im Rekursverfahren, hat sich ergeben:
A.- Die Bezirksanwaltschaft I für den Kanton Zürich, vertreten durch Bezirksanwältin A._, führt gegen Rechtsanwalt X._ und dessen Sohn Y._ ein Strafverfahren wegen Verdachts der Erpressung, der Nötigung und des Betruges sowie der Widerhandlung gegen das Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer. X._ wird vorgeworfen, er habe von Angehörigen eines ausländischen Staatsangehörigen Geldbeträge für die Verteidigung verlangt und entgegengenommen, obwohl er bereits als vom Staat bezahlter amtlicher Verteidiger bestellt worden sei. Ausserdem sollen X._ und sein Sohn Y._ ausländische Staatsangehörige, vor allem Asylanten, welche die Schweiz hätten verlassen müssen, unter falschen Angaben aufgefordert haben, im Lande zu verbleiben.
Am 23. März 1999 verlangte X._ im Hinblick auf die auf den 16. April 1999 angesetzte Schlusseinvernahme Einsicht in sämtliche Untersuchungsakten. Die Bezirksanwältin verfügte am gleichen Tag, dem Angeschuldigten werde Einsicht in die Akten gewährt, soweit sie seine Person beträfen, zum Vorwurf Stellung genommen worden sei und Zeugeneinvernahmen stattgefunden hätten; hingegen werde ihm die Einsicht in diejenigen Akten, die ihm nicht vorgehalten worden seien bzw. zu denen er bis anhin keine Aussagen gemacht habe, bis zum Abschluss der Untersuchung verweigert, um den Untersuchungszweck nicht zu gefährden. Gegen diese Verfügung rekurrierte X._ am 12. April 1999 an die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich. Am 10. Mai 1999 teilte ihm die Bezirksanwältin mit, die vollständigen Akten stünden ihm nun zur Einsicht zur Verfügung. Die Staatsanwaltschaft fragte ihn daraufhin an, ob er unter diesen Umständen den Rekurs zurückziehe, was zur Abschreibung des Verfahrens ohne Kostenfolge führen würde. X._ antwortete, er ziehe den Rekurs nicht zurück, sondern beharre auf einem Entscheid unter Entschädigungsfolgen zu seinen Gunsten. Am 7. Juni 1999 wies die Staatsanwaltschaft den Rekurs ab und auferlegte die Kosten von Fr. 1'013. -- dem Rekurrenten.
B.- X._ erhob gegen diesen Entscheid am 14. Juli 1999 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde.
Er beantragt, der Entscheid der Staatsanwaltschaft sei aufzuheben, "unter Entschädigungsfolgen zugunsten des Beschwerdeführers".
C.- Die Staatsanwaltschaft verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Die Bezirksanwaltschaft reichte eine kurze Beschwerdeantwort ein, stellte aber keinen Antrag.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob es auf die bei ihm eingereichte staatsrechtliche Beschwerde eintreten kann (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
b) Der hier in Frage stehende Rekursentscheid der Zürcher Staatsanwaltschaft ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid (§ 409 der Strafprozessordnung des Kantons Zürich). Er schliesst aber das gegen den Beschwerdeführer laufende Strafverfahren nicht ab und stellt daher keinen End-, sondern einen Zwischenentscheid dar. Die Staatsanwaltschaft wies mit diesem Entscheid den Rekurs ab, den der Beschwerdeführer gegen die Verfügung der Bezirksanwaltschaft betreffend Verweigerung der vollumfänglichen Akteneinsicht erhoben hatte, und auferlegte ihm die Verfahrenskosten von Fr. 1'013. --. Der Beschwerdeführer hält in der staatsrechtlichen Beschwerde mit Recht fest, er könne die Rekursabweisung als solche nicht anfechten, denn es fehle insoweit an einem aktuellen praktischen Interesse, weil ihm nach Einreichung des Rekurses die verlangte vollständige Akteneinsicht gewährt worden sei. Seine Beschwerde richtet sich gegen die im Rekursentscheid getroffene Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen. Der Beschwerdeführer erblickt darin, dass ihm die Staatsanwaltschaft die Kosten des Rekursverfahrens auferlegte und keine Entschädigung zusprach, eine Verletzung des Willkürverbots nach Art. 4 der alten Bundesverfassung vom 29. Mai 1874 (aBV) sowie einen Verstoss gegen den Grundsatz des fairen Verfahrens gemäss Art. 6 EMRK und gegen Art. 13 EMRK, welche Vorschrift dem Betroffenen für den Fall einer Konventionsverletzung das Recht einräumt, eine wirksame Beschwerde bei einer nationalen Instanz einzulegen.
c) In der neuen Bundesverfassung vom 18. April 1999 (BV), die am 1. Januar 2000 in Kraft getreten ist (AS 1999 2555), wird das Willkürverbot in <ref-law> gewährleistet. Art. 87 OG, der sich auf Beschwerden wegen Verletzung von Art. 4 aBV bezieht, wurde mit Bundesgesetz vom 8. Oktober 1999 über prozessuale Anpassungen an die neue Bundesverfassung geändert. Dieses Gesetz ist noch nicht in Kraft getreten (BBl 1999 8680 ff.). Bis zum Inkrafttreten des neuen Art. 87 OG ist die Zulässigkeit einer staatsrechtlichen Beschwerde, welche gestützt auf Art. 4 aBV eingereicht wurde, aufgrund des alten Art. 87 OG zu beurteilen.
d) Nach dieser Vorschrift ist die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 4 aBV gegen letztinstanzliche Zwischenentscheide nur zulässig, wenn sie für den Betroffenen einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge haben. Diese beschränkte Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden gilt nicht für Beschwerden, mit denen neben der Rüge der Verletzung des Art. 4 aBV weitere Rügen erhoben werden, sofern diese selbständige Bedeutung haben und nicht offensichtlich unzulässig oder unbegründet sind (<ref-ruling> E. 1a, 120 E. 2b, je mit Hinweisen).
Die Staatsanwaltschaft hat dadurch, dass sie dem Beschwerdeführer die Kosten des Rekursverfahrens auferlegte und keine Entschädigung zusprach, weder den Grundsatz des fairen Verfahrens nach Art. 6 EMRK noch das Recht auf Erhebung einer wirksamen Beschwerde bei einer nationalen Instanz gemäss Art. 13 EMRK verletzt. Die Rügen, die der Beschwerdeführer neben der Berufung auf das Willkürverbot erhebt, sind offensichtlich unbegründet. Die Anfechtung des vorliegenden Zwischenentscheids ist daher nur zulässig, wenn er für den Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge hat.
Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts kommt Art. 87 OG auch dann zur Anwendung, wenn ein Zwischenentscheid nur in Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen angefochten wird (<ref-ruling> E. 1a mit Hinweisen). Der Betroffene kann gegen die in einem Zwischenentscheid getroffene Kostenregelung auch dann im Anschluss an den kantonalen Endentscheid staatsrechtliche Beschwerde führen, wenn ihm die Legitimation zur Anfechtung des Endentscheids in der Sache selber fehlt (<ref-ruling> E. 1b). Der Beschwerdeführer könnte demzufolge gegen die hier in Frage stehende Kostenauflage selbst im Anschluss an einen für ihn günstig lautenden Endentscheid staatsrechtliche Beschwerde erheben, die sich ausschliesslich gegen die im Zwischenentscheid vom 7. Juni 1999 getroffene Kostenregelung zu richten hätte.
Diese hat daher für den Beschwerdeführer keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge. Auf die vorliegende Beschwerde ist daher nicht einzutreten.
2.- Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG), und er hat keinen Anspruch auf eine Entschädigung (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000. -- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bezirksanwaltschaft I für den Kanton Zürich, Büro 10, und der Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 24. Februar 2000
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: