Sachverhalt:
A.
Am 17. März 2014 stellten A._ (geb. 1977; nigerianischer Staatsangehöriger) und B._ (geb. 1982; kamerunische Staatsangehörige) beim Zivilstandsamt der Stadt Zürich ein Gesuch um Vorbereitung der Eheschliessung. Das Amt forderte die Verlobten gestützt auf <ref-law> unter Ansetzung einer Frist auf, ihren rechtmässigen Aufenthalt in der Schweiz nachzuweisen. B._ gelang dieser Nachweis. A._ konnte ihn nicht erbringen. Mit Verfügung vom 30. Juni 2014 verweigerte das Zivilstandsamt die Fortsetzung des Ehevorbereitungsverfahrens und die Trauung und meldete die Personalien von A._ der zuständigen Ausländerbehörde.
B.
A._ erhob Beschwerde bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich. Diese wies das Rechtsmittel mit Verfügung vom 8. August 2014 ab. Hierauf gelangte er an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und ersuchte für das dortige Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 18. September 2014 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Befreiung von der Kostenvorschusspflicht ab und setzte A._ eine Frist vom zwanzig Tagen zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'060.--. Für den Fall der Nichtbezahlung stellte es in Aussicht, auf das Rechtsmittel nicht einzutreten. Ein Fristerstreckungsgesuch wies das Verwaltungsgericht mit Verfügung vom 25. September 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde vom 9. Oktober 2014 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 18. September 2014 aufzuheben und ihm für das kantonale Beschwerdeverfahren die "vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zuzubilligen". Dem weiteren Antrag, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizumessen, entsprach der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 31. Oktober 2014. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer auch für das bundesgerichtliche Verfahren um das Armenrecht. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache jedoch keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen eine Verfügung des Verwaltungsgerichts, mit der dieses sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Rechtsmittelverfahren abweist und ihm eine Frist zur Sicherstellung der Verfahrenskosten setzt. Der Entscheid erging mittels einer selbständigen, vorab eröffneten Verfügung. Er ist also ein Zwischenentscheid, der nach der Rechtsprechung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann (Urteil 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 1 mit Hinweisen). Dass das Verwaltungsgericht nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht nicht entgegen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f.). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Dort geht es um die Zulassung zur Ehevorbereitung und Trauung. Das ist eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht und der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b BGG; Urteil 5A_814/2011 vom 17. Januar 2012 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Das gleiche Rechtsmittel ist daher gegen den angefochtenen Zwischenentscheid zulässig. Auf die fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Als gesetzliche Grundlage seines Entscheids nennt das Verwaltungsgericht in der angefochtenen Verfügung verschiedene Bestimmungen des zürcherischen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG; LS 175.2). Es wendet das kantonale Verfahrensrecht gestützt auf Art. 90 Abs. 2 der Zivilstandsverordnung vom 28. April 2004 (ZStV; SR 211.112.2) in Verbindung mit § 20a der kantonalen Zivilstandsverordnung vom 1. Dezember 2004 (ZVO; LS 231.1) und § 41 ff. VRG an. Soweit aber allein die Anwendung des kantonalen Rechts in Frage steht, kann der Beschwerdeführer nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbots geltend machen (s. <ref-ruling> E. 2.3 S. 231). Für diese Vorbringen gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Vorwürfe. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Was den Sachverhalt angeht, ist das Bundesgericht grundsätzlich an die Feststellungen der Vorinstanz gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann der Beschwerdeführer einzig vorbringen, die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Auch dafür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
3.
Anlass zur Beschwerde gibt die vorinstanzliche Beurteilung der Prozessaussichten im Rechtsmittelverfahren vor dem Verwaltungsgericht.
3.1. Der angefochtene Entscheid stützt sich auf § 16 Abs. 1 VRG. Gemäss dieser Vorschrift kann einem mittellosen Privaten die Bezahlung von Verfahrenskosten und Kostenvorschüssen nur unter der Voraussetzung erlassen werden, dass sein Begehren "nicht offensichtlich aussichtslos erscheint". Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass ihm das massgebliche kantonale Verfahrensrecht damit zu einem Armenrechtsanspruch verhelfe, der über die verfassungsmässigen Minimalanforderungen gemäss <ref-law> hinausgeht. Aussichtslos im Sinne der zitierten Verfassungsnorm sind Prozessbegehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese (zum Ganzen <ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen). Bei der Beurteilung der Erfolgsaussichten eines Rechtsmittels kommt es darauf an, ob das Rechtsmittel prozessual unzulässig oder aussichtslos ist. Mithin ist zu berücksichtigen, dass ein erstinstanzlicher Entscheid vorliegt, der mit den gestellten Rechtsbegehren verglichen werden kann (Urteil 5A_765/2014 vom 5. Dezember 2014 E. 3 mit Hinweisen).
3.2. Das Verwaltungsgericht hält die kantonale Beschwerde für "offenkundig aussichtslos", weil sie die überzeugenden Erwägungen der Direktion keineswegs entkräfte. Dass ein solcher Vergleich der Rechtsmittelbegehren mit dem angefochtenen Entscheid ungeeignet wäre, die Prozessaussichten eines Rechtsmittels zu beurteilen, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist nach dem Gesagten auch nicht ersichtlich. Indessen stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, dass <ref-law>, wonach ausländische Verlobte während des Ehevorbereitungsverfahrens ihren rechtmässigen Aufenthalt in der Schweiz nachweisen müssen, nach der bundesgerichtlichen Praxis keine "totalitäre Bedeutung" habe. Der Beschwerdeführer führt seinen konventionsrechtlichen Anspruch auf Eheschliessung gemäss Art. 12 EMRK ins Feld. Dieser Norm müsse "über die Bestimmung von <ref-law> hinweg übergeordnete Bedeutung beigemessen werden". Aus diesem Grund müsse es Ausnahmen geben, bei denen die Eheschliessung auch einem illegal in der Schweiz anwesenden Ausländer erlaubt sei. Angesichts dessen könne seine kantonale Beschwerde "keineswegs" als aussichtslos gelten.
3.3. Die Urteile 2C_1170/2013 vom 28. Juli 2014, 2C_213/2012 vom 13. März 2012 und 2C_702/2011 vom 23. Februar 2012, die der Beschwerdeführer zitiert, betreffen das ausländerrechtliche Verfahren betreffend die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung und nicht das Verfahren der Eheschliessung vor dem Zivilstandsamt (<ref-law>), das allein hier in Frage steht. Mit Bezug auf dieses Verfahren hat das Bundesgericht nun aber erkannt, dass <ref-law> dem Zivilstandsbeamten keinerlei Spielraum lässt, dieser die Trauung also verweigern muss, wenn ein Ausländer um die Eheschliessung ersucht, ohne seinen rechtmässigen Aufenthalt in der Schweiz nachgewiesen zu haben (<ref-ruling> E. 3.7 S. 359 f.). Im zitierten Urteil stellt das Bundesgericht klar, dass es ausschliesslich die Aufgabe der zuständigen Ausländerbehörde ist, im Rahmen eines Gesuchs um Erteilung einer provisorischen Aufenthaltsbewilligung zum Zwecke der Eheschliessung die Anforderungen zu prüfen, die sich aus dem konventionsrechtlichen Anspruch auf Eheschliessung (Art. 12 EMRK) und dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz ergeben (BGE a.a.O., S. 360). Angesichts dessen ist der Argumentation des Beschwerdeführers, weshalb seine kantonale Beschwerde nicht aussichtslos gewesen sei, der Boden entzogen. Darüber hinaus gibt der Beschwerdeführer noch zu bedenken, dass mit seinem Aufenthaltsanspruch auch die "Kindsrechte" und damit sein Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens (Art. 8 EMRK) tangiert seien, die "je länger je mehr ... einen erhöhten Schutz geniessen müssten". Allein mit derlei Mutmassungen, die überdies nicht das Verfahren der Eheschliessung, sondern allenfalls dasjenige der Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung betreffen, vermag der Beschwerdeführer nichts auszurichten.
4.
Soweit sich seine Vorbringen überhaupt nachvollziehen lassen, scheint sich der Beschwerdeführer auch daran zu stören, dass das Verwaltungsgericht ihm in der angefochtenen Verfügung die Sicherstellung der voraussichtlichen Verfahrenskosten aufbürdet und ihm hierzu eine Frist setzt. Das Verwaltungsgericht stellt in diesem Zusammenhang fest, dass der Beschwerdeführer aus rechtskräftig erledigten Verfahren vor Zürcher Behörden noch Kosten von über Fr. 5'000.-- schulde. Aus diesem Grund könne er gestützt auf § 15 Abs. 2 Bst. b in Verbindung mit § 65a Abs. 2 VRG zur Sicherstellung der im verwaltungsgerichtlichen Verfahren anfallenden Gerichtskosten angehalten werden. Der Beschwerdeführer stellt in tatsächlicher Hinsicht nicht in Abrede, dem Kanton Zürich die erwähnte Summe Geldes zu schulden. Unbehelflich ist auch sein pauschaler Einwand, das Verwaltungsgericht vereitele damit die materielle Prüfung seines Anspruchs auf einen Eheschluss. Inwiefern sich die Anwendung der zitierten kantonalen Verfahrensvorschriften nicht mit seinen verfassungsmässigen Rechten verträgt, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Insbesondere macht er auch nicht geltend, dass ihm die Verfassung unter den gegebenen, unbestrittenen Umständen einen Anspruch darauf verschafft, dass das Verwaltungsgericht von einer Sicherstellung der Gerichtskosten absieht.
5.
Die Beschwerde erweist sich also als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Kanton Zürich ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um das Armenrecht ersucht, ist sein Begehren abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos gelten. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn