Faits:
A.
A.a. Le 1er septembre 2011, la société de droit public X._ (ci-après: X._) a déposé devant le Tribunal de première instance de Genève une requête de faillite sans poursuite préalable contre A._, inscrit au Registre du commerce en qualité de titulaire de l'entreprise individuelle B._. Elle a allégué qu'elle était titulaire d'une créance de xxxx fr. fondée sur un contrat de bail résilié avec effet au 31 juillet 2010 en raison de non-paiement de loyers, résiliation suite à laquelle l'expulsion des locaux avait été ordonnée, et que le débiteur était en cessation de paiement.
A.b.
A.b.a. Les parties ont comparu à l'audience fixée au 21 novembre 2011. A._ a souhaité déposer des observations écrites, ce que le tribunal a refusé. Pour le reste, il a conclu durant l'audience, principalement, au rejet de la requête de faillite, et, subsidiairement, au transfert du dossier au juge du concordat. Il a également déposé un chargé de pièces.
A.b.b. Par jugement du 12 mars 2012, le tribunal a prononcé la faillite de A._. Il a considéré que celui-ci se trouvait en situation de cessation de paiement et qu'il n'était pas à même de réunir les fonds en vue de financer un concordat.
B.
B.a. Le 3 avril 2012, le failli a recouru contre ce jugement auprès de la Cour de justice du canton de Genève et a produit des pièces, dont sa détermination du 20 novembre 2011 refusée par le premier juge (pièce 5).
B.b. Le 22 mai 2012, la cour a ordonné la suspension de la procédure sur requête des parties, qui entendaient mener des pourparlers.
Le 18 février 2013, elle a ordonné la reprise de cette procédure, sur requête de X._, qui a allégué que les termes de la convention n'avaient pas été respectés. La société a ajouté que la libération de la garantie de loyer avait éteint la dette de loyers des anciens locataires mais que la libération des locaux l'exposait à un dommage de xxxx fr., sous déduction de xxxx fr. perçus lors de la libération de la garantie précitée, auquel il fallait ajouter des honoraires d'avocat de xxxx fr. et des débours de xxxx fr. Elle a produit sept pièces nouvelles (pièces 16 à 22).
B.c. Par arrêt du 26 avril 2013, se fondant notamment sur les relevés de l'office des poursuites au sujet de la situation du failli au 13 avril 2012, soit au moment du dépôt du recours, et au 22 mars 2013, soit après la reprise de l'instance, pièces dont elle avait requis la production auprès de l'office des poursuites, la cour a rejeté le recours, déclarant au préalable irrecevables la pièce n° 5 du failli et les pièces n° 16 à 22 de la créancière.
C.
Par acte posté le 3 juin 2013, le failli interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Principalement, il conclut à l'annulation de celui-ci. Subsidiairement, il conclut à la suspension de la procédure dans l'attente du résultat d'une procédure de concordat judiciaire qu'il s'engage à déposer d'ici au 17 juin 2013 et à l'annulation de l'arrêt attaqué. En substance, il se plaint de la violation des art. 5 al. 3, 9 et 29 al. 1 Cst., 253 et 256 CPC.
Par requête du 10 juillet 2013, le failli a requis d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invitées à déposer leurs observations, l'intimée a conclu au rejet du recours, alors que l'autorité cantonale s'est référée aux considérants de l'arrêt attaqué.

Considérant en droit:
1.
Interjeté dans le délai légal (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2) qui confirme, en dernière instance cantonale et sur recours (<ref-law>), l'ouverture de la faillite du recourant (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable, indépendamment de la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. d LTF); le recourant, qui a succombé devant la juridiction précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>).
2.
Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral, lequel comprend les droits constitutionnels (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1, 462 consid. 2.3). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 2.2). Il ne connaît toutefois de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant ("principe d'allégation"; <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
3.
Le recourant se plaint de la violation de son droit d'être entendu, protégé par l'art. 29 al. 2 Cst.
3.1.
3.1.1. Pour rendre sa décision, l'autorité cantonale a examiné si le recourant avait suspendu ses paiements tant à l'échéance du délai de recours devant elle qu'au moment de la reprise de la procédure, suspendue du 22 mai 2012 au 18 février 2013. Pour cette dernière date, elle s'est fondée sur un extrait du registre des poursuites concernant le recourant, du 22 mars 2013, qu'elle avait requis auprès de l'office des poursuites.
3.1.2. Le recourant soutient que, sans avertir les parties, l'autorité cantonale a ordonné à l'office des poursuites de produire un nouveau relevé des poursuites le concernant, qu'il n'a pas été informé de cette mesure d'instruction et qu'il n'a jamais été invité à se déterminer sur ce moyen de preuve.
3.1.3. L'intimée soutient que l'extrait du registre des poursuites le plus récent est essentiel à la procédure et doit être produit par le débiteur. A défaut, le juge peut retenir ce titre comme un fait notoire, vu que celui-ci peut être facilement établi en temps réel. Une telle intervention d'office est compatible avec les exigences de célérité de la procédure sommaire, même si elle prive le débiteur du droit de pouvoir s'exprimer sur le contenu de l'extrait. L'intimée ajoute que, après près d'un an de suspension de la procédure, la recourant aurait pu présenter spontanément un extrait du registre des poursuites et donner son appréciation à ce sujet s'il avait recouvré sa solvabilité.
3.2.
3.2.1. Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de nature formelle, dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée sans égard aux chances de succès du recours sur le fond (<ref-ruling> consid. 2.6.1). Ce moyen doit par conséquent être examiné en premier lieu (<ref-ruling> consid. 2.2) et avec un plein pouvoir d'examen (<ref-ruling> consid. 3 et les références).
Le droit d'être entendu garanti à l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision touchant sa situation juridique ne soit prise, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, d'avoir accès au dossier - qui s'étend à toutes les pièces décisives (<ref-ruling> consid. 2a) -, et de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 5.1; arrêt 5A_561/2011 du 19 mars 2012 consid. 10.1, non publié in <ref-ruling>). Il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Toute prise de position ou pièce nouvelle versée au dossier doit dès lors être communiquée aux parties pour leur permettre de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (<ref-ruling> consid. 4.5; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.3.2 - 3.3.4; arrêt 5A_779/2010 du 1 er avril 2011 consid. 2.2 et les autres références, publié in Pra 2012 (19) p. 1). Il en découle notamment que l'autorité qui verse au dossier de nouvelles pièces dont elle entend se prévaloir dans sa décision est tenue d'en aviser les parties, même si elle estime que les documents en question ne contiennent aucun nouvel élément de fait ou de droit (<ref-ruling> consid. 3; arrêt 1C_51/2013 du 9 août 2013 consid. 2.1).
3.2.2. Les faits notoires, qu'il n'est pas nécessaire d'alléguer ni de prouver, sont ceux dont l'existence est certaine au point d'emporter la conviction du juge, qu'il s'agisse de faits connus de manière générale du public ou seulement du juge. Pour être notoire, un renseignement ne doit pas être constamment présent à l'esprit, il suffit qu'il puisse être contrôlé par des publications accessibles à chacun (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 5.2; arrêts 4A_560/2012 du 1 er mars 2013 consid. 2.2; 5A_62/2009 du 2 juillet 2009 consid. 2.1, publié in Pra 2010 (17) p. 117; 4P.277/1998 du 22 février 1999 consid. 3d). Le juge peut rechercher et déterminer lui-même le fait notoire, sans amener les parties à se prononcer sur ce point (<ref-ruling> consid. 5; arrêts 1B_368/2012 du 13 mai 2013 consid. 2.2; 4P.277/1998 du 22 février 1999 consid. 3d).
3.2.3. Toute personne peut requérir un extrait du registre des poursuites, à condition toutefois de rendre vraisemblable un intérêt (cf. <ref-law>; arrêt 5A_201/2013 du 29 avril 2013 consid. 3). Savoir si et dans quelle mesure il se justifie d'accorder un tel droit à un intéressé et quel renseignement doit lui être communiqué doit faire l'objet d'une décision dans chaque cas d'espèce, sur la base de l'intérêt qu'il aura pu établir (<ref-ruling> consid. 3).
3.3. En l'espèce, en ne transmettant pas au recourant l'extrait du registre des poursuites du 22 mars 2013, alors qu'elle s'est fondée sur cette pièce pour rendre sa décision, l'autorité cantonale a violé le droit d'être entendu du recourant. Le registre des poursuites n'étant ni une publication accessible à chacun, ni une donnée connue de tous, les faits qui en ressortent ne sont pas notoires.
Le recours doit donc être admis pour ce motif, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs soulevés par le recourant. La décision attaquée doit par conséquent être annulée et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision prise dans le respect du droit à prendre connaissance des pièces du dossier.
4.
En conclusion, le recours est admis, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Vu la situation économique du recourant, qui ne dispose pas de ressources suffisantes et dont les conclusions n'étaient par ailleurs pas d'emblée dénuées de chances de succès, il convient d'accéder à sa requête d'assistance judiciaire (<ref-law>), Me Christian Canela lui étant désigné comme avocat d'office. L'intimée, qui succombe, doit être condamnée au paiement des frais et dépens de l'instance fédérale (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
La demande d'assistance judiciaire du recourant est admise et Me Christian Canela est désigné comme avocat de cette partie pour la procédure fédérale.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
Une indemnité de 1'000 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, à l'Office des faillites de Genève, au Registre du Commerce de Genève et au Registre foncier.
Lausanne, le 17 septembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Achtari