Faits:
A.
X._, ressortissante française et russe, divorcée de Y._, de nationalité russe, avec lequel elle a eu deux enfants nés en 1990 et 1994, s'est vu attribuer la garde sur ces derniers par décisions de justice américaine prononcées en 1997, tandis que son ex-époux a obtenu des droits de visite et d'hébergement.
Le 13 mai 1999, les Etats-Unis d'Amérique ont délivré un mandat d'arrêt à l'encontre de X._ fondé sur un acte d'accusation daté de la veille, dans lequel il lui était reproché d'avoir violé des décisions de justice relatives aux droits parentaux du père. Sur la base de ce mandat, Interpol a été requis d'appréhender X._.
Par jugement par défaut rendu le 20 août 1999, lequel n'a pas été formellement notifié à X._, un tribunal civil américain a transféré l'autorité parentale au père des enfants.
X._ a été interpellée le 18 octobre 2006 sur territoire suisse et placée en détention provisoire à titre extraditionnel. Les autorités américaines ont saisi l'Office fédéral de la Justice (ci-après: l'Office fédéral) d'une demande d'arrestation provisoire en date du 3 novembre 2006, puis - après avoir sollicité et obtenu une prolongation de délai pour ce faire les 20 et 21 novembre 2006 (<ref-law>) - d'une demande formelle d'extradition le 29 novembre 2006. Le 7 décembre 2006, l'intéressée s'est opposée à son extradition simplifiée et a formé une demande de mise en liberté, respectivement d'élargissement; le 8 décembre 2006, elle a en outre conclu au rejet de la demande d'extradition et à sa libération immédiate.
Le 14 décembre 2006, l'Office fédéral a invité par voie téléphonique les autorités américaines à produire un nouvel acte d'accusation couvrant la période postérieure au 12 mai 1999.
Par décision du 19 décembre 2006, l'Office fédéral a rejeté la demande de mise en liberté formée par X._, qui a recouru contre cette décision auprès du Tribunal pénal fédéral. Ce dernier, par arrêt du 11 janvier 2007, a ordonné la libération de l'intéressée, considérant que la détention devait impérativement prendre fin, car une pièce essentielle à la demande d'extradition - en l'occurrence le nouvel acte d'accusation sollicité par l'Office fédéral - n'avait pas été transmise à son appui dans les soixante jours, soit jusqu'au 17 décembre 2006 (cf. arrêt du Tribunal pénal fédéral BH.2006.33, consid. 4.6; arrêt 1C_1/2007 du 22 janvier 2007 consid. 3 déclarant irrecevable le recours de l'Office fédéral contre l'arrêt du 11 janvier 2007).
Le 11 janvier 2007 également, les autorités américaines ont produit par téléfax un mandat d'arrêt ainsi qu'un nouvel acte d'accusation, émis le 20 décembre 2006, reprochant à X._ de ne pas avoir respecté le droit de visite et le droit de garde successivement attribués à son ex-époux sur leurs enfants. L'Office fédéral a ordonné la mise en détention provisoire de celle-ci le même jour encore. Le 16 janvier 2007, l'Office fédéral a reçu en original les pièces transmises par fax et a établi un nouveau mandat d'arrêt, contre lequel X._ a formé recours auprès du Tribunal pénal fédéral. Ce dernier a ordonné sa libération immédiate par arrêt du 29 janvier 2007, au motif que l'intéressée aurait dû être libérée le 18 décembre 2006 et que la détention subie à partir de cette date s'avérait être illégale (cf. arrêt du Tribunal pénal fédéral RR.2007.1, consid. 3.3.2); n'ayant pas recouru contre cette décision, l'Office fédéral a levé l'écrou le 30 janvier 2007.
B.
B.a. Le 11 janvier 2008, X._ a formé une demande d'indemnisation auprès de la Confédération, concluant au versement de 256'920 fr. pour ses frais de défense et le dommage matériel subi du fait de sa détention, d'une indemnité pour tort moral de 50'000 fr. ainsi que de 16'190 fr. à titre de participation aux honoraires d'avocat pour la procédure en indemnisation (<ref-law>). L'Office fédéral a rejeté cette demande le 6 août 2008, tout en octroyant à l'intéressée la somme de 15'000 fr. pour la couverture de ses frais de défense.
Saisi d'un recours de X._ contre la décision du 6 août 2008, le Tribunal pénal fédéral l'a partiellement admis par arrêt du 29 [ recte: 2] juin 2009, en tant qu'il portait sur la période de détention du 18 octobre au 30 novembre 2006, et a condamné l'Office fédéral à s'acquitter de la somme de 11'000 fr. à titre d'indemnité pour détention injustifiée. Considérant pour le surplus que la détention était devenue illégale à partir du 1er décembre 2006 (<ref-law>), le Tribunal pénal fédéral a transmis la cause au Département fédéral des finances (ci-après: le Département fédéral) comme objet de sa compétence, " en tant que la demande d'indemnité concerne la période de détention provisoire à titre extraditionnel s'étendant du 1 er décembre 2006 au 30 janvier 2007" (cf. arrêt du Tribunal pénal fédéral RR.2008.231, consid. 2.5 et ch. 2 du dispositif).
B.b. Par décision du 1er juin 2010, le Département fédéral a rejeté la demande d'indemnisation du 11 janvier 2008, en tant qu'elle portait sur la détention postérieure au 30 novembre 2006. Par arrêt rendu le 13 mars 2012, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours formé par X._ contre la décision du 1er juin 2010, qu'il a annulée, et a renvoyé la cause au Département fédéral pour nouvelle décision au sens des considérants.
C.
Le Département fédéral saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière de droit public à l'encontre de l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 13 mars 2012. Il conclut, avec suite de frais, à l'annulation de cet arrêt "dans la mesure où il déclare illicite (...) la période de détention provisoire de l'intimée du 1er au 17 décembre 2006", au rejet de la demande de dommages-intérêts et d'indemnité à titre de réparation morale de X._ relative à la période précitée. L'admission de son recours aboutissant à une approbation partielle de l'arrêt attaqué, il demande également la diminution du montant de l'indemnité de dépens de 10'000 fr. mise à sa charge dans l'arrêt querellé.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer. X._ conclut, sous suite de frais et dépens, au déboutement du recourant de toutes ses conclusions.
Dans le cadre d'un échange d'écritures portant sur l'éventuel caractère injustifié de la détention extraditionnelle du 1er au 17 décembre 2006, le Département fédéral a estimé que, dans l'hypothèse où la Cour de céans accueillerait son recours contre l'arrêt du 13 mars 2012, la question d'une indemnisation pour détention injustifiée se poserait et devrait être traitée par l'Office fédéral. Persistant dans ses conclusions, X._ a demandé le déboutement du Département et de l'Office fédéraux de leurs conclusions. Le Tribunal administratif fédéral a pour sa part renoncé à formuler des observations complémentaires. Invité à se déterminer, l'Office fédéral a en substance considéré que la détention de l'intimée n'avait jamais été injustifiée et encore moins illicite. Les participants ont reçu copie de ces observations.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 103). En particulier, pour apprécier la nature de l'acte attaqué, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les conclusions prises par les parties (<ref-ruling> consid. 3 p. 790).
1.1. En vertu de l'<ref-law>, le recours est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure. Il l'est également, selon l'<ref-law>, contre toute décision qui statue sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. En revanche, sauf si elles portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (cf. <ref-law>), les décisions préjudicielles et incidentes ne peuvent faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral qu'aux conditions de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 481). Tel est le cas soit si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a), soit si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). A moins que ces conditions ne sautent aux yeux, il appartient au recourant d'en démontrer la réalisation sous peine d'irrecevabilité (arrêt 2C_111/2011 du 7 juillet 2011 consid. 1.1.1; cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 95; <ref-ruling> consid. 1.3.3 p. 141).
1.2. Selon la jurisprudence, la décision par laquelle une autorité judiciaire supérieure admet le principe de la responsabilité, mais renvoie la cause à l'instance inférieure pour qu'elle se prononce sur le dommage, n'est pas considérée, sous l'angle de la LTF, comme un jugement final ou final partiel au sens des art. 90 et 91 LTF, mais comme une décision incidente qui ne peut être soumise directement au Tribunal fédéral qu'aux conditions de l'<ref-law> (arrêts 9C_54/2011 du 11 juillet 2011 consid. 2.1; 2C_111/2011 du 7 juillet 2011 consid. 1.1.1; cf. <ref-ruling> consid. 4.1.3 p. 481; Bernard Corboz, ad <ref-law>, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, p. 889 n. 12). Il en va a fortiori de même lorsque la décision admet l'existence d'une des conditions de la responsabilité, mais renvoie la cause à l'autorité inférieure pour qu'elle examine l'existence des autres conditions propres à fonder celle-ci.
Le Tribunal fédéral considère cependant que, pour l'autorité administrative à qui la cause est renvoyée, un arrêt de renvoi peut être assimilé à une décision finale lorsque celui-ci ne laisse à l'autorité inférieure plus aucune latitude décisionnelle (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 100; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 127; arrêt 2C_638/2010 du 19 mars 2012 consid. 1.1, non publié).
1.3. Le présent recours est dirigé contre un arrêt par lequel le Tribunal administratif fédéral, à l'instar du Département fédéral avant lui, a examiné la responsabilité de la Confédération pour la détention subie par l'intimée durant la période du 1er décembre 2006 au 30 janvier 2007 exclusivement sous l'angle de la condition de l'illicéité. Tandis que cette condition a été niée par la première autorité - qui l'admet cependant devant le Tribunal fédéral pour la période allant du 18 décembre 2006 au 30 janvier 2007 - le Tribunal administratif fédéral l'a considérée comme remplie pour toute la période de détention litigieuse et a, partant, renvoyé la cause au Département fédéral pour nouvelle décision au sens des considérants.
En tant qu'il ne se prononce que sur la commission d'un acte illicite et renvoie pour le surplus la cause à l'instance inférieure pour nouvelle décision, l'arrêt querellé doit, conformément à la pratique précitée, être qualifié de décision incidente et non partielle au sens de l'<ref-law> comme retenu à tort par les premiers juges, également du point de vue de l'autorité à qui la cause est renvoyée. En effet, le Département fédéral devra encore aborder les conditions de la causalité et du dommage avant de pouvoir trancher la question de la responsabilité de l'Etat; tel que l'a aussi rappelé le Tribunal administratif fédéral, il conserve donc une latitude décisionnelle importante pour examiner les autres conditions de la responsabilité.
1.4. Selon la jurisprudence, une autorité qui devrait, à la suite d'une décision de renvoi, rendre une nouvelle décision qui, de son point de vue, serait contraire au droit, sans pouvoir par la suite la remettre en cause devant l'instance supérieure, est réputée subir un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 109 s.; <ref-ruling> consid. 1.3 in fine p. 128; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 483 s.). Tel est manifestement le cas en l'espèce. En effet, le Département est lié par l'arrêt du Tribunal administratif fédéral s'agissant de l'illicéité de la détention subie par la recourante entre le 1er et le 17 décembre 2006. Dans sa nouvelle décision, il sera donc obligé d'admettre l'illicéité de la détention pendant cette période, sans ne plus pouvoir contester ce point subséquemment, puisqu'il l'aura admis dans sa propre décision. Le préjudice irréparable étant en l'occurrence évident, le recours est donc recevable sous l'angle de l'<ref-law>, quand bien même le recourant n'a pas expliqué en quoi les conditions de cette disposition seraient remplies (cf. consid. 1.1 supra ).
1.5. L'arrêt entrepris, qui concerne un litige en matière de responsabilité étatique, a par ailleurs été rendu dans une cause de droit public (<ref-law>) par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). Il ne tombe pas sous le coup des exceptions de l'<ref-law>, et porte sur une valeur litigieuse supérieure à la limite de 30'000 fr. prévue à l'<ref-law>. Il en résulte que la voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte.
1.6. S'agissant de la qualité pour recourir, la jurisprudence a admis que l'autorité publique peut agir auprès du Tribunal fédéral en vertu de l'<ref-law> dans le domaine de la responsabilité de l'Etat. En effet, par analogie avec les contestations pécuniaires en matière de fonction publique (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 207 ss), il y a lieu d'admettre que l'autorité se trouve dans une situation comparable à celle d'un particulier recherché en responsabilité civile (arrêt 2C_111/2011 du 7 juillet 2011 consid. 1.3, in: SJ 2012 I 97; RDAF 2011 I 594). Cette jurisprudence posée au niveau cantonal vaut aussi lorsque la responsabilité de la Confédération est en jeu, bien que, dans ces litiges, le Département fédéral puisse aussi fonder sa compétence sur l'<ref-law>.
1.7. Pour le surplus, déposé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. a et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (<ref-law>), le recours en matière de droit public est recevable.
2.
2.1. En vertu de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (cf. aussi <ref-ruling> consid. 2.1 p. 110; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140).
Devant la Cour de céans, le recourant conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué dans la mesure où il déclare illicite la période de détention provisoire à titre extraditionnel du 1er au 17 décembre 2006, tout en admettant le caractère illicite de la détention subie par l'intimée à partir du 18 décembre 2006. Partant, seule la licéité alléguée de cette première période sera examinée, la détention subie à partir du 18 décembre 2006 ne faisant pas l'objet de la présente procédure.
2.2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF). Sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>, il n'est pas lié par les motifs de l'autorité précédente ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254). Compte tenu de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine toutefois en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 105; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550).
2.3. Le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), en particulier en contrevenant à l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 450). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (<ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104).
Le Département fédéral reproche au Tribunal administratif fédéral de ne pas avoir, à divers égards, pris en compte certains faits.
Le recourant se plaint d'abord d'une violation de l'<ref-law>, au motif que l'arrêt attaqué ne fait pas mention de la requête américaine du 20 novembre 2006 portant sur une prolongation de délai de vingt jours afin de transmettre une requête d'extradition formelle, ni de l'acceptation par la Suisse de cette demande en date du 21 novembre 2006. Dès lors que les éléments factuels isolés précités sont pertinents pour saisir l'argumentation du recourant, la Cour de céans a réparé cette omission manifeste au titre de l'état de fait du présent arrêt (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313 s.).
Ensuite, le recourant entend, à la lettre F de son mémoire, présenter son propre état de fait. Or, il ressort d'une part de l'arrêt attaqué (cf., notamment, let. J et K) que la plupart des éléments dont il prétend, sans toutefois soulever le grief de l'arbitraire, que le Tribunal administratif fédéral ne les aurait pas signalés, notamment les arrêts rendus par le Tribunal pénal fédéral en date des 11 et 29 janvier 2007, apparaissent déjà expressément dans sa partie en fait, si bien que le Tribunal fédéral peut librement s'y référer.
D'autre part, le recourant présente, également à la lettre F de son mémoire, sa propre version des faits, en complétant occasionnellement les constatations figurant dans l'arrêt attaqué. Une telle argumentation, dans la mesure où elle s'écarte des faits constatés dans l'arrêt attaqué sans qu'il soit indiqué en quoi ceux-ci seraient manifestement inexacts ou arbitraires, est irrecevable, le Tribunal fédéral n'étant pas une instance d'appel (<ref-ruling> consid. 3 p. 104 s.; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322).
3.
Le recourant reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir considéré que c'était de manière illicite que l'Office fédéral avait maintenu en détention provisoire X._ durant la période allant du 1er au 17 décembre 2006, ainsi qu'invité, le 14 décembre 2006, les autorités américaines à produire un nouvel acte d'accusation couvrant la période postérieure au 12 mai 1999. Il soutient que, pour la période considérée, la responsabilité de la Confédération pour acte illicite n'était partant pas engagée à l'égard de l'intimée.
3.1. De prime abord, il est utile de préciser que la détention est illicite lorsqu'une personne poursuivie a été incarcérée à titre extraditionnel en violation des règles légales applicables (cf. <ref-ruling> consid. 4c p. 218; arrêt 2A.604/2006 du 8 mai 2007 consid. 2.2; Yvona Griesser, ad <ref-law>, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [Donatsch/Hansjakob/Lieber (éd.) ], 2010, p. 2076 n. 3; Gérard Piquerez/Alain Macaluso, Procédure pénale suisse, 3ème éd., 2011, p. 730 s. n. 2300 ss). La détention est injustifiée lorsque la personne poursuivie a certes été incarcérée en application des règles légales de fond comme de procédure, mais que cette détention se révèle après coup injustifiée en fait (cf. <ref-ruling> consid. 4b p. 218; Piquerez/Macaluso, op. cit., p. 732 n. 2299).
En l'espèce, la présente procédure porte sur le caractère illicite de la détention subie par l'intimée entre le 1er et le 17 décembre 2006; en fonction de l'analyse de la condition de l'illicéité qui sera opérée, l'éventuel caractère injustifié de la détention sera examiné subséquemment.
3.2. Il sied ensuite de déterminer quelles sont les normes applicables.
3.2.1. Le traité d'extradition entre la Confédération suisse et les Etats-Unis d'Amérique du 14 novembre 1990 (TExUS; RS 0.353.933.6), dont l'application à la procédure d'extradition diligentée à l'encontre de l'intimée a été à bon droit retenue par l'instance précédente, ne réglemente pas la réparation d'une détention extraditionnelle illicite (Michel Dupuis/Miriam Mazou/Laurent Moreillon, La pratique judiciaire du Tribunal pénal fédéral: de la PPF au futur CPP, in: JdT 2009 IV p. 111 ss, 172 n. 222). En revanche, l'EIMP (RS 351.1), qui complète le TExUS conformément à son art. 1er al. 1 let. b (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 339; arrêt A.214/1985 du 25 septembre 1985 consid. 1a, non publié in <ref-ruling> consid. 1a, mais in JdT 1987 IV 95), traite à son art. 15 des cas d'indemnisation en matière d'entraide pénale internationale.
3.2.2. Dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010, l'<ref-law> ne s'appliquait qu'aux cas de détention injustifiée, tandis que la loi fédérale du 14 mars 1958 sur la responsabilité de la Confédération, des membres de ses autorités et de ses fonctionnaires (LRCF; RS 170.32) gouvernait, le cas échéant de pair avec l'art. 5 ch. 5 CEDH, la détention illicite (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 143; <ref-ruling> consid. 4c p. 218).
3.2.3. Avec l'entrée en vigueur du CPP à partir du 1er janvier 2011 (RO 2010 1881, p. 2043; FF 2006 1057), l'<ref-law> renvoie par analogie aux art. 429 et 431 CPP s'agissant de la procédure menée en Suisse conformément à l'EIMP, ou à l'étranger sur demande d'une autorité suisse. On peut dès lors se demander si l'<ref-law> régit dorénavant également les cas de détention illicite; d'après cette disposition en effet, si le prévenu a, de manière illicite (en allemand: " rechtswidrig "; en italien: " illegalmente "), fait l'objet de mesures de contrainte, l'autorité pénale lui alloue une juste indemnité et réparation du tort moral (cf. arrêts 1B_6/2012 du 27 janvier 2012 consid. 3.2; 1B_683/2011 du 5 janvier 2012 consid. 2.2.1; Griesser, op. cit., p. 2076 n. 3; Piquerez/Macaluso, op. cit., p. 731 n. 2298; Cédric Mizel/Valentin Rétornaz, ad <ref-law>, in: Commentaire romand - CPP [Kuhn/Jeanneret (éd.) ], 2011, p. 1887 s. n. 3). A l'aune du Message relatif à l'unification du droit de la procédure pénale du 21 décembre 2005, on ne peut déterminer clairement si le législateur fédéral a ou non voulu uniquement soumettre les conséquences de la détention injustifiée au régime du CPP (cf. FF 2006 1057, p. 1327: " indemnité due pour la détention injustifiée "), à l'exclusion de la détention illicite qui demeurerait dans cette hypothèse soumise à la procédure issue de la LRCF.
Que le renvoi opéré par l'<ref-law> conduise ou non à l'application du CPP en matière d'indemnisation pour détention illicite ou qu'il ne s'applique qu'à la détention injustifiée, il importe - compte tenu de la modification de l'<ref-law> et vu l'issue du présent litige (cf. infra ) - de vérifier si la présente affaire est encore assujettie à l'ancien (cf. LRCF) ou doit être soumise au nouveau régime (cf. CPP, sur renvoi de l'EIMP, s'agissant de la détention injustifiée et, le cas échéant, de la détention illicite) de l'indemnisation.
3.2.4. L'<ref-law>, dans sa nouvelle teneur, n'est accompagné d'aucune disposition transitoire topique. Il convient ainsi de se référer, par analogie, aux dispositions transitoires détaillées aux <ref-law>, dont l'art. 453 prévoit:
<ref-law> - Décisions rendues avant l'entrée en vigueur du présent code
al. 1 Les recours formés contre les décisions rendues avant l'entrée en vigueur du présent code sont traités selon l'ancien droit par les autorités compétentes de ce droit.
al. 2 Lorsqu'une procédure est renvoyée à l'autorité inférieure pour nouveau jugement par l'autorité de recours ou le Tribunal fédéral, le nouveau droit est applicable. Le nouveau jugement est rendu par l'autorité qui eût été compétente selon le présent code pour rendre la décision annulée.
En l'espèce, le Département fédéral a rejeté la demande d'indemnisation formulée par l'intimée par décision du 1er juin 2010, soit avant l'entrée en vigueur du CPP au 1er janvier 2011. Saisi d'un recours contre cette décision le 5 juillet 2010, le Tribunal administratif fédéral a toutefois rendu son jugement le 13 mars 2012, soit après l'entrée en vigueur du CPP. Il n'en demeure pas moins que, conformément à l'<ref-law>, en tant qu'applicable par analogie, les précédents juges ont à juste titre traité le recours formé contre la décision du 1er juin 2010 selon l'ancien droit en vigueur, en particulier selon la LRCF (cf. arrêts 1B_224/2010 du 11 janvier 2011 consid. 2; 1B_200/2011 du 15 juin 2011 consid. 2.1), qui est également déterminant devant le Tribunal fédéral (<ref-law> par analogie; FF 2006 1057, p. 1336; cf. arrêts 1B_212/2011 du 8 septembre 2011 consid. 1.4; 1B_63/2011 du 24 mars 2011 consid. 2.1).
Quant à savoir si le Département fédéral, à qui la cause a été renvoyée par le Tribunal administratif fédéral, demeurerait l'autorité compétente pour rendre une nouvelle décision en matière d'indemnisation pour détention illicite (cf. art. 429, 453 al. 2 et 431 CPP par analogie; cf. Niklaus Schmid, Übergangsrecht der Schweizerischen Strafprozessordnung, 2010, n. 26 p. 8, n. 326 s. p. 90, n. 326 p. 90 s.), la question souffre de demeurer indécise compte tenu de l'issue concrète du présent litige (cf. consid. 6 infra ).
3.3. Aux termes de l'<ref-law>, la Confédération répond du dommage causé sans droit à un tiers par un fonctionnaire dans l'exercice de ses fonctions, sans égard à la faute de celui-ci. L'<ref-law> consacre une responsabilité primaire, exclusive et causale de l'État, en ce sens que le tiers lésé ne peut rechercher que l'État, à l'exclusion du fonctionnaire ou de l'agent responsable, et qu'il n'a pas à établir l'existence d'une faute de ce dernier; il lui suffit d'apporter la preuve d'un acte illicite, d'un dommage ainsi que d'un rapport de causalité entre ces deux éléments (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 360 s.; arrêts 2A.511/2005 du 16 février 2009 consid. 5.1; 2C_518/2008 du 15 octobre 2008 consid. 2.1). Ces conditions doivent être remplies cumulativement (cf., notamment, arrêt 2C_518/2008 du 15 octobre 2008 consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 25 p. 485).
La condition de l'illicéité au sens de l'<ref-law> ("sans droit") suppose que l'Etat, au travers de ses organes ou de ses agents, ait violé des prescriptions destinées à protéger un bien juridique. Selon les circonstances, un excès ou un abus du pouvoir d'appréciation conféré par la loi peut réaliser cette condition (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 317; arrêt 2C_852/2011 du 10 janvier 2012 consid. 4.3.1). Une omission peut aussi, le cas échéant, constituer un acte illicite, mais il faut alors qu'il ait existé, au moment déterminant, une norme juridique qui sanctionnait explicitement l'omission commise ou qui imposait à l'Etat de prendre en faveur du lésé la mesure omise; un tel chef de responsabilité suppose donc que l'Etat ait eu une position de garant vis-à-vis du lésé et que les prescriptions qui déterminent la nature et l'étendue de ce devoir aient été violées (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 317; arrêt 2C_834/2009 du 19 octobre 2010 consid. 2.2). Lorsque l'illicéité reprochée procède d'un acte juridique (une décision, un jugement, en particulier), seule la violation d'une prescription importante des devoirs de fonction est en principe susceptible d'engager la responsabilité de la Confédération, le fait de rendre une décision qui se révèle par la suite inexacte, contraire au droit ou même arbitraire ne suffisant pas (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 318; <ref-ruling> p. 164; arrêt 2C_834/2009 du 19 octobre 2010 consid. 2.2).
L'illicéité peut être levée en présence de motifs justificatifs, tels que la légitime défense, le consentement du lésé ou l'accomplissement d'un devoir légal (cf. arrêt 2A.312/2004 du 22 avril 2005 consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 3a p. 18 s.; Etienne Poltier, La responsabilité de l'Etat pour acte illicite: l'exigence de l'illicéité, in: La responsabilité de l'Etat [Anne-Christine Favre et al. (éd.) ], 2012, p. 45 ss, 54).
4.
Il faut en premier lieu s'interroger sur la licéité de la détention provisoire à titre extraditionnel de X._ entre le 1er et le 17 décembre 2006.
4.1. Le Département fédéral affirme en substance que l'Office fédéral avait effectué toutes les démarches en vue de l'extradition de l'intimée à destination des Etats-Unis, justifiant son maintien en détention durant cette période, en conformité avec le TExUS et l'EIMP. En particulier, la demande formelle d'extradition américaine serait parvenue entre les mains de l'Office fédéral dans les délais - dûment prolongés - prévus par le TExUS, alors que le délai maximal de soixante jours avant de devoir impérativement libérer la détenue n'était pas encore écoulé; en outre, dès lors que le chef d'accusation " international parental kidnapping " invoqué par les Etats-Unis recouvre en droit américain tant la violation du droit de garde (motif d'extradition) que la violation du droit de visite (ne permettant pas une extradition vers les Etats-Unis), il se justifiait d'inviter l'Etat requérant à compléter sa demande pendant que le délai pour déposer la demande d'extradition n'était pas encore arrivé à échéance. De plus, aucun manquement qualifié ne pouvait être reproché à l'Office fédéral du fait d'avoir pris un certain temps pour analyser la demande d'extradition américaine et invité les Etats-Unis à compléter leur demande.
4.2.
4.2.1. A teneur de l'art. 13 al. 1 TExUS, en cas d'urgence, chacune des parties contractantes peut demander l'arrestation provisoire de la personne réclamée (...). La demande d'arrestation provisoire déclenche la procédure d'extradition (cf. arrêt 2A.212/2006 du 9 octobre 2006 consid. 4.2). Selon l'art. 13 al. 2 TExUS, la requête d'arrestation doit indiquer qu'une demande d'extradition suivra, signaler l'existence d'un mandat d'arrêt, désigner l'infraction, en indiquant la peine maximale encourue par l'auteur, contenir une brève description des faits mentionnant la date et le lieu de l'infraction, contenir des indications concernant l'identité, la nationalité et le lieu de séjour présumé de la personne réclamée. En vertu de l'<ref-law>, si la demande et ses annexes parviennent à temps et que l'extradition ne soit pas manifestement inadmissible, la détention est maintenue de plein droit pendant toute la procédure d'extradition.
Selon la jurisprudence, la détention de la personne poursuivie est la règle pendant toute la procédure d'extradition, tandis que sa mise en liberté demeure l'exception (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 309; <ref-ruling> consid. 2a p. 362; arrêt 8G.10/2004 du 19 février 2004 consid. 2). La mise en liberté provisoire d'une personne est soumise à des exigences plus strictes en matière de détention extraditionnelle qu'en matière de détention préventive (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 310; arrêt 8G.10/2004 précité, consid. 2), dans le but de ne pas compromettre l'engagement international pris par la Suisse envers l'Etat requérant de lui consigner la personne poursuivie une fois la demande d'extradition approuvée et la décision d'approbationentrée en force (cf. arrêt 8G.10/2004 précité, consid. 2). L'Office fédéral peut néanmoins renoncer à décerner un mandat d'arrêt aux fins d'extradition selon les conditions prévues à l'<ref-law>. Par ailleurs, l'arrestation provisoire prend fin si, dans le délai de quarante jours à compter de l'arrestation de la personne réclamée, l'autorité exécutive des Etats-Unis ou les autorités suisses compétentes n'ont pas reçu la demande formelle d'extradition accompagnée des pièces à l'appui, étant précisé que, sur demande, ce délai peut exceptionnellement être prolongé de vingt jours (art. 13 al. 4 TExUS).
4.2.2. Il ressort des faits établis par le Tribunal administratif fédéral, qui ne sont plus contestés devant la Cour de céans, que l'intimée avait été interpellée le 18 octobre 2006 sur la base de signalements Interpol lui reprochant d'avoir emmené les deux enfants nés de son union avec Y._ hors des Etats-Unis, en violation des dispositions sur les droits parentaux; il était en outre précisé qu'un mandat d'arrêt avait été décerné à son encontre du chef d'enlèvement international d'enfants, délit passible aux Etats-Unis tout comme, prima vista, en Suisse (<ref-law>) d'une peine privative de liberté maximale de trois ans (cf. art. 2 TExUS; cf. infra consid. 4.3). L'appréciation des précédents juges selon laquelle, au moment de son interpellation, l'intimée avait fait l'objet d'une détention provisoire à titre extraditionnel licite, ne prête donc pas le flanc à la critique, ni n'est remise en cause dans le cadre du présent recours.
Il résulte en outre des constatations du Tribunal administratif fédéral que la demande formelle d'extradition américaine n'a certes été expédiée que le 29 novembre 2006 et reçue le lendemain par l'Office fédéral, c'est-à-dire en-dehors du délai maximal de quarante jours prévu par l'art. 13 al. 4 TExUS. Cela étant, les Etats-Unis avaient, avant l'écoulement du délai de quarante jours, sollicité et obtenu de la part de l'Office fédéral une prolongation de vingt jours (cf. art. 13 al. 4 in fine TExUS) en vue du dépôt de leur demande d'extradition; cette dernière ayant été déposée à l'intérieur dudit délai prolongé, l'arrestation provisoire de l'intimée n'était ainsi pas devenue caduque avant ni au moment dudit dépôt.
4.3. Le Tribunal administratif fédéral et l'intimée reprochent toutefois à l'Office fédéral d'avoir, à réception de la demande formelle d'extradition du 29 novembre 2006, omis de constater que l'extradition était requise pour une infraction ne satisfaisant pas à la condition de la double-incrimination, et de ne pas avoir en conséquence libéré l'intimée.
4.3.1. Le principe de la double-incrimination en matière extraditionnelle est concrétisé par l'art. 2 al. 1 TExUS, d'après lequel une infraction n'est considérée comme donnant lieu à extradition que si son auteur est passible d'une peine ou d'une mesure de sûreté privative de liberté de plus d'un an aux termes du droit des deux parties contractantes. Il est à ce titre sans importance que l'infraction soit ou non définie en des termes identiques dans le droit des deux Etats (art. 2 al. 2 let. a TExUS). Par ailleurs, pour déterminer si un acte est punissable en droit suisse, il n'est pas tenu compte des conditions particulières de ce droit en matière de culpabilité et de répression (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4b p. 186 ss; arrêts 1A.4/2004 du 3 mai 2004 consid. 7.1, non publié in <ref-ruling>; 1A.175/2002 du 8 octobre 2002 consid. 4.1, in: Pra 2003 n° 149 p. 800).
4.3.2. En regard du droit de la responsabilité de l'Etat, il se pose la question de savoir s'il ne pouvait, à la lecture de la demande d'extradition formelle du 29 novembre 2006, échapper à l'Office fédéral que celle-ci se fondait, comme retenu dans l'arrêt entrepris, sur une infraction ne satisfaisant pas au principe de la double-incrimination et, partant, qu'elle ne permettait pas l'extradition selon l'art. 2 al. 1 TExUS. En d'autres termes, il faut se demander si, en prenant connaissance de la demande d'extradition et de ses annexes, l'Office fédéral aurait pu ou dû se rendre compte de ce que l'extradition requise était manifestement inadmissible (cf. <ref-law>), de sorte à devoir immédiatement lever l'ordre d'écrou, quitte à ordonner la réincarcération de l'intimée dans l'hypothèse où une demande américaine portant sur une infraction extradable lui parviendrait ultérieurement, en tant que l'intimée séjournerait encore en Suisse à ce moment (cf. 51 al. 2 EIMP; voir aussi art. 13 ch. 5 TExUS). Or, contrairement à l'appréciation faite par les précédents juges, le caractère inadmissible de la demande d'extradition du 29 novembre 2006 ne résultait pas de façon évidente du dossier transmis à l'Office fédéral, pour les motifs qui seront évoqués ci-après.
i) L'incertitude quant au respect du principe de la double-incrimination
4.3.3. En premier lieu, il ressort du dossier qu'il n'était pas possible, sans procéder préalablement à une analyse juridique approfondie, de déterminer si les faits reprochés à l'intimée, soit la violation du droit de visite accordé à l'autre parent non-détenteur du droit de garde sur les deux enfants communs, satisfaisaient au principe de la double-incrimination.
Selon l'art. 18, section 1204, let. b ch. 2, du United States Code gouvernant l'infraction intitulée " international parental kidnapping " (enlèvement international d'enfant par un parent), le terme de "droits parentaux" (" parental rights ") englobe tant le droit de garde (" right to physical custody of the child whether joint or sole ") que les droits de visite parentaux (" and includes visiting rights "), soit le droit pour le parent ne détenant pas l'autorité parentale ou la garde d'entretenir des relations personnelles avec son enfant mineur. Comme cela ressort aussi de l'arrêt attaqué, le droit pénal américain pertinent réprime donc de la même manière la violation du droit de garde et celle des droits de visite parentaux. Etant passibles d'une amende et/ou d'une peine d'emprisonnement jusqu'à trois ans (let. a), ces infractions dépassent le seuil minimum d'un an de peine privative de liberté posé à l'art. 2 al. 1 TExUS.
En droit pénal suisse, la question de savoir si la violation des droits de visite accordés à un parent par l'autre parent détenant le droit de garde sur l'enfant tombe dans le champ de l'<ref-law> demeure en revanche controversée. L'<ref-law> (dans sa version en vigueur dès le 1er janvier 1990 [RO 1989 2449; FF 1985 II 1021]), dont le titre marginal traite de l'enlèvement de mineur (en allemand: " Entziehung von Unmündigen ", en italien: " sottrazione di minorenne "), dispose que "celui qui aura soustrait ou refusé de remettre un mineur à la personne qui exerce l'autorité parentale ou la tutelle sera, sur plainte, puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire". Cette disposition protège avant tout l'exercice de l'autorité parentale mais aussi, dans une certaine mesure, la paix familiale et le bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 159; arrêt 1A.175/2002 du 8 octobre 2002 consid. 4.3).
Dans un arrêt ancien, confirmé depuis lors, le Tribunal fédéral a jugé que l'infraction contenue à l'<ref-law> pouvait aussi être réalisée lorsque le parent ayant la garde de l'enfant pendant une procédure de divorce refusait de le remettre à l'autre, qui avait conjointement l'autorité parentale (mais dont l'exercice était suspendu), pour que ce dernier exerce son droit de visite, tel qu'institué ou approuvé par l'autorité compétente (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 38 s., confirmé in <ref-ruling> consid. 3.2 p. 160; arrêt 1A.175/2002 du 8 octobre 2002 consid. 4.4, in: Pra 2003 n° 149 p. 800). Cela étant, la jurisprudence précitée semble faire de l'autorité parentale, avec toutes les prérogatives qui en découlent (<ref-law>), l'élément déterminant au regard de l'<ref-law>, dans le sens où l'entrave au droit de visite par enlèvement ou non-présentation à un parent est susceptible de tomber sous le coup de cette norme pénale, pour autant que la victime dispose de l'autorité parentale (cf. arrêt 1A.175/2002 précité, consid. 4.4, in: Pra 2003 n° 149 p. 800, concernant le principe de la double-incrimination; cf. aussi arrêt 1A.30/2001 du 2 avril 2001 consid. 4c; Ulrich Weder, ad <ref-law>, in: StGB-Kommentar [Donatsch et al. (éd.) ], 18ème éd., 2010, p. 383 n. 2). Dans un arrêt récent, la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a précisé la jurisprudence antérieure dans le sens que l'<ref-law> ne protégeait pas le droit de visite parental en tant que tel mais la réglementation de celui-ci par le juge (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 359 ss et les jurisprudences citées). Elle a également souligné que les travaux préparatoires en cours, tendant à la révision du CC en relation avec l'autorité parentale conjointe, avaient pour ambition de faire apparaître plus clairement le champ d'application de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 361). A ce titre, l'avant-projet de janvier 2009 proposait de distinguer la soustraction ou le refus de remettre un mineur au détenteur du droit de garde par rapport au refus de confier un mineur au détenteur du droit de visite; cette proposition a toutefois été abandonnée au stade du projet, au motif que " les litiges en matière de droit de visite sont souvent très émotionnels, et que la menace d'une peine ne constitue pas un moyen efficace de la prévenir ", le juge ou l'autorité de protection de l'enfant pouvant si nécessaire assortir les modalités concrètes du droit de visite de la menace d'une amende selon l'<ref-law> (FF 2011 8315, p. 8333 s. n. 1.5.5.1). Il en résulte que, pour pouvoir tomber sous le coup de l'<ref-law>, l'entrave au droit de visite d'un parent par l'autre parent présuppose que la victime jouisse, à tout le moins de certaines prérogatives rattachées à l'autorité parentale sur l'enfant.
En l'espèce et à teneur des constatations non litigieuses du Tribunal administratif fédéral, il est certes vrai qu'avant le prononcé du jugement par défaut américain du 20 août 1999, attribuant la garde (" custody ") sur les enfants de l'intimée à Y._, ce dernier ne disposait que de droits de visite et d'hébergement, tandis que l'intimée exerçait le droit de garde. Au regard du droit pénal suisse, l'ex-époux de l'intimée n'aurait avant ce jugement pas été objectivement en mesure de se prétendre victime de l'infraction prévue à l'<ref-law>; seule une violation de l'<ref-law> serait entrée en ligne de compte, laquelle ne donne toutefois pas lieu à extradition au sens de l'art. 2 al. 2 TExUS. Dès lors que la requête d'extradition du 29 novembre 2006 reposait sur un acte d'accusation couvrant la période antérieure au 13 mai 1999, le principe de la double-incrimination permettant d'extrader l'intimée vers les Etats-Unis n'avait donc pas été rempli.
Quoi qu'il en soit, ce n'est, comme il a été vu, qu'au prix d'une interprétation approfondie du droit pénal suisse que l'Office fédéral pouvait retenir que l'entrave au droit de visite d'un parent par l'autre parent n'était pas constitutive d'une infraction donnant lieu à extradition vers les Etats-Unis. Pour ce motif déjà, il ne peut être reproché à l'Office fédéral de ne pas s'être aussitôt, à réception de la demande d'extradition formelle, aperçu du non-respect du principe de la double-incrimination et de ne pas avoir libéré l'intéressée à ce moment, de sorte à commettre un acte illicite.
ii) La formulation ambiguë de la demande d'extradition formelle
4.3.4. En second lieu et surtout, la demande d'extradition formelle du 29 novembre 2006 recèle des passages ambigus, qui ne permettent pas de déterminer si l'intimée était également recherchée pour la période postérieure au transfert du droit de garde au père des enfants, auquel cas le principe de la double-incrimination aurait été observé.
Il apparaît en effet que l'intimée était réclamée par la justice américaine en vue de répondre pénalement pour insoumission à une décision de justice accordant un droit de visite au père des enfants. Toutefois, la note diplomatique contenant la demande d'extradition des Etats-Unis (cf. dossier de l'Office fédéral, pièce 35) se réfère globalement à l'art. 18, section 1204, du United States Code précité, de sorte à laisser subsister une incertitude quant au (x) chef (s) d'accusation retenu (s) à l'encontre de l'intimée. De plus, l'Etat requérant ne se contente pas d'y décrire, en particulier, le refus de l'intimée de permettre à ses enfants de rendre visite à leur père en dépit de plusieurs injonctions de la justice américaine, de même que sa condamnation, le 20 août 1999, pour outrage à la Cour du fait du non-respect du plan parental. Les Etats-Unis relatent également dans le corps même de leur demande du 29 novembre 2006 (p. 3), que le non-respect des injonctions des autorités américaines a été, le 20 août 1999, sanctionné par l'attribution du droit de garde au père, tandis que la mère ne disposerait plus que d'un droit de visite. De plus, ces mêmes indications relatives au transfert du droit de garde à l'ex-époux de l'intimée sont étayées par les déclarations (" affidavits ") du substitut du procureur américain A._ et de la juge B._ annexées à la demande d'extradition. L'Office fédéral pouvait ainsi légitimement se demander s'il n'y manquait pas d'éventuelles pièces étayant que la justice américaine recherchait l'intéressée aussi pour violation du droit de garde à partir du 20 août 1999.
4.3.5. En résumé, contrairement à ce qu'affirment les précédents juges et l'intimée, la question du respect de la double-incrimination et, par voie de conséquence, celle de la recevabilité de la demande d'extradition américaine ne pouvaient pas être clairement résolues à la lumière de la demande formelle du 29 novembre 2006. L'Office fédéral n'avait, partant, pas à libérer l'intimée pour ce motif.
iii) La requête d'un complément d'information par l'Office fédéral
4.3.6. L'art. 10 TExUS (cf. aussi <ref-law>) prévoit que les autorités suisses compétentes peuvent requérir un complément d'information à leurs homologues américains lorsqu'elles estiment que les documents joints à la demande d'entraide ne contiennent pas toutes les indications nécessaires. La possibilité - voire le devoir, dicté par la courtoisie internationale (cf. arrêt 1A.205/2001 du 21 mars 2002 consid. 2.2; Robert Zimmermann, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 3ème éd., 2009, p. 283 s. n. 304) et par le but même poursuivi par le TExUS - pour l'autorité requise de solliciter un complément suppose que la demande initiale présente une irrégularité formelle qui soit perfectible (cf., pour des exemples, arrêts 1A.175/2005 du 21 septembre 2005 consid. 3.2; 1A.56/2000 du 17 avril 2000 consid. 2); elle ne saurait, comme le rappellent le Tribunal administratif fédéral et l'intimée et contrairement à la position que semble défendre l'Office fédéral, tendre à permettre à l'Etat requérant de fonder sa demande sur de nouveaux éléments matériels non couverts par la demande d'entraide, voire de déposer une nouvelle demande d'entraide sous le couvert d'une première demande manifestement irrecevable.
4.3.7. En l'occurrence, l'Office fédéral a invité, par téléphone du 14 décembre 2006, les autorités américaines à produire un nouvel acte d'accusation couvrant la période postérieure à l'acte d'accusation du 12 mai 1999. L'Office fédéral s'étant ainsi conformé à son devoir consistant à tenter de lever les ambiguïtés résultant de la demande formelle d'entraide (cf. consid. 4.3.4 supra ), il sied de déterminer si la manière dont il a procédé pour ce faire a été conforme au droit.
4.3.8. La requête d'entraide du 29 novembre 2006 et ses annexes laissaient, comme indiqué précédemment, subsister un doute quant au caractère complet des documents et preuves au dossier d'entraide américain, s'agissant en particulier de l'éventuelle existence d'un mandat d'arrêt et d'un acte d'accusation relatifs non seulement à la violation du droit de visite, mais aussi du droit de garde attribué à l'ex-époux de l'intéressée. Les documents potentiellement manquants, qui étaient au demeurant décisifs pour l'examen du respect de la double-incrimination de l'acte poursuivi, se rapportaient ainsi à la demande d'extradition et au dossier préexistants, qu'ils visaient à compléter (cf. art. 9 ch. 3 TExUS); contrairement à ce qu'affirment l'intimée et les précédents juges, la requête d'information suisse du 14 décembre 2006 visait donc à compléter le dossier de manière formelle pour déterminer si l'intimée était extradable; elle ne cherchait pas à permettre aux Etats-Unis de réparer matériellement une demande d'entraide manifestement irrecevable au moyen d'une nouvelle demande tenant compte de faits ou d'actes inédits, ce qui n'aurait été admissible que par le biais d'une demande d'entraide distincte et nouvelle (cf. <ref-ruling> consid. 6.4 p. 12; <ref-ruling> consid. 4 p. 218; Zimmermann, op. cit., p. 284 n. 304). Partant, l'attitude de l'Office fédéral consistant à inviter les autorités américaines à compléter leur dossier de manière à pouvoir déterminer si leur demande d'extradition s'étendait également au non-respect du droit de garde sur les enfants de l'intimée, est exempte de tout reproche à cet égard; contrairement à ce que retient l'arrêt entrepris, cette autorité n'a en particulier pas outrepassé le cadre de ses attributions légales en adressant la requête de complément.
4.3.9. Pour ce qui est de la circonstance que l'interpellation des autorités américaines par l'Office fédéral en date du 14 décembre 2006, afin qu'elles complètent le dossier d'extradition, a (seulement) eu lieu par voie téléphonique, il s'agissait certes d'une démarche inadéquate (cf. arrêt 1A.205/2001 du 21 mars 2002 consid. 2.2). En l'absence de réglementation spécifique concernant des voies de communication en matière d'extradition autres que la voie écrite ou confirmée par écrit, et dans un souci de transparence de l'administration, il aurait en effet incombé à l'Office fédéral de formuler une requête de complément entièrement rédigée. Quoi qu'il en soit, le Tribunal fédéral a déjà jugé que le défaut affectant la communication de l'autorité d'exécution à l'autorité étrangère ne suffit pas à retenir une violation de l'<ref-law> (cf. arrêt 1A.205/2001 précité, consid. 2) ou, en l'occurrence, de l'art. 10 TExUS, et partant à vicier la détention extraditionnelle de manière à constituer un acte illicite engageant la responsabilité de la Confédération.
4.3.10. Il convient enfin d'examiner si le fait pour l'Office fédéral d'avoir, après réception de la demande d'extradition le 30 novembre 2006, attendu jusqu'au 14 décembre 2006 pour requérir un complément d'information aux Etats-Unis traduit, comme le retient le Tribunal administratif fédéral, " un défaut patent de diligence (...) dans l'instruction et la conduite du dossier " (arrêt, p. 18), lequel rendrait illégal le maintien de la détention de l'intimée durant toute ou partie de la période du 1er au 18 décembre 2006. Le recourant justifie l'absence d'examen immédiat de la demande d'extradition en invoquant les contraintes pratiques et logistiques affectant son travail, alternativement l'obligation de motiver le rejet de la demande d'extradition à l'attention des autorités étrangères.
Par analogie avec ce qui prévaut en matière de détention administrative, où il incombe à l'autorité administrative de vérifier en permanence la légalité et l'adéquation de la privation de liberté de l'étranger, dès lors que la mise en liberté par ladite autorité peut en principe intervenir à tout moment (<ref-ruling> consid. 2c p. 4 s.; cf. art. 80 al. 6 LEtr; comp. <ref-law>), il incombe à l'Office fédéral, qui est chargé de veiller à une application correcte du droit fédéral et sans l'assentiment duquel une personne poursuivie ne peut être élargie (cf. art. 25 al. 3 et 49 al. 3 EIMP; arrêts 1C_146/2012 du 23 mars 2012 consid. 1.2; 1C_454/2009 du 9 décembre 2009 consid. 1.2), de vérifier sur une base régulière que les conditions régissant la détention provisoire à titre extraditionnel soient remplies. Il en va a fortiori ainsi lorsque l'Office fédéral se voit communiquer la demande formelle d'entraide de l'Etat requérant et est de ce fait tenu d'examiner si les conditions pour entrer en matière sur la demande et, par voie de conséquence, pour maintenir en détention la personne intéressée jusqu'à la fin de la procédure d'extradition, demeurent justifiées. La circonstance que la détention de la personne poursuivie est la règle pendant toute la procédure d'extradition (consid. 4.2.1 supra ) ne change rien à ces principes.
La jurisprudence admet cependant que l'autorité compétente puisse avoir besoin de quelques jours ouvrables afin d'étudier une demande d'extradition, d'autant plus lorsque cette dernière s'accompagne de traductions de mauvaise qualité, de sorte qu'un tel délai ne saurait a priori et en soi rendre illicite une détention extraditionnelle (cf. <ref-ruling> consid. 4c p. 219).
Dans le cas d'espèce, l'Office fédéral a engagé neuf jours ouvrables, inclusivement le jour de réception de l'envoi, pour étudier la demande d'extradition et les pièces l'accompagnant, avant d'interpeller les autorités américaines en date du 14 décembre 2006. Dans l'absolu, ce délai peut certes paraître long, étant ajouté que la charge de travail de l'autorité ne saurait en tant que telle justifier des retards dans l'accomplissement d'une activité relevant de sa compétence, surtout lorsque le maintien en détention d'une personne, soit sa liberté, en dépend. Cela étant, il sied in casu de tenir compte du besoin d'interprétation de la demande d'extradition, de la controverse juridique prévalant au sujet de l'inclusion de la violation des droits de visite dans le champ d'application de l'<ref-law>, dont les répercussions sur l'observation du principe de la double-incrimination étaient déterminantes, ainsi que du dépôt par l'intimée d'une demande de mise en liberté le 7 décembre 2006, qui est intervenu quelques jours seulement après la réception de la demande d'extradition par l'Office fédéral. Ces problèmes complexes étaient à même de justifier que les agents de l'autorité en charge du dossier d'extradition de l'intimée emploient quelques jours ouvrables supplémentaires au temps ordinairement requis pour traiter de telles affaires. Il découle de ces circonstances particulières que le temps mis par l'Office fédéral avant de demander un complément d'information aux Etats-Unis était conforme au droit. De la sorte, le maintien en détention de l'intimée jusqu'au 17 décembre 2006, date coïncidant de surcroît avec l'échéance du délai prolongé que la Suisse avait accordé aux Etats-Unis afin de déposer leur demande d'extradition, n'était pas illicite et l'Office fédéral ne peut se voir reprocher un manque de diligence.
4.4. Il suit des considérants qui précèdent qu'en qualifiant d'illégale la détention extraditionnelle de l'intimée durant la période du 1er au 17 décembre 2006, de manière à retenir un acte illicite au sens de la LRCF, le Tribunal administratif fédéral a rendu un arrêt non conforme au droit. Les griefs que le recourant tire de la violation des art. 3 al. 1 et 12 LRCF, ainsi que du droit international conventionnel, en particulier des art. 10 et 13 al. 4 TExUS étant par conséquent fondés, le présent recours doit être admis.
5.
La détention extraditionnelle qu'a subie l'intimée au cours de la période du 1er au 17 décembre 2006 devant être considérée comme licite (cf. consid. 4 supra ), la Cour de céans vérifiera, dans l'objectif de ne pas prolonger à l'excès ni compliquer inutilement la procédure, dans quelle mesure cette détention ne se révèlerait pas toutefois injustifiée, les éléments de fait pour trancher cette question étant en effet suffisants.
5.1. La notion générale de la détention injustifiée a été abordée précédemment (cf. consid. 3.1 supra ). D'après la jurisprudence, la détention extraditionnelle se révèle notamment injustifiée si l'extradition n'est pas accordée (<ref-ruling> consid. 2c/aa p. 424; arrêts 1C_239/2008 du 15 septembre 2008 consid. 2.2; 8G.64/2000 du 10 avril 2001 consid. 3a).
En l'espèce, l'intimée a été placée en détention provisoire à titre extraditionnel à partir du 18 octobre 2006. Sa détention s'est révélée licite jusqu'au 17 décembre 2006, la période ultérieure ne faisant pas l'objet du présent recours. La détention extraditionnelle a été levée par arrêt du Tribunal pénal fédéral du 29 janvier 2007, sans que la demande d'extradition américaine n'aboutisse et sans que l'Office fédéral n'interjette recours contre l'arrêt ordonnant la mise en liberté immédiate de l'intimée. La demande formelle d'extradition n'ayant pas été accordée, la phase de détention allant du 1er au 17 décembre 2006 s'avère partant injustifiée. A ce titre, les motifs pour lesquels l'Office fédéral dit avoir renoncé à recourir contre l'ordre de mise en liberté n'importent pas. Le mandat d'arrêt et le nouvel acte d'accusation, émis le 20 décembre 2006, que les Etats-Unis ont transmis à l'Office fédéral par téléfax du 11 janvier 2007 et par lequel ils ont étendu les charges pénales au non-respect du droit de garde par X._, n'y changent rien non plus. Il sera ajouté à ce propos que la jurisprudence que cite l'Office fédéral (cf. arrêt 1C_34/2008 du 8 février 2008 consid. 1.2) afin d'étayer la possibilité pour un mandat d'arrêt de couvrir des faits commis après son émission aborde la question de l'extension de l'inculpation jusqu'à la formulation de la demande formelle d'extradition; elle ne peut être interprétée comme autorisant l'Etat requérant de fonder a posteriori sa demande initiale irrecevable sur de nouveaux éléments matériels qui n'étaient pas couverts par ladite requête, sans procéder au dépôt d'une nouvelle demande d'entraide en bonne et due forme (cf. Zimmermann, op. cit., n. 304 p. 284). Au demeurant, ces nouveaux actes ont non seulement été produits passée l'échéance du délai, qui plus est prolongé en vertu de l'art. 13 ch. 4 TExUS; mais leur création postérieure au dépôt de la demande d'extradition du 29 novembre 2006 confirme de plus que ladite demande n'avait pas eu pour objet de mettre en cause l'intimée pour violation des droits de garde subséquemment transférés au père des enfants.
5.2. La nature injustifiée de la détention extraditionnelle subie entre le 1er et le 17 décembre 2006 (consid. 5.1 supra ) ouvre en principe le droit à une indemnité de ce chef, dès lors que la Confédération encourt une responsabilité causale face à une personne poursuivie qui a subi une détention préventive injustifiée (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 423; arrêt 1C_239/2008 du 15 septembre 2008 consid. 2.2). Selon la jurisprudence, toute détention, surtout de longue durée, constitue une grave atteinte à la personnalité (arrêt G.27/1992 du 31 août 1992 consid. 3a, non publié aux <ref-ruling>). En l'espèce, il ne résulte pas du dossier et les participants à la procédure ne le soutiennent pas que l'intéressée aurait fautivement provoqué ou entravé les opérations de l'instruction, de sorte à perdre tout droit à une indemnité. Partant, l'intimée peut prétendre au versement d'une indemnité pour détention injustifiée pour la période litigieuse du 1er au 17 décembre 2006.
5.3. Pour des raisons d'économie de procédure, la Cour de céans statuera directement sur la question de l'indemnisation, sans qu'il y ait lieu de renvoyer la cause à l'autorité compétente. A ce titre, il sied de rappeler que l'allocation d'une indemnité pour détention injustifiée, de même que la fixation de sa quotité s'inspirent de raisons d'équité, en particulier pour ce qui a trait au versement d'une indemnité pour tort moral (cf. <ref-ruling> consid. 7a p. 71; <ref-ruling> consid. 2b p. 422 s.; FF 1929 II 607, p. 649).
En l'espèce, il est possible de s'inspirer du montant que l'intimée s'était vu allouer par le Tribunal pénal fédéral dans son arrêt du 2 juin 2009 (RR.2008.231), contre lequel l'intéressée n'avait du reste pas recouru. Les critères dont s'est servi le Tribunal pénal fédéral pour parvenir audit montant sont en effet conformes à la jurisprudence du Tribunal fédéral (cf. arrêt 4C_145/1994 du 12 février 2002 consid. 5b, jurisprudence notamment reprise in arrêts 4C.355/1997 du 8 mars 2005 consid. 10.3.2.1 et 8C_910/2011 du 27 juillet 2012 consid. 5.1; cf. aussi <ref-ruling> consid. 4c p. 9; arrêt 4A_197/2011 du 20 juin 2011 consid. 2.4 ). Il s'est agi de la somme de 11'000 fr., avec intérêt annuel de 5 % dès la date moyenne du 8 novembre 2006, concernant la période du 18 octobre au 30 novembre 2006; ce montant correspondait à une indemnité de 250 fr. par jour de détention injustifiée. Il n'existe de plus aucune raison justifiant d'allouer une indemnisation plus élevée à l'intimée, qui ne s'en est d'ailleurs pas prévalue dans ses observations, compte tenu également du fait que la durée globale de la détention extraditionnelle peut encore être considérée comme étant courte et que cette forme de détention constitue la règle (cf. arrêt G.27/1992 précité, consid. 3a).
Statuant ex aequo et bono, la Cour de céans appliquera en conséquence le taux d'indemnité journalier (250 fr.) retenu par le Tribunal pénal fédéral pour la période du 18 octobre au 30 novembre 2006 aussi à la période de détention injustifiée subséquente du 1er au 17 décembre 2012. Un montant de 4'250 fr. sera ainsi alloué à la recourante; ce montant portera intérêt annuel de 5 % à partir de la date moyenne du 9 décembre 2006 (cf., à ce sujet, <ref-ruling> consid. 4c p. 9; arrêt 4A_197/2011 du 20 juin 2011 consid. 2.4; <ref-law> par analogie). L'intimée aura également droit à une indemnité à titre de dépens en relation avec la détention injustifiée subie (cf. arrêt 1A.267/2005 du 14 décembre 2005 consid. 5).
6.
En résumé, les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours, dans le sens que l'arrêt entrepris est partiellement annulé en tant qu'il porte sur la période de détention allant du 1er au 17 décembre 2006, qui seule fait l'objet de la présente procédure. Contrairement à ce qu'a retenu le Tribunal administratif fédéral, la détention subie par l'intimée durant cette période n'a en effet pas été illicite; elle s'est toutefois révélée injustifiée. Par conséquent, le Tribunal fédéral, usant de son pouvoir de réforme (art. 107 al. 2 in initio LTF) et pour des motifs liés à l'économie de procédure, allouera à l'intimée un montant de 4'250 fr., avec intérêt annuel de 5 % à partir de la date du 9 décembre 2006, à titre d'indemnisation globale pour la détention injustifiée pour la période du 1er au 17 décembre 2006.
7.
Compte tenu de l'issue du litige, il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires (cf. art. 66 al. 1 et 4 LTF). L'intimée, qui se voit allouer une indemnité pour détention injustifiée, aura droit à des dépens, à charge de la Confédération (art. 68 al. 1 et 3 LTF). Au vu de l'issue du litige, il n'y a pas lieu de modifier le prononcé de l'arrêt attaqué par rapport aux frais et dépens en lien avec la procédure accomplie devant le Tribunal administratif fédéral (cf. art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis dans le sens des considérants. L'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 13 mars 2012 est partiellement annulé en tant qu'il concerne la période de détention extraditionnelle du 1er au 17 décembre 2006. Il est confirmé pour le surplus.
2.
Il est constaté que la détention extraditionnelle subie par l'intimée entre le 1er et le 17 décembre 2006 était injustifiée.
3.
La Confédération versera à l'intimée une indemnité pour détention injustifiée de 4'250 fr., avec intérêt au taux annuel de 5 % dès le 9 décembre 2006.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
La Confédération versera à l'intimée une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
6.
Le présent arrêt est communiqué au Département fédéral des finances, à la mandataire de l'intimée, au Tribunal administratif fédéral, Cour I, ainsi que, à titre d'information, à l'Office fédéral de la Justice et au Tribunal pénal fédéral.
Lausanne, le 19 novembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton