Sachverhalt:
A. Die IV-Stelle des Kantons Luzern lehnte das Leistungsgesuch des 1957 geborenen M._ mit Einspracheentscheid vom 14. Juli 2006 mangels rentenbegründenden Invaliditätsgrades ab. Nachdem das Bundesgericht den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, die unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeverfahren zu verweigern, bestätigt hatte (Urteil I 916/06 vom 18. Januar 2007), wies das kantonale Gericht die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde am 19. September 2007 ab. Auf eine Neuanmeldung vom 31. Mai 2008 trat die IV-Stelle nicht ein (durch Entscheid des kantonalen Gerichts vom 16. Juli 2010 bestätigte Verfügung der IV-Stelle vom 9. Juli 2008).
Mit Schreiben vom 25. August 2009 meldete sich M._ wiederum zum Leistungsbezug an und reichte verschiedene ärztliche Berichte ein. Die IV-Stelle trat erneut nicht darauf ein; der Gesundheitszustand habe sich nicht verändert (Verfügung vom 5. November 2010).
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 6. Oktober 2011).
C. M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle anzuweisen, auf das Gesuch vom 25. August 2009 einzutreten. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.
D. In einer Eingabe vom 10. Februar 2012 beantragt der Beschwerdeführer die Sistierung des Verfahrens.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer verlangt unter Hinweis auf eine laufende rheumatologische Abklärung, das Verfahren sei zu sistieren. Dieses nach Abschluss des Schriftenwechsels eingegangene Gesuch ist gegenstandslos. Zu beurteilen ist allein, ob die Verwaltung im Zeitpunkt der strittigen Verfügung vom 5. November 2010 aufgrund des damaligen Standes der Akten auf die Neuanmeldung nicht eintreten durfte.
2. 2.1 Ist die Invalidenrente wegen eines zu geringen Invaliditätsgrades verweigert worden, so prüft die Verwaltung eine neue Anmeldung nur, wenn im Gesuch glaubhaft gemacht wird, dass sich der Grad der Invalidität seit der letzten rechtskräftigen, auf einer umfassenden Prüfung des Rentenanspruchs beruhenden Entscheidung in einer für den Anspruch erheblichen Weise geändert hat (Art. 87 Abs. 4 in Verbindung mit Abs. 3 IVV; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72 und E. 3.2.3 S. 75). Wenn dies nicht gelingt, wird auf das Gesuch nicht eingetreten. Ist die anspruchserhebliche Änderung glaubhaft gemacht, sieht sich die Verwaltung verpflichtet, auf das neue Leistungsbegehren einzutreten und es in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht umfassend zu prüfen (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 200).
2.2 Strittig ist, ob die IV-Stelle mangels glaubhaft gemachter Verschlechterung des Gesundheitszustandes zu Recht nicht auf die Neuanmeldung vom 25. August 2009 eingetreten ist.
3. 3.1 Die mit der Neuanmeldung vorgelegten ärztlichen Angaben werden mit den gesundheitlichen Verhältnissen verglichen, wie sie bei der letzten materiellen Prüfung im Sommer 2006 festgestellt worden sind.
3.1.1 Im Gutachten vom 18. März 2005 hatte die MEDAS X._ festgehalten, es liege eine hereditäre Hämochromatose "ohne Hinweise auf eine mögliche Arthropathie" vor. Das Bundesgericht ging denn auch davon aus, die Hämochromatose zeitige keine funktionellen Auswirkungen (Urteil I 916/06 vom 18. Januar 2007 E. 2.4):
"Die ärztlichen Stellungnahmen zum betreffenden Befund und seinen Auswirkungen sind einhellig. Hämatologen der Medizinischen Klinik am Kantonsspital V._ stellten eine (reversible) Hepatopathie fest, jedoch keine Kardiopathie und auch keine Arthropathie. Es bestünden Rückenschmerzen (mit anderer Pathogenese), aber keine (arthralgischen) Beschwerden an den peripheren Gelenken. Bei konsequenter Aderlasstherapie sei die Prognose bezüglich der - früh diagnostizierten - Hämochromatose, welche ohne Endorganschädigung geblieben sei, gut, die Lebenserwartung normal (Bericht vom 14. Januar 2003). Am 9. Januar und 9. Juni 2006 wurde das Ausbleiben einer Arthropathie von gleicher Stelle bestätigt. Auch nach Auffassung des Rheumatologen und Internisten Dr. K._ ist ein Zusammenhang der bestehenden Gelenkschmerzen mit der Hämochromatose "unwahrscheinlich". Es gebe keine objektivierbaren Hinweise auf entsprechende skelettale Veränderungen (Bericht vom 2. November 2005). Der Hausarzt des Beschwerdeführers gibt die diesbezüglichen spezialärztlichen Befunde unverändert wieder; seinen Verlaufsberichten zuhanden der Invalidenversicherung ist nicht zu entnehmen, dass er die attestierte vollständige Arbeitsunfähigkeit aus den Folgen der Hämochromatose ableitet. Die Schlussfolgerung der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) X._, die hereditäre Hämochromatose bringe keine wesentliche Einschränkung der Arbeitsfähigkeit (Gutachten vom 18. März 2005), entspricht mithin allen anderen fachärztlichen Einschätzungen. Da die behandelnden Ärzte keine wichtigen Aspekte benennen, die im Rahmen der Begutachtung unerkannt oder ungewürdigt geblieben sind, wären zusätzliche Abklärungen nicht gerechtfertigt (vgl. Urteil T. vom 27. November 2006, I 663/05, Erw. 2.2.2 mit Hinweisen). Ebenso wenig besteht Grund anzunehmen, dass sämtliche Mediziner, die sich zur Hämochromatose geäussert haben, den Umfang des Untersuchungsbedarfs verkannt haben könnten."
Mithin lagen bis zum Abschluss des letzten Verwaltungsverfahrens mit umfassender Anspruchsprüfung (Einspracheentscheid vom 14. Juli 2006) keine Anhaltspunkte für eine (durch die Hämochromatose bedingte) Arthropathie vor.
3.1.2 Der rheumatologische Bericht des Kantonsspitals V._ vom 9. September 2008 enthält erstmalig fachärztliche Hinweise auf eine derartige Krankheitsfolge. Im Diagnosekatalog wird eine Hämochromatose-Arthropathie vermerkt. Diese sei mit "Anamnese und Klinik" gut vereinbar. Schwerpunktmässig befallen seien Hände und Füsse "mit derben Schwellungen in Betonung auf die MCP-Gelenke" (Fingergrundgelenke). Differentialdiagnostisch seien eine Kristallarthropathie oder Gicht zu diskutieren. Obwohl die klinische und radiologische Präsentation eher für eine Arthropathie im Rahmen der Hämochromatose spreche, solle "bei Auftreten eines punktionswürdigen Ergusses eine Gelenkspunktion angestrebt werden zum Kristallnachweis/-ausschluss". Zur Behandlung der Hämosiderose-Arthropathie habe sich keine Basistherapie etabliert; die Arthropathie könne unabhängig von der Behandlung der Eisenüberladung fortschreiten.
Die vor Abschluss des Verwaltungsverfahrens (Verfügung vom 5. November 2010) neu dokumentierten Elemente werden in einem weiteren rheumatologischen Bericht des Kantonsspitals V._ vom 6. Dezember 2010 (Untersuchung: 5. November 2010) wieder aufgenommen. Die Beurteilung entspricht im Wesentlichen derjenigen vom Herbst 2008. Allerdings wurde jetzt nurmehr eine Verdachtsdiagnose gestellt. Im neuesten Bericht des Kantonsspitals V._ vom 4. Mai 2011 wird aus hämatologischer Sicht vermerkt, das vom Patienten geklagte Ausbleiben einer Besserung der Gelenkbeschwerden unter Aderlasstherapie sei dem Umstand geschuldet, dass "ein bereits bestehender Gelenkschaden im Rahmen der Hämochromatose nicht reversibel ist. Ziel der Aderlasstherapie ist es, durch Eisenüberladung bedingte Schäden an anderen Organen wie Herz, Leber und Drüsen zu verhindern".
3.2 Die Vorinstanz erkannte, es liege keine massgebende Verschlechterung vor. Die Verwaltung sei zu Recht nicht auf die Neuanmeldung vom 25. August 2009 eingetreten, weil keine neuen objektiven Befunde dargetan seien, die für eine erhebliche Verschlechterung des Gesundheitszustandes sprächen. Die Diagnose einer Hämochromatose-Arthropathie beruhe nur auf einer Vermutung. Ebenfalls nicht auf objektive Befunde abgestützt seien die Differentialdiagnosen Kristallarthropathie oder Gicht. Blosse Behauptungen oder Vermutungen reichten nicht für ein Glaubhaftmachen; es müssten klare Anhaltspunkte für eine Veränderung bestehen (E. 3 S. 6 ff.).
3.2 Die Vorinstanz erkannte, es liege keine massgebende Verschlechterung vor. Die Verwaltung sei zu Recht nicht auf die Neuanmeldung vom 25. August 2009 eingetreten, weil keine neuen objektiven Befunde dargetan seien, die für eine erhebliche Verschlechterung des Gesundheitszustandes sprächen. Die Diagnose einer Hämochromatose-Arthropathie beruhe nur auf einer Vermutung. Ebenfalls nicht auf objektive Befunde abgestützt seien die Differentialdiagnosen Kristallarthropathie oder Gicht. Blosse Behauptungen oder Vermutungen reichten nicht für ein Glaubhaftmachen; es müssten klare Anhaltspunkte für eine Veränderung bestehen (E. 3 S. 6 ff.).
3.3 3.3.1 Der Untersuchungsgrundsatz, wonach das Gericht von Amtes wegen für die richtige und vollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts sorgt, kommt im Rahmen von Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV nicht zum Tragen. Die versicherte Person ist somit beweisführungsbelastet, was den Eintretenstatbestand angeht (<ref-ruling> E. 5.2.5 S. 68). Indessen verdrängt diese Last den Untersuchungsgrundsatz nur soweit, wie der Zweck der Eintretensvoraussetzung es erfordert: Verhindert werden soll, dass sich die Verwaltung immer wieder mit gleichlautenden und nicht näher begründeten, das heisst keine Veränderung des Sachverhalts darlegenden Rentengesuchen befassen muss (<ref-ruling> E. 5.3.1 S. 112 mit Hinweisen).
3.3.2 Die herabgesetzte Beweisanforderung des Glaubhaftmachens ist dieser Zielsetzung entsprechend zu handhaben. Somit muss es genügen, dass für den geltend gemachten rechtserheblichen Sachumstand wenigstens gewisse Anhaltspunkte bestehen, auch wenn durchaus noch mit der Möglichkeit zu rechnen ist, bei eingehender Abklärung werde sich die behauptete Sachverhaltsänderung nicht erstellen lassen (Urteil 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 2.2.2; Urteil 9C_68/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 4.4.1; in <ref-ruling> nicht publizierte E. 1c/aa des Urteils I 724/99 vom 5. Oktober 2001). Dagegen liegt von vornherein keine erhebliche Sachverhaltsänderung vor, wenn aus dem bereits im Zeitpunkt der ursprünglichen Verfügung gegebenen Sachverhalt bloss andere Schlussfolgerungen gezogen werden (SVR 2003 IV Nr. 25 S. 76, I 238/02 E. 2.3; Urteil I 633/03 vom 9. Juni 2004 E. 4.2).
3.3.2 Die herabgesetzte Beweisanforderung des Glaubhaftmachens ist dieser Zielsetzung entsprechend zu handhaben. Somit muss es genügen, dass für den geltend gemachten rechtserheblichen Sachumstand wenigstens gewisse Anhaltspunkte bestehen, auch wenn durchaus noch mit der Möglichkeit zu rechnen ist, bei eingehender Abklärung werde sich die behauptete Sachverhaltsänderung nicht erstellen lassen (Urteil 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 2.2.2; Urteil 9C_68/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 4.4.1; in <ref-ruling> nicht publizierte E. 1c/aa des Urteils I 724/99 vom 5. Oktober 2001). Dagegen liegt von vornherein keine erhebliche Sachverhaltsänderung vor, wenn aus dem bereits im Zeitpunkt der ursprünglichen Verfügung gegebenen Sachverhalt bloss andere Schlussfolgerungen gezogen werden (SVR 2003 IV Nr. 25 S. 76, I 238/02 E. 2.3; Urteil I 633/03 vom 9. Juni 2004 E. 4.2).
3.4 3.4.1 Abweichend von diesen Vorgaben behandeln die vorinstanzlichen Erwägungen im Grunde genommen die Frage, ob eine anspruchserhebliche Veränderung tatsächlich ausgewiesen sei. Dies ist im Rahmen des Eintretens noch nicht Beweisthema. Für das kantonale Gericht scheitert das Glaubhaftmachen wesentlich daran, "dass die Arthropathie nur vermutet wird" (E. 3a). Dies schliesst indessen nicht aus, dass eine anspruchserhebliche Sachverhaltsänderung im Sinne von Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV glaubhaft ist. Weil für das Eintreten auf eine Neuanmeldung Anhaltspunkte genügen, besteht wie erwähnt immer die Möglichkeit, dass sich der - zunächst glaubhafte - Sachverhalt schliesslich nicht erstellen lässt. Zur Begründung ihrer Schlussfolgerung bezieht sich die Vorinstanz auch auf die im Raum stehenden Differentialdiagnosen Kristallarthropathie und Gicht. Doch schliessen die medizinischen Akten nicht aus, dass eine anderweitig (als durch die Hämochromatose) neu entstandene Arthropathie ihrerseits erhebliche neue funktionelle Folgen zeitigen könnte. Weiter kann der Vorinstanz bezüglich des Spitalberichts vom 9. September 2008 nicht gefolgt werden, soweit sie ihm entnimmt, "objektive Befunde oder radiologische Veränderungen, welche die rheumatologischen Beschwerden auf eine Arthropathie zurückführen liessen", seien "nicht gegeben" (angefochtener Entscheid, a.a.O.). Die berichtenden Rheumatologinnen halten vielmehr fest, die klinische und radiologische Präsentation spreche eher für eine Arthropathie im Rahmen der Hämochromatose. Gleichwohl solle "bei Auftreten eines punktionswürdigen Ergusses eine Gelenkspunktion angestrebt werden zum Kristallnachweis/-ausschluss". Angesichts dieser fachärztlichen Ausführungen kann nicht auf die Schlussfolgerungen des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) der Invalidenversicherung (Protokolleintrag vom 6. September 2010) abgestellt und abschliessend angenommen werden, Schwellungen an Händen und Fingern seien "bei radiologisch fehlenden Hinweisen auf erosive/entzündliche Veränderungen (...) auf die objektivierbaren geringgradigen altersentsprechenden degenerativen Veränderungen zurückzuführen" (angefochtener Entscheid, a.a.O.).
3.4.2 Mit der im Bericht des Kantonsspitals V._ vom 6. Dezember 2010 gestellten Verdachtsdiagnose einer Hämochromatose-Arthropathie kommt zum Ausdruck, dass die endgültige diagnostische Bestätigung noch aussteht. Gleichwohl bleiben hinreichende Anhaltspunkte für eine substantielle, nicht von vornherein leistungsunerhebliche Veränderung des Gesundheitszustandes. Da sich die (Verdachts-) Diagnose auf klinische Beobachtungen abstützt, kann schliesslich nicht davon ausgegangen werden, sie zeige keine erhebliche Sachverhaltsänderung an, sondern beruhe bloss auf einer abweichenden Schlussfolgerung (vgl. oben E. 3.3.2).
4. Das kantonale Gericht hat nach dem Gesagten rechtlich zu hohe Anforderungen an die Glaubhaftmachung gestellt (Urteil 9C_68/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 4.4.2; vgl. Urteil 9C_752/2008 vom 9. April 2009). Daher muss die Verwaltung auf die Neuanmeldung eintreten, unter anderem die zum Leistungsentscheid notwendigen (interdisziplinär-)medizinischen Unterlagen einholen und über den Rentenanspruch entscheiden.
5. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Dem obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer stehen Parteientschädigungen zu (Art. 68 Abs. 1 und 5 BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 6. Oktober 2011 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Luzern vom 5. November 2010 werden aufgehoben. Die IV-Stelle wird verpflichtet, auf die Neuanmeldung vom 25. August 2009 einzutreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Februar 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub