Faits:
A.
De l'union de A.X._ et B.X._ sont issus C._, né en 1985, D._, né en 1989, et E._, née en 1991.
Dans le cadre d'une action alimentaire opposant C._ à son père, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine a pris acte, le 29 septembre 2005, d'une transaction judiciaire selon laquelle A.X._ s'engageait à contribuer à l'entretien de son fils aîné par le versement d'une pension mensuelle de 300 fr., allocations familiales éventuelles dues en plus à compter du 1 er septembre 2005, payable jusqu'à la fin des études pour autant que celles-ci se déroulent dans une durée normale, une non-promotion au collège interrompant par ailleurs immédiatement son versement. Etait en outre réservée la possibilité pour le débirentier de demander une modification en cas de changement de sa situation économique.
Par jugement du 10 novembre 2006, le Tribunal civil de la Sarine a dissous par le divorce le mariage des époux X._. Il a notamment astreint le père à payer une contribution de 500 fr. à chacun de ses deux autres enfants, D._ et E._, allocations familiales en sus, ces montants étant " dus jusqu'à la fin de la formation professionnelle [...], y compris une formation universitaire, et ce même si elle se prolonge au-delà de la majorité ", pour autant toutefois, dans ce dernier cas, qu'ils " achèvent leur formation professionnelle dans des délais raisonnables ".
Tant la transaction judiciaire du 29 septembre 2005 que le jugement du 10 novembre 2006 sont définitifs et exécutoires.
B.
Le 9 juillet 2009, à la requête du Service de l'action sociale, l'Office des poursuites de la Sarine a notifié à A.X._ un commandement de payer (poursuite no xxxx) la somme totale de 8'893 fr. (3'300 fr. s'agissant de C._; 5'593 fr. s'agissant de D._), plus les frais par 114 fr. 85 (commandement de payer: 70 fr.; frais d'encaissement: 44 fr. 85), avec intérêts à 5% l'an dès le 1 er juillet 2009.
Le poursuivi y a fait opposition totale.
Par ordonnance du 10 décembre 2009, le Président du Tribunal civil de la Sarine a rejeté la requête de mainlevée.
Statuant sur l'appel du Service de l'action sociale le 19 avril 2012, la II e Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a prononcé la mainlevée définitive de l'opposition à concurrence de 8'893 fr. en capital, plus intérêts à 5 % l'an dès le 1 er juillet 2009.
C.
Le 6 mai 2010, A.X._ a déposé une " action en constatation de la non-existence d'une dette ", concluant à ce qu'il soit constaté que la dette de 8'893 fr. en capital et intérêts à 5 % l'an dès le 1 er juillet 2009 n'existe pas et à ce que la poursuite y relative soit annulée. Il a aussi demandé, à titre de mesure provisionnelle urgente, la suspension provisoire de cette dernière.
Par décision du 7 mai 2010, le Président du Tribunal civil de la Sarine a rejeté la requête de mesure provisionnelle. Le 12 août 2010, à la suite d'un accord transactionnel, il a toutefois prié l'office des poursuites de suspendre provisoirement la poursuite jusqu'à droit connu.
Le 18 février 2011, ce même magistrat a partiellement admis la demande. Il a constaté que la dette de A.X._ s'élève à l'égard de l'Etat de Fribourg à 3'066 fr., a réduit la poursuite n o xxxx à ce montant et a levé, à concurrence de cette somme, la suspension de ladite poursuite.
Statuant le 30 avril 2012, sur recours de A.X._, la II e Cour d'appel civil du Tribunal cantonal fribourgeois a admis " l'action en constatation de l'inexistence d'une dette " du 6 mai 2012. Elle a constaté l'inexistence de la créance (8'893 fr. en capital et les intérêts à 5% l'an dès le 1 er juillet 2009) faisant l'objet de la poursuite n o xxxx, annulé cette dernière et statué sur les frais et dépens de première instance et de recours.
D.
Par écriture du 6 juin 2012, postée le 8 juin suivant, l'Etat de Fribourg, par son Service de l'action sociale exerce " un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire " au Tribunal fédéral. Il conclut, dans l'un et l'autre, à l'annulation de l'arrêt cantonal et à la confirmation du jugement de première instance.
A.X._ propose le rejet du recours en matière civile dans la mesure de sa recevabilité et le rejet du recours constitutionnel subsidiaire. L'autorité cantonale n'a pas formulé d'observations.
La réponse a été communiquée au recourant.

Considérant en droit:
1.
1.1. L'action en annulation de la poursuite au sens de l'art. 85a LP est une action en constatation négative de droit matériel, qui constitue une contestation civile de nature pécuniaire qui peut faire l'objet d'un recours en matière civile si la valeur litigieuse est atteinte (<ref-ruling> consid. 1.1 et 1.2 p. 92).
1.2.
1.2.1. Le recourant ne conteste pas que tel n'est pas le cas en l'espèce. Il prétend toutefois soustraire le recours en matière civile à l'exigence d'une valeur litigieuse minimale de 30'000 fr., motif pris que se poserait une question juridique de principe au sens de l'art. 74 al. 2 let. a LTF.
1.2.2. Selon la jurisprudence - restrictive en la matière -, la contestation soulève une question juridique de principe au sens de la disposition précitée lorsqu'il est nécessaire, pour résoudre le cas d'espèce, de trancher une question juridique qui donne lieu à une incertitude caractérisée, laquelle appelle de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral, en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 236; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 583; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 399). La partie recourante qui se prévaut de la dérogation de l'art. 74 al. 2 let. a LTF doit exposer en quoi l'affaire remplit la condition exigée (art. 42 al. 2 LTF; ATF <ref-ruling> consid. 1.1 p. 582).
1.2.3. En substance, le recourant prétend qu'il est de " première importance " pour les services cantonaux chargés par la loi de l'aide à l'encaissement et du versement des avances de pensions alimentaires que le Tribunal fédéral tranche la question de savoir si, dans le cadre de l'action de l'art. 85a LP, le juge peut examiner l'existence de la créance faisant l'objet de la poursuite au regard des conditions posées par l'art. 277 al. 2 CC. La position adoptée à cet égard par l'autorité cantonale serait contraire à la doctrine en la matière et créerait une " grande imprévisibilité " s'agissant de l'exécution des jugements fixant des contributions au-delà de la majorité.
1.2.4. Le recourant semble méconnaître que la seule circonstance que la question soumise au Tribunal fédéral n'ait pas encore été tranchée et fasse l'objet d'une pratique cantonale qui s'écarte des principes admis ne suffit pas à fonder l'existence d'une question juridique de principe. Il faut en outre que l'exigence de la valeur litigieuse minimale rende très faible la probabilité que cette question puisse être soumise au Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 1.2.3 p. 270 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 583 in fine). A cet égard, il suffit d'observer qu'en matière de contributions d'entretien, cette dernière condition n'est pas remplie, la question pouvant à nouveau se poser en tout temps avec une valeur litigieuse suffisante.
1.3. Le recours en matière civile n'étant pas recevable, reste à examiner le recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF) formé simultanément, en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF), contre une décision finale (art. 90 et 117 LTF; arrêt 5A_534/2010 du 28 octobre 2012 consid. 1 non publié aux <ref-ruling>) prise par un tribunal supérieur ayant statué sur recours (art. 75 et 114 LTF) par le recourant qui a été débouté de ses conclusions (art. 115 LTF).
1.4. Le recours constitutionnel subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Saisi d'un tel recours, le Tribunal fédéral n'applique pas le droit d'office et n'examine que les griefs expressément soulevés et motivés (art. 106 al. 2 et 117 LTF; sur les exigences de motivation, parmi plusieurs: <ref-ruling> consid. 2.1 p. 143; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 444).
1.5. Contrairement à ce que soutient l'intimé, il est constant que le recourant procède au bénéfice d'une subrogation (art. 289 al. 2 CC; <ref-ruling> consid. 4b p. 162; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 197).
2.
2.1. Poursuivi par le Service de l'action sociale en paiement des contributions avancées pour ses deux fils sur la base de la convention judiciaire du 29 septembre 2005 et du jugement de divorce du 10 novembre 2006, l'intimé a vu son opposition au commandement de payer la somme de 8'893 fr. être définitivement levée à concurrence de ce montant, plus intérêts à 5 % dès le 1er juillet 2009.
Le 18 février 2011, le Président du Tribunal civil a partiellement admis l'action fondée sur l'art. 85a LP intentée par le père poursuivi, en ce sens qu'il a constaté que la dette de ce dernier vis-à-vis de l'Etat s'élève à 3'066 fr., réduit à ce montant la poursuite précitée et levé dans cette mesure la suspension de cette dernière. En résumé, il a considéré que l'obligation alimentaire envers le fils aîné s'est éteinte en février 2008, date à laquelle ce dernier s'était " retiré " du collège. Le fils cadet pouvait quant à lui prétendre à son entretien jusqu'à la fin de son apprentissage, soit jusqu'en juillet 2010.
Sur recours du père poursuivi, le Tribunal cantonal a admis l'action intentée le 6 mai 2012. Il a notamment constaté l'inexistence de la dette (8'893 fr. en capital et les intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2009) faisant l'objet de la poursuite litigieuse et annulé cette dernière. En substance, examinant les conditions d'application de l'art. 277 al. 2 CC, il a considéré que, pour la période topique (février à juillet 2009), la situation financière du père n'était plus de nature à fonder une obligation alimentaire envers ses enfants majeurs et, plus particulièrement, que le fils cadet ne pouvait plus prétendre à un entretien au vu de son comportement qui constituait un manquement filial grave.
2.2. Le recourant voit dans ces considérations une violation arbitraire de l'art. 85a LP et des art. 134, 277, 285 et 286 CC. Dans ce contexte, il se plaint aussi d'une violation de l'art. 29 al. 1 Cst., soit de son droit à un procès équitable. S'agissant de l'examen même des conditions fondant l'obligation d'entretien au-delà de la majorité par l'autorité cantonale, il se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'application de l'art. 277 al. 2 CC.
3.
3.1. Pour autant qu'on puisse le comprendre, le grief tiré de l'art. 29 al. 1 Cst. n'a pas de portée propre par rapport à celui tiré de l'application arbitraire de l'art. 85a LP et des art. 134, 277, 285 et 286 CC.
3.2. De jurisprudence constante, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit censurée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 318/319 et les arrêts cités).
4.
Autant qu'il invoque une application arbitraire des art. 85a LP et des art. 134, 277, 285 et 286 CC, le recourant reproche à la Cour d'appel d'avoir examiné, dans le cadre de l'action en annulation de l'art. 85a LP, si l'intimé était encore tenu par son obligation d'entretien au regard des conditions posées par l'art. 277 al. 2 CC. Il est d'avis qu'une telle question ressortissait à une action en modification du jugement de divorce. En la discutant dans la présente procédure, l'autorité cantonale permettrait au père poursuivi d'obtenir de façon insoutenable une modification, avec un effet rétroactif, du jugement de divorce.
4.1. Aux termes de l'art. 85a LP, le débiteur poursuivi peut agir en tout temps au for de la poursuite pour faire constater que la dette n'existe pas ou plus, ou qu'un sursis a été accordé (al. 1). S'il admet la demande, le tribunal ordonne l'annulation ou la suspension de la poursuite (al. 3).
Selon la jurisprudence, cette action en annulation de la poursuite a été introduite pour éviter que le débiteur ne fasse l'objet d'une exécution forcée sur son patrimoine alors que sa dette est inexistante ou non exigible. Le législateur a ainsi voulu offrir un moyen de défense supplémentaire au poursuivi qui, notamment, a omis de former opposition ou dont l'opposition a été définitivement écartée (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 198; <ref-ruling> consid. 2c p. 151).
L'action de l'art. 85a LP revêt une double nature. Elle entraîne d'une part, sur le plan du droit matériel, la constatation de l'inexistence de la dette ou de l'octroi d'un sursis; d'autre part, elle a des effets en droit des poursuites, en ce sens que la poursuite est annulée ou suspendue si l'action est admise (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 198; <ref-ruling> consid. 2c p. 151; arrêt 5P. 337/2006 du 27 novembre 2006 consid. 4 publié à la Pra 2007 no 59 p. 393).
Lorsque la mainlevée définitive a été accordée, le poursuivi qui agit sur la base de l'art. 85a LP ne peut se prévaloir, en plus des moyens découlant de la décision elle-même - ainsi le fait que celle-ci serait soumise à une condition (Kurt Amonn/Fridolin Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8ème éd., 2008, § 20, no 20; Luca Tenchio, Feststellungsklagen und Feststellungsprozess nach Art. 85a SchKG, thèse Zurich, 1999, p. 83; cf. arrêt 5A_269/2013 du 26 juillet 2013 consid. 5.1.2) -, que des faits intervenus après l'entrée en force du jugement, à savoir de nova proprement dits (arrêts 5C. 234/2000 du 22 février 2001 consid. 2b publié à la SJ 2001 I p. 443 et les auteurs cités; 5A_591/2007 consid. 3.2.2 publié à la SJ 2008 I p. 353), telle une extinction postérieure (Amonn/Walther, op. cit., ibidem). Le poursuivi ne peut remettre en cause l'existence de la créance établie par un jugement que par les voies de droit ordinaires ou extraordinaires prévues par la loi. Le magistrat saisi de l'action de l'art. 85a LP ne peut que tenir compte, cas échéant, d'un fait nouveau, à savoir l'existence d'une nouvelle décision rendue au terme d'une telle procédure de recours ordinaire ou extraordinaire, et examiner s'il en résulte que la créance déduite en poursuite n'existe pas. Dans l'affirmative, il peut ensuite annuler la poursuite (arrêt 5A_269/2013 du 26 juillet 2013 consid. 5.1.2).
4.2. En l'espèce, le recourant a poursuivi le père en paiement des contributions avancées notamment pour le fils cadet sur la base du jugement de divorce du 10 novembre 2006 qui condamnait celui-là à subvenir à l'entretien de cet enfant " jusqu'à la fin de la formation professionnelle [...], y compris universitaire, et ce même si elle se prolonge au-delà de la majorité ", pour autant toutefois, dans ce dernier cas, qu'il " achève[...] [sa] formation professionnelle dans des délais raisonnables ".
Un tel jugement est conditionnellement exécutoire (Pierre-Robert Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, vol. I, 1999, no 34 ad art. 81 LP et la référence), en ce sens qu'il soumet l'entretien au-delà de la majorité (sur les conditions, en général, de la fixation par le juge du divorce d'une telle contribution: arrêt 5A_808/2012 du 29 août 2013 consid. 3.2.2 destiné à la publication et la référence) à la condition - résolutoire (Daniel Staehelin, Basler Kommentar, SchKG I, 2ème éd., 2010, no 47 ad art. 80 LP; cf. arrêt 5P. 356/2002 du 5 décembre 2002 consid. 1 publié in Pra 2003 no 110 p. 593) - de l'achèvement de la formation dans un délai raisonnable.
4.3. En vertu de l'art. 81 al. 1 LP, lorsque la poursuite est fondée sur un jugement exécutoire d'un canton, le juge ordonne la mainlevée définitive de l'opposition, à moins que l'opposant ne prouve par titre que la dette a été éteinte ou qu'il a obtenu un sursis, postérieurement au jugement, ou qu'il ne se prévale de la prescription. Selon la jurisprudence, par " extinction de la dette ", l'art. 81 al. 1 LP ne vise pas seulement le paiement, mais aussi toute autre cause de droit civil, comme, par exemple, l'accomplissement d'une condition résolutoire (<ref-ruling> consid. 3b p. 503 et les références citées). Dans le cas d'un jugement condamnant au paiement de contributions d'entretien au-delà de la majorité dont l'effet cesse si la condition n'est pas réalisée (cf. supra, consid. 4.2), il appartient au débiteur d'apporter la preuve stricte par titre de la survenance de la condition résolutoire, sauf si cette dernière est reconnue sans réserve par le créancier ou si elle est notoire (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 503; Staehelin, op. cit., nos 45 et 47 ad art. 80 LP; Peter Stücheli, Die Rechtsöffnung, thèse Zurich, 2000, p. 116/117 et p. 204; cf. également l'arrêt 5P.324/2005 du 22 février 2006 consid. 3.2).
4.4. Le débiteur poursuivi qui n'a pu apporter cette preuve dans le cadre de la mainlevée définitive (sur l'étendue du pouvoir d'examen du juge en matière de jugement conditionnel: arrêt 5D_88/2012 du 13 juillet 2012 consid. 4; 5P.356/2002 du 5 décembre 2002 consid. 1; Staehelin, op. cit., no 47 ad art. 80 LP) peut agir en annulation de la poursuite selon l'art. 85a LP pour faire constater la réalisation de la condition (Staehelin, op. cit., no 45 ad art. 80 LP; cf. aussi: Stücheli, op. cit., p. 204 selon lequel la voie d'une " Feststellungsklage " est ouverte; Kurt Amonn/Fridolin Walther, op. cit., § 20, nos 2 et 16). Ce faisant, il invoque un moyen qui découle de la décision elle-même. Dans le cas d'un jugement portant, comme en l'espèce, condamnation à payer une contribution au-delà de la majorité sous la condition que la formation soit achevée dans des délais raisonnables, il peut ainsi apporter la preuve par titre que cette condition - résolutoire - n'est pas réalisée.
Il ne saurait en revanche utiliser la voie de l'action en annulation de l'art. 85a LP pour faire valoir que les conditions d'un entretien au-delà de la majorité (art. 277 al. 2 CC) ne seraient plus remplies au vu des circonstances économiques et personnelles intervenues après l'entrée en force du jugement de divorce. L'obligation de subvenir à l'entretien d'un enfant majeur prévue dans un jugement de divorce subsiste - sous la réserve de la réalisation d'une éventuelle condition résolutoire (cf. supra) - tant qu'un nouveau jugement entré en force de chose jugée n'a pas modifié ce jugement (cf. <ref-ruling> consid. 3b in fine). Si, dans le cadre de l'action de l'art. 85a LP, le père poursuivi peut faire valoir des faits nouveaux, il ne peut s'agir que de l'existence d'une nouvelle décision rendue au terme d'une procédure en modification du jugement de divorce mettant fin à l'obligation d'entretien au-delà de la majorité (cf. 5A_269/2013 du 26 juillet 2013 consid. 5.1.2; cf. aussi: arrêt 5A_ 808/2012 du 29 août 2013 consid. 3.2.2 destiné à la publication et la référence, selon lequel il y a lieu de favoriser la fixation de la contribution au-delà de la majorité avant l'accès à celle-ci, le corollaire étant que le parent débiteur est renvoyé à agir par la voie de l'action en modification une fois l'enfant devenu majeur).
4.5. Cela étant, en examinant dans le cas présent si la créance en poursuite était encore fondée au regard de l'art. 277 al. 2 CC en raison des circonstances personnelles nouvelles (revenus et relations entre les parties) intervenues depuis l'entrée en force du jugement de divorce (cf. supra, consid. 2.1), l'autorité cantonale est tombée dans l'arbitraire. Elle devait se limiter à contrôler - question qu'elle n'a pas traitée - si le débiteur poursuivi a apporté la preuve par titre de l'avènement de la condition - résolutoire - posée à l'exécution du jugement de divorce, à savoir que le fils cadet n'avait pas achevé sa formation dans des délais raisonnables.
4.6. Le recours doit ainsi être admis, l'arrêt attaqué être annulé et la cause être renvoyée pour nouvelle décision dans le sens des considérants, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs pris de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'application de l'art. 277 al. 2 CC.
5.
Vu l'issue du recours, il y a lieu de mettre les frais de la procédure à la charge de l'intimé qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens au recourant (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière civile est irrecevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, IIe Cour d'appel civil.
Lausanne, le 2 octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Jordan