Faits:
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A. X._ est devenu client de C._, absorbée par D._, elle-même reprise par E._, dont la raison sociale actuelle est A._ (ci-après: la banque), dans les circonstances énoncées dans l'arrêt 4C.351/1997 du 27 avril 1998 entre les mêmes parties. Son ami Z._, assistant vice- président de la banque, gérait ses avoirs, avant d'être convaincu de nombreuses malversations commises au préjudice de clients, ce qui a amené son arrestation le 23 octobre 1989 et sa condamnation le 18 février 1993 par la Cour correctionnelle de Genève.
La banque a alors invité les clients à se déterminer sur les opérations enregistrées sur leurs comptes. Le 25 janvier 1990, X._ a présenté devant le Tribunal de première instance du canton de Genève une demande en reddition de comptes avant de conclure, le 5 mars 1991, au paiement de 1'995'607,30 US$ pour le remboursement de ses avoirs. Reconventionnellement, la banque a demandé la restitution du solde des mêmes comptes, qu'elle estimait négatif à hauteur de 2'757'796 US$. Par arrêt du 20 juin 1997, la Cour de justice a condamné la banque à verser à son client les sommes de 622'106,35 US$ avec intérêts à 5% dès le 1er octobre 1989, 2'500 US$ avec intérêts à 5% dès le 5 mars 1991 et 212'756 £ plus 87 £ d'intérêts quotidiens, ainsi que 165 £ avec intérêts à 5% dès le 4 septembre 1991. Suite à l'irrecevabilité du recours principal de la banque et du recours joint de X._ (arrêt précité du 27 avril 1998), le prononcé cantonal est devenu définitif.
La banque a alors invité les clients à se déterminer sur les opérations enregistrées sur leurs comptes. Le 25 janvier 1990, X._ a présenté devant le Tribunal de première instance du canton de Genève une demande en reddition de comptes avant de conclure, le 5 mars 1991, au paiement de 1'995'607,30 US$ pour le remboursement de ses avoirs. Reconventionnellement, la banque a demandé la restitution du solde des mêmes comptes, qu'elle estimait négatif à hauteur de 2'757'796 US$. Par arrêt du 20 juin 1997, la Cour de justice a condamné la banque à verser à son client les sommes de 622'106,35 US$ avec intérêts à 5% dès le 1er octobre 1989, 2'500 US$ avec intérêts à 5% dès le 5 mars 1991 et 212'756 £ plus 87 £ d'intérêts quotidiens, ainsi que 165 £ avec intérêts à 5% dès le 4 septembre 1991. Suite à l'irrecevabilité du recours principal de la banque et du recours joint de X._ (arrêt précité du 27 avril 1998), le prononcé cantonal est devenu définitif.
B. En 1988, X._, ainsi que son père Y._ sont devenus propriétaires chacun d'un appartement. Le 18 juillet 1989, Y._ a fait donation de son appartement à son fils X._, qui a accepté et qui a notamment assumé la dette hypothécaire à l'égard de la banque F._, reprise ultérieurement par la banque G._. L'acquisition de ces deux immeubles s'est opérée essentiellement grâce aux crédits hypothécaires octroyés par la banque G._.
Dès juin 1990, X._ a donné l'ordre à la banque de payer à la banque G._ divers montants concernant les deux appartements, en particulier, le 27 août 1991, la somme de 86'802 fr. qu'il devait verser immédiatement pour obtenir un délai supplémentaire. La banque a refusé, en invoquant le défaut de provision. Malgré cela, la banque G._ a patienté jusqu'à fin juillet 1992 avant de demander la réalisation des gages. Le 24 février 1993, l'office des faillites compétent a estimé les appartements à respectivement 393'000 fr. et 372'000 fr., soit un total de 765'000 fr. Ils ont été vendus aux enchères forcées le 18 mai 1993 pour 400'000 fr. le premier et 380'000 fr. le second, soit au total 780'000 fr. L'adjudicataire était la banque G._, dont X._ était débiteur de 1'038'457 fr. 40, selon l'état des charges au jour de la vente. Au 31 octobre 1989, son passif à l'égard de la banque G._ s 'élevait à 763'919 fr.
Dès juin 1990, X._ a donné l'ordre à la banque de payer à la banque G._ divers montants concernant les deux appartements, en particulier, le 27 août 1991, la somme de 86'802 fr. qu'il devait verser immédiatement pour obtenir un délai supplémentaire. La banque a refusé, en invoquant le défaut de provision. Malgré cela, la banque G._ a patienté jusqu'à fin juillet 1992 avant de demander la réalisation des gages. Le 24 février 1993, l'office des faillites compétent a estimé les appartements à respectivement 393'000 fr. et 372'000 fr., soit un total de 765'000 fr. Ils ont été vendus aux enchères forcées le 18 mai 1993 pour 400'000 fr. le premier et 380'000 fr. le second, soit au total 780'000 fr. L'adjudicataire était la banque G._, dont X._ était débiteur de 1'038'457 fr. 40, selon l'état des charges au jour de la vente. Au 31 octobre 1989, son passif à l'égard de la banque G._ s 'élevait à 763'919 fr.
C. Par demande déposée devant le Tribunal de première instance, le 6 octobre 1998, X._ a réclamé à la banque le paiement de 1'128'405 fr. en réparation du dommage résultant pour lui de la vente aux enchères forcées des deux appartements. Dans son jugement du 10 mai 2001, le Tribunal a condamné la banque à payer à X._ la somme de 348'793 fr. de ce chef.
Saisie d'un appel de la banque et d'un appel incident de X._, la Cour de justice a annulé le jugement entrepris et débouté le demandeur de toutes ses conclusions. Elle a relevé que la banque ne pouvait se prévaloir d'un solde insuffisant sur les comptes de X._, ni de son ignorance à ce sujet, dans la mesure où, si la situation de ses comptes n'était pas claire au moment d'exécuter les ordres de paiement, cet état de choses était imputable aux malversations de son gérant, dont elle répondait à teneur des art. 55 CC et 55 CO. Par contre, X._ n'avait pas prouvé son dommage, puisque la vente forcée s'était réalisée aux conditions du marché et que les appartements vendus n'auraient pas eu plus de valeur dans le patrimoine de leur ancien propriétaire, s'ils n'avaient pas été aliénés. De plus, le rapport de causalité entre le refus de la banque d'exécuter l'ordre de virement pour les charges hypothécaires, en faveur de la banque G._, et le préjudice allégué, soit la réalisation des deux appartements lors des enchères forcées, n'était pas davantage établi.
D. X._ interjette en temps utile un recours en réforme contre l'arrêt cantonal. Invoquant les art. 55 al. 1 let. d, 63 al. 2 et 64 al. 2 OJ, il demande au Tribunal fédéral de compléter l'état de fait sur certains points. Le recourant voit une violation des art. 41, 97 et 99 al. 3 CO dans le refus de considérer comme un dommage la perte de ses investissements et de la donation reçue de son père. Il dit avoir prouvé le rapport de causalité entre la violation des obligations contractuelles par la banque et le dommage subi par lui-même, car si les ordres de paiement avaient été effectués, la banque G._ n'aurait pas dénoncé au remboursement les prêts hypothécaires concernant les deux appartements. Le recourant se plaint également d'une appréciation arbitraire des preuves.
La banque, défenderesse et intimée, conclut à l'irrecevabilité du recours de droit public et au rejet du recours en réforme, dans la mesure où il est recevable.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. 1.1 Se référant à "la jurisprudence <ref-ruling> c. 1 p. 386", le recourant soutient qu'il "est possible au Tribunal fédéral de traiter le recours en réforme comme un recours de droit public si l'acte satisfait aux exigences légales du recours de droit public".
La référence à cet arrêt n'est d'aucun secours pour le recourant puisqu'il s'agissait, dans ce précédent, de traiter comme un recours en réforme, pour violation du droit fédéral, un recours de droit public dont l'irrecevabilité avait été prononcée en application de l'art. 84 al. 2 OJ. En principe, le recours en réforme et le recours de droit public doivent faire l'objet de deux mémoires séparés et ne peuvent être présentés dans un seul acte (Poudret, COJ, n. 2.3 ad art. 43, p. 146). Toutefois, la réunion en un seul acte comportant deux parties nettement distinctes peut à la rigueur être admise (<ref-ruling> consid. 2 et les références), pour autant que les conditions de recevabilité de chacun des deux moyens de droit soient réalisées.
1.2 Selon l'art. 90 al. 1 let. b OJ, le recours de droit public doit contenir un exposé essentiel des faits et un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés, précisant en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine que les griefs admissibles qui ont été invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours. Il n'entre pas en matière sur des moyens insuffisamment exposés et sur des critiques purement appellatoires. En particulier, l'allégation toute générale du caractère prétendument arbitraire de la décision attaquée ne suffit pas. Le recourant doit au contraire démontrer de façon circonstanciée en quoi la décision entreprise violerait le principe invoqué, ou, s'agissant de l'appréciation des preuves, en quoi cette dernière serait manifestement insoutenable, en grossière contradiction avec la situation de fait ou porterait une atteinte grave à une norme ou à un principe juridique indiscuté, ou encore heurterait de manière choquante le sentiment de la justice (<ref-ruling> consid. 1c; <ref-ruling> consid. 1b p. 495, chacun avec les arrêts cités).
1.3 L'argumentation du recourant en p. 16, ch. III, ne satisfait pas à ces exigences. Le caractère adéquat du lien de causalité entre le dommage prétendument subi et la violation de ses obligations par la banque est une question de droit, relevant de la procédure de recours en réforme, que le recourant a d'ailleurs soumise au Tribunal fédéral par cette voie. Il en va de même de la notion juridique du dommage, alors que l'existence et l'ampleur de celui-ci sont des questions de fait que le recourant peut soumettre à l'examen du Tribunal fédéral par le biais du recours de droit public (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 23 et les arrêts cités).
Dans le cas présent, la Cour de justice a considéré que la vente aux enchères, comme mesure d'exécution forcée, n'avait causé aucun préjudice au propriétaire, puisque le prix d'adjudication total était de 780'000 fr., alors que la valeur du marché de ses biens-fonds s'élevait en 1993 à 765'000 fr., étant non contesté que le recourant et son père avaient acquis chacun un appartement en 1988 pour la somme de 475'000 fr., soit au total 950'000 fr.
Le recourant ne s'attache pas à démontrer en quoi l'appréciation des faits et des preuves serait contraire à l'art. 9 Cst., dans le sens de la jurisprudence mentionnée ci-dessus, mais il reproche à la cour cantonale de n'avoir pas admis que le dommage consistait pour lui en la perte de ses investissements et de la donation reçue de son père. Au demeurant, dans l'appréciation des preuves, la Cour de justice a retenu, comme le recourant le lui demandait, que ses comptes présentaient un solde positif et que la banque aurait dû exécuter les ordres de virement en faveur de la banque G._. En réalité, le recourant fait grief à la juridiction cantonale d'avoir estimé le dommage au moment de la vente aux enchères forcées (18 mai 1993) et non pas en fonction de ses investissements et de sa qualité de donataire en 1988 et 1989. Or, le choix de la date déterminante pour apprécier la survenance d'un dommage, dans le contexte de la présente cause, relève de la notion du dommage et non pas de celle des éléments de fait le constituant.
Le recours de droit public est ainsi irrecevable.
Le recours de droit public est ainsi irrecevable.
2. 2.1 Interjeté par la partie dont les conclusions condamnatoires ont été écartées en totalité, et dirigé contre un jugement final rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 48 al. 1 OJ), sur une contestation civile dont la valeur litigieuse dépasse le seuil de 8'000 fr. (art. 46 OJ), le recours en réforme est en principe recevable puisqu'il a été déposé en temps utile (art. 54 al. 1 OJ) dans les formes requises (art. 55 OJ).
2.2 Le recours en réforme est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 43 al. 1 OJ). Il ne permet en revanche pas d'invoquer la violation directe d'un droit de rang constitutionnel (art. 43 al. 1 2ème phrase OJ) ou la violation du droit cantonal (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2b, 189 consid. 2a, 370 consid. 5; <ref-ruling> consid. 2e).
Saisi d'un recours en réforme, le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement sur la base des faits contenus dans la décision attaquée, à moins que des dispositions fédérales en matière de preuve n'aient été violées, qu'il y ait lieu à rectification de constatations reposant sur une inadvertance manifeste (art. 63 al. 2 OJ) ou qu'il faille compléter les constatations de l'autorité cantonale parce que celle-ci n'a pas tenu compte de faits pertinents et régulièrement allégués (art. 64 OJ; <ref-ruling> consid. 2c). Dans la mesure où le recourant présente un état de fait qui s'écarte de celui contenu dans la décision attaquée sans se prévaloir avec précision de l'une des exceptions qui viennent d'être rappelées, il n'y a pas lieu d'en tenir compte. Il ne peut être présenté de griefs contre les constatations de fait, ni de faits ou de moyens de preuve nouveaux (art. 55 al. 1 let. c OJ). L'appréciation des preuves à laquelle s'est livrée l'autorité cantonale ne peut être remise en cause (<ref-ruling> consid. 2c p. 547; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 3a).
Si le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties, qui ne peuvent prendre de conclusions nouvelles (art. 55 al. 1 let. b in fine OJ), il n'est lié ni par les motifs qu'elles invoquent, ni par ceux de la décision cantonale (art. 63 al. 3 OJ; <ref-ruling> consid. 2e/cc p. 29; <ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 2).
Si le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties, qui ne peuvent prendre de conclusions nouvelles (art. 55 al. 1 let. b in fine OJ), il n'est lié ni par les motifs qu'elles invoquent, ni par ceux de la décision cantonale (art. 63 al. 3 OJ; <ref-ruling> consid. 2e/cc p. 29; <ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 2).
3. Le recourant fait valoir, sans distinguer les deux moyens, des inadvertances manifestes et la nécessité de compléter l'état de fait en application des art. 63 al. 2 et 64 OJ.
3.1 Le Tribunal fédéral peut rectifier d'office une inadvertance manifeste en cas d'erreur évidente dans la constatation des faits, lorsque le juge n'a pas examiné une pièce, même implicitement, de sorte qu'il n'en a pas pris connaissance ou l'a simplement laissée de côté. L'inadvertance manifeste ne saurait être confondue avec l'appréciation des preuves. Dès l'instant où une constatation de fait repose sur l'appréciation, même insoutenable, d'une preuve, d'un ensemble de preuves ou d'indices, l'inadvertance est exclue et il ne peut être remédié à une mauvaise appréciation des preuves par la voie prévue à l'art. 55 al. 1 let. d OJ (arrêt 4C.149/1995 du 5 décembre 1995, consid. 3a, publié in SJ 1996 p. 353/354).
En l'espèce, l'arrêt attaqué ne mentionne pas que la banque G._ avait accepté de patienter jusqu'à fin juillet 1992 avant de demander la réalisation des gages. Toutefois, la décision de la Cour de justice précise les démarches faites par le recourant auprès de la banque, et les refus réitérés de celle-ci d'exécuter les virements en faveur de la banque G._. Ensuite, l'arrêt attaqué indique (let. M, p. 5) les étapes de la procédure en réalisation de gage, qui s'est déroulée en 1993, pour aboutir à la vente aux enchères du 18 mai 1993, soit après fin juillet 1992. Dans la mesure où le recourant se plaint de ce que la cour cantonale n'aurait pas tenu compte de ses pièces nos 26, 30, 31 et 33, il ressort de la lecture de la décision querellée que les précédents juges les ont implicitement prises en considération. Par contre, lorsqu'il soutient qu'avec un paiement de 86'802 fr. en août 1991, il aurait pu éviter la vente de ses appartements, en référence à sa pièce 23 selon laquelle la banque G._ avait déclaré qu'elle n'accepterait d'accorder un délai supplémentaire qu'en cas de paiement immédiat de cette somme, le recourant met en cause l'appréciation des preuves d'une manière inadmissible sous l'angle de l'art. 63 al. 2 OJ. Il en va de même des développements figurant en p. 6 à 8 du recours, où le demandeur explique que le montant de la donation reçue de son père n'était pas de 240'000 fr., selon l'acte notarié d'un notaire vaudois faisant l'objet de la pièce n° 41, mais bien plutôt de 88'143 fr. 30. En retenant la somme indiquée dans un acte notarié, et faisant l'objet d'une pièce déterminée, la Cour de justice n'a en tout cas pas commis une inadvertance manifeste. Savoir quel était le montant de la donation, pour contribuer à déterminer l'ampleur d'un dommage éventuel, est une question d'appréciation des preuves, qui exclut l'inadvertance manifeste (Poudret, op. cit., n. 5.4 ad art. 63 OJ).
3.2 Les constatations de fait de l'autorité cantonale sont suffisantes, de sorte qu'il n'y a pas matière à appliquer l'art. 64 OJ. S'agissant de l'exigence de la banque G._ de recevoir immédiatement en août 1991 la somme de 86'802 fr., pour accorder un délai supplémentaire, et de la mise en demeure adressée par le recourant à la banque pour exécuter ce versement, que cette dernière a refusé d'opérer, la cause est suffisamment instruite. En effet, il ressort implicitement de l'arrêt cantonal et de l'allégation non contestée du recourant que la banque G._ n'a pas demandé la réalisation forcée des gages avant fin juillet 1992, soit près d'un an plus tard. Quant à la détermination du montant de la donation acceptée en 1989, la cour cantonale l'a opérée à partir de l'acte notarié et du témoignage d'un employé de l'administration fiscale cantonale vaudoise, soit au terme d'une appréciation des preuves dont le recourant n'a pas réussi à démontrer le caractère arbitraire, dans son recours de droit public non motivé sur ce point au sens de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, et dont l'irrecevabilité a été prononcée.
En conséquence, il n'y a pas matière, en l'espèce, à rectifier ou à compléter l'état de fait retenu par la cour cantonale.
En conséquence, il n'y a pas matière, en l'espèce, à rectifier ou à compléter l'état de fait retenu par la cour cantonale.
4. Le recourant critique la Cour de justice en ce qu'elle a nié l'existence d'un dommage, alors qu'il soutient avoir perdu ses investissements et la donation reçue de son père en raison du refus injustifié de la banque de payer à la banque G._ la somme susmentionnée de 86'802 fr.
4.1 Conformément à la jurisprudence, le dommage juridique reconnu réside dans la diminution involontaire de la fortune nette; il correspond à la différence entre le montant actuel du patrimoine du lésé et le montant qu'aurait ce même patrimoine si l'événement dommageable ne s'était pas produit; le dommage peut se présenter sous la forme d'une diminution de l'actif, d'une augmentation du passif, d'une non-augmentation de l'actif ou d'une non-diminution du passif (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 23 et les arrêts cités).
4.2 En l'espèce, la Cour de justice a retenu que le dommage allégué consistait dans la différence entre l'état du patrimoine du recourant après la vente aux enchères, par rapport à ce qu'il aurait été si cette dernière n'avait pas eu lieu, puisque le fait dommageable invoqué est la survenance de cette vente. A cet égard, constatant que l'office des faillites avait procédé à l'estimation des deux appartements en février 1993 et était arrivé à un montant total de 765'000 fr., la cour cantonale a considéré qu'il n'y avait aucun dommage, dans la mesure où l'adjudication des biens avait été faite pour le prix total de 780'000 fr., supérieur à l'estimation et à la valeur du marché immobilier au début 1993. Dans ces conditions, comme la vente forcée s'est réalisée pour un prix supérieur à la valeur des deux appartements s'ils étaient restés à l'époque dans le patrimoine du recourant, aucun préjudice n'est né pour celui-ci de l'aliénation forcée.
De son côté, le recourant soutient que la vente aux enchères est la conséquence de la non-exécution de l'ordre de virement donné par lui à la banque, en faveur de la banque G._, en août 1991, et que cette circonstance permet de tenir compte, au titre du dommage, de la perte de ses investissements et de la donation reçue de son père, soit divers montants s'échelonnant d'octobre 1988 à août 1993. Sans la mesure d'exécution forcée, il aurait pu maintenir les deux appartements dans son patrimoine jusqu'à la vente d'un bien-fonds en Angleterre ou jusqu'à la levée du contrôle des changes en Grèce, en juin 1994.
Le recourant fait ainsi valoir que la vente aux enchères lui a supprimé la possibilité de maintenir les deux appartements dans sa fortune. Lorsque, comme en l'espèce, le manquement consiste en une omission, soit le refus de la banque d'exécuter un ordre de paiement, l'établissement du lien de causalité revient à se demander si l'accomplissement de l'acte omis aurait empêché la survenance du résultat dommageable (Honsell, Schweizerisches Haftpflichtrecht, 3e éd. n. 35 ad § 3; Gauch/Schluep/Schmid/Rey, Schweizerisches Obligationenrecht, Allg. Teil, vol. II, 7e éd., n. 2716). Selon la jurisprudence, les considérations du juge en matière de causalité hypothétique reposent sur l'appréciation des preuves et, à l'instar de l'établissement de la causalité naturelle, ne peuvent être revues en instance de réforme. Le Tribunal fédéral ne peut revoir que les déductions relevant exclusivement de l'expérience générale de la vie (<ref-ruling> consid. 5b; <ref-ruling> consid. 3a p. 486). Dans ce cas, le juge procède non pas par un raisonnement logique, mais par un jugement de valeur (Kramer, Die Kausalität im Haftpflichtrecht: neue Tendenzen in Theorie und Praxis, in RJB 123/1987 p. 289 ss). Ces divers principes ont encore été récemment confirmés (<ref-ruling> consid. 2b p. 12).
Or, à cet égard, la cour cantonale a relevé, en se référant non pas à des données générales tirées de l'expérience de la vie, mais au montant total des dettes du recourant envers la banque G._ (1'038'457 fr. 40 au jour de la vente aux enchères, 763'919 fr. au 31 octobre 1989), que rien ne prouvait "que l'exécution de ces ordres de virement aurait été de nature à empêcher la réalisation forcée des deux immeubles. En effet, le montant total des dettes (...), au moment de la réalisation forcée, était suffisamment important, pour qu'on ne puisse écarter avec une certitude suffisante que la banque n'aurait pas dû faire réaliser néanmoins ses gages immobiliers, même si les ordres de virement contestés avaient été exécutés". Il en résulte que même si l'acte omis avait été exécuté, soit le virement de 86'802 fr. en faveur de la banque G._, il n'est pas certain que cette dernière n'aurait pas requis la réalisation forcée des immeubles, en considération de l'importance du montant total des dettes et du découvert ne cessant de s'accroître. La cour cantonale a ainsi rejeté le processus causal en se fondant sur une libre appréciation des preuves, qui lie le Tribunal fédéral en instance de réforme.
En conséquence, le recours en réforme doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
En conséquence, le recours en réforme doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
5. Vu l'issue du litige, le recourant devra payer l'émolument judiciaire (art. 156 al.1 OJ) et verser des dépens à l'intimée (art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit public est irrecevable.
1. Le recours de droit public est irrecevable.
2. Le recours en réforme est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Le recours en réforme est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Un émolument judiciaire de 9'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Un émolument judiciaire de 9'000 fr. est mis à la charge du recourant.
4. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 10'000 fr. à titre de dépens.
4. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 10'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 17 mars 2003
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: