Faits:
A. A.a T._, marié, est rentier de l'AVS. Depuis plusieurs années, il perçoit une prestation complémentaire à l'AVS y compris un subside pour la prime à l'assurance-maladie.
Par décisions du 23 novembre 2007, son épouse E._ a été mise au bénéfice d'une rente de l'AVS depuis le 1er décembre 2007, d'un montant mensuel de 1'240 fr. A cette occasion, la rente AVS de T._ a fait l'objet d'un nouveau calcul et cette prestation a été réduite de 1'075 fr. à 945 fr. par mois.
Le 11 janvier 2008, E._ a informé le Service cantonal des prestations complémentaires (SPC) qu'elle bénéficiait désormais d'une rente de vieillesse de l'AVS et que la rente de son époux avait été légèrement réduite. Elle a rappelé au SPC que ces nouveaux éléments étaient susceptibles d'entraîner des changements; elle a exprimé le souhait que le subside pour l'assurance-maladie puisse être maintenu.
Par décision du 8 février 2008, le SPC a repris le calcul de la prestation complémentaire de T._ à partir du 1er janvier 2008. Le SPC a fixé les dépenses reconnues à 33'882 fr. par an; quant au revenu déterminant, il l'a établi à 15'925 fr. par an, les rentes de l'AVS ascendant à 13'260 fr. La situation financière du couple justifiait dès lors une augmentation du montant de la prestation complémentaire, laquelle est passé mensuellement de 917 à 1'497 fr., à quoi s'ajoutait le subside à l'assurance-maladie à raison de 419 fr. pour chaque conjoint.
Par décision du 15 décembre 2008, le SPC a recalculé le droit à la prestation complémentaire à compter du 1er décembre 2007. A cette occasion, il a rectifié le montant des rentes de l'AVS en le portant de 13'260 à 26'220 fr. par an, ce qui a abouti à une prestation complémentaire mensuelle de 416 fr. Dès lors que T._ aurait dû recevoir pour la période du 1er décembre 2007 au 31 décembre 2008 une somme totale de 4'992 fr. au lieu des 18'794 fr. effectivement perçus, le SPC lui a demandé de restituer le montant de 13'802 fr. La décision n'a pas été attaquée.
A.b Le 12 février 2009, T._ a présenté au SPC une demande de remise de l'obligation de restituer la somme réclamée par la décision du 15 décembre 2008. Il se prévalait de sa bonne foi, dès lors que son épouse avait communiqué les revenus complémentaires du couple par lettre du 11 janvier 2008, ainsi que de la situation financière difficile que le remboursement engendrerait. Le SPC a rejeté la demande de remise, par décision du 19 mai 2009, confirmée sur opposition le 30 septembre 2009.
B. T._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant à son annulation et à la remise de son obligation de restituer la somme de 13'802 fr.
Par jugement du 15 mars 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant principalement à la remise de l'obligation de restituer la somme de 13'802 fr., subsidiairement au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour examen de la condition de la situation difficile. Il sollicite une dispense du versement de l'avance de frais.
Le SPC conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
2. Le litige porte sur les conditions de la remise de l'obligation de restituer la somme de 13'802 fr., singulièrement sur le point de savoir si le recourant remplit la condition de la bonne foi.
La solution du litige ressortit à l'art. 25 al. 1 LPGA, ainsi qu'à l'art. 4 al. 1 et 2 OPGA.
3. 3.1 Les premiers juges ont rappelé que l'ignorance, par l'assuré, du fait qu'il n'avait pas droit aux prestations versées ne suffit pas pour admettre qu'il était de bonne foi. Il faut bien plutôt que le bénéficiaire des prestations ne se soit rendu coupable, non seulement d'aucune intention malicieuse, mais aussi d'aucune négligence grave. Il s'ensuit que la bonne foi, en tant que condition de la remise, est exclue d'emblée lorsque les faits qui conduisent à l'obligation de restituer - comme par exemple une violation du devoir d'annoncer ou de renseigner - sont imputables à un comportement dolosif ou à une négligence grave. En revanche, l'assuré peut invoquer sa bonne foi lorsque l'acte ou l'omission fautifs ne constituent qu'une violation légère de l'obligation d'annoncer ou de renseigner (<ref-ruling> consid. 2c p. 103; <ref-ruling> consid. 3c p. 180). Il y a négligence grave quand un ayant droit ne se conforme pas à ce qui peut raisonnablement être exigé d'une personne capable de discernement dans une situation identique et dans les mêmes circonstances (ATF <ref-ruling> consid. 3d p. 181). On ajoutera que la bonne foi doit être niée quand l'enrichi pouvait, au moment du versement, s'attendre à son obligation de restituer, parce qu'il savait ou devait savoir, en faisant preuve de l'attention requise, que la prestation était indue (art. 3 al. 2 CC; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 419 sv et les références).
3.2 L'art. 31 LPGA règle la question de l'avis obligatoire en cas de modification des circonstances une fois que des prestations ont été allouées (UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2e éd. 2009, n. 6 ss ad art. 31); pour les prestations complémentaires de droit fédéral, cette règle est énoncée à l'art. 24 OPC-AVS/AI. Ces dispositions ne s'appliquent pas lorsque l'administration, pourtant informée de tels changements, accorde néanmoins indûment trop de prestations à l'assuré (arrêt 8C_1042/2009 du 12 avril 2010, consid. 4.2, concernant un cas d'application de l'art. 77 RAI).
Dans l'arrêt P 14/93 du 26 août 1993, traduit dans la VSI 1994 p. 125 (consid. 4b p. 129), le Tribunal fédéral des assurances a rappelé, en se référant à l'arrêt non publié B. du 3 mars 1993 (P 42/92), que la question de l'inattention d'un bénéficiaire de prestations pourrait jouer un rôle lorsque l'intéressé remplit dûment son obligation de renseigner, mais que la caisse de compensation fixe ensuite par inadvertance le montant des prestations complémentaires sur la base d'une rente de vieillesse trop basse. Il a été ainsi exposé, au consid. 5b de l'arrêt P 42/92 (cité par ULRICH MEYER, Die Rückerstattung von Sozialversicherungsleistungen, RSJB 131/1995 p. 483), qu'on ne doit en règle générale pas exiger du bénéficiaire de prestations complémentaires qu'il vérifie entièrement la feuille de calcul des prestations. Si l'on peut attendre de l'intéressé qu'il décèle des erreurs manifestes et qu'il en fasse l'annonce à la caisse, pareille obligation ne s'étend pas en présence d'incertitudes portant sur la qualification de divers postes du calcul, que seuls des spécialistes sont en mesure de maîtriser. Depuis lors, dans l'arrêt 8C_1042/2009 précité (consid. 4.4), le Tribunal fédéral a laissé indécis le point de savoir si l'assuré doit ou non vérifier l'exactitude de chaque élément du calcul et rapporter d'éventuelles inexactitudes à l'administration.
3.3 L'examen de l'attention exigible d'un ayant droit qui invoque sa bonne foi relève du droit et le Tribunal fédéral revoit librement ce point (<ref-ruling> consid. 3 p. 223; <ref-ruling> consid. b p. 246; arrêt 8C_594/2007 du 10 mars 2008).
4. 4.1 Dans sa décision sur opposition du 30 septembre 2009, l'intimé a considéré que la communication de la décision de rente du 23 novembre 2007, parvenue le 15 janvier 2008, était tardive. De ce chef, il a admis que la condition de la bonne foi du recourant n'était pas réalisée, ce qui l'a conduit à rejeter la demande de remise.
4.2 Le tribunal cantonal a laissé ouverte la question du caractère éventuellement tardif de l'annonce du changement de situation économique résultant de l'octroi d'une rente de l'AVS à l'épouse. Selon les premiers juges, "en faisant preuve de la vigilance exigible" (jugement attaqué, consid. 6 p. 7), le recourant aurait aisément pu constater que l'augmentation des prestations complémentaires, objet de la décision du 8 février 2008, était erronée. Comme les ressources du couple s'étaient accrues à la suite du versement d'une rente AVS à l'épouse, le montant de la prestation complémentaire aurait dû être réduit au lieu d'être augmenté; l'épouse du recourant s'y attendait d'ailleurs puisqu'elle avait exprimé le souhait de continuer à bénéficier du subside à l'assurance-maladie. De plus, le montant annuel de 13'260 fr. pris en compte à titre de rentes de l'AVS ne correspondait à l'évidence pas au cumul des deux rentes annuelles annoncées.
Implicitement, le tribunal cantonal en a déduit que le recourant aurait dû rendre l'intimé attentif à l'erreur de calcul qu'il venait de commettre dans sa décision du 8 février 2008. A l'instar de l'intimé, il a donc nié la bonne foi du recourant, par substitution de motifs.
4.3 Le recourant se prévaut de sa bonne foi. D'une part, il rappelle que son épouse avait dûment annoncé le début du versement de sa rente AVS, par lettre du 11 janvier 2008. D'autre part, le recourant déclare que son épouse et lui-même n'avaient pas été surpris par l'augmentation de la prestation complémentaire consécutive à cette annonce, car sa rente AVS et la fortune du couple avaient diminué. Il précise qu'il ne doutait pas que le SPC ait pu commettre une erreur, qu'il aurait alors annoncée. Le recourant ajoute qu'une obligation de vérifier la feuille de calcul de la prestation complémentaire ne figure dans aucun document. A ce sujet, il estime que c'est à l'administration qu'il incombe d'inviter les bénéficiaires de telles prestations à vérifier les feuilles de calcul annexées aux décisions qui s'y rapportent, en vertu de son obligation de conseiller et de renseigner (art. 27 LGPA), cela d'autant plus lorsque les destinataires des prestations complémentaires sont des personnes âgées.
Par ailleurs, le recourant se plaint d'arbitraire et de violation de son droit d'être entendu. Sur ce dernier point, il fait grief au tribunal cantonal d'avoir tranché la question de sa bonne foi en fonction d'un élément qui n'avait pas été discuté, soit le critère du manque de vigilance exigible.
5. 5.1 L'écoulement du temps, entre la décision de rente du 23 novembre 2007 et l'annonce du 11 janvier 2008, n'a joué aucun rôle sur le montant de la prestation complémentaire afférente au mois de décembre 2007 et à l'année 2008, car celle-ci n'a été arrêtée qu'après ladite annonce. Par ailleurs, ce facteur temporel n'a pas eu d'incidence sur l'erreur de calcul que l'intimé a commise le 8 février 2008, laquelle lui est exclusivement imputable.
5.2 Demeure litigieux le point de savoir si la bonne foi du recourant (au sens de l'art. 25 al. 1 LPGA) doit être niée pour le seul motif qu'il n'a pas signalé à l'intimé que le calcul du 8 février 2008 était erroné, ainsi que les premiers juges l'ont admis.
A cet égard, le recourant reproche à juste titre au tribunal cantonal de n'avoir pas respecté son droit d'être entendu sur la question de l'omission de signaler à l'administration l'erreur qu'elle avait commise. En effet, de jurisprudence constante, si le juge cantonal entend confirmer une décision pour un motif substitué (notamment dans le cas de la suppression d'une rente d'invalidité), il doit donner à l'assuré la possibilité de s'exprimer, à peine de violer son droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. (<ref-ruling> consid. 2 p. 369 et les arrêts cités, consid. 4a p. 370). Le Tribunal fédéral ne saurait réparer une telle omission, compte tenu de son pouvoir d'examen restreint (arrêts 9C_272/2009 du 16 septembre 2009, in SVR 2010 IV n° 19 p. 58, et 8C_1027/2009 du 17 août 2010, in RSAS 2010 p. 514).
Pour ce seul motif, sans procéder à ce stade à l'examen du cas à la lumière des règles rappelées ci-dessus (consid. 3) ou des autres moyens soulevés par le recourant (notamment l'art. 27 LPGA), il sied de renvoyer la cause au tribunal cantonal afin qu'il invite les parties à s'exprimer sur le manque de vigilance qui a été reproché au recourant et ses conséquences dans le cas particulier, puis statue à nouveau.
6. L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires qui seront arrêtés en fonction de la valeur litigieuse (art. 66 al. 1, 65 al. 2 et 3 LTF).
Vu le sort du litige, la requête d'assistance judiciaire, limitée à la dispense de l'avance de frais, n'a plus d'objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 15 mars 2010 est annulé, la cause étant renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, afin qu'elle procède conformément au consid. 5.2.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 15 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud