Sachverhalt:
A.
Die 1974 geborene A._ war als Nachtwache im Spital X._ tätig und dadurch bei der "Winterthur Versicherungen" (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie sich am 12. Juni 2006 anlässlich einer Übung der freiwilligen Feuerwehr verletzte. Am 2. Oktober 2006 meldete A._ diesen Sachverhalt der Winterthur. Sie machte überdies geltend, an Borreliose nach einem Zeckenstich zu leiden. Hiezu berichtete ihr Hausarzt am 7. Dezember 2006, A._ habe gemäss eigener Angabe am 13. Juni 2006 eine Zecke am linken Knie bemerkt und entfernt, wobei sich in der Folge trotzdem eine Rötung rund um den Einstich gebildet habe. Es sei eine antibiotische Therapie durchgeführt worden. Die Winterthur gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach medizinischen Abklärungen verfügte die AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) als Rechtsnachfolgerin der Winterthur am 19. Mai 2010, die Leistungen würden rückwirkend per 30. April 2009 eingestellt, da die noch geklagten Beschwerden nicht unfallkausal seien; auf die Rückforderung der seit 1. Mai 2009 gewährten Heilbehandlungskosten werde verzichtet. Daran hielt die AXA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Entscheid vom 22. August 2011).
B.
A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zog die Akten der Invalidenversicherung (IV), bei der sich A._ ebenfalls zum Leistungsbezug angemeldet hatte, hinzu und wies die Beschwerde unter Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung ab (Entscheid vom 10. Dezember 2013).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei die AXA anzuweisen, ab 1. Mai 2009 weiterhin die gesetzlichen Leistungen (Taggelder, Heilbehandlung, eventuell Rente, Integritätsentschädigung) zu erbringen. Eventuell sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Durchführung einer mit Art. 6 EMRK konformen Parteiverhandlung sowie zur Einholung eines polydisziplinären Gutachtens an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Versicherte über den vom Unfallversicherer verfügten und von der Vorinstanz bestätigten Fallabschluss hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung, den Unfallbegriff, die erforderlichen kausalen Zusammenhänge und die Beweiswürdigung, namentlich bezüglich ärztlicher Berichte und Gutachten, sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
Gemäss dem vorinstanzlichen Entscheid lässt sich aus dem Unfall vom 12. Juni 2006 kein weiterer Leistungsanspruch herleiten, da die noch geklagten Beschwerden nicht mit einer Folge dieses Ereignisses zu erklären sind.
In der Beschwerde wird zwar auch auf den besagten Unfall verwiesen. Es wird aber nicht begründet, inwiefern die vorinstanzliche Beurteilung rechtswidrig sein soll. Die Argumentation der Versicherten ist vielmehr darauf gerichtet, einen Leistungsanspruch mit einem erlittenen Zeckenstich zu begründen. Damit hat es bezüglich des Unfalls vom 12. Juni 2006 mit dem kantonalen Entscheid sein Bewenden.
4.
Zur Diskussion steht, ob die Beschwerden mit einem zeckenstichbedingten Post-Lyme-Syndrom zu erklären sind.
4.1. Nach der Rechtsprechung erfüllt der Stich der Zecke der Gattung Ixodes sämtliche Merkmale des Unfallbegriffs, weshalb der obligatorische Unfallversicherer für die damit verbundenen Infektionskrankheiten (Lyme-Krankheit, Enzephalitis) und deren Folgen aufzukommen hat (<ref-ruling> und seitherige Entscheide).
4.2. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die Beschwerdeführerin sei zwar unbestrittenermassen von einer Zecke gestochen worden. Auch habe die Laboruntersuchung eine positive Borrelienserologie ergeben. Die geklagten Beschwerden stellten aber kein Post-Lyme-Syndrom dar. Daher sei der natürliche Kausalzusammenhang zwischen den Beschwerden und dem Zeckenstich zu verneinen und bestehe kein Anspruch aus Unfallversicherungsrecht .
4.2.1. Die Vorinstanz stützt sich bei der Verneinung eines Post-Lyme-Syndroms namentlich auf den konsiliarischen Untersuchungsbericht der Abteilung Infektiologie und Spitalhygiene des Spitals Y._ vom 27. Mai 2011. Gemäss diesem Bericht kann ein Post-Lyme-Syndrom mit hoher Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen werden, weil nicht sämtliche Kriterien, welche nach den Richtlinien der Schweizerischen Gesellschaft für Infektiologie (nachfolgend: Richtlinien; vgl. hiezu: J. EVISON UND ANDERE, Abklärung und Therapie der Lyme-Borreliose bei Erwachsenen und Kindern, Teil 3, in: Schweizerische Ärztezeitung, 2005 Nr. 43, S. 2426) für diese Diagnose kumulativ erfüllt sein müssen, gegeben sind. Verneint werden die beiden Kriterien des Ausschlusses von anderen neurologischen, rheumatologischen und internistischen Krankheiten sowie des Ausschlusses von psychiatrischen Erkrankungen oder einer Sucht.
Die Fachärzte des Spitals Y._ haben gestützt auf eine eingehende Untersuchung der Versicherten und eine nachvollziehbare Würdigung der relevanten medizinischen Vorakten Bericht erstattet. Sie sind in der Erörterung der dabei gewonnenen Erkenntnisse zu schlüssigen und überzeugend begründeten Ergebnissen gelangt. Ihrem Bericht ist daher mit der Vorinstanz voller Beweiswert zuzuerkennen (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 352).
4.2.2. Die Versicherte macht unter Berufung auf das von der Invalidenversicherung eingeholte psychiatrische Gutachten des Dr. med. H._ vom 7. September 2011 und den hausärztlichen Bericht vom 10. Februar 2012 geltend, die beiden besagten Kriterien seien ebenfalls erfüllt.
Das kantonale Gericht hat hiezu im Wesentlichen erkannt, auch Dr. med. H._ diagnostiziere mit einer unspezifischen Somatisierungsstörung eine psychische Erkrankung. Die Expertise vom 7. September 2011 sei daher nicht geeignet, die Verneinung des entsprechenden Kriteriums in Frage zu stellen. Damit erübrige sich auch die Prüfung der Frage, ob es sich bei den gegenwärtigen psychischen Beschwerden um ein Rezidiv zu den im Jahr 2001 aufgetretenen und stationär behandelten psychischen Störungen handle oder um eine eigenständige, neu aufgetretene Erkrankung, wäre doch deren Unfallkausalität gestützt auf die medizinischen Akten klar zu verneinen. Festzuhalten sei immerhin, dass bereits bei der damaligen Hospitalisation unter anderem eine undifferenzierte Somatisierungsstörung diagnostiziert worden sei. Diese Beurteilung überzeugt in allen Teilen. Damit erübrigen sich grundsätzlich Weiterungen zum weiteren verneinten Kriterium. Immerhin kann festgehalten werden, dass auch im hausärztlichen Bericht vom 10. Februar 2012 kein Post-Lyme-Syndrom diagnostiziert wird. Es war demnach entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch nicht erforderlich, diese medizinischen Akten den Fachärzten des Spitals Y._ zur Stellungnahme vorzulegen. Auch von der Einholung eines polydisziplinären medizinischen Gutachtens ist abzusehen, da davon kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss erwartet werden kann. Die Interpretation einzelner ärztlicher Aussagen in der Beschwerde rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Gleiches gilt für die Hinweise auf medizinische Aufsätze. Es bleibt damit dabei, dass ein Post-Lyme-Syndrom verlässlich ausgeschlossen werden kann. Ein mit diesem Leiden begründbarer Leistungsanspruch wurde daher zu Recht verneint.
5.
Im Eventualstandpunkt wird geltend gemacht, das kantonale Gericht habe Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt, indem es entgegen dem gestellten Antrag keine öffentliche Verhandlung durchgeführt habe. Die Sache sei zur Durchführung einer konventionskonformen Verhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das kantonale Gericht hat erwogen, die Beschwerdeführerin bezwecke mit diesem Antrag, dass mit ihr eine Parteibefragung durchgeführt werde. Dabei handle es sich um eine Beweismassnahme, welche nicht unter den Anspruch auf eine öffentliche Verhandlung gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK falle. Es sei überdies nicht ersichtlich und werde auch nicht überzeugend begründet, inwiefern von einem Parteiverhör ein zusätzlicher Erkenntnisgewinn erwartet werden könne.
Diese Beurteilung beruht auf einer nicht zu beanstandenden Würdigung der Sach- und Rechtslage. Den Eingaben der Versicherten im vor- und auch im letztinstanzlichen Verfahren ist zu entnehmen, dass es ihr beim Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung ausschliesslich darum ging, ihre gesundheitliche Situation gegenüber der Vorinstanz bei einer Parteibefragung persönlich darzustellen und sich zu den Schlussfolgerungen im Gutachten H._ persönlich befragen zu lassen. Sie erklärte auch ausdrücklich, sollte das Gericht eine Parteibefragung ablehnen, werde auf die Durchführung einer EMRK-Schlussverhandlung, welche dann noch einzig aus dem Plädoyer der anwesenden Parteien bestünde, verzichtet. Der Öffentlichkeitsgrundsatz gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK beinhaltet indessen keinen Anspruch darauf, dass bestimmte Beweismittel öffentlich und in Anwesenheit der Parteien abgenommen werden (SVR 2009 IV Nr. 22 S. 62, 9C_599/2008 E. 1.2; Urteile 9C_159/2014 vom 7. April 2014 E. 2.1; 8C_95/2013 vom 19. Juli 2013 E. 3.2). Die hier verlangte Parteibefragung zur Feststellung des Gesundheitszustandes stellt zweifellos eine solche Beweismassnahme dar. Es wird sodann nicht dargetan und ist nicht ersichtlich, inwiefern besondere Umstände eine persönliche Anhörung der Versicherten nötig gemacht hätten (vgl. FROWEIN/PEUKERT, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 163 zu Art. 6 EMRK). Im Weiteren hätte sich im Rahmen eines Plädoyers die Möglichkeit geboten, zum besagten Gutachten Stellung zu nehmen. Darauf wurde ausdrücklich verzichtet. Einen darüber hinaus gehenden Anspruch, sich an einer öffentlichen Verhandlung zum Beweisergebnis zu äussern, gewährleistet Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht (vgl. FROWEIN/PEUKERT, a.a.O., N. 163 zu Art. 6 EMRK). Die Beschwerde ist somit auch unter diesem Gesichtswinkel unbegründet.
6.
Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokatin Natalie Matiaska wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. April 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz