Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Das Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, sprach X._ am 13. Dezember 2006 der Vernachlässigung von Unterhaltspflichten gemäss <ref-law>, begangen im Zeitraum vom 1. Januar bis 22. April 2004, schuldig und verurteilte ihn zu einer Woche Gefängnis, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren.
A. Das Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, sprach X._ am 13. Dezember 2006 der Vernachlässigung von Unterhaltspflichten gemäss <ref-law>, begangen im Zeitraum vom 1. Januar bis 22. April 2004, schuldig und verurteilte ihn zu einer Woche Gefängnis, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren.
B. X._ führt eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde, mit welcher er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern, II. Kammer, vom 13. Dezember 2006 sei aufzuheben, und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.
Das Obergericht des Kantons Luzern beantragt die Abweisung der Nichtigkeitsbeschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern und die Beschwerdegegnerin haben sich innert Frist nicht vernehmen lassen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das angefochtene Urteil ist vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.110) am 1. Januar 2007 ergangen. Auf das dagegen erhobene Rechtsmittel ist deshalb noch das bisherige Verfahrensrecht anwendbar (<ref-law>, e contrario), hier somit dasjenige der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde (Art. 268 ff. BStP).
Am 1. Januar 2007 ist auch der revidierte Allgemeine Teil des Strafgesetzbuches in Kraft getreten. Die neuen Bestimmungen sind hier aber noch nicht von Bedeutung, da das Bundesgericht im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde nur prüft, ob das kantonale Gericht das eidgenössische Recht richtig angewendet hat (Art. 269 Abs. 1 BStP), mithin das Recht, welches im Zeitpunkt der Ausfällung des angefochtenen Entscheids noch gegolten hat (<ref-ruling> E. 5.3 mit Hinweisen).
Am 1. Januar 2007 ist auch der revidierte Allgemeine Teil des Strafgesetzbuches in Kraft getreten. Die neuen Bestimmungen sind hier aber noch nicht von Bedeutung, da das Bundesgericht im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde nur prüft, ob das kantonale Gericht das eidgenössische Recht richtig angewendet hat (Art. 269 Abs. 1 BStP), mithin das Recht, welches im Zeitpunkt der Ausfällung des angefochtenen Entscheids noch gegolten hat (<ref-ruling> E. 5.3 mit Hinweisen).
2. 2.1 Der Schuldspruch basiert auf folgendem Sachverhalt:
Mit Urteil des Amtsgerichts Luzern-Land vom 28. November 1994 wurde die Ehe der Beschwerdegegnerin und des Beschwerdeführers geschieden und dieser zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen an die Beschwerdegegnerin sowie an die beiden gemeinsamen Kinder verpflichtet.
Der Beschwerdeführer ist von Beruf Versicherungskaufmann, hat eine Ausbildung zum Wirtschaftsberater absolviert und ist seit mehr als 20 Jahren als Unternehmensberater tätig. Im Jahr 1991 machte er sich als Versicherungs- und Finanzmakler selbständig und erwirtschaftete mit seiner Einzelunternehmung ein monatliches Einkommen von rund Fr. 25'000.--. Von 1995 bis Ende 2002 war der Beschwerdeführer als freier Berater bei der B._ GmbH mit einem garantierten Monatseinkommen von Fr. 25'000.-- bis Fr. 30'000.-- zuzüglich Spesen beschäftigt. Da die B._ GmbH seinen Ende 2002 auslaufenden Vertrag nicht mehr automatisch verlängerte, sondern ihn (bloss) zu neuen Vertragsverhandlungen einlud, machte sich der Beschwerdeführer Anfang 2003 (erneut) selbständig (angefochtenes Urteil S. 11 f.). Seither ist er als freier, organisatorisch unabhängiger Handelsvertreter auf reiner Provisionsbasis für die C._ GmbH tätig. Die Vorinstanz hat für den Kassationshof verbindlich festgestellt, dass der Beschwerdeführer unter Einbezug der verdeckten Privatbezüge im Jahr 2003 ein Einkommen von Fr. 6'148.-- pro Monat erzielte (angefochtenes Urteil S. 9).
Erstellt ist, dass der Beschwerdeführer seinen Unterhaltsverpflichtungen bis Ende 2003 vollumfänglich nachgekommen ist, in der Zeitspanne vom 1. Januar bis zum 22. April 2004 jedoch statt der geschuldeten rund Fr. 28'000.-- nur Fr. 1'747.50 an Unterhaltsbeiträgen bezahlt hat (angefochtenes Urteil S. 6).
2.2 Den Tatbestand von <ref-law> erfüllt, wer seine familienrechtlichen Unterhalts- oder Unterstützungspflichten nicht erfüllt, obschon er über die Mittel dazu verfügt oder verfügen könnte.
Die Vorinstanz sieht den objektiven Tatbestand von <ref-law> aus zwei Gründen als gegeben an: Einerseits habe der Beschwerdeführer im Februar und April 2004 über die nötigen Mittel verfügt, um in höherem Umfang Unterhaltszahlungen zu leisten, als er dies tatsächlich getan habe (angefochtenes Urteil S. 7 - 11; hierzu nachfolgend E. 3). Andererseits und vor allem aber sei es dem Beschwerdeführer möglich und zumutbar gewesen, vom 1. Januar bis zum 22. April 2004 eine andere, besser bezahlte Tätigkeit zu verrichten, um seinen finanziellen Verpflichtungen in höherem Masse nachkommen zu können (angefochtenes Urteil S. 11 - 15; hierzu nachfolgend E. 4).
Beruht der angefochtene Entscheid - wie vorliegend in Bezug auf die Monate Februar und April 2004 der Fall - auf zwei selbständigen Begründungen, so müssen beide angefochten werden. Der Entscheid ist nur vollumfänglich aufzuheben, wenn die Beurteilung des Rechtsmittels ergibt, dass beide Begründungen unzutreffend sind (<ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 2; Urteil 6P.141/2006 vom 28. Dezember 2006, E. 2.1; Erhard Schweri, Eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde in Strafsachen, Bern 1993, N. 443).
Beruht der angefochtene Entscheid - wie vorliegend in Bezug auf die Monate Februar und April 2004 der Fall - auf zwei selbständigen Begründungen, so müssen beide angefochten werden. Der Entscheid ist nur vollumfänglich aufzuheben, wenn die Beurteilung des Rechtsmittels ergibt, dass beide Begründungen unzutreffend sind (<ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 2; Urteil 6P.141/2006 vom 28. Dezember 2006, E. 2.1; Erhard Schweri, Eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde in Strafsachen, Bern 1993, N. 443).
3. 3.1 Die Vorinstanz hat vorab erwogen, der Beschwerdeführer sei an sich bereits im Jahr 2003 in Anbetracht seines Monatseinkommens von Fr. 6'148.-- und einem errechneten Notbedarf von monatlich Fr. 2'846.-- nicht mehr in der Lage gewesen, seine Unterhaltsverpflichtungen gegenüber der Beschwerdegegnerin von insgesamt Fr. 7'000.-- pro Monat zu begleichen. Dass er die Zahlungen trotzdem vollumfänglich habe entrichten können, sei der Unterstützung durch seine jetzige Lebenspartnerin zu verdanken (angefochtenes Urteil S. 9).
Betreffend die relevante Zeitspanne von Anfang Januar bis zum 22. April 2004, in welcher der Beschwerdeführer nur Fr. 1'747.50 der geschuldeten rund Fr. 28'000.-- bezahlt hat, hat die Vorinstanz nach einer eingehenden Prüfung der finanziellen Situation des Beschwerdeführers geschlossen, aus dessen selbständiger Erwerbstätigkeit habe sich im Januar ein Fehlbetrag von Fr. 4'566.--, im Februar ein Überschuss von Fr. 4'203.--, im März wiederum ein Fehlbetrag von Fr. 1'332.-- und im April 2004 schliesslich ein Überschuss von Fr. 2'640.-- ergeben. Folglich sei er in den Monaten Februar und April 2004 durchaus in der Lage gewesen, höhere Unterhaltszahlungen als die getätigten zu leisten, zumal insoweit sogar in seinen Notbedarf habe eingegriffen werden dürfen. Der Beschwerdeführer hätte sich - so hält die Vorinstanz weiter fest - mithin im gleichen Verhältnis wie die Beschwerdegegnerin einschränken müssen (angefochtenes Urteil S. 10). Im Ergebnis habe der Beschwerdeführer somit in den Monaten Februar und April 2004 den objektiven Tatbestand von <ref-law> erfüllt (angefochtenes Urteil S. 11).
3.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, basierend auf den von der Vorinstanz berechneten Zahlen ergebe sich in der massgeblichen Zeitspanne von Januar bis April 2004 ein Aktivenüberschuss von gesamthaft nur Fr. 945.-- ([Fr. 4'203.-- + Fr. 2'640.--] - [Fr. 4'566.-- + Fr. 1'332.--]). Trotzdem habe er Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'747.70 überwiesen und die Betriebskosten für den alleine von der Beschwerdegegnerin gefahrenen Personenwagen der Marke Mazda übernommen. In diesen vier Monaten habe er im Ergebnis einen erheblichen Eingriff in seinen Notbedarf erlitten. Es könne ihm deshalb auch nicht zum Vorwurf gemacht werden, dass er aus den Überschüssen der Monate Februar und April seinen rückständigen Notbedarf der Monate Januar und März gedeckt habe. Unabdingbare Voraussetzung für einen Eingriff in seinen Notbedarf wäre jedenfalls gewesen, dass die Vorinstanz abgeklärt hätte, ob und - gegebenenfalls - inwieweit die Beschwerdegegnerin in dieser Zeit selber unter den Notbedarf gefallen sei. Im Übrigen sei aber ohnehin die Gemeinde D._ in die Rechte der Beschwerdegegnerin eingetreten, so dass ein Eingriff in seinen Notbedarf per se unzulässig gewesen sei (Beschwerdeschrift S. 5).
3.3 Bei der Bestimmung der verfügbaren Mittel des Unterhaltspflichtigen ist analog zu <ref-law> vorzugehen. Bei veränderlichen, zeitweilig unter dem Existenzminimum bleibenden Einkünften ist dem Schuldner grundsätzlich Ausgleich aus den Überschüssen der anderen Perioden zu gewähren. Dies gilt jedoch nicht, wenn sich der Schuldner zur Entrichtung des Unterhaltsbeitrags einen Eingriff in seinen Notbedarf gefallen lassen muss (<ref-ruling> E. 3c). Dies ist der Fall bei Betreibungen, die Familienmitglieder für ihnen zustehende Unterhaltsforderungen einleiten, sofern ihr Einkommen mit Einschluss der Alimentenforderung zur Deckung des eigenen Notbedarfs nicht ausreicht (<ref-ruling> E. 2). Dabei ist der Eingriff so zu bemessen, dass sich der Schuldner und der Gläubiger in gleichem Verhältnis einschränken müssen (<ref-ruling> E. 3d; <ref-ruling> E. 2; Georges Vonder Mühll, in: Adrian Staehelin/Thomas Bauer/Daniel Staehelin, Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Basel/Genf/München 1998, <ref-law> N. 38; Kurt Amonn/Fridolin Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 7. Auflage, Bern 2003, § 23 N. 67). Tritt ein Gemeinwesen in die Rechte des Alimentengläubigers ein, ist der Eingriff in den Notbedarf des Schuldners hingegen nicht erlaubt, da sich jenes nie in einer dem Unterhaltsberechtigten vergleichbaren Notlage befindet (BGE <ref-ruling> E. 3).
Dem Unterhaltspflichtigen kann folglich auch strafrechtlich der mangelnde Eingriff in seinen Notbedarf nur angelastet werden, wenn dies zur Deckung des Notbedarfs des Unterhaltsgläubigers im gleichen Masse, wie er dem Schuldner verbleibt, unabdingbar gewesen wäre (vgl. Thomas Bosshard, Basler Kommentar StGB II, 2003, <ref-law> N. 6; Urs Broder, Delikte gegen die Familie, insbesondere Vernachlässigung von Unterhaltspflichten, ZStR 109/1992, S. 290 - 316, S. 307 f.; Jakob A. Müller, Die Vernachlässigung von Unterstützungspflichten im Sinne von Art. 217 StrGB, ZStR 82/1966, S. 254 - 299, S. 276).
Ist der Notbedarf des Unterhaltsgläubigers gedeckt, ist mit anderen Worten ein Eingriff in das Existenzminimum des unterhaltspflichtigen Schuldners unzulässig.
3.4 Vorliegend ist zwar - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - die Gemeinde D._ nicht in die Rechte der Beschwerdegegnerin eingetreten, weshalb ein Eingriff in den Notbedarf des Beschwerdeführers nicht per se ausgeschlossen gewesen ist.
Indessen hat es die Vorinstanz unterlassen, das Existenzminimum der Beschwerdegegnerin zu bestimmen, so dass nicht entschieden werden kann, ob und - gegebenenfalls - in welchem Umfang der Eingriff ins Existenzminimum des Beschwerdeführers zur Deckung des Notbedarfs der Beschwerdegegnerin erforderlich gewesen wäre. Obwohl zu vermuten ist, dass bei richterlich zugesprochenen Unterhaltsbeiträgen der Gläubiger auf diese angewiesen ist, ist doch eine Abklärung von Amtes wegen unabdingbar (Vonder Mühll, a.a.O., <ref-law> N. 39).
Demzufolge ist das angefochtene Urteil in diesem Punkt an sich gestützt auf Art. 277 BStP aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eine Aufhebung erübrigt sich jedoch, soweit die Eventualbegründung der Vorinstanz, wonach der Beschwerdeführer eine besser bezahlte Tätigkeit hätte verrichten können, zutreffen sollte (vgl. E. 4 hiernach).
Demzufolge ist das angefochtene Urteil in diesem Punkt an sich gestützt auf Art. 277 BStP aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eine Aufhebung erübrigt sich jedoch, soweit die Eventualbegründung der Vorinstanz, wonach der Beschwerdeführer eine besser bezahlte Tätigkeit hätte verrichten können, zutreffen sollte (vgl. E. 4 hiernach).
4. 4.1 Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer habe bereits nach wenigen Monaten realisieren müssen, dass seine selbständige Unternehmensberatertätigkeit "nicht lebensfähig" sei. In Anbetracht des ruinösen Geschäftsgangs seines Gewerbes wäre er deshalb spätestens im Herbst 2003 gehalten gewesen, eine berufliche Veränderung vorzunehmen. Namentlich hätte er versuchen müssen, entweder mit der C._ GmbH bessere Konditionen auszuhandeln oder mit seiner früheren Vertragspartnerin, der B._ GmbH, bzw. einem anderen Unternehmen einen finanziell lukrativeren Vertrag abzuschliessen (angefochtenes Urteil S. 13). Bei Scheitern dieser Bemühungen wäre es dem Beschwerdeführer nach Ansicht der Vorinstanz jedenfalls zumutbar gewesen, sich eine unselbständige Tätigkeit als Versicherungs- und Finanzmakler zu suchen. Bei intensiven Bemühungen und genügender Flexibilität hinsichtlich des Arbeitsorts wäre es ihm durchaus möglich gewesen, per 1. Januar 2004 eine entsprechende Anstellung zu einem Lohn von Fr. 8'500.-- netto pro Monat zu finden (angefochtenes Urteil S. 14).
4.2 Der Beschwerdeführer macht vorab geltend, bei der Beurteilung seiner Aussichten auf eine zumutbare, besser bezahlte Tätigkeit dürfe nicht vom heutigen Kenntnisstand ausgegangen werden; vielmehr sei zu prüfen, ob er aus damaliger Sicht richtig gehandelt habe (Beschwerdeschrift S. 6).
Daher sei zu berücksichtigen, dass er von 1991 bis 1995 bereits einmal sehr erfolgreich eine selbständige Erwerbstätigkeit ausgeübt und dadurch ein Monatseinkommen von Fr. 25'000.-- erzielt habe. Aufgrund dieser früheren Erfahrungen habe er damit rechnen dürfen, auch mit seiner im Januar 2003 aufgenommenen selbständigen Erwerbstätigkeit überdurchschnittliche Einkünfte generieren zu können. Indem die Vorinstanz ihm für die Etablierung dieses Geschäfts weniger als ein Jahr Zeit gewährt habe, verkenne sie, dass der Neuaufbau eines Kundenstamms regelmässig länger dauere. Von ihm zu verlangen, dass er seine selbständige Tätigkeit bereits nach wenigen Monaten wieder hätte aufgeben müssen, obwohl er dank der Unterstützung durch seine Lebenspartnerin seinen Unterhaltsverpflichtungen 2003 vollumfänglich nachgekommen sei, sei nicht haltbar (Beschwerdeschrift S. 6 f.).
Zudem seien die von der Vorinstanz aufgezeigten Alternativen nicht realistisch. So hätte es die C._ GmbH bei laufendem Vertrag abgelehnt, ihm bessere Konditionen einzuräumen. Ebenso wenig wäre die B._ GmbH bereit gewesen, mit ihm einen neuen Vertrag einzugehen, zumal er sich in der Zwischenzeit überdies mit deren Geschäftsführer zerstritten habe. Des Weiteren existierten in diesem Geschäftsbereich insgesamt nur fünf potentielle Vertragspartner, weshalb die Annahme der Vorinstanz, er hätte bei einem von diesen freiberuflich einsteigen können, auf blossen Vermutungen gründe. Unzutreffend sei schliesslich auch die Behauptung der Vorinstanz, er hätte ab Januar 2004 in einem Anstellungsverhältnis einen Nettolohn von Fr. 8'500.-- erzielen können (Beschwerdeschrift S. 7 f.).
4.3 <ref-law> erfasst auch jene Fälle, in welchen der Täter zwar einerseits nicht über ausreichende Mittel zur Pflichterfüllung verfügt, es anderseits aber unterlässt, ihm offen stehende und zumutbare Möglichkeiten zum Geldverdienen zu ergreifen (<ref-ruling> E. 3a).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung muss der Unterhaltspflichtige in einem Umfang einer entgeltlichen Tätigkeit nachgehen, dass er seine Unterhaltspflichten erfüllen kann. Der Pflichtige kann sich mithin auch dadurch strafbar machen, dass er aus eigenem Entschluss darauf verzichtet, seine Arbeitskraft im Rahmen des Zumutbaren optimal ökonomisch zu nutzen. Gegebenenfalls muss er sogar seine Stelle oder seinen Beruf wechseln, wobei diese Pflicht durch den generellen Gesichtspunkt der Zumutbarkeit begrenzt wird.
Das Recht auf freie berufliche Tätigkeit wird beschränkt durch die Pflicht des Unterhaltspflichtigen, für seine Familie aufzukommen. Ein selbständig Erwerbstätiger, dessen Geschäft sich als wirtschaftlich nicht einträglich erweist, ist deshalb gehalten, eine unselbständige Tätigkeit aufzunehmen. Ein gewichtiges Kriterium ist insoweit, wie sich die Marktlage bei selbständiger Tätigkeit darstellt; je erfolgversprechender der Markt ist, in dem der selbständig Erwerbende tätig ist, desto weniger ist es ihm zumutbar, die selbständige Tätigkeit aufzugeben. Dem selbständig Erwerbenden ist dabei eine gewisse Zeit zum Aufbau seines Geschäfts einzuräumen; allerdings darf diese Zeitspanne im Interesse der unterhaltsberechtigten Person nicht zu lange bemessen werden.
Von entscheidender Bedeutung ist letztlich, wie gross die Chancen eines Mehrverdiensts bei einem Berufs- oder Stellenwechsel sind. Erforderlich ist, dass bei einem Wechsel ernsthaft mit einem höheren Einkommen zu rechnen ist; je höher diese Mehrverdienstmöglichkeiten sind, desto eher ist auch der Wechsel zumutbar (<ref-ruling> E. 3a und b; vgl. zum Ganzen auch Bosshard, a.a.O., <ref-law> N. 7; Müller, a.a.O., S. 273 ff.; Günter Stratenwerth, Schweizerisches Strafrecht, Besonderer Teil II, 5. Auflage, Bern 2000, § 26 N. 31; Stefan Trechsel, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Kurzkommentar, 2. Auflage, Zürich 1997, Art. 217 N. 13 mit Hinweisen).
In einem Entscheid jüngeren Datums erachtete es das Bundesgericht namentlich nicht als unverhältnismässig, von einem in verschiedenen Stellen als Mechaniker, Plattenleger und Sanitärinstallateur tätig gewesenen Unterhaltspflichtigen, welcher sich selbstständig machte und monatlich Fr. 1'800.-- verdiente, spätestens nach zwei Jahren zu verlangen, eine unselbständige Arbeit mit einem mutmasslichen Monatseinkommen von Fr. 4'500.-- bis Fr. 6'000.-- anzunehmen (<ref-ruling> E. 3b).
4.4 Der Beschwerdeführer durfte demnach eine angemessene Zeit zum Aufbau seines Geschäfts in Anspruch nehmen. Daran ändert nichts, dass er bereits von 1991 bis 1995 selbständig erwerbstätig war und auch sonst über eine grosse Geschäftserfahrung verfügt. Die Vorinstanz hat denn auch ausdrücklich festgehalten, der Neuaufbau eines Unternehmens sei in den ersten Jahren häufig von erhöhten Schwierigkeiten geprägt; mit solchen sei auch der Beschwerdeführer konfrontiert gewesen, zumal er Anfang 2003 mit der Kundenakquisition bei Null habe beginnen müssen (angefochtenes Urteil S. 7 und S. 15).
Es ist notorisch, dass der Aufbau eines Kundenstamms mehr als nur ein paar Monate in Anspruch nimmt. Demzufolge kann der Auffassung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer hätte die Aussichtslosigkeit seines Unterfangens bereits nach wenigen Monaten erkennen und sich bereits im zweiten Halbjahr 2003 konkret um Alternativen bemühen müssen, nicht gefolgt werden. Im Übrigen ist die selbständige Erwerbstätigkeit des Beschwerdeführers 2003 entgegen den Ausführungen im angefochtenen Urteil nicht als "ruinös" zu bewerten, erwirtschaftete er doch mit Fr. 6'148.-- ein ansprechendes Monatseinkommen, auch wenn dieses verglichen mit seinen früheren Einkünften bescheiden erscheint.
Allerdings kann, wie dargelegt, dem selbständig Erwerbenden in all jenen Fällen nicht eine zu lange Zeitspanne zum Aufbau seines Geschäfts eingeräumt werden, in welchen dies den Interessen der unterhaltsberechtigten Person zuwiderliefe. Der Beschwerdeführer ist aber seinen Unterhaltsverpflichtungen während des Jahres 2003 dank der Unterstützung durch seine Lebensgefährtin unbestrittenermassen vollumfänglich nachgekommen, so dass die finanziellen Interessen der Beschwerdegegnerin bis 2004 nicht betroffen wurden.
Im Ergebnis kann jedoch letztlich offen gelassen werden, ob die Zumutbarkeit der Aufgabe der selbständigen Tätigkeit zu einem solch frühen Zeitpunkt vorliegend per se zu verneinen ist. Eine Bejahung der Zumutbarkeit würde jedenfalls voraussetzen, dass die Aussichten des Beschwerdeführers bei einem Berufs- oder Stellenwechsel, mehr als Fr. 6'148.-- monatlich zu verdienen, sehr konkret bzw. ernsthaft gewesen wären. Dies jedoch ist nicht der Fall (vgl. sogleich E. 4.5 und 4.6).
4.5 Der Beschwerdeführer wendet zu Recht ein, dass die Aussichten des Aushandelns vorteilhafterer Vertragsbedingungen mit der C._ GmbH bzw. eines neuen Vertrags mit der B._ GmbH oder einem anderen Unternehmen als unsicher einzustufen sind. Nicht einsichtig ist namentlich, worin das Interesse der C._ GmbH bestanden hätte, dem Beschwerdeführer trotz laufenden Vertrags deutlich bessere Konditionen einzuräumen. Die B._ GmbH auf der anderen Seite hat nach den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz den Vertrag mit dem Beschwerdeführer Ende 2002 bewusst nicht mehr (zu den gleichen Konditionen) verlängert und dem Beschwerdeführer offenbar auch keine konkrete neue Offerte unterbreitet. Es ist deshalb spekulativ anzunehmen, der Beschwerdeführer hätte allfällige Vertragsverhandlungen mit der B._ GmbH zu einem erfolgreichen Abschluss bringen können. Ferner sind auch die Chancen des Beschwerdeführers auf einen lukrativen Vertragsabschluss mit einem anderen Unternehmen bei einem solch eng begrenzten Markt von bloss fünf Anbietern (vgl. angefochtenes Urteil S. 13) als nicht sehr vielversprechend zu qualifizieren.
4.6 Entgegen der Auffassung der Vorinstanz muss es schliesslich zumindest als sehr zweifelhaft angesehen werden, dass es dem Beschwerdeführer tatsächlich möglich gewesen wäre, innert einer derart kurzen Zeitspanne von wenigen Monaten eine unselbständige Anstellung als Versicherungs- und Finanzmakler zu einem Monatslohn von Fr. 8'500.-- netto zu finden.
So hat die Vorinstanz selbst ausdrücklich festgestellt, es habe in diesem Wirtschaftszweig kein breit gestreutes Stellenangebot bestanden. Überdies wird im angefochtenen Urteil präzisiert, auch das Kundenpotenzial auf dem Schweizer Markt sei für den auf das Gebiet des deutschen Haftpflichtrechts spezialisierten Beschwerdeführer stark eingeschränkt gewesen (angefochtenes Urteil S. 13 f.).
Die Vorinstanz ist allerdings der Meinung, dass es für den Beschwerdeführer möglich und zumutbar gewesen wäre, innert nützlicher Frist das schweizerische Versicherungsrecht und die hiesigen Produkte zu studieren, um auch in der Schweiz Versicherungs- und Finanzberatungen anbieten zu können (angefochtenes Urteil S. 15).
Diese Argumentation vermag nicht zu überzeugen. Der Beschwerdeführer verfügte als selbständig Erwerbstätiger kaum über ausreichend zeitliche Ressourcen, um - wie von der Vorinstanz verlangt - sich innert weniger Monate vertieft in die komplexe Materie des schweizerischen Versicherungsrechts und der schweizerischen Produkte einarbeiten zu können. Es ist deshalb zumindest ungewiss, ob der über keinen schweizerischen Abschluss verfügende Beschwerdeführer tatsächlich bereits per 1. Januar 2004 eine Anstellung als Versicherungs- und Finanzmakler zu einem Monatslohn von Fr. 8'500.-- netto gefunden hätte.
In Anbetracht des familiären Umfelds des Beschwerdeführers, welcher mit seiner neuen Lebenspartnerin und dem gemeinsamen Sohn, der den Kindergarten besucht, in der Nähe von Aarau wohnt, kann zudem auch die von der Vorinstanz geforderte Flexibilität hinsichtlich des Arbeitsorts nicht dahin gehend interpretiert werden, dass es für den Beschwerdeführer zumutbar gewesen wäre, seine selbständige Tätigkeit zugunsten einer Anstellung (auf dem für ihn einfacheren Arbeitsmarkt) in Deutschland aufzugeben, zumal er diesfalls kaum mit einem Monatseinkommen von umgerechnet Fr. 8'500.-- hätte rechnen können.
Wenn die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdeführer wäre bei seiner Stellensuche "nicht chancenlos" gewesen (angefochtenes Urteil S. 15), so scheint sie letztlich selber davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer in der vorliegenden Situation nicht sehr ernsthaft mit einer Anstellung und einem entsprechenden Mehrverdienst rechnen konnte.
Wenn die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdeführer wäre bei seiner Stellensuche "nicht chancenlos" gewesen (angefochtenes Urteil S. 15), so scheint sie letztlich selber davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer in der vorliegenden Situation nicht sehr ernsthaft mit einer Anstellung und einem entsprechenden Mehrverdienst rechnen konnte.
5. Zusammenfassend ergibt sich folglich, dass der Beschwerdeführer in den Monaten Januar und März 2004 keine Vernachlässigung seiner Unterhaltspflichten begangen hat. Ob er den objektiven Tatbestand von <ref-law> in den Monaten Februar und April 2004 erfüllt hat, kann mangels ausreichender tatsächlicher Feststellungen im angefochtenen Urteil nicht entschieden werden (vgl. E. 3 hiervor).
Die Vorinstanz wird somit abzuklären haben, ob und - gegebenenfalls - in welchem Umfang der Eingriff ins Existenzminimum des Beschwerdeführers zur Deckung des Notbedarfs der Beschwerdegegnerin erforderlich gewesen wäre. Gleichzeitig wird sie zu prüfen haben, ob der Beschwerdeführer, soweit in seinen Notbedarf eingegriffen werden durfte, vorsätzlich gehandelt hat, mithin ob er insbesondere in Kenntnis der seine Leistungsfähigkeit begründenden Umstände seine Unterhaltspflicht willentlich nicht gehörig erfüllt hat (vgl. hierzu Bosshard, a.a.O., <ref-law> N. 21).
Die Vorinstanz wird somit abzuklären haben, ob und - gegebenenfalls - in welchem Umfang der Eingriff ins Existenzminimum des Beschwerdeführers zur Deckung des Notbedarfs der Beschwerdegegnerin erforderlich gewesen wäre. Gleichzeitig wird sie zu prüfen haben, ob der Beschwerdeführer, soweit in seinen Notbedarf eingegriffen werden durfte, vorsätzlich gehandelt hat, mithin ob er insbesondere in Kenntnis der seine Leistungsfähigkeit begründenden Umstände seine Unterhaltspflicht willentlich nicht gehörig erfüllt hat (vgl. hierzu Bosshard, a.a.O., <ref-law> N. 21).
6. Die Nichtigkeitsbeschwerde ist demnach - zum Teil im Verfahren nach Art. 277 BStP - gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben und ist der Vertreterin des Beschwerdeführers eine Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse auszurichten. Somit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Nichtigkeitsbeschwerde wird - zum Teil im Verfahren nach Art. 277 BStP - gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern, II. Kammer, vom 13. Dezember 2006 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
1. Die Nichtigkeitsbeschwerde wird - zum Teil im Verfahren nach Art. 277 BStP - gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern, II. Kammer, vom 13. Dezember 2006 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird als gegenstandslos am Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird als gegenstandslos am Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Der Vertreterin des Beschwerdeführers, Rechtsanwältin Christine Zemp Gsponer, wird eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
4. Der Vertreterin des Beschwerdeführers, Rechtsanwältin Christine Zemp Gsponer, wird eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juni 2007
Im Namen des Kassationshofes
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: