Sachverhalt:
A. Am 1. März 2009, kurz nach 22.15 Uhr, kam es auf dem Wasserturmplatz in Liestal zu einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen X._ und A._, welche dadurch ausgelöst wurde, dass die beiden (unabsichtlich) zusammengestossen waren. X._ ging auf A._ los. Er stiess diesen zunächst mit dessen Kopf voran gegen eine Schaufensterscheibe. Danach warf er ihn mit dessen Kopf voran gegen ein Bushäuschen. In der Folge verpasste er ihm einen Faustschlag ins Gesicht, wodurch A._ zu Boden ging. Nachdem A._ wieder aufgestanden war, versetzte ihm X._ einen weiteren Faustschlag ins Gesicht, wodurch A._ erneut zu Boden ging. Als X._ in der Folge von A._ abliess und sich entfernte, nahm A._ im Aufstehen ein Messer hervor. Als X._ darauf aufmerksam wurde, ging er ungeachtet des Messers, welches A._ in einer Hand hielt, wiederum auf diesen los. Er verpasste ihm erneut zwei Faustschläge ins Gesicht, bis er von A._ mit dem Messer verletzt wurde. X._ erlitt eine potentiell lebensbedrohliche Stichverletzung in der linken Brusthälfte in der Mitte zwischen Brustwarze und Schlüsselbein auf Höhe der dritten Rippe. A._ erlitt Schwellungen im Gesicht, Prellungen, Hautverfärbungen und Abschürfungen am rechten Ellenbogen und im Schulterbereich, punktförmige Blutungen auf beiden Schultern sowie diverse oberflächliche Verletzungen an den Unterschenkeln und in einem Kniegelenk. Ein lebensgefährliches Blutstauungssyndrom im Kopf- und Halsbereich, welches A._ zudem erlitt, konnte nicht zweifelsfrei den Handlungen von X._ zugerechnet werden.
B. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft sprach X._ mit Urteil vom 7. Dezember 2010 der versuchten schweren Körperverletzung schuldig. Es sprach ihn ausserdem wegen Handlungen, die nicht Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens bilden, der falschen Anschuldigung und der mehrfachen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz schuldig. Es bestrafte ihn mit einer Freiheitsstrafe von 20 Monaten, unter Anrechnung der vom 2. März 2009 bis zum 7. Dezember 2010 ausgestandenen Untersuchungs- und Sicherheitshaft von 646 Tagen, sowie mit einer Busse von 200 Franken respektive, bei deren schuldhaften Nichtbezahlung, mit einer Ersatzfreiheitsstrafe von 2 Tagen. Der Vollzug der Freiheitsstrafe wurde gemäss <ref-law> aufgeschoben, und es wurde gestützt auf <ref-law> sowohl eine stationäre Massnahme zur Behandlung von psychischen Störungen (<ref-law>) als auch eine stationäre Massnahme für junge Erwachsene (<ref-law>) angeordnet. Das Kantonsgericht verpflichtete X._ zudem, A._ eine Genugtuung von Fr. 1'500.-- zu zahlen. Mit diesem Urteil bestätigte das Kantonsgericht im Wesentlichen den erstinstanzlichen Entscheid des Strafgerichts Basel-Landschaft vom 18. März 2010.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, er sei vom Vorwurf der versuchten schweren Körperverletzung freizusprechen (und stattdessen der einfachen Körperverletzung schuldig zu sprechen) und zu einer angemessenen Freiheitsstrafe unter Anrechnung der bis zum Zeitpunkt des Urteils ausgestandenen Untersuchungs- und Sicherheitshaft zu verurteilen. Die Anordnung von Massnahmen im Sinne von Art. 59 und <ref-law> sei aufzuheben. X._ ersucht zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1. 1.1 Die dem Verhalten des Beschwerdeführers zurechenbaren Verletzungen des Opfers sind unstreitig bloss als einfache Körperverletzung zu qualifizieren. Nach der Auffassung der Vorinstanz nahm der Beschwerdeführer aber im Sinne des Eventualvorsatzes eine schwere Körperverletzung als Folge seines Handelns in Kauf, weshalb er sich des Versuchs der schweren Körperverletzung schuldig gemacht habe. Zur Begründung hält die Vorinstanz unter Hinweis auf die Aussagen von mehreren Zeugen fest, dass der dem Opfer körperlich überlegene Beschwerdeführer "in hochgradig aggressiver Weise" auf das Opfer losgegangen sei, indem er diesem zwei Faustschläge ins Gesicht versetzt und das Opfer zweimal mit dessen Kopf voran gegen eine harte Unterlage, nämlich zunächst gegen eine Schaufensterscheibe und danach gegen ein Bushäuschen, gestossen beziehungsweise geworfen habe. In der zweiten Phase des Geschehens sei der Beschwerdeführer ungeachtet des Messers, welches das Opfer nun in einer Hand gehalten habe, "in blindwütiger Weise" noch einmal auf das Opfer zugegangen und habe diesem erneut zwei Faustschläge ins Gesicht versetzt. Die Vorinstanz erwägt, wer eine solch "massive Gewalt" gegen den Kopf beziehungsweise das Gesicht eines Menschen ausübe, müsse aufgrund der hohen Wahrscheinlichkeit von schweren Verletzungen mit dieser Konsequenz rechnen und nehme sie daher zumindest in Kauf. Es müsse als allgemein bekannt vorausgesetzt werden, dass angesichts der Empfindlichkeit der gesamten Kopfregion grundsätzlich jedes Stossen mit einer gewissen Wucht mit dem Kopf voran gegen eine harte Oberfläche - zusätzlich begleitet von mehreren Faustschlägen an den Kopf beziehungsweise in das Gesicht - irreversible Verletzungen hervorrufen könne. Es sei somit eigentlich nur dem Zufall zu verdanken, dass auf Seiten des Opfers keine Augenverletzungen durch splitterndes Glas, Schädel-Hirnverletzungen oder sonstige dauerhafte Schädigungen beispielsweise des Kiefers oder der Nase eingetreten seien.
1.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Annahmen der Vorinstanz, er sei "in hochgradig aggressiver Weise" und unter Anwendung "massiver Gewalt" sowie "in blindwütiger Weise" gegen das Opfer losgegangen, seien willkürlich. Soweit sich derartige Annahmen allenfalls auf die Aussagen einiger Zeugen der tätlichen Auseinandersetzung stützen liessen, sei zu berücksichtigen, dass die Zeugen wohl erstmals eine solche Auseinandersetzung beobachtet hätten. Er habe aufgrund früherer Vorkommnisse gewisse Erfahrungen in Schlägereien. Hätte er das Opfer schwer verletzen wollen, so hätte er anders zugeschlagen. Er habe sich jedoch zurückgehalten, zumal es sich beim Opfer um einen Bekannten seiner Mutter gehandelt habe. Er sei auch im Zustand der emotionalen Erregung in der Lage gewesen, so dosiert und gezielt zu schlagen, dass schwere Verletzungen vermieden wurden. Die letztlich relativ geringfügigen Verletzungen des Opfers, die nach wenigen Tagen vollständig verheilt seien, sprächen klar gegen die von der Vorinstanz angenommene Anwendung massiver Gewalt, bei welcher allenfalls die Gefahr von schweren Verletzungen bestanden hätte. Massgebend seien jedenfalls im Zweifelsfall die objektiv messbaren Verletzungen und nicht die subjektiven Einschätzungen von einzelnen jugendlichen und unerfahrenen Zeugen, welche sein professionell wirkendes Handeln allenfalls als brutal empfunden haben mochten.
1.3 Wohl mag es zutreffen, dass der Beschwerdeführer härter hätte zuschlagen können und dass er nicht den Willen hatte, dem Opfer eine schwere Körperverletzung zuzufügen. Das ist indessen unerheblich. Die Vorinstanz wirft dem Beschwerdeführer nicht direkten Vorsatz vor, sondern sie legt ihm zur Last, dass er eine schwere Körperverletzung im Falle ihres Eintritts in Kauf nahm und insoweit mit Eventualvorsatz handelte. Der Beschwerdeführer stellt mit Recht nicht in Abrede, dass Eventualdolus genügt. Die Vorinstanz durfte aus dem Verhalten des Beschwerdeführers auf Eventualvorsatz schliessen. In diesem Zusammenhang ist nicht massgebend, mit welchen Worten beziehungsweise Wendungen im angefochtenen Urteil das Vorgehen des Beschwerdeführers wertend beschrieben wird ("in hochgradig aggressiver Weise", "massive Gewalt", "in blindwütiger Weise"). Entscheidend ist vielmehr, wie sich der Beschwerdeführer tatsächlich verhielt. Er schlug dem körperlich unterlegenen Opfer zwei Mal mit der Faust ins Gesicht, wodurch das Opfer beide Male zu Boden ging, was ohne Willkür den Schluss zulässt, dass die Faustschläge mit Wucht ausgeführt wurden. Der Beschwerdeführer stiess sodann das Opfer mit dessen Kopf voran gegen eine Schaufensterscheibe und warf es hernach mit dessen Kopf voran gegen ein Bushäuschen. Bei einem solchen Verhalten können auch schwere Körperverletzungen eintreten, und wer dergestalt vorgeht, nimmt eine schwere Körperverletzung in Kauf. Welche Schädigungen ein auf die beschriebene Weise malträtiertes Opfer letztlich erleidet, hängt auch etwa davon ab, in welchem Winkel das Opfer mit dem Kopf gegen die harte Unterlage aufschlägt und ob es die Wirkung eines Faustschlags in das Gesicht durch ein Zurückweichen im letzten Moment noch etwas verringern kann. Dass das Opfer im konkreten Fall nur geringfügige Verletzungen erlitt, ist daher in Anbetracht des Vorgehens des Beschwerdeführers nicht entscheidend und entlastet diesen nicht.
Die Verurteilung des Beschwerdeführers wegen versuchter schwerer Körperverletzung ist nicht zu beanstanden. Die Beschwerde ist in diesem Punkt unbegründet.
2. 2.1 Die Vorinstanz ordnete in Übereinstimmung mit der ersten Instanz sowohl eine stationäre Massnahme zur Behandlung psychischer Störungen (<ref-law>) als auch eine stationäre Massnahme für junge Erwachsene (<ref-law>) an und schob zu diesem Zweck den Vollzug der Freiheitsstrafe auf. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung dieser Massnahmen.
2.1.1 Die Vorinstanz stützt ihren Entscheid unter anderem auf das forensisch-psychiatrische Gutachten von Dr. med. B._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 30. Juni 2009 und dessen Ausführungen an der erstinstanzlichen Verhandlung sowie ferner auf das forensisch-psychiatrische Gutachten der Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel vom 25. Juni 2008 und verschiedene Berichte betreffend den Beschwerdeführer. Gemäss dem Gutachten vom 30. Juni 2009 leidet der Beschwerdeführer an einer dissozialen Persönlichkeitsstörung mit zusätzlichen emotional instabilen Anteilen und besteht in Bezug auf Gewaltdelikte eine hohe Rückfallgefahr. Nach der Einschätzung des Gutachters kann der Gefahr weiterer Straftaten nur durch eine stationäre therapeutische Massnahme im Sinne von <ref-law>, allenfalls in Verbindung mit einer Massnahme für junge Erwachsene gemäss <ref-law>, begegnet werden und reicht eine ambulante Massnahme nicht aus. Gemäss den Ausführungen des Gutachters in der erstinstanzlichen Verhandlung ist das sogenannte Anti-Aggressions-Training, welchem sich der Beschwerdeführer seit einiger Zeit unterzog, keine Psychotherapie. Beim genannten Training gehe es um die Bekämpfung von aggressiven Symptomen, was jedoch nur ein Aspekt der beim Beschwerdeführer vorliegenden Störung sei. Der Beschwerdeführer bedürfe einer Psychotherapie in einem engen, stationären Rahmen. Die für deren Einleitung erforderliche minimale Motivation sei beim Beschwerdeführer gegeben.
2.1.2 Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er grundsätzlich der Behandlung bedarf und dass die von der Vorinstanz angeordneten Massnahmen dazu geeignet sind. Er macht geltend, die angeordneten stationären Massnahmen seien aber auch angesichts der inzwischen eingetretenen Umstände nicht notwendig, um seiner Rückfallgefahr zu begegnen, und sie seien, soweit sie notwendig sein sollten, jedenfalls unverhältnismässig, da sie in keiner Relation zu seiner Rückfallgefahr stünden, welche im Übrigen nicht besonders schwerwiegende Delikte betreffe. Die Anordnung einer stationären Massnahme verstosse daher gegen das Übermassverbot im Massnahmenrecht. Der Beschwerdeführer macht im Weiteren geltend, es sei zweifelhaft, ob eine einzige Begegnung des Experten mit ihm von lediglich 45 Minuten Dauer genüge, um seine ganze Persönlichkeit ausreichend zu erfassen. Zudem sei das Gutachten im Zeitpunkt der Ausfällung des angefochtenen Urteils nicht mehr aktuell gewesen, weshalb er aufgrund des ihm drohenden schwerwiegenden Eingriffs in seine persönliche Freiheit einen Anspruch auf eine neuerliche, umfassende Begutachtung habe.
2.2 Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens ist das Urteil der Vorinstanz vom 7. Dezember 2010. Die Hinweise des Beschwerdeführers auf Umstände, die nach dem 7. Dezember 2010 eingetreten sind, sind daher grundsätzlich unzulässig (siehe <ref-law>). Im Übrigen ergibt sich aus den in der Beschwerdeschrift vom 7. März 2011 genannten Umständen offensichtlich nicht, dass ein Resozialisierungserfolg des noch jungen (im November 1987 geborenen) Beschwerdeführers ausserhalb einer Institution für stationäre Massnahmen als sehr viel wahrscheinlicher erscheine. Der Beschwerdeführer leidet an einer schweren dissozialen Persönlichkeitsstörung, aus welcher sich eine hohe Rückfallgefahr in Bezug auf Gewaltdelikte ergibt, welcher nur durch eine therapeutische Behandlung in einem stabilen, stationären Rahmen begegnet werden kann. Ohne entsprechende Therapie sind gemäss den Ausführungen des Experten Verbesserungen der Persönlichkeitsstörung ausgeschlossen. Es ist daher nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz nicht ersichtlich, inwiefern sich seit der Begutachtung die unbehandelte, chronische und nicht von selber remittierende Persönlichkeitsstörung des Beschwerdeführers während der Haft verbessert haben und daher das Gutachten vom 30. Juni 2009 nicht mehr aktuell sein könnte. Der Experte stützte sein Gutachten vom 30. Juni 2009 (kant. Akten p. 275 ff.) auf seine Untersuchung des Beschwerdeführers von 90 Minuten Dauer im Untersuchungsgefängnis Liestal und auf die ihm zur Verfügung gestellten Akten, die unter anderem zahlreiche Berichte betreffend den Beschwerdeführer enthielten. Inwiefern diese Erhebungen insoweit, als die eigene Untersuchung des Beschwerdeführers durch den Experten lediglich 90 Minuten dauerte, zur Beantwortung der dem Gutachter gestellten Fragen ungenügend gewesen seien und daher auf das Gutachten nicht hätte abgestellt werden dürfen, wie der Beschwerdeführer andeutet, ist nicht ersichtlich.
Die Vorinstanz durfte demnach ohne Rechtsverletzung auf das Gutachten vom 30. Juni 2009 abstellen und die Voraussetzungen der von ihr angeordneten Massnahmen als erfüllt erachten. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt unbegründet.
3. Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Gesuch ist abzuweisen, da die Beschwerde keine Aussicht auf Erfolg hatte. Der Beschwerdeführer hat daher die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen. Seinen angespannten finanziellen Verhältnissen ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Mathys Näf