Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1977) und B._ (geb. 1975) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von C._ (geb. 2004). Im Mai 2006 trennten sich die Eltern. C._ lebte daraufhin bei der Mutter, welche auch das alleinige Sorgerecht innehatte, und besuchte den Vater jedes zweite Wochenende.
B.
B.a. Vom 19. bis 23. Oktober 2009 sowie vom 3. bis 8. Oktober 2010 war A._ wegen Alkoholsucht in stationärer Behandlung. Dazwischen besuchte sie von November 2009 bis Januar 2010 eine Tagesklinik. Nach einem Rückfall unterzeichneten die Kindseltern am 29. Juni 2011 eine Vereinbarung, wonach sich A._ einer stationären Therapie unterziehen wollte und das Kind bis auf weiteres bei B._ und dessen neuer Lebenspartnerin leben sollte. Am 30. Juni 2011 beantragte B._ zusätzlich die Übertragung der alleinigen elterlichen Sorge an sich selbst.
B.b. Seit dem 3. Juli 2011 wohnt C._ bei B._.
B.c. A._ begab sich am 18. Juli 2011 in stationäre Behandlung in der Psychiatrischen Klinik D._ (bis 2. September 2011). Es folgte eine ambulante psychiatrische Betreuung und bis Sommer 2012 eine Begleitung durch die Institution "E._" in F._.
B.d. Mit Entscheid vom 28. Juli 2011 errichtete die Vormundschaftsbehörde F._ eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 1, Abs. 2 und Abs. 3 ZGB und ernannte eine Beiständin. Gleichzeitig nahm die Behörde von der Parteivereinbarung vom 29. Juni 2011 Kenntnis und verfügte, eine Rückkehr zur Mutter bedürfe der behördlichen Genehmigung gemäss Art. 310 ZGB.
C.
C.a. Am 21. März 2012 beantragte A._ die Rückübertragung der Obhut.
C.b. Die Vormundschaftsbehörde holte bei G._ ein kinderpsychologisches Gutachten über C._ ein, welches am 26. November 2012 erstattet wur de.
C.c. Am 24. Januar 2013 wie derholte B._ seinen Antrag auf Übertragung der alleinigen elterlichen Sorge an sich.
C.d. Die fortan zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde F._ (nachfolgend KESB) beauftragte den Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst D._ mit einer erneuten familienpsychologischen sowie kinder- und jugendpsychiatrischen Begutachtung. Das Gutachten von H._ und Dr. med. I._ datiert vom 22. November 2013 (nachfolgend Gutachten).
C.e. Mit Entscheid vom 28. April/2. Mai 2014 wies die KESB den Antrag von A._ auf Rückübertragung der Obhut ab. Die Obhut werde gestützt auf Art. 310 Abs. 2 ZGB bei B._ belassen. Sodann regelte die KESB das Besuchs- und Ferienrecht und ernannte J._ als neuen Beistand. Das Begehren von B._ auf Übertragung des Sorgerechts wies die KESB ebenfalls ab.
D.
D.a. Gegen diesen Entscheid erhob A._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Thurgau. Sie bekräftigte ihren Antrag auf Rückübertragung der Obhut. C._ sei im Sinne einer vorsorglichen Massnahme unverzüglich in ihre Obhut zu geben.
D.b. B._ schloss mit Beschwerdeantwort vom 16. Juni 2014 im Wesentlichen auf Abweisung der Beschwerde. Sodann beantragte er erneut die alleinige elterliche Sorge für C._.
D.c. Das Obergericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 23. Juli 2014 ab und auferlegte die Verfahrenskosten A._. Auf den Antrag von B._ betreffend elterliche Sorge trat das Obergericht nicht ein.
E.
Mit Eingabe vom 19. September 2014 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, ihr sei die Obhut über C._ zurückzuübertragen. Eventualiter sei mit der Rückübertragung der Obhut eine Familientherapie anzuordnen. Subeventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem beantragt sie die unentgeltliche Rechtspflege.
F.
Das Bundesgericht hat die Akten der Vorinstanzen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG) über eine Kindesschutzmassnahme, mithin eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert. Die Beschwerdeführerin ist als Kindsmutter gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Insofern ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
1.2. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt des Bereichs der verfassungsmässigen Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Beschwerde daher auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (zu den Voraussetzungen der Motivsubstitution <ref-ruling> E. 4 S. 252 mit Hinweis).
Hingegen ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, er sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (Art. 97 Abs. 1 BGG), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Für die Geltendmachung der Verletzung von verfassungsmässigen Rechten (inkl. Willkür) gilt ebenfalls das Rügeprinzip (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.
2.1. Seit dem 1. Juli 2014 sind neue Bestimmungen über die elterliche Sorge in Kraft (AS 2014 357). Das angefochtene Urteil erging nach deren Inkrafttreten (23. Juli 2014). Die Vorinstanz hätte daher die Anwendbarkeit des neuen Rechts prüfen müssen. Allerdings stellt sich vor Bundesgericht die Frage einer Abänderung der elterlichen Sorge nicht (mehr), da der Beschwerdegegner seinerseits keine Beschwerde geführt hat. Umstritten ist die Frage, ob der Junge wieder bei der Beschwerdeführerin leben kann. Diesbezüglich ist für den Ausgang des Verfahrens nicht relevant, ob auf das alte oder das neue Recht abgestützt wird. Angesichts der Bedürfnisse des konkreten Falles wird daher nach folgend auf die Terminologie nach altem Recht zurückgegriffen.
2.2. Wird den sorgerechtsberechtigten Eltern in Anwendung von Art. 310 Abs. 1 ZGB die Obhut über ein Kind entzogen, hat dies zur Folge, dass das Obhutsrecht der Eltern auf die Vormundschaftsbehörde übergeht, welche über den Aufenthaltsort des Kindes bestimmt. Der Obhutsentzug hat dabei keinerlei Auswirkungen auf die elterliche Sorge, welche bei den Eltern verbleibt. Ihnen bleibt lediglich die Ausübung eines Teilgehalts der Sorge - nämlich das Recht über den Aufenthalt des Kindes zu entscheiden - verwehrt (<ref-ruling> E. 4a S. 10 mit Hinweis; zur Definition der Obhut vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 356). Der Obhutsentzug durch die Vormundschaftsbehörde F._ hatte mithin keinen Einfluss auf das (alleinige) Sorgerecht der Beschwerdeführerin, welches diese nach wie vor innehat.
2.3. Der Beschwerdegegner ist zwar der leibliche Vater des betroffenen Kindes, er ist indes nicht sorgerechtsberechtigt. Damit kann ihm keine (rechtliche) Obhut zukommen. Durch die Unterbringung des Kindes bei ihm erhielt er lediglich eine faktische Obhut, welche gleich zu behandeln ist, wie die Unterbringung bei Pflegeeltern (<ref-ruling> E. 2a S. 263 mit Hinweis). Die rechtliche Obhut für das Kind liegt bei der zuständigen KESB. Die Vorinstanz hat damit zu Recht nicht die Argumentation der ersten Instanz übernommen, welche eine Wiederherstellung der Obhut der Beschwerdeführerin abgelehnt hatte, weil es keine "Anhaltspunkte für einen Entzug der Obhut gegenüber dem Kindsvater" gebe. Wie bereits ausgeführt, kam dem Beschwerdegegner keine rechtliche Obhut zu. Daran ändert nichts, d ass der Beschwerdegegner gestützt auf Art. 12 Abs. 4 SchlT ZGB die gemeinsame elterliche Sorge beantragen kann.
3.
3.1. Die Vorinstanz hielt fest, es sei unbestritten, dass eine intakte Mutter-Kind-Beziehung bestehe. Auch hätten die Gutachter eine allgemeine Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin bestätigt. Gemäss diesen habe sie bis Anfang/Mitte des Jahres 2008 einen für das Kind förderlichen Entwicklungsrahmen bieten können. Danach habe der Junge durch ihre Alkoholerkrankung jedoch eine schwere Entwicklungsstörung erlitten. Dies habe dazu geführt, dass er einen besonders feinfühligen Umgang, einen stark strukturierten Alltagsablauf, intensive schulische Förderung und allgemeine Lebensstabilität benötige. Zum Zeitpunkt der Begutachtung habe sich in allen Teilbereichen eine deutlich abgemilderte Entwicklungsstörung bis hin zur teilweise vollständigen Aufholung der Defizite präsentiert. Der Junge selbst habe gemäss Gutachter einen neutralen Standpunkt eingenommen. Er habe seinen Wunsch zum Ausdruck gebracht, bei ungefähr gleich verteilter Betreuungszeit durch seine Eltern, seinen Lebensmittelpunkt bei seiner Mutter haben zu dürfen, weil er es für natürlich halte, wenn ein Kind bei seiner Mutter aufwachse, was die Gutachter allerdings als "wahrscheinlich von Erwachsenen eingebrachte Formulierung und Denkweise", welche vom Kind übernommen worden sei, bezeichnet hätten.
Im Zusammenhang mit der früheren Alkoholerkrankung sei die Beschwerdeführerin nach wie vor in ambulanter psychiatrischer Behandlung bei Dr. med. K._. Dieser habe ausgeführt, bis zu seinem letzten Kontakt mit der Beschwerdeführerin im April 2013 seien ihm keine Alkoholrückfälle bekannt. Er habe die Beschwerdeführerin immer stabiler werdend wahrgenommen. Die Gutachter hätten der Beschwerdeführerin ebenfalls aktuell eine ausreichende Stabilität attestiert; allerdings bestehe in Zukunft das Risiko eines Rückfalls. Ein solcher könne gemäss Gutachter nicht mit einer dauerhaften Vernachlässigung von C._ gleichgesetzt werden. Eine dadurch eventuell notwendige erneute Veränderung der Versorgungslage wäre aber ein grosses Risiko für die Fortsetzung der positiven Entwicklung des Jungen. Die Gutachter hätten daher für den Fall einer Rückgabe eine intensive therapeutische Begleitung von Mutter und Kind empfohlen.
Zusammengefasst befand die Vorinstanz, das nach wie vor bestehende Risiko eines Rückfalls und die gegebenenfalls damit verbundenen Auswirkungen auf den Jungen stünden den Interessen der Kontinuität entgegen. Im Hinblick auf den Gesundheitszustand des Jungen seien wiederholte Umplatzierungen zu vermeiden. Die Beschwerdeführerin habe nicht überzeugend dargelegt, dass sie die besonderen Bedürfnisse des Kindes bedienen könne. Dafür spreche auch, dass sie mit dem Jungen Probleme diskutiert habe, welche auf die Erwachsenenebene gehörten, was zu einer vermeidbaren Belastung des Jungen geführt habe. Weitere ärztliche Berichte oder Belege, welche die Alkoholabstinenz bestätigen würden, habe sie nicht eingereicht (z.B. Antabus-Therapie, regelmässige Haaranalyse). Die Rückübertragung der Obhut sei zu Recht abgelehnt worden.
3.2. Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, es habe den Entscheid mit Argumenten begründet, auf die es im Rahmen von Art. 310 Abs. 3 ZGB nicht ankomme (der Beschwerdegegner sei in der Lage, den Jungen persönlich bzw. mindestens im gleichen Umfang wie die Beschwerdeführerin persönlich zu betreuen; die Beziehung zwischen dem Beschwerdegegner und dem Kind sei gut und intakt). Sodann übersehe es, dass sich vorliegender Fall wesentlich von Pflegeverhältnissen, welche von Art. 310 Abs. 3 ZGB ins Auge gefasst würden, unterscheide. Die vorgenommene Gewichtung sei offensichtlich falsch. Namentlich habe die Vorinstanz ihr Recht als leibliche Mutter, ihr Kind weiterhin selbst zu betreuen, zu pflegen und zu erziehen, nicht berücksichtigt. Ebensowenig ihre Fähigkeit, für eine kindeswohlgerechte Betreuung und Erziehung zu sorgen. Ihr sei eine allgemeine Erziehungsfähigkeit attestiert worden und auch, dass sie bis zu ihrer Erkrankung einen förderlichen Entwicklungsrahmen geboten habe. Sie habe trotz Fremdplatzierung weiterhin eine intakte Beziehung zum Sohn und habe diese Beziehung stets gepflegt.
In Bezug auf die Alkoholabhängigkeit verfalle die Vorinstanz ebenfalls in Willkür, indem sie lediglich auf das Gutachten sowie eine Bestätigung von Dr. med. K._ vom 8. März 2013 verweise, daraus auf ein Rückfallrisiko schliesse und behaupte sie habe keine weiteren Belege eingereicht. Am 23. September 2013 habe Dr. med. K._ den Gutachtern berichtet, bis zum April 2013 seien keine Alkoholrückfälle bekannt. Sie lebe seit ihrem Klinikaustritt im September 2011 abstinent, in einer stabilen Beziehung und das Risiko für einen Rückfall sei minimal. Selbst wenn sie erneut alkoholabhängig würde, könne gemäss Gutachten mittels Anordnung einer therapeutischen Begleitung sichergestellt werden, dass sie den Bedürfnissen des Jungen gerecht werden könnte und damit dessen positive Entwicklung gewährleistet wäre. Auch soweit die Vorinstanz bezweifle, dass sie (generell) den besonderen Bedürfnissen von C._ im Alltag gerecht werden könnte, hätte der Vorschlag der Gutachter aufgegriffen werden müssen, dass einer allfälligen Gefahr mittels einer intensiven therapeutischen Begleitung begegnet werden könne. Darauf sei die Vorinstanz nicht einmal eingegangen.
3.3. Hat ein Kind längere Zeit bei Pflegeeltern gelebt, so kann die Kindesschutzbehörde den Eltern seine Rücknahme untersagen, wenn diese die Entwicklung des Kindes ernstlich zu gefährden droht (Art. 310Abs. 3 ZGB). Diese Bestimmung ist grundsätzlich auch auf die Rücknahme von Kindern, welche bei einem nicht sorgerechtsberechtigten Elternteil leben, anwendbar (vgl. Urteil 5C.28/2007 vom 3. April 2007, in: FamPra 2007, 718).
Eine Neu-, Um- oder Rückplatzierung des Kindes hat sich an dessen Wohl auszurichten und bedingt eine Abwägung zwischen den auf dem Spiel stehenden Interessen. Für eine Rückplatzierung gemäss Art. 310 Abs. 3 ZGB gelten nicht die gleichen Kriterien wie für den Obhutsentzug gemäss Art. 310 Abs. 1 ZGB. Eltern, die sich trotz einer Fremdplatzierung um den Aufbau und die Pflege einer persönlichen Beziehung zu ihrem Kind bemüht haben, brauchen nicht zu befürchten, dass Art. 310 Abs. 3 ZGB mit Erfolg gegen ihre ernsthafte Absicht, das Kind eines Tages wieder selbst zu betreuen und zu erziehen, angerufen werden könnte; entscheidend für die Frage der Zurücknahme durch die Mutter ist dabei, ob die seelische Verbindung zwischen ihr und dem Kind intakt ist und ob ihre Erziehungsfähigkeit und ihr Verantwortungsbewusstsein eine Rückübertragung der Obhut rechtfertigen (<ref-ruling> E. 5 und E. 6 S. 123 ff.; Urteile 5A_473/2013 vom 6. August 2013 E. 6, in: FamPra.ch 2013, 1064; 5C.28/2007 vom 3. April 2007 E. 2.2, in: FamPra 2007, 718). Bei der Gewichtung der vorstehenden Interessen sind der Anspruch des Elternteils auf persönliche Betreuung und das Interesse des Kindes an stabilen Beziehungen gegeneinander abzuwägen (<ref-ruling> E. 5 und 6 S. 124 f.). Dabei steht dem Sachgericht typischerweise ein Ermessen im Sinne von Art. 4 ZGB zu, bei dessen Überprüfung das Bundesgericht Zurückhaltung übt (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 2 S. 123 f.; spezifisch im Zusammenhang mit der Rückgabe der Obhut: Urteil 5A_473/2013 vom 6. August 2013 E. 6, in: FamPra.ch 2013, 1064).
3.4. Soweit die Beschwerdeführerin Kritik am vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt übt, vermag sie keine Willkür darzutun (Art. 97, 105 Abs. 2BGG; vgl. auch vorstehend E. 1.2). Bezüglich Beweis ihrer Abstinenz gibt es offenbar - wie im angefochtenen Urteil festgehalten - nur bis April 2013 Aussagen behandelnder Ärzte. Dass sie aktuellere Beweismittel vorgelegt habe oder beispielsweise eine Antabus-Therapie absolviere (vgl. E. 3.1 in fine), bringt sie nicht vor. Bezüglich Kindesanhörung vom 5. Februar 2013 kann ihr ebenfalls nicht gefolgt werden, wenn sie die vorinstanzliche Darstellung (der Junge habe nicht klar und deutlich geäussert, er wolle bei ihr leben) als aktenwidrig rügt. Zwar hat der Junge ausgesagt, er wolle "ein bisschen mehr" bei seiner Mutter bleiben, und dass ihm bei seiner Mutter vieles besonders gut gefalle. Etwas Spezielles gebe es nicht zu erwähnen. Bei seinem Vater gefalle ihm besonders gut, dass es im Garten ein grosses Trampolin habe. Als Grund bei der Mutter zu sein, fügte er später namentlich die Hoffnung an, bei ihr nicht allein zu sein, weil die Mutter nicht so viel arbeite wie der Vater. Bei diesem sei er an drei Tagen eine Stunde alleine. An anderer Stelle sagte er, er könne nicht sagen, ob er zu Mama oder Papa gehen solle; er würde sich auf beide ein bisschen freuen. Auch aus dem Gutachten geht hervor, dass der Junge zu beiden eine gute Beziehung hat.
Soweit die Beschwerdeführerin Kritik an der vorgenommenen Interessenabwägung übt, ist ihr insofern zuzustimmen, als es vorliegend nicht um eine Abwägung geht, welcher Elternteil die Obhut besser wahrnehmen könnte (vgl. zur Begründung E. 2.3). Das heisst allerdings nicht, dass Überlegungen zur Vater-Kind-Beziehung sowie zur Situation am heutigen Aufenthaltsort im Urteil überhaupt keinen Niederschlag finden dürfen. Diese sind Indizien zur Ermittlung der Kindesinteressen (E. 3.3). Zu berücksichtigen sind sämtliche Interessen der Beschwerdeführerin (namentlich, ihr Kind wieder bei sich zu haben) wie auch des Kindes (bei seiner Mutter aufzuwachsen, die begonnene positive Entwicklung fortsetzen zu können u.a.).
3.4.1. Das Gutachten vom 22. November 2013 hatte sich sowohl zur Frage der Obhut als auch zur Frage des (vor erster Instanz noch strittigen) Sorgerechts zu äussern. Die Gutachter H._ und Dr. med. I._ kamen zum Schluss, der Junge habe zu beiden Eltern eine ähnlich gute und emotional tragfähige Beziehung entwickeln können. Sollte der Junge weiterhin beim Vater leben, hielten sie keine weiteren Massnahmen für nötig, empfahlen jedoch, ihm diesfalls auch die elterliche Sorge zu übertragen (zumindest die gemeinsame). Auf die Frage, welche Auswirkungen eine Rückübertragung der elterlichen Obhut auf die Kindsmutter haben würde, führten sie aus, im Zeitpunkt der Begutachtung habe jener eine ausreichende Stabilität bezogen auf ihre Alkoholabhängigkeitserkrankung und ausreichend gute Kompetenzen bezogen auf ihre Erziehungsfähigkeit attestiert werden können. In die Zukunft geblickt sei ein entwicklungsbezogenes Risiko zu sehen, falls diese einen Rückfall erleiden sollte. Dies wäre zwar nicht gleichzusetzen mit einer dauerhaften Vernachlässigung, eine eventuell notwendige erneute Veränderung der Versorgungslage wäre jedoch ein grosses Risiko für die Fortsetzung der positiven Entwicklung des Jungen. Falls die Kindsmutter die Obhut zurückerhalte, sei neben der Aufrechterhaltung der Beistandschaft eine intensive aufsuchende therapeutische Begleitung der Beschwerdeführerin und des Jungen angezeigt. So könnte auch das Risiko reduziert werden, dass sie durch die zusätzlichen Belastungen mit Erziehungsaufgaben während des Alltags destabilisiert würde (im Sinne eines möglichen Alkoholrückfalls). Sie betonten zudem die grundsätzliche Wichtigkeit örtlicher und sozialer Kontinuität, wobei sie dem Kindsvater die Aufrechterhaltung eines förderlichen Rahmens attestieren. Weiter unterstrichen sie, dass die Beschwerdeführerin durch die Gestaltung ihrer Besuchskontakte (Konzentrieren auf positive Zeit, aktive Gestaltung mit beziehungsorientierten Angeboten) eine wichtige Beziehungspartnerin für die Absicherung der Gesamtentwicklung des Jungen sei und so zum aktuell positiven Trend und zur Überwindung der Entwicklungsrückstände des Jungen beitrage. Die Folgen für das Kind im Falle eines Rückfalls mit erneuter Vernachlässigung und/oder Umplatzierung schätzten die Gutachter als "grosses Risiko für die Fortsetzung der positiven Entwicklung" des Jungen ein.
3.4.2. Auch Dr. med. K._ hatte gegenüber den Gutachtern formuliert, solange die Beschwerdeführerin abstinent sei, ergäben sich aus seiner Sicht keine Einschränkungen der Erziehungsfähigkeit. Mögliche Alkoholrückfälle mit Wiederaufnahme regelmässigen Trinkens bezeichnete er indes als "katastrophal" für die Erziehungsfähigkeit.
3.4.3. Eine erneute Alkoholabhängigkeit wäre mithin als ernsthafte Gefährdung des Kindeswohls zu betrachten. Wenn die Vorinstanz befand, das Risiko eines Rückfalls sei zum gegebenen Zeitpunkt (unausgesprochen: auch mit Familientherapie) noch zu gross, um die Kindesschutzmassnahme aufzuheben, so hat sie das ihr zustehende Ermessen nicht verletzt.
Zeigt sich die Situation der Beschwerdeführerin weiter stabil, respektive ist ihre Abstinenz hinreichend erstellt, ist die Angelegenheit neu zu beurteilen. Verändern sich die Verhältnisse, sind Kindesschutzmassnahmen der neuen Lage anzupassen (Art. 313 Abs. 1 ZGB); erweist sich eine Massnahme als nicht mehr nötig, ist sie aufzuheben oder durch eine mildere zu ersetzen (<ref-ruling> E. 4d S. 386 mit Hinweis).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde aber nicht als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden kann, ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren zu entsprechen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und es wird ihr Rechtsanwältin Brigitte Largier-Elsener als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Brigitte Largier-Elsener wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Thurgau, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde F._ sowie Beistand J._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Januar 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann