Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt stellte mit Beschlüssen vom 3. Februar 2009 sämtliche 15 gegen X._ geführten Strafverfahren betreffend mehrfache Drohung, mehrfache Sachbeschädigung, mehrfachen Ungehorsam gegen amtliche Verfügungen, mehrfachen Missbrauch einer Fernmeldeanlage sowie diverse Ehrverletzungsdelikte zum Nachteil seiner damaligen Ehefrau und weiteren Personen zufolge Rückzugs der Strafanträge bzw. wegen Eintritts der Verjährung ein. Mit Beschluss vom 3. Februar 2009 wurden X._ die Kosten der eingestellten Verfahren im Betrag von insgesamt Fr. 3'796.-- auferlegt, mit der Begründung, dass er die Anzeigen durch strafprozessual vorwerfbares Verhalten provoziert bzw. sämtliche Ermittlungen und Untersuchungshandlungen durch strafprozessual vorwerfbares Verhalten veranlasst habe.
X._ erhob mit Schreiben vom 19. Februar 2009 Rekurs und ersuchte zudem um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung sowie um eine Erstreckung der Frist zur Einreichung der Rekursbegründung. Die Präsidentin der Rekurskammer wies den Antrag auf unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung am 24. Februar 2009 vorläufig ab und bewilligte eine Fristerstreckung bis zum 15. April 2009. Nach Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung gewährte sie X._ auf dessen Gesuch hin eine zweite Fristerstreckung bis zum 18. Mai 2009, verbunden mit dem Hinweis, dass die "nächste Frist kurz und peremptorisch" sein werde. Mit Schreiben vom 18. Mai 2009 ersuchte X._ um eine "letztmalige Fristerstreckung" bis Ende Juni 2009, worauf ihm die Präsidentin der Rekurskammer mit Verfügung vom 25. Mai 2009 eine Fristerstreckung peremptorisch bis 30. Juni 2009 gewährte. Auf entsprechendes Gesuch hin wurde X._ mit Verfügung vom 30. Juni 2009 eine Fristerstreckung nachperemptorisch bis 3. August 2009 bewilligt. Diese Fristerstreckung wurde ihm anlässlich eines Telefongesprächs vom 3. August 2009 bis zum 7. August 2009 verlängert. Mit Eingabe vom 7. August 2009 stellte X._ erstmals ein Aktenergänzungsbegehren. Darin wies er darauf hin, dass die im Aktenverzeichnis genannten Positionen 8 bis 10, u.a. eine Audio-Kassette (Pos. 8), in den ihm überlassenen Akten nicht enthalten seien. Er beantragte daher, die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, die Positionen 8 bis 10 innert angemessener Frist an die Rekurskammer zu übermitteln. Anschliessend seien die Gegenstände der Verteidigung zur Prüfung zuzustellen, und es sei der Verteidigung alsdann nochmals eine Frist zur Rekursbegründung anzusetzen, wobei diese Frist relativ kurz ausfallen könne.
B. Mit Entscheid vom 11. August 2009 trat die Präsidentin der Rekurskammer auf den Rekurs mangels Begründung nicht ein.
C. Dagegen führt X._ mit Eingabe vom 17. September 2009 Beschwerde in Strafsachen mit folgenden Anträgen:
1. Der Nichteintretensentscheid der Rekurskammer des Strafgerichts Basel-Stadt vom 11. August 2009 sei vollumfänglich aufzuheben, und die Angelegenheit sei zur Neubeurteilung an die Rekurskammer zurückzuweisen.
2. Die Rekurskammer des Strafgerichts Basel-Stadt sei anzuweisen, das Aktenergänzungsgesuch des Beschwerdeführers vom 7. August 2009 gutzuheissen, dem Beschwerdeführer respektive seinem Rechtsvertreter die verlangte Akteneinsicht zu gewähren sowie eine angemessene Nachfrist zur Einreichung der Rekursbegründung einzuräumen. Eventualiter sei die Rekurskammer anzuweisen, dem Beschwerdeführer ohne zusätzliche Akteneinsicht eine angemessene Nachfrist zur Einreichung der Rekursbegründung einzuräumen. Subeventualiter sei die Rekurskammer anzuweisen, auf den am 19. Februar 2009 angemeldeten Rekurs gegen den Kostenbeschluss der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt vom 3. Februar 2009 einzutreten und aufgrund der Akten sowie unter Berücksichtigung der von ihm am 19. Februar 2009 eingereichten und mit zusätzlichen Eingaben vom 31. März 2009 und 7. August 2009 ergänzten Begründung über den Rekurs zu befinden und in der Sache zu entscheiden.
3. Unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Eventualiter sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen.
Zudem beantragt er, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Vorinstanz erwägt in der Begründung ihres Nichteintretensentscheids, der Antrag des Beschwerdeführers auf Aktenergänzung sei abzuweisen, da der Beizug der Originale der Pos. 8-10 des Beschlagnahmeverzeichnisses vom 4. Juli 2003 nicht geeignet sei, den Entscheid betreffend Kostenauferlegung zu beeinflussen. Es sei insbesondere nicht ersichtlich, was die Originale der Briefe (Pos. 9) gegenüber den Kopien belegen sollten. Bei Pos. 10 handle es sich lediglich um eine Zusammenstellung von ausgedruckten E-Mail-Nachrichten, welche sich bereits einzeln in den Akten befänden. Die Audio-Kassette (Pos. 8) stelle ein Indiz dar, das für die Beurteilung des strafprozessual vorwerfbaren Verhaltens irrelevant sei. Das mit dem Beweisantrag verbundene Begehren um Gewährung einer erneuten Begründungsfrist sei ebenso abzulehnen. Somit sei auf den Rekurs mangels der erforderlichen Begründung nicht einzutreten.
1.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe durch die Abweisung seines Aktenergänzungsbegehrens sein Recht auf Akteneinsicht und seinen Anspruch auf Teilnahme am Beweisverfahren als Teilgehalte des verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör verletzt. Diesen Anspruch habe die Vorinstanz zudem dadurch missachtet, dass sie ihren Entscheid nur äusserst knapp begründet habe. Die vorinstanzliche Begründung sei ausserdem willkürlich. Insbesondere die Auffassung der Vorinstanz, dass der Inhalt der Audio-Kassette für die Beurteilung des strafprozessual vorwerfbaren Verhaltens ohne Relevanz sei, sei unhaltbar. Zudem hätte die Vorinstanz ihm nach Abweisung des Aktenergänzungsbegehrens eine kurze Nachfrist zur Einreichung der Rekursbegründung gewähren müssen. Dass sie ohne Einräumung einer solchen Nachfrist auf den Rekurs mangels Begründung nicht eingetreten sei, komme einer formellen Rechtsverweigerung gleich. Selbst wenn aber die Ansicht der Vorinstanz zutreffen sollte, dass weder das Aktenergänzungsbegehren gutzuheissen noch eine Nachfrist für die Begründung des Rekurses einzuräumen sei, verletze das Nichteintreten auf den Rekurs mangels Begründung das Willkürverbot und den Anspruch auf rechtliches Gehör. Die Vorinstanz verkenne, dass der Rekurs bereits in den von ihm bis zum Nichteintretensentscheid eingereichten Schriftstücken vom 19. Februar 2009, 31. März 2009 und 7. August 2009 summarisch und damit im Sinne von <ref-law>/BS "kurz" begründet worden sei.
2. 2.1 Gemäss § 169 der Strafprozessordnung des Kantons Basel-Stadt vom 8. Januar 1997 (StPO/BS; SG 257.100) beträgt die Frist zur Erhebung des Rekurses zehn Tage, von dem Tag an gerechnet, an welchem die Verfügung der betroffenen Person mitgeteilt wurde. Rekurs wegen Verfahrensverzögerung ist jederzeit möglich (Abs. 1). Der Rekurs ist schriftlich und mit einer kurzen Begründung bei der Rekurskammer des Strafgerichts einzureichen. Verhaftete können den Rekurs zu Protokoll geben (Abs. 2). Für die Begründung kann die Präsidentin oder der Präsident der Rekursinstanz ausnahmsweise eine Nachfrist einräumen, wenn besondere Umstände dies rechtfertigen (Abs. 3).
Die Präsidentin der Rekurskammer gewährte dem Beschwerdeführer insgesamt fünf Fristerstreckungen. Dadurch verlängerte sich die Frist zur Einreichung einer Rekursbegründung, die am 23. Februar 2009 abgelaufen wäre, bis zum 7. August 2009.
Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass die Vorinstanz durch die Verweigerung der von ihm am 7. August 2009 beantragten weiteren Fristerstreckung <ref-law>/BS willkürlich angewandt habe. Die Begründung des angefochtenen Entscheids ist zwar knapp, sie genügt entgegen den Einwänden des Beschwerdeführers aber den sich aus der Bundesverfassung ergebenden Anforderungen (siehe dazu <ref-ruling> E. 3.1 S. 277; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; je mit Hinweisen), da aus ihr ersichtlich ist, weshalb die Vorinstanz das Aktenergänzungsbegehren, mit welchem der Beschwerdeführer sein Ersuchen um eine weitere Erstreckung der Begründungspflicht verknüpfte, abwies. Der Beschwerdeführer legt nicht substanziiert dar, weshalb und inwiefern die Einschätzung der Vorinstanz, wonach die fraglichen Aktenstücke für die Beurteilung des strafprozessual vorwerfbaren Verhaltens und damit für den Entscheid betreffend die Kostenauflage ohne Relevanz seien, willkürlich sei. Er legt auch nicht substanziiert dar, weshalb und inwiefern die Begründung des Rekurses gegen die Kostenauflage wegen strafprozessual vorwerfbaren Verhaltens auf der Grundlage der ihm bekannten Akten, mithin ohne Einsicht in die fehlenden Aktenstücke (insbesondere die Audio-Kassette), erschwert gewesen sei.
2.2 Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hätte seit dem Kostenbeschluss der Beschwerdegegnerin vom 3. Februar 2009, der am 11. Februar 2009 beim Rechtsvertreter des Beschwerdeführers einging, in sämtliche Akten Einsicht nehmen können. Insgesamt hätte er während rund sechs Monaten Zeit gehabt, Einsicht in die fehlenden Aktenstücke zu verlangen. Er bringt nicht vor, und es ist auch nicht aus den Akten ersichtlich, dass ihm die Einsicht in die fraglichen Aktenstücke zu irgendeinem früheren Zeitpunkt verweigert worden wäre. Mit E-Mail-Nachricht vom 14. Februar 2009 verlangte der Beschwerdeführer die Zusendung der Erklärungen hinsichtlich der Rückzüge der Strafanträge und hielt fest, dass er in die übrigen Akten schon Einsicht genommen habe, diese allerdings in den Räumlichkeiten der Beschwerdegegnerin nochmals vertieft studieren werde (vorinstanzliche Akten S. 1054). Die gewünschten Dokumente wurden ihm in der Folge zugestellt, und er wurde aufgefordert, sich zwecks Vereinbarung eines Termins für die Akteneinsicht mit dem Sekretariat der Staatsanwaltschaft in Verbindung zu setzen (vorinstanzliche Akten S. 1055). Mit Eingabe vom 15. April 2009 an die Vorinstanz hielt der Beschwerdeführer im Rahmen eines Fristerstreckungsgesuchs fest, dass ihm die Akten seit Ende Februar überhaupt erstmals in vollem Umfang vorlägen (vorinstanzliche Akten S. 1091). Der Beschwerdeführer hätte spätestens während der ihm am 25. Mai 2009 bewilligten "peremptorischen" Fristerstreckung bis Ende Juni 2009 respektive während der ihm am 30. Juni 2009 gewährten "nachperemptorischen" Fristerstreckung bis zum 3. August 2009 die Begründung des Rekurses vorbereiten müssen. Bei Einsicht in die Akten hätte er erkennen können, dass gewisse Aktenstücke nicht im Original, sondern lediglich in Kopie vorhanden waren, eine Audio-Kassette fehlte und stattdessen lediglich eine von der Staatsanwaltschaft erstellte Zusammenfassung ihres Inhalts vorlag. Allerspätestens nachdem er mit der Präsidentin der Rekurskammer anlässlich des Telefonats vom 3. August 2009 gemäss seinen eigenen Angaben über die sich nicht in den Akten befindlichen Aktenstücke gesprochen hatte, hätte er sich während der ihm anlässlich dieses Telefonats gewährten letzten Fristerstreckung aktiv und allenfalls vor Ort um die entsprechende Akteneinsicht bemühen müssen. Der Beschwerdeführer stellte sein Gesuch um Aktenergänzung und Akteneinsicht jedoch erst am letzten Tag der bereits mehrfach - auch peremptorisch und nachperemptorisch - erstreckten Frist zur Einreichung der Rekursbegründung. Er durfte unter den konkreten Umständen nicht darauf vertrauen, dass ihm eine weitere Fristerstreckung gewährt werde, wenn er einen diesbezüglichen Antrag erstmals mit einem Gesuch um Aktenergänzung verbinde. Es ist unter den gegebenen Umständen verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den Antrag des Beschwerdeführers auf Ergänzung der Akten abwies und ohne Ansetzung einer weiteren Nachfrist auf den Rekurs mangels Begründung nicht eintrat.
2.3 Unbegründet ist schliesslich der Einwand des Beschwerdeführers, dass einige frühere Eingaben bereits eine summarische Begründung des Rekurses enthielten.
2.3.1 Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts steht nicht jede prozessuale Formstrenge mit <ref-law> (bzw. Art. 4 aBV) im Widerspruch. Überspitzter Formalismus, dessen Vorliegen der Beschwerdeführer sinngemäss rügt, ist nur gegeben, wenn die strikte Anwendung der Formvorschriften durch kein schutzwürdiges Interesse gerechtfertigt ist und zum blossen Selbstzweck wird. Prozessuale Formen sind unerlässlich, um die ordnungsgemässe Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Eingaben an Behörden, vor allem Rechtsmittelschriften, müssen im Allgemeinen bestimmten formellen Anforderungen genügen. Es soll aus ihnen hervorgehen, dass und weshalb der Rechtsuchende einen Entscheid anficht und inwieweit dieser geändert oder aufgehoben werden soll. Wird folglich die Gültigkeit eines Rechtsmittels kraft gesetzlicher Bestimmung davon abhängig gemacht, dass es einen Antrag und eine Begründung enthält, so kann darin kein überspitzter Formalismus gesehen werden (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 247 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 4 S. 315 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 227 ff.).
2.3.2 Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer reichte bei der Vorinstanz trotz mehrmaliger Fristerstreckung keine Begründung des Rekurses ein. Er selbst ging offensichtlich davon aus, dass eine solche noch einzureichen sei. Zur Begründung der Ersuchen um Fristerstreckung führte er jeweils aus, er sei nicht imstande, die Rekursbegründung rechtzeitig einzureichen (vorinstanzliche Akten S. 1065, 1091). Mit Eingabe vom 18. Mai 2009 ersuchte der Beschwerdeführer ausdrücklich um eine letztmalige Fristerstreckung zur Einreichung der Begründung des Rekurses (vorinstanzliche Akten S. 1094). In der Folge sah er sich jedoch erneut ausserstande, die Begründung fristgerecht einzureichen (vorinstanzliche Akten S. 1097, 1099). Mit Eingabe vom 7. August 2009 führte der Beschwerdeführer aus, er erachte es nicht als sinnvoll, eine unvollständige Rekursbegründung einzureichen und eine Nachfrist für eine ergänzende Begründung zu verlangen, da es der Rekurseingabe auf diese Weise an Konsistenz und Stringenz fehlen würde. Bezüglich der Verfahrensdauer komme es im Ergebnis nicht darauf an, ob die Rekursbegründung in zwei Teilen oder nach Erstreckung der Frist eine vollständige Rekursbegründung eingereicht werde (vorinstanzliche Akten S. 1103). Unter diesen Umständen ist es verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die ansatzweisen Äusserungen des Beschwerdeführers zur Sache in den verschiedenen Eingaben nicht als Begründung des Rekurses entgegennahm und auf den Rekurs mangels Begründung nicht eintrat.
3. Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen, da die Beschwerde wegen trölerischer Prozessführung von vornherein aussichtslos war (<ref-law> e contrario). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Strafgericht Basel-Stadt, Präsidentin der Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Häne