Faits:
A. L'Association X._ (ci-après: l'Association), dont le siège est à Y._, a pour but de promouvoir l'effervescence de la musique électronique et de donner aux jeunes les moyens de réaliser les projets y relatifs. Elle exploite le Z._club, à Y._.
Le 5 janvier 2011, l'Association a déposé auprès de l'Office cantonal de la population une demande d'autorisation de séjour de longue durée (permis B - CE/AELE) avec activité lucrative en faveur de A._, ressortissant roumain né en 1986. Elle a joint le contrat de travail qu'elle avait conclu le 20 décembre 2010 avec le prénommé pour une activité de technicien "spécialisé audio-light", avec entrée en fonction le 1er janvier 2011. Le 18 février 2011, l'Association a également transmis le formulaire "Nous cherchons", établi le 3 février 2011, qui constitue l'annonce à l'intention de l'autorité cantonale du travail d'un poste vacant.
Par décision du 9 mars 2011, l'Office cantonal genevois de l'inspection et des relations du travail, main d'oeuvre étrangère (ci-après: l'Office cantonal) a préavisé défavorablement la demande d'autorisation de séjour présentée au motif que l'Association n'avait pas démontré avoir cherché à engager au préalable un travailleur issu du marché indigène.
Le 8 avril 2011, l'Association a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif), qui l'a déboutée, par jugement du 13 mars 2012.
B. Saisi d'un recours dirigé contre la décision précitée du Tribunal administratif, la Cour de justice, Chambre administrative, du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) l'a rejeté, par arrêt du 21 août 2012. Elle a retenu, en substance, que les ressortissants roumains, pendant une période transitoire s'étendant, en l'état, jusqu'au 31 mai 2014, étaient soumis à des mesures de contingentement des autorisations de séjour et de travail, que le principe de la priorité accordée aux travailleurs intégrés dans le marché régulier du travail leur était opposable, qu'il ressortait de l'enchaînement des faits (offres d'emploi diffusées par internet, signature du contrat de travail, demande de permis et annonce de la vacance du poste) et de l'exigence de la maîtrise orale de la langue roumaine pour le poste à pourvoir qu'elle avait d'emblée porté son choix sur A._ dont elle appréciait les qualités professionnelles et le dévouement témoigné à sa soeur, soignée à Genève des conséquences d'un grave accident et qu'elle n'avait donc pas respecté le principe de priorité du recrutement en faveur de la main d'oeuvre non soumise à contingentement.
C. Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, l'Association demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt de la Cour de justice du 21 août 2012 et d'admettre la demande d'autorisation de séjour et de travail présentée en faveur de A._. Elle se plaint de la violation du droit d'être entendu et d'une appréciation arbitraire des faits et moyens de preuve.
La Cour de justice renonce au dépôt d'une réponse et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt du 21 août 2012. L'Office cantonal conclut, sous suite de frais, au rejet du recours. Dans ses déterminations sur les prises de position des autres participants à la procédure, l'Association a maintenu les conclusions formulées dans son recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 83 lettre c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit.
1.2 Si l'intéressé fait valoir qu'il a droit à une autorisation de séjour sur la base de l'accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681), le Tribunal fédéral entre en matière du seul fait que celui-ci est un ressortissant de l'Union européenne, examinant ensuite avec le fond si la convention donne effectivement un tel droit (arrêt 2C_378/2007 du 14 janvier 2008 consid. 2.1, in RtiD 2008 II p. 179).
Cette jurisprudence se fonde notamment sur l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 390), selon lequel le droit de séjour et d'accès à une activité économique est garanti sous réserve des dispositions transitoires de l'<ref-law>, ainsi que sur l'<ref-law> (cf. arrêt précité 2C_378/2007 consid. 2.1 avec renvoi à l'<ref-ruling> consid. 1. p. 353 ss), disposition en vertu de laquelle les décisions rendues sur recours peuvent être déférées à l'instance judiciaire nationale compétente.
1.3 Le 1er juin 2009 est entré en vigueur le Protocole à l'ALCP concernant la participation, en tant que parties contractantes, de la République de Bulgarie et de la Roumanie, à la suite de leur adhésion à l'Union européenne du 27 mai 2008 (PA 2 ALCP; RS 0.142.112.688.1). Ce protocole est complété par deux annexes, conformément à l'art. 5 ch. 1 PA 2 ALCP. Selon l'annexe II, la Suisse donne provisoirement accès à son marché de l'emploi aux citoyens des nouveaux Etats membres, sur la base de sa législation avant l'entrée en vigueur des dispositions provisoires prévues par ledit protocole; à cette fin, la Suisse ouvre des contingents spécifiques pour des permis de travail de courte et de longue durée. Jusqu'à la fin de la période transitoire, qui s'étend, en l'état, jusqu'au 31 mai 2014, la Suisse fait application de ces nombres maximas spécifiques ainsi que des prescriptions du marché du travail. Conformément à l'<ref-law>, la Suisse peut maintenir, à l'égard des travailleurs bulgares et roumains employés sur son territoire, les contrôles de la priorité des travailleurs intégrés dans le marché régulier du travail et des conditions de salaire et de travail applicables.
1.4 La présente cause tombe sous le coup du régime transitoire instauré par l'<ref-law>. Si les conditions prévues sont réunies, A._ dispose d'un droit à obtenir une autorisation de séjour et de travail (FELIX KLAUS in Ausländerrecht, 2e éd., 2009 no 17.47). En outre, l'exigence de la double instance de recours prévue par l'<ref-law> vaut sans réserve.
En l'occurrence, dans la mesure où A._ n'est pas partie à la procédure, il ne peut pas invoquer son droit personnel à l'octroi de l'autorisation de séjour et de travail sollicitée par la recourante. Celle-ci, en tant qu'employeur potentiel de l'intéressé, qui a d'ailleurs cosigné la demande de main d'oeuvre présentée en sa faveur, doit cependant pouvoir invoquer toutes les circonstances permettant de fonder un droit à l'octroi de l'autorisation requise. Dans ces conditions, il faut admettre que la voie du recours en matière de droit public est ouverte et qu'en conséquence celle du recours constitutionnel subsidiaire ne l'est pas. La recourante a certes indiqué agir par la voie du recours constitutionnel subsidiaire. Cette imprécision ne saurait toutefois lui nuire si son recours remplit les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 302 s.).
1.5 Au surplus, interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (cf. <ref-law>), le recours est dirigé contre un jugement final (cf. <ref-law>) rendu dans une cause de droit public (cf. <ref-law>) par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Déposé dans le délai (cf. <ref-law>) et la forme (cf. <ref-law>) prévus par la loi, le recours, considéré comme recours en matière de droit public, est en principe recevable.
2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>). Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant.
En outre, le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergeant de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 3 p. 104). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
3. Invoquant la violation du droit d'être entendu, la recourante reproche aux autorités cantonales de n'avoir pas donné la possibilité à A._ de faire valoir ses arguments, alors qu'il était directement touché par la décision litigieuse. Elle fait valoir que l'intéressé aurait dû être invité par la Cour de justice à se déterminer sur le recours et soutient que cette omission l'a privée de ses droits de partie.
3.1 Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 282; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 277). Ce droit ne s'oppose pas à ce que l'autorité mette un terme à l'instruction lorsque toutes les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 236 s.; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148). En outre, les garanties minimales en matière de droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. ne comprennent en principe pas le droit d'être entendu oralement (ATF <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148; arrêt 2C_382/2011 du 16 novembre 2011 consid. 3.3).
3.2 En l'espèce, la recourante ne se prévaut d'aucune disposition de droit cantonal lui conférant des garanties supérieures à l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. arrêt 2C_382/2011 précité, consid. 3.3 a contrario). A._ n'était pas partie aux procédures qui se sont déroulées devant le Tribunal administratif et devant la Cour de justice. Directement concerné par la décision de l'Office cantonal du 9 mars 2011, il aurait pourtant pu recourir contre cet acte et ainsi agir en qualité de partie. Dès lors qu'il y a renoncé, la recourante ne saurait invoquer à sa place une violation du droit d'être entendu de celui-ci. Dans la mesure où la recourante estimait utile que A._ puisse s'exprimer personnellement, il lui incombait de solliciter son audition, notamment à l'occasion de l'audience du 13 mars 2012 devant le Tribunal administratif, au cours de laquelle son trésorier a été entendu. Or, elle n'a présenté aucune requête en ce sens. Elle n'a pas non plus requis l'audition de l'intéressé à l'issue de l'échange d'écritures devant la Cour de justice. Elle aurait pu le faire jusqu'à la réception de l'avis de la Cour de justice du 7 août 2012 informant les parties de ce que la cause était gardée à juger. C'est en effet cet avis qui, selon la terminologie en procédure genevoise, signifie que l'instruction est close et qui doit susciter la réaction de la partie souhaitant solliciter une mesure d'instruction complémentaire (arrêt 8D_4/2009 du 3 mars 2010 consid. 5.3). Pour le surplus, la recourante n'indique pas sur quels éléments de fait A._ aurait fourni des renseignements complémentaires déterminants pour le sort de la cause.
Le grief tiré de la violation du droit d'être entendu est en conséquence infondé.
4. La recourante se plaint également d'une appréciation arbitraire des faits et des moyens de preuve en relation avec les conditions posées quant au respect du principe de priorité à accorder aux travailleurs indigènes. Elle fait valoir qu'elle a procédé à des recherches d'emploi avant de s'engager contractuellement avec A._, que l'exigence de la maîtrise orale de la langue roumaine n'avait pas été posée en fonction du profil du prénommé, mais résultait de son intérêt à pouvoir communiquer directement avec les artistes en provenance de l'Europe de l'Est, que le dévouement de A._ envers sa soeur n'avait pas compté dans le processus de sélection, que les difficultés rencontrées dans la procédure de recrutement tenaient principalement aux horaires irréguliers et contraignants du poste et que l'engagement de A._ ne relevait pas d'une convenance personnelle.
4.1 L'appréciation des preuves est arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les arrêts cités). L'appréciation des preuves doit être arbitraire non seulement en ce qui concerne les motifs invoqués par la juridiction cantonale pour écarter un moyen de preuve, mais également dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 318 s.).
4.2 La mise en oeuvre de l'ALCP est réglée par l'ordonnance du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, la Communauté européenne et ses Etats membres, ainsi qu'entre les Etats membres de l'Association européenne de libre échange (OLCP; RS 142.203). D'après l'<ref-law>, intitulé "Décision préalable à l'octroi de l'autorisation", avant que les autorités cantonales compétentes n'accordent à un ressortissant d'un nouvel Etat membre de la Communauté européenne une autorisation en vue de l'exercice d'une activité lucrative salariée, l'autorité cantonale du marché du travail rend une décision précisant que les conditions relatives au marché du travail sont remplies. La procédure est régie par le droit cantonal.
L'Office fédéral des migrations a émis des directives sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes (http://www.bfm.admin.ch/content/bfm/fr/home/dokumentation/recht grundlagen/weisungen_und_kreisschreiben/fza.html [consulté le 19 mars 2013]). S'agissant du contrôle de la priorité des travailleurs indigènes - en relation notamment avec l'<ref-law> -, ces directives prévoient ce qui suit (pt 5.5.2 de la version du 1er mai 2011): "Lors de la décision préalable relative au marché du travail, le contrôle de la priorité des travailleurs indigènes est également effectué. L'employeur doit prouver qu'il a déployé des efforts de recrutement sur le marché du travail indigène et n'y a pas trouvé de travailleur (suisse ou étranger intégré dans le marché du travail suisse) ayant le profil recherché. [...] Les employeurs doivent annoncer suffisamment tôt les postes vacants qui ne peuvent vraisemblablement être occupés que par des travailleurs des nouveaux Etats membres de la CE aux offices régionaux de placement (ORP) en vue de leur mise au concours dans PLASTA. Les employeurs doivent également attester les efforts de recrutement au moyen d'annonces publiées dans la presse quotidienne et/ou spécialisée, des médias électroniques ou d'une agence de placement privée. Dans le cadre de son obligation de collaborer, l'employeur est tenu de prouver ses efforts de recherche. Un refus général des demandes, basé sur une appréciation globale de la situation de l'économie et du marché du travail (par ex. indication générale du nombre de demandeurs d'emploi dans le canton ou la branche) et sans référence à un cas précis, est irrecevable en raison du droit prévu dans l'ALCP. Par conséquent, les mêmes prescriptions que pour les ressortissants d'Etats tiers s'appliquent en matière de respect de la priorité des travailleurs indigènes."
Il ressort du dernier paragraphe que l'art. 21 LEtr, intitulé "Ordre de priorité", est applicable, au moins par analogie, à l'admission en vue de l'exercice d'une activité lucrative en Suisse des ressortissants des nouveaux Etats membres de l'Union européenne (arrêt 2C_217/2009 du 11 septembre 2009 consid. 2.2).
Aux termes de l'art. 21 al. 1 LEtr, un étranger ne peut être admis en vue de l'exercice d'une activité lucrative que s'il est démontré qu'aucun travailleur en Suisse ni aucun ressortissant d'un Etat avec lequel a été conclu un accord sur la libre circulation des personnes correspondant au profil requis n'a pu être trouvé.
4.3 En l'espèce, les différentes pièces produites relatives aux offres d'emploi publiées par la recourante sur des sites internet pour le recrutement d'un technicien "audio et light spécialisé dancing" mentionnent toutes la maîtrise orale de la langue roumaine. Elles ne sont pas datées, mais font état d'une entrée en fonction le 1er novembre 2010 et sont donc antérieures à cette date. La recourante en déduit que l'exigence de la langue roumaine n'a pas été posée en fonction de A._, engagé ultérieurement, par contrat du 20 décembre 2010. Ce moyen n'emporte pas conviction. En effet, il ressort du dossier cantonal que A._ avait déjà travaillé pour le compte de la recourante dès octobre 2010, à titre bénévole, à une période où celle-ci rencontrait certaines difficultés. Elle avait donc pu apprécier les qualités qu'elle lui prête et il est fort vraisemblable que l'indication de la langue roumaine était directement liée à sa personne. Ce d'autant que la langue roumaine, d'origine romane, n'est pas si précieuse pour communiquer avec les ressortissants de pays de l'Europe de l'Est, qui s'expriment majoritairement en langue d'origine slave. De plus, le trésorier de la recourante, lors de son audition devant le Tribunal administratif, a indiqué que le Z._ club disposait d'un vaste réseau lui permettant de trouver des employés compétents en cas de besoin et que les langues anglaise, française et italienne étaient souvent utilisées. Il est, par ailleurs, incontestable que l'exigence de la maîtrise orale du roumain est de nature à restreindre sensiblement le cercle des candidats potentiels à un emploi de technicien "audio et light". Le sentiment que la recourante a d'emblée jeté son dévolu sur la personne de A._ est également renforcé par l'enchaînement des démarches administratives, l'annonce du poste vacant ayant été présentée postérieurement à la signature du contrat d'engagement. En outre, l'intéressé avait fait preuve de dévouement, il était polyvalent et bénéficiait de bonnes connaissances pratiques, de sorte qu'il apparaissait comme le candidat idéal.
Dans ces conditions, la Cour de justice était fondée à considérer que les annonces parues étaient calquées sur le profil de A._. Si l'on peut comprendre que la recourante ait cherché à s'attacher ses services, cette préférence n'est pas compatible avec le principe de priorité du recrutement. En particulier, l'exigence de la connaissance de la langue roumaine constituait un handicap pour bon nombre de candidats et s'ajoutait sans réelle nécessité à l'obstacle que constituait l'irrégularité des horaires de travail.
L'appréciation des preuves et des faits à laquelle l'autorité précédente s'est livrée n'est donc pas entachée d'arbitraire.
5. Vu ce qui précède, le recours, considéré comme recours en matière de droit public, doit être rejeté.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours, considéré comme recours en matière de droit public, est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Office cantonal de l'inspection et des relations du travail, main d'oeuvre étrangère, à l'Office cantonal de la population et à la Cour de justice, Chambre administrative, du canton de Genève.
Lausanne, le 1er avril 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor