Sachverhalt:
A.
A.a. X._ schloss 1999 ein Fachhochschulstudium an der Katholischen Fachhochschule Norddeutschland Sozialpädagogik mit einem Fachhochschuldiplom ab. Im Jahr 2001 nahm sie Kontakt auf mit Prof. Dr. A._ von der Philosophischen Fakultät der Universität Zürich im Hinblick auf die Abfassung einer Dissertation. Am 3. Februar 2002 stellte sie bei der Philosophischen Fakultät ein Gesuch um Anerkennung ihres deutschen Hochschuldiploms zwecks Zulassung zur Promotion als Dr. phil.
Mit Schreiben vom 25. April 2002 teilte der Dekan der Philosophischen Fakultät der Universität Zürich X._ mit, ihr Fachhochschuldiplom berechtige nicht zur Zulassung zur Promotion. Weiter führte er aus:
"Im Gegensatz zu Fachhochschuldiplomen werden in der Regel deutsche Hochschul-/Universitätsdiplome als äquivalent zum Lizentiat unserer Fakultät anerkannt.
Sollten Sie sich demnach entschliessen, an einer deutschen Hochschule im entsprechenden Fach den Magisterabschluss bzw. Masterdegree zu absolvieren, könnte mit höchster Wahrscheinlichkeit von einer Gleichwertigkeit ausgegangen werden. Jedes Gesuch um Zulassung zur Promotion wird jedoch einzeln geprüft und falls bei Ihrem geplanten Abschluss alle Voraussetzungen erfüllt wären, stünde einem Doktorat nichts mehr im Wege."
A.b. In der Folge absolvierte X._ an der Technischen Universität Kaiserslautern ein Nachdiplomstudium in Erwachsenenbildung, welches sie zu Beginn des Wintersemesters 2004/2005 abschloss. Ende Juli 2005 ersuchte sie erneut um Zulassung zur Promotion an der Universität Zürich. Die Kommission für Anerkennung fremder Ausweise (KAFA) der Universität Zürich lehnte das Gesuch mit Beschluss vom 24. Januar 2006 entgegen der Auffassung von Prof. A._ gestützt auf ein Gutachten von Prof. B._ ab, da der erworbene Grad "Masters of Arts" der Technischen Universität Kaiserslautern nicht einem Lizentiatsabschluss der Universität Zürich entspreche.
A.c. Am 14. Februar 2006 sandte X._ dem Dekanat der Philosophischen Fakultät per Fax eine "Rekursschrift" zu, worauf ihr der Rechtsdienst der Universität Zürich mitteilte, ein Rekurs sei an die Rekurskommission der Zürcher Hochschulen einzureichen; eine Überweisung der eingereichten Rekursschrift erfolge nicht. In der Folge reichte X._ keinen Rekurs ein.
B.
B.a. Am 9. März 2009 erhob X._ beim Bezirksgericht Zürich Staatshaftungsklage gegen die Universität Zürich und verlangte Schadenersatz von Fr. 89'621.-- nebst Zins zu 5 % seit 24. Januar 2006 sowie eine Genugtuung von Fr. 5'000.--. Sie machte Vertrauensschaden geltend, da sie im Vertrauen auf die erhaltenen Zusagen im Hinblick auf die Promotion in Zürich das Zusatzstudium in Kaiserslautern absolviert habe. Am 8. Juni 2009 trat das Bezirksgericht auf die Klage zufolge Verletzung des Grundsatzes der Einmaligkeit des Rechtsschutzes nicht ein. Das Obergericht des Kantons Zürich hob mit Beschluss vom 28. April 2010 dieses Urteil auf und wies die Klage zur weiteren Behandlung an das Bezirksgericht zurück. Mit Urteil vom 24. April 2012 wies das Bezirksgericht die Klage ab.
B.b. Auf Berufung von X._ entschied das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 23. April 2013 im gleichen Sinn.
C.
X._ erhebt Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei die Universität Zürich zu verpflichten, ihr Schadenersatz von Fr. 89'621.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Januar 2006 sowie eine Genugtuung von Fr. 5'000.-- zu bezahlen.
Das Obergericht verzichtet auf Vernehmlassung. Die Universität Zürich beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. In der Folge hielten die Verfahrensbeteiligten an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Ansprüche aus Staatshaftung gelten - mit Ausnahme der Haftung für medizinische Tätigkeit (Art. 31 Abs. 1 lit. d des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht [BgerR; SR 173.110.131]; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465 f.) - als öffentlich-rechtlich und sind vor Bundesgericht daher nicht mit Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>), sondern mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) geltend zu machen. Die Streitwertgrenze (<ref-law>) ist erreicht und die Beschwerdeführerin ist legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Nach <ref-law> können die Kantone für die Haftung des Gemeinwesen für nicht gewerbliche Verrichtungen eigene Bestimmungen aufstellen. Der Kanton Zürich hat dafür das kantonale Haftungsgesetz vom 14. September 1969 (HG/ZH; LS 170.1) erlassen. Das Bundesgericht prüft frei die Auslegung und Anwendung des Bundesrechts mit Einschluss des Verfassungsrechts (<ref-law>); diejenige kantonalen Rechts überprüft es jedoch - abgesehen von hier nicht in Betracht kommenden Fällen (Art. 95 lit. c und d BGG) - nur daraufhin, ob dadurch Bundesrecht oder Völkerrecht verletzt wird (<ref-law>), wobei namentlich die willkürliche Anwendung kantonalen Rechts in Betracht fällt. Das Bundesgericht prüft zudem die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 6 S. 397).
1.3. Das Bundesgericht stellt grundsätzlich auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt ab (<ref-law>). Diese Sachverhaltsfeststellungen können vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich - sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, ist gleichbedeutend mit der Willkürrüge und muss daher gemäss den Anforderungen von <ref-law> in der Beschwerdeschrift begründet werden (<ref-ruling> E. 1.2.2 und E. 1.4.3 S. 252 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 351 f.).
2.
Die Beschwerdeführerin begründet ihren Anspruch mit dem Vertrauensschutz; sie habe im Vertrauen auf das Verhalten und auf Aussagen von Angehörigen der Universität im Hinblick auf die in Zürich angestrebte Promotion (zu der sie in der Folge aber nicht zugelassen wurde) ein Zusatzstudium absolviert, was ihr Ausgaben und entgangene Einnahmen verursacht habe.
2.1. Nach ständiger Rechtsprechung verleiht der in <ref-law> verankerte Grundsatz von Treu und Glauben einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens, sofern eine Vertrauensgrundlage besteht, auf welche die Person, die sich darauf beruft, berechtigterweise vertrauen durfte, sofern sie gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 73; <ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170). Eine Vertrauensgrundlage kann sich namentlich aus einer vorbehaltlosen und nicht erkennbar unrichtigen Auskunft einer dafür zuständigen Person in einem konkreten Fall ergeben (<ref-ruling> E. 3.6.2 S. 193; <ref-ruling> E. 6.1 S. 637). Die Rechtsfolge des Vertrauensschutzes ist in erster Linie, dass die Behörde an die Vertrauensgrundlage gebunden ist. Es bleibt jedoch abzuwägen, ob ausnahmsweise trotzdem das öffentliche Interesse an der richtigen Rechtsanwendung dem Vertrauensschutz vorzugehen hat. Wird von der begründeten Vertrauensgrundlage aufgrund überwiegender entgegenstehender Interessen abgewichen, kann stattdessen ein Anspruch auf Entschädigung entstehen (<ref-ruling> E. 6c S. 331; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. A. 2010, S. 157 Rz. 696 und S. 158 f. Rz. 703 f.; RICHLI/WIEDERKEHR, Praxis des allgemeinen Verwaltungsrechts, 2012, S. 771 ff.; ELISABETH CHIARIELLO, Treu und Glauben als Grundrecht nach Art. 9 der Schweizerischen Bundesverfassung, 2004, S. 131, 140 ff.). Die Rechtsgrundlage dieses Entschädigungsanspruchs kann sich aus einer speziellen gesetzlichen Grundlage ergeben (z.B. Art. 5 Abs. 2 RPG i.V.m. <ref-law> [vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 228 ff.; <ref-ruling> E. 6 S. 438]; Art. 27 bzw. 78 ATSG [vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 480 f.; Urteil 8C_26/2011 vom 31. Mai 2011 E. 6.3.2, in: SVR 2011 AlV Nr. 13 S. 37]), aus (öffentlich-rechtlichem) Vertrag (vgl. <ref-ruling> E. 7a S. 340) oder allenfalls direkt aus <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 7a S. 340; Urteil 2P.67/1994 vom 30. Mai 1995, ZBl 97/1996 S. 91 E. 4a/aa; 2A.303/2000 vom 15. Februar 2001 E. 6; 8C_542/2007 vom 14. April 2008 E. 4.2). Die Schaffung der nicht geschützten Vertrauensgrundlage kann auch widerrechtlich im Sinne der Staatshaftung sein (Urteil 2A.511/2005 vom 16. Februar 2009 E. 5.5).
2.2. Vorliegend kann als Haftungsgrundlage somit das kantonale Haftungsgesetz (E. 1.2) oder direkt <ref-law> in Frage kommen. Für beide gilt das qualifizierte Rügeprinzip nach <ref-law> (E. 1.2). Ob diese Anforderungen in der weitgehend rein appellatorischen Rechtsschrift erfüllt sind, ist fraglich, kann aber angesichts des Ausgangs des Verfahrens offen bleiben.
3.
3.1. Nach § 21 Abs. 1 HG kann im Staatshaftungsverfahren die Gesetzmässigkeit rechtskräftiger Entscheide nicht überprüft werden. Allerdings hatte das Obergericht in seinem ersten Urteil vom 28. April 2010 erkannt, vorliegend rechtfertige sich eine Ausnahme von diesem Grundsatz, da der Nichtzulassungsentscheid vom 24. Januar 2006 faktisch nicht anfechtbar gewesen sei. Dementsprechend überprüfte die Vorinstanz im angefochtenen Urteil zunächst, ob jener Entscheid rechtmässig gewesen sei und bejahte dies mit der Begründung, der Studienabschluss der Beschwerdeführerin sei einem Lizentiat nicht gleichwertig. Auch sei die von der Beschwerdeführerin erstellte Masterarbeit mit einer Zürcher Lizentiatsarbeit nicht vergleichbar. Sodann verneinte sie eine Haftung aus Vertrauensschutz: Mit dem Entscheid vom 25. April 2002 habe die KAFA keine bindende behördliche Zusicherung abgegeben. Die Beschwerdeführerin könne sich nicht auf berechtigtes Vertrauen berufen. Die KAFA habe sich auch nicht dazu geäussert, ob ein Abschluss in Erwachsenenbildung an der Universität Kaiserslautern für eine Zulassung genügen werde. Dazu hätte sich die KAFA auch kaum verbindlich äussern können, da dieser Studiengang noch im Akkreditierungsverfahren gewesen sei, was der Beschwerdeführerin bekannt gewesen sei. Auch sei der Nachweis nicht erbracht, dass die KAFA-Referentin Frau C._ eine Promotion zugesichert habe. Zwar wäre das Verhalten von Prof. A._ geeignet gewesen, ein berechtigtes Vertrauen in die von ihm abgegeben Äusserungen zu erwecken. Dem stehe aber der Entscheid der KAFA vom 25. April 2002 entgegen, aus dem ersichtlich gewesen sei, dass für die Zulassung nicht der Doktorvater in spe, sondern nur die KAFA zuständig sei.
3.2. Im Zusammenhang mit dem Entscheid vom 24. Januar 2006, mit welchem sie nicht zum Promotionsstudium zugelassen worden ist, macht die Beschwerdeführerin zwar geltend, im Gutachten von Prof. B._ sei ausser Acht gelassen worden, dass sie eine Gesamtzahl von 300 ECTP allein durch ihre pädagogischen Studien nachweisen könne. Sie bringt damit aber nicht rechtsgenüglich vor, dieser Nichtzulassungsentscheid beruhe auf offensichtlich unrichtiger Sachverhaltsfeststellung oder willkürlicher Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts (E. 1.2 und 1.3). Zudem ergäbe sich daraus auch kein Vertrauensschaden, da sie nicht geltend macht, sie habe im Vertrauen auf diesen Entscheid Dispositionen getroffen.
3.3. Der Anspruch aus Vertrauensschaden könnte sich hingegen aus dem Verhalten der Universität bzw. ihrer Angehörigen im Zusammenhang mit dem Schreiben vom 25. April 2002 ergeben.
3.3.1. Die Beschwerdeführerin schildert in diesem Zusammenhang ausführlich aus ihrer Sicht den Ablauf der Ereignisse, namentlich das Verhalten von Prof. A._. Sie vermag damit aber nicht darzutun, dass die grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig wären (vgl. E. 1.3). Zudem ist das Verhalten von Prof. A._ ohnehin für den Ausgang des Verfahrens nicht ausschlaggebend: Denn auch die Vorinstanz ist davon ausgegangen, das Verhalten von Prof. A._ sei geeignet gewesen, ein berechtigtes Vertrauen der Beschwerdeführerin in die von ihm abgegebenen Äusserungen zu erwecken. Sie hat jedoch erwogen, für die Beschwerdeführerin sei erkennbar gewesen, dass nicht Prof. A._, sondern einzig die KAFA zum Entscheid über die Zulassung zuständig sei.
3.3.2. Die Beschwerdeführerin macht in diesem Zusammenhang zwar geltend, die Vorinstanz habe mit ihrem Rückweisungsentscheid vom 28. April 2010 verbindlich entschieden, dass es für das Bestehen einer Vertrauensgrundlage genüge, wenn sie in ihrem Vertrauen auf Äusserungen von Prof. A._ zu schützen sei. In jenem Entscheid (S. 13) hatte das Obergericht jedoch ausgeführt:
"Er [d.h. der erstinstanzliche Staatshaftungsrichter] wird mithin unter anderem zu prüfen haben, ob der negative Zulassungsentscheid der KAFA vom 24. Januar 2006 zu schützen ist oder die Klägerin in ihrem Vertrauen auf die angeblichen Zusicherungen der KAFA in deren Schreiben vom 24. [recte: 25.] April 2002 bzw. auf die entsprechenden Äusserungen von Prof. Dr. A._".
Damit ist klar, dass nicht nur das Verhalten von Prof. A._, sondern auch dasjenige der KAFA im Hinblick auf seine Eignung als Vertrauensgrundlage zu beurteilen war.
3.3.3. Das entscheidende Argument der Vorinstanz ist, dass einerseits die Beschwerdeführerin aus dem Schreiben der KAFA vom 25. April 2002 erkennen konnte, dass nicht Prof. A._, sondern die KAFA für den Entscheid über die Zulassung zuständig war, und dass andererseits dieses Schreiben keine verbindliche Aussage enthielt, wonach ein bestimmter Abschluss zur Zulassung führen werde. Es sei der Hinweis beigefügt worden, dass jedes Gesuch um Zulassung einzeln geprüft werde und einem Doktorat nichts entgegenstehen würde "falls bei ihrem geplanten Abschluss alle Voraussetzungen erfüllt wären". Damit sei aber zur Anerkennung des von der Beschwerdeführerin gewählten Studiengangs in Kaiserslautern nichts gesagt worden.
3.3.4. Gegen das erste Argument der Vorinstanz bringt die Beschwerdeführerin nichts Substantielles vor. Sie räumt selber ein, dass Prof. A._ nicht Mitglied der KAFA war. Es musste damit auch für die Beschwerdeführerin erkennbar sein, dass sein Verhalten und seine Äusserungen die KAFA nicht binden konnten.
3.3.5. Zum zweiten Argument bringt die Beschwerdeführerin vor, der KAFA sei bei ihrem Entscheid bekannt gewesen, dass sie das Masterstudium in Kaiserslautern absolvieren würde. Dazu hat indessen die Vorinstanz festgestellt, es stehe nicht fest, dass die KAFA oder Frau C._ sichere Kenntnis über das geplante Studium hatten. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin lassen diese Sachverhaltsfeststellung nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen; namentlich ergibt sich dies nicht aus dem Wortlaut des Schreibens vom 25. April 2002. Weiter hat die Vorinstanz erwogen, der geplante Studiengang sei in Deutschland noch im Akkreditierungsverfahren gestanden, was der Beschwerdeführerin bekannt gewesen sei. Auch das wird sachverhaltlich von der Beschwerdeführerin nicht bestritten. Für die rechtliche Würdigung leuchtet ein, dass die Beschwerdeführerin nicht darauf vertrauen konnte, die KAFA habe eine verbindliche Aussage über die Anerkennung eines Studiengangs gemacht, bevor dieser in Deutschland akkreditiert war.
3.3.6. In Bezug auf die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten mündlichen Zusicherungen der KAFA-Referentin Frau C._ hat die Vorinstanz gestützt auf ein vom Bezirksgericht durchgeführtes Beweisverfahren festgestellt, auch daraus ergäben sich keine Zusicherungen. Diese Sachverhaltsfeststellung ist ebenfalls nicht offensichtlich unrichtig und damit verbindlich. Somit entfällt auch diesbezüglich eine Vertrauensgrundlage.
3.4. Insgesamt hat die Vorinstanz mit Recht erkannt, dass keine Vertrauensgrundlage vorliegt: Prof. A._ war erkennbar nicht zuständig, und die KAFA oder ihre Mitglieder haben keine vorbehaltlose Zusicherung abgegeben.
3.5. Die übrigen Rügen der Beschwerdeführerin sind unbegründet oder nicht rechtserheblich:
3.5.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, entgegen der Feststellung der Vorinstanz habe das Schreiben von Frau D._ an Herrn E._ vom 7. Juni 2004 bestätigt, dass eine Fehlinformation erfolgt sei. Dieses Schreiben bezog sich jedoch nur auf die Rückerstattung von Semestergebühren; die darin erwähnte "Fehlinformation" konnte sich nur auf eine Auskunft hinsichtlich der Pflicht zur Bezahlung dieser Gebühren beziehen. Eine Zusicherung im Hinblick auf eine künftige Zulassung zur Promotion ergab sich daraus nicht.
3.5.2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie habe die Fehlerhaftigkeit der Vertrauensgrundlage nicht erkennen können. Die Vorinstanz hat indessen nicht darauf abgestellt, dass die Auskunft erkennbar fehlerhaft gewesen sei, sondern darauf, dass es sich gar nicht um eine verbindliche Vertrauensgrundlage gehandelt habe, weil sie nicht vorbehaltlos erteilt worden sei.
3.5.3. Liegt keine Vertrauensgrundlage vor, sind die Ausführungen zur erfolgten Vertrauensbetätigung nicht von Relevanz.
3.5.4. Die Beschwerdeführerin rügt weiter, sie wäre entgegen der aktenwidrigen Feststellung der Vorinstanz an der Ludwig-Maximilians-Universität in München zur Promotion zugelassen worden. Sie macht aber selber nur geltend, dies hätte Auswirkungen auf Schadenersatz und Genugtuung gehabt, weil sie direkt in Deutschland promoviert hätte, wenn sie gewusst hätte, wie unsicher die Aussichten in Zürich seien. Fehlt es aber schon an einer Haftungsgrundlage, dann stellt sich die Frage von Schadenersatz und Genugtuung nicht und die allenfalls unrichtige Feststellung ist nicht rechtserheblich.
4.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Bei diesem Ausgang trägt die Beschwerdeführerin die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 65 Abs. 3 lit. b und Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Errass