Faits :
A.
Par décision du 22 septembre 1989 rendue en application de la loi fédérale du 4 octobre 1974 encourageant la construction et l'accession à la propriété de logements (LCAP; RS 843), l'Office fédéral du logement a octroyé à la Commune de A._ une aide fédérale au logement d'une durée de 25 ans à partir du 1er janvier 1991 pour les immeubles locatifs sis sur les parcelles nos ****, **** et **** du Registre foncier de A._ (dossier FRWEG ******).
Par décision du 9 octobre 1991, l'Office fédéral a octroyé l'aide fédérale au logement, pour une durée de 25 ans à partir du 1er juillet 1993, d'une part, à la Commune de A._ en relation avec l'immeuble locatif sis sur la parcelle no **** du Registre foncier de A._ (dossier FRWEG ******) et, d'autre part, à la Caisse de Pensions de la Ville de A._ en relation avec l'immeuble locatif sis sur la parcelle no **** du Registre foncier de A._ (dossier FRWEG ******).
Par contrat de vente à terme du 10 octobre 2007, la Commune de A._ a vendu à X._ (ci-après : l'acheteur) les immeubles articles ****, ****, **** et **** du Registre foncier de A._. Par un second contrat de vente à terme, daté du même jour, la Caisse de Pensions de la Ville de A._ a, elle aussi, vendu au demandeur l'immeuble article **** du Registre foncier de A._. Ces deux contrats, qui prévoient que la conclusion se fait sous réserve de l'approbation de l'Office fédéral, reprennent les conditions fixées par celui-ci dans son courrier du 24 septembre 2007.
B.
Donnant suite à la conclusion des actes de vente immobilière du 10 octobre 2007, l'Office fédéral a, en date des 12 et 13 décembre 2007, prononcé trois décisions, intitulées "octroi de l'aide fédérale lors d'une mutation" et portant sur les immeubles faisant l'objet des dossiers FRWEG ******, FRWEG ****** et FRWEG ****** auxquelles étaient annexées le plan des charges et la liste des loyers.
Ces décisions ont été acceptées par l'acheteur le 20 décembre 2007. L'aliénation des immeubles a ainsi été autorisée.
Dans un courrier du 28 décembre 2007, la gérante représentant l'acheteur a constaté que l'Office fédéral avait maintenu, dans les plans de financement des immeubles référencés FRWEG ******, FRWEG ****** et FRWEG ******, des loyers stables et supprimé les augmentations bisannuelles. Aussi, elle lui a demandé d'inclure lesdites hausses.
Dans sa réponse aux courriers des 8 novembre et 28 décembre 2007 de la gérante, l'Office fédéral a indiqué, le 8 janvier 2008, maintenir son refus d'appliquer les hausses bisannuelles de loyers. Il a exposé que le respect du principe du loyer couvrant les coûts lui imposait de n'accepter les hausses bisannuelles de loyers que lorsqu'une dette d'abaissement de base établie devait encore être remboursée. Il a toutefois précisé avoir renoncé à appliquer ce principe de façon stricte, de sorte que la limite des loyers admissibles selon le plan des loyers avait été gelée au niveau de la dernière augmentation alors qu'elle aurait dû baisser au niveau des coûts stricts de la couverture des intérêts et de l'amortissement.
C.
Par courrier du 4 mars 2011, l'Office fédéral a exposé que les augmentations bisannuelles de loyers de logements subventionnés n'étaient possibles que pour permettre au propriétaire de rembourser la dette d'abaissement de base grevant ceux-ci, conformément au principe du loyer couvrant les coûts. Il a relevé que, lors du rachat des immeubles subventionnés par l'acheteur, celui-ci n'avait repris aucune dette d'abaissement de base, de sorte qu'une augmentation bisannuelle de loyers ne se justifiait pas en l'espèce. En revanche, il a reconnu que les coûts effectifs supportés par l'acheteur étaient plus élevés que ceux figurant dans les plans des charges (ou plans de financement) des immeubles du fait que le taux d'intérêt hypothécaire appliqué à ses emprunts était un taux fixe - que le prêteur n'avait d'ailleurs pas annoncé à l'Office fédéral contrairement à son obligation - de 4,85%, soit supérieur d'environ 1% à celui du marché. A cet égard, l'Office fédéral a indiqué avoir institué dans sa pratique une marge de tolérance de 1% par rapport au taux variable annoncé par les principales banques actives dans les financements LCAP et repris dans les plans des charges. Aussi, il avait adapté les plans des charges des immeubles en cause en y introduisant le taux maximal autorisé. Les charges du demandeur demeurant ce nonobstant supérieures aux revenus locatifs maximaux autorisés, l'Office fédéral avait donc décidé d'accorder exceptionnellement, sur les trois immeubles du demandeur (FRWEG ******, FRWEG ****** et FRWEG ******), pour les années 2011/2012, une hausse ordinaire, octroyée pour les immeubles locatifs avec abaissement de base, à savoir 3%. Cette décision n'a pas été contestée.
D.
Le 30 avril 2012, l'acheteur a déposé une action auprès du Tribunal administratif fédéral en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce qu'il soit ordonné à l'Office fédéral d'accepter les hausses de loyers requises par lui, conformément à la législation applicable et aux contrats FRWEG ******, FRWEG ****** et FRWEG ******.

En substance, le demandeur soutient en substance que c'est à tort que l'Office fédéral considère que les augmentations bisannuelles de loyers de logements subventionnés ne sont possibles que pour permettre au propriétaire de rembourser la dette d'abaissement de base. Une hausse des loyers faisant l'objet d'un abaissement supplémentaire était conforme à l'esprit et au but de la loi fédérale encourageant la construction et l'accession à la propriété de logements. La Commune de A._ avait du reste bénéficié des augmentations bisannuelles sans avoir eu recours à l'abaissement de base. Il se plaignait encore de la violation du principe de la bonne foi.
Par ordonnance du 13 juin 2013, le juge délégué a invité l'acheteur à préciser ses conclusions en relation avec les immeubles FRWEG ******, FRWEG ****** et FRWEG ****** ce qui a été fait.
E.
Par arrêt du 8 avril 2014, le Tribunal administratif fédéral a rejeté l'action. Il a jugé que les augmentations systématiques de loyers étaient la condition sine qua non du remboursement des avances au titre de l'abaissement de base et qu' a contrario, en cas de remboursement de l'intégralité de la dette d'abaissement de base et de ses intérêts, il ne se justifiait en principe plus d'augmenter périodiquement les loyers, conformément au principe du loyer couvrant les coûts admissibles et des buts de la LCAP qui visent l'encouragement à la construction de logements à coût abaissé. Il y avait lieu de retenir que l'acheteur n'avait repris aucune dette d'abaissement de base lors du rachat des immeubles objets des dossiers FRWEG ******, FRWEG ****** et FRWEG ******, de sorte que la loi ne lui conférait aucun droit à bénéficier d'augmentations bisannuelles régulières. Les augmentations exceptionnelles de loyers qui avaient néanmoins été consenties avaient pour but de tenir compte de circonstances particulières propres à ces immeubles, notamment de l'existence de charges supérieures aux revenus locatifs maximaux autorisés. L'acheteur ne pouvait pas non plus déduire de bonne foi des trois décisions acceptées le 20 décembre 2007 - en particulier des plans des charges et des loyers qui en faisaient partie intégrante - qu'il était convenu de procéder à des augmentations systématiques de loyers. Enfin les conditions permettant de se prévaloir de la protection de la bonne foi n'étaient pas réunies en l'espèce, l'acheteur n'ayant pas reçu personnellement de promesses ni d'assurances de la part de l'Office fédéral ou encore, cas échéant, consenti à des actes préjudiciables à ses intérêts.
F.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du tribunal administratif fédéral du 8 avril 2014 puis de dire que les conclusions de la demande, précisées le 14 juillet 2013, sont bien fondées. Il se plaint de la violation de son droit d'être entendu, de celle de la LCAP, des contrats FRWEG ******, FRWEG ****** et FRWEG ****** ainsi que de l'égalité de traitement.
Le Tribunal administratif fédéral a produit le dossier de la cause et renoncé à prendre position. L'Office fédéral du logement conclut au rejet du recours. X._ n'a pas formulé de contre-observations.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue dans une cause de droit public (<ref-law>), soit l'encouragement à la construction de logements, par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). Il ne tombe pas sous le coup de l'art. 83 let. k LTF, parce que l'<ref-law> accorde au propriétaire un droit à l'aide fédérale lorsqu'il se soumet aux conditions légales (cf. également l'<ref-law>, qui détermine à quel moment prend naissance ce droit). Déposé en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue (<ref-law>) par le recourant, qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente, est particulièrement atteint par la décision attaqué; et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), le présent recours en matière de droit public est en principe recevable.
1.2. L'art. 59 al. 1 de la loi fédérale du 21 mars 2003 encourageant le logement à loyer ou à prix modérés (LOG; loi sur le logement; RS 842, entrée en vigueur le 1er octobre 2003) prévoit que les demandes d'aide fédérale qui ont été déposées en vertu de la LCAP et qui n'ont pas fait l'objet d'une décision avant le 1er octobre 2003 sont traitées selon le nouveau droit. En l'espèce, l'aide a été accordée par décisions du 22 septembre 1989 et du 9 octobre 1991 à partir, respectivement, du 1er janvier 1991 et du 1er juillet 1993. Par conséquent, le présent recours doit être examiné à la lumière de la LCAP. L'<ref-law> - qui prévoit que, dès le 1er octobre 2003, les prescriptions sur le contrôle des loyers fixées à l'art. 54 s'appliquent aux litiges survenant dans le cadre de la LCAP - n'est pas applicable en l'espèce, du moment que le litige porte sur la légalité du plan des loyers arrêté par l'Office fédéral du logement et non pas sur une hausse de loyer contestée par un locataire au sens de l'art. 17a de l'ordonnance du 30 novembre 1981 relative à la loi fédérale encourageant la construction et l'accession à la propriété de logements (OLCAP; ordonnance du 30 novembre 1981; RS 843.1 dans version en vigueur depuis le 1er juillet 1998; cf. sur ce point: arrêt 1C_500/2013 du 25 septembre 2014 consid. 3.2.1 et <ref-ruling> consid. 2.6.3 p. 132).
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique d'office le droit fédéral (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences accrues de motivation de l'<ref-law>. Hormis ces exceptions, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les motifs de l'autorité précédente ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254; arrêt 2C_280/2014 du 22 août 2014 consid. 2.1).
2.2. Pour statuer, le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322 s.; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 288). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104). En tant que l'Office recourant présente, sous le titre "en fait" de son mémoire, sa propre version des événements, sans indiquer en quoi les faits constatés par le Tribunal cantonal seraient manifestement inexacts ou arbitraires, la Cour de céans n'en tiendra pas compte. Il sera ainsi statué sur la base des faits établis par l'autorité précédente.
3.
Invoquant l'art. 29 al. 2 Cst., le recourant se plaint de ce que l'instance précédente a introduit dans l'arrêt attaqué de manière nouvelle tout un développement sur l'interprétation des contrats de droit administratif et la nécessité, lorsque la volonté subjective des parties ne peut pas être établie, de rechercher leur volonté objective.
3.1. Le droit d'être entendu garantit à toute personne qui est partie à une procédure le droit d'être informée et entendue avant qu'une décision ne soit prise à son détriment. Si cette règle s'applique en principe sans restriction pour les questions de fait, il est admis que, pour ce qui est de la qualification juridique de ceux-ci, elle vaut dans l'hypothèse où une partie change inopinément son point de vue juridique ou lorsque l'autorité a l'intention de s'appuyer sur des arguments juridiques inconnus des parties et dont celles-ci ne pouvaient prévoir l'adoption (arrêt 1P.211/2003 du 8 août 2003 consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5b/bb p. 278; <ref-ruling> consid. 2c p. 52; <ref-ruling> consid. 1b p. 96 et les arrêts cités).
3.2. Dans le cas particulier, l'instance précédente a fait usage de la méthode d'interprétation selon la volonté objective pour déterminer le contenu des contrats de droit public passés entre le recourant et l'Office fédéral du logement. Ce dernier, qui a soutenu devant l'instance précédente qu'il était en droit de s'attendre à ce que l'Office fédéral respecte les contrats tels qu'ils avaient été signés et appliqués aux venderesses, ne pouvait pas raisonnablement ignorer qu'il s'agissait là d'une question d'interprétation des contrats et, partant, il ne devait pas trouver imprévisible ou surprenante l'argumentation juridique de l'instance précédente. Il s'ensuit que, même s'il n'a pas été préalablement interpellé à ce sujet, son droit d'être entendu n'a pas été violé.
4.
4.1. La LCAP vise à encourager la construction de logements ainsi que l'équipement de terrains à cet effet, à abaisser le coût du logement, au premier chef des loyers, et à faciliter l'acquisition de la propriété d'appartements et de maisons familiales (<ref-law>). En particulier, la Confédération soutient par des mesures spécifiques la construction de logements à loyer particulièrement avantageux (<ref-law>).
Parmi ces mesures figure l'abaissement de base, qui permet de fixer les loyers initiaux à un niveau aussi bas que possible, aux dessous des charges du propriétaire qui en bénéficie (<ref-law>; <ref-law>). Pour assurer l'abaissement de base, la LCAP prévoit trois possibilités:
1) la Confédération procure des prêts garantis par gage immobilier se montant en règle générale à 90 % au plus du coût de revient admissible ou
2) cautionne de tels prêts (<ref-law>) ou encore
3) laisse les collectivités publiques prendre à leur charge le cautionnement de prêts et les avances destinées à abaisser les loyers initiaux (<ref-law>).
Dans ce dernier cas, les collectivités publiques, maîtres d'ouvrage, disposent en suffisance de capitaux et peuvent donc se passer de prêts, mais veulent néanmoins faire bénéficier leurs locataires d'une réduction de loyer financée par l'Etat (Message du Conseil fédéral à l'Assemblée fédérale relatif à la loi fédérale encourageant la construction et l'accession à la propriété de logements du 17 septembre 1973, FF 1973 II 709).
4.2. Aux termes de l'<ref-law>, qui pose le principe du loyer couvrant les coûts, l'abaissement de base doit assurer un loyer permettant, compte tenu de l'augmentation annuelle du loyer, de couvrir pendant vingt-cinq ans les charges du propriétaire.
Le système d'encouragement est ainsi fondé sur la progression des loyers. En pratique, cela signifie que, lorsque le propriétaire obtient un abaissement de base, un plan de financement et un plan des loyers sont établis pour 25 ans, de telle façon que, durant cette période, toutes les charges du propriétaire puissent être couvertes, les avances remboursées, intérêts compris, et 30% au plus des frais d'investissements amortis (<ref-law>). Le loyer initial abaissé doit alors être fixé de manière que les conditions prévues à l'<ref-law> puissent, en règle générale, être remplies en vingt-cinq ans, compte tenu d'une augmentation annuelle des loyers (<ref-law>).
Ce qui importe à cet égard, c'est que " la somme des charges auxquelles le propriétaire doit faire face pendant vingt-cinq ans soit couverte uniquement par le rendement des loyers au cours de la même période " (Message du Conseil fédéral à l'Assemblée fédérale relatif à la loi fédérale encourageant la construction et l'accession à la propriété de logements du 17 septembre 1973, FF 1973 II 714).
Selon le Conseil fédéral, ce système permet non seulement de porter en compte d'une manière réaliste les charges du propriétaire, mais encore de les différer et, ainsi, de fixer un loyer initial inférieur au coût effectif. Certes, il en résulte une perte durant la phase initiale. Cette perte devient cependant de plus en plus petite à mesure que le montant du loyer augmente, jusqu'au moment où les recettes finissent par atteindre un montant couvrant les frais effectifs et fournissent ensuite un surplus compensant les pertes initiales et permettant de rembourser les avances que l'Etat ou le propriétaire ont faites pour couvrir le déficit du début : en effet, la somme des charges avec intérêts capitalisés à vingt-cinq ans est égale à la somme finale d'une rente croissant selon une progression géométrique (Message du Conseil fédéral à l'Assemblée fédérale relatif à la loi fédérale encourageant la construction et l'accession à la propriété de logements du 17 septembre 1973, FF 1973 II 706, 707 s. et 714).
A contrario, il résulte de l'équivalence mathématique voulue par le système légal que l'augmentation progressive des loyers n'est plus justifiée lorsqu'il n'y a plus ou pas de déficit initial de loyers à rembourser et que les recettes ont au moins atteint un montant couvrant les coûts effectifs. L'augmentation progressive n'a en effet plus de justification mathématique ou économique lorsque ces deux conditions sont réunies.
Au vu de ce qui précède, il convient donc de bien distinguer ce qui relève des capitaux investis (prêt, caution ou capitaux propres; cf. consid. 4.1 ci-dessus) et, dans le cas d'un prêt par la Confédération, de la dette qui en résulte, d'une part, et, d'autre part, d'un éventuel déficit initial de loyers résultant de la perception pendant une période fixée par le plan de financement et le plan des loyers de montants de loyers inférieurs aux coûts effectifs.
4.3. La disparition du droit à la progression des loyers n'a pas pour effet de mettre fin à la surveillance officielle des loyers. Selon l'<ref-law> en effet, l'aide pour le financement complémentaire est accordée au propriétaire qui s'engage, par un rapport contractuel de droit public conforme à la décision de l'Office fédéral du logement (<ref-law>), à rembourser le prêt selon le plan de financement et se soumet à la surveillance officielle des loyers par l'Office fédéral du logement (<ref-law>) jusqu'au remboursement complet des avances de la Confédération et de leurs intérêts mais au minimum pendant 25 ans (<ref-law>). C'est ce que confirme l'art. 45 al. 1 2e phr. LCAP qui prévoit que la surveillance officielle ne peut prendre fin avant terme que dans deux hypothèses : 1) à la remise des avances et des intérêts telle que prévue par l'<ref-law> ou 2) à la conclusion d'un contrat d'annulation de droit public. Par voie de conséquence, ce n'est qu'après l'expiration du délai de 25 ans que le propriétaire pourra déterminer lui même le loyer (Message du Conseil fédéral à l'Assemblée fédérale relatif à la loi fédérale encourageant la construction et l'accession à la propriété de logements du 17 septembre 1973, FF 1973 II 719) en dehors des limites fixées par le Conseil fédéral (<ref-law>) notamment dans l'<ref-law>.
4.4. Enfin, selon l'<ref-law>, tout transfert de la propriété d'un logement financé au moyen de l'aide fédérale nécessite l'approbation de l'office. Celui-ci la donne si le nouveau propriétaire s'engage par écrit à reprendre le contrat de droit public prévu par la loi, et la dette relative aux avances courues au titre de l'abaissement de base et à respecter le plan des loyers et le plan de financement.
5.
Le recourant soutient que la suppression des augmentations automatiques des loyers viole la LCAP (mémoire de recours, p. 6 à 24).
5.1. Pour confirmer que l'augmentation automatique des loyers n'était plus justifiée, l'instance précédente devait se demander s'il subsistait, ou non, un déficit initial de loyer à rembourser à la date de l'achat par le recourant (cf. consid. 4.2 ci-dessus).
5.2. Dans l'arrêt attaqué, l'instance précédente s'est intéressée non pas à l'existence d'un solde de déficit initial de loyer à la date de l'achat mais à l'absence d'une dette d'abaissement. Ce faisant, elle a perdu de vue que c'est elle qui a établi, d'une manière qui lie le Tribunal fédéral, que les premiers propriétaires des immeubles en cause entendaient faire bénéficier leurs locataires d'une réduction de loyer conformément à ce que prévoit l'<ref-law> en tant que collectivités publiques, ce que l'Office fédéral du logement a admis par décisions des 22 septembre 1989 et 9 octobre 1991 avec effet au 1er janvier 1991 et au 1er juillet 1993. Elle a donc aussi perdu de vue que ce sont ces premiers propriétaires, en tant que collectivités, qui disposaient en suffisance de capitaux et ont donc pu se passer de prêts, comme le rappelle le Conseil fédéral dans son message (FF 1973 II 709). Il suit de là que la Confédération n'a jamais consenti de prêt en faveur des anciens propriétaires pour la construction des immeubles en cause et partant qu'il n'y a jamais eu de "dette" envers la Confédération à charge des propriétaires de l'époque ; cette constatation explique la mention qui figure au chiffre 8 des contrats litigieux: "--- pas de dette --- fr. 0.-" (cf. arrêt attaqué, consid. 5.1 à 5.3) ainsi que l'impossibilité imputée par l'instance précédente au recourant de démontrer qu'il aurait obtenu un prêt de B._ pour en financer la reprise.
Par conséquent, l'instance précédente n'a pas établi qu'il ne subsistait plus de déficit initial de loyer à la date d'achat par le recourant.
5.3. La constatation de l'instance précédente selon laquelle le recourant n'est pas "prétérité" puisqu'il continuera à percevoir des loyers, certes inférieurs au marché, jusqu'à la fin de la surveillance officielle mais qui "couvrent ses charges conformément au principe fondamental ancré à l'art. 37 al. 3, 1ère phrase, LCAP" (cf. arrêt attaqué, consid. 5.4) ne suffit pas non plus pour lui refuser de telles augmentations. Il s'agit d'une simple affirmation qui ne dit rien sur les charges en cause et notamment sur l'existence éventuel d'un solde de déficit initial de loyer à la date de l'achat. Sur ce point, c'est d'ailleurs à juste titre que le recourant ne conteste pas que les loyers qu'il a été autorisé à prélever jusqu'à ce jour sont égaux voire supérieurs aux coûts effectifs moyens.
5.4. Par conséquent, en fondant son arrêt non pas sur l'absence de déficit initial de loyers à la date d'achat par le recourant, dont elle ne dit d'ailleurs pas un mot, mais uniquement sur l'absence de dettes de prêts - qui n'ont précisément jamais existé dans les dossiers FRWEG ******, FRWEG ****** et FRWEG ******, l'instance précédente a violé le droit fédéral. Il s'ensuit que l'arrêt attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à l'instance précédente pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
5.5. Conformément au système de la loi, il appartiendra à l'instance précédente de déterminer si, à la date de l'achat, il subsistait un déficit initial de loyer provenant de la perception durant la période prévue par le plan de financement et le plan des loyers de montants inférieurs aux coûts effectifs. Dans la mesure où il subsistait un déficit initial de loyer à la date de l'achat par le recourant et que, comme cela ressort du dossier (<ref-law>), le prix de vente des immeubles est supérieur à leur prix de revient, il faudra admettre que ce déficit initial a été remboursé par le recourant par le paiement du prix de vente des immeubles en cause : ce dernier comprend dès lors nécessairement, une part correspondant à ce déficit de loyer initial (capitalisé). C'est cette part du prix payé par le recourant qui justifie, dans le modèle mathématique du système légal de la LCAP, que les augmentations automatiques de loyers doivent lui être octroyées, à tout le moins jusqu'au moment où ce déficit initial de loyer sera entièrement remboursé, soit en principe durant les 25 ans qui suivent l'entrée des immeubles en cause dans le régime LCAP.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours, à l'annulation de l'arrêt rendu le 8 avril 2014 et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recourant, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral à charge de l'Office fédéral du logement (<ref-law>). Il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis.
2.
L'arrêt rendu le 8 avril 2014 est annulé et la cause renvoyée au Tribunal administratif fédéral pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
3.
Il n'est pas perçu de frais de justice.
4.
Une indemnité de 3'000 fr. est allouée au recourant à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral, à la charge de l'office fédéral du logement.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office fédéral du logement ainsi qu'au Tribunal administratif fédéral, Cour II.
Lausanne, le 25 février 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
Le Greffier : Dubey