wird festgestellt und in Erwägung gezogen:
1.- A._ (Jahrgang 1981) und B._ (Jahrgang 1983), Kinder geschiedener Eltern unter der elterlichen Sorge der Kindsmutter, befanden sich vom Sommer 1983 bis im Dezember 1992 bei X._ in Pflege.
Die seit Oktober 1983 über die Mädchen bestehende Beistandschaft wurde auf den 1. Oktober 1990 von der Vormundschaftsbehörde der Stadt St. Gallen übernommen. Aus verschiedenen Gründen sah sich die Vormundschaftsbehörde veranlasst, 1992 die beiden Kinder in einem Heim unterzubringen und 1997 X._ den persönlichen Verkehr mit den Kindern auf unbestimmte Zeit zu verbieten. Am 18. August 1999 erhob X._ Klage auf Bezahlung von Genugtuung wegen Persönlichkeitsverletzung gegen die Stadt St. Gallen und machte diese haftbar für das Verhalten der vormundschaftlichen Behörden ihr gegenüber im Zusammenhang mit der Beistandschaft über die beiden Kinder. Das Bezirksgericht St. Gallen (3. Abteilung) und das Kantonsgericht St. Gallen (III. Zivilkammer) wiesen die Klage bzw. die Berufung gestützt auf kantonales Verantwortlichkeitsrecht ab (Entscheide vom 23. August 2000 und vom 7. Juni 2001).
Mit eidgenössischer Berufung beantragt X._ zur Hauptsache, die Stadt St. Gallen zur Bezahlung von Fr.
10'000.-- nebst Zins von 5 % ab 18. August 1999 als Genugtuung zu verpflichten. Sie stellt den prozessualen Antrag, eine mündliche und öffentliche Verhandlung vor Bundesgericht durchzuführen. Das Kantonsgericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Eine Berufungsantwort ist nicht eingeholt worden.
Die von X._ gegen das nämliche Urteil gleichzeitig erhobene staatsrechtliche Beschwerde hat die II. Zivilabteilung des Bundesgerichts mit Urteil vom heutigen Tag abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte.
2.- Dass das Kantonsgericht zu Unrecht kantonales Recht angewendet hat, wo Bundesrecht anwendbar gewesen wäre, ist zulässiger Berufungsgrund (<ref-ruling> E. 1a S. 56). Die formellen Voraussetzungen geben zu keinen grundsätzlichen Bemerkungen Anlass, namentlich liegt ein anfechtbarer Endentscheid vor (Art. 48 Abs. 1 OG), zumal die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde die Berufung ausdrücklich vorbehält (<ref-law>/SG). Einzelne formelle Fragen werden im Sachzusammenhang noch zu erörtern sein. Auf die Berufung kann eingetreten werden.
3.- Die Klägerin rügt eine Verletzung von Art. 6 EMRK und sieht sich dazu unter Hinweis auf Art. 43 Abs. 1 OG berechtigt, wonach mit Berufung die Verletzung des Bundesrechts mit Einschluss der durch den Bund abgeschlossenen völkerrechtlichen Verträge geltend gemacht werden kann (Satz 1). Die Menschenrechtskonvention ist zwar ein Staatsvertrag, doch hat das Bundesgericht von Beginn an die Verletzung von Konventionsgarantien verfahrensmässig der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gleichgestellt (<ref-ruling> Nr. 13); es gilt daher der Vorbehalt zu Gunsten der staatsrechtlichen Beschwerde (Art. 43 Abs. 1 OG, Satz 2), wenn die unmittelbare Verletzung einer Konventionsgarantie - hier der Anspruch auf Gerichtsverhandlung im kantonalen Verfahren - gerügt wird. Auf die Berufung kann diesbezüglich nicht eingetreten werden (zuletzt:
BGE 124 III 1 E. 1b S. 2).
4.- Eine Bundesrechtsverletzung erblickt die Klägerin darin, dass das Kantonsgericht die <ref-law> betreffend die Verantwortlichkeit der vormundschaftlichen Organe zu Unrecht als nicht anwendbar betrachtet habe. Sie sei zur Erhebung dieser bundesrechtlichen Verantwortlichkeitsansprüche aktivlegitimiert, weshalb sich die Verjährung auch nach den Art. 454 f. ZGB richte. Ihre Genugtuungsforderung sei danach nicht verjährt und ohne weiteres begründet, weil die Persönlichkeitsverletzung, die ihr durch die vormundschaftlichen Behörden zugefügt worden sei, zweifelsfrei als widerrechtlich angesehen werden müsse. Die Vorbringen der Klägerin gehen an der eigentlichen Rechtsfrage vorbei.
a) Für die Verantwortlichkeit des Beistands gelten, da hierüber keine besonderen Vorschriften aufgestellt sind, die für den Vormund massgebenden Bestimmungen (<ref-law>), d.h. die <ref-law> und hinsichtlich der Verjährung die Art. 454 f. ZGB (BGE 70 II 77 E. 1 S. 80; <ref-ruling> E. 1 S. 467). Nach <ref-law> haben der Beistand und die Mitglieder der vormundschaftlichen Behörden bei der Ausübung ihres Amtes die Regeln einer sorgfältigen Verwaltung zu beobachten und haften für den Schaden, den sie absichtlich oder fahrlässig verschulden. Eine Verantwortlichkeitsklage gegen die Gemeinde verjährt in keinem Fall vor dem Aufhören der Vormundschaft bzw. Beistandschaft (Art. 454 Abs. 3ZGB).
Ein Genugtuungsanspruch lässt sich aus <ref-law> nicht herleiten, der nur zum Ersatz von Vermögensschaden verpflichtet; wird durch das Verhalten vormundschaftlicher Organe bei der Führung der Beistandschaft eine widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung bewirkt, kann ausschliesslich gestützt auf <ref-law> Genugtuung gefordert werden (BGE 57 II 3 E. 6 S. 10). Die Auffassung, dass die vormundschaftsrechtliche Verantwortlichkeitsklage nur auf Schadenersatz geht, hingegen nicht auf Leistung von Genugtuung, wird in den einschlägigen Kommentaren offenbar vorbehaltlos geteilt, sei es ohne ausdrückliche Bezugnahme (z.B. Gross, Basler Kommentar, N. 16 zu Art. 426-429 ZGB), oder sei es unter Hinweis auf das zitierte Bundesgerichtsurteil (z.B. Egger, Zürcher Kommentar, N. 32 zu <ref-law>). Eine entsprechende Darstellung findet sich in den gängigen Lehrbüchern zum Vormundschaftsrecht (z.B. Deschenaux/Steinauer, Personnes physiques et tutelle, 4.A. Bern 2001, N. 1060 S. 400; Stettler, Représentation et protection de l'adulte, 4.A.
Fribourg 1997, N. 512 S. 239); dasselbe Bild zeigt die Spezialliteratur (offenbar vorbehaltlos, z.B. Ribaux/Luccisano, Tuteurs et autorités de tutelle: quelle responsabilité?, ZVW 52/1997 S. 161 ff., S. 165; zustimmend, z.B. Aepli, Die Verantwortlichkeit der vormundschaftlichen Organe, Diss. Freiburg i.Ue. 1978, S. 31 und S. 64 f.; Keller, Die Haftpflicht des Amtsvormundes, ZVW 35/ 1980 S. 41 ff., S. 47; kritisch ohne nähere Begründung immerhin:
Tercier, La protection de la personnalité et la tutelle, ZVW 43/1988 S. 136 ff., Anm. 48 auf S. 148). In einer allfälligen Gesetzesrevision wird die Frage zu beantworten sein, "ob auch moralische Unbill als Haftungstatbestand aufgeführt werden soll", wie das in <ref-law> für den Sonderfall widerrechtlicher Freiheitsentziehung bereits ausdrücklich vorgesehen ist (vgl. dazu den Bericht der vom Bundesamt für Justiz eingesetzten Expertengruppe "Zur Revision des schweizerischen Vormundschaftsrechts" vom Juli 1995, S. 67).
Es ist nicht ersichtlich, und die Klägerin bringt auch nichts vor, was es rechtfertigte, vom dargelegten Standpunkt abzuweichen. Bildet Genugtuung aber keinen Haftungstatbestand nach <ref-law>, wird die aufgeworfene Frage der Aktivlegitimation von vornherein gegenstandslos und sind die Verjährungsregeln gemäss Art. 454 f. ZGB - wie die Klägerin zutreffend einräumt - nicht anwendbar (statt vieler: Gross, N. 2 zu Art. 454/455 ZGB).
b) Gestützt auf <ref-law> kann Genugtuung nur gefordert werden, sofern nicht das kantonale Beamtenverantwortlichkeitsrecht Platz greift (BGE 57 II 3 E. 6 S. 10). Über die Pflicht von öffentlichen Beamten oder Angestellten, den Schaden, den sie in Ausübung ihrer amtlichen Verrichtungen verursachen, zu ersetzen oder Genugtuung zu leisten, können - nebst dem Bund - die Kantone auf dem Wege der Gesetzgebung abweichende Bestimmungen aufstellen (<ref-law>). Es genügt, dass sie die Fragen in einem Gesetz regeln; wird darin auf Bestimmungen des Obligationenrechts verwiesen, sind diese als ergänzendes kantonales Recht anwendbar (<ref-ruling> S. 47; zuletzt: <ref-ruling> E. 1b S. 251). Der Kanton St. Gallen hat ein Verantwortlichkeitsgesetz erlassen (VG/SG, sGS 161. 1), in dem die Leistung von Genugtuung vorgesehen ist für den Fall, dass Behörden, Beamte oder Angestellte in Ausübung dienstlicher Verrichtungen Dritte widerrechtlich in ihrer Persönlichkeit verletzen (vgl.
E. 2a S. 11 des kantonsgerichtlichen Entscheids unter Verweis Art. 1 und Art. 12 VG/SG, in der - hier massgebenden - Fassung vor Inkrafttreten des II. Nachtragsgesetzes vom 26. Mai 2000). Der Genugtuungsanspruch der Klägerin lässt sich deshalb nicht unmittelbar auf <ref-law> stützen, den die entsprechende Vorschrift im Persönlichkeitsschutz vorbehält (vgl. <ref-law>).
c) Aus den dargelegten Gründen hat das Kantonsgericht kein Bundesrecht verletzt, indem es den Genugtuungsanspruch der Klägerin nach kantonalem Verantwortlichkeitsrecht beurteilt hat. Dessen Anwendung kann das Bundesgericht im Rahmen der Berufung nicht überprüfen (Art. 43 Abs. 1 OG; zuletzt: <ref-ruling> E. 2c S. 252); das betrifft insbesondere auch die vom Kantonsgericht eingehend erörterte Frage, ob eine allfällige Persönlichkeitsverletzung durch die pflichtgemässe Ausübung des vormundschaftlichen Amtes gerechtfertigt ist (vgl. dazu Tercier, Le nouveau droit de la personnalité, Zürich 1984, N. 608 S. 87 und N. 308 S. 46).
5.- Die Klägerin unterliegt und wird damit kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Ihr Antrag auf Durchführung einer mündlichen und öffentlichen Verhandlung vor Bundesgericht muss abgewiesen werden. In Art. 17 Abs. 1 OG ist das Öffentlichkeitsprinzip verankert, doch gestatten die Vorschriften über die besonderen Verfahren bei Einstimmigkeit ohne öffentliche Beratung (Art. 36a OG) bzw.
auf dem Wege der Aktenzirkulation (Art. 36b OG) zu entscheiden; im Verfahren der eidgenössischen Berufung findet eine mündliche Parteiverhandlung nur auf Anordnung des Präsidenten statt (Art. 62 Abs. 1 OG). Ein Anspruch auf öffentliche Beratung lässt sich aus Art. 17 Abs. 1 i.V.m. Art. 36a und Art. 36b OG nicht ableiten, und trotz Einigkeit in der Sache kann sich eine Gerichtsverhandlung wohl nur dann rechtfertigen, wenn der zu beurteilende Fall von allgemeinem Interesse ist und rechtliche Grundsatzfragen zur Diskussion stehen. Die Voraussetzung ist offenkundig nicht erfüllt, mag auch durchaus nachvollziehbar sein, welche Bedeutung das Urteil für die sich in ihrer Persönlichkeit verletzt fühlende Klägerin haben dürfte (vgl.
Messmer/Imboden, Die eidgenössischen Rechtsmittel in Zivilsachen, Zürich 1992, S. 10 ff. N. 8-10; Poudret/Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, I, Bern 1990, N 2.1 zu Art. 17 OG, S. 80, und N. 1 zu Art. 36b OG, S. 308 ff.; Junod, Le recours en réforme au Tribunal fédéral, in: Organisation judiciaire et les procédures fédérales, Lausanne 1992, S. 43 ff., S. 52).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Der Antrag auf Durchführung einer mündlichen und öffentlichen Gerichtsverhandlung wird abgewiesen.
2.- Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen (III. Zivilkammer) vom 7. Juni 2001 wird bestätigt.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Klägerin auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen (III. Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 15. November 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: