Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1980) stammt nach eigenen Angaben aus Palästina und will in Tunesien aufgewachsen sein. Das Bundesamt für Flüchtlinge wies sein Asylgesuch am 7. Juli 2003 ab und hielt ihn an, das Land zu verlassen. Die Schweizerische Asylrekurskommission trat auf seine hiergegen gerichtete Beschwerde am 1. Oktober 2003 nicht ein.
1.2 Das Amt für öffentliche Sicherheit des Kantons Solothurn nahm X._ am 4. August 2008 in Durchsetzungshaft. Mit Urteil vom 3. September 2008 genehmigte das Haftgericht des Kantons Solothurn deren Verlängerung bis zum 3. November 2008. X._ beantragte am 6. September 2008 sinngemäss, er sei aus der Haft zu entlassen. Das Haftgericht hat seine Eingabe am 11./12. September 2008 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weitergeleitet.
2. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden; es erübrigt sich deshalb, die Eintretensvoraussetzungen zu prüfen: Der Beschwerdeführer ist rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden, hat das Land indessen nicht verlassen, ist hier wiederholt straffällig geworden und weigert sich nach wie vor, mit den Behörden zu kooperieren und freiwillig in seine Heimat zurückzukehren. Da seine Wegweisung ohne Verhaltensänderung seinerseits in absehbarer Zeit nicht zwangsweise vollzogen werden kann und kein milderes Mittel ersichtlich ist, das ihn veranlassen könnte, seiner Ausreisepflicht nunmehr nachzukommen, durfte die Durchsetzungshaft um zwei Monate verlängert werden (Art. 78 Abs. 2 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> ff.; zur Publikation bestimmtes Urteil 2C_253/2008 vom 7. Juli 2008, E. 2). Der Beschwerdeführer hat es jederzeit in der Hand, seine Festhaltung zu beenden, indem er sich bereit erklärt, bei der Abklärung seiner Identität und der Beschaffung von Reisepapieren mitzuwirken. Der Beschwerdeführer verkennt, dass er in der Schweiz über kein Anwesenheitsrecht verfügt und er das Land verlassen muss. Nur falls er gültige Reisepapiere vorlegt, können die schweizerischen Behörden allenfalls prüfen, ob ein Wegweisungsvollzug in einen Drittstaat möglich ist (vgl. Art. 69 Abs. 2 AuG). Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (vgl. <ref-law>).
3. Aufgrund der besonderen Umstände sind keine Kosten zu erheben (vgl. <ref-law>). Das Amt für öffentliche Sicherheit des Kantons Solothurn wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar