Sachverhalt:
A. Gegen X._ ist ein Strafverfahren hängig, insbesondere wegen des Verdachts von qualifizierten Drogendelikten. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2004 bewilligte das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen die amtliche Verteidigung des Angeschuldigten für die Dauer der Untersuchungshaft bzw. längstens bis zum Abschluss des erstinstanzlichen Gerichtsverfahrens. Diese Verfügung ist in Rechtskraft erwachsen.
B. Mit Urteil vom 2. März 2007 sprach das Kreisgericht Rheintal den Angeklagten der mehrfachen qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz sowie der mehrfachen Wiederhandlung gegen das ANAG schuldig und bestrafte ihn mit einer Freiheitsstrafe von viereinhalb Jahren, unter Anrechnung der Untersuchungshaft von 118 Tagen. Dagegen erhob der Verurteilte am 4. Juli 2007 Berufung beim Kantonsgericht St. Gallen.
C. Mit Eingabe vom 12. Februar 2008 stellte der Verurteilte beim Kantonsgericht ein Gesuch um amtliche Verteidigung im Berufungsverfahren. Die Eingabe wurde vom Kantonsgericht zuständigkeitshalber an das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen übermittelt, welches das Gesuch mit Verfügung vom 6. März 2008 mangels Nachweis der finanziellen Bedürftigkeit abwies. Eine dagegen erhobene Beschwerde entschied der Verwaltungsgerichtspräsident des Kantons St. Gallen am 9. April 2008 ebenfalls abschlägig.
D. Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichtspräsidenten vom 9. April 2008 gelangte X._ mit Beschwerde vom 8. Mai 2008 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides.
Der Verwaltungsgerichtspräsident und das kantonale Sicherheits- und Justizdepartement beantragen mit Vernehmlassungen vom 20. bzw. 21. Mai 2008 je die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.

Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um eine (kantonal letztinstanzliche) separat eröffnete strafprozessuale Zwischenverfügung betreffend amtliche Verteidigung. Die Beschwerde dagegen ist (insbesondere im Hinblick auf Art. 80 und Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) grundsätzlich zulässig. Auf unzulässige neue Tatsachen und Beweismittel (im Sinne von <ref-law>) kann indessen nicht eingetreten werden (vgl. unten, E. 10).
2. Der Beschwerdeführer macht geltend, es sei ihm während eines laufenden Strafverfahrens bzw. nach dem erstinstanzlichen Urteil die amtliche Verteidigung entzogen worden. Dies sei mit Treu und Glauben, Art. 9 und Art. 29 BV sowie Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK nicht vereinbar. Auch sein Anspruch auf Berufung (im Sinne von <ref-law>) werde damit unterlaufen. Nachdem ihm die Offizialverteidigung bis zum erstinstanzlichen Urteil gewährt worden sei, erscheine es nicht nachvollziehbar, weshalb ihm im angefochtenen Entscheid die unentgeltliche Verbeiständung für das Berufungsverfahren mangels Bedürftigkeitsnachweis verweigert werde. Dies umso weniger, als seine finanziellen Verhältnisse (seit dem früheren Entscheid vom 10. Dezember 2004) unverändert geblieben seien bzw. sich sogar eher verschlechtert hätten. Es liege hier ein Fall der notwendigen Verteidigung vor. Er, der Beschwerdeführer, habe kein Vermögen und massive Schulden. Daher könne er seine weitere Verteidigung im Berufungsverfahren nicht finanzieren. Dies sei im Verfahren vor der Vorinstanz ausreichend belegt worden. Zwar sei es grundsätzlich nicht zu beanstanden, wenn vor der Bewilligung der amtlichen Verteidigung im Berufungsverfahren die finanziellen Verhältnisse eines Verurteilten geprüft würden. Dies dürfe von den kantonalen Behörden jedoch nicht dazu missbraucht werden, Berufungsverfahren zu verhindern. Bei einer Bedürftigkeitsprüfung sei "höchstens abzuklären, ob der Angeschuldigte über ein ausreichendes Vermögen verfügt". Zwar habe er monatliche Nettoeinkünfte von Fr. 6'300.--, sei bisher keine Lohnpfändung erfolgt und verdiene seine Ehefrau (seit Anfang 2007) zusätzlich Fr. 4'000.-- pro Monat. Eine Familie mit zwei Kindern bewege sich im Kanton Zürich jedoch damit "auf dem Existenzminimum". Die Vorinstanz lege nicht dar, wie er damit die Verteidigungskosten im Berufungsverfahren bezahlen könnte, sondern beschränke sich auf "eine unsubstantiierte Kritik einzelner der geltend gemachten Positionen". Es sei überspitzt formalistisch, vom Beschwerdeführer "unzählige weitere Belege zu irgendwelchen Lebenshaltungskosten zu verlangen". Im Verfahren vor Bundesgericht reicht er diverse neue Belege zu seinen finanziellen Verhältnissen ein.
3. Im angefochtenen Entscheid wird dem Beschwerdeführer weder das Recht auf Berufung verweigert, noch wird ihm die Möglichkeit verwehrt, sich durch einen Verteidiger vertreten zu lassen. Streitig ist die Frage, ob der Staat die Kosten einer amtlichen Verteidigung zu tragen bzw. vorzuschiessen habe.
4. Nach st.gallischem Strafprozessrecht kann der bedürftige Angeschuldigte insbesondere dann eine amtliche Verteidigung verlangen, wenn eine Freiheitsstrafe von mehr als 18 Monaten in Betracht kommt (Art. 56 Abs. 1 i.V.m Abs. 3 lit. a StP/SG). Der amtliche Verteidiger wird vom Staat entschädigt (Art. 58 StP/SG). Auf entsprechendes Gesuch hin kann auch ein nicht im Kanton St. Gallen praktizierender Anwalt als Offizialverteidiger zugelassen werden, wenn ein besonderes Vertrauensverhältnis zum Angeschuldigten besteht (Art. 57 Abs. 1 Satz 2 StP/SG). Der Fall einer notwendigen Verteidigung liegt vor, wenn einerseits die Voraussetzungen von Art. 56 Abs. 3 StP/SG erfüllt sind und anderseits der Angeschuldigte infolge geistiger oder körperlicher Beeinträchtigung oder aus anderen Gründen seine Rechte nicht ausreichend wahren kann (und eine Verbeiständung durch den gesetzlichen Vertreter oder der Beizug eines Übersetzers nicht genügt). In Fällen der notwendigen Verteidigung wird auf Antrag des Untersuchungsrichters oder des Gerichtspräsidenten ebenfalls ein amtlicher Verteidiger bestellt (Art. 55 i.V.m. Art. 57-58 StP/SG).
5. Im vorliegenden Fall war der Beschwerdeführer bereits im Untersuchungs- und erstinstanzlichen Gerichtsverfahren amtlich verbeiständet. Er wurde zu einer Freiheitsstrafe von viereinhalb Jahren verurteilt. Der Offizialverteidiger stellt das Gesuch, er sei auch im Berufungsverfahren als unentgeltlicher Rechtsvertreter zuzulassen. Der Beschwerdeführer ist durch seinen (im Kanton Zürich niedergelassenen) Vertrauensanwalt vertreten. Streitig ist hier, wie im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt wird, ein Fall der amtlichen Verteidigung (im Sinne von Art. 56 StP/SG). Für die Bewilligung von unentgeltlichen Rechtvertretern im Strafverfahren gelten die Mindestvorschriften von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK. Diese setzen (wie das st.gallische Strafprozessrecht) den Nachweis der finanziellen Bedürftigkeit voraus.
6. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, er sei im Verfahren vor den kantonalen Behörden nicht verpflichtet gewesen, über seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse detailliert Auskunft zu geben. Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden: Zwar hat der Angeklagte im Strafverfahren das Recht, sich nicht selbst zu belasten bzw. die Aussage zu den inkriminierten Vorwürfen zu verweigern (Art. 40 Abs. 2 StP/SG), und es gilt für ihn die Unschuldsvermutung (<ref-law>). Daraus folgt jedoch kein grundrechtlicher Anspruch, die unentgeltliche Verteidigung zu verlangen, ohne deren gesetzlichen Voraussetzungen nachzuweisen oder zumindest glaubhaft zu machen. Im Bewilligungsverfahren betreffend Offizialverteidigung wird nicht über Schuld und Strafe eines Angeklagten entschieden. Dementsprechend verlangen EMRK und Bundesverfassung als Voraussetzung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung - auch für strafrechtlich Angeklagte - grundsätzlich den rechtzeitigen Nachweis bzw. die Glaubhaftmachung ihrer finanziellen Bedürftigkeit (Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK, <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.; nicht amtlich publizierte E. 5 von <ref-ruling>). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes stehen bei der Prüfung eines Begehrens um unentgeltliche Rechtsverbeiständung primär private Interessen des Gesuchstellers im Vordergrund. Es hält daher vor der Verfassung stand, wenn dem Beschwerdeführer bei der Abklärung seiner Bedürftigkeit eine prozessuale Mitwirkungsobliegenheit auferlegt (und die Untersuchungs- und Offizialmaxime insoweit beschränkt) wird (vgl. BGE 1P.143/2006 vom 18. August 2006, E. 3.2).
7. Mit rechtskräftiger Verfügung vom 10. Dezember 2004 hatte das kantonale Justiz- und Polizeidepartement die amtliche Verteidigung für die Strafuntersuchung und bis zum Abschluss des erstinstanzlichen Gerichtsverfahrens bewilligt. Aus diesem Umstand möchte der Beschwerdeführer einen verfassungsmässigen Anspruch auf Offizialverteidigung auch für das Berufungsverfahren ableiten. Ein solcher (gleichsam "automatischer") Anspruch besteht indessen nicht: Die Frage, inwieweit im Dezember 2004 die Voraussetzung der finanziellen Bedürftigkeit erfüllt war, kann offen bleiben. Sie bildet nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides. Die am 10. Dezember 2004 bewilligte Offizialverteidigung war zeitlich und sachlich ausdrücklich beschränkt (vgl. Art. 56 Abs. 3 [Ingress] StP/SG), nämlich längstens bis zum Abschluss des erstinstanzlichen Gerichtsverfahrens. Streitig ist im vorliegenden Fall der separate Antrag des Beschwerdeführers vom 12. Februar 2008 um Bewilligung der amtlichen Verteidigung für das Berufungsverfahren vor dem Kantonsgericht. In ihren Entscheiden (vom 6. März bzw. 9. April 2008) war es den kantonalen Vorinstanzen unbenommen, die gesetzlichen Voraussetzungen der Offizialverteidigung für das Berufungsverfahren aufgrund des aktuellen Verfahrensstandes zu prüfen.
8. Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, dass der Nachweis der Bedürftigkeit grundsätzlich dem Gesuchsteller obliege. Dieser habe seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und (soweit möglich) auch zu belegen. Zwar könne eine Glaubhaftmachung der Mittellosigkeit genügen. Es sei jedoch zumutbar, dass der Beschwerdeführer seinen aktuellen Grundbedarf belegt und vorhandene einschlägige Unterlagen zu seinen Einkommens- und Vermögensverhältnissen einreicht. Zwar gelte im st.gallischen Verwaltungsverfahren grundsätzlich die Untersuchungsmaxime (Art. 12 Abs. 1 VRP/SG). Falls zur Wahrung öffentlicher Interessen keine besonderen Erhebungen nötig sind, seien jedoch nur die von den Beteiligten angebotenen und leicht zugänglichen Beweise abzunehmen (Art. 12 Abs. 2 VRP/SG). Der Beschwerdeführer habe im kantonalen Verfahren nicht bestritten, dass er monatliche Nettoeinkünfte von ca. Fr. 6'300.-- erziele. Die geltend gemachten Verlustscheine bestünden schon seit Jahren und begründeten noch keine Bedürftigkeit, zumal keine Lohnpfändung bestehe. Belege zu seinen Lebenshaltungskosten habe der Beschwerdeführer nicht eingereicht. Insbesondere habe er das ihm (schon im erstinstanzlichen Verfahren vor dem kantonalen Departement) zugestellte Formular "amtliche Verteidigung" trotz entsprechender ausdrücklicher Aufforderung nicht ausgefüllt und eingereicht. Einige der von ihm lediglich behaupteten Aufwandposten seien zudem offensichtlich überhöht. Aufgrund der dem Verwaltungsgerichtspräsidenten vorgelegten Akten könne davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer in der Lage sei, die Verteidigungskosten für das Berufungsverfahren innert etwa einem Jahr (ratenweise) aufzubringen. Das kantonale Departement sei daher zu Recht davon ausgegangen, der Antragsteller habe seine Bedürftigkeit nicht ausreichend dargetan.
9. Diese Erwägungen der Vorinstanz sind verfassungskonform und stützen sich auf die (im angefochtenen Entscheid dargelegte) bundesgerichtliche Praxis. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er das fragliche behördliche Formular nicht ausgefüllt und die geltend gemachten Lebenshaltungskosten (Miete, Steuern, Krankenkasse usw.) vor der Vorinstanz nicht mit Unterlagen belegt habe. Im Übrigen räumt er im Verfahren vor Bundesgericht (neu) ein, dass seine Ehefrau seit Anfang 2007 zusätzlich ca. Fr. 4'000.-- im Monat verdiene.
10. Im Verfahren vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer neue tatsächliche Vorbringen, und er reicht neue Belege ein, um seine finanzielle Bedürftigkeit zu belegen. Darauf ist, was den hier zu beurteilenden Streitgegenstand betrifft, nicht einzutreten (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hätte bereits in den Verfahren vor den kantonalen Behörden ausreichend Gelegenheit gehabt, entsprechende Dokumente vorzulegen. Der angefochtene Entscheid leidet nicht an rechtlichen Mängeln. Die Vorinstanz hat die Frage der Bedürftigkeit nach damaliger Beweislage bundesrechtskonform geprüft und verneint.
11. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer stellt für das Verfahren vor Bundesgericht ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Es kann offen bleiben, ob die Beschwerde als zum Vornherein aussichtslos einzustufen ist. Jedenfalls fehlt es an einem Nachweis der finanziellen Bedürftigkeit (<ref-law>). Mit dem von ihm geltend gemachten Netto-Familieneinkommen von ca. Fr. 10'300.-- kann der Beschwerdeführer nicht als bedürftig angesehen werden. Die von ihm geltend gemachten Kosten und Auslagen erscheinen insgesamt nicht ausgewiesen und beziehen sich nur teilweise auf Lebenshaltungsaufwand im eigentlichen Sinne. Damit ist das Gesuch abzuweisen. Im vorliegenden Fall kann jedoch auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Sicherheits- und Justizdepartement und dem Verwaltungsgerichtspräsidenten des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster