Sachverhalt:
A.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt erklärte A._ mit Urteil vom 1. September 2014 der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung (Bereicherungsabsicht), der mehrfachen Urkundenfälschung, des mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer und des mehrfachen Vergehens gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt für schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 240 Tagessätzen zu Fr. 660.--, mit bedingtem Strafvollzug und unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. Vom Vorwurf der mehrfachen Erschleichung einer falschen Beurkundung sprach es ihn frei. Weiter erkannte das Strafgericht, dass diverse beschlagnahmte Urkunden an die Berechtigten zurückzugeben seien. A._ focht seine Verurteilung mit Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an. Das Berufungsverfahren ist hängig.
Am 15. September 2015 verfügte der Präsident des Appellationsgerichts als Instruktionsrichter des Berufungsverfahrens unter anderem die Abweisung der Gesuche von A._ um Sistierung des Berufungsverfahrens und um vorzeitige Herausgabe von im Strafverfahren beschlagnahmten Unterlagen (Teilvollzug des erstinstanzlichen Urteils vom 1. September 2014). Zur Begründung führte der Präsident insbesondere aus, eine Sistierung würde dem Beschleunigungsgebot von Art. 5 StPO widersprechen. Des Weiteren vermöge A._ kein überwiegendes Interesse der vom Beschlagnahmebefehl betroffenen Parteien an einer vorzeitigen Herausgabe der Akten während des laufenden Berufungsverfahrens darzulegen. Vielmehr sei es zur Sicherung eines ordnungsgemässen Berufungsverfahrens angezeigt, für das Berufungsgericht denselben Aktenbestand zu sichern, wie er beim erstinstanzlichen Gericht vorgelegen habe. Zugleich werde hierdurch gewährleistet, dass die Durchsicht der Akten für alle Parteien möglich bleibe.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 29. September 2015 beantragt A._ in der Hauptsache, die Verfügung vom 15. September 2015 sei aufzuheben, und es sei die Rechtskraft des Urteils des Strafgerichts vom 1. September 2014 betreffend Aufhebung der Beschlagnahmen zu bestätigen.
Die Vorinstanz beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne.
Der Beschwerdeführer hält in weiteren Eingaben an seinem Standpunkt und an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Zwischenentscheid, welcher das Verfahren nicht abschliesst. Gegen Zwischenentscheide ist die Beschwerde nur zulässig, wenn diese einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder - was hier ausser Betracht fällt - die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beschwerdeverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur ein Mal befassen soll (<ref-ruling> E. 2.1 S. 94). Nur ein Mal befassen bedeutet, dass das Bundesgericht grundsätzlich erst auf eine Beschwerde gegen den Endentscheid des Berufungsgerichts eintritt.
Nach der Rechtsprechung muss es sich im Bereich des Strafrechts beim nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG um einen solchen rechtlicher Natur handeln. Ein solcher liegt vor, wenn er auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht mehr gänzlich behoben werden könnte. Ein lediglich tatsächlicher Nachteil wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 239 f., 172 E. 2.1 S. 173 f.).
Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 4 S. 95).
1.2.
1.2.1. Soweit sich der Beschwerdeführer gegen die Abweisung seines Gesuchs um Sistierung des Berufungsverfahrens wehrt, legt er nicht dar, inwiefern ihm daraus ein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur erwachsen könnte. Der Instruktionsrichter des Berufungsverfahrens hat dem vom Beschwerdeführer mandatierten Anwalt auf dessen Gesuch hin Frist gesetzt bis zum 31. Dezember 2015 zur Einreichung einer schriftlichen Begründung der Berufung. Es ist nicht ersichtlich, welcher nicht wieder gutzumachende Nachteil dem Beschwerdeführer bei einer Weiterführung des Berufungsverfahrens droht.
1.2.2. Der Beschwerdeführer verlangt die Herausgabe von im Jahr 2010 als Beweismittel beschlagnahmten Firmenunterlagen während des laufenden Berufungsverfahrens und damit einen Teilvollzug des erstinstanzlichen Urteils.
Bei Beschwerden von Privaten gegen die Aufrechterhaltung von strafprozessualen Beweismittelbeschlagnahmen respektive gegen die Verweigerung der vorzeitigen Herausgabe von beschlagnahmten Beweismitteln ist der nicht wieder gutzumachende Nachteil in der Regel zu verneinen (vgl. Urteile 1B_301/2009 vom 31. März 2010 E. 1.2 und 1B_208/2009 vom 13. Januar 2010 E. 4.1 und 4.2). Der Beschwerdeführer zeigt in seiner Beschwerde nicht auf, dass es sich im zu beurteilenden Fall anders verhält. Er setzt sich nicht substanziiert mit den Beschwerdevoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG auseinander, sondern bringt in diesem Zusammenhang einzig vor, die Behauptung der Vorinstanz, er habe kein Interesse an der Herausgabe der Unterlagen während des laufenden Berufungsverfahrens, sei "absurd".
Es ist auch nicht ersichtlich, dass der angefochtene Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken kann. Der Beschwerdeführer hat unbestrittenermassen wie bis anhin jederzeit die Möglichkeit, sämtliche beschlagnahmten Unterlagen in den Räumlichkeiten der Staatsanwaltschaft unter Aufsicht einzusehen. Die Verteidigungsrechte des Beschwerdeführers sind damit gewährleistet.
1.2.3. Auf die Beschwerde kann nach dem Gesagten nicht eingetreten werden.
1.3. Wie das Bundesgericht bereits mit Urteil 1B_115/2015 // 1B_119/2015 vom 21. Juli 2015 E. 5 in der gleichen Sache dargelegt hat, besteht unter den gegebenen Umständen auch kein Anlass, die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Nichtigkeit des erstinstanzlichen Urteils des Strafgerichts vom 1. September 2014 zu prüfen.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Damit wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Verfahrenssistierung gegenstandslos. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. November 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner