Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1962, trat am 1. September 2008 die unbefristete Arbeitsstelle als Dozent mit einem 80 % Pensum an der Hochschule Luzern (nachfolgend: Hochschule oder Beschwerdeführerin) an. Am 22. Oktober 2012 löste die Hochschule das Arbeitsverhältnis ordentlich per 28. Februar 2013 auf und stellte A._ mit sofortiger Wirkung für die Dauer der Kündigungsfrist unter Beibehaltung des bisherigen Lohnes vom Dienst frei.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde des A._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (seit 1. Juni 2013: Kantonsgericht Luzern) mit Entscheid vom 10. Mai 2013 gut und erklärte die von der Hochschule am 22. Oktober 2012 ausgesprochene Kündigung für nichtig.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die Hochschule beantragen, der angefochtene Gerichtsentscheid sei aufzuheben und die am 22. Oktober 2012 ausgesprochene Kündigung für gültig zu erklären.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Datum vom 30. Oktober und 12. November 2013 reicht die Beschwerdeführerin nachträglich unaufgefordert weitere Eingaben mit neuen Belegen ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Dieser betrifft die Nichtigerklärung der ausgesprochenen Kündigung im Rahmen eines öffentlich-rechtlichen Anstellungsverhältnisses und somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinn von Art. 82 lit. a BGG. Da mit der letztinstanzlich angefochtenen Nichtigerklärung der Kündigung bei Weiterbestehen des Arbeitsverhältnisses Lohnforderungen und allenfalls weitere geldmässigen Ansprüche in Zusammenhang stehen, liegt eine vermögensrechtliche Streitigkeit vor (vgl. Urteil 8C_820/2010 vom 12. Januar 2011 E. 1.1 mit Hinweis), weshalb der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. g BGG nicht gegeben ist.
1.2. Die Beschwerde ist auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse zulässig, wenn der Streitwert nicht weniger als Fr. 15'000.- beträgt (Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG) oder wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 85 Abs. 2 BGG). Letzteres wird von der Beschwerdeführerin nicht geltend gemacht (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG), weshalb sich die Zulässigkeit der Beschwerde an der Streitwertgrenze von Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG entscheidet. Der Streitwert bestimmt sich bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben sind (Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG). Lautet ein Begehren nicht auf Bezahlung einer bestimmten Geldsumme, setzt das Bundesgericht gemäss Art. 51 Abs. 2 BGG den Streitwert nach Ermessen fest. Nach dem angefochtenen Entscheid ist bei einem Jahresbruttolohn des Beschwerdegegners von jedenfalls deutlich mehr als Fr. 100'000.- von einem Streitwert von klar über Fr. 15'000.- auszugehen, zumal auch die Beschwerdeführerin davon ausgeht, dass sich das Arbeitsverhältnis um mindestens ein Semester verlängern wird, sofern sie vor Bundesgericht unterliegt. Die Streitwertgrenze von Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG ist somit erreicht.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich der verfassungsmässigen Rechte) sowie von interkantonalem Recht gerügt werden (Art. 95 lit. a und e BGG). Im Gegensatz zu kantonalrechtlichen Bestimmungen, deren Verletzung - vorbehältlich politische Rechte umschreibender Normen (Art. 95 lit. d BGG) - lediglich in Form der Verletzung von kantonalen verfassungsmässigen Rechten (Art. 95 lit. c BGG) oder für den Fall gerügt werden kann, dass damit gleichzeitig Bundesrecht oder Völkerrecht verletzt wird (so etwa bei einer Verletzung von Grundrechten der BV, insbesondere des Willkürverbotes [Art. 9 BV] oder des Rechtsgleichheitsgebotes [Art. 8 BV]), unterliegt die Geltendmachung der Verletzung interkantonalen Rechts hinsichtlich der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis keinen derartigen Einschränkungen (Urteil 8C_260/2010 vom 12. Januar 2011 E. 2.2.1).
2.2. Das interkantonale Recht im Sinne von Art. 95 lit. e BGG umfasst zunächst die interkantonalen Vereinbarungen. Werden durch ein solches Konkordat interkantonale Organisationen oder Einrichtungen geschaffen, gelten auch die von deren Organen erlassenen Rechtsnormen als interkantonales Recht (Markus Schott, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 65 zu Art. 95 BGG mit Hinweis auf das Urteil 2P.176/2001 vom 6. November 2001 E. 1a/aa). Soweit das interkantonale Recht auf das Privatrecht oder auf das Recht eines Kantons verweist, hat dieses ebenfalls als subsidiäres interkantonales Recht zu gelten (Urteil 8C_818/2010 vom 2. August 2011 E. 2.2 mit Hinweis), so dass eine entsprechend gerügte Rechtsverletzung vor Bundesgericht nicht einer Einschränkung der Überprüfungsbefugnis im Sinne von Erwägung Ziffer 2.1 hievor unterliegt. Verweist jedoch das kantonale Personalrecht im Bereich öffentlich-rechtlicher Anstellungsverhältnisse auf das Obligationenrecht, gelangt das Bundesprivatrecht als ergänzendes kantonales Recht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.4 S. 236 f.; Urteil 8C_110/2013 vom 2. September 2013 E. 2.1 i.f. mit Hinweisen) mit der Folge, dass hinsichtlich einer solchen Rechtsverletzung die bundesgerichtliche Überprüfungsbefugnis eingeschränkt bleibt (E. 2.1 hievor).
2.3. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht gilt demgegenüber eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen). Insoweit gelten die gleichen Begründungsanforderungen wie früher bei der staatsrechtlichen Beschwerde nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG (<ref-ruling> E. 2 S. 591 f.; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid die Grundrechte oder kantonales und interkantonales Recht verletzt, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; die erhobenen Rügen müssen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3.2 S. 400; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262; <ref-ruling> E. 2.1 S. 120; je mit Hinweisen; Urteil 9C_722/2007 vom 11. April 2008 E. 1.2).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.5. Willkür in der Rechtsanwendung liegt dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 319 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; je mit Hinweisen).
3.
Strittig ist, ob die von der Beschwerdeführerin am 22. Oktober 2012 verfügte Kündigung des Arbeitsverhältnisses gemäss angefochtenem Entscheid nichtig ist.
4.
Die nachträglichen Eingaben der Hochschule vom 30. Oktober und 12. November 2013, welche sich weder auf den Streitgegenstand (E. 3 hievor) beziehen (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG) noch darlegen, weshalb es sich bei den neu eingereichten Belegen um ausnahmsweise zulässige Noven handeln sollte (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG), sondern einzig auf unzulässige echte Noven (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344) Bezug nehmen, sind aus dem Recht zu weisen.
5.
5.1. Das kantonale Gericht hielt in Bezug auf die im Zeitpunkt der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes geltenden Rechtsgrundlagen (<ref-ruling> E. 1 S. 11 mit Hinweis) zutreffend fest, der Kanton Luzern habe im Rahmen der Fachhochschule Zentralschweiz (FHZ) je eine Hochschule für Technik und Architektur, für Wirtschaft und für Gestaltung und Kunst geführt (Art. 1 des Gesetzes über die Hochschulen des Kantons Luzern in der Fachhochschule Zentralschweiz vom 22. November 1999, welches per 1. Januar 2013 durch die Zentralschweizer Fachhochschul-Verordnung vom 14. Dezember 2012 [ZFH-VO; Systematische Rechtssammlung des Kantons Luzern, SRL 520a] abgelöst wurde) und sei gemäss Art. 3 Abs. 1 lit. b des Zentralschweizer Fachhochschul-Konkordats vom 2. Juli 1999 (aFHZ-Konkordat, welches vom 1. Januar 2001 bis zum 31. Dezember 2012 in Kraft stand und per 1. Januar 2013 durch die Zentralschweizer Fachhochschul-Vereinbarung vom 15. September 2011 [ZFH-V; SRL Nr. 520] abgelöst wurde) Träger der Hochschule für Wirtschaft Luzern gewesen. Nach Art. 18 Abs. 2 des Statuts der Fachhochschule Zentralschweiz vom 28. März 2001 (aFHZ-Statut, welches vom 1. Januar 2001 bis mindestens zum 31. Dezember 2012 in Kraft stand [vgl. Art. 43 Abs. 4 ZFH-V] und per 1. September 2013 durch das Statut der Fachhochschule Zentralschweiz - Hochschule Luzern [FHZ-Statut; SRL Nr. 520b] abgelöst wurde) galt für das Personal der Teilschulen der Fachhochschule Zentralschweiz das Personal- und Besoldungsrecht der Trägerschaft der jeweiligen Teilschule. Die Vorinstanz ging folglich in Bezug auf die Streitfrage betreffend Auflösung des Arbeitsverhältnisses zwischen A._ und der Beschwerdeführerin von der Anwendbarkeit des Gesetzes über das öffentlich-rechtliche Arbeitsverhältnis des Kantons Luzern vom 26. Juni 2011 (vgl. § 1 Abs. 1 lit. b Personalgesetz [PG/LU]; SRL Nr. 51) aus. An der Anwendbarkeit des PG/LU änderte auch das Inkrafttreten der ZFH-V per 1. Januar 2013 mit dem neu in Art. 13 Abs. 1 ZFH-V enthaltenen Verweis nichts. Etwas anderes macht die Beschwerdeführerin nicht geltend.
5.2.
5.2.1. Die Hochschule löste das Arbeitsverhältnis mit A._ am 22. Oktober 2012 gestützt auf den ordentlichen Kündigungsgrund von § 18 lit. b PG/LU wegen Verletzung gesetzlicher oder vertraglicher Pflichten bzw. wegen Mängeln in der Leistung oder im Verhalten auf und stellte ihn mit sofortiger Wirkung für die Dauer der Kündigungsfrist vom Dienst frei. Dies, nachdem der Beschwerdegegner der Hochschule mit Schreiben vom 15. Oktober 2012 mitgeteilt hatte, dass er gemäss beigelegtem Arztzeugnis der Psychiaterin Dr. med. K._ vom 15. Oktober 2012 ab sofort bis auf weiteres, mindestens aber bis zum 4. November 2012 vollständig arbeitsunfähig sei, dass er sich anschliessend jedoch gerne in einem persönlichen Gespräch zu den gegen ihn erhobenen Vorwürfen äussern würde.
5.2.2. Das kantonale Gericht erklärte die am 22. Oktober 2012 ausgesprochene Kündigung gestützt auf § 24 PG/LU in Verbindung mit Art. 336c Abs. 1 lit. b OR für nichtig. Unter dem Titel "Beendigung zur Unzeit" sieht § 24 PG/LU - abgesehen von hier nicht interessierenden Ausnahmetatbeständen - für diesen Fall die Anwendbarkeit der Bestimmungen des Obligationenrechts über die Kündigung zur Unzeit vor. Das kantonale Recht verweist demnach auf die bundesrechtlichen Bestimmungen von Art. 336c f. OR. Dies bewirkt im Bereich öffentlich-rechtlicher Anstellungsverhältnisse der Hochschule Luzern nach den hier massgebenden, im Zeitpunkt der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes (am 22. Oktober 2012 ausgesprochene Kündigung) gültig gewesenen Rechtsgrundlagen (vgl. E. 4.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1 S. 11 mit Hinweis), dass das Bundesprivatrecht - soweit der Kanton Luzern bis Ende 2012 als Alleinträger der "Hochschule für Wirtschaft" (E. 4.1 hievor) in Art. 18 Abs. 2 aFHZ-Statut auf die Anwendbarkeit des PG/LU und § 24 PG/LU seinerseits weiter auf das OR verwies - als ergänzendes kantonales Recht zur Anwendung gelangt (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 236; vgl. auch Urteile 8C_340/2009 vom E. 1.2 und 1C_59/2008 vom 28. November 2008 E. 1.3). Denn durch die im öffentlichen Recht vorgenommene Verweisung auf das Privatrecht wird dieses zum öffentlichen Recht des betreffenden Gemeinwesens - hier bis Ende 2012 des Trägerkantons Luzern - und ist nach dessen Regeln anzuwenden und auszulegen (vgl. Urteil 1C_68/2007 vom 14. September 2007 E. 2.3 mit Hinweisen).
5.2.3. Zusammenfassend gelangen demnach die obligationenrechtlichen Bestimmungen, auf welche § 24 PG/LU verweist, nach den hier massgebenden, bis Ende 2012 gültig gewesenen Rechtsgrundlagen als subsidiäres öffentliches Recht des Kantons Luzern zur Anwendung.
6.
Soweit die Beschwerde führende Hochschule rügt, die Vorinstanz habe Art. 336c Abs. 1 lit. b OR falsch angewandt, ist dies mit Blick auf die vorstehende Erwägung vor Bundesgericht nur dann zu beanstanden, wenn eine derartige Rechtsverletzung einen Verstoss gegen Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG - beispielsweise das Willkürverbot (Art. 9 BV) - oder gegen Völkerrecht im Sinne von Art. 95 lit. b BGG zur Folge hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.).
6.1. Die Vorinstanz hat in tatsächlicher Hinsicht für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (E. 2.4 hievor) festgestellt, dass der Beschwerdegegner gemäss Arztzeugnis der Psychiaterin Dr. med. K._, vom 15. Oktober 2012 ab diesem Datum bis auf weiteres, mindestens aber bis zum 4. November 2012 vollständig arbeitsunfähig war und die Hochschule am 22. Oktober 2012 in Kenntnis der anhaltenden Arbeitsunfähigkeit während der laufenden Sperrfrist von Art. 336c Abs. 1 lit. b OR die Kündigung aussprach. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, und es sind keine Anhaltspunkte ersichtlich, inwiefern diese Tatsachenfeststellungen offensichtlich unrichtig wären oder sonst wie gegen Bundesrecht verstossen würden.
6.2. Das kantonale Gericht hat zutreffend ausgeführt, die Hochschule sei bei allfälligen Zweifeln am Wahrheitsgehalt des Arztzeugnisses vom 15. Oktober 2012 nach § 56 PG/LU berechtigt gewesen, eine vertrauensärztliche Untersuchung des Beschwerdegegners zu veranlassen, um die attestierte Arbeitsunfähigkeit überprüfen zu können. Letzteres habe die Beschwerdeführerin zwar bereits mit Schreiben vom 16. Oktober 2012 angekündigt, dann aber in der Folge nicht umgesetzt. Ob die Ankündigung der Veranlassung einer vertrauensärztlichen Untersuchung einen Tag nach Kenntnisnahme von der ab 15. Oktober 2012 attestierten, erstmals seit 2009 erlittenen krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit als zweckmässig zu bezeichnen war, könne dahingestellt bleiben. Jedenfalls trage die Arbeitgeberin das Risiko einer allfälligen Nichtigkeit der Kündigung.
6.3. Die Hochschule vermag mit keinem Wort konkret darzulegen, dass und weshalb der Beschwerdegegner infolge der angeblichen Geringfügigkeit seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung - entgegen des Arztzeugnisses der Dr. med. K._ - in Tat und Wahrheit nicht von der Annahme einer neuen Anstellung verhindert (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 217 f.), sondern nur vorübergehend arbeitsplatzbezogen krank, jedoch nicht eigentlich arbeitsunfähig gewesen sei (vgl. Urteil 4A_227/2009 vom 28. Juli 2009 E. 3.2). Es finden sich keine Anhaltspunkte dafür, dass die Sachverhalte, welche den von der Beschwerdeführerin angerufenen Urteilen zugrunde lagen, mit dem hier zu beurteilenden Fall zu vergleichen sind. Dem Beschwerdegegner wurde die Kündigung eben gerade nicht an seinem Arbeitsplatz eröffnet, sondern vielmehr nach Kenntnisnahme vom Eintritt der ab 15. Oktober 2012 bis mindestens 4. November 2012 (und darüber hinaus) anhaltenden Arbeitsunfähigkeit. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdegegner ab 30. Oktober 2012 zusätzliche Arbeitsunfähigkeitsbescheinigungen von anderen Ärzten einreichen liess.
6.4. Auch aus den weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin ist nicht ersichtlich, inwiefern das kantonale Gericht das Willkürverbot oder sonst wie Bundesrecht verletzt habe, indem es die von der Hochschule in Kenntnis der ab 15. Oktober 2012 anhaltenden vollständigen Arbeitsunfähigkeit während der laufenden Sperrfrist von Art. 336c Abs. 1 lit. b OR am 22. Oktober 2012 ausgesprochene Kündigung in Anwendung von Art. 24 PG/LU in Verbindung mit Art. 336c Abs. 1 lit. b OR für nichtig erklärt hat. Demnach kann offenbleiben, ob aus Sicht der Beschwerdeführerin ein zulässiger Kündigungsgrund gegeben war.
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. November 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Hochuli