Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 22. März 2006 sprach das Kriminalgericht des Kantons Luzern X._ der mehrfachen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz sowie verschiedener weiterer Delikte, u.a. des Raubes zum Nachteil von A._ (<ref-law>), schuldig und verurteilte ihn zu einer Zuchthausstrafe von 2 Jahren und 6 Monaten.
B. Auf Appellation von X._ hin sprach ihn das Obergericht des Kantons Luzern am 23. August 2006 vom Vorwurf des Raubes zum Nachteil von A._ frei, erkannte diesbezüglich auf Diebstahl (<ref-law>) und fällte gesamthaft eine bedingt vollziehbare Strafe von 18 Monaten Zuchthaus aus.
C. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern führt gegen das Urteil des Obergerichtes vom 23. August 2006 eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde mit dem Antrag, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Sache in Bezug auf den Überfall auf A._ zur Verurteilung des Beschwerdegegners wegen Raubes im Sinne von <ref-law>, eventuell wegen qualifizierten Diebstahls im Sinne von <ref-law> zurückzuweisen.
D. Das Obergericht des Kantons Luzern verzichtet auf Gegenbemerkungen zur Beschwerde und beantragt deren Abweisung. Dem Beschwerdegegner konnte der Eingang der Beschwerdeschrift mangels Zustellbarkeit nicht mitgeteilt werden.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Da das angefochtene Urteil vor Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz [BGG]; SR 173.110) am 1. Januar 2007 ergangen ist, ist auf das erhobene Rechtsmittel noch das bisherige Verfahrensrecht anwendbar (<ref-law>, e contrario), hier somit dasjenige der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde nach Art. 286 ff. BStP.
2. Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde kann nur damit begründet werden, dass die angefochtene Entscheidung eidgenössisches Recht verletze (Art. 269 Abs. 1 BStP). Ausführungen, die sich gegen die tatsächlichen Feststellungen des Entscheides richten, sowie das Vorbringen neuer Tatsachen sind unzulässig (Art. 273 Abs. 1 lit. b BStP). Der Kassationshof ist im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde an die tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Behörde gebunden (Art. 277bis Abs. 1 BStP). Soweit die Beschwerdeführerin vom verbindlich festgestellten Sachverhalt abweicht, diesen anders darstellt oder unter Verweis auf die Untersuchungsakten ergänzt, ist auf ihre Beschwerde nicht einzutreten.
3. 3.1 Die kantonalen Gerichtsinstanzen stellen für den Kassationshof folgenden Sachverhalt verbindlich (Art. 277bis BStP) fest:
Die 73-jährige A._ spazierte am späteren Nachmittag des 7. Juni 2004 in Luzern dem Quai entlang. In der linken Hand hielt sie eine Handtasche an langen Riemen. Der Beschwerdegegner, der einige Zeit hinter der ihm unbekannten, älteren Frau herging, beschloss, ihr die Handtasche zu entreissen. Er dachte, es wäre ein Leichtes. An einem ihm günstig erscheinenden Ort schloss er rennend auf das Opfer auf, packte die Riemen der Handtasche und zog daran, um sie zu behändigen. Dies gelang ihm aber zunächst nicht, weil A._ die Tasche festzuhalten versuchte. Durch das Zerren des Beschwerdegegners kam sie zu Fall und wurde von ihm einen bis zwei Meter weit mitgeschleift, bis sie die Tasche nicht mehr halten konnte und losliess. Dabei zog sie sich Schürfungen am Rücken und an den Knien, ein Hämatom an der linken Hand sowie ein Hämatom (ev. Bruch) am linken grossen Zeh zu. Der Beschwerdegegner rannte mit der Handtasche davon und entwendete aus dem darin befindlichen Portmonnaie rund 170 Franken.
3.2 Die erste kantonale Instanz würdigte den Sachverhalt als einfachen Raub im Sinne von <ref-law>. Sie erwog, es handle sich nicht bloss um einen sog. Entreissdiebstahl, bei welchem das Opfer - typischerweise - aufgrund der Überraschung keine Gegenwehr zu entwickeln vermöge. Das Opfer habe sich vorliegend gewehrt, indem es die Handtasche für eine gewisse Zeit festhielt, derweil der Beschwerdegegner weiterhin daran zerrte und das Opfer mitschleifte, um dessen Widerstand zu brechen. Darin liege Gewalt im Sinne der genannten Bestimmung.
3.3 Die Vorinstanz kommt zum gegenteiligen Schluss. Der Beschwerdegegner habe nur insofern Gewalt verübt, als er das Opfer durch das Ziehen an den Riemen der Handtasche zu Fall brachte und anschliessend noch einen bis zwei Meter weit mitschleifte, bis es die Tasche nicht mehr halten konnte und losliess. Der Beschwerdegegner sei damit dem Widerstand des Opfers durch sein überraschendes Vorgehen im Wesentlichen zuvorgekommen. Vorherrschendes Moment sei die Überraschung des Opfers gewesen und nicht die Ausübung physischer Gewalt.
Die Gewalteinwirkung des Beschwerdegegners sei auf die Wegnahme der Handtasche fokussiert gewesen, wobei die sich daraus ergebenden Folgen wie der Sturz und das Mitschleifen über eine kürzere Wegstrecke nicht durch zusätzliche Gewalt gesteigert bzw. verschlimmert worden seien. Da er das Opfer nicht mit Absicht umgerissen habe, sei nicht massgebend, dass es durch das Zerren letztlich zu Fall gekommen, mitgeschleift und verletzt worden sei. Der Angriff habe sich auf den gezielten Griff nach der Handtasche beschränkt, der nahtlos in den Entreissvorgang mündete. Zwar sei das Zerren darauf gerichtet gewesen, das Festhalten des Opfers an der Handtasche zu "stoppen". Die dabei angewendete Gewalt sei jedoch nicht so intensiv gewesen, dass sie den Gewaltbegriff im Sinne von <ref-law> erfüllen würde.
Dem Opfer sei aufgrund des überraschenden Vorgehens keine Zeit für Abwehr geblieben bzw. diese habe einzig darin bestanden, dass es die Tasche reflexartig festgehalten habe. Darüber hinaus habe es keinen besonderen Widerstand geleistet. Das im Reflex begründete Festhalten als Folge der Fremdeinwirkung und der vom Beschwerdegegner auf Überwindung gerichtete konstante Aufwand an Kraft könne nicht bereits als Widerstand qualifiziert werden. Anders entscheiden hiesse, dass der Entreissvorgang bloss noch in ganz seltenen Fällen als Diebstahl zu betrachten wäre. Es könne auch nicht der Sinn des Gesetzes sein, das Ausschalten der Abwehr wie im vorliegenden Fall mit der gleich strengen Mindeststrafe von sechs Monaten Gefängnis zu belegen (<ref-law>) wie das Vorgehen eines Täters, der einen qualifizierten Diebstahl nach <ref-law> (bandenmässige Begehung, Mitführen einer Waffe, besondere Gefährlichkeit) begehe.
3.4 Die Beschwerdeführerin macht geltend, unter rechtlichen Gesichtspunkten sei der Sachverhalt in zwei Phasen zu unterteilen.
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In einer ersten Phase habe der Beschwerdegegner die Handtasche gepackt und an ihr gerissen. Weil das Opfer die Tasche festgehalten habe, sei es zu Fall gekommen. Auch wenn der Beschwerdegegner es nicht absichtlich zu Boden gerissen habe, so habe er dessen Sturz zumindest in Kauf genommen, da nach allgemeiner Lebenserfahrung gerade ältere Frauen einer erhöhten Sturzgefahr ausgesetzt seien. Bereits durch das Packen und Zerren habe der Beschwerdegegner direkten körperlichen Zwang auf das Opfer ausgeübt und es damit veranlasst, die Wegnahme der Handtasche zu dulden. Das starke Reissen an den Riemen und der damit einhergehende Sturz seien an sich genügend intensiv, um den Widerstand des betagten Opfers zu brechen, so dass bereits diese erste Phase als Raub zu qualifizieren sei.
Auch nach dem Sturz - zweite Phase - habe das Opfer am Boden liegend weiteren Widerstand geleistet. Es habe an der Handtasche festgehalten und sei solange mitgeschleift worden, bis es die Tasche nicht mehr habe halten können. Dass der Beschwerdegegner den körperlichen Widerstand mit beträchtlichem Kraftaufwand gebrochen habe, ergebe sich aus den Verletzungen des Opfers. Vorherrschendes Element sei eindeutig die physische Gewalt und nicht der Überraschungseffekt. Auch wenn das Opfer anfänglich überrascht gewesen sei, so habe es die Handtasche gezielt gehalten und in der Folge tatkräftige Abwehr geleistet, indem es am Boden an der Tasche festgehalten habe, solange die Kräfte dazu ausreichten. Das brutale Mitschleifen bis der Widerstand des Opfers gebrochen war und es die Tasche loslassen musste, sei mit der (harten) Sanktion des Raubtatbestandes zu ahnden.
4. 4.1 Gemäss <ref-law> (in der Fassung des Bundesgesetzes vom 17. Juni 1994, in Kraft seit 1. Januar 1995) macht sich des Raubes schuldig und wird mit Zuchthaus bis zu zehn Jahren oder mit Gefängnis nicht unter sechs Monaten bestraft, wer mit Gewalt gegen eine Person oder unter Androhung gegenwärtiger Gefahr für Leib oder Leben oder nachdem er den Betroffenen zum Widerstand unfähig gemacht hat, einen Diebstahl begeht.
4.2 Der eigentliche Raubtatbestand im Sinne dieser Bestimmung stellt eine in Diebstahlsabsicht begangene qualifizierte Nötigung dar. Zur Vollendung des Tatbestandes gehört zum einen ein vollendeter Diebstahl und zum anderen wird der Diebstahl erst dadurch zum Raub, dass der Täter ein tatbeständliches Nötigungsmittel anwendet, um die Eigentumsverschiebung herbeizuführen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 104; Schubarth/Albrecht, Kommentar zum schweizerischen Strafrecht, 2. Band, Bern 1990, Art. 139 N. 4; Stratenwerth/Jenny, Schweizerisches Strafrecht, Besonderer Teil I, 6. Aufl., Bern 2003, S. 308 Rz. 123; Rehberg/Schmid/Donatsch, Strafrecht III, 8. Aufl., Zürich 2003, S. 136; Niggli/Riedo, Basler Kommentar, Strafgesetzbuch II, Basel 2003, Art. 140 N. 8).
Dass der Beschwerdegegner einen Diebstahl begangen hat, liegt ausser Streit. Zu prüfen bleibt der Sachzusammenhang zur Nötigung durch Anwendung von Gewalt.
Dass der Beschwerdegegner einen Diebstahl begangen hat, liegt ausser Streit. Zu prüfen bleibt der Sachzusammenhang zur Nötigung durch Anwendung von Gewalt.
4.3 4.3.1 Unter dem Begriff der Gewalt ist die unmittelbare physische Einwirkung auf den Körper des Opfers zu verstehen (vgl. <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3b und c). Im Gegensatz zum früheren Recht (Art. 139 aStGB) setzt der Tatbestand des Raubes nach <ref-law> nicht mehr voraus, dass das Opfer durch die Anwendung von Gewalt zum Widerstand unfähig gemacht wird. Die Herbeiführung der Widerstandsunfähigkeit wird als selbständige Begehungsform erfasst. Nach der Botschaft des Bundesrates vom 24. April 1991 sollte der revidierte Tatbestand gegenüber der alten Fassung klar verschärft werden (BBl 1991 II 1004). Den Tatbestand von <ref-law> erfüllt bereits, wer das Opfer durch Gewalt veranlasst, die Wegnahme einer Sache zu dulden (Stratenwerth/Jenny, a. a. O., S. 305 Rz. 117; Niggli/Riedo, a.a.O., Art. 140 N. 18).
4.3.2 Die Gewalt muss darauf gerichtet sein, den Widerstand des Opfers zu brechen. Massgeblich erscheint die Intensität der Gewalt, weil es sich bei <ref-law> um eine qualifizierte Nötigung handelt und Raub im Vergleich zum Diebstahl eine beträchtlich erhöhte Mindeststrafe vorsieht. Wie bei anderen Nötigungsdelikten richtet sich die erforderliche Intensität der Gewalt nach dem Widerstand des konkreten Opfers (vgl. <ref-ruling> E. 3a/bb; Stefan Trechsel, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Kurzkommentar, 2. Aufl., Zürich 1997, Art. 140 N. 4). Zu fragen ist daher, ob die Einwirkung auf den Körper einen Schweregrad erreicht hat, der normalerweise genügt, um dem Opfer eine wirksame Gegenwehr zu verunmöglichen oder doch wesentlich zu erschweren. Als ungenügend erscheint ein kurzes Packen am Arm, ein Anrempeln zur Ablenkung oder der blosse Griff an die Gesässtasche (Rehberg/Schmid/Donatsch, a.a.O., S. 138; Niggli/Riedo, a.a.O., Art. 140 N. 19; Frank Schürmann, Der Begriff der Gewalt im schweizerischen Strafgesetzbuch, Basel 1986, S. 83 f. mit weiteren Beispielen). Gar keine Gewalt verübt indes, wer der Abwehr des Opfers durch List, Überraschung oder dergleichen lediglich zuvorkommt (vgl. <ref-ruling> S. 227).
4.3.3 In subjektiver Hinsicht verlangt der Tatbestand - über die Diebstahlsabsicht hinaus - Vorsatz, der sich auf die Ausführung der Nötigungshandlung gegenüber dem Opfer zum Zwecke eines Diebstahls bezieht. Der Täter muss also die Wegnahme der Sache erzwingen wollen oder zumindest in Kauf nehmen, dass er den Widerstand des Opfers durch die ausgeübte Gewalt bricht.
4.4 Nach diesen Grundsätzen ist zu beurteilen, ob ein sog. Entreissdiebstahl vorliegt. Typisches Merkmal der praktisch wichtigen Entreissdiebstähle ist das Ausnutzen eines Überraschungsmomentes. Indem der Täter das Opfer mit einem unerwarteten Handstreich verblüfft oder überrascht, versucht er, einem Widerstand der betroffenen Person zuvorzukommen und ihr den anvisierten Wertgegenstand ohne Anwendung unmittelbarer physischer Einwirkung auf den Körper zu entreissen. In der Regel erfüllt ein solches Tatvorgehen mangels Gewalt gegen eine Person den Tatbestand des Raubes gemäss <ref-law> nicht. Anders verhält es sich, wenn sich der Täter über den erwarteten oder tatsächlich geleisteten Widerstand des Opfers hinwegsetzt. Dann kann je nach Umständen ein vollendeter oder versuchter Raub vorliegen (Philippe Weissenberger, Wann erfüllt der Entreissdiebstahl den Tatbestand des Raubes oder des gefährlichen Diebstahls? ZBJV 133/1997 S. 498; Stratenwerth/Jenny, a.a.O., S. 308 N. 124). Entscheidend ist demnach, ob das Opfer auf das Entreissen zu reagieren vermag, indem es z.B. sein Gut im letzten Moment fest umklammert, und der Täter diesen - besonderen - Widerstand mit Gewalt bricht (siehe Rolf Werner Maeder, Der Raub nach schweizerischem Strafgesetzbuch, Diss. Bern 1959, S. 89; Ernst Hafter, Schweizerisches Strafrecht, Besonderer Teil, Berlin 1937, S. 255; Schürmann, a.a.O., S. 83 f.; Niggli/Riedo, a.a.O., Art. 140 N. 21).
4.5 Das Bundesgericht nahm in <ref-ruling> unter altem Recht einen Entreissdiebstahl an bei folgender Sachverhaltskonstellation: Der Täter versuchte, einer Fussgängerin die Tasche nach vorn wegzureissen, was ihm aber erst durch ein zweites Zerren gelang, da das Opfer trotz Überraschung zunächst sein Gut mit dem Arm fester einzuklemmen vermochte. Entscheidend war, dass zwar Gewalt verübt wurde, diese aber für sich allein weder geeignet noch bestimmt war, das Opfer im Sinne von Art. 139 aStGB vollständig zum Widerstand unfähig zu machen (S. 227). In BGE <ref-ruling> E. 3b war hingegen die Frau, welche von zwei Männern angegriffen und zu Boden geworfen wurde, Opfer von Gewalt und widerstandsunfähig im Sinne des altrechtlichen Tatbestandes (S. 109). Nach der Gesetzesrevision hat das Bundesgericht in mehreren unveröffentlichten Entscheiden darauf hingewiesen, dass der Gesetzgeber den Tatbestand des Raubes klar verschärfen und wohl nur völlig harmlose Entreissdiebstähle davon ausnehmen wollte. So bejahte es die Anwendung von Gewalt im Sinne von <ref-law> durch einen Täter, der an der Tasche riss und dem Opfer beim Handgemenge unabsichtlich einen Schlag ins Gesicht versetzte, nachdem dieses sich zur Wehr gesetzt und die Tasche fest unter den Arm geklemmt hatte. In einem anderen Fall versuchte der gleiche Täter, einem 71-jährigen sitzenden Opfer im Zugabteil die leicht geöffnete Handtasche zu entreissen, die es festhielt. Durch die entgegengesetzten Kräfte hatte sich die Tasche vollends geöffnet und der Täter konnte daraus die Brieftasche des Opfers behändigen (Urteil des Kassationshofes 6S.102/1997 vom 18. April 1997; besprochen in ZBJV 133/1997 S. 498 ff.). Ebenso beurteilte das Bundesgericht das kräftige Ziehen an den Riemen der Handtasche einer 60-jährigen Frau als Gewalt, die, obwohl sie nicht gestürzt war, leichte Verletzungen (Hämatom in der Handinnenfläche von 9 x 6 cm) davontrug (Urteil des Kassationshofes 6S.109/2003 vom 6. Juni 2003, E. 2.2).
5. 5.1 Nach den verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid (Art. 277bis BStP) hatte der Beschwerdegegner derart heftig an der Handtasche gezerrt, dass das 73-jährige Opfer stürzte und über einen oder zwei Meter am Boden mitgeschleift wurde, bis es die Tasche nicht mehr halten konnte und losliess. Damit hat er das Opfer mit Gewalt veranlasst, die Wegnahme der Handtasche zu dulden, was den objektiven Tatbestand des Raubes im Sinne von <ref-law> erfüllt.
Die Vorinstanz selbst nimmt an, dass die vom Beschwerdeführer ausgeübte Gewalt mit konstantem Aufwand an Kraft darauf gerichtet war, das Festhalten des Opfers an der Tasche zu überwinden (angefochtener Entscheid, S. 10 und 11 f.). Sie verneint hingegen eine hinreichend intensive Gewalt und gelangt zu diesem Schluss, indem sie den - unabsichtlich - bewirkten Sturz des Opfers und die damit einhergehenden Folgen ausser Betracht lässt. Das allerdings kann nicht richtig sein. Der vom Beschwerdegegner beabsichtigte Diebstahl war objektiv erst vollendet, als er die Handtasche wegnehmen konnte, und folglich beurteilt sich die unmittelbare physische Einwirkung auf den Körper des Opfers bis zum Zeitpunkt des Gewahrsamsbruchs. Dann aber hält die Ansicht, er sei dem Widerstand im Wesentlichen zuvorgekommen und die Gewalt habe sich auf einen gezielten Griff nach der Handtasche beschränkt, nicht stand. Um sein Ziel zu erreichen, musste er vielmehr das Opfer durch anhaltendes Zerren zu Fall bringen und es am Boden solange mit sich schleifen, bis es gezwungen war, seine Tasche preiszugeben. Die Erheblichkeit des körperlichen Zwanges kann bei einer solchen Gewalteinwirkung und den festgestellten Verletzungen (Hämatome, Schürfungen, ev. Bruch) nicht fraglich sein.
Ebenso wenig lässt sich die Ausübung von Gewalt damit verneinen, dass das Opfer keinen besonderen, über das reflexartige Festhalten hinaus gehenden Widerstand geleistet habe. Nach dem Gesagten ist massgebend (E. 4.4), ob die betroffene Person trotz Überraschung auf den Angriff zu reagieren vermag. Indem das Opfer vorliegend seine Handtasche für kurze Zeit festhalten konnte und selbst nach dem Sturz am Boden liegend sich noch daran festklammerte, hat es sich zweifellos zur Wehr gesetzt. Eine weitergehende Gegenwehr war ihm weder möglich noch zumutbar. Die anfänglich unbewusste Reflexhandlung ändert nichts daran, dass das Opfer tatsächlich Widerstand leistete, über den sich der Beschwerdegegner mit Gewalt hinwegsetzte.
5.2 Der subjektive Tatbestand von <ref-law> ist auch erfüllt. Wer - wie der Beschwerdegegner - nicht ablässt und an der Handtasche weiterhin zerrt, nachdem das Wegreissen nicht auf Anhieb gelungen ist, setzt sich über den körperlichen Widerstand des Opfers bewusst hinweg und will den Diebstahl mit Gewalt erzwingen. Dabei ist unerheblich, dass er das Opfer nicht mit Absicht umgerissen und durch das Mitschleifen am Boden verletzt hat, wie die Vorinstanz annimmt. Der Tatbestand des Raubes erfordert keine Verletzungsabsicht in subjektiver Hinsicht.
6. Die Nichtigkeitsbeschwerde erweist sich demnach als begründet, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid ist im angefochtenen Punkt aufzuheben und zur Verurteilung des Beschwerdegegners wegen Raubes im Sinne von <ref-law> an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind weder Kosten zu erheben noch Entschädigungen auszurichten (Art. 278 BStP).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Nichtigkeitsbeschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern, II. Kammer, vom 23. August 2006 aufgehoben und zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2007
Im Namen des Kassationshofes
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: