Sachverhalt:
A. Am 26. August 2007 kam es im Sportzentrum Herisau/AR im Bereich der Sauna zu einem Brand, der einen Schaden von mehreren Millionen Franken verursachte. Aufgrund der unklaren Brandursache gab das Verhöramt des Kantons Appenzell Ausserrhoden im Rahmen der Strafuntersuchung beim forensisch-wissenschaftlichen Dienst der Kantonspolizei St. Gallen eine Expertise zur Abklärung der Brandursache in Auftrag. Das Verhöramt stellte das Strafverfahren mit Verfügung vom 16. Mai 2008 ein.
B. Die X._-Versicherungsgesellschaft, Regionalsitz A._, ersuchte als Sachversicherer der Gemeinde Herisau bzw. des Sportzentrums Herisau mit Schreiben vom 31. August 2007 und 26. Februar 2008 das Verhöramt um Zustellung der Polizeirapporte und allenfalls weiterer Akten im Zusammenhang mit dem Saunabrand. Mit Schreiben vom 4. März 2008 stellte das Verhöramt den Polizeirapport gegen eine Gebühr von Fr. 80.-- zur Einsichtnahme zu. Am 7. März 2008 ersuchte die X._-Versicherungsgesellschaft zusätzlich um Zustellung des Berichtes des Branderkennungsdienstes. Am 23. Mai 2008 stellte das Verhöramt den Bericht in Kopie zu und erhob dafür eine "Gebühr für die Einsichtnahme" in der Höhe von Fr. 4'400.--. Die Versicherungsgesellschaft akzeptierte diese Gebührenbelastung nicht und verlangte eine anfechtbare Verfügung. Am 17. Juni 2008 verfügte das Verhöramt des Kantons Appenzell Ausserrhoden, dass die X._-Versicherungsgesellschaft für die Akteneinsicht eine Gebühr von Fr. 4'400.-- zu bezahlen habe. Das Verhöramt stützte sich dabei auf die kantonale Gebührenordnung, welche bei besonders aufwendigen Verfahren eine Erhöhung der Gebühr für die Zustellung von Akten an nicht am Verfahren beteiligte Personen vorsieht.
C. Gegen diese Gebührenverfügung rekurrierte die X._-Versicherungsgesellschaft am 30. Juni 2008 bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden. Mit Entscheid vom 1. September 2008 wies die Staatsanwaltschaft den Rekurs ab.
D. Mit Eingabe vom 2. Oktober 2008 erhebt die X._-Versicherungsgesellschaft beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Sie beantragt, den Entscheid der Staatsanwaltschaft aufzuheben und eine Akteneinsichtsgebühr von maximal Fr. 400.-- festzusetzen. Gerügt wird die Verletzung des Legalitätsprinzips, des Willkürverbots sowie des Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzips.
E. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden schliesst in ihrer Vernehmlassung vom 5. November 2008 auf Abweisung der Beschwerde. Das Verhöramt des Kantons Appenzell Ausserrhoden hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
F. Mit Verfügung vom 3. November 2008 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Rekursentscheid der Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden, mit dem die Zulässigkeit einer vom Verhöramt erhobenen Gebühr für die Akteneinsicht durch Dritte bejaht wird. Streitigkeiten dieser Art fallen nicht unter den Ausnahmekatalog gemäss <ref-law> betreffend die Unzulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, weshalb dieses Rechtsmittel vorliegend gegeben ist. Als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts müsste der Kanton Appenzell Ausserrhoden hingegen ein oberes Gericht einsetzen (<ref-law>): Die Staatsanwaltschaft kann aufgrund ihrer Organisation und hierarchischen Stellung nicht als "oberes Gericht" im Sinne von <ref-law> gelten. Die Kantone haben indessen für die Anpassung ihrer Gesetzgebung an das BGG - welches am 1. Januar 2007 in Kraft getreten ist - eine Übergangsfrist von zwei Jahren zur Verfügung (<ref-law>), die zum Zeitpunkt der Eröffnung des Rekursentscheides wie auch der Einreichung des Rechtsmittels noch nicht abgelaufen war. Der Entscheid der Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden stellt daher einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid dar, der mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht angefochten werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG; vgl. auch Urteil 2C_495/2007 vom 27. März 2008, E. 1.1).
Als Abgabepflichtige ist die Beschwerdeführerin, welche am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und besitzt ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung, womit sie zur Beschwerde legitimiert ist (<ref-law>).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist daher weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law> bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2. 2.1 Umstritten ist vorab, ob die seitens des kantonalen Verhöramts von der Beschwerdeführerin erhobene Gebühr in der Höhe von Fr. 4'400.-- für die Einsicht in den Bericht des forensisch-wissenschaftlichen Dienstes der Kantonspolizei St. Gallen, welcher im Rahmen eines Strafverfahrens im Auftrag des Verhöramtes erstellt worden ist, über eine hinreichende gesetzliche Grundlage verfügt.
2.2 Das Verhöramt stützte seine Gebührenrechnung auf Art. 33 der Verordnung des Kantonsrats des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 15. Juni 1981 über die Rechtskosten und Entschädigungen in der Zivil- und Strafrechtspflege (Gebührenordnung; bGS 233.3), welcher wie folgt lautet:
"1 Für die Zustellung von Akten an nicht am Verfahren beteiligte Personen beträgt die Gebühr Fr. 10.-- bis Fr. 200.--.
2 Die Gebühr kann angemessen erhöht werden, wenn es sich um ein besonders aufwendiges Verfahren handelt und dem interessierten Dritten entsprechende eigene Auslagen grösseren Umfanges erspart bleiben."
Nach Ansicht des Verhöramtes findet sich die gesetzliche Grundlage für die Gebührenordnung in Art. 2 des Gesetzes vom 30. April 1978 über den Strafprozess (Strafprozessordnung, StPO/AR; bGS 321.1) in Verbindung mit Art. 77 Abs. 2 der Zivilprozessordnung vom 27. April 1980 (ZPO/AR; bGS 231.1). Art. 2 der Strafprozessordnung hält dabei lediglich fest, dass die Bestimmungen des Gesetzes über den Zivilprozess gelten, soweit die Strafprozessordnung keine anderen Regelungen trifft. Art. 77 Abs. 2 der Zivilprozessordnung lautet wie folgt: "Der Kantonsrat erlässt einen Gebührentarif."
Gemäss Darstellung im angefochtenen Entscheid hat die Staatsanwaltschaft in einer internen Weisung die zitierte Bestimmung in der Gebührenordnung dahingehend präzisiert, dass der Anteil der Kostenbeteiligung bei "normalen" Fällen mit Kosten bis Fr. 5'000.-- im Sinne eines Richtwertes bei 50 % der "angefallenen Kosten" liegen soll, während bei höheren Auslagen der Sachbearbeiter oder die Sachbearbeiterin "nach Ermessen" entscheiden solle. Die Beschwerdeführerin macht dagegen eine mangelnde gesetzliche Grundlage zur Erhebung einer Gebühr von Fr. 4'400.-- für die Akteneinsicht von Dritten geltend.
3. 3.1 Die vorliegenden Gebühren sind den so genannten Kausalabgaben zuzurechnen. Sie sind im Gegensatz zu Steuern das Entgelt für die Inanspruchnahme staatlicher Leistungen. Ihre Bemessung hängt insbesondere vom Verfahrensaufwand ab. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung bedürfen derartige Abgaben - abgesehen von Kanzleigebühren - einer Grundlage in einem formellen Gesetz. Delegiert das Gesetz die Kompetenz zur Festlegung einer Abgabe an den Verordnungsgeber, so muss es zumindest den Kreis der Abgabepflichtigen, den Gegenstand und die Bemessungsgrundlagen der Abgabe selber festlegen (vgl. auch <ref-law> bzw. Art. 69 Abs. 1 lit. b KV/AR; SR 131.224.1). Diese Anforderungen hat die Rechtsprechung für die Abgabenbemessung (nicht aber die Umschreibung des Kreises der Abgabepflichtigen und des Gegenstandes der Abgabe) bei gewissen Arten von Kausalabgaben gelockert: Sie dürfen namentlich dort herabgesetzt werden, wo das Mass der Abgabe durch überprüfbare verfassungsrechtliche Prinzipien (Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzip) begrenzt wird und nicht allein der Gesetzesvorbehalt diese Schutzfunktion erfüllt. Der Umfang des Legalitätsprinzips ist demnach je nach der Art der Abgabe zu differenzieren. Das Prinzip darf weder seines Gehalts entleert noch in einer Weise überspannt werden, dass es mit der Rechtswirklichkeit und dem Erfordernis der Praktikabilität in einen unlösbaren Widerspruch gerät (statt vieler <ref-ruling> E. 2.2 S. 115 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5a S. 117, 247 E. 3.1 und 3.2 S. 251 mit Hinweisen auf Art. 164 Abs. 1 lit. d und Art. 127 Abs. 1 BV; Adrian Hungerbühler, Grundsätze des Kausalabgabenrechts, in: ZBl 104/2003 S. 505 ff., S. 514 u. 516).
3.2 Auf der Ebene des Kantons gelten als formelle Gesetze die einem fakultativen oder obligatorischen Referendum unterworfenen Erlasse. Doch können auch allein vom Parlament, d.h. ohne Mitwirkungsmöglichkeit der Stimmbürgerinnen und Stimmbürger beschlossene Erlasse die Funktion des formellen Gesetzes erfüllen, wenn die kantonale Verfassung selber für die betreffende Materie die abschliessende Zuständigkeit des Parlaments vorsieht oder aber Raum dafür lässt, dass der Gesetzgeber die betreffende Kompetenz an das Parlament delegiert, da die Bundesverfassung keine weitergehenden Anforderungen an das kantonale Gesetzgebungsverfahren stellt (<ref-ruling> E. 2a/aa S. 182 mit Hinweisen). Die in der bundesgerichtlichen Rechtsprechung entwickelten Anforderungen an die Vorgaben im formellen Gesetz, auf welche sich Abgabeerlasse nachgeordneter Behörden stützen müssen, gelten dementsprechend nur für die Delegation von Regelungskompetenzen an Exekutivbehörden, nicht aber dort, wo das Parlament selber - sei es von Verfassungs wegen oder aufgrund einer Gesetzesdelegation - zur Festsetzung der Abgaben zuständig erklärt wird (<ref-ruling> E. 2.2 S. 159 mit Hinweisen; Hungerbühler, a.a.O., S. 515).
4. 4.1 Bei der in Frage stehenden Gebührenordnung handelt es sich um eine Verordnung, welche der Kantonsrat des Kantons Appenzell Ausserrhoden am 15. Juni 1981 gestützt auf <ref-law>/AR und <ref-law>/AR verabschiedet hat und welche weder dem obligatorischen noch dem fakultativen Referendum unterworfen war. Art. 68 Abs. 1 Satz 1 KV/AR hält jedoch unter der Marginalie "Delegationen" fest, dass die Stimmberechtigten Befugnisse an den Kantonsrat (oder an den Regierungsrat) übertragen können, falls die Delegation auf ein bestimmtes Gebiet beschränkt ist und das Gesetz ihren Rahmen festlegt. Damit lässt die kantonale Verfassung grundsätzlich Raum für die Übertragung von Rechtsetzungskompetenzen von den Stimmberechtigten an den Kantonsrat durch ein Gesetz (vgl. E. 3.2; <ref-ruling> E. 3d S. 122 f.).
Näher zu prüfen ist im Folgenden demnach, ob sich der dem angefochtenen Entscheid zu Grunde liegende Art. 33 Abs. 2 der Gebührenordnung im Rahmen der gesetzlichen Delegationsnorm von <ref-law>/AR i.V.m. <ref-law>/AR hält.
4.2 Gemäss <ref-law>/AR setzen sich die sogenannten Rechtskosten aus den Vermittlungskosten, den Gebühren und den Barauslagen des Gerichtes zusammen. Die <ref-law>/AR bestimmen weiter, wer diese Rechtskosten zu tragen hat. Damit umschreibt das Gesetz den Gegenstand der Abgabe und Kreis der Abgabepflichtigen grundsätzlich in genügender Weise.
<ref-law>/AR hält fest, dass die Rechtskosten in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt werden. Zeugen und anderen Dritten können die Kosten auferlegt werden, welche sie schuldhaft verursacht haben (<ref-law>/AR). Weitere Bestimmungen über Kostenauferlegung an Dritte sind in der ZPO/AR und auch in anderen kantonalen Gesetzen nicht ersichtlich.
4.3 Zwar enthält <ref-law>/AR eine Delegationsnorm zum Erlass eines "Gebührentarifs" durch den Kantonsrat. Nach dem allgemeinen Sprachverständnis legt ein Tarif aber bloss den Rahmen für die Gebührenhöhe und allenfalls noch die Kriterien zur Bemessung fest (vgl. beispielsweise die Steuertarife in <ref-law>). Der Kreis der Abgabepflichtigen kann jedoch durch einen "Gebührentarif" nicht über den Wortlaut des zugrundeliegenden Gesetzes hinaus erweitert werden, ausser es ergebe sich durch Auslegung, dass mit dem Wort "Tarif" eine weitergehende, umfassende Delegation gemeint sei (vgl. zum Erfordernis der Umschreibung des Kreises der Abgabepflichtigen auch <ref-ruling> E. 6.1 S. 278). Konkrete Hinweise für ein solches Verständnis fehlen hier aber und sind von den kantonalen Behörden auch nicht namhaft gemacht worden.
Unbehelflich ist der Verweis der Vorinstanz auf Art. 54 der Verordnung vom 20. Dezember 1982 über die Unfallversicherung (UVV; SR 832.202). Gegenstand der Unfallversicherung sind Berufsunfälle, Nichtberufsunfälle und Berufskrankheiten (Art. 6 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 20. März 1981 über die Unfallversicherung, [UVG; SR 832.20]). Vorliegend handelt es sich aber nicht um eine sozialversicherungsrechtliche Angelegenheit, weshalb nicht ersichtlich ist, inwiefern Analogieschlüsse gezogen werden könnten. Ausserdem wäre im Falle eines solchen Analogieschlusses wohl auch Art. 32 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) zu beachten, welcher eine kostenlose Amts- und Verwaltungshilfe zwischen den Verwaltungs- und Rechtspflegebehörden einerseits und den Organen der Sozialversicherungen andererseits vorsieht.
4.4 Daraus ergibt sich, dass der Kantonsrat in Art. 33 Abs. 2 der Gebührenordnung den Kreis der Abgabepflichtigen nicht über die im Gesetz (<ref-law>/AR i.V.m. <ref-law>/AR) genannten Personen hinaus erweitern bzw. diese Personen unter anderen als den im Gesetz genannten Voraussetzungen zur Kostenübernahme verpflichten durfte, da es an der entsprechenden gesetzlichen Ermächtigung mangelt.
4.5 Die vom Verhöramt in Rechnung gestellte Gebühr lässt sich den sogenannten Verwaltungsgebühren zuordnen; diese stellen das Entgelt für eine vom Pflichtigen veranlasste Amtshandlung der öffentlichen Verwaltung dar. Zu den Verwaltungsgebühren gehören insbesondere die Kanzleigebühren, ein sich in bescheidenem Rahmen haltendes Entgelt für einfache Tätigkeiten der Verwaltung, die keinen besonderen Prüfungs- oder Kontrollaufwand erfordern (vgl. Hungerbühler, a.a.O., S. 509). Die erhobene Gebühr für die Akteneinsicht kann jedoch nicht als Kanzleigebühr betrachtet werden, da sie mit Fr. 4'400.-- weit über dem erwähnten bescheidenen Rahmen liegt. Daraus folgt, dass die für Kanzleigebühren vorgesehene Ausnahme vom Grundsatz, wonach öffentliche Abgaben einer Grundlage in einem formellen Gesetz bedürfen (vgl. E. 3.1), für den vorliegenden Fall nicht zum Tragen kommen kann.
4.6 Dass im Einzelfall sowohl das Kostendeckungs- als auch das Äquivalenzprinzip zu beachten sind, vermag den Mangel der gesetzlichen Grundlage ebenfalls nicht zu beseitigen, da die Rechtsprechung (vgl. E. 3.1) nur für die Abgabenbemessung - nicht aber für die abgabepflichtigen Tatbestände und Personen - die Anforderungen an die Grundlage in einem formellen Gesetz gelockert hat (<ref-ruling> E. 2 S. 249).
5. Zusammengefasst ergibt sich, dass zur Erhebung der umstrittenen Gebühr für die Akteneinsicht keine genügende Grundlage in einem formellen Gesetz besteht. Damit erübrigt sich die Prüfung der weiteren von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Rügen, welche die Verletzung des Willkürverbots sowie des Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzips betreffen.
6. Die Beschwerde ist somit gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Angelegenheit ist zur Neufestsetzung der Gebühr an das Verhöramt des Kantons Appenzell Ausserrhoden zurückzuweisen. Massgebend für die Festsetzung der Gebühr wird dabei der Rahmen von Art. 33 Abs. 1 der Gebührenordnung sein müssen, da nach dem Ausgeführten eine genügende gesetzliche Grundlage zur Erhebung einer Gebühr für die Akteneinsicht, welche den Betrag einer Kanzleigebühr übersteigt, fehlt.
7. Bei diesem Verfahrensausgang und angesichts des vermögensrechtlichen Charakters der Streitsache sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Kanton Appenzell Ausserrhoden aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat ausserdem die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Im Übrigen ist die Sache zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, und der Entscheid der Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 1. September 2008 wird aufgehoben.
2. Die Angelegenheit wird zur Neufestsetzung der Gebühr im Sinne der Erwägungen an das Verhöramt des Kantons Appenzell Ausserrhoden und zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden zurückgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Kanton Appenzell Ausserrhoden auferlegt.
4. Der Kanton Appenzell Ausserrhoden hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin sowie der Staatsanwaltschaft und dem Verhöramt des Kantons Appenzell Ausserrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Winiger