Sachverhalt:
A.
Die Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich stellte T._ (Jg. 1957) mit Verfügung vom 8. März 2012 wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit ab 1. Februar 2012 für die Dauer von 36 Tagen in der Anspruchsberechtigung ein, was sie mit Einspracheentscheid vom 24. Mai 2012 bestätigte.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Einzelrichterentscheid vom 14. August 2013 ab.
C.
T._ lässt nebst der Aufhebung des angefochtenen Entscheids beschwerdeweise beantragen, die Sache sei "im Sinne der Erwägungen zur Feststellung des Sachverhaltes" an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft indessen - unter Beachtung der allgemeinen Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Laut <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel im bundesgerichtlichen Verfahren nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Der letztinstanzlich als zusätzliches Beweismittel eingereichte Austrittsbericht der Klinik und Poliklinik am Spital X._ vom 7. Februar 2012 muss daher unbeachtet bleiben.
2.
Die massgebenden gesetzlichen Bestimmungen über die Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit (<ref-law>) zufolge Auflösung eines (zumutbaren) Arbeitsverhältnisses ohne Zusicherung einer anderen Stelle (<ref-law>) hat das kantonale Gericht hat zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird. Richtig sind auch die Ausführungen über die nach Massgabe des Verschuldens zu bemessende (<ref-law>) Einstellungsdauer (Art. 45 Abs. 3 und 4 AVIV).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die vorinstanzliche Bestätigung der verfügten und mittels Einspracheentscheids bekräftigten Einstellung in der Anspruchsberechtigung beruhe auf einer unrichtigen und unvollständigen - damit bundesrechtswidrigen - Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts. Zur Begründung führt er aus, wiederholt darauf hingewiesen zu haben, dass er seit Jahren Patient in der Klinik und Poliklinik für Innere Medizin am Spital X._ sei; er habe die Beibringung medizinischer Bescheinigungen angeboten, welche belegen würden, dass ihm ein Verbleiben an der bisherigen Stelle in der Apotheke B._ aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr zumutbar war; die für ein solches Attest angefragte Ärztin Frau Dr. med. L._ vom Spital X._ habe ihn aufgefordert, vom Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) eine schriftliche Anfrage bezüglich der gewünschten Informationen zu verlangen; von einer solchen habe das RAV jedoch abgesehen, weshalb ihm nun nicht vorgeworfen werden könne, eine zumutbare Stelle aufgegeben zu haben.
3.2. Aufgrund der Aktenlage steht unbestrittenermassen fest, dass der Beschwerdeführer seit dem 1. Juli 1988 als Einkäufer und Lagerist in der Apotheke B._ arbeitete und diese Stelle - offenbar aufgrund einer Meinungsverschiedenheit zwischen ihm und einer Mitarbeiterin sowie seinem Vorgesetzten - mit Schreiben vom 31. Oktober 2011 auf den 31. Januar 2012 hin kündigte. Im damaligen Zeitpunkt war ihm von keiner Seite verbindlich eine andere Anstellung zugesichert, sondern lediglich ein versuchsweiser Einsatz während zweier Wochen in der Apotheke A._ vereinbart worden, welcher schliesslich aber doch nicht zustandekam. Die Kündigung der bisherigen Stelle ohne Zusicherung einer neuen Beschäftigung (<ref-law>) hat damit als erstellt zu gelten. Gegen die deswegen angeordnete Einstellung in der Anspruchsberechtigung (<ref-law>) setzt sich der Beschwerdeführer zur Wehr, weil ihm ein Verbleiben an der früheren Stelle aus gesundheitlichen Gründen nicht zumutbar gewesen sei.
4.
4.1. Die behauptete Unzumutbarkeit einer Fortsetzung des bisherigen Arbeitsverhältnisses ist vor dem Hintergrund des <ref-law> zu beurteilen, wonach grundsätzlich jede Arbeit zumutbar ist, es sei denn, einer der in Abs. 2 dieser Bestimmung abschliessend aufgelisteten Ausnahmetatbestände sei erfüllt (<ref-ruling> E. 3b S. 63). Nach der Rechtsprechung ist die Zumutbarkeit zum Verbleiben am bisherigen Arbeitsplatz strenger zu beurteilen als die Zumutbarkeit zur Annahme einer neuen Stelle (<ref-ruling> E. 4 b/bb S. 238 mit Hinweisen). Ein schlechtes Arbeitsklima oder Spannungen zwischen der versicherten Person und Arbeitskollegen oder Vorgesetzten jedenfalls begründen noch keine Unzumutbarkeit (vgl. <ref-ruling> E. 4 b/bb S. 239 mit Hinweis). Sie können allenfalls im Rahmen der Verschuldensbeurteilung Berücksichtigung finden (SVR 1997 ALV Nr. 105 S. 324 E. 2a und Urteil C 133/03 vom 29. Oktober 2003 E. 3.2, je mit Hinweisen).
Unzumutbarkeit aus gesundheitlichen Gründen (vgl. <ref-law>) muss nach der Rechtsprechung durch ein eindeutiges ärztliches Zeugnis (oder allenfalls andere geeignete Beweismittel) belegt sein, worauf auch die Vorinstanz zutreffend hingewiesen hat. Aus Gründen der Rechtssicherheit darf sich die Arbeitslosenkasse nicht mit blossen Behauptungen begnügen, sondern benötigt vielmehr zweckdienliche Beweismittel, welche primär die versicherte Person im Rahmen der ihr obliegenden Mitwirkungspflicht bei der Abklärung des Sachverhalts beizubringen hat (<ref-ruling> E. 4b/bb S. 238 f.).
4.2. Der Sozialversicherungsprozess ist vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht, wonach die Verwaltung als verfügende Instanz und - im Beschwerdefall - das Gericht von Amtes wegen für die richtige und vollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes zu sorgen haben. Dieser Grundsatz gilt indessen nicht uneingeschränkt; er findet sein Korrelat in den Mitwirkungspflichten der Parteien (<ref-ruling> E. 2 S. 195, 122 V 157 E. 1a S. 158, je mit Hinweisen). Der Untersuchungsgrundsatz schliesst die Beweislast im Sinne einer Beweisführungslast begriffsnotwendig aus, da es Sache des Sozialversicherungsgerichts (oder der verfügenden Verwaltungsstelle) ist, für die Zusammentragung des Beweismaterials besorgt zu sein. Im Sozialversicherungsprozess tragen mithin die Parteien in der Regel eine Beweislast nur insofern, als im Falle der Beweislosigkeit der Entscheid zu Ungunsten jener Partei ausfällt, die aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte (<ref-ruling> E. 6 S. 221 f.).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer arbeitete während über zwanzig Jahren in der Apotheke B._, ohne dass für diese Zeit - soweit ersichtlich - gesundheitliche Schwierigkeiten aktenmässig ausgewiesen wären, welche seine Leistungsfähigkeit ernsthaft beeinträchtigt hätten. Erst in dem gegen die am 8. März 2012 verfügte Einstellung in der Anspruchsberechtigung gerichteten Einspracheverfahren reichte er ein Kurzattest des Assistenzarztes Dr. med. P._ vom Spital X._ vom 25. April 2012 ein, welchem indessen nur entnommen werden kann, dass aufgrund der bisherigen Lebensgeschichte die Vermutung einer Überforderung mit der letzten Arbeitstätigkeit naheliege. Dieses - aus einem einzigen Satz bestehende - Schreiben enthält keine konkreteren Angaben über ein allfälliges Beschwerdebild und bietet daher allein noch keine ernsthafte Veranlassung zu Abklärungen medizinischer Art. Auch Frau Dr. med. L._ bescheinigte keine gesundheitlichen Probleme, welche die Zumutbarkeit der früheren Arbeitsstelle hätten in Frage stellen können. Daraus kann jedoch nicht geschlossen werden, dem Beschwerdeführer sei der ihm obliegende Nachweis der behaupteten medizinischen Gründe seiner Schwierigkeiten bei einem Verbleiben an der bisherigen Arbeitsstelle nicht gelungen, was sich zu seinem Nachteil auswirke (vgl. E. 4.1 und E. 4.2 hievor). Seine Mitwirkungspflicht im Rahmen der Sachverhaltsabklärung beschränkt sich auf die Beibringung derjenigen Beweismittel, die er in Händen hat oder die er sich allenfalls bei Dritten besorgen kann. Muss ein Beweismittel wie etwa ein Arztzeugnis erst noch erstellt werden oder kann dieses von der versicherten Person nicht erhältlich gemacht werden, hat die Verwaltung und im Beschwerdefall das Sozialversicherungsgericht die Sachverhaltsabklärung von Amtes wegen zu vervollständigen. Wird auf Parteivorbringen, welche für die Entscheidfindung wesentlich sein können, nicht eingegangen und auf entsprechende Abklärungen verzichtet, obschon - wie hier - klar ersichtlich ist, dass die versicherte Person aus nicht von ihr zu vertretenden Gründen ausserstande ist, die notwendigen Beweismittel zu beschaffen, liegt eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes vor. Frau Dr. med. L._ wollte das vom Beschwerdeführer gewünschte ärztliche Zeugnis nur unter der Voraussetzung ausstellen, dass ihr das RAV seine Fragen schriftlich unterbreitet. Dies war dem RAV bekannt, hat ihm der Beschwerdeführer doch eine entsprechende Notiz der Frau Dr. med. L._ vorgelegt. Trotzdem hat es von weiteren Sachverhaltsabklärungen abgesehen. Ob es sich - und ihm folgend auch die Vorinstanz - eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes hat zuschulden kommen lassen, kann indessen dahingestellt bleiben, wie sich aus nachstehender Erwägung ergibt.
5.2. Schon seit Jahren steht der Beschwerdeführer gemäss eigenen Angaben im Spital X._ in ärztlicher Behandlung, ohne dass er aus gesundheitlichen Gründen an der Ausübung seiner Arbeit gehindert gewesen wäre. Dass sich seine gesundheitliche Situation kurz vor der Kündigung derart verschlechtert hätte, dass ihm die Suche einer neuen Stelle nicht möglich gewesen wäre, bevor er das noch bestehende Arbeitsverhältnis mit seiner Kündigung beendete, wird nicht geltend gemacht und ist mangels entsprechender Rüge denn auch nicht näher zu prüfen (vgl. E. 1.1 hievor). Anlass zu seiner Kündigung boten primär denn auch nicht gesundheitliche Schwierigkeiten, sondern vielmehr eine Meinungsverschiedenheit mit einer Mitarbeiterin. Damit aber muss die eingetretene Arbeitslosigkeit als selbstverschuldet gelten, was die verfügte Einstellung in der Anspruchsberechtigung rechtfertigt. Insoweit entbehrt der Einwand, dem vorinstanzlichen Entscheid lägen unvollständige Abklärungen des rechtserheblichen Sachverhalts zugrunde, jeder Grundlage.
5.3. Dafür, dass die vorinstanzlichen Feststellungen tatsächlicher Art nicht nur unvollständig, sondern darüber hinaus auch noch unrichtig wären - wobei das Gesetz für ein letztinstanzliches Eingreifen eine offensichtliche Unrichtigkeit verlangt (E. 1.1 hievor) - mangelt es der Beschwerdeschrift an einer Begründung.
6.
Die Beschwerde ist - ohne Durchführung eines Schriftenwechsels (<ref-law>) - abzuweisen. Die Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG) sind vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. November 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Krähenbühl