Sachverhalt:
A. Am 14. Juni 2008 erhob Y._ gegen X._ Anklage wegen Ehrverletzung.
Mit Verfügung vom 18. Juli 2008 trat der Untersuchungsrichter des Bezirkes Hinwil darauf nicht ein. Er befand, die Weisung des Friedensrichteramtes sei verspätet eingereicht worden. Bei Erhebung der Anklage sei die Strafantragsfrist von drei Monaten nach <ref-law> im Übrigen bereits abgelaufen gewesen.
Den von Y._ dagegen erhobenen Rekurs hiess das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) mit Beschluss vom 10. Februar 2009 gut. Es hob die Verfügung des Untersuchungsrichters auf und wies die Akten an diesen zurück. Das Obergericht kam zum Schluss, entgegen der Auffassung des Untersuchungsrichters sei die Frist zur Einreichung der friedensrichterlichen Weisung gewahrt worden (E. 3.1). Es erwog sodann, aufgrund der Akten sei nicht erstellt, wann Y._ die an der Sühneverhandlung vom 17. März 2008 geltend gemachte, auf der Weisung aufgeführte und damit beim Bezirksgericht zur Anklage gebrachte angebliche Äusserung von X._, er - Y._ - sei ein "Psychopath", bekannt geworden sei. Damit erweise sich die Alternativbegründung des Untersuchungsrichters zumindest als verfrüht. Dieser werde zur Prüfung der Rechtzeitigkeit des Strafantrags abzuklären haben, wann Y._ von der genannten Äusserung von X._ Kenntnis erhalten habe (E. 3.2).
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und der Nichteintretensentscheid des Untersuchungsrichters zu bestätigen.
C. Das Obergericht und der Untersuchungsrichter haben auf Gegenbemerkungen verzichtet.
Y._ hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen und der Beschluss des Obergerichts zu bestätigen.
D. X._ hat eine Replik eingereicht. Er hält an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss <ref-law> ist gegen den angefochtenen Entscheid die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2 Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ist ausgeschlossen, da die Vorinstanz als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (§ 428 der Strafprozessordnung vom 4. Mai 1919 des Kantons Zürich [StPO; LS 321]).
1.2 Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ist ausgeschlossen, da die Vorinstanz als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (§ 428 der Strafprozessordnung vom 4. Mai 1919 des Kantons Zürich [StPO; LS 321]).
1.3 1.3.1 Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz den Nichteintretensentscheid des Untersuchungsrichters aufgehoben und die Sache an diesen zur Vornahme weiterer Abklärungen zurückgewiesen. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid nach <ref-law>.
Gemäss Absatz 1 dieser Bestimmung ist gegen einen solchen Zwischenentscheid die Beschwerde zulässig, a) wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann, oder b) wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
1.3.2 Zu Recht beruft sich der Beschwerdeführer nicht auf <ref-law>. Der Umstand, dass jemand sich einem Strafverfahren stellen und die damit verbundenen Unannehmlichkeiten hinnehmen muss, stellt nach der Rechtsprechung keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur im Sinne dieser Bestimmung dar (<ref-ruling> E. 3.1 S. 291; Urteil 6B_23/2007 vom 2. April 2007 E. 1.1.2).
1.3.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, es liege ein nach <ref-law> anfechtbarer Zwischenentscheid vor.
Diese Bestimmung übernimmt die Regel von Art. 50 Abs. 1 des früheren Bundesrechtspflegegesetzes, der die zivilrechtliche Berufung betraf. Sie ist somit vor allem in Zivilsachen anwendbar. Nach der Rechtsprechung stellt die Öffnung des Rechtsmittelwegs gegen Zwischenentscheide aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme dar und muss restriktiv gehandhabt werden. Besonders restriktiv ist <ref-law> im Strafrecht anzuwenden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 292 mit Hinweisen). Sie stellt dort einen Fremdkörper dar und kommt kaum je zur Anwendung (Urteil 6B_782/2008 vom 12. Mai 2009 E. 1.4, in: Pra 2009 Nr. 115 S. 787).
Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die besonders restriktive Rechtsprechung im Bereich des Strafrechts könne hier nicht massgebend sein, da im Kanton Zürich bei Ehrverletzungen das Privatstrafklageverfahren zur Anwendung komme und dieses wesentliche Elemente des Zivilverfahrens aufweise. Wie es sich damit verhält, kann dahingestellt bleiben. Auf die Beschwerde könnte selbst dann nicht eingetreten werden, wenn hier <ref-law> "nur" restriktiv und nicht - wie im Strafrecht - besonders restriktiv gehandhabt würde.
Zwar könnte das Bundesgericht mit der Gutheissung der Beschwerde und damit der Bestätigung des untersuchungsrichterlichen Nichteintretensentscheids sofort einen Endentscheid herbeiführen. Es ist jedoch nicht ersichtlich, dass damit ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart werden könnte. Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers handelt es sich um keinen komplexen Fall. Dass er den Beschwerdegegner als "Psychopath" bezeichnet hat, gibt er zu (Beschwerde S. 6 Ziff. 13). Es stellt sich die Frage der Rechtzeitigkeit des Strafantrags nach <ref-law>. Die Vorinstanz hat die Sache insoweit an den Untersuchungsrichter zurückgewiesen zur Abklärung, wann der Beschwerdegegner von der genannten Äusserung des Beschwerdeführers Kenntnis erhalten hat (angefochtener Entscheid S. 6). Diese Äusserung ist wiedergegeben in einer Telefonnotiz der Staatsanwaltschaft See/Oberland in einem anderen Verfahren (act. 13). Wie die Vorinstanz darlegt, bringt der Beschwerdegegner vor, er habe diese Telefonnotiz bei der Behörde eingeholt (angefochtener Entscheid S. 3 und 6). Es dürfte vergleichsweise einfach zu ermitteln sein, wann die Behörde dem Beschwerdegegner die Telefonnotiz übergeben hat. Die Staatsanwaltschaft See/Oberland untersteht dabei entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht dem Amtsgeheimnis, soweit sie vom Untersuchungsrichter zur entsprechenden Information aufgefordert wird. Vielmehr ist sie insoweit zur Rechtshilfe verpflichtet (vgl. Niklaus Oberholzer, in: Basler Kommentar, Strafrecht II, 2. Aufl. 2007, N. 9 zu <ref-law>). Sollte von der Rechtzeitigkeit des Strafantrags auszugehen sein, kann nicht angenommen werden, dass noch ein erheblicher Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erforderlich sein sollte, nachdem die Bezeichnung des Beschwerdegegners als "Psychopath" unbestritten ist. Der vorliegende Fall betrifft lediglich zwei Personen sowie einen einfachen und klar umrissenen Sachverhalt. Im Lichte der dargelegten restriktiven Rechtsprechung ist der vorinstanzliche Entscheid daher auch nach <ref-law> nicht anfechtbar (vgl. Urteil 6B_23/2007 vom 2. April 2007 E. 1.2.2).
2. Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (<ref-law>).
Er hat dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Untersuchungsrichter des Bezirks Hinwil und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri