Erwägungen:
1.
Im Zusammenhang mit einem gegen ihn hängigen Strafverfahren veranlasste A._ eine Vielzahl weiterer Verfahren bzw. Beschwerdeverfahren. Zudem erstattete er Strafanzeigen gegen eine Vielzahl von Gerichtspersonen, wie er ferner verschiedene Ausstandsbegehren stellte.
Im Rahmen des erwähnten Strafverfahrens setzte die II. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich die Berufungsverhandlung auf den 26. Juni 2015 an, zu welcher der Beschuldigte unentschuldigt nicht erschien. Mit Beschluss vom 26. Juni 2015 schrieb die II. Strafkammer daher das Verfahren gestützt auf <ref-law> als durch Rückzug der Berufung erledigt ab.
Mit Eingabe vom 25. Juni 2015, eingegangen bei der II. Strafkammer am 26. Juni 2015, stellte A._ ein Ausstandsbegehren gegen die im Berufungsverfahren mitwirkende Gerichtsbesetzung, namentlich gegen Oberrichter Spiess, Ersatzoberrichterin Keller, Ersatzoberrichter Wenker sowie Gerichtsschreiberin Schneeberger. Diese erstatteten in der Folge eine Stellungnahme im Sinne von <ref-law>, worin sie festhielten, sich nicht als befangen zu erachten.
Hierauf überwies die II. Strafkammer die Sache an die Kanzlei der Berufungskammern des Obergerichts, welche das Verfahren der I. Strafkammer zur weiteren Behandlung übertrug. Mit Beschluss vom 17. August 2015 hat die I. Strafkammer das Ausstandsgesuch abgewiesen und die auf Fr. 600.-- festgesetzte Gerichtsgebühr dem Gesuchsteller auferlegt.
2.
Gegen den Beschluss vom 17. August 2015 - und mehrere andere Entscheide bzw. Verfahren - wendet sich A._ mit Eingabe vom 29. September (Postaufgabe: 30. September) 2015 ans Bundesgericht. Den der Eingabe beigefügten obergerichtlichen Beschluss hat er mit der Bemerkung "ungelesen" versehen, wie er ihn auch in der Beschwerde selber als "ungelesene Weiterleitung" bezeichnet hat (Beschwerde S. 2). Sodann hat er wie schon in früheren Verfahren gegen verschiedene Gerichtspersonen Strafanzeigen wegen einer Vielzahl ihnen zur Last gelegter Delikte angemeldet.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, die übrigen Verfahrensbeteiligten zur Beschwerde anzuhören.
3.
Die vorliegende Beschwerde richtet sich - soweit sie überhaupt verständlich ist und nicht gegen die prozessualen Anstandsregeln verstösst (s. <ref-law>) - wie angetönt einmal mehr gegen eine Vielzahl von Verfahren, die bei verschiedenen Gerichten hängig waren bzw. weiterhin hängig sind.
Die gesetzlichen Formerfordernisse einer Beschwerde ans Bundesgericht (<ref-law>) sind dem Beschwerdeführer schon wiederholt zur Kenntnis gebracht worden: Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Auch auf den vorliegend angefochtenen obergerichtlichen Beschluss bezogen sind die genannten gesetzlichen Erfordernisse nicht erfüllt. Daran vermag nichts zu ändern, dass die Ausführungen in der Beschwerde einmal mehr sehr umfangreich sind. Jedenfalls kann von klar und detailliert erhobenen Rügen nicht die Rede sein. Mit seinen kaum überblickbaren Ausführungen übt der Beschwerdeführer im Wesentlichen auf appellatorische Weise Kritik am obergerichtlichen Beschluss vom 17. August 2015, indem er diesem seine Sicht der Dinge gegenüber stellt. Er unterlässt es indes, rechtsgenüglich darzulegen, inwiefern durch den Beschluss Recht im Sinne von <ref-law> verletzt worden sein soll.
Abgesehen davon richten sich die Ausführungen in der vorliegenden Beschwerde gegen frühere bundesgerichtliche Urteile, ohne dass aber gesetzliche Revisionsgründe gemäss <ref-law> dargelegt würden, sodann gegen Verfahren, welche nicht die I. öffentlich-rechtliche Abteilung, sondern verschiedene kantonale Verfahren und das Bundesverwaltungsgericht betreffen. Auf diese Ausführungen ist im vorliegenden Verfahren, das den genannten obergerichtlichen Beschluss vom 17. August 2015 zum Gegenstand hat, von vornherein nicht weiter einzugehen, ebenso wenig auf die neuerlich angekündigten Strafanzeigen.
Auf die somit insgesamt klarerweise unzulässige Beschwerde ist aus den genannten Gründen nicht einzutreten. Die aufgezeigten Mängel sind offensichtlich, so dass über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Da die Beschwerde nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos ist, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (<ref-law>).
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp