Sachverhalt:
A. X._ und Y._ heirateten im Jahre 1991. Sie sind die Eltern der Kinder A._, geboren 1992, B._, geboren 1994, und C._, geboren 1996. Mit Urteil vom 30. Juni 2005 schied das Bezirksgericht Bremgarten die Ehe der Parteien auf deren gemeinsames Begehren und regelte alle Nebenfolgen der Scheidung. Es sprach insbesondere Y._ einen nachehelichen Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 2'370.-- ab Rechtskraft des Urteils bis 30. September 2008, von Fr. 1'610.-- bis 31. Januar 2010 und von Fr. 900.-- bis 30. September 2012 zu.
B. Das Obergericht des Kantons Aargau hiess die Appellation von X._ gegen das erstinstanzliche Urteil am 23. Februar 2006 teilweise gut und sistierte insbesondere die nachehelichen Unterhaltsbeiträge an Y._ für die Dauer ihres Konkubinats mit K._.
C. X._ ist mit Berufung vom 6. April 2006 an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt die Änderung des obergerichtlichen Urteils in dem Sinne, dass seine Unterhaltsverpflichtung ab Rechtskraft definitiv erloschen sei. Y._ schliesst auf Abweisung der Berufung.
Mit ihrer Anschlussberufung verlangt sie die Aufhebung der vom Obergericht angeordneten Sistierung der Unterhaltsbeiträge, eventualiter die Rückweisung an die Vorinstanz zum Entscheid in diesem Sinne, sowie die Neuverlegung der kantonalen Prozesskosten. X._ beantragt, auf die Anschlussberufung teilweise nicht einzutreten, und sie teilweise abzuweisen.
Das Obergericht hat auf Bemerkungen verzichtet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der nacheheliche Unterhalt stellt eine Zivilrechtsstreitigkeit mit Vermögenswert dar. Die gesetzliche Streitwertgrenze ist für die Berufung wie für die Anschlussberufung erreicht (Art. 46 OG). Insoweit steht dem Eintreten nichts entgegen.
1.2 Das Bundesgericht ist an die tatsächlichen Feststellungen der letzten kantonalen Instanz gebunden, es wäre denn, dass sie unter Verletzung bundesrechtlicher Beweisvorschriften zustande gekommen sind (<ref-ruling> E. 2.1). Vorbehalten bleibt die Berichtigung offensichtlich auf Versehen beruhender Feststellungen von Amtes wegen (Art. 63 Abs. 2 OG). Ausführungen gegen die tatsächlichen Feststellungen sind unzulässig (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG). Für die Kritik an der Beweiswürdigung durch die Vorinstanz ist die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung des Willkürverbotes gegeben (Art. 9 BV, Art. 43 Abs. 1 OG). Für die Antwort und die Anschlussberufung sind die Formvorschriften, die für die Berufungsschrift gelten, sinngemäss anwendbar (Art. 59 Abs. 3 OG). Soweit beide Parteien in ihren Eingaben Weiterungen zum Sachverhalt vornehmen, bleiben diese somit unbeachtlich.
2. Anlass zur Berufung gibt die Frage, welche Auswirkungen das Konkubinat der unterhaltsberechtigten Partei auf ihren nachehelichen Unterhaltsanspruch hat.
Die Vorinstanz stellte fest, dass die Beklagte seit dem 1. April 2001 mit K._ zusammen lebe. Die beiden hätten eine gemeinsame Wohnung bezogen, deren Miete sie teilten. Er komme für einen Teil der Auslagen wie die Versicherungen auf, und sie zahle die Telefonrechnung. Sie führten zwar nicht Buch, trügen aber beide an den Einkauf der Lebensmittel bei. Es herrsche eine klassische Rollenverteilung. Sie betreue ihre eigenen Kinder und führe den gemeinsamen Haushalt. Er gehe seiner beruflichen Tätigkeit nach. Daraus folgerte die Vorinstanz, dass die Beklagte und ihr Partner im Zeitpunkt der Rechtskraft des Rentenpunktes seit fünf Jahren in einem gefestigten Konkubinat im Sinne der Rechtsprechung leben. Es sei daher gerechtfertigt, die der Beklagten zustehenden Unterhaltsbeiträge für die Dauer des Konkubinates mit K._ zu sistieren.
Der Kläger vertritt die Ansicht, dass das Vorliegen eines gefestigten Konkubinates nach fünf Jahren von Bundesrechts wegen zum endgültigen Erlöschen des nachehelichen Unterhaltsanspruches führe. Das Bundesgericht habe seine bisherige, bereits unter altem Recht begründete Rechtsprechung nach der Revision des Scheidungsrechts bestätigt. Eine Sistierung der Unterhaltsrente sei nur in Fällen möglich, in denen das Konkubinat weniger als fünf Jahre gedauert habe und wirtschaftliche Gründe dies rechtfertigen. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung zum Einfluss des Konkubinats auf den Unterhaltsanspruch sei von der neueren Lehre grösstenteils akzeptiert worden. Aus den Materialien (Votum NR Nabholz) ergebe sich, dass im Fall eines Konkubinates die Rente eingestellt oder herabgesetzt werden könne.
2.1 Der Kläger ist der Auffassung, allein das von der letzten kantonalen Instanz als stabil bezeichnete Konkubinat lasse seine Unterhaltspflicht gegenüber der Beklagten erlöschen. In analoger Anwendung von Art. 153 Abs. 1 aZGB, welcher den Wegfall der im Scheidungsurteil festgesetzten Rentenverpflichtung im Fall der Wiederverheiratung des Rentenberechtigten vorsah, erkannte das Bundesgericht, bei einer stabilen, engen, wirtschaftlich ähnliche Vorteile wie die Ehe bietenden nichtehelichen Lebensgemeinschaft des rentenberechtigten Ehegatten erscheine ein Bestehen auf dem Unterhaltsbeitrag grundsätzlich als rechtsmissbräuchlich (<ref-ruling>; <ref-ruling>). Hatte das Konkubinat im Zeitpunkt der Anhebung der Abänderungsklage fünf Jahre gedauert, so wurde im Sinne einer Tatsachenvermutung angenommen, dass die Voraussetzungen für einen Verlust des Rentenanspruchs erfüllt seien (<ref-ruling>; vgl. auch <ref-ruling>). In analoger Anwendung von Art. 153 Abs. 1 aZGB entschied das Bundesgericht alsdann in <ref-ruling> E. 2a, wenn im Zeitpunkt der Scheidung der Ehegatte, der grundsätzlich die Zusprechung einer Rente verlangen könnte, mit einem Dritten in einer eheähnlichen Gemeinschaft lebt, sei ihm die Gewährung von Unterhaltsleistungen zu verweigern.
Nach dem geltenden Art. 130 Abs. 2 ZGB entfällt die Beitragspflicht vorbehältlich einer anderen Vereinbarung bei Wiederverheiratung der berechtigten Person. Es stellt sich die Frage, ob in analoger Anwendung dieser Bestimmung und in Übereinstimmung mit der zu Art. 153 Abs. 1 aZGB entwickelten Rechtsprechung im Fall des gefestigten Konkubinats von der Festsetzung eines Unterhaltsbeitrages zu Gunsten des im Konkubinat lebenden Ehegatten abgesehen werden kann.
2.1.1 Für eine restriktive Auslegung von Art. 130 Abs. 2 ZGB spricht einmal der klare Wortlaut, ferner aber auch die Tatsache, dass die eheähnliche Lebensgemeinschaft in der Botschaft zum neuen Scheidungsrecht nicht bei Art. 130 ZGB, sondern bei Art. 129 ZGB behandelt worden ist (BBl 1996 I 119). In der Literatur werden zur Tragweite von Art. 130 Abs. 2 ZGB verschiedene Auffassungen vertreten. Hausheer (Vom alten zum neuen Scheidungsrecht, 1999, S. 157 Rz. 3.71) scheint der Ansicht zu sein, dass auch eine qualifizierte eheähnliche Lebensgemeinschaft zum Wegfall des Unterhaltsbeitrages führe. Demgegenüber hält die überwiegende Lehrmeinung dafür, die vom Bundesgericht im Rahmen von Art. 153 Abs. 1 aZGB entwickelte Rechtsprechung (<ref-ruling>, <ref-ruling>) zum Einfluss der stabilen nichtehelichen Lebensgemeinschaft auf den Unterhaltsbeitrag könne nicht auf Art. 130 Abs. 2 ZGB übertragen werden (Schwenzer, FamKommentar Scheidung, 2005, N. 8 zu Art. 130 ZGB); die Bestimmung von Art. 130 Abs. 2 ZGB sei auf den Fall der eheähnlichen Lebensgemeinschaft nicht anwendbar (Sutter/Freiburghaus, Kommentar zum neuen Scheidungsrecht, 1999, N. 28 zu Art. 129 ZGB; Spycher/Gloor, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 3. Aufl. 2006, N. 8 zu Art. 130 ZGB).
2.1.2 Die in Wortlaut und Entstehungsgeschichte begründete und durch die überwiegende Lehre vertretene wortgetreue Auslegung von Art. 130 Abs. 2 ZGB verdient den Vorzug. Auch bei einem gefestigten Konkubinat können Zweifel an der Endgültigkeit und Dauerhaftigkeit der Änderung der Verhältnisse bestehen, die einen Wegfall jeglichen Unterhaltsanspruchs gegenüber dem früheren Ehegatten als unbillig erscheinen lassen, zumal die einmal erloschene Unterhaltspflicht nachträglich nicht wieder auflebt. Sodann ist nicht aus den Augen zu verlieren, dass die nach der Scheidung im Konkubinat lebende Person mit der Wiederverheirateten nicht gleichgestellt ist; während die Auflösung des Konkubinats nicht zum Bezug von Unterhalt vom früheren Lebenspartner berechtigt, verleiht Art. 125 ZGB dem Wiederverheirateten nach Auflösung der späteren Ehe einen entsprechenden Anspruch, sofern die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind. Die aufgezeigten Umstände rechtfertigen es, Art. 130 Abs. 2 ZGB nicht analog auf den Fall der stabilen, nichtehelichen Lebensgemeinschaft anzuwenden.
2.1.2 Die in Wortlaut und Entstehungsgeschichte begründete und durch die überwiegende Lehre vertretene wortgetreue Auslegung von Art. 130 Abs. 2 ZGB verdient den Vorzug. Auch bei einem gefestigten Konkubinat können Zweifel an der Endgültigkeit und Dauerhaftigkeit der Änderung der Verhältnisse bestehen, die einen Wegfall jeglichen Unterhaltsanspruchs gegenüber dem früheren Ehegatten als unbillig erscheinen lassen, zumal die einmal erloschene Unterhaltspflicht nachträglich nicht wieder auflebt. Sodann ist nicht aus den Augen zu verlieren, dass die nach der Scheidung im Konkubinat lebende Person mit der Wiederverheirateten nicht gleichgestellt ist; während die Auflösung des Konkubinats nicht zum Bezug von Unterhalt vom früheren Lebenspartner berechtigt, verleiht Art. 125 ZGB dem Wiederverheirateten nach Auflösung der späteren Ehe einen entsprechenden Anspruch, sofern die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind. Die aufgezeigten Umstände rechtfertigen es, Art. 130 Abs. 2 ZGB nicht analog auf den Fall der stabilen, nichtehelichen Lebensgemeinschaft anzuwenden.
2.2 2.2.1 Der Scheidungsrichter kann gestützt auf Art. 126 Abs. 3 ZGB den Unterhaltsbeitrag von Bedingungen abhängig machen. Damit soll dem Einzelfall besser Rechnung getragen werden (Botschaft, BBl 1996 I 117). Um den endgültigen Verlust des Unterhaltsanspruchs infolge Eintritts einer (auflösenden) Bedingung zu verhindern und abermals veränderten Verhältnissen Rechnung tragen zu können, hat das Bundesgericht in Analogie zu Art. 129 Abs. 1 ZGB die Möglichkeit einer bedingten Sistierung bereits auf den Scheidungszeitpunkt - und nicht erst im Abänderungsverfahren - vorgesehen (Urteil 5C.296/2001 vom 12. März 2002 E. 3 b/aa mit Hinweisen auf die Lehre, in: Pra 2002 S. 810; vgl. auch Urteil 5C.265/2002 vom 1. April 2003, E. 2.4, in: Pra 2003 S. 963). Der Gesetzgeber hat anlässlich der Revision des Scheidungsrechts in Art. 129 Abs. 1 ZGB neben der Aufhebung und Herabsetzung der nachehelichen Unterhaltsrente neu die Möglichkeit zu deren Sistierung geschaffen, wenn sich die wirtschaftlichen Verhältnisse einer oder beider Parteien erheblich verändert haben. Diese Bestimmung kommt auch bei der Anpassung der Renten mit Blick auf eine eheähnliche Lebensgemeinschaft zur Anwendung. Die Gerichte sollen mit der Einführung der Sistierungsmöglichkeit einen grösseren Gestaltungsspielraum bei der Regelung der Folgen einer solchen Beziehung für den Bestand der Unterhaltsrenten erhalten. Im Übrigen gibt es keine Anzeichen, dass der Gesetzgeber von der bisherigen Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Umschreibung der eheähnlichen Lebensgemeinschaft und deren Berücksichtigung im Unterhaltsrecht abrücken wollte. Im Rahmen der parlamentarischen Beratung wurde der Antrag von Nationalrätin Anita Thanei abgelehnt, wonach die eheähnliche Lebensgemeinschaft nur berücksichtigt werden dürfe, wenn diese zu einer tatsächlichen wirtschaftlichen Besserstellung der unterhaltsberechtigten Partei führe (Amtl. Bull, NR 1997 II S. 2702 ff.). Das Bundesgericht hat diesen klaren gesetzgeberischen Grundsatz respektiert und behandelt die Sistierung der Unterhaltsrente infolge eines Konkubinats nicht unter dem Aspekt der konkreten wirtschaftlichen Besserstellung der unterhaltsberechtigten Partei. Seiner Ansicht nach hat die Ratsmehrheit es abgelehnt, der vorgeschlagenen rein wirtschaftlichen Betrachtungsweise zu folgen. Damit seien sowohl wirtschaftliche wie auch andere Faktoren zu berücksichtigen (Urteil 5C.296/2001 vom 12. März 2002 E. 3 b/aa, in: Pra 2002 S. 810 und Hausheer/Spycher, Unterhalt nach neuem Scheidungsrecht, 2001, Rz. 10.30c und e).
2.2.2 Mit Blick auf die Tatsache, dass bei Auflösung der nichtehelichen Lebensgemeinschaft keinerlei Unterhaltsansprüche zwischen den vormaligen Partnern bestehen (E. 2.2 hiervor), hält die Lehre dafür, dass selbst bei stabiler nichtehelicher Lebensgemeinschaft nicht unmittelbar auf eine Verweigerung des Unterhalts zu erkennen sei; allerdings seien Konstellationen denkbar, bei denen der Beitragsschuldner ein legitimes Interesse an der Aufhebung haben könne (Schwenzer, a.a.O., N. 23 zu Art. 129 ZGB); im vorliegenden Fall bringt der Kläger keine Gründe vor, die vor dem Hintergrund der erhöhten Anforderungen eine Aufhebung der Unterhaltspflicht als legitim erscheinen lassen; die Verweigerung jeglichen Unterhaltsbeitrages in analoger Anwendung von Art. 129 Abs. 1 ZGB erweist sich daher als unangebracht.
2.3 Die Beklagte anerkennt, dass es sich bei ihrer Beziehung zu K._ um ein qualifiziertes Konkubinat handelt. Mit ihrer Anschlussberufung verlangt sie, von der Sistierung der Unterhaltsrente abzusehen. Ihrer Ansicht nach ist der nacheheliche Unterhaltsanspruch gegenüber ihrem geschiedenen Ehemann rein wirtschaftlich begründet. Es liege nicht an ihrem Konkubinatspartner, die von ihr durch die Scheidung erlittenen wirtschaftlichen Nachteile auszugleichen. Daher müsse die bisherige Rechtsprechung zum Einfluss des Konkubinats auf das Unterhaltsrecht so rasch wie möglich geändert werden. Das revidierte Scheidungsrecht stehe dem nicht entgegen, umso mehr als der Wille des Gesetzgebers hier nicht klar sei. Das Konkubinat sei neben anderen Faktoren auch wirtschaftlich zu betrachten, was die Vorinstanz unterlassen habe. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung erweise sich diesbezüglich ebenfalls als unklar.
In welchem Fall von einem qualifizierten Konkubinat gesprochen werden kann, beurteilt sich aufgrund der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nach dem umfassenden Beistand, den die Partner sich zu leisten bereit sind. Ob sie die finanziellen Mittel dazu überhaupt aufweisen, ist hingegen unerheblich. Die Folgen eines qualifizierten Konkubinats unterscheiden sich hier nicht vom Fall der Wiederverheiratung der unterhaltsberechtigten Partei, die ihren Anspruch selbst dann verliert, wenn der neue Ehepartner ihr nicht die gleiche Lebenshaltung bieten kann, wie es der bisherige Ehepartner getan hat (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 2a/aa). Diese Praxis gilt nach wie vor. Zudem hat der Gesetzgeber es im Rahmen der Revision des Scheidungsrechts klar abgelehnt, das Konkubinat der unterhaltsberechtigten Partei nur dann in Betracht zu ziehen, soweit ein solches mit wirtschaftlichen Vorteilen verbunden sei (E. 2.2.1). Der Beklagten kann damit nicht gefolgt werden, wenn sie meint, die Sistierung ihrer Rente sei aufzuheben, da sonst die durch die Scheidung erlittenen wirtschaftlichen Nachteile nun faktisch vom neuen Partner getragen werden müssten, der ihr gegenüber jedoch zu keinen Unterhaltsleistungen verpflichtet sei. Hier übersieht sie, dass es auf die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit ihres neuen Partners gerade nicht ankommt, sondern ausschliesslich seine Unterstützungsbereitschaft von Bedeutung ist. Letztere tut er bereits dadurch kund, als er sich an den gemeinsamen Lebenshaltungskosten beteiligt. Der Gesetzgeber hat vorgesehen, dass neben wirtschaftlichen auch andere Faktoren zu einer Sistierung der Unterhaltsrente führen können. Diese sehr offene Formulierung ist vom Bundesgericht übernommen worden und musste von ihm bisher nicht konkretisiert werden (Urteil 5C.296/2001 E. 3 b/aa vom 12. März 2002, in: Pra 2002 S. 810). Insofern kann auch von einer unklaren Rechtsprechung nicht die Rede sein. Angesichts des gesetzgeberischen Willens, die Modalitäten des Unterhaltsrechts flexibel zu gestalten, muss es der Praxis überlassen werden, hier Fallgruppen zu bilden. Welche wirtschaftlichen und andern Faktoren in ihrem Fall von Bedeutung sein können, in welchem Mass dies der Fall sein sollte, und wie sich die massgebenden Faktoren zu einander verhalten würden, legt die Beklagte nicht dar. Sie begnügt sich vielmehr mit allgemeinen Ausführungen zu den unterhaltsrechtlichen Folgen des qualifizierten Konkubinats. Hier kommt die Beklagte ihrer Begründungspflicht nicht nach (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG). Insgesamt ergeben sich somit keine Anhaltspunkte, wonach die Vorinstanz das ihr bei der Festlegung der Modalitäten des nachehelichen Unterhaltsbeitrages zustehende Ermessen überschritten haben sollte. Bei Vorliegen eines gefestigten Konkubinats erweist sich die Sistierung der Beitragspflicht ohne weiteres als gerechtfertigt.
3. Nach dem Gesagten ist den Anträgen beider Parteien kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss tragen sie die Gerichtskosten zu gleichen Teilen (Art. 156 Abs. 1 OG). Jede Partei trägt ihre eigenen Kosten (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Anschlussberufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 6'000.-- wird den Parteien hälftig auferlegt.
4. Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2006
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: