Sachverhalt:
Mit Verfügung vom 24. Februar 2007 sprach die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) dem 1964 geborenen J._ für die Folgen des am 20. Mai 2003 erlittenen Unfalls ab 1. Februar 2006 eine Invalidenrente bei einer Erwerbseinbusse von 28 % sowie eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 10 % zu. Eine dagegen erhobene Einsprache wies die SUVA ab (Entscheid vom 26. Juni 2008).
Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 19. Februar 2010 ab.
J._ lässt Beschwerde führen und beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihm eine Unfallrente von 40 % und eine Integritätsentschädigung von 20 % zuzusprechen.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>); indessen prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (nicht publ. E. 1.1 des Urteils <ref-ruling>, aber in SVR 2010 UV Nr. 2 S. 7 [8C_784/2008]).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob der Versicherte ab 1. Februar 2006 Anspruch auf eine höhere Invalidenrente und Integritätsentschädigung hat. In diesem Rahmen ist zur Hauptsache umstritten, ob seine psychischen Beschwerden adäquat kausal auf den Unfall vom 20. Mai 2003 zurückzuführen sind.
2.1 Die Vorinstanz hat die für die Beurteilung der Ansprüche auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung der Unfallversicherung massgeblichen rechtlichen Grundlagen sowie die diesbezügliche Rechtsprechung unter Hinweis auf die eingehenden Ausführungen der Beschwerdegegnerin zutreffend dargelegt. Es wird darauf verwiesen (<ref-law>).
2.2 Das kantonale Gericht hat sodann nach Auseinandersetzung mit den Parteivorbringen und in Würdigung der im Recht gelegenen und eingeholten Arztberichte eingehend und zutreffend dargelegt, weshalb die beim Beschwerdeführer im Vordergrund stehenden psychischen Beeinträchtigungen nicht adäquat kausal auf den Unfall vom 20. Mai 2003 zurückzuführen sind. Mit diesen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Daher gibt die mit Verfügung vom 24. Februar 2007 bzw. Einspracheentscheid vom 26. Juni 2008 erfolgte Zusprechung einer Invalidenrente von 28 % sowie einer Integritätsentschädigung von 10 % - nach einem von der Beschwerdegegnerin vorgenommenen und unbestritten gebliebenen Einkommensvergleich sowie einer ebenfalls unbestritten gebliebenen Bemessung des Integritätsschadens - zu keiner Beanstandung Anlass. Zwischen den übrigen vom Versicherten sinngemäss angeführten Befunden (wie dem panvertebralen Syndrom, den Bein- und Oberbauch- sowie Schulter-, Nacken- und Gesichtsschmerzen sowie allenfalls weiteren Beeinträchtigungen) und dem Unfall vom 20. Mai 2003 ist - im Gegensatz zu den von der SUVA anerkannten Restbeschwerden an linker Hand und Arm - kein natürlicher Kausalzusammenhang gegeben. Gegen diese in allen Teilen überzeugenden Erwägungen des kantonalen Gerichts bringt der Beschwerdeführer nichts vor, was zu einer vom angefochtenen vorinstanzlichen Entscheid abweichenden Betrachtungsweise Anlass geben könnte. Es muss demnach bei den zutreffenden Erwägungen des kantonalen Sozialversicherungsgerichts sein Bewenden haben, denen das Bundesgericht nichts beizufügen hat.
3. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird ohne Durchführung eines Schriftenwechsels erledigt (<ref-law>). Der unterliegende Versicherte trägt die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Mai 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz