Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführer) erlitt Ende Juli 1990 einen Verkehrsunfall. Am 22. November 1996 reichte er beim Handelsgericht des Kantons Zürich gegen die X._ Versicherungs-Gesellschaft (Beschwerdegegnerin) eine Schadenersatzklage ein. Dieses Verfahren ist beim Handelsgericht hängig.
B. Am 19. Mai 2009 ersuchte der Beschwerdeführer die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich um Feststellung, dass das Handelsgericht des Kantons Zürich zumindest im Prozess gemäss § 63 Abs. 1 Ziff. 1 GVG/ZH (Klagen von nicht im Handelsregister eingetragenen Personen) kein unabhängiges und unparteiisches Gericht im Sinn von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei. Ferner sei festzustellen, dass Handelsrichter Dr. B._ ein befangener und parteiischer Richter im Sinn von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei.
Mit Beschluss vom 18. September 2009 wies die Verwaltungskommission das Feststellungsbegehren hinsichtlich der Verfassungs- bzw. Konventionswidrigkeit des Handelsgerichts ab, soweit sie darauf eintrat. Auf den (nachträglich gestellten) Antrag, Handelsrichter Dr. B._ sei zur Abgabe einer erneuten Unbefangenheitserklärung aufzufordern, trat sie nicht ein. Gleichzeitig bewilligte sie Handelsrichter Dr. B._ im vorliegenden Prozess den Ausstand und schrieb das gegen ihn gerichtete Ablehnungsbegehren zufolge Gegenstandslosigkeit ab. Im Übrigen trat die Verwaltungskommission auf das Ablehnungsbegehren nicht ein.
Gegen diesen Beschluss erhob der Beschwerdeführer kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich, mit der er am Feststellungsbegehren betreffend die Verfassungs- bzw. Konventionswidrigkeit des Handelsgerichts festhielt. Mit Sitzungsbeschluss vom 14. Dezember 2009 wies das Kassationsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, es sei in Aufhebung des Beschlusses des Kassationsgerichts vom 14. Dezember 2009 und des Beschlusses des Obergerichts vom 18. September 2009 festzustellen, dass das Handelsgericht des Kantons Zürich zumindest im Prozess gemäss § 63 Abs. 1 Ziff. 1 GVG/ZH (Klagen von nicht im Handelsregister eingetragenen Personen) kein unabhängiges und unparteiisches Gericht im Sinn von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist. Das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren zog der Beschwerdeführer am 28. Januar 2010 wieder zurück.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Handelsgericht, die Verwaltungskommission des Obergerichts und das Kassationsgericht verzichteten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Frage, ob gegen bestimmte Justizbeamte in einem konkreten Verfahren ein Ausschluss- oder Ablehnungsgrund vorliegt, beurteilt sich im Kanton Zürich in einem Nebenverfahren zum hängigen Hauptverfahren, das in den §§ 95 ff. des Gerichtsverfassungsgesetzes des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 (GVG/ZH; LS 211.1) geregelt ist. Zuständig ist die jeweilige Aufsichtsbehörde bzw. betreffend Mitglieder des Obergerichts und des Kassationsgerichts das Gericht selbst (§ 101 Abs. 1 und 2 GVG/ZH). Die Zuständigkeit zur Beurteilung von Ablehnungsbegehren gegen Handelsrichter liegt bei der Verwaltungskommission des Obergerichts (§ 31 Ziff. 4 lit. b Verordnung des Obergerichts vom 22. Juni 2005 über die Organisation des Obergerichts [LS 212.51]).
Bei den angefochtenen Beschlüssen der Verwaltungskommission des Obergerichts vom 18. September 2009 und des Kassationsgerichts vom 14. Dezember 2009 handelt es sich um selbständig eröffnete Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren im Sinn von <ref-law>. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsmittelweg demjenigen in der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Vorliegend ist demnach die Beschwerde in Zivilsachen zulässig, da es in der Hauptsache um eine vermögensrechtliche Zivilsache mit einem Streitwert über Fr. 30'000.-- geht (Fr. 4,825 Mio.). Die innert 30 Tagen seit Eröffnung des Kassationsgerichtsbeschlusses eingereichte Beschwerde ist auch rechtzeitig erfolgt, soweit sie sich gegen den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts richtet (<ref-law>). Insoweit steht dem Eintreten auf die Beschwerde nichts entgegen (vgl. aber die nachstehenden Erwägungen).
2. Der Beschwerdeführer beantragt, es sei festzustellen, dass das Handelsgericht des Kantons Zürich zumindest im Prozess über Klagen von nicht im Handelsregister eingetragenen Personen gemäss § 63 Ziff. 1 GVG/ZH kein unabhängiges und unparteiisches Gericht im Sinn von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist. Er stellt dieses Begehren zwar im Rahmen des beim Handelsgericht hängigen Haftpflichtprozesses, formuliert es aber losgelöst von diesem und bezieht die anbegehrte Feststellung allgemein auf das Handelsgericht in allen Prozessen gemäss § 63 Ziff. 1 GVG/ZH. Weder beantragt er den Ausstand eines bestimmten Gerichtsmitglieds noch aller in seinem Rechtsstreit mitwirkenden Richter. Das abstrakte, vom konkreten Haftpflichtprozess losgelöste Feststellungsbegehren ist unzulässig. Der Beschwerdeführer besitzt keinen solchen Feststellungsanspruch. Die grundrechtliche Garantie eines auf Gesetz beruhenden, unabhängigen und unparteiischen Gerichts im Sinn von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK entfaltet sich für den Rechtssuchenden primär im konkreten Fall, indem er Anspruch darauf hat, dass sein Rechtsstreit von einem verfassungs- und konventionskonformen Gericht beurteilt wird. Diese Garantie verleiht ihm aber grundsätzlich kein Recht, die Gerichtsorganisation oder eine bestimmte Gerichtsbehörde unabhängig von einem ihn betreffenden Rechtsstreit generell auf Verfassungs- und Konventionskonformität überprüfen zu lassen. Eine solche abstrakte Überprüfung könnte das Bundesgericht nur im Rahmen eines abstrakten Normenkontrollverfahrens nach <ref-law> (vgl. dazu Aemisegger/Scherrer, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 23 ff. zu <ref-law>) vornehmen, in dem das kantonale Gerichtsorganisationsgesetz, welches das fragliche Gericht institutionalisiert, fristgerecht nach seiner massgebenden Veröffentlichung angefochten wird. Ein solches Verfahren ist aber hier nicht hängig. Im vorliegenden Verfahren kann das Bundesgericht nicht abstrakt, d.h. losgelöst von einem konkreten handelsgerichtlichen Verfahren feststellen, dass das Handelsgericht des Kantons Zürich in Prozessen gemäss § 63 Ziff. 1 GVG/ZH kein unabhängiges und unparteiisches Gericht im Sinn von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist. Auf das so verstandene Feststellungsbegehren des Beschwerdeführers kann daher nicht eingetreten werden.
3. Da der Beschwerdeführer das genannte Begehren im Rahmen des beim Handelsgericht hängigen Haftpflichtprozesses gestellt hat, kann es in Berücksichtigung der Begründung der Beschwerde immerhin dahingehend interpretiert und entgegengenommen werden, dass der Beschwerdeführer die Zusammensetzung des Handelsgerichts mit zwei Berufsrichtern und drei Fachrichtern in seinem konkreten Rechtsstreit als verfassungs- bzw. konventionswidrig rügt.
3.1 Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, denen in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite zukommt, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei (<ref-ruling> E. 5.2 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1.2.1 S. 34 f.; je mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Letzteres betrifft vor allem Konstellationen einer Vorbefassung des Richters. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen).
3.2 Die Befangenheit eines Richters kann sich nicht nur aus der besonderen Konstellation im Einzelfall, sondern auch aus der vom Kanton gewählten Gerichtsorganisation ergeben (<ref-ruling> E. 6.1 S. 6; <ref-ruling> E. 3a S. 122 mit Hinweis). Solches macht der Beschwerdeführer vorliegend geltend. Er hält das Handelsgericht für verfassungs- und konventionswidrig zusammengesetzt, weil nach § 59 Abs. 2 GVG/ZH nur Firmeninhaber resp. leitende Angestellte als Handelsrichter gewählt werden können, und das Handelsgericht dementsprechend nicht paritätisch zusammengesetzt sei. Zudem würden die Handelsrichter in Kammern eingeteilt. Dies habe zur Folge, dass die vom Gerichtspräsidenten für einen konkreten Prozess bestimmten Handelsrichter meistens aus der gleichen Branche stammten. Gerade in der Versicherungsbranche mit den nur wenigen verbleibenden Wettbewerbern, die zudem in der Lobbyorganisation des Schweizerischen Versicherungsverbandes zusammengeschlossen seien, entstehe der Anschein, dass hier besondere Beziehungen bestünden, die im entscheidenden Moment ausgenützt würden. In Haftpflichtprozessen würden regelmässig drei leitende Angestellte von Versicherern als Fachrichter amten. Es bestehe daher von vornherein eine Uniformität in der Grundhaltung und damit auch in der Beurteilungsoptik der drei Fachrichter. Hinzu komme, dass diese drei Fachrichter gegenüber den zwei vollamtlichen Oberrichtern die Mehrheit hätten (§ 60 GVG/ZH), demnach ihre Meinung gegenüber diesen durchsetzen könnten.
3.3 Die Verwaltungskommission des Obergerichts beurteilte dieses Vorbringen des Beschwerdeführers als rechtsmissbräuchlich bzw. unbegründet. Das Kassationsgericht hielt die Rüge für verwirkt. Es verstosse gegen Treu und Glauben, wenn sich eine Partei in Kenntnis der gesetzlich vorgeschriebenen Zusammensetzung des handelsgerichtlichen Spruchkörpers in Ausübung ihres Wahlrechts (nach § 63 Ziff. 1 GVG/ZH) zunächst für dieses Gericht entscheide, obschon sie frei wäre, stattdessen an den ordentlichen Richter zu gelangen, um (hier: Jahre) später und ohne dass sich diesbezüglich die rechtlichen oder tatsächlichen Verhältnisse geändert hätten, eben dieses Gericht wegen fehlender paritätischer Zusammensetzung abzulehnen bzw. seine Verfassungsmässigkeit in Zweifel zu ziehen.
3.4 Wer einen Ablehnungsgrund nicht unverzüglich nach dessen Kenntnisnahme geltend macht, verwirkt den Anspruch auf seine spätere Anrufung (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.3.1; <ref-ruling> E. 4.3 S. 496 f.).
Dem Beschwerdeführer ist zuzugestehen, dass er das Recht, die Verfassungs- bzw. Konventionswidrigkeit des Handelsgerichts geltend zu machen, nicht bereits deshalb eingebüsst hat, dass er das Handelsgericht freiwillig in Ausübung der Wahlmöglichkeit nach § 63 Ziff. 1 GVG/ZH angerufen hat. Auch ein gewähltes bzw. prorogiertes Gericht muss die verfassungsrechtlichen Anforderungen an ein unabhängiges und unparteiisches Gericht erfüllen.
Indessen ist es mit dem Kassationsgericht als gegen Treu und Glauben verstossend zu werten, dass der Beschwerdeführer, der seine Klage im November 1996 beim Handelsgericht anhängig machte, über zwölf Jahre zuwartete, um im Mai 2009 die seiner Ansicht nach verfassungswidrige Zusammensetzung des Handelsgerichts geltend zu machen, ohne dass sich in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht bezüglich der von ihm angerufenen Umstände etwas geändert hätte. Er bringt vor, er sei sich erst durch die Schrift von Daniel Schwander, Das Zürcher Handelsgericht und die branchenspezifische Zusammensetzung seines Spruchkörpers, Berlin 2009 der Verfassungswidrigkeit des Zürcher Handelsgerichts bewusst geworden. Dies mag möglicherweise zutreffen, soweit er eine verfassungswidrige Zusammensetzung damit begründet, dass das Wahlprozedere wegen der durch die Kommission für das Handelswesen unterbreiteten Wahlvorschläge nicht korrekt sei (dazu Erwägung 4), was nach den Vorbringen des Beschwerdeführers in der Schrift von Daniel Schwander insbesondere thematisiert werde. Die von ihm beanstandeten, die Gerichtsorganisation betreffenden Gesetzesnormen bestanden hingegen schon bei der Klageeinreichung im Jahre 1996. So namentlich die Bestimmung, wonach als Handelsrichter nur wählbar ist, wer in einer Firma als Inhaber oder in leitender Stellung tätig ist oder während mindestens zehn Jahren eine solche Stellung bekleidet hat (§ 59 Abs. 2 GVG/ZH), und wonach die Handelsrichter im jeweiligen Spruchkörper die Mehrheit bilden (§ 60 Abs. 1 GVG/ZH). Ferner sah das Gesetz auch schon damals vor, dass die Handelsrichter für die Behandlung der einzelnen Rechtssachen nach Möglichkeit unter Berücksichtigung ihrer Sachkunde bezeichnet werden (§ 60 Abs. 2 GVG/ZH), woraus sich die beanstandete "branchenspezifische Zusammensetzung" des Spruchkörpers ergibt. Der Beschwerdeführer hätte demnach die gerügte institutionelle Verfassungswidrigkeit seit Beginn des Verfahrens unverzüglich geltend machen können und müssen. Daran vermag insbesondere nichts zu ändern, dass das Kassationsgericht des Kantons Zürich in einem im Februar 1996 ergangenen Entscheid die Auffassung vertreten hatte, das Handelsgericht sei konventions- und verfassungsrechtlich zulässig, wie der Beschwerdeführer unter Berufung auf ZR 96 (1997) Nr. 20 S. 56 geltend macht. Das Kassationsgericht hatte sich in diesem Entscheid gerade mit den hier kritisierten Bestimmungen des GVG/ZH auseinandergesetzt und befunden, es ergäbe sich daraus keine verfassungs- oder konventionswidrige Gerichtsorganisation. Wenn dieser Entscheid dem Beschwerdeführer, seinen Vorbringen nach zu schliessen, bereits bei Verfahrenseinleitung bekannt war, und er an seiner Richtigkeit zweifelt, hätte er seine abweichende Auffassung sofort einbringen müssen. Statt bei Verfahrensbeginn unverzüglich zu handeln, wartete er indessen mehr als zwölf Jahre zu, bis er im Mai 2009 die seiner Ansicht nach institutionelle Verfassungs- und Konventionswidrigkeit des Handelsgerichts geltend machte. Das Kassationsgericht nahm zu Recht an, dass er in diesem Zeitpunkt mit seinen diesbezüglichen Vorbringen nicht mehr zu hören war, weil er die entsprechenden Rügen verwirkt hatte.
4. Der Beschwerdeführer machte beim Kassationsgericht geltend, bei der in § 59 Abs. 1 GVG/ZH erwähnten Kommission für das Handelswesen, die dem Kantonsrat als Wahlbehörde der Handelsrichter eine Liste mit Kandidaten vorschlage, handle es sich um ein Organ der Exekutive und nicht - wie es der seit 1. Januar 2006 geltende Art. 75 Abs. 1 der Verfassung vom 27. Februar 2005 des Kantons Zürich (KV/ZH; SR 131.211) verlange - um eine vom Kantonsrat bestimmte Kommission, die die Richterkandidaturen prüfe. Insofern als daher die heute amtierenden Handelsrichter verfassungs- und konventionswidrig gewählt worden seien, sei der Anspruch des Beschwerdeführers auf ein gesetzmässig besetztes Gericht verletzt worden. Das Kassationsgericht trat auf diese Rüge nicht ein und prüfte demnach die Frage nicht, ob sich das Wahlprozedere für Handelsrichter, wie es in § 59 Abs. 1 GVG/ZH geregelt ist, noch in Übereinstimmung mit Art. 75 Abs. 1 der seit 1. Januar 2006 in Kraft stehenden Kantonsverfassung befindet. Denn diese Frage habe der Beschwerdeführer im erstinstanzlichen Verfahren nicht aufgeworfen und es fänden sich dementsprechend auch keine Erwägungen im Beschluss der Verwaltungskommission.
Der Beschwerdeführer rügt, dass das Kassationsgericht seinem "rechtlichen Hinweis" nicht nachgegangen sei. Er verweist auf Seite 4 seines Gesuchs vom 19. Mai 2009. Dort findet sich indessen lediglich ein Zitat von § 59 Abs. 1 GVG/ZH, in dem die Kommission für das Handelswesen erwähnt wird. Darüber hinausgehende Hinweise oder gar die Rüge eines verfassungswidrigen Wahlverfahrens sind im Gesuch des Beschwerdeführers nicht enthalten. Entsprechend findet sich im Beschluss der Verwaltungskommission auch nicht eine Feststellung, "dass die Art der Wahl der Richter durch die Kommission für das Handelswesen, wie sie in § 59 GVG/ZH vorgesehen ist, verfassungskonform ist", wie der Beschwerdeführer vor Kassationsgericht behauptete. Die Verwaltungskommission führte lediglich aus, indem sich der Beschwerdeführer bewusst für das Handelsgericht entschieden habe (§ 63 Ziff. 1 GVG/ZH), habe er sich auch mit der Art der Bestellung der Mitglieder des Handelsgerichts abgefunden. Diese Ausführung bezieht sich klarerweise auf den gerügten Beizug von drei Fachrichtern aus Versicherungskreisen. Die Verfassungswidrigkeit der Kommission für das Handelswesen machte der Beschwerdeführer vor erster Instanz aber nicht geltend, weshalb das Kassationsgericht zu Recht auf diese Frage nicht eingegangen ist.
5. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Handelsgericht des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Klett Sommer