Sachverhalt:
A. X._ erhob gegen den Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Frauenfeld vom 25. November 2011 wegen mehrfachen Ungehorsams gegen amtliche Verfügungen und Widerhandlung gegen die Allgemeine Polizeiverordnung der Stadt Zürich Einsprache.
Am 20. Januar 2012 befragte ihn der zuständige Staatsanwalt als beschuldigte Person. Am Schluss der Einvernahme vermerkte der Staatsanwalt im Protokoll, X._ habe gleichentags vor der Einvernahme die Möglichkeit gehabt, Einsicht in die Akten zu nehmen. Der Staatsanwalt legte X._ das Einvernahmeprotokoll sodann zur Durchsicht vor. Auf die Frage des Staatsanwalts, ob X._ Ergänzungen oder Berichtigungen anzubringen habe, sagte dieser, er wolle eine Kopie des Einvernahmeprotokolls haben. Darauf teilte der Staatsanwalt gemäss Protokollnotiz X._ mit, als Privatperson erhalte er keine Aktenkopien.
B. Mit Eingabe vom 30. Januar 2012 erhob X._ beim Obergericht des Kantons Thurgau Rechtsverweigerungsbeschwerde. Er beantragte, es sei festzustellen, dass ein Angeschuldigter spätestens im Rekursverfahren gegen einen Strafbefehl das Recht habe, sich Aktenkopien aushändigen zu lassen; es sei ihm eine Kopie des Protokolls der Einvernahme vom 20. Januar 2012 auszuhändigen.
Am 23. Februar 2012 schrieb das Obergericht die Beschwerde zufolge Gegenstandslosigkeit ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1). Die Kosten des Verfahrens auferlegte es dem Staat (Ziff. 2).
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, Ziffer 2 des obergerichtlichen Entscheids sei aufzuheben. Es sei in Gutheissung des entsprechenden Antrags der Rechtsverweigerungsbeschwerde vom 30. Januar 2012 festzustellen, dass ein Angeschuldigter spätestens im Rekursverfahren gegen einen Strafbefehl das Recht habe, sich Aktenkopien aushändigen zu lassen.
D. Das Obergericht hat sich vernehmen lassen. Es beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen.
Die Staatsanwaltschaft hat ebenfalls Gegenbemerkungen eingereicht. Sie beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten.
X._ hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1. 1.1 Soweit der Beschwerdeführer im Beschwerdeantrag die Aufhebung von Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids verlangt, handelt es sich - wie er in der Replik (S. 2) bestätigt - um einen Verschrieb. Er richtet sich in der Sache gegen Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids.
1.2 Der Beschwerdeführer hat unstreitig vollständige Akteneinsicht erhalten (Replik S. 2). Die Staatsanwaltschaft hat, nachdem sie am Schluss der Einvernahme vom 20. Januar 2012 die Aushändigung einer Kopie des entsprechenden Protokolls noch abgelehnt hatte, eine solche einen Arbeitstag später dem Beschwerdeführer zugestellt. Dieser ist somit im Besitz des von ihm verlangten Protokolls. Die Vorinstanz erwägt, die ursprüngliche Anordnung der Staatsanwaltschaft, das Protokoll nicht herauszugeben, habe <ref-law> widersprochen. Danach kann, wer zur Einsicht berechtigt ist, gegen Entrichtung einer Gebühr die Anfertigung von Kopien der Akten verlangen. Es darf ohne Weiteres angenommen werden, dass die Staatsanwaltschaft künftig <ref-law> von Anfang an beachten wird, zumal sie von sich auf ihre ursprüngliche Anordnung einen Arbeitstag später zurückgekommen ist und unter Hinweis auf diese Bestimmung dem Beschwerdeführer die verlangte Kopie zugesandt hat. Inwiefern der Beschwerdeführer unter diesen Umständen ein Rechtsschutzinteresse an der Behandlung der Beschwerde in Strafsachen haben und damit gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt sein soll, ist nicht ersichtlich und legt er - wozu er verpflichtet gewesen wäre (<ref-ruling> E. 1 S. 121 mit Hinweis) - nicht weiter dar. Schon deshalb kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
1.3 Hinzu kommt Folgendes: Der Beschwerdeführer kann nicht gestützt auf <ref-law> Beschwerde führen. Diese Bestimmung kommt nur zur Anwendung, wenn eine Behörde untätig bleibt, weshalb kein eigentliches Beschwerdeobjekt vorliegt (Urteil 1C_433/2008 vom 16. März 2009 E. 1.4; Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4334). Das ist hier nicht der Fall. Die Vorinstanz hat vielmehr einen Entscheid gefällt. Dieser schliesst das Strafverfahren nicht ab. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid gemäss <ref-law>. Nach Absatz 1 dieser Bestimmung ist dagegen die Beschwerde zulässig: a. wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann; oder b. wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Der Beschwerdeführer muss, soweit dies nicht offensichtlich ist, darlegen, weshalb die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sein sollen. Andernfalls genügt er seiner Begründungspflicht (<ref-law>) nicht und kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 1.1 S. 328 f. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer äussert sich nicht zu den Voraussetzungen nach <ref-law>. Diese sind nicht offensichtlich erfüllt. Auf die Beschwerde kann auch aus diesem Grund nicht eingetreten werden.
2. Ein sachlicher Grund, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten, besteht entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers (Beschwerde S. 3 oben) nicht. Dieser unterliegt und trägt die Kosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Frauenfeld und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. November 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri