Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. AX._ erhob am 4. November 2004 beim Bezirksgericht Meilen Strafklage gegen seine Tochter BX._ wegen übler Nachrede (<ref-law>), eventuell wegen Verleumdung (<ref-law>) oder Beschimpfung (<ref-law>). Gegenstand der Anklage bildet der angeblich von BX._ geäusserte Vorwurf, ihr Vater habe ihre jüngere Schwester CX._ während der Kindheit jahrelang sexuell missbraucht. Die Mutter der Geschwister und Ehefrau von AX._ habe von den Übergriffen gewusst und diese gedeckt.
Am 19. Juli 2005 wurde die Untersuchung mangels örtlicher Zuständigkeit des Bezirksgerichts Meilen an das Bezirksgericht Zürich überwiesen. Am 30. Januar und 3. Mai 2006 führte die Untersuchungsrichterin E. Vögeli Parteibefragungen und erste Einvernahmen von Zeugen und Auskunftspersonen durch. Eine weitere Verhandlung wurde auf den 13. September 2006 angesetzt.
Am 6. Juli 2006 stellte AX._ ein Ausstandsbegehren gegen die Untersuchungsrichterin. Diese nahm am 10. Juli 2006 zum Ausstandsbegehren Stellung und gab die gewissenhafte Erklärung ab, sich unbefangen und unvoreingenommen zu fühlen. AX._ nahm dazu am 21. Juli 2006 Stellung. Die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich wies das Ausstandsbegehren mit Beschluss vom 15. August 2006 ab.
Am 6. Juli 2006 stellte AX._ ein Ausstandsbegehren gegen die Untersuchungsrichterin. Diese nahm am 10. Juli 2006 zum Ausstandsbegehren Stellung und gab die gewissenhafte Erklärung ab, sich unbefangen und unvoreingenommen zu fühlen. AX._ nahm dazu am 21. Juli 2006 Stellung. Die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich wies das Ausstandsbegehren mit Beschluss vom 15. August 2006 ab.
B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 28. August 2006 beantragt AX._ im Wesentlichen die Aufhebung des Beschlusses der Verwaltungskommission des Obergerichts vom 15. August 2006 wegen Verletzung von <ref-law>. Zudem beantragt er, vorsorgliche Massnahmen anzuordnen.
Das Obergericht und die Untersuchungsrichterin am Bezirksgericht Zürich haben auf eine Stellungnahme zur Beschwerde verzichtet.
Das Obergericht und die Untersuchungsrichterin am Bezirksgericht Zürich haben auf eine Stellungnahme zur Beschwerde verzichtet.
C. Mit Verfügung vom 8. September 2006 hat der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen abgelehnt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der angefochtene Entscheid, der kantonal letztinstanzlich festhält, dass gegen die mit dem Fall befasste Untersuchungsrichterin kein Ausstandsgrund bestehe, schliesst das Strafverfahren nicht ab. Es handelt sich somit um einen Zwischenentscheid. Gemäss Art. 87 Abs. 1 OG ist gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren die staatsrechtliche Beschwerde zulässig. Diese Entscheide können später nicht mehr angefochten werden (dazu eingehend <ref-ruling> E. 1 S. 204 ff. mit Hinweisen).
Die Legitimation des Beschwerdeführers in der Sache gemäss Art. 88 OG ist im vorliegenden Verfahren nicht zu prüfen. Jedenfalls kann der Beschwerdeführer als Verfahrenspartei mit staatsrechtlicher Beschwerde die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihm nach dem kantonalen Verfahrensrecht oder unmittelbar von Verfassungs wegen (insbesondere <ref-law>) zustehen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 301 mit Hinweisen). Zu diesen Rechten gehört auch die Leitung der Strafuntersuchung durch einen unabhängigen und unparteilichen Untersuchungsrichter (s. nachfolgend E. 2).
Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen der staatsrechtlichen Beschwerde sind vorliegend erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen der staatsrechtlichen Beschwerde sind vorliegend erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2. Nach der in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK enthaltenen Garantie des verfassungsmässigen Richters hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Liegen bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vor, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, so ist die Garantie verletzt (<ref-ruling> E. 2b S. 198 mit Hinweisen).
<ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sind bei der Ablehnung eines Untersuchungsrichters oder eines Vertreters der Staatsanwaltschaft nur anwendbar, wenn diese ausnahmsweise in richterlicher Funktion tätig werden und die Rolle eines eigentlichen Richters einnehmen. Nehmen sie jedoch, wie hier, ihre Funktion als Strafuntersuchungsbehörde wahr, ist die Ausstandspflicht ausschliesslich aufgrund von <ref-law> zu beurteilen (<ref-ruling> E. 2b S. 198 mit Hinweisen). Der Gehalt von <ref-law> darf nach der Rechtsprechung nicht unbesehen auf nicht richterliche Behörden bzw. auf <ref-law> übertragen werden. Hinsichtlich der Unabhängigkeit und Unbefangenheit des Untersuchungsrichters kommt <ref-law> allerdings ein mit <ref-law> weitgehend übereinstimmender Gehalt zu. Ebenso wie ein Staatsanwalt kann auch ein Untersuchungsrichter abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, welche nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 2b S. 198 f. mit Hinweisen).
2.1 Der Beschwerdeführer hält die Untersuchungsrichterin zunächst für befangen, weil sie im Rahmen eines Einigungsgesprächs den Beschwerdeführer fragte, ob er die Strafklage zurückziehe, und auf seine Gegenfrage, ob er mit dieser Schande ins Grab gehen müsse, antwortete, dass es manchmal auch genügen könne, vor sich selbst und vor Gott gut dastehen zu können. Auch durch den Umstand, dass die Untersuchungsrichterin nicht bereit sei, Frau Dr. med. D._ als Auskunftsperson zur Krankengeschichte von CX._ zu befragen, erwecke sie den Anschein, dass sie sich in der Sache bereits festgelegt habe. Weiter zeige sich die Befangenheit der Untersuchungsrichterin darin, dass sie dem Beschwerdeführer nach der Anhörung seiner Tochter BX._ keine Gelegenheit gegeben habe, Ergänzungsfragen zu stellen. Mit den Äusserungen "vor sich selbst und Gott gut dastehen zu können" und dies sei ihr "schlimmster Ehrverletzungsprozess in 21 Jahren" habe die Untersuchungsrichterin beim Beschwerdeführer die Befürchtung aufkommen lassen, sie lasse die gebotene Sachlichkeit und Distanz vermissen. Schliesslich wolle die Untersuchungsrichterin trotz ärztlichem Zeugnis einen amtsärztlichen Bericht über den Gesundheitszustand der Ehefrau des Beschwerdeführers einholen lassen, obwohl diese vor dem Amtsstatthalter Luzern am 22. Juni 2005 klar und unmissverständlich ausgesagt und zur Ergänzung auch noch eine eidesstattliche Erklärung eingereicht habe. Dieses Misstrauen der Untersuchungsrichterin sei unter den gegebenen Umständen auch objektiv betrachtet geeignet, beim Gesuchsteller Misstrauen in die Untersuchungsrichterin hevorzurufen. Insgesamt erweise sich die Untersuchungsrichterin somit als befangen.
2.2 Zunächst stellt sich die Frage, ob die Äusserung der Untersuchungsrichterin im Rahmen des Einigungsgesprächs, wonach es "manchmal auch genügen könne, vor sich selbst und vor Gott gut dastehen zu können", geeignet ist, Zweifel an deren Unparteilichkeit zu wecken.
Die Garantie auf den verfassungsmässigen Richter bedeutet, dass der Richter als echter Mittler auftritt, d.h. den Parteien gleich gegenübertritt, über dem Streit der Parteien steht und Gewähr für eine unabhängige, unparteiische und unvoreingenommene Beurteilung bietet. Das stark formalisierte Prozessverfahren trägt zur Umsetzung der Verfassungsgarantie bei, indem die Parteien gleichermassen und voraussehbar zu Worte kommen, Beweise unter Einbezug der Parteien abgenommen und Prozesshandlungen aktenkundig gemacht werden. Damit wird insbesondere auch der Gefahr der einseitigen Beeinflussung des Richters durch eine der Parteien entgegengetreten. Davon unterscheidet sich das Stadium von Vergleichsverhandlungen vor dem Richter. Dieser Verfahrensschritt ist an keine strengen prozessualen Formen geknüpft: Der Richter geht auf Wünsche und Vorstellungen der Parteien ein und sucht unter Umständen noch vor der Abnahme von Beweisen im Interesse der Parteien nach einvernehmlichen Lösungen. Im Hinblick auf eine derartige Vermittlung dürfen an die Vermittlungshandlungen keine allzu strengen Anforderungen gestellt werden. Der Umstand eines Vermittlungsversuchs als solcher vermag die Unparteilichkeit eines Richters nicht in Frage zu stellen. Er kann nur abgelehnt werden, wenn die Vermittlertätigkeit oder ein Vermittlungsvorschlag den objektiv begründeten Anschein der Befangenheit hervorruft oder wenn der Richter eine durch den Prozess erst noch abzuklärende Tatsache als schon erwiesen ansieht oder sich bereits in einer Art festgelegt hat, dass Zweifel darüber bestehen, ob er einer anderen Bewertung der Sach- und Rechtslage aufgrund weiterer Abklärungen noch zugänglich wäre (<ref-ruling> E. 3.6 S. 119 f., 119 Ia 81 E. 4b S. 87, je mit Hinweisen).
Das Obergericht legt im angefochtenen Entscheid dar, dass die Äusserung der Untersuchungsrichterin, dass es "manchmal auch genügen könne, vor sich selbst und vor Gott gut dastehen zu können" im Rahmen des Einigungsgesprächs gemacht wurde, um eine weitere Eskalation dieser "dramatischen" innerfamiliären Angelegenheit zu verhindern. Aus den Akten und dem angefochtenen Entscheid ergibt sich deutlich, dass zum Versuch einer Beruhigung der Situation Anlass bestand. Die genannte Äusserung wie auch die Aussage der Untersuchungsrichterin, es handle sich um ihren schlimmsten Ehrverletzungsprozess in 21 Jahren erscheinen im Kontext der vorliegenden Strafklage keineswegs als Ausdruck von Parteilichkeit oder Befangenheit.
2.3 Auch die übrigen Punkte, aus welchen sich nach Ansicht des Beschwerdeführers die Befangenheit der Untersuchungsrichterin ergeben soll, hat das Obergericht sorgfältig geprüft. Es ist mit sachlich haltbaren Erwägungen zum Schluss gelangt, dass das der Untersuchungsrichterin vorgeworfene Verhalten aus objektiver Sicht nicht geeignet sei, den Anschein der Befangenheit zu begründen. Diese Beurteilung ist zutreffend, und auch die Beanstandungen des Beschwerdeführers vermögen daran nichts zu ändern. Es kann auf die Ausführungen des Obergerichts verwiesen werden.
2.3 Auch die übrigen Punkte, aus welchen sich nach Ansicht des Beschwerdeführers die Befangenheit der Untersuchungsrichterin ergeben soll, hat das Obergericht sorgfältig geprüft. Es ist mit sachlich haltbaren Erwägungen zum Schluss gelangt, dass das der Untersuchungsrichterin vorgeworfene Verhalten aus objektiver Sicht nicht geeignet sei, den Anschein der Befangenheit zu begründen. Diese Beurteilung ist zutreffend, und auch die Beanstandungen des Beschwerdeführers vermögen daran nichts zu ändern. Es kann auf die Ausführungen des Obergerichts verwiesen werden.
3. Die staatsrechtliche Beschwerde ist somit abzuweisen. Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Zürich und der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. November 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: