Faits:
A. Le 2 mars 2012, A._ a été interpellé à la suite d'une dénonciation laissant entendre qu'il fomentait le projet de faire tuer le gendarme B._. Il lui est reproché d'avoir promis de l'argent dans ce but au mineur C._, qui a confirmé que l'intéressé lui avait demandé de tuer le gendarme en question. A._ a été prévenu de tentative d'assassinat, subsidiairement de tentative d'instigation à assassinat. Le dénommé D._ a également déclaré que A._ lui avait proposé de l'argent pour frapper un policier, de sorte que la prévention a été étendue à l'instigation à lésions corporelles graves. La police ayant découvert une importante somme d'argent dissimulée en divers endroits d'un commerce de A._, celui-ci a également été prévenu de blanchiment d'argent. Il est enfin prévenu d'infraction à la loi fédérale sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) pour avoir employé plusieurs personnes illégalement entre 2009 et 2012.
B. Le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Genève (ci-après: le Tmc) a ordonné la détention provisoire de A._. Cette détention a été prolongée à plusieurs reprises et le Tmc a rejeté des requêtes de mise en liberté provisoire. La Cour de céans a confirmé une décision de prolongation de la détention, en constatant l'existence de charges suffisantes et celle d'un risque de collusion (arrêt 1B_393/2012 du 24 juillet 2012). Elle a partiellement admis un autre recours du prénommé, en raison d'une violation de son droit d'être entendu sur un élément pertinent pour apprécier le risque de récidive (arrêt 1B_681/2012 du 30 novembre 2012). Par ordonnance du 14 novembre 2012, le Tmc a ordonné une nouvelle prolongation de la détention jusqu'au 21 décembre 2012, en retenant les risques de fuite et de réitération et en relevant que cette prolongation devrait suffire pour clore l'instruction et renvoyer le prévenu en jugement.
C. Donnant suite à l'arrêt 1B_681/2012 précité, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) est revenue sur son appréciation du risque de récidive par arrêt du 14 décembre 2012, pour finalement considérer que ce risque ne pouvait pas être retenu. Elle a en revanche estimé que le risque de fuite - qu'elle n'avait pas examiné dans son précédent arrêt mais que le Tmc n'avait pas exclu - était réalisé. Même si le risque de fuite n'était "guère élevé", une libération de A._ ne pouvait pas être envisagée, faute de mesures de substitution aptes à pallier ce risque. Le dépôt de ses documents d'identité ne pouvait se concevoir qu'avec la fourniture d'une caution, sur laquelle l'intéressé n'avait pas donné d'informations suffisantes.
Par ordonnance du 21 décembre 2012, le Tmc a considéré que les conditions de l'art. 221 du code de procédure pénale suisse (CPP; RS 312.0) étaient réunies pour placer A._ en détention pour des motifs de sûreté. Il a toutefois ordonné la libération provisoire du prénommé moyennant les mesures de substitution suivantes: dépôt de ses documents d'identité, obligation de se présenter deux fois par semaine à un poste de police, fourniture de sûretés de 40'000 fr. et obligation de donner suite à toute convocation judiciaire. Les sûretés de 40'000 fr. ont été versées le 24 décembre 2012. Le Ministère public a contesté l'ordonnance du 21 décembre 2012 auprès de la Cour de justice, qui a admis le recours et annulé cette ordonnance par arrêt du 4 janvier 2013. Retenant l'existence d'un risque de fuite toujours qualifié de "guère élevé", la Cour de justice a estimé que le montant de 40'000 fr. fixé par le Tmc était insuffisant et que les autres mesures de substitution ordonnées ne palliaient pas à elles seules le risque susmentionné.
D. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ a d'abord demandé au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 14 décembre 2012 et d'ordonner sa mise en liberté immédiate, subsidiairement de prononcer des mesures de substitution, en particulier le paiement d'une caution de 25'000 francs (cause 1B_773/2012). Il a formé par la suite un recours en matière pénale contre l'arrêt du 4 janvier 2013, en concluant à son annulation et à la confirmation de l'ordonnance du Tmc du 21 décembre 2012 (cause 1B_25/2013). A._ requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire dans les deux causes. Le Ministère public a présenté des observations, concluant au rejet des recours. La Cour de justice s'est également déterminée de manière détaillée dans la seconde cause, en persistant dans ses décisions. Le recourant a présenté des observations complémentaires dans la première procédure. Vu l'issue du recours, il n'a pas été demandé de déterminations supplémentaires au recourant dans la cause 1B_25/2013.

Considérant en droit:
1. Les recours ont trait à la même procédure pénale, les mêmes parties sont impliquées et les questions soulevées sont semblables. Il se justifie donc de joindre les causes 1B_773/2012 et 1B_25/2013 pour statuer dans un seul et même arrêt.
2. Selon l'art. 78 LTF, le recours en matière pénale est ouvert contre les décisions rendues en matière pénale, dont font partie les décisions relatives à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des art. 220 ss CPP (<ref-ruling> consid. 1 p. 23). Selon l'art. 81 al. 1 let. a et let. b ch. 1 LTF, l'accusé a qualité pour agir. Pour le surplus, les recours sont formés en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre des décisions rendues en dernière instance cantonale (art. 80 LTF) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'art. 107 al. 2 LTF. Il y a donc lieu d'entrer en matière.
3. Une mesure de détention avant jugement n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'art. 221 CPP. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 2c p. 270). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (cf. art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP). Préalablement à ces conditions, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (art. 221 al. 1 CPP; art. 5 par. 1 let. c CEDH; arrêt 1B_63/2007 du 11 mai 2007 consid. 3 non publié in <ref-ruling>).
4. Le recourant ne remet pas en cause le caractère suffisant des charges mais il conteste l'existence d'un risque de fuite et il soutient que les mesures de substitution ordonnées par le Tmc dans son ordonnance du 21 décembre 2012 étaient adéquates.
4.1 Le risque de fuite doit s'analyser en fonction d'un ensemble de critères tels que le caractère de l'intéressé, sa moralité, ses ressources, ses liens avec l'État qui le poursuit ainsi que ses contacts à l'étranger, qui font apparaître le risque de fuite non seulement possible, mais également probable (<ref-ruling> consid. 4a p. 70 et la jurisprudence citée). La gravité de l'infraction ne peut pas, à elle seule, justifier la prolongation de la détention, même si elle permet souvent de présumer un danger de fuite en raison de l'importance de la peine dont le prévenu est menacé (<ref-ruling> consid. 3a p. 62; <ref-ruling> consid. 4a p. 70; <ref-ruling> consid. 3 p. 67). Il est sans importance que l'extradition du prévenu puisse être obtenue (<ref-ruling> consid. 3d p. 36 s.).
Conformément au principe de la proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst.), il convient d'examiner les possibilités de mettre en oeuvre d'autres solutions moins dommageables que la détention (règle de la nécessité). Cette exigence est concrétisée par l'art. 237 al. 1 CPP, qui prévoit que le tribunal compétent ordonne une ou plusieurs mesures moins sévères en lieu et place de la détention provisoire ou de la détention pour des motifs de sûreté si ces mesures permettent d'atteindre le même but que la détention. Selon l'art. 237 al. 2 CPP, font notamment partie des mesures de substitution: la fourniture de sûretés (let. a), la saisie des documents d'identité et autres documents officiels (let. b), ou encore l'obligation de se présenter régulièrement à un service administratif (let. d).
4.2 En l'occurrence, la Cour de justice a considéré que le risque de fuite n'était pas plus aigu qu'au printemps 2012, lorsqu'elle avait qualifié ce risque de "guère élevé". Compte tenu des attaches du recourant avec la Suisse et de ses quelques liens à l'étranger - soit le domicile d'une soeur en Allemagne et d'éventuels autres liens familiaux dont l'arrêt attaqué ne dit rien - elle a retenu l'existence de ce risque, en considérant que son niveau permettait d'envisager une mise en liberté assortie de mesures de substitution. Le recourant soutient quant à lui que le risque de fuite est inexistant. Il est en effet de nationalité suisse, il a le centre de sa vie et de ses intérêts à Genève et n'a pratiquement aucune attache à l'étranger.
Il est vrai qu'un risque de fuite qualifié de "guère élevé" n'apparaît pas d'emblée correspondre à l'exigence d'un risque qu'il y aurait "sérieusement lieu de craindre" selon les termes de l'art. 221 al. 1 CPP. L'appréciation de la Cour de justice, au demeurant peu motivée, peut cependant être étayée par les derniers développements de la procédure, qui ont conduit à une aggravation du risque de fuite. En effet, l'instruction est désormais terminée, le recourant ayant été renvoyé en jugement le 17 décembre 2012. Si l'infraction de blanchiment d'argent n'a pas été retenue par le Ministère public, le recourant n'en demeure pas moins prévenu de tentative d'instigation à assassinat, de tentative d'instigation à lésions corporelles graves et d'infractions à la loi fédérale sur les étrangers. Dans ces conditions, la peine encourue en cas de condamnation est devenue plus concrète et elle pourrait inciter le recourant à faire certains sacrifices pour y échapper. De plus, la proximité de l'audience de jugement est elle aussi de nature à accroître le risque de fuite (cf. arrêts 1B_447/2011 du 21 septembre 2011 consid. 2; 1B_206/2008 du 12 août 2008 consid. 4.2 et les arrêts cités). En définitive, on peut admettre qu'il existe un risque de fuite, de sorte que la décision attaquée peut être confirmée sur ce point, par substitution de motifs.
4.3 Cela étant, les éléments sur lesquels se fonde le risque de fuite ne permettent pas de confirmer l'appréciation des mesures de substitution par la Cour de justice. Les mesures en question doivent en effet être analysées non pas de manière abstraite, mais en relation avec l'importance du risque de fuite présenté concrètement par l'intéressé. Or, en présence d'un risque qui se révèle faible eu égard aux éléments retenus par les instances précédentes, les mesures ordonnées par le Tmc dans sa décision du 21 décembre 2012 apparaissent suffisantes. En effet, le dépôt des documents d'identité, l'obligation de se présenter deux fois par semaine à un poste de police, la fourniture de sûretés d'un montant non négligeable de 40'000 fr. et l'obligation de répondre à toute convocation du pouvoir judiciaire constituent un frein suffisant à d'hypothétiques velléités de fuite du recourant, qui conserve par ailleurs le centre de sa vie et de ses intérêts en Suisse.
Ainsi, même si l'on peut partager les réserves de la Cour de justice au sujet du manque de clarté de la situation financière du recourant, le principe de la proportionnalité commandait de mettre en relation les mesures précitées et le risque à pallier. Au regard de l'indigence des fondements de ce dernier, les exigences imposées au recourant et une éventuelle augmentation du montant de la caution apparaissent excessives. En définitive, les éléments retenus par la Cour de justice ne permettent pas de tenir pour insuffisantes les sûretés de 40'000 fr. et les autres mesures fixées par le Tmc. Les mesures de substitution ordonnées par cette dernière autorité doivent donc être confirmées, de sorte que le recourant doit être remis en liberté moyennant le respect de celles-ci. Il y a donc lieu de confirmer intégralement l'ordonnance rendue par le Tmc le 21 décembre 2012 et de renvoyer la cause à cette autorité pour qu'elle organise sans délai la mise en oeuvre des mesures de substitution et la mise en liberté du recourant.
4.4 A titre de mesure de substitution, le Tmc a notamment ordonné l'obligation pour le recourant de se présenter au poste de police des Pâquis les mardis et vendredis de chaque semaine. Dès lors qu'il est reproché au recourant d'avoir voulu faire assassiner un gendarme de ce même poste de police, la mesure en question n'apparaît pas adéquate. On ignore toutefois si le gendarme concerné est toujours affecté à ce poste de police et s'il est susceptible d'être confronté au recourant les jours où ce dernier doit se présenter. Il appartiendra au Tmc de régler ce problème dans le cadre de la mise en oeuvre de sa décision, en prenant les mesures qui s'imposent pour éviter tout incident ou, le cas échéant, en désignant une autre autorité devant laquelle le recourant devrait se présenter régulièrement.
5. La décision précitée - qui ordonne simultanément la mise en détention du recourant pour des motifs de sûreté et sa mise en liberté avec mesures de substitution - remplace la décision antérieure faisant l'objet de la cause 1B_773/2012. Par conséquent, les conclusions formées dans la cause précitée et tendant à l'annulation de cette ancienne décision ont perdu leur objet. L'intéressé ne prétend pas qu'il devrait être mis en liberté moyennant le versement du montant de 25'000 fr. évoqué dans la procédure précitée et il ne conteste pas le montant de 40'000 fr., qui a au demeurant été versé. Le recours formé dans la cause 1B_773/2012 doit dès lors être déclaré sans objet. Enfin, vu la confirmation de l'ordonnance du 21 décembre 2012 et le renvoi de la cause au Tmc pour qu'il organise la mise en liberté du recourant aux conditions susmentionnées, la conclusion demandant au Tribunal fédéral d'ordonner sa mise en liberté immédiate devient elle aussi sans objet.
6. Il s'ensuit que le recours formé dans la cause 1B_25/2013 est admis et l'arrêt de la Cour de justice du 4 janvier 2013 annulé. L'ordonnance du Tmc du 21 décembre 2012 est confirmée et la cause est renvoyée à cette autorité pour qu'elle organise sans délai la mise en oeuvre des mesures de substitution et la mise en liberté du recourant. Cette issue rend sans objet le recours formé dans la cause 1B_773/2012. Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF). Pour les deux procédures (1B_773/2012 et 1B_25/2013), l'Etat de Genève versera une indemnité à titre de dépens au recourant, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 LTF). Dans ces conditions, la demande d'assistance judiciaire est sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 1B_773/2012 et 1B_25/2013 sont jointes.
2. La cause 1B_773/2012 est déclarée sans objet.
3. Le recours formé dans la cause 1B_25/2013 est admis et l'arrêt de la Cour de justice du 4 janvier 2013 est annulé. L'ordonnance du Tribunal des mesures de contrainte du canton de Genève du 21 décembre 2012 est confirmée et la cause est renvoyée à cette autorité pour qu'elle organise sans délai la mise en oeuvre des mesures de substitution et la mise en liberté du recourant.
4. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5. L'Etat de Genève versera au conseil du recourant une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens.
6. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Tribunal des mesures de contrainte, au Ministère public et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 31 janvier 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Rittener