Faits:
A. Par décision du 28 août 2007, l'Organe cantonal de contrôle de l'assurance-maladie et accidents du canton de Vaud (ci-après : OCC) a affilié d'office G._ auprès de la Caisse-maladie suisse X._ à partir du 1er août 2007. A la suite de l'opposition de l'intéressé, l'OCC a confirmé sa décision par prononcé du 29 janvier 2009 (qui remplaçait une première décision sur opposition du 28 juillet 2008). Il a considéré que le prénommé ne remplissait pas les conditions d'une dispense de l'obligation d'assurance en Suisse.
B. L'intéressé a recouru contre cette décision devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Après avoir ordonné un échange d'écritures entre les parties, le Tribunal a, par courrier du 19 juin 2009, à la suite d'une réplique de l'assuré, adressé la duplique de l'OCC (du 8 juin 2009) à G._. Par jugement du 25 juin 2009, expédié le 17 août suivant, le Tribunal a débouté l'assuré. Entre-temps, le 7 juillet 2009, celui-ci a produit une détermination, qui lui a été retournée par pli du 14 juillet 2009; le Tribunal l'a informé que son dossier avait été délibéré le 25 juin 2009 et que l'arrêt complet dont il lui communiquait déjà le dispositif lui serait notifié prochainement.
C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont il demande la réformation. Il conclut en substance à l'annulation de la décision sur opposition du 29 janvier 2009 et à ce qu'il soit dispensé de l'obligation de s'assurer en Suisse pour l'assurance-maladie.
L'OCC conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Dans un premier grief tiré de la violation du droit d'être entendu, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir rendu son jugement quelques jours après qu'elle lui eut transmis la duplique de l'intimé, sans l'informer de la "date pour la clôture des débats" et sans qu'il ait pu se prononcer sur la détermination de l'intimé, son mémoire daté du 7 juillet 2009 ayant été écarté.
2. 2.1 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., celui pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier et celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 370 et les références). Une partie à un procès doit pouvoir prendre connaissance de toute observation ou pièce soumise au tribunal et se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement de nature à influer sur le jugement à rendre. Il appartient en effet d'abord aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Elles doivent à cette fin pouvoir s'exprimer dans le cadre de la procédure, ce qui suppose que la possibilité leur soit concrètement offerte de faire entendre leur point de vue. En ce sens, il existe un véritable droit à la réplique qui vaut pour toutes les procédures judiciaires (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 99, 100 consid. 4.3 - 4.6 p. 102 ss).
Les exigences liées au droit à la réplique ne sont pas respectées lorsque le tribunal communique une prise de position (ou une pièce nouvelle) à une partie, mais lui signifie dans le même temps que l'échange d'écritures est terminé, privant ainsi la partie de toute possibilité de présenter ses observations (cf. <ref-ruling> consid. 3.3.2 p. 46 et les références citées). Lorsque le droit de procédure applicable prévoit qu'il n'y a en principe qu'un seul échange d'écritures - comme c'est le cas devant le Tribunal fédéral (cf. art. 102 LTF) -, l'autorité peut se limiter, dans un premier temps, à communiquer la prise de position à titre d'information, sans avis formel de la possibilité de répliquer; pour autant que le juge n'ait pas clôturé l'échange d'écritures, la partie est ainsi mise en situation de faire ou non usage de son droit de réplique; si elle s'en abstient, elle est censée y avoir renoncé après l'écoulement d'un délai raisonnable (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 99 s., 132 I 42 consid. 3.3.3 - 3.3.4 p. 46 sv. et les références citées; voir également les arrêts 2C_688/2007 du 11 février 2008 consid. 2.2 et 8C_408/2008 du 4 août 2008 consid. 4.1).
2.2 En l'espèce, les premiers juges ont transmis au recourant la duplique de l'intimé le 19 juin 2009 sans préciser que l'instruction était close ni lui fixer un délai pour une éventuelle détermination. Ils ont rendu leur jugement le 25 juin 2009, soit cinq jours après la communication de la nouvelle prise de position. Ce délai était clairement insuffisant pour considérer que le recourant avait implicitement renoncé à déposer une nouvelle détermination (à défaut de réaction de sa part pendant cette période). Dans cette mesure, la juridiction cantonale n'a pas respecté le droit d'être entendu du recourant, qui n'a pas pu s'exprimer à propos de la duplique de l'intimé avant qu'elle ne rende son jugement. Le grief de la violation du droit d'être entendu soulevé par le recourant est donc bien fondé.
2.3 Cette violation, qui ne peut être réparée en instance fédérale compte tenu du pouvoir d'examen restreint du Tribunal fédéral dans un litige qui a trait à l'affiliation d'office du recourant à l'assurance-maladie obligatoire (cf. art. 95 à 97 et 105 LTF), entraîne l'annulation du jugement entrepris, sans qu'il y ait lieu d'examiner les griefs du recourant sur le fond, et le renvoi de la cause à la juridiction cantonale (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 390). Celle-ci donnera au recourant la possibilité de s'exprimer, puis statuera à nouveau.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 25 juin 2009 est annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour qu'elle statue à nouveau en procédant conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 29 décembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless