Sachverhalt:
A. Der 1979 geborene S._ schloss 1999 eine Ausbildung zum Elektromonteur mit Fähigkeitsausweis ab. Er leidet an den Folgen eines am 7. Juli 2000 beim Fussballspiel erlittenen Schädel-Hirn-Traumas (Kompressionsfraktur der Schädelkalotte, Epiduralhämatom) sowie an einer schon vorher bestandenen Aufmerksamkeitsdefizitstörung (ADS). Am 7. März 2005 meldete sich S._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug (Berufsberatung, Umschulung) an. Die IV-Stelle des Kantons Schaffhausen lehnte das Gesuch ab mit der Begründung, aufgrund einer mit den bestehenden Gesundheitsschädigungen zusammenhängenden Lärm- und Kälteempfindlichkeit sei eine Tätigkeit als Elektromonteur auf Baustellen zwar nicht mehr zumutbar; indessen bestünden in diesem angestammten Beruf Einsatzmöglichkeiten ohne Lärm- und Kälteexposition (mit Einspracheentscheid vom 18. Oktober 2005 - im Ergebnis - bestätigte Verfügung vom 15. Juni 2005).
Am 1. August 2005 trat S._ eine dreijährige Ausbildung zum Fahrzeugelektroniker an (Lehrvertrag der Firma X._ AG).
B. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 20. Juli 2007).
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es seien ihm, nach Aufhebung des vorinstanzlichen und des Einspracheentscheids, die Kosten der von August 2005 bis Juli 2008 dauernden Umschulung zum Fahrzeugelektriker/Fahrzeugelektroniker und das entsprechende Taggeld zuzusprechen.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Strittig ist, ob der Beschwerdeführer eine berufliche Eingliederungsmassnahme der Invalidenversicherung beanspruchen kann.
1.1 Als Anspruchstitel kommt zunächst eine Umschulung im Sinne von <ref-law> in Betracht. Der Beschwerdeführer begründet das Umschulungsbedürfnis mit teilweise auf den Unfall, teilweise auf das vorbestehende ADS zurückzuführenden Einschränkungen, vor allem Lärmempfindlichkeit sowie Kälteempfindlichkeit der Hände (akrale Kältedysästhesie; vgl. unter anderem die Berichte des Neurologen Dr. H._ vom 25. April 2005 und vom 12. März 2003 sowie des Allgemeinmediziners Dr. B._ vom 10. April 2005). Die im medizinischen Dossier ebenfalls ausgewiesenen neurologisch bedingten Konzentrationsschwierigkeiten spielen in der rechtlichen Auseinandersetzung kaum mehr eine Rolle (vgl. dazu den Bericht des Dr. H._ vom 25. April 2005).
1.2 Der Beurteilung von Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) liegt der Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesen kann das Bundesgericht von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>; ohne Beschwerden gemäss <ref-law> und <ref-law>). Zu den Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gehört auch die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (Urteil 9C_40/2007 vom 31. Juli 2007, E. 1; Ulrich Meyer, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, Rz. 25, 36 und 59 zu Art. 105; Seiler/von Werdt/Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, Rz. 24 zu Art. 97) und die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (Meyer, a.a.O., Rz. 60 zu Art. 105; Urteil 8C_364/2007 vom 19. November 2007, E. 3.3).
1.3 Nach <ref-law> (in der seit anfangs 2004 in Kraft stehenden Fassung [4. IV-Revision]) hat ein Versicherter Anspruch auf Umschulung in eine neue Erwerbstätigkeit, wenn die Umschulung infolge von Invalidität notwendig ist und die Erwerbsfähigkeit dadurch voraussichtlich erhalten oder verbessert werden kann. Als Umschulung gelten laut <ref-law> Ausbildungsmassnahmen, die Versicherte nach Abschluss einer erstmaligen beruflichen Ausbildung oder nach Aufnahme einer Erwerbstätigkeit ohne vorgängige berufliche Ausbildung wegen ihrer Invalidität zur Erhaltung oder Verbesserung der Erwerbsfähigkeit benötigen. Begrifflich erfasst werden also berufsbildende Massnahmen, die notwendig und geeignet sind, dem vor Eintritt der Invalidität bereits erwerbstätig gewesenen Versicherten eine seiner früheren annähernd gleichwertige Erwerbsmöglichkeit zu verschaffen. Begrifflich liegt auch dann eine Umschulung vor, wenn invaliditätsbedingt ergänzende Kenntnisse im bisherigen Beruf erworben werden müssen (Urteil I 166/93 vom 30. August 1993, E. 2b).
2. Bevor bei der Beurteilung des Leistungsanspruchs allenfalls Gesichtspunkte zum Tragen kommen, welche die beantragte Eingliederungsvorkehr (dreijährige Zusatzlehre zum Fahrzeugelektroniker) betreffen - im Einzelnen: Eingliederungswirksamkeit der Massnahme, objektive und subjektive Eingliederungsfähigkeit der versicherten Person mit Bezug auf diese Massnahme, Erfordernis der Gleichwertigkeit (vor allem mit Bezug auf die nach erfolgter Eingliederung zu erwartende Verdienstmöglichkeit; <ref-ruling> E. 2a S. 110) -, muss geprüft werden, ob überhaupt eine leistungsspezifische Invalidität im Sinne von <ref-law> gegeben sei (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 242).
2.1 Bei beruflichen Eingliederungsmassnahmen tritt der Versicherungsfall ein, wenn die versicherte Person infolge des Gesundheitsschadens ohne die in Frage stehende berufliche Vorkehr nicht mehr als hinreichend eingegliedert erscheint (Meyer-Blaser, Zum Verhältnismässigkeitsgrundsatz im staatlichen Leistungsrecht, Diss. Bern 1985, S. 118). Im Sinne von <ref-law> nicht hinreichende Eingliederung ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden eine Art und Schwere erreicht hat, welche die Ausübung der bisherigen Erwerbstätigkeit ganz oder teilweise unzumutbar macht; unmittelbar drohende Invalidität genügt (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2b S. 110).
Nach der Rechtsprechung setzt der Anspruch auf Umschulung eine invaliditätsbedingte Erwerbseinbusse von etwa 20 Prozent (in den ohne zusätzliche berufliche Ausbildung noch zumutbaren Tätigkeiten) voraus (<ref-ruling> E. 2b S. 111 oben; SVR 2006 IV Nr. 15 S. 53 [I 18/05; Weitergeltung dieser Erheblichkeitsschwelle nach Inkrafttreten der 4. IV-Revision]; vgl. auch <ref-ruling> [betreffend Militärversicherung]; Leuzinger-Naef, Die Ausbildungsziele der beruflichen Eingliederungsmassnahmen im Lichte der neuen Bundesverfassung, in: Rechtsfragen der Eingliederung Behinderter, St. Gallen 2000, S. 61 ff.). Der Schwellenwert von 20 Prozent ist im Sinne einer Richtgrösse zu verstehen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 490); insbesondere bei Berufen mit tiefen Anfangslöhnen sind - neben den aktuellen Verdienstmöglichkeiten - im Rahmen einer Prognose weitere Faktoren wie Lohnentwicklung und Aktivitätsdauer mitzuberücksichtigen (<ref-ruling> E. 3b S. 111). Die Erheblichkeitsschwelle trägt dem Umstand Rechnung, dass bei wesentlich tieferen Invaliditätsgraden die mit einer Umschulung verbundenen Kosten die auszugleichende Erwerbseinbusse deutlich übersteigen dürften (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 491 unten), und setzt so den Verhältnismässigkeitsgrundsatz um.
Der Anspruch auf eine Umschulung zum Fahrzeugelektroniker entfällt somit von vornherein, wenn der Beschwerdeführer im bisherigen Beruf des Elektromonteurs - oder in einer mit dieser Ausbildung verwandten Tätigkeit - eine Arbeit finden kann, die mit den gesundheitlich begründeten Einschränkungen vereinbar und nicht mit einem 20 Prozent übersteigenden Erwerbsausfall verbunden ist.
2.2 Hinsichtlich des erlernten Berufs eines Elektromonteurs ist unter den Parteien unbestritten, dass Einsätze im Freien, namentlich auf Baustellen, wegen der ausgeprägten Lärmempfindlichkeit und der Gefühlsstörungen der Finger bei Kältereizen nicht mehr zumutbar sind. Das kantonale Gericht hielt fest, dieser Beruf umfasse auch Tätigkeiten in Industriebetrieben, Elektrizitätswerken und Grosshandelsfirmen im Bereich Elektromaterial. Das Arbeitsfeld erstrecke sich dabei unter anderem auch auf Installation und Service von Daten- und Telekommunikations- sowie Alarm- und Überwachungsanlagen. Dem Beschwerdeführer stünden also - auch ohne Zusatzausbildung - Einsatzmöglichkeiten offen, die nicht mit einer Lärmbelastung wie auf Baustellen verbunden seien. Das zeige sich auch daran, dass er mit seiner Ausbildung Anstellungen als Servicetechniker im Bereich Einbruchmeldetechnik sowie in einem industriellen Betrieb erhalten habe.
Der Beschwerdeführer wendet ein, sein wirtschaftliches Fortkommen im angestammten Beruf werde aufgrund der besonderen Lärm- und Kälteempfindlichkeit stark erschwert; er habe mittel- und längerfristig mit einer erheblichen Erwerbseinbusse zu rechnen, welche den Schwellenwert von 20 Prozent ohne weiteres erreiche. Sämtliche leidensangepassten Tätigkeiten könnten nur mit einer Zusatzausbildung ausgeführt werden. Er reicht zu diesem Zweck Bestätigungen des Verbandes Schweizerischer Elektro-Installationsfirmen vom 7. September 2007 sowie des Berufsbildungsamtes des Kantons Schaffhausen vom 12. September 2007 ein, aus welchen jeweils hervorgeht, dass die klassische Tätigkeit eines Elektromonteurs - Installationen auf dem Bau - regelmässig mit Lärm- und/oder Kältebelastungen verbunden sei. Tätigkeitsbereiche, die weitgehend von Lärmbelastungen und Kälteeinwirkungen befreit seien (Elektroplaner, Telematiker, Elektroniker, Monteur im Schalttafel- und Elektromaschinenbau, Ingenieur HTL/FH usw.), erforderten entsprechende Zusatzausbildungen. Diese im letztinstanzlichen Verfahren eingereichten Stellungnahmen sind neue Beweismittel, die nur so weit vorgebracht werden dürfen, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer setzte sich schon in der vorinstanzlichen Beschwerde mit der Frage auseinander, ob es im Tätigkeitsfeld eines Elektromonteurs geeignete Stellen gibt. Das kantonale Gericht, dessen Verfahren vom Untersuchungsprinzip beherrscht wird (<ref-law>), hat, abgesehen von einer Internet-Recherche, selber keine Nachforschungen (etwa beim Branchenverband oder einer Berufsbildungsbehörde) angestellt. Es kann jedoch offen bleiben, ob dieser Umstand dazu führt, dass die letztinstanzliche Einreichung von Belegen als durch den vorinstanzlichen Entscheid veranlasst anzusehen ist. Denn die darin aufgezeigten alternativen Beschäftigungen (ohne die in Baustellen anfallenden Kälte- und Lärmeinwirkungen) beziehen sich praktisch durchwegs auf spezialisiertere Berufsbilder.
Dass auch mit der angestammten Ausbildung eine entsprechend geschützte Tätigkeit möglich sein sollte, zeigt sich nicht nur darin, dass der Beschwerdeführer vorübergehend solche Arbeiten ausführen konnte. Aus dem einschlägigen Lehrplan für den beruflichen Unterricht des Bundesamtes für Berufsbildung und Technologie vom 1. Februar 2000 ergibt sich, dass etwa auch die Telematik im Berufskundeunterricht breiten Raum einnimmt. Das Ausbildungsprofil führt - verbunden mit einer Einarbeitung "on the job" - zu ordentlichen Einsatzmöglichkeiten (etwa Installation und Wartung von Sprach- und Datenübertragungsanlagen jeder Art), welche über die klassische Monteurstätigkeit auf Baustellen hinausgehen. Der vorinstanzliche Schluss, es handle sich bei den bereits verwirklichten Einsätzen in den Bereichen Sicherheitstechnik und industrielle Fertigung nicht bloss um Einzelfälle, ist somit zulässig. Im Übrigen verfängt der Einwand des Beschwerdeführers, eine der gesundheitlichen Einschränkung Rechnung tragende Arbeit sei nur im Rahmen temporärer Einsätze möglich gewesen, nicht, da es sich zumindest bei der (von Mai 2002 bis März 2003 dauernden) Anstellung in der Firma D._AG offenkundig um eine Festanstellung gehandelt hat. Der dortige Einsatz als Servicetechniker für Einbruchalarmanlagen und Videoüberwachungen war unbestrittenermassen nicht mit den aus medizinischer Sicht zu vermeidenden Belastungen verbunden.
Schliesslich ist nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer in einer adaptierten Tätigkeit, welche nach dem Gesagten in ausreichender Zahl anzutreffen sein sollte, eine Erwerbseinbusse von über 20 Prozent zu gewärtigen gehabt hätte.
2.3 Mangels leistungsspezifischer Invalidität war die beantragte Umschulung nicht notwendig. Die vorinstanzliche Auffassung, wonach der Beschwerdeführer innerhalb des bisherigen Berufsfeldes auf eine alternative Beschäftigung hätte ausweichen können, ist demnach nicht zu beanstanden. Zum einen ist die Sachverhaltsfeststellung, der Arbeitsmarkt halte dem medizinischen Anforderungsprofil angepasste Stellen zur Verfügung, nicht offensichtlich unrichtig; ebensowenig ist damit eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes verbunden. Zum anderen hat das kantonale Gericht die sich im Interesse der Schadenminderung stellende - letztinstanzlich frei überprüfbare - Rechtsfrage, ob eine entsprechende berufliche Weichenstellung dem Beschwerdeführer zumutbar gewesen wäre, zutreffenderweise bejaht. Die Frage schliesslich, ob die Gründe für das Umschulungsbegehren in ihrer Gesamtheit auf das versicherte Risiko eines Gesundheitsschadens zurückzuführen sind - in den Akten finden sich Hinweise, dass die Zusatzausbildung zum Fahrzeugelektroniker auch aus Gründen des persönlichen Interesses und der arbeitsmarktlichen Situation erfolgte -, kann nach dem Gesagten offen bleiben.
3. Scheitert der Anspruch auf Umschulung nach <ref-law> daran, dass die nach der Rechtsprechung für die Umschulung notwendige Erwerbseinbusse von etwa 20 Prozent weder vorliegt noch unmittelbar droht, so bleibt zu prüfen, ob die im Sommer 2005 in Angriff genommene Ausbildung zum Fahrzeugelektroniker unter dem Titel der beruflichen Weiterausbildung (<ref-law>) eine Leistungspflicht der Invalidenversicherung auslöst.
Die berufliche Weiterausbildung im bisherigen oder einem anderen Berufsfeld ist einer erstmaligen beruflichen Ausbildung (<ref-law>) gleichgestellt, sofern sie geeignet und angemessen ist und dadurch die Erwerbsfähigkeit voraussichtlich erhalten oder verbessert werden kann (<ref-law> [in der seit dem 1. Januar 2004 geltenden Fassung]). Der Anspruch besteht unabhängig davon, ob die Massnahme notwendig ist, um die Erwerbsfähigkeit zu erhalten oder zu verbessern (<ref-law>). Das bedeutet, dass versicherte Personen, die bereits zweckmässig eingegliedert sind und bei denen invaliditätsbedingt keine Notwendigkeit zur Durchführung von Eingliederungsmassnahmen besteht, in den Genuss von Leistungen nach <ref-law> kommen können (SVR 2006 IV Nr. 49 S. 179 E. 2.3 [I 285/05]; BBl 2001 3257; vgl. auch Amtl. Bull. 2002 S 755 f.). Dementsprechend ist es unter dem Titel der beruflichen Weiterausbildung im Sinne von <ref-law> unerheblich, ob (auch) andere als gesundheitliche Gründe zum Antritt der Zusatzausbildung zum Fahrzeugelektroniker geführt haben. Der Gegenstand der Leistung ist hier jedoch auf wesentliche invaliditätsbedingte Mehrkosten (Transporte, Übersetzungskosten für Hörbehinderte etc.) beschränkt (Art. 16 Abs. 2 Ingress in Verbindung mit Abs. 1 IVG; <ref-law>); die üblichen Kosten einer Weiterbildung (Kursgebühren, Material, Übernachtungskosten, Lohnausfall, Spesen usw.) werden nicht durch die Invalidenversicherung finanziert (BBl 2001 3257). Der Beschwerdeführer behauptet zu Recht nicht, dass er in seiner Lehre zum Fahrzeugelektroniker konkret behindert sei und ihm daraus im Vergleich mit Lehrlingen ohne die betreffenden gesundheitlichen Einschränkungen in wesentlichem Umfang zusätzliche Kosten entstünden (vgl. Urteil I 77/06 vom 20. Juni 2006, E. 2.2). Auch folgt aus einer beruflichen Weiterausbildung im Sinne von <ref-law> kein Taggeldanspruch (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juli 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub