Sachverhalt:
A. Die 1952 geborene U._ ist gelernte Pflegefachfrau. Im Jahre 2001 reiste sie in die Schweiz ein und wurde hier als Flüchtling anerkannt. Hier arbeitete sie vom 1. Dezember 2004 bis 26. Juni 2005 als Näherin im Lernwerk H._ und vom 27. Juni bis 30. November 2005 sowie vom 9. Januar bis 7. Juli 2006 als Helferin im Alters- und Pflegeheim S._. Vom 1. März 2007 bis 29. Februar 2008 war sie zu 80 % als Pflegefachfrau im Wohn- und Pflegeheim G._ angestellt. Vom 15. September bis 10. November 2008 absolvierte sie ein 50%iges Praktikum als Helferin im Wohnheim D._. Am 29. September 2008 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle zog diverse Arztberichte und ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. K._ vom 24. Januar 2011 bei. Für die Versicherte reichten der Psychiater Dr. med. E._ und Frau lic. phil. Y._, Psychologin FSP, am 10. März 2011 eine Stellungnahme ein. Mit Verfügung vom 14. März 2011 verneinte die IV-Stelle einen Leistungsanspruch mangels IV-relevanten Gesundheitsschadens.
B. Die Versicherte reichte beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Beschwerde ein. Die IV-Stelle legte Stellungnahmen des Dr. med. K._ vom 4. Mai 2011 und der Psychiaterin Frau Dr. med. F._, Regionaler Ärztlicher Dienst (RAD) der IV-Stelle, vom 12. Mai 2011 auf. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde hob die Vorinstanz die Verfügung insoweit auf, als sie der Versicherten von September 2008 bis Dezember 2010 eine halbe Invalidenrente zusprach. Im Übrigen wies sie die Beschwerde ab (Entscheid vom 13. September 2011).
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte die Zusprechung einer unbefristeten Invalidenrente von mindestens 50 % ab September 2008; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner verlangt sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Rechtsfragen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund medizinischer Untersuchungen gerichtlich festgestellte Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]; Urteil 8C_639/2011 vom 5. Januar 2012 E. 1).
2. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), die Invalidität (<ref-law>), den Rentenanspruch (Art. 28, Art. 29 Abs. 1 IVG), die Invaliditätsbemessung bei Erwerbstätigen nach dem Einkommensvergleich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.2 S. 301, 134 V 322 E. 4.1 S. 325) und die Rentenrevision (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 132) richtig dargelegt. Gleiches gilt betreffend den invalidisierenden Charakter psychischer Gesundheitsschäden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 50) und den Beweiswert von Arztberichten (E. 1 hievor). Darauf wird verwiesen.
3. Die Vorinstanz kam aufgrund der medizinischen Akten in somatischer Hinsicht zum Schluss, bei der Versicherten sei höchstens von einem eingeschränkten Rendement (keine schweren Arbeiten) auszugehen; für leichte Arbeiten bestehe keine Verminderung der Arbeitsfähigkeit. Dies ist unbestritten, weshalb es damit sein Bewenden hat.
4. Streitig und zu prüfen ist die psychische Problematik.
4.1 Die Psychiaterin Frau Dr. med. A._, Ambulatorium für Folter- und Kriegsopfer, diagnostizierte im Bericht vom 4. Dezember 2008 eine posttraumatische Belastungsstörung (ICD-10 F43.1), eine rezidivierende depressive Störung (ICD-10 F33.11) und somatoforme Schmerzstörungen (ICD-10 F45.4). Die bisherige Tätigkeit als Pflegefachfrau sei der Versicherten nur noch mit längerer Zeit, längeren Pausen, transparenten Instruktionen sowie Unterstützung von Vorgesetzten und Mitarbeitern zumutbar. Andere leidensangepasste Tätigkeiten seien ihr zumutbar, wenn keine schweren Gewichte gehoben/getragen werden müssten. Vom 28. September 2007 bis 31. März 2008 sei von der damaligen Arbeitgeberin eine 100%ige und seit 1. April 2008 bis heute von dieser, vom RAV sowie von der Krankentaggeldversicherung eine 50%ige Arbeitsfähigkeit bescheinigt worden.
4.2 Dr. med. K._ diagnostizierte im psychiatrischen Gutachten vom 24. Januar 2011 gestützt auf eine Untersuchung der Versicherten mit Beizug eines Dolmetschers vom 25. August 2010 Angst und depressive Störung, gemischt (ICD-10 F41.2) bei Restsymptomen einer posttraumatischen Belastungsstörung (ICD-10 F43.1) und depressiver Episode, gegenwärtig remittiert (ICD-10 F32.4). Die bisherige Tätigkeit sei ihr ganztags ohne Minderung der Arbeitsfähigkeit zumutbar. Die gemäss Bericht der Frau Dr. med. A._ vom 4. Dezember 2008 attestierte Arbeitsunfähigkeit ab September 2007 begründe sich durch eine depressive Episode mit abnehmendem Schweregrad. Diese Episode sei zum Zeitpunkt der aktuellen Untersuchung remittiert. Für die Zeit von Januar 2009 bis Juli 2010 lägen keine Dokumente vor. Es könne jedoch mit überwiegender Wahrscheinlichkeit aufgrund des üblichen Verlaufs depressiver Episoden (zumal wenn sie angemessen behandelt würden) davon ausgegangen werden, dass sich die dokumentierte beginnende Remission der depressiven Episode im Jahr 2009 fortgesetzt habe. Somit könne ab Januar 2010 keine relevante Einschränkung der Funktionen und Belastbarkeit begründet werden. Mit Stellungnahme vom 4. Mai 20011 hielt Dr. med. K._ am Gutachten fest.
4.3 Dr. med. E._ und die Psychologin Frau Y._ diagnostizierten am 10. März 2011 eine posttraumatische Belastungsstörung mit vorwiegend depressiven Symptomen (ICD-10 F43.1) und eine andauernde Persönlichkeitsänderung nach Extrembelastung (ICD-10 F62.0). Die Versicherte sei seit Langem und aktuell zu 100 % arbeitsunfähig. Auf ihren ausdrücklichen Wunsch hin werde jedoch eine 50%ige Arbeitsfähigkeit attestiert. Sie sei im freien Arbeitsmarkt nicht integrierbar. Vorstellbar sei, dass sie in einem geschützten Arbeitsplatz zu 50 % arbeite.
5. 5.1 Die Vorinstanz hat in Würdigung der medizinischen Akten mit einlässlicher Begründung, auf die verwiesen wird, richtig erkannt, dass bei der Versicherten in psychischer Hinsicht ab September 2007 bis Ende März 2008 von einer vollständigen und ab April 2008 bis August 2010 (Untersuchung durch Dr. med. K._) von einer 50%igen Arbeitsunfähigkeit auszugehen sei; danach sei die Wiederherstellung der vollständigen Arbeitsfähigkeit erwiesen.
5.2 Die Vorbringen der Versicherten vermögen hieran nichts zu ändern. Sie erhebt keine Rügen, welche die vorinstanzlichen Feststellungen zu ihrer Arbeitsfähigkeit als offensichtlich unrichtig oder als Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung oder als rechtsfehlerhaft nach <ref-law> erscheinen lassen. Eine ungenügende Sachverhaltsabklärung liegt nicht vor, weil die dafür u.a. notwendigen Voraussetzungen - unauflösbare Widersprüche tatsächlicher Art oder Beantwortung einer entscheidwesentlichen Tatfrage, wie namentlich bezüglich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit, auf unvollständiger Beweisgrundlage - nicht vorliegen. Im Rahmen der freien, pflichtgemässen Würdigung der Beweise durch die Vorinstanz ergab sich ein nachvollziehbares und schlüssiges Bild des Gesundheitszustandes, das nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit hinreichende Klarheit über den rechtserheblichen Sachverhalt vermittelt, weshalb ihre Sachverhaltsfeststellung bundesrechtskonform ist. Von weiteren medizinischen Abklärungen ist abzusehen, da hievon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.2 S. 69, 136 I 229 E. 5.3 S. 236; Urteil 8C_639/2011 vom 5. Januar 2012 E. 4.2).
5.3 Festzuhalten ist insbesondere Folgendes:
5.3.1 Die Versicherte macht geltend, im Gutachten des Dr. med. K._ vom 24. Januar 2011 suche man vergeblich nach einer nachvollziehbaren Herleitung und Begründung der von ihm gestellten Diagnose. Hierzu ist festzuhalten, dass dieses Gutachten eine Einleitung, eine Aktenzusammenfassung, die Anamnese, eine Darstellung der Krankheitsentwicklung, die subjektiven Angaben der Versicherten, die objektiven Befunde und psychologischen Testergebnisse, die Beurteilung und die Beantwortung der Fragen enthält. Damit erfüllt es die in den Leitlinien der Schweizerischen Gesellschaft für Versicherungspsychiatrie für die Begutachtung psychischer Störungen (vgl. Schweizerische Ärztezeitung 2004, S. 1048 ff., insbesondere S. 1051 Ziff. IV/8) und von der Rechtsprechung aufgestellten Anforderungen an ein Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; Urteil 8C_945/2009 vom 23. September 2010 E. 5 und 6.2). In diagnostischer Hinsicht ist es nachvollziehbar und schlüssig.
5.3.2 Die Versicherte bemängelt die Untersuchungsdauer bei Dr. med. K._. Ihre lange, schwere Geschichte - politischer Flüchtling mit 20-jähriger Verfolgung und entsprechend langem, andauernden Trauma - lasse eine derart knappe, auf einem einstündigen Gespräch und primär auf Skalentests beruhende Untersuchung als Hohn erscheinen. Praxisgemäss kommt es für den Aussagegehalt eines medizinischen Gutachtens grundsätzlich nicht auf die Dauer der Untersuchung an; massgebend ist in erster Linie, ob die Expertise inhaltlich vollständig und im Ergebnis schlüssig ist. Immerhin muss der für eine psychiatrische Untersuchung zu betreibende zeitliche Aufwand der Fragestellung und der zu beurteilenden Psychopathologie angemessen sein (Urteil 8C_639/2011 E. 4.3.1). Dr. med. K._ gab am 4. Mai 2011 an, die Untersuchung der Versicherten habe insgesamt knapp drei Stunden inklusive über eine Stunde Exploration gedauert. Entgegen der Versicherten erscheint dieser zeitliche Untersuchungsaufwand auf jeden Fall als hinreichend.
5.3.3 Die Versicherte wendet ein, der Gutachter Dr. med. K._ hätte aktuelle Dokumente für den Zeitraum von Januar 2009 bis Juli 2010, nämlich zumindest einen Bericht der sie seit Januar 2010 einmal wöchentlich behandelnden Psychologin Frau Y._ einholen müssen. Dass die Vorinstanz keine Rückfragen an Letztere gerichtet habe, komme einer Verweigerung des rechtlichen Gehörs gleich.
Dem ist entgegenzuhalten, dass bei psychischen Störungen eine Fremdanamnese ebenso wie (schriftliche oder mündliche) Auskünfte des behandelnden Arztes bzw. Therapeuten häufig wünschenswert, aber nicht zwingend erforderlich sind (Urteile 8C_639/2011 E. 4.3.2 und 9C_482/2010 vom 21. September 2010 E. 4.1). Das Vorbringen der Versicherten ist auch deshalb nicht stichhaltig, weil der Bericht des Dr. med. E._ und der Psychologin Frau Y._ vom 10. März 2011 - dem nach Auffassung der Versicherten ein höherer Beweiswert als dem Gutachten des Dr. med. K._ zukommt - keine Fremdanamnese enthält. Dr. med. E._ und die Psychologin Frau Y._ erachteten somit die persönliche Befragung sowie die bei der Untersuchung und Behandlung gemachten Beobachtungen als genügende Beurteilungsgrundlage. Im Weiteren legt die Beschwerdeführerin nicht dar, inwiefern sie gegenüber der Psychologin Frau Y._ offener war und umfassender über ihre angeblich schwierigen Lebensumstände Auskunft gab als gegenüber Dr. med. K._ (vgl. Urteil 9C_482/2010 E. 4.1.1). Vielmehr führten Dr. med. E._ und die Psychologin Frau Y._ am 10. März 2011 aus, sie habe bisher über ihre Foltererlebnisse nicht sprechen können. Im Rahmen der Begutachtung durch Dr. med. K._ gab sie an, ab ca. 1980 verfolgt, mehrfach inhaftiert und auch gefoltert worden zu sein.
Weiter ist insbesondere festzuhalten, dass Dr. med. E._ und die Psychologin Frau Y._ den Bericht der Frau Dr. med. A._ vom 4. Dezember 2008, mit dem sich Dr. med. K._ auseinandergesetzt hat, nicht erwähnten. Nicht überzeugend ist zudem die Angabe des Dr. med. E._ und der Psychologin Frau Y._, die Versicherte sei seit Langem und aktuell zu 100 % arbeitsunfähig, wenn sie gleichzeitig anführten, sie werde auf ihren Wunsch hin zu 50 % als arbeitsunfähig erklärt; dies stellt keine schlüssige und verlässliche Aussage zur Frage der Arbeitsfähigkeit dar. Hievon abgesehen ist nicht ausser Acht zu lassen, dass behandelnde Arztpersonen bzw. Therapeuten mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung im Zweifelsfall eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen (<ref-ruling> E. 4.5 S. 470).
Im Übrigen legt die Versicherte nicht konkret dar und ist nicht ersichtlich, bei wem weitere wesentliche psychiatrische Dokumente für die Zeit von Januar 2009 bis Juli 2010 beizuziehen gewesen wären; insbesondere macht sie nicht geltend, im Jahre 2009 in psychiatrischer Behandlung gewesen zu sein. Es erscheint somit nicht als offensichtlich unrichtig, wenn die Vorinstanz im Lichte des Berichts der Frau Dr. med. A._ vom 4. Dezember 2008 auch für das Jahr 2009 sowie bis August 2010 von 50%iger Arbeitsunfähigkeit ausging.
5.3.4 Schliesslich ist zu beachten, dass die RAD-Psychiaterin Frau Dr. med. F._ in der Stellungnahme vom 12. Mai 2011 die Einschätzung des Gutachters Dr. med. K._ nicht in Frage stellte (zur Aufgabe des RAD, die Leistungsfähigkeit der versicherten Personen zu beurteilen vgl. <ref-law>; Urteil 9C_589/2010 vom 8. September 2010 E. 2 mit Hinweisen). Nach dem Gesagten ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden.
6. Der vorinstanzliche Einkommensvergleich ist unbestritten, womit es sein Bewenden hat (Urteil 8C_546/2011 vom 14. November 2011 E. 6).
7. Die unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege wird ihr gewährt, da ihre Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde nicht von vornherein aussichtslos und die Vertretung notwendig war. Sie hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Fürsprecherin Sandra Künzi wird als unentgeltliche Anwältin der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Februar 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Jancar