Sachverhalt:
A. Der 1967 geborene D._ war vom 9. März 1993 bis 31. Dezember 2001 Angestellter der Firma F._. In dieser Eigenschaft war er bei der Vorsorgestiftung X._ berufsvorsorgeversichert. Am 24. November 1998 hatte sich D._ bei der Arbeit eine Schulterluxation links zugezogen. Im Zeitraum Januar 1999 bis Dezember 2000 wurden drei Schulterarthroskopien und vom 22. August bis 5. September 2001 eine stationäre Schmerztherapie durchgeführt. Am 10. September 2001 wurde er psychiatrisch abgeklärt. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) richtete ihm für die ab 27. November 1998 attestierte Arbeitsunfähigkeit Taggelder und ab 1. Februar 2002 nebst einer Integritätsentschädigung von 10 % eine Invalidenrente auf Grund einer Erwerbsunfähigkeit von 25 % aus. Mit Verfügung vom 5. November 2004 sprach die IV-Stelle Basel-Stadt D._ für die Zeit vom 1. November 1999 bis 31. Januar 2002 eine ganze Rente, vom 1. Februar 2003 bis 30. April 2003 eine Viertelsrente sowie ab 1. Mai 2003 wieder eine ganze Rente der Invalidenversicherung samt Zusatzrente für die Ehefrau und zwei Kinderrenten zu. Die Verfügung wurde auch der Vorsorgestiftung X._ eröffnet.
Mit Schreiben vom 18. Juni 2007 bejahte die Vorsorgestiftung X._ grundsätzlich eine Leistungspflicht für die Zeit vom 1. November 1999 bis 31. Januar 2002, nicht hingegen für die Zeit danach, da die nachfolgende Invalidität auf ein späteres nicht mit dem Unfall vom 24. November 1998 in Zusammenhang stehendes Leiden zurückzuführen sei.
B. Am 31. August 2007 liess D._ beim Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, Klage gegen die Vorsorgestiftung X._ einreichen mit den Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, folgende Leistungen auszurichten: Vom 1. Februar 2002 bis 31. Januar 2003 eine Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 25 %, sofern die reglementarischen Bestimmungen die Zusprechung einer Rente auch unter einem Invaliditätsgrad von 40 % vorsehen, vom 1. Februar 2003 bis 30. April 2003 eine Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 43 % und ab 1. Mai 2003 eine Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 %; ferner darüber Auskunft zu erteilen, wohin die Freizügigkeitsleistung überwiesen worden sei.
Die Vorsorgestiftung X._ beantragte in ihrer Antwort die Abweisung des Rechtsmittels.
Mit Entscheid vom 14. März 2008 wies das kantonale Gericht die Klage ab, soweit darauf eingetreten werden konnte.
C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 14. März 2008 sei aufzuheben und die Vorsorgestiftung X._ zu verpflichten, ihm für die Zeit vom 1. Februar 2002 (recte: 2003) bis 30. April 2003 eine Rente auf Grund eines Invaliditätsgrades von 43 % und ab 1. Mai 2003 eine Rente auf Grund eines Invaliditätsgrades von 100 % auszurichten.
Die Vorsorgestiftung X._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz hat den Anspruch des Beschwerdeführers auf Invalidenleistungen der am Recht stehenden Vorsorgeeinrichtung ab 1. Februar 2003 mangels eines hinreichend engen sachlichen Zusammenhangs zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen somatisch bedingten Arbeitsunfähigkeit und der später eingetretenen psychisch bedingten Invalidität verneint (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 22).
2. Die Vorbringen in der Beschwerde betreffen die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung.
2.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> und <ref-law>).
2.1.1 Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_637/2008 vom 6. Oktober 2008 E. 3.1 mit Hinweisen).
Will eine Partei eine rechtsfehlerhafte Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz rügen, kann sie sich grundsätzlich nicht darauf beschränken, den nach ihrer Auffassung richtigen Sachverhalt darzulegen oder ihre eigene Beweiswürdigung zu erläutern. Vielmehr muss sie hinreichend genau angeben, inwiefern die vorinstanzlichen Feststellungen rechtswidrig oder mit einem klaren Mangel behaftet sind. Eine diesen Anforderungen nicht genügende (appellatorische) Kritik ist unzulässig (Urteil 9C_469/2007 vom 18. August 2008 E. 2.2 mit Hinweis).
2.1.2 Wo das Gesetz es nicht anders bestimmt, hat derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableitet (<ref-law>). Diese Bestimmung verteilt die Beweislast für alle Forderungsstreitigkeiten gestützt auf Bundesrecht und legt fest, welche Partei die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen hat (<ref-ruling> E. 2a S. 521). Überdies leitet sich daraus das Recht auf Beweis und Gegenbeweis von noch nicht erstellten rechtserheblichen Tatsachen ab (<ref-ruling> E. 4a S. 317; Urteil 4C.39/2002 vom 30. Mai 2002 E. 2a). <ref-law> regelt aber nicht die Beweiswürdigung und schliesst insbesondere eine antizipierende Beweiswürdigung nicht aus (<ref-ruling> E. 2a S. 522, 126 III 315 E. 4a S. 317; Urteil 9C_649/2007 vom 23. Mai 2008 E. 3). Zu ergänzen ist, dass auch im Berufsvorsorgeprozess der Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen ist (Untersuchungsgrundsatz; Art. 73 Abs. 3 BVG); die materielle Beweislast beinhaltet daher keine Beweisführungslast (<ref-ruling> E. 3 S. 264; Urteil 9C_381/2007 vom 23. September 2008 E. 2.1).
2.1.2 Wo das Gesetz es nicht anders bestimmt, hat derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableitet (<ref-law>). Diese Bestimmung verteilt die Beweislast für alle Forderungsstreitigkeiten gestützt auf Bundesrecht und legt fest, welche Partei die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen hat (<ref-ruling> E. 2a S. 521). Überdies leitet sich daraus das Recht auf Beweis und Gegenbeweis von noch nicht erstellten rechtserheblichen Tatsachen ab (<ref-ruling> E. 4a S. 317; Urteil 4C.39/2002 vom 30. Mai 2002 E. 2a). <ref-law> regelt aber nicht die Beweiswürdigung und schliesst insbesondere eine antizipierende Beweiswürdigung nicht aus (<ref-ruling> E. 2a S. 522, 126 III 315 E. 4a S. 317; Urteil 9C_649/2007 vom 23. Mai 2008 E. 3). Zu ergänzen ist, dass auch im Berufsvorsorgeprozess der Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen ist (Untersuchungsgrundsatz; Art. 73 Abs. 3 BVG); die materielle Beweislast beinhaltet daher keine Beweisführungslast (<ref-ruling> E. 3 S. 264; Urteil 9C_381/2007 vom 23. September 2008 E. 2.1).
2.2 2.2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, der Beweis dafür, dass überwiegend wahrscheinlich kein enger zeitlicher und sachlicher Zusammenhang zwischen der heutigen Erwerbsunfähigkeit und dem Unfall vom 24. November 1998 resp. der dadurch bedingten Arbeitsunfähigkeit bestehe, obliege der Beschwerdegegnerin und nicht ihm. Diese Auffassung widerspricht Gesetz (<ref-law>) und Rechtsprechung (Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts B 111/02 vom 14. Juni 2004 E. 2.2.3, B 95/01 vom 28. April 2003 E. 2, B 26/01 vom 29. November 2002 [in <ref-ruling> nicht publ.] und B 35/00 vom 22. Februar 2002 E. 5b). Weshalb der Umstand, dass der Beschwerdeführer seit dem 24. November 1998 nie mehr voll erwerbsfähig geworden war, zu einer Umverteilung der Beweislast führen soll, ist nicht einsehbar und wird auch nicht weiter begründet. Kann nach Auffassung des Beschwerdeführers der Beweis für den sachlichen und zeitlichen Zusammenhang mit keinem einzigen medizinischen Bericht geführt werden, hat er die Folgen dieser Beweislosigkeit zu tragen.
2.2.2 Im Weitern bringt der Beschwerdeführer vor, bei der streitigen Zusammenhangsfrage gehe es nur darum, ob die heutige schwere Depression mit psychotischen Symptomen schon vor dem 31. Januar 2002 resp. vor Ablauf der Nachdeckungsfrist Ende Februar 2002 ihren Anfang genommen habe oder mindestens durch die vorher vorhandenen somatischen Beschwerden ausgelöst worden sei. Dieser Sichtweise liegt die Annahme zugrunde, der hinreichend enge sachliche Konnex zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses bestandenen somatisch bedingten Arbeitsunfähigkeit und der später eingetretenen im Wesentlichen psychisch bedingten Invalidität im berufsvorsorgerechtlichen Sinne sei gegeben, wenn die Erwerbsunfähigkeit natürlich kausale Folge der am 24. November 1998 erlittenen Schulterluxation links im unfallversicherungsrechtlichen Sinne (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) sei. Diese Rechtsauffassung ist schon deshalb unbegründet, weil sie dem Grundsatz widerspricht, dass es für die Belange der beruflichen Vorsorge nicht darauf ankommen kann, ob die Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nach Art. 23 lit. a BVG krankheits- oder unfallbedingt ist (SVR 2001 BVG Nr. 18 S. 69, B 64/99, E. 5b). Notwendige Bedingung für die Bejahung eines hinreichend engen sachlichen Zusammenhangs zwischen der somatisch bedingten Arbeitsunfähigkeit während des Vorsorgeverhältnisses und der später eingetretenen, vorwiegend psychisch bedingten Invalidität ist auch bei Unfallbeteiligung, dass das psychische Leiden sich bei noch bestehender Versicherungsdeckung manifestiert und das Krankheitsgeschehen erkennbar mitgeprägt hatte (Urteil 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 37/06 vom 22. September 2006 E. 3.3). Den Urteilen B 64/99 vom 6. Juni 2001 E. 6, B 62/01 vom 24. Juni 2002 E. 4b und B 111/02 vom 14. Juni 2004 E. 2.2.2 lässt sich nichts anderes entnehmen.
Es ist zwar nicht von der Hand zu weisen, dass bereits während des Vorsorgeverhältnisses eine Symptomausweitung stattfand, welche mit dem Unfall vom 24. November 1998 und der später aufgetretenen invalidisierenden psychischen Erkrankung in einem zumindest teilursächlichem Zusammenhang steht. Im Zeitraum Januar 1999 bis Dezember 2000 wurden drei Schulterarthroskopien durchgeführt. Danach dauerte das Vorsorgeverhältnis noch über ein Jahr bis Ende Februar 2002. In dieser Zeit unterzog sich der Beschwerdeführer im August und September 2001 einer zweiwöchigen stationären Schmerztherapie. Dieser mögliche oder sogar überwiegend wahrscheinliche Konnex genügt indessen nicht für die Bejahung des hinreichend engen sachlichen Zusammenhangs zwischen der somatisch bedingten Arbeitsunfähigkeit in der damals ausgeübten Tätigkeit als Schaler und der späteren, vorwiegend psychisch bedingten Invalidität. Entscheidend ist, ob die Symptomausweitung bereits damals das Krankheitsgeschehen erkennbar mitprägte, was das kantonale Gericht in Würdigung der medizinischen Unterlagen verneint hat. Die dagegen erhobenen Einwände in der Beschwerde stellen entweder unzulässige appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid dar (E. 2.1.1) oder beruhen auf einer unzutreffenden Rechtsauffassung in Bezug auf den hier massgeblichen Begriff des engen sachlichen Zusammenhangs sowie die Beweislastverteilung.
2.2.3 Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, in der Zeit vom 1. Februar 2002 bis 31. Januar 2003 bestehe eine berufsvorsorgerechtliche Deckungslücke, welche nicht von ihm verschuldet worden sei. Er sei damals von den Ärzten zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben worden. Es sei daher sein gutes Recht gewesen, sich nicht nach einem neuen Arbeitsplatz umzusehen und damit in ein neues Vorsorgeverhältnis einzutreten. Diese den zeitlichen Zusammenhang betreffenden Vorbringen sind nicht stichhaltig. Der Beschwerdeführer hatte nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses die Möglichkeit, sich bei der Arbeitslosenversicherung zu melden, um weiterhin für die Risiken Tod und Invalidität obligatorisch berufsvorsorgeversichert zu sein (Art. 2 Abs. 3 BVG und Art. 10 Abs. 1 lit. d BVG). Dies tat er denn auch. Die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt teilte der SUVA am 27. Mai 2002 mit, der Versicherte sei angemeldet und habe eine Rahmenfrist für den Bezug von Arbeitslosentaggeldern vom 1. Februar 2002 bis 31. Januar 2004. Die Vermittelbarkeit betrage 100 %. Eine allfällige Leistungspflicht der Auffangeinrichtung (Art. 60 Abs. 2 lit. e BVG) steht hier jedoch nicht zur Diskussion. Im Übrigen trifft nicht zu, dass alle Ärzte den Beschwerdeführer als arbeitsunfähig betrachteten. Die Unfallversicherungsärzte aus somatischer Sicht und Dr. med. N._ aus psychiatrischer Sicht bejahten eine Arbeitsfähigkeit in den funktionellen Einschränkungen Rechnung tragenden Tätigkeiten.
Der angefochtene Entscheid verletzt Bundesrecht nicht.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Dezember 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler