Faits:
A. N._, né en 1957, a travaillé en qualité de directeur technique au service de la société X._ SA, à V._, depuis le 1er avril 1992. A ce titre, il était assuré contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 9 mars 1995, alors qu'il circulait au volant de sa voiture sur la route cantonale Y._, il a été victime d'un accident. Sa voiture est entrée en collision frontale avec un véhicule venant en sens inverse et qui a dérapé sur la neige. L'assuré, qui portait sa ceinture de sécurité, s'est penché vers le siège du passager avant. Au moment du choc, il a ressenti une forte lancée dans la nuque. Le rapport de la police cantonale indique que l'accident n'a pas fait de blessé.
Le lendemain de l'accident, l'assuré a consulté le docteur A._, médecin généraliste, qui a diagnostiqué une « forte contusion indirecte et distorsion de la colonne vertébrale cervicale (type « coup du lapin ») avec déclenchement d'un syndrome lombo-vertébral aigu par le choc lors de la collision des véhicules ». L'incapacité de travail de l'intéressé a varié entre 100 % et 25 % jusqu'au 19 juin 1995, date à laquelle il a repris son activité à raison de deux tiers d'un horaire de travail normal.
La CNA a pris en charge le cas. Dans un rapport du 5 juillet 1995, le docteur B._, médecin d'arrondissement, a fait état d'un status après whiplash-injury et indiqué que l'assuré souffrait toujours de cervicalgies accompagnées de migraines parfois importantes. Dans un rapport du 25 octobre suivant, ce médecin a constaté l'existence de tensions musculaires cervicales, tout en indiquant que les fonctions des colonnes cervicale et dorso-lombaire étaient tout à fait conservées.
L'assuré a repris son travail à plein temps le 18 décembre 1995. Après une période de chômage (mois de janvier à mars 1996), il a été engagé en qualité de conducteur de travaux par une entreprise de génie civil et terrassements dès le mois d'avril 1996.
Au mois de juillet suivant, l'assuré, qui se plaignait en particulier d'un syndrome cervical et de séquelles neurologiques diverses sous la forme de lacunes de mémoire, de vertiges, de manque de concentration, de céphalées et de fatigabilité accrue, a été adressé au docteur C._, spécialiste en neurologie. Dans un rapport du 19 août 1996, ce praticien a indiqué que les troubles susmentionnés obligeaient l'intéressé à quitter son travail pour aller se coucher, de sorte que son rendement comme chef de chantier était insuffisant. N'ayant rien relevé d'anormal sur le plan neurologique, il a indiqué que l'anamnèse suggérait une possible migraine vertigineuse ou une céphalée de tension. Quoiqu'il en soit, les troubles présentés par l'intéressé ne pouvaient pas être attribués à l'accident du 9 mars 1995 mais à une maladie.
Par décision du 6 septembre 1996, la CNA a supprimé le droit de l'assuré à des prestations à partir du 16 septembre 1996. Saisie d'une opposition contre cette décision, elle l'a toutefois annulée le 6 août 1997.
Dans le courant de l'automne 1996, l'assuré a fondé sa propre entreprise de construction avec un associé.
Poursuivant l'instruction du cas, la CNA a recueilli un rapport du docteur D._, médecin-chef au centre médico-psychologique Z._ (du 19 mai 1998). Ce médecin a fait état d'un syndrome douloureux avec modification secondaire de la personnalité (irritabilité, fatigue) à la suite d'un accident de la circulation. La CNA a alors confié une expertise au docteur E._, spécialiste en neurologie. Dans son rapport du 22 juin 1998, celui-ci a posé les diagnostics de cervicalgies chroniques post-traumatiques sur probable dysfonction zygo-apophysiale cervicale haute à droite, de migraine post-traumatique et de probable dysfonctionnement central à caractère affectif et cognitif, en relation avec la douleur chronique. Il a indiqué que l'étiologie des céphalées dont l'assuré était atteint était à rechercher dans le syndrome cervical aigu déclenché par le traumatisme survenu quatre ans auparavant. Au demeurant, il existait vraisemblablement des facteurs constitutionnels (génétiques) au développement des migraines, lesquels n'étaient pas évidents chez l'intéressé avant le traumatisme. Il y avait dès lors lieu d'admettre que celui-ci était « pour l'instant la cause prépondérante de l'état actuel ».
Par des décisions du 19 novembre 1999, l'Office AI du canton du Jura a alloué à N._ un quart de rente dès le 1er mars 1998, une demi-rente depuis le 1er juin 1998 et une rente entière dès le 1er mai 1999, le degré d'invalidité étant fixé successivement à 40 %, 50 % et 70 %.
Le nouveau médecin traitant de l'assuré, le docteur F._, spécialiste en neurologie, ne partageant pas les vues de l'expert E._ sur le traitement susceptible d'améliorer les douleurs chroniques de son patient, ni sur sa capacité de travail, la CNA a confié une nouvelle expertise au professeur G._, chef du service de neurologie du Centre hospitalier W._. Les diagnostics posés par cet expert dans son rapport du 19 juillet 2000 sont ceux de status après traumatisme cervical de type whisplash le 9 mars 1995, sans séquelle structurale, de cervicalgies et d'hémicrânies épisodiques à composante migraineuse. Selon l'expert, les céphalées épisodiques à caractère migraineux dont se plaignait encore l'assuré au moment de l'expertise ne pouvaient plus être imputées à l'accident. En revanche, ces troubles étaient entretenus par la personnalité préexistante de l'intéressé qui, à partir d'un conflit assécurologique, évoluait vers une sinistrose liée à l'accident.
Sur le vu de ces renseignements médicaux, la CNA a complété l'instruction par une expertise confiée au docteur H._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 2 avril 2001, l'expert a indiqué que l'assuré avait présenté une aggravation de la symptomatologie environ une année après l'accident, ensuite d'une période de chômage et de la reprise d'un nouveau travail, avec une augmentation des plaintes et l'apparition de troubles nouveaux. Il a considéré que ces atteintes à la santé pouvaient difficilement être mises en relation avec l'événement accidentel. Excluant dans ses conclusions toute relation de causalité naturelle entre la symptomatologie en question et le traumatisme du 9 mars 1995, l'expert a posé le diagnostic de trouble somatoforme douloureux et en a expliqué la survenance par des facteurs de personnalité prémorbide, des éléments contextuels et un trouble de l'adaptation. Il a indiqué que ces troubles persisteraient probablement durant toute la vie de l'intéressé.
Dans les observations qu'il a présentées à la CNA sur les rapports du professeur G._ et du docteur H._, N._ s'est référé aux conclusions du docteur I._, spécialiste en radiologie, qui avait procédé à une IRM de la jonction occipito-cervicale au mois de mai 2001. Selon ce médecin, le prénommé présentait une asymétrie des espaces para-odontoïdiens et un épaississement ainsi qu'un hypersignal du ligament transverse droit qui évoquaient une atteinte de ce ligament avec probable atteinte du ligament cruciforme.
Cette appréciation a été contredite dans un rapport établi le 18 juillet 2001 par le docteur J._, spécialiste en chirurgie orthopédique et membre de l'équipe de médecine des accidents de la CNA.
Indiquant se fonder notamment sur le rapport du docteur H._, la CNA a rendu une décision, le 7 août 2001, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assuré à des prestations à partir du 1er août 2001.
Saisie d'une opposition, la CNA l'a rejetée par décision du 23 octobre 2001.
B. Par jugement du 1er octobre 2002, le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé par l'assuré contre cette dernière décision. Il a considéré, en résumé, qu'il n'existait pas de lien de causalité naturelle entre les troubles qui entraînent une incapacité de travail après le 31 juillet 2001 et l'accident du 9 mars 1995.
C. N._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, au maintien de son droit à des prestations au-delà du 31 juillet 2001, à l'octroi, dès cette date, d'une indemnité journalière ou d'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 70 % au moins. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouveau jugement. A l'appui de son recours, il produit des extraits de littérature médicale.
La CNA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer sur celui-ci.

Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-accidents. Cependant, le cas d'espèce reste régi par les dispositions de la LAA en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (<ref-ruling> consid. 1). En outre, le Tribunal fédéral des assurances apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (<ref-ruling> consid. 1b).
2. Le litige porte sur le point de savoir s'il existe un lien de causalité entre les troubles dont souffre encore le recourant après le 31 juillet 2001 et l'accident de circulation du 9 mars 1995.
3. 3.1 Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire, en revanche, que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé physique ou psychique de l'assuré, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celle-ci. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte à la santé sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait, que l'administration ou, le cas échéant, le juge examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale. Ainsi, lorsque l'existence d'un rapport de cause à effet entre l'accident et le dommage paraît possible, mais qu'elle ne peut pas être qualifiée de probable dans le cas particulier, le droit à des prestations fondées sur l'accident assuré doit être nié (<ref-ruling> consid. 1, 118 V 289 consid. 1b et les références).
En matière de lésions au rachis cervical par accident de type « coup du lapin », de traumatisme analogue ou de traumatisme cranio-cérébral, sans preuve d'un déficit fonctionnel organique, l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'incapacité de travail ou de gain doit en principe être reconnue en présence d'un tableau clinique typique présentant de multiples plaintes (maux de tête diffus, vertiges, troubles de la concentration et de la mémoire, fatigabilité, dépression, etc.). Il faut cependant que, médicalement, les plaintes puissent de manière crédible être attribuées à une atteinte à la santé; celle-ci doit apparaître, avec un degré de vraisemblance prépondérante, comme la conséquence de l'accident (<ref-ruling> ss consid. 2, 117 V 360 s. consid. 4b).
3.2 En l'espèce, il est constant que le recourant a subi, lors de l'accident du 9 mars 1995, une lésion au rachis cervical par accident de type « coup du lapin ». Par ailleurs, il n'est pas contesté que l'intéressé souffrait encore, après le 31 juillet 2001, d'un syndrome douloureux (de la nuque et de la tête), associé à des vertiges, ainsi que de troubles de la concentration et de la mémoire, affections qui entraînent une incapacité de travail.
3.3 Tant l'intimée que la juridiction cantonale ont nié l'existence d'un lien de causalité naturelle entre les troubles précités et l'accident. Pour cela, elles se sont fondées en particulier sur les rapports d'expertise du professeur G._ et du docteur H._.
3.3.1 Le docteur G._ a attesté qu'en l'absence de signes objectifs d'atteinte neurologique focalisée, la symptomatologie présentée par le recourant, à savoir des cervicalgies droites et des hémicrânies à composante migraineuse avec, sur le plan général, une diminution de la thymie, ne peut plus être considérée comme d'origine post-traumatique cinq ans environ après l'accident de type « coup du lapin » (rapport du 19 juillet 2000).
De son côté, se fondant sur l'appréciation du docteur I._, le recourant soutient qu'il est atteint d'une lésion organique touchant le ligament transverse de la charnière cervico-occipitale. Il en déduit que le diagnostic de trouble somatoforme douloureux, posé par le docteur H._ notamment en raison de l'absence de trouble neurologie objectif, n'est pas fondé.
3.3.2 Le point de vue du recourant ne saurait être partagé. En effet, dans une communication qu'il a adressée au docteur F._, médecin traitant du recourant, le 18 septembre 2001, le docteur I._ a précisé ce qui suit :
« Le rapport de l'IRM de la charnière cervico-occipitale du 9 mai 2001, effectuée, selon le protocole d'usage dans toute recherche de lésion ligamentaire de cette région anatomique, en position neutre et lors de la déviation de la tête vers la droite et vers la gauche à angles d'inclinaison identiques, concluait, sans pouvoir l'affirmer mais tout en apportant des éléments objectifs en sa faveur, à une possible atteinte ligamentaire (...« ce qui évoque une atteinte »...) ».
Une telle atteinte ligamentaire n'étant de la sorte que suspectée et, au demeurant, son rôle éventuel dans l'étiologie des troubles affectant le recourant n'étant guère évoqué médicalement, les constatations du docteur I._ ne sont donc pas de nature à mettre en doute les conclusions du professeur G._, selon lesquelles aucune anomalie structurale ne permet d'expliquer la symptomatologie de l'intéressé.
3.4 En l'absence de preuve d'un déficit fonctionnel organique, il convient d'examiner si, médicalement, les plaintes peuvent de manière crédible être attribuées à une atteinte à la santé (cf. consid. 3.1).
A cet égard, le docteur H._ a constaté qu'une aggravation de la symptomatologie était apparue environ une année après l'accident, ensuite d'une période de chômage et de la reprise d'un nouveau travail. Indiquant que le cours habituel des processus post-traumatiques d'importance faible à moyenne va vers une régression progressive des symptômes, il est d'avis qu'une pathologie psychiatrique post-traumatique n'est pas impossible mais peu probable. L'expert pose le diagnostic de trouble somatoforme douloureux, sans trouble psychique associé, et considère qu'il n'y a pas de lien de causalité naturelle entre cette atteinte et l'accident du 9 mars 1995. Selon lui, il s'agit d'un processus inconscient qui doit être mis en relation avec une personnalité prémorbide et des facteurs contextuels (famille, travail notamment).
Bien qu'il relève que le rapport d'expertise précité ne contient pas de description de la personnalité prémorbide constatée, le recourant ne met pas en cause le diagnostic de trouble somatoforme douloureux. Cela étant, si l'on peut considérer que jusque-là la responsabilité de la CNA était engagée au regard de la jurisprudence en matière de lésions du rachis cervical par accident de type « coup du lapin » (<ref-ruling> s. consid. 2a, 117 V 360 consid. 4b), force est de constater qu'à la date de l'expertise du docteur H._, au plus tard, les plaintes mises en évidence par le professeur G._, à savoir des cervicalgies et des hémicrânies épisodiques à composante migraineuse, sont dues à un trouble somatoforme douloureux, qui, sur le vu des conclusions du docteur H._, n'apparaît pas, avec un degré de vraisemblance prépondérante, comme la conséquence de l'accident du 9 mars 1995. Dès lors, il n'est pas nécessaire d'ordonner un complément d'instruction, comme le demande le recourant.
Cela étant, il n'existe pas de lien de causalité naturelle entre les troubles persistant au-delà du 31 juillet 2001 et ledit accident, et le droit du recourant à des prestations de l'assurance-accidents après cette date doit être nié, sans qu'il soit nécessaire de trancher la question de la causalité adéquate. Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 2 décembre 2003
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
La Présidente de la IVe Chambre: Le Greffier: