Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 14. Dezember 2012 erteilte das Bezirksgericht Horgen der Z._ AG in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts A._ gegen X._ provisorische Rechtsöffnung für Fr. 20'783.75, die Betreibungskosten sowie die Gerichtskosten und die Parteientschädigung des Rechtsöffnungsverfahrens.
B.
X._ erhob gegen dieses Urteil am 25. Januar 2013 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich.
Das Obergericht forderte X._ mit Verfügung vom 29. Januar 2013 auf, einen Vorschuss von Fr. 500.-- innerhalb von zehn Tagen ab Erhalt der Verfügung an die Obergerichtskasse zu leisten. Diese Verfügung wurde am 30. Januar 2013 als Gerichtsurkunde versandt und gelangte am 12. Februar 2013 zurück an das Obergericht, da X._ sie auf der Post nicht abgeholt hatte. Mit Verfügung vom 12. Februar 2013 setzte das Obergericht X._ eine Nachfrist von zehn Tagen ab Erhalt der Verfügung zur Leistung des Vorschusses. Die Post teilte dem Obergericht darauf hin mit, dass X._ seine Post bis am 28. Februar 2013 zurückbehalten lasse. Am 27. Februar 2013 nahm X._ die Verfügung vom 12. Februar 2012 entgegen. Am 8. März 2013 wurde der Gerichtskasse der Vorschuss von Fr. 500.-- gutgeschrieben. Mit Verfügung vom 27. März 2013 teilte das Obergericht X._ mit, dass die Nachfrist zur Vorschussleistung bereits am 4. März 2013 abgelaufen sei. Es forderte ihn auf nachzuweisen, dass er den Vorschuss rechtzeitig seinem Konto belastet oder der Schweizerischen Post zuhanden des Gerichts übergeben hatte. X._ kritisierte darauf hin die Fristberechnung und das Vorgehen des Obergerichts.
Mit Beschluss vom 14. Mai 2013 trat das Obergericht mangels Einhaltung der Nachfrist zur Vorschussleistung auf die Beschwerde nicht ein.
C.
Am 24. Juni 2013 (Postaufgabe) hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung der Verfügungen und des Beschlusses des Obergerichts und die Rückweisung der Sache an das Obergericht zur Behandlung.
Am 18. Juli 2013 hat der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Beschluss betrifft eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache und damit eine der Beschwerde in Zivilsachen unterliegende Angelegenheit (<ref-law>). Der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert ist jedoch nicht erreicht (<ref-law>) und das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung wird nicht geltend gemacht (<ref-law>). Die rechtzeitig eingereichte Eingabe (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) ist deshalb als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>).
Mit Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Bei Verfassungsrügen gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die Rügen müssen in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 1.4 S. 400 f.). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen).
2.
Die Vorinstanz hat zur Berechnung der Nachfrist für die Leistung des Vorschusses Folgendes ausgeführt: Gemäss <ref-law> (SR 272) gelte eine Gerichtsurkunde, die nicht abgeholt wurde, als am siebten Tag nach dem erfolglosen Zustellversuch als zugestellt, wenn der Empfänger mit einer Zustellung habe rechnen müssen. Der Beschwerdeführer habe selber Beschwerde an das Obergericht erhoben und er habe folglich mit Zustellungen rechnen müssen. Liege - wie vorliegend - ein Auftrag zur Zurückbehaltung der Post vor, so versuche die Post zwar gar nicht erst, die Sendung zuzustellen. Da es den Parteien eines Verfahrens jedoch nicht gestattet sei, mit einem Zurückbehaltungsauftrag das Verfahren zu verzögern, sei <ref-law> analog anzuwenden: Die Sendung gelte diesfalls am letzten Tag einer Frist von sieben Tagen ab Eingang bei der Poststelle als zugestellt. Die Nachfrist-Verfügung vom 12. Februar 2013 sei am 14. Februar 2013 bei der Post in B._ eingetroffen, die siebentägige Abholfrist habe am 15. Februar 2013 zu laufen begonnen und habe am 21. Februar 2013 geendet. An diesem Tag gelte die Verfügung als zugestellt. Der Beschwerdeführer habe die Post am 27. Februar 2013 abgeholt. Es sei jedoch irrelevant, dass er die Verfügung nach dem fiktiven Zustelldatum doch noch erhalten habe. Die Frist zur Vorschussleistung habe gemäss <ref-law> somit am 22. Februar 2013 zu laufen begonnen und gemäss <ref-law> am Montag, 4. März 2013, geendet. Der Vorschuss sei per Online-Banking einbezahlt worden. Es lägen keine Unterlagen vor, aus denen sich ergebe, wann das Konto des Beschwerdeführers belastet worden sei. Entsprechend den üblichen Abläufen müsse deshalb davon ausgegangen werden, dass der Betrag an ein und demselben Tag dem Gericht gutgeschrieben und dem Beschwerdeführer belastet worden sei, also am 8. März 2013 und damit vier Tage zu spät.
Der Beschwerdeführer hat vor Obergericht vorgebracht, das Obergericht habe gewusst, dass es ihm nicht immer gelinge, die Post rechtzeitig abzuholen, und es hätte folglich damit rechnen müssen, dass er auch die Nachfristansetzung nicht rechtzeitig abhole, und das Obergericht hätte ihn auf die für Laien nicht nachvollziehbare Fristberechnung aufmerksam machen müssen. Das Obergericht hat dazu erwogen, es sei ihm verboten, die Parteien bezüglich ihres Vorgehens zu beraten und es sei Pflicht der Parteien, die um das Verfahren wissen, dafür zu sorgen, dass sie oder ein Vertreter Sendungen des Gerichts umgehend erhalten. Auch einem juristischen Laien müsse klar sein, dass er das Verfahren durch Annahmeverweigerung oder einen Zurückbehaltungsauftrag nicht verzögern dürfe. Das Obergericht sei auch nicht veranlasst gewesen, die Fristberechnung bei einem Zurückbehaltungsauftrag zu erläutern, denn die erste Verfügung vom 29. Januar 2013 habe nicht wegen eines solchen Auftrags nicht zugestellt werden können, sondern weil der Beschwerdeführer sie nicht abgeholt habe.
Da der Beschwerdeführer weder behaupte noch belege, den Vorschuss vor dem 8. März 2013 geleistet zu haben, sei auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, in der Verfügung sei "eine Frist von 10 Tagen ab Zustellung dieser Verfügung angesetzt" worden. Die Abholungseinladung der Post habe er am 20. Februar 2013 erhalten. Er habe die Verfügung am 27. Februar 2013, also innerhalb der siebentägigen Abholfrist, entgegengenommen und ausgehend von ihrem Wortlaut eine Zahlungsfrist bis am 9. März 2013 berechnet. Das Obergericht habe aber nicht auf den Wortlaut der Verfügung abgestellt, sondern eine fiktive Frist angenommen, von der er nichts gewusst habe und auf die er nicht aufmerksam gemacht worden sei. Das Obergericht hätte auf diese abweichende Berechnung hinweisen müssen, so sie denn überhaupt zutreffend sein sollte. Das Verhalten des Obergerichts verletze Treu und Glauben, sei willkürlich und bringe ihn um sein Beschwerderecht und damit um sein rechtliches Gehör.
4.
Was den angeblichen Erhalt der Abholungseinladung am 20. Februar 2013 betrifft, so übergeht der Beschwerdeführer die obergerichtliche Feststellung, dass der Sendungsverfolgung der Post nicht entnommen werden könne, dass er am 20. Februar 2013 seine Post abgeholt habe; vielmehr habe er am 22. Februar 2013 den Zurückbehaltungsauftrag bis zum 28. Februar 2013 verlängert. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, so dass auf seine Sachverhaltsbehauptung nicht eingetreten werden kann (vgl. oben E. 1). Das Obergericht hat in diesem Zusammenhang im Übrigen ergänzt, dass zur Fristberechnung ohnehin nicht auf das Datum des angeblichen Erhalts der Abholungseinladung abgestellt werden könnte, sondern - wegen des Zurückbehaltungsauftrags - auf das Eintreffen der Sendung bei der Post. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass vor dem 22. Februar 2013 gar kein Zurückbehaltungsauftrag bestanden habe und die entsprechenden Ausführungen der Vorinstanz zur Fristberechnung bei Bestehen eines Zurückbehaltungsauftrags aus diesem Grunde fehlerhaft bzw. verfassungswidrig wären. Wenn aber ein Zurückbehaltungsauftrag bestanden hat, so ist weder ersichtlich noch begründet der Beschwerdeführer in rechtsgenüglicher Weise, inwiefern die Vorinstanz bei der Fristberechnung in Willkür verfallen sein soll (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4 S. 51 f.). Stattdessen macht er geltend, er habe mit dieser Art der Fristberechnung nicht rechnen müssen und das Obergericht hätte ihn auf die entsprechende Rechtslage aufmerksam machen müssen. Mit den eingehenden Ausführungen der Vorinstanz (oben E. 2) dazu, weshalb eine besondere Belehrung nicht nur nicht nötig, sondern sogar untersagt gewesen sei, setzt er sich jedoch ebenso wenig auseinander wie mit der vorinstanzlichen Einschätzung, dass ihm auch als Laien habe bewusst sein müssen, dass er das Verfahren nicht durch Zurückbehaltungsaufträge verzögern dürfe. Auf die Beschwerde ist somit mangels genügender Begründung nicht einzutreten.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist deshalb abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg