Faits:
A. Par décision du 21 juillet 2009, l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande de prestations déposée le 23 mars 2009 par H._, ressortissant britannique résidant en Italie, au motif que la condition de la durée minimale de cotisation à l'assurance-invalidité suisse n'était pas remplie.
B. Par jugement du 11 novembre 2009, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours formé par H._ contre cette décision.
C. H._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à l'octroi d'une rente d'invalidité et assortit son recours d'une requête d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires et à la désignation d'un avocat d'office.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 de la loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. 2.1 Le Tribunal administratif fédéral a constaté, de façon à lier le Tribunal fédéral, que le recourant ne pouvait se prévaloir que d'un mois de cotisation au régime suisse de l'assurance-invalidité, alors qu'il totalisait plus d'une année de cotisation au régime italien de sécurité sociale, pays où, au demeurant, il avait été assuré en dernier lieu. Se fondant sur l'art. 48 du Règlement (CEE) n° 1408/71 du Conseil du 14 juin 1971 relatif à l'application des régimes de sécurité sociale aux travailleurs salariés, aux travailleurs non salariés et aux membres de leur famille qui se déplacent à l'intérieur de la Communauté (règlement n° 1408/71; RS 0.831.109.268.1), il a considéré que l'office AI avait, à juste titre, rejeté la demande de prestations de l'assurance-invalidité suisse et mis en oeuvre la procédure interétatique permettant aux autres Etats éventuellement concernés de prendre en compte les périodes de cotisation effectuées en Suisse.
2.2 Le recourant fait grief au Tribunal administratif fédéral d'avoir procédé à une interprétation manifestement erronée de l'art. 48 par. 3 du règlement n° 1408/71. Selon cette disposition, le dernier Etat où la personne intéressée a été assurée et dans lequel les conditions fixées pour le droit aux prestations sont satisfaites serait tenu de procéder à la totalisation des périodes d'assurance et de résidence accomplies et d'accorder ses prestations. Or, à la différence des Etats où il a été assuré après avoir travaillé en Suisse, il remplirait les conditions d'assurance posées par la législation suisse et pourrait ainsi prétendre à des prestations de l'assurance-invalidité.
3. 3.1 Selon l'art. 48 par. 1 du règlement n° 1408/71, applicable aux prestations d'invalidité en vertu du renvoi de l'art. 40 par. 1 du règlement n° 1408/71, l'institution d'un Etat membre n'est pas tenue d'accorder des prestations au titre de périodes accomplies sous la législation qu'elle applique et qui sont à prendre en considération au moment de la réalisation du risque si la durée totale desdites périodes n'atteint pas une année et compte tenu de ces seules périodes, aucun droit aux prestations n'est acquis en vertu des dispositions de cette législation (cf. <ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 339 et les références). Cette restriction est avant tout inspirée du souci d'éviter aux institutions débitrices des frais de calcul et de transmission supérieurs aux prestations elles-mêmes, en raison du caractère minime des montants dus au prorata des périodes d'assurance (<ref-ruling> consid. 6.2.1 p. 400 et les références).
3.2 Pour le cas exceptionnel où l'art. 48 par. 1 aurait pour effet de décharger de leurs obligations toutes les institutions des Etats membres concernés, l'art. 48 par. 3 dispose que les prestations sont accordées exclusivement au titre de la législation du dernier de ces Etats dont les conditions se trouvent satisfaites comme si toutes les périodes d'assurance et de résidence accomplies et prises en compte conformément à l'art. 45 par. 1 à 4 avaient été accomplies sous la législation de cet Etat. Cette disposition a pour but d'éviter qu'une personne qui a exercé son droit de libre circulation, mais n'a pas été assurée une année au moins dans aucun Etat membre ne perde le bénéfice des périodes d'assurance accomplies à l'étranger (<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 340; sur l'ensemble de la question, SILVIA BUCHER, Die Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts zum Freizügigkeitsabkommen [FZA]: ein Überblick über einige Urteile, in RSAS 2006 p. 56).
4. Contrairement à ce que laisse sous-entendre la motivation du jugement du Tribunal administratif fédéral, le recourant n'est pas habilité en l'espèce à se fonder sur l'art. 48 par. 3 du règlement n° 1408/71. Il ressort en effet des faits, tels qu'établis par la juridiction de première instance, que le recourant a travaillé en Italie et, partant, cotisé au régime italien de sécurité sociale pendant une période supérieure à une année, ce qui exclut ipso facto l'application de la disposition précitée. Cela étant, dans la mesure où le recourant n'a cotisé que durant un mois au régime suisse de l'assurance-invalidité, période insuffisante pour fonder le droit à des prestations de cette assurance (cf. <ref-law> de la loi fédérale sur l'assurance-invalidité du 19 juin 1959 [LAI; RS 831.20]), l'office AI était en droit, en application de l'art. 48 par. 1 du règlement n° 1408/71, de rejeter sa demande de prestations.
5. 5.1 Mal fondé, le présent recours doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'<ref-law>, sans qu'il y ait lieu d'ordonner un échange d'écritures.
5.2 Dans la mesure où les conclusions soumises par le recourant au Tribunal fédéral paraissaient d'emblée vouées à l'échec, la demande d'assistance judiciaire - requête tendant aussi bien à la dispense de l'avance et du paiement des frais judiciaires qu'à la désignation d'un avocat d'office pour la présente procédure - doit être rejetée (<ref-law>). Cela étant, vu les circonstances particulières de la cause, le Tribunal fédéral renonce à mettre les frais judiciaires à la charge du recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 10 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Piguet