Faits:
A. A.a X._, née le 9 avril 1953, est locataire depuis le 26 avril 1984 d'un appartement de quatre pièces avec cave et jardin, dont la surface est de 70 m2, qui se trouve au rez-de-chaussée de l'immeuble sis rue ..., à Genève; depuis sa première échéance du 30 juin 1985, le bail s'est renouvelé tacitement de six mois en six mois, le préavis de résiliation étant de trois mois. Le loyer a été fixé en dernier lieu le 26 août 1992 à 1'315 fr. par mois, plus 150 fr. de charges mensuelles, sur la base d'un taux hypothécaire de 7%.
X._ occupe seule ce logement. Elle souffre de déficience cardiaque, ce qui réduit notamment sa mobilité, ainsi que d'un état dépressif récurrent, pour lequel elle consulte un psychiatre une fois par semaine depuis un an. Hormis les visites fréquentes de sa fille, elle a peu de vie sociale. D'après cette dernière, son jardin représente « son dernier plaisir dans la vie ». Après avoir épuisé ses indemnités de chômage, elle perçoit de l'Hospice général de Genève le revenu minimum cantonal d'aide sociale (RMCAS), soit 2'260 fr. 40 par mois en 2007, somme augmentée à 2'399 fr. par mois depuis le 1er février 2009. Elle a sollicité en novembre 2008 des prestations de l'assurance-invalidité. On ignore ce qui est advenu de cette requête.
A.b Y._ SA (ci-après: Y._), dont le siège est à ... (Vaud), est une société active dans l'achat, la vente, la promotion et la gérance de tous biens mobiliers et immobiliers; A.Z._ en est l'actionnaire unique, V._ étant administratrice. Le 1er avril 2004, Y._ est devenue propriétaire de l'immeuble situé à la rue ..., de sorte que le bail conclu avec X._ a été transféré à ladite société en application de l'<ref-law>.
En 2005, la bailleresse a envisagé de remplacer certaines fenêtres de l'appartement loué par X._, mais y a renoncé à la demande de celle-ci. En 2007, la locataire s'est ravisée, sollicitant finalement la pose de doubles vitrages dans son appartement. Sur la base du constat d'un technicien, Y._ a avisé la locataire que le remplacement des fenêtres ne se justifiait pas, mais qu'il convenait de contrôler les joints.
Le 17 août 2007, lors d'un entretien téléphonique, un différend a opposé X._ à l'administratrice de la société propriétaire à propos du remboursement de frais générés par le paiement du loyer, lesquels représentaient 31 fr.80 pour la période 2006-2007.
Par avis du 12 septembre 2007, Y._ a résilié le bail de X._ pour le 30 juin 2008. Requise de motiver le congé, la bailleresse a exposé que l'actionnaire de la société propriétaire destinait l'appartement à son fils B.Z._, né le 17 novembre 1987, qui venait de commencer ses études à l'Université de Genève et devait débuter un travail à temps partiel dans cette ville.
B. B.a X._ a contesté le congé par requête du 2 octobre 2007. Par décision du 11 avril 2008, la Commission de conciliation en matière de baux et loyers du canton de Genève a annulé la résiliation, qu'elle a qualifiée de congé de représailles.
Y._ a porté l'affaire devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève le 14 mai 2008, requérant la constatation de la validité du congé et l'évacuation de la locataire. Dans sa réponse, celle-ci a conclu à l'annulation du congé et à l'irrecevabilité de la requête en évacuation, subsidiairement à une prolongation du bail de quatre ans accompagnée d'une réduction de loyer de 29% en raison de la baisse du taux hypothécaire depuis la dernière fixation du loyer en 1992.
Entre juillet et début septembre 2008, la bailleresse a proposé deux appartements à X._ dans l'immeuble de la rue .... Celle-ci a refusé le premier en raison de son état (traces au plafond, divers trous dans les sanitaires) et le second en raison du loyer demandé, à savoir 1'500 fr. par mois plus 150 fr. de charges mensuelles, du moment que la participation au paiement du loyer qu'elle perçoit du RMCAS, par 1'300 fr., atteint le plafond pour une personne seule et que ses revenus ne lui permettent pas d'acquitter la différence avec le loyer actuel.
Entendu lors des enquêtes, B.Z._ a exposé qu'il partageait actuellement son temps entre Nyon, domicile de son père A.Z._, dont la maison dispose d'un jardin de plus de 300 m2, et Thonon (France), domicile des parents de son amie. Etudiant en sciences économiques à Genève et travaillant à temps partiel dans un café genevois propriété de Y._, il souhaite s'installer dans cette ville avec son amie, ainsi qu'avec son chien Babou, de la race « Berger de Maremme ». Il a expliqué n'être pas intéressé par les autres appartements de l'immeuble, car il est primordial, pour le confort de son chien, animal d'une certaine taille que son amie apprécie beaucoup, de pouvoir disposer d'un logement avec jardin.
Par jugement du 27 avril 2009, le Tribunal des baux et loyers a annulé le congé, qui consacrait selon cette autorité une disproportion évidente des intérêts en présence. Il a jugé que le besoin de la bailleresse était relatif, dès l'instant où le fils de son actionnaire principal avait choisi ce logement uniquement en raison de l'existence d'un jardin nécessaire au confort de son chien, alors que la garde de cet animal est la plupart du temps confiée à A.Z._, qui dispose d'une demeure avec un grand jardin. Le tribunal a ainsi privilégié l'intérêt de la locataire, de santé fragile et socialement précarisée, à garder son logement.
B.b Saisie d'un appel de Y._, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers de Genève, par arrêt du 19 avril 2010, a annulé ce jugement et, statuant à nouveau, déclaré valable le congé notifié par la bailleresse pour le 30 juin 2008, octroyé à la locataire une unique prolongation de bail échéant le 30 juin 2011, fixé le loyer annuel à 12'246 fr., charges non comprises, pendant la durée de la prolongation et condamné la bailleresse à rembourser à la locataire le trop-perçu de loyer depuis le 1er juillet 2008.
En substance, la cour cantonale s'est déclarée convaincue de la véracité du motif invoqué pour justifier le congé litigieux, qui est le besoin du fils de l'actionnaire unique de la bailleresse de disposer de son propre logement à Genève, où il travaille et étudie, pour vivre avec son amie et accueillir son chien. Elle a admis qu'il n'était pas contraire à la bonne foi que le propriétaire économique de la société propriétaire entende mettre un des appartements de celle-ci à la disposition de son fils. Selon elle, le respect du principe de la dualité juridique ne commande pas une solution différente, car contrairement aux hypothèses envisagées aux art. 271a al. 3 let. a, 272 al. 2 let. d ou 261 al. 2 let. a CO, il n'est pas question dans le cas d'espèce du besoin urgent du bailleur d'utiliser les locaux pour lui-même ou ses proches. Est seule décisive la question de savoir si l'intérêt invoqué existe et mérite protection. Or le besoin mis en avant ne saurait être considéré comme minime, de sorte que le congé est valable.
Examinant les conclusions en prolongation de bail, les magistrats genevois ont procédé à une balance de l'ensemble des intérêts pertinents de l'affaire et reconnu que la situation difficile de la locataire était clairement prédominante, ce qui autorisait l'octroi d'une prolongation de bail de trois ans.
Appréciant la demande de baisse de loyer pendant la durée de la prolongation d'après la méthode relative, la Chambre d'appel a retenu, sur la base d'une baisse du taux hypothécaire de 7% en 1992 à 3% en octobre 2007 et de la prise en compte de la hausse de l'indice des prix à la consommation survenue dans la même période, répercutée à raison de 40%, que le loyer devait être réduit de 22,4 %, ce qui le ramenait à 12'246 fr. par an, sans les charges, entre le 30 juin 2008 et le 30 juin 2011, la bailleresse devant restituer à la locataire les montants encaissés en trop.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Elle conclut principalement à l'annulation du congé donné le 12 septembre 2007. Subsidiairement, elle requiert qu'il lui soit octroyé une première prolongation de bail de trois ans échéant le 30 juin 2011 et que le loyer durant la prolongation soit celui arrêté par la cour cantonale, la bailleresse devant lui rembourser le trop-perçu de loyer correspondant. Plus subsidiairement, elle sollicite une unique prolongation de bail de quatre ans venant à échéance le 30 juin 2012, le loyer pendant toute la durée de la prolongation étant celui fixé par la Chambre d'appel et la bailleresse devant rembourser ce qu'elle a touché sans droit.
Par ordonnance du 12 juillet 2010, la Ire Cour de droit civil a fait droit à la requête d'assistance judiciaire de la recourante et lui a désigné Me Pierre Stastny comme avocat d'office.
L'intimée propose le rejet du recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 Les contestations portant sur l'usage d'une chose louée sont de nature pécuniaire; elles ne peuvent donc être soumises au Tribunal fédéral, par un recours en matière civile, que si elles atteignent la valeur litigieuse prescrite par la loi. En matière de droit du bail à loyer, cette valeur s'élève à 15'000 fr. (<ref-law>).
En cas de litige portant sur la résiliation d'un bail, la valeur litigieuse se détermine selon le loyer dû pour la période durant laquelle le contrat subsiste nécessairement, en supposant que l'on admette la contestation, et qui s'étend jusqu'au moment pour lequel un nouveau congé aurait pu être donné ou l'a été effectivement. Pour déterminer la prochaine échéance possible, il faut donc supposer que l'on admette la contestation, c'est-à-dire que le congé litigieux ne soit pas valable. Lorsque le bail bénéficie de la protection contre les congés conférée par les <ref-law>, il convient, sauf exceptions, de prendre en considération la période de trois ans prévue à l'art. 271a al. 1 let. e CO (arrêt 4A_130/2008 du 26 mai 2008 consid. 1.1, in SJ 2008 I p. 461).
Le loyer annuel payé par la recourante se montant sans les charges à 15'780 fr., la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. requise en matière de droit du bail (<ref-law>) est atteinte.
Interjeté pour le reste par la partie qui a succombé dans ses conclusions en annulation du congé et qui a ainsi la qualité pour recourir (<ref-law>), dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>), le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 674; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.4 et 6.2). Le recourant ne peut de toute manière demander une correction de l'état de fait que si celle-ci est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
2. La recourante reproche à la Chambre d'appel d'avoir transgressé l'<ref-law>. A l'en croire, la société anonyme bailleresse ne saurait se prévaloir du besoin de son actionnaire unique, et encore moins du fils de celui-ci, pour résilier le bail d'un locataire. Cette société doit se voir opposer la construction juridique qu'elle a délibérément choisie, ce qui signifie qu'en invoquant le besoin d'un proche de son actionnaire unique, elle se prévaut en réalité du besoin d'un tiers, et non d'un besoin propre (Eigenbedarf) comme l'exigent les art. 261 al. 2 let. a, 271a al. 3 let. a et 272 al. 2 let. d CO. Pour la recourante, valider le congé incriminé, c'est en outre confirmer une disproportion manifeste des intérêts en présence. Elle fait valoir que le besoin du fils de l'actionnaire unique de l'intimée, qui souhaite obtenir un logement précis (celui qu'elle occupe), à l'exclusion de tout autre parce qu'il comporte un jardin indispensable pour le bien-être de son chien, est négligeable face au besoin de la locataire de pouvoir continuer à jouir de son appartement, lequel est le seul point de repère de sa vie.
2.1 Savoir quels sont les motifs réels d'une résiliation est une question de fait (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 540;
La cour cantonale a retenu que le congé litigieux a été motivé par le désir du fils de l'actionnaire unique de l'intimée, lequel étudie à Genève tout en y travaillant à temps partiel, de disposer d'un appartement dans cette ville, qu'il désire occuper avec sa compagne et son chien de berger. Le Tribunal fédéral est lié par cette constatation, qui n'est pas taxée de manifestement inexacte, c'est-à-dire d'arbitraire (<ref-law>).
Il reste donc à examiner si cette résiliation a été donnée au mépris des règles de la bonne foi, comme le prétend la recourante.
2.2 La liberté de mettre un terme au contrat de bail est limitée par l'obligation d'agir conformément aux règles de la bonne foi (art. 271 et 271a CO). Le congé qui contrevient aux règles de la bonne foi est annulable (<ref-law>). Cette protection procède à la fois du principe de la bonne foi (<ref-law>) et de l'interdiction de l'abus de droit (<ref-law>). Les cas typiques d'abus de droit (absence d'intérêt à l'exercice d'un droit, utilisation d'une institution juridique contrairement à son but, disproportion grossière des intérêts en présence, exercice d'un droit sans ménagement, attitude contradictoire) justifient l'annulation du congé. Ainsi, le congé doit être considéré comme abusif s'il ne répond à aucun intérêt objectif, sérieux et digne de protection, s'il est purement chicanier ou encore fondé sur un motif qui n'est manifestement qu'un prétexte (<ref-ruling> consid. 2 et les arrêts cités).
En revanche, le congé donné pour un motif d'ordre économique se concilie, en règle générale, avec les règles de la bonne foi (<ref-ruling> consid. 2 p. 192), tel celui signifié par le bailleur afin d'obtenir d'un nouveau locataire un loyer plus élevé, mais néanmoins compatible avec l'<ref-law> qui réprime les loyers abusifs (<ref-ruling> ibidem; <ref-ruling> consid. 3b/bb p. 110). Il en va de même du congé signifié pour l'échéance en vue de vendre un objet dans de meilleures conditions (arrêt 4A_414/2009 du 9 décembre 2009, consid. 3.1; arrêt 4C.425/2004 du 9 mars 2005, consid. 1.1, in SJ 2005 I p. 397; arrêt 4C.267/2002 du 18 novembre 2002, consid. 2.3, in SJ 2003 I p. 261).
Le but de la loi est uniquement de protéger le locataire contre des résiliations abusives; un congé n'est pas contraire aux règles de la bonne foi du simple fait que l'intérêt du locataire au maintien du bail paraît plus important que celui du bailleur à ce qu'il prenne fin (arrêt 4A_414/2009 du 9 décembre 2009 consid. 3.1 déjà cité), mais pour autant qu'il n'existe pas une disproportion manifeste des intérêts en présence (David Lachat, Le bail à loyer, 2008, p. 735 s.).
Il appartient au destinataire du congé de démontrer que celui-ci contrevient aux règles de la bonne foi; la partie qui résilie a seulement le devoir de contribuer loyalement à la manifestation de la vérité en fournissant tous les éléments en sa possession nécessaires à la vérification du motif invoqué par elle (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 119; <ref-ruling> consid. 3c p. 111).
2.3 L'<ref-law> vise singulièrement toute résiliation qui dénote une attitude déloyale résultant d'une disproportion évidente entre les intérêts réciproques du bailleur et du locataire (<ref-ruling> consid. 3.4.2 p. 744; <ref-ruling> consid. 4a p. 33; Peter Higi, Commentaire zurichois, 4e éd. 1996, n° 78 ss ad <ref-law>).
En l'occurrence, on se trouve en présence d'un déséquilibre patent si l'on compare les intérêts de la recourante à la continuation de son bail à ceux de l'intimée à résilier le contrat.
D'un côté, la locataire est une personne qui, au moment où la résiliation de son bail lui a été signifiée le 12 septembre 2007, avait dépassé 54 ans, occupait son logement depuis plus de 23 ans et se trouvait sans emploi. Sa santé est mauvaise, dès l'instant où elle est atteinte de problèmes d'ordre cardiaque, qui entravent sérieusement sa mobilité. Elle souffre en outre d'un état dépressif récurrent et consulte depuis un an hebdomadairement un psychiatre. Elle a une vie sociale très restreinte, recevant peu de visites hormis celles de sa fille. Il apparaît ainsi que son logement représente pour la recourante, qui a de la peine à se déplacer, ne travaille plus et se trouve très isolée socialement, son presque unique cadre de vie.
Ayant perdu son emploi à une date inconnue, la recourante a épuisé ses indemnités de chômage; elle perçoit depuis lors le RMCAS de l'Hospice général de Genève, ce qui représentait 2'399 fr. par mois en février 2009. Elle a déposé une demande de prestations auprès de l'assurance-invalidité, dont on ignore le résultat. La situation économique de la locataire est donc précaire, ce qui limite d'autant les recherches qu'elle pourrait entreprendre pour trouver un nouveau logement.
De l'autre côté, la bailleresse est une société anonyme active dans l'achat, la vente, la promotion et la gérance de tous biens mobiliers et immobiliers. Cette société invoque le besoin du fils de son actionnaire unique, à savoir B.Z._, lequel partage actuellement son temps entre les villes de Nyon, où son père est propriétaire d'une maison avec jardin de plus de 300 m2, et de Thonon, domicile des parents de son amie. Entendu lors des enquêtes, le prénommé a déclaré qu'il était étudiant à l'université de Genève et désirait s'installer dans cette cité, où il avait trouvé un emploi à temps partiel dans un établissement public propriété de la bailleresse. Il a affirmé qu'il lui fallait un appartement avec jardin pour le confort de son chien de berger, animal relativement imposant.
On voit donc qu'actuellement B.Z._ vit alternativement chez son père à Nyon et chez les parents de son amie à Thonon. Il n'est en conséquence pas sans logement.
Il a été établi que deux logements appartenant à l'intimée se sont libérés dans le même immeuble alors que la procédure était déjà pendante devant le Tribunal des baux et loyers. B.Z._ n'a cependant pas voulu de ces deux appartements sis à Genève, au seul motif qu'ils ne disposaient pas d'un jardin dans lequel son chien de race pourrait s'ébattre. L'intimée met ainsi en avant bien plutôt le besoin du chien appartenant au fils de son actionnaire unique plutôt que l'intérêt propre de B.Z._.
En définitive, au regard de la situation personnelle précaire de la recourante, les intérêts qu'a fait valoir l'intimée apparaissent manifestement secondaires.
Il faut en inférer que contrairement à ce qu'a admis la cour cantonale, le congé incriminé a été donné en violation des règles de la bonne foi et qu'il doit être annulé en application de l'<ref-law>.
2.4 Le congé étant annulé, le moyen de la recourante pris d'une violation des <ref-law> relatifs à la prolongation du bail devient sans objet.
3. Il suit de là que le recours doit être admis, l'arrêt attaqué devant être annulé. ll sera prononcé que le congé notifié par l'intimée à la recourante le 12 septembre 2007 pour le 30 juin 2008, portant sur l'appartement de quatre pièces, avec cave et jardin, que celle-ci a pris à bail le 26 avril 1984, est annulé. Les frais judiciaires et les dépens doivent être mis à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
La Caisse du Tribunal fédéral versera à Me Pierre Stastny une indemnité à titre d'honoraires d'avocat d'office pour le cas où les dépens alloués à la recourante ne pourraient pas être recouvrés (art. 64 al. 2 in fine LTF).
La solution étant inversée par rapport à celle retenue par la Chambre d'appel, les frais de la procédure cantonale, que celle-ci a arrêtés à 400 fr., sont mis à la charge de l'intimée (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé. Il est prononcé que le congé notifié par l'intimée à la recourante le 12 septembre 2007 pour le 30 juin 2008, portant sur un appartement de quatre pièces sis au rez-de-chaussée de l'immeuble situé rue ... à Genève, ainsi que le jardin et la cave qui en dépendent, est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera à la recourante une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens.
4. Au cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera à Me Pierre Stastny une indemnité de 3'000 fr. à titre d'honoraires d'avocat d'office.
5. Les frais de la procédure cantonale, soit 400 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
6. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 6 octobre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet