Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1962) stammt ursprünglich aus dem Kosovo. Nach mehrjährigen Aufenthalten als Saisonnier in der Schweiz wurde ihm am 27. August 1997 als Vater eines Schweizer Kindes eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Am 9. Februar 2009 erhielt er die Niederlassungsbewilligung; seit dem 16. September 2010 ist er Schweizer Bürger.
1.2 Am 23. Februar 2011 ersuchte X._ das Amt für Migration des Kantons Luzern erfolglos darum, seinen Sohn aus erster Ehe (geb. 1996), dessen Sorgerecht ihm im Scheidungsurteil vom 11. September 1996 übertragen worden war, in die Schweiz nachziehen zu können. Die Justiz- und Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern bestätigten die entsprechende Verfügung mit Entscheiden vom 2. November 2011 bzw. 1. Mai 2012.
1.3 X._ beantragt vor Bundesgericht, das verwaltungsgerichtliche Urteil aufzuheben und dem Gesuch um Familiennachzug vom 23. Februar 2011 zu entsprechen.
2. 2.1 Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit der Beschwerdeführer sich darin überhaupt sachbezogen mit den entscheidrelevanten Ausführungen der Vorinstanz im Einzelnen auseinandersetzt und den gesetzlichen Anforderungen genügend darlegt, dass und inwiefern deren Erwägungen Recht verletzen sollen (vgl. Art. 42 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 - 2.3; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310 mit Hinweisen). Die Beschwerde kann aufgrund der zutreffenden Ausführungen des Verwaltungsgerichts, auf die ergänzend verwiesen wird (vgl. <ref-law>), ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden.
2. 2.1 Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit der Beschwerdeführer sich darin überhaupt sachbezogen mit den entscheidrelevanten Ausführungen der Vorinstanz im Einzelnen auseinandersetzt und den gesetzlichen Anforderungen genügend darlegt, dass und inwiefern deren Erwägungen Recht verletzen sollen (vgl. Art. 42 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 - 2.3; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310 mit Hinweisen). Die Beschwerde kann aufgrund der zutreffenden Ausführungen des Verwaltungsgerichts, auf die ergänzend verwiesen wird (vgl. <ref-law>), ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden.
2.2 2.2.1 Ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Schweizer Bürgern haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 42 Abs. 1 des Ausländergesetzes [AuG; SR 142.20]). Der Anspruch ist bei Kindern über 12 Jahren innerhalb von zwölf Monaten nach deren Einreise oder der Entstehung des Familienverhältnisses geltend zu machen (Art. 47 Abs. 1 AuG). Bestand das Familienverhältnis - wie hier - bereits vor dem Inkrafttreten des Gesetzes, hat die entsprechende Frist ab dem 1. Januar 2008 zu laufen begonnen (vgl. Art. 126 Abs. 3 AuG). Nur ausländische (oder allenfalls nachträglich eingebürgerte) Personen, die ohne Anspruch fristgerecht, aber erfolglos ein erstes Nachzugsgesuch gestellt haben, können in einer späteren Anspruchssituation - erneut fristgerecht - um einen Nachzug ersuchen (vgl. <ref-ruling> ff.).
2.2.2 Wurde das Gesuch nicht fristgerecht eingereicht, wird ein in diesem Sinn "nachträglicher" Familiennachzug bewilligt, wenn "wichtige familiäre Gründe" vorliegen, wobei Kinder über 14 Jahre anzuhören sind, "sofern dies erforderlich" erscheint (Art. 47 Abs. 4 AuG). Entsprechende Gründe liegen unter anderem dann vor, wenn das Kindeswohl schwergewichtig nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (vgl. <ref-law> [SR 142.201]). Entgegen dem Wortlaut dieser Verordnungsbestimmung ist dabei nach der Rechtsprechung jedoch nicht ausschliesslich auf das Kindeswohl abzustellen; es bedarf vielmehr einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall. Dabei ist dem Sinn und Zweck der Fristenregelung Rechnung zu tragen, welche die Integration der Kinder erleichtern will, indem diese durch einen frühzeitigen Nachzug unter anderem auch eine möglichst umfassende Schulbildung in der Schweiz geniessen sollen. Zudem geht es darum, Nachzugsgesuchen entgegenzuwirken, die rechtsmissbräuchlich erst kurz vor Erreichen des erwerbstätigen Alters gestellt werden, wobei die erleichterte Zulassung zur Erwerbstätigkeit und nicht (mehr) die Bildung einer echten Familiengemeinschaft im Vordergrund steht (BBl 2002 3754 f. Ziff. 1.3.7.7). Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen hat nach dem Willen des Gesetzgebers die Ausnahme zu bleiben und darf nicht die Regel bilden; dabei ist Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AuG jeweils aber dennoch so zu handhaben, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> nicht verletzt wird (Urteile 2C_765/2011 vom 28. November 2011 E. 2.1; 2C_205/2011 vom 10. Oktober 2011 E. 4.2; 2C_709/2010 vom 25. Februar 2011 E. 5.1.1).
2.2.2 Wurde das Gesuch nicht fristgerecht eingereicht, wird ein in diesem Sinn "nachträglicher" Familiennachzug bewilligt, wenn "wichtige familiäre Gründe" vorliegen, wobei Kinder über 14 Jahre anzuhören sind, "sofern dies erforderlich" erscheint (Art. 47 Abs. 4 AuG). Entsprechende Gründe liegen unter anderem dann vor, wenn das Kindeswohl schwergewichtig nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (vgl. <ref-law> [SR 142.201]). Entgegen dem Wortlaut dieser Verordnungsbestimmung ist dabei nach der Rechtsprechung jedoch nicht ausschliesslich auf das Kindeswohl abzustellen; es bedarf vielmehr einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall. Dabei ist dem Sinn und Zweck der Fristenregelung Rechnung zu tragen, welche die Integration der Kinder erleichtern will, indem diese durch einen frühzeitigen Nachzug unter anderem auch eine möglichst umfassende Schulbildung in der Schweiz geniessen sollen. Zudem geht es darum, Nachzugsgesuchen entgegenzuwirken, die rechtsmissbräuchlich erst kurz vor Erreichen des erwerbstätigen Alters gestellt werden, wobei die erleichterte Zulassung zur Erwerbstätigkeit und nicht (mehr) die Bildung einer echten Familiengemeinschaft im Vordergrund steht (BBl 2002 3754 f. Ziff. 1.3.7.7). Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen hat nach dem Willen des Gesetzgebers die Ausnahme zu bleiben und darf nicht die Regel bilden; dabei ist Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AuG jeweils aber dennoch so zu handhaben, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> nicht verletzt wird (Urteile 2C_765/2011 vom 28. November 2011 E. 2.1; 2C_205/2011 vom 10. Oktober 2011 E. 4.2; 2C_709/2010 vom 25. Februar 2011 E. 5.1.1).
2.3 2.3.1 Dem Beschwerdeführer ist am 9. Februar 2009 die Niederlassungsbewilligung erteilt worden. Ab diesem Zeitpunkt verfügte er über einen Rechtsanspruch, um seinen Sohn aus erster Ehe nachziehen zu können; dieser war damals bereits über 12 Jahre alt war (vgl. die zu Art. 42 i.V.m. Art. 47 Abs. 1 AuG analoge Regelung von Art. 43 Abs. 1 i.V.m. Art. 47 Abs. 1 AuG). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, sich bereits früher gestützt auf Art. 44 AuG (Ehegatten und Kinder von Personen mit Aufenthaltsbewilligung) ohne Bewilligungsanspruch fristgerecht um den Nachzug seines Sohnes bemüht zu haben. Sein Gesuch vom 23. Februar 2011 war somit verspätet; die Frist, um den Sohn nachziehen zu können, ist spätestens am 9. Februar 2010 abgelaufen. Mit der Einbürgerung hat sich dem Beschwerdeführer keine neue Nachzugsmöglichkeit innert Frist eröffnet; es änderte sich dadurch nur die gesetzliche Anspruchsgrundlage (Art. 42 statt 43 AuG), nicht die Nachzugsfrist gemäss Art. 47 Abs. 1 AuG (in Verbindung mit Art. 126 Abs. 3 AuG). Unter diesen Umständen hat die Vorinstanz das Gesuch des Beschwerdeführers zu Recht als nicht fristgerechten, nachträglichen Familiennachzug behandelt.
2.3.2 Sie durfte ohne Verletzung von Bundesrecht auch das Vorliegen der entsprechenden Voraussetzungen verneinen: Der Sohn des Beschwerdeführers war bei Einreichen des Gesuchs bereits 15 Jahre alt. Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer nicht belegt habe, dass er mit seinem Sohn trotz der Trennung einen regelmässigen Kontakt bzw. eine vorrangige Beziehung unterhalten hätte. Auch sei mit Blick auf das Alter des Jugendlichen weder dargetan noch ersichtlich, warum die Grossmutter trotz ihren 74 Jahren und den damit verbundenen altersbedingten Gebrechen nicht mehr in der Lage sein sollte, wie bisher für diesen zu sorgen. Soweit der Beschwerdeführer unter Einreichung eines ärztlichen Zeugnisses erstmals geltend macht, seine Mutter habe einen Schlaganfall erlitten, und er im vorliegenden Verfahren mit neuen Unterlagen zu belegen versucht, dass er regelmässig in den Kosovo zurückgekehrt sei, handelt es sich um unzulässige echte Noven, die vom Bundesgericht nicht berücksichtigt werden können (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.1). Es wäre an ihm gewesen, seinen Mitwirkungspflichten (vgl. <ref-ruling> E. 2b) in den kantonalen Verfahren nachzukommen und die entsprechenden Unterlagen dort einzureichen. Hierzu bestand umso mehr Anlass, als bereits das Justiz- und Sicherheitsdepartement darauf hingewiesen hatte, dass der Beschwerdeführer bezüglich der veränderten Familienverhältnisse seine Behauptungen nicht rechtsgenügend belege. Im Übrigen erschöpfen sich seine Ausführungen vor Bundesgericht in appellatorischer Kritik an der Sachverhaltsfeststellung bzw. an der Beweiswürdigung. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass und inwiefern diese offensichtlich unhaltbar und damit willkürlich wären (vgl. Art. 105 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 104 f.).
2.3.3 Der Beschwerdeführer hat sich während Jahren nicht um den Nachzug seines Sohnes bemüht. Dieser unterhält keine Beziehungen zur Schweiz. Er ist in seiner Heimat eingeschult worden; neben seiner Grossmutter und Mutter leben auch noch Schwestern des Beschwerdeführers dort, womit nicht dargetan bzw. ersichtlich erscheint, inwiefern wichtige familiäre Gründe für den beantragten nachträglichen Familiennachzug sprechen würden. Sollte die Grossmutter gesundheitlich angeschlagen sein (das ärztliche Zeugnis bestätigt nur, dass sie eine Physiotherapie benötige), ist nicht einzusehen, weshalb die Mutter oder die Tanten, auch wenn sie inzwischen verheiratet sein sollten, nicht helfend einspringen könnten. Der Beschwerdeführer hat die Trennung von seinem Sohn mit der Einreise in die Schweiz ursprünglich selbst freiwillig herbeigeführt; es steht ihm frei, die Beziehung zu diesem wie bisher besuchsweise und per Telefon zu pflegen (vgl. <ref-ruling> E. 3a). Dass der Sohn die Einreise in die Schweiz wünscht, hat der Beschwerdeführer wiederholt dargelegt; dessen persönliche Anhörung war deshalb - entgegen seinen Vorbringen - nicht erforderlich (vgl. Art. 47 Abs. 4 AuG).
3. 3.1 Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. <ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juni 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar