(staatsrechtliche Beschwerde gegen die Urteile der Appellationsgerichtsausschüsse des Kantons Basel-Stadt vom 12. Januar 2001 [Verf. Nr.ZZ 6/2000/SWU/so und ZZ 6/2000/ASC/so]), hat sich ergeben:
A.- Der in Basel praktizierende Advokat Dr. J._ war seit der am 9. Dezember 1987 durch D._ erfolgten Gründung Protektor des liechtensteinischen Trusts "The D._ Settlement". In dieser Funktion hatte er seine Zustimmung zur Verwaltung einschliesslich Kreditaufnahme und Verpfändung des Trustvermögens durch die C._ AG in Vaduz zu erteilen. D._ entwickelte nach der Gründung des Trusts über eine Reihe von ihm beherrschter Firmen eine rege Geschäftstätigkeit. Im Rahmen dieser Aktivitäten nahm er im eigenen Namen wie auch in dem des Trusts oder einer seiner Firmen bei verschiedenen Finanzinstituten Kredite auf.
Am 9. Januar 1989 gewährte die G._ Ltd.
in London dem "D._ Settlement" ein Darlehen über £ 600'000.--. Als Sicherheit wurden unter anderem dem Trustvermögen gehörende Aktien der British Petroleum und der British Gas in Pfand gegeben. J._ unterzeichnete am 10. Januar 1989 als Protektor den Kreditvertrag. Gleichentags bestätigte er der G._ Ltd. auf dem Briefpapier seiner Anwaltskanzlei, dass er sich der Sicherstellungsfunktion der Aktien bewusst sei, diese bis zur formellen Verpfändung zu ihren Gunsten in seinem Besitz halte und nicht ohne ihre schriftliche Zustimmung herausgeben werde. Im Hinblick auf eine Kreditverlängerung bestätigte J._ der G._ Ltd. am 27. April 1990, dass er die Aktien weiterhin für sie als Sicherheit halten werde und dafür besorgt sei, dass sie ihrer Zürcher Niederlassung übergeben würden. Im Rahmen einer erneuten Kreditverlängerung bestätigte J._ am 18. März 1991 ein drittes Mal, die besagten Aktien für die G._ Ltd. zu halten. In Wirklichkeit hatte er die Aktien weder gesehen noch jemals in Händen gehabt.
Am 5. Juni 1990 unterzeichnete D._ namens der von ihm beherrschten T._ Holding Ltd. mit der Bank Z._ einen Kreditvertrag über £ 1'500'000.--.
Als Sicherheit dienten sämtliche gegenwärtigen und künftigen Vermögenswerte des "D._ Settlement", die der Bank verpfändet wurden. Das gesamte Aktienkapital der Bank Z._ wurde am 2. November 1990 von der Bank X._ in Zürich (heute Bank Y._) übernommen. Der Übernehmerin wurde ein nachgeführtes Vermögensverzeichnis des Trusts ausgehändigt, welches J._ am 27. Februar 1991 als zutreffend bestätigte und lediglich um eine Verbindlichkeit des Trusts zugunsten der T._ Ltd. ergänzte. Die Bank verzichtete daraufhin auf das ihr im Übernahmevertrag eingeräumte Recht, bezüglich gewisser Kreditpositionen der Bank Z._ Vorbehalte anzubringen und gewährte der T._ Ltd. am 15. Mai 1991 einen weiteren Kredit über £ 1'000'000.-- sowie D._ persönlich einen solchen über £ 1'500'000.--; letzterer diente der Ablösung des am 5. Juni 1990 der T._ Holding Ltd. gewährten Kredits.
Wie sich später herausstellte, entsprach das von J._ als korrekt bezeichnete Vermögensverzeichnis in keiner Weise der Wirklichkeit.
B.- Das Strafgericht Basel-Stadt sprach J._ am 5. November 1998 der mehrfachen Urkundenfälschung schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingten Gefängnisstrafe von sieben Monaten. Von der Anklage des mehrfachen Betrugs sprach es ihn frei und auf die Zivilbegehren der Bank Y._ trat es nicht ein.
Auf Appellation des Verurteilten und Anschlussappellation der Bank Y._ bestätigte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 17. Dezember 1999 das erstinstanzliche Urteil, wobei es die Schadenersatzforderung der Bank auf den Zivilweg verwies.
Das Bundesgericht hiess die von J._ dagegen erhobene staatsrechtliche Beschwerde am 10. Oktober 2000 gut, soweit es darauf eintrat, und hob das Urteil des Appellationsgerichts auf.
C.- J._ reichte dem Appellationsgericht ein Rekusationsbegehren gegen die Gerichtsmitglieder F._, B._ und W._ ein, welches vom Appellationsgericht mit Zwischenurteil vom 12. Januar 2001 abgewiesen wurde (Verf. Nr.ZZ 6/2000/SWU/so).
Mit Urteil vom gleichen Tag bestätigte das Appellationsgericht den erstinstanzlichen Entscheid erneut und wies das Entschädigungs- und Genugtuungsbegehren von J._ ab (Verf. Nr.ZZ 6/2000/ASC/so).
D.-J._ beantragt mit staatsrechtlicher Beschwerde, das Zwischenurteil und das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und das Appellationsgericht schliessen auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Nach der in Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Abs. 1 EMRK enthaltenen Garantie des verfassungsmässigen Richters hat der Rechtsuchende Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen und unabhängigen Richter ohne Einwirkung sachfremder Umstände entschieden wird. Liegen bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vor, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit begründen können, so ist die Garantie verletzt. Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit und damit Misstrauen in das Gericht kann bei den Parteien immer dann entstehen, wenn einzelne oder alle Mitglieder des Spruchkörpers an einer Streitsache bereits in einem früheren Verfahren mitgewirkt haben. Nach der Rechtsprechung gilt indessen ein Richter, dessen Entscheid im Rechtsmittelverfahren aufgehoben wird, im Hinblick auf die Neubeurteilung der Sache noch nicht als befangen oder voreingenommen. Eine allgemeine Aussage, in welcher Situation die Vorbefassung nicht mehr zulässig ist, kann nicht gemacht werden. Es müssen zusätzliche Umstände hinzutreten, die einen Richter als nicht mehr unparteiisch erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 3a/c; zur Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte vgl. Frowein/Peukert, Europäische Menschenrechtskonvention,
2. Aufl. , Kehl 1996, Art. 6 N 131). Dies kann etwa der Fall sein, wenn der Richter nach Aufhebung seines früheren Urteils durch die obere Instanz auf seine Überzeugung zurückkommen und entgegen seiner persönlichen Gewissheit Beweisabnahmen ausführen sowie deren Ergebnisse neu werten müsste. In einer solchen Situation kann das Verfahren in Bezug auf den konkreten Sachverhalt und die zu entscheidenden Rechtsfragen allenfalls nicht mehr offen erscheinen (<ref-ruling> E. 2a und 2b). Verfahrens- und andere Rechtsfehler, die einem Gericht unterlaufen, können den Anschein der Befangenheit dagegen nur begründen, wenn sie wiederholt begangen wurden oder so schwer wiegen, dass sie Amtspflichtverletzungen darstellen (<ref-ruling> E. 3a).
a) Der Beschwerdeführer rügt, das Appellationsgericht habe in der zweiten Verhandlung die identische Frage wie anlässlich der ersten Verhandlung zu beantworten gehabt.
Die Akten seien um kein Aktenstück, mit Ausnahme der Akten des bundesgerichtlichen Verfahrens, erweitert worden. Eine erneute Abnahme von Beweismitteln sei entfallen und der Beschwerdeführer habe auch nichts beigefügt. Wenn das Appellationsgericht ausführe, "einer erneuten Überprüfung der bereits seit Anbeginn des Prozesses vorhandenen Akten auf die objektiven und subjektiven Tatbestandselemente von Art. 251 Ziff. 1 StGB anhand der vorliegenden Beweismittel und Indizien steht daher nichts im Wege", könne dies nur bedeuten, dass Prozessakten, die vorlägen und bereits in der Urteilsfindung berücksichtigt worden seien, nochmals oder eben erneut beigezogen und "überprüft" würden. Es gehe im vorliegenden Fall nicht darum, dass die früheren Richter, deren Urteil im Rechtsmittelverfahren kassiert worden sei, im neuen Verfahren grundsätzlich wegen ihrer früheren Mitwirkung als befangen zu gelten hätten, sondern um die Tatsache, dass das Appellationsgericht bereits innere Vorgänge bei der Beurteilung des subjektiven Tatbestands beurteilt habe, die es nun erneut beurteilen müsse und zwar ohne wesentliche Veränderung der Situation. In einem solchen Fall sei das Appellationsgericht ausserstande, die Sache noch einmal unvoreingenommen zu behandeln. Bezogen auf den vorliegenden Fall müsste sie eine andere Bewertung des subjektiven Tatbestandes vornehmen und dies entgegen ihrer bereits mehrmals geäusserten "Gewissheit" und ohne neue Beweislage (Beschwerdeschrift S. 4 ff. Ziff. 5 f.).
b) Grundsätzlich gilt ein Richter wegen seiner früheren Mitwirkung an einem Urteil nicht als befangen, wenn er nach einem Rechtsmittelverfahren in derselben Sache wieder entscheidet (<ref-ruling> E. 3d, S. 58 mit Hinweisen). Weshalb vorliegend etwas anderes gelten sollte, ist nicht ersichtlich.
Das Bundesgericht beanstandete den ersten Entscheid des Appellationsgerichts, weil dieses die Feststellung der Schädigungs- bzw. unrechtmässigen Vorteilsabsicht auf keinerlei Beweisgrundlage abgestützt hatte. Es war somit die mangelhafte Urteilsbegründung, die das Bundesgericht eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" annehmen liess. Dem Appellationsgericht standen in der Folge zwei Möglichkeiten offen: Findet es keine Beweisgrundlage für den subjektiven Tatbestand, muss es den Beschwerdeführer freisprechen, und im gegenteiligen Fall kommt es wieder zu einer Verurteilung. Damit war aber der Ausgang der neuerlichen Beurteilung offen, weshalb die Argumentation des Beschwerdeführers (E. a) an der Sache vorbeigeht. Sein Vorwurf wäre höchstens begründet gewesen, wenn das Appellationsgericht in seinem ersten Entscheid in antizipierter Beweiswürdigung vom Vorliegen des objektiven Tatbestands auf den subjektiven geschlossen hätte, und zwar selbst wenn die Akten für die Vorteils- und Schädigungsabsicht des Beschwerdeführers keine Anhaltspunkte enthielten. Das war jedoch nicht der Fall.
Auch die übrigen Vorbringen des Beschwerdeführers vermögen die Unbefangenheit der abgelehnten Richter nicht in Frage zu stellen. Insbesondere die Verfügung vom 25. Oktober 2000 (Beilage 11 zur staatsrechtlichen Beschwerde) lässt keinen Anschein der Befangenheit erkennen.
2.- Die staatsrechtliche Beschwerde ist von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen kassatorischer Natur (<ref-ruling> E. 1c, 124 I 327 E. 4). Damit kann auf die Anträge des Beschwerdeführers nicht eingetreten werden, soweit er mehr als die Aufhebung des angefochtenen Urteils verlangt.
Die in der staatsrechtlichen Beschwerde erhobenen Rügen erlauben dem Bundesgericht eine Überprüfung des angefochtenen Urteils. Nicht Gegenstand des Verfahrens sind hingegen Äusserungen des Präsidenten des Appellationsgerichts gegenüber der Presse. Angesichts des Novenverbots im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren kann der vom Beschwerdeführer ins Recht gelegte Zeitungsartikel ohnehin nicht berücksichtigt werden.
3.- Der Beschwerdeführer wirft dem Appellationsgericht vor, im angefochtenen Urteil keine neuen beweiskräftigen Feststellungen getroffen zu haben, aufgrund derer ihm eine Vorteils- bzw. Bereicherungsabsicht im Sinne von Art. 251 Ziff. 1 StGB vorgeworfen werden könnte. Es begnüge sich in diesem Zusammenhang erneut mit apodiktischen Behauptungen und verletze so den Grundsatz der Unschuldsvermutung nach Art. 32 Abs. 1 BV.
Soweit der Beschwerdeführer mit diesen Vorbringen dartun will, das Appellationsgericht hätte im Anschluss an den Entscheid des Bundesgerichts vom 10. Oktober 2000 zusätzliche Beweise erheben müssen, kann ihm nicht zugestimmt werden. Im genannten Urteil hielt das Bundesgericht lediglich fest, dass jede Beweisgrundlage fehle, um dem Angeschuldigten vorzuwerfen, er habe D._ oder der T._ Holding Ltd. zumindest eventualvorsätzlich einen unrechtmässigen Vorteil verschaffen wollen. Die Verurteilung wegen Urkundenfälschung verletze damit den Grundsatz "in dubio pro reo". Es versteht sich von selbst, dass die Annahme einer Vorteils- oder Bereicherungsabsicht und damit eine erneute Verurteilung des Beschwerdeführers nur gestützt auf die notwendigen Sachverhaltsfeststellungen vor Art. 32 Abs. 1 BV standhält.
4.- a) Im Einzelnen verweist der Beschwerdeführer auf das erstinstanzliche Strafurteil, wo festgehalten werde, die Aussagen der Zeugin H._, ehemals für die Betreuung der "D._ Settlement" zuständige Mitarbeiterin der C._ AG, seien zu vage, um den geforderten Wissensnachweis zu erbringen. Deren Aktennotiz enthalte keinen Hinweis darauf, dass anlässlich des "Board Meeting" vom 7. Dezember 1990 in London über die hier interessierenden Kreditgeschäfte gesprochen worden sei. Gleichwohl werde im nunmehr angefochtenen Urteil ausgeführt, der Angeschuldigte habe davon ausgehen müssen, dass seine Bestätigung einem wirtschaftlichen Zweck diene und höchstwahrscheinlich mit einem neuen Kreditgeschäft entweder zugunsten von D._ oder seiner T._ Ltd. mit entsprechender Sicherstellung durch das Trustvermögen in Zusammenhang gestanden sei. Diese Schlussfolgerung sei unzulässig und durch keinerlei Beweise unterlegt.
Die Erkenntnis des Appellationsgerichts, der Beschwerdeführer habe das Kreditverhältnis der T._ Holding Ltd. mit der Bank Z._ und die Bedeutung des von ihm erstellten Vermögensstatus im Rahmen der Übernahme durch der Bank X._ gekannt, stützt das Gericht nicht einzig auf die Aussagen der Zeugin H._ an der Hauptverhandlung und deren Telefonnotiz vom 12. März 1991. Zusätzlich - und dies dürfte entscheidend gewesen sein - zitiert es die Erklärungen von H._ in der Voruntersuchung, wonach es dem Beschwerdeführer bekannt gewesen sei, wofür der Vermögensstatus benötigt worden sei. Er sei bei den meisten Verhandlungen mit den Banken für die Kreditvergabe dabei gewesen und zwischen ihm und D._ hätten enge Beziehungen bestanden. Damit enthält das angefochtene Urteil genügend Angaben, die im Hinblick auf die Vorteilsabsicht des Beschwerdeführers gewürdigt werden können.
b) In diesem Zusammenhang betont der Beschwerdeführer, dass die allgemeine Lebenserfahrung im Wirtschaftsleben den fehlenden Nachweis einer Vorteilsabsicht nicht erbringen könne. Sie spiele vorliegend nicht, da sämtliche in die Geschäfte des Trusts oder von D._ involvierten Personen und Banken sich gegenseitig gekannt hätten und über vorhandene Kreditengagements im Bilde gewesen seien.
Bei dieser Rüge lässt der Beschwerdeführer ausser Acht, dass das Appellationsgericht den Vorwurf der Vorteilsabsicht nur mit dem Hinweis auf seine Erfahrung als Wirtschaftsanwalt und Protektor des Trusts begründete, falls er bei Abgabe der Bestätigung vom 27. Februar 1991 nichts Konkretes über die Prüfung der Kredite durch die WPZ anlässlich der Übername der Bank Z._ gewusst haben sollte.
Im Übrigen gehen aus dem angefochtenen Urteil weitere Gründe für den genannten Vorwurf hervor, womit der Einwand der Unmassgeblichkeit zu Unrecht erhoben wird.
c) Zudem wirft der Beschwerdeführer dem Appellationsgericht vor, im angefochtenen Urteil kein Wort über den Täuschungswillen zu verlieren. Ein solcher liege aufgrund der Zeugenaussagen O._ und S._ ohnehin nicht vor.
Im Fall G._ Ltd. hält das Appellationsgericht dem Beschwerdeführer vor, dass er mit seinen wahrheitswidrigen Darstellungen beabsichtigt oder zumindest aber in Kauf genommen habe, seinem Freund D._ bzw. dessen Trust einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen (angefochtener Entscheid S. 13 f.). Auch im Fall der WPZ stellt das Gericht fest, dass der Beschwerdeführer wissentlich unrichtige Angaben gemacht und so zumindest einen Vorteil für die genannten Kreditnehmer in Kauf genommen habe (S. 16). Ob die Adressaten seiner Erklärungen getäuscht werden konnten, ist unerheblich, da nur die Absicht entscheidend ist. Damit erweist sich die Rüge als unbegründet und erübrigt sich die Prüfung der angeführten Zeugenaussagen.
d) Nach Ansicht des Beschwerdeführers spricht zudem der Umstand, dass die auf die verschiedenen Kredite anfallenden Schuldzinsen bis November 1991 vollumfänglich bezahlt worden seien, gegen seine Bevorteilung Dritter.
Auch hätten seine Bestätigungen gegenüber den Banken nicht in erster Linie der Sicherstellung einzelner Kredite gedient, sondern der Durchführung der Darlehensaufnahmen.
Schliesslich äussert er sich zur Eventualabsicht und zum Freispruch von D._ durch die englischen Gerichte.
Bei diesen Vorbringen handelt es sich um Rechtsfragen, die im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nicht zu prüfen sind (Art. 84 Abs. 2 OG und Art. 269 Abs. 1 BStP).
5.- Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Strafprozessordnung in zweifacher Hinsicht.
Das Appellationsgericht wäre gemäss § 183 Ziff. 3 StPO/BS gehalten gewesen, das mündlich eröffnete Urteil den Parteien im Dispositiv innert 20 Tagen seit der mündlichen Eröffnung zuzustellen. Dieser Verpflichtung sei das Appellationsgericht nicht nachgekommen. Inwiefern es sich bei dieser Bestimmung um mehr als eine Ordnungsvorschrift handeln sollte, ist nicht ersichtlich, weshalb das nicht fristgemässe Zustellen des Urteilsdispositivs die Aufhebung des angefochtenen Entscheids nicht rechtfertigt.
Zudem gehe das Appellationsgericht in unhaltbarer Weise davon aus, dass der Beschwerdeführer die Strafzumessung, auch nicht im Eventualstandpunkt, nicht angefochten habe. Im Appellationsverfahren beantragte der Beschwerdeführer lediglich Freispruch vom Vorwurf der mehrfachen Urkundenfälschung. Zumindest aus den Darlegungen des Beschwerdeführers ist nicht ersichtlich, inwiefern § 183 Ziff. 1 StPO/BS, wonach das Appellationsgericht durch die Anträge der Parteien nicht gebunden ist, dadurch in unhaltbarer Weise verletzt sein sollte (vgl. Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
6.- Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht (Ausschuss) des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 24. August 2001
Im Namen des Kassationshofes
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: