Sachverhalt:
A. A.a Der 1944 geborene V._ wurde auf den 1. September 2000 von der X._ AG als geschäftsführender Direktor angestellt. Am 19. April 2001 löste er das Arbeitsverhältnis durch Kündigung per 30. April 2001 auf. Die Gesellschaft wurde im weiteren Verlauf in Y._ AG umbenannt. Am 5. September 2002 wurde über die Y._ AG der Konkurs eröffnet.
Bereits am 28. Juni 2002 hatte V._ Antrag auf Insolvenzentschädigung gestellt und die Lohnausstände aus der Zeit vom 1. September 2000 bis 31. Dezember 2001 zuzüglich Spesen auf gesamthaft Fr. 223'749.12 beziffert. Mit Verfügung vom 15. April 2003 lehnte die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern dieses Begehren unter Hinweis auf seine ehemals arbeitgeberähnliche Stellung in der Y._ AG ab. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 20. August 2003). In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern den Einspracheentscheid vom 20. August 2003 auf und wies die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen neu verfüge (Entscheid vom 3. November 2004). Die von der Arbeitslosenkasse eingereichte Verwaltungsgerichtsbeschwerde hiess das damals zuständige Eidgenössische Versicherungsgericht (EVG) in dem Sinne gut, dass es den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 3. November 2004 und den Einspracheentscheid der Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern vom 20. August 2003 aufhob und die Sache an die Arbeitslosenkasse zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über den Anspruch des V._ auf Insolvenzentschädigung neu verfüge (Urteil C 261/04 vom 25. Juli 2005). In den Erwägungen kam das EVG zum Schluss, dass V._ bei der Y._ AG keine arbeitgeberähnliche Stellung inne hatte, womit er nicht bereits aufgrund seiner Funktion bei der ehemaligen Arbeitgeberin von der Berechtigung zum Bezug von Insolvenzentschädigung ausgeschlossen sei. Im Rahmen der Rückweisung der Angelegenheit an die Arbeitslosenkasse habe diese darum abzuklären, ob die weiteren Anspruchsvoraussetzungen ebenfalls vorliegen würden, und erneut zu verfügen.
A.b Nach Prüfung der übrigen Anspruchsvoraussetzungen wies die Arbeitslosenkasse das Gesuch des V._ um Insolvenzentschädigung wiederum ab, dieses Mal mit der Begründung, der Versicherte sei seiner Schadenminderungspflicht nicht genügend nachgekommen (Verfügung vom 11. Januar 2006). Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 26. April 2006).
B. Dagegen liess V._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei "festzustellen, dass der Anspruch auf Insolvenzentschädigung begründet" sei und es sei "eine entsprechende Leistungsverfügung zu erlassen". Am 14. Juli 2007 ist V._ verstorben. Der Prozess wurde sistiert. Nachdem S._, Witwe des Verstorbenen und Alleinerbin, ihr Interesse am Fortgang des Verfahrens hatte manifestieren lassen, hob das kantonale Gericht die Sistierung auf und wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 17. März 2008).
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, die Sache sei an die Arbeitslosenkasse zurückzuweisen, damit sie im Sinne der Erwägungen über den Anspruch auf Insolvenzentschädigung neu verfüge.
Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2 Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene kantonale Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht, Völkerrecht oder kantonale verfassungsmässige Rechte verletzt (Art. 95 lit. a bis c BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>). Hingegen hat unter der Herrschaft des BGG eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheides in tatsächlicher Hinsicht zu unterbleiben (ausser wenn sich die Beschwerde gegen einen - im hier zu beurteilenden Fall indessen nicht anfechtungsgegenständlichen - Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung richtet; <ref-law>). Ebenso entfällt eine Prüfung der Ermessensbetätigung nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle (<ref-ruling> E. 6 S. 81 zu Art. 132 lit. a OG [in der bis 30. Juni 2006 gültig gewesenen Fassung]).
2. 2.1 Im vorinstanzlichen Entscheid werden die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf Insolvenzentschädigung (<ref-law>) und zu dessen Umfang (<ref-law> in der bis 30. Juni 2003 in Kraft gestandenen Fassung) sowie zu den Pflichten des Arbeitnehmers im Konkurs- oder Pfändungsverfahren (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3d S. 59; ARV 2002 S. 62, C 91/01, und S. 190, C 367/01) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2 Die Bestimmung von <ref-law>, wonach der Arbeitnehmer im Konkurs- oder Pfändungsverfahren alles unternehmen muss, um seine Ansprüche gegenüber dem Arbeitgeber zu wahren, bezieht sich dem Wortlaut nach auf das Konkurs- und Pfändungsverfahren. Sie bildet jedoch Ausdruck der allgemeinen Schadenminderungspflicht, welche auch dann Platz greift, wenn das Arbeitsverhältnis vor der Konkurseröffnung aufgelöst wird (<ref-ruling> E. 4 S. 60; ARV 1999 Nr. 24 S. 140). Die Vorinstanz hat dabei richtig festgehalten, auch eine ursprüngliche Leistungsverweigerung infolge Verletzung der Schadenminderungspflicht im Sinne der zu <ref-law> ergangenen Rechtsprechung (E. 2.1 hiervor) setze voraus, dass dem Versicherten ein schweres Verschulden, also vorsätzliches oder grobfahrlässiges Handeln oder Unterlassen vorgeworfen werden kann (vgl. Urs Burgherr, Die Insolvenzentschädigung, Zahlungsunfähigkeit des Arbeitgebers als versichertes Risiko, Diss. Zürich 2004, S. 166). Das Ausmass der vorausgesetzten Schadenminderungspflicht richtet sich nach den jeweiligen Umständen des Einzelfalls. Vom Arbeitnehmer wird in der Regel nicht verlangt, dass er bereits während des bestehenden Arbeitsverhältnisses gegen den Arbeitgeber Betreibung einleitet oder eine Klage einreicht. Er hat jedoch seine Lohnforderung gegenüber dem Arbeitgeber in eindeutiger und unmissverständlicher Weise geltend zu machen (ARV 2002 S. 190, C 367/01). Zu weitergehenden Schritten ist die versicherte Person dann gehalten, wenn es sich um erhebliche Lohnausstände handelt und sie konkret mit einem Lohnverlust rechnen muss. Denn es geht auch für die Zeit vor Auflösung des Arbeitsverhältnisses nicht an, dass die versicherte Person ohne hinreichenden Grund während längerer Zeit keine rechtlichen Schritte zur Realisierung erheblicher Lohnausstände unternimmt, obschon sie konkret mit dem Verlust der geschuldeten Gehälter rechnen muss (Urteile C 231/06 vom 5. Dezember 2006 und C 163/06 vom 19. Oktober 2006).
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat in pflichtgemässer Würdigung der gesamten Aktenlage mit nachvollziehbarer Begründung erkannt, der Versicherte habe keinen Anspruch auf Insolvenzentschädigung, weil er in Verletzung der Schadenminderungspflicht sowohl während des Arbeitsverhältnisses als auch danach längere Zeit seine Lohnforderung gegenüber der ehemaligen Arbeitgeberin nicht unmissverständlich geltend gemacht habe. Obwohl die Y._ AG für die acht Monate dauernde Anstellung den Lohn von monatlich Fr. 15'000.- überhaupt nie absprachegemäss erbracht und nur drei Teilzahlungen im Gesamtbetrag von Fr. 20'000.- (Fr. 7'000.- am 18. Oktober 2000, Fr. 6'000.- am 17. November 2000 und Fr. 7'000.- am 30. Januar 2001) geleistet habe, habe sich der Versicherte abermals vertrösten lassen, indem er die ausstehenden Löhne nach seiner am 19. April 2001 auf den 30. April 2001 ausgesprochenen, mit einem Hinweis auf ausgebliebene Gehaltszahlungen und andere Missstände verbundenen Kündigung des Arbeitsverhältnisses erst wieder mit Schreiben vom 31. August 2001 eingefordert habe.
3.2 Die Vorbringen der Beschwerdeführerin vermögen diese Betrachtungsweise nicht in Zweifel zu ziehen. Die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz sind nicht mangelhaft im Sinne von <ref-law> und die rechtliche Würdigung ist bundesrechtskonform. In der letztinstanzlichen Beschwerde wird eingewendet, das kantonale Gericht habe erstmals festgestellt, dass einer versicherten Person auch vor Auflösung des Arbeitsverhältnisses eine Schadenminderungspflicht obliege, nachdem die Arbeitslosenkasse den Antrag auf Insolvenzentschädigung mit der Begründung abgewiesen habe, der Versicherte sei seiner Schadenminderungspflicht nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses nicht genügend nachgekommen. So habe sich der Versicherte zu seinem Verhalten während des Arbeitsverhältnisses im bisherigen Prozess gar nicht äussern können. Diese Rüge zielt schon deshalb ins Leere, weil die Arbeitslosenkasse in ihrem Einspracheentscheid vom 26. April 2006 die Verletzung der Schadenminderungspflicht ausdrücklich sowohl mit dem Verhalten des Versicherten während des Arbeitsverhältnisses als auch in der Zeit danach begründet hat. Der Versicherte hat sich zudem auf ausdrückliche Anfrage der Verwaltung bereits vor Verfügungserlass zu allfälligen Massnahmen, welche der Einforderung ausstehender Löhne vor Beendigung des Arbeitsverhältnisses dienten, geäussert und auch in der Beschwerdeschrift ans kantonale Gericht eingehend mit den Gegebenheiten vor und nach Auflösung der Anstellung auseinandergesetzt. Soweit die Beschwerdeführerin mit ihrem Vorbringen, die Vorinstanz habe ausser Acht gelassen, dass dem Versicherten kein Einblick in die Geschäftsbücher der Arbeitgeberin möglich gewesen sei, so dass er den Lohnverlust nicht habe voraussehen können, eine offensichtlich falsche Tatsachenfeststellung durch das kantonale Gericht behauptet, kann ihr ebenfalls nicht gefolgt werden. Ob der Versicherte Zugang zu den Geschäftsbüchern gehabt hat, ist mit Blick auf die gesamten, im angefochtenen Gerichtsentscheid umfassend erörterten Umstände irrelevant. Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin haben die Lohnausstände nicht nur vier Monate betroffen. Das Gehalt wurde dem Versicherten vielmehr von Anfang an nicht bzw. nur in verhältnismässig kleinen Raten (in der Höhe von gesamthaft Fr. 20'000.-) bezahlt, so dass trotz des bloss acht Monate dauernden Arbeitsverhältnisses Lohnausstände von Fr. 100'000.- entstanden sind. Aufgrund der ausserordentlich hohen Ausstände über mehrere Monate hinweg wäre der Versicherte deshalb bereits während der Dauer der Anstellung gehalten gewesen, nach einer allenfalls erfolglosen schriftlichen Mahnung Lohnklage zu erheben oder direkt die Betreibung einzuleiten. Die Beschwerdeführerin lässt zwar zu Recht darauf hinweisen, dass eine gesetzliche Verpflichtung zu einem schriftlichen Vorgehen bei laufendem Arbeitsverhältnis nicht vom Gesetz statuiert wird. Eine solche Handlung wäre aber in Nachachtung der Schadenminderungspflicht bei der vorliegenden Entwicklung praxisgemäss notwendig gewesen, weil die Wahrscheinlichkeit eines Lohnverlustes mit dem Zeitablauf stetig zunahm (Urteile C 231/06 vom 5. Dezember 2006 und C 264/04 vom 20. Juli 2005). In diesem Zusammenhang ist auf die offenkundige Tatsache hinzuweisen, dass Schuldner oftmals erst unter dem Druck einer schriftlichen Aufforderung ihren Zahlungspflichten nachkommen. Auf mündliche Zusicherungen hätte sich der Versicherte jedenfalls nicht während der gesamten Anstellungsdauer verlassen dürfen. Was schliesslich die Einwände zur vorinstanzlichen Würdigung der Tatsachen in der Zeit nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses betrifft, ist darauf nicht weiter einzugehen. Ein schweres Verschulden während der Dauer der Anstellung kann nicht durch ein einwandfreies Verhalten nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses "geheilt" werden. Jedenfalls erscheint die Tatsachenfeststellung des kantonalen Gerichts auch in Bezug auf den Zeitraum ab Mai 2001 weder offensichtlich unrichtig noch unvollständig.
3.3 Zusammenfassend hat das kantonale Gericht in pflichtgemässer Würdigung der gesamten Aktenlage mit überzeugender Begründung, auf die verwiesen wird (<ref-law>), erkannt, dass der Versicherte seiner Schadenminderungspflicht in der Durchsetzung seiner ausstehenden Lohnforderung nicht in genügendem Masse nachgekommen ist. An dieser Betrachtungsweise vermögen die Vorbringen der Beschwerdeführerin nichts zu ändern. Sie sind nicht geeignet, die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung als offensichtlich unrichtig oder unvollständig erscheinen zu lassen. Von einer willkürlichen Beweiswürdigung durch die Vorinstanz kann ohnehin nicht gesprochen werden (<ref-ruling> E. 2b S. 56).
4. Bei diesem Ausgang des Prozesses hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Dienststelle Wirtschaft und Arbeit (wira), Abteilung Stab Recht, Luzern, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Juli 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz