Sachverhalt:
A. Am 2. November 2009 wurde der 1969 geborene X._ von C._, Facharzt FMH für Psychiatrie, im Sinne einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung in die Klinik A._ eingewiesen. Er hatte sich schon zuvor verschiedentlich in psychiatrischen Kliniken befunden. Noch am gleichen Tag ersuchte er mit einer an das Bezirksgericht B._ gerichteten Eingabe um Entlassung. Mit zwei Eingaben vom 5. November 2009 stellten der Verein "Psychex" bzw. Rechtsanwalt D._ beim Bezirksgericht E._ in seinem Namen ebenfalls ein Gesuch um Entlassung aus der Klinik.
Mit Urteil vom 10. November 2009 wies der Einzelrichter für das Verfahren betreffend fürsorgerische Freiheitsentziehung des Bezirks E._ das Entlassungsgesuch ab.
Diesen Entscheid bestätigte das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich durch Beschluss vom 23. Dezember 2009.
B. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. Januar 2010 verlangt X._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und seine Entlassung aus der Klinik anzuordnen; allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung der Fremdgefährdung (nach Beizug der Polizeirapporte) an die kantonale Instanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht der Beschwerdeführer darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Eingabe vom 5. Januar 2010 hat die Klinik zur Beschwerde Stellung genommen. Der Beschwerdeführer hat sich mit Eingabe vom 9. Januar 2010 zu dieser Vernehmlassung geäussert.

Erwägungen:
1. Als Entscheid auf dem Gebiet der fürsorgerischen Freiheitsentziehung unterliegt der angefochtene Beschluss der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Mit dieser kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht und von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Unter das Bundesrecht fallen ebenfalls verfassungsmässige Rechte des Bundes (<ref-ruling> E. 1.2 S. 382 mit Hinweisen). In der Begründung der Beschwerde ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletze (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet wird (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Bei der Willkürrüge (<ref-law>) ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; je mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
2. Eine mündige oder entmündigte Person darf wegen Geisteskrankheit, Geistesschwäche, Trunksucht, anderen Suchterkrankungen oder schwerer Verwahrlosung in einer geeigneten Anstalt untergebracht oder zurückbehalten werden, wenn ihr die nötige persönliche Fürsorge nicht anders erwiesen werden kann (<ref-law>). Wie bei der Einweisung in eine Anstalt ist auch bei der Zurückbehaltung des Betroffenen das Prinzip der Verhältnismässigkeit zu wahren; erforderlich ist, dass die betroffene Person infolge eines der im Gesetz umschriebenen Schwächezustände persönlicher Fürsorge bedarf und diese ihr nur in einer Anstalt geboten werden kann. In Betracht zu ziehen ist ferner auch die Belastung, die die Person für ihre Umgebung bedeutet (<ref-law>). Nach der ausdrücklichen Vorschrift von <ref-law> muss die von der fürsorgerischen Freiheitsentziehung betroffene Person entlassen werden, sobald ihr Zustand es erlaubt (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4 S. 292 mit Hinweisen).
3. 3.1 Unter Hinweis auf das Urteil des erstinstanzlichen Richters sowie auf die von diesem angerufenen Diagnosen der Klinik A._ und des Gutachters Dr. med. Z._ hält das Obergericht fest, beim Beschwerdeführer zeige sich ein psychotisches Zustandsbild bei Verdacht auf Erkrankung aus dem schizophrenen Formenkreis. Der Beschwerdeführer leide an einer organischen Persönlichkeitsstörung, sei bei ihm eine Politoxikomanie bekannt und bestehe der Verdacht auf Erwachsenen-ADHS. Zur Zeit sei der Beschwerdeführer nicht zurechnungsfähig und sein Handeln aufgrund eines diffusen paranoiden Wahnsystems nicht voraussehbar. Sein Zustand äussere sich in formalen Denkstörungen sowie in einem auffälligen und deutlich wahnhaften Verhalten. Der Beschwerdeführer decke beispielsweise den in der Klinik zur Verfügung stehenden Computer mit Alufolie ab und vermute, das Mineralwasser auf der Station enthalte einen Stoff, der ihn impotent mache; er fühle sich verfolgt und bedroht und habe deshalb zu seiner Verteidigung seiner Ex-Freundin anlässlich ihres Besuchs ein Sackmesser, das an ihrem Schlüsselbund gehangen habe, entwendet; er habe es dem Personal nur unter grossem Druck ausgehändigt. Die grosse Anspannung des Beschwerdeführers habe sich im Verlauf des Klinikaufenthalts vermehrt in deutlich ausgeprägter Aggressivität geäussert; wegen verbaler Drohungen sowohl gegen eine Mitpatientin als auch gegen das Personal habe er zeitweise isoliert werden müssen. Trotz des massiven Krankheitsbildes liege derzeit weder eine akute Fremd- noch eine Selbstgefährdung im engeren Sinne vor, doch sei zu berücksichtigen, dass der Beschwerdeführer auch ausserhalb der Klinik wiederholt ein aggressives Verhalten an den Tag gelegt habe, was unter anderem zu den beiden letzten Hospitalisierungen geführt habe. So sei der Klinikeinweisung vom 22. Oktober 2009 ein - von ihm allerdings bestrittener - Angriff mit einem Messer auf Polizeibeamte vorangegangen und zum jüngsten Klinikaufenthalt sei es wegen einer verbalen und leichten körperlichen Auseinandersetzung mit seinem Vater gekommen, nachdem der Beschwerdeführer vom Beifahrersitz aus die Handbremse des fahrenden Autos angezogen habe. In der Verhandlung auf diesen Vorfall angesprochen habe er erklärt, sie seien mit einer Geschwindigkeit von nur vier bis fünf Stundenkilometern gefahren. Diese Bagatellisierung des Beschwerdeführers zeige seine mitunter realitätsfremde Wahrnehmung. Selbst ohne Vorliegen der Polizeirapporte über den Vorfall mit dem Messer und entgegen seiner Selbsteinschätzung sei von einem nicht zu unterschätzenden Aggressionspotential des Beschwerdeführers auszugehen. Angesichts seines bedrohlichen Verhaltens sowohl dem Pflegepersonal als auch anderen Drittpersonen gegenüber könne eine Fremdgefährdung nicht ausgeschlossen werden. Es sei zu befürchten, dass der Beschwerdeführer im Falle einer Entlassung gegenüber seinem Vater und anderen Personen erneut unkontrolliert oder gar gewalttätig reagiere und sich so in eine ernsthafte, eine Eigengefährdung darstellende Konfliktsituation begebe. Gegenwärtig weniger akut scheine die Politoxikomanie zu sein; ausser dem gelegentlichen Cannabiskonsum lasse sich den Akten hierzu nichts entnehmen; immerhin nehme der Beschwerdeführer nach eigenen Angaben kleine Dosen Methadon, die er brauche. Das Obergericht hält dafür, der Einzelrichter habe angesichts der festgehaltenen Gegebenheiten zu Recht das Vorliegen einer nach dem Gesetz die Zwangseinweisung bzw. Zurückbehaltung rechtfertigenden Geistesstörung bejaht.
Sodann erklärt die Vorinstanz, der Beschwerdeführer sei in seinem aktuellen Zustand kaum in der Lage, adäquat für sich selbst zu sorgen. Wie sowohl der Gutachter als auch die Klinik bestätigten, könne ihm die erforderliche ärztliche und soziale Hilfe derzeit nur im Rahmen einer stationären Behandlung in der Klinik erwiesen werden, zumal es ihm trotz einer leichten Verbesserung seines Befindens gänzlich an Krankheitseinsicht fehle und er - abgesehen vom erwähnten Methadon und dem Ritalin wegen seines ADHS - die Einnahme von Medikamenten verweigere. Auch wenn der Beschwerdeführer im Falle einer Entlassung in seine Einzimmerwohnung zurückkehren könnte, sei zu bedenken, dass er sich in einer schwierigen sozialen Situation befinde, lebe er doch seit über fünf Jahren von Sozialhilfe; sein Standpunkt, er könne mit der Unterstützung seiner Bezugspersonen für sich sorgen, sei gegenwärtig wenig realistisch, zumal er selbst angebe, sein Beziehungsnetz sei zerstört. Das Verhältnis zur Familie erscheine als ambivalent: Einerseits bringe der Beschwerdeführer vor, sie liege ihm am Herzen, andererseits erkläre er jedoch, er fühle sich insbesondere von seinem Vater in seinem Fortkommen behindert, bevormundet und missbraucht. In einem E-Mail an den Beschwerdeführer wie auch vor der Verhandlung habe der Vater erklärt, sie, die Eltern, wollten ihm helfen, da er es alleine nicht schaffe, doch seien sie gesundheitlich angeschlagen und könnten sie nicht mehr. Diese Erklärungen zeigten deutlich, dass der Beschwerdeführer von Seiten der Eltern nur beschränkt Hilfeleistung erwarten könne und seine Nachbetreuung alles andere als sichergestellt sei. Im Falle einer Entlassung dürfte er mithin auf sich selbst gestellt sein, was einer weiteren Stabilisierung seines Zustandes abträglich wäre. Auch der Gutachter rechne mit einer Überforderung des Beschwerdeführers bei der Bewältigung seiner Tagesgeschäfte. Der Beschwerdeführer scheine sich durchaus bewusst zu sein, dass er der Unterstützung bedürfe. So ziehe er anstelle einer Rückkehr in seine Wohnung das Kriseninterventionszentrum in Betracht, wo er etwas betreut würde. Die Aussichten, dass es bald wieder zu einer Hospitalisierung komme, erachtet die Vorinstanz angesichts der gegebenen Umstände als gross. Immerhin sei es nur gerade eine Woche, nachdem der Beschwerdeführer - offenbar gegen ärztliche Empfehlung - zum letzten Mal aus der Klinik ausgetreten sei, zu der hier in Frage stehenden Einweisung gekommen. Während des aktuellen Aufenthalts sei der Beschwerdeführer zweimal entwichen und habe jeweils durch die Polizei zurückgeführt werden müssen.
Zusammenfassend hält das Obergericht unter Hinweis auf seine Feststellungen dafür, die Voraussetzungen der fürsorgerischen Freiheitsentziehung seien beim Beschwerdeführer nach wie vor gegeben. Ausserdem sei die Klinik A._ auch nach Ansicht des Gutachters geeignet, ihm die notwendige medizinische und soziale Hilfe zu geben.
3.2 In ihrer Vernehmlassung vom 5. Januar 2010 weist die Klinik ausdrücklich darauf hin, dass der Beschwerdeführer an einer paranoiden Schizophrenie leide. Er sei aufgrund dieser Krankheit der festen Überzeugung, dass ihn seine Familie mit religiösen Führern aus den USA bedrohe; er glaube, dass der 3. Weltkrieg bevorstehe, nehme Bombenexplosionen wahr und glaube Opfer einer Vergewaltigung zu werden, was bei ihm grosse existentielle Ängste auslöse, die ihrerseits zu nicht oder wenig nachvollziehbaren Handlungen führten. An Schizophrenie erkrankte Menschen fühlten sich auch ausserhalb der Klinik von allen möglichen Mitmenschen bedroht, was zu inadäquaten Notwehrreaktionen und damit zu einer Gefahr für Dritte führen könne. Der Beschwerdeführer habe sich aufgrund seiner ausgeprägten krankheitsbedingten Angst sodann wiederholt selbst gefährdet. So sei er nach der Verhandlung beim erstinstanzlichen Richter aus der Klinik entwichen, indem er über ein Dach geklettert sei, und habe sich dabei unnötig gefährdet. Dass die krankheitsbedingten Ängste den Beschwerdeführer davon abhielten, sich selbst um seine eigene Gesundheit zu kümmern, habe sich auch in einer Entweichung aus dem Kantonsspital geäussert, wohin er zur Abklärung von ernsthaften körperlichen Symptomen verbracht worden sei. Wegen der beim Beschwerdeführer fehlenden Krankheitseinsicht würde sich dieser der Behandlung, die erfahrungsgemäss eine Verbesserung der Symptome bringen könnte, in einem ambulanten Setting nicht unterziehen.
4. Der Beschwerdeführer erblickt darin, dass die Vorinstanz seinem Antrag, die Rapporte über die von ihr erwähnte Auseinandersetzung mit der Polizei beizuziehen, nicht entsprach, einen Verstoss gegen Art. 5 Ziff. 4 EMRK sowie Art. 31 Abs. 4 und <ref-law>.
4.1 Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> hindert den Richter nicht daran, einem beantragten Beweismittel aufgrund einer vorweggenommenen Beweiswürdigung, weil er seine Überzeugung bereits aus anderen Beweisen gewonnen hat und davon ausgeht, dass weitere Abklärungen am massgeblichen Beweisergebnis nichts mehr zu ändern vermöchten, die Tauglichkeit abzusprechen. Als verfassungswidrig zu beanstanden ist das Übergehen des Beweisantrags in einem solchen Fall einzig dann, wenn die Annahme der Untauglichkeit des Beweismittels bzw. die vorweggenommene Beweiswürdigung willkürlich ist (dazu <ref-ruling> E. 5.3 S. 148 mit Hinweis). Anderes ergibt sich auch nicht aus den die gerichtliche Überprüfung eines Freiheitsentzugs garantierenden Bestimmungen von Art. 5 Ziff. 4 EMRK und <ref-law>.
4.2 Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was die Annahme des Obergerichts, es sei ungeachtet der von ihm angerufenen Polizeirapporte von einem nicht zu unterschätzenden Aggressionspotential auszugehen, vollkommen unhaltbar erscheinen liesse. Die gegen die Unterlassung des Beizugs der Rapporte gerichtete Rüge stösst daher ins Leere.
5. Gerügt wird ausserdem in verschiedener Hinsicht eine Verletzung von <ref-law> und Art. 5 Ziff. 1 EMRK.
5.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, dem angefochtenen Entscheid mangle es an einer sorgfältigen Begründung; insbesondere werde nicht hinreichend dargelegt, dass ihm die persönliche Fürsorge nicht anders als in einer psychiatrischen Klinik erbracht werden könne. Soweit dieses Vorbringen die Rüge enthält, der obergerichtliche Beschluss genüge den nach <ref-law> an die Begründung des kantonalen Entscheids gestellten Anforderungen nicht, ist sie unbegründet: Den dargelegten Ausführungen des Obergerichts ist hinreichend klar zu entnehmen, von welchem Krankheitsbild und von welchen Auswirkungen die Vorinstanz ausgegangen ist. Dass er an einer paranoiden Schizophrenie leidet, wie in der Vernehmlassung der Klinik vom 5. Januar 2010 festgehalten wird, zieht der Beschwerdeführer in seiner Eingabe vom 9. Januar 2010 nicht in Zweifel. Von Geisteskrankheit im Sinne von <ref-law> - wie sie vom Obergericht unter Hinweis auf den Entscheid des erstinstanzlichen Richters beim Beschwerdeführer bejaht wurde - ist im Übrigen zu sprechen, wenn auf Dauer psychische Symptome oder Verlaufsweisen auftreten, die einen stark auffallenden Charakter haben und einem besonnenen Laien nach hinreichender Bekanntschaft mit der betroffenen Person den Eindruck völlig uneinfühlbarer, qualitativ tiefgehend abwegiger, grob befremdender Störungszeichen machen (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 261 mit Hinweis; EUGEN SPIRIG, Zürcher Kommentar, N. 27 zu <ref-law>). Wenn das Obergericht in Würdigung der von ihm angeführten Merkmale dafür hält, diese erfüllten gesamthaft gesehen diese Voraussetzungen, hat es kein Bundesrecht verletzt.
5.2 Das Obergericht hält fest, mit Handlungen wie das Betätigen der Handbremse als Beifahrer im fahrenden Auto seines Vaters bringe der Beschwerdeführer auch sich selbst in erhebliche Gefahr. Ausserdem sei zu befürchten, dass er im Falle einer (sofortigen) Entlassung erneut gegenüber seinem Vater oder anderen Personen unkontrolliert oder gar gewalttätig reagiere und sich damit in ernsthafte Konfliktsituationen begebe, was wiederum eine Eigengefährdung darstelle. Bei diesen Ausführungen ging es der Vorinstanz offensichtlich darum, auf die Gefahr hinzuweisen, dass der Beschwerdeführer durch sein Verhalten mit Dritten in Konflikt geraten könnte und bei diesen ihn schädigende Reaktionen auslösen könnte. Insofern ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht zu beanstanden, nicht nur von einer Fremdgefährdung, sondern auch von einer (indirekten) Selbstgefährdung zu sprechen.
Zu den Vorbringen des Beschwerdeführers betreffend Fremdgefährdung ist vorab zu bemerken, dass eine solche einerseits für sich allein eine fürsorgerische Freiheitsentziehung bzw. deren Aufrechterhaltung zwar nicht zu rechtfertigen vermag (dazu THOMAS GEISER, Basler Kommentar, 3. Auflage, N. 26 zu <ref-law>), andererseits aber auch nicht ohne Bedeutung ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 293). Die Erklärung, es sei fraglich, ob ein Vorfall mit der Polizei, wie er im angefochtenen Entscheid erwähnt wird, sich je zugetragen habe, ist sodann rein appellatorischer Natur und deshalb nicht geeignet, die entsprechende Feststellung der Vorinstanz als willkürlich erscheinen zu lassen. Dass der Beschwerdeführer die Klinik, in die er nach jenem Vorfall eingewiesen worden war, vor der neuerlichen Hospitalisierung verlassen hatte, ist unerheblich und steht einer Aufrechterhaltung der gegenwärtigen fürsorgerischen Freiheitsenziehung nicht entgegen. Ebenso wenig ist mit dem Vorbringen, Verletzungsfolgen der Auseinandersetzung mit dem Vater nach dem Betätigen der Handbremse seien nicht bekannt und es sei auch nicht bekannt, ob der Beschwerdeführer den Vorfall bagatellisiere, Willkür bezüglich des vorinstanzlichen Schlusses auf eine realitätsfremde Wahrnehmung des Beschwerdeführers dargetan.
5.3 Der Beschwerdeführer weist darauf hin, dass er mit der Einzimmerwohnung, in die er zurückkehren könne, ein Dach über dem Kopf habe, ihm ein solches somit nicht in der psychiatrischen Klinik zu gewähren sei. Die Wohnverhältnisse hält auch die Vorinstanz für geregelt. Indessen ist sie der Ansicht, dies reiche angesichts der im Übrigen schwierigen sozialen Situation des Beschwerdeführers, der seit über fünf Jahren von Sozialhilfe lebe, für eine Entlassung nicht aus.
Nach den Darlegungen des Obergerichts geht auch der Beschwerdeführer selbst davon aus, nur mit Unterstützung von Bezugspersonen für sich sorgen zu können. Die Vorinstanz bezeichnet es als unrealistisch, im gegenwärtigen Zeitpunkt von einer solchen Hilfe auszugehen, da das Beziehungsnetz nach den eigenen Angaben des Beschwerdeführers zur Zeit zerstört sei. Letzteres wird nicht in Abrede gestellt. Wenn der Beschwerdeführer der vorinstanzlichen Feststellung, er könne von Seiten seiner Eltern angesichts ihres prekären Gesundheitszustandes nur beschränkt Hilfeleistung erwarten, entgegenhält, es frage sich, ob er für den Vater oder dieser für ihn die grössere Belastung darstelle, ist darin nichts zu erblicken, was die Annahme, er sei auf Hilfe angewiesen und diese sei zur Zeit ausserhalb der Klinik nicht gewährleistet, als willkürlich erscheinen liesse. Unbehelflich ist ebenso der gegen die obergerichtliche Feststellung, der Beschwerdeführer sei bei der Bewältigung seiner Tagesgeschäfte überfordert, erhobene Einwand, es stelle sich in einer solchen Situation allenfalls die Frage einer Beistandschaft: Wie den Ausführungen der Vorinstanz zu entnehmen ist, geht diese von einem Bedürfnis des Beschwerdeführers nach persönlicher Fürsorge aus, und eine solche wird von einem Beistand, dessen Tätigkeit auf den Rechtsverkehr ausgerichtet ist, nicht erbracht (GEISER, a.a.O. N. 3 zu <ref-law>). Zum Vorbringen des Beschwerdeführers, er brauche keine Krankheitseinsicht zu zeigen und die Medikamente nicht einzunehmen, zumal das ZGB keinen Behandlungsauftrag enthalte und deshalb auch nicht gesagt werden könne, die erforderliche ärztliche und soziale Hilfe könne derzeit nur im Rahmen einer stationären Behandlung in der Klinik erwiesen werden, ist zu bemerken, dass eine Weigerung der betroffenen Person, sich behandeln zu lassen, einer Aufrechterhaltung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung nicht entgegensteht (dazu <ref-ruling> E. 4.2 S. 294).
6. Dass das Obergericht erklärt hätte, er habe sich (im Zusammenhang mit der Auseinandersetzung mit Polizeibeamten) eine strafbare Handlung zuschulden kommen lassen, macht der Beschwerdeführer selbst nicht geltend. Ob das von der Vorinstanz festgestellte Verhalten einen Straftatbestand erfüllt, wäre gegebenenfalls von der zuständigen Untersuchungsbehörde bzw. vom Strafrichter zu prüfen. Im vorliegenden Verfahren stösst die Rüge der Missachtung der Unschuldsvermutung nach Art. 6 Ziff. 2 EMRK und <ref-law> ins Leere.
7. Nach dem Gesagten ist nicht dargetan, dass der obergerichtliche Entscheid gegen Bundesrecht verstosse. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. So, wie sie - von dem durch einen Rechtsanwalt vertretenen Beschwerdeführer - begründet worden ist, erschien sie von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. <ref-law>). Angesichts der prekären finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers ist von der Erhebung von Gerichtskosten jedoch abzusehen (Art. 65 Abs. 2 und Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspfege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Klinik A._ und dem Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel