Sachverhalt:
A. X._ (Beschwerdeführer 1) ist einzelzeichnungsberechtigter Präsident des im Handelsregister eingetragenen Vereins Y._ (Beschwerdeführer 2), der insbesondere den Schutz der Tiere bezweckt, eine Website ("www.y._.ch") betreibt und die "Y._-Nachrichten" herausgibt. Z._ (Beschwerdegegnerin) ist Moderatorin und Redaktorin der Tagesschau im Schweizer Fernsehen. Sie zeichnete in der Hauptausgabe vom 31. Dezember 2007 für einen Beitrag zum Jahreswechsel verantwortlich. Inhalt war unter anderem eine Sequenz über Foie gras und Hummer in St. Moritz. Der Beschwerdeführer 1 veröffentlichte dazu auf der Homepage des Beschwerdeführers 2 am 1. Januar 2008 einen mit Bildern ergänzten Text, der folgenden Wortlaut aufwies:
Z._ - Tagesschau-Moderatorin
Repräsentantin einer degenerierten Gesellschaft
Genervt hat mich am Silvester in der Tagesschau wieder einmal die alternde Moderatorin Z._. Nicht wegen ihren immer grösseren, immer weniger überschminkbaren Augenringe, sondern wegen dem, was Sie schamlos aus ihrem grossen Maul lässt. Mit sichtlicher Freude und Bewunderung rapportierte sie, wie die dicksten Geldsäcke dieses Landes am Silvester in Luxushotels foie gras und Hummer-Schenkel und ähnlich perverse Delikatessen fressen. Man konnte ihr direkt ansehen, wie sie gerne auch dazu gehören würde.
X._, Präsident Y._
Der Beschwerdeführer 1 fragte die Beschwerdegegnerin Ende September 2008 schriftlich an, ob sie sich Botulinumtoxin (bekannt unter dem Namen Botox) spritze. Die Beschwerdegegnerin erteilte dem Beschwerdeführer 1 keine Auskunft und forderte ihn vielmehr auf, die sie betreffenden Publikationen im Internet zu entfernen. Der Beschwerdeführer 1 kam der Aufforderung grösstenteils nicht nach und veröffentlichte am 13. Oktober 2008 einen weiteren Artikel auf der Homepage des Beschwerdeführers 2 mit nachstehendem Inhalt:
Die Botox-Moderatorin des Schweizer Fernsehens
Botox basiert auf grausamer Tierquälerei. (...)
Seit der Verein Y._ in einer kritischen Glosse über den wohlwollenden Kommentar von Tagesschau-Moderatorin Z._ zur Neujahrs-Foie-Gras- und Hummer-Fresserei der noblen Gesellschaft in der Silvester-Tagesschau auch deren Augenringe erwähnt hat, zeigt sich Z._ mit einer auffällig gestrafften Gesichtshaut. Auf die Anfrage, ob sie sich gegen ihre Falten Botox spritzen lasse, dementierte sie dies nicht, sondern liess durch ihren Anwalt mitteilen, der Verein Y._ müsse diese Glosse zur Silvestertagesschau aus dem Internet entfernen. Der Verein Y._ wird dies nicht tun.
Der Beitrag vom 13. Oktober 2008 wurde mehrfach aktualisiert und ergänzt. In einer Fassung vom 24. März 2009 wird dem Leser unter anderem die Frage gestellt "Wie hässlich ist die Botox-Moderatorin Z._ wirklich?" Die Beiträge sind mit Abbildungen der Beschwerde-gegnerin versehen, erstellt ab dem Fernsehbildschirm mittels einer Kamera oder als Bildschirmkopie eines Computers.
B. B.a Am 17./20. April 2009 erhob die Beschwerdegegnerin eine Klage wegen Persönlichkeitsverletzung. Sie beantragte die Feststellung, dass die Publikationen auf den Seiten http://www.y._.ch/news2008/080101-Z._-SF.htm und http://www.y._.ch/news2008/081013-botox.htm sowie weitere einzeln aufgezählte Äusserungen und Abbildungen ihre Persönlichkeit verletzten (Ziff. 1 der Klagebegehren). Sie beantragte, den Beschwerdeführern - unter Androhung der Straffolgen von <ref-law> - gerichtlich zu verbieten, öffentliche Äusserungen des nämlichen oder ähnlichen Inhalts wie in den unter Ziff. 1 genannten Publikationen zu veröffentlichen und insbesondere sie in Zusammenhang mit Tierquälerei und Botox-Präparaten zu stellen, insbesondere durch Äusserungen, die ihr den Gebrauch oder die Billigung von Botox unterstellten (Ziff. 2 der Klagebegehren). Die Beschwerdeführer seien solidarisch zu verpflichten, ihr Fr. 15'000.-- unter dem Titel der Genugtuung zu leisten (Ziff. 3 der Klagebegehren).
B.b Die Beschwerdeführer schlossen auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung der Klage. Sie beantragten widerklageweise, es sei festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin durch die öffentlich zur Schau gestellte Verwendung von Botox bzw. auch nur durch das Erwecken des Anscheins, Botox zu verwenden, die Persönlichkeit des Beschwerdeführers 1 verletze, und es sei der Beschwerdegegnerin gerichtlich zu verbieten, durch ihr öffentliches Auftreten und Verhalten zum Ausdruck zu bringen oder auch nur den Anschein zu erwecken, dass sie das mit der Herstellung des Antifalten-Mittels Botox verbundene Leiden von Versuchstieren in irgendeiner Art in Kauf nehme, unterstütze oder befürworte.
B.c Das Bezirksgericht Meilen wies den Antrag der Beschwerdegegnerin ab, es sei für die weiteren Parteivorträge das schriftliche Verfahren anzuordnen, eventualiter sei die Öffentlichkeit von der mündlichen Verhandlung auszuschliessen (Beschluss vom 2. September 2009). Die öffentliche Hauptverhandlung mit mündlichen Parteivorträgen fand am 21. Januar 2010 statt. Mit Beschluss vom 20. April 2010 trat das Bezirksgericht auf Ziff. 1 der Klagebegehren (Feststellung der Persönlichkeitsverletzung) nicht ein. Unter Androhung der Bestrafung gemäss <ref-law> im Widerhandlungsfall erteilte das Bezirksgericht den Beschwerdeführern die Weisung, die in Ziff. 1 der Klagebegehren genannten Publikationen aus dem Internet zu entfernen und die Veröffentlichung von Äusserungen desselben oder ähnlichen Inhalts zu unterlassen. Das Begehren auf Leistung von Genugtuung und die Widerklage wies das Bezirksgericht ab (Urteil vom 20. April 2010).
B.d Gegen das bezirksgerichtliche Urteil legten die Beschwerdeführer eine Berufung ein, der sich die Beschwerdegegnerin anschloss. Das Obergericht des Kantons Zürich wies den Antrag der Beschwerdeführer auf Durchführung einer mündlichen öffentlichen Berufungsverhandlung ab (Beschluss vom 29. Juli 2010).
B.e Nach Durchführung des Schriftenwechsels urteilte das Obergericht in der Sache gleich wie zuvor das Bezirksgericht. Es erteilte den Beschwerdeführern den Befehl, die Publikationen folgenden, in Wort und Bild wiedergegebenen Inhalts aus dem Internet zu entfernen (Dispositiv-Ziff. 1 S. 86-111), nämlich:
a) die unter den Adressen http://www.y._.ch/news2008/080101-Z._-SF.htm und http://www.y._.ch/news2008/081013-botox.htm veröffentlichten Texte und Bilder,
b) den Text vom 1. Januar 2008 mit Bildern und dem Titel "Z._ - Tagesschau-Moderatorin / Repräsentantin einer degenerierten Gesellschaft",
c) den Text vom 13. Oktober 2008, aktualisiert am 5. November 2008, mit dem Titel "Die Botox-Moderatorin des Schweizer Fernsehens",
d) die Bilder mit dem Titel "Z._, Moderatorin des Schweizer Fernsehens",
e) den Text vom 13. Oktober 2008, letztmals aktualisiert am 24. März 2009, mit Bildern und dem Titel "Die Botox-Moderatorin des Schweizer Fernsehens / Repräsentantin einer dekadenten Gesellschaft", und
f) den Text vom 1. Januar 2008 mit Bildern, einem Link "News-Verzeichnis" und mit dem Titel "Z._ - Tagesschau-Moderatorin / Repräsentantin einer degenerierten Gesellschaft".
Das Obergericht erliess gegen die Beschwerdeführer das Verbot, Äusserungen des Inhalts, wie er in den vorgenannten, wiederum abgedruckten Texten und Bildern enthalten ist, oder eines sinngemäss gleichen Inhalts zu veröffentlichen (Dispositiv-Ziff. 2 S. 112-135). Es drohte dem Beschwerdeführer 1 bzw. den für den Beschwerdeführer 2 handelnden Organen für den Fall, dass sie dem Befehl und dem Verbot nicht nachkommen sollten, die Bestrafung wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung (<ref-law>, Busse bis Fr. 10'000.--) an (Dispositiv-Ziff. 3 S. 136). Schliesslich wies das Obergericht das Begehren der Beschwerdegegnerin auf Leistung von Genugtuung und die Widerklage der Beschwerdeführer ab (Dispositiv-Ziff. 4 und 5 S. 136 des Urteils vom 1. November 2011).
C. Mit Eingabe vom 16. Dezember 2011 beantragen die Beschwerdeführer dem Bundesgericht, die Klage abzuweisen und die Widerklage gutzuheissen, eventualiter die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Auf Gesuch der Beschwerdeführer hin hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Beschwerdeverfahren bis zum obergerichtlichen Entscheid über das Erläuterungsgesuch der Beschwerdeführer sistiert (Verfügung vom 20. Dezember 2011). Das Obergericht hat das Erläuterungsgesuch abgewiesen (Beschluss vom 30. Januar 2012). Die Beschwerdeführer haben dazu am 17./20. Februar 2012 eine Stellungnahme eingereicht. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil betrifft den Schutz der Persönlichkeit (Art. 28 und Art. 28a Abs. 1 Ziff. 1-3 und Abs. 3 ZGB) und damit insgesamt eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 403; <ref-ruling> E. 1, nicht veröffentlicht). Es ist kantonal letztinstanzlich (<ref-law>), lautet zum Nachteil der Beschwerdeführer (<ref-law>) und schliesst das kantonale Verfahren ab (<ref-law>). Die - im Weiteren rechtzeitig erhobene (<ref-law>) - Beschwerde erweist sich als zulässig. Da das Obergericht das Erläuterungsgesuch abgewiesen und das angefochtene Urteil weder geändert noch verdeutlicht hat, ist in diesem Zeitpunkt auch keine neue Frist zur Beschwerde in Gang gesetzt worden (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 88; <ref-ruling> E. 1a S. 510; Urteil 5D_118/2009 vom 17. November 2009 E. 2). Auf weitere formelle Einzelfragen wird im Sachzusammenhang einzugehen sein.
2. Das angefochtene Urteil ist am 1. November 2011 und damit nach Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO; SR 272) am 1. Januar 2011 gefällt worden, doch wurde die Klage am 20. April 2009 anhängig gemacht, das bezirksgerichtliche Urteil den Parteien am 4. bzw. 5. Mai 2010 eröffnet und die Berufung am 5./7. Mai 2010 erklärt. Das gesamte kantonale Verfahren hat deshalb den Bestimmungen der kantonalen Zivilprozessordnung vom 13. Juni 1976 (ZPO/ZH) und des kantonalen Gerichtsverfassungsgesetzes vom 13. Juni 1976 (GVG/ZH) unterstanden (Art. 404 f. ZPO). Soweit die Beschwerdeführer die Verletzung der Schweizerischen Zivilprozess-ordnung geltend machen (z.B. <ref-law> auf S. 2 und <ref-law> auf S. 9 Ziff. 11), erweisen sich ihre Rügen als unbehelflich. Kantonales Verfahrensrecht kann das Bundesgericht nur auf Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich auf Willkür hin überprüfen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 351; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382/383), wenn und soweit entsprechende Rügen erhoben und begründet werden, d.h. klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt sein sollen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Verfassungsrügen gegen die Anwendung kantonalen Verfahrensrechts erheben und begründen die Beschwerdeführer indessen keine (vgl. E. 4.1 und E. 10 hiernach).
3. Den Antrag der Beschwerdeführer, eine mündliche öffentliche Berufungsverhandlung durchzuführen, hat das Obergericht in einem selbstständig eröffneten Zwischenentscheid abgewiesen. Es ist davon ausgegangen, dass es den Anforderungen von Art. 6 EMRK genüge, wenn einmal im Verfahren eine Instanz mit voller Kognition nach öffentlicher Verhandlung über die strittigen Ansprüche entschieden habe (E. I/2.3 S. 70 des angefochtenen Urteils). Die Beschwerdeführer rügen, das Obergericht habe den Antrag auf öffentliche Verhandlung ohne triftige Gründe abgelehnt und damit Art. 6 EMRK verletzt (S. 12 Ziff. 20 und S. 58 Bst. D der Beschwerdeschrift).
3.1 Obwohl der selbstständig eröffnete Zwischenentscheid über die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung ebenfalls eine gerichtsorganisatorische Frage betrifft, kann er - im Gegensatz zu den selbstständig eröffneten Vor- und Zwischenentscheiden über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren (<ref-law>) - durch Beschwerde gegen den Endentscheid angefochten werden, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>). Die formellen Anforderungen an die Mitanfechtung sind dabei gering: Enthält die Beschwerdeschrift eine klar gegen die Entscheidung von Vorfragen in einem vorangegangenen Zwischenentscheid gerichtete, rechtsgenügende Begründung, ist der Zwischenentscheid als gültig mitangefochten zu betrachten, selbst wenn nicht ausdrücklich dessen Aufhebung beantragt wird (vgl. Urteil 4A_424/2011 vom 2. November 2011 E. 1.5.1, mit Hinweisen).
3.2 Die Beschwerdeschrift enthält weder einen Antrag auf Aufhebung des Zwischenentscheids noch eine rechtsgenügende Begründung gegen die Abweisung des Antrags auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung:
3.2.1 Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführer hat das Obergericht nicht die Meinung vertreten, eine mündliche öffentliche Verhandlung vor zweiter Instanz sei stets entbehrlich, wenn - wie vorliegend - bereits das Bezirksgericht mit voller Kognition in mündlicher öffentlicher Verhandlung über die strittigen Ansprüche entschieden habe und wenn - wie vorliegend - auch die Rechtsmittelinstanz über volle Kognition verfüge. Das Obergericht hat vielmehr vorbehalten, der Verzicht auf eine mündliche öffentliche Verhandlung dürfe keine Beschränkung des Anspruchs auf ein faires Verfahren zur Folge haben. Daher seien die Merkmale des betreffenden Verfahrens und die konkret von der Rechtsmittelinstanz zu beurteilenden Fragen von Belang (E. II/1 S. 2 f.). Im konkreten Fall ist das Obergericht davon ausgegangen, Anhaltspunkte, aufgrund derer angesichts der bereits vor Bezirksgericht durchgeführten öffentlichen und mündlichen Verhandlung eine weitere Verhandlung als geboten erscheinen könnte, gingen aus der Berufungsbegründung der Beschwerdeführer nicht hervor. Dem Anspruch der Beschwerdeführer auf ein faires Verfahren werde mithin ohne weiteres auch mit einem schriftlichen Verfahren Genüge getan. Entsprechend sei der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung abzuweisen (E. II/2 S. 3 des mitangefochtenen Zwischenentscheids, act. 53).
3.2.2 In rechtlicher Hinsicht werfen die Beschwerdeführer dem Obergericht vor, es habe Urteile des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) zu Spezialfällen unzulässig verallgemeinert. Der Vorwurf ist nicht berechtigt. Das Obergericht hat praktisch wörtlich die jüngste Rechtsprechung des Bundesgerichts zitiert, die sich ihrerseits auf die Rechtsprechung des EGMR stützt. Danach müssen aussergewöhnliche Umstände vorliegen, um das Unterbleiben einer mündlichen öffentlichen Verhandlung in der ersten gerichtlichen Instanz zu rechtfertigen. Die Rechtsprechung erlaubt die Ausnahme vom Grundsatz der Öffentlichkeit, wenn eine Streitsache keine Tatsachen- oder Rechtsfragen aufwirft, die nicht adäquat aufgrund der Akten oder der schriftlichen Parteivorbringen gelöst werden können (vgl. Urteil 5D_181/2011 vom 11. April 2012 E. 3.1.2, mit Hinweisen). Hat in erster Instanz - wie hier vor Bezirksgericht - eine öffentliche mündliche Verhandlung stattgefunden, so kann in der Rechtsmittelinstanz eher von einer solchen abgesehen werden. Eine Berufungsinstanz mit voller Rechts- und Sachverhaltskontrolle, wie sie dem Obergericht zukommt (§§ 269 f. ZPO/ZH), darf auf eine öffentliche Verhandlung verzichten, wenn dies durch besondere Merkmale der betreffenden Verfahren gerechtfertigt ist. Geboten ist stets eine Gesamtbetrachtung des Verfahrens. Dabei kommt es insbesondere auf die Natur der konkret streitigen, von der Rechtsmittelinstanz zu beurteilenden Fragen an (vgl. <ref-ruling> E. 5e S. 36 f.; Urteil 1C_457/2009 vom 23. Juni 2010 E. 3.3, in: ZBl 112/2011 S. 336 f. mit Hinweisen; JENS MEYER-LADEWIG, EMRK. Europäische Menschenrechtskonvention, Handkommentar, 3. Aufl. 2011, N. 174-176 zu Art. 6 EMRK).
3.2.3 Bezogen auf ihren konkreten Fall legen die Beschwerdeführer dem Bundesgericht nicht dar, inwiefern die obergerichtliche Feststellung, aus der Berufungsbegründung ergäben sich keine Anhaltspunkte für die Notwendigkeit oder Gebotenheit einer mündlichen öffentlichen Verhandlung in der Rechtsmittelinstanz, gegen die Verfassung oder die EMRK verstossen könnte (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 310). Ihre Kritik ist in diesem Punkt rein appellatorisch und unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 2.8 S. 494).
3.3 Aus den dargelegten Gründen ist auf die Beschwerde mangels rechtsgenügender Begründung nicht einzutreten, soweit sie sich gegen den mitangefochtenen Zwischenentscheid richtet, im Berufungsverfahren keine mündliche öffentliche Verhandlung durchzuführen.
4. In verfahrensrechtlicher Hinsicht rügen die Beschwerdeführer eine Verletzung ihres Anspruchs auf Begründung des bezirksgerichtlichen wie auch des obergerichtlichen Urteils. Sie wenden sich gegen eine Heilung des dem Bezirksgericht anzulastenden Verfahrensmangels durch das Obergericht (S. 12 Ziff. 21 und S. 57 Bst. C der Beschwerdeschrift).
4.1 Die Beschwerdeführer rügen keine Verletzung kantonalen Verfahrensrechts, so dass der geltend gemachte Anspruch auf rechtliches Gehör im Lichte der verfassungsmässigen Garantien zu prüfen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 281 f.).
4.2 Von Verfassungs wegen muss die Begründung so abgefasst sein, dass der Betroffene das Urteil gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Die Begründung hat kurz die wesentlichen Überlegungen zu nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Urteil stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich das Urteil mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 3.6.5 S. 520 und 670 E. 3.3.1 S. 677). Nichts Weitergehendes ergibt sich aus der EMRK (vgl. MEYER-LADEWIG, a.a.O., N. 109 zu Art. 6 EMRK; <ref-ruling> E. 1.3, nicht veröffentlicht, betreffend den Beschwerdeführer 2).
4.3 Die aus <ref-law> ableitbare Pflicht, Urteile zu begründen, schliesst nicht aus, dass die zweite Instanz, soweit sie das angefochtene Urteil bestätigt und auch mit der Begründung einig geht, auf die Begründung der ersten Instanz verweist. Denn in diesem Fall wissen die Beschwerdeführer, aus welchen Gründen die zweite Instanz ihrem Antrag nicht gefolgt ist. Sie können die Gründe im erstinstanzlichen Urteil nachlesen. Anders ist es nur, wenn die Beschwerdeführer vor der zweiten Instanz beachtliche Gründe vorbringen, zu denen die erste Instanz noch nicht Stellung bezogen hat, sei es, dass diese Gründe vor erster Instanz noch nicht vorgebracht wurden, aber trotzdem vor zweiter Instanz neu vorgebracht werden dürfen, oder sei es, dass sie vor erster Instanz schon vorgetragen wurden, diese aber dazu in der Entscheidbegründung nicht Stellung bezogen hat (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 409; <ref-ruling> E. 2c S. 34). Welche ihrer erheblichen Vorbringen ohne die erforderliche Begründung übergangen worden sein sollen, haben die Beschwerdeführer vor Bundesgericht im Einzelnen darzulegen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 410). Eine derart verwiesene Begründung der Rechtsmittelinstanz widerspricht auch nicht der EMRK (vgl. MEYER-LADEWIG, a.a.O., N. 110 zu Art. 6 EMRK).
4.4 Dass das Obergericht einen allfälligen Mangel in der Begründung des bezirksgerichtlichen Urteils auf dem Wege der hier zulässigen Berufung (§§ 259 ff. ZPO/ZH) heilen kann, bestreiten die Beschwerdeführer zu Recht nicht. Denn die kantonale Berufung gestattet, sowohl die Feststellung des Tatbestandes als auch die Rechtsanwendung anzufechten. Die Berufungsinstanz hat im Rahmen der Berufungsanträge Verfahren und Entscheid der ersten Instanz zu überprüfen und kann in der Sache neu entscheiden (§§ 269 f. ZPO/ZH; vgl. FRANK/ STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 1 der Vorbem. zu § 259 ff. sowie N. 3 und N. 5 zu <ref-law>/ZH). Bei derart vollkommenem Rechtsmittel ist eine Heilung von Begründungsmängeln unter verfassungsrechtlichem Blickwinkel grundsätzlich zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 2.6.1 S. 285; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.). Inwiefern sich diesbezüglich aus der EMRK etwas Anderes ergeben soll, ist weder ersichtlich noch dargetan (vgl. MEYER-LADEWIG, a.a.O., N. 98 und N. 225 zu Art. 6 EMRK; für die Schweiz: LUZIUS WILDHABER, Verwaltungsstrafen, Art. 6 EMRK und "Heilung" von Verfahrensmängeln, in: FS für Renate Jaeger, 2011, S. 823 ff.).
4.5 Es kann hier vorausgeschickt werden, dass das angefochtene Urteil den verfassungsmässigen Anforderungen an die Begründung genügt. Darauf wird im Sachzusammenhang nur mehr hinzuweisen sein, rügen doch die Beschwerdeführer bei jeder obergerichtlich beurteilten Frage eine Verletzung der Begründungspflicht. Vorweg sind die Beschwerdeführer zudem daran zu erinnern, dass mit dem Schutz vor formeller Rechtsverweigerung die inhaltliche Richtigkeit der Begründung nichts zu tun hat. Sie ist Gegenstand der materiellen Prüfung (vgl. <ref-ruling> E. 2d S. 242; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540).
5. In der Sache geht es um die Anwendung von <ref-law> (E. 6, 7 und 9) und die daraus abgeleiteten Ansprüche gemäss Art. 28a Abs. 1 Ziff. 1-3 ZGB (E. 8 hiernach). Zur Vermeidung von Wiederholungen sind in rechtlicher Hinsicht folgende Punkte vorwegzunehmen:
5.1 Der privatrechtliche Schutz der Persönlichkeit gegen Verletzungen ist in <ref-law> geregelt. Wer danach in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt wird, kann zu seinem Schutz gegen jeden, der an der Verletzung mitwirkt, das Gericht anrufen (Abs. 1), und widerrechtlich ist eine Verletzung, wenn sie nicht durch Einwilligung des Verletzten, durch ein überwiegendes privates oder öffentliches Interesse oder durch Gesetz gerechtfertigt ist (Abs. 2). Vom Gesetzeswortlaut her ist jede Persönlichkeitsverletzung widerrechtlich, wenn kein Rechtfertigungsgrund vorliegt. Praxisgemäss ist in zwei Schritten zu prüfen, ob (1.) eine Persönlichkeitsverletzung und (2.) ein Rechtfertigungsgrund vorliegt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 412 f.).
5.2 Die kantonalen Gerichte sind davon ausgegangen, die von den Beschwerdeführern im Internet aufgeschalteten Texte und Bilder verletzten das berufliche und gesellschaftliche Ansehen der Beschwerdegegnerin. Ob deren Ansehen durch die eingeklagten Darstellungen in Wort und Bild geschmälert worden ist, beurteilt sich nicht nach dem subjektiven Empfinden der Beschwerdegegnerin, sondern nach einem objektiven Massstab. Es ist zu prüfen, ob das Ansehen vom Standpunkt des Durchschnittslesers aus gesehen als beeinträchtigt erscheint. Dabei spielt der Rahmen der Äusserung eine bedeutende Rolle (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 4; <ref-ruling> E. 5.2 S. 152). Massgebend für die Beurteilung der Persönlichkeitsverletzung ist die Bedeutung der einzelnen Aussage, die ihr vom Durchschnittsleser im Gesamtzusammenhang beigemessen wird (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 212 f.; Urteil 5C.169/1996 vom 31. Oktober 1996 E. 4, in: medialex 1997 S. 33, betreffend den Beschwerdeführer 2). Ein Text ist deshalb nicht nur anhand der verwendeten Ausdrücke je für sich allein genommen zu würdigen, sondern nach dem allgemeinen Sinn, der sich aus dem Text als Ganzes ergibt unter Berücksichtigung der besonderen Wirkung von Titeln und Untertiteln, der grafischen Gestaltung und der beigefügten Bilder (vgl. zum strafrechtlichen Ehrenschutz: <ref-ruling> E. 2.1.3 S. 315 f.).
5.3 Mit Bezug auf die Widerrechtlichkeit der Persönlichkeitsverletzung haben beide kantonalen Gerichte angenommen, dass Tierschutz im öffentlichen Interesse stehe, das grundsätzlich auch die Kritik an unlauteren Tierversuchen und an der mit Tierquälerei verbundenen Herstellung von Lebensmitteln und anderen Produkten, insbesondere von Botulinumtoxin rechtfertigen könne. Rechtmässig handelt indessen nur, wer ein Interesse nachweisen kann, das dem grundsätzlich schutzwürdigen Interesse des Verletzten mindestens gleichwertig ist. Das Gericht hat die auf dem Spiel stehenden Interessen gegeneinander abzuwägen und auch zu prüfen, ob sowohl die Ziele, die der Urheber einer Persönlichkeitsverletzung verfolgt, als auch die Mittel, derer er sich bedient, schutzwürdig sind (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 306; <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 413 f.). In diesem Rahmen sind bei der Auslegung von <ref-law> die Grundrechte zu berücksichtigen, namentlich die Meinungsäusserungs- und die Pressefreiheit (vgl. <ref-ruling> E. 2 und 3a S. 279 ff.; <ref-ruling> E. 3c S. 213 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 227). An kritische Äusserungen dürfen, wie die Beschwerdeführer das zutreffend hervorheben, nicht derart strenge Anforderungen gestellt werden, dass die Meinungsäusserungsfreiheit (<ref-law>; Art. 10 EMRK) in dem Sinne mittelbar beeinträchtigt wird, als sich der Betroffene aufgrund einer behördlichen Reaktion nicht mehr getraut, erneut von seinem Grundrecht Gebrauch zu machen, und selbst begründete Kritik nicht mehr vorzubringen wagt (sog. "chilling effect" oder Einschüchterungseffekt bzw. Abschreckungswirkung; vgl. zum strafrechtlichen Ehrenschutz: <ref-ruling> E. 3.1 S. 27 f.; im Bereich der Wissenschaftsfreiheit: Urteil 1C_448/2008 vom 13. März 2009 E. 4.2; für die Pressefreiheit: Urteil 5A_295/2009 vom 23. Dezember 2009 E. 4.4.2, in: SJ 2010 I S. 405).
6. Zur Persönlichkeitsverletzung hat das Obergericht festgehalten, die Beschwerdeführer hätten den Inhalt der im Klagebegehren wiedergegebenen Publikationen im Internet nicht bestritten. Das Bezirksgericht habe diese Publikationen als einen in ihrer Gesamtheit unnötig verletzenden und beleidigenden Angriff auf die Person der Beschwerdegegnerin qualifiziert, der deren Persönlichkeit verletze. Der Beurteilung könne zugestimmt werden (E. II/A/3.1 S. 72 des angefochtenen Urteils).
6.1 Das Bezirksgericht hat den Inhalt der auf Internet aufgeschalteten und eingeklagten Äusserungen wiedergegeben (S. 2 ff. und E. 5.4 S. 25 f.) und dafürgehalten, sowohl ein gewöhnlicher Durchschnittsleser als auch ein Durchschnittsleser, der sich typischerweise und regelmässig mit Inhalten der Homepage des Beschwerdeführers 2 befasse, könne durch die in den Publikationen verwendeten Worte und Bilder keinen anderen Eindruck gewinnen, als dass es sich bei der Beschwerdegegnerin um eine Person handle, die in verwerflicher und egoistischer Weise die Tierquälerei billige und dies auch in der Öffentlichkeit zum Ausdruck bringe. Der Vorwurf, der Beschwerdegegnerin sei das Leid von Wehrlosen egal, ja sie könne sich sogar für den Konsum von Tierquälerprodukten begeistern, wiege schwer und spreche ihr sowohl das gesellschaftliche als auch das berufliche Ansehen ab. Entscheidend sei jedoch, dass sich die Publikationen letztendlich darin erschöpften, die Beschwerdegegnerin zu diffamieren. Beispielhaft seien die zynische Frage "Wie hässlich ist die Botox-Moderatorin Z._ wirklich?" und die zahlreichen, in diesem Zusammenhang reproduzierten Standbilder der Beschwerdegegnerin erwähnt, die keine scharfe und sachliche Kritik beinhalteten, sondern lediglich zur Herabsetzung der äusseren Erscheinung der Beschwerdegegnerin beitrügen. Die Publikationen stellten - unabhängig vom Wahrheitsgehalt der Tatsachenbehauptungen bzw. der den Werturteilen zugrunde liegenden Fakten - in ihrer Gesamtheit einen unnötig verletzenden und beleidigenden Angriff auf die Person der Beschwerdegegnerin dar (E. 5.5 S. 27 des bezirksgerichtlichen Urteils).
6.2 Das Obergericht hat der Beurteilung des Bezirksgerichts zugestimmt und auch dessen Auffassung geteilt, dass es für die vorliegende Persönlichkeitsverletzung nicht auf den Wahrheitsgehalt der Tatsachenbehauptungen bzw. der den Werturteilen zugrunde liegenden Fakten ankommen könne. Denn hätten die Beschwerdeführer - so das Obergericht - die Beschwerdegegnerin für den behaupteten Gebrauch von Botox und die angeblich wohlwollenden und bewundernden Äusserungen über den Konsum von Foie gras und Hummer sachlich kritisieren wollen, so hätte es genügt, darauf hinzuweisen und zu erwähnen, dass die Beschwerdegegnerin damit indirekt die mit der Produktion verbundenen Tierversuche bzw. tierquälerischen Methoden in Kauf nehme bzw. billige. Nichts mit scharfer bzw. pointierter Kritik habe es aber zu tun, wenn die Beschwerdeführer reihenweise Fotoporträts der Beschwerdegegnerin veröffentlichten, die sie mit teilweise unnatürlichem Gesichtsausdruck zeigten und damit unvorteilhaft erscheinen liessen. Das Gleiche gelte für die ebenso auf das Äussere der Beschwerdegegnerin zielenden Sätze wie "Genervt hat mich am Silvester in der Tagesschau wieder einmal die alternde Moderatorin Z._. Nicht wegen ihren immer grösseren, immer weniger überschminkbaren Augenringe, sondern wegen dem, was Sie schamlos aus ihrem grossen Maul lässt.". Diese Fotos bzw. Äusserungen enthielten offensichtlich keine sachliche Kritik an einer angeblichen Billigung von Produkten, die mit Tierquälerei in Verbindung stünden, sondern könnten nur dazu dienen, die Beschwerdegegnerin als Person herabzuwürdigen und zu verunglimpfen (E. II/A/3.2.3 S. 74 f. des angefochtenen Urteils). Das Obergericht hat sich weiter ("Im Übrigen") dazu geäussert, ob die Beschwerdegegnerin mit ihrem Verhalten - fehlendes Dementi und unterlassene Bestreitung - die Tatsachenbehauptungen der Beschwerdeführer als wahr und richtig anerkannt habe (E. II/A/3.2.3 S. 75 f.). Es hat schliesslich den Antrag der Beschwerdeführer auf Rückweisung der Sache an das Bezirksgericht wegen Verletzung der Begründungspflicht und des Anspruchs auf rechtliches Gehör abgelehnt (E. II/A/3.2.3 S. 76 des angefochtenen Urteils).
6.3 Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführer (z.B. S. 30 Ziff. 2.1, S. 41 Ziff. 5.2.5 und 5.2.6 und S. 43 Ziff. 5.2.8) genügen die Begründungen beider kantonalen Gerichte den verfassungsmässigen Anforderungen (E. 4 hiervor). Da auch dem Bezirksgericht keine Verletzung der Begründungspflicht vorgeworfen werden kann, hat für das Obergericht kein Anlass bestanden, den Rückweisungsantrag der Beschwerdeführer gutzuheissen. Der Vorwurf der Beschwerdeführer, es sei ihnen faktisch eine Instanz verloren gegangen (S. 12 Ziff. 21), ist unberechtigt (vgl. <ref-ruling> E. 5d S. 82; Urteil 5A_850/2011 vom 29. Februar 2012 E. 3.4, betreffend den Beschwerdeführer 2).
6.4 Die Beschwerdeführer haben bereits im kantonalen Verfahren nicht bestritten und anerkannt, dass ihre Äusserungen unnötig verletzend und beleidigend sind. Dem kann nichts beigefügt werden. Massgebend sind nicht so sehr die einzelnen Äusserungen, sondern das Gesamtbild, das sie beim Durchschnittsleser bewirken (E. 5.2 hiervor). Die von den kantonalen Gerichten geschilderten Aussagen der Beschwerdeführer in Wort und Bild zielen auf die Person der Beschwerdegegnerin und vorab auf deren äussere Erscheinung. Sie treffen die Beschwerdegegnerin als Fernsehmoderatorin schwer in ihrer beruflichen Ehre und sozialen Geltung, machen sie in aller Öffentlichkeit schlechterdings verächtlich und setzen sie im Ansehen ihrer Mitmenschen empfindlich herab (vgl. zum zivilrechtlichen Begriff der Ehre: <ref-ruling> E. 4.1 S. 722 f.; <ref-ruling> E. 4.5 S. 199 f., je mit Hinweisen). Der gute Ruf und die Ehre einer Person sind Teil ihrer persönlichen Identität und ihrer geistigen Integrität. Sie sind damit auch als Teil des Privatlebens im Sinne von Art. 8 EMRK geschützt (vgl. MEYER-LADEWIG, a.a.O., N. 27 zu Art. 8 EMRK; GRABENWARTER/PABEL, Europäische Menschenrechtskonvention, 5. Aufl. 2012, § 22 N. 11 S. 232 f., je mit Hinweisen).
6.5 Insgesamt kann die rechtliche Beurteilung der Verletzung von Persönlichkeitsrechten - hier der Ehre - nicht beanstandet werden.
7. Zur Hauptsache wenden sich die Beschwerdeführer gegen die Verneinung eines Rechtfertigungsgrundes für ihre die Ehre der Beschwerdegegnerin verletzenden Äusserungen in Wort und Bild.
7.1 Bereits das Bezirksgericht hat einen Rechtfertigungsgrund für die als persönlichkeitsverletzend zu qualifizierenden Veröffentlichungen der Beschwerdeführer auf dem Internet verneint (E. 6 S. 27 ff.). Es ist davon ausgegangen, dass die Beschwerdegegnerin durch ihre berufliche Tätigkeit sämtlichen beruflichen und gesellschaftlichen Schichten bekannt sei und sich folglich als absolute Person der Zeitgeschichte eher Eingriffe in die Persönlichkeit gefallen lassen müsse als andere Leute (E. 6.2 S. 28). Unstreitig sei, dass der Tierschutz im öffentlichen Interesse stehe, doch rechtfertige er die regelrechte Hetzkampagne, die die Beschwerdeführer gegen die Beschwerdegegnerin führten nicht, seien doch die Anknüpfungspunkte in den Publikationen zur Beschwerdegegnerin betreffend Tierschutz marginaler und rein spekulativer Natur. Im gleichen Mass, wie die Beschwerdeführer von der sachlichen Kritik an der Herstellung von Botox abkämen und mit ihren Äusserungen in eine völlig zusammenhanglose Diffamierung der Beschwerdegegnerin ausuferten, könne auch kein öffentliches Interesse bestehen, das die Persönlichkeitsverletzung rechtfertige. Auch die Meinungsfreiheit und die Medienfreiheit vermöchten keinesfalls einen völlig unnötig verletzenden und beleidigenden Angriff auf die Beschwerdegegnerin zu rechtfertigen. Deren Persönlichkeit sei mangels Vorliegens eines Rechtfertigungsgrundes widerrechtlich verletzt worden (E. 6.3 S. 28 f. des bezirksgerichtlichen Urteils).
7.2 Das Obergericht hat den bezirksgerichtlichen Erwägungen zugestimmt (E. II/A/4.1 S. 77). Unter Hinweis auf seine Ausführungen (E. 6.2 hiervor) hat es dafürgehalten, wenn gar nicht davon ausgegangen werden könne, die Beschwerdegegnerin habe eine tierverachtende Einstellung gezeigt, so fehle es nur schon aus diesem Grund an einer Rechtfertigung für eine öffentliche Kritik in diesem Zusammenhang an der Beschwerdegegnerin. Selbst wenn aber auf die von den Beschwerdeführern behauptete Billigung der fraglichen Produkte abzustellen wäre, deren Herstellung mit dem Tierschutz widersprechenden Methoden verboten sei, so bestünde kein öffentliches Interesse daran, die Beschwerdegegnerin, auch wenn sie als absolute Person der Zeitgeschichte einzustufen sei, in der geschilderten Art und Weise ohne eigentliche sachliche Kritik zu diffamieren (E. II/A/4.2 S. 77 f. des angefochtenen Urteils).
7.3 Die Rügen der Beschwerdeführer, das Obergericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör und die Begründungspflicht verletzt (z.B. S. 10 Ziff. 15, S. 22 Ziff. 4, S. 23 Ziff. 7, S. 29 Ziff. 11 und S. 33 Ziff. 4.3), erweisen sich als unbegründet. Das Obergericht hat die gesetzlich geforderte Interessenabwägung derart vorgenommen, dass die Beschwerdeführer sie vor Bundesgericht sachgerecht haben anfechten können. Eine weitergehende Auseinandersetzung insbesondere auch mit rechtlichen Vorbringen der Beschwerdeführer war nicht erforderlich (E. 4 hiervor).
7.4 In der Sache ergibt sich Folgendes:
7.4.1 Die Beschwerdegegnerin moderiert seit mehreren Jahren die Hauptausgabe der Tagesschau des Schweizer Fernsehens und kann damit als eine Person des öffentlichen Lebens gelten. Gleichwohl braucht sie sich nicht gefallen zu lassen, dass in der Öffentlichkeit mehr über sie berichtet wird, als durch ein schutzwürdiges Interesse gerechtfertigt erscheint. Unter dieser Voraussetzung ist mit Blick auf den zivilrechtlichen Ehrenschutz die Veröffentlichung wahrer Tatsachen grundsätzlich zulässig, ausser die betroffene Person werde in unzulässiger Weise herabgesetzt, weil die Form der Darstellung unnötig verletzt. Nicht gerechtfertigt und stets widerrechtlich ist das Verbreiten unwahrer Tatsachen. Persönliche Meinungen, Kommentare und Werturteile wiederum dürfen in der Öffentlichkeit geäussert werden, wenn sie aufgrund des Sachverhalts, auf den sie sich beziehen, als vertretbar erscheinen oder wenn sie - als sog. gemischte Werturteile - im Kern auf wahren Tatsachen beruhen und von der Form her keine unnötige Herabsetzung bedeuten (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 306 ff.).
7.4.2 Die Frage, ob die Äusserungen der Beschwerdeführer im Vergleich zum wirklich gegebenen Sachverhalt als korrekt erscheinen, haben die kantonalen Gerichte zwar aufgeworfen, letztlich aber offengelassen, zumal die eingeklagten Texte und Bilder in ihrer Form und Gestaltung die Beschwerdegegnerin unnötig verletzten und eine unsachliche Kritik an der Person der Beschwerdegegnerin beinhalteten. Der Beurteilung kann beigepflichtet werden. Das öffentliche Interesse an einer Diskussion über Fragen des Tierschutzes und dadurch an einer Sensibilisierung weiter Bevölkerungsschichten für Fragen des Tierschutzes ist ohne weiteres anzuerkennen, wie das die Beschwerdeführer richtig hervorheben und belegen (z.B. S. S. 24 ff. Ziff. 9-12 und S. 32 ff. Ziff. 4), vermag aber die auf die Arbeit der Beschwerdegegnerin und ihre Person fokussierte Kritik, die in eine regelrechte Hetzkampagne ausgeartet ist, nicht zu rechtfertigen.
7.4.3 Über die Moderation der Tagesschauhauptausgabe am Silvesterabend zum Thema angeblicher Gaumenfreuden in Nobelkurorten darf der Fernsehzuschauer geteilter Meinung sein. Bereits in seinem ersten Beitrag auf der Homepage des Beschwerdeführers 2 am 1. Januar 2008 hat der Beschwerdeführer 1 jedoch nicht nur zum Ausdruck gebracht, dass ihn der Beitrag und die Moderation zum betreffenden Thema "genervt" hat. Er hat seine Kritik vielmehr ohne Sachbezogenheit direkt auf die Person der Beschwerdegegnerin ("wegen ihren immer grösseren, immer weniger überschminkbaren Augenringen, sondern wegen dem, was Sie schamlos aus ihrem grossen Maul lässt") fokussiert. Er hat die Beschwerdegegnerin alsdann in der Titelgebung mit "Repräsentantin einer degenerierten Gesellschaft" (Bst. b) über "Botox-Moderatorin" (Bst. d) bis hin zur Kombination "Botox-Moderatorin des Schweizer Fernsehens / Repräsentantin einer dekadenten Gesellschaft" (Bst. e) verunglimpft und seine Beiträge mit Bildern versehen, die die Beschwerdegegnerin situativ mit völlig entstelltem, widernatürlichem oder dümmlichem Gesichtsausdruck zeigen verbunden mit gleichsam einer Art von Wettbewerb "Wie hässlich ist die Botox-Moderatorin Z._ wirklich? Urteilen Sie selber, wie 'schön' Moderatorin Z._ ist" (Bst. e). Diese und weitere Ausfälligkeiten gegen die Person der Beschwerdegegnerin haben mit der angeblich beabsichtigten sachlichen Diskussion über das Thema "Tierschutz" nichts zu tun und können mit einem öffentlichen Interesse daran nicht gerechtfertigt werden.
7.5 Offenkundig nichts Abweichendes ergibt sich aus der Rechtsprechung zur Meinungsäusserungsfreiheit gemäss Art. 10 EMRK, die die Beschwerdeführer anrufen und zitieren, mag es auch zutreffen, dass danach eine pointierte, polemische, überspitzte und provozierende Kritik am unmoralischen Verhalten einer Person des öffentlichen Lebens zulässig ist (z.B. S. 9 f. Ziff. 12-14 und S. 22 ff. Ziff. 4-8 der Beschwerdeschrift).
7.5.1 Das Urteil i.S. Otegi Mondragon gegen Spanien vom 15. März 2011 lässt zwar kritische Werturteile gegenüber dem König in weitem Umfang zu, solange sie weder Anstiftung zur Gewalt noch eine eigentliche Hassrede beinhalten (Ziff. 54 und 59). Die Beurteilung dürfte auch vor dem Hintergrund gestanden haben, dass der Gesuchsteller für seine Äusserungen immerhin zu einer - letztlich bedingt ausgesprochenen - Freiheitsstrafe von einem Jahr verurteilt worden war (Ziff. 16 und 61).
7.5.2 Im weiter zitierten Urteil i.S. Oberschlick gegen Österreich vom 1. Juli 1997 (Recueil CourEDH 1997-IV S. 1266) wird in der Verurteilung zu einer Geldstrafe von 20 Tagessätzen (Ziff. 12) à 50 Schilling (Ziff. 18) wegen Beschimpfung des damaligen Landeshauptmannes von Kärnten als "Trottel" eine Verletzung von Art. 10 EMRK erblickt, dabei aber festgehalten, dass die Verwendung des Wortes "Trottel" und der weiteren Äusserungen als polemisch gelten können, solange sie keinen grundlosen persönlichen Angriff beinhalten (Ziff. 33).
7.5.3 Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführer schützt Art. 10 EMRK keine das berufliche und gesellschaftliche Ansehen einer Person verletzenden Äusserungen, die nicht oder nur in losem Zusammenhang mit einer im öffentlichen Interesse geführten Diskussion stehen. Vielmehr muss - wie dargelegt (E. 7.4) - der Anspruch auf Schutz des guten Rufs der Beschwerdegegnerin gegen das Recht der Beschwerdeführer auf freie Meinungsäusserung abgewogen werden (vgl. MEYER-LADEWIG, a.a.O., N. 71 zu Art. 10 EMRK; GRABENWARTER/ PABEL, a.a.O., § 23 N. 24 S. 318, mit Hinweisen).
7.6 Durfte das Obergericht die Widerrechtlichkeit der eingeklagten Behauptungen und Werturteile bejahen, hat es auch kein Bundesrecht verletzt in der Annahme, es könne letztlich offen bleiben, ob die Vorwürfe der Beschwerdeführer der Wahrheit entsprochen hätten und ob sie dies hätten beweisen können. Denn im Gegensatz zum strafrechtlichen Ehrenschutz kann auf die Abklärung ihres Wahrheitsgehalts verzichtet werden, wenn - wie hier - die persönlichkeitsverletzende Äusserung selbst im Falle ihrer Wahrheit als widerrechtlich im Sinne von <ref-law> erscheint (vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 314). Bei dieser Rechtslage ist auch der Beweisführungsanspruch der Beschwerdeführer nicht verletzt, der nur für rechtserhebliche Tatsachenvorbringen der Parteien im Zivilprozess besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 548). Nicht einzugehen ist somit auf die Rüge der Beschwerdeführer, die kantonalen Gerichte hätten über ihre Behauptungen, die Beschwerdegegnerin habe den Verzehr von Foie gras, Hummer und ähnlichen Produkten wohlwollend gutgeheissen und gebilligt und die Beschwerdegegnerin verwende Botox, zu Unrecht keinen Beweis abgenommen (z.B. S. 2 ff. Ziff. 2-11, S. 11 Ziff. 17, S. 43 Ziff. 7 und S. 44 Ziff. 8 der Beschwerdeschrift).
7.7 Aus den dargelegten Gründen durften die kantonalen Gerichte annehmen, die Verletzung der Beschwerdegegnerin in ihrem beruflichen und gesellschaftlichen Ansehen sei durch das von den Beschwerdeführern geltend gemachte öffentliche Interesse an einer Diskussion über Fragen des Tierschutzes nicht gerechtfertigt.
8. Das Obergericht hat unter Strafandrohung gemäss <ref-law> für den Widerhandlungsfall angeordnet, die Beschwerdeführer hätten die im Urteilsdispositiv abgedruckten Publikationen aus dem Internet zu entfernen und Veröffentlichungen von Äusserungen desselben oder des sinngemäss gleichen Inhalts zu unterlassen. Die Beschwerdeführer wenden dagegen ein, die Anordnungen genügten der erforderlichen Bestimmtheit nicht und seien unverhältnismässig.
8.1 Den Vorwurf der Unbestimmtheit des Rechtsbegehrens hat das Obergericht für unberechtigt erklärt mit der Begründung, aus dem Wortlaut bzw. der bildlichen Darstellung des Inhalts der fraglichen Internet-Publikationen ergebe sich mit hinreichender Deutlichkeit, welche Äusserungen nach Auffassung der Beschwerdegegnerin persönlichkeitsverletzend seien. Da eine Persönlichkeitsverletzung auch aus der Gesamtheit eines Textes oder einer Darstellung hervorgehen könne, brauchten nicht einzelne Begriffe, Bilder oder Sätze besonders als persönlichkeitsverletzend bezeichnet zu werden, abgesehen davon sei aus der Spezifikation in Ziff. 2 des Rechtsbegehrens "insbesondere" genug deutlich bestimmt, welche Art von Äusserungen verboten werden sollten, nämlich solche, die die Beschwerdegegnerin in den Zusammenhang mit Botox-Präparaten und Tierquälerei stellten bzw. ihr den Gebrauch und die Billigung von Botox unterstellten (E. II/A/3.2.1 S. 72 f. des angefochtenen Urteils). Den Einwand der Beschwerdeführer, das Verbot sei unverhältnismässig, hat das Obergericht verworfen mit der Begründung, es sei offensichtlich, dass die fraglichen Textstellen und Bilder, die sich auf die Haltung von Tieren, Tierversuche und Tierquälereien bezögen, nur insofern verboten werden sollten, als sie in einem Zusammenhang mit der Person der Beschwerdegegnerin veröffentlicht würden, weil damit der Eindruck erweckt werde, die Beschwerdegegnerin unterstütze bzw. billige solches. Von einem grundsätzlichen Verbot solcher Publikationen könne keine Rede sein. Das Verbot sei somit weder unverhältnismässig noch verstosse es gegen die Meinungsäusserungsfreiheit (E. II/A/3.2.2 S. 73 f. des angefochtenen Urteils).
8.2 Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführer (z.B. S. 11 Ziff. 16, S. 17 Ziff. 2, S. 19 Ziff. 1 sowie S. 31 Ziff. 2.3 und 2.5) genügt die Begründung des Obergerichts verfassungsmässigen Anforderungen (E. 4 hiervor). Die Beschwerdeführer übersehen, dass das Obergericht ausdrücklich auf ihre Meinungsäusserungsfreiheit eingegangen ist (E. 8.1 soeben).
8.3 Die Beschwerdeführer rügen erneut eine Verletzung des Bestimmtheitsgebots (S. 19 ff. Ziff. 1-5 und S. 30 ff. Ziff. 2). In ihrer Stellungnahme zum obergerichtlichen Erläuterungsbeschluss gehen sie nochmals auf diese Frage ein.
8.3.1 Gemäss <ref-law> kann der Kläger dem Gericht beantragen, eine drohende Verletzung zu verbieten. Unterlassungsklagen müssen auf das Verbot eines genau umschriebenen Verhaltens gerichtet sein. Die verpflichtete Partei soll erfahren, was sie nicht mehr tun darf, und die Vollstreckungs- oder Strafbehörden müssen wissen, welche Handlungen sie zu verhindern oder mit Strafe zu belegen haben. Werden diese Behörden mit der Behauptung angerufen, der Beklagte habe eine ihm untersagte Handlung trotz des Verbots des Zivilgerichts erneut begangen, haben sie einzig zu prüfen, ob die tatsächliche Voraussetzung erfüllt ist; dagegen haben sie das Verhalten nicht rechtlich zu qualifizieren (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 73). Ungenügend im Sinne der Rechtsprechung wäre das Verbot, das dem Beklagten die Zustellung von Briefen an die Klägerin und Äusserungen gegenüber Drittpersonen, welche die Klägerin in ihren persönlichen Verhältnissen verletzen, untersagt, weil es nicht dem Strafgericht zu bestimmen überlassen bleiben darf, ob das Verhalten des ihm zur Bestrafung wegen Ungehorsams im Sinne von <ref-law> überwiesenen Beklagten als persönlichkeitsverletzend zu qualifizieren sei oder nicht (vgl. <ref-ruling> S. 93; für weitere Beispiele: <ref-ruling> E. III/2 S. 239 f.; <ref-ruling> E. 6 S. 457 f.).
8.3.2 Die obergerichtlichen Anordnungen genügen den Anforderungen an die Bestimmtheit. Es geht daraus hervor, welche Äusserungen bzw. Veröffentlichungen den Beschwerdeführern in der Öffentlichkeit untersagt sind. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer ist nicht jede einzelne Äusserung im Verbot aufzuzählen, sondern der Gesamteindruck massgebend, den die einzelnen Äusserungen beim Durchschnittsleser nicht erwecken dürfen (E. 5.2 hiervor). Dieses Gesamtbild von der Beschwerdegegnerin, das die Beschwerdeführer nicht mehr veröffentlichen dürfen, hat das Obergericht deutlich umschrieben. Der weitere Einwand, das Verbot müsse sich allein aus dem in Rechtskraft erwachsenden Urteilsdispositiv ergeben, ist ebenso wenig begründet. Die Rechtskraftwirkung beschränkt sich auf das Urteilsdispositiv und erfasst die Urteilsbegründung nicht, doch sind die Urteilserwägungen gegebenenfalls zur Klärung der Tragweite des Urteilsdispositivs beizuziehen (allgemein: <ref-ruling> E. 2.1 S. 348; für Unterlassungsurteile: <ref-ruling> E. 5c S. 481 f. und insbesondere Urteil 4C.119/1990 vom 29. Oktober 1990 E. 2b, in: SMI 1991 S. 112, nicht veröffentlicht hingegen in: <ref-ruling>).
8.3.3 Die aus den zugehörigen Erwägungen zu verstehenden obergerichtlichen Anordnungen genügen nach dem Gesagten den bundesrechtlichen Bestimmtheitsanforderungen. Entgegen dem insbesondere in der Vernehmlassung zum Erläuterungsbeschluss erhobenen Vorwurf werden nicht einzelne Beiträge mehrfach verboten. Es handelt sich dabei um verschiedene, abgeänderte Versionen von Beiträgen. So ist z.B. der Beitrag "Z._ - Tagesschau-Moderatorin / Repräsentantin einer degenerierten Gesellschaft" unter Bst. a in einer Version vom 3. Januar 2010 (S. 94), unter Bst. b in der ursprünglichen Version vom 1. Januar 2008 (S. 96) und unter Bst. f in einer Version mit einem Link "News-Verzeichnis" (S. 110 f.) aus dem Internet zu entfernen. Es handelt sich um eine Vielzahl von Texten und Bildern mit ähnlichem, aber ergänztem oder abgewandeltem, d.h. mit sinngemäss gleichem Inhalt, für die die Beschwerdeführer allesamt einzustehen haben.
8.4 Die Unverhältnismässigkeit der Anordnungen begründen die Beschwerdeführer damit, dass die kantonalen Gerichte die längeren Beiträge als Ganzes und nicht bloss in Teilen beanstandet hätten. Es sei ein Totalverbot ausgesprochen worden, das die im öffentlichen Interesse geführte Diskussion über Fragen des Tierschutzes mitumfasse (z.B. S. 11 Ziff. 16, S. 13 ff. Ziff. 1 und S. 17 Ziff. 2 der Beschwerdeschrift). Es trifft zu, dass das Gericht zu weit gefasste Unterlassungsbegehren auf das zu verbietende Verhalten beschränken kann (vgl. <ref-ruling> S. 93 f.; <ref-ruling> E. 3.6 S. 76). Indessen ist bei den eingeklagten Texten und Bildern, die die Beschwerdeführer veröffentlicht haben, weder ersichtlich noch ausreichend dargetan, was an einer sachbezogenen, im öffentlichen Interesse geführten Diskussion über Tierschutz übrig bliebe, wenn sämtliche Passagen, die auf die Person der Beschwerdegegnerin zielen, herausgestrichen oder eingeschwärzt würden. Mit ihren Vorbringen vermögen die Beschwerdeführer die Unverhältnismässigkeit der obergerichtlichen Anordnungen nicht zu begründen. Sie setzen sich mit den Erwägungen im angefochtenen Urteil nicht auseinander und begnügen sich damit, der obergerichtlichen ihre eigene Betrachtungsweise entgegenzuhalten (vgl. BGE <ref-ruling> E. 6 S. 152 f.).
8.5 Das Obergericht hat seine Anordnungen mit dem Hinweis auf die Bestrafung gemäss <ref-law> (Busse bis Fr. 10'000.--) für den Widerhandlungsfall versehen. Die Strafandrohung wird von den Beschwerdeführern zu Recht nicht angefochten, sind doch Unterlassungsurteile grundsätzlich mit der Androhung von Ungehorsamsstrafe zu verbinden (vgl. <ref-ruling> E. 10 S. 95).
8.6 Fehlende Bestimmtheit und Unverhältnismässigkeit der gerichtlichen Anordnungen rügen die Beschwerdeführer insbesondere als Eingriff in ihr Recht auf Meinungsäusserungsfreiheit nach Art. 10 EMRK. Die Sanktion bedeute einen verpönten "chilling effect" (z.B. S. 18 Ziff. 3 und S. 19 Ziff. 2 der Beschwerdeschrift).
8.6.1 Die gerichtlichen Anordnungen finden eine gesetzliche Grundlage in <ref-law> und in <ref-law>. Sie dienen dem Schutz des beruflichen und gesellschaftlichen Ansehens der Beschwerdegegnerin und verfolgen damit ein legitimes Ziel (vgl. GRABENWARTER/PABEL, a.a.O., § 23 N. 21 und N. 22 S. 316 f. mit Hinweisen).
8.6.2 Im Vergleich zu den zitierten Urteilen aus der Rechtsprechung zu Art. 10 EMRK - bedingte Freiheitsstrafe von einem Jahr (E. 7.5.1) und Geldstrafe von 1000 Schilling (E. 7.5.2) - kann die gerichtlich angeordnete Entfernung von Texten und Bildern aus dem Internet und das Verbot, Texte und Bilder desselben oder des sinngemäss gleichen Inhalts zu veröffentlichen, nicht als unverhältnismässig gelten. Entscheidend kommt hinzu, wie das bereits das Obergericht hervorgehoben hat (E. II/A/3.2.3 S. 74 f. und E. II/A/5.2 S. 78 f.), dass die Beschwerdeführer die im öffentlichen Interesse stehende Diskussion über den Tierschutz sachgerecht auch ohne die beleidigenden Angriffe auf die Beschwerdegegnerin führen können. Es hätte genügt, darauf hinzuweisen und zu erwähnen, dass der Verzehr der zu Silvester gereichten Speisen wie Foie gras oder Hummer und eine allfällige Verwendung von Botox unter dem Blickwinkel des Tierschutzes bedenklich seien und von aufgeklärten Konsumenten abgelehnt werden müssten, sei doch die Herstellung dieser und ähnlicher Produkte mit Tierquälerei verbunden. Das Verbot betrifft somit in keiner Weise, Sachinformationen über die Produktion von Foie gras und Hummer und über Tierversuche für das Schönheitsmittel Botox zu verbreiten bzw. künftig irgendetwas über diese Themen zu veröffentlichen. Publikationen dazu sind von dem erlassenen Verbot nicht betroffen, sofern sie nicht in Verbindung mit der Beschwerdegegnerin gebracht werden und auf diese Weise behauptet oder der Eindruck erweckt wird, die Beschwerdegegnerin verwende Botox bzw. billige den Konsum der genannten Speisen und damit tierquälerische Produktionsmethoden (vgl. zum "chilling effect": GRABENWARTER/PABEL, a.a.O., § 23 N. 40 S. 330 mit Hinweisen).
8.6.3 Unter dem Blickwinkel von Art. 10 EMRK kann nach dem Gesagten nicht davon ausgegangen werden, dass sich die gerichtlichen Anordnungen abschreckend oder einschüchternd auf die Beschwerdeführer in ihren künftigen Meinungsäusserungen zum Thema des Tierschutzes auswirken könnten.
8.7 Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darin eine Verletzung des Bestimmtheits- und des Verhältnismässigkeitsgebots gerügt wird.
9. In der Sache beantragen die Beschwerdeführer schliesslich die Gutheissung ihrer Widerklage. Darin hatten sie vorab die Feststellung begehrt, dass die Beschwerdegegnerin durch die öffentlich zur Schau gestellte Verwendung von Botox bzw. auch nur durch das Erwecken des Anscheins, Botox zu verwenden, die Persönlichkeit des Beschwerdeführers 1 verletze (S. 48 ff. der Beschwerdeschrift).
9.1 Das Bezirksgericht hat die Widerklage der Beschwerdeführer abgewiesen mit der Begründung, eine Persönlichkeitsverletzung erfordere, dass sich der Angriff gegen eine bestimmte oder zumindest bestimmbare Person richte. Voraussetzung jeder Persönlichkeitsverletzung sei, dass der Betroffene aufgrund der Verletzungshandlung individualisierbar, also erkennbar sei. Nicht nur der Betroffene selbst habe sich zu erkennen, sondern auch andere Personen müssten erkennen, gegen wen sich eine solche Handlung richte. Die Moderation der Tagesschau durch die Beschwerdegegnerin richte sich indes in keiner Weise an oder gegen den Beschwerdeführer 1, weshalb eine Persönlichkeitsverletzung zum Vornherein entfalle. Die widerklageweise erhobene Feststellungs- und Beseitigungsklage sei somit abzuweisen (E. 9.3 S. 34 des bezirksgerichtlichen Urteils).
9.2 Das Obergericht ist davon ausgegangen, das Bezirksgericht habe die Widerklage mit zutreffender Begründung abgewiesen. Eine Persönlichkeitsverletzung erfordere, dass sich der Angriff, d.h. das verletzende Verhalten einer Person, gegen eine bestimmte oder zumindest bestimmbare Person richte. Es sei nicht nachvollziehbar und werde im Berufungsverfahren auch nicht plausibel gemacht, weshalb das Auftreten der Beschwerdegegnerin als Moderatorin der Tagesschau des Schweizer Fernsehens einen Angriff auf die Person des Beschwerdeführers 1 darstellen solle. Auch die zitierten Präjudizien könnten den Nachweis nicht erbringen, bezögen sich diese Fälle doch auf Immissionen von Nachbarn, von denen bestimmte andere Nachbarn unmittelbar betroffen bzw. verletzt gewesen seien. Im Übrigen sei angefügt, dass der Beschwerdeführer 1 die nach seiner Behauptung durch den blossen Anblick der Beschwerdegegnerin hervorgerufenen seelischen Leiden durch den Verzicht, eine durch die Beschwerdegegnerin moderierte Tagesschau-Sendung anzuschauen, vermeiden könne (E. II/B/1 S. 82 des angefochtenen Urteils).
9.3 Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführer (z.B. S. 51 Ziff. 3 und 4 sowie S. 55 Ziff. 5 und 7) genügt die Begründung des Obergerichts wie auch des Bezirksgerichts verfassungsmässigen Anforderungen (E. 4 hiervor). Da auch dem Bezirksgericht keine Verletzung der Begründungspflicht vorgeworfen werden kann, ist die Rüge der Beschwerdeführer, es sei ihnen faktisch eine Instanz verloren gegangen (S. 51 Ziff. 3 der Beschwerdeschrift), unberechtigt (vgl. <ref-ruling> E. 5d S. 82; Urteil 5A_850/2011 vom 29. Februar 2012 E. 3.4, betreffend den Beschwerdeführer 2).
9.4 Die Beschwerdeführer geben über Seiten hinweg im Zitat wieder, was sie vor Bezirksgericht in ihrer Widerklage und im Plädoyer vorgetragen haben (S. 48-51) und wie sie vor Obergericht repliziert haben (S. 51-54 der Beschwerdeschrift). Die blosse Wiedergabe der Vorbringen im kantonalen Verfahren bedeutet in formeller Hinsicht keine genügende Auseinandersetzung mit den obergerichtlichen Urteilserwägungen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 306; <ref-ruling> E. 2.1 und E. 2.3 S. 245 ff.). Fraglos gehört zu den anerkannten Schutzbereichen der Persönlichkeit auch das Gefühls- und Seelenleben (vgl. Urteil 5A_89/2010 vom 3. Juni 2010 E. 5.2). Der Schutzbereich sagt indessen nichts zum Begriff der Persönlichkeits-verletzung. Zu deren Voraussetzungen zählt, dass der Betroffene aufgrund der Verletzungshandlung - beispielsweise der Ausführungen in einem persönlichen Brief - individualisiert werden kann. Zu verlangen ist zumindest, dass der Betroffene sich selbst erkennen kann (subjektive Erkennbarkeit). In gewissen Fällen - namentlich bei Darstellungen in Massenmedien - ist zudem erforderlich, dass auch andere Personen erkennen können, um wen es sich handelt (objektive Erkennbarkeit; BGE <ref-ruling> E. 3 S. 147 und E. 4.4 S. 151; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 413). An dieser objektiven Erkennbarkeit, d.h. der Erkennbarkeit des Beschwerdeführers 1 durch den Durchschnitts-fernsehzuschauer der Tagesschau am Silvesterabend, hat es gefehlt, mag sich der Beschwerdeführer 1 auch subjektiv erkannt und in seinem Seelenleben verletzt gefühlt haben.
9.5 Die obergerichtliche Abweisung der Widerklage erweist sich aus den dargelegten Gründen nicht als bundesrechtswidrig.
10. Die Beschwerdeführer rügen einleitend, das Obergericht habe das Urteilsdispositiv insofern geändert, als sich das Verbot statt auf Äusserungen "ähnlichen Inhalts" neu auf Äusserungen "sinngemäss gleichen Inhalts" beziehe. Die Änderung bedeute eine teilweise Gutheissung ihrer kantonalen Berufung, sei aber in der Verlegung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen willkürlich nicht zu ihren Gunsten berücksichtigt worden (S. 12 Ziff. 18-19 der Beschwerde-schrift). In ihrer anschliessenden Beschwerdebegründung von über vierzig Seiten versäumen es die Beschwerdeführer dann aber, ihre Willkürrüge zu begründen, d.h. anhand des angefochtenen Urteils (E. III S. 83 ff.) im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Verlegung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen im Verhältnis von 2/9 (Beschwerdegegnerin), 5/9 (Beschwerdeführer 1) und 2/9 (Beschwerdeführer 2) im Ergebnis an einem qualifizierten Mangel leidet (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 588 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf die Willkürrüge kann nicht eingetreten werden.
11. Insgesamt können weder die Abweisung der Hauptklage (E. 5-8) noch die Abweisung der Widerklage (E. 9) noch die Durchführung des Verfahrens (E. 2-4 und 10) beanstandet werden. Bei diesem Ergebnis werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da die Beschwerdegegnerin nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden ist (Art. 66 Abs. 1 und 5 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: von Roten