Faits:
A.
Le 5 mai 1999, un contrat de bail à loyer a été signé entre la SI A._ et Y._. La location, qui portait sur un local à l'usage d'un dépôt exclusivement, prenait effet au 1er mai 1999 pour se terminer au 30 avril 2002 et était renouvelable, au terme de la durée initiale, d'année en année. Le loyer a été fixé à 9'600 fr. par année.
Le 3 juillet 2006, X._ est devenu propriétaire de l'immeuble. Le 20 du même mois, il signifiait à Y._ un avis de résiliation pour le 31 janvier 2007; dans un courrier joint à la formule officielle, il exposait être le nouveau propriétaire de l'immeuble, vouloir y habiter et avoir besoin de disposer des dépôts loués à des fins privées et professionnelles et disait être disposé à discuter avec la locataire d'une solution consistant à ne prendre possession que d'une partie des locaux.
B.
Le 4 août 2006, la locataire a saisi la Commission de conciliation en matière de baux et loyers d'une requête en annulation du congé et, subsidiairement, en prolongation du bail pour une durée de six ans.
Par décision du 21 février 2007, la Commission de conciliation a reconnu la validité du congé signifié à la locataire et accordé à cette dernière une prolongation de trois ans, échéant le 31 janvier 2010.
Le bailleur a saisi le Tribunal des baux et loyers, en invoquant l'<ref-law> et en faisant valoir, pour s'opposer à toute prolongation de bail, son besoin propre et urgent. La locataire a principalement soutenu que le congé était nul faute d'avoir été signifié pour l'échéance légale. Elle a en outre contesté le besoin propre allégué par le propriétaire.
Par jugement du 18 juin 2008, le Tribunal des baux et loyers a constaté l'inefficacité du congé signifié le 20 juillet 2006 pour le 31 janvier 2007. Le Tribunal a considéré que le bailleur souhaitait résilier de manière anticipée le bail conformément à l'<ref-law>, mais que la condition du besoin urgent faisait, en l'état, défaut. Les premiers juges ont ainsi arrêté que le congé était inefficace et noté qu'il ne pouvait pas être transformé en congé ordinaire.
Statuant le 12 janvier 2009 sur appel du bailleur, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers a confirmé le jugement attaqué, en niant la réalisation de la condition du besoin urgent de l'<ref-law> et en refusant de transformer le congé anticipé inefficace en un congé ordinaire.
C.
Agissant par la voie du recours en matière civile, le bailleur invite le Tribunal fédéral à réformer le jugement entrepris en ce sens qu'il soit constaté que le congé du 20 juillet 2006 est valable, qu'aucune prolongation de bail ne soit accordée et qu'il soit ordonné à la locataire de quitter immédiatement le dépôt loué, libre de toute personne et de tout objet. Le bailleur conclut également à la condamnation de la locataire en tous les dépens et à son déboutement de toutes autres conclusions.
La locataire conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
1.1. La valeur litigieuse est déterminée, en cas de recours contre une décision finale, par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (<ref-law>). Devant cette autorité, l'appelant a conclu à la validité du congé et à ce qu'aucune prolongation de bail ne soit accordée. Comme il a été posé que la prolongation de bail requise par la locataire était de six ans, la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. exigée en matière de bail à loyer est largement atteinte (6 x 9'600 fr.; <ref-ruling> consid. 1 p. 407; <ref-law>).
Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>) et dirigé contre un jugement final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 105). Il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par le recourant (<ref-law>).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire: <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.4. Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
2.
Le recourant conteste, dans un premier temps, la qualification donnée par l'autorité cantonale au congé signifié le 20 juillet 2006.
Selon le recourant, le congé aurait dû être qualifié de congé ordinaire et non pas de congé anticipé du nouveau propriétaire (au sens de l'<ref-law>), dès lors que ni la résiliation ni la lettre d'accompagnement ne font état du caractère anticipé du congé. Le recourant prétend également, à l'appui de son grief, qu'au-delà de la période initiale s'étendant du 1er mai 1999 au 30 avril 2002, le bail est devenu un bail à durée indéterminée; comme aucun terme n'a été convenu pour la durée subséquente à la période initiale, le délai de six mois a été donné pour l'échéance d'un trimestre de bail et le terme fixé au 30 janvier est conforme à l'<ref-law>. Dans son grief, le recourant se livre également à une critique des faits, qu'il reprend dans un grief distinct intitulé « du grief d'arbitraire ».
Le moyen est infondé.
Sous l'angle, tout d'abord, de la critique des faits, le recourant se contente de reprocher à la cour cantonale de n'avoir pas retenu dans l'arrêt querellé un considérant essentiel de la décision de la Commission de conciliation du 21 février 2007 et de n'avoir pas indiqué que le bailleur avait invoqué, dans la requête en contestation de prolongation de bail, à titre principal, le congé ordinaire de l'<ref-law> et, à titre subsidiaire, le congé extraordinaire de l'<ref-law>. A l'appui de son argumentation, le recourant ne se livre à aucune démonstration de l'arbitraire. Par conséquent, à défaut de motivation suffisante au sens de l'<ref-law>, le grief est, sur ce point, irrecevable. Au demeurant, on ne voit pas en quoi la constatation selon laquelle « la locataire a soutenu que le bailleur n'avait besoin que d'une partie des locaux et qu'il aurait dû employer le formulaire "autres prétentions" du bailleur pour les obtenir », telle que ressortant de la décision de la Commission de conciliation, serait à même d'établir que le congé a été considéré par la locataire comme un congé ordinaire; la qualification donnée par la Commission de conciliation au congé signifié est par ailleurs dénuée de pertinence, puisque la « décision » prise par une telle autorité est mise à néant, dès lors qu'une des parties au moins saisit valablement le juge (cf. arrêt du Tribunal fédéral 4A_519/2008 du 6 février 2009 prévu pour publication, consid. 2.4); enfin, lorsque le recourant affirme avoir invoqué, dans sa requête en contestation de prolongation de bail, le congé ordinaire de l'<ref-law>, à titre principal, il perd manifestement de vue, comme on le verra ci-après, que le contrat prévoyait un autre terme que celui fixé à la disposition précitée (cf. <ref-law>). En outre, quoi qu'en dise le recourant, il est manifeste que l'<ref-law> n'a pas été invoqué à titre indépendant, mais dans le but de démontrer que les conditions d'application de l'<ref-law> étaient bien réalisées.
D'après les constatations souveraines de la cour cantonale, le bail débutait le 1er mai 1999 pour se terminer le 30 avril 2002 et était ensuite renouvelable d'année en année. C'est dire qu'en date du 20 juillet 2006, le bailleur pouvait résilier le contrat au plus tôt pour le 30 avril 2007. Par conséquent, le congé signifié à la locataire pour le 30 janvier 2007 est intervenu antérieurement au terme contractuel.
Toujours selon les faits relatés dans l'arrêt attaqué, le bailleur a résilié le bail en exposant être le nouveau propriétaire de l'immeuble, vouloir y habiter et avoir besoin de disposer des dépôts loués à des fins privées et professionnelles; il se montrait par ailleurs disposé à discuter avec la locataire d'une solution consistant à ne prendre possession que d'une partie des locaux. Il en découle nécessairement que le bailleur voulait user de la possibilité de résilier le bail en sa qualité de nouveau propriétaire de l'immeuble, ce que la loi autorise expressément à l'<ref-law>. Si le caractère urgent du besoin d'occupation n'a pas été expressément mentionné, le fait que la résiliation ait été signifiée pour le 30 janvier 2007 et non pas pour le terme contractuel, fixé au 30 avril suivant, d'une part, et que le bailleur était prêt à ne disposer que d'une partie des locaux, d'autre part, traduit une volonté d'occuper le dépôt le plus rapidement possible. Ces constatations - non valablement remises en cause par le recourant - ne laissent subsister aucun doute sur le fait que la résiliation notifiée ne pouvait pas être comprise, par le destinataire de la manifestation de volonté, comme une résiliation ordinaire. De surcroît, comme relevé par l'autorité cantonale, le bailleur a, en cours de procès, précisé quelle était la nature du besoin allégué, puisqu'il a expliqué souhaiter récupérer les locaux le plus rapidement possible pour y aménager un local d'exposition et y entreposer des oeuvres d'art; ce besoin propre et urgent des locaux a été réaffirmé à l'appui des dernières conclusions prises devant le Tribunal des baux. Dès lors qu'une telle précision est admise par la jurisprudence, pour autant que les circonstances existaient déjà au moment de la déclaration de résiliation (arrêt 4C.202/1994 du 3 octobre 1995 consid. 2b/aa; cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 185 s.) - ce qui est manifestement le cas -, il n'y a en l'état pas lieu d'en faire abstraction.
Cela étant, la thèse avancée à titre subsidiaire, qui consiste à soutenir que le bailleur a commis une erreur au sujet du terme contractuel applicable, ne résiste pas à l'examen.
En définitive, on ne voit pas en quoi la cour cantonale aurait violé le droit fédéral en ayant fondé son raisonnement sur la base de l'<ref-law> et en ayant nié l'existence de la condition du besoin urgent au sens de cette disposition. La qualification de congé inefficace, compte tenu du défaut de cette dernière condition, n'est pas remise en cause par le recourant.
3.
A titre de grief subsidiaire, le recourant affirme que la cour cantonale aurait dû convertir le congé extraordinaire en congé ordinaire et reporter le congé signifié pour le 30 janvier 2007 au 30 avril 2007, soit au prochain terme pertinent, par application de l'<ref-law> - ce à quoi l'autorité cantonale s'est expressément refusée.
Dès lors, la question qui se pose est celle de savoir si une résiliation anticipée inefficace peut être convertie en une résiliation ordinaire valable.
3.1. Un congé, qui ne satisfait pas aux exigences légales ou contractuelles auxquelles est subordonné son exercice, est un congé inefficace. Un tel congé est dénué d'effet (<ref-ruling> consid. 1c/aa p. 161).
A chaque fois que le Tribunal fédéral a eu l'occasion de juger qu'un congé extraordinaire était inefficace, faute de réaliser les conditions nécessaires, aucune conversion du congé inefficace en un congé ordinaire n'a été opérée. Il semble toutefois que la question d'une éventuelle conversion n'était pas directement litigieuse.
Dans l'<ref-ruling>, il a été jugé qu'une résiliation fondée à tort sur l'<ref-law> pouvait prendre effet à un autre titre comme résiliation admissible, de caractère extraordinaire. Le Tribunal fédéral a rappelé que si la notion de droit formateur exclut, en règle générale, une conversion de l'acte, cette exclusion ne va pas plus loin que ce qu'exige le caractère univoque, inconditionnel et irrévocable de l'exercice du droit formateur; l'exclusion de toute conversion trouve ses limites dans le principe de l'application d'office du droit par le juge et dans la dénomination inexacte de l'acte sans préjudice pour les parties, par analogie avec l'<ref-law> (consid. 3d p. 128 s.). Ainsi, celui qui, fondé sur un état de fait clairement délimité, signifie à l'autre partie une résiliation extraordinaire du contrat, n'a pas à pâtir de ce qu'il invoque, erronément en droit, une disposition légale inexacte comme fondement juridique à sa déclaration.
3.2. Certains auteurs refusent d'envisager la conversion d'une résiliation extraordinaire en une résiliation ordinaire pour le plus prochain terme. Ces auteurs considèrent que, dès lors qu'une résiliation - qui ne remplit pas les conditions auxquelles la loi subordonne son application - est inefficace, ses effets ne peuvent pas être reportés à l'échéance ordinaire suivante ( DAVID LACHAT ET AL., Mietrecht für die Praxis, 2009, no 26/4.7, p. 532, no 27/1.4.1, p. 537 et no 27/4.3.5, p. 560; DAVID LACHAT, Le bail à loyer, 2008, no 4.2.7, p. 692; SVIT-Kommentar Mietrecht, éd. 2008, no 53 ad <ref-law> et no 22 ad art. 266-266o CO; ROGER WEBER, Basler Kommentar, no 11 ad <ref-law>; PETER HIGI, Zürcher Kommentar, nos 72 et 86 ad <ref-law> et no 67 ad <ref-law>; RICHARD PERMANN, Mietrecht Kommentar, no 16 ad <ref-law>; ANDREAS MAAG, Kündigung des Vermieters gemäss <ref-law>, in MRA 01/02 198 ss, p. 204; PETER HEINRICH, in Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 2007, no 9 ad <ref-law>).
D'autres auteurs considèrent qu'un congé matériellement infondé peut être converti en un congé ordinaire. PIERRE TERCIER/PASCAL G. FAVRE sont d'avis que si le besoin personnel urgent invoqué par le bailleur, au sens de l'<ref-law>, n'est pas suffisant, le congé vaudra en principe pour le prochain terme contractuel, s'il s'agit d'un contrat de durée indéterminée ( PIERRE TERCIER/PASCAL G. FAVRE, Les contrats spéciaux, 2009, no 2487, p. 360). Cet avis est partagé par les commentateurs de l'USPI (Commentaire du bail à loyer, 1992, no 53 ad <ref-law>), qui estiment que, si toutes les conditions de la résiliation extraordinaire ne sont pas remplies, la résiliation garde sa validité en tant que congé ordinaire. Pour PIERRE WESSNER, une conversion est possible si l'auteur du congé est à même d'établir qu'il avait la volonté de mettre fin au bail indépendamment des motifs qu'il a invoqués ( PIERRE WESSNER, La résiliation du bail à loyer pour justes motifs, in 10ème Séminaire sur le droit du bail, 1998, no 70, p. 25). CLAUDE RAMONI considère aussi, en lien avec un congé donné pour cause de demeure du locataire au sens de l'<ref-law>, que s'il apparaît clairement que le bailleur avait de toute façon la volonté de mettre fin au contrat, un congé donné pour demeure du locataire non valable peut être converti en résiliation ordinaire pour le prochain terme, alors même que seul l'<ref-law> est invoqué; cette solution apparaît, aux yeux de l'auteur, conforme aux principes admis pour la conversion des actes nuls en actes valables ( CLAUDE RAMONI, Demeure du débiteur et contrats de droit suisse, 2002, no 329, p. 155; de même, GUILLAUME VIONNET, L'exercice des droits formateurs, 2008, p. 413). Enfin, pour MARIE-NOËLLE VENTURI-ZEN-RUFFINEN, la question de la conversion d'une résiliation injustifiée en une résiliation ordinaire doit être résolue d'après les principes applicables en matière d'interprétation des manifestations de volonté; du point de vue de l'auteur, il y a lieu de déterminer selon le principe de la confiance si la résiliation injustifiée pouvait ou devait être comprise par son destinataire comme une résiliation ordinaire du contrat pour le prochain terme ( MARIE-NOËLLE VENTURI-ZEN-RUFFINEN, La résiliation pour justes motifs des contrats de durée, 2004, no 1473 ss, p. 414).
BERNARD CORBOZ adopte une position nuancée. Pour cet auteur, si les conditions qui ouvrent la faculté de mettre fin au bail prématurément ne sont pas réunies, la déclaration de volonté faite dans ce sens ne peut déployer aucun effet; toutefois, cet auteur n'exclut pas la possibilité d'une conversion du congé extraordinaire nul en un congé ordinaire valable lorsque l'échéance contractuelle est proche de la date pour laquelle le congé anticipé a été donné; si les dates sont éloignées, l'auteur observe que la sécurité du droit commande de ne pas s'orienter dans le sens d'une conversion, l'interprétation étant discutable et la situation incertaine pour l'autre partie ( BERNARD CORBOZ, Les congés affectés d'un vice, in 9ème Séminaire sur le droit du bail, 1996, p. 26).
3.3. Lorsque les parties ont conclu un contrat qui se révèle nul ou inefficace, il est communément admis que le juge, pour sauver autant que possible l'accord intervenu, peut convertir l'acte juridique vicié en un autre acte juridique valable s'il parvient à la conclusion, par voie d'interprétation, que cet acte répond aux aspirations des parties et qu'il aurait été choisi par elles si elles avaient eu conscience du motif de nullité ou d'inefficacité affectant le contrat qu'elles ont passé en réalité (<ref-ruling> consid. 2b/bb p. 119 s.; <ref-ruling> consid. 4 p. 185 s.).
La possibilité de convertir un acte juridique vicié en un acte juridique valable n'est pas limitée aux actes bilatéraux. Ainsi, la jurisprudence admet qu'un recours mal dénommé puisse être converti et traité comme le recours qu'il aurait fallu interjeter, si les conditions en sont remplies (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382).
Cependant, celui qui résilie un contrat exerce un droit formateur (Gestaltungsrecht, diritto formatore); en prévoyant la faculté de donner congé, l'ordre juridique permet à un seul des cocontractants de modifier unilatéralement, par sa seule manifestation de volonté, la situation juridique de l'autre partie (<ref-ruling> consid. 8.1.1 p. 364).
Le droit formateur ne peut être exercé que par celui auquel il appartient. Le juge ne peut en principe pas suppléer une volonté qui n'a pas été manifestée.
Surtout, l'exercice du droit formateur, en raison de ses effets pour le cocontractant, doit reposer sur une manifestation de volonté claire et dépourvue d'incertitudes. Ainsi, il a été jugé que l'exercice d'un droit formateur doit être univoque, sans condition et revêtir un caractère irrévocable (<ref-ruling> consid. 8.1.1 p. 364; <ref-ruling> consid. 2a p. 135).
Il a donc été admis, pour assurer la sécurité du droit et protéger le cocontractant contre une situation juridique incertaine, que la notion de droit formateur exclut en principe la possibilité d'une conversion (<ref-ruling> consid. 3d p. 129 et les références citées).
Si, comme c'est le cas en l'espèce, le locataire reçoit un congé qu'il doit interpréter, selon le principe de la confiance, comme une résiliation anticipée fondée sur l'<ref-law>, il n'a pas à compter avec l'éventualité que le juge transforme le congé qui a été donné en un congé tel qu'il n'a pas été donné. On ne se trouve pas ici dans l'hypothèse d'une erreur de dénomination ou de référence légale (hypothèses visées à l'<ref-ruling> déjà cité) : le congé, tel qu'il a été donné, devait être compris comme un congé fondé sur l'<ref-law>. Dans une telle situation, le locataire, pour s'opposer à la résiliation, était naturellement amené à faire valoir que les conditions d'application de cette disposition n'étaient pas réunies et, par voie de conséquence, que le congé était inefficace. Il n'avait pas à envisager un autre congé que celui qui lui a été donné, c'est-à-dire un congé ordinaire qui impliquait pour lui d'autres moyens de défense (une éventuelle annulation du congé sur la base des art. 271 et 271a CO, ainsi, subsidiairement, qu'une prolongation du bail selon les <ref-law>). La conversion a pour but de remplacer ce qui a été dit (et qui n'est pas valable) par ce qui a été voulu (et qui est valable); elle n'a pas pour objet de rectifier l'erreur d'un cocontractant au détriment de l'autre, en modifiant ainsi les fondements juridiques du litige.
On peut encore observer que le législateur a adopté une disposition spéciale, l'<ref-law>, pour le cas où celui qui donne congé s'est trompé sur le délai ou le terme de congé. Dans ce cas de figure, le congé mal donné produit ses effets au prochain terme possible. Cette règle tend exclusivement à corriger une erreur de date, et non pas une résiliation viciée dans ses conditions de fond ( Venturi-Zen-Ruffinen, op. cit., no 1472, p. 413 s.; Lachat, op. cit., no 4.7, p. 655; Higi, op. cit., nos 25 et 36 ad <ref-law>). L'existence même de cette règle spéciale montre qu'un report des effets du congé n'est possible que dans le cas d'une erreur sur la date d'échéance, et non pas dans le cas d'espèce.
Au regard de ce qui précède, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en ne convertissant pas en une résiliation ordinaire le congé extraordinaire fondé sur l'<ref-law>.
4.
En conclusion, le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
5.
Compte tenu de l'issue du recours, il convient de mettre les frais judiciaires à la charge du recourant et de le condamner à verser à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de 3'000 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 1er mai 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Crittin