Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen Vermögensdelikten. Am 22. Oktober 2012 fand die Schlusseinvernahme statt. In der Folge erhob X._ Beschwerde ans Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte, die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, die Schlusseinvernahme zu wiederholen, sämtliche relevanten Umstände zu ermitteln und unter Berücksichtigung sämtlicher Umstände den Schlussvorhalt neu zu fassen, sofern die Untersuchung nicht eingestellt werde. Die Staatsanwaltschaft sei zudem anzuweisen, entlastende Elemente nicht zu unterdrücken und durch das Beweisergebnis widerlegte Unterstellungen im Schlussvorhalt zu unterlassen.
Mit Beschluss vom 1. Februar 2013 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 8. März 2013 beantragt X._, der obergerichtliche Beschluss sei aufzuheben. Zudem sei die Staatsanwaltschaft anzuweisen, entlastende Sachverhaltselemente nicht zu unterdrücken, durch das Beweisergebnis widerlegte Unterstellungen im Schlussvorhalt zu unterlassen, sämtliche relevanten (auch entlastende) Umstände zu ermitteln und die Schlusseinvernahme zu wiederholen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen. Der angefochtene Entscheid ist kantonal letztinstanzlich (<ref-law>).
1.2. Der Beschwerdeführer stützt sein Rechtsmittel auf <ref-law>. Danach kann gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids Beschwerde geführt werden. Die Bestimmung bezweckt, im Fall einer Rechtsverweigerung oder Rechtsverzögerung den Rechtsweg ans Bundesgericht zu öffnen, wenn kein anfechtbarer Entscheid vorliegt (vgl. die systematische Einordnung der Norm). Wenn dagegen - wie hier - die letzte kantonale Instanz einen Entscheid gefällt hat, so beurteilt sich dessen Anfechtbarkeit nicht nach <ref-law>, sondern nach Art. 90 bis 93 BGG (Urteil 1B_388/2011 vom 5. September 2011 E. 1.2 mit Hinweis).
1.3. Das angefochtene Urteil schliesst das Strafverfahren nicht ab (Art. 90 f. BGG). Es liegt ein Zwischenentscheid im Sinn von <ref-law> vor, welcher nur dann der Beschwerde ans Bundesgericht unterliegt, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Vorliegend kommt offensichtlich nur die erste Variante (Abs. 1 lit. a) in Betracht. In der Beschwerdeschrift ist konkret darzulegen, inwiefern die Voraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils erfüllt ist, soweit dies nicht offensichtlich ist (<ref-ruling> E. 4 S. 95 mit Hinweisen).
Im Zusammenhang mit der Beurteilung der Rechtmässigkeit von Verfahrenssistierungen hat das Bundesgericht festgehalten, dass auf die Voraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteils ausnahmsweise verzichtet wird, wenn der Beschwerdeführer die Rüge der formellen Rechtsverweigerung in der Form der Rechtsverzögerung erhebt (<ref-ruling> E. 6 S. 191 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 261; <ref-ruling> E. 1.3 S. 129; <ref-ruling> E. 2.2 ff. S. 45 ff.; Urteile 1B_209/2011 vom 6. September 2011 E. 1; 1B_273/2007 vom 6. Februar 2008 E. 1.4; 4A_542/2009 vom 27. April 2010 4.2; 1B_273/2007 vom 6. Februar 2008 E. 1.2; 1P.99/2002 vom 25. März 2002 E. 2.2; je mit Hinweisen). Diese Rechtsprechung bezieht sich auf die Gesamtdauer des Verfahrens und nicht auf die Frage, ob einzelne amtliche Prozesshandlungen zeitgerecht erfolgten (1B_388/2011 vom 5. September 2011 E. 1.3). Der Beschwerdeführer rügt zwar unter anderem, der Entwurf des Schlussvorhalts sei ihm zu spät zugestellt worden, er kritisiert jedoch nicht die Gesamtdauer des Verfahrens. Von der Voraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteils ist deshalb nicht abzusehen.
Der Beschwerdeführer erblickt den nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteil im Umstand, dass der angefochtene Entscheid dazu führen würde, dass es zur Anklage kommen und er seine Kaderstelle verlieren würde. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung begründet indessen die Durchführung eines Strafverfahrens keinen Nachteil rechtlicher Natur, der mit einem für den Angeschuldigten günstigen Entscheid nicht behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 4 S. 141; <ref-ruling> E. 2c S. 315; Urteil 1B_209/2011 vom 6. September 2011 E. 1; je mit Hinweisen). Von dieser Rechtsprechung abzuweichen, besteht kein Anlass. Die Sachurteilsvoraussetzung von <ref-law> ist somit nicht erfüllt.
2.
Auf die Beschwerde ist aus den genannten Gründen nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich, Wirtschaftsdelikte, und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Mai 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold