Faits:
A. X._ a fait l'objet de plusieurs condamnations pénales pour des délits contre l'honneur, en raison de diverses publications sur des sites Internet. Dans le cadre d'une transaction intervenue le 6 octobre 2010 avec le plaignant Z._, il s'est engagé à retirer des sites concernés les références à cette personne.
Le 16 juin 2011, Z._ a déposé une nouvelle plainte pénale contre X._ en raison d'actes de dénigrement commis sur divers sites Internet, dont l'un aurait été créé en mai 2009 par le dénoncé qui en serait l'administrateur et qui aurait renouvelé le contrat d'hébergement jusqu'au mois de mars 2013. L'instruction de la plainte a été confiée au Procureur de la Division entraide économique et informatique du Ministère public central du canton de Vaud Yves Nicolet.
Le 12 décembre 2011, X._ a requis du magistrat instructeur qu'il ordonne la perquisition du domicile du plaignant afin de saisir les documents propres à démontrer que la plainte serait tardive.
Le 26 janvier 2012, le Procureur a refusé de donner suite à cette demande au motif qu'une perquisition semblait inopportune et disproportionnée. Dans un courrier du 12 mars 2012, valant décision, il a confirmé sa prise de position en précisant que s'agissant d'infractions contre l'honneur commises par Internet, le délai pour déposer plainte ne saurait commencer à courir tant que les propos incriminés restaient en ligne.
Le 17 août 2012, X._ a réitéré en vain sa demande de production des mails échangés entre le plaignant et l'hébergeur du site incriminé. Le 29 août 2012, il a expressément requis la récusation du Procureur Yves Nicolet qu'il considérait comme prévenu à son égard en raison du refus injustifié d'ordonner les mesures d'instruction propres à établir la tardiveté de la plainte.
Statuant par arrêt du 10 septembre 2012, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté la demande de récusation.
B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, X._ demande au Tribunal fédéral de réformer le chiffre I de cet arrêt en ce sens que la demande de récusation est admise. Il requiert l'assistance judiciaire.
La Chambre des recours pénale et le Procureur ont renoncé à se déterminer et se réfèrent à la décision attaquée. Le plaignant conclut au rejet du recours.
Le recourant a répliqué.

Considérant en droit:
1. Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision incidente relative à la récusation d'un magistrat dans la procédure pénale peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. L'auteur de la demande de récusation a qualité pour agir (<ref-law>). L'arrêt attaqué est rendu en dernière instance cantonale, au sens de l'<ref-law>. Le recours a été déposé dans le délai de trente jours prescrit à l'<ref-law> et la conclusion tendant à l'admission de la demande de récusation est recevable au regard de l'<ref-law>.
2. Le recourant voit un motif de récusation du Procureur Yves Nicolet dans le refus réitéré de ce magistrat de procéder aux mesures d'instruction propres à établir que la plainte pénale serait tardive. Un tel refus, qui s'écarterait d'une décision judiciaire, consacrerait une violation du devoir du ministère public d'instruire la cause tant à charge qu'à décharge et démontrerait le parti pris de ce magistrat en faveur du plaignant.
2.1 On peut se demander si la requête de récusation, déposée le 29 août 2012, n'est pas tardive étant donné que le Procureur a rappelé, dans un courrier notifié au prévenu le 27 mars 2012 et valant décision, qu'il n'entendait pas donner suite à la requête de réquisition de preuves du prévenu parce qu'il la tenait pour non pertinente, le délai pour déposer plainte ne commençant pas à courir tant que les propos incriminés restaient en ligne. En effet, conformément à l'<ref-law>, la demande de récusation doit être présentée sans délai, soit dans les jours qui suivent la connaissance du motif de récusation (arrêt 1B_203/2011 du 18 mai 2011 consid. 2.1), à la direction de la procédure, sous peine de déchéance (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 4). Cette question peut demeurer indécise vu l'issue du recours.
2.2 Un magistrat est récusable, selon l'art. 56 let. f CPP, "lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention". Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 Cst. et 6 CEDH. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 144 et les arrêt cités).
Dans la phase de l'enquête préliminaire et de l'instruction, les principes applicables à la récusation du ministère public sont ceux qui ont été dégagés à l'égard des juges d'instruction avant l'introduction du Code de procédure pénale. Selon l'<ref-law>, le ministère public est l'autorité investie de la direction de la procédure jusqu'à la mise en accusation. A ce titre, il doit veiller au bon déroulement et à la légalité de la procédure (<ref-law>). Durant l'instruction il doit établir, d'office et avec un soin égal, les faits à charge et à décharge (<ref-law>); il doit statuer sur les réquisitions de preuves et peut rendre des décisions quant à la suite de la procédure (classement ou mise en accusation), voire rendre une ordonnance pénale pour laquelle il assume une fonction juridictionnelle. Dans ce cadre, le ministère public est tenu à une certaine impartialité même s'il peut être amené, provisoirement du moins, à adopter une attitude plus orientée à l'égard du prévenu ou à faire état de ses convictions à un moment donné de l'enquête. Cela est en particulier le cas lorsqu'il décide de l'ouverture d'une instruction (qui suppose l'existence de soupçons suffisants au sens de l'<ref-law>) ou lorsqu'il ordonne des mesures de contrainte. Tout en disposant, dans le cadre de ses investigations, d'une certaine liberté, le magistrat reste tenu à un devoir de réserve. Il doit s'abstenir de tout procédé déloyal, instruire tant à charge qu'à décharge et ne point avantager une partie au détriment d'une autre (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 145 et les arrêts cités).
De jurisprudence constante, des décisions ou des actes de procédure viciés, voire arbitraires, ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention. En effet, de par son activité, le juge, respectivement le Procureur, est contraint de se prononcer sur des questions contestées et délicates; même si elles se révèlent ensuite erronées, des mesures inhérentes à l'exercice normal de sa charge ne permettent pas encore de le suspecter de parti pris; en décider autrement, reviendrait à affirmer que toute décision de justice inexacte, voire arbitraire, serait le fruit de la partialité du juge, ce qui n'est pas admissible. Seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent en conséquence justifier une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances corroborent à tout le moins objectivement l'apparence de prévention (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 146 et les arrêts cités).
2.3 Le fait que le Procureur ne partage pas la position du recourant à propos de la tardiveté de la plainte n'est objectivement pas une raison suffisante pour retenir que ce magistrat serait prévenu à son égard ou qu'il le considérerait comme coupable des infractions qui lui sont reprochées, s'agissant d'une question juridique dont le recourant reconnaît qu'elle est controversée. Ce dernier soutient il est vrai qu'en dépit de l'opinion qu'il concevait sur cette question de droit, le Procureur aurait néanmoins dû donner suite aux mesures d'instruction qu'il avait requises pour étayer la tardiveté de la plainte dans le cadre de sa mission d'instruire à charge et à décharge pour le mettre en position de faire valoir, le cas échéant, son point de vue devant l'autorité de jugement. Cette question n'a pas lieu d'être tranchée. Même si l'on voulait voir dans le refus d'instruire une violation par le Procureur des devoirs de sa charge, celle-ci ne constituerait pas, dans les circonstances du cas, une erreur à ce point grave qu'elle dénoterait une prévention et justifierait la récusation de ce magistrat. Le recourant aurait d'ailleurs pu attaquer la décision du Procureur de ne pas donner suite à ses offres de preuves s'il estimait qu'elle était de nature à l'exposer à un préjudice irréparable en raison du risque que l'intimé ne détruise les pièces et autres documents propres à établir la date à laquelle il a eu connaissance du site internet litigieux et de son contenu (cf. <ref-law>; arrêt 1B_189/2012 du 17 août 2012 consid. 2.1). Dans l'hypothèse où il devait être mis en accusation au terme de l'instruction, il pourra exciper de la tardiveté de la plainte et réitérer les réquisitions de preuves propres à établir ce fait devant l'instance de jugement. Il est donc prématuré de voir dans le refus de ce magistrat de donner suite aux réquisitions de preuves du recourant une faute particulièrement grave qui justifierait sa récusation.
3. Le recours doit par conséquent être rejeté. Les conditions de l'<ref-law> étant réunies, il convient de faire droit à la demande d'assistance judiciaire présentée par le recourant. Me Alain Dubuis est désigné comme défenseur d'office, rétribué par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires. L'intimé, qui a agi seul et qui n'établit pas avoir supporté des dépenses particulières en lien avec la réponse déposée devant l'instance fédérale (cf. <ref-ruling> consid. 5 p. 304; <ref-ruling> consid. 5b p. 519), n'a pas droit à des dépens. Il n'en sollicite d'ailleurs pas.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est admise.
3. Me Alain Dubuis est désigné comme défenseur d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à verser par la caisse du Tribunal fédéral.
4. Il n'est pas perçu de frais judiciaires ni alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à Z._, ainsi qu'au Ministère public central et à la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 22 février 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Merkli
Le Greffier: Parmelin