Faits:
A. A._ a accompli un stage d'avocat auprès d'une étude genevoise du 1er juin 2003 au 31 mai 2005. Il s'est inscrit à la session de juin 2005 des épreuves intermédiaires portant sur les procédures civile, pénale et administrative ainsi que sur la déontologie, mais n'a pas pu les achever pour cause de maladie. Il s'est représenté à la session suivante, de septembre, puis a travaillé quelques semaines gratuitement à l'étude où il avait effectué son stage dans l'attente des résultats. Il a appris qu'il avait réussi ces examens au cours du mois de novembre. Ne pouvant plus s'inscrire pour la session de novembre 2005 de l'examen professionnel en vue d'obtenir le brevet d'avocat, il s'est présenté à celle de mai 2006. Il a commencé sa préparation en janvier 2006. Il a échoué à cet examen. Du 1er juillet à la mi-août 2006, il a derechef travaillé sans rémunération pour son ancien maître de stage. Par la suite, il a consacré son temps à la préparation de l'examen pour la session de novembre 2006, à laquelle il s'est présenté, mais sans succès. A._ a alors décidé de rechercher un emploi. Il s'est annoncé au chômage le 12 février 2007 en requérant des indemnités journalières à partir du 11 janvier précédent.
Par décision du 15 février 2007, la Caisse cantonale genevoise de chômage (ci-après : la caisse) a nié le droit à l'indemnité prétendue, au motif que le requérant, dans le délai-cadre de cotisation (11 janvier 2005 au 10 janvier 2007) ne justifiait que de quatre mois et neuf jours d'activité soumise à cotisation. A._, par ailleurs, ne faisait pas valoir un motif de libération des conditions relatives à la période de cotisation. Le 8 juin 2007, la caisse a rejeté l'opposition formée par le prénommé contre cette décision.
B. L'intéressé a déféré cette dernière décision au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales.
Après avoir entendu plusieurs témoignages, le tribunal cantonal a, par jugement du 13 mars 2008, admis le recours, annulé les décisions des 15 février et 8 juin 2007 et renvoyé le dossier à la caisse pour qu'elle verse les indemnités journalières dues.
C. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) interjette un recours en matière de droit public, en concluant à l'annulation du jugement cantonal.
A._ conclut à l'irrecevabilité, sinon au rejet du recours.
D. Par ordonnance du 9 juillet 2008, le juge instructeur a accordé l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit:
1. La décision attaquée est une décision incidente de renvoi qui peut, en l'espèce, faire l'objet d'un recours séparé (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 87; <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 483). Quant à la conclusion du recours, contrairement à ce que prétend l'intimé, elle est suffisante. Selon la jurisprudence, une conclusion tendant uniquement à l'annulation de la décision attaquée est recevable dans le cadre d'un recours en matière de droit public; elle doit en effet être interprétée en ce sens que le recourant laisse au Tribunal fédéral le soin d'apprécier s'il entend, une fois la décision entreprise annulée, statuer lui-même sur le fond ou renvoyer la cause pour nouvelle décision (<ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 414 s.). Par ailleurs, l'<ref-law> habilite le Tribunal fédéral, outre à réformer la décision entreprise, à renvoyer l'affaire à l'autorité précédente ou à celle de première instance pour qu'elle statue à nouveau.
2. Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
3. Est litigieux le droit à l'indemnité de l'intimé à partir du 11 janvier 2007. Les conditions relatives à la période de cotisation (<ref-law>) ne sont pas réalisées. Cela n'est pas contesté. Il s'agit d'examiner si l'intimé peut se prévaloir des règles sur la libération des conditions relatives à la période de cotisation (<ref-law>), étant précisé qu'on ne peut pas combler dans le même délai-cadre une période de libération insuffisante par des mois où des cotisations ont été versées (arrêt C 62/96 du 17 mai 1996, consid. 4b).
4. 4.1 Aux termes de l'<ref-law>, sont libérées des conditions relatives à la période de cotisation les personnes qui, dans les limites du délai-cadre (<ref-law>) et pendant plus de douze mois au total, n'étaient pas parties à un rapport de travail et, partant, n'ont pu remplir les conditions relatives à la période de cotisation. Tel est en particulier le cas de la formation scolaire, de la reconversion ou du perfectionnement professionnel (let. a), ainsi que de la maladie, de l'accident ou de la maternité à condition que les personnes concernées aient été domiciliées en Suisse pendant la période correspondante (let. b). Ces motifs sont cumulables (<ref-ruling> consid. 2.4. p. 283).
4.2 Selon la jurisprudence constante, il doit exister un lien de causalité entre les motifs de libération énumérés à l'<ref-law> et l'absence d'une durée minimale de cotisation (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 283, 125 V 123 consid. 2 p. 125; BORIS RUBIN, Assurance-chômage, Droit fédéral, Survol des mesures cantonales, Procédure, 2ème éd., 2006, p. 193). La preuve stricte de la causalité, dans une acception scientifique, ne doit pas être exigée; l'existence d'un lien de causalité doit déjà être admise lorsqu'il apparaît crédible et concevable que l'une des circonstances énumérées à l'<ref-law> a empêché l'intéressé d'exercer une activité soumise à cotisation (cf. <ref-ruling> consid. 5c/bb p. 344).
4.3 Est réputée formation au sens de l'<ref-law> toute préparation à une activité lucrative future fondée sur un cycle de formation (usuel) réglementaire, reconnu juridiquement ou, à tout le moins, de fait (<ref-ruling> consid. 3c/aa p. 44; SVR 1995 ALV no 46 p. 135 consid. 3b). La correction de travaux de diplôme ou la répétition d'examens est assimilée à la période de formation si l'assuré consacre une grande partie de son temps à ces travaux qui, au demeurant, doivent être à la fois suffisamment contrôlables et empêcher objectivement l'assuré de remplir ses obligations de contrôle (DTA 2000 n° 28 p. 144). Le moment de la fin de la formation est celui de la communication de la réussite de l'examen final (DTA 1996 n° 5 p. 12).
5. 5.1 La juridiction cantonale a estimé que la préparation aux examens du brevet d'avocat constituait une période de formation au sens de l'<ref-law> et qu'il en allait de même du temps consacré à la répétition de ces examens en cas d'échec. En vertu de la loi genevoise sur la profession d'avocat du 26 avril 2002 (RS/GE E 6 10; LPAv) et de son règlement d'application du 5 juin 2002 (RS/GE E 6 10.01; RPAv), le candidat à l'examen final du brevet d'avocat (organisé à raison de deux sessions par année) est tenu, entre autres conditions, d'avoir préalablement effectué un stage de deux ans et réussi les épreuves intermédiaires de procédure et de déontologie qui doivent être subies au cours de la même session (février, juin ou septembre). Par ailleurs, d'après les règles (de nature dispositive) de la Charte du stage adoptée par le Conseil de l'ordre des avocats du canton de Genève, le maître de stage doit laisser au stagiaire le temps nécessaire pour suivre les cours de procédure durant la première année de stage et lui octroyer un congé de sept jours ouvrables afin de se préparer aux épreuves intermédiaires; il lui accorde trois mois inclus dans la durée du stage pour la préparation des examens de fin de stage. Toujours selon les premiers juges, le cursus idéal des avocats-stagiaires était donc de passer les épreuves intermédiaires au cours de leur stage. Il ne pouvait toutefois être reproché à A._ d'avoir subi ces épreuves seulement à la fin de celui-ci. Compte tenu du fait que le prénommé avait dû interrompre la session de juin, se représenter à celle de septembre 2005, attendre les résultats, et préparer deux sessions d'examens finaux (mai et novembre 2006), il n'y avait en définitive que le mois d'octobre 2005 et l'intervalle allant de juin à octobre 2006 où il aurait pu exercer une activité salariée. Sur ce laps de temps, il convenait encore de décompter quatre semaines de vacances ainsi que les semaines de travail non rémunéré auprès de son ancien maître de stage lesquelles pouvaient également être assimilées à une période de formation au sens de la jurisprudence. Tout bien considéré, il fallait admettre que l'intéressé suivait une formation tout au long du délai-cadre applicable, de sorte qu'il était libéré des conditions relatives à la période de cotisation.
5.2 Le seco soutient que lorsque plusieurs mois séparent la fin du stage d'avocat de l'examen professionnel, il y a lieu de penser que le candidat a la possibilité d'organiser sa préparation et d'exercer une activité lucrative le cas échéant à temps partiel. Il se réfère à l'arrêt C 139/04 du 4 octobre 2004 (DTA 2005 p. 132), dans lequel le Tribunal fédéral des assurances avait jugé qu'une période d'un an et huit mois pour passer les examens zurichois d'accès à la profession d'avocat était disproportionnée. En tout cas, les semaines pendant lesquelles A._ avait travaillé gratuitement à son ancienne étude (octobre 2005 et juillet-août 2006) ne pouvaient être comptées comme période de formation dans la mesure où celui-ci avait déjà accompli les vingt-quatre mois de stage requis pour le brevet d'avocat. Entre octobre 2005 et janvier 2007, le prénommé aurait pu se mettre à disposition du marché du travail et réunir les sept mois et neuf jours de cotisations [recte : les sept mois et vingt et un jours] qui lui manquaient pour avoir droit à l'indemnité de chômage.
5.3 A._ fait valoir au contraire qu'au vu des exigences mises par le droit cantonal pour l'obtention du brevet d'avocat du barreau genevois, il lui est impossible d'exercer une activité parallèle à la préparation du brevet.
6. 6.1 Le brevet d'avocat est un diplôme professionnel reconnu qui donne accès au métier d'avocat et qui, de nos jours, est souvent demandé, en complément au cursus universitaire, pour des emplois qualifiés en dehors du barreau. Par ailleurs, il n'est pas contestable que les examens du brevet d'avocat exigent une préparation d'une certaine durée. Il y a lieu dès lors de confirmer l'avis de l'autorité cantonale selon laquelle le temps consacré à la préparation de ces examens doit être assimilé à une formation complémentaire, voire à un perfectionnement professionnel, au sens de l'<ref-law> (voir pour comparaison l'arrêt publié au DTA 1991 n° 8 p. 83, dans lequel le Tribunal fédéral des assurances a reconnu à la préparation au concours d'admission à la carrière diplomatique le caractère d'un perfectionnement professionnel).
6.2 Il reste à examiner quelle est, en l'espèce, la durée de préparation qu'on doit raisonnablement tenir pour nécessaire et qui peut de ce fait justifier la libération de la période de cotisation correspondante. A cet égard, on ne saurait simplement se fonder sur l'arrêt cité par le seco, l'obtention du brevet d'avocat étant soumise à des réglementations différentes suivant les cantons. Il est établi que dans le canton de Genève, ce diplôme comprend deux étapes, la passation des épreuves intermédiaires de procédure puis celle des examens finaux. Sans qu'il importe de savoir pourquoi A._ a reporté les épreuves intermédiaires à la fin de son stage d'avocat, les premiers juges ont à juste titre estimé que chacune de ces étapes, y compris la répétition des examens non réussis, comptait dans la période de formation. C'est en revanche à tort qu'ils ont repris à leur compte le temps de préparation allégué par l'intéressé en y incluant également l'activité que celui-ci a déployé à son ancienne étude après la fin de son contrat de stage. Cette activité ne peut, pour le motif invoqué par le seco, être considérée comme faisant partie de la période de formation. Quant au temps nécessaire à la préparation des examens, il convient bien plutôt de se référer aux recommandations formulées par l'Ordre des avocats du barreau genevois, à savoir sept jours ouvrables pour les examens intermédiaires et trois mois complets pour les examens finaux. Il faut y ajouter le temps des examens proprement dits et la période qui précède la communication des résultats (voir le consid. 4.3 supra). Ces dernières informations manquent toutefois au dossier, de sorte qu'il n'est pas possible de déterminer si l'intimé peut effectivement se prévaloir d'une période de formation dépassant les douze mois durant le délai-cadre applicable. On ignore également quand exactement et pour combien de temps il est tombé malade au cours du mois de juin 2005, intervalle qui pourrait le cas échéant se cumuler avec la période de formation.
6.3 Dans ces conditions, il s'impose d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à la caisse pour qu'elle éclaircisse ces points et rende ensuite une nouvelle décision en tenant compte des considérants qui précèdent.
7. L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal genevois des assurances du 13 mars 2008 et la décision sur opposition de la Caisse cantonale genevoise de chômage du 8 juin 2007 sont annulés, la cause étant renvoyée à ladite caisse pour instruction et nouvelle décision conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales.
Lucerne, le 8 avril 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung von Zwehl