Faits:
A. Par arrêt du 18 décembre 2009, la Cour correctionnelle sans jury du canton de Genève a condamné X._, né le 9 décembre 1990, à trois ans de privation de liberté, sous déduction de la détention préventive subie, pour six brigandages aggravés, commis seul ou en groupe. Quant à la quotité de la sanction, la Cour correctionnelle a relevé que le plancher de la peine entrant en considération était de 5 ans, compte tenu de la mise en danger de mort, et que, eu égard à l'ensemble des circonstances, une peine privative de 6 ans s'avérait adéquate, mais qu'elle devait être réduite d'environ 50% pour tenir compte d'une responsabilité moyennement restreinte. L'exécution en a été suspendue au bénéfice du placement en établissement pour jeunes adultes, ordonné avec un traitement psychothérapeutique ambulatoire comportant des contrôles d'abstinence.
B. Par arrêt du 25 juin 2010, la Cour de cassation cantonale genevoise a rejeté le pourvoi formé par le condamné et mis à sa charge un émolument de 2000 fr. En bref, cet arrêt, auquel on renvoie pour le surplus, repose sur l'état de fait suivant.
B.a X._ et deux comparses s'en sont pris successivement à un groupe de cinq personnes le 21 mars 2009, puis, le 27 mars suivant, à quatre groupes de trois à six individus, ainsi qu'à une personne seule. Ils les ont dépouillés d'objets et de valeurs divers (téléphones, iPods, porte-monnaie, cartes et petites sommes d'argent) en les menaçant à l'aide de couteaux et, dans certains cas, d'une « arme » faisant penser à un fusil, qui n'a pu être identifiée.
B.b Le 21 mars, X._ a, en particulier, placé son couteau sous la gorge de l'une des cinq victimes qui refusait d'être dépouillée, lui disant qu'il allait la « percer ». Il lui a ensuite mis la lame sous le nez, lui causant une éraflure.
B.c Le 27 mars, alors que X._ et ses comparses s'en prenaient à un groupe de trois personnes, le premier nommé a exhibé son « arme » et obligé une victime à s'asseoir pour la fouiller. Ses acolytes ont plaqué l'un des membres d'un autre groupe de trois personnes par le cou contre un banc. Ils ont aussi placé un couteau sous la gorge d'une autre victime, en leur intimant de remettre ce qu'ils avaient. X._ a accepté pleinement et sans réserve ce comportement. Il a, de son côté, pointé son « arme » sur deux victimes et en a fouillé une pour être sûr que ses comparses n'avaient rien oublié. Face au refus du groupe suivant, de six personnes, X._ a exhibé l'« arme » tenant lieu de fusil, l'a pointée contre le ventre d'une personne alors que l'un des deux autres auteurs montrait son couteau. Les uns et les autres ont exigé porte-monnaie, téléphones portables et autres valeurs de leurs victimes. X._ a fait savoir à ces dernières que si elles ne se dépêchaient pas, elles recevraient une balle dans la tête. Il a apposé pendant cinq secondes son « arme » contre la tempe d'une personne qui refusait de s'exécuter. Il l'a également braquée sur une autre, qui tentait de s'échapper, pendant que ses acolytes menaçaient le reste du groupe d'un couteau. Les intéressés ont encore menacé un groupe de quatre personnes. X._ a exhibé l'« arme » tenant lieu de fusil et l'un de ses comparses son couteau. Un membre du trio a asséné un coup sur la tête d'une victime qui a été jetée sur un banc. Enfin, le trio et deux autres individus s'en sont pris à une personne seule. X._ a exigé, en braquant l'« arme » tenant lieu de fusil directement contre elle, qu'elle remette son porte-monnaie et son téléphone portable, pendant que les quatre autres faisaient le guet.
C. X._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt. Il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Il requiert, en outre, le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Le recourant invoque la violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Il reproche, en substance, à l'autorité de première instance de n'avoir pas exposé en quoi la condition subjective de la circonstance aggravante de l'art. 140 ch. 4 CP était réalisée, soit, en particulier, s'il avait agi par dol direct ou éventuel et, dans cette dernière hypothèse, quels faits permettaient de lui imputer d'avoir accepté l'existence d'un risque de mort imminent. La cour cantonale aurait, de même, violé son droit d'être entendu en considérant, en réponse au même grief, que la motivation du jugement de première instance était suffisamment compréhensible dès lors qu'elle avait permis au recourant de discerner que le caractère intentionnel de la première des deux infractions relevait du dol éventuel. Le recourant souligne, dans ce contexte, que la cour cantonale a admis que les premiers juges avaient omis de spécifier que l'intention délictueuse ressortissait au dol éventuel. Il reproche également à l'autorité précédente d'avoir appliqué arbitrairement (art. 9 Cst.) son droit de procédure (art. 340 et 350 aCPP/GE) en complétant sur un point de fait le jugement de première instance, soit en constatant elle-même sa volonté interne. Enfin, faute pour les premiers juges d'avoir exposé les circonstances externes pertinentes pour établir sa volonté interne quant à la circonstance aggravante de l'art. 140 ch. 4 CP, la condamnation du recourant violerait cette dernière disposition.
1.1 Ces trois moyens du recourant reposent sur la prémisse que le jugement de première instance ne constaterait pas sa volonté interne en relation avec l'élément subjectif de la circonstance aggravante de l'art. 140 ch. 4 CP, respectivement les éléments de fait externes qui permettraient de conclure qu'il a accepté pour le cas où il se produirait le risque de mise en danger de mort de certaines victimes. Il convient d'examiner préalablement ce point.
1.2 Il ressort du jugement de première instance que « l'accusé et ses comparses se sont munis d'un objet [...] ainsi que de couteaux qu'ils ont brandis devant leurs victimes et même placés sur la gorge de quelques unes d'entre elles. Ce faisant, l'accusé et ses comparses ont agi sans scrupules, ne se souciant nullement du traumatisme qu'ils pouvaient causer, ni du danger mortel s'agissant de l'usage de couteaux » (arrêt de la Cour correctionnelle sans jury, p. 15). Le reproche d'avoir agi « sans scrupules [en] ne se souciant pas du danger mortel » démontre suffisamment qu'aux yeux de la Cour correctionnelle, le recourant et ses comparses agissant comme coauteurs (arrêt précité, p. 9) ont, tout au moins, accepté le danger mortel, qu'ils connaissaient, résultant de l'utilisation de couteaux placés sur la gorge des victimes. La précision « sans scrupules » ne permet, en particulier, pas de comprendre le fait que les intéressés ne se sont pas souciés du danger mortel en ce sens qu'ils l'auraient ignoré ou qu'ils auraient admis que la mise en danger ne se réaliserait pas. Contrairement à ce que prétend le recourant, l'autorité de première instance a, ce faisant, constaté sa volonté interne et celle de ses comparses en relation avec l'élément subjectif de l'art. 140 ch. 4 CP.
1.3 On ne saurait, partant, reprocher à la cour cantonale d'avoir considéré que le jugement de première instance ne présentait pas, sur ce point, une lacune de motivation violant le droit d'être entendu du recourant, mais tout au plus une motivation imparfaite qui ne l'avait, de surcroît, pas empêché de recourir utilement. En effet, outre la constatation de fait précitée, l'autorité de première instance a aussi indiqué, dans sa majeure en droit, que, au plan subjectif, la circonstance aggravante de l'art. 140 ch. 4 CP suppose la conscience et l'intention, au stade du dol éventuel tout au moins, de mettre la victime en danger de mort (arrêt précité, p. 10). Elle a, en outre, constaté tous les éléments de fait externes dont la cour cantonale s'est servie pour expliciter la volonté interne du recourant et de ses comparses (v. infra consid. 1.4). Il s'ensuit que, en définitive, seule faisait défaut, dans le raisonnement des premiers juges, la mention expresse de la qualification en droit du dol éventuel, comme l'a retenu à juste titre l'autorité de recours en relevant l'omission « de spécifier que l'intention délictueuse ressortait au dol éventuel ». On aurait certes pu attendre des premiers juges qu'ils précisent quels éléments de faits extérieurs, dûment constatés, leur avaient permis de conclure à la constatation précitée relative à la volonté interne du recourant et de ses comparses. Il aurait également été souhaitable que la brève constatation de fait relative à la volonté interne du recourant et de ses comparses figurât expressément non seulement dans les motifs présidant à la fixation de la peine, mais déjà dans les considérants en droit relatifs aux éléments constitutifs de la circonstance aggravante de l'art. 140 ch. 4 CP. Mais une motivation implicite, résultant des différents considérants de la décision, n'en suffit pas moins à respecter le droit d'être entendu (arrêt 2C_23/2009 du 25 mai 2009 consid. 3.1, publié in RDAF 2009 II p. 434), de sorte que ce grief est infondé.
1.4 Il s'ensuit, par ailleurs, qu'en précisant dans son arrêt quels éléments de fait externes, dûment constatés par l'autorité de première instance (l'utilisation de véritables couteaux à cran d'arrêt et le modus operandi; arrêt entrepris, consid. 4, p. 15/21), permettaient de conclure à la volonté interne du recourant et de ses comparses, retenue par la cour correctionnelle, la cour cantonale s'est bornée à étayer, en en explicitant les motifs, la conclusion de la Cour correctionnelle sur l'intention du recourant. On ne saurait, partant, reprocher à la cour cantonale d'avoir complété sur des points de fait non constatés, la décision de première instance. Le grief relatif à l'application arbitraire des art. 340 et 350 aCPP/GE est, en conséquence, infondé lui aussi.
1.5 Enfin, le fait de positionner une lame acérée à proximité immédiate de la gorge d'une victime, ou directement sur celle-ci, de telle sorte qu'il en résulte un danger qu'une échauffourée ou un mouvement minime, par exemple un mouvement réflexe involontaire, de la victime ou de l'auteur entraîne une lésion mortelle constitue, selon la jurisprudence, objectivement une mise en danger de sa vie au sens de l'art. 140 ch. 4 CP (<ref-ruling> consid. 3b/aa, p. 428; <ref-ruling> consid. 2 p. 9 s.). Cette circonstance aggravante est, partant, réalisée en l'espèce, au vu des circonstances dans lesquelles les victimes se sont trouvées en contact avec les couteaux à cran d'arrêt utilisés par le recourant et ses comparses ainsi que ce qui a été exposé ci-dessus au plan subjectif. Ce grief est infondé également.
2. Le recourant reproche ensuite à la cour cantonale d'avoir commis un déni de justice en refusant d'examiner le grief soulevé dans son recours cantonal, en relation avec la fixation de la peine (art. 47 CP) et sa motivation (art. 50 CP; non-prise en considération du jeune âge et de l'effet de la sanction sur son avenir) au motif qu'en discutant la peine théorique de 6 ans, avant prise en considération de la responsabilité diminuée du recourant, ce dernier ne s'en prenait qu'aux motifs de la décision de première instance et n'avait, de ce fait, pas d'intérêt juridique au recours (arrêt entrepris, consid. 8 p. 19 s.).
2.1 L'autorité de recours qui ne traite pas un grief relevant de sa compétence, motivé de façon suffisante et pertinente pour l'issue du litige, commet un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 3a p. 117/118; <ref-ruling> consid. 3 p. 430), ce qu'il appartient au recourant d'établir (<ref-ruling> consid. 3 p. 246). Le Tribunal fédéral examine librement ce grief (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9 et les arrêts cités).
2.2 Dans ses écritures cantonales, le recourant a argué que « la peine infligée de six années dénot[ait] un excès du pouvoir d'appréciation des premiers juges [...] notamment au vu du jeune âge du recourant ». Il a également relevé que ni la question de son jeune âge, ni celle de l'effet de la peine sur son avenir n'avaient été examinées dans le cadre de la fixation de la peine.
Cette argumentation ressortit exclusivement à la violation du droit fédéral (art. 47 et 50 CP) et constitue un moyen de cassation typique, relevant du pouvoir d'examen de la cour cantonale (cf. art. 340 let. a aCPP/GE). Elle comportait trois griefs distincts, bien que mal délimités. Le recourant discutait, en effet, non seulement l'excès du pouvoir d'appréciation en mentionnant la durée de la peine infligée, mais aussi son abus, en tant que, selon lui, certains critères pertinents n'auraient pas été pris en considération et, tout au moins, la violation des règles de motivation déduites de l'art. 50 CP, en tant qu'ils n'étaient pas mentionnés expressément.
Les considérations de l'autorité cantonale de recours ne justifient en tous les cas pas le refus d'entrer en matière sur le recours cantonal sous l'angle de l'abus du pouvoir d'appréciation, respectivement du défaut de motivation, au sens de l'art. 50 CP, de la décision de première instance. De plus, l'autorité de première instance ayant réduit linéairement de 50% la peine théorique de 6 ans, au motif d'une responsabilité moyennement diminuée (v. infra consid. 2.3.1), l'argumentation du recourant remettait nécessairement en cause la peine de 3 ans qui lui a été infligée. Dans ces conditions, c'est à tort que la cour cantonale a refusé d'entrer en matière sur ces griefs.
2.3 Le recourant ne conclut pas expressément à la constatation judiciaire du vice et ne prétend pas que celle-ci lui offrirait une réparation suffisante. Il demande l'annulation de la décision entreprise. Cette sanction ne se justifie pas en l'espèce pour les motifs qui suivent.
2.3.1 Il y a lieu de relever, d'une part, qu'au stade de la fixation de la peine, le jugement de première instance mentionne la situation personnelle du recourant, soit en particulier le fait qu'il est né le 9 décembre 1990, son arrivée à Genève en 2001 après avoir vécu auprès de sa grand-mère maternelle au Brésil, sa scolarité écourtée avant la fin de sa huitième année, son retour au Brésil en 2005 puis son retour à Genève une année plus tard, son accueil en foyer puis son placement dans un foyer d'éducation par le Tribunal de la jeunesse. Il est aussi fait état, en plus des conclusions de l'expertise psychiatrique, de sa fugue de ce foyer et de la commission de nouvelles infractions ainsi que des vagues perspectives d'accueil par une tante ou sa mère, désormais établie aux Etats-unis. L'autorité de première instance a, ensuite, renvoyé « à l'ensemble de ces circonstances » au moment de quantifier la sanction (jugement, p. 16 s.). Le jeune âge du recourant, qui ressort clairement de ces circonstances, a, de surcroît, déterminé la mesure que l'autorité de première instance a substituée à la peine, soit un placement dans un établissement pour jeunes adultes, de sorte que cette circonstance n'a, en réalité, pas été ignorée. On peut rappeler, d'autre part, dans ce contexte, qu'un tel placement doit favoriser l'aptitude de l'auteur à vivre de façon responsable et sans commettre d'infractions et doit notamment lui permettre d'acquérir une formation ou un perfectionnement (art. 61 al. 3 CP), ce qui procède également de la prise en considération de l'avenir du recourant, compte tenu de sa situation personnelle, soit en particulier de sa scolarité inachevée et de l'absence de perspective concrète et sérieuse d'accueil dans sa famille. Il s'ensuit que les premiers juges n'ont pas ignoré purement et simplement les éléments relevés par le recourant.
A cela s'ajoute que les premiers juges ont considéré que la responsabilité moyennement restreinte du recourant justifiait une diminution de 50% environ de la peine théorique de six ans qui aurait été adéquate. Ils ont, ce faisant, appliqué les principes posés dans l'<ref-ruling>. Or, selon la jurisprudence plus récente (<ref-ruling>), la diminution de responsabilité n'influence pas directement la peine, mais la faute de l'auteur qui détermine elle-même la quotité de la sanction. Par ailleurs, la restriction de responsabilité ne constitue qu'un critère parmi d'autres susceptibles d'amoindrir la faute liée à l'acte (cf. à titre atténuant: art. 11 al. 4, 16 al. 1, 18 al. 1, 21, 23 al. 1, 25 et 48 let. a à c CP) ou de la faire apparaître plus grave (p. ex.: l'existence de mobiles blâmables). Ainsi, suivant cette jurisprudence, une responsabilité moyennement diminuée, n'est susceptible de ramener une faute objectivement grave qu'à une faute légère à moyennement grave selon les autres circonstances déterminantes.
Concrètement, en l'espèce, l'autorité de première instance a jugé la culpabilité du recourant « lourde », compte tenu notamment du caractère lâche de ses agissements résultant du choix de jeunes victimes peu susceptibles de se défendre et du fait qu'il n'avait pas agi seul. Les intéressés avaient agi sans scrupules, en ne se souciant pas du traumatisme qu'ils pouvaient causer, ni du danger mortel s'agissant de l'usage de couteaux. Le recourant avait, en outre, agi à plusieurs reprises et le nombre de brigandages commis le 27 mars était impressionnant (arrêt de la Cour correctionnelle, p. 15). Partant de la peine plancher de 5 ans de l'art. 140 ch. 4 CP, seules des circonstances personnelles très favorables pourraient, à côté de la responsabilité moyennement restreinte, justifier que la faute apparaisse si légère qu'une peine largement inférieure au minimum légal soit infligée. Or, de telles circonstances ne sont pas réalisées. Les premiers juges ont, en particulier, souligné que le recourant ne pouvait se prévaloir d'une bonne collaboration à l'instruction et qu'il avait encore minimisé à l'audience son implication dans les faits qu'il avait fini par admettre (arrêt de la cour correctionnelle, p. 16). Et le recourant ne tente pas de démontrer l'omission d'autres circonstances favorables, hormis son jeune âge (v. supra consid. 2.3.1) et l'effet de la sanction sur son avenir. Or, la prise en considération, même dans une plus large mesure que les premiers juges, de l'effet de la sanction sur l'avenir du recourant ne changerait rien à la quotité de la peine infligée. Cet élément de prévention spéciale ne permet, en effet, que des corrections marginales, la peine devant, en tous les cas, rester proportionnée à la faute (arrêts du Tribunal fédéral 6B_14/2007 du 17 avril 2007 consid. 5.2 et 6B_252/2008 du 23 juin 2008 consid. 6.1). Il s'ensuit que l'application, en l'espèce, des principes qui précèdent conduirait, dans le meilleur des cas, en raison de l'interdiction de la reformatio in pejus, à la confirmation de la sanction infligée au recourant.
2.3.2 Dans ces conditions, le seul fait que l'autorité précédente n'est pas entrée en matière sur le grief du recourant, ne justifie pas d'annuler sa décision et de lui renvoyer la cause à seule fin qu'elle se prononce formellement sur le prétendu défaut de motivation que le recourant reproche à l'autorité de première instance. En effet, le Tribunal fédéral dispose en ce qui concerne l'application des art. 47 et 50 CP d'un pouvoir d'examen non moins étendu que celui de la Cour de cassation genevoise, de sorte que le vice résultant du refus de cette dernière d'entrer en matière sur le grief du recourant, qui n'est pas particulièrement grave, peut être guéri en instance fédérale moyennant prise en considération des inconvénients qui en résultent pour le recourant au stade de la fixation des frais (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 204 s.; <ref-ruling> consid. 3a p. 469 s. et les références citées; arrêt du 3 février 2010, 1C_436/2009, consid. 3.3).
3. Le recourant reproche enfin à la cour cantonale d'avoir violé l'art. 29 al. 3 Cst. et appliqué arbitrairement l'art. 7 let. a du Règlement genevois sur l'assistance judiciaire (RAJ/GE) en mettant à sa charge un émolument judiciaire de 2000 fr. nonobstant le fait qu'il était au bénéfice de l'assistance judiciaire totale au niveau cantonal. Le recourant invoque, en particulier, l'arrêt publié aux <ref-ruling> ss.
3.1 La jurisprudence à laquelle se réfère le recourant a trait aux frais de la défense d'office, mais non aux émoluments judiciaires en tant que tels. Cette jurisprudence ne remet, par ailleurs, pas en cause le fait que l'art. 29 al. 3 Cst. n'offre qu'une garantie d'accès à la justice et non de gratuité des procédures (<ref-ruling> consid. 2.4.2.3, p. 97). Or, le recourant ne tente pas de démontrer, par une argumentation précise (art. 106 al. 2 LTF), en quoi la mise à la charge du condamné, respectivement du recourant débouté, après clôture d'une procédure pénale menée d'office contre lui de frais qu'un accusé n'est, en général, jamais appelé à avancer (contrairement, par exemple, aux frais de traduction, d'expertise et d'avocat en matière pénale ou aux frais qu'une partie à une procédure civile ou administrative doit avancer), remettrait en question son droit d'accès à la justice, qui plus est s'agissant d'une somme de 2000 fr. Il ne tente pas non plus de démontrer que, dans la règle, l'accès à la cour de cassation cantonale serait subordonné à l'avance des frais et que, partant, c'est au titre de l'assistance judiciaire qu'il a été dispensé d'avancer l'émolument qui lui a été imposé. Ce grief se révèle ainsi insuffisamment motivé. Il est irrecevable pour ce motif déjà.
3.2 De plus, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), dont il ne peut s'écarter que s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 et 97 al. 1 LTF), ce qu'il incombe au recourant d'alléguer et de démontrer, à peine d'irrecevabilité (cf. art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254/255; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 351/352, 393 consid. 7.1 p. 398). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3.3 Il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que le recourant aurait plaidé au bénéfice de l'assistance juridique en instance cantonale et, à l'appui de son grief, celui-ci ne se réfère à aucune pièce qui attesterait du contraire, notamment à aucune décision lui octroyant l'assistance juridique, la dispense d'avancer ou de payer les frais judiciaires en particulier. Le grief repose ainsi sur l'allégation d'un fait non démontré.
Dans la mesure où le fait litigieux ressortirait de pièces versées à la procédure postérieurement à l'échéance du délai de recours, il devrait être considéré comme nouveau au sens de l'art. 99 LTF, faute de résulter de l'arrêt attaqué.
Il s'ensuit que le grief est irrecevable pour ce motif également.
4. Le recours tendait à l'annulation de la décision entreprise et au renvoi de la cause à l'une ou l'autre des autorités inférieures. Les conclusions du recourant étaient, dans cette mesure, d'emblée dénuées de chances de succès, de sorte que l'assistance judiciaire doit être refusée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant succombe. Il supporte les frais de la procédure, qui seront fixés en tenant compte, d'une part, de sa situation économique, qui n'apparaît pas favorable en raison de sa détention et, d'autre part, des motifs conduisant au rejet du grief examiné au consid. 2 ci-dessus (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. L'assistance judiciaire est refusée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de cassation du canton de Genève.
Lausanne, le 17 mai 2011
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Mathys Vallat