Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 14. Dezember 2005 und Einspracheentscheid vom 8. März 2010 lehnte die IV-Stelle des Kantons Solothurn ein erneutes Rentenbegehren von A._ (Jg. 1951) mangels leistungsrelevanten Invaliditätsgrades ab, was das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 2. März 2011 und das Bundesgericht mit Urteil vom 15. September 2011 bestätigten. Auf ein neues, vom damaligen Rechtsanwalt von A._ bereits am 8. November 2010 "im Sinne einer Neuanmeldung" gestelltes Rentenbegehren trat die IV-Stelle - nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren - am 26. Januar 2012 verfügungsweise nicht ein; dies mit der Begründung, eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes sei mit dem neu aufgekommenen Verdacht auf einen psychogenen Tremor der rechten Hand objektiv nicht ausgewiesen.
B.
Das kantonale Versicherungsgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 20. Juni 2013 ab.
C.
A._ erhebt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Begehren um Aufhebung des kantonalen Entscheids und Übertragung der Sachbeurteilung an eine unbefangene, eventuell ausserkantonale Instanz. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. A._ äussert sich mit Eingabe vom 16. April 2014 nochmals.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den (kantonal letztinstanzlichen) Endentscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 20. Juni 2013. Mit diesem wurde das am 26. Januar 2012 mangels Glaubhaftmachung einer seit der letztmaligen Leistungsverweigerung eingetretenen wesentlichen Veränderung des Gesundheitszustandes verfügte Nichteintreten seitens der kantonalen IV-Stelle auf die vom damaligen Rechtsvertreter des heutigen Beschwerdeführers - ausdrücklich "im Sinne einer Neuanmeldung" - am 8. November 2010 vorgenommene Anmeldung zum Leistungsbezug als rechtens befunden und dementsprechend geschützt. Diese Neuanmeldung erfolgte unter Berufung auf einen Bericht des Neurologen Dr. med. B._, vom 12. Oktober 2010, welcher gleichzeitig mit der Neuanmeldung vom 8. November 2010 auch im damals noch hängigen Beschwerdeverfahren betreffend die mit Einspracheentscheid vom 8. März 2010 bekräftigte Anspruchsverneinung vom 14. Dezember 2005 als zusätzliches Beweismittel aufgelegt worden war. In jenem Verfahren wies das kantonale Versicherungsgericht die gegen die damals angefochtene Leistungsverweigerung erhobene Beschwerde in der Folge mit Entscheid vom 2. März 2011 ab. Dieser Entscheid wurde auf Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hin schliesslich auch vom Bundesgericht mit Urteil vom 15. September 2011 letztinstanzlich bestätigt.
1.2. Dieses bundesgerichtliche Urteil vom 15. September 2011 ist am Tag seiner Ausfällung in Rechtskraft erwachsen (<ref-law>) und lässt sich somit mit einem ordentlichen Rechtsmittel nicht mehr anfechten. Der heutige Beschwerdeführer muss es sich entgegenhalten lassen. Mit seinen nunmehr erneut erhobenen Einwänden gegen den Entscheid des kantonalen Versicherungsgerichtes vom 2. März 2011 und dessen Berücksichtigung auch weiterhin verkennt er diese Grundlage. Der kantonale Entscheid vom 2. März 2011 ist am 15. September 2011 letztinstanzlich vom Bundesgericht bestätigt worden. Zwei dagegen eingereichte Revisionsgesuche blieben erfolglos (Urteile vom 1. Februar und 28. August 2012). Die darin gewonnenen Erkenntnisse können damit nicht immer wieder von Neuem in Frage gestellt werden. Vielmehr bildet die seinerzeitige, gerichtlich bestätigte Rentenablehnung sachverhaltsmässig den Ausgangspunkt für die Prüfung der Frage, ob eine seither erfolgte erhebliche Veränderung des Gesundheitszustandes glaubhaft gemacht ist.
2.
2.1. Bezüglich der gesetzlichen und der von der Rechtssprechung weiter konkretisierten Grundlagen für die Beurteilung der Erfordernisse, die erfüllt sein müssen, damit auf eine Neuanmeldung zum Leistungsbezug nach vorangegangener, negativ ausgefallener Anspruchsprüfung eingetreten werden kann, namentlich bezüglich der dafür notwendigen Glaubhafthaftmachung einer erheblichen Veränderung der tatsächlichen Verhältnisse seit der letztmaligen Leistungsverweigerung (Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV [in der bis 31. Dezember 2011 gültig gewesenen, hier noch anwendbaren Fassung]; vgl. auch den Wortlaut der auf den 1. Januar 2012 in Kraft gesetzten Abs. 2 und 3 von <ref-law>, welcher - bezogen auf Rentenleistungen - inhaltlich mit der früheren Version von Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV übereinstimmt [Urteil 8C_844/2012 vom 5. Juni 2013 E. 2 Ingress mit Hinweisen]), wird vorerst auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen. Überdies wird in nachstehender E. 4.1 darauf zurückzukommen sein.
2.2. Die wie hier zur Diskussion stehende Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Im Übrigen wendet es das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft indessen - unter Beachtung der Begründungspflicht nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
3.
In formeller Hinsicht setzt sich der Beschwerdeführer einerseits gegen die Führung seines invalidenversicherungsrechtlichen Verfahrens auf administrativer Ebene durch die IV-Stelle des Kantons Solothurn zur Wehr und beantragt namentlich, die "Sachbeurteilung" (gemeint wohl die Verfahrensführung) an eine unbefangene, eventuell ausserkantonale Instanz zu übertragen (vgl. nachstehende E. 3.1). Andererseits beanstandet er, dass die Entscheidfindung bezüglich seiner im kantonalen Rechtsmittelverfahren erhobenen Beschwerde gegen den Einspracheentscheid dieser IV-Stelle vom 8. März 2010 durch das von ihm als befangen qualifizierte Versicherungsgericht des Kantons Solothurn erfolgte (vgl. nachstehende E. 3.2).
3.1. Auf welche rechtliche Grundlage der Beschwerdeführer seinen Antrag, die Verfahrensführung von der IV-Stelle des Kantons Solothurn an eine andere, eventuell sogar ausserkantonale Institution zu übertragen, stützen will, legt er nicht dar, kann jedoch auch dahingestellt bleiben. Was als Begründung für das anbegehrte Abweichen von der in <ref-law> und <ref-law> gesetzlich vorgesehenen Zuständigkeit der IV-Stelle des Wohnsitzkantons angeführt wird, vermag jedenfalls hinsichtlich des rechtskonformen Ablaufs des bisher von der nach Gesetz zuständigen kantonalen IV-Stelle geführten Administrativverfahrens keine ernsthaften Bedenken zu erwecken. Wäre dieses nicht korrekt geführt worden, standen dem Beschwerdeführer zudem jederzeit Rechtsmittel zur Verfügung, um seinen Anliegen und Interessen auch verfahrensrechtlicher Art wirksam Nachdruck zu verschaffen. Beispielhaft ist - angesichts der doch recht langen Dauer des Einspracheverfahrens, das schliesslich erst am 8. März 2010 zur Bestätigung der schon am 14. Dezember 2005 verfügten Rentenverweigerung führte - etwa an die Möglichkeit einer Rechtsverzögerungs- oder Rechtsverweigerungsbeschwerde zu denken. Mangels konkret aufgezeichneter Mängel sieht das Bundesgericht keine Veranlassung, die Rechtmässigkeit des bisherigen Verwaltungsverfahrens in Frage zu stellen. Daran ändert auch nichts, dass es die IV-Stelle eingestandenermassen unterlassen hat, dem mit einer polydisziplinären Abklärung betrauten Begutachtungsinstituts E._ die Berichte der beiden Internisten Frau Dr. med. C._ vom 16. August 2004 und Dr. med. D._ vom 17. Oktober 2008 vorzulegen. Dieser Mangel konnte noch vor Erlass des Einspracheentscheids in rechtsgenüglicher Weise behoben werden, indem das Begutachtungsinstitut E._ unter Vorlage eben dieser Dokumente zu einer Stellungnahme aufgefordert wurde. Diesem Ansinnen kamen die Experten des Begutachtungsinstituts E._ mit Schreiben vom 23. März 2009 nach, erklärten indessen ausdrücklich, auch die neu beigebrachten Unterlagen böten keine Veranlassung für eine Änderung der in der Expertise vom 9. Februar 2009 vorgenommenen Einschätzungen.
3.2. Nachdem das kantonale Gericht die Richter, deren Mitwirkung bei der Entscheidfindung der Beschwerdeführer befürchtet und deshalb im vorinstanzlichen Verfahren von Anfang an beanstandet hat, durch andere ersetzt hat, dagegen keine Einwände erhoben, namentlich keine Ausstandsgründe geltend gemacht wurden, und überdies auch der damalige Gerichtsschreiber nicht mehr am kantonalen Gericht tätig ist, sind der vor Bundesgericht gegen die Vorinstanz gerichteten Befangenheitsrüge sämtliche sachlichen Grundlagen entzogen. Ausstandsbegehren können sich im Übrigen ohnehin nur gegen einzelne Personen und nicht gegen Behörden oder Gerichtsinstanzen als solche richten. Befangen sein können - allenfalls unter Vorbehalt ganz ausserordentlicher, hier nicht gegebener Fälle - nur die für eine Behörde tätigen Personen, nicht die Behörde als solche (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 227 mit Hinweisen; in SVR 2010 IV Nr. 2 S. 3 publizierte E. 2.1 des Urteil 9C_500/2009 vom 24. Juni 2009; Urteile 9C_603/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 5.2).
4.
4.1.
4.1.1. Eine Neuanmeldung zum Leistungs-, namentlich zum Rentenbezug wird materiell nur geprüft, wenn die versicherte Person glaubhaft macht, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der letzten rechtskräftig gewordenen Rentenverweigerung in einem für diesen Leistungsanspruch erheblichen Mass verändert haben (Art. 87 Abs. 4 in Verbindung mit Abs. 3 IVV [in der bis Ende 2011 gültig gewesenen Fassung resp. neu: Art. 87 Abs. 2 und 3 IVV; vgl. E. 2.1 hievor]). Gelingt ihr dies nicht, so wird auf das Gesuch nicht eingetreten. Erst wenn eine anspruchserhebliche Änderung glaubhaft gemacht worden ist, trifft die Verwaltung die Pflicht, auf das neue Leistungsbegehren einzutreten und es in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht umfassend zu prüfen (<ref-ruling> E. 4b S. 200; Urteil 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 2.2 [Ingress]).
4.1.2. Die Eintretensvoraussetzung nach Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV (zur massgebenden Fassung vgl. E. 4.1.1 hievor) soll verhindern, dass sich die Verwaltung immer wieder mit gleichlautenden und nicht näher begründeten Rentengesuchen befassen muss (<ref-ruling> E. 5.3.1 S. 112). Die Rechtskraft der früheren Verfügung steht einer neuen Prüfung so lange entgegen, wie sich der seinerzeit beurteilte Sachverhalt in der Zwischenzeit nicht verändert hat. Die Verwaltung verfügt bei der Beurteilung dieser Eintretensvoraussetzung über einen gewissen Spielraum. So wird sie namentlich berücksichtigen, ob die frühere Verfügung nur kurze oder schon längere Zeit zurückliegt, und an die Glaubhaftmachung dementsprechend mehr oder weniger hohe Anforderungen stellen (<ref-ruling> E. 2b S. 114, 262 E. 3 S. 264; SVR 2007 IV Nr. 40 S. 135 E. 4.3 [I 489/05]; Urteil 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 2.2.1).
4.1.3. Mit dem Beweismass des Glaubhaftmachens sind herabgesetzte Anforderungen an den Beweis verbunden; die Tatsachenänderung muss nicht nach dem im Sozialversicherungsrecht sonst üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5b S. 360) erstellt sein. Es genügt, dass für das Vorhandensein des geltend gemachten rechtserheblichen Sachumstandes wenigstens gewisse Anhaltspunkte bestehen, auch wenn durchaus noch mit der Möglichkeit zu rechnen ist, bei eingehender Abklärung werde sich die behauptete Änderung nicht erstellen lassen. Erheblich ist eine Sachverhaltsänderung, wenn angenommen werden kann, der Anspruch auf eine Invalidenrente sei begründet, falls sich die geltend gemachten Umstände als gegeben erweisen (SVR 2003 IV Nr. 25 S. 76 E. 2.2 und 2.3 [I 238/02], 2002 IV Nr. 10 S. 25 E. 1c/aa [I 724/99]).
4.1.4. In erster Linie ist es Sache der versicherten Person, substantielle Ansatzpunkte aufzuzeigen, die eine neue Prüfung des Leistungsanspruchs allenfalls rechtfertigen. Wird in einer Neuanmeldung bloss auf ergänzende Beweismittel, insbesondere Arztberichte, verwiesen, die noch beigebracht würden oder von der Verwaltung beizuziehen seien, ist der versicherten Person nach der Rechtsprechung eine angemessene Frist zur Einreichung dieser Beweismittel anzusetzen (<ref-ruling> E. 5.2.5 S. 69). Sind die die Neuanmeldung begleitenden ärztlichen Berichte so wenig substantiiert, dass sich eine neue Prüfung nur aufgrund weiterer Erkenntnisse allenfalls begründen lässt, ist es der Verwaltung unbenommen, entsprechende Erhebungen von sich aus selbst anzustellen oder bei der versicherten Person Belege nachzufordern. Eine blosse Abklärung durch die Verwaltung, so das Einholen eines einfachen Arztberichtes allein, bedeutet noch kein materielles Eintreten auf die Neuanmeldung (Urteil 8C_844/2012 vom 5. Juni 2013 E. 2.1). Eine Verpflichtung der IV-Stelle zur Nachforderung weiterer Angaben (analog zu <ref-ruling>) besteht indessen nur, wenn den - für sich allein genommen nicht Glaubhaftigkeit begründenden - Arztberichten konkrete Hinweise darauf entnommen werden können, dass möglicherweise eine mittels weiterer Erhebungen erstellbare rechtserhebliche Änderung vorliegt (Urteile 8C_844/2012 vom 5. Juni 2013 E. 2.1 und 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 2.2.3).
4.1.5. Die Anforderungen, die bei einer blossen Glaubhaftmachung einer erheblichen Tatsachenänderung an das herabgesetzte Beweismass (E. 4.1.3 hievor) gestellt werden, sind als frei überprüfbare Rechtsfragen zu sehen. Von der Vorinstanz für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich beurteilte Tatfragen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) bilden demgegenüber die konkreten Anscheinstatsachen, also die sachverhaltlichen Anhaltspunkte, welche als Grundlage für die Beantwortung der Rechtsfrage nach der Glaubhaftigkeit der geltend gemachten Tatsachenänderung massgebend sind (Urteil 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 2.3).
4.2.
4.2.1. Der Beschwerdeführer berichtet - wie schon im kantonalen Verfahren - in seiner dem Bundesgericht eingereichten Rechtsschrift ausführlich über seine seit Jahren bestehenden gesundheitlichen Probleme, ohne dabei ausdrücklich eine seit der letztmaligen Rentenverweigerung durch die Verwaltung mit Einspracheentscheid vom 8. März 2010 eingetretene Verschlechterung der Situation zu benennen. Allein damit kann eine - als Eintretensvoraussetzung unabdingbar erforderliche - Glaubhaftmachung einer solchen Verschlechterung nicht anerkannt werden. Es stellt sich daher die Frage, ob allenfalls die vom Beschwerdeführer aufgelegten ärztlichen Berichte eine erhebliche Verschlechterung des Gesundheitszustandes glaubhaft zu belegen vermögen, indem sie zumindest Anhaltspunkte für eine solche Veränderung der tatsächlichen Verhältnisse enthalten, so dass sich die IV-Stelle zu weiteren Erhebungen hätte veranlasst sehen müssen (E. 4.1.4 hievor).
4.2.2. Anhand der vom Beschwerdeführer nach der letztmaligen Leistungsverweigerung durch die Verwaltung am 8. März 2010 (Einspracheentscheid) beigebrachten medizinischen Unterlagen hat das kantonale Gericht nach eingehender Prüfung derselben die Frage geprüft, ob eine erhebliche Veränderung der gesundheitlichen Verhältnisse als zumindest glaubhaft gemacht erscheint. Dabei hat es sein Augenmerk auch auf den psychogenen Tremor der rechten Hand gerichtet, welcher seinerzeit in dem mit der Neuanmeldung vom 8. November 2010 aufgelegten Bericht des Dr. med. B._ vom 12. Oktober 2010 erwähnt worden war. Es hat dabei - in für das Bundesgericht verbindlicher Weise (E. 2.2 und 4.1.5 hievor) - erkannt, dass in diesem ärztlich erhobenen Befund effektiv ein neues Leiden zu sehen ist, welches in der - hauptsächlichste Grundlage des Einspracheentscheids vom 8. März 2010 bildenden - Expertise des Begutachtungsinstituts E._ vom 9. Februar 2009 nicht aufgeführt worden war. Diese Veränderung der gesundheitlichen Situation liess die Vorinstanz indessen nicht als ausreichenden Anlass gelten, welcher die Verwaltung zu vertiefteren Abklärungen und damit zum Eintreten auf die Neuanmeldung verpflichtet hätte.
4.2.3. Mit der Vorinstanz davon ausgehend, dass der neu auch an der rechten Hand und nicht nur wie früher in den unteren Extremitäten aufgetretene Tremor tatsächlich eine Veränderung der gesundheitlichen Verhältnisse darstellt, welche nach den bisherigen Leistungsverweigerungen grundsätzlich geeignet wäre, neu eine Rentengewährung zu begründen, ist in einem nächsten Schritt die Glaubhaftmachung auch der Erheblichkeit dieser Veränderung zu prüfen. Es stellt sich mithin die Frage, ob glaubhaft aufgezeigt wurde, dass diese - nicht nur glaubhaft gemachte, sondern sogar ausgewiesene - Änderung des Gesundheitszustandes ein Ausmass erreicht, das Auswirkungen auf die Beurteilung des Rentenanspruches haben könnte.
4.2.4. Unter Hinweis auf den Bericht des Dr. med. B._ vom 12. Oktober 2010, in welchem lediglich von einem Verdacht auf ein Tremorleiden psychogenen Charakters die Rede ist und wonach eine relevante Einschränkung der Arbeitsfähigkeit offensichtlich nicht bestehe und eine neurologische Begutachtung - auch wenn die Diagnose noch nicht feststehe und deshalb zur Arbeitsfähigkeit nicht abschliessend habe Stellung genommen werden können - nicht erforderlich sei, ist das kantonale Gericht zum Schluss gelangt, dass weder die ärztlichen Angaben zum Tremorleiden noch die übrigen, einlässlich geprüften medizinischen Dokumente oder die Äusserungen des Beschwerdeführers selbst geeignet seien, eine nach dem 8. März 2010 eingetretene gesundheitliche Verschlechterung glaubhaft zu machen. Dass die Vorinstanz davon ausging, das Tremorleiden an der rechten Hand sei zwar neu hinzugekommen, für eine anspruchsrelevante Erheblichkeit dieser Änderung lägen jedoch keine Indizien vor, beruht nicht auf offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellungen und lässt sich ebenso wenig als bundesrechtswidrig bezeichnen. Für das Bundesgericht besteht daher kein Anlass und auch gar keine Möglichkeit, von der vorinstanzlichen Betrachtungsweise, wonach die Erheblichkeit der - an sich glaubhaft gemachten - Veränderung des Gesundheitszustandes zu verneinen sei, mit entsprechender Aufhebung oder Abänderung der Erkenntnis des kantonalen Gerichts abzuweichen (E. 2.2 hievor).
5.
Bei diesem Verfahrensausgang wären die Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG) grundsätzlich vom - nicht anwaltlich vertretenen - Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>). Im Sinne einer Befreiung von den Gerichtskosten kann seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege indessen entsprochen werden (<ref-law>), ist die Bedürftigkeit durch die im vorinstanzlichen Verfahren aufgelegten Belege doch aktenkundig ausgewiesen und erschien die Beschwerde auch nicht von vornherien als aussichtslos (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Er wird der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Juni 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Krähenbühl