l'intéressé a épousé Z._, ressortissante suisse, et a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour. A partir du 27 mars 2001, il a obtenu une autorisation d'établissement. Le divorce des époux XZ._ a été prononcé par jugement du 6 janvier 2004.
Le 21 juin 2004, X._ a déposé une demande de regroupement familial en faveur de ses trois enfants A._, né en 1987, B._, né en 1990, et C._, née en 1991, en application des art. 38 et 39 de l'ordonnance du 6 octobre 1986 limitant le nombre des étrangers (OLE; RS 823.21). Le 31 janvier 2005, le Service des étrangers du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a rejeté la demande précitée. Il a considéré pour l'essentiel que l'intéressé n'avait pas entretenu des relations familiales prépondérantes avec ses enfants, lesquels avaient leurs principales attaches culturelles, sociales et familiales dans leur pays; celui-ci avait par ailleurs choisi de vivre séparé de sa famille et aucun motif ne justifiait une modification de la situation actuelle.
X._ a épousé le 2 mars 2005 la mère de ses enfants, Y._. Le 14 mars 2005, il a déposé auprès de la représentation suisse à Ankara une demande de visa pour la Suisse à titre de regroupement familial en faveur de son épouse et de ses enfants. Par décision du 5 juillet 2006, le Service cantonal a refusé d'octroyer aux requérants une autorisation d'entrée et de séjour en Suisse, reprenant en substance la motivation développée dans sa décision du 31 janvier 2005. Il a en outre estimé que l'intéressé avait épousé la mère de ses enfants uniquement pour faciliter leur venue en Suisse et commettait ainsi un abus de droit. Le 31 janvier 2007, le Département cantonal de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département cantonal) a rejeté le recours de l'intéressé contre la décision précitée.
B. Par arrêt du 6 juillet 2007, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours X._ contre la décision du Département cantonal du 31 janvier 2007. Il a considéré qu'en invoquant son mariage avec la mère de ses enfants, l'intéressé commettait un abus de droit, de sorte qu'il se justifiait de refuser à son épouse l'autorisation de séjour sollicitée. Quant aux enfants, l'intéressé n'avait pas entretenu avec eux une relation familiale prépondérante pendant les douze années de séparation et il semblait plutôt que le but visé était de leur assurer des conditions de vie plus favorables. En outre, l'exploitation par l'intéressé d'un établissement public ne constituait pas un changement de circonstances nécessitant un regroupement familial.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, avec suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 6 juillet 2007 et de faire droit à sa demande de regroupement familial du 14 mars 2005, subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité intimée pour nouvelle décision. Il fait valoir une violation du droit fédéral et invoque à l'appui de ses griefs les art. 38 et 39 OLE, 17 al. 2 de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113 et les modifications ultérieures) et 8 CEDH.
Le Tribunal administratif renvoie aux motifs de son arrêt et conclut au rejet du recours. Le Département cantonal se réfère à sa décision ainsi qu'à l'arrêt attaqué et conclut également au rejet du recours, sous suite de frais. Quant à l'Office fédéral des migrations, il renonce à formuler des observations et propose le rejet du recours.

Considérant en droit:
1. La loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) est entrée en vigueur le 1er janvier 2008 (RO 2007 5487). En vertu de l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la loi sont régies par l'ancien droit. Par conséquent, la présente affaire doit être examinée sous l'angle de l'ancienne loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers.
2. 2.1 D'après l'art. 83 lettre c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. En principe, il n'existe pas de droit à la délivrance d'une autorisation de séjour ou d'établissement au titre d'un regroupement familial, à moins que l'étranger ou un membre de sa famille vivant en Suisse ne puisse invoquer dans ce sens une disposition particulière du droit fédéral ou d'un traité (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 342 s.; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 284 et les références).
2.2 L'art. 17 al. 2 LSEE dispose que le conjoint d'un étranger titulaire d'une autorisation d'établissement a droit à l'autorisation de séjour aussi longtemps que les époux vivent ensemble et que les enfants célibataires âgés de moins de dix-huit ans ont le droit d'être inclus dans l'autorisation d'établissement de leurs parents aussi longtemps qu'ils vivent auprès d'eux.
2.3 En l'espèce, le recourant est titulaire d'une autorisation d'établissement acquise à la suite de son précédent mariage avec une Suissesse le 15 mars 1996. On pourrait se demander si, quand il a obtenu l'autorisation d'établissement le 27 mars 2001, le recourant ne commettait pas un abus de droit en invoquant un mariage n'existant plus que formellement: le couple était déjà séparé depuis 1999 (cf. avis de fin de validité du permis B daté du 5 août 1999), voire depuis fin 1997 (cf. lettre de la Municipalité de Saint-Imier du 25 mars 1998 et son annexe), et la séparation était irrémédiable puisque le mariage a été dissous par le divorce le 6 janvier 2004. Quoi qu'il en soit, cette question peut rester ouverte étant donné qu'elle n'a pas été soulevée par les autorités cantonales et que l'intéressé disposait par conséquent, lors de la demande de regroupement familial, d'une autorisation d'établissement non contestée.
Le recourant a ainsi en principe le droit de se faire rejoindre par son épouse, avec laquelle il envisage de vivre à l'avenir, et par ses trois enfants, âgés de moins de dix-huit ans au moment du dépôt de la demande. Partant, interjeté en temps utile et dans les formes requises par la loi, son recours est recevable.
3. C'est en vain que le recourant invoque les art. 38 et 39 OLE à l'appui de ses griefs. En effet, l'ordonnance limitant le nombre des étrangers n'est pas applicable aux étrangers résidant en Suisse et titulaires d'une autorisation d'établissement (art. 2 al. 1 lettre b OLE a contrario). Par conséquent, c'est à la lumière de l'art. 17 al. 2 LSEE qu'il convient d'examiner la présente demande de regroupement familial.
4. Le recourant reproche au Tribunal administratif d'avoir retenu qu'il avait conclu un mariage fictif. Il allègue qu'il a réellement l'intention de former une union conjugale avec son épouse; l'union coutumière qu'il avait conclue auparavant avec celle-ci ainsi que la naissance de leurs trois enfants "étaient déjà des indices forts de l'existence d'une communauté conjugale, même si elle ne correspondait pas aux lois helvétiques".
4.1 Le droit à une autorisation de séjour dans le cadre d'un regroupement familial qui est reconnu par l'art. 17 al. 2 LSEE n'est pas absolu. L'autorisation peut être refusée lorsque le mariage n'a pas pour but de créer une union conjugale et ne constitue pas le fondement de la vie commune des époux (<ref-ruling> consid. 3a p. 6 s.). Il peut s'agir de la conclusion d'un mariage fictif ou de l'invocation d'un mariage vidé de toute substance (abus de droit; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 117; <ref-ruling> consid. 5a p. 56 s. et les références citées dans ces arrêts).
4.2 En l'espèce, Y._ n'était pas incluse dans la première demande de regroupement familial déposée par le recourant le 21 juin 2004. Le recourant évoquait les contacts réguliers qu'il avait gardés avec ses enfants mais ne mentionnait nullement une relation encore vécue avec Y._. Il a épousé cette dernière le 2 mars 2005, soit à peine plus d'un mois après le refus de sa première demande (le 31 janvier 2005) et douze jours avant de déposer une nouvelle demande de regroupement familial (le 14 mars 2005). L'intéressé a expliqué au Service cantonal, dans un courrier du 15 décembre 2005, qu'il avait épousé en deuxième noce la mère de ses enfants pour le bien de ceux-ci et "que ce mariage [était] plus un mariage de raison que d'amour". Il est ainsi évident que le recourant a conclu ce mariage uniquement dans le but de faciliter la venue de ses enfants en Suisse et non de fonder une véritable communauté conjugale. Certes, les époux XY._ ont vécu quelques années sous un régime de mariage coutumier, jusqu'en 1995, et trois enfants sont nés de cette union. Cependant, après une séparation de plus de dix ans, on peut considérer que leur union est définitivement rompue. A cela s'ajoute que le recourant a précisé qu'il ne s'entendait pas bien avec son épouse, qu'il était parti à l'étranger pour sortir de l'entourage et de la pression familiale (courrier du 15 décembre 2005) et que les époux n'avaient manifesté aucune intention de reprendre la vie commune avant l'épisode de la demande de regroupement familial des enfants. C'est donc à juste titre que l'autorité intimée a considéré, au vu des éléments précités, que l'intéressé commettait un abus de droit en invoquant un mariage qui n'existait que formellement dans le seul but d'obtenir une autorisation de séjour en faveur de Y._, et, par ricochet, de ses enfants.
Au surplus, le recourant tente vainement de tirer argument du fait que son union coutumière avec Y._ aurait subsisté malgré les douze ans de séparation. S'il tel était le cas, on se trouverait en effet en présence d'une bigamie de fait, puisque l'intéressé aurait mené de front deux unions conjugales pendant plusieurs années, l'une coutumière en Turquie et l'autre civile en Suisse, de 1996 à 2004. Or, la bigamie est considérée en Suisse comme une attitude contraire à l'ordre public (cf. <ref-law>) et constitue un motif d'expulsion au sens de l'art. 10 al. 1 lettre b LSEE, même lorsqu'elle n'est pas sanctionnée par le code pénal (en cas de mariage coutumier, par exemple; cf. arrêt 2A.364/1999 du 6 janvier 2000, consid. 5d).
Mal fondé, le recours doit être rejeté sur ce point.
5. Il sied maintenant d'examiner la question du regroupement familial des enfants du recourant, lesquels vivent avec leur mère en Turquie.
5.1 Selon la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 14; <ref-ruling> consid. 2a p. 330 et les arrêts cités), le but de l'art. 17 al. 2 LSEE est de permettre le maintien ou la reconstitution d'une communauté familiale complète entre les deux parents et leurs enfants communs encore mineurs (la famille nucléaire). Ce but ne peut être entièrement atteint lorsque les parents sont divorcés ou séparés et que l'un d'eux se trouve en Suisse depuis plusieurs années, et l'autre à l'étranger avec les enfants. Le regroupement familial ne peut alors être que partiel, et le droit de faire venir auprès du parent établi en Suisse les enfants est soumis à des conditions plus restrictives que lorsque les parents font ménage commun. Il n'existe pas un droit inconditionnel de faire venir auprès du parent établi en Suisse des enfants qui ont grandi à l'étranger dans le giron de leur autre parent (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 9). La reconnaissance d'un droit au regroupement familial suppose alors qu'un changement important des circonstances, notamment d'ordre familial, se soit produit, rendant nécessaire le déplacement des enfants en Suisse, comme par exemple une modification des possibilités de leur prise en charge éducative à l'étranger (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 4; <ref-ruling> consid. 3.1.3 p. 14/15, 249 consid. 2.1 p. 252; <ref-ruling> consid. 3b p. 332; <ref-ruling> consid. 3a p. 366). Cette restriction est pareillement valable lorsqu'il s'agit d'examiner sous l'angle de l'art. 8 CEDH la question du droit au regroupement familial (partiel) d'enfants de parents séparés ou divorcés (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 256; <ref-ruling> consid. 3b p. 332; <ref-ruling> consid. 3a p. 639/640; <ref-ruling> consid. 3a p. 366; <ref-ruling> consid. 2c p. 160 et les arrêts cités).
Dans un arrêt récent (<ref-ruling>), le Tribunal fédéral a maintenu et explicité sa jurisprudence. Il a indiqué que, dans certains cas et sous réserve d'abus de droit, un droit au regroupement familial partiel ne doit pas être d'emblée exclu, même s'il est exercé plusieurs années après la séparation de l'enfant et du parent établi en Suisse et que l'âge de l'enfant est alors déjà relativement avancé. Il s'agit alors de mettre en balance, d'une part, l'intérêt privé de l'enfant et du parent concerné à pouvoir vivre ensemble en Suisse et, d'autre part, l'intérêt public de ce pays à poursuivre une politique restrictive en matière d'immigration. L'examen du cas doit être global et tenir particulièrement compte de la situation personnelle et familiale de l'enfant et de ses réelles chances de s'intégrer en Suisse. A cet égard, le nombre d'années qu'il a vécues à l'étranger et la force des attaches familiales, sociales et culturelles qu'il s'y est créées, de même que l'intensité de ses liens avec son autre parent établi en Suisse, son âge, son niveau scolaire ou encore ses connaissances linguistiques, sont des éléments primordiaux dans la pesée des intérêts. Un soudain déplacement peut en effet constituer un véritable déracinement pour lui et s'accompagner de grandes difficultés d'intégration dans un nouveau pays d'accueil. De plus, une longue durée de séparation d'avec son parent établi en Suisse a normalement pour effet de distendre ses liens affectifs avec ce dernier, en même temps que de resserrer ces mêmes liens avec le parent et/ou les proches qui ont pris soin de lui à l'étranger, dans une mesure pouvant rendre délicat un changement de sa prise en charge éducative.
D'une manière générale, plus un enfant a vécu longtemps à l'étranger et se trouve à un âge proche de la majorité, plus les motifs justifiant le déplacement de son centre de vie doivent apparaître impérieux et solidement étayés.
5.2 Dans le cas particulier, le recourant est venu en Suisse en 1995, laissant en Turquie ses trois enfants, alors âgés de huit, cinq et quatre ans, lesquels ont depuis lors toujours vécu dans leur pays d'origine avec leur mère. On ne saurait dès lors parler de relation familiale prépondérante entre l'intéressé et ses enfants. Ceux-ci ont en revanche entretenu des relations quotidiennes avec leur mère, avec laquelle ils ont assurément tissé les liens les plus étroits. Certes, le recourant a gardé des contacts réguliers avec ses enfants, en leur téléphonant ou en retournant leur rendre visite en Turquie. Il a également contribué à leur entretien en envoyant chaque mois de l'argent à leur mère. De tels contacts sont toutefois usuels dans des circonstances de ce genre, mais restent relativement limités et ne sont en tout cas pas de nature à établir que l'intéressé aurait assumé à distance leur éducation. Le recourant ne convainc pas lorsqu'il allègue, de façon vague et sans étayer ses propos, qu'il "est intervenu de manière décisive sur les questions essentielles" concernant l'éducation de ses enfants; en effet, il avait au contraire expliqué précédemment que "comme père il n'était pas très présent dans leurs vies mais qu'[il] aimerait combler cette lacune en leur offrant une meilleure vie et [les] meilleures études possible" (courrier du 15 décembre 2005). Il faut dès lors admettre que, pour réels et effectifs qu'ils soient, les seuls contacts que le recourant a cultivés avec ses enfants n'ont rien d'exceptionnels et ne suffisent pas, compte tenu du peu de temps qu'il a jusqu'à ce jour passé avec eux, à fonder un droit au regroupement familial (cf. <ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 10 s. et 6.2.1 p. 25).
Pour le reste, le recourant ne fait valoir aucun changement de circonstances rendant nécessaire la venue des enfants en Suisse. Il n'indique en effet pas que leur mère ne pourrait plus continuer à s'occuper d'eux, comme elle l'a fait jusqu'ici. Dans ces conditions, une modification de la prise en charge éducative des enfants n'apparaît pas indiquée. Par ailleurs, l'aîné des enfants du recourant est entre temps devenu majeur selon le droit suisse, le second aura bientôt dix-huit ans et la dernière a seize ans; ceux-ci comptent l'essentiel de leurs relations familiales et toutes leurs attaches sociales et culturelles en Turquie, tandis que les liens avec leur père apparaissent plutôt ténus. Leur déplacement dans un nouveau cadre de vie et dans un pays dont ils ne parlent absolument pas la langue serait dès lors assurément vécu comme un profond déracinement et n'irait pas sans poser des problèmes d'intégration, sans compter que cela aurait pour conséquence de les éloigner de leur mère, qui s'est depuis toujours occupée d'eux en Turquie.
En outre, si l'on tient compte notamment de l'âge des enfants et du fait que l'intéressé a attendu jusqu'en 2005 avant de formuler une demande de regroupement familial - alors qu'il pouvait déjà se prévaloir d'un droit au regroupement familial dès 1996, sur la base de l'art. 8 CEDH -, tout porte à croire que la demande est avant tout motivée par des raisons économiques, le but étant plus d'assurer l'avenir professionnel des enfants que de les mettre en contact avec leur père. Or, un tel but n'est pas conforme à l'objectif poursuivi par les art. 17 al. 2 LSEE et 8 CEDH et une demande de regroupement familial formulée exclusivement dans cette optique est abusive (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 12 s.).
Ainsi, compte tenu de l'ensemble des circonstances, l'autorité intimée n'a violé ni l'art. 17 al. 2 LSEE, ni l'art. 8 CEDH, en refusant de délivrer une autorisation d'entrée et de séjour en faveur des enfants du recourant.
6. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué en copie au mandataire du recourant, au Département cantonal de l'économie et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 25 janvier 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Merkli Mabillard