Faits:
A.
A._ a entrepris sans autorisation, en mars 2012, d'importants travaux de transformation dans les combles de la maison dont il est propriétaire à Couvet, en zone d'ancienne localité.
Par décision du 25 septembre 2012, le Conseil communal de Val-de-Travers a refusé d'accorder à A._ le permis de construire pour le rehaussement de la toiture et a ordonné sa démolition ainsi que le rétablissement de l'état antérieur d'ici au 31 mars 2013, sous la menace d'une exécution par substitution aux frais du constructeur.
Le 4 octobre 2012, Me Frédéric Hainard a informé la Commune avoir été consulté par A._ et lui a demandé de lui adresser copie de l'ensemble du dossier, par retour du courrier.
N'ayant pas reçu le dossier, il a adressé le 24 octobre 2012 au Conseil d'Etat de la République et canton de Neuchâtel une déclaration de recours au sens de l'art. 36 de la loi neuchâteloise sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA) contre la décision communale du 25 septembre 2012 dont il demandait l'annulation. Il l'invitait en outre à enjoindre la Commune de Val-de-Travers à lui transférer le dossier par retour du courrier.
Le 1 er novembre 2012, le Service juridique du Département de la justice, de la sécurité et des finances, en charge de l'instruction du recours, a convié le Conseil communal de Val-de-Travers à envoyer le dossier de la cause à Me Frédéric Hainard pour lui permettre de motiver son recours dans le délai de dix jours prévu par l'art. 36 al. 2 LPJA. Il invitait ce dernier à lui fournir, en même temps que la motivation du recours au fond, toutes les explications utiles sur son empêchement de consulter le dossier de la cause durant le délai de recours, en précisant notamment pourquoi il n'a pas été en mesure d'effectuer cette consultation au siège de l'administration communale.
La Commune de Val-de-Travers a communiqué le dossier au conseil de A._ en date du 9 novembre 2012. A._ a déposé un mémoire de recours le 22 novembre 2012.
Par décision du 8 mai 2013, le Conseil d'Etat a déclaré le recours irrecevable.
La Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé contre cette décision par A._ au terme d'un arrêt rendu le 19 août 2013.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral de casser cet arrêt qu'il tient pour arbitraire, excessivement formaliste et contraire aux règles de la bonne foi.
La Cour de droit public, la Commune de Val-de-Travers et le Conseil d'Etat concluent au rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
Dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions, le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public conformément aux <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. La voie du recours en matière de droit public étant ouverte, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (cf. <ref-law>).
Le recourant, qui a pris part à la procédure devant la Cour de droit public, est particulièrement touché par l'arrêt attaqué qui confirme un ordre de démolition et de remise en état dont il est le destinataire. Il a donc la qualité pour agir au sens de l'<ref-law>. Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont par ailleurs réunies.
2.
Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir retenu à tort un abus de droit en considérant qu'il n'avait pas été empêché sans sa faute de prendre connaissance du dossier de la cause et que les conditions d'application de l'art. 36 LPJA n'étaient pas réunies.
2.1. Sous réserve des cas cités à l'art. 95 let. c à e LTF qui n'entrent pas en considération dans le cas particulier, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits ou principes constitutionnels (<ref-ruling> consid. 3 p. 351; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466).
Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 61). En outre, si l'application ou l'interprétation défendue par la cour cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 319; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 17).
2.2. Selon l'art. 34 al. 1 LPJA, le délai de recours est de trente jours. En vertu de l'art. 35 LPJA, le mémoire de recours indique la décision attaquée, les motifs, les conclusions et les moyens de preuves éventuels (al. 2). Si le mémoire de recours n'est pas conforme à l'alinéa 2, l'autorité compétente impartit un délai convenable au recourant pour combler les lacunes, en l'avertissant qu'en cas d'inobservation le recours sera déclaré irrecevable (al. 3). Aux termes de l'art. 36 LPJA, si le recourant n'a pas la possibilité d'avoir connaissance du dossier de l'affaire, il adresse, dans le délai de recours, une déclaration de recours (al. 1). Dès qu'il a pu prendre connaissance du dossier, il dispose d'un délai de dix jours pour motiver son recours (al. 2).
D'après la jurisprudence cantonale, la faculté offerte à l'art. 36 LPJA de déposer une déclaration de recours, suivie d'une motivation ultérieure, vise à protéger l'administré qui, empêché de consulter le dossier le concernant, risque de ne pas être en mesure de défendre de manière efficace sa cause dans la procédure de recours. Afin d'éviter un usage abusif de cette latitude qui pourrait servir à éluder les délais de recours ordinaires, l'impossibilité de prendre connaissance du dossier ne doit pas résulter d'une faute ou d'une négligence de l'administré ou de son représentant. Dans le cas du mandataire qui a demandé en vain à recevoir le dossier, il convient de n'admettre l'existence d'un empêchement que si l'on ne pouvait raisonnablement attendre de lui qu'il consulte le dossier au siège de l'autorité et s'il a fait tout son possible pour obtenir le dossier à temps (arrêt CDP.2010.230 du 24 février 2011 consid. 2a in RJN 2011 p. 411 et les arrêts cités; voir aussi ROBERT SCHAER, Juridiction administrative neuchâteloise, 1995, p. 161). Tel n'est pas le cas lorsque le mandataire attend passivement que le dossier lui parvienne, sans intervenir auprès de l'autorité pour la relancer, lui demander des explications ou lui proposer de venir au siège le consulter (arrêt TA.2003.153 du 20 juillet 2004 consid. 2b in RJN 2004 p. 200).
2.3. La cour cantonale a constaté que la décision communale litigieuse date du 25 septembre 2012, que le mandataire du recourant avait requis de la Commune de Val-de-Travers l'ensemble du dossier le 4 octobre 2012 et que celle-ci ne s'est pas exécutée, ce qui constituait, de la part d'une autorité, une attitude clairement critiquable. Cette circonstance n'expliquait pas pour autant ni ne justifiait la propre inaction du recourant qui s'est contenté, pendant plus de quinze jours, d'attendre que le dossier lui parvienne. Elle a retenu en conséquence que le recourant n'avait pas été empêché, sans faute de sa part au sens de l'art. 36 LPJA, de prendre connaissance de l'ensemble des pièces avant l'échéance du délai de recours et qu'il ne saurait être protégé par le dépôt d'une déclaration de recours. Elle ajoutait que la régularité de cette écriture n'avait été à juste titre vérifiée qu'au moment de l'examen du recours proprement dit et qu'en permettant au recourant de prendre connaissance du dossier pour pouvoir motiver son recours dans les dix jours suivant sa consultation, le Conseil d'Etat s'était conformé à la loi et ne lui avait en aucune façon donné l'assurance que sa déclaration de recours serait considérée comme régulière.
2.4. Le recourant ne conteste pas le bien-fondé de la jurisprudence cantonale précitée. Il ne prétend pas davantage que le dépôt d'une déclaration de recours dans le délai de recours puisse être tenu pour abusif si son auteur pouvait prendre connaissance du dossier de la cause et déposer un recours motivé à temps. En l'occurrence, le délai de recours contre la décision communale du 25 septembre 2012 arrivait à échéance au plus tôt le 26 octobre 2012. Le mandataire du recourant a invité, le 4 octobre 2012, la Commune de Val-de-Travers à lui remettre l'ensemble du dossier par retour du courrier pour lui permettre de déposer, le cas échéant, un recours motivé contre sa décision du 25 septembre 2012. Celle-ci n'a pas donné suite à cette requête. Cette omission ne dispensait pas pour autant le mandataire du recourant de réagir pour obtenir le dossier de la cause à temps, comme l'exige la jurisprudence cantonale rendue en application de l'art. 36 LPJA. Constatant que le dossier ne lui avait pas été envoyé par retour du courrier, il aurait dû prendre contact avec la Commune pour la relancer ou lui proposer de consulter le dossier au greffe de l'administration communale. Il ne prétend pas l'avoir fait ni avoir été empêché de le faire pour des raisons indépendantes de sa volonté et qui auraient justifié de considérer sa passivité comme non fautive. Il ne soutient enfin pas davantage avec raison que le laps de temps à disposition jusqu'à l'échéance du délai de recours ne lui aurait pas permis de déposer un recours motivé s'il avait réagi à temps (cf. arrêt 9C_324/2011 du 8 août 2011 consid. 2 in Plaidoyer 2012 p. 53). Cela étant, la cour cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en considérant que le mandataire du recourant n'avait pas fait tout son possible pour obtenir le dossier de la cause et déposer un recours motivé dans le délai légal de recours et en tenant son comportement pour fautif au regard de la jurisprudence rendue en application de l'art. 36 LPJA. En tant qu'il se plaint d'arbitraire dans l'application du droit cantonal, le recours est infondé.
3.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir fait preuve d'un formalisme excessif en considérant que la déclaration de recours du 24 octobre 2012 ne respectait pas les exigences de motivation posées par l'art. 35 LPJA et ne pouvait être considérée comme un recours. Selon lui, on comprenait parfaitement qu'il entendait s'opposer à la décision communale en raison d'une violation du droit d'être entendu parce que celle-ci n'avait pas transmis le dossier. Le Conseil d'Etat aurait dû lui accorder un délai convenable pour motiver son recours en application de l'art. 35 al. 3 LPJA dès lors qu'il avait clairement exprimé sa volonté de recourir contre la décision de la Commune de Val-de-Travers du 25 septembre 2012 dans sa déclaration de recours.
3.1. Le formalisme excessif, que la jurisprudence assimile à un déni de justice contraire à l'art. 29 al. 1 Cst., est réalisé lorsque des règles de procédure sont appliquées avec une rigueur que ne justifie aucun intérêt digne de protection, au point que la procédure devient une fin en soi et empêche ou complique de manière insoutenable l'application du droit. L'excès de formalisme peut résider dans la règle de comportement qui est imposée au plaideur ou dans la sanction qui est attachée à cette règle (<ref-ruling> consid. 5 p. 253; cf. aussi: <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2.4.2 p. 248). Il y a ainsi excès de formalisme lorsque l'autorité s'arrête à la lettre d'un acte de procédure au lieu de l'interpréter raisonnablement selon son sens (<ref-ruling> consid. 2b p. 23 et les arrêts cités).
3.2. En l'occurrence, le Conseil d'Etat a considéré que la déclaration de recours ne pouvait pas être considérée comme un recours car elle était dépourvue de toute motivation en rapport avec la décision de la Commune de Val-de-Travers du 25 septembre 2012. La cour cantonale ne s'est pas prononcée expressément sur ce point, estimant qu'en tout état de cause, l'octroi d'un délai supplémentaire pour motiver ou compléter la motivation insuffisante de la déclaration de recours ou du recours du 24 octobre 2012 en application de l'art. 35 al. 3 LPJA ne s'imposait pas. Dans ce courrier, le recourant s'est borné à préciser que le refus de la Commune de lui communiquer le dossier de la cause était constitutif d'une violation de son droit d'être entendu qui pourrait être invoquéeen sus des griefs au fond qu'il entendait faire valoir dans le délai de dix jours de l'art. 36 al. 2 LPJA. Cela étant, il n'était ni insoutenable ni formaliste à l'excès d'admettre que la déclaration de recours du 24 octobre 2012 était dépourvue de toute motivation et qu'elle ne pouvait être considérée comme un recours.
Le recourant a précisément choisi de recourir à la possibilité offerte à l'art. 36 LPJA de déposer une déclaration de recours et de motiver ultérieurement son recours. Il ne saurait dès lors se plaindre du fait qu'un délai supplémentaire pour corriger le vice tiré de l'absence ou de l'insuffisance de motivation ne lui a pas été accordé en vertu de l'art. 35 al. 3 LPJA. Au demeurant, l'octroi d'un tel délai est conditionné à l'absence d'abus de droit selon la jurisprudence cantonale rendue en application de cette disposition dont le recourant ne conteste pas le bien-fondé. Or la cour cantonale a précisément considéré se trouver dans un tel cas, car le mandataire du recourant, en faisant preuve de la diligence requise, aurait été en mesure de prendre connaissance du dossier et de motiver son recours dans le délai légal. Pour les raisons déjà exposées au considérant précédent, cette motivation échappe à toute critique. Quant au moyen tiré de la violation des règles de la bonne foi, il se confond, tel qu'il est allégué, avec les griefs d'arbitraire et de formalisme excessif.
4.
Le recours doit par conséquent être rejeté aux frais du recourant, qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF). La Commune de Val-de-Travers, qui obtient gain de cause avec un mandataire professionnel, requiert des dépens. Elle ne fait pas valoir de circonstances exceptionnelles qui justifieraient de déroger à la règle générale posée à l'<ref-law> selon laquelle aucuns dépens ne sont accordés aux collectivités publiques agissant dans le cadre de leurs attributions officielles (<ref-ruling> consid. 7 in fine).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant et de la Commune de Val-de-Travers ainsi qu'au Conseil d'Etat et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 9 mai 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Parmelin