Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 24. Juli 2014 Strafanzeige gegen Staatsanwältin B._ wegen "Prozessverschleppung, Verdunkelung, Irreführung und Betrug". Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich überwies mit Verfügung vom 11. August 2014 die Akten an das Obergericht des Kantons Zürich, um über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu entscheiden. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 22. September 2014 der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. die Nichtanhandnahme des Verfahrens nicht. Zur Begründung führte die Strafkammer zusammenfassend aus, dass ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Staatsanwältin nicht erkennbar sei.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 8. Oktober 2014 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Die III. Strafkammer legte dar, weshalb nach ihrer Auffassung kein strafrechtlich relevantes Verhalten der Staatsanwältin erkennbar sei. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, nicht auseinander. Aus der Beschwerde ergibt sich demnach nicht, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer, die zur Verweigerung der Ermächtigung führte, bzw. der Beschluss der III. Strafkammer selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich sowie der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli