Faits:
A.
A.X._, ressortissant irakien, a acquis la nationalité suisse et le droit de cité de Genève le 13 mars 2000. Ses papiers d'identité suisses, ainsi que tous les autres événements d'état civil survenus en Suisse, indiquent que son nom est A.X._, fils de B.X._ et de C._, et qu'il est né le 1er juillet 1963. L'intéressé vit actuellement à Londres (GB).
B.
Le 19 août 2005, A.X._ a déposé une première requête en rectification de l'état civil, tendant à ce que sa date de naissance soit corrigée dans le sens qu'il serait né le 1er juillet 1955. Cette requête a été rejetée le 3 octobre 2005 par le Tribunal de première instance du canton de Genève.
C.
Le 24 novembre 2011, A.X._ a formé une nouvelle requête en rectification de sa date de naissance. Statuant le 29 mai 2013, le Tribunal de première instance a débouté derechef le requérant; cette décision a été confirmée le 13 septembre 2013 par la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
D.
Par mémoire du 18 octobre 2013, le requérant exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral; il conclut à ce qu'il soit ordonné à la Direction cantonale de l'État civil de rectifier sa date de naissance en ce sens qu'il est né le 1er juillet 1955; il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours a été déposé à temps (<ref-law>) à l'encontre d'une décision finale (<ref-law>) sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. b ch. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.1) rendue, dans une affaire de nature non pécuniaire (arrêt 5A_519/2008 du 12 octobre 2009 consid. 1), par une autorité cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF); le requérant, qui a succombé devant la cour cantonale, a qualité pour recourir (<ref-law>).
1.2. Comme l'a retenu la juridiction précédente, dans l'action prévue à l'<ref-law>, le requérant possède un intérêt légitime à demander une rectification de la donnée litigieuse - en l'occurrence celle de sa date de naissance (<ref-law> et 8 let.e OEC [RS 211.112.2]) -, même si l'inscription repose sur des indications sciemment fausses que l'intéressé a fournies lui-même (<ref-ruling> consid. 3).
1.3. Le fait que le requérant soit domicilié à l'étranger ( i.c. Londres) n'a pas d'incidence sur la recevabilité de l'action, dès lors que celle-ci vise à la rectification d'une inscription effectuée dans un registre suisse de l'état civil ( cf. arrêt 5A_644/2013 du 7 novembre 2013 consid. 2.2).
2.
Le recourant se plaint d'un « déni de justice »; il reproche à la juridiction précédente d'avoir méconnu son droit à une décision motivée (art. 29 al. 2 Cst.). Ce moyen, fondé sur la violation d'une garantie de nature formelle (<ref-ruling> consid. 5g), doit être examiné en premier lieu (<ref-ruling> consid. 2.2).
2.1. Le Tribunal fédéral a déduit du droit d'être entendu, consacré par l'art. 29 al. 2 Cst., le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse en saisir la portée et, le cas échéant, l'attaquer en connaissance de cause; pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'est cependant pas tenu de discuter tous les arguments soulevés par les parties, mais peut se limiter à ceux qui lui apparaissent pertinents (<ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.2).
2.2. Se référant à des écritures des 30 octobre 2012 et 10 avril 2013, qui relevaient des divergences entre certains documents, le recourant prétend avoir « posé la question du droit applicable et des conclusions qu'il fallait en tirer pour le cas d'espèce »; or, la cour cantonale n'aurait pas examiné « les questions juridiques pourtant déterminantes pour la solution du litige ».
Autant qu'elle est intelligible, une motivation aussi indigente ne répond aucunement aux exigences légales (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1, avec la jurisprudence citée). En outre, l'argumentation de la partie recourante doit figurer dans le mémoire de recours lui-même, le renvoi à des écritures présentées en instance cantonale n'étant pas admissible (<ref-ruling> consid. 2.8.1; <ref-ruling> consid. 3.1, avec les références). Il s'ensuit que le grief est irrecevable.
3.
Le recourant reproche encore à l'autorité cantonale d'avoir constaté les faits de façon manifestement inexacte.
En substance, il soutient que la cour cantonale n'a pas tenu compte de ce que l'acte de naissance « copy of entry 1957» avait déjà été envoyé par l'Ambassade suisse, à Amman, au Service d'État civil de Genève, lequel l'avait ensuite transmis au Département cantonal; or, ledit acte indique qu'il est bien né le 1er juillet 1955.
L'intéressé expose en outre que le nom «D._»- figurant sur l'acte de naissance de son dernier enfant et la traduction anglaise de la copie de sa carte d'identité établie le 1er mars 2012 - correspond à celui de sa « tribu » et constitue une « adjonction non essentielle » à son nom «X._»; partant, c'est en connaissance de cause que le Ministère de l'Intérieur irakien n'a plus mentionné le premier nom, mais conservé les nom et prénom dans leur « sonorité anglaise », à savoir « A.X._, fils de B._, fils de E._, né à Bagdad le 1er juillet 1955» ( cf. traductions des 10 mai/7 juillet 2005 de la carte d'identité irakienne, du passeport irakien, du certificat de nationalité irakienne ainsi que de l'attestation de la Représentation permanente de la République d'Irak auprès des Nations Unies à Genève).
3.1. La juridiction précédente est implicitement partie du principe que le requérant doit rapporter la preuve stricte de l'inexactitude des données de l'état civil litigieuses - en l'occurrence la date de naissance -, la seule vraisemblance n'étant pas suffisante ( cf. dans ce sens, l'arrêt de la IIe Chambre civile de l'OGer du canton de Zurich du 26 octobre 2005, in : RSJ 102/2006 p. 167 ss, d'après lequel l'inexactitude de l'inscription doit être établie de manière incontestable [« zweifelsfrei »]). Le recourant ne remet pas en cause cette opinion (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 4.1), en particulier la nécessité de produire un acte de naissance ( i.e. « copy of entry 1957»).
Le point de savoir si le degré de preuve requis par le droit fédéral est atteint dans le cas concret ressortit à l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 5 et les citations), domaine dans lequel le Tribunal fédéral reconnaît un large pouvoir aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b). Il n'intervient qu'en cas d'arbitraire (<ref-law>, en relation avec l'art. 9 Cst.), à savoir si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motif objectif de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2, avec les arrêts cités).
3.2. En l'espèce, la cour cantonale n'est pas tombée dans l'arbitraire en constatant que l'acte de naissance « copy of entry 1957» n'avait pas été produit dans la procédure. L'affirmation est exacte en ce qui concerne le recourant, qui ne démontre pas avoir eu cet acte en main. Dans ses courriers des 7 novembre 2012 et 13 février 2013, le Département de la sécurité du canton de Genève n'affirme pas non plus qu'il en aurait obtenu un exemplaire: le premier se réfère à des documents reçus le 22 octobre 2012 de la Représentation suisse à Amman, à savoir les « documents relatifs au mariage » du recourant le 11 mai 2008 et « l'acte de naissance de [son] enfant F._ »; le second rappelle que l'intéressé « n'a présenté aucun acte de naissance lors des différents évènements survenus en Suisse » et que le « seul acte de naissance en possession des autorités de l'état civil » est celui « transmis par la Représentation suisse à Amman le 22 octobre 2012».
Pour le surplus, la juridiction précédente a retenu que les éléments et les documents produits par le Département cantonal et le recourant ne permettaient pas de s'assurer qu'ils visaient effectivement celui-ci, vu la divergence des noms; de même, le nom de famille de l'épouse qui figure sur la carte d'identité fournie par l'intéressé est différent de celui qu'a indiqué le Département. De surcroît, contrairement aux allégations du recourant, il ne ressort pas des courriers du Département, ni de sa réponse à l'appel cantonal, que cette autorité ne s'opposerait plus à la requête en rectification de la date de naissance; au contraire, dans ses différentes déterminations, le Département s'est limité à retranscrire la naissance, en juillet 1955, d'une personne dont le nom ne correspond pas à celui du recourant. Au surplus, il ne ressort d'aucun document que le nom «D._» serait celui d'une « tribu » dont il serait membre; le fait que ses père et mère ne portent pas ce nom ne permet pas de déterminer l'identité exacte du recourant. En définitive, compte tenu des documents et éléments contradictoires du dossier, c'est avec raison que le premier juge a débouté le requérant, lequel a par ailleurs été invité à maintes reprises à produire son acte de naissance et à se déterminer sur les autres pièces dont la production était préconisée par le Département.
Autant qu'il s'exprime de manière intelligible, le recourant ne réfute pas ces motifs, mais expose sa propre argumentation; appellatoire, le grief est irrecevable dans cette mesure (<ref-ruling> consid. 2.2 et les arrêts cités).
4.
Dans un dernier moyen, le recourant dénonce une violation de l'<ref-law>, à teneur duquel une personne peut demander que son nom soit régi par son droit national.
Avec raison, la juridiction cantonale a admis que le litige présentait un caractère international ( cf. <ref-ruling> consid. 2.3), de sorte que la LDIP était en principe applicable. D'emblée, il ne ressort pas de l'arrêt déféré (<ref-law>) que le grief aurait été soulevé devant la cour cantonale (<ref-law>) ou que l'intéressé aurait fait une élection de droit en faveur de son droit national ( cf. sur les conditions: Bucher, in : Commentaire romand, LDIP - CL, 2011, n° 21 ss ad art. 37, avec les références), comme il l'affirme; la divergence entre les patronymes, soulignée par les juges précédents, ne saurait donc s'expliquer par le droit d'option octroyé par la norme précitée. Enfin, celle-ci ne vise que le « nom » et ne saurait accorder de « droit d'option » quant à la date de naissance, seul point litigieux dans le cas présent.
5.
Vu ce qui précède, le recours est rejeté dans la (faible) mesure de sa recevabilité. Les conclusions du recourant étaient d'emblée vouées à l'insuccès, ce qui entraîne le rejet de sa requête d'assistance judiciaire (<ref-law>) et sa condamnation aux frais (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Département de la sécurité du canton de Genève, en sa qualité d'autorité de surveillance de l'État civil, et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 30 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
Le Greffier: Braconi