Sachverhalt:
A. Der aus Ägypten stammende X._ (geb. 1952) ersuchte im Jahr 1997 um Asyl in der Schweiz. Nach rechtskräftiger Abweisung seines Asylgesuchs heiratete er im März 1999 eine Schweizer Bürgerin, worauf er eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Im folgenden Jahr wurde eine gemeinsame Tochter geboren. Im Februar 2004 wurde X._ die Niederlassungsbewilligung erteilt und im August 2004 eingebürgert. Er ist heute schweizerisch-ägyptischer Doppelbürger.
Am 1. März 2006 ersuchte der im Kanton Aargau wohnhafte X._ um Bewilligung des Nachzugs für seinen damals fünfzehneinhalbjährigen, aus einer früheren Ehe stammenden Sohn Y._ (geb. 1990), der in Ägypten lebt und Staatsangehöriger dieses Landes ist. Am 15. Februar 2007 lehnte das Migrationsamt des Kantons Aargau das Nachzugsgesuch ab. Der Rechtsdienst des Migrationsamtes bestätigte das mit Einspracheentscheid vom 6. Juni 2007. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau allerdings am 7. September 2007 gut. Es wies das kantonale Migrationsamt an, das Familiennachzugsgesuch zu bewilligen und den Aufenthalt des Sohnes zu regeln. Es hielt die Voraussetzungen für einen Nachzug gemäss dem nationalen Ausländerrecht zwar nicht für gegeben, stützte seinen Entscheid aber auf Art. 8 EMRK.
B. Das kantonale Migrationsamt übermittelte am 28. Januar 2008 die Sache zwecks Zustimmung an das Bundesamt für Migration. Dieses verweigerte am 4. März 2008 die Zustimmung. Die Voraussetzungen für einen nachträglichen Familiennachzug würden entgegen der Ansicht des Rekursgerichts nicht vorliegen. Dagegen gelangten X._ und sein Sohn erfolglos an das Bundesverwaltungsgericht.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 8. März 2010 beantragen X._ und Y._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 2. Februar 2010 aufzuheben und "die Zustimmung zur Erteilung der Niederlassungsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs" zu erteilen.
Das Bundesamt für Migration stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ist nur zulässig, soweit das Bundesrecht oder das Völkerrecht den Beschwerdeführern einen Bewilligungsanspruch auf den begehrten Familiennachzug einräumt (vgl. <ref-law>).
1.1 Am 1. Januar 2008 ist das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) in Kraft getreten. Da das Nachzugsgesuch am 1. März 2006 gestellt wurde, ist vorliegend in materieller Hinsicht noch das vor dem 1. Januar 2008 geltende Recht, namentlich das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) anwendbar (Art. 126 Abs. 1 AuG). Auch wenn sich das Verfahren gemäss Art. 126 Abs. 2 AuG bereits nach dem neuen Recht richtet, gilt das alte Recht hier ebenfalls für die prozessuale Frage, ob ein Bewilligungsanspruch im Sinne von <ref-law> besteht (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145 mit Hinweis).
1.2 Gemäss Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990, AS 1991 1034 1043) haben ledige Kinder unter 18 Jahren Anspruch auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung, wenn sie mit ihren Eltern zusammen wohnen. Diese Bestimmung, die für niedergelassene Ausländer gilt, wird analog für ausländische Kinder von Schweizern angewendet (<ref-ruling> E. 1b S. 155 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 141). Zwar ist der nachzuziehende Sohn seit September 2008 18 Jahre alt. Zum Zeitpunkt der Gesuchseinreichung im März 2006, auf den es im Rahmen von Art. 17 Abs. 2 ANAG für die Eintretensfrage ankommt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252), hatte er die Altersgrenze jedoch noch nicht erreicht. Deshalb ist auf die Beschwerde unter dem Blickwinkel des Art. 17 Abs. 2 ANAG einzutreten. Daran ändert nichts, dass neben allen übrigen Instanzen auch das Rekursgericht des Kantons Aargau einen Nachzug gestützt auf diese Bestimmung ablehnen. Denn die Beschwerdeführer berufen sich weiterhin auf Art. 17 Abs. 2 ANAG.
1.3 Soweit sie auch einen Anspruch gestützt auf Art. 8 EMRK geltend machen, ist allerdings nach ständiger Praxis das Alter des Sohnes im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils massgebend (<ref-ruling> E. 2 S. 13; <ref-ruling> E. 2.1 S. 141). Da der Sohn heute über 18 Jahre alt ist, kann kein Nachzugsanspruch aus Art. 8 EMRK mehr abgeleitet werden, zumal kein besonderes Abhängigkeitsverhältnis wegen einer Behinderung oder dergleichen besteht (<ref-ruling> E. 1e S. 261). Daran ändert nichts, dass Kinder nach ägyptischem Recht angeblich erst mit Vollendung des 21. Lebensjahres volljährig werden (vgl. <ref-ruling> E. 1e S. 262).
Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführer hat das Bundesgericht seine Rechtsprechung inzwischen nicht dahingehend geändert, dass bei Art. 8 EMRK nunmehr ebenfalls auf das Alter im Zeitpunkt des ursprünglichen Nachzugsgesuchs abzustellen ist. Gerade der von ihnen hiezu angeführte Entscheid <ref-ruling> hält in der (nicht amtlich publizierten) Erwägung 1.1.2 ausdrücklich an der bisherigen Praxis fest. Auch nach Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes am 1. Januar 2007 kam es insoweit zu keiner Änderung (vgl. beispielsweise die Urteile 2C_8/2008 vom 14. Mai 2008 E. 1.4; 2C_599/2009 vom 4. Mai 2010 E. 1.3 und 2C_508/2009 vom 20. Mai 2010 E. 2.2). Die Beschwerdeführer führen nichts an, was rechtfertigen würde, von der ständigen Praxis abzukehren. Wie dargestellt, können sie sich im Übrigen auf Art. 17 Abs. 2 ANAG berufen. Ob nun eine materielle Prüfung nach dieser Bestimmung oder gestützt auf Art. 8 EMRK vorzunehmen ist, macht hier letztlich keinen Unterschied. Für den nachträglichen Familiennachzug durch einen Elternteil ist in beiden Fällen eine umfassende Interessenabwägung vorzunehmen und es gelten insoweit auch die gleichen Beschränkungen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 Ingress S. 10 und nicht publizierte E. 1.1.2; erwähntes Urteil 2C_8/2008 E. 2.1). Unter diesem Blickwinkel kommt auch eine allfällige Ausnahme von der erwähnten ständigen Praxis wegen überlanger Verfahrensdauer - von der Antragstellung bis zum angefochtenen Entscheid sind knapp vier Jahre, davon fast zwei Jahre bei der Vorinstanz, vergangen - nicht in Betracht.
2. Materiell zu prüfen ist, ob die Zustimmung seitens des Bundes verweigert werden durfte. Dabei sind auch die Überlegungen des kantonalen Rekursgerichts in die Beurteilung einzubeziehen (<ref-ruling> E. 3d S. 12).
2.1 Die in der Rechtsprechung zu Art. 17 ANAG entwickelten Voraussetzungen für den nachträglichen Nachzug von Kindern, die wie erwähnt sinngemäss auch für Ansprüche aus Art. 8 EMRK gelten, sind unterschiedlich, je nachdem ob es sich um die Vereinigung mit den gemeinsamen Eltern oder aber mit einem getrennt lebenden Elternteil handelt. Im ersten Fall bedarf es, unter Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs, keiner besonderen Rechtfertigung dafür, dass das Nachzugsrecht erst nachträglich geltend gemacht wird. Im zweiten Fall dagegen wird ein nachträglicher Familiennachzug nur bewilligt, wenn unter Berücksichtigung der Gesamtumstände besondere familiäre Gründe bzw. eine Änderung der Betreuungssituation dies gebieten. Das ist praxisgemäss nicht der Fall, wenn im Heimatland alternative Pflegemöglichkeiten bestehen, die dem Kindeswohl besser entsprechen, weil dadurch vermieden werden kann, dass das Kind aus seiner bisherigen Umgebung und dem ihm vertrauten Beziehungsnetz gerissen wird. An den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland sind umso höhere Anforderungen zu stellen, je älter das nachzuziehende Kind ist bzw. je grösser die Integrationsschwierigkeiten erscheinen, die ihm hier drohen (vgl. Näheres in <ref-ruling> E. 3.1 und 5.5 S. 9 ff. und 22 f.).
2.2 Die Vorinstanz geht zutreffend von diesen Vorgaben aus. Sie hält - auch unter Hinweis auf die Feststellungen des kantonalen Rekursgerichts - namentlich fest, dass die Beziehung zwischen Vater und Sohn nicht vorrangig sei. Der Vater sei im Jahre 1997 in die Schweiz eingereist. Sein Sohn sei in Ägypten von der Mutter betreut worden. Nach einem - von der Fremdenpolizei bewilligten ersten - anderthalbjährigen Aufenthalt des Sohnes in der Schweiz von Juli 2003 bis Januar 2005 sei dieser in die Heimat zurückgekehrt, wo sich neben der Mutter nun teilweise auch die Grossmutter väterlicherseits um ihn kümmerte. Dort lebt er laut Rekursgericht "in einigermassen geordneten und strukturierten Verhältnissen". Es seien keine Anzeichen vorhanden, dass er im vertrauten Umfeld seines Heimatlandes nicht die altersadäquate notwendige Betreuung erhalten würde.
2.3 Die Vorinstanz meint zwar, das Erfordernis der vorrangigen elterlichen Beziehung sei obsolet geworden. Gewiss stellt dieser Umstand nicht mehr eine absolute Bedingung für den Nachzug dar. Dennoch spielt es weiterhin eine Rolle bei der Berücksichtigung der Gesamtumstände (vgl. <ref-ruling> E. 5.5 S. 23: "liens familiaux et sociaux et [...] liens qui les unissent l'un à l'autre"). Insoweit ist hier beachtenswert, dass der Sohn keine vorrangige Beziehung zum Vater unterhält, auch wenn Letzterer aufgrund der früheren Rechtslage in Ägypten das Sorgerecht über ihn haben sollte, da dieses - mangels anderer richterlicher Entscheidung - nach Vollendung des 9. bzw. 10. Altersjahres von Gesetzes wegen von der Mutter auf den Vater überging (vgl. DINA CHARIF FELLER, La garde (Hadanah) en droit musulman et dans les droits égyptien, syrien et tunisien, Genf 1996, S. 60 ff.; Hans-Georg Ebert/ Assem Hefny, Ägypten, in: Bergmann/Ferid/Henrich, Internationales Ehe- und Kindschaftsrecht, Frankfurt am Main, Stand 15. Juli 2008, S. 36 ff.).
Gegen die Bewilligung des Nachzugs spricht, dass der Vater nicht mit seiner Einreise oder Heirat der Schweizer Ehefrau bereits das Gesuch um Nachzug gestellt hatte und in Ägypten mit der Kindsmutter eine dem Alter des Sohnes entsprechende Betreuung mindestens bis zum 18. Lebensjahr gewährleistet war. Wie die Vorinstanz richtig bemerkt, ist unerheblich, ob sich die Betreuungsverhältnisse zwischenzeitlich nach Erreichen der Altersgrenze von 18 Jahren geändert haben. Vorliegend kommt sodann das bereits bei Antragstellung vorangeschrittene Alter des Sohnes und der Umstand hinzu, dass er den ganz überwiegenden Teil seines Lebens in Ägypten bei der Mutter und anderen Verwandten verbracht hat. Er hat in Ägypten mindestens bis zum Alter von 18 Jahren alle seine familiären und sozialen Bindungen - abgesehen vom Vater - gehabt. Durch eine Übersiedlung in die Schweiz würden diese aufgelöst oder erheblich beeinträchtigt.
Als dem Vater ein erster Nachzug des damals noch zwölfjährigen Sohnes ermöglicht worden war, liess er diesen nach anderthalb Jahren wieder nach Ägypten zurückkehren. Für die Rückkehr in die Heimat wurden Probleme mit der Stiefmutter und Schwierigkeiten in der Schule angeführt; Ersteres habe sich durch die Trennung des Vaters von seiner Schweizer Ehefrau (d.h. der Stiefmutter) erledigt. Trotzdem wird daraus ersichtlich, dass sich der Beschwerdeführer 1 seinerzeit nicht verstärkt für ein Zusammenleben mit seinem Sohn einsetzte und letztlich selber eine Weiterbetreuung durch die Kindsmutter vorzog. Ausserdem drohen dem Sohn durch das inzwischen weiter vorangeschrittene Alter noch grössere Integrationsprobleme in der Schweiz als anlässlich seines ersten Aufenthaltes. Die Beschwerdeführer behaupten zwar heute, die Rückkehr nach Ägypten sei nur als vorübergehende Lösung zur Entschärfung des Konflikts zwischen der Stiefmutter und dem Sohn gedacht gewesen. Wie dieser angebliche Konflikt aber behoben werden sollte, damit der Sohn wieder baldmöglichst bei ihm sein könnte, legen sie jedoch nicht dar. Immerhin lebte der Vater damals noch mit der Schweizer Ehefrau und der im Jahr 2000 geborenen Tochter zusammen.
2.4 Nach dem Dargelegten machen die Beschwerdeführer keine hinreichenden Gründe für den nachträglichen Kindernachzug geltend. Daran ändert nichts, dass dem Vater, der in der Schweiz ein inniges Verhältnis zu der inzwischen von ihm getrennt lebenden Tochter pflegt, nicht zumutbar ist, das Zusammenleben mit seinem Sohn in Ägypten zu verwirklichen, weil darunter die Beziehung zur Tochter leiden würde.
2.5 Das kantonale Rekursgericht - dieses allerdings im Hinblick auf einen Anspruch nach Art. 8 EMRK - wie auch die Beschwerdeführer weisen auf ein Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte (EGMR) vom 1. Dezember 2005 in Sachen A._ gegen die Niederlande hin und meinen, die bundesgerichtliche Praxis zum nachträglichen Familiennachzug sei im Hinblick darauf zu revidieren. Mit diesem Urteil hat sich das Bundesgericht bereits ausführlich im erwähnten <ref-ruling> befasst (dort E. 4 und 5 S. 14 ff.), weshalb hierauf im Einzelnen nicht mehr zurückzukommen ist. Das hat das kantonale Rekursgericht in seinem Entscheid vom 7. September 2007 offenbar übersehen, da es sich zu dem soeben zitierten Bundesgerichtsurteil vom 19. Dezember 2006 nicht äussert.
Diesem Bundesgerichtsurteil zufolge ist dem getrennt lebenden Elternteil - entgegen der Auffassung des Rekursgerichts - der nachträgliche Kindernachzug nicht bereits dann zu bewilligen, wenn ihm nicht zumutbar ist, mit dem Kind im Herkunftsland zusammenzuleben. Eine solche Praxis ergibt sich auch nicht aus dem Urteil des EGMR in Sachen A._. Der erwähnte Aspekt der Zumutbarkeit ist gewiss zu berücksichtigen. Er ist jedoch nicht derjenige, der allein ausschlaggebend ist bzw. auf den es primär ankommt. Der EGMR hatte im Fall A._ denn auch auf zusätzliche Umstände abgestellt: Unter anderem war der Vater des Kindes verstorben. Die verwitwete Mutter hatte so bald wie möglich nach ihrer Flucht aus Äthiopien versucht, ihr Kind zu sich zu holen. Die Grossmutter, die sich in der Heimat einstweilen um das Kind kümmerte, hatte dieses gegen den Willen der Mutter vorzeitig von der Schule genommen und plante eine Zwangsheirat (vgl. auch <ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 14 ff.). Eine vergleichbare Situation ist hier nicht gegeben.
Im Übrigen hat die Grosse Kammer des Gerichtshofs der Europäischen Gemeinschaften (EuGH) Bestimmungen der Richtlinie 2003/86/EG vom 22. September 2003 betreffend das Recht auf Familienzusammenführung geschützt, welche den Mitgliedstaaten der Europäischen Union (EU) erlaubt, Regelungen vorzusehen, wonach die entsprechenden Anträge für minderjährige Kinder vor Vollendung des fünfzehnten Lebensjahres zu stellen sind und bei danach eingereichten Anträgen die Einreise und der Aufenthalt des Kindes nur "aus anderen Gründen als der Familienzusammenführung" genehmigt werden. Der Gerichtshof erachtete diese Bestimmungen, die einen (nachträglichen) Familiennachzug von Kindern über 15 Jahren an die Erfüllung besonderer Voraussetzungen knüpfen, als mit Art. 8 EMRK vereinbar (Urteil des EuGH vom 27. Juni 2006 C-540/03 Europäisches Parlament, Slg. 2006 I-5769 Randnrn. 52 ff.; vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 5.4 S. 21 f.).
Mithin ist auch unter Berücksichtigung der europäischen Praxis nicht zu beanstanden, dass für den Nachzug des über fünfzehnjährigen Sohnes besondere familiäre Gründe bzw. eine Änderung der Betreuungssituation verlangt wird.
3. 3.1 Die Beschwerdeführer rügen zusätzlich, die Verweigerung des Familiennachzugs würde eine Inländerdiskriminierung darstellen und damit gegen <ref-law> und Art. 14 EMRK verstossen. Dabei nehmen sie Bezug auf Art. 3 Anhang I des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681; vgl. zu Art. 3 Anhang I FZA: <ref-ruling> E. 5 S. 76 f. und BGE 2C_490/2009 vom 2. Februar 2010 E. 3.1 und 3.2.3, in: FamPra.ch 2010 S. 396 mit Hinweisen). Da der Vater weder Staatsangehöriger eines EU- oder eines anderen EFTA-Staates sei noch jemals in einem dieser Länder gelebt habe, könne er sich nicht unmittelbar auf die gegenüber Art. 17 Abs. 2 ANAG grosszügigeren Nachzugsregelungen des Abkommens berufen. Um eine Benachteiligung des Vaters als Schweizer zu vermeiden, sei Art. 3 Anhang I FZA aber analog auf ihn anzuwenden.
Das Bundesgericht hat sich mit dieser Frage am 22. Januar 2010 in einem soeben amtlich publizierten Urteil vertieft befasst (<ref-ruling> E. 3 S. 125 ff.). Gemäss den dortigen Ausführungen, auf die verwiesen wird, kommt vorliegend eine analoge Anwendung von Art. 3 Anhang I FZA nicht in Betracht.
3.2 Die Beschwerdeführer machen schliesslich unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 5.5 S. 267 geltend, der Bundesgesetzgeber habe mit Art. 3 Abs. 1 lit. c und cbis sowie Abs. 1bis der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (Begrenzungsverordnung, BVO; AS 1986 1791, in der Fassung vom 23. Mai 2001, AS 2002 1769) explizit eine Anpassung des Familiennachzugs für Schweizer Bürger an die Regelungen des Freizügigkeitsabkommens vorgesehen, um eine Inländerdiskriminierung zu vermeiden. Von dieser den Kantonen eingeräumten Möglichkeit hätten die Aargauer Behörden Gebrauch gemacht. Durch die Zustimmungsverweigerung habe das Bundesamt für Migration in die Kompetenz der Kantone eingegriffen.
Mit Blick auf die erwähnte Ausschlussvorschrift von <ref-law> ist darauf nicht einzutreten, da es insoweit nur um eine im Ermessen der Kantone stehende Bewilligung geht. Auch eine Behandlung dieser Rüge im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde kommt nicht Betracht, weil hier kein kantonaler Entscheid angefochten ist (vgl. <ref-law>). Im Übrigen findet das Vorbringen der Beschwerdeführer weder eine Stütze in den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz noch im Urteil des kantonalen Rekursgerichts. Dieses hatte das bei ihm eingelegte Rechtsmittel nur unter dem Gesichtspunkt des Art. 8 EMRK gutgeheissen. Es ist an keiner Stelle davon die Rede, dass den Beschwerdeführern in Anwendung der zitierten Bestimmungen der Begrenzungsverordnung die Bewilligung erteilt werden sollte.
4. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde insgesamt abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Diesem Ausgang entsprechend würden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 65 f. BGG). Sie haben allerdings um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht. Da sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügen und ihr Rechtsbegehren nicht von vornherein aussichtslos erschien, ist diesem Gesuch stattzugeben (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 5 S. 616).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Rechtsanwalt Tarig Hassan, Zürich, wird für das bundesgerichtliche Verfahren als unentgeltlicher Rechtsbeistand eingesetzt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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