Sachverhalt:
A.
Nachdem A._ zwei Kostenerlassgesuche eingereicht hatte, forderte ihn das Generalsekretariat Gerichte Kanton Aargau (im Folgenden: Generalsekretariat) mit Schreiben vom 9. Mai 2014 auf, bis zum 31. Mai 2014 eine Stellungnahme zur möglichen Abweisung der Gesuche einzureichen. Mit Schreiben vom 2. Juni 2014 ersuchte A._ um Fristerstreckung bis zum 31. Oktober 2014. Dem entsprach das Generalsekretariat am 4. Juni 2014 nur teilweise, indem es die Frist zur Einreichung der Stellungnahme bis zum 20. Juni 2014 einmalig erstreckte.
B.
Dagegen erhob A._ am 16. Juni 2014 Beschwerde beim Justizgericht des Kantons Aargau. Er beantragte die Aufhebung des Entscheids des Generalsekretariats, die Fristerstreckung bis zum 31. Oktober 2014 sowie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Zudem habe der Präsident des Justizgerichts wegen Befangenheit in den Ausstand zu treten.
C.
Mit Zwischenentscheid vom 17. Juli 2014 wies das Justizgericht (im Ausstand des Präsidenten) das Ausstandsbegehren ab.
D.
Mit Urteil vom 15. September 2014 trat das Justizgericht auf die Beschwerde von A._ nicht ein. Es auferlegte ihm die Gerichtskosten von Fr. 500.-- und vertagte den Entscheid über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
E.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des Entscheids des Justizgerichts, die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie eine Parteientschädigung von mindestens Fr. 1'100.--. Des Weiteren ersucht er um aufschiebende Wirkung und um die Aufhebung der ihm vom Justizgericht auferlegten Gerichtskosten.
F.
Das Justizgericht und das Generalsekretariat haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Sie beantragen die Ablehnung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
1.1. Anfechtungsobjekt ist der letztinstanzliche kantonale Entscheid über die nur teilweise gewährte Fristerstreckung in einem Kostenerlassverfahren, nicht dagegen der Zwischenentscheid über den Ausstand. Diesen hat der Beschwerdeführer nicht angefochten. Diesbezüglich erhobene Rügen sind nicht zu hören.
1.2.
1.2.1. Gegen selbstständig eröffnete Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (<ref-law>), ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Der Ausnahmefall gemäss <ref-law> ist hier ohne Belang.
1.2.2. Die selbstständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 34; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.1). Die Ausnahme ist restriktiv zu handhaben. Die Parteien verlieren keine Rechte, wenn sie einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> nicht selbstständig anfechten können. Ihnen verbleibt immer noch die Möglichkeit, sich beim Bundesgericht mit Beschwerde gegen den Endentscheid zur Wehr zu setzen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2). Es obliegt dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, sofern das nicht offensichtlich ist (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.4.2).
1.2.3. Der Vorinstanz ist zuzustimmen, dass dem Beschwerdeführer kein nicht wieder gutzumachender Nachteil entsteht, wenn über die Frage, ob das Fristerstreckungsgesuch zu Recht teilweise abgelehnt worden ist oder nicht, erst im Rahmen der Beschwerde gegen den Endentscheid betreffend Kostenerlassgesuch befunden wird. Zutreffend hat sie auch darauf hingewiesen, dass der Beschwerdeführer bei der Anfechtung des Endentscheids keiner Rechte verlustig geht und insbesondere die Verletzung der Verfahrensgrundrechte (<ref-law> und Art. 6 § 1 EMRK) auch weiterhin geltend machen kann. Etwas anderes legt der Beschwerdeführer auch nicht dar.
1.2.4. Der Beschwerdeführer, der eine IV-Rente bezieht, erblickt in den ihm auferlegten Verfahrenskosten einen unzulässigen Eingriff in seine Existenzgrundlage und eine Erschwerung seines beruflichen Fortkommens. Seine Befürchtungen sind unbegründet. Die Vorinstanz hat den Entscheid über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege auf einen späteren Zeitpunkt verschoben und die Verfahrenskosten - für den Fall der späteren Ablehnung des Gesuchs - bereits festgesetzt. Anders kann der angefochtene Entscheid nicht verstanden werden, da man einen Rechtsuchenden, der um unentgeltliche Rechtspflege ersucht, nicht zur Tragung und Bezahlung von Kosten verpflichten kann, bevor über das Gesuch entschieden worden ist. Die Verfahrenskosten könnten daher erst eingefordert werden, wenn ein negativer Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ergehen sollte. Bis zu diesem Zeitpunkt droht dem Beschwerdeführer kein nicht wieder gutzumachender Nachteil. Gleiches gilt für die von ihm beanstandete Höhe der Verfahrenskosten von Fr. 500.--, die er gegebenenfalls mit Beschwerde gegen den Endentscheid immer noch anfechten kann.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Ob die Eingabe als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. Rechtsmittelbelehrung der Vorinstanz) oder - was mit Blick auf <ref-law> zutreffend erscheint - als Verfassungsbeschwerde zu behandeln gewesen wäre, kann offen bleiben, da <ref-law> bei beiden Beschwerdearten anwendbar ist (vgl. <ref-law>).
3.
Unter den gegebenen Umständen ist auf eine Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>), womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos wird. Eine Parteientschädigung (vgl. <ref-law>) ist nicht auszurichten. Mit diesem Entscheid ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Justizleitung des Generalsekretariats Gerichte Kanton Aargau und dem Justizgericht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic