Sachverhalt:
A. Der 1960 geborene E._ war seit Anfang 2003 als Packereimitarbeiter bei der Firma X._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 21. Mai 2004 war er mit seinem Motorrad bei starkem Regen auf einer Hauptstrasse unterwegs, als ihm ein aus einer Nebenstrasse kommender Personenwagen den Weg abschnitt, worauf es zur Kollision kam. Der Versicherte wurde an der Unfallstelle bei erheblicher Dyspnoe vom Notarzt der Rega intubiert und anschliessend in die Klinik für Chirurgie, Spitalregion Y._, eingeliefert, wo gleichentags ein operativer Eingriff stattfand (Einlage Bülau-Drainage rechts). Am 23. Mai 2004 wurde er in das Spital Z._ verlegt, wo er bis am 9. Juni 2004 hospitalisiert blieb. Im Austrittsbericht vom 11. Juni 2004 diagnostiziert die Klinik ein Thoraxtrauma mit Rippenserienfraktur rechts, Rippenfraktur I und II links, Lungenkontusion rechts > links, Pneumothorax rechts, ausgedehntem Hautemphysem links thoraco-abdominal, Schultereckgelenkssprengung Typ Tossy IIl, Sensibilitätsstörung am rechten Vorderarm unklarer Ätiologie sowie multiplen Kontusionen an Hüfte rechts, OSG rechts, Vorfuss rechts. Ausserdem wird auf zwei metalldichte Fremdkörper radialseitig zwischen Phalanx Digitus manus III hingewiesen. Wegen fortbestehender Beschwerden im Bereich der rechten Schulter wurde am 18. August 2004 ein operativer Eingriff durchgeführt (offene AC-Revision mit Bothworth-Schraube). Nachdem es zu einem Ausriss der Schraube gekommen war, erfolgte am 31. August 2004 eine erneute Operation (Metallentfernung der Bothworth-Schraube, Reosteosynthese mit 6-Loch-Hakenplatte rechts). Am 10. November 2004 wurde die Metallentfernung vorgenommen.
Die SUVA richtete Leistungen in Form von Heilbehandlung und Taggeldern aus. Zudem zog sie verschiedene Berichte des Spitals Z._, Klinik für Orthopädie und Traumatologie, bei. Diese Klinik holte ein neurologisches Konsilium vom 14. Oktober 2004 (Spital Z._, Medizinische Klinik, Neurologie und klinische Neurophysiologie) und ein psychiatrisches Konsilium vom 12. November 2004 (Psychiatrische Dienste H._, Externer Psychiatrischer Dienst) ein. Vom 12. Januar bis 16. Februar 2005 hielt sich der Versicherte in der Klinik N._ auf (Austrittsbericht vom 1. März 2005). Im Rahmen dieses Aufenthalts wurden ein psychosomatisches Konsilium vom 18. Januar 2005 sowie ein Bericht des Spitals A._, Radiologisches Institut, vom 28. Januar 2005 eingeholt und ein weiterer operativer Eingriff vom 3. Februar 2005 (Infiltration subacromial Schulter rechts und AC-Gelenk rechts) vorgenommen. Die SUVA zog weitere Berichte der Klinik U._ vom 14. April 2005 und des Dr. med. S._, Facharzt für Allgemeinmedizin, vom 8. Juli 2005 bei. Ausserdem holte sie Stellungnahmen des Kreisarztes Dr. med. J._ vom 13. Juli 2005 und des Dr. med. K._, SUVA-Abteilung Versicherungsmedizin, vom 26. Juli 2005 ein. Ferner tätigte sie erwerbliche Abklärungen. Anschliessend teilte die Anstalt dem Versicherten mit, Taggeld und Heilkostenleistungen würden auf den 31. Januar 2006 eingestellt (Schreiben vom 4. Oktober 2005). Mit Verfügung vom 25. Oktober 2005 sprach die SUVA dem Versicherten ab 1. Februar 2006 eine Rente aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit von 10 % sowie eine Integritätsentschädigung von Fr. 5'340.-, entsprechend einer Integritätseinbusse von 5 %, zu. Zur Begründung wurde erklärt, der Invaliditätsgrad von 10 % ergebe sich aus den somatischen Befunden, während die überdies bestehenden psychogenen Störungen in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis vom 21. Mai 2004 stünden. An dieser Beurteilung wurde mit Einspracheentscheid vom 18. Mai 2006 festgehalten. Im Verlauf des Einspracheverfahrens liess der Versicherte Berichte des Dr. med. M._, Innere Medizin FMH, vom 9. Februar (mit Beilagen) und 12. März 2006 sowie des Spitals Z._, Medizinische Klinik, vom 21. März 2006 einreichen.
B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau im Sinne der Erwägungen teilweise gut. Es wies die Sache zur weiteren Abklärung und zum Neuentscheid an die SUVA zurück (Entscheid vom 6. Dezember 2006). In den Erwägungen hielt das Gericht fest, die psychische Fehlentwicklung sowie die daraus resultierende Arbeitsunfähigkeit stünden in einem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 21. Mai 2004. Während des Rechtsmittelverfahrens wurden weitere Berichte des Dr. med. B._, Psychiatrie und Psychotherapie, vom 6. Juni 2006 und des Spitals Z._, Medizinische Klinik, vom 22. September 2006 aufgelegt. Anlässlich der vom Gericht durchgeführten öffentlichen Verhandlung liess der Beschwerdeführer ausserdem einen Motorrad-Helm einreichen, welchen er beim Unfall getragen habe.
C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der kantonale Entscheid sei aufzuheben.
Der Versicherte und die Vorinstanz schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdegegner liess mit seiner Stellungnahme erneut den bereits der Vorinstanz vorgelegten Helm einreichen.

Erwägungen:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 1. Dezember 1943, OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395). Zuständig für die Behandlung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist das Bundesgericht.
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (<ref-law>) vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und Gesundheitsschaden im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 1 S. 337 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 181, 402 E. 4.3.1 S. 406, 119 V 335 E. 1 S. 337 mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zur überdies erforderlichen Adäquanz des Kausalzusammenhangs (vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 181, 402 E. 2.2 S. 405, 125 V 456 E. 5a S. 461 f. mit Hinweisen), insbesondere bei psychischen Fehlentwicklungen (<ref-ruling>). Darauf wird verwiesen.
3. Der Unfall vom 21. Mai 2004 hat gemäss dem Austrittsbericht der Klinik N._ vom 1. März 2005, auf welchem die Anspruchsbeurteilung durch die SUVA basiert, zu somatisch begründeten Beschwerden an der rechten Schulter (Impingement-Syndrom) geführt, welche während des hier zu prüfenden Zeitraums anhielten. Deshalb kann der Versicherte laut dem erwähnten Austrittsbericht seine frühere Tätigkeit als Packereimitarbeiter nicht mehr ausüben. Dagegen wären ihm bei Berücksichtigung einzig dieses Beschwerdebildes leichte, die rechte Schulter schonende Arbeiten ganztags, ohne Arbeiten über Brusthöhe und ohne grösseren Kraftaufwand mit dem rechten Arm zumutbar (mit höchstens Heben und Tragen selten beidhändig bis 10 kg, rechts nicht mehr als 5 kg bei günstigen Hebelarmen bis maximal zur Brusthöhe, nicht rein repetitiven Charakters). Die dadurch verursachte Erwerbsunfähigkeit wird durch die zugesprochene Rente von 10 %, die entsprechende Integritätseinbusse durch die Integritätsentschädigung von 5 % abgegolten. Insoweit ist der Einspracheentscheid vom 18. Mai 2006 unbestrittenermassen korrekt. Streitig und zu prüfen ist dagegen, ob die SUVA für die organisch nicht (hinreichend) nachweisbaren Folgen des Unfalls vom 21. Mai 2004 über den 31. Januar 2006 hinaus zusätzliche Leistungen zu erbringen hat. Im Einspracheentscheid wird dies verneint mit der Begründung, die über dieses Datum hinaus fortbestehenden, auf einer psychischen Fehlentwicklung beruhenden Beschwerden stünden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 21. Mai 2004. Das kantonale Gericht hat demgegenüber die Adäquanz des Kausalzusammenhangs bejaht.
4. 4.1 Bei der Beurteilung der Adäquanz organisch nicht (hinreichend) nachweisbarer Unfallfolgeschäden ist zunächst abzuklären, ob die versicherte Person beim Unfall ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule, eine dem Schleudertrauma äquivalente Verletzung (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2, U 183/93) oder ein Schädel-Hirntrauma erlitten hat. Ist dies nicht der Fall, gelangt die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> E. 6c/aa S. 140 zur Anwendung. Andernfalls richtet sich die Adäquanzbeurteilung - bezüglich der Gesundheitsschädigungen, welche in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfall stehen - grundsätzlich nach der mit <ref-ruling> (Schleudertrauma) respektive <ref-ruling> (Schädel-Hirntrauma) begründeten Praxis, sofern innerhalb einer Latenzzeit von höchstens 72 Stunden nach dem Unfall Kopf- und/oder Nackenbeschwerden aufgetreten sind (SVR 2007 UV Nr. 23 S. 75 E. 5, U 215/05) und sich in der Folge das von der Rechtsprechung als für derartige Verletzungen typisch bezeichnete "bunte" Beschwerdebild (<ref-ruling> E. 1 S. 338 oben [Schleudertrauma], 117 V 369 E. 4b S. 382 [Schädel-Hirntrauma]) in hinreichender Ausprägung manifestiert hat. Letztere Voraussetzung gilt auch beim Schädel-Hirntrauma (Urteil U 72/05 vom 11. Oktober 2005, E. 3.2).
4.2 Wie die Vorinstanz mit Recht festhält, erscheint es aufgrund des dokumentierten Unfallhergangs - auch unter Berücksichtigung der Spuren am als Beweismittel eingereichten Helm - als durchaus denkbar, dass der Beschwerdeführer von einem Schleudertrauma oder einem diesem gleichgestellten Verletzungsmechanismus (in Frage kommt insbesondere ein Schädel-Hirntrauma) betroffen war. Es fehlt jedoch an hinreichend dokumentierten Elementen des typischen Beschwerdebildes. Nach Lage der Akten wies der Versicherte schon während des Aufenthalts im Spital Z._ Ende Mai/Anfang Juni 2004 erstmals auf Hypästhesien im rechten Vorderarm hin. Im Austrittsbericht desselben Spitals vom 10. September 2004 (nach der Operation vom 31. August 2004) wird zudem vermerkt, der Patient habe "weiterhin bestehenden Schwindel seit dem Unfall" angegeben. Mehrere Monate später wurden zunächst Nacken- und in der Folge auch Kopfschmerzen erwähnt. Von einem hinreichend ausgewiesenen typischen Beschwerdebild im Sinne der dargelegten Rechtsprechung kann jedoch - auch wenn berücksichtigt wird, dass zunächst andere Verletzungen im Vordergrund standen - nicht gesprochen werden. Daher ist die Adäquanz des Kausalzusammenhangs, wie das kantonale Gericht festgehalten hat, nach Massgabe der mit <ref-ruling> ff. begründeten Praxis zu einer psychischen Fehlentwicklung zu prüfen.
5. 5.1 Über den Hergang des Unfalls vom 21. Mai 2004 ist den Akten zu entnehmen, dass der Versicherte um ca. 15.45 Uhr mit seinem Motorrad bei starkem Regen auf einer Hauptstrasse (signalisierte Höchstgeschwindigkeit 80 km/h) unterwegs war. Der Lenker eines aus einer nicht vortrittsberechtigten Nebenstrasse kommenden Personenwagens übersah den Beschwerdeführer und überquerte im Rahmen eines Linksabbiege-Manövers die Hauptstrasse. Der Versicherte leitete ein Bremsmanöver ein, konnte die Kollision aber nicht mehr verhindern und prallte mit einer Geschwindigkeit von ca. 60-70 km/h frontal in den hinteren seitlichen Teil des Autos. Er wurde auf die Strasse geschleudert und zog sich die eingangs erwähnten Verletzungen zu.
5.2 Im Rahmen der Adäquanzbeurteilung nach <ref-ruling> ff. hat eine Einteilung der Unfälle nach Massgabe ihrer Schwere stattzufinden. Diese erfolgt aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufs mit den sich dabei entwickelnden Kräften. Unberücksichtigt bleiben dagegen in diesem Zusammenhang die Folgen des Unfalls und Begleitumstände, die nicht direkt dem Unfallgeschehen zugeordnet werden können (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07). Die Rechtsprechung hat Unfallereignisse, deren äusserer Ablauf mit dem vorliegenden verglichen werden kann, regelmässig als mittelschwer qualifiziert, ohne sie dem Grenzbereich zu den schweren Unfällen zuzuordnen (vgl. Urteile U 343/06 vom 19. November 2007, E. 4.4; U 115/05 vom 14. September 2005, E. 2.4.1; U 415/00 vom 8. Februar 2001, E. 3a; RKUV 1995 Nr. U 221 S. 111, U 3/92). Dies hat - entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts - auch für das hier zu beurteilende Ereignis zu gelten. Dementsprechend ist die Adäquanz des Kausalzusammenhangs zu bejahen, wenn ein einzelnes der praxisgemäss relevanten Kriterien (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140) in besonders ausgeprägter Weise vorliegt oder mehrere Kriterien erfüllt sind (<ref-ruling> E. 6c/bb S. 141).
5.2 Im Rahmen der Adäquanzbeurteilung nach <ref-ruling> ff. hat eine Einteilung der Unfälle nach Massgabe ihrer Schwere stattzufinden. Diese erfolgt aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufs mit den sich dabei entwickelnden Kräften. Unberücksichtigt bleiben dagegen in diesem Zusammenhang die Folgen des Unfalls und Begleitumstände, die nicht direkt dem Unfallgeschehen zugeordnet werden können (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07). Die Rechtsprechung hat Unfallereignisse, deren äusserer Ablauf mit dem vorliegenden verglichen werden kann, regelmässig als mittelschwer qualifiziert, ohne sie dem Grenzbereich zu den schweren Unfällen zuzuordnen (vgl. Urteile U 343/06 vom 19. November 2007, E. 4.4; U 115/05 vom 14. September 2005, E. 2.4.1; U 415/00 vom 8. Februar 2001, E. 3a; RKUV 1995 Nr. U 221 S. 111, U 3/92). Dies hat - entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts - auch für das hier zu beurteilende Ereignis zu gelten. Dementsprechend ist die Adäquanz des Kausalzusammenhangs zu bejahen, wenn ein einzelnes der praxisgemäss relevanten Kriterien (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140) in besonders ausgeprägter Weise vorliegt oder mehrere Kriterien erfüllt sind (<ref-ruling> E. 6c/bb S. 141).
5.3 5.3.1 Das kantonale Gericht hat das Adäquanzkriterium der besonderen Eindrücklichkeit zu Recht bejaht. Über die mit einem derartigen Unfall generell verbundene Eindrücklichkeit hinaus fällt ins Gewicht, dass dem auf einer Hauptstrasse fahrenden Beschwerdeführer bei starkem Regen völlig unverhofft durch einen nicht vortrittsberechtigten Personenwagen der Weg abgeschnitten wurde, wobei er das Bevorstehen einer heftigen Kollision wahrnahm, aber keine Chance hatte, sie zu vermeiden. Das Merkmal ist aber nicht derart ausgeprägt erfüllt, dass es für sich allein genommen die Adäquanz zu begründen vermöchte.
5.3.2 Der Versicherte zog sich beim Unfall vom 21. Mai 2004 im Zusammenhang mit dem Thoraxtrauma erhebliche Verletzungen zu, welche sofortige, intensive medizinische Massnahmen erforderten. Sie konnten jedoch adäquat behandelt werden und hinterliessen - im Gegensatz zur ausserdem erlittenen, im ersten Moment weniger gravierenden Schulterverletzung - keine längerfristigen Folgen. Nach knapp dreiwöchigem Aufenthalt konnte der Beschwerdeführer das Spital in deutlich verbessertem Allgemeinzustand verlassen. Unter diesen Umständen kann nicht von einer Verletzung gesprochen werden, welche aufgrund ihrer Schwere in besonderer Weise geeignet wäre, eine psychische Fehlentwicklung von erheblicher Dauer und Intensität zu bewirken.
5.3.3 Das Kriterium der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung (dazu SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81 E. 8.3, U 479/05) ist nicht erfüllt: Die erheblichen Verletzungen im Zusammenhang mit dem erlittenen Thoraxtrauma konnten während der bis 9. Juni 2004 dauernden Hospitalisation erfolgreich angegangen werden. Der Patient wurde in deutlich gebessertem Allgemeinzustand sowie bei deutlich regredienter Beschwerdesymptomatik in die ambulante Weiterbehandlung entlassen. Anschliessend standen (infolge der überdies erlittenen Schultergelenkssprengung Typ Tossy III) Beschwerden im Bereich der rechten Schulter sowie des rechten Arms im Vordergrund. Diese werden ärztlicherseits als Impingement-Syndrom interpretiert. Die entsprechenden Behandlungen konnten, soweit die organisch nachweisbaren Befunde betreffend, mit der Metallentfernung im November 2004 grundsätzlich abgeschlossen werden und dauerten somit nicht ungewöhnlich lange. Die in der Folge unternommenen therapeutischen Bemühungen können im Rahmen des entsprechenden Kriteriums nicht berücksichtigt werden (vgl. SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81, E. 8.3, U 479/05).
5.3.4 Körperliche Dauerschmerzen, welche auf die organisch nachweisbaren, unfallkausalen Befunde zurückgingen, liegen nach Lage der Akten nicht vor. Insbesondere müssen die erst mehrere Monate nach dem Unfall erstmals angegebenen Nacken- und Kopfschmerzen den psychischen Anteilen zugerechnet werden, welche im Rahmen der Adäquanzprüfung nach <ref-ruling> ff. unberücksichtigt zu bleiben haben.
5.3.5 Das Vorliegen einer ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hätte, ist zu verneinen. Es trifft zwar zu, dass es zu einem Ausriss der anlässlich der Operation vom 18. August 2004 eingesetzten Bothworth-Schraube kam, welcher den erneuten operativen Eingriff vom 31. August 2004 (Reosteosynthese mit 6-Loch-Hakenplatte rechts) zur Folge hatte. Die Gründe für diesen Vorgang sind aber ungeklärt, wobei nach Lage der Akten eine erhebliche Gewalteinwirkung als Ursache im Vordergrund steht. Selbst wenn jedoch ein Fehler bei der ersten Operation (mit-)beteiligt gewesen sein sollte, wäre das Vorliegen des Kriteriums zu verneinen, denn die Unfallfolgen haben sich durch den notwendig gewordenen zweiten Eingriff nicht erheblich verschlimmert. Ebenso wenig ist erstellt, dass die im August 2004 vorgenommene Operation bereits früher angezeigt gewesen wäre.
5.3.6 Auf einen schwierigen Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen kann nicht bereits aus der Dauer der ärztlichen Behandlung und der geklagten Beschwerden geschlossen werden. Es bedarf dazu besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81 E. 8.5, U 479/05). Solche Gründe sind hier nicht gegeben.
5.3.7 Im Anschluss an den Unfall war der Beschwerdeführer zunächst vollständig arbeitsunfähig. Die nach den Operationen im August 2004 und (Metallentfernung) November 2004 verbleibenden organisch bedingten Beschwerden sind gemäss Beurteilung der Klinik N._ (Austrittsbericht vom 1. März 2005) im Rahmen eines Impingement-Syndroms zu interpretieren. Dieses stellt eine Folge des Unfalls dar und begründet eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % im angestammten, körperlich schweren Beruf als Packereimitarbeiter, lässt aber die Ausübung einer angepassten Tätigkeit im Rahmen einer vollen Arbeitsfähigkeit zu. Mit Blick auf den von der Rechtsprechung entwickelten Massstab (RKUV 2001 Nr. U 442 S. 544 ff., U 56/00) hat das Kriterium der nach Grad und Dauer erheblichen Arbeitsunfähigkeit als nicht erfüllt zu gelten.
5.4 Nach dem Gesagten ist eines der Adäquanzkriterien erfüllt, während die übrigen nicht vorliegen. Dies führt zur Verneinung der Adäquanz des Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis vom 21. Mai 2004 und den über den 31. Januar 2006 hinaus fortbestehenden, organisch nicht (hinreichend) nachweisbaren Unfallfolgeschäden. Die SUVA hat es somit im Einspracheentscheid vom 18. Mai 2006 mit Recht abgelehnt, entsprechende Leistungen zu erbringen. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist daher gutzuheissen.
6. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 6. Dezember 2006 aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. März 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger