Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1974, ägyptischer Staatsangehöriger) und Y._ (geb. 1980) sind die Eltern von A._ (geb. 2010). Sie heirateten im Dezember 2011. In der Folge kam es zu heftigen Auseinandersetzungen zwischen den Parteien, welche den Beizug der Polizei erforderten. Nach einer Eskalation am 17. April 2012 trennten sie sich. Die Kindsbetreuung erfolgte danach hauptsächlich durch die Kind smutter, deren Eltern und eine Kita.
B.
B.a. Am 18. Juni 2012 leitete Y._ beim Regionalgericht Bern-Mittelland ein Eheschutzverfahren ein. Sie beantragte, es sei festzustellen, dass nach der Heirat der gemeinsame Haushalt der Ehegatten nie aufgenommen worden sei. Die Wohnung und das Obhutsrecht über den Sohn seien ihr zuzuweisen. X._ sei vorsorglich und superprovisorisch unter Strafandrohung zu verbieten, sich ihrer Wohnung zu nähern.
B.b. Mit superprovisorischer Verfügung vom 19. Juni 2012 erliess das Regionalgericht das beantragte Annäherungsverbot.
B.c. X._ verlangte mit Stellungnahme vom 19. Juli 2012 seinerseits die Obhut für den Sohn. Die Anträge von Y._ seien abzuweisen und das Rayonverbot aufzuheben. Für die Dauer des Verfahrens sei ihm ein Besuchsrecht von mindestens einem Tag pro Woche zu gewähren.
B.d. Mit Verfügung vom 26. September 2012 errichtete das Regionalgericht für das Kind eine Beistandschaft gemäss <ref-law>. Dem Vater wurde ein begleitetes Besuchsrecht ein Mal im Monat zugesprochen.
B.e. Das Regionalgericht holte Berichte zur Situation ein. Am 10. Oktober 2012 ging ein Bericht von B._ für das Burgerliche Sozialzentrum ein. Er empfahl eine Obhutszuteilung an die Mutter, wobei dem Kindsvater ein unbegleitetes Besuchsrecht eingeräumt werden könne. Am 30. November 2012 erstattete die Beiständin des Kindes einen Verlaufsbericht über die Ausübung des begleiteten Besuchsrechts.
B.f. Am 17. Dezember 2012 und 24. Januar 2013 führte das Regionalgericht Parteiverhandlungen durch.
B.g. Mit Eheschutzentscheid vom 24. Januar 2013 (Datum des begründeten Entscheids: 22. April 2013) stellte das Regionalgericht A._ unter die Obhut der Mutter. Dem Vater räumte es ein Besuchsrecht von einem Tag pro Woche (werktags) ein. Sobald seine Wohnsituation ein kindsgerechtes Übernachten ermögliche, sei das Kontaktrecht auf zwei aufeinander folgende Tage auszudehnen plus zwei nicht zusammenhängende Wochen Ferien pro Jahr. Die Modalitäten seien vom Beistand zu regeln. Weiter verpflichtete es die Eltern unter Strafandrohung zur Hinterlegung der Reise- und Identitätspapiere von A._ beim Burgerlichen Sozialzentrum. Das Annäherungsverbot vom 19. Juni 2012 hob es auf. Schliesslich hielt das Gericht fest, dass der Vater grundsätzlich unterhaltspflichtig, jedoch nicht leistungsfähig sei.
C.
Am 16. April 2013 stellte die Beiständin des Kindes dem Regionalgericht Antrag um Neufestsetzung und Präzisierung des Besuchsrechts von Vater und Sohn. Sie teilte mit, dass die Beziehung der Kindseltern "hochgradig zerstritten, von gegenseitiger Missgunst, feindseliger Emotionalität und manifestiertem Misstrauen geprägt" sei, so dass keine Lösung habe gefunden werden können für ein Besuchsrecht mit Übernachtungen. Die Übergaben seien für das Kind nicht mehr zumutbar. Sie selbst habe um Entlassung aus dem Mandat ersucht.
D.
D.a. X._ erhob gegen den Eheschutzentscheid am 6. Mai 2013 Berufung an das Obergericht des Kantons Bern. Er verlangte, dass der Sohn in seine Obhut zu stellen sei. Weiter seien das Besuchsrecht und die Unterhaltspflicht der Kindsmutter zu regeln. Y._ beantragte die Abweisung der Berufung.
D.b. Mit Urteil vom 23. August 2013 wies das Obergericht die Berufung ab, womit A._ in der Obhut der Kindsmutter verbleiben sollte. Das Obergericht präzisierte aber - in Kenntnisnahme des Antrags der Beiständin des Kindes (Bst. C) -, dass die Anordnungen des Beistands bezüglich Besuchsrecht verbindlich seien, und ermächtigte den Beistand, auch sämtliche weiteren Kontakte zwischen Vater und Sohn verbindlich zu regeln. Die Kosten des Verfahrens auferlegte es unter Vorbehalt des gewährten Armenrechts dem Kindsvater.
E.
Der Kindsvater (Beschwerdeführer) zieht die Angelegenheit mit Beschwerde vom 26. September 2013 an das Bundesgericht weiter. Er hält daran fest, dass der Sohn ihm zuzuteilen sei. Die Kindsmutter sei zu Kindesunterhaltszahlungen von monatlich Fr. 1'000.-- zu verpflichten. Eventualiter sei die Sache zur Einholung eines Gutachtens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
F.
Das Bundesgericht hat die Akten der Vorinstanzen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzliches Urteil in einer Zivilsache, welche keiner Streitwertgrenze unterliegt (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>), womit die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist.
1.2. Weil Eheschutzentscheide vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> darstellen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 397), kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Die Aufhebung eines angefochtenen Entscheids rechtfertigt sich erst, wenn sich dieser nicht nur in der Begründung als unhaltbar erweist, sondern er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 5; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 319).
2.
Umstritten ist vorliegend in erster Linie die Obhutszuteilung.
Das mit der "Regelung des Getrenntlebens" (Marginalie zu <ref-law>) befasste Eheschutzgericht trifft nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses die nötigen Massnahmen, wenn die Ehegatten minderjährige Kinder haben (<ref-law>). Für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil gelten grundsätzlich die gleichen Kriterien wie im Scheidungsfall. Nach der Rechtsprechung hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Vorab muss die Erziehungsfähigkeit der Eltern geklärt werden. Ist diese bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, namentlich die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 209; zuletzt Urteil 5A_157/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen, in: FamPra.ch 2012, 1094). Das Kriterium der zeitlichen Verfügbarkeit und damit die Möglichkeit der persönlichen Betreuung kann hinter das Kriterium der Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse zurücktreten, soweit die Eltern ungefähr gleiche erzieherische Fähigkeiten haben (Urteile 5C.212/2005 vom 25. Januar 2006 E. 4.2 ff., in: FamPra.ch 2006, 753; 5A_458/2013 vom 19. September 2013 E. 2.3.3).
Bei der Beurteilung der für die Obhutszuteilung massgebenden Kriterien verfügt das Sachgericht über grosses Ermessen (<ref-ruling> E. 2 und E. 3 S. 319 ff.). Auf Willkürbeschwerde hin kann das Bundesgericht deshalb nur eingreifen, wenn das Sachgericht grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Der Ermessensentscheid muss sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerechterweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99 mit weiteren Hinweisen; vgl. zum Ganzen zuletzt Urteil 5A_157/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3.1, in: FamPra.ch 2012, 1094).
3.
Das Obergericht hat festgestellt, dass angesichts der widersprüchlichen Aussagen der Parteien unklar bleibe, ob und wie lange die Parteien seit der Geburt des Jungen resp. der Heirat zusammengelebt hätten (zu den Eckdaten vgl. vorstehend Bst. A). Der Beschwerdeführer stamme aus Ägypten, lebe seit 12 Jahren in der Schweiz und studiere seit 2001 an der Universität Bern. Das Studium werde er voraussichtlich im Herbst 2013 abschliessen. Daneben arbeite er zwei bis vier Nächte pro Monat als Nachtportier in einem Hotel sowie an einem grösseren Übersetzungsauftrag. Die Beschwerdegegnerin sei nach der Geburt des Kindes verschiedenen Erwerbstätigkeiten nachgegangen und sei aktuell mit einem Vollzeitpensum in den Anstalten C._ als Vollzugsverantwortliche angestellt, wobei sie nach bestandener Probezeit alternativ ein Pensum von 80 % oder 90 % wählen könne. Der Junge sei an drei Tagen pro Woche in der Kita, einen Werktag verbringe er beim Vater in Bern, die Wochenenden bei der Mutter in Bern. Ansonsten werde er vom Grossvater mütterlicherseits in D._ betreut.
Die Vorinstanz befand sodann - in Übereinstimmung mit der ersten Instanz -, angesichts der vorliegenden Berichte sowie den ausführlichen Akten und Parteibefragungen verfüge das Gericht über eine genügende Grundlage, um ohne Einholung eines Gutachtens über die Obhutszuteilung entscheiden zu können. Sie erwog, keine der Parteien sei in der Lage, den Jungen ohne Dritthilfe zu betreuen. Die Beschwerdegegnerin könne aber auf ihre Eltern zurückgreifen, was vom Beschwerdeführer nicht bestritten werde. Bezüglich der Eltern-Kind-Beziehung werde die persönliche Beziehung des Vaters zu seinem Sohn nicht in Abrede gestellt, was aber nicht bedeute, dass nicht auch die Mutter eine enge persönliche Beziehung zu ihrem Sohn hätte. Seit der Trennung werde der Junge hauptsächlich durch die Mutter und ihre Eltern betreut. In Bezug auf die Zeit vor der Trennung wolle jede Partei den Sohn mehrheitlich betreut haben. Die damalige Situation sei aber weniger entscheidend als die Frage, welche Obhutszuteilung dem Kindeswohl aktuell am ehesten diene. Der Beschwerdeführer habe sein Studium noch nicht beendet und es sei ungewiss, ob er danach, wie er plane, eine 40 %-Stelle finden würde. Die Ausgestaltung der künftigen Betreuung wäre unklar. Jedenfalls hätte der Junge auch beim Vater weiterhin mehrere Bezugspersonen. Dieser verfüge zudem nur über eine befristete Aufenthaltsbewilligung. Hingegen habe sich die Kindesbetreuung mit Obhut bei der Mutter, wie dies seit der Trennung der Parteien gehandhabt werde, bewährt, wie der Bericht B._ bestätige. Demnach sei es nicht unangemessen, bei der Beschwerdegegnerin von einer grösseren Stabilität in Bezug auf die Kindesbetreuung auszugehen. Weiter sei die Beschwerdegegnerin eher bereit, den Kontakt zum nicht obhutsberechtigten Elternteil zu ermöglichen. Der Beschwerdeführer könne gemäss Bericht B._ weniger zwischen dem Konflikt auf der Paar-Ebene und der Kooperationsnotwendigkeit auf Eltern-Ebene unterscheiden. Statt das eigene Verhalten zu überdenken, erhebe er weitere Vorwürfe an die Beschwerdegegnerin. Vor diesem Hintergrund sprach die Vorinstanz die Obhut der Mutter zu.
4.
Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die Vorinstanz entgegen seinen Anträgen kein Kindergutachten eingeholt habe. Seines Erachtens hätte nur ein Gutachten den für die Obhutszuteilung entscheidwesentlichen Sachverhalt beibringen können.
4.1. Nach <ref-law> erforscht das Gericht bei Kinderbelangen in familienrechtlichen Angelegenheiten den Sachverhalt von Amtes wegen. Die Untersuchungsmaxime verpflichtet das Gericht, von sich aus alle Elemente in Betracht zu ziehen, die entscheidwesentlich sind, und unabhängig von den Anträgen der Parteien Beweise zu erheben. <ref-law> schreibt dem Gericht indessen nicht vor, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären ist. Ebenso wenig erfasst diese Bestimmung die Art der Erhebung von Beweismitteln. Wenn der massgebliche Sachverhalt sich auf andere Weise abklären lässt, verstösst demzufolge auch der Verzicht auf ein bestimmtes Gutachten nicht gegen Bundesrecht. Die Untersuchungsmaxime schliesst sodann eine vorweggenommene Beweiswürdigung nicht aus: Verfügt das Gericht über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann es auf weitere Beweiserhebungen verzichten (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735; Urteil 5A_505/2013 vom 20. August 2013 E. 5.2.1, in: FamPra.ch 2013 S. 1045). In einem Eheschutzverfahren muss grundsätzlich nicht zwingend ein Gutachten eingeholt werden (Urteil 5A_444/2008 vom 14. August 2008 E. 2.2 mit weiteren Hinweisen, nicht publ. in: FamPra 2009 S. 252; zuletzt Urteil 5A_452/2013, 5A_453/2013 vom 2. Dezember 2013 E. 5.1).
Nachdem in Kinderbelangen der Freibeweis gilt (vgl. vorstehend zitierte Urteile und <ref-ruling> E. 4a S. 55), sind die vorliegend vom Regionalgericht eingeholten Berichte, wie alle anderen Beweise inkl. Parteibefragung, zu berücksichtigen und im Gesamtkontext zu würdigen. Die Rügen des Beschwerdeführers sind dabei lediglich unter Willkürgesichtspunkten zu prüfen (E. 1.2). Er rügt den Entscheid denn auch in verschiedener Hinsicht als willkürlich.
4.2. Er bringt vor, die Vorinstanz habe willkürlich die Erziehungsfähigkeit der Mutter bejaht. Aus den Berichten gingen nur dürftige Feststellungen hierzu hervor. Die von ihr geschaffene Situation für das Kind werde als unruhig und unstet bezeichnet; das Kind pendle zwischen vier Lebensmittelpunkten hin und her und eine eindeutig prioritäre Betreuungsperson fehle. Er sei zur Betreuung und Erziehung des Sohnes geeigneter, was auch aus den Akten hervor gehe. Damit hätte die Vorinstanz die beiden Eltern nicht als gleich erziehungsfähig beurteilen dürfen. Die Kindsmutter habe Männerbekanntschaften gepflegt.
In Bezug auf den letztgenannten Vorwurf präzisiert der Beschwerdeführer nicht, inwiefern dies die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin beeinflussen soll. Hierauf ist nicht einzutreten (E. 1.2). Konkrete Gründe, weshalb diese nicht erziehungsfähig sein soll, bringt er nicht substanziiert vor.
In seinem Bericht vom 10. Oktober 2012 schildert B._, das derzeitige Betreuungssetting der Beschwerdegegnerin wirke für ihn genügend überzeugend und recht stabil. Ausser den Befürchtungen und Vorwürfen des Beschwerdeführers gebe es keine Hinweise auf eine inadäquate Betreuung durch die Mutter. Das Kind erscheine auch in den Augen der Kita-Verantwortlichen getragen und "bödelet". Diesen Eindruck habe er anlässlich eines Hausbesuches bei der Mutter wie auch anlässlich einer Besuchsbegleitung erhalten. A._ habe zwei Elternteile, welche für dessen Wohlergehen Verantwortung übernehmen könnten. Schliesslich sprach er sich für eine Obhutszuteilung an die Mutter aus, weil sich dies seit der Trennung im April 2012 bewährt habe, weil sie auf familiären Rückhalt zählen könne und ihr Zusammenspiel mit den Kita-Verantwortlichen gut sei. Zudem scheine sie besser in der Lage, zwischen Verletzungen auf der Paar-Ebene und der Kooperationsnotwendigkeit auf Eltern-Ebene zu unterscheiden. Wie aus dem Bericht hervor geht, stützte er sich dabei auf ein Gespräch bei der Mutter, wobei der Sohn anwesend gewesen sei, zwei Gespräche mit resp. beim Vater, einem Telefonat mit der Leiterin der Kita sowie auf die Begleitung einer Begegnung zwischen Vater und Sohn. Die Beiständin hielt in ihrem Antrag vom 16. April 2013 ebenfalls fest, dass Vater und Mutter angesichts ihrer persönlichen Ressourcen, abgesehen vom Umgang untereinander, beide in der Lage und gewillt seien, für die Entwicklung des Kindes das Beste zu wollen und zu unternehmen. Die Beziehung zu beiden Elternteilen sei intakt. Auch zum Grossvater bestehe ein nahes und vertrautes Verhältnis.
Vor diesem Hintergrund ist keine Willkür ersichtlich, wenn die Vorinstanz die Erziehungsfähigkeit der Mutter bejahte und den Vater nicht als besser geeignet beurteilte.
4.3. Weiter ist der Beschwerdeführer der Ansicht, die Vorinstanz habe das Kriterium der persönlichen Betreuung willkürlich beurteilt. Es stimme zwar, dass beide Elternteile das Kind nicht ohne Dritthilfe betreuen könnten. Es entspreche auch der Wahrheit, dass die Beschwerdegegnerin auf ihre Eltern zurückgreifen könne. Aber trotz deren Obhut sei das Kind nur am Wochenende bei der Mutter, d.h. nur unwesentlich mehr als bei ihm. Ihre Schichtarbeit in einem Vollzeitpensum sei zudem nicht mit der Kita vereinbar, weshalb sie ihren eigenen Vater überdurchschnittlich in Anspruch nehmen müsse. Er selbst sei demgegenüber dabei, sein Studium abzuschliessen und versuche eine Stelle zu 40-50 % zu finden, was sich problemlos mit der Kita-Betreuung von rund drei Tagen vereinbaren lasse. Seine Übersetzungsaufträge könne er zudem von zu Hause aus erledigen, weshalb während dieser Zeit keine Fremdbetreuung notwendig sei. Diese Tatsachen seien der Vorinstanz bekannt gewesen, von dieser aber vernachlässigt worden.
Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers hat sich die Vorinstanz mit diesen Vorbringen auseinandergesetzt (vgl. E. 3). Er übergeht weiter, dass die Beschwerdegegnerin gemäss der Feststellung der Vorinstanz ihr Pensum nach der Probezeit bis auf 80 % reduzieren konnte. Aus den Verfahrensakten und Protokollen ergibt sich überdies, dass der Beschwerdeführer seit Beginn des Eheschutzverfahrens (2012) behauptet, kurz vor Abschluss seines Studiums zu stehen und ohne weiteres eine Anstellung zu 40-50 % zu finden, welche überdies auch noch mit der Kita vereinbar sein solle. Konkrete Schritte hat er seither nicht unternommen. Damit bleibt sein Argument (er habe mehr Zeit, den Jungen persönlich zu betreuen) blosse Behauptung. Der Vorinstanz kann keine Willkür vorgeworfen werden, wenn sie darauf verzichtete, sich auf diese hypothetischen Ausführungen abzustützen.
4.4. Der Beschwerdeführer kritisiert sodann, dass die Vorinstanz die Betreuungssituation vor der Trennung nicht abgeklärt habe. Er habe sich vor der Trennung hauptsächlich um das Kind gekümmert, was seines Erachtens für die Obhutszuteilung massgeblich hätte sein müssen. Die Vorinstanz habe dadurch zudem sein rechtliches Gehör und die Offizialmaxime verletzt.
Die Vorinstanz hatte hierzu festgehalten, dass sich die Parteien in diesem Punkt von Beginn weg widersprochen hätten. Beide Parteien würden behaupten, sie hätten das Kind vor der Trennung mehrheitlich betreut. Die Situation vor der Trennung sei jedoch weniger entscheidend als die Frage, welche Obhutszuteilung dem Wohl des Jungen aktuell am ehesten diene (E. 3).
Auch mit diesem Argument des Beschwerdeführers hat sich das Obergericht demnach auseinandergesetzt, womit der Rüge der Gehörsverletzung die Grundlage entzogen ist. Weiter ist festzuhalten, dass der Junge zum Zeitpunkt der Trennung gerade zweijährig war. Seither, d.h. seit bald zwei Jahren, wird der aktuelle Betreuungsmodus gelebt. Angesichts des jungen Alters des Knaben ist keine Willkür ersichtlich, wenn sich die Vorinstanz schwergewichtig auf den aktuellen Zustand abstützte. Entsprechend fällt auch eine Verletzung der Untersuchungsmaxime ausser Betracht (E. 4.1).
4.5. Schliesslich moniert der Beschwerdeführer eine willkürliche Einschätzung der gegebenen und zukünftigen Situation der Parteien. Zu Unrecht habe die Vorinstanz bei der Beschwerdegegnerin stabile Verhältnisse bejaht. Sie wechsle stetig die Arbeitsstellen, investiere sich in wechselnde Männerbekanntschaften, habe Auswanderungspläne und der Junge verfüge weder über einen eindeutigen Lebensmittelpunkt noch über eine prioritäre Bezugsperson, so dass nicht von Kontinuität gesprochen werden könne. Bei ihm hingegen habe die Vorinstanz stabile Verhältnisse willkürlich verneint.
Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass die Beschwerdegegnerin seit der Trennung die Betreuung des Jungen regelt und dafür sorgt, dass er betreut wird. Er bestreitet ebenso wenig, dass sie seit der Geburt des Kindes durch ihr Einkommen für stabile finanzielle Verhältnisse sorgt. Auch dass der Junge bei der Mutter, den Grosseltern und in der Kita gut aufgehoben ist, bestreitet er im Kern nicht. Im Übrigen argumentiert der Beschwerdeführer mit unsubstanziierten Behauptungen (E. 1.2), worauf nicht einzutreten ist. Auf seiner Seite ist festzustellen, dass er keine konkreten Vorschläge unterbreiten kann, wie er die Betreuung regeln würde, wenn der Junge jetzt unter seine Obhut gestellt würde. Sein Studium zieht sich hin, wobei er weiterhin vorbringt, dieses nächstens abzuschliessen. Dies würde bedeuten, dass er sich in Abschlussprüfungen befindet, eine Masterarbeit erstellen muss oder dergleichen, was in aller Regel eine grosse zeitliche und persönliche Herausforderung darstellt. Er verfügt noch nicht über die gesuchte Anstellung zu 40-50 % und hat auch kein familiäres Netz, auf welches er zurückgreifen kann. Inwiefern die Vorinstanz in Willkür verfallen sein soll (indem sie bei der Mutter stabilere Verhältnisse erkannte als beim Vater), ist nicht ersichtlich.
4.6. Die Kritik des Beschwerdeführers schliesslich, die Vorinstanz habe die Beziehung zwischen Kind und Mutter nicht abgeklärt, geht ins Leere. Er bringt selbst nicht vor, dass die Mutter-Kind-Beziehung nicht gut sei, womit sich diesbezüglich eine über die eingeholten Berichte hinausgehende Beweisführung erübrigte. Nach dem Gesagten lag die getroffene Obhutsregelung im Ermessensspielraum der Vorinstanz (vgl. vorstehend E. 2). Der Verzicht auf die Einholung eines Gutachtens hält ebenfalls vor der Verfassung stand (E. 4.1).
Soweit der Beschwerdeführer darüber hinaus eine Verletzung von <ref-law>, Art. 13 f. BV und Art. 8 EMRK rügt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Er führt nicht aus (E. 1.2), inwiefern die vorliegend willkürfreie Anwendung von <ref-law> zu einer Verletzung der genannten Bestimmungen geführt haben soll.
4.7. Da die Obhut bei der Beschwerdegegnerin verbleibt und der Beschwerdeführer für diesen Fall kein Eventualbegehren gestellt hat, wird der Antrag bezüglich Kindesunterhalt gegenstandslos. In Bezug auf das Besuchsrecht hat er keine Beurteilung verlangt.
5.
Zusammengefasst ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden konnte.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend, sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, zeigen doch die vorstehenden Erwägungen auf, dass die Beschwerde von Beginn weg keinen Erfolg haben konnte (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist mangels Einholung einer Stellungnahme kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 1. Zivilkammer, der Beiständin sowie der B urgerlichen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann