Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer gelangt gegen den Beschluss vom 24. Mai 2008 (PN080113/U/Nä), mit dem das Obergericht des Kantons Zürich auf das Austandsbegehren nicht eintrat, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abwies, auf die Nichtigkeitsbeschwerde nicht eintrat und dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten von Fr. 300.-- auferlegte, mit Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und um aufschiebende Wirkung.
2. Das Obergericht hielt dafür, das Ausstandsbegehren sei rechtsmissbräuchlich. Auf die als Nichtigkeitsbeschwerde entgegegenommene Eingabe könne von vornherein nicht eingetreten werden, soweit die Ausführungen des Beschwerdeführers theoretischer Natur seien und sich nicht auf die angefochtene Verfügung des Einzelrichters im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Zürich vom 27. März 2008 bezögen. Im Übrigen enthalte die 21 Seiten umfassende Beschwerdeschrift nur Anträge und Argumente, die der Beschwerdeführer bereits in früheren Verfahren ohne Erfolg gestellt bzw. vorgebracht habe. Wie bereits in einem abgeschlossenen Verfahren angedroht, trat das Obergericht auf die Eingabe des Beschwerdeführers ohne nähere Begründung und ohne Ansetzung einer Nachfrist zur Verbesserung nicht ein.
3. 3.1 Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 113 i.V.m. <ref-law>). Es gilt das sogenannte Rügeprinzip (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat in der Beschwerdeschrift darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. die Rechtsprechung zur staatsrechtlichen Beschwerde, statt vieler <ref-ruling> E. 2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 201). Wie unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) müssen die erhobenen Rügen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1). Besteht der Entscheid aus mehreren selbständigen Begründungen, sind alle anzufechten, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-ruling> E. 6).
3.2 Auf die Beschwerde ist von vornherein nicht einzutreten, soweit sie sich nicht gegen den Beschluss des Obergerichts vom 24. Mai 2008 richtet, stellt doch nur dieser Anfechtungsobjekt der Verfassungsbeschwerde dar (Art. 75 Abs. 1 und Art. 114 BGG). Sodann setzt sich der Beschwerdeführer in seiner 22 Seiten umfassenden Verfassungsbeschwerde nicht rechtsgenüglich mit den Erwägungen des angefochtenen Beschlusses auseinander. Er begnügt sich vielmehr im Wesentlichen damit, eine Reihe von Gesetzes- und Konventionsbestimmungen zu zitieren, auf den sel-executing-Charakter der EMRK und des UNO-Pakt II hinzuweisen und die mit dem Fall befassten Richter zu beschimpfen.
4. Auf die offensichtlich unzulässige Verfassungsbeschwerde ist daher in Anwendung von <ref-law> i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit a und b BGG unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (<ref-law>) nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
5. Da sich die Beschwerde von Anfang an als offensichtlich unzulässig erwiesen hat, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Zbinden