Faits:
A.
H._ a travaillé en qualité de vendeuse, tout en effectuant des nettoyages à l'extérieur de son ménage. Le 3 mai 2008, elle a donné naissance à un quatrième enfant. Du 15 au 26 septembre 2008, elle a séjourné à l'Hôpital X._, où les médecins ont posé les diagnostics de lombalgie commune dans un contexte psycho-social difficile, d'état dépressif post-partum (depuis 4 mois) et de migraine connue. Les docteurs J._ (spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie) et M._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), médecins du CEMed de Z._, procédant pour le compte de l'assureur-perte de gain à une évaluation médicale, ont conclu dans un rapport du 6 février 2009 que le trouble somatoforme douloureux présenté par l'assurée n'entraînait pas d'incapacité de travail. L'activité de vendeuse a pris fin le 31 janvier 2009.
Le 13 mars 2009, H._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur A._ (spécialiste FMH en médecine interne générale et en allergologie et immunologie clinique) a déposé un rapport du 29 mai 2009, où il concluait à une incapacité de travail de 100 % "du 5 août 2008 en cours" (soit dès la fin du congé-maternité). La doctoresse P._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), dans un rapport daté des 29 mai et 1 er juin 2009, a indiqué que l'incapacité de travail était de 100 % dès février 2008 (congé-maternité du 3 mai au 3 août 2008). L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI), se fondant sur les conclusions mentionnées ci-dessus des médecins du CEMed, a rendu le 8 janvier 2010 un préavis de refus de rente d'invalidité. H._, contestant ce préavis, a produit une expertise privée dans laquelle le docteur S._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) évaluait l'incapacité de travail à 100 % entre le 6 février 2009 et juin 2010 et à 50 % entre le 1 er juillet et le 31 décembre 2010.
L'office AI a confié au docteur N._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) la réalisation d'une expertise psychiatrique. Considérant que le rapport du 23 août 2010 où ce médecin concluait à une incapacité totale de travail n'avait pas valeur probante, il a donné au docteur C._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) le mandat de réaliser une nouvelle expertise. Dans un rapport du 24 août 2011, ce médecin a posé les diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail de trouble dépressif majeur (état actuel sévère, sans caractéristiques psychotiques selon DSM-IV-TR) - soit d'épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques selon CIM-10 (F32.2) - et de trouble état de stress post-traumatique (F43.1), en retenant que ces troubles s'étaient progressivement imposés depuis 2008. Il fixait l'incapacité de travail à 50 % depuis le 1 er mai 2009 et à 100 % depuis le 1 er janvier 2010.
Dans un préavis du 6 octobre 2011, l'office AI a informé H._ qu'elle avait présenté une incapacité de travail ininterrompue depuis le 1 er mai 2009 et qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er mai 2010. L'assurée a fait part à l'office AI de ses observations en ce qui concerne le début de son incapacité de travail, dont elle affirmait qu'il remontait au 3 mai 2008, date de son accouchement. Dans un rapport complémentaire du 6 décembre 2011, le docteur C._ a conclu que l'atteinte à la santé était devenue suffisamment sévère pour qu'on doive retenir une incapacité de travail psychiatrique de 50 % depuis le 1 er mai 2009 et de 100 % à partir du 1 er janvier 2010. Par décision du 4 avril 2012, l'office AI, tout en se référant au rapport complémentaire du docteur C._, a alloué à H._ une rente entière d'invalidité dès le 1 er mai 2010.
B.
H._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation en tant qu'elle fixait le début du droit à la rente d'invalidité au 1 er mai 2010 et au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il respecte son droit d'être entendue, au motif que la décision de rente avait été rendue sans qu'elle puisse s'exprimer au préalable sur le rapport complémentaire du docteur C._ du 6 décembre 2011. A titre subsidiaire, elle invitait la juridiction cantonale à dire que l'incapacité de travail à prendre en considération remontait au mois de mai 2008 et à ordonner à l'office AI qu'il lui octroie une rente entière d'invalidité à partir du 1 er septembre 2009. Elle produisait deux courriels de la doctoresse P._ des 7 et 8 mai 2012.
Par arrêt du 8 février 2013, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C.
H._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à celle de la décision de rente du 4 avril 2012, la cause étant renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle la renvoie à l'office AI afin qu'il respecte son droit d'être entendue. A titre subsidiaire, elle invite le Tribunal fédéral à dire que l'incapacité de travail à prendre en considération remonte au mois de mai 2008 et à ordonner à l'office AI qu'il lui octroie une rente entière d'invalidité à partir du 1 er septembre 2009.

Considérant en droit:
1.
Les premiers juges, avec l'intimé, ont admis à juste titre qu'il y avait eu violation du droit d'être entendu de la recourante, singulièrement de son droit de prendre connaissance du rapport complémentaire du docteur C._ du 6 décembre 2011 et de se déterminer à son propos avant que ne soit rendue la décision d'octroi de rente du 4 avril 2012 (<ref-ruling> consid. 5b/bb p. 278; <ref-ruling> consid. 4b p. 337; arrêt 9C_127/2007 du 12 février 2008, consid. 2.2).
1.1. Le droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), dont la jurisprudence a déduit en particulier le droit pour le justiciable de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 272; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 293; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 494; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 371), est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recourant sur le fond (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 390; <ref-ruling> consid. 3d/aa p. 437). Pour autant qu'elle ne soit pas d'une gravité particulière, la violation du droit d'être entendu est réparée lorsque la partie lésée a la possibilité de s'exprimer devant une autorité de recours jouissant d'un plein pouvoir d'examen (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 390 et les arrêts cités). Au demeurant, la réparation d'un vice éventuel ne doit avoir lieu qu'exceptionnellement (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 197; <ref-ruling> consid. 2.6.1 p. 285).
1.2. La recourante fait valoir que le pouvoir d'examen de la juridiction cantonale, contrairement à celui de l'office AI, ne s'étendait pas à l'opportunité, de sorte que la violation en cause ne pouvait être réparée dans le cadre de la procédure de recours, les pouvoirs d'examen n'étant pas les mêmes.
1.3. Quoi qu'en dise la recourante, la juridiction cantonale jouissait d'un plein pouvoir d'examen en ce qui concerne le début du droit de l'assurée à une rente d'invalidité, singulièrement le début de son incapacité de travail. La violation de son droit d'être entendue par l'office AI était susceptible d'être réparée en procédure cantonale, attendu que le recours selon les art. 56 sv. LPGA est un moyen de droit complet, qui permet un examen de la décision entreprise en fait et en droit (arrêt 9C_127/2007 du 12 février 2008, consid. 2.2).
Au demeurant, un renvoi de la cause à l'administration pour octroi du droit d'être entendu n'entre pas ici en considération. Même dans l'hypothèse, non réalisée en l'espèce, où la violation du droit d'être entendu serait d'une gravité particulière, un renvoi de la cause à l'administration dans le sens d'une réparation du droit d'être entendu ne saurait entrer en considération, si et dans la mesure où le renvoi conduit formellement à un temps mort et ainsi à des retards inutiles, incompatibles avec l'intérêt du justiciable à un jugement expéditif de la cause (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 390). Le jugement entrepris, qui expose que la violation du droit d'être entendu de la recourante a été réparée du moment qu'en procédure de recours l'assurée a pu exposer les raisons pour lesquelles elle estimait que l'expert C._ avait eu tort de maintenir son point de vue dans le rapport complémentaire du 6 décembre 2011, est sous cet angle conforme au droit fédéral (supra, consid. 1.1). Le recours est mal fondé de ce chef.
2.
Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement en cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire insoutenable, voire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références).
3.
Est litigieux le début du droit de la recourante à une rente entière d'invalidité. Singulièrement, le litige porte sur le moment à partir duquel l'assurée a présenté une incapacité de travail entraînant une invalidité.
3.1. Le droit à une rente d'invalidité présuppose que la personne assurée a présenté une incapacité de travail (<ref-law>) d'au moins 40 % en moyenne durant une année sans interruption notable (<ref-law>) et qu'au terme de cette année, elle est invalide (<ref-law>) à 40 % au moins (art. 28 al. 1 let. c LAI).
3.2. En ce qui concerne la valeur probante d'un rapport médical, ce qui est déterminant c'est que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées. Au demeurant, l'élément déterminant pour la valeur probante n'est ni l'origine du moyen de preuve ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bel et bien son contenu (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352).
4.
Les premiers juges, se ralliant aux conclusions du docteur C._, ont retenu que l'affection psychique telle que diagnostiquée par ce médecin était à l'origine d'une incapacité de travail au moins partielle suffisamment établie dès le 1 er mai 2009.
4.1. La recourante invoque les avis des médecins de l'Hôpital X._ (lors de l'hospitalisation du 15 au 26 septembre 2008) et des docteurs S._, N._ et P._, dont elle allègue qu'ils contiennent des éléments pertinents pour l'issue du litige qui auraient dû être retenus par la juridiction cantonale.
4.2. Il apparaît toutefois que le jugement entrepris n'est nullement lacunaire en ce qui concerne les avis médicaux invoqués ci-dessus par la recourante. Ainsi, s'agissant des avis des docteurs S._ et N._, ils figurent sous let. A de l'état de fait, avec la mention de l'atteinte psychique et de son incidence sur la capacité de travail retenues par ces médecins, ce qui n'a pas échappé aux premiers juges dans leur appréciation des preuves. Il en va de même des conclusions de la doctoresse P._, que la juridiction cantonale a prises en compte (voir le consid. 3 du jugement entrepris). Quant à l'hospitalisation du 15 au 26 septembre 2008, bien qu'elle ne soit pas mentionnée dans le jugement entrepris, cela ne change rien au fait que, comme ceci ressort du dossier, le rapport des médecins de l'Hôpital X._ du 26 septembre 2008, même s'il retient le diagnostic d'état dépressif post-partum (depuis 4 mois), n'a pas valeur probante en ce qui concerne le début de l'incapacité de travail. Le recours est mal fondé de ce chef.
4.3. La recourante conteste que l'expertise du docteur C._ ait pleine valeur probante en ce qui concerne le moment à partir duquel elle a présenté une incapacité de travail. Elle reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves, en n'accordant pas valeur probante aux avis des autres médecins faisant remonter l'incapacité de travail au 3 mai 2008. Elle déclare que les médecins ont tous, à l'exception des experts du CEMed, retenu les mêmes diagnostics et les mêmes dates, à savoir un épisode dépressif sévère et un état de stress post-traumatique présent (s) dès l'accouchement en mai 2008, et en infère que les docteurs A._ et P._ ont correctement analysé la situation, de sorte qu'il n'y avait pas lieu pour le docteur C._ de fixer différemment dans le temps le début de l'incapacité de travail.
4.4. Les déclarations de la recourante (supra, consid. 4.3) sont une pure critique appellatoire des éléments sur lesquels le docteur C._ s'est fondé pour retenir une incapacité de travail psychiatrique de 50 % depuis le 1 er mai 2009. Il n'appartient pas à la Cour de céans de vérifier si toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire; sa tâche se limite plutôt à examiner si l'autorité intimée pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise (arrêt 4P.263/2003 du 1 er avril 2004, consid. 2.1). Le docteur C._ a considéré dans son rapport complémentaire du 6 décembre 2011 que l'absence de toute mention d'un trouble psychiatrique dans le rapport de sortie de l'hôpital X._ du 28 mai 2008 (concernant l'hospitalisation du 2 au 8 mai 2008, liée à l'accouchement du 3 mai 2008) plaidait contre l'existence d'une atteinte psychique grave à ce moment-là. De même que la juridiction cantonale, le Tribunal fédéral n'a aucune raison de mettre en doute les affirmations du docteur C._ selon lesquelles l'atteinte à la santé de l'assurée s'est péjorée avec le temps qui a passé, d'autres événements existentiels contraires étant apparus entre-temps. Le docteur C._ a considéré qu'au départ, cette atteinte ne justifiait pas d'incapacité de travail psychiatrique, compte tenu des informations à disposition et aussi de la pratique très restrictive en matière de fibromyalgie et de trouble somatoforme, ce qui n'est pas discuté par la doctoresse P._ dans ses courriels des 7 et 8 mai 2012. En outre, dans son rapport daté des 29 mai et 1 er juin 2009, la doctoresse P._ n'a pas non plus fait état d'éléments objectivement vérifiables qui auraient été ignorés dans le cadre de l'expertise et soient suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions du docteur C._.
Sur le vu de ce qui précède, il y a lieu d'admettre que les conclusions du docteur C._ sont dûment motivées en ce qui concerne la date du 1 er mai 2009 à partir de laquelle la recourante a présenté une incapacité de travail psychiatrique de 50 % et que les premiers juges pouvaient sans arbitraire reconnaître une pleine valeur probante à son expertise du 24 août 2011 et à son rapport complémentaire du 6 décembre 2011. Le recours est également mal fondé sur ce point.
4.5. Il n'est nullement démontré par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2, respectivement de l'<ref-law>, que la juridiction cantonale a procédé à une appréciation arbitraire des preuves en ce qui concerne l'avis des autres médecins que le docteur C._. La recourante ne discute pas les raisons pour lesquelles les premiers juges n'ont pas accordé valeur probante à l'avis des docteurs A._ et P._. Ses déclarations (supra, consid. 4.3) ne permettent pas de considérer que la juridiction cantonale, en retenant que l'affection psychique telle que diagnostiquée par le docteur C._ était à l'origine d'une incapacité de travail au moins partielle suffisamment déterminée dès le 1 er mai 2009, a établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le jugement entrepris, qui confirme le début du droit à la rente d'invalidité fixé par l'office AI au 1 er mai 2010, est ainsi conforme au droit fédéral (art. 28 al. 1 let. b et c LAI). Le recours est mal fondé.
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 1 er octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Meyer
Le Greffier: Wagner