Faits:
A. A.a Le 12 décembre 2006, Y._ a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève d'une action en constatation de droit et en paiement dirigée contre X._ Assurances. Ses prétentions se fondaient sur un contrat d'assurance-maladie complémentaire (indemnités journalières et rente d'invalidité) soumis à la LCA qui aurait été conclu entre les parties.
A.b Par arrêt du 13 décembre 2007, le Tribunal cantonal des assurances sociales a constaté que la demande en paiement était sans objet (1), rejeté l'action en constatation dans la mesure où elle était recevable (2), condamné le demandeur à verser à la défenderesse la somme de 3'500 fr. à titre de dépens (3) et dit que la procédure était gratuite (4).
B. B.a En temps utile, le demandeur a formé une réclamation - qui, dans le canton de Genève, est la voie de droit par laquelle peuvent être contestés les frais de procédure, émoluments et indemnités arrêtés par la juridiction administrative, conformément à l'art. 87 al. 4 de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA/GE; RSG E 5 10) - auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales contre l'allocation de dépens à la défenderesse, en concluant à l'annulation du chiffre 3 du dispositif de l'arrêt du 13 décembre 2007. Il soutenait en substance que tant l'art. 85 al. 3 de la loi fédérale sur la surveillance des assurances (LSA; RS 961.01) que l'art. 61 de la loi fédérale sur la partie générale des assurances sociales (LPGA; RS 830.1) et l'art. 89H LPA/GE consacraient la gratuité de la procédure, s'agissant aussi bien des frais de justice que des dépens, y compris pour le contentieux en matière d'assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale.
La défenderesse a conclu au déboutement du demandeur de ses conclusions. Elle soutenait en bref que la LPGA n'était pas applicable en matière d'assurances privées et que la LSA, si elle consacrait l'exemption des frais de procédure, n'interdisait pas l'allocation de dépens; quant à l'art. 89H al. 3 LPA/GE, il n'était selon son texte même applicable qu'en matière d'assurances sociales.
B.b Statuant par arrêt du 19 juin 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales a admis la réclamation, annulé le chiffre 3 du dispositif de l'arrêt du 13 décembre 2007 et condamné la défenderesse à verser au demandeur la somme de 1'000 fr. à titre de dépens pour la procédure de réclamation.
En bref, les juges cantonaux ont d'abord considéré, s'agissant de l'<ref-law>, que la gratuité de la procédure consacrée par cette disposition ne concernait, selon la jurisprudence du Tribunal fédéral (arrêt non publié 5C.244/2000 du 9 janvier 2001, consid. 5), que les frais de procédure, à l'exclusion des dépens, si bien qu'elle ne pouvait conduire à refuser d'allouer des dépens à l'institution d'assurance privée défenderesse dans une procédure cantonale.
La cour cantonale a ensuite exposé que l'<ref-law>, qui réglait la procédure applicable en matière d'assurance sociale, n'était d'aucun secours au demandeur dans la mesure où la loi invoquée n'était pas applicable à un litige portant sur des prétentions fondées sur un contrat d'assurance privée (cf. <ref-ruling> consid. 1a/aa).
Constatant ainsi que le droit fédéral n'excluait pas l'octroi de dépens dans les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance sociale, les juges cantonaux ont exposé qu'il restait à examiner si le législateur cantonal avait voulu aller plus loin que le législateur fédéral en excluant l'allocation de dépens à l'assureur dans les litiges relevant de la LCA. Pour cela, ils ont procédé à une interprétation littérale, systématique et téléologique, respectivement historique, de l'art. 89H LPA/GE, qui les a conduits à conclure que le législateur genevois avait voulu compléter les garanties procédurales conférées par la législation fédérale en matière d'assurances complémentaires à l'assurance sociale en excluant l'allocation de dépens à l'assureur.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile et par celle du recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, la défenderesse conclut avec suite de dépens à l'annulation de l'arrêt sur réclamation rendu le 19 juin 2008 par le Tribunal cantonal des assurances sociales et à la confirmation du chiffre 3 du dispositif de l'arrêt rendu le 13 décembre 2007 par ce même tribunal. L'intimé conclut avec dépens à l'irrecevabilité du recours en matière civile et au rejet du recours constitutionnel subsidiaire.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement sa compétence, respectivement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1, 235 consid. 1, 379 consid. 1; <ref-ruling> consid. 2 et les arrêts cités).
1.1 Le recours en matière civile est recevable contre les décisions rendues en matière civile (<ref-law>), ce qui est le cas d'une décision tranchant un litige entre un assureur et un assuré sur des prétentions découlant d'une assurance complémentaire soumise à la LCA (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1a/aa, 229 consid. 2b). Il est ouvert également lorsque seule la décision sur les dépens est contestée, car la voie de droit contre une décision portant sur les dépens suit celle contre la décision sur le fond (<ref-ruling> consid. 3 et les références citées).
1.2 Dans les affaires pécuniaires, le recours en matière civile n'est recevable que si la valeur litigieuse s'élève au moins à 30'000 fr. (<ref-law>). La valeur litigieuse est déterminée, en cas de recours contre une décision finale, par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (<ref-law>). Lorsque la valeur litigieuse minimale n'est pas atteinte, le recours est néanmoins recevable si la contestation soulève une question juridique de principe (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 2.2.2).
En l'espèce, la valeur litigieuse s'élève à 3'500 fr., selon les conclusions litigieuses dans la procédure de réclamation. La recourante soutient toutefois que la contestation soulèverait une question juridique de principe, soit celle de savoir si l'art. 89H LPA/GE est aussi applicable lorsque le litige relève de la LCA et qu'il s'agit par conséquent d'un litige de pur droit privé. Selon la recourante, il s'agirait là d'une question juridique de principe parce que son issue déterminerait le droit de tout assureur privé à des dépens dans des procédures LCA ouvertes devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève.
Le recours porte sur l'interprétation d'une disposition de droit cantonal. Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), la violation du droit cantonal ne constitue pas un motif de recours; le recourant peut uniquement se plaindre de ce que l'application du droit cantonal par l'autorité précédente consacre une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law> - notamment de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) - ou du droit international au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 1.2.1). La question juridique posée par la recourante peut ainsi être soulevée dans un recours constitutionnel subsidiaire et examinée par le Tribunal fédéral avec le même pouvoir d'examen (cf. <ref-law>) que dans le cadre d'un recours en matière civile, ce qui, selon la jurisprudence, exclut qu'elle puisse être considérée comme une question juridique de principe au sens de l'<ref-law>, qui ouvrirait la voie du recours en matière civile nonobstant une valeur litigieuse insuffisante (<ref-ruling> consid. 1.3.3).
1.3 Cela étant, il y a lieu de constater l'irrecevabilité du recours en matière civile et d'entrer en matière sur le recours constitutionnel subsidiaire interjeté par la recourante contre l'arrêt du Tribunal cantonal des assurances sociales du 19 juin 2008. En effet, ce recours est dirigé contre une décision finale (art. 117 et 90 al. 1 LTF) prise par une autorité cantonale de dernière instance (art. 114 et 75 al. 1 LTF); interjeté par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>), il a en outre été déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prévues par la loi (<ref-law>).
2. 2.1 La recourante fait grief aux juges cantonaux d'avoir violé son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.) en ne se prononçant pas sur les arguments de fond qu'elle leur avait présentés. Elle leur reproche en outre d'avoir violé le principe de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) en interprétant l'art. 89H LPA/GE en ce sens que cette disposition s'applique également aux contestations relevant des assurances privées et en n'appliquant pas l'art. 87 LPA/GE à de tels litiges. Avant d'examiner ces griefs, il sied de rappeler ci-après la motivation topique de l'arrêt attaqué.
2.2 Après avoir rappelé les principes régissant l'interprétation des lois (cf. <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 6.1 et les arrêts cités), l'autorité cantonale a relevé que l'art. 89H LPA/GE, intitulé « Frais et indemnité de procédure » et dont l'al. 3 prévoit qu' « [u]ne indemnité est allouée au recourant qui obtient gain de cause », figurait sous le titre IVA de la loi, consacré à la « Procédure applicable devant le Tribunal cantonal des assurances sociales », le législateur ayant en effet édicté des normes particulières concernant la procédure devant cette juridiction créée à l'occasion de l'entrée en vigueur de la LPGA.
2.2.1 Selon les juges cantonaux, quoique l'expression « une indemnité est allouée au recourant » figurant à l'art. 89H al. 3 LPA/GE semblât, prise littéralement, vouloir limiter le droit à l'allocation de dépens aux seuls recourants, il fallait selon la jurisprudence considérer que le terme de « recourant » visait en réalité l'assuré, qui pouvait prétendre à des dépens s'il obtenait gain de cause en procédure cantonale, indépendamment du fait qu'il agissait par voie d'action ou de recours contre une décision (<ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling>).
2.2.2 La cour cantonale a ensuite considéré, d'un point de vue systématique, que le titre « Procédure applicable devant le Tribunal cantonal des assurances sociales » dans lequel était intégré l'art. 89H LPA/GE révélait la volonté du législateur de soumettre aux mêmes règles tous les litiges de la compétence du Tribunal cantonal des assurances sociales, soit également ceux relevant de la LCA; dans cette optique, l'interprétation large du mot « recourant » figurant à l'art. 89H al. 3 LPA/GE devait s'appliquer également à ces litiges.
2.2.3 Se tournant vers une interprétation téléologique, respectivement historique, l'autorité précédente a constaté que le législateur avait voulu améliorer la situation des assurés, y compris ceux qui étaient opposés à un assureur privé (cf. Mémorial du Grand Conseil 2001-2002 / 1 A 98). Par ailleurs, le législateur n'avait pas relaté vouloir modifier la situation telle qu'elle existait à l'époque; or les litiges en matière d'assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale, alors de la compétence du Tribunal administratif, étaient tranchés selon une procédure gratuite, incluant la gratuité des dépens pour l'assuré (cf. art. 89G aLPA/GE auquel renvoyait l'art. 38 aLaLAMal/GE, dans sa teneur applicable jusqu'au 31 juillet 2003).
2.2.4 Les juges cantonaux ont déduit de ce qui précède que le législateur genevois avait voulu compléter les garanties procédurales conférées par la législation fédérale en matière d'assurances complémentaires à l'assurance sociale de sorte qu'une institution d'assurance, même dans le cadre d'un contentieux relevant de la LCA, n'avait pas droit à une indemnité de dépens devant le Tribunal cantonal des assurances sociales.
3. 3.1 La recourante fait grief aux juges cantonaux d'avoir violé leur obligation de motivation, telle que la jurisprudence la déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), en ne se prononçant pas sur les arguments de fond qu'elle leur avait présentés dans ses observations du 22 février 2008, « à savoir que l'art. 89H LPA est uniquement applicable en matière de contentieux d'ordre social, tandis que les art. 87 LPA et 85 LSA régissent les contentieux relatifs aux assurances complémentaires soumises à la LCA », et en ne procédant pas à une interprétation historique de cette disposition, comme elle l'avait suggéré dans ses observations.
3.2 Selon la jurisprudence, le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., implique notamment l'obligation pour le juge de motiver ses décisions, afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Le juge doit ainsi mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause, mais aussi à ce que l'autorité de recours puisse contrôler l'application du droit; il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, apparaissent pertinents (<ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2b et les arrêts cités).
3.3 En l'espèce, l'autorité précédente a débattu de la question litigieuse - à savoir si l'art. 89H LPA/GE relatif aux frais et indemnité de procédure s'appliquait à tous les litiges de sa compétence, y compris à ceux relevant des assurances privées - sur près de trois pages de son arrêt, procédant à une interprétation littérale, systématique et téléologique, respectivement historique, qui l'a conduite à répondre par l'affirmative à cette question (cf. consid. 2.2 supra). On ne voit ainsi pas en quoi l'autorité cantonale n'aurait pas satisfait à son devoir minimum d'examiner et de traiter les problèmes pertinents. Au demeurant, les griefs de fond soulevés par la recourante, qui seront examinés ci-après (cf. consid. 4.2 infra), attestent que celle-ci est parfaitement en mesure de critiquer en connaissance de cause la motivation de l'arrêt attaqué.
4. 4.1 S'agissant d'une disposition de droit cantonal, le Tribunal fédéral en examine l'interprétation et l'application sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 1.2.1). Selon la jurisprudence, il y a arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., lorsque la décision attaquée viole gravement une règle ou un principe juridique clair et indiscuté ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle est insoutenable ou en contradiction évidente avec la situation de fait, si elle a été adoptée sans motif objectif ou en violation d'un droit certain; en outre, il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle adoptée par l'autorité intimée serait concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 3.1 et les arrêts cités). Enfin, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables; encore faut-il que celle-ci soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1 et la jurisprudence citée), ce qu'il appartient au recourant de démontrer en vertu de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
4.2 En l'espèce, la recourante ne démontre pas que la décision de l'autorité précédente soit arbitraire dans sa motivation, ni dans son résultat, comme on le verra ci-après.
4.2.1 La recourante soutient d'abord que l'interprétation littérale permettrait de considérer que l'art. 89H al. 3 LPA/GE ne s'applique qu'en matière d'assurance sociale, puisqu'une indemnité ne peut être allouée qu'au « recourant » qui obtient gain de cause et que contrairement aux litiges en matière d'assurance sociale, les contestations relevant de la LCA sont portées devant le Tribunal cantonal des assurances sociales par voie d'action et non de recours. Selon la recourante, la jurisprudence citée par l'autorité précédente (cf. consid. 2.2.1 supra) ne serait pas pertinente, car elle ne ferait que confirmer qu'en matière d'assurances sociales, la notion de recourant s'oppose à celle d'assureur social.
Ce grief tombe à faux. En effet, la jurisprudence fédérale a admis que par l'emploi des termes de « recourant qui obtient gain de cause », le législateur fédéral a voulu signifier que l'assureur social qui obtient gain de cause en procédure cantonale n'a pas droit à des dépens, même lorsque l'assuré agit, en raison du domaine concerné, par voie d'action et non de recours contre une décision (<ref-ruling> consid. 4). Dans ces conditions, il n'apparaît pas arbitraire de considérer que l'utilisation des mêmes termes par le législateur genevois à l'art. 89H al. 3 LPA/GE a pour but d'exclure l'allocation de dépens à l'assureur pour la réserver à l'assuré, indépendamment du fait que celui-ci agisse en tant que recourant ou en tant que demandeur. Cela étant, savoir si l'art. 89H al. 3 LPA/GE s'applique exclusivement aux litiges en matière d'assurance sociale, comme l'affirme la recourante, ou à tous les litiges de la compétence du Tribunal cantonal des assurances sociales, comme l'a retenu celui-ci, est une autre question, qu'une interprétation limitée au seul texte de cette disposition ne permet pas de résoudre.
4.2.2 L'autorité précédente a dès lors procédé à une interprétation systématique et constaté que l'art. 89H LPA/GE figurait dans le titre IVA de la loi, intitulé « Procédure applicable devant le Tribunal cantonal des assurances sociales », ce qui révélait la volonté du législateur de soumettre aux mêmes règles de procédure, y compris en ce qui concerne les « Frais et indemnité de procédure » (titre marginal de l'art. 89H al. 3 LPA/GE), tous les litiges de la compétence du Tribunal cantonal des assurances sociales, et donc également ceux relevant de la LCA (cf. consid. 2.2.2 supra).
La recourante qualifie ce raisonnement d'arbitraire. Elle fait valoir que selon l'art. 89A LPA/GE, « [l]es dispositions de la présente loi demeurent applicables en tant qu'il n'y est pas dérogé par le présent titre »; or à lire le texte clair de l'art. 89H al. 3 LPA/GE, ce ne serait qu'en cas de litige relevant du droit des assurances sociales qu'une indemnité ne peut être allouée qu'au recourant, par opposition à l'assurance; dans les autres cas, soit notamment lorsque le litige relève de la LCA, il faudrait appliquer l'art. 87 al. 2 LPA/GE, qui prévoit que « [l]a juridiction administrative peut, sur requête, allouer à la partie ayant entièrement ou partiellement gain de cause, une indemnité pour les frais indispensables causés par le recours ».
Le grief de la recourante est infondé. Comme on l'a vu (cf. consid. 4.2.1 supra), le seul texte de l'art. 89H al. 3 LPA/GE ne permet nullement d'affirmer que cette disposition ne s'appliquerait qu'aux litiges en matière d'assurance sociale, à l'exclusion des contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance sociale, qui sont également de la compétence du Tribunal cantonal des assurances sociales. L'interprétation systématique par laquelle l'autorité précédente a considéré que l'art. 89H LPA/GE, se trouvant dans le titre consacré à la « Procédure applicable devant le Tribunal cantonal des assurances sociales », s'appliquait dans l'ensemble des litiges dévolus à cette juridiction, n'a rien d'arbitraire. Elle est par ailleurs confortée par la constatation, procédant d'une interprétation téléologique, que le législateur avait voulu améliorer la situation des assurés également en cas de litige avec un assureur privé portant sur des prestations complémentaires à l'assurance-maladie sociale ou à l'assurance-accident obligatoire (cf. consid. 2.2.3 supra). Une telle interprétation est également confortée par le choix du nouvel intitulé du titre IVA (« Procédure applicable devant le Tribunal cantonal des assurances sociales »), qui, avant cette modification législative, était « Procédure applicable aux contestations en matière d'assurances sociales, de prévoyance professionnelle et de protection civile ».
4.2.3 Procédant à un long exposé historique des voies de droit ouvertes en matière d'assurances complémentaires à l'assurance sociale jusqu'au 31 juillet 2003, puis depuis le 1er août 2003 (date de l'entrée en vigueur de la modification du titre IVA, regroupant les art. 89A à 89H LPA/GE), la recourante soutient que le législateur aurait délibérément restreint l'art. 89H LPA/GE aux recours en matière d'assurance sociale. Elle n'en apporte toutefois pas la démonstration. Elle ne démontre d'ailleurs pas qu'avant la modification entrée en vigueur le 1er août 2003, l'assureur privé obtenant gain de cause dans une contestation relative à une assurance complémentaire à l'assurance sociale pouvait prétendre à des dépens.
4.2.4 C'est en vain que la recourante soutient, en invoquant une interprétation téléologique, que l'art. 89H al. 3 LPA/GE serait une reprise de l'art. 61 let. g 1re phrase LPGA et ne concernerait dès lors que les litiges en matière d'assurance sociale. Comme on l'a vu, la formulation de l'art. 89H al. 3 LPA/GE, quand bien même elle s'inspire de l'art. 61 let. g 1re phrase LPGA, n'exclut nullement que cette disposition s'applique à l'ensemble des litiges de la compétence du Tribunal cantonal des assurances sociales et non seulement aux litiges en matière d'assurance sociale.
4.2.5 Enfin, la recourante ne démontre pas que la décision de l'autorité précédente soit arbitraire dans son résultat (cf. consid. 4.1 in fine supra). En effet, la disposition que, selon elle, les juges cantonaux auraient dû appliquer en lieu et place de l'art. 89H al. 3 LPA/GE, soit l'art. 87 al. 2 LPA/GE (cf. consid. 4.2.2 supra), est formulée sous une forme potestative. Or la recourante ne démontre pas en quoi le refus des premiers juges de lui allouer des dépens devrait être considéré comme insoutenable s'il devait être examiné au regard de cette disposition.
5. Il résulte de ce que précède que le recours en matière civile doit être déclaré irrecevable (cf. consid. 1.3 supra), tandis que le recours constitutionnel subsidiaire doit être rejeté (cf. consid. 4.2 supra). La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>) et versera à son adverse partie une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est irrecevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, Chambre 3.
Lausanne, le 12 novembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Abrecht