Sachverhalt:
A.
Mit Gesuch vom 25. Februar 2013 beantragte A._ dem Bezirksgericht Visp die Eintragung eines Bauhandwerkerpfandrechts auf Grundstücken, die u.a. auf den Namen von X._ lauten.
Mit superprovisorischer Verfügung vom 8. März 2013 wies das Bezirksgericht das Grundbuchamt Brig an, das Bauhandwerkerpfandrecht vorläufig einzutragen bzw. vorzumerken.
B.
B.a. Mit prozessleitender Verfügung vom 26. Juni 2013 ernannte das Bezirksgericht Rechtsanwalt Z._ in Anwendung von <ref-law> zum amtlichen Prozessvertreter von X._ im Verfahren um Eintragung des Bauhandwerkerpfandrechts.
B.b. Auf die von X._ gegen die prozessleitende Verfügung des Bezirksgerichts eingelegte Beschwerde trat das Kantonsgericht des Kantons Wallis mit Urteil vom 22. Juli 2013 nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt X._ dem Bundesgericht, es seien das Urteil des Kantonsgerichts vom 22. Juli 2013 sowie die Verfügung des Bezirksgerichts vom 26. Juni 2013 aufzuheben.
Das Bezirksgericht verzichtete in seiner Vernehmlassung auf Antragstellung. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig gegen Endentscheide, also solche, die das Verfahren abschliessen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.2 S. 216; <ref-ruling> E. 1.1 S. 428; <ref-ruling> E. 4 S. 396), sei es insgesamt (<ref-law>), sei es hinsichtlich eines Teils der gestellten, unabhängig von den anderen beurteilbaren Begehren oder für einen Teil der Streitgenossen (<ref-law>; dazu BGE <ref-ruling> E. 1.2 S. 217 ff.).
Das angefochtene Urteil vom 22. Juli 2013, das die Ernennung von Rechtsanwalt Z._ als amtlicher Prozessvertreter des Beschwerdeführers zum Gegenstand hat, schliesst das kantonale Verfahren weder ganz noch teilweise ab. Es handelt sich mithin um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>.
1.2. Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand (von Gerichtspersonen) betreffen, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn eine der folgenden alternativen Voraussetzungen erfüllt ist: Erstens, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Zweitens, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Die selbständige Anfechtbarkeit von Vor- und Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.2 S. 191; <ref-ruling> E. 2.1 S. 631). Die Ausnahme ist restriktiv zu handhaben, zumal die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn sie einen Vor- bzw. Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> nicht selbständig anfechten, können sie ihn doch mit dem Endentscheid anfechten, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.1).
1.3. Der Beschwerdeführer macht zu Recht nicht geltend, die Gutheissung der Beschwerde würde sofort einen Endentscheid herbeiführen (<ref-law>), womit die Beschwerde nur zulässig ist, wenn der angefochtene Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Dabei muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden kann (<ref-ruling> E. 6 S. 192; <ref-ruling> E. 1.1 S. 328; <ref-ruling> E. 3.1 S. 87; je mit Hinweisen); rein tatsächliche Nachteile wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.1 mit Hinweisen).
1.4. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern dem Beschwerdeführer durch die Beiordnung eines amtlichen Prozessvertreters ein Nachteil entstehen könnte, der auch durch einen für ihn günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden kann. Als Nachteile einer amtlichen Prozessvertretung sind - nebst allfälligen, unter dem Blickwinkel von <ref-law> unerheblichen Verfahrensverzögerungen (dazu LUCA TENCHIO, in: Basler Kommentar, 2. Aufl. 2013, N. 19 zu <ref-law>) - einzig das Anfallen von Anwaltskosten denkbar (vgl. MARTIN STERCHI, in: Berner Kommentar, 2012, N. 10 zu <ref-law>). Diese werden jedoch bei einem für den amtlich Vertretenen günstigen Prozessausgang gerade nicht diesem, sondern dessen Prozessgegner auferlegt (<ref-law>). Ein rechtlicher Nachteil durch die Beiordnung eines amtlichen Rechtsvertreters ist damit nicht ersichtlich. Auf die Beschwerde gegen den angefochtenen Zwischenentscheid ist nicht einzutreten.
2.
Diesem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Rechtsanwalt Z._ und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni