Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1967 geborene B._ war seit 1. Juni 1994 als Betreuer bei der Stiftung X._ und dazu seit 26. September 1994 als Raumpfleger bei der Genossenschaft C._ angestellt. Am 26. Oktober 1996 hielt er mit dem Auto vor einem Fussgängerstreifen an, worauf das nachfolgende Auto in das Heck des seinigen stiess. Als Unfallfolgen wurden ärztlicherseits eine Commotio cerebri und eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert. Am 25. Januar 1998 stürzte der Versicherte beim Skifahren; im Spital O._ wurden als Unfallfolgen eine Commotio cerebri mit Kontusion der Lendenwirbelsäule (LWS) und der HWS diagnostiziert. Am 9. Januar 1999 meldete sich der Versicherte bei der IV-Stelle des Kantons Luzern zum Leistungsbezug an. Mit Verfügungen vom 27. Juni und 20. September 2000 sprach ihm diese ab 1. Januar 1999 eine ganze Invalidenrente zu. Mit Verfügung vom 24. Juli 2009 sistierte sie die Invalidenrente mit sofortiger Wirkung und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung; die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern) mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 4. Januar 2010 ab. Mit Verfügung vom 24. Februar 2010 hob die IV-Stelle die Invalidenrente per sofort auf. Mit Verfügung vom 9. März 2010 forderte sie vom Versicherten die ihm vom 1. August 2004 bis 31. Juli 2009 ausgerichteten Rentenleistungen im Betrag von Fr. 210'211.- zurück.
A.b. Die unfallversicherungsrechtliche Streitigkeit ist Gegenstand des Parallelverfahrens 8C_469/2013, das ebenfalls mit heutigem Urteil erledigt wurde.
B.
Der Versicherte erhob gegen die Verfügungen vom 24. Februar und 9. März 2010 Beschwerde bei der Vorinstanz; diese vereinigte die Verfahren. Sie holte ein fachpsychiatrisches Gutachten des Prof. Dr. med. M._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie sowie Neurologie, Leitender Arzt Versicherungsmedizin, Universitäre Psychiatrische Klinik, vom 5. September 2012 ein. Die Beschwerde gegen die Verfügung vom 24. Februar 2010 wies die Vorinstanz ab, soweit sie darauf eintrat. Diejenige gegen die Verfügung vom 9. März 2010 hiess sie in dem Sinne gut, dass sie die Rückforderung der Rentenleistungen ab 1. August 2004 bis 31. Juli 2009 aufhob; die Renteneinstellung ab 1. August 2009 bestätigte sie. Die Hälfte der Beweiskosten im Umfang von Fr. 6'317.70 auferlegte sie der IV-Stelle (Entscheid vom 15. Mai 2013).
C.
Mit Beschwerde beantragt der Versicherte die Aufhebung des kantonalen Entscheides, soweit damit die Rentenleistungen ab 1. August 2009 aufgehoben würden; die IV-Stelle sei zu verpflichten, ihm eine "1/1-Rente" vom 1. August 2009 bis zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheides und anschliessend eine angemessene Rente auszurichten; eventuell sei sie zu verpflichten, ihm bis zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheides eine "1/1-Rente" auszurichten.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Trotzdem prüft es - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund Letzterer gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]; zur Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen bei somatoformen Schmerzstörungen oder vergleichbaren syndromalen Zuständen im Besonderen vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 66).
2.
Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Rentenrevision (<ref-law>; <ref-law> ; <ref-ruling> E. 3 S. 132; SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81 E. 4.1 [9C_418/2010]) richtig dargelegt. Gleiches gilt zur Invalidität bei psychischen Gesundheitsschäden (<ref-ruling> E. 4.1 S. 67, 136 V 279 E. 3.2.1 S. 280) und zum Beweiswert von Gerichtsgutachten (<ref-ruling> E. 4.4 S. 469 f.). Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob seit den Verfügungen vom 27. Juni und 20. September 2000, mit denen die IV-Stelle dem Versicherten ab 1. Januar 1999 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad 100 %) zusprach, eine erhebliche Verbesserung seiner Arbeitsfähigkeit eintrat, die ab 1. August 2009 eine Rentenaufhebung nach <ref-law> rechtfertigt.
3.2. Im ebenfalls heute erledigten unfallversicherungsrechtlichen Verfahren wurde die Invalidenrente des Versicherten per 13. September 2010 aufgehoben, weil kein unfallbedingter psychischer Gesundheitsschaden mehr vorliege. Daraus kann für das vorliegende Verfahren nichts abgeleitet werden, da in der Invalidenversicherung im Unterschied zur Unfallversicherung sämtliche Leiden des Versicherten unabhängig von ihrer Ursache zu berücksichtigen sind (<ref-ruling> E. 3b S. 178; SVR 2011 IV Nr. 55 S. 163 E. 4.5.6 [8C_671/2010]).
4.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, aufgrund der unklaren und widersprüchlichen Aktenlage habe sie bei Prof. Dr. med. M._ das psychiatrische Gutachten vom 5. September 2012 in Auftrag gegeben. Organische Unfallfolgen stünden nicht zur Diskussion. Prof. Dr. med. M._ sei zu folgenden Diagnosen gekommen: 1. Hochgradiger Verdacht auf dissoziative Störungen gemischt (ICD-10 F44.7), DD Simulation (ICD-10 Z76.5); 2. Akzentuierte Persönlichkeitszüge mit führend selbstunsicheren und narzisstischen Zügen. Auch wenn Prof. Dr. med. M._ die invaliditätsbedingte Arbeitsfähigkeit nicht zu beziffern vermöge, könne aus dem Gutachten doch eindeutig geschlossen werden, dass sich der Invaliditätsgrad seit der ursprünglichen Rentenzusprechung erheblich verbessert habe. Dies ergebe sich aus der veränderten Diagnosestellung wie auch aus der verbesserten Arbeitsfähigkeit, die der Gutachter grundsätzlich attestiere. Damit sei ein Revisionsgrund nach <ref-law> gegeben (vgl. Urteil 8C_766/2012 E. 5). Die sog. "Foerster-Kriterien" (siehe <ref-ruling> E. 4.1 S. 67 f.) seien nicht erfüllt, weshalb kein invalidisierender Gesundheitsschaden mehr ausgewiesen und die Rente ab 1. August 2009 aufzuheben sei.
Der Beschwerdeführer erhebt keine Rügen, die zur Bejahung einer Rechtsverletzung führen oder die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen als offensichtlich unrichtig oder als Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung oder als rechtsfehlerhaft nach <ref-law> erscheinen lassen (E. 1 hievor).
5.
5.1. Der Versicherte macht geltend, <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ("fair trail") seien verletzt worden, weil keine unabhängige neurologische Abklärung erfolgt sei. Es sei auf die Stellungnahmen des Prof. Dr. med. J._, Facharzt Neurologie, Stv. Medizinischer Direktor, Medizinischer Leiter Neurologische Rehabilitation, Rehaklinik Y._, vom 28. April und 21. Juli 2008 sowie 31. März 2009 abgestellt worden. Da diese Stellungnahmen von der SUVA im Rahmen des von ihr eingeleiteten Revisionsverfahrens eingeholt worden seien und die Rehaklinik Y._ von ihr betrieben werde, handle es sich um eigentliche "Pro domo"-Stellungnahmen, auf die wegen ihrer Parteilichkeit nicht (ausschliesslich) abgestellt werden könne. Zudem sei ihm im SUVA-Verfahren vorgehend nicht Gelegenheit gegeben worden, zur Person des Neurologen Stellung zu nehmen.
Diese Einwände sind unbehelflich. <ref-law> ist auf Berichte bzw. Stellungnahmen versicherungsinterner Ärzte nicht anwendbar (<ref-ruling> E. 4.2 S. 468), weshalb seitens der SUVA eine vorgängige Stellungnahme des Versicherten zu Prof. Dr. med. J._ nicht einzuholen war. Zudem ist ein Ausstandsgrund nicht schon deswegen gegeben, weil jemand Aufgaben für die Verwaltung erfüllt, sondern erst bei persönlicher Befangenheit (<ref-law>, <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 226 f., 135 V 254 E. 3.4.1 S. 259, 132 V 93 E. 6.5 und 7.1 S. 108 ff.). Der Versicherte macht keine relevanten Ausstands- oder Ablehnungsgründe gegen Prof. Dr. med. J._ geltend, was erstmals vor Bundesgericht ohnehin unzulässig wäre (<ref-ruling> E. 7.4.2 S. 112; Urteil 8C_400/2013 vom 31. Juli 2013 E. 5.2 f.).
5.2. Der Versicherte rügt im Weiteren, zwar habe der Betreff der Einladung der SUVA vom 27. Dezember 2007 wie folgt geheissen: "Ihr Aufenthalt zu Abklärung in der Rehaklinik Y._"; es habe aber keinerlei Aufklärung darüber bestanden, welcher Art diese Abklärungen sein sollten. Der Sachverhalt sei somit ähnlich demjenigen im Urteil 8C_917/2011 vom 20. März 2012. Dem kann nicht gefolgt werden. In jenem Urteil wurde - gestützt auf die Rechtsprechung <ref-ruling> - ein Austrittsbericht der Rehaklinik Y._ als nicht verwertbar taxiert, weil die versicherte Person weder vor dem Klinikeintritt noch während des Klinikaufenthaltes darüber informiert worden ist, die Klinik werde - zusätzlich zur Rehabilitation - eine interdisziplinäre Beurteilung der Arbeitsfähigkeit und Eingliederungsperspektive vornehmen. Demgegenüber wurde der Beschwerdeführer am 27. Dezember 2007 ausdrücklich zur Abklärung in die Klinik eingeladen, wobei Prof. Dr. med. J._ als zuständige medizinische Fachperson angegeben wurde. In diesem Licht besteht kein Grund, seine Stellungnahmen als nicht verwertbar zu qualifizieren.
5.3.
5.3.1. Der Versicherte bringt weiter vor, vorinstanzlich habe er die Feststellungen des Prof. Dr. med. J._ umfassend kritisiert. Die Vorinstanz sei auf diese Kritik mit keinem Wort eingegangen, womit eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör vorliege. Ihr Satz, organische Unfallfolgen stünden vorliegend nicht zur Diskussion, sei keine ausreichende Begründung, weshalb eine neurologische Abklärung nicht erforderlich sei. Der SUVA-Neurologe Dr. med. H._ habe in seiner Beurteilung vom 16. April 2002 massive neurologische Befunde erhoben. Auch bei der psychiatrischen Abklärung habe der Versicherte über unverändert starke Kopfschmerzen geklagt. Damit hätte zwingend eine neurologische Begutachtung bestellt werden müssen.
5.3.2. Aufgrund des Gehöranspruchs (<ref-law>) hat die Behörde ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss zumindest kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die es seinen Entscheid stützt. Dagegen wird nicht verlangt, dass sich die Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 237, 137 II 266 E. 3.2 S. 270). Die Vorinstanz erwog im angefochtenen Entscheid, die Leistungseinstellung der SUVA habe unter anderem auf den Stellungnahmen des Prof. Dr. med. J._ vom 28. April und 21. Juli 2008 sowie vom 31. März 2009 beruht. Aufgrund der letztgenannten Stellungnahme - die vom Psychiater Dr. med. K._, Medizinischer Leiter, Zentrum für Begutachtung, Rehaklinik Y._, mitunterzeichnet worden sei und worin die Resultate der vom 7. Oktober bis 17. Dezember 2008 durchgeführten Observation des Versicherten ausgewertet worden seien - sei der Versicherte auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt in körperlicher und geistiger Hinsicht voll einsetzbar.
In diesem Lichte kann von einer Verletzung der Begründungspflicht nicht gesprochen werden. Aus dem angefochtenen Entscheid geht hinreichend hervor, dass die Vorinstanz in somatischer Hinsicht auf die Feststellungen des Prof. Dr. med. J._ abstellte. Letztinstanzlich legt der Versicherte nicht substanziiert dar, inwiefern dessen Einschätzung vom 31. März 2009 falsch sein soll. Sein Einwand, der Neurologe Dr. med. H._ habe am 16. April 2002 massive neurologische Befunde erhoben, ist unbehelflich, da vorliegend nicht die damaligen Verhältnisse massgebend sind, sondern zu prüfen ist, ob seither eine Veränderung eingetreten ist. Soweit der Versicherte bezüglich seiner Kritik an der Einschätzung des Prof. Dr. med. J._ auf seine Argumentation in den vorinstanzlichen Rechtsschriften verweist, ist dies unzulässig (<ref-ruling>; SVR 2010 UV Nr. 9 S. 35 E. 6 [8C_286/2009]; Urteil 8C_372/2013 vom 28. Oktober 2013 E. 8). Da in somatischer Hinsicht von weiteren Abklärungen keine neuen entscheidrelevanten Ergebnisse mehr zu erwarten sind, ist darauf zu verzichten; dies verstösst weder gegen den Untersuchungsgrundsatz noch gegen den Gehörsanspruch (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236; Urteil 8C_359/2013 vom 27. August 2013 E. 5.3).
6.
In psychischer Hinsicht ist unbestritten, dass die Beurteilung hier nicht bloss mit der Entwicklung der Rechtspraxis zur Invalidität bei somatoformen Leiden (<ref-ruling>, 131 V 49, 136 V 279), sondern mit einer Änderung der gesundheitlichen Situation des Versicherten begründet wird; in diesem Rahmen darf eine zwischenzeitlich veränderte Rechtspraxis berücksichtigt werden (Urteil 8C_766/2012 vom 18. Februar 2013 E. 5).
Weiter ist festzuhalten, dass die von Prof. Dr. med. M._ im Gutachten vom 5. September 2012 gestellte blosse Verdachtsdiagnose von dissoziativen Störungen gemischt (ICD-10 F44.7) zur Anerkennung eines dauerhaften invalidisierenden Gesundheitsschadens grundsätzlich nicht ausreicht (vgl. auch Urteile 8C_454/2013 vom 24. September 2013 E. 6.3 und 8C_953/2010 vom 29. April 2011 E. 5.3). Selbst wenn diesbezüglich eine vorbehaltlose Diagnose vorläge, könnte der Versicherte daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten. Die Vorinstanz hat richtig erwogen, dass bei der Würdigung des invalidisierenden Charakters der "dissoziativen Störungen gemischt" die von der Rechtsprechung im Bereich der somatoformen Schmerzstörungen entwickelten Grundsätze analog anzuwenden sind (<ref-ruling> E. 4.1 f. S. 67 f.; SVR 2007 IV Nr. 45 S. 149 E. 4 am Ende [I 9/07]); hiervon geht auch der Versicherte aus. Im Gutachten des Prof. Dr. med. M._ wurden zusätzlich akzentuierte Persönlichkeitszüge mit führend selbstunsicheren und narzisstischen Zügen diagnostiziert und damit keine psychische Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer festgestellt (vgl. auch Urteil U 174/06 vom 14. Dezember 2006 E. 4.2). Weiter ist der Vorinstanz beizupflichten, dass keine der weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare psychische Störung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten.
Auch wenn Prof. Dr. med. M._ - wie der Versicherte einwendet - von einer erheblichen Chronifizierung der psychischen Krankheit ausgeht, was als relevantes Kriterium gilt, bleibt für die Annahme einer psychisch bedingten (teilweisen) Einschränkung der Arbeitsfähigkeit kein Raum. Dieses Ergebnis wird vom Versicherten nicht substanziiert entkräftet. Unbehelflich ist sein Einwand, Prof. Dr. med. M._ habe ausgeführt, es sei ihm sehr wahrscheinlich möglich, seine psychischen Beschwerden zu überwinden und eine zumindest partielle Arbeitsfähigkeit in einer einfachen Tätigkeit zu realisieren; er sei aktuell klar aber dem Arbeitsumfeld nicht zumutbar. Denn die abschliessende Beantwortung der Frage, ob eine mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung bzw. nach denselben Morbiditätskriterien zu beurteilende anderweitige Gesundheitsstörung vorliegt oder nicht, ist rechtlicher Natur und obliegt damit nicht den Arztpersonen, sondern den rechtsanwendenden Behörden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 66; nicht publ. E. 4.2.2 des Urteils <ref-ruling>, in SVR 2012 IV Nr. 56 S. 200 [9C_302/2012]). Da auch diesbezüglich von weiteren medizinischen Abklärungen keine neuen relevantern Erkenntnisse zu erwarten sind, ist darauf zu verzichten (vgl. E. 5.3.2 hievor in fine).
7.
Streitig ist schliesslich der Zeitpunkt der Rentenaufhebung nach <ref-law>.
7.1. Mit Verfügung vom 24. Juli 2009 sistierte die IV-Stelle im Sinne einer vorsorglichen Massnahme (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) die Invalidenrente mit sofortiger Wirkung und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das kantonale Gericht mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 4. Januar 2010 ab. Mit Verfügung vom 9. März 2010 forderte die IV-Stelle vom Versicherten die vom 1. August 2004 bis 31. Juli 2009 ausgerichteten Rentenleistungen zurück.
7.2. Der Versicherte wendet ein, es sei bundesrechtswidrig, die Rentenherabsetzung bereits auf den 1. August 2008 (recte 2009) vorzunehmen. Erst mit dem angefochtenen Entscheid bzw. frühestens mit Zugang des Gerichtsgutachtens des Prof. Dr. med. M._ vom 5. September 2012 sei (wenn überhaupt) festgestanden, wie es sich mit seinem psychischen Gesundheitszustand verhalte. Erst ab diesem Zeitpunkt sei deshalb für die Zukunft eine Rentenherabsetzung zulässig.
Prof. Dr. med. M._ führte im Gutachten vom 5. September 2012 aus, die ausführliche Untersuchung in der Rehaklinik Y._ im Jahre 2008 bestätige die Annahme, dass sich der Gesundheitszustand des Versicherten seit 1999 deutlich gebessert habe; entsprechend sei keine psychiatrische Diagnose gestellt worden (vgl. Bericht der Rehaklinik Y._ vom 10. April 2008). Es gebe keinen Grund zur Annahme, dass sich der Gesundheitszustand bis September 2010 verschlechtert habe. Damit ist aufgrund des Gerichtsgutachtens und der darin zitierten medizinischen Akten davon auszugehen, dass der Versicherte bereits im Zeitpunkt der vorsorglichen sofortigen Rentensistierung am 24. Juli 2009 psychischerseits in der Arbeitsfähigkeit nicht mehr eingeschränkt war. Gründe, auf diese rückwirkende Beurteilung des Gesundheitszustandes nicht abzustellen, sind nicht ersichtlich und werden nicht substanziiert geltend gemacht.
Die Rentensistierung per 24. Juli 2009 wurde von der Vorinstanz mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 4. Januar 2010 bestätigt. Gegen ihre Erwägungen im angefochtenen Entscheid, dass <ref-law> hier nicht greife und es gerechtfertigt sei, die Rentenaufhebung bereits ab 1. August 2009 vorzunehmen, bringt der Versicherte keine Einwände vor. Hiermit hat es demnach sein Bewenden.
8.
Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Februar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar