Sachverhalt:
A.
Der iranische Staatsangehörige R._ reiste im Mai 2001 in die Schweiz ein. Sein Asylgesuch lehnte das Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration; BFM) mit Verfügung vom 4. Dezember 2002 ab. Dies bestätigte das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 21. Januar 2010. Daraufhin ordnete das BFM die Wegweisung mit Ausreisefrist bis 23. Februar 2010 an. R._ liess diese Frist unbenutzt verstreichen.
R._ ist Vater eines Sohnes, der seit 1. Februar 2012 zusammen mit seiner Mutter in Grossbritannien lebt.
Mit Eingaben vom 24. Juli 2010, 3. September 2011 und 29. Oktober 2011 ersuchte R._ das Sozialamt der Stadt St. Gallen um Ausrichtung von Nothilfe. Dieses teilte am 18. November 2011 mit, die Gemeinde B._ sei dafür zuständig. Vor Zustellung des Schreibens reichte der Gesuchsteller am 18. November 2011 beim Stadtrat St. Gallen eine Rechtsverzögerungsbeschwerde ein. Mit Verfügung vom 13. Dezember 2011 trat das Sozialamt der Stadt St. Gallen mangels Zuständigkeit auf das Gesuch um Nothilfe nicht ein. In der Begründung hielt es fest, als abgewiesener Asylbewerber sei der Gesuchsteller der Gemeinde B._ zugewiesen worden, welche somit für die Gewährung der Nothilfe zuständig sei.
Gegen den Nichteintretensentscheid rekurrierte R._ beim Sicherheits- und Justizdepartement (SJD) des Kantons St. Gallen. Gleichzeitig stellte er ein Ausstandsbegehren gegen die Vorsteherin des SJD und dessen Leiter Rechtsdienst. Das Ausstandsbegehren wurde am 14. Februar 2012 abgewiesen. Die dagegen erhobene Beschwerde schrieb der Präsident des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 27. April 2012 mangels Zahlung des verlangten Kostenvorschusses ab. Mit Entscheid vom 19. November 2012 wies das SJD den eingereichten Rekurs ab.
B.
Die von R._ gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 12. März 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde lässt R._ beantragen, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und das Sozialamt der Stadt St. Gallen anzuweisen, auf sein Nothilfegesuch einzutreten. Überdies ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das SJD schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme. R._ lässt sich dazu am 16. August 2013 vernehmen.

Erwägungen:
1.
Gestützt auf Art. 82 lit. a BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht somit grundsätzlich auch auf dem Gebiet der kantonalen Sozialhilfe zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu in Art. 83 keinen Ausschlussgrund. Da alle Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten (Art. 82 ff. BGG). Insofern bleibt kein Raum für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht - einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens - gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht (mit Ausnahme der Grundrechte) von Amtes wegen an (Art. 106 BGG). Die Verletzung von Grundrechten - einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht - prüft es dagegen nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Für derartige Rügen gelten qualifizierte Begründungsanforderungen (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden, soweit dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 1 und Art. 97 Abs. 1 BGG).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob das Sozialamt der Stadt St. Gallen zu Recht auf das Gesuch des Beschwerdeführers um Ausrichtung von Nothilfe nicht eingetreten ist.
3.1. Das Asylgesetz vom 26. Juni 1998 (AsylG; SR 142.31) in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung bestimmt in Kapitel 5 ("Sozialhilfe und Nothilfe"), Abschnitt 1 ("Ausrichtung von Sozialhilfeleistungen, Nothilfe und Kinderzulagen") Art. 80, dass die Zuweisungskantone Sozialhilfe oder Nothilfe für Personen gewährleisten, die sich gestützt auf dieses Gesetz in der Schweiz aufhalten. Für Personen, die keinem Kanton zugewiesen wurden, wird die Nothilfe von dem Kanton gewährt, der für den Vollzug der Wegweisung als zuständig bezeichnet worden ist. Die Kantone können die Erfüllung dieser Aufgaben ganz oder teilweise Dritten, namentlich den nach Art. 30 Abs. 2 AsylG zugelassenen Hilfswerken, übertragen (Abs. 1). In der ebenfalls seit dem 1. Januar 2008 in Kraft stehenden Fassung von Art. 82 Abs. 1 AsylG ist vorgesehen, dass für die Ausrichtung von Sozialhilfeleistungen und Nothilfe kantonales Recht gilt. Personen mit einem rechtskräftigen Wegweisungsentscheid, denen eine Ausreisefrist angesetzt worden ist, können von der Sozialhilfe ausgeschlossen werden. Aus diesen Bestimmungen geht hervor, dass diejenigen Personen, deren Asylgesuch mit einem rechtskräftigen Nichteintretensentscheid erledigt oder deren Asylgesuch rechtskräftig abgewiesen worden und deren Wegweisung vollstreckbar ist, von Bundesrechts wegen keinen Anspruch mehr auf gewöhnliche Sozialhilfe gemäss Art. 81 AsylG, sondern nur noch auf Nothilfe im Sinne von Art. 12 BV haben. Die Umsetzung von Art. 12 BV obliegt den Kantonen. Vorbehältlich der verfassungsmässigen Mindestgarantien sind diese in der Ausgestaltung der Art und Weise von Nothilfeleistungen frei (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115 mit Hinweisen). Die Nothilfe ist in Form von Sachleistungen oder täglichen Geldleistungen an den von den Kantonen bezeichneten Orten auszurichten. Die Auszahlung kann auf Arbeitstage beschränkt werden (Art. 82 Abs. 4 AsylG).
3.2. Nach der Gesetzgebung des Kantons St. Gallen hat, wer im Sinne von Art. 9 des kantonalen Sozialhilfegesetzes vom 27. September 1998 (SHG; sGS 381.1) für seinen Lebensunterhalt nicht hinreichend oder nicht rechtzeitig aus eigenen Mitteln aufkommen kann, Anspruch auf finanzielle Hilfe. Für die Ausrichtung der Leistungen sind die Gemeinden zuständig (Art. 3 Abs. 1 SHG).
3.3. Indem Art. 82 Abs. 4 AsylG vorsieht, dass Nothilfe an den von den Kantonen bezeichneten Orten auszurichten ist, und die Bundesgesetzgebung diesbezüglich nichts präzisiert, verfügen diese im Rahmen von Verfassung und Völkerrecht über vollständigen Ermessensspielraum bei der Zuteilung an die Gemeinden, sowohl der ihnen zugewiesenen Asylbewerber als auch der für den Vollzug der Wegweisung in ihre Zuständigkeit fallenden Ausländer. Im Kanton St. Gallen regelt die Verordnung vom 3. Dezember 2002 über die Aufnahme von Asylsuchenden (nachfolgend: Asylverordnung/SG; sGS 381.12) den Vollzug der eidgenössischen Asylgesetzgebung im Bereich der Betreuung von Asylsuchenden (Art. 1 Abs. 1). Asylsuchende nach dieser Verordnung sind: Asylsuchende mit Ausweis N, vorläufig Aufgenommene mit Ausweis F und Schutzbedürftige mit Ausweis S (Art. 1 Abs. 2). Laut Art. 2bis Asylverordnung/SG vollzieht das Migrationsamt die Bundesgesetzgebung im Asylbereich, soweit nicht andere Behörden zuständig sind. Die kantonale Verordnung zur Bundesgesetzgebung vom 18. Dezember 2007 über die Ausländerinnen und Ausländer (in Kraft seit 1. Januar 2008; Ausländerverordnung; sGS 453.51) bezeichnet in Art. 1 Abs. 1 ebenfalls das Migrationsamt als kantonale Ausländerbehörde. Dieses vollzieht gemäss Abs. 2 derselben Bestimmung die Bundesgesetzgebung über Einreise, Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer. Das Migrationsamt weist die Asylsuchenden in der Regel nach Massgabe der Zuweisungsquote der politischen Gemeinde monatlich zu (Art. 6 Abs. 1 Asylverordnung/SG). Die politische Gemeinde betreut die ihr zugewiesenen Asylsuchenden (Art. 3 Abs. 1 Asylverordnung/SG) und kann die Aufgaben der Betreuung und Unterbringung gemeinsam mit anderen politischen Gemeinden erfüllen oder mit Leistungsvereinbarung Dritten übertragen (Abs. 3).
3.4. Aus den vorstehenden bundes- und kantonalrechtlichen Bestimmungen ergibt sich, dass die ausländerrechtliche Regelung des Aufenthalts während und nach dem Asylverfahren in die Zuständigkeit des Kantons fällt. Den Gemeinden kommt in diesem Bereich somit keine Autonomie zu.
3.5. Die Vereinigung der St. Galler Gemeindepräsidentinnen und Gemeindepräsidenten (VSGP) hat in Zusammenarbeit mit der St. Gallischen Konferenz der öffentlichen Sozialhilfe (KOS) ab 1. Januar 2010 gültige Richtlinien der Gemeinden im Flüchtlings- und Asylwesen erlassen (nachfolgend: VSGP/KOS-Richtlinie), welche ausdrücklich auch Personen mit rechtskräftiger Wegweisungsverfügung erfasst (Ziff. AA/1/d der Richtlinie). Gemäss dieser Richtlinie übernimmt die VSGP die Koordination mit dem Ausländeramt und unterstützt dieses bei der Zuteilung der betroffenen Personengruppen an die Gemeinden. Die Zuweisungsverfügung ist gemäss kantonaler Asylverordnung/SG durch das Ausländeramt vorzunehmen, welches die Personenlisten führt. Die Zuteilung erfolgt aufgrund der SOLL/IST Liste, welche für jede Gemeinde verbindlich ist (Ziff. AA/2). Die Gemeinden betreuen die Personen nach dem Zentrumsaustritt und weisen ihnen eine Unterkunft zu (Ziff. AA/3).
4.
4.1. Das kantonale Gericht stellte fest, dass der Kanton St. Gallen Zuweisungskanton und für den Vollzug der Wegweisung des Beschwerdeführers zuständig und daher zur Ausrichtung von Nothilfe verpflichtet sei. Weiter hat es erwogen, es sei nicht zu beanstanden, dass die VSGP/KOS-Richtlinie die Vorschriften über die Zuweisung von Asylsuchenden gemäss Asylverordnung/SG sachgemäss auf ausreisepflichtige Personen anwende. Nach den insoweit unbestrittenen Feststellungen des kantonalen Gerichts wurde der Beschwerdeführer auf dieser Grundlage der Gemeinde B._ zugewiesen, welche diesem Nothilfeleistungen anerboten und in den Monaten Juli und August 2010 auch ausgerichtet habe. Laut Vorinstanz bestimmt sich dessen Aufenthaltsort nach dem Zuteilungsentscheid und kann nicht frei gewählt werden. Insbesondere könne sich der Gesuchsteller als Ausländer nicht auf die Niederlassungsfreiheit gemäss Art. 24 BV berufen. Da dieser den Kontakt mit seinem - zumindest im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung noch in St. Gallen wohnhaft gewesenen - Kind auch von B._ aus hätte pflegen können, ergibt sich laut Vorinstanz auch aus Art. 8 EMRK und Art. 9 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (UNO-Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) kein Anspruch auf Bezug von Nothilfe in der Stadt St. Gallen. Nach Auffassung des kantonalen Gerichts ist das Sozialamt der Stadt St. Gallen zu Recht auf das Nothilfegesuch des Beschwerdeführers nicht eingetreten, weshalb es die Beschwerde abwies.
4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe bis zur Auflösung des Konkubinats im Herbst 2011 mit seinem Sohn und dessen Mutter in der Stadt St. Gallen in einer Hausgemeinschaft gewohnt. Unter Hinweis auf Art. 8 EMRK und Art. 9 KRK leitet er daraus seinen dortigen Unterstützungswohnsitz ab. Der vorinstanzliche Entscheid verletzt seiner Ansicht nach das Legalitätsprinzip (Art. 5 Abs. 1 BV), weil dieser entgegen dem Erfordernis von Art. 82 Abs. 1 AsylG nicht auf einer kantonalen Regelung auf Gesetzes- oder Verordnungsstufe beruhe, sondern sich einzig auf eine unverbindliche Einigung der St. Galler Gemeinden über die Zuteilung abgewiesener Asylbewerber gemäss VSGP/KOS-Richtlinie stütze. Mit Verweis auf die Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) und die Garantien von Art. 6 EMRK beanstandet er zudem das Fehlen einer Anordnung in Verfügungsform.
5.
5.1. Gemäss Art. 2bis Asylverordnung/SG (vgl. auch Art. 1 Ausländerverordnung) ist im Kanton St. Gallen das kantonale Migrationsamt zuständig für den Vollzug der Bundesgesetzgebung über das Asylwesen. Dieses ist daher auch zuständig für die Zuweisung betroffener Personen an die Gemeinden zwecks Ausrichtung der Nothilfe. Davon geht auch die VSGP/KOS-Richtlinie aus, indem sie in Ziff. AA/2 Abs. 1 festhält, die Zuteilung der betroffenen Personengruppen an die Gemeinden werde durch Zuweisungsverfügung gemäss Asylverordnung/SG durch das Ausländeramt vorgenommen. Daraus geht hervor, dass, entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers, der effektive Aufenthalt in der Stadt St. Gallen nicht automatisch einen Unterstützungswohnsitz begründet. Dafür braucht es aufgrund der geltenden Rechtsordnung einer Zuweisung durch die dafür zuständige kantonale Behörde. Steht der Aufenthaltsort nach erfolgter Zuweisung fest, ist es Sache derjenigen Gemeinde, der die Person zugewiesen wird, ihr die nötige Hilfe zu leisten. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass er der Stadt St. Gallen zugeteilt worden wäre. Da dieser hinsichtlich der Regelung des Aufenthalts abgewiesener Asylbewerber mit rechtskräftiger Wegweisungsverfügung keine Entscheidungsbefugnis zusteht, war das Sozialamt gestützt auf den das verfassungsmässige Recht auf Hilfe in Notlagen beherrschenden allgemeinen Grundsatz der Subsidiarität (<ref-ruling> E. 5.1 S. 118) berechtigt, auf das Nothilfegesuch nicht einzutreten und den Beschwerdeführer an die Gemeinde B._ zu verweisen. Gegen die Nichteintretensverfügung des Sozialamtes der Stadt St. Gallen ist demnach weder aus dem Blickwinkel des Bundesrechts noch aus Sicht des dieses umsetzenden kantonalen Rechts etwas einzuwenden.
5.2. Etwas anderes ergibt sich auch nicht mit Blick auf Art. 8 EMRK und die UNO-Kinderrechtskonvention. Ist die betroffene Person der Ansicht, sie befinde sich in einer Situation, die gestützt auf völkerrechtliche Bestimmungen eine Änderung der Zuteilung rechtfertige, muss sie sich dafür an die zuständige Behörde - diesfalls das kantonale Migrationsamt - wenden (vgl. <ref-ruling> E. 6.4 S. 120).
6.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (Art. 64 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Nach Art. 64 Abs. 4 BGG hat die begünstigte Person der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Tim Walker wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Oktober 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer