Faits:
A.
Le 6 octobre 2011, Me X._, avocat, a sollicité auprès du Service de l'aide sociale de la Ville de Fribourg l'aide matérielle pour l'un de ses clients (dénommé ci-après: le requérant). Ce dernier était domicilié à Fribourg, alors que sa femme, dont il était séparé depuis 2006, vivait au Portugal. Par lettre du 21 octobre 2011, le Service de l'aide sociale a invité le requérant à fournir des renseignements sur la situation financière de son épouse, en indiquant les raisons pour lesquelles celle-ci ne pouvait lui apporter un soutien financier. Le 3 novembre 2011, le requérant a indiqué que sa femme était sans activité lucrative et vivait auprès de ses parents. Estimant les renseignements fournis insuffisants, le Service de l'aide sociale a renouvelé sa demande le 28 novembre 2011. Le requérant a précisé, le 3 février 2012, que son épouse était soutenue financièrement par ses parents et qu'elle n'était pas en mesure de subvenir à ses besoins à lui; elle était venue en Suisse de janvier à octobre 2011 en raison des problèmes de santé de son mari, mais ce séjour temporaire n'impliquait aucune volonté d'intégration en Suisse, ni de reprise de la vie commune.
Par décision du 28 février 2012, la Commission sociale de la Ville de Fribourg (ci-après: la Commission sociale) a refusé de couvrir le budget social du requérant, au motif qu'il appartenait prioritairement à son épouse de subvenir à son entretien. La Commission sociale relevait à ce propos que l'épouse aurait pu prendre un emploi temporaire à Fribourg dans les services communaux. Au lieu de cela, elle avait préféré quitter la Suisse. Dès lors, le couple devait faire le choix de son lieu d'établissement au regard du principe de la subsidiarité de l'aide sociale: soit en Suisse, où l'épouse pourrait mettre à profit sa capacité de travail, soit au Portugal où le requérant disposerait d'un hébergement gratuit. La Commission sociale précisait enfin que si l'intéressé devait se trouver sans gîte ni couvert, il pourrait obtenir une aide d'urgence (bons de repas et de nuitées). Par ailleurs, elle a refusé au requérant le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure administrative.
Le 9 mars 2012, le requérant a formé une réclamation contre ce prononcé, qui a été rejetée par décision de la Commission sociale du 2 avril 2012; cette décision a été retirée au guichet postal le 16 avril 2012. Le recours de l'intéressé auprès du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) a été rejeté, par arrêt du 22 août 2012. Le Tribunal fédéral a également rejeté le recours en matière de droit public du requérant, par arrêt du 11 avril 2013 (cause 8C_781/2012), pour le motif qu'il avait manqué à son devoir de collaboration avec le Service d'aide sociale afin d'établir son indigence.
B.
Parallèlement et avant la notification de la décision sur réclamation, soit le 5 avril 2012, le requérant a, par l'intermédiaire de son conseil, déposé plainte pénale contre les membres de la Commission sociale pour tentative de contrainte. Il a également pris des conclusions civiles en raison du tort moral que les pressions subies de la part de la Commission sociale lui avaient causé.
Le 11 mai 2012, le Procureur général fribourgeois a rendu une ordonnance de non-entrée en matière et mis les frais à la charge de l'Etat.
C.
Le 12 juin 2012, la Commission sociale a dénoncé Me X._ à la Commission du barreau du canton de Fribourg (ci-après: la Commission du barreau) pour avoir déposé plainte contre ses membres.
Par décision du 12 novembre 2012, la Commission du barreau a prononcé un avertissement à l'encontre de Me X._ et mis les frais de la cause à sa charge, par 500 fr. Se fondant en particulier sur l'ordonnance de non-entrée en matière du 11 mai 2012, elle a pris acte de ce que la Commission sociale n'avait ni l'intention de contraindre le requérant à quitter la Suisse, ni celle de l'obliger à engager une procédure matrimoniale contre son épouse. Faute d'éléments à charge suffisants qui auraient pu justifier le dépôt d'une plainte pénale, l'avocat n'était pas légitimé à recourir à ce moyen de droit qu'il avait utilisé abusivement, violant son devoir de diligence au sens de l'art. 12 let. a de la loi fédérale sur la libre circulation des avocats.
X._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal, en concluant à ce qu'aucune mesure ou sanction ne soit prononcée à la suite de la dénonciation du 12 juin 2012.
Par arrêt du 5 novembre 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours et mis les frais à la charge du recourant, par 800 fr. Il a tout d'abord constaté que les membres de la Commission sociale ne faisaient que leur travail en questionnant le client du recourant et en lui présentant des alternatives qui auraient pu clarifier son droit aux prestations re- quises. Par le dépôt d'une plainte pénale, le recourant avait voulu intimider l'autorité avant la prise de décision sur réclamation afin qu'elle ne pousse plus avant ses investigations. Or, l'obligation de diligence de l'avocat lui interdit de recourir à ce moyen lorsqu'aucun indice ne laisse supposer qu'une infraction pénale a été commise.
D.
X._ forme auprès du Tribunal fédéral un recours en matière de droit public contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 5 novembre 2013, dont il demande l'annulation, sous suite de frais. Il conclut également à ce qu'aucune mesure ou sanction ne soit prononcée à la suite de la dénonciation du 12 juin 2012 et à l'octroi d'une indemnité de partie pour le temps consacré à sa propre défense, soit 1' 500 fr. pour la procédure de recours cantonale et 3'000 fr. pour la procédure de recours fédérale.
Le Tribunal cantonal renvoie aux considérants de son arrêt et conclut au rejet du recours, de même que la Commission du barreau.

Considérant en droit :
1.
Le présent litige concerne une sanction disciplinaire infligée à un avocat sur la base de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61). Il relève donc du droit public au sens de l'<ref-law> (cf. arrêts 2C_878/2011 du 28 février 2012 consid. 1; 2C_257/2010 du 23 août 2010 consid. 1.2). Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par l'avocat destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Aucune des exceptions mentionnées à l'<ref-law> n'étant en outre applicable, il y a lieu d'entrer en matière sur le présent recours.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. En particulier, il revoit librement le point de savoir s'il y a eu violation des règles professionnelles en fonction du comporte- ment concret de la personne mise en cause au regard de la situation qui se présentait à elle au moment des faits (cf. arrêts 2C_257/2010 du 23 août 2010 consid. 5.1 et les références citées; 2C_379/2009 du 7 décembre 2009 consid. 2.1).
En outre, le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou incomplète - notion qui correspond à celle d'arbitraire de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; cf. aussi arrêt 2C_889/2008 du 21 juillet 2009 consid. 1.2) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>), ce qu'il appartient au recourant de démontrer de manière claire et circonstanciée. La correction du vice soulevé doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s.; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322).
2.2. En tant que le recourant critique les constatations de fait figurant dans l'arrêt du Tribunal fédéral du 11 avril 2013 (cause 8C_781/2012), qui ont force de chose jugée (<ref-law>; cf. arrêts 2C_273/2014 du 23 juillet 2014 consid. 3; 2C_1179/2012 du 13 mai 2013 consid. 1.5), son recours est irrecevable. Tel est en particulier le cas lorsqu'il conteste le manque de collaboration de son client retenu dans cet arrêt (consid. 2.4.3 et 2.5.3). Il ne saurait davantage revenir sur la décision de classement de la plainte pénale, dès lors qu'elle n'a pas fait l'objet d'un recours.
Pour le reste, le recourant ne motive pas, conformément aux exigences de l'<ref-law>, la violation du droit à une procédure et à un procès équitables garantis par les art. 29 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH qu'il fait valoir, en reprochant aux premiers juges d'avoir indûment limité leur pouvoir d'examen en se fondant sur l'arrêt du Tribunal fédéral du 11 avril 2013 et sur la décision de classement de la plainte pénale du 11 mai 2012. Le recours est donc également irrecevable s'agissant de ces griefs.
3.
3.1. Le recourant soutient qu'il était légitime - sans qu'on ne puisse lui reprocher de violer son devoir de diligence - de déposer une plainte pénale pour contrainte contre les membres de la Commission sociale. En effet, cette autorité administrative avait refusé l'aide sociale dont son client avait un besoin vital en exigeant de lui des renseignements dont elle savait qu'il ne pouvait pas les fournir, tout en lui faisant miroiter qu'elle renoncerait à cette exigence s'il engageait des démarches officielles de séparation d'avec son épouse, ce que le client ne souhaitait pas. Selon le recourant, la Commission sociale tentait ainsi abusivement de contraindre le requérant soit à engager une démarche de séparation, soit à quitter la Suisse pour rejoindre son épouse au Portugal. Le dépôt d'une plainte pénale formée au nom du requérant avait ainsi pour but de faire cesser la pression indûment exercée sur celui-ci par le biais d'une contre-pression.
3.2. D'après le Tribunal cantonal, en revanche, les exigences et les interrogations de la Commission sociale concernant aussi bien la renonciation du requérant à une contribution d'entretien que la justification d'un domicile séparé des époux entraient dans le cadre de ses tâches visant à déterminer si le mandant du recourant pouvait prétendre à l'aide sociale sollicitée et n'étaient donc nullement constitutives d'un acte de contrainte. Face à cette procédure inquisitoriale qui n'avait rien d'extraordinaire compte tenu de l'objet de la requête et de la situation particulière du requérant, l'avocat avait voulu intimider l'autorité en déposant plainte pénale avant qu'elle ne statue sur sa réclamation, afin qu'elle ne pousse pas plus avant ses investigations sur les relations de son client avec son épouse. Il reconnaissait d'ailleurs lui-même avoir voulu exercer une pression pour faire pendant à celle exercée par la Commission sociale. Or, un avocat ne pouvait utiliser le moyen de la plainte pénale pour tenter d'intimider les membres d'une autorité, alors qu'aucun indice ne laissait soupçonner l'existence d'une infraction pénale. Il s'agissait, dans ce cas, d'un usage abusif de cet outil juridique équivalant à une violation du devoir de diligence.
4.
4.1. D'après l'<ref-law>, l'avocat doit exercer sa profession avec soin et diligence. L'<ref-law> prévoit qu'en cas de violation d'une règle professionnelle, l'autorité de surveillance (cantonale) peut prononcer à l'encontre d'un avocat, entre autres mesures disciplinaires, un avertissement. L'<ref-law> précise que l'avertissement est radié du registre cantonal des avocats cinq ans après son prononcé.
4.1.1. De jurisprudence constante, l'avocat dispose d'une grande liberté pour critiquer l'administration de la justice - que ce soit en s'en prenant à un magistrat ou à un confrère - tant qu'il le fait dans le cadre de la procédure, dans un mémoire ou à l'occasion de débats oraux (cf. <ref-ruling> consid. 8b p. 107 s.; <ref-ruling> consid. 2 p. 527 s.; arrêts 2C_737/2008 du 8 avril 2009 consid. 3.3 s.; 2A.191/2003 du 22 janvier 2004 consid. 7.3; 2P.212/2000 du 5 janvier 2001 consid. 3b, in RDAT 2001 II 44 no 10). Dans ce cas, l'avocat n'agit contrairement à ses devoirs professionnels et, partant, de façon inadmissible, que s'il formule des critiques en étant conscient de la fausseté de ses affirmations ou dans une forme attentatoire à l'honneur, au lieu de se limiter à des allégations de fait et à des appréciations (arrêt 2A.191/2003 du 22 janvier 2004 consid. 7.3).
Tombe dans l'excès et viole son devoir de diligence l'avocat qui se sert de moyens juridiques inadéquats pour exercer des pressions (Bohnet/Martenet, Droit de la profession d'avocat, Berne 2009, p. 531 n. 1257), d'autant plus lorsque de tels moyens peuvent jeter le discrédit sur la personne concernée (arrêts 2A.448/2003 du 3 août 2004 consid. 5; 2P.263/1999 du 12 novembre 1999 consid. 4, in Rep. 1999 p. 94, RDAT 2000 II 55 n. 14). Tel est le cas lorsque l'avocat dépose des plaintes pénales à l'encontre de magistrats pour abus de pouvoir et tentative de contrainte sans disposer d'éléments permettant de confirmer l'exactitude de ses graves reproches (cf. arrêts 2P.304/2002 du 9 avril 2003 consid. 4.3.1, in Pra 2004 16 n. 3; 2P.212/2000 du 5 janvier 2001 consid. 3c). La même conclusion s'impose à l'égard de l'avocat qui porte plainte contre des fonctionnaires, notamment pour contrainte, sans avoir consciencieusement examiné auparavant si les éléments à sa disposition pouvaient lui permettre de conclure à la justesse de la thèse de son mandant (cf. décision de la Commission de surveillance des avocats du canton de Bâle-Ville du 5 mai 2000, in BJM 2004 p. 217; Bohnet/Martenet, op. cit., p. 534 n. 1264). Il a aussi été jugé que l'avocat qui menace un magistrat de déposer une plainte pénale contre lui pour séquestration si son client n'est pas libéré, alors qu'il sait que l'illégalité de la détention de celui-ci est loin d'être établie, viole ses devoirs professionnels (arrêt 2P.130/1997 du 30 juin 1997 consid. 5c, in RDAT 1998 I 37 n. 10).
4.1.2. Il n'importe pas, pour l'application des principes précités, que l'avocat dépose la plainte pénale ou menace de le faire en son propre nom ou dans le cadre de la défense d'un mandant. La jurisprudence a depuis longtemps souligné que l'avocat est le "serviteur du droit" (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 105; <ref-ruling> consid. 6b p. 104 s.; arrêt P.1800/1986 du 7 avril 1987 consid. 2, in SJ 1987 p. 529; cf. Walter Fellmann, ad <ref-law>, in Kommentar zum Anwaltsgesetz [Fellmann/Zindel (éd.) ], 2e éd., 2011, n. 36 p. 172). Dans ce cadre, il doit se montrer digne de confiance dans les relations avec les autorités judiciaires comme administratives, ce qui suppose notamment qu'il conserve une certaine indépendance vis-à-vis de son mandant (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 93; <ref-ruling> consid. 5d p. 107; arrêts 7B.216/2004 du 16 décembre 2004 consid. 3.3; 2A.293/2003 du 9 mars 2004 consid. 2 et 3).
4.2. Le 6 octobre 2011, le recourant a demandé des prestations d'aide sociale pour l'un de ses clients, dont l'épouse vivait à l'étranger. Après avoir requis à plusieurs reprises des renseignements précis concernant la situation financière de l'épouse, l'autorité compétente a, par décision du 28 février 2012, refusé de couvrir le budget social du requérant, au motif qu'il appartenait prioritairement à son épouse de subvenir à son entretien. Il a été mentionné que cette dernière aurait pu prendre un emploi temporaire à Fribourg, mais avait préféré quitter la Suisse. Dès lors, le couple devait faire le choix de son lieu d'établissement au regard du principe de subsidiarité de l'aide sociale, soit en Suisse, où l'épouse pourrait travailler, soit au Portugal où le requérant serait hébergé gratuitement. Le 9 mars 2012, le requérant a déposé une réclamation contre cette décision et, le 5 avril 2012, avant de recevoir la décision sur réclamation de la Commission sociale, il a déposé, par l'intermédiaire de son avocat, une plainte pénale à l'encontre de tous les membres de l'autorité pour tentative de contrainte, sur laquelle le Ministère public cantonal n'est pas entré en matière par décision du 11 mai 2012.
Le caractère fondé ou non de la sanction disciplinaire prononcée à l'encontre du recourant dépend en particulier du point de savoir si, au moment du dépôt de la plainte pénale litigieuse, l'avocat concerné disposait d'indices suffisants lui permettant de considérer, de bonne foi, que les membres de la Commission sociale avaient adopté un comportement de contrainte à l'encontre de son mandant.
Selon l'<ref-law> (RS 311.0), se rend coupable de contrainte celui qui, en usant de violence envers une personne ou en la menaçant d'un dommage sérieux, ou en l'entravant de quelque autre manière dans sa liberté d'action, l'aura obligée à faire, à ne pas faire ou à laisser faire un acte.
4.3. En l'espèce, la plainte pénale que le recourant a, au nom de son client, déposée contre les membres de la Commission sociale doit être considérée comme abusive et constitutive d'une violation du devoir de diligence de l'avocat pour plusieurs raisons.
4.3.1. Du constat du Ministère public fribourgeois, dans son ordonnance de non-entrée en matière du 11 mai 2012 (cf. en particulier p. 2 s.), par ailleurs non contestée par le requérant, les accusations pénales formées contre la Commission sociale ne trouvaient ab initio aucun fondement dans le dossier. Non seulement l'allégué que l'autorité aurait suggéré au requérant de retourner au Portugal, de sorte à le limiter dans ses choix de vie, procédait-il "d'un raccourci insoutenable" de la part du plaignant, dès lors que la Commission sociale s'était contentée de lui rappeler que le devoir d'assistance légal entre époux induisait des devoirs, au nombre desquels celui de réduire les charges; le Procureur général est également arrivé à la conclusion qu'il n'existait "aucun soupçon de commission d'une infraction par les membres de la Commission sociale". Les différentes instances de recours ont de plus toujours confirmé que la Commission sociale avait agi dans le cadre de ses attributions et que l'on ne voyait pas en quoi elle aurait outrepassé ses compétences en demandant au requérant de préciser la situation de son épouse vivant au Portugal, en particulier les sources de revenu de celle-ci (cf. notamment arrêt attaqué, consid. 4: "Objectivement, aucun indice ne laissait raisonnablement soupçonner l'existence d'une infraction pénale"). Au lieu de trouver des excuses à son client pour la non-production des documents demandés par la Commission sociale et contester les requêtes légitimes de cette dernière, le recourant devait donc inciter son client à mieux collaborer à l'instruction.
Il s'ensuit qu'il était d'emblée reconnaissable pour le mandataire professionnel du requérant que le dépôt d'une plainte pénale à l'encontre de l'autorité précitée serait non seulement vouée à l'échec, mais qu'elle ne pouvait objectivement se fonder sur des indices sérieux susceptibles d'étayer une situation de contrainte à l'encontre du requérant.
Le fait que, dans l'ordonnance du 11 mai 2012, le Procureur général a mis les frais de la procédure à la charge de l'Etat et non du plaignant n'est d'aucun secours pour le recourant, qui se prévaut vainement de l'<ref-law> (RS 312.0). Cette disposition n'envisage en effet la mise des frais à la charge du plaignant téméraire ou gravement négligent qu'en la présence d'infractions poursuivies sur plainte (cf. aussi <ref-ruling> consid. 4 p. 251 ss), tandis que l'<ref-law> ne traite de la question des frais qu'en lien avec les conclusions civiles et que la contrainte est une infraction poursuivie d'office (<ref-ruling> consid. 1b/aa p. 93).
4.3.2. Selon les constatations cantonales liant la Cour de céans, l'autorité d'aide sociale a demandé à plusieurs reprises des informations et/ou pièces au requérant concernant la situation financière de son épouse. Or, celui-ci n'a pas fourni les informations suffisantes; ceci a par la suite été confirmé par le Tribunal fédéral dans son arrêt 8C_781/2012 du 11 avril 2013 (consid. 2.4.3), qui est entré en force de chose jugée conformément à l'<ref-law> au jour de son prononcé, si bien que le recourant ne peut, comme il le fait, le critiquer sans établir un quelconque motif de révision (cf. <ref-law>). Il a aussi été constaté que les autorités avaient procédé à une enquête sérieuse des requêtes d'aide sociale; dans ce contexte, elles ne pouvaient ignorer la question de la contribution éventuelle du conjoint à l'entretien du requérant, ni les coûts supplémentaires engendrés par la circonstance que les époux vivaient géographiquement séparés. L'on rappellera en outre que, d'une manière générale, l'autorité compétente en matière d'aide sociale est tenue de s'informer sérieusement sur la situation personnelle des individus qui sollicitent des prestations avant de répondre favorablement à leur demande; son rôle étant de démasquer les éventuels abus, il lui appartenait de poursuivre ses investigations au vu du peu de renseignements fournis par le requérant. Il se justifiait donc que les autorités cherchent à obtenir des renseignements détaillés sur ces points.
Déposer une plainte pénale pour contrainte, alors que le requérant n'avait précisément pas fourni les renseignements requis, de sorte à ne pas laisser d'autre choix à l'autorité d'aide sociale que de refuser les prestations sollicitées pour défaut de collaboration, paraît dès lors manifestement inapproprié. Partant, la conclusion de l'arrêt querellé, qui retient qu'il n'était pas contestable que l'attitude des membres de la Commission sociale s'inscrivait dans le cadre légal qui leur était fixé, échappe à toute critique.
4.3.3. Quoi qu'en dise le recourant, le dépôt au nom de son client d'une plainte pénale contre la Commission sociale - instrument juridique devant être employé comme ultima ratio parmi les moyens légaux à disposition, après avoir pesé consciencieusement le pour et le contre de la situation avant d'agir (cf. Joëlle Chappuis, ad <ref-law>, in Commentaire romand - Code de procédure pénale suisse, 2011, n. 5 p. 1861) - pouvait d'autant moins se justifier en l'espèce qu'un avocat doit en principe (sous réserve de cas particuliers faisant apparaître l'utilité, voire la nécessité du dépôt parallèle d'une plainte pénale) défendre les intérêts de son mandant par les voies de droit ordinaires, en l'occurrence par l'introduction d'un recours, et non par le dépôt direct de plaintes pénales contre les autorités dont émane la décision défavorable à son client. In casu, l'avocat en cause a déposé la plainte pénale pour son client alors même que la décision sur réclamation relative à la décision du 28 février 2012, dans le cadre de laquelle l'autorité ayant pris la décision contestée avait encore le pouvoir de statuer (et le cas échéant de se déjuger, notamment à l'aune des arguments avancés par le justiciable dans le cadre de sa réclamation) aussi bien en droit qu'en opportunité (cf. Thierry Tanquerel, Manuel de droit administratif, 2011, n. 1277 p. 425), ne lui avait pas encore été notifiée, si bien que tant l'issue que la motivation demeuraient incertaines. S'il était d'avis que les termes employés par la Commission sociale dans sa décision de refus d'aide sociale étaient inconvenants, ne tenaient pas adéquatement compte de la situation économiquement précaire de son mandant, voire dénotaient de quelconques éléments de contrainte, il lui appartenait ainsi en premier lieu de le faire valoir dans le cadre de la procédure de réclamation, le dépôt d'une plainte pénale avant la réception de la décision sur réclamation de l'autorité apparaissant pour le moins prématuré en l'espèce.
Dans de telles circonstances, les autorités cantonales pouvaient considérer que le dépôt d'une plainte pénale à l'encontre de la Commission sociale, qui se trouvait parallèlement saisie d'une réclamation relative au même complexe de fait et dont le recourant ignorait qu'elle avait entre-temps tranché la réclamation, constituait une tentative d'influencer le processus décisionnel en cours par le biais détourné de l'instrumentaire pénal. Le recourant reconnaît d'ailleurs que la plainte pénale rédigée pour son client avait pour but de faire pression sur l'autorité. Or, que cette pression ne visait, comme l'affirme l'avocat mis en cause, non pas à obtenir l'aide sociale, mais plutôt à s'opposer à la pression - du reste légitime (consid. 4.3.2 supra) - exercée sur son client par l'autorité dans le cadre de l'instruction de la requête en lien avec la problématique du domicile séparé et de la contribution d'entretien du requérant et de son épouse, ne change rien au fait que le recourant a usé de la plainte pénale pour tenter d'obtenir une décision administrative qui soit (d'un point de vue matériel [obtention de l'aide sociale] ou procédural [renonciation à demander de plus amples informations financières au sujet du couple]) favorable à son client. Ce, alors même que la position finale de la Commission sociale ne lui avait pas encore été transmise et qu'il existait partant des moyens moins incisifs pour essayer de parvenir à ses fins.
4.3.4. Se limitant à des arguments appellatoires et donc inadmissibles (consid. 2.1 supra), le recourant ne formule, au demeurant, aucun reproche consistant. S'il estime, certes à juste titre, que son comportement ne doit pas être évalué a posteriori, mais au moment auquel il a déposé la plainte pénale pour son mandant, il ne fait pas valoir que des éléments déterminants à ladite époque auraient été passés sous silence par les autorités inférieures. Comme il a été vu (consid. 4.3.2 supra), le recourant énonce des griefs qui ont déjà été examinés et jugés infondés dans le cadre de l'arrêt 8C_781/2012 entré en force; ainsi, il a été constaté que le requérant n'avait pas fourni les pièces demandées ni prétendu qu'il n'était pas en mesure de les obtenir. Il a aussi été souligné que le recourant se fourvoyait lorsqu'il prétendait que les décisions des autorités le contraignaient à retourner vivre au Portugal. Finalement, aucun indice ne permet d'en conclure qu'au moment de déposer la plainte pénale, l'avocat disposait d'éléments concrets révélant une situation de contrainte potentielle de la part des autorités fribourgeoises à l'encontre de son client.
4.3.5. En conclusion, un avocat se voit certes reconnaître une large marge de manoeuvre s'agissant de déterminer les moyens et stratégies qui sont les plus aptes à la défense des intérêts de ses clients (cf. Fellmann, op. cit., n. 38 p. 175). S'il doit demeurer circonspect, le recours à la plainte pénale fait partie de cet arsenal, mais doit rester une ultima ratio; selon les cas, le dépôt d'une telle plainte peut également poursuivre le but de contrebalancer des pressions indues en provenance d'une autre partie. En l'occurrence, en déposant une plainte pénale à l'encontre de la Commission sociale, alors qu'aucun élément ne corroborait un comportement répréhensible de la part de cette autorité, dont les exigences et interrogations vis-à-vis du requérant (qui était tenu de collaborer) s'inscrivaient dans le cadre de son activité de contrôle, le recourant a tenté d'exercer une pression inadmissible et disproportionnée aux fins d'influencer la future décision sur réclamation, respectivement d'entraver l'activité d'enquête de l'autorité. Ceci est d'autant plus vrai que la Commission sociale avait été précédemment saisie d'une réclamation contre sa décision de refus de l'aide sociale et qu'une telle procédure lui permettait précisément de revenir sur ses arguments à l'aune des critiques formulées par le recourant. Par le dépôt parallèle d'une plainte pénale, le recourant a ainsi dépassé les limites de ce qui est acceptable par rapport aux procédés à la disposition de l'avocat en vue de défendre les intérêts de ses clients.
Il en découle que le dépôt d'une plainte pénale pour contrainte avant la décision sur réclamation n'était pas un moyen légitime pour contrecarrer les demandes de renseignements adressées par la Commission sociale. La liberté de l'avocat de critiquer l'administration de la justice dans le cadre de son activité ne l'autorise en effet pas à user d'un moyen disproportionné, lorsqu'il ne peut démontrer aucun manquement ou abus concret (Michel Valticos, ad <ref-law>, in Commentaire romand de la loi sur les avocats, 2010, n. 42 p. 100). Les arguments que le recourant présente pour défendre la liberté des avocats de déposer plainte pénale ne sont pas relevants dans un tel cas. Il faut dès lors admettre que l'attitude dont il a fait preuve dans cette affaire, avant la décision sur réclamation, constitue bien une violation de son devoir de diligence face à l'autorité administrative.
4.4. En jugeant, à l'instar de la Commission du barreau, que le recourant avait transgressé l'<ref-law> en déposant plainte pénale contre les membres de la Commission sociale, le Tribunal cantonal a par conséquent correctement appliqué le droit fédéral. En outre, le recourant a été sanctionné par un simple avertissement qui, constituant la sanction disciplinaire la plus légère du catalogue prévu à l'<ref-law> (cf. Reiser/Valticos, Sanctions disciplinaires applicables aux avocats, in Défis de l'avocat au XXIe siècle - Mélanges Dominique Burger, 2008, p. 125 ss, 139), est proportionnée aux circonstances (cf. art. 5 al. 2 et 36 al. 3 Cst.; cf. arrêt 2C_34/2011 du 30 juillet 2011 consid. 6.3).
4.5. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours en matière de droit public dans la mesure où il est recevable.
5.
Succombant, le recourant supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Commission du Barreau ainsi qu'à la Ie Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 24 octobre 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
Le Greffier : Chatton