Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ haben das Amt für Mittelschulen des Kantons St. Gallen am 16. Januar 2013 darum ersucht, ihren Sohn C.A._ der Kantonsschule Ausserschwyz in Pfäffikon (Kanton Schwyz) zuzuweisen, statt derjenigen in Wattwil (Kanton St. Gallen), sofern er die Aufnahmeprüfung bestehe. Sie begründeten das Gesuch damit, dank der Nähe ihres Wohnorts zu Pfäffikon könne C.A._ täglich 80 Minuten Zeit sparen. Zudem sei er ein ambitionierter Tennisspieler und die Infrastruktur für das Training befinde sich im Raum Zürichsee.
B.
Mit Entscheid vom 17. April 2013 lehnte das Bildungsdepartement des Kantons St. Gallen das Gesuch der Eltern ab und wies C.A._, der die Aufnahmeprüfung inzwischen bestanden hatte, der Kantonsschule Wattwil zu. Es befand, die gesetzlichen Voraussetzungen für eine Zuweisung an die Kantonsschule Pfäffikon seien nicht erfüllt. Offenbar lagen insgesamt acht Gesuche um Zuweisung an die Kantonsschule Pfäffikon vor; das Departement befand, es wäre nicht mehr möglich, an der Kantonsschule Wattwil die Klassen mit Schwerpunktfach "Wirtschaft und Recht" zweckmässig zu führen, wenn diesen allen entsprochen würde.
Gegen diesen Entscheid erhoben A.A._ und B.A._ am 3. Mai 2013 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Dieses wies ihre Beschwerde am 2. Juli 2013 ab.
C.
A.A._ und B.A._ führen mit Eingabe vom 5. September 2013 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 2. Juli 2013 sei aufzuheben und das Gesuch um Zuweisung ihres Sohnes an die Kantonsschule Ausserschwyz in Pfäffikon sei gutzuheissen.
Das Verwaltungsgericht und das Bildungsdepartement des Kantons St. Gallen beantragen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen letztinstanzlichen Endentscheid einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law> in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, der grundsätzlich mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden kann (Art. 82 lit. a und Art. 90 BGG). Eine Ausnahme nach <ref-law> liegt nicht vor; namentlich handelt es sich beim angefochtenen Urteil nicht um einen Entscheid über das Ergebnis von Prüfungen gemäss Art. 83 lit. t BGG. Die Bezeichnung des Rechtsmittels als blosse "Beschwerde" schadet dabei nicht (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 499; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382; Urteil 2C_528/2012 vom 2. November 2012 E. 1.1).
1.2. A.A._ und B.A._ erheben in eigenem Namen Beschwerde in einer Angelegenheit ihres (zumindest im damaligen Zeitpunkt offenbar noch minderjährigen) Sohnes C.A._. Dies ist zulässig, denn gemäss <ref-law> obliegt ihnen die elterliche Sorge. Sie leiten im Blick auf das Wohl des Kindes namentlich seine Pflege und Erziehung und haben in diesem Umfang von Gesetzes wegen die Vertretung des Kindes inne (Art. 301 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Insofern sind die Beschwerdeführenden durch den vorinstanzlichen Entscheid besonders berührt. Sie verfügen auch über ein aktuelles Interesse, da C.A._ die Mittelschule voraussichtlich bis auf Weiteres besuchen wird. Die Beschwerdeführenden sind damit zur Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids beim Bundesgericht legitimiert (<ref-law>).
1.3. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Die Verletzung von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Es prüft die Auslegung und Anwendung von kantonalen Gesetzesbestimmungen, unter Vorbehalt von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen (siehe <ref-law>), nicht frei, sondern nur mit einer auf Willkür beschränkten Kognition. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels ausserdem für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann. Der Betroffene hat darzulegen, dass und inwiefern dies klar und eindeutig der Fall ist (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 187 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht behandelt eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; Urteil 2C_594/2012 vom 22. November 2012 E. 1.5).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat für die Beurteilung des Gesuchs der Beschwerdeführenden um Zuteilung ihres Sohnes an die Kantonsschule Pfäffikon folgende gesetzliche Grundlagen als massgeblich erachtet: Zum einen hat sie sich auf das st. gallische Mittelschulgesetz vom 12. Juni 1980 (MSG/SG; gSG 215.01) abgestützt, zum andern auf die Interkantonale Vereinbarung der Kantone St. Gallen und Schwyz vom 2. Mai 1989 über den Besuch der Kantonsschule Pfäffikon durch Schüler aus dem Kanton St. Gallen (sGS 215.352; nachfolgend Vereinbarung). Die Vereinbarung regelt Beitragsberechtigung, Schulgeld und Elternbeitrag sowie Aufnahme von Schülern namentlich aus den St. Gallischen Gemeinden Rapperswil und Jona in die Kantonsschule Pfäffikon (Art. 1). In Art. 2 der Vereinbarung wird festgelegt, wann der Kanton St. Gallen dem Kanton Schwyz ein Schulgeld je übernommenen Schüler zu leisten hat. Gemäss Art. 2 Abs. 1 lit. a der Vereinbarung sind Schüler aus dem Kanton St. Gallen beitragsberechtigt, wenn (unter anderem) die Voraussetzungen nach Art. 84 bis lit. e MSG erfüllt sind.
2.2. Art. 84bis MSG/SG lautet auszugsweise wie folgt:
"Der Staat kann das Schulgeld für den Besuch ausserkantonaler staatlicher Mittelschulen im Grenzgebiet ganz oder teilweise übernehmen, wenn
e) der Schülerbestand die zweckmässige Weiterführung bestehender Abteilungen der staatlichen Mittelschule gewährleistet."
Die in Art. 84bis lit. e MSG/SG genannte Voraussetzung, so die Vorinstanz, wäre bei Gutheissung des Gesuchs der Beschwerdeführenden für die Kantonsschule Wattwil nicht mehr erfüllt. An der Kantonsschule Wattwil hätten nämlich 43 Schülerinnen und Schüler die Prüfung bestanden und möchten das Fach "Wirtschaft und Recht" belegen. Damit könnten zwei Klassen à je 21 bzw. 22 Schülerinnen und Schüler gebildet werden. Nicht nur für den Sohn der Beschwerdeführenden, sondern auch für sieben weitere Schülerinnen und Schüler sei ein Umteilungsgesuch gestellt worden. Wenn diesen allen entsprochen würde, sänke der Klassenbestand auf 17 bis 18. Da erfahrungsgemäss rund 10 % der Kinder die Schule nach der Probezeit verlassen müssten, würde der Bestand auf 15 bis 16 pro Klasse sinken, womit die kritische Klassengrösse unterschritten wäre. Deshalb habe das Bildungsdepartement die Gesuche jener Schülerinnen und Schüler, die aus persönlichen Gründen eine andere Mittelschule bevorzugen würden, ohne individuelle Prüfung abweisen dürfen.
3.
Die Beschwerdeführenden werfen der Vorinstanz vorweg eine falsche Sachverhaltsermittlung vor. Sie weisen darauf hin, dass zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids nicht mehr acht Umteilungsgesuche hängig gewesen seien, sondern nur noch ein einziges, nämlich dasjenige ihres Sohnes. Würde diesem entsprochen, könne aus den verbleibenden 42 Schülerinnen und Schülern zwei Klassen mit je 21 Kindern gebildet werden. Dies stelle eine sinnvolle Klassengrösse dar; das Verwaltungsgericht sei zu Unrecht von einer drohenden Klassengrösse von bloss noch 15 oder 16 Kindern ausgegangen.
Gemäss <ref-law> gewährleisten die Kantone, dass das als letzte kantonale Instanz eingesetzte Gericht oder eine vorgängig zuständige andere richterliche Behörde den Sachverhalt frei prüft. Dabei sind - anders als im bundesgerichtlichen Verfahren - Veränderungen sachverhaltlicher Natur im Urteil zu berücksichtigen, die sich während des Verfahrens ergeben haben (Urteil 1C_88/2011 vom 15. Juni 2011 E. 3.5 und E. 4.3.3). Dies ist im Kanton St. Gallen grundsätzlich gewährleistet (vgl. Art. 19 und Art. 61 Art. 2 des St. Galler Gesetzes vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege; sGS 951.1). Angesichts dessen bringen die Beschwerdeführenden an sich zu Recht vor, es habe vor der Vorinstanz bloss noch das Umteilungsgesuch für ihren Sohn vorgelegen, weshalb die Gefahr zu kleiner Klassen nicht mehr bestanden habe. Allerdings führt diese Betrachtungsweise dazu, jene Gesuchsteller zu benachteiligen, die einen für sie ungünstigen Entscheid der ersten Instanz akzeptieren und auf dessen Anfechtung verzichten; bevorzugt würden dagegen Eltern, die alle verfügbaren Rechtsmittel ausschöpften. Dies wäre nicht nur unter dem Gesichtspunkt der Gleichbehandlung problematisch, sondern könnte zur Folge haben, dass alle oder doch eine Vielzahl von Eltern den Entscheid der Schulbehörde anfechten würden, womit keiner Seite gedient wäre. Vor diesem Hintergrund kann es jedenfalls nicht als willkürlich bezeichnet werden, wenn das Verwaltungsgericht bei der Prüfung des Gesuchs der Beschwerdeführenden mitberücksichtigt hat, dass daneben mehrere weitere Umteilungswünsche vorgelegen hatten. Die Beschwerdeführenden erheben in diesem Zusammenhang auch nicht den Vorwurf der offensichtlichen Unrichtigkeit.
4.
4.1. Die Vorinstanz hat in ihrem Entscheid die Meinung vertreten, aus persönlichen Gründen gestellte Umteilungsgesuche dürften wegen der drohenden Gefahr von zu kleinen Klassengrössen ohne individuelle Prüfung abgewiesen werden. Sie hat allerdings befunden, einem Gesuch könnte dennoch entsprochen werden, wenn "zwingende" Gründe, etwa gesundheitlicher Natur, die Zuweisung einer Schülerin oder eines Schülers an eine andere Mittelschule erforderlich machen würde. Dass sich die Trainings- und Sportinfrastruktur des Sohnes der Beschwerdeführenden im Grossraum Zürich befinde, reiche dazu nicht, zumal C.A._ nicht zu den Hochbegabten im Sinne der Interkantonalen Vereinbarung vom 20. Februar 2003 für Schulen mit spezifisch strukturierten Angeboten für Hochbegabte (sGS 211.83) gehöre; er besitze bloss, wie 400 andere Tennistalente auch, eine "Swiss Olympic Talents Card Lokal" und nicht "International" oder "National".
4.2. Die Beschwerdeführenden beanstanden die Interpretation von Art. 84bis MSG/SG durch die kantonalen Behörden und vertreten die Auffassung, diese führe zu Willkür. Es seien vier Umteilungsgesuche (offenbar betreffend Kinder mit anderen Schwerpunktfächern) gutgeheissen worden, womit "erwiesenermassen eine rechtsungleiche Behandlung" vorliege bzw. "viel Willkür im Spiel zu sein scheine".
4.3. Soweit die Vorinstanz eine pauschale, negative Beurteilung von Umteilungsgesuchen als rechtens erachtet, erscheint diese Auffassung unter dem Blickwinkel der Begründungspflicht und des Rechtsverweigerungsverbots zwar als problematisch (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 276; Moor/Poltier, droit administratif, vol. II, 3. Aufl. 2011, S. 350; Rhinow/Koller/Kiss/Thurnherr/Brühl-Moser, Öffentliches Prozessrecht, 2. Aufl. 2010, Rz. 328). Wie sich aus den vorstehenden Ausführungen ergibt, hat die Vorinstanz aber jedenfalls das Gesuch der Beschwerdeführenden individuell geprüft und die von diesen vorgetragenen Gründe als unzureichend erachtet.
4.4. Die von den Beschwerdeführenden angerufenen Ansprüche auf rechtsgleiche (<ref-law>) sowie auf willkürfreie Behandlung (<ref-law>) weisen einen engen Bezug zueinander auf und es kommt ihnen im vorliegenden Zusammenhang dieselbe Tragweite zu. Ein Entscheid ist willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn er sich nicht auf ernsthafte sachliche Gründe stützen lässt oder sinn- und zwecklos ist; er verletzt das Rechtsgleichheitsgebot gemäss <ref-law>, wenn er rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen, wenn also Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich und Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird (<ref-ruling> E. 4.2 S. 399). Keine weitergehende Bedeutung kommt der Rüge der Verletzung von Art. 84bis MSG/SG zu. Es handelt sich dabei um eine Norm des kantonalen Rechts, deren Handhabung das Bundesgericht bloss unter dem Blickwinkel der Willkür prüft (vgl. oben E. 1.3).
4.5. Es erscheint sehr zweifelhaft, ob die Beschwerdeführenden ihrer gesteigerten Begründungspflicht hinsichtlich dieser Verfassungsrügen (vgl. <ref-law>; oben E. 1.3) zu genügen vermögen. Selbst wenn man dies bejahen wollte, vermöchten sie mit ihren Einwänden nicht durchzudringen: Zum einen haben jene Kinder, deren Umteilungsgesuchen entsprochen wurde, offenbar andere Schwerpunktfächer gewählt, zum andern zeigen die Beschwerdeführenden nicht auf, dass die gesamten Umstände bei diesen Gesuchen überwiegende Gemeinsamkeiten mit dem eigenen Umteilungsgesuch bzw. keine rechtserheblichen Unterschiede zu diesem aufweisen, und eine gleiche Beurteilung somit erforderlich gewesen wäre. Bei der Regelung von Schulfragen steht den kantonalen Behörden ein erheblicher Spielraum zu (<ref-ruling> E. 3.2 S. 354; EHRENZELLER/SCHOTT, Die Schweizerische Bundesverfassung, 2008, Rz. 9 zu Art. 62). Die Bedeutung, die sie einer bestimmten Klassengrösse beimessen sowie die Gewichtung der verschiedenen Aspekte, die für oder gegen eine Umteilung sprechen können, liegen weitgehend in ihrem Ermessen. Im hier zu beurteilenden Fall haben die kantonalen Behörden an die Gutheissung von Umteilungsgesuchen offensichtlich hohe Anforderungen gestellt, dies sowohl hinsichtlich des eigentlichen Motivs für den Umteilungswunsch als auch hinsichtlich der - insbesondere zeitlichen - Erschwernisse, welche die Schülerinnen und Schüler beim Besuch einer kantonsinternen Schule auf sich nehmen müssen. Weniger strenge Bedingungen wären zweifelsohne denkbar gewesen, doch genügt es für die Annahme von Willkür noch nicht, dass andere Lösungen ebenfalls möglich oder gar vorzuziehen wären (<ref-ruling> E. 6.1 S. 379 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5). Sodann vermögen die Beschwerdeführenden auch nicht aufzuzeigen, dass die St. Galler Praxis bei ihrem Sohn zu stossenden Ergebnissen führen würde.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde unbegründet und somit abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten den Beschwerdeführenden aufzuerlegen (<ref-law>). Sie haften dafür solidarisch (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zu sprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführenden unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler