Sachverhalt:
A. Die 1964 geborene V._ meldete sich im Mai 2005 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Nach Abklärungen (u.a. Gutachten Dr. med. K._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 14. Dezember 2007 und Klinik S._ vom 17. Juni 2009) und nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren wies die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 7. September 2010 das Leistungsbegehren ab.
B. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde der V._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 13. Februar 2012 die angefochtene Verfügung auf und sprach der Versicherten eine Viertelsrente ab 1. August 2005 zu, unter Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zur Festsetzung der Rentenhöhe.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 13. Februar 2012 sei aufzuheben.
V._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Versicherten und ihre Arbeitgeber haben beim Vollzug der Sozialversicherungsgesetze unentgeltlich mitzuwirken (<ref-law>). Kommen die versicherte Person oder andere Personen, die Leistungen der Invalidenversicherung beanspruchen, den Auskunfts- oder Mitwirkungspflichten in unentschuldbarer Weise nicht nach, so kann die IV-Stelle auf Grund der Akten verfügen oder die Erhebungen einstellen und Nichteintreten beschliessen. Sie muss diese Personen vorher schriftlich mahnen und auf die Rechtsfolgen hinweisen; ihnen ist eine angemessene Bedenkzeit einzuräumen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>).
Nach der Rechtsprechung ist im Rahmen von <ref-law> von der Möglichkeit, auf ein Leistungsgesuch nicht einzutreten, nur mit grösster Zurückhaltung Gebrauch zu machen (<ref-ruling> E. 3 S. 47 mit Hinweisen). Nichteintreten kommt erst in Betracht, wenn eine materielle Beurteilung des Leistungsbegehrens auf Grund der gesamten Aktenlage ohne Mitwirkung der Partei ausgeschlossen ist (ARV 2011 S. 61, 8C_882/2009 E. 6.2 mit Hinweisen). Umgekehrt kann ein materieller Entscheid aufgrund der Akten erst ergehen, wenn sich der rechtserhebliche Sachverhalt unabhängig von der als notwendig und zumutbar erachteten Abklärungsmassnahme, der sich die versicherte Person ohne entschuldbaren Grund widersetzt hat, nicht weiter vervollständigen lässt (vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 700/02 vom 24. Juni 2003 E. 2.3 und 3.3).
1.2 Nach Auffassung der Vorinstanz hat die IV-Stelle mit der angefochtenen Verfügung im Sinne von <ref-law> über den Anspruch der Versicherten auf eine Rente der Invalidenversicherung entschieden oder entscheiden wollen, ohne indessen eine tatsächliche Würdigung der vorhandenen Akten vorzunehmen. Diese Betrachtungsweise gibt zu keinen Weiterungen rechtlicher Natur Anlass. In der Folge hat sie die medizinischen Akten gewürdigt und ist zum Ergebnis gelangt, es bestehe seit August 2004 eine Arbeitsunfähigkeit von 40 % aus psychiatrischer Sicht. Von weiteren diesbezüglichen Abklärungen seien keine neuen Erkenntnisse zu erwarten; eine weitere Begutachtung erscheine aufgrund der vorliegenden Unterlagen ohnehin wenig erfolgversprechend. Den Invaliditätsgrad hat die Vorinstanz im Wesentlichen mit der Begründung, die Versicherte könne weiterhin die angestammte Tätigkeit ausüben, auf 40 % festgesetzt, was Anspruch auf eine Viertelsrente ab 1. August 2005 (<ref-law>, in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung) gab (<ref-law>).
2. Die Beschwerde führende IV-Stelle bringt vor, der Sachverhalt im Hinblick auf die psychische Problematik habe nicht ausreichend geklärt werden können. Die beiden Gutachten vom 14. Dezember 2007 (Dr. med. K._) und 17. Juni 2009 (Klinik S._) seien mangels Mitwirkung der Versicherten bei der Untersuchung nicht verwertbar. Die vorinstanzliche Feststellung, im Zeitpunkt der Begutachtung durch Dr. med. K._ sei offenbar eine (auch unter diesem Gesichtspunkt) hinreichende Exploration möglich gewesen, treffe nicht zu. Es erscheine offensichtlich, dass die Versicherte durch ihr Verhalten eine Abklärung verunmögliche. Selbst wenn das Gutachten des Dr. med. K._ vom 14. Dezember 2007 verwertbar wäre, könnte nach der vorliegend anwendbaren Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> eine Arbeitsunfähigkeit aus medizinisch-psychiatrischer Sicht nicht als invalidisierend im rechtlichen Sinne (<ref-law> sowie Art. 3 Abs. 1 und Art. 6 ATSG) anerkannt werden.
3. Die Vorbringen der IV-Stelle sind zu wenig substanziiert, um den vorinstanzlich bejahten Beweiswert des psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. K._ vom 14. Dezember 2007 ernstlich in Frage zu stellen. Vorab bestreitet die Beschwerdeführerin die Feststellung des kantonalen Versicherungsgerichts nicht, dass der Experte beim Untersuchungsbefund die Grundstimmung als anfänglich deutlich dysphorisch-gereizt beschrieb und weiter festhielt, im Verlauf der Exploration sei die Versicherte jedoch zunehmend offener, freundlicher und kooperativer geworden. Deren angeblich unkooperative Verhaltensweise im Rahmen der eineinhalb Jahre späteren Abklärung in der Klinik S._ sodann ist nicht geeignet, die Beweiskraft der Expertise vom 14. Dezember 2007 entscheidend zu mindern, wie die Beschwerdegegnerin in ihrer Vernehmlassung richtig vorbringt. Soweit schliesslich Dr. med. K._ nicht alle Vorakten berücksichtigt haben sollte, insbesondere nicht den im Aktenauszug fehlenden Bericht des Hausarztes Dr. med. W._ vom 4. Mai 2007, legt die IV-Stelle nicht dar, inwiefern die betreffenden Unterlagen für die Beurteilung von psychischem Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht von Bedeutung gewesen wären.
4. 4.1 Dr. med. K._ stellte folgende Diagnosen: Rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig leichte bis mittelgradige Episode mit somatischen Symptomen (ICD-10 F33.01/33.11) und anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4). Die Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht bezifferte er auf 60 % in adaptierten Tätigkeiten. Die IV-Stelle hält richtig fest, dass bei einem solchen Krankheitsbild sich die Frage, inwieweit eine Arbeitsunfähigkeit aus medizinisch-psychiatrischer Sicht als invalidisierend im rechtlichen Sinne (<ref-law> sowie Art. 3 Abs. 1 und Art. 6 ATSG) anzuerkennen ist, nach der mit <ref-ruling> begründeten Rechtsprechung beurteilt (Urteil 9C_936/2011 vom 21. März 2012 E. 2.1 mit Hinweisen).
4.2 4.2.1 Nach der Rechtsprechung kommt einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) ebenso wie grundsätzlich sämtlichen pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 283) nur ausnahmsweise invalidisierender, d.h. einen Rentenanspruch begründender Charakter zu (<ref-law> sowie Art. 3 Abs. 1 und Art. 6 ATSG; grundlegend <ref-ruling>). Entscheidend ist, ob und inwiefern die versicherte Person über psychische Ressourcen verfügt, die es ihr erlauben, trotz den subjektiv erlebten Schmerzen einer Arbeit nachzugehen (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 355; <ref-ruling> E. 4b/cc in fine und E. 5a S. 299 unten). Umstände, die bei Vorliegen eines solchen Krankheitsbildes die Verwertung der verbliebenen Arbeitskraft auf dem Arbeitsmarkt als unzumutbar erscheinen lassen können, sind: Eine Komorbidität im Sinne eines vom Schmerzgeschehen losgelösten eigenständigen psychischen Leidens von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer, chronische körperliche Begleiterkrankungen mit mehrjährigem Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission, sozialer Rückzug, ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn), unbefriedigende Ergebnisse von konsequent durchgeführten Behandlungen (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) und gescheiterte Rehabilitationsmassnahmen bei vorhandener Motivation und Eigenanstrengung der versicherten Person (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 71; <ref-ruling> E 2.2.3 S. 353 ff.; Urteil 9C_1061/2009 vom 11. März 2010 E. 5.4.3.1.1). Umgekehrt sprechen u.a. eine erhebliche Diskrepanz zwischen den geschilderten Schmerzen und dem gezeigten Verhalten oder der Anamnese, die Angabe intensiver in der Umschreibung vager Schmerzen oder behauptete schwere Einschränkungen im Alltag bei weitgehend intaktem psychosozialen Umfeld gegen das Vorliegen eines invalidisierenden Gesundheitsschadens (<ref-ruling> E. 2.1 S. 51; Urteil 9C_736/2011 vom 7. Februar 2012 E. 1.1).
4.2.2 Unabdingbare Grundlage für die Beurteilung der Rechtsfrage, ob und gegebenenfalls inwieweit einer versicherten Person unter Aufbringung allen guten Willens die Überwindung ihrer Schmerzen und die Verwertung ihrer verbleibenden Arbeitskraft zumutbar ist oder nicht, bilden die fachärztlichen Stellungnahmen zum psychischen Gesundheitszustand und zu dem aus medizinischer Sicht (objektiv) vorhandenen Leistungspotenzial (<ref-ruling> E. 2.2.5 S. 355). Bei ihrer Einschätzung der psychischen Ressourcen des Exploranden, mit den Schmerzen umzugehen, haben die begutachtenden Ärzte notwendigerweise auch die vorher genannten Kriterien zu beachten (<ref-ruling> E. 7.1.3 S. 213; <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 355) und sich daran zu orientieren (Ulrich Meyer, Die Rechtsprechung zur Arbeitsunfähigkeitsschätzung bei somatoformen Schmerzstörungen, in: Medizin und Sozialversicherung im Gespräch, 2006, S. 221). Insbesondere haben sie sich dazu zu äussern, ob eine psychische Komorbidität gegeben ist oder weitere Umstände vorliegen, welche die Schmerzbewältigung behindert (SVR 2008 IV Nr. 23 S. 71, I 683/06 E. 2.2). Nicht erforderlich ist, dass sich eine psychiatrische Expertise in jedem Fall über jedes einzelne der genannten Kriterien ausspricht; massgeblich ist eine Gesamtwürdigung der Situation (SVR 2005 IV Nr. 6 S. 21, I 457/02 E. 7.4 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>). Gestützt darauf haben die rechtsanwendenden Behörden zu prüfen, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine im Hinblick auf eine erwerbliche Tätigkeit nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung zu erlauben (Urteil 9C_482/2010 vom 21. September 2010 E. 4.3). Die Prüfung schliesst die Beurteilung der Frage ein, inwiefern die ärztliche Einschätzung der psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit invaliditätsfremde Gesichtspunkte (insbesondere psychosoziale und soziokulturelle Belastungsfaktoren) mitberücksichtigt (Urteil 9C_651/2009 vom 7. Mai 2010 E. 5.1; Urteil 9C_1040/2010 vom 6. Juni 2011 E. 3.4.1; vgl. auch Jörg Jeger, Tatfrage oder Rechtsfrage? Abgrenzungsprobleme zwischen Medizin und Recht bei der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit in der Invalidenversicherung. Ein Diskussionsbeitrag aus der Sicht eines Mediziners [2. Teil], SZS 2011 S. 580 ff.; Urteil 9C_936/2011 vom 21. März 2012 E. 1.2).
4.3 Dr. med. K._ wurde unter Hinweis auf "BGE I 689/03 [<ref-ruling>] Abs. 2.2.3", folgende Zusatzfrage gestellt: "Liegt aus gutachterlicher Sicht die Grundsatzvariante der zumutbaren Schmerzüberwindung vor oder eine der beiden Ausnahmen mit Unzumutbarkeit (spezifizierte 'psychiatrische' Komorbidität und 'andere' qualifizierende Kriterien)?" Der Gutachter gab darauf zur Antwort: "Trotz ungünstigem Verlauf kann man (...) sagen, dass aus gutachterlicher Sicht die zumutbare Schmerzüberwindung doch vorliegt, die körperlichen Schmerzen sind aber eindeutig auf die unbewussten emotionalen Konflikte zurückzuführen und sind nicht willentlich erzeugt. Andererseits depressiv bedingt leidet die Versicherte unter Antriebsstörungen und reduzierter Motivation, was für die Chronifizierung mitverantwortlich ist."
4.3.1 Nach Auffassung der Vorinstanz erfolgte die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit von 60 % aus psychiatrischer Sicht (E. 4.1) unter Berücksichtigung der zumutbaren Schmerzüberwindung, weshalb nicht ohne weiteres von einer Arbeitsfähigkeit von 100 % ausgegangen werden könne. Dieser Sichtweise zufolge ist somit aufgrund der Beurteilung des psychiatrischen Experten (auch) die rechtlich massgebende erhebliche Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer der mittelgradigen depressiven Episode zu bejahen (E. 4.2.2). Dagegen wendet die IV-Stelle ein, die festgestellte depressive Störung sei eine Begleiterscheinung zur Schmerzstörung und somit nach der Rechtsprechung nicht invalidisierend, zumal die von Dr. med. K._ beschriebenen Einschränkungen wie leichte Deprimiertheit, innere Unruhe, leichte Antriebsstörung relativ harmlose psychopathologische Befunde seien. Weiter habe der Gutachter bemerkt, dass eine intensive psychiatrische Behandlung bislang nicht in die Wege geleitet worden sei, was nicht für den bzw. nicht für einen grossen Leidensdruck spreche. Schliesslich sei der angebliche soziale Rückzug nicht plausibel, wenn berücksichtigt werde, dass die persönliche Anamnese sehr bescheiden und kurz ausgefallen sei.
4.3.2 Die Vorinstanz hat nicht anhand der einschlägigen Kriterien geprüft, ob die von Dr. med. K._ attestierte Arbeitsunfähigkeit von 40 % auch rechtlich bedeutsam (invalidisierend) ist. Die Frage ist zu verneinen. Vorab stellen mittelgradige depressive Episoden in der Regel keine von depressiven Verstimmungszuständen klar unterscheidbare andauernde Depression im Sinne eines verselbständigten Gesundheitsschadens dar, die es der betroffenen Person verunmöglichte, die Folgen der Schmerzstörung zu überwinden (SVR 2011 IV Nr. 57 S. 171, 8C_958/2010 E. 6.2.2.2; Urteil 8C_369/2011 vom 9. August 2011 E. 4.3.2 mit Hinweisen). Leichte bis höchstens mittelschwere psychische Störungen aus dem depressiven Formenkreis gelten auch grundsätzlich als therapeutisch angehbar (vgl. Habermeyer/ venzlaff, Affektive Störungen, in: Psychiatrische Begutachtung, 5. Aufl. 2009, S. 193; SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 5.3.4; Urteil 9C_736/2011 vom 7. Februar 2012 E. 4.2.2.1). In diesem Zusammenhang fällt entscheidend ins Gewicht, dass nach Lage der Akten die Beschwerdegegnerin bisher in keiner psychiatrischen oder psychotherapeutischen Behandlung stand. Schon deshalb und ohne dass weitere Abklärungen notwendig wären, verbietet sich der Schluss, sie verfüge nicht über genügende psychische Ressourcen, die es ihr erlauben, trotz ihrer Schmerzen einer Erwerbstätigkeit in einem den Anspruch auf eine Rente ausschliessenden zeitlichen Umfang nachzugehen. Insoweit unterscheidet sich der vorliegende von dem im Urteil 8C_20/2011 vom 9. Juni 2011 beurteilten Sachverhalt. Nicht einschlägig ist auch das von der Versicherten erwähnte Urteil 9C_980/2010 vom 20. Juni 2011, in dem es nicht um einen Anwendungsfall der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> ging.
4.4 Nach dem Gesagten besteht in rechtlicher Hinsicht kein Raum für die Annahme einer psychisch bedingten (teilweisen) Einschränkung der Arbeitsfähigkeit, was einen Rentenanspruch ausschliesst. Der eine Viertelsrente zusprechende vorinstanzliche Entscheid verletzt Bundesrecht (<ref-law>).
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 13. Februar 2012 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. August 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler