Sachverhalt:
A.
A.a. Über X._ wurde am 23. April 2012 durch den bis am 31. Dezember 2012 als Vormundschaftsbehörde tätigen Gemeinderat Z._ eine Beiratschaft gemäss Art. 395 Abs. 1 und Abs. 2 aZGB errichtet. Dagegen erhob X._ Beschwerde beim bis am 31. Dezember 2012 zuständigen Bezirksamt Z._ und machte gegen den Bezirksamtmann von Y._ Ausstandsgründe geltend. Im Verlaufe des Verfahrens stellte er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 15. Oktober 2012 sistierte das Bezirksamt das Beschwerdeverfahren bis zum Entscheid des Regierungsrates über das Ausstandsbegehren.
A.b. Mit Eingabe vom 4. Januar 2013 verlangte X._ die Feststellung der Nichtigkeit der angeordneten Beiratschaft infolge Inkrafttretens des neuen Erwachsenenschutzrechts. Zudem lehnte er vier Oberrichter als befangen ab.
A.c. Das Obergericht, welches die Beurteilung der Beschwerde von X._ aufgrund der ab 1. Januar 2013 geltenden Behördenorganisation im Erwachsenenschutzrecht zur weiteren Bearbeitung übernommen hatte, setzte diesem mit Präsidialverfügung vom 18. Januar 2013 eine Frist von zehn Tagen zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 600.--. X._ hielt daraufhin an seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege fest.
A.d. Mit Verfügung vom 19. Februar 2013 wies der Instruktionsrichter das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und setzte X._ eine letzte Frist von 10 Tagen zur Leistung des Kostenvorschusses. In seiner Eingabe vom 12. März 2013 setzte X._ das Obergericht in Kenntnis, dass er die erwähnte Verfügung beim Bundesgericht anfechten werde und daher erst nach dem Entscheid über seine Beschwerde eine Frist zur Leistung des Kostenvorschusses angesetzt werden dürfe; in diesem Sinne ersuche er um entsprechende Fristverlängerung. Das Bundesgericht trat mit Urteil 5A_276/2013 vom 17. April 2013 auf die Beschwerde von X._ nicht ein.
B.
Mit Entscheid vom 13. Juni 2013 trat das Obergericht auf die Beschwerde von X._ gegen seine Verbeiratung nicht ein, da der verlangte Kostenvorschuss nicht geleistet worden war.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. Juli 2013 (Postaufgabe) ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und die Anweisung an die Vorinstanz, ihm eine neue Frist für einen angemessenen Kostenvorschuss anzusetzen.
Er verlangt die sofortige Anordnung der aufschiebenden Wirkung. Zudem stellt er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Schliesslich verlangt der Beschwerdeführer den Ausstand von Herrn Präsident von Werdt und von Herrn Gerichtsschreiber Füllemann.
Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Familiengericht hat sich innert Frist nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer verlangt den Ausstand von Bundesrichter von Werdt und von Gerichtsschreiber Füllemann für das vorliegende Verfahren. Das Begehren braucht indes nicht geprüft zu werden, da die Mitwirkung der genannten Personen aus rein organisatorischen Gründen nicht vorgesehen war. Im Übrigen bildet die Mitwirkung einer Gerichtsperson in einem früheren Verfahren des Bundesgerichts für sich allein keinen Ausstandsgrund (<ref-law>).
2.
2.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher (<ref-law>) Entscheid in einem Verfahren gegen eine Erwachsenenschutzmassnahme, mithin in einer öffentlich-rechtlichen Streitigkeit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist gegeben.
2.2. Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Es ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt. Andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Macht der Beschwerdeführer eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend, so trifft ihn eine strenge Rügepflicht (<ref-ruling> E. 1.5 S. 674 mit Hinweis).
3.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Frist zur Zahlung eines Kostenvorschusses in einem kantonalen Rechtsmittelverfahren.
3.1. Mit Verfügung vom 19. Februar 2013 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen und ihm zugleich eine letzte Frist zur Überweisung des Kostenvorschusses angesetzt. Das Obergericht ist am 13. Juni 2013 auf dessen Beschwerde nicht eingetreten, da der verlangte Kostenvorschuss auch nach Ansetzung einer letzten Frist nicht überwiesen worden sei. Stattdessen habe der Beschwerdeführer die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege beim Bundesgericht angefochten.
3.2. Der Beschwerdeführer bringt im Wesentlichen vor, das Obergericht hätte sein Fristerstreckungsgesuch vom 12. März 2013 behandeln und gutheissen müssen. Indem es darüber hinweg gegangen sei, habe es sein Recht auf ein faires Verfahren verletzt.
3.3. Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde können gerichtlich angefochten werden. Die Kantone regeln das Verfahren, soweit es nicht bereits vom Bundesgesetzgeber festgelegt worden ist (vgl. <ref-law>). Sehen sie keine Regelung vor, so sind die Bestimmungen der ZPO anwendbar (<ref-law>). Gemäss EG zum ZGB des Kantons Aargau ist auf alle im Kindes- und Erwachsenenschutzrecht zu entscheidenden Fälle das summarische Verfahren gemäss <ref-law> anwendbar und wird das Obergericht als Rechtsmittelinstanz bezeichnet (Art. 60c, Art. 65d EGZGB/AG). Der Kanton hat weiter eine Verordnung über das Kindes- und Erwachsenenschutzrecht (vom 30. Mai 2012) erlassen hat, die sich jedoch zum Beschwerdeverfahren nicht äussert. Demnach ist die ZPO massgebend. Das Obergericht gründet denn auch seinen Entscheid auf die Bestimmungen der ZPO.
3.4. Gemäss <ref-law> tritt das Gericht auf eine Klage oder ein Gesuch nicht ein, falls innert Nachfrist der verlangte Kostenvorschuss nicht geleistet wird. Das Bundesgericht hatte bereits Gelegenheit, sich zur Tragweite dieser Bestimmung zu äussern (<ref-ruling>). Dabei hat es festgehalten, dass das Gericht bei Einreichung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nicht gleichzeitig eine Frist zur Einreichung der Belege und zur Überweisung des Kostenvorschusses ansetzen darf. Solange über das Gesuch nicht entschieden sei, dürfe vom Rechtsuchenden nicht verlangt werden, dass er einen Kostenvorschuss leiste. Werde das Gesuch abgewiesen, so müsse eine Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses angesetzt werden (E. 4.2 und E. 4.3). Diese Rechtsprechung wurde mit Blick auf die provisio ad litem (Prozesskostenvorschuss des Ehegatten) bestätigt, als dass auch hier ein entsprechendes Gesuch die Leistung des Kostenvorschusses hinausschiebt (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 674).
3.5. Im vorliegenden Fall hat das Obergericht zwar über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden und dieses abgelehnt, dann aber dem Beschwerdeführer bezüglich des Kostenvorschusses keine Nachfrist angesetzt. Dies ist mit dem Gedanken der angeführten Rechtsprechung nicht vereinbar. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer das Obergericht ausdrücklich um eine Fristerstreckung ersucht und auf die Anfechtung der Abweisung der unentgeltlichen Rechtspflege hingewiesen hat.
3.6. Soweit der Beschwerdeführer die Höhe des vom Obergericht geforderten Kostenvorschusses anficht, fehlt es an einer rechtsgenüglichen Begründung (E. 2.2). Auf dieses Vorbringen ist nicht einzugehen.
4.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde Erfolg beschieden. Der obergerichtliche Entscheid wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, die dem Beschwerdeführer eine Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen hat.
Da der Kanton in seinen Vermögensinteressen nicht berührt ist, werden ihm keine Kosten auferlegt (<ref-law>). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer wird keine Parteientschädigung zugesprochen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 13. Juni 2013 wird in Ziff. 2 und 3 aufgehoben. Die Sache wird zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
3.
Es werden keine Kosten erhoben und es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Familiengericht Y._ und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante