A.- Der 1954 geborene E._ arbeitete von Dezember 1981 bis September 1993 als Hilfskoch im Kantonsspital X._. Danach war er arbeitslos. Am 20. Juni 1997 war er im Rahmen eines Temporäreinsatzes als Hilfsmonteur für die Firma S._ tätig und in dieser Eigenschaft bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert, als er sich am Zeigefinger der rechten Hand verletzte. Gleichentags wurde im Spital Y._, Departement Chirurgie, Klinik für Wiederherstellungschirurgie, eine Nachamputation des Zeigefingers vorgenommen.
Die SUVA erbrachte zunächst Taggelder und übernahm die Heilungskosten. Zur Abklärung ihrer weiteren Leistungspflicht holte sie unter anderem den Austrittsbericht der Rehaklinik Z._ vom 10. Dezember 1997, in welcher sich der Versicherte vom 1. Oktober bis 28. November 1997 aufgehalten hatte, den von der IV-Stelle des Kantons Thurgau veranlassten Abschlussbericht derselben Klinik über die beruflichen Abklärungen vom 18. Dezember 1997 sowie die Stellungnahmen des Kreisarztes Dr. med. J._ vom 9. September und 19. Dezember 1997 ein. Mit Verfügung vom 9. Januar 1998 sprach sie E._ eine Integritätsentschädigung von Fr. 5832.-, basierend auf einer Integritätseinbusse von 6 %, zu und stellte fest, dass die Voraussetzungen zur Ausrichtung einer Rente nicht erfüllt seien. Ferner informierte sie den Versicherten mit separatem Schreiben vom 9. Januar 1998, dass sie auf Grund der 75%igen Arbeitsfähigkeit seit 22. Dezember 1997 und der vollen Arbeitsfähigkeit ab 12. Januar 1998 die Taggeldleistungen auf den 22. Dezember 1997 einstelle. Nach Beizug des spezialärztlichen Untersuchungsberichts des Dr. med. V._, SUVA-Ärzteteam Unfallmedizin, vom 30. Juli 1998 kam sie auf die Ablehnung von Rentenleistungen zurück und gewährte E._ mit Wirkung ab 1. Dezember 1997, befristet auf 30. November 2000, eine Invalidenrente, entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 15 % (Verfügung vom 3. Mai 1999). Die gegen die Verwaltungsakte vom 9. Januar 1998 und 3. Mai 1999 erhobenen Einsprachen lehnte die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 23. August 1999).
B.- Dagegen liess E._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Beschwerde einreichen mit dem Rechtsbegehren, es seien über den 1. Dezember 1997 hinaus, bis zum Abschluss der Eingliederungsmassnahmen, Heilkosten- und Taggeldleistungen zu erbringen; eventuell sei ihm ab 1. Dezember 1997 eine unbefristete Rente, basierend auf einem Invaliditätsgrad von mindestens 50 % und unter Zugrundelegung eines versicherten Verdienstes von mindestens Fr. 57'718.-, zu gewähren; ferner sei ihm eine Integritätsentschädigung auf Grund einer mindestens 10%igen Integritätseinbusse zuzusprechen. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde setzte das kantonale Gericht den versicherten Verdienst auf Fr. 56'972.80 fest und berechnete einen Invaliditätsgrad von 26 %; im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 10. Mai 2000).
C.- E._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde erheben und das vorinstanzliche Rechtsbegehren erneuern; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Gericht oder an die SUVA zurückzuweisen. Ferner sei ihm die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren.
Vorinstanz und SUVA beantragen die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung lässt sich nicht vernehmen.
D.- Die SUVA führt ebenfalls Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragt, der kantonale Gerichtsentscheid sei, soweit damit die Invalidenrente erhöht worden sei, aufzuheben und die Sache sei zur Abklärung und anschliessenden Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das kantonale Gericht und E._ schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde; E._ lässt zudem um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherung äussert sich nicht.
E.- Nach Abschluss des Schriftenwechsels lässt E._ eine Kopie des von ihm bei der SUVA eingereichten Revisionsgesuchs vom 27. Februar 2001 zu den Akten geben.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Da den beiden Verwaltungsgerichtsbeschwerden derselbe Sachverhalt zu Grunde liegt, sich die gleichen Rechtsfragen stellen und die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-ruling> Erw. 1, 120 V 466 Erw. 1 mit Hinweisen; Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bd. 1, S. 343 unten f.).
2.- Im Beschwerdeverfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ist die Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht auf die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens beschränkt, sondern sie erstreckt sich auch auf die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung; das Gericht ist dabei nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden und kann über die Begehren der Parteien zu deren Gunsten oder Ungunsten hinausgehen (Art. 132 OG; erweiterte Kognition; <ref-ruling> Erw. 1c, 120 V 448 Erw. 2a/aa, je mit Hinweisen).
3.- a) In formellrechtlicher Hinsicht wirft die SUVA dem kantonalen Gericht vor, sowohl den versicherten Verdienst als auch das Valideneinkommen nach eigenen Abklärungen erhöht zu haben, ohne ihr vorher das rechtliche Gehör gewährt zu haben.
b) Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, welcher in die Rechtsstellung einer Person eingreift. Dazu gehört insbesondere deren Recht, sich vor Erlass des in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> Erw. 2a/aa, 124 V 181 Erw. 1a, 375 Erw. 3b, je mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung kann eine - nicht besonders schwerwiegende - Verletzung des rechtlichen Gehörs als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie die Rechtslage frei überprüfen kann. Die Heilung eines - allfälligen - Mangels soll aber die Ausnahme bleiben (<ref-ruling>, 126 V 132 Erw. 2b, je mit Hinweisen).
c) Zufolge widersprüchlicher Aktenangaben über das mutmassliche Einkommen der Jahre 1996 bis 1998 in der vom Versicherten vor Eintritt der Arbeitslosigkeit langjährig ausgeübten Funktion als Hilfskoch im Kantonsspital X._ entschloss sich das kantonale Gericht, eigene Abklärungen vorzunehmen. Es wandte sich an das Personalamt des Kantons A._, welches am 15. Juni 2000 telefonisch mitteilte, bei gleichbleibender Qualifizierung wären im Jahr 1996 Fr. 51'931.75 und 1997 sowie 1998 je Fr. 52'293.80 erzielt worden. Nachdem das Personalamt diese Aussagen am 19. Juni 2000 unterschriftlich und mit Stempel bestätigt hatte, ermittelte die Vorinstanz auf dieser Basis sowohl den versicherten Verdienst als auch das Valideneinkommen.
Es steht auf Grund der Akten fest, dass das kantonale Gericht den Parteien nach Einholung der Auskunft keine Möglichkeit eingeräumt hat, zu den Angaben des Personalamtes Stellung zu nehmen. Dies wird in seiner letztinstanzlich eingereichten Vernehmlassung ohne weiteres zugegeben und als Versehen bezeichnet.
Allerdings wiegt dieser Mangel nicht derart schwer, dass eine Heilung im vorliegenden Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren nicht mehr möglich wäre. Nachdem Versicherungsleistungen streitig sind und dem Eidgenössischen Versicherungsgericht deshalb sowohl in tatbeständlicher als auch in rechtlicher Hinsicht uneingeschränkte Überprüfungsbefugnis zusteht (vgl. Erw. 2 hiervor), kann die Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Vorinstanz als geheilt gelten, zumal sich die SUVA in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde einlässlich zur Auskunft des Personalamtes vom 15. Juni 2000 geäussert hat.
4.- a) Nach <ref-law> gilt als invalid, wer voraussichtlich bleibend oder für längere Zeit in seiner Erwerbsfähigkeit beeinträchtigt ist. Für die Bestimmung des Invaliditätsgrades wird das Erwerbseinkommen, das der Versicherte nach Eintritt der unfallbedingten Invalidität und nach Durchführung allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihm zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte, in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das er erzielen könnte, wenn er nicht invalid geworden wäre (<ref-law>). Der für die Invaliditätsbemessung bei Erwerbstätigen massgebende Einkommensvergleich hat in der Regel in der Weise zu erfolgen, dass die beiden hypothetischen Erwerbseinkommen ziffernmässig möglichst genau ermittelt und einander gegenübergestellt werden, worauf sich aus der Einkommensdifferenz der Invaliditätsgrad bestimmen lässt (allgemeine Methode des Einkommensvergleichs).
b) Der Invaliditätsbegriff in der Invalidenversicherung stimmt mit demjenigen in der obligatorischen Unfallversicherung (und in der Militärversicherung) grundsätzlich überein, weshalb die Bemessung der Invalidität, auch wenn sie für jeden Versicherungszweig selbstständig vorzunehmen ist, mit Bezug auf den gleichen Gesundheitsschaden im Regelfall zum selben Ergebnis führen muss (<ref-ruling> Erw. 2a, 119 V 470 Erw. 2b mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 2a).
Im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren hat die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügung vom 15. Februar 1999 festgestellt, eine 20%ige Erwerbseinbusse sei nicht ausgewiesen. Dies wurde von der Rekurskommission des Kantons Thurgau bestätigt (Entscheid vom 6. Juli 1999). Die dagegen vom Versicherten erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird mit heutigem Urteil erledigt (I 547/99). Eine Bindung der Unfallversicherung an die Invaliditätsbemessung im Invalidenversicherungsbereich konnte deshalb bisher nicht entstehen (vgl. <ref-ruling> Erw. 3a).
5.- In materiellrechtlicher Hinsicht wird vom Versicherten zunächst geltend gemacht, dass die Voraussetzungen der Berentung noch gar nicht eingetreten seien, weshalb die SUVA weiterhin Taggelder zu leisten und Heilungskosten zu übernehmen habe.
a) Wird der Versicherte infolge des Unfalles invalid, so hat er Anspruch auf eine Invalidenrente (<ref-law>). Der Rentenanspruch entsteht, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind. Mit dem Rentenbeginn fallen die Heilbehandlung und die Taggeldleistungen dahin. Für den Monat, in dem der Rentenanspruch entsteht, wird die Rente voll ausbezahlt (<ref-law>).
b) Im Abschlussbericht der Rehaklinik über die berufliche Abklärung vom 18. Dezember 1997 wird ausdrücklich festgehalten, dass aus ärztlicher Sicht von der Fortsetzung der medizinischen Massnahmen berufsrelevant keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden könne. "Solange der Patient noch keine Arbeit hat", sei eine weitere Ergotherapie mit praktischem Einsatz der rechten Hand und Fortsetzung des Desensibilisierungstrainings sinnvoll. Die von der Klinik empfohlene Ergotherapie zielt demzufolge entgegen der Behauptung des Versicherten nicht auf eine namhafte Besserung des Gesundheitszustands, sondern soll der Vorbereitung des konkreten Arbeitseinsatzes dienen. Soweit in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingewendet wird, eine allfällige Restarbeitsfähigkeit könne erst nach Durchführung der Eingliederungsmassnahmen beurteilt werden, ist festzustellen, dass das Eidgenössische Versicherungsgericht mit heutigem Urteil im Parallelverfahren, welches den Invalidenversicherungsbereich beschlägt (I 547/99), den Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen verneint hat. Unter diesen Umständen, insbesondere gestützt auf den Abschlussbericht der Rehaklinik vom 18. Dezember 1997 und die Stellungnahme des Dr. med. V._ vom 30. Juli 1998, worin ebenfalls festgehalten wird, von weiteren therapeutischen, insbesondere chirurgischen Massnahmen, könne gesamthaft gesehen keine namhafte Besserung erwartet werden, hat die SUVA den Beginn des Rentenanspruchs zu Recht auf den 1. Dezember 1997 festgesetzt.
6.- Die SUVA beanstandet die im vorinstanzlichen Gerichtsentscheid vorgenommene Festsetzung des versicherten Verdienstes auf Fr. 56'972.80.
a) Im Hinblick darauf, dass der Versicherte im Zeitpunkt des Unfalls arbeitslos war und lediglich einen Temporäreinsatz als Hilfsmonteur wahrgenommen hatte, ging das kantonale Gericht sowohl bei der Berechnung des versicherten Verdienstes als auch bei der Festsetzung des Valideneinkommens zutreffend vom Lohn aus, den er in seiner über elf Jahre dauernden Tätigkeit als Hilfskoch im Kantonsspital X._ erzielt hatte.
Nach den Angaben der Personalabteilung des Kantonsspitals X._ vom 24. November 1998 betrug das Einkommen im Jahr 1991 Fr. 46'241.- (Fr. 3557.- x 13). Der ehemalige Angestellte sei in der höchstmöglichen Erfahrungsstufe und im Leistungsmaximum "gut" eingestuft gewesen. Somit wäre sein Gehalt bei einer Fortführung des Anstellungsverhältnisses in den Jahren 1996 bis 1998 unverändert geblieben. Der Versicherte stützte sich im vorinstanzlichen Prozess auf eine Aktennotiz der IV-Stelle des Kantons Thurgau vom 24. September 1998, wonach das Einkommen laut einer telefonisch beim Lohnbüro des Kantonsspitals X._ eingeholten Auskunft im Jahr 1998 Fr. 52'858.- (Fr. 4066.- x 13) betragen hätte. Auf Grund dieser widersprüchlichen Angaben der Personalabteilung und des Lohnbüros des Kantonsspitals X._ wandte sich das kantonale Gericht an das Personalamt des Kantons A._, welches am 15. Juni 2000 telefonisch mitteilte (und am 19. Juni 2000 unterschriftlich bestätigte), der Versicherte hätte bei gleichbleibender Qualifizierung im Jahr 1996 Fr. 51'931.75 und 1997 sowie 1998 je Fr. 52'293.80 eingenommen.
In den Prozessakten des Invalidenversicherungsbereichs (I 547/99) findet sich ein Auszug aus dem individuellen Konto des Versicherten, welches als Einkommen aus der Tätigkeit beim Kantonsspital X._ für das Jahr 1991 Fr. 51'345.- und für das Jahr 1992 Fr. 51'831.- aufführt. Dabei handelt es sich jeweils um Bruttoeinkommen ohne Kinderzulagen, da die letzteren gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> nicht zum massgebenden Lohn gehören. Diese Einträge im individuellen Konto erwecken erhebliche Zweifel an der Richtigkeit der Angaben der Personalabteilung vom 24. November 1998. Mit Blick darauf, dass für die Angestellten des Kantonsspitals X._ die kantonale Besoldungsordnung zur Anwendung gelangt und das Personalamt des Kantons A._ bei seiner Auskunft von der gleichen Einstufung des Versicherten ausging wie die Personalabteilung des Kantonsspitals, ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz der Bemessung von versichertem Verdienst und Valideneinkommen die vom Personalamt angegebenen Jahreslöhne von Fr. 51'931.75 für das Jahr 1996 und je Fr. 52'293.80 für die Jahre 1997 und 1998 zu Grunde gelegt hat. Daran ändert nichts, dass das kantonale Personalamt seine Aussagen lediglich mit Stempel und Unterschrift bestätigt hat, wie die SUVA bemängelt.
b) Nach <ref-law> gilt als versicherter Verdienst für die Bemessung der Renten der innerhalb eines Jahres vor dem Unfall bezogene Lohn. Hat der Versicherte im Jahr vor dem Unfall wegen Militärdienst, Zivildienst, Zivilschutzdienst, Unfall, Krankheit, Mutterschaft, Arbeitslosigkeit oder Kurzarbeit einen verminderten Lohn bezogen, so wird der versicherte Verdienst nach dem Lohn festgesetzt, den er ohne den lohnvermindernden Umstand erzielt hätte (<ref-law>).
Weil der Versicherte vor dem Unfall vom 20. Juni 1997 arbeitslos war und deshalb einen verminderten Lohn im Sinne von <ref-law> bezogen hatte, ging die Vorinstanz zu Recht vom Durchschnittslohn der Jahre 1996 und 1997 aus (Fr. 52'112.80), addierte die jährlichen Kinderzulagen in der Höhe von Fr. 4860.- und gelangte so zu einem versicherten Verdienst von Fr. 56'972.80.
7.- Umstritten ist sodann der Invaliditätsgrad.
a) Der Versicherte vertritt die Auffassung, auf Grund seines Gesundheitszustandes nach dem Unfall vom 20. Juni 1997 und mit Blick auf die konkreten beruflichen Abklärungen der Rehaklinik bestehe eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 50 %. Die Stellungnahmen der Dres. med. J._ und V._, welche bezüglich der Restarbeitsfähigkeit zu anderen Ergebnissen gelangten, seien nicht nachvollziehbar und teilweise falsch, weshalb nicht auf sie abgestellt werden könne.
aa) Gemäss Austrittsbericht der Rehaklinik vom 10. Dezember 1997 konnte der Versicherte während gut zweier Wochen halbtägige Arbeitseinsätze in der Klinikküche machen. Er habe im Rahmen seiner Möglichkeiten gut mitgearbeitet, sei jedoch mit seiner Verletzung eindeutig behindert. So bereite ihm das präzise Führen des Messers beim Rüsten und Schneiden von Lebensmitteln selbst mit der angefertigten Griffverdickung Mühe. An der rechten, dominanten Hand sei der Grobgriff beeinträchtigt. Gegenstände könnten mit nur drei Langfingern weniger kräftig gehalten werden und drückten auf das überempfindliche Amputationsgebiet. Pinzetten- und Drei-Punkte-Griff sowie feinmotorische Aktivitäten seien erschwert. Die Faustschlusskraft sei noch deutlich reduziert. Der Versicherte müsse sich eine Stelle als Küchengehilfe oder eine andere, manuell leichte Tätigkeit suchen. Für die Zeit ab 1. Dezember 1997 betrage die Arbeitsunfähigkeit 50 %.
Nach dem Abschlussbericht betreffend berufliche Abklärungen vom 18. Dezember 1997 wurde ein Einsatz als Metallbaumonteur (von Hochregalen) wegen der noch fehlenden vollen Greiffähigkeit nicht empfohlen. Hingegen seien das Zubereiten von kalten Tellern und Patisserie in der angestammten Funktion als Hilfskoch sowie einfachere Industriearbeiten im Rahmen eines Arbeitstrainings, auch zur Angewöhnung, zumutbar.
bb) In der Stellungnahme des Dr. med. V._ vom 30. Juli 1998 über die am 28. Juli 1998 erfolgte spezialärztliche Untersuchung wird die Diagnose einer subtotalen Amputation nach schwerer Quetschung des rechten Zeigefingers auf der Höhe des proximalen Interphalangealgelenkes mit Nachamputation im proximalen Drittel des Grundgliedes am 20. Juni 1997 sowie einer vorbestehenden Amputation des rechten Mittelfingerendgliedes nach Schnittverletzung im Jahr 1982 gestellt. Im Vergleich zur im Herbst 1997 erfolgten medizinischen und beruflichen Abklärung in der Rehaklinik sei eine objektivierbare Verbesserung der Befunde an der rechten Hand zu verzeichnen, was auf eine inzwischen erfolgte weitere Anpassung und Gewöhnung zurückzuführen sei. So sei die damalige leichte allseitige Bewegungseinschränkung des rechten Handgelenkes heute kaum mehr vorhanden und funktionell bedeutungslos. Der ehemals unvollständige Faustschluss der Finger 3 bis 5 sei heute nur noch am Mittelfinger aktiv nachweisbar, hingegen passiv vollständig überwindbar, weshalb zukünftig mit einer weiteren Besserung bis zum Erreichen eines vollständigen aktiven Faustschlusses gerechnet werden könne. Die Untersuchung zeige, dass der Versicherte den Verlust des Zeigefingers durch die als Ersatz einspringenden Mittel- und Ringfinger ordentlich zu kompensieren verstehe und verschiedene Gegenstände oder Instrumente damit ergreifen und führen könne. Trotzdem bleibe als wahrscheinlich endgültige Unfallfolge ein Verlust der Faustschlusskraft infolge des fehlenden Zeigefingers sowie eine gewisse Störung der Feinmotorik, weil nun vor allem der Mittelfinger - der wegen des nicht mehr vorhandenen Endgliedes kürzer sei und im Stumpfbereich eine weniger gute Sensibilität aufweise als dies bei einer erhaltenen Fingerkuppe der Fall wäre, was sich beispielsweise beim Führen eines Messers bemerkbar mache - für den verlorenen Zeigefinger einspringen müsse. Als Monteur bestehe zufolge der Verminderung der Faustschlusskraft eine Einschränkung beim Heben und Tragen von Gewichten oder von sperrigen Gegenständen. Die damit einhergehende Leistungseinbusse in dieser Tätigkeit, die trotz der Unfallfolgen ganztags zumutbar sei, werde auf etwa 25 % geschätzt. Bezogen auf die langjährige frühere Arbeit als Hilfskoch wirkten sich die Unfallfolgen in erster Linie wegen der gestörten Feinmotorik auf Rüstarbeiten wie Kartoffeln schälen, Salat rüsten oder Schneiden von Aufschnitt aus. Angesichts der Tatsache, dass bei den übrigen anfallenden Hilfs- und Reinigungsarbeiten keine namhafte Einschränkung bestehe, könne die Tätigkeit als Hilfskoch bei einer generellen Leistungseinbusse von höchstens 15 % auch weiterhin ganztags ausgeübt werden. Dieses Profil entspreche der Selbsteinschätzung des Versicherten, der derzeit selbstständig alle Hausarbeiten verrichte und für seine vierköpfige Familie koche, wobei er - etwas langsamer als vor dem Unfall - auch Gemüse rüsten und schneiden könne.
Der Bericht des Dr. med. V._ vom 30. Juli 1998 wurde im Rahmen der medizinischen Abklärungen der SUVA erstellt und ist für die streitigen Belange umfassend, beruht auf einer sorgfältigen eigenen Untersuchung und berücksichtigt die medizinischen Vorakten wie auch die vom Versicherten geklagte ausgeprägte Berührungs- und Kälteempfindlichkeit des rechten Zeigefingerstumpfes. Er leuchtet in der Darlegung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation ein und die darin gezogenen Schlussfolgerungen sind begründet, weshalb er alle rechtsprechungsgemäss erforderlichen Kriterien für beweiskräftige ärztliche Entscheidungsgrundlagen erfüllt (<ref-ruling> Erw. 3a mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 3b/ee mit Hinweis).
Was der Versicherte dagegen vorbringt, vermag nichts zu ändern. Dr. med. V._ setzt sich mit den Berichten der Rehaklinik vom 10. und 18. Dezember 1997, in welchen die Leistungsfähigkeit mit Blick auf den damaligen Zustand der rechten Hand noch wesentlich eingeschränkter beurteilt wurde, eingehend auseinander, erklärt seine Diagnose vor dem Hintergrund der abweichenden Feststellungen der Klinik und begründet seine Untersuchungsergebnisse, wonach im Vergleich zur medizinischen und beruflichen Abklärung in der Rehaklinik eine objektivierbare Verbesserung der Befunde an der rechten Hand zu verzeichnen sei, in nachvollziehbarer und überzeugender Weise. Schon die Fachpersonen der Rehaklinik äusserten im Übrigen die Erwartung, dass sich die Greiffähigkeit der rechten Hand, nicht zuletzt auch durch Angewöhnung, verbessern lasse. So wird im Austrittsbericht vom 10. Dezember 1997 angegeben, bei der zur Zeit auf 50 % geschätzten Arbeitsfähigkeit könne längerfristig eine Steigerung erwartet werden. Ferner lässt auch die Tatsache, dass der SUVA-Arzt die Untersuchung des Versicherten an einem einzigen Tag durchgeführt hat, während der Aufenthalt in der Rehaklinik beinahe zwei Monate dauerte, seine Ausführungen nicht weniger schlüssig erscheinen. Es entspricht im Übrigen einer Erfahrungstatsache, dass die Arbeit eines Hilfskochs nicht nur Rüstarbeiten umfasst, sondern in bedeutendem Ausmass auch andere Hilfs- und Reinigungsarbeiten auszuführen sind, für die nach den Angaben des Dr. med. V._ kaum Einschränkungen bestehen. Die in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde des Versicherten nicht näher begründeten Einwände gegen den spezialärztlichen Bericht vom 30. Juli 1998 vermögen deshalb die darin enthaltenen Feststellungen zur Arbeitsfähigkeit nicht in Frage zu stellen.
cc) Dr. med. J._ fand anlässlich der ärztlichen Abschlussuntersuchung vom 19. Dezember 1997 reizlose Verhältnisse an der rechten Hand und am Amputationsstumpf vor. Ein Tinelsyndrom könne nicht ausgelöst werden. Der Faustschluss mit der rechten Hand sei gut möglich, ebenso der Pinzettengriff zwischen der Daumenkuppe und den verbleibenden Langfingerkuppen. Bei dieser Diagnose sei beispielsweise ein Einsatz als Küchengehilfe ohne weiteres wieder möglich. Deswegen sei auf den 22. Dezember 1997 eine 75%ige und ab 12. Januar 1998 eine 100%ige Arbeitsfähigkeit im Unfallschein eingetragen.
Der Versicherte wendet dagegen ein, es sei völlig unglaubwürdig, dass sich in den zwei Wochen zwischen seinem Austritt aus der Rehaklinik und der kreisärztlichen Untersuchung eine Befundverbesserung ergeben habe. Es erscheint jedoch mit Blick darauf, dass bereits im Austrittsbericht vom 10. Dezember 1997 von einer solchen Entwicklung ausgegangen wurde, nicht abwegig, dass die während des Aufenthalts in der Klinik durchgeführten therapeutischen Massnahmen zwischenzeitlich zu greifen begonnen haben. Wie es sich damit verhält, kann allerdings in Anbetracht des Umstandes, dass dem Bericht des Dr. med. V._ vom 30. Juli 1998 voller Beweiswert zuerkannt werden muss, offen gelassen werden.
dd) Unter diesen Umständen ist davon auszugehen, dass der Versicherte auf Grund der leichten Leistungseinbusse im feinmotorischen Bereich und der verminderten Faustschlusskraft rechts als Hilfskoch oder in einer anderen leichten Hilfsarbeitertätigkeit zu 85 % arbeitsfähig ist.
b) Gestützt auf die Angaben des kantonalen Personalamtes vom 15. Juni 2000 nahm das kantonale Gericht für das Jahr 1998 ein hypothetisches Einkommen ohne Invalidität von Fr. 52'293.80 an, was sich nicht beanstanden lässt. Unter Berücksichtigung der allgemeinen Nominallohnentwicklung im Jahr 1999 von 0,3 % (Die Volkswirtschaft 2001, Heft 8, S. 93, Tabelle B 10.2) ergibt sich demzufolge im für die Beurteilung massgebenden Zeitpunkt des Erlasses des Einspracheentscheids (vom 23. August 1999; <ref-ruling> Erw. 1a) ein Valideneinkommen von Fr. 52'450.70.
c) Für die Bestimmung des trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung zumutbarerweise noch realisierbaren Einkommens (Invalideneinkommen) ist die vom Bundesamt für Statistik herausgegebene Schweizerische Lohnstrukturerhebung (LSE) heranzuziehen, nachdem der Versicherte nach Eintritt des Gesundheitsschadens keine ihm an sich zumutbare Erwerbstätigkeit mehr aufgenommen hat (<ref-ruling> Erw. 3b/bb mit Hinweisen). Ausgehend von Tabelle A1 der vom Bundesamt für Statistik für das Jahr 1998 durchgeführten Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) betrug der standardisierte monatliche Bruttolohn (Zentralwert) für die im privaten Sektor mit einfachen und repetitiven Aufgaben (Anforderungsniveau 4) beschäftigten Männer im Jahr 1998 Fr. 4268.- (LSE 1998, S. 25). Umgerechnet auf die betriebsübliche durchschnittliche Wochenarbeitszeit von 41,9 Stunden (Statistisches Jahrbuch der Schweiz 1999, Tabelle 3.11, S. 115) und angepasst an die bis zum Erlass des Einspracheentscheides vom 23. August 1999 eingetretene Nominallohnerhöhung ergibt sich ein Jahreseinkommen von Fr. 53'810.-. Bei einer Arbeitsfähigkeit von 85 % resultiert somit ein hypothetisches Invalideneinkommen von Fr. 45'738.-.
Zu einem leidensbedingten Abzug (<ref-ruling> Erw. 3b/bb mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> ff. Erw. 4 und 5) in der Höhe von 25 % besteht kein Anlass. Es ist nicht ersichtlich, weshalb der Versicherte auch im Hinblick auf sein Alter bei der Ausübung der ihm zumutbaren Hilfsarbeitertätigkeiten eingeschränkt sein sollte. Da ihm im Rahmen seines 85%igen Leistungspensums grundsätzlich alle Arbeiten (mit Ausnahme körperlich schwerer Tätigkeiten) zumutbar sind, verfügt er trotz seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung noch über ein weites Feld von Beschäftigungsmöglichkeiten. Faktoren wie mangelnde Ausbildung oder Verständigungsschwierigkeiten sind infolge ihres invaliditätsfremden Charakters bei der Invaliditätsbemessung ausser Acht zu lassen (<ref-ruling> Erw. 2c mit Hinweisen; AHI 1999 S. 237 ff.). Mit Blick darauf, dass sich einzig - und in bloss geringem Umfang - ein Abzug vom hypothetischen Invalideneinkommen wegen der zusätzlichen Angewöhnungsschwierigkeiten in einer neuen Hilfsarbeitertätigkeit rechtfertigt, lässt sich der von der SUVA errechnete Invaliditätsgrad von 15 % im Ergebnis nicht beanstanden.
8.- Der Versicherte rügt die Befristung der Rente auf drei Jahre, weil klar und offensichtlich sei, dass die gravierende Behinderung an der rechten Gebrauchshand und die sich daraus ergebenden erwerblichen Auswirkungen bleibend seien.
a) Die Gewährung einer befristeten Rente ist dann statthaft, wenn bereits anlässlich der Rentenfestsetzung vorauszusehen ist, dass sich die Auswirkungen auf die Erwerbsfähigkeit zufolge Anpassung und Angewöhnung der versicherten Person an die Unfallfolgen in absehbarer Zeit ausgleichen werden (<ref-ruling> Erw. 1; RKUV 1987 S. 309 Erw. 2b). Nach der Rechtsprechung bewirken Fingerverstümmelungen geringeren Ausmasses, insbesondere solche der vier Langfinger, erfahrungsgemäss trotz des bleibenden Defekts nach einer gewissen Phase der Anpassung und Angewöhnung keine oder nur noch eine minimale Verminderung der Erwerbsfähigkeit (<ref-ruling> Erw. 2a). Eine Angewöhnung kann aber auch bei Verlust des Daumengliedes eintreten (Rumo-Jungo, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Bundesgesetz über die Unfallversicherung, 2. Aufl., Zürich 1995, S. 111). Die Anpassung und Angewöhnung eines Drehers an einen fehlenden halben Zeigefinger an der linken und einen fehlenden ganzen Zeigefinger an der rechten Hand hat das Eidgenössische Versicherungsgericht allerdings als unwahrscheinlich eingestuft, weil der betroffene Versicherte wegen der Amputation an beiden Zeigefingern nicht von der einen auf die andere Hand ausweichen konnte (SZS 1985 S. 209).
Bei abgestuften Renten kann im Zusprechungs- und allfälligen anschliessenden Rechtsmittelverfahren nur geprüft werden, ob die für die Befristung erforderliche Prognose sachgerecht gestellt wurde. Erst im Nachhinein kann dagegen beurteilt werden, ob sich diese Prognose bewahrheitet hat. Ist dies zu verneinen, muss die Rente auf Grund einer Revisionsverfügung weiter ausgerichtet werden (RKUV 1987 S. 310 Erw. 2b; Rumo-Jungo, a.a.O., S. 110; Maurer, Bundessozialversicherungsrecht, Bern 1993, S. 371). Dabei unterliegt eine befristete Rente sowohl dann der Revision, wenn sich die Prognose der Angewöhnung nicht bewahrheitet hat, als auch dann, wenn sich der Zustand verschlimmert (Rumo-Jungo, a.a.O., S. 128).
b) Dr. med. V._ führt in seinem Bericht vom 30. Juli 1998 aus, im Vergleich zur im Herbst 1997 erfolgten medizinischen und beruflichen Abklärung in der Rehaklinik sei eine objektivierbare Verbesserung der Befunde an der rechten Hand zu verzeichnen, was auf eine inzwischen erfolgte weitere Anpassung und Gewöhnung zurückzuführen sei. Künftig könne mit einer weiteren Besserung bis zum Erreichen eines vollständigen aktiven Faustschlusses gerechnet werden. Die aktuelle Untersuchung zeige, dass der Versicherte den Verlust des Zeigefingers durch den als Ersatz einspringenden Mittel- und Ringfinger ordentlich zu kompensieren verstehe. Als wahrscheinlich endgültige Unfallfolge bleibe ein Verlust der Faustschlusskraft infolge des fehlenden Zeigefingers sowie eine gewisse Störung der Feinmotorik.
c) Die SUVA geht gestützt auf diese ärztliche Beurteilung davon aus, dass sich die Behinderung zufolge Anpassung und Angewöhnung in absehbarer Zeit ausgleichen und voraussichtlich im November 2000 nicht mehr erwerblich auswirken werde, was sich nicht beanstanden lässt. Demnach wurde zu Recht eine befristete Rente zugesprochen.
9.- Was die Höhe der Integritätsentschädigung (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) anbelangt, ist mit Blick auf Anhang 3 zur UVV, in welchem der Bundesrat Richtlinien für die Bemessung der Integritätsschäden aufgestellt und in einer als gesetzmässig erkannten, nicht abschliessenden Skala (<ref-ruling> Erw. 1b mit Hinweisen) häufig vorkommende und typische Schäden prozentual gewichtet hat, nicht zu beanstanden, dass SUVA und Vorinstanz von einer Integritätseinbusse von 6 % ausgegangen sind. Entgegen der Behauptung des Versicherten erweisen sich die medizinische Beurteilung und die Bewertung des unfallmässigen Integritätsschadens durch Dr. med. J._ (Bericht vom 19. Dezember 1997) und Dr. med. V._ (Stellungnahme vom 30. Juli 1998) auch in dieser Hinsicht als schlüssig. Soweit in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde geltend gemacht wird, die bestehenden Schmerzen seien in die Beurteilung einzubeziehen, ist darauf hinzuweisen, dass die Bemessung des Integritätsschadens nicht von den besonderen Umständen des Einzelfalles abhängt; ebenso wenig geht es bei ihr um die Schätzung erlittener Unbill, sondern um die medizinisch-theoretische Ermittlung der Beeinträchtigung der körperlichen oder geistigen Integrität, wobei subjektive Faktoren ausser Acht zu lassen sind (<ref-ruling> Erw. 1, 113 V 221 Erw. 4b mit Hinweisen). Wie sich aus dem Anhang 3 zur UVV ausserdem ergibt, bildet schliesslich auch der bereits vor dem Unfallereignis vom 20. Juni 1997 erlittene Verlust des Mittelfingerendgliedes keinen Grund, eine höhere Entschädigung zuzusprechen.
10.- a) Im vorliegenden Fall geht es um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen, so dass gemäss Art. 134 OG keine Gerichtskosten zu erheben sind.
Weil der Versicherte im letztinstanzlichen Verfahren U 384/00 teilweise obsiegt, steht ihm eine reduzierte Parteientschädigung zu (Art. 159 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 135 OG). Soweit er in den beiden Prozessen U 384/00 und U 389/00 unterliegt, sind die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung erfüllt (Art. 152 in Verbindung mit Art. 135 OG), da die Bedürftigkeit aktenkundig ist und die Vertretung geboten war (<ref-ruling> Erw. 4a und 372 Erw. 5b, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 152 Abs. 3 OG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
b) Eine Neufestsetzung der Parteientschädigung im vorinstanzlichen Verfahren durch das kantonale Gericht erübrigt sich bei diesem Prozessausgang.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. In teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde
der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt
wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des
Kantons Thurgau vom 10. Mai 2000, soweit er den Invaliditätsgrad
zum Gegenstand hat, aufgehoben. Im Übrigen
wird die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen.
II. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde des E._ wird
abgewiesen.
III. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
IV. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt hat
E._ für das Verfahren U 384/00 vor dem Eidgenössischen
Versicherungsgericht eine Parteientschädigung
von Fr. 500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu
bezahlen.
V. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung
wird Rechtsanwalt Andreas Hebeisen für die Verfahren
U 384/00 und U 389/00 vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht
aus der Gerichtskasse eine Entschädigung
von insgesamt Fr. 2000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer)
ausgerichtet.
VI. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht
des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für
Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 12. Oktober 2001
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer:
Die Gerichtsschreiberin: