Faits:
A.
Mariée et mère de deux enfants (un fils né en 2004 et une fille née en 2007), D._ travaillait à temps partiel (30 %) en qualité d'assistante médicale pour le docteur B._. Mise en arrêt de travail à 75 % du 24 août 2010 au 27 octobre 2010, puis à 100 % dès le 28 octobre 2010, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 14 janvier 2011.
L'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) a pris des renseignements économiques auprès de l'employeur de l'assurée et recueilli des rapports médicaux. Il a par ailleurs mis en oeuvre une enquête économique sur le ménage auprès de l'intéressée, le 3 novembre 2011. L'enquêteur a retenu que l'assurée aurait, sans atteinte à la santé et en relation avec la scolarisation de sa fille, augmenté par la suite son temps de travail et effectué, vers janvier 2012, des tâches administratives liées à l'activité de courtier indépendant exercée par son mari à raison de cinq à dix heures par mois, "pour se mettre en route" et en attendant que sa fille débutât la deuxième année de l'école enfantine (rapport du 14 novembre 2011). L'office AI a encore demandé l'avis de son Service médical régional AI (SMR), selon lequel l'assurée souffrait d'un trouble bipolaire de type II, en raison duquel elle présentait une incapacité de travail de 75 % dans son activité habituelle et dans une activité adaptée à partir du 24 août 2010 et de 100 % dès le 28 octobre suivant (rapport du docteur A._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, du 11 janvier 2012).
Le 16 janvier 2012, l'administration a informé l'assurée qu'elle entendait lui refuser tout droit à des mesures d'ordre professionnel, mais la mettre au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1 er août 2011, fondée sur un taux d'invalidité global de 53 % (empêchements de 100 % pour la part consacrée à l'exercice de l'activité lucrative, prise en compte à raison de 33 %, ainsi que de 30 % pour la part consacrée aux travaux ménagers, prise en compte à raison de 67 %); une augmentation du temps de travail de 7,5 heures par mois dès janvier 2012 - ce qui portait à 38 % la proportion de temps consacrée à l'exercice de l'activité lucrative - n'avait pas d'influence sur le droit à la rente, le degré d'invalidité global étant alors de 57 %. D._ a contesté plusieurs points du projet de décision, en produisant différents documents (attestation professionnelle du docteur B._ du 4 février 2012; plan de travail pour l'année 2010 établi le 15 décembre 2010), ensuite de quoi l'enquêteur a répondu à des questions complémentaires de l'administration (complément du 24 avril 2012). Par deux décisions du 8 juin 2012, l'office AI a alloué à l'assurée une demi-rente d'invalidité à partir du 1 er août 2011, fondée sur un taux d'invalidité de 53 % du 1 er août au 31 décembre 2011 et de 57 % à partir du 1 er janvier 2012. Le 13 juin suivant, il lui a refusé des mesures d'ordre professionnel.
B.
Saisi d'un recours formé par D._ contre les décisions du 8 juin 2012, le Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, l'a admis par jugement du 13 août 2013. Annulant les décisions administratives, il a reconnu le droit de l'assurée à une demi-rente d'invalidité du 1 er août 2011 au 31 août 2012, ainsi qu'à une rente entière d'invalidité dès le 1 er septembre 2012.
C.
D._ et l'office AI interjettent tous deux un recours en matière de droit public contre ce jugement.
Sous suite de frais et dépens, l'assurée conclut à l'annulation de la décision cantonale et, principalement, à ce que la cause soit renvoyée au Tribunal cantonal valaisan pour qu'il procède à un complément d'instruction et détermine à nouveau le taux d'invalidité. A titre subsidiaire, elle demande que l'office AI lui verse au moins un trois quarts de rente à partir du 1 er août 2011.
De son côté, l'office AI conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de ses décisions du 8 juin 2012.
D._ et l'office AI ont chacun requis le rejet du recours de l'autre, l'administration sollicitant qu'en cas d'admission du recours de l'assurée en raison d'une violation de son droit d'être entendue, les frais de justice soient mis à la charge de l'État du Valais. Pour sa part, l'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé sur les écritures des recourants.

Considérant en droit:
1.
Les recours en matière de droit public concernent des faits de même nature, portent sur des questions juridiques communes et sont dirigés contre le même jugement. Il se justifie donc de joindre les causes et de les liquider dans un seul arrêt (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 p. 60).
2.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), n'examine en principe que les griefs invoqués (<ref-law>) et fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>). Il a néanmoins la faculté de rectifier ou de compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes (<ref-law>). Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation des faits que si ceux-ci ont été établis en violation du droit selon l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
3.
Examinant le point de savoir à quel taux d'activité l'assurée aurait travaillé sans atteinte à la santé, la juridiction cantonale a constaté que D._ aurait augmenté à 50 % son taux d'occupation en tant qu'assistante médicale à partir du 1 er septembre 2012 (date correspondant au début de la deuxième année d'école enfantine du second enfant de la recourante); l'assurée aurait par ailleurs accompli des tâches administratives pour le compte de son mari à raison de 7,5 heures en moyenne par mois dès le 1 er janvier 2012, ce qui représentait un pourcentage de 4,2 % par rapport à un horaire annuel complet. Les premiers juges ont également retenu qu'un taux moyen de 4,4 % à titre d'heures supplémentaires devait être ajouté au taux d'occupation dans l'activité professionnelle au sein du cabinet médical (moyenne entre 3,8 % et 5 %) pour la période du 24 août 2011 au 31 août 2012, ce taux diminuant à 3,8 % à partir du 1 er septembre 2012 (au vu de l'augmentation [hypothétique] du taux d'activité). Pour la part d'activité consacrée à l'exercice d'un travail lucratif, ils ont admis un empêchement de 100 %. En ce qui concerne la part d'activité consacrée aux travaux ménagers, faisant leurs les conclusions de l'enquête économique sur le ménage, ils ont constaté que l'assurée présentait des empêchements à raison de 30 %.
Compte tenu de ces constatations, la juridiction cantonale a fixé à 54,10 % le taux d'invalidité de l'assurée du 24 août au 31 décembre 2011, à 57 % du 1 er janvier au 31 août 2012 et à 70,6 % à partir du 1 er septembre 2012. Aussi, l'assurée avait-elle droit à une demi-rente d'invalidité du 1 er août 2011 au 31 août 2012, puis à une rente entière dès le 1 er septembre 2012.
4.
4.1. Dans son recours, l'office AI soulève un unique grief qu'il convient d'examiner en premier lieu, puisqu'il est susceptible d'influer sur l'objet de la question soumise à l'examen du Tribunal fédéral. Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir étendu le procès au-delà de l'objet de la contestation déterminé par les décisions du 8 juin 2012, sans que soient réalisées les conditions pour une extension de la procédure à un état de fait survenu après la décision administrative litigieuse.
4.2. De jurisprudence constante, le juge des assurances sociales apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment de la clôture de la procédure administrative. Les faits survenus postérieurement et ayant modifié cette situation doivent faire l'objet d'une nouvelle décision administrative (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 243; <ref-ruling> consid. 1b p. 366). Pour des motifs d'économie de procédure, la procédure juridictionnelle administrative peut être étendue à une question en état d'être jugée qui excède l'objet de la contestation, lorsque cette question est si étroitement liée à l'objet initial que l'on peut parler d'un état de fait commun, et à la condition que l'administration se soit exprimée à son sujet dans un acte de procédure au moins (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 503, 122 V 34 consid. 2a p. 36 et les références). Les conditions auxquelles une extension du procès au-delà de l'objet de la contestation est admissible vont nettement plus loin que le lien matériel étroit exigé pour l'extension de la procédure au-delà de l'objet du litige. Celles-ci doivent être réalisées cumulativement; la question qui excède l'objet de la contestation particulièrement doit être en état d'être jugée (cf. ULRICH MEYER/ISABEL VON ZWEHL, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, in: Mélanges Pierre Moor, 2005, n° 27 p. 446; arrêt 9C_694/2009 du 31 décembre 2010 consid. 3.1).
4.3. Le grief du recourant est bien fondé. La juridiction cantonale ne l'a en effet pas informé de son intention de statuer sur la question du droit à la rente à partir de la période postérieure aux décisions du 8 juin 2012 et ne l'a, partant, pas invité à se déterminer spécifiquement sur cette question. On ne saurait par ailleurs déduire des écritures du recourant qu'il aurait tacitement acquiescé à une extension de la procédure. A l'inverse, comme il l'a indiqué à l'assurée dans la motivation des décisions du 8 juin 2012, il comptait initier à court terme une procédure de révision, qui allait porter sur le droit aux prestations pour la période postérieure à ladite date. Cette procédure a du reste été mise en oeuvre en septembre 2012 (cf. courrier à l'assurée du 5 septembre 2012). Dans la mesure, dès lors, où l'office recourant ne s'est pas prononcé en instance cantonale sur le droit à la rente après le mois de juin 2012 dans un acte de procédure au moins, les premiers juges n'étaient pas habilités à étendre l'objet de la contestation. Le jugement entrepris doit par conséquent être annulé, en tant qu'il porte sur le droit à des prestations de l'assurance-invalidité pour la période postérieure au 8 juin 2012 (ch. 2 du dispositif). Le recours de l'office AI est, partant, bien fondé.
5.
Il reste à examiner le sort du recours de l'assurée. Compte tenu de ce qui précède et des motifs et conclusions de la recourante, est seul litigieux son droit à une rente de l'assurance-invalidité supérieure à la demi-rente accordée par l'office AI pour la période courant du 1er août 2011 au 8 juin 2012 (et confirmée en instance cantonale). A cet égard, le jugement entrepris, par renvoi également aux décisions litigieuses, expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur la notion d'invalidité et l'évaluation de l'invalidité des personnes exerçant une activité lucrative à temps partiel et se consacrant en outre à leurs travaux habituels (au moyen de la méthode mixte). Il suffit d'y renvoyer.
6.
6.1. Invoquant tout d'abord une violation du droit à un procès équitable (principe de l'égalité des armes; art. 6 § 1 CEDH), la recourante soutient que l'office AI aurait été tenu de lui soumettre le rapport d'enquête économique sur le ménage afin de requérir son approbation. À défaut, ses droits de la partie plus faible n'étaient pas garantis, puisqu'elle dépendait entièrement des constatations de l'enquêteur de l'administration. Elle demande au Tribunal fédéral d'exiger des organes d'exécution de l'assurance-invalidité qu'ils soumettent le rapport d'enquête aux assurés pour validation préalable.
6.2. L'art. 6 § 1 CEDH impose aux États signataires de mettre sur pied des procédures équitables. Le principe de l'égalité des armes est une des composantes du procès équitable. Il ne s'agit pas de garantir une égalité formelle des parties dans la procédure judiciaire mais bien d'assurer une position matérielle équivalente dans le sens d'une égalité des chances. La procédure relative à l'octroi ou au refus de prestations sociales est caractérisée par une inégalité relativement importante entre les parties en faveur de l'assurance, par le fait que l'assuré, à qui il appartient d'agir contre l'assureur social qui lui a refusé des prestations, se trouve souvent dans une situation sociale difficile et ne dispose que de moyens financiers réduits face à une administration spécialisée ayant d'importantes ressources financières, des collaborateurs formés ainsi que des spécialistes dans les domaines médical et juridique. Malgré cela, l'art. 6 § 1 CEDH n'impose pas une égalité des armes complète entre les parties. Il résulte de la convention que l'assuré ne doit pas être mis dans une situation procédurale telle qu'il n'ait pas de chances sérieuses de soumettre son affaire au tribunal sans être clairement désavantagé par rapport à l'autre partie (<ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 468 sv.).
6.3. Contrairement à ce que soutient la recourante, la manière de procéder de l'office AI ne porte pas atteinte au principe de l'égalité des armes tel que défini ci-avant. On ne saurait en effet voir un net désavantage de l'assurée en ce que l'administration ne lui a pas soumis le rapport d'enquête sur le ménage "pour approbation" avant de procéder à l'évaluation du droit aux prestations. Si le Tribunal fédéral a certes retenu qu'il serait en règle générale souhaitable que le rapport d'enquête rédigé sur place, au domicile de l'assuré, soit soumis à celui-ci pour lecture et approbation, il a considéré qu'il ne s'agit pas en soi d'une obligation stricte; il suffit que le droit de l'assuré de consulter le dossier soit respecté et que lui soit donnée la possibilité de s'exprimer sur le résultat de l'enquête dans le cadre de la procédure relative à l'exercice du droit d'être entendu (arrêt I 175/01 du 4 septembre 2001 consid. 3a; cf. <ref-ruling> consid. 4 in fine p. 94).
En l'espèce, l'assurée a été en mesure de consulter le rapport d'enquête au cours de la procédure administrative et de faire valoir ses arguments à l'encontre des conclusions de l'enquêteur. Elle a ainsi fait part une première fois de ses objections par courrier du 10 février 2012, en expliquant avoir indiqué à l'enquêteur qu'elle aurait augmenté son taux d'activité d'assistante médicale à au moins 50 % dès septembre 2011 étant donné que son second enfant était à l'école quatre matinées par semaine. Après avoir reçu une copie de son dossier, elle a ensuite complété ses déterminations, le 27 mars 2012, en répétant qu'elle aurait augmenté son activité professionnelle auprès du docteur B._ "à partir de 2011", sa fille ayant commencé l'école en automne 2011 et non pas en 2012. Une fois que l'office AI a requis de l'enquêteur qu'il prît position sur les critiques de la recourante (rapport complémentaire du 24 avril 2012) et rendu les décisions litigieuses, la recourante a une nouvelle fois fait valoir ses objections à l'encontre du rapport d'enquête dans son écriture de recours cantonal. Dans ces circonstances, on ne saurait admettre que la recourante a été clairement désavantagée par rapport à l'intimé dans la procédure administrative ou judiciaire ou que son droit d'être entendue n'a pas été respecté. Son grief est partant mal fondé.
7.
7.1. Reprochant ensuite à la juridiction cantonale d'avoir établi les faits de manière manifestement inexacte et arbitraire, ainsi que d'avoir rejeté son offre de preuve (audition de témoins), la recourante lui fait grief d'avoir fixé l'augmentation (hypothétique) de son temps de travail auprès du docteur B._ au 1 er septembre 2012 et non pas au 1 er septembre 2011. Selon elle, le rapport d'enquête sur lequel s'est fondé le Tribunal cantonal valaisan était entaché d'une erreur à ce sujet, erreur qu'elle s'était empressée de mettre en évidence après avoir reçu le projet de décision du 16 janvier 2012, notamment en produisant une attestation de son ancien employeur (attestation du docteur B._ du 4 février 2012).
7.2. En ce qui concerne la date à partir de laquelle la recourante aurait augmenté son temps de travail auprès du docteur B._ si elle n'avait pas subi d'atteinte à la santé, les premiers juges ont considéré qu'il était plausible, selon les explications complémentaires données par l'enquêteur de l'office AI le 24 avril 2012, qu'il avait été question d'une telle augmentation non pas au moment de l'enquête, le 3 novembre 2011, mais postérieurement au cours de l'année 2012. Il était par ailleurs probable que le point de départ de cette augmentation aurait coïncidé avec la fin du mois d'août 2012, soit avec le début de la deuxième année d'école enfantine du second enfant de l'assurée. Cette date, évoquée tant par l'enquêteur dans ces explications que par le collaborateur de l'office AI au moment de poser des questions au SMR (mandat du 16 novembre 2011), apparaissait d'autant plus probable qu'aux dires de l'assurée et de son époux lors de l'entretien du 3 novembre 2011, celle-ci aurait, dès janvier 2012 et pour se mettre en route en attendant que sa fille débutât la deuxième année d'école enfantine, été partiellement occupée à accomplir des tâches administratives en rapport avec l'activité de courtier indépendant exercée par son conjoint. Aussi, l'autorité cantonale de recours a-t-elle constaté que l'assurée aurait augmenté son temps de travail à 50 % à partir du mois du 1 er septembre 2012, une fois la scolarité de ses deux enfants bien entamée.
7.3.
7.3.1. À la lecture des considérations de la juridiction cantonale, on constate qu'elle s'est fondée exclusivement sur les indications données par l'enquêteur de l'office AI et une note interne de l'administration (du 16 novembre 2011), en ignorant totalement les objections soulevées par l'assurée en procédure administrative puis judiciaire, selon lesquelles la date de septembre 2011 qu'elle avait évoquée lors de l'enquête n'avait pas été reprise correctement dans le rapport y relatif, ainsi que la pièce y relative produite après réception du projet de décision. Une telle manière de procéder relève de l'arbitraire, dans la mesure où l'autorité judiciaire de première instance n'a pas pris en considération, sans raison sérieuse, les déclarations successives de l'assurée et un élément de preuve propre à influencer sa décision.
7.3.2. Il y a dès lors lieu d'examiner si les éléments au dossier dont la juridiction cantonale a fait abstraction sont susceptibles de faire apparaître le résultat de son appréciation des preuves comme insoutenable ou en contradiction avec le dossier (sur la notion d'appréciation arbitraire des preuves, cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62).
Comme on l'a vu (consid. 6.3 supra ), la recourante a de manière constante et à réitérées reprises contesté la date à partir de laquelle l'office AI a retenu une augmentation hypothétique de son temps de travail; elle a expliqué avoir déclaré lors de l'enquête du 3 novembre 2011 qu'elle aurait augmenté son temps de travail auprès du docteur B._ à au moins 50 % dès septembre 2011, puisque son second enfant avait commencé sa scolarité au mois d'août précédent. Or, l'assurée n'a pas été invitée à signer le rapport d'enquête pour confirmer les déclarations consignées et en a contesté la teneur retenue aussitôt qu'elle en a pris connaissance (d'abord de manière indirecte [courrier du 10 février 2012], puis directe [courrier du 27 mars 2012]). On ne saurait dès lors considérer, comme l'a fait à tort l'office AI dans sa décision du 8 juin 2012, que les indications du rapport d'enquête correspondaient aux "premières déclarations" au sens de la jurisprudence relative à la préférence à accorder à la première de deux versions différentes et contradictoires données par l'assuré (cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 47).
On constate par ailleurs que ces indications ne comportent pas de date relative au début de l'augmentation du taux de travail auprès du docteur B._, ce moment étant mis en rapport avec la scolarisation du second enfant des époux. Pour motiver l'exercice d'une activité lucrative de l'assurée si elle n'avait pas été handicapée, l'enquêteur a mentionné que celle-ci aurait "dans le futur (en relation avec la scolarisation de leur fille née en 2007) " augmenté son temps de travail, continuant "pour l'instant" à travailler douze heures par semaine (pour le docteur B._). Le début de la deuxième année d'enfantine est quant à lui évoqué en rapport avec l'activité que la recourante aurait exercée très partiellement pour son époux à partir de janvier 2012. Ce n'est que dans une note interne du 16 novembre 2011 que la date du mois d'août 2012 est mentionnée clairement comme date à partir de laquelle l'assurée "aurait encore augmenté son temps de travail (...) ". Cette date a ensuite été reprise par l'enquêteur dans son rapport complémentaire, lorsqu'il a été invité à se prononcer sur les objections de l'assurée et qu'il a précisé les conclusions de son enquête. De son côté, l'assurée a expliqué qu'elle aurait fait dépendre l'augmentation de son temps de travail dans le cabinet médical de la scolarisation de sa fille, ce par quoi elle entendait la première année d'école enfantine entamée au mois d'août 2011. Dans ces circonstances, au regard tant de l'absence de précision des indications retenues par l'enquêteur quant aux dates envisagées concrètement que des objections invariables et soulevées à temps par la recourante à ce sujet, on doit admettre qu'il y a eu confusion sur ce point entre l'assurée et son mari, d'une part, et le mandataire de l'office AI, d'autre part, même si, comme l'a retenu la juridiction cantonale, ces indications ont apparemment été lues à l'assurée à l'issue de l'entretien "pour confirmation".
Compte tenu de cette confusion, appréciée au regard des autres éléments du dossier que sont la situation familiale de l'assurée et les déclarations de son (ancien) employeur, il convient de retenir, au degré de la vraisemblance prépondérante, que la recourante aurait augmenté son activité comme assistante médicale à 50 % dès le mois d'août 2011. A cette date, en effet, son second enfant a débuté sa scolarité en première enfantine, ce qui aurait donné l'occasion à l'assurée d'étendre son activité professionnelle, comme l'atteste le docteur B._, selon lequel la scolarisation des deux enfants de son (ancienne) assistante médicale aurait permis à celle-ci de travailler à 50 % au moins dans son cabinet dès septembre 2011 (attestation du 4 février 2012). Le résultat de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale sans prendre en considération l'ensemble des éléments pertinents qui auraient dû la conduire à constater que D._ aurait travaillé à raison de 50 % à partir de septembre 2011 apparaît dès lors insoutenable et ne peut être suivi. C'est le lieu de préciser que l'audition de témoins, telle que requise par la recourante en instance cantonale déjà, se révèle superflue, puisqu'elle ne conduirait pas à modifier la conviction du Tribunal ( sur l'appréciation anticipée des preuves en général: <ref-ruling> consid. 3 p. 157; <ref-ruling> consid. 2 p. 428).
7.3.3. Ensuite de ce qui précède, l'invalidité de la recourante doit être évaluée en fonction d'un taux d'activité professionnelle de 50 % en tant qu'assistante médicale dès le 1 er septembre 2011. Il n'y a pas lieu, en revanche, de s'écarter des autres éléments du calcul du degré d'invalidité que celle-ci a retenus, en particulier les empêchements dans les tâches ménagères. La recourante se contente à cet égard d'opposer sa propre appréciation de l'étendue de l'aide que pourrait apporter son époux dans l'accomplissement des travaux habituels à celle des premiers juges. En affirmant simplement que l'assistance attribuée à son conjoint serait matériellement incompatible avec une activité professionnelle à temps plein, elle ne démontre pas le caractère manifestement inexact ou insoutenable de l'appréciation des premiers juges sur ce point.
En conséquence, compte tenu des chiffres déterminés par la juridiction cantonale, dont en particulier le taux de 3,8 % correspondant aux heures supplémentaires qu'aurait (hypothétiquement) accomplies la recourante avec un taux d'activité de 50 %, le taux d'invalidité s'élève à 68 % (cf. <ref-ruling>) du 1 er août au 31 décembre 2011 (53,8 % [empêchement de 100 % pour la part de l'activité lucrative en tant qu'assistante médicale évaluée à 53,8 %] + 13,86 % [empêchement de 30 % pour la part de l'activité consacrée aux tâches ménagères évaluée à 46,2 %]). Dès le 1 er janvier 2012, ce taux s'élève à 71 % (58 % [empêchement de 100 % pour la part de l'activité lucrative en tant qu'assistante médicale et secrétaire pour le compte du conjoint évaluée à 58 %] + 12,6 % [empêchement de 30 % pour la part de l'activité consacrée aux tâches ménagères évaluée à 42 %]). La recourante a dès lors droit à un trois quarts de rente de l'assurance-invalidité du 1 er août au 31 décembre 2011, puis à une rente entière à partir du 1 er janvier 2012. La conclusion subsidiaire de la recourante, tendant à l'octroi d'au moins un trois quarts de rente à partir du 1 er août 2011 est bien fondée.
8.
8.1. Cela étant, il convient d'admettre le recours de l'office AI et d'admettre partiellement le recours de D._. En conséquence, le ch. II du dispositif du jugement entrepris doit être réformé en ce sens que D._ a droit à un trois quarts de rente d'invalidité du 1 er août 2011 au 31 décembre 2011 et à une rente entière d'invalidité dès le 1 er janvier 2012; il doit être annulé en ce qui concerne le droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité au-delà du 8 juin 2012.
8.2. Le présent arrêt rend sans objet la requête d'effet suspensif présentée par l'office AI avec son recours.
9.
Compte tenu de l'issue du litige, les frais de justice seront répartis par moitié entre la recourante et l'intimée. Celle-ci a par ailleurs droit à une indemnité de dépens réduite (<ref-law>), à l'inverse de l'office recourant qui ne peut prétendre de dépens (<ref-law>).
L'issue du litige n'a en revanche pas d'incidence sur la répartition des dépens de première instance, au regard des conclusions de l'assurée en première instance et des considérations de la juridiction cantonale selon lesquelles la recourante y avait obtenu gain de cause (cf. <ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours de l'office AI est admis et le recours de l'assurée est partiellement admis. Le ch. 2 du dispositif de la décision du Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour des assurances sociales, du 13 août 2013 est réformé en ce sens que l'assurée a droit à un trois quarts de rente d'invalidité du 1er août 2011 au 31 décembre 2011 et à une rente entière d'invalidité dès le 1er janvier 2012; il est annulé pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis pour 400 fr. à la charge de la recourante et pour 400 fr. à la charge de l'office AI.
3.
L'office AI versera à la recourante la somme de 1'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 novembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless