Sachverhalt:
A. A.a Auf Klage von Z._ (geb. 1981) hin schied das Bezirksgericht Zurzach mit Urteil vom 13. April 2004 ihre Ehe mit X._ (geb. 1976), übertrug die elterliche Sorge über die gemeinsame Tochter Y._ (geb. 1998) der Mutter und verpflichtete den Vater, monatlich bestimmte Beiträge an den persönlichen Unterhalt der Mutter sowie an denjenigen der Tochter zu bezahlen. X._ hatte keine Klageantwort eingereicht und war nicht zur Hauptverhandlung erschienen, zu welcher er öffentlich vorgeladen worden war. Zufolge unbekannten Aufenthaltes ordnete das Bezirksgericht die Zustellung des Dispositivs an X._ mittels öffentlicher Bekanntmachung im Amtsblatt an.
A.b X._ kam seinen finanziellen Verpflichtungen nicht nach. In der Folge wurde ein Strafverfahren wegen Vernachlässigung von Unterhaltspflichten eröffnet. Nachdem er aus Serbien-Montenegro in die Schweiz zurückgekehrt war, befragte ihn die Kantonspolizei dazu am 18. Juni 2008.
A.c Am 28. August 2008 beantragte X._ beim Bezirksgericht Zurzach prinzipaliter die Wiederherstellung der Frist zur Appellation gegen das Scheidungsurteil vom 13. April 2004; eventualiter sei das Gesuch als Appellation entgegenzunehmen. Ferner ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung seines Anwalts als unentgeltlichen Rechtsbeistand. Der Präsident des Bezirksgerichts wies das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege am 9. Oktober 2009 mangels Bedürftigkeit ab.
B. Das Obergericht des Kantons Aargau wies die am 23. Oktober 2009 von X._ gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde in der Hauptsache wie auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das oberinstanzliche Verfahren wegen Aussichtslosigkeit ab (Entscheid vom 25. Juni 2010). Den am 25. Mai 2010 eingereichten Antrag auf Feststellung, wonach die Verfahrensdauer gegen das Beschleunigungsgebot verstosse, hiess es dagegen gut, weil das Gerichtspräsidium Zurzach die dort eingereichte Beschwerde "ohne ersichtlichen Grund" erst am 21. April 2010 an das Obergericht weitergeleitet hatte. Diese Feststellung fand keinen Eingang in das obergerichtliche Dispositiv.
C. Mit als subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneter Eingabe vom 6. September 2010 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt, die Verfügung des Bezirksgerichtspräsidenten vom 9. Oktober 2009 und den Entscheid des Obergerichts vom 25. Juni 2010 aufzuheben und ihm für das ganze vorinstanzlich hängige Hauptverfahren sowie für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Ferner verlangt er die Feststellung, dass die Behandlung der Beschwerde durch die kantonalen Behörden gegen das Beschleunigungsgebot verstossen hat.
Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, der dem Beschwerdeführer für die Durchführung des erst- und des zweitinstanzlichen kantonalen Verfahrens die unentgeltliche Rechtspflege verweigert. Mithin geht es um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann und daher gemäss <ref-law> selbständig anfechtbar ist (Urteile 5A_10/2007 vom 23. März 2007 E. 2.3; 5A_262/2008 vom 8. September 2008 E. 1.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 S. 131).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (Urteile 5A_10/2007 vom 23. März 2007 E. 2.3; 5A_262/2008 vom 8. September 2008 E. 1.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Bei dieser geht es um eine Fristwiederherstellung in einem Ehescheidungsverfahren. Nachdem der Beschwerdeführer die im Scheidungsurteil vom 13. April 2004 angeordnete Unterhaltsregelung anfechten will, liegt eine vermögensrechtliche Zivilsache vor (<ref-law>), deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (<ref-law>). In der Hauptsache kann somit die Beschwerde in Zivilsachen ergriffen werden (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG), weshalb die Beschwerde in Zivilsachen auch gegen den angefochtenen Entscheid betreffend die unentgeltliche Rechtspflege grundsätzlich offensteht. Die unrichtige Bezeichnung der Beschwerde schadet nicht (<ref-ruling> E. 1.2 S. 382).
1.3 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch auf Grund von <ref-law> (bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK). Während das Bundesgericht die Rüge der Verletzung von direkt aus <ref-law> (bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK) hergeleiteten Rechtspflegeansprüchen mit freier Kognition untersucht, prüft es die Auslegung und Anwendung der kantonalen Gesetzesbestimmungen über den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nur unter dem Gesichtspunkt des Willkürverbotes (<ref-ruling> E. 3 S. 180 mit Hinweisen).
Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene Rügen, die soweit möglich zu belegen sind, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.4 An die kantonalen Sachverhaltsfeststellungen ist das Bundesgericht grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252).
Was die Rüge willkürlicher Sachverhaltsfeststellung anbelangt, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Feststellungen für den Ausgang des Verfahrens (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22) im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, auf einem offenkundigen Versehen beruhen oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lassen sollen (Urteil 4A_223/2007 vom 30. August 2007 E. 3.2).
2. Zunächst beanstandet der Beschwerdeführer die Verweigerung des Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege, weil sein Begehren im Wiederherstellungsverfahren entgegen der vorinstanzlichen Annahme nicht aussichtslos sei. In seiner Begründung bezieht er sich - zumindest teilweise - auf Normen des kantonalen Prozessrechts, macht aber nicht geltend, diese würden die unentgeltliche Verbeiständung unter weniger strengen Bedingungen gewähren als <ref-law>. Praxisgemäss ist daher die Beschwerde einzig unter dem Blickwinkel der verfassungsrechtlichen Norm zu prüfen (<ref-ruling> E. 2 S. 2).
2.1 Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung diejenigen Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen).
Rechtsfrage ist in diesem Zusammenhang, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Tatumstände erstellt sind (<ref-ruling> E. 2c S. 307).
2.2 Das Obergericht erwog, da das Urteil bloss im Dispositiv zugestellt worden sei, handle es sich der Sache nach um ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist für das Begehren um Zustellung einer vollständigen Ausfertigung des Urteils (§ 277 Abs. 1 des Zivilrechtspflegegesetzes des Kantons Aargau vom 18. Dezember 1984, nachfolgend "ZPO/AG"). Gemäss <ref-law>/AG sei ein solches Gesuch innert zehn Tagen nach dem Wegfall des Hindernisses zu stellen. Für den Beginn der Frist sei massgebend, von welchem Zeitpunkt an der Gesuchsteller objektiv zu handeln in der Lage gewesen sei. Für die Berechnung der Frist sei daher nicht entscheidend, wann der Vertreter des Gesuchstellers Kenntnis vom Urteil erhalten habe. Unbehelflich sei deshalb die Begründung, der Vertreter des Gesuchstellers habe erstmals am 22. August 2008 vom Urteil Kenntnis erhalten und dieses anschliessend dem Gesuchsteller gezeigt, womit die zehntägige Frist zur Einreichung des Wiederherstellungsgesuchs mit dem Gesuch vom 28. August 2008 gewahrt gewesen sei. Dem Gesuchsteller sei an der Einvernahme zur Sache betreffend Vernachlässigung von Unterhaltspflichten durch die Kantonspolizei am 18. Juni 2008 mitgeteilt worden, dass er aufgrund des Scheidungsurteils des Bezirksgerichts Zurzach vom 7. April 2004 [recte: vom 13. April 2004] zur Zahlung von Unterhaltsbeiträgen für seine geschiedene Ehefrau und die Tochter Y._ verpflichtet sei. Er habe somit bereits am 18. Juni 2008 Kenntnis vom Scheidungsurteil gehabt und sei daher in der Lage gewesen, sich beim Gericht um ein Urteilsexemplar zu kümmern und sofort die notwendigen Schritte in die Wege zu leiten. Das Gesuch um Wiederherstellung der Frist vom 28. August 2008 sei verspätet eingereicht und demnach offenbar aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Wiederherstellungsverfahren aus eben diesem Grund abzuweisen sei.
2.2 Das Obergericht erwog, da das Urteil bloss im Dispositiv zugestellt worden sei, handle es sich der Sache nach um ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist für das Begehren um Zustellung einer vollständigen Ausfertigung des Urteils (§ 277 Abs. 1 des Zivilrechtspflegegesetzes des Kantons Aargau vom 18. Dezember 1984, nachfolgend "ZPO/AG"). Gemäss <ref-law>/AG sei ein solches Gesuch innert zehn Tagen nach dem Wegfall des Hindernisses zu stellen. Für den Beginn der Frist sei massgebend, von welchem Zeitpunkt an der Gesuchsteller objektiv zu handeln in der Lage gewesen sei. Für die Berechnung der Frist sei daher nicht entscheidend, wann der Vertreter des Gesuchstellers Kenntnis vom Urteil erhalten habe. Unbehelflich sei deshalb die Begründung, der Vertreter des Gesuchstellers habe erstmals am 22. August 2008 vom Urteil Kenntnis erhalten und dieses anschliessend dem Gesuchsteller gezeigt, womit die zehntägige Frist zur Einreichung des Wiederherstellungsgesuchs mit dem Gesuch vom 28. August 2008 gewahrt gewesen sei. Dem Gesuchsteller sei an der Einvernahme zur Sache betreffend Vernachlässigung von Unterhaltspflichten durch die Kantonspolizei am 18. Juni 2008 mitgeteilt worden, dass er aufgrund des Scheidungsurteils des Bezirksgerichts Zurzach vom 7. April 2004 [recte: vom 13. April 2004] zur Zahlung von Unterhaltsbeiträgen für seine geschiedene Ehefrau und die Tochter Y._ verpflichtet sei. Er habe somit bereits am 18. Juni 2008 Kenntnis vom Scheidungsurteil gehabt und sei daher in der Lage gewesen, sich beim Gericht um ein Urteilsexemplar zu kümmern und sofort die notwendigen Schritte in die Wege zu leiten. Das Gesuch um Wiederherstellung der Frist vom 28. August 2008 sei verspätet eingereicht und demnach offenbar aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Wiederherstellungsverfahren aus eben diesem Grund abzuweisen sei.
2.3 2.3.1 Der Beschwerdeführer rügt diese Begründung als aktenwidrig. Zunächst gehe es gar nicht nur um eine Wiederherstellung, sondern er habe vollumfänglich Appellation erklärt und entsprechende Anträge gestellt. Der Beschwerdeführer habe bis heute nie ein Originalurteil erhalten und es bestünden erhebliche Zweifel daran, ob das Bezirksgericht überhaupt berechtigt gewesen sei, ohne weitere Abklärungen und insbesondere ohne Zustellungsversuch an die ihm bekannte Wohnadresse eine Publikation im Kantonsblatt vorzunehmen. Daher bestünden gewichtige Anhaltspunkte dafür, dass bis heute noch nie eine korrekte Zustellung erfolgt sei. Folglich habe auch nie eine Frist zu laufen begonnen. Unter diesen Umständen liege mit grosser Wahrscheinlichkeit gar kein Fall der Wiederherstellung im Sinne von <ref-law>/AG vor. Dementsprechend sei auch keine Frist verpasst worden. Es obliege dem zuständigen Gericht, im Hauptverfahren darüber zu befinden. Es könne daher nicht gesagt werden, die Wiederherstellungsfrist sei verpasst und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege deswegen aussichtslos.
2.3.2 Der Beschwerdeführer verkennt die Begründungsanforderungen, welche das Bundesgerichtsgesetz an seine Beschwerde stellt (E. 1.3 und E. 1.4 oben). In seinen Ausführungen äussert er "Zweifel" daran, dass das Bezirksgericht berechtigt gewesen sei, eine öffentliche Zustellung vorzunehmen. Er macht geltend, es bestünden daher "gewichtige Anhaltspunkte", dass bis heute noch nie eine korrekte Zustellung erfolgt sei, und stellt die Vermutung an, es liege "mit grosser Wahrscheinlichkeit" gar kein Fall der Wiederherstellung vor. Freilich will der Beschwerdeführer damit zum Ausdruck bringen, man habe die Sache auch anders sehen können. Allein mit solchen Mutmassungen und vagen Behauptungen lässt sich keine Verfassungsverletzung begründen und die von der Vorinstanz angenommene Aussichtslosigkeit seiner Begehren in der Hauptsache nicht widerlegen. Vielmehr hätte der Beschwerdeführer aufzeigen müssen, weshalb und inwiefern das Obergericht kantonales Prozessrecht willkürlich angewendet hat, indem es seine Eingabe als Gesuch um Wiederherstellung der Frist für das Begehren um Zustellung einer vollständigen Ausfertigung des Urteils behandelt und nicht - seinem Eventualbegehren entsprechend - als Appellationserklärung entgegengenommen hat. Dies aber tut er nicht, weshalb auf seine diesbezügliche Rüge nicht eingetreten werden kann.
2.3.2 Der Beschwerdeführer verkennt die Begründungsanforderungen, welche das Bundesgerichtsgesetz an seine Beschwerde stellt (E. 1.3 und E. 1.4 oben). In seinen Ausführungen äussert er "Zweifel" daran, dass das Bezirksgericht berechtigt gewesen sei, eine öffentliche Zustellung vorzunehmen. Er macht geltend, es bestünden daher "gewichtige Anhaltspunkte", dass bis heute noch nie eine korrekte Zustellung erfolgt sei, und stellt die Vermutung an, es liege "mit grosser Wahrscheinlichkeit" gar kein Fall der Wiederherstellung vor. Freilich will der Beschwerdeführer damit zum Ausdruck bringen, man habe die Sache auch anders sehen können. Allein mit solchen Mutmassungen und vagen Behauptungen lässt sich keine Verfassungsverletzung begründen und die von der Vorinstanz angenommene Aussichtslosigkeit seiner Begehren in der Hauptsache nicht widerlegen. Vielmehr hätte der Beschwerdeführer aufzeigen müssen, weshalb und inwiefern das Obergericht kantonales Prozessrecht willkürlich angewendet hat, indem es seine Eingabe als Gesuch um Wiederherstellung der Frist für das Begehren um Zustellung einer vollständigen Ausfertigung des Urteils behandelt und nicht - seinem Eventualbegehren entsprechend - als Appellationserklärung entgegengenommen hat. Dies aber tut er nicht, weshalb auf seine diesbezügliche Rüge nicht eingetreten werden kann.
2.4 2.4.1 Der Beschwerdeführer stellt sich (eventualiter) auf den Standpunkt, für den Wiederherstellungsfall habe er die Frist gewahrt. Der befragende Polizist habe einleitend auf die diversen ausstehenden Unterhaltsbeiträge hingewiesen. Daraus sei ersichtlich, dass bereits vor dem Ehescheidungsurteil gerichtliche Entscheide im Rahmen vorsorglicher Massnahmen oder des Eheschutzes ergangen sein müssen. Für ihn als Laien sei somit trotz des Hinweises auf ein Gerichtsurteil aus dem Frühjahr 2004 in keiner Art und Weise klar, dass es sich um ein neues Urteil handle, das ihm nicht zugestellt worden sein könnte. Dies gelte umso mehr, als er in dieser Zeit offensichtlich noch in der Schweiz gemeldet gewesen sei. Es habe für ihn somit aufgrund der Fragestellung in einem polizeilichen Verhör überhaupt keine Veranlassung bestanden, beim Bezirksgericht ein Urteil einzuverlangen bzw. ein Wiederherstellungsgesuch zu deponieren. Eine solche Auffassung verstosse in krasser Weise gegen das Verbot des überspitzten Formalismus und gegen den Anspruch auf ein faires Verfahren (<ref-law>). Aus dem Polizeiprotokoll ergebe sich ferner, dass man ihm weder das Scheidungsurteil gezeigt noch etwas ausgehändigt oder weitergehende Informationen oder Erläuterungen abgegeben habe. Auch gestützt darauf könne weder von einer rechtskonformen Zustellung bzw. Urteilseröffnung noch von zureichenden Angaben oder Hinweisen ausgegangen werden, welche ihn veranlasst hätten, nach einem nicht zugestellten Urteil zu forschen. Dem Anwalt, den er einzig aufgrund des Strafverfahrens aufgesucht habe, sei das Scheidungsurteil erst mit der Zustellung der Strafakten am 22. August 2008 zu Kenntnis gekommen. Das Hindernis im Sinne von <ref-law>/AG sei daher frühestens in diesem Zeitpunkt weggefallen. Folglich sei das am 28. August 2008 gestellte Begehren rechtzeitig erfolgt.
2.4.2 Die Ausgangslage ist gegenüber den Ausführungen des Beschwerdeführers wie folgt zu ergänzen bzw. richtigzustellen: Aus dem vom Beschwerdeführer eingereichten Schreiben des Bezirksgerichts Zurzach vom 23. Oktober 2008 (Beschwerdebeilage 10) ergibt sich, dass ihm die Scheidungsklage samt Aufforderung zur Einreichung einer Klageantwort anlässlich einer Gerichtsverhandlung im Verfahren betreffend die Anfechtung der Vermutung der Vaterschaft am 9. April 2003 persönlich übergeben wurde. Mithin hatte der Beschwerdeführer schon zum damaligen Zeitpunkt Kenntnis von der Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens. Sodann hat der Polizeibeamte den Beschwerdeführer gemäss dem von diesem selbst angerufenen Polizeiprotokoll vom 18. Juni 2008 präzise gefragt, ob er Kenntnis vom "Gerichtsurteil vom Bezirksgericht Zurzach vom 13.04.2004 bezüglich Scheidung und Unterhaltsbeiträge" habe. Der Beschwerdeführer hat darauf nicht etwa geantwortet, er habe vom fraglichen Scheidungsurteil überhaupt keine Kenntnis, sondern erwiderte, dieses Urteil sei ihm "nicht im Detail bekannt". Die Frage, ob er das Urteil schriftlich erhalten habe, beantwortete er unklar: "Das kann ich nicht sagen." Unter diesen Umständen kann keine Rede davon sein, dass für den Beschwerdeführer unklar blieb, worum es ging. Vielmehr hatte dieser alle Veranlassung, sich beim Bezirksgericht Zurzach nach dem Scheidungsurteil zu erkundigen. Das hat er jedoch nicht getan. Es kann daher nicht gesagt werden, das Obergericht sei offensichtlich zu Unrecht davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer seit dem 18. Juni 2008 von der Existenz des Ehescheidungsurteils vom 13. April 2004 Kenntnis gehabt hat.
2.4.3 Die Möglichkeit, eine unverschuldet versäumte Frist wiederherzustellen, ist ein allgemeiner Rechtsgrundsatz (<ref-ruling> E. 3c S. 301, mit Hinweis; <ref-ruling> E. 2c S. 110; Urteil U 162/96 vom 17. Juli 1997 E. 3a, mit Hinweis, in: SVR 1998 UV Nr. 10 S. 27; s. auch Urteil 1C_491/2008 vom 10. März 2009 E. 1.2). Es geht darum, unverschuldet erlittene verfahrensrechtliche Nachteile zu beseitigen. Die Wiederherstellung ist indes nur dann möglich, wenn der Partei (und gegebenenfalls ihrem Vertreter) kein Vorwurf gemacht werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 95; <ref-ruling> E. 2a S. 169). Die Frist für das Wiederherstellungsgesuch beginnt mit dem Wegfall des Hindernisses zu laufen.
Wer Kenntnis davon erhält, dass in einem ihm bekannten Verfahren ein ihm bisher unbekanntes Urteil ergangen ist, muss sich umgehend darum bemühen, eine Kopie davon zu beschaffen. Unternimmt der vom Urteil Betroffene unter diesen Umständen nichts, so hat er sich die Konsequenzen selbst zuzuschreiben. Es liegt ein Fall verschuldeten Nichtwissens vor. Dieses bildet wiederherstellungsrechtlich kein relevantes Hindernis.
Nach Auffassung des Obergerichts ist das Hindernis einige Tage nach der polizeilichen Einvernahme vom 18. Juni 2008 weggefallen, weshalb das erst am 28. August 2008 gestellte Wiederherstellungsbegehren unter allen Titeln als verspätet zu betrachten sei. Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden; unter den gegebenen Umständen durfte das Obergericht davon ausgehen, dass die Gewinnaussichten im Fristwiederherstellungsverfahren beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren, und das Hauptverfahren als aussichtslos bezeichnen, ohne <ref-law> zu verletzen.
3. Der Beschwerdeführer beantragt ferner die Feststellung, dass die Behandlung der Beschwerde durch die kantonalen Behörden gegen das Beschleunigungsgebot verstossen hat.
3. Der Beschwerdeführer beantragt ferner die Feststellung, dass die Behandlung der Beschwerde durch die kantonalen Behörden gegen das Beschleunigungsgebot verstossen hat.
3.1 3.1.1 Das Obergericht stellte eine Verletzung des Beschleunigungsgebots durch das Bezirksgericht fest, weil dieses die gegen seinen Entscheid vom 9. Oktober 2009 am 23. Oktober 2009 eingereichte Beschwerde ohne ersichtlichen Grund erst am 21. April 2010 an das Obergericht weitergeleitet hat. Weiter erwog es, mit dieser Feststellung sei dem Rechtsschutzinteresse des Beschwerdeführers Genüge getan. Ein darüber hinausgehender Anspruch sei nicht zu sehen; insbesondere bestehe kein Grund, ihn deswegen für das Verfahren aus der Staatskasse zu entschädigen.
3.1.2 Der Beschwerdeführer wendet ein, das Obergericht habe seine Rüge zwar behandelt und eine Verletzung des Beschleunigungsgebots festgestellt, es habe aber diese Feststellung nicht in das Dispositiv aufgenommen und auch nicht erklärt, weshalb die festgestellte Verletzung keine Auswirkungen auf die Kostenverlegung haben soll.
3.2 Der Antrag auf Feststellung (im Dispositiv) einer Verletzung des Beschleunigungsgebotes durch die Vorinstanz setzt wie bei jedem anderen Begehren auf Feststellung des Bestehens, Nichtbestehens oder Umfanges von Rechten oder Pflichten ein Feststellungsinteresse voraus (vgl. Urteil 5A_349/2009 vom 23. Juni 2009 E. 2.4). Das geltend gemachte Rechtsschutzinteresse kann rechtlicher oder tatsächlicher Natur sein; es muss aber erheblich sein. Verlangt ist ein aktuelles und praktisches Interesse (Urteil 5A_229/2997 vom 31. August 2007 E. 2) an der sofortigen Feststellung der gerügten Rechtsverletzung, dem keine erheblichen öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen. Ausserdem darf dieses schutzwürdige Interesse nicht anderweitig - durch eine rechtsgestaltende Verfügung - gewahrt werden können (<ref-ruling> E. 2c S. 303; <ref-ruling> E. 1b S. 24, je mit Hinweisen). Auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, welches bei Gegenstandslosigkeit regelmässig wegfällt, wird ausnahmsweise verzichtet, wenn sich die gerügte Rechtsverletzung jederzeit wiederholen könnte, eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre, die aufgeworfenen Fragen sich jederzeit unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen können und an ihrer Beantwortung wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung ein hinreichendes öffentliches Interesse besteht (BGE 2C_899/2008 vom 18. Juni 2009 E. 1.2.2; Urteil 8C_760/2008 vom 30. April 2009 E. 4.1).
Mit dem Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege vom 25. Juni 2010 wurde die behauptete Rechtsverzögerung beendet und der während des laufenden Verfahrens erhobene Vorwurf damit gegenstandslos. Wer unter solchen Voraussetzungen eine Verletzung des Beschleunigungsgebotes durch die Vorinstanz rügt und dispositivmässig festgestellt haben will, hat darzulegen, inwiefern er daran ein schutzwürdiges Interesse hat oder ein Ausnahmetatbestand im dargelegten Sinne gegeben ist (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251). Der Beschwerdeführer tut dies nicht. Er behauptet auch nicht und legt nicht dar, dass ihm das kantonale Prozessrecht in diesem Punkt einen unbedingten Feststellungsanspruch einräumt. Daher kann das Bundesgericht auf diese Rüge nicht eintreten.
3.3 Hinsichtlich der geltend gemachten Parteientschädigung rügt der Beschwerdeführer zunächst mindestens sinngemäss eine Verletzung der Begründungspflicht. Dies trifft offensichtlich nicht zu, denn das Obergericht hat seinen Entscheid in diesem Punkt damit begründet, mit der Feststellung der Verfahrensverzögerung sei dem Rechtsschutzinteresse des Beschwerdeführers Genüge getan; ein darüber hinausgehender Anspruch sei nicht ersichtlich. Mit dieser Begründung setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Er unterlässt jeden Hinweis auf einschlägige Gesetzes- oder Verfassungsbestimmungen, aus denen sich der geltend gemachte Anspruch ableiten liesse. Ebenso wenig ruft er eine Rechtsprechung an, mit welcher ein genereller Anspruch auf eine Parteientschädigung bei festgestellter Verfahrensverzögerung begründet wurde. Insofern kommt er seiner Rügepflicht nicht nach (E. 1.3), so dass auf diesen Einwand nicht eingetreten werden kann.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und wird kostenpflichtig (<ref-law>). Aus den vorstehenden Erwägungen geht hervor, dass der Beschwerde von Anfang an kein Erfolg beschieden sein konnte, weshalb es an der materiellen Voraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gebricht und das Gesuch demzufolge abzuweisen ist. Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Dem Beschwerdeführer werden die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn