Erwägungen:
1.
Die Steuerrekurskommission des Kantons Bern wies am 17. März 2015 Rekurs und Beschwerde von A._ betreffend die Veranlagungen zu den Kantons- und Gemeindesteuern und zur direkten Bundessteuer 2008 ab, soweit sie darauf eintrat. Am 4. Mai 2015 gelangte A._ "vorsorglich" mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, wobei er Sistierung des Verfahrens bis zum Abschluss eines IV-Verfahrens beantragte, mindestens aber bis er gesundheitlich und finanziell wieder in der Lage sei, einen Anwalt zu suchen. Die Beschwerdeerhebung erfolgte nicht innert 30 Tagen seit der am 20. März 2015 erfolgten Eröffnung des Entscheids der Rekurskommission (vgl. Art. 81 Abs. 1 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes [VRPG] und Art. 201 Abs. 1 des kantonalen Steuergesetzes [StG] bzw. Art. 145 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 140 Abs. 1 DBG); der Pflichtige war offenbar davon ausgegangen, es gelte der Oster-Friststillstand gemäss Art. 22a Abs. 1 lit. a VwVG.
Mit Verfügung vom 6. Mai 2015 wies das Verwaltungsgericht A._ auf die Verspätung hin und setzte ihm Frist bis 20. Mai 2015, um sich über Festhalten an oder Rückzug der Beschwerde zu äussern. Der Betroffene ersuchte am 18. Mai 2015 um Verlängerung der Frist für eine Stellungnahme bis zu einem IV-Entscheid, mindestens bis zum 15. Juni 2015, damit sein Anwalt Stellung nehmen könne, und vorsorglich um Wiederherstellung der Beschwerdefrist. Er führte aus, er habe die Frist eventuell verpasst, dies aber sicher unverschuldet wegen Krankheit bzw. "wegen Irrtum und Logikfehlern"; sein Anwalt sei ferienhalber bis am 26. Mai 2015 büroabwesend, er wolle diesen kontaktieren können. Mit Urteil des Einzelrichters vom 27. Mai 2015 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist ab; es trat auf die Beschwerde (n) betreffend Kantons- und Gemeindesteuern 2008 sowie betreffend die direkte Bundessteuer 2008 nicht ein. Auf Kostenerhebung verzichtete es, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege schrieb es als gegenstandslos vom Geschäftsverzeichnis ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 28. Juni 2015 stellt A._ dem Bundesgericht verschiedene Anträge und will ihm grundsätzliche Rechtsfragen unterbreiten.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht (schweizerisches Recht, vgl. Art. 95 BGG) verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; sie hat sich auf den durch den angefochtenen Entscheid vorgegebenen Verfahrensgegenstand zu beziehen und zu beschränken. Die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen).
Eine diesen Anforderungen genügende Rechtsschrift ist innert der gesetzlichen, nicht erstreckbaren Beschwerdefrist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 47 Abs. 1 BGG) einzureichen. Der Beschwerdeführer will gestützt auf Art. 43 lit. b BGG eine Zusatzfrist eingeräumt erhalten, um - durch einen Anwalt - die Beschwerdebegründung zu ergänzen; die gesetzlichen Voraussetzungen für eine derartige Ausnahme (ausserordentlicher Umfang oder die besondere Schwierigkeit der Beschwerdesache) sind offensichtlich nicht erfüllt. Dasselbe würde auch hinsichtlich des vom Beschwerdeführer nicht (bzw. höchstens sinngemäss) angerufenen Art. 41 Abs. 1 BGG gelten (Urteile 6B_13/2015 vom 11. Februar 2015 E. 3 und 1B_163/2012 vom 28. März 2012 E. 3). Soweit um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsanwalts im Sinne von Art. 64 Abs. 2 BGG in dem Sinn ersucht wird, dass dieser eine ergänzende Beschwerdeschrift verfassen würde, erlaubte dies eine Fristerstreckung nicht; ein entsprechendes, erst am Ende der Beschwerdefrist gestelltes Gesuch stösst, wenn keine Ausnahme nach Art. 43 BGG vorliegt, ins Leere (vorerwähntes Urteil 1B_163/2012 E. 3 zweiter Absatz).
Über die vorliegende Beschwerde ist ausschliesslich auf der Grundlage der Rechtsschrift vom 28. Juni 2015 zu urteilen.
2.2. Das angefochtene Urteil kommt zum Schluss, dass kein entschuldbarer Grund für die verspätete Beschwerdeerhebung gegeben sei. Es verweist dazu auf die gesetzlichen Voraussetzungen einer Fristwiederherstellung nach kantonalem Recht (Art. 161 Abs. 3 StG und Art. 43 Abs. 2 VRPG) sowie nach Bundesrecht (Art. 140 Abs. 4 und Art. 133 Abs. 3 DBG). Es hält dafür, dass die geltend gemachten gesundheitlichen Hinderungsgründe einerseits mit drei Jahren zurückliegenden ärztlichen Zeugnissen nicht dokumentiert werden könnten und andererseits gegen das Vorliegen derartiger Gründe Art und Inhalt der Rechtsschrift vom 4. Mai 2015 sprechen würden. Die Beschwerdeschrift vom 28. Juni 2015 lässt jegliche Auseinandersetzung mit diesen Erwägungen vermissen.
Was den vom Beschwerdeführer geltend gemachten Irrtum betrifft, über Ostern würde die Beschwerdefrist stillstehen, hält das Verwaltungsgericht fest, dass ein solcher (Rechts-) Irrtum grundsätzlich keinen entschuldbaren Versäumnisgrund darstelle. Zu diesem allgemeinen Grundsatz äussert sich der Beschwerdeführer nicht. Er macht aber geltend, er sei durch die Rechtsmittelbelehrung der Steuerrekurskommission in den Irrtum versetzt worden. Diese nennt sowohl in Bezug auf die kantonalen wie auch auf die direkte Bundessteuer aber bloss eine Beschwerdefrist von 30 Tagen, ohne einen Friststillstand zu erwähnen. Die Begründung des Beschwerdeführers, in den Erwägungen des Entscheids der Steuerrekurskommission sei auch das Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren erwähnt, was ihn dazu verleitet habe, sich nach der Friststillstandsbestimmung von Art. 22a VwVG zu richten, ist nicht nachvollziehbar: Gerade wenn er - entgegen der unmissverständlichen Rechtsmittelbelehrung - zusätzliche Überlegungen angestellt haben will, diese aber dann nicht zu Ende dachte, liegt nicht ein unter dem Gesichtswinkel des unverschuldeten Hindernisses gegenüber gewöhnlicher Rechtsunkenntnis zu privilegierender Irrtum vor (vgl. Urteile 2C_407/2012 vom 23. November 2012 E. 3, publ. in StE 2013 B 92.8 Nr. 17; 2C_740/2010 vom 3. März 2011 E. 2.4; 2C_429/2007 vom 4. Oktober 2010 E. 2.2.2). In der Beschwerdeschrift wird nicht dargelegt, inwiefern das Verwaltungsgericht durch die Wertung des Rechtsirrtums Recht verletzt habe.
Gestützt auf welche rechtlichen Normen oder Grundsätze das Verwaltungsgericht bei dieser Ausgangslage gehalten gewesen wäre, dem Beschwerdeführer die Frist zur Ergänzung seines Fristwiederherstellungsbegehrens zu verlängern, lassen die Ausführungen in der Beschwerdeschrift nicht erkennen.
2.3. Die Beschwerdeschrift enthält in keinerlei Hinsicht eine den gesetzlichen Anforderungen genügende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4. Der Beschwerdeführer hat um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, hatte die Beschwerde keine ernsthaften Erfolgsaussichten; schon darum ist das Gesuch abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Dass ohnehin die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsanwalts ausser Betracht fiel, ist bereits erläutert worden (vgl. E. 2.1).
2.5. Damit sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 65 und 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller