Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 18. Juni 2002 sprach die IV-Stelle des Kantons St. Gallen der 1948 geborenen S._ ab 1. Januar 2002 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu. Im März 2005 leitete die Verwaltung von Amtes wegen ein Revisionsverfahren ein und traf entsprechende Abklärungen. Mit Verfügung vom 4. Mai 2006 hob sie die Rente auf mit der Begründung, der Gesundheitszustand der Versicherten habe sich verbessert und die Erzielung eines rentenausschliessenden Einkommens sei möglich. Mit Einspracheentscheid vom 14. August 2006 bestätigte die IV-Stelle die Rentenaufhebung mit der substituierten Begründung, die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung der Verfügung vom 18. Juni 2002 seien erfüllt.
B. B.a In teilweiser Gutheissung der Beschwerde der S._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 3. Dezember 2007 den Einspracheentscheid vom 14. August 2006 auf und wies die Sache zur Behandlung der Einsprache im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück.
Die Beschwerde der IV-Stelle des Kantons St. Gallen hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 29. April 2008 in dem Sinne gut, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 3. Dezember 2007 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wurde, damit sie über die wiedererwägungsweise Aufhebung der Rente durch die IV-Stelle entscheide (Dispositiv-Ziffer 1).
B.b Mit Entscheid vom 21. November 2008 hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen den Einspracheentscheid vom 14. August 2006 erneut auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung und neuen Verfügung im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück.
C. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, den Entscheid vom 21. November 2008 aufzuheben und das kantonale Gericht anzuweisen, über die wiedererwägungsweise Aufhebung der Invalidenrente materiell zu entscheiden.
Das kantonale Gericht und S._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Versicherte lässt ferner um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Der als Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne des BGG zu qualifizierende (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.) kantonale Rückweisungsentscheid vom 21. November 2008 kann unter den Voraussetzungen des <ref-law> angefochten werden. Danach ist die Beschwerde gegen andere (d.h. nicht die Zuständigkeit oder Ausstandsbegehren betreffende [vgl. <ref-law>]) selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können, oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
Ein im Sinne von <ref-law> nicht wieder gutzumachender Nachteil ist rechtlicher Natur und auch mit einem für die Beschwerde führende Partei günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar (<ref-ruling> E. 2.1 S. 647 mit Hinweisen). Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu ergänzender oder weiterer Abklärung und neuer Entscheidung bewirkt in der Regel keinen im Sinne von <ref-law> nicht wieder gutzumachenden Nachteil (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 483 f). Anders verhält es sich hingegen, wenn in der Rückweisung an sich bereits eine bundesrechtswidrige Rechtsverweigerung liegt.
1.2 Der angefochtene Entscheid betrifft weder die vorinstanzliche Zuständigkeit noch ein Ausstandsbegehren. Die IV-Stelle beantragt selber die Rückweisung der Sache an das kantonale Gericht; eine Gutheissung der Beschwerde kann daher nicht zu einem Endentscheid führen. Sie macht jedoch geltend, die angeordnete Rückweisung verletze Bundesrecht, weil sich die Vorinstanz damit über Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils vom 29. April 2008 hinwegsetze. Im Zusammenhang mit der Wiedererwägung erübrigten sich die verlangten Abklärungen und einer "materiellen" Prüfung - im Sinne einer Bejahung oder Verneinung der Rentenaufhebung - stünde nichts entgegen. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
1.3 Streitig und zu prüfen ist, ob die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zur weiteren Abklärung und neuen Verfügung zu Recht erfolgt ist.
2. Die Vorinstanz wurde vom Bundesgericht mit Urteil vom 29. April 2008 verhalten, die wiedererwägungsweise Aufhebung der ganzen Invalidenrente materiell zu prüfen. Daran und an die entsprechenden rechtlichen Erwägungen ist sie gebunden, ansonsten eine Rechtsverweigerung vorliegt, welche ohne Weiteres zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides führt (<ref-ruling> E. 2 S. 241 f.; RKUV 1999 Nr. U 331 126, U 305/97 E. 2; ULRICH MEYER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 18 zu <ref-law>). Die sich dabei stellenden Fragen hat das kantonale Gericht in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht zu beurteilen (vgl. Art. 56 Abs. 1 und <ref-law>; <ref-law>).
3. Die Vorinstanz hat die Sache an die Verwaltung zurückgewiesen mit der Begründung, bezüglich der Zulässigkeit der revisionsweisen Rentenaufhebung und der zweifellosen Unrichtigkeit der formell rechtskräftigen Verfügung vom 18. Juni 2002 sei der jeweils massgebende Sachverhalt unzureichend abgeklärt worden.
3. Die Vorinstanz hat die Sache an die Verwaltung zurückgewiesen mit der Begründung, bezüglich der Zulässigkeit der revisionsweisen Rentenaufhebung und der zweifellosen Unrichtigkeit der formell rechtskräftigen Verfügung vom 18. Juni 2002 sei der jeweils massgebende Sachverhalt unzureichend abgeklärt worden.
3.1 3.1.1 Nach Auffassung des kantonalen Gerichts ist die Bestätigung der revisionsweisen Rentenaufhebung mit der substituierten Begründung, die ursprüngliche Rentenzusprache sei zweifellos unrichtig und die Berichtigung von erheblicher Bedeutung, nur zulässig, wenn die Revisionsvoraussetzungen gemäss <ref-law> nicht erfüllt sind. Die Verwaltung habe aber weder den Sachverhalt bei Zusprache der Rente am 18. Juni 2002 noch eine allfällige nachträgliche Tatsachenänderung genügend abgeklärt.
3.1.2 Die Wiedererwägung ist jederzeit möglich (vgl. <ref-law>; Urteile 9C_342/2008 vom 20. November 2008 E. 5.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 9C_11/2008 vom 29. April 2008 E. 2; ZAK 1989 S. 219, U 21/88 E. 5a), nicht nur wenn die Voraussetzungen der Revision nicht erfüllt sind. Stehen bei einer Wiedererwägung spezifisch IV-rechtliche Aspekte zur Diskussion, gilt es - wie bei einer Rentenrevision (vgl. <ref-law>) - mit Wirkung ex nunc et pro futuro einen rechtskonformen Zustand herzustellen (Urteile 9C_960/2008 vom 6. März 2009 E. 1.2; 9C_11/2008 vom 29. April 2008 E. 4.2.1, je mit Hinweisen). Dass dieses eine Ziel über verschiedene Wege erreicht werden kann, bedeutet nicht, dass dadurch ein "Einheitsinstrument sui generis" entstünde, zumal Revision und Wiedererwägung einen unterschiedlichen Sachverhalt voraussetzen. In Bezug auf die Frage der Zulässigkeit einer revisionsweisen Rentenaufhebung sind daher keine weiteren Abklärungen angezeigt.
3.1.2 Die Wiedererwägung ist jederzeit möglich (vgl. <ref-law>; Urteile 9C_342/2008 vom 20. November 2008 E. 5.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 9C_11/2008 vom 29. April 2008 E. 2; ZAK 1989 S. 219, U 21/88 E. 5a), nicht nur wenn die Voraussetzungen der Revision nicht erfüllt sind. Stehen bei einer Wiedererwägung spezifisch IV-rechtliche Aspekte zur Diskussion, gilt es - wie bei einer Rentenrevision (vgl. <ref-law>) - mit Wirkung ex nunc et pro futuro einen rechtskonformen Zustand herzustellen (Urteile 9C_960/2008 vom 6. März 2009 E. 1.2; 9C_11/2008 vom 29. April 2008 E. 4.2.1, je mit Hinweisen). Dass dieses eine Ziel über verschiedene Wege erreicht werden kann, bedeutet nicht, dass dadurch ein "Einheitsinstrument sui generis" entstünde, zumal Revision und Wiedererwägung einen unterschiedlichen Sachverhalt voraussetzen. In Bezug auf die Frage der Zulässigkeit einer revisionsweisen Rentenaufhebung sind daher keine weiteren Abklärungen angezeigt.
3.2 3.2.1 Im Sinne einer Eventualbegründung ist die Vorinstanz der Auffassung, für die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit der Verfügung vom 18. Juni 2002 sei der strikte Nachweis, dass sich der Sachverhalt damals anders dargestellt habe und die Verfügung deshalb ein anderes Dispositiv hätte aufweisen müssen, erforderlich. Es bedeute nicht notwendigerweise eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes, dass die Verwaltung für die Rentenzusprache auf die Arbeitsfähigkeitsschätzung des Dr. med. M._ abgestellt und weitere medizinische Abklärungen unterlassen habe. Die Einschätzung eines behandelnden Arztes sei nicht immer und ausnahmslos eine ungenügende Grundlage für die Invaliditätsbemessung. Es sei nicht belegt, dass die IV-Stelle das ihr zukommende grosse Ermessen bei der Sachverhaltswürdigung rechtswidrig ausgeübt habe. Vor dem Hintergrund der jederzeitigen Revisionsmöglichkeit könne die Zusprache einer ganzen Rente durchaus Sinn gemacht haben. Damit hat die Vorinstanz im Ergebnis bei der gegebenen Aktenlage eine zweifellose Unrichtigkeit der Rentenzusprache verneint.
3.2.2 Zweifellose Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung kann auch bei unrichtiger Feststellung im Sinne der Würdigung des Sachverhalts gegeben sein (<ref-ruling> E. 2c S. 17 mit Hinweis; Urteil 9C_215/2007 vom 2. Juli 2007 E. 3.1). Darunter fällt insbesondere eine unvollständige Sachverhaltsabklärung aufgrund einer klaren Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (vgl. <ref-law> und <ref-law>). Trifft dies zu, erübrigt es sich, den damals rechtserheblichen Sachverhalt weiter abzuklären und auf dieser nunmehr hinreichenden tatsächlichen Grundlage den (ursprünglichen) Invaliditätsgrad zu ermitteln (Urteile 8C_339/2008 vom 11. November 2008 E. 2.2; 9C_19/2008 vom 29. April 2008 E. 2.1). Eine auf keiner nachvollziehbaren ärztlichen Einschätzung der massgeblichen Arbeitsfähigkeit beruhende Invaliditätsbemessung ist nicht rechtskonform und die entsprechende Verfügung zweifellos unrichtig im wiedererwägungsrechtlichen Sinne (Urteil 9C_562/2008 vom 3. November 2008 E. 6.2.1 mit Hinweis).
3.2.3 Ob die Verwaltung bei der Rentenzusprache den Untersuchungsgrundsatz (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 99 f.) und die Beweiswürdigungsregeln (<ref-ruling> E. 3 S. 352 ff.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232) beachtet hat, sind Rechtsfragen (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteile 9C_941/2008 vom 18. Februar 2009 E. 3.2; 9C_270/2008 vom 12. August 2008 E. 2.2). Diesbezüglich sind - mangels Hinweisen, dass sich nicht alle für die Zusprache relevanten Unterlagen bei den Akten befänden - keine weiteren Sachverhaltsabklärungen vorzunehmen.
3.2.4 Im angefochtenen Urteil vertritt die Vorinstanz die Auffassung, für die ursprüngliche Rentenzusprache respektive die zweifellose Unrichtigkeit der entsprechenden Verfügung vom 18. Juni 2002 sei der massgebliche Sachverhalt unzureichend abgeklärt worden. Dazu im Widerspruch stehen ihre Ausführungen in der Stellungnahme vom 20. Januar 2009: Die IV-Stelle habe nicht zu belegen vermocht, dass die damalige Sachverhaltsabklärung unzureichend und die vollständige Arbeitsunfähigkeit nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt gewesen sei. Es gebe keine Beweisregel, wonach eine Rentenzusprache immer eine Begutachtung durch einen unabhängigen Sachverständigen voraussetze und die zuständige Ärztin des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) habe die Arbeitsfähigkeitsschätzung des Hausarztes ausdrücklich als überzeugend qualifiziert.
3.2.5 Die Rentenzusprache beruhte in medizinischer Hinsicht einzig auf den Einschätzungen des Dr. med. M._ (Bericht vom 25. Januar 2002, Ergänzung vom 17. Februar 2002). Dieser diagnostizierte bei der als Hilfsschreinerin in einer Türfabrik arbeitenden Versicherten mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit Asthma bronchiale, chronische Lumboischialgie bei Diskushernie L5/S1, Hypertonie und Osteoporose. Einer festgestellten Depression mass er keine Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit bei. Seine Annahme einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit begründete er nachvollziehbar und überzeugend mit Staubbelastungen am Arbeitsplatz und Rückenschmerzen aufgrund der Diskushernie. Hingegen ist nicht ersichtlich, inwiefern die medikamentös behandelte Hypertonie und die nicht näher umschriebene Osteoporose die Arbeitsfähigkeit einschränken sollten. Weiter vertrat Dr. med. M._ die Auffassung, dass der Versicherten auch eine leidensangepasste leichte Tätigkeit nicht mehr zumutbar sei. Eine Begründung dafür hat er nicht angeführt, und aus den gestellten Diagnosen und den angegebenen erhobenen Befunden ("BD 150/80 [unter Medikamenten]; Lungen bds. sauber, kein Giemen") allein lässt sich jedenfalls keine vollständige Erwerbsunfähigkeit folgern. Auch wenn der Bericht des Dr. med. M._ vom 25. Januar 2002 nicht nur auf subjektiven Angaben der Versicherten beruht, genügt er - wie auch dessen Ergänzung vom 17. Februar 2002 - den Anforderungen an den Beweiswert medizinischer Unterlagen (<ref-ruling> E. 3a S. 352) nicht. Daran ändert auch nichts, dass die Ärztin des RAD mit der Bemerkung "100 % IV i.O.", jedoch ebenfalls ohne Begründung, die Einschätzung des Dr. med. M._ bestätigte.
Mit dem Erlass der auf ungenügenden Grundlagen beruhenden Rentenverfügung vom 18. Juni 2002 hat die Verwaltung nebst dem Untersuchungsgrundsatz auch den Grundsatz "Eingliederung vor Rente" (vgl. Art. 28 Abs. 2 in der bis 31. Dezember 2002 geltenden Fassung; heute <ref-law>; Urteil I 401/98 vom 06. September 1999 E. 5b, nicht publ. in: <ref-ruling>) klar verletzt (Urteile 9C_960/2008 vom 6. März 2009 E. 4.2; 8C_339/2008 vom 11. November 2008 E. 3.3). Die Verfügung ist daher zweifellos unrichtig.
3.3 Steht die zweifellose Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung fest und ist die Berichtigung von erheblicher Bedeutung, was auf periodische Dauerleistungen regelmässig zutrifft (vgl. <ref-ruling> E. 1c S. 480 mit Hinweisen; Urteil 9C_655/2007 vom 4. Januar 2008 E. 2), sind die Anspruchsberechtigung und allenfalls der Umfang des Anspruchs pro futuro zu prüfen (Urteil 9C_215/2007 vom 2. Juli 2007 E. 6.1). Es ist wie bei einer materiellen Revision nach <ref-law> auf der Grundlage eines richtig und vollständig festgestellten Sachverhalts der Invaliditätsgrad bei Erlass des streitigen Einspracheentscheides zu ermitteln, woraus sich die Anspruchsberechtigung und allenfalls der Umfang des Anspruchs ergeben (Urteile 9C_960/2008 vom 6. März 2009 E. 1.2; 8C_339/2008 vom 11. November 2008 E. 3.3 und 9C_11/2008 vom 29. April 2008 E. 4.2.1). Dazu und zu den diesbezüglichen, mit Beschwerde vom 14. September 2006 vorgebrachten Einwänden der Versicherten hat sich die Vorinstanz bisher noch nicht geäussert. Dies wird sie nachzuholen haben.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 21. November 2008 wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie über die wiedererwägungsweise Aufhebung der Rente durch die IV-Stelle entscheide.
2. Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Arthur Andermatt wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdegegnerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'000.- ausgerichtet.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. April 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Dormann