Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Am 17. Oktober 2002 reichte Rechtsanwalt Z._ bei der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich ein Wiedererwägungsgesuch ein mit dem Antrag, die ihm im Beschluss vom 5. Juni 2002 auferlegten Gerichtskosten von Fr. 296.-- seien zurückzunehmen. Darin bestätigte er die Richtigkeit der Überweisung an die I. Zivilkammer des Obergerichts zur Überprüfung der Angemessenheit des ihm von der Einzelrichterin zugesprochenen Honorars als unentgeltlicher Rechtsbeistand, kritisierte aber, vorher nicht angehört worden zu sein. In materieller Hinsicht stellte er sich auf den Standpunkt, dass nach der Rechtsprechung der Armenanwalt nicht anders zu behandeln sei als ein um den Lohn streitender Beamter, der bis zum Betrag von Fr. 20'000.-- kostenlos prozessieren könne. Am 1. April 2003 wies die Verwaltungskommission das Wiedererwägungsgesuch im Sinne der Erwägungen ab; Kosten wurden keine erhoben.
A. Am 17. Oktober 2002 reichte Rechtsanwalt Z._ bei der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich ein Wiedererwägungsgesuch ein mit dem Antrag, die ihm im Beschluss vom 5. Juni 2002 auferlegten Gerichtskosten von Fr. 296.-- seien zurückzunehmen. Darin bestätigte er die Richtigkeit der Überweisung an die I. Zivilkammer des Obergerichts zur Überprüfung der Angemessenheit des ihm von der Einzelrichterin zugesprochenen Honorars als unentgeltlicher Rechtsbeistand, kritisierte aber, vorher nicht angehört worden zu sein. In materieller Hinsicht stellte er sich auf den Standpunkt, dass nach der Rechtsprechung der Armenanwalt nicht anders zu behandeln sei als ein um den Lohn streitender Beamter, der bis zum Betrag von Fr. 20'000.-- kostenlos prozessieren könne. Am 1. April 2003 wies die Verwaltungskommission das Wiedererwägungsgesuch im Sinne der Erwägungen ab; Kosten wurden keine erhoben.
B. Mit Eingabe vom 6. Mai 2003 lässt Z._ staatsrechtliche Beschwerde führen mit dem Antrag, die Beschlüsse der Verwaltungskommission vom 5. Juni 2002 und 1. April 2003 zu kassieren.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob und inwieweit auf eine staatsrechtliche Beschwerde einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1 S. 209 mit Hinweisen). Ein Wiedererwägungsentscheid kann mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden, wenn die Behörde auf ein solches Gesuch eintritt, selbst wenn damit der in Wiedererwägung gezogene Entscheid bestätigt wird (Kälin, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Aufl. 1994, S. 155). Vorliegend wurde das Wiedererwägungsgesuch abgewiesen. Insoweit ist die staatsrechtliche Beschwerde zulässig.
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob und inwieweit auf eine staatsrechtliche Beschwerde einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1 S. 209 mit Hinweisen). Ein Wiedererwägungsentscheid kann mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden, wenn die Behörde auf ein solches Gesuch eintritt, selbst wenn damit der in Wiedererwägung gezogene Entscheid bestätigt wird (Kälin, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Aufl. 1994, S. 155). Vorliegend wurde das Wiedererwägungsgesuch abgewiesen. Insoweit ist die staatsrechtliche Beschwerde zulässig.
2. Der Beschwerdeführer hat auch die Aufhebung des Beschlusses vom 5. Juni 2002 beantragt. Er führt dazu aus, der Entscheid einer unteren kantonalen Instanz könne mit angefochten werden, wenn die letzte kantonale Rechtsmittelinstanz nicht alle Fragen, die Gegenstand der staatsrechtlichen Beschwerde bildeten, habe beurteilen können oder wenn die letzte kantonale Rechtsmittelinstanz die Rügen nur mit einer engeren Kognition, als sie dem Bundesgericht im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren zukomme, zu überprüfen befugt gewesen sei (<ref-ruling> E. 2b S. 169). Sei dies der Fall, so könne mit der Einreichung der staatsrechtlichen Beschwerde bis zur Ausfällung des (letzten) kantonalen Rechtsmittelsentscheides zugewartet werden und damit auch das vorletzte kantonale Urteil mit angefochten werden.
Die sogenannte Dorénaz-Praxis, auf die sich der Beschwerdeführer abstützt, findet zwar analoge Anwendung in Fällen ausserordentlicher kantonaler Rechtsmittel an den iudex a quo (Spühler, Die Praxis der staatsrechtlichen Beschwerde, Rz. 298 S. 102). Dazu gehören z.B. die ausserordentliche Revision, nicht aber Wiedererwägungsgesuche. Entscheide, die Gegenstand von Wiedererwägungsgesuchen bilden, können nicht zusammen mit dem Wiedererwägungsentscheid angefochten werden. Soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des Beschlusses vom 5. Juni 2002 verlangt, kann auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten werden.
Die sogenannte Dorénaz-Praxis, auf die sich der Beschwerdeführer abstützt, findet zwar analoge Anwendung in Fällen ausserordentlicher kantonaler Rechtsmittel an den iudex a quo (Spühler, Die Praxis der staatsrechtlichen Beschwerde, Rz. 298 S. 102). Dazu gehören z.B. die ausserordentliche Revision, nicht aber Wiedererwägungsgesuche. Entscheide, die Gegenstand von Wiedererwägungsgesuchen bilden, können nicht zusammen mit dem Wiedererwägungsentscheid angefochten werden. Soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des Beschlusses vom 5. Juni 2002 verlangt, kann auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten werden.
3. Auf die Vorbringen eines Beschwerdeführers ist jedoch nur einzutreten, soweit sie den Begründungsanforderungen des Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügen. Danach ist klar darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde prüft das Bundesgericht nur klar und einlässlich erhobene Rügen. Auf bloss appellatorische Kritik tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1c S. 282 mit Hinweisen). Diese Anforderungen an die Begründungspflicht gelten auch für Rügen mit Bezug auf die Verweigerung des rechtlichen Gehörs nach <ref-law>.
Wird der kantonalen Behörde Willkür bei der Rechtsanwendung vorgeworfen, so ist die Rechtsnorm zu bezeichnen und anhand der angefochtenen Subsumtion zu zeigen, inwiefern der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtssatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1). Im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde sind neue tatsächliche und rechtliche Vorbringen grundsätzlich unzulässig (<ref-ruling> E. 5a S. 26; <ref-ruling> E. 6).
Wird der kantonalen Behörde Willkür bei der Rechtsanwendung vorgeworfen, so ist die Rechtsnorm zu bezeichnen und anhand der angefochtenen Subsumtion zu zeigen, inwiefern der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtssatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1). Im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde sind neue tatsächliche und rechtliche Vorbringen grundsätzlich unzulässig (<ref-ruling> E. 5a S. 26; <ref-ruling> E. 6).
4. Der Beschwerdeführer macht in verschiedener Hinsicht eine Verweigerung des rechtlichen Gehörs nach <ref-law> geltend.
4.1 Von vornherein nicht eingetreten werden kann auf den Vorwurf der Gehörsverweigerung hinsichtlich des Beschlusses vom 5. Juni 2002 (E. 2 hiervor).
4.2 Die Verwaltungskommission führt in ihrem Entscheid vom 1. April 2003 aus, der Beschwerdeführer rüge, sie habe ihm mit der damaligen Überweisung das rechtliche Gehör verweigert, worauf jedoch mangels eines konkreten Antrags nicht näher eingegangen werden müsse. Dagegen macht der Beschwerdeführer nun geltend, beantragt zu haben, die Kosten zu Lasten des Staates zu nehmen. Der Beschwerdeführer führt jedoch nicht in der nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG verlangten Weise aus, inwiefern das rechtliche Gehör geboten hätte, ihn vor dem Kostenentscheid anzuhören. Darauf ist nicht einzutreten.
4.3 Soweit der Beschwerdeführer heute sinngemäss geltend macht, wäre ihm Gelegenheit zur Vernehmlassung gegeben worden, hätte er auf eine unzulässige Überweisung hinweisen können, ist auf dieses neue Vorbringen nicht einzutreten, abgesehen davon, dass er noch im Wiedererwägungsgesuch (Ziff. 1) ausgeführt hat, die Verweisung ins Rekursverfahren sei zu Recht vorgenommen worden.
4.3 Soweit der Beschwerdeführer heute sinngemäss geltend macht, wäre ihm Gelegenheit zur Vernehmlassung gegeben worden, hätte er auf eine unzulässige Überweisung hinweisen können, ist auf dieses neue Vorbringen nicht einzutreten, abgesehen davon, dass er noch im Wiedererwägungsgesuch (Ziff. 1) ausgeführt hat, die Verweisung ins Rekursverfahren sei zu Recht vorgenommen worden.
5. Sodann wirft der Beschwerdeführer der Verwaltungskommission vor, indem sie die Sache nach § 194 Abs. 2 GVG von Amtes wegen an die I. Zivilkammer des Obergerichts überwiesen und dabei die Kostenfolge der Überweisung auf <ref-law> gestützt habe, sei kantonales Prozessrecht willkürlich angewendet worden. Bei einer Prozessüberweisung nach § 194 GVG dürften aber keine Kosten und Gebühren auferlegt werden. Auf die diesbezüglichen Vorbringen kann nicht eingetreten werden, denn sie sind neu und damit unzulässig.
5. Sodann wirft der Beschwerdeführer der Verwaltungskommission vor, indem sie die Sache nach § 194 Abs. 2 GVG von Amtes wegen an die I. Zivilkammer des Obergerichts überwiesen und dabei die Kostenfolge der Überweisung auf <ref-law> gestützt habe, sei kantonales Prozessrecht willkürlich angewendet worden. Bei einer Prozessüberweisung nach § 194 GVG dürften aber keine Kosten und Gebühren auferlegt werden. Auf die diesbezüglichen Vorbringen kann nicht eingetreten werden, denn sie sind neu und damit unzulässig.
6. 6.1 Der Beschwerdeführer bringt schliesslich vor, die Verwaltungskommission stütze die gerügte Kostenauflage auf <ref-law> i.V.m. § 109 Abs. 3 GVG ab. Sie übersehe dabei, dass § 109 Abs. 3 GVG die Vorschriften der Zivilprozessordnung nur sinngemäss zur Anwendung bringen wolle, wobei dies vor allem für das Beweisverfahren gelten solle.
6.2 Im angefochtenen Entscheid wird dazu ausgeführt, bei dem vom Beschwerdeführer und von Hauser/Schweri zitierten Entscheid aus dem Jahre 1939 handle es sich um eine "Praxis" der damaligen Verwaltungskommission im Zusammenhang mit der Entschädigung von "Armenanwälten", welche offensichtlich auf den damals geltenden Prozessgesetzen gegründet habe. Die Rechtslage, auf die sich die heutige Praxis stütze, sei eine andere: Gemäss § 109 Abs. 3 GVG fänden die Bestimmungen der Zivilprozessordnung auf das Beschwerdeverfahren sinngemäss Anwendung, soweit das GVG keine speziellen Bestimmungen aufstelle. Dies sei mit Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsregelung der Fall, weshalb im Beschwerdeverfahren die §§ 64 Abs. 2 und 68 Abs. 1 der Zivilprozessordnung beachtlich seien (Hauser/Schweri, Kommentar zum Zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz, Zürich 2002, N. 21 zu § 109). Die gleiche Meinung habe sodann das Bundesgericht mit Bezug auf die Entschädigungsfolgen in dem vom Beschwerdeführer selber zitierten Fall (1P.599/1999) in E. 3b vertreten. Die Kosten des Verfahrens seien dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei in Anwendung von <ref-law> zu Recht auferlegt worden.
6.3 Zur Begründung der geltend gemachten Verfassungsverletzung bringt der Beschwerdeführer vor, das Obergericht habe in ZR 98/1999 Nr. 23 entschieden, dass im Falle von zwei im Streite liegenden Amtsstellen (selbst für das Rekursverfahren) nicht die Bestimmungen der Zivilprozessordnung, sondern diejenigen des Verwaltungsrechtspflegegesetzes (VRG) analog anzuwenden seien. Der Unterschied, dass der Angestellte in einem öffentlichrechtlichen Dienstverhältnis stehe, währenddem der unentgeltliche Rechtsvertreter auf der Basis eines öffentlichrechtlichen Auftragsverhältnisses tätig werde, könne hinsichtlich des bei der Entschädigungsfrage anzuwendenden Verfahrensrechts keine unterschiedliche Behandlung rechtfertigen. Dass sich die Verwaltungskommission bei ihrer Begründung auch auf das Bundesgerichtsurteil 1P.599/1999 abgestützt habe, sei irrelevant, da die sich hier stellende Frage, ob die zivilprozessrechtlichen Bestimmungen im Beschwerdeverfahren bei strittigen Entschädigungen der unentgeltlichen Rechtsvertretung überhaupt zur Anwendung kämen, dort nicht zu entscheiden gewesen sei.
Abgesehen davon, dass der vom Beschwerdeführer angeführte Entscheid ZR 98/1999 Nr. 23 ein unzulässiges rechtliches Novum darstellt, erweisen sich die weiteren Einwendungen des Beschwerdeführers lediglich als appellatorische Kritik am Beschluss der Verwaltungskommission, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann (E. 3 hiervor). Mit den Vorbringen wird nicht ansatzweise dargetan, weshalb die Verwaltungskommission in Willkür verfallen sein soll, indem sie dem Beschwerdeführer Verfahrenskosten auferlegt hat.
Abgesehen davon, dass der vom Beschwerdeführer angeführte Entscheid ZR 98/1999 Nr. 23 ein unzulässiges rechtliches Novum darstellt, erweisen sich die weiteren Einwendungen des Beschwerdeführers lediglich als appellatorische Kritik am Beschluss der Verwaltungskommission, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann (E. 3 hiervor). Mit den Vorbringen wird nicht ansatzweise dargetan, weshalb die Verwaltungskommission in Willkür verfallen sein soll, indem sie dem Beschwerdeführer Verfahrenskosten auferlegt hat.
7. Aus diesen Gründen kann auf die staatsrechtliche Beschwerde insgesamt nicht eingetreten werden. Bei diesem Ausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 750.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 750.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2003
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: