Sachverhalt:
A. Nach einem erfolglosen Asylverfahren heiratete X._ (geb. 1975), Staatsangehörige der Elfenbeinküste, im Juli 2005 einen in der Schweiz niedergelassenen Landsmann, worauf ihr eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Ihre aus einer früheren Beziehung stammende Tochter Y._ (geb. 1995) konnte ein Jahr später in die Schweiz einreisen und erhielt ebenfalls eine Aufenthaltsbewilligung. Die beiden bis im Dezember 2008 gültigen Bewilligungen wurden vom Amt für Migration des Kantons Luzern mit Verfügung vom 23. Februar 2009 (Versand am 24. Februar 2009) nicht verlängert, da die Ehegatten seit Oktober 2007 getrennt lebten. Bereits am 19. Februar 2009 hatte das Amt für Migration indessen den Einwohnerdiensten der Stadt Luzern mitgeteilt, dass die Verlängerung mit Verfügung vom gleichen Tag (das Datum der Verfügung wurde nachträglich aufgrund von Schwierigkeiten bei der internen Weiterleitung zum Versand abgeändert auf 23. Februar 2009) verweigert worden sei, weshalb die Gesuchsteller den Kanton Luzern bzw. die Schweiz bis zum 15. April 2009 verlassen und die Erwerbstätigkeit aufgeben müssten; die Verfügung wurde zur Kenntnisnahme auch dem Arbeitgeber von X._ mitgeteilt, der in der Folge die Arbeitnehmerin informierte.
Die von den beiden Betroffenen gegen die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligungen erhobene Beschwerde wies das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons Luzern am 17. Juli 2009 ab; auf den Antrag, es sei festzustellen, dass die frühzeitige Information von Dritten über die Nichtverlängerung unzulässig gewesen und künftig zu unterlassen sei (weshalb die Kosten des Verfahrens dem Kanton zu überbinden seien), trat das Departement nicht ein; einen schweren Verfahrensfehler, der allenfalls Anspruch auf eine Parteientschädigung geben könnte, erachtete das Departement ebenfalls als nicht gegeben. Gegen diesen Entscheid gelangten die beiden ans Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, welchem sie die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung beantragten; zudem verlangten sie wiederum festzustellen, dass die Information Dritter über die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung vor Eintritt der Rechtskraft unzulässig gewesen sei.
Am 12. August 2009 wurde die Ehe von X._ geschieden, worauf sie am 31. August 2009 den in der Schweiz niedergelassenen belgischen Staatsangehörigen A._ heiratete und im Dezember 2009 für sich und ihre Tochter eine Aufenthaltsbewilligung erhielt.
Mit Verfügung vom 22. Januar 2010 erklärte die Instruktionsrichterin des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern das infolge der Heirat sistierte Beschwerdeverfahren als erledigt. In Bezug auf das Feststellungsbegehren sprach die Instruktionsrichterin den Beschwerdeführerinnen ein aktuelles schutzwürdiges Interesse an dessen Beurteilung ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen X._ und ihre Tochter dem Bundesgericht, die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 22. Januar 2010 aufzuheben und die Sache zur Behandlung des Feststellungsantrages durch das gesetzliche Gericht zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Der gestützt auf öffentliches Recht ergangene letztinstanzliche kantonale Entscheid kann mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (<ref-law>). Die Legitimation der Beschwerdeführerinnen ist offensichtlich gegeben (<ref-law>).
2. Die Beschwerdeführerinnen rügen eine Verletzung von 13 EMRK (Recht auf eine wirksame Beschwerde), Art. 9 (Treu und Glauben sowie Willkürverbot), Art. 29 Abs. 1 und 2 BV (rechtsgleiche Behandlung, Beurteilung, rechtliches Gehör), <ref-law> (Rechtsweggarantie) und <ref-law> (Anspruch auf gesetzlichen Richter).
3. 3.1 Das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement hat die vom kantonalen Amt für Migration verfügte Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung bestätigt. Auf das Feststellungsbegehren ist es in Anwendung von Art. 44a des kantonalen Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/LU) nicht eingetreten. Eine Parteientschädigung wegen einer offenbaren Rechtsverletzung oder eines schweren Verfahrensfehlers (§ 201 Abs. 2 VRG/LU) wurde nicht zugesprochen.
Die Beschwerdeführerinnen haben der Vorinstanz neben der Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung die Feststellung beantragt, dass die Information Dritter über die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und die Ausweisung vor Eintritt der Rechtskraft unzulässig gewesen sei; diese Verletzung von Verfahrensrechten (§ 44a VRG/LU, <ref-law>) sei bei den Verfahrenskosten zu berücksichtigen.
Mit Eingabe vom 16. Dezember 2009 haben die Beschwerdeführerinnen der Vorinstanz die Verfügung des Migrationsamtes über die Erteilung der Aufenthaltsbewilligungen zugestellt mit dem Hinweis, dass sich das Beschwerdeverfahren diesbezüglich somit erledigt habe. Festgehalten werde hingegen an den Rügen betreffend Mitteilung sowie am Begehren, dass die amtlichen Kosten durch den Kanton zu tragen seien und ihnen eine Parteientschädigung zuzusprechen sei.
Da das Beschwerdeverfahren mit der Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an die Beschwerdeführerinnen gegenstandslos geworden war, hat die Einzelrichterin der Vorinstanz dieses in Anwendung von § 109 VRG/LU als erledigt erklärt. In Bezug auf das Feststellungsbegehren hat die Einzelrichterin den Beschwerdeführerinnen ein aktuelles schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung abgesprochen.
3.2 Gemäss § 7 des kantonalen Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Organisation des Verwaltungsgerichts werden die Streitsachen in Dreier- oder Fünferbesetzung beurteilt (Abs. 1); die Geschäftsordnung kann für genau bezeichnete Streitsachen die Zuständigkeit des Einzelrichters vorsehen (Abs. 5).
Die Geschäftsordnung vom 16. Mai 1973 für das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern legt fest, dass die für das Fremdenpolizeirecht zuständige verwaltungsrechtliche Abteilung in Dreierbesetzung entscheidet (§ 7 Abs. 1 lit. d und § 8 Abs. 1).
Die Abteilungs- und Kammerpräsidenten oder die von ihnen bezeichneten Verwaltungsrichter entscheiden als Einzelrichter u.a. über Beschwerden, die wegen offensichtlicher Unzuständigkeit, offensichtlichen Fehlens eines anfechtbaren Entscheids, offensichtlicher Verspätung oder offensichtlich verspäteter Einreichung der Beschwerde oder Nichtbefolgung einer Anordnung nicht materiell zu beurteilen sind (§ 8a Abs. 1 lit. e).
Den Abteilungs- und Kammerpräsidenten obliegt in ihrem Zuständigkeitsbereich u.a. die Abschreibung von Streitsachen, die durch Rückzug, Anerkennung, Vergleich oder aus anderen Gründen gegenstandslos geworden sind (§ 19 Abs. 3 lit. e); sie können diese Aufgaben ganz oder teilweise einem anderen Richter übertragen (§ 20).
Die Vorinstanz durfte aufgrund des Schreibens der Beschwerdeführerinnen vom 16. Dezember 2009 das Rechtsmittel gegen die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung ohne Willkür als gegenstandslos betrachten (angefochtene Verfügung E. 2) und das Verfahren in diesem Umfang durch Abschreibungsverfügung der Einzelrichterin erledigen. Eine willkürliche Anwendung der kantonalen Zuständigkeitsvorschriften bzw. eine Verletzung von Art. 29a und Art. 30 Abs. 1 BV sowie Art. 13 EMRK ist nicht gegeben. Eine Beschwerde ist im Sinne der letztgenannten Bestimmung auch wirksam, wenn ein Einzelrichter über das Rechtsmittel befindet.
4. 4.1 In Bezug auf den Feststellungsantrag hat das Justiz- und Sicherheitsdepartement festgehalten, wenn die Aufenthaltsbewilligung im Rechtsmittelverfahren erteilt und die Wegweisungsverfügung aufgehoben werde, habe der Arbeitgeber kein Interesse daran, über dieses Verfahren orientiert zu werden. Da der Ausländer, der ein Verlängerungsgesuch gestellt habe, sich zudem gemäss Art. 59 Abs. 2 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) während des Verfahrens in der Schweiz aufhalten dürfe, sofern keine abweichende Verfügung getroffen werde, dürfte es zweckmässig sein, die Mitteilung der Wegweisungen erst dann den Einwohnerdiensten und der Arbeitgeberschaft mitzuteilen, wenn diese vollstreckbar geworden seien.
4.2 Im Ergebnis hat das Justiz- und Sicherheitsdepartement damit zugestanden, dass die Mitteilung der Nichtverlängerung vor der Rechtskraft der Verfügung unzulässig sei. Dies zu Recht, denn die Mitteilung der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung sowie der Ausweisung an (nicht rechtsmittelberechtigte) Dritte vor Ablauf der Rechtsmittelfristen stellt offensichtlich eine Verletzung der Privatsphäre (<ref-law>) der Beschwerdeführerinnen dar. Diese berufen sich denn auch auf das kantonale Gesetz vom 2. Juli 1990 über den Schutz von Personendaten (DSG/LU). Danach sind u.a. Angaben über administrative Massnahmen besonders schützenswerte Personendaten (§ 2 Abs. 2), die eine Behörde gemäss § 10 Abs. 1 DSG/LU nur an private Personen bekannt geben darf, wenn ein Rechtssatz dazu verpflichtet oder ermächtigt (lit. a) oder die betroffene Person eingewilligt hat oder ihre Einwilligung nach den Umständen vorausgesetzt werden kann (lit. b). Nach unbestrittener Darstellung der Beschwerdeführerinnen ist beides nicht der Fall gewesen.
Mit der Anerkennung der Unzulässigkeit des gerügten Vorgehens durch das Departement durfte die Vorinstanz den Beschwerdeführerinnen ohne Willkür ein praktisches Interesse am erhobenen Feststellungsbegehren absprechen. Sie war damit ebenfalls dafür zuständig, das Verfahren auch in dieser Hinsicht als erledigt zu erklären.
4.3 Soweit die Beschwerdeführerinnen die Zuständigkeit der Einzelrichterin in Frage stellen, ist die Beschwerde somit abzuweisen.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerinnen erachten die Kostenauflage im kantonalen Verfahren als willkürlich (<ref-law>).
5.2 Wird ein Rechtsmittel abgewiesen, hat die Partei, die unterliegt oder auf deren Rechtsmittel nicht eingetreten wird, die amtlichen Kosten zu tragen (§ 198 Abs. 1 lit. c VRG/LU). Der Rückzug einer Rechtsvorkehr wird ihrer Abweisung gleichgestellt (Abs. 2).
5.3 Den Beschwerdeführerinnen ist darin zuzustimmen, dass ihr Schreiben vom 16. Dezember 2009 entgegen der Auffassung der Vorinstanz auch nicht sinngemäss als Rückzug des Rechtsmittels betrachtet werden kann. Die Kostenauflage bei Gegenstandslosigkeit ist indessen in § 198 VRG/LU nicht ausdrücklich geregelt. Es ergibt sich jedoch aus dem für die Verlegung von Verfahrenskosten allgemein geltenden Verursacherprinzip bzw. Unterliegerprinzip, das auch § 198 VRG/LU zu Grunde liegt, dass in erster Linie jene Partei kosten- und entschädigungspflichtig ist, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst hat oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben; denn in letzterem Fall ist es nicht willkürlich, diese Partei als unterliegend zu betrachten (vgl. THOMAS MERKLI UND ANDERE, Kommentar zum Gesetz vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern, 1997, N. 2 zu Art. 108 VRPG/BE, N. 3 zu Art. 110 VRGP/BE; vgl. auch Urteil 2C_237/2009 vom 28. September 2009 E. 3.1). Im vorliegenden Fall hat X._ durch ihre neue Ehe während des Beschwerdeverfahrens dessen Gegenstandslosigkeit herbeigeführt, weshalb es nicht willkürlich ist, dass die Vorinstanzen den Beschwerdeführerinnen die amtlichen Kosten betreffend das Beschwerdeverfahren gegen die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung auferlegt haben (vgl. THOMAS MERKLI UND ANDERE, a.a.O., N. 5 zu Art. 110 VRPG/BE).
5.4 Dies ist hingegen nicht ohne weiteres auch der Fall in Bezug auf das Feststellungsbegehren, welches vom Departement sinngemäss gutgeheissen wurde. Diesbezüglich hätten den Beschwerdeführerinnen grundsätzlich keine amtlichen Kosten auferlegt werden dürfen. Die Feststellung der verfrühten Mitteilung an Dritte bildete indessen einen gegenüber der Frage der Aufenthaltsbewilligung nur unbedeutenden und auch nur am Rande erwähnten Nebenpunkt des Beschwerdeverfahrens vor dem Departement (Beschwerdebeilage 9 S. 4 Ziff. 12), welcher lediglich im Zusammenhang mit den Verfahrenskosten erwähnt worden ist. Es ist nicht zu sehen und wird von den Beschwerdeführerinnen auch nicht dargelegt, inwiefern die Behandlung des Nebenpunktes allein zu höherem Aufwand und damit zu höheren Verfahrenskosten geführt hätte. Es ist daher jedenfalls nicht unhaltbar, dass die Vorinstanz die vollständige Kostenauflage an die Beschwerdeführerinnen als zulässig erachtete und diese nicht beanstandete.
6. 6.1 Die Beschwerdeführerinnen rügen sodann als willkürlich, dass ihnen keine Parteientschädigung zugesprochen wurde.
6.2 Gemäss § 201 Abs. 2 VRG/LU wird der obsiegenden Partei eine angemessene Vergütung für ihre Vertretungskosten ausgerichtet, wenn der Vorinstanz grobe Verfahrensfehler oder offenbare Rechtsverletzungen zur Last fallen.
6.3 Die Beschwerdeführerinnen haben im Beschwerdeverfahren vor dem Departement geltend gemacht, es liege ein schwerwiegender Verfahrensfehler vor.
Das Departement hat dazu festgehalten, dass in der beanstandeten Mitteilung ausdrücklich auf das Beschwerderecht der Beschwerdeführerinnen und darauf hingewiesen worden sei, dass während des Beschwerdeverfahrens von Vollzugsmassnahmen abgesehen werde, sich die Beschwerdeführerinnen bis zum definitiven Entscheid in der Schweiz aufhalten und die Mutter auch eine Erwerbstätigkeit ausüben dürfe. Dem Amt für Migration könne daher weder eine offenbare Rechtsverletzung noch ein grober Verfahrensfehler vorgeworfen werden, der eine Parteientschädigung rechtfertigen könnte.
Auch diese Erwägungen durfte die Vorinstanz, ohne in Willkür zu verfallen, als nicht zu bemängeln erachten. Es wurde zudem bereits ausgeführt, dass die unzulässige verfrühte Mitteilung lediglich einen Nebenpunkt darstellt, der auch bei den Parteikosten im kantonalen Verfahren nicht stark ins Gewicht fällt.
7. Die Beschwerde ist aus diesen Gründen abzuweisen. Bei diesem Ausgang haben die Beschwerdeführerinnen die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung wird nicht zugesprochen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt, unter solidarischer Haftung.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Küng