Sachverhalt:
A.
Im Jahr 2011 gewährte die X._ Holding AG (damals noch X._ AG, Gesuchsgegnerin, Beschwerdeführerin) dem Präsidenten ihres Verwaltungsrats und Direktor, B._ (Verwaltungsratspräsident), ein Darlehen in der Höhe von Fr. 1.25 Mio. An der ordentlichen Generalversammlung der Gesellschaft vom 26. Juni 2012 stellte der Minderheitsaktionär A._ (Gesuchsteller, Beschwerdegegner) Fragen zu diesem Darlehen, den erhaltenen Sicherheiten sowie den getroffenen Massnahmen zur Vermeidung von Interessenkonflikten zwischen der Gesellschaft und ihren Verwaltungsratsmitgliedern oder deren Familienmitgliedern. Nachdem die Fragen mit den vom Verwaltungsratspräsidenten erteilten Auskünften nach Auffassung von A._ nur unzureichend beantwortet worden waren, beantragte letzterer die Einleitung einer Sonderprüfung. Die Generalversammlung lehnte diesen Antrag ab.
B.
Am 26. September 2012 ersuchte A._ das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am Sitz der Gesellschaft, es sei unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der X._ Holding AG "ein Sonderprüfer einzusetzen im Zusammenhang mit den anlässlich der ordentlichen Generalversammlung der Aktionäre der Gesuchsgegnerin vom 26. Juni 2012 gestellten Fragen zum Darlehen über CHF 1.25 Mio. der Gesuchsgegnerin an eine verbundene Partei, welches im Jahre 2011 gewährt wurde, den erhaltenen Sicherheiten sowie den getroffenen Massnahmen zur Vermeidung von Interessenkollisionen zwischen der Gesuchsgegnerin und den Verwaltungsratsmitgliedern der Gesuchsgegnerin (und/oder deren Familienmitgliedern) ". Im Rechtsbegehren formulierte er diverse dem Sonderprüfer zu unterbreitende Fragen. Die X._ Holding AG widersetzte sich dem Gesuch.
Mit Entscheid vom 4. Januar 2013 setzte der Appellationsgerichtspräsident einen Sonderprüfer in der Person von Advokat lic.iur. C._ ein "zur Untersuchung des im Jahre 2011 gewährten Darlehens in Höhe von Fr. 1.25 Mio. der Gesuchsgegnerin an B._, den Sicherheiten für dieses Darlehen und den im Zusammenhang mit diesem Darlehen vom Verwaltungsrat der Gesuchsgegnerin zur Vermeidung von Interessenkonflikten getroffenen Massnahmen". Gemäss Ziffer 3 des Entscheids hat der Sonderprüfer die folgenden Fragen abzuklären:
"3.1 Was ist der Zweck des Darlehens?
3.2.1 Welches sind die der Gesuchsgegnerin für das Darlehen gewährten Sicherheiten (Detailinformationen) ?
3.2.2 Wird der als Sicherheit für das Darlehen der Gesuchsgegnerin abgetretene Bonus von B._ von der Gesuchsgegnerin ausbezahlt, falls diese keine Gewinne macht?
3.2.3 Welches sind die Kriterien für die Ausbezahlung des als Sicherheit für das Darlehen abgetretenen Bonus von B._?
3.2.4 Wieso vertreten der Verwaltungsrat und/oder der Verwaltungsratspräsident der Gesuchsgegnerin die Auffassung, dass ein möglicher Bonus eine valable Sicherheit für das Darlehen darstellt?
3.2.5. Welches sind die im Geschäftsbericht ("Business Report") 2011 der Gesuchsgegnerin (S. 24) genannten anderen Sicherheiten ("other security") für das Darlehen (Detailinformationen) ?
3.3 Welche Massnahmen hat der Verwaltungsrat der Gesuchsgegnerin im Zusammenhang mit dem Darlehen zur Vermeidung von Interessenkonflikten getroffen?
3.4 Hat der Sonderprüfer weitere, ergänzende und mit dem Darlehen zusammenhängende Feststellungen gemacht, die ihm im vorliegenden Zusammenhang wichtig erscheinen?"
C.
Die X._ Holding AG beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Sonderprüfung sei nicht anzuordnen. Eventualiter sei der Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
A._ begehrt, die Beschwerde abzuweisen. Denselben Antrag stellt die Vorinstanz, unter Verweis auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 7. Mai 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung gewährt.

Erwägungen:
1.
Der gerichtliche Entscheid über die Einsetzung eines Sonderprüfers im Sinne von <ref-law> stellt einen Endentscheid (<ref-law>) in einer Zivilsache (<ref-law>) dar, der grundsätzlich mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden kann (Urteil 4A_554/2011 vom 10. Februar 2012 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; vgl. auch Urteil 4C.334/2006 vom 7. Februar 2007 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> und <ref-law> entschieden. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher unabhängig vom Streitwert zulässig (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Soweit er den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3).
2.2. Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2, 467 E. 3.1). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche grundlos ausser Acht lässt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt, der angefochtene Entscheid verletze in verschiedener Hinsicht die Art. 697a - 697c OR.
3.2. Gemäss <ref-law> kann jeder Aktionär der Generalversammlung beantragen, bestimmte Sachverhalte durch eine Sonderprüfung abklären zu lassen, sofern dies zur Ausübung der Aktionärsrechte erforderlich ist und er das Recht auf Auskunft oder das Recht auf Einsicht bereits ausgeübt hat. Entspricht die Generalversammlung dem Antrag, so kann die Gesellschaft oder jeder Aktionär innert 30 Tagen den Richter um Einsetzung eines Sonderprüfers ersuchen (<ref-law>). Entspricht die Generalversammlung dem Antrag nicht, so können Aktionäre, die zusammen mindestens 10 Prozent des Aktienkapitals oder Aktien im Nennwert von 2 Millionen Franken vertreten, innert dreier Monate den Richter ersuchen, einen Sonderprüfer einzusetzen (<ref-law>). Die Gesuchsteller haben Anspruch auf Einsetzung eines Sonderprüfers, wenn sie glaubhaft machen, dass Gründer oder Organe Gesetz oder Statuten verletzt und damit die Gesellschaft oder die Aktionäre geschädigt haben (<ref-law>). Zu diesem Zweck müssen sie nach der Rechtsprechung glaubhaft machen, dass ein Verhalten oder Unterlassen der Organe eine bestimmte gesetzliche oder eine statutarische Bestimmung verletzt, und aufzeigen, worin diese Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 257; Urteil 4A_215/2010 vom 27. Juli 2010 E. 3.1.3 mit weiteren Hinweisen).
4.
4.1. Im kantonalen Verfahren war unbestritten, dass der Beschwerdegegner sein Recht auf Auskunft in der Generalversammlung vom 26. Juni 2012 ausgeübt und diese seinem Antrag auf Einleitung einer Sonderprüfung nicht entsprochen hatte. Ebenso war anerkannt, dass der Beschwerdegegner mindestens 10 Prozent des Aktienkapitals vertritt und die dreimonatige Klagefrist gewahrt hatte. Umstritten war dagegen, ob die materiellen Voraussetzungen für die gerichtliche Anordnung einer Sonderprüfung vorliegend erfüllt sind, so vor allem das Glaubhaftmachen einer Gesetz- oder Statutenverletzung und einer Schädigung der Gesellschaft oder Aktionäre.
4.2. Der Beschwerdegegner führte zur Begründung seines Gesuchs aus, die Mitglieder des Verwaltungsrats der Beschwerdeführerin hätten ihre Sorgfalts- und Treuepflicht gemäss <ref-law> verletzt, weil sie das Darlehen an den Verwaltungsratspräsidenten in Missachtung des arm's length-Prinzips insbesondere ohne ausreichende Sicherheiten und zu nicht marktüblichen Konditionen gewährt und keine hinreichenden Massnahmen zur Vermeidung unzulässiger Interessenkollisionen getroffen hätten. Die Beschwerdeführerin wies diese Vorwürfe zurück.
4.3. Die Vorinstanz setzte sich ausführlich mit den Behauptungen des Gesuchstellers sowie mit den von der Beschwerdeführerin an der Generalversammlung vom 26. Juni 2012 sowie in der Gesuchsantwort vom 26. Oktober 2012 erteilten Auskünften auseinander.
Sie erwog, wenn ein Verwaltungsratsmitglied für sich oder eine nahestehende Person mit der Gesellschaft ein Rechtsgeschäft wie etwa einen Darlehensvertrag abschliesse, liege ein direkter und intensiver Interessenkonflikt vor. In einer solchen Situation ergebe sich aus der Treuepflicht gemäss <ref-law>, dass das betroffene Verwaltungsratsmitglied in den Ausstand treten und auch eine indirekte Beeinflussung des Verwaltungsrats unterlassen müsse. Zusätzlich müssten die übrigen Verwaltungsratsmitglieder der Situation eines Interessenkonflikts mit erhöhter Wachsamkeit begegnen und sicherstellen, dass das Geschäft wie mit einem unabhängigen Dritten abgewickelt werde, wofür gegebenenfalls eine Expertise bzw. eine Fairness Opinion einzuholen sei.
Mit Bezug auf den konkret vorliegenden Sachverhalt führte die Vorinstanz aus, anlässlich der Generalversammlung habe der Verwaltungsratspräsident erklärt, der Verwaltungsrat habe sichergestellt, dass kein Interessenkonflikt bestehe, indem er (der Verwaltungsratspräsident) sich selbst bei der Abstimmung an der Verwaltungsratssitzung zum Traktandum der Darlehensgewährung der Stimme enthalten habe. Sie befand indessen, aufgrund der vorliegenden Umstände sei nicht auszuschliessen, dass der Entscheid der übrigen Verwaltungsratsmitglieder, das vom Verwaltungsratspräsidenten gewünschte Darlehen zu gewähren, dadurch beeinflusst worden sein könnte, dass sich die Verwaltungsräte diesem oder der Gruppe B._ gegenüber verpflichtet gefühlt hätten oder ihren eigenen Verwaltungsratssitz nicht hätten gefährden wollen.
Sodann untersuchte die Vorinstanz eingehend die Darlehenskonditionen, namentlich die vom Darlehensnehmer bestellten Sicherheiten. Sie berücksichtigte das vom Verwaltungsratspräsidenten an der Generalversammlung genannte "Sicherheitspaket", bestehend aus der Abtretung des Verwaltungsratshonorars des Darlehensnehmers von zurzeit Fr. 100'000.-- und eines allfälligen Bonus, einer Lebensversicherung mit einer Vertragsdauer bis 2016 im Betrag von Fr. 1.25 Mio. zugunsten der Beschwerdeführerin, sowie weiter eines Pfandrechts der Beschwerdeführerin an allen Vermögenswerten, die sie für Rechnung des Darlehensnehmers aufbewahre, und des Verrechnungsrechts der Beschwerdeführerin. Sie präzisierte, die Beschwerdeführerin behaupte nicht, dass sie für den Verwaltungsratspräsidenten tatsächlich irgendwelche Vermögenswerte aufbewahre, an denen ihr ein Pfandrecht zustehen könnte. Die Vorinstanz schloss daraus, bis ins Jahr 2016 bestehe für das Risiko des Todes oder der Arbeitsunfähigkeit des Darlehensnehmers in der Form der Lebensversicherung eine hinreichende Sicherheit. Jedoch seien andere, weitere Risiken wie etwa Verschuldung und Misswirtschaft in mannigfaltigen Facetten evident und notorisch. Der Beschwerdegegner weise mit Recht darauf hin, dass Banken als professionelle Darlehensgeber bei vergleichbaren Geschäften mit Privaten von solchen mehr Sicherheiten "wie etwa entweder ein Grundpfand oder die Verpfändung von Wertschriften" verlangen würden, zumal bei einem Zinssatz von bloss 1.2454 % für die Zeit vom 1. Januar bis 30. September 2012. Das abgetretene Verwaltungsratshonorar von Fr. 100'000.-- und der gemäss der Beschwerdeführerin noch gar nicht ausbezahlte Bonus erschienen als Sicherheit offensichtlich ungenügend. Die weiteren als Sicherheiten angeführten Umstände wie insbesondere die "vom Verwaltungsrat als gute Bonität eingeschätzte finanzielle Situation" des Darlehensnehmers vermöchten an der Einschätzung, dass für das Darlehen wahrscheinlich keine ausreichenden Sicherheiten bestünden, nichts zu ändern. Die tatsächliche Bonität des Darlehensnehmers sei völlig unklar.
Die Vorinstanz schloss, der Beschwerdegegner habe glaubhaft machen können, dass die Bedingungen des dem Verwaltungsratspräsidenten gewährten Darlehens insbesondere aufgrund ungenügender Sicherheiten nicht marktüblich gewesen seien, womit eine Verletzung der Treue- und Sorgfaltspflicht gemäss <ref-law> durch den Verwaltungsratspräsidenten und die übrigen Mitglieder des Verwaltungsrats glaubhaft gemacht sei.
Zur Frage der Schädigung der Gesellschaft respektive der Aktionäre erwog die Vorinstanz schliesslich, da für die Rückerstattungsforderung keine ausreichenden Sicherheiten bestünden, sei deren (Verkehrs-) Wert geringer als die für das Darlehen eingesetzten Mittel, womit der Beschwerdegegner eine tatsächlich eingetretene Schädigung der Gesellschaft glaubhaft gemacht habe.
5.
Die Beschwerdeführerin rügt, der Beschwerdegegner habe kein hinreichendes Rechtsschutzinteresse an der Anordnung der Sonderprüfung, und diese sei aus diesem Grund nicht rechtens. Sie (die Beschwerdeführerin) habe nämlich die Fragen des Beschwerdegegners an der Generalversammlung vom 26. Juni 2012, im Protokoll zur Generalversammlung sowie im vorinstanzlichen Verfahren ausführlich beantwortet, und dem Beschwerdegegner lägen bereits diejenigen Informationen vor, die er für seinen Entscheid benötige, ob er eine Verantwortlichkeitsklage erheben wolle.
5.1. Das Begehren um Sonderprüfung setzt - wie jede Klage - ein aktuelles Rechtsschutzinteresse des Antragstellers voraus. Die Durchführung der Sonderprüfung muss dem Antragsteller die Ausübung von Rechten oder die Beurteilung von Chancen ermöglichen, wozu er sonst nicht in der Lage wäre. An der Erforderlichkeit einer Sonderprüfung im Sinne von <ref-law> fehlt es insbesondere, wenn die Sachverhalte, die abgeklärt werden sollen, aufgrund der Auskunftserteilung des Verwaltungsrats bereits offen zu Tage liegen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 257). Dabei bleibt es zwar grundsätzlich Sache der betroffenen Aktionäre, zu entscheiden, ob sie sich mit den vom Verwaltungsrat gelieferten Informationen zufriedengeben wollen. Voraussetzung für die Zulässigkeit eines Sonderprüfungsbegehrens ist jedoch, dass die Aktionäre bei vernünftiger Betrachtung Anlass haben konnten, an der Vollständigkeit oder an der Richtigkeit der vom Verwaltungsrat erteilten Auskünfte zu zweifeln. An einer Sonderprüfung zu Fragen, die durch die Auskünfte des Verwaltungsrats bereits zweifelsfrei geklärt sind, besteht kein hinreichendes Rechtsschutzinteresse (<ref-ruling> E. 3a S. 266 mit Hinweisen; Urteil 4C.179/2005 vom 2. November 2005 E. 4.1).
5.2. Die Vorinstanz bejahte ein aktuelles Rechtsschutzinteresse des Beschwerdegegners an der Anordnung der Sonderprüfung, da sie von den der Gesuchsgegnerin gestellten Fragen bloss jene nach den Parteien des Darlehens als zweifelsfrei geklärt erachtete. Diese Auffassung begründete sie eingehend unter Berücksichtigung des Interesses des Beschwerdegegners an der Beantwortung der einzelnen Fragen. Dabei zeigte sie anhand der an der Generalversammlung und in der Gesuchsantwort erteilten Auskünfte mit Bezug auf die jeweiligen Punkte auf, inwiefern und aufgrund welcher Umstände sie die Antworten für unvollständig respektive Zweifel an der Richtigkeit und Vollständigkeit für begründet hielt. Diese beweiswürdigende Beurteilung des Inhaltes der erteilten Auskünfte bindet das Bundesgericht vorbehältlich einer hinreichend begründeten Sachverhaltsrüge (Erwägung 2. ).
5.3. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich in dieser Hinsicht darauf, der Vorinstanz ihre eigene Auffassung entgegenzuhalten, wonach sie an der Generalversammlung die Fragen des Beschwerdegegners ausführlich und vollständig beantwortet habe, und zu diesem Zweck ihre eigenen Ausführungen unter Verweis auf die Gesuchsantwort zu rekapitulieren. Ihre diesbezüglichen, frei gehaltenen Ausführungen müssen mangels einer genügend begründeten Sachverhaltsrüge von vornherein unberücksichtigt bleiben, und die darauf basierenden rechtlichen Erwägungen entbehren somit der Grundlage. Demnach bleibt es bei der Beurteilung der Vorinstanz, wonach in verschiedener Hinsicht Anlass zu Zweifeln an der Richtigkeit und Vollständigkeit der erteilten Auskünfte besteht, und das Rechtsschutzinteresse des Beschwerdegegners an der Sonderprüfung ist zu bejahen.
6.
Die Beschwerdeführerin macht sodann geltend, die Vorinstanz habe den Begriff der Schädigung von Gesellschaft oder Aktionären im Sinne von <ref-law> falsch ausgelegt und lasse statt einer eingetretenen unfreiwilligen Vermögensverminderung eine "potentielle Schädigung durch ein Risiko eines Wertverlusts" genügen.
6.1. Während die Ermittlung des Schadens grundsätzlich eine vom kantonalen Richter abschliessend zu beurteilende Tatfrage darstellt, kann vom Bundesgericht als Rechtsfrage geprüft werden, ob der kantonale Richter den Rechtsbegriff des Schadens verkannt oder Rechtsgrundsätze der Schadensberechnung verletzt hat (<ref-ruling> E. 4, 564 E. 6.2 S. 576; <ref-ruling> E. 2e; <ref-ruling> E. 4c/bb S. 399). Die Frage, ob eine Schädigung infolge des Verhaltens von Gründern oder Organen aufgrund der tatsächlichen Vorbringen der Parteien und aufgrund der von ihnen beigebrachten beweismässigen Anhaltspunkte hinreichend glaubhaft erscheint, betrifft die Beweiswürdigung (Urteil 4A_359/2007 vom 26. November 2007 E. 2.4).
Soweit die von der Beschwerdeführerin erhobene Rüge nach dem Ausgeführten überhaupt zulässig ist, erweist sie sich als unbegründet:
6.2. Der Schaden ist im Verantwortlichkeitsrecht gemäss allgemeinen schadenersatzrechtlichen Grundsätzen nach der Differenztheorie zu bestimmen (Urteile 4A_177/2011 vom 2. September 2011 E. 4.3; 4A_65/2008 vom 3. August 2009 E. 11.1). Nach der Rechtsprechung entspricht er der Differenz zwischen dem gegenwärtigen Vermögensstand und dem (hypothetischen) Stand, den das Vermögen ohne das schädigende Ereignis hätte. Er kann in einer Vermehrung der Passiven, einer Verminderung der Aktiven oder in entgangenem Gewinn bestehen (dazu <ref-ruling> E. 4, 564 E. 6.2.).
6.3. Ausgehend von den Auskünften der Beschwerdeführerin zum vereinbarten Darlehenszins sowie zum übrigen Inhalt der Darlehensvereinbarung befand die Vorinstanz, der Beschwerdegegner habe glaubhaft machen können, dass die Bedingungen des dem Verwaltungsratspräsidenten gewährten Darlehens insbesondere aufgrund ungenügender Sicherheiten nicht marktüblich gewesen seien (Erwägung 4.3 ). Sie stellte mit anderen Worten fest, dass die Beschwerdeführerin das Geld zu marktüblichen Konditionen (Sicherheiten, Laufzeit, Zins) hätte anlegen können und ihr ein dementsprechender Gewinn entgangen sein dürfte.
Die Beschwerdeführerin vermag diese - auf Beweiswürdigung basierende - Feststellung nicht als willkürlich auszuweisen, indem sie auf die Zinssätze von CHF-Festanlagen von Treuhandgeldern sowie von Kontokorrent- oder Privatkonten respektive auf den CHF-dreimonats-Libor hinweist, haben die entsprechenden Zinssätze doch jedenfalls nicht die Kreditvergabe an Privatpersonen zum Gegenstand. Im Übrigen beschränkt sie sich darauf, zu argumentieren, dass keine Vermögensminderung eingetreten sei, da sie (die Beschwerdeführerin) einen Rückzahlungsanspruch gegen den Darlehensnehmer in der Höhe der ausbezahlten Darlehenssumme sowie einen Anspruch auf Zahlung von Zinsen erworben habe und die Rückzahlung des Darlehens nie gefährdet gewesen sei. Sie verkennt, dass die genannte Feststellung, wonach das Darlehen zu nicht marktüblichen Konditionen erteilt wurde, bereits ausreichte, um eine Schädigung der Gesellschaft in Form von entgangenem Gewinn zumindest glaubhaft zu machen. Der Kritik der Beschwerdeführerin ist damit das Fundament entzogen, und die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet, ohne dass entschieden zu werden braucht, ob eine Gefährdung der Rückzahlungsforderung wegen ungenügender Sicherheiten vorliegend gegeben war und für eine Schädigung im Sinne von <ref-law> genügen würde, wie die Vorinstanz unter Berufung auf strafrechtliche Grundsätze befand, die Beschwerdeführerin hingegen in Abrede stellt.
7.
Weiter beanstandet die Beschwerdeführerin den Gegenstand der Sonderprüfung.
7.1. Sie rügt, die Vorinstanz habe dem Sonderprüfer Fragen unterbreitet, die auf eine "blosse Überprüfung von Rechtmässigkeit und Zweckmässigkeit von Verhaltensweisen des Verwaltungsrats" abzielten.
7.1.1. Die Sonderprüfung ist ein Mittel der Informationsbeschaffung des Aktionärs über interne Vorgänge der Gesellschaft (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 4). Sie muss darauf ausgerichtet sein, konkrete Tatsachen zu ermitteln, und darf nicht auf eine rechtliche Beurteilung oder ein Werturteil abzielen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 257; Urteile 4A_215/2010 vom 27. Juli 2010 E. 3.1.4; 4P.183/2005 vom 2. November 2005 E. 3.3).
7.1.2. Die Beschwerdeführerin stört sich an der Frage 3.2.4 ( "Wieso vertreten der Verwaltungsrat und/oder der Verwaltungsratspräsident der Gesuchsgegnerin die Auffassung, dass ein möglicher Bonus eine valable Sicherheit für das Darlehen darstellt?" ). Sie findet, diese diene nicht der Sachverhaltsklärung, da in der Gesuchsantwort der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren die Auffassung des Verwaltungsrats eindeutig dargelegt worden sei. Vielmehr ziele die Vorinstanz auf ein "Erfragen der Gesinnung des Verwaltungsrats" ab, was ein unzulässiger Prüfgegenstand sei.
Die Rüge verfängt nicht. Die Antwort der Beschwerdeführerin vor der Vorinstanz lautete wie folgt:
"Sind in einem Geschäftsjahr die Voraussetzungen für das Sprechen eines Bonus gegeben, kann dieser nach Auffassung des Verwaltungsrats als Sicherungsabtretung gültig an die Gesellschaft abgetreten werden (zukünftige Forderung) und ist ein solcher Bonus daher eine valable Sicherheit."
Die Beschwerdeführerin beschränkte sich mithin auf eine allgemeine Aussage, unter welchen Umständen der Verwaltungsrat einen Bonus im Allgemeinen als valable Sicherheit erachtet, ohne diese Aussage in irgendeiner Form auf den vorliegenden Sachverhalt zu beziehen. Wenn sich die Vorinstanz mit dieser Antwort nicht zufrieden gab, weil sie die tatsächliche Auffassung des Verwaltungsrats und/oder des Verwaltungsratspräsidenten zur Frage der Eignung des Bonus als valable Sicherheit unter den konkret gegebenen Umständen nicht erkennen konnte, ist dies nicht zu beanstanden: Die Frage ist so zu verstehen, dass dadurch in Erfahrung gebracht werden soll, ob und gegebenenfalls aufgrund welcher Informationen die Verwaltungsratsmitglieder der Auffassung waren, der vom Verwaltungsratspräsidenten abgetretene Bonus stelle vorliegend eine valable Sicherheit für das Darlehen (in vereinbarter Höhe und zu den vereinbarten Konditionen) dar. Sie zielt somit auf die Ermittlung der massgeblichen Faktenlage beim Entscheid über die Darlehensvergabe und nicht auf die Untersuchung der Gesinnung der beteiligten Personen ab, und sie will auch nicht die Rechtmässigkeit und Zweckmässigkeit der Verhaltensweise des Verwaltungsrats prüfen lassen.
7.1.3. Sodann kritisiert die Beschwerdeführerin die Frage 3.3 ( "Welche Massnahmen hat der Verwaltungsrat der Gesuchsgegnerin im Zusammenhang mit dem Darlehen zur Vermeidung von Interessenkonflikten getroffen?" ). Sie führt aus, hierüber habe sie bereits eindeutig Auskunft gegeben: Der Verwaltungsratspräsident habe sich bei der Abstimmung der Stimme enthalten, das Traktandum sei unter der Führung von Verwaltungsratsmitglied D._ behandelt worden, und das Rechtsgeschäft sei zu at arm's length Grundsätzen abgeschlossen worden. Die Beurteilung, ob die vom Verwaltungsrat getroffenen Massnahmen genügend gewesen seien, um einen Interessenkonflikt auszuschliessen, und ob das Rechtsgeschäft wirklich at arm's length abgeschlossen worden sei, sei eine rein rechtliche Einschätzung und habe nichts mit der Klärung des Sachverhalts zu tun.
Die Vorinstanz erwog, die zur Sicherstellung der Gesellschaftsinteressen erforderlichen Massnahmen erschöpften sich in Fällen wie dem vorliegenden nicht im Ausstand des betroffenen Verwaltungsratsmitglieds, sondern der übrige Verwaltungsrat müsse sicherstellen, dass das Geschäft wie mit einem unabhängigen Dritten abgewickelt werde (Erwägung 4.3 ). Mit Bezug auf die gegebene Konstellation befand sie, eine gewisse Wahrscheinlichkeit spreche dafür, dass sich (neben dem Verwaltungsratspräsidenten) "auch die übrigen Verwaltungsratsmitglieder selber in einem Interessenkonflikt befunden haben könnten". Bei ihnen, dem Vizepräsidenten E._ und D._, handle es sich nämlich um von der Gruppe B._ eingesetzte Vertreter dieser Gruppe, welche die Kontrolle über die Beschwerdeführerin übernommen und die Vertreter der Gruppe X._ aus deren Organen entfernt habe. Daraus schloss sie auf die Möglichkeit eines Interessenkonflikts beim Entscheid über die Gewährung des Darlehens. An anderer Stelle befand die Vorinstanz, auch der Umstand, dass die Vermögenswerte, über die der Verwaltungsratspräsident (respektive dessen Familie) nach Angaben der Beschwerdeführerin verfüge (namentlich Liegenschaften in Basel und Frankreich), nicht als Sicherheit herangezogen worden seien, lasse Zweifel daran aufkommen, ob die Beteiligten tatsächlich gewillt gewesen seien, die Interessen der Gesellschaft hinreichend sicherzustellen. Die Vorinstanz erkannte also Anzeichen dafür, dass sich der Interessenkonflikt bei der Darlehensgewährung tatsächlich zu Ungunsten der Beschwerdeführerin ausgewirkt haben könnte.
Der Beschwerdeführerin ist insofern zuzustimmen, als mit der Sonderprüfung nicht in rechtlicher Hinsicht abgeklärt werden könnte, ob die Verwaltungsratsmitglieder Ausstandsvorschriften missachtet haben oder ob die getroffenen Massnahmen zur Vermeidung von Interessenkonflikten genügen. Sie verkennt indessen die Zielrichtung der von ihr beanstandeten Frage. Diese gebietet nämlich keine rechtliche Würdigung des Verhaltens ihrer Organe, sondern betrifft die sachverhaltsmässige Untersuchung der Umstände, unter denen das fragliche Darlehen gewährt wurde, wenn auch in der Tat im Hinblick auf das Thema eines möglichen Interessenkonflikts und eine mögliche Pflichtverletzung des Verwaltungsrats. Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die gemäss ihrer Feststellung nur unzureichend beantwortete Frage nach der Sicherstellung der Vermeidung von Interessenkonflikten im Zusammenhang mit dem Darlehen dem Sonderprüfer unterbreitete.
7.2. Ferner moniert die Beschwerdeführerin den fehlenden Zusammenhang der gestellten Fragen mit der Ausübung der Aktionärsinteressen.
7.2.1. Voraussetzung der Sonderprüfung ist, dass die Abklärung der fraglichen Sachverhalte zur Ausübung der Aktionärsrechte erforderlich ist. Im Vordergrund steht dabei die Relevanz der abzuklärenden Sachverhalte für eine allfällige Verantwortlichkeitsklage oder für die Ausübung der Mitwirkungsrechte. Dem Gesuchsteller obliegt es, einen Zusammenhang zwischen den vom ihm anvisierten Aktionärsrechten und dem Thema der beantragten Untersuchung glaubhaft zu machen (Urteile 4A_359/2007 vom 26. November 2007 E. 2.2; 4C.190/2005 vom 6. September 2006 E. 3.2). Die Sonderprüfung kann zudem nicht zur reinen Ausforschung verlangt werden in der Hoffnung, dabei auf eine Rechtsverletzung zu stossen, von welcher der Gesuchsteller keine Kenntnis hatte (<ref-ruling> E. 3.1 S. 257; Urteil 4A_215/2010 vom 27. Juli 2010 E. 3.1.4).
7.2.2. Die Beschwerdeführerin meint, es genüge, wenn sie zur Frage 3.1 ("Was ist der Zweck des Darlehens?") bekannt gegeben habe, dass das Darlehen weder für den Erwerb von Konsumgütern noch für den Kauf von Aktien oder Immobilien gewährt worden sei. Die konkrete Verwendung des Darlehens an einen Mitarbeiter der Gesellschaft sei demgegenüber objektiv nicht relevant für den Entscheid des Beschwerdeführers (recte: des Beschwerdegegners) über das Anheben einer Verantwortlichkeitsklage. Dabei argumentiert sie an der vorinstanzlichen Entscheidbegründung vorbei, gemäss welcher der Zweck des Darlehens (und nicht dessen konkrete Verwendung, wie die Beschwerdeführerin suggeriert) insbesondere für die Frage der Haftung der Verwaltungsratsmitglieder sowie für die konkrete Beurteilung der Angemessenheit der Sicherheiten für das Darlehen von Bedeutung und die Frage aus diesem Grund zulässig ist. Diese vorinstanzliche Auffassung ist nicht zu beanstanden: Während ausserhalb der Gesellschaft liegende Tatsachen wie etwa die Marktlage in einem bestimmten Wirtschaftssektor nicht der Sonderprüfung zugänglich sind (<ref-ruling> E. 2a S. 264), können mit dieser immerhin die Beziehungen der Gesellschaft zu Dritten untersucht werden, wenn dies für die Ausübung der Aktionärsrechte im Rahmen der Gesellschaft von Bedeutung ist ( CASUTT, Die Sonderprüfung im künftigen schweizerischen Aktienrecht, 1991, S. 42-43, vgl. auch MAROLDA MARTINEZ, Information der Aktionäre nach schweizerischem Aktien- und Kapitalmarktrecht, 2006, S. 254, WEBER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 4. Aufl. 2012, N. 26 zu <ref-law>). In diesem Sinne wäre es etwa zulässig, mittels Sonderprüfung zu erforschen, ob die Gesellschaft durch ein Rechtsgeschäft mit einem Dritten indirekt gesetzes- oder statutenwidrige Zwecke verfolgt. Wenn wie vorliegend glaubhaft gemacht wurde, dass der Verwaltungsrat einer Gesellschaft seinem Präsidenten ein Darlehen zu nicht marktüblichen Konditionen gewährt hat, ist es denn jedenfalls mit dem Institut der Sonderprüfung zu vereinbaren, wenn mit dieser unter anderem der Zweck der Darlehensgewährung untersucht wird.
Es gelingt der Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang auch nicht, eine rechtsmissbräuchliche Ausübung des Rechts auf Sonderprüfung aufzuzeigen. Dafür, dass der Beschwerdegegner die Sonderprüfung für sachfremde Zwecke wie zum Beispiel zur Befriedigung von Informationsinteressen der Konkurrenz oder zur absichtlichen Schädigung der Gesellschaft verwenden möchte, bestehen keine Anhaltspunkte (vgl. zum Auskunftsanspruch des Aktionärs Urteile 4A_36/2010 vom 20. April 2010 E. 3.1; 4C.234/2002 vom 4. Juni 2003 E. 4.2.4).
7.2.3. Entgegen der Rüge der Beschwerdeführerin trifft es sodann auch nicht zu, dass die Frage 3.2.3 (" Welches sind die Kriterien für die Ausbezahlung des als Sicherheit für das Darlehen abgetretenen Bonus von B._?" ) darauf abzielt, Zufallsfunde von weiteren angeblichen "Missständen" in der Gesellschaft zu ermöglichen. Nachdem mit der Abtretung eines allfälligen Bonus die Sicherung des Darlehens bezweckt wurde, stehen die Voraussetzungen, unter denen der Bonus ausbezahlt wird, offenkundig in direkter Beziehung zur Beurteilung der Darlehenskonditionen. Die Frage stellt daher keinen unzulässigen Versuch der Ausforschung dar und ist nicht zu beanstanden.
8.
Die Beschwerdeführerin sieht ferner die bundesrechtlichen Beweisregeln (<ref-law>) verletzt und rügt überdies Willkür in der Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung (<ref-law>).
8.1. Sie meint, die Vorinstanz missachte bundesrechtliche Beweisanforderungen bezüglich der materiellen Voraussetzungen der Sonderprüfung, indem sie an den Hauptbeweis des Beschwerdegegners einen anderen, tieferen Massstab anlege als an den Gegenbeweis. Während sie beim Hauptbeweis blosses (pauschales) Behaupten genügen lasse, verlange sie von der Beschwerdeführerin einen eigentlichen Beweis des Gegenteils oder sogar den Gegenbeweis für Tatsachen, die gar nicht vom Beschwerdegegner vorgebracht, sondern von der Vorinstanz selbst aufgeworfen worden seien. Zudem setze sie sich mit einzelnen Argumenten der Parteien nicht auseinander. Die Beschwerdeführerin unterlässt es jedoch über weite Strecken, aufzuzeigen, worauf sie diese Vorwürfe konkret bezieht, weshalb die Kritik - abgesehen von den nachfolgenden Punkten (Erwägungen 8.2-8.4) - von vornherein ausser Betracht zu bleiben hat. Immerhin ist allgemein zu erwähnen, dass der Gesuchsteller gemäss <ref-law> bloss glaubhaft zu machen braucht, dass Gründer oder Organe Gesetz oder Statuten verletzt und damit die Gesellschaft oder die Aktionäre geschädigt haben. Er muss mit anderen Worten nicht die volle Überzeugung des Gerichts vom Vorhandensein der anspruchsbegründenden Tatsachen herbeiführen, sondern es genügt, wenn eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür spricht, auch wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnten. Zur Berücksichtigung der Schwierigkeit der Informationsbeschaffung ist zugunsten des Gesuchstellers das Beweismass reduziert (<ref-ruling> E. 3.1 S. 257; <ref-ruling> E. 4c S. 397 f.; Urteil 4C.190/2005 vom 6. September 2006 E. 3.4.2). Wenn sich die Vorinstanz bezüglich der Behauptungen des Beschwerdegegners mit weniger als dem vollen Beweis begnügte, handelte sie somit durchaus bundesrechtskonform.
8.2. Die Beschwerdeführerin beanstandet konkret, die Vorinstanz laste dem Verwaltungsratspräsidenten "in direkter Weise eine Beeinflussung des Verwaltungsrats an", obwohl der Beschwerdegegner eine solche Beeinflussung an keiner Stelle behauptet habe.
In der Tat ist nicht klar, auf welche Parteibehauptung sich die beanstandete Erwägung auf S. 7 des angefochtenen Entscheids bezieht, die lautet: "Ob sich der Verwaltungsratspräsident auch einer indirekten Beeinflussung der übrigen Verwaltungsratsmitglieder enthalten hat, geht aus der Stellungnahme der Gesuchsgegnerin jedoch nicht hervor." Denn der Beschwerdegegner behauptete keine aktive Einflussnahme des Verwaltungsratspräsidenten auf den Entscheid der übrigen Verwaltungsratsmitglieder. Indessen unterstellte die Vorinstanz dem Verwaltungsratspräsidenten auch gar kein solches Verhalten. Sie hielt vielmehr fest, eine gewisse Wahrscheinlichkeit spreche dafür, dass sich die übrigen Verwaltungsratsmitglieder selber in einem Interessenkonflikt befunden haben könnten und weiter, der Entscheid über die Darlehensgewährung könnte dadurch beeinflusst worden sein, dass sich die Verwaltungsräte diesem oder der Gruppe B._ gegenüber verpflichtet gefühlt hätten oder ihren eigenen Verwaltungsratssitz nicht hätten gefährden wollen. Bei diesen entscheiderheblichen Erwägungen konnte sich die Vorinstanz jedenfalls ohne Weiteres auf entsprechende Tatsachenbehauptungen stützen.
8.3. Die Beschwerdeführerin zählt ferner einzelne im kantonalen Verfahren vorgebrachte Argumente auf, mit denen sich die Vorinstanz ihres Erachtens nicht auseinander gesetzt hat, so namentlich ihre eigenen Aussagen, der "unabhängige Verwaltungsrat" sei dem schweizerischen Aktienrecht fremd, und ein gewisser Widerstreit der Interessen innerhalb des Verwaltungsrats gehöre damit zur Konzeption des Gremiums sowie weiter, die Genehmigung eines Rechtsgeschäfts der vorliegenden Art durch die Generalversammlung wäre wenig praktikabel, denn die Generalversammlung müsste über das Geschäft ähnlich detailliert ins Bild gesetzt werden wie der Verwaltungsrat. Daraus vermag die Beschwerdeführerin nichts für ihren Standpunkt zu gewinnen: Die Vorinstanz hiess das Begehren um Sonderprüfung gut, weil sie aufgrund der Ausführungen des Beschwerdegegners Hinweise auf einen konkreten Interessenkonflikt ausmachte und ihr aufgrund der Darlehenskonditionen der Vorwurf einer Verletzung der Treue- und Sorgfaltspflicht durch die Verwaltungsratsmitglieder glaubhaft erschien (Erwägung 4.3). Inwiefern sie gegen <ref-law> verstossen haben soll, wenn sie sich in ihrem Entscheid mit den allgemeinen rechtlichen Ausführungen der Beschwerdeführerin zur Unabhängigkeit von Verwaltungsräten und zur Kompetenzverteilung im Aktienrecht nicht im Einzelnen auseinandersetzte, ist nicht ersichtlich.
8.4. Wenn die Beschwerdeführerin ausserdem unter dem gleichen Titel moniert, die Vorinstanz lasse sich bezüglich der Behauptung, die Gruppe B._ habe die Kontrolle über die Gesuchsgegnerin übernommen und E._ sowie D._ seien folglich von der Gruppe B._ eingesetzte Vertreter, offensichtlich durch Schiedsurteile (betreffend Streitigkeiten zwischen der Gruppe B._ und der Gruppe X._) leiten, bei denen die Gesuchsgegnerin nicht Partei des Streits gewesen sei, kritisiert sie inhaltlich die Beweiswürdigung, ohne den Anforderungen an eine entsprechende Sachverhaltsrüge nachzukommen (Erwägung 2.). Darauf ist nicht einzutreten.
8.5. Die Beschwerdeführerin versucht schliesslich, in verschiedener Hinsicht eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung respektive Beweiswürdigung durch die Vorinstanz aufzuzeigen, so etwa im Zusammenhang mit der Beurteilung der für das Darlehen bestellten Sicherheiten sowie betreffend die Bonität des Verwaltungsratspräsidenten. Sie tritt der Vorinstanz mit eigenen, frei gehaltenen Ausführungen entgegen, wobei sie einzelne Erwägungen der Vorinstanz herausgreift und kritisiert. Es gelingt ihr damit nicht, die in diesem Zusammenhang entscheidende Tatsachenfeststellung der Vorinstanz als willkürlich auszuweisen, wonach die Bedingungen des gewährten Darlehens nicht marktüblich waren (Erwägung 4.3).
Insbesondere kritisiert die Beschwerdeführerin erneut die vorinstanzlichen Feststellungen zur Schädigung der Gesellschaft und bezeichnet diese als willkürlich (vgl. Erwägung 6.3). Sie bestreitet, dass die Rückerstattungsforderung massgeblich gefährdet gewesen sei und sich ihr Wert verringert habe. Indessen fehlt es diesen Ausführungen an der Entscheiderheblichkeit, nachdem eine Schädigung bereits in Form von entgangenem Gewinn aufgrund nicht marktüblicher Darlehenskonditionen glaubhaft gemacht war. Am gleichen Umstand scheitert die Kritik, der Beschwerdegegner habe zu Unrecht behauptet, eine Schädigung liege auch darin, dass durch das Darlehen liquide Mittel gebunden würden, die für das operative Geschäft benötigt wären. Denn es ist nicht ersichtlich, in welcher Hinsicht der angefochtene Entscheid auf dieser Behauptung basiert.
9.
Die Beschwerde ist aus diesen Gründen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz