Sachverhalt:
A. Im Hinblick auf die Erneuerungswahl für den Gemeinderat der Stadt Zürich für die Amtsdauer 2010-2014 vom 7. März 2010 wurde unter der Listenbezeichnung "PARTEILOSER WAHLVORSCHLAG" Marian Danowski als Kandidat vorgeschlagen. Der Stadtrat Zürich erklärte diesen Wahlvorschlag am 6. Januar 2010 für ungültig und auferlegte Marian Danowski die Kosten von Fr. 900.--. Der Bezirksrat Zürich bestätigte diesen Entscheid am 18. März 2010 und überband Marian Danowski die Kosten von Fr. 1'034.--. In der Folge gelangte Marian Danowski an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich.
Im Hinblick auf die Ersatzwahl von zwei vollamtlichen Mitgliedern des Bezirksgerichts Zürich für den Rest der Amtsdauer 2008-2014 wurde unter der Listenbezeichnung "PARTEILOSER WAHLVORSCHLAG" Marian Danowski als Kandidat vorgeschlagen. Der Bezirksrat Zürich erklärte den Wahlvorschlag am 3. Dezember 2009 für ungültig und auferlegte Marian Danowski die Kosten von Fr. 600.--. Der Regierungsrat bestätigte diesen Entscheid am 17. März 2010 (Geschäftsnummer 347). In der Folge gelangte Marian Danowski an das Verwaltungsgericht.
Im Hinblick auf die Ersatzwahl für ein Mitglied des Bezirksrates Zürich für den Rest der Amtsdauer 2009-2013 wurde unter der Listenbezeichnung "PARTEILOSER WAHLVORSCHLAG" Marian Danowski als Kandidat vorgeschlagen. Der Bezirksrat erklärte diesen Wahlvorschlag am 3. Dezember 2009 als ungültig und auferlegt Marian Danowski die Kosten von Fr. 600.--. Der Regierungsrat bestätigte diesen Entscheid am 17. März 2010 (Geschäftsnummer 348). In der Folge gelangte Marian Danowski an das Verwaltungsgericht.
B. Marian Danowski überschrieb seine drei Eingaben an das Verwaltungsgericht mit Petition. Das Verwaltungsgericht behandelte die Eingaben als Beschwerden und wies sie in drei separaten Urteilen vom 21. April 2010 (VB.2010.00132) und vom 23. April 2010 (VB.2010.00139 und VB.2010.00140) ab.
C. Gegen diese Entscheide des Verwaltungsgerichts hat Marian Danowski am 10. Mai 2010 beim Bundesgericht "PETITION GEMÄSS <ref-law>" eingereicht und eine Reihe von Begehren gestellt. Auf Anträge und Begründungen ist in den nachfolgenden Erwägungen einzugehen.
Der Stadtrat Zürich beantragt die Abweisung der Beschwerde. Der Bezirksrat verzichtet teils auf eine Stellungnahme und beantragt teils Nichteintreten. Das Verwaltungsgericht hat auf Vernehmlassungen verzichtet.

Erwägungen:
1. Marian Danowski wendet sich vor Bundesgericht mit einer einzigen Eingabe gegen die genannten drei Entscheide des Verwaltungsgerichts. Es rechtfertigt sich, die Verfahren zu vereinen und in einem einzigen Urteil zu behandeln.
2. Marian Danowski hat seine Eingabe als "PETITION GEMÄSS <ref-law>" bezeichnet. Er rügt Verletzungen des Petitionsrechts, wie es in Art. 33 der Bundesverfassung und Art. 16 der Zürcher Kantonsverfassung garantiert ist. Mit seinen Anträgen verlangt er die Überprüfung der drei Entscheide des Verwaltungsgerichts, die gänzliche Abweisung der als rechtsmissbräuchlich und unbegründet bezeichneten Stimmrechtsbeschwerden und insoweit die Ungültigerklärung bzw. Aufhebung sowie die Prüfung der Angelegenheit unter dem Gesichtswinkel von Art. 35 und 39 BV sowie von Art. 317 und 251 StGB. Er beanstandet im Wesentlichen, dass seine Petitionen in Stimmrechtsbeschwerden umgewandelt worden sind, dass er als rechtsunkundig bezeichnet worden sei, dass das Verwaltungsgericht seine Petitionen nicht zur Kenntnis genommen und nicht geprüft habe und dass ihm schliesslich Verfahrenskosten auferlegt worden sind.
All diese Begehren und Begründungen reichen weit über eine reine Petition hinaus und weisen den klaren Charakter einer Beschwerde auf. Es geht Marian Danowski offensichtlich nicht darum, das Bundesgericht im Ausmass des Zulässigen (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 56) im Sinne des Petitionsrechts bloss auf gewisse Vorkommnisse hinzuweisen und es auf bestimmte Praktiken aufmerksam zu machen. Vielmehr verlangt er die Überprüfung der Verwaltungsgerichtsentscheide und unter der Bezeichnung Ungültigerklärung deren Aufhebung. Damit ist die als Petition bezeichnete Eingabe im bundesgerichtlichen Verfahren als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> zu behandeln.
Im vorliegenden Verfahren ist demnach zu prüfen, ob das Verwaltungsgericht das Petitionsrecht und weitere verfassungsmässige Rechte verletzt hat. Nicht zu prüfen ist hingegen, ob mit dem angefochtenen Entscheid politische Rechte verletzt worden seien. Der Beschwerdeführer erhebt keine Stimmrechtsbeschwerde nach <ref-law>, beanstandet nicht, dass seine Wahlvorschläge als ungültig erklärt worden sind, und legt nicht in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise dar, dass und inwiefern politische Rechte verletzt worden sein sollten.
3. Zur Hauptsache rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des Petitionsrechts im Sinne von <ref-law> und Art. 16 KV/ZH. Er macht geltend, er habe dem Verwaltungsgericht Petitionen und keine Beschwerden eingereicht. Daher sei es verfassungsrechtlich unzulässig, dass seine Eingaben als Beschwerden wegen Verletzung politischer Rechte behandelt worden seien.
Die Eingaben an das Verwaltungsgericht vom 23. bzw. 26. März 2010 überschrieb der Beschwerdeführer mit "PETITION gemäss <ref-law> und Art. 16 KV, wegen Verletzung von Vorschriften über die politischen Rechte und ihrer Ausübung". Er stellte im Wesentlichen die Begehren,
es sei der entsprechende Beschluss für ungültig zu erklären und ganz abzuweisen,
es seien die Verfahrenskosten zu tilgen und zu annullieren und vom Staat zu tragen,
es sei der Angeklagte von Schuld und Strafe freizusprechen,
es sei der gültige parteilose Wahlvorschlag mit der vorgeschlagenen Person als gültig zu erklären,
es sei zu prüfen, ob <ref-law> und Art. 16 KV verletzt worden seien.
Dem fügte er an, dass die Erhebung von Gebühren im Wahl- und Abstimmungsverfahren unzulässig sei und für Amtshandlungen keine Kosten erhoben werden dürften.
Das Verwaltungsgericht hatte bei dieser Sachlage in Auslegung der eingereichten Eingabe zu prüfen, ob es sich gemäss dem Titel um eine Petition oder im Lichte des Inhalts um eine Beschwerde handelte (vgl. Urteil 1P.225/1993 vom 7. Juni 1993 E. 2a). Insoweit ist es verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht die Eingaben aus der Sicht einer rechtsunkundigen Person prüfte. Es zeigt sich, dass die Anträge und Begründungen in den Eingaben des Beschwerdeführer weit über eine Petition hinausreichen. Petitionen stellen formlose Eingaben unterhalb der politischen Rechte und ausserhalb von Beschwerdeverfahren dar. Mit Petitionen sollen den Behörden ohne Nachteile jegliche Art von Anliegen und Anregungen unterbreitet werden können. Die Behörden sind nach Bundesverfassungsrecht lediglich zur Kenntnisnahme (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 55), gemäss kantonalem Verfassungsrecht zudem zur Prüfung und zur Beantwortung verpflichtet. Weder der Pflicht zur Kenntnisnahme noch jener zur Prüfung und Beantwortung kann die Bedeutung zukommen, dass die mit einer Petition angegangene Behörde Entscheidungen von Verwaltungs- oder Gerichtsbehörden aufheben könnte.
In Anbetracht von Sinn und Zweck des Petitionsrechts durfte das Verwaltungsgericht davon ausgehen, dass die ihm unterbreiteten Eingaben trotz ihrer Überschrift nicht als Petitionen zu betrachten sind, und diese im Lichte der Anträge und Begründung als Beschwerden (wegen Verletzung politischer Rechte) behandeln. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat es dadurch das in <ref-law> und Art. 16 KV/ZH garantierte Petitionsrecht nicht verletzt. Der Beschwerdeführer hat es sich selber zuzuschreiben, dass er mit seinen Eingaben keine Petitionen, sondern vielmehr eigentliche Beschwerden eingereicht hatte. Überdies musste er sich dessen bewusst sein, weil schon die Vorinstanzen des Verwaltungsgerichts die Petitionen als Beschwerden oder Rekurse behandelt hatten. Auf das Petitionsrecht kann sich nur berufen, wer tatsächlich eine Petition einreicht (vgl. Urteil 1P.225/1993 vom 7. Juni 1993 E. 2b).
Daraus ergibt sich, dass das Verwaltungsgericht die Petitionsfreiheit nicht verletzt hat. Eine Verletzung liegt auch nicht im Umstand, dass dem Beschwerdeführer für die Behandlung seiner Beschwerden Kosten auferlegt worden sind. Weshalb das Verwaltungsgericht durch die Würdigung der Eingaben eine Urkundenfälschung im Sinne von Art. 251 oder 317 aStGB begangen haben sollte, ist nicht nachvollziehbar. Schliesslich kann nicht gesagt werden, das Verwaltungsgericht habe die ihm eingereichten Eingaben nicht geprüft und seine Entscheide nicht begründet. Es ist daher auch nicht ersichtlich, inwiefern das Verwaltungsgericht Verfahrensgarantien nach Art. 18 KV/ZH verletzt haben sollte. Von einer Verletzung der Meinungsäusserungsfreiheit kann schliesslich keine Rede sein.
Die Beschwerden erweisen sich als unbegründet.
4. Demnach sind die Beschwerden abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer hat in Anbetracht seiner finanziellen Situation um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Sie kann nach <ref-law> gewährt werden, wenn die Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheinen. Diese Voraussetzung ist im vorliegenden Verfahren nicht gegeben. Das Ersuchen ist daher abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerdeverfahren 1C_242/2010, 1C_244/2010 und 1C_246/2010 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Stadt Zürich, dem Bezirksrat Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann