Sachverhalt:
A.
A._ (geb. XX.XX.1953) und B._ (geb. XX.XX.1954) heirateten 1983 und wurden 1984 Eltern einer Tochter. Am 22. September 2004 machte A._ mittels Beilage einer Vereinbarung der Parteien über den Scheidungspunkt bei strittigen Nebenfolgen das Scheidungsverfahren am Bezirksgericht Uster anhängig. Das Bezirksgericht schied die Ehe mit Urteil vom 13. Februar 2007 und regelte die Nebenfolgen.
Während das bezirksgerichtliche Urteil insbesondere im Scheidungspunkt am 7. November 2007 rechtskräftig wurde, blieben die güterrechtliche Auseinandersetzung und die Unterhaltsbeiträge umstritten. Nachdem beide Parteien Berufung erhoben hatten, wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 20. Juni 2008 das Verfahren an das Bezirksgericht zurück.
Das Bezirksgericht entschied mit Urteil vom 22. Juni 2012 erneut über die noch offenen Nebenfolgen. Dagegen erhoben wiederum beide Parteien mit Eingaben vom 28. August 2012 Berufung. Soweit nachfolgend von Interesse entschied das Obergericht mit Urteil vom 22. November 2013, A._ habe B._ zur Abgeltung ihrer güterrechtlichen Ansprüche Fr. 73'147.-- zu bezahlen. Er wurde zudem verpflichtet, ihr monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 3'000.-- ab 7. November 2007 bis 28. Februar 2009, von Fr. 4'700.-- ab 1. März 2009 bis 31. Dezember 2012 und von Fr. 4'660.-- ab 1. Januar 2013 bis zu seinem ordentlichen Rentenalter zu bezahlen.
B.
Am 7. Januar 2014 hat A._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung und Abänderung des obergerichtlichen Urteils insofern, als er zu verpflichten sei, B._ (Beschwerdegegnerin) zur Abgeltung ihrer güterrechtlichen Ansprüche Fr. 29'683.50 und als monatlichen Unterhaltsbeitrag ab 7. November 2007 bis zu seinem ordentlichen Rentenalter Fr. 3'000.-- zu bezahlen. Die erst- und zweitinstanzlichen Kosten seien neu zu verlegen. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung.
Das Obergericht hat auf Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin hat sich dem Gesuch mit Eingabe vom 22. Januar 2014 teilweise widersetzt. Zugleich ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Mit separater Eingabe vom gleichen Tag hat sie die Ausstellung einer Teilrechtskraftbescheinigung hinsichtlich des obergerichtlichen Urteils beantragt. Mit Präsidialverfügung vom 24. Januar 2014 ist der Beschwerde mit Ausnahme der ab 1. Januar 2014 geschuldeten Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung zuerkannt und das Gesuch um Ausstellung einer Teilrechtskraftbescheinigung abgewiesen worden.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75, Art. 76, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Auf einzelne Eintretensfragen ist im Sachzusammenhang einzugehen.
2.
In güterrechtlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht habe im Zusammenhang mit dem Erwerb der ehelichen Eigentumswohnung den Investitionsanteil seines Eigenguts um Fr. 41'200.-- zu tief bestimmt und zu Unrecht angenommen, dieser Betrag stamme aus Errungenschaftsmitteln. In der Folge habe das Obergericht die Ersatzforderung seiner Errungenschaft und seinen Vorschlag falsch berechnet.
2.1. Vor Obergericht war unbestritten, dass von den für den Wohnungskauf im Jahre 1998 aufgewendeten Eigenmitteln des Beschwerdeführers (Fr. 135'000.--) ein Anteil von Fr. 70'000.-- aus seinem Eigengut stammte (Erbvorbezug). Sodann hat das Obergericht als nachgewiesen erachtet, dass der Beschwerdeführer bei der Heirat über ein Vermögen von Fr. 53'000.-- verfügte. Allerdings habe er nicht nachweisen können, wie sich dieses Vermögen damals zusammensetzte, insbesondere dass es sich - wie von ihm behauptet - ausschliesslich um Bankguthaben und Wertschriften gehandelt habe. Aus der Steuererklärung 1998 ergebe sich, dass der Beschwerdeführer Ende 1997 über ein Wertschriften- und Guthabenvermögen von Fr. 65'318.-- verfügt habe und dieses per Ende 1998 auf Fr. 23'044.-- abgenommen habe. Das Wertschriften- und Guthabenvermögen habe sich somit im Jahr des Liegenschaftskaufs um rund Fr. 41'200.-- vermindert. Die Vermutung liege zwar nahe, dass die entsprechenden Gelder für den Kauf der Wohnung verwendet worden seien. Damit sei aber noch nichts darüber ausgesagt, ob diese Reduktion dem Eigengut oder der Errungenschaft zuzuordnen sei, zumal nicht feststehe, wie sich sein Vermögen bei der Heirat zusammengesetzt habe. Insbesondere seien keine Konti oder Wertschriftenbestände dargetan worden, die bereits bei der Heirat und bis ins Jahr 1998 bestanden haben. Der Umstand, dass das Vermögen seit der Heirat eine gewisse Höhe nie unterschritten habe, sage nichts darüber aus, ob nicht zwischenzeitlich Eigengut verbraucht und stattdessen neue Errungenschaft gebildet worden sei. Es sei daher nicht bewiesen, dass die fragliche Summe aus dem in die Ehe eingebrachten Vermögen stamme. Es müsse somit davon ausgegangen werden, dass der Restbetrag von Fr. 65'000.-- (Fr. 135'000.-- abzüglich Erbvorbezug von Fr. 70'000.--) aus der Errungenschaft des Beschwerdeführers stamme.
2.2. Der Beschwerdeführer hält es für unzumutbar, strikt zu beweisen, dass der investierte Betrag von Fr. 41'200.-- aus seinem Eigengut stammte. Die Vorinstanz habe ein zu hohes Beweismass angesetzt und damit <ref-law> verletzt.
Diese Rüge ist unbegründet. Es trifft zwar zu, dass der volle Beweis für die Zusammensetzung der Gütermassen bzw. die Herkunft investierter Gelder und damit für den Bestand von Ersatzforderungen gerade bei langjähriger Ehe im Einzelfall schwierig sein kann. Dies stellt jedoch keinen Grund dar, um vom Regelbeweismass abzurücken.
2.3. Der Beschwerdeführer hält daran fest, dass er mindestens Fr. 41'200.-- - also den später in die Wohnung investierten Betrag - in der Form von Wertschriften und Bankguthaben in die Ehe eingebracht habe. Es gebe keinen Hinweis, dass er damals mehr als Fr. 11'800.-- (Differenz zwischen dem in die Ehe eingebrachten Vermögen von Fr. 53'000.-- und dem strittigen Betrag von Fr. 41'200.--) für andere Vermögenswerte als Wertschriften oder Bankguthaben versteuert hätte. Sodann erscheine es sehr wahrscheinlich, dass der Betrag von Fr. 41'200.-- aus seinem Eigengut später in den Kauf der Eigentumswohnung geflossen sei. So habe das Obergericht bereits in seinem Rückweisungsbeschluss vom 20. Juni 2008 ausgeführt, die eingereichten Steuerunterlagen würden gegen die Annahme sprechen, er habe das eingebrachte Eigengut für eigene Bedürfnisse verbraucht. Angesichts dessen, dass sein Vermögen nie unter den Stand seines in die Ehe eingebrachten Vermögens gesunken sei, erscheine die Erwägung des Obergerichts als völlig lebensfremd, er könne Eigengut verbraucht und stattdessen Errungenschaft gebildet haben.
Abgesehen von ihrem Zusammenhang mit dem bereits behandelten Beweismass können diese Ausführungen als Kritik an der obergerichtlichen Beweiswürdigung verstanden werden. Der vom Obergericht festgestellte Sachverhalt bzw. die Ergebnisse seiner Beweiswürdigung sind jedoch für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei willkürlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560).
Soweit der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit seiner Rüge des zu strengen Beweismasses zugibt, dass ihm in diesen Fragen ein voller Beweis nicht geglückt sei, fehlt es an einer genügenden Willkürrüge. Er kann auch nichts daraus ableiten, dass im Rückweisungsbeschluss des Obergerichts noch ausgeführt wurde, die Steuerrechnungen sprächen dagegen, dass der Beschwerdeführer sein Eigengut für eigene Bedürfnisse verwendet habe. Die Klärung dieser Frage war unter anderem gerade Gegenstand des nach der Rückweisung durchzuführenden Beweisverfahrens. Schliesslich ist auch nicht unhaltbar, wenn das Obergericht aus der Tatsache, dass sein Vermögen nie unter den Stand der eingebrachten Fr. 53'000.-- gesunken ist, nicht darauf schliessen wollte, es müsse sich bei den 1998 für den Hauskauf verwendeten Mitteln von Fr. 41'200.-- um Eigengut gehandelt haben. Die Sachverhaltsrügen sind demnach unbegründet, soweit auf sie eingetreten werden kann.
3.
Der Beschwerdeführer wendet sich sodann gegen die Erhöhung der ihm auferlegten Unterhaltszahlungen ab 1. März 2009 über den von ihm zugestandenen Betrag von Fr. 3'000.-- hinaus.
3.1. Die Beschwerdegegnerin wurde am 1. März 2009 in einer Altersklinik platziert und lebt seit dem 22. Juni 2009 in der psychiatrischen Altersklinik D._ in E._. Nach der obergerichtlichen Berechnung betrug ihr Bedarf vor Eintritt in das erste Heim Fr. 4'357.-- und schwankte ab dann zwischen 5'776.-- und Fr. 7'157.-- (zuletzt, d.h. ab 1. Januar 2013, Fr. 6'719.--). Das Obergericht hat die Unterhaltsbeiträge für die Zeit vor und nach Eintritt ins Pflegeheim abgestuft, nämlich auf Fr. 3'000.-- vor dem Eintritt in das erste Heim und auf Fr. 4'700.-- bzw. Fr. 4'660.-- danach.
3.2. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass er für die Erhöhung der Lebenshaltungskosten der Beschwerdeführerin ab 1. März 2009 einzustehen habe. Die Scheidung sei bereits 2007 ausgesprochen worden. <ref-law> biete keinen Raum, ihn für den im Scheidungszeitpunkt nicht voraussehbaren Heimeintritt zu belangen. Auch bei einer lebensprägenden Ehe müsse sich der Unterhaltspflichtige eine gesundheitliche Beeinträchtigung des Unterhaltsgläubigers nur dann entgegenhalten lassen, wenn diese vor dem Scheidungsurteil eingetreten sei. Im Scheidungszeitpunkt sei die Gesundheit der Beschwerdegegnerin zwar beeinträchtigt gewesen, aber nicht in dem Masse, dass sie in ein Pflegeheim hätte eingewiesen werden müssen. Das Urteil widerspreche auch dem Grundsatz, dass bei einer Verschlechterung der wirtschaftlichen Verhältnisse des unterhaltsberechtigten Ehegatten nach der Scheidung eine Erhöhung der Unterhaltsbeiträge ausgeschlossen sei. In diesem Zusammenhang kritisiert der Beschwerdeführer zudem die Verfahrensdauer vor den Vorinstanzen. Nach seiner Ansicht wäre er nicht zu höheren Unterhaltszahlungen verpflichtet worden, wenn das Bezirks- und Obergericht das Verfahren betreffend Scheidungsnebenfolgen nicht während Jahren verschleppt hätten.
3.3. Das Obergericht hat seinen Unterhaltsentscheid darauf abgestützt, dass die Ehe lebensprägend gewesen sei und deshalb die nacheheliche Solidaritätspflicht auslöse. Keine Rolle spiele, in welchem Zeitpunkt während einer lebensprägenden Ehe die Gesundheitsbeeinträchtigung eintrete, solange dies vor dem Scheidungsurteil geschehe. Die Beeinträchtigung der Gesundheit der Beschwerdegegnerin ist nach der Beurteilung des Obergerichts vor Erlass des Scheidungsurteils und der Rechtskraft des Scheidungspunktes eingetreten. Bereits 1990 und 1993 sei sie in eine Klinik eingewiesen worden. Ab 1997 sei sie einer Erwerbstätigkeit nachgegangen. Im September 2001 sei sie fristlos entlassen worden. Seither habe sie aufgrund einer psychischen Erkrankung mit zum Teil schweren depressiven und manischen Phasen nicht mehr gearbeitet. Diese Umstände werden vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht bestritten. Er macht aber geltend, die dem Heimeintritt zugrunde liegende Verschlechterung ihres Gesundheitszustands sei nicht voraussehbar gewesen. Ihr Heimeintritt und der daraus erwachsene erhöhte Bedarf seien deshalb nicht von der nachehelichen Solidarität umfasst. Er behauptet allerdings nicht, dass dem Heimeintritt eine komplett neue Erkrankung zugrunde gelegen habe. Dem angefochtenen Urteil lassen sich zwar keine genaueren Angaben über die Erkrankung der Beschwerdeführerin, die zum Heimeintritt geführt hat, und über ihren Verlauf entnehmen. Allerdings äussert sich auch der Beschwerdeführer dazu nicht, so dass er seine Behauptung der mangelnden Voraussehbarkeit auf keine belegten Tatsachen stützen kann. Mangels genügender Rüge bleibt somit der Schluss des Obergerichts für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>), wonach die Gesundheitsbeeinträchtigung der Beschwerdegegnerin vor der Scheidung begonnen habe. Die Schlussfolgerung des Obergerichts, dass damit der erst nach der Scheidung (aber vor Regelung der Scheidungsnebenfolgen) erfolgte Heimeintritt ebenfalls von der nachehelichen Solidarität umfasst sei, ist in der Folge nicht zu beanstanden. Das Obergericht hat diesbezüglich seinen weiten Ermessensspielraum bei der Festsetzung des nachehelichen Unterhalts nicht überschritten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 580; <ref-ruling> E. 11.1.1 S. 292). Soweit der Beschwerdeführer die lange Verfahrensdauer - insbesondere vor Bezirksgericht - kritisiert, erscheint es als fraglich, ob die neuen Entwicklungen nicht auch bei einem schnelleren Verfahren hätten berücksichtigt werden können: Die Rückweisung des Verfahrens an das Bezirksgericht erfolgte Ende Juni 2008 und die Beschwerdegegnerin trat bereits am 1. März 2009 in die erste Altersklinik ein. Soweit sich der Beschwerdeführer sinngemäss auf die Regeln über die Anpassung einer Unterhaltsrente (<ref-law>) beruft, so sind diese nicht anwendbar, und dies auch nicht im Sinne einer Vorwirkung auf die erstmalige Festlegung des Unterhaltsbeitrags.
4.
Die Beschwerde ist folglich abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer verlangt die Änderung der Verteilung der erst- und zweitinstanzlichen Kosten nur entsprechend dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens in der Hauptsache. Darauf braucht deshalb nicht eingegangen zu werden.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat mit ihrer Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung teilweise obsiegt und sie hat zugleich ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung eingereicht. Eine Aufteilung der geringfügigen Parteikosten zwischen den Parteien drängt sich nicht auf. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist demgemäss gutzuheissen (<ref-law>) und die der Beschwerdegegnerin beizuordnende Rechtsanwältin ist angemessen aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat der Gerichtskasse hiefür Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage sein sollte (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht als gegenstandslos abzuschreiben ist. Ihr wird Rechtsanwältin Ursula Graf als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Rechtsanwältin Graf wird aus der Gerichtskasse mit Fr. 300.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg