Sachverhalt:
A.
Am 16. Mai 2013 fand vor dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, die Berufungsverhandlung im Verfahren gegen X._ betreffend mehrfache Nötigung zum Nachteil der Privatkläger Y._ statt. Im Anschluss an die Befragung der Beschuldigten stellte ihr Verteidiger die Anträge, es sei eine Konfrontationseinvernahme mit den Privatklägern durchzuführen und ein neues Gutachten einzuholen; eventualiter sei das bestehende Gutachten zu ergänzen bzw. ein Privatgutachten zuzulassen. Das Gericht wies die Beweisanträge ab. Zur Begründung führte es aus, die Durchführung einer neuen Konfrontationseinvernahme erübrige sich, da eine solche bereits stattgefunden habe und die Aussagen verwertbar seien. Weiterungen in Bezug auf das Gutachten seien ebenfalls nicht erforderlich, da bereits ein Ergänzungsgutachten vorliege. Die Beschuldigte stellte daraufhin gegen die Richter (Oberrichter Marti, Oberrichterin von Moos, Ersatzoberrichter Leuenberger) und die Gerichtsschreiberin (Dr. Michael) ein Ausstandsbegehren. Sie machte geltend, die genannten Personen erschienen befangen, da sie nicht gewillt seien, die Fehler und Versäumnisse der Staatsanwaltschaft und des Bezirksgerichts einzugestehen und die zeitlichen und finanziellen Konsequenzen zu tragen.
Das Ausstandsgesuch wurde in der Folge zur Beurteilung an die II. Strafkammer des Obergerichts überwiesen. Diese wies das Gesuch mit Beschluss vom 21. Juni 2013 ab (Ziff. 1 des Dispositivs), auferlegte der Beschuldigten jedoch keine Verfahrenskosten (Ziff. 2 und 3 des Dispositivs).
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 3. September 2013 beantragt X._, Ziff. 1 des Beschlusses der II. Strafkammer des Obergerichts sei aufzuheben und das Ausstandsgesuch gutzuheissen.
Die I. Strafkammer des Obergerichts hat sich vernehmen lassen, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. Die II. Strafkammer und die Staatsanwaltschaft haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführerin hält in ihrer Replik an ihrem Standpunkt fest.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Die II. Strafkammer des Obergerichts hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, die beiden Privatkläger seien am 13. Februar 2012 von der Staatsanwaltschaft einvernommen worden. Die Staatsanwaltschaft habe es aber unterlassen, diese mit ihrer Darstellung des Sachverhalts zu konfrontieren. Das wäre aber notwendig gewesen, zumal sie selbst die Vorwürfe von Anfang an glaubwürdig und konsequent von sich gewiesen habe. Auch im Gerichtsverfahren sei die Konfrontation nicht nachgeholt worden. Die Abweisung ihres Beweisantrags verletze unter diesen Umständen <ref-law> und <ref-law>. Auch der Antrag auf ein weiteres Gutachten hätte gutgeheissen werden müssen. Das bestehende Gutachten sei zu einem Zeitpunkt erstellt worden, als noch kein konkretisierter Tatvorwurf vorlag. Indem der Gutachter unter diesen Umständen und mit minimaler Begründung zum Schluss gekommen sei, sie leide an einer schweren paranoiden Schizophrenie, habe er gegen grundlegende ärztliche Sorgfaltspflichten verstossen. Der verantwortliche Oberarzt der Psychiatrischen Klinik Münsterlingen, der einen umfassenden Einblick in ihr Leben und Verhalten gewinnen konnte, habe in seinem Verlaufsbericht vom 26. April 2013 denn auch festgehalten, dass sich in seiner Klinik zu keinem Zeitpunkt die typischen Symptome einer paranoiden Schizophrenie gezeigt hätten. Auch insofern sei die Beweisgrundlage somit unvollständig.
Die Beschwerdeführerin macht weiter eine Verletzung der Begründungspflicht geltend. Die Vorinstanz sei nicht auf ihre Argumente eingegangen, sondern habe pauschal auf die Verwertbarkeit der Einvernahme vom 13. Februar 2012 bzw. auf den Umstand verwiesen, es liege bereits eine Fülle aktueller medizinischer Unterlagen vor.
2.2. <ref-law> zählt verschiedene Gründe auf, die zum Ausstand von in einer Strafbehörde tätigen Personen führen. Nach <ref-law> trifft dies namentlich aus anderen (als den in lit. a-e der gleichen Bestimmung genannten) Gründen zu, insbesondere wenn die in der Strafverfolgung tätige Person wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand befangen sein könnte. <ref-law> konkretisiert die Verfassungsbestimmung von <ref-law> sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter unter Einschluss weiterer am Entscheid wesentlich beteiligter Gerichtspersonen (insbesondere Gerichtsschreibern) ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Sie wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Gerichtsperson oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 229 mit Hinweisen). Bei der Anwendung von <ref-law> ist entscheidendes Kriterium, ob bei objektiver Betrachtungsweise der Ausgang des Verfahrens noch als offen erscheint (Urteil 1B_11/2013 vom 11. März 2013 E. 2 mit Hinweis). Wird der Ausstandsgrund aus materiellen oder prozessualen Rechtsfehlern abgeleitet, so sind diese nur wesentlich, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken; andernfalls begründen sie objektiv keinen Anschein der Befangenheit (Urteil 1B_11/2013 vom 11. März 2013 E. 2; <ref-ruling> E. 3b S. 404; je mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz hat dargelegt, es gebe keine Anzeichen der Befangenheit. Es könne keine Rede davon sein, dass Beweisanträge offensichtlich zu Unrecht abgewiesen worden seien. Einerseits seien die beiden Privatkläger in der Untersuchung in Anwesenheit der Beschuldigten und ihrer damaligen Anwältin formell als Auskunftspersonen befragt worden, wobei die Beschuldigte jeweils Gelegenheit gehabt habe, Ergänzungsfragen zu stellen. Andererseits lägen ein 28-seitiges psychiatrisches Gutachten vom 20. Februar 2012, zwei Verlaufsberichte der Psychiatrischen Klinik Münsterlingen vom 14. Juni 2012 und vom 26. April 2013 sowie eine aktuelle Einschätzung des Gutachters vom 16. Mai 2013 bei den Akten. Damit bestehe eine ganze Fülle aktueller medizinischer Unterlagen, wobei insbesondere aufgrund der jüngsten Ausführungen des Gutachters das Einholen weiterer Berichte bzw. Gutachten nicht angezeigt erscheine.
2.4. Nach dem Gesagten geht es im vorliegenden Verfahren nicht darum, die Zweckmässigkeit richterlicher Beweismassnahmen zu prüfen. Mögliche Verletzungen der Strafprozessordnung sind nur insoweit von Bedeutung, als sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken. Dies ist im vorliegenden Fall zu verneinen. Nach den Ausführungen der Vorinstanz hatte die Beschwerdeführerin Gelegenheit, an die Privatkläger Ergänzungsfragen zu stellen und konnte mithin direkt auf allfällige Unstimmigkeiten aufmerksam machen. Sie selbst weist zudem darauf hin, dass sie anlässlich der Berufungsverhandlung vom 16. Mai 2013 Gelegenheit hatte, die Darstellung der Privatkläger zu bestreiten. Inwiefern unter diesen Voraussetzungen ihre Verteidigungsrechte beschnitten worden sein sollten, weil eine zusätzliche Konfrontationseinvernahme abgelehnt wurde, ist nicht ersichtlich. Dasselbe gilt für den Antrag auf ein zusätzliches psychiatrisches Gutachten. Allein der Umstand, dass das Gutachten vom 20. Februar 2012 vor Abschluss der Untersuchung erstellt wurde und mithin spätere Untersuchungsergebnisse nicht berücksichtigen konnte, stellt seine Qualität nicht in Frage. Zudem geht aus dem Gutachten hervor, dass der Gutachter die Tatvorwürfe als solche verstand und nicht etwa bereits als bewiesen annahm. Sein Befund ist auf mehreren Seiten einlässlich begründet. Schliesslich befindet sich der Verlaufsbericht der Psychiatrischen Klinik Münsterlingen vom 26. April 2013, auf den sich die Beschwerdeführerin beruft, ebenfalls bei den Akten. Beide Aktenstücke unterliegen der freien richterlichen Beweiswürdigung (<ref-law>). Ob die II. Strafkammer des Obergerichts unter Würdigung all dieser Umstände nach <ref-law> trotzdem gehalten gewesen wäre, ein weiteres Gutachten anzufordern, ist hier nicht abschliessend zu entscheiden. Jedenfalls sind keine schweren und wiederholten Verfahrensfehler ersichtlich, welche sich einseitig zu Lasten der Beschwerdeführerin ausgewirkt hätten. Die Rüge der Verletzung der Ausstandspflicht ist somit unbegründet.
2.5. Ungerechtfertigt ist auch der Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>). Die Vorinstanz hat ihren Entscheid hinreichend begründet. Sie hat dargelegt, weshalb sie davon ausging, dass die Beschwerdeführerin ihre Verteidigungsrechte auch ohne eine weitere Konfrontationseinvernahme wahren konnte und weshalb angesichts ausreichender Unterlagen zu ihrem Gesundheitszustand vom Einholen eines zusätzlichen Gutachtens abgesehen werden konnte. Das rechtliche Gehör verlangt nicht, dass sich die Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Beschwerdeführerin war offensichtlich in der Lage, sich über die Tragweite des vorinstanzlichen Entscheids Rechenschaft zu geben und ihn in voller Kenntnis der Sache weiterzuziehen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen.
Die Beschwerdeführerin ersucht um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Trotz geringer Erfolgsaussichten der Beschwerde ist es gerechtfertigt, dem Gesuch zu entsprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Adriano Marti wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold