Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1958 geborene O._ war seit 10. Januar 1996 bei der Firma C._ als Managerin für Marketing und Public Relations tätig. Die Gesellschaft kündigte dieses Arbeitsverhältnis mit Schreiben vom 14. Juli 1997 auf den 31. Oktober 1997 und stellte O._ mit sofortiger Wirkung frei. Nachdem ihr der Lohn für den Monat Oktober 1997 im Betrag von Fr. 6500.- brutto und der pro rata temporis-Anteil des 13. Monatslohnes nicht überwiesen worden waren, klagte O._ am 9. Juli 1999 die Gesellschaft beim Arbeitsgericht S._ auf Zahlung von Fr. 11'116.80 nebst Zins zu 5 % seit 31. Oktober 1997 ein. Das Verfahren wurde durch gerichtlichen Vergleich abgeschlossen, mit welchem die Firma C._ sich verpflichtete, pauschal Fr. 6500.- zu bezahlen. Am 1. September 1999 wurde über die Gesellschaft der Konkurs eröffnet. Die Forderung der O._ erwies sich als uneinbringlich, weshalb sie am 30. November 1999 bei der Arbeitslosenkasse Graubünden ein Begehren um Insolvenzentschädigung in der Höhe von Fr. 6500.- stellte. Die Arbeitslosenkasse richtete ihr am 7. Januar und 1. Februar 2000 eine Insolvenzentschädigung von gesamthaft Fr. 5991.30 aus. Die Versicherte forderte die Kasse auf, den Restbetrag von Fr. 508.70 auszubezahlen, da ihr Fr. 6500.- netto zustehen würden und Sozialabzüge nicht vorgenommen werden könnten. Nachdem das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) auf Anfrage der Arbeitslosenkasse geantwortet hatte, dass O._ keinen Anspruch auf Insolvenzentschädigung habe, forderte die Verwaltung die bereits ausbezahlte Summe von Fr. 5991.30 zurück (Verfügung vom 31. August 2000).
A. Die 1958 geborene O._ war seit 10. Januar 1996 bei der Firma C._ als Managerin für Marketing und Public Relations tätig. Die Gesellschaft kündigte dieses Arbeitsverhältnis mit Schreiben vom 14. Juli 1997 auf den 31. Oktober 1997 und stellte O._ mit sofortiger Wirkung frei. Nachdem ihr der Lohn für den Monat Oktober 1997 im Betrag von Fr. 6500.- brutto und der pro rata temporis-Anteil des 13. Monatslohnes nicht überwiesen worden waren, klagte O._ am 9. Juli 1999 die Gesellschaft beim Arbeitsgericht S._ auf Zahlung von Fr. 11'116.80 nebst Zins zu 5 % seit 31. Oktober 1997 ein. Das Verfahren wurde durch gerichtlichen Vergleich abgeschlossen, mit welchem die Firma C._ sich verpflichtete, pauschal Fr. 6500.- zu bezahlen. Am 1. September 1999 wurde über die Gesellschaft der Konkurs eröffnet. Die Forderung der O._ erwies sich als uneinbringlich, weshalb sie am 30. November 1999 bei der Arbeitslosenkasse Graubünden ein Begehren um Insolvenzentschädigung in der Höhe von Fr. 6500.- stellte. Die Arbeitslosenkasse richtete ihr am 7. Januar und 1. Februar 2000 eine Insolvenzentschädigung von gesamthaft Fr. 5991.30 aus. Die Versicherte forderte die Kasse auf, den Restbetrag von Fr. 508.70 auszubezahlen, da ihr Fr. 6500.- netto zustehen würden und Sozialabzüge nicht vorgenommen werden könnten. Nachdem das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) auf Anfrage der Arbeitslosenkasse geantwortet hatte, dass O._ keinen Anspruch auf Insolvenzentschädigung habe, forderte die Verwaltung die bereits ausbezahlte Summe von Fr. 5991.30 zurück (Verfügung vom 31. August 2000).
B. In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden die Rückforderungsverfügung auf und wies die Sache zur Anordnung der Nachzahlung von Fr. 508.70 an die Arbeitslosenkasse zurück (Entscheid vom 9. Januar 2001).
B. In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden die Rückforderungsverfügung auf und wies die Sache zur Anordnung der Nachzahlung von Fr. 508.70 an die Arbeitslosenkasse zurück (Entscheid vom 9. Januar 2001).
C. Das seco führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben.
O._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen, die Arbeitslosenkasse schliesst auf deren Gutheissung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen über den Anspruch auf Insolvenzentschädigung (<ref-law>) und über die Rückforderung zu Unrecht ausgerichteter Leistungen der Arbeitslosenversicherung (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 im vorliegenden Fall nicht anwendbar ist, da nach dem massgebenden Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Verfügung (hier: 31. August 2000) eingetretene Rechts- und Sachverhaltsänderungen vom Sozialversicherungsgericht nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> Erw. 1, 121 V 366 Erw. 1b).
1.2 Gemäss einem allgemeinen Grundsatz des Sozialversicherungsrechts kann die Verwaltung eine formell rechtskräftige Verfügung, welche nicht Gegenstand materieller richterlicher Beurteilung gebildet hat, in Wiedererwägung ziehen, wenn sie zweifellos unrichtig und ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (<ref-ruling> Erw. 2c mit Hinweisen). Die für die Wiedererwägung formell rechtskräftiger Verfügungen massgebenden Voraussetzungen gelten auch mit Bezug auf die Rückerstattung zu Unrecht bezogener Geldleistungen der Arbeitslosenversicherung gemäss <ref-law> und zwar unbesehen darum, ob sie förmlich oder formlos zugesprochen worden sind (<ref-ruling> Erw. 2b/aa, 122 V 368 Erw. 3, je mit Hinweisen). Eine zweifellose Unrichtigkeit liegt nicht nur vor, wenn die in Wiedererwägung zu ziehende Verfügung auf Grund falscher oder unzutreffender Rechtsregeln erlassen wurde, sondern auch, wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden (<ref-ruling> Erw. 2b/bb; ARV 1996/97 Nr. 28 S. 158 Erw. 3c).
1.2 Gemäss einem allgemeinen Grundsatz des Sozialversicherungsrechts kann die Verwaltung eine formell rechtskräftige Verfügung, welche nicht Gegenstand materieller richterlicher Beurteilung gebildet hat, in Wiedererwägung ziehen, wenn sie zweifellos unrichtig und ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (<ref-ruling> Erw. 2c mit Hinweisen). Die für die Wiedererwägung formell rechtskräftiger Verfügungen massgebenden Voraussetzungen gelten auch mit Bezug auf die Rückerstattung zu Unrecht bezogener Geldleistungen der Arbeitslosenversicherung gemäss <ref-law> und zwar unbesehen darum, ob sie förmlich oder formlos zugesprochen worden sind (<ref-ruling> Erw. 2b/aa, 122 V 368 Erw. 3, je mit Hinweisen). Eine zweifellose Unrichtigkeit liegt nicht nur vor, wenn die in Wiedererwägung zu ziehende Verfügung auf Grund falscher oder unzutreffender Rechtsregeln erlassen wurde, sondern auch, wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden (<ref-ruling> Erw. 2b/bb; ARV 1996/97 Nr. 28 S. 158 Erw. 3c).
2. 2.1 Der früheren Rechtsprechung zufolge bestand in denjenigen Fällen, in welchen die Konkurseröffnung oder die Einreichung des Pfändungsbegehrens nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses erfolgt, Anspruch auf Insolvenzentschädigung unter der kumulativen Voraussetzung, dass die Insolvenz des Arbeitgebers im Zeitpunkt der Auflösung des Arbeitsverhältnisses schon bestanden und sich die Konkurseröffnung bzw. die Einreichung des Pfändungsbegehrens aus Gründen verzögert hat, auf die die versicherte Person keinen Einfluss nehmen konnte (<ref-ruling> Erw. 3d). Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht in dem in SZS 2001 S. 92 ff. zusammengefassten Urteil B. vom 18. Februar 2000, C 362/98, entschieden hat, wird daran insoweit nicht festgehalten, als ein Anspruch auf Insolvenzentschädigung auch dann gegeben sein kann, wenn die Zahlungsunfähigkeit des Arbeitgebers erst nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses eintritt. Unverändert gilt die bisherige zweite Voraussetzung, wonach sich die Konkurseröffnung bzw. die Einreichung des Pfändungsbegehrens aus Gründen verzögert haben muss, auf welche die versicherte Person keinen Einfluss nehmen konnte. Im Rahmen dieses Erfordernisses ist praxisgemäss <ref-law> zu beachten, nach dessen erstem Satz - als Ausdruck der allgemeinen Schadenminderungspflicht - der Arbeitnehmer im Konkurs- oder Pfändungsverfahren alles unternehmen muss, um seine Ansprüche gegenüber dem Arbeitgeber zu wahren. Ein Anspruch auf Insolvenzentschädigung entfällt daher, wenn der Arbeitnehmer oder die Arbeitnehmerin nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses die Lohnansprüche nicht innert nützlicher Frist geltend macht (<ref-ruling> Erw. 4). In dem in ARV 1999 Nr. 24 S. 140 ff. veröffentlichten Urteil C. vom 25. Juni 1998, C 183/97, hat das Eidgenössische Versicherungsgericht festgestellt, dass ein Versicherter, dessen Arbeitsverhältnis lange vor dem Konkurs des Arbeitgebers beendigt worden ist und der mehr als ein Jahr nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses zuwartet, um ausstehende Löhne geltend zu machen, den Anspruch auf Insolvenzentschädigung verliert.
2.2 Die Beschwerdegegnerin hat ihren Angaben zufolge von der Firma C._ den Lohn bis zum 30. September 1997 erhalten. Die Kündigung des Arbeitsverhältnisses ist am 14. Juli 1997 mit Wirkung auf den 31. Oktober 1997 erfolgt. Mit Schreiben vom 17. November 1997 und 26. Januar 1998 liess die Beschwerdegegnerin gegenüber der ehemaligen Arbeitgeberin unter anderem die Begleichung eines Lohnausstandes im Betrag von Fr. 11'116.80 fordern. Am 12. Dezember 1997 und 8. April 1998 liess die Firma C._ durch ihren Rechtsvertreter das Bestehen von Lohnausständen bestreiten. Erst am 9. Juli 1999, somit über ein Jahr nach der letzten ablehnenden Stellungnahme der ehemaligen Arbeitgeberin, reichte die Beschwerdegegnerin eine Lohnklage beim Arbeitsgericht ein. Mit diesem langen Zuwarten hat sie die Pflicht zur Geltendmachung der Lohnansprüche innert nützlicher Frist verletzt. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat in einem Urteil S. vom 17. Dezember 2001, C 54/01, den Anspruch auf Insolvenzentschädigung verneint, weil die versicherte Person, welche sich allerdings vom ehemaligen Arbeitgeber am 31. Januar 1999 eine Schuldanerkennung hatte ausstellen lassen, seit Beendigung des Arbeitsverhältnisses (31. August 1998) bis zur Konkurseröffnung (10. Dezember 1999) keine rechtlichen Schritte zur Geltendmachung und Realisierung der Lohnforderung unternommen hatte. Umso mehr hätte die Beschwerdegegnerin im vorliegend zu beurteilenden Fall, in welchem das Bestehen der Forderung aus dem ehemaligen Arbeitsverhältnis umstritten war, nicht so lange mit der Einleitung der Lohnklage zuwarten dürfen. Letztinstanzlich lässt sie zwar einwenden, sie habe auch nach dem 8. April 1998 bis zur Klageeinreichung hin "schriftlich und fernmündlich" Verhandlungen mit der ehemaligen Arbeitgeberin geführt, kann für diese Behauptung jedoch keinerlei Beweise vorlegen. Indem sie von Mai 1998 bis Juli 1999 auf (nachweisbare) Vorkehren zur Geltendmachung der Lohnforderung aus dem Monat Oktober 1997 verzichtet hat, ist sie der ihr obliegenden Schadenminderungspflicht nicht nachgekommen. Da über die Arbeitgeberfirma erst am 1. September 1999 der Konkurs eröffnet worden ist, ist nicht anzunehmen, dass entsprechende, im Verlauf des Jahres 1998 unternommene Bemühungen von vornherein aussichtslos gewesen wären. Es ist daher dem seco beizupflichten, dass die Insolvenzentschädigung zu Unrecht ausbezahlt worden ist.
2.3 Der Rückforderungsbetrag von Fr. 5991.30 erfüllt das Kriterium der erheblichen Bedeutung (vgl. Erw. 1.2) ohne weiteres.
2.3 Der Rückforderungsbetrag von Fr. 5991.30 erfüllt das Kriterium der erheblichen Bedeutung (vgl. Erw. 1.2) ohne weiteres.
3. 3.1 Gemäss <ref-law> verjährt der Rückforderungsanspruch innert eines Jahres, nachdem die auszahlende Stelle davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber fünf Jahre nach der Auszahlung der Leistung. Bei diesen Fristen handelt es sich um Verwirkungsfristen.
3.2 Die Arbeitslosenkasse wusste auf Grund des Antwortschreibens des seco vom 22. März 2000, dass der Beschwerdegegnerin keine Insolvenzentschädigung zusteht. Am 31. August 2000 forderte sie alsdann die am 7. Januar und 1. Februar 2000 zu Unrecht ausbezahlte Insolvenzentschädigung zurück. Unter diesen Umständen kann offen bleiben, ob sie bei Beachtung der ihr zumutbaren Aufmerksamkeit allenfalls bereits zu einem früheren Zeitpunkt Kenntnis vom rückforderungsbegründenden Sachverhalt haben konnte, denn sowohl die einjährige relative als auch die fünfjährige absolute Verwirkungsfrist des <ref-law> wurden auf jeden Fall eingehalten.
3.2 Die Arbeitslosenkasse wusste auf Grund des Antwortschreibens des seco vom 22. März 2000, dass der Beschwerdegegnerin keine Insolvenzentschädigung zusteht. Am 31. August 2000 forderte sie alsdann die am 7. Januar und 1. Februar 2000 zu Unrecht ausbezahlte Insolvenzentschädigung zurück. Unter diesen Umständen kann offen bleiben, ob sie bei Beachtung der ihr zumutbaren Aufmerksamkeit allenfalls bereits zu einem früheren Zeitpunkt Kenntnis vom rückforderungsbegründenden Sachverhalt haben konnte, denn sowohl die einjährige relative als auch die fünfjährige absolute Verwirkungsfrist des <ref-law> wurden auf jeden Fall eingehalten.
4. Nach dem Gesagten lässt sich im Ergebnis nicht beanstanden, dass die Arbeitslosenkasse am 31. August 2000 (wiedererwägungsweise) auf die zu Unrecht erfolgte Gewährung einer Insolvenzentschädigung zurückgekommen ist. Unter diesen Umständen kann offen bleiben, ob die Leistung auch auf Grund der Freistellung der Beschwerdegegnerin während der Kündigungsfrist - die Insolvenzentschädigung deckt nur Lohnforderungen für tatsächlich geleistete Arbeit - zu Unrecht erbracht wurde, wie dies die Arbeitslosenkasse in ihrer Rückforderungsverfügung vom 31. August 2000 angenommen hat.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 9. Januar 2001 aufgehoben.
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 9. Januar 2001 aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, dem Arbeitsamt Graubünden und der Arbeitslosenkasse Graubünden zugestellt.
Luzern, 19. Februar 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der IV. Kammer: Die Gerichtsschreiberin: