Sachverhalt:
A. Der 1966 geborene, während vieler Jahre im Baugewerbe tätige I._ leidet nach einem Arbeitsunfall im Sommer 2003 an einem chronisch rezidivierenden myofaszialen Schmerzsyndrom der Nacken-Schulter-Muskulatur. Zudem besteht ein Bandscheibenvorfall im Bereich der Halswirbelsäule. Am 23. September 2004 meldete sich I._ zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich erhob die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse und veranlasste eine berufliche Abklärung (Arbeitstraining) im Arbeitszentrum X._ welche zwischen dem 17. Mai und 16. August 2005 stattfand. Mit - durch Einspracheentscheid vom 3. Januar 2006 bestätigter - Verfügung vom 13. September 2005 stellte die Verwaltung fest, es bestehe kein weiterer Anspruch auf berufliche Massnahmen. In der Begründung des Einspracheentscheids findet sich weiter die Feststellung, auch ein Rentenanspruch sei nicht gegeben, da der Versicherte in der Lage sei, ein rentenausschliessendes Einkommen zu erzielen.
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Überdies wies es die Sache "nach Eintritt der Rechtskraft" an die Verwaltung zurück, damit diese über den Anspruch des Versicherten auf unentgeltliche Rechtsvertretung im Einspracheverfahren entscheide (Entscheid vom 16. Oktober 2007).
C. I._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, es sei ihm rückwirkend ab September 2004 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Eventuell sei ihm für das Einspracheverfahren sowie für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen und ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die gesetzlichen und aus der Rechtsprechung hervorgegangenen Regeln über die Durchführung des Einkommensvergleichs, so betreffend die Anwendbarkeit von statistisch ermittelten Lohnansätzen und die Bezeichnung der massgeblichen Tabelle, beschlagen Rechtsfragen. Die Feststellung der hypothetischen Vergleichseinkommen, namentlich der Umgang mit den Zahlen gemäss Schweizerischer Lohnstrukturerhebung (LSE) des Bundesamtes für Statistik, stellt sich als Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
2. Der Versicherte beantragt, es sei ihm mit Wirkung ab September 2004 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 41 Prozent eine Viertelsrente auszurichten. Das kantonale Gericht hatte, wie schon die Beschwerdegegnerin, auf einen nicht rentenbegründenden Invaliditätsgrad von 24 Prozent erkannt.
2.1 Unbestritten ist, dass dem Beschwerdeführer eine leidensangepasste leichte Tätigkeit zumutbar ist. Er macht aber geltend, im Rahmen des zum Invaliditätsgrad führenden Einkommensvergleichs (<ref-law>) trage einerseits das vorinstanzlich ermittelte Invalideneinkommen seiner Eigenschaft als Ausländer nicht ausreichend Rechnung; beim Valideneinkommen seien anderseits "zusätzliche Lohnkomponenten" unberücksichtigt geblieben.
2.2 Bezog eine versicherte Person aus invaliditätsfremden Gründen (z.B. geringe Schulbildung, fehlende berufliche Ausbildung, mangelnde Deutschkenntnisse, beschränkte Anstellungsmöglichkeiten wegen Saisonnierstatus) ein deutlich unterdurchschnittliches Einkommen, ist diesem Umstand bei der Invaliditätsbemessung nach <ref-law> Rechnung zu tragen, sofern keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sie sich aus freien Stücken mit einem bescheideneren Einkommensniveau begnügen wollte (<ref-ruling> E. 5c/bb S. 157 mit Hinweisen). Nur so bleibt der Grundsatz gewahrt, dass die auf invaliditätsfremde Gesichtspunkte zurückzuführenden Lohneinbussen entweder überhaupt nicht oder aber bei beiden Vergleichseinkommen gleichmässig zu berücksichtigen sind (<ref-ruling> E. 4.4 S. 225). Die gebotene Parallelisierung der Einkommen kann praxisgemäss entweder auf Seiten des Valideneinkommens durch eine entsprechende Heraufsetzung des effektiv erzielten Einkommens oder durch Abstellen auf die statistischen Werte (vgl. SVR 2008 IV Nr. 2 S. 3, I 697/05, und Urteil I 750/04 vom 5. April 2006 E. 5.5) oder aber auf Seiten des Invalideneinkommens durch eine entsprechende Herabsetzung des statistischen Wertes (vgl. Urteil U 454/05 vom 6. September 2006 E. 6.3.3) erfolgen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 325 mit Hinweisen).
Eine Parallelisierung ist indessen nur vorzunehmen, wenn die Differenz zum massgebenden Durchschnitt deutlich ist. Die Rechtsprechung hatte bisher keinen Anlass, einen konkretisierenden prozentualen Grenzwert zu definieren (vgl. Urteil 9C_488/2008 vom 5. September 2008 E. 6.6).
2.3 Die Vorinstanzen gingen von einem Valideneinkommen von Fr. 60'820.- (2003) aus, was für das Jahr 2004 einem Betrag von Fr. 61'063.- entspricht (Lohnentwicklung 2004 im Baugewerbe: 0,4 Prozent [Die Volkswirtschaft 12/2008 S. 95 Tabelle B 10.2]; zum massgeblichen Zeitpunkt des Einkommensvergleichs: <ref-ruling>). Nach allgemeinen statistischen Daten hätte der Beschwerdeführer als Gesunder 2004 im Baugewerbe ein Jahreseinkommen von Fr. 67'029.- erzielen können (Schweizerische Lohnstrukturerhebung [LSE] des Bundesamtes für Statistik 2004, Tabelle A1, Wirtschaftszweig Baugewerbe, Anforderungsniveau 3 [Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt], Männer: Fr. 5358.-; umgerechnet auf eine 2004 betriebs- bzw. branchenübliche wöchentliche Arbeitszeit von 41,7 Stunden [Die Volkswirtschaft 12/2008 S. 94 Tabelle B 9.2], x 12). Darin wäre wohl eine deutliche Abweichung im Sinne der zitierten Rechtsprechung zu erblicken. Die Frage kann aber dahingestellt bleiben: Wenn nämlich - wie beantragt, aber nicht abschliessend zu entscheiden ist - weitere Lohnbestandteile einbezogen würden und daher von einem (den statistischen Wert übertreffenden) Valideneinkommen von Fr. 71'066.- (2004) auszugehen wäre, ergäbe sich daraus immer noch keine rentenbegründende Invalidität (sogleich E. 2.4).
2.4 Soweit der Beschwerdeführer in einer leidensangepassten Beschäftigung in einer anderen Branche aufgrund seiner Eigenschaft als Ausländer eine lohnmässige Einbusse (im Vergleich mit statistischen Durchschnittswerten) hinnehmen müsste, wäre diese mit einem gewährten Abzug (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481; <ref-ruling>), welchen die Vorinstanzen auf 20 Prozent festgelegt haben, in Anbetracht eines erhaltenen Leistungsvermögens für körperlich leichte Hilfsarbeiten (Gewichtslimite 10 Kilogramm) ohne weiteres abgedeckt, da funktionelle Einschränkungen in einer leidensangepassten Tätigkeit, entgegen dem in der Beschwerde erhobenen Einwand, nicht erheblich ins Gewicht fallen. Insgesamt beläuft sich der Invaliditätsgrad - bei einem anrechenbaren Invalideneinkommen von Fr. 45'807.- (LSE 2004, Tabelle A1, Total aller Wirtschaftszweige, Anforderungsniveau 4 [einfache und repetitive Tätigkeiten], Männer: Fr. 4588.-; umgerechnet auf eine 2004 betriebs- bzw. branchenübliche wöchentliche Arbeitszeit von 41,6 Stunden [Die Volkswirtschaft 12/2008 S. 94 Tabelle B 9.2], x 12 x 0,8) - auf nicht rentenbegründende 36 Prozent, dies selbst bei Zugrundelegung des anbegehrten höheren Valideneinkommens von Fr. 71'066.-. Zu Weiterungen im Sinne der in der Beschwerde im Einzelnen dargelegten Auffassung besteht nach dem Gesagten vorliegend kein Anlass.
3. 3.1 Weiter beantragt der Beschwerdeführer - wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren -, er sei mit Bezug auf das Einspracheverfahren unentgeltlich zu verbeiständen.
3.2 Vor dem materiellen Einspracheentscheid vom 3. Januar 2006 hatte die IV-Stelle am 21. Dezember 2005 eine Verfügung erlassen, mit welcher das Gesuch der Rechtsbeiständin, sie sei zur unentgeltlichen Rechtsvertreterin zu ernennen, abgelehnt wurde. Das kantonale Gericht hat die Sache an die IV-Stelle zurückgewiesen, damit diese über den Anspruch des Beschwerdeführers auf unentgeltliche Rechtsvertretung im Einspracheverfahren entscheide (Ziff. 1 Abs. 2 des vorinstanzlichen Dispositivs). Diese Verfahrenserledigung übersieht Art. 52 Abs. 1 zweiter Teilsatz ATSG und den Umstand, dass die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung im Einspracheverfahren vom Beschwerdeführer am 3. Februar 2006 - bei Gelegenheit der Anfechtung des Einsprache-Endentscheids - prozessual zulässig und gültig beanstandet worden war.
4. Der Beschwerdeführer obsiegt nur in einem verfahrensrechtlichen Nebenpunkt, was keine Parteientschädigung rechtfertigt. Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; <ref-law>) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Rentenpunkt abgewiesen, bezüglich der unentgeltlichen Verbeiständung im Einspracheverfahren dahingehend gutgeheissen, dass die Vorinstanz unter Aufhebung von Absatz 2 von Dispositivziffer 1 ihres Urteils vom 16. Oktober 2007 angewiesen wird, darüber zu entscheiden.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege indes auf die Gerichtskasse genommen.
3. Frau Rechtsanwältin Pia Dennler-Hager wird für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- entschädigt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Dezember 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub