Erwägungen:
1.
Gegen ein am 25. März 2013 ergangenes Urteil der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt gelangte A._ mit einer Beschwerde ans Appellationsgericht Basel-Stadt. Dieses forderte ihn mit Verfügung vom 16. Januar 2014 gestützt auf <ref-law> auf, bis am 21. Februar 2014 einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu bezahlen, wobei er gleichzeitig auf die Säumnisfolgen hingewiesen wurde (<ref-law>). Diese Verfügung wurde A._ am 25. Januar 2014 in Prishtina zugestellt. Innert der gesetzten Frist wurde weder der verlangte Kostenvorschuss geleistet noch ein Gesuch um Erlass des Vorschusses gestellt. Erst mit Eingabe vom 19. Juli 2014 ersuchte A._ sinngemäss um Erlass des Vorschusses, nachdem das Gericht in Bezug auf seine Beschwerde bereits - androhungsgemäss - einen Nichteintretensentscheid gefällt hatte.
Mit Entscheid vom 4. August 2014 hat die Statthalterin des Appellationsgerichts das der Sache nach gestellte Fristwiederherstellungsgesuch bzw. Gesuch um Erlass des Vorschusses abgewiesen. Zur Entscheidbegründung hat sie unter Bezugnahme auf <ref-law> erwogen, der Gesuchsteller habe in keiner Weise begründet, weshalb er nicht in der Lage gewesen sei, innert der gesetzten Frist bis 21. Februar 2014 ein Erlassgesuch zu stellen. Dies, obwohl er durchaus in der Lage gewesen sei, innert derselben Frist die andere ihm gesetzte Auflage zu erfüllen, nämlich ein Zustelldomizil in der Schweiz zu bezeichnen. Ein fehlendes Verschulden am Säumnis, welches zum Nichteintreten auf die Beschwerde führte, sei somit nicht glaubhaft gemacht, so dass dem Gesuch kein Erfolg beschieden sein könne.
2.
Gegen den Entscheid vom 4. August 2014 führt A._ Beschwerde ans Bundesgericht. Dieses hat davon abgesehen, Stellungnahmen einzuholen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer äussert sich im Wesentlichen zu einem Verkehrsunfall, den er - als Fussgänger - nach seinen Angaben am 31. Juli 2012 in der Schweiz erlitten hatte, überdies zu einem vor etwa 20 Jahren erlittenen Arbeitsunfall und zu seinem ebenfalls nach seinen Angaben inzwischen eingeschränkten Gesundheitszustand. Dabei unterlässt er es indes darzulegen, inwiefern durch die dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegende Begründung bzw. durch den Entscheid selbst im Ergebnis Recht im Sinne von <ref-law> verletzt worden sein soll.
Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die vorliegende Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Bei den gegebenen Verhältnissen kann davon abgesehen werden, für das vorliegende Verfahren Kosten zu erheben.

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Statthalterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. September 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Bopp