Sachverhalt:
A. Der 1941 geborene österreichische Staatsangehörige B._ war im Zeitraum 1961 bis 1965 in der Schweiz erwerbstätig. Er bezieht mit Wirkung ab Oktober 1993 eine halbe und ab Oktober 1997 eine ganze Rente der Eidgenössischen Invalidenversicherung (vgl. Urteil des damaligen Eidgenössischen Versicherungsgerichts I 410/05 vom 31. Oktober 2005). Mit Vollendung des 65. Altersjahres wurde die Invalidenrente durch eine ordentliche Altersrente in Höhe von Fr. 141.- (nebst Zusatzrente für die Ehegattin und Kinderrente) abgelöst (durch Einspracheentscheid vom 1. September 2006 bestätigte Verfügung der Schweizerischen Ausgleichskasse vom 17. Februar 2006).
B. Das Bundesverwaltungsgericht wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 9. Juni 2008).
C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es seien der angefochtene Entscheid und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Ausgleichskasse aufzuheben und es sei ihm eine höhere Altersrente zuzusprechen. Zur Bezahlung eines Kostenvorschusses aufgefordert, ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1. In formeller Hinsicht hat das Bundesverwaltungsgericht festgestellt, dass die Einspracheerhebung im Verwaltungsverfahren ausschliesslich per Telefax und E-mail erfolgte. Es liess indes offen, ob unter diesen Umständen eine formgültige Einsprache vorliege und die Ausgleichskasse zu Recht darauf eingetreten sei; die Beschwerde sei ohnehin unbegründet. Diese Frage kann auch vor Bundesgericht offen bleiben, da die Beschwerde materiell unbegründet ist (E. 2).
2. 2.1 Das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht hat hinsichtlich der Berechnung der mit Wirkung ab Oktober 1993 auszurichtenden Invalidenrente in übergangsrechtlicher Hinsicht festgehalten, das mit der 10. AHVG-Revision (Inkrafttreten: 1. Januar 1997) eingeführte Splitting-Verfahren (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-law>) finde auf den 1970 von seiner ersten Ehefrau geschiedenen Beschwerdeführer keine Anwendung, da dessen Rentenanspruch vor dem 1. Januar 1997 entstanden ist (Urteile I 788/04 vom 28. April 2005 und I 410/05 vom 31. Oktober 2005). Der Versicherte leitet daraus ab, dies gelte nunmehr auch für die (die Invalidenrente ablösende) Altersrente. Dem ist indes nicht so: Der Altersrente liegt ein neuer Versicherungsfall (Eintritt des versicherten Risikos "Alter") zugrunde. Gemäss lit. c Abs. 1 der Schlussbestimmungen der Änderung des AHVG vom 7. Oktober 1994 (10. AHVG-Revision) gelten die neuen Bestimmungen für alle Renten, auf die der Anspruch nach dem 31. Dezember 1996 entsteht. Bei der Berechnung der Altersrente von geschiedenen Personen wird Art. 29quinquies Abs. 3 auch angewendet, wenn die Ehe vor dem 1. Januar 1997 geschieden wurde (Abs. 4).
Nach <ref-law> ist für die Berechnung der Altersrenten, die an die Stelle einer Invalidenrente treten, auf die für die Berechnung der Invalidenrente massgebende Grundlage abzustellen, falls dies für den Berechtigten vorteilhafter ist. Wird eine Invalidenrente durch eine Altersrente abgelöst, so ist für die Berechnung der Altersrente somit zwar grundsätzlich auf die für die berechtigte Person vorteilhaftere Berechnungsgrundlage (Rentenskala und massgebendes durchschnittliches Jahreseinkommen) abzustellen. Nicht als Ablösungsfall und daher von der Besitzstandsgarantie ausgenommen gelten aber jene Fälle, bei denen die Einkommen für die Altersrente erstmals im Sinne von <ref-law> geteilt werden müssen und die Altersrente daher tiefer ausfällt als die vorher ausgerichtete Invalidenrente (vgl. Ziff. 5648 und 5654 der Wegleitung des Bundesamtes für Sozialversicherungen [BSV] über die Renten in der Eidgenössischen AHV [RWL]; Ziff. 2028 f. des Kreisschreibens über die Berechnung von überführten und altrechtlichen Renten bei Mutationen und Ablösungen [KS 3]).
Verwaltungsweisungen richten sich an die Durchführungsstellen und sind für das Sozialversicherungsgericht nicht verbindlich. Dieses soll sie bei seiner Entscheidung aber berücksichtigen, sofern sie eine dem Einzelfall angepasste und gerecht werdende Auslegung der anwendbaren gesetzlichen Bestimmungen zulassen. Das Gericht weicht also nicht ohne triftigen Grund von Verwaltungsweisungen ab, wenn diese eine überzeugende Konkretisierung der rechtlichen Vorgaben darstellen. Insofern wird dem Bestreben der Verwaltung, durch interne Weisungen eine rechtsgleiche Gesetzesanwendung zu gewährleisten, Rechnung getragen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 591). Vorliegend besteht kein Anlass, an der Gesetzmässigkeit der zitierten Verwaltungsweisungen zu zweifeln. Das aus Anlass der Überführung der Invaliden- in eine Altersrente vorgenommene Einkommenssplitting besteht zu Recht.
2.2 Das Vorbringen des Beschwerdeführers, seine geschiedene Ehefrau habe nie ein Einkommenssplitting beantragt, ist unbehelflich. Wohl wird das Splitting bei Ehescheidung (zunächst) nicht von Amtes wegen vorgenommen, sondern setzt die Anmeldung eines oder beider ehemaligen Ehegatten voraus (<ref-law>; Ziff. 1001 des Kreisschreibens des BSV über das Splitting bei Scheidung; Ueli Kieser, Alters- und Hinterlassenenversicherung, in: Ulrich Meyer [Hrsg.], Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Band XIV, Soziale Sicherheit, 2. Aufl. Basel 2007, S. 1324 Rz. 369). Die Vorschriften über die Berechnung der Renten der Alters- und Hinterlassenenversicherung stellen indes - abgesehen von <ref-law> (Anrechnung von Erziehungsgutschriften bei geschiedenen oder unverheirateten Eltern, welchen die elterliche Sorge gemeinsam zusteht) - zwingendes Recht dar (<ref-ruling>). Demzufolge wird die Teilung der Einkommen und Gutschriften nach Eintritt des Versicherungsfalls bei der Rentenberechnung auf jeden Fall, also unabhängig von einer Anmeldung der Beteiligten, von Amtes wegen vorgenommen (<ref-law>; Thomas Koller, Ehescheidung und AHV, in: AJP 1998, S. 300; Rudolf Tuor, Neues Scheidungsrecht: AHV-Anwartschaften nach 10. AHV-Revision-, in: SZS 1997, S. 7; Mario Christoffel, Voraussetzungen des Einkommenssplitting, insbesondere bei Scheidung, in: Soziale Sicherheit 1996, S. 239).
2.3 Der Beschwerdeführer rügt überdies eine unrichtige Feststellung der Höhe der beitragspflichtigen Einkommen und der Beitragszeiten (vgl. <ref-law>). Dabei handelt es sich um Tatfragen, an deren Feststellung durch die Vorinstanz das Bundesgericht grundsätzlich gebunden ist (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur dann von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht (<ref-law>). Ein solcher Ausnahmetatbestand, der eine Berichtigung des Sachverhalts im Sinne des vom Beschwerdeführer Beantragten erlauben würde, ist weder im Zusammenhang mit den im Individuellen Konto erfassten Beitragszeiten der Jahre 1961 und 1963 bis 1965 noch mit den entsprechenden Einkommenszahlen als Grundlage des durchschnittlichen Jahreseinkommens (<ref-law>) erkennbar. Wenn der Beschwerdeführer vorbringt, er habe damals ungefähr Fr. 1000.- pro Monat und nicht nur Fr. 5000.- pro Jahr verdient, so lässt er ausser Betracht, dass dieses Einkommen eben zu splitten ist (E. 2.2). Im Übrigen wird auf die vorinstanzlichen Ausführungen verwiesen.
2.4 Der angefochtene Entscheid hält einer Überprüfung der Rechtmässigkeit (Art. 95 und Art. 106 Abs. 1 BGG) unter allen Titeln stand.
3. Unter Berücksichtigung der besonderen Umstände wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten wird damit gegenstandslos. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist schon deshalb abzuweisen, weil der Beschwerdeführer durchaus selber in der Lage war, eine rechtsgenügliche Beschwerde einzureichen, eine anwaltliche Vertretung somit zur Wahrung seiner Rechte nicht notwendig ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos ist.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. August 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub