Sachverhalt:
A.
Die D._ AG (Gesuchstellerin, Beschwerdegegnerin) reichte am 3. November 2014 beim Richteramt Solothurn-Lebern ein Ausweisungsgesuch gestützt auf <ref-law> und <ref-law> sowie <ref-law> ein und verlangte, A.A._, B.A._ und C.A._ (Gesuchsgegner, Beschwerdeführer) sowie jegliche allfällige weitere Mitbewohner seien unter Androhung der Straffolgen gemäss <ref-law> aufzufordern, die Wohnung im Parterre, im 1. Stock sowie sämtliche dazugehörenden Kellerabteile und Garagen an der U._-Strasse in V._ unter Anordnung einer kurz bemessenen Frist komplett zu räumen und definitiv zu verlassen. Gleichzeitig ersuchte sie um umgehende Vollstreckung im Widerhandlungsfall.
Mit Urteil vom 10. Dezember 2014 schützte der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern das Ausweisungsgesuch per 2. Januar 2015.
B.
Die gegen dieses Urteil von den Gesuchsgegnern erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 17. Februar 2015 ab. Es erwog im Wesentlichen, der von den Gesuchsgegnern behauptete mündliche Mietvertrag sei nicht substanziiert und durch nichts belegt, während die Eigentümerstellung der D._ AG ausgewiesen sei, womit eine klare Rechtslage im Sinn von <ref-law> vorliege.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragen die Beschwerdeführer dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 17. Februar 2015 sei aufzuheben, und auf das Ausweisungsgesuch vom 1. November 2014 sei nicht einzutreten. Eventualiter sei die Sache an das Obergericht zur erneuten Beurteilung zurückzuweisen; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Ihrem Gesuch um superprovisorische Anordnung der aufschiebenden Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 12. März 2015 stattgegeben. Sämtliche Beschwerdeführer suchen für das Verfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nach.
Es wurden keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
1.1. Das Urteil des Obergerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG, gegen den die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich offen steht.
1.2. Die Vorinstanz gab in ihrer Rechtsmittelbelehrung einen Streitwert unter Fr. 15'000.-- an, ohne dies weiter zu begründen. Zwischen den Parteien ist umstritten, ob ein Mietvertrag besteht. Die Beschwerdeführer berufen sich auf einen mündlich abgeschlossenen Vertrag und machen geltend, der Mietzins betrage Fr. 1'450.-- monatlich zuzüglich Nebenkosten. Massgeblich für die Berechnung des Streitwerts sei die Zeit, bis voraussichtlich ein Ausweisungsentscheid in einem ordentlichen Prozess ergehen könne. Der für Mietstreitigkeiten erforderliche Streitwert von Fr. 15'000.-- (<ref-law>) werde somit ab einer Verzögerung von 10 Monaten erreicht und der Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) ab einer Verzögerung von 18,5 Monaten. Vorliegend sei mit einer Verfahrensdauer von über 22 Monaten zu rechnen.
Mit Blick auf die Streitwertgrenze von <ref-law> hat das Bundesgericht erkannt, es sei von einem arbeitsrechtlichen Fall i.S.v. <ref-law> auszugehen, wenn das Vorliegen eines Arbeitsvertrages strittig sei, entsprechend der Praxis zu den sog. doppelrelevanten Tatsachen (Urteil des Bundesgerichts 4A_71/2011 vom 2. Mai 2011 E. 1.2 unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.1). Diese Rechtsprechung ist auch auf das behauptete Vorliegen eines Mietvertrages anzuwenden. Nur wenn der Tatsachenvortrag betreffend das Vorliegen eines Mietverhältnisses auf Anhieb fadenscheinig oder inkohärent erscheint, ist mit Blick auf die Rechtsprechung zu den doppelrelevanten Tatsachen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 34) die Streitigkeit nicht als eine mietrechtliche i.S.v. <ref-law> zu betrachten. Davon kann hier nicht ausgegangen werden.
Beschlägt der Streit die Frage, ob die Voraussetzungen für die Anordnung der Räumung einer Liegenschaft im Verfahren nach <ref-law> gegeben sind, ist nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts, wenn die Voraussetzungen einer Ausweisung im Verfahren nach <ref-law> verneint werden, als Streitwert grundsätzlich der durch die Verzögerung mutmasslich entstehende Schaden zu betrachten. Dieser besteht im hypothetisch anfallenden bzw. entgangenen Miet- oder Gebrauchswert für die Zeit, bis voraussichtlich ein Ausweisungsentscheid in einem Prozess im ordentlichen Verfahren ergehen könnte (Urteil 4A_449/2014 vom 19. November 2014 E. 2.1 mit Hinweis). Ob dies auch gilt, wenn wie vorliegend dem Ausweisungsbegehren stattgegeben wird, nachdem im Ausweisungsverfahren umstritten war, ob überhaupt ein Mietverhältnis besteht, und die Vorinstanz diese Frage verneint, hat das Bundesgericht offengelassen (zit. Urteil 4A_449/2014 E. 2.1).
Die Problematik braucht nicht weiter erörtert zu werden. Nachdem seit Gesuchseinreichung bereits sieben Monate verflossen sind, kann ohne weiteres von einer mutmasslichen Verfahrensdauer bis zum Abschluss eines ordentlichen Verfahrens von erheblich über zehn Monaten ausgegangen werden. Auch wenn ein Mietzins angesichts der Strittigkeit des Rechtsverhältnisses nicht festgestellt wurde und selbst wenn der Gebrauchswert der Räumlichkeiten unter dem von den Beschwerdeführern angegebenen Betrag läge, wird der erforderliche Streitwert bereits mit Blick auf die mutmassliche Verfahrensdauer jedenfalls erreicht. Damit erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen entgegen der Ansicht der Beschwerdegegnerin als zulässig, und ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>), weil die Vorinstanz lediglich ausführte, ein mündlicher Mietvertrag sei nicht substanziiert und durch nichts belegt. Sie monieren namentlich, die Vorinstanz habe sich nicht mit ihren Ausführungen in der Beschwerdeschrift hinsichtlich dessen Zustandekommens anlässlich eines Treffens mit ihrem Vater und einzigem Verwaltungsrat der Beschwerdegegnerin, A._, am 8. März 2014 im Museum E._ und den anschliessenden Bemühungen der Beschwerdeführerin 1 zur Aufnahme einer Geschäftstätigkeit in der streitgegenständlichen Liegenschaft sowie der (behaupteten) psychiatrischen Erkrankung ihres Vaters auseinandergesetzt.
Die Rüge ist unbegründet. Die Beschwerdeführer waren in der Lage, den Entscheid der Vorinstanz sachgerecht anzufechten, womit dem Anspruch Genüge getan ist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188 mit Hinweis).
3.
Mit den gleichen Vorbringen begründen die Beschwerdeführer auch ihre Rüge einer Verletzung von <ref-law>.
3.1. Wird eine Verletzung von <ref-law> geltend gemacht, ist zu beachten, dass Willkür nicht schon dann vorliegt, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen). Inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar sein soll, muss die beschwerdeführende Partei im Einzelnen aufzeigen; sie darf sich nicht damit begnügen, diesen pauschal als willkürlich zu bezeichnen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 3 S. 352).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und erheblich sind (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Soweit sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90 mit Hinweisen). Auf eine Kritik am angefochtenen Urteil, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten.
3.3. Diesen Grundsätzen wird die Beschwerde nicht gerecht. Die Vorinstanz hat die Erheblichkeit der von den Beschwerdeführern vorgebrachten Massnahmen des Erwachsenenschutzes betreffend A._ verneint. Die Beschwerdeführer rügen diesbezüglich eine willkürliche Beweiswürdigung. Sie machen geltend, die Vorinstanz habe das (Kinder-) Zuteilungsgutachten vom 25. Januar 2011 bzw. die Erkrankung des Vaters willkürlich nicht berücksichtigt; dies obwohl seine Wahrnehmungsstörung " (paranoide Züge) unmittelbar im Zusammenhang steht mit [...] der Frage, ob zwischen den Parteien ein Mietverhältnis besteht" bzw. "mit Blick auf die Glaubwürdigkeit der Bestreitungen der Beschwerdegegnerin zu berücksichtigen" sei. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern es willkürlich sein soll, auf ein rund dreijähriges Gutachten, das zudem im Rahmen der Scheidung der Eltern der Beschwerdeführer und mit dem Zweck der Begründung der Zuteilung der unmündigen Kinder ergangen ist, bei der Frage des Vertragsschlusses nicht als erheblich zu erachten.
Auch eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung wird nicht rechtsgenügend begründet. Vielmehr beharren die Beschwerdeführer in appellatorischer Darlegung der Umstände rund um den 8. März 2014 auf ihrem Standpunkt, dass ein Mietvertrag angenommen werden müsse. Die Vorinstanz hat dazu keine tatsächlichen Feststellungen getroffen und die Beschwerdeführer legen nicht dar, wo genau sie prozesskonform welche Tatsachen behaupteten und zum Beweis verstellten. Ihr pauschaler Hinweis, dass sie dies "in ihren Stellungnahmen und ihrer Beschwerde vom 9. Februar 2015" getan hätten, genügt nicht (vgl. E. 3.2 hiervor), zumal die Vorinstanz ausgeführt hatte, die Beschwerdeführer hätten im kantonalen Beschwerdeverfahren neue Tatsachenbehauptungen erhoben und neue Beweismittel eingereicht, was nach <ref-law> nicht zulässig sei. Darauf gehen die Beschwerdeführer nicht ein. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, die kantonalen Rechtsschriften zu durchforsten.
4.
Die Beschwerdeführer machen schliesslich eine Verletzung der Regeln über die Beweislast geltend, weil die Vorinstanz mit dem Hinweis, ein Mietvertrag sei durch "nichts belegt", ihnen die Beweislast auferlegt habe. Die Beweislast für das behauptete Nichtvorhandensein eines mündlichen Mietvertrages treffe aber die Beschwerdegegnerin. Sie verkennen einerseits, dass dann, wenn das Gericht in Würdigung von Beweisen zur Überzeugung gelangt, eine Tatsachenbehauptung sei bewiesen oder widerlegt, die Beweislastverteilung gegenstandslos ist und Beweiswürdigung vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 5.4 S. 601 f. mit Hinweisen). Anderseits ist offensichtlich, dass die Vorinstanz nicht verlangt hat, dass ein Mietvertrag mit dem strikten Beweismass nachgewiesen wird. Vielmehr ging sie zutreffend davon aus, dass der Rechtsschutz in klaren Fällen nach <ref-law> nicht gewährt werden darf, wenn die Gesuchsgegner substanziierte und schlüssige Einwendungen vorbringen können (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 26; <ref-ruling> E. 5.1.1 S. 23 mit Hinweis); solche substanziierten und schlüssigen Einwendungen konnte sie aber im Rahmen ihrer Beweiswürdigung nicht erkennen. Darauf bezieht sich die Formulierung, das behauptete Mietverhältnis sei durch nichts belegt und entsprechend eben die Einwendung nicht substanziiert. Wie dargelegt, ist diese Beweiswürdigung nicht willkürlich.
5.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen. Das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung für die Beschwerde wird mit diesem Entscheid gegenstandslos.
Auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht ist namentlich mit Blick auf die mangelhafte Begründung der Beschwerde zufolge Aussichtslosigkeit abzuweisen. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Praxis Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren (<ref-ruling> E. 1.2 S. 397 mit Hinweisen).
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdegegnerin wurde nur eingeladen, zum Gesuch um aufschiebende Wirkung Stellung zu nehmen. Entsprechend schulden die Beschwerdeführer ihr nur eine reduzierte Entschädigung. Da sich keine besonders schwierigen Fragen stellten, besteht kein Anlass von dem vom Bundesgericht in derartigen Fällen praxisgemäss festgesetzten Betrag abzuweichen. Damit erübrigt es sich, der Beschwerdegegnerin wie beantragt eine Frist zur Einreichung einer Kostennote anzusetzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
5.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Luczak