Sachverhalt:
A.
S._ (geb. 1957), von März 1995 bis zur wirtschaftlich bedingten Entlassung Ende Oktober 1997 als Dreher berufstätig, erhielt durch Verfügungen vom 20. April 2000 bei einem Invaliditätsgrad von 48 % im Härtefall mit Wirkung ab 1. August 1997 eine halbe Invalidenrente zugesprochen (gerichtlich bestätigt durch Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 11. Januar 2002). Als Ergebnis eines vom Versicherten eingeleiteten Revisionsverfahrens gelangte ab 1. Dezember 2004 noch eine Viertels-Invalidenrente zur Ausrichtung, was zuletzt das Eidgenössische Versicherungsgericht mit Urteil vom 8. August 2005 bestätigte. Ein weiteres Revisionsverfahren führte zur gerichtlichen Bestätigung der Viertelsrente durch rechtskräftigen Entscheid des zürcherischen Sozialversicherungsgerichts vom 12. Juli 2006, desgleichen ein amtliches Revisionsverfahren gemäss Mitteilung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 3. März 2008. Schliesslich bestätigte die IV-Stelle die Ausrichtung der Viertelsrente durch unangefochten gebliebene Verfügung vom 31. März 2010.
Am 23. Juli 2011 ersuchte S._ gestützt auf einen Arztbericht der Klinik X._ vom 5. Juli 2011 erneut um Rentenrevision; entweder sei seine Rente zu erhöhen oder ihm "zu helfen, eine neue und leichtere Arbeitsstelle zu finden". Die IV-Stelle holte von Dr. med. R._ einen Arztbericht vom 22. August 2011 ein und führte mit dem Versicherten am 15. März 2012 ein Informationsgespräch. Mit Verfügung vom 21. Juni 2012 hob die IV-Stelle nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren die Viertelsrente zum 31. Juli 2012 mit der Begründung auf, die Diagnosen, welche zur Rentenzusprechung geführt hätten, gehörten zu den pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Zustandsbildern ohne nachweisbare organische Grundlage. Einer allfälligen Beschwerde entzog die IV-Stelle die aufschiebende Wirkung.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich in dem Sinne gut, dass es die angefochtene Verfügung vom 21. Juni 2012 aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit "diese unter Weiterausrichtung der bisherigen Viertelsrente ab 1. August 2012 die erforderlichen Abklärungen im Sinne der Erwägungen treffe und hernach über den Rentenanspruch des Beschwerdeführers neu verfüge" (Entscheid vom 22. Mai 2013).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren auf Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides vom 22. Mai 2013 (Ziff. 1), auf Aufhebung der vorinstanzlichen Anweisung, wonach während des weiteren Abklärungsverfahrens weiterhin die bisherige Rente auszurichten sei (Ziff. 2), auf Feststellung, dass kein Rentenanspruch mehr bestehe (Ziff. 3) und auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung für die eingereichte Beschwerde (Ziff. 4). Auf die Begründung wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen.
Das kantonale Gericht teilt mit Schreiben vom 15. August 2013 mit, dass es auf eine Vernehmlassung verzichte. Der Versicherte trägt auf Abweisung der Beschwerde an. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Nachdem diese Vernehmlassungsantworten den Verfahrensbeteiligten angezeigt worden sind, teilt das Sozialversicherungsgericht am 17. Oktober 2013 mit, es beabsichtige, ebenfalls eine Vernehmlassung einzureichen, weshalb es um Ansetzung einer angemessenen Frist zur Einreichung einer solchen bittet. Daraufhin wird ein zweiter Schriftenwechsel angeordnet. Die IV-Stelle verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Sozialversicherungsgericht nimmt mit Eingabe vom 5. November 2013 zur Sache einlässlich Stellung, ohne allerdings einen förmlichen Antrag zu stellen.
D.
Mit Verfügung vom 11. November 2013 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Streitgegenstand ist der angefochtene Gerichtsentscheid vom 22. Mai 2013, dessen vollumfängliche Aufhebung die Beschwerde führende IV-Stelle anbegehrt. Das Bundesgericht prüft gemäss ständiger Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 1 S. 133; <ref-ruling> E. 1 S. 44) von Amtes wegen und mit freier Kognition die Eintretensvoraussetzungen.
2.
Das kantonale Gericht kam zunächst zu der (von keiner Seite bestrittenen) Schlussfolgerung, dass die ursprüngliche Rentenzusprechung tatsächlich massgeblich gestützt auf eine Diagnose erfolgt sei, welche in den Anwendungsbereich der Schlussbestimmung a. der Änderung des IVG vom 28. März 2011 (IV-Revision 6a) falle, weshalb die IV-Stelle die laufende Rente zu Recht unter diesem Titel einer Neubeurteilung unterzogen habe (Erwägung 2 des angefochtenen Entscheides). Daraufhin prüfte die Vorinstanz die medizinische Aktenlage gemäss Arztbericht der Klinik X._ vom 5. Juli 2011, dem Bericht der Frau Dr. med. R._ vom 22. August 2011 und der Aktenbeurteilung durch RAD-Ärztin T._, FMH Arbeitsmedizin und FMH Allgemeinmedizin vom 16. Februar 2012 (Feststellungsblatt vom 20. März 2012). Die Vorinstanz gelangte beweiswürdigend zum Ergebnis, insgesamt erlaube die Aktenlage keine schlüssige Beurteilung des Rentenanspruchs nach den rechtsprechungsgemässen Kriterien. Die angefochtene Verfügung vom 21. Juni 2012 sei deshalb aufzuheben und die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen,
"damit sie unter Weiterausrichtung der bisherigen Viertelsrente ab 1. August 2012 die für die Beurteilung des Rentenanspruchs erforderlichen Abklärungen treffe und neu darüber befinde. In diesem Zusammenhang hat die Beschwerdegegnerin Folgendes zu beachten: Bei der Überprüfung und Neubeurteilung von laufenden Renten, welche gestützt auf eine in der Schlussbestimmung a. der Änderung des IVG vom 18. März 2011 genannten Diagnosen gesprochen wurden, stellen sich die gleichen Fragen, wie wenn ein erstmaliges Leistungsgesuch zu beurteilen ist. Es geht somit darum, aus heutiger Sicht zu beurteilen, ob die Voraussetzungen für einen Rentenbezug im Zeitpunkt der Überprüfung - und nicht im Zeitpunkt der erstmaligen Rentenzusprache - erfolgt sind oder nicht, was insbesondere eine vollständige Abklärung des medizinischen, d.h. psychiatrischen und im vorliegenden Fall auch somatischen Sachverhalts erfordert. Die Beschwerdegegnerin ist daher gehalten, ein polydisziplinäres Gutachten einzuholen. Die der ursprünglichen Rentenzusprache zu Grunde liegende Diagnose dient nämlich lediglich dazu festzustellen, ob ein Sachverhalt überhaupt in den Anwendungsbereich der Schlussbestimmung fällt und somit gestützt darauf eine Neubeurteilung des laufenden Rentenanspruchs erfolgen kann oder ob nur eine revisionsweise Überprüfung unter den (restriktiven) Voraussetzungen von <ref-law> möglich ist" (vorinstanzlicher Entscheid E. 3.2 S. 10 f.).
3.
Sämtliche Beschwerdevorbringen vermögen nichts am klar erkennbaren Rechtsumstand zu ändern, dass die Vorinstanz mit diesen Erwägungen, auf welche das Dispositiv des angefochtenen Entscheides Bezug nimmt, einerseits die Sache zur ergänzenden medizinischen Abklärung an die Beschwerde führende IV-Stelle zurückgewiesen hat. Insoweit handelt es sich um einen Zwischenentscheid nach <ref-law>, der nur bei Erfüllung der in lit. a oder b des Absatz 1 dieser Bestimmung definierten Voraussetzungen nach gefestigter Rechtsprechung (seit <ref-ruling>) an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (<ref-ruling> E. 1.3 S. 101). Weder ist - diesbezüglich - ein nicht wieder gutzumachender Nachteil ersichtlich, noch könnte durch ein materielles Urteil des Bundesgerichts ein kostspieliges und weitläufiges Verwaltungsverfahren vermieden werden, und zwar in dieser Sache umso weniger, als die Beschwerde führende IV-Stelle mit keinem Wort aufzeigt, dass die vorinstanzliche Feststellung, der medizinische Sachverhalt sei nicht spruchreif und bedürfe ergänzender Abklärung, offensichtlich unrichtig (unhaltbar, willkürlich; <ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356, 132 III 209 E. 2.1 S. 211, Urteil 9C_1019/2012 vom 23. August 2012 E. 1.2.3) ist. Der von der Beschwerde führenden IV-Stelle offenbar vertretene Standpunkt, sie müsse in übergangsrechtlichen Rentenaufhebungsfällen keine (externe) medizinische Abklärung vornehmen, lässt die Eintretensfrage nicht in einem anderen Lichte erscheinen. Vielmehr handelt es sich hiebei um einen materiell-rechtlichen Aspekt, der auch bei der Anfechtung eines späteren Endentscheides dem Bundesgericht noch unterbreitet werden könnte (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin die vorinstanzlich angeordnete Rückweisung zu Aktenergänzung und neuer Verfügung über den Rentenanspruch anficht, ist demzufolge auf die Beschwerde nicht einzutreten. Ohne weiteres unzulässig ist auch der Feststellungsantrag gemäss Rechtsbegehren Ziff. 4, weil er im Verhältnis zu den rechtsgestaltenden Anträgen keine selbstständige Bedeutung hat.
4.
Andererseits - und dies ist auch Teil des Streitgegenstandes (E. 1 hievor) - hat das kantonale Gericht - nebst der Rückweisung - die Weiterausrichtung der Viertels-Invalidenrente während des laufenden Rückweisungsverfahrens angeordnet. Die Frage, ob es sich hiebei um einen End- oder einen Zwischenentscheid - letztes im Sinne einer vorsorglichen Massnahme - handelt, kann offen bleiben: Unter der Annahme, es liege diesbezüglich ein Endentscheid vor, wäre die Beschwerde ohne weiteres zulässig. Wollte man von einer bloss vorsorglich angeordneten Rentengewährung während des Abklärungsverfahrens ausgehen, auf welche die IV-Stelle je nach Ergebnis der vorzunehmenden Abklärungen, frei, d.h. ohne an die Wiedererwägungsvoraussetzungen gebunden zu sein, zurückkommen könnte, wäre die Eintretensvoraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils praxisgemäss ebenfalls zu bejahen. Denn das Risiko, dass die IV-Stelle mit einem allfälligen Rückforderungsanspruch zu Verlust käme, erfüllt rechtsprechungsgemäss (vgl. Urteil 8C_22/2013 vom 4. Juli 2013; AHI 2000 S. 181 [Urteil I 267/98 vom 22. Oktober 1998]) den Eintretensgrund des nicht wieder gutzumachenden Nachteils.
4.1. Nach der durch <ref-ruling> begründeten, durch <ref-ruling> unter der Geltung des ATSG weitergeführten und mit SVR 2011 IV Nr. 33 S. 96 (Urteil 8C_451/2010 vom 11. November 2010) bestätigten Rechtsprechung dauert der mit der revisionsweise (<ref-law>) verfügten Herabsetzung oder Aufhebung einer Rente verbundene Entzug der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde bei Rückweisung der Sache an die Verwaltung auch für den Zeitraum dieses Abklärungsverfahrens bis zum Erlass der neuen Verwaltungsverfügung an. Eingeschränkt wird dieser Grundsatz nur dadurch, dass das kantonale Gericht die in der Revisonsverfügung entzogene aufschiebende Wirkung der Beschwerde für den Zeitraum wieder herzustellen hat, den das Verfügungsverfahren in Anspruch genommen hätte, wenn es formell korrekt durchgeführt worden wäre (<ref-ruling> E. 4.3 S. 376). Darin ist die Antwort auf die in <ref-ruling> E. 3b S. 20 unten f. offen gelassene Frage zu erblicken, was zum Schutze des Versicherten vorzukehren ist, wenn die angefochtene Revisionsverfügung ohne hinreichende Abklärung der Revisionsvoraussetzungen bloss deshalb erlassen wurde, um einen möglichst frühen Zeitpunkt der Wirkungen der Revision zu provozieren.
4.2. Im Falle des Beschwerdegegners geht es indessen nicht um ein Revisionsverfahren nach <ref-law>, sondern um eine Rentenaufhebung im Rahmen von lit. a Schlussbestimmungen der 6a-IV-Revision. Es steht jedoch, sachlich und rechtlich betrachtet, nichts entgegen, die in E. 4.1 resümierten Grundsätze gemäss der Rechtsprechung über die aufschiebende Wirkung auch im Rahmen von Rentenaufhebungen gemäss den Schlussbestimmungen lit. a der 6. IV-Revision analog anzuwenden.
4.3. Nun macht die Beschwerdeführerin mit Fug eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend, weil das kantonale Gericht im angefochtenen Entscheid mit keinem Wort begründet hat, warum es die Weiterausrichtung der Viertelsrente während des Rückweisungsverfahrens angeordnet hat. Erst mit der im Rahmen des zweiten Schriftenwechsels gemachten Eingabe vom 5. November 2013 liefert das kantonale Gericht hiefür seine Begründung nach, wobei es darauf hinweist, dass die IV-Stelle ihrerseits den Entzug der aufschiebenden Wirkung in der Verfügung vom 21. Juni 2012 nicht begründet hat. An sich müsste in dieser Verfahrenslage der angefochtene Entscheid in diesem Punkt kassiert, die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs der Parteien an die Vorinstanz zurückgewiesen werden, damit das kantonale Gericht anschliessend neu entscheide. Unter dem Gesichtspunkt der Prozessökonomie wäre indessen eine solche Verfahrenserledigung eine blosse unnütze Prozessverlängerung, zumal aus der Eingabe vom 5. November 2013 ohne weiteres geschlossen werden darf, dass das kantonale Gericht, würde die Sache an es zurückgewiesen, wieder gleich entscheiden würde. Die Beschwerdeführerin hat von den vorinstanzlichen Überlegungen gemäss Eingabe vom 5. November 2013 zwar Kenntnis erhalten. Doch können Weiterungen mit Blick auf das darzulegende Ergebnis unterbleiben. Der Beschwerdegegner hat sich dazu nicht geäussert.
4.4. Nach der gemäss E. 4.2 anwendbaren Rechtsprechung (E. 4.1) wäre der Entzug der aufschiebenden Wirkung ohne weiteres rechtens, die gegenteilige Anordnung des kantonalen Gerichts bundesrechtswidrig (<ref-law>). Nun begründet die Vorinstanz in der Eingabe vom 5. November 2013 ihre Anordnung, die Viertelsrente während des Abklärungsverfahrens weiterhin auszubezahlen damit, die IV-Stelle habe sich sowohl darüber, dass der Sachverhalt offensichtlich näher abklärungsbedürftig war, als auch über das Revisionsverfahren an sich, in leichtfertiger Weise hinweggesetzt, was einer rechtsmissbräuchlichen Provozierung eines möglichst frühen Revisionszeitpunktes im Sinne der Rechtsprechung (E. 4.1) gleichkomme und keinen Rechtsschutz verdiene. Im Übrigen dränge sich auf Grund des Umstands, dass der Versicherte am 15. Juli 2012 das 55. Altersjahr zurückgelegt hatte und am 2. August 2012 bereits seit 15 Jahren eine IV-Rente bezogen hätte, die "Vermutung geradezu auf, dass die IV-Stelle in bewusster Missachtung der ihr obliegenden Abklärungspflichten am 21. Juni 2012 die angefochtene Verfügung erlassen hatte, damit der Versicherte noch unter lit. a Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 4 e contrario der Übergangsbestimmungen der IV-Revision 6a fällt". Diese Einwendungen der Vorinstanz kommen über den Charakter von ungesicherten Annahmen oder Vermutungen nicht hinaus und können daher nicht als Beurteilungsgrundlage herangezogen werden. In diesem Punkt ist die Beschwerde gutzuheissen.
5.
Unter Berücksichtigung der konkreten Umstände ist von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (Art. 66 Abs. 1 2. Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 22. Mai 2013 wird insoweit aufgehoben, als darin die Weiterausrichtung der Viertelsrente während des Rückweisungsverfahrens angeordnet wird. Im Übrigen wird auf die Beschwerde nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Februar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Nussbaumer