Sachverhalt:
A. Am 25. August 2006 ersuchte X._ beim Regierungsrat des Kantons Aargau unter Berufung auf einen "Anspruch auf gesunde Luft" um Schutz vor übermässigen Einwirkungen. Sie berief sich auf das Umweltrecht des Bundes, die polizeiliche Generalklausel sowie den Anspruch auf Schutz des Privat- und Familienlebens nach Art. 8 EMRK. In ihrer Eingabe verlangte sie vom Regierungsrat verschiedene Massnahmen zur Reduktion der Luftschadstoffe: Innerhalb eines Jahres sei alles vorzukehren, um die Einhaltung der Immissionsgrenzwerte betreffend Feinstaub (PM10), Ozon (O3) und Stickoxiden (NOx) durch Emissionsbegrenzungen sicherzustellen. Zudem verlangte X._ unter anderem spezifische Massnahmen zur Emissionsreduktion bei stationären und mobilen Quellen, eine intensivere Information der Öffentlichkeit über die Gesundheits- und Klimaschädlichkeit von luftverschmutzenden Tätigkeiten und mögliche gesundheitsverträgliche Alternativen sowie Deklarationen bezüglich der Gesundheits- und Klimaschädlichkeit der Verbrennung von Treibstoffen im Sinne von Art. 27 USG.
Mit Entscheid vom 1. November 2006 trat der Regierungsrat auf die Begehren von X._ nicht ein. Er nahm die Eingabe jedoch als Petition entgegen und beantwortete diese im Sinne der Erwägungen.
B. Gegen diesen Entscheid gelangte X._ mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau mit den Begehren:
"1. Ziff. 1 des Beschlusses der Vorinstanz vom 1. November 2006 sei aufzuheben.
2. Es sei festzustellen, dass die bis zum 25. August 2006 durch den Kanton Aargau getroffenen Massnahmen zum Schutz der Gesundheit und des Privat- und Familienlebens der Beschwerdeführerin vor Immissionen durch Luftschadstoffe bzw. das Unterlassen von geeigneten Massnahmen zu ihrem Schutz bis zum jetzigen Zeitpunkt Art. 8 EMRK verletzen und es sei festzustellen, dass der Kanton Aargau verpflichtet wird, innert kurzer Frist mittels geeigneter Massnahmen, insbesondere einer Anpassung und Umsetzung der Massnahmenplanung vorzukehren, dass die Immissionsgrenzwerte (IGW) der Luftreinhalte-Verordnung des Bundes (LRV) im Interesse des Schutzes der Gesundheit und des Privat- und Familienlebens der Beschwerdeführerin sowie ihres Sohnes A._ eingehalten werden. Es seien zum Schutz der Gesundheit und des Wohlbefindens der Beschwerdeführerin und ihres Sohnes A._ innerhalb eines Jahres Massnahmen anzuordnen, welche die Einhaltung der Immissionsgrenzwerte betreffend Feinstaub, Ozon und Stickoxiden sicherstellen oder einen erheblichen Beitrag dazu leisten.
3. Es sei festzustellen, dass der Kanton Aargau verpflichtet ist, im Rahmen seiner Zuständigkeiten weitere Pflichten für Dieselpartikelfilter und DeNOx-Katalysatoren bei Dieselfahrzeugen einzuführen. Es seien die entsprechenden Massnahmen unverzüglich anzuordnen.
4. Es sei festzustellen, dass der Kanton Aargau verpflichtet ist, weitere zielführende Öffentlichkeitsarbeit zu leisten, um das diesbezügliche Luftreinhaltungs-Potenzial zum Schutz der Gesundheit und des Privat- und Familienlebens der Beschwerdeführerin und ihres Sohnes A._ auszuschöpfen. Es seien die entsprechenden Massnahmen unverzüglich anzuordnen.
5. Es sei festzustellen, dass der Kanton Aargau verpflichtet ist, zum Schutz der Gesundheit und des Familien- und Privatlebens der Beschwerdeführerin und ihres Sohnes A._ weitere Temporeduktionen aufgrund lufthygienischer Belastungssituationen anzuordnen. Es seien die entsprechenden Massnahmen ohne Verzug anzuordnen.
6. Es sei festzustellen, dass der Kanton Aargau verpflichtet ist, zum Schutz der Gesundheit und des Privat- und Familienlebens der Beschwerdeführerin sowie ihres Sohnes A._ Transitverbote und Sperrzonen für den Schwerverkehr in stark bewohnten Gebieten für Zeiten hoher Belastung einzuführen inkl. eines Frühwarnsystems, welches diese Massnahmen präventiv anwendbar macht. Es seien die entsprechenden Verbote und Zonen ohne Verzug anzuordnen.
7. Es sei festzustellen, dass der Kanton Aargau verpflichtet ist, partielle Fahrverbote bzw. gezielte Verkehrsbeschränkungen für den ozon- oder feinstaubrelevanten Privatverkehr in Zeiten zu erwartender Grenzwertüberschreitungen (lufthygienischen Ausnahmesituation) zum Schutz der Gesundheit und des Privatlebens der Beschwerdeführerin einzuführen und es seien solche Verkehrsbeschränkungen anzuordnen bzw. es seien die Grundlagen dafür zu schaffen, dass raschmöglichst gezielte Verkehrsbeschränkungen angeordnet werden, um den Schutz der Beschwerdeführerin im Rahmen der Rechtsordnung zu gewährleisten.
8. Der Beschwerdeführerin seien die amtlichen Akten zur Einsichtnahme zur Verfügung zu stellen und es sei ihr eine angemessene Frist zur Beschwerdeergänzung einzuräumen."
Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 30. Oktober 2007 ab, soweit es darauf eintrat.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. Dezember 2007 beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 30. Oktober 2007 sei aufzuheben. Zudem wiederholt sie im Wesentlichen die bereits vor Verwaltungsgericht gestellten Anträge. In einem Eventualantrag verlangt sie überdies, das Gesuch sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz oder an eine unabhängige Verwaltungsinstanz im Sinne von Art. 13 EMRK zu überweisen, welche sich materiell mit den Anliegen der Beschwerdeführerin auseinandersetze.
Die Beschwerdeführerin leitet aus Art. 10 Abs. 2 BV und Art. 8 EMRK einen Anspruch auf staatlichen Schutz vor übermässigen Schadstoffen in der Luft ab und beruft sich dabei auf die Immissionsgrenzwerte der Luftreinhalte-Verordnung des Bundes vom 16. Dezember 1985 (SR 814.318.142.1) sowie Art. 11 Abs. 3 USG (SR 814.01). Sie macht geltend, dass ihre Eingabe vom Regierungsrat zu Unrecht nicht materiell behandelt worden sei und dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts die Art. 8 EMRK und 10 Abs. 2 BV verletze.
D. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) hält den angefochtenen Entscheid für rechtlich haltbar, stellt jedoch keinen Antrag zum Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens. Mit Eingabe vom 7. Juli 2008 hält die Beschwerdeführerin an ihren Anträgen und an ihrer Rechtsauffassung fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Urteil des Verwaltungsgerichts handelt es sich um einen mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbaren Endentscheid (Art. 82, 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Eine Ausnahme gemäss Art. 83 ff. BGG liegt nicht vor.
1. 1.1 Beim angefochtenen Urteil des Verwaltungsgerichts handelt es sich um einen mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbaren Endentscheid (Art. 82, 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Eine Ausnahme gemäss Art. 83 ff. BGG liegt nicht vor.
1.2 Das Verwaltungsgericht hatte im angefochtenen Entscheid zu beurteilen, ob der Regierungsrat auf das Gesuch der Beschwerdeführerin zu Recht nicht eingetreten ist. Es kam zum Schluss, es bestünden keine Anhaltspunkte, dass die Beschwerdeführerin von der Überschreitung gewisser Immissionsgrenzwerte objektiv betrachtet stärker betroffen sei als die übrige Bevölkerung, weshalb ihr die Beschwerdebefugnis fehle. Der Regierungsrat sei somit auf ihr Gesuch zu Recht nicht eingetreten. Daran ändere auch Art. 13 EMRK nichts, da Frist- und Formvorschriften mit dieser Bestimmung vereinbar seien, wenn sie das Beschwerderecht nicht grundsätzlich aushöhlten.
Beschwerdegegenstand im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren bildet somit lediglich die Frage der Rechtsmittelbefugnis der Beschwerdeführerin. Zur materiellen Notwendigkeit der beantragten Massnahmen hat der Regierungsrat Stellung genommen, als er das Gesuch der Beschwerdeführerin im Rahmen einer Petition entgegen nahm. Die Petitionsantwort ist im bundesgerichtlichen Verfahren nicht umstritten.
1.3 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass.
2. Die Beschwerdebefugnis im kantonalen Verfahren ist in § 38 Abs. 1 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 9. Juli 1968 (VRPG/AG) geregelt. Sie entspricht nach der Praxis des Verwaltungsgerichts inhaltlich der Legitimationsvorschrift gemäss Art. 103 lit. a des früheren Organisationsgesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG). Seit dem Inkrafttreten des BGG am 1. Januar 2007 befindet sich die entsprechende bundesrechtliche Bestimmung zum Beschwerderecht in Art. 89 Abs. 1 BGG (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 252 f.). In Art. 111 BGG wird der Grundsatz der Einheit des Verfahrens ausdrücklich festgehalten. Danach muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können, wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist (Art. 111 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, die Legitimation im kantonalen Verfahren bestünde in weitergehendem Umfang als nach dem in Art. 89 BGG gewährleisteten Beschwerderecht.
2.1 Gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (Art. 89 Abs. 1 BGG). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG), dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (Art. 89 Abs. 1 lit. b BGG) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG). Diese Anforderungen sollen die Popularbeschwerde ausschliessen. Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann. Die Voraussetzungen von Art. 89 Abs. 1 lit. b und lit. c BGG hängen eng zusammen; insgesamt kann insoweit an die Grundsätze, die zur Legitimationspraxis bei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach Art. 103 lit. a OG entwickelt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 51 f., 379 E. 4b S. 386 f.), angeknüpft werden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 252 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 413; mit weiteren Hinweisen).
2.2 Im Zusammenhang mit dem Bau und Betrieb von Anlagen, welche zu unerwünschten Immissionen führen können, anerkennt das Bundesgericht die für die Beschwerdeberechtigung notwendige Beziehungsnähe, wenn die Einsprecher von den Immissionen betroffen werden. Sind solche Beeinträchtigungen zu erwarten, ändert auch der Umstand, dass eine grosse Anzahl von Personen betroffen ist, nichts an der Einsprache- und Beschwerdebefugnis. So hat das Bundesgericht schon erkannt, dass bei grossflächigen Immissionen ein sehr weiter Kreis Betroffener zur Beschwerdeführung legitimiert sein kann (z.B. Anwohner eines Flughafens: <ref-ruling> E. 3a S. 303 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 318; einer Schiessanlage: <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 188 mit Hinweisen; eines Fabrikgebäudes für die Verarbeitung gentechnisch veränderter Mikroorganismen: <ref-ruling> E. 4c S. 387 mit weiteren Hinweisen; s. auch <ref-ruling> E. 2b S. 178). In dicht besiedelten Gebieten kann somit grundsätzlich sehr vielen Personen die Beschwerdelegitimation zukommen, ohne dass von einer Popularbeschwerde gesprochen werden müsste (<ref-ruling> E. 2b S. 178; <ref-ruling> E. 4c S. 387; <ref-ruling> E. 1c S. 102; je mit weiteren Hinweisen). Bei der Festsetzung der Immissionsgrenzwerte müssen auch die Wirkungen der Immissionen auf Personen mit erhöhter Empfindlichkeit, wie Kinder, Kranke, Betagte und Schwangere berücksichtigt werden (Art. 13 Abs. 2 USG). Personen, die von Überschreitungen der Immissionsgrenzwerte betroffen sind und ihre Betroffenheit hinreichend belegen (s. E. 2.5 hiernach), können in Anwendung der Grundsätze der erwähnten bundesgerichtlichen Praxis zur Beschwerde legitimiert sein.
2.3 Die erwähnte bundesgerichtliche Praxis zum Beschwerderecht kann grundsätzlich auch auf Fälle übertragen werden, in welchen betroffene Privatpersonen von der zuständigen Behörde den Erlass einer Verfügung verlangen und - falls die Behörde in einem solchen Fall untätig bleibt - Rechtsverweigerungsbeschwerde erheben, um auf diese Weise den Vollzug des Umweltrechts im Einzelfall zu erzwingen (vgl. TRÜEB, Rechtsschutz gegen Luftverunreinigung und Lärm, Zürich 1990, S. 205 ff.; GÄCHTER, Durchsetzung von Sanierungspflichten mittels Rechtsverweigerungsbeschwerde, in: Umweltrecht in der Praxis [URP] 2005 S. 775 ff.). Voraussetzung für eine Rechtsverweigerungsbeschwerde ist, dass die Rechtssuchenden zuvor ein Begehren auf Erlass einer Verfügung bei der zuständigen Behörde gestellt haben und ein Anspruch auf Erlass einer solchen Verfügung besteht (KÖLZ/HÄNER, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl. 1998, S. 255; MOSER/UEBERSAX, Prozessieren vor eidgenössischen Rekurskommissionen, 1998, Rz. 5.1 ff.). Ein solcher Anspruch besteht unter anderem dann, wenn die gesuchstellende Person Parteistellung beanspruchen kann (KÖLZ/HÄNER, a.a.O., S. 78, S. 255). Fehlt es einer Person, welche ausdrücklich den Erlass einer Verfügung verlangt hat, an der Parteieigenschaft, hat die Behörde eine anfechtbare Nichteintretensverfügung zu erlassen (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.5 S. 525 f., mit Hinweisen).
2.4 Mit dem angefochtenen Entscheid hat das Verwaltungsgericht sinngemäss nicht nur die Beschwerdeberechtigung in der Sache, sondern auch die Parteieigenschaft der Beschwerdeführerin verneint, weil sie über keine besondere Beziehungsnähe zur Streitsache verfüge. Die Vorinstanz konnte keine Anhaltspunkte erkennen, dass die Beschwerdeführerin von der Überschreitung gewisser Immissionsgrenzwerte objektiv betrachtet stärker betroffen sei als die übrige Bevölkerung. Das BAFU teilt diese Auffassung, indem es ausführt, die Beschwerdeführerin habe zwar wie die übrige Bevölkerung ein Interesse daran, dass die Immissionsgrenzwerte eingehalten werden, dies allein begründe jedoch keine hinreichende Betroffenheit. Die Beschwerdeführerin wendet dagegen ein, § 20 Abs. 1 VRPG/AG schreibe die Sachverhaltsermittlung von Amtes wegen vor. Die Behörden hätten den massgebenden Sachverhalt nicht vollständig ermittelt und den Nichteintretensentscheid in Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes gefällt.
2.5 Der Untersuchungsgrundsatz entbindet die Rechtsuchenden nicht davon, ihrerseits zur Feststellung des Sachverhalts beizutragen. Eine derartige Mitwirkungspflicht der Parteien besteht unter anderem in Verfahren, welche sie durch ihr Begehren einleiten (§ 21 VRPG/AG, s. auch Art. 13 Abs. 1 lit. a VwVG). Hierzu gehört auch das Gesuch der Beschwerdeführerin. Die Mitwirkungspflicht gilt gerade für solche Tatsachen, welche eine Partei besser kennt als die Behörden und welche diese ohne Mitwirkung der Betroffenen gar nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand erheben können (<ref-ruling> E. 2e S. 101 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 365 mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> unveröffentlichte E. 4.1 mit Hinweisen). Die Mitwirkungspflicht bezieht sich auch auf das Beschwerderecht, welches als Sachurteilsvoraussetzung grundsätzlich von Amtes wegen zu prüfen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 251). Die Rechtsuchenden haben in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen vorliegen, soweit diese nicht ohne Weiteres ersichtlich sind.
2.6 Im vorliegenden Verfahren beklagt die Beschwerdeführerin zahlreiche gesundheitliche Beeinträchtigungen, insbesondere ihres Sohnes A._, welche sie auf die Überschreitung der Immissionsgrenzwerte für verschiedene Luftschadstoffe zurückführt. Als einzigen Beleg für die geltend gemachten Beeinträchtigungen befindet sich in den Akten ein Schreiben eines Kinderarztes vom 14. Juni 2006, der bestätigt, dass er den Sohn der Beschwerdeführerin wegen chronischen Hustens, der seit November 2005 andauerte, behandelt habe. In diesem Schreiben wird weiter ausgeführt: "Es ist bekannt und entspricht meiner langjährigen Erfahrung als Kinderarzt, dass die hohe Schadstoffbelastung der Luft (insbesondere Feinstaub) mit vermehrten chronischen Atemwegserkrankungen einhergeht. Diese sind oft schwierig zu behandeln, besonders bei Kleinkindern, da die gängigen Hustenmittel schlecht wirken, und auch je nach Alter gar nicht angewendet werden können. [....] Seit dem Umzug von der Zürcher Badenerstrasse aufs Land ist es A._ besser gegangen. Sicher lohnt es sich, dafür zu sorgen, dass die Luft auch im schönen Aargau noch besser wird."
Damit wird - wie das Verwaltungsgericht zutreffend entschieden hat - nicht hinreichend dargelegt, dass die Beschwerdeführerin bzw. ihr Sohn von der Überschreitung gewisser Immissionsgrenzwerte objektiv betrachtet stärker betroffen ist als die übrige Bevölkerung. Auch die Berufung der Beschwerdeführerin auf Art. 8 und 13 EMRK führt zu keinem anderen Ergebnis. Der Strassburger Gerichtshof (EGMR) hat zwar in seiner Rechtsprechung aus der in Art. 8 EMRK enthaltenen Garantie des Schutzes des Privatlebens einen Anspruch auf Schutz vor schädlichen Immissionen abgeleitet und in diesem Zusammenhang auch gewisse Schutzpflichten des Staates bejaht (vgl. Übersicht über die Rechtsprechung bei Kälin/Künzli, Universeller Menschenrechtsschutz, 2005, S. 382 ff.). Indessen wird auch im Verfahren vor dem EGMR verlangt, dass ein Beschwerdeführer in seinen Rechten konkret eingeschränkt wird, um als Opfer einer EMRK-Verletzung zu gelten. Negative Umweltauswirkungen müssen in die Privatsphäre hineinreichen und sich dort mit einem bestimmten Schweregrad auswirken. Zwischen Schädigungswirkung und Privatsphäre muss ein enger Zusammenhang bestehen (vgl. SIEGWART/BÜHLER, Europa-Fenster URP zum Thema Luftreinhaltung in: URP 2006 S. 428 f.). Auf diese Weise soll auch vor dem EGMR die Popularbeschwerde (actio popularis) ausgeschlossen werden (vgl. VILLIGER, Handbuch der EMRK, 2. Auflage 1999, Rz. 152 und 175).
2.7 Es ergibt sich, dass der angefochtene Entscheid im Ergebnis nicht zu beanstanden ist, ohne dass auf die übrigen Rügen der Beschwerdeführerin weiter einzugehen wäre. Soweit die Beschwerdeführerin eine Verweigerung der Akteneinsicht (Art. 29 Abs. 2 BV), des Willkürverbots (Art. 9 BV) und des Anspruchs auf ein faires Verfahren (Art. 6 Ziff. 1 EMRK) rügt, ist nicht ersichtlich, inwiefern ihr gegenüber trotz fehlender Parteieigenschaft aus diesen Bestimmungen abgeleitete Rechte verletzt sein sollten. Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, sowie dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag