Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich, vertreten durch Staatsanwalt Y._, führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen verschiedenen Vermögensdelikten.
Am 22. Oktober 2012 stellte X._ ein Ausstandsgesuch gegen den untersuchungsführenden Staatsanwalt. Mit Beschluss vom 1. Februar 2013 wies das Obergericht des Kantons Zürich das Gesuch ab. Eine dagegen von X._ erhobene Beschwerde wurde vom Bundesgericht gemäss Urteil vom 30. Mai 2013 abgewiesen (Verfahren 1B_101/2013).
Am 17. April 2013 stellte X._ bei der Staatsanwaltschaft den Antrag, die Strafuntersuchung sei umgehend einzustellen; eventualiter habe der ermittelnde Staatsanwalt Y._ in den Ausstand zu treten. Am 30. September 2013 wies das Obergericht auch dieses Ausstandsgesuch ab. Der Entscheid blieb unangefochten.
Am 14. Oktober 2013 stellte X._ ein weiteres Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Y._. Dieser widersetzte sich dem Begehren am 17. Oktober 2013 und leitete die Sache an den Leitenden Staatsanwalt weiter. Dieser liess seinerseits die Angelegenheit zuständigkeitshalber wiederum dem Obergericht zur Beurteilung zukommen.
Mit Beschluss vom 11. Dezember 2013 ist die III. Strafkammer des Obergerichts auf das Ausstandsgesuch wegen verspäteter Geltendmachung nicht eingetreten. Dabei hat es in einem Eventualstandpunkt (d.h. als obiter dictum) erwogen, dass das Gesuch als unbegründet abzuweisen wäre, falls darauf einzutreten wäre.
2.
Mit Eingabe vom 30. Januar 2014 führt X._ Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Hauptbegehren, der Beschluss vom 11. Dezember 2013 sei aufzuheben.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen einzuholen.
3.
3.1. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch <ref-law>; zudem <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbständigen Alternativbegründungen, so ist für jede einzelne darzutun, weshalb sie Recht verletzt (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.).
3.2. Die III. Strafkammer des Obergerichts erwog (E. II.1, angefochtener Beschluss S. 3), Ausstandsgründe seien geltend zu machen, sobald sie dem Betroffenen bekannt würden. In <ref-law> werde präzisiert, dass ein Ausstandsgesuch ohne Verzug zu stellen sei. Nach der Rechtsprechung gelte ein Ausstandsgesuch, das sechs bis sieben Tage nach Kenntnis des Ausstandsgrundes eingereicht werde, als rechtzeitig (mit Hinweis auf Urteil 6B_882/2008 vom 31. März 2009 E. 1.3); ein Zuwarten während zwei oder drei Wochen sei nicht zulässig (mit Hinweis auf Urteile 1P.457/2006 vom 19. September 2006 E. 3.1; 1B_499/2012 vom 7. November 2012 E. 2.3). Im vorliegenden Fall habe der Gesuchsteller sein Ausstandsgesuch mit einer am 23. September 2013 ergangenen staatsanwaltschaftlichen Verfügung begründet, welche seinem Verteidiger am 24. September 2013 zugegangen sei. Das Ausstandsgesuch datiere erst vom 14. Oktober 2013. Dabei habe sich der Gesuchsteller nicht zur Frage der Rechtzeitigkeit des Gesuchs geäussert. Er habe sich vielmehr 20 Tage Zeit gelassen, um sein Ausstandsgesuch zu begründen. Mit Blick auf die zitierte Rechtsprechung sei das Gesuch somit verspätet. Der Gesuchsteller habe in seinen Eingaben nicht dargelegt, weshalb er seine Rügen erst nach zwei bis drei Wochen vorgetragen habe. Auf das Gesuch sei daher nicht einzutreten. - Erst daran anschliessend hat dann das Obergericht wie schon erwähnt als obiter dictum erwogen, dass das Ausstandsgesuch ohnehin als unbegründet abzuweisen wäre, falls darauf einzutreten wäre.
Der Beschwerdeführer begründet mit seiner Eingabe vom 30. Januar 2014 umfangreich, aus welchen Gründen Staatsanwalt Y._ befangen sein und dem Ausstandsgesuch daher entsprochen werden soll. Dabei unterlässt er es indes, sich mit der obergerichtlichen Hauptbegründung auseinanderzusetzen, wonach auf das Ausstandsgesuch wegen verspäteter Einreichung nicht eingetreten wurde. Nach dem Gesagten ist daher auf die vorliegende Beschwerde nicht einzutreten (vorstehend E. 3.1). Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die vorliegende Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich, Wirtschaftsdelikte, und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp