Erwägungen:
1.
X._ und Y._ erstatteten am 5. Januar 2013 Strafanzeige gegen diverse Ärzte der Medizinischen Klinik des Universitätsspitals Zürich und der Klinik für Akutgeriatrie des Stadtspitals Waid sowie gegen diverse Personen der Städtischen Gesundheitsdienste der Stadt Zürich wegen Aussetzung von Hilflosen im Sinne von <ref-law>. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat überwies die Strafanzeige am 9. Januar 2013 via Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich an das Obergericht des Kantons Zürich, um über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu entscheiden. Die Staatsanwaltschaft überwies am 1. und 11. Februar 2013 weitere von X._ und Y._ bei ihr eingereichte Eingaben an das Obergericht. In der Folge gingen zwischen dem 1. April 2013 und dem 19. September 2013 zahlreiche weitere Eingaben von X._ und Y._ beim Obergericht ein.
Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 31. Oktober 2013 die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens nicht. Die Strafkammer führte zusammenfassend aus, dass ein Anzeigeerstatter den Strafverfolgungsbehörden möglichst detailliert Aufschluss darüber zu erteilen habe, welcher strafbaren Handlungen er den Beschuldigten bezichtige. Den Anzeiger treffe eine gewisse minimale Substantiierungspflicht. Diesen Anforderungen würden die Eingaben der Anzeiger nicht genügen, da nicht einmal im Ansatz genügend konkrete Anhaltspunkte für ein strafrechtlich relevantes Verhalten ersichtlich sei.
2.
X._ und Y._ führen mit Eingabe vom 4. Dezember 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 31. Oktober 2013. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Die Beschwerdeführer setzen sich mit den Ausführungen im angefochtenen Beschluss nicht auseinander und legen nicht dar, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat sowie der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Dezember 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli