Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1973) stammt aus Pakistan. Das Bundesamt für Migration (BFM) trat am 17. August 2011 auf sein Asylgesuch nicht ein, wies ihn weg und hielt ihn an, die Schweiz bis zum Tag nach der Rechtskraft seiner Verfügung zu verlassen. Der Entscheid blieb unangefochten. Am 17. Oktober 2011 trat das Bundesamt für Migration auf ein Wiedererwägungsgesuch von X._ nicht ein. Das entsprechende Rechtsmittelverfahren vor Bundesverwaltungsgericht endete am 15. Dezember 2011 mit einem Nichteintretensentscheid. Während der Dauer des Verfahrens war der Vollzug der Wegweisung nicht ausgesetzt worden.
1.2 Am 28. Oktober 2011 nahm das Amt für Migration des Kantons Zug X._ in Ausschaffungshaft, welche die Haftrichterin am Verwaltungsgericht des Kantons Zug am 31. Oktober 2011 prüfte und bis zum 27. Januar 2012 bestätigte. Am 30. November 2011 ersuchte X._ darum, aus der Haft entlassen zu werden, was der Haftrichter am 12. Dezember 2011 ablehnte. X._ beantragt vor Bundesgericht, den entsprechenden Entscheid aufzuheben und ihn freizulassen.
2. Seine Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit darauf überhaupt einzutreten ist, und kann ohne Weiterungen im Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
2.1 Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz einzugehen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 - 2.3). Der Beschwerdeführer kritisiert in seiner Eingabe über weite Strecken ausschliesslich den Asyl- und Wegweisungsentscheid; er verkennt, dass dieser nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bildet (vgl. <ref-law>). Nur wenn der Wegweisungsentscheid offensichtlich unzulässig, mitunter geradezu willkürlich bzw. nichtig erscheint, darf der Haftrichter die Haftgenehmigung verweigern, da der Vollzug einer in diesem Sinn rechtswidrigen Anordnung nicht mit einer ausländerrechtlichen Zwangsmassnahme sichergestellt werden kann (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220; <ref-ruling> E. 2b). Der Beschwerdeführer behauptet zwar, dass er nicht nach Pakistan zurückkehren könne, da ihm dort der Tod drohe; er begründet dies indessen nicht weiter und belegt nicht, dass und inwiefern der Wegweisungsentscheid klarerweise unzulässig wäre: Die Wegweisungsfrage wurde im Asylverfahren geprüft; der Beschwerdeführer hatte Gelegenheit, allfällige Vollzugshindernisse dort geltend zu machen. Wenn die Vorinstanz unter diesen Umständen zum Schluss gekommen ist, der Wegweisungsentscheid bzw. dessen Vollzug sei nicht offensichtlich widerrechtlich, verletzte dies im vorliegenden Zusammenhang (Haftprüfung) kein Bundesrecht.
2.2 Der Beschwerdeführer bestreitet sinngemäss, dass bei ihm ein Haftgrund besteht. Zu Unrecht: Zur Sicherstellung des Vollzugs eines Wegweisungsentscheids kann eine ausländische Person in Ausschaffungshaft genommen werden, wenn das Bundesamt - wie dies hier der Fall war - gestützt auf <ref-law> (SR 142.31) auf das Asylgesuch nicht eingetreten ist, d.h. der Betroffene den Behörden nicht innerhalb von 48 Stunden nach Einreichung seines Ersuchens Reise- oder Identitätspapiere abgegeben hat (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 AuG). Dabei handelt es sich um einen objektivierten Haftgrund, der eine Untertauchensgefahr indiziert (Urteil 2C_963/2010 vom 11. Januar 2011 E. 2.3.1 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3.2.2).
2.3 Im Übrigen durfte die Vorinstanz auch davon ausgehen, dass konkrete Anzeichen befürchten lassen, der Beschwerdeführer werde sich der Ausschaffung im Sinne von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 AuG entziehen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f. mit Hinweisen): Dieser hat - wie die Vorinstanz für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich festgestellt hat (vgl. <ref-law>) - widersprüchliche Angaben über den Reiseweg und den Verbleib seiner Papiere gemacht und den Behörden gegenüber insbesondere seinen Aufenthalt in Ungarn verschwiegen. Zudem hat er erklärt, auf jeden Fall in der Schweiz bei seinem Bruder und dessen Frau verbleiben zu wollen. Die ihm angesetzte Ausreisefrist hat er verstreichen lassen, obwohl ihm wiederholt mitgeteilt worden ist, dass der Vollzug der Wegweisung trotz des Wiedererwägungsverfahrens nicht ausgesetzt sei.
2.4 Unter diesen Umständen ist die Aufrechterhaltung seiner Haft nicht unverhältnismässig, was er vor Bundesgericht im Übrigen auch nicht mehr geltend macht. Es ist nicht ersichtlich, mit welcher anderen milderen Massnahme der Vollzug seiner Wegweisung, dem er sich widersetzt, indem er nicht bereit ist, mit den Behörden für die Beschaffung der erforderlichen Papiere zu kooperieren, wirksam sichergestellt werden könnte. Er verkennt, dass sein Asylverfahren rechtskräftig abgeschlossen ist und er das Land zu verlassen hat.
2.5 Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind - insbesondere der Vollzug seiner Wegweisung zurzeit noch als absehbar bezeichnet werden kann und keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sich die Behörden nicht weiterhin mit Nachdruck um diesen bemühen werden (Art. 76 Abs. 4 AuG) -, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht. Der Beschwerdeführer kann seine Haft verkürzen, indem er bei der Beschaffung der für seine Ausreise erforderlichen Papiere mit den Behörden zusammenarbeitet. Für alles Weitere wird auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>).
3. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Haftrichter, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Dezember 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar