Sachverhalt:
A. Auf Begehren von Z._ eröffnete der Zivilgerichtspräsident von Basel-Stadt den Konkurs über die X._ AG.
Mit Urteil vom 3. September 2009 erkannte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, die von der X._ AG erhobene Berufung werde abgewiesen und das Konkurserkanntnis bestätigt.
B. Die X._ AG verlangt mit einer als "Zivilrechtliche Beschwerde und vorsorgliche Verfassungsbeschwerde" bezeichneten Eingabe vom 10. Oktober 2009 die Aufhebung des appellationsgerichtlichen Entscheids vom 3. September 2009 und die Einstellung des Konkursverfahrens. Daneben stellt sie unter anderem das Prozessbegehren, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Durch Präsidialverfügung vom 14. Oktober 2009 sind die Gesuche der Beschwerdeführerin um Ansetzung einer Nachfrist zur Ergänzung der Beschwerde und um Aussetzung des Beschwerdeverfahrens (bis zur Erledigung des Verfahrens 5A_543/2009) abgewiesen bzw. als gegenstandslos abgeschrieben worden. Gleichzeitig wurden die Verfahrensbeteiligten eingeladen, sich zum Begehren, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, vernehmen zu lassen.
Die Beschwerdegegnerin Z._ hat Abweisung des Gesuchs um Gewährung der aufschiebenden Wirkung beantragt. In ihren Eingaben vom 16. Oktober 2009 bzw.vom 26. Oktober 2009 haben das Konkursamt des Kantons Basel-Stadt und das Appellationsgericht auf einen Antrag zu diesem Prozessbegehren verzichtet. Hingegen hat sich das Appellationsgericht unaufgefordert zur Sache selbst geäussert und dabei beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführerin ist - in dem ebenfalls sie betreffenden Verfahren 5A_674/2009 - gestützt auf eine Verfügung vom 2. November 2009 durch Übermittlung einer Kopie an die von ihr angegebene Zustelladresse davon Kenntnis gegeben worden.
In einer Präsidialverfügung vom 11. November 2009 ist der Beschwerde in dem Sinne aufschiebende Wirkung zuerkannt worden, dass Vollstreckungshandlungen bis zum bundesgerichtlichen Entscheid in der Sache zu unterbleiben haben, d.h. das Konkursverfahren nicht gefördert werden darf.
Mit Verfügung vom 6. Januar 2010 wies der Instruktionsrichter ein Gesuch der Beschwerdegegnerin, der Beschwerde die zuerkannte aufschiebende Wirkung zu entziehen, ab.
Mit Eingabe vom 21. Januar 2010 hat das Konkursamt erklärt, auf eine Vernehmlassung zur Sache zu verzichten. Das Appellationsgericht hat das Gericht mit Zuschrift vom 26. Januar 2010 wissen lassen, es habe keine Ergänzungen zu seiner Eingabe vom 26. Oktober 2009 anzubringen. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Als Entscheid in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegt das Konkurserkanntnis der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Die Beschwerde gegen Entscheide des Konkursrichters ist an keinen Streitwert gebunden (<ref-law>). Der auf <ref-law> beruhende Entscheid ist in einem eigenen Verfahren ergangen und stellt damit einen Endentscheid nach <ref-law> dar. Die Beschwerdeführerin nahm ihn am 18. September 2009 in Empfang, so dass mit der am 10. Oktober 2009 zur Post gebrachten Eingabe die hier geltende Frist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1-3 BGG) eingehalten ist. Aus der Sicht der angeführten Punkte ist auf die Beschwerde nach dem Gesagten ohne weiteres einzutreten.
2. 2.1 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), worunter ebenfalls verfassungsmässige Rechte des Bundes fallen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 382 mit Hinweisen). In der Begründung der Beschwerde ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletze (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet wird (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Bei der Willkürrüge (<ref-law>) ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; je mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
2.2 Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
3. Unter Berufung auf Art. 3 (Abs. 1) der Verordnung Nr. 1346/2000 des Rates der Europäischen Union vom 29. Mai 2000 über Insolvenzverfahren macht die Beschwerdeführerin geltend, das Konkursdekret sei von einem (örtlich) nicht zuständigen Richter erlassen worden. Nach der erwähnten Bestimmung seien für die Eröffnung eines Insolvenzverfahrens die Gerichte des Mitgliedstaates zuständig, in dessen Gebiet der Schuldner den Mittelpunkt seiner hauptsächlichen Interessen habe, was in ihrem Fall Deutschland sei.
Die Beschwerdeführerin verkennt, dass die Schweiz nicht Mitglied der Europäischen Union ist und dass auch kein Staatsvertrag besteht, gestützt auf den die angerufene Bestimmung auf sie, die ihren Sitz nach den vorinstanzlichen Feststellungen in Basel hat, anzuwenden wäre (dazu IVO SCHWANDER, Entwicklungen im Internationalen Konkurs- und Sanierungsrecht, Rz. 34, in: Jusletter vom 25. Oktober 2004 [http://jusletter.weblaw.ch]). Zu bemerken ist im Übrigen, dass nach Art. 3 Abs. 1 der erwähnten Verordnung bei Gesellschaften und juristischen Personen bis zum Beweis des Gegenteils vermutet wird, dass der Mittelpunkt ihrer hauptsächlichen Interessen der Ort des satzungsmässigen Sitzes ist.
4. 4.1 Das Appellationsgericht bemerkt, dass keine der in <ref-law> für eine Aufhebung der Konkurseröffnung genannten Voraussetzungen (Tilgung oder Hinterlegung des geschuldeten Betrags bzw. Verzicht der Gläubigerschaft auf Durchführung des Konkurses) hier erfüllt sei. Den von der Beschwerdeführerin gegen das Konkurserkanntnis erhobenen Einwänden hält es entgegen, die meisten Beanstandungen seien bereits in anderen gerichtlichen oder in aufsichtsbehördlichen Verfahren vorgebracht und dort als unbegründet abgewiesen worden. Die Vorinstanz erwähnt ausdrücklich die Urteile der kantonalen Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen vom 7. Februar, 6. April und 13. Mai 2009 und die entsprechenden Urteile des Bundesgerichts vom 6. August 2009 (5A_205/2009 und 5A_440/2009) sowie den Schiedsspruch des Einzelrichters U._ vom 11. Juli 2008 und den sich damit befassenden eigenen Beschwerdeentscheid vom 23. April 2009. Soweit die Beschwerdeführerin erneut Rügen vortrage, über die in den angeführten Entscheiden bereits rechtskräftig befunden worden sei, sei sie damit nicht zu hören. In diesem Zusammenhang werden namentlich das Vorbringen, der Beschwerdegegnerin sei ein Betreuer zur Seite gestellt worden und es sei ihr deshalb die aktive Betreibungsfähigkeit abzusprechen, sowie die Rüge der Nichtigkeit der Konkursandrohung erwähnt (die damit begründet worden war, die Aufhebung eines Rechtsvorschlags sei nicht schiedsfähig und die Fortsetzungsfrist nach <ref-law> sei abgelaufen gewesen). Das Appellationsgericht hält dafür, es sei davon auszugehen, dass der der Beschwerdeführerin am 8. Dezember 2005 zugestellte Zahlungsbefehl gültig gewesen und der dagegen erhobene Rechtsvorschlag mit dem durch Entscheid der zuständigen Vollstreckungsrichterin vom 11. Dezember 2008 als vollstreckbar erklärten Schiedsentscheid vom 11. Juli 2008 rechtsgültig beseitigt worden sei.
Ausserdem hat die Vorinstanz auch die zum konkursrichterlichen Verfahren vorgebrachten Rügen verworfen. So sei die Vorladung zur Konkurseröffnungsverhandlung der Beschwerdeführerin entgegen deren Auffassung ordnungsgemäss zugestellt worden: Die Beschwerdeführerin habe ihren Sitz laut Handelsregistereintrag in Basel. Ihre Adresse habe mehrmals geändert und habe sich seit dem 5. März 2009 bei der Y._ GmbH befunden. Die Anzeige der Verhandlung betreffend Konkurseröffnung sei an diese Adresse gesandt worden. Dorthin sei zuvor schon die Vorladung zu einer Verhandlung vom 18. Mai 2009 zugestellt worden, die dann an den Sitz der Hauptverwaltung der Beschwerdeführerin in S._ (Deutschland) weitergeleitet worden sei, worauf diese um eine Verschiebung des Termins ersucht habe. Auch wenn die Domizilhalterin die Entgegennahme der Postsendung mit der Vorladung zur Konkurseröffnungsverhandlung verweigert habe, habe es sich um die korrekte Zustelladresse gehandelt. Letzteres zeige sich bereits daran, dass die Beschwerdeführerin in der Begründung ihrer Berufung vom 6. Juli 2009 an die kantonale Instanz selbst von der "X._ AG, c/o Y._ GmbH", spreche. Nach kantonalem Recht gelte eine eingeschrieben versandte und mit Rückschein versehene Gerichtsurkunde als ordnungsgemäss zugestellt, wenn sie einer Person ausgehändigt werde, die nach den postalischen Vorschriften zur Entgegennahme befugt sei; werde die Entgegennahme verweigert oder vereitelt, gelte die Sendung gleichwohl als rechtsgültig zugestellt, da nach der Rechtsprechung für die an einem Prozess Beteiligten die aus dem Grundsatz von Treu und Glauben abgeleitete Pflicht bestehe, dafür zu sorgen, dass ihnen Gerichtsurkunden zugestellt werden könnten. Wenn die Entgegennahme der einschlägigen Postsendung an der von der Beschwerdeführerin als Domizil bezeichneten Adresse verweigert werde oder die Sendung aus organisatorischen Gründen nicht zur Kenntnis der zuständigen Verwaltungsrätin gelange, so liege dies im Risikobereich der Beschwerdeführerin. Deren Hinweis, sie sei eine reine Briefkastenfirma und die Post hätte deshalb an die zuständige Verwaltungsrätin bzw. an den Hauptsitz in Deutschland gesandt werden müssen, sei abwegig, habe doch das gewählte schweizerische Domizil gerade den Zweck, Zustellungen in der Schweiz rechtsgültig vornehmen zu können; wer eine "Briefkastenfirma" betreibe und sich darauf berufe, keinen Briefkasten zu besitzen, handle widersprüchlich. Ebenso wenig seien in anderer Hinsicht zivilprozessuale Bestimmungen verletzt worden: Im Hinblick auf die Dringlichkeit des Konkurseröffnungsentscheids finde beim Zivilgericht kein Aktenschluss statt und da es sich um ein mündliches Verfahren handle, werde der Entscheid im Anschluss an die Parteiverhandlung eröffnet und (mündlich) begründet; eine schriftliche Begründung werde nicht ausgefertigt.
Ausserdem hat die Vorinstanz auch die zum konkursrichterlichen Verfahren vorgebrachten Rügen verworfen. So sei die Vorladung zur Konkurseröffnungsverhandlung der Beschwerdeführerin entgegen deren Auffassung ordnungsgemäss zugestellt worden: Die Beschwerdeführerin habe ihren Sitz laut Handelsregistereintrag in Basel. Ihre Adresse habe mehrmals geändert und habe sich seit dem 5. März 2009 bei der Y._ GmbH befunden. Die Anzeige der Verhandlung betreffend Konkurseröffnung sei an diese Adresse gesandt worden. Dorthin sei zuvor schon die Vorladung zu einer Verhandlung vom 18. Mai 2009 zugestellt worden, die dann an den Sitz der Hauptverwaltung der Beschwerdeführerin in S._ (Deutschland) weitergeleitet worden sei, worauf diese um eine Verschiebung des Termins ersucht habe. Auch wenn die Domizilhalterin die Entgegennahme der Postsendung mit der Vorladung zur Konkurseröffnungsverhandlung verweigert habe, habe es sich um die korrekte Zustelladresse gehandelt. Letzteres zeige sich bereits daran, dass die Beschwerdeführerin in der Begründung ihrer Berufung vom 6. Juli 2009 an die kantonale Instanz selbst von der "X._ AG, c/o Y._ GmbH", spreche. Nach kantonalem Recht gelte eine eingeschrieben versandte und mit Rückschein versehene Gerichtsurkunde als ordnungsgemäss zugestellt, wenn sie einer Person ausgehändigt werde, die nach den postalischen Vorschriften zur Entgegennahme befugt sei; werde die Entgegennahme verweigert oder vereitelt, gelte die Sendung gleichwohl als rechtsgültig zugestellt, da nach der Rechtsprechung für die an einem Prozess Beteiligten die aus dem Grundsatz von Treu und Glauben abgeleitete Pflicht bestehe, dafür zu sorgen, dass ihnen Gerichtsurkunden zugestellt werden könnten. Wenn die Entgegennahme der einschlägigen Postsendung an der von der Beschwerdeführerin als Domizil bezeichneten Adresse verweigert werde oder die Sendung aus organisatorischen Gründen nicht zur Kenntnis der zuständigen Verwaltungsrätin gelange, so liege dies im Risikobereich der Beschwerdeführerin. Deren Hinweis, sie sei eine reine Briefkastenfirma und die Post hätte deshalb an die zuständige Verwaltungsrätin bzw. an den Hauptsitz in Deutschland gesandt werden müssen, sei abwegig, habe doch das gewählte schweizerische Domizil gerade den Zweck, Zustellungen in der Schweiz rechtsgültig vornehmen zu können; wer eine "Briefkastenfirma" betreibe und sich darauf berufe, keinen Briefkasten zu besitzen, handle widersprüchlich. Ebenso wenig seien in anderer Hinsicht zivilprozessuale Bestimmungen verletzt worden: Im Hinblick auf die Dringlichkeit des Konkurseröffnungsentscheids finde beim Zivilgericht kein Aktenschluss statt und da es sich um ein mündliches Verfahren handle, werde der Entscheid im Anschluss an die Parteiverhandlung eröffnet und (mündlich) begründet; eine schriftliche Begründung werde nicht ausgefertigt.
4.2 4.2.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, Advokat Dr. M._, der an der vorinstanzlichen Verhandlung vom 3. September 2009 teilgenommen habe, habe keine Terminsvollmacht der Beschwerdegegnerin vorlegen können; selbst wenn eine solche erteilt worden wäre, wäre diese wegen Geschäftsunfähigkeit der Vollmachtgeberin nichtig und deshalb unbeachtlich gewesen; Der Vortrag von Dr. M._ hätte unter diesen Umständen gar nicht gehört werden dürfen. Diesen Ausführungen ist nicht zu entnehmen, inwiefern Bundesrecht missachtet worden sein soll (<ref-law>). Insbesondere ist keine willkürliche Anwendung des für das Verfahren massgebenden kantonalen Prozessrechts dargetan.
4.2.2 Das von der Beschwerdeführerin zur Zustellung der konkursrichterlichen Vorladung Vorgetragene ist nicht geeignet, eine Verletzung von Bundesrecht darzutun: Nach den von der Beschwerdeführerin nicht in Frage gestellten Feststellungen des Appellationsgerichts hat jene ihren Sitz in Basel und befand sich im entscheidenden Zeitpunkt das Rechtsdomizil im Sinne von Art. 2 lit. c und Art. 117 Abs. 3 der Handelsregisterverordnung (SR 221.411; HRegV) bei der ("c/o") Y._ GmbH. Unter Rechtsdomizil ist der Ort zu verstehen, wo das eingetragene Unternehmen in seiner Sitzgemeinde tatsächlich erreicht werden kann (<ref-law>); falls das Unternehmen am Sitz über keine eigenen Büros verfügt und mit einer anderen juristischen oder mit einer natürlichen Person eine Vereinbarung besteht, wonach diese die Post entgegennimmt und an die verantwortlichen Organe weiterleitet, wird eine sog. c/o-Adresse eingetragen (MICHAEL GWELESSIANI, Praxiskommentar zur Handelsregisterverordnung, Zürich 2008, Rz 10). Dass das Zivilgericht frühere Mitteilungen an die Adresse der für die Beschwerdeführerin handelnden T._ in S._ (Deutschland) gesandt haben soll, findet in den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz keine Stütze, so dass das Vorbringen mangels Sachverhaltsrüge (vgl. oben E. 2.2) nicht zu hören ist (dazu <ref-ruling> E. 2.5 S. 173). Ob es bei der von der Vorinstanz erwähnten anderen Zustellung an die c/o-Adresse der Beschwerdeführerin tatsächlich um die Vorladung für eine Verhandlung vom 18. Mai 2009 gegangen war, was die Beschwerdeführerin in Abrede stellt, ist hier ohne Belang: Mit dem Hinweis auf diese Sendung wollte das Appellationsgericht lediglich aufzeigen, dass die an die Y._ GmbH adressierte Sendung an die Verwaltung der Beschwerdeführerin in S._ (Deutschland) weitergeleitet worden sei.
Sodann ist festzuhalten, dass die Weiterleitung von Sendungen, die an die als Domizil bezeichnete Stelle in der Schweiz adressiert werden, Sache der Beschwerdeführerin ist (vgl. GWELESSIANI, a.a.O. Rz 10). Es liegt an dieser, das bei der gewählten Empfangsstelle tätige Personal zu instruieren. Wird die Annahme dort verweigert, hat angesichts der handelsregisterlichen Regelung die Beschwerdeführerin die Folgen einer allfälligen Zustellungsfiktion zu tragen. Die Hinweise auf die krankheitsbedingte Reiseunfähigkeit der für die Beschwerdeführerin handelnden Person und auf eine angebliche Bedrohung mit einem Verbrechen, sind nicht stichhaltig, hätte doch die fragliche Sendung auch auf andere Weise an jene Person gelangen können. Unbehelflich ist auch das Vorbringen, die Beschwerdeführerin habe die Y._ GmbH nicht als zum Empfang gerichtlicher Mitteilungen bevollmächtigt bezeichnet, zumal nicht etwa vorgebracht wird, es sei ausdrücklich eine andere (als die als Rechtsdomizil publizierte) Adresse angegeben worden.
Inwiefern es - ungeachtet der Veröffentlichung eines Rechtsdomizils im Schweizerischen Handelsamtsblatt - willkürlich sein soll, davon abzusehen, sie im Sinne von § 51 der basel-städtischen Zivilprozessordnung (ZPO) zur Angabe einer Zustelladresse aufzufordern, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. In Anbetracht der angeführten Sonderbestimmungen für die im Handelsregister eingetragenen Rechtssubjekte ist ferner auch der Hinweis auf § 33 Ziff. 2 und 3 ZPO betreffend die Zustellung durch Übergabe an eine Drittperson im Allgemeinen bzw. an eine Person mit unbekanntem Wohnort unbehelflich.
Nach dem Gesagten ist davon auszugehen, dass die Vorladung zur Konkursverhandlung als der Beschwerdeführerin rechtmässig zugestellt zu betrachten ist. Von einer Missachtung deren Anspruchs auf rechtliches Gehör kann aus dieser Sicht deshalb keine Rede sein. Es ist unter den dargelegten Umständen auch nicht zu beanstanden, dass der Konkurs in Abwesenheit der Beschwerdeführerin eröffnet wurde (vgl. <ref-law>). Soweit diese beanstandet, dass ihr (auch) das Konkurserkanntnis nicht zugestellt worden sei, sind ihre Vorbringen nicht zu hören: Die Rüge hätte schon beim Appellationsgericht erhoben werden können und müssen.
4.2.3 Gemäss <ref-law> spricht das Gericht die Eröffnung des Konkurses aus, sofern nicht einer der in den Art. 172, 173 und 173a SchKG erwähnten Fälle gegeben ist.
4.2.3.1 Die Beschwerdeführerin verweist auf <ref-law>, wonach der Konkursrichter den Entscheid aussetzt und die Sache an die betreibungsrechtliche Aufsichtsbehörde überweist, falls er findet, es sei im vorangegangenen Verfahren eine nichtige Verfügung erlassen worden. Unter Berufung auf KURT AMONN und FRIDOLIN WALTHER (Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Auflage, Bern 2008, § 36 Rz. 40) hält sie dafür, angesichts der Offensichtlichkeit der Nichtigkeit der Konkursandrohung hätte der Zivilgerichtspräsident diesen Mangel vorfrageweise selbst feststellen und das Konkursbegehren abweisen müssen. Die Nichtigkeit der Konkursandrohung erblickt sie darin, dass der Rechtsvorschlag entgegen der Ansicht der Vorinstanz durch den Entscheid der Vollstreckungsrichterin Basel-Stadt vom 11. Dezember 2008, worin diese den Schiedsentscheid vom 11. Juli 2008 als vollstreckbar und die in diesem ausgesprochene Rechtsöffnung als verbindlich erklärte, nicht rechtswirksam beseitigt worden sei; die Beseitigung des Rechtsvorschlags sei nicht schiedsfähig bzw. die Genehmigung der von einem Privaten gewährten Rechtsöffnung durch einen ordentlichen Richter sei im Schuldbetreibungs- und Konkursgesetz nicht vorgesehen; es sei hier deshalb gegen dieses verstossen worden.
4.2.3.2 Der Rechtsvorschlag bewirkt die Einstellung der Betreibung (<ref-law>). Die Fortsetzung der Betreibung setzt seine rechtskräftige Beseitigung voraus (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 659; <ref-ruling> E. 3 S. 137 mit Hinweisen), und eine Konkursandrohung, die dem Betriebenen zugestellt wird, bevor der von ihm erhobene Rechtsvorschlag gültig beseitigt worden ist, ist in der Tat nichtig (<ref-ruling> E. 1 S. 15; vgl. auch <ref-ruling> S. 56, mit Hinweisen, und die Urteile der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts 7B.29/2002 vom 14. März 2002 [E. 2c] und 7B.25/2005 vom 22. Februar 2005 [E. 7]).
4.2.3.3 In einem Urteil vom 19. August 2005 hob die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts eine Konkursandrohung mit der Begründung auf, die Rechtsöffnung sei durch ein Schiedsgericht erteilt worden, die Beseitigung des Rechtsvorschlags sei als vollstreckungsrichterliche Tätigkeit jedoch nicht schiedsfähig (7B.95/2005, E. 4.3; im gleichen Sinne das Urteil der II. Zivilabteilung 5P.55/1990 vom 7. März 1990, E. 2). Wird in einem Schiedsspruch (auch) der Rechtsvorschlag beseitigt, hat dies indessen nicht etwa die Nichtigkeit des Entscheids als solchen zur Folge. Einem (im Sinne von Art. 44 des Konkordats vom 27. März 1969 über die Schiedsgerichtsbarkeit (KSG) bzw. - bei einem ausländischen Schiedsspruch - im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit dem New Yorker-Übereinkommen vom 10. Juni 1958 über die Anerkennung und Vollstreckung ausländischer Schiedssprüche [SR 0.277.12]) vollstreckbar erklärten Schiedsentscheid kann durchaus die Eigenschaft eines definitiven Rechtsöffnungstitels im Sinne von <ref-law> zukommen (dazu <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> ff.; AMONN/WALTHER, a.a.O. § 19 Rz. 38 und 40; DANIEL STAEHELIN, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Basel 1998, Rz. 16 und 93 f. zu <ref-law>).
4.2.3.4 Das Appellationsgericht geht offensichtlich davon aus, die Vollstreckungsrichterin des Kantons Basel-Stadt (Zivilgerichtspräsidentin) habe in ihrer Verfügung vom 11. Dezember 2008 nicht nur den Schiedsentscheid vom 11. Juli 2008 für vollstreckbar erklärt, sondern - mit ihrer Anordnung, die Beseitigung des Rechtsvorschlags in jenem Entscheid werde "verbindlich erklärt" - zugleich (als Rechtsöffnungsrichterin) der Beschwerdegegnerin Rechtsöffnung erteilt.
4.2.3.4.1 Die Vorinstanz übersieht, dass die Beseitigung des Rechtsvorschlags durch das Schiedsgericht nach dem oben (E. 4.2.3.3) Ausgeführten von vornherein keinerlei Wirkung entfalten konnte. Es ist so zu halten, wie wenn im Schiedsentscheid die fragliche Anordnung gar nicht getroffen worden wäre. Mit anderen Worten war nichts vorhanden, das hätte verbindlich erklärt werden können. Der Wortlaut der den Rechtsvorschlag betreffenden Verfügung lässt übrigens nicht auf eine eigenständige Beseitigung des Rechtsvorschlags durch die Vollstreckungsrichterin schliessen. Ausserdem wäre diese zur Erteilung der Rechtsöffnung gar nicht zuständig gewesen: Nach § 7b (Ingress in Verbindung mit Ziff. 2) des basel-städtischen EG zum SchKG fällt die Bewilligung der Rechtsöffnung nur bei einem Betrag von weniger als 20'000 Franken in die Kompetenz des Einzelrichters; ist dieser Betrag - wie hier, wo die Konkursforderung sich auf über 500'000 Franken beläuft - überschritten, hat das Dreiergericht über die Beseitigung des Rechtsvorschlags zu befinden.
4.2.3.4.2 Die im dargelegten Sinne fehlerhafte vollstreckungsrichterliche Verfügung vom 11. Dezember 2008 wurde nicht innert vorgeschriebener Frist angefochten. Indessen stellt sich die Frage einer - jederzeit und von sämtlichen rechtsanwendenden Behörden zu beachtenden - Nichtigkeit. Nichtig ist ein Entscheid dann, wenn ihm ein besonders schwerer, offensichtlicher oder zumindest leicht erkennbarer Mangel anhaftet und die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird; als Nichtigkeitsgründe fallen vorab funktionelle und sachliche Unzuständigkeit der entscheidenden Behörde sowie krasse Verfahrensfehler in Betracht; inhaltliche Mängel einer Entscheidung führen nur ausnahmsweise zur Nichtigkeit (<ref-ruling> E. 3.2 S. 367 mit Hinweisen). Bei der hier in Frage stehenden Verbindlicherklärung der schiedsgerichtlichen Aufhebung des Rechtsvorschlags handelt es sich um einen schweren und offensichtlichen Mangel, der die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin vom 11. Dezember 2008 in diesem Punkt als nichtig erscheinen lässt. Der Annahme der Nichtigkeit steht keine ernsthafte Beeinträchtigung der Rechtssicherheit entgegen, zumal der Konkurs vor weniger als einem Jahr eröffnet wurde und seine Wirkungen seit Erlass der bundesgerichtlichen Präsidialverfügung vom 11. November 2009 ohnehin auf verwaltende Massnahmen beschränkt sind.
4.2.3.4.3 Soweit die Zivilgerichtspräsidentin in ihrer Verfügung vom 11. Dezember 2008 den Schiedsentscheid als vollstreckbar erklärt hat, liegt eine Bescheinigung der Vollstreckbarkeit des Schiedsspruchs vor (dazu Art. 44 Abs. 1 KSG bzw. <ref-law>). Es ist nichts ersichtlich, was die Nichtigkeit auch dieser Feststellung zur Folge haben könnte. Insofern ist im Schiedsspruch vom 11. Juli 2008 ein Rechtsöffnungstitel zu erblicken (dazu oben E. 4.2.3.3). Die Beschwerdegegnerin, die sich mit dem Vorbringen begnügt, der Richter, der die Vollstreckungsbescheinigung ausstelle, sei befugt, die Beseitigung des Rechtsvorschlags durch ein schweizerisches Schiedsgericht für verbindlich zu erklären, macht selbst nicht geltend, dass sie gestützt auf den vollstreckbar erklärten Schiedsentscheid im Sinne von <ref-law> beim Richter um Aufhebung des Rechtsvorschlags nachgesucht hätte.
4.2.3.5 Die Konkursandrohung wurde nach dem Dargelegten erlassen und zugestellt, ohne dass zuvor der von der Beschwerdeführerin erhobene Rechtsvorschlag beseitigt worden wäre. Ist sie somit nichtig, hätte das Konkursbegehren abgewiesen werden müssen (vgl. <ref-law>; dazu auch <ref-law>; AMONN/WALTHER, a.a.O. § 36 Rz. 40). Das die Konkurseröffnung bestätigende Urteil des Appellationsgerichts ist daher aufzuheben und das Konkursbegehren abzuweisen.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Der nicht anwaltlich vertretenen, durch eines ihrer Organe handelnden Beschwerdeführerin ist kein (notwendiger) Aufwand erwachsen, der die Zusprechung einer Parteientschädigung zu rechtfertigen vermöchte (vgl. <ref-law>; Art. 1 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung [SR 173.110.210.3]; dazu auch <ref-ruling> E. 6b S. 356 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5b S. 519 f.).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 3. September 2009 aufgehoben und das Konkursbegehren abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Konkursamt des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel