Erwägungen:
1.
A._ erhob gegen die Verfügung der Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn vom 30. April 2015 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Dieses forderte ihn mit Verfügung vom 1. Juni 2015 auf, bis zum 22. Juni 2015 einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu leisten, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Mit Urteil vom 30. Juni 2015 trat das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn auf die Beschwerde nicht ein, da innert Frist der Kostenvorschuss nicht geleistet wurde.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 31. Juli 2015 (Postaufgabe 2. August 2015) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn. Das Bundesgericht hat auf die Einholung von Vernehmlassungen verzichtet, liess sich jedoch die kantonalen Akten zustellen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer ist mit Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 1. Juni 2015 zur Leistung eines Kostenvorschusses aufgefordert worden. Gleichzeitig wurde ihm im Falle einer nicht fristgerechten Bezahlung des Kostenvorschusses das Nichteintreten auf die Beschwerde angedroht. Diese Verfügung ist dem Beschwerdeführer gemäss Sendungsinformationen der Post am 11. Juni 2015 zugestellt worden. Mit Urteil vom 30. Juni 2015 ist das Verwaltungsgericht mangels Leistung des Kostenvorschusses auf die Beschwerde nicht eingetreten. Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts rechts- oder verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Bau- und Justizdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli