Faits:
A.
B._ était affilié à la Caisse d'assurance du personnel de la ville de Genève, des services industriels de Genève et du personnel communal transféré dans l'administration cantonale (CAP) pour la prévoyance professionnelle. Il a épousé T._ le 28 août 2008. Celle-ci est née le 6 décembre 1966. B._ est décédé le 18 octobre 2008.
La CAP et T._ sont entrées en pourparlers. L'institution de prévoyance a d'abord accordé à l'épouse de son assuré une indemnité de 83'625 fr., correspondant à trois pensions annuelles, dès lors que celle-ci ne remplissait pas les conditions légales et statutaires lui permettant de percevoir une rente de conjoint survivant (courrier du 28 octobre 2008). T._ a toutefois sollicité l'allocation d'une pension de conjoint survivant dans la mesure où elle avait la charge de deux filles issues d'un de ses précédents mariages (courrier du 2 décembre 2008). La CAP a donné suite à cette requête; elle a reconnu le droit de l'épouse de son assuré à une rente de conjoint survivant de 831 fr. 85 par mois (minimum LPP) à compter du 1er novembre 2008 et a réclamé la restitution préalable des 83'625 fr. (courrier du 25 mars 2009). T._ a pris l'engagement de rembourser l'indemnité perçue aussitôt que l'institution de prévoyance lui aurait garanti le versement d'une pension statutaire annuelle de conjoint survivant de 27'875 fr. (courrier du 24 avril 2009). Les deux interlocuteurs ont maintenu leurs positions respectives dans la suite des pourparlers. La CAP soutenait que la notion statutaire d'enfant à charge devait être interprétée plus restrictivement que la notion légale et requérait un lien de filiation avec le défunt; elle a en outre déclaré compenser sa créance en restitution de l'indemnité avec les prétentions de rente (courriers des 19 mai, 8 et 23 juin et 8 décembre 2009, ainsi que des 6 janvier et 31 août 2010). L'épouse de l'assuré contestait l'interprétation de l'institution de prévoyance relative à la notion d'enfant à charge et défendait la thèse contraire; elle a par ailleurs renoncé à invoquer la prescription jusqu'au 31 décembre 2010 (courriers du 29 mai et 22 juin 2009, ainsi que des 4 janvier et 6 septembre 2010).
B.
T._ a déposé le 23 décembre 2010 devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (actuellement la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève) une demande contre la CAP. Elle concluait à la condamnation de l'institution de prévoyance au versement mensuel, principalement, d'une rente statutaire de 2'323 fr. en contrepartie de la restitution des 83'625 fr. ou, à titre subsidiaire, d'une rente légale de 831 fr. 85 sans la contrepartie indiquée; elle persistait dans son interprétation de la notion d'enfant à charge et ne considérait être tenue à rembourser l'indemnité que si une rente statutaire lui était octroyée. L'institution de prévoyance a implicitement conclu au rejet des conclusions de la demande. Elle requérait sur la base de l'argumentation déjà développée précédemment que soient constatés son acceptation de payer une rente légale de 831 fr. 85 et le bien-fondé de la compensation. Invitées plusieurs fois à se prononcer, les parties ont campé sur leurs positions respectives. L'épouse de l'assuré a en outre invoqué la prescription de la créance en restitution de l'indemnité pour conjoint survivant depuis le 1er janvier 2011 et soutenu que la compensation portait atteinte à son minimum vital.
La demande a été partiellement admise (jugement du 28 février 2013). La juridiction cantonale a considéré que T._ pouvait prétendre la rente de 831 fr. 85 mais pas l'indemnité de 83'625 fr., que la compensation entre indemnité et prétentions de rente était valable dès lors que le minimum vital de l'épouse de l'assuré n'était pas lésé, que la créance de la CAP en remboursement était cependant prescrite au 31 décembre 2010, que l'institution de prévoyance devait donc reprendre le versement de la rente à partir du 1er février 2013 et payer à T._ un montant de 20'796 fr. 25, correspondant au montant capitalisé de la rente minimale due pour la période courant du mois de janvier 2011 au mois de janvier 2013 inclus avec intérêts à 5 % l'an dès le 15 janvier 2012.
C.
La CAP et l'épouse de l'assuré recourent contre le jugement dont elles requièrent l'annulation, sous suite de frais et dépens. La première conclut à la constatation de la validité de sa compensation, quelque soit la période considérée, ou au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour nouveau jugement au sens des considérants (cause 9C_298/2013); la seconde reprend ses conclusions formulées en première instance (cause 9C_310/2013); toutes deux ont conclu au rejet du recours de la partie adverse. T._ a également requis l'octroi de l'assistance judiciaire pour les deux procédures fédérales. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Les deux recours déposés céans visent le même jugement. Ils concernent des faits de même nature. Ils portent sur des questions juridiques communes. Il se justifie par conséquent de joindre les causes et de les liquider en un seul arrêt (<ref-ruling> consid. 1 p. 60).
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral revoit librement les dispositions de droit public cantonal et communal en matière de prévoyance professionnelle, à tout le moins celles portant sur l'octroi et le refus de prestations d'assurances (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 199 sv.).
3.
3.1. Est d'abord litigieux le droit de T._ d'obtenir une rente pour conjoint survivant de la prévoyance professionnelle; compte tenu du dispositif de l'acte attaqué, des griefs et conclusions de l'épouse de l'assuré ainsi que des exigences de motivation et d'allégation de l'art. 42 al 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; voir aussi Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad art. 42 LTF), il s'agit plus particulièrement de déterminer la portée de la notion statutaire d'enfant à charge. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et statutaires ainsi que les principes jurisprudentiels - relatifs au droit du conjoint survivant à une rente de la prévoyance professionnelle obligatoire et surobligatoire, aux obligations des institutions de prévoyance enveloppantes ainsi qu'à l'interprétation des normes statutaires - nécessaires à la résolution du point litigieux; il suffit donc d'y renvoyer.
3.2. T._ reproche à la juridiction cantonale d'avoir nié son droit à une pension statutaire pour conjoint survivant sur la base d'une interprétation arbitraire de la notion statutaire d'enfant à charge. Elle conteste les conclusions du tribunal cantonal, selon lesquelles seul le conjoint survivant ayant la charge d'au moins un enfant - biologique ou adopté - du défunt a droit à une rente statutaire pour conjoint survivant. Elle soutient en substance que, selon une interprétation correcte des statuts, le conjoint survivant a droit à une rente pour conjoint survivant s'il pourvoit à l'entretien d'un enfant avec lequel il a lui-même un lien de filiation.
3.3. On pourrait d'abord douter de la recevabilité de l'argumentation de l'épouse de l'assuré sur ce point. Si celle-ci fait concrètement grief aux premiers juges de ne pas avoir analysé ni critiqué son raisonnement ni même de l'avoir énoncé, elle semble toutefois se borner à rappeler les deux thèses qui s'opposaient en première instance, puis à réfuter l'opinion de la CAP et à promouvoir la sienne en reprenant les explications déjà données auparavant. Un tel procédé ne saurait en aucun cas être considéré comme une critique jetant valablement le doute sur l'acte attaqué. Cette question peut cependant rester indécise en l'espèce dans la mesure où le recours est manifestement mal fondé sur ce point. Peu importent effectivement les considérations de T._ ou de la juridiction cantonale dès lors que l'interprétation systématique des art. 44 let. a et 49 al. 1 des statuts conduit déjà clairement à la négation du droit l'épouse de l'assuré à une rente statutaire pour conjoint survivant. En effet, aux termes de l'art. 44 let. a, le conjoint survivant peut bénéficier d'une pension de conjoint survivant s'il a au moins un enfant à charge au sens de l'art. 49. L'art. 49 détermine les personnes qui ont droit à une rente d'orphelin. Il s'agit des enfants - au sens du droit civil - d'un assuré décédé ou d'un pensionné décédé. Personne ne conteste que la référence au droit civil renvoie à l'art. 252 CC, selon lequel la filiation à l'égard du père est établie par son mariage avec la mère, par reconnaissance, par jugement ou par adoption. Il résulte donc des dispositions statutaires pertinentes - lues ensemble - que seul le conjoint survivant qui a la charge d'au moins un enfant biologique ou adopté du défunt remplissant les conditions pour bénéficier d'une rente d'orphelin peut percevoir une rente statutaire pour conjoint survivant. Or, T._ assume en l'occurrence la charge de deux filles nées de l'un de ses précédents mariages et ne tombant pas sous le coup de l'art. 252 CC. Il apparaît ainsi que le tribunal cantonal n'a violé aucune disposition légale.
4.
4.1. Est ensuite litigieux le droit de l'épouse de l'assuré à une indemnité unique pour conjoint survivant; compte tenu des éléments déjà cités (dispositif du jugement attaqué, griefs et conclusions de la recourante, devoir de motivation et d'allégation; cf. consid. 3.1), il s'agit en particulier de déterminer la portée du terme pension mentionné à l'art. 48 des statuts, correctement cité dans le jugement entrepris auquel il convient donc de renvoyer.
4.2. T._ reproche à la juridiction cantonale d'avoir une nouvelle fois interprété arbitrairement les statuts en niant son droit à une indemnité unique pour conjoint survivant; elle conteste concrètement les conclusions du tribunal cantonal, pour qui le droit à une rente de la prévoyance professionnelle obligatoire suffit déjà à faire obstacle au droit d'obtenir une indemnité unique; elle soutient substantiellement que l'emploi systématique par l'institution de prévoyance dans ses statuts du mot pension s'inscrit dans le système de la prévoyance professionnelle plus étendue tandis que le mot rente ressortit au système légal, de sorte que le refus de lui allouer une pension statutaire implique nécessairement le versement d'une indemnité unique. Elle réfute aussi la motivation subsidiaire évoquée par les premiers juges selon laquelle les difficultés économiques pouvant surgir suite au décès d'un conjoint étaient suffisamment compensées par l'octroi d'une rente de survivant, de sorte qu'elles n'avaient pas à l'être une seconde fois par l'allocation d'une indemnité supplémentaire.
4.3. Si tant est que l'argumentation de l'épouse de l'assuré soit recevable, dans la mesure où elle est fondamentalement identique à celle exposée dans la demande, elle n'est une nouvelle fois pas fondée. La juridiction cantonale a effectivement considéré que l'utilisation systématique du terme pension dans les statuts de la CAP ne signifiait pas forcément que ledit terme ne visait que des prestations de la prévoyance professionnelle plus étendue dès lors que, par sa nature enveloppante, l'institution de prévoyance proposait des prestations obligatoires et surobligatoires régies par un seul et même règlement qui ne faisait aucune distinction entre les deux types de prestations. Elle a en outre relevé que, le but de l'indemnité pour conjoint survivant (cf. jugement entrepris, consid 7a/bb et cc) étant d'aider celui dont la perte de soutien n'était pas atténuée par une rente à surmonter les difficultés économiques pouvant survenir suite au décès de son conjoint et à faciliter une éventuelle reprise d'activité, la perte de soutien subie par T._ n'avait pas à être dédommagée plus que par l'allocation de la rente minimale LPP de conjoint survivant. Cette interprétation de l'art. 48 des statuts n'est nullement remise en cause par la simple réaffirmation d'une thèse déjà défendue en première instance. Au contraire, l'argumentation du tribunal cantonal y répond justement. On ajoutera par ailleurs que l'on ne saurait faire grief aux premiers juges d'avoir confondu interprétation de la réglementation statutaire et type d'institution de prévoyance dans la mesure où, précisément, c'est la nature de l'institution en cause qui permet en l'espèce d'expliquer de façon pertinente les raisons de l'absence de dénomination différenciée pour les prestations relevant du régime obligatoire ou surobligatoire. On relèvera enfin que les considérations de l'épouse de l'assuré au sujet du fait que le but de la prévoyance n'était pas atteint dans le cas particulier et de la disproportion entre les prestations perçues concrètement et l'avoir de prévoyance accumulé par l'assuré au moment de son décès ne lui sont d'aucune utilité dès lors que, si l'objectif de la LPP est bien de permettre aux personnes assurées de maintenir leur niveau de vie antérieur comme l'a justement mentionné la juridiction cantonale (cf. jugement entrepris, consid. 4), ledit objectif n'englobe nullement le maintien du niveau de vie antérieur du conjoint d'une personne assurée et qu'une institution de prévoyance n'est tenue de servir que les prestations légales, statutaires ou réglementaires et n'a pas à se préoccuper de l'impact des prestations versées sur la situation financière concrète des bénéficiaires desdites prestations. Le recours interjeté par T._ doit donc être également rejeté sur ce point.
5.
5.1. Puisqu'il a été établi que l'indemnité unique pour conjoint survivant a été versée à tort (cf. consid. 4), il convient encore de déterminer si la compensation entre la créance en restitution de l'indemnité évoquée et les prétentions de rente de conjoint survivant de l'épouse de l'assuré a été exercée valablement par la CAP, singulièrement si, comme l'a jugé le tribunal cantonal, ladite créance était prescrite le 31 décembre 2010 ou pas, comme le soutient l'institution de prévoyance. Le jugement entrepris cite correctement la plupart des dispositions légales et des principes jurisprudentiels applicables à la résolution de la question litigieuse; il suffit donc d'y renvoyer.
5.2. Comme l'ont pertinemment constaté les premiers juges, les institutions de prévoyance ne peuvent pas rendre de décisions, de sorte que leurs déclarations ne peuvent s'imposer qu'en vertu de la décision d'un tribunal saisi par la voie de l'action (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 228 ss). En l'occurrence, la CAP a réclamé la restitution de l'indemnité unique pour conjoint survivant versée indûment (cf. consid. 4) par courrier du 25 mars 2009 et s'est bornée à déclarer par simples courriers des 8 décembre 2009 et 31 août 2010 exercer la compensation entre sa créance en restitution de l'indemnité unique et les prétentions de rente de T._. Si la loi ne prévoit pas expressément la possibilité de compenser la somme demandée avec des prestations, la jurisprudence l'admet toutefois (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 53). Il n'en demeure pas moins que, d'après l'art. 35a al. 2 LPP correctement évoqué par la juridiction cantonale, le droit d'exiger la restitution des prestations indûment touchées se prescrit par un an à partir du moment où l'institution de prévoyance a eu connaissance du fait, mais au plus tard cinq ans après le versement de la prestation, si tant est que le droit en question ne soit pas né d'un acte punissable, pour lequel le droit pénal prévoit un délai de prescription plus long. Malgré les termes employés par le législateur (se prescrit/délai de prescription; si prescrive/termine di prescrizione; verjährt/Verjährungsfrist), la nature du délai prévu par l'art. 35a al. 2 LPP (prescription ou péremption) est controversée dans la doctrine et n'a pas encore été tranchée par la jurisprudence (cf. arrêt 9C_611/2010 du 15 décembre 2010 consid. 3 in SVR 2011 BVG n° 25 p. 93). Cette question peut cependant restée ouverte en l'occurrence. En effet, s'il s'agit d'un délai de péremption, il apparaît que la CAP n'a jamais fait valoir son droit de demander la restitution de l'indemnité unique pour conjoint survivant versée indûment par une action en justice et que, partant, son droit aurait été périmé un an après la connaissance des faits pertinents arrêtée en l'espèce au 24 mars 2009 par les premiers juges; l'admission de la compensation serait dès lors erronée mais le Tribunal fédéral ne pourrait rien y changer dans la mesure où il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (cf. art. 107 al. 1 LTF). S'il s'agit d'un délai de prescription, il apparaît que l'institution de prévoyance n'a accompli aucun acte interruptif de prescription au sens de l'art. 135 al. 2 CO; les actes énoncés dans cet article sont les seuls susceptibles de produire un tel effet dans le domaine de la prévoyance professionnelle; un simple courrier adressé au bénéficiaire de la prestation indue ne représente pas un tel acte (cf. arrêt B 55/05 du 16 décembre 2006 consid. 4.2 in SVR 2007 BVG n° 18 p. 61). Le raisonnement de la juridiction cantonale et le résultat auquel elle a abouti n'est donc pas critiquable ou valablement critiqué. On notera encore que les considérations de la CAP sur la prescription des arrérages d'une créance, la compensation ou la portée d'une déclaration de compensation ne sont pas pertinentes dans la mesure où le litige ne porte nullement sur la prescription du droit à la rente de conjoint survivant et la possibilité de compenser les créances invoquées.
6.
6.1. L'institution de prévoyance reproche enfin au tribunal cantonal d'avoir établi les faits d'une façon inexacte. Elle considère que celui-ci n'a pas retenu des faits prouvés et pertinents relatifs au comportement de l'épouse de l'assuré suite à l'obtention de l'indemnité pour conjoint survivant (omission d'annoncer l'existence de ses deux enfants, utilisation délibérée de la somme d'argent reçue à tort, invocation de la prescription). Elle en déduit la violation des règles de la bonne foi et de l'interdiction de l'abus de droit.
6.2. S'il est exact que le débiteur d'une prestation commet un abus de droit (art. 2 al. 2 CC) en se prévalant de la prescription lorsqu'il amène astucieusement le créancier à ne pas réagir en temps utile ou lorsque, même sans mauvaise intention, il adopte un comportement qui incite le créancier à renoncer à entreprendre des démarches juridiques pendant le délai de prescription (cf. <ref-ruling> consid. 4a p. 241 sv.), on ne saurait rien reprocher de tel à T._, dès lors que, comme l'ont relevé les premiers juges, celle-ci n'a jamais reconnu la dette, même par actes concluants, s'y est toujours clairement opposée et qu'elle a même temporairement accepté de renoncer à invoquer la prescription. Le fait pour la juridiction cantonale de ne pas avoir utilisé le terme d'abus de droit ne doit pas être regardé comme un défaut de motivation (sur cette notion, cf., p. ex., <ref-ruling> consid. 3.2 p. 236 sv.) de son jugement dans la mesure où elle a expressément exposé les éléments permettant au destinataire de la décision de recourir utilement ou à l'autorité de recours d'exercer son contrôle.
7.
Vu l'issue des litiges, les frais judiciaires sont répartis par moitié entre les recourants (art. 66 al. 1 LTF) qui ne peuvent prétendre des dépens dans leur propre cause (art. 68 al. 1 et 3 LTF). L'épouse de l'assuré - qui a déposé une requête d'assistance judiciaire - en remplit les conditions d'octroi (art. 64 al. 1 LTF). Elle est toutefois rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle se trouve ultérieurement dans une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF). Elle a en outre le droit à des dépens dans la cause 9C_258/2013 (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Les causes 9C_298/2013 et 9C_310/2013 sont jointes.
2.
Le recours de la Caisse d'assurance du personnel de la ville de Genève, des services industriels de Genève et du personnel communal transféré dans l'administration cantonale (cause 9C_298/2013) est rejeté.
3.
Le recours de T._ (cause 9C_310/2013) est rejeté dans la mesure où il est recevable.
4.
L'assistance judiciaire est accordée à T._ et M e Christian Bruchez est désigné comme avocat d'office.
5.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la Caisse d'assurance du personnel de la ville de Genève, des services industriels de Genève et du personnel communal transféré dans l'administration cantonale, par 500 fr., et de T._, par 500 francs. La part de l'épouse de l'assuré est provisoirement supportée par la caisse du Tribunal.
6.
Une indemnité de 2'800 fr., supportée provisoirement par la caisse du Tribunal, est allouée à M e Christian Bruchez à titre d'honoraires.
7.
La Caisse d'assurance du personnel de la ville de Genève, des services industriels de Genève et du personnel communal transféré dans l'administration cantonale versera à T._ la somme de 1'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
8.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 novembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton