Ehrverletzung, Tätlichkeit; Strafantragsrecht; (eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 23. März 1999), hat sich ergeben:
A.- Mit Strafklage vom 11. Juni 1997 stellten A.P._ (seit dem 14.8.1999 verheiratete A.P.P._) und G.P._ Strafantrag gegen F.Z._ wegen übler Nachrede, eventuell Verleumdung, und Tätlichkeit. Am 12. August reichten sie eine ausführliche Begründung nach. Darin warfen sie F.Z._ vor, die Erziehungsfähigkeit von G.P._ mit der Bemerkung "Wenn du ned fähig besch, zu de Chend z'luege, so mach ech das a dinere Stell" in Frage gestellt zu haben. Ferner solle F.Z._ die Kinder J.P._ (geb. 1983), S.P._ und P.P._ (beide geb. 1985) anfangs Mai 1997 mit der Bemerkung "ehr send doch zu 100 % verhaltensgstört" beschimpft und sich Mitte Mai 1997 gegenüber J.P._ wie folgt geäussert haben: "Gang doch besser deni zwe Müettere go sueche, ah nei, du hesch jo zwe Vättere". Schliesslich warfen sie F.Z._ vor, S.P._ am 8. Juni 1997 grundlos eine Ohrfeige verpasst zu haben.
B.- Mit Urteil vom 14. Oktober 1998 sprach das Amtsgericht Sursee F.Z._ der Beschimpfung zum Nachteil von J.P._, S.P._ und P.P._, der Tätlichkeit zum Nachteil von S.P._ sowie der üblen Nachrede zum Nachteil von J.P._, A.P._ und G.P._ schuldig und verurteilte ihn zu einer Busse von 600 Franken, bedingt löschbar bei einer Probezeit von einem Jahr. Bezüglich der Bemerkung "Wenn du ned fähig besch, zu de Chend z'luege, so mach ech das a dinere Stell" sprach das Gericht F.Z._ vom Vorwurf der üblen Nachrede frei.
In teilweiser Gutheissung einer Appellation des Verurteilten stellte das Obergericht des Kantons Luzern am 23. März 1999 das Verfahren wegen übler Nachrede zum Nachteil von J.P._, Beschimpfung zum Nachteil von J.P._, P.P._ und S.P._ sowie Tätlichkeit zum Nachteil des Letzteren mangels gültigem Strafantrag ein. Mit selbem Urteil sprach das Gericht F.Z._ der üblen Nachrede i.S. von <ref-law> zum Nachteil von A.P._ und G.P._ schuldig und verurteilte ihn zu einer Busse von Fr. 500. --, vorzeitig löschbar nach einer Probezeit von einem Jahr.
C.- A.P.P._ und G.P._ erheben eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde mit dem Antrag, das angefochtene Urteil aufzuheben, soweit das Strafverfahren gegen den Beschwerdegegner eingestellt wurde, und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Vernehmlassung vom 27. Dezember 1999 beantragt F.Z._ die Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Strafantragsteller sind in der Regel nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> bzw. Art. 270 Abs. 1 BStP zur eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde legitimiert (<ref-ruling> E. 2c S. 42, 44 E. 3a S. 50, Ausnahmen E. 3b und 7; bestätigt in <ref-ruling> E. 1b S. 109). Abweichend von der Botschaft zum Opferhilfegesetz hat das Bundesgericht die Legitimation des Strafantragstellers zur eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde ungeachtet der in <ref-law> bzw. Art. 270 Abs. 1 BStP genannten einschränkenden Voraussetzungen bejaht, soweit es um das Strafantragsrecht als solches geht. Denn andernfalls wäre der Rechtsweg mangels Beschwerdelegitimation der Anklagebehörden allzu stark eingeschränkt und könnte das Bundesgericht nicht mehr ausreichend für die einheitliche Anwendung des Bundesrechts sorgen (<ref-ruling> E. 2c, 44 E. 3b S. 50 f.). Daran ist festzuhalten.
b) aa) Die Vorinstanz stellte das Verfahren gegen den Beschwerdeführer mangels gültigem Strafantrag ein, soweit diesem vorgeworfen wurde, S.P._ eine Ohrfeige verabreicht zu haben und ihn sowie seine beiden Geschwister mit den Äusserungen "ehr send zu 100 % verhaltensgstört" und "Gang doch besser dini zwe Müettere go sueche, ah nei, du hesch jo zwe Vättere" in ihrer Ehre verletzt zu haben. Für die letztgenannte Bemerkung sprach die Vorinstanz den Beschwerdegegner der üblen Nachrede nach <ref-law> zum Nachteil der Beschwerdeführer (Eltern) schuldig.
Die Vorinstanz begründet die teilweise Einstellung des Verfahrens im Wesentlichen damit, dass die eingeklagten Verhaltensweisen die höchstpersönlichen Rechtsgüter der Kinder der Privatkläger beträfen. Wohl habe der Gesetzgeber in <ref-law> eine Ausnahme von der Regel der Unübertragbarkeit des Antragsrechts zugunsten der Angehörigen des Verletzten geschaffen, der vor Stellung eines Strafantrags gestorben ist. Doch bestehe kein Raum für eine analoge Anwendung von <ref-law> auf den vorliegenden Sachverhalt. Die Privatkläger hätten den Strafantrag als gesetzliche Vertreter ihrer Kinder somit nicht in eigenem sondern vielmehr in deren Namen stellen müssen. Da die Privatkläger nicht Träger der geschützten Rechtsgüter seien, fehle es an ihrer Berechtigung zur Stellung eines Strafantrags in eigenem Namen für ihre Kinder. Mangels gültigem Strafantrag hinsichtlich der zum Nachteil der Kinder der Privatkläger angezeigten Delikte sei das Verfahren in diesen Punkten einzustellen (angefochtenes Urteil S. 5 f.).
bb) Die Beschwerdeführer machen geltend, die Vorinstanz habe das Vorliegen eines gültigen Strafantrags gegen F.Z._ wegen Ehrverletzung zum Nachteil von J.P._, P.P._ und S.P._ sowie Tätlichkeit zum Nachteil des Letzteren zu Unrecht verneint.
c) Nach der Rechtsprechung ist der Antrag im Sinne von <ref-law> gültig erhoben, wenn der Berechtigte innert der in <ref-law> vorgesehenen Frist bei der nach kantonalem Recht zuständigen Behörde und in der vorgeschriebenen Form seinen unbedingten Willen bekundet, der Täter sei strafrechtlich zu verfolgen. Es bestimmt sich somit nach kantonalem Recht, welche formellen Voraussetzungen erfüllt sein müssen, wenn das Antragsrecht von einem Vertreter ausgeübt wird. Wurde der Antrag von einem nicht berechtigten Vertreter eingereicht, muss die Bestätigung innerhalb der Antragsfrist erfolgen (<ref-ruling> E. 3a mit Hinweisen).
Im zu beurteilenden Fall geht es weniger um die formellen Voraussetzungen, die ein Strafantrag erfüllen muss, als vielmehr darum, ob der als gesetzlicher Vertreter des Verletzten Handelnde berechtigt ist, in eigenem Namen Strafantrag für den Vertretenen zu stellen, oder ob er offen zu legen hat, dass er für den Vertretenen und nicht sich selbst auftritt. Das ist eine Frage der Auslegung von <ref-law>. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2.- a) aa) Gemäss <ref-law> kann, wenn eine Tat nur auf Antrag strafbar ist, jeder, der durch sie verletzt worden ist, die Bestrafung des Täters beantragen. Ist der Verletzte handlungsunfähig, so ist sein gesetzlicher Vertreter zum Antrage berechtigt (Abs. 2). Gemäss Abs. 3 der Norm kann der Urteilsfähige, sofern er achtzehn Jahre alt ist, selbständig Strafantrag stellen. Auf Grund der im Jahre 1996 in Kraft getretenen Neufassung von <ref-law> ist die Mündigkeit mit Vollendung des 18. Lebensjahres gegeben. Das für die Handlungsfähigkeit nach <ref-law> und für die Antragstellung nach Art. 28 Abs. 3 vorausgesetzte Alter stimmen heute somit überein.
bb) Das Recht, Strafantrag zu stellen, ist grundsätzlich höchstpersönlicher Natur (<ref-ruling> E. 3c mit Hinweisen). Nach <ref-law> vermögen urteilsfähige unmündige oder entmündigte Personen ohne Zustimmung ihrer gesetzlichen Vertreter Vorteile zu erlangen, die unentgeltlich sind, und Rechte auszuüben, die ihnen um ihrer Persönlichkeit willen zustehen. <ref-law> stellt für das Strafantragsrecht insofern eine von <ref-law> abweichende Sonderregelung auf, als ein gültiger Strafantrag ausnahmslos Urteilsfähigkeit und Mündigkeit voraussetzt (eingehend Eugen Bucher, Berner Kommentar, Vorbem. vor Art. 12-19 N 16, Art. 19 N 294 ff.). Erfüllt der durch eine Straftat Verletzte diese Voraussetzungen nicht, ist sein gesetzlicher Vertreter kraft ausdrücklicher Regelung in <ref-law> generell befugt, ohne seine Mitwirkung oder Zustimmung (vgl. <ref-ruling>) an seiner Stelle Strafantrag einzureichen. Um diese singuläre strafrechtliche Regelung den zivilrechtlichen Grundsätzen anzupassen, will der Entwurf zur Änderung des Allgemeinen Teils des StGB den durch eine Straftat verletzten, urteilsfähigen unmündigen oder entmündigten Personen künftig ermöglichen, selbst Strafantrag gegen den Täter zu stellen (vgl. BBl 1999 2016).
b) <ref-law> schweigt sich darüber aus, wie die für ihre Kinder Strafantrag stellenden Eltern gegenüber den Behörden aufzutreten haben. Es ist deshalb auf die allgemeinen Regeln über die Vertretung der Kinder gegenüber Dritten zurückzugreifen. Danach haben die Eltern zwar im Namen des Kindes zu handeln, doch braucht dieses vertretungsweise Handeln kein ausdrückliches zu sein. Wird die Vertretung nicht explizit im Namen des Kindes ausgeübt, kann sie sich aus den Umständen ergeben, so namentlich, wenn die Handlung nach Gegenstand oder Zweck erkennbar den Rechtskreis des Kindes betrifft (Cyril Hegnauer, Berner Kommentar, Art. 279 N 11 mit Hinweisen; ebenso schon Silbernagel/Wäber, Berner Kommentar, Art. 279 N 24).
c) aa) A. und G.P._ stellten am 11. Juni 1997 (formell in eigenem Namen) "Strafklage" gegen F.Z._ und dessen Ehefrau wegen übler Nachrede, eventuell Verleumdung, und Tätlichkeit. Zur Begründung führten sie an, die Strafklage erfolge zwecks Fristwahrung gemäss <ref-law>. Mit Post vom gleichen Tag sei auf Grund des speziellen Verfahrens bei Ehrverletzungstatbeständen auch das Friedensrichterbegehren (ausgenommen der Tatbestand der Tätlichkeit) eingebracht worden. Abschliessend stellten die Strafkläger eine ausführliche Begründung mit Beweisanträgen nach Durchführung des "Friedensrichtervorstandes" in Aussicht.
Diese Begründung reichten sie am 12. August 1997 nach, und zwar wiederum formell in eigenem Namen. Darin warfen sie dem Beschwerdegegner vor, die Erziehungsfähigkeit von G.P._ mit der Bemerkung "Wenn du ned fähig besch, zu de Chend z'luege, so mach ech das a dinere Stell" in Frage gestellt zu haben. Ferner soll er J.P._ Mitte Mai 1997 mit den Worten "Gang doch besser deni zwe Müettere go sueche, ah nei, du hesch jo zwe Vättere" in ihrer Ehre angegriffen haben. Zuvor habe er schon die Kinder J.P._ (geb. 1983), S.P._ und P.P._ (beide geb. 1985) Anfang Mai 1997 mit der Bemerkung "ehr send doch zu 100 % verhaltensgstört" beschimpft. Mit dieser Bemerkung sei einerseits die Ehre der Kinder selber als auch der Beschwerdeführer angegriffen worden (Strafklage S. 5). Schliesslich habe der Beschwerdegegner S.P._ am 8. Juni 1997 grundlos eine Ohrfeige verpasst, die "selbstverständlich entsprechende Schmerzen verursachte" (Strafklage S. 10).
bb) Wie bereits ausgeführt (E. 2b), verlangt <ref-law> nicht von den Eltern, dass sie in dem ansonsten nach kantonalem Recht formgültig gestellten Strafantrag ausdrücklich angeben, als gesetzliche Vertreter für ihre handlungsunfähigen Kinder aufzutreten. Vielmehr genügt es, wenn aus dem Strafantrag selbst, der Beschreibung des Sachverhalts, den Aussagen der Eltern gegenüber den Strafverfolgungsbehörden oder ihren Eingaben im Verfahren hervorgeht, dass die Kinder von den Delikten unmittelbar betroffen sind und der Strafantrag nach dem Willen der Inhaber der elterlichen Gewalt (auch) für sie gestellt wird.
Das ist hier der Fall, wie bereits das Amtsgericht Sursee erkannt hat. Die Strafklage und deren Begründung lassen nach dem Vertrauensprinzip nur eine Interpretation zu, nämlich dass die Beschwerdeführer sachlich im Namen der Kinder auftraten, soweit sie ausdrücklich Angriffe gegen die Kinder geltend machten, und lediglich in dem Umfang aus eigenem Recht handelten, als die behaupteten ehrverletzenden Äusserungen sie selbst betrafen. Das versteht sich für die Tätlichkeit, die der Beschwerdegegner gegenüber S.P._ begangen haben soll, von selbst. Aus der Begründung der Strafklage geht aber ebenso unmissverständlich hervor, dass die beanstandeten Äusserungen des Beschwerdegegners gegenüber den Kindern der Beschwerdeführer in erster Linie deren Ehre berührten und die Beschwerdeführer (auch) insoweit den Beschwerdegegner bestraft sehen wollten. Im genannten Umfang ist die Klage der Beschwerdeführer erkennbar auf Grund der Vertretungsmacht angestrengt worden, die ihnen als Inhaber der elterlichen Gewalt zustand. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet.
3.- Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wird gutgeheissen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten aufzuerlegen und ist den Beschwerdeführern eine angemessene Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse auszurichten. Der unterliegende Beschwerdegegner wird verpflichtet, der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten (Art. 278 Abs. 3 BStP).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 23. März 1999 aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.- Es werden keine Kosten erhoben.
3.- Dem Vertreter der Beschwerdeführer, Rechtsanwalt Dr. Beat Frischkopf, wird für das Nichtigkeitsbeschwerdeverfahren eine Entschädigung von Fr. 2'500. -- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet. Der Beschwerdegegner wird verpflichtet, der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 27. Januar 2000
Im Namen des Kassationshofes
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: