Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1972) stammt aus Marokko. Er reiste am 22. Januar 2001 und am 5. März 2004 illegal in die Schweiz ein. Am 7. Februar 2001 und am 17. März 2004 ersuchte er hier jeweils unter einer falschen Identität erfolglos um Asyl. Am 6. Januar 2005 heiratete er in Marokko die Schweizer Bürgerin Y._, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei dieser erteilt wurde.
1.2 Mit Verfügung vom 13. August 2007 lehnte das Departement des Innern des Kantons Solothurn es ab, die Bewilligung zu verlängern; X._ berufe sich in rechtsmissbräuchlicher Weise auf den Fortbestand der Ehe, nachdem die Gatten getrennt lebten und er wiederholt gegen seine Frau tätlich geworden sei. Hiergegen gelangte X._ erfolglos an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn (Urteil vom 31. Januar 2008). In der Folge wurde er verpflichtet, den Kanton und die Schweiz bis zum 30. April 2008 zu verlassen.
1.3 Am 2. Juni 2008 ist X._ polizeilich angehalten und am 4. Juni 2008 in Ausschaffungshaft genommen worden. Das Haftgericht des Kantons Solothurn prüfte diese gleichentags und genehmigte sie bis zum 1. August 2008. X._ gelangte hiergegen am 9./17. Juni 2008 an die Haftrichterin, welche sein Schreiben am 19. Juni 2008 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiterleitete. X._ beantragt sinngemäss, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Die Eingabe ist - soweit sich der Beschwerdeführer darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt und nicht lediglich allgemeine Kritik an der schweizerischen Migrationspolitik übt (vgl. <ref-law>) - offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden: Der Beschwerdeführer ist rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden, hat sich jedoch geweigert, das Land freiwillig zu verlassen. Er wurde hier straffällig und hielt sich den Behörden nicht zur Verfügung. Gestützt auf dieses Verhalten besteht bei ihm "Untertauchensgefahr" im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.). Die Behörden haben sich seit der Anhaltung des Beschwerdeführers kontinuierlich um dessen Ausschaffung bemüht: Der für ihn gebuchte freiwillige Rückflug vom 5. Juni 2008 scheiterte an seinem renitenten Verhalten; er hat es sich somit selber zuzuschreiben, wenn er die Organisation des Sonderfluges in Haft abwarten muss. Seine Identität ist erstellt und die erforderlichen Reisepapiere liegen vor, weshalb nicht gesagt werden kann, dass der Vollzug der Wegweisung nicht in absehbarer Zeit möglich wäre (Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG; <ref-ruling> E. 4.1.2 und 4.1.3 mit Hinweisen). Soweit der Beschwerdeführer die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung beanstandet, verkennt er, dass hierüber rechtskräftig entschieden ist und er diese Frage im Haftprüfungsverfahren nicht mehr aufwerfen kann. Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>).
3. Aufgrund der Umstände rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>). Das Departement des Innern des Kantons Solothurn wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, des Kantons Solothurn, dem Haftgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar