Sachverhalt:
A.
Die B._ AG (Vermieterin, Beklagte, Beschwerdegegnerin) ist Eigentümerin der Liegenschaft GB xxx. Am 21. Januar 2005 schloss sie mit A._ (Mieter, Kläger, Beschwerdeführer) einen Mietvertrag über die Wohnung und das Büro inklusive sämtliche Gebäude auf dem Grundstück sowie einen Mietvertrag über Parkplätze auf dem ganzen Areal ab. Mit Schreiben vom 20. August 2010 kündigte die Vermieterin den Mietvertrag ordentlich auf den 28. Februar 2011. Der Mieter focht die Kündigung nicht an.
B.
B.a. Am 9. März 2011 stellte die Vermieterin beim Richteramt Olten-Gösgen das Begehren, der Mieter sei auf den 31. März 2011, eventuell auf einen nach richterlichem Ermessen zu bestimmenden Zeitpunkt aus den Mietobjekten auszuweisen und zu verpflichten, diese zu verlassen.
Der Amtsgerichtspräsident trat mit Urteil vom 29. März 2011 auf das Gesuch nicht ein, weil er den Sachverhalt als nicht liquid erachtete.
B.b. Am 15. April 2011 kündigte die Vermieterin beide Mietverträge per 31. Oktober 2011. Der Mieter klagte hierauf fristgerecht beim Richteramt Olten-Gösgen gegen die Vermieterin auf Feststellung, dass die Kündigungen nichtig seien. Eventuell seien sie als unzulässig aufzuheben. Subeventuell seien die Mietverhältnisse um vorerst fünf Jahre bis am 31. Oktober 2016 zu erstrecken.
Mit Urteil vom 11. September 2012 wies die Amtsgerichtspräsidentin des Richteramts Olten-Gösgen die Klage ab (Ziffern 1-3), auferlegte die Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 15'000.-- dem Kläger (Ziffer 4) und verurteilte diesen, der Beklagten eine Parteientschädigung im Betrag von Fr. 8'000.-- zu bezahlen (Ziffer 5).
B.c. Gegen diesen Entscheid erhob der Kläger Berufung an das Obergericht des Kantons Solothurn, welches am 16. Oktober 2013 folgendes Urteil fällte:
"1. In teilweiser Gutheissung der Berufung wird Ziffer 3 des Urteils der Amtsgerichtspräsidentin von Olten-Gösgen vom 11. September 2012 wie folgt neu gefasst: "Das Mietverhältnis zwischen den Parteien wird erstmals bis 31. Oktober 2014 erstreckt". Im Übrigen wird die Berufung abgewiesen.
2. A._ hat an die erstinstanzlichen Gerichtskosten von CHF 15'000.00 einen Betrag von CHF 11'250.00 und die B._ AG einen solchen von CHF 3'750.00 zu bezahlen. (...)
3. A._ hat an die zweitinstanzlichen Gerichtskosten von CHF 20'000.00 einen Betrag von CHF 15'000.00 und die B._ AG einen solchen von CHF 5'000.00 zu bezahlen. (...)
4. A._ hat der B._ AG für das erstinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von CHF 4'000.00 (...) zu bezahlen.
5. A._ hat der B._ AG für das zweitinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von CHF 2'339.50 (...) zu bezahlen."
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht:
" 1.
a) Ziffer 1 des Urteils des Obergerichtes des Kantons Solothurn vom 16. Oktober 2013 (...) sei insofern aufzuheben, als die Berufung "im Übrigen abgewiesen" wird und die angefochtene Kündigung nicht als nichtig erkannt bzw. nicht als unzulässig bzw. ungültig erkannt wird.
b) Ziffern 2 bis 5 des Urteils des Obergerichts (...) seien aufzuheben.
2.
a) In Gutheissung der Beschwerde sei festzustellen, dass die von der Beklagten/Beschwerdegegnerin mit Datum vom 14.5.2011 ausgesprochenen Kündigungen der Mietverhältnisse über "Wohnung/Büro inkl. sämtliche Gebäude auf GB xxx" sowie "Parkplätze" nichtig und unwirksam sind, eventuell seien diese Kündigungen als unzulässig aufzuheben.
b) Die Beklagte/Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, die Gerichtskosten des Verfahrens vor Richteramt Olten-Gösgen und Obergericht des Kantons Solothurn zu tragen und dem Kläger/Beschwerdeführer eine Parteientschädigung (inkl. Auslagen und 8 % MWSt) zu bezahlen.
3.
Eventuell sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur ergänzenden Beweisabnahme und zu neuem materiellen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen."
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz beantragt unter Hinweis auf die Akten und die Motive des angefochtenen Urteils die Abweisung der Beschwerde; im Weiteren hat sie auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Der Beschwerdeführer hat unaufgefordert eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>).
Die vorliegende Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid einer oberen kantonalen Instanz, die auf ein Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich in einer Zivilsache entschieden hat (<ref-law>), die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (<ref-law>), der massgebende Streitwert beträgt mehr als Fr. 15'000.-- (Art. 51 i.V.m. <ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>).
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> sowie eine Verletzung von <ref-law> i.V.m. <ref-law>.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die angefochtenen Kündigungen seien am 15. April 2011 ausgesprochen worden, somit innerhalb eines halben Monats seit dem Urteil des Richteramtes Olten-Gösgen vom 29. März 2011, in welchem die Beschwerdegegnerin in einem Rechtsstreit über dieselben Mietobjekte bzw. Mietverträge vollständig unterlegen sei. Die erneute Kündigung der beiden Mietverträge sei deshalb innerhalb der Sperrfrist von drei Jahren erfolgt (<ref-law>). Dabei bringt er unter Hinweis auf <ref-ruling> (recte: <ref-ruling>) vor, die Auffassung der Vorinstanz, wonach kein Anwendungsfall von <ref-law> vorliegen solle, sei haltlos. Ebenso wenig lasse sich der vorliegende Streitfall mit dem Urteil 4C.432/2006 vergleichen.
2.2. Die Vorinstanz hielt fest, der Amtsgerichtspräsident von Olten-Gösgen sei mit Urteil vom 29. März 2011 nicht auf das von der Beschwerdegegnerin gegen den Beschwerdeführer eingereichte Exmissionsgesuch nach <ref-law> eingetreten. Ein Nichteintretensentscheid im Verfahren nach klarem Recht erfolge ohne materielle Prüfung der Sache, womit der Streitgegenstand nicht abgeurteilt worden sei. Liege keine materielle Beurteilung der Sache vor, so sei auch kein Anwendungsfall von <ref-law> gegeben. Denn die Voraussetzungen für die Anfechtbarkeit der Kündigung nach <ref-law> bilde in allgemeiner Weise der Umstand, dass der Vermieter mit seinem Standpunkt (in einem Verfahren) nicht überwiegend durchgedrungen sei.
2.3. <ref-law> regeln den zeitlichen Kündigungsschutz während bzw. nach Abschluss eines mietrechtlichen Schlichtungs- oder Gerichtsverfahrens. Die Kündigungssperrfrist nach lit. d beginnt grundsätzlich mit der Klageanhebung und endet mit rechtskräftiger Erledigung des Verfahrens (Roger Weber, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 5. Aufl. 2011, N. 24 zu Art. 271/271a OR; Peter Higi, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 1995, N. 246 ff. zu <ref-law>; SVIT-Kommentar, 3. Aufl. 2008, N. 37 zu <ref-law>). An das durch rechtskräftige Erledigung abgeschlossene Verfahren schliesst die dreijährige Kündigungssperrfrist nach lit. e an, wobei diese - anders als die Sperrwirkung während des Verfahrens - zusätzlich einen Teilerfolg des Mieters im abgeschlossenen Verfahren erfordert. Damit eine Kündigung innerhalb der Dreijahresfrist anfechtbar ist, muss das vorgängige Verfahren zwischen Mieter und Vermieter in einer unter Ziffer 1-4 von <ref-law> umschriebener Weise erledigt worden sein: Voraussetzung für die Anfechtbarkeit bildet dabei der Umstand, dass der Vermieter in einem erheblichen Teil unterlegen ist (Ziff. 1), seine Forderung oder Klage zurückgezogen oder erheblich eingeschränkt hat (Ziff. 2), auf die Anrufung des Richters verzichtet hat (Ziff. 3) oder mit dem Mieter einen Vergleich geschlossen oder sich sonstwie geeinigt hat (Ziff. 4). Damit statuiert das Gesetz eine unwiderlegbare Vermutung, dass eine Kündigung unter den erwähnten Voraussetzungen gleich wie eine Rachekündigung missbräuchlich ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 25).
Ausdrücklich vom Anwendungsbereich von <ref-law> ausgenommen sind Kündigungen, wegen den in <ref-law> genannten Fällen: es sind dies der dringende Eigenbedarf des Vermieters (lit. a), der Zahlungsrückstand des Mieters (lit. b), schwere Verletzung der Pflicht des Mieters zu Sorgfalt und Rücksichtnahme (lit. c), Veräusserung der Sache (lit. d), wichtige Gründe (lit. e) oder Konkurs des Mieters (lit. f). Das Bundesgericht hat in dem vom Beschwerdeführer zitierten <ref-ruling> festgehalten, dass diese Aufzählung abschliessend ist, da damit den berechtigten Interessen der Vermieterschaft hinreichend Rechnung getragen ist (<ref-ruling> E. 3.4 S. 37). Im Urteil 4C.432/2006 vom 8. Mai 2007, welches auf die beiden früheren Entscheide <ref-ruling> und das Urteil 4C.252/2002 vom 8. November 2002 verweist, hat das Bundesgericht überdies festgehalten, dass eine wiederholte Kündigung durch den Vermieter während eines Verfahrens oder innerhalb der dreijährigen Sperrfrist wegen eines Formmangels zulässig ist (Urteil 4C.432/2006 vom 8. Mai 2007 E. 4.4; 4C.252/2002 vom 8. November 2002 E. 3.1; je mit Hinweisen). Die "Wiederholung" einer nichtigen bzw. unwirksamen Kündigung, deren Motive (Kündigungsentschluss) bereits vor dem Verfahren bestanden haben, durch eine Kündigung, die gültiger Ausdruck dieser vorbestandenen Motive ist, während eines Verfahrens oder auch nach dessen Abschluss, wird daher für zulässig erachtet (Peter Higi, a.a.O., N. 262 zu <ref-law>, Roger Weber, a.a.O., N. 27 zu Art. 271/271a OR; SVIT-Kommentar, a.a.O., N. 31 zu <ref-law>; David Lachat, Le bail à loyer, 2008, S. 748-750; vgl. auch Urteil 4C.252/2002 E. 3.2).
2.4. Die erste ordentliche Kündigung der Beschwerdegegnerin erfolgte mit Schreiben vom 20. August 2010 auf den 28. Februar 2011. Der Beschwerdeführer hat diese nicht als missbräuchlich im Sinne von <ref-law> angefochten. Nachdem der Beschwerdeführer das Mietobjekt nicht verliess, stellte die Beschwerdegegnerin im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen nach <ref-law> das Begehren, den Beschwerdeführer auszuweisen. Im Rahmen dieses Verfahrens konnte das Vorliegen einer gültigen Kündigung nicht belegt werden bzw. es konnte nicht nachgewiesen werden, dass dem Kündigungsschreiben der Beschwerdegegnerin das amtliche Formular beigelegt wurde. Aus diesem Grund ist das Richteramt Olten-Gösgen wegen fehlender Prozessvoraussetzung (Sachverhalt nicht liquid) nicht auf das Ausweisungsgesuch eingetreten (<ref-law>).
Nach <ref-law> tritt das Gericht auf das Gesuch um Rechtsschutz in klaren Fällen nicht ein, wenn die Voraussetzungen für ein solches Verfahren fehlen, namentlich wenn der Sachverhalt nicht liquid ist oder kein klares Recht vorliegt. Diesfalls ergeht kein materieller Entscheid; der richterliche Entscheid beschränkt sich auf das Nichtvorliegen der Liquidität des Rechts oder der Sachlage. Der unterlegene Gesuchsteller kann nunmehr seinen Anspruch im ordentlichen Verfahren geltend machen. Dies hat die Beschwerdegegnerin jedoch nicht getan. Vielmehr hat sie dem Beschwerdeführer mit Schreiben vom 15. April 2011 die Mietverträge erneut gekündigt, diesmal jedoch mit amtlichem Formular.
2.5. Nach dem in E. 2.3 Gesagten, kann nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung und der herrschenden Lehre eine nichtige bzw. (wegen eines Formfehlers) unwirksame Kündigung "wiederholt" werden, was der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift denn auch anerkennt. Seiner Ansicht nach kommt diese Rechtsprechung jedoch nicht zur Anwendung. Er ist der Meinung, die dreijährige Kündigungssperre nach <ref-law> gelte auch, selbst wenn angenommen werden sollte, die Beschwerdegegnerin habe mit ihren erneuten Kündigungen ihre nichtigen Kündigungen verbessern wollen; ein Formfehler der ersten Kündigung wäre nämlich Ausdruck einer Treuwidrigkeit gewesen, da der Treuhänder der Beschwerdegegnerin, welcher die Kündigung verfasst habe, über die Formvorschriften einer Kündigung und die Unkenntnis des Beschwerdeführers in rechtlichen Belangen gewusst habe. Dabei macht der Beschwerdeführer geltend, indem sich die Vorinstanz mit diesem Vorbringen nicht auseinandergesetzt habe, habe sie sein rechtliches Gehör und <ref-law> verletzt.
2.6. Es trifft zu, dass sich die Vorinstanz mit diesem Vorbringen nicht eingehend auseinandergesetzt hat. Darin kann jedoch keine Verletzung des rechtlichen Gehörs gesehen werden: Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) folgt unter anderem die grundsätzliche Pflicht der Behörden, die rechtserheblichen Vorbringen der Parteien anzuhören und bei der Entscheidfindung zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2 S. 242). Damit die Parteien sich ein Bild über die Erwägungen des Gerichts machen können, ist sein Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinander setzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt.
Die Vorinstanz hat sich deshalb nicht eingehend mit dem Vorbringen des Beschwerdeführers - wonach die zweiten Kündigungen als missbräuchlich zu qualifizieren wären, da die ersten Kündigungen in treuwidriger Weise erfolgt seien - auseinandergesetzt, weil sie den Fall auf einer anderen rechtlichen Grundlage beurteilt hat. Sie ist konsequent davon ausgegangen, dass ein Nichteintretensentscheid, der in einem Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen ergangen ist, keine Sperrfrist nach <ref-law> auslösen könne bzw. dass überhaupt kein Anwendungsfall nach <ref-law> vorliegen würde. Sie hat ihre Ausführungen auf die aus ihrer Sicht für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränkt. Damit hat sie aber - wenn auch nur implizit - gesagt, dass der Einwand des Beschwerdeführers aus ihrer Sicht nicht relevant ist, womit <ref-law> nicht verletzt wurde. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang auch eine Verletzung von <ref-law> (wohl eher <ref-law>) geltend macht, ist seine Rüge ebenfalls unbegründet. Auch im Rahmen der sozialen Untersuchungsmaxime muss das Gericht nur entscheidwesentliche Abklärungen treffen und ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht gehalten, den Sachverhalt zu "erforschen" (vgl. Urteil 4A_338/2011 vom 14. Dezember 2011 E. 4.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.2 S. 107).
2.7. Der Beschwerdeführer bringt zu Recht vor, dass in der Lehre die Meinung vertreten wird, eine zweite Kündigung (innerhalb der Sperrfrist nach <ref-law>) könne allenfalls treuwidrig sein, wenn die erste Kündigung bewusst formwidrig erfolgt sei; ein Formfehler könne Ausdruck einer Treuwidrigkeit sein, so etwa wenn der Vermieter absichtlich ohne Formular kündige, in der Hoffnung, dass der sprachunkundige Mieter sich nicht über seine Rechte informieren werde und ausziehe. Ein solches Verhalten bei der ersten Kündigung müsste dann berücksichtigt werden, wenn der Vermieter eine zweite - diesmal formgültige - Kündigung ausspreche, indem diese zweite Kündigung als missbräuchlich zu qualifizieren wäre (Thomas Koller/Marc André Mauerhofer, in: ZBJV 145/2009, S. 837 mit Hinweis auf Roger Weber, a.a.O., N. 27 zu Art. 271/271a OR).
Vorliegend kann jedoch offen gelassen werden, ob dieser Lehrmeinung zu folgen ist. Der Beschwerdeführer müsste nämlich darlegen, wo in den vorinstanzlichen Verfahren er vorgebracht hätte, dass die ersten Kündigungen der Beschwerdegegnerin bewusst formungültig erfolgt sind. Aus der vom Beschwerdeführer zitierten Passage aus seiner Berufungsschrift lässt sich jedoch nichts Derartiges ableiten. Seinen Vorbringen kann nicht entnommen werden, weshalb angenommen werden sollte, dass die Beschwerdegegnerin die ersten Kündigungen absichtlich ohne das amtliche Formular ausgesprochen hätte. Aus dem angefochtenen Urteil geht in tatsächlicher Hinsicht vielmehr hervor, dass die zweiten - diesmal zwar formgültigen - Kündigungen mittels eines veralteten Formulars erfolgt sind. Dies spricht vielmehr dafür, dass die Beschwerdegegnerin entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers in mietrechtlichen Angelegenheiten (ebenfalls) nicht sehr gewandt war.
2.8. Im Ergebnis kann der angefochtene Entscheid somit geschützt werden. Der Kündigungswille der Beschwerdegegnerin datiert unbestrittenermassen aus dem Jahre 2010. Nachdem die ersten Kündigungen der Mietverträge in unwirksamer Weise erfolgt sind, hat die Beschwerdegegnerin ihren vorbestehenden Kündigungswillen mit den neuen Kündigungen bloss wiederholt, was während eines mietrechtlichen Verfahrens oder auch nach dessen Abschluss zulässig ist (vgl. E. 2.3 hiervor).
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Folglich erübrigt es sich auch, auf das Begehren des Beschwerdeführers um Umverteilung der kantonalen Verfahrens- und Entschädigungskosten einzugehen. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze