Sachverhalt:
A. Zwischen X._ und und A._ kam es am 20. April 2007 vor dem Café C._ in Basel zu einer tätlichen Auseinandersetzung. In deren Verlauf zog X._ ein Rüstmesser mit einer Klingenlänge von 8 cm und stach sechsmal gezielt in den Oberkörperbereich (viermal in den Brustbereich sowie zweimal in den Rücken) von A._.
B. Das Strafgericht Basel-Stadt verurteilte X._ am 22. Januar 2008 wegen versuchter vorsätzlicher Tötung zu einer Freiheitsstrafe von 31⁄2 Jahren unter Anrechnung des ausgestandenen Polizeigewahrsams. An der Schuldfähigkeit des Beurteilten hegte es keine Zweifel.
X._ appellierte gegen das strafgerichtliche Urteil. Auf seinen Antrag hin ordnete das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 24. November 2009 eine psychiatrische Begutachtung bei den Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel (UPK) zur Frage der Schuldfähigkeit und der Anordnung einer Massnahme an. X._ reichte dem Appellationsgericht das von der Verteidigung in Auftrag gegebene Privatgutachten von Dr. med. D._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 31. Dezember 2009 ein. Das Appellationsgericht liess dieses Gutachten dem gerichtlich ernannten Sachverständigen mit Verfügung vom 21. Januar 2010 zugehen. Nach Eingang des Gutachtens der UPK vom 4. Mai 2010 fällte das Appellationsgericht sein Urteil. Es sprach X._ am 3. September 2010 der versuchten vorsätzlichen Tötung schuldig und bestrafte ihn mit einer Freiheitsstrafe von 31⁄2 Jahren. Es ordnete zudem eine vollzugsbegleitende ambulante Massnahme an.
C. Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt X._ die Aufhebung des appellationsgerichtlichen Urteils und die Einholung eines Drittgutachtens.
D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die vorinstanzliche Beweiswürdigung. Nachdem der Privatgutachter Dr. med. D._ von den Gerichten in der Region Basel regelmässig als Sachverständiger beigezogen werde, sei das alleinige Abstellen der Vorinstanz auf das Gerichtsgutachten willkürlich. Da sich zwei (gleichwertige) Sachverständigenmeinungen gegenüberständen, die zur Frage der Schuldfähigkeit zu unterschiedlichen Schlüssen gelangt seien, hätte die Vorinstanz ein Drittgutachten einholen müssen. Sie müsse sich den Vorwurf gefallen lassen, ihren Entscheid auf der Grundlage eines nicht vollständig abgeklärten Sachverhalts gefällt zu haben.
1.2 Der Privatgutachter, Dr. med. D._, attestiert dem Beschwerdeführer eine Einschränkung der Schuldfähigkeit. Die bei diesem festgestellte Persönlichkeitsänderung sei verbunden mit einer reduzierten Fähigkeit, Affekte zu kontrollieren. Seine Fähigkeit zur Einsicht in das Unrecht der Tat und zum Handeln gemäss dieser Einsicht müsse deshalb als leicht vermindert eingeschätzt werden (kantonale Akten, act. 346 ff., S. 356 f., 362). Demgegenüber kommt der Gerichtsgutachter zum Schluss, es lasse sich auf der Grundlage der beim Beschwerdeführer diagnostizierten Persönlichkeitsabweichung für die Tatzeit keine auf einer psychischen Störung beruhende Funktionsbeeinträchtigung erkennen, welche die Einsichts- oder Steuerungsfähigkeit ausgeschlossen oder vermindert haben könnte. Der Beschwerdeführer sei zu situationsadäquatem Handeln in der Lage gewesen. Eine Bewusstseinsbeeinträchtigung oder Bewusstseinseinengung relevanten Ausmasses habe nicht vorgelegen. Seine eigenen Angaben belegten eine weitgehend erhaltene Erinnerung. Es sei eine leichte Alkoholisierung anzunehmen, aber kein mittelschwerer oder schwerer Rausch, durch den die Erheblichkeitsschwelle zur leichten Beeinträchtigung der Steuerungsfähigkeit überschritten gewesen wäre. Das Tatgeschehen sei zwar keiner Planung entsprungen, dennoch seien die Kriterien für ein "Affektdelikt" nicht gegeben. Der Beschwerdeführer habe während der Tat gezielt gehandelt, sein Verhalten beinhalte komplexe Handlungsabläufe, die Erinnerung sei erhalten und eine Einengung der Wahrnehmung oder ein Folgeverhalten mit schwerer Erschütterung seien nicht erkennbar. In Übereinstimmung mit dem Privatgutachter spreche auch nichts dafür, dass die Tat im Rahmen eines dissoziativen Zustands geschehen sein könnte. Komplexe Dynamik und vorhandene Erinnerung sprächen dagegen (kantonale Akten, act. 368 ff., S. 404 f., 409 f.).
1.3 Nach dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung sind Beweise frei, d.h. ohne Bindung an förmliche Beweisregeln, sowie umfassend und pflichtgemäss zu würdigen. Demnach sind alle Beweismittel, unabhängig davon, von wem sie stammen, objektiv zu prüfen, und es ist danach zu entscheiden, ob die verfügbaren Unterlagen eine zuverlässige Beurteilung des streitigen Rechtsanspruchs gestatten. Ausschlaggebend für den Beweiswert ist grundsätzlich somit weder die Herkunft eines Beweismittels noch die Bezeichnung der eingereichten oder in Auftrag gegebenen Stellungnahme als Bericht oder Gutachten (<ref-ruling> E. 3a; siehe Urteil 6B_951/2009 vom 26. Februar 2010 E. 1.3).
1.4 Bei dem vom Beschwerdeführer eingereichten Gutachten handelt es sich um ein Privatgutachten. Als solches hat es nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts nicht den gleichen Stellenwert wie ein gerichtlich angeordnetes Gutachten, sondern ist grundsätzlich blosser Bestandteil der Parteivorbringen (vgl. <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 3f/bb; Urteile 6B_148/2010 vom 26. April 2010 E. 1.4; 6B_283/2007 vom 5. Oktober 2007 E. 2.; vgl. zum Ganzen ausführlich MARIANNE HEER, Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Art. 189 Nr. 7; LUCREZIA GLANZMANN-TARNUTZER, Der Beweiswert medizinischer Erhebungen im Zivil-, Straf- und Sozialversicherungsprozess, in AJP 2005, S. 73 ff.; 77). Das gilt auch, wenn das Privatgutachten durch eine erfahrene und etablierte Fachperson erstellt wird, die oft als Gerichtsgutachter beigezogen wird. Der Privatgutachter ist nicht unabhängig und unparteiisch wie der amtliche Sachverständige, sondern er steht in einem Auftragsverhältnis zu der ihn beauftragenden privaten Partei und äussert seine Meinung, ohne von den juristischen Entscheidungsträgern in die Pflicht genommen worden zu sein. Ein privates Gutachten ist deshalb, auch wenn es durch eine anerkannte Fachperson bzw. einen erfahrenen Gerichtsgutachter angefertigt wird, einem gerichtlich angeordneten Gutachten nicht gleichgestellt. Ob es sich bei dem von der Verteidigung privat beauftragten Psychiater um einen solchen (Gerichts-)Gutachter handelt, wie in der Beschwerde sinngemäss behauptet, nicht aber belegt wird, kann hier deshalb offenbleiben.
1.5 Mithin stehen sich vorliegend beweismässig nicht zwei gleichwertige Expertenmeinungen gegenüber. Überdies erstellte der gerichtliche Sachverständige das Gerichtsgutachten in Kenntnis des Privatgutachtens. Die Vorinstanz folgt den Erkenntnissen des Gerichtsgutachters dennoch nicht unbesehen, sondern trägt den sich widersprechenden Meinungen der Fachpersonen zur Frage der Einschätzung der Schuldfähigkeit im Rahmen der Beweiswürdigung Rechnung. Sie nimmt die voneinander abweichenden Meinungsäusserungen im angefochtenen Entscheid auf, setzt sich damit auseinander und begründet, weshalb sie letztlich auf das Gerichtsgutachten (und nicht auf das Privatgutachten) abstellt. Sie weist dabei insbesondere darauf hin, dass der Privatgutachter seine Einschätzung der Schuldfähigkeit nicht erläutert bzw. nicht ausführt, inwiefern die psychische Störung des Beschwerdeführers in der konkreten Situation zu einer Funktionsbeeinträchtigung geführt haben soll. Demgegenüber nehme der Gerichtsgutachter hierzu transparent und schlüssig Stellung. Es sei deshalb dem insoweit vollständigen und nachvollziehbaren gerichtlichen Gutachten zu folgen. Das Vorgehen der Vorinstanz bzw. ihre Abwägung ist mit Blick auf die wiedergegebenen Darlegungen der Fachärzte (E. 1.2) sachlich vertretbar und begründet keine Verletzung des Willkürverbots. Von der Einholung eines Dritt- bzw. Ergänzungsgutachtens durfte die Vorinstanz unter diesen Umständen ohne Verfassungsverletzung absehen.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die inhaltlichen Ausführungen des Gerichtsgutachtens. Darin werde die bei ihm festgestellte Persönlichkeitsänderung explizit anders beurteilt, weil er aus der Türkei und nicht aus Mitteleuropa stamme. Das sei nicht nachvollziehbar und habe ganz offensichtlich Einfluss auf die Einschätzung der Schuldfähigkeit. Denn unter anderem gestützt auf diese Aussage übernehme die Vorinstanz die Meinung des Gerichtsgutachters, wonach seine Schuldfähigkeit zur Tatzeit nicht beeinträchtigt gewesen sei.
2.2 Der Richter weicht bei Gerichtsgutachten nach der Praxis nicht ohne zwingende Gründe von der Einschätzung des medizinischen Experten ab (<ref-ruling> E. 5.4.2; <ref-ruling> E. 2; siehe auch Urteil 6B_48/2009 vom 11. Juni 2009 E. 4.2). Ein Grund zum Abweichen kann allerdings vorliegen, wenn der Gutachter die an ihn gestellten Fragen nicht beantwortet, wenn er seine Erkenntnisse und Schlussfolgerungen nicht begründet oder die Gerichtsexpertise widersprüchlich oder nicht schlüssig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1b mit Hinweisen; Urteil 6B_951/2009 E. 2.3). Ob ein Gericht die im Gutachten enthaltenen Ausführungen für überzeugend hält oder nicht, ist nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichtes eine Frage der Beweiswürdigung. Eine entsprechende Kritik muss als Verletzung des Willkürverbots substanziiert dargelegt werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.1; <ref-ruling> E. 5.4.2 mit Hinweisen).
2.3 Es trifft zu, dass der Gerichtsgutachter den soziokulturellen Bezugsrahmen des Beschwerdeführers in die psychiatrische Begutachtung mit einbezieht (kantonale Akten, Gerichtsgutachten, S. 400; vgl. zu diesem Problem ausführlich MARIANNE HEER, Basler Kommentar, Strafrecht I, Art. 56 N. 70 sowie Art. 59 N. 17 und 31 mit zahlreichen Hinweisen). Er tut dies freilich bloss im Rahmen der diagnostischen Ein- bzw. Zuordnung des beim Beschwerdeführer vorliegenden Störungsbilds: Das klinische Störungsbild sei von einer Persönlichkeitsveränderung und einem chronischen Schmerzsyndrom geprägt. Aufgrund des soziokulturellen Hintergrunds des Beschwerdeführers tendiere er dazu, die Persönlichkeitsveränderung des Beschwerdeführers - im Unterschied zum Privatgutachter - nicht ohne weiteres als Folge des chronischen Schmerzsyndroms anzusehen. Denn die zu beurteilende Konstellation von Persönlichkeitsveränderung und Schmerzsyndrom könne aufgrund ihres generell häufigeren Vorkommens in osteuropäischen Ländern nicht zwingend als Resultat eines psychopathologischen Prozesses eingestuft werden (kantonale Akten, Gerichtsgutachten, S. 402). Über diese diagnostische Ein- bzw. Zuordnung des klinischen Störungsbilds des Beschwerdeführers hinaus misst der Gutachter dem Aspekt des soziokulturellen Bezugsrahmens jedoch keine weitere Bedeutung zu. Er stellt insoweit vielmehr klar bzw. räumt ein, dass die Persönlichkeitsproblematik des Beschwerdeführers an sich unabhängig von der diagnostischen Ein- bzw. Zuordnung - und damit letztlich auch unabhängig vom soziokulturellen Hintergrund - vorliege, und dass es die aus dieser Persönlichkeitsabweichung allfällig resultierende Funktionsbeeinträchtigung sei (und nicht die jeweilige Einordnung als Persönlichkeitsstörung, Persönlichkeitsänderung bei chronischem Schmerzsyndrom, depressive Erkrankung oder reine Persönlichkeitsvariante), die für die forensisch-psychiatrische Schuldfähigkeitsbeurteilung massgeblich sei. Daraus erhellt, dass die Berücksichtigung des soziokulturellen Hintergrunds zwar zur Hinterfragung bzw. Relativierung der Diagnose des Privatgutachters führt, indessen weder am Vorliegen der beim Beschwerdeführer festgestellten Persönlichkeitsveränderung etwas ändert noch für die Beurteilung der Schuldfähigkeit relevant ist. Der Einwand des Beschwerdeführers, seine türkische Herkunft habe sich im Rahmen der Einschätzung der Schuldfähigkeit sachfremd ausgewirkt, ist mithin unbegründet. Das Gutachten erweist sich weder als mangelhaft noch als in sich nicht schlüssig. Die Vorinstanz hatte somit keinen Anlass, davon abzuweichen und ein Dritt- oder Ergänzungsgutachten einzuholen. Ihr Abstellen darauf ist auch unter diesen Umständen verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden (vgl. vorstehend auch E. 1).
3. Die Beschwerde ist abzuweisen. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. April 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Arquint Hill