Erwägungen:
1.
Die Steuerverwaltung des Kantons Appenzell A.Rh. hiess am 30. September 2014 Einsprachen von A._ gegen die Veranlagungsverfügungen vom 10. März 2013 betreffend die Staats- und Gemeindesteuern 2009 bzw. vom 10. April 2014 betreffend die direkte Bundessteuer 2009 teilweise gut. Dagegen gelangte die Pflichtige mit Beschwerde an das Obergericht Appenzell A.Rh. Dieses eröffnete gestützt darauf zwei Verfahren (Nr. O5V 14 35 betreffend Staats- und Gemeindesteuern; Nr. O5V 14 37 betreffend direkte Bundessteuer). Mit zwei Verfügungen vom 11. November 2014 forderte es A._ gestützt auf Art. 21 des Gesetzes des Kantons Appenzell A.Rh. vom 9. September 2002 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG-AR) auf, für jedes der beiden Verfahren innert zehn Tagen einen Kostenvorschuss von je Fr. 1'500.-- zu leisten, versehen mit dem Hinweis, dass ansonsten auf die Beschwerde (n) nicht eingetreten würde. Die Vorschüsse wurden innert Frist nicht geleistet. Das Obergericht trat mit zwei Entscheiden des Einzelrichters vom 10. Dezember 2014 androhungsgemäss auf die Beschwerde (n) nicht ein.
Mit vom 12. Januar 2015 datierter, am 22. Januar 2015 zur Post gegebener Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei (durch das Obergericht) auf die Beschwerde (Antrag auf Besteuerung als Rentnerin mit selbstständigem Nebenerwerb/Abzug Berufskosten/ Gesundheitskosten) einzutreten; es sei kein Kostenvorschuss zu erheben.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Antrag und Begründung haben sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei muss sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen auseinandersetzen; die Begründung hat sich auf den Verfahrensgegenstand zu beziehen und zu beschränken. Nicht unmittelbar gerügt werden kann die Verletzung von kantonalen Gesetzen oder Verordnungen (vgl. <ref-law>). Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht, kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60 f.;<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68, je mit Hinweisen).
2.2. Angefochten sind Nichteintretensentscheide. Nicht Gegenstand der vorliegenden Beschwerde bildet das Verfahren vor der Veranlagungsbehörde; die Rüge der Verletzung des Beschleunigungsgebots durch die Administrativbehörden ist nicht zu hören.
2.3. Die angefochtenen Entscheide stützen sich auf Art. 21 VRPG-AR, eine kantonalrechtliche Norm. Danach kann im Rechtsmittelverfahren von der rekurs- oder beschwerdeführenden Partei ein Kostenvorschuss verlangt werden; es ist ihr zu dessen Leistung eine angemessene Frist anzusetzen und ihr anzudrohen, dass im Säumnisfall auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Vorliegend hat das Obergericht die Beschwerdeführerin zur Leistung von Kostenvorschüssen aufgefordert und sie auf die gesetzliche Säumnisfolge des Nichteintretens hingewiesen. Diese ist der Aufforderung innert Frist nicht nachgekommen, worauf das Obergericht, wie vom Gesetz für diesen Fall vorgesehen, zwei Nichteintretensentscheide fällte.
Dagegen macht die Beschwerdeführerin geltend, bei Art. 21 VRPG-AR handle es sich um eine Kann-Vorschrift, ein Kostenvorschuss müsse nicht erhoben werden, sie ersuche daher um unentgeltliche Rechtspflege; sodann sei ein Kostenvorschuss von (insgesamt) Fr. 3'000.-- angesichts des geringen Streitwerts viel zu hoch angesetzt und deshalb unverhältnismässig und willkürlich, wobei auch nicht einzusehen sei, weshalb die Veranlagungen zu den Staats- und Gemeindesteuer und zur direkten Bundessteuer getrennt behandelt und zwei Vorschüsse erhoben würden. Es sind dies Einwendungen, die sie innert der ihr angesetzten Zahlungsfrist dem Obergericht hätte vortragen können und angesichts des klaren Hinweises auf die Säumnisfolgen auch hätte erheben müssen. Dass sie dies getan hätte oder dass besondere Umstände sie gehindert hätten, dies zu tun, macht sie nicht geltend. Es ist davon auszugehen, dass sie bis zur Ablauf der Zahlungsfrist (und weiter bis zum Zeitpunkt, da das Obergericht schliesslich seinen Nichteintretensentscheide gefällt hat) nichts unternommen hat. Mit ihren heutigen Darlegungen zum Sachverhalt bzw. mit den nun erstmals vor Bundesgericht gestellten Begehren um unentgeltliche Rechtspflege in den obergerichtlichen Verfahren oder um Herabsetzung der vom Obergericht festgesetzten Kostenvorschüsse ist sie nicht zu hören (Art. 99 Abs. 1 und 2 BGG). Inwiefern die Nichteintretensentscheide sonst wie schweizerisches Recht im Sinne von <ref-law> verletzten, wird in der Beschwerdeschrift nicht dargetan.
2.4. Die Beschwerde entbehrt offensichtlich einer hinreichenden Begründung (<ref-law>); es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.5. Dem für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde aussichtslos erschien (<ref-law>). Damit sind die Gerichtskosten entsprechend dem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 65 und 66 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller