Sachverhalt:
A. Der 1972 geborene W._ war seit 1. Dezember 2008 Hilfsmonteur bei der Firma X._ GmbH. Am 20. Juli 2011 kündigte er dieses Arbeitsverhältnis per 30. September 2011. Am 27. September 2011 stellte er Antrag auf Ausrichtung von Arbeitslosenentschädigung. Mit Verfügung vom 15. Dezember 2011 stellte ihn die Öffentliche Arbeitslosenkasse Baselland (nachfolgend Arbeitslosenkasse) wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit ab 1. Oktober 2010 für 20 Tage in der Anspruchsberechtigung ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 3. Mai 2012 fest.
B. In Gutheissung der hiegegen erhobenen Beschwerde hob das Kantonsgericht Basel-Landschaft den Einspracheentscheid auf (Entscheid vom 17. Oktober 2012).
C. Mit Beschwerde beantragt die Arbeitslosenkasse die Aufhebung des kantonalen Entscheides; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Versicherte, die Vorinstanz und das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Trotzdem prüft es - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund Letzterer gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]).
2. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit bei Kündigung durch die versicherte Person (<ref-law>; <ref-law>) und die dazu ergangene Rechtsprechung, wonach bei der Frage der Unzumutbarkeit des Verbleibens am Arbeitsplatz ein strenger Massstab anzulegen ist (<ref-ruling> E. 4b/bb S. 238; Urteil 8C_606/2010 vom 20. August 2010 E. 3.2), richtig dargelegt. Beizupflichten ist der Vorinstanz auch darin, dass ein schlechtes Arbeitsklima und Meinungsverschiedenheiten mit Vorgesetzten oder Arbeitskollegen grundsätzlich keine Unzumutbarkeit der Fortführung des Arbeitsverhältnisses zu begründen vermögen. Belegt die versicherte Person allerdings durch ein eindeutiges ärztliches Zeugnis (oder allenfalls durch andere geeignete Beweismittel), dass ihr die Weiterarbeit aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr zumutbar ist, ist grundsätzlich von einer Unzumutbarkeit aus gesundheitlichen Gründen auszugehen (<ref-ruling> E. 4b/bb S. 238; Urteil 8C_12/2010 vom 4. Mai 2010 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Der Psychiater Dr. med. N._ legte im Zeugnis vom 25. August 2011 dar, der Versicherte stehe in seiner Behandlung. Er habe aus gesundheitlichen Gründen seine Arbeitsstelle in der Firma X._ GmbH per 30. September 2011 kündigen müssen. Im Zeugnis vom 23. Dezember 2011 führte er aus, der Versicherte stehe seit 28. Januar 2011 in seiner Behandlung. Er habe aus gesundheitlichen Gründen im Zusammenhang mit der Arbeit seine Arbeitsstelle gekündigt. Die Kündigung sei aus psychiatrischer Sicht angezeigt und eine längere Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht zumutbar gewesen. Er habe aus diesem Grund auch vom 10. August bis 30. September 2011 zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben werden müssen. Er sei zum damaligen Zeitpunkt nicht in der Lage gewesen, sich bereits um eine neue Arbeitsstelle zu kümmern.
3. 3.1 Der Psychiater Dr. med. N._ legte im Zeugnis vom 25. August 2011 dar, der Versicherte stehe in seiner Behandlung. Er habe aus gesundheitlichen Gründen seine Arbeitsstelle in der Firma X._ GmbH per 30. September 2011 kündigen müssen. Im Zeugnis vom 23. Dezember 2011 führte er aus, der Versicherte stehe seit 28. Januar 2011 in seiner Behandlung. Er habe aus gesundheitlichen Gründen im Zusammenhang mit der Arbeit seine Arbeitsstelle gekündigt. Die Kündigung sei aus psychiatrischer Sicht angezeigt und eine längere Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht zumutbar gewesen. Er habe aus diesem Grund auch vom 10. August bis 30. September 2011 zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben werden müssen. Er sei zum damaligen Zeitpunkt nicht in der Lage gewesen, sich bereits um eine neue Arbeitsstelle zu kümmern.
3.2
3.3 Gestützt auf diese Arztzeugnisse kam die Vorinstanz zu Recht zum Schluss, dem Beschwerdegegner sei im Zeitpunkt der Kündigung vom 20. Juli 2011 ein weiterer Verbleib an der Arbeitsstelle in der Firma X._ GmbH aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr zumutbar gewesen, weshalb der Tatbestand der selbstverschuldeten Arbeitslosigkeit nicht erfüllt sei.
3.4 Die Kasse erhebt keine Rügen, die zur Bejahung einer Rechtsverletzung führen oder die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen zum Gesundheitszustand des Versicherten als offensichtlich unrichtig oder als Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung oder als rechtsfehlerhaft nach <ref-law> erscheinen lassen (E. 1 hievor).
Die Kasse macht geltend, die Zeugnisse des Dr. med. N._ vom 25. August und 23. Dezember 2011 erfüllten nicht die Anforderungen an eine rechtsgenügliche medizinische Beurteilungsgrundlage. Zu den von ihr zu dieser Frage ins Feld geführten bundesgerichtlichen Präjudizien ist Folgendes festzuhalten: Im Urteil C 228/02 vom 12. Oktober 2004 E. 3.3 wurde ein Arztzeugnis als zu dürftig angesehen, weil daraus lediglich hervorging, dass der Versicherte aufgrund psychischer Belastung an seinem Arbeitsplatz seine Anstellung habe kündigen müssen. Im Urteil C 122/00 vom 30. März 2001 E. 2b/bb wurde erwogen, die vage ärztliche Aussage, die gesundheitlichen Beschwerden der letzten Jahre könnten sehr wohl mit der beruflichen Situation des Versicherten zusammenhängen, genüge offensichtlich nicht, zumal sich das Attest in keiner Weise zu konkreten gesundheitlichen Problemen während der Anstellung bei der in Frage stehenden Firma geäussert habe.
In diesem Lichte sind die Zeugnisse des Dr. med. N._ vom 25. August und 23. Dezember 2011 rechtsgenüglich. Denn er stellte klar fest, dass die Kündigung des Versicherten bei der Firma X._ GmbH aus psychischen Gründen notwendig und er deswegen vom 10. August bis 30. September 2011 zu 100 % arbeitsunfähig war. Zudem gab der Versicherte im Fragebogen betreffend rechtliches Gehör der Kasse am 10. Oktober 2011 als Kündigungsursache gesundheitliche Gründe und Mobbing an. In der Einsprache vom 4. Januar 2012 legte er dar, er sei an der Arbeitsstelle gemobbt und immer wieder erniedrigt worden. Hätte die Kasse diese Unterlagen als nicht hinreichend angesehen, hätte sie weitere Abklärungen tätigen können, was sie indessen unterlassen hat. Demnach erfolgte die Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit zu Unrecht.
Die von der Kasse weiter zitierten Urteile C 123/06 vom 13. Juli 2007 E. 5.2 (die Arztzeugnisse waren nicht begründet) und C 318/01 vom 15. Februar 2002 E. 2b (das Arztzeugnis war nicht eindeutig und es wurde keine Arbeitsunfähigkeit angegeben) sind nicht einschlägig und vermögen zu keinem anderen Ergebnis zu führen.
4. Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. März 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar