Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die Einzelrichterin in Ehesachen am Bezirksgericht Zürich regelte mit Verfügung vom 17. April 2000 das Getrenntleben der Ehegatten X._. Sie verpflichtete AX._ unter anderem, seiner Ehefrau ab Eintritt der Rechtskraft monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 14'300.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen zu bezahlen. Der Betrag setzte sich aus Fr. 2'000.-- für jedes der drei Kinder und Fr. 8'300.-- für die Ehefrau persönlich zusammen.
Mit Beschluss vom 27. Februar 2001 hiess das Obergericht das Kantons Zürich, I. Zivilkammer, einen Rekurs von AX._ und den Anschlussrekurs seiner Ehefrau je teilweise gut. Es verpflichtete AX._ unter anderem, seiner Ehefrau rückwirkend ab dem 1. Januar 2000 monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 7'800.-- zu bezahlen, nämlich Fr. 2'000.-- für jedes der drei Kinder und Fr. 1'800.-- für die Ehefrau persönlich, jeweils auf den Ersten eines jeden Monats.
Das Kassationsgericht des Kantons Zürich hiess die gegen den Beschluss des Obergerichts gerichtete Nichtigkeitsbeschwerde der Ehefrau am 7. Juli 2001 gut und wies die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück.
Mit neuem Beschluss vom 2. April 2002 verpflichtete das Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, AX._ unter anderem, seiner Ehefrau rückwirkend ab dem 1. Januar 2000 monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 7'700.-- zu bezahlen, nämlich bis 15. März 2001 Fr. 2'000.-- für jedes der drei Kinder und Fr. 1'700.-- für die Ehefrau persönlich, und danach je Fr. 2'000.-- für die beiden gemeinsamen Söhne und Fr. 3'700.-- für die Ehefrau persönlich, jeweils auf den Ersten eines jeden Monats.
B. Das Obergericht des Kantons Zürich verurteilte AX._ in zweiter Instanz am 13. Juni 2003 wegen Vernachlässigung von Unterstützungspflichten (Tatzeiträume: 1. Mai 2001 bis 1. Juli 2001 sowie 1. Mai 2002 bis 1. Juni 2002) zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 10 Tagen. Vom Vorwurf der Vernachlässigung von Unterstützungspflichten für die weiteren angeklagten Zeiträume sprach das Gericht AX._ frei.
Mit Zirkulationsbeschluss vom 24. Dezember 2003 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde des Verurteilten ab, soweit es darauf eintrat.
Mit Zirkulationsbeschluss vom 24. Dezember 2003 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde des Verurteilten ab, soweit es darauf eintrat.
C. AX._ führt eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. Juni 2003 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich verzichten auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin hat sich innert Frist nicht vernehmen lassen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer macht geltend, es sei kein gültiger Strafantrag gestellt worden. Im Zeitpunkt, als der Strafantrag am 27. Juni 2001 gestellt worden sei, habe zwar der Beschluss der I. Zivilkammer des Obergerichts vom 27. Februar 2001 vorgelegen. Auch sei der gegen diesen Beschluss eingereichten kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde keine aufschiebende Wirkung zugekommen. Doch sei der Beschluss der I. Zivilkammer des Obergerichts vom 27. Februar 2001 mit Beschluss des Kassationsgerichts am 7. Juli 2001 mit Wirkung ex tunc aufgehoben worden. Damit habe im Zeitpunkt des Strafantrags kein gültiger, zivilrechtlicher Entscheid über die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers vorgelegen. Das sei umso beachtlicher, als seine damalige Ehefrau am 16. Juni 2002 lediglich bestätigt habe, sie halte am Strafantrag fest. Ihr Rechtsvertreter habe ergänzt, dass der Strafantrag "bis heute ausgedehnt" werde. Da kein gültiger Strafantrag gestellt worden sei, habe er jedoch auch nicht aufrecht erhalten oder ausgedehnt werden können. Der Entscheid der Vorinstanz verletze <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> (Beschwerde, S. 5 f.).
Die Einwände des Beschwerdeführers sind offensichtlich unbegründet. Der Beschwerdeführer stellt zu Recht nicht in Frage, dass er damals von Gesetzes wegen eine Unterhaltspflicht gegenüber seiner Ehefrau und den gemeinsamen Kindern hatte. Besteht eine solche Verpflichtung, bedarf sie nach der Rechtsprechung nicht der Bestätigung durch ein Gerichtsurteil, um den Schutz des <ref-law> zu geniessen (vgl. <ref-ruling> E. 3 mit Hinweis). Das Antragsrecht nach Abs. 2 dieser Bestimmung steht den Berechtigten somit unabhängig davon zu, ob ein Gericht über die Höhe der Unterhaltsbeiträge (rechtskräftig) entschieden hat. Daraus folgt, dass die damalige Ehefrau des Beschwerdeführers für sich selbst und die gemeinsamen unmündigen Kinder im Sinne von <ref-law> berechtigt war, Strafantrag wegen Vernachlässigung von Unterhaltspflichten zu stellen.
Die Einwände des Beschwerdeführers sind offensichtlich unbegründet. Der Beschwerdeführer stellt zu Recht nicht in Frage, dass er damals von Gesetzes wegen eine Unterhaltspflicht gegenüber seiner Ehefrau und den gemeinsamen Kindern hatte. Besteht eine solche Verpflichtung, bedarf sie nach der Rechtsprechung nicht der Bestätigung durch ein Gerichtsurteil, um den Schutz des <ref-law> zu geniessen (vgl. <ref-ruling> E. 3 mit Hinweis). Das Antragsrecht nach Abs. 2 dieser Bestimmung steht den Berechtigten somit unabhängig davon zu, ob ein Gericht über die Höhe der Unterhaltsbeiträge (rechtskräftig) entschieden hat. Daraus folgt, dass die damalige Ehefrau des Beschwerdeführers für sich selbst und die gemeinsamen unmündigen Kinder im Sinne von <ref-law> berechtigt war, Strafantrag wegen Vernachlässigung von Unterhaltspflichten zu stellen.
2. Der Beschwerdeführer bringt vor, die persönlichen Unterhaltsbeiträge an seine Ehefrau seien damals vom Obergericht nur deshalb um Fr. 2'000.-- erhöht worden, damit die Ehefrau der Unterhaltspflicht gegenüber der am 15. März 2001 mündig gewordenen Tochter habe nachkommen können. Er habe deshalb die nach der Mündigkeit der Tochter direkt an sie erbrachten Leistungen von den Unterhaltsbeiträgen an seine Ehefrau abziehen bzw. eine Verrechnung vornehmen dürfen. Bis zum Zeitpunkt, in dem die I. Zivilkammer des Obergerichts am 2. April 2002 entschieden und den Entscheid den Parteien zugestellt habe, habe der Beschwerdeführer nicht wissen können oder auch nur annehmen müssen, dass das Obergericht den Unterhaltsbeitrag der inzwischen mündig gewordenen Tochter nicht für die Tochter selber aussetzen, sondern in den persönlichen Unterhaltsbeitrag der Ehefrau einrechnen werde (Beschwerde, S. 7 ff.).
2.1 Die Vorinstanz erwägt, die vom Beschwerdeführer in den Tatzeiträumen direkt an die Tochter geleisteten Zahlungen für Taschengeld, Mietzins und Wohnungseinrichtung seien unbeachtlich. Es treffe zwar zu, dass die persönlichen Unterhaltsbeiträge für die Ehefrau des Beschwerdeführers vom Zeitpunkt der Mündigkeit der Tochter an gerechnet gemäss dem Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 2. April 2002 nur deshalb erhöht worden seien, damit sie deren Unterhaltsforderung habe erfüllen können. Dem Beschwerdeführer sei es jedoch nach der gerichtlichen Festsetzung der Unterhaltsbeiträge nicht mehr erlaubt gewesen, Verpflichtungen der Ehefrau gegenüber Dritten - und somit auch gegenüber der Tochter - direkt zu erbringen und dann diese Leistungen mit den geschuldeten Unterhaltsbeiträgen zu verrechnen. Allfällige Änderungen bezüglich der Unterhaltsbeiträge, welche sich aus dem Wegzug der Tochter aus der Wohnung der Ehefrau ergeben hätten, hätte der Beschwerdeführer im obergerichtlichen Rekursverfahren geltend machen müssen. Da er darauf verzichtet habe, sei es nicht in seinem Belieben gestanden, die Unterhaltsregelung eigenmächtig durch direkte Zahlungen an seine Tochter bzw. durch die Verrechnung solcher Leistungen mit den geschuldeten Unterhaltsbeiträgen abzuändern (angefochtenes Urteil, S. 10).
2.2 Diese Erwägungen vermögen vor Bundesrecht nicht standzuhalten. Die Tochter des Beschwerdeführers wurde am 15. März 2001 18 Jahre alt und damit mündig (Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 2. April 2002, S. 13). Ab diesem Zeitpunkt stand ihr gegen den Beschwerdeführer und gegen ihre Mutter ein eigener Unterhaltsanspruch zu (<ref-law>, <ref-law>).
Wie der Beschwerdeführer zutreffend geltend macht, verpflichtete ihn der erste Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 27. Februar 2001 als Eheschutzmassnahme gemäss <ref-law> unter anderem dazu, für jedes der drei Kinder monatlich Fr. 2'000.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen zu bezahlen. Auf die bevorstehende Mündigkeit der Tochter geht der Beschluss nicht ein. Er wurde vom Kassationsgericht am 7. Juli 2001 aufgehoben, also nachdem die Tochter mündig geworden war. Der von der Vorinstanz berücksichtigte erste Tatzeitraum vom 1. Mai 2001 bis 1. Juli 2001 liegt nach dem Zeitpunkt der Mündigkeit der Tochter. Gemäss <ref-law> kommt die Gläubigerstellung für Kinderunterhaltsbeiträge dem Kind zu, wobei bis zur Mündigkeit die Leistung an den gesetzlichen Vertreter zu erfolgen hat. Indem der Beschwerdeführer zwischen dem 1. Mai und 1. Juli 2001 die Unterhaltsbeiträge direkt seiner Tochter zukommen liess, leistete er der Gläubigerin und verletzte damit kein anders lautendes verbindliches Urteil. Die Vorinstanz hat Bundesrecht verletzt, indem sie insoweit eine Vernachlässigung der Unterhaltspflichten bejahte.
Das gilt auch für den Tatzeitraum vom 1. Mai 2002 bis 1. Juni 2002. Der zweite Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 2. April 2002 verpflichtet den Beschwerdeführer, seiner Ehefrau während des ganzen Verfahrens Fr. 2'000.-- mehr an Unterhalt zu bezahlen, damit sie ihren Verpflichtungen gemäss <ref-law> nachkommen kann. Wie der Begründung des genannten Beschlusses zu entnehmen ist, sprach das Obergericht der Ehefrau des Beschwerdeführers diesen Betrag zu als Vergütung für die angenommenen erbrachten "täglichen Aufwendungen" zu Gunsten der Tochter (erwähnter Beschluss, S. 13). In der Sache handelt es sich somit um Unterhalt für das Kind. Da diesem ab seiner Mündigkeit selbst gegenüber dem Vater Gläubigerstellung für seinen Unterhalt zukam, konnte der Beschwerdeführer den Tatbestand des <ref-law> nicht erfüllen, indem er zwischen 1. Mai und 1. Juni 2002 den Unterhalt direkt seiner Tochter erbrachte. Angesichts der gesetzlichen Regelung (Art. 289 Abs. 1 und <ref-law>) vermag daran der Umstand nichts zu ändern, dass der Strafrichter an rechtskräftige Urteile über Unterhaltsbeiträge gebunden ist (BGE 73 IV 178; <ref-ruling>).
2.3 Zusammenfassend ergibt sich, dass der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt, soweit der Beschwerdeführer der Vernachlässigung von Unterhaltspflichten schuldig gesprochen wurde, weil er die Unterhaltsbeiträge für seine mündige Tochter direkt ihr zukommen liess.
2.3 Zusammenfassend ergibt sich, dass der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt, soweit der Beschwerdeführer der Vernachlässigung von Unterhaltspflichten schuldig gesprochen wurde, weil er die Unterhaltsbeiträge für seine mündige Tochter direkt ihr zukommen liess.
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht Tatvorsatz bejaht (Beschwerde, S. 9 ff.).
3.1 Soweit der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit diesem Einwand von den verbindlichen tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz zu den von ihm direkt erbrachten Leistungen in den fraglichen Tatzeiträumen abweicht (angefochtenes Urteil, S. 9 f.), ist er nicht zu hören.
3.2 Die Vorinstanz hat gestützt auf die Rechtsprechung des Bundesgerichts (<ref-ruling>) zutreffend angenommen, dass es dem Unterhaltsverpflichteten nicht frei steht, die vom Gericht in Geld festgesetzte Leistung direkt Gläubigern der Ehefrau zu erbringen und dann einen solchen Betrag vom geschuldeten Unterhaltsbeitrag abzuziehen. Strafrechtlich ist auch die Form der Begleichung des geschuldeten Unterhalts geschützt. Allerdings gilt dies erst, wenn ein zivilrechtliches Urteil gefällt ist und diese Form festgelegt wird. Insofern hat die Vorinstanz zu Recht nur die fünf Monate berücksichtigt, für welche ein vollstreckbares Urteil bestand.
Das ändert aber nichts daran, dass der Beschwerdeführer mit zuvor zu viel geleistetem Unterhalt verrechnen konnte, sofern er eine Rückforderung gegenüber seiner Ehefrau wegen ungerechtfertigter Bereicherung hatte. Die Vorinstanz hätte abklären müssen, wie viel der Beschwerdeführer zu viel an Unterhalt (auch direkt an Dritte) gezahlt hatte und wie hoch die nach <ref-law> unverrechenbare Quote der Unterhaltsbeiträge bzw. umgekehrt der verrechenbare Anteil war (dazu <ref-ruling> E. 4d S. 102). Indem die Vorinstanz dies unterlassen und die Zahlungen an die Privatschule des einen Sohnes gänzlich ausser Betracht liess (angefochtenes Urteil, S. 9 f.), hat sie Bundesrecht verletzt. Bei der Neubeurteilung wird die Vorinstanz insbesondere beachten müssen, den fraglichen Zeiträumen eine um den Unterhalt der Tochter von Fr. 2'000.-- verringerte Unterhaltspflicht gegenüber der Ehefrau zugrunde zu legen.
3.3 Die Vorinstanz äussert sich einzig zum objektiven Tatbestand des <ref-law>, nicht aber auch zur subjektiven Tatbestandsseite. Soweit der objektive Tatbestand überhaupt erfüllt ist, wäre dies angesichts der vom Beschwerdeführer direkt gegenüber Gläubigern seiner Ehefrau erbrachten Leistungen, womit diese mehrheitlich einverstanden war (vgl. angefochtenes Urteil, S. 10), zwingend erforderlich gewesen. Da sich die Vorinstanz dazu ausschweigt, lässt sich die Gesetzesanwendung nicht nachprüfen. Die Beschwerde ist deshalb in diesem Punkt gestützt auf Art. 277 BStP gutzuheissen.
3.3 Die Vorinstanz äussert sich einzig zum objektiven Tatbestand des <ref-law>, nicht aber auch zur subjektiven Tatbestandsseite. Soweit der objektive Tatbestand überhaupt erfüllt ist, wäre dies angesichts der vom Beschwerdeführer direkt gegenüber Gläubigern seiner Ehefrau erbrachten Leistungen, womit diese mehrheitlich einverstanden war (vgl. angefochtenes Urteil, S. 10), zwingend erforderlich gewesen. Da sich die Vorinstanz dazu ausschweigt, lässt sich die Gesetzesanwendung nicht nachprüfen. Die Beschwerde ist deshalb in diesem Punkt gestützt auf Art. 277 BStP gutzuheissen.
4. Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben und ist dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung aus der Bundesgerichtskasse auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wird, teilweise in Anwendung von Art. 277 BStP, gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Strafkammer, vom 13. Juni 2003 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
1. Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wird, teilweise in Anwendung von Art. 277 BStP, gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Strafkammer, vom 13. Juni 2003 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtsgebühren erhoben.
2. Es werden keine Gerichtsgebühren erhoben.
3. Dem Beschwerdeführer wird für das Verfahren vor Bundesgericht eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
3. Dem Beschwerdeführer wird für das Verfahren vor Bundesgericht eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2004
Im Namen des Kassationshofes
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: