Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die thailändische Staatsangehörige X._, geboren 1969, reiste am 21. November 2001 mit einem für drei Monate gültigen Touristenvisum in die Schweiz ein. Hier lernte sie den 1954 geborenen Schweizer Bürger Y._ kennen, welchen sie am 25. Februar 2002 heiratete. In der Folge erhielt sie gestützt auf Art. 7 Abs. 1 ANAG eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Basel-Stadt zwecks Verbleib beim Ehemann, die zuletzt bis zum 24. Februar 2004 verlängert wurde. Seit Oktober 2003 lebt das Ehepaar getrennt, seit Dezember 2003 mit richterlicher Genehmigung. In der Folge wurde die Aufenthaltsbewilligung nicht mehr erneuert. Ein gegen die entsprechende Verfügung der kantonalen Fremdenpolizeibehörde erhobener Rekurs an das Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt blieb erfolglos. Am 11. Mai 2006 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht den gegen den Entscheid des Sicherheitsdepartements erhobenen Rekurs ab.
Am 11. September 2006 hat X._ beim Bundesgericht mit separaten Eingaben Verwaltungsgerichtsbeschwerde (2A.523/2006) und staatsrechtliche Beschwerde (2P.223/2006) erhoben. Mit beiden Rechtsmitteln beantragt sie, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben und es sei ihr eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Basel-Stadt zu erteilen; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz oder an die Einwohnerdienste des Kantons Basel-Stadt zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Die beiden Beschwerden sind zu vereinigen. Das Urteil, mit dessen Ausfällung das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird, ergeht im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG).
Die beiden Beschwerden sind zu vereinigen. Das Urteil, mit dessen Ausfällung das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird, ergeht im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin ist mit einem Schweizer Bürger verheiratet und hat insofern gestützt auf Art. 7 ANAG einen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Sie kann daher den kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Appellationsgerichts über die Verweigerung der Bewilligung mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde anfechten (Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 e contrario OG); ob sie sich missbräuchlich auf Art. 7 ANAG beruft, ist materielle Rechtsfrage. Steht mithin vorliegend die Verwaltungsgerichtsbeschwerde offen, fällt die staatsrechtliche Beschwerde als subsidiäres Rechtsmittel ausser Betracht (Art. 84 Abs. 2 OG), und es ist darauf nicht einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin ist mit einem Schweizer Bürger verheiratet und hat insofern gestützt auf Art. 7 ANAG einen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Sie kann daher den kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Appellationsgerichts über die Verweigerung der Bewilligung mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde anfechten (Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 e contrario OG); ob sie sich missbräuchlich auf Art. 7 ANAG beruft, ist materielle Rechtsfrage. Steht mithin vorliegend die Verwaltungsgerichtsbeschwerde offen, fällt die staatsrechtliche Beschwerde als subsidiäres Rechtsmittel ausser Betracht (Art. 84 Abs. 2 OG), und es ist darauf nicht einzutreten.
2.2 2.2.1 Die kantonalen Behörden halten der Beschwerdeführerin vor, dass sie, soweit sie nicht ohnehin eine Scheinehe eingegangen sei, sich jedenfalls rechtsmissbräuchlich auf eine seit langem nur noch formell bestehende Ehe berufe. Das Appellationsgericht hat die bundesgerichtliche Rechtsprechung hiezu in jeder Hinsicht zutreffend wiedergegeben (E. 2 des angefochtenen Urteils; <ref-ruling> E. 2.2 S. 151; <ref-ruling> E. 5 S. 56 ff. mit Hinweisen). Rechtsmissbrauch liegt dann vor, wenn die Weiterführung einer Lebensgemeinschaft auch aus Sicht des um Bewilligung ersuchenden Ausländers ausgeschlossen bzw. nicht ernsthaft zu erwarten ist. Richtig ist insbesondere, dass es auf die Gründe nicht ankommt, die zum Scheitern der ehelichen Beziehung geführt haben.
2.2.2 Die Beschwerdeführerin wirft dem Appellationsgericht fehlerhafte und unvollständige Sachverhaltsermittlung vor. Das Bundesgericht ist an die Ermittlung des Sachverhalts durch eine richterliche Vorinstanz gebunden, soweit diese den - rechtserheblichen - Sachverhalt nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt hat (Art. 105 Abs. 2 OG). Inwiefern die Sachverhaltsfeststellungen des Appellationsgerichts im Hinblick auf die sich vorliegend stellende Rechtsfrage im beschriebenen Sinn qualifiziert mangelhaft sein sollten, ist nicht ersichtlich. Es steht fest, dass die Beschwerdeführerin während weniger als zwei Jahren mit ihrem Ehemann zusammen lebte. Seit Oktober 2003 ist sie von ihm getrennt, und es sind nicht die geringsten Indizien vorhanden, die dafür sprechen, dass es je wieder zu einem ehelichen Zusammenleben kommen könnte. Bei diesen tatsächlichen Verhältnissen erweist sich die Berufung auf die Ehe bzw. auf den Anspruchstatbestand von Art. 7 ANAG nach den von der Rechtsprechung entwickelten Kriterien klarerweise als rechtsmissbräuchlich.
2.2.3 Die Beschwerdeführerin will indessen die bisherige Rechtsprechung für den Fall von ausländischen Ehefrauen, die häuslicher Gewalt ihres schweizerischen Ehemannes ausgesetzt waren, in Frage stellen.
Die Beschwerdeführerin hatte als thailändische Staatsangehörige kaum eine Möglichkeit, in der Schweiz eine Aufenthaltsberechtigung zu erwirken; sie konnte im November 2001 grundsätzlich nur für beschränkte Zeit als Touristin einreisen. Einziger Anknüpfungspunkt für einen Bewilligungserwerb war in ihrem Fall denn auch die mit einem (um fünfzehn Jahre älteren) Schweizer Bürger geschlossene Ehe. Das eheliche Zusammenleben wurde nach weniger als zwei Jahren aufgegeben; die Trennung dauert seit bald drei Jahren an, und Aussicht auf ein erneutes Zusammenleben besteht nicht; das Gesuch um Bewilligungsverlängerung wird auch nicht etwa damit begründet, die Wiederaufnahme der Lebensgemeinschaft doch noch zu ermöglichen. Wohl beschreibt die Beschwerdeführerin einleuchtend, was von häuslicher Gewalt betroffene Ehefrauen erleben und wie sie sich zur Aufgabe der ehelichen Gemeinschaft gezwungen sehen können; es trifft auch zu, dass Frauen viel häufiger von häuslicher Gewalt betroffen sind als Männer. Diese Ausführungen gehen indessen an der ausländerrechtlichen Fragestellung vorbei. Abgesehen davon, dass (gerade auch im Falle der Beschwerdeführerin) schwer eruierbar sein dürfte, ob die Gewaltanwendung Folge oder Ursache des Scheiterns der ehelichen Gemeinschaft war, ist mit deren definitiven Scheitern der einzige Grund, der eine Bewilligungserneuerung der Beschwerdeführerin rechtfertigte, dahingefallen. Es verhält sich im Übrigen keineswegs so, dass die Beschwerdeführerin im Familiennachzug in die Schweiz gekommen wäre; vielmehr kam sie, anders als dies ihr Touristenvisum erlaubt hätte, darum hierher, um ein besseres Auskommen zu finden; ihren Mann lernte sie erst nach ihrer Einreise kennen, wobei sie eingestandenermassen die Ehe darum überstürzt einging, um den weiteren Aufenthalt in der Schweiz zu ermöglichen. Die in der Beschwerdeschrift wiedergegebenen Äusserungen von Nationalrätin Christine Goll sind schon deshalb für den vorliegenden Fall irrelevant. Was schliesslich das der Beschwerde beigelegte Gutachten von Prof. Markus Schefer betrifft, behandelt dieses das Problem häuslicher Gewalt im Herkunftsland einer Ausländerin, wohin diese zurückgewiesen werden soll.
Anlass zu einer Änderung der gefestigten Rechtsprechung besteht weder grundsätzlich noch unter den konkreten Umständen des vorliegenden Falles.
2.3 Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde erweist sich damit als offensichtlich unbegründet.
2.4 Nachdem auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht einzutreten und die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen ist, sind die bundesgerichtlichen Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 156 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die Verfahren 2A.523/2006 und 2P.223/2006 werden vereinigt.
1. Die Verfahren 2A.523/2006 und 2P.223/2006 werden vereinigt.
2. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten, und die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten, und die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Sicherheitsdepartement und dem Appellationsgericht als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. September 2006
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: