Sachverhalt:
A.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt erklärte A._ mit Urteil vom 1. September 2014 der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung (Bereicherungsabsicht), der mehrfachen Urkundenfälschung, des mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer und des mehrfachen Vergehens gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt für schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 240 Tagessätzen zu Fr. 660.--, mit bedingtem Strafvollzug und unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. Vom Vorwurf der mehrfachen Erschleichung einer falschen Beurkundung sprach es ihn frei. Gegen dieses Urteil meldete A._ Berufung an. Das schriftlich begründete Urteil wurde am 9. Januar 2015 zugestellt. Am 28. Januar 2015 reichte A._ seine begründete Berufung ein. Das Berufungsverfahren ist am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hängig.
Bereits am 10. November 2014 stellte A._ beim Strafgericht ein Akteneinsichtsgesuch sowie diverse Protokollberichtigungsanträge. Mit Verfügung vom 11. November 2014 ordnete der Strafgerichtspräsident die Zustellung einer CD-ROM aller Gerichtsakten sowie der Aufnahmen der Gerichtsverhandlung an A._ an. Die Protokollberichtigungsanträge wies der Strafgerichtspräsident ab. Am 17. November 2014 erhob A._ gegen diese Verfügung Beschwerde an das Appellationsgericht.
Mit Verfügung vom 5. Dezember 2014 wies der Strafgerichtspräsident ein weiteres Akteneinsichtsbegehren von A._ ab. Der Strafgerichtspräsident erwog, A._ sei im Besitz der massgebenden Akten in Form der CD-ROM. Eine weitergehende Akteneinsicht bezogen auf den Zeitraum von August bis Dezember 2014 könne zu gegebener Zeit beim Appellationsgericht verlangt werden. Am 9. Dezember erhob A._ hiergegen Beschwerde an das Appellationsgericht wegen Verweigerung des Akteneinsichtsrechts sowie wegen Rechtsverzögerung (Überschreitung der in <ref-law> verankerten Frist für die Urteilsbegründung) und wegen Rechtsverweigerung (Nichtbeantworten seiner künftigen Eingaben durch das Strafgericht).
Im November und Dezember 2014 stellte A._ des Weiteren mehrere Ausstandsbegehren gegen drei Richter und einen Gerichtsschreiber am Strafgericht.
Das Appellationsgericht, Einzelgericht, vereinigte die drei Verfahren (Beschwerden gegen die Verfügungen vom 11. November 2014 und 5. Dezember 2014 sowie die Ausstandsbegehren). Mit Entscheid vom 16. April 2015 trat das Appellationsgericht, Einzelgericht, auf die Ausstandsbegehren und auf die Beschwerden betreffend Rechtsverweigerung, Rechtsverzögerung und Verletzung des Akteneinsichtsrechts nicht ein und nahm diese zuhanden des Berufungsgerichts entgegen. Die Protokollberichtigungsbeschwerde wies es ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Gegen diesen Entscheid führt A._ am 2. April 2015 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht mit dem Hauptantrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
In weiteren Eingaben hält der Beschwerdeführer an seinem Standpunkt fest und stellt weitere Anträge.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde ist nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig. Dieser wird durch den Gegenstand des angefochtenen Entscheids und durch die Parteibegehren bestimmt, wobei der angefochtene Entscheid den möglichen Streitgegenstand begrenzt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 189). Auf ausserhalb des Streitgegenstands liegende Anträge, Rügen und weitere Vorbringen des Beschwerdeführers kann daher von vorneherein nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer kann seine Rügen formeller und materieller Art am erstinstanzlichen Urteil mit Berufung vorbringen. Gegen den Endentscheid des Berufungsgerichts in der Sache steht ihm alsdann die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen.
Nicht eingetreten werden kann auch auf zusätzliche bzw. neue Vorbringen des Beschwerdeführers in späteren Rechtsschriften, da hierzu nicht erst eine vorgängige Eingabe anderer Verfahrensbeteiligter Anlass gegeben hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 21; siehe auch Laurent Merz, in: Basler Kommentar BGG, 2. Aufl. 2011, Art. 42 N. 42 mit Hinweisen).
1.2. Das Appellationsgericht ist auf die Beschwerden betreffend Rechtsverweigerung, Rechtsverzögerung und Verletzung des Akteneinsichtsrechts nicht eingetreten und hat diese zuhanden des Berufungsgerichts entgegen genommen. Die Protokollberichtigungsbeschwerde hat es abgewiesen.
Bei diesem Entscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>, welcher das Verfahren nicht abschliesst. Gegen einen solchen Zwischenentscheid ist die Beschwerde nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>) oder - was hier ausser Betracht fällt - die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beschwerdeverfahren ersparen würde (<ref-law>). Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (<ref-ruling> E. 2.1 S. 94; <ref-ruling> E. 1.2 S. 263; je mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung muss es sich im Bereich des Strafrechts beim nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss <ref-law> um einen solchen rechtlicher Natur handeln. Ein solcher liegt vor, wenn er auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht mehr gänzlich behoben werden könnte. Ein lediglich tatsächlicher Nachteil wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 239 f., 172 E. 2.1 S. 173 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 263, je mit Hinweisen).
Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4 je mit Hinweisen).
1.3. Der Beschwerdeführer äussert sich in seiner Beschwerde mit keinem Wort zu den Beschwerdevoraussetzungen von <ref-law> und legt nicht dar, inwiefern ihm ein nicht wiedergutzumachender Nachteil drohen könnte. Dies ist auch nicht ersichtlich. Dies gilt insbesondere auch für die vom Beschwerdeführer beantragte Protokollberichtigung. Wie die Vorinstanz festgestellt hat, ist die erstinstanzliche Verhandlung elektronisch in Ton aufgezeichnet worden, womit kein Erinnerungs- und Beweisverlust und somit auch kein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht.
Da somit insoweit kein anfechtbarer Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vorliegt, ist auf die Beschwerde in diesem Punkt nicht einzutreten.
2.
2.1. Das Appellationsgericht, Einzelgericht, ist auf die Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzlichen Strafrichter und einen erstinstanzlichen Gerichtsschreiber nicht eingetreten und hat die Ausstandsbegehren zuhanden des Berufungsgerichts entgegen genommen. Bei diesem Nichteintretensentscheid handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über den Ausstand, gegen welchen gemäss <ref-law> die Beschwerde an das Bundesgericht zulässig ist.
2.2. Der Beschwerdeführer hat seine Ausstandsbegehren gegen die erstinstanzlichen Strafrichter und einen erstinstanzlichen Gerichtsschreiber erst nach Eröffnung des erstinstanzlichen Urteils am 1. September 2014 gestellt.
Wird der Ausstandsgrund im gerichtlichen Verfahren erst nach der Eröffnung des Endentscheids, aber vor Eintritt der Rechtskraft entdeckt oder war dessen Geltendmachung aus anderen Gründen nicht möglich, muss die Partei die Verletzung der Ausstandspflicht im gerichtlichen Verfahren mit dem Rechtsmittel gegen den Endentscheid rügen (vgl. Markus Boog, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 58 N. 6). Somit steht vorliegend für die Geltendmachung der Ausstandsbegehren die Berufung offen. Die Vorinstanz hat die Ausstandsbegehren zu Recht zuhanden des Berufungsgerichts entgegen genommen. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet und ist abzuweisen.
2.3. Der Beschwerdeführer erachtet ferner den Richter des Appellationsgerichts, der den angefochtenen Entscheid vom 16. April 2015 gefällt hat, als befangen.
Der Beschwerdeführer hat gegen diesen Richter bereits am 9. März 2015 ein Ausstandsgesuch beim Appellationsgericht eingereicht, über welches noch nicht entschieden worden ist. Damit ist der Instanzenzug noch nicht erschöpft (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>), weshalb auf die Beschwerde in diesem Punkt nicht eingetreten werden kann.
3.
Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Damit werden die vom Beschwerdeführer gestellten Gesuche um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um Verfahrenssistierung gegenstandslos. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, dem Strafgericht Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Stohner