Faits:
Faits:
A. T._, née en 1952, a travaillé comme ouvrière d'usine, puis comme aide-serveuse dans un restaurant. Dès 1990, elle a présenté des douleurs lombaires, en raison desquelles elle a subi plusieurs hospitalisations en 1994. A l'époque, les médecins ont posé le diagnostic de lombo-pygialgies droites sur spondylolisthésis de degré 2, de L5 sur S1, dans le cadre d'une spondylolyse de L5. Ces atteintes ont provoqué plusieurs périodes d'incapacité de travail. Le 30 septembre 1996, T._ a présenté une demande de prestations à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud (ci-après : l'Office AI), en alléguant souffrir de douleurs dorsales invalidantes.
L'Office AI s'est adressé à la doctoresse S._, médecin traitant de l'assurée, qui a notamment attesté un état anxio-dépressif avec somatisations douloureuses multiples (rapport du 29 septembre 1997). Par la suite, l'assurée a consulté le docteur Q._, qui a confirmé le diagnostic de la doctoresse S._, en faisant également état de gonarthrose gauche, probablement due à une surcharge pondérale, de lombalgies chroniques et de probable personnalité prépsychotique borderline. Il attestait une incapacité de travail totale depuis le mois de septembre 1997 (rapports des 29 mai et 18 novembre 1998).
Compte tenu de ces rapports médicaux, l'Office AI a confié au Centre d'observation médicale de l'assurance-invalidité (COMAI), le soin de réaliser une expertise pluridisciplinaire. Celle-ci a été effectuée par les docteurs D._, P._ et B._, qui se sont notamment appuyés sur un examen rhumatologique pratiqué par le docteur H._ et un examen psychiatrique par le docteur C._. Selon les experts, la capacité de travail résiduelle de la recourante était de 20 % au maximum, dans une activité adaptée (permettant l'alternance des positions, ainsi que d'éviter le port de charges lourdes et certains types de mouvements). L'incapacité de travail résultait de diverses atteintes à la santé, à savoir, notamment : syndrome douloureux somatoforme persistant de type fibromyalgie, spondylolisthésis de L5 sur S1 avec ostéophyte d'instabilité, trouble dépressif moyen avec syndrome somatique, état anxieux persistant chez une personnalité immature à traits masochistes, obésité, gonarthrose gauche et status après ostéotomie de valgisation en 1999. Se référant à l'avis du docteur H._, les experts précisaient qu'abstraction faite des troubles psychiques mis en évidence par le docteur C._ - qui en déduisait une incapacité de travail totale de l'assurée - les affections somatiques laissaient subsister une capacité résiduelle de travail de 60 % dans une activité adaptée (rapport d'expertise du COMAI du 16 mars 2000).
Par décision du 4 juillet 2001, l'Office AI a alloué un quart de rente d'invalidité à T._, avec effet dès le 1er septembre 1998, en se fondant sur un taux d'invalidité de 40 %. Il a considéré que l'expertise du COMAI n'établissait pas de manière convaincante l'existence de troubles psychiques limitant la capacité de travail de l'assurée, qui présentait donc une capacité résiduelle de travail de 60 % dans une activité adaptée.
Par décision du 4 juillet 2001, l'Office AI a alloué un quart de rente d'invalidité à T._, avec effet dès le 1er septembre 1998, en se fondant sur un taux d'invalidité de 40 %. Il a considéré que l'expertise du COMAI n'établissait pas de manière convaincante l'existence de troubles psychiques limitant la capacité de travail de l'assurée, qui présentait donc une capacité résiduelle de travail de 60 % dans une activité adaptée.
B. T._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurance du canton de Vaud. Celui-ci a confié aux docteurs W._, spécialiste en chirurgie orthopédique, et M._, psychiatre, le soin de réaliser une nouvelle expertise pluridisciplinaire.
Le docteur W._ a attesté une incapacité de travail totale de l'assurée, en raison d'un spondylolisthésis L5/S1 et d'une obésité morbide (indice de masse corporelle de 43,4); il décrivait, par ailleurs, plusieurs autres atteintes à la santé physique (asthme, coxa profunda bilatérale, gonarthrose gauche, dégénérescences modérées de la colonne dorsale) (rapport du 19 mai 2003). Pour sa part, le docteur M._ a fait état, après discussion avec le docteur W._, d'un épisode dépressif moyen réactionnel, mais a nié l'existence d'un trouble de la personnalité et d'une incapacité de travail causée par une affection psychique (rapport du 28 juillet 2003).
Par jugement du 18 décembre 2003, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a réformé la décision administrative litigieuse et alloué à T._ une rente entière d'invalidité, avec effet dès le 1er septembre 1998, ainsi qu'une indemnité de dépens de 2200 fr.
Par jugement du 18 décembre 2003, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a réformé la décision administrative litigieuse et alloué à T._ une rente entière d'invalidité, avec effet dès le 1er septembre 1998, ainsi qu'une indemnité de dépens de 2200 fr.
C. L'Office AI interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouveau jugement. L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral des assurances sociales en propose l'admission.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de l'intimée à une rente d'invalidité et, à titre préalable, sur le point de savoir si les premiers juges disposaient d'un dossier suffisamment complet pour statuer en connaissance de cause. Le recourant fait valoir, d'une part, que le rapport établi le 28 juillet 2003 par le docteur M._ exclut une affection psychique entraînant une incapacité de travail; il soutient, d'autre part, que celui établi le 19 mai 2003 par le docteur W._ ne revêt pas une valeur probante suffisante pour admettre l'incapacité de travail attestée par ce médecin en raison d'atteintes à la santé physique. Ce rapport serait d'ailleurs contredit par l'expertise du COMAI du 16 mars 2000, en particulier par les résultats de l'examen rhumatologique pratiqué par le docteur H._.
1. Le litige porte sur le droit de l'intimée à une rente d'invalidité et, à titre préalable, sur le point de savoir si les premiers juges disposaient d'un dossier suffisamment complet pour statuer en connaissance de cause. Le recourant fait valoir, d'une part, que le rapport établi le 28 juillet 2003 par le docteur M._ exclut une affection psychique entraînant une incapacité de travail; il soutient, d'autre part, que celui établi le 19 mai 2003 par le docteur W._ ne revêt pas une valeur probante suffisante pour admettre l'incapacité de travail attestée par ce médecin en raison d'atteintes à la santé physique. Ce rapport serait d'ailleurs contredit par l'expertise du COMAI du 16 mars 2000, en particulier par les résultats de l'examen rhumatologique pratiqué par le docteur H._.
2. 2.1 Le juge des assurances sociales apprécie librement les preuves (art. 61 let. c LPGA; art. 95 al. 2 OJ, en relation avec les art. 113 et 132 OJ). Toutefois, si les rapports médicaux sont contradictoires, il ne peut trancher l'affaire sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion médicale et non pas sur une autre. A cet égard, l'élément déterminant n'est ni l'origine, ni la désignation du moyen de preuve comme rapport ou expertise, mais son contenu. Il importe que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude fouillée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées, qu'il ait été établi en pleine connaissance du dossier (anamnèse), que la description des interférences médicales soit claire et, enfin, que les conclusions de l'expert soient bien motivées (<ref-ruling> consid. 3a).
2.2 Sans remettre en cause le principe de la libre appréciation des preuves, la jurisprudence a posé quelques principes relatifs à la manière d'apprécier certains types d'expertises ou de rapports médicaux. Ainsi, le juge ne s'écartera pas sans motifs impérieux des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Peut constituer une raison de s'écarter de l'expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (<ref-ruling> ss consid. 3b).
2.2 Sans remettre en cause le principe de la libre appréciation des preuves, la jurisprudence a posé quelques principes relatifs à la manière d'apprécier certains types d'expertises ou de rapports médicaux. Ainsi, le juge ne s'écartera pas sans motifs impérieux des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Peut constituer une raison de s'écarter de l'expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (<ref-ruling> ss consid. 3b).
3. En l'occurrence, l'expertise réalisée par le docteur W._ revêt une pleine valeur probante. L'anamnèse est complète, les plaintes de l'assurée sont prises en considération et font l'objet d'une discussion en relation avec les atteintes objectives constatées par le médecin, que ce dernier décrit de manière claire. Bien qu'il n'ait pas eu à disposition certaines anciennes radiographies, l'expert disposait d'un dossier médical relativement complet, comprenant notamment l'expertise du COMAI du 16 mars 2000. Contrairement à ce que soutient l'OFAS, le seul fait qu'il n'a pas analysé en détail la vitesse de progression du spondylolisthésis ne suffit pas pour mettre en doute ses conclusions, ce facteur n'étant pas le seul permettant d'évaluer la gravité de l'atteinte. Le docteur W._ s'est fondé sur d'autres constatations objectives pour émettre son appréciation et a exposé de manière convaincante que l'importance du glissement de L5 sur S1 qu'il avait constaté le conduisait à retenir une incapacité de travail totale.
A cela s'ajoute que l'appréciation de la capacité de travail résiduelle de l'assurée par les docteurs W._ et M._ corrobore l'expertise pluridisciplinaire menée au COMAI, plutôt qu'elle ne la contredit, en ce qui concerne la capacité de travail résiduelle de l'assurée. Le docteur M._ n'a pas retenu, certes, l'existence de troubles somatoformes douloureux, contrairement aux médecins du COMAI. Il a toutefois pris soin de se renseigner auprès du docteur W._ avant de rédiger son rapport; il savait donc que ce dernier admettait l'existence d'un substrat organique expliquant les douleurs de l'assurée et justifiant une incapacité de travail totale. Pour leur part, les docteurs D._, P._ et B._ ne retiennent qu'une capacité de travail résiduelle de 20 % dans une activité adaptée. La divergence entre les experts du COMAI et les docteurs W._ et M._ ne réside donc pas tant dans l'appréciation de cette capacité de travail que dans le point de savoir quelle part de l'incapacité constatée résulte d'une atteinte à la santé physique et dans quelle mesure elle est influencée par des troubles d'ordre psychique. Cette question n'est toutefois pas décisive, dès lors qu'une capacité de travail résiduelle supérieure à 20 %, permettant de mettre sérieusement en doute le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité, ne peut être admise ni en se fondant sur le rapport du COMAI, ni sur l'expertise judiciaire confiée aux docteurs W._ et M._.
Dans ce contexte, on ne saurait suivre l'argumentation du recourant d'après laquelle il conviendrait de prendre en considération le rapport rhumatologique établi par le docteur H._ pour le COMAI, d'une part, et le rapport psychiatrique établi par le docteur M._, d'autre part, pour déterminer la capacité de travail résiduelle de l'assurée. Le but d'une expertise pluridisciplinaire est précisément d'obtenir une collaboration entre différents praticiens et d'éviter les contradictions que pourraient entraîner des examens trop spécialisés, menés indépendamment les uns des autres. En l'occurrence, il convient de s'attacher à la discussion globale menée par les experts du COMAI plutôt qu'aux rapports forcément sectoriels et limités des différents spécialistes consultés en cours d'expertise. De même, le rapport du docteur M._ forme-t-il un tout cohérent avec celui du docteur W._, dont les conclusions relatives à la capacité de travail de l'assurée emportent la conviction.
Dans ce contexte, on ne saurait suivre l'argumentation du recourant d'après laquelle il conviendrait de prendre en considération le rapport rhumatologique établi par le docteur H._ pour le COMAI, d'une part, et le rapport psychiatrique établi par le docteur M._, d'autre part, pour déterminer la capacité de travail résiduelle de l'assurée. Le but d'une expertise pluridisciplinaire est précisément d'obtenir une collaboration entre différents praticiens et d'éviter les contradictions que pourraient entraîner des examens trop spécialisés, menés indépendamment les uns des autres. En l'occurrence, il convient de s'attacher à la discussion globale menée par les experts du COMAI plutôt qu'aux rapports forcément sectoriels et limités des différents spécialistes consultés en cours d'expertise. De même, le rapport du docteur M._ forme-t-il un tout cohérent avec celui du docteur W._, dont les conclusions relatives à la capacité de travail de l'assurée emportent la conviction.
4. Vu ce qui précède, c'est à juste titre que les premiers juges ont renoncé au complément d'instruction demandé par l'Office AI et ont alloué une rente entière d'invalidité à T._. Cette dernière, qui obtient gain de cause, peut prétendre une indemnité de dépens à la charge du recourant (art. 159 al. 1 OJ). Par ailleurs, la procédure porte sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, de sorte qu'elle est gratuite (art. 134 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le recourant versera à T._ la somme de 2500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
3. Le recourant versera à T._ la somme de 2500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 juillet 2005
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre: Le Greffier: