Faits:
A.
D._, née en 1981, a travaillé à 75 % en tant qu'assistante médicale. Le 19 mai 2009, elle s'est annoncée auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI), invoquant des douleurs articulaires au niveau des mains, des pieds et de la nuque ainsi que des maux de tête.
Dans le cadre de l'instruction de la demande, l'administration a joint à la procédure le dossier constitué par X._, assureur perte de gain en cas de maladie, lequel comprenait un certificat (du 23 juin 2009) du docteur A._, spécialiste FMH en médecine interne générale et en rhumatologie, médecin traitant. Celui-ci indiquait que sa patiente, en incapacité de travail depuis le 1er janvier 2009, serait en mesure de reprendre son activité à 50 % le 6 juillet 2009, précisant que ce taux s'appliquait à son temps de travail de 75 %. Interpellés par l'office AI, la doctoresse M._, spécialiste FMH en médecine interne générale, médecin traitant, et le docteur A._ ont retenu une capacité de travail de 50 % à compter du 6 juillet 2009 (rapports respectifs des 30 décembre 2009 et 19 janvier 2010). Le docteur A._ a joint à son rapport un courrier qu'il avait adressé le 26 novembre 2009 au professeur G._, spécialiste FMH en rhumatologie et en médecine interne générale auprès de l'Hôpital Y._, dans lequel il indiquait que l'assurée était " en interruption de travail dès le 1er décembre 2008 à 100 % puis à 50 % dès le 6 juillet 2009 de son temps de travail de 75 % ", ainsi qu'une lettre de ce professeur (du 30 novembre 2009) précisant que l'assurée " travaille à 50 % de son taux de travail habituel qui est de 75 % en tant que secrétaire médicale ". Le docteur L._, spécialiste FMH en médecine interne générale auprès du Service médical régional de l'office AI (SMR), a considéré que D._ présentait depuis le 6 juillet 2009 une capacité de travail de 50 % (rapport du 2 février 2010). L'assurée a été licenciée pour la fin du mois de février 2010.
Après avoir diligenté une enquête économique sur le ménage (qui a mis en évidence un statut mixte [75 % active; 25 % ménagère] et un empêchement dans la sphère ménagère de 30.5 %; rapport du 3 juin 2010), l'office AI a envisagé de refuser à l'intéressée l'octroi d'une rente au motif que le taux d'invalidité global (32.62 %) était insuffisant pour lui ouvrir le droit à une telle prestation (projet de décision du 20 octobre 2010).
D._ a formulé des objections à l'encontre de ce projet. En janvier 2011, elle a été embauchée en tant qu'assistante médicale, à 50 %. L'administration a fait réaliser une nouvelle enquête économique sur le ménage (au terme de laquelle l'enquêtrice a retenu un statut mixte [80 % active; 20 % ménagère] et un empêchement dans les activités ménagères de 55.7 %; rapport du 24 janvier 2011). Reprenant en substance les motifs précédemment invoqués, l'office AI a dénié à D._ le droit à une rente (décision du 2 août 2011 confirmant un projet du 10 mai précédent [qui annulait et remplaçait celui du 20 octobre 2010]).
B.
Saisi d'un recours de D._ contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a admis. Il a réformé l'acte en question en ce sens que l'assurée avait droit à un quart de rente d'invalidité entre le 1er décembre 2009 et le 31 décembre 2010 et l'a annulé pour la période postérieure à cette dernière date, renvoyant la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision (jugement du 10 septembre 2013).
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut au renvoi de la cause au tribunal cantonal, éventuellement à lui-même, pour instruction complémentaire puis nouvelle décision portant sur le droit à une rente d'invalidité pour la période comprise entre le 1er décembre 2009 et le 31 décembre 2010.
L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, éventuellement à son rejet, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
1.1. Dans un arrêt <ref-ruling>, le Tribunal fédéral a jugé que lorsqu'une autorité de première instance tranche définitivement le droit à une rente de l'assurance-invalidité relativement à une période déterminée et renvoie la cause à l'administration pour nouvelle décision concernant la période postérieure, la partie de la décision qui se rapporte à la question définitivement tranchée constitue une décision partielle susceptible d'être attaquée séparément et qui, en cas de non-contestation, entre en force de façon indépendante et ne peut plus être attaquée par la suite (consid. 1.4.4 à 1.4.6 p. 146 s.).
En l'occurrence, la juridiction cantonale s'est prononcée de manière définitive sur le droit de l'intimée à une rente pour la période comprise entre le 1er décembre 2009 et le 31 décembre 2010 et le recours porte exclusivement sur ce point. Il y a donc lieu d'entrer en matière.
1.2. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
2.
2.1. Le litige porte sur le droit de l'intimée à un quart de rente pour une période limitée, comprise entre le 1er décembre 2009 et le 31 décembre 2010. Eu égard aux considérants et au dispositif du jugement entrepris, aux griefs et aux conclusions de l'office recourant ainsi qu'à l'obligation de motivation et d'allégation de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, n° 25 ad <ref-law>), il s'agit en particulier d'examiner si les éléments figurant au dossier permettaient à la juridiction cantonale de déterminer valablement la capacité de travail que présentait l'intimée à cette époque.
2.2. Le jugement entrepris expose correctement les règles applicables à la résolution du cas, notamment les principes jurisprudentiels sur la valeur probante d'un rapport médical (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352). Il suffit donc d'y renvoyer.
3.
3.1. Se fondant sur le certificat du docteur A._ du 23 juin 2009, le courrier de ce médecin du 26 novembre suivant et la lettre du professeur G._, la juridiction cantonale a considéré que l'intimée avait présenté entre le 1er décembre 2009 et le 31 décembre 2010 une capacité de travail de 37.5 % (50 % d'un temps de travail de 75 %). Compte tenu de la répartition entre sphères professionnelle et ménagère (respectivement 75 % et 25 % du 1er décembre 2009 au 31 juillet 2010 puis 80 % et 20 % entre le 1er août et le 31 décembre 2010) ainsi que de l'empêchement dans cette dernière (30.5 %), le degré d'invalidité global présenté par l'intimée (45.12 % entre le 1er décembre 2009 et le 31 juillet 2010 puis 48.6 % du 1er août au 31 décembre 2010), lui ouvrait le droit à un quart de rente. Les éléments figurant au dossier ne permettaient en revanche pas de constater l'évolution des troubles de l'intéressée, respectivement les répercussions de ceux-ci sur la capacité de travail, à partir du 1er janvier 2011. La cause devait donc être renvoyée à l'office recourant pour instruction complémentaire sous forme d'expertise puis nouvelle décision concernant la période postérieure à cette date.
3.2. Se plaignant d'une constatation manifestement inexacte des faits pertinents consécutive à une mauvaise appréciation des preuves, l'office recourant soutient que les premiers juges ne pouvaient pas sans tomber dans l'arbitraire se prononcer sur la capacité de travail de l'intimée entre décembre 2009 et décembre 2010 sur la base des renseignements médicaux figurant au dossier. Aussi, la juridiction cantonale aurait-elle dû lui renvoyer la cause pour instruction complémentaire et nouvelle décision relative à cette période également.
4.
Cette argumentation est pertinente. Dans son certificat du 23 juin 2009, le docteur A._ a fait état d'une reprise de l'activité professionnelle devant survenir prochainement sans fournir la moindre indication sur l'état de santé de l'intimée. Des données succinctes figurant dans sa missive du 26 novembre 2009 (quatre des cinq rubriques la composant [traitement suivi, diagnostics, vaccins, rachialgies et sérologie de Lyme] comportent moins de deux lignes), ce médecin a conclu que la situation actuelle était satisfaisante mais pas parfaite; il a sollicité l'avis du professeur G._ quant à l'existence d'un traitement biologique plus efficace et indiqué que l'intimée était dès le 6 juillet 2009 en interruption de travail avec une incapacité de 50 % de son temps de travail de 75 %. Le courrier rédigé le 30 novembre 2009 par le professeur en question consiste quant à lui en trois paragraphes se répartissant sur une page et demie. Le premier, qui se termine avec l'indication du taux auquel l'intimée travaillait depuis le 6 juillet 2009, est consacré à l'anamnèse, le deuxième aux résultats de l'examen clinique et le troisième aux différents traitements envisageables. Ainsi, à supposer que ces documents attestent de la capacité de travail de l'intéressée - et ne renseignent pas simplement sur le taux d'activité effectif -, force serait de constater qu'il ne s'agit pas là d'une conclusion bien motivée, prise à l'issue d'une étude circonstanciée du cas. Les rapports des docteurs A._ du 19 janvier 2010 et M._ - sur lesquels s'est basé le docteur L._ (qui n'a pas examiné l'intimée) pour fixer la capacité de travail à partir du 6 juillet 2009 - ne répondent pas davantage aux réquisits jurisprudentiels en matière de valeur probante de documents médicaux. Ils ne contiennent en effet qu'une anamnèse sommaire, ne fournissent aucune indication quant aux plaintes subjectives de l'intimée, ne décrivent pas de limitations fonctionnelles et ne renseignent nullement sur les examens pratiqués par leurs auteurs. La juridiction cantonale n'était donc pas fondée à déterminer la capacité de travail de l'intimée pendant la période litigieuse sur la base des documents précités.
5.
Il suit de ce qui précède que le recours est bien fondé. Il y a ainsi lieu d'annuler le jugement entrepris et la décision du 2 août 2011 en ce qu'ils portent sur la période comprise entre le 1er décembre 2009 et le 31 décembre 2010 et de renvoyer la cause à l'office recourant pour instruction complémentaire et nouvelle décision en ce qui concerne cette période également.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires seront supportés par l'intimée, qui succombe (<ref-law>) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>). L'office recourant, en sa qualité d'institution chargée de tâches de droit public, ne saurait non plus en prétendre (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 10 septembre 2013 est annulé en ce qui concerne la période comprise entre le 1 er décembre 2009 et le 31 décembre 2010.
2.
La cause est renvoyée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Meyer
Le Greffier: Bouverat