Sachverhalt:
A. X._ stellte mit Eingabe vom 12. Januar 2009, gleichzeitig mit einem von ihm und Y._ unterzeichneten gemeinsamen Scheidungsbegehren, beim Gerichtspräsidium des Gerichtskreises G._ ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Entscheid vom 21. Juli 2009 wies die a.o. Gerichtspräsidentin 1 das Armenrechtsgesuch ab. Den von X._ hiergegen erhobenen Rekurs wies das Obergericht (Appellationshof, 1. Zivilkammer) des Kantons Bern am 1. September 2009 ab.
B. Mit Eingabe vom 5. Oktober 2009 führt X._ Beschwerde an das Bundesgericht und verlangt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben, ihm die unentgeltliche Rechtspflege (für das Scheidungsverfahren) zu gewähren und seinen Anwalt als unentgeltlichen Rechtsbeistand einzusetzen; allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an die kantonale Instanz zurückzuweisen.
Die a.o. Gerichtspräsidentin 1 des Gerichtskreises G._ und das Obergericht (Appellationshof, 1. Zivilkammer) des Kantons Bern haben unter Hinweis auf ihren Entscheid bzw. die Akten auf Vernehmlassungen zur Beschwerde verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Der letztinstanzliche Entscheid über ein Armenrechtsgesuch stellt einen Zwischenentscheid dar, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (dazu <ref-ruling> E. 1.1 S. 131 mit Hinweisen) im Sinne von <ref-law> bewirken kann. Bei einem Zwischenentscheid folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache, hier, wo es um die Scheidung der Ehe des Beschwerdeführers geht, eine Zivilsache. Scheidungsklagen gelten auch hinsichtlich der finanziellen Nebenfolgen als nicht vermögensrechtliche Streitigkeiten, falls deren Regelung notwendiger Bestandteil des Scheidungsurteils ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Die Eingabe des Beschwerdeführers ist mithin als Beschwerde in Zivilsachen zu behandeln.
1.2 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), worunter ebenfalls verfassungsmässige Rechte des Bundes, somit auch der vom Beschwerdeführer geltend gemachte Anspruch nach <ref-law> auf unentgeltliche Rechtspflege, fallen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 447; <ref-ruling> E. 1 S. 203). In der Begründung der Beschwerde ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletze (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet wird (<ref-law>). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 6 S. 397). Bei der Willkürrüge (<ref-law>) ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (<ref-ruling> E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
1.3 Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
2. Das Obergericht stützt sich auf Art. 77 Abs. 1 der Berner Zivilprozessordnung, wonach derjenige Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat, der die Kosten eines nicht von vornherein aussichtslosen Gerichtsverfahrens ohne Einschränkung des notwendigen Lebensunterhalts für sich und seine Familie nicht zu bestreiten vermag. Mit der erstinstanzlichen Gerichtspräsidentin geht es davon aus, dass das vom Beschwerdeführer aufgrund eines gemeinsamen Begehrens der Ehegatten eingeleitete Scheidungsverfahren nicht von vornherein aussichtslos sei. Dagegen ist es der Auffassung, die Voraussetzung der Bedürftigkeit sei auf Seiten des Beschwerdeführers nicht erfüllt. Einem monatlichen Einkommen von gerundet Fr. 3'082.-- stehe ein Bedarf von monatlich Fr. 2'267.-- gegenüber, so dass ein Überschuss von monatlich Fr. 815.-- resultiere, der ausreiche, um die voraussichtlichen Prozesskosten innerhalb eines Jahres zu tilgen.
3. Der Beschwerdeführer beruft sich seinerseits ausschliesslich auf <ref-law>, wonach jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat. Als bedürftig im Sinne der genannten Bestimmung gilt eine Person dann, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne die Mittel anzugreifen, deren sie zur Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen ihrer Familie bedarf (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 232 mit Hinweis). Ob der Anspruch auf Gewährung des Armenrechts missachtet worden sei, prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei; auf Willkür beschränkt ist die Prüfungsbefugnis indessen, soweit tatsächliche Feststellungen der kantonalen Instanz beanstandet werden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 182 mit Hinweis).
4. Die Bestimmung der Höhe seines für die Beurteilung des Armenrechtsanspruchs massgeblichen Einkommens (als Selbständigerwerbender) durch das Obergericht stellt der Beschwerdeführer ausdrücklich nicht in Frage. Hingegen wirft er der Vorinstanz insofern Willkür vor, als sie entgegen den eingereichten Unterlagen (Bilanzen, Erfolgsrechnungen und Steuererklärungen) gewisse persönliche Auslagen bei der Ermittlung seines Bedarfs nicht berücksichtigt habe.
4.1 Der Beschwerdeführer beanstandet, dass das Obergericht bei ihm von einem Vermögen von Fr. 28'676.-- ausgegangen sei. Es habe dabei übersehen, dass das entsprechende Postkonto gemäss der ins Recht gelegten Steuererklärung nicht privater, sondern geschäftlicher Natur sei und dass diesem Konto ausgewiesene Schulden von Fr. 256'291.-- gegenüberstünden. Die mit "P" für "Privat" gekennzeichneten Konten wiesen nur minime Beträge auf.
Zum Vermögen eines um unentgeltliche Rechtspflege Nachsuchenden hat das Obergericht sich einzig - in allgemeiner Form - dahin geäussert, dass im Falle des Bestehens eines solchen zu prüfen sei, ob der Verfahrenspartei zuzumuten sei, es für die beabsichtigte Prozessführung anzugreifen. Den Ausführungen zu den von der Vorinstanz für die Frage der Bedürftigkeit als massgebend betrachteten wirtschaftlichen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist nicht zu entnehmen, dass Vermögen einbezogen worden wäre. Das vom Beschwerdeführer hierzu Vorgebrachte stösst mithin ins Leere.
Zum Vermögen eines um unentgeltliche Rechtspflege Nachsuchenden hat das Obergericht sich einzig - in allgemeiner Form - dahin geäussert, dass im Falle des Bestehens eines solchen zu prüfen sei, ob der Verfahrenspartei zuzumuten sei, es für die beabsichtigte Prozessführung anzugreifen. Den Ausführungen zu den von der Vorinstanz für die Frage der Bedürftigkeit als massgebend betrachteten wirtschaftlichen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist nicht zu entnehmen, dass Vermögen einbezogen worden wäre. Das vom Beschwerdeführer hierzu Vorgebrachte stösst mithin ins Leere.
4.2 4.2.1 Als Bedarf gesteht das Obergericht dem Beschwerdeführer monatlich insgesamt Fr. 2'267.-- zu. Dieser Betrag setzt sich zusammen aus einem Grundbetrag von Fr. 1'100.--, einem zivilprozessualen Zuschlag von Fr. 330.--, Wohnkosten von Fr. 650.-- und einem Betrag von Fr. 187.-- für Krankenversicherung. Die Vorinstanz anerkennt, dass der Beschwerdeführer Unterhaltsbeiträge für Frau und Kind von Fr. 2'000.-- im Monat entrichte und ferner an sich auch Steuern von Fr. 272.-- monatlich zu berücksichtigen seien. Indessen seien diese Auslagen wie auch die vom Beschwerdeführer geltend gemachten Arztkosten und Zahlungen an die Billag AG über das Privatkonto (der Einzelfirma Z._) verbucht worden, was eine Reduktion des Reingewinns und damit des Einkommens des Beschwerdeführers bewirkt habe; eine zusätzliche Berücksichtigung als Bedarf falle unter diesen Umständen ausser Betracht. Was die Zahlungen an die Billag AG anbelange, sei ohnehin zu bemerken, dass die Radio- und Fernsehgebühren wie die Telefongebühren bereits im zivilprozessualen Zuschlag (zum Grundbetrag) enthalten seien, so dass der den verbuchten Zahlungen an die Billag AG entsprechende Betrag dem Reingewinn zuzuschlagen sei. Die Prämien für die Krankenversicherung S._ wurden dem Beschwerdeführer in der Höhe von Fr. 186.80 (aufgerundet Fr. 187.--) im Monat zugestanden. In diesem Zusammenhang hält die Vorinstanz fest, die Prämien seien am 3. November und am 1. Dezember 2008 ebenfalls über das erwähnte Privatkonto verbucht worden, so dass auch der diesen beiden Prämien entsprechende Betrag von Fr. 359.60 zum Reingewinn hinzuzurechnen sei.
4.2.2 Der Beschwerdeführer erklärt, dass er eine Einzelfirma (Z._) betreibe und sein Einkommen wie eine natürliche Person versteuere. Vom bezogenen Einkommen bezahle er alle persönlichen Auslagen wie die Unterhaltsbeiträge an Frau und Kind, die Versicherungsprämien, die Arzt- und Krankheitskosten und die Steuern. Dass er für diese Kosten ein Privatkonto führe, liege darin begründet, dass er das Geld für seinen persönlichen Bedarf vom Geschäftskonto bei der Post oder aus der Kasse beziehe; der Vollständigkeit halber und im Sinne der doppelten Buchhaltung müssten bei einer Einzelfirma diese sogenannten Privatkonten geführt werden; bei den fraglichen Buchungen handle es sich ausschliesslich um Bilanzbuchungen, d.h. um Buchungen, die die Erfolgsrechnung nicht tangierten und damit keinen Einfluss auf seinen Reingewinn hätten. Im Einzelnen weist der Beschwerdeführer sodann darauf hin, dass nicht nur die von ihm geschuldeten Unterhaltsbeiträge, die Steuern und die Arztkosten über das Privatkonto liefen; das Gleiche geschehe auch für die Wohnungsmiete und für die Krankenkassenprämien; diese beiden Posten seien bei der Berechnung seines Bedarfs berücksichtigt worden; wenn die Vorinstanz die anderen, in gleicher Weise verbuchten Kosten ausser Acht lasse, sei dies aktenwidrig und widersprüchlich.
4.2.3
4.2.3.1 Mit der Auffassung des Obergerichts, die Zahlungen an die Billag AG seien, weil im Grundbetrag enthalten, aus grundsätzlicher Sicht nicht zu berücksichtigen, setzt sich der Beschwerdeführer, der gemäss seiner tabellarischen Zusammenstellung ebenfalls diese als das Erfordernis der Bedürftigkeit mitbestimmende Auslagen zuerkannt haben will, nicht auseinander. Er legt somit nicht dar, dass sie gegen Bundesrecht verstosse. In diesem Punkt hat es somit von vornherein beim angefochtenen Entscheid zu bleiben.
4.2.3.2 Bezüglich der Krankenkassenprämien ist zu bemerken, dass das Obergericht dem Beschwerdeführer einerseits den beanspruchten Betrag zugestanden, andererseits aber dafür gehalten hat, soweit die Prämien über das Privatkonto verbucht worden seien (Monate November und Dezember 2008), sei der entsprechende Betrag zum Reingewinn hinzuzuschlagen. Die vom Beschwerdeführer geltend gemachten Wohnkosten wurden ohne Einschränkung als Bedarf anerkannt (und von einer Hinzurechnung zum Reingewinn wurde abgesehen), obschon auch die Mieten (jeden Monat) auf dem Kontoblatt des Privatkontos erscheinen.
4.2.3.3 Wie aus dem Kontoblatt "Privatkonto" (Nr. 2850) ersichtlich ist, findet sich sowohl für die Mieten und die Krankenkassenprämien (November und Dezember 2008) als auch für die Unterhaltsbeiträge, die Steuern und die Arztkosten die Gegenbuchung durchwegs auf dem Konto Nr. 1010 (Postcheck), d.h. einem Vermögenskonto. Indessen können nur Buchungen über ein Aufwandkonto zu einer Verminderung des Geschäftserfolgs und damit des Einkommens des Beschwerdeführers führen. Die Annahme des Obergerichts, die Verbuchungen auf dem Privatkonto hätten zu einer Reduktion des Reingewinns geführt, ist angesichts der dargelegten Gegebenheiten unhaltbar. Ausserdem sind die vorinstanzlichen Überlegungen insofern widersprüchlich, als die Wohnkosten bei der Bedarfsermittlung berücksichtigt wurden, obschon auch die Zahlungen der Mieten auf dem Privatkonto (Nr. 2850) - mit jeweiliger Gegenbuchung auf dem Konto Nr. 1010 (Postcheck) - erscheinen. Ein Grund für die Ungleichbehandlung wird nicht angeführt. Allein schon bei einer Berücksichtung der Unterhaltsbeiträge ergibt sich, dass der Beschwerdeführer offensichtlich nicht über die zur Bestreitung der bevorstehenden Prozesskosten erforderlichen Mittel verfügt. Soweit das Obergericht gewisse vom Beschwerdeführer geltend gemachte Aufwendungen bei der Bedarfsermittlung einzig mit der Begründung ausser Acht gelassen hat, jene seien über das Privatkonto verbucht worden, ist der angefochtene Entscheid nach dem Gesagten aufzuheben.
4.2.4
4.2.4.1 Im Gegensatz zur ersten Instanz hat das Obergericht bei der Ermittlung des Bedarfs des Beschwerdeführers die Versicherungsprämien für die gebundene Vorsorge der Säule 3a ausser Acht gelassen: Einerseits habe der Beschwerdeführer die Berücksichtigung dieser Prämien nicht beantragt und andererseits sei festzuhalten, dass die privaten Versicherungsprämien gemäss Kapitalkonto 2007 bereits im Eigenkapital des Beschwerdeführers berücksichtigt seien und daher zu einer Verminderung des Reingewinns führten; die Versicherungsprämien dürften nicht doppelt berücksichtigt werden.
Der Beschwerdeführer bringt vor, die erforderlichen Belege hätten den kantonalen Instanzen vorgelegen und seien von diesen aufgrund der Untersuchungsmaxime von Amtes wegen zu würdigen gewesen und ausserdem hätten Reingewinn und Verminderung des Eigenkapitals nichts miteinander zu tun. In seiner zusammenfassenden Aufstellung hat er den als Prämie für die Vorsorge Säule 3a geltend gemachten Betrag von Fr. 112.15 im Monat allerdings nicht angeführt.
4.2.4.2 Der Hinweis auf die Untersuchungsmaxime, die bei der Ermittlung des Bedarfs zu beachten gewesen sei, ist unbehelflich: Für den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> ist die Beachtung dieses Verfahrensgrundsatzes nicht vorgeschrieben (Urteil 5P.376/2003 vom 23. Dezember 2003, E. 2.4, in: Pra 2004 Nr. 110 S. 616), und der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass die prozessrechtlichen Bestimmungen des Kantons Bern zum Armenrecht dessen Anwendung vorsähen. Das den Ausführungen der Vorinstanz entgegengehaltene Vorbringen, Reingewinn und Verminderung des Eigenkapitals hätten nichts miteinander zu tun, genügt den für die Beschwerde geltenden Begründungsanforderungen (<ref-law>) zudem in keiner Weise. Es braucht unter diesen Umständen nicht erörtert zu werden, ob und allenfalls in welchem Mass bei der Ermittlung des zivilprozessualen Notbedarfs nicht obligatorische Beiträge für gebundene Vorsorge zu berücksichtigen seien (dazu Urteil 2P.90/1997 vom 7. November 1997, E. 3f).
5. Der angefochtene Entscheid ist nach dem Gesagten aufzuheben, und die Sache ist in Gutheissung des Eventualbegehrens zu neuer Beurteilung im Sinne der vorstehenden Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen. Dieses wird ferner zu prüfen haben, ob die Voraussetzungen für die vom Beschwerdeführer schon im kantonalen Verfahren verlangte unentgeltliche Verbeiständung durch einen Anwalt erfüllt seien.
6. Bei diesem Ausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Hingegen ist der Kanton Bern zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu zahlen (<ref-law>).

Das Bundesgericht erkennt:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts (Appellationshof, 1. Zivilkammer) des Kantons Bern vom 1. September 2009 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an die kantonale Instanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Bern wird verpflichtet, den Beschwerdeführer für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der ausserordentlichen Gerichtspräsidentin 1 des Gerichtskreises G._ und dem Obergericht (Appellationshof, 1. Zivilkammer) des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel