Faits:
A. L._, née en 1951, a exercé la profession d'aide hospitalière, à l'hôpital X._. A ce titre, elle était assurée contre les accidents par Winterthur assurances (ci-après : Winterthur).
Le 20 août 2003, alors qu'elle circulait sur la route de Y._, elle a dû s'arrêter en raison du véhicule qui la précédait, et qui avait enclenché son clignotant à gauche. Son véhicule a été violemment percuté par celui qui le suivait, à une vitesse de 60 km/heure environ, et dont le chauffeur n'avait pas prêté attention à la circulation. En sortant de son véhicule après l'accident, L._ a eu un malaise; en tombant, elle a heurté la portière avec son visage. Son époux l'a conduite à la Permanence Z._, où le docteur T._ a constaté une importante raideur de la colonne cervicale avec contractures et douleurs à la palpation, et a posé le diagnostic de cervico-dorso-lombalgies aiguës post-traumatiques. Le status neurologique était sans particularité et les radiographies de la colonne cervicale, dorsale et lombaire, ainsi que de l'épaule droite, ne révélaient pas de lésion traumatique osseuse. Le docteur T._ a prescrit un traitement anti-douleur et du repos (rapport du 1er septembre 2003).
Par la suite, les douleurs dans la nuque ont persisté, accompagnées de sentiments de malaise sans perte de connaissance, de céphalées de type migraineux, avec irradiation dans les épaules. Une imagerie par résonance magnétique a mis en évidence des dégénérescences discales étagées, avec arthrose associée, un rétrécissement du trou de conjugaison droit, une hernie discale en C4-C5 paramédiane droite, une protrusion discale ostéophytaire en C5-C6 et dans une moindre mesure en C6-C7 (rapport du 18 février 2004 du docteur O._). L._ a présenté une incapacité de travail totale dès le jour de l'accident. Deux tentatives de reprise du travail, les 10 octobre 2003 et 23 février 2004 (à 25 %) ont rapidement échoué.
Winterthur a confié au docteur C._, spécialiste en chirurgie, le soin de réaliser une expertise. Dans un rapport établi le 5 mars 2004, celui-ci a posé les diagnostics de traumatisme d'accélération cranio-cervical, d'entorse cervicale bénigne de degré I à II, de cervicarthrose au niveau C5-C6, et de suspicion d'état anxio-dépressif réactionnel (éventuellement syndrome de stress post-traumatique). L'assurée souffrait de cervicalgies, céphalées, vertiges, nausées, d'instabilité émotionnelle et de dépression. L'examen clinique révélait des contractures et une limitation fonctionnelle très discrète de la colonne cervicale. Les troubles présentés par l'assurée et la symptomatologie étaient caractéristiques d'un traumatisme cranio-cervical par accélération. L'état anxio-dépressif s'était développé progressivement après l'accident et paraissait jouer un rôle défavorable dans l'évolution, sans reléguer totalement à l'arrière-plan les atteintes à la santé typiques après une distorsion cervicale. L'incapacité de travail était totale, mais il était trop tôt pour se prononcer sur une éventuelle atteinte durable à l'intégrité corporelle, une atteinte à l'intégrité mentale paraissant tout à fait improbable.
Par la suite, et compte tenu de la persistance des symptômes, Winterthur a confié une expertise au docteur U._, neurologue. Dans un rapport du 19 octobre 2004, ce médecin a posé les diagnostics de status après une distorsion cervicale simple (degré I à II selon la Quebec Task Force), de syndrome post-distorsion cervicale persistant et d'état anxio-dépressif. Les troubles psychiques dominaient le tableau clinique à l'époque de l'expertise et se trouvaient en relation de causalité naturelle avec l'accident. Compte tenu des symptômes présentés, l'incapacité de travail était totale.
A la suite de cette expertise, L._ et Winterthur ont convenu que le traitement médical serait pris en charge et les indemnités journalières allouées par l'assurance-accidents jusqu'au 31 août 2005. Winterthur a formalisé cette transaction dans une décision du 7 mars 2005, à laquelle l'assurée s'est toutefois opposée, en demandant la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire. Winterthur a admis cette demande et a mandaté à cette fin les docteurs P._ et B._. Ces derniers ont procédé à un examen clinique le 25 avril 2006 et établi un rapport de synthèse le 10 juillet 2006, après une consultation de psychiatrie, le 2 mai 2006, par les docteurs F._ et D._, et une consultation rhumatologique, le 3 mai 2006, par le docteur E._.
Les docteurs P._ et B._ ont posé les diagnostics d'épisode dépressif sévère, sans symptôme psychotique, et de cervicalgies chroniques persistantes après distorsion cervicale simple, de degré 1 à 2 «selon la Quebec Task Force». Les cervicalgies s'accompagnaient d'une limitation active des amplitudes cervicales, avec des points douloureux à la palpation, mais sans signes neurologiques déficitaires ni lésions ostéo-articulaires graves telles une fracture ou une luxation. D'un point de vue radiologique, des troubles dégénératifs essentiellement sous forme de spondylarthrose pouvaient être objectivés, qui n'avaient toutefois pas été causés, mais seulement révélés par l'accident. Cette arthrose était responsable d'une part importante des douleurs cervicales à l'époque de l'expertise, ainsi que d'une part des céphalées. Il n'y avait pas d'autre lésion anatomique et la persistance de la symptomatologie ainsi que son augmentation depuis plus de deux ans ne pouvaient être expliqués selon un modèle biomédical seul. Du point de vue rhumatologique, des limitations fonctionnelles étaient constatées pour les mouvements répétitifs de flexion-extension de la colonne cervicale, les flexions latérales et les rotations répétées. Il y avait également des limitations quant au maintien de positions statiques au-delà de 60 minutes d'affilée sans possibilité de varier ou de bouger la colonne cervicale, ainsi que pour les travaux de force. Les experts considéraient toutefois que d'un point de vue biomédical, le statu quo sine était atteint. Toujours d'après les experts, l'assurée avait vécu l'accident comme un traumatisme psychologique important. Subjectivement, elle avait donc été victime d'un accident grave. Mais la description de l'accident, l'absence de lésion corporelle constatée (par exemple une fracture, une luxation cervicale ou un traumatisme cranio-cérébral) et de menace vitale directe témoignaient d'un accident objectivement moins grave. L'assurée présentait une atteinte à la santé psychique sévère, avec un épisode dépressif sévère. Le diagnostic d'état de stress post-traumatique devait être écarté. Par ailleurs, il n'y avait pas d'indice suggérant une pathologie psychiatrique avant l'accident assuré. D'après les experts, la capacité résiduelle de travail de l'assurée était nulle, essentiellement en raison des troubles psychiques constatés. Cette atteinte à la santé était en relation de causalité naturelle avec l'accident, même si toute personne ayant subi un événement similaire n'aurait probablement pas évolué de la même manière avec une telle atteinte à la santé.
Par décision sur opposition du 8 août 2006, Winterthur a maintenu sa décision précédente du 7 mars 2005.
B. L._ a déféré la cause au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève, qui a rejeté le recours par jugement du 27 février 2007.
C. L'assurée interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. En substance, elle conclut au paiement d'indemnités journalières et au maintien de la prise en charge du traitement médical pour la période postérieure au 31 août 2005, ainsi qu'à l'allocation d'une indemnité fondée sur un taux d'atteinte à l'intégrité de 70 %, sous suite de frais et dépens. L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Le 11 mars 2008, le Tribunal fédéral a informé les parties du fait qu'il a avait précisé la jurisprudence relative aux traumatismes cervicaux ensuite d'un accident de type «coup du lapin», par un arrêt U 394/06 du 19 février 2008, destiné à la publication; il les a invitées à se déterminer si elles le souhaitaient. Chacune des parties a présenté de nouvelles observations, l'intimée produisant en outre un rapport d'expertise établi le 21 janvier 2008 par le docteur S._, dans le cadre d'une procédure relative aux prestations de l'assurance-invalidité.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de la recourante à la prise en charge du traitement médical, à l'octroi d'indemnités journalières et d'une rente de l'assurance-accidents pour la période postérieure au 31 août 2005, ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
L'intimée conteste, certes, la recevabilité du recours, en tant qu'il porte sur le droit à une rente et une indemnité pour atteinte à l'intégrité, au motif qu'elle n'a pas rendu de décision sur ce point. Mais l'assurée avait expressément conclu, dans son opposition à la décision du 7 mars 2005 et dans le recours interjeté devant la juridiction cantonale contre la décision sur opposition du 8 août 2006, à l'octroi de telles prestations. L'intimée est entrée en matière sans réserve sur ces conclusions, dans la décision sur opposition du 8 août 2006; de même n'a-t-elle pas contesté la recevabilité du recours formé devant les premiers juges. Dans ces conditions, et dans la mesure où l'assurance-accidents niait tout lien de causalité entre l'accident assuré et les atteintes à la santé présentées postérieurement au 31 août 2005, les premiers juges pouvaient considérer qu'elle avait statué non seulement sur le droit aux indemnités journalières et à la prise en charge du traitement médical, mais qu'elle avait également nié, au moins implicitement, le droit de l'assurée à toutes autres prestations. Ils sont donc entrés en matière à juste titre sur toutes les conclusions de la recourante. Ces conclusions sont également recevables en instance fédérale.
Compte tenu de l'objet du litige, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits constatés en instance cantonale (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
2. 2.1 Selon l'<ref-law>, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel ou de maladie professionnelle. Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose notamment entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé un lien de causalité naturelle. Cette condition est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé : il suffit qu'associé éventuellement à d'autres facteurs, il ait provoqué l'atteinte à la santé, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de cette atteinte. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte en question sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait que l'administration ou, le cas échéant, le juge, examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3 p. 406).
2.2 Si l'on peut admettre qu'un accident n'a fait que déclencher un processus qui serait de toute façon survenu sans cet événement, le lien de causalité naturelle entre les symptômes présentés par l'assuré et l'accident doit être nié lorsque l'état maladif antérieur est revenu au stade où il se trouvait avant l'accident (statu quo ante) ou s'il est parvenu au stade d'évolution qu'il aurait atteint sans l'accident (statu quo sine; RAMA 1992 no U 142 p. 75, consid. 4b; Frésard/Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2ème éd., n. 80 p. 865). Le seul fait que des symptômes douloureux ne se sont manifestés qu'après la survenance d'un accident ne suffit pas à établir un rapport de causalité naturelle avec cet accident (raisonnement «post hoc, ergo propter hoc»; cf. <ref-ruling> consid. 2b/bb p. 341 sv.; RAMA 1999 no U 341 p. 408 sv., consid. 3b). Il convient en principe d'en rechercher l'étiologie et de vérifier, sur cette base, l'existence du rapport de causalité avec l'événement assuré. Cela étant, en matière de lésions du rachis cervical par accident de type «coup du lapin», de traumatisme analogue ou de traumatisme cranio-cérébral, sans preuve d'un déficit fonctionnel organique, l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'incapacité de travail ou de gain doit en principe être reconnue en présence d'un tableau clinique typique présentant de multiples plaintes (maux de têtes diffus, vertiges, troubles de la concentration et de la mémoire, nausées, fatigabilité, troubles de la vue, irritabilité, dépression, modification du caractère, etc.). Encore faut-il que l'existence d'un tel traumatisme et de ses suites soit dûment attestée par des renseignements médicaux fiables (<ref-ruling> consid. 1 p. 337 sv.; <ref-ruling> consid. 4b p. 360 sv.; sur les mesures d'instruction nécessaires, cf. arrêt U 394/06 du 19 février 2008, destiné à la publication, consid. 9).
3. 3.1 Le droit à des prestations d'assurance suppose également, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité adéquate. En cas d'atteinte à la santé physique, ce rapport de causalité adéquate est généralement admis sans autre examen, dès lors que le rapport de causalité naturelle est établi (cf. <ref-ruling> consid. 5b/bb p. 103). En revanche, la jurisprudence a posé plusieurs critères en vue de juger du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident et des troubles d'ordre psychique développés ensuite par la victime. Elle a tout d'abord classé les accidents en trois catégories, en fonction de leur déroulement : les accidents insignifiants ou de peu de gravité (par exemple une chute banale), les accidents de gravité moyenne et les accidents graves. Pour procéder à cette classification, il convient non pas de s'attacher à la manière dont l'assuré a ressenti et assumé le choc traumatique, mais bien plutôt de se fonder, d'un point de vue objectif, sur l'événement accidentel lui-même. En présence d'un accident de gravité moyenne, il faut prendre en considération un certain nombre de critères, dont les plus importants sont les suivants :
- les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident;
- la gravité ou la nature particulière des lésions physiques compte tenu notamment du fait qu'elles sont propres, selon l'expérience, à entraîner des troubles psychiques;
- la durée anormalement longue du traitement médical;
- les douleurs physiques persistantes;
- les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident;
- les difficultés apparues au cours de la guérison et des complications importantes;
- le degré et la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques.
Tous ces critères ne doivent pas être réunis pour que la causalité adéquate soit admise. Un seul d'entre eux peut être suffisant, notamment si l'on se trouve à la limite de la catégorie des accidents graves. Inversement, en présence d'un accident se situant à la limite des accidents de peu de gravité, les circonstances à prendre en considération doivent se cumuler ou revêtir une intensité particulière pour que le caractère adéquat du lien de causalité soit admis (<ref-ruling> consid. 6c/aa p. 140, 403 consid. 5c/aa p. 409).
3.2 En cas d'atteintes à la santé sans preuve de déficit organique consécutives à un traumatisme de type «coup du lapin» à la colonne cervicale, un traumatisme analogue ou un traumatisme cranio-cérébral, la jurisprudence apprécie le caractère adéquat du rapport de causalité en appliquant, par analogie, les mêmes critères que ceux dégagés à propos des troubles d'ordre psychique. L'examen de ces critères est toutefois effectué sans faire de distinction entre les composantes physiques ou psychiques : les critères relatifs à la gravité ou à la nature particulière des lésions subies, aux douleurs persistantes ou à l'incapacité de travail sont déterminants, de manière générale, sans référence aux seules lésions ou douleurs physiques (ATF <ref-ruling> consid. 6a sv. p. 366 ss; voir également <ref-ruling> consid. 2a p. 99; RAMA 2002 n. U 470 p. 531 [U 249/01]). Par ailleurs, toujours en rapport avec l'appréciation du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident de type «coup du lapin» et des atteintes à la santé sans preuve de déficit organique, le Tribunal fédéral a précisé dans l'arrêt U 394/06 du 19 février 2008 (consid. 10) que le critère faisant référence au traitement médical était rempli en cas de traitement prolongé spécifique et pénible, que les douleurs prises en considération devaient revêtir une certaine intensité et que l'incapacité de travail devait être importante, en dépit des efforts reconnaissables de l'assuré.
Nonobstant ce qui précède, il convient notamment d'appliquer la jurisprudence exposée au consid. 3.1 ci-avant (<ref-ruling> et 403), en particulier en distinguant entre atteintes d'origine psychique et atteintes organiques, même en cas de traumatisme de type «coup du lapin», de traumatisme analogue ou de traumatisme cranio-cérébral, lorsque les troubles psychiques apparus après l'accident apparaissent clairement comme une atteinte à la santé distincte et indépendante du tableau clinique consécutif à un traumatisme de type «coup du lapin», un traumatisme analogue ou un traumatisme cranio-cérébral (RAMA 2001 n. U 412 p. 79 consid. 2b [U 96/00]; cf. également arrêt U 394/06 du 18 février 2008, consid. 9.5).
4. 4.1 En l'occurrence, il n'est pas contesté, à juste titre, que la recourante a été victime d'une distorsion cervicale simple lors de l'accident du 20 août 2003. Le docteur O._, ainsi que les experts C._, U._, P._ et B._ ont d'ailleurs tous posé le diagnostic d'entorse ou de distorsion cervicale simple ou bénigne. Cela étant, les docteurs P._ et B._ ont également constaté l'existence d'une spondylarthrose d'origine dégénérative, dont ils ont nié qu'elle soit en relation de causalité naturelle avec l'accident assuré. Les docteurs P._ et B._ ont exposé que cette arthrose était responsable d'une part importante des douleurs cervicales et des céphalées persistantes, l'accident et la distorsion cervicale simple subie par la recourante ayant joué un rôle de facteur déclenchant. Deux ans plus tard, les experts considèrent que le statu quo sine est atteint après la lésion primaire constituée par la distorsion cervicale. Ils attestent toutefois une incapacité de travail totale en raison d'un épisode dépressif grave, dont ils admettent qu'il est en relation de causalité naturelle avec l'accident. Dans le même sens, le docteur U._ a nié que les séquelles somatiques de la distorsion cervicale subie par l'assurée entraînent encore une incapacité de travail significative, contrairement aux troubles psychiques dont elle souffre. Dans ces deux expertises, les docteurs P._, B._ et U._ font une distinction nette entre les atteintes à la santé physique et l'affection psychique dont souffre la recourante. On doit en conclure que désormais (et à tout le moins depuis l'expertise réalisée par le docteur U._ en octobre 2004), l'épisode dépressif sévère constitue une atteinte à la santé distincte et indépendante des séquelles de la distorsion cervicale, et domine nettement le tableau clinique.
4.2 En ce qui concerne les atteintes à la santé physique, les docteurs P._ et B._ ont considéré que le statu quo sine était atteint lorsqu'ils ont examiné l'assurée, ce qui exclut un rapport de causalité naturelle entre l'accident assuré et les symptômes liés à de telles atteintes persistant au-delà du 31 août 2005 (date à laquelle l'intimée à mis fin à ses prestations). En ce qui concerne les atteintes à la santé psychique, en revanche, les experts ont considéré qu'elles étaient en relation de causalité naturelle avec l'accident, sans qu'il y ait de motif de mettre en doute cette constatation. Il convient par conséquent d'examiner si un rapport de causalité adéquate doit également être admis, en appliquant la jurisprudence exposée au considérant 3.1 ci-avant.
4.3 Compte tenu de la différence de vitesse entre le véhicule de la recourante et celui suivait, l'accident dont elle a été victime est de gravité moyenne, sans être à la limite ni d'un accident grave, ni d'un accident banal. Parmi les critères exposés au considérant 3.1 ci-avant, ceux qui font référence aux circonstances particulièrement dramatiques ou au caractère particulièrement impressionnant de l'accident, à la gravité ou la nature particulière des lésions physiques, ou encore à une erreur dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident, ne sont pas remplis. La durée du traitement n'était pas anormalement longue, compte tenu du fait que celui-ci a consisté pour l'essentiel en un traitement antalgique et conservateur, sous la forme de physiothérapie et d'acupuncture (sur la prise en considération de la nature et de l'intensité du traitement : cf. arrêt 8C_361/2007 du 6 décembre 2007 consid. 5.3, arrêt U 380/04 du 15 mars 2005 [RAMA 2005 no U 549 p. 236] consid. 5.2.4). En ce qui concerne la persistance des douleurs, le docteur U._ considérait en octobre 2004 déjà que l'accident subi ne permettait plus d'en expliquer l'importance, l'essentiel des symptômes présentés étant la conséquence d'une décompensation anxio-dépressive. Enfin, l'incapacité de travail due aux seules séquelles physiques de l'accident était certes relativement longue, mais quatorze mois après l'accident, le docteur U._ n'attestait plus d'incapacité de travail d'origine somatique. Les critères posés par la jurisprudence pour établir un rapport de causalité adéquate entre une atteinte à la santé psychique et un accident assuré ne sont donc pas remplis, ou en tout cas ne revêtent pas une importance particulière dans le cas d'espèce, ce qui conduit à exclure un tel rapport de causalité.
4.4 En l'absence d'un rapport de causalité naturelle et adéquate entre l'accident assuré et les atteintes à la santé présentées par la recourante pour la période postérieure au 31 août 2005, l'intimée pouvait à bon droit mettre fin à ses prestations dès cette date, sans allouer d'indemnité pour atteinte à l'intégrité. L'expertise produite en instance fédérale par l'intimée, réalisée le 21 janvier 2008, ne contient aucune constatation de nature à mettre en cause ce qui précède, de sorte que la question de la valeur probante et de la recevabilité de ce moyen de preuve peut demeurer ouverte.
5. La recourante voit ses conclusions rejetées et supportera les frais de justice (<ref-law>). Elle ne peut pas prétendre de dépens à la charge de l'intimée (<ref-law>). En sa qualité d'institution chargée de tâches de droit public, cette dernière ne peut davantage prétendre de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 mai 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Le Greffier:
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