Erwägungen:
1. X._ (geb. 1960; alias Y._ [geb. 1954]) stammt aus Armenien. Er wurde am 5. Juli 2007 in Bern angehalten, als er angetrunken ein in Belgien immatrikuliertes Fahrzeug mit gestohlenen deutschen Kontrollschildern führte; darin konnten Spirituosen, Zigarettenstangen, neue Kleidungsstücke und andere Artikel im Wert von rund Fr. 1'000.-- sichergestellt werden. Am 27. Juli 2007 wies ihn der Migrationsdienst des Kantons Bern (formlos) weg und nahm ihn in Ausschaffungshaft. Am 3. Januar 2008 wies das Haftgericht III Bern-Mittelland ein Haftentlassungsgesuch von X._ ab und verlängerte dessen Ausschaffungshaft bis zum 26. April 2008. Am 15. Januar 2008 gelangte X._ mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Die Eingabe, welche als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu behandeln ist (vgl. <ref-law>), erweist sich aufgrund der eingeholten Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann ohne verfahrensrechtliche Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
2.1 Der Beschwerdeführer ist am 27. Juli 2007 aus der Schweiz weggewiesen worden. Trotz der widersprüchlichen Abgaben über seinen bisherigen Aufenthalt in Europa ist es den Behörden gelungen, aufgrund einer Passkopie einen armenischen Laissez-passer für ihn erhältlich zu machen. Der Beschwerdeführer weigerte sich in der Folge indessen, am 29. November 2007 den für ihn gebuchten Rückflug nach Erewan (Armenien) anzutreten, und hielt fest, auf keinen Fall bereit zu sein, in seine Heimat zurückzukehren. Damit besteht bei ihm nach wie vor Untertauchensgefahr im Sinne der Rechtsprechung zu Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG bzw. Art. 76 Abs. 1 lit. b AuG (<ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f. mit Hinweisen). Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind - insbesondere der Vollzug seiner Wegweisung immer noch absehbar erscheint und keine Anhaltspunkte dafür vorliegen, dass sich die Behörden nicht weiterhin mit Nachdruck hierum bemühen würden -, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht. Es ist nun vorgesehen, ihn - ärztlich begleitet - im Rahmen eines Sonderflugs in seine Heimat zu verbringen; ein entsprechender Flug sollte in der ersten Jahreshälfte organisiert werden können. Der Beschwerdeführer kann seine Haft verkürzen bzw. beenden, indem er freiwillig nach Armenien zurückkehrt; in diesem Fall kann ein Rückflug für ihn kurzfristig gebucht werden.
2.2 Was X._ gegen seine Haft einwendet, überzeugt nicht: Der Umstand allein, dass sich der Vollzug seiner Ausschaffung schwierig gestaltet und im Rahmen der entsprechenden Bemühungen noch ein Sonderflug organisiert werden muss, lässt die Ausschaffungshaft nicht bereits unverhältnismässig erscheinen. Gerade wegen solcher Schwierigkeiten hat der Gesetzgeber die Haftdauer erhöht und die Möglichkeit der Haftverlängerung - inzwischen bis zu maximal achtzehn Monaten - geschaffen (Art. 13b Abs. 2 in der seit dem 1. Januar 2007 gültigen Fassung vom 16. Dezember 2005 [AS 2006 4745 ff, dort S. 4770] bzw. Art. 76 Abs. 3 AuG; <ref-ruling> E. 4.2). Seinen gesundheitlichen Problemen (Suizidgedanken, Herzschwäche) kann im Rahmen der Modalitäten des Haftvollzugs Rechnung getragen werden; der Beschwerdeführer muss nötigenfalls betreut und in geeigneten Räumlichkeiten untergebracht werden, wie dies bereits jetzt geschehen ist. Aufgrund der vorliegenden Akten ist seine Hafterstehungsfähigkeit in diesem Rahmen zurzeit gegeben. Soweit der Beschwerdeführer erklärt, (freiwillig) nach Schweden zurückkehren zu wollen, übersieht er, dass er nach den Abklärungen der Schweizer Behörden dort über kein Anwesenheitsrecht verfügt. Unter diesen Umständen ist nur sein Heimatstaat verpflichtet, ihn zurückzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 4.1.2). Für alles Weitere kann auf die zutreffende Begründung im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (<ref-law>).
3. Aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, Vollzug der Wegweisung) rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls erläutert wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar