Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. X._ ist beim Kanton St. Gallen angestellt und bei der Versicherungskasse für das Staatspersonal des Kantons St. Gallen versichert. Im Jahr 2000 reduzierte er seine Arbeitszeit auf 50 %; im Oktober 2000 wurde er lohnklassenmässig zurückgestuft. Im Zusammenhang mit der Frage hinsichtlich der im Falle der Beibehaltung des bisher versicherten Verdienstes geltenden Modalitäten klagte er beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen. Dieses wies die Klage mit Entscheid vom 16. Januar 2002 ab. In der Rechtsmittelbelehrung wurde darauf hingewiesen, dass gegen diesen Entscheid innert 30 Tagen beim Eidgenössischen Versicherungsgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben werden könne.
Gegen den Entscheid des Versicherungsgerichts erhob X._ mit Eingabe vom 21. Februar 2002 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Er nahm Bezug auf die Rechtsmittelbelehrung im angefochtenen Entscheid, erklärte aber, dass die Zuständigkeit des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht über alle Zweifel erhaben sei, da sich der angefochtene Entscheid auf eine kantonale Norm (Art. 14 der Verordnung von Landammann und Regierung des Kantons St. Gallen vom 5. September 1989 über die Versicherungskasse für das Staatspersonal) stütze, weshalb er zur Wahrung der Beschwerdefrist an das Verwaltungsgericht gelange. Beim Eidgenössischen Versicherungsgericht selber reichte X._ keine Beschwerde ein. Was eine allfällige Überweisung der Beschwerde an dieses durch das kantonale Verwaltungsgericht betreffe, hielt er fest, dass eine solche wohl kaum Sinn machte, da die Rechtsschrift (die nach kantonalem Recht keine Begründung enthalten musste) den formellen Anforderungen an eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht genügen dürfte; er ersuchte aber das Verwaltungsgericht um Mitteilung, falls dieses sich nicht für zuständig erachte, bzw. allenfalls um Ansetzen einer Frist zur Beschwerdeergänzung. Der Präsident des Verwaltungsgerichts setzte X._ am 22. Februar 2002 Frist zur Beschwerdeergänzung und stellte in Aussicht, dass das Verwaltungsgericht den Entscheid über die Zuständigkeit erst nach Vorliegen der vollständigen Beschwerdeschrift und allfälliger Durchführung des Schriftenwechsels fällen werde. X._ legte dem Verwaltungsgericht am 11. März 2002 die Beschwerdeergänzung vor. Nach Vorliegen der Vernehmlassungen fällte das Verwaltungsgericht am 22. April 2002 seinen Entscheid. Es trat auf die Beschwerde nicht ein (Ziff. 1 des Dispositivs), überwies die Eingaben von X._ samt Akten dem Eidgenössischen Versicherungsgericht (Ziff. 2 des Dispositivs) und auferlegte diesem die amtlichen Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 1'000.-- (Ziff. 3 des Dispositivs).
Am 30. Mai 2002 hat X._ gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 22. April 2002 staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung des Willkürverbots erhoben. Er beantragt, dessen Ziff. 1 und 3 seien aufzuheben.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen beantragt Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde; das Verwaltungsgericht beantragt, sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Finanzdepartement des Kantons St. Gallen hat eine kurze Anmerkung gemacht, im Übrigen aber auf eine Stellungnahme grundsätzlich verzichtet.
Am 6. Juni 2002 hat der Präsident des Eidgenössischen Versicherungsgerichts mitgeteilt, dass der Beschwerdeführer gegen den Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. Januar 2002 nicht auch direkt Beschwerde beim Eidgenössischen Versicherungsgericht erhoben habe. Gestützt auf die Überweisung gemäss Entscheid des kantonalen Verwaltungsgerichts vom 22. April 2002 sei dagegen nunmehr ein Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eröffnet worden.
Am 6. Juni 2002 hat der Präsident des Eidgenössischen Versicherungsgerichts mitgeteilt, dass der Beschwerdeführer gegen den Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. Januar 2002 nicht auch direkt Beschwerde beim Eidgenössischen Versicherungsgericht erhoben habe. Gestützt auf die Überweisung gemäss Entscheid des kantonalen Verwaltungsgerichts vom 22. April 2002 sei dagegen nunmehr ein Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eröffnet worden.
2. 2.1 Nicht (mehr) umstritten ist, dass die den Ausgangspunkt des vorliegenden Verfahrens bildende Streitigkeit eine solche im Sinne von Art. 73 BVG ist und dass gegen den Entscheid des kantonalen Versicherungsgerichts unmittelbar (und ausschliesslich) Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Eidgenössischen Versicherungsgericht erhoben werden konnte.
Es ist einzig zu entscheiden, ob das Verwaltungsgericht das Verfahrensrecht in gegen das Willkürverbot verstossender Weise angewandt hat, indem es die bei ihm eingereichte Beschwerde nicht form- und kostenlos an das zuständige Eidgenössische Versicherungsgericht überwies, sondern einen förmlichen Nichteintretens- und Überweisungsentscheid fällte und die entsprechenden Kosten dem Beschwerdeführer auferlegte.
Es ist einzig zu entscheiden, ob das Verwaltungsgericht das Verfahrensrecht in gegen das Willkürverbot verstossender Weise angewandt hat, indem es die bei ihm eingereichte Beschwerde nicht form- und kostenlos an das zuständige Eidgenössische Versicherungsgericht überwies, sondern einen förmlichen Nichteintretens- und Überweisungsentscheid fällte und die entsprechenden Kosten dem Beschwerdeführer auferlegte.
2.2 2.2.1 Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 11 Abs. 3 des Gesetzes des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (VRP). Danach werden Eingaben an eine unzuständige Stelle von dieser der zuständigen Stelle übermittelt, unter entsprechender Benachrichtigung des Absenders. Nach Auffassung des Beschwerdeführers verpflichtet diese Bestimmung die Behörde, eine fälschlicherweise bei ihr eingereichte Rechtsschrift formlos an die zuständige Instanz weiterzuleiten; eine formelle Verfügung (Nichteintretensentscheid) sei bloss dann erforderlich und zulässig, wenn die Partei die Zuständigkeit der fälschlicherweise angegangenen Behörde behaupte und zu erkennen gebe, dass ihr an einem Entscheid gerade dieser Behörde liege. Dazu verweist der Beschwerdeführer auf <ref-ruling>.
2.2.2 Im vom Beschwerdeführer erwähnten Urteil hatte sich das Bundesgericht mit der Frage zu befassen, ob die Mitteilung an eine Partei, dass ihre Eingabe an die zuständige Behörde überwiesen werde, als Verfügung zu betrachten sei. Es prüfte durch Auslegung von Art. 8 und 9 VwVG, unter welchen Umständen eine Behörde in Form einer Verfügung über ihre Zuständigkeit eine Feststellung zu treffen habe; es kam zum Schluss, dass dies dann der Fall sei, wenn die Partei die Zuständigkeit einer bestimmten Behörde behaupte oder umgekehrt diese bestreite; erforderlich sei, dass die Partei zu erkennen gebe, dass ihr an einem Entscheid gerade durch die angegangene Behörde liege (<ref-ruling> E. 2a/aa S. 543 f.).
Abgesehen davon, dass sich den erwähnten bundesgerichtlichen Erwägungen bloss entnehmen lässt, wann über die Zuständigkeit zwingend mit förmlicher Verfügung entschieden werden muss, womit umgekehrt keineswegs abschliessend bestimmt ist, ob und bei welcher Ausgangslage eine formlose Überweisung vorgeschrieben und eine förmliche Verfügung unzulässig ist, betrifft <ref-ruling> bundesrechtliche Verfahrensbestimmungen, welche im Rahmen der Verwaltungsgerichtsbeschwerde frei auszulegen sind. Weitgehende Rückschlüsse auf die Auslegung und Anwendung von kantonalen Verfahrensnormen, welche das Bundesgericht einzig darauf hin überprüft, ob sie vor dem Willkürverbot standhalten, sind zum Vornherein nicht möglich.
2.2.3 Willkür liegt nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtssatz krass verletzt oder (sonst) in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwider läuft. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid nur dann auf, wenn dessen Ergebnis unhaltbar ist und sich letztlich auf keinen vernünftigen Grund stützen lässt (<ref-ruling> E. 5a S. 70; <ref-ruling> E. 2a S. 168; <ref-ruling> E. 5 S. 250; <ref-ruling> E. 4a S. 5, je mit Hinweisen).
Art. 11 Abs. 3 VRP sagt über die Form einer Überweisung an sich nichts aus. Die Formulierung ("Der Absender ist hievon zu benachrichtigen") lässt tatsächlich darauf schliessen, dass eine Verfügung in der Regel nicht erforderlich ist. Zugleich aber spricht der Wortlaut der Bestimmung dafür, dass damit in erster Linie die Überweisung bei auf der Hand liegender Zuständigkeit geregelt werden soll, wenn die Kompetenzfrage von keiner Seite aufgeworfen worden ist und die Eingabe irrtümlich an die unzuständige Behörde gelangte. Es ist darum nicht einzusehen, warum und inwiefern Art. 11 Abs. 3 VRP es ausschliessen würde, eine Streitsache immer dann mit förmlichem Nichteintretensentscheid an die kompetente Behörde zu überweisen, wenn eine Partei die Zuständigkeitsfrage ausdrücklich thematisiert und bewusst, abweichend von der Rechtsmittelbelehrung, an eine bestimmte Instanz gelangt, selbst wenn nicht unmissverständlich auf deren alleiniger Zuständigkeit beharrt wird. Eine entsprechende Praxis hält ohne weiteres vor dem Willkürverbot stand.
Vorliegend hatte der Beschwerdeführer Kenntnis von der Rechtsmittelbelehrung des Versicherungsgerichts, wonach gegen dessen Entscheid die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Eidgenössische Versicherungsgericht gegeben sei. Er übersah diese Rechtsmittelbelehrung keineswegs; vielmehr nahm er in der beim Verwaltungsgericht eingereichten Rechtsschrift darauf Bezug und erklärte, dass die Zuständigkeit des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht über alle Zweifel erhaben sei. An das Eidgenössischen Versicherungsgericht selber gelangte er nicht, und er machte auch geltend, eine Überweisung der Sache an dieses mache angesichts der von ihm gewählten Art der Rechtsmittelerhebung (Beschwerdeschrift ohne Beschwerdebegründung wie nach kantonalem Recht vorgesehen) keinen Sinn. Dass das Verwaltungsgericht unter diesen Umständen einen förmlichen (Un-) Zuständigkeitsentscheid fällte, ist offensichtlich vereinbar mit der vorstehend als willkürfrei erkannten Auslegung des einschlägigen kantonalen Rechts. Es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern das Vorgehen des Verwaltungsgerichts im konkreten Fall zu einem willkürlichen Ergebnis führen würde. Die Darstellung des Beschwerdeführers, er sei zur Beschwerdeerhebung beim kantonalen Verwaltungsgericht gezwungen gewesen, weil er andernfalls zwischen Stuhl und Bank hätte fallen können, trifft offensichtlich nicht zu, hätte ihm doch angesichts der - als plausibel erkennbaren - Rechtsmittelbelehrung des kantonalen Versicherungsgerichts nach einem allfälligen Nichteintretensentscheid des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht entgegengehalten werden können, er habe es verpasst, rechtzeitig beim kantonalen Verwaltungsgericht Beschwerde zu erheben.
Soweit die Ausführungen des Beschwerdeführers bezüglich der Frage, ob das Verwaltungsgericht einen Nichteintretensentscheid habe fällen dürfen, nicht ohnehin auf eine - unzulässige (vgl. Art. 90 Abs. 1 lit. b OG) - appellatorische Kritik an der Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts hinauslaufen, erweist sich die Beschwerde diesbezüglich als offensichtlich unbegründet.
2.2.4 War das Verwaltungsgericht angesichts der Art der Beschwerdeerhebung durch den Beschwerdeführer (unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten) dazu berechtigt, über die Zuständigkeitsfrage mit förmlichem Entscheid zu befinden, ist nicht erkennbar, inwiefern die Auferlegung der verwaltungsgerichtlichen Kosten an den Beschwerdeführer auf einer willkürlichen Anwendung von Art. 95 Abs. 1 VRP beruhte. Der Beschwerdeführer begründet nämlich die Beschwerde hinsichtlich der Kostenauflage einzig damit, dass der Nichteintretensentscheid unzulässig gewesen sei. Soweit darauf eingetreten werden kann, erweist sich die Beschwerde auch in dieser Hinsicht als offensichtlich unbegründet.
2.3 Die staatsrechtliche Beschwerde ist somit - im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG) - abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Versicherungskasse für das Staatspersonal, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen sowie - zur Kenntnisnahme - dem Eidgenössischen Versicherungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2002
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: