Sachverhalt:
A. X._ reiste am 2. Dezember 2008 in die Schweiz ein und stellte am nächsten Tag in Vallorbe ein Asylgesuch. Das Bundesamt für Migration trat auf das Gesuch mit Entscheid vom 25. Februar 2009 nicht ein und verfügte die Wegweisung. X._ wurde dieser Entscheid am 27. Februar 2009 eröffnet. Seinen dagegen erhobenen Rekurs wies das Bundesverwaltungsgericht am 12. März 2009 ab. X._ wurde mit diesem Urteil aufgefordert, die Schweiz unverzüglich zu verlassen. Am 3. September 2009 wurde X._ in Bern polizeilich angehalten.
B. Am 10. Dezember 2009 sprach der a.o. Gerichtspräsident des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen X._ wegen Widerhandlung gegen Art. 115 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG), begangen in der Zeit vom 13. März bis 10. Dezember 2009 in Bern, Freiburg, Neuenburg und anderswo, schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 70 Tagessätzen à Fr. 10.-- bei einer Probezeit von 2 Jahren und zu einer Verbindungsbusse von Fr. 100.-- (Ersatzfreiheitsstrafe von 10 Tagen).
C. X._ erklärte dagegen die Appellation. Das Obergericht des Kantons Bern bestätigte am 2. Februar 2010 das erstinstanzliche Urteil.
D. Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt X._ die Aufhebung des Urteils des Obergerichts des Kantons Bern und seine Freisprechung von der Anschuldigung der Widerhandlung gegen das AuG, angeblich begangen in der Zeit vom 13. März bis 10. Dezember 2009 in Bern, Freiburg, Neuenburg und anderswo.
E. Die Generalprokuratur des Kantons Bern verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Bern stellt in seiner Vernehmlassung vom 21. September 2010 keinen ausdrücklichen Antrag. Es verweist im Wesentlichen auf die Ausführungen im angefochtenen Urteil.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdeführer halte sich seit dem 13. März 2009, d.h. seit der mit dem Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts rechtskräftigen Wegweisungsverfügung, ohne Aufenthaltsbewilligung und damit illegal in der Schweiz auf. Er habe zu keiner Zeit über gültige Reisepapiere verfügt. Das AuG stelle zwar die illegale Ausreise bzw. Einreise in ein Drittland unter Strafe. Der Beschwerdeführer sei indessen anfangs März 2009, vor der Eröffnung des massgeblichen Bundesverwaltungsgerichtsentscheid, untergetaucht. Dadurch habe er sich jeglicher Mithilfe entzogen, obschon er sich mit den zuständigen Behörden in seinem Heimatland oder mit den schweizerischen Migrationsbehörden ohne weiteres in Verbindung hätte setzen können und auch bei der Papierbeschaffung hätte mitwirken müssen. Eine Kontaktnahme mit den Behörden wäre problemlos möglich gewesen. Der erstinstanzliche Schuldspruch wegen rechtswidrigen Verweilens im Sinne von Art. 115 Abs. 1 lit. b AUG sei deshalb zu bestätigen.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer kritisiert seine Verurteilung in verschiedener Hinsicht. Er bemängelt vorab die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung. Es könne keine Rede davon sein, dass er vor dem 12. März 2009 bzw. vor Eröffnung des Entscheids des Bundesverwaltungsgerichts "untergetaucht" sei. Sein Aufenthaltsort sei den Behörden immer bekannt gewesen, und sie hätten ihn stets kontaktieren können.
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung zugrunde (<ref-law>), welche nur angefochten werden kann, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>, vgl. auch <ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet willkürlich. Willkür (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 5.4; <ref-ruling> E. 1.4.1) muss anhand des angefochtenen Entscheids präzise dargelegt werden. Auf appellatorische Kritik ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 3).
2.3 Der Vorwurf der aktenwidrigen und damit offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung geht fehl. So lässt sich den Akten entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers weder entnehmen, dass er sich zum Zeitpunkt der Eröffnung des Entscheids des Bundesverwaltungsgericht regelmässig im Durchgangszentrum Brunnmatt aufhielt, noch ergibt sich daraus, dass ihm der fragliche Entscheid dort zugestellt wurde bzw. er ihn dort erhielt. Aus den Akten geht jedoch unmissverständlich hervor, dass die Migrationsdienste des Kantons Bern den Beschwerdeführer seit dem 11. März 2009 als "verschwunden" vermerkten (kantonale Akten, act. 28, "disparu depuis le 11.03.2009"). Zudem ergibt sich aus seinen eigenen Aussagen anlässlich der Hauptverhandlung vor erster Instanz am 10. Dezember 2009, dass er in der Schweiz über keine feste Unterkunft mehr verfügt und häufig bei Freunden in Neuenburg oder Freiburg übernachtet (kantonale Akten, act. 82). Es ist deshalb nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz annimmt, der Beschwerdeführer sei anfangs März 2009 bzw. vor Eröffnung des Bundesverwaltungsgerichtsentscheids "untergetaucht". An dieser Beurteilung vermag nichts zu ändern, dass der Beschwerdeführer seit dem 25. September 2009 beim Rechtsanwalt, der die vorliegende Beschwerde unterzeichnet hat, Domizil verzeigt. Denn auch daraus ergibt sich nicht, wo er sich tatsächlich aufhält. Sein Einwand, die Behörden hätten ihn - im Wissen um seinen Aufenthaltsort - stets kontaktieren können, trifft mithin nicht zu. Von einer aktenwidrigen bzw. willkürlichen Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz kann nicht die Rede sein.
3. 3.1 Nach dem Dafürhalten des Beschwerdeführers ist sein Verweilen in der Schweiz nicht rechtswidrig. Er räumt zwar ein, sich vom 13. März bis 10. Dezember 2009 ohne Erlaubnis in der Schweiz aufgehalten zu haben und zur Ausreise verpflichtet gewesen zu sein. Dennoch könne ihm der Verbleib in der Schweiz nicht im Sinne von Art. 115 Abs. 1 lit. b AuG zur Last gelegt werden, weil das Gesetz die illegale Ausreise aus der Schweiz bzw. die nicht rechtmässige Einreise in ein Drittland unter Strafe stelle (Art. 115 Abs. 2 AuG). Da er über keine gültigen Ausweispapiere verfügt habe, d.h. weder er noch die schweizerischen Behörden je solche in der fraglichen Zeit beschafft hätten, habe er die Schweiz auf legalem Weg nicht verlassen können. Wer aber so handle, wie es das Gesetz gebiete, verhalte sich gemäss <ref-law> rechtmässig. Seine Anwesenheit in der Schweiz sei deshalb trotz fehlender Aufenthaltsbewilligung nicht strafbar. Dass er sich keine Papiere beschafft habe bzw. lediglich untätig geblieben sei, begründe keine Strafbarkeit nach Art. 115 Abs. 1 lit. b AuG, sondern allenfalls eine solche wegen Verstosses gegen die ihm obliegende Mitwirkungspflicht bei der Papierbeschaffung im Sinne von Art. 120 Abs. 1 lit. e AuG. Diesbezüglich liege aber weder eine Anzeige noch eine Überweisung vor. Im Übrigen habe ihm ohnehin die Tatmacht gefehlt, sich in der Schweiz Papiere zu beschaffen, da er solche nur im Ausland - bei der Botschaft in Paris oder in seinem Herkunftsland - hätte erhältlich machen können.
3.2 3.2.1 Wer sich rechtswidrig, namentlich nach Ablauf des bewilligungsfreien oder des bewilligten Aufenthalts, in der Schweiz aufhält, wird mit Freiheitsstrafe bis zu einem Jahr oder mit Geldstrafe bestraft (Art. 115 Abs. 1 lit. b AuG). Die Rechtswidrigkeit ergibt sich aus der Pflicht zur Bewilligung des Aufenthalts nach Art. 10 ff. AuG. In der Schweiz verweilt daher rechtmässig, wer entweder durch gesetzliche Vorschrift oder durch eine individuelle Bewilligung aufenthaltsberechtigt ist. Wer ein Asylgesuch gestellt hat, darf sich bis zum rechtskräftigen Verfahrensabschluss in der Schweiz aufhalten (<ref-law>, "gesetzliches Anwesenheitsrecht des Asylbewerbers"). Mit dem definitiven Wegweisungsentscheid und dem Ablauf der Ausreisefrist besteht keine Aufenthaltsberechtigung mehr (RUEDI ILLES/NINA SCHREPFER/JÜRG SCHERTENLEIB, Schweizerische Flüchtlingshilfe SFH [Hrsg.], Handbuch zum Asyl- und Wegweisungsverfahren, 2009, S. 310).
3.2.2 Für die Strafbarkeit des Verweilens nach 115 Abs. 1 lit. b AuG muss in jedem Fall vorausgesetzt werden, dass es der betroffenen ausländischen Person - etwa aufgrund einer Weigerung des Heimatlands, Staatsangehörige zurückzunehmen oder Ausweispapiere auszustellen (vgl. 130 II 56 E. 4.1.3; <ref-ruling> E. 2) - objektiv nicht unmöglich ist, legal aus der Schweiz auszureisen bzw. rechtmässig in das Heimatland zurückzukehren. Andernfalls kann ihr der Normverstoss nicht zur Last gelegt werden bzw. darf sie wegen rechtswidrigen Aufenthalts nicht bestraft werden. Denn das strafrechtliche Schuldprinzip setzt die Freiheit voraus, anders handeln zu können (vgl. Urteil des Bundesgerichts 6B_85/2007 vom 3. Juli 2007; insoweit zustimmend LUZIA VETTERLI/GABRIELLA D'ADDARIO DI PAOLO, in: Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, Handkommentar (SHK), Bern 2010, Vorb. Art. 115-120 N. 19; siehe auch ANDREAS ZÜND, in: Migrationsrecht, Kommentar, Zürich 2008, Art. 115 N. 6). Von der betroffenen ausländischen Person kann keine illegale Ausreise in ein Drittland verlangt werden (vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 4.2.2).
3.2.3 Strafbarkeit im Sinne von Art. 115 Abs. 1 lit. b AuG ist aber gegeben, wenn die freiwillige Rückkehr in den Heimatstaat grundsätzlich möglich ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.3 und 4.2.3). Das ist der Fall, wenn eine legale Ausreise nicht an äusseren Umständen scheitert, die ausserhalb der Einflussmöglichkeiten der zur Mitwirkung verpflichteten, rechtskräftig weggewiesenen Person und der zuständigen Behörden liegen, sondern eine solche nur deshalb nicht zustande kommt, weil die betroffene ausländische Person die Schweiz nicht verlassen will und die rechtmässige Rückkehr in das Heimatland bzw. eine legale Ausreise aus der Schweiz vereitelt. Dies, indem sie zum Beispiel untertaucht und keine Papiere beschafft bzw. den Behörden die insoweit mögliche und zumutbare Mithilfe versagt. Unter diesen Umständen, wenn also kein Fall objektiver Unmöglichkeit vorliegt und deswegen auch eine vorläufige Aufnahme im Sinne von Art. 83 ff. AuG ausser Betracht fällt, kann die Ausländerin oder der Ausländer das Verbleiben in der Schweiz nicht damit rechtfertigen, dass das Gesetz die illegale Ausreise in Art. 115 Abs. 2 AuG unter Strafe stellt. Diese Strafnorm bietet insoweit keine Rechtsgrundlage, um rechtmässig in der Schweiz bleiben zu können. Die betroffene Person kann daraus mit Bezug auf die Frage der Vorwerfbarkeit des rechtswidrigen Aufenthalts folglich nichts für sich ableiten, sofern sie eine legale Ausreise durch ihr eigenes Verhalten "verunmöglicht". Der Aufenthalt in der Schweiz ist bzw. bleibt in einem solchen Fall rechtswidrig.
3.3 Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer nach der rechtskräftig gewordenen Wegweisungsverfügung in der Schweiz verblieben ist und sich mithin seit dem 13. März 2009 (bis zum 10. Dezember 2009) ohne Aufenthaltstitel in der Schweiz aufhält. Nach den willkürfreien Feststellungen der Vorinstanz tauchte er kurz vor Eröffnung des Entscheids des Bundesverwaltungsgerichts unter (vgl. hierzu E. 2.3). Dadurch hat er - worauf die Vorinstanz zu Recht verweist - jegliche Kontaktnahme mit den zuständigen Behörden verunmöglicht und jegliche Mithilfe zur Papierbeschaffung vereitelt.
Dass es dem Beschwerdeführer objektiv unmöglich (gewesen) sein soll, legal aus der Schweiz auszureisen bzw. rechtmässig in sein Heimatland zurückzukehren, wird im angefochtenen Entscheid nicht festgestellt. Die Vorinstanz führt insoweit vielmehr aus, dass sich der Beschwerdeführer - zum Zwecke der Papierbeschaffung im Hinblick auf eine legale Ausreise - problemlos mit der zuständigen Behörde seines Heimatlands oder zumindest mit den schweizerischen Migrationsbehörden in Verbindung hätte setzen können, wobei auch eine telefonische Kontaktnahme oder eine solche über einen Mittelsmann vorerst möglich gewesen wäre. Sie bringt damit zum Ausdruck, dass gültige Ausweis- oder Reisepapiere jedenfalls hätten erhältlich gemacht werden können (vgl. hierzu auch das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 12. März 2009 [act. 29 ff.], S. 38 Ziff. 5.6, worin ein Anwendungsfall von Art. 83 Abs. 2 AuG ausgeschlossen wird). Davon geht im Ergebnis auch der Beschwerdeführer aus, wenn er darlegt, eine Ausreise wäre ihm möglich gewesen, sofern ihm die schweizerischen Behörden ein Reisepapier beschafft hätten, das ihm (wenigstens) den einmaligen Transfer zur zuständigen Botschaft in Paris oder in sein Heimatland erlaubt hätte (Beschwerde, S. 8). Anzufügen bleibt, dass die in Bern ansässige Botschaft der Elfenbeinküste dem Beschwerdeführer offenbar zwar keinen Pass, wohl aber ein sogenanntes "Laissez-passer" zur Ausreise in den Heimatstaat hätte ausstellen können.
Ausgehend hievon und angesichts dessen, dass der Beschwerdeführer untertauchte, dadurch jegliche Kontaktaufnahme mit den Behörden verhinderte und die grundsätzlich mögliche Papierbeschaffung vereitelte, zielt nicht nur der Einwand seiner angeblich fehlenden Handlungsmöglichkeit in Bezug auf die Beschaffung von gültigen Reisepapieren ins Leere, sondern geht auch sein Vorbringen, wonach ihm sein Verbleib in der Schweiz strafrechtlich nicht vorgeworfen werden könne, weil er mangels gültiger Reisepapiere nicht legal habe ausreisen können, und sein Hinweis auf <ref-law> an der Sache vorbei. Im Übrigen bleibt darauf hinzuweisen, dass nach den unangefochten gebliebenen Feststellungen der Vorinstanz auch keine neue Tatsachen bekannt oder geltend gemacht worden sind, die eine andere Beurteilung in Bezug auf die Gefahrenlage für den Beschwerdeführer bei einer Rückkehr in die Heimat erforderlich gemacht hätten. Der Schuldspruch wegen illegalen Aufenthalts im Sinne von Art. 115 Abs. 1 lit. b AuG ist damit nicht zu beanstanden.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann gutgeheissen werden. Die Rechtsbegehren waren nicht von vornherein aussichtslos, da das Verhältnis zwischen dem rechtswidrigen Verbleiben in der Schweiz und der Mitwirkungspflicht der betroffenen ausländischen Person nicht auf der Hand liegt. Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>) und der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist aus der Bundesgerichtskasse angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dem Vertreter des Beschwerdeführers, Fürsprecher Dr. Willi Egloff, wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Arquint Hill