Sachverhalt:
A. A.a Mit Verfügung vom 20. Januar 2011 stellte die Sozialhilfe Basel-Stadt ihre K._ (Jg. 1962) nach einem Unterbruch seit 19. Januar 2009 erneut gewährten Unterstützungleistungen auf den 8. Januar 2011 hin ein, weil das zur Prüfung der Bedürftigkeit erforderliche Formular nicht eingereicht wurde. Gleichzeitig stellte sie in Aussicht, die Wiederaufnahme der Unterstützung zu prüfen, wenn ein neu ausgefülltes und unterzeichnetes Unterstützungsgesuch beigebracht werde. Einem allfälligen Rekurs gegen diese Verfügung entzog sie die aufschiebende Wirkung.
Am 6. April 2011 reichte K._ das von der Sozialhilfe verlangte Unterstützungsgesuch ein, worauf die Zahlung von Sozialhilfeleistungen per 1. April 2011 wieder aufgenommen wurde.
A.b Am 20. April 2011 liess K._ beim Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt (nachstehend: Departement oder WSU) Rekurs gegen die Verfügung vom 20. Januar 2011 anmelden. Er beantragte dabei nebst einer "Wiedereinsetzung in den vorigen Stand" die Weiterausrichtung von Unterstützungsleistungen von (monatlich) mindestens Fr. 914.50 über den 7. Januar 2011 hinaus sowie die Erteilung der aufschiebenden Wirkung seines Rekurses; zudem ersuchte er - für den Fall, dass seinen Begehren nicht entsprochen würde - um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung.
Mit Zwischenentscheid vom 28. Juni 2011 schrieb das Departement zufolge Gegenstandslosigkeit das Begehren um Wiedereinsetzung in den vorigen Stand und - mangels Rechtsschutzinteresse - auch dasjenige um Erteilung der aufschiebenden Rekurswirkung vom Geschäftsverzeichnis ab. Die Gewährung unentgeltlicher Verbeiständung lehnte das WSU ab, weil lediglich für die geforderte Einreichung des ausgefüllten Formulars zur Beurteilung der Bedürftigkeit, des Unterstützungsgesuches also, keine anwaltliche Hilfe notwendig gewesen wäre; bezüglich allfälliger Kostenfolgen verwies es auf den - in der Sache noch ausstehenden - Hauptentscheid.
A.c In dem mit erwähntem Zwischenentscheid vom 28. Juni 2011 noch nicht abgeschlossenen verwaltungsinternen Rekursverfahren liess K._ nach wiederholt gewährter Fristerstreckung am 19. Juli 2011 eine ausführliche Rekursbegründung einreichen.
B. Mit vom Regierungspräsidenten zuständigkeitshalber dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht überwiesenen Eingaben vom 11. und 19. Juli 2011 (Rekursanmeldung und -begründung) liess K._ beantragen, ihm unter teilweiser Aufhebung des Zwischenentscheids des WSU vom 28. Juni 2011 für das mit Eingabe vom 20. April 2011 anhängig gemachte verwaltungsinterne Rekursverfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu bewilligen. Das kantonale Gericht wies dieses Begehren mit Entscheid vom 15. August 2012 - unter Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung auch für das bei ihm geführte (appellations- oder verwaltungs-)gerichtliche Rekursverfahren - kostenfällig ab.
C. K._ lässt mit Beschwerde ans Bundesgericht beantragen, ihm unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das Rekursverfahren vor dem WSU zu gewähren; eventuell sei die Sache diesbezüglich zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen; subeventuell sei zumindest der vorinstanzliche Entscheid im Kostenpunkt aufzuheben und ihm für das Verfahren vor dem kantonalen Verwaltungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege mit unentgeltlicher Prozessführung und Verbeiständung zuzubilligen. Auch für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1. 1.1 Im verwaltungsinternen Rekursverfahren bejahte das WSU die als Eintretensvoraussetzung vom Amtes wegen zu prüfende Frage nach der - von der Sozialhilfebehörde bestrittenen - Frage nach der Rechtzeitigkeit des bei ihm am 20. April 2011 angemeldeten Rekurses. Dies, weil die Verfügung vom 20. Januar 2011 zunächst nur dem heutigen Beschwerdeführer direkt, dessen Rechtsvertreter aber erst am 11. April 2011 zugestellt worden sei, was den Lauf der Rechtsmittelfrist ausgelöst habe. Dass das Begehren um "Wiedereinsetzung in den vorigen Stand" deshalb als gegenstandslos geworden abgeschrieben wurde, blieb unbeanstandet, sodass im bundesgerichtlichen Verfahren darauf nicht zurückzukommen ist. Nachdem die Zahlung von Sozialhilfeleistungen auf den 1. April 2011 hin wieder aufgenommen worden ist, gilt dasselbe für die dem WSU beantragte Wiederherstellung der von der verfügenden Sozialhilfestelle entzogenen aufschiebenden Rekurswirkung.
1.2 Gegenstand des Zwischenentscheides des WSU vom 28. Juni 2011 bildete des Weiteren einzig noch die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne einer Befreiung von Verfahrenskosten und Zuordnung eines unentgeltlichen anwaltlichen Rechtsbeistandes. Vom WSU noch nicht befunden wurde - soweit ersichtlich - über die streitigen Aspekte materieller Art, namentlich über die vom heute Beschwerde führenden Sozialhilfebezüger in Abrede gestellte Verpflichtung zur Ausfüllung und Einreichung eines der Bedürftigkeitsprüfung dienenden Unterstützungsgesuches und über die Zulässigkeit der als Konsequenz der diesbezüglichen Weigerung per 8. Januar 2011 verfügten Leistungseinstellung.
1.3 Aufgrund der Vorbringen in der dem Bundesgericht eingereichten Beschwerdeschrift ist somit einzig streitig, ob die vorinstanzliche Bestätigung der Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung im verwaltungsinternen Rekursverfahren - mangels Notwendigkeit einer anwaltlichen Vertretung - einerseits und die - zufolge Aussichtslosigkeit der Rechtsmittelerhebung - auch für das vorinstanzliche Gerichtsverfahren abgelehnte Kostenbefreiung - unter gleichzeitiger Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung - andererseits einer letztinstanzlichen Überprüfung standhalten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Im Übrigen wendet es das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft indessen - unter Beachtung der allgemeinen Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1).
2.1 Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Satz 1). Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand (Satz 2). Die unentgeltliche Rechtspflege bezweckt, auch der bedürftigen Partei den Zugang zum Gericht und die Wahrung ihrer Parteirechte zu ermöglichen. Sie soll sicherstellen, dass jedermann unabhängig von seinen finanziellen Verhältnissen nicht aussichtslose Streitsachen zur gerichtlichen Entscheidung bringen und sich überdies im Prozess, sofern es sachlich geboten ist, durch eine Anwältin oder einen Anwalt vertreten lassen kann (<ref-ruling> E. 7.1 S. 2).
Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt, wobei unabhängig davon ein solcher Anspruch auch auf Grund von <ref-law> besteht. Da der Beschwerdeführer nicht geltend macht, dass sich aus dem anwendbaren kantonalen Recht ein über <ref-law> hinausgehender Anspruch ergibt, ist die bundesrechtliche Minimalgarantie massgebend. Ob der durch die Bundesverfassung garantierte Anspruch verletzt wurde, untersucht das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei; soweit es um tatsächliche Feststellungen geht, ist seine Kognition auf Willkür beschränkt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 182; <ref-ruling> E. 2.1 S. 133 mit Hinweisen).
2.2 Nach der Rechtsprechung sind Rechtsbegehren aussichtslos, wenn deren Gewinnaussichten im Zeitpunkt der Verfahrenseinleitung deutlich geringer sind als die Verlustgefahren. Entscheidend ist, ob sich auch eine nicht bedürftige Partei vernünftigerweise zu einem Prozess entschliessen würde (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.; <ref-ruling> E. 7.1 S. 2). Die prognostische Beurteilung der Erfolgsaussichten eines Rechtsmittels eröffnet der zuständigen Behörde einen Beurteilungsspielraum, in den die Rechtsmittelinstanz auch bei freier Prüfung der sich stellenden Rechtsfragen nur mit Zurückhaltung eingreift. Erforderlich ist, dass von anerkannten Rechtsgrundsätzen abgewichen wurde oder Umstände Berücksichtigung gefunden haben, welche für die Prognose im Einzelfall keine Rolle spielen, resp. Umstände ausser Acht gelassen wurden, die in die Beurteilung hätten miteinbezogen werden müssen (vgl. <ref-ruling> E. 5.4 S. 211; 131 III S. 6 E. 12.2.2 S. 31; <ref-ruling> E. 3.1 S. 220). Es kann nicht Aufgabe einer Beschwerdeinstanz sein, zu prüfen, ob ein in einem vorangegangenen Verfahren gestelltes Begehren zu schützen sei oder nicht. Diese hat lediglich darüber zu befinden, ob der verfolgte Rechtsstandpunkt im Rahmen des sachlich Vertretbaren liegt oder aber von vornherein als unbegründet erscheint (<ref-ruling> E. 3a S. 115; vgl. auch Urteil 8C_551/2011 vom 29. September 2011 E. 4.4).
3. Ob dem Beschwerdeführer für das verwaltungsinterne und das appellationsgerichtliche Rekursverfahren ein unentgeltlicher Anwalt zu bestellen ist, hängt demnach von der - nebst der hier zu keinen weiteren Diskussionen Anlass gebenden prozessualen Bedürftigkeit - Nichtaussichtslosigkeit der Beschwerdebegehren sowie davon ab, dass eine anwaltliche Vertretung zur Wahrung seiner Rechte angezeigt war.
3.1 Im Zwischenentscheid vom 28. Juni 2011 hat das WSU die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das verwaltungsinterne Rekursverfahren damit begründet, dass eine anwaltliche Vertretung für das Ausfüllen des vom heutigen Beschwerdeführer am 6. April 2011 beigebrachten Unterstützungsgesuchs nicht notwendig gewesen wäre. Weil es im verwaltungsinternen Rekursverfahren jedoch gar nicht um etwaige Schwierigkeiten beim Ausfüllen des als Beleg für die Bedürftigkeit dienenden Unterstützungsgesuches ging - wofür es allenfalls tatsächlich keiner rechtskundigen Verbeiständung bedurfte -, lässt sich die beanstandete Ablehnung des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung jedenfalls nicht mit der Begründung des WSU schützen. Wie in E. 1.2 hievor erwähnt, waren das Bestehen einer schriftlich wahrzunehmenden Deklarationspflicht und die Folgen einer Verletzung derselben streitig. Durch das blosse Aufzeigen von Möglichkeiten, wie die - bestrittene - Pflicht hätte erfüllt werden können, wurden die aufgeworfenen Fragen nicht geklärt. Zwar hat sich auch das im Anschluss an das verwaltungsinterne Rekursverfahren angerufene Appellationsgericht der zur fehlenden Notwendigkeit einer anwaltlichen Vertretung führenden Auffassung des WSU angeschlossen. Es hat sich im nunmehr angefochtenen Entscheid vom 15. August 2012 jedoch nicht darauf beschränkt, die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung einzig unter dem Aspekt der Notwendigkeit einer anwaltlichen Vertretung zu prüfen, sondern ist überdies zum Schluss gelangt, dass auch die für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege erforderliche weitere Voraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels nicht gegeben sei.
3.2 Das vorinstanzliche Gericht begründete die Qualifizierung des dem WSU gegen die Verfügung der Sozialhilfe vom 12. Januar 2011 eingereichten Rekurses wie auch des bei ihm gegen den Zwischenentscheid des WSU vom 28. Juni 2011 eingelegten Rechtsmittels als aussichtslos im Wesentlichen mit aus der kantonalrechtlichen Gesetzgebung im Sozialhilfebereich abgeleiteten Folgerungen. Damit brachte sie zum Ausdruck, dass vom Rekurrenten als Sozialhilfeempfänger jederzeit die Bereitschaft zu erwarten war, Aufschluss über seine finanziellen Verhältnisse zu geben. Dies stellt an sich eine Selbstverständlichkeit dar, obliegt es im staatlichen Leistungsrecht doch generell dem Leistungsansprecher, die Voraussetzungen für den von ihm geltend gemachten Anspruch zu belegen. Dass die Sozialhilfebehörde in Konkretisierung dieses Grundprinzips im konkreten Einzelfall die regelmässige Vorlage eines ausgefüllten Unterstützungsgesuchs verlangt, stellt lediglich eine mit relativ geringem Aufwand für den Betroffenen verbundene und deshalb ohne Weiteres zumutbare administrative Vorkehr dar, welche es der Verwaltung ermöglicht, den ihr obliegenden Kontroll- und Überprüfungspflichten in effizienter und wirksamer Weise nachzukommen. Einer besonderen gesetzlichen Grundlage bedarf es dazu - entgegen der Argumentation des Beschwerdeführers - nicht. Wird wie im vorliegenden Fall trotz wiederholter Aufforderung den berechtigten Anliegen der Verwaltung nicht Folge geleistet, muss der behauptete Anspruch als nicht ausgewiesen gelten, womit die beantragten Leistungen nicht zugesprochen werden können oder - bei bereits laufenden Leistungen - deren Einstellung zu veranlassen ist. Das Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>) wird damit in keiner Weise - wie der Beschwerdeführer meint - tangiert.
3.3 Eine Rechtsverletzung kann unter diesen Umständen darin nicht gesehen werden, dass die Vorinstanz die zuvor vom WSU festgestellte Aussichtslosigkeit des vom heutigen Beschwerdeführer ergriffenen Rechtsmittels im Ergebnis bestätigt hat. Nichts anderes gilt bezüglich der Qualifikation des bei ihm eingeleiteten Rekursverfahrens als aussichtslos. Die Verneinung der Voraussetzungen für die Gewährung unentgeltlicher Rechtspflege ist damit rechtens. Entgegen der beschwerdeführerischen Argumentation stellt sie weder einen Verstoss gegen das Willkürverbot (<ref-law>) noch eine Verletzung des Anspruchs auf ein faires gerichtliches Verfahren (vgl. <ref-law>) oder auf rechtliches Gehör (<ref-law>) dar.
4. Soweit der Beschwerdeführer die Zulässigkeit der Auferlegung von Gerichtskosten in Höhe von Fr. 500.- für das vorinstanzliche Verfahren unter Hinweis auf eine dort am 7. Oktober 2011 ergangene verfahrensleitende Verfügung des kantonalen Appellationsgerichtspräsidenten in Frage stellt, ist festzuhalten, dass mit dem darin bewilligten "Kostenerlass" für das Rekursverfahren lediglich der Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses gemeint sein kann. Dies ergibt sich schon daraus, dass es sich lediglich um einen einzelrichterlichen Präsidialentscheid und nicht um einen Kollegialentscheid des in der Sache zuständigen Spruchkörpers handelt, was von vornherein ausschliesst, dass damit über die Gewährung unentgeltlicher Rechtspflege befunden worden wäre.
5. Als von vornherein aussichtslos muss auch die Beschwerde ans Bundesgericht bezeichnet werden, weshalb die hier beantragte unentgeltliche Rechtspflege ebenfalls nicht gewährt werden kann (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. November 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Krähenbühl