Sachverhalt:
A.
Die Einwohnergemeinde Wynigen genehmigte am 8. Juni 2010 ein von X._ eingereichtes Baugesuch für den Um- und Ausbau des bestehenden Stöcklis auf der in der Landwirtschaftszone gelegenen Parzelle Nr. 1111. Das Stöckli wurde im Bauinventar als erhaltenswertes Gebäude gefü hrt. Am 27. Oktober 2010 bewilligte die Einwohnergemeinde eine Projektänderung (Änderung der Raumaufteilung und des Kellergrundrisses sowie Fassadenänderung ost- und westseitig), nachdem das Amt für Gemeinden und Raumordnung des Kantons Bern eine entsprechende Ausnahmebewilligung gemäss Art. 24d RPG (SR 700) erteilt hatte.
Am 4. November 2010 verfügte die Einwohnergemeinde die sofortige Einstellung der Bauarbeiten. Sie stellte sich auf den Standpunkt, X._ habe entgegen dem bewilligten Vorhaben das bestehende Stöckli vollständig abgebrochen und mit einem Neubau begonnen. Sie räumte X._ die Möglichkeit ein, ein nachträgliches Baugesuch für den Abbruch und Neubau des Gebäudes einzureichen, was er am 16. August 2011 tat. Am 7. Februar 2012 wies die Einwohnergemeinde das Baugesuch für den Neubau ab, nachdem das Amt für Gemeinden und Raumordnung entschieden hatte, dass das Bauvorhaben nicht als zonenkonform eingestuft und eine Ausnahmebewilligung nach Art. 24 ff. RPG nicht erteilt werden könne. Gleichzeitig forderte die Einwohnergemeinde X._ unter Androhung der Ersatzvornahme sowie einer Busse auf, das im Rohbau erstellte Erdgeschoss sowie die Teile des im Rohbau erstellten Obergeschosses vollständig zu entfernen und die Baumaterialien wegzubringen.
B.
Eine von X._ gegen die Verfügung der Einwohnergemeinde vom 7. Februar 2012 erhobene Beschwerde wies die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern am 9. Mai 2012 ab. Dagegen erhob X._ Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Mit Urteil vom 23. April 2013 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde dahin gut, dass es die Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands auf vier statt zwei Monate ab Rechtskraft seines Urteils festsetzte. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts hat X._ am 29. Mai 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und ihm eine Baubewilligung zu erteilen für das von der Einwohnergemeinde am 8. Juni 2010 bzw. 27. Oktober 2010 bewilligte Projekt bzw. das am 7. Februar 2012 abgewiesene neue Baugesuch. Zu bewilligen sei ihm insbesondere der Wiederaufbau der ohne Baubewilligung entfernten Bauteile. Eventualiter sei der angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts an die Einwohnergemeinde zurückzuweisen.
D.
Mit Verfügung vom 25. Juni 2013 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Die Vorinstanz beantragt unter Hinweis auf das angefochtene Urteil Beschwerdeabweisung. Die Einwohnergemeinde beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Mit Eingabe vom 13. September 2013 hat der Beschwerdeführer an der Beschwerde festgehalten.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts bestätigt die Verweigerung der Baubewilligung für den Abbruch des bestehenden Stöcklis und den projektierten Neubau sowie die Anordnung, das Erd- und das Obergeschoss seien - soweit bereits errichtet - vollständig zu entfernen. Angefochten ist somit ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
2.
Nicht einzutreten ist auf den Antrag des Beschwerdeführers, ihm sei eine Baubewilligung zu erteilen für das von der Einwohnergemeinde am 8. Juni 2010 bzw. 27. Oktober 2010 bewilligte Projekt. Dieses sah die Erhaltung der aus denkmalschutzrechtlicher Sicht als wichtig erachteten Bauelemente des bestehenden Stöcklis vor, ist - nachdem der Beschwerdeführer das Gebäude vollständig abgebrochen hat (vgl. nachfolgend E. 5.2) - nicht mehr realisierbar und bildete demzufolge zu Recht nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens.
3.
Der rechtlich relevante Sachverhalt ergibt sich mit hinreichender Klarheit aus den Akten, weshalb die Anträge des Beschwerdeführers auf Durchführung eines Augenscheins sowie von Parteiverhören abzuweisen sind.
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht auf von ihm beantragte Beweismassnahmen verzichtet. Darin kann die Rüge einer Verletzung von <ref-law> erblickt werden.
Zum Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) gehört das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern sowie das Recht auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel. Indes kann der Richter das Beweisverfahren schliessen, wenn die Anträge nicht erhebliche Tatsachen betreffen. Gleichermassen kann er Beweisanträge ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs ablehnen, wenn er aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener antizipierter Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen).
Wie die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid zu Recht ausgeführt hat, durfte sie auf die beantragten Beweismassnahmen verzichten, weil nicht ersichtlich ist, inwiefern sie damit neue entscheidwesentliche Erkenntnisse hätte gewinnen können, welche sich nicht bereits aus den Akten ergaben. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang eine Verletzung von <ref-law> in genügender Weise begründet hat (vgl. Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), vermag er damit nicht durchzudringen.
5.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt.
5.1. Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Von der beschwerdeführenden Person kann die Feststellung des Sachverhalts wiederum nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
5.2. Die Vorinstanz hat in tatsächlicher Hinsicht festgestellt, in einer ersten Phase seien beim bestehenden Gebäude sämtliche Wände des Erdgeschosses sowie die nord-, west- und ostseitige Wand des Obergeschosses vollständig entfernt worden. Nachdem der Beschwerdeführer das Erdgeschoss und das Badezimmer im Obergeschoss neu aufgebaut habe, habe er in einer zweiten Phase den bis zu diesem Zeitpunkt abgestützten Rest des Gebäudes, nämlich den Rest der Südfassade, die Decke des Erdgeschosses sowie das Dach entfernt. Im Ergebnis sei das Stöckli somit vollständig abgebrochen und seien das Erdgeschoss sowie das Badezimmer im Obergeschoss neu erstellt worden. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe zwar einige Teile der ursprünglichen Baute in Überschreitung der Baubewilligung abgebrochen, sich im Übrigen aber an die bewilligten Pläne gehalten. Es handle sich deshalb nicht um einen Abbruch und einen Wiederaufbau.
Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf und es ist nicht ersichtlich, inwiefern die vorinstanzliche Feststellung, wonach im Ergebnis das bestehende Stöckli vollständig abgebrochen worden ist und das Erdgeschoss sowie das Badezimmer im Obergeschoss neu erstellt worden sind, offensichtlich unrichtig sein sollte. Vom Erdgeschoss, dem Obergeschoss sowie dem Dach der ursprünglichen Baute ist nichts mehr vorhanden. Unerheblich ist in diesem Zusammenhang, in welcher Abfolge die verschiedenen Gebäudeteile abgebrochen worden sind. Der Beschwerdeführer vermag mit der Rüge, es sei willkürlich, von einem Abbruch und Wiederaufbau des Gebäudes auszugehen, nicht durchzudringen. Ob die bereits errichteten neuen Bauteile den bewilligten Plänen entsprechen, ist für den Ausgang des Verfahrens nicht wesentlich.
5.3. Unbehilflich ist auch der Einwand des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe ein Schreiben der Denkmalpflege vom 19. November 2011 nicht richtig gewürdigt. Dies zumal nicht ersichtlich ist, inwiefern dieses Schreiben für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte.
6.
Die Parzelle Nr. 1111 liegt in der Landwirtschaftszone und damit ausserhalb der Bauzone. Unbestritten ist, dass das am 16. August 2011 eingereichte Baugesuch für ein Wohngebäude mit einer Bruttogeschossfläche von 240 m2 in der Landwirtschaftszone nicht zonenkonform ist und damit nach Art. 16a RPG (SR 700) nicht bewilligt werden kann (vgl. Art. 22 Abs. 2 lit. a RPG).
Für den Umbau des bestehenden Stöcklis erhielt der Beschwerdeführer am 8. Juni 2010 bzw. am 27. Oktober 2010 zwar eine Ausnahmebewilligung gemäss Art. 24d RPG in der bis zum 31. Oktober 2012 geltenden Fassung. Im Gegensatz zum nun begonnenen Bau sah das bewilligte Projekt allerdings die Erhaltung der aus denkmalschutzrechtlicher Sicht als wichtig erachteten Bauelemente vor. Art. 24d RPG erlaubt weder in der bis zum 31. Oktober 2012 noch in der seither geltenden Fassung den (freiwilligen) Abbruch und Wiederaufbau eines Gebäudes, weshalb das Baugesuch des Beschwerdeführers vom 16. August 2011 gestützt auf diese Bestimmung nicht bewilligt werden kann. Dies wird vom Beschwerdeführer auch nicht geltend gemacht.
7.
Umstritten und nachfolgend zu prüfen ist, ob für das am 16. August 2011 eingereichte Baugesuch gestützt auf Art. 24c RPG in der seit dem 1. November 2012 geltenden Fassung eine baurechtliche Bewilligung hätte erteilt werden müssen.
7.1. Art. 24c RPG gestattet in der seit dem 1. November 2012 geltenden Fassung unter bestimmten Voraussetzungen auch den Wiederaufbau altrechtlicher, vormals landwirtschaftlich genutzter Wohnbauten ausserhalb der Bauzonen (vgl. Urteil 1C_187/2011 vom 15. März 2012 E. 3.3). Es ist anzunehmen, dass das Stöckli des Beschwerdeführers vor dem Jahr 1972 als Wohnbaute rechtmässig erstellt worden ist, womit der revidierte Art. 24c RPG im Zeitpunkt des vorliegend angefochtenen Entscheids grundsätzlich anwendbar war (vgl. Art. 24c Abs. 1 und 3 RPG i.V.m. <ref-law> [SR 700.1] sowie <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 398 zu <ref-law> in der bis zum 31. Oktober 2012 geltenden Fassung). Die Vorinstanz setzte für eine Ausnahmebewilligung nach Art. 24c RPG aber zu Recht voraus, dass die bestehende Wohnbaute bei gewillkürtem Abbruch gestützt auf eine Abbruchbewilligung rechtmässig beseitigt werden kann. Erweist sich aus denkmalschutzrechtlicher Sicht der Abbruch einer bestehenden Baute als unzulässig, kann auch keine Bewilligung für den Abbruch und Wiederaufbau nach Art. 24c RPG erteilt werden (vgl. Bericht der Kommission für Umwelt, Raumplanung und Energie des Nationalrates vom 22. August 2011 zur Standesinitiative "Bauen ausserhalb der Bauzone", BBl 2011 7083 ff., S. 7090).
7.2. Bei der abgebrochenen Baute handelte es sich um ein erhaltenswertes Baudenkmal im Sinne von Art. 10a Abs. 1 und 3 des Baugesetzes des Kantons Bern vom 9. Juni 1985 (BauG; BSG 721.0). Erhaltenswerte Baudenkmäler sind in ihrem äusseren Bestand und mit ihren Raumstrukturen zu bewahren (Art. 10b Abs. 3 Satz 1 BauG). Ein Abbruch ist zulässig, wenn die Erhaltung unverhältnismässig ist, wobei das Baudenkmal im Falle einer Neubaute durch ein gestalterisch ebenbürtiges Objekt zu ersetzen ist (Art. 10b Abs. 3 Satz 2 BauG). Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe Art. 10a sowie 10b BauG willkürlich im Sinne von Art. 11 der Verfassung des Kantons Bern angewendet. Beiläufig beruft er sich in diesem Zusammenhang ausserdem auf die in <ref-law> gewährleistete Eigentumsgarantie.
Ob der angefochtene Entscheid mit Art. 10a sowie 10b BauG zu vereinbaren ist, prüft das Bundesgericht nur auf Willkür hin (vgl. <ref-law>) und nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtssatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 7.1 S. 51 mit Hinweisen). Denkmalschützerisch motivierte Eigentumsbeschränkungen müssen im öffentlichen Interessen liegen und verhältnismässig sein (Art. 36 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Ob letztinstanzliche kantonale Entscheide mit der Eigentumsgarantie vereinbar sind, prüft das Bundesgericht allerdings ebenfalls nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
7.3. In E. 3.3 f. des angefochtenen Entscheids hat die Vorinstanz gestützt auf Art. 10a sowie Art. 10b BauG nachvollziehbar begründet, weshalb das Stöckli erhaltenswert und der vollständige Abbruch unzulässig war. Sie ist zum Schluss gekommen, es sei verhältnismässig gewesen, die Erhaltung des Gebäudes bzw. gewisser Bauelemente zu verlangen. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht oder einen unrechtmässigen Eingriff in die Eigentumsgarantie zu belegen. Daran, dass aus denkmalschützerischer Sicht ein grosses Interesse bestand, gewisse Bauelemente zu erhalten, ändert der Einwand des Beschwerdeführers nichts, die Denkmalpflege habe der Erneuerung gewisser Bauteile zugestimmt. Nicht nachvollziehbar ist sodann der Einwand, nur der äussere Bestand der ganzen Baugruppe sei relevant, das Erscheinungsbild des Stöcklis hingegen nicht. Weshalb der Erhalt des Stöcklis bzw. gewisser Bauelemente im Gegensatz zu den Ausführungen der Vorinstanz unverhältnismässig hätte sein sollen, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Wenn der Beschwerdeführer schliesslich geltend macht, der geplante Bau sei im Vergleich zum ehemaligen Stöckli gestalterisch ebenbürtig, verkennt er, dass es darauf nicht ankommt, wenn die Erhaltung der bestehenden Baute nicht unverhältnismässig ist.
7.4. Soweit der Beschwerdeführer überhaupt in genügender Weise rügt, die Vorinstanz habe kantonales Recht willkürlich angewendet bzw. gegen <ref-law> verstossen, indem sie den Abbruch des bestehenden Gebäudes als unzulässig eingestuft hat, vermag er damit nicht durchzudringen. Weil sich der Abbruch des Stöcklis aus denkmalschutzrechtlicher Sicht als unzulässig erweist, kann für das Baugesuch vom 16. August 2011 auch eine Bewilligung nach Art. 24c RPG nicht erteilt werden.
8.
Die Vorinstanz bestätigte mit dem angefochtenen Entscheid ferner die Anordnung, wonach der Beschwerdeführer das im Rohbau erstellte Erdgeschoss sowie die Teile des im Rohbau erstellten Obergeschosses vollständig zu entfernen und die Baumaterialien wegzubringen hat. Der Beschwerdeführer macht geltend, es sei nicht klar, was und wie zurückgebaut werden müsse. Nachdem er für den Abbruch des bestehenden Stöcklis wegen Widerhandlung gegen das kantonale Baugesetz zu einer Busse verurteilt worden sei, stelle die Abbruchverfügung sodann eine doppelte Bestrafung dar, welche nicht zu rechtfertigen sei. Ausserdem liege die Anordnung nicht im öffentlichen Interesse und sei unverhältnismässig.
8.1. Unbestritten ist, dass das ebenfalls neu erstellte Kellergeschoss mit einer Heizanlage nicht beseitigt werden muss. Welche Bauelemente der Beschwerdeführer zu entfernen hat, ist Ziffer 5.2 des Entscheids der Einwohnergemeinde vom 7. Februar 2012 sowie dem angefochtenen Entscheid unmissverständlich zu entnehmen, weshalb dem Beschwerdeführer nicht gefolgt werden kann, wenn er geltend macht, die umstrittene Anordnung sei unklar. Sodann kann von einer ungerechtfertigten doppelten Bestrafung nicht gesprochen werden, zumal die Anordnung zur Entfernung bestimmter Bauelemente keine Bestrafung darstellt, sondern der Wiederherstellung des baurechtskonformen Zustands dient.
8.2. Als Eigentumsbeschränkung ist die Anordnung der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands nur zulässig, wenn sie auf einer gesetzlichen Grundlage beruht, im öffentlichen Interesse liegt und verhältnismässig ist (<ref-law>). Das Verhältnismässigkeitsprinzip besagt, dass die Grundrechtseinschränkung zur Erreichung des angestrebten Ziels geeignet und erforderlich sein muss und dem Betroffenen in Anbetracht der Schwere der Grundrechtseinschränkung zumutbar ist. Das Vorliegen eines öffentlichen Interesses und die Verhältnismässigkeit prüft das Bundesgericht bei der Beschränkung von Grundrechten frei (<ref-ruling> E. 4.4.1 S. 204 mit Hinweisen).
Im Falle einer nicht den Bauvorschriften bzw. der Baubewilligung entsprechenden Baute kann die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands unterbleiben, wenn die Abweichung vom Erlaubten nur unbedeutend ist oder die Wiederherstellung nicht im öffentlichen Interesse liegt, ebenso, wenn der Bauherr in gutem Glauben angenommen hat, die von ihm ausgeübte Nutzung stehe mit der Baubewilligung im Einklang, und ihre Fortsetzung nicht schwerwiegenden öffentlichen Interessen widerspricht (<ref-ruling> E. 6 S. 35; <ref-ruling> E. 6 S. 221 mit Hinweisen). Auf die Verhältnismässigkeit berufen kann sich auch ein Bauherr, der nicht gutgläubig gehandelt hat. Er muss aber in Kauf nehmen, dass die Behörden aus grundsätzlichen Erwägungen, namentlich zum Schutz der Rechtsgleichheit und der baulichen Ordnung, dem Interesse an der Wiederherstellung des gesetzmässigen Zustands erhöhtes Gewicht beimessen und die dem Bauherrn allenfalls erwachsenden Nachteile nicht oder nur in verringertem Masse berücksichtigen (<ref-ruling> E. 6.4 S. 39 f.; <ref-ruling> E. 6b S. 224).
8.3. Gesetzliche Grundlage für die von der Vorinstanz bestätigte Anordnung bildet Art. 46 Abs. 2 lit. e BauG. Nach dieser Bestimmung entscheidet die Baubewilligungsbehörde, ob und inwieweit der rechtmässige Zustand wiederherzustellen ist, wenn ein nachträgliches Baugesuch nicht bewilligt werden kann. Die vorliegend umstrittene Anordnung dient der Wiederherstellung des baurechtskonformen Zustands. Sie soll die rechtsgleiche Anwendung und Durchsetzung der Bauvorschriften sowie des Raumplanungsrechts sicherstellen und stellt eine im öffentlichen Interesse liegende, hierfür geeignete Massnahme dar. Wie die Vorinstanz zu Recht ausgeführt hat, ist die Wiederherstellung des abgebrochenen erhaltenswerten Stöcklis bzw. der geschützten Bauelemente nicht mehr möglich, weshalb der Beschwerdeführer nicht verpflichtet werden kann, im Sinne einer milderen Massnahme die ursprüngliche Baute nachzubilden.
Das vom Beschwerdeführer ausserhalb der Bauzone ohne Bewilligung begonnene Bauprojekt verletzt den Grundsatz der Trennung des Baugebiets vom Nichtbaugebiet. Dabei handelt es sich um ein grundlegendes Prinzip des Raumplanungsrechts. Die Abweichung vom Gesetz kann nicht als geringfügig eingestuft werden, zumal gemäss der Rechtsprechung das öffentliche Interesse an der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands hinsichtlich des Grundsatzes der Trennung des Baugebiets vom Nichtbaugebiet als sehr stark zu gewichten ist (vgl. Urteil 1C_37/2013 vom 9. Oktober 2013 E. 7.3 mit Hinweisen). Sodann musste der Beschwerdeführer aufgrund der Umstände wissen, dass ihm ein vollständiger Abbruch des bestehenden Stöcklis nicht bewilligt worden war und nicht bewilligt werden konnte, sodass er nicht in gutem Glauben annehmen durfte, die Bautätigkeit stehe mit einem bewilligten Baugesuch im Einklang. Dem öffentlichen Interesse an der Anordnung des rechtmässigen Zustands stehen Vermögensinteressen des Beschwerdeführers entgegen, da ihm für den teilweise realisierten Neubau bereits erhebliche Kosten angefallen sind und die Entfernung der nicht bewilligten Bauelemente weitere Kosten verursachen wird. Diese privaten Interessen werden von den öffentlichen, für die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands sprechenden Interessen übertroffen, weshalb dem Beschwerdeführer die mit der Anordnung der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands verbundene Eigentumsbeschränkung grundsätzlich zumutbar ist.
8.4. Zu berücksichtigen ist allerdings, dass die Vorinstanz unter Hinweis auf die Akten die Bewilligungsfähigkeit eines Stöcklis mit einer Bruttogeschossfläche von 100 m2 statt 240 m2 auf der Parzelle Nr. 1111 als in der Landwirtschaftszone zonenkonforme Baute nicht ausschliesst und dass es in diesem Zusammenhang unter Umständen möglich wäre, Teile des bereits im Rohbau erstellten Erdgeschosses weiter zu verwenden. Die vorbehaltlos angeordnete Entfernung der im Rohbau erstellten Bauelemente erweist sich unter diesen Umständen als unverhältnismässig, solange nicht klar ist, ob der Beschwerdeführer ein Gesuch um Bewilligung eines reduzierten Projekts einreichen und - gegebenenfalls - ob ein solches bewilligt wird (vgl. Urteil 1C_77/2010 vom 11. Oktober 2010 E. 9.2). Der angefochtene Entscheid ist deshalb insoweit aufzuheben, als vorbehaltlos die Entfernung bestimmter Bauelemente verlangt wird. Dem Beschwerdeführer ist stattdessen eine Frist anzusetzen, innert welcher er entweder ein neues Gesuch um Bewilligung eines reduzierten Projekts stellen oder aber die in Frage stehenden Bauteile nach Massgabe des angefochtenen Entscheids zu entfernen haben wird. Für den Fall, dass der Beschwerdeführer ein Gesuch um Bewilligung eines reduzierten Projekts einreichen, dieses sich aber als nicht bewilligungsfähig erweisen sollte, wäre ihm dannzumal eine neue Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands anzusetzen. Sollte sich ein reduziertes Projekt als bewilligungsfähig erweisen, wäre mittels eines Vergleichs zwischen dem bewilligten Projekt und dem Referenzzustand erneut festzustellen, welche der ursprünglich verfügten Massnahmen zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands noch erforderlich sein werden.
9.
Die Beschwerde ist im Sinne der Erwägungen teilweise gutzuheissen. Der Entscheid der Vorinstanz ist aufzuheben, soweit vorbehaltlos die Entfernung bestimmter Bauelemente verlangt wird. Der Beschwerdeführer ist anzuweisen, entweder innerhalb von vier Monaten nach Ausfällung dieses Entscheids den Anordnungen gemäss Ziffer 5.2 des Entscheids der Einwohnergemeinde vom 7. Februar 2012 Folge zu leisten oder aber ein neues Gesuch um Bewilligung eines reduzierten Projekts einzureichen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Sache ist zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorangegangenen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG). Bei diesem Verfahrensausgang sind dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (vgl. <ref-law>). Der Kanton Bern hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung auszurichten (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgericht vom 23. April 2013 aufgehoben, soweit vorbehaltlos die Entfernung bestimmter Bauelemente verlangt wird. Der Beschwerdeführer hat innerhalb von vier Monaten nach Ausfällung dieses Entscheids entweder den Anordnungen gemäss Ziffer 5.2 des Entscheids der Einwohnergemeinde vom 7. Februar 2012 Folge zu leisten oder aber ein neues Gesuch um Bewilligung eines reduzierten Projekts einzureichen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten (und der Parteientschädigung) des vorangegangenen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Die reduzierten Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Kanton Bern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Wynigen, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle