Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 20. Februar 2013 sprach das Richteramt Olten-Gösgen X._ zu Lasten seiner ehemaligen Arbeitgeberin, der A._ SA, Fr. 11'122.20 brutto zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 22. Mai 2012 als Lohnersatz gemäss <ref-law> sowie Fr. 8'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 14. April 2012 als Entschädigung gemäss <ref-law> zu.
Im Rahmen eines gegen X._ laufenden Pfändungsverfahrens überwies die A._ SA den Betrag von Fr. 18'683.20 an das Betreibungsamt Olten-Gösgen.
B.
Am 5. Juni 2013 verlangte X._ vom Betreibungsamt unter anderem, ihm aus der von der A._ SA überwiesenen Summe Fr. 8'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 14. April 2012 auszuzahlen. Das Betreibungsamt wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 11. Juni 2013 ab.
C.
Am 20. Juni 2013 erhob X._ dagegen Beschwerde an die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn und hielt an seinem Begehren fest. Die Aufsichtsbehörde wies die Beschwerde mit Urteil vom 17. Juli 2013 ab.
D.
Am 31. Juli 2013 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung des Urteils der Aufsichtsbehörde und verlangt weiterhin die Auszahlung von Fr. 8'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 14. April 2012.
Die Aufsichtsbehörde und das Betreibungsamt beantragen, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
Gegen den Entscheid der (einzigen) Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkursangelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig vom Streitwert zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c, Art. 75 BGG). Sie ist fristgerecht erfolgt (Art. 100 Abs. 2 lit. a i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde erweist sich als zulässig.
2.
Gegenstand des Verfahrens ist die Frage, ob die Entschädigung gemäss <ref-law>, die dem Beschwerdeführer von seiner ehemaligen Arbeitgeberin wegen ungerechtfertigter fristloser Entlassung bezahlt wurde, gepfändet werden kann oder nicht. Nicht Gegenstand des Verfahrens ist hingegen die Zahlung gemäss <ref-law>, die dem Beschwerdeführer ebenfalls zugesprochen wurde und deren Pfändbarkeit er nicht bestreitet.
Die Aufsichtsbehörde hat nicht zwischen den verschiedenen Ansprüchen gemäss <ref-law> unterschieden, sondern die daraus fliessenden Ansprüche allesamt als Schadenersatzansprüche qualifiziert, die wie eine Lohnforderung zu behandeln und deshalb pfändbar seien. Der Beschwerdeführer macht geltend, der ihm aufgrund von Abs. 3 von <ref-law> zugesprochene Betrag stelle einen Ausgleich für die durch die Kündigung erlittene Persönlichkeitsverletzung und damit eine Genugtuung dar und sei deshalb unpfändbar.
3.
<ref-law> sieht als Sanktion bei ungerechtfertigter fristloser Kündigung durch den Arbeitgeber eine Entschädigung von maximal sechs Monatslöhnen vor. Diese hat sowohl Strafcharakter als auch Genugtuungsfunktion und soll die durch die ungerechtfertigte fristlose Kündigung erlittene Persönlichkeitsverletzung des Arbeitnehmers abgelten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 407 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 394; <ref-ruling> E. 3c S. 68; je mit Hinweisen). Gemäss dem Urteil des Richteramts Olten-Gösgen vom 20. Februar 2013 wurde dem Beschwerdeführer denn auch der vorliegend umstrittene Betrag von Fr. 8'000.-- (inkl. Zins) wegen der durch die Kündigung erlittenen Persönlichkeitsverletzung zugesprochen.
Das Zwangsvollstreckungsrecht kennt keine Bestimmung, die die Entschädigung gemäss <ref-law> oder andere Zahlungen mit Genugtuungsfunktion generell von der Pfändbarkeit ausnehmen würde. Gemäss <ref-law> sind Renten, Kapitalabfindungen und andere Leistungen, die dem Opfer oder seinen Angehörigen für Körperverletzung, Gesundheitsstörung oder Tötung eines Menschen ausgerichtet werden, unpfändbar, soweit solche Leistungen Genugtuung, Ersatz für Heilungskosten oder für Anschaffung von Hilfsmitteln darstellen. Genugtuungsleistungen sind folglich nur dann unpfändbar, wenn sie wegen einer Gesundheitsstörung geschuldet werden oder bezahlt worden sind. Genugtuungszahlungen für blosse seelische Unbill bzw. für Persönlichkeitsverletzungen, die keine Gesundheitsstörung bewirken, sind hingegen pfändbar (BGE 73 III 56 S. 57; GEORGES VONDER MÜHLL, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 32 zu <ref-law>; vgl. auch ROLAND BREHM, Berner Kommentar, 3. Aufl. 2006, N. 89 zu <ref-law>; ferner STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag, 7. Aufl. 2012, N. 16 zu <ref-law>).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass die ungerechtfertigte Kündigung bei ihm zu einer Gesundheitsstörung geführt habe, die mit der Entschädigung abgegolten worden wäre, und solches ergibt sich auch nicht aus dem Urteil des Richteramts. Im Ergebnis ist die Vorinstanz damit zu Recht zum Schluss gekommen, die dem Beschwerdeführer gemäss <ref-law> zugesprochene Entschädigung sei pfändbar. Die Beschwerde ist abzuweisen.
4.
Es rechtfertigt sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg