Sachverhalt:
A. X._ (französischer Staatsangehöriger; Jahrgang 1966) mit derzeitigem Aufenthaltsort im US-Bundesstaat Kalifornien, von Beruf Private Banker, und Y._ (britische Staatsangehörige; Jahrgang 1968) heirateten am xxxx 1997 in England. Am 13. Mai 1999 wurde der gemeinsame Sohn Z._ geboren.
Die Trennung erfolgte im Mai 2008.
Mit Eingabe vom 24. September 2009 reichte die Ehefrau am Bezirksgericht Höfe Scheidungsklage ein. Am 16. März 2011 erging das erstinstanzliche Scheidungsurteil. Dieses stellte Sohn Z._ unter die elterliche Sorge der Mutter (Ziff. 2) und verpflichtete X._ zur Zahlung von monatlich Fr. 2'680.-- Kindesunterhalt (Ziff. 4) und (befristet bis zum 31. Mai 2015) von monatlich Fr. 3'743.-- Ehegattenunterhalt (Ziff. 5) sowie zur Zahlung einer Prozessentschädigung von Fr. 4'000.-- (Ziff. 10); hinsichtlich der Gerichtskosten wurde X._ die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt (Ziff. 9).
Mit Eingabe vom 14. April 2011 (Datum der Postaufgabe) erhob X._ Berufung an das Kantonsgericht Schwyz. Darin focht er die Dispositiv-Ziffern 4, 5 und 10 an. Zudem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung eines Rechtsvertreters für das Berufungsverfahren.
Mit Schreiben vom 19. April 2011 forderte das Kantonsgericht Schwyz X._ auf, seine Berufungsschrift zu verbessern, d.h. die Behauptungen betreffend seine Einkommensverhältnisse zu substanziieren und zu belegen, ansonsten die Abweisung der Berufung wegen offensichtlicher Unbegründetheit drohe (<ref-law>). Mit Eingabe vom 3. Mai 2011 reichte X._ eine verbesserte Berufungsschrift ein.
B. Mit Verfügung vom 12. Mai 2011 wies der Kantonsgerichtspräsident das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und forderte X._ auf, bis zum 31. Mai 2011 einen Kostenvorschuss im Umfang von Fr. 3'000.-- zu leisten.
C. Mit Beschwerdeschrift vom 1. Juni 2011 gelangt X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Sinngemäss ficht er den vorinstanzlichen Entscheid betreffend Nichtbewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege an; ebenfalls sinngemäss stellt er ein Begehren um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht.
In ihrer Vernehmlassung vom 22. Juni 2011 beantragte die Vorinstanz die Abweisung der Beschwerde sowie eines allfälligen Gesuchs um aufschiebende Wirkung, worauf der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 28. Juni 2011 replizierte. Mit Präsidialverfügung vom 30. Juni 2011 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonaler Entscheid, in welchem dem Beschwerdeführer für das kantonale Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde.
1.1 Der erstinstanzliche Entscheid in der Hauptsache erging am 16. März 2011 und wurde den Parteien danach versandt (zur Relevanz des Versanddatums vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 132). Folglich bestimmt sich das gegen das erstinstanzliche Scheidungsurteil zulässige Rechtsmittel nach Massgabe der Schweizerischen Zivilprozessordnung (<ref-law>). Für das Verfahren vor der Rechtsmittelinstanz ist naturgemäss ebenfalls die ZPO anwendbar (<ref-law> e contrario).
Wurde einer Partei für das erstinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt, gilt dies nicht automatisch auch für das Rechtsmittelverfahren. Vielmehr ist sie erneut zu beantragen (<ref-law>). Das hat der Beschwerdeführer getan. <ref-law>, wonach der die unentgeltliche Rechtspflege ganz oder teilweise ablehnende Entscheid mit Beschwerde angefochten werden kann, stellt einen Anwendungsfall von <ref-law> dar. Nach dem ausdrücklichen Wortlaut dieser Bestimmung steht die Beschwerde nur gegen Entscheide der ersten Instanz zur Verfügung. Somit hat das Obergericht zwar nicht als Rechtsmittelinstanz über die unentgeltliche Rechtspflege entschieden (Art. 75 Abs. 2 BGB); dennoch ist eine Beschwerde an das Bundesgericht zulässig, wenn ein oberes kantonales Gericht mit einem Rechtsmittelverfahren befasst ist und in diesem Rahmen einen Zwischenentscheid (z.B. betreffend unentgeltliche Rechtspflege) fällt (vgl. auch das zur Publikation bestimmte Urteil 5A_320/2011 vom 8. August 2011 E. 2.2 mit Hinweisen).
1.2 Ein Entscheid, der die unentgeltliche Rechtspflege verweigert, ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647; <ref-ruling> E. 3 S. 143 f.).
In der Hauptsache sind vorliegend Unterhaltsbeiträge an die Ehefrau und an das gemeinsame Kind sowie die erstinstanzlich zugesprochene Parteientschädigung strittig, womit eine Zivilsache mit Vermögenswert vorliegt (<ref-ruling> E. 2 S. 395), deren Streitwert Fr. 30'000.-- erreicht (<ref-law>). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen (<ref-law>), weshalb sie auch gegen den vorliegend angefochtenen Zwischenentscheid zulässig ist.
1.3 Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache, einen sog. materiellen Antrag stellen. Auf eine Beschwerde mit formell mangelhaftem Rechtsbegehren kann das Bundesgericht ausnahmsweise dann eintreten, wenn sich aus der Beschwerdebegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, "zweifelsfrei" bzw. "ohne weiteres" ergibt, was der Beschwerdeführer in der Sache verlangt (<ref-ruling> E. 1.4 S. 414 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 210) oder - im Falle zu beziffernder Rechtsbegehren - welcher Geldbetrag zuzusprechen ist (<ref-ruling> E. 2 S. 236 f.).
Vorliegend stellt der Beschwerdeführer kein Rechtsbegehren. Sinngemäss enthält sein Vorbringen aber einen Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sowie ein gleichzeitiges Ersuchen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (inklusive unentgeltlicher Rechtsvertretung). Den gleichen Antrag stellt er sinngemäss auch für das Verfahren vor Bundesgericht.
1.4 Das Bundesgericht prüft die Anwendung der Schweizerischen ZPO mit freier Kognition (<ref-law>).
Dabei wendet es - im Rahmen der gestellten Anträge - das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, es sei denn, die rechtlichen Mängel sind geradezu offensichtlich. Das Bundesgericht ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht (mehr) vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen).
Die Beschwerde ist dabei hinreichend zu begründen, andernfalls wird auf sie nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Dazu ist es unerlässlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids konkret eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
1.5 Im Unterschied zur Rechtsanwendung ist das Bundesgericht an die kantonalen Sachverhaltsfeststellungen grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich sind einzig Verfassungs-, insbesondere Willkürrügen statthaft (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398), für welche das strenge Rügeprinzip gilt (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2. Die Vorinstanz hat die vom Beschwerdeführer für das Berufungsverfahren beantragte unentgeltliche Prozessführung mit folgender Begründung abgewiesen: Der Appellant verfüge über ein Einkommen von monatlich mindestens USD 12'500.-- (bzw. gemäss unbelegter Behauptung USD 8'791.-- netto). Damit sei es ihm zuzumuten, für die zweitinstanzlichen Gerichtskosten aufzukommen. Im Übrigen habe er seinen behaupteten Lebensaufwand sowie die angebliche Wiederverheiratung nicht einmal ansatzweise belegt. Auf einen amtlichen Rechtsbeistand sei er angesichts seines Berufs und seines Beziehungsnetzes sowie wegen der relativen Einfachheit der sich im Berufungsverfahren stellenden Rechtsfragen nicht angewiesen.
In seiner aus nur wenigen Sätzen bestehenden Beschwerdeschrift vom 1. Juni 2011 setzt sich der Beschwerdeführer in keiner Weise mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinander; statt dessen beklagt er sich über angeblich erlittenes Unrecht und verweist pauschal auf seine katastrophale finanzielle Lage.
Die in seiner Eingabe vom 28. Juni 2011 (betreffend Bestätigung des Schweizerischen Konsulates in Los Angeles zur Fristwahrung) gemachten Äusserungen zur Sache sind unbeachtlich, soweit sie sich nicht auf die vorinstanzliche Vernehmlassung beziehen.
Damit kommt der Beschwerdeführer seiner Begründungspflicht im Sinne von <ref-law> nicht ansatzweise nach. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
3. Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer in der angefochtenen Verfügung eine Frist bis zum 31. Mai 2011 zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 3'000.-- angesetzt. Die Vorinstanz wird daher dem Beschwerdeführer eine neue Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses anzusetzen haben.
4. Der Beschwerdeführer wird kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>). Wie den vorstehenden Ausführungen entnommen werden kann, konnte der Beschwerde von Beginn weg kein Erfolg beschieden sein, weshalb es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor Bundesgericht mangelt (<ref-law>) und das Gesuch entsprechend abzuweisen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Schwander