Sachverhalt:
A. Das Strafgericht Basel-Stadt erklärte X._ am 4. März 2005 der mehrfachen Vergewaltigung, der sexuellen Nötigung, der Tätlichkeiten, der Drohung und der Beschimpfung zum Nachteil von A._ schuldig, hingegen nicht schuldig der versuchten Nötigung und Drohung in Bezug auf das Autofahren vor dem Haus der Familie S._, des Missbrauchs einer Fernmeldeanlage sowie des mehrfachen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung. Es verurteilte ihn zu 2 1/4 Jahren Zuchthaus, widerrief den bedingten Strafvollzug einer Vorstrafe und erklärte diese für vollziehbar. Gleichzeitig wurde X._ verpflichtet, A._ eine Genugtuung von Fr. 12'000.-- nebst Zins zu bezahlen. Die Schadenersatzforderung wurde dem Grundsatz nach gutgeheissen, bezüglich der Höhe des Anspruchs wurde A._ auf den Zivilweg verwiesen.
Das von X._ angerufene Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte das erstinstanzliche Urteil am 30. Juni 2006 vollumfänglich.
B. X._ erhebt staatsrechtliche Beschwerde und eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde an das Bundesgericht. Mit beiden Rechtsmitteln beantragt er die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
C. Das Appellationsgericht verzichtet auf Gegenbemerkungen. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt beantragt die Abweisung der Beschwerden. Weitere Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt.
D. Mit Präsidialverfügung vom 18. Dezember 2006 ist den Beschwerden die aufschiebende Wirkung superprovisorisch zuerkannt worden.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der angefochtene Entscheid ist vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (Bundesgerichtsgesetz, BBG; SR 173.110) am 1. Januar 2007 ergangen. Auf die eingereichten Rechtsmittel ist daher noch das bisherige Verfahrensrecht gemäss OG bzw. BStP anwendbar (Art. 132 Abs. 1 BBG, e contrario).
Am 1. Januar 2007 ist auch der revidierte Allgemeine Teil des Strafgesetzbuches in Kraft getreten. Die neuen Bestimmungen sind hier aber noch nicht von Bedeutung, da das Bundesgericht im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde nur prüft, ob das kantonale Gericht das eidgenössische Recht richtig angewendet hat (Art. 269 Abs. 1 BStP), mithin das Recht, welches im Zeitpunkt der Ausfällung des angefochtenen Entscheids noch gegolten hat (<ref-ruling> E. 5.3, mit Hinweisen).
I. Staatsrechtliche Beschwerde
2. Der angefochtene Entscheid ist kantonal letztinstanzlich und mit staatsrechtlicher Beschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte anfechtbar (Art. 86 Abs. 1 und Art. 84 Abs. 1 lit. a OG). Nach Art. 84 Abs. 2 OG ist die subsidiäre staatsrechtliche Beschwerde jedoch nur zulässig, wenn die behauptete Rechtsverletzung nicht mit einem anderen Bundesrechtsmittel gerügt werden kann. Die Rüge der Verletzung eidgenössischen Rechts ist mit Nichtigkeitsbeschwerde gemäss Art. 268 ff. BStP zu erheben. Soweit der Beschwerdeführer im Rahmen der Strafzumessung geltend macht, das Appellationsgericht hätte bei der Anwendung des geltenden Rechts im Sinne einer Vorwirkung des neuen Rechts berücksichtigen müssen, dass er bei rechtzeitiger Inkraftsetzung des revidierten Allgemeinen Teils des Strafgesetzbuches die Chance eines bedingten Strafvollzugs gehabt hätte (vgl. Art. 42 nStGB), und er daraus eine Verletzung von Art. 8 BV bzw. eine ungesetzliche Freiheitsentziehung im Sinne von Art. 5 EMRK ableiten will, kritisiert er in Wirklichkeit eine unrichtige Anwendung von Bundesrecht bzw. eine mittelbare Verletzung der Bundesverfassung bzw. der EMRK, was mit der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde vorzutragen ist. Auf die staatsrechtliche Beschwerde ist in diesem Punkt daher nicht einzutreten.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer beanstandet die Abweisung seiner Beweisanträge. Das Appellationsgericht hat unter anderem darauf verzichtet, ein aussagepsychologisches Glaubhaftigkeitsgutachten über die Beschwerdegegnerin einzuholen. Der Beschwerdeführer erblickt darin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs gemäss Art. 29 Abs. 2 BV und der Unschuldsvermutung im Sinne von Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK. Namentlich auf Grund der komplexen Sachlage, der ausgewiesenen Rache- und Hassmotive der Beschwerdegegnerin sowie ihrem Eingeständnis, dem Beschwerdeführer früher einmal gedroht zu haben, ihn wegen Vergewaltigung anzuzeigen, hätte das Gericht an der Richtigkeit der Aussagen der Beschwerdegegnerin zweifeln und ein Glaubhaftigkeitsgutachten einholen lassen müssen, zumal die Beschwerdegegnerin an erheblichen psychischen Beeinträchtigungen leide, sie sich deswegen in fachärztlicher Behandlung befinde und ihr überdies ein Beistand beigegeben worden sei. Der Evaluationsbericht der die Beschwerdegegnerin behandelnden Psychologin und Psychotherapeutin vom 14. Juli 2002 bilde keine taugliche Entscheidgrundlage für die Abweisung dieses Beweismittels, da sich der fragliche Bericht mit der Glaubhaftigkeit der Beschwerdegegnerin überhaupt nicht befasse.
3.2 Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV umfasst unter anderem das Recht des Betroffenen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2a/aa; <ref-ruling> E. 3a mit Hinweisen). Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgt, dass der Richter rechtzeitig und formrichtig angebotene erhebliche Beweismittel abzunehmen hat (<ref-ruling> E. 4a, mit Hinweisen). Dies verwehrt es ihm indessen nicht, einen Beweisantrag abzulehnen, wenn er ohne Willkür in freier, antizipierter Würdigung der beantragten zusätzlichen Beweise zur Auffassung gelangen durfte, dass weitere Beweisvorkehren an der Würdigung der bereits abgenommenen Beweise voraussichtlich nichts mehr ändern würden (<ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 3c; <ref-ruling> E. 1d, je mit Hinweisen).
3.3 Gemäss der in Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Maxime "in dubio pro reo" ist bis zum gesetzlichen Nachweis der Schuld zu vermuten, dass der wegen einer strafbaren Handlung Angeklagte unschuldig ist (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). Als Beweiswürdigungsregel besagt die Maxime, dass sich der Strafrichter nicht von der Existenz eines für den Angeklagten ungünstigen Sachverhalts überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel bestehen, dass sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Inwiefern dieser Grundsatz verletzt sein sollte, prüft das Bundesgericht unter dem Gesichtspunkt der Willkür, das heisst, es greift nur ein, wenn der Sachrichter den Angeklagten verurteilte, obgleich bei objektiver Würdigung des Beweisergebnisses offensichtlich erhebliche bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an dessen Schuld fortbestehen (BGE <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2).
3.4 Nach der Rechtsprechung ist die Prüfung der Glaubhaftigkeit von Aussagen primär Sache der Gerichte. Auf eine Begutachtung durch einen Sachverständigen ist nur zurückzugreifen, wenn der Richter aufgrund besonderer Umstände auf zusätzliches medizinisches oder psychologisches Fachwissen angewiesen ist. Dies ist etwa der Fall, wenn Anzeichen bestehen, dass die betreffende Person wegen einer ernsthaften geistigen Störung, Drogensucht, übermässigen Medikamentenkonsums oder sonstiger Umstände in ihrer Wahrnehmungs-, Erinnerungs- oder Wiedergabefähigkeit beeinträchtigt und zur wahrheitsgemässen Aussage nicht fähig oder nicht willens sein könnte. Dem Richter steht bei der Beantwortung der Frage, ob aufgrund der konkreten Umstände des Einzelfalles der Beizug eines Sachverständigen zur Glaubhaftigkeitsbegutachtung notwendig ist oder nicht, ein Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2; 118 la 28 E. 1c; Urteile des Bundesgerichts 1P. 636/2006 vom 14. Dezember 2006 E. 3.3, 1P. 539/2004 vom 11. Februar 2005 E. 2.2 und 1P.674/2002 vom 9. April 2003 E. 2.1 mit Hinweisen).
3.5 Bei der Beschwerdegegnerin handelt es sich um eine 25 Jahre junge Frau, die gemäss dem Evaluationsbericht der sie behandelnden Psychologin und Psychotherapeutin Dr. B._ vom 14. Juli 2002 an einer posttraumatischen Belastungsstörung und einer dependenten Persönlichkeitsstruktur leidet. Das Appellationsgericht hat sich bei der Abweisung des Beweisantrags mit dieser Problematik auseinandergesetzt und dargelegt, warum seiner Meinung nach kein Grund für die Einholung eines Gutachtens besteht. Es hat dabei einerseits auf den fraglichen Evaluationsbericht abgestellt, woraus sich keinerlei Hinweise ergäben, dass sich die psychischen Schwierigkeiten der Beschwerdegegnerin auf den Wahrheitsgehalt ihrer Schilderungen auswirken könnten. Die Beschwerdegegnerin leide an Angstzuständen, depressiver Verstimmung und einem niedrigen Selbstwertgefühl, jedoch nicht an psychischen Auffälligkeiten, die für die Fähigkeit zu wahrheitsgemässen Aussagen von Bedeutung sein könnten. Andererseits hat das Gericht betont, auch in Anbetracht der Schilderungen der Beschwerdegegnerin sei nicht davon auszugehen, dass sie wegen ihrer psychischen Probleme nicht fähig wäre, eigene Erlebnisse und Beobachtungen korrekt wieder zu geben. Sie habe die ihr gestellten Fragen klar und vernünftig beantwortet und sei auch sonst bei den Befragungen in keiner Weise durch inadäquates Verhalten aufgefallen. Die über sie errichtete Einkommensverwaltungsbeiratschaft betreffe ausschliesslich finanzielle Belange und sei daher in Bezug auf ihre Urteilsfähigkeit bzw. Aussageehrlichkeit von keinem Belang. In einem nächsten Schritt hat das Appellationsgericht die Schilderungen der Beschwerdegegnerin auf deren Glaubhaftigkeit hin beurteilt, wobei es insbesondere ihr Aussage- und Anzeigeverhalten, die offen gelegten Rache- und Hassgefühle dem Beschwerdeführer gegenüber und das Zugeständnis, diesem bereits früher möglicherweise einmal gedroht zu haben, ihn wegen Vergewaltigung anzuzeigen, einer eingehenden Würdigung unterzogen hat. Es ist dabei unter Anwendung der in der Aussagepsychologie entwickelten Realitätskriterien zum Schluss gelangt, dass die Aussagen der Beschwerdegegnerin konstant, plausibel und erlebnisbasiert sind.
3.6 Soweit der Beschwerdeführer seine bereits im kantonalen Verfahren dargelegte Betrachtungsweise - unter zum Teil wortwörtlicher Wiedergabe seiner Ausführungen in der Rechtsmitteleingabe vor zweiter Instanz - erneut vorträgt, ohne sich mit den Erwägungen des Appellationsgerichts rechtsgenüglich auseinanderzusetzen, beschränkt er sich auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid. Dies betrifft insbesondere seine Rügen betreffend die Beweiswürdigung zur Frage der Glaubhaftigkeit der Aussagen der Beschwerdegegnerin. Darauf ist nicht einzutreten. Nicht anders verhält es sich mit der vom Beschwerdeführer erhobenen, indes mit keinem Wort begründeten Befangenheitsrüge in Bezug auf die Psychologin und Psychotherapeutin Dr. B._ (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Im Übrigen erweist sich die Beschwerde als unbegründet. So ist dem Appellationsgericht darin zuzustimmen, dass das Verhalten der Beschwerdegegnerin anlässlich ihrer Befragungen keinerlei Anhaltspunkte für Auffälligkeiten liefert, welche eine aussagepsychologische Begutachtung nötig erscheinen liessen. Auch wenn die Beschwerdegegnerin an einer posttraumatischen Belastungsstörung und einer dependenten Persönlichkeitsstruktur leidet, muss dies keine unmittelbaren Folgen auf die Glaubhaftigkeit ihrer Aussagen haben. Dies gilt umso mehr, als sich die psychischen Schwierigkeiten der Beschwerdegegnerin laut dem fraglichen Evaluationsbericht lediglich in Angstzuständen, depressiver Verstimmung und einem niedrigen Selbstwertgefühl manifestieren. Insoweit - d.h. namentlich in Bezug auf die Diagnose, die auch vom Beschwerdeführer nicht in Frage gezogen wird, und die daraus resultierenden gesundheitlichen Auswirkungen für die Beschwerdegegnerin - hat das Appellationsgericht den fraglichen Evaluationsbericht aber als zulässige Entscheidgrundlage heranziehen dürfen. Bei dieser Sachlage erweist sich sein Entscheid, die Aussagen der Beschwerdegegnerin ohne Beizug eines medizinischen Experten zu würdigen, jedenfalls als vertretbar. Die Rüge, die Ablehnung des beantragten Beweismittels verletze das rechtliche Gehör und die Unschuldsvermutung, stösst mithin ins Leere.
3.7 Soweit der Beschwerdeführer die Abweisung seiner weiteren vor Appellationsgericht gestellten Beweisanträge unter dem Gesichtspunkt des rechtlichen Gehörs und der Unschuldsvermutung kritisiert, genügt seine Beschwerde den Begründunganforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
4. Die staatsrechtliche Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 152 Abs. 1 und 2 OG). Da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war, ist das Gesuch abzuweisen (Art. 152 Abs. 1 OG). Dementsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG). Seinen finanziellen Verhältnissen ist bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
II. Eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde
5. Mit der eidgenössichen Nichtigkeitsbeschwerde wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz ausschliesslich vor, die Bestimmungen des revidierten Allgemeinen Teils des Strafgesetzbuches über die Strafzumessung gemäss Art. 47 ff. nStGB und den bedingten Strafvollzug gemäss Art. 42 nStGB zu Unrecht nicht angewendet zu haben bzw. bei der Anwendung des geltenden Rechts nicht von einer Vorwirkung des neuen Rechts ausgegangen zu sein. Denn bei rechtzeitiger Inkraftsetzung des revidierten Allgemeinen Teils des Strafgesetzbuches wäre er in den Genuss der neuen Ordnung gekommen bzw. hätte ihm die Vorinstanz fraglos den bedingten Strafvollzug gewährt, zumal die Legalprognose angesichts der Tatsache, dass er seit 2003 in geregelten Verhältnisse lebe, Ehefrau und Kind habe, ununterbrochen gearbeitet habe und seit den angeblichen Vorfällen in keiner Weise negativ in Erscheinung getreten sei, positiv ausgefallen wäre.
Wohl kann bei der Auslegung des geltenden Rechts auf laufende Gesetzesrevisionen Bezug genommen werden (<ref-ruling> E. 4c mit Hinweisen). Soweit es um die Frage des bedingten Strafvollzugs geht, lässt das geltende Recht jedoch keinerlei Auslegungs- oder Interpretationsspielraum zu, statuiert es in diesem Zusammenhang doch klar, dass der Richter Freiheitsstrafen lediglich bis zu 18 Monaten aufschieben kann (Art. 41 Ziff. 1 StGB). Von einer "Vorwirkung" bzw. "faktischen Vorberücksichtigung" des neuen Rechts kann demnach entgegen der Meinung des Beschwerdeführers nicht ausgegangen werden (vgl. dazu Urteile 6S.398/2004 vom 3. Februar 2005 E. 2.1 und 6S.425/2005 vom 27. Februar 2006 E. 12).
Nach der Rechtsprechung hat der Richter dort, wo er eine Freiheitsstrafe von nicht erheblich mehr als 18 Monaten in Betracht zieht und die Voraussetzungen des bedingten Strafvollzugs gemäss Art. 41 Ziff. 1 StGB im Übrigen gegeben sind, sich mit der Frage auseinander zu setzen, ob angesichts der persönlichen Verhältnisse des Schuldigen der Vollzug einer unbedingten Freiheitsstrafe nicht dem Zweck der Verbrechensverhütung zuwider laufe (<ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 2c). Bejaht er diese Frage, etwa weil sich der Täter in einer gefestigten beruflichen Stellung befindet und in günstigen Verhältnissen lebt, hat er dem gemäss Art. 63 StGB unter dem Gesichtspunkt der persönlichen Verhältnisse strafmindernd Rechnung zu tragen (BGE <ref-ruling> E. 2c). Diese Rechtsprechung findet indessen nur Anwendung, wenn die in Betracht kommende Freiheitsstrafe 21 Monate nicht übersteigt (<ref-ruling> E. 3). Nachdem vorliegend eine Zuchthausstrafe von 27 Monaten zur Diskussion steht, kommt die Rechtsprechung zur 18-Monate-Grenze nicht zum Zug.
6. Aus diesen Gründen ist die Nichtigkeitsbeschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens (Art. 278 Abs. 1 BStP). Da die Beschwerde von vornherein keine Aussicht auf Erfolg hatte (Art. 152 Abs. 1 OG; vgl. <ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen), ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen. Den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege werden abgewiesen.
4. Die Gerichtsgebühr von insgesamt Fr. 1'600.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2007
Im Namen des Kassationshofes
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: