Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 1. November 2005 schied das Bezirksgericht Horgen die Ehe zwischen X._ und Y._. Es genehmigte die von den Parteien abgeschlossene Scheidungskonvention und nahm diese in das Urteil auf. Das Bezirksgericht stellte die gemeinsamen Söhne (geb. März 1990 und April 1993) unter die elterliche Sorge der Mutter. Es verpflichtete Y._ zu Unterhaltsbeiträgen an die beiden Kinder von monatlich je Fr. 1'000.-- (zuzüglich Kinderzulagen), zahlbar "ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung der Kinder"; diese Unterhaltsbeiträge sind "auch über die Mündigkeit der Kinder hinaus an" X._ "zu bezahlen, solange die Kinder in deren Haushalt leben und keine eigenen Ansprüche stellen" (Ziff. 3.5 des Scheidungsurteils).
B. B.a In der von X._ gegen Y._ eingeleiteten Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamts Z._ für eine Forderung von Fr. 15'703.-- nebst Zins zu 5% seit 1. November 2009 stellte das Betreibungsamt am 28. Januar 2011 den Zahlungsbefehl zu. Bei der in Betreibung gesetzten Forderung handelt es sich um ausstehende Unterhaltsbeiträge für den älteren Sohn für die Monate November 2009 bis Januar 2011. Y._ erhob Rechtsvorschlag.
B.b Am 8. Februar 2011 ersuchte X._ das Bezirksgericht Hochdorf um definitive Rechtsöffnung für Fr. 15'703.-- nebst Zins zu 5% seit 1. November 2009.
B.c Mit Entscheid vom 22. Februar 2011 wies das Bezirksgericht das Rechtsöffnungsgesuch ab.
C. Die dagegen von X._ am 2. März 2011 erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 4. Juli 2012 ab, soweit es darauf eintrat.
D. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde in Zivilsachen und subsidiären Verfassungsbeschwerde vom 13. September 2012, der obergerichtliche Entscheid vom 4. Juli 2012 sei aufzuheben und es sei ihr in der fraglichen Betreibung für Fr. 15'703.-- nebst Zins zu 5% seit 1. November 2009 die definitive Rechtsöffnung zu erteilen.
Das Bundesgericht hat die Vorakten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid eines oberen Gerichts, das kantonal letztinstanzlich auf Rechtsmittel hin über die definitive Rechtsöffnung und damit in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache entschieden hat (Art. 90, Art. 75 und Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG; vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2 ff. S. 399 f.).
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid eines oberen Gerichts, das kantonal letztinstanzlich auf Rechtsmittel hin über die definitive Rechtsöffnung und damit in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache entschieden hat (Art. 90, Art. 75 und Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG; vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2 ff. S. 399 f.).
1.2 1.2.1 In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Vorliegend beträgt der Streitwert Fr. 15'703.-- (Ziff. 10 S. 7 des obergerichtlichen Entscheids) und erreicht damit den gesetzlichen Mindestbetrag nicht. Es ist zu prüfen, ob ein Ausnahmetatbestand vorliegt. In Betracht fällt hier einzig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>), was die Beschwerdeführerin auch geltend macht.
1.2.2 Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist restriktiv auszulegen. Der Ausnahmetatbestand erfordert, dass die Frage zu einer erheblichen Rechtsunsicherheit führt und daher dringend einer Klärung durch das Bundesgericht bedarf (<ref-ruling> E. 2.3 S. 236; <ref-ruling> E. 1.1 S. 582 f.). In der Beschwerde ist darzulegen, warum die Voraussetzung einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung erfüllt sein soll (<ref-law>).
1.2.3 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Frage, ob Mündigenunterhalt, der gemäss Scheidungsurteil an sie zu leisten sei, sie auch zur Zwangsvollstreckung dieses Unterhalts berechtige, sei eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung.
1.2.4 Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt nicht vor. Weder besteht eine erhebliche Rechtsunsicherheit noch ein dringlicher Klärungsbedarf. Die Annahme einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung drängt sich im Übrigen auch nicht auf, weil die aufgeworfene Frage sich ohne Weiteres in Fällen stellen kann, in denen der Streitwert erreicht ist (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 270 f.; Urteile 5A_804/2010 vom 28. März 2011 E. 1; 5A_224/2008 vom 3. Dezember 2008 E. 1.2.2).
1.2.5 Ist eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung zu verneinen, erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen als unzulässig. Einzutreten ist hingegen auf die in der gleichen Rechtsschrift erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Für die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). In der Beschwerde muss präzise angegeben werden, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde und substanziiert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur ausdrücklich vorgebrachte, klar und detailliert erhobene sowie, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 334; <ref-ruling> E. 2.1 S. 143).
3. Die von der Beschwerdeführerin in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge betreffen unbestrittenermassen Mündigenunterhalt nach <ref-law> (Ziff. 7 S. 5 des obergerichtlichen Urteils).
Das Obergericht ist im angefochtenen Entscheid zum Ergebnis gelangt, die Beschwerdeführerin sei nicht berechtigt, den Mündigenunterhalt geltend zu machen. Der für die Zeit nach der Mündigkeit zugesprochene Unterhaltsbeitrag sei von Gesetzes wegen an das Kind und nicht mehr an den sorgeberechtigten Elternteil zu leisten. Die im Scheidungsurteil vorgesehene Regelung (Zahlung des Mündigenunterhalts an die Mutter) könne gemäss bundesgerichtlicher Praxis (<ref-ruling>) nur gültig sein, wenn die Zustimmung des mündigen Kindes ausgewiesen sei. Ein solche Zustimmung fehle jedoch, weshalb das Bezirksgericht das Gesuch um definitive Rechtsöffnung zu Recht abgewiesen habe.
4. 4.1 Nach <ref-law> kann der Gläubiger beim Gericht die Aufhebung des Rechtsvorschlags (definitive Rechtsöffnung) verlangen, wenn die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Entscheid beruht.
Anhand des gerichtlichen Entscheids hat das Rechtsöffnungsgericht namentlich zu prüfen, ob die im Urteil genannten Personen des Gläubigers und des Schuldners mit dem Betreibungsgläubiger und dem Betreibungsschuldner identisch sind und ob sich die in Betreibung gesetzte Forderung aus dem vorgelegten gerichtlichen Entscheid ergibt. Dabei hat es weder über den materiellen Bestand der Forderung zu befinden, noch sich mit der materiellen Richtigkeit des Urteils zu befassen. Ist dieses unklar oder unvollständig, bleibt es Aufgabe des Sachgerichts, Klarheit zu schaffen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 319; <ref-ruling> E. 5.3.2 S. 659; zu Unterhaltsurteilen als Rechtsöffnungstiteln vgl. Urteil 5A_487/2011 vom 2. September 2011 E. 3.2).
Anhand des gerichtlichen Entscheids hat das Rechtsöffnungsgericht namentlich zu prüfen, ob die im Urteil genannten Personen des Gläubigers und des Schuldners mit dem Betreibungsgläubiger und dem Betreibungsschuldner identisch sind und ob sich die in Betreibung gesetzte Forderung aus dem vorgelegten gerichtlichen Entscheid ergibt. Dabei hat es weder über den materiellen Bestand der Forderung zu befinden, noch sich mit der materiellen Richtigkeit des Urteils zu befassen. Ist dieses unklar oder unvollständig, bleibt es Aufgabe des Sachgerichts, Klarheit zu schaffen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 319; <ref-ruling> E. 5.3.2 S. 659; zu Unterhaltsurteilen als Rechtsöffnungstiteln vgl. Urteil 5A_487/2011 vom 2. September 2011 E. 3.2).
4.2 4.2.1 Der Anspruch auf Unterhaltsbeiträge steht dem Kind zu und wird, solange das Kind unmündig ist, durch Leistung an dessen gesetzlichen Vertreter oder den Inhaber der Obhut erfüllt (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2012 gültigen Fassung; AS 1999 1138).
Die Eltern haben, solange ihnen die elterliche Sorge zusteht, das Recht und die Pflicht, das Kindesvermögen zu verwalten (<ref-law>). Dieser Grundsatz, wonach der Inhaber der elterlichen Sorge die Rechte des unmündigen Kindes in eigenem Namen ausüben und vor Gericht oder in einer Betreibung geltend machen kann, indem er persönlich als Partei handelt, gilt auch für die Geltendmachung von Unterhaltsbeiträgen (<ref-ruling> E. 2 S. 366 ff.; <ref-ruling> E. 3.1.3 S. 58; <ref-ruling> S. 245; Urteile 5C.314/2001 vom 20. Juni 2002 E. 7d, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5C.277/2001 vom 19. Dezember 2002 E. 1.2).
4.2.2 Da diese Befugnis die elterliche Sorge (die solange dauert, als das Kind unmündig ist: <ref-law> in der bis 31. Dezember 2012 gültigen Fassung; AS 1999 1138) voraussetzt, bezieht sie sich nur auf Unterhalt für das unmündige Kind. Es obliegt demnach dem mündigen Kind, Mündigenunterhalt geltend zu machen (<ref-ruling> E. 3.1.4 S. 58; Urteil 5C.274/2005 vom 30. März 2006 E. 2.3). Eine Ausnahme gilt jedoch im Scheidungsverfahren gestützt auf <ref-law> (in der bis 31. Dezember 2012 gültigen Fassung; AS 1999 1131), wonach der Unterhaltsbeitrag über den Eintritt der Mündigkeit festgelegt werden kann. Demnach kann in diesem Fall, das heisst im Scheidungsverfahren, der Inhaber der elterlichen Sorge in eigenem Namen Mündigenunterhalt geltend machen, sofern das Kind während des Scheidungsverfahrens mündig wird und es diesem Vorgehen zustimmt (<ref-ruling> E. 3 S. 56 ff.; Urteil 5C.277/2001 vom 19. Dezember 2002 E. 1.4.2, in: FamPra.ch 2003 S. 479). Stimmt das mündig gewordene Kind im erwähnten Sinne zu, führt der vormalige Inhaber der elterlichen Sorge das Verfahren fort. Das Dispositiv des Scheidungsurteils muss jedoch darlegen, dass der Mündigenunterhalt dem Kind zu bezahlen ist (<ref-ruling> E. 3.1.5 S. 59; so auch BREITSCHMID/ RUMO-JUNGO, Ausbildungsunterhalt für mündige Kinder, in: Dritte Schweizer Familienrecht§Tage, 2006, S. 99).
4.2.3 Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> E. 6b S. 474 f. entschieden, dass dem vormaligen Inhaber der elterlichen Sorge auch nach dem Eintritt der Mündigkeit des Kindes ein selbstständiges Forderungsrecht für Mündigenunterhalt zusteht, wenn eine gültige Abtretung (<ref-law>) des mündigen Kindes an ihn vorliegt oder sich eine solche Berechtigung aus dem durch Auslegung der genehmigten Scheidungskonvention ermittelten Parteiwillen ergibt (vgl. auch Urteil 5P.381/1991 vom 12. Mai 1992 E. 2 betreffend definitive Rechtsöffnung).
In einem späteren unveröffentlichten Urteil hat das Bundesgericht ein definitives Rechtsöffnungsverfahren für Unterhalt (der gemäss gerichtlich genehmigter Scheidungskonvention an die Inhaberin der elterlichen Sorge zu leisten war) für ein unmündiges Kind beurteilt, wobei die vormalige Inhaberin der elterlichen Sorge die Rechtsöffnung erst verlangte, nachdem die Kinder bereits mündig geworden waren. Das Bundesgericht verwies auf den Grundsatz, die vormalige Inhaberin der elterlichen Sorge sei nicht befugt, Unterhaltsansprüche über das Mündigkeitsalter des Kindes hinaus geltend zu machen und legte dar, davon bestehe nur eine Ausnahme im Scheidungsverfahren. Das Bundesgericht gelangte deshalb zum Ergebnis, die vormalige Inhaberin der elterlichen Sorge habe die Befugnis, den (gemäss gerichtlich genehmigter Scheidungskonvention an sie zu leistenden Kinderunterhalt) im eigenen Namen geltend zu machen, mit dem Untergang des gesetzlichen Vertretungsverhältnisses verloren (Urteil 5P.313/1988 vom 7. Februar 1989 E. 1).
4.2.4 In der Lehre wird die Meinung vertreten, für die Zeit nach Eintritt der Mündigkeit des Kindes sei "einzig" dieses Gläubiger der (Mündigen-)Unterhaltsleistungen (STAEHELIN, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs I, 2. Aufl. 2010, N. 36 zu <ref-law>) beziehungsweise das mündige Kind sei "in jedem Fall" gezwungen, selbst gegen den Unterhaltsschuldner vorzugehen (MEIER/STETTLER, Droit de la filiation, 4. Aufl. 2009, N. 1101).
5.1 5.1.1 Die Beschwerdeführerin macht einerseits geltend, die obergerichtliche Annahme, die "Vereinbarung" der Parteien (Ziff. 3.5 des Scheidungsurteils vom 1. November 2005) sei mangels Zustimmung des mündigen Kindes ungültig (vgl. E. 3 oben), verstosse gegen <ref-law>, da damit die Vertragsfreiheit der Parteien "hinsichtlich der Inhaltsfreiheit gemäss <ref-law>" verletzt werde.
5.1.2 Das Scheidungsgericht hat in seinem Urteil vom 1. November 2005 die von den Parteien abgeschlossene Vereinbarung (Scheidungskonvention) genehmigt und in das Urteilsdispositiv aufgenommen. Die erteilte Genehmigung bewirkt, dass die Vereinbarung über die Scheidungsfolgen ihren vertraglichen Charakter verliert und vollständiger Bestandteil des Urteils wird (<ref-ruling> E. 1.3 S. 535). Inwiefern im vorliegend zu beurteilenden Rechtsöffnungsverfahren <ref-law> (zum Teilgehalt der Vertragsfreiheit vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 339) tangiert worden sein soll, legt die Beschwerdeführerin nicht dar, weshalb auf diese Rüge von vornherein nicht einzutreten ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. E. 2 oben).
5.1.2 Das Scheidungsgericht hat in seinem Urteil vom 1. November 2005 die von den Parteien abgeschlossene Vereinbarung (Scheidungskonvention) genehmigt und in das Urteilsdispositiv aufgenommen. Die erteilte Genehmigung bewirkt, dass die Vereinbarung über die Scheidungsfolgen ihren vertraglichen Charakter verliert und vollständiger Bestandteil des Urteils wird (<ref-ruling> E. 1.3 S. 535). Inwiefern im vorliegend zu beurteilenden Rechtsöffnungsverfahren <ref-law> (zum Teilgehalt der Vertragsfreiheit vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 339) tangiert worden sein soll, legt die Beschwerdeführerin nicht dar, weshalb auf diese Rüge von vornherein nicht einzutreten ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. E. 2 oben).
5.2 5.2.1 Andererseits rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>). Aus dem vom Obergericht zitierten <ref-ruling> könne für die vorliegende Frage kein Zustimmungserfordernis des mündigen Kindes abgeleitet werden. Den Parteien habe es offen gestanden, im Scheidungsverfahren verbindlich Mündigenunterhalt festzulegen; da ihr zudem gemäss Ziff. 3.5 des Scheidungsurteils ein eigenes Forderungs- und Einziehungsrechts zustehe, sei sie gemäss bundesgerichtlicher Praxis (<ref-ruling> E. 6b S. 474 f.) berechtigt, diesen Unterhalt im eigenen Namen geltend zu machen.
5.2.2 Willkür (<ref-law>) in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 319).
5.2.3 Der angefochtene Entscheid, in dem das Obergericht das Gesuch um definitive Rechtsöffnung abgewiesen hat, hält einer Willkürprüfung stand. Der Beschwerdeführerin ist immerhin beizupflichten, dass sich aus dem vom Obergericht zitierten <ref-ruling> E. 3.1.5 S. 59 für das Rechtsöffnungsverfahren kein Zustimmungserfordernis des mündigen Kindes ableiten lässt.
Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin, die den angefochtenen Entscheid als im Widerspruch zu <ref-ruling> E. 6b S. 474 f. stehend erachtet, ist Willkür nicht schon dann anzunehmen, wenn eine Behörde bei der Anwendung von Bundesrecht von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung abweicht (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 320; Urteil 5A_303/2011 vom 27. September 2011 E. 4.3). Vorliegend lassen sich im Übrigen der nach <ref-ruling> E. 6b S. 474 f. ergangenen Praxis (vgl. das erwähnte Urteil 5P.313/1988 vom 7. Februar 1989 E. 1 sowie <ref-ruling> E. 3.1.5 S. 59) und Lehre durchaus Gründe entnehmen, die den obergerichtlichen Entscheid im Ergebnis jedenfalls als nicht willkürlich erscheinen lassen.
6. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da das Bundesgericht beim Beschwerdegegner keine Vernehmlassung eingeholt hat (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Bettler