Faits:
A.
X._ Sàrl, dont le but est l'exploitation d'un cabinet de physiothérapie, a été inscrite au registre du commerce en 2001. Ses associés gérants et deux seuls employés sont P._ et G._.
Désireuse d'assurer son personnel pour la prévoyance professionnelle avec effet rétroactif au 1er janvier 2003, la société s'est approchée en 2004, par l'intermédiaire de Z._ SA, de la Fondation de prévoyance Y._. Le 19 juin de cette année, elle a rempli un « contrat d'adhésion » et « un procès-verbal d'élection de la commission de prévoyance », qui ont été reçus le 19 août suivant par V._, en tant que mandataire de la Fondation de prévoyance Y._. Pour leur part, P._ et G._ ont rempli le 30 juin 2004 une demande d'« inscription pour l'adhésion à la prévoyance professionnelle ». A la même date, le prénommé a complété un formulaire intitulé « Renseignement personnel pour la prévoyance professionnelle », dans lequel il a indiqué qu'il devait subir une hospitalisation ou une opération en raison de problèmes à la hanche mais qu'aucun diagnostic définitif n'avait été établi. L'ensemble de ces documents a été reçu par V._ le 5 juillet ou le 19 août 2004.
Le 3 septembre 2004, V._ a envoyé à Z._ SA une lettre accompagnée d'un bulletin de versement de 41'359 fr., indiquant que cette somme correspondait à la prime rétroactive pour la période courant du 1er janvier 2003 au 30 septembre 2004 et devait être versée avant l'enregistrement du contrat. Par courrier du 27 septembre 2004, Z._ SA a transmis ces informations à X._ Sàrl, qui s'est acquittée du montant précité le 11 octobre 2004.
Par télécopie du 15 novembre 2004, P._ a signalé à V._ qu'il allait reprendre le travail à 100 % le 29 du mois courant. Le 30 novembre 2004, il a rempli une nouvelle « inscription pour adhésion à la prévoyance professionnelle ».
V._ a informé Z._ SA par lettre du 18 mars 2005 qu'elle ne pouvait pas donner une suite favorable à la demande d'adhésion à la Fondation de prévoyance Y._ présentée par X._ Sàrl et qu'elle restituerait à cette dernière la somme de 41'359 fr. Le remboursement a eu lieu le 27 juin 2006.
B.
Le 19 mars 2010, X._ Sàrl a ouvert action contre la Fondation de prévoyance Y._ devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, concluant à ce qu'il soit constaté qu'elle était affiliée auprès de celle-ci avec effet rétroactif au 1er janvier 2003. Le tribunal cantonal a rejeté la demande par jugement du 16 février 2012.
C.
X._ Sàrl interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à sa réforme dans le sens des conclusions prises dans son mémoire de demande, éventuellement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement.
La Fondation de prévoyance Y._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales et la Fondation Institution supplétive ont renoncé à se déterminer.
D.
La IIe Cour de droit social a tenu une délibération publique le 14 mai 2013.

Considérant en droit:
1.
1.1. En principe, l'objet d'une demande en justice ne peut porter que sur des questions juridiques actuelles dont les conséquences touchent concrètement le justiciable. La jurisprudence admet cependant la recevabilité d'une action en constatation si le demandeur a un intérêt digne de protection à la constatation immédiate de rapports de droit litigieux. Un intérêt de fait suffit, pour autant qu'il s'agisse d'un intérêt actuel et immédiat (<ref-ruling> consid. 2a p. 13). De manière plus générale, l'intérêt digne de protection requis fait défaut lorsque la partie peut obtenir en sa faveur un jugement condamnatoire; en ce sens, le droit d'obtenir une décision en constatation est subsidiaire (<ref-ruling> consid. 2a p. 13 et les références citées). Le juge retiendra un intérêt pour agir lorsqu'une incertitude plane sur les relations juridiques des parties et qu'une constatation judiciaire sur l'existence de l'objet du rapport pourrait l'éliminer. Une incertitude quelconque ne suffit cependant pas. Il faut bien plus qu'en se prolongeant, elle empêche le demandeur de prendre ses décisions et qu'elle lui soit, de ce fait, insupportable (<ref-ruling> consid. 3 p. 22).
1.2. La juridiction cantonale a retenu qu'aucune convention d'affiliation n'avait été conclue entre la recourante et l'intimée. Il s'agit donc d'un jugement constatant l'absence de relations contractuelles entre les parties.
1.3. En l'espèce, la recourante a un intérêt digne de protection à ce qu'une décision définitive soit rendue concernant l'existence ou non d'un rapport contractuel entre elle-même et l'intimée. En effet, dans la mesure où cette dernière a allégué l'absence de relation contractuelle, la recourante ne pouvait pas la contraindre à se déterminer sur une demande de prestations dues en fonction d'un contrat dont l'existence est niée. La recourante devait donc intenter une procédure en constat, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière sur le recours.
2.
2.1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140).
3.
Est litigieuse la question de savoir si un contrat d'affiliation, couvrant dès le 1er mars 2003 la prévoyance professionnelle obligatoire selon la LPP des employés de la recourante, est venu à chef entre cette dernière et l'intimée.
4.
La juridiction cantonale a considéré que tel n'était pas le cas. Elle a retenu - en se fondant sur le chiffre 3.1 de la deuxièmepartie du contrat d'adhésion (aux termes duquel celui-ci « entre en vigueur à la date du début contractuel convenue dans la 1ère partie si la fondation contresigne dans les 60 jours et remplace des conventions arrêtées éventuellement précédemment ») - que l'intimée entendait soumettre la validité de la convention litigieuse à la forme écrite. Dès lors, le contrat ne pouvait pas avoir été conclu par une acceptation tacite qui résulterait du temps pris par l'intéressée pour examiner la demande d'adhésion ou du paiement par la recourante des primes rétroactives - ce dernier constituant un préalable nécessaire à la conclusion de toute convention prévoyant une affiliation rétroactive de plus de trois mois.
5.
Invoquant une violation du droit fédéral, la recourante soutient que la juridiction cantonale aurait dû retenir l'existence d'un contrat d'affiliation. La validité de l'accord en question n'aurait pas été soumise à la forme écrite, faute pour l'intimée d'avoir posé clairement une telle exigence (la formulation du chiffre 3.1 de la deuxièmepartie du contrat d'adhésion laissant à penser que le respect de la forme écrite concernait uniquement l'hypothèse - non réalisée en l'espèce - où des conventions auraient été arrêtées antérieurement). Le paiement des primes réclamé le 3 septembre 2004 par l'intéressée aurait influencé le moment auquel prenait effet la couverture des risques assurés, question qui n'aurait pu se poser que si celle-ci avait admis, dans son principe, l'existence d'un contrat. En exigeant ce paiement, l'intimée aurait ainsi clairement manifesté sa volonté d'exécuter la convention. Dès lors, la conclusion du contrat découlerait du comportement de l'intimée, interprété selon le principe de la confiance.
6.
6.1. La convention d'affiliation entre un employeur et une institution de prévoyance (art. 11 al. 1 et 2 LPP) est un contrat sui generis au sens propre, pour la conclusion duquel il y a lieu d'appliquer les règles du droit des obligations (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 478 et les références).
6.2. Lorsque la loi ne subordonne pas la conclusion du contrat à l'observation d'une forme particulière (art. 11 al. 1 CO), une telle exigence peut résulter de la convention des parties (cf. art. 16 al. 1 CO). Convenir d'une forme spéciale selon cette norme ne requiert aucune forme particulière et l'accord peut résulter d'actes concluants (arrêt 4A_637/2012 du 3 avril 2013, destiné à la publication, consid. 2.6, et les références). La présomption posée par l'art. 16 CO, selon laquelle la forme réservée est une condition de la validité du contrat, peut être renversée par la preuve que les parties ont renoncé, après coup, à la réserve de la forme, que ce soit expressément ou par actes concluants ( INGEBORG SCHWENZER, in Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 5e éd. 2011, n° 10 ad art. 16 CO).
6.3. Le contrat est parfait lorsque les parties ont, réciproquement et d'une manière concordante, manifesté leur volonté (art. 1 al. 1 CO) sur tous les points essentiels (art. 2 al. 1 CO).
Pour déterminer si un contrat a été conclu (cf. <ref-ruling> consid. 1b; <ref-ruling> consid. 2b; arrêt 4C.70/2003 du 6 juin 2003, reproduit in SJ 2004 I p. 257, consid. 3.2), le juge doit tout d'abord s'efforcer de déterminer la commune et réelle intention des parties, <ref-ruling> consid. 2.3.2; <ref-ruling> consid. 4.1 et les arrêts cités). La recherche de la volonté réelle des parties est qualifiée d'interprétation subjective (ATF <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2b).
Si la volonté réelle des parties ne peut pas être établie ou si leurs volontés intimes divergent, le juge doit interpréter les déclarations et les comportements selon la théorie de la confiance; il doit donc rechercher comment une déclaration ou une attitude pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances (interprétation dite objective; <ref-ruling> consid. 2.3.2; <ref-ruling> consid. 4.1 et les arrêts cités). Le principe de la confiance permet ainsi d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même s'il ne correspond pas à sa volonté intime (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.5). L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal fédéral examine librement (<ref-ruling> consid. 2.3.2; <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 3.2). Pour trancher cette question, il faut se fonder sur le contenu de la manifestation de volonté et sur les circonstances, qui relèvent du fait (<ref-ruling> consid. 2.3.2; <ref-ruling> consid. 3, 586 consid. 4.2.3.1; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.5, 702 consid. 2.4 et les arrêts cités). Les circonstances déterminantes sont celles qui ont précédé ou accompagné la manifestation de volonté (<ref-ruling> consid. 4.2.1; <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 2b).
7.
7.1. Le contrat d'adhésion complété par la recourante le 19 juin 2004 accorde aux personnes à assurer une couverture provisoire de prévoyance qui s'éteint au plus tard 60 jours après la réception de la demande d'adhésion (première partie, point D.). L'intéressée devait donc s'attendre à ce que l'intimée lui indique dans ce laps de temps si elle acceptait ou non d'assurer la prévoyance professionnelle de son personnel - composé de deux personnes seulement dont toutes les données médicales devant être prises en compte dans l'examen du risque étaient connues. Au début du mois de septembre 2004 - soit à un moment que la recourante pouvait raisonnablement considérer comme proche de l'expiration du délai en question -, l'intimée lui a envoyé une lettre, accompagnée d'un bulletin de versement de 41'359 fr., lui indiquant sans plus amples précisions que ce montant correspondait à la prime rétroactive pour la période courant du 1er janvier 2003 au 30 septembre 2004 et devait être versé avant l'enregistrement du contrat. La recourante ne pouvait pas s'imaginer à la lecture de ce courrier qu'une évaluation du risque à assurer aurait été en cours - ce qui apparaissait peu vraisemblable puisque les informations dont l'intimée avait besoin pour ce faire lui avaient été fournies par les deux seules personnes concernées - ou que d'autres motifs auraient poussé l'intéressée à différer sa décision quant à la conclusion du contrat. Dans cette situation particulière, si à ce stade l'intimée voulait éviter de se voir liée contractuellement en application de la théorie de la confiance, elle aurait dû informer la recourante qu'elle réservait encore sa décision définitive.
7.2. Compte tenu de l'ensemble des circonstances du cas d'espèce, la recourante avait des raisons dignes de protection de penser que l'intimée - qui avait été en mesure d'établir le montant de la prime rétroactive et, partant, d'évaluer le risque à assurer (opération qui ne présentait d'ailleurs guère de difficultés vu la structure de l'entreprise ayant demandé à être affiliée) - disposait alors de tous les éléments nécessaires pour se déterminer et qu'elle renonçait à des investigations plus approfondies sur le plan médical. La recourante pouvait donc déduire de bonne foi du courrier en cause que l'enregistrement du contrat dépendait désormais du seul versement de la prime qui lui était réclamée et, partant, que l'intimée avait renoncé tacitement à l'exigence de forme conventionnelle ressortant du chiffre 3.1 de la deuxièmepartie du contrat d'adhésion. Il faut dès lors admettre qu'un contrat d'affiliation a été conclu entre l'intimée et la recourante le 11 octobre 2004, date du paiement par cette dernière du montant correspondant à la prime précitée.
8.
Il suit de ce qui précède que le recours est bien fondé. Compte tenu de l'issue du litige, l'intimée, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF) et versera à la recourante une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 LTF). La cause sera transmise à la juridiction de première instance pour qu'elle se prononce éventuellement à nouveau sur les dépens de la procédure cantonale.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 16 février 2012 est annulé. La demande est admise.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
L'intimée versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure de dernière instance.
4.
La cause est transmise au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, pour éventuelle nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Fondation institution supplétive LPP, Agence régionale de la Suisse romande, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 14 mai 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Bouverat