Sachverhalt:
A.
Die 1977 geborene S._, Mutter zweier Söhne (geb. Oktober 2004 und August 2005), meldete sich im März 2003 erstmals bei der Invalidenversicherung für berufliche Massnahmen an. Als die Versicherte ihren Antrag im September 2003 zurückzog, schrieb die IV-Stelle Basel-Stadt das Gesuch als gegenstandslos geworden ab (Mitteilung vom 25. September 2003).
Im Oktober 2010 meldete sich S._ erneut zum Leistungsbezug an unter Hinweis auf "Borderline, Schizophrenie, Ängste", bestehend seit 2003. Die IV-Stelle klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab. Sie führte eine Haushaltabklärung durch (Bericht vom 12. April 2011), liess die Versicherte durch Dr. med. I._ psychiatrisch begutachten (Gutachten vom 30. September 2011) und holte bei ihrem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) eine Stellungnahme ein (erstattet am 17. November 2011). Vorbescheidweise stellte sie die Abweisung des Leistungsbegehrens in Aussicht (anhand der gemischten Methode ermittelter Invaliditätsgrad: 35 %). Daran hielt sie mit Verfügung vom 21. März 2012 fest.
B.
Beschwerdeweise liess S._ beantragen, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr ab 1. April 2011 eine Viertelsrente und ab 1. August 2011 eine ganze Rente zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen. Nach Einreichung der Vernehmlassung gab die IV-Stelle einen zwischenzeitlich bei ihr eingegangenen Abschlussbericht der Klinik X._ vom 26. Januar 2012 zu den Akten; sie äusserte sich dazu in einer weiteren Eingabe unter Hinweis auf eine beim RAD eingeholte Stellungnahme (erstattet am 12. Juli 2012). Die Versicherte reichte replicando einen Bericht des Dr. med. H._, Praxis für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 23. September 2012 ein. Mit Entscheid vom 20. März 2013 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Beschwerde ab. Dabei wendete es ebenso die gemischte Methode der Invalidtiätsbemessung an, mit einem je hälftigen Anteil von Haushalt (Einschränkung 17 %) und Erwerb (Einschränkung 60 %), und gelangte so zu einem Invaliditätsgrad von 38,5 %.
C.
S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Die Sache sei zur Durchführung weiterer Abklärungen an die IV-Stelle zurückzuweisen. Ferner sei ihr für das letztinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Eine weitere Eingabe von S._ datiert vom 16. Juli 2013; sie wurde den Verfahrensbeteiligten zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Invalidenrente. Die Vorinstanz hat die zu dessen Beurteilung erforderlichen Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt; darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, die IV-Stelle anerkenne aufgrund der von ihr im angefochtenen Entscheid im Einzelnen dargelegten Berichte (der behandelnden Dr. med. U._, Fachärztin Allgemeine Medizin FMH, vom 8. November 2010, des behandelnden Psychotherapeuten vom Juni 2011 und des Dr. med. I._ vom 30. September 2011) mit Wirkung ab April 2007 eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 80 % (vgl. auch RAD-Bericht vom 17. November 2011). Nichts spreche dagegen, die Invalidität auf dieser Grundlage vorzunehmen. Es bestehe keine Veranlassung für weitere Abklärungen in medizinischer Hinsicht. Es könne diesbezüglich vollumfänglich auf die zutreffenden Ausführungen des RAD vom 12. Juli 2012 verwiesen werden.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, das kantonale Gericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, weil es nicht einmal rudimentär begründet habe, weshalb es ihre Kritik an der Verfügung als nicht zutreffend oder nicht erheblich erachtete. Der vorinstanzliche Entscheid lasse nicht erkennen, weshalb "die immerhin fast vierwöchige Hospitalisation in den Universitären Psychiatrischen Kliniken (UPK; vgl. Abschlussbericht vom 26.1.2012) " und die rund dreieinhalb Monate dauernde Arbeitsabklärung bei A._ (Schlussbericht vom 10. Februar 2012), auf welche sie in der Beschwerde hingewiesen habe, nicht relevant sein sollten. Des Weitern habe der behandelnde Psychiater Dr. med. H._ in seinem Bericht vom 23. September 2012 ausführlich dargelegt, weshalb die Ausführungen des RAD vom 12. Juli 2012 unzutreffend seien. Auch darüber verliere das kantonale Gericht kein Wort.
3.3. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) folgt unter anderem die Pflicht der Behörden, ihre Entscheide zu begründen (ausdrücklich auch <ref-law> und <ref-law>), und zwar so, dass sie von den Betroffenen gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden können. Die Begründung muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sie sich hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt. Dies bedeutet indessen nicht, dass sie sich ausdrücklich mit jeder Tatsachenbehauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 3.2 S. 270; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; Urteil 9C_874/2012 vom 17. Januar 2013 E. 4.1).
3.4. Tatsächlich begnügte sich das kantonale Gericht hinsichtlich der Frage, weshalb auf die von ihm im Einzelnen dargelegten Berichte abzustellen sei (womit es implizit die Einwendungen der Beschwerdeführerin verwarf), mit dem Hinweis auf die "zutreffenden Ausführungen des RAD vom 12. Juli 2012". Seine Begründung fiel damit äusserst knapp aus. Selbst wenn es indessen die Begründungspflicht verletzt hat, ergibt sich daraus nichts zu Gunsten der Beschwerdeführerin. Denn wer vor Bundesgericht im Zusammenhang mit einer Sachverhaltsrüge eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend macht, hat darzulegen, dass und inwiefern der Mangel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>). Dabei genügt die Glaubhaftmachung eines anderen Entscheides in der Hauptsache bei korrekter Vorgehensweise (Art. 42 Abs. 2 bzw. <ref-law>; SVR 2011 AHV Nr. 2 S. 4, 9C_1001/2009 E. 3.2 mit Hinweisen).
Vorliegend wäre dazu in erster Linie nötig, zumindest Zweifel an der Richtigkeit der vorinstanzlichen Feststellung einer Arbeitsunfähigkeit von 80 % zu wecken und damit Anlass zu weiteren medizinischen Abklärungen zu geben. Dies vermögen die in der Beschwerde erwähnten, von der Vorinstanz nicht ausdrücklich gewürdigten Berichte klarerweise nicht: Gemäss dem Abschlussbericht der Klinik X._ vom 26. Januar 2012 (welchem entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin nicht ein mehrwöchiger stationärer Aufenthalt zugrunde liegt, sondern eine ambulante [vom 13. Januar bis 9. Februar 2012 dauernde] Behandlung) litt die Versicherte im Januar 2012 an einer mittelgradigen depressiven Episode. Diese Feststellung steht in keinem Widerspruch zum Gutachten vom 30. September 2011, sind doch depressive Episoden definitionsgemäss vorübergehender Natur und erwähnte auch Dr. med. I._, dass es bei der bestehenden Borderline-Störung im Rahmen der Schwierigkeiten mit der affektiven Regulation auch immer wieder zu depressiven Einbrüchen kommen könne. In diesem Sinne ist auch die Äusserung des RAD zu verstehen, wonach in Bezug auf die Krise vom Januar 2012 davon auszugehen sei, dass sich der Gesundheitszustand der Versicherten in absehbarer Zeit "konsolidiere". Ins Leere geht deshalb auch die von Dr. med. H._ am RAD-Bericht vom 12. Juli 2012 geäusserte Kritik, die Prognose einer Konsolidierung im Sinne einer Verbesserung oder Gesundung sei mit der Krankengeschichte nicht vereinbar und vernachlässige die Tatsache, dass eine Borderline-Störung nur bei Vorliegen entsprechender psychosozialer Kompetenzen therapeutisch angegangen werden könne (Stellungnahme vom 23. September 2012). Denn mit der vom RAD angesprochenen Konsolidierung war nicht die Überwindung der Borderline-Sörung als solcher gemeint, sondern einzig das Vorübergehen der depressiven Episode (vgl. auch Gutachten des Dr. med. I._ vom 30. September 2011). Neue Erkenntnisse hinsichtlich der Arbeitsunfähigkeit ergeben sich mithin weder aus dem Bericht vom 26. Januar 2012 noch aus demjenigen vom 23. September 2012. Der von der Versicherten weiter angeführte Bericht A._ vom 10. Februar 2012 betrifft sodann nicht die hier zu beurteilende Frage der Arbeitsfähigkeit, sondern bezieht sich auf eine (im Auftrag der Sozialhilfe Basel-Stadt) vom 17. Oktober 2011 bis 31. Januar 2012 durchgeführte Abklärung betreffend die (im vorliegenden Zusammenhang irrelevante) Vereinbarkeit von Arbeit, Kindern und Haushalt. Damit ergibt sich zusammenfassend, dass die im angefochtenen Entscheid nicht explizit gewürdigten Berichte für den Ausgang des Verfahrens nicht entscheidend waren, weshalb sich Weiterungen erübrigen.
4.
Uneinigkeit unter den Parteien besteht sodann hinsichtlich der anwendbaren Invaliditätsbemessungsmethode. Vorinstanz und IV-Stelle gingen davon aus, dass die Versicherte im Gesundheitsfall zu 50 % einer Erwerbstätigkeit nachgehen würde und brachten demnach die gemischte Methode mit einem je hälftigen Anteil von Haushalt und Erwerbstätigkeit zur Anwendung. Die Versicherte macht geltend, dieser Aufteilung liege ihre anlässlich der Haushaltabklärung gemachte Aussage zugrunde; es sei offensichtlich unhaltbar, dieser ein derart hohes Gewicht zuzuschreiben, habe sie doch mit der Fragestellung nicht rechnen müssen und sie sich nicht in Ruhe überlegen können.
4.1. Die Frage, in welchem Ausmass die versicherte Person ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre, ist nach der Rechtsprechung mit Rücksicht auf die gesamten Umstände, so die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse (namentlich allfällige Erziehungs- und Betreuungsaufgaben gegenüber Kindern, das Alter, die beruflichen Fähigkeiten und die Ausbildung sowie die persönlichen Neigungen und Begabungen) zu beantworten (<ref-ruling> E. 3.3 S. 396; <ref-ruling> E. 2c S. 150 mit Hinweisen).
Die auf eine Würdigung konkreter Umstände, nicht ausschliesslich auf die allgemeine Lebenserfahrung oder auf arbeitsmarktlicher Empirie gestützte Festsetzung des hypothetischen Umfanges der Erwerbstätigkeit ohne gesundheitliche Beeinträchtigung ist eine Tatfrage, welche das Bundesgericht nur eingeschränkt überprüft (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; Urteile 9C_582/2012 vom 27. Mai 2013 E. 4.1 mit Hinweisen).
4.2. Entgegen der Versicherten stellte das kantonale Gericht nicht nur auf die von ihr anlässlich der Haushaltabklärung gemachte und im Übrigen später gegenüber Dr. med. I._ bei der Untersuchung vom 19. September 2011 bestätigte Aussage ab, wonach sie im Gesundheitsfall zu 50 % arbeiten würde. Denn obwohl derartige im Verlauf des Abklärungsverfahrens gemachte Aussagen praxisgemäss stärker zu gewichten sind als spätere, anderslautende Erklärungen, welche von Überlegungen sozialversicherungsrechtlicher Natur beeinflusst sein können (vgl. statt vieler Urteil 8C_50/2012 vom 1. März 2012 E. 5.1), gilt es zu beachten, dass seit früher Jugend gesundheitlich beeinträchtigte Versicherte - wie die Beschwerdeführerin (vgl. Gutachten des Dr. med. I._ vom 10. Oktober 2003) - Mühe haben dürften, sich ein Leben ohne Behinderung vorzustellen und die Frage nach der hypothetischen Erwerbstätigkeit im Gesundheitsfall zu beantworten (Urteil 8C_35/2011 vom 24. Mai 2011 E. 5.4). Massgebend für die Einschätzung, in welchem Ausmass die Versicherte als Gesunde arbeiten würde, sind daher primär die konkreten Lebensumstände während der letzten Jahre. In diesem Zusammenhang stellte die Vorinstanz fest, dass die Versicherte nach ihrer Ausbildung bis 1999 in ihrem angestammten Beruf als Coiffeuse-Assistentin tätig gewesen sei und anschliessend verschiedene kurzfristigere Anstellungen innegehabt habe, bevor sie Ende November 2002 - lange vor der Geburt ihres ersten Kindes (Oktober 2004) - ihre Erwerbstätigkeit aufgegeben und sich im April 2003 bei der Sozialhilfe angemeldet habe. Obwohl der psychiatrische Gutachter damals noch der Auffassung gewesen sei, die Versicherte sei zu 80 % arbeitsfähig, scheine die Sozialhilfe keinen Druck hinsichtlich einer bedarfsdeckenden Erwerbstätigkeit auf die (damals noch) kinderlose Versicherte ausgeübt zu haben. Diese vorinstanzlichen Feststellungen zu den persönlichen, familiären und erwerblichen Verhältnissen sind weder offensichtlich unrichtig noch sonst wie bundesrechtwidrig. Bei dieser Sachlage fehlt es nun aber an weiteren objektiven Kriterien, die eine andere Beurteilung der Statusfrage als die hälftige Aufteilung von Erwerb und Aufgabenbereich wahrscheinlich machen würden. Allein die von der Versicherten sinngemäss aufgestellte Hypothese, die Sozialhilfebehörde hätte darauf hingewirkt, dass sie einer bedarfsdeckenden Erwerbstätigkeit nachgehe, ist nicht geeignet, zu einem anderen Ergebnis zu führen. Wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat, dürfte dafür angesichts der Tatsache, dass die Kinder der Versicherten im Primarschulalter waren, ohnehin nur ein kleiner Spielraum vorhanden gewesen sein. Dass die Vorinstanz in Würdigung der konkreten Situation und der Vorbringen der Versicherten zum Ergebnis gelangt ist, es sei von einer hälftigen Aufteilung von Haushalt und Erwerb auszugehen, ist demnach nicht zu beanstanden.
4.3. Nachdem die Versicherte die übrigen Faktoren der Invaliditätsbemessung nicht kritisiert, besteht kein Anlass für eine Prüfung von Amtes wegen (<ref-ruling> E. 1b und 2c S. 415 ff.; <ref-ruling> E. 4a S. 42). Die Beschwerde ist demnach abzuweisen.
5.
Für den Fall, dass das Bundesgericht den vorinstanzlichen Sachentscheid schützen sollte, macht die Versicherte geltend, es sei zumindest der vorinstanzliche Kostenentscheid aufzuheben, ihr eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen und der IV-Stelle die Verfahrenskosten aufzuerlegen, weil die Verwaltung im vorinstanzlichen Verfahren medizinische Abklärungen nachgeholt habe, deren Unterlassung in der Beschwerde beanstandet worden sei. Dafür besteht indessen kein Anlass: Die Verwaltung hat sich darauf beschränkt, den ihr erst im Verlaufe des kantonalen Verfahrens zur Kenntnis gebrachten - nach dem Gesagten indessen nicht entscheidwesentlichen (vgl. E. 3.4 hiervor) - Bericht vom 26. Januar 2012 durch den RAD prüfen zu lassen (Stellungnahme des RAD vom 12. Juli 2012). Vom Nachholen zu Unrecht unterlassener medizinischer Abklärungen kann demnach nicht die Rede sein.
6.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>), nachdem ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Verfügung vom 26. Juni 2013 abgewiesen worden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Dezember 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann