Spitalbehandlung (Zusatzversicherung), hat sich ergeben:
A.- Mit beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau erhobener Klage vom 29. November 2000 verlangte die Spital Y._AG, die X._ Versicherungen AG zur Bezahlung von Fr. 5'900. 65 zuzüglich Zins von 4% seit 14. Oktober 1998 sowie von Fr. 13'659. 70 zuzüglich Zins von 4% seit 15. November 1998 zu verurteilen (1) sowie den Rechtsvorschlag gegen die Betreibung 1999/11 des Konkursamtes des Kantons St. Gallen aufzuheben und definitive Rechtsöffnung zu erteilen (2). Sie machte im Wesentlichen geltend, die halbprivat versicherte A._ sei bei ihr vom 3. März bis zum 12. August 1998 hospitalisiert gewesen. Zu diesem Zweck habe für die querschnittgelähmte Patientin ein Spezial(Luftkissen)bett für insgesamt Fr. 19'560. 35 angemietet werden müssen, welchen Betrag sie in der Folge bei der Beklagten in Rechnung gestellt habe. Auf Betreibung hin habe die Beklagte Rechtsvorschlag erhoben. Beim Spezialbett habe es sich um eine medizinisch bedingte therapeutische Leistung und nicht eine Pflegemassnahme gehandelt. Bei Privatpatienten würden gemäss der massgebenden Taxordnung des Regierungsrates für kantonale Krankenanstalten vom 13. Dezember 1982 Kosten für therapeutische Massnahmen besonders berechnet; der Beizug eines Luftkissenbettes stelle keine spitaleigene Leistung gemäss Spitalleistungskatalog dar. Die Kosten solcher spitalfremder Leistungen würden gemäss Taxordnung weiter verrechnet.
Die Beklagte beantragte die Abweisung der Klage.
Dabei führte sie u.a. aus, am 6. Mai 1998 der Klägerin die Aufenthaltskosten in der halbprivaten Abteilung zuzüglich Behandlungskosten des Spitals nach Vertrag oder kantonaler Taxordnung garantiert, nicht aber Gutsprache für die Mietkosten des Spezialbetts geleistet zu haben. Diese Kosten seien in der Tagespauschale abgegolten. Beim Spezialbett handle es sich um eine pflegerische und nicht eine therapeutische Massnahme. Nur letztere würden besonders berechnet.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hat die Klage am 18. April 2001 gutgeheissen und den Rechtsvorschlag beseitigt. Zunächst bejahte es seine Zuständigkeit als Versicherungsgericht.
Sodann erwog es, dass das Spezialbett nicht der üblichen Pflege diente und auch die Beklagte nicht behaupte, ein solches Bett gehöre zur Grundausstattung eines Spitals. Schliesslich könnten nach der Taxordnung ausgewiesene Kosten spitalfremder Leistungen weiter verrechnet werden.
B.- Mit Berufung vom 20. September 2001 verlangte die Beklagte die Aufhebung des Entscheides des Verwaltungsgerichts und Abweisung der Klage, eventuell Rückweisung der Angelegenheit zur Neubeurteilung. Mit Antwort vom 15. November 2001 beantragte die Spital Y._AG die Abweisung der "Beschwerde". Das Verwaltungsgericht verwies auf seinen Entscheid.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 46).
a) Zunächst ist zu prüfen, ob eine berufungsfähige Zivilstreitigkeit im Sinne von Art. 46 OG vorliegt, wobei der erforderliche Streitwert von 8000 Franken klar überschritten wird. Unter Zivilstreitigkeit gemäss Art. 46 OG versteht die Rechtsprechung ein kontradiktorisches Verfahren zwischen zwei oder mehreren natürlichen oder juristischen Personen in ihrer Eigenschaft als Trägerinnen privater Rechte oder zwischen solchen Personen und einer Behörde, die nach Bundesrecht die Stellung einer Partei einnimmt.
Dieses Verfahren bezweckt die endgültige Regelung zivilrechtlicher Verhältnisse; dabei ist nicht entscheidend, welchen Rechtsweg die kantonale Behörde eingeschlagen hat; Voraussetzung bildet lediglich, dass die Parteien Ansprüche des Bundeszivilrechts erhoben haben und ebensolche streitig sind (<ref-ruling> E. 1a S. 46).
b) Das Verwaltungsgericht hat seine Zuständigkeit gestützt auf § 69a Abs. 1 Ziff. 2 VRG/TG (170. 1) bejaht.
Danach beurteilt das Verwaltungsgericht als einzige Instanz Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung nach dem KVG. Führen die Krankenkassen neben der sozialen Krankenversicherung Zusatzversicherungen (Art. 12 Abs. 2 KVG; SR 832. 10), unterliegen diese nach Art. 12 Abs. 3 KVG dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221. 229.1). Streitigkeiten zwischen Versicherungseinrichtungen oder zwischen solchen und Versicherten werden vom Richter entschieden (Art. 47 Abs. 1 VAG; Versicherungsaufsichtsgesetz, SR 961. 01). Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen sind zivilrechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 1.a/aa S. 46).
Da zwischen den Parteien kein Versicherungsvertrag besteht und es auch nicht um eine Streitigkeit zwischen Versicherungseinrichtungen geht (Art. 47 Abs. 1 VAG), handelt es sich nicht um eine Streitigkeit aus Zusatzversicherung im Sinne des VAG (<ref-ruling> E. 2 S. 423 f.). Ob die Vorinstanz nach dem kantonalen Organisationsrecht zuständig war, ist hier nicht zu erörtern, weil einerseits (willkürliche) Verletzung kantonalen Rechts ohnehin mit staatsrechtlicher Beschwerde zu rügen wäre (Art. 43 Abs. 1 OG) und andererseits der im Kanton eingeschlagene Rechtsweg für die hier interessierende Frage unerheblich ist. Auf jeden Fall handelt es sich beim angefochtenen Entscheid um einen Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (Art. 48 Abs. 1 OG).
Ungeachtet der materiellen Frage, auf welche Rechtsgrundlage sich der klägerische Anspruch zu stützen vermag, genügt für die Bejahung der Zulässigkeit der Berufung der Hinweis, dass es sich um eine Streitigkeit zweier juristischer Personen in ihrer Eigenschaft als Träger privater Rechte handelt, die als gleichberechtigte Subjekte auftreten (Messmer/Imboden, Die eidgenössischen Rechtsmittel in Zivilsachen, Ziff. 47 S. 68). Insoweit steht dem Eintreten auf die Berufung nichts entgegen.
2.- Soweit die Beklagte die Verletzung von Art. 47 Abs. 2 VAG rügt, weil das Verwaltungsgericht es namentlich unterlassen habe, den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen, erweist sich die Berufung als unbegründet, gelangt doch das VAG aufgrund des Gesagten vorliegend nicht zur Anwendung (E. 1b). Soweit dem Verwaltungsgericht vorgeworfen wird, über rechtserhebliche Tatsachen keinen Beweis geführt zu haben, worin die sinngemässe Rüge der Verletzung von Art. 8 ZGB zu erblicken ist, kann darauf mangels Substantiierung nicht eingetreten werden (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG), unterlässt es doch die Beklagte darzutun, im kantonalen Verfahren überhaupt entsprechende Beweisanträge gestellt zu haben. Soweit die Beklagte dem Verwaltungsgericht vorwirft, sich mit ihrer Argumentation nicht auseinander gesetzt zu haben, rügt sie sinngemäss die Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV), welche Rüge der staatsrechtliche Beschwerde vorbehalten ist (Art. 43 Abs. 1 OG), so dass darauf ebenfalls nicht einzutreten ist.
Dasselbe gilt für die die Beweiswürdigung betreffende (Willkür-)Rüge.
3.- Die Klägerin leitet ihren Leistungsanspruch aus dem sog. Garantieschein der Beklagten vom 6. Mai 1998 ab. Damit garantierte die Beklagte der Klägerin, für ihre Versicherte A._ "die Aufenthaltskosten in der halbprivaten Abteilung, plus Behandlungskosten nach anerkanntem Tarif".
a) Darin liegt eine Vereinbarung zwischen Versicherer und Leistungserbringer, dass jener diesem die Vergütung schuldet. Es handelt sich zufolge des Vertrags des Übernehmers (Versicherer bzw. Beklagte) mit dem Gläubiger (Leistungserbringer bzw. Klägerin) um eine privative Schuldübernahme (Art. 176 Abs. 1 OR). Umstritten ist nicht die Leistungspflicht der Beklagten als solche, sondern ob der Vergütungsanspruch der Klägerin auch die umstrittenen Mietkosten für das Spezialbett umfasst.
Die von der Beklagten geschuldeten Kosten für den Aufenthalt der Versicherten in der halbprivaten Abteilung sowie für deren Behandlung bemessen sich laut dem Garantieschein nach dem "anerkannten Tarif". Zwischen den Parteien ist unbestritten, dass es sich dabei um die Verordnung des Regierungsrates über die Taxen der kantonalen Krankenanstalten vom 13. Dezember 1982 (sog. Taxordnung) in der revidierten Fassung vom 19. Dezember 1995 handelt. Als Konkretisierung der garantierten Leistung bzw. der übernommenen Schuld gilt die Taxordnung als Vertragsbestandteil bzw. -recht, dessen Auslegung freier Prüfung unterliegt.
b) Gemäss § 11 Abs. 1 Taxordnung, der die Taxen der Privatabteilung regelt, werden mit den Tagespauschalen für Privatpatienten die Kosten für Unterkunft, Verpflegung und Pflege abgegolten. Absatz 2 dieser Bestimmung listet die Kosten auf, die besonders berechnet werden, gemäss dessen Ziff. 6 namentlich "übrige Leistungen gemäss § 10 Absätze 2 und 3". Umstritten ist, ob darunter auch die ausgewiesenen Kosten des spitalfremden Spezialbetts fallen. Nach Auffassung der Klägerin und der Vorinstanz ist dies aufgrund von Abs. 4 (Satz 2) der Verweisungsnorm (§ 10) der Fall, welche Bestimmung vorliegend zum Tragen komme, obwohl § 11 Abs. 2 Ziff. 6 Taxordnung nur auf die Absätze 2 und 3 von § 10, nicht aber auf dessen Absatz 4 verweise. Sie begründen dies damit, dass im Zuge der 1995 erfolgten Neufassung von § 10 die ursprünglich den Absatz 3 bildende Klausel zum Absatz 4 geworden und die entsprechende Anpassung in § 11 Abs. 2 Ziff. 6 versehentlich unterblieben sei.
c) Das Verwaltungsgericht subsumierte die umstrittene Leistung nicht unter den Begriff der mit der Tagespauschale abgegoltenen "Pflege", da sie nicht der üblichen Pflege gedient habe. Die Versicherte sei als gelähmte Patientin, die sich Operationen mit Hautverpflanzung unterziehen musste, auf eine schonende Umlagerung zur Behandlung der Wunden auf das Spezialbett (mit Luftkissenlagerung) angewiesen gewesen. Als therapeutische Massnahme gelte sie nicht als Pflege, sondern zähle zu den übrigen Leistungen im Sinne der Ziff. 6 des Absatzes 2, die weiter verrechnet würden.
Gewiss ist das Zurverfügungstellen eines Spitalbetts im Allgemeinen nicht als therapeutische Leistung zu qualifizieren. Hängt nun allerdings der Erfolg therapeutischer Massnahmen entscheidend von der Beschaffenheit der Liegestelle ab, mag ein Grenzfall vorliegen. Entscheidend ist nun aber, ob das Spezialbett unter die in § 11 Abs. 2 aufgezählten Leistungen fällt, die besonders berechnet werden. Es ist daher zu prüfen, ob es sich um eine "übrige Leistung" im Sinne der Ziff. 6 handelt; dass es unter eine andere Ziffer von Absatz 2 fallen könnte, wurde von der Klägerin nicht geltend gemacht und auch von der Vorinstanz nicht erwogen.
d) Dies ist nun aber klarerweise nicht der Fall und zwar selbst dann nicht, wenn das von der Klägerin geltend gemachte Versehen berücksichtigt und § 11 Abs. 2 Ziff. 6 Taxordnung so gelesen wird, als würde darin statt auf den Absatz 3 von § 10 auf dessen Absatz 4 verwiesen. Dabei ist die Verweisungsnorm im Gesamtzusammenhang zu verstehen.
Absatz 1 von § 10 regelt, welche Leistungen (in der allgemeinen Abteilung) mit der Tagestaxe abgegolten sind.
Welche Leistungen besonders verrechnet werden und damit nicht mit den Tagestaxen abgegolten sind, bestimmte in der alten Fassung von § 10 dessen Abs. 2. In der geltenden Fassung ist dies in den Absätzen 2 und 3 geregelt, die nunmehr zwischen Kantonseinwohnern (Abs. 2) und ausserkantonalen Patienten sowie Ausländern mit Wohnsitz im Ausland (Abs. 3) unterscheiden, während Abs. 2 der alten Fassung diese Unterscheidung nicht traf. Abs. 4 der geltenden Fassung von § 10 - wie schon Abs. 3 der alten Fassung - legt schliesslich fest, wie die Kosten der besonders zu berechnenden Leistungen ermittelt werden:
"Bei spitaleigenen Leistungen gelangt der Spitalleistungskatalog
zu den vom Regierungsrat genehmigten
Taxpunktwerten zur Anwendung. Bei spitalfremden
Leistungen werden die ausgewiesenen Kosten
weiterverrechnet.. "
Nur wenn sich ergibt, dass die umstrittene Leistung nach § 10 Abs. 2 oder 3 besonders zu berechnen ist, ist sie als spitalfremde Leistung aufgrund der ausgewiesenen Kosten weiter zu verrechnen.
Den Feststellungen des angefochtenen Entscheides ist zwar nicht zu entnehmen, ob die Versicherte Kantonseinwohnerin ist oder nicht. Doch spielt dies keine Rolle, da die umstrittene Leistung, das Spezialbett, klarerweise weder im Katalog von Absatz 2 noch in jenem von Absatz 3 figuriert, welche beide die besonders zu berechnenden Leistungen abschliessend aufzählen, ohne dass hier auf die Details näher einzugehen wäre. Zählt daher die umstrittene Leistung nicht zu den übrigen Leistungen im Sinne von § 11 Abs. 2 Ziff. 6 - unter die andern Ziffern des Absatzes 2 fällt sie offensichtlich auch nicht -, ist sie in Ermangelung einer Anspruchsgrundlage nicht geschuldet.
4.- Zusammenfassend ergibt sich, dass die Berufung gutzuheissen ist, soweit darauf einzutreten ist. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Klage abzuweisen.
Nach dem Ausgang des Verfahrens hat die Klägerin die Verfahrenskosten vor Bundesgericht zu bezahlen (Art. 156 Abs. 1 OG). Da die Beklagte nicht vertreten ist und ihre ausgewiesenen Barkosten minim sind, wird von der Zusprechung einer Parteientschädigung abgesehen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 7 S. 81/82 und 113 Ib 353 E. 6b S. 356 f.). Die Klägerin hat der (auch) vor Verwaltungsgericht nicht vertretenen Beklagten - in Analogie zur im angefochtenen Entscheid getroffenen Regelung - eine Entschädigung von Fr. 300.-- auszurichten (Art. 159 Abs. 6 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht vom 18. April 2001 aufgehoben.
2.- Die Klage wird abgewiesen.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Klägerin auferlegt.
4.- Für das bundesgerichtliche Verfahren wird keine Parteientschädigung gesprochen. Für das kantonale Verfahren hat die Klägerin die Beklagte mit Fr. 300.-- zu entschädigen.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 16. Januar 2002
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: