Sachverhalt:
A. X._ ist in der Stadt Luzern wohnhaft. Mit Schreiben vom 22. Mai 2006 erklärte sie den "Austritt aus der staatskirchenrechtlichen Organisation «Katholische Kirchgemeinde Luzern»" und ersuchte um eine Bestätigung des Austritts. Am 29. Mai 2006 teilte die katholische Kirchgemeinde Luzern X._ mit, dass ein Teilaustritt aus einer katholischen Kirchgemeinde nicht möglich sei, und verweigerte deshalb die verlangte Austrittsbestätigung. Der Synodalrat der römisch-katholischen Landeskirche des Kantons Luzern wies die dagegen erhobene Beschwerde am 8. November 2006 ab.
B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 5. Dezember (Postaufgabe am 9. Dezember) 2006 beantragt X._ dem Bundesgericht, den Synodalratsentscheid vom 8. November 2006 aufzuheben und festzustellen, dass sie mit Wirkung ab Empfang der Austrittserklärung, d.h. ab 23. Mai 2006, nicht mehr Mitglied der katholischen Kirchgemeinde Luzern sei. Sie rügt in erster Linie eine Verletzung der Glaubens- und Gewissensfreiheit (Art. 15 BV und Art. 9 EMRK).
C. Die katholische Kirchgemeinde Luzern und die römisch-katholische Landeskirche des Kantons Luzern ersuchen um Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid erging noch vor dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes (BGG) am 1. Januar 2007. Gemäss Art. 132 Abs. 1 BGG richtet sich das Verfahren daher nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (Bundesrechtspflegegesetz, OG; BS 3 531).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin verlangt neben der Aufhebung des Entscheids des Synodalrats auch die Feststellung, dass sie seit dem 23. Mai 2006 nicht mehr Mitglied der katholischen Kirchgemeinde Luzern sei. Dieser Antrag ist zulässig, da sich bei staatsrechtlichen Beschwerden wegen Verweigerung des Kirchenaustritts eine Ausnahme vom Grundsatz der kassatorischen Natur dieses Rechtsmittels rechtfertigt (<ref-ruling> E. 5 S. 87).
2.2 Soweit die Beschwerdeführerin neben der Verletzung der Glaubens- und Gewissensfreiheit unter anderem Rechtsmissbrauch sowie Verstösse gegen das Willkürverbot und gegen den Grundsatz von Treu und Glauben geltend macht, ist hierauf nicht einzutreten. Zum Teil sind die Begründungsanforderungen nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht erfüllt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 201, mit Hinweisen). Zum verbleibenden Teil beziehen sich diese Rügen nicht auf den angefochtenen Entscheid und können damit nicht Verfahrensgegenstand bilden.
3. 3.1 Der Synodalrat der römisch-katholischen Landeskirche des Kantons Luzern sowie die Kirchgemeinde der Stadt Luzern anerkennen das Schreiben der Beschwerdeführerin vom 22. Mai 2006 nicht als Erklärung des Kirchenaustritts gemäss § 12 der Verfassung der römisch- katholischen Landeskirche des Kantons Luzern vom 25. März 1969 (im Folgenden: Kirchenverfassung). Diese Bestimmung lautet:
"Wer nach kirchlicher Ordnung der römisch-katholischen Kirche angehört, gilt für Landeskirche und Kirchgemeinden als Katholikin oder Katholik, solange sie oder er dem zuständigen Kirchenrat am gesetzlich geregelten Wohnsitz nicht schriftlich erklärt hat, der römisch-katholischen Konfession nicht mehr anzugehören."
3.2 Nach Ansicht der kantonalen Instanzen strebte die Beschwerdeführerin mit ihrem Schreiben vom 22. Mai 2006 lediglich einen partiellen Kirchenaustritt an, d.h. sie wollte nur die katholische Kirchgemeinde der Stadt Luzern verlassen, der römisch-katholischen Kirche aber weiterhin angehören. Ein solcher bloss teilweiser Austritt sei jedoch unbeachtlich. Zum wirksamen Kirchenaustritt müsse sie ausdrücklich erklären, dass sie der "römisch-katholischen Konfession" nicht mehr angehöre. Statt römisch-katholische Konfession könne sie auch die insoweit als Synonyme zu verstehenden Begriffe "römisch-katholische Religionsgemeinschaft", "römisch-katholische Kirche" oder "katholische Kirche" verwenden. Mit "römisch-katholischer Konfession" sei in § 12 der Kirchenverfassung nicht allein die Landeskirche oder eine katholische Kirchgemeinde gemeint. Zur Stützung ihrer Rechtsauffassung verweisen die kantonalen Instanzen auf ein Urteil des Bundesgerichts (2P.16/2002 vom 18. Dezember 2002, teilweise amtlich publiziert in <ref-ruling>).
3.3 Nach Auffassung der Beschwerdeführerin verletzt die dargelegte Auslegung der Kirchenverfassung die Glaubens- und Gewissensfreiheit gemäss Art. 15 BV und Art. 9 EMRK. Sie stellt sich auf den Standpunkt, der in § 12 der Kirchenverfassung verwendete Begriff der Konfession sei in ihrem Fall gleichbedeutend mit katholischer Kirchgemeinde Luzern. Wenn die kantonalen Behörden dagegen unter Konfession die römisch-katholische Kirche verstünden, so verlangten sie im Ergebnis eine zusätzliche zweite Erklärung, die sich auf den Austritt aus der römisch-katholischen Kirche als solcher und nicht bloss auf deren staatskirchenrechtliche Organisation beziehe.
4. 4.1 Die Bundesverfassung gewährleistet nach Art. 15 BV die Glaubens- und Gewissensfreiheit (Abs. 1). Jede Person hat das Recht, ihre Religion und ihre weltanschauliche Überzeugung frei zu wählen und allein oder in Gemeinschaft mit anderen zu bekennen (Abs. 2). Sie hat das Recht, einer Religionsgemeinschaft beizutreten oder anzugehören und religiösem Unterricht zu folgen (Abs. 3). Umgekehrt darf niemand gezwungen werden, einer Religionsgemeinschaft beizutreten oder anzugehören, eine religiöse Handlung vorzunehmen oder religiösem Unterricht zu folgen (Abs. 4). Gemäss Art. 9 Ziff. 1 EMRK hat jede Person das Recht auf Gedanken-, Gewissens- und Religionsfreiheit; dieses Recht umfasst die Freiheit, seine Religion oder Weltanschauung zu wechseln, und die Freiheit, seine Religion oder Weltanschauung einzeln oder gemeinsam mit anderen öffentlich oder privat durch Gottesdienst, Unterricht oder Praktizieren von Bräuchen und Riten zu bekennen.
4.2 Art. 15 BV und Art. 9 EMRK rücken ihrem Wortlaut nach die Religionsfreiheit des Individuums in den Vordergrund. Art. 15 Abs. 4 BV schliesst - als Ausprägung der sog. negativen Religionsfreiheit - das Recht ein, aus einer Kirche oder Religionsgemeinschaft auszutreten. Insoweit muss der Staat dafür sorgen, dass derjenige, welcher einer Religionsgemeinschaft nicht mehr angehören will, aus ihr austreten kann und hernach nicht der zwangsweisen Durchsetzung von Mitgliedschaftspflichten ausgesetzt wird (Christoph Winzeler, Einführung in das Religionsverfassungsrecht der Schweiz, Zürich/Basel/Genf 2005, S. 32; Peter Karlen, Das Grundrecht der Religionsfreiheit in der Schweiz, Diss. Zürich 1987/1988, S. 333). Das gilt auch dann, wenn die betreffende Glaubensgemeinschaft nach ihrem internen Recht keine Austrittsmöglichkeit vorsieht. Der Austritt muss jederzeit möglich sein und darf nicht durch schikanöse Vorschriften erschwert oder unnötig verzögert werden (<ref-ruling> E. 3 S. 84). Aus Art. 9 EMRK ergeben sich keine weitergehenden Ansprüche.
4.3 Die genannten Verfassungsbestimmungen verbieten es den Kirchen nicht, gewisse formelle Anforderungen an die Austrittserklärung zu stellen. Demnach ist es insbesondere zulässig, das Austrittsverfahren durch ausdrückliche Formvorschriften derart zu gestalten, dass überstürzte Austritte unter dem momentanen Einfluss von Drittpersonen verhindert werden. Es darf ausserdem im Interesse der Rechtssicherheit verlangt werden, dass der Wille, der Kirche oder Religionsgemeinschaft nicht mehr anzugehören, unzweideutig erklärt wird (<ref-ruling> E. 3a S. 84; Urteil P.1384/1981 vom 18. März 1983, ZBl 85/1984 S. 131, E. 1 und 3b). Die kantonale Gesetzgebung kann auch das Erfordernis aufstellen, dass der Austritt nicht nur aus einer einzelnen Kirchgemeinde, sondern aus der Landeskirche als ganzer erklärt wird (vgl. BGE 2 S. 388 E. 5 S. 396; 34 I 41 E. 11 S. 52 f.).
5. Die Kirchgemeinde Luzern und der Synodalrat lassen die Erklärung des Austritts aus der Landeskirche jedoch nicht genügen und verlangen einen solchen aus der römisch-katholischen Kirche.
5.1 Die römisch-katholische Kirche ist eine hierarchisch strukturierte Gemeinschaft von Gläubigen, die vom Papst und von den Bischöfen geleitet wird. Sie hat eine eigene kirchliche Rechtsordnung, die vor allem im Codex Iuris Canonici - dem kirchlichen Gesetzbuch der römisch-katholischen Kirche - enthalten ist und nach ihrem Verständnis weltweit gilt. Sie verfügt auch über eine eigene Regelung der Zugehörigkeit (vgl. dazu René Pahud de Mortanges, Die Erklärung des Austritts aus der römisch-katholischen Kirche, Schweizerisches Jahrbuch für Kirchenrecht 2003 S. 106 ff.; Martin Grichting, Kirche oder Kirchenwesen, Diss. Freiburg 1997, S. 178, je mit Hinweisen). Die römisch-katholische Kirche bildet jedoch auch Teil des Glaubens. Katholiken bekennen sich zu der von ihnen als heilig verstandenen Kirche (vgl. Katechismus der Katholischen Kirche [1997], Erster Teil, Zweiter Abschnitt, Art. 9: "Ich glaube an..., die heilige katholische Kirche" bzw. das Glaubensbekenntnis: "Credo in... unam, sanctam, catholicam et apostolicam ecclesiam.").
5.2 Daneben haben sich die stimmberechtigten Angehörigen der römisch-katholischen Kirche im Kanton Luzern gestützt auf § 92 der Staatsverfassung des Kantons Luzern vom 29. Januar 1875 und auf das kantonale Gesetz über die Kirchenverfassung vom 21. Dezember 1964 die Kirchenverfassung vom 25. März 1969 gegeben. Mit ihr organisieren sich die im Kanton wohnhaften Katholiken in der "römisch-katholischen Landeskirche". Diese ist eine Körperschaft des öffentlichen Rechts und gliedert sich in "römisch-katholische Kirchgemeinden", die zusammen das ganze Kantonsgebiet umfassen. Die Kirchgemeinden sind die öffentlich-rechtlichen Körperschaften ihrer katholischen Einwohner (vgl. §§ 1 und 2 der Kirchenverfassung). In innerkirchlichen Belangen anerkennen Landeskirche und Kirchgemeinden die Lehre und Rechtsordnung der römisch-katholischen Kirche (§ 5 Abs. 2 der Kirchenverfassung).
5.3 Wegen dieses Nebeneinanders von römisch-katholischer Kirche einerseits und Landeskirche als staatskirchenrechtlichen Organisation anderseits wird von einer dualistischen Kirchenstruktur gesprochen (Winzeler, a.a.O., S. 51 f. und 83; Karlen, a.a.O., S. 333; vgl. auch Pius Hafner, Staat und Kirche im Kanton Luzern, Diss. Freiburg 1991, insbes. S. 228 ff. und 299 ff.; Dieter Kraus, Schweizerisches Staatskirchenrecht, Tübingen 1993, S. 181 ff.).
6. Wie ausgeführt, verlangt der Synodalrat für einen wirksamen Kirchenaustritt die ausdrückliche Erklärung des Betreffenden, dass er der römisch-katholischen Kirche, Konfession oder Religionsgemeinschaft nicht mehr angehöre; eine lediglich auf die Kirchgemeinde oder Landeskirche bezogene Austrittserklärung genüge nicht. Das bedeutet, dass sich der Austrittswillige nach der Auffassung des Synodalrates explizit von der römisch-katholischen Kirche lossagen muss. Diese ist aber - wie in Erwägung 5.1 hiervor erwähnt - selber Teil des Glaubensbekenntnisses. Für einen Kirchenaustritt erwartet der Synodalrat vom Austrittswilligen somit einen bekenntnishaften Akt. Besteht aber - wie hier - neben der Glaubensgemeinschaft eine staatskirchenrechtliche Organisation, so muss es genügen, dass nur der Austritt aus der Letzteren erklärt wird. Denn im weltlichen Rechtsverkehr ist in einem solchen Fall nur der Austritt aus der staatlichen Zugehörigkeitsordnung massgebend. Mit der Erklärung des Austritts aus dieser - in casu aus der Landeskirche - kann bereits gewährleistet werden, dass Mitgliedschaftspflichten künftig nicht mehr zwangsweise durchgesetzt werden; unter anderem wird für die Zeit ab der Austrittserklärung die Kirchensteuer nicht mehr geschuldet. Zusätzliche, bekenntnishafte Erklärungen sind nach dem Gesagten für einen Kirchenaustritt nicht notwendig. Für das Erfordernis einer auch auf die römisch-katholische Kirche, Religionsgemeinschaft oder Konfession bezogenen Erklärung gibt es keinen zwingenden Grund. Daher ist dieses Erfordernis mit der Religionsfreiheit nicht zu vereinbaren (vgl. auch Art. 36 Abs. 2 und 3 BV). Welche religiösen, innerkirchlichen Konsequenzen der erklärte Austritt hat, namentlich ob noch Ansprüche auf Leistungen der Religionsgemeinschaft bestehen, ist nicht vom Staat, sondern von der jeweiligen Religionsgemeinschaft selber zu beantworten (vgl. dazu Pahud de Mortanges, a.a.O., S. 123 ff. und 139 ff.; Grichting, a.a.O., S. 185 ff.).
7. § 12 der Kirchenverfassung ist demnach verfassungskonform so auszulegen, dass für den Kirchenaustritt eine Erklärung genügt, die sich auf die "Landeskirche" bezieht. Verfassungswidrig ist dagegen die vom Synodalrat vorgenommene Auslegung, wonach ausdrücklich zu erklären sei, nicht mehr der römisch-katholischen Konfession, Kirche oder Religionsgemeinschaft anzugehören.
An der bereits erwähnten Rechtsprechung (<ref-ruling>) kann demnach nicht festgehalten werden. Ausserdem bedarf der Klarstellung, dass im Blick auf das dargestellte Nebeneinander Landeskirche und Kirchgemeinden nicht als "Organe der Dachorganisation" der römisch-katholischen Kirche zu verstehen sind (vgl. die kritischen Besprechungen zu <ref-ruling>: Andreas Kley, Die staatsrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts in den Jahren 2002 und 2003, ZBJV 139/2003 S. 707; Dieter Kraus, Religionsrechtlich bedeutsame Entscheide des Bundesgerichts in den Jahren 2002 - 2003, in: Schweizerisches Jahrbuch für Kirchenrecht 2003 S. 148; Markus Walser, Kantonalkirche und Kirchgemeinden im Kanton Luzern, in: Wilhelm Rees [Hrsg.], Recht in Kirche und Staat, Berlin 2004, S. 833 ff.).
8. In ihrem Schreiben vom 22. Mai 2006 hat die Beschwerdeführerin den Austritt aus der staatskirchenrechtlichen Organisation "Katholische Kirchgemeinde Luzern" erklärt. Die kantonalen Behörden sehen darin auch deshalb keine gültige Austrittserklärung, weil § 12 der Kirchenverfassung nicht bloss einen Austritt aus einer Kirchgemeinde zulasse. Die Beschwerdeführerin behauptet nicht, dass eine solche Auslegung des kantonalen Rechts willkürlich sei. Sie macht allein geltend, dass sie eine Verletzung der Glaubens- und Gewissensfreiheit bewirke. Diese Rüge ist indessen im Lichte der obigen Ausführungen unbegründet. Denn die kantonale Gesetzgebung darf verlangen, dass der Austritt nicht nur aus der Kirchgemeinde, sondern aus der Landeskirche erklärt wird (vgl. E. 4.3).
Die Beschwerdeführerin kritisiert auch, dass sie im Verfahren vor dem Synodalrat zu den Hintergründen ihres Schreibens vom 22. Mai 2006 näher befragt und - nach Verweigerung der Aussage zu einzelnen Fragen - sogar zur Beweisaussage angehalten wurde. Da das erwähnte Schreiben die Anforderungen einer Austrittserklärung nicht erfüllte, lag es nahe, den Willen der Beschwerdeführerin durch eine Befragung näher zu ergründen. Es ist darüber hinaus zulässig, Fragen zu den Motiven und Hintergründen des Austritts zu stellen. Da ein solcher jedoch nicht begründet werden muss, ist es unstatthaft, allein aus der Aussageverweigerung bei entsprechenden Fragen auf den fehlenden Austrittswillen zu schliessen. Die Würdigung des Aussageverhaltens im angefochtenen Entscheid erscheint in dieser Hinsicht verfassungswidrig.
Nicht zu beanstanden ist dagegen die Folgerung, die Beschwerdeführerin habe durch ihre Aussageverweigerung nichts dazu beigetragen, den Mangel ihrer Erklärung vom 22. Mai 2006 zu beheben. Der Synodalrat durfte in diesem Zusammenhang auch zwei frühere Schreiben der Beschwerdeführerin vom 7. März und 28. April 2005 berücksichtigen, in denen sie ebenfalls ihren Austritt aus der katholischen Kirchgemeinde Luzern erklärte. Nach einem Briefwechsel und der Erhebung von zwei Gemeindebeschwerden teilte sie der Kirchgemeinde am 8. April 2006 mit, dass sie die beiden Rechtsmittel durch ihren Anwalt zurückziehen lasse; zudem wolle sie, soweit dies überhaupt möglich bzw. nötig sei, wieder in die katholische Kirchgemeinde Luzern eintreten. Wenn die Beschwerdeführerin nur wenige Wochen später ohne jegliche Erläuterung erneut den Austritt aus ebendieser Kirchgemeinde erklärt, erscheint ihr Verhalten wenig kohärent. Die kantonalen Behörden durften deshalb den Schluss ziehen, aus der Vorgeschichte und aus dem Aussageverhalten gehe kein klar erkennbarer Wille der Beschwerdeführerin hervor, aus der römisch-katholischen Landeskirche des Kantons Luzern auszutreten. Jedenfalls zeigt sie nicht in einer Art. 90 Abs. 1 lit. b OG entsprechenden Weise auf, inwiefern eine solche Würdigung der dargestellten Umstände willkürlich sein oder gegen Treu und Glauben verstossen sollte.
Die ungenügende Klarheit der schriftlichen Erklärung vom 22. Mai 2006 wird demnach nicht behoben, wenn das weitere Verhalten der Beschwerdeführerin mitberücksichtigt wird. Dieses bestätigt im Gegenteil, dass sie ihren Willen zum Kirchenaustritt nicht in der erforderlichen Eindeutigkeit kundgetan hat.
9. 9.1 Der angefochtene Entscheid verletzt damit zwar die Glaubens- und Gewissensfreiheit und die übrigen angerufenen verfassungsmässigen Rechte der Beschwerdeführerin nicht. Er stützt sich jedoch zu einem wesentlichen Teil auf eine verfassungswidrige Begründung. Die Beschwerde ist deshalb im Sinne der Erwägungen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
9.2 Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'500.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und der römisch-katholischen Landeskirche des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2007
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Merz