Sachverhalt:
A. Mit Verfügungen vom 15. August und 15. September 2006 bestellte der Präsident des Bezirksgerichts Dielsdorf Rechtsanwalt X._ zum amtlichen Verteidiger von A._.
A._ wurde mit Urteil des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 20. September 2007 wegen diverser Delikte schuldig gesprochen (Urteilsdispositiv-Ziffer 1). Die Gerichtsgebühr setzte das Bezirksgericht auf Fr. 34'093.-- fest (Urteilsdispositiv-Ziffer 8). Diese Kosten, einschliesslich derjenigen der amtlichen Verteidigung, auferlegte es A._, wobei es die Kosten einstweilen auf die Staatskasse nahm (Urteilsdispositiv-Ziffer 9). In der Rechtsmittelbelehrung wurde bestimmt, dass gegen dieses Urteil binnen 10 Tagen ab Zustellung des Urteilsdispositivs beim Bezirksgericht Dielsdorf schriftlich Berufung angemeldet werden könne (Urteilsdispositiv-Ziffer 11). Würden nur die Kosten- und Entschädigungsregelungen des Urteils beanstandet, so sei dagegen Rekurs zu erheben. Dieser sei binnen 20 Tagen nach Zustellung des begründeten Entscheids schriftlich unter Angabe der Gründe und Beilage des Entscheids sowie allfälliger Belege beim Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, einzureichen (Urteilsdispositiv-Ziffer 12).
Mit Eingabe vom 23. Oktober 2007 stellte X._ dem Bezirksgericht Dielsdorf seine Honorarnote über Fr. 28'545.20 zu. Mit Beschluss vom 6. Dezember 2007 kürzte das Bezirksgericht Dielsdorf diese Honorarnote und sprach dem Beschwerdeführer eine Entschädigung von Fr. 19'270.10 zu. Dieser Beschluss enthielt keine Rechtsmittelbelehrung.
B. Mit Rekurs an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 6. Februar 2008 beantragte X._, der Beschluss des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 6. Dezember 2007 (zugestellt am 17. Januar 2008) sei aufzuheben, und seine Honorarnote vom 23. Oktober 2007 sei zu genehmigen. Diese Eingabe erfolgte am letzten Tag der 20-tägigen Rekursfrist.
Am 7. Februar 2008 überwies die III. Strafkammer die Eingabe von X._ mangels Zuständigkeit an die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich. Diese erwog mit Beschluss vom 21. Juni 2008, ein Rekurs sei vorliegend ausgeschlossen, zulässig sei hingegen die Beschwerde. Da die 10-tägige Beschwerdefrist jedoch nicht gewahrt worden sei, sei auf die Beschwerde nicht einzutreten.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Entscheid der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 21. Juni 2008 sei aufzuheben, und die Sache sei zu neuer Entscheidung zurückzuweisen.
Das Bezirksgericht Dielsdorf und die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich haben auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss § 402 Ziff. 9 der Strafprozessordnung des Kantons Zürich (StPO/ZH) kann gegen Urteile der Einzelrichter, der Bezirksgerichte und der Jugendgerichte beim Obergericht Rekurs erhoben werden, wenn sich dieser nur auf die Kostenauflage und die Entschädigung bezieht.
Nach § 206 des Gerichtsverfassungsgesetzes (GVG/ZH) mit der Marginalie "Kostenbeschwerde" kann gegen die Kostenansätze der Gerichte entsprechend § 108 ff. Beschwerde geführt werden.
1.2 Die Vorinstanz hat ausgeführt, der Rekurs gemäss <ref-law>/ZH sei ausgeschlossen, weil er als strafprozessuales Rechtsmittel nur gegen die Auflage und Verteilung der Gerichtskosten zulässig sei. Soweit der amtliche Verteidiger hingegen die Höhe der zugesprochenen Entschädigung anfechte, sei die Kostenbeschwerde nach § 206 i.V.m. § 108 ff. GVG/ZH gegeben. Die Beschwerdefrist von 10 Tagen gemäss § 109 Abs. 1 GVG/ZH sei vorliegend jedoch nicht gewahrt worden.
Allerdings habe der Beschluss des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 6. Dezember 2007 keine Rechtsmittelbelehrung enthalten, und einer Partei dürfe aus einer unrichtigen, unvollständigen oder fehlenden Rechtsmittelbelehrung kein Rechtsnachteil erwachsen. Wer aber die Unrichtigkeit der Rechtsmittelbelehrung erkenne oder bei zumutbarer Sorgfalt habe erkennen müssen, könne sich nicht auf diesen Grundsatz berufen. Auch bei fehlender Rechtsmittelbelehrung sei es dem Adressaten zuzumuten, sich nach den in Frage kommenden Rechtsmitteln zu erkundigen.
Beim angefochtenen Entscheid handle es sich nicht um ein Urteil, sondern um einen nachträglichen Beschluss betreffend die Höhe der festzusetzenden Entschädigung des amtlichen Verteidigers. Das Strafurteil des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 20. September 2007 habe in Urteilsdispositiv-Ziffer 9 lediglich die Verteilung der Kosten einschliesslich derjenigen der amtliche Verteidigung geregelt und sei nach dem Rückzug der Berufung vom 12. November 2007 in Rechtskraft erwachsen. Dementsprechend sei für den Beschwerdeführer im Zeitpunkt seiner Eingabe vom 6. Februar 2008 erkennbar gewesen, dass der strafprozessuale Rekurs nicht mehr habe zulässig sein können. Zudem habe ihm als amtlich bestellter Verteidiger klar sein müssen, dass sich sein Anspruch auf Entschädigung auf ein öffentlich-rechtliches Auftragsverhältnis stütze und sich damit direkt gegen den Staat richte, weshalb es auf der Hand gelegen habe, dass nicht ein strafprozessuales Rechtsmittel, sondern die verwaltungsrechtliche Beschwerde gemäss § 206 i.V.m. § 108 ff. GVG zu ergreifen gewesen wäre (angefochtenes Urteil S. 3 - 5).
Beim angefochtenen Entscheid handle es sich nicht um ein Urteil, sondern um einen nachträglichen Beschluss betreffend die Höhe der festzusetzenden Entschädigung des amtlichen Verteidigers. Das Strafurteil des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 20. September 2007 habe in Urteilsdispositiv-Ziffer 9 lediglich die Verteilung der Kosten einschliesslich derjenigen der amtliche Verteidigung geregelt und sei nach dem Rückzug der Berufung vom 12. November 2007 in Rechtskraft erwachsen. Dementsprechend sei für den Beschwerdeführer im Zeitpunkt seiner Eingabe vom 6. Februar 2008 erkennbar gewesen, dass der strafprozessuale Rekurs nicht mehr habe zulässig sein können. Zudem habe ihm als amtlich bestellter Verteidiger klar sein müssen, dass sich sein Anspruch auf Entschädigung auf ein öffentlich-rechtliches Auftragsverhältnis stütze und sich damit direkt gegen den Staat richte, weshalb es auf der Hand gelegen habe, dass nicht ein strafprozessuales Rechtsmittel, sondern die verwaltungsrechtliche Beschwerde gemäss § 206 i.V.m. § 108 ff. GVG zu ergreifen gewesen wäre (angefochtenes Urteil S. 3 - 5).
1.3 1.3.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, aufgrund der Rechtsmittelbelehrung im Urteil des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 20. September 2007 (Urteilsdispositiv-Ziffer 12) und angesichts der Tatsache, dass die Parteikosten untrennbar mit dem Strafverfahren verbunden seien, habe er davon ausgehen dürfen, dass nicht ein anderes Rechtsmittel als die in der Strafprozessordnung geregelten ergriffen werden müsse, sondern dass gegen die Festsetzung der Entschädigung für die amtliche Verteidigung Rekurs zu erheben sei. Dass der Entscheid über seine Entschädigung vom Strafurteil abgekoppelt worden und mit separatem Beschluss vom 6. Dezember 2007 entschieden worden sei, könne hieran nichts ändern.
Auch eine Konsultation des Gerichtsverfassungsgesetzes lasse nicht erkennen, dass vorliegend hätte Beschwerde eingereicht werden müssen. Gemäss § 206 GVG/ZH könne gegen die Kostenansätze der Gerichte Beschwerde geführt werden, woraus zu schliessen sei, dass gegen die Höhe der Gerichtskosten, nicht aber gegen die Festsetzung der Entschädigung des amtlichen Verteidigers Beschwerde erhoben werden könne. Zudem handle es sich bei der Beschwerde nach GVG/ZH um einen Rechtsbehelf, also um gar kein förmliches Rechtsmittel. Selbst wenn eine Aufsichtsbeschwerde möglich sei, werde damit die Frage nicht beantwortet, ob nicht auch der Rekurs offenstehe. Zusammenfassend könne ihm jedenfalls keine grobe prozessuale Unsorgfalt vorgeworfen werden, dass er von der Zulässigkeit des Rekurses ausgegangen sei (Beschwerde S. 7 - 12).
1.3.2 Der Beschwerdeführer führt weiter aus, gestützt auf § 207 GVG/ZH würden Gerichtsgebühren, welche die untere Instanz zu niedrig angesetzt habe, von Amtes wegen erhöht, wenn das Verfahren an eine obere Instanz weitergezogen werde. Soweit daher tatsächlich Beschwerde statt Rekurs hätte eingereicht werden müssen, hätte die Vorinstanz von Amtes wegen prüfen müssen, ob die Entschädigung vom Bezirksgericht nicht zu tief festgesetzt worden sei (Beschwerde S. 13).
1.3.3 Schliesslich habe die Vorinstanz seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, da sie ihn vor der Beschlussfassung nicht angehört habe (Beschwerde S. 13 f.).
1.4 Den Parteien darf aus einer fehlerhaften behördlichen Rechtsmittelbelehrung kein Nachteil erwachsen. Wer allerdings die Unrichtigkeit der Rechtsmittelbelehrung erkannte oder bei zumutbarer Sorgfalt hätte erkennen müssen, kann sich nicht auf den genannten Grundsatz berufen. Rechtssuchende geniessen keinen Vertrauensschutz, wenn sie bzw. ihr Rechtsvertreter den Mangel allein schon durch Konsultierung der massgeblichen Verfahrensbestimmung hätten erkennen können. Allerdings vermag nur eine grobe prozessuale Unsorgfalt der betroffenen Partei oder ihres Anwaltes eine falsche Rechtsmittelbelehrung aufzuwiegen. Nicht verlangt wird insbesondere, dass neben dem Gesetzestext auch noch die einschlägige Rechtsprechung oder Literatur nachgeschlagen wird (vgl. zum Ganzen <ref-ruling>). Fehlt eine Rechtsmittelbelehrung, so ist der Empfänger gehalten, sich nach den in Frage kommenden Rechtsmitteln zu erkundigen (vgl. <ref-ruling> E. 1c; Kathrin Amstutz/Peter Arnold, Basler Kommentar BGG, 2008, Art. 49 N. 12).
1.4 Den Parteien darf aus einer fehlerhaften behördlichen Rechtsmittelbelehrung kein Nachteil erwachsen. Wer allerdings die Unrichtigkeit der Rechtsmittelbelehrung erkannte oder bei zumutbarer Sorgfalt hätte erkennen müssen, kann sich nicht auf den genannten Grundsatz berufen. Rechtssuchende geniessen keinen Vertrauensschutz, wenn sie bzw. ihr Rechtsvertreter den Mangel allein schon durch Konsultierung der massgeblichen Verfahrensbestimmung hätten erkennen können. Allerdings vermag nur eine grobe prozessuale Unsorgfalt der betroffenen Partei oder ihres Anwaltes eine falsche Rechtsmittelbelehrung aufzuwiegen. Nicht verlangt wird insbesondere, dass neben dem Gesetzestext auch noch die einschlägige Rechtsprechung oder Literatur nachgeschlagen wird (vgl. zum Ganzen <ref-ruling>). Fehlt eine Rechtsmittelbelehrung, so ist der Empfänger gehalten, sich nach den in Frage kommenden Rechtsmitteln zu erkundigen (vgl. <ref-ruling> E. 1c; Kathrin Amstutz/Peter Arnold, Basler Kommentar BGG, 2008, Art. 49 N. 12).
1.5 1.5.1 Der Rekurs nach <ref-law>/ZH wird von der Kostenbeschwerde gemäss § 206 i.V.m. § 108 ff. GVG/ZH nach der Lehre wie folgt abgegrenzt: Rekurs ist zu führen, wenn es um die Beantwortung der Fragen geht, ob und in welchem Mass eine Partei im Verhältnis des Obsiegens und Unterliegens Kosten zu tragen hat, und ob die Kosten zu erlassen oder abzuschreiben sind. Die Beschwerde hat dagegen zum Gegenstand, ob überhaupt Gebühren und Kosten und in welcher Höhe sie erhoben werden dürfen (Robert Hauser/Erhard Schweri, Kommentar zum zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz, 2002, § 206 N. 2). Beschwerde ist namentlich zu erheben bezüglich der Berechnung bzw. Festsetzung der Entschädigungen der amtlichen Verteidigung durch das Gericht (Niklaus Schmid, in: Andreas Donatsch/Niklaus Schmid [Hrsg.], Kommentar zur Strafprozessordnung des Kantons Zürich, 1996, § 402 N. 33; Hauser/Schweri, a.a.O., § 108 N. 24; Adrian Meili, Der Rekurs im Strafprozess nach zürcherischem Recht, Diss. Zürich 1968, S. 19).
Der Beschwerdeführer, welcher die Höhe der zugesprochenen amtlichen Entschädigung beanstandet, hätte folglich den Beschluss des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 6. Dezember 2007 innert 10 Tagen mit Beschwerde statt innert 20 Tagen mit Rekurs anfechten müssen. Entscheidend ist jedoch insoweit, ob dies für ihn bei Aufwendung der zumutbaren Sorgfalt - d.h. bei Konsultation der massgeblichen Gesetzesbestimmungen, nicht aber der zitierten Literaturstellen - erkennbar gewesen wäre.
Diese Frage ist - wie die Vorinstanz eingehend und überzeugend be-gründet hat - zu bejahen. Aus der Rechtsmittelbelehrung im Urteil des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 20. September 2007 kann in Bezug auf das zulässige Rechtsmittel gegen den Beschluss vom 6. Dezember 2007 nichts abgeleitet werden. Nach dem Wortlaut von <ref-law>/ZH ist der Rekurs zwar unter gewissen Voraussetzungen gegen Urteile, nicht aber gegen nachträgliche Beschlüsse von Bezirksgerichten zulässig. Der Beschwerdeführer als Rechtsanwalt konnte mithin gestützt auf die Regelung in der StPO/ZH nicht mit guten Gründen davon ausgehen, er könne den fraglichen Beschluss betreffend die Höhe der festzusetzenden Entschädigung der amtlichen Verteidigung mittels Rekurs anfechten. Wie die Vorinstanz zudem zutreffend erwogen hat, stützt sich der Entschädigungsanspruch des Beschwerdeführers als amtlich bestellter Verteidiger auf ein öffentlich-rechtliches Auftragsverhältnis und richtet sich damit direkt gegen den Staat, weshalb es dem Beschwerdeführer als naheliegend hätte erscheinen müssen, dass er kein strafprozessuales Rechtsmittel, sondern die Beschwerde gemäss § 206 i.V.m. § 108 ff. GVG erheben musste. Zumindest aber wäre er in dieser Konstellation gehalten gewesen, sich beim Bezirksgericht Dielsdorf umgehend nach den in Frage kommenden Rechtsmitteln zu erkundigen, und hätte nicht auf die Zulässigkeit des Rekurses vertrauen dürfen.
1.5.2 Gemäss § 207 GVG/ZH werden Gerichtsgebühren, welche die untere Instanz zu niedrig angesetzt hat, von Amtes wegen erhöht, wenn das Verfahren an eine obere Instanz weitergezogen, mithin dort anhängig gemacht wird. Diese Bestimmung bildet einzig die Rechtsgrundlage für eine Erhöhung der (erstinstanzlichen) Gerichtsgebühren, nicht aber für eine Erhöhung der Parteientschädigung. Im Übrigen hat die Vorinstanz, wie dargelegt, die Eingabe des Beschwerdeführers zutreffend als verspätet eingestuft und zu Recht einen Nichteintretensentscheid gefällt, so dass sie sich nicht in materieller Hinsicht mit der Sache befassen und sich auch die Frage der Erhöhung der Parteientschädigung nicht stellen musste.
1.5.3 Schliesslich hat die Vorinstanz auch den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 1 und 2 BV nicht missachtet. Eine Gehörsverletzung im Sinne einer formellen Rechtsverweigerung liegt nach der Praxis des Bundesgerichts vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber entscheiden müsste (vgl. <ref-ruling> E. 2.3). Hingegen lässt sich aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs kein Anspruch ableiten, im Falle einer verspätet eingereichten Eingabe vor Erlass eines Nichteintretensentscheids angehört zu werden.
2. Die Beschwerde ist folglich vollumfänglich abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Stohner