Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Zofingen verurteilte A._ (der sich seit dem 26. Mai 2012 in strafprozessualer Haft befindet) am 31. Januar 2014 wegen gewerbsmässigen Betruges, mehrfacher Anstiftung zu ungetreuer Geschäftsbesorgung und mehrfacher unrechtmässiger Aneignung zu einer Freiheitsstrafe von 4 1⁄2 Jahren. Mit Beschluss vom 31. Januar 2014 verlängerte das Bezirksgericht die Sicherheitshaft gegen den Verurteilten. Sowohl der Beschuldigte als auch die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm erklärten (am 1. bzw. 3. April 2014) die Berufung gegen das erstinstanzliche Strafurteil. Der Beschuldigte beantragt einen Teilfreispruch, die Staatsanwaltschaft eine Erhöhung des Strafmasses auf 6 Jahre Freiheitsstrafe. Am 11. April (Posteingang: 15. April) 2014 stellte der Beschuldigte ein Haftentlassungsgesuch, welches das Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, Präsident, mit Beschluss vom 25. April 2014 abwies. Gleichzeitig wurden dem Beschuldigten eine Sperrfrist für die Einreichung neuer Haftentlassungsgesuche bis zum 31. Mai 2014 angesetzt und die Kosten des Haftprüfungsverfahrens auferlegt.
B.
Gegen den Entscheid des Obergerichtes gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 8. Mai 2014 (Postaufgabe) an das Bundesstrafgericht. Mit Schreiben vom 12. Mai 2012 übermittelte dieses die Beschwerdeeingabe zuständigkeitshalber an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt in der Hauptsache seine sofortige Haftentlassung. Seinem amtlichen Verteidiger wurde die Beschwerdeschrift am 14. Mai 2012 zur Kenntnisnahme mitgeteilt.
Das Obergericht beantragt mit Stellungnahme vom 21. Mai (Posteingang: 26. Mai) 2014 die Abweisung der Beschwerde, während die Staatsanwaltschaft auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet hat. Der Beschwerdeführer replizierte am 3. Juni 2014.

Erwägungen:
1.
Über Haftentlassungsgesuche während eines Verfahrens vor dem Berufungsgericht entscheidet dessen Verfahrensleitung innert 5 Tagen. Dieser Entscheid ist nicht mit StPO-Beschwerde anfechtbar (Art. 233 i.V.m. Art. 222 Satz 2 und Art. 380 StPO).
2.
Da die StPO-Haftbeschwerde (Art. 222 i.V.m. <ref-law>) hier ausgeschlossen ist und die Vorinstanz als einzige kantonale Instanz entschieden hat, ist die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht (<ref-law>) gegeben und besteht eine zulässige gesetzliche Ausnahme vom Grundsatz des doppelten kantonalen Instanzenzuges (<ref-law> i.V.m. Art. 233, Art. 222 Satz 2 und Art. 380 StPO; Urteil des Bundesgerichtes 1B_174/2014 vom 27. Mai 2014 E. 2). Das Bundesstrafgericht, an welches die Beschwerdeeingabe adressiert worden war, ist nicht zuständig; es hat den Fall zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weitergeleitet (<ref-law>).
Soweit in der Beschwerdeeingabe zulässige und ausreichend substanzierte Rügen vorgebracht werden (Art. 42 Abs. 2 Satz 1 i.V.m. <ref-law>), sind auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> erfüllt.
3.
Der Beschwerdeführer rügt in verfahrensrechtlicher Hinsicht, die Vorinstanz habe die 5-tägige Entscheidungsfrist von <ref-law> verletzt. Zudem seien im Haftprüfungsverfahren sein Replikrecht und sein Anspruch auf mündliche Verhandlung missachtet worden. Das Obergericht habe ihm ausserdem eine zu lange Sperrfrist für neue Haftentlassungsgesuche auferlegt, und im angefochtenen Entscheid fehle eine Rechtsmittelbelehrung.
3.1. Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, das Haftentlassungsgesuch sei am 15. April 2014 per Post beim Obergericht eingegangen. Die Vorinstanz macht geltend, bei der 5-tägigen Entscheidungsfrist handle es sich um eine Ordnungsfrist. Analog zur Bestimmung von <ref-law> habe der Haftprüfungsentscheid spätestens 5 Tage nach Abschluss des Schriftenwechsels zu erfolgen. Der Schriftenwechsel sei am 22. April 2014 abgeschlossen worden, weshalb der angefochtene Entscheid am 25. April 2014 fristgemäss ergangen sei.
3.2. Zwar verlangt <ref-law> nicht ausdrücklich die Einholung einer Stellungnahme der Staatsanwaltschaft. Diese vertritt jedoch den Strafanspruch des Staates im Haupt- und Berufungsverfahren. Ausserdem muss das Haftprüfungsverfahren - gestützt auf <ref-law> und Art. 5 Ziff. 4 EMRK - schon deshalb kontradiktorisch (wie in den Verfahren nach Art. 228 und Art. 230 StPO) ausgestaltet sein, weil sonst die Gefahr bestünde, dass der Haftrichter selbst die Perspektive der Anklagebehörde einnehmen könnte. Insofern sind die Bestimmungen von <ref-law> auch im Verfahren nach <ref-law> sinngemäss anwendbar (<ref-ruling> E. 3.1 S. 188; vgl. Marc Forster, in: Basler Kommentar StPO, Basel 2011, Art. 233N. 3; Daniel Logos, in: Commentaire romand CPP, Basel 2011, Art. 233 N. 10; Niklaus Schmid, Praxis-Kommentar StPO, 2. Aufl., Zürich 2013, Art. 233 N. 1b). Dass die Verfahrensleitung des Berufungsgerichtes den Haftprüfungsentscheid innert fünf Tagen zu fällen hat, trägt dem Beschleunigungsgebot in Haftsachen (<ref-law>) stark Rechnung. Die Frist erscheint allerdings kurz, da innert fünf Tagen eine sorgfältige Prüfung der Haftvoraussetzungen in einem kontradiktorischen Verfahren zu erfolgen hat. Der Entscheid ist innert fünf Tagen seit Abschluss des Schriftenwechsels (Eingang einer allfälligen Replik der beschuldigten Person) zu fällen (analog <ref-law>; vgl. Forster, a.a.O., Art. 233N. 4, Fn. 21). Ein Anspruch auf mündliche Verhandlung besteht im Haftprüfungsverfahren nach <ref-law> grundsätzlich nicht (<ref-ruling> E. 3.1-3.2 S. 188 f. mit Hinweisen).
3.3. Im vorliegenden Fall ging das Haftentlassungsgesuch unbestrittenermassen am 15. April 2014 (per Post) bei der Vorinstanz ein. Zwar macht der Beschwerdeführer geltend, er habe sein schriftliches Haftentlassungsgesuch schon am 10. April 2014 dem Gefängnispersonal übergeben, mit dem Auftrag, die Eingabe postalisch weiterzuleiten. Daher habe "als Posteingang beim Obergericht" der "11. April 2014" zu gelten. Dieser Argumentation kann jedoch nicht gefolgt werden. Die Frist von <ref-law> begann frühestens ab Kenntnisnahme durch die Vorinstanz, also nicht vor dem 15. April 2014, zu laufen. Auch bestreitet der Beschwerdeführer nicht, dass die Vorinstanz zur Gewährleistung eines kontradiktorischen Haftprüfungsverfahrens die Stellungnahme der Staatsanwaltschaft einholte. Diese Stellungnahme wurde am 17. April 2014 dem amtlichen Verteidiger zur freigestellten Vernehmlassung zugestellt. Nach Ablauf der Vernehmlassungsfrist war der Schriftenwechsel am 22. April 2014 abgeschlossen. Der angefochtene Entscheid erging am 25. April 2014 und damit innert der Entscheidungsfrist von Art. 233 i.V.m. <ref-law>.
3.4. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers wurde auch sein Replikrecht nicht verletzt. Er bestreitet nicht, dass die Stellungnahme der Staatsanwaltschaft seinem amtlichen Verteidiger zur freigestellten Replik zugestellt worden ist. Ein Anspruch auf mündliche Haftverhandlung bestand hier nicht, zumal der Beschwerdeführer nicht darlegt, inwieweit sich eine solche Verhandlung sachlich aufgedrängt hätte und wieso er seinen Standpunkt nicht bereits in seinem (25 Seiten umfassenden) Haftentlassungsgesuch ausreichend dargelegten konnte (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 189). Auch seine Rüge, die Vorinstanz habe die zulässige Sperrfrist von (längstens) einem Monat (Art. 228 Abs. 5 i.V.m. <ref-law>) überschritten, da der angefochtene Entscheid vom 25. April 2014 datiert und die Frist bis zum 31. Mai 2014 angesetzt wurde, erweist sich als unbegründet. Wie der Beschwerdeführer einräumt, wurde ihm der angefochtene Entscheid am 30. April 2014 zugestellt. Die ihm auferlegte Sperrfrist dauerte somit nicht länger als einen Monat. Auch die von ihm beanstandete fehlende Rechtsmittelbelehrung hat zu keinem erkennbaren Rechtsnachteil geführt, da seine Beschwerdeeingabe von Amtes wegen und unverzüglich an die zuständige Instanz weitergeleitet wurde (vgl. oben, E. 2).
4.
Zur Bestreitung des besonderen Haftgrundes der Fluchtgefahr (<ref-law>) macht der Beschwerdeführer geltend, er habe sich im Jahre 2012 zweimal freiwillig der aargauischen Justiz gestellt, und sein Lebensmittelpunkt befinde sich (seit 1991) in Basel. Nach einer Haftentlassung stehe ihm dort Sozialhilfe und eine Wohnung in Aussicht. Vor seiner Verhaftung habe er (zusammen mit seiner Lebenspartnerin) über ein Ferienhaus im Elsass verfügt. Zwar sei er Deutscher Staatsangehöriger. Er werde aber nicht in sein Heimatland flüchten, da er dort (wegen ähnlichen strafrechtlichen Vorwürfen) zur Verhaftung ausgeschrieben sei.
Die Annahme von Fluchtgefahr durch die Vorinstanz hält im jetzigen Verfahrensstadium vor dem Bundesrecht stand. Insbesondere stellt der dem Beschwerdeführer drohende (Rest-) Strafvollzug einen erheblichen Fluchtanreiz dar. Was die übrigen Anhaltspunkte für eine Fluchtneigung betrifft, kann auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheides (E. 3.1, S. 4) verwiesen werden. Bundesrechtskonform ist auch die Ansicht der Vorinstanz, mit blossen Ersatzmassnahmen für Haft (<ref-law>) könne der dargelegten Fluchtgefahr derzeit nicht ausreichend begegnet werden.
5.
Der Beschwerdeführer rügt weiter, die Kostenauflage von Fr. 300.-- für das vorinstanzliche Haftprüfungsverfahren sei gesetzwidrig. Die StPO sehe die Möglichkeit einer solchen Kostenauflage nicht vor.
5.1. Der angefochtene Entscheid stützt die Kostenauflage auf <ref-law>. Danach tragen die Parteien "die Kosten des Rechtsmittelverfahrens" nach Massgabe ihres Obsiegens oder Unterliegens.
5.2. Die Verfahrenskosten des Strafprozesses werden vom Bund oder dem Kanton getragen, der das Verfahren geführt hat; abweichende Bestimmungen der StPO bleiben vorbehalten (<ref-law>). Bund und Kantone regeln die Berechnung der Verfahrenskosten und legen die Gebühren fest (<ref-law>). Die Bestimmungen des 10. Titels der StPO über die Verfahrenskosten (sowie über Entschädigung und Genugtuung) gelten für alle Verfahren nach StPO, insbesondere für in selbstständigen strafprozessualen Zwischenentscheiden auferlegte Gerichtsgebühren (Art. 416 i.V.m. <ref-law>). Die beschuldigte Person trägt grundsätzlich die Verfahrenskosten, wenn sie verurteilt wird (<ref-law>). Wird das Verfahren eingestellt oder die beschuldigte Person freigesprochen, so können ihr die Verfahrenskosten ganz oder teilweise auferlegt werden, wenn sie rechtswidrig oder schuldhaft die Einleitung des Verfahrens bewirkt oder dessen Durchführung erschwert hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 8.1 S. 230 f.).
5.3. Das Haftprüfungsverfahren nach <ref-law> stellt ein selbstständiges erstinstanzliches Zwangsmassnahmenverfahren dar (vgl. dazu oben, E. 1-2). Der Haftprüfungsentscheid schliesst das Strafverfahren nicht ab. Die Bestimmungen von Art. 423 Abs. 1 i.V.m. Art. 426 bzw. <ref-law> gelten auch für das Haftprüfungsverfahren (Art. 416 i.V.m. <ref-law>). <ref-law>, welcher die Kostentragung im StPO-Rechtsmittelverfahren regelt, ist auf erstinstanzliche Entscheide nicht anwendbar (<ref-ruling> E. 8.2 S. 231 mit Hinweis). Damit besteht in der vorliegenden Konstellation keine gesetzliche Grundlage (im Sinne von <ref-law>) für die Auferlegung der Verfahrenskosten an den Beschwerdeführer als beschuldigte Person. Eine Auferlegung von solchen Kosten an ihn kommt erst nach Abschluss des Strafverfahrens (nach Massgabe von <ref-law>) in Frage. Bis dahin hat gemäss <ref-law> der Kanton die angefallenen Verfahrenskosten (vorläufig) zu tragen. Nach dem Gesagten ist Ziffer 4 des Dispositives des angefochtenen Entscheides aufzuheben.
6.
Die umfangreiche Beschwerdeschrift enthält (über das bereits Dargelegte hinaus) keine weiteren ausreichend substanziierten und zulässigen Rügen (vgl. Art. 42 Abs. 2 Satz 1 i.V.m. <ref-law>). Insbesondere setzt sich der Beschwerdeführer mit den Erwägungen der Vorinstanz zum dringenden Tatverdacht inhaltlich nicht auseinander. Seine pauschale Behauptung, er habe seine Unschuld in einer 614 Seiten umfassenden Eingabe an das Bezirksgericht und in einer 500 Seiten umfassenden Berufungseingabe an das Obergericht bereits "bewiesen", begründet kein ausreichend substanziiertes Beschwerdevorbringen. Soweit der Beschwerdeführer appellatorische Kritik am erstinstanzlichen Strafurteil (bzw. an der Anklageschrift der Staatsanwaltschaft, an der Tätigkeit des amtlichen Verteidigers, am gerichtlichen Hauptverfahren und am hängigen Berufungsverfahren) übt, ist darauf nicht einzutreten. Rügen gegen das Strafurteil sind nicht im vorliegenden Haftbeschwerdeverfahren vorzubringen, sondern im hängigen Berufungsverfahren. Auch ein Gesuch um Verteidigerwechsel bildet nicht Gegenstand des angefochtenen Haftprüfungsentscheides. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, er habe in seiner Berufungseingabe ein solches Gesuch gestellt, wäre dieses ebenfalls im hängigen Berufungsverfahren zu behandeln.
7.
Die Beschwerde ist (im vorinstanzlichen Kostenpunkt) teilweise gutzuheissen. Im Übrigen ist sie abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer beantragt (soweit er kostenpflichtig wird) sinngemäss die unentgeltliche Prozessführung. Er befindet sich seit zwei Jahren in strafprozessualer Haft und legt seine finanzielle Bedürftigkeit ausreichend dar. Die Beschwerde erscheint nicht in allen Punkten als zum Vornherein aussichtslos. Dem Gesuch kann daher entsprochen werden, weshalb keine Gerichtskosten zu erheben sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird (im vorinstanzlichen Kostenpunkt) teilweise gutgeheissen, und Ziffer 4 des Dispositives des angefochtenen Beschlusses vom 25. April 2014 wird aufgehoben.
2.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm, dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, Präsident, sowie dem amtlichen Verteidiger, Rechtsanwalt Markus Henzer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juni 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster