Faits:
A.
T._, né en 1964, dirigeait une entreprise de génie civil dont il était l'unique employé. Arguant souffrir de lombalgies incapacitantes, il s'est annoncé à l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) le 31 mai 2005.
Les médecins traitants sollicités ont diagnostiqué des lombosciatalgies et des cervicodorsalgies interdisant la reprise de l'activité usuelle mais autorisant l'exercice à plein temps d'une activité adaptée (rapports des docteurs M._, spécialiste en chirurgie, B._, médecin praticien, et S._, spécialiste en médecine physique et réadaptation auprès du service de rhumatologie de l'Hôpital X._, des 15 juin 2005, 3 avril 2006 ainsi que 14 mai et 28 août 2009). Le docteur G._, spécialiste en rhumatologie et en médecine interne générale, mandaté par l'administration pour réaliser un examen clinique rhumatologique, a fait état de diagnostics foncièrement identiques à ceux posés par ses confrères et a considéré que l'assuré avait toujours été apte à exercer une activité adaptée à plein temps (rapport du 9 décembre 2009).
L'intéressé a bénéficié de mesures d'ordre professionnel sous la forme d'un stage d'orientation puis d'une formation dans le domaine de la petite mécanique (communications des 12 avril et 5 juillet 2010, ainsi que 3 février 2011). Outre des allergies aux huiles de coupe (rapports de la doctoresse O._, spécialiste en allergologie et immunologie clinique ainsi qu'en médecine interne générale, des 25 octobre et 2 décembre 2010), une acutisation des lombosciatalgies a été relevée (rapport du docteur B._ du 25 janvier 2011) sans toutefois que l'imagerie médicale n'ait pu objectiver les motifs de l'exacerbation de la symptomatologie douloureuse (rapport du docteur L._, service de rhumatologie de l'Hôpital X._, du 18 mars 2011) ni justifier un absentéisme important. Sommé de participer plus activement et à plein temps à la mesure en cours sous peine de voir sa demande rejetée (communication du 8 avril 2011), T._ a déclaré sa bonne volonté mais ne s'est pas soumis aux exigences de l'office AI. C'est pourquoi ce dernier l'a informé qu'il allait exécuter son avertissement (projet de décision du 29 avril 2011).
L'assuré ayant avancé des excuses médicales pour ses absences, notamment l'existence de pathologies psychiatriques incapacitantes, non investiguées, l'administration a repris l'instruction sur les plans somatique et psychiatrique. Le docteur S._ n'a révélé aucun changement (rapport du 16 juin 2011) alors que la doctoresse D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a estimé que son patient était totalement incapable de travailler en raison d'un trouble schizoaffectif, d'une perturbation des émotions et des conduites en réaction à un facteur de stress important, d'une agoraphobie, d'un dysfonctionnement neurovégétatif, d'une personnalité paranoïaque et anxieuse avec traits schizoïdes et d'une somatisation (rapports des 20 juin et 27 décembre 2011). L'administration a encore confié la réalisation d'une nouvelle expertise au docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Celui-ci a écarté chaque diagnostic énoncé par la doctoresse D._ et a évoqué une majoration des symptômes physiques pour des raisons psychologiques sans effet sur la capacité de travail (rapport du 5 mars 2012).
Se fondant sur une évaluation des documents médicaux par le docteur C._, médecin du SMR (avis du 20 mars 2012), l'office AI a à nouveau averti l'intéressé qu'il envisageait de rejeter sa requête (projet de décision du 4 avril 2012 annulant et remplaçant celui du 29 avril 2011). Il a écarté les critiques du psychiatre traitant contre l'expertise (rapport du 15 avril 2012) ainsi que les diverses observations de T._, dans la mesure où rien ne venait valablement contredire ses précédentes appréciations (avis du docteur E._, médecin du SMR, du 18 juin 2012), puis a confirmé son refus de prester (décision du 19 juillet 2012).
B.
L'assuré a déféré cette décision au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, concluant à l'attribution d'une rente entière d'invalidité ou à la réalisation d'une expertise pluridisciplinaire. Il soutenait que l'administration avait indûment privilégié les avis des docteurs G._ et F._ alors que le premier n'avait pas tenu compte des allergies diagnostiquées, ni de l'impossibilité de trouver un emploi assimilant les limitations fonctionnelles importantes retenues et que le travail du second comportait des erreurs manifestes et était critiqué par plusieurs médecins spécialisés en psychiatrie. La doctoresse D._ a appuyé le recours de son patient (rapport du 25 septembre 2012). Le fils de l'assuré a décrit la situation de sa famille. L'office AI a conclu au rejet du recours.
Le tribunal cantonal a rejeté le recours; il a considéré que les griefs de l'intéressé ne jetaient pas de doute sur la valeur probante des rapports médicaux sur lesquelles l'administration s'était fondée et a confirmé la décision entreprise (jugement du 25 février 2013).
C.
T._ recourt contre ce jugement dont il requiert la réforme ou l'annulation concluant sous suite de frais et dépens à la reconnaissance de son droit à une rente entière d'invalidité ou au renvoi du dossier aux premiers juges pour qu'ils statuent dans le sens des considérants.

Considérant en droit:
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (<ref-law>), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (<ref-law>) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il examine en principe seulement les griefs motivés (<ref-law>) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité. Compte tenu de ses griefs et des exigences de motivation de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; Florence Aubry Girardin, Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad <ref-law>), il y a plus particulièrement lieu de déterminer si la juridiction cantonale a procédé à une appréciation arbitraire des preuves médicales disponibles. Le jugement attaqué cite correctement les normes légales et la jurisprudence nécessaires à la résolution du litige. Il suffit donc d'y renvoyer.
3.
3.1. L'assuré reproche essentiellement au tribunal cantonal d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves en octroyant une pleine valeur probante aux avis des docteurs G._ et F._ alors que le premier ignorait l'existence des allergies aux huiles de coupe lors de la réalisation de son examen clinique et décrivait une activité adaptée inexistante dans le monde du travail et que le second s'était contredit ou avait commis des erreurs manifestes, était critiqué par des spécialistes en psychiatrie et n'avait pas pu prendre position sur la détérioration de la situation survenue postérieurement à son expertise.
3.2. Une simple lecture comparative des recours déposés en instances cantonale et fédérale démontre que le recourant se contente pour l'essentiel de reporter les critiques dirigées contre la décision administrative sur le jugement cantonal.
Ainsi, l'assuré reprend et développe les problématiques concernant les allergies aux huiles de coupe observées et l'importance des limitations fonctionnelles admises ainsi que celles relatives aux erreurs et contradictions que comprendrait le rapport d'expertise psychiatrique, aux critiques émises contre ledit rapport et à l'évolution de la situation survenue postérieurement à l'établissement du rapport en question.
Il ajoute toutefois que les premiers juges ont indûment substitué leur propre opinion à celle des médecins en ne requérant pas des docteurs G._ et F._ de prendre position sur l'influence de ses allergies sur sa capacité résiduelle de travail et sur la survenance après la réalisation de l'expertise psychiatrique d'une aggravation sur ce plan ou en ne procédant pas à un complément d'instruction sur ces deux points. Il soutient que ce procédé est constitutif d'arbitraire. Il insiste également sur le caractère irréaliste d'un retour à la vie active eu égard au nombre et à l'importance des limitations fonctionnelles qu'il présente et sur l'avis unanime des psychiatres traitants attestant l'existence d'une pathologie psychiatrique grave.
3.3. Compte tenu du pouvoir d'examen, limité, dont dispose le Tribunal fédéral (cf. consid. 1), il n'y a pas lieu de revenir sur les très nombreux griefs déjà développés précédemment que le recourant se borne à reproduire céans et auxquels la juridiction cantonale a répondu de façon circonstanciée et motivée. Une telle argumentation ne démontre effectivement pas en quoi celle-ci aurait violé le droit fédéral ou établi les faits de manière manifestement inexacte.
On notera par ailleurs que l'argument selon lequel le tribunal cantonal aurait indûment substitué son avis à celui des médecins n'est pas fondé. En effet, la juridiction cantonale a constaté que les conclusions de l'examen clinique rhumatologique et celles de l'expertise psychiatrique avaient été validées par trois médecins du SMR, dont le rôle consiste justement à porter ce genre d'appréciation (cf. <ref-law>; voir aussi <ref-ruling> consid. 4.1 p. 377 sv.; arrêt 9C_904/2009 du 7 juin 2010 consid. 2.2 in SVR 2011 IV n° 2 p. 7; arrêt 9C_323/2009 du 14 juillet 2009 consid. 4 in SVR 2009 IV n° 56 p. 174), que les éléments médicaux constituant la péjoration alléguée sur le plan psychiatrique ne diffèrent en rien de ceux dont disposait l'expert psychiatre et que la limitation fonctionnelle supplémentaire constituée par les allergies aux huiles de coupe a dûment été prise en considération par les docteurs C._ et E._.
On ajoutera pour le surplus que les considérations de l'assuré au sujet du caractère irréaliste d'un retour à la vie active ou du caractère unanime de l'opinion des psychiatres traitants quant à la gravité de la pathologie psychiatrique présentée postérieurement à la réalisation de l'expertise ne changent rien à ce qui précède; en effet, celles-ci ne relèvent pas d'une démonstration mais d'un recours à l'évidence infondé par nature et les psychiatres traitants - à l'exception de la doctoresse D._ qui du reste faisait principalement référence à des facteurs psychosociaux et socioculturels qui ne relèvent pas de l'assurance-invalidité - se sont contentés d'évoquer une hospitalisation, volontaire, et de poser un diagnostic connu et contesté de façon détaillée et convaincante par l'expert psychiatre ainsi que l'a fait remarquer le tribunal cantonal.
Dans ces circonstances, il ne saurait être reproché aux premiers juges d'avoir fait preuve d'arbitraire. Le recours doit donc être rejeté.
4.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'assuré (<ref-law>) qui ne peut prétendre des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires arrêtés à 800 fr. sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 septembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton