Faits:
A. A._ et B._ exploitent un dancing à l'enseigne du "C._", à Genève, à la faveur d'une autorisation de construire délivrée par l'Office cantonal de l'inspection et des relations du travail le 9 octobre 1998.
A la suite de plaintes d'habitants de l'immeuble abritant le "C._", le Service cantonal de protection contre le bruit et les rayonnements non ionisants a procédé au mois de février 2011 à des mesures de bruit dans l'un des appartements du premier étage. Selon le rapport acoustique établi le 30 mars 2011, la musique en provenance du dancing engendrait alors un dépassement des valeurs limites légales allant jusqu'à 26 dB(A).
Par décision du 7 février 2012, le Service cantonal de l'environnement des entreprises a ordonné au "C._" d'installer un limiteur-enregistreur contrôlant tous les systèmes de diffusion sonore de l'établissement et garantissant que le niveau d'émission ne dépassera en aucun cas la valeur moyenne de 93 dB(A). Il lui a imparti un délai au 16 mars 2012 pour fournir une attestation d'installation du limiteur et un délai au 30 avril 2012 pour produire les relevés des niveaux sonores enregistrés.
Le Tribunal administratif de première instance de la République et canton de Genève a rejeté le recours interjeté contre cette décision par les exploitants du "C._" au terme d'un jugement rendu le 11 octobre 2012.
Statuant par arrêt du 18 décembre 2012, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève a déclaré irrecevable l'acte interjeté le 21 novembre 2012 par A._ et B._ contre ce jugement au motif qu'il n'était pas signé.
B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause à l'instance cantonale afin qu'elle entre en matière sur leur recours du 21 novembre 2012.
La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Département de l'intérieur, de la mobilité et de l'environnement, dont dépend le Service de l'environnement des entreprises, conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué.
Les recourants ont répliqué.
Par ordonnance présidentielle du 12 février 2013, l'effet suspensif a été accordé au recours.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision d'irrecevabilité rendue dans un domaine relevant du droit public de l'environnement, le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public conformément aux <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Les recourants, qui ont initié la procédure devant la Cour de justice, sont particulièrement touchés par l'arrêt attaqué qui déclare leur recours irrecevable parce que non signé et qui confirme l'obligation qui leur est faite d'équiper leur établissement d'un limiteur-enregistreur de son. Ils ont donc la qualité pour agir au sens de l'<ref-law>.
2. La Cour de justice a rappelé que la signature olographe originale était une condition que tout acte devait impérativement respecter pour être considéré comme un recours, sous peine d'irrecevabilité. Elle a relevé que, selon le droit en vigueur, le défaut de signature était cependant un vice réparable pour autant que celle-ci soit ajoutée pendant le délai de recours. Le recours contre le jugement du Tribunal administratif de première instance ayant été posté le dernier jour du délai de recours, il ne lui était matériellement plus possible de s'adresser à l'avocat des recourants pour réparer cette omission. Enfin, la signature de la lettre d'accompagnement du recours n'équivalait pas à la signature de ce dernier et ne permettait pas de couvrir le vice. Le recours ne pouvait donc qu'être déclaré irrecevable car non signé.
Invoquant les art. 9 et 29 al. 1 Cst., les recourants reprochent à la cour cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire et d'un formalisme excessif en déclarant leur recours irrecevable parce qu'il n'était pas signé sans leur avoir accordé un bref délai supplémentaire pour corriger ce vice. Ils tiennent également pour formaliste à l'excès le refus de considérer la signature de la lettre d'accompagnement de leur recours comme une signature originale de celui-ci.
2.1 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 319; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 5).
Le formalisme excessif est un aspect particulier du déni de justice prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. Il est réalisé lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi, complique de manière insoutenable la mise en oeuvre du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux. L'excès de formalisme peut résider soit dans la règle de comportement imposée au justiciable par le droit cantonal, soit dans la sanction qui lui est attachée. Le Tribunal fédéral examine librement ce grief (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 5 p. 253). En tant qu'elle sanctionne un comportement répréhensible de l'autorité dans ses relations avec le justiciable, l'interdiction du formalisme excessif poursuit le même but que le principe de la bonne foi consacré aux art. 5 al. 3 et 9 Cst. Ce principe commande à l'autorité d'éviter de sanctionner par l'irrecevabilité les vices de procédure aisément reconnaissables qui auraient pu être redressés à temps, lorsqu'elle pouvait s'en rendre compte suffisamment tôt et les signaler utilement au plaideur (<ref-ruling> consid. 3a p. 170; arrêt 2C_373/2011 du 7 septembre 2011 consid. 6.1). L'autorité qui méconnaît cette obligation doit alors tolérer que l'acte concerné soit régularisé, éventuellement hors délai (arrêt 1C_141/2011 du 14 juillet 2011 consid. 2 publié in SJ 2011 I 357).
2.2 Selon un arrêt publié aux <ref-ruling> consid. 2a p. 22, l'autorité qui reçoit une requête non signée a le devoir d'attirer l'attention de l'auteur sur ce défaut pour autant qu'en raison des circonstances, celui-ci doive normalement être aperçu d'emblée et que le délai encore disponible permette de mettre l'auteur en mesure de le réparer à temps. La Cour de justice ayant reçu le pli contenant le mémoire de recours le jour suivant l'échéance du délai de recours, il ne lui était pas possible de s'adresser à temps à l'avocat des recourants pour que celui-ci passe signer l'acte de recours ou mandate un de ses associés à cette fin pour le faire. Le défaut de signature qui affectait l'acte de recours n'était donc pas réparable dans le délai de recours. Cela ne signifie pas encore que la cour cantonale était dispensée pour autant d'accorder aux recourants un bref délai supplémentaire en vue de corriger le vice, voire qu'elle pouvait estimer sans formalisme excessif que le signature manuscrite de la lettre d'accompagnement ne suffisait pas pour couvrir le vice du défaut de signature de l'acte de recours.
2.3 Aucune des dispositions citées dans l'arrêt attaqué ne prescrit que le défaut de signature de l'acte de recours doive impérativement être réparé dans le délai de recours, sous peine d'irrecevabilité. L'art. 65 al. 3 de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 se borne à autoriser la juridiction saisie à impartir au recourant, sur demande motivée, un délai supplémentaire convenable pour compléter l'acte de recours. L'art. 52 al. 2 de la loi fédérale sur la procédure administrative du 20 décembre 1968 (PA) enjoint pour sa part l'autorité de recours à impartir au recourant un court délai supplémentaire pour régulariser le recours si le mémoire de recours ne porte pas la signature de son auteur. L'art. 30 al. 2 de la loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 (OJ), dans sa teneur originale, prévoyait pareille obligation uniquement pour produire le mémoire de recours en nombre suffisant ou pour avancer les frais de copie. Il n'instaurait aucune obligation analogue pour régulariser un acte de recours non signé et ne se prononçait pas davantage sur les conséquences d'une telle omission. Cela étant, le Tribunal fédéral a refusé de considérer l'octroi d'un court délai supplémentaire après l'expiration du délai de recours pour réparer le défaut de signature de l'acte de recours, tel que prévu à l'<ref-law>, comme un principe de droit qui valait de manière générale pour toutes les procédures et qui s'imposait aux cantons, en l'absence d'une disposition expresse; en revanche, il a précisé que l'autorité qui reçoit un recours non signé avait le devoir d'attirer l'attention de l'auteur sur ce vice s'il est en mesure de le réparer dans le délai légal de recours (cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 22; <ref-ruling> consid. 4c p. 174; <ref-ruling> consid. 2 p. 291; <ref-ruling> consid. 3 p. 144). Lors de la modification de la loi fédérale d'organisation judiciaire entrée en vigueur le 15 février 1992, les Chambres fédérales ont étendu l'application de l'art. 30 al. 2 OJ au cas où la signature de la partie ou du mandataire autorisé fait défaut (cf. FF 1991 II 508). Le Tribunal fédéral s'est alors demandé si cette nouvelle réglementation n'exprimait pas une règle générale, imposée par la prohibition du formalisme excessif et le principe de proportionnalité, qui s'imposerait également aux autorités cantonales. Il avait alors laissé la question indécise parce que cette disposition était entrée en vigueur postérieurement à la décision attaquée et qu'il était exclu d'appliquer rétroactivement une telle règle (cf. arrêt H 156/91 du 6 octobre 1992 consid. 4). Par la suite, il a considéré que le juge cantonal violait le principe constitutionnel de la bonne foi lorsqu'il déclare irrecevable un recours qui n'est pas signé sans avoir préalablement imparti à son auteur un délai convenable excédant, le cas échéant, le délai légal de recours, pour réparer le vice (arrêts 1A.6/1994 du 23 mars 1994 consid. 2b et 1P.11/1993 du 15 juin 1993 consid. 4c). Dans un arrêt rendu le 23 novembre 1994 et publié aux <ref-ruling> consid. 6a p. 419, il a confirmé cette jurisprudence, précisant que la possibilité d'octroyer un bref délai pour corriger le vice était l'expression d'un principe juridique découlant de l'interdiction du formalisme excessif qui vaut également dans la procédure cantonale. Cette jurisprudence a par la suite régulièrement été rappelée et appliquée (arrêt 1P.12/2002 du 2 avril 2002 consid. 3.2 in Pra 2002 n° 83 p. 470; arrêt U 401/99 du 26 mai 2000 consid. 4a in SVR 2001 UV n° 7 p. 27; arrêt 2P.278/1999 du 17 avril 2000 consid. 4c et les références citées), également sous l'empire de l'<ref-law>, qui a succédé à l'art. 30 al. 2 OJ (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 247). Tout au plus, le Tribunal fédéral a réservé le cas relevant de l'abus de droit où le vice résulterait d'une volonté délibérée du conseil de la partie recourante de bénéficier d'un délai supplémentaire pour motiver son recours (arrêt 1P.254/2005 du 30 août 2005 consid. 2.5 in Pra 2006 n° 51 p. 364). Cela étant, sous réserve d'un éventuel abus de droit, l'autorité cantonale doit accorder à l'auteur d'un mémoire d'un recours non signé un bref délai supplémentaire pour corriger le vice, même lorsque le délai de recours est échu.
En l'occurrence, aucun élément au dossier ne permet de retenir que l'absence de signature sur l'acte de recours résulterait d'une volonté délibérée du conseil des recourants afin de bénéficier d'un délai de recours prolongé pour en compléter la motivation. Aussi, au regard de la jurisprudence précitée, le refus de la Cour de justice d'accorder au conseil des recourants un bref délai supplémentaire pour corriger le vice relève de l'arbitraire et d'un formalisme excessif prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst.
2.4 Enfin, comme le relèvent les recourants, le courrier contenant leur acte de recours renfermait également une lettre d'accompagnement qui était signée d'un avocat-stagiaire de l'étude Poggia, agissant pour le compte de leur conseil. La Cour de justice n'a toutefois pas vu dans cette circonstance un motif propre à pallier le défaut de signature qui affectait le mémoire de recours, considérant que la signature de la lettre d'accompagnement du recours, par un avocat ou par une autre personne, n'équivalait pas à la signature de ce dernier.
La jurisprudence rendue sous l'empire de l'art. 30 al. 2 OJ, avant la révision de 1991, n'exigeait pas que la signature manuscrite figure sur l'acte de recours lui-même, mais il suffisait qu'elle se trouve sur une lettre d'accompagnement ou au dos de l'enveloppe qui le contient (ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 291; <ref-ruling> consid. 1 p. 67; <ref-ruling> consid. 2 p. 143 et les arrêts cités). Cette jurisprudence était censée contre-balancer la rigueur de la règle selon laquelle le vice tiré du défaut de signature ne pouvait pas être corrigé par l'octroi d'un délai supplémentaire. Elle a une portée générale et s'applique également lorsqu'il s'agit de la signature d'actes judiciaires cantonaux, du moins dans la mesure où le droit cantonal n'y déroge pas d'une manière compatible avec le principe de la bonne foi et l'interdiction du formalisme excessif (ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 291).
La Cour de justice ne prétend pas que la personne qui a paraphé la lettre d'accompagnement du recours n'était pas habilitée à agir au nom du conseil des recourants en l'absence de celui-ci. Il s'agirait en tout état de cause d'un vice réparable par l'octroi d'un délai visant à éclaircir ce point (<ref-ruling> consid. 3 p. 292; arrêt 1P.278/1990 du 2 mai 1991 consid. 1b). Cela étant, en refusant de considérer que la signature de la lettre d'accompagnement couvrait le vice tiré de l'absence de signature du recours, la cour cantonale a également fait preuve d'un formalisme excessif contraire à l'art. 29 al. 1 Cst.
3. Le recours doit par conséquent être admis et l'arrêt attaqué annulé. En application de l'<ref-law>, il convient de renvoyer l'affaire à la cour cantonale pour qu'elle octroie aux recourants un délai convenable afin de signer leur recours ou, si elle estime une telle formalité inutile, pour qu'elle statue directement au fond. Conformément à l'<ref-law>, le canton de Genève, qui succombe, ne saurait être astreint aux frais judiciaires. Il devra en revanche s'acquitter d'une indemnité de dépens en faveur des recourants, qui obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève pour qu'elle procède dans le sens des considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Une indemnité de 2'000 fr. à payer aux recourants, créanciers solidaires, à titre de dépens est mise à la charge du canton de Genève.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire des recourants, ainsi qu'au Département de l'intérieur, de la mobilité et de l'environnement et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 11 mars 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Aemisegger
Le Greffier: Parmelin