Sachverhalt:
A.
Der 1961 geborene A._, gelernter Sanitärinstallateur, leidet seit ca. 1994 unter einer rezidivierenden depressiven Störung und wurde von 18. Februar bis 27. März 1997 im Spital B._ stationär behandelt. Von 1. Mai 1997 bis 31. August 2002 war er bei der C._ AG (ehemals: D._ AG) als Lagermitarbeiter bzw. Mitarbeiter im Betriebsmittelbau angestellt, welche berufsvorsorgerechtlich zunächst der Futura Stiftung zur Förderung der Personalvorsorge und ab 1. Januar 2000 der Sammelstiftung BVG der ELVIA Leben, Schweizerische Lebensversicherungs-Gesellschaft (heute: Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft; nachfolgend: Allianz) angeschlossen war. Von 1. September bis 31. Dezember 2002 arbeitete er bei der E._ AG und war bei der PROVIDENTIA Sammelstiftung BVG (heute: PKG Pensionskasse; fortan: PKG) berufsvorsorgeversichert.
A._ meldete sich am 30. März 1999 wegen Kniebeschwerden und einer rezidivierenden depressiven Störung erstmals bei der Invalidenversicherung (IV) zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Obwalden (nachfolgend: IV-Stelle) gewährte Berufsberatung, schloss diese im Mai 2000 jedoch ab, weil A._ bei der bisherigen Arbeitgeberin (in einer anderen Position) weiterbeschäftigt werde. Am 4. April 2003 meldete sich A._ erneut zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 3. Mai 2005 sprach ihm die IV-Stelle eine ganze Invalidenrente mit Wirkung ab 1. September 2003 zu (Invaliditätsgrad von 82 %). In der Folge verneinten sowohl die Allianz als auch die PKG ihre Leistungspflicht mit der Begründung, die massgebliche Arbeitsunfähigkeit sei zu einem Zeitpunkt eingetreten, als A._ nicht bei ihnen versichert gewesen sei.
B.
A._ erhob am 22. Mai 2013 Klage mit den Rechtsbegehren, die PKG (eventualiter die Allianz) sei zur Ausrichtung einer Invalidenrente gemäss den gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen basierend auf einem Invaliditätsgrad von 82 % mit Wirkung ab spätestens 1. September 2003 zu verpflichten, zuzüglich Verzugszins von 5 % ab dem Zeitpunkt der Klageeinreichung. Weiter sei die PKG (eventualiter die Allianz) zu verpflichten, ihn auf den frühest möglichen Zeitpunkt von der Beitragspflicht zu befreien. Das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden hiess die Klage mit Entscheid vom 3. September 2014 gut und verpflichtete die PKG, A._ ab 1. September 2003 eine Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 82 % gemäss den gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen zuzüglich Verzugszins von 5 % seit 22. Mai 2013 auszurichten. Ferner verpflichtete es die PKG, den Kläger ab 1. Dezember 2002 entsprechend dem Invaliditätsgrad von 82 % von der Beitragspflicht zu befreien.
C.
Hiegegen erhebt die PKG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, die Klage vom 22. Mai 2013 sei abzuweisen und es sei festzustellen, dass die Beschwerdeführerin nicht leistungspflichtig für Leistungen aus der beruflichen Vorsorge sei.
Die Vorinstanz und der Beschwerdegegner tragen auf Abweisung der Beschwerde an, während die Allianz auf die Stellung eines formellen Antrags verzichtet. Das Bundesamt für Sozialversicherungen lässt sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
Das Hauptbegehren der Beschwerde ist zulässig, soweit damit die Abweisung der Klage vom 22. Mai 2013 beantragt wird. Hingegen ist auf das Feststellungsbegehren der Beschwerdeführerin mangels Rechtsschutzinteresse nicht einzutreten (zur Zulässigkeit von Feststellungsbegehren im Bereich der beruflichen Vorsorge: <ref-ruling> E. 3a S. 48; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1 S. 21).
2.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_967/2008 vom 5. Januar 2009 E. 5.1). Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung (Urteile 9C_999/2010 vom 14. Februar 2011 E. 1 und 9C_735/2010 vom 21. Oktober 2010 E. 3).
Die Rüge des fehlerhaft festgestellten Sachverhalts bedarf einer qualifizierten Begründung (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Es reicht nicht aus, in allgemeiner Form Kritik daran zu üben oder einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten oder ihre eigene Beweiswürdigung zu erläutern. Die Rüge und ihre qualifizierte Begründung müssen in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein. Der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten genügt nicht (Urteil 9C_779/2010 vom 30. September 2011 E. 1.1.2 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2012 BVG Nr. 11 S. 44). Auf ungenügend begründete Rügen oder bloss allgemein gehaltene appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
3.
Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen über den Anspruch auf eine Invalidenrente aus der beruflichen Vorsorge und deren Beginn (Art. 23 und 26 Abs. 1 BVG) zutreffend wiedergegeben. Gleiches gilt hinsichtlich der Rechtsprechung zur relevanten Arbeitsunfähigkeit im Sinne von Art. 23 lit. a BVG (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23) sowie zur Bindungswirkung der Feststellungen der IV-Organe für die Vorsorgeeinrichtungen im Bereich der obligatorischen beruflichen Vorsorge (<ref-ruling> E. 3 S. 3; <ref-ruling> E. 3.1 S. 273 f.; je mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. Nach den verbindlichen (E. 2 hievor) Feststellungen des kantonalen Gerichts hat die IV-Stelle die Rentenverfügung vom 3. Mai 2005 der Beschwerdeführerin formgültig eröffnet. Diese ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen. Die Vorinstanz zog daraus den Schluss, es bestehe für die Beschwerdeführerin grundsätzlich eine Bindung an die Feststellungen der IV-Stelle. Dem kann gefolgt werden. Zum einen ist die Anmeldung zum Leistungsbezug nicht als im Sinne von <ref-law> (in Kraft gestanden bis Ende 2007) verspätet zu qualifizieren (Urteil 9C_414/2007 vom 25. Juli 2008 E. 2; zum geltenden Recht: Urteil 9C_620/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 2.4, in: SVR 2013 BVG Nr. 17 S. 67). Zum anderen geht das Vorsorgereglement unter Hinweis auf das Gesetz vom selben Invaliditätsbegriff wie die Invalidenversicherung aus, womit sich die Bindungswirkung auch auf den überobligatorischen Bereich erstreckt (<ref-ruling> E. 1 i.f. S. 311 mit Hinweisen; Urteil 9C_858/2010 vom 17. Mai 2011 E. 2.3.1). Damit sind - wie das kantonale Gericht zutreffend darlegte - die von den IV-Organen getroffenen Feststellungen, insbesondere in Bezug auf den Eintritt der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit (BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 273 f.), für die Beschwerdeführerin verbindlich, sofern sie nicht offensichtlich unhaltbar sind.
4.2. Gilt im Verfahren der beruflichen Vorsorge die Bindungswirkung an den Entscheid der Invalidenversicherung, ist die Frage, ob die Festlegungen der IV-Stelle offensichtlich unhaltbar sind, nach der Aktenlage zu beurteilen, wie sie sich bei Verfügungserlass präsentierte. Nachträglich geltend gemachte Tatsachen oder Beweismittel, welche die Verwaltung nicht von Amtes wegen hätte erheben müssen, sind nicht geeignet, die Festlegungen der Invalidenversicherung als offensichtlich unhaltbar erscheinen zu lassen. Dies gilt jedenfalls so lange, als es sich nicht um neue Tatsachen oder Beweismittel handelt, welche zu einer anderen rechtlichen Beurteilung führen und die IV-Stelle, welcher sie unterbreitet werden, verpflichten würden, im Rahmen einer prozessualen Revision auf die ursprüngliche, formell rechtskräftige Verfügung zurückzukommen (BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 273; <ref-ruling> E. 2a S. 311).
5.
5.1. Die Vorinstanz erwog, die rezidivierende depressive Störung sei gemäss Aktenlage ca. 1994/1995 diagnostiziert worden, wobei nur zwei Arbeitsunfähigkeitsbescheinigungen (im Jahr 1997: 40-45 %; ab September 2002: ca. 50 %) vorlägen. Hingegen lägen keine Anhaltspunkte für eine allfällige Arbeitsunfähigkeit zwischen (Mai) 1997 und September 2002 vor. Im Gegenteil seien während des Arbeitsverhältnisses bei der C._ AG keine nennenswerten Arbeitsausfälle bzw. Krankheitsabsenzen zu verzeichnen. Zudem habe Dr. med. F._, Spital B._, im Bericht vom 7. Mai 2003 ausgeführt, der Beschwerdegegner sei bei der C._ AG vollzeitig tätig gewesen. Auch habe Dr. med. F._ den Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nicht vor September 2002 festgelegt. Mithin sei zwischen 1997 und 2002 eine echtzeitliche, ärztlich bescheinigte Arbeitsunfähigkeit nicht ausgewiesen. Ferner habe die C._ AG in der Austrittsmeldung vom 19. August 2002 zu Handen ihrer Pensionskasse bestätigt, dass der Beschwerdegegner zur Zeit des Dienstaustritts voll arbeitsfähig gewesen sei. Der einzige Hinweis darauf, dass der Beschwerdegegner während des Arbeitsverhältnisses bei der C._ AG allenfalls in seiner Leistungsfähigkeit eingeschränkt gewesen sein könnte, sei die Ausrichtung eines Soziallohnanteils. Dies allein genüge jedoch nicht, um einen offensichtlichen Eintritt der teilweisen Arbeitsunfähigkeit vor September 2002 zu belegen. Die Auskunft der C._ AG vom 5. November 2009, wonach der Beschwerdegegner seit Eintritt in die Unternehmung aus gesundheitlichen Gründen nicht die volle Leistung erbracht und der Lohn nicht der Leistung entsprochen habe, habe der IV-Stelle im Zeitpunkt des Verfügungserlasses nicht vorgelegen. Ohnehin vermöchte diese keine echtzeitliche Arbeitsunfähigkeitsbescheinigung zu ersetzen. Zusammenfassend sei der von der IV-Stelle auf September 2002 hin festgesetzte Beginn der Arbeitsunfähigkeit nicht geradezu offensichtlich unhaltbar bzw. willkürlich und damit für die Beschwerdeführerin bindend.
5.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich gewürdigt. Dem Arbeitgeberfragebogen vom 24. April 2003 sei zu entnehmen, dass der Beschwerdegegner bei der C._ AG nie eine volle Arbeitsleistung erbracht habe und im ausgerichteten Lohn eine Soziallohnkomponente von 40 % enthalten gewesen sei. Mit anderen Worten seien zwar keine Absenzen ausgewiesen, doch sei die Leistung des Beschwerdegegners auf (lediglich) 60 % zu beziffern. Dies werde von der C._ AG mit Schreiben vom 10. November 2009 bestätigt. Das darauf folgende Arbeitsverhältnis bei der E._ AG sei u.a. unter Hinweis auf mangelnde Arbeitsleistung aufgelöst worden. Daraus ergebe sich, dass eine Teilarbeitsunfähigkeit bereits während des Arbeitsverhältnisses bei der C._ AG bestanden habe. Der per September 2002 angesetzte Beginn der Wartefrist sei aktenwidrig und ein Abstellen darauf zur Begründung der Leistungspflicht willkürlich. Indem die Vorinstanz verlange, dass eine Arbeitsunfähigkeit echtzeitlich ausgewiesen und ärztlich bescheinigt sei, widerspreche sie der Rechtsprechung. Diese verlange nur, dass sich die Arbeitsunfähigkeit sinnfällig auf das Arbeitsverhältnis ausgewirkt habe, was mit der Ausrichtung eines Soziallohns der Fall sei.
5.3. Die Allianz wendet ein, die Würdigung der Vorinstanz, welche alle relevanten Gesichtspunkte berücksichtigt habe und wonach die Festlegung des Beginns der Arbeitsunfähigkeit durch die IV-Stelle nicht qualifiziert unrichtig sei, sei nicht zu beanstanden. Gerade unter Berücksichtigung der konstanten Lohnerhöhungen, der seltenen Krankheitsabsenzen und der überaus positiven Beurteilung im Schlusszeugnis könne nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit auf Soziallohn geschlossen werden. Überdies würden die in der Beschwerde genannten Aktenstücke nicht korrekt bzw. mit unzutreffenden Datumsangaben zitiert.
5.4. Der Beschwerdegegner ergänzt, die angebliche Leistungsminderung und die Soziallohnkomponente von 40 % seien von der ehemaligen Arbeitgeberin nur im Rahmen von sozialversicherungsrechtlichen Fragestellungen erwähnt worden. Ihm oder Dritten gegenüber sei diese Angabe nie kommuniziert worden, obschon dies im Arbeitszeugnis oder anderweitig hätte angegeben werden müssen. Die Richtigkeit dieser Angabe müsse deshalb hinterfragt werden.
6.
6.1. Wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat, liegen für die Zeit zwischen 1. Mai 1997 bis Ende August 2002 weder ärztliche Atteste über eine Arbeitsunfähigkeit vor noch wurden von Seiten der C._ AG (nennenswerte) Krankheitsabsenzen verzeichnet (vgl. Absenzenübersicht der Jahre 1999-2002). Weiter hat die Vorinstanz auf die Austrittsmeldung zur Kollektivversicherung vom 19. August 2002 abgestellt, in welcher die C._ AG die Frage, ob der austretende Versicherte zur Zeit des Dienstaustritts voll arbeitsfähig sei, mit "ja" beantwortet, die Zeilen zum Grad der Arbeitsunfähigkeit und zur Ursache der Arbeitsunfähigkeit leer gelassen und auch sonst keine Bemerkungen hinzugefügt hat. Namentlich hat die Arbeitgeberin nicht angegeben, der Austretende sei in seiner Leistungsfähigkeit eingeschränkt gewesen. Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang - worauf die Allianz zutreffend hinweist -, dass das Gehalt des Beschwerdegegners im Laufe des Anstellungsverhältnisses bei der C._ AG nicht unerheblich angestiegen ist (vgl. Jahreslohnjournale 1999 und 2002), was nach allgemeiner Lebenserfahrung ein Indiz für eine gute oder zumindest genügende Leistung ist. Auch dem Arbeitszeugnis vom 12. August 2002 (welches gemäss Fussnote keine Codierungen enthalte und auf jegliche Übertreibungen verzichte) sind keine Hinweise zu entnehmen, wonach der Beschwerdegegner nicht die erwartete Leistung erbracht hätte. Im Gegenteil wird dem Beschwerdegegner eine rationelle, qualitätsbewusste und termingerechte Arbeitsweise attestiert und seine Leistung wird "in jeder Hinsicht" als gut bewertet. Ferner wird der Beschwerdegegner u.a. als "belastbar" bezeichnet. Indem das kantonale Gericht diese Umstände würdigte und zum Schluss gelangte, mangels Hinweise für eine vor September 2002 eingetretene Arbeitsunfähigkeit vermöge der Arbeitgeberfragebogen vom 14. April 2003 den von der IV-Stelle festgelegten Zeitpunkt des Eintritts der massgebenden Arbeitsunfähigkeit zumindest nicht als offensichtlich unhaltbar erscheinen zu lassen, hat es die Beweise nicht willkürlich gewürdigt. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.). Davon kann hier nicht die Rede sein:
Zunächst enthält der Arbeitgeberfragebogen vom 14. April 2003 - entgegen dem, was die Beschwerdeführerin zu glauben machen versucht - keine eindeutigen Aussagen über eine verminderte Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners. Nota bene hat die Arbeitgeberin die im hier interessierenden Kontext einschlägigen Ziff. 13-15 des Fragebogens ("Entspricht der unter Ziffer 12 angegebene Lohn der Arbeitsleistung?"; "Wenn nicht, welcher Lohn entspräche der Arbeitsleistung?"; "Falls der Lohn die Arbeitsleistung übersteigt, bitten wir Sie um eine separate, ausführliche Begründung über Art und Ausmass der Leistungseinbusse unter Angabe der Daten, seit wann die reduzierte Leistung besteht") nicht angekreuzt bzw. ausgefüllt. Einzig unter Ziff. 28 ("Bemerkungen") findet sich die (nicht näher erläuterte) Angabe, das Gehalt des Beschwerdegegners habe eine Sozialzulage der Unternehmung enthalten, welche 40 % des Bruttolohnes entsprochen habe. Sodann ist der Begriff "Sozialzulage" nicht ohne Weiteres gleichzusetzen mit dem Begriff "Soziallohn", meint letzterer Begriff Lohn, der sich nicht nach Leistung, sondern nach sozialen Kriterien bemisst, während sich ersterer Begriff auf eine aufgrund sozialer Kriterien (u.a. Familienstand, Kinder) ausgerichtete Zulage bezieht (Duden, Das grosse Wörterbuch der deutschen Sprache, Bd. 5, 1980, S. 2431 und 2432; vgl. auch Art. 33 der Personalverordnung des Kantons Obwalden vom 29. Januar 1998; GDB 141.11). Auch wenn die Angabe der Arbeitgeberin - aufgrund der Höhe der "Zulage" - gewisse Zweifel an der Arbeits- bzw. Leistungsfähigkeit weckt, ist sie im Lichte der übrigen echtzeitlichen Belege und Umstände (durchwegs positives Arbeitszeugnis, keine überdurchschnittlichen Absenzen, kontinuierlicher Gehaltsaufstieg, Austrittsmeldung an die Vorsorgeeinrichtung, wonach eine volle Arbeitsfähigkeit bestehe), welche allesamt dagegen sprechen, dass sich eine teilweise Arbeitsunfähigkeit bzw. Leistungsminderung sinnfällig auf das Arbeitsverhältnis bei der C._ AG ausgewirkt hat, mit der Vorinstanz zumindest nicht geeignet, die Feststellungen der IV-Stelle als offensichtlich unhaltbar bzw. geradezu willkürlich erscheinen zu lassen.
6.2. Den vom Rückversicherer der Beschwerdeführerin verfassten, von der C._ AG am 10. November 2009 beantworteten Fragebogen, wonach "seit Eintritt" eine nicht volle Leistungsfähigkeit aus gesundheitlichen Gründen bestanden habe und der Lohn nicht verhältnismässig zur Arbeitsleistung gewesen sei, hat das kantonale Gericht unter Hinweis auf die Rechtsprechung (E. 4.2 hievor) nicht berücksichtigt, da er im Zeitpunkt des Verfügungserlasses (3. Mai 2005) nicht vorgelegen habe. Die Nichtzulassung als Beweis erachtet die Beschwerdeführerin als willkürlich, ohne sich jedoch hinreichend mit der Begründung der Vorinstanz zur zeitlich massgeblichen Aktenlage auseinanderzusetzen bzw. (substanziiert) aufzuzeigen, inwiefern dieses erst nach Verfügungserlass produzierte Beweismittel im Sinne der genannten Rechtsprechung dennoch hätte berücksichtigt werden müssen. Damit ist auf diesen Punkt nicht einzugehen (E. 2 Abs. 3 hievor).
6.3. Nach dem Gesagten ist der auf einer einlässlichen und willkürfreien Würdigung der gesamten Umstände beruhende Schluss der Vorinstanz, die Feststellungen der IV-Stelle seien zumindest nicht offensichtlich unhaltbar, bundesrechtskonform. Folglich hat es beim angefochtenen Entscheid sein Bewenden.
7.
Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Verfahrenskosten (<ref-law>). Sie hat dem Beschwerdegegner überdies eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Der Allianz steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; Urteil 9C_920/2008 vom 16. April 2009 E. 7 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 BVG Nr. 30 S. 109).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. März 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Furrer