Sachverhalt:
A.
H._ ist als Stadtammann und Betreibungsbeamter der Gemeinde X._ tätig. Aufgrund eines von ihm verfassten und am zzz 2012 veröffentlichten Leserbriefes ordnete der Gemeindeschreiber unter Hinweis auf sein "illoyales Verhalten" am 27. Juli 2012 seinen Ausschluss von der Abteilungsleitungskonferenz der Gemeindeverwaltung an. Auf Einsprache des H._ hin hob der Gemeinderat der Stadt X._ die Anordnung des Gemeindeschreibers mangels dessen Zuständigkeit auf und beschloss, dass der Stadtammann und Betreibungsbeamter nicht mehr als Abteilungsleiter im Sinne der Geschäftsordnung des Gemeinderates vom 7. April 2010 anzusehen sei. Bis zur entsprechenden Anpassung des Organigramms suspendierte der Gemeinderat H._ von der Teilnahme an der Abteilungsleitungskonferenz (Beschluss vom 5. September 2012). Mit Beschluss vom 19. September 2012 genehmigte der Gemeinderat sodann das dementsprechend abgeänderte Organigramm der Stadtverwaltung, worin das Stadtammann- und Betreibungsamt nicht mehr aufgeführt wurde und hielt fest, dass das Stadtammann- und Betreibungsamt nach dem neuen Organigramm offiziell nicht mehr als Verwaltungsabteilung gelte, weshalb H._ nicht mehr an die Abteilungsleitungskonferenz einzuladen sei.
Der Bezirksrat Y._ wies den dagegen geführten Rekurs ab und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung (Beschluss vom 2. Mai 2013).
B.
Die von H._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich gut und hob in Dispositiv-Ziffer 1 die Beschlüsse des Bezirksrats Y._ vom 2. März 2013 sowie des Gemeinderats der Stadt X._ vom 5. und 19. September 2012 auf (Entscheid vom 26. August 2013).
C.
Der Gemeinderat der Stadt X._ führt subsidiäre Verfassungsbeschwerde und beantragt die Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 1 des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 26. August 2013. Ferner sei der subsidiären Verfassungsbeschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Der Bezirksrat Y._ verzichtet auf eine Vernehmlassung. H._ beantragt die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer rügt eine vorinstanzlich willkürliche Würdigung des Sachverhalts und eine willkürliche Rechtsanwendung (<ref-law>).
1.1. Zur Verfassungsbeschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
1.2. Die Verfassungsbeschwerde ist - wie vormals die staatsrechtliche Beschwerde - ein Rechtsmittel zum Schutze der Träger verfassungsmässiger Rechte gegen Übergriffe der Staatsgewalt. Derartige Rechte stehen grundsätzlich nur Privaten zu, nicht dagegen dem Gemeinwesen als Inhaber hoheitlicher Gewalt. Öffentlich-rechtliche Körperschaften sind nur zur Verfassungsbeschwerde legitimiert, wenn sie nicht hoheitlich auftreten, sondern durch einen staatlichen Akt wie eine Privatperson betroffen werden. Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften können sich zudem mit Verfassungsbeschwerde gegen eine Verletzung ihrer durch das kantonale Recht gewährleisteten Autonomie oder Bestandesgarantie zur Wehr setzen (<ref-ruling> E. 1b S. 175; <ref-ruling> E. 2a S. 219 f.; Urteil 2P.175/2001 vom 12. Oktober 2001 E. 1a mit Hinweisen; G IOVANNI BIAGGINI, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 1 zu <ref-law>).
1.3. Die Legitimation von Gemeinwesen zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Rahmen von <ref-law> ist rechtsprechungsgemäss gegeben, wenn diese in gleicher oder zumindest ähnlicher Weise berührt werden wie ein privater Arbeitgeber. Dies ist bei vermögensrechtlichen Streitigkeiten im Bereich des öffentlichen Dienstrechts grundsätzlich zu bejahen, auch wenn sich das Arbeitsverhältnis nicht nach OR, sondern nach öffentlichem Recht richtet (<ref-ruling> E. 2.3 S. 207). Wie es sich diesbezüglich hinsichtlich der subsidiären Verfassungsbeschwerde verhält, wurde bis anhin offen gelassen (Urteil 8C_1077/2009 vom 17. Dezember 2010 E. 3.2 mit weiteren Hinweisen).
Hier handelt es sich nicht um eine vermögensrechtliche Streitigkeit. Es ist fraglich, ob der Gemeinderat in gleicher oder ähnlicher Weise berührt ist wie ein privater Arbeitgeber. Die Frage der Beschwerdelegitimation kann indessen offen gelassen werden, da die Beschwerde aus den nachstehenden Gründen ohnehin nicht gutgeheissen werden kann:
2.
2.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde führende Partei muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 2 S. 591 f.).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>); neue Tatsachen und Beweismittel sind grundsätzlich unzulässig (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte beruht (Art. 116 i.V.m. <ref-law>). Wird Letzteres geltend gemacht, ist klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich, sein soll (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398, 585 E. 4.1 S. 588 f.; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür behandelt zu werden. Nach der Rechtsprechung ist eine Entscheidung willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Willkürliche Rechtsanwendung liegt zudem nicht schon vor, wenn eine andere Lösung vertretbar oder sogar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133).
3.2. Das kantonale Gericht hielt fest, dass der Beschwerdegegner weder aus Bundes- noch aus kantonalem oder kommunalem Recht einen Anspruch ableiten könne, die Stellung eines Abteilungsleiters zu bekleiden und als solcher an der Abteilungsleitungskonferenz teilzunehmen. Dass das Betreibungs- und Gemeindeammannamt dem Gemeinderat lediglich administrativ, nicht aber fachlich unterstellt sei, stelle zwar einen sachlichen Grund für die Reorganisation der Gemeindeverwaltung dar. Da es aber aufgrund des zeitlichen Konnexes zwischen dem Leserbrief, der Anordnung des Gemeindeschreibers, der dagegen geführten Einsprache und der Beschlüsse des Beschwerdeführers offensichtlich sei, dass mit der Verwaltungsreorganisation in erster Linie das als treuewidrig beurteilte Verhalten des Beschwerdegegners habe sanktioniert werden wollen, habe die Massnahme einen disziplinarischen Charakter. Das kantonale Personalrecht enthalte hingegen ausser dem Verweis keine Disziplinarmassnahmen mehr (§ 30 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 27. September 1998 über das Arbeitsverhältnis des Staatspersonals (Personalgesetz, PG; LS 177.10) und die Gemeinde X._ habe von der Möglichkeit, ein Disziplinarrecht vorzusehen, keinen Gebrauch gemacht. Als disziplinarische Anordnung fehle der Änderung des Organigramms der Stadtverwaltung und der daraus folgenden Nichteinladung des Beschwerdegegners zu den Abteilungsleitersitzungen daher die gesetzliche Grundlage, weshalb die Beschlüsse des Gemeinderates rechtsverletzend seien.
3.3. Der Beschwerdeführer vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern diese Sachverhaltswürdigung und die daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse willkürlich sein sollten: Das Argument, mit dem Beschluss vom 19. September 2012 sei einzig das Organigramm grafisch wieder mit der bestehenden Rechtslage in Übereinstimmung gebracht worden, da das Stadtammann- und Betreibungsamt im Organigramm (seit dem Jahr 2010) aufgeführt worden sei, obwohl der Stadtammann und Betreibungsbeamte nicht die Funktion eines Abteilungsleiters gehabt habe, verfängt nicht. Im Beschluss vom 5. September 2012 hielt der Gemeinderat fest, dass er einem entsprechenden Antrag des Gemeindeschreibers zum Erlass der angefochtenen "Dienstanweisung" (im Sinne des Ausschlusses aus der Abteilungsleitungskonferenz) zweifelsohne gefolgt wäre. Die interne Anordnung des Gemeindeschreibers schützte der Beschwerdeführer einzig aus formell-rechtlicher Sicht nicht, wie aus dem Beschluss hervorgeht. Inhaltlich wurde dem Gemeindeschreiber vollständig beigepflichtet, indem der Beschwerdegegner "nicht mehr als "Abteilungsleitender" im Sinne von Art. 39 GeschO GR betrachtet werde und das Organigramm der Stadtverwaltung entsprechend anzupassen sei" (vgl. auch Protokoll der Abteilungsleitungskonferenz vom 22. Mai 2012).
Die vorinstanzliche Beurteilung, die Reorganisation wäre ohne die dem Beschwerdegegner vorgeworfene Treuepflichtverletzung nicht durchgeführt worden und mit der Streichung aus dem Organigramm sowie dem Ausschluss aus der Abteilungsleitungskonferenz habe der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner sanktionieren wollen, weshalb der organisatorischen Massnahme disziplinarischen Charakter zugekommen sei, ist mit Blick auf den offensichtlichen zeitlichen und sachverhaltlichen Zusammenhang zwischen der vorgeworfenen Verfehlung aufgrund des Leserbriefs und der Organigrammbereinigung mit Ausschluss aus der Abteilungsleitungskonferenz keinesfalls als willkürliche Sachverhaltswürdigung anzusehen. Ebenso wenig ist im vorinstanzlichen Schluss, das Vorgehen des Gemeinderates sei mangels gesetzlicher Grundlage im kantonalen und kommunalen Recht als unzulässige personalrechtliche Disziplinarmassnahme zu qualifizieren, eine willkürliche Rechtsanwendung zu sehen. Die Verfassungsbeschwerde ist offensichtlich unbegründet (<ref-law>).
4.
Mit dem Endentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung hinfällig.
5.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer als unterliegender Partei aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksrat Y._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Januar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Polla