Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1998) ist der Sohn von A._ und von B._; er steht unter der alleinigen Sorge seiner Mutter. Mit Beschluss vom 28. Februar 2012 ordnete die Vormundschaftsbehörde Y._ gestützt auf Art. 310 Abs. 1 und 2 ZGB i.V.m. <ref-law> seine Unterbringung in der C._-Stiftung D._ an und hob die elterliche Obhut der Mutter auf (Ziff. 1). Im Weiteren wurde Rechtsanwältin Christine Frank damit beauftragt, ihn im Verfahren bezüglich Unterbringung zu vertreten (Ziff. 2). Die Vertreterin beantragte im Namen von X._ die Entlassung aus der Einrichtung. Mit Verfügung vom 30. März 2012 trat das Einzelgericht des Bezirksgerichts Winterthur auf das Gesuch nicht ein.
B. Mit Urteil vom 26. April 2012 wies das Obergericht des Kantons Zürich die von X._ gegen den erstinstanzlichen Entscheid erhobene Berufung ab.
C. X._, vertreten durch Rechtsanwältin Frank, hat gegen das ihm am 9. Mai 2012 in voller Ausfertigung zugestellte obergerichtliche Urteil am 6. Juni 2012 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des angefochtenen Urteils und der angeordneten Massnahme (Platzierung). Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Weiteren verlangt er, ihm seien für die Verfahren vor dem Einzelgericht und dem Obergericht je angemessene Parteientschädigungen auszurichten. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG) über eine Kindesschutzmassnahme. Es handelt sich damit um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in engem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 7 BGG). Die Beschwerde ist damit ohne Weiteres gegeben. Der Beschwerdeführer war im obergerichtlichen Verfahren Partei (<ref-law>). Ihm ist in den kantonalen Verfahren die Legitimation zum Gesuch um gerichtliche Beurteilung der Heimeinweisung abgesprochen worden, womit er auch über ein schützenswertes Interesse an der Behandlung der Beschwerde verfügt (<ref-law>; vgl. auch Urteil 5A_503/2010 vom 28. März 2011 E. 1). Auf die im Übrigen fristgerecht eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist einzutreten.
1.2 Die Beschwerde ist zu begründen. Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern dieser Bundesrecht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Verfassungsverletzungen werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> 1.4).
2. Strittig ist im vorliegenden Fall, ob ein Vertreter oder Beistand des nicht sechzehn Jahre alten Kindes berechtigt ist, in dessen Namen um gerichtliche Beurteilung der Anstaltseinweisung zu ersuchen.
2.1 Das Obergericht hat erwogen, nach dem klaren Wortlaut von <ref-law> könne der 13-jährige Beschwerdeführer nicht in das Verfahren betreffend gerichtliche Beurteilung der Platzierung eingreifen, und zwar selbst dann nicht, wenn er sich mit Bezug auf die Problemstellung als urteilsfähig erweise. Auch der von der Anwältin geltend gemachte Interessenkonflikt zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Mutter als alleinige Inhaberin der elterlichen Sorge habe keine Auswirkungen auf die fehlende Legitimation, weshalb den in diesem Zusammenhang vorgetragenen Beanstandungen des erstinstanzlichen Entscheides keine Bedeutung beizumessen sei. Keine Rolle spiele schliesslich, ob die Anwältin des Beschwerdeführers gemäss deren Behauptungen mit Beschluss der Vormundschaftsbehörde vom 28. Februar 2012 als Vertretungsbeiständin des Beschwerdeführers ernannt worden sei; der Umstand allein, dass eine Partei durch eine Drittperson vertreten werde, vermöge die fehlende Legitimation nicht zu begründen.
2.2 Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, die Vorinstanz habe die Frage der Rechtsfähigkeit einerseits und der Prozessfähigkeit anderseits in unzulässiger Weise vermischt. Nach <ref-law> könne ein urteilsfähiger Minderjähriger ohne Mitwirkung des gesetzlichen Vertreters Rechte ausüben, die ihm um seiner Persönlichkeit willen zustehen. Zwar sehe <ref-law> in Abweichung davon vor, dass ein nicht 16-Jähriger nicht selbst die gerichtliche Beurteilung der Platzierung verlangen könne. Das ändere aber nichts an seiner Rechtsfähigkeit. <ref-law> schliesse ein Begehren um gerichtliche Beurteilung durch den gesetzlichen Vertreter eines Minderjährigen oder durch einen vom Minderjährigen mandatierten Vertreter nicht aus. Ergebe sich wie hier ein Interessenkonflikt zwischen ihm (dem Beschwerdeführer) und seiner Mutter als gesetzlicher Vertreterin, sei gestützt auf <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> ein Vertretungsbeistand zu bestellen. Indem das Obergericht unter Hinweis auf die fehlende Legitimation nicht abgeklärt habe, ob eine Vertretungsbeistandschaft errichtet worden sei, habe es Art. 306 Abs. 2 und <ref-law> verletzt.
2.3 Wird das Kind von einer Behörde in einer Anstalt untergebracht, gelten gemäss <ref-law> die Vorschriften über die gerichtliche Beurteilung und das Verfahren bei fürsorgerischer Freiheitsentziehung gegenüber Mündigen und Entmündigten sinngemäss. Nach <ref-law> kann die betroffene oder eine ihr nahestehende Person die gerichtliche Beurteilung einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung verlangen. Demgegenüber spricht <ref-law> dem noch nicht 16 Jahre alten Kind das Recht ab, die gerichtliche Beurteilung selber zu verlangen. Aus den Materialien ergibt sich klar die Absicht des Gesetzgebers, dass einem nicht 16 Jahre alten Jugendlichen keine Berechtigung zusteht, selbst um gerichtliche Beurteilung seiner Einweisung zu ersuchen (AB NR 1978 S. 769 f. Voten der Berichterstatter Brosi und Pagani). Aus den Protokollen der Beratungen der Vorlage lässt sich auch nicht erkennen, dass ein Vertreter des nicht Sechzehnjährigen in dessen Namen handeln kann. Vielmehr bleibt nach dem Sinn dieser Voten nur den nahestehenden Personen des betroffenen Kindes das Recht vorbehalten, um gerichtliche Beurteilung der Einweisung zu ersuchen. Diese Auffassung wird denn auch in der Lehre vertreten (STEFAN MÜLLER, Die persönliche Fürsorge für unmündige Bevormundete: [Art. 405/405a ZGB], 1996, S. 316 f.; ALEXANDER IMHOF, Der formelle Rechtsschutz, insbesondere die gerichtliche Beurteilung bei der fürsorgerischen Freiheitsentziehung, Diss. Bern 1999, S. 140, PETER BREITSCHMID, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 4. Aufl. 2010, N. 10 zu <ref-law>; CYRIL HEGNAUER, Zum Begriff der nahestehenden Person im Sinn von <ref-law>, in: ZVW 39/1984. S. 26). Dabei handelt die nahestehende Person im Sinn von <ref-law> nicht als (gesetzliche) Vertreterin des unter 16-Jährigen; im Verfahren der gerichtlichen Beurteilung ist sie vielmehr eigenständige Partei (EUGEN SPIRIG, Zürcher Kommentar, 1995, N. 18 zu <ref-law>). Die Mehrheit der Autoren, die sich dieser Auffassung angeschlossen haben, äussern sich nicht zu den Gründen, warum in diesem Fall eine gesetzliche Vertretung des Betroffenen bzw. eine Vertretungsbeistandschaft im Sinn von Art. 392 Ziff. 2 und 3 ZGB ausgeschlossen ist. IMHOF (a.a.O., S. 139) geht davon aus, beim Gesuch um gerichtliche Beurteilung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung handle es sich um ein höchstpersönliches, vertretungsfeindliches Recht des oder der Betroffenen (vgl. auch MARGRITH BIGLER-EGGENBERGER, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, N. 40 zu <ref-law>). Eine andere Lehrmeinung hält (ohne Begründung) dafür, ein noch nicht sechzehnjähriges Kind könne durch den gesetzlichen Vertreter oder einen Beistand im Sinn von <ref-law> bzw. einen Vertretungsbeistand gemäss Art. 392 Ziff. 2 und 3 ZGB handeln und um gerichtliche Beurteilung der Massnahme ersuchen (PHILIPPE MEIER, Commentaire romand, Code civil I, 2010, N. 14 zu <ref-law>). Ob es sich beim Gesuch um gerichtliche Beurteilung um ein vertretungsfeindliches Recht handelt, kann hier offenbleiben: Aufgrund der durch die Materialien begründeten Auslegung von <ref-law> gelangt das Bundesgericht zur Überzeugung, nur eine nahestehende Person sei befugt, in eigenem Namen die gerichtliche Beurteilung der Einweisung eines nicht sechzehn Jahre alten Kindes durchzusetzen. Ist aber eine gesetzliche Vertretung bzw. eine Vertretungsbeistandschaft ausgeschlossen, kann dem Obergericht nicht vorgeworfen werden, es habe in Verletzung von <ref-law> i.V.m. <ref-law> von einer Abklärung eines behaupteten Interessenkonflikts abgesehen und zu Unrecht nicht abgeklärt, ob eine Vertretungsbeistandschaft errichtet worden sei. Eine Verletzung von Bundesrecht ist nicht auszumachen.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt ferner eine Verletzung von Art. 12 KRK. Nach seiner Ansicht vermag eine Anhörung durch die Vormundschaftsbehörde den Anforderungen von Art. 12 KRK nicht zu genügen, zumal ihm damit im Ergebnis eine gerichtliche Beurteilung der Heimeinweisung verwehrt wird. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang auch die EMRK als verletzt.
3.2 Gemäss Art. 12 des UNO-Übereinkommens über die Rechte der Kinder (SR 0.107; KRK) sichern die Vertragsstaaten dem Kind, das fähig ist, sich eine eigene Meinung zu bilden, das Recht zu, diese Meinung in allen das Kind berührenden Angelegenheiten bzw. Gerichts- oder Verwaltungsverfahren unmittelbar oder durch einen Vertreter oder eine geeignete Stelle frei zu äussern und angehört zu werden. Art. 12 KRK ist unmittelbar anwendbar (<ref-ruling> E. 3a S. 91). Die Anhörung ist ein Persönlichkeitsrecht des Kindes; sie muss nicht notwendigerweise in jedem Fall mündlich erfolgen, sondern es kann genügen, wenn der Standpunkt des Kindes sonst wie in tauglicher Weise, zum Beispiel durch eine Eingabe seines Vertreters, Eingang in das Verfahren gefunden hat (<ref-ruling> E. 3c S. 368; vgl. auch: 5A_467/2011 vom 3. August 2011 E. 6.2 und 5A_402/2011 vom 5. Dezember 2011 E. 5.1). Nach den Feststellungen des Obergerichts ist der Beschwerdeführer durch die Vormundschaftsbehörde angehört worden. Eine gerichtliche Beurteilung der Heimeinweisung ist bisher noch von keiner nahestehenden Person verlangt worden, sodass sich insoweit die Frage der Anhörung des Beschwerdeführers nicht gestellt hat. Eine Verletzung von Art. 12 KRK ist nicht ersichtlich.
3.3 Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung der EMRK beanstandet, erörtert er nicht den Anforderungen an die Begründung von Verfassungsrügen entsprechend (E. 1.2), inwiefern die EMRK nicht beachtet worden sein soll; insbesondere fehlen jeglicher Hinweis auf eine konkrete Norm dieses Staatsvertrags und klare Ausführungen zur Frage, inwiefern die angerufene Norm durch die letzte kantonale Instanz verletzt worden sein soll. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Den Umständen des konkreten Falles entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Die Frage der Entschädigung stellt sich nicht.
5. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Er scheint bedürftig zu sein. Zudem hat sich sein Standpunkt nicht als von vornherein aussichtslos erwiesen. Dem Gesuch ist daher zu entsprechen; dem Beschwerdeführer ist ein amtlicher Beistand zu bestellen, der für seine Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwältin Christine Frank, als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Rechtsanwältin Christine Frank wird für ihre Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Vormundschaftsbehörde Y._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden