Sachverhalt:
A.
Der 1955 geborene A._ war als selbstständig erwerbender Bildhauer tätig, als er sich auf den 1. Juli 2003 der Gemeinschaftsstiftung Pensionskasse für Unternehmen, Künstler und Freischaffende PUK (nachfolgend: PUK) für die berufliche Vorsorge anschloss. Im entsprechenden Vorsorgeausweis per 1. Juli 2003 ist ein versicherter Jahresverdienst von Fr. 20'000.- vermerkt.
A._ meldete sich im September 2004 unter Verweis auf eine depressive Störung, Neurodermitis und Alkoholabhängigkeit bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nachdem die IV-Stelle Basel-Stadt das Leistungsgesuch abgewiesen hatte (Verfügung vom 11. Juni 2007), verpflichtete sie das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 18. Juni 2008, dem Versicherten ab dem 1. Juni 2005 eine halbe Rente auszurichten (Invaliditätsgrad von 59 %).
In der Folge erbrachte die PUK eine Invalidenrente von monatlich Fr. 614.35 ab 1. Juni 2006 resp. von Fr. 630.80 ab 1. Januar 2010. Am 18. November 2010 teilte sie dem Versicherten per E-Mail mit, sie habe ihm versehentlich Rentenleistungen auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 100 % statt von 59 % ausgerichtet; die Äufnung des Altersguthabens und die künftigen Leistungen korrigiere sie sofort, zudem biete sie Hand, die Verrechnung über einen angemessenen Zeitraum zu erstrecken. Ab Dezember 2010 bezahlte sie eine Teilrente von monatlich Fr. 316.40.
Nach erfolglosen telefonischen Kontaktversuchen wandte sich die PUK am 28. Juni 2012 per E-Mail wegen der Rückforderung von zu viel bezahlten Rentenleistungen an den Versicherten. Dieser stellte sich auf den Standpunkt, der Rückforderungsanspruch sei seit dem 18. November 2011 verjährt und könne auch nicht verrechnet werden. Am 31. Juli 2012 teilte die PUK dem Versicherten mit, sie werde die laufende Rente ab dem 1. September 2012 bis zur vollständigen Verrechnung der zu Unrecht bezogenen Leistungen einstellen und gleichzeitig den Rentenanspruch grundsätzlich überprüfen.
B.
Am 17. Oktober 2013 liess A._ Klage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt erheben mit dem Rechtsbegehren, die PUK sei zur Fortleistung einer 59%igen Invalidenrente ab 1. September 2012 zuzüglich Zins zu verurteilen. Die PUK beantragte, es sei auf die Klage nicht einzutreten, sie sei vollumfänglich abzuweisen und die bereits ausgerichteten Rentenbetreffnisse seien zurückzuerstatten.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die Klage mit Entscheid vom 24. Juni 2014 gut und verpflichtete die PUK, dem Kläger ab September 2012 weiterhin eine Rente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 59 % auszurichten und überdies auf den ab September 2012 geschuldeten Rentenbetreffnissen ab dem 18. Oktober 2013 und auf den nach der Klageeinreichung fällig gewordenen Rentenbetreffnissen ab deren Fälligkeit einen Verzugszins von 5 % zu bezahlen.
C.
Die PUK lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 24. Juni 2014 sei festzustellen, dass "der IV-Entscheid" keine Bindungswirkung entfalte und sie nicht zuständig zur Ausrichtung von Invalidenleistungen sei; eventualiter seien der Invaliditätsgrad und die Rentenhöhe festzulegen. Im Weiteren sei festzustellen, dass ihr die bereits ausgerichteten Rentenbetreffnisse zurückzuerstatten seien.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Dabei legt es seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht prüft insbesondere seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen sowie diejenigen des vorinstanzlichen Verfahrens von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 4 S. 26; <ref-ruling> E. 1 S. 340; <ref-ruling> E. 2 S. 9).
2.
2.1. Arbeitnehmer und Selbstständigerwerbende, die der obligatorischen Versicherung nicht unterstellt sind, können sich nach dem BVG freiwillig versichern lassen (Art. 4 Abs. 1 BVG; vgl. auch Art. 44 BVG). Die Bestimmungen über die obligatorische Versicherung gelten sinngemäss für die freiwillige Versicherung (Art. 4 Abs. 2 BVG). Gewährt eine Vorsorgeeinrichtung mehr als die Mindestleistungen ("umhüllende Vorsorgeeinrichtung"), so gelten die im Verweiskatalog von Art. 49 Abs. 2 BVG aufgezählten BVG-Normen auch für die weitergehende, d.h. die über-, unter- und vorobligatorische (vgl. GÄCHTER/SANER, in: BVG und FZG, 2010, N. 10 zu Art. 49 BVG) Vorsorge.
2.2. Streitig war und ist in erster Linie die Leistungspflicht der PUK als registrierte Vorsorgeeinrichtung (vgl. Art. 5 Abs. 2 und Art. 48 Abs. 1 BVG; Art. 3 und 4 des Vorsorgereglements der PUK vom 22. März 2005 [nachfolgend: Reglement]). Zwar beanstandet die Beschwerdeführerin u.a., das kantonale Gericht habe nicht berücksichtigt (vgl. dazu E. 4.2), dass der Beschwerdegegner in seiner Gesundheitserklärung vom 18. Juni 2003 eine falsche Deklaration vorgenommen habe. Indessen ist nicht ersichtlich und macht die PUK auch nicht geltend, dass darum dessen Anschluss nicht zustande gekommen oder sie rechtzeitig, d.h. innert der in <ref-law> (SR 221.229.1) genannten Frist (vgl. Urteil 9C_1003/2009 vom 27. April 2010 E. 4.3), vom Vertrag zurückgetreten sei. Sie stellt denn auch nicht (substanziiert) in Abrede, dass der Beschwerdegegner bei ihr als Selbstständigerwerbender freiwillig versichert war - und zwar angesichts der Höhe des versicherten Verdienstes im weitergehenden, d.h. unterobligatorischen Bereich.
Damit geht es hier um eine vorsorgerechtliche Streitigkeit im Sinne von Art. 73 Abs. 1 BVG (in Verbindung mit Art. 4 Abs. 2 resp. Art. 49 Abs. 2 Ziff. 22 BVG). Letztinstanzlich ist zu deren Beurteilung die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts zuständig (Art. 35 lit. e des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BGerR; SR 173.110.131]; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 441 mit weiteren Hinweisen). Das gilt auch für die Beantwortung der hier ebenfalls aufgeworfenen (Vor-) Frage (vgl. SZS 2008 487, 9C_211/2008 E. 4.5) nach der örtlichen Zuständigkeit im kantonalen Klageverfahren (vgl. dazu E. 3).
2.3. Die Beschwerdeführerin hat Feststellungsanträge formuliert, was mit Blick auf <ref-law> näher zu betrachten ist. Aus der Beschwerdebegründung, die für die Auslegung der Rechtsbegehren heranzuziehen ist (vgl. MEYER/DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 7 zu <ref-law>), geht klar hervor, dass sie ihre Leistungspflicht gegenüber dem Beschwerdegegner bestreitet und daher in Bezug auf die Zeit ab September 2012 die Abweisung von dessen Klage und im Übrigen die Rückerstattung aller bereits ausgerichteten Rentenzahlungen verlangt. Während Ersteres ohne Weiteres zulässig ist, ist bei Letzterem fraglich, ob die Vorinstanz auch über die (umfassende) Rückforderung dispositivmässig entschieden hat und diesbezüglich für das bundesgerichtliche Verfahren ein Anfechtungsobjekt vorliegt (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 414 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 304). Dieser Frage braucht indessen nicht weiter nachgegangen zu werden (vgl. nachfolgend E. 5.6).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat (verbindlich; E. 1.1) festgestellt, dass der Beschwerdegegner ab Januar 2002 als Selbstständigerwerbender der Ausgleichskasse Basel-Stadt angeschlossen gewesen sei und seine Einzelunternehmung in Basel geführt habe. Weiter hat es eine örtliche Zuständigkeit des Berufsvorsorgegerichts am Ort des Betriebes, an dem ein Selbstständigerwerbender seine Erwerbstätigkeit ausübt, angenommen, weshalb es auf die Klage vom 17. Oktober 2013 eingetreten ist.
Die Beschwerdeführerin hält das Berufsvorsorgegericht des Kantons Bern für zuständig, wobei sie sich auf den Wortlaut von Art. 73 Abs. 3 BVG beruft.
3.2. Das Gesetz ist in erster Linie aus sich selbst heraus auszulegen, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der ratio legis (<ref-ruling> E. 6.1 S. 310 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 5; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 11).
3.3.
3.3.1. Nach dem Wortlaut von Art. 73 Abs. 3 BVG besteht ein Gerichtsstand für das kantonale Klageverfahren einerseits am schweizerischen Sitz resp. Wohnsitz des Beklagten und anderseits am Ort des Betriebes, bei dem der Versicherte angestellt wurde ("au lieu de l'exploitation dans laquelle l'assuré a été engagé"; "nel luogo dell'azienda presso la quale l'assicurato fu assunto"). Der zweitgenannte Gerichtsstand bezieht sich somit auf ein Arbeitsverhältnis (<ref-law>); er beruht insofern auf dem "Arbeitsort", als der Betrieb des Arbeitgebers massgeblich ist.
3.3.2. Bei der freiwilligen Versicherung eines Selbstständigerwerbenden liegt es in der Natur der Sache, dass ein Arbeitsverhältnis fehlt. Im Rahmen der gesetzlich angeordneten (Art. 4 Abs. 2 BVG) sinngemässen Anwendung der Gerichtsstandsbestimmung ergibt sich ohne Weiteres, dass in einem solchen Fall auf den Ort, an dem der Selbstständigerwerbende seinen Betrieb führt, abzustellen ist. Soweit es um die weitergehende Vorsorge geht, schreibt das Gesetz (Art. 49 BVG) nicht explizit ein analoges Verständnis der Bestimmung von Art. 73 Abs. 3 BVG vor. Indessen leuchtet nicht ein, weshalb in diesem Bereich etwas anderes als im (sinngemässen) Obligatorium gelten soll, zumal auch bei der Versicherung von Arbeitnehmern in Bezug auf die örtliche Zuständigkeit nicht zwischen obligatorischer und weitergehender Vorsorge zu differenzieren ist.
Für diese Lösung spricht auch die ratio legis: Art. 73 Abs. 3 BVG verfolgt - vor dem Hintergrund des Prinzips des einfachen und raschen Verfahrens (Abs. 2) - den Zweck, den Zugang zum Gericht im sachlichen Zuständigkeitsbereich gemäss Abs. 1 möglichst zu vereinfachen. Zudem war es der Wille des Gesetzgebers, die rechtsuchende Person nicht auf einen alleinigen Gerichtsstand am Sitz der beklagten Partei zu verweisen, sondern einen alternativen Gerichtsstand zur Verfügung zu stellen (SVR 2011 BVG Nr. 43 S. 162, 9C_1016/2010 E. 2.3.3). Es ist daher sachgerecht, für eine Streitigkeit im Rahmen der freiwilligen Versicherung eines Selbstständigerwerbenden einen Gerichtsstand am Ort, an dem er seinen Betrieb führt, anzunehmen. Demzufolge hat die Vorinstanz ihre (örtliche) Zuständigkeit zu Recht bejaht.
4.
4.1. Das kantonale Gericht ist der Auffassung, die PUK sei in Bezug auf den Beginn des Wartejahres resp. den Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit wie auch den Einkommensvergleich an die invalidenversicherungsrechtliche Beurteilung gemäss seinem Entscheid vom 18. Juni 2008 gebunden. Folglich hat es den Anspruch aus beruflicher Vorsorge ("ab September 2012 weiterhin") bejaht. Sodann hat die Vorinstanz (verbindlich; E. 1.1) festgestellt, dass die PUK die auf Juni 2006 bis November 2010 entfallenden Rentenbetreffnisse fälschlicherweise auf der Grundlage eines Invaliditätsgrades von 100 % statt 59 % ausgerichtet habe. Diesbezüglich hat sie angenommen, dass die entsprechende Rückforderung bereits am 19. November 2011 verjährt war.
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt an diversen Stellen, die Vorinstanz habe sich mit ihrer Argumentation im kantonalen Verfahren nicht oder ungenügend auseinandergesetzt. Indessen war eine sachgerechte Anfechtung des Entscheids vom 24. Juni 2014 möglich, weshalb nicht von einer Verletzung der - aus <ref-law> und <ref-law> abgeleiteten - Prüfungs- und Begründungspflicht gesprochen werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 1a S. 181).
5.
5.1.
5.1.1. Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, durch welche die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6 S. 17). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit ist eine dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf von mindestens 20 Prozent massgebend (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23; Urteile 9C_98/2013 vom 4. Juli 2013 E. 4.1 [SVR 2014 BVG Nr. 1 S. 1], 9C_297/2010 vom 23. September 2010 E. 2.1 [SVR 2011 BVG Nr. 14 S. 51], 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2; JÜRG BRÜHWILER, Obligatorische berufliche Vorsorge, in: Meyer [Hrsg.], Soziale Sicherheit, Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Band XIV, Basel 2007, S. 2042 Rz. 105).
Die Leistungspflicht setzt einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität voraus. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22). Ein enger zeitlicher Zusammenhang liegt vor, wenn die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nicht während längerer Zeit, d.h. in der Regel während mindestens dreier Monate (vgl. <ref-law> [SR 831.201]), wieder (annähernd) vollständig arbeitsfähig war (Urteil 9C_98/2013 vom 4. Juli 2013 E. 4.1).
5.1.2. Diese Grundsätze gelten ebenfalls, wenn eine Vorsorgeeinrichtung ihre Leistungspflicht mit der Begründung verneinen will, eine berufsvorsorgerechtlich bedeutsame Arbeitsunfähigkeit habe bereits vor Beginn des Vorsorgeverhältnisses bestanden (vgl. Urteil 9C_394/2012 vom 18. Juli 2012 E. 3.1.2). Zudem finden sie auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn Reglement oder Statuten nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 69).
5.2. Ein Entscheid der IV-Stelle oder - im Beschwerdefall - des kantonalen Sozialversicherungsgerichts (<ref-law>) ist für eine Einrichtung der beruflichen Vorsorge verbindlich, sofern sie in das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren einbezogen wurde, die konkrete Fragestellung für die Beurteilung des Rentenanspruchs gegenüber der Invalidenversicherung entscheidend war und die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheint (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69; <ref-ruling> E. 3.1 S. 273). Diese Bindungswirkung findet ihre positivrechtliche Grundlage in den Art. 23, 24 Abs. 1 und 26 Abs. 1 BVG, welche an die Regelung des IVG anknüpfen oder diese übernehmen. Die Orientierung an der Invalidenversicherung bezieht sich insbesondere auf die sachbezüglichen Voraussetzungen des Rentenanspruchs, die Rentenhöhe und den Rentenbeginn (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69).
5.3. Die Frage nach der Bindung der Vorsorgeeinrichtung an die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise ist eine vom Bundesgericht frei zu prüfende Rechtsfrage. Dabei ist es grundsätzlich (E. 1.1) an die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend den Einbezug der Vorsorgeeinrichtung in das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren und die Umstände, die auf eine Unhaltbarkeit des entsprechenden Entscheids schliessen lassen, gebunden. Die Fragen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über eine Unhaltbarkeit erfolgt, und ob eine allfällige Unhaltbarkeit offensichtlich ist, beschlagen indessen rechtliche Aspekte (vgl. Urteile 9C_599/2013 vom 24. Februar 2014 E. 2 und 9C_140/2012 vom 12. April 2012 E. 3.2.1, je mit Hinweisen).
5.4.
5.4.1. Die Vorinstanz hat zwar Feststellungen betreffend die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdegegners getroffen, indessen die von ihr bejahte (E. 4.1) Bindung an die invalidenversicherungsrechlliche Betrachtungsweise nicht näher begründet (vgl. E. 2.4.2 und 3.3.4 des angefochtenen Entscheids).
5.4.2. Im Entscheid vom 18. Juni 2008, mit dem das kantonale Gericht den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung abschliessend beurteilte, wurde festgestellt, dass dem Versicherten die angestammte Tätigkeit als selbstständiger Bildhauer und Museologe nicht mehr zumutbar sei, aber für eine leidensangepasste Tätigkeit wie das Taxifahren eine Restarbeitsfähigkeit von 50 % bestehe. Den Beginn der Arbeitsunfähigkeit legte das Gericht auf den 16. Juni 2004 fest, d.h. auf den Zeitpunkt, als sich der Beschwerdegegner in eine stationäre Behandlung begeben hatte. Für das Valideneinkommen von Fr. 65'819.65 stellte es auf das 1997 bis 2001 durchschnittlich bei einem Restaurationsunternehmen tatsächlich erzielte Jahreseinkommen ab. Dabei berücksichtigte es, dass das Ende der damaligen Tätigkeit mit der Aufnahme des Nachdiplomstudiums in Museologie und einer ersten schweren depressiven Episode zusammengefallen sei und der Versicherte (im Vergleichsjahr 2005) als Gesunder - mit der inzwischen erfolgreich abgeschlossenen Zusatzausbildung - mindestens wieder das frühere Einkommen erzielen würde. Aufgrund des errechneten Invaliditätsgrades von 59 % sprach es dem Versicherten eine halbe Rente der Invalidenversicherung ab 1. Juni 2005 zu.
5.5.
5.5.1. Die PUK wurde nicht nur in das Verwaltungsverfahren der Invalidenversicherung einbezogen, sondern auch zum entsprechenden gerichtlichen Beschwerdeverfahren beigeladen.
5.5.2. Die Fragen, die sich in Bezug auf die Leistungspflicht der PUK stellen, waren auch für die invalidenversicherungsrechtliche Beurteilung relevant: Art. 16 lit. a Abs. 1 Reglement vermittelt Anspruch auf eine Invalidenrente bei "Erwerbsunfähigkeit im Sinne der Eidgenössischen Invalidenversicherung", wobei die Auszahlung der Rente erst nach Ablauf der in Ziff. 3 des spezifischen Vorsorgeplans vom 8. August 2003 aufgeführten Wartefrist von 24 Monaten erfolgt. Art. 16 lit. a Abs. 2 Reglement verweist für den "Grad der Erwerbsunfähigkeit" auf den "von der Eidg. IV festgesetzten Grad". Damit steht fest, dass der reglementarische Invaliditätsbegriff jenem der Invalidenversicherung entspricht. Was den Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit und den Einkommensvergleich anbelangt, so gelten für die PUK mangels (abweichender) reglementarischer Bestimmung ebenfalls die invalidenversicherungsrechtlichen Vorgaben (<ref-law> resp. <ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung; <ref-law>).
Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zum Vorliegen einer "Mischverfügung" und der in diesem Zusammenhang stehende Verweis auf das Urteil B 92/06 vom 13. März 2007betreffen den sachlichen Konnex (E. 5.1.1; vgl. Urteile B 92/06 vom 13. März 2007 E. 4.2 in fine und E. 4.3; B 34/01 vom 15. November 2001 E. 2b; HANS-ULRICH STAUFFER, Die berufliche Vorsorge BVG/FZG/ZGB/OR/FusG/ ZPO, 3. Aufl. 2013, S. 60 f.). Die Vorinstanz sprach dem Beschwerdegegner die Rente der Invalidenversicherung aufgrund seiner psychischen Beschwerden und einer Neurodermitis zu. Es ist nicht ersichtlich und wird auch nicht (substanziiert) geltend gemacht, dass diese Leiden die Arbeitsfähigkeit nicht auch schon während der Versicherungsdauer einschränkten. Was die Phase vor Versicherungsbeginn bei der Beschwerdeführerin (1. Juli 2003) anbelangt, so war für die Invalidenversicherung hinsichtlich der Arbeits (un) fähigkeit die Zeit ab September 2002 massgeblich, da nach der bis 31. Dezember 2007 geltenden Bestimmung von <ref-law> eine Rentenzahlung bereits ab September 2003 in Betracht fiel.
5.5.3. Das kantonale Gericht stützte sich im Entscheid vom 18. Juni 2008 für seine Feststellungen zur Arbeitsunfähigkeit und deren Eintritt (E. 5.4.2) auf die medizinische Aktenlage. Zwar litt der Beschwerdegegner schon vor Beginn des Versicherungsverhältnisses unter gesundheitlichen Beeinträchtigungen, und im Bericht der psychiatrischen Universitätsklinik Basel vom 9. November 2004 wurde ihm (retrospektiv; vgl. Urteil 9C_599/2013 vom 24. Februar 2014 E. 4.2.2) eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von "mind. 20 % seit Jahren" attestiert. Diese Umstände genügen indessen nicht, die hier interessierenden Feststellungen der Vorinstanz als offensichtlich unhaltbar erscheinen zu lassen, zumal dieser keine echtzeitliche Bescheinigung einer vor Versicherungsbeginn eingetretenen und seither ununterbrochen anhaltenden (E. 5.1.1 Abs. 2) Arbeitsunfähigkeit vorlag.
Es ist auch nicht willkürlich, dass das Valideneinkommen wesentlich höher als der 2003 bei der PUK versicherte Jahresverdienst festgesetzt wurde: Anders als bei diesem handelt es sich bei jenem um das hypothetische Erwerbseinkommen, das die versicherte Person erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre (<ref-law>). Bei dessen Festsetzung - für das hier massgebliche Vergleichsjahr 2005 (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 224) - griff das kantonale Gericht auf ein früher tatsächlich erzieltes Einkommen und nicht auf die Tätigkeit als Selbstständigerwerbender (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.6 S. 64) zurück. Indessen hätte es angesichts des Umstandes, dass die frühere Anstellung (soweit ersichtlich) nicht krankheitsbedingt aufgegeben worden war, praxisgemäss auch auf die Lohnstrukturerhebung des Bundesamtes für Statistik (LSE) abstellen können. Dabei wäre dem beruflichen Werdegang und der durch das Nachdiplomstudium gesteigerten beruflichen Qualifikation durch die Wahl des entsprechenden Wirtschaftszweiges und die Berücksichtigung des Anforderungsniveaus 1+2 (Verrichtung höchst anspruchsvoller und schwierigster resp. selbstständiger und qualifizierter Arbeiten) Rechnung zu tragen gewesen. Gemäss LSE 2004, Tabelle TA7, Position 13 (Restaurieren, Kunsthandwerk) hätte sich ein monatlicher Bruttolohn von Fr. 5'438.- ergeben, woraus unter Berücksichtigung der betriebsüblichen Wochenarbeitszeit (41,6 Stunden) und der Teuerung (0,9 %) für das Jahr 2005 ein Jahreslohn von Fr. 68'477.- resultiert hätte. Damit ist auch die invalidenversicherungsrechtliche Invaliditätsbemessung nicht offensichtlich unhaltbar.
5.6. Bei diesem (Zwischen-) Ergebnis war die Vorinstanz nicht verpflichtet, im Klageverfahren weitere Abklärungen und Feststellungen zum Beginn der Arbeitsunfähigkeit oder zum Valideneinkommen zu treffen. Auf die entsprechenden Vorbringen der Beschwerdeführerin ist nicht näher einzugehen. Die PUK ist gegenüber dem Beschwerdegegner für eine Erwerbsunfähigkeit von 59 % leistungspflichtig.
6.
In Bezug auf die Rückforderung von zu hoch ausgefallenen Rentenzahlungen (E. 4.1) macht die Beschwerdeführerin einzig geltend, dass nicht die einjährige Verjährungsfrist von Art. 35a Abs. 2 BVG, sondern die zehnjährige von <ref-law> zur Anwendung komme. Dabei übersieht sie, dass laut Art. 49 Abs. 2 Ziff. 4 BVG (in Verbindung mit Art. 5 Abs. 2 BVG) die Vorschriften über die Rückerstattung zu Unrecht bezogener Leistungen gemäss Art. 35a BVG auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung finden. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt unbegründet.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Die Ausnahmeregelung von <ref-law> ist nicht anwendbar, da die Vorsorgeeinrichtung in ihrem Vermögensinteresse handelt. Ausserdem hat der Beschwerdegegner Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'784.70 zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Dormann