Faits:
A.
A la suite des recours déposés par X._ SA contre deux décisions sur opposition du Chimiste cantonal du canton de Neuchâtel interdisant la commercialisation de certains produits importés par la Société, le Conseiller d'Etat, Chef du Département de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Conseiller d'Etat) a rendu une décision le 17 août 2012. Il était indiqué, en fin de décision, que celle-ci pouvait " faire l'objet d'un recours, dans les 30 jours à compter de sa notification [...] auprès du Tribunal cantonal ". La décision a été notifiée à l'intéressée le 21 août 2012.
Le 20 septembre 2012, X._ SA a interjeté contre cette décision un recours auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal).
B.
Par arrêt du 18 juin 2013, le Tribunal cantonal a déclaré le recours irrecevable pour cause de tardiveté. Il a retenu en substance que le délai pour recourir devant lui était de dix jours et non de trente jours comme indiqué de manière inexacte par le Conseiller d'Etat. Au demeurant, dûment représentée par un mandataire professionnel, la Société ne pouvait se réclamer du droit à la protection de la bonne foi, car la simple lecture de la loi lui aurait permis de déceler l'inexactitude du renseignement donné.
C.
A l'encontre de cet arrêt, X._ SA forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. La Société conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision. A l'appui de ses conclusions, elle invoque la violation de son droit d'être entendue ainsi que la protection de la bonne foi.
Le Tribunal cantonal renonce à formuler des observations et se réfère aux considérants de son arrêt. Le Service juridique du Département de la justice, de la sécurité et des finances du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service juridique) conclut à l'admission du recours.

Considérant en droit:
1.
Dès lors qu'il conduit à la clôture définitive de l'affaire pour un motif tiré des règles de la procédure (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 133), l'arrêt attaqué prononçant l'irrecevabilité du recours formé par la recourante le 20 septembre 2012 constitue une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Au demeurant, la décision a été rendue en application de la loi fédérale du 9 octobre 1992 sur les denrées alimentaires et les objets usuels (LDAl; RS 817.0), soit dans un domaine relevant du droit public (<ref-law>) ne tombant sous aucune des exceptions prévues à l'<ref-law>.
Pour le surplus, déposé en temps utile (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 p. 93 relatif au délai de recours dans le domaine des denrées alimentaires) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par la destinataire de la décision attaquée qui remplit les conditions de l'<ref-law>, le recours est en principe recevable en vertu des <ref-law> et de la règle particulière de l'<ref-law>, renvoyant aux dispositions générales de la procédure fédérale.
2.
La recourante fait grief au Tribunal cantonal d'avoir méconnu le principe de la protection de la bonne foi, en ne protégeant pas la confiance qu'elle pouvait mettre dans l'indication erronée du délai de recours figurant dans la décision du Conseiller d'Etat.
2.1. En vertu du droit à la protection de la bonne foi, inscrit à l'art. 9 Cst., le justiciable qui se fie à une indication erronée de l'autorité, ne doit en principe subir aucun préjudice (<ref-ruling> consid. 8.3.2 p. 53; <ref-ruling> consid. 2 p. 299). Une partie ne peut toutefois se prévaloir de cette protection si elle s'est aperçue de l'erreur, ou aurait dû s'en apercevoir en prêtant l'attention commandée par les circonstances. Seule une négligence procédurale grossière peut faire échec à la protection de la bonne foi. Déterminer si la négligence commise est grossière s'apprécie selon les circonstances concrètes et les connaissances juridiques de la personne en cause (arrêt 5A_704/2011 du 23 février 2012 consid. 8.3.2).
2.2. Selon la jurisprudence, ne mérite pas de protection la partie dont l'avocat eût pu déceler l'erreur affectant l'indication de la voie de droit par la seule lecture du texte légal (arrêts 8C_122/2013 du 7 mai 2013 consid. 4.1; 1C_280/2010 du 16 septembre 2010 consid. 2.3). Les exigences envers les avocats sont naturellement plus élevées: on attend dans tous les cas de ces derniers qu'ils procèdent à un contrôle sommaire (" Grobkontrolle ") des indications relatives à la voie de droit (<ref-ruling> consid. 8.3.2 p. 53 s.; <ref-ruling> consid. 1.2.2.2 p. 376 s.; arrêt 8C_122/2013 du 7 mai 2013 consid. 4.1). En revanche, il n'est pas attendu d'eux qu'outre les textes de loi, ils consultent encore la jurisprudence ou la doctrine y relative (<ref-ruling> consid. 8.3.2 p. 54; <ref-ruling> consid. 4.4 p. 494; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 202 s.). La jurisprudence admet l'existence de la bonne foi lorsque la mauvaise indication des voies de recours ne résulte pas d'une mégarde de la part de l'autorité, mais d'un choix délibéré, basé sur la conviction que la voie indiquée correspond au droit (arrêts 8C_122/2013 du 7 mai 2013 consid. 4.1; 5A_536/2011 du 12 décembre 2011 consid. 4.3.5). Dans ces deux arrêts, l'indication des voies de recours était assortie d'une motivation (erronée) de la part de l'autorité. Toutefois, même dans ce cas, il est attendu de l'avocat qu'il lise la législation applicable (arrêt 8C_122/2013 du 7 mai 2013 consid. 4.1).
2.3. Dans le cas particulier, il convient d'examiner si, conseillée par un avocat, la recourante aurait dû comprendre à la seule lecture de la loi que le délai de recours était de dix jours en vertu de la loi d'application du 28 juin 1995 de loi fédérale sur les denrées alimentaires et les objets usuels (LA-LDAl; RSN 806.0). D'après l'art. 27 al. 2 de cette loi, le délai de recours est de dix jours s'il s'agit d'une décision prise dans le cadre du contrôle des denrées alimentaires. Cette disposition, qui déroge au régime prévu par la loi du 27 juin 1979 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RSN 152.130), s'applique aussi bien au recours devant le département qu'à celui devant le Tribunal cantonal (art. 27 al. 1 et 2 LA-LDAl).
En l'occurrence, le litige porte au fond sur la qualification des produits importés par la recourante. Devant les autorités cantonales, la question consistait à déterminer si les cinq produits litigieux, à savoir le " Thé A._ ", le " Thé B._ ", le " Thé C._ ", le " Thé D._ " et le " Thé E._ ", devaient être considérés comme des produits thérapeutiques ou des denrées alimentaires. Dans sa décision du 17 août 2012, le Conseiller d'Etat a considéré que si le " Thé A._ ", le " Thé B._ " ainsi que le " Thé C._ " pouvaient être considérés comme des denrées alimentaires, le " Thé D._ " et le " Thé E._ " étaient à classer dans la catégorie des produits thérapeutiques. Partant, contrairement aux trois autres produits, le " Thé D._ " et le " Thé E._ " étaient soumis aux conditions de la loi fédérale du 15 décembre 2000 sur les médicaments et les dispositifs médicaux (LPTh; RS 812.21). La recourante a contesté cette décision devant le Tribunal cantonal. A son sens, les produits " Thé D._ " et " Thé E._ " entraient dans la catégorie des denrées alimentaires et non, comme le prétendait le Conseiller d'Etat, dans celle des produits thérapeutiques.
Au vu des circonstances du cas d'espèce, il convient d'admettre que la question du délai de recours ne trouvait pas de réponse évidente à la simple lecture des textes légaux. Il n'était pas possible de déterminer, sur la base du seul art. 27 LA-LDAl, si une décision portant sur des produits thérapeutiques entrait dans la catégorie des décisions prises " dans le cadre du contrôle des denrées alimentaires " au sens de cette disposition. Ainsi, force est de constater qu'un doute pouvait subsister quant à l'application de la LA-LDAl et, partant, à la durée du délai de recours. La question était d'autant plus difficile à résoudre que l'indication du délai de trente jours ne relevait pas d'une simple inadvertance de la part de l'autorité. A cet égard, il suffit d'observer que le Conseiller d'Etat est entré en matière sur les deux recours de l'intéressée alors même qu'ils avaient été déposés plus de dix jours après la notification des décisions attaquées. Dans les observations qu'il a déposées devant le Tribunal fédéral, le Service juridique maintient, du reste, sa position quant au délai de trente jours. Il se fonde, pour ce faire, sur un arrêt 2A.47/2000 du 23 juin 2000, selon lequel le délai de dix jours en matière de denrées alimentaires ne devrait s'appliquer que devant l'organe de contrôle et la première instance de recours; au-delà, il convient d'appliquer un délai de trente jours (consid. 1c).
Il résulte des considérants qui précèdent que la confiance que la recourante a placée dans l'indication - éventuellement - erronée du délai de recours donnée par le Conseiller d'Etat doit être protégée et qu'elle ne doit subir aucun désavantage de ce fait. A cet égard, le point de savoir si c'est à juste titre que le Tribunal cantonal a appliqué le délai de dix jours prévu par la LA-LDAl, en particulier depuis l'interprétation faite par le Tribunal fédéral de l'<ref-law> dans l'arrêt précité du 23 juin 2000, n'a pas à être tranché. Il suffit de constater à ce stade qu'aucune erreur manifeste au sens de la jurisprudence précitée ne peut être reprochée à la recourante dans le cas d'espèce. Le grief doit par conséquent être admis. Dans ces conditions, il n'est pas nécessaire d'examiner le grief de la recourante tiré de la violation de son droit d'être entendue.
3.
Au vu de ce qui précède, il convient d'admettre le recours, d'annuler la décision attaquée et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal en application de l'<ref-law>. Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires (<ref-law>). Obtenant gain de cause, la recourante a droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de 1'500 fr. est allouée à la recourante à titre de dépens, à la charge de la République et canton de Neuchâtel.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire de la recourante, au Département de l'économie et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 1er novembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor