Sachverhalt:
Das Ehepaar S._ erhob am 15. Januar 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 22. November 2011. Das Bundesgericht (Verfahren 8C_52/2012) erliess zunächst drei Zwischenverfügungen, am 28. Februar 2012 auf Abweisung der mit der Beschwerde gestellten Anträge betreffend aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege sowie auf Leistung eines Gerichtskostenvorschusses durch die Beschwerdeführer, am 3. April 2012 auf Gewährung einer Nachfrist für die Bezahlung des Kostenvorschusses und am 14. Juni 2012 auf Abweisung eines von den Beschwerdeführern gestellten Ausstandsbegehrens. Mit Urteil vom 21. Juni 2012 entschied das Bundesgericht sodann, das von den Beschwerdeführern im Weiteren gestellte Gesuch um Wiedererwägung der Verfügungen vom 28. Februar und 3. April 2012 sei abzuweisen und auf die Beschwerde sei infolge verspäteter Bezahlung des Gerichtskostenvorschusses nicht einzutreten. Zugleich überband das Bundesgericht den Beschwerdeführern die Gerichtskosten von Fr. 500.-.
Das Ehepaar S._ ersucht mit Eingabe vom 7. Juli 2012 (Datum Postaufgabe 8. Juli 2012) und Ergänzungen vom 18. und 25. Juli 2012 um Revision des Urteils vom 21. Juni 2012. Weiter stellt es verschiedene prozessuale Anträge (namentlich betreffend aufschiebende Wirkung, Ausstand, Durchführung einer öffentlichen Verhandlung mit Partei- und Zeugenbefragung sowie Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Revisionsverfahren) und nimmt Bezug auf eine von ihm am 30. Juni 2012 eingereichte Eingabe.
Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Rechtskräftige Entscheide können - mit einer hier nicht interessierenden Ausnahme - einzig auf dem Weg der Revision im Sinne von <ref-law> aufgehoben werden (vgl. ELISABETH ESCHER, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 1 zu <ref-law>).
2. Dem Revisionsgesuch gegen einen bundesgerichtlichen Entscheid kommt kein Suspensiveffekt zu (HEIMGARTNER/WIPRÄCHTIGER, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N 12 zu <ref-law>). Dem Antrag betreffend aufschiebende Wirkung kann daher nicht stattgegeben werden, soweit sich das Revisionsbegehren gegen das Urteil vom 21. Juni 2012 - und allenfalls weitere, im Verfahren 8C_52/2012 ergangener Entscheidungen des Bundesgerichts - richtet.
Aus den Vorbringen der Gesuchsteller ist nicht zweifelsfrei ersichtlich, ob der Antrag zur Suspensivwirkung auch die Vollstreckung von Entscheidungen anderer Gerichts- und Verwaltungsbehörden hindern soll. Einem Revisionsgesuch gegen einen bundesgerichtlichen Entscheid könnte indessen bezüglich solcher anderer Entscheidungen ohnehin ebenfalls keine aufschiebende Wirkung zukommen.
Der Antrag betreffend aufschiebende Wirkung ist somit abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
3. Gemäss <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts aus verschiedenen, im Gesetz abschliessend (vgl. Urteil 6F_11/2012 vom 12. Juli 2012 E. 1) aufgezählten Gründen verlangt werden. Die Gesuchsteller berufen sich zur Begründung ihres Revisionsbegehrens auf Art. 121 lit. a und c, Art. 122 lit. c sowie <ref-law>.
3.1 <ref-law> kommt lediglich zur Anwendung, wenn - kumulativ - der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte in einem endgültigen Urteil festgestellt hat, dass die EMRK oder die Protokolle dazu verletzt worden sind (<ref-law>), und eine Entschädigung nicht geeignet ist, die Folgen der Verletzung auszugleichen (<ref-law>). Diese Voraussetzungen sind hier nicht erfüllt. Damit ist <ref-law> nicht anwendbar.
3.2 Gemäss den weiter angerufenen Bestimmungen kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind (<ref-law>), wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (<ref-law>) oder - in Zivilsachen und öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten - wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind (<ref-law>).
3.2.1 Die Gesuchsteller äussern sich einlässlich zur formellen und materiellen Rechtmässigkeit des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 22. November 2011. Diese Vorbringen können indessen nicht zur Revision des bundesgerichtlichen Urteils vom 21. Juni 2012 führen. Dieses befasst sich nicht mit der Rechtmässigkeit des verwaltungsgerichtlichen Entscheids, sondern ausschliesslich damit, ob die erwähnten bundesgerichtlichen Zwischenentscheide in Wiedererwägung zu ziehen sind und ob die Prozessvoraussetzung des rechtzeitig geleisteten Kostenvorschusses erfüllt war. Abgesehen davon könnte die rechtliche Würdigung eines Falles im Revisionsverfahren ohnehin nicht mehr zur Diskussion gestellt werden (erwähntes Urteil 6F_11/2012 E. 1). Auf die entsprechenden Vorbringen der Gesuchsteller ist daher nicht weiter einzugehen. Das gilt insbesondere auch, soweit die Gesuchsteller sich dazu äussern, ob Ausstandsgründe gegen ein Mitglied des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vorliegen und wie der Entscheid des Verwaltungsgerichts im Lichte der 6. IV-Revision zu beurteilen wäre.
3.2.2 Geltend gemacht wird, das Urteil vom 21. Juni 2012 sei infolge Verletzung von Ausstandsvorschriften (<ref-law>) revisionsweise aufzuheben.
Die Gesuchsteller beziehen sich hiebei in erster Linie auf Personen, welche am Verfahren 8C_52/2012 gar nicht beteiligt waren und bei denen die Ausstandsfrage sich daher von vornherein nicht stellen kann.
Aus den weiteren Ausführungen im Revisionsgesuch vom 7. Juli 2012 und den Ergänzungen vom 18. und 25. Juli 2012 wird nicht klar, gegen welche der am Urteil vom 21. Juni 2012 beteiligten Personen sich das Ausstandsbegehren richten soll. Am ehesten ausstandsbezogen ist noch das Vorbringen, Bundesrichter Ursprung, welcher als präsidierender Richter mitgewirkt hat, erhalte jeweils eine Einladung zur Generalversammlung der Schweizerischen Gesellschaft für Haftpflicht- und Versicherungsrecht (SGHVR). Gemäss dem hiezu aufgelegten Protokoll hat Bundesrichter Ursprung als Ehrengast an der Generalversammlung der SGHVR vom 2. September 2011 teilgenommen. Es ist indessen nicht ersichtlich, weshalb er deswegen bei der Beurteilung der Streitsache 8C_52/2012 in den Ausstand hätte treten müssen. Ein Revisionsgrund nach <ref-law> liegt somit nicht vor.
3.2.3 Eine Revision wegen unberücksichtigter Anträge nach <ref-law> soll nach Auffassung der Gesuchsteller erfolgen, weil deren Vorbringen zur 6. IV-Revision nicht behandelt wurden.
Im Urteil vom 21. Juni 2012 hat das Bundesgericht geprüft, ob die Prozessvoraussetzung des rechtzeitig geleisteten Kostenvorschusses gegeben sei. Es hat dies - wie auch die Voraussetzungen der Wiedererwägung von Zwischenverfügungen - verneint und ist auf die Beschwerde nicht eingetreten (vgl. E. 3.2.1 hievor). Damit bestand keine Veranlassung, auf die - einzig bei einer materiellrechtlichen Behandlung der Beschwerde allenfalls interessierende - Frage, welchen Einfluss die 6. IV-Revision gehabt hätte, einzugehen. Ein Revisionsgrund nach <ref-law> liegt nicht vor.
3.2.4 Zur Begründung einer Revision nach <ref-law> legen die Gesuchsteller verschiedene Dokumente auf. Diese sind indessen unzulässig, soweit sie erst nach dem Urteil vom 21. Juni 2012 entstanden sind (Art. 123 Abs. 2 lit. a am Ende BGG; E. 3.2 Ingress hievor).
Ohnehin vermöchten diese Unterlagen nicht eine Revision zu begründen. Sämtliche aufgelegten Dokumente und die diesbezüglichen Vorbringen ändern nichts an der allein entscheidenden, unbestrittenen und auch durch die neu eingereichten Dokumente bestätigten Tatsache, dass die Gesuchsteller zwar ihrer Bank am 25. Juni 2012 den Auftrag zur Bezahlung des Kostenvorschusses erteilt haben, dieser aber erst am 27. Juni 2012 dem Konto des Bundesgerichts gutgeschrieben wurde.
Die Gesuchsteller berufen sich sodann darauf, das Urteil vom 21. Juni 2012 verstosse gegen Treu und Glauben infolge falscher behördlicher Auskunft. Sie verweisen dabei darauf, seitens der Bank sei ihnen am 25. Juni 2012 zugesichert worden, die Zahlung werde noch am gleichen Tat dem bundesgerichtlichen Konto gutgeschrieben. Der damit angerufene Vertrauensschutz infolge behördlichen Verhaltens kommt indessen nicht zum Tragen, wenn es wie hier um die Auskunft eines privaten Bankinstitutes und somit nicht einer Behörde geht. Unbegründet ist auch die in diesem Zusammenhang erhobene Rüge, das Bundesgericht habe den Anspruch der Gesuchsteller auf rechtliches Gehör verletzt. Ein Revisionsgrund liegt daher auch diesbezüglich nicht vor.
3.3 Geltend gemacht wird weiter, in anderen bundesgerichtlichen Nichteintretensentscheiden seien keine Kosten erhoben worden. Die Kostenüberbindung im Urteil vom 21. Juni 2012 sei daher grundsätzlich und auch masslich als willkürlich zu betrachten und deshalb aufzuheben.
Ein Revisionsgrund ist damit nicht dargetan. Abgesehen davon ginge die Rüge schon deshalb fehl, weil hier, anders als in den von den Gesuchstellern erwähnten Fällen, aufgrund von Anträgen der Gesuchstellern mehrere - zu deren Ungunsten ausgefallene - Zwischenentscheide zu fällen waren. Dieser Mehraufwand ist bei der Festsetzung und Auferlegung der Verfahrenskosten mit zu berücksichtigen. Das gegen das Urteil vom 21. Juni 2012 gerichtete Revisionsgesuch ist somit auch diesbezüglich unbegründet.
3.4 Es besteht entgegen dem Antrag der Gesuchsteller kein Anlass für die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung zur Beurteilung des Revisionsgesuchs. Auch von den beantragten Befragungen mit den Parteien und mit Zeugen ist abzusehen, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen.
4. Die Gesuchsteller berufen sich sodann darauf, sie hätten bereits am 30. Juni 2012 ein Gesuch um "Revision/Einsprache/Wiedererwägung" gegen das Urteil vom 21. Juni 2012, welches ihnen am 27. Juni 2012 zugegangen sei, eingereicht.
4.1 Vorab ist zu präzisieren, dass die Gesuchsteller am 27. Juni 2012 noch nicht das Urteil vom 21. Juni 2012, sondern erst den Zwischenentscheid vom 14. Juni 2012 in Empfang genommen haben. Gegen diesen Zwischenentscheid richtet sich denn auch offensichtlich die Eingabe vom 30. Juni 2012.
4.2 Die Eingabe vom 30. Juni 2012 wurde nach Ausfällung des verfahrensabschliessenden Urteils vom 21. Juni 2012 eingereicht, womit eine Wiedererwägung oder "Einsprache" betreffend die Zwischenverfügung vom 14. Juni 2012 von vornherein nicht möglich ist (vgl. HEIMGARTNER/WIPRÄCHTIGER, a.a.O., N. 9 zu <ref-law>).
4.3 Es bedarf sodann keiner näheren Betrachtung, ob nach Ausfällung des Urteils vom 21. Juni 2012 noch um Revision eines in diesem Verfahren ergangenen Zwischenentscheides ersucht werden kann. Denn die Vorbringen in der Eingabe vom 30. Juni 2012 vermögen jedenfalls die beantragte Revision des Zwischenentscheids vom 14. Juni 2012 nicht zu begründen.
Dieser Zwischenentscheid betraf die Frage, ob die Mitglieder des Bundesgerichts Ursprung, Niquille und Maillard in den Ausstand zu treten hätten. Das wurde in der Besetzung durch die Mitglieder des Bundesgerichts Frésard, Pfiffner Rauber und Glanzmann verneint.
4.3.1 Die Ausführungen in der Eingabe vom 30. Juni 2012 zielen hauptsächlich auf eine neue rechtliche Würdigung der Ausstandsfrage betreffend die Mitglieder des Bundesgerichts Ursprung, Niquille und Maillard ab. Das genügt nicht, um den Zwischenentscheid in Revision zu ziehen (erwähntes Urteil 6F_11/2012 E. 1; E. 3.2.1 hievor). Gleiches gilt für die weiteren Vorbringen, wonach bei diversen anderen Personen innerhalb und ausserhalb des Bundesgerichts, welche samt und sonders am Verfahren 8C_52/2012 nicht beteiligt waren, Ausstandsgründe gegeben seien (vgl. E. 3.2.2 hievor), sowie für die erneuten Ausführungen zur Rechtmässigkeit des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, zu Ausstandsgründen gegenüber Mitgliedern des Verwaltungsgerichts und zum Gesichtspunkt der 6. IV-Revision (vgl. E. 3.2.1 und 3.2.3 hievor).
4.3.2 Weiter wird geltend gemacht, die Mitglieder des Bundesgerichts Frésard, Pfiffner Rauber und Glanzmann sowie Gerichtsschreiber Lanz, der ebenfalls am Zwischenentscheid vom 14. Juni 2012 mitgewirkt hat, hätten ihrerseits in den Ausstand treten müssen.
Die Mitwirkung der genannten Personen an früheren bundesgerichtlichen Entscheidungen ausserhalb des Verfahrens 8C_52/2012 stellt indessen entgegen der Auffassung der Gesuchsteller ebenso wenig einen Ausstandsgrund dar wie der Umstand, dass der erwähnte Gerichtsschreiber an sämtlichen Entscheidungen im Verfahren 8C_52/2012 beteiligt war. Sodann vermögen weder die Mitarbeit eines Mitglieds des Bundesgerichts bei einer juristischen Zeitschrift noch die von den Gesuchstellern angeführten früheren und aktuellen Erwerbstätigkeiten von Ehegattinnen und -gatten der erwähnten Mitglieder des Bundesgerichts, einen Ausstandsgrund zu setzen. Ein Revisionsgrund liegt somit auch bezüglich des Zwischenentscheides vom 14. Juni 2012 nicht vor.
5. Aufgrund der Umstände sind ausnahmsweise keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Da die Gesuchsteller überdies nicht anwaltlich vertreten sind, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der der vorläufigen Befreiung von Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Anträge betreffend aufschiebende Wirkung und Ausstand werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. August 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz