Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug führt Strafuntersuchungen gegen X._ und Mitbeteiligte wegen Vermögens- und Urkundendelikten. Am 29. September 2009 stellte Staatsanwalt Y._ eines der Verfahren ein und hielt in der Begründung sinngemäss fest, dem Beschuldigten könne kein Vorwurf gemacht werden, der mit demjenigen in einem Parallelverfahren (gegen ihn) vergleichbar oder für die zu erwartende Gesamtstrafe bedeutsam sei. Die Einstellungsverfügung wurde von Oberstaatsanwalt Z._ genehmigt.
Hierauf reichte X._ gegen den Staats- und den Oberstaatsanwalt Strafklage ein und warf diesen vor, sie hätten das Amtsgeheimnis verletzt. Die Staatsanwaltschaft nahm die Strafklage nicht an die Hand (Verfügung vom 20. Januar 2010). Das Obergericht des Kantons Zug, Justizkommission, bestätigte diese Verfügung (Urteil vom 29. April 2010). Eine von X._ hiergegen eingereichte Beschwerde hiess das Bundesgericht wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs gut und wies die Sache an das Obergericht zurück (Urteil 6B_485/2010 vom 13. Dezember 2010). Dieses wies die Beschwerde am 5. Mai 2011 erneut ab.
Bereits am 27. Mai 2010 hatte X._ eine "Ergänzung der Strafanzeige" gegen Staatsanwalt Y._ eingereicht. Er machte geltend, dieser habe einzelne Journalisten wiederholt und gezielt mit Informationen aus den hängigen Strafverfahren bedient und auch dadurch das Amtsgeheimnis in noch schwerwiegenderer Weise als zuvor geltend gemacht verletzt. Die Staatsanwaltschaft nahm diese Strafklage ebenfalls nicht an die Hand (Verfügung vom 3. März 2011), wogegen sich X._ wiederum erfolglos beim Obergericht des Kantons Zug beschwerte (Urteil des Obergerichts, I. Beschwerdeabteilung, vom 14. Juli 2011).
B. Gegen dieses Urteil hat X._ am 14. September Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht erhoben. Er beantragt, das angefochtene Erkenntnis und die Nichtanhandnahmeverfügung vom 3. März 2011 aufzuheben und die Strafverfolgung wegen Widerhandlung gegen <ref-law> einzuleiten.
Das Obergericht des Kantons Zug, I. Beschwerdeabteilung, beantragt unter Verzicht auf weitere Ausführungen die Abweisung der Beschwerde. Den gleichen Antrag stellt die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug mit Verweisung auf die Erwägungen in den angefochtenen Entscheiden.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil schliesst das gegen Staatsanwalt Y._ angestrengte Strafverfahren ab. Es handelt sich somit um einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Strafsache, gegen den die Beschwerde in Strafsachen offen steht (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1, Art. 90 BGG). Als Privatkläger ist der Beschwerdeführer zur Beschwerde legitimiert, sofern sich der angefochtene Entscheid auf seine Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG; die vom Beschwerdeführer angerufene Ziff. 4 dieser Bestimmung ist durch Anhang I Ziff. II 3 der Strafprozessordnung vom 5. Oktober 2007 mit Wirkung auf den 1. Januar 2011 aufgehoben worden).
Diese Voraussetzung ist vorliegend nicht erfüllt. Nach § 5 Abs. 1 des Gesetzes über die Verantwortlichkeit der Gemeinwesen, Behördenmitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz) des Kantons Zug vom 1. Februar 1979 (VG/ZG) haftet der Staat für Schaden, den ein Beamter in Ausübung amtlicher Verrichtungen durch Rechtsverletzung jemandem zugefügt hat. Gemäss § 6 VG/ZG steht dem Geschädigten kein Anspruch gegen den Beamten zu, der die Rechtsverletzung begangen hat. Der angefochtene Entscheid kann sich somit nicht auf allfällige Zivilforderungen des Beschwerdeführers auswirken (vgl. auch Urteile 1B_250/2011 vom 14. Juli 2011 und 1B_330/2011 vom 24. Oktober 2011, je E. 1.1).
2. 2.1 Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache kann der Geschädigte die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich in diesem Fall aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Hat der Beschwerdeführer - wie hier - vor der Vorinstanz Parteirechte ausgeübt, kann er die Verletzung solcher Rechte rügen, die ihm nach den massgeblichen Verfahrenserlassen, der BV oder der EMRK zustehen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung bedeutet. Zulässig sind dabei Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind dagegen Einwände, die im Ergebnis auf eine Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen. Ein in der Sache nicht legitimierter Beschwerdeführer kann deshalb weder die Beweiswürdigung kritisieren noch geltend machen, die Begründung sei unvollständig oder materiell unzutreffend (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.4 S. 44).
2.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz habe in verschiedener Hinsicht gegen <ref-law> verstossen und dadurch eine Rechtsverweigerung begangen. Insbesondere habe sie nicht ausgeführt, warum es sich um einen besonders bedeutsamen Fall handeln sollte, über den die Öffentlichkeit informiert werden durfte, und warum das Verhalten des Staatsanwalts trotz wahrheitswidriger Aussagen und unterschiedlicher Behandlung der Medien gerechtfertigt sein sollte. Sie habe sich auch nicht zu seinem Vorbringen geäussert, wonach selbst bei Vorliegen eines angeblichen Rechtfertigungsgrunds eine Nichtanhandnahme ausscheide.
2.3 Die Argumentation des Beschwerdeführers lässt sich nicht von der materiellen Beurteilung durch die Vorinstanz trennen und zielt auf eine (unzulässige) materielle Überprüfung ab. Indem er geltend macht, die Vorinstanz sei nicht auf alle Sachvorbringen eingegangen, rügt er bei Lichte besehen, die Vorinstanz hätte § 15 bis Abs. 2 aStPO/ZG nicht im Sinne der Erwägungen heranziehen und interpretieren dürfen; denn aus der kritisierten Rechtsanwendung ergibt sich ohne Weiteres, dass das Obergericht diese Norm - und die vorher geübte Praxis sowie die Weisungen - im Unterschied zum Beschwerdeführer als ausreichend erachtete, um das Vorgehen des Staatsanwalts zu rechtfertigen. Die Rüge, die Annahme von Rechtsfertigungsgründen schliesse das Vorgehen gemäss <ref-law> aus und verletze diese Norm, läuft ebenfalls auf eine Überprüfung in der Sache hinaus. Im Übrigen hat die Vorinstanz (in E. 3.1.2) durchaus näher ausgeführt, warum der Staatsanwalt im Nachgang zu (zum Teil in Deutschland) erschienenen Medienberichten davon ausgehen durfte, es bestehe ein hinreichendes Interesse an einer Information der Öffentlichkeit. Mit dem Einwand, es seien nicht alle Medien gleich behandelt worden, macht der Beschwerdeführer schliesslich Grundrechte Dritter und nicht eigene Parteirechte geltend, was ebenfalls unstatthaft ist.
2.4 Aus dem Ausgeführten ergibt sich, dass die Gehörsverweigerungsrügen des Beschwerdeführers ebenfalls unzulässig sind. Auf die Beschwerde kann nicht eingetreten werden.
3. Da der Beschwerdeführer als unterliegend gilt, hat er die Gerichtskosten zu bezahlen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Zug, III. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Zug, I. Beschwerdeabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. November 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle