Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1970 geborene W._ arbeitete seit 24. November 1998 teilzeitlich als Zeitungsverträgerin für die Firma Z._ AG. Daneben besorgte sie den (Fünf-Personen-)Haushalt. Am 17. Februar 2000 erlitt W._ als Beifahrerin eines Personenwagens einen Verkehrsunfall. Die erstbehandelnde Ärztin stellte die Diagnose einer HWS-Distorsion. In der Folge litt W._ u.a. an persistierenden Kopf- und Nackenschmerzen. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus.
Im Oktober 2000 meldete sich W._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Edition der UV-Akten, Begutachtung durch die MEDAS) sprach ihr die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 8. August 2003 ab 1. Februar 2001 eine halbe Rente samt Zusatzrente für den Ehemann sowie drei Kinderrenten zu. Der nach der gemischten Methode ermittelte Invaliditätsgrad betrug 61 %. Mit Verfügung vom 19. Februar 2004 setzte die Verwaltung ab 1. Januar 2004 die halbe Rente auf eine Dreiviertelsrente herauf (4. IV-Revision) und erhöhte die Zusatz- und Kinderren-ten entsprechend. Mit Einspracheentscheid vom 8. März 2004 bestätigte die IV-Stelle beide Verfügungen.
Im Oktober 2000 meldete sich W._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Edition der UV-Akten, Begutachtung durch die MEDAS) sprach ihr die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 8. August 2003 ab 1. Februar 2001 eine halbe Rente samt Zusatzrente für den Ehemann sowie drei Kinderrenten zu. Der nach der gemischten Methode ermittelte Invaliditätsgrad betrug 61 %. Mit Verfügung vom 19. Februar 2004 setzte die Verwaltung ab 1. Januar 2004 die halbe Rente auf eine Dreiviertelsrente herauf (4. IV-Revision) und erhöhte die Zusatz- und Kinderren-ten entsprechend. Mit Einspracheentscheid vom 8. März 2004 bestätigte die IV-Stelle beide Verfügungen.
B. W._ liess beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Beschwerde einreichen und beantragen, es sei ihr eine ganze Invalidenrente zuzusprechen.
Die IV-Stelle schloss auf Abweisung des Rechtsmittels. Im Rahmen des zweiten Schriftenwechsels liess W._ replikweise eine von ihr in Auftrag gegebene Expertise der Unabhängigen Medizinischen Gutachtenstelle (UMEG) vom 13. Mai 2004 einreichen. Sie ersuchte um Übernahme der Kosten des Gutachtens durch die IV-Stelle.
Mit Entscheid vom 20. Juli 2005 hiess das kantonale Gericht die Beschwerde teilweise gut. Es änderte den Einspracheentscheid vom 8. März 2004 dahingehend ab, dass die IV-Stelle verpflichtet wurde, ab 1. Februar 2001 bis 30. April 2003 bei einem Invaliditätsgrad von 77 % eine ganze Invalidenrente samt Zusatzrente für den Ehemann und drei Kinderrenten auszurichten. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
Mit Entscheid vom 20. Juli 2005 hiess das kantonale Gericht die Beschwerde teilweise gut. Es änderte den Einspracheentscheid vom 8. März 2004 dahingehend ab, dass die IV-Stelle verpflichtet wurde, ab 1. Februar 2001 bis 30. April 2003 bei einem Invaliditätsgrad von 77 % eine ganze Invalidenrente samt Zusatzrente für den Ehemann und drei Kinderrenten auszurichten. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C. Die IV-Stelle führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben.
W._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen und die Zusprechung einer ganzen Rente über den 30. April 2003 hinaus beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung. Der Prüfungszeitraum erstreckt sich in zeitlicher Hinsicht bis zum Einspracheentscheid vom 8. März 2004 (SVR 2005 AHV Nr. 9 [H 53/04] S. 30 Erw. 1.1.3). Der Antrag der Beschwerdegegnerin auf Zusprechung einer ganzen Rente über den 30. April 2003 hinaus bewegt sich innerhalb des Streitgegenstandes (<ref-ruling>) und der dem Eidgenössischen Versicherungsgericht im Streit um Versicherungsleistungen zustehenden weiten Kognition (Art. 132 OG) und ist somit zulässig.
Nicht zu prüfen ist die vorinstanzlich verneinte Frage der Übernahme der Kosten für das Privatgutachten der UMEG vom 13. Mai 2004 durch die IV-Stelle. Insoweit ist der kantonale Entscheid in formelle Rechtskraft erwachsen (vgl. <ref-ruling> Erw. 2a und <ref-ruling> Erw. 2b).
Nicht zu prüfen ist die vorinstanzlich verneinte Frage der Übernahme der Kosten für das Privatgutachten der UMEG vom 13. Mai 2004 durch die IV-Stelle. Insoweit ist der kantonale Entscheid in formelle Rechtskraft erwachsen (vgl. <ref-ruling> Erw. 2a und <ref-ruling> Erw. 2b).
2. In Bezug auf den streitigen Rentenanspruch sind unbestritten der Leistungsbeginn (1. Februar 2001), die Invaliditätsbemessung nach der gemischten Methode bei einem Anteil der Erwerbstätigkeit von 0,3 (vgl. <ref-ruling> f. Erw. 2a-c in Verbindung mit <ref-ruling> und Urteil E. vom 13. Dezember 2005 [I 156/04] sowie Urteil Z. vom 26. Oktober 2004 [I 457/04] und BBl 2001 3287), die Behinderung im Aufgabenbereich Haushalt (66,5 %) sowie das Valideneinkommen (Fr. 23'671.-). Es besteht kein Anlass zu einer näheren Prüfung dieser Punkte (<ref-ruling> Erw. 1b und 417 oben).
Kontrovers sind die trotz der gesundheitlichen Beeinträchtigungen noch zumutbare Arbeitsfähigkeit im erwerblichen Bereich und ob ein Revisionsgrund im Sinne der Änderung des Gesundheitszustandes mit Auswirkung auf die Erwerbsfähigkeit gegeben ist (vgl. altArt. 41 IVG und <ref-law> sowie <ref-ruling> ff. Erw. 3.5; vgl. auch <ref-ruling>).
Kontrovers sind die trotz der gesundheitlichen Beeinträchtigungen noch zumutbare Arbeitsfähigkeit im erwerblichen Bereich und ob ein Revisionsgrund im Sinne der Änderung des Gesundheitszustandes mit Auswirkung auf die Erwerbsfähigkeit gegeben ist (vgl. altArt. 41 IVG und <ref-law> sowie <ref-ruling> ff. Erw. 3.5; vgl. auch <ref-ruling>).
3. Das kantonale Gericht hat erwogen, gemäss MEDAS-Gutachten vom 27. März 2003 könnte die Versicherte körperlich leichte, wechselbelastende Tätigkeiten zu 70 % verrichten. Denkbar sei eine Tätigkeit als Verkäuferin oder in der Administration. Diese Beurteilung sei schlüssig und darauf könne abgestellt werden. Zu beachten sei allerdings, dass die attestierte Arbeitsfähigkeit von 70 % erst ab 6. Februar 2003 gelte. Bis zu diesem Zeitpunkt sei die Versicherte seit dem Unfall vom 17. Februar 2000 zu 100 % arbeitsunfähig gewesen (vgl. MEDAS-Gutachten S. 21 Ziff. 5.4). Somit bestehe ab 1. Februar 2001 bis 6. Februar 2003 bei einem Anteil der Erwerbstätigkeit von 0,3 und einer Behinderung im Haushalt von 66,5 % ein Invaliditätsgrad von gerundet 77 % (0,3 x 100 % + 0,7 x 66,5 %). Für die Zeit danach betrage die erwerbsbezogene Invalidität den von der IV-Stelle ermittelten 49,46 % ([Fr. 23'671.- - Fr. 11'964.-]/Fr. 23'671.- x 100 %), was einen Invaliditätsgrad von insgesamt rund 61 % (0,3 x 49,64 % + 0,7 x 66,5 %) ergebe. Diese Änderung des Invaliditätsgrades sei spätestens nach Ablauf einer Wartezeit von drei Monaten im Sinne von <ref-law> ab 6. Februar 2003, somit ab 1. Mai 2003 zu berücksichtigen.
Dem hält die Verwaltungsgerichtsbeschwerde führende IV-Stelle im Wesentlichen entgegen, aufgrund der Akten seien der Versicherten bereits bei Ablauf der Wartezeit im Februar 2001 leichte wechselbelastende Tätigkeiten ohne stereotype inklinierte Kopfhaltung, ohne Arbeiten über der Schulterebene und ohne repetitives Lastenheben von über 5 kg zu 70 % zumutbar gewesen. Eine massgebliche Verbesserung der Erwerbsfähigkeit aus objektiver Sicht sei nicht ausgewiesen und auch in subjektiver Hinsicht aufgrund des unveränderten Beschwerdebildes nicht ersichtlich. Es sei somit kein Revisionsgrund gegeben, welcher eine abgestufte Rentenzusprechung zuliesse. Es rechtfertige sich daher, die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit im MEDAS-Gutachten vom 27. März 2003 auf die Zeit nach Ablauf der Wartefrist (recte: Wartezeit) ab 17. Februar 2001 zurückzubeziehen.
Dem hält die Verwaltungsgerichtsbeschwerde führende IV-Stelle im Wesentlichen entgegen, aufgrund der Akten seien der Versicherten bereits bei Ablauf der Wartezeit im Februar 2001 leichte wechselbelastende Tätigkeiten ohne stereotype inklinierte Kopfhaltung, ohne Arbeiten über der Schulterebene und ohne repetitives Lastenheben von über 5 kg zu 70 % zumutbar gewesen. Eine massgebliche Verbesserung der Erwerbsfähigkeit aus objektiver Sicht sei nicht ausgewiesen und auch in subjektiver Hinsicht aufgrund des unveränderten Beschwerdebildes nicht ersichtlich. Es sei somit kein Revisionsgrund gegeben, welcher eine abgestufte Rentenzusprechung zuliesse. Es rechtfertige sich daher, die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit im MEDAS-Gutachten vom 27. März 2003 auf die Zeit nach Ablauf der Wartefrist (recte: Wartezeit) ab 17. Februar 2001 zurückzubeziehen.
4. 4.1 Entgegen der IV-Stelle kann nicht von einem seit Ablauf der Wartezeit im Februar 2001 (vgl. <ref-law>, in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung, und <ref-ruling> Erw. 3.2) im Wesentlichen gleich gebliebenen Gesundheitszustand ausgegangen werden. Anlässlich der neurootologischen Untersuchung vom 9. Mai 2001 hatte der HNO-Spezialist Dr. med. M._ von der Abteilung Arbeitsmedizin der SUVA eine mittelschwere bis schwere Störung des Gleichgewichtsfunktionssystems festgestellt. Im MEDAS-Gutachten vom 23. März 2003 werden lediglich noch intermittierend auftretende Schwindelbeschwerden erwähnt. Sodann war nach dem Unfall vom 17. Februar 2000 eine posttraumatische Belastungsstörung mit einem Ausprägungsgrad leichter Natur aufgetreten, welche im Zeitpunkt der Begutachtung im Dezember 2002 jedoch abgeheilt war. Gegenüber dem psychiatrischen Konsiliararzt der MEDAS gab die Versicherte an, in letzter Zeit eine Verbesserung verspürt zu haben. Keine wesentliche Änderung im fraglichen Zeitraum lässt sich in den medizinischen Unterlagen in Bezug auf das Schmerzsyndrom (Diagnose: Zervikozephaler Beschwerdekomplex. Latentes Schultergürtelkompressionssyndrom rechts. Kopfschmerzen) ausmachen, welches laut MEDAS-Ärzten zur Hauptsache die Einschränkung der Arbeitsfähigkeit bedingt.
Der Gesundheitszustand hatte sich somit seit Ablauf der Wartezeit im Februar 2001 verbessert. Daraus ist zu schliessen, dass die gesundheitlich bedingte Arbeitsunfähigkeit entsprechend höher war als im Zeitpunkt der MEDAS-Begutachtung im Dezember 2002, in welchem Umfang ist jedoch unklar. Die medizinischen Akten enthalten hiezu keine Angaben. Entgegen der Vorinstanz haben sich die Experten der Abklärungsstelle nicht zur Arbeitsfähigkeit vor der Begutachtung geäussert. Sie halten insoweit lediglich fest, bis anhin sei die Versicherte ab Unfalldatum des 17. Februar 2000 zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben worden. Es ist zwar nicht auszuschliessen, dass diese Einschätzung sich auf die zuletzt ausgeübte, nach übereinstimmender ärztlicher Auffassung nicht mehr zumutbare Arbeit als Zeitungsverträgerin bezieht, wie die IV-Stelle vorbringt. Mit Blick darauf jedoch, dass von zusätzlichen Abklärungen keine verwertbaren Erkenntnisse zu erwarten sind, ist im Sinne antizipierter Beweiswürdigung für die Zeit vor der MEDAS-Begutachtung von einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % auszugehen. Dabei ist entgegen der IV-Stelle nicht zu beanstanden, dass das kantonale Gericht auf das Datum der Schlussbesprechung vom 6. Februar 2003 als Stichtag abgestellt hat.
4.2 Für die Zeit danach bis zum Erlass des Einspracheentscheids vom 8. März 2004 ist von einem im Wesentlichen gleich gebliebenen Gesundheitszustand auszugehen. Es kann insoweit auf die einlässlichen und überzeugenden, auch das Gutachten der UMEG vom 13. Mai 2004 in die Würdigung miteinbeziehenden Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden. Die Vorbringen in der Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin geben zu keiner anderen Beurteilung Anlass.
4.3 Der angefochtene Entscheid ist somit rechtens.
4.3 Der angefochtene Entscheid ist somit rechtens.
5. Die Beschwerdegegnerin hat gemessen am Rechtsbegehren der IV-Stelle obsiegt, ist jedoch mit ihrem Antrag auf Zusprechung einer ganzen Rente über den 30. April 2003 hinaus unterlegen. Sie hat daher Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 159 Abs. 1 und 3 OG in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die IV-Stelle Luzern hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1200.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die IV-Stelle Luzern hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1200.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse Zürcher Arbeitgeber und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 24. Mai 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber:
i. V.