Sachverhalt:
A. A.a A._ (Beschwerdeführerin) und ihr Lebenspartner B._ wohnten zusammen in Spanien. B._ besass bei der Bank X._ AG (Beschwerdegegnerin) ein Nummernkonto und Nummerndepot. Nach seinem Tod am 18. Juli 2002 bezog A._ davon in der Zeit vom 7. August 2002 bis zum 7. November 2002 Beträge von insgesamt Fr. 647'356.65. Sie stützte sich dabei auf eine ihr von B._ mit Wirkung über den Tod hinaus erteilte Vollmacht.
A.b Am 15. Juni 2004 erhoben die vier Kinder von B._ als gesetzliche Erben beim Richteramt Solothurn-Lebern Klage gegen die Bank X._ AG mit dem Antrag, diese sei zur Zahlung von Fr. 631'858.40 zu verurteilen. Zur Begründung führten sie im Wesentlichen aus, die Bank X._ AG habe ihre Treue- und Sorgfaltspflichten aus dem nun neu mit ihnen bestehenden Depotvertrag mehrfach verletzt. Die Bank X._ AG verkündete A._ den Streit. Mit Verfügung vom 27. November 2006 stellte der Amtsgerichtspräsident fest, dass sich diese in keiner Weise am Prozess beteiligen wolle.
A.c Am 14. Dezember 2006 schlossen die Parteien einen Vergleich. Die Bank X._ AG verpflichtete sich darin zur Zahlung eines Betrages von Fr. 450'000.-- an die gesetzlichen Erben. Diese traten sämtliche ihnen allenfalls gegenüber A._ zustehenden Rechte vollumfänglich der Bank X._ AG ab. Das Verfahren wurde daraufhin abgeschrieben und die Gerichtskosten von Fr. 6'420.-- wurden der Bank X._ AG auferlegt.
B. B.a Mit Vorladungsbegehren vom 7. August 2008 reichte die Bank X._ AG beim Richteramt Solothurn-Lebern Klage gegen A._ ein mit dem Antrag, diese sei zur Zahlung von Fr. 498'920.-- zu verurteilen. Dieser Betrag setzt sich zusammen aus dem gestützt auf den Vergleich den gesetzlichen Erben bezahlten Betrag von Fr. 450'000.--, den Gerichtskosten von Fr. 6'420.-- sowie eigenen Anwalts- und übrigen Rechtskosten von Fr. 42'500.--.
Mit Urteil vom 22. April 2009 hiess das Amtsgericht die Klage gut.
B.b Die Bank X._ AG liess gestützt auf dieses Urteil Vermögenswerte von A._ verarrestieren. Das im Rahmen der Arrestprosequierung gestellte Gesuch um definitive Rechtsöffnung wies das Bezirksgericht Zürich am 4. Februar 2010 ab, weil das Urteil des Amtsgerichts Solothurn-Lebern vom 22. April 2009 nichtig sei. Das Urteil sei ergangen, ohne dass A._ vom Prozess Kenntnis gehabt habe und ohne dass die Voraussetzungen für ein Säumnisurteil erfüllt gewesen seien.
B.c Am 23. September 2010 reichte die Bank X._ AG beim Richteramt Solothurn-Lebern erneut Klage gegen A._ auf Zahlung von Fr. 498'920.-- ein.
Mit Urteil vom 5. Mai 2011 hiess das Amtsgericht die Klage teilweise gut und verpflichtete A._ zur Zahlung von Fr. 476'280.85.
B.d Gegen dieses Urteil erhob A._ beim Obergericht des Kantons Solothurn Berufung und beantragte, das Urteil des Amtsgerichts sei aufzuheben und die Klage abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Eventualiter sei das Verfahren zur Ergänzung des Sachverhalts an das Amtsgericht zurückzuweisen.
Mit Urteil vom 17. April 2012 wies das Obergericht des Kantons Solothurn die Berufung ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 23. Mai 2012 beantragt A._ dem Bundesgericht sinngemäss, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn aufzuheben und die Klage abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Eventualiter sei die Sache zur korrekten Feststellung des Sachverhaltes sowie zur Wahrung des rechtlichen Gehörs der Parteien an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Die Parteien reichten unaufgefordert Replik und Duplik ein.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Entscheid (Art. 90 BGG) einer oberen kantonalen Instanz, die auf ein Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich in einer Zivilsache entschieden hat (Art. 75 i.V.m. Art. 72 BGG), die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (Art. 76 Abs. 1 BGG), der massgebende Streitwert beträgt mehr als Fr. 30'000.-- (Art. 51 i.V.m. Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist somit unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung einzutreten.
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, namentlich die erfolgten Parteivorbringen (Urteile 4A_60/2012 vom 30. Juli 2012 E. 1.4; 4A_210/2009 vom 7. April 2010 E. 2). Die erstinstanzlich getroffenen Feststellungen sind für das Bundesgericht insoweit verbindlich, als sie von der Vorinstanz zumindest implizit übernommen worden sind (<ref-ruling> E. 1; Urteil 4A_60/2012 vom 30. Juli 2012 E. 1.4).
2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe Art. 5 Ziff. 1 und 3 LugÜ sowie Art. 74 OR verletzt, indem sie ihre internationale bzw. örtliche Zuständigkeit bejaht habe.
2.1 Die Vorinstanz hat ausgeführt, Hintergrund des Verfahrens sei ein Nummerndepot-/Nummernkonto-Vertrag. Erfüllungsort sei I._, weil das Konto dort geführt worden sei. Die Beschwerdeführerin habe von diesem Konto - nach Ansicht der Beschwerdegegnerin unbefugterweise - Geld abgehoben. Die örtliche Zuständigkeit lasse sich somit sowohl auf Art. 5 Ziff. 1 (Vertragsgerichtsstand) als auch auf Art. 5 Ziff. 3 LugÜ (Deliktsgerichtsstand) stützen.
Dagegen bringt die Beschwerdeführerin vor, der Vertragsgerichtsstand falle weg, weil zwischen den Parteien kein direktes Vertragsverhältnis bestanden habe, wie die Vorinstanz in der Sache selbst zutreffend ausgeführt habe. Ohnehin wäre der Erfüllungsort der vertraglichen Hauptleistung nach Art. 74 Abs. 2 Ziff. 1 OR zu bestimmen, wonach Geldschulden am Ort zu zahlen seien, wo der Gläubiger seinen Wohnsitz habe, mithin in Spanien. Auch der Deliktsgerichtsstand falle weg, da die Beschwerdegegnerin ihre Forderung zu Recht nicht auf eine unerlaubte Handlung stütze.
Dagegen bringt die Beschwerdeführerin vor, der Vertragsgerichtsstand falle weg, weil zwischen den Parteien kein direktes Vertragsverhältnis bestanden habe, wie die Vorinstanz in der Sache selbst zutreffend ausgeführt habe. Ohnehin wäre der Erfüllungsort der vertraglichen Hauptleistung nach Art. 74 Abs. 2 Ziff. 1 OR zu bestimmen, wonach Geldschulden am Ort zu zahlen seien, wo der Gläubiger seinen Wohnsitz habe, mithin in Spanien. Auch der Deliktsgerichtsstand falle weg, da die Beschwerdegegnerin ihre Forderung zu Recht nicht auf eine unerlaubte Handlung stütze.
2.2 2.2.1 Da die Klage vor dem 1. Januar 2011 erhoben wurde, ist in zeitlicher Hinsicht entgegen der Ansicht der Vorinstanz noch das Übereinkommen vom 16. September 1988 über die gerichtliche Zuständigkeit und die Vollstreckung gerichtlicher Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen (aLugÜ; AS 1991 2436) anwendbar (vgl. Art. 63 Abs. 1 LugÜ; SR 0.275.12). Die Beschwerdeführerin hatte ihren Wohnsitz im Zeitpunkt der Klageanhebung in Spanien, mithin in einem anderen Vertragsstaat. Art. 5 aLugÜ ist damit grundsätzlich anwendbar (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 81).
2.2.2 Nach Art. 5 Ziff. 1 aLugÜ kann eine Person in einem anderen Vertragsstaat, wenn ein Vertrag oder Ansprüche aus einem Vertrag den Gegenstand des Verfahrens bilden, vor dem Gericht des Ortes verklagt werden, an dem die Verpflichtung erfüllt worden ist oder zu erfüllen wäre. Der Vertragsgerichtsstand kommt auch zur Anwendung, wenn der Bestand oder die Gültigkeit eines Vertrags in Frage stehen (<ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 3a S. 299). Entscheidend ist der klägerische Tatsachenvortrag (<ref-ruling> E. 6.2 und 6.2.1; vgl. OBERHAMMER, in: Dasser/Oberhammer [Hrsg.], Kommentar zum Lugano-Übereinkommen, 1. Aufl. 2008, N. 17 zu Art. 5 aLugÜ; HOFMANN/KUNZ, in: Basler Kommentar, LugÜ, 2011, N. 111 zu Art. 5 LugÜ; SCHLOSSER, EU-Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2009, N. 4 zu Art. 5 EuGVVO; GEIMER/SCHÜTZE, Europäisches Zivilverfahrensrecht, 3. Aufl. 2010, N. 74 zu Art. 5 EuGVVO).
2.2.3 Nach Art. 5 Ziff. 3 aLugÜ kann eine Person in einem anderen Vertragsstaat vor dem Gericht des Ortes, an dem ein schädigendes Ereignis eingetreten ist, verklagt werden, wenn "eine unerlaubte Handlung oder eine Handlung, die einer unerlaubten Handlung gleichgestellt ist, oder wenn Ansprüche aus einer solchen Handlung den Gegenstand des Verfahrens bilden". Der Begriff der unerlaubten Handlung i.S.v. Art. 5 Ziff. 3 aLugÜ ist staatsvertraglich autonom auszulegen (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 4a). Er bezieht sich auf alle Ansprüche, welche eine Haftung des angeblichen Schädigers begründen würden, die nicht an einen Vertrag im Sinne von Art. 5 Ziff. 1 aLugÜ anknüpft (BGE <ref-ruling> E. 4 S. 289; <ref-ruling> E. 4a mit Hinweisen; Urteil 4C.329/2005 vom 5. Mai 2006 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Als eingetreten wird das schädigende Ereignis sowohl am Ort der Vornahme der deliktischen Handlung wie am Ort des Erfolgs anerkannt (BGE <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen).
2.2.4 Es ist Sache des Gerichts, den Tatsachenvortrag des Klägers zu subsumieren und zu prüfen, ob der behauptete - oder im Fall einer negativen Feststellungsklage der als inexistent bezeichnete - Anspruch im Falle seiner Begründetheit ein vertraglicher i.S.v. Art. 5 Ziff. 1 aLugÜ oder allenfalls ein deliktischer i.S.v. Art. 5 Ziff. 3 aLugÜ wäre (BGE <ref-ruling> E. 4c/aa S. 351; <ref-ruling> E. 3.2 S. 286; vgl. auch <ref-ruling> E. 3b/cc S. 252; Urteil 4C.329/2005 vom 5. Mai 2006 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; HOFMANN/KUNZ, a.a.O., N. 641 zu Art. 5 LugÜ; GEIMER/SCHÜTZE, a.a.O., N. 74 zu Art. 5 EuGVVO).
2.3 Gemäss den Feststellungen des erstinstanzlichen Gerichts machte die Beschwerdegegnerin geltend, der verstorbene Lebenspartner der Beschwerdeführerin habe bei ihr ein Nummernkonto und ein dazugehöriges Wertschriftendepot gehabt. Die Beschwerdeführerin habe von ihrer über den Tod ihres Lebenspartners hinaus gültigen Vollmacht über dieses Konto Gebrauch gemacht, indem sie zwischen dem 7. August 2002 und dem 7. November 2002 Beträge von insgesamt Fr. 647'356.65 bezogen habe. Zum Nachweis ihrer Berechtigung habe die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin das angeblich vom Verstorbenen verfasste Schreiben vom 21. Mai 2002 vorgelegt, worin dieser den Wunsch geäussert habe, nach seinem Tod solle das Konto bei der Beschwerdegegnerin von der Beschwerdeführerin übernommen werden. Ohne dieses Schreiben wären ihr die Beträge nicht ausbezahlt worden. Das Testament sei aber vom Verstorbenen weder verfasst noch unterzeichnet worden. Es sei gefälscht, und zwar vermutlich von der Beschwerdeführerin. Sie habe die Beschwerdegegnerin mit einem gefälschten Testament absichtlich in die Irre geführt. Als Folge der ohne Zustimmung der Erben des Verstorbenen getätigten Bezüge sei der Beschwerdegegnerin ein Schaden in der Höhe von Fr. 498'920.-- entstanden. In rechtlicher Hinsicht stütze sie ihre Klage auf Art. 402 Abs. 2 OR.
Das erstinstanzliche Gericht hiess die Klage teilweise gut. Es ging von einem vertraglichen Anspruch aus, dies mit der Begründung, Art. 402 Abs. 2 OR finde "sowohl nach den allgemeinen Grundsätzen des Stellvertretungsrechts (Art. 32 ff. OR) als auch nach den vertraglichen Vereinbarungen (...) zwischen der Klägerin und der Beklagten [Verweis auf den Nummerndepot-/Nummernkonto-Vertrag des Verstorbenen, die erteilte Vollmacht und die dazugehörige Unterschriftenkarte] nicht nur auf den Auftraggeber als direkten Vertragspartner der Bank, sondern auch auf eine(n) von diesem bevollmächtigte(n) Stellvertreter(in) Anwendung, im vorliegenden Fall also auf die Beklagte". Demgegenüber hielt die Vorinstanz fest, die Beschwerdeführerin habe im Zusammenhang mit dem umstrittenen Konto in keinen direkten vertraglichen Beziehungen zur Beschwerdegegnerin gestanden. Sie habe lediglich als Stellvertreterin gehandelt.
2.4 Die Beschwerdegegnerin stützte ihren Anspruch in rechtlicher Hinsicht auf Art. 402 Abs. 2 OR. Sie scheint dabei wie das erstinstanzliche Gericht der Auffassung zu sein, aufgrund der erteilten Vollmacht sei Auftragsrecht nicht nur auf das Verhältnis zwischen ihr und dem Verstorbenen anwendbar, sondern auch auf das Verhältnis zwischen ihr und der bevollmächtigten Beschwerdeführerin. Die Vorinstanz hat diese Rechtsauffassung zutreffend als falsch erkannt und hat im Zusammenhang mit dem umstrittenen Konto direkte vertragliche Beziehungen zwischen den Parteien verneint. Gestützt auf den Tatsachenvortrag der Beschwerdegegnerin, wonach die Beschwerdeführerin zum Nachweis ihrer Berechtigung ein gefälschtes Testament verwendet habe, wäre primär ein Anspruch aus Art. 41 OR zu prüfen (vgl. auch <ref-ruling> E. 1a S. 453). Die Beschwerdegegnerin hat denn auch gar nicht behauptet, dass die Beschwerdeführerin die Bezüge im Rahmen eines mit ihr bestehenden Vertragsverhältnisses getätigt hätte. Bei korrekter Subsumption des Tatsachenvortrags der Beschwerdegegnerin liegt somit keine Vertragsstreitigkeit vor. Der behauptete Anspruch ist im Falle seiner Begründetheit (unbesehen weiterer möglicherweise bestehender Anspruchsgrundlagen) in erster Linie als deliktischer i.S.v. Art. 5 Ziff. 3 aLugÜ zu qualifizieren. Zur Beurteilung eines solchen Anspruchs sind nach dieser Bestimmung die Gerichte am Handlungs- oder am Erfolgsort zuständig. Jedenfalls der Erfolgsort liegt in I._, wo der Schaden bei der Beschwerdegegnerin eingetreten ist. Die Vorinstanz hat somit weder Völker- noch Bundesrecht verletzt, wenn sie ihre Zuständigkeit bejaht hat. Ob die Vorinstanz auch dafür zuständig war, andere Anspruchsgrundlagen zu prüfen, kann an dieser Stelle offen bleiben.
3. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung von Art. 317 und Art. 57 i.V.m. 53 ZPO dadurch vor, dass sie ihre Verjährungseinrede als unzulässiges Novum qualifiziert und daher nicht berücksichtigt habe.
3.1 Im Einzelnen bringt die Beschwerdeführerin vor, die Beschwerdegegnerin habe mit ihrer Klage einen vertraglichen Anspruch geltend gemacht. Im erstinstanzlichen Verfahren sei eine andere als eine vertragliche Anspruchsgrundlage weder behauptet noch thematisiert worden. Das erstinstanzliche Gericht habe die Klage denn auch mit der Begründung gutgeheissen, die Beschwerdegegnerin habe einen auftragsrechtlichen Schadenersatzanspruch gegen die Beschwerdeführerin. In der Berufungsschrift habe die Beschwerdeführerin dann neue rechtliche Argumente vorgebracht und eine Haftung nach Art. 423 i.V.m. Art. 62 OR thematisiert. Zeitgleich habe sie geltend gemacht, entsprechende Ansprüche seien verjährt. Dies sei nach Art. 317 ZPO zulässig. Die Verteidigung der Beschwerdeführerin habe sich im erstinstanzlichen Verfahren auf die Vorbringen und das Behauptungsfundament der Beschwerdegegnerin gestützt. Sie sei nicht dazu verpflichtet gewesen, vorsorglich Einreden zu erheben, die keinen Zusammenhang mit den Behauptungen der Beschwerdegegnerin aufgewiesen hätten. Auch sei sie nicht verpflichtet gewesen, in ihrer Berufungsschrift auf die zutreffenden Rechtsgrundlagen hinzuweisen. Hätte die Vorinstanz von sich aus die Anwendung von Art. 423 i.V.m. Art. 62 OR in Betracht gezogen, wäre den Parteien das rechtliche Gehör gewährt worden und hätte die Beschwerdeführerin auch noch bei dieser Gelegenheit die Verjährungseinrede vorbringen können.
3.2 Das erstinstanzliche Gericht hat ausführliche Feststellungen über die Vorbringen der Parteien getroffen. Die Beschwerdegegnerin habe geltend gemacht, die Beschwerdeführerin habe als Einzel-Bevollmächtigte den mit ihrem verstorbenen Lebenspartner bestehenden Vertrag und am 28. Oktober 2002 auch einen eigenen Vertrag mit der Beschwerdegegnerin unterzeichnet. Sie hafte gestützt auf Art. 402 Abs. 2 OR für den der Beschwerdegegnerin entstandenen Schaden. Die Beschwerdeführerin habe im Wesentlichen geltend gemacht, ein Schadenersatzanspruch bestehe nicht, sie müsse den von der Beschwerdegegnerin abgeschlossenen Vergleich nicht gegen sich gelten lassen und sie sei ohnehin nicht deren Vertragspartnerin gewesen.
Die Vorinstanz hat ausgeführt, das erstinstanzliche Gericht habe die Klage gestützt auf Auftragsrecht gutgeheissen. Die Beschwerdeführerin rüge zu Recht, dass sie im Zusammenhang mit dem vorliegend umstrittenen Konto in keinen direkten vertraglichen Beziehungen zur Beschwerdegegnerin gestanden habe. Sie habe lediglich als Stellvertreterin gemäss Art. 32 ff. OR gehandelt. Die Vorinstanz schützte das erstinstanzliche Urteil allerdings mit der Begründung, die Beschwerdeführerin hafte wegen Überschreitung der Vollmacht nach Art. 39 Abs. 1 OR bzw. aufgrund unechter Geschäftsführung ohne Auftrag nach Art. 423 Abs. 1 OR. Im Rahmen der Ausführungen zu beiden Anspruchsgrundlagen hielt die Vorinstanz jeweils fest, die Einrede der Verjährung sei als unzulässiges Novum zu qualifizieren (Art. 317 Abs. 1 ZPO). Zum angeblich vom Verstorbenen verfassten Testament vom 21. Mai 2002 führte die Vorinstanz aus, trotz eines bei der Kantonspolizei eingeholten Schriftgutachtens sei unklar geblieben, ob das Schreiben gefälscht sei.
3.3 Die Verjährungseinrede kann im Rechtsmittelverfahren nicht unbeschränkt, sondern nur nach Massgabe des Novenrechts vorgebracht werden (vgl. <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen). Nach Art. 317 Abs. 1 ZPO werden neue Tatsachen und Beweismittel im Berufungsverfahren nur noch berücksichtigt, wenn sie ohne Verzug vorgebracht werden (lit. a) und trotz zumutbarer Sorgfalt nicht schon vor erster Instanz vorgebracht werden konnten (lit. b). Im Fall von unechten Noven kann dies etwa dann der Fall sein, wenn eine bestimmte Thematik erstmals im Berufungsverfahren aufgebracht wird, weshalb kein Anlass bestanden hat, die im erstinstanzlichen Verfahren bekannten Tatsachen bzw. Beweismittel bereits dort vorzubringen (REETZ/HILBER, in: Sutter-Somm, N. 61 zu Art. 317 ZPO).
3.4 Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen hat die Beschwerdegegnerin ihren Anspruch in der Klage auf Auftragsrecht gestützt. Die Beschwerdeführerin hat im erstinstanzlichen Verfahren nicht nur geltend gemacht, sie sei nicht Vertragspartnerin der Beschwerdegegnerin gewesen, sondern hat einen vertraglichen Anspruch auf Schadenersatz auch aus anderen Gründen bestritten, namentlich mit dem Argument, sie müsse den von der Beschwerdegegnerin abgeschlossenen Vergleich nicht gegen sich gelten lassen. Eine andere als eine vertragliche Anspruchsgrundlage wurde im erstinstanzlichen Verfahren auch durch das Gericht nicht thematisiert, das in seinem Urteil denn auch einen vertraglichen Anspruch bejahte. Unter diesen Umständen konnte von der Beschwerdeführerin nicht verlangt werden, Einreden vorzubringen, die sich gegen eine Haftung gestützt auf eine andere als eine vertragliche Grundlage richten. Es trifft zwar zu, dass der Tatsachenvortrag der Beschwerdegegnerin bereits im erstinstanzlichen Verfahren anders zu subsumieren war, als es diese und das erstinstanzliche Gericht getan haben. Der Begriff der zumutbaren Sorgfalt würde aber zu weit ausgelegt, wenn von der Beschwerdeführerin verlangt würde, sich als beklagte Partei nicht nur gegen die falsche Haftungsgrundlage zu wehren, sondern in sich möglicherweise selbst schadender Weise auch noch die korrekte Haftungsgrundlage mit den dazugehörenden Einreden zu präsentieren. Die Vorinstanz hat somit Art. 317 Abs. 1 ZPO verletzt, indem sie die Einrede der Verjährung nicht berücksichtigt hat.
3.5 Die Vorinstanz hat einen Anspruch der Beschwerdegegnerin sowohl wegen vollmachtloser Stellvertretung als auch gestützt auf eine unechte Geschäftsführung ohne Auftrag bejaht.
3.5.1 Eine Haftung wegen vollmachtloser Stellvertretung setzt ein Handeln ohne Vollmacht bzw. eine Überschreitung einer bestehenden Vollmacht voraus. Der Inhalt bzw. der Umfang der vom Verstorbenen erteilten Vollmacht lässt sich den vorinstanzlichen Feststellungen aber nicht entnehmen. Die Beschwerdeführerin hat sich bei ihren Bezügen auf ein Schreiben vom 21. Mai 2002 gestützt, mit welchem der Verstorbene ihr das Bankkonto vermacht habe. Sie hat weiter einen vom Verstorbenen diktierten Brief vom 16. Mai 2002 vorgelegt, wonach das Konto bei der Beschwerdegegnerin ihr gehören soll und sie, wenn er nicht mehr da sei, zur Bank gehen und das Geld nehmen solle. Die Vorinstanz hat offen gelassen, ob das Dokument vom 21. Mai 2002 gefälscht sei, da die Beschwerdeführerin das Vermächtnis ohnehin nicht selbst vollstrecken dürfe und sie damit die Vollmacht zweckwidrig verwendet habe. Damit verkennt die Vorinstanz, dass ein Grund für die Erteilung einer Vollmacht über den Tod hinaus gerade darin besteht, dass nach dem Tod des Kontoinhabers ohne Erbenformalitäten weiter über das Konto verfügt werden kann. Entscheidend ist vielmehr, ob die Bezüge vom Umfang der erteilten Vollmacht gedeckt waren.
Lässt sich der Anspruch der Beschwerdegegnerin auf keine andere Grundlage stützen, wird die Vorinstanz somit den Umfang der Vollmacht abzuklären haben. Falls sie zum Schluss kommen sollte, die Vollmacht habe die Beschwerdeführerin nicht zu den Bezügen ermächtigt, wird sie bei gegebener Zuständigkeit das anwendbare Recht zu bestimmen und danach zu prüfen haben, ob ein Anspruch besteht und ob dieser verjährt ist.
3.5.2 Gewinnherausgabeansprüche nach Art. 423 Abs. 1 OR unterliegen wie Ansprüche aus Art. 41 ff. OR der Verjährungsfrist von Art. 60 OR (<ref-ruling> E. 4b/ee S. 387). Nach Art. 60 Abs. 1 OR verjährt der Anspruch auf Schadenersatz in einem Jahr ab Kenntnis des Schadens und der Person des Ersatzpflichtigen durch den Geschädigten. Wird die Klage aus einer strafbaren Handlung hergeleitet, für die das Strafrecht eine längere Verjährung vorschreibt, so gilt diese auch für den Zivilanspruch (Art. 60 Abs. 2 OR). Wäre ein Anspruch aus Art. 423 OR verjährt oder lässt sich der Anspruch der Beschwerdegegnerin auf Art. 41 OR stützen, so kann offen bleiben, ob die Vorinstanz zur Beurteilung eines Anspruchs aus unechter Geschäftsführung ohne Auftrag überhaupt zuständig war und ob sie einen solchen zu Recht bejaht hat.
Die Beschwerdegegnerin verlangt von der Beschwerdeführerin den Ersatz des Schadens, der ihr durch Zahlung der Vergleichssumme und der Gerichtskosten gestützt auf den Vergleich vom 14. Dezember 2006 sowie durch die eigenen Kosten des Rechtsstreits entstanden ist. Sie hatte somit ab dem 14. Dezember 2006 Kenntnis des Schadens und der Ersatzpflichtigen. Das Vorladungsbegehren zum ersten Verfahren vor dem Richteramt Solothurn-Lebern datiert vom 7. August 2008, mithin von über einem Jahr später. Ansprüche aus Art. 423 und Art. 41 OR wären somit verjährt, wenn der Beschwerdeführerin nicht eine strafbare Handlung zur Last gelegt werden kann, für die das Strafrecht eine längere Verjährung vorschreibt. Es ist somit zu prüfen, ob das Verhalten der Beschwerdeführerin einen entsprechenden Straftatbestand erfüllt hat. Dazu hat sich die Vorinstanz nicht geäussert und die Frage lässt sich unter Zugrundelegung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht beantworten. Die Sache ist daher zur Ergänzung des Sachverhalts und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG).
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdeführerin dringt mit ihren Begehren damit nur teilweise durch. Da zum jetzigen Zeitpunkt zudem noch ungewiss ist, in welchem Umfang sie in der Sache obsiegen wird, erscheint es gerechtfertigt, die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und die Parteikosten wettzuschlagen (vgl. Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 17. April 2012 aufgehoben. Die Sache wird zur Ergänzung des Sachverhalts und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 7'500.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Schreier