wird festgestellt und in Erwägung gezogen:
1.- a) Mit Entscheid vom 10. Mai 2000 lehnte das Bundesamt für Flüchtlinge ein Asylgesuch des pakistanischen Staatsangehörigen X._, 1978, ab. Am 18. August 2000 wies die Schweizerische Asylrekurskommission eine dagegen gerichtete Beschwerde ab. X._ hat die im Anschluss daran ergangene Anordnung, die Schweiz bis zum 20. September 2000 zu verlassen, bis heute nicht befolgt.
Am 20. Juni 2001 wurde X._ polizeilich angehalten, dem Migrationsdienst des Kantons Bern zugeführt und von diesem gleichentags in Ausschaffungshaft genommen. Der Haftrichter 3 am Haftgericht III Bern-Mittelland prüfte und bestätigte die Haft am 21. Juni 2001.
b) Mit handschriftlichen Eingaben vom 28. Juni und
1. Juli 2001 wandte sich X._ an das Bundesgericht.
Gestützt darauf eröffnete der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts ein Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.
Der Haftrichter 3 am Haftgericht III Bern-Mittelland sowie der Migrationsdienst des Kantons Bern schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Ausländerfragen hat innert Frist keine Vernehmlassung eingereicht.
X._ nahm die Gelegenheit, sich nochmals zur Sache zu äussern, mit einer weiteren handschriftlichen Eingabe vom 5. Juli 2001 wahr.
2.- a) Gegenstand des Entscheids des Haftrichters ist einzig die Rechtmässigkeit und Angemessenheit der Haftanordnung (vgl. Art. 13c Abs. 2 ANAG). Vor dem Bundesgericht stellt sich damit lediglich die Frage der Rechtmässigkeit der Haft (vgl. Art. 104 lit. a und c OG). Namentlich ist das Bundesgericht in keiner Weise (auch nicht als Beschwerdeinstanz) zuständig, Asylbegehren zu beurteilen (vgl. insbes.
Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 OG). Auch den Wegweisungsentscheid kann es nur dann überprüfen, wenn er offensichtlich rechtswidrig ist (vgl. Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 OG sowie <ref-ruling> E. 2c).
In erster Linie ersucht der Beschwerdeführer das Bundesgericht um Hilfe und macht geltend, er hätte bei einer allfälligen Rückkehr nach Pakistan "Probleme" und mit seinem Tod zu rechnen. Damit gelangt er mit Anliegen an das Bundesgericht, welche die Asyl- und Wegweisungsfrage betreffen. Da es keine Anhaltspunkte für eine offensichtliche Rechtswidrigkeit des Wegweisungsentscheides gibt, kann insoweit auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
b) Was die Ausschaffungshaft betrifft, lässt sich den Eingaben des Beschwerdeführers zwar kein eigentlicher Antrag auf Aufhebung des Haftentscheids entnehmen. Immerhin macht er in der Begründung geltend, er gebe nunmehr im Hinblick auf die bevorstehende Geburt seines Kindes seine wahre Identität bekannt. Obwohl in Verfahren betreffend fremdenpolizeiliche Haft keine hohen Anforderungen an die Form der Beschwerdeschrift gestellt werden, fragt es sich, ob es sich dabei um eine rechtsgenügende sachbezogene Begründung handelt (vgl. Art. 108 Abs. 2 OG; vgl. <ref-ruling>). Dies kann jedoch offen bleiben.
c) Selbst wenn auf die Beschwerde einzutreten wäre, erwiese sich diese jedenfalls als unbegründet, verletzt doch der Haftrichterentscheid Bundesrecht offensichtlich nicht.
Nach Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG kann Ausschaffungshaft insbesondere verfügt werden, wenn konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass sich der Ausländer der Ausschaffung entziehen will (Gefahr des Untertauchens; <ref-ruling> E. 2a und b S. 50 ff.). Zwar erscheint fraglich, ob der Beschwerdeführer bereits einmal untergetaucht ist: Obwohl er sich in der ihm zugewiesenen Unterkunft lange Zeit nicht aufgehalten hat, konnte er dort polizeilich angehalten werden; zudem ist er regelmässig in der fraglichen Gemeinde erschienen, um seine Unterstützungsgelder abzuholen, und war sein Aufenthaltsort bei seiner Freundin dort bekannt. Sodann hat er wohl einmal eine behördlichen Aufforderung, zwecks Reisevorbereitung vorbeizukommen, - aus nicht genau erhärteten Gründen - nicht befolgt; der darauf folgenden Vorladung ist er aber wieder nachgekommen. Entscheidend ist indessen, dass der Beschwerdeführer unter verschiedenen Namen auftritt. Auch wenn er nunmehr behauptet, den wahren Namen bekannt zu geben, ist seine Identität überhaupt nicht gesichert. Der Haftrichter hat denn auch festgestellt, dass die Behauptungen des Beschwerdeführers widersprüchlich und unglaubwürdig seien. Es gibt keinen Grund, an dieser Beurteilung zu zweifeln. Zu Recht erachtete der Haftrichter damit den Haftgrund der Untertauchensgefahr als erfüllt.
d) Schliesslich sind auch sonst keine Gründe dafür ersichtlich, dass die Ausschaffungshaft unzulässig wäre.
3.- a) Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 36a OG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
b) Bei diesem Verfahrensausgang würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Es rechtfertigt sich jedoch mit Blick auf seine finanziellen Verhältnisse, von der Erhebung einer Gerichtsgebühr abzusehen (Art. 153a Abs. 1 OG).
c) Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, sicherzustellen, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Es werden keine Kosten erhoben.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern sowie dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 3, und dem Bundesamt für Ausländerfragen schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 10. Juli 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: