Sachverhalt:
A. X._ erstattete am 4. September 2007 Strafanzeige gegen Verantwortliche der Kantonspolizei Solothurn und weitere Personen hinsichtlich von Vorkommnissen während seiner beruflichen Tätigkeit bei der Kantonspolizei in den Jahren 1986-2007.
Im Laufe des langwierigen Verfahrens verlangte X._ den Ausstand von Staatsanwalt lic. iur. Christoph Fricker. Die Oberstaatsanwaltschaft wies das Ersuchen am 3. Juni 2009 ab. Am 17. August 2009 wies die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn die von X._ erhobene Beschwerde ab. Mit Urteil vom 11. Dezember 2009 hiess das Bundesgericht eine Beschwerde von X._ teilweise gut, hob das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 17. August 2009 in Bezug auf Staatsanwalt Fricker auf und hiess das Gesuch um Ausstand von Staatsanwalt Fricker gut (Verfahren 1B_ 263/2009).
Bereits vorgängig hatte Staatsanwalt Fricker das Verfahren gegen Y._ am 23. September 2009 eingestellt. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess die Beschwerdekammer des Obergerichts am 22. Februar 2010 gut, hob die zugrunde liegende Verfügung auf und ordnete an, dass über die Einstellung des Verfahren von einem nicht vorbefassten Staatsanwalt neu zu entscheiden sei.
B. Zwischenzeitlich wurde die Sache dem (neuen) Leitenden Staatsanwalt lic. iur. Pascal Flückiger übertragen. Im Verfahren vor der Beschwerdekammer, in dem die Einstellungsverfügung vom 23. September 2009 in Frage stand, hatte Staatsanwalt Flückiger am 13. Januar 2010 mit seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde beantragt. Am 6. April 2010 wandte er sich an X._ und teilte ihm mit, er sei mit der Strafsache betraut worden, wie den Medien habe entnommen werden können. Im Übrigen ersuchte er X._ im Hinblick auf das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege um gewisse Belege.
X._ stellte darauf am 10. April 2010 bei der Oberstaatsanwaltschaft ein Ablehnungsbegehren gegen Staatsanwalt Flückiger. Die Oberstaatsanwaltschaft wies dieses Ersuchen am 18. Mai 2010 ab. X._ gelangte erneut an das Obergericht. Die Beschwerdekammer wies dessen Beschwerde am 21. Juli 2010 ab. Es erwog, Staatsanwalt Flückiger habe weder durch seine Vernehmlassung zuhanden der Beschwerdekammer, noch durch die Art und Weise, wie er zu seiner Einschätzung gekommen war, noch durch seine Verfahrensführung den Anschein der Voreingenommenheit erweckt.
C. Gegen dieses Urteil der Beschwerdekammer des Obergerichts vom 21. Juli 2010 hat X._ beim Bundesgericht am 20. August 2010 Beschwerde in Strafsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung der Entscheide der Beschwerdekammer und der Oberstaatsanwaltschaft sowie die Gutheissung seines Ausstandsgesuches gegen Staatsanwalt Flückiger. Auf die Begründung im Einzelnen ist in den Erwägungen einzugehen. Im Übrigen ersucht der Beschwerdeführer darum, es sei ihm der Kostenvorschuss zu erlassen.
Der Beschwerdeführer ergänzte seine Beschwerde mit Nachträgen vom 5., 11. und 17. September 2010 sowie vom 1. und 4. Oktober 2010. Nach Urteilsfällung gingen weitere Ergänzungen vom 14., 16. und 31. Oktober 2010 ein.
Die Oberstaatsanwaltschaft beantragt unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdekammer des Obergerichts schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in Strafsachen gegen einen selbstständig eröffneten strafprozessualen Zwischenentscheid betreffend Ablehnung von Strafverfolgungsorganen ist zulässig (Art. 78 und 92 BGG). Der Beschwerdeführer ist dazu legitimiert (<ref-law>). Er verlangt in zulässiger Weise die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und den Ausstand der abgelehnten Justizperson. Insoweit kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form dazulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer mit den Erwägungen des vorinstanzlichen Entscheides auseinandersetzt. Eine qualifizierte Rügepflicht gilt nach <ref-law> hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur insoweit, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdeschrift insoweit nicht, als in genereller Weise auf Missstände in der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn hingewiesen und der angefochtene Entscheid in appellatorischer Weise kritisiert wird. Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Nicht einzutreten ist ferner auf die Nachträge zur Beschwerdeschrift, die nicht innert der Beschwerdefrist eingereicht worden sind.
1.2 Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bilden einzig das Urteil des Obergerichts vom 21. Juli 2010 und die darin behandelte Frage des Ausstandes von Staatsanwalt Flückiger. Der Beschwerdeführer selber hält auf Seite 27 seiner Beschwerdeschrift fest: "Eine rechtsstaatlich korrekt und gut funktionierende Staatsanwaltschaft braucht es heute mehr denn je. In diesem Verfahren geht es einzig und alleine um den von mir beantragten Ausstand des Leitenden Staatsanwaltes Herrn lic. iur. Flückiger und sonst um nichts." Es ist daher nicht zu prüfen, wie es sich mit der Unvoreingenommenheit der Solothurner Staatsanwaltschaft im Allgemeinen verhält (vgl. das den Beschwerdeführer betreffende Urteil 1C_263/2009 vom 11. Dezember 2009 E. 3.2).
2. Für den allgemeinen grundrechtlichen Anspruch auf Unabhängigkeit und Objektivität von Untersuchungs- und Anklagebehörden ist nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts <ref-law> massgeblich. Die angeschuldigte Person hat keinen Anspruch darauf, dass der Untersuchungsrichter mit qualifizierter richterlicher Unabhängigkeit im Sinne von <ref-law> ausgestattet würde (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 198; <ref-ruling> E. 3e S. 282; je mit Hinweisen). Im Anschluss an den Entscheid der Beschwerdekammer vom 14. April 2009 und im Hinblick auf die Fortsetzung der Untersuchung steht im vorliegenden Verfahren die Unvoreingenommenheit der Strafuntersuchungsorgane in Frage. Daher ist die vorliegende Beschwerde unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> und nicht nach <ref-law> zu beurteilen.
Der Unvoreingenommenheit des Untersuchungsrichters kann unter gewissen Gesichtspunkten eine ähnliche Bedeutung zukommen wie der richterlichen Unabhängigkeit und Unparteilichkeit. Die Grundsätze von <ref-law> dürfen jedoch nicht unbesehen auf nicht richterliche Behörden bzw. auf <ref-law> übertragen werden (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 124; <ref-ruling> E. 8 S. 217; Urteil 1B_56/2008 vom 24. Juni 2008 E. 4). Unter Berücksichtigung der verfahrensmässigen und gesetzlich vorgesehenen Konstellationen ist den unterschiedlichen Funktionen der Strafverfolgungsorgane Rechnung zu tragen. Von Untersuchungsrichtern sind Sachlichkeit, Unbefangenheit und Objektivität namentlich insofern zu erwarten, als sie sich vor Abschluss der Untersuchung grundsätzlich nicht darauf festlegen sollen, ob der angeschuldigten Person ein strafbares Verhalten zur Last zu legen oder ein strafbares Verhalten auszuschliessen sei. Auch haben sie den entlastenden Indizien und Beweismitteln ebenso Rechnung zu tragen wie den belastenden (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3e S. 282; Urteil 1B_56/2008 vom 24. Juni 2008 E. 4; HAUSER/SCHWERI/HARTMANN, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl., Basel 2005, § 26 Rz. 12). So können Staatsanwälte oder Untersuchungsrichter abgelehnt werden, wenn Umstände wie etwa strafprozessual unzulässige vorverurteilende Äusserungen vorliegen, welche nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 2d S. 148; Urteile 1P.709/2005, E. 3.2).
In der Regel vermögen allgemeine Verfahrensmassnahmen, seien sie nun richtig oder falsch, als solche keine Voreingenommenheit der verfügenden Justizperson zu begründen. Soweit konkrete Verfahrensfehler eines Untersuchungsrichters beanstandet werden, sind in erster Linie die entsprechenden Rechtsmittel zu ergreifen. Als Ablehnungsgrund fallen nur besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Versäumnisse und Mängel in Betracht (vgl. die Rechtsprechung zu <ref-law>: <ref-ruling> E. 3e S. 124; <ref-ruling> E. 3b S. 404; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158; Urteil 1B_60/2007 vom 21. September 2007 E. 3; Urteil 1P.548/ 2005 vom 22. November 2005 E. 2.2).
3. Nachfolgend ist der angefochtene Entscheid vor diesem Hintergrund zu prüfen.
3.1 Im angefochtenen Entscheid wird dargelegt (IV/1. S. 10), es liege keine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Umstand, dass der Beschwerdeführer vorerst die Stellungnahme des abgelehnten Staatsanwaltes zum Ausstandsgesuch nicht zur Vernehmlassung erhielt, dass er aber im Verfahren vor dem Obergericht davon Kenntnis und überdies Gelegenheit erhielt, sich dazu zu äussern. Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Beschwerde mit dieser Begründung nicht hinreichend auseinander (S. 20). In diesem Punkte ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.2 Staatsanwalt Fricker ist aufgrund des bundesgerichtlichen Urteils vom 11. Dezember 2009 in den Ausstand versetzt worden. Das Urteil wurde am 22. Dezember 2009 versandt. In der Folge wurde Staatsanwalt Flückiger mit dem den Beschwerdeführer betreffenden Dossier betraut. Staatsanwalt Flückiger nahm daher seine Arbeit erst im Januar 2010 auf. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Akten im Hinblick auf das Urteil vom 22. Februar 2010 vorerst noch bei der Beschwerdekammer des Obergerichts lagen. Unter diesen Umständen kann ihm nicht vorgeworfen werden, sich der Sache erst im April 2010 angenommen und im Hinblick auf das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege den Beschwerdeführer am 6. April 2010 um entsprechende Auskünfte gebeten zu haben. Es kommt darin keine Verschleppung des Verfahrens zum Ausdruck, welche den Anschein der Voreingenommenheit erwecken könnte.
Es kann Staatsanwalt Flückiger auch nicht vorgehalten werden, vorgängig einer weitern Instruktion das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zu prüfen und hierfür den Beschwerdeführer um gewisse Unterlagen anzugehen. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern Staatsanwalt Flückiger durch dieses Vorgehen hätte den Anschein von Voreingenommenheit erwecken können.
Das Obergericht hielt ferner fest, es erscheine als unglücklich, dass der Beschwerdeführer über die Medien erfuhr, dass Staatsanwalt Flückiger die Angelegenheit des Beschwerdeführers übernommen habe. Es ist einzuräumen, dass eine direkte Information durch Staatsanwalt Flückiger der Sache angemessen gewesen wäre. Das ändert allerdings nichts am Umstand, dass Staatsanwalt Flückiger nicht gehalten war, vorgängig seines Tätigwerdens im April 2010 mit dem Beschwerdeführer ein persönliches Gespräch zu führen. Auch darin kann kein Anzeichen für Voreingenommenheit erblickt werden.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann nicht gesagt werden, dass sich die vorliegende Ausstandsfrage weitestgehend mit derjenigen von Staatsanwalt Fricker decke. Das zeigt sich schon allein im Umstand, dass Staatsanwalt Fricker die Strafsache über eine längere Zeitspanne behandelte, während Staatsanwalt Flückiger mit dem Dossier erst kurze Zeit befasst war.
3.3 Der Beschwerdeführer erblickt schliesslich in der Vernehmlassung von Staatsanwalt Flückiger vom 13. Januar 2010 einen Umstand, der diesen im Hinblick auf den zutreffenden Entscheid über den Fortgang des Verfahrens als voreingenommen erscheinen lasse. Das Obergericht führte dazu im angefochtenen Entscheid aus, dass die Bedenken des Beschwerdeführers subjektiv nachvollziehbar sein mögen. Es sei wohl psychologisch nicht geschickt gewesen, dass dieser als erstes mit der genannten Vernehmlassung von Staatsanwalt Flückiger konfrontiert worden sei. Darin könne indes für sich genommen keine Verfassungsverletzung erblickt werden.
Für die Frage, ob Staatsanwalt Flückiger im Hinblick auf den zu treffenden Entscheid durch seine Vernehmlassung den Anschein der Voreingenommenheit erweckt, ist von den unterschiedlichen Konstellationen von Vorbefassung auszugehen. Bei der Vorbefassung geht es im Wesentlichen um Tätigkeiten und Entscheidungen eines Richters in unterschiedlichen, verfahrensmässig und verfahrensorganisatorisch getrennten Verfahrensabschnitten (vgl. allgemein <ref-ruling> E. 3d S. 57 und etwa die Beispiele <ref-ruling>; <ref-ruling> ). Im vorliegenden Fall liegen keine unterschiedlichen Verfahrensabschnitte vor. Vielmehr ist die Beschwerdesache des Beschwerdeführers seit der Übernahme des Dossiers anfangs 2010 in ein und demselben Verfahren bei Staatsanwalt Flückiger hängig. Die Schritte der Meinungsbildung im Laufe eines hängigen Verfahrensstadiums stellen Etappen im Erkenntnisprozess dar. Sie vermögen für sich die richterliche Unvoreingenommenheit nicht in Frage zu stellen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 241; vgl. Regina Kiener, Richterliche Unabhängigkeit, 2001, S. 142 f., mit weitern Hinweisen). Es kommt daher auf die Umstände an, wie eine vorläufige Einschätzung zum Ausdruck kommt. Hierfür ist im vorliegenden Fall zu berücksichtigen, dass Staatsanwalt Flückiger keinen eigentlichen Entscheid getroffen, sondern lediglich einen Antrag gestellt hat. Er tat dies ohne vollständige Akten aufgrund einer summarischen Prüfung (vgl. BGE <ref-ruling>, 116 Ia 28). Er hat sich in keiner Weise in Wertungsfragen festgelegt und sich weder zur Beweiswürdigung noch zu Schuld- oder Tatbestandselementen geäussert.
In Anbetracht dieser Umstände kann bei objektiver Betrachtung gesamthaft nicht davon gesprochen werden, Staatsanwalt Flückiger habe sich durch seine Vernehmlassung zuhanden des Obergerichts in einer Art festgelegt, die den Anschein der Voreingenommenheit erwecken würde. Die Beschwerdekammer des Obergerichts durfte demnach ohne Verletzung von <ref-law> auch in diesem Punkte eine Voreingenommenheit von Staatsanwalt Flückiger verneinen.
4. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer stellte das Gesuch, es sei ihm infolge seiner finanziellen Verhältnisse der Kostenvorschuss zu erlassen. Der Sache nach ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne von <ref-law>. Diesem Ersuchen kann in dem Sinne stattgegeben werden, als auf Gerichtskosten verzichtet wird. Eine Parteientschädigung an den nicht vertretenen Beschwerdeführer fällt ausser Betracht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Féraud
Der Gerichtsschreiber: Steinmann