Sachverhalt:
A.
A._ meldete sich am 21. September 2005 zur Teilnahme am "Pilotversuch Assistenzbudget" an, die ihr von der für das Pilotprojekt zuständig gewesenen Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (IV-Stelle) am 27. September 2005 bewilligt wurde. Mit Verfügung vom 29. Dezember 2005 sprach ihr die IV-Stelle des Kantons St. Gallen ein monatliches Assistenzgeld von Fr. 7'350.- zu. Mit Verfügung vom 30. März 2011 erhöhte sie das Assistenzgeld auf Fr. 7'380.- pro Monat. Nach Inkrafttreten der 6. IV-Revision am 1. Januar 2012 überprüfte die IV-Stelle des Kantons Zürich den Anspruch von Amtes wegen. Sie führte entsprechende Abklärungen vor Ort durch und stellte A._ am 24. Mai 2012 in Aussicht, der (neu eingeführte) Assistenzbeitrag belaufe sich nunmehr auf Fr. 5'374.40. Dagegen erhob A._ am 22. Juni und 26. Juli 2012 Einwände. Nach der Mandatierung von Rechtsanwalt Husmann, am 12. September 2012 liess sie am 13. September und 10. Oktober 2012 weitere Einwände geltend machen. Die IV-Stelle hiess diese mit Verfügung vom 19. November 2012 teilweise gut und sprach A._ einen monatlichen Assistenzbeitrag von Fr. 6'244.75 zu.
Am 4. Dezember 2013 gelangte der Rechtsvertreter von A._ an die IV-Stelle und machte geltend, die Verfügung vom 19. November 2012 sei weder ihm noch seiner Mandantin zugestellt worden. Die IV-Stelle veranlasste am 17. Dezember 2013 eine nochmalige Zustellung der Verfügung sowie des Berechnungsblattes.
B.
Am 28. Januar 2014 liess A._ Beschwerde gegen die Verfügung vom 19. November 2012 erheben und vorab geltend machen, die Beschwerdefrist sei gestützt auf den Verfügungseingang am 18. Dezember 2013 gewahrt. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich verfügte am 4. März 2014, auf die Beschwerde werde eingetreten.
C.
Die IV-Stelle erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben. Es sei festzustellen, dass das kantonale Gericht zu Unrecht auf die Beschwerde eingetreten sei.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Gleichzeitig beantragt sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist die vorinstanzliche Verfügung, mit welcher das kantonale Gericht entschieden hat, auf die Beschwerde der Versicherten vom 28. Januar 2014 einzutreten. Dieser Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab, sondern stellt einen Zwischenentscheid dar (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.2, 212 E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3 S. 127; <ref-ruling> E. 1.3).
1.2. Gegen selbstständig eröffnete Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn eine der folgenden alternativen Voraussetzungen erfüllt ist: Erstens, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Zweitens, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
1.3. Die Beschwerde führende IV-Stelle macht geltend, im Fall einer (teilweisen) Beschwerdegutheissung im Sinne einer Rückweisung wäre sie gezwungen, trotz rechtskräftigem Entscheid weitere Abklärungen zu tätigen und eine neue Verfügung zu erlassen. Die Verspätung der Eingabe könnte in einer nachfolgenden Beschwerdeschrift nicht mehr geltend gemacht werden, weshalb ihr ein nicht wiedergutzumachender Nachteil entstehen würde.
Ein nicht wiedergutzumachender Nachteil kann bereits deshalb bejaht werden, weil die Beschwerdeführerin bei einem Nichteintreten auf ihre Rechtsschrift sich einem möglicherweise länger dauernden materiellen Beschwerdeverfahren vor dem kantonalen Sozialversicherungsgericht zu unterziehen hätte, für das sie auch bei einem für sie günstigen Verfahrensausgang nicht entschädigt würde (Art. 68 Abs. 3 BGG; <ref-ruling>; Urteil K 49/02 vom 23. September 2002). Darüber hinaus wäre das kantonale Hauptverfahren bei Gutheissung der Verspätungseinrede im letztinstanzlichen Verfahren hinfällig und würde sofort ein Ende finden (vgl. Urteil 5A_449/2007 vom 25. Oktober 2007 E. 1). Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Gemäss Art. 60 Abs. 1 ATSG ist die Beschwerde innerhalb von 30 Tagen nach der Eröffnung des Einspracheentscheids oder - wie hier - der Verfügung, gegen welche eine Einsprache ausgeschlossen ist, einzureichen. Diese gesetzliche Frist kann nicht erstreckt werden (Art. 40 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 60 Abs. 2 ATSG und Art. 1 Abs. 1 IVG). Nach Art. 39 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 60 Abs. 2 ATSG ist die 30-tägige Frist nur gewahrt, wenn die Beschwerde spätestens am letzten Tag der Frist beim kantonalen Versicherungsgericht eingereicht oder zu dessen Handen u.a. der Schweizerischen Post übergeben worden ist. Läuft die Frist unbenützt ab, so erwächst die Verfügung in formelle Rechtskraft, mit der Wirkung, dass das kantonale Gericht auf die verspätet eingereichte Beschwerde nicht eintreten kann.
3.2. Die Eröffnung einer Verfügung ist eine empfangsbedürftige, nicht aber eine annahmebedürftige einseitige Rechtshandlung; sie entfaltet daher ihre Rechtswirkungen vom Zeitpunkt der ordnungsgemässen Zustellung an. Ob die betroffene Person vom Verfügungsinhalt Kenntnis nimmt oder nicht, hat keinen Einfluss (<ref-ruling> E. 4c S. 95 mit Hinweisen). Der Beweis der Tatsache sowie des Zeitpunktes der Zustellung von Verfügungen obliegt rechtsprechungsgemäss der die Zustellung veranlassenden Behörde, welche die entsprechende (objektive) Beweislast trägt (<ref-ruling> E. 2a S. 402, 117 V 261 E. 3b S. 264, je mit Hinweisen). Dabei gilt bezüglich Tatsachen, welche für die Zustellung von Verfügungen der Verwaltung erheblich sind, der Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 2b S. 402, 121 V 5 E. 3b S. 6, je mit Hinweisen). Allerdings bedingt dies in der Regel die Eröffnung der Verfügung mit eingeschriebenem Brief. Nach der Rechtsprechung vermag die Verwaltung den Wahrscheinlichkeitsbeweis für die Zustellung der Verfügung nicht durch den blossen Hinweis auf den üblichen administrativen Ablauf zu erbringen (Urteil H 219/82 vom 28. September 1983 E. 1, in: ZAK 1984 S. 124). Wird die Tatsache oder das Datum der Zustellung uneingeschriebener Sendungen bestritten, muss daher im Zweifel auf die Darstellung des Empfängers abgestellt werden, sofern seine Darlegung der Umstände nachvollziehbar ist und einer gewissen Wahrscheinlichkeit entspricht. Sein guter Glaube wird vermutet. Allerdings kann der Nachweis der Zustellung auch aufgrund von Indizien oder gestützt auf die gesamten Umstände erbracht werden (Urteil 9C_432/2007 vom 6. November 2007 E. 3.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2a S. 402, 103 V 63 E. 2a S. 66; Urteil 2A.293/2001 vom 21. Mai 2002 E. 1b mit Hinweisen).
4.
4.1. Die Vorinstanz stellte fest, die Verfügung vom 19. November 2012 sei per A-Post versandt worden. Die IV-Stelle vermöge, wie sie selbst anerkenne, deren Zustellung nicht zu beweisen. Aus dem langen Zuwarten des Rechtsvertreters und dem Argument, dieser habe als Fachexperte wissen müssen, dass nach dem Auslaufen des Pilotprojekts Assistenzbudget aufgrund der gesetzlichen Bestimmungen bis Ende Dezember 2012 eine neue Verfügung zu erlassen gewesen war, vermöge sie nichts zu ihren Gunsten abzuleiten. Dies liefe auf eine unzulässige Beweislastumkehr hinaus. Nicht erstellen lasse sich auch eine Zustellung an die Versicherte selbst. Wenn sie in einer E-Mail vom 22. März 2013 die Verfügungsnummer angegeben habe, erlaube dies keine Rückschlüsse, da die Nummer bereits dem Vorbescheid zu entnehmen gewesen sei. Ebenso wenig vermöge die betragliche Nähe der am 19. November 2012 verfügten Assistenzbeiträge und der für das Jahr 2013 abgerechneten, gegenüber den bisherigen Abrechnungen markant tieferen Assistenzleistungen eine Zustellung der Verfügung rechtsgenüglich zu beweisen. Auf die Beschwerde sei daher einzutreten.
4.2. Die IV-Stelle rügt eine Verletzung des Willkürverbotes und eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung. Zwar könne die Zustellung per A-Post nicht bewiesen werden. Es bestünden aber genügend Indizien, wonach die Verfügung im Anschluss an den Erlass eröffnet worden sei. Das kantonale Gericht habe nicht berücksichtigt, dass die Versicherte bis Ende Dezember 2012 den maximalen monatlichen Betrag von Fr. 7'350.- bezogen habe, während ihre Abrechnungen ab Januar 2013 deutlich tiefer ausgefallen seien, dabei aber den vorbescheidweise angekündigten Betrag um knapp Fr. 10'000.- überschritten hätten. Es sei deshalb davon auszugehen, dass die Versicherte Kenntnis vom Betrag gehabt habe, der ihr mit Verfügung vom 19. November 2012 zugesprochen worden sei. Weiter habe die Versicherte am 16. Januar 2013 telefonisch Vorschussleistungen beantragt. Solche könnten erst nach der verfügungsweisen Festsetzung des Assistenzbeitrages gewährt werden. Das Verhalten der Versicherten, die gehäufte Korrespondenz mit der IV-Stelle und die ab 1. Januar 2013 monatlich eingereichten Abrechnungen der Assistenzstunden und notwendigen Berufsunterlagen liessen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit darauf schliessen, dass die Verfügung zumindest der Versicherten eröffnet worden sei. In Nachachtung ihrer Sorgfaltspflicht wäre sie gehalten gewesen, innerhalb der Beschwerdefrist an ihren Rechtsvertreter zu gelangen. Dies habe sie unterlassen, weshalb die Verfügung vom 19. November 2012 rechtskräftig geworden und der gerichtlichen Beurteilung nicht mehr zugänglich sei.
4.3. Die Versicherte lässt im Wesentlichen vorbringen, die in der Beschwerdeschrift angeführten Indizien vermöchten den tatsächlichen Eingang der Verfügung nicht zu belegen. Der Beweis der erfolgten Zustellung wäre der Beschwerdeführerin durchaus zumutbar gewesen, weshalb es unstatthaft wäre, diese zu fingieren. Solches käme einer Beweisumkehr zu ihren Ungunsten gleich.
5.
5.1. Der Pilotversuch Assistenzbudget, in dessen Rahmen die teilnehmenden Versicherten mit Aufenthalt zu Hause anstelle der Hilflosenentschädigung und des Intensivpflegezuschlages für Minderjährige eine vom Grad der Hilflosigkeit abhängige Assistenzpauschale und ein individuelles, dem persönlichen Zeitbedarf angepasstes Assistenzbudget (im Rahmen der Heimkosten) erhielten (Verordnung über den Pilotversuch "Assistenzbudget" vom 10. Juni 2005 [AS 2005 3529], Art. 1 f. und 8 ff.), war bis Ende 2011 befristet und wurde mit Inkrafttreten der 6. IV-Revision (1. Massnahmenpaket) ab 1. Januar 2012 durch den Assistenzbeitrag (Art. 42quater Abs. 1 IVG) abgelöst. Gemäss lit. b Abs. 2 der Schlussbestimmungen der Änderung vom 18. März 2011 waren die Ansprüche gemäss Pilotversuch bis spätestens zwölf Monate nach Inkrafttreten der Gesetzesänderung, d.h. bis Ende 2012, nach neuem Recht zu beurteilen. In Nachachtung dieser rechtlichen Grundlagen stellte die Beschwerdeführerin der Versicherten mit Vorbescheid vom 24. Mai 2012 in Aussicht, gestützt auf Art. 42quater ff. IVG einen Assistenzbeitrag auszurichten. Gleichzeitig wies sie darauf hin, mit der Ablösung des Assistenzbudgets durch den Assistenzbeitrag werde auch die Hilflosenentschädigung (bei schwerer Hilflosigkeit) wieder ausgerichtet. Die Verfügung betreffend den Assistenzbeitrag erging, wie erwähnt, am 19. November 2012. Über die Hilflosenentschädigung verfügte die Beschwerdeführerin am 5. Dezember 2012.
5.2.
5.2.1. Der Vorinstanz ist beizupflichten, dass ein allfälliges Fehlverhalten des Rechtsvertreters (in Form eines vorwerfbaren Untätigbleibens) jedenfalls für sich allein keine Zustellungsfiktion zu begründen vermöchte. Ebenso ist nicht zu beanstanden, wenn das kantonale Gericht den Umstand, dass die Versicherte in ihrer elektronischen Korrespondenz mit der IV-Stelle die Verfügungsnummer anführte, nicht als Indiz für den Erhalt der Verfügung würdigte, nachdem sich diese Nummer auch im Vorbescheid vom 24. Mai 2012 fand, welchen die Beschwerdegegnerin unbestritten erhalten hatte. Indes hält der angefochtene Entscheid aus anderen, nachfolgend dargelegten Gründen vor Bundesrecht klar nicht stand.
5.2.2. Im Vordergrund steht das vom Rechtsvertreter im kantonalen Beschwerdeverfahren als Beilage 3 eingereichte Exemplar der Verfügung vom 19. November 2012. Entgegen seinen Ausführungen in der Begründung, wonach der Eingangsstempel auf "18.12.2013" laute, ist dieses nämlich mit einem einwandfrei lesbaren Eingangsstempel "21. November 2012" und einem handschriftlichen Vermerk auf die Beschwerdefrist "F: 21.12.2012" versehen. Eine Erklärung für diese Angaben findet sich nicht. Offensichtlich ist dieser Umstand sowohl der Beschwerdeführerin als auch der Vorinstanz entgangen, jedenfalls nahmen sie in keiner Weise darauf Bezug. Auch die Versicherte schweigt sich zu diesem Punkt aus und bringt insbesondere nichts vor, was die naheliegende Annahme entkräften würde, dass der Eingangsstempel sowie der handschriftliche Vermerk auf die Beschwerdefrist von ihrem Rechtsvertreter oder dessen Hilfspersonen angebracht worden waren und der vorinstanzlichen Rechtsschrift wohl versehentlich nicht das am 18. Dezember 2013 zugegangene Verfügungsexemplar beigelegt wurde. Die Vermerke auf dem vorinstanzlich ins Recht gelegten Verfügungsexemplar sind in jedem Fall ein starkes Indiz dafür, dass die Verfügung unmittelbar nach deren Erlass dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin zugegangen war. Nicht zuletzt findet sich zudem auch auf dem der Krankenversicherung der Beschwerdegegnerin zugestellten Verfügungsexemplar ein - optisch abweichender - Eingangsstempel vom 21. November 2012, was zusätzlich die Wahrscheinlichkeit verstärkt, dass der Rechtsvertreter der Versicherten die Verfügung am gleichen Tag erhalten hatte.
5.2.3. Selbst wenn der Eingangsvermerk nicht von der Beschwerdeführerin bzw. deren Rechtsvertreter stammen würde (worauf allerdings nichts hindeutet), bestehen zusätzliche Indizien, welche die zeitnah am Erlass erfolgte Zustellung überwiegend wahrscheinlich erscheinen lassen. Zunächst ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin am 5. Dezember 2012 die (erneute) Zusprechung einer Hilflosenentschädigung (bei Hilflosigkeit schweren Grades) ab 1. Januar 2013 verfügt hatte, nachdem während des Pilotprojekts ein entsprechender Anspruch mit der Assistenzpauschale abgegolten und nicht separat verfügt worden war (vorangehende E. 5.1). Dass die Verfügung vom 5. Dezember 2012 der Versicherten bzw. ihrem Rechtsvertreter nicht zugegangen wäre, wurde nicht geltend gemacht, und es finden sich auch keine entsprechenden Hinweise in den Akten. Der Rechtsvertreter - dem zweifellos bekannt war, dass der erneuten Zusprechung einer Hilflosenentschädigung eine Verfügung über die Assistenzbeiträge hatte vorangehen müssen - sah nach Erhalt jenes Bescheides offensichtlich keinen Anlass für entsprechende Rückfragen bei der IV-Stelle. Am 11. Dezember 2012 stellte die Beschwerdegegnerin zudem bei der IV-Stelle Antrag auf einen Vorschuss zum Assistenzbeitrag, dem gemäss Stellungnahme des Rechtsdienstes vom 16. Januar 2013 entsprochen werden konnte. Die Gewährung eines Vorschusses setzt indes, worauf die Beschwerdeführerin zu Recht hinweist, eine vorgängige Verfügung über die Höhe des Assistenzbeitrages voraus (vgl. Rz. 6067 ff. des Kreisschreibens über den Assistenzbeitrag [in der ab 1. Januar 2012 gültig gewesenen Fassung]). Nachdem die Beschwerdegegnerin in ihren Einwänden gegen den Vorbescheid vom 24. Mai 2012 ausführlich dargelegt hatte, weshalb sich der neu zuzusprechende Assistenzbeitrag weiterhin in der Höhe des bisherigen Assistenzgeldes bewegen müsse, ist im Übrigen nicht einleuchtend, wenn sie nunmehr geltend macht, die ab 1. Januar 2013 eingereichten Abrechnungen (welche deutlich über dem vorbescheidweise in Aussicht gestellten Betrag lagen) seien deshalb erheblich tiefer ausgefallen als das frühere Assistenzbudget, weil sie sich nicht der Illusion habe hingeben können, weiterhin den gleichen Betrag abrechnen zu dürfen wie während des Pilotversuchs. Schliesslich steht fest, dass die Beschwerdegegnerin ab 1. Januar 2013 ihrer (neuen) Pflicht zum Nachweis der bezogenen Assistenz klaglos nachgekommen ist, wofür während des Pilotprojekts keine Notwendigkeit bestand.
5.3. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die - aktenkundigen und in die Augen springenden, daher trotz Art. 105 Abs. 1 BGG von Amtes wegen zu berücksichtigenden (Art. 105 Abs. 2 BGG) - Eingangs- bzw. Fristvermerke auf dem vorinstanzlich eingereichten Verfügungsexemplar einen Zugang unmittelbar nach Verfügungserlass nicht nur als überwiegend wahrscheinlich erscheinen lassen, sondern zumindest dann eindeutig belegen, wenn sie vom Rechtsvertreter oder dessen Hilfspersonen stammen (vorangehende E. 5.2.2). Selbst wenn dem nicht so wäre, hätte das kantonale Gericht in Würdigung der konkreten Umstände den rechtsgenüglichen Nachweis der bereits im November 2012 erfolgten Verfügungszustellung eindeutig nicht verneinen dürfen (E. 5.2.3 hievor). Die Beschwerde ist gutzuheissen.
6.
Dem Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. z.B. Urteil 5A_309/2012 vom 19. Oktober 2012 E. 4.2). Die Gerichtskosten sind somit einstweilen auf die Gerichtskasse zu nehmen. Dem Vertreter der Beschwerdegegnerin ist aus der Gerichtskasse eine reduzierte Entschädigung zu entrichten. Die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung steht unter dem Vorbehalt, dass die Beschwerdegegnerin der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Verfügung des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 4. März 2014 wird aufgehoben.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Husmann als unentgeltlicher Rechtsanwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin wird aus der Gerichtskasse eine reduzierte Entschädigung von Fr. 500.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. März 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Bollinger Hammerle