Sachverhalt:
A.
Am 24. Juli 2013 erteilte das Bezirksgericht Meilen Y._ in der gegen X._ angehobenen Betreibung Nr. zzz des Betreibungsamtes Pfannenstiel für ausstehende Unterhaltsbeiträge in der Höhe von Fr. 84'144.-- nebst Zinsen und Kosten die definitive Rechtsöffnung.
B.
Gegen dieses Urteil gelangte X._ mit Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er machte u.a. geltend, dass das Bezirksgericht ihm die Stellungnahme von Y._ vom 24. April 2013 nicht zugestellt habe, obwohl es in seinem Urteil darauf Bezug genommen hatte. Das Obergericht folgte diesem Standpunkt. Es sah die geltend gemachte Gehörsverletzung als gegeben, hob den Rechtsöffnungsentscheid auf und wies die Sache an die Erstinstanz zurück (Ziff. 1). Die Gerichtskosten für das Beschwerdeverfahren von Fr. 750.-- auferlegte es Y._ (Ziff. 2 und 3). Eine Parteientschädigung wurde keine zugesprochen, da es an einem Antrag fehle (Ziff.4).
C.
X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Oktober 2013 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die teilweise Aufhebung des obergerichtlichen Urteils (Ziff. 4) und die Zusprechung einer Parteientschädigung für das kantonale Rechtsmittelverfahren von Fr. 2'000.--, eventualiter eine angemessene Parteientschädigung von mindestens Fr. 2'000.--. Allenfalls sei die Sache zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen.
Es sind keine Antworten eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1).
1.1. Mit dem angefochtenen Entscheid hat das Obergericht eine Beschwerde betreffend die Gewährung der definitiven Rechtsöffnung gutgeheissen und die Sache an die Erstinstanz zurückgewiesen. Zwar geht es in der Hauptsache um eine Angelegenheit aus dem Zwangsvollstreckungsrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 143) und die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- wird erreicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3), womit die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zur Verfügung steht. Indes handelt es sich beim vorinstanzlichen Entscheid um einen Rückweisungsentscheid, mithin einen Zwischenentscheid, der nur dann beim Bundesgericht anfechtbar ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Ein solcher ist insbesondere gegeben, wenn damit materiell-rechtliche Anordnungen an die nunmehr zuständige Instanz verbunden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 133; <ref-ruling> E. 1.2 S. 138). Dies ist vorliegend nicht der Fall. Zudem richtet sich die Beschwerde im konkreten Fall einzig gegen die Abweisung des Antrags auf eine Parteientschädigung für das kantonale Rechtsmittelverfahren. Nicht angefochten ist hingegen die Rückweisung an die Erstinstanz als solche. Die in einem solchen Zwischenentscheid enthaltene Kosten- und Entschädigungsregelung ist als Nebenpunkt nicht selbständig anfechtbar (<ref-ruling> E. 2.3 S. 95 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 331; Urteil 5A_780/2011 vom 23. Februar 2012 E. 2). Sie kann nur im Rahmen einer Beschwerde gegen den Zwischenentscheid als solche überprüft werden, sofern die diesbezüglichen Voraussetzungen gegeben sind.
1.2. Auf die einzig gegen die Nichtzusprechung einer Parteientschädigung im Rahmen eines Zwischenentscheides erhobene Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden.
2.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante