Sachverhalt:
A. Die 1970 geborene Y._ zog sich bei einem Unfall vom 21. August 2002 eine Rückenkontusion zu. Am 5. Mai 2004 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich zog die Akten des Unfallversicherers bei, liess zusammen mit diesem ein Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 21. Mai 2005 erstellen und holte einen Bericht des Psychiaters Dr. med. M._ vom 27. Mai 2004 sowie einen Haushalt-Abklärungsbericht vom 20. Juli 2005 ein. Anschliessend sprach sie der Versicherten für die Zeit vom 1. August 2003 bis 31. August 2004 eine halbe Rente zu (Verfügung vom 27. September 2005). Daran wurde mit Einspracheentscheid vom 22. November 2005 festgehalten.
B. Nachdem die Versicherte Beschwerde erhoben hatte, drohte ihr das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 29. Januar 2007 die Vornahme einer reformatio in peius an. Die Beschwerdeführerin hielt am eingelegten Rechtsmittel fest und reichte Berichte des Dr. med. M._ vom 22. Februar sowie 26. März 2007 ein (Schreiben vom 17. April 2007). Mit Entscheid vom 20. Juni 2007 wies das Gericht die Beschwerde ab und hob den Einspracheentscheid vom 22. November 2005 auf mit der Feststellung, dass die Beschwerdeführerin keinen Anspruch auf eine Invalidenrente habe.
C. Y._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr eine Rente zuzusprechen. Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege bezüglich der Gerichtskosten ersucht.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung des Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Im Verfahren vor Bundesgericht kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dementsprechend legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
1.2 Tatsächlicher Natur und damit im dargestellten Rahmen grundsätzlich verbindlich sind insbesondere die Feststellungen zur Arbeits(un)fähigkeit, welche das kantonale Gericht gestützt auf medizinische Untersuchungen trifft (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398). Bei der Beurteilung, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung - oder ein sonstiger vergleichbarer pathogenetisch (ätiologisch) unklarer syndromaler Zustand (<ref-ruling> E. 3.2 S. 399) - mit invalidisierender Wirkung vorliegt, gilt folgende Abgrenzung: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung vorliegt, und, bejahendenfalls, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist dagegen, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (SVR 2008 IV Nr. 23 S. 71 E. 2.2, I 683/06).
2. 2.1 Am 1. Januar 2008 sind die Änderungen des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung (IVG) und anderer Erlasse wie des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2006 (5. IV-Revision, AS 2007 5129 ff.) in Kraft getreten. Auf den vorliegenden Fall sind noch die früheren Gesetzesfassungen anwendbar (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220 mit Hinweisen).
2.2 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über die Begriffe der Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und der Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), die Aufgabe des Arztes oder der Ärztin im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 4 S. 261 mit Hinweisen) sowie den Beweiswert und die Würdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3a S. 352; <ref-ruling> E. 1c S. 160) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Im vorinstanzlichen Entscheid richtig wiedergegeben wird auch die Rechtsprechung zur invalidenversicherungsrechtlichen Behandlung von Beeinträchtigungen der psychischen Gesundheit im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 50) und zur Beurteilung der invalidisierenden Wirkung einer somatoformen Schmerzstörung (<ref-ruling>).
3. 3.1 Laut dem vorinstanzlichen Entscheid ist die Beschwerdeführerin aus rheumatologischer Sicht in der angestammten, aber auch in allen übrigen Tätigkeiten, die nicht mit repetitivem Heben von Gewichten über 15 kg respektive Tätigkeiten in gebückter Stellung verbunden sind, nicht eingeschränkt. Weiter hält das kantonale Gericht sinngemäss fest, bei der Versicherten liege eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung vor. Zur Frage nach dem Vorliegen einer den rechtsprechungsgemässen Anforderungen genügenden Komorbidität (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 unten) erklärt die Vorinstanz, im Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 21. Mai 2005 und im Bericht von Dr. med. M._ vom 27. Mai 2004 werde zwar eine leichte bis mittelgradige depressive Episode diagnostiziert. Diese sei jedoch nicht als ein von der somatoformen Schmerzstörung losgelöstes Leiden im Sinne einer psychischen Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer zu werten. Die Ärzte des medizinischen Zentrums X._ führten zur depressiven Episode nämlich aus, dass diese die Schmerzausweitung zusätzlich unterhalte und vermutlich auf psychosoziale Probleme wie schwierige erste Ehe, Migrationssituation und konflikthafte Beziehung zum jetzigen Ehemann und abgespaltene, auch weitere zurückliegende Belastungssituationen zurückgeführt werden könne. Folglich bestehe das Beschwerdebild der Depression hauptsächlich in Beeinträchtigungen, welche von den belastenden familiären und soziokulturellen Faktoren herrührten und damit invaliditätsfremd seien. Zwar beantworte Dr. med. M._ in seinem Bericht vom 22. Februar 2007 die Frage, ob es sich bei der depressiven Episode um ein von der somatoformen Schmerzstörung losgelöstes Leiden handle, damit, dass das depressive Leiden ursprünglich wohl prämorbid charakterlich bedingt gewesen sei. Darüber, ob die Beschwerdeführerin bereits vor dem Unfall [vom 21. August 2002] an einer Depression gelitten habe, könne Dr. med. M._ aber nur mutmassen, da die Behandlung bei ihm erst im Jahr 2004 begonnen habe. Im Übrigen gehe auch er davon aus, dass sich die Diagnosen seit dem Unfall gegenseitig durchdringen würden, indem die Schmerzen die Depression und die Depression die Schmerzen verstärkten. Die im Gutachten des medizinischen Zentrums X._ als ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit erwähnten körperlichen Begleiterkrankungen beeinträchtigten die Beschwerdeführerin in ihrer funktionellen Leistungsfähigkeit nicht. Sodann liessen die Angaben im Gutachten wie auch jene von Dr. med. M._ nicht auf einen primären Krankheitsgewinn schliessen. Im Gegenteil weise Dr. med. M._ im Bericht vom 26. März 2007 darauf hin, dass ein massiver sekundärer Krankheitsgewinn vorliege, indem die Beschwerdeführerin von ihrer Familie bemitleidet und verwöhnt werde.
3.2 Die Beschwerdeführerin wendet im Wesentlichen ein, das Gutachten des medizinischen Zentrums X._, die ausführlichen Berichte des behandelnden Psychiaters und auch der Regionale Ärztliche Dienst der IV-Stelle gingen von einer mindestens 50%igen Arbeitsunfähigkeit aus. Kein einziger involvierter Arzt habe die Arbeitsunfähigkeit von 50 %, basierend auf der Diagnose der somatoformen Schmerzstörung, in Zweifel gezogen. Es gehe nicht an, dass die Vorinstanz, welche über keine medizinischen Kenntnisse verfüge, ihre Ansicht bezüglich der Arbeitsfähigkeit über das Ermessen aller involvierten Ärzte stelle. Die Vorinstanz missbrauche damit ihr Ermessen. Grundsätzlich falle bei Schmerzverarbeitungsstörungen dem begutachtenden Psychiater die Aufgabe zu, durch die ihm zur Verfügung stehenden diagnostischen Möglichkeiten aufzuzeigen, ob und inwiefern eine versicherte Person über psychische Ressourcen verfüge, die es ihr erlaubten, mit ihren Schmerzen umzugehen. Die zumutbare Arbeitsfähigkeit sei demzufolge vom begutachtenden Psychiater aufzuzeigen und zu beurteilen. Es sei nicht Aufgabe der Vorinstanz, diesen medizinischen Entscheid anstelle des Arztes zu fällen.
3.2 Die Beschwerdeführerin wendet im Wesentlichen ein, das Gutachten des medizinischen Zentrums X._, die ausführlichen Berichte des behandelnden Psychiaters und auch der Regionale Ärztliche Dienst der IV-Stelle gingen von einer mindestens 50%igen Arbeitsunfähigkeit aus. Kein einziger involvierter Arzt habe die Arbeitsunfähigkeit von 50 %, basierend auf der Diagnose der somatoformen Schmerzstörung, in Zweifel gezogen. Es gehe nicht an, dass die Vorinstanz, welche über keine medizinischen Kenntnisse verfüge, ihre Ansicht bezüglich der Arbeitsfähigkeit über das Ermessen aller involvierten Ärzte stelle. Die Vorinstanz missbrauche damit ihr Ermessen. Grundsätzlich falle bei Schmerzverarbeitungsstörungen dem begutachtenden Psychiater die Aufgabe zu, durch die ihm zur Verfügung stehenden diagnostischen Möglichkeiten aufzuzeigen, ob und inwiefern eine versicherte Person über psychische Ressourcen verfüge, die es ihr erlaubten, mit ihren Schmerzen umzugehen. Die zumutbare Arbeitsfähigkeit sei demzufolge vom begutachtenden Psychiater aufzuzeigen und zu beurteilen. Es sei nicht Aufgabe der Vorinstanz, diesen medizinischen Entscheid anstelle des Arztes zu fällen.
3.3 3.3.1 Der Beschwerdeführerin kann insoweit nicht beigepflichtet werden, als sie die Auffassung vertritt, Verwaltung und Gerichte hätten die in einem beweiskräftigen medizinischen Gutachten enthaltene Bezifferung der Arbeitsunfähigkeit ohne weiteres zu übernehmen. Gerade im Zusammenhang mit einer somatoformen Schmerzstörung sind die Organe der Rechtsanwendung vielmehr gehalten, die für die Beurteilung des Vorliegens einer Invalidität massgebenden Kriterien zu prüfen. Die medizinischen Unterlagen bilden zwar auch insoweit die Grundlage der gerichtlichen Beurteilung. Ein Abweichen von den durch die Ärzte gezogenen Schlussfolgerungen ist aber möglich, wenn sich aus rechtlicher Sicht eine andere Einschätzung ergibt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 358 f.).
3.3.2 Was die konkrete Beurteilung anbelangt, lässt sich die diagnostizierte leichte bis mittelgradige depressive Episode - entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen - nicht bereits deshalb als invaliditätsfremd bezeichnen, weil sie auf psychosoziale Faktoren zurückgeführt werden kann. Sobald die entsprechende Diagnose lege artis gestellt wird und der Psychiater oder die Psychiaterin nicht bloss Befunde erhebt, welche in den psychosozialen und soziokulturellen Umständen ihre hinreichende Erklärung finden, gleichsam in ihnen aufgehen, sondern verselbstständigte psychische Störungen diagnostiziert, liegt vielmehr ein invalidenversicherungsrechtlich potenziell relevanter psychischer Gesundheitsschaden vor (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 299). Eine andere Frage ist, ob sich die diagnostizierte depressive Episode im Verhältnis zur somatoformen Schmerzstörung als Komorbidität darstellt oder lediglich als deren (reaktive) Begleiterscheinung zu verstehen ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 358). Diesbezüglich hält Dr. med. M._ in seiner Stellungnahme vom 22. Februar 2007 fest, es sei von einer Komorbidität auszugehen. Die entsprechenden Aussagen im Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 21. Mai 2005 weisen - wenn auch weniger eindeutig - in dieselbe Richtung. Aus der Beschreibung der Symptome und der psychischen Vorgänge in beiden ärztlichen Berichten wird jedoch andererseits deutlich, dass das Schmerzerleben dominiert. Letztlich erübrigt sich jedoch eine nähere Prüfung der Frage nach der Komorbidität. Denn selbst wenn die im Gutachten des medizinischen Zentrums X._ diagnostizierte leichte bis mittelschwere depressive Episode als selbstständiges, von der somatoformen Schmerzstörung losgelöstes Leiden anzusehen wäre, wiese sie unter den gegebenen Umständen die nach der Rechtsprechung erforderliche erhebliche Schwere, Ausprägung und Dauer (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354) nicht auf. Die invalidisierende Wirkung der somatoformen Schmerzstörung müsste sich daher aus den weiteren diesbezüglich relevanten Kriterien (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 f.) ergeben. Dazu hält das kantonale Gericht fest, die im Gutachten des medizinischen Zentrums X._ als ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit erwähnten körperlichen Begleiterkrankungen beeinträchtigten die Beschwerdeführerin in ihrer funktionellen Leistungsfähigkeit nicht. Sodann liessen die Angaben im Gutachten wie auch in den Berichten von Dr. med. M._ nicht auf einen primären Krankheitsgewinn schliessen. Vielmehr weise Dr. med. M._ auf einen massiven sekundären Krankheitsgewinn hin. Wenn die Vorinstanz aus diesen Feststellungen den Schluss zog, die (bei Fehlen einer hinreichend ausgeprägten Komorbidität) relevanten Merkmale seien nicht in dem Ausmass gegeben, welches die Rechtsprechung für die Bejahung des invalidisierenden Charakters einer somatoformen Schmerzstörung verlangt, lässt sich dies nicht beanstanden. In der Beschwerdeschrift werden gegen diese Erwägungen des kantonalen Gerichts denn auch keine Einwände erhoben.
3.4 Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, wenn sie das Vorliegen eines invalidisierenden Gesundheitsschadens verneinte. Auf dieser Basis war die Verneinung eines Rentenanspruchs korrekt. Das kantonale Gericht hat auch die im Falle einer reformatio in peius zu berücksichtigenden Verfahrensregeln (<ref-law>; RKUV 2004 Nr. U 520 S. 442 E. 4, U 202/03) beachtet. Die Beschwerde ist abzuweisen.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1, Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der beantragten vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten) kann gewährt werden (<ref-law>), da die Bedürftigkeit aktenkundig ist und die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen war (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der GastroSocial Ausgleichskasse und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Juni 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger