Verlängerung der Ausschaffungshaft, hat sich ergeben:
A.-Am 10. Mai 2000 lehnte das Bundesamt für Flüchtlinge ein Asylgesuch des pakistanischen Staatsangehörigen A._ ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Mit Urteil vom 18. August 2000 wies die Schweizerische Asylrekurskommission die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde ab.
A._, der auch unter den Namen B._ und C._ auftrat, leistete der im Anschluss an dieses Urteil ergangenen Anordnung, die Schweiz bis zum 20. September 2000 zu verlassen, keine Folge.
Am 20. Juni 2001 nahm der Migrationsdienst des Kantons Bern A._ in Ausschaffungshaft. Der Haftrichter 3 des Haftgerichts III Bern-Mittelland (nachfol-gend auch: Haftrichter) prüfte und bestätigte die Haft am 21. Juni 2001 (schriftliche Ausfertigung des Entscheids vom 25. Juni 2001). Mit Urteil vom 10. Juli 2001 wies das Bundesgericht die gegen den Haftbestätigungsentscheid erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 2A.300/2001). Die am 17. Juli 2001 von einem Rechtsanwalt eingereichte zweite Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen denselben Haftbestätigungsentscheid wurde am 25. Juli 2001 zurückgezogen, sodass das gestützt darauf eröffnete bundesgerichtliche Verfahren (2A. 329/2001) mit Verfügung vom 26. Juli 2001 abgeschrieben werden konnte.
B.-Am 6. August 2001 stellte A._ ein Haftentlassungsgesuch.
An der Verhandlung vor dem Haftrichter vom 14. August 2001 beantragte der Vertreter des Ausländer- und Bürgerrechtsdienstes der Kantonspolizei Bern, die Haft sei um weitere drei Monate zu verlängern. Unmittelbar im Anschluss an die Verhandlung erkannte der Haftrichter, das Haftentlassungsgesuch werde abgewiesen und die seit 20. Juni 2001 dauernde Ausschaffungshaft werde verlängert bis zum 13. November 2001 (mündliche Eröffnung des Entscheids am 14. August, schriftliche Ausfertigung vom 16. August 2001).
C.-Mit als Verwaltungsgerichtsbeschwerde entgegengenommenem Schreiben vom 12. September 2001 beantragt A._, er sei freizulassen.
Der Haftrichter beantragt Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde; der Migrationsdienst des Kantons Bern hält fest, dass "die Beschwerde gegen Haftentlassungsgesuch unbegründet" sei.
Das Bundesamt für Ausländerfragen hat sich nicht vernehmen lassen.
Der Beschwerdeführer hat von der Gelegenheit, ergänzend Stellung zu nehmen, innert Frist nicht Gebrauch gemacht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-a) Die zuständige Behörde kann einen Ausländer in Ausschaffungshaft nehmen, sofern die Voraussetzungen von Art. 13b des Bundesgesetzes über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142. 20; in der Fassung des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht [Zwangsmassnahmengesetz; AS 1995 146 ff.]) erfüllt sind. Danach ist erforderlich, dass ein erstinstanzlicher, nicht notwendigerweise auch rechtskräftiger Weg- oder Ausweisungsentscheid vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 61; <ref-ruling> E. 3a S. 374; <ref-ruling> E. 1 S. 150), dessen Vollzug (z.B. wegen fehlender Reisepapiere) noch nicht möglich, jedoch absehbar ist (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 374, 377 E. 2a S. 379). Sodann muss einer der in Art. 13b Abs. 1 ANAG genannten Haftgründe bestehen (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 374, 377 E. 3a S. 381; <ref-ruling> E. 1 S. 3) und die Ausschaffung rechtlich und tatsächlich möglich sein (vgl. Art. 13c Abs. 5 lit. a ANAG; dazu <ref-ruling> E. 2 S. 220, 377 E. 5 S. 384); zudem sind die für den Vollzug der Wegweisung notwendigen Vorkehrungen (wie Papierbeschaffung) umgehend zu treffen (Art. 13b Abs. 3 ANAG, Beschleunigungsgebot; vgl. <ref-ruling> ff.). Die Haft (bzw. deren Dauer) muss verhältnismässig sein (<ref-ruling> E. 4 S. 383; <ref-ruling> E. 2c S. 198; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3 S. 152 ff.).
Die Haft darf höchstens drei Monate dauern; stehen dem Vollzug der Weg- oder Ausweisung besondere Hindernisse entgegen, so kann die Haft mit Zustimmung der kantonalen richterlichen Behörde um höchstens sechs Monate verlängert werden (Art. 13b Abs. 2 ANAG). Gemäss Art. 13c Abs. 4 ANAG kann der inhaftierte Ausländer einen Monat nach der Haftüberprüfung ein Haftentlassungsgesuch einreichen. Über das Gesuch hat die richterliche Behörde innert acht Arbeitstagen aufgrund einer mündlichen Verhandlung zu entscheiden. Ein erneutes Gesuch um Entlassung aus der Ausschaffungshaft kann erst nach zwei Monaten gestellt werden.
b) Was die Voraussetzungen zur Anordnung der Ausschaffungshaft betrifft, kann auf das bundesgerichtliche Urteil vom 10. Juli 2001 verwiesen werden. Im Haftentlassungsverfahren haben sich diesbezüglich keine neuen Anhaltspunkte ergeben. Es ist hingegen zu prüfen, ob sich die Aufrechterhaltung der Haft nach knapp zwei Monaten (Abweisung des Haftentlassungsgesuch) rechtfertigt und ob zudem, in verfahrens- wie in materiellrechtlicher Hinsicht, die Voraussetzungen für eine Verlängerung der Ausschaffungshaft erfüllt sind.
c/aa) Der Haftrichterentscheid vom 21./25. Juni 2001, womit die erstmalige Anordnung der Ausschaffungshaft bestätigt worden war, äusserte sich nicht darüber, ob die Haft für die volle Höchstdauer von (vorerst) drei Monaten genehmigt werden sollte. Der Haftrichter hat am 14. August 2001 nicht nur über das Haftentlassungsgesuch, sondern auch über eine Verlängerung der Haft bis 13. November 2001 entschieden.
Jedenfalls wird damit die Dauer von drei Mona-ten, welche für die erstmalige Haftanordnung vorgesehen ist, überschritten. Ein derartiger Entscheid nach knapp zwei Monaten Haftdauer ist, selbst wenn davon auszugehen wäre, dass die Haft mit dem ersten Haftrichterentscheid für drei Monate bewilligt wurde, zulässig, wenn die Voraussetzungen einer entsprechenden Verlängerung erfüllt erscheinen (Urteile des Bundesgerichts vom 26. März 1997 i.S. Njego, E. 2d, und vom 6. Januar 1998 i.S. Keita, E. 3a, ferner auch Urteil vom 29. August 1997 i.S. Hassouna, E. 3b). Sicherzustellen ist in einem solchen Fall jedoch, dass der Inhaftierte, gegebenenfalls unabhängig von der Sperrfrist gemäss Art. 13c Abs. 4 letzter Satz ANAG, nach drei Monaten Haftdauer ein Haftentlassungsgesuch stellen kann (vorstehend erwähnte Urteile).
bb) Der Haftrichter hat in seiner Vorladungsverfügung für die Verhandlung vom 14. August 2001 als Verfahrensgegenstand einzig das Haftentlassungsgesuch erwähnt. Den Antrag auf Haftverlängerung stellte der Vertreter der zuständigen Behörde erst an der Verhandlung selber.
Das (Bundes-)Gesetz schreibt nicht vor, in welcher Form um die erforderliche Zustimmung des Haftrichters zur Haftverlängerung ersucht werden muss. Die Stellung eines derartigen Begehrens an der mündlichen Verhandlung vor dem Haftrichter über ein Haftentlassungsgesuch muss grundsätzlich zulässig sein: Im Hinblick auf eine Haftverlängerung sind, obwohl zusätzliche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, ähnliche Fragen zu beurteilen wie für den Entscheid über das Haftentlassungsgesuch. In beiden Fällen ist, ausgeprägter als im ersten Haftanordnungsentscheid, zu prüfen, ob dem Beschleunigungsgebot nachgelebt wurde und ob die Ausschaffung nach wie vor rechtlich und tatsächlich möglich erscheint.
Regelmässig wird daher für den Ausländer kein Nachteil dadurch erwachsen, dass er erst vor dem Richter mit der Frage der Haftverlängerung konfrontiert wird. So ist insbesondere im vorliegenden Fall nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer davon abgehalten worden sein könnte, seine Rechte wirksam wahrzunehmen. In diesem Zusammenhang ist besonders wichtig, dass er die Möglichkeit hat, nach Ablauf von insgesamt drei Monaten Haftdauer (vorliegend ab 20. September 2001) ein Haftentlassungsgesuch zu stellen (vorne E. 1c/aa). In verfahrensrechtlicher Hinsicht besteht damit für das Bundesgericht kein Anlass, korrigierend einzugreifen, umso mehr, als der Beschwerdeführer sich in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde in keiner Weise über das Verfahren als solches beschwert.
An dieser Stelle ist aber hervorzuheben, dass die für fremdenpolizeirechtliche Haft zuständige Behörde sich frühzeitig darüber Klarheit verschaffen muss, welche Anträge sie dem Richter zu stellen gedenkt. Es darf von ihr in der Regel verlangt werden, ein Haftverlängerungsbegehren so frühzeitig anzumelden, dass der Ausländer gegebenenfalls noch vor der Gerichtsverhandlung davon Kenntnis erhält.
d) Nach der Aktenlage haben die zuständigen Behörden im Hinblick auf den Wegweisungsvollzug notwendige Vorkehrungen getroffen. Dass die Papierbeschaffung in Pakistan einige Zeit in Anspruch nimmt, haben sie nicht zu verantworten.
Dabei ist auch zu beachten, dass der Beschwerdeführer unzutreffende Angaben über seine Person gemacht hat (vgl.
zum Beschleunigungsgebot <ref-ruling> E. 3 S. 50 f.). Dass die Ausschaffung in absehbarer Zeit nicht bewerkstelligt werden könnte, lässt sich nicht sagen. Damit erweist sich einerseits die Abweisung des Haftentlassungsgesuch als rechtmässig. Andererseits lässt sich auch die Verlängerung der Ausschaffungshaft in keinerlei Hinsicht beanstanden; angesichts der Begrenzung der Haftdauer bis - vorläufig - zum 13. November 2001 ist die Haftverlängerung insbesondere verhältnismässig.
e) Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen.
Entsprechend diesem Ausgang würde der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren an sich kostenpflichtig (Art. 156 OG). In Fällen der vorliegenden Art (unter anderem scheinen dem Beschwerdeführer weitgehend die finanziellen Mittel zu fehlen) rechtfertigt es sich jedoch, von der Erhebung einer Gerichtsgebühr abzusehen (vgl. Art. 154 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.-Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2.-Es werden keine Kosten erhoben.
3.-Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 3, sowie dem Bundesamt für Ausländerfragen schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 24. September 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: