Faits :
A.
A._, qui a une vue fortement réduite suite à un accident, est détenteur d'un chien de race Hovawart né le 17 juin 2007 et appelé Chalom.
- Le 7 octobre 2009, en rentrant d'une promenade, Chalom a échappé au contrôle de la personne qui le promenait, est sorti de la voiture de cette dernière et s'est mis à poursuivre trois petites filles. Il en a renversé une et blessé deux autres. Ces deux dernières présentaient des empreintes de crocs à la hauteur de l'épaule. Sur demande du vétérinaire cantonal, un rapport d'évaluation de Chalom relatif à cet événement a été effectué par la vétérinaire comportementaliste B._, employée auprès du Service de la consommation et des affaires vétérinaires du canton de Vaud (ciaprès: le Service vétérinaire). Ce rapport a été rendu le 18 mai 2010 et retenait en particulier que le comportement du chien constituait une agression de poursuite, agression par le jeu. Il recommandait en outre de continuer les cours déjà entrepris auprès d'un éducateur canin.
- Le 19 mai 2010, Chalom a mordu l'épouse de l'intéressé au bras gauche. Celui-ci a expliqué au Service vétérinaire que Chalom n'était pas dans son état normal, car il se réveillait d'une anesthésie totale subie dans la matinée. Il a fourni un certificat du vétérinaire indiquant que suite à l'injonction combinée de Domitor et de Morphasol, certaines réactions imprévisibles de l'animal pouvaient intervenir durant 48 heures. Suite à cette morsure, la municipalité de domicile de l'intéressé a notamment ordonné le maintien en laisse de Chalom sur le domaine public et recommandé la continuation des cours d'éducation. Elle a par ailleurs informé l'intéressé qu'en cas de nouvel incident, d'autres mesures pourraient être prises (saisie, placement, voire euthanasie).
- Le 25 septembre 2010, Chalom a mordu le sous-locataire de l'intéressé au bras droit. Ce dernier a expliqué au Service vétérinaire qu'il s'apprêtait à donner des croquettes à son chien lorsque cette personne s'est approchée de l'animal pour le caresser. Le 6 octobre 2010, sur l'initiative de l'intéressé, le vétérinaire comportementaliste C._ a réalisé une consultation comportementale de l'animal. Il a conclu que ce dernier incident correspondait à une réaction par irritation. Il a informé le Service vétérinaire, par lettre du 5 novembre 2010, qu'une prise en charge avait été mise en place et que A._ avait décidé de faire procéder à une castration chirurgicale de Chalom. Dans une lettre du 31 octobre 2011 (adressée en copie au Service vétérinaire), le vétérinaire comportementaliste a informé l'intéressé qu'au vu des résultats qu'il avait obtenus avec Chalom, il considérait qu'il n'était plus nécessaire de recourir aux services d'un vétérinaire comportementaliste et/ou d'une monitrice spécialisée pour la prise en charge du chien. Le 9 novembre 2011, le vétérinaire cantonal a en conséquence recommandé à la municipalité de lever les mesures prises à l'encontre de Chalom, ce que celle-ci a fait le 10 février 2012.
- Le 6 juillet 2012, Chalom a gravement mordu la nouvelle sous-locataire de l'intéressé (lèvre supérieure gauche et lèvre inférieure droite arrachées nécessitant une greffe; paupière inférieure gauche également arrachée et nécessitant une greffe; sutures au menton; plaie profonde à l'avant-bras gauche). Interrogé par la police municipale, l'intéressé a expliqué que sa sous-locataire, avec son accord, avait donné à manger au chien, en se penchant ensuite pour le caresser. C'est à ce moment-là qu'elle avait été mordue. Le vétérinaire cantonal a ordonné le séquestre préventif du chien et son évaluation comportementale. La vétérinaire comportementaliste B._ a rendu un nouveau rapport, dans lequel elle a en particulier retenu que le comportement de Chalom constituait une agression compétitive déclenchée par l'aliment. Elle a préconisé l'euthanasie du chien, son replacement avec des mesures de sécurité adaptées n'étant légalement pas possible.
B.
B.a. Par décision du 19 juillet 2012, le vétérinaire cantonal a ordonné le séquestre définitif et l'euthanasie de Chalom. Il a retenu que l'animal devait être considéré comme dangereux, dès lors qu'il avait agressé plusieurs personnes, dont des enfants. Il a souligné que cette dangerosité était d'autant plus inquiétante au vu de la gravité de la morsure subie le 6 juillet 2012. Il a estimé que l'euthanasie était justifiée afin de protéger l'intégrité physique d'êtres humains et, de façon plus générale, la sécurité publique. L'intéressé a contesté ce prononcé devant le Département de la sécurité et de l'environnement du canton de Vaud (ci-après: le Département).
B.b. Par décision incidente du 14 septembre 2012, le Département a autorisé A._ à soumettre son chien à une expertise privée. Le 22 octobre 2012, l'intéressé a ainsi produit un rapport d'expertise rédigé par la vétérinaire comportementaliste D._ et fixant notamment certaines conditions à respecter pour la détention du chien, ainsi qu'une lettre datée du 24 août 2012 que lui a adressée le vétérinaire comportementaliste C._, premier expert privé consulté.
Par décision du 28 mars 2013, le Département a rejeté le recours et confirmé la décision du vétérinaire cantonal. Il a retenu que l'euthanasie de Chalom, chien devant être considéré comme dangereux, était une mesure justifiée qui respectait le principe de la proportionnalité. Il a pris en compte la gravité des incidents, l'incapacité de l'intéressé de prévenir ces accidents et l'impossibilité de replacer le chien. A._ a interjeté recours contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal).
B.c. Devant le Tribunal cantonal, l'intéressé a déposé deux courriers des époux E._, un couple de zurichois disposé à recueillir Chalom. Ce couple expliquait qu'il était spécialisé dans la race Hovawart et qu'il avait déjà été détenteur d'un tel chien. Les époux se sont dit prêts à respecter les conditions fixées par l'experte. Par la suite, le recourant a encore requis l'audition de l'experte D._ et du vétérinaire comportementaliste C._. A titre subsidiaire, il a demandé la mise en oeuvre d'une deuxième expertise comportementale. Lors d'une audience d'instruction le 5 février 2014, le Tribunal cantonal a procédé aux deux auditions requises par l'intéressé et à celle de la vétérinaire comportementaliste du service vétérinaire.
Par arrêt du 29 avril 2014, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de A._. Après avoir écarté des réquisitions de preuves supplémentaires demandées par l'intéressé, l'instance précédente a jugé que Chalom devait être considéré comme étant un chien dangereux. Elle a reconnu que la seule mesure envisageable qui permettait de préserver la vie du chien tout en étant suffisante sur le plan de la sécurité publique était l'enfermement. Toutefois, cette solution n'étant pas compatible avec la dignité de l'animal, elle a conclu à la proportionnalité de l'euthanasie, seule mesure propre à écarter le danger que représente Chalom.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'effet suspensif, principalement d'annuler l'arrêt du 29 avril 2014 du Tribunal cantonal et de renvoyer la cause à celui-ci pour nouvelle instruction et décision dans le sens des considérants, subsidiairement de réformer l'arrêt du 29 avril 2014 en levant le séquestre du chien et en autorisant le placement de celui-ci auprès des époux E._. A._ se plaint de violation de son droit d'être entendu, de constatation inexacte des faits, de violation du principe de la proportionnalité et d'application arbitraire du droit cantonal.
Par ordonnance du 10 juillet 2014, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif.
Le Tribunal cantonal et le Service vétérinaire renoncent à se déterminer. Le Département conclut au rejet du recours. Dans des observations finales, A._ confirme ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>) ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law>. Le recourant étant détenteur du chien dont l'euthanasie a été ordonnée et destinataire de l'arrêt attaqué, il a la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law> (cf. arrêt 2C_386/2008 du 31 octobre 2008 consid. 1.2). Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>), le recours en matière de droit public est par conséquent recevable.
1.2. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté (cf. <ref-law>). Les pièces 11 à 15, annexées au mémoire de recours, la lettre des époux E._ du 11 août 2014, jointe aux observations finales, ainsi que la seconde écriture de ces derniers, adressée directement au Tribunal fédéral, étant toutes postérieures à l'arrêt entrepris, elles constituent des moyens de preuve nouveaux et par conséquent irrecevables.
2.
2.1. Le litige porte sur la mesure d'euthanasie du chien Chalom, prononcée à l'encontre du recourant sur la base du droit cantonal, en l'occurrence de l'art. 28 al. 1 let. e de la loi vaudoise du 31 octobre 2006 sur la police des chiens (LPolC/VD; RSV 133.75).
2.2. Conformément à la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, la compétence pour prendre des mesures de police spécifiques à l'encontre d'animaux présentant un danger particulier pour la sécurité et l'ordre publics revient aux cantons. Il leur appartient toutefois de ne pas édicter des règles qui entreraient en conflit avec le droit fédéral (<ref-ruling> consid. 2 p. 174 ss; 249 consid. 3.2 p. 254; arrêt 2C_386/2008 du 31 octobre 2008 consid. 2.1). La Confédération, sur la base de l'art. 80 Cst., est uniquement compétente pour légiférer sur la protection des animaux (cf. à ce propos Christoph Errass, in Ehrenzeller et al. [éd.], Die schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3e éd. 2014, n° 13 ad art. 80 Cst.). Fondée sur cette disposition constitutionnelle, la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur la protection des animaux (LPA; RS 455) vise à protéger la dignité et le bien-être de l'animal (art. 1). Ainsi que l'a expliqué le Conseil fédéral dans son message du 9 décembre 2002 concernant la révision de la loi sur la protection des animaux (FF 2002 595), la LPA ne protège par contre pas la vie de l'animal en tant que telle. L'abattage reste ainsi possible, tant que la mise à mort respecte les conditions cadres du droit sur la protection des animaux (FF 2002 613 ad art. 1 LPA).
2.3. Comme il n'est en l'occurrence pas contesté et qu'il n'y a pas lieu de douter que l'éventuelle euthanasie du chien se fera dans des conditions respectant les dispositions de la LPA, c'est à juste titre, s'agissant d'un chien présentant un danger particulier (cf. consid. 3.2 ci-dessous), que le Tribunal cantonal a uniquement appliqué le droit cantonal, à l'exclusion de la LPA. La présente procédure ne saurait s'étendre à un examen de l'application de cette loi.
3.
Invoquant son droit d'être entendu, le recourant se plaint de ce que l'instance précédente n'a pas procédé à une expertise supplémentaire du chien ainsi qu'à l'audition des époux E._ et du gardien responsable de Chalom au refuge où celui-ci est séquestré (mémoire de recours, p. 7 à 11).
3.1. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, le droit de produire des preuves pertinentes, de prendre connaissance du dossier, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur leur résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision rendue (<ref-ruling> consid. 9.2 p. 48 s. et les références citées).
Le droit de faire administrer des preuves suppose que le fait à prouver soit pertinent, que le moyen de preuve proposé soit nécessaire pour constater ce fait et que la demande soit présentée selon les formes et délais prescrits par le droit cantonal (<ref-ruling> consid. 5b/bb p. 505). Par ailleurs, cette garantie constitutionnelle n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 236).
3.2. En indiquant que l'autorité avait tous les éléments "à sa disposition" (mémoire de recours, ch. 8 par. 2) pour statuer sur l'aptitude des époux E._ à s'occuper de Chalom, le recourant concède lui-même que c'est à raison que l'instance précédente a renoncé à une audition du couple. Il en va de même de l'audition du gardien. Selon les déclarations du recourant, le témoignage devait uniquement permettre de "confirmer" le fait que Chalom n'agresse personne s'il reçoit et mange sa nourriture à l'écart, sans être touché pendant son repas. Or ce fait n'est pas contesté, ce qui a permis au Tribunal cantonal de renoncer à une audition à ce propos, même s'il ne l'a pas formellement indiqué dans son arrêt. Quant à la demande du recourant relative à une deuxième expertise comportementale du chien, c'est à juste titre que les juges cantonaux l'on rejetée. En effet, comme l'a déjà jugé le Tribunal fédéral (arrêt 2C_724/2008 du 16 février 2009 consid. 3.3, in RDAF 2011 I 399 et ZBl 111/2010 p. 275), une expertise du comportement social et agressif d'un chien ne peut renseigner l'autorité que sur le potentiel de dangerosité de l'animal. Or un tel renseignement est inutile lorsque la dangerosité de celui-ci s'est déjà clairement manifestée. Les événements des 25 septembre 2010 et 6 juillet 2012, non contestés au demeurant, confirment le caractère dangereux de l'animal et sont donc suffisants pour exclure toute expertise supplémentaire. Pour le surplus, le recourant s'en prend plutôt à l'appréciation juridique des faits effectuée par l'autorité précédente (en particulier en rapport avec la proportionnalité de la mesure), question sur laquelle il sera revenu ci-dessous. C'est donc à tort que le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu. Le recours doit être rejeté sur ce point.
4.
4.1. Le recourant soutient que le Tribunal cantonal a violé le principe de la proportionnalité ainsi que l'art. 28 LPolC/VD, selon lequel, en fonction de l'ampleur des dispositions agressives du chien ou du manque de capacité de son détenteur à s'en charger, le Service vétérinaire peut ordonner l'euthanasie du chien. Il estime en outre que le Tribunal cantonal aurait apprécié de manière arbitraire les faits sur plusieurs points essentiels (mémoire de recours, liste p. 12). Il faut ici constater qu'en définitive, tous ces griefs reviennent à contester l'appréciation juridique effectuée par l'autorité précédente quant à la proportionnalité de la mesure.
4.2. Dans l'arrêt attaqué, le Tribunal cantonal a jugé que malgré l'avis des spécialistes, un replacement de Chalom auprès des époux E._ " (ou auprès de n'importe quelle autre personne d'ailleurs) n'offrirait pas toutes les garanties contre une nouvelle morsure ". Il a continué en considérant que les " conditions que les intéressés se sont engagés à respecter sont en effet extrêmement contraignantes et exigent une grande discipline ". A ce propos, le Tribunal cantonal a relevé que les vétérinaires comportementalistes D._ et C._ reconnaissaient eux-même l'importante charge que représente ces conditions. " A cela s'ajoute, comme l'a très justement fait remarquer (la vétérinaire du Service vétérinaire), que Chalom a un aspect "nounours" qui le rend sympathique et qui pourrait à moyen terme faire oublier à ses détenteurs le danger qu'il représente et les précautions à prendre. Le respect strict et en tout temps des consignes est pourtant absolument nécessaire pour éviter un nouvel accident. Un replacement de Chalom auprès des époux (E._) impliquerait par ailleurs un important travail de suivi et de contrôle, pour vérifier si les conditions posées par la (vétérinaire comportementaliste D._) sont strictement respectées, ainsi qu'une collaboration avec le vétérinaire cantonal zurichois. Une telle charge de travail pour l'administration pour en définitive protéger un intérêt privé ne se justifie pas ". L'instance précédente a ensuite jugé qu'en " définitive, la seule mesure "théorique" envisageable qui permettrait de préserver la vie de Chalom tout en étant suffisante sur le plan de la sécurité publique serait l'enfermement définitif ", mais qu'une " telle solution ne serait toutefois pas compatible avec la dignité de l'animal ". Elle a donc conclu qu'en " conséquence, l'euthanasie n'apparaît pas disproportionnée compte tenu de l'ensemble des circonstances. Elle constitue la seule mesure propre à écarter le danger que représente Chalom ".
5.
Le principe de la proportionnalité est exprimé de manière générale à l'art. 5 al. 2 Cst. Il exige que la mesure prise par l'autorité soit apte et nécessaire afin d'atteindre le but d'intérêt public ou privé poursuivi (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 91 s.). Une mesure est disproportionnée lorsque l'objectif visé peut être atteint par une autre mesure, moins contraignante. En l'occurrence, il convient donc en premier lieu d'examiner si le placement de Chalom auprès des époux E._, mesure préconisée par le recourant, consisterait en une mesure suffisante afin d'écarter les risques que cet animal représente pour la société et, en conséquence, afin de sauvegarder la sécurité publique.
5.1. Il ressort notamment des diverses expertises reprises dans l'arrêt contesté, et en particulier de celle de la vétérinaire comportementaliste D._, que lors des événements des 25 septembre 2010 et 6 juillet 2012, l'agression du chien n'était pas compétitive, mais d'irritation, dans le contexte du comportement alimentaire. Cette agression était motivée par la peur. Selon les experts, un replacement chez un tiers, en l'espèce auprès du couple E._, est possible à certaines conditions strictes et précises. Il faut en effet que la personne en charge du chien présente des connaissances cynologiques poussées (l'experte vétérinaire D._ parle à ce propos d'éducateur canin expérimenté, d'éleveur expérimenté ou de gardien d'animaux expérimenté) et que le milieu de vie dans lequel le chien évoluera garantisse que celui-ci ne puisse pas entrer en contact avec des personnes autres que le détenteur et un petit nombre d'adultes conscients des règles à suivre. Ces règles doivent notamment être strictes en ce qu'elles concernent les moments durant lesquels Chalom se nourrit. A ce propos, les experts C._ et D._ sont d'accord pour admettre qu'il faut veiller à ce que le chien reçoive sa nourriture (que ce soit un repas ou une simple friandise) dans un lieu où personne ne se rendra tant qu'il n'aura pas fini de manger. Ils préconisent une pièce ou un enclos fermé à clé. De plus, ils relèvent qu'il ne faut jamais s'approcher de Chalom lorsque celui-ci est susceptible d'avoir trouvé un élément comestible (y compris des miettes tombées sur le sol de la maison ou des restes de nourriture qui peuvent se trouver dans la nature) et qu'il est nécessaire de museler systématiquement le chien lorsque des tiers sont présents.
5.2. Au vu de ce qui précède, c'est à raison que l'autorité précédente a retenu que les conditions que les époux E._ se sont engagés à respecter sont extrêmement contraignantes et exigent une grande discipline. On doit encore ajouter que ces conditions, déjà très difficiles à respecter dans des situations normales de la vie courante, deviennent impossibles à suivre dans des situations exceptionnelles, telles par exemple des périodes de vacances, des cas d'empêchements du détenteur du chien ou de visites inopinées de tiers chez ledit détenteur.
Ainsi, le fait que le Tribunal cantonal juge que compte tenu des conditions à respecter, qui sont à ce point strictes qu'elles confinent à l'impossible, un placement du chien auprès des époux E._ ne permette pas d'exclure le risque de nouvelles morsures, ne saurait être considéré comme étant insoutenable. De plus, même si selon les experts la source du comportement agressif était différente, les deux événements précédant ceux des 25 septembre 2010 et 6 juillet 2012 ne peuvent être passés sous silence et témoignent malgré tout d'une forte inclination de Chalom à adopter un comportement agressif dans d'autres circonstances que celles liées à son alimentation. Un placement du chien auprès de tiers ne saurait donc être considéré comme étant une mesure apte à sauvegarder la sécurité publique.
6.
Dans les motifs de son mémoire, le recourant estime encore qu'à défaut de placement auprès des époux E._, un enfermement définitif en chenil devrait être possible.
A ce propos, il faut constater que c'est également à bon droit que le Tribunal cantonal a écarté cette mesure. En effet, l'art. 3 let. a LPA (qui viendrait à s'appliquer si l'animal n'était pas euthanasié; cf. consid. 2.2 ci-dessus) dispose notamment que la dignité est la valeur propre de l'animal, qui doit être respectée par les personnes qui s'en occupent et qu'il y a atteinte à la dignité de l'animal lorsque la contrainte qui lui est imposée ne peut être justifiée par des intérêts prépondérants (cf. Christoph Errass, 20 Jahre Würde der Kreatur, in RJB 149/2013 p. 187, p. 226 ss; Nils Stohner, Importrestriktionen aus Gründen des Tier- und Artenschutzes im Recht der WTO, thèse Berne 2006, p. 110 s.). Selon l'art. 71 al. 1 de l'ordonnance fédérale du 23 avril 2008 sur la protection des animaux (OPAn; RS 455.1), les chiens doivent être sortis tous les jours et en fonction de leur besoin de mouvement. Lors de ces sorties, ils doivent aussi, dans la mesure du possible, pouvoir se mouvoir librement sans être tenus en laisse. Ce traitement contribue à favoriser la dignité du chien (arrêt 2C_49/2010 du 8 octobre 2010 consid. 4.5.2). Or, le séjour au chenil et la détention du chien attaché à une chaîne courante ne sont pas considérés comme des sorties (<ref-law>). Par conséquent, l'appréciation faite des déclarations de la vétérinaire du Service vétérinaire, qui a clairement dit qu'un enfermement définitif dans un chenil ne serait pas compatible avec la dignité de l'animal, est pleinement soutenable. Cette conclusion n'est en outre pas incompatible avec les déclarations du vétérinaire C._ qui parle de garantie de la dignité de l'animal en cas d'enfermement temporaire, durant les repas.
7.
En conséquence, la mesure d'euthanasie de Chalom, ordonnée par le Service vétérinaire et confirmée en dernière instance cantonale par l'autorité précédente, est la seule mesure apte et nécessaire pour exclure tout risque de nouvelle morsure et ainsi atteindre le but d'intérêt public poursuivi. Le recours, entièrement mal fondé, doit donc être rejeté.
8.
Succombant, le recourant supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la consommation et des affaires vétérinaires, au Département de la sécurité et de l'environnement ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 9 janvier 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
Le Greffier : Tissot-Daguette