Sachverhalt:
A.
A.a. X._ ersuchte am 9. August 2012 für sich und das "Bündnis 6. Oktober" bei der Luzerner Stadtverwaltung um Bewilligung für eine am Samstag, den 6. Oktober 2012, mit Beginn um 14.00 Uhr vorgesehene Demonstration. Diese sollte zu einem grossen Teil auf einer Marschroute durch die Altstadt von Luzern führen und unter dem Motto "Bleiberecht für alle" der Ausländerthematik gewidmet sein. An einer Besprechung vom 13. September 2012 erläuterten Vertreter der städtischen Behörden den Gesuchstellern, dass am vorgesehenen Termin verschiedene weitere Veranstaltungen stattfinden würden, worunter der bereits bewilligte "Red Bull X-Row Event", und dass sie einen Demonstrationsbeginn in der Altstadt um 16.00 Uhr vorzögen. Daraufhin zog X._ sein Gesuch zurück.
A.b. Parallel dazu unterbreitete X._ der Stadtverwaltung ein neues Gesuch für eine Demonstration unter demselben Motto für Samstag, den 17. November 2012, mit modifizierter Route durch die Stadt Luzern unter Einschluss der Altstadt und mit Startzeitpunkt um 14.00 Uhr. Am 18. Oktober 2012 erteilte die Dienststelle Stadtraum und Veranstaltungen der Stadt Luzern die Bewilligung für die Demonstration auf der gewünschten Marschroute. Unter den verschiedenen damit verbundenen Nebenbestimmungen befand sich insbesondere die Auflage, dass sich der Demonstrationszug nicht vor 16.00 Uhr in Bewegung setzen und die Kundgebung um 18.30 Uhr enden sollte.
B.
B.a. Dagegen führte X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht des Kantons Luzern), insbesondere mit dem Antrag um Feststellung, dass der Entscheid der Stadtbehörde die Meinungs- und Versammlungsfreiheit verletze. Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme ersuchte er überdies darum, die Startzeit für die Kundgebung sei auf 14.00 Uhr festzusetzen.
B.b. Mit Verfügung vom 12. November 2012 wies der prozessleitende Richter das Gesuch um vorsorgliche Massnahme ab.
B.c. Am Samstag, den 17. November 2012, fand die Kundgebung unter Einhaltung der Nebenbestimmungen statt. Insbesondere setzte sich der Demonstrationszug auf der vorgesehenen Marschroute bewilligungsgemäss erst nach 16.00 Uhr in Bewegung.
B.d. Mit Urteil vom 5. April 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 10. Mai 2013 an das Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und eine Verletzung der Meinungs- und Versammlungs- bzw. der Vereinigungsfreiheit festzustellen. Eventuell sei die Sache zur Neuentscheidung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Nebst des Verstosses gegen die genannten Grundrechte wird die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts gerügt.
D.
Die Direktion Umwelt, Verkehr und Sicherheit der Stadt Luzern schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern stellt, ohne weitere Ausführungen, ebenfalls Antrag auf Abweisung.
E.
X._ hat sich mit Eingabe vom 16. August 2013 nochmals zur Sache geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem angefochtenen Urteil des Verwaltungsgerichts liegt der Entscheid über ein Gesuch um Bewilligung einer Kundgebung auf öffentlichem Grund und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zugrunde (Art. 82 lit. a BGG). Es liegen keine Ausschlussgründe im Sinne von Art. 83 ff. BGG vor. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (Art. 86 und 90 BGG).
1.2. Die vom Beschwerdeführer mitorganisierte Demonstration wurde von der zuständigen Stadtbehörde bewilligt, allerdings mit der Anpassung, dass sie zwar am vorgesehenen Tag auf der geplanten Route, nicht aber im gewünschten Zeitpunkt um 14.00 Uhr, sondern erst um 16.00 Uhr stattfinden durfte, was dann auch so durchgeführt wurde. Das Verwaltungsgericht hat diesen Entscheid mit dem angefochtenen Urteil geschützt. Streitgegenstand ist damit einzig, ob die mit der Bewilligung erfolgte behördlich angeordnete Ansetzung der Kundgebung auf einen um zwei Stunden später als den gewünschten Zeitpunkt vor Bundesrecht standhält. Das verkennt auch der Beschwerdeführer nicht, beschränkt sich doch seine Beschwerde auf diese Streitfrage.
1.3. Der Beschwerdeführer ist als Organisator der fraglichen Kundgebung und als Gesuchsteller und Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren zur Beschwerdeführung berechtigt (Art. 89 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 542). Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 25 mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind hier gegeben. Der Beschwerdeführer hat ein Rechtsschutzinteresse an der Feststellung, dass die Kundgebung wie beantragt hätte bewilligt werden müssen.
1.4. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen, nur die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Verfassungsrechts des Bundes und ein Verstoss gegen Völkerrecht (vgl. Art. 95 lit. a und b BGG) sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhaltes (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), soweit eine rechtsgenügliche Rüge erhoben wird (vgl. Art. 42 Abs. 2 sowie Art. 106 Abs. 2 BGG und <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.). Es legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Kundgebungen auf öffentlichem Grund stehen unter dem Schutz der Meinungs- und Versammlungsfreiheit (Art. 16 und 22 BV; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 5). Gestützt auf diese Grundrechte besteht grundsätzlich ein bedingter Anspruch, für Kundgebungen mit Appellwirkung öffentlichen Grund zu benützen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 282 mit Hinweisen). Im Bewilligungsverfahren sind nicht nur Zulässigkeit bzw. Unzulässigkeit einer Kundgebung, sondern ebenso sehr die Randbedingungen, allfällige Auflagen und eventuelle Alternativen zu prüfen. Die Veranstalter können daher nicht verlangen, eine Kundgebung an einem bestimmten Ort, zu einem bestimmten Zeitpunkt und unter selbst bestimmten Randbedingungen durchzuführen; hingegen haben sie Anspruch darauf, dass der von ihnen beabsichtigten Appellwirkung Rechnung getragen wird (<ref-ruling> E. 3 S. 260; Urteil des Bundesgerichts 1C_322/2011 vom 19. Dezember 2011 E. 2). Die zuständigen lokalen Behörden verfügen insoweit über einen gewissen Beurteilungsspielraum (Urteil des Bundesgerichts 1C_225/2012 vom 10. Juli 2013 E. 3.3), der sich insbesondere auf die örtlichen Verhältnisse bezieht.
2.2. Die Garantien gemäss Art. 11 EMRK (in Verbindung mit Art. 10 EMRK) und Art. 21 UNO-Pakt II reichen nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht über die dargelegten, aus Art. 16 und 22 BV abgeleiteten Grundsätze für Kundgebungen auf öffentlichem Grund hinaus (<ref-ruling> E. 3 S. 260; Urteil des Bundesgerichts 1C_322/2011 vom 19. Dezember 2011 E. 2).
2.3. Einschränkungen von Grundrechten sind nach Art. 36 BV zulässig, wenn sie auf einer gesetzlichen Grundlage beruhen, durch ein öffentliches Interesse oder den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt und verhältnismässig sind. Der Kerngehalt der Grundrechte ist unantastbar (Art. 36 Abs. 4 BV).
3.
Soweit der Beschwerdeführer die Vereinigungsfreiheit nach Art. 23 BV anruft, legt er nicht dar, inwieweit diese durch den angefochtenen Entscheid berührt sein sollte. Soweit er sodann rügen möchte, die für die Erteilung von Demonstrationsbewilligungen zuständige Dienstabteilung Stadtraum und Veranstaltungen der Stadt Luzern habe für die Entscheidfindung unzulässigerweise den Stadtrat konsultiert, führt er ebenfalls nicht aus, inwiefern das gegen Bundesrecht verstossen sollte. Auf beides ist demnach mangels rechtsgenüglicher Begründung (vgl. Art. 42 Abs. 2 sowie Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. vorne E. 1.4) nicht einzugehen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Verwaltungsgericht habe verschiedentlich den massgeblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt. Dabei geht es hauptsächlich um die örtlichen Verhältnisse bei der für die Demonstration vorgesehenen Routenwahl sowie um die mutmassliche Anzahl von Personen entlang der Marschroute, die von der Kundgebung hätten Kenntnis nehmen können, mit dem entsprechenden Effekt auf die gewünschte Appellwirkung der Kundgebung. Der Beschwerdeführer ist im Wesentlichen der Ansicht, die von den Vorinstanzen angerufenen Sicherheitsbedenken für eine Demonstration um 14.00 Uhr und die Annahme, es hielten sich auch nach Ladenschluss um 16.00 Uhr noch eine Vielzahl von Menschen in der Innerstadt von Luzern an der Kundgebungsroute auf, seien offenkundig falsch.
4.2. Eine offensichtlich unrichtige bzw. willkürliche Sachverhaltsfeststellung liegt vor, wenn diese widersprüchlich oder aktenwidrig ist oder auf einem offensichtlichen Versehen beruht bzw. klarerweise den tatsächlichen Verhältnissen widerspricht. Naturgemäss können bei den strittigen Feststellungen im voraus keine gesicherten Voraussagen gemacht werden. Bei der Beurteilung der Sicherheitsfrage bei einer Demonstration sind Unwägbarkeiten wie das Verhalten der Kundgebungsteilnehmer und dasjenige von unbeteiligten Dritten wie Passanten oder möglichen Störern abzuschätzen. Die Anzahl zufällig Anwesender lässt sich ohnehin nicht mit Sicherheit voraussagen. Dasselbe gilt für die Frage, ob am betreffenden Samstag, dem 17. November 2012, aufgrund des Voradventsgeschäfts bereits mit einem zusätzlichen Zustrom von Menschen in die Innenstadt zu rechnen war oder nicht, was nicht zuletzt auch von Umständen wie etwa den konkreten Wetterverhältnissen abhing, die im Zeitpunkt der Entscheidfällung am 18. Oktober 2012 noch nicht bekannt waren. Das Verwaltungsgericht legte im angefochtenen Urteil ausführlich dar, worauf es seine tatsächlichen Annahmen stützte und weshalb es davon ausging, dass um 14.00 Uhr mit erhöhten Sicherheitsbedenken zu rechnen und auch trotz Ladenschlusses um 16.00 Uhr nicht anzunehmen gewesen sei, es befänden sich während des in diesem Zeitpunkt beginnenden Demonstrationszuges nicht mehr viele Leute in der Innenstadt. Die entsprechenden Feststellungen beruhen auf einer Einschätzung der lokalen Verhältnisse und erweisen sich nicht als haltlos, in sich widersprüchlich oder im offensichtlichen Widerspruch zu den Akten bzw. zu den daraus hervorgehenden tatsächlichen Umständen.
4.3. Analoges gilt für die weiteren vom Beschwerdeführer gerügten Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Deren tatsächliche Feststellungen sind mithin nicht zu beanstanden und für das Bundesgericht verbindlich (vgl. vorne E. 1.4).
5.
5.1. In rechtlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer geltend, der angefochtene Entscheid verstosse gegen die Meinungs- und Versammlungsfreiheit. Insbesondere weist er auf die angeblich konstante Praxis der zuständigen Behörde der Stadt Luzern hin, keine Kundgebungen während den Ladenöffnungszeiten an Samstagen zu bewilligen. Diese schematische Bewilligungspraxis sei verfassungswidrig und missachte die verfassungsrechtliche Anforderung, die Verhältnismässigkeit in jedem Einzelfall zu prüfen. Überdies sei die Praxis rechtsungleich, weil andere Anlässe wie die Fasnacht, das Luzerner Fest oder der "Red Bull X-Row Event" durchaus an Samstagen während den Ladenöffnungszeiten bewilligt würden.
5.2. Es mag zutreffen, dass eine schematische Bewilligungspraxis, die Kundgebungen während den Ladenöffnungszeiten an Samstagen in der Altstadt Luzern von vornherein und ohne Einzelfallprüfung ausschliesst, gegen die Versammlungs- und Meinungsfreiheiten verstossen würde, soweit diese Grundrechte Demonstrationen schützen. Der Beschwerdeführer erscheint auch glaubwürdig, wenn er vor allem eine solche schematische Praxis nachträglich höchstrichterlich geprüft haben will, nachdem sich die Organisatoren an die verfügten Auflagen gehalten haben. Die Stadt Luzern wendet allerdings ein, über Bewilligungsentscheide nicht schematisch zu entscheiden, sondern immer den Einzelfall zu prüfen. Sie legt in ihrer Stellungnahme an das Bundesgericht ausdrücklich dar, im vorliegenden Fall eine konkrete Güterabwägung vorgenommen zu haben. Sie vermag dies nicht nur mit Erwägungen zum Einzelfall, sondern auch mit vereinzelten Ausnahmen zu belegen, bei denen Kundgebungen in der Altstadt erlaubt wurden (vgl. dazu hinten E. 5.4). Demgegenüber finden sich in den Akten durchaus Hinweise darauf, dass in der Praxis der zuständigen Behörde Kundgebungen an Samstagnachmittagen in der Altstadt tendenziell nicht vor 16.00 Uhr bewilligt werden. Die Stadt Luzern selbst anerkennt, dass diese Praxis vom Stadtrat Luzern als gut funktionierender Kompromiss bezeichnet wurde und Kundgebungen mit Demonstrationsmärschen in der Altstadt von Luzern an Samstagnachmittagen kaum je vor 16.00 Uhr bewilligt würden. Das schliesst jedoch nicht aus, dass die entsprechenden Entscheide jeweils durchaus auf einer Prüfung des Einzelfalles beruhen. Wie es sich damit verhält, kann indessen offen bleiben. Denn jedenfalls findet sich im angefochtenen Urteil eine ausführliche Abwägung der massgeblichen Interessen und Gesichtspunkte. Die Vorinstanz hat hier also gerade nicht schematisch aufgrund allgemeiner Kriterien entschieden, sondern den vorliegenden Einzelfall inhaltlich geprüft und dabei auch die erforderliche spezifische Kontrolle der Verhältnismässigkeit vorgenommen.
5.3. Für die Beurteilung des vorliegenden Falles ist Ausgangspunkt, dass den Organisatoren die Demonstration nicht verboten, sondern im Gegenteil auf der vorgesehenen Route bewilligt wurde. Sie hatten sie einzig zwei Stunden später als gewünscht durchzuführen. Es handelt sich damit von vornherein nicht um einen allzu schwer wiegenden Eingriff in ihre Grundrechte. Die gewählte Route führte von der Altstadt von Luzern über befahrene Hauptstrassen, um dann wieder in die enge, verkehrsfreie Fussgängerzone der Altstadt überzugehen, die zu den beliebtesten und meistbesuchten Einkaufszonen Luzerns zählt. Der Beschwerdeführer räumt selbst ein, dass die Luzerner Altstadt an Samstagnachmittagen gut frequentiert ist, und begründet damit sinngemäss auch sein Interesse an einer entsprechenden Appellwirkung der Kundgebung. Es leuchtet aber durchaus ein, dass die engen Verhältnisse in der Altstadt besondere Sicherheitsfragen aufwerfen und während den Ladenöffnungszeiten auch die Interessen der Geschäftsinhaber sowie ihrer Kunden zu berücksichtigen sind, was nach Ladenschluss eine deutlich geringere Rolle spielt. Das Verwaltungsgericht durfte auch aufgrund des ihm zustehenden Beurteilungsspielraumes davon ausgehen, unmittelbar nach Ladenschluss um 16.00 Uhr gehe die Anzahl der Besucher der Altstadt nicht in einem Masse zurück, dass die Kundgebung keine wesentliche Appellwirkung mehr zu entfalten vermöchte. Die Ansetzung des Demonstrationsbeginns auf 16.00 Uhr statt 14.00 Uhr erweist sich daher als geeignet, erforderlich und zumutbar, um die bestehenden Sicherheitsbedürfnisse und die teilweise ebenfalls grundrechtsgeschützten Interessen Dritter zu wahren.
5.4. Unter dem Gesichtspunkt der Rechtsgleichheit widerlegt das Beispiel einer erlaubten Kundgebung am 6. Januar 2007 einesteils bis zu einem gewissen Grad, dass Bewilligungen für Demonstrationen in der Altstadt während den Ladenöffnungszeiten an Samstagen systematisch verweigert werden. Andernteils vermögen die Behörden aufzuzeigen, dass die Verhältnisse mit dem vorliegenden Fall nicht vergleichbar sind, weil der Demonstrationszug damals zwar auch, aber in deutlich geringerem Masse durch die Altstadt führte und mit Ausnahme einer - etwas grösseren - Altstadtstrasse keine ausgeprägte Einkaufsstrasse begangen wurde. Die Stadt Luzern verweist auch darauf, am 24. November 2012 eine Platzkundgebung in der Altstadt von Luzern bewilligt zu haben, da bei einer solchen Veranstaltung die Interventionsmöglichkeiten der Polizei und anderer Blaulichtorganisationen weniger beschränkt seien als bei einem Demonstrationsmarsch. Dass eine Demonstration nicht mit der Fasnacht oder dem Luzerner Fest vergleichbar ist, leuchtet ohne weiteres ein, auch wenn sich unter Umständen einzelne Fragen ähnlich stellen können. Anders als bei Kundgebungen entfällt insbesondere das Bedürfnis nach polizeilichem Schutz vor allfälligen Gegenmanifestationen. Fragwürdig mag allenfalls erscheinen, einen zu einem grossen Teil kommerziellen Anlass wie den "Red Bull X-Row Event" im Vergleich mit einer ideellen Kundgebung privilegiert zu behandeln. Gerade der auch kommerzielle Charakter mag jedoch allenfalls eine Durchführung während den Ladenöffnungszeiten zu rechtfertigen. Insbesondere ist es aber verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, wenn die lokalen Behörden das Sicherheitsrisiko für die Öffentlichkeit anders als bei der hier fraglichen Kundgebung einstuften. Angesichts des politisch umstrittenen Themas war die Gefahr von Gegendemonstrationen oder sonstigem Verhalten von Andersdenkenden, das den Demonstrationszug hätte beeinträchtigen und Ausschreitungen hätte auslösen können, deutlich grösser als missbilligende Aktivitäten mit entsprechendem Konfliktpotenzial beim "Red Bull X-Row Event".
5.5. Die verfassungsrechtlichen Voraussetzungen für die Zulässigkeit des eher geringfügigen Eingriffs in die Meinungs- und Versammlungsfreiheit des Beschwerdeführers durch die um zwei Stunden verlegte Ansetzung des Beginns der Demonstration auf den Zeitpunkt des Ladenschlusses erweisen sich als gewahrt. Der angefochtene Entscheid verstösst mithin nicht gegen die Bundesverfassung.
6.
Die Beschwerde ist unbegründet und abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Dienstabteilung Stadtraum und Veranstaltungen der Stadt Luzern, dem Stadtrat Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung (vormals Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung), schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax