Erwägungen:
1. Ehegatten X._ führen in Schlatt einen Landwirtschaftsbetrieb. Mit Eingaben vom 21. Oktober 2007 und 2. November 2007 ersuchten sie um Erteilung einer Baubewilligung für den Neubau eines Futtersilos und den Abbruch von zwei vorbestehenden Silos. Der vorgesehene Standort des neuen Silos befindet sich an der östlichen Seite des Laufstalls, der wie die Remise in der Landwirtschaftszone liegt. Während der öffentlichen Auflage des Baugesuchs erhob Y._ als benachbarter Grundeigentümer am 22. November 2007 Einsprache. Die Gemeinde Schlatt erteilte am 21. Januar 2008 die Bewilligung für den neuen Futtersilo und den Abbruch der beiden bestehenden Silos. Am 22. Januar 2008 wies sie ausserdem die Einsprache von Y._ ab. Dagegen erhob Y._ am 7. Februar 2008 Rekurs beim Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau. Dieses hiess mit Entscheid vom 25. August 2008 den Rekurs teilweise gut. Der Gemeinderat habe zur Frage der Einordnung des Silos in das Ortsbild keine Stellung genommen. Diesbezüglich sei die Sache zur ergänzenden Beurteilung an die Gemeinde zurückzuweisen. Im Übrigen wies das Departement den Rekurs ab, soweit es darauf eintrat. Dabei führte es hinsichtlich früherer Baubewilligungsverfahren aus, dass die Baubewilligung vom 25. März 1996 für den Laufstall und die Remise aufgrund fehlender Beurteilung durch das Amt für Raumplanung mangelhaft sei. Y._ habe dagegen jedoch kein Rechtsmittel ergriffen. Hinsichtlich des "nachträglichen" Baubewilligungsverfahrens für den Laufstall und die Remise im Jahre 2004 ergebe sich, dass die Baubewilligung des Amts für Raumplanung und der Gemeinde als nichtig zu qualifizieren sei.
Dagegen erhob Y._ am 22. September 2008 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Mit Entscheid vom 28. Januar 2009 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde in dem Sinne teilweise gut, als die Sache zur Durchführung eines Baubewilligungsverfahrens für Laufstall, Remise und Silos an die Gemeinde Schlatt zurückgewiesen wurde. Sowohl dem Beschwerdeführer als auch den Baugesuchstellern auferlegte es je eine Verfahrensgebühr. Ausserdem verpflichtete es die Baugesuchsteller, den Beschwerdeführer zu entschädigen.
Auf ein Gesuch des Beschwerdeführers vom 12. Februar 2009 ergänzte das Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 25. Februar 2009 seinen Entscheid vom 28. Januar 2009 im Kosten- und Entschädigungspunkt. Es reduzierte dem Beschwerdeführer die Verfahrensgebühr für den Rekursentscheid des Departements für Bau und Umwelt und verpflichtete die Baugesuchsteller, den Beschwerdeführer für das Rekursverfahren zu entschädigen.
2. Ehegatten X._ führen mit Eingabe vom 12. März 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Entscheide des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 28. Januar 2009 und 25. Februar 2009. Sie beantragen die Aufhebung der angefochtenen Entscheide, unter Bestätigung des Entscheids des Departements für Bau und Umwelt vom 25. August 2008, ev. unter Rückweisung der Streitsache an die Vorinstanz; eventuell seien die angefochtenen Entscheide im Kosten- und Entschädigungspunkt aufzuheben.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Das Verwaltungsgericht weist mit den angefochtenen Entscheiden die Sache an die Gemeinde Schlatt zurück. Mit der Rückweisung der Angelegenheit wird das Baubewilligungsverfahren nicht abgeschlossen. Es liegt ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vor.
3.1 Gegen Vor- und Zwischenentscheide - die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu <ref-law>) - ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss <ref-law> zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
3.2 Liegt wie hier ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vor, hat der Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> erfüllt sein sollen. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, hierzu von Amtes wegen Nachforschungen anzustellen. Vorliegend äussern sich die Beschwerdeführer nicht, inwiefern die angefochtenen Entscheide einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnten oder weshalb die Gutheissung der vorliegenden Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen würde. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> ist somit auf die Beschwerde nicht einzutreten. Da die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält, kann über sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden.
3.3 Im Übrigen ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die Voraussetzungen von <ref-law> zur Anfechtung eines Zwischenentscheides gegeben sein sollten. Ein für die Beschwerdeführer allfälliger Nachteil liesse sich mit einem für sie günstigen Endentscheid beheben. Dabei ist es nicht nötig, dass sich der Nachteil schon im kantonalen Verfahren durch einen günstigen Endentscheid beheben lässt. Es reicht aus, wenn er in einem anschliessenden bundesgerichtlichen Verfahren beseitigt werden kann (<ref-ruling> E. 2.1). Sollte das kantonale Verfahren mit einem für die Beschwerdeführer günstigen Entscheid enden, kann die allenfalls noch streitige Kostenverfügung unmittelbar im Anschluss an den unterinstanzlichen Entscheid mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (<ref-ruling> E. 1a/bb S. 43; <ref-ruling> E. 1b S. 254 f. mit Hinweisen). Ausserdem liesse sich mit einer Gutheissung der vorliegenden Beschwerde nicht sofort ein Endentscheid in der gesamten zur Diskussion stehenden Streitsache herbeiführen.
4. Entsprechend dem Verfahrensausgang tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).
Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das von den Beschwerdeführern gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Schlatt und dem Amt für Raumplanung, dem Departement für Bau und Umwelt sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli