Sachverhalt:
A.
Der türkische Staatsangehörige X._ (geb. 1962) war von 1989 bis ca. 1997 mit seiner Landsfrau A._ verheiratet. 1992 und 1997 reiste er in die Schweiz ein und ersuchte erfolglos um Asyl. Ende 1998 kehrte er in die Türkei zurück, und am 8. Februar 2000 gebar A._ den gemeinsamen Sohn B._.
Am 21. August 2004 reiste X._ illegal in die Schweiz ein, weshalb ihn die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat am 14. Februar 2005 zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 30 Tagen (bei einer Probezeit von zwei Jahren) verurteilte.
Am 19. Oktober 2004 heiratete X._ die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1982) und erhielt am 16. Februar 2005 die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. Die Bewilligung wurde letztmals bis zum 18. Oktober 2008 verlängert.
Y._ gebar am 26. September 2005 den Sohn C._, dessen Vater X._ nachweislich nicht ist. Am 29. Oktober 2006 wurde der Sohn D._ geboren. Aufgrund der gesetzlichen Vermutung von <ref-law> gilt X._ als Vater dieses zweiten Kindes von Y._. Weil die Mutter drogenabhängig war, wurden beide Söhne fremdplatziert und für D._ eine Beistandschaft angeordnet.
B.
Nach durchgeführter Untersuchung durch die Stadtpolizei Zürich und Gewährung des rechtlichen Gehörs wies das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: Migrationsamt) das Gesuch von X._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 28. September 2011 ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Das Migrationsamt begründete den Entscheid damit, es liege eine Scheinehe vor. X._ könne daher aus der Ehe mit Y._ keinen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung geltend machen. Da er seinen Sohn nach eigenen Angaben noch nie gesehen habe, könne er auch aus dem Kindsverhältnis keinen Anspruch ableiten, denn Art. 8 EMRK schütze nur die tatsächlich gelebte Beziehung zum Kind. Im Übrigen sei X._ die Rückkehr in die Türkei ohne Weiteres zumutbar.
Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (nachfolgend: Sicherheitsdirektion) am 13. November 2012 im Wesentlichen mit der gleichen Begründung ab.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (nachfolgend: Verwaltungsgericht) wies die Beschwerde von X._ am 17. April 2013 mit substituierter Begründung ab. Es erwog, das Migrationsamt habe das Vorliegen einer Scheinehe nicht beweisen können: Aufgrund der Tatsache, dass X._ nach der Heirat an der gleichen Adresse mit der Ehefrau gewohnt und offenbar mit ihr persönliche Kontakte gepflegt habe und zudem nicht ausgeschlossen erscheine, dass er der leibliche Vater von D._ sei, könne nicht eindeutig auf das Vorliegen einer Scheinehe geschlossen werden. Die Frage könne jedoch offen bleiben, weil die Ehegemeinschaft vor Ablauf von drei Jahren aufgelöst worden sei. Im Ergebnis sei die Verlängerung der Bewilligung zu Recht verweigert worden.
C.
X._ erhebt am 17. Juni 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; eventuell sei die Sache an das Verwaltungsgericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen mit der Auflage, ein Beweisverfahren über die Dauer des Zusammenlebens der Eheleute durchzuführen.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion verzichtet auf eine Vernehmlassung, und das Migrationsamt hat sich nicht vernehmen lassen. Das Bundesamt für Migration beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Der verfahrensabschliessende Entscheid des Verwaltungsgerichts als letzter kantonaler Gerichtsinstanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts unterliegt grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>, <ref-law>, <ref-law>). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Der Beschwerdeführer ist mit einer Schweizerin verheiratet und lebte über längere Zeit mit ihr zusammen. Seine Berufung auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG (SR 142.20) ist somit statthaft; die Beschwerde ist zulässig.
1.2. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind offensichtlich erfüllt. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, ist gleichzusetzen mit der Willkürrüge (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Diese ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.
Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend.
2.1. Die Vorinstanz habe überraschend ihren Entscheid auf die Erwägung gestützt, die Ehegemeinschaft habe weniger als drei Jahre gedauert. Nachdem das Migrationsamt und die Sicherheitsdirektion von einer Scheinehe ausgegangen seien, habe er - der Beschwerdeführer - in seiner Beschwerde an das Verwaltungsgericht nicht damit rechnen müssen, dass dieses die Dreijahresfrist als nicht erfüllt erachten würde. Der Sachverhalt sei diesbezüglich mangelhaft erstellt und das Verwaltungsgericht habe ihm keine Gelegenheit zur vorgängigen Stellungnahme eingeräumt. Das angefochtene Urteil sei daher aufzuheben und zur Ergänzung des Sachverhalts und zur Gewährung des rechtlichen Gehörs an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.2. Im Regelfall ist eine geltend gemachte Gehörsverletzung aufgrund der formellen Natur dieses Anspruchs vorab zu behandeln (<ref-ruling> E. 5.1 S. 237). Hier aber betrifft die Rüge der Gehörsverletzung die substituierte Begründung der Vorinstanz. Deswegen ist vorab zu prüfen, ob die Vorinstanz das Vorliegen einer Scheinehe (im Unterschied zu den unteren Instanzen) zu Recht verneint hat. Falls sich die Motivsubstitution als korrekt erweist, ist in einem zweiten Schritt zu prüfen, ob die Vorinstanz das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt hat.
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, in der Tat würden zahlreiche Hinweise auf das Vorliegen einer Scheinehe hindeuten. Ins Gewicht falle vor allem der Umstand, dass der Beschwerdeführer als abgewiesener Asylbewerber ohne Heirat mit einer Schweizerin keine Chance gehabt hätte, eine Aufenthaltsbewilligung zu erlangen. Zudem habe die Ehefrau nur kurz nach der Heirat zumindest ein Verhältnis mit einem anderen Mann gehabt, aus dem ein Kind hervorgegangen sei. Aufgrund der Tatsache, dass der Beschwerdeführer nach der Heirat an der gleichen Adresse mit der Ehefrau gewohnt und offenbar mit ihr persönliche Kontakte gepflegt habe und zudem seine Vaterschaft hinsichtlich des zweiten Kindes nicht ausgeschlossen sei, könne nicht eindeutig auf das Vorliegen einer Scheinehe geschlossen werden. Die Frage könne jedoch offen bleiben. Der Beschwerdeführer sei kurz nach der Heirat, am 1. November 2004, an dieselbe Adresse wie seine Ehefrau gezogen. Aus den Akten gehe nicht eindeutig hervor, ob das Ehepaar dort in getrennten Zimmern gewohnt und nur Bad und Küche gemeinsam genutzt, oder ob es ein Schlafzimmer geteilt habe. Eine solche Wohnform vermöchte einer Ehegemeinschaft ohnehin nur knapp zu genügen. Massgeblich für die Berechnung der Dauer sei in der Regel die Aufgabe der Haushaltsgemeinschaft. Am 1. Juli 2007 sei die Ehefrau von dort weggezogen und habe am 25. Oktober 2007 woanders Wohnung genommen. In der Zwischenzeit sei sie unbekannten Aufenthalts gewesen. Die Haushaltsgemeinschaft habe somit vom 1. November 2004, allenfalls vom 24. Oktober 2004, bis zum 30. Juni 2007 gedauert. Die Frist von drei Jahren gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG sei damit nicht erreicht. Wichtige Gründe für das Getrenntleben im Sinn von Art. 49 AuG lägen nicht vor.
3.2. Den Ausführungen der Vorinstanz kann nicht gefolgt werden. Aus der Tatsache, dass die Ehefrau von der gemeinsamen Adresse weggezogen ist, durfte die Vorinstanz nicht ohne weiteres auf die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts schliessen. Dafür wäre es notwendig gewesen, den Grund für den Umzug zu kennen und zu prüfen, ob ein Anwendungsfall von Art. 49 AuG vorliegt. Ein Klinik- oder Gefängnisaufenthalt stellt zweifellos einen wichtigen Grund im Sinn dieser Bestimmung dar. Ob die Ehefrau des Beschwerdeführers tatsächlich eine Haftstrafe in der Strafanstalt Hindelbank zu verbüssen hatte, wie der Beschwerdeführer geltend macht, kann jedoch offen bleiben. Auch die Frage, ob die Haushaltsgemeinschaft am 24. Oktober 2004 oder am 1. November 2004 aufgenommen wurde, braucht mit Blick auf das Folgende nicht geklärt zu werden.
3.3. Gemäss Art. 51 Abs. 1 lit. a AuG erlöschen die Ansprüche von Familienangehörigen von Schweizerinnen und Schweizern, wenn sie rechtsmissbräuchlich geltend gemacht werden, namentlich um Vorschriften dieses Gesetzes und seiner Ausführungsbestimmungen über die Zulassung und den Aufenthalt zu umgehen. Liegt im Zusammenhang mit dem Bewilligungsverfahren ein rechtsmissbräuchliches Verhalten vor, sind zugleich die Voraussetzungen für den Widerruf (bzw. die Nichtverlängerung der Bewilligung) erfüllt (vgl. auch Urteile 2C_980/2012 vom 8. Mai 2013 E. 4; 2C_205/2010 vom 16. Juli 2010 E. 3.3). Die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung kann diesfalls gestützt auf Art. 62 lit. a AuG verweigert werden.
3.4. Die Vorinstanz hat die bundesgerichtliche Rechtsprechung betreffend Scheinehe und den diesbezüglichen Indizienbeweis im angefochtenen Urteil zutreffend wiedergegeben. Darauf kann verwiesen werden.
Im Unterschied zu den Erwägungen der Vorinstanz vermag der Umstand, dass die Ehepartner an der gleichen Adresse wohnten und persönliche Kontakte pflegten, die Vermutung einer missbräuchlich eingegangenen Ehe nicht ohne Weiteres umzustossen. Viele Scheinehen sind durch ein Arrangement gekennzeichnet, welches den Ehepartnern erlaubt, sich (mehr oder minder häufig) gleichzeitig in einer gemeinsamen Wohnung aufzuhalten, wobei auch persönliche Kontakte dazugehören. Dies sind keine spezifischen Merkmale einer gelebten Ehegemeinschaft. Massgeblich ist vielmehr, wie es zum Eheschluss gekommen war, wie sich das Eheleben gestaltete und ob sich daraus starke Indizien für eine Scheinehe ergeben.
3.4.1. Nach zwei gescheiterten Versuchen, Asyl zu erhalten, reiste der Beschwerdeführer ein drittes Mal in die Schweiz ein und heiratete zwei Monate später eine 20 Jahre jüngere, drogenabhängige Schweizerin. Der Beschwerdeführer mietete ein Zimmer an der Strasse N._ in M._, wo seine Ehefrau bereits ein Zimmer bewohnte. Die Wohnverhältnisse an dieser Adresse sind nicht restlos geklärt. Die Vorinstanz liess offen, ob das Paar "nur Bad und Küche gemeinsam genutzt, oder ob es ein Schlafzimmer geteilt" habe. Aus den Akten geht immerhin eindeutig hervor und wird vom Beschwerdeführer nicht bestritten, dass die Eheleute zwei separate Zimmer, je mit Küche, gemietet hatten. Nach Angabe des Beschwerdeführers bestand ein gemeinsames Badezimmer. Ob die Eheleute dieses tatsächlich geteilt haben, erscheint fraglich, nachdem die Zimmer (Nr. ppp und Nr. qqq) nach Angabe der Ehefrau auf verschiedenen Etagen lagen. Wie es sich genau damit verhält, kann aber offen bleiben. Allein die Tatsache, dass ein frisch verheiratetes Paar zwei einzelne Zimmer, je mit Küche, anmietet, lässt den Willen, eine Lebensgemeinschaft zu gründen, fraglich erscheinen. Das Vorgehen der Ehegatten diente vielmehr dazu, nach aussen den Anschein einer gemeinsamen Unterkunft zu erwecken und gleichzeitig über weitgehend getrennte Wohnsphären zu verfügen.
Diese Annahme wird dadurch gestützt, dass der Vater des ersten Kindes von Y._ ebenfalls an dieser Adresse wohnte. Das Kind C._ kam knapp ein Jahr nach Eheschluss zur Welt; Y._ gab in der Befragung an, eine Affäre gehabt zu haben. Die Geburt dieses Kindes stellt zweifellos ein sehr starkes Indiz für eine Scheinehe dar.
3.4.2. Die biologische Vaterschaft in Bezug auf das zweite Kind blieb im Dunkeln. Der Beschwerdeführer gab in der Befragung an, weder C._ noch D._ je gesehen zu haben. Seine Frau habe nicht gewollt, dass er die Kinder sehe. Als er nach der Geburt zu ihr gekommen sei, seien sie "schon weg" gewesen. Er glaube, dass er der Vater von D._ sei; ganz sicher könne er aber nicht sein. Demgegenüber äusserte sich Y._ im Verfahren vor der Vormundschaftsbehörde dahingehend, dass der Beschwerdeführer nicht der Vater von D._ sei.
Im Unterschied zu den Ausführungen der Vorinstanz ist nicht massgeblich, dass der Beschwerdeführer der leibliche Vater von D._ sein könnte. Entscheidend ist vielmehr, wie sich das Bild darstellt, nachdem diese Vaterschaft zweifelhaft und gerade nicht erwiesen ist. Dabei fällt auf, dass der Beschwerdeführer behauptet, der leibliche Vater zu sein, das Kind jedoch noch nie gesehen hat und allem Anschein nach keine Anstrengungen unternommen hat, es kennen zu lernen. Auch wenn nachvollziehbare Gründe zur Fremdplatzierung von D._ geführt haben mögen, ist doch schwer begreiflich, dass ein leiblicher Vater, der ein Kind in ungetrennter Ehe mit seiner Frau gezeugt haben will, keinerlei Kontakt zu diesem Kind pflegt, ja dies nicht einmal versucht.
3.4.3. Auch die übrigen Umstände deuten auf eine rechtsmissbräuchlich geschlossene Ehe hin. So verbrachten die Eheleute keine gemeinsamen Ferien, verfügten nur über rudimentäre Kenntnisse über die gegenseitigen Familienangehörigen und hatten diese noch nie gesehen. Der grosse Altersunterschied und die wegen der Drogenabhängigkeit schwierige Situation der Ehefrau, die das Aufenthaltsrecht vermittelte, sind weitere starke Indizien dafür, dass eine echte Ehegemeinschaft nie geplant war.
3.5. Die vorstehenden Erwägungen führen zum Schluss, dass der Beschwerdeführer und Y._ die Ehe rechtsmissbräuchlich eingegangen sind mit dem Ziel, dem Beschwerdeführer ein Aufenthaltsrecht zu verschaffen. Ein Anspruch auf Verlängerung der Bewilligung besteht daher nicht (Art. 51 Abs. 1 lit. a AuG).
4.
Nach Auffassung der Vorinstanz ist die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung verhältnismässig: Der Beschwerdeführer könne sich nicht auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK berufen, da er seinen Sohn noch nie gesehen habe; auch der Schutzbereich des Privatlebens sei nicht berührt. Die Vorinstanz wertet den Umstand, dass der Beschwerdeführer keine Schulden habe, sowie dessen Deutschkenntnisse und gute Referenzen positiv. Allerdings könne die finanzielle Situation des Beschwerdeführers, welcher als selbständig erwerbender Rosenverkäufer arbeite, nicht als sehr stabil bezeichnet werden. Seine Bestrafung wegen Vergehens gegen das ANAG falle negativ ins Gewicht. Es seien keine gesundheitlichen Gründe ersichtlich, die einer Wegweisung entgegenstehen würden, und es sei davon auszugehen, dass eine Wiedereingliederung in der Türkei möglich sei. Der Beschwerdeführer sei erst im Alter von 42 Jahren in die Schweiz gekommen; ausserdem lebe ein weiterer Sohn in der Türkei. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung beruhe auf sachlichen Gründen und bewege sich im Rahmen des gesetzlich zulässigen Ermessens.
Diese Interessenabwägung ist im Ergebnis nicht zu beanstanden, wenngleich eine Straftat, die im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils fast neun Jahre zurückliegt und damals zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 30 Tagen geführt hat, nicht mehr ins Gewicht fällt. Dies umso weniger, als der Beschwerdeführer seither nie mehr strafrechtlich in Erscheinung getreten ist. Das öffentliche Interesse an seiner Wegweisung liegt nicht in der geringfügigen Verurteilung vom 14. Februar 2005, sondern in der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands hinsichtlich seines Aufenthaltsstatus: Der Staat kann nicht dulden, dass Ansprüche - wie hier auf Familiennachzug - rechtsmissbräuchlich geltend gemacht werden. Nachdem der Beschwerdeführer Art. 8 Ziff. 1 EMRK nicht anrufen kann, bedürfte es ganz ausserordentlicher Umstände, um ein überwiegendes privates Interesse am Verbleib in der Schweiz zu bejahen. Solche Umstände liegen nicht vor, wie die Vorinstanz zutreffend darlegt. Die Massnahme erweist sich als verhältnismässig im Sinn von Art. 96 Abs. 1 AuG.
5.
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung im Ergebnis zu Recht bestätigt hat. Zwar ist dem Beschwerdeführer darin zuzustimmen, dass der vorübergehende unbekannte Aufenthalt der Ehefrau ab dem 1. Juli 2007 nicht ausreicht, um die Anwendung von Art. 49 AuG auszuschliessen; dies wäre in Bezug auf die Dreijahresfrist rechtserheblich gewesen. Hinsichtlich des Eingehens einer Scheinehe würde aber die Feststellung, dass die Ehefrau in dieser Zeitspanne im Gefängnis war, wie der Beschwerdeführer vorbringt, nichts ändern. Der Sachverhalt, wie er sich aus dem angefochtenen Urteil und den Akten ergibt, ist für die Bejahung einer Scheinehe vollständig. Für eine Rückweisung der Sache zur weiteren Abklärung besteht somit kein Anlass, so dass der entsprechende Eventualantrag abzuweisen ist.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Kosten des Verfahrens (<ref-law>). Ausgangsgemäss ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Januar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner