hat sich ergeben:
A.- Auf dem Grundstück der Eheleute C. und D.Y._ am E._weg in Basel stehen zwei grosse alte Schwarzföhren. Sie sind nach § 4 des Gesetzes zum Schutz und zur Förderung des Baumbestandes im Kanton Basel-Stadt vom 16. Oktober 1980 (Baumgesetz) geschützt.
Einer dieser Bäume befindet sich nahe an der Grenze zur Parzelle der Eheleute A. und B.X._. Während einer Abwesenheit der Eheleute Y._ liess A.X._ am 2. Juni 1999 die Äste dieser Schwarzföhre, die teilweise 4-5 Meter über ihr Grundstück ragten, bis auf die Liegenschaftsgrenze zurückschneiden.
Auf Grund dieses Vorfalls verurteilte der Strafgerichtspräsident Basel-Stadt A.X._ am 12. Dezember 2000 wegen Sachbeschädigung und Übertretung des Baumgesetzes zu einer Busse von Fr. 3'500.--, bedingt löschbar nach einer Probezeit von einem Jahr. Der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt bestätigte am 6. April 2001 diese Verurteilung, reduzierte aber die Höhe der Busse auf Fr. 2'500.--.
B.- A.X._ führt eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 6. April 2001 aufzuheben und die Sache zu seiner Freisprechung vom Vorwurf der Sachbeschädigung und zur entsprechenden Reduktion der Busse an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Der Beschwerdeführer wendet sich mit dem vorliegenden Rechtsmittel allein gegen seine Verurteilung wegen Sachbeschädigung gemäss <ref-law>. Der Schuldspruch wegen Zuwiderhandlung gegen das kantonale Baumgesetz ist nicht mehr umstritten und könnte mit Nichtigkeitsbeschwerde auch nicht angefochten werden (Art. 269 Abs. 1 BStP).
Der Beschwerdeführer stellt nicht in Frage, dass das Zurückschneiden der Äste die Substanz und das Aussehen der betroffenen Schwarzföhre massiv beeinträchtigte und daher den Tatbestand der Sachbeschädigung erfülle. Er beruft sich aber auf <ref-law>, wonach überragende Äste vom Nachbarn gekappt werden dürfen, wenn sie sein Eigentum schädigen und auf seine Beschwerde hin nicht binnen angemessener Frist beseitigt werden (sog. Kapprecht). Für seine Tat liege somit ein gesetzlicher Rechtfertigungsgrund im Sinne von <ref-law> vor. Eventualiter hält der Beschwerdeführer eine Bestrafung wegen Sachbeschädigung deshalb für bundesrechtswidrig, weil er in einer Notstandssituation (<ref-law>) oder jedenfalls in einem Rechtsirrtum (<ref-law>) gehandelt habe.
Diese Rügen betreffen die Anwendung von Bundesrecht bzw. den Anwendungsbereich des Bundesrechts im Verhältnis zum kantonalen öffentlichen Recht. Sie können mit Nichtigkeitsbeschwerde vorgebracht werden.
2.- Der Beschwerdeführer macht geltend, die zuständigen kantonalen Behörden hätten ihm durch ihr Verhalten die Ausübung des ihm zustehenden Kapprechts gemäss <ref-law> in bundesrechtswidriger Weise vereitelt bzw. übermässig erschwert. Sie seien auf sein Anliegen nicht eingegangen und hätten es ihm verunmöglicht, die erforderliche Fällbewilligung für die Kappung der Äste zu erhalten (Nichtigkeitsbeschwerde S. 6).
a) Nach <ref-law> ist eine an sich mit Strafe bedrohte Tat rechtmässig, wenn das Gesetz sie für erlaubt oder straflos erklärt. Das Kapprecht gemäss <ref-law> gestattet dem Grundeigentümer, unter gewissen Voraussetzungen überragende Äste und eindringende Wurzeln zu kappen und für sich zu behalten. Es stellt mithin ein Selbsthilferecht dar, welches bestimmte Handlungen zu rechtfertigen vermag, die ansonsten als Sachbeschädigungen gemäss <ref-law> strafbar wären.
Der Strafgerichtspräsident Basel-Stadt hat in seinem Entscheid vom 12. Dezember 2000 festgestellt, dass das Ausmass der negativen Einwirkungen der fraglichen Schwarzföhre auf das Grundstück des Beschwerdeführers und seiner Frau ein Vorgehen gemäss <ref-law> grundsätzlich zu rechtfertigen vermöchte (Urteil Strafgerichtspräsident S. 8). Es bleibt hingegen offen, ob das konkrete Vorgehen des Beschwerdeführers, insbesondere das Ausmass der von ihm vorgenommenen Kappung, von <ref-law> (zivilrechtlich) gerechtfertigt wäre. Der Strafgerichtspräsident führt aber weiter aus, dass das Kapprecht gemäss <ref-law> im Kanton Basel-Stadt bei unter Schutz gestellten Bäumen durch das Baumgesetz eingeschränkt sei, denn dieses verlange für Kappungen, welche wie vorliegend voraussichtlich die Lebensfähigkeit eines Baums gefährdeten oder das Kronengleichgewicht empfindlich störten, die Einholung einer Fällbewilligung (§ 14 Abs. 3 Baumgesetz). Da der Beschwerdeführer am 2. Juni 1999 die Äste der Schwarzföhre ohne eine solche Bewilligung zurückgeschnitten habe, sei die von ihm begangene Sachbeschädigung durch das Kapprecht nicht gerechtfertigt gewesen (Urteil Strafgerichtspräsident S. 8 f.). Das Appellationsgericht folgt im angefochtenen Entscheid dieser Argumentation und schliesst darüber hinaus auch das Vorliegen der anderen vom Beschwerdeführer geltend gemachten Rechtfertigungsgründe aus (angefochtenes Urteil S. 6 f.).
b) Das Bundesgericht kann im Rahmen der Nichtigkeitsbeschwerde die Anwendung kantonalen Rechts nicht überprüfen (Martin Schubarth, Nichtigkeitsbeschwerde 2001, Bern 2001, N 163 ff.). Das Bundesgericht kann in diesem Zusammenhang jedoch prüfen, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie an seiner Stelle kantonales Recht angewendet hat. Das Bundeszivilrecht schliesst den Erlass ergänzender öffentlichrechtlicher Vorschriften durch die Kantone nicht aus (<ref-law>). Allerdings darf der Bundesgesetzgeber für den fraglichen Bereich keine abschliessende Ordnung aufgestellt haben, und die kantonalen Normen müssen einem schutzwürdigen öffentlichen Interesse entsprechen und dürfen nicht gegen den Sinn und Geist des Bundeszivilrechts verstossen (<ref-ruling> E. 2a/bb S. 20 f.). Die vom baselstädtischen Gesetzgeber eingeführte Bewilligungspflicht für unter Schutz gestellte Bäume hält sich an diese Voraussetzungen. Sie hebt das nachbarliche Kapprecht nicht auf, sondern macht es lediglich in gewissen Fällen von der Erfüllung bestimmter Voraussetzungen und von der vorherigen Einholung einer Bewilligung abhängig (§ 14 Abs. 2 und 3 in Verbindung mit § 6 Baumgesetz). Die kantonale Regelung dient der Verbesserung der Lebensqualität im Kanton Basel-Stadt (vgl. § 1 Baumgesetz) und entspricht damit einem öffentlichen Interesse.
Sie hat, was auch der Beschwerdeführer anerkennt, grundsätzlich keine Vereitelung oder unzulässige Erschwerung der Ausübung des Kapprechts gemäss <ref-law> zur Folge.
c) Die Kritik des Beschwerdeführers richtet sich jedoch gegen die Art und Weise, wie die zuständigen Behörden das Baumgesetz in seinem Fall angewendet haben. Sie seien auf sein Anliegen nicht eingegangen und hätten es ihm verunmöglicht, die erforderliche Bewilligung für die Kappung der Äste zu erhalten. Mit diesem Verhalten sei ihm die Ausübung des Kapprechts in bundesrechtswidriger Weise vereitelt worden (Nichtigkeitsbeschwerde S. 6).
Soweit aus den Akten ersichtlich ist, hat der Beschwerdeführer - entgegen seiner Behauptung (Nichtigkeitsbeschwerde S. 4 unten) - nie ein Gesuch um eine Bewilligung für die Ausübung des ihm nach <ref-law> zustehenden Kapprechts gestellt. Vielmehr beschwerte er sich gegenüber der Stadtgärtnerei und der Baumschutzkommission lediglich in allgemeiner Weise über die Beeinträchtigungen, die von der Schwarzföhre ausgingen, und verlangte Abhilfe.
Auch wenn ein zunächst in Betracht gezogenes Gesuch um Fällung der Schwarzföhre am Widerstand der Eheleute Y._ scheiterte, entband dies den Beschwerdeführer nicht von der Pflicht, für die nun anstelle der Fällung angestrebte Kappung von Ästen die nötige Bewilligung einzuholen. Ob ein solches Gesuch hätte bewilligt werden können, ist hier nicht zu beurteilen. Jedenfalls hätte sich der Beschwerdeführer gegen eine allfällige Abweisung seines Gesuchs auf dem Rechtsmittelweg zur Wehr setzen können. Unter diesen Umständen kann nicht gesagt werden, dass die kantonalen Behörden die Ausübung des Kapprechtes gemäss <ref-law> in bundesrechtswidriger Weise erschwert oder verunmöglicht hätten.
d) Der Tatbestand der Sachbeschädigung gemäss <ref-law> schützt Eigentums-, Gebrauchs- und Nutzniessungsrechte an Sachen vor fremden Beeinträchtigungen.
Die Vorschriften des Baumgesetzes dienen zwar in erster Linie öffentlichen Interessen, doch kommt ihnen auch eine nachbarschützende Funktion zu, sollen sie doch im nachbarlichen Umfeld zur Verbesserung der Wohnlichkeit beitragen (vgl. § 1 Baumgesetz). Dürfen - nach der im Rahmen der Nichtigkeitsbeschwerde nicht überprüfbaren Auslegung des kantonalen Baumgesetzes durch die Vorinstanz - geschützte Bäume auch dann, wenn die Voraussetzungen von <ref-law> grundsätzlich erfüllt sind, nicht ohne weiteres gekappt werden, wird in dieser Situation die Stellung der Eigentümer geschützter Bäume über das Zivilrecht hinaus verstärkt. Der Tatbestand der Sachbeschädigung schützt auch diese erweiterte Eigentumsposition. Die Missachtung der Fällbewilligungspflicht gemäss Baumgesetz durch den Nachbarn berührt deshalb durch <ref-law> geschützte Befugnisse. Selbst wenn die Kappung rein zivilrechtlich gesehen rechtmässig gewesen sein sollte, vermöchte dies die Rechtswidrigkeit der vom Beschwerdeführer vorgenommenen Sachbeschädigung nicht auszuschliessen.
e) Die Vorinstanz hat somit kein Bundesrecht verletzt, wenn sie das Kapprecht im Sinne von <ref-law> nicht als Rechtfertigungsgrund der vom Beschwerdeführer vorgenommenen Sachbeschädigung anerkannte.
3.- Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, er habe in einer Notstandssituation bzw. in einem Rechtsirrtum gehandelt und hätte auch deshalb nicht wegen Sachbeschädigung verurteilt werden dürfen (Nichtigkeitsbeschwerde S. 6 unten). Im angefochtenen Entscheid wird näher dargelegt, wieso diese Ansicht unzutreffend ist (angefochtenes Urteil S. 6 f.). Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Erwägungen der Vorinstanz nicht auseinander, und eine Bundesrechtsverletzung ist nicht ersichtlich. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt unbegründet, soweit überhaupt auf sie einzutreten ist.
4.- Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 278 Abs. 1 BStP). Den Beschwerdegegnern wird mangels Umtrieben für das bundesgerichtliche Verfahren keine Parteientschädigung zugesprochen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht (Ausschuss) des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 27. November 2001
Im Namen des Kassationshofes
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTSDer Präsident: Die Gerichtsschreiberin: