Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer erhob gegen das Initiativkomitee der Volksinitiative "Gegen den Bau von Minaretten" sowie gegen den Initianten des Plakates dieser Volksinitiative Strafanzeige wegen Rassendiskriminierung. Die Beschwerde richtet sich dagegen, dass auf die Anzeige nicht eingetreten und im angefochtenen Entscheid ein dagegen gerichteter Rekurs abgewiesen wurden. Der Beschwerdeführer ist indessen als Anzeigeerstatter, der nicht Opfer im Sinne des OHG ist, zur vorliegenden Beschwerde grundsätzlich nicht legitimiert (<ref-law>).
Die Vorinstanz stellte in Bezug auf das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung fest, die zürcherische Strafprozessordnung kenne dieses Institut nicht. Indessen sei bei der Bemessung der Gerichtsgebühr den Verhältnissen des Beschwerdeführers Rechnung zu tragen. Die Gerichtsgebühr wurde deshalb auf nur Fr. 200.-- festgesetzt (angefochtener Entscheid S. 6/7). Dass und inwieweit diese Erwägungen gegen das schweizerische Recht im Sinne von <ref-law> verstossen könnten, ergibt sich aus der Beschwerde nicht. Darin wird nur auf die misslichen Verhältnisse des Beschwerdeführers hingewiesen, denen die Vorinstanz indessen ausdrücklich Rechnung getragen hat.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das sinngemäss gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn