Faits :
A.
A.a. Le 19 mai 2011, A._ a été retrouvée étranglée à son domicile de B._. La nuit même, X._, affecté d'un sérieux handicap mental, a été interpellé par la police, puis placé en détention provisoire. Au vu des éléments techniques recueillis (absence sur les lieux du crime de traces ADN, d'empreintes digitales et de traces de pas probantes de X._), le Procureur du Parquet régional de B._ l'a libéré le 24 novembre 2011. Par ordonnance du 10 juillet 2012, le Procureur a classé la procédure ouverte contre X._. Dans le cadre de cette affaire, X._ a été successivement défendu par Me Y._ et Me Z._.
A.b. A la suite de la demande d'indemnisation déposée par X._, le Procureur lui a alloué, par décision du 14 mai 2013, un montant total de 19'599 fr. 30 avec intérêts à 5% l'an dès le 21 août 2011 à titre d'indemnité pour le dommage économique subi au titre de sa participation obligatoire à la procédure pénale et pour le tort moral. Il a fixé à 2246 fr. 40 l'indemnité pour le défenseur d'office s'agissant de l'activité déployée postérieurement à la demande d'indemnisation, exemptant X._ de son remboursement et laissé les frais à la charge de l'Etat.
B.
Par arrêt du 19 décembre 2013, l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal neuchâtelois a partiellement admis le recours de X._. Elle lui a alloué un montant total de 41'680 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 21 août 2011 à titre d'indemnité au sens de l'<ref-law> (ch. 3 du dispositif), mis à sa charge une part des frais judiciaires, arrêtée à 600 fr., sous réserve des règles de l'assistance judiciaire (ch. 4 du dispositif), et fixé l'indemnité due à son défenseur d'office, Me Z_, à 2352 fr. 25 (ch. 5 du dispositif), exemptant X._ de son remboursement (ch. 6 du dispositif).
C.
X._, Y._ et Z._ forment un recours en matière pénale au Tribunal fédéral. Le recours tend, avec suite de frais et dépens, à l'annulation des points 3 et 5 de l'arrêt entrepris et à leur réforme en ce sens qu'une indemnité pour tort moral de 74'060 fr. 05 avec intérêts à 5% l'an dès le 21 août 2011 est allouée en application de l'<ref-law> et à ce que la part de 600 fr. de frais n'est pas mise à la charge de X._. Subsidiairement, il tend à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement. X._ requiert par ailleurs l'assistance judiciaire.
Invités à déposer des observations sur le recours, la cour cantonale y a renoncé et le Ministère public a conclu à son rejet. X._, Y._ et Z._ ont renoncé à se déterminer sur cette écriture.

Considérant en droit :
1.
1.1. Les prétentions en indemnisation fondées sur l'<ref-law> peuvent faire l'objet d'un recours en matière pénale (<ref-ruling> consid. 1 p. 208). Les autres conditions de recevabilité étant réunies, il y a lieu d'entrer en matière sur le fond du recours s'agissant du recourant X._.
1.2. Le recours devant le Tribunal fédéral est également déposé aux noms de Mes Y._ et Z._, avocats successifs du recourant. Toutefois, le recours déposé devant l'instance cantonale, par un troisième mandataire professionnel, n'a été formé qu'au nom du recourant X._. Ses conclusions étaient en outre formulées de la manière suivante : « Plaise à l'Autorité de recours en matière pénale : 1. Annuler la décision du Ministère public du 14 mai 2013 concernant X._. 2. Allouer à X._ une indemnité pour détention injustifiée de CHF 74'060.05, avec intérêts moratoires à 5% à compter du 21 août 2012[recte 2011]. 3. Avec suite de frais et dépens. » (pièce 1 dossier cantonal). Dans la mesure où l'on devrait comprendre les conclusions formulées devant le Tribunal fédéral comme concernant également les deux avocats précités - ce qui apparaît douteux au vu de leur formulation (cf. supra let. C) - il s'agirait quoi qu'il en soit de conclusions nouvelles qui sont irrecevables (<ref-law>). Contrairement à ce qu'affirme Mes Y._ et Z._, il ne peut pas être fait grief à la cour cantonale d'avoir considéré que le recours déposé devant elle, rédigé par un avocat, était formé au seul nom du recourant X._. En effet, la seule indication, au détour d'un paragraphe du mémoire cantonal (qui en compte 65), que le troisième avocat est également mandaté pour réclamer le montant prétendument dû à Mes Y._ et Z._, est insuffisante en l'absence de conclusions formelles à cet égard.
S'agissant du grief portant sur la fixation du montant de l'indemnité d'office allouée à Me Z._ pour la procédure de recours cantonale, il ne fait l'objet d'aucune conclusion formelle devant le Tribunal fédéral. En effet, la conclusion tendant à l'allocation d'un montant de 74'060 fr. 05 à titre d'indemnité pour tort moral en application de l'<ref-law> ne peut être comprise comme concernant Me Z._. Quant à la conclusion en annulation de l'arrêt attaqué, elle est insuffisante. Le fait que le Tribunal fédéral renvoie en principe la cause à l'autorité cantonale en cas d'admission du recours lorsque celui-ci porte sur le montant des frais et dépens ne dispense pas le recourant de prendre des conclusions chiffrées, dès lors que le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir de réforme (cf. arrêt 4A_89/2014 du 25 février 2014 et les références citées). Cela vaut aussi pour la fixation d'une indemnité comme en l'espèce, le Tribunal fédéral disposant également à cet égard d'un pouvoir de réforme (cf. <ref-law>).
Au vu de ce qui précède, le recours en tant qu'il est déposé aux noms des avocats Y._ et Z._ est irrecevable.
2.
Invoquant l'égalité de traitement, le recourant soutient qu'il aurait droit à une indemnité fondée sur l'<ref-law> en remboursement de la différence entre le tarif d'office et le tarif usuellement pratiqué par ses avocats.
2.1. L'<ref-law> prévoit que si le prévenu est acquitté totalement ou en partie ou s'il bénéficie d'une ordonnance de classement, il a droit à une indemnité pour les dépenses occasionnées par l'exercice raisonnable de ses droits de procédure. L'indemnité susmentionnée concerne les dépenses du prévenu pour un avocat de choix. Le prévenu acquitté qui est au bénéfice de l'assistance judiciaire ne saurait prétendre à une indemnité pour frais de défense (<ref-ruling> consid. 1 p. 206). Il en va ainsi dans la présente cause. Le recourant n'a subi aucune dépense relative à l'exercice raisonnable de ses droits de procédure et n'a droit à aucune indemnité de ce fait. La jurisprudence citée par le recourant ne lui est d'aucun secours dès lors qu'elle a été rendue sous l'empire de l'ancien droit cantonal dans un cas bernois. Mal fondé, son grief doit être rejeté.
Pour le surplus, le recourant n'est pas légitimé à invoquer une indemnité supplémentaire pour son défenseur d'office faute d'intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Quand bien même le serait-il, la jurisprudence a tranché la question du tarif de l'avocat en cas de défense d'office d'un prévenu acquitté. Elle a retenu que l'<ref-law> règle l'indemnisation du défenseur d'office en renvoyant au tarif des avocats de la Confédération ou du canton du for du procès. Si cette réglementation prévoit un tarif réduit, celui-ci s'applique sans égard à l'issue du procès (<ref-ruling>). C'est ainsi en vain que le recourant invoque une rémunération prétendument discriminatoire en cas d'acquittement.
Dans la mesure où le principe de l'égalité de traitement n'est invoqué qu'en rapport avec la situation des avocats du recourant, le grief est irrecevable (cf. supra consid. 1.2).
2.2. Le recourant se plaint d'arbitraire. Il n'étaye cependant pas ce grief par une argumentation distincte de celle qu'il présente à l'appui des griefs susmentionnés, se bornant à reprendre les mêmes critiques en qualifiant la décision attaquée d'arbitraire. Le grief d'arbitraire se confond avec celles-ci et il peut être renvoyé à la solution susmentionnée (cf. supra consid. 2.1).
3.
Le recourant se plaint du montant de l'indemnité pour tort moral qui lui a été allouée en application de l'art. 429 al. 1 let. c CPP.
3.1. Les pièces produites par le recourant à cet égard (articles de journaux) sont des pièces nouvelles, partant irrecevables (<ref-law>).
3.2. En application de l'art. 429 al. 1 let. c CPP, si, du fait de la procédure, le prévenu a subi une atteinte particulièrement grave à ses intérêts personnels au sens des <ref-law> ou 49 CO, il aura droit à la réparation de son tort moral (Message du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de la procédure pénale, FF 2006 1313). Selon la jurisprudence rendue avant l'entrée en vigueur du CPP, le montant de l'indemnité en matière de détention injustifiée doit être fixé en fonction de la gravité de l'atteinte portée à la personnalité (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 47; <ref-ruling> consid. 3a p. 98). Il faut tenir compte de toutes les circonstances, notamment des effets négatifs de la détention sur l'intégrité physique, psychique ou encore sur la réputation (<ref-ruling> consid. 5b/aa p. 458). L'activité professionnelle du lésé doit également être prise en compte dans cette appréciation (ATF <ref-ruling> consid. 3a p. 98). Il appartient au demandeur d'invoquer et de prouver les atteintes subies (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 47; <ref-ruling> consid. 4b p. 218). Le Tribunal fédéral considère en principe qu'un montant de 200 fr. par jour en cas de détention injustifiée de courte durée constitue une indemnité appropriée, dans la mesure où il n'existe pas de circonstances particulières qui pourraient fonder le versement d'un montant inférieur ou supérieur (arrêts 6B_53/2013 du 8 juillet 2013 consid. 3.2 non publié in <ref-ruling>; 6B_745/2009 du 12 novembre 2009 consid. 7.1; 8G.12/2001 du 19 septembre 2001 consid. 6b/bb). Lorsque la détention injustifiée s'étend sur une longue période, la jurisprudence a précisé qu'une augmentation linéaire du montant accordé dans les cas de détention plus courte n'est pas adaptée, car le fait de l'arrestation et de la détention pèse d'un poids en tout cas aussi important que l'élément de durée pour apprécier l'atteinte que subit la personne incarcérée (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 156). La fixation de l'indemnité pour tort moral est une question d'appréciation, de sorte que le Tribunal fédéral ne la revoit qu'avec retenue (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 309 s.; arrêt 6B_111/2012 du 15 mai 2012 consid. 4.2). Il n'y a pas lieu de s'écarter de ces principes qui peuvent être repris s'agissant de l'application de l'art. 429 al. 1 let. c CPP (arrêt 6B_53/2013 précité consid. 3.2).
3.3. En substance, la cour cantonale a retenu que le recourant avait été détenu durant 189 jours. Il ressortait de l'expertise psychiatrique qu'il était atteint d'un trouble psychotique polymorphe (bouffée délirante) avec symptômes schizophréniques dans le cadre d'un retard mental moyen et d'une probable schizophrénie greffée au retard mental (Pfropfschizophrenie). Son âge mental était estimé à huit ans en ce qui concerne le raisonnement verbal, la logique, la capacité d'abstraction, les connaissances en calcul et en écriture et la connaissance du français au niveau lexical. Il présentait en outre un trouble orthophonique qui dénaturait la production verbale et la diction. Son développement affectif correspondait à celui d'un enfant de deuxième primaire. Concernant le contrôle pulsionnel et la proprioception, il se situait plutôt au niveau de l'école enfantine. Selon le rapport d'expertise complémentaire du 12 décembre 2011, lors d'un entretien avec l'expert le jour même de sa mise en liberté, le recourant lui avait dit être stressé par sa sortie de prison. Il se montrait ambivalent car il ressentait une forme de nostalgie par rapport à des liens affectifs établis avec le personnel de la prison.
La cour cantonale a encore relevé que, selon le rapport établi le 25 avril 2013 par le Directeur de l'établissement de détention C._, le recourant avait, d'après le psychiatre de la prison, souffert d'un choc dû à l'incarcération assez important à son arrivée dans l'établissement, les deux premiers mois étant particulièrement pénibles pour lui et ses difficultés étant certainement renforcées par le retard mental dont il souffrait. Un manque affectif aurait également été présent, le recourant souffrant de ne pas pouvoir recevoir de visites au début de sa détention. Le rapport relevait qu'à son arrivée dans l'établissement, le recourant démontrait un manque d'autonomie significatif et que des mesures d'hygiène spécifiques avaient dû être mises en place car il présentait une énurésie nocturne. Compte tenu de la personnalité du recourant, celui-ci avait bénéficié d'un accompagnement pédagogique et éducatif plus soutenu qu'à l'accoutumée et d'une attention accrue de la part du personnel médical et pénitentiaire, ce qui lui avait permis d'acquérir une certaine autonomie et d'entretenir des contacts sociaux réguliers, alors qu'il était décrit, au début de sa détention comme « recroquevillé sur lui-même ». Même si le recourant avait déclaré à divers intervenants être triste de partir, le rapport n'excluait pas que la vie en communauté dans un milieu fermé ait eu un potentiel anxiogène important pour le recourant. En conclusion, le rapport ajoutait que le recourant avait beaucoup souffert des interrogatoires de police selon les souvenirs du médecin psychiatre de l'établissement. Il relevait que, si le retard mental dont était atteint le recourant ne lui permettait peut-être pas de saisir les implications de sa détention, ce qui avait pu agir comme un facteur protecteur dans le vécu global de son incarcération, ce même handicap avait pu le rendre plus vulnérable face à certains autres détenus.
Au vu de ces éléments, la cour cantonale a considéré comme facteurs d'aggravation du tort moral, à tout le moins dans la première période d'incarcération, l'état de santé du recourant, atteint de débilité profonde compliquée de symptômes d'une grave maladie mentale. En effet, à la lecture du rapport principal d'expertise, il était constaté que la question de savoir si la place du recourant n'était pas plutôt en hôpital psychiatrique qu'en établissement de détention se posait et que l'expert avait écarté la première solution pour des raisons de sécurité, dans la mesure où le recourant était alors prévenu de meurtre. Même si le personnel pénitentiaire et médical avait pris des mesures particulières pour l'encadrement du recourant, ce qui avait permis que la période de détention de celui-ci se déroule relativement bien, l'incarcération lui avait causé un choc important. Quant au fait qu'il avait noué en détention des contacts humains qu'il regrettait de devoir rompre, on ne pouvait pas le considérer comme un élément réellement positif, puisqu'il avait nécessairement dû faire le deuil de ses relations à sa sortie. Son mandataire exposait de manière crédible l'état de confusion et de désarroi dont le recourant avait souffert lors de sa mise en liberté. Par ailleurs, l'arrestation du recourant avait eu un retentissement médiatique important. Le procureur et la police neuchâtelois avaient indiqué, dans un communiqué de presse du 2 mai 2011, qu'un jeune homme de 23 ans domicilié dans le quartier où habitait la victime avait été interpellé et qu'il avait admis avoir eu un différend avec cette dernière et l'avoir étranglée et secouée après lui avoir asséné un coup au visage. Ces informations avaient été relatées dans divers quotidiens de Suisse romande. Même si la mise en liberté du recourant avait aussi été publiée dans la presse, il était notoire que la réputation d'une personne impliquée dans une grave affaire judiciaire n'était pas totalement blanchie aux yeux du public par une mise hors de cause ultérieure. Cependant, le rôle joué par ce facteur du retentissement médiatique devait être considérablement relativisé en l'espèce, compte tenu du handicap mental du recourant. On pouvait encore relever que le recourant n'avait pas perdu son emploi à la suite de son incarcération et qu'il avait pu retrouver son activité occupationnelle à sa sortie de prison. De façon générale, l'incarcération ne paraissait pas avoir eu des répercussions durables sur la vie sociale du recourant. Tout bien considéré, il convenait d'arrêter à 150 fr. par jour, soit 28'350 fr. pour 189 jours, l'indemnité pour tort moral.
3.4. Invoquant son droit d'être entendu, le recourant fait grief à la cour cantonale de ne pas avoir indiqué expressément pour quels motifs elle ne retenait pas la majoration de 20% de l'indemnité requise par le recourant, calculée sur un montant de base de 200 fr. par jour. De plus, la motivation ne permettrait pas au recourant de savoir dans quelle mesure les circonstances particulières de son cas avaient ou non été prises en compte dans le calcul de l'indemnité pour tort moral.
Le droit d'être entendu, garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., implique notamment pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, l'attaquer utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que l'autorité mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 237; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 355; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 88). La motivation peut pour le reste être implicite et résulter des différents considérants de la décision (arrêt 6B_101/2011 du 14 février 2012 consid. 3.1).
La cour cantonale a exposé de manière détaillée les éléments dont elle a tenu compte afin de fixer l'indemnité (cf. supra consid. 3.3). Elle a en outre indiqué les motifs pour lesquels elle fixait ladite indemnité à 150 fr. par jour. Dès lors, elle a implicitement rejeté la demande du recourant de majorer le montant retenu de 20% en exposant pourquoi elle estimait qu'un montant de 150 fr. par jour était suffisant pour l'indemniser. Cette motivation est suffisante sous l'angle du droit d'être entendu et le recourant l'a comprise dans la mesure où il la conteste dans son recours. Mal fondé, son grief doit être rejeté.
3.5. Le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir suffisamment tenu compte des facteurs d'aggravation du tort moral, qu'elle a pourtant exposés, en fixant le montant de l'indemnité à 150 fr. par jour. Celui-ci devrait être fixé à 200 fr., majoré de 20% en raison des circonstances du cas d'espèce.
La cour cantonale a retenu, comme facteurs d'aggravation, l'état de santé du recourant, le choc important dû à son incarcération, l'état de confusion et de désarroi dans lequel il se trouvait à sa sortie de prison et le retentissement médiatique important donné à l'affaire, en particulier à l'arrestation du recourant. Toutefois, elle a modéré ces facteurs en retenant que le recourant avait pu retrouver son activité occupationnelle à sa sortie de prison, que l'affaire n'avait pas eu de répercussions durables sur sa vie sociale et que l'effet de la médiatisation devait être considérablement relativisé par le handicap mental du recourant. S'agissant de ces deux derniers éléments, la cour cantonale n'expose pas pour quels motifs et sur quels éléments elle se fonde pour les retenir. A cet égard, s'il est certes possible que le handicap du recourant ait pu le protéger d'une certaine compréhension des impacts de sa détention et de l'affaire, il n'en demeure pas moins que les détails exposés dans la presse (comme son âge, son domicile dans le quartier de la victime et son handicap) ont pu permettre à de nombreuses personnes de le reconnaître. De plus, comme le souligne le recourant, son handicap ne lui permet pas de gérer et de faire face tout seul aux conséquences émotionnelles d'une telle affaire, comme le pourrait un adulte. Par conséquent, les seuls facteurs permettant de réduire l'indemnité sont la relativement longue période de détention (un peu plus de six mois) et son impact réduit sur l'occupation professionnelle du recourant. Ceux-ci ne sont toutefois pas de nature à compenser les nombreux facteurs d'aggravation du tort moral subi par le recourant. Par conséquent, au vu de l'ensemble des circonstances du cas d'espèce et de la gravité de l'atteinte à la personnalité subie par le recourant, la cour cantonale a mésusé de son pouvoir d'appréciation en fixant l'indemnité à 150 fr. par jour. Un montant de 200 fr. est adéquat. C'est donc une somme de 37'800 fr. (189 x 200 fr.) avec intérêts à 5% l'an dès le 21 août 2011 qu'il convient d'allouer au recourant à titre d'indemnité pour le tort moral au sens de l'art. 429 al. 1 let. c CPP. Ce montant viendra s'ajouter aux montants retenus en instance cantonale pour l'indemnisation des autres postes du dommage qui ne sont pas contestés (soit 12'999 fr. et 331 fr.).
3.6. Au vu de ce qui précède, le recours de X._ doit être partiellement admis et l'arrêt attaqué réformé en ce sens qu'une indemnité de 37'800 fr. est allouée à X._ à titre d'indemnité pour le tort moral, à laquelle viennent s'ajouter les montants relatifs aux autres postes du dommage retenus en instance cantonale de 12'999 fr. et 331 fr., soit un total de 51'130 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 21 août 2011. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant a requis l'assistance judiciaire. Cette requête est sans objet dans la mesure où il obtient gain de cause et peut, à ce titre, prétendre à des dépens réduits de la part du canton (art. 64 al. 2 et 68 al. 1 LTF). Le recours était, pour le surplus, dénué de chance de succès, si bien que l'assistance judiciaire doit être refusée dans cette mesure (<ref-law>). Une partie des frais sera ainsi supportée par le recourant (<ref-law>), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.
Il n'y a pas lieu de renvoyer le dossier à l'autorité cantonale pour qu'elle fixe à nouveau les frais et dépens cantonaux. En effet, les frais relatifs à la procédure devant le Ministère public ont été laissés à la charge de l'Etat. S'agissant de la procédure de recours, la cour cantonale avait déjà donné raison au recourant s'agissant du montant journalier de l'indemnité passant des 100 fr. alloués par le Ministère public à 150 francs. Le recourant n'a ainsi supporté aucun frais relativement à ce grief. Les 600 fr. de frais qui ont été mis à sa charge concernent les griefs formulés s'agissant de la fixation du montant de l'indemnité de son défenseur d'office. Dès lors que ses griefs à cet égard sont rejetés, il n'y a pas lieu de revoir ces frais. S'agissant des dépens, l'avocat d'office a été rémunéré pour l'entier des heures qu'il a alléguées pour la procédure cantonale, l'admission partielle du recours n'a ainsi pas d'impact sur les dépens cantonaux.
Le recours en tant qu'il est déposé aux noms de Y._ et Z._ est irrecevable. Les recourants supporteront une partie des frais.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours de X._ est partiellement admis et l'arrêt de l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel du 19 décembre 2013 est réformé en ce sens qu'une indemnité de 37'800 fr. est allouée à X._ à titre d'indemnité pour le tort moral au sens de l'art. 429 al. 1 let. c CPP, à laquelle viennent s'ajouter les montants de 12'999 fr. et 331 fr., soit un total de 51'130 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 21 août 2011. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recours en tant qu'il est déposé aux noms de Y._ et Z._ est irrecevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2500 fr., sont mis pour 2000 fr. à la charge de Y._ et Z._, par moitié chacun, et pour 500 fr. à la charge de X._.
4.
Une indemnité de 2000 fr., à verser au conseil du recourant X._ à titre de dépens, est mise à la charge de la République et canton de Neuchâtel.
5.
La demande d'assistance judiciaire de X._ est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 18 septembre 2014
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Mathys
La Greffière : Livet