Sachverhalt:
A.
Die 1954 geborene H._ meldete sich am 6. Mai 2005 wegen der Folgen eines Verkehrsunfalles vom 2. Juli 2004 (traumatisches Zervikovertebralsyndrom bei Status nach Beschleunigungstrauma der Halswirbelsäule [HWS]) zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zog u.a. die Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) bei und holte das interdisziplinäre (rheumatologisch-psychiatrische) Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS), vom 23. Juni 2011 ein. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren lehnte die Verwaltung einen Anspruch auf Invalidenrente mangels leistungsbegründenden Invaliditätsgrades ab (Verfügung vom 9. Dezember 2011).
B.
Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen teilweise gut und sprach der Versicherten ab 1. März 2011 eine Viertelsrente zu (Entscheid vom 22. Mai 2013).
C.
Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde und beantragt, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben.
H._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist auf Grund der Vorbringen in der Beschwerde an das Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen).
2.
Streitgegenstand bildet die Frage, ob das kantonale Gericht den Gesundheitszustand (<ref-law>) und die Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit (Art. 6 und Art. 7 ATSG) als wesentliche Voraussetzungen für die Annahme einer Invalidität (<ref-law> und <ref-law>) zutreffend beurteilt hat.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich erkannt, dass die Äusserung des rheumatologischen Sachverständigen der MEDAS (Gutachten vom 23. Juni 2011), die Versicherte sei quantitativ neben den psychiatrischen Beeinträchtigungen in der seit November 2009 ausgeübten Erwerbstätigkeit als Französischlehrerin um weitere 20 % eingeschränkt, einer näheren Prüfung nicht standhielt. So war nicht ersichtlich, inwieweit der Versicherten im genannten Beruf erschwert sein sollte, vermehrt Pausen einlegen oder stereotype Körperhaltungen am PC sowie stereotype Belastungen des Schultergürtels und der HWS vermeiden zu können. Dieser offensichtliche Mangel schmälerte die Beweiskraft des MEDAS-Gutachtens nach den weiteren Erwägungen des kantonalen Gerichts nicht, weil die Arbeitsunfähigkeit schon anhand der medizinischen Vorakten im Wesentlichen aufgrund der psychiatrischen Befunde zu beurteilen war. Gemäss dem in das Hauptgutachten der MEDAS übernommenen psychiatrischen Consiliargutachten vom 13. April 2011 war wegen der atypischen und ängstlich gefärbten, rezidivierenden depressiven Störung, die aktuell einer leicht- bis mittelgradigen depressiven Episode entsprach und die angesichts des langjährigen Verlaufs als beginnend chronisch zu bezeichnen war (ICD-10: F33.8), sowie der anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10: F45.4) von einer um 30 % eingeschränkten Arbeitsfähigkeit für jegliche Erwerbstätigkeit auszugehen. Gestützt darauf ermittelte das kantonale Gericht einen über der Erheblichkeitsschwelle von 40 % liegenden Invaliditätsgrad.
3.2. Die beschwerdeführende IV-Stelle bringt im Wesentlichen vor, auch wenn die invalidisierende Wirkung einer leichten bis mittelschweren depressiven Störung nicht von vornherein auszuschliessen sei, bedinge deren Annahme, dass es sich dabei nicht bloss um die Begleiterscheinung einer Schmerzkrankheit handle, sondern um ein davon losgelöstes selbstständiges Leiden. Diese Voraussetzung liege hier ausweislich der Akten nicht vor, weshalb rechtsprechungsgemäss von einem überwindbaren Gesundheitsschaden auszugehen sei.
3.3. Die Beschwerdegegnerin macht im Wesentlichen geltend, die IV-Stelle rüge zwar Rechtsfragen, sie übersehe indessen, dass aus dem für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalt kein vom kantonalen Entscheid abweichendes Ergebnis resultieren könne.
4.
4.1. Gemäss der von der IV-Stelle angerufenen Rechtsprechung (grundlegend: <ref-ruling>) bewirkt eine diagnostizierte anhaltende somatoforme Schmerzstörung allein in der Regel keine lang dauernde, zu einer Invalidität führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Zudem darf bei psychiatrisch gleichzeitig diagnostizierter depressiver Erkrankung nicht unbesehen der im konkreten Fall fachärztlich erhobenen Befunde festgestellt werden, diese gehe in der ersteren gleichsam auf. Vielmehr hat das Bundesgericht in <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 356 festgehalten (bestätigt in dem zur Publikation in BGE 139 bestimmten Urteil 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 E. 5.4 und E. 5.9, je mit weiteren Hinweisen), dass sich die Verwaltung - und im Beschwerdefall das Gericht - nicht über die den beweisrechtlichen Anforderungen genügenden medizinischen (fachärztlichen) Tatsachenfeststellungen hinwegsetzen, noch sich die ärztlichen Einschätzungen und Schlussfolgerungen zur (Rest) Arbeitsfähigkeit unbesehen ihrer konkreten sozialversicherungsrechtlichen Relevanz und Tragweite zu eigen machen darf. In diesem Kontext ist zudem darauf hinzuweisen, dass kein pathogenetisch-ätiologisch unklarer syndromaler Gesundheitszustand (vgl. zu diesem Begriff der eben zitierte BGE 8C_972/2012 E. 7.1.1, 7.1.3 f. und 7.2, je mit Hinweisen, u.a. auf <ref-ruling> E. 3.2 S. 399; nachfolgend: unklare Beschwerden) vorliegt, wenn eine depressive Erkrankung bloss als Begleiterscheinung eines psychogenen Schmerzgeschehens, und nicht als ein selbstständiges, davon losgelöstes Leiden anzusehen ist (SVR 2012 IV Nr. 22 S. 95, 8C_302/2011 E. 2.4; Urteil 9C_521/2012 vom 17. Januar 2013 E. 3.1.2 und 4.1).
4.2. Die mit <ref-ruling> begründete Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen ist sinngemäss auch auf spezifische und unfalladäquate HWS-Verletzungen (Schleudertraumen) anzuwenden (<ref-ruling>; vgl. auch BGE 8C_972/2012 E. 7.1.2). Mithin ist auch bei organisch objektiv nicht ausgewiesenen Beschwerden, die natürlich- und adäquatkausal auf einen Schleudertrauma-Mechanismus zurückzuführen sind, abzuklären, ob eine psychische Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer (<ref-ruling> E. 1.2 S. 50 f.) und die von der Praxis alternativ umschriebenen Kriterien vorliegen, welche die Schmerzbewältigung objektiv konstant und intensiv behindern können (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 50 f.).
5.
5.1. Es steht fest und ist unbestritten, dass der Verkehrsunfall vom 2. Juli 2004 keine organisch-strukturellen Schädigungen hinterliess und die Ärzte somatischer Fachrichtung auch sonst die angegebenen körperlichen Beschwerden weder radiologisch noch klinisch hinreichend zu erklären vermochten. Massgebend für die Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit in einer den körperlichen Beschwerden angepassten Erwerbstätigkeit waren gemäss vorinstanzlichem Entscheid allein die psychiatrischen Diagnosen. Wie die IV-Stelle an sich zutreffend vorbringt, geht die Praxis beim Zusammentreffen einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung ohne hinreichendes somatisches Korrelat mit einer leichten bis mittelgradigen depressiven Episode oft davon aus, dass letzte in ersterer aufgeht (vgl. neben den von der IV-Stelle zitierten Urteilen z.B. auch 9C_415/2012 vom 10. August 2012 E. 3.2.2 mit Hinweis). Allerdings führen derartige Konstellationen nicht ohne Weiteres dazu, dass von der im medizinischen Gutachten festgestellten Arbeitsunfähigkeit abzuweichen ist (vgl. z.B. Urteil 9C_1041/2010 vom 30. März 2011 E. 5).
5.2. Der psychiatrische Sachverständige der MEDAS (vgl. Consiliargutachten vom 13. April 2011) hielt gestützt auf eine einlässliche Untersuchung und in Kenntnis der umfangreichen medizinischen Akten fest, dass sich die depressiven Symptome erstmals nach dem Auffahrunfall vom 2. Juli 2004 manifestierten. Sie entwickelten sich aus dem erlittenen Schleudertrauma der HWS, weshalb die Ärzte psychiatrischer Fachrichtung sie diagnostisch zunächst als reaktive Anpassungsstörung bezeichneten. Die Symptomatik trat in rezidivierenden Episoden wechselweise leicht- bis mittelgradiger Ausprägung auf. Im Zeitpunkt der psychiatrischen Exploration am 23. März 2011 war von einer beginnenden Chronifizierung auszugehen, weshalb die Prognose als nur vorsichtig günstig einzustufen war. Allerdings bestand nach wie vor ein enger Zusammenhang mit dem Unfall vom 2. Juli 2004 und dessen unmittelbaren Folgen (vor allem dem HWS-Schleudertrauma), was der psychiatrische Experte diagnostisch mit den Begriffen "atypische" und "ängstlich gefärbte" depressive Störung (ICD-10: F33.8; vgl. E. 3.1 hievor) spezifizierte. Dieser Umstand kann, wie die IV-Stelle zu Recht vorbringt, nicht ausser Acht gelassen werden.
5.3. Gemäss dem mehrfach zitierten BGE 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 E. 7.1.2 mit Hinweisen sind in der Regel die mit einem HWS-Schleudertrauma verbundenen Beeinträchtigungen objektiv nicht nachweisbar, weshalb aus rechtlicher Sicht von einem nicht invalidisierenden unklaren Beschwerdebild auszugehen ist. Zwar mag zutreffen, wie die Vorinstanz erwogen hat, dass der psychiatrische Sachverständige der MEDAS nur einen Teil des für das HWS-Schleudertrauma typischen bunten Beschwerdebildes mit der zweiten Diagnose (anhaltende somatoforme Schmerzstörung [ICD-10: F45.4]) erfasste. Indessen ergibt sich aus dessen Ausführungen nicht ohne Weiteres, dass sich die zuerst diagnostizierte leicht- bis mittelgradige depressive Störung im Zeitpunkt seiner Untersuchung neu als ein davon losgelöstes und nunmehr verselbstständigtes Leiden betrachten liess. Vielmehr ist daraus zu schliessen, dass sich insgesamt betrachtet die im Wesentlichen unverändert gebliebene Symptomatik (rezidivierende depressive Episoden mit wechselweise leicht- bis mittelgradiger Ausprägung) sieben Jahre nach dem Unfall vom 2. Juli 2004 nunmehr beginnend chronifiziert hatte und allein deswegen therapeutisch nur noch schwierig angehbar war. In diesem Zusammenhang wies der psychiatrische Experte explizit zum einen auf die Verdeutlichungstendenzen sowie die psychosozialen Belastungsfaktoren (abgebrochene Schulausbildung, fehlende Berufsausbildung, erschwerte Bedingungen auf dem freien Arbeitsmarkt, Migrationshintergrund, partnerschaftliche Schwierigkeiten, finanzielle Engpässe) hin, zum anderen darauf, dass sich die Versicherte offenbar immer dann wohl fühlte, wenn sie Zuwendungen medizinischer Art oder von Familienmitgliedern erhielt. Daraus ist zum einen zu schliessen, dass psychosoziale Faktoren, die nach der Rechtsprechung gegen die Leistungspflicht der Invalidenversicherung sprechen (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 299 f.; SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203, 9C_830/2007 E. 4.2), eine nicht unerhebliche Rolle spielten. Zum anderen ist der angesprochene sekundäre Krankheitsgewinn aus rechtlicher Sicht unbeachtlich (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 359 mit Hinweis).
5.4. Zusammengefasst ist festzuhalten, dass die Versicherte bis zum Zeitpunkt bei Erlass der Ablehnungsverfügung vom 9. Dezember 2011, der praxisgemäss die zeitliche Grenze der richterlichen Überprüfungsbefugnis bildet (<ref-ruling> E. 1b S. 366 mit Hinweisen), an keinem invalidenversicherungsrechtlich relevanten psychiatrischen Gesundheitsschaden litt. Ist sie mithin im zuletzt ausgeübten Beruf als Französischlehrerin wie auch in allen anderen, den körperlichen Beeinträchtigungen angepassten Erwerbstätigkeiten als vollständig arbeitsfähig zu betrachten, kann der Anspruch auf Invalidenrente auch ohne Prüfung der weiteren Voraussetzungen ausgeschlossen werden.
6.
Die Gerichtskosten sind der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 22. Mai 2013 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 9. Dezember 2011 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Februar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Grunder