Sachverhalt:
A. Am 1. März 2007 fanden Beamte der Stadtpolizei Dietikon bei einer Hausräumung Y._, der in schwierigen sozialen Verhältnissen gelebt hatte, tot in seinem Bett vor.
Am 20. Juli 2011, also über 4 Jahre später, erstattete X._, welche nach ihren Angaben die Lebenspartnerin des Verstorbenen war, Strafanzeige gegen Unbekannt. Sie brachte sinngemäss vor, Beamte seien für den Tod des Verstorbenen verantwortlich.
Mit Beschluss vom 28. Dezember 2011 erteilte das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) der Staatsanwaltschaft Limmattal/ Albis (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. Nichtanhandnahme des Verfahrens nicht.
B. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Antrag, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben, und weiteren Anträgen.
C. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf Gegenbemerkungen verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Eintretensvoraussetzungen nach <ref-law> scheinen erfüllt zu sein (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.3). Sie brauchen jedoch nicht im Einzelnen geprüft zu werden, da die Beschwerde ohnehin offensichtlich unbehelflich ist.
Die Vorinstanz erwägt, den Akten sei nicht ansatzweise zu entnehmen, dass die Behörden mit dem beanzeigten Verhalten den Tatbestand der Verleitung und Beihilfe zum Selbstmord (<ref-law>) erfüllt haben könnten. Ebenso lägen keine Hinweise auf eine Unterlassung der Nothilfe (<ref-law>) oder ein anderes strafbares Verhalten vor. Es fehle damit an einem Anfangsverdacht (angefochtener Beschluss S. 3 f. E. 5 f.).
Es kann dahingestellt bleiben, ob die Beschwerde den Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) genügt. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin sind jedenfalls ungeeignet, eine Bundesrechtsverletzung darzutun. Die Erwägungen der Vorinstanz sind in keiner Weise zu beanstanden. Darauf kann verwiesen werden (<ref-law>).
2. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Da sie aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege nicht bewilligt werden. Dasselbe gilt für die von der Beschwerdeführerin verlangte Bestellung eines Anwalts (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Da die Beschwerdeführerin offenbar in angespannten finanziellen Verhältnissen lebt, wird auf die Erhebung von Kosten jedoch verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Mai 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri