Erwägungen:
1. X._ erstattete am 23. Oktober 2009 Strafanzeige gegen Y._ wegen einfacher Körperverletzung bzw. Tätlichkeiten. Mit Verfügung vom 22. Dezember 2009 verwies das Untersuchungsamt St. Gallen die Strafklage von X._ auf den Weg des Privatstrafklageverfahrens. Gleichzeitig wurde X._ zur Einreichung des Vermittlungsbegehrens eine Frist von vierzehn Tagen angesetzt. Das Untersuchungsamt verneinte ein öffentliches Interesse an der Abklärung im ordentlichen Strafverfahren sowie das Vorliegen einer schweren Körperverletzung. Gegen die Verweisungsverfügung des Untersuchungsamts erhob X._ am 5. Januar 2010 Rechtsverweigerungsbeschwerde. Der Präsident der Anklagekammer des Kantons St. Gallen wies die Beschwerde mit Entscheid vom 29. März 2010 ab und setzte dem Beschwerdeführer eine neue Frist von vierzehn Tagen zur Einreichung des Vermittlungsbegehrens.
2. X._ führt mit Eingabe vom 11. Mai 2010 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Präsidenten der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Mit der Abweisung der vom Beschwerdeführer gegen die Verweisung seiner Strafklage ins Privatstrafklageverfahren erhobenen Beschwerde wird das Strafverfahren gegen den Angeschuldigten nicht abgeschlossen. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich daher um einen Zwischenentscheid.
4. Gemäss Art. 92 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren zulässig. Um unter diese Bestimmung zu fallen, muss der angefochtene Zwischenentscheid die umstrittene Zuständigkeitsfrage endgültig entscheiden (<ref-ruling> E. 2.2). Dies ist vorliegend nicht der Fall, denn gemäss Art. 304 Abs. 3 des Strafprozessgesetzes des Kantons St. Gallen vom 1. Juli 1999 (StP) schreibt der untersuchende Richter, der die Voraussetzungen für die Verweisung in das Privatstrafklageverfahren für nicht oder nicht mehr gegeben hält, das Verfahren ab und überweist die Akten an die Staatsanwaltschaft. Der angefochtene Entscheid stellt folglich keinen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 92 BGG dar.
5. 5.1 Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG sollen das Bundesgericht entlasten. Dieses soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen und sich überdies nicht bereits in einem frühen Verfahrensstadium ohne genügend umfassende Sachverhaltskenntnis teilweise materiell festlegen müssen. Können allfällige Nachteile in verhältnismässiger Weise auch noch mit einer bundesgerichtlichen Beurteilung nach Ausfällung des Endentscheids behoben werden, so tritt das Bundesgericht auf gegen Vor- und Zwischenentscheide gerichtete Beschwerden nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 34 f.).
5.2 Im Verfahren der Beschwerde in Strafsachen setzt Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG das Vorliegen eines Nachteils rechtlicher Natur voraus, der auch durch einen günstigen Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 2.1 S. 45). Es obliegt dabei dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG erfüllt sind (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.3.1). Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, hierzu von Amtes wegen Nachforschungen anzustellen. Vorliegend äussert sich der Beschwerdeführer nicht zu den Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG. Einzig in seinem Gesuch um aufschiebenden Wirkung macht er geltend, dass eine Weiterführung des Privatstrafklageverfahrens prozessökonomisch nicht zweckmässig wäre. Ein rechtlicher nicht wieder gutzumachender Nachteil ist damit nicht dargetan und auch nicht ersichtlich.
5.3 Zusammenfassend ergibt sich, dass es sich beim Entscheid des Präsidenten der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 29. März 2010 um einen Zwischenentscheid handelt, der nicht selbständig anfechtbar ist. Die Beschwerde erweist sich als unzulässig, weshalb auf sie nicht einzutreten ist.
6. Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Untersuchungsamt St. Gallen und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli