Sachverhalt:
A. A.a X._ (Beschwerdeführer) ist ein erfahrener internationaler Springreiter.
Die Fédération Equestre Internationale (FEI; Beschwerdegegnerin) ist der Weltverband für den Reitsport mit Sitz in Lausanne.
A.b Der Beschwerdeführer nahm zwischen dem 8. und 21. August 2008 mit dem Pferd Y._ als Mitglied des Nationalteams Z._an den Olympischen Sommerspielen 2008 in China teil. Er gewann mit der Springreitermannschaft Z._ die Bronzemedaille.
Am 18. August 2008, nach dem Mannschaftsfinal der Springreiter, wurde beim Pferd Y._ eine Urinprobe entnommen. Die Analyse der Urinprobe wurde vom anerkannten FEI-Labor "A._ Laboratory" unter der Aufsicht der Chemikerin B._ sowie des "Chief Racing Chemist" und Vorstehers des genannten Labors, Dr. C._, durchgeführt. Im Urin von Y._ wurde gemäss Testbericht vom 21. August 2008 die verbotene Substanz Capsaicin nachgewiesen. Weder ein Antrag für den Gebrauch von Capsaicin noch ein entsprechendes Medikationsformular waren eingereicht worden.
Am 21. August 2008 informierte die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer über den Nachweis der verbotenen Substanz sowie die mögliche Regelverletzung. Gleichzeitig wurde er provisorisch suspendiert, wobei er die Möglichkeit eingeräumt erhielt, sich anlässlich eines Preliminary Hearing vor dem FEI-Tribunal zu äussern, das noch am selben Tag stattfand. Der Beschwerdeführer bot keine Erklärung für das Vorliegen der verbotenen Substanz an. Der vorläufige Entscheid wurde dem Beschwerdeführer ebenfalls am gleichen Tag mitgeteilt. Danach wurde die provisorische Sperre aufgrund des Nachweises von Capsaicin bis zu einem definitiven Entscheid des FEI-Tribunals aufrechterhalten.
Am 21. August 2008 wurde dem Beschwerdeführer auch mitgeteilt, dass die B-Probe im A._ Laboratory analysiert werde. Er wurde zudem über sein Recht informiert, bei der Identifikation sowie beim Öffnen der B-Probe selbst dabei zu sein oder sich vertreten zu lassen. Der Beschwerdeführer nahm zur Kenntnis, dass die B-Probe wie beschrieben analysiert werden soll und teilte mit, er werde sich durch Dr. D._, dem Mannschaftstierarzt des schwedischen Reitsportverbands, vertreten lassen.
Am 23. August 2008 wurde die B-Probe beim A._ Laboratory unter der Aufsicht der Chemikerin Dr. E._ sowie des Chemikers F._ untersucht, während Dr. D._ als Zeuge und Vertreter des Beschwerdeführers anwesend war.
Der Zeuge Dr. D._ bestätigte schriftlich, dass der Behälter mit der B-Urinprobe keine Anzeichen einer Fremdeinwirkung aufwies und die Identifikationsnummern auf der zu analysierenden Probe mit derjenigen auf der Probedokumentation übereinstimmte. Er bezeugte ausserdem, dass er bei der Öffnung der Probe dabei war.
Die Analyse der B-Probe bestätigte den Nachweis von Capsaicin.
Am 27. August 2008 wurden dem Beschwerdeführer die Resultate der B-Probe mitgeteilt.
Am 26. September 2008 fand am Sitz der Beschwerdegegnerin in Lausanne ein Final Hearing statt. Die Parteien einigten sich darauf, dass am 8. November 2008 ein weiteres Hearing anzusetzen sei, damit zusätzliche Beweismittel vorgetragen und insbesondere die Sachverständigen befragt und ins Kreuzverhör genommen werden könnten.
B. B.a Mit Entscheid des FEI-Tribunals vom 22. Dezember 2008 wurden das Pferd Y._ sowie der Beschwerdeführer für die Olympischen Spiele in Peking disqualifiziert und sämtliche Medaillen und Preisgelder aberkennt. Im Weiteren ordnete das FEI-Tribunal die Neuberechnung der Resultate des Springreiterteams Z._ unter Ausblendung der Resultate des Beschwerdeführers an. Schliesslich verhängte es gegen den Beschwerdeführer weitere Sanktionen, so insbesondere eine Wettkampfsperre von viereinhalb Monaten ab dem 21. August 2008 sowie eine Busse von Fr. 3'000.--.
B.b Mit Appeal vom 19. Januar 2009 focht der Beschwerdeführer den Entscheid des FEI-Tribunals vom 22. Dezember 2008 beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) an und beantragte die Aufhebung dieses Entscheids.
Mit Schiedsentscheid vom 4. Dezember 2009 wies das TAS den Appeal des Beschwerdeführers ab und bestätigte den angefochtenen Entscheid. Das TAS ging aufgrund der positiven Urinproben von einem Regelverstoss aus. Die verschiedenen Einwände des Beschwerdeführers erachtete das TAS als nicht stichhaltig, so insbesondere die Behauptung, die Urinproben seien kontaminiert gewesen, weil die mit der Entnahme der Urinprobe betraute Person keine Handschuhe getragen hätte, wie dies vorgeschrieben sei. Auch die vom Beschwerdeführer erst nach dem Final Hearing vorgebrachte These, die erwähnte Person habe zwar Handschuhe getragen, diese seien jedoch vermutlich bereits verunreinigt gewesen, erachtete das TAS als haltlos. Ausserdem schloss das TAS die Möglichkeit einer Verunreinigung der Urinprobe auch aufgrund einer weiteren Untersuchung der ersten Urinprobe hinsichtlich der Zusammensetzung der nachgewiesenen Substanz aus.
C. Mit Beschwerde vom 19. Januar 2010 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es seien das Urteil des TAS vom 4. Dezember 2009 und der Entscheid des FEI-Tribunals vom 22. Dezember 2008 aufzuheben.
Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat sich in einer kurzen Eingabe lediglich zur Frage ihrer Zuständigkeit geäussert, ansonsten jedoch auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Der Beschwerdeführer hat dem Bundesgericht eine Replik, die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht.
D. Mit Verfügung vom 2. Februar 2010 wies das Bundesgericht die Gesuche des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um Anordnung vorsorglicher Massnahmen gegenüber der Beschwerdegegnerin ab.

Erwägungen:
1. Nach Art. 54 Abs. 1 BGG ergeht der Entscheid des Bundesgerichts in einer Amtssprache, in der Regel derjenigen des angefochtenen Entscheids. Wurde dieser Entscheid in einer anderen Sprache abgefasst, bedient sich das Bundesgericht der von den Parteien verwendeten Amtssprache. Der angefochtene Entscheid ist in englischer Sprache abgefasst. Da es sich dabei nicht um eine Amtssprache handelt und sich die Parteien vor Bundesgericht verschiedener Sprachen bedienen, ergeht der Entscheid des Bundesgerichts praxisgemäss in der Sprache der Beschwerde.
2. Der Beschwerdeführer hat unter anderem den Verfahrensantrag gestellt, es sei ein zweiter Schriftenwechsel anzuordnen; zudem sei ihm zu gegebener Zeit Frist zur Replikerstattung anzusetzen und seinem Rechtsvertreter die vorinstanzlichen Akten mit der Fristansetzung zur Einsichtnahme zuzustellen.
Im Verfahren vor Bundesgericht findet in der Regel kein zweiter Schriftenwechsel statt (Art. 102 Abs. 3 BGG). Vorliegend besteht kein Grund, davon abzuweichen, weshalb auf eine Fristansetzung zur Einreichung einer Replik und die zusammen mit der beantragten Fristansetzung verlangte Aktenzustellung verzichtet wurde. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts steht es indessen der beschwerdeführenden Partei frei, sich zur Beschwerdeantwort zu äussern, ohne vorher um eine gerichtliche Fristansetzung zu ersuchen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 99 f.). Davon hat der Beschwerdeführer mit der Einreichung seiner Replikschrift Gebrauch gemacht.
Was den Antrag des Beschwerdeführers auf Beizug der vorinstanzlichen Akten betrifft, ist festzuhalten, dass das TAS seine Akten dem Bundesgericht samt Inhaltsverzeichnis der verschiedenen Ordner eingereicht hat. Dies genügt zur Beurteilung der Beschwerde. Eine fortlaufende Paginierung mit individuellen Nummern auf jeder Seite, wie dies der Beschwerdeführer mit einem seiner Verfahrensanträge verlangt, ist nicht erforderlich.
3. Im Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit ist die Beschwerde in Zivilsachen unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG zulässig (Art. 77 Abs. 1 BGG).
3.1 Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich vorliegend in Lausanne. Der Beschwerdeführer hatte im relevanten Zeitpunkt weder seinen Wohnsitz noch seinen gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz. Da die Parteien die Bestimmungen des 12. Kapitels des IPRG nicht schriftlich ausgeschlossen haben, gelangen diese zur Anwendung (Art. 176 Abs. 1 und 2 IPRG).
3.2 Aufgrund des angefochtenen Entscheids sowie der Vorbringen des Beschwerdeführers ist von einem Streitwert von über Fr. 30'000.-- auszugehen. Damit kann offen bleiben, ob die in Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG vorgesehene Streitwertgrenze auch für Beschwerden gegen internationale Schiedssprüche gilt (vgl. bereits Urteil 4A_215/2008 vom 23. September 2008 E. 1.1).
3.3 Mit der Beschwerde in Zivilsachen nach Art. 77 BGG in Verbindung mit Art. 190-192 IPRG kann nur der Entscheid des internationalen Schiedsgerichts, vorliegend der Schiedsspruch des TAS vom 4. Dezember 2009, angefochten werden. Von vornherein nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit sie sich gegen den FEI-Verbandsentscheid vom 22. Dezember 2008 richtet und dessen Aufhebung verlangt.
3.4 Zulässig sind allein die Rügen, die in Art. 190 Abs. 2 IPRG abschliessend aufgezählt sind (<ref-ruling> E. 5 S. 187; <ref-ruling> E. 1a S. 53; <ref-ruling> E. 1a S. 282). Nach Art. 77 Abs. 3 BGG prüft das Bundesgericht nur die Rügen, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind; dies entspricht der in Art. 106 Abs. 2 BGG für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5 S. 187 mit Hinweis). Bei Rügen nach Art. 190 Abs. 2 lit. e IPRG ist die Unvereinbarkeit des angefochtenen Schiedsentscheids mit dem Ordre public im Einzelnen aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 3 S. 606). Appellatorische Kritik ist unzulässig (<ref-ruling> E. 3b S. 382).
3.5 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (vgl. Art. 77 Abs. 2 BGG, der die Anwendbarkeit von Art. 105 Abs. 2 sowie Art. 97 BGG ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von Art. 190 Abs. 2 IPRG vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 5 S. 141; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 733; je mit Hinweisen). Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, dass entsprechende Sachbehauptungen bereits im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform aufgestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 486; <ref-ruling> E. 1c S. 473; je mit Hinweisen).
3.6 Der Beschwerdeführer verkennt diese Grundsätze teilweise.
3.6.1 Der Beschwerdeführer kritisiert die "von der FEI diktierte" Schiedsgerichtsbarkeit des TAS und weist darauf hin, dass zwei staatliche Gerichte in Brasilien und Deutschland im Zusammenhang mit Capsaicin-Fällen anlässlich der Olympiade 2008 die Schiedsklausel zu Gunsten des TAS als unbeachtlich beurteilt hätten. Diese Gerichte hätten eine weniger restriktive Überprüfungspraxis als das Bundesgericht. Diese Vorbringen hinsichtlich der Wirksamkeit der Schiedsklausel sowie der Zuständigkeit des TAS sind unverständlich, hat doch der Beschwerdeführer den Entscheid des FEI-Tribunals selber beim TAS angefochten. Aus dem Umstand, dass verschiedene nationale Gerichte auf Grundlage ihrer Verfahrensordnung je eigene und damit möglicherweise verschiedene Beschwerdegründe bzw. Prüfungsbefugnisse kennen, lässt sich jedenfalls nichts zu Gunsten des Beschwerdeführers ableiten.
Überhaupt verlangt der Beschwerdeführer in allgemeinen rechtlichen Ausführungen vergeblich eine Erweiterung der bundesgerichtlichen Kognition. Die eingeschränkte Prüfungsbefugnis nach Art. 77 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 190 Abs. 2 IPRG gilt für sämtliche Verfahren der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit, so auch im Bereich des Sports. Eine Ausweitung der Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts, wie sie der Beschwerdeführer unter Berufung auf die Rechtsweggarantie, den Gleichbehandlungsgrundsatz, den Ordre public, das Willkürverbot sowie rechtspolitische Überlegungen verlangt, ist angesichts der klaren gesetzlichen Grundlagen nicht zu rechtfertigen.
Da mit einer Beschwerde gegen einen internationalen Schiedsentscheid nach Art. 190 Abs. 2 IPRG ausschliesslich die in dieser Bestimmung abschliessend aufgezählten Beschwerdegründe angerufen werden können, nicht jedoch direkt eine Verletzung der Bundesverfassung, der EMRK oder weiterer Staatsverträge (vgl. Urteile 4A_612/2009 vom 10. Februar 2010 E. 2.4.1; 4P.105/2006 vom 4. August 2006 E. 7.3; 4P.64/2001 vom 11. Juni 2001 E. 2d/aa, nicht publ. in <ref-ruling> ff.), ist auf die verschiedentlich gerügte Verletzung entsprechender Bestimmungen grundsätzlich nicht einzutreten. Die aus der BV bzw. der EMRK fliessenden Grundsätze können zwar gegebenenfalls bei der Konkretisierung der nach Art. 190 Abs. 2 IPRG anrufbaren Garantien herangezogen werden; angesichts der strengen Begründungsanforderungen (Art. 77 Abs. 3 BGG) ist jedoch in der Beschwerde eigens aufzuzeigen, inwiefern ein in der genannten Bestimmung vorgesehener Beschwerdegrund gegeben sein soll. Diesen Anforderungen genügt der Beschwerdeführer nicht, wenn er vor Bundesgericht ohne entsprechende Begründung Art. 9, 32 und 35 Abs. 3 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 und 2 EMRK ins Feld führt.
Fehl geht im Übrigen die Berufung des Beschwerdeführers auf wettbewerbsrechtliche Bestimmungen, so insbesondere das "Verbot unangemessener Geschäftsbedingungen marktmächtiger Unternehmen" nach Art. 7 Abs. 2 lit. c KG (SR 251). Mit dem vereinzelt erhobenen Vorwurf der Verletzung wettbewerbsrechtlicher Vorschriften lässt sich keine Ordre public-Widrigkeit begründen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397 f.).
3.6.2 Soweit sich der Beschwerdeführer überhaupt auf zulässige Beschwerdegründe beruft, verfehlt er über weite Strecken die gesetzlichen Begründungsanforderungen an entsprechende Rügen. So beruft er sich etwa im Zusammenhang mit den nach seiner Ansicht anwendbaren Anti-Doping-Bestimmungen auf eine Missachtung des Gleichheitsgrundsatzes oder des rechtlichen Gehörs, ohne sich mit den Erwägungen des Schiedsentscheids des TAS auseinanderzusetzen und eine konkrete Verletzung aufzuzeigen. Auch lässt sich eine Rüge der Ordre public-Widrigkeit nicht mit dem pauschalen Hinweis auf eine angebliche Verletzung "zwingender Persönlichkeitsschutzrechte" begründen (vgl. Urteil 4A_458/2009 vom 10. Juni 2010 E. 4.4.3.2). Der Beschwerdeführer kritisiert überwiegend lediglich in appellatorischer Weise den angefochtenen Entscheid und legt seine eigene Sicht der Dinge, insbesondere hinsichtlich der massgeblichen Vorschriften für die Laboranalyse, dar. Dies ist im Verfahren der Schiedsbeschwerde nicht zulässig.
3.6.3 Die Beschwerde enthält eine eigene Sachverhaltsdarstellung, in welcher der Beschwerdeführer den Ablauf der Ereignisse sowie des Verfahrens aus seiner Sicht darlegt. Er weicht darin, wie auch in seiner weiteren Beschwerdebegründung, in verschiedenen Punkten von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne substantiiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung geltend zu machen. So trägt er etwa unter Verweis auf zwei bundesgerichtliche Entscheide vor, "dem Scheich und Ehemann der FEI-Präsidentin" sowie dem Reiter G._ seien weitergehende Anwesenheits- und Kontrollrechte als ihm selbst gewährt worden. Seine Vorbringen haben insoweit unbeachtet zu bleiben.
4. Zusammen mit der Begründung seiner Verfahrensanträge rügt der Beschwerdeführer verschiedene Verfahrensfehler.
4.1 Zunächst wirft er dem TAS zu Unrecht "Geheimjustiz" und damit eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG) sowie des Ordre public vor (Art. 190 Abs. 2 lit. e IPRG). Seine Behauptung, das TAS habe auf Analyseunterlagen abgestellt, die er selbst erfolglos von der Beschwerdegegnerin herausverlangt habe und die nicht Eingang in die Akten gefunden hätten, ist nicht plausibel.
Der Beschwerdeführer stützt seine Behauptung einzig auf eine Erwägung im angefochtenen Entscheid, wonach dem TAS die Analyseunterlagen vorgelegen hätten ("The cogent supporting analytical material was shown to us."). Dieser Hinweis steht jedoch in eindeutigem Zusammenhang mit der Analyse der beiden Urinproben, wie der vorangehende Absatz verdeutlicht ("The presence of Capsaicin in Y._'s urine was shown by the tests on the 'A' and 'B' samples"). Dieses Verständnis wird im nachfolgenden Satz bestätigt, der auf die Anwesenheit von Dr. D._ bei der Identifikation und Öffnung der B-Probe hinweist, wobei es sich wiederum untrüglich um die Urinprobe handelt. Die These des Beschwerdeführers, das TAS habe mit den erwähnten Analyseunterlagen "geheime" Blutresultate oder zusätzliche Untersuchungsunterlagen gemeint, die dem Schiedsgericht vorgelegen, ihm selbst jedoch vorenthalten worden seien, ist demnach nicht haltbar.
4.2 Keine Verletzung des Gehörsanspruchs (Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG) lässt sich dem Schiedsgericht mit der Begründung vorwerfen, es habe die Zeugenaussagen von Dr. C._ nicht protokolliert, sondern bloss Tonbandaufnahmen davon erstellt.
Eine Protokollierung ist in Verfahren der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit gesetzlich nicht vorgeschrieben. Ein genereller Verfahrensanspruch auf Protokollierung lässt sich weder aus dem Gehörsanspruch noch dem verfahrensrechtlichen Ordre public ableiten (Urteil 4P.10/1998 vom 28. Mai 1998 E. 2a; vgl. SCHNEIDER MICHAEL E., in: Basler Kommentar zum Internationalen Privatrecht, 2. Aufl. 2007, N. 95 zu Art. 182 IPRG mit Hinweisen).
4.3 Nicht einzutreten ist im Übrigen auf den in der Beschwerde erhobenen Vorwurf, Dr. C._ sei "hochgradig befangen" gewesen, zumal nicht ersichtlich ist, inwiefern der Beschwerdeführer die fehlende Unabhängigkeit bzw. Unparteilichkeit des genannten Experten bereits vor dem Schiedsgericht gerügt hätte (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 449 mit Hinweisen).
5. Der Beschwerdeführer unterbreitet dem Bundesgericht in seiner weiteren Beschwerdebegründung verschiedene Bestimmungen des "World Anti-Doping Code" der Welt-Anti-Doping-Agentur (WADA), des "FEI Standard for Laboratories" sowie des "Parts B and C of ILAC Document G-7: 1996" und bringt vor, diese dienten dem Schutz des Sportlers, seien jedoch nicht eingehalten worden. Sodann kritisiert er die Bestimmungen der Beschwerdegegnerin über den Nachweis von Dopingvergehen bzw. Verletzungen von Medikationsvorschriften. Er macht geltend, ohne Anwesenheit während des Analyseverfahrens und ohne vollständige Einsicht in alle Analyseunterlagen könne der Beweis nicht erbracht werden, "dass die Probe unsachgemäss behandelt, international anerkannte Standards in resultatverfälschender Weise missachtet, falsch gemessen und gewogen oder die Probe einfach schlicht und simpel vorsätzlich manipuliert oder unbeabsichtigt kontaminiert worden" sei.
5.1 Das Schiedsgericht hat es aufgrund der durchgeführten Laboruntersuchungen als erwiesen erachtet, dass die verbotene Substanz Capsaicin in den beiden beim Pferd Y._ erhobenen Urinproben vorhanden gewesen sei. Gestützt auf die anwendbaren Anti-Doping-Bestimmungen der Beschwerdegegnerin befand es weiter, dass beim Nachweis einer verbotenen Substanz in der Probe davon auszugehen sei, dass sich die Substanz auch im Organismus des Pferdes befunden habe. Behaupte die für das Pferd verantwortliche Person das Gegenteil, nämlich dass die in der Probe nachweisbare Substanz tatsächlich gar nicht vom Tier stamme, sondern etwa - wie dies der Beschwerdeführer vor dem Schiedsgericht behauptete - auf eine Verunreinigung der Probe zurückzuführen sei, so obliege ihr der Beweis für eine solche Fremdeinwirkung.
Diese Erwägungen verstossen nicht gegen den Ordre public (Art. 190 Abs. 2 lit. e IPRG). Der Beschwerdeführer kritisiert vielmehr lediglich in appellatorischer Weise den Sachentscheid des TAS, was im Rahmen der Schiedsbeschwerde nicht zulässig ist.
5.2 Entsprechendes gilt für seine Behauptung, die Beschwerdegegnerin habe - mit Billigung durch das TAS - Art. 7.2 lit. d und e WADA-Code missachtet und sich mit ihrem Vorgehen im Zusammenhang mit dem Analyseverfahren in offenen Widerspruch zur Regelung im "FEI Standard for Laboratories" gesetzt, was einen Verstoss gegen den Grundsatz pacta sunt servanda bedeute.
Der Grundsatz der Vertragstreue ist nur dann verletzt, wenn das Schiedsgericht zwar die Existenz eines Vertrags bejaht, die daraus sich ergebenden Konsequenzen jedoch missachtet, oder - umgekehrt - die Existenz eines Vertrags verneint, jedoch trotzdem eine vertragliche Verpflichtung bejaht (Urteile 4A_256/2009 vom 11. Januar 2010 E. 4.2.2; 4A_176/2008 vom 23. September 2008 E. 5.2; 4A_370/2007 vom 21. Februar 2008 E. 5.5; vgl. auch <ref-ruling> E. 6c/cc S. 171; <ref-ruling> E 4b S. 638). Davon kann vorliegend keine Rede sein.
5.3 Der Beschwerdeführer legt dar, es sei eine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Umstand zu erblicken, dass er das Analyseverfahren nicht habe durch einen eigenen Sachverständigen überwachen lassen dürfen und ihm die Beschwerdegegnerin auch nicht Einblick in sämtliche Analyseunterlagen gewährt habe. Dabei verkennt er, dass es beim Beschwerdegrund der Verletzung des rechtlichen Gehörs nach Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG um die Frage geht, ob das Schiedsgericht im Rahmen des Schiedsverfahrens zum rechtlichen Gehör zählende Verfahrensgarantien des Beschwerdeführers verletzt hat. Was der Beschwerdeführer hingegen kritisiert, ist das Verhalten der Beschwerdegegnerin sowie die vom TAS vorgenommene materiellrechtliche Beurteilung der Streitfrage, ob das positive Analyseresultat gemäss den anwendbaren Bestimmungen zum Ablauf der Laboruntersuchungen sowie den massgebenden Anti-Doping-Regeln auf einen Regelverstoss schliessen lässt oder nicht (vgl. Urteil 4P.105/2006 vom 4. August 2006 E. 9). Auf diese Kritik kann nicht eingetreten werden. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist nicht dargetan.
5.4 Die im gleichen Zusammenhang erhobene Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs scheitert bereits daran, dass der Beschwerdeführer nicht mit Aktenhinweisen aufzeigt, welche seiner bereits im Rahmen des Schiedsverfahrens erhobenen Vorbringen das TAS übergangen haben soll. Abgesehen davon verkennt der Beschwerdeführer, dass sich aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs im Sinne von Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG kein Anspruch auf Begründung des Entscheids ergibt (<ref-ruling> E. 6.1 S. 187 f. mit Hinweisen). Zwar behauptet er, das TAS habe bereits die sich aus Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG ergebende Mindestanforderung missachtet, die entscheiderheblichen Probleme zu prüfen und zu behandeln, er zeigt jedoch nicht hinreichend konkret auf, inwiefern dies der Fall gewesen sein soll (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 248).
6. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann