Sachverhalt:
A. Am 25. Oktober 2008 gegen 23.30 Uhr wurde X._ von zwei Polizeibeamten der Stadtpolizei Zürich angehalten, auf die Polizeiwache gebracht und einem Atemlufttest (Ergebnis 1,87 Promille) sowie einer körperlichen Durchsuchung unterzogen. Zwecks Ausnüchterung wurde er über Nacht auf der Wache behalten und schliesslich am nächstfolgenden Morgen entlassen.
B. Mit Schreiben vom 28. Oktober 2008 erstattete X._ Strafanzeige gegen die beiden Polizeibeamten wegen Amtsmissbrauchs.
Mit Beschluss vom 29. Dezember 2008 trat die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Zürich auf die Strafanzeige nicht ein und eröffnete demgemäss keine Strafuntersuchung gegen die beiden Angezeigten.
Einen von X._ gegen diesen Beschluss erhobenen Rekurs wies die II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 18. Mai 2009 ab.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 18. Mai 2009 sei aufzuheben, und die Sache sei zur Anordnung einer Strafuntersuchung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich haben auf Vernehmlassungen zur Beschwerde verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach <ref-law> berechtigt, wer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (lit. b; <ref-ruling> E. 1.1). Zu den grundsätzlich beschwerdelegitimierten Personen gehört insbesondere auch das Opfer, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Nach ständiger Rechtsprechung gilt jedoch nicht als in seinen Zivilansprüchen tangiertes Opfer, wer durch Amtshandlungen von Beamten geschädigt wird, die öffentlich-rechtlichen Haftungsvorschriften unterstehen (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2 b).
Gemäss § 6 des kantonalen Gesetzes vom 14. September 1969 über die Haftung des Staates und der Gemeinden sowie ihrer Behörden und Beamten (Haftungsgesetz; LS ZH 170.1) haftet der Staat für den Schaden, den ein Beamter in Ausübung amtlicher Verrichtungen einem Dritten widerrechtlich zufügt (Abs. 1). Dem Geschädigten steht kein Anspruch gegen den Beamten zu (Abs. 4).
Mangels Zivilansprüchen gegen die seiner Ansicht nach fehlbaren Beschwerdegegner ist der Beschwerdeführer daher vorliegend nicht gestützt auf Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zur Beschwerde befugt.
1.2 Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung seines Anspruchs auf vertiefte Untersuchung des Vorfalls (Art. 3 und 13 EMRK) geltend.
Da der Strafanspruch nach ständiger Praxis des Bundesgerichts dem Staat zusteht (<ref-ruling> E. 1.1), hat der Beschwerdeführer als Geschädigter kein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law>, die Einstellung des Strafverfahrens in der Sache anzufechten (<ref-ruling> E. 2).
Unbekümmert um die fehlende Legitimation kann der Geschädigte jedoch die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls nicht aus einer Berechtigung in der Sache, sondern aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Ist der Beschwerdeführer in diesem Sinne nach kantonalem Recht Partei, kann er die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihm nach dem kantonalen Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft ("Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 3c; <ref-ruling> E. 6.2; Entscheid 6B_380/2007 vom 13. November 2007 E. 2).
Zu diesen Verfahrensrechten gehört auch der aus Art. 3 EMRK und <ref-law> abgeleitete Anspruch auf eine wirksame und vertiefte amtliche Untersuchung, wenn jemand in vertretbarer Weise ("de manière défendable") vorbringt, von der Polizei erniedrigend behandelt worden zu sein. Aus dem Recht auf eine wirksame Beschwerde nach Art. 13 EMRK wird ferner ein Anspruch auf wirksamen Zugang zum Untersuchungsverfahren abgeleitet (<ref-ruling> E. 1.2.5; Urteil des EGMR in Sachen Assenov gegen Bulgarien vom 28. Oktober 1998, Ziff. 102 ff. und 117 f.).
1.3 Der Beschwerdeführer vermag eine Misshandlung nicht in vertretbarer Weise darzutun.
Es fehlen konkrete Hinweise auf eine übermässige Gewaltanwendung der Beschwerdegegner. Der Beschwerdeführer macht insoweit insbesondere auch nicht geltend, Verletzungen erlitten zu haben. Der Umstand, dass die Polizei ihn in Gewahrsam genommen und durchsucht hat, lässt ebenfalls nicht den Schluss auf eine Misshandlung zu, zumal eine körperliche Durchsuchung explizit zulässig ist, sofern Gründe für einen polizeilichen Gewahrsam der Person gegeben sind (§ 35 Abs. 1 lit. b i.V.m. § 25 lit. a des Polizeigesetzes des Kantons Zürich; PolG/ZH; LS ZH 550.1), was die Beschwerdegegner angesichts der starken Alkoholisierung des Beschwerdeführers bejahen konnten. Im Gegensatz zu <ref-ruling> erscheinen weitergehende Untersuchungen nicht angezeigt (vgl. zum Ganzen auch das Urteil des Bundesgerichts 6B_654/2007 vom 1. Juli 2008 E. 1.3).
1.4 Soweit der Beschwerdeführer im Übrigen eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehörs gemäss <ref-law> rügt, ist seine Argumentation nicht stichhaltig. Er hatte bei der Einreichung der Strafanzeige die Gelegenheit, seine Sicht der Dinge darzulegen, und die Vorinstanz hat begründet, weshalb sie das in der Strafanzeige umschriebene Vorgehen der Beschwerdegegner nicht als Amtsmissbrauch bewertet hat. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers lässt sich aus <ref-law> kein (weitergehender) Anspruch auf mündliche Anhörung im Vorverfahren ableiten (siehe insoweit auch Gerold Steinmann, St. Galler Kommentar BV 2. Aufl. 2008, Art. 29 N. 25).
2. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Oktober 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Stohner