Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 7. Juni 2007 verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich den Anspruch der 1957 geborenen N._ auf eine Rente der Invalidenversicherung. Im Mai 2009 meldete sich N._ erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle holte einen aktuellen IK-Auszug ein und nahm verschiedene Arztberichte zu den Akten. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach sie der Versicherten mit Wirkung ab 1. Mai 2008 eine ganze Rente zu (Verfügungen vom 11. Juli 2011).
B. Der Kanton Zürich als Träger der Pensionskasse der Versicherten, der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich (nachfolgend: BVK), erhob Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, die Verfügungen vom 11. Juli 2011 seien aufzuheben und der Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung sei zu verneinen. Eventualiter sei die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit sie den Invaliditätsgrad unter Berücksichtigung sämtlicher medizinischer Akten neu berechne. Mit Entscheid vom 5. März 2012 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde gut, hob die Verfügungen der IV-Stelle vom 11. Juli 2011 auf und stellte fest, dass die Versicherte keinen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung hat.
C. N._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Verfügungen vom 16. August 2011 (recte: 11. Juli 2011) rechtsgültig Bestand haben und sie Anspruch auf eine Rente hat. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Die Beschwerdeführerin erhebt Rügen prozessualer Art, welche vorab zu prüfen sind.
2.1 In der Beschwerde wird geltend gemacht, die Vorinstanz habe es unterlassen, zu prüfen, ob der Kanton Zürich (vertreten durch die Finanzdirektion und diese vertreten durch die BVK) überhaupt zur Beschwerde legitimiert sei. Mangels Berührtseins wäre die Frage zu verneinen gewesen.
Dieser Auffassung kann nicht beigepflichtet werden. Die Vorinstanz hat die Beschwerdelegitimation des Kantons Zürich als Träger der BVK, welcher als präsumptiv leistungspflichtiger Vorsorgeeinrichtung Kopien der rentenzusprechenden Verfügungen vom 11. Juli 2011 zugestellt worden waren, zu Recht - stillschweigend - bejaht. Da die Invaliditätsbemessung der IV-Stelle für die Organe der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge grundsätzlich bindend ist, ist sie auch geeignet, deren Leistungspflicht in grundsätzlicher, zeitlicher und masslicher Hinsicht im Sinne von <ref-law> (unmittelbar) zu berühren. Aus diesem Grunde sind die Organe der beruflichen Vorsorge zur Beschwerde gegen die Verfügungen der IV-Stelle über den Rentenanspruch als solchen oder den Invaliditätsgrad berechtigt (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 5). Bei dieser Rechtslage ist die Vorinstanz zu Recht auf die vom Kanton Zürich gegen die rentenzusprechenden Verfügungen der IV-Stelle erhobene Beschwerde eingetreten.
2.2 Zu Unrecht stellt sich die Beschwerdeführerin sodann auf den Standpunkt, im vorinstanzlichen Prozess sei die Garantie des fairen Verfahrens (Art. 6 Ziff. 1 EMRK; <ref-law>) verletzt worden. Da die Interessen der beiden Hauptparteien (Vorsorgeeinrichtung und IV-Stelle) gleichgerichtet gewesen seien, sei ihre Position nicht angemessen gewürdigt worden. Denn sie übersieht dabei, dass sie als zum vorinstanzlichen Verfahren Beigeladene denselben Anspruch auf Wahrung des rechtlichen Gehörs hatte wie die Hauptparteien (<ref-ruling> E. 4.1 S. 74 f.; Christian Zünd, Die Beiladung im Sozialversicherungsprozess, in: Sozialversicherungsrechtstagung 2004, Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], 2004, S. 50 f.), wovon sie im Übrigen mit Eingabe vom 18. November 2011 Gebrauch gemacht hat. Im Weitern resultieren für die Versicherte aus der von ihr als ungünstig beurteilten Konstellation auch deshalb keine Nachteile, weil das Gericht in dem vom Untersuchungsgrundsatz beherrschten Sozialversicherungsprozess von Amtes wegen für die richtige und vollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes zu sorgen hat (<ref-ruling> E. 6 S. 221 f. mit Hinweisen).
3. Materiell streitig und zu prüfen ist der Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente der Invalidenversicherung (Art. 28 Abs. 1 und 2 IVG; <ref-law>) und in diesem Zusammenhang namentlich die Arbeitsfähigkeit (<ref-law>) aus psychischen Gründen.
3.1 Die Vorinstanz gelangte zum Ergebnis, die Versicherte sei in der Ausübung der bisherigen Tätigkeit leichtgradig beeinträchtigt, wobei die Einschränkung sowohl aus somatischer (chronisches Schmerzsyndrom und chronische zervikospondylogene Schmerzen beidseits) als auch aus psychischer Sicht (leichte depressive Episode ohne somatisches Syndrom) höchstens 20 % betrage. Insgesamt sei von einer zumutbaren Arbeitsfähigkeit von 80 % in der angestammten Tätigkeit auszugehen.
3.2 In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was diese Sachverhaltsfeststellung als offensichtlich unrichtig oder unvollständig erscheinen lässt:
Soweit die Versicherte vorbringt, auf das Gutachten des Dr. med. C._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 10. November 2010 (mit Ergänzung vom 29. Juni 2011) hätte nicht abgestellt werden dürfen, weil es sich um ein vom Kanton Zürich in Auftrag gegebenes Parteigutachten handle, übersieht sie, dass das Sozialversicherungsgericht alle Beweismittel objektiv prüft und pflichtgemäss würdigt, unabhängig davon, von wem sie stammen (<ref-ruling> E. 3a S. 352). Expertisen, die von einer Partei eingeholt und in das Verfahren als Beweismittel eingebracht werden (Parteigutachten), darf der Beweiswert nicht schon deshalb abgesprochen werden, weil sie von einer Partei stammen (<ref-ruling> E. 3b/dd S. 353).
Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin hat sich das kantonale Gericht sodann mit den gegen das Gutachten des Dr. med. C._ von Dr. med. H._, Psychiatrie und Psychotherapie, und der RAD-Ärztin Dr. med. K._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, erhobenen Einwänden eingehend auseinandergesetzt, weshalb von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs nicht die Rede sein kann. Der von der Beschwerdeführerin unter Hinweis auf eine neue Stellungnahme des Dr. med. H._ vom 11. April 2012 - ohnehin ein unzulässiges Novum (<ref-law>; <ref-ruling>) - vorgebrachten Kritik, die Exploration durch Dr. med. C._ sei ungenau und unsorgfältig durchgeführt worden, kann nicht gefolgt werden, stützt sich doch der Gutachter auf zahlreiche durchgeführte und im Einzelnen dargelegte Tests sowie die erhobenen klinischen Befunde und sind seine Schlussfolgerungen damit nachvollziehbar und überzeugend. Unhaltbar ist schliesslich der Vorwurf, die Vorinstanz begründe die Massgeblichkeit des Gutachtens willkürlich, weil im Wesentlichen damit, dass die IV-Stelle derselben Auffassung sei. Denn die Vorinstanz legte ausführlich (über mehrere Seiten) dar, weshalb sie sich auf das Gutachten des Dr. med. C._ stützte. Erst nachdem sie zu diesem Ergebnis gelangt war, vermerkte sie am Rande (in einem einzigen Satz), dass die IV-Stelle im Beschwerdeverfahren nun ebenfalls den Standpunkt vertrete, auf die Darlegungen von Dr. med. B._ könne nicht abgestellt werden.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der IV-Stelle des Kantons Zürich, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. September 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann