Faits:
A. Dénoncé par la police municipale de Morges, A._ a été condamné le 16 février 2006 par le Préfet du district de Morges à une amende de 220 fr. pour avoir, au volant de son véhicule en ville de Morges le 19 octobre 2005 vers 12.30 heures, dépassé par la droite le véhicule conduit par B._, en violation de la règle de l'art. 35 al. 1 LCR. Ce prononcé retient qu'au moment du dépassement, dame B._ s'apprêtait à prendre un virage à droite pour s'engager dans la cour devant son domicile, en ayant préalablement actionné ses clignoteurs droits. Le Préfet a constaté cela en se fondant sur le procès-verbal d'une déclaration de dame B._ à la police municipale; le prononcé ajoute que cette conductrice devant prendre beaucoup de précautions à chaque fois qu'elle désirait rentrer chez elle, le fait d'actionner le clignoteur devenait un réflexe.
B. A._ a interjeté appel du prononcé préfectoral et la cause a été transmise au Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte. Le Tribunal de police a partiellement admis l'appel par un jugement rendu le 5 mai 2006: il a annulé le prononcé préfectoral et condamné A._ à 120 fr. d'amende pour violation simple des règles de la circulation. Ce jugement retient en substance les faits suivants:
B._ voulait rentrer chez elle. Elle a déclaré à la police qu'elle avait enclenché le clignotant droit, comme de coutume; elle s'est cependant déportée sur la gauche puisque la manoeuvre envisagée était ainsi facilitée. A._ a cru que la conductrice voulait prendre une présélection en direction de la gauche, et a dit n'avoir pas vu le clignotant droit. Selon le Tribunal de police, la conductrice aurait peut-être dû compter avec le risque de confusion que sa manoeuvre pouvait créer chez l'automobiliste qui la suivait; quoi qu'il en soit, il n'y avait pas de raison de douter que le clignoteur droit de l'automobile était enclenché. Dans cette situation ambiguë, A._ aurait dû rester derrière le véhicule de B._; en la dépassant, il a donc commis une faute de circulation légère. Le Tribunal de police qualifie en conclusion de juste le raisonnement du Préfet.
C. Agissant par la voie du recours de droit public pour violation du principe in dubio pro reo (art. 32 al. 1 Cst., art. 6 par. 1 CEDH), A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement rendu par le Tribunal de police.
Le Tribunal de police a produit son dossier. Il n'a pas été demandé de réponse au recours.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le recourant, invoquant le présomption d'innocence, critique les constatations de fait du jugement attaqué. Il ne se plaint pas d'une violation des règles de procédure cantonale. Dans ces conditions, conformément à ce que prévoit l'art. 80a al. 2 de la loi cantonale sur les contraventions (LContr, RSV 312.11), le jugement rendu sur appel par le Tribunal de police est définitif. A défaut d'autre voie de droit cantonale, ce jugement peut faire l'objet d'un recours de droit public en vertu de l'art. 86 al. 1 OJ (<ref-ruling> consid. 1.2.3 p. 375). Les autres conditions de recevabilité prévues aux art. 84 ss OJ sont remplies et il y a lieu d'entrer en matière.
2. Le recourant conteste sa condamnation en invoquant la garantie constitutionnelle de la présomption d'innocence. Cette garantie, consacrée aux art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH et à laquelle on rattache la maxime in dubio pro reo, signifie notamment que le juge pénal ne doit pas tenir pour établi un fait défavorable à l'accusé s'il existe des doutes objectifs quant à l'existence de ce fait. Des doutes abstraits ou théoriques, qui sont toujours possibles, ne suffisent cependant pas à exclure une condamnation. Pour invoquer utilement la présomption d'innocence, le condamné doit donc démontrer que le juge de la cause pénale, à l'issue d'une appréciation exempte d'arbitraire de l'ensemble des preuves à sa disposition, aurait dû éprouver des doutes sérieux et irréductibles au sujet de la culpabilité (<ref-ruling> consid. 2a p. 40; <ref-ruling> consid. 2a p. 87; <ref-ruling> consid. 2e p. 38, consid. 4b p. 40). L'appréciation des preuves est en particulier arbitraire lorsque le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve ou si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables; il ne suffit donc pas qu'une interprétation différente des preuves et des faits qui en découlent paraisse également concevable, sans quoi le principe de la libre appréciation des preuves par le juge du fond serait dépourvu de portée (ATF <ref-ruling> consid. 2d p. 37 s.). Par ailleurs, il faut que la décision attaquée soit insoutenable non seulement dans ses motifs mais également dans son résultat (à propos de la notion d'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst.: <ref-ruling> consid. 2 p. 61, 217 consid. 2.1 p. 219; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9 et les arrêts cités).
En l'occurrence, le recourant reproche au Tribunal de police d'avoir considéré comme un fait acquis l'enclenchement de l'indicateur de direction (clignotant) par la conductrice qu'il a dépassée. Sur ce point, les déclarations à la police des deux intéressés étaient contradictoires, le recourant affirmant que cette conductrice s'était soudainement rabattue sur la droite, sans indicateur de direction, alors qu'elle se mettait en ordre de présélection à gauche. Selon le recourant, il aurait fallu un élément extérieur (témoignage, expertise de l'ampoule du clignotant) pour privilégier une autre version que la sienne, l'enclenchement de l'indicateur de direction à droite étant l'élément décisif pour établir une faute de circulation de sa part.
Il ressort du dossier que le fait que cet indicateur de direction était enclenché a été admis sur la base des déclarations de la conductrice intéressée, laquelle a expliqué qu'effectuant régulièrement cette manoeuvre pour rejoindre son domicile, elle manifestait toujours ainsi, quasiment par réflexe, son intention de changer de direction. En privilégiant cette version plausible dans de telles circonstances, même sans preuve supplémentaire, le Tribunal de police n'a pas constaté les faits de manière insoutenable, compte tenu de la marge d'appréciation dont il dispose. Le recours de droit public, mal fondé, doit donc être rejeté.
3. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais du présent arrêt (art. 153, 153a et 156 al. 1 OJ). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens.

Par ces motifs, vu l'art. 36a OJ, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit public est rejeté.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie au mandataire du recourant, au Ministère public du canton de Vaud et au Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte.
Lausanne, le 21 juillet 2006
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: