Sachverhalt:
A. X._ wurde 1966 geboren und stammt aus Marokko. Er gelangte angeblich im Sommer 1994 in die Schweiz und heiratete am 11. August 1997 die Schweizer Bürgerin Y._, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde.
Am 17. März 2001 stellte X._ ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im Einbürgerungsverfahren unterzeichneten er und seine Ehefrau am 24. Oktober 2001 eine Erklärung, wonach sie in stabiler ehelicher Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Gleichzeitig nahmen sie zur Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt habe oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr bestehe. Am 23. Januar 2002 wurde X._ das Schweizer Bürgerrecht verliehen.
Die Ehe von X._ und Y._ wurde mit Urteil vom 6. Mai 2003 geschieden. Am 9. Oktober 2003 heiratete X._ eine Marokkanerin (geboren 1983).
Mit Schreiben vom 16. Februar 2004 orientierte das Bundesamt für Migration (BFM) X._ über die Eröffnung eines Verfahrens auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung nach Art. 41 des Bürgerrechtsgesetzes vom 29. September 1952 (BüG; SR 141.0). X._ erhielt Gelegenheit zur Stellungnahme. Mit Verfügung vom 5. Januar 2007 erklärte das BFM die erleichterte Einbürgerung für nichtig. X._ focht diese Verfügung an. Mit Urteil vom 13. August 2009 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 18. September 2009 beantragt X._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts und die Verfügung des BFM seien aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die erleichterte Einbürgerung des Beschwerdeführers nicht nichtig sei.
Das BFM beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtete auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), betrifft die Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung gestützt auf <ref-law>, somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss <ref-law> erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist beschwerdelegitimiert (<ref-law>).
1.2 Unzulässig ist der Antrag des Beschwerdeführers, auch den Entscheid des BFM aufzuheben. Dieser ist durch das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
1.3 Nicht einzutreten ist auf den Antrag, es sei festzustellen, dass die erleichterte Einbürgerung des Beschwerdeführers nicht nichtig sei. Ein Interesse an einer derartigen Feststellung, welches über das Interesse an der Gutheissung des Antrags auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids hinausgeht, wird nicht dargetan und ist auch nicht erkennbar (<ref-ruling> E. 1 S. 356 mit Hinweis).
2. 2.1 Gemäss <ref-law> kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizer Bürgerin lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern eine tatsächliche Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist. Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin oder eines Schweizer Bürgers die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern.
Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt daher nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist. Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 2 S. 164 f. mit Hinweisen).
2.2 In verfahrensrechtlicher Hinsicht richtet sich die erleichterte Einbürgerung nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021). Danach gilt der Untersuchungsgrundsatz, wonach die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen hat (<ref-law>). Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden. Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig.
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung. Da sie keine Umkehrung der Beweislast bewirkt, muss der Betroffene nicht den Beweis des Gegenteils erbringen. Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung. Die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinn von <ref-law> im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr besteht, liegt deshalb bei der Verwaltung.
Begründet die kurze Zeitspanne zwischen der erleichterten Einbürgerung einerseits und der Trennung oder Einleitung einer Scheidung andererseits die tatsächliche Vermutung, es habe schon bei der Einbürgerung keine stabile eheliche Gemeinschaft mehr bestanden, so muss der Betroffene somit nicht das Gegenteil beweisen. Es genügt, dass er einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit dem Schweizer Ehepartner in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und dass er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder die betroffene Person kann darlegen, aus welchem Grund sie die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als sie die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (<ref-ruling> E. 3 S. 165 f. mit Hinweisen).
Begründet die kurze Zeitspanne zwischen der erleichterten Einbürgerung einerseits und der Trennung oder Einleitung einer Scheidung andererseits die tatsächliche Vermutung, es habe schon bei der Einbürgerung keine stabile eheliche Gemeinschaft mehr bestanden, so muss der Betroffene somit nicht das Gegenteil beweisen. Es genügt, dass er einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit dem Schweizer Ehepartner in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und dass er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder die betroffene Person kann darlegen, aus welchem Grund sie die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als sie die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (<ref-ruling> E. 3 S. 165 f. mit Hinweisen).
2.3 2.3.1 Zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Einbürgerung einen intakten Ehewillen besass und ob er auf das Fortbestehen einer stabilen ehelichen Gemeinschaft vertrauen durfte. Da die Ehegatten am 16. Oktober 2002 und damit lediglich knapp neun Monate nach der Einbürgerung ein gemeinsames Scheidungsbegehren einreichten, geht das Bundesverwaltungsgericht richtigerweise von der Vermutung aus, dass dies nicht zutraf.
2.3.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, es sei ein ausserordentliches, nach der erleichterten Einbürgerung eingetretenes Ereignis gewesen, welches zum Scheitern der Ehe geführt habe, nämlich die gesundheitlichen Probleme seiner damaligen Ehefrau. Diese habe vor über 30 Jahren einen Arbeitsunfall gehabt und deshalb immer wieder an Rückenbeschwerden gelitten. Die Probleme seien aber jeweils von vorübergehender Natur gewesen. Das Ehepaar habe bereits eine Vielzahl derartiger Situationen erlebt und überstanden. 2001 habe sich der Gesundheitszustand der Ehefrau indessen zusehends verschlechtert. Schliesslich habe sie sogar eine IV-Rente erhalten. Anfangs 2002 sei die Ehe aber noch intakt gewesen, denn es sei ja nicht voraussehbar gewesen, dass sich der gesundheitliche Zustand nicht mehr bessern würde. Auch aus den schriftlichen Aussagen der Referenzpersonen und den gemeinsamen Reisen nach Marokko sei ersichtlich, dass die Ehe im Zeitpunkt der Einbürgerung unbeeinträchtigt gewesen sei. Erst im Jahr 2002 hätten die geschilderten Umstände zu einer Entfremdung geführt, welche schnell fortgeschritten sei und im Herbst 2002 die Einsicht habe reifen lassen, dass nur noch die Scheidung bleibe.
2.3.3 Die Vorinstanz weist diesbezüglich auf die Aussagen der geschiedenen Ehefrau anlässlich der polizeilichen Anhörung vom 24. November 2004 hin. Danach soll die Ehe bis 2001 gut verlaufen sein. In jenem Jahr jedoch seien bei ihr die gesundheitlichen Folgen eines 30 Jahre zurückliegenden Arbeitsunfalls, bei dem sie Verletzungen an der Wirbelsäule erlitten habe, wieder akut zutage getreten. Sie habe unter starken Schmerzen gelitten, deshalb ihren ehelichen Pflichten nicht mehr nachkommen können und den Beschwerdeführer (sexuell) freigegeben. Auf die Frage, ab wann von einer Scheidung oder Trennung die Rede gewesen sei, meinte sie, dies sei wohl im Herbst 2001 gewesen, als sie krank geworden sei. Auf den Hinweis des Befragers, wonach sie nach Darstellung des Beschwerdeführers in seiner Stellungnahme vom 8. März 2004 erst nach dessen Einbürgerung sehr krank geworden sei und sich deshalb zur Scheidung entschlossen habe, antwortete sie, das treffe zu. Sie habe sich wegen ihrer Krankheit scheiden lassen wollen, da das Sexualleben nicht mehr gestimmt habe. Weil ihr Ehemann dieses "auswärts" habe ausleben müssen, sei ein Eheleben nicht mehr denkbar gewesen.
Die Vorinstanz weist weiter darauf hin, der Beschwerdeführer selber habe in seiner Stellungnahme vom 11. Dezember 2006 eingeräumt, dass es wegen des Gesundheitszustands seiner damaligen Ehefrau von 2001 an viele Probleme gegeben habe.
2.3.4 Nach der übereinstimmenden Darstellung in den erwähnten Aussagen der beiden früheren Ehegatten war das Scheitern der Ehe auf die ihnen zwar aus der Vergangenheit bekannten, aber erst seit 2001 anhaltenden gesundheitlichen Probleme der Ehefrau zurückzuführen. Auch wenn der genaue Zeitpunkt des Wiederauftretens dieser gesundheitlichen Probleme nicht erstellt ist, so bestanden sie jedenfalls im Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung am 23. Januar 2002 bereits während einiger Zeit. Der Beschwerdeführer schilderte in der erwähnten Stellungnahme vom 11. Dezember 2006, wie schwer die 2001 wieder einsetzenden Gesundheitsprobleme gewesen seien und wie auch er selbst darunter gelitten habe. Nach der weiter oben wiedergegebenen Aussage der früheren Ehegattin soll es im Herbst 2001 gewesen sein, da die gesundheitliche Beeinträchtigung wieder akut wurde. Vor diesem Hintergrund erscheint es wenig glaubhaft, wenn sie diese Aussage nach der Konfrontation mit jener des Beschwerdeführers vom 8. März 2004 wieder korrigierte.
Es ist schwer verständlich, dass gesundheitliche Probleme, mit welchen ein Ehepaar in der Vergangenheit nach eigenen Angaben umzugehen gelernt hat, innerhalb weniger Monate eine angeblich intakte Ehe zum Scheitern gebracht haben sollen. Es kann nicht gesagt werden, die Darstellung des Beschwerdeführers lasse es als plausibel erscheinen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit der Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte oder dass er die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannt habe. Daran vermögen weder die von den damaligen Ehegatten unternommenen Reisen nach Marokko etwas zu ändern noch die schriftlichen Aussagen der Referenzpersonen, welche der Beschwerdeführer erwähnt.
Damit kann offen bleiben, inwieweit die weiteren von der Vorinstanz aufgeführten Indizien die Vermutung zu stützen vermögen, wonach im Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung keine stabile eheliche Gemeinschaft mehr bestand. Ebenfalls kann offen bleiben, inwiefern es eine Rolle spielt, dass die Behörden im Zeitpunkt der Einbürgerung wussten, dass die Ehegatten im gleichen Gebäude eine zweite Wohnung gemietet hatten, wo der Beschwerdeführer zeitweise übernachtet haben soll.
2.4 Der Beschwerdeführer rügt, das angefochtene Urteil sei unverhältnismässig, weil das Verfahren vom Bekanntwerden der relevanten Umstände bis zum Entscheid des BFM drei Jahre und vom Abschluss des Schriftenwechsels durch die Vorinstanz bis zu deren Urteil nochmals zwei Jahre in Anspruch genommen habe.
Die Rüge erweist sich als unbegründet. Hat der Gesetzgeber eine Frist von fünf Jahren bestimmt, innert welcher das Bundesamt die Einbürgerung für nichtig erklären kann, so besteht diese Möglichkeit während der gesamten Frist. Auch die Dauer des Verfahrens vor der Vorinstanz kann entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers beim Entscheid über die Nichtigerklärung nicht berücksichtigt werden (Urteil 1C_340/2008 vom 18. November 2008 E. 4). Eine Rechtsverzögerung wird vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht (vgl. <ref-law>).
3. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Dezember 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold