Sachverhalt:
A. X._ lernte im Sommer 2004 A._ kennen. Die beiden gingen eine Beziehung ein, welche im Frühling 2005 auseinanderbrach. Trotz Hausverbots besuchte X._ A._ ab Ende Juni 2005 immer wieder in ihrer Wohnung, so auch am 1. Oktober 2005. An diesem Abend kam es zwischen den Genannten zu einer verbalen Auseinandersetzung, in deren Verlauf X._ mit mindestens einem Messer mehrfach derart heftig gegen bzw. in den Hals und den Bauch von A._ stach, dass diese schwerste Verletzungen davontrug, so insbesondere zwei Messerstichverletzungen am Hals mit einer hälftigen Durchtrennung der Luftröhre, eine Messerstichverletzung am Brustkorb über dem Brustbein, drei Messerstiche am Oberbauch, darunter einen Leberstich, einen Schnitt an der Gallenblasenwand, am querverlaufenden Dickdarm, am Zwölffingerdarm, am Dünndarm sowie mehrfach am Aufhängeband des Darms und an der oberen Gesässarterie (Vena mesenterica superior). Weitere Schnitt- oder Stichverletzungen betrafen die Extremitäten, darunter eine ca. 20 cm lange Verletzung am linken Unterschenkel. Ohne zeitgerechte ärztliche Intervention hätte A._ nicht überlebt. Die beschriebenen Verletzungen führten im Zeitraum vom 1. Oktober bis 26. Dezember 2005 zu insgesamt 20 Operationen und zu teilweise bleibenden Folgen bzw. zumindest zu erhöhten Gesundheitsrisiken (Verwachsungen in der Bauchhöhle mit der Gefahr eines Darmverschlusses).
B. Das Obergericht des Kantons Zürich befand X._ am 26. Oktober 2007 erstinstanzlich der versuchten vorsätzlichen Tötung schuldig (Dispositiv-Ziffer 1). Vom Vorwurf des mehrfachen Hausfriedensbruchs sprach es ihn hingegen frei (Dispositiv-Ziffer 2). Es verurteilte ihn zu einer elfjährigen Freiheitsstrafe, unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft und des vorzeitigen Strafvollzugs (Dispositiv-Ziffer 3). Im Weiteren verpflichtete es ihn, dem Opfer Fr. 60'000.-- und dessen Sohn Fr. 5'000.-- als Genugtuung zu bezahlen. Im Übrigen verwies es das Genugtuungsbegehren des Opfers auf den Weg des ordentlichen Zivilprozesses (Dispositiv-Ziffern 4 und 5).
C. Auf eine von X._ eingereichte kantonale Nichtigkeitsbeschwerde trat das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Zirkulationsbeschluss vom 23. Juli 2008 nicht ein.
D. Mit Eingabe vom 30. Januar/10. September 2008 führt X._ Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. Oktober 2007 mit dem Antrag, es sei das Urteil (Dispositiv-Ziffer 3) aufzuheben und der Beschwerdeführer mit einer Freiheitsstrafe von sieben Jahren, unter Anrechnung der Untersuchungshaft sowie des vorzeitigen Strafvollzugs, zu bestrafen. Eventuell sei das Urteil (Dispositiv-Ziffer 3) aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht des Kantons Zürich zurückzuweisen. X._ ersucht ferner um Gewährung der unentgelt-lichen Rechtspflege.
E. Vernehmlassungen wurde keine eingeholt.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer hat gegen das Urteil des Obergerichts kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht ergriffen und dabei eine Verletzung der aus dem Grundsatz "in dubio pro reo" fliessenden Beweislast- und Beweiswürdigungsregel gerügt. Das Kassationsgericht ist auf die Beschwerde nicht eingetreten mit der Begründung, der Beschwerdeführer werfe unter dem Titel der als verletzt gerügten Verfassungsbestimmung lediglich die Rechtsfrage auf, ob der Sachrichter bezüglich des Vorsatzes bzw. der Vorsatzform aus den äusseren Umständen auf innere Tatsachen schliessen dürfe, und rüge damit im Ergebnis ausschliesslich die unrichtige Anwendung von Bundesrecht, was es nicht überprüfen könne (Entscheid des Zürcher Kassationsgerichts, E. 4.3). Vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer, welcher nur das obergerichtliche Urteil anficht, erneut eine willkürliche Beweiswürdigung und eine Verletzung von "in dubio pro reo" im Sinne von Art. 9 und 32 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Abs. 2 EMRK geltend. Mit diesen Rügen ist er im bundesgerichtlichen Verfahren an sich mangels Anfechtung des kassationsgerichtlichen Entscheids nicht mehr zu hören. Da er unter dem Titel der erwähnten Verfassungsbestimmungen indes wiederum nur die unrichtige Anwendung von Bundesrecht rügt, ist auf seine Kritik insofern einzugehen.
2. Der Beschwerdeführer beging seine Tat vor dem Inkrafttreten des neuen Allgemeinen Teils des Strafgesetzbuches am 1. Januar 2007 (vgl. Bundesgesetz vom 13. Dezember 2002; AS 2006 3459 3535). Das angefochtene Urteil erging später. Damit stellt sich die Frage nach dem anwendbaren Recht, was gemäss <ref-law> von Amtes wegen zu prüfen ist. Gemäss <ref-law> ist neues Recht anzuwenden, sofern es für den Täter milder ist. Nach Auffassung des Obergerichts trifft das hier zu, weil das neue Recht den Begriff "Zuchthaus" nicht mehr enthalte, die theoretische Strafuntergrenze bei Versuch gemäss Art. 22 i.V.m. <ref-law> im Vergleich zum alten Recht tiefer zu liegen komme, und die neue Grundsatzbestimmung zur Strafzumessung (<ref-law>) als zusätzliches Element die Wirkung der Strafe auf das Leben des Täters berücksichtige, was im Einzelfall eine Strafe ermögliche, die niedriger sein könne als diejenige, welche das Verschulden des Täters gebieten würde. Damit bejaht das Obergericht die Anwendbarkeit des neuen Rechts allein aufgrund abstrakter Vergleiche. Massgebend ist allerdings eine konkrete Betrachtungsweise. Es kommt mithin darauf an, nach welchem Recht der Täter für die zu beurteilende Tat besser wegkommt (<ref-ruling> E. 2c mit Hinweisen). Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich nicht, inwiefern bei Anwendung des zur Zeit der Tat geltenden alten Rechts eine höhere Strafe ausgefällt worden wäre. In Anbetracht der im vorliegenden Fall massgebenden und im Wesentlichen unveränderten Strafzumessungsgrundsätze darf deshalb davon ausgegangen werden, dass die Strafe bei Anwendung des alten Rechts gleich ausgefallen wäre. Somit ist das neue Recht im konkreten Fall nicht das mildere. Demnach ist das alte Recht gemäss Art. 63 aStGB anwendbar. Da das alte und das neue Recht integral anzuwenden sind, d.h. eine kombinierte Anwendung der beiden Rechte ausgeschlossen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 2a), ist das alte Recht richtigerweise auch bei der Beurteilung des Schuldpunkts anzuwenden.
3. Der Beschwerdeführer bestreitet, mit direktem Tötungsvorsatz gehandelt zu haben. Das Obergericht habe in unzulässiger Weise aus dem erwiesenen Taterfolg - anstatt auf Eventualdolus - auf die direktvorsätzliche Begehung der Tat geschlossen.
3.1 Gemäss Art. 18 Abs. 2 aStGB verübt ein Verbrechen oder ein Vergehen vorsätzlich, wer die Tat mit Wissen und Willen ausführt. Je nach der Willensbeziehung des Täters zur Tatbestandsverwirklichung wird zwischen verschiedenen Vorsatzarten unterschieden. Direkter Vorsatz (zweiten Grades) liegt vor, wenn der Täter den deliktischen Erfolg, mag ihm dieser auch gleichgültig oder sogar unerwünscht sein, als notwendige Folge oder als Mittel zur Erreichung des verfolgten Zwecks in seinen Entschluss miteinbezogen hat. Er braucht nicht das vom Täter erstrebte Ziel zu sein; es genügt, dass er mitgewollt ist (<ref-ruling> E. 2b/cc). Demgegenüber ist Eventualvorsatz gegeben, wenn der Täter den Eintritt des Erfolgs bzw. die Tatbestandsverwirklichung für möglich hält, aber dennoch handelt, weil er den Erfolg für den Fall seines Eintritts in Kauf nimmt (<ref-ruling> E. 3c mit Hinweisen).
3.2 Nach den verbindlichen Feststellungen des Obergerichts hat der Beschwerdeführer das Opfer mit mindestens einem Messer mehrfach heftig in den Hals und den Bauch gestochen. Insbesondere mit Blick auf die Messerstiche in den Hals, welche zu einer Teildurchtrennung der Luftröhre führten, durfte das Obergericht ohne weiteres davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit gewusst hat, dass sein Handeln - in aller Regel und jedenfalls dann, wenn nicht sofortige ärztliche Hilfe verfügbar ist - zum Tod des Opfers führt, und er diesen Erfolg auch gewollt hat. Die Annahme des Obergerichts, der Beschwerdeführer habe direktvorsätzlich und nicht nur mit Eventualdolus gehandelt, verletzt Bundesrecht somit nicht. Die Beschwerde ist insoweit als unbegründet abzuweisen. Auf die für den Fall der Annahme einer eventualvorsätzlichen Tatbegehung gemachten Ausführungen des Beschwerdeführers zur Strafzumessung bzw. zur Festsetzung des Strafmasses braucht unter diesen Umständen nicht mehr eingegangen zu werden.
4. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist auch die ausgefällte Freiheitsstrafe von 11 Jahren bundesrechtlich nicht zu beanstanden. In seinen Erwägungen zur Strafzumessung hat sich das Obergericht gemäss Art. 63 aStGB mit den wesentlichen schuldrelevanten Komponenten auseinandergesetzt. Dass es sich von rechtlich nicht massgebenden Kriterien hätte leiten lassen oder wesentliche Gesichtspunkte nicht berücksichtigt hätte, ist nicht ersichtlich (vgl. hierzu auch <ref-ruling> E. 6.1.; <ref-ruling> E. 124 IV 286 E. 4a). Die vom Obergericht berücksichtigten Strafmilderungs- bzw. Strafminderungsgründe haben sich auf die angesichts des schweren Verschuldens des Beschwerdeführers angemessen erscheinende Einsatzstrafe von 17 Jahren im Umfang von sechs Jahren und somit ausreichend auf das Strafmass ausgewirkt. Auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid kann daher an dieser Stelle verwiesen werden. Ergänzend bleibt Folgendes zu bemerken:
4.1 Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, das Obergericht habe seine tataktuelle psychische Belastung, das abgelegte Geständnis, die Kooperation im Strafverfahren sowie seine Einsicht und Reue in die Tat unzureichend bzw. gar nicht gewichtet. Das trifft nicht zu. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich, dass das Obergericht strafmindernd berücksichtigte, dass sich der Beschwerdeführer relativ rasch nach der Tat stellte, von Anfang an geständig und kooperativ war und Reue zeigte. Ebenso hat das Obergericht im angefochtenen Entscheid zur behaupteten psychischen Belastung des Beschwerdeführers unter Bezugnahme des Gutachtens der Psychiatrischen Universitätsklinik vom 7. August 2006 (vgl. Gutachten, S. 40/41) Stellung genommen und ist dabei zum Schluss gekommen, dass die schwere Gewalttat nicht in einem wesentlichen milderen Licht erscheine, selbst wenn man dem Beschwerdeführer eine gewisse psychische Belastung zubillige. Soweit der Beschwerdeführer dafür hält, die erwähnten Faktoren hätten insgesamt stärker zu seinen Gunsten gewichtet werden müssen, wendet er sich gegen das dem Obergericht bei der Strafzumessung zustehende weite Ermessen, ohne jedoch eine Verletzung desselben stichhaltig aufzuzeigen. Eine solche ist im Übrigen auch nicht ersichtlich.
4.2 Dass und inwiefern der Beschwerdeführer wegen der letztlich unnötig gebliebenen Abklärungen bei Interpol zu seiner angeblichen Verwicklung in einen Verkehrsunfall mit tödlichem Ausgang länger als nötig den Belastungen der vorliegenden Strafuntersuchung ausgesetzt gewesen sein soll, ist nicht erkennbar und damit unter Strafzumessungsgesichtspunkten irrelevant. Das Obergericht hatte deshalb keinen Grund, diesen Gesichtspunkt bei der Strafzumessung zu berücksichtigen. Ebenso wenig musste es von einer (erhöhten) Strafempfindlichkeit des Beschwerdeführers ausgehen. Dieser übersieht bei seiner Kritik, dass jedes Strafverfahren - neben dem Schuldspruch und der Sanktion - zusätzliche Belastungen mit sich bringt, die aber nur zu berücksichtigen sind, wenn sie das durchschnittliche Mass übersteigen. Solche aussergewöhnlichen Umstände sind hier nicht ersichtlich und werden vom Beschwerdeführer im Übrigen auch nicht geltend gemacht, beruft er sich im Wesentlichen doch lediglich darauf, baldmöglichst zu seiner Familie und seinen Enkelkindern zurückkehren zu wollen.
4.3 Gesamthaft verstösst damit die Strafzumessung des Obergerichts nicht gegen die Grundsätze von Art. 63 aStGB. Die Beschwerde erweist sich auch in diesem Punkt als unbegründet.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (<ref-law>). Er hat zwar ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gestellt, welches jedoch abzuweisen ist, da die Beschwerde aussichtslos war (Art. 64 BGG). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist durch eine herabgesetzte Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Schneider Arquint Hill