Faits:
A.
Le 28 juin 2012, la Cour des affaires pénales du Tribunal pénal fédéral (ci-après: la Cour des affaires pénales) a reconnu A._ coupable de participation à une organisation criminelle, de blanchiment d'argent aggravé répété, de vols répétés, de vols répétés d'importance mineure, de dommage à la propriété, de violations répétées de domicile, de recel d'importance mineure, d'acquisition et de consommation de stupéfiants. Il a notamment été condamné à une peine privative de liberté de 78 mois, sous déduction des 837 jours de détention provisoire subis. Ce même jour, l'autorité susmentionnée a prononcé le maintien en détention pour des motifs de sûreté de A._; cette mesure a été prolongée par décisions du 30 octobre 2012, du 29 janvier et du 25 juillet 2013.
Par arrêt du 23 septembre 2013 (cause 6B_125/2013), le Tribunal fédéral a annulé le jugement du 28 juin 2012, considérant que le droit d'être entendu de A._ avait été violé. Il a renvoyé le dossier à l'autorité précédente, lui enjoignant d'obtenir des informations s'agissant de la retranscription en français des conversations téléphoniques tenues en langue étrangère (méthode appliquée, identité des personnes ayant participé à ce processus, instructions reçues).
Le 7 octobre 2013, la Cour des affaires pénales a requis auprès du Tribunal des mesures de contrainte du canton de Vaud (Tmc) la prolongation de la détention pour motifs de sûreté, demande remplacée le 9 suivant par une requête de mise en détention. Par ordonnance du 10 octobre 2013, le Tmc a ordonné la détention pour motifs de sûreté de A._ jusqu'au 7 avril 2014, décision confirmée le 11 novembre 2013 par la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral (ci-après: la Cour des plaintes).
Par décision du 15 novembre 2013, la Cour des affaires pénales a renvoyé l'accusation au Ministère public de la Confédération (MPC) pour complément d'instruction, se dessaisissant de la cause. Ce même jour, A._ a requis sa mise en liberté immédiate au motif que sa détention ne reposait sur aucune titre juridique valable, demande qui a été rejetée le 26 novembre 2013 par le Tmc; celui-ci a en outre constaté que le prévenu était en détention provisoire jusqu'au 7 avril 2014.
B.
Le 23 décembre 2013, la Cour des plaintes a admis partiellement le recours intenté par A._ contre cette décision. En raison du renvoi par la Cour des affaires pénales de la cause au MPC, l'autorité de jugement a considéré que la détention effectuée entre le 22 et le 26 novembre 2013 ne reposait sur aucun titre juridique valable, violation qui pouvait être réparée par une constatation de l'irrégularité, une admission partielle du recours sur ce point, la mise à charge de l'Etat des frais de justice, ainsi que l'octroi de pleins dépens. La Cour des plaintes a en revanche estimé qu'au vu des charges pesant sur l'intéressé et de la peine prévisible, la durée de la détention subie (45 mois) demeurait proportionnée. Elle a enfin renvoyé à sa décision du 11 novembre 2013 s'agissant de l'existence des soupçons suffisants, ainsi que du risque de fuite.
C.
Par acte daté du 27 décembre 2013, A._ forme un recours en matière pénale contre ce jugement. Il conclut en substance à sa libération immédiate, ainsi qu'à la constatation dans le jugement attaqué que la détention subie entre le 22 et le 25 novembre 2013 était illégale. Il requiert, à titre subsidiaire, son annulation et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Il sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
L'autorité précédente a renoncé à se déterminer, tandis que le MPC a conclu au rejet du recours, sans former d'observations. Le 21 janvier 2014, le recourant a déposé des déterminations complémentaires, persistant dans ses conclusions.

Considérant en droit:
1.
Selon l'<ref-law>, le recours en matière pénale est recevable contre les décisions du Tribunal pénal fédéral portant sur des mesures de contrainte, notamment les décisions relatives à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law>. Le recourant, en tant que prévenu, a qualité pour agir en vertu de l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF et le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>). Si le recours ne contient aucune motivation en lien avec la conclusion relative à la constatation de la durée de la détention illégale - les exigences posées à l'<ref-law> n'étant ainsi pas remplies -, il y a tout de même lieu d'entrer en matière dans la mesure où celle tendant à sa remise en liberté est recevable (<ref-law>).
2.
A titre de mesure d'instruction, le recourant requiert la production de l'intégralité du dossier en main du MPC. La Cour de céans est cependant en possession d'une part substantielle du dossier qui lui permet de statuer sur la détention provisoire du recourant. Au surplus, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>) et ceux-ci n'ont pas été remis en cause par le recourant. Pour chacun de ces deux motifs, il n'y a pas lieu de donner suite à cette requête.
3.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant soutient que son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) aurait été violé par la juridiction précédente dès lors que celle-ci n'aurait pas détaillé la peine prévisible, ni les pièces sur lesquelles elle se serait fondée pour établir la liste des infractions indiquées dans son considérant 4.1.3.
Ce faisant, le recourant reproche en substance à la Cour des plaintes d'avoir motivé de manière insuffisante sa décision (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 183). Toutefois, il se trompe dès lors que les chefs d'infraction ressortant du jugement précédent correspondent à ceux retenus dans l'acte d'accusation émis le 26 janvier 2012 par le MPC, ainsi qu'à ceux mentionnés dans les déterminations du 20 novembre 2013 de ce dernier par rapport à la requête de mise en liberté à l'origine de cette procédure. Ces pièces ont été transmises au recourant par l'intermédiaire de son mandataire et figurent dans le dossier du Tmc. Ce sont également ces mêmes chefs de prévention qui étaient indiqués dans la décision de la Cour des plaintes du 11 novembre 2013 (cf. le consid. 3.8 p. 13 s. dudit arrêt), jugement que le recourant n'a pas contesté et auquel il est expressément renvoyé à plusieurs reprises dans l'arrêt attaqué. Quant à la peine prévisible, l'indication des normes légales (art. 260ter al. 1 et 3, 305bis ch. 2, 139 ch. 2 et 3, 144, 160 CP, 19 et 19a de la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes [LStup; RS 812.121 ]) suffit pour connaître le cadre de la peine encourue dès lors que le recourant est assisté d'un mandataire professionnel, personne à même de lui donner cette information, ainsi que de lui expliquer les règles sur le concours (cf. <ref-law>).
Partant, le grief de violation du droit d'être entendu est dénué de pertinence et doit être écarté.
4.
Le recourant reproche aux juges précédents une violation de l'<ref-law>, ainsi que des principes de proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst.) et de célérité de la procédure (<ref-law> et 10 Cst.). Selon lui, au vu de l'annulation du jugement de la Cour des affaires pénales du 28 juin 2012, il n'existerait plus de soupçons suffisants pouvant justifier son maintien en détention. En effet, les écoutes téléphoniques qui fondaient les préventions de blanchiment d'argent et de participation à une organisation criminelle ne seraient pas exploitables et ainsi les charges encore possibles à son encontre (notamment des vols et du recel) n'impliqueraient pas la durée de la détention subie à ce jour.
5.
Une mesure de détention préventive n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst., <ref-law>). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP).
5.1. Préalablement à l'examen de ces hypothèses, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes ou des indices sérieux de culpabilité (<ref-law>, art. 5 § 1 let. c CEDH), c'est-à-dire des raisons plausibles de le soupçonner d'avoir commis une infraction. Il n'appartient cependant pas au juge de la détention de procéder à une pesée complète des éléments à charge et à décharge et d'apprécier la crédibilité des personnes qui mettent en cause le prévenu. Il doit uniquement examiner s'il existe des indices sérieux de culpabilité justifiant une telle mesure. L'intensité des charges propres à motiver un maintien en détention préventive n'est pas la même aux divers stades de l'instruction pénale; si des soupçons, même encore peu précis, peuvent être suffisants dans les premiers temps de l'enquête, la perspective d'une condamnation doit apparaître vraisemblable après l'accomplissement des actes d'instruction envisageables (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 126 s.; <ref-ruling> consid. 3c p. 146).
En l'espèce, contrairement à ce que soutient le recourant, le juge de la détention ne se prononce pas en se référant aux seules infractions que le prévenu semble admettre (cf. mémoire de recours ad 8 et 9 p. 9 s.). Il ne résulte en outre pas de l'annulation du jugement de la Cour des affaires pénales pour des motifs d'ordre formel l'abandon de l'instruction concernant les chefs de prévention de participation à une organisation criminelle et de blanchiment d'argent. Si l'autorité susmentionnée a considéré le 15 novembre 2013 que les écoutes téléphoniques et leur traduction ne pouvaient pas être utilisées en l'état pour parvenir à un jugement de culpabilité, il ne peut en être déduit, ainsi que le prétend le recourant, que les vices de forme les concernant seraient irréparables - le renvoi pour complément d'instruction indique d'ailleurs précisément quelles mesures permettront de les réparer - ou que ces pièces seraient inexploitables dans le cadre du contrôle de la détention où le juge examine l'existence des forts soupçons de commission d'infractions sous l'angle de la vraisemblance. Dès lors, la Cour des plaintes pouvait en tenir compte dans son raisonnement. Statuant à peine un mois après un examen détaillé des circonstances, l'autorité précédente pouvait également renvoyer aux considérations alors émises sur cette question, soit en particulier que les écoutes téléphoniques et leur traduction, certes entachées de vices, suffisaient pour retenir l'existence de forts soupçons de la commission notamment des deux infractions susmentionnées (cf. consid. 4.3 du jugement attaqué renvoyant au consid. 3.4 de la décision du 11 novembre 2013); le recourant - qui ne soutient pas que la situation aurait évolué - ne remet d'ailleurs en question ni ce renvoi, ni le raisonnement alors tenu.
5.2. Conformément à l'<ref-law>, la détention pour des motifs de sûreté peut être ordonnée s'il y a sérieusement lieu de craindre que le prévenu se soustraie à la procédure pénale ou à la sanction prévisible en prenant la fuite. Selon la jurisprudence, le risque de fuite doit s'analyser en fonction d'un ensemble de critères tels que le caractère de l'intéressé, sa moralité, ses ressources, ses liens avec l'État qui le poursuit ainsi que ses contacts à l'étranger, qui font apparaître le risque de fuite non seulement possible, mais également probable. La gravité de l'infraction ne peut pas, à elle seule, justifier la prolongation de la détention, même si elle permet souvent de présumer un danger de fuite en raison de l'importance de la peine dont le prévenu est menacé (<ref-ruling> consid. 3a p. 62 et les arrêts cités). Il est enfin sans importance que l'extradition du prévenu puisse être obtenue (<ref-ruling> consid. 3d p. 36 s.).
En l'occurrence, le recourant ne critique pas les motifs retenus sur cette question par la Cour des plaintes (absences de titre de séjour et d'attache en Suisse [cf. consid. 4.3 du jugement attaqué renvoyant au consid. 3.6 de la décision du 11 novembre 2013]). Il ne prétend pas non plus qu'il restera en Suisse, puisqu'il évoque la possibilité d'obtenir un sauf-conduit pour revenir assister aux débats. Quant à l'intérêt allégué de comparaître afin que les juges ne statuent pas de manière excessive, il ne suffit pas à garantir que le recourant ne se soustraie pas à l'action pénale au vu des charges et de la peine encourue. Il en va de même du dépôt de son passeport, mesure qui n'empêche pas une personne dans la situation du recourant de passer une frontière, ni d'ailleurs de commettre de nouveaux actes délictueux. Vu l'existence avérée du danger de fuite, il n'y a pas lieu d'examiner la question du risque de réitération.
5.3. En vertu des art. 31 al. 3 Cst. et 5 § 3 CEDH, toute personne qui est mise en détention préventive a le droit d'être jugée dans un délai raisonnable ou d'être libérée pendant la procédure pénale. Une durée excessive de la détention constitue une limitation disproportionnée de ce droit fondamental, qui est notamment violé lorsque la durée de la détention préventive dépasse la durée probable de la peine privative de liberté à laquelle il faut s'attendre. L'<ref-law> prévoit ainsi que la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté ne doit pas durer plus longtemps que la peine privative de liberté prévisible. Le juge peut dès lors maintenir la détention préventive aussi longtemps qu'elle n'est pas très proche de la durée de la peine privative de liberté à laquelle il faut s'attendre concrètement en cas de condamnation. Il convient d'accorder une attention particulière à cette limite, car le juge - de première instance ou d'appel - pourrait être enclin à prendre en considération dans la fixation de la peine la durée de la détention préventive à imputer selon l'<ref-law>. La possibilité d'un sursis, voire d'un sursis partiel, n'a en principe pas à être prise en considération dans l'examen de la proportionnalité de la détention préventive (arrêt 1B_338/2013 du 16 octobre 2013 consid. 3.1 destiné à la publication et les références citées).
Lorsqu'un appel est formé contre le jugement de première instance, ce prononcé, non définitif et exécutoire, constitue cependant un indice important quant à la peine susceptible de devoir être finalement exécutée; en particulier, le juge de la détention - saisi en application des <ref-law> -, ne peut faire abstraction de l'existence d'un appel du Ministère public tendant à l'aggravation de la peine, devant alors examiner prima facie les chances de succès d'une telle démarche (arrêts 1B_338/2013 du 16 octobre 2013 consid. 3.1 destiné à la publication; 1B_43/2013 du 1er mars 2013 consid. 4.1 et les arrêts cités).
En l'espèce, le jugement condamnant le recourant à une peine privative de liberté ferme de 78 mois a été annulé par le Tribunal fédéral en raison de vices de procédure. La Cour des affaires pénales a ensuite renvoyé le dossier au MPC afin qu'il procède aux compléments d'instruction demandés. Si le recourant conteste notamment les infractions de participation à une organisation criminelle et de blanchiment d'argent, ces chefs de prévention lui sont encore reprochés à ce jour; la juridiction précédente pouvait donc en tenir compte dans son appréciation de la peine prévisible. De plus, dès lors que l'art. 139 ch. 2 et 3 CP (vol en bande et par métier) retenu à titre de prévention prévoit une peine privative de liberté de dix ans au plus - cinq ans au plus dans le cas simple (<ref-law>) - et que ce n'est pas le seul chef d'infraction reproché au recourant (cf. <ref-law>), il apparaît que la détention subie à ce jour (46 mois en janvier 2014) ne viole pas le principe de proportionnalité; elle n'excède en outre pas la peine retenue dans le jugement annulé de première instance, durée qui peut, dans une certaine mesure, servir d'indice quant à la peine concrètement encourue.
Il ne peut en revanche être contesté que le renvoi en instruction entraîne une prolongation de la procédure pénale et la Cour des plaintes a ainsi exhorté avec raison les autorités d'instruction à agir sans délai, renvoyant aux considérations émises sur cette question dans sa décision du 11 novembre 2013 (cf. le consid. 3.8 dudit arrêt).
5.4. Partant, la Cour des plaintes n'a pas violé le droit fédéral en confirmant la décision du 26 novembre 2013 du Tmc refusant la mise en liberté immédiate du recourant.
6.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Christophe Piguet en qualité d'avocat d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Christophe Piguet est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'800 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la Confédération et à la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral.
Lausanne, le 24 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf