Sachverhalt:
A. Der 1959 geborene G._ war seit August 1979 als Schichtarbeiter in der Fabrik X._ angestellt und somit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 7. April 1996 zog er sich bei einem Autounfall eine Querschnittslähmung und schwere Kopfverletzungen zu. Gestützt auf die medizinischen und erwerblichen Abklärungen sowie die kreisärztliche Beurteilung des Dr. med. S._ vom 25. April 2000, wonach dem Versicherten sitzende Tätigkeiten an einem rollstuhlgängigen Arbeitsplatz im Umfang von täglich 5 Stunden zumutbar seien, sprach die SUVA G._ mit Verfügung vom 23. November 2000 mit Wirkung ab 1. März 2000 eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von 60%, eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 90% und bei Annahme einer Hilflosigkeit leichten Grades eine Hilflosenentschädigung zu. Diese Verfügung blieb unangefochten.
Im Rahmen einer Rentenüberprüfung zog die SUVA vom Zentrum für Querschnittgelähmte und Hirnverletzte Z._ am 4. September 2003 die seit 1996 ergangenen neurologischen Berichte bei. Nach Einholung des psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. I._ vom 14. März 2004 teilte die IV-Stelle Basel-Stadt der SUVA am 4. August 2004 mit, da sich aufgrund der medizinischen Unterlagen keine Verschlechterung des Gesundheitszustandes ergebe, werde die seit 1. Februar 2000 gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 62 % ausgerichtete Invalidenrente nicht erhöht. Mit Schreiben vom 7. September 2004 eröffnete die SUVA G._, ihre Abklärungen hätten ergeben, dass im Vergleich zur Rentenfestsetzung im Jahre 2000 keine Verschlechterung des unfallbedingten Gesundheitszustandes vorliege, weshalb die Rente von 60% und die Hilflosenentschädigung leichten Grades weiterhin ausgerichtet würden. Der Versicherte beantragte daraufhin am 30. November 2004 eine revisionsweise Erhöhung der Invalidenrente auf 100% mit Wirkung ab 1. Mai 2003. Zur Begründung machte er geltend, bei der ursprünglichen Rentenfestsetzung seien die hirnverletzungsbedingten Einschränkungen unterschätzt worden. Mit Verfügung vom 20. Dezember 2004 lehnte die SUVA das Begehren um Rentenerhöhung ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 13. Februar 2006 fest.
B. Die Beschwerde, mit welcher G._ die Zusprechung einer Rente auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 100% beantragen liess, hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 14. Dezember 2006 gut und wies die Sache zur Durchführung ergänzender Abklärungen und neuer Verfügung an die SUVA zurück.
C. Die SUVA erhebt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 13. Februar 2006 zu bestätigen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
G._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2.1 Ändert sich der Grad der Invalidität des Rentenbezügers in einer für den Anspruch erheblichen Weise, so wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (<ref-law>).
Dieser Revisionsordnung geht jedoch der Grundsatz vor, dass die Verwaltung befugt ist, jederzeit von Amtes wegen auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide, welche nicht Gegenstand materieller richterlicher Beurteilung gebildet haben, zurückzukommen, wenn sie zweifellos unrichtig sind und ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (<ref-law>). Unter diesen Voraussetzungen kann die Verwaltung eine Rentenverfügung auch dann abändern, wenn die Revisionsvoraussetzungen des <ref-law> nicht erfüllt sind. Wird die zweifellose Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung erst vom Gericht festgestellt, so kann es die auf <ref-law> gestützte Revisionsverfügung mit dieser substituierten Begründung schützen (<ref-ruling> E. 2 S. 369).
2.2 Gemäss einem allgemeinen Grundsatz des Sozialversicherungsrechts kann die Verwaltung auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide, die nicht Gegenstand materieller richterlicher Beurteilung gebildet haben, zurückkommen, wenn sie zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 52). Dieses Zurückkommen liegt - beim Fehlen eigentlicher Revisionsgründe (vgl. <ref-law>) - im Ermessen des Versicherungsträgers. Es besteht demnach kein gerichtlich durchsetzbarer Anspruch auf Wiedererwägung. Verfügungen, mit denen das Eintreten auf ein Wiedererwägungsgesuch abgelehnt wird, sind grundsätzlich weder beschwerde- noch einspracheweise anfechtbar (<ref-ruling>).
2.3 Nach <ref-law> müssen rechtskräftige Verfügungen und Einspracheentscheide in Revision gezogen werden, wenn die versicherte Person oder der Versicherungsträger nach deren Erlass erhebliche neue Tatsachen entdeckt oder Beweismittel auffindet, deren Beibringung zuvor nicht möglich war.
3. 3.1 Das kantonale Gericht gelangte aufgrund der medizinischen Unterlagen zum Ergebnis, seit der Rentenzusprechung im Jahre 2000 sei keine relevante Änderung des Gesundheitszustandes eingetreten, weshalb die SUVA das Vorliegen eines Revisionsgrundes gemäss <ref-law> zu Recht verneint habe. Weiter hat die Vorinstanz geprüft, ob die Voraussetzungen einer prozessualen Revision im Sinne von <ref-law> erfüllt seien. In diesem Zusammenhang hat sie erwogen, im Zeitpunkt des Erlasses der Verfügung vom 23. November 2000 sei das Vorhandensein der neuropsychologischen Defizite bereits aktenkundig gewesen. Eine wesentliche Veränderung sei diesbezüglich seither nicht eingetreten. Überdies sei fraglich, ob die 90tägige Frist für die Geltendmachung des Revisionsgrundes, welche mit dessen Entdeckung zu laufen beginne, gewahrt sei. Ob die Revisionsvoraussetzungen erfüllt sind, liess das kantonale Gericht dann jedoch mit der Begründung offen, rückblickend betrachtet gäbe es gewichtige Indizien dafür, dass die ursprüngliche Schätzung einer 50%igen Arbeitsfähigkeit des Versicherten als technischer Kaufmann zu optimistisch ausgefallen sei. Vieles spreche dafür, dass die damals angenommene Restarbeitsfähigkeit lediglich die Auswirkungen der kompletten Paraplegie, nicht aber auch die neuropsychologischen Defizite berücksichtigt habe. Es befand, dass sich bei einer ergänzenden Abklärung des Sachverhalts die zweifellose Unrichtigkeit der Verfügung vom 23. November 2000 ergeben könnte, so dass die Sache zwecks Durchführung ergänzender medizinischer und erwerblicher Abklärungen an die SUVA zurückzuweisen sei. Diese ist damit angewiesen worden, Abklärungen zu treffen und ihren früheren Entscheid bei Vorliegen der entsprechenden Voraussetzungen in Wiedererwägung zu ziehen.
3.2 Dagegen wendet sich die SUVA in ihrer Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Sie beanstandet namentlich die vorinstanzliche Ausdehnung des Verfahrens auf die Frage der Wiedererwägung bzw. der zweifellosen Unrichtigkeit der rechtskräftigen Rentenverfügung vom 23. November 2000. Die SUVA sei nie auf ein Wiedererwägungsgesuch eingetreten, weil ein solches auch gar nie gestellt worden sei. Die Wiedererwägungsvoraussetzungen habe sie nie einlässlich geprüft und auch keinen entsprechenden Entscheid getroffen. Zudem habe sie sich auch nicht in Form einer Prozesserklärung zur Frage einer allfälligen Wiedererwägung geäussert, was nach der Rechtsprechung Voraussetzung für die Ausdehnung des Verfahrens auf eine ausserhalb des Anfechtungsgegenstandes liegende Frage gewesen wäre. Das Vorgehen der Vorinstanz sei daher gesetzwidrig und wiederspreche der geltenden Rechtsprechung.
4. 4.1 Nachdem der Beschwerdegegner mit Eingabe an die SUVA vom 30. November 2004 um revisionsweise Erhöhung der mit Wirkung ab 1. März 2000 zugesprochenen Invalidenrente ab dem 1. Mai 2003 ersucht hatte, prüfte diese das Begehren unter dem Titel der Anpassung einer ursprünglich fehlerfreien Verfügung an nachträglich eingetretene erhebliche Veränderungen des massgeblichen Sachverhalts im Sinne von <ref-law> und wies dieses ab (Verfügung vom 20. Dezember 2004). In der Einsprache vom 18. Januar 2005 wurde ausdrücklich geltend gemacht, es werde nicht eine Rentenrevision gemäss <ref-law> anbegehrt, sondern eine Revision nach <ref-law>, wobei die Rente rückwirkend ab 1. Mai 2003 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 100% zuzusprechen sei. Zur Begründung wurde ausgeführt, bei der ursprünglichen Festlegung des Invaliditätsgrades seien die hirnverletzungsbedingten Einschränkungen nicht berücksichtigt worden, weil sie zum damaligen Zeitpunkt zu wenig klar zutage getreten seien. Im Einspracheentscheid vom 13. Februar 2006 prüfte die SUVA das Revisionsbegehren daher auch unter dem Aspekt der prozessualen Revision (<ref-law>), wies dieses jedoch mangels neuer Tatsachen ab. Überdies hielt sie fest, es sei weder eine wesentliche Veränderung des Gesundheitszustandes noch eine erhebliche Veränderung der erwerblichen Auswirkungen festzustellen, noch werde solches geltend gemacht bzw. begründet. Daraus ergibt sich, dass vom Versicherten kein Wiedererwägungsgesuch gestellt worden war und die Frage der Wiedererwägung im Sozialversicherungsverfahren nicht zur Diskussion stand.
4.2 Die SUVA hat in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde zutreffend darlegt, dass sie mit Verfügung vom 20. Dezember 2004 und Einspracheentscheid vom 13. Februar 2006 die ursprünglich zugesprochene Invalidenrente von 60% bestätigt, diese aber nicht in Wiedererwägung gezogen habe. Auf eine Beschwerde gegen ein Nichteintreten auf ein Wiedererwägungsgesuch oder allenfalls gegen einen das Nichteintreten bestätigenden Einspracheentscheid der Verwaltung kann das Gericht nicht eintreten. <ref-law> weist auf diese Ausnahme vom Beschwerderecht zwar nicht ausdrücklich hin. Sie ergibt sich aber aus dem Umstand, dass das Zurückkommen auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspacheentscheide beim Fehlen eigentlicher Revisionsgründe im Ermessen des Versicherungsträgers liegt (<ref-law>; <ref-ruling>). Diese Rechtslage kann nicht dadurch umgangen werden, dass die Frage der Wiedererwägung auf dem Wege der Verfahrensausdehnung im kantonalen Gerichtsverfahren aufgegriffen wird. Denn damit würde der in <ref-ruling> bestätigte Grundsatz der fakultativen, im pflichtgemässen Ermessen der Verwaltung liegenden Wiedererwägung verletzt, die ihr vom Gericht nicht aufgezwungen werden darf. Aus demselben Grund darf das Gericht die Sache auch nicht zu ergänzenden Abklärungen an die Verwaltung zurückweisen, wenn diese die ursprüngliche Invaliditätsbemessung nicht unter dem Blickwinkel der zweifellosen Unrichtigkeit geprüft hat (vgl. ZAK 1986 S. 597). Das Vorgehen der Vorinstanz, die Wiedererwägungsfrage von Amtes wegen aufzugreifen und darüber hinaus die SUVA wegen Zweifeln an der offensichtlichen Unrichtigkeit anzuweisen, ergänzende Abklärungen zu treffen und ihren früheren Entscheid bei Vorliegen der entsprechenden Voraussetzungen in Wiedererwägung zu ziehen, läuft darauf hinaus, gegen den Willen der SUVA in eine rechtskräftig zugesprochene Rente einzugreifen, was bundesrechtswidrig ist und demzufolge nicht geschützt werden kann.
5. Damit bleibt die im Einspracheentscheid mangels neuer Tatsachen abgewiesene, vom kantonalen Gericht trotz gegenüber der Zulässigkeit des am 30. November 2004 gestellten Revisionsgesuchs geäusserter Bedenken offen gelassene Frage der prozessualen Revision unbeantwortet. Wie die SUVA zu Recht ausführt, kann diesbezüglich jedoch von einer Rückweisung an die Vorinstanz zur eingehenderen Prüfung abgesehen werden. Die Revision nach <ref-law> ist gestützt auf <ref-law> nur innerhalb der in <ref-law> enthaltenen Fristen zulässig. Nach Abs. 1 dieser Bestimmung ist eine relative 90tägige Frist zu beachten, die mit der Entdeckung des Revisionsgrundes zu laufen beginnt. Zudem gilt eine absolute zehnjährige Frist, deren Lauf mit der Eröffnung des Entscheides einsetzt (HAVE 2005, S. 242, U 465/04 vom 16. Juni 2005). Der Beschwerdegegner stützt sich zur Begründung des Revisionsbegehrens auf ein Schreiben des Zentrums für Querschnittgelähmte und Hirnverletzte Z._ an den Kreisarzt der SUVA vom 14. März 2003, gemäss welchem die in der Rentenverfügung vom 23. November 2000 festgestellte Erwerbsfähigkeit wegen der Folgen der erlittenen Hirnverletzung in der Praxis nicht realisiert werden konnte. Zudem verweist er auf den Bericht des Zentrums für Querschnittgelähmte und Hirnverletzte Z._ vom 17. Juli 2003, laut welchem er aufgrund der neuropsychologischen Defizite in Kombination mit psychischen Problemen nicht mehr in der Lage sei, auf dem freien Arbeitsmarkt eine Arbeitsstelle zu finden. In der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift wird ausgeführt, ab dem Jahr 2003 sei deutlich geworden, dass die der Rentenverfügung zugrunde liegenden Annahmen zu optimistisch gewesen seien. Damit erweist sich das erst am 30. November 2004 gestellte Revisionsgesuch als verspätet. Selbst bei gegenteiliger Betrachtungsweise würde sich im Ergebnis nichts ändern. Denn die SUVA und mit summarischer Begründung auch die Vorinstanz haben zutreffend dargelegt, dass keine neuen Befunde vorliegen, die ein Rückkommen auf die rechtskräftige Verfügung vom 23. November 2000 rechtfertigen würden. Ärztliche Neubeurteilungen eines im Wesentlichen identischen Sachverhaltes stellen keinen Revisionsgrund dar (<ref-ruling> E. 1 S. 172).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 14. Dezember 2006 wird, die Wiedererwägung und den Kostenpunkt betreffend, aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 5. Dezember 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer