Faits:
A.
A.a. La société A._ SpA, sise en Italie, fabrique des pièces d'équipement en plastique pour les automobiles. Dès le 1er novembre 2002, elle s'est liée par un "contrat de représentation industrielle" à la société française B._ SA. Les parties ont ensuite signé une nouvelle convention le 1er août 2005; la société italienne, agissant en son nom et pour ses filiales et autres sociétés dans lesquelles elle détenait des participations, s'engageait à accorder à sa partenaire française la représentation commerciale des produits fabriqués par son groupe. La clientèle visée était le constructeur C._ et ses différentes filiales dans le monde, ainsi que le constructeur D._ et ses filiales dans le monde, à l'exception de l'Amérique du Sud. La représentante française avait droit à des commissions sous la forme d'un pourcentage du chiffre d'affaires généré par les commandes qu'elle prenait. L'autre partie devait lui adresser un relevé de facturation récapitulant les commandes passées par les constructeurs concernés. Le contrat était conclu pour une durée de cinq ans; il était renouvelable tacitement à défaut de résiliation signifiée six mois avant l'échéance. Le "Tribunal de commerce de Genève" était déclaré exclusivement compétent en cas de litige.
A.b. En novembre 2007, le groupe A._ a racheté une société E._ qui réalisait 80 % de son chiffre d'affaires avec D._. Il a été convenu que ledit constructeur continuerait à passer ses commandes en priorité avec cette entité, qui est devenue A.A._.
Lors d'une réunion tenue le 21 février 2008, la société italienne a informé sa cocontractante que suite au rachat susmentionné, elle souhaitait désormais gérer elle-même l'ensemble des activités du groupe A._ en France, et par conséquent se passer de ses services pour ce pan d'activités. Elle proposait de maintenir le contrat jusqu'à son terme du 31 juillet 2010, mais en payant des commissions uniquement sur certaines pièces dont elle avait dressé la liste. La représentante française devait s'engager à ne plus entreprendre de nouvelles actions commerciales durant cette période et à laisser l'équipe du groupe A._ se rendre seule chez les clients et développer de nouvelles affaires pour l'ensemble des activités du groupe. Elle devait aussi s'abstenir de commercialiser des produits équivalents jusqu'à la fin du contrat.
Par courriel du 22 février 2008, B._ SA a demandé un délai de réflexion, en soulignant qu'elle avait mis en relation des personnes qui avaient ensuite entamé des négociations pour le rachat de la société E._. Le 4 avril 2008, elle a écrit que de son point de vue, la société rachetée par sa cocontractante entrait pleinement dans le champ d'application de leur contrat et que l'offre faite le 21 février 2008 revenait en réalité à mettre un terme anticipé au contrat. Elle s'est déclarée disposée à mettre en oeuvre toute solution susceptible de préserver ses intérêts, à savoir intégrer de manière prospective les commissions susceptibles d'être perdues jusqu'à fin 2010 et déterminer sur ces bases l'indemnité pour rupture de contrat. Elle a formulé des propositions chiffrées.
N'ayant pas obtenu de réponse, la société française a relancé sa cocontractante par courrier du 28 avril 2008, en se plaignant du fait que depuis le début de l'année, elle n'avait reçu aucune information lui permettant de facturer ses commissions. La société italienne s'est engagée à prendre position dans les quinze jours, engagement qu'elle n'a pas respecté, malgré un rappel effectué le 19 mai 2008.
Un litige s'en est suivi.
B.
B.a. Le 18 juin 2010, B._ SA a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une demande en paiement contre A._ SpA. Elle prétendait au montant total de 790'023 EUR, intérêts en sus.
Par jugement du 17 décembre 2012, le tribunal a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse 604'876 EUR plus intérêts, montant qui incluait des commissions dues jusqu'à la rupture du contrat, une indemnité pour la perte de commissions entraînée par la résiliation anticipée et une indemnité pour perte d'exploitation à l'avenir. La défenderesse a été condamnée aux dépens, comprenant une indemnité de 30'000 fr. à titre de participation aux frais d'avocat de la partie adverse.
B.b. La défenderesse a déféré cette décision auprès de la Chambre civile de la Cour de justice, laquelle a rejeté son appel par arrêt du 22 novembre 2013. La cour a notamment confirmé l'analyse du premier juge selon laquelle le droit français était applicable au présent litige, les parties étant liées par un contrat d'agent commercial au sens des articles L. 134 ss du Code de commerce français. Elle a également confirmé que la défenderesse était à l'origine de la rupture anticipée du contrat (cf. au surplus infra, consid. 2.2).
C.
A._ SpA saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile dans lequel elle requiert que l'action soit rejetée, qu'il soit pris acte qu'elle s'engage à verser à la partie adverse la somme de 77'366 EUR à titre de commissions pour la période du 1er janvier 2007 au 31 mai 2008, et qu'il soit constaté que l'indemnité de 30'000 fr. pour la procédure de première instance est excessive. Le recours contient également une requête d'effet suspensif.
L'intimée B._ SA conclut au rejet du recours, respectivement de la requête d'effet suspensif. L'autorité précédente se réfère à son arrêt et s'en remet à justice quant à l'effet suspensif.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière civile permet notamment de dénoncer la violation du droit fédéral, notion qui inclut les droits constitutionnels (art. 95 let. a LTF), ou l'inapplication du droit étranger désigné par le droit international privé suisse (art. 96 let. a LTF). Dans les affaires pécuniaires, le justiciable ne peut pas se plaindre d'une application erronée du droit étranger (art. 96 let. b LTF a contrario); tout au plus peut-il faire valoir que l'application de ce droit est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 3.1).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office, hormis les droits constitutionnels (art. 106 LTF). Pour ceux-ci - notamment la prohibition de l'arbitraire consacrée à l'art. 9 Cst. - prévaut le principe de l'allégation; le recourant doit expressément soulever le grief et exposer de manière claire et circonstanciée, si possible documentée, en quoi consiste la violation du droit ou principe constitutionnel invoqué (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2 et 1.4.3). Des critiques de type purement appellatoire ne sont pas admissibles. Le grief doit être développé dans le recours même, un renvoi à d'autres écritures ou à des pièces n'étant pas admissible (<ref-ruling> consid. 3.2). Il doit exister un lien entre la motivation du recours et la décision attaquée. Le recourant doit se déterminer par rapport aux considérants de l'arrêt entrepris; il ne peut se contenter de reprendre presque mot pour mot l'argumentation formée dans le cadre du recours cantonal sans expliquer en quoi l'autorité cantonale supérieure viole elle aussi le droit fédéral (<ref-ruling> consid. 2.1 et 2.3).
2.
2.1. La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir apprécié les preuves de manière arbitraire en refusant de constater que l'intimée avait cessé toute activité après la réunion du 21 février 2008 et qu'elle était ainsi à l'origine de la résiliation du contrat.
2.2. La Cour de justice était confrontée aux versions suivantes: la recourante plaidait avoir proposé de modifier le contrat en ce sens qu'elle entendait désormais traiter directement avec le client D._ sur le marché français, suite à quoi l'intimée aurait cessé d'exécuter le contrat et l'aurait contrainte à mettre en place une nouvelle structure pour continuer à vendre ses produits. Quant à l'intimée, elle soutenait que la partie adverse avait mis un terme à leurs relations en lui imposant une modification et en ne lui donnant plus aucune nouvelle.
La cour a porté l'appréciation suivante: lors de la séance du 21 février 2008, la recourante avait proposé une modification unilatérale du contrat ayant une incidence non négligeable sur la rémunération de l'intimée. Celle-ci ne l'avait pas acceptée; dans un courriel du 4 avril 2008, elle avait précisé que cette proposition revenait en fait à mettre un terme anticipé au contrat. La recourante n'avait nullement contesté ce point de vue. Elle ne s'était pas prononcée sur les propositions concernant la fin de leurs relations contractuelles et n'avait pas donné de nouvelles à l'intimée, nonobstant les deux relances effectuées les 28 avril et 19 mai 2008.
Pour la cour d'appel, la recourante reprochait à tort au premier juge d'avoir écarté les déclarations de ses employés (témoins R._, S._ et T._) qui, à son sens, contredisaient les déclarations partiales des représentants de l'intimée (U._ et son successeur V._). Ces derniers avaient déclaré que l'intimée n'avait pu continuer son activité que pendant deux mois, jusqu'en avril 2008. Or, cette version était corroborée par les pièces produites par l'intimée, soit les courriels des 22 février et 4 avril 2008, ainsi que les deux relances effectuées en mai et juin 2008; ces éléments attestaient du fait que la recourante avait cessé tout contact avec l'intimée après la réunion où elle avait déclaré vouloir se passer de ses services pour une partie des activités couvertes par le contrat. Pour sa part, la recourante n'avait produit aucun élément permettant de confirmer sa version. Bien au contraire, il résultait du dossier que la dernière documentation remise était celle relative à l'activité de 2007. En cessant de communiquer avec l'intimée et en ne lui transmettant pas les éléments et la documentation nécessaires, elle l'avait empêchée d'exercer son activité et de facturer ses commissions, en violation du contrat et de la loi française. En définitive, la cessation du contrat était clairement imputable au comportement de la recourante (arrêt attaqué, p. 16 s.).
2.3. La recourante présente une argumentation quasi identique à celle de son mémoire d'appel, en reprochant à l'autorité précédente d'avoir ignoré sans motifs valables les témoignages de ses propres employés et d'avoir privilégié sans raison valable les déclarations des représentants de la partie adverse. Elle ne conteste pas que ces témoignages-ci sont corroborés par des pièces; elle se borne à objecter que les déclarations de ses propres témoins concordent et sont confirmées par la pièce 6, sans autre explication. Un tel procédé ne répond pas aux exigences de motivation concernant le grief d'arbitraire. L'on relèvera simplement que la pièce 6 est une copie du courriel du 22 février 2008 dans lequel l'intimée résume la séance de la veille et évoque la "proposition de modification du contrat" présentée par sa cocontractante; l'on ne voit pas en quoi cet élément conforterait la thèse de la recourante. Celle-ci plaide aussi que la déposition du témoin V._ ne saurait être prise en compte dès lors qu'il a racheté la société intimée en juillet 2009 et n'a donc pas participé aux négociations et à la séance du 21 février 2008. Ce grief est recevable, mais infondé. Il est en effet concevable que le témoin oeuvrait déjà au sein de l'intimée avant d'en devenir propriétaire. Au demeurant, la cour cantonale s'est aussi appuyée sur les déclarations du précédent propriétaire présent au moment des faits litigieux ainsi que sur des pièces du dossier, ce qui suffit à exclure tout arbitraire. Le grief est ainsi rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité.
3.
3.1. La recourante fait ensuite grief à la cour d'appel d'avoir alloué à l'intimée une indemnité pour cessation de contrat en se fondant sur l'art. 3 de leur convention, alors qu'elle aurait dû tout au plus appliquer l'art. L. 134-12 al. 1 du Code de commerce français. En s'abstenant d'appliquer cette disposition de droit étranger, la cour aurait réalisé les prévisions de l'art. 96 let. a LTF.
3.2. A l'instar du premier juge, la Cour de justice a considéré que les parties étaient liées par un contrat d'agent commercial au sens des art. L. 134 ss du Code de commerce français. En contestant l'indemnité allouée et son fondement, la recourante critique bel et bien la manière dont a été appliqué le droit étranger, comme le souligne à juste titre la partie adverse. Il n'y a ainsi pas à entrer en matière sur cette question, dès lors que la recourante n'a pas dénoncé une application arbitraire du droit français.
4.
4.1. La recourante reproche enfin à la Cour de justice d'avoir versé dans l'arbitraire en refusant de mettre une partie des dépens à la charge de l'intimée, nonobstant le fait qu'elle avait engendré des frais inutiles par ses réquisitions de preuve. Ce faisant, la cour aurait violé l'art. 176 al. 2 de l'ancienne loi de procédure civile genevoise (aLPC/GE).
4.2. L'intimée plaide l'irrecevabilité du grief, en soulignant notamment que la recourante a dénoncé une violation de l'art. 176 aLPC/GE, et non une violation arbitraire. L'on ne saurait suivre ce point de vue. La recourante explique qu'à son sens, l'autorité précédente a refusé arbitrairement de retenir des frais inutiles au sens de l'art. 176 al. 2 aLPC/GE; elle dénonce ainsi clairement une application arbitraire de l'ancien droit cantonal.
4.3. L'article 176 aLPC/GE avait la teneur suivante:
1 Tout jugement, même sur incident, doit condamner aux dépens la partie qui succombe.
2 Cependant, la partie qui a obtenu gain de cause peut être condamnée à une partie des dépens, sans préjudice des peines prévues contre les parties, si elle a provoqué des frais inutiles ou si ses conclusions sont exagérées.
3 Le juge peut toujours compenser les dépens entre époux, partenaires enregistrés, ascendants et descendants, frères et soeurs, alliés aux mêmes degrés et associés, ainsi que lorsque l'équité le commande.
4.4. L'intimée prétendait avoir droit à des commissions sur les chiffres d'affaires réalisés par A.A._ et par A.B._, mentionnée comme l'une des filiales du groupe A._ dans le contrat du 1er août 2005. Suite à une ordonnance du 13 septembre 2011, la recourante a produit 47 classeurs contenant les factures émises par ces sociétés. Après les enquêtes, l'intimée a déposé un mémoire où elle augmentait de 413'600 EUR ses conclusions initiales; elle a ensuite déclaré renoncer à cette amplification. Le tribunal de première instance a jugé que l'intimée n'avait pas droit à des commissions sur les chiffres d'affaires générés par ces deux sociétés. Il n'était pas démontré qu'elle ait joué un rôle dans le rachat de A.A._ ou dans les commandes passées auprès de celle-ci; par ailleurs, il n'était pas établi que A.B._ ait livré les deux constructeurs concernés par le contrat, soit D._ et C._. Le juge a condamné la recourante à de pleins dépens.
Saisie du grief de violation de l'art. 176 aLPC/GE, la Cour de justice a développé l'argumentation suivante: le premier juge avait ordonné par erreur l'entier de la facturation des deux sociétés précitées, alors que la réquisition de l'intimée portait sur les relevés de facturation complets de ces sociétés à l'égard des clients D._ et C._. La recourante aurait pu limiter la production de pièces en signalant que l'ordonnance allait au-delà de la réquisition, ce qu'elle avait omis de faire. Quoi qu'il en soit, la réquisition n'était pas extravagante dès lors que le litige portait sur le point de savoir si l'intimée avait droit à des commissions sur le chiffre d'affaires de ces deux sociétés. Même si le tribunal avait finalement répondu par la négative, la demande de la partie adverse ne pouvait être qualifiée de manifestement inutile.
4.5. La recourante conteste la prétendue erreur du juge, soulignant que celui-ci n'a fait que donner suite à la réquisition formulée par la partie adverse à l'audience du 13 septembre 2011.
La lecture du procès-verbal d'audience confirme cette assertion. Le conseil de l'intimée a déclaré "réclamer la production de la facturation qui concerne A.A._ et A.B._"; l'ordonnance rendue à l'issue de l'audience reprend cette formulation, en précisant la période concernée (1er janvier 2008 au 31 juillet 2010). Il apparaît toutefois que par courrier du 29 juillet 2011, l'intimée avait déjà requis le juge d'ordonner à la recourante de produire "ses relevés de facturation complets à l'égard de D._ et de C._ pour la période du 1er janvier 2008 au 31 juillet 2010, comprenant les montants facturés par A.A._ ainsi que A.B._" (cf. arrêt attaqué, p. 8). L'on rappelle que le contrat prévoyait la production de relevés de facturation récapitulant les commandes passées par les constructeurs (supra, consid. Aa). La recourante a reçu le courrier en question, puisqu'elle s'y réfère dans une correspondance du 17 août 2011 figurant au dossier; elle explique en substance qu'elle s'oppose à cette production et en discutera à l'audience du 13 septembre 2011. Dans ces circonstances, il n'était pas insoutenable de considérer que la réquisition formulée dans le courrier précité était moins contraignante, et que la recourante aurait pu signaler au juge qu'il n'y avait pas de motif d'aller au-delà de celle-ci. Pour le surplus, la recourante ne plaide pas que la réquisition, dans sa teneur du 29 juillet 2011, aurait exigé de sa part des frais particuliers. L'on ne saurait examiner ce point d'office. Au vu de ce qui précède, il n'était pas arbitraire de renoncer à faire supporter à l'intimée une part des frais subis par la recourante. L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait défendable, voire même préférable (<ref-ruling> consid. 2.4 ).
4.6. Pour le surplus, la recourante ne dit pas en quoi l'indemnité pour les frais d'avocat de l'intimée serait excessive. L'on comprend à son argumentation qu'elle entendait obtenir une compensation partielle des dépens pour le motif précité, qui se révèle infondé.
5.
En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. La requête d'effet suspensif s'en trouve par là même privée d'objet.
La recourante, qui succombe, supportera les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 24 avril 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti