Arbeitsvertrag; Kündigungsfrist, hat sich ergeben:
A.- Die X._ AG kündigte am 6. Juli 1998 das Arbeitsverhältnis mit A._ auf den 31. Oktober 1998.
Der Arbeitnehmer stellte sich in der Folge auf den Standpunkt, dass die vertragliche Kündigungsfrist nicht drei, sondern sechs Monate betrage. Er berief sich auf den Arbeitsvertrag, den er am 9. März 1984 mit der Aktiengesellschaft vorm. Y._ abgeschlossen hatte. Diese Gesellschaft hatte am 15. Februar 1995 ihren Geschäftsbereich "Mühle" an die damals neu gegründete Z._ AG mit Sitz in Zürich übertragen, für welche A._ seither tätig war. Ab 1. August 1997 arbeitete er für die N._ AG in deren Betrieb in O._. Die N._ AG wurde am 10. Juni 1998 von der X._ AG übernommen.
B.- A._ klagte im November 1998 beim Bezirksgericht Weinfelden gegen die X._ AG auf Zahlung von Fr. 25'837. 50 nebst 5 % Zins seit 15. Dezember 1998. Der Betrag entspricht drei Monatslöhnen und dem anteilsmässigen
13. Monatslohn.
Das Bezirksgericht wies die Klage mit Urteil vom 9. Oktober 1999 ab. Es kam zum Schluss, dass der ursprüngliche Arbeitsvertrag des Klägers zwar auf die Z._ AG übergegangen sei, dass aber zwischen dieser Gesellschaft und der N._ AG keine rechtlichen Verbindungen bestanden hätten und insbesondere keine Betriebsübernahme im Sinne von <ref-law> erfolgt sei. Zudem sei zwischen den beiden Gesellschaften keine Übernahme des Arbeitsvertrags mit dem Kläger und auch zwischen diesem und der N._ AG keine Fortführung des früheren Arbeitsvertrags oder der Abschluss eines neuen mit identischem Inhalt vereinbart worden.
C.- Das Obergericht des Kantons Thurgau wies mit Urteil vom 16. März 2000 die Berufung des Klägers und dessen Klage ab. Das Obergericht bestätigte die Begründung des Bezirksgerichts und hielt namentlich fest, der Beweis sei nicht erbracht worden, dass das Arbeitsverhältnis mit dem Kläger von der Z._ AG auf die N._ AG übergegangen sei oder dass diese den Kläger zu den gleichen Bedingungen angestellt habe.
D.- Der Kläger hat das Urteil des Obergerichts mit Berufung und staatsrechtlicher Beschwerde angefochten. Die Beschwerde ist vom Bundesgericht mit Urteil vom heutigen Tag abgewiesen worden, soweit darauf eingetreten werden konnte.
Mit der vorliegenden Berufung beantragt der Kläger, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Beklagte zur Zahlung von Fr. 25'837. 50 nebst 5 % Zins seit 15. Dezember 1998 zu verpflichten, eventuell die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beklagte stellt in ihrer Berufungsantwort die Anträge, auf die Berufung nicht einzutreten bzw. sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und das angefochtene Urteil zu bestätigen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Mit der Berufung kann geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid beruhe auf einer Verletzung des Bundesrechts (Art. 43 Abs. 1 OG). Das Bundesrecht ist verletzt, wenn ein in einer eidgenössischen Vorschrift ausdrücklich ausgesprochener oder daraus sich ergebender Rechtssatz nicht oder nicht richtig angewendet worden ist (Art. 43 Abs. 2 OG). Das Bundesrecht ist durch Feststellungen über tatsächliche Verhältnisse nicht verletzt, es wäre denn, dass sie unter Verletzung bundesrechtlicher Beweisvorschriften zustande gekommen sind (Art. 43 Abs. 3 OG).
Mit seiner Berufung beanstandet der Kläger sinngemäss, dass die Vorinstanz einen Übergang seines Arbeitsvertrages beim Stellenwechsel von der Z._ AG zur N._ AG nicht als bewiesen angesehen hat. Er rügt dabei nicht, die Vorinstanz habe die Tragweite materieller Normen des Bundesrechts verkannt, sondern erklärt im Gegenteil für unerheblich, ob die von ihm behauptete Vertragsübernahme nach <ref-law> durch eine Vereinbarung zwischen den Arbeitgeberinnen oder durch eine Übernahme des Inhalts des früheren Arbeitsvertrags durch die N._ AG zustande gekommen sei. Er rügt allein eine Verletzung von <ref-law>, weshalb im Folgenden auch nur diese Frage zu behandeln ist (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG; <ref-ruling> E. 3 S. 749).
2.- <ref-law> regelt die Beweislast. Als Korrelat zur Beweislast leitet das Bundesgericht daraus das Recht der beweisbelasteten Partei ab, zum ihr obliegenden Beweis zugelassen zu werden (<ref-ruling> E. 2a S. 290). Dieser bundesrechtliche Beweisführungsanspruch besteht indes nur für rechtserhebliche Tatsachen und setzt voraus, dass die beweisbelastete Partei im kantonalen Verfahren form- und fristgerechte Beweisanträge gestellt hat. <ref-law> schreibt dem Sachgericht dagegen nicht vor, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären ist und wie die Beweise zu würdigen sind. Die Schlüsse, die das kantonale Gericht in tatsächlicher Hinsicht aus Beweisen und konkreten Umständen zieht, können im Berufungsverfahren nicht überprüft werden; auch die vorweggenommene Würdigung von Beweisen wird durch <ref-law> nicht ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 3c S. 223).
Der Kläger bestreitet zu Recht nicht, dass ihn die Beweislast für die behauptete sechsmonatige Kündigungsfrist trifft. Er hält indes dafür, es liege an der Beklagten zu beweisen, dass sein Vertrag mit der Z._ AG beendet gewesen sei, als er zur N._ AG gewechselt habe. Die Vorinstanz hat aus dem von der Z._ AG ausgestellten Arbeitszeugnis vom 31. Juli 1997 abgeleitet, das Arbeitsverhältnis sei aufgelöst worden. Sie hat somit aufgrund von Beweiswürdigung eine tatsächliche Feststellung getroffen, womit die Frage der Beweislastverteilung nach ständiger Rechtsprechung gegenstandslos geworden ist (<ref-ruling> E. 2a S. 291). Die mit der Berufung vorgebrachte Rüge betreffend den Beweis für die Vertretungsmacht von B._ bei der N._ AG basiert auf der Annahme, dass der Kläger in ungekündigter Stellung bei der Z._ AG war. Die gegenteilige Feststellung der Vorinstanz beruht auf Beweiswürdigung, die im Berufungsverfahren nicht angefochten werden kann.
Der Kläger anerkennt sodann, dass er den von ihm behaupteten Vertragsinhalt hätte beweisen müssen. Er rügt indessen als Verletzung von <ref-law>, dass ihm die Beweisführung durch die Befragung des Zeugen B._ verweigert worden sei. Seiner Rechtsschrift ist freilich nicht zu entnehmen, welche im kantonalen Verfahren vorgebrachten Behauptungen er damit beweisen wollte, so dass fraglich erscheint, ob auf die Rüge eingetreten werden kann. Zu beachten ist zudem, dass die Vorinstanz die Befragung des Zeugen B._ mit zweifacher Begründung abgelehnt hat. Sie hat einerseits die angeblichen Versprechungen als unerheblich betrachtet, weil der Zeuge mangels Einzelzeichnungsberechtigung nicht zur Vertretung der N._ AG bevollmächtigt gewesen sei.
Anderseits hat sie die Befragung des Zeugen aufgrund vorweggenommener Beweiswürdigung abgelehnt. Zur ersten Begründung äussert sich der Kläger in der Berufungsschrift nicht, weshalb diese nicht überprüft werden kann. Die zweite Begründung hat der Kläger ohne Erfolg mit der staatsrechtlichen Beschwerde angefochten. Sie kann hier ebenfalls nicht überprüft werden.
3.- Aus diesen Gründen ist die Berufung abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann, und das angefochtene Urteil ist zu bestätigen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend ist die Gerichtsgebühr dem Kläger aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).
Er hat die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 16. März 2000 wird bestätigt.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Kläger auferlegt.
3.- Der Kläger hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 13. November 2000
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: