Faits:
A. Par jugement du 19 janvier 2006, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: le Tribunal correctionnel) a condamné A._ à quatre ans et demi de réclusion pour lésions corporelles graves, vol qualifié, utilisation frauduleuse d'un ordinateur, tentative d'utilisation frauduleuse d'un ordinateur, recel, injure, opposition aux actes de l'autorité, infraction à la Loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers, violation grave des règles de la circulation et ivresse au volant. Le Tribunal correctionnel a notamment retenu les faits suivants:
Dans la nuit du 2 au 3 décembre 2004, A._, qui avait consommé une quantité indéterminée d'alcool, a abordé B._, qui exerçait une activité de prostituée à Lausanne. Après avoir convenu d'entretenir une relation sexuelle contre paiement de 100 fr. pour vingt minutes, ils se sont rendus au domicile de B._. Durant la relation sexuelle, A._ s'est montré passablement agressif et brutal et a injurié sa partenaire en la traitant de "salope" et de "putain". Après une vingtaine de minutes, B._ lui a demandé de payer un supplément s'il voulait continuer. Enervé et insatisfait de la prestation fournie, A._ a refusé et a exigé de récupérer les 100 fr. qu'il avait déjà payés, sans quoi il appellerait la police. Il a ensuite fait semblant d'appeler la police, puis a demandé à B._ de lui donner ses clés. Celle-ci a refusé, craignant que A._ ne lui vole le produit de son travail, s'élevant à 500 fr. Il s'en est alors pris physiquement à elle, en la saisissant par les cheveux et le cou, en la serrant avec force et en la soulevant tout en maintenant la pression sur la gorge. Il lui a mordu la main avant de lui subtiliser ses clés. Il a ensuite tenté de s'emparer du sac contenant l'argent de sa victime. Comme elle essayait de l'en empêcher, il s'est jeté sur elle, la faisant tomber sur le lit, puis s'est assis à cheval sur elle et lui a tiré les cheveux. En se débattant, B._ a réussi à le repousser, mais il est revenu et lui a donné un coup de poing au milieu de la figure, puis a continué à frapper, avec ses poings renfermant les clés, sur le front et les mains de la victime, qui tentait de se protéger. A._ l'a encore saisie au cou, tout en continuant à la frapper au visage et sur le torse. Il s'est emparé du sac et a pris tout l'argent qu'il contenait. Il a à nouveau repoussé la victime au sol et lui a donné plusieurs coups de pieds au visage et dans le dos. Il l'a encore griffée sur la poitrine, lui a cassé une chaise sur le dos et l'a frappée avec un morceau de la chaise. Enfin, au moment de partir, il est revenu sur ses pas pour lui asséner encore deux coups de pied, l'un au visage et l'autre dans le dos, tout en lui déclarant "tu as eu ce que tu voulais". Selon les constatations médicales, B._ a souffert de contusions faciales, cervicales, du poignet droit et de la main gauche. Une fracture nasale a également été constatée, ainsi que diverses ecchymoses et écorchures sur plusieurs endroits du corps. La vie de la victime a été mise en danger lors de l'agression au cou. Enfin, elle a subi des séquelles d'ordre psychologique.
Les faits retenus par le Tribunal correctionnel quant au déroulement de l'agression correspondent à la version donnée par B._. Confrontés à une version différente de A._, les premiers juges l'ont écartée. Ils ont acquis la conviction que seule la version de la victime correspondait à la réalité. Malgré quelques variations sur des points de détail, ils ont estimé que les explications fournies par la victime étaient sensiblement plus crédibles que celles données par A._, qui "n'a cessé de mentir, de louvoyer, de se contredire et de modifier sa version des faits en fonction de ce que l'instruction révélait". La conviction du tribunal se fondait également sur l'appréciation de la personnalité des protagonistes ainsi que sur la comparaison de la vraisemblance des deux versions.
B. A._ a recouru contre ce jugement auprès de la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui l'a confirmé par arrêt du 24 février 2006. En substance, le Tribunal cantonal a considéré que le Tribunal correctionnel n'avait pas fait preuve d'arbitraire en privilégiant la version de B._. Les premiers juges avaient en effet soigneusement examiné les déclarations des protagonistes et avaient longuement exposé les motifs pour lesquels cette version avait été retenue. Le principe de la présomption d'innocence n'avait donc pas été violé.
C. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il invoque les art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH pour se plaindre d'une violation du principe de la présomption d'innocence. Il se plaint également d'arbitraire dans l'appréciation des preuves (art. 9 Cst.). Il requiert en outre l'assistance judiciaire gratuite.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 573; <ref-ruling> consid. 1 p. 317 et les arrêts cités).
1.1 Le pourvoi en nullité à la Cour de cassation pénale du Tribunal fédéral n'étant pas ouvert pour se plaindre d'une appréciation arbitraire des preuves et des constatations de fait qui en découlent (<ref-ruling> consid. 2a p. 83) ni pour invoquer une violation directe d'un droit constitutionnel ou conventionnel, tel que la maxime "in dubio pro reo" consacrée aux art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH (<ref-ruling> consid. 2b p. 107; <ref-ruling> consid. 2b p. 35 s.), la voie du recours de droit public est ouverte à cet égard (art. 84 al. 2 OJ). Pour le surplus, la condamnation du recourant se trouve confirmée par l'arrêt attaqué, de sorte qu'il a qualité pour contester ce prononcé (art. 88 OJ).
1.1 Le pourvoi en nullité à la Cour de cassation pénale du Tribunal fédéral n'étant pas ouvert pour se plaindre d'une appréciation arbitraire des preuves et des constatations de fait qui en découlent (<ref-ruling> consid. 2a p. 83) ni pour invoquer une violation directe d'un droit constitutionnel ou conventionnel, tel que la maxime "in dubio pro reo" consacrée aux art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH (<ref-ruling> consid. 2b p. 107; <ref-ruling> consid. 2b p. 35 s.), la voie du recours de droit public est ouverte à cet égard (art. 84 al. 2 OJ). Pour le surplus, la condamnation du recourant se trouve confirmée par l'arrêt attaqué, de sorte qu'il a qualité pour contester ce prononcé (art. 88 OJ).
1.2 1.2.1 Pour être recevable, un recours de droit public doit cependant contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation (art. 90 al. 1 let. b OJ). Lorsqu'il est saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'a donc pas à vérifier de lui-même si l'arrêt entrepris est en tous points conforme à la Constitution. Il n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours. Le recourant ne saurait se contenter de soulever de vagues griefs ou de renvoyer aux actes cantonaux (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 261, 26 consid. 2.1 p. 31; <ref-ruling> consid. 1c p. 76). En outre, dans la mesure où le recourant se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.), il ne peut se contenter de critiquer l'arrêt attaqué comme il le ferait dans une procédure d'appel où l'autorité de recours peut revoir librement l'application du droit. Il doit préciser en quoi cet arrêt serait arbitraire, ne reposerait sur aucun motif sérieux et objectif, apparaîtrait insoutenable ou heurterait gravement le sens de la justice (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 262; <ref-ruling> consid. 1b p. 495; <ref-ruling> consid. 2a p. 3 s.).
1.2.2 Le grief concernant la diminution de responsabilité ne satisfait pas aux exigences minimales de motivation précitées, le recourant ne précisant du reste pas quel droit constitutionnel serait violé à cet égard. De plus, malgré les explications claires du Tribunal cantonal à ce sujet, le recourant continue d'affirmer que les premiers juges n'ont pas exclu les conclusions de l'expert, sans toutefois démontrer, ni même alléguer, que l'autorité attaquée aurait procédé à une appréciation arbitraire des preuves. Par ailleurs, dans la mesure où le recourant se plaint du fait que l'autorité attaquée n'a pas suffisamment pris en considération une diminution de responsabilité au sens des art. 11 et 66 CP, il aurait dû le faire dans un pourvoi en nullité (art. 268 ss PPF) et non dans le cadre du recours de droit public, qui est subsidiaire (art. 84 al. 2 OJ; art. 269 al. 2 PPF). Ce moyen est donc irrecevable.
2. Le recourant se plaint d'une violation du principe de la présomption d'innocence et d'arbitraire dans l'appréciation des preuves.
2.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 17; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 219, 57 consid. 2 p. 61; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 178).
2.1.1 L'appréciation des preuves est en particulier arbitraire lorsque le juge de répression n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9). Il en va de même lorsqu'il retient unilatéralement certaines preuves ou lorsqu'il rejette des conclusions pour défaut de preuves, alors même que l'existence du fait à prouver résulte des allégations et du comportement des parties (<ref-ruling> consid. 1b p. 30). Il ne suffit pas qu'une interprétation différente des preuves et des faits qui en découlent paraisse également concevable pour que le Tribunal fédéral substitue sa propre appréciation des preuves à celle effectuée par l'autorité de condamnation, qui dispose en cette matière d'une grande latitude. En serait-il autrement, que le principe de la libre appréciation des preuves par le juge du fond serait violé (ATF <ref-ruling> consid. 2d p. 37 s.).
2.1.2 Lorsque, comme en l'espèce, l'autorité cantonale de recours avait, sur les questions posées dans le recours de droit public, une cognition semblable à celle du Tribunal fédéral, ce dernier porte concrètement son examen sur l'arbitraire du jugement de l'autorité inférieure, à la lumière des griefs soulevés dans l'acte de recours. Cependant, pour se conformer aux exigences de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, le recourant ne peut pas simplement reprendre les critiques qu'il a formulées en instance cantonale devant l'autorité de cassation, mais il doit exposer pourquoi cette dernière aurait refusé à tort de qualifier d'arbitraire l'appréciation des preuves par l'autorité de première instance. Le Tribunal fédéral se prononce librement sur cette question (ATF <ref-ruling> consid. 1a/cc et 1b p. 495 et les arrêts cités).
2.2 La présomption d'innocence est garantie par l'art. 6 ch. 2 CEDH et par l'art. 32 al. 1 Cst., qui ont la même portée. Elle a pour corollaire le principe "in dubio pro reo", qui concerne tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves. En tant que règle de l'appréciation des preuves, ce principe, dont la violation n'est invoquée que sous cet angle par le recourant, signifie que le juge ne peut se déclarer convaincu d'un état de fait défavorable à l'accusé, lorsqu'une appréciation objective de l'ensemble des éléments de preuve laisse subsister un doute sérieux et insurmontable quant à l'existence de cet état de fait (<ref-ruling> consid. 2a p. 41; <ref-ruling> consid. 2a p. 88; <ref-ruling> consid. 2c p. 37). Le Tribunal fédéral ne revoit les constatations de fait et l'appréciation des preuves que sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2a p. 41; <ref-ruling> consid. 4 p. 211; <ref-ruling> consid. 2d p. 37/38). Il examine en revanche librement la question de savoir si, sur la base du résultat d'une appréciation non arbitraire des preuves, le juge aurait dû éprouver un doute sérieux et insurmontable quant à la culpabilité de l'accusé; dans cet examen, il s'impose toutefois une certaine retenue, le juge du fait, en vertu du principe de l'immédiateté, étant mieux à même de résoudre la question (cf. arrêts non publiés 1P.454/2005 du 9 novembre 2005, consid. 2.1; 1P.428/2003 du 8 avril 2004, consid. 4.2, et 1P.587/2003 du 29 janvier 2004, consid. 7.2).
3. 3.1 En l'espèce, le recourant reproche en substance au Tribunal cantonal d'avoir fait preuve d'arbitraire en confirmant l'appréciation des premiers juges, privilégiant la version de la victime à la sienne. Aucun des motifs fondant ce choix ne serait convaincant. Le recourant estime d'abord que sa version des faits serait tout aussi crédible que la version retenue, les variations mineures de ses déclarations étant "contrebalancé[e]s par les différences frappant les récits de la victime". De plus, dans l'appréciation de la personnalité de la victime, l'autorité attaquée aurait perdu de vue que celle-ci exerçait une activité de prostituée et qu'elle était en situation irrégulière. Enfin, le recourant estime que sa version n'est pas incohérente et allègue que le rapport médical n'est pas décisif, dès lors qu'il n'a jamais contesté avoir donné des coups à sa victime.
3.2 Comme l'a justement relevé le Tribunal cantonal, les premiers juges ont soigneusement examiné les déclarations des deux protagonistes et exposé les motifs pour lesquels ils avaient privilégié la version de la victime. Le Tribunal correctionnel a d'abord constaté, à juste titre, que le recourant avait menti et qu'il avait modifié sa version des faits à mesure que l'instruction progressait. De plus, s'il est vrai que les déclarations de la victime ont subi quelques variations, il n'était en tout cas pas insoutenable de considérer que ces modifications ne portaient que sur des points de détail et qu'elles étaient compréhensibles compte tenu du traumatisme résultant de l'agression. Au demeurant, le recourant se borne à dire que les variations dans ses propres déclarations ne concernent que des points mineurs et se contente de répéter, de manière peu convaincante, que sa version des faits est plausible; il ne démontre cependant pas en quoi l'autorité attaquée aurait fait preuve d'arbitraire en donnant plus de crédit aux explications de la victime.
Par ailleurs, s'agissant de la personnalité des protagonistes, l'argument du recourant selon lequel la victime exerçait une profession "qui est loin d'être honorable" est particulièrement malvenu, eu égard notamment au fait qu'il est également condamné pour avoir proféré des injures en relation avec la profession en question. On ne voit du reste pas en quoi le fait que la victime exerçait une activité de prostituée devrait la desservir dans l'appréciation de sa crédibilité. De même, l'hypothèse selon laquelle elle se trouverait en situation irrégulière n'est pas déterminante, étant précisé que le recourant faisait lui même l'objet d'une interdiction d'entrée en Suisse.
Enfin, c'est à tort que le recourant dénie toute portée au rapport médical figurant au dossier. En effet, s'il est vrai que ce rapport n'était pas décisif pour établir que le recourant avait frappé sa victime - puisqu'il le reconnaît - il était en revanche utile à l'appréciation des faits, dès lors qu'il relève que les lésions constatées sont compatibles avec les dires de la victime.
3.3 Dans ces circonstances, on ne peut que constater avec l'autorité attaquée que le Tribunal correctionnel a fondé son appréciation sur un examen soigné des déclarations des protagonistes ainsi que sur des éléments concrets, le recourant ne démontrant pas en quoi cette appréciation serait insoutenable. C'est donc à juste titre que le Tribunal cantonal a considéré que les premiers juges n'avaient pas usé de leur large pouvoir d'appréciation des preuves de manière arbitraire. Dès lors qu'au terme de cette appréciation des preuves exempte d'arbitraire il ne subsiste pas de doute sérieux et irréductible quant à la culpabilité du recourant, le grief tiré de la violation de la présomption d'innocence doit être rejeté.
4. Manifestement mal fondé, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Dès lors que les conclusions du recourant paraissaient d'emblée vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne lui est pas accordée (art. 152 al. 1 OJ). Le recourant, qui succombe, doit supporter un émolument judiciaire (art. 156 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Un émolument judiciaire de 2000 fr. est mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie au recourant et à la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 11 août 2006
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: