Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) arbeitete ab August 2010 als Lehrerin an der Schule U._ und war aufgrund dieses Arbeitsverhältnisses bei der Versicherung A._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) gegen Erwerbsausfall nach VVG taggeldversichert.
A.b. Nach einer Auseinandersetzung mit den Schulbehörden machte B._ ab dem 29. November 2010 eine vollständige Arbeitsunfähigkeit geltend. Am 1. April 2011 kündigte B._ das Arbeitsverhältnis auf den 31. Juli 2011.
A.c. Die Versicherung A._ AG erbrachte nach Ablauf der Wartefrist ab dem 28. Mai 2011 Taggeldzahlungen.
A.d. Im Auftrag der Versicherung A._ AG verfasste Dr. med. C._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, einen psychiatrischen Gutachtensbericht, datierend vom 28. Februar 2012. Er attestierte B._ aus medizinisch-psychiatrischer Sicht in ihrem angestammten Beruf und in sämtlichen zumutbaren Verweistätigkeiten eine Arbeitsfähigkeit zu 100 %.
A.e. Mit Schreiben vom 9. März 2012 teilte die Versicherung A._ AG B._ mit, bei ihr könne keine Diagnose festgestellt werden, welche versicherungsmedizinisch eine Arbeitsunfähigkeit begründen würde, weshalb die Taggeldzahlungen per sofort eingestellt würden.
A.f. Mit Verfügung vom 20. August 2012 entschied die IV-Stelle Aargau, das Leistungsbegehren von B._ um berufliche Massnahmen werde abgewiesen, da bei ihr keine gesundheitliche Beeinträchtigung vorliege, welche die Arbeitsfähigkeit dauerhaft einschränken würde.
A.g. Nach weiteren medizinischen Abklärungen hielt die Versicherung A._ AG mit Schreiben vom 31. März 2014 an der Taggeldeinstellung per 9. März 2012 fest.
B.
Am 1. Juli 2014 erhob B._ beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau Klage und beantragte, die Versicherung A._ AG sei zu verurteilen, ihr vom 10. März 2012 bis 25. Juli 2012 weiterhin Taggeldleistungen in der Höhe von Fr. 292.81 pro Tag nebst Zins zu bezahlen. Eventualiter sei ein unabhängiges Fachgutachten über die Frage der Arbeitsunfähigkeit der Klägerin in Auftrag zu geben und anschliessend über den Taggeldanspruch zu entscheiden.
Mit Urteil vom 10. März 2015 hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Klage gut und verpflichtete die Versicherung A._ AG, B._ für den Zeitraum vom 10. März bis 25. Juli 2012 auf der Grundlage einer Arbeitsunfähigkeit zu 100 % und einem Taggeldansatz von Fr. 292.81 Taggelder in der Höhe von insgesamt Fr. 40'408.-- nebst Zins zu bezahlen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. Mai 2015 beantragt die Versicherung A._ AG dem Bundesgericht, das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) dem Bundesgesetz vom 2. April 1908 über den Versicherungsvertrag (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, womit als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f. mit Hinweis).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>). Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> und <ref-law> entschieden, weshalb die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> unabhängig vom Erreichen der Streitwertgrenze nach <ref-law> zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 4 ff., 799 E. 1.1 S. 800). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt rechtsgenügend begründeter Rügen auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law>. Die Vorinstanz habe ihr zu Unrecht die Beweislast für die Arbeitsfähigkeit der Beschwerdegegnerin auferlegt. Das Bestehen einer Arbeits un fähigkeit sei eine rechtsbegründende Tatsache, welche die versicherte Person zu beweisen habe. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz ändere daran nichts, wenn früher einmal eine Arbeitsunfähigkeit bejaht worden sei. Das Einstellen von Taggeldzahlungen setze mithin nicht voraus, dass die Versicherung die (wieder vorhandene) Arbeitsfähigkeit als rechtsvernichtende Tatsache beweise.
2.1. Die Vorinstanz hat ausgeführt, es könne nicht auf das Gutachten von Dr. med. C._ abgestellt werden, der von einer Arbeitsfähigkeit zu 100 % ausgehe. Es fehle aber trotz Berichten von Dr. med. D._ und Prof. Dr. med. E._ gleichzeitig eine klare ärztliche Aussage, wonach die Beschwerdegegnerin in der strittigen Zeit auch bezüglich anderer Arbeitsstellen arbeitsunfähig gewesen wäre. Im Fall der Beweislosigkeit falle der Entscheid zu Ungunsten jener Partei aus, welche aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableite. Die Beschwerdeführerin habe basierend auf einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit vom 28. Mai 2011 bis 9. März 2012 Taggeldleistungen erbracht. Werde ein Versicherungsfall bejaht und würden Leistungen ausgerichtet, so liege die Beweislast für die rechtsaufhebenden bzw. rechtsvernichtenden oder rechtshindernden Tatsachen bei der Partei, die den Untergang des Anspruchs behaupte, also bei der Beschwerdeführerin. Da der Beschwerdeführerin der Beweis für die Arbeitsfähigkeit der Beschwerdegegnerin von März bis Juli 2012 nicht gelinge, sei sie vom 10. März bis 25. Juli 2012 leistungspflichtig.
2.2. Nach <ref-law> hat, wo es das Gesetz nicht anders bestimmt, derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableitet. Demgemäss hat die Partei, die einen Anspruch geltend macht, die rechtsbegründenden Tatsachen zu beweisen, während die Beweislast für die rechtsaufhebenden bzw. rechtsvernichtenden oder rechtshindernden Tatsachen bei der Partei liegt, die den Untergang des Anspruchs behauptet oder dessen Entstehung oder Durchsetzbarkeit bestreitet. Der Eintritt des Versicherungsfalls ist nach diesen Grundsätzen vom Anspruchsberechtigten zu beweisen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 323; Urteil 4A_25/2015 vom 29. Mai 2015 E. 3.1, zur Publikation vorgesehen).
Daran ändert nichts, dass die Versicherung zunächst Taggelder ausbezahlt hat; macht sie geltend, die Umstände hätten sich geändert oder die Leistungen seien von vornherein zu Unrecht erbracht worden und die versicherte Person sei (wieder) arbeitsfähig, so hat die versicherte Person zu beweisen, dass sie (weiterhin) arbeitsunfähig ist und daher Anspruch auf Taggelder hat (Urteil 4A_25/2015 vom 29. Mai 2015 E. 3.1, zur Publikation vorgesehen). Im Falle der Beweislosigkeit trägt mithin nicht die Versicherung, sondern die versicherte Person die Beweislast. Die Vorinstanz erachtete weder die Arbeitsfähigkeit noch die Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin als bewiesen. In diesem Fall der festgestellten Beweislosigkeit trägt die Beschwerdegegnerin als versicherte Person die Beweislast, was zur Abweisung ihrer Klage führt. Die Rüge der bundesrechtswidrigen Beweislastverteilung erweist sich damit als begründet.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen und das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 10. März 2015 aufzuheben. Die Klage der Beschwerdegegnerin ist abzuweisen.
Die Sache ist zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das U rteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 10. März 2015 aufgehoben. Die Klage der Beschwerdegegnerin wird abgewiesen.
2.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier