Sachverhalt:
A. X._ wurde 1965 geboren und stammt aus der Türkei. Er gelangte im August 1987 in die Schweiz und ersuchte um Asyl. Sein Gesuch wurde am 20. Februar 1995 letztinstanzlich abgewiesen. Vor Ablauf der Ausreisefrist (30. Mai 1995) heiratete er am 21. April 1995 eine Schweizer Bürgerin, worauf er eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Zürich erhielt. Gestützt auf seine Ehe stellte X._ am 2. Juni 1997 ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im anschliessenden Verfahren unterzeichneten er und seine Ehefrau am 1. Februar 2000 die Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Gleichzeitig nahmen sie unterschriftlich zur Kenntnis, dass eine erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantrage oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr bestehe. Ebenfalls bestätigten sie ihre Kenntnisnahme davon, dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne.
Am 16. Februar 2000 wurde X._ gestützt auf Art. 27 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz [BüG], SR 141.0) erleichtert eingebürgert und erhielt das Bürgerrecht der Gemeinde Hittnau, Kanton Zürich. Im Sommer 2000 (Ende Juni) kam es zur Trennung des Ehepaars und per 1. Oktober 2000 meldete sich X._ von der ehelichen Wohnadresse ab. Mit Urteil vom 3. Juli 2001, das am 28. August 2001 in Rechtskraft trat, sprach das Bezirksgericht Pfäffikon (ZH) auf Ersuchen des Beschwerdeführers und dessen Ehefrau die Scheidung aus. Am 7. November 2001 hat sich X._ in der Türkei mit einer türkischen Staatsangehörigen verheiratet.
B. Diese Umstände veranlassten das Bundesamt für Migration, am 14. Oktober 2003 gegen X._ ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der Einbürgerung einzuleiten. In diesem Verfahren konnte er zweimal schriftlich Stellung nehmen. Nachdem das Gemeindeamt des Kantons Zürich am 4. Januar 2005 die entsprechende Zustimmung erteilt hatte, erklärte das Bundesamt die Einbürgerung von X._ mit Verfügung vom 17. Januar 2005 für nichtig.
C. Gegen diesen Entscheid gelangte X._ mit Rechtsmitteleingabe vom 12. Februar 2005 an das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (EJPD). Er beantragte die Aufhebung der Verfügung des Bundesamts und die Feststellung, dass er Schweizer Bürger sei. Dieses Verfahren wurde per 1. Januar 2007 vom Bundesverwaltungsgericht übernommen, welches mit Urteil vom 29. August 2008 die Beschwerde abwies. Es erwog, X._ habe die erleichterte Einbürgerung aufgrund falscher Angaben bzw. durch Verschweigen wesentlicher Tatsachen erschlichen und damit den Tatbestand von <ref-law> erfüllt.
D. Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 29. August 2008 erhebt X._ mit Eingabe vom 6. Oktober 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie der Nichtigerklärung seiner erleichterten Einbürgerung und derjenigen seiner Familienmitglieder. Eventualiter beantragt er die Zurückweisung des Verfahrens an die Vorinstanz zur Vornahme von Zeugenbefragungen zur Sachverhaltsermittlung. Der Beschwerdeführer ersucht um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Rechtsverbeiständung sowie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Er rügt Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> (Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung), eine fehlerhafte Feststellung des Sachverhalts (<ref-law>) sowie Ermessensmissbrauch.
E. Mit Präsidialverfügung vom 27. Oktober 2008 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
F. Das Bundesverwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration (BFM) haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil ist ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren über eine Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss <ref-law> erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind grundsätzlich erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Vorbehältlich genügend begründeter und zulässiger Rügen (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.) ist daher auf die Beschwerde einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer macht mit dem Hinweis auf <ref-law> sinngemäss geltend, der angefochtene Entscheid verletze das Verbot der Rechtsverweigerung bzw. der Rechtsverzögerung. Worin diese Verletzung bestehen soll, führt er jedoch nicht näher aus. Die Rüge ist somit nicht hinreichend begründet, weshalb darauf nicht einzutreten ist (vgl. <ref-law>).
3. Der Beschwerdeführer rügt ferner, die Vorinstanz hätte nicht in antizipierter Beweiswürdigung vorwegnehmen dürfen, dass die von ihm verlangte Zeugeneinvernahme keine wesentlich neuen Erkenntnisse vermitteln könnte. Er macht somit sinngemäss eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend.
3.1 Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Der Betroffene hat das Recht, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern. Dazu gehört insbesondere das Recht, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 277; <ref-ruling> E. 2b S. 56). Dem Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörde, die Argumente und Verfahrensanträge der Partei entgegenzunehmen und zu prüfen sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen, es sei denn, diese beträfen eine nicht erhebliche Tatsache oder seien offensichtlich untauglich, über die streitige Tatsache Beweis zu erbringen (statt vieler <ref-ruling> E. 2 S. 242 mit Hinweisen; vgl. auch Alfred Koller, Der Gehörsanspruch im erstinstanzlichen Zivilprozess, ZSR 105 [1986] S. 229 f. und 231). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f.; je mit Hinweisen).
3.2 Das Bundesverwaltungsgericht hat sich eingehend mit den Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt. Es hat dargetan, weshalb es dennoch zum Schluss gelangte, dass er mit seiner schweizerischen Ehegattin im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung bzw. der erleichterten Einbürgerung nicht mehr in einer stabilen Gemeinschaft lebte. Zur beantragten Zeugeneinvernahme hält es fest, von dieser sei lediglich zu erwarten, dass die betreffenden Personen ihre in den vorliegenden Referenzschreiben gemachten Aussagen bestätigen würden. Diese würden die Wahrnehmung von Drittpersonen über das äussere Erscheinungsbild der Ehegatten (gemeinsames Auftreten) schildern und kaum einen Einblick in die inneren Beweggründe geben. Die beantragte Zeugeneinvernahme sei deshalb nicht geeignet, neue, für das vorliegende Verfahren relevante Erkenntnisse zu vermitteln, weshalb darauf verzichtet werden könne. Diese antizipierte Beweiswürdigung erscheint nicht als willkürlich und ist daher verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden.
4. 4.1 Die erleichterte Einbürgerung setzt gemäss <ref-law> u.a. voraus, dass der Gesuchsteller seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit einem Schweizer Bürger bzw. einer Schweizer Bürgerin lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist (<ref-ruling> E. 2.3.1). Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin oder eines Schweizer Bürgers die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (<ref-ruling> E. 2 S. 484).
Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt daher nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115).
In verfahrensrechtlicher Hinsicht richtet sich die erleichterte Einbürgerung nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021). Danach gilt der Untersuchungsgrundsatz, wonach die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen hat (<ref-law>). Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (<ref-ruling> E. 3.2 S. 486).
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehrung der Beweislast. Der Betroffene muss nicht den Beweis des Gegenteils erbringen. Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung. Dem Gesagten zufolge liegt die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinn von <ref-law> im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr besteht, bei der Verwaltung. Es genügt deshalb, dass der Betroffene einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit dem Schweizer Ehepartner in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und dass er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder der Betroffene kann darlegen, aus welchem Grund er die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als er die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (vgl. zur Publikation bestimmtes Urteil des Bundesgerichts 1C_190/2008 vom 29. Januar 2009 E. 3).
4.2 Die Vorinstanz führt aus, die enge zeitliche und die übrige Korrelation zwischen dem Abschluss des Asylverfahrens und der Aufnahme einer Beziehung zu einer Schweizer Bürgerin bzw. der nachfolgenden Heirat einerseits und zwischen der erleichterten Einbürgerung und der Scheidung sowie der Wiederverheiratung andererseits spreche gegen den Beschwerdeführer. Aufgrund dieser Umstände sei die natürliche Vermutung gerechtfertigt, dass er mit seiner schweizerischen Ehegattin zum Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung bzw. der erleichterten Einbürgerung nicht mehr in einer stabilen Gemeinschaft gelebt habe.
Die Vorinstanz hält der Darstellung des Beschwerdeführers, er und seine Ex-Ehefrau hätten aus Liebe geheiratet und bis im Sommer 2000 eine intakte Ehe geführt, welche dann plötzlich (überraschend) in die Brüche gegangen bzw. gescheitert sei, die Aussagen der Ex-Ehefrau entgegen. Danach sei die Ehe zwar nicht mit grossen Schwierigkeiten und Problemen behaftet gewesen, es hätten aber keine gemeinsamen Interessen bestanden, sie hätten nicht viel gemeinsam unternommen und quasi aneinander vorbeigelebt. Die Vorinstanz erachtet die Darstellung der Ex-Ehefrau nicht zuletzt deshalb als glaubwürdiger, weil der Beschwerdeführer mit einem konstruierten Schreiben versucht habe, auf das erstinstanzliche Verfahren Einfluss zu nehmen. Gerade wegen dieser Vorgehensweise sei als erwiesen anzunehmen, dass der Beschwerdeführer seiner Ehefrau im Sommer 2000 grundlos eine Fremdbeziehung vorgeworfen habe, um so das endgültige Scheitern der Ehe zu provozieren und möglichst rasch zu einer Scheidung zu kommen. Ein auf die Zukunft gerichteter Ehewillen habe daher beim Beschwerdeführer auf jeden Fall zum Zeitpunkt der Unterzeichnung der Erklärung bzw. der erleichterten Einbürgerung nicht mehr bestanden, selbst wenn ein solcher bei Eingehung der Ehe vorhanden gewesen sein sollte. Die Vorinstanz kam zum Schluss, der Beschwerdeführer könne nicht überzeugend dartun, dass er im Zeitpunkt der Erklärungsabgabe und der Gewährung der erleichterten Einbürgerung in einer stabilen und in jeder Beziehung intakten ehelichen Gemeinschaft mit seiner Ehefrau lebte und dass diese Ehe erst wegen der ihr vorgeworfenen Fremdbeziehung in die Brüche ging. Vermutungsbasis und Vermutungsfolgen würden nicht umgestossen bzw. könnten nicht ernsthaft in Frage gestellt werden. Es stehe somit fest, dass der Beschwerdeführer die erleichterte Einbürgerung im Sinne von <ref-law> erschlichen habe.
4.3 Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts im Sinne von <ref-law> vor. Er macht geltend, er und seine Ex-Ehefrau hätten am 21. April 1995 aus Liebe geheiratet. Im Zeitpunkt der Einbürgerung im Februar 2000 hätten keinerlei Trennungsabsichten bestanden, weder bei ihm noch bei der Ehefrau. Aus Sicht beider Ehegatten hätte damals eine intakte Ehe bestanden. Die Schwierigkeiten hätten erst im Juni 2000 begonnen. Den Grund hiefür sehe die Ehefrau in seinen Ferien in der Türkei; er selber sehe den Grund für die Eheprobleme in einer Fremdbeziehung der Ehefrau. Der Beschwerdeführer macht zudem geltend, die Schlussfolgerung der Vorinstanz sei unzutreffend, wenn sie mit Bezug auf ein mögliches Teilmotiv bei der Eheschliessung im Jahr 1995 nach einer mehr als fünfjährigen intakten Ehe daraus ableite, er habe bereits im Februar 2000 keinen auf die Zukunft gerichteten Ehewillen mehr haben können. Ausserdem stelle es eine hypothetische Beurteilung des Geschehensablaufes dar, wenn die Vorinstanz annehme, sein Verhalten im weiteren Verlauf des Verfahrens belege, dass er mit gegenüber der Ehefrau erhobenen Anschuldigungen das Scheitern der Ehe geradezu provoziert habe.
4.4 Soweit der Beschwerdeführer die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen beanstandet und eine mangelhafte Sachverhaltsfeststellung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist, kann er nur geltend machen, die Feststellungen seien offensichtlich unrichtig oder beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
Dem Beschwerdeführer gelingt es nicht, Mängel aufzuzeigen, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz als offensichtlich unrichtig erscheinen lassen. Dazu müsste er insbesondere Gründe aufzeigen können, welche es als nachvollziehbar erscheinen liessen, weshalb eine angeblich noch wenige Monate zuvor bestehende tatsächliche, ungetrennte eheliche Gemeinschaft in der Zwischenzeit dergestalt in die Brüche gehen konnte, dass es zur Scheidung kam. Die von ihm behauptete Fremdbeziehung der Ehefrau stellt keinen solchen Grund dar, zumal er die Art und Weise dieser Beziehung und deren Folgen für die Ehe in keiner Weise substanziiert. Der Beschwerdeführer vermag damit auch nicht die Annahme der Vorinstanz zu entkräften, er habe das endgültige Scheitern der Ehe im Sommer 2000 provoziert, um möglichst rasch zu einer Scheidung zu kommen. Im Übrigen ist vorliegend nicht weiter darauf einzugehen, welche Teilmotive beim Beschwerdeführer bei der Eheschliessung im Jahr 1995 mitgespielt haben, da die Vorinstanz darauf nicht massgeblich abgestellt hat.
Die Vermutung bleibt somit bestehen, dass die Scheidung den Endpunkt einer längeren (Entfremdungs-)Entwicklung zwischen den beiden Ehegatten bedeutete, die im massgebenden Zeitpunkt nicht nur bereits im Gange, sondern schon weit fortgeschritten gewesen sein musste. Demzufolge bleibt auch die Vermutung bestehen, dass der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft insbesondere auch im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung (1. Februar 2000) nicht mehr intakt war, weshalb auf eine Erschleichung der Einbürgerung im Sinne von <ref-law> zu schliessen ist.
4.5 Worin der vom Beschwerdeführer gerügte Ermessensmissbrauch bestehen soll, wird von ihm nicht näher ausgeführt. Weder macht er geltend, die Vorinstanz habe sich im Rahmen ihr eingeräumten Ermessens von unsachlichen, dem Zweck der massgebenden Vorschriften fremden Erwägungen leiten lassen noch dass sie dabei allgemeine Rechtsprinzipien verletzt habe. Ausserdem liegt vorliegend auch keine Ermessensüberschreitung vor. Dies würde voraussetzen, dass eine Behörde Ermessen walten lässt, wo ihr das Gesetz keines einräumt. Wie durch die kann-Vorschrift in <ref-law> zum Ausdruck kommt, ist dem zuständigen Bundesamt bei der Nichtigerklärung einer Einbürgerung Ermessen eingeräumt, wenn sie durch falsche Angaben oder die Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Vorliegend durfte das Bundesamt auf eine Erschleichung der Einbürgerung schliessen (siehe E. 4.4 hiervor), sodass deren Nichtigerklärung im Rahmen des durch <ref-law> gewährten Ermessens lag. Auf die entsprechenden Rügen des Beschwerdeführers ist daher nicht weiter einzugehen.
4.6 Der vom Beschwerdeführer erwähnte Entscheid <ref-ruling> vermag an der Beurteilung des vorliegenden Falles nichts zu ändern. Die zuständigen Behörden waren dort über ein im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids hängiges Scheidungsverfahren des Gesuchstellers informiert, weil er ihnen dies mitgeteilt hatte. Im Unterschied zum vorliegenden Fall konnte dem Betroffenen daher nicht vorgeworfen werden, er habe die Einbürgerung durch falsche Angaben oder die Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen. Ebenso führt vorliegend auch nicht der Entscheid <ref-ruling> zu anderen Schlussfolgerungen. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers gelangte dort bei der Beurteilung, ob die Voraussetzungen für eine Nichtigerklärung der Einbürgerung erfüllt sind, kein strengerer Massstab zur Anwendung als im vorliegenden Fall.
5. Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer hat ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. Dieses ist jedoch abzuweisen, da die Beschwerde aussichtslos ist (<ref-law>).
Dem Ausgang des vorliegenden Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kappeler