Erwägungen:
1. X._, geboren am 2. Juni 1945, war seit September 2004 im Besitz einer Bewilligung zur selbstständigen Ausübung des Arztberufs. Mit Verfügung vom 3. November 2010 entzog das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen ihm die Berufsausübungsbewilligung. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 11. August 2011 ab, soweit es darauf eintrat. Das am 18. August 2011 versandte und dem Betroffenen am 19. August 2011 eröffnete Urteil blieb zunächst unangefochten.
Am 1. März 2012 ging beim Bundesgericht ein vom 29. Februar 2012 datiertes, als "Beschwerde gegen den Urteil des Verwaltungsgerichts St. Gallen vom 11.08.2011 betreffend dem Entzug der Berufsausübungsbewilligung (fristgerecht abgeholt)" betiteltes Schreiben von X._ ein. Das Schreiben hat folgenden Inhalt: "Fristgerecht gegen den Urteil vom 11.08.2011 erhebe ich Beschwerde wegen einer Rechtsverletzung nach <ref-law> gestützt auf <ref-law>. - Gestützt auf Art. 50 Verwaltungsgesetz ist eine Partei durch einen anderen Grund als die mangelhafte Eröffnung unverschuldeterweise abgehalten worden, fristgerecht zu handeln, so wird die Frist wiederhergestellt, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und versäumte Rechtshandlung nachholt. - Ich lege ein ärztliches Attest bei, der bestätigt dass seit 31.12.2011 nicht gerichtsverhandlungsunfähig bin - Eine Begründung reiche ich nach." Dem Schreiben beigelegt war die mit 28. Februar 2012 datierte Übersetzung aus dem Polnischen einer Bescheinigung vom 31. Dezember 2011 eines polnischen Kardiologen.
Am 10. März 2012 hat der Beschwerdeführer aufforderungsgemäss das angefochtene Urteil mit drei zusätzlichen Beilagen nachgereicht. Da bis dahin - entgegen der Ankündigung im Schreiben vom 29. Februar 2012 - keine Beschwerdebegründung vorgelegt worden war, teilte der Abteilungspräsident dem Beschwerdeführer am 3. April 2012 mit, dass ohne Gegenbericht bis spätestens 16. April 2012 angenommen würde, dass auf Beschwerdeführung verzichtet werde; es wurde in Aussicht gestellt, dass das Verfahren diesfalls ohne Kostenfolge abgeschrieben würde. Am 16. April 2012 hat der Beschwerdeführer nochmals um Wiederherstellung gegen die Versäumung der "Berufungsbegründungsfrist" ersucht, "wegen unverschuldeter Säumnis ... (hier: Krankheit) .. und zwar, dass die jetzige Begründung unmittelbar nach Wegfall des Hindernisses (Krankheit) gefertigt wurde. Ein ärztliches Attest wird so schnell wie möglich nachgeliefert."
2. Die Frist von 30 Tagen zur Anfechtung des am 19. August 2011 eröffneten Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 11. August 2011 ist am 18. September 2011 abgelaufen (Art. 100 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 44 und Art. 48 Abs. 1 BGG). Die versäumte Frist kann gemäss <ref-law> wiederhergestellt werden, wenn die Partei oder ihr Vertreter durch ein unverschuldetes Hindernis vom rechtzeitigen Handeln abgehalten worden ist und sie unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen seit Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt.
Die versäumte Rechtshandlung (Einreichen einer mit Begründung versehenen Beschwerdeschrift, vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) ist, obwohl unerlässliche Voraussetzung für die Wiederherstellung der Frist, bis heute nicht nachgeholt worden. Ohnehin würde auch kein massgeblicher Hinderungsgrund aufgezeigt: Der Beschwerdeführer ist zwar der Meinung, gesundheitliche Probleme hätten ihn am rechtzeitigen Handeln gehindert. Dazu liegt einzig die zusammen mit dem Schreiben vom 29. Februar 2012 vorgelegte ärztliche Bescheinigung vom 31. Dezember 2011 vor. Dokumentiert werden verschiedene Krankheiten, die stationär und ambulant behandelt wurden; erwähnt ist diesbezüglich ein Entlassungsbericht vom 14. März 2005, wobei beigefügt ist, der Beschwerdeführer sei "unfähig, sich innerhalb von 6 Monaten an den Prozesshandlungen zu beteiligen". Weder ergibt sich daraus, dass der Beschwerdeführer an jeglichem zielgerichteten Handeln verhindert gewesen wäre (notfalls Beizug einer Drittperson zum Abfassen der Beschwerdeschrift, vgl. <ref-ruling>; <ref-ruling>, je zum mit <ref-law> im Wesentlichen übereinstimmenden Art. 35 Abs. 1 des bis Ende 2006 in Kraft stehenden Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege; ferner Urteil 2C_444/2010 vom 10. Juni 2010 E. 2), noch wird präzisiert, ab welchem Zeitpunkt bzw. in welchem Zeitraum die mit sechs Monaten veranschlagte Beeinträchtigung wirksam gewesen wäre; dabei wäre der 14. März 2005 ("Entlassungsbericht") dem Beschwerdeführer ebenso wenig nützlich wie der 31. Dezember 2011 (Datum der Bescheinigung).
Auf Fristwiederherstellungsgesuch und Beschwerde ist somit nicht einzutreten. Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz und Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Fristwiederherstellungsgesuch und auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. April 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller