Sachverhalt:
A.
Der 1960 geborene A._ stammt aus dem Land B._ und reiste am 22. Januar 2001 in die Schweiz ein. Am 12. Mai/11. August 2009 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Luzern zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 11. August 2010 trat diese auf das Leistungsbegehren nicht ein, da er sich geweigert habe, an der medizinischen Abklärung teilzunehmen. Am 1. November 2010 meldete sich A._ bei der IV-Stelle erneut zum Leistungsbezug an. Diese holte diverse Arztberichte und ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. C._ vom 13. Januar 2012 ein. Mit Verfügung vom 23. August 2012 verneinte sie den Rentenanspruch.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern, nachfolgend Kantonsgericht) mit Entscheid vom 31. Mai 2013 ab.
C.
C.a. Dagegen führt A._ Beschwerde mit den Anträgen, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen; diese sei zu verpflichten, ihm ab 2. April 2011 eine volle (wohl: ganze) IV-Rente zu bezahlen, eventuell den medizinischen Sachverhalt mittels interdisziplinärem Gutachten abzuklären; es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; das Verfahren sei zu sistieren, damit die Vorinstanz auf das Revisionsbegehren eintreten und dieses überprüfen könne.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
C.b. Während der Rechtshängigkeit dieser Beschwerde reichte A._ am 6. September 2013 beim Kantonsgericht ein Revisionsgesuch gegen dessen Entscheid vom 31. Mai 2013 ein.
C.c. Der bundesgerichtliche Instruktionsrichter sistierte das vorliegende Beschwerdeverfahren am 24. September 2013 bis zum Abschluss des kantonalen Revisionsverfahrens.
C.d. Das Kantonsgericht wies das Revisionsgesuch mit Entscheid vom 19. August 2014 ab.
C.e. Mit Verfügung vom 27. August 2014 setzte der bundesgerichtliche Instruktionsrichter das vorliegende Beschwerdeverfahren fort.
C.f. Die gegen den kantonalen Revisionsentscheid vom 19. August 2014 ab geführte Beschwerde wies das Bundesgericht mit heutigem Urteil 8C_695/2014 ab.

Erwägungen:
1.
Dieses Verfahren ist nicht mit dem Revisionsverfahren 8C_695/2014 zu vereinigen, weil sich nicht die gleichen Rechtsfragen stellen und die Rechtsmittel nicht den gleichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen (nicht publ. E. 1.2 des Urteils <ref-ruling> mit Hinweis). Die Revision als ausserordentliches Rechtsmittel dient nicht einfach der Weiterführung des vorliegenden Verfahrens (Urteil 8C_197/2013 vom 28. Mai 2013 E. 2.2).
2.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund dieser Berichte gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Sachverhaltsfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung (nicht publ. E. 1.2 des Urteils <ref-ruling>).
3.
Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die versicherungsmässigen Voraussetzungen des Leistungsanspruchs (Art. 6 Abs. 2 Satz 1, Art. 9 Abs. 3 IVG; <ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen, hier anwendbaren Fassung), den Invaliditätseintritt (<ref-law>), die Entstehung des Rentenanspruchs (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen, hier anwendbaren Fassung), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 6 S. 221) und den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 3 S. 352; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.1 S. 232) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen. Beizupflichten ist der Vorinstanz auch in folgendem Punkt: Falls der Beschwerdeführer bei der erstmaligen Einreise in die Schweiz am 22. Januar 2001 bereits zu mindestens 40 % invalid war, war der Versicherungsfall Rente eingetreten, bevor die Anspruchsvoraussetzung der Leistung von Beiträgen während mindestens eines vollen Jahres nach <ref-law> erfüllt sein konnte (<ref-ruling> E. 1.1 S. 371 mit Hinweisen).
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, es bestünden keine medizinischen Akten betreffend den Beschwerdeführer vor seiner Einreise in die Schweiz im Jahre 2001. Gemäss dem Gutachten des Psychiaters Dr. med. C._ vom 13. Januar 2012 bestehe beim Beschwerdeführer eine kombinierte Persönlichkeitsstörung mit emotional instabilen, impulsiven und paranoiden Anteilen, möglicherweise mit schizoiden Anteilen (ICD-10F61.0). Gestützt auf dieses Gutachten sei davon auszugehen, dass eine vollständige Invalidität bereits vor der Einreise in die Schweiz im Jahre 2001 bestanden habe. Der Versicherungsfall "Rente" sei somit zu einem Zeitpunkt eingetreten, bevor die Anspruchsvoraussetzung der Leistung von Beiträgen während mindestens eines volles Jahres (<ref-law> in der bis Ende 2007 gültig gewesenen, hier anwendbaren Fassung) nach <ref-law> habe erfüllt sein können. Der Rentenanspruch sei mithin unter dem formellen Gesichtspunkt der versicherungsmässigen Voraussetzungen des <ref-law> zu verneinen. Ein Rentenanspruch wäre zu bejahen, wenn zur ursprünglichen, bei der Einreise in die Schweiz bestandenen gesundheitlichen Beeinträchtigung eine davon völlig verschiedene Gesundheitsstörung hinzugetreten wäre und zu einer Erhöhung des Invaliditätsgrades geführt hätte. Bezüglich des physischen Gesundheitszustandes sei der Zeitpunkt des Eintritts irrelevant, weil der Beschwerdeführer trotz der Pseudarthrose im Bereich des rechten oberen Sprunggelenks (OSG) in einer körperlich leichten, vorwiegend sitzenden Tätigkeit voll arbeitsfähig sei. Die weiteren somatischen Diagnosen hätten keine Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit. Die somatischen Beschwerden hätten somit keinen neuen Versicherungsfall ausgelöst. Sei der Beschwerdeführer schon vor 2001 vollständig invalid gewesen, habe danach keine neue Invalidität hinzutreten können. Aus dem Bericht des Dr. D._ könne er nichts zu seinen Gunsten ableiten, da dieser ihn in sechs Jahren zweimal wegen bagatellären somatischen Beschwerden behandelt und einmal die Fahrtauglichkeit für Lastwagen abgeklärt habe. Daraus ergebe sich keine Notwendigkeit für weitere Abklärungen. Ein relevanter physischer Gesundheitsschaden sei somit nicht ausgewiesen.
4.2. Nicht substanziiert bestritten wird die vorinstanzliche Feststellung, dass seit der Einreise des Beschwerdeführers in die Schweiz somatischerseits kein neuer Gesundheitsschaden eingetreten sei, der einen neuen Versicherungsfall ausgelöst hätte. Hiermit hat es demnach sein Bewenden.
5.
Streitig und zu prüfen bleibt die psychische Problematik.
5.1. Der Beschwerdeführer beruft sich auf ein Schreiben seines Advokaten E._ im Land B._ vom 30. Juni 2013 und einen Bericht seines Psychiaters Dr. F._ im Land B._ vom 30. Juni 2013. Hierbei handelt es sich angesichts des angefochtenen Entscheides vom 31. Mai 2013 um sog. echte Noven, die nicht zu berücksichtigen sind (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; Urteil 8C_662/2014 vom 12. November 2014 E. 4).
Weiter reicht der Beschwerdeführer ein medizinisches Zertifikat des Dr. G._, General and Plastic Surgeon, im Land B._, vom 2. November 2000 ein. Dies ist ein sog. unechtes Novum, das nur soweit vorgebracht werden kann, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Solche Faktoren können namentlich in formellrechtlichen Mängeln des angefochtenen Entscheides liegen, mit denen die Partei nicht rechnete und nach Treu und Glauben nicht zu rechnen brauchte, oder darin, dass die Vorinstanz materiell in einer Weise urteilt, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals rechtserheblich werden (nicht publ. E. 1.3 des Urteils <ref-ruling>, in SVR 2012 FZ Nr. 3 S. 7 [8C_690/2011]). Solche Umstände liegen hier nicht vor, da die Vorinstanz im Wesentlichen mit der gleichen Begründung wie die IV-Stelle entschieden hat.
5.2. Die in E. 5.1 hievor angeführten neuen Akten waren Gegenstand des gegen den hier angefochtenen Entscheid vom 31. Mai 2013 gerichteten Revisionsgesuchs vom 6. September 2013. Das Kantonsgericht wies dieses Gesuch mit Entscheid vom 19. August 2014 ab, was das Bundesgericht mit heutigem Urteil 8C_695/2014 bestätigte.
6.
Dr. med. C._ führte im Gutachten vom 13. Januar 2012 aus, die hochgradige kombinierte Persönlichkeitsstörung und die soziale Problematik hätten beim Beschwerdeführer mit grosser Wahrscheinlichkeit längstens vor der Einreise in die Schweiz im Jahre 2001 bestanden. Eine Arbeitsfähigkeit habe aufgrund der schweren kombinierten Persönlichkeitsstörung und der sozialen Problematik in der Schweiz nie bestanden.
Der Beschwerdeführer macht geltend, diese Aussage sei weder belegt noch nachvollziehbar begründet, sondern widersprüchlich und willkürlich; Dr. med. C._ habe nämlich gleichzeitig angegeben, er könne nicht zurückverfolgen, ab wann die kombinierte Persönlichkeitsstörung erstmalig auffällig geworden sei; es sei zu wenig bekannt, um zu wissen, was im Land B._ geschehen sei. Dieser Einwand ist unbehelflich. Denn trotz der Unsicherheit betreffend den genauen Beginn der psychischen Störung ging Dr. med. C._ davon aus, dass sie jedenfalls bei Einreise des Beschwerdeführers in die Schweiz bereits bestanden hat. Wenn die Vorinstanz dem gefolgt ist, ist es im Lichte der eingeschränkten Kognition (E. 2 hievor) nicht zu beanstanden. Sie hat nämlich richtig erkannt, dass diese Sichtweise durch den Bericht des Ambulatoriums H._ bei vom 9. Mai 2011 gestützt wird. Hierin wurde unter anderem eine andauernde Persönlichkeitsstörung nach Extrembelastung (ICD-10 F62.0) diagnostiziert und anamnestisch festgehalten, der Beschwerdeführer sei im Land B._ mehrmals verhaftet und gefoltert worden; er habe auch Entführungen erlebt; aufgrund von Mordgefahr sei er in die Schweiz geflüchtet; weiter wurde angegeben, der Beschwerdeführer zeige die typischen Merkmale, die bei der langandauernden Änderung der Persönlichkeit nach Extrembelastung aufträten. In diesem Lichte erscheint es mit der Vorinstanz als überwiegend wahrscheinlich, dass die gutachterlich diagnostizierte hochgradige kombinierte Persönlichkeitsstörung bereits vor der Einreise in die Schweiz zufolge erlebter Extrembelastung im Heimatland B._ entstanden ist. Entgegen dem pauschalen Einwand des Beschwerdeführers wurde im Bericht H._ vom 9. Mai 2001 gestützt auf seine Angaben eine Extrembelastung im Land B._ nicht bloss als möglich erachtet, sondern vorbehaltlos festgestellt.
7.
Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, die medizinischen Probleme hätten mit der OSG-Arthrodese-Operation im Spital I._ am 2. April 2008 begonnen. Das Spital I._ bestätige im Bericht aus dem Jahr 2008 erstmals eine depressive Episode. Weiter liege dessen Bericht vom 3. März 2009 vor, worin ein neu entdeckter Diabetes mellitus Typ II, Übergewicht, eine Hypercholesterinämie und eine depressive Episode diagnostiziert worden seien. Viele seiner Kinder und seine Frau hätten gemäss dem Gutachten des Dr. med. C._ die Schweiz nach einem kurzen Aufenthalt am 9. Oktober 2009 verlassen. Vor dem Jahr 2008 lägen keine medizinischen Akten über ihn vor. Deshalb sei die gravierende psychische Störung überwiegend wahrscheinlich in der Schweiz und nicht im Land B._ ausgebrochen. Diese Argumentation vermag das Gutachten des Dr. med. C._ vom 13. Januar 2012 nicht zu entkräften. Der vom Versicherten ins Feld geführte Bericht des Psychiaters Dr. F._ vom 30. Juni 2013 ist - wie gesagt - unbeachtlich (E. 5.1 hievor).
8.
Insgesamt zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist nicht ersichtlich, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung im Lichte der in E. 2 hievor dargelegten Grundsätze mangelhaft sind oder eine Bundesrechtsverletzung vorliegt. Da von weiteren medizinischen Abklärungen keine entscheidrelevanten Ergebnisse mehr zu erwarten sind, ist darauf zu verzichten (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236).
9.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm gewährt werden (<ref-law>). Er hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Josef Flury wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Dezember 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar