Sachverhalt:
Der 1960 geborene A._ bezog seit Oktober 1997 eine ganze Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 Prozent (Verfügung vom 2. November 1998). Im Jahre 2000 bestätigte die IV-Stelle des Kantons Zürich den Anspruch auf eine ganze Invalidenrente (Mitteilung vom 2. November 2000). Gestützt unter anderem auf ein Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 18. Oktober 2007 sowie ein psychiatrisches Gutachten des Dr. E._ vom 24. August 2008 hob die IV-Stelle die Invalidenrente mit Wirkung ab Mai 2009 auf mit der Begründung, wegen einer Verbesserung des Gesundheitszustandes sei ihm fortan jede leichte bis mässig belastende Arbeit zu 80 Prozent zumutbar; es bestehe noch ein nicht rentenbegründender Invaliditätsgrad von 20 Prozent (Verfügung vom 4. März 2009). Ausserdem lehnte die IV-Stelle den Anspruch auf Arbeitsvermittlung wegen mangelnder Mitwirkung des Versicherten ab (Verfügung vom 27. Februar 2009).
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die gegen die Verfügung vom 4. März 2009 (betreffend Rentenanspruch) erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 17. Mai 2010).
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, weiterhin eine ganze Invalidenrente auszurichten. Eventuell sei ihm eine Viertelsrente zuzusprechen. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Das kantonale Gericht erkannte, die IV-Stelle habe in der strittigen Verfügung vom 4. März 2009 die seit Oktober 1997 laufende ganze Invalidenrente des Beschwerdeführers im Ergebnis zu Recht mit Wirkung auf Ende April 2009 aufgehoben; es seien zwar nicht die Voraussetzungen für eine Rentenrevision im Sinne von <ref-law> gegeben, wohl aber diejenigen für eine Wiedererwägung der ursprünglichen Rentenzusprechung (<ref-law>; vgl. auch Art. 85 Abs. 2 und Art. 88bis Abs. 2 IVV analog [dazu Urteil 9C_11/2008 vom 29. April 2008 E. 4.2]; zur Möglichkeit einer Beschwerdeinstanz, eine Rentenrevisionsverfügung im Ergebnis mit der substituierten Begründung zu schützen, gegeben sei die Wiedererwägungsvoraussetzung der zweifellosen Unrichtigkeit, deren Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist: <ref-ruling> E. 2 S. 369; zuletzt Urteil 9C_303/2010 vom 5. Juli 2010 E. 4).
1.2 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Mit Blick auf die so umschriebene Kognition ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen Bundesrecht verletzt, einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung.
2. 2.1 Die Vorinstanz stützte ihren Entscheid im Wesentlichen auf das Gutachten der MEDAS vom 18. Oktober 2007, wonach ein Verdacht auf das Vorliegen einer Dysthymie bestehe, dies nachdem 1998 das Zustandsbild einer schweren Depression und später eine leichte depressive Episode beschrieben worden seien. Ein leichtes Karpaltunnelsyndrom bleibe ohne Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit. Insgesamt sei für den Beschwerdeführer die angestammte Tätigkeit als Allrounder in einem Druckereibetrieb und auch jede andere körperlich mässig belastende Tätigkeit zu einem Pensum von mindestens 80 Prozent zumutbar. Der Psychiater Dr. E._ diagnostizierte ebenfalls eine Dysthymie "bei Aggravation, allenfalls Simulation" (Gutachten vom 24. August 2008). Die Gutachter der MEDAS hatten den psychischen Befund ähnlich eingeordnet. Das kantonale Gericht schloss, insgesamt sei aufgrund beider Gutachten davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer in einer körperlich leichten Tätigkeit zu 80 Prozent arbeitsfähig sei, wobei das Leistungsvermögen nach einem Arbeitstraining gar auf 100 Prozent ansteigen könne.
2.2 Aus den Akten ergibt sich nichts, das geeignet wäre, den Beweiswert dieser Einschätzung in Zweifel zu ziehen. Die Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts hinsichtlich des aktuellen Leistungsvermögens ist nicht offensichtlich unrichtig und bindet das Bundesgericht (vgl. oben E. 1.2).
3. 3.1 Dem Beschwerdeführer war ursprünglich gestützt auf den Befund eines schweren depressiven Zustandsbildes eine ganze Invalidenrente zugesprochen worden. Die entsprechende Diagnose konnte nach übereinstimmender gutachtlicher Festlegung (oben E. 2.1) zuletzt nicht mehr erhoben werden. Angesichts dessen hatte das kantonale Gericht zu beurteilen, ob sich der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers seit der letzten Verfügung, anlässlich welcher die - hier den Revisionsgrund bildenden - gesundheitlichen Verhältnisse überprüft worden sind (<ref-ruling>; SVR 2010 IV Nr. 54 S. 167 E. 2.1, 9C_899/2009), wesentlich verbessert hat oder ob es sich bei den gutachtlichen Schlussfolgerungen lediglich um die andere Beurteilung eines gleich gebliebenen Sachverhalts handelt. Letzteres stellte grundsätzlich keinen Revisionsgrund dar (vgl. <ref-ruling> E. 4a/bb S. 313; SVR 2004 IV Nr. 5 S. 13 E. 2, I 574/02).
Hierzu erwog die Vorinstanz, ein Vergleich der die aktuelle Lage widerspiegelnden Arztberichte mit denjenigen, welche der ursprünglichen Rentenzusprechung zugrunde lagen, ergebe keine eigentliche Veränderung des Gesundheitszustandes; bei der psychiatrischen Untersuchung im Jahr 1998 sei der Versicherte, gleich wie in den aktuellen fachärztlichen Beurteilungen, als tief depressiv, jeden Blickkontakt vermeidend und kaum zugänglich beschrieben worden. Indessen sei zu berücksichtigen, dass seinerzeit der Anspruch auf eine Invalidenrente aufgrund zweier sehr kurzer, kaum begründeter Berichte von behandelnden Ärzten angenommen worden sei. Die Verwaltung wäre unter diesen Umständen verpflichtet gewesen, weitere medizinische Abklärungen zu veranlassen, insbesondere ein psychiatrisches Gutachten einzuholen. Hätte die IV-Stelle ihre Abklärungspflicht erfüllt, wären die Inkonsistenzen in der Verhaltensweise des Versicherten, welche nach gutachterlichem Bekunden "auf massive Aggravation, allenfalls gar Simulation schliessen" liessen, schon damals zutage getreten. Die Gewährung einer ganzen Rente scheine im Lichte der damaligen Aktenlage nicht nachvollziehbar und damit zweifelsohne unrichtig im Sinne von <ref-law>. Da eine Berichtigung ferner von erheblicher Bedeutung sei, erweise sich die Einstellung der Invalidenrente im Ergebnis als rechtens.
3.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, eine Rentenrevision nach <ref-law> sei unzulässig, da der Gesundheitszustand, wie vorinstanzlich festgestellt, unverändert bestehe, also lediglich hinsichtlich seiner Auswirkungen unterschiedlich beurteilt werde. Das kantonale Gericht schütze die Renteneinstellung unzulässigerweise unter dem Titel der Wiedererwägung. Es müsse von einer Unvollständigkeit der Verwaltungsakten ausgegangen werden. Indem sie dies unbeachtet liess, habe die Vorinstanz den Sachverhalt unvollständig festgestellt. Damit entfalle die Grundlage für die Annahme, die ursprüngliche Rentenzusprechung beruhe auf einer dürftigen Aktenlage. Eine Wiedererwägung falle folglich ausser Betracht.
3.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, eine Rentenrevision nach <ref-law> sei unzulässig, da der Gesundheitszustand, wie vorinstanzlich festgestellt, unverändert bestehe, also lediglich hinsichtlich seiner Auswirkungen unterschiedlich beurteilt werde. Das kantonale Gericht schütze die Renteneinstellung unzulässigerweise unter dem Titel der Wiedererwägung. Es müsse von einer Unvollständigkeit der Verwaltungsakten ausgegangen werden. Indem sie dies unbeachtet liess, habe die Vorinstanz den Sachverhalt unvollständig festgestellt. Damit entfalle die Grundlage für die Annahme, die ursprüngliche Rentenzusprechung beruhe auf einer dürftigen Aktenlage. Eine Wiedererwägung falle folglich ausser Betracht.
3.3 3.3.1 Die IV-Stelle hat dem Beschwerdeführer am 2. November 1998 im Wesentlichen gestützt auf ärztliche Berichte des Dr. J._ vom 5. Februar 1998 sowie des Dr. V._ vom 12. Mai 1998 eine ganze Rente zugesprochen (vgl. das Feststellungsblatt für den Beschluss vom 21. August 1998). Die behandelnden Ärzte gingen damals übereinstimmend vom Vorliegen einer schweren, eine weitgehende Arbeitsunfähigkeit begründenden Depression aus; daneben wurden rheumatologische Befunde genannt. Die der Verfügung vom 2. November 1998 zugrundeliegenden Abklärungen entsprachen durchaus dem früher üblichen Umfang der medizinischen Entscheidungsgrundlagen. Auch wenn die beiden Kurzberichte - zumal nach den heute üblichen Anforderungen - eine schmale Entscheidungsbasis darstellen, kann daraus allein noch keine zweifellose Unrichtigkeit abgeleitet werden. Ansonsten drohte die Wiedererwägung in einer Vielzahl langjähriger Rentenbezugsverhältnisse zum Instrument einer voraussetzungslosen Neuprüfung zu werden, was sich nicht mit dem Wesen der Rechtsbeständigkeit formell zugesprochener Dauerleistungen vertrüge. Die formell rechtskräftige Rentenzusprechung stünde praktisch unter dem Vorbehalt einer jederzeit möglichen Neubeurteilung zufolge besserer Einsicht der Durchführungsorgane. Eine gesetzwidrig berechnete Rente gilt in aller Regel als zweifellos unrichtig (<ref-ruling> E. a S. 128). Das Gleiche kann indessen nicht gesagt werden, wenn der Wiedererwägungsgrund eine materielle Anspruchsvoraussetzung (hier der Invalidität nach Art. 7, 8 und 16 ATSG) betrifft, deren Beurteilung massgeblich auf Schätzung oder Beweiswürdigung beruht, auf Elementen also, die notwendigerweise Ermessenszüge aufweisen. Erscheint die Beurteilung der materiellen Anspruchsvoraussetzungen vor dem Hintergrund der seinerzeitigen Rechtspraxis (<ref-ruling> E. 3 S. 389) als vertretbar, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus (Urteil I 222/02 vom 19. Dezember 2002 mit Hinweisen). Daran ändert nichts, dass mit der Vorinstanz durchaus vermutet werden darf, bei Einholung eines ausführlichen psychiatrischen Gutachtens wären die Inkonsistenzen in der Verhaltensweise des Beschwerdeführers damals schon zutage getreten.
Eine zweifellose Unrichtigkeit der Rentenzusprechung im Jahr 1998 kann schon aufgrund der vorhandenen Akten ausgeschlossen werden. Daher muss den Anhaltspunkten, wonach die in diesem Beschwerdeverfahren zur Verfügung stehenden Akten unvollständig zu sein scheinen (vgl. die anamnestischen Angaben im Bericht des Dr. L._ vom 1. Juni 2006), nicht weiter nachgegangen werden.
3.3.2 Das vorinstanzliche Erkenntnis ist im Ergebnis zu schützen, sofern die Rentenaufhebung gestützt auf <ref-law> zufolge einer Verbesserung des Gesundheitszustandes (seit der letzten auch die aktuellen gesundheitlichen Aspekte umfassenden materiellen Leistungsüberprüfung im Jahr 2000) begründet werden kann und - im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>) - muss. Dies ist unter Verweisung auf die in E. 2.1 hiervor zusammengefassten gutachtlichen Stellungnahmen ohne Weiteres zu bejahen.
4. Der Beschwerdeführer vertritt den Standpunkt, die Herabsetzung der Rente sei im vorliegenden Fall (auch) aus vertrauensrechtlicher Sicht unzulässig. Er habe sich gestützt auf die ursprüngliche Rentenzusprechung und die spätere Revision darauf verlassen dürfen, dass ihm eine ganze Invalidenrente zustehe, solange sich sein Gesundheitszustand, wie vorinstanzlich angenommen, nicht gebessert habe. Durch die lange Abwesenheit vom Arbeitsmarkt sei ihm ein irreversibler Schaden entstanden, da er heute kaum mehr vermittelbar sei.
Dieser Argumentation kann nicht gefolgt werden. Im Fall einer Wiedererwägung stellte sich mit Blick auf den Grundsatz von Treu und Glauben in der Tat die Frage, wie damit umzugehen sei, dass anlässlich früherer Anspruchsüberprüfungen eine ersichtlich zweifellos unrichtige Leistungszusprechung unbeachtet geblieben sei (vgl. dazu das vom Beschwerdeführer angerufene Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 19. Februar 2010, IV.2008.567, E. 6.4, in welchem ein der Wiedererwägung entgegenstehender Vertrauenstatbestand angenommen wurde, nachdem die am Recht stehende Versicherte im Vertrauen auf die Richtigkeit der ursprünglichen Verfügung während über 20 Jahren nichts unternommen habe, um ihren Lebensunterhalt aus eigener Kraft zu finanzieren; die unterlassenen Dispositionen könnten nicht mehr mit dem früher möglichen Erfolg nachgeholt werden). Indessen ist der Rückkommenstitel der Wiedererwägung hier nach dem Gesagten nicht einschlägig. Unter der zutreffenden Annahme, dass sich der Gesundheitszustand anspruchserheblich gebessert habe, besteht von vornherein kein Anlass, eine vertrauensschutzrechtlich unterlegte Weiterführung der bisherigen Invalidenrente zu erwägen. Eine solche liesse sich offensichtlich nicht mit dem gesetzlichen Konzept der Revision von Dauerleistungen nach Massgabe anspruchserheblicher Veränderungen des Sachverhalts vereinbaren (Urteil 9C_771/2009 vom 10. September 2010 E. 3.1).
5. Die Vorinstanz ermittelte durch Einkommensvergleich (<ref-law>) einen Invaliditätsgrad von 31 Prozent. Die Beurteilung, ob bei der Festlegung des anrechenbaren Invalideneinkommens ein "leidensbedingter Abzug" (dazu <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481 und 126 V 75) vorzunehmen ist, entspricht einer frei überprüfbaren Rechtsfrage (SVR 2009 IV Nr. 43 S. 127 E. 3.1, 9C_235/2008). Der Beschwerdeführer macht im Eventualstandpunkt geltend, selbst wenn von einer Leistungsfähigkeit im Umfang von 80 Prozent ausgegangen werden dürfte, rechtfertige sich eine Herabsetzung des auf statistischen Werten beruhenden Invalideneinkommens um 15 bis 20 Prozent, was zum Anspruch auf eine Viertelsrente führe. Das kantonale Gericht verweigerte einen derartigen Abzug; den vorhandenen Einschränkungen werde mit der Annahme eines auf 80 Prozent beschränkten Einsatzes bereits genügend Rechnung getragen. Zwar mag der Umstand, dass Männer statistisch gesehen für Teilzeitarbeit vergleichsweise weniger gut entlöhnt werden als für eine Vollzeittätigkeit (SVR 2010 IV Nr. 28 S. 87 E. 2.1.1, 9C_708/2009), eine gewisse Korrektur des Tabellenlohns rechtfertigen. Indessen schränkt das ärztlich umschriebene Anforderungsprofil leidensangepasster Arbeiten (vgl. oben E. 2.1) die Einsatzmöglichkeiten nur mässig stark ein. Insgesamt kann nicht gesagt werden, dass die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hätte, indem sie einen leidensbedingten Abzug verweigerte.
6. Die Invaliditätsbemessung ist im Rahmen des Revisionsverfahrens in allen Teilen rechtlich korrekt erfolgt, weshalb kein Anspruch auf eine Invalidenrente mehr besteht.
7. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; <ref-law>) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwältin Lotti Sigg Bonazzi wird als unentgeltliche Anwältin des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Oktober 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub