Sachverhalt:
A. A.a Die 1954 geborene S._ meldete sich im November 1998 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 20. Januar 2003 und Einspracheentscheid vom 1. September 2003 verneinte die IV-Stelle des Kantons Solothurn den Anspruch der Gesuchstellerin auf eine Invalidenrente, was das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 23. August 2004 bestätigte. Mit Urteil vom 18. Februar 2005 (I 623/04) hob das Eidg. Versicherungsgericht dieses Erkenntnis auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie eine öffentliche Verhandlung durchführe und danach neu entscheide.
A.b Nach Durchführung einer Instruktionsverhandlung holte das kantonale Versicherungsgericht beim Zentrum X._ eine Expertise ein, wozu die Parteien sich äussern konnten. In der Folge nahm der verantwortliche ärztliche Leiter der Abklärungsstelle zu Zusatzfragen des Rechtsvertreters der Versicherten sowie zu einem von diesem eingeholten Überprüfungsgutachten Stellung. Beide Parteien äusserten sich dazu.
Mit Entscheid vom 18. August 2008 wies das kantonale Versicherungsgericht die Beschwerde ab.
B. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 18. August 2008 sei aufzuheben und ihr die gesetzlichen Leistungen nach Massgabe einer Arbeitsunfähigkeit von mindestens 50 % zuzüglich eines Verzugszinses zu 5 % ab wann rechtens auszurichten, eventualiter die Streitsache zur Neuabklärung und zu neuer Entscheidung an die IV-Stelle zurückzuweisen.
Kantonales Gericht und IV-Stelle beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen sowie die Nichtbeachtung des Untersuchungsgrundsatzes nach <ref-law> durch das kantonale Versicherungsgericht stellen eine solche Rechtsverletzung dar (Urteil 9C_534/2007 vom 27. Mai 2008 E. 1 mit Hinweisen).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil - von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen - den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG), und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
1.2.1 Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_882/2007 vom 11. April 2008 E. 5.1 mit Hinweis).
Ob einem ärztlichen Bericht im Besonderen (voller) Beweiswert zukommt, beurteilt sich danach, ob er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt und in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, wenn die Beschreibung der medizinischen Situation und Zusammenhänge einleuchtet und die Schlussfolgerungen des Arztes begründet sind (<ref-ruling> E. 3a S. 352; Urteil 9C_55/ 2008 vom 26. Mai 2008 E. 4.2).
1.2.2 Will eine Partei eine rechtsfehlerhafte Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz rügen, kann sie sich grundsätzlich nicht darauf beschränken, den nach ihrer Auffassung richtigen Sachverhalt darzulegen oder ihre eigene Beweiswürdigung zu erläutern. Vielmehr muss sie hinreichend genau angeben, inwiefern die vorinstanzlichen Feststellungen rechtswidrig oder mit einem klaren Mangel behaftet sind. Eine diesen Anforderungen nicht genügende (appellatorische) Kritik ist unzulässig (Urteil 9C_442/2008 vom 28. November 2008 E. 1.2.2 mit Hinweis).
2. Das kantonale Gericht hat durch Einkommensvergleich (Art. 28a Abs. 1 IVG in Verbindung mit <ref-law>) einen Invaliditätsgrad von 2 % ermittelt, was keinen Anspruch auf eine Rente gibt (<ref-law>). In medizinischer Hinsicht (Gesundheitszustand, Arbeitsfähigkeit) hat es auf das Gutachten des Zentrums X._ vom 5. Mai 2006 abgestellt. Darin wurden folgende Diagnosen erwähnt: Panvertebral-Syndrom bei grossbogiger Skoliose und mässiggradigen degenerativen Veränderungen und rezidivierende Periarthritis humero-scapularis mit Teilruptur der Supraspinatus-Sehne rechts sowie rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig remittiert. Zur Arbeitsfähigkeit wurde festgehalten, auf Grund der somatischen Diagnose seien alle Tätigkeiten, die körperlich leicht und hinsichtlich der beschriebenen gesundheitlichen Beeinträchtigungen so zugeschnitten seien, dass dadurch keine ungewöhnlichen Belastungen entstehen, während 8 bis 9 Stunden an 5 Tagen in der Woche und einem innerhalb dieses Pensums zu erwartenden Leistungsvermögen von 100 % zumutbar.
3. Die Beschwerdeführerin rügt eine offensichtlich unrichtige resp. willkürliche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Das Gutachten des Zentrums X._ vom 5. Mai 2006 sei in verschiedener Hinsicht nicht schlüssig und somit nicht beweiskräftig:
3.1 Bei der Begutachtung seien die Aktenzusammenstellung sowie die «Basisbefragung», bei welcher es sich um nichts anderes als um eine klassische Anamneseerhebung handle, durch eine Studentin und nicht durch die Experten erfolgt. Diese zentralen Vorgänge hätten von den Gutachtern persönlich vorgenommen werden müssen. Das kantonale Gericht hat sich mit der nämlichen Kritik am Gutachten des Zentrums X._ in der vorinstanzlichen Beschwerde auseinandergesetzt und sie nicht als stichhaltig erachtet. Es hat insbesondere festgestellt, jeder Facharzt habe eigene Untersuchungen mit Anamnese durchgeführt und die Akten seien nicht durch eine Studentin, sondern durch einen der Experten zusammengestellt worden. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern diese Feststellungen offensichtlich unrichtig oder die daraus gezogenen Schlüsse unhaltbar sind und Bundesrecht verletzen.
3.2 Im Weitern beruhe das Gutachten des Zentrums X._ vom 5. Mai 2006 auf unvollständigen Akten.
3.2.1 Den Experten sei der Bericht des Rheumatologen Dr. med. M._ vom 2. Mai 2001 nicht zur Verfügung gestanden. Der Bericht sei in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den ersten Entscheid der Vorinstanz in dieser Sache ausdrücklich erwähnt und auf den wichtigen Charakter des Dokuments hingewiesen worden. Sie habe davon ausgehen dürfen, dass den Gutachtern auch dieser Bericht zugänglich gemacht werde. Es trifft zwar zu, dass ein Gutachten, welches vollen Beweiswert beansprucht, grundsätzlich auf umfassenden und lückenlosen medizinischen Vorakten beruhen muss (Urteil 9C_51/2008 vom 15. Juli 2008 E. 1.2 mit Hinweisen). Das Fehlen eines ärztlichen Berichts mindert den Beweiswert der Expertise jedoch nur dann entscheidend, wenn er wenigstens Zweifel an deren Schlüssigkeit zu wecken vermag, was von der versicherten Person darzutun ist. Diesbezüglich wird in der Beschwerde nichts vorgebracht. Es wird lediglich geltend gemacht, bei Dr. med. M._ handle es sich um einen anerkannten und überregional bekannten Rheumatologen. Abgesehen davon hätte die Beschwerdeführerin nach Erstattung der Expertise mehrmals Gelegenheit gehabt, den Beizug des Berichts des Dr. med. M._ vom 2. Mai 2001 und eine Stellungnahme dazu seitens der Gutachter des Zentrums X._ zu beantragen. Dies tat sie jedoch nicht. Insofern liesse sich fragen, ob sie mit ihren Vorbringen überhaupt zu hören ist.
3.2.2 Die Gutachter des Zentrums X._ hätten weder früher erstellte Aufnahmen von bildgebenden Verfahren (konventionelles Röntgen, MRI, CT) beigezogen und konsultiert noch selber solche Verfahren durchgeführt. Dazu hätte aber Anlass bestanden, da eine stockwerkartige Erkrankung der gesamten Wirbelsäule bestehe. Es lägen degenerative Veränderungen im zentralen Rückenbereich vor, welche ein progredientes Leiden im Sinne eines sich verschlechternden Gesundheitszustandes darstellten. Stattdessen hätten sich die Experten mit einer klinischen Untersuchung des Bewegungsapparates begnügt. Dieser Mangel wiege sinngemäss umso schwerer, als sie retrospektiv einen Zeitraum von bald einmal zehn Jahren beurteilten.
3.2.2.1 Die Vorinstanz hat sich zur Frage der Notwendigkeit des Beizugs früherer und der Erstellung eigener Aufnahmen bildgebender Verfahren nicht geäussert. Der verantwortliche ärztliche Leiter des Zentrums X._ nahm im Bericht vom 31. Mai 2007 zur Frage des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin, weshalb keine neuen bildgebenden Aufnahmen erstellt worden seien, Stellung. Er führte unter anderem aus, massgebend für die Indikation zur Durchführung bildgebender Verfahren seien immer der klinische Befund und die schon vorliegenden diesbezüglichen Befunde. Aus medizinischer Sicht habe keine Veranlassung für die Wiederholung solcher Verfahren bestanden. Weiter hielt er fest: «Schmerzen sind rein subjektiver Natur und damit grundsätzlich nicht objektivierbar. (Bekundete) Schmerzen und daraus abgeleitete Unvereinbarkeit mit beruflicher Tätigkeit stellen deshalb ein zentrales Problem der medizinischen Begutachtung dar. Der medizinische Sachverständige hat nun die Aufgabe, auf der Basis seiner und der Befunde anderer medizinischer Untersucher vor dem Hintergrund seiner medizinischen Erfahrungen/Expertise und dem etablierten Wissensstand der medizinischen Forschung sein Urteil über die Plausibilität beklagter Schmerzen darzulegen. Bei geringen/leichten medizinischen Normabweichungen können unter Berücksichtigung der medizinischen Erfahrung mit den spezifischen Störungsbildern keine anhaltend schweren Schmerzen erwartet werden.» Diese Begründung leuchtet im Grundsatz ein, überzeugt aber insofern nicht, als vorliegend eben gerade fraglich ist, ob die Abweichungen von der Norm bei der Beschwerdeführerin lediglich leicht waren. Im Gutachten vom 5. Mai 2006 wurde zwar festgehalten, die somatischen Störungen verschlechterten sich nur im Rahmen des normalen Alterungsprozesses und als allgemeine Folge davon. Es sei nicht erkennbar, dass ein Krankheitsgeschehen mit einer rascheren Dynamik vorliege. Im Gutachten Z._ vom 2. Dezember 2002 war jedoch darauf hingewiesen worden, bei der Explorandin bestünden bildgebend degenerative Veränderungen, die über das auf Grund des Alters zu erwartende Ausmass hinausgingen. Aufgrund der neu durchgeführten Rx-Bilder ergebe sich doch eine eindeutige Verschlechterung im Segment L5/S1 mit zunehmenden osteochondrotischen Veränderungen.
3.2.2.2 Diese Umstände sprechen für die Notwendigkeit der Durchführung bildgebender Verfahren zur Befundung insbesondere der Wirbelsäule im lumbalen Bereich. Von solchen Abklärungen kann indessen abgesehen werden, da davon nicht ein anderer Verfahrensausgang zu erwarten ist (<ref-law>). Die Gutachter des Z._ hatten lediglich im Segment L5/S1 eine deutliche nicht altersentsprechende Verschlechterung festgestellt. Die übrigen degenerativen Veränderungen der Wirbelsäule waren lediglich als leicht oder mässig bezeichnet worden (so auch Bericht Dr. med. M._ vom 2. Mai 2001). Es kommt dazu, dass die Experten körperlich leichte wechselbelastende Tätigkeiten insbesondere ohne Durchführung von Rotationsbewegungen der Wirbelsäule unter Belastung und ohne wiederholte Überkopftätigkeiten oder Arbeiten in gebückter Stellung als ganztägig ohne Leistungseinschränkung zumutbar erachteten. Selbst wenn sich die gesundheitliche Situation namentlich im lumbalen Bereich seither verschlechtert haben sollte, was aufgrund des regelmässig progredienten Charakters degenerativer Veränderungen des Bewegungsapparates nicht auszuschliessen ist, müsste sie zu einer Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von deutlich mehr als 30 % führen, um gemäss dem im Übrigen nicht bestrittenen Einkommensvergleich der Vorinstanz (E. 2) die anspruchserhebliche Schwelle von 40 % (<ref-law>) zu erreichen. Dies ist mit Blick darauf, dass die Gutachter des Zentrums X._ bei der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit die auf früher erstellten Aufnahmen von bildgebenden Verfahren beruhenden Befunde berücksichtigten und diskutierten sowie eine klinische Untersuchung lege artis durchführten, nicht anzunehmen. An diesem Ergebnis antizipierender Beweiswürdigung vermögen die in der Beschwerde erwähnten Präjudizien nichts zu ändern. Dies betrifft insbesondere das Urteil I 625/05 vom 6. Februar 2006, in welchem das Eidg. Versicherungsgericht - bei damals freier Kognition in Bezug auf den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (Art. 132 lit. b OG) - bei einem unter anderem knieend arbeitenden Plattenleger mit degenerativen Veränderungen im Lumbalbereich aktualisierte bildgebende Untersuchungsergebnisse für die schlüssige Beurteilung von Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit als notwendig erachtet hatte.
3.3 Sodann werde von den Ärzten des Zentrums X._ der Wechsel von einer 80%igen Einschränkung gemäss Gutachten des Spitals Y._, vom 30. September 1999 auf eine 0%ige Einschränkung der Arbeitsfähigkeit nicht begründet. Es werde weder behauptet noch nachgewiesen, dass eine Verbesserung der gesundheitlichen Situation seit 1999 in rheumatologisch-somatischer Hinsicht eingetreten sei. Ebenso werde nicht dargelegt, weshalb die frühere Expertise nicht stichhaltig gewesen sein soll. Dies trifft nicht zu. Wie das kantonale Gericht festgestellt hat, sind die Ärzte des Zentrums X._ auf das Gutachten vom 30. September 1999 und auch auf das Gutachten Z._ vom 2. Dezember 2002 eingegangen und haben nachvollziehbar begründet, weshalb diese in ihren Darlegungen nicht überzeugten. Sie hielten u.a. fest, das Whole-back-pain-Syndrom und die Major depression bildeten die alleinige Grundlage für die Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit von mindestens 80 % gemäss Gutachten vom 30. September 1999. Diese Diagnosen seine entweder nicht nachvollziehbar oder hätten mit grosser Wahrscheinlichkeit nicht vorgelegen. Ebenfalls seien die diagnostischen Kriterien einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung nach ICD-10 F45.4 nicht gegeben. In diesem Zusammenhang trifft entgegen den Vorbringen in der Beschwerde nicht zu, dass die Versicherte während vier Jahren in psychotherapeutischer Behandlung bei Frau Dr. med. R._ gestanden war. Aufgrund der Akten fand die Therapie im Zeitraum von Juli 2000 bis Juli 2001 statt. An der vorinstanzlichen Instruktionsverhandlung gab die Beschwerdeführerin zudem an, sie habe oft nicht verstanden, was Frau Dr. med. R._ auf Italienisch gesagt habe. Unter diesen Umständen ist nicht von Bedeutung und mindert den Beweiswert der Expertise vom 5. Mai 2006 nicht, dass die Ärzte des Zentrums X._ bei der behandelnden Psychiaterin keine fremdanamnestischen Auskünfte eingeholt hatten. Wenn die Vorinstanz dem Gutachten vom 30. September 1999 gegenüber dem Gutachten des Zentrums X._ vom 5. Mai 2006 geringeren Beweiswert zuerkannt hat, stellt dies keine unhaltbare Beweiswürdigung dar und verletzt weder den Vertrauensgrundsatz noch das Gebot der Verfahrensfairness. Daran ändert nichts, dass das kantonale Gericht sinngemäss von einer Verletzung der Mitwirkungspflicht durch die Beschwerdeführerin ausgegangen ist. Die Versicherte war mit Schreiben vom 8. März 2000 unter Androhung eines Entscheids auf Grund der Akten aufgefordert worden, die therapeutischen Möglichkeiten zur Verbesserung der Erwerbsfähigkeit auszuschöpfen und sich insbesondere einer Psychotherapie zu unterziehen. Dies tat sie denn auch. Allerdings dauerte die Behandlung bei Frau Dr. med. R._, wie dargelegt, lediglich rund ein Jahr.
Die Kritik am Gutachten des Zentrums X._ vom 5. Mai 2006 ist somit nicht stichhaltig und die darauf gestützten Feststellungen der Vorinstanz zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit nicht offensichtlich unrichtig oder Ergebnis unhaltbarer Beweiswürdigung. Der darauf beruhende Einkommensvergleich (E. 2) ist mit Bezug auf die anderen Berechnungsfaktoren nicht bestritten. Es besteht kein Anlass zu einer näheren Prüfung. Der angefochtene Entscheid verletzt Bundesrecht nicht.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Dezember 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler