Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die Sammlung des Museums der Kulturen (vormals Museum für Natur- und Völkerkunde) an der Augustinergasse 2 in Basel befindet sich zum einen Teil im so genannten "Berri-Bau", der 1824 vom Architekten Melchior Berri gebaut wurde, zum anderen im angrenzenden "Anbau Vischer". Dieser Annex wurde 1915-1917 durch das Architekturbüro Vischer und Söhne als Erweiterungsbau des an der Augustinergasse 2 bestehenden Museums erstellt. Umstritten ist, ob nur der "Berri-Bau" oder auch der "Anbau Vischer" denkmalgeschützt ist. Beide liegen in der Stadtbild-Schutzzone.
Am 3. Oktober 2003 reichte die Stiftung zur Förderung des Museums der Kulturen Basel ein Baugesuch um Erweiterung und Aufstockung des Museums ein: Das Dach des "Anbaus Vischer" soll abgerissen und durch einen neuen Dachaufbau ersetzt werden. Dort soll ein Ausstellungsraum entstehen. Der Rest des "Anbaus Vischer" soll ebenfalls umgebaut und erneuert werden. Insbesondere ist geplant, den Verputz abzuschlagen, um das darunterliegende Backstein-Mauerwerk zum Vorschein zu bringen. Anschliessend soll die Fassade mit hängenden und kletternden Pflanzen begrünt werden. Weiter ist eine Verlegung des Museumseingangs vom "Berri-Bau" an der Augustinergasse 2 in den Sockel des "Anbaus Vischer" im Schürhof geplant. Damit würde der Zugang neu vom Münsterplatz her erfolgen.
Am 3. Oktober 2003 reichte die Stiftung zur Förderung des Museums der Kulturen Basel ein Baugesuch um Erweiterung und Aufstockung des Museums ein: Das Dach des "Anbaus Vischer" soll abgerissen und durch einen neuen Dachaufbau ersetzt werden. Dort soll ein Ausstellungsraum entstehen. Der Rest des "Anbaus Vischer" soll ebenfalls umgebaut und erneuert werden. Insbesondere ist geplant, den Verputz abzuschlagen, um das darunterliegende Backstein-Mauerwerk zum Vorschein zu bringen. Anschliessend soll die Fassade mit hängenden und kletternden Pflanzen begrünt werden. Weiter ist eine Verlegung des Museumseingangs vom "Berri-Bau" an der Augustinergasse 2 in den Sockel des "Anbaus Vischer" im Schürhof geplant. Damit würde der Zugang neu vom Münsterplatz her erfolgen.
B. Mit Entscheid vom 25. Juni 2004 erteilte das Bauinspektorat unter verschiedenen Auflagen eine Ausnahmebewilligung für das Baubegehren und wies die dagegen erhobenen Einsprachen mit Verfügungen vom 9. Juli 2004 ab. Der Heimatschutz Basel und die Freiwillige Basler Denkmalpflege erhoben dagegen erfolglos Rekurs bei der Baurekurskommission. Gegen deren abweisenden Entscheid vom 27. Oktober 2004 gelangten die beiden Rekurrenten an das Appellationsgericht als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie verlangten die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, eventualiter die Rückweisung des Baubegehrens an die Baurekurskommission.
Das Appellationsgericht führte am 21. Dezember 2005 einen Augenschein mit anschliessender Gerichtsverhandlung durch. Gleichentags wies das Appellationsgericht den Rekurs ab.
Das Appellationsgericht führte am 21. Dezember 2005 einen Augenschein mit anschliessender Gerichtsverhandlung durch. Gleichentags wies das Appellationsgericht den Rekurs ab.
C. Mit Eingabe vom 20. Juni 2006 erheben der Heimatschutz Basel und die Freiwillige Basler Denkmalpflege staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des Appellationsgerichtsurteils vom 21. Dezember 2005. Das Appellationsgericht sei anzuweisen, das Baubegehren BGG-Z 9'004'896 im Sinne der Erwägungen abzuweisen, eventualiter im Sinne der Erwägungen neu zu beurteilen. Gleichzeitig ersuchen sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
Das Bauinspektorat des Kantons Basel-Stadt beantragt, die Beschwerde sei vollumfänglich abzuweisen, während das Appellationsgericht als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt auf Abweisung der Beschwerde schliesst, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Stiftung zur Förderung des Museums der Kulturen Basel ersucht ebenfalls um Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 20. Juli 2006 hat der Präsident der I. Öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung teilweise gutgeheissen und diese für die Projektbereiche
- Abbruch und Neugestaltung des Daches,
- teilweise Absenkung des Innenhofes mit Einbau eines neuen Eingangs und
- Umgestaltung der Fassade (Schliessen von alten Fenstern sowie Einbau von neuen Fenstern, Anbringen eines Pflanzenvorhangs an der Stirnwand)
zuerkannt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Vorab ist zu prüfen, in welchem Umfang das von den Beschwerdeführern erhobene Rechtsmittel und die von ihnen neu eingereichten Beweismittel respektive neu vorgebrachten Argumente zulässig sind.
1.1 Nach Art. 88 OG steht das Recht zur Beschwerdeführung Bürgern (Privaten) und Korporationen bezüglich solcher Rechtsverletzungen zu, die sie durch allgemein verbindliche oder sie persönlich treffende Erlasse oder Verfügungen erlitten haben. Gemäss ständiger Rechtsprechung kann mit staatsrechtlicher Beschwerde lediglich die Verletzung in rechtlich geschützten Interessen gerügt werden; zur Verfolgung bloss tatsächlicher Vorteile oder zur Geltendmachung allgemeiner öffentlicher Interessen steht die staatsrechtliche Beschwerde nicht zur Verfügung (<ref-ruling> E. 1a S. 111). Die Legitimation bestimmt sich im bundesgerichtlichen Verfahren ausschliesslich nach Art. 88 OG. Unmassgeblich ist daher grundsätzlich, ob ein Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren Parteistellung hatte (<ref-ruling> E. 1a S. 166).
Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst kann ein Beschwerdeführer indes aufgrund seiner Parteistellung im kantonalen Verfahren die Verletzung von Verfahrensvorschriften rügen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (<ref-ruling> E. 1.4 S. 222 mit Hinweisen). Zur Verfolgung öffentlicher Interessen oder bloss tatsächlicher Vorteile steht die staatsrechtliche Beschwerde nicht zur Verfügung (<ref-ruling> E. 1a S. 234; <ref-ruling> E. 3a S. 179 f.). Das nach Art. 88 OG erforderliche, rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls nicht aus der Berechtigung in der Sache, sondern aus der Teilnahme am kantonalen Verfahren. Eine solche ist stets dann gegeben, wenn dem Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren Parteistellung zukam. Dieser kann mit staatsrechtlicher Beschwerde die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihm nach dem kantonalen Verfahrensrecht oder unmittelbar aufgrund der Verfassung zustehen.
Hingegen geht es nicht an, dass auf dem Umweg über die Rüge der Verletzung von Verfahrensvorschriften dem Richter materielle Fragen zur Prüfung vorgelegt werden. Ein in der Sache nicht legitimierter Beschwerdeführer kann deshalb weder die Beweiswürdigung kritisieren, noch geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend, noch die Tatsache rügen, dass seine Anträge wegen Unerheblichkeit oder aufgrund antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt wurden. Die Beurteilung dieser Fragen kann von der Prüfung der materiellen Sache nicht getrennt werden. Auf eine solche hat der in der Sache selbst nicht Legitimierte keinen Anspruch (<ref-ruling> E. 2a/bb S. 160; <ref-ruling> E. 1a S. 234 f.).
1.2 Die Freiwillige Basler Denkmalpflege und der Basler Heimatschutz sind nach diesen Grundsätzen nicht zur Beschwerdeführung in der Sache selbst legitimiert. Sie vertreten beide ausschliesslich öffentliche Interessen, zu deren Wahrnehmung die staatsrechtliche Beschwerde nicht zur Verfügung steht. Die in Art. 12 des Bundesgesetzes über den Natur- und Heimatschutz vom 1. Juli 1966 (NHG; SR 451) enthaltene Beschwerdebefugnis gilt im staatsrechtlichen Verfahren nicht (<ref-ruling> E. 4a S. 41), abgesehen davon, dass beide Vereine keine gesamtschweizerischen Organisationen sind. Zwar machen die Beschwerdeführer geltend, sie würden mit ihrer Beschwerde die Interessen ihrer Mitglieder wahrnehmen, ohne jedoch darzutun, welche Mitglieder inwiefern in welchen eigenen Rechten betroffen sein sollen. Auch dass diese Mitglieder die Mehrheit oder mindestens eine grosse Zahl ihrer gesamten Vereinsmitglieder ausmachen würden, belegen die Beschwerdeführer nicht. Soweit sich die Beschwerde gegen die materielle Würdigung der verweigerten Schutzmassnahmen wendet, ist demzufolge nicht darauf einzutreten. Dagegen sind die Beschwerdeführer im Sinne der zitierten Rechtsprechung aufgrund ihrer Parteistellung im kantonalen Verfahren dazu legitimiert, die Verletzung von Verfahrensvorschriften geltend zu machen. Auf die Rügen der formellen Rechtsverweigerung ist demnach grundsätzlich einzutreten, zumal die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind.
1.2 Die Freiwillige Basler Denkmalpflege und der Basler Heimatschutz sind nach diesen Grundsätzen nicht zur Beschwerdeführung in der Sache selbst legitimiert. Sie vertreten beide ausschliesslich öffentliche Interessen, zu deren Wahrnehmung die staatsrechtliche Beschwerde nicht zur Verfügung steht. Die in Art. 12 des Bundesgesetzes über den Natur- und Heimatschutz vom 1. Juli 1966 (NHG; SR 451) enthaltene Beschwerdebefugnis gilt im staatsrechtlichen Verfahren nicht (<ref-ruling> E. 4a S. 41), abgesehen davon, dass beide Vereine keine gesamtschweizerischen Organisationen sind. Zwar machen die Beschwerdeführer geltend, sie würden mit ihrer Beschwerde die Interessen ihrer Mitglieder wahrnehmen, ohne jedoch darzutun, welche Mitglieder inwiefern in welchen eigenen Rechten betroffen sein sollen. Auch dass diese Mitglieder die Mehrheit oder mindestens eine grosse Zahl ihrer gesamten Vereinsmitglieder ausmachen würden, belegen die Beschwerdeführer nicht. Soweit sich die Beschwerde gegen die materielle Würdigung der verweigerten Schutzmassnahmen wendet, ist demzufolge nicht darauf einzutreten. Dagegen sind die Beschwerdeführer im Sinne der zitierten Rechtsprechung aufgrund ihrer Parteistellung im kantonalen Verfahren dazu legitimiert, die Verletzung von Verfahrensvorschriften geltend zu machen. Auf die Rügen der formellen Rechtsverweigerung ist demnach grundsätzlich einzutreten, zumal die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind.
2. Mit der staatsrechtlichen Beschwerde können neue Tatsachen und Beweismittel im Allgemeinen nicht vorgebracht werden (<ref-ruling> E. 5a S. 26; <ref-ruling> E. 2a S. 190 f.). Nach der Praxis des Bundesgerichts gelten in den folgenden vier Fallgruppen Ausnahmen: So sind neue Vorbringen rechtlicher und tatsächlicher Art zulässig, zu deren Geltendmachung erst die Begründung des angefochtenen Entscheides Anlass gibt. Ebenfalls zuzulassen sind neue Vorbringen zu Gesichtspunkten, die sich aufdrängen und die deshalb von der kantonalen Instanz offensichtlich hätten berücksichtigt werden müssen (<ref-ruling> E. 4a S. 122 mit Hinweisen). Eine weitere Ausnahme gilt für Vorbringen, die erstmals im Rahmen von Sachverhaltsabklärungen gemäss Art. 95 OG Bedeutung erlangen (BGE <ref-ruling> E. 2b S. 191 mit Hinweisen). Neue rechtliche Vorbringen werden schliesslich zugelassen, falls die letzte kantonale Instanz volle Überprüfungsbefugnis besass und das Recht von Amtes wegen anzuwenden hatte (<ref-ruling> E. 1a S. 90; <ref-ruling> E. 2b S. 191; zum Ganzen: Walter Kälin, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Aufl., Bern 1994, S. 369 f.). Die zulässigen neuen Vorbringen dürfen sich in jedem Fall nur auf Tatsachen und Beweismittel beziehen, die bereits im Zeitpunkt des letzten kantonalen Entscheids existierten bzw. auf Rechtsnormen, die zu diesem Zeitpunkt bereits in Kraft waren (<ref-ruling> E. 2f S. 79, 243 E. 2 S. 246; Kälin, a.a.O., S. 370).
2.1 Nicht zu hören sind die Beschwerdeführer mit dem Einwand, das Appellationsgericht habe in einem Urteil vom 24. Februar 2006 einen analogen Sachverhalt anders entschieden, weshalb die Rechtsgleichheit verletzt sei. Der angefochtene Entscheid datiert vom 21. Dezember 2005, erging mithin vor dem von den Beschwerdeführern zitierten Urteil. Auf dieses Novum ist nicht einzutreten.
2.2 Ebenfalls nicht entgegenzunehmen ist das von den Beschwerdeführern erst im bundesgerichtlichen Verfahren eingereichte Parteigutachten zur Schutzwürdigkeit des Vischer-Anbaus. Ein solches hätten sie bereits im kantonalen Verfahren beibringen können. Der angefochtene Entscheid bietet jedenfalls keinen Anlass für die nachträgliche Einreichung einer Expertise. Auch sonstige Ausnahmegründe sind weder ersichtlich noch wurden solche von den Beschwerdeführern dargetan.
2.2 Ebenfalls nicht entgegenzunehmen ist das von den Beschwerdeführern erst im bundesgerichtlichen Verfahren eingereichte Parteigutachten zur Schutzwürdigkeit des Vischer-Anbaus. Ein solches hätten sie bereits im kantonalen Verfahren beibringen können. Der angefochtene Entscheid bietet jedenfalls keinen Anlass für die nachträgliche Einreichung einer Expertise. Auch sonstige Ausnahmegründe sind weder ersichtlich noch wurden solche von den Beschwerdeführern dargetan.
2.3 2.3.1 Indes machen die Beschwerdeführer erstmals vor Bundesgericht geltend, auch der umstrittene "Anbau Vischer" sei im kantonalen Denkmalverzeichnis vom 23. Juni 1981 (SG 497.300) aufgenommen. Indem das Appellationsgericht das Denkmalverzeichnis nicht beachtet und somit den Sachverhalt und die Entscheidgrundlagen ungenügend abgeklärt habe, habe es eine unzulässige Rechtsverweigerung begangen.
Der Eintrag im Denkmalverzeichnis lautet "Augustinergasse 2/Martinsgasse 22, Museum für Natur- und Völkerkunde (jetzt Museum der Kulturen)". Den Beschwerdeführern ist darin zuzustimmen, dass weder die kantonalen Behörden noch die Parteien diese Problematik bisher ausdrücklich thematisiert haben. Sämtliche Beteiligten, auch die Beschwerdeführer, sind offensichtlich bis anhin davon ausgegangen, der Anbau befinde sich in der Stadtbild-Schutzzone, was nach wie vor unbestritten ist. Der Eintrag im Denkmalverzeichnis war nie Prozessthema. Nachdem das Appellationsgericht im kantonalen Verfahren in Fragen des Denkmalschutzes über volle Kognition verfügt (vgl. § 28 Abs. 2 des Gesetzes über den Denkmalschutz vom 20. März 1980 [DSchG/BS; SG 497.100]; <ref-ruling> E. 4b S. 388; vgl. auch Christoph Winzeler, Grundfragen des neuen baselstädtischen Denkmalschutzrechts, BJM 1982, S. 169 ff., 180) und das Recht von Amtes wegen anzuwenden hat, wäre es zur Konsultation des Denkmalverzeichnisses verpflichtet gewesen. Indes fragt sich, ob die kantonalen Instanzen dies nicht getan haben und sinngemäss zum Schluss gekommen sind, der Eintrag im Denkmalverzeichnis umfasse den "Anbau Vischer" nicht. Das Appellationsgericht führt im angefochtenen Urteil dazu aus, die Stadtbild-Schutzzone erstrecke sich über den ganzen Münsterhügel. So ständen dort auch zahlreiche Gebäude unter Denkmalschutz wie zum Beispiel viele Häuser an der Augustinergasse, an der Martinsgasse, am Stapfelberg, am Schlüsselberg und auf dem Münsterplatz. Dabei verweist das Appellationsgericht ausdrücklich auf das Denkmalverzeichnis sowie auf die Stadt- und Zonenpläne. Im nächsten Satz hält es fest, der "Anbau Vischer" sei jedoch nicht denkmalgeschützt (E. 2 S. 5 des angefochtenen Urteils). Daraus lässt sich durchaus schliessen, das Appellationsgericht habe sich mit der Problematik auseinandergesetzt und festgestellt, der Eintrag im Denkmalverzeichnis meine den "Anbau Vischer" nicht. Auch die Basler Denkmalpflege geht in ihrer Stellungnahme vom 10. Februar 2004 davon aus, das Baubegehren betreffe "ein Gebäude in der Schutzzone" sowie die Umgebung mehrerer denkmalgeschützter Gebäude am Münsterplatz. Desgleichen führt die Baurekurskommission in ihrem Entscheid vom 27. Oktober 2004 unter Zitierung der Basler Denkmalpflege aus, der Umgebungsschutz schütze insbesondere den Blick auf eingetragene Denkmäler. Offensichtlich erachtete sie den "Anbau Vischer" nicht als solches. Diese Differenzierung legt nahe, dass die Einträge im Denkmalverzeichnis bei der Prüfung des Bauvorhabens sehr wohl berücksichtigt, jedoch anders ausgelegt wurden als von den Beschwerdeführern. Dass das Appellationsgericht dazu keine weiteren Ausführungen gemacht hat, ist ihm denn auch insofern nicht vorzuwerfen, da es gemäss § 18 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 14. Juni 1928 (VRPG/BS; SG 270.100) die von den Parteien anerkannten Tatsachen als wahr annehmen darf. Als anerkannt gelten nach dieser Bestimmung auch die in der angefochtenen Verfügung ausdrücklich festgestellten Tatsachen, welche der Rekurrent und die Beigeladene nicht bestritten haben. Nachdem sich die Beschwerdeführer nie auf den Eintrag im Denkmalverzeichnis berufen haben, sondern mit den übrigen Beteiligten die Stadtbild-Schutzzone als massgeblich erachtet haben, waren die kantonalen Behörden nicht gehalten, sich detailliert zum Eintrag zu äussern.
2.3.2 Selbst wenn sich jedoch die kantonalen Behörden im Baugesuchsverfahren nicht ausdrücklich zum Eintrag im Denkmalverzeichnis geäussert haben respektive diesen allenfalls nicht berücksichtigt haben und die Rüge der Beschwerdeführer insofern grundsätzlich als Novum zuzulassen wäre, ist Folgendes in Erwägung zu ziehen:
Die Beschwerdeführer bringen vor, das Denkmalverzeichnis beziehe sich auf die gesamte Parzelle Grundbuch Basel Sektion 5, Parzelle 14, an der Augustinergasse 2. Indes übersehen sie dabei, dass sich auf der genannten Parzelle neben den von ihnen genannten Gebäuden auch die Gebäude Martinsgasse 22, Schlüsselberg 5 sowie Schlüsselberg 9 befinden. In der alphabetischen Aufzählung des Denkmalverzeichnisses wird das Museum der Kulturen sowohl unter der Augustinergasse 2 wie auch unter der Martinsgasse 22 genannt. Weiter findet sich auch das Gebäude Schlüsselberg 5 mit der Bezeichnung "zum Weissen Bär" im Denkmalverzeichnis. Hingegen fehlt ein Eintrag zum Gebäude am Schlüsselberg 9. Demzufolge sind nicht sämtliche Gebäude auf der fraglichen Parzelle automatisch vom Denkmalschutz erfasst. Die Zugänge Augustinergasse 2 und Martinsgasse 22 betreffen jedenfalls den "Berri-Bau". Dass zwingend der gesamte Gebäudekomplex gemeint sei, weil auch der Annexbau dieselbe Adresse hat und derzeit noch über keinen eigenen Eingang verfügt, ist daraus nicht zwingend zu schliessen. Hinzu kommt, dass sich sämtliche kantonale Instanzen während des Verfahrens einig waren, dass der "Anbau Vischer" in denkmalpflegerischer Hinsicht grosse Qualitätsunterschiede zum "Berri-Bau" aufweise. So hat etwa die Basler Denkmalpflege im Bauentscheid vom 25. Juni 2004 zur Frage nach der Qualität des "Anbaus Vischer" ausgeführt:
"Der Bau des Museums der Kulturen wurde 1915/17 durch die Architekten Vischer und Söhne als Erweiterungsbau des Museums an der Augustinergasse erstellt. Er ist keine Zierde im Hofgelände des alten Schürhofs, sodass eine Veränderung dieses Gebäudes grundsätzlich zulässig erscheint."
Die Baurekurskommission bezeichnete den "Anbau Vischer" in ihrem Entscheid vom 27. Oktober 2004 als "das schwächste Element" der Bauten in der Umgebung. Es ist davon auszugehen, dass sie auch bei einer ausdrücklichen Prüfung des Eintrags im Denkmalverzeichnis zum Schluss gekommen wären, dieser umfasse nicht beide Museumsbauten. Eine formelle Rechtsverweigerung ist den kantonalen Behörden deshalb nicht vorzuwerfen.
Die Baurekurskommission bezeichnete den "Anbau Vischer" in ihrem Entscheid vom 27. Oktober 2004 als "das schwächste Element" der Bauten in der Umgebung. Es ist davon auszugehen, dass sie auch bei einer ausdrücklichen Prüfung des Eintrags im Denkmalverzeichnis zum Schluss gekommen wären, dieser umfasse nicht beide Museumsbauten. Eine formelle Rechtsverweigerung ist den kantonalen Behörden deshalb nicht vorzuwerfen.
3. Die Beschwerdeführer werfen dem Appellationsgericht Rechtsverweigerung und Willkür vor, weil es auf die Einholung einer Expertise verzichtet habe. Sie berufen sich auf § 18 VRPG/BS, wonach das Appellationsgericht den Beweisanträgen der Parteien Folge zu geben hat, wenn sie zur Feststellung des Sachverhaltes dienlich erscheinen. Diese Bestimmung geht indessen nicht über die diesbezüglichen Garantien der Bundesverfassung hinaus.
3.1 Der in <ref-law> gewährleistete Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 3a S. 51 und 241 E. 2 S. 242, je mit Hinweisen). Die Begründungspflicht und der Anspruch auf Begründung sind nicht bereits dadurch verletzt, dass sich die urteilende Behörde nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 102; <ref-ruling> E. 2a S. 149; <ref-ruling> E. 1a S. 181; <ref-ruling> E. 2c S. 34; <ref-ruling> E. 2c S. 57, je mit Hinweisen).
3.2 Weiter ergibt sich aus <ref-law> der Anspruch der Parteien, mit rechtzeitig und formgültig angebotenen Beweisanträgen und Vorbringen gehört zu werden, soweit diese erhebliche Tatsachen betreffen und nicht offensichtlich beweisuntauglich sind (<ref-ruling> E. 3b S. 383; <ref-ruling> E. 2b S. 162, je mit Hinweisen). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 505 f.; <ref-ruling> E. 5b S. 101, je mit Hinweisen).
3.3 Das Appellationsgericht setzt sich im angefochtenen Urteil entgegen der Behauptung der Beschwerdeführer sehr wohl mit der Qualität des "Anbaus Vischer" auseinander und legt dar, dass es dazu einerseits auf die Meinung der Fachinstanzen, insbesondere der Baurekurskommission und der Denkmalpflege, abstellt. Die Baurekurskommission hatte bei ihrem Entscheid zudem eine Denkmalschutzexpertin beigezogen, wie dies § 2 Abs. 3 des Gesetztes betreffend die Baurekurskommission vom 7. Juni 2000 (BRKG/BS; SR 790.100) vorsieht. Weiter bestimmt § 13 Abs. 1 der Bau- und Planungsverordnung vom 19. Dezember 2000 (BPV/BS; SG 730.110), dass die nach der Gesetzgebung über den Denkmalschutz zuständigen Behörden nach den Vorschriften über den Denkmalschutz und den Zonenvorschriften die Zulässigkeit von Veränderungen und die Gestaltung von eingetragenen Denkmälern sowie von Bauten und Anlagen in der Stadt- und Dorfbild-Schutzzone beurteilen. Gemäss Abs. 2 der zitierten Norm wird die Gestaltung von Bauten, Anlagen, Reklamen, Aufschriften und Bemalungen im näheren Sichtbereich von eingetragenen Denkmälern von der Basler Denkmalpflege beurteilt. Ist also ein Baugesuch in der Stadtbild-Schutzzone zu prüfen, hat das Bauinspektorat in jedem Falle die Fachinstanz beizuziehen. In dieser Funktion hat sich denn die Denkmalpflege auch eingehend zum Vorhaben geäussert. Ihr Entscheid ist für die Bauinspektion verbindlich (§ 17 BPV/BS). Zudem hat das Appellationsgericht selber einen Augenschein durchgeführt und sich vor Ort einen Eindruck über die Situation verschafft. Wenn es aufgrund dieser Abklärungen auf die Einholung einer weiteren Expertise verzichtet hat, ist dies verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden.
3.3 Das Appellationsgericht setzt sich im angefochtenen Urteil entgegen der Behauptung der Beschwerdeführer sehr wohl mit der Qualität des "Anbaus Vischer" auseinander und legt dar, dass es dazu einerseits auf die Meinung der Fachinstanzen, insbesondere der Baurekurskommission und der Denkmalpflege, abstellt. Die Baurekurskommission hatte bei ihrem Entscheid zudem eine Denkmalschutzexpertin beigezogen, wie dies § 2 Abs. 3 des Gesetztes betreffend die Baurekurskommission vom 7. Juni 2000 (BRKG/BS; SR 790.100) vorsieht. Weiter bestimmt § 13 Abs. 1 der Bau- und Planungsverordnung vom 19. Dezember 2000 (BPV/BS; SG 730.110), dass die nach der Gesetzgebung über den Denkmalschutz zuständigen Behörden nach den Vorschriften über den Denkmalschutz und den Zonenvorschriften die Zulässigkeit von Veränderungen und die Gestaltung von eingetragenen Denkmälern sowie von Bauten und Anlagen in der Stadt- und Dorfbild-Schutzzone beurteilen. Gemäss Abs. 2 der zitierten Norm wird die Gestaltung von Bauten, Anlagen, Reklamen, Aufschriften und Bemalungen im näheren Sichtbereich von eingetragenen Denkmälern von der Basler Denkmalpflege beurteilt. Ist also ein Baugesuch in der Stadtbild-Schutzzone zu prüfen, hat das Bauinspektorat in jedem Falle die Fachinstanz beizuziehen. In dieser Funktion hat sich denn die Denkmalpflege auch eingehend zum Vorhaben geäussert. Ihr Entscheid ist für die Bauinspektion verbindlich (§ 17 BPV/BS). Zudem hat das Appellationsgericht selber einen Augenschein durchgeführt und sich vor Ort einen Eindruck über die Situation verschafft. Wenn es aufgrund dieser Abklärungen auf die Einholung einer weiteren Expertise verzichtet hat, ist dies verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden.
4. Sodann werfen die Beschwerdeführer dem Appellationsgericht vor, es habe seine Kognition unzulässigerweise beschränkt und damit eine Verletzung von Art. 9 und Art. 29 BV begangen.
4.1 Das Appellationsgericht hat nach § 8 Abs. 1 VRPG/BS zu prüfen, ob die Baurekurskommission das öffentliche Recht - vorliegend insbesondere das Denkmalschutzgesetz - nicht oder nicht richtig angewendet, den Tatbestand unrichtig festgestellt, wesentliche Form- oder Verfahrensvorschriften verletzt, oder eine ihr vorgeschriebene Verfügung grundlos verzögert habe. Soweit das Appellationsgericht die Einhaltung des DSchG/BS prüft, entscheidet es auch über die Angemessenheit einer Verfügung. Seine Kognition beschränkt sich darum auch bei der Beurteilung, ob ein Bauvorhaben in der Schutzzone zu einer nach § 37 des Bau- und Planungsgesetzes vom 17. November 1999 (BPG/BS; SG 730.100) unzulässigen Beeinträchtigung des nach aussen sichtbaren historischen oder künstlerischen Charakters der bestehenden Bebauung führt, nicht auf die Frage, ob die Bewilligungsbehörde von ihrem Ermessen einen willkürlichen Gebrauch gemacht hat. Wie das Appellationsgericht im angefochtenen Urteil richtig ausführt, besteht hier vielmehr die volle richterliche Kognition, da es um die richtige Anwendung der Schutzzonenbestimmungen selber geht. Allerdings legt sich das Appellationsgericht, soweit es bei den erwähnten Vorschriften um die Anwendung und Auslegung unbestimmter Rechtsbegriffe geht, auch bei freier Kognition eine gewisse Zurückhaltung auf, um dem Beurteilungsspielraum und der Sachkenntnis der Verwaltung Rechnung zu tragen (BJM 2001, S. 26 ff.). Dieses Vorgehen ist verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden. Es entspricht der Kognition des Bundesgerichts in Fragen des Denkmalschutzes: Obwohl das Bundesgericht frei prüft, ob eine Eigentumsbeschränkung im öffentlichen Interesse liegt und verhältnismässig ist, auferlegt es sich Zurückhaltung, soweit die Beurteilung von der Würdigung der örtlichen Verhältnisse abhängt, welche die kantonalen Behörden besser kennen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 344; <ref-ruling> E. 2c S. 222; <ref-ruling> E. 3a S. 366). Dies gilt insbesondere auf dem Gebiet des Denkmalschutzes und selbst dann, wenn das Bundesgericht einen Augenschein durchgeführt hat. Es ist in erster Linie Sache der Kantone, darüber zu befinden, welche Objekte schützenswert sind (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 275; <ref-ruling> E. 4b S. 388 mit Hinweisen).
4.2 Den Beschwerdeführern ist darin zuzustimmen, dass E. 3.4.2 des angefochtenen Urteils den Eindruck erweckt, das Appellationsgericht beschränke seine Überprüfungsbefugnis unzulässigerweise. Es hat jedoch in E. 1.3 seines Entscheids die oben zitierten Grundsätze seiner Kognition genannt und diese anschliessend bei der Prüfung, ob die Baurekurskommission richtig entschieden habe, entsprechend angewandt. Die E. 3.4.3, 3.4.4 und 3.5 des angefochtenen Urteils lassen jedenfalls keine unzulässige Zurückhaltung bei der Überprüfung erkennen. Die Beschwerdeführer legen denn auch nicht konkret dar, worin die Rechtsverweigerung respektive die unzulässige Kognitionsbeschränkung bestehen soll (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
4.2 Den Beschwerdeführern ist darin zuzustimmen, dass E. 3.4.2 des angefochtenen Urteils den Eindruck erweckt, das Appellationsgericht beschränke seine Überprüfungsbefugnis unzulässigerweise. Es hat jedoch in E. 1.3 seines Entscheids die oben zitierten Grundsätze seiner Kognition genannt und diese anschliessend bei der Prüfung, ob die Baurekurskommission richtig entschieden habe, entsprechend angewandt. Die E. 3.4.3, 3.4.4 und 3.5 des angefochtenen Urteils lassen jedenfalls keine unzulässige Zurückhaltung bei der Überprüfung erkennen. Die Beschwerdeführer legen denn auch nicht konkret dar, worin die Rechtsverweigerung respektive die unzulässige Kognitionsbeschränkung bestehen soll (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
5. Soweit die Beschwerdeführer die vom Appellationsgericht vorgenommene materielle Würdigung in Frage stellen, sind sie dazu, wie in E. 1.1 hiervor gesehen, nicht legitimiert.
5. Soweit die Beschwerdeführer die vom Appellationsgericht vorgenommene materielle Würdigung in Frage stellen, sind sie dazu, wie in E. 1.1 hiervor gesehen, nicht legitimiert.
6. Daraus folgt, dass die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang haben die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG). Zudem haben sie die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bauinspektorat und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. November 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: