Sachverhalt:
A. Y._ (Beschwerdegegner) ist Rechtsnachfolger der am 8. August 2007 verstorbenen Z._ (nachfolgend: Patientin). Diese war am 16. September 1996 von ihrem Zahnarzt zur operativen Entfernung der Wurzel eines Zahns an Dr. med. dent. X._, Bern, (Beschwerdeführer) überwiesen worden.
Am 8. Oktober 1996 hatte die Patientin den ersten Termin in der Praxis des Beschwerdeführers. Nachdem die Patientin eine Anzahlung von Fr. 7'000.-- geleistet hatte, wurden ihr am 5. Dezember 1996 zwei Zähne gezogen und Implantate eingesetzt. Die Patientin erhielt eine Schlussrechnung, wonach sie nach Abzug der Akontozahlung noch Fr. 4'315.25 zu leisten hatte, womit sich die Gesamtkosten des Eingriffs auf Fr. 11'315.25 beliefen.
In der Folge ergaben sich Komplikationen, weshalb der Patientin die beiden Implantate an den Zahnmedizinischen Kliniken der Universität Bern am 27. Mai 2004 wieder entfernt wurden. Die Kosten dafür beliefen sich auf Fr. 762.45. Für die Nachbetreuung wurden ihr Fr. 1'675.70 verrechnet.
B. B.a Am 9. September 2005 klagte die Patientin beim Gerichtspräsidenten des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen gegen den Beschwerdeführer auf Zahlung von Fr. 17'500.-- zuzüglich Zins von 5 % seit dem 1. Oktober 2004 sowie Betreibungskosten von Fr. 300.--. Im Weiteren beantragte sie die Aufhebung des Rechtsvorschlags in der bereits erhobenen Betreibung sowie die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung.
Mit Urteil vom 7. Oktober 2008 hiess der Gerichtspräsident 5 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen die Klage im Umfang von Fr. 13'753.40 nebst Zins zu 5 % seit dem 1. Oktober 2004 gut, er beseitigte den Rechtsvorschlag und erteilte die definitive Rechtsöffnung.
B.b Die vom Beschwerdeführer gegen diesen Entscheid erhobene Appellation wies das Obergericht des Kantons Bern mit Urteil vom 10. Juni 2009 ab und bestätigte den erstinstanzlichen Entscheid.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 10. Juni 2009 aufzuheben und die Klage des Beschwerdegegners sei abzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D. Mit Verfügung vom 9. Oktober 2009 hat das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 216 mit Hinweisen).
1.1 Der Beschwerdeführer geht selbst davon aus, dass die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) vorliegend nicht erreicht ist, beruft sich aber darauf, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, weshalb die Beschwerde dennoch zulässig sei (<ref-law>).
Seiner Ansicht nach bedürften "zahlreiche Fragen um die Arzthaftung, im Speziellen die Problematik der rechtlichen Ausgestaltung der Aufklärungspflicht" einer Überprüfung der Rechtsprechung. Es würden an die (zahn-)ärztliche Aufklärungspflicht immer höhere Anforderungen gestellt, die kaum mehr erfüllt werden könnten. Der Ursprung des Problems liege darin, dass die ärztliche Aufklärungspflicht gegenwärtig als Schutz der körperlichen Integrität verstanden werde. Die Haftung wegen unzureichender Aufklärung, so der Beschwerdeführer weiter, sei aufgrund der Entwicklungen in der Rechtsprechung immer mehr zu einem Auffangtatbestand geworden für Fälle, in denen sich ein Behandlungsfehler vom Patienten nicht nachweisen lasse oder ein solcher gar nicht vorliege, der Patient aber mit der Behandlung bezüglich Ablauf oder Resultat nicht zufrieden sei. Die Berufung auf die verletzte Aufklärungspflicht als Auffangtatbestand werde durch die unterschiedliche Beweislastverteilung bei der Haftung für einen Behandlungsfehler einerseits und die Aufklärungspflichtverletzung andererseits zusätzlich "attraktiv". Der Beschwerdeführer bringt mit Hinweis auf CHRISTIAN CONTI (Die Malaise der ärztlichen Aufklärung - Zu den Grenzen ärztlicher Aufklärungspflichten des Patienten, AJP 2000 S. 617) sowie FRANZ JOSEF PELZ (Verschulden - Realität oder Fiktion, Die ärztliche Haftung in der Rechtsprechung, in: Laufs und andere [Hrsg.], Die Entwicklung der Arzthaftung, Berlin 1997, S. 52) vor, dass dies in der Lehre auf Kritik stosse.
1.2 Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung restriktiv auszulegen. Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4, 397 E. 1.2 S. 399; <ref-ruling> E. 1.2 S. 117). Die Voraussetzung von <ref-law> ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit Rechtssicherheit herzustellen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 2.4 S. 648 f.). Auch eine vom Bundesgericht bereits entschiedene Rechtsfrage kann unter der Voraussetzung von grundsätzlicher Bedeutung sein, dass sich die erneute Überprüfung aufdrängt. Dies kann zutreffen, wenn die Rechtsprechung nicht einheitlich oder in der massgebenden Lehre auf erhebliche Kritik gestossen ist (<ref-ruling> E. 1.5 S. 357 f.) oder wenn in der Zwischenzeit neue Gesetzesbestimmungen in Kraft getreten sind (BGE <ref-ruling> E. 1.2 S. 117). Das Bundesgericht hat seine bisherige Rechtsprechung zu <ref-law> dahingehend zusammengefasst, dass es für die Beurteilung des konkreten Falls erforderlich sein muss, eine Rechtsfrage zu beantworten, die zu einer erheblichen Rechtsunsicherheit führt und daher dringend einer höchstrichterlichen Klärung bedarf (<ref-ruling> E. 1.2 S. 399 mit Hinweisen). Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>).
1.3 Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts gründet das Erfordernis der Einwilligung des Patienten und der damit verbundene Aufklärungsanspruch in dessen allgemeinen Persönlichkeitsrechten sowie dem Recht auf körperliche Integrität (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 128; <ref-ruling> E. 2a S. 200; <ref-ruling> E. 2b S. 180 f.; <ref-ruling> E. 6 S. 358 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 423). Führt der Arzt einen Eingriff aus, ohne den Patienten darüber zu informieren und dessen Zustimmung einzuholen, handelt er widerrechtlich und haftet für den eingetretenen Schaden grundsätzlich auch dann, wenn er dabei nach den Regeln der Kunst vorgegangen ist (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 128 mit Hinweisen). Ebenfalls ständiger Rechtsprechung entspricht es, dass dem Arzt die Beweislast dafür obliegt, dass er den Patienten vor dem Eingriff hinreichend aufgeklärt und dessen Zustimmung eingeholt hat (<ref-ruling> E. 4.1.3 S. 129 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht hatte bereits in früheren Jahren berücksichtigt, dass diese Rechtsprechung in der Lehre teilweise kritisiert worden war, hielt jedoch trotz dieser Kritik daran fest (<ref-ruling> E. 2b/c S. 200 ff.). Die Rechtsprechung wurde seither mehrmals bestätigt (vgl. etwa die Urteile 4C.9/2005 vom 24. März 2005 E. 4.2; 4P.265/2002 vom 28. April 2004 E. 4.1; 4C.378/1999 vom 23. November 2004 E. 3.1), unlängst in einem in der Amtlichen Sammlung publizierten Entscheid (<ref-ruling> E. 4.1 S. 128 ff.). Angesichts dieser seit Jahren konstanten Praxis des Bundesgerichts kann trotz vereinzelter Kritik in der Lehre von einer erheblichen Rechtsunsicherheit keine Rede sein. Demzufolge besteht kein dringendes Bedürfnis zur Überprüfung der klaren und konstanten Rechtsprechung zu den Voraussetzungen der ärztlichen Haftung. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> liegt somit nicht vor und auf die Beschwerde in Zivilsachen ist nicht einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer erhebt nicht ausdrücklich subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>), er macht jedoch hinsichtlich einzelner Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz geltend, diese seien offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich.
2.1 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechts nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 2.1 S. 143; <ref-ruling> E. 6 S. 397, 589 E. 2 S. 591 f.; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 143; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), was der Beschwerdeführer mit einer den vorstehend genannten Anforderungen genügenden Begründung geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 444 f.). Soweit in einer Beschwerde Willkür in der Ermittlung des Sachverhalts geltend gemacht wird, ist zu beachten, dass dem Sachrichter in der Beweiswürdigung ein breiter Ermessensspielraum zusteht; der Beschwerdeführer hat daher darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweise übersehen oder willkürlich ausser Acht gelassen habe (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 211; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; <ref-ruling> E. 4b S. 40). Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 5; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153).
Wird eine verfassungswidrige Nichtberücksichtigung von behaupteten, im angefochtenen Entscheid aber nicht festgestellten Tatsachen geltend gemacht, ist mit Aktenhinweisen darzulegen, dass diese rechtsrelevanten Tatsachen bereits bei der Vorinstanz prozessrechtskonform eingebracht wurden, indessen von jener unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts unberücksichtigt gelassen worden seien. Ansonsten geltend sie als neu und daher unzulässig (Art. 99 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; Urteil 4D_91/2009 vom 14. Mai 2009 E. 2.2).
2.3 Diesen Anforderungen genügt die Beschwerde nicht. Der Beschwerdeführer legt weder dar, inwiefern das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre noch zeigt er mit Aktenhinweisen auf, dass die nach seiner Ansicht zutreffenden Tatsachen bereits bei der Vorinstanz prozessrechtskonform eingebracht wurden. Insbesondere im Zusammenhang mit der Feststellung im angefochtenen Entscheid, wonach aus dem Patientenblatt - abgesehen von den finanziellen Folgen - nicht ersichtlich sei, worüber der Beschwerdeführer die Patientin aufgeklärt habe, bringt der Beschwerdeführer lediglich vor, es liessen sich dem Dokument weitere Elemente in Form einer Zeichnung, dem Vermerk der verschiedenen Behandlungsvarianten sowie einer Auflistung der Behandlungsphasen entnehmen. Er zeigt jedoch keine Willkür auf, wenn er einzig behauptet, die Interpretation und Auslegung der gemachten Notizen sowie der Skizze seien besonders bedeutsam und von der Vorinstanz nicht bzw. ungenügend gewürdigt worden. Vielmehr übt er damit appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid, was nicht zulässig ist.
3. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Das Bundesgericht erkennt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann