Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die Y._ (Beschwerdegegnerin) ist Eigentümerin und Vermieterin der Liegenschaft F._. Die fünfköpfige Familie X._, bestehend aus den Eltern B.X._ und C.X._ (Beschwerdeführer; Kläger 2 und 3), Sohn A.X._ (Kläger 1), Sohn D.X._ (Kläger 4) und Tochter E.X._ (Klägerin 5) bewohnte in dieser Liegenschaft seit 1996 eine 4 1/2 Zimmer-Wohnung und belegte zwei Auto-Abstellplätze. Der Eingang der Gemeinschaftsgarage im Erdgeschoss lag direkt über der Wohnung der Klägerschaft. Im Unfallzeitpunkt war die Schlüsselsäule, mit der das Garagentor der Tiefgarage bedient werden konnte, defekt. Das Garagentor liess sich lediglich durch Unterbrechung der äusseren Lichtschranke öffnen. Am 24. Mai 1999 wurde der damals knapp 5 Jahre alte A.X._ durch den Schliessmechanismus des Garagentores am rechten Bein erheblich verletzt. Wegen schwerer Quetschverletzungen und Zerstörung der Unterschenkelmuskulatur war das Kind bis 9. September 1999 im Kantonsspital St. Gallen hospitalisiert. Die weitere medizinische Behandlung von A.X._ wurde auf Veranlassung seines Vaters im Universitätsspital in Belgrad durchgeführt. Der Aufenthalt bzw. die operative und medizinische Behandlung von A.X._ in Belgrad dauerte 1 1/4 Jahre.
A. Die Y._ (Beschwerdegegnerin) ist Eigentümerin und Vermieterin der Liegenschaft F._. Die fünfköpfige Familie X._, bestehend aus den Eltern B.X._ und C.X._ (Beschwerdeführer; Kläger 2 und 3), Sohn A.X._ (Kläger 1), Sohn D.X._ (Kläger 4) und Tochter E.X._ (Klägerin 5) bewohnte in dieser Liegenschaft seit 1996 eine 4 1/2 Zimmer-Wohnung und belegte zwei Auto-Abstellplätze. Der Eingang der Gemeinschaftsgarage im Erdgeschoss lag direkt über der Wohnung der Klägerschaft. Im Unfallzeitpunkt war die Schlüsselsäule, mit der das Garagentor der Tiefgarage bedient werden konnte, defekt. Das Garagentor liess sich lediglich durch Unterbrechung der äusseren Lichtschranke öffnen. Am 24. Mai 1999 wurde der damals knapp 5 Jahre alte A.X._ durch den Schliessmechanismus des Garagentores am rechten Bein erheblich verletzt. Wegen schwerer Quetschverletzungen und Zerstörung der Unterschenkelmuskulatur war das Kind bis 9. September 1999 im Kantonsspital St. Gallen hospitalisiert. Die weitere medizinische Behandlung von A.X._ wurde auf Veranlassung seines Vaters im Universitätsspital in Belgrad durchgeführt. Der Aufenthalt bzw. die operative und medizinische Behandlung von A.X._ in Belgrad dauerte 1 1/4 Jahre.
B. Mit an Schranken erweitertem Klagebegehren vom 10. Februar 2003 wurde dem Kantonsgericht von Appenzell A. Rh. beantragt, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten:
- den Klägern 2 und 3 Fr. 52'278.65 nebst Zins zu zahlen als Schadenersatz für Auslagen im Zusammenhang mit der Verbringung von A.X._ nach Belgrad zu Operationen und dortige Betreuung und Begleitung durch Familienangehörige, angefallen bis 31. Dezember 2002;
- der Klägerin 2 als Schadenersatz für Lohnausfall für die Zeit bis Ende 2002 Fr. 103'725.-- nebst Zins zu zahlen, zuzüglich weiterer Lohnausfall bis 30. Juni 2006 von Fr. 48'139.-- nebst Zins;
- dem Kläger 1 eine Genugtuung von Fr. 350'000.--, den Klägern 2 und 3 eine Genugtuung von je Fr. 200'000.--, den Klägern 4 und 5 eine Genugtuung von je Fr. 25'000.--, jeweils nebst Zins, zu zahlen.
Es sei davon Vormerk zu nehmen, dass das Nachklagerecht vorbehalten werde für weiteren zukünftigen Schaden je nach Entwicklung wie namentlich Lohnausfall, Rentenschaden, weitere Behandlungskosten von A.X._, Selbstbehaltskosten, Transport- und Unterbringungskosten, Genugtuung im Falle einer Amputation oder Gelenkversteifung.
Die Kläger stützten ihre Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen auf die Werkeigentümerhaftung nach <ref-law>.
Das Kantonsgericht beschloss, über die Frage Beweis abzunehmen, ob im Jahre 1999 Sicherheitsstandards für ein mit Federmechanismus funktionierendes elektronisches Lichtschranken-Garagentor existierten bzw. wie allfällige Sicherheitsvorschriften ausgestaltet waren und mit der Funktionsweise eines solchen Federmechanismus-Garagentores technisch in Zusammenhang standen. Mit der Expertise wurde dipl. Ing. FH G._ vom Bundesamt für Unfallverhütung beauftragt. Am 22. Oktober 2004 fand in Anwesenheit der Parteien bzw. der Parteivertreter eine Besichtigung des Garagentores durch den Experten statt. Das Gutachten wurde am 23. Dezember 2004 erstattet. Den Parteien wurde Gelegenheit gegeben, zum Beweisergebnis Stellung zu nehmen. Laut Gutachten existierten bei Erstellung des Garagentores im Jahre 1994 noch keine gesetzlichen Bestimmungen oder Normen für automatisierte Toranlagen im privaten Wohnungsbereich. Als minimaler Stand der Technik gelte aber die 1992 erschienene Richtlinie der europäischen Koordinationskommission für Arbeitssicherheit, EKAS Nr. 1511. Der Experte gelangte zum Schluss, dass das Garagentor in verschiedener Hinsicht dieser Richtlinie widerspreche: Einerseits würden Kraft- und Energiebegrenzungen an der Nebenschliesskante (Einklemmstelle) nicht eingehalten. Der Druck sei hier mehr als doppelt so hoch wie zulässig. Weiter betrage der Abstand zwischen Torhebel und festen Teilen (Wand, Torrahmen) nur 10 mm anstatt der vorgeschriebenen 25 mm. Schliesslich sei auch die Sicherheitsdruckleiste an der Unterkante des Tores unter einer Höhe von 40 cm unwirksam.
Mit Urteil vom 14. März 2005 verpflichtete das Kantonsgericht die Beschwerdegegnerin, dem Kläger 1 eine Genugtuung von Fr. 60'000.-- sowie der Klägerin 2 und dem Kläger 3 eine solche von je Fr. 3'000.-- zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage ab. Das Gericht bejahte grundsätzlich die Voraussetzungen für eine Haftung nach <ref-law>. Betreffend die von den Klägern 2 und 3 aus eigenem Recht geltend gemachten Schadenersatzforderungen im Zusammenhang mit der Verbringung des Klägers 1 nach Belgrad zu den Operationen und für die dortige Betreuung des Klägers 1 sowie betreffend den von der Klägerin 2 verlangten Ersatz für Lohnausfall im Zusammenhang mit der Betreuung des Klägers 1 verneinte das Gericht die Aktivlegitimation der Kläger 2 und 3.
Gegen dieses Urteil appellierten die Kläger an das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden, wobei die Kläger 2 und 3 an ihren Schadenersatzforderungen festhielten, die sie nunmehr auch aus <ref-law> ableiteten. Ferner wurde beantragt, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, dem Kläger 1 eine Genugtuung von Fr. 100'000.--, den Klägern 2 und 3 eine solche von je Fr. 25'000.--, jeweils nebst Zins, zuzusprechen. Ausserdem behielten sich die Kläger weiterhin ein Nachklagerecht vor. Die Beschwerdegegnerin beantragte auf dem Wege der Anschlussappellation die Abweisung der Klage. Eventuell - im Falle einer Haftungsbejahung - sei die den Klägern 2 und 3 zugesprochene Genugtuung von je Fr. 3'000.-- aufzuheben.
Mit Urteil vom 25. April 2006 verpflichtete das Obergericht die Beschwerdegegnerin, dem Kläger 1 Fr. 100'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 als Genugtuung zu bezahlen (Dispositivziffer 1a). Ferner erkannte es, den Klägern 2 und 3 stünden gegenüber der Beschwerdegegnerin je Fr. 20'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 als Genugtuung zu. Diese Forderung von insgesamt Fr. 40'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 werde mit der der Beschwerdegegnerin zustehenden Mietzinsforderung im Umfang von Fr. 46'006.70 zuzüglich Zins zu 5 % seit 9. April 2003 verrechnet, so dass die Forderung der Kläger 2 und 3 aus Genugtuung abgewiesen werde (Dispositivziffer 1b). Im Mehrbetrag wies es die Appellation ab (Dispositivziffer 1c).
Mit Urteil vom 25. April 2006 verpflichtete das Obergericht die Beschwerdegegnerin, dem Kläger 1 Fr. 100'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 als Genugtuung zu bezahlen (Dispositivziffer 1a). Ferner erkannte es, den Klägern 2 und 3 stünden gegenüber der Beschwerdegegnerin je Fr. 20'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 als Genugtuung zu. Diese Forderung von insgesamt Fr. 40'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 werde mit der der Beschwerdegegnerin zustehenden Mietzinsforderung im Umfang von Fr. 46'006.70 zuzüglich Zins zu 5 % seit 9. April 2003 verrechnet, so dass die Forderung der Kläger 2 und 3 aus Genugtuung abgewiesen werde (Dispositivziffer 1b). Im Mehrbetrag wies es die Appellation ab (Dispositivziffer 1c).
C. Die Beschwerdeführer beantragen mit staatsrechtlicher Beschwerde, es seien vom Urteilsdispositiv die Ziffer 1c und die Ziffern 2 bis 4 (Kosten) aufzuheben.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Parallel zur staatsrechtlichen Beschwerde haben die Beschwerdeführer in gleicher Sache eidgenössische Berufung eingelegt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach dem OG (<ref-law>).
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach dem OG (<ref-law>).
2. Wie aus der Beschwerdeschrift hervorgeht, richtet sich die staatsrechtliche Beschwerde materiell gegen die Abweisung der von den Klägern 2 und 3 (Eltern) geltend gemachten Schadenersatzansprüche als Mieter nach <ref-law>. Die Kläger 1, 4 und 5 figurieren lediglich deshalb als Beschwerdeführer im Rubrum, weil sie in den ebenfalls zur Aufhebung beantragten Ziffern 2-4 des Dispositivs mit Kosten belastet wurden.
2. Wie aus der Beschwerdeschrift hervorgeht, richtet sich die staatsrechtliche Beschwerde materiell gegen die Abweisung der von den Klägern 2 und 3 (Eltern) geltend gemachten Schadenersatzansprüche als Mieter nach <ref-law>. Die Kläger 1, 4 und 5 figurieren lediglich deshalb als Beschwerdeführer im Rubrum, weil sie in den ebenfalls zur Aufhebung beantragten Ziffern 2-4 des Dispositivs mit Kosten belastet wurden.
3. Erhebt eine Partei gleichzeitig staatsrechtliche Beschwerde und Berufung, so ist in der Regel zuerst über die staatsrechtliche Beschwerde zu befinden und der Entscheid über die Berufung wird ausgesetzt (Art. 57 Abs. 5 OG). Vorliegend besteht kein Anlass, anders zu verfahren.
3. Erhebt eine Partei gleichzeitig staatsrechtliche Beschwerde und Berufung, so ist in der Regel zuerst über die staatsrechtliche Beschwerde zu befinden und der Entscheid über die Berufung wird ausgesetzt (Art. 57 Abs. 5 OG). Vorliegend besteht kein Anlass, anders zu verfahren.
4. Das Obergericht bejahte die Haftung der Beschwerdegegnerin aus <ref-law>, verneinte jedoch eine mietrechtliche Haftung nach <ref-law>, da sich die Beschwerdegegnerin jedenfalls exkulpieren könne. Es stellte zunächst klar, dass die im Unfallzeitpunkt defekte Schlüsselsäule sowie der Schliessmechanismus beim Garagentor im Gutachten keine Erwähnung gefunden hätten und deshalb als Mängel im Sinne von <ref-law> ausser Betracht fielen. Für die im Gutachten festgestellten Mängel am Tor (Abweichungen von der EKAS-Richtlinie Nr. 1511) treffe die Beschwerdegegnerin kein Verschulden. Das Garagentor sei 1994 von der H._ AG montiert und bis zum Unfall nicht abgeändert worden. Im Montagezeitpunkt habe die EKAS-Richtlinie schon zwei Jahre existiert, so dass die Vermieterin in guten Treuen habe davon ausgehen dürfen, dass das Garagentor dem damaligen Stand der Technik genügt habe. Gegenteilige Hinweise, dass die Beschwerdegegnerin vor dem Unfall Kenntnis von den fraglichen Mängeln am Tor gehabt habe, ergäben sich nicht aus den Akten. Somit fehle es an einem Verschulden der Beschwerdegegnerin.
Die Beschwerdeführer beanstanden nicht, dass das Obergericht bezüglich der erst durch eine Expertise festgestellten Abweichungen des Tores von der EKAS-Richtlinie Exkulpation eintreten liess. Sie rügen aber, das Obergericht habe hinsichtlich der ebenfalls geltend gemachten defekten Schlüsselsäule/Öffnungsmechanismus das rechtliche Gehör umfassend verweigert. Es liege eine Rechtsverweigerung nach <ref-law> vor, weil das Obergericht aus diesem Mangel nicht den Schluss auf eine zu verantwortende, verschuldete Mangelhaftigkeit der Garagentoranlage gezogen habe, womit Exkulpation nach <ref-law> ausscheide. Es verletze ferner den Anspruch auf rechtliches Gehör, dass sie hinsichtlich dieser Mangelhaftigkeit und der Behauptung, dass sich die Mieter der fraglichen Liegenschaft deswegen beim Hauswart beschwert hätten, nicht zum Beweis zugelassen worden seien. Das Obergericht habe diese Mangelhaftigkeit zwar angesprochen, aber nicht behandelt mit dem Hinweis, dass sie nicht im Gutachten aufgeführt werde. Damit werde diese Mangelhaftigkeit in Verletzung des rechtlichen Gehörs als irrelevant übergangen.
Die Beschwerdeführer beanstanden nicht, dass das Obergericht bezüglich der erst durch eine Expertise festgestellten Abweichungen des Tores von der EKAS-Richtlinie Exkulpation eintreten liess. Sie rügen aber, das Obergericht habe hinsichtlich der ebenfalls geltend gemachten defekten Schlüsselsäule/Öffnungsmechanismus das rechtliche Gehör umfassend verweigert. Es liege eine Rechtsverweigerung nach <ref-law> vor, weil das Obergericht aus diesem Mangel nicht den Schluss auf eine zu verantwortende, verschuldete Mangelhaftigkeit der Garagentoranlage gezogen habe, womit Exkulpation nach <ref-law> ausscheide. Es verletze ferner den Anspruch auf rechtliches Gehör, dass sie hinsichtlich dieser Mangelhaftigkeit und der Behauptung, dass sich die Mieter der fraglichen Liegenschaft deswegen beim Hauswart beschwert hätten, nicht zum Beweis zugelassen worden seien. Das Obergericht habe diese Mangelhaftigkeit zwar angesprochen, aber nicht behandelt mit dem Hinweis, dass sie nicht im Gutachten aufgeführt werde. Damit werde diese Mangelhaftigkeit in Verletzung des rechtlichen Gehörs als irrelevant übergangen.
5. Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> umfasst insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 504 f.; <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2a/aa S. 16; <ref-ruling> E. 1c).
Zunächst kann den Beschwerdeführern nicht gefolgt werden, soweit sie rügen, für den von ihnen geltend gemachten Defekt der Schlüsselsäule und die sich daraus ergebende Möglichkeit, das Tor durch Unterbrechen der Lichtschranke zu öffnen, nicht zum Beweis zugelassen worden zu sein. Dieser Defekt wurde vom Obergericht festgehalten. Damit war aber noch nicht entschieden, ob er auch als Mangel der Garagentoranlage zu betrachten war. Die erste Instanz hatte zur Frage der Mangelhaftigkeit der Garagentoranlage eine Expertise angeordnet, konkret zur Frage nach den Sicherheitsstandards im Jahre 1999 für ein mit Federmechanismus funktionierendes elektronisches Lichtschranken-Garagentor. Der Experte stellte einige Abweichungen von der EKAS-Richtlinie Nr. 1511 fest, Mängel, welche die Beschwerdeführer nicht einmal geltend gemacht hatten, und die schliesslich zur Haftung der Beschwerdegegnerin führten. Hingegen stellte der Experte die von den Beschwerdeführern geltend gemachte defekte Schlüsselsäule und die Öffnungsmöglichkeit durch Unterbrechen der Lichtschranke nicht als Abweichung vom Sicherheitsstandard fest.
Die Parteien konnten im kantonalen Verfahren bei der Beweiserhebung mitwirken und nahmen am Augenschein durch den Experten teil. Schliesslich wurde ihnen Gelegenheit eingeräumt, sich zum Beweisergebnis zu äussern. Die Beschwerdeführer stellten keine Ergänzungsfragen, etwa speziell hinsichtlich des Schliessmechanismus, noch verlangten sie ein Obergutachten. Solches machen sie jedenfalls nicht geltend. Der Vorwurf der Beschwerdeführer, es sei ihnen diesbezüglich der Beweis abgeschnitten worden, ist deshalb nicht nachvollziehbar.
Weder das Nichtfeststellen der geltend gemachten defekten Schlüsselsäule und der Öffnungsmöglichkeit durch Unterbrechen der Lichtschranke als Abweichung vom Sicherheitsstandard bzw. als Mangel der Garagentoranlage durch den Experten noch der Umstand, dass das Obergericht daraus schloss, es liege insofern kein Mangel im Sinne von <ref-law> vor, bedeutet eine Verletzung des rechtlichen Gehörs oder eine Rechtsverweigerung.
Da die defekte Schlüsselsäule und die Öffnungsmöglichkeit durch Unterbrechen der Lichtschranke nicht als Abweichung vom Sicherheitsstandard oder als Mangel der Garagentoranlage festgestellt wurde und demnach als Mangel im Sinne von <ref-law> ausser Betracht fiel, durfte das Obergericht auch ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs darauf verzichten, weiter zu prüfen, ob sich die Mieter deswegen beim Hauswart beklagt hatten. Eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und 2 BV ist nicht ersichtlich.
Da die defekte Schlüsselsäule und die Öffnungsmöglichkeit durch Unterbrechen der Lichtschranke nicht als Abweichung vom Sicherheitsstandard oder als Mangel der Garagentoranlage festgestellt wurde und demnach als Mangel im Sinne von <ref-law> ausser Betracht fiel, durfte das Obergericht auch ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs darauf verzichten, weiter zu prüfen, ob sich die Mieter deswegen beim Hauswart beklagt hatten. Eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und 2 BV ist nicht ersichtlich.
6. Die Beschwerde ist unbegründet und daher abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer unter solidarischer Haftbarkeit kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs.1 und 7, Art. 159 Abs. 2 und 5 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 6'000.-- wird den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 6'000.-- wird den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht von Appenzell Ausserrhoden, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2007
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: