Sachverhalt:
A. Im sog. Kulturgüterstreit ersuchte die St. Galler Kantonsregierung den Kanton Zürich im Jahr 1996 um Verhandlungen über die Rückgabe von Gegenständen; diese waren 1712, im Verlaufe des zweiten Villmergerkriegs, aus der Stiftsbibliothek St. Gallen nach Zürich verbracht worden. Die an der Universität St. Gallen tätigen Professoren X._, A._ und B._ erstellten im Jahr 2002 ein Rechtsgutachten zu dieser Thematik. Das Gutachten war von der Regierung und dem katholischen Kollegium des Kantons St. Gallen in Auftrag gegeben worden; es bildete eine Grundlage ihrer Rechtsposition. Ab November 2003 fanden unter der Leitung des Vorstehers des Eidgenössischen Departements des Innern (EDI) Verständigungsverhandlungen zwischen den beiden Kantonen statt.
Auf der st. gallischen Seite wurde für die Vor- und Nachbereitung der Vermittlungsverhandlungen ein "Back Office" institutionalisiert. Zu den Sitzungen dieses Gremiums wurde jeweils auch Prof. Dr. X._ eingeladen; er war indessen nicht Mitglied der Verhandlungsdelegation. Am 5. März 2004 unterzeichnete Prof. Dr. X._ ein "Commitment" mit folgendem Inhalt: Es wurde festgeschrieben, dass Prof. Dr. X._ als Konsulent des Back Office beigezogen werde und er dafür einschlägige Dokumente zur vertraulichen und persönlichen Benützung erhalte. Sodann erklärte er ausdrücklich, bei direkten Kontakten zu Verhandlungsteilnehmenden des Kantons Zürich, zu Verantwortlichen des Bundes, zu aussenstehenden Dritten oder zu Medien in der Sache selbst nicht zu intervenieren oder Aussagen dazu zu machen. Vorbehalten wurden Ermächtigungen des Back Office im Einzelfall. Schliesslich wurde festgehalten, dass Prof. Dr. X._ für die Mitwirkung in diesem Rahmen keine Entschädigung ausgerichtet werde.
B. Auf den 18./19. März 2005 war eine weitere Verhandlungsrunde im Vermittlungsverfahren angesetzt. Anfangs März 2005 stellte das Departement des Innern des Kantons St. Gallen Prof. Dr. X._ die Vereinbarung über die Erstellung eines Ergänzungsgutachtens zu. Das Gutachten betraf offenbar völkerrechtliche Gesichtspunkte im Zusammenhang mit der Praxis der Organisation der Vereinten Nationen für Erziehung, Wissenschaft und Kultur (UNESCO) betreffend Welterbestätten. Hintergrund dieser Abklärungen bildete der Umstand, dass der Stiftsbezirk St. Gallen auf der Liste des Weltkulturerbes aufgeführt ist, die im Rahmen dieser internationalen Organisation geführt wird. Das Zusatzgutachten wurde am 15. März 2005 erstattet.
Bereits am 14. Februar 2005 hatte ein damaliger Universitätsassistent von Prof. Dr. X._ in dessen Auftrag eine Mail-Anfrage an das UNESCO World Heritage Committee (WHC; zu deutsch "Komitee für das Erbe der Welt") in Paris gerichtet. Dieser erkundigte sich im Wesentlichen, inwiefern ein Kanton bei einer Auseinandersetzung mit einem anderen Kanton, die einen Bezug zu einer Stätte des Welterbes aufweist, direkt an das WHC gelangen könne. Der Assistent gab zu erkennen, dass er an der Universität St. Gallen tätig war, und lieferte zusätzliche Angaben zum Hintergrund seiner Anfrage; er nannte aber insbesondere den Namen von Prof. Dr. X._ nicht. Eine Mitarbeiterin des UNESCO World Heritage Centre beantwortete die Anfrage am 1. März 2005; dabei machte sie darauf aufmerksam, dass die Angelegenheit der ständigen Delegation der Schweiz bei der UNESCO zur Information mitgeteilt werde. Der Assistent bat sie daraufhin am 4. März 2005 per Mail darum, die Weiterleitung möge unterbleiben. Damit konnte er jedoch nicht verhindern, dass die Schweizer Behörden informiert wurden.
An der Verhandlungsrunde vom 18./19. März 2005 erfuhren die Kantone über die Verhandlungsleitung vom Mailverkehr zwischen dem Universitätsassistenten und der internationalen Stelle.
C. Die St. Galler Kantonsregierung beriet an ihrer Sitzung vom 19. April 2005 über das Vorgefallene. Sie beschloss unter anderem, es solle dem Vorsteher des EDI im Namen der Regierung ein vorbereitetes Schreiben zugestellt werden. Parallel dazu wurde die Vorsteherin des kantonalen Departements des Innern eingeladen, Prof. Dr. X._ ein weiteres, vorbereitetes Schreiben zuzusenden.
Das Schreiben der Regierung an den Vorsteher des EDI wurde mit Datum vom 2. Mai 2005 verschickt; die Behördenmitglieder bzw. leitende Vertreter der Verhandlungspartner auf der Gegenseite erhielten Kopien. In diesem Schreiben distanzierte sich die Kantonsregierung in aller Form von der Vorgehensweise und vom Inhalt der Anfrage des Assistenten von Prof. Dr. X._. Sie brachte zum Ausdruck, keine Zweifel an der korrekten Verhandlungsführung der Vermittlungsdelegation zu hegen. Ausserdem teilte die Kantonsregierung mit, dass sie Prof. Dr. X._ im Wiederholungsfall den Vorbehalt rechtlicher Schritte aus dem Auftragsverhältnis sowie nötigenfalls die Beantragung der Einleitung eines Disziplinarverfahrens angedroht habe. Prof. Dr. X._ erhielt erst später, im Rahmen der Akteneinsicht, Kenntnis vom Wortlaut des Schreibens.
Am 3. Mai 2005 stellte das kantonale Departement des Innern Prof. Dr. X._ den vorgenannten, separaten Brief zu. Damit wurde er über die eingegangene Meldung und die daraus gezogenen Konsequenzen orientiert. Diese Konsequenzen bestanden zur Hauptsache darin, dass mit sofortiger Wirkung auf eine beratende Mitwirkung von Prof. Dr. X._ in der Angelegenheit verzichtet wurde. Zudem wurde er aufgefordert, alles zu unterlassen, was das Vermittlungsverfahren beeinträchtigen könne. Für den Wiederholungsfall wurden rechtliche Schritte aus dem Auftragsverhältnis und nötigenfalls die Einleitung eines Disziplinarverfahrens vorbehalten.
Anzumerken ist an dieser Stelle, dass die Verhandlungsdelegationen am 27. April 2006 eine Vereinbarung über die fraglichen Kulturgüter abschlossen.
D. Prof. Dr. X._ stellte mit Eingabe vom 20. Februar 2006 den Antrag, die Kantonsregierung habe förmlich festzustellen, dass die Schreiben vom 2. und 3. Mai 2005 in verschiedener Hinsicht rechtsverletzend gewesen seien. Insbesondere behauptete er dabei, das Schreiben der Regierung vom 2. Mai 2005 habe seine Persönlichkeitsrechte verletzt. Mit Entscheid vom 23. Januar 2007 trat die Kantonsregierung im Wesentlichen auf die Rechtsbegehren von Prof. Dr. X._ nicht ein. Statt dessen verwies sie ihn auf den Weg der öffentlich-rechtlichen Klage an das Verwaltungsgericht. Diesen Weg beschritt Prof. Dr. X._ in der Folge. Wie im Verfahren vor der Kantonsregierung behielt er sich ausdrücklich Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche in der Angelegenheit vor. Mit Urteil vom 19. September 2007 wies das Verwaltungsgericht die öffentlich-rechtliche Klage ab, soweit es darauf eintrat. Diesen Entscheid zog Prof. Dr. X._ an das Bundesgericht weiter. In Gutheissung seiner Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hob das Bundesgericht mit Urteil vom 24. April 2008 die Dispositiv-Ziffern 3 und 5-7 des Urteils des Verwaltungsgerichts auf und wies die Sache insoweit zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurück (<ref-ruling>).
E. Daraufhin nahm das Verwaltungsgericht das Verfahren wieder auf. Nach durchgeführter öffentlicher Verhandlung fällte es am 19. August 2008 sein Urteil; damit wies es die öffentlich-rechtliche Klage ab. Gegen das zweite verwaltungsgerichtliche Urteil führt Prof. Dr. X._ beim Bundesgericht wiederum Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt im Wesentlichen die Gutheissung seiner Rechtsbegehren, die er im kantonalen Klageverfahren gestellt hatte. In diesem Sinne verlangt er die Aufhebung des angefochtenen Entscheids; eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Kantonsregierung und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde. In der Replik hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1. Die Eintretensvoraussetzungen sind an sich erfüllt. Auf die Beschwerde kann unter dem Vorbehalt eingetreten werden, dass die einzelnen Vorbringen zulässig sind. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung verfassungs- bzw. konventionsrechtlicher Ansprüche und beanstandet die Sachverhaltsfeststellung im angefochtenen Entscheid. Derartige Rügen müssen rechtsgenüglich begründet werden (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweisen). Diese Anforderung ist bereits im Rahmen der Beschwerdeschrift bzw. innert der Beschwerdefrist zu erfüllen. Die Ergänzung der Beschwerde an das Bundesgericht auf dem Weg der Replik ist nur insoweit statthaft, als die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten dazu Anlass geben. Ausgeschlossen sind hingegen in diesem Rahmen Anträge und Rügen, die der Beschwerdeführer bereits vor Ablauf der Beschwerdefrist hätte erheben können (vgl. BGE 1C_291/2008 vom 17. Dezember 2008 E. 2.2 mit Hinweisen). Ferner lässt es Art. 99 Abs. 2 BGG nicht zu, erstmals im Verfahren vor Bundesgericht neue Begehren zu stellen. Die Frage der Zulässigkeit der einzelnen Vorbringen ist im jeweiligen Sachzusammenhang zu behandeln.
2. 2.1 Mit der Klage, die im kantonalen Verfahren beurteilt wurde, verlangte der Beschwerdeführer zur Hauptsache die Feststellung der Rechtswidrigkeit der kantonalen Schreiben vom 2. und 3. Mai 2005. Dabei gliederte er die Klage thematisch, d.h. nach dem jeweils angerufenen Grundrecht, in einzelne Begehren; diese Begehren richten sich gegen Auszüge aus einem oder beiden Schreiben. Als Grundrechte angerufen hat der Beschwerdeführer in diesen Begehren das Persönlichkeitsrecht, die Wissenschaftsfreiheit und den Anspruch auf rechtliches Gehör. Weiter forderte er die Feststellung, dass die im Schreiben vom 3. Mai 2005 ihm gegenüber geäusserte Androhung von Disziplinarmassnahmen nichtig sei. Zusätzlich verband der Beschwerdeführer das Feststellungsbegehren, das sich auf den Persönlichkeitsschutz bezieht, mit einem auf Berichtigung abzielenden Antrag. Danach hätte die Kantonsregierung gerichtlich verpflichtet werden sollen, den seinerzeitigen Empfängern des Briefs vom 2. Mai 2005 schriftlich mitzuteilen, dass sie die zum Ausdruck gebrachte Androhung rechtlicher Schritte nachträglich aufgehoben habe. Das Verwaltungsgericht hielt fest, der Kläger habe seine Rechtsbegehren im zweiten Rechtsgang geändert bzw. ergänzt. Es liess die Frage offen, ob derartige Änderungen verfahrensrechtlich zulässig seien, denn es stufte alle Begehren für unbegründet ein.
2.2 Der Beschwerdeführer wirft dem Verwaltungsgericht vor, mit der Abweisung der Klage seinerseits gegen die angesprochenen Grundrechte verstossen zu haben. Im Rahmen der zulässigen Rügen ist diesen Vorwürfen nachzugehen; dabei sind die drei Sachkomplexe der Klagebegehren (Wahrung des Persönlichkeitsrechts, der Wissenschaftsfreiheit und des rechtlichen Gehörs im Rahmen dieser Schreiben) zu erörtern (vgl. E. 3-5 hiernach). Ausdrücklich nicht mehr zur Diskussion stellt der Beschwerdeführer die Beurteilung des Klagebegehrens, das die angebliche Nichtigkeit der Androhung von Disziplinarmassnahmen betrifft. Davon ist Vormerk zu nehmen. Was das bei E. 2.1 hiervor erwähnte reparatorische Begehren angeht, stellt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht neu einen Eventualantrag. Danach soll anstelle einer Mitteilung durch die Kantonsregierung direkt vom Gericht ein geeigneter Auszug aus dem Urteilsdispositiv an die Empfänger des Schreibens vom 2. Mai 2005 zugestellt werden. Mit Blick auf den Ausgang des vorliegenden Verfahrens kann offen bleiben, inwiefern dieser Eventualantrag nach Art. 99 Abs. 2 BGG zulässig ist. Wie bei E. 3 hiernach darzulegen ist, sind verfassungsmässige Persönlichkeitsrechte des Beschwerdeführers ohnehin nicht verletzt worden. Deshalb erübrigt es sich zu prüfen, wie den Empfängern des damaligen Schreibens die Feststellung einer Persönlichkeitsverletzung mitzuteilen wäre.
2.3 Zusätzlich rügt der Beschwerdeführer, das Verwaltungsgericht habe den massgeblichen Sachverhalt in einzelnen Punkten ungenügend bzw. unrichtig festgestellt. Ferner setze sich die Begründung des angefochtenen Entscheids mangelhaft mit seinen Vorbringen auseinander. Dies verletze nicht nur Art. 97 Abs. 1 BGG, sondern auch seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Mit diesen Rügen gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, eine offensichtlich unrichtige Tatsachenfeststellung durch das Verwaltungsgericht darzutun, soweit diese Vorwürfe überhaupt rechtsgenüglich begründet sind. Auf die einzelnen, umstrittenen Tatsachen ist, soweit notwendig, im jeweiligen Sachzusammenhang einzugehen. Das angefochtene Urteil wahrt ebenfalls den Anspruch auf eine genügende Entscheidbegründung (vgl. zu diesem Anspruch allgemein <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.1 S. 277; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer wurde mit dem ausführlich begründeten Urteil hinreichend in die Lage versetzt, dieses sachgerecht anzufechten. Zu Unrecht wirft der Beschwerdegegner die Frage auf, ob sich das Verwaltungsgericht im zweiten Rechtsgang noch einmal vollumfänglich mit der Klage auseinanderzusetzen hatte. Dieses hat richtig erkannt, dass es dazu verpflichtet war.
2.4 In der Replik beklagt der Beschwerdeführer in Ergänzung des bei E. 2.3 hiervor erörterten Rügenkomplexes, es liege kein förmliches Protokoll über die öffentliche Parteiverhandlung vor. Er verlangt die Edition der Handnotizen der Gerichtsschreiberin über die Verhandlung. Diese Vorbringen sind verspätet; darauf kann nicht eingetreten werden.
3. In der Sache selbst rügt der Beschwerdeführer primär eine Missachtung seines verfassungsrechtlichen Persönlichkeitsschutzes. Er beruft sich dabei auf die persönliche Freiheit (Art. 10 BV), den Schutz der Privatsphäre (Art. 13 BV) sowie auf Art. 8 EMRK und Art. 17 UNO-Pakt II. Damit wehrt sich der Beschwerdeführer dagegen, dass das Verwaltungsgericht den folgenden Abschnitt aus dem Schreiben der Kantonsregierung vom 2. Mai 2005 nicht als ehr- bzw. persönlichkeitsverletzend betrachtet hat:
"Die Regierung hat Prof. X._ angedroht, dass sie sich - sollte sich ein solches oder ähnliches Vorkommnis wiederholen - rechtliche Schritte aus dem die gutachterliche Tätigkeit betreffenden Auftragsverhältnis vorbehält und nötigenfalls die Einleitung eines Disziplinarverfahrens beantragen wird."
3.1 Art. 13 Abs. 1 BV gewährt einen Anspruch auf Achtung des Privatlebens. Staatliche Organe werden mit dieser Bestimmung unter anderem verpflichtet, die Würde, die Ehre und den guten Ruf von Personen nicht zu verletzen. Insofern kommt der persönlichen Freiheit gemäss Art. 10 Abs. 2 BV sowie dem Gehalt von Art. 8 EMRK und Art. 17 UNO-Pakt II keine darüber hinausgehende Bedeutung zu (vgl. die Botschaft über eine neue Bundesverfassung vom 20. November 1996, BBl 1997 I 152). Dem verfassungsrechtlichen Schutz der Ehre lässt sich auch die von einer Behörde verursachte Beeinträchtigung des beruflichen oder gesellschaftlichen Ansehens einer Person zuordnen (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 57; Urteile 2P.259/1997 vom 15. Mai 1998 E. 4d, in: EuGRZ 1999 S. 53; 2A.312/2004 vom 22. April 2005 E. 4.3).
3.2 In der konkreten Umsetzung auf den vorliegenden Fall hat das Verwaltungsgericht die Regelung von Art. 28 ff. ZGB über den privatrechtlichen Persönlichkeitsschutz analog angewendet. Demgegenüber fordert der Beschwerdeführer, das Verwaltungsgericht hätte anhand der Vorgaben von Art. 36 BV für die Einschränkung von Grundrechten vorgehen müssen. Dabei räumt er selber ein, die Kantonsregierung habe über eine genügende gesetzliche Grundlage verfügt. Er bestreitet aber ein öffentliches Interesse an den fraglichen Aussagen und hält diese für unverhältnismässig. Eventualiter rügt er, die Beurteilung des Verwaltungsgerichts sei auch nach den Grundsätzen von Art. 28 ZGB nicht rechtskonform. Der vom Beschwerdeführer gemachten Unterscheidung zwischen Art. 28 ZGB und Art. 36 BV kommt hier keine entscheidende Bedeutung zu, weil Art. 28 Abs. 2 ZGB überwiegende öffentliche Interessen ebenfalls als Rechtfertigungsgrund anerkennt. Auf diese Parallelität von zivil- und öffentlich-rechtlicher Beurteilung beim Persönlichkeitsschutz hat bereits das Verwaltungsgericht hingewiesen.
3.3 Das Verwaltungsgericht hat folgende Unterscheidung getroffen: Nach seiner Auffassung hat die Kantonsregierung mit den Aussagen, die das gutachterliche Auftragsverhältnis betreffen, das Ansehen bzw. den guten Ruf des Beschwerdeführers nicht nur nicht verletzt, sondern nicht einmal beeinträchtigt. Das Verwaltungsgericht hält dafür, die diesbezügliche Äusserung enthalte nicht den Vorwurf, er habe eine Vertragsverletzung begangen; die Kantonsregierung habe sich insoweit rechtliche Schritte bloss in Abhängigkeit von seinem zukünftigen Verhalten vorbehalten. Insofern erübrigt sich nach Meinung des Verwaltungsgerichts eine Überprüfung der Frage, ob der Beschwerdeführer gegen vertragliche Pflichten verstossen habe. Hingegen stuft das Verwaltungsgericht die Wendung im Schreiben vom 2. Mai 2005, die von der Möglichkeit eines allfälligen Disziplinarverfahrens handelt, als ehrenrührig ein. Insoweit hat das Verwaltungsgericht untersucht, ob sich für die Beeinträchtigung der Persönlichkeit des Beschwerdeführers hinreichende Rechtfertigungsgründe ausmachen lassen. Es ist zum Schluss gelangt, die Kantonsregierung habe in guten Treuen einen Disziplinarfehler des Beschwerdeführers ausser Dienst annehmen dürfen; dieser habe aufgrund des Inhalts der Mailanfrage vom 14. Februar 2005 gegen das Commitment vom 5. März 2004 verstossen. Insbesondere habe er nicht die nötige Sorgfalt bei der Unterweisung des Assistenten im Hinblick auf die Abfassung dieser Anfrage walten lassen. Es habe ein überwiegendes öffentliches Interesse dafür bestanden, dass die Kantonsregierung die fraglichen Äusserungen gegenüber den Empfängern des Schreibens vom 2. Mai 2005 machte; diese seien verhältnismässig gewesen. Folglich liege insofern keine Persönlichkeitsverletzung vor.
3.4 Es kann offen bleiben, ob die fraglichen Aussagen der Kantonsregierung implizit den Vorwurf einer Vertragsverletzung enthielten. Selbst wenn die betreffenden Ausführungen mit dem Beschwerdeführer in diesem Sinne ausgelegt würden, vermöchte dies am Ergebnis nichts zu ändern. Die Passage über ein allfälliges Disziplinarverfahren beruhte im Kern auf denselben Vorwürfen der Kantonsregierung. Es ist weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern die Rechtmässigkeit der disziplinarisch und der vertraglich begründeten Kritik am Beschwerdeführer mit einem unterschiedlichen Massstab zu beurteilen wäre. Im Folgenden erfolgt die Überprüfung bezüglich dieser Vorwürfe gemeinsam.
3.4.1 Zu Recht hat das Verwaltungsgericht der Bezugnahme auf die Vermittlungsverhandlungen in der Mailanfrage vom 14. Februar 2005 entscheidende Bedeutung zugemessen. Es kann daher dahingestellt bleiben, ob die Erkundigung bei der UNESCO selbst ohne eine solche Bezugnahme eine Pflichtverletzung bedeutet hätte. Zwar trifft es zu, dass in dieser Mailanfrage keine Namen genannt wurden. Wie das Verwaltungsgericht aber zu Recht festgehalten hat, war ein Rückschluss auf den damals hängigen Kulturgüterstreit ohne Weiteres möglich. Soweit der Beschwerdeführer das Gegenteil behauptet, kann ihm nicht gefolgt werden. Zum besseren Verständnis wird hier folgender Auszug aus der Mail wiedergegeben:
"...
These two Cantons are currently negotiating under the auspices of the Federal Council of Switzerland (the Swiss government). As the site from which those goods where stolen 300 years ago is listed as UNESCO World Cultural Heritage since several years, the question arose, whether it would be possible for one federal state of Switzerland to call the UNESCO World Heritage Committee (WHC) for support. Because the Canton fears that the other Canton and the Swiss government are trying to find a compromise which is not adequate considering the status of the site (being World Cultural Heritage). We could not find any precedent for this question and the procedural rules of the WHC do also not foresee such a case.
This is why we would be very thankful, if you helped us: How can a Canton approach the WHC for a inner-state-dispute, if it fears that Switzerland might not live up to the duties under the UNESCO Convention? [Es folgen mehrere Detailfragen.]
As we were asked to answer the federal states end of this week, we would be very grateful, if you could submit us an answer until Wednesday. ..."
3.4.2 Der zitierte Abschnitt aus der Mailanfrage lässt sich nicht anders verstehen, als dass damit eine Einschätzung der damaligen Verhandlungssituation aus Sicht des Kantons St. Gallen dargelegt wurde. Es ist offensichtlich, dass der Kanton gemeint war, auf dessen Gebiet sich die Welterbestätte befindet. Die hierbei dem Kanton St. Gallen zugeschriebene Lagebeurteilung enthält eine Kritik von Seiten dieses Kantons am Vorgehen der anderen Beteiligten im Vermittlungsverfahren. So befürchtet der Kanton gemäss diesem Text, dass der andere Kanton und der Bundesrat einen Vergleich anstrebten, der dem Status der Stätte als Weltkulturerbe nicht gerecht werde ("Because the Canton fears that ... being World Cultural Heritage"). In Frageform werden weiter unten Bedenken geäussert, wonach die Schweiz möglicherweise Pflichten aus einem völkerrechtlichen Vertrag nicht erfülle ("if it fears that ... UNESCO Convention?"). Dabei wird unterstellt, dass die Delegationen von Bund und Kanton Zürich entsprechende völkerrechtliche Vorgaben nicht beachten wollten. Das Verwaltungsgericht hat festgehalten, die Anfrage unterstelle dem Bund und dem Kanton Zürich treuwidriges Verhalten; dies bestreitet der Beschwerdeführer. Der Begriff der Treuwidrigkeit muss nicht näher erörtert werden. Jedenfalls durfte das Verwaltungsgericht von einer personenbezogenen und nicht wertneutralen Kritik in der Anfrage ausgehen.
3.4.3 Es kann nicht darauf ankommen, ob die in der Anfrage angegebenen Befürchtungen bei der st. gallischen Verhandlungsdelegation tatsächlich vorhanden waren. Dass der Beschwerdeführer als Konsulent und Gutachter darüber Stillschweigen gegenüber Dritten wie der UNESCO bzw. dem WHC zu bewahren hatte, liegt auf der Hand. Im Übrigen erweckt der Verfasser der Mailanfrage am Ende des wiedergegebenen Auszugs selbst den Eindruck, er handle im Rahmen eines Abklärungsauftrags der beteiligten Kantone ("we were asked to answer the federal states"). Bei dieser Sachlage muss der Beschwerdeführer es sich gefallen lassen, dass die Mailanfrage seiner Mandatsbeziehung zum Kanton St. Gallen zugerechnet wird. Es überzeugt nicht, wenn er behauptet, er habe diese Anfrage ausserhalb jeglicher Vertragsbeziehungen zum Kanton St. Gallen bzw. aus rein wissenschaftlichem Interesse veranlasst. Das Verwaltungsgericht hat dem Beschwerdeführer vorgeworfen, mit den fraglichen Aussagen in der Mailanfrage gegen die im Commitment festgehaltene Verschwiegenheitspflicht verstossen zu haben. Diese Würdigung ist zutreffend. Die Mailanfrage enthielt eine vom Commitment verpönte Aussage zur Sache im Kulturgüterstreit. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers wurden im Commitment sehr wohl Rechtspflichten begründet. Es kann ihm auch nicht gefolgt werden, wenn er behauptet, dieses Commitment sei im Februar 2005 nicht mehr in Kraft gewesen. Es ändert ebenfalls nichts, dass die Kantonsregierung im Schreiben vom 2. Mai 2005 das Commitment nicht erwähnt hat. Die Erfüllung der beiden Gutachtensaufträge und die mit dem Commitment geregelte Funktion als Konsulent weisen, gerade was die Geheimhaltungspflicht gegenüber Dritten angeht, einen inneren Zusammenhang auf. Die Kantonsregierung durfte unscharf von gutachterlicher Tätigkeit sprechen.
3.4.4 Weiter kann der Beschwerdeführer die Verantwortung für den Wortlaut der Mailanfrage nicht erfolgreich seinem Assistenten zuschieben. Es wird vom Beschwerdeführer nicht bestritten, den Auftrag zur Anfrage über die darin erwähnten Rechtsfragen erteilt zu haben. Nach dem Verwaltungsgericht hat der Beschwerdeführer nicht den Nachweis erbracht, dass er die nötige Sorgfalt bei der Instruktion seines Assistenten habe walten lassen. Diese Beurteilung des Verwaltungsgerichts ist rechtskonform. Es hat hierbei auch die vom Beschwerdeführer genannten Sachumstände hinsichtlich der Abfassung und des Versands der Mailanfrage genügend berücksichtigt.
3.4.5 Ebenso wenig vermag sich der Beschwerdeführer mit dem Argument zu entlasten, er habe nicht mit einer Weiterleitung der Anfrage seitens der verantwortlichen Personen bei der UNESCO rechnen müssen. Dass mit der Meldung an die Schweizer Behörden gegen eine Rechtspflicht verstossen worden wäre, behauptet er nicht. Hinzu kommt, dass das diesbezügliche Vorgehen in der Mailantwort vom 1. März 2005 offengelegt wurde. Der Beschwerdeführer gibt in allgemeiner Weise zu, dass er vom Assistenten anfangs März 2005 über das Ergebnis der Anfrage orientiert wurde. Falls sich der Beschwerdeführer den Mailverkehr damals nicht vorlegen liess, trägt er dafür die Verantwortung. Der Beschwerdeführer hätte aufgrund seiner Schadenminderungspflicht spätestens in jenem Zeitpunkt von sich aus an seine Auftraggeber gelangen und diese über die Vorkommnisse unterrichten müssen. Es war unzureichend, dass der Assistent statt dessen am 4. März 2005 bei der angefragten Stelle der UNESCO um einen Verzicht auf die Weiterleitung des Mailverkehrs ersuchte.
3.4.6 Aufgrund der vorstehenden Erwägungen erweist sich, dass die im Streit liegenden Äusserungen der Kantonsregierung begründet waren. Dies gilt selbst dann, wenn der fraglichen Passage - wie vom Beschwerdeführer behauptet - der Sinn beigelegt wird, sie enthalte Anschuldigungen bezüglich der Verletzung sowohl vertraglicher wie disziplinarisch relevanter Pflichten.
3.5 In einem weiteren Schritt ist nun der Verhältnismässigkeit des betreffenden Auszugs aus dem Schreiben vom 2. Mai 2005 nachzugehen. Dieser Brief war ja nicht an den Beschwerdeführer, sondern an den Kreis der Beteiligten im Vermittlungsverfahren gerichtet.
Gemäss dem Verwaltungsgericht hat die Mailanfrage das Vermittlungsverfahren belastet. Diese Tatsachenfeststellung im angefochtenen Urteil ist gestützt auf die Akten nachvollziehbar. Mit der fraglichen Äusserung zeigte die Kantonsregierung ihren Verhandlungspartnern an, dass sie den Beschwerdeführer als verantwortlich für die Mailanfrage betrachtete und dass sie ihm ihre Missbilligung über sein Vorgehen unter Androhung rechtlicher Schritte kundgetan habe. Zu einer Klarstellung dieses Inhalts war die Kantonsregierung befugt. Die umstrittene Passage im Schreiben vom 2. Mai 2005 war im Tonfall mässig.
Auch was die Zumutbarkeit im Hinblick auf die Beeinträchtigung der Persönlichkeitsrechte des Beschwerdeführers angeht, ist das angefochtene Urteil nicht zu beanstanden. Die öffentlichen Interessen, welche die Kantonsregierung mit ihrem Positionsbezug verfolgte, überwiegen die entgegengesetzten privaten Interessen des Beschwerdeführers. Dieser beklagt zu Unrecht, er habe eine unverhältnismässige Rufschädigung im Hinblick auf seine anderweitige Gutachtertätigkeit bei den Empfängern des Schreibens vom 2. Mai 2005 erlitten. Sofern in der Folge sein berufliches Ansehen bei diesem Personenkreis geschmälert war, kann er dies nicht der Kantonsregierung anlasten, sondern hat es letztlich seinem eigenen Verhalten zuzuschreiben.
3.6 Insgesamt hat das Verwaltungsgericht das Klagebegehren, mit dem eine Persönlichkeitsverletzung behauptet wurde, zu Recht abgewiesen. Die Beschwerde geht in diesem Punkt fehl.
4. Sodann ist auf den Rügenkomplex einzugehen, mit dem eine Verletzung der Wissenschaftsfreiheit behauptet wird.
4.1 Das diesbezügliche Klagebegehren im kantonalen Verfahren umfasste den bei E. 3 hiervor behandelten Abschnitt aus dem Schreiben vom 2. Mai 2005 und die parallelen Aussagen im Schreiben vom 3. Mai 2005. Weiter verlangte der Beschwerdeführer die Feststellung, dass der mit dem Brief vom 3. Mai 2005 mitgeteilte Verzicht auf seine Beratertätigkeit eine unverhältnismässige Sanktionierung einer offenbar missliebigen wissenschaftlichen Tätigkeit dargestellt habe. Ferner sei die Unzulässigkeit der in diesem Schreiben enthaltenen Aufforderung festzustellen, wonach er alles zu unterlassen habe, was das Vermittlungsverfahren beeinträchtigen könnte. In dieser Verhaltensanweisung erblickt er die Forderung nach einer Unterordnung seiner wissenschaftlichen Tätigkeit unter die Interessen des Kantons St. Gallen; dies sei mit dem Freiraum, der einem Hochschullehrer zustehen müsse, unvereinbar. Nach Meinung des Beschwerdeführers hat das Verwaltungsgericht die Tragweite der Wissenschaftsfreiheit verkannt. Bei diesen Vorbringen ruft er Art. 20 BV, Art. 10 EMRK und Art. 19 UNO-Pakt II an.
4.2 Im Zentrum dieser Vorbringen steht die Forschungsfreiheit. Dieser in Art. 20 BV als Aspekt der Wissenschaftsfreiheit gewährleistete Anspruch betrifft die Gewinnung und Weitergabe menschlicher Erkenntnisse durch freie Wahl von Fragestellung, Methode und Durchführung (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 152). Das Grundrecht untersteht dem Gebot wissenschaftlicher Wahrheit und Objektivität (vgl. Urteil 1P.478/2003 vom 12. November 2003 E. 7). Die Freiheit der wissenschaftlichen Forschung und Lehre ist - als Teil der Meinungsäusserungsfreiheit - in Art. 10 EMRK und Art. 19 UNO-Pakt II enthalten (vgl. die Botschaft über eine neue Bundesverfassung vom 20. November 1996, BBl 1997 I 165). Die Wissenschaftsfreiheit kann - wie die übrigen Kommunikationsgrundrechte - nicht nur durch direkte Eingriffe wie Verbote und Sanktionen beeinträchtigt werden. Denkbar sind auch mittelbare Beeinträchtigungen dieser Grundrechte in dem Sinne, dass der Betroffene sich aufgrund einer behördlichen Reaktion nicht mehr getraut, erneut vom Grundrecht Gebrauch zu machen (sog. "chilling effect", vgl. dazu Müller/Schefer, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 375; KIENER/KÄLIN, Grundrechte, 2007, S. 82, 191; HÄFELIN/HALLER/KELLER, Schweizerisches Bundesstaatsrecht, 7. Aufl. 2008, N. 474a [dort unter Bezugnahme auf die Medienfreiheit]).
4.3 Was die parallelen Äusserungen in den Schreiben vom 2. und 3. Mai 2005 zur Androhung rechtlicher Schritte aus privatem und öffentlichem Recht angeht, vermag der Beschwerdeführer auf dem Weg über die Wissenschaftsfreiheit nichts an dem bei E. 3 hiervor festgehaltenen Ergebnis zu ändern. Auch der verfassungsrechtlich geschützte Freiraum wissenschaftlicher Äusserungen vermittelte ihm keine Berechtigung für eine Eingabe der vorliegenden Art bei einer internationalen Instanz. Hinsichtlich des Verzichts auf seine Beratertätigkeit räumt er ein, keinen Anspruch auf eine weitere Mitarbeit im Back Office besessen zu haben. Auch nach seiner Meinung durften die Behörden jederzeit mit sofortiger Wirkung auf seine Mitwirkung in diesem Rahmen verzichten.
4.4 Es kann offen bleiben, inwiefern von den beiden behördlichen Schreiben eine mittelbare Grundrechtsbeeinträchtigung im Sinne eines "chilling effect" ausgeht. Selbst wenn insofern ein Eingriff in die Wissenschafts- bzw. Forschungsfreiheit bejaht wird, wurde dieses Grundrecht nicht verletzt. Zum einen erscheinen die vom Beschwerdeführer beanstandeten Inhalte dieser beiden Schreiben als verhältnismässige Reaktion auf seine vorangehende Pflichtverletzung. Zum andern überdauern Diskretions- und Geheimhaltungspflichten die Beendigung des Auftrags, solange ein berechtigtes Interesse des Auftraggebers vorhanden ist (vgl. ROLF H. WEBER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht, 4. Aufl. 2007, N. 11 zu Art. 398 OR). Die vom Beschwerdeführer kritisierte, behördliche Aufforderung, alles zu unterlassen, was den Verhandlungsprozess beeinträchtigen könne, bedeutete nichts anderes als eine Konkretisierung dieser nachwirkenden vertraglichen Verschwiegenheitspflicht; sie diente der Wahrung berechtigter Interessen der Auftraggeber.
4.5 Unbehelflich ist es ferner, wenn der Beschwerdeführer die gleiche Beurteilung fordert, wie sie der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) im Urteil Wille gegen Liechtenstein vom 28. Oktober 1999, Recueil CourEDH 1999-VII S. 331, vorgenommen hat. Im damaligen Fall beurteilte der EGMR einen Brief des liechtensteinischen Landesfürsten an einen hohen liechtensteinischen Richter. In jenem Schreiben teilte der Landesfürst mit, er werde den Richter künftig nicht mehr für ein öffentliches Amt ernennen. Der Brief bildete eine Reaktion auf Äusserungen des Richters im Rahmen einer öffentlichen Vorlesung über verfassungsrechtliche Fragestellungen. Beim Mailverkehr, der Anlass zu den kantonalen Schreiben vom 2. und 3. Mai 2005 gab, wurde nicht nur im Abstrakten eine wissenschaftliche Meinung geäussert. Vielmehr wurde auf ein laufendes Verfahren ausdrücklich Bezug genommen und hierbei eine nicht wertneutrale Kritik an der Tätigkeit von Amtsträgern erhoben. Bereits aufgrund dieser Umstände unterscheidet sich der vorliegende Fall wesentlich von demjenigen beim Urteil des EGMR in Sachen Wille (vgl. dazu a.a.O., § 67).
4.6 Zusammengefasst ist es nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht dem Klagebegehren betreffend die Wissenschaftsfreiheit nicht stattgegeben hat.
5. Schliesslich bemängelt der Beschwerdeführer mit dem dritten, hier zu erörternden Klagebegehren, dass er vor der Abfassung und dem Versand des Schreibens vom 2. Mai 2005 nicht angehört worden ist. Der Beschwerdeführer ruft hierbei den Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) und das Willkürverbot (Art. 9 BV) an. Der Willkürrüge kommt im vorliegenden Zusammenhang keine eigenständige Bedeutung zu.
5.1 Das Verwaltungsgericht hat das Unterbleiben der Anhörung im konkreten Einzelfall als rechtmässig erachtet. Diese Beurteilung ist im Ergebnis verfassungskonform. Es kann offen bleiben, inwiefern der Beschwerdeführer aus der von den kantonalen Behörden vorgenommenen Qualifizierung des betreffenden Schreibens als Realakt einen grundsätzlichen Anspruch auf vorgängige Anhörung ableiten kann. Das Verwaltungsgericht stellte darauf ab, dass das fragliche Schreiben für den Beschwerdeführer zwar unangenehm, aber ohne schwerwiegende Auswirkungen gewesen sei. Ob die fehlende Anhörung mit dieser Begründung gerechtfertigt werden kann, mag ebenfalls dahingestellt bleiben. Wesentlich ist hier die besondere Situation aufgrund des Auftragsverhältnisses mit dem Beschwerdeführer. Bei der gegebenen Sachlage ist der Kantonsregierung zuzugestehen, dass sie den Partnern am Vermittlungsverfahren die Missbilligung über das Verhalten des Beschwerdeführers mitteilen durfte, ohne dem letzteren vorgängig die Absicht eines derartigen Positionsbezugs zu eröffnen. Unerheblich ist hingegen, ob an sich genügend Zeit für eine Anhörung bestanden hätte.
5.2 Der Beschwerdeführer wendet ein, die vorgängige Anhörung gehöre wegen des engen Bezugs zur Menschenwürde zum Kernbereich des verfassungsrechtlichen Gehörsanspruchs; sie müsse auch bei verfügungsfreiem Staatshandeln gewährleistet sein. Es trifft zu, dass das rechtliche Gehör nicht nur der Sachaufklärung dient, sondern zugleich ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht des Betroffenen beim Erlass eines Entscheids darstellt (<ref-ruling> E. 2b S. 56 mit Hinweisen). Selbst bei Verfügungen muss in gewissen Sachbereichen zur Sicherstellung des damit verfolgten Zwecks auf eine Anhörung vor dem Vollzug verzichtet werden; in derartigen Konstellationen werden die verfassungsmässigen Verfahrensrechte im Rahmen einer nachträglichen Anhörung gewährleistet. Richtig betrachtet muss es sich auch mit Blick auf das Schreiben vom 2. Mai 2005 so verhalten.
6. Aufgrund der vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Kessler Coendet