Sachverhalt:
A. Die Untersuchungsrichterin 8 des Untersuchungsrichteramtes III Bern-Mittelland führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen sexuellen Handlungen mit Kindern und Pornographie. Er wurde am 28. Dezember 2009 in Untersuchungshaft versetzt. Am 23. Februar 2010 stellte der Angeschuldigte ein Haftentlassungsgesuch, welches der Haftrichter 6a des Haftgerichtes III Bern-Mittelland am 4. März 2010 abwies.
B. Gegen den haftrichterlichen Entscheid vom 4. März 2010 gelangte X._ mit Beschwerde vom 31. März (Posteingang: 6. April) 2010 an das Bundesgericht. Er beantragt seine Haftentlassung, eventualiter unter Anordnung von Ersatzmassnahmen.
Das Untersuchungsrichteramt, die Staatsanwaltschaft und der kantonale Haftrichter beantragen je die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer replizierte am 17. April 2010.

Erwägungen:
1. Die Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass.
2. Nach bernischem Strafverfahrensrecht kann Untersuchungshaft angeordnet und fortgesetzt werden, wenn die angeschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und zudem ein besonderer Haftgrund erfüllt ist, namentlich Wiederholungsgefahr (Art. 176 Abs. 2 StrV/BE). Diese liegt vor, wenn ernsthafte Gründe zur Annahme bestehen, die angeschuldigte Person werde weitere Verbrechen oder Vergehen begehen, wenn sie während der Dauer des Verfahrens dies bereits mindestens einmal getan hat (Art. 176 Abs. 2 Ziff. 3 StrV/BE), oder sie werde weitere Verbrechen begehen und dadurch die körperliche oder sexuelle Integrität anderer in schwerwiegender Weise gefährden (Art. 176 Abs. 2 Ziff. 4 StrV/BE).
Der Beschwerdeführer bestreitet den dringenden Tatverdacht von Verbrechen oder Vergehen nicht. Er wendet sich jedoch gegen die Annahme von Wiederholungsgefahr und verlangt seine Haftentlassung (eventualiter gegen Ersatzmassnahmen).
3. Nach der Praxis des Bundesgerichtes kann die Anordnung von Haft wegen Fortsetzungsgefahr dem strafprozessualen Ziel der Beschleunigung dienen, indem verhindert wird, dass sich das Verfahren durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht. Auch die Wahrung des Interesses an der Verhütung weiterer Delikte ist nicht verfassungs- und grundrechtswidrig. Vielmehr anerkennt Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK ausdrücklich die Notwendigkeit, Angeschuldigte an der Begehung strafbarer Handlungen zu hindern, somit Spezialprävention, als Haftgrund (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
Bei der Annahme, dass der Angeschuldigte weitere Verbrechen oder erhebliche Vergehen begehen könnte, ist allerdings Zurückhaltung geboten. Da Präventivhaft einen schwerwiegenden Eingriff in das Recht der persönlichen Freiheit darstellt, muss sie auf einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage beruhen, im öffentlichen Interesse liegen und verhältnismässig sein. Die Aufrechterhaltung von strafprozessualer Haft wegen Fortsetzungsgefahr ist verhältnismässig, wenn einerseits die Rückfallprognose sehr ungünstig und anderseits die zu befürchtenden Delikte von schwerer Natur sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen. Schliesslich gilt auch bei der Präventivhaft - wie bei den übrigen Haftarten - dass sie nur als "ultima ratio" angeordnet oder aufrecht erhalten werden darf. Wo sie durch mildere Massnahmen ersetzt werden kann, muss von der Anordnung oder Fortdauer der Haft abgesehen und an ihrer Stelle eine dieser Ersatzmassnahmen verfügt werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 73 mit Hinweisen).
Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen der Ablehnung eines Haftentlassungsgesuches erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung des kantonalen Prozessrechtes frei. Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 73 f.).
4. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz gehe zu Unrecht von einer sehr ungünstigen Rückfallprognose bezüglich schwerwiegenden Delikten aus. Zwar treffe es zu, dass er auch nach Einleitung von Untersuchungsmassnahmen seine Straftaten zum Nachteil eines der betroffenen Kinder fortgesetzt habe. Dabei habe es sich jedoch "nicht um neue Delinquenz" gehandelt. Die Vorinstanz lege das psychiatrische Gutachten falsch aus, indem sie von einer Rückfallgefahr erheblicher Schwere spreche. Die Gutachterin beziehe die erhebliche Schwere auf die Abweichung des Beschwerdeführers vom Sexualverhalten und nicht auf die Frage der Rückfallgefahr. Er, der Beschwerdeführer, habe keine Gewalt angewendet, und eine solche sei laut Gutachten auch künftig nicht zu erwarten. Sein Leben sei nicht durch Pädophilie dominiert, und er leide auch nicht an plötzlichen Impulsdurchbrüchen oder Kontrollverlusten. Die Aufrechterhaltung der Untersuchungshaft verletze <ref-law>.
Die Argumentation des Beschwerdeführers geht an den Erwägungen der Vorinstanz grossteils vorbei. Im psychiatrischen Gutachten vom 15. Februar 2010 des Forensich-Psychiatrischen Dienstes der Universität Bern wird das Rückfallrisiko für erneute pädosexuelle Handlungen (ohne Gewaltanwendung) als "eher hoch" eingestuft. Es kann offen bleiben, ob das mit der Replik nachgereichte Ergänzungsgutachten vom 12. April 2010 ein zulässiges Novum darstellt (vgl. <ref-law>). Die Gutachterin bleibt jedenfalls im Wesentlichen bei ihrer Risikoeinschätzung. Aus den Akten ergibt sich zudem, dass der Beschwerdeführer am 17. April 2009 aufgrund der Anzeige eines mutmasslichen Opfers polizeilich befragt und dass eine Hausdurchsuchung und Beschlagnahme an seinem Wohnort durchgeführt wurde. Er räumt ein, dass er (anschliessend) dennoch weiterhin sexuelle Handlungen an einem anderen Kind vornahm. Selbst wenn der Beschwerdeführer (wie er behauptet) nach der gegen ihn eröffneten Strafverfolgung sexuelle Handlungen zulasten dieses Opfers "lediglich" fortgesetzt hätte, würde es sich dabei um weitere relevante Straftaten handeln und fiele das von ihm eingeräumte Verhalten bei der Prüfung des Haftgrundes der Wiederholungsgefahr auch dann erschwerend ins Gewicht, wenn die neuen Straftaten in einem sogenannten Fortsetzungszusammenhang mit früheren Delikten stünden. Bei den ernsthaft zu befürchtenden neuen sexuellen Handlungen mit Kindern handelt es sich um Verbrechen. Zwar rechnet die Vorinstanz (gestützt auf das psychiatrische Gutachten) nicht zusätzlich auch noch mit Gewaltanwendungen; dennoch handelt es sich um schwerwiegende drohende Kriminalität im Sinne der dargelegten Rechtsprechung. Die Annahme von Wiederholungsgefahr durch die Vorinstanz hält damit vor der Verfassung stand.
5. Der Beschwerdeführer stellt sich sodann auf den Standpunkt, mit einer ambulanten medizinisch-psychiatrischen Behandlung, kombiniert mit einem Kontaktverbot gegenüber pubertierenden Knaben, lasse sich der Zweck der Untersuchungshaft ebenso gut erreichen.
Er bestreitet nicht, dass eine bereits früher durchgeführte ambulante Psychotherapie mit 18 Sitzungen ihn nicht daran hindern konnte, weiter einschlägig zu delinquieren. Zwar macht er geltend, unterdessen sei er einsichtiger und therapiewilliger geworden, weshalb bessere Erfolgsaussichten als damals bestünden. Ausserdem liege eine klarere Diagnose vor betreffend eine chronische Sexualstörung im Sinne einer homosexuellen Pädophilie. Im psychiatrischen Gutachten (und auch im nachgereichten Ergänzungsgutachten) werden die Erfolgsaussichten einer (erneuten) ambulanten Therapie jedoch als ungünstig eingeschätzt. Ausserdem müsste eine solche jedenfalls über einen relativ langen Zeitraum durchgeführt werden, bis sie die vom Beschwerdeführer erhoffte etwaige Wirkung entfalten könnte. Zumindest während der dafür notwendigen längeren Therapiedauer könnte die erhebliche Rückfallgefahr mit einer ambulanten Behandlung nicht ausreichend gebannt werden. Was das Kontaktverbot betrifft, räumt der Beschwerdeführer ein, dass sich aus den vom ihm gepflegten Aktivitäten mit Kindern (Turnen, Zaubern, Spielen, Baden, Ausflüge, Nachhilfestunden usw.) wieder eine "Nähe und Vertrautheit und mithin gefährliche Situationen hinsichtlich neuerlicher Delinquenz entwickeln" könnten. Daher bietet er als zusätzliche Ersatzmassnahme an, es sei ihm "jeglicher Kontakt zu präpubertären Jungen" zu verbieten. Die Vorinstanz erwägt, dass nicht erkennbar sei, wie (in Freiheit) ein Kontaktverbot zu sämtlichen Knaben in der Vorpubertät praktikabel und effizient kontrolliert werden könnte. Soweit der Beschwerdeführer diesen Erwägungen lediglich seine pauschale Ansicht entgegenstellt, die fraglichen Aktivitäten mit Kindern seien "problemlos" überprüfbar, begründet er keine substanziierten Verfassungsrügen (vgl. <ref-law>).
6. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (und der Gesuchsteller insbesondere seine finanzielle Bedürftigkeit ausreichend glaubhaft macht), kann dem Gesuch entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt:
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Fürsprecher Bruno Studer wird als amtlicher Vertreter des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland, der Staatsanwaltschaft III Bern-Mittelland und dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 6a, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. April 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster