Erwägungen:
1. Der aus dem Kosovo stammende X._, geboren 1978, reiste im August 1998 in die Schweiz ein und ersuchte erfolglos um Asyl. Ein 2000 eingereichtes zweites Asylgesuch wurde wiederum abgewiesen; der mit dem negativen Asylentscheid verbundenen Ausreiseaufforderung (Ausreisefrist 15. April 2004) leistete X._ keine Folge; er heiratete am 6. April 2004 eine in der Schweiz niedergelassene Landsfrau und erhielt gestützt auf Art. 17 Abs. 2 ANAG eine Aufenthaltsbewilligung. Seit Ende 2005 lebten die Eheleute getrennt; die Ehe wurde am 23. Mai 2007 geschieden.
Mit Verfügung vom 3. August 2006 lehnte die Fremdenpolizei der Stadt Bern das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab; zugleich wurde, unter Ansetzung einer Ausreisefrist, die Wegweisung angeordnet. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern am 21. März 2007 ab. Gegen deren Beschwerdeentscheid wurde sowohl beim Verwaltungsgericht als auch beim Regierungsrat des Kantons Bern Beschwerde erhoben; das Beschwerdeverfahren vor dem Regierungsrat wurde vorerst sistiert. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern trat mit Entscheid vom 30. August 2007 auf die Beschwerde nicht ein, weil kein Rechtsanspruch auf Verlängerung der Bewilligung bestand; der Regierungsrat des Kantons Bern nahm in der Folge das Verfahren wieder auf und wies die Beschwerde am 28. Mai 2008 ab; zugleich setzte er eine neue Ausreisefrist auf den 4. Juli 2008 an.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 30. Juni 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, sämtliche die Bewilligungsverlängerung abweisenden kantonalen Entscheidungen seien aufzuheben und es sei ihm der weitere Aufenthalt in der Schweiz zu gestatten; eventuell sei die Sache zur positiven Entscheidfassung und Bewilligungserteilung, subeventuell zur ergänzenden Sachverhaltsabklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind weitere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Da der Beschwerdeführer keinen Rechtsanspruch auf Bewilligungsverlängerung hat (der Anspruch gemäss Art. 17 Abs. 2 ANAG erlosch bereits mit der Aufgabe des gemeinsamen Haushaltes und unwiderruflich mit der Scheidung der Ehe im Mai 2007), ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer diesbezüglich - implizit - etwas anderes andeuten will, wäre er damit schon darum nicht zu hören, weil er den diese Frage abschliessend behandelnden kantonal letztinstanzlichen richterlichen Nichteintretensentscheid vom 30. August 2007 nie angefochten hat. Als bundesrechtliches Rechtsmittel kommt höchstens die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 113 und 116 BGG) in Betracht.
2.2 Hinsichtlich der Bewilligungsfrage selber ist der Beschwerdeführer zur Verfassungsbeschwerde nicht legitimiert (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 197). Berechtigt wäre er zwar trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst zur Rüge, das rechtliche Gehör sei ihm verweigert worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf eine Überprüfung des Bewilligungsentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei oder sich nicht mit sämtlichen Argumenten auseinandersetze oder dass die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt worden seien; ebenso wenig ist der Vorwurf zu hören, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonstwie willkürlich festgestellt worden; unzulässig ist namentlich die Rüge, Beweisanträge seien wegen willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt worden (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 313; <ref-ruling> E. 7b S. 94; <ref-ruling> E. 1c S. 236; <ref-ruling> E. 4a S. 95; zur Weiterführung dieser so genannten "Star-Praxis" unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes s. <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f.).
Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung des rechtlichen Gehörs; dabei aber erhebt er ausschliesslich im eben beschriebenen Sinn unzulässige Einwendungen. Namentlich gilt dies auch, soweit er dem Regierungsrat vorwirft, er habe verschiedene beantragte Beweise nicht abgenommen (insbesondere Befragung der ehemaligen Ehefrau); der Regierungsrat hat diese Beweismittel in antizipierter Beweiswürdigung für irrelevant erachtet, und die Rüge des Beschwerdeführers läuft auf die unzulässige Rüge willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung hinaus.
2.3 Angesichts seiner fehlenden Beschwerdelegitimation in der Sache selbst erhebt der Beschwerdeführer keine zulässigen Rügen; die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig (<ref-law>), und es ist darauf im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten.
2.4 Mit diesem Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.5 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, den Einwohnerdiensten, Migration und Fremdenpolizei der Stadt Bern sowie dem Regierungsrat des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller