Erwägungen:
1. Im Zusammenhang mit einem Strafverfahren gegen Z._ wegen Körperverletzung, Nötigung etc. wurde am 20. Januar 2010 dessen Vater, X._, als Zeuge einvernommen. Anlässlich der Einvernahme liess die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat verschiedene von Y._ gestellte Ergänzungsfragen nicht zu. Nebstdem verweigerte der Zeuge auf einige Fragen hin die Aussage, nachdem er eingangs auf sein Zeugnisverweigerungsrecht verzichtet hatte.
In der Folge rekurrierte Y._ an die Oberstaatsanwaltschaft mit dem Begehren, X._ sei erneut als Zeuge zu befragen, wobei ihm gewisse, bislang unbeantwortet gebliebene Fragen abermals zu stellen seien unter Hinweis auf seine Aussagepflicht und die Konsequenzen einer Aussageverweigerung. Ferner sei die Staatsanwaltschaft anzuweisen, die Vermögensverhältnisse des Angeschuldigten von Amtes wegen und auch unter Einvernahme des Zeugen X._ abzuklären.
Mit Verfügung vom 29. März 2010 hat die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich den Rekurs teilweise gutgeheissen, soweit sie darauf eingetreten ist. Sie hat die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat angewiesen, den Zeugen X._ erneut einzuvernehmen, ihm verschiedene Fragen, wie in der Verfügung aufgelistet, erneut zu stellen und deren gehörige Beantwortung zu fordern, unter Hinweis auf seine Aussagepflicht und die Konsequenzen der Aussageverweigerung gemäss § 134 StPO/ZH. Diese - mit einer Rechtsmittelbelehrung u.a. unter Hinweis auf Art. 42, 93 und 98 BGG versehene - Verfügung ist der Rekurrentin und der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat schriftlich eröffnet worden.
Gestützt darauf hat die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat X._ mit Schreiben vom 10. Mai 2010 zu einer weiteren Zeugenbefragung aufgeboten, wobei sie ihm den Rekursentscheid vom 29. März 2010 zur Kenntnis gebracht hat.
2. X._ führt mit Eingabe vom 2. Juni (Postaufgabe: 3. Juni) 2010 Beschwerde in Strafsachen mit dem Hauptantrag, der Entscheid vom 29. März 2010 (Dispo.-Ziff. 1 und 2) sei aufzuheben; die Sache sei zur Neubeurteilung an die Oberstaatsanwaltschaft zurückzuweisen. Sodann stellt er das Gesuch, der Beschwerde sei im Hinblick auf die neu angesetzte Einvernahme die aufschiebende Wirkung beizulegen.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Die angefochtene Verfügung betrifft das Beweisverfahren. Es handelt sich bei ihr um einen Zwischenentscheid, der das genannte Strafverfahren nicht abschliesst.
3.1 Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu Art. 92 BGG), ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn sie einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
3.2 Im Verfahren der Beschwerde in Strafsachen muss der nicht wiedergutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht bloss tatsächlicher, sondern rechtlicher Natur sein (<ref-ruling> E. 4 S. 141). Der Beschwerdeführer hat dabei die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG darzulegen. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, von Amtes wegen Nachforschungen anzustellen, inwiefern ein nicht wiedergutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG gegeben sein sollte (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.3.1).
Der Beschwerdeführer macht geltend, zufolge der angedrohten Konsequenzen einer Aussageverweigerung drohe ihm ein nicht wiedergutzumachender Nachteil. Er selber hält somit aber zu Recht nicht dafür, durch die blosse Anordnung der Einvernahme bzw. durch die Befragung selber drohe ihm ein Nachteil im Sinne von Art. 93 BGG. Und was die betreffenden, gemäss § 134 StPO/ZH geregelten Konsequenzen anbelangt, ist festzustellen, dass dem Beschwerdeführer diesbezüglich zunächst alle gesetzlichen Rechtsmittel zur Verfügung stünden, sollte das in der genannten Bestimmung für den Fall der Aussageverweigerung vorgesehene Verfahren in die Wege geleitet werden.
Demgemäss ist nicht dargetan und denn auch nicht ersichtlich, inwiefern die angefochtene Verfügung einen Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirken könnte. Nichts anderes ergibt sich in Bezug auf die am 10. Mai 2010 ergangene Vorladung selber, die indes nicht förmlich mitangefochten worden ist.
Auf die vorliegende Beschwerde ist somit nicht einzutreten. Da der genannte Mangel offenkundig ist, kann über sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden. Mit dem bundesgerichtlichen Entscheid wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist durch das vorliegende Verfahren kein Aufwand entstanden, sodass ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen ist.

Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp