Sachverhalt:
A. Der 1975 geborene Z._ war ab Oktober 1999 als Lastwagenchauffeur in der Firma G._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 12. Dezember 2000 wollte er Ware ausliefern, als ein Hund auf ihn zusprang. Z._ wich zurück, rutschte aus und fiel hin. Dabei zog er sich rechtsseitig eine Kontusion am Handgelenk und eine Scaphoidfraktur zu. Z._ konnte die Arbeit am 12. März 2001 wieder aufnehmen. Am 25. August 2003 fiel er beim Abladen von der Laderampe des Lastwagens und erlitt nebst Schürfungen eine Radiusköpfchenmeisselfraktur am linken Ellbogen. Ab 5. Januar 2004 bestand wieder eine volle Arbeitsfähigkeit. Die SUVA erbrachte für die beiden Unfälle und für mehrere Rückfälle die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld), letztmals ab 19. September 2006. Zwischenzeitlich hatte das Anstellungsverhältnis bei der Firma G._ AG durch Kündigung der Arbeitgeberin am 31. März 2006 geendet. Sodann hatte die IV-Stelle Aargau mit Verfügung vom 14. Dezember 2004 und Einspracheentscheid vom 17. Januar 2006 einen Anspruch auf eine Umschulung und auf Arbeitsvermittlung der Invalidenversicherung verneint. Mit Verfügung vom 11. März 2008 sprach die SUVA Z._ für die verbleibenden Folgen der Verletzungen an Hand und Ellbogen ab 1. Februar 2008 eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 17 % und eine Integritätsentschädigung nach Massgabe einer Integritätseinbusse von 10 % zu. Daran hielt sie auf Einsprache des Versicherten hin fest (Entscheid vom 24. Juli 2008).
B. Die von Z._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 5. November 2009 ab.
C. Z._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von 85 % sowie eine Integritätsentschädigung von mindestens 20 % zuzusprechen; eventuell sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache an den Versicherer zurückzuweisen, damit dieser nach weiteren medizinischen Abklärungen über den Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung neu verfüge.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Der Beschwerdeführer hat aus den Unfällen vom 12. Dezember 2000 und 25. August 2003 unbestrittenermassen Anspruch auf eine Invalidenrente ab 1. Februar 2008 und auf eine Integritätsentschädigung der obligatorischen Unfallversicherung. Streitig und zu prüfen ist die Höhe der Erwerbsunfähigkeit resp. Integritätseinbusse, welche den Leistungen zugrunde zu legen ist.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft nebst den massgeblichen Bestimmungen namentlich auch die Grundsätze über die für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen kausalen Zusammenhänge und die zu beachtenden beweisrechtlichen Regeln. Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, für die noch geklagten Beschwerden an rechter Hand und linkem Ellbogen seien nur teilweise organisch objektiv ausgewiesene Folgen der beiden Unfälle von 2000 und 2003 verantwortlich zu machen. Bezüglich der restlichen Beschwerden könne offen gelassen werden, ob sie mit einer psychischen Problematik zu erklären seien und ob diese in einem natürlichen Kausalzusammenhang zu den Unfällen stehe. Denn es fehle jedenfalls am adäquaten Kausalzusammenhang zu den Ereignissen von 2000 und 2003, weshalb die SUVA diesbezüglich nicht leistungspflichtig sei. Aufgrund der körperlichen Unfallfolgen könne die angestammte Tätigkeit eines Lastwagenchauffeurs zwar nicht mehr ausgeübt werden. Hingegen seien leichte angepasste Arbeiten zumutbar. Die unfallbedingte Beeinträchtigung wirke sich erwerblich in einer Invalidität von 15 % aus. Die Differenz zum von der SUVA festgesetzten Invaliditätsgrad von 17 % sei zu gering, um eine Schlechterstellung zu rechtfertigen, weshalb es bei der zugesprochenen Rente bleibe. Die Integritätseinbusse aufgrund der Unfallrestfolgen sei auf gesamthaft 10 % anzusetzen.
3.1 Der Versicherte wendet ein, die Beschwerden und Beeinträchtigungen seien in vollem Ausmass organisch objektivierbar und natürlich und adäquat auf die Unfälle von 2000 und 2003 zurückzuführen. Selbst in einer optimal angepassten Tätigkeit bestehe aufgrund dieser Unfallfolgen höchstens eine Arbeitsfähigkeit von 20 %. Dies führe zu einem Invaliditätsgrad von 85 %. Zudem sei der Integritätsschaden auf mindestens 20 % anzusetzen.
3.2 Das kantonale Gericht stützte sich in medizinischer Hinsicht auf die Aussagen von Kreisarzt Dr. med. K._ im ärztlichen Abschlussbericht und in der Stellungnahme zum Integritätsschaden, je vom 20. November 2007. Danach liegen Ruhe- und Bewegungsschmerzen im rechten Handgelenk und im linken Ellbogen bei Status nach Scaphoidfraktur rechts vom 12. Dezember 2002 mit konservativer Behandlung und Status nach Radiusköpfchenmeisselfraktur links, in Fehlstellung konsolidiert, vor. Der Kreisarzt führt weiter aus, beim Patienten bestünden Inkonsistenz, Selbstlimitierung und deutliche Ausweitung der Symptome. Aufgrund der organisch erklärbaren Befunde sei die Arbeit als Lastwagenchauffeur schmerzbedingt nicht mehr zumutbar. Hingegen bestehe für leichte Arbeiten, bei welchen der Versicherte keine höheren Gewichte als 6 kg herumtragen und nicht dauernde repetitive Bewegungen mit dem rechten Handgelenk und dem rechten (recte: linken) Ellbogen durchführen müsse, ganztägig eine volle Arbeitsfähigkeit. Er könne "als Überwacher von Bildschirmen, als Kassier, als Securitas, als Mitarbeiter an einem Förderband, wo keine grösseren Gewichte als 5 kg gehoben werden müssen" ganztags voll arbeiten. Auch die Arbeit als Kurier sei ihm ganztags voll zumutbar. Die Ruhe- und Bewegungsschmerzen in Handgelenk und Ellbogen mit entsprechender Einschränkung der Beweglichkeit seien funktionell mit mässigen Arthrosen zu vergleichen und einem Integritätsschaden von gesamthaft 10 % (5 % Hand, 5 % Ellbogen) gleichzusetzen.
Der Beschwerdeführer vertritt die Auffassung, die kreisärztliche Einschätzung überzeuge nicht und stelle keine beweiswertige Grundlage für die Beurteilung von unfallbedingter Gesundheitsschädigung und deren Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit und Integrität dar.
3.3 Versicherungsträger und Sozialversicherungsrichter haben die Beweise frei, das heisst ohne Bindung an förmliche Beweisregeln, sowie umfassend und pflichtgemäss zu würdigen. Für das Beschwerdeverfahren bedeutet dies, dass der Sozialversicherungsrichter alle Beweismittel, unabhängig davon, von wem sie stammen, objektiv zu prüfen und danach zu entscheiden hat, ob die verfügbaren Unterlagen eine zuverlässige Beurteilung des streitigen Rechtsanspruches gestatten. Insbesondere darf er bei einander widersprechenden medizinischen Berichten den Prozess nicht erledigen, ohne das gesamte Beweismaterial zu würdigen und die Gründe anzugeben, warum er auf die eine und nicht auf die andere medizinische These abstellt. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist also entscheidend, ob der Bericht für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind. Ausschlaggebend für den Beweiswert ist grundsätzlich somit weder die Herkunft eines Beweismittels noch die Bezeichnung der eingereichten oder in Auftrag gegebenen Stellungnahme als Bericht oder Gutachten (<ref-ruling> E. 3a S. 352).
Auch den Berichten und Gutachten versicherungsinterner Ärzte kommt Beweiswert zu, sofern sie als schlüssig erscheinen, nachvollziehbar begründet sowie in sich widerspruchsfrei sind und keine Indizien gegen ihre Zuverlässigkeit bestehen (<ref-ruling> E. 3b/ee S. 353 f.). Soll ein Versicherungsfall jedoch ohne Einholung eines externen Gutachtens entschieden werden, so sind an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen - auch kreisärztlichen - Feststellungen, so sind ergänzende Abklärungen mittels unabhängiger Begutachtung vorzunehmen (<ref-ruling> E. 4.4 in fine S. 470 mit Hinweis; in Plädoyer 2/2010 S. 54 zusammengefasstes Urteil 8C_439/2009 vom 25. November 2009 E. 4.4).
Eine kritische Auseinandersetzung mit einem streitigen Arztbericht ist erst recht angezeigt, wenn - wie hier bei Kreisarzt Dr. med. K._ - nicht ersichtlich ist, ob der Verfasser des Berichts über eine fachärztliche Ausbildung verfügt, und damit nicht beurteilt werden kann, ob er eine spezifische, auf die zu beantwortenden medizinischen Fragen ausgerichtete Sachkunde aufweist.
3.4 Der Versicherte macht zunächst unter Berufung auf die Aussagen seines Hausarztes geltend, es bestehe aufgrund organischer Unfallfolgen nurmehr eine Restarbeitsfähigkeit von höchstens 20 %.
In den hausärztlichen Stellungnahmen vom 20. Februar und 10. Juli 2008 wird die kreisärztliche Beurteilung der unfallbedingten Beeinträchtigung in angepassten Tätigkeiten beanstandet und ausgeführt, eine Restarbeitsfähigkeit von 20 % sei realistisch. Das kantonale Gericht hat sich mit dieser Einschätzung und ihrer Begründung einlässlich auseinandergesetzt und zutreffend erwogen, dass der Hausarzt in erster Linie auf die subjektiven Schmerzangaben des Versicherten abgestellt und diese nicht mit korrelierenden fachärztlich schlüssig feststellbaren Befunden erklärt hat. Alleine mit den hausärztlichen Aussagen sind die kreisärztlichen Feststellungen daher nicht in Frage gestellt.
3.5 Der Beschwerdeführer beruft sich sodann auf das von der SUVA eingeholte Konsilium des Prof. Dr. med. S._, Facharzt FMH Chirurgie, spez. Handchirurgie, vom 8. März 2007. Daraus gehe hervor, dass die organisch nachweisbaren Unfallfolgen die Beschwerden in einem höheren Ausmass zu erklären vermöchten, als dies Kreisarzt Dr. med. K._ im Bericht vom 20. November 2007 angenommen habe.
Der Versicherte nimmt dabei namentlich Bezug auf die Äusserung des Prof. Dr. med. S._, wonach seit der am 5. April 2006 durchgeführten CT-Untersuchung eine offensichtliche Zunahme der damals beschriebenen Zystengrösse im Scaphoid und im Lunatum eingetreten sei. Der Chirurg erachtet u.a. deswegen einen Eingriff zur Verbesserung der Handgelenksbeschwerden für medizinisch indiziert. Ob dies sinnvoll sei, müsse aber aufgrund der Einstellung des Versicherten gegenüber operativen Massnahmen als zweifelhaft betrachtet werden.
Diese fachärztlichen Aussagen werfen in der Tat Fragen auf. Kreisarzt Dr. med. K._ hat nämlich bereits in einem Untersuchungsbericht vom 2. Mai 2006 im Wesentlichen das gleiche Profil noch zumutbarer Tätigkeiten beschrieben wie in dem von der Vorinstanz für massgeblich erachteten Bericht über die ärztliche Abschlussuntersuchung vom 20. November 2007. Auch hatte der Kreisarzt schon in einer früheren Stellungnahme vom 3. Mai 2005 (recte: 2006) auf den selben Integritätsschaden geschlossen wie in der Stellungnahme vom 20. November 2007. Im früheren Bericht vom 2. Mai 2006 und in der Stellungnahme vom 3. Mai 2006 stützte sich der Kreisarzt ausdrücklich auch auf das - von Prof. Dr. med. S._ erwähnte - CT vom 5. April 2006. Es findet sich nun aber weder in Bericht und Stellungnahme vom 20. November 2007 noch in den früheren kreisärztlichen Aussagen oder in den übrigen medizinischen Akten eine Auseinandersetzung mit der Frage, welchen Einfluss die von Prof. Dr. med. S._ beschriebene, zwischenzeitlich aufgetretene und immerhin mit einer Operationsindikation verbundene Zystenvergrösserung auf die Arbeitsfähigkeit und Integrität hat. Entsprechendes lässt sich auch dem Konsilium des Prof. Dr. med. S._ nicht entnehmen. Dieser äussert sich nicht zur Restarbeitsfähigkeit und zur Integritätseinbusse.
3.6 Nach dem Gesagten bestehen offene Fragen, welche relevant für die streitigen Leistungsansprüche sein können und sich aufgrund der bestehenden medizinischen Aktenlage nicht verlässlich beantworten lassen. Dies rechtfertigt unter den gegebenen Umständen, eine versicherungsexterne fachärztliche Begutachtung der Hand- und Ellbogenproblematik, einschliesslich einer Beurteilung der Restarbeitsfähigkeit und des Integritätsschadens, anzuordnen. Ausserdem erscheint es angezeigt, die vollständigen Akten der Invalidenversicherung beizuziehen, was soweit ersichtlich bisher nicht geschehen ist. Erst wenn die Frage der somatischen Unfallfolgen geklärt ist, wird auch verlässlich beurteilt werden können, ob noch bestehende Beschwerden allenfalls mit einer psychischen Unfallfolge zu erklären sind. Die Sache wird für die genannten Vorkehren und zur anschliessenden neuen Verfügung über den Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung an die SUVA zurückgewiesen.
4. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdegegnerin zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling>), welche überdies dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten hat (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 5. November 2009 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt vom 24. Juli 2008 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Mai 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz