Faits:
A.
Le Ministère public de l'arrondissement de Z._ (ci-après: le Ministère public) instruit une enquête contre A.X._ pour lésions corporelles simples et contre B.X._ pour voies de fait, sur plaintes respectives des prénommés. Les plaintes ont été déposées le 6 avril 2012, à la suite d'une violente dispute qui avait éclaté lorsque le prénommé s'était rendu chez la prénommée pour prendre en charge leur fils conformément à son droit de garde.
Le 9 novembre 2012, la Procureure en charge du dossier a refusé la désignation d'un défenseur d'office au prénommé, au motif que la cause ne serait compliquée ni en fait ni en droit, de sorte que l'affaire ne présenterait pas de difficultés que le prévenu ne pourrait pas surmonter seul. Par arrêt du 4 janvier 2013, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par l'intéressé contre cette décision.
B.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A.X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 4 janvier 2013 et de lui désigner un avocat d'office. Il requiert en outre l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal de céans.
Le Ministère public et le Tribunal cantonal renoncent à se déterminer et se réfèrent à la décision attaquée.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière pénale est ouvert contre une décision incidente par laquelle l'assistance judiciaire gratuite est refusée à une partie à la procédure pénale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2 p. 337). Le refus de désigner un avocat d'office au recourant est de nature à lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>, de sorte qu'il peut faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral (ATF 133 IV 355 consid. 4 p. 338).
2.
Le recourant se plaint d'une violation de son droit à disposer d'un avocat pour sa défense (art. 6 CEDH).
2.1. Le droit à l'assistance judiciaire se déduit notamment des art. 29 al. 3 Cst. et 6 par. 3 let. c CEDH (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 133). En matière pénale, le principe, l'étendue et les limites du droit à l'assistance judiciaire gratuite sont déterminés par le code de procédure pénale suisse (CPP; RS 312.0). L'<ref-law> prévoit que la direction de la procédure ordonne une défense d'office si le prévenu ne dispose pas des moyens nécessaires et que l'assistance d'un défenseur est justifiée pour la sauvegarde de ses intérêts. Cette seconde condition est remplie notamment lorsque l'affaire n'est pas de peu de gravité et qu'elle présente, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter (<ref-law>).
En tout état de cause, une affaire n'est pas de peu de gravité lorsque le prévenu est passible d'une peine privative de liberté de plus de quatre mois, d'une peine pécuniaire de plus de 120 jours-amende ou d'un travail d'intérêt général de plus de 480 heures (<ref-law>). Ainsi, pour qu'une défense d'office soit ordonnée dans un cas de défense facultative, il faut que les conditions posées par l'<ref-law> - et précisées par l'art. 132 al. 2 et 3 CPP - soient réunies.
Pour évaluer si l'affaire présente des difficultés que le prévenu ne pourrait pas surmonter sans l'aide d'un avocat, il y a lieu d'apprécier l'ensemble des circonstances concrètes. Il faut tenir compte notamment des capacités du prévenu, de son expérience dans le domaine juridique ainsi que des mesures qui paraissent nécessaires, dans le cas particulier, pour assurer sa défense, notamment en ce qui concerne les preuves qu'il devra offrir (<ref-ruling> consid. 4 p. 105).
2.2. En l'occurrence, le Tribunal cantonal a estimé que la cause ne présentait pas, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter, de sorte qu'une des conditions cumulatives de l'<ref-law> faisait défaut.
Quant au recourant, il conteste l'absence de difficultés de la cause. Il y a donc lieu d'examiner si l'affaire soulève des difficultés particulières sous l'angle des faits ou du droit, compte tenu des capacités de l'intéressé.
2.3. De langue maternelle française, le recourant est médecin et effectue actuellement un post-doctorat en Grande-Bretagne dans un programme financé par le Fonds national suisse de la recherche scientifique. Il dispose ainsi d'une formation universitaire supérieure et a la capacité de suivre une procédure pénale simple, telle que celle qui fait l'objet du présent litige. Les faits de la présente cause ne sont pas complexes, s'agissant d'une violente dispute entre ex-époux au sujet de leur fils. Quoi qu'en dise le recourant, le seul fait d'affirmer que "son ex-épouse n'est pas une personne crédible et [qu'elle] raconte n'importe quoi à qui veut l'entendre" n'est pas suffisant pour démontrer la difficulté de l'affaire. Sur le plan juridique, les conditions de réalisation d'une infraction de lésion corporelle simple se comprennent aussi aisément. La cause n'est donc compliquée ni en fait, ni en droit, de sorte que le recourant a les capacités de se défendre seul. Il a d'ailleurs démontré être capable d'assurer sa défense en produisant comme moyen de preuve un certificat médical accompagné de photographies et en rédigeant deux recours devant le Tribunal de céans, sans l'aide d'un avocat. De surcroît, ayant déjà déposé différentes plaintes pénales contre son ex-épouse - laquelle en a également déposé plusieurs à son encontre -, il n'est pas dénué de toute expérience devant les tribunaux. Dès lors, en considérant que le cas, vu les circonstances de l'espèce, était de peu de gravité, la cour cantonale n'a pas violé l'<ref-law>.
Pour le reste, le recourant relève qu'une condamnation pénale anéantirait toute perspective de carrière dans le milieu médical ou académique en Suisse. L'issue de la procédure pénale revêt certes une importance particulière pour le prévenu. Celui-ci ne prétend cependant pas qu'une révocation de l'autorisation d'exercer sa profession est en jeu. Dans ces conditions, compte tenu également des capacités du recourant et de la simplicité de la cause, la désignation d'un avocat n'est pas objectivement nécessaire. Le fait que l'ex-épouse dispose d'un avocat ne suffit pas non plus à justifier l'intervention d'un mandataire professionnel.
Le recours est par conséquent rejeté.
3.
Vu la situation personnelle de l'intéressé, qui a agi sans avocat, l'arrêt sera rendu sans frais (art. 66 al. 1 2 ème phrase LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Ministère public de l'arrondissement de X._, au Ministère public central et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale.
Lausanne, le 21 mai 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller