Sachverhalt:
A. Am 16. Dezember 2010 vollzog das Betreibungsamt Küssnacht gegenüber X._ die Pfändung; dabei wurde für die Pfändungsgruppe Nr. 5413 der PW "Audi A6 Allroad 3.0TDI" gepfändet (Pfändungsurkunde vom 19. Januar 2011). Hiergegen erhob X._ drei Beschwerden, welche das Bezirksgericht Küssnacht (Präsidium) als untere Aufsichtsbehörde in Betreibungssachen mit Verfügungen vom 25. März 2011 (APD 2011 1, APD 2011 4) und vom 28. März 2011 (APD 2011 5) abwies, soweit darauf eingetreten wurde.
B. X._ zog die Verfügungen am 5. April 2011 mit Beschwerde weiter. Am 7. April 2011 wies das Kantonsgericht des Kantons Schwyz, Beschwerdekammer (Präsidium), als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. Am 15. April 2011 erfolgte die Verwertung des gepfändeten Fahrzeuges durch betreibungsamtliche Versteigerung. Mit Verfügung vom 28. April 2011 schrieb die obere Aufsichtsbehörde die Beschwerde als durch Gegenstandslosigkeit erledigt ab, weil das Auto in der Zwischenzeit versteigert worden sei. Die Abschreibungsverfügung wurde mit Urteil 5A_327/2011 des Bundesgerichts vom 8. September 2011 aufgehoben.
C. Mit Beschluss vom 5. Oktober 2011 entschied die obere Aufsichtsbehörde neu und wies die Beschwerde von X._ ab, soweit darauf eingetreten wurde. Das Bundesgericht hiess mit Urteil 5A_728/2011 vom 27. Januar 2012 die Beschwerde in Zivilsachen von X._ gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück. Am 10. Dezember 2012 entschied die obere Aufsichtsbehörde neu und wies die Beschwerde von X._ ab, soweit darauf eingetreten wurde.
D. Mit Eingabe vom 2. Januar 2013 (Poststempel) führt X._ Beschwerde in Zivilsachen und beantragt dem Bundesgericht, den Beschluss der oberen Aufsichtsbehörde vom 5. Oktober 2011 aufzuheben. In der Sache verlangt er (sinngemäss) im Wesentlichen, die im Bundesgerichtsurteil 5A_728/2011 vom 27. Januar 2012 angeordnete Sachverhaltsabklärung zu treffen.
Die obere Aufsichtsbehörde hat sich nicht vernehmen lassen. Das Betreibungsamt beantragt (unter Hinweis auf die Vernehmlassung im kantonalen Verfahren) die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden über Verfügungen der Vollstreckungsorgane gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Sie ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (<ref-law>). Die Beschwerde ist fristgemäss erhoben worden (<ref-law>) und grundsätzlich zulässig.
1.2 Mit vorliegender Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
2. Die obere Aufsichtsbehörde hat im Wesentlichen festgehalten, das Bundesgericht habe im Urteil 5A_728/2011 vom 27. Januar 2012 (E. 3 und E. 4.5.3) sinngemäss ausgeführt, dass bei Bestehen eines Mehrerlöses (für die Pfändungsgruppe Nr. 5413) festzustellen sei, ob eine gesundheitliche Belastung des Beschwerdeführers die Notwendigkeit des zusätzlichen Fahrzeugs zur Berufsausübung begründen und diesem Kompetenzcharakter zukommen könne. Das Vorhandensein eines Mehrerlöses sei Voraussetzung zur Prüfung der Pfändbarkeit. Für die Pfändungsgruppe Nr. 5413, zu deren Gunsten das (vorgepfändete) Fahrzeug ebenfalls gepfändet worden sei, bleibe gestützt auf die Feststellungen des Betreibungsamtes nach der Verwertung kein Mehrerlös mehr, für welchen der Kompetenzcharakter des Fahrzeugs von Bedeutung wäre, weshalb die Beschwerde unbegründet sei.
Der Beschwerdeführer wirft der oberen Aufsichtsbehörde im Wesentlichen vor, die vom Bundesgericht angeordnete Sachverhaltsabklärung nicht durchgeführt zu haben.
3. Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt das bundesgerichtliche Rückweisungsurteil 5A_728/2011 vom 27. Januar 2012. Umstritten ist, ob sich die obere Aufsichtsbehörde an die Erwägungen im Urteil gehalten hat.
3.1 Die Erwägungen eines bundesgerichtlichen Rückweisungsurteils (<ref-law>) sind sowohl für jene Behörde verbindlich, an welche die Angelegenheit zurückgeht, als auch für das Bundesgericht selber, wenn dieses erneut über die Sache zu entscheiden hat. Weder das kantonale Gericht noch das Bundesgericht dürfen sich deshalb in ihrem neuen Entscheid auf Erwägungen stützen, welche das Bundesgericht im Rückweisungsurteil ausdrücklich oder sinngemäss verworfen hat. Hingegen darf der neuerliche Gerichtsentscheid mit Erwägungen begründet werden, welche im letztinstanzlichen Rückweisungsurteil noch nicht angeführt wurden oder zu denen sich das Bundesgericht noch nicht geäussert hat (vgl. <ref-ruling> E. 3c/bb S. 354; <ref-ruling> E. 5.2 S. 94; Urteil 2C_1020/2011 vom 16. November 2012 E. 4.2, mit Hinweisen).
3.2 Mit dem erwähnten Bundesgerichtsurteil wurde der Beschluss der oberen Aufsichtsbehörde vom 5. Oktober 2011 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen (Dispositivziffer 1). Das Bundesgericht hat für die Pfändung in der Gruppe Nr. 5413 erwogen, dass für die Frage der Unpfändbarkeit eines Gegenstandes die Umstände im Einzelfall im Zeitpunkt der betreffenden Pfändung massgebend sei (E. 4.1). Es hat weiter festgehalten, dass der umstrittene Punkt, ob die behaupteten gesundheitlichen Probleme des Beschwerdeführers den Audi zur Berufsausübung notwendig machen, sich nicht überprüfen lasse, da entsprechende Tatsachenfeststellungen fehlten; der massgebende Sachverhalt sei nicht vollständig abgeklärt und die Beschwerde insoweit begründet, was die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Folge habe (E. 4.5.3). Mit Bezug zum Verfahrensausgang hat das Bundesgericht wiederum festgehalten, dass die Sache zur Abklärung, ob die vom Beschwerdeführer behaupteten gesundheitlichen Probleme den Audi zur Berufsausübung notwendig machen, und zur neuen Entscheidung zurückzuweisen sei (E. 6). Diesen Erwägungen lässt sich keine weitere Voraussetzung zur Vornahme der Abklärung betreffend die vom Beschwerdeführer behaupteten gesundheitlichen Probleme im massgebenden Zeitpunkt (Pfändung Gruppe Nr. 5413) entnehmen.
3.3 Die obere Aufsichtsbehörde hat dem Rückweisungsurteil (in E. 3) entnommen, dass die erwähnte Sachverhaltsabklärung nur vorzunehmen sei, falls sich nach der Verwertung des gepfändeten Fahrzeuges tatsächlich ein Mehrerlös für die Pfändungsgruppe Nr. 5413 ergebe; das Vorliegen eines Mehrerlöses sei "unabdingbare Voraussetzung" zur Pfändungsanfechtung.
3.3.1 Die Vorinstanz stellt ihren Erwägungen die Frage voran, wie "beispielsweise" eine mehrfach gepfändete Sache zu verwerten wäre, welche in der vorgehenden Pfändung bereits verwertet und physisch nicht mehr vorhanden wäre. Diese Ausführungen gehen am massgeblichen Sachverhalt vorbei. Das Fahrzeug wurde am 16. Dezember 2010 (auch) für die Pfändungsgruppe Nr. 5413 gepfändet (Pfändungsurkunde vom 19. Januar 2011); es wurde in der Folge am 15. April 2011 für die vorgehende Pfändungsgruppe Nr. 4984 verwertet (Urteil 5A_728/2011 Lit. A, B). Dieser Sachverhalt - Vorhandensein des Fahrzeuges im Zeitpunkt der angefochtenen Pfändung - liegt dem angefochtenen Entscheid (Lit. A, B) zu Grunde.
3.3.2 Das Bundesgericht hat in E. 3 des Rückweisungsurteils bestätigt, dass die Vorinstanz die Beurteilung mit gutem Grund vorgenommen habe, denn die betreibungsrechtliche Beschwerde wegen Unpfändbarkeit sei durch das Bestehen einer unanfechtbar gewordenen Vorpfändung der gleichen Sache nicht ausgeschlossen; dem Schuldner sei gestattet, sich der Pfändung des Mehrerlöses zu erwehren. Dass die Vorinstanz im Rahmen der Rückweisung Abklärungen vorzunehmen habe, ob in der Folge - d.h. nach der angefochtenen Pfändung gemäss <ref-law> - ein Mehrerlös resultiere, lässt sich E. 3 nicht entnehmen.
3.3.3 Entgegen der vorinstanzlichen Meinung hat sich das Bundesgericht zur Frage, ob der Beschwerdeführer zur Anfechtung der Pfändung (Gruppe Nr. 5413) berechtigt sei, in positivem Sinn geäussert. Es hat festgehalten, dass "der Schuldner sich der Pfändung des Mehrerlöses erwehren kann" und Beschwerde gegen die Pfändung gemäss <ref-law> führen kann. Zur Erläuterung wurde zusätzlich auf die einschlägige Rechtsprechung und Literatur hingewiesen. Danach gilt die neue Pfändung nicht "als blosse Pfändung des Mehrerlöses, sondern, wenn auch in nachgehendem Rang, als Pfändung der Sache selbst", und hat der Schuldner "an der Anfechtung einer nachgehenden Pfändung ein gleichartiges Interesse wie gegenüber einer ersten Pfändung" (BGE 63 III 61 S. 62/63). Wenn das Bundesgericht im Rückweisungsurteil die Anfechtbarkeit der Pfändung bejaht hat, liegt keine Frage vor, welche noch nicht angeführt worden ist oder zu welcher sich das Bundesgericht noch nicht geäussert hat. Im Übrigen entspricht die Erwägung anerkannter und dokumentierter Rechtsauffassung (vgl. u.a. KREN KOSTKIEWICZ/WALDER, SchKG Kommentar, 18. Aufl. 2012, N. 23 zu Art. 110; WERNLI, in: Kurzkommentar SchKG, 2009, N. 13 zu Art. 110, je mit Hinweisen). Die Erwägung im Rückweisungsurteil - Bejahung des Anfechtungsrechts - ist sowohl für die Vorinstanz als auch für das Bundesgericht verbindlich, und es besteht weder Raum noch Anlass, um das Recht des Beschwerdeführers an der materiellen Prüfung der Pfändbarkeit erneut in Frage zu stellen.
3.4 Nach dem Dargelegten verletzt der angefochtene Entscheid die Regeln über die Rückweisung (<ref-law>). Die Beschwerde ist begründet.
4. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Sache ist erneut zur Abklärung, ob die vom Beschwerdeführer behaupteten gesundheitlichen Probleme den Audi zur Berufsausübung notwendig machten, und zur neuen Entscheidung zurückzuweisen.
Es werden im vorliegenden Fall noch einmal keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>; vgl. <ref-law>). Eine Parteientschädigung ist dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>; Art. 1 des Reglementes über die Parteientschädigung; SR 173.110.210.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen. Der Beschluss des Kantonsgerichts des Kantons Schwyz, Beschwerdekammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs vom 10. Dezember 2012 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante