Faits:
A. Feu B._, né en 1934, travaillait comme sacristain pour la Commune ecclésiastique catholique romaine de X._. A ce titre, il était assuré par son employeur contre le risque d'accidents professionnels et non professionnels, auprès de la Mobilière suisse société d'assurances (ci-après : la Mobilière).
Le 13 juillet 2006, B._ est tombé d'une échelle alors qu'il cueillait des cerises. Il a été transporté par hélicoptère à l'Hôpital Y._, avant d'être transféré au Service de chirurgie de l'Hôpital Z._. Les médecins ont notamment constaté qu'il avait été victime d'une commotion cérébrale (perte de connaissance pendant vingt minutes environ sur les lieux de l'accident) et d'une fracture multifragmentaire de l'os pubien droit; ils ont également fait état d'une suspicion de fracture de l'os temporal droit avec hématotympan droit (rapport du 14 juillet 2006 des docteurs S._ et L._; rapport du 17 juillet 2006 établi à l'Hôpital Z._).
Dans un rapport daté du 26 juillet 2006, mais en réalité établi à une date ultérieure inconnue, le docteur M._, médecin à l'Hôpital Z._, a exposé que B._ avait été hospitalisé dans le Service de chirurgie de cet établissement, du 14 au 31 juillet 2006, date de son transfert au Service de médecine physique et rééducation. Le docteur M._ a fait état des diagnostics suivants, à titre principal : «1) contusion cérébrale avec shearing injuries et confusion post-traumatique et agitation nocturne, 2) fracture du rocher non déplacée à droite avec hématotympan et paralysie faciale retardée à droite, 3) fracture avec plusieurs fragments légèrement déplacée de l'os pubien à droite, 4) cholécystite sur cholécystolithiase». A titre secondaire, il a mentionné les diagnostics de presbyacousie des deux côtés, d'adénocarcinome de la prostate (premier diagnostic en novembre 2005) traité notamment par radiothérapie percutanée du 8 mai au 29 juin 2006, de diverticulose sigmoïdienne et d'hypertension artérielle. Le patient présentait une désorientation et une agitation, surtout nocturne, depuis son accident, de sorte qu'un scanner cérébral avait été réalisé. Le diagnostic de confusion post-traumatique avec agitation nocturne avait été posé et un traitement médicamenteux instauré. Au cours du séjour à l'hôpital, le patient était de plus en plus orienté, mais avait encore des épisodes agités la nuit. Il s'était par ailleurs plaint d'un déficit auditif à droite et avait développé une paralysie faciale à droite. Le 23 juillet 2006, il avait fait état de douleurs à l'hypocondre droit, avec douleurs à la palpation, sans signe de péritonisme. Au cours du séjour, les douleurs et les signes inflammatoires avaient diminué. La réalimentation avait été bien tolérée. A l'époque du transfert dans le Service de médecine physique et réadaptation, B._ pouvait marcher avec de l'aide. En raison d'une cholécystite sur cholécystolithiase légère, l'indication pour une cholécystectomie était donnée. Un rendez-vous était prévu le 30 août 2006 au cabinet du docteur P._ pour planifier l'opération.
Par la suite, l'évolution s'est caractérisée par une accentuation des détériorations sur le plan cérébral, avec confusion, désorientation et agitation nocturne. La persistance d'une abdominalgie associée à une accentuation de la leucocytose et d'une insuffisance rénale a nécessité le transfert de l'assuré dans le Service de médecine interne de l'Hôpital Z._ le 18 août 2006. Un iléus abdominal sur bride probable a été diagnostiqué. Le 20 août 2006, B._ est décédé d'un choc septique sur iléus abdominal (rapport du 17 janvier 2007 du docteur E._, chef du Service de médecine physique et rééducation de l'Hôpital Z._).
La Mobilière a adressé à l'Hôpital Z._ un questionnaire relatif aux circonstances et à la cause du décès. Les docteurs R._ et H._ ont répondu négativement à la question de savoir si le décès était dû uniquement à l'accident et à celle de savoir si les suites de l'accident avaient été déterminantes comme cause du décès. Ils ont précisé que B._ était décédé d'un choc septique sur iléus (rapport du 1er septembre 2006).
Par décision du 17 novembre 2006, la Mobilière a refusé d'allouer une rente à A._, veuve de B._, et de prendre en charge les frais funéraires et de transport du défunt. Elle a considéré que le décès de l'assuré n'était pas d'origine accidentelle, mais maladive. A._ s'est opposée à cette décision en exposant qu'une intervention chirurgicale n'avait pas pu être pratiquée pour soigner son époux, en raison de son état général trop faible. Elle s'est également référée, notamment, à un rapport du 22 décembre 2006 du docteur H._, médecin généraliste dont B._ était le patient depuis 1982. Le docteur H._ y précise que si le choc septique survenu à la suite d'une cholécystite aiguë avait été la cause du décès, la décision de ne pas pratiquer une intervention chirurgicale et une anesthésie avait été prise en raison de l'état cérébral de l'assuré, qui ne permettait pas une telle intervention. Or, cet état cérébral résultait bien de l'accident du 13 juillet 2006.
La Mobilière a demandé à son médecin-conseil, le docteur O._, de prendre position sur la question du rapport de causalité entre l'accident et le décès de l'assuré. Ce médecin a exposé que l'assuré était décédé des suite d'une cholécystite aiguë non traitée ayant entraîné un choc septique. Si une intervention chirurgicale avait dû avoir lieu, elle aurait dû être pratiquée aux alentours du 23 juillet 2007 et non au mois d'août, alors que le patient se trouvait dans un état général dégradé non pas en raison du problème cérébral d'origine accidentel, mais en raison du problème septique abdominal non traité. L'état confusionnel, en particulier, provenait du problème septique et non du traumatisme crânien. Une intervention aux alentours du 23 juillet 2006 aurait probablement permis d'éviter le décès (rapport du 12 janvier 2007).
A._ a encore produit un rapport établi le 19 février 2007 par le docteur C._, médecin-chef et spécialiste en médecine interne à l'Hôpital Z._. Ce dernier expose qu'à cause notamment des suites des traumatismes subis lors de l'accident du 13 juillet 2006, une intervention chirurgicale n'avait pas pu être pratiquée en vue de traiter un iléus abdominal dont souffrait B._.
Par une nouvelle décision du 28 février 2007, puis une décision sur opposition du 15 mai 2007, la Mobilière a maintenu son refus d'allouer une rente de veuve et de prendre en charge les frais funéraire et de transport du défunt.
B. Par jugement du 23 avril 2008, le Tribunal cantonal jurassien a rejeté le recours interjeté contre la décision sur opposition du 15 mai 2007.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle en demande la réforme en ce sens que l'intimée soit condamnée, en substance, au paiement d'une rente de veuve et à la prise en charge des frais funéraires et de transport du défunt, sous suite de frais et dépens. A titre subsidiaire, elle demande l'annulation du jugement entrepris et le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle complète l'instruction et statue à nouveau.
La Mobilière conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de A._ aux prestations prévues par les <ref-law> (frais de transport du corps et frais funéraires) et 29 LAA (rente ou indemnité en capital en faveur du conjoint survivant).
2. 2.1 Aux termes de l'<ref-law>, et sous réserve de dispositions spéciales de la loi, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle. En relation avec les art. 14 et 29 LAA, cette disposition implique, pour l'ouverture du droit aux prestations, l'existence d'un rapport de causalité naturelle et adéquate entre l'accident ou la maladie professionnelle et le décès de l'assuré.
2.2 L'<ref-law> prévoit, par ailleurs, que l'assurance-accidents alloue ses prestations à l'assuré victime d'un accident pour les lésions causées lors du traitement médical pris en charge au titre de l'<ref-law>. Les prestations pour soins sont des prestations en nature fournies par l'assurance-accidents, qui exerce un contrôle sur le traitement (<ref-law>). Le corollaire en est que l'assurance-accidents supporte les conséquences d'une lésion survenue lors du traitement en question, indépendamment du point de savoir si cette lésion constitue elle-même un accident ou résulte d'une violation des règles de l'art par le médecin traitant. L'ouverture du droit aux prestations implique toutefois un rapport de causalité naturelle et adéquate entre la lésion constatée et le traitement médical des suites de l'accident. Une atteinte à la santé résultant d'un acte médical ou d'une omission de poser un tel acte, dans le cadre du traitement d'une maladie sans rapport avec les prestations pour soins allouées conformément à l'<ref-law>, n'entre pas dans le champ d'application de l'<ref-law>. L'assurance-accidents ne répond donc pas, par exemple, d'un décès ensuite d'un cancer sans rapport de causalité avec l'accident assuré et qui n'a pas été découvert (à temps) à l'occasion de soins médicaux pris en charge au titre de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1c p. 171 ss; Jean-Maurice Frésard/Margit Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in : Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht (SBVR), 2ème éd., 2007, no 140 sv.).
3. 3.1 Un rapport de causalité naturelle doit être admis si le dommage ne se serait pas produit du tout, ou ne serait pas survenu de la même manière sans l'événement assuré. Il n'est pas nécessaire que cet événement soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé : il suffit qu'associé éventuellement à d'autres facteurs, il ait provoqué l'atteinte à la santé, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de cette atteinte. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte en question sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait que l'administration ou, le cas échéant, le juge, examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3 p. 406).
3.2 Il ressort de l'ensemble des pièces médicales figurant au dossier que B._ est décédé d'un choc septique sur iléus abdominal. Ce fait n'est pas contesté par les parties. La recourante ne soutient par ailleurs pas, à juste titre, que cette atteinte à la santé aurait été provoquée par le traitement médical des suites de l'accident. L'application de l'<ref-law> peut donc être écartée d'emblée. Cela étant, il reste à déterminer, d'une part, si l'iléus abdominal à l'origine du décès a été directement causé par l'accident, et d'autre part, si les médecins de l'Hôpital Z._ ont renoncé à intervenir chirurgicalement pour traiter cette affection en raison de l'état de santé dans lequel se trouvait l'assuré par suite de l'accident subi. En cas de réponse positive à l'une de ces deux questions, il faudrait admettre que l'accident a contribué au moins partiellement à la survenance du décès. Dans ce contexte, on précisera qu'aucun des médecins consultés n'a mis en doute d'une manière ou d'une autre le pronostic favorable qu'aurait eu une intervention chirurgicale pratiquée dans de bonnes conditions.
4. Les premiers juges ont considéré que l'accident n'avait pas joué de rôle dans la survenance de l'iléus abdominal à l'origine du décès. Ils se sont fondés, sur ce point, sur les constatations du docteur O._. Celui-ci a d'abord envisagé la survenance d'un iléus paralytique en raison du choc lors de la chute accidentelle de l'assuré. Il a toutefois considéré que cette hypothèse était peu vraisemblable, compte tenu notamment de l'absence de constatations dans ce sens par les médecins de l'Hôpital Y._, puis lors de l'admission à l'Hôpital Z._. Le docteur O._ a également précisé que les douleurs de l'hypocondre droit sur lithiase vésiculaire rendaient plus vraisemblable un iléus sur cholécystite aiguë. A cet égard, ses explications sont convaincantes et ne sont d'ailleurs pas mises en doute par les autres médecins consultés, dont aucun ne soutient que l'iléus abdominal dont souffrait l'assuré a été directement causé par l'accident. Certes, cela ne peut être exclu, comme le soutient la recourante, mais les pièces au dossier ne permettent pas de l'établir au degré de la vraisemblance prépondérante. Par ailleurs, une mesure d'instruction complémentaire ne permettrait pas d'apporter un éclairage nouveau et décisif sur cette question. Sur ce point, les constatations de faits des premiers juges et leur refus de mettre en oeuvre un complément d'instruction ne sont donc pas critiquables.
5. 5.1 La juridiction cantonale ne s'est pas exprimée, ou très succinctement, sur le point de savoir si l'état dans lequel se trouvait l'assuré en raison de l'accident avait conduit les médecins à renoncer à pratiquer une intervention chirurgicale. La juridiction cantonale a considéré que la cause primaire du décès était un choc septique sur iléus provoqué par une cholécystite, de sorte que ce décès ne pouvait être imputé, de manière directe et prépondérante, à l'accident du 13 juillet 2006; partant, le droit aux prestations litigieuses était exclu. Ce raisonnement repose sur une notion erronée de la causalité naturelle. L'admission d'un rapport de causalité naturelle entre une atteinte à la santé et un accident assuré n'implique pas, en effet, que cet accident soit une cause prépondérante ou exclusive de l'atteinte à la santé, ni qu'il en soit une cause directe; il suffit que l'accident ait contribué, avec d'autres facteurs, à la survenance de l'atteinte à la santé (consid. 3.1 supra; voir également arrêt 5C.125/2003 du 31 octobre 2003 consid. 3 [JdT 2005 I 472; SJ 2004 I 407]). Le cas échéant, le fait que l'accident n'a constitué que l'une des causes de l'atteinte à la santé peut cependant entraîner une réduction équitable des rentes d'invalidité, des indemnités pour atteinte à l'intégrité et des rentes de survivants, aux conditions de l'<ref-law>.
5. 5.1 La juridiction cantonale ne s'est pas exprimée, ou très succinctement, sur le point de savoir si l'état dans lequel se trouvait l'assuré en raison de l'accident avait conduit les médecins à renoncer à pratiquer une intervention chirurgicale. La juridiction cantonale a considéré que la cause primaire du décès était un choc septique sur iléus provoqué par une cholécystite, de sorte que ce décès ne pouvait être imputé, de manière directe et prépondérante, à l'accident du 13 juillet 2006; partant, le droit aux prestations litigieuses était exclu. Ce raisonnement repose sur une notion erronée de la causalité naturelle. L'admission d'un rapport de causalité naturelle entre une atteinte à la santé et un accident assuré n'implique pas, en effet, que cet accident soit une cause prépondérante ou exclusive de l'atteinte à la santé, ni qu'il en soit une cause directe; il suffit que l'accident ait contribué, avec d'autres facteurs, à la survenance de l'atteinte à la santé (consid. 3.1 supra; voir également arrêt 5C.125/2003 du 31 octobre 2003 consid. 3 [JdT 2005 I 472; SJ 2004 I 407]). Le cas échéant, le fait que l'accident n'a constitué que l'une des causes de l'atteinte à la santé peut cependant entraîner une réduction équitable des rentes d'invalidité, des indemnités pour atteinte à l'intégrité et des rentes de survivants, aux conditions de l'<ref-law>.
5.2 5.2.1 Les docteurs R._ et H._ ont indiqué que les suites de l'accident n'avaient pas constitué une cause déterminante du décès de l'assuré. Ces médecins se sont toutefois limités à des réponses laconiques au questionnaire que leur a adressé l'intimée. Aucune question n'a porté sur l'éventualité d'une intervention chirurgicale pour traiter l'iléus abdominal dont souffrait l'assuré et sur les raisons pour lesquelles une telle intervention chirurgicale n'a pas été pratiquée, de sorte que les docteurs R._ et H._ ne se sont pas prononcé sur ce point.
Pour sa part, le docteur H._ atteste que la décision de ne pas intervenir chirurgicalement a été prise en raison de l'état cérébral dans lequel se trouvait l'assuré, qui ne permettait pas une intervention chirurgicale et une anesthésie. Il ajoute que cet état cérébral était la conséquence de l'accident du 13 juillet 2006, mais précise que cette constatation est posée sur la base des renseignements à sa disposition. Il recommande, pour plus de renseignements, de s'adresser au médecin chef du Service de chirurgie de l'Hôpital Z._, le docteur P._. En d'autres termes, le docteur H._ se limite à donner une première appréciation, mais prend la précaution de souligner qu'il ne dispose pas forcément de toutes les informations nécessaires pour se prononcer définitivement. Son rapport ne revêt donc pas une valeur probante suffisante pour statuer sur la question du rapport de causalité entre le décès de l'assuré et l'accident.
5.2.2 Les rapports établis par les docteurs O._, d'une part, et E._ et C._, d'autre part, reflètent des avis diamétralement opposés sur le rôle joué par les atteintes à la santé d'origine accidentelle dans la décision de renoncer à opérer l'assuré, ou du moins de ne pas l'opérer à bref délai. Mais aucun n'emporte pleinement la conviction.
5.2.2.1 Le docteur O._ expose qu'une intervention chirurgicale pratiquée en temps utile, soit aux alentours du 23 juillet 2006, aurait permis d'éviter la survenance d'un choc septique et le décès de l'assuré; par la suite, celui-ci s'est trouvé dans un état confusionnel dû au problème septique (et non à l'accident), ce qui a empêché une intervention chirurgicale. Le docteur O._ semble partir du principe que l'intervention chirurgicale n'a été envisagée que dans le courant du mois d'août 2006, lorsque qu'une détérioration de l'état de santé de l'assuré, avec confusion, désorientation et agitation nocturne, persistance d'une abdominalgie avec accentuation de la leucocytose et insuffisance rénale a été constatée par les médecins du Service de médecine physique et rééducation de l'Hôpital Z._; cette détérioration a motivé le transfert de l'assuré dans le Service de médecine interne le 18 août 2006, où un CT-abdominal a été réalisé. Cela étant, le docteur O._ ne semble pas avoir pris en considération le fait que selon le rapport du docteur M._ daté du 26 juillet 2006, les médecins du Service de chirurgie de l'Hôpital Z._ avaient déjà posé une indication opératoire en juillet 2006; ils n'ont toutefois pas pratiqué l'intervention à bref délai, mais ont ordonné le transfert du patient dans le Service de médecine physique et réhabilitation de l'Hôpital Z._, pour le 31 juillet 2006. Le rapport ne précise pas pourquoi l'intervention chirurgicale n'a pas eu lieu avant le transfert, mais il est plausible que la décision ait été prise, en juillet 2006 déjà, de reporter l'opération à une date ultérieure en raison de l'état général dans lequel se trouvait le patient à la suite de l'accident.
5.2.2.2 Pour confirmer ou infirmer cette hypothèse, il faudrait disposer de constatations médicales claires de la part des médecins de l'Hôpital Z._. Mais on cherche en vain de telles constatations au dossier : le docteur E._ expose que les suites de l'accident ont certainement eu un caractère déterminant sur la cause du décès. Il précise que les évaluations complémentaires pratiquées par les médecins du Service de médecine interne de l'Hôpital Z._, en particulier un CT-abdominal, ont conduit au diagnostic d'iléus abdominal sur bride probable; immédiatement après, il ajoute qu'une intervention chirurgicale a été différée en raison de l'importance des commorbidités chez le patient, connu pour une néoplasie prostatique. Le docteur E._ semble donc partir du principe qu'une intervention chirurgicale n'a été différée en raison de l'état de santé du patient qu'après son transfert dans le Service de médecine interne le 18 août 2006. En outre, la seule commorbidité qu'il mentionne expressément n'est pas d'origine accidentelle. Quant au docteur C._, il se limite à attester que lors de l'hospitalisation, le patient a développé un iléus qui en principe aurait nécessité une intervention chirurgicale, laquelle n'a pas été pratiquée en raison du mauvais état général du patient, des suites de l'accident et des commorbidités. Ce rapport reste donc très vague sur les atteintes à la santé qui ont, précisément, empêché l'opération, et sur la date à laquelle ces atteintes ont conduit à prendre la décision de reporter l'intervention ou d'y renoncer.
6. Compte tenu de ce qui précède, plusieurs faits doivent encore être établis au moyen d'une instruction complémentaire. Il s'agit, d'abord, de déterminer si les médecins de l'Hôpital Z._ ont décidé, en juillet 2006, de différer une cholécystectomie en raison de l'état de santé de l'assuré et, le cas échéant, de déterminer quelles atteintes à la santé ont motivé cette décision ainsi que l'origine accidentelle ou non de ces atteintes. Si la décision a été prise de reporter la cholécystectomie en raison, notamment, d'atteintes à la santé d'origine accidentelle, le décès de B._ est en rapport de causalité naturelle avec l'accident assuré. Si cette décision résulte d'autres motifs, il s'agira de déterminer quelles atteintes à la santé exactement ont conduit les médecins de l'Hôpital Z._ à renoncer à opérer l'assuré dans le courant du mois d'août 2006 et si ces atteintes étaient d'origine accidentelle ou non. La cause sera donc retournée à l'intimée pour qu'elle complète l'instruction par une expertise médicale et statue à nouveau. En cas d'admission d'un rapport de causalité naturelle entre l'accident et le décès, l'intimée vérifiera que les autres conditions du droit aux prestations, notamment la nécessité d'un rapport de causalité adéquate (sur cette notion : <ref-ruling> consid. 5a p. 461), sont remplies.
Vu le sort du litige, l'intimée supportera les frais de justice (<ref-law>) et allouera une indemnité de dépens à la recourante (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal jurassien du 23 avril 2008 ainsi que la décision sur opposition de la Mobilière suisse société d'assurances du 15 mai 2007 sont annulés. La cause est renvoyée à l'intimée pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal jurassien pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal jurassien et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 11 mars 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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