Sachverhalt:
A. X._ geriet am 20. Mai 2005 mit A._ in einen Streit, weil er von diesem für sein Geld angeblich zu wenig Kokain erhalten hatte. Als sich A._ nach einer verbalen Auseinandersetzung von ihm abwendete, zückte X._ ein mitgebrachtes Messer, mit welchem er links unten praktisch senkrecht auf dessen Brustkorb einstach. Der Stich verletzte den linken Lungenflügel auf einer Länge von ca. 2 cm und kam kurz vor dem Herzbeutel zum Stillstand. In der Folge drehte sich A._ wieder zu X._ um, woraufhin dieser ein zweites Mal vorne links auf den Brustkorb von A._ einstach. Ohne sofortige ärztliche Hilfe wäre das Opfer an den Verletzungen gestorben.
B. B.a Das Kantonsgericht Schaffhausen verurteilte X._ am 13. November 2008 wegen versuchter vorsätzlicher Tötung zu einer Freiheitsstrafe von 3 Jahren. Zudem widerrief es den mit Entscheid des Kreisgerichts St. Gallen vom 30. November 2004 gewährten bedingten Vollzug für eine Gefängnisstrafe von 5 Monaten. Es ordnete eine stationäre therapeutische Massnahme zur Behandlung der Drogensucht von X._ an und schob den Vollzug der Freiheitsstrafen zugunsten der Massnahme auf. Die Genugtuungsforderung von A._ hiess es im Umfang von Fr. 10'000.-- zuzüglich 5% Zins seit dem 20. Mai 2005 gut. Dessen Schadenersatzforderung verwies es auf den Zivilweg.
B.b Gegen dieses Urteil appellierten die Staatsanwaltschaft und X._. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen bestätigte am 19. November 2009 den erstinstanzlichen Schuldspruch wegen versuchter vorsätzlicher Tötung und die Freiheitsstrafe von 3 Jahren. Es sprach in teilweiser Gutheissung der Berufung von X._ anstelle der stationären eine ambulante therapeutische Massnahme zur Behandlung von dessen Drogensucht und Persönlichkeitsstörung aus, wobei es den Vollzug der Freiheitsstrafe zugunsten der Massnahme aufschob. Zudem verzichtete es auf den Widerruf des bedingten Vollzugs für die Freiheitsstrafe von 5 Monaten gemäss Entscheid des Kreisgerichts St. Gallen vom 30. November 2004. Im Zivilpunkt bestätigte es wiederum den Entscheid des Kantonsgerichts vom 13. November 2008.
C. Die Staatsanwaltschaft führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts vom 19. November 2009 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin rügt, ein Tötungsversuch könne auch ohne Herbeiführung einer Körperverletzung begangen werden. Habe der Täter durch sein Handeln versucht, sein Opfer zu töten, und habe er dieses gleichzeitig verletzt, könne das Tatunrecht nur durch die zusätzliche Verurteilung wegen Körperverletzung abgedeckt werden. Zwischen der versuchten vorsätzlichen Tötung und den Körperverletzungen müsse daher Idealkonkurrenz, d.h. echte Konkurrenz angenommen werden. Der Beschwerdegegner sei folglich auch der schweren und der einfachen Körperverletzung mit einer Waffe schuldig zu sprechen (Beschwerde S. 6 f.).
1.2 In Lehre und Rechtsprechung herrscht weitgehend Einigkeit, dass zwischen einer vollendeten vorsätzlichen Tötung (<ref-law>) und den damit (durch dieselbe Handlung) einhergehenden einfachen oder schweren Körperverletzungen (Art. 122 f. StGB) unechte Konkurrenz besteht, d.h. das Unrecht durch die Verurteilung wegen vollendeter Tötung abgegolten wird. Unechte Konkurrenz wird auch angenommen, wenn der Tod des Opfers erst mit einer zeitlichen Verzögerung eintritt. Dies wird damit begründet, dass die Körperverletzung ein notwendiges Durchgangsstadium zur Tötung ist, da die Tötung immer auch eine Körperverletzung beinhaltet (vgl. CHRISTIAN SCHWARZENEGGER, Basler Kommentar, Strafrecht II, 2. Aufl. 2007, N. 13 zu <ref-law>; GÜNTER STRATENWERTH/WOLFGANG WOHLERS, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Handkommentar, 2. Aufl. 2009, N. 8 zu <ref-law>; MARTIN SCHUBARTH, Kommentar zum schweizerischen Strafrecht, 1. Bd.: Delikte gegen Leib und Leben, Art. 111-136 StGB, 1982, N. 79 zu <ref-law>; differenzierend bezüglich der hier nicht relevanten Fallkonstellation einer "Tötung mit Verletzung im Überschuss" ULFRID NEUMANN, in: Strafgesetzbuch, Bd. 2, Kindhäuser/Neumann/Paeffgen [Hrsg.], 3. Aufl. 2010, N. 30 ff. zu <ref-law>; ALBIN ESER, in: Strafgesetzbuch, Schönke/Schröder [Hrsg.], 28. Aufl. 2010, N. 17 ff. zu § 212 mit Hinweisen; ähnlich STRATENWERTH/JENNY/BOMMER, Schweizerisches Strafrecht, Besonderer Teil I, 7. Aufl. 2010, N. 12 S. 67). Umstritten ist im Schrifttum hingegen, ob dies auch gilt, wenn es beim Tötungsversuch bleibt, dem Opfer jedoch einfache oder schwere Körperverletzungen zugefügt wurden.
1.3 Das Bundesgericht äusserte sich in BGE 77 IV 57 E. 2 zu dieser Frage. Es erwog, habe der Täter dem Opfer nicht zeigen wollen, was Krankheit und Schmerzen bedeuten, sondern dieses mit seiner Handlung ums Leben bringen wollen, sei er ausschliesslich wegen versuchter Tötung zu verurteilen (gleich auch <ref-ruling> E. I.d). Dieser Auffassung, wonach zwischen der versuchten Tötung und der einfachen und schweren Körperverletzung unechte Konkurrenz besteht, folgt ein Teil der Lehre (vgl. ANDREAS DONATSCH, Strafrecht III, Delikte gegen den Einzelnen, 9. Aufl. 2008, S. 41 f.; STRATENWERTH/JENNY/BOMMER, a.a.O., N. 12 S. 67 und N. 42 S. 78; SCHUBARTH, a.a.O., N. 80 zu <ref-law>; BERNARD CORBOZ, Les infractions en droit suisse, Bd. II, 3. Aufl. 2010, N. 23 S. 31; JOSÉ HURTADO POZO, Droit pénal, partie spéciale, 2009, N. 110 S. 40). Als Argument wird angeführt, der Strafmilderungsgrund des Versuchs gemäss <ref-law> sei fakultativ. Die versuchte Tötung könne gleich schwer bestraft werden wie die vollendete Tat. Mit der Verurteilung wegen Versuchs könne daher nicht nur der Verhaltens-, sondern auch der (potenzielle) Erfolgsunwert im Tatunrecht berücksichtigt werden (DONATSCH, a.a.O., S. 41 f.).
1.3 Das Bundesgericht äusserte sich in BGE 77 IV 57 E. 2 zu dieser Frage. Es erwog, habe der Täter dem Opfer nicht zeigen wollen, was Krankheit und Schmerzen bedeuten, sondern dieses mit seiner Handlung ums Leben bringen wollen, sei er ausschliesslich wegen versuchter Tötung zu verurteilen (gleich auch <ref-ruling> E. I.d). Dieser Auffassung, wonach zwischen der versuchten Tötung und der einfachen und schweren Körperverletzung unechte Konkurrenz besteht, folgt ein Teil der Lehre (vgl. ANDREAS DONATSCH, Strafrecht III, Delikte gegen den Einzelnen, 9. Aufl. 2008, S. 41 f.; STRATENWERTH/JENNY/BOMMER, a.a.O., N. 12 S. 67 und N. 42 S. 78; SCHUBARTH, a.a.O., N. 80 zu <ref-law>; BERNARD CORBOZ, Les infractions en droit suisse, Bd. II, 3. Aufl. 2010, N. 23 S. 31; JOSÉ HURTADO POZO, Droit pénal, partie spéciale, 2009, N. 110 S. 40). Als Argument wird angeführt, der Strafmilderungsgrund des Versuchs gemäss <ref-law> sei fakultativ. Die versuchte Tötung könne gleich schwer bestraft werden wie die vollendete Tat. Mit der Verurteilung wegen Versuchs könne daher nicht nur der Verhaltens-, sondern auch der (potenzielle) Erfolgsunwert im Tatunrecht berücksichtigt werden (DONATSCH, a.a.O., S. 41 f.).
1.4 1.4.1 Eine andere, von der Beschwerdeführerin angerufene Lehrmeinung nimmt hingegen zwischen der versuchten Tötung und den Körperverletzungen echte Konkurrenz an. Dies mit der Begründung, ansonsten würde dem Umstand, dass immerhin eine Körperverletzung eingetreten sei, nicht ausreichend Rechnung getragen (vgl. ESER, a.a.O., N. 23 zu § 212; ähnlich SCHWARZENEGGER, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>; STRATENWERTH/WOHLERS, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>; für das deutsche Recht auch NEUMANN, a.a.O., N. 37 f. zu <ref-law>; THOMAS FISCHER, Strafgesetzbuch und Nebengesetze, 58. Aufl. 2011, N. 107 zu <ref-law> und N. 22 zu <ref-law>; KARL LACKNER/KRISTIAN KÜHL, Strafgesetzbuch, Kommentar, 27. Aufl. 2011, N. 9 zu § 212). Dieser Auffassung schloss sich im Jahre 1998, in Änderung seiner früheren Rechtsprechung, auch der deutsche Bundesgerichtshof an (vgl. BGH 44 196). In eine ähnliche Richtung geht das Argument, mit einer Versuchsstrafe könne kein Erfolg abgegolten werden, weshalb Körperverletzungen in echter Konkurrenz zur versuchten Tötung stünden (vgl. STEFAN TRECHSEL/THOMAS FINGERHUTH, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2008, N. 12 zu <ref-law>; ANDREAS A. ROTH/ANNE BERKEMEIER, Basler Kommentar, Strafrecht II, 2. Aufl. 2007, N. 25 zu <ref-law>).
1.4.2 Dem kann nicht gefolgt werden. Der Versuch ist seit Inkrafttreten des neuen Allgemeinen Teils des Strafgesetzbuches am 1. Januar 2007 in <ref-law> geregelt (vgl. BBl 1999 1979, S. 2010). Der Strafmilderungsgrund von <ref-law> kommt zum Tragen, wenn der Täter, nachdem er mit der Ausführung eines Verbrechens oder Vergehens begonnen hat, die strafbare Tätigkeit nicht zu Ende führt (unvollendeter Versuch) oder der zur Vollendung der Tat gehörende Erfolg nicht eintritt oder nicht eintreten kann (vollendeter Versuch). Ein Versuch liegt vor, wenn der Täter sämtliche subjektiven Tatbestandsmerkmale erfüllt und seine Tatentschlossenheit manifestiert hat, ohne dass alle objektiven Tatbestandsmerkmale verwirklicht sind (<ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3e). Dies schliesst nicht aus, dass in objektiver Hinsicht einzelne Tatbestandselemente erfüllt sind und bereits ein Erfolgsunrecht eingetreten ist. Entgegen der in der Lehre teilweise vertretenen Auffassung kann mit einer Versuchsstrafe auch eine bereits eingetretene Rechtsgutverletzung abgegolten werden, wenn diese ein Durchgangsstadium zur Tatvollendung ist. Eine gegenteilige engere Auslegung findet in <ref-law> keine Stütze. Der Versuch ist im Allgemeinen Teil des StGB als fakultativer Strafmilderungsgrund ausgestaltet. Es wäre daher verfehlt, für die versuchte Straftat von einer anderen Konkurrenzregelung auszugehen als für die vollendete Tat. Dies entspricht auch der Auslegung des Versuchs bei der Verletzung anderer Rechtsgüter als der hier diskutierten körperlichen Integrität. Nach der Rechtsprechung wird beispielsweise auch die sexuelle Nötigung (<ref-law>) durch die versuchte Vergewaltigung (<ref-law>) konsumiert, wenn erstere nur eine Begleiterscheinung des Vergewaltigungsversuchs ist und keine selbständige Bedeutung hat (Urteile 6S.154/2004 vom 30. November 2005 E. 8; 6S.824/1996 vom 15. September 1997 E. 1a). Auch beim versuchten Raub werden etwa damit einhergehende Freiheitsberaubungen (<ref-law>), Tätlichkeiten (<ref-law>), Drohungen (<ref-law>) oder Nötigungen (<ref-law>) durch die Verurteilung nach Art. 140 i.V.m. <ref-law> abgegolten (vgl. Urteil 6B_491/2009 vom 26. Oktober 2009 E. 5 und 6; 6S.868/1998 vom 4. März 1999 E. 3). Würde der Auffassung der Beschwerdeführerin gefolgt, hätte dies zur Konsequenz, dass ein Versuch in Anwendung des Asperationsprinzips nach <ref-law> härter bestraft werden könnte als die vollendete Tat. Dies erscheint nicht sachgerecht.
Unzutreffend ist schliesslich der Einwand, dem Unrecht könne mit einer blossen Verurteilung wegen versuchter Tötung nicht ausreichend Rechnung getragen werden. Wohl trifft zu, dass mit einer versuchten Tötung nicht zwingend auch eine Körperverletzung einhergeht. Ein Versuch kann in einer früheren oder fortgeschrittenen Phase enden. Ein Schuldspruch wegen versuchter Tötung sagt daher noch nichts über das Stadium der Ausführung aus und auch nicht darüber, weshalb es beim Versuch blieb. Im Übrigen ist der Umstand, dass eine Rechtsgutverletzung eingetreten ist, auch nicht alleine ausschlaggebend für die Beurteilung der Tatschwere. So kann ein gezielter Schuss auf den Kopf des Opfers, welcher dieses dank glücklicher Umstände verfehlt, den gleichen Unrechtsgehalt haben wie ein Tötungsversuch, der eine einfache Körperverletzung ohne konkrete Gefährdung des Lebens zur Folge hat. Dem Umstand, dass mit dem Tötungsversuch gleichzeitig eine Körperverletzung erfolgte, ist daher zusammen mit den übrigen Tatumständen bei der Strafzumessung Rechnung zu tragen. Die versuchte Tötung kann, angesichts des bloss fakultativen Strafmilderungsgrunds von <ref-law>, gleich hart bestraft werden wie die vollendete Tat. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin führt die Annahme von unechter Konkurrenz nicht zu einer milderen Strafe, da der obere Strafrahmen von 20 Jahren Freiheitsstrafe gemäss Art. 111 i.V.m. <ref-law>, der auch dem im Anwendungsbereich von <ref-law> geltenden gesetzlichen Höchstmass entspricht (vgl. Urteil 6S.270/2006 vom 5. September 2006 E. 5.2 und 6.1), ausgeschöpft werden kann. Bei der versuchten Tötung und einer damit einhergehenden schweren Körperverletzung ist sodann der Mindeststrafrahmen von <ref-law> zu beachten (SCHUBARTH, a.a.O., N. 80 zu <ref-law>; vgl. auch INGEBORG PUPPE, in: Strafgesetzbuch, Bd. 1, Kindhäuser/Neumann/Paeffgen [Hrsg.], 3. Aufl. 2010, N. 54 zu <ref-law>). Die Strafe darf nicht milder ausfallen, als wenn alleine die Körperverletzung zu beurteilen wäre.
Dies ist vorliegend nicht der Fall. Die Vorinstanz berücksichtigt bei der Strafzumessung straferhöhend, dass der Beschwerdegegner dem Opfer lebensgefährliche Verletzungen zufügte und hierfür ein Messer verwendete (angefochtenes Urteil E. 4c S. 21 und E. 6b/aa S. 22 ff.). Den Umstand, dass es beim Versuch blieb, stellt sie nur in geringem Umfang strafmildernd in Rechnung, da sich der Beschwerdegegner des vollendeten Versuchs strafbar gemacht habe und es bloss dem schnellen medizinischen Eingriff zu verdanken sei, dass das Opfer nicht an den Folgen seiner Verletzungen verblutete (E. 6b/dd S. 24). Strafmindernd wirkt sich nach der Vorinstanz hingegen die schwierige Kindheit des Beschwerdegegners und die ihm durch das psychiatrische Gutachten vom 30. Juli 2008 attestierte verminderte Schuldfähigkeit mittleren Grades aus (E. 6b/bb und cc S. 23).
1.5 An der mit BGE 77 IV 57 begründeten Rechtsprechung ist festzuhalten. Zwischen der versuchten Tötung und der einfachen und schweren Körperverletzung besteht grundsätzlich unechte Konkurrenz, wobei die Körperverletzung durch die versuchte Tötung konsumiert wird. Dies muss gelten, wenn der Köperverletzung wie vorliegend nebst der versuchten Tötung keine selbständige Bedeutung zukommt.
2. Die Strafzumessung beanstandet die Beschwerdeführerin nur für den Fall, dass von echter Konkurrenz auszugehen ist (Beschwerde Ziff. 7 S. 7). Darauf ist daher nicht weiter einzugehen.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Beschwerdegegner obsiegt. Er wurde nicht zur Stellungnahme aufgefordert und hatte deshalb vor Bundesgericht keine Umtriebe, weshalb ihm keine Entschädigung zuzusprechen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. April 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Favre
Die Gerichtsschreiberin: Unseld