Sachverhalt:
A.
Der 1951 geborene A._ war zuletzt bis Oktober 2004 als Hilfskoch in einem Hotel erwerbstätig. Im Mai 2005 meldete er sich unter Hinweis auf chronische Rückenschmerzen und diabetische Neuropathie bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Bern führte erwerbliche und medizinische Abklärungen durch. Mit Verfügung vom 22. Februar 2006 sprach sie A._ mit Wirkung ab 1. Oktober 2005 eine Viertelsrente zu.
Die nunmehr zuständige IV-Stelle Schaffhausen veranlasste beim arbeitsmedizinischen Zentrum B._ eine rheumatologisch-orthopädische Begutachtung mit zusätzlicher Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit. Am 6. April 2010 teilte die IV-Stelle A._ mit, dass aufgrund der erfolgten Überprüfung weiterhin Anspruch auf die bisherige Viertelsrente bestehe.
Am 16. November 2011 ersuchte A._ wegen Verschlechterung des Gesundheitszustandes um Revision der Invalidenrente. Die IV-Stelle holte die Berichte des Dr. med. C._, Allgemeine Medizin FMH, vom 19. Juni 2012 und der Dr. med. D._, Spezialärztin für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 21. Juni 2012 ein und legte die Akten dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) vor, welcher am 20. Dezember 2011 und 4. Juli 2012 Stellung nahm. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle dem Versicherten mit Verfügungen vom 20. März und 5. April 2013 ab 1. November 2011 bei einem Invaliditätsgrad von 52 Prozent eine halbe Invalidenrente zu.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 31. März 2015 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente ab 1. November 2011. Zudem ersucht er um unentgeltliche Prozessführung.
IV-Stelle, kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 67 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 252, je mit Hinweisen). Unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es indessen nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, und ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgegriffen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 315, 65 E. 1.3 S. 67 f., je mit Hinweisen).
1.2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Es ist darin in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dabei ist konkret auf die für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz einzugehen und im Einzelnen zu zeigen, welche Vorschriften und weshalb sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 3.3 S. 60 und 133 IV 286 E. 1.4 S. 287). Nicht ausreichend ist es, wenn in der Beschwerdeschrift bloss die Rechtsstandpunkte bekräftigt werden, welche bereits im kantonalen Verfahren eingenommen wurden (<ref-ruling> E. 2 S. 116).
2.
Streitig ist der Anspruch auf eine ganze Invalidenrente.
Die Vorinstanz hat die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen und die dazu ergangene Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Hervorzuheben ist, dass sich die Frage der Verwertbarkeit der (Rest-) Arbeitsfähigkeit (auch bei vorgerücktem Alter; <ref-ruling> E. 3.1 S. 460) bezogenen auf einen ausgeglichenen Arbeitsmarkt beurteilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 70 f.), wobei an die Konkretisierung von Arbeitsgelegenheiten und Verdienstaussichten keine übermässigen Anforderungen zu stellen sind. Das fortgeschrittene Alter wird, obgleich an sich ein invaliditätsfremder Faktor, in der Rechtsprechung als Kriterium anerkannt, welches zusammen mit weiteren persönlichen und beruflichen Gegebenheiten dazu führen kann, dass die einer versicherten Person verbliebene Resterwerbsfähigkeit auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt realistischerweise nicht mehr nachgefragt wird, und dass ihr deren Verwertung auch gestützt auf die Selbsteingliederungslast nicht mehr zumutbar ist. Fehlt es an einer wirtschaftlich verwertbaren Resterwerbsfähigkeit, liegt eine vollständige Erwerbsunfähigkeit vor, die einen Anspruch auf eine ganze Invalidenrente begründet (<ref-ruling> E. 3.1 S. 459). Für den Zeitpunkt, in welchem die Frage nach der Verwertbarkeit der (Rest-) Arbeitsfähigkeit bei vorgerücktem Alter beantwortet wird, ist auf das Feststehen der medizinischen Zumutbarkeit einer (Teil-) Erwerbstätigkeit abzustellen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 462).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (vgl. E. 1 hievor) festgestellt, gemäss Bericht der behandelnden Psychiaterin Dr. med. D._ vom 10. November 2011 und Stellungnahme des RAD vom 20. Dezember 2011 habe sich der psychische Gesundheitszustand des Versicherten seit Mai 2011 wegen einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig mittelgradiger Episode mit somatischem Syndrom (ICD-10:F33.11) im Rahmen des metabolischen Syndroms erheblich verschlechtert. In somatischer Hinsicht sei der Gesundheitszustand mit den von Dr. med. C._ am 19. Juni 2012 angeführten Diagnosen: chronisches lumbospondylogenes Syndrom bei degenerativen Veränderungen der LWS (1998), chronisches Schulterschmerzsyndrom links bei degenerativen Veränderungen, chronische Knieschmerzen rechts bei Gonarthrose, Anstrengungsdyspnoe bei COPD, metabolisches Syndrom, somatoforme Störung laut Stellungnahme des RAD vom 4. Juli 2012 im Vergleich zur Beurteilung vom 6. April 2010 unverändert geblieben. Weiter hält die Vorinstanz fest, gestützt auf die medizinische Beurteilung, insbesondere die Einschätzung der zumutbaren Restarbeitsfähigkeit des RAD vom 4. Juli 2012, sei der Versicherte in der bisherigen Tätigkeit als Hilfskoch vollständig arbeitsunfähig. In einer angepassten Tätigkeit sei die Arbeitsfähigkeit aus psychischen Gründen um 50 Prozent eingeschränkt. Sodann bestätigte sie den von der Verwaltung errechneten Invaliditätsgrad von 52 Prozent.
3.2. Soweit der Beschwerdeführer eine unvollständige Abklärung des medizinischen Sachverhalts rügt, ist sein Einwand unberechtigt. Die Vorinstanz hat die langjährige somatische Krankheit sehr wohl berücksichtigt und mit Blick auf die medizinischen Unterlagen nachvollziehbar begründet, weshalb diese zu keiner höheren Arbeitsunfähigkeit führt. Auch hat sie darauf hingewiesen, dass im Rahmen des von der Verwaltung durchgeführten Einkommensvergleichs ein Leidensabzug von 25 Prozent vom gestützt auf die Schweizerischen Lohnstrukturerhebungen des Bundesamtes für Statistik ermittelten Invalideneinkommen berücksichtigt worden ist.
4.
4.1. Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Entscheid überdies mit der Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit befasst und sie unter Berücksichtigung der gesundheitsbedingten Einschränkungen (körperlich leichte Tätigkeiten, wechselbelastend, überwiegend sitzend, mit Hebe- und Tragebelastung bis 10 kg, keine Arbeiten auf Leitern und Gerüsten, kein häufiges Treppensteigen, keine Wirbelsäule-, Knie- und Schultergelenk belastende Zwangshaltungen und Tätigkeiten wie Bücken, Hocken, Knien, Überkopfarbeiten, häufiges Arbeiten in Armvorhalte und mit nach vorne geneigtem Oberkörper, keine forcierten Rotationsbewegungen des Rumpfes, kein häufiges Gehen auf unebenem Gelände) und unter Verweis auf das Alter des Versicherten, für den Hilfskräften (wie Produktionsmitarbeiter, Kontroll-/Überwachungsarbeiten, Speditionstätigkeiten [etikettieren, sortieren, verpacken] oder leichte Lieferdienste) offenstehenden Arbeitsmarkt bejaht.
4.2. Der Beschwerdeführer kritisiert, das kantonale Gericht habe dem Umstand zu wenig Rechnung getragen, dass er aufgrund des fortgeschrittenen Alters und der psychischen Beschwerden seine Restarbeitsfähigkeit realistischerweise wirtschaftlich nicht verwerten könne. Insbesondere habe es nicht abgeklärt, ob auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt geeignete Arbeitsstellen zur Verfügung stehen, an denen er die verbleibende Restarbeitsfähigkeit zumutbarerweise ganz oder teilweise verwerten könne. Abgesehen davon, dass an die Konkretisierung von Arbeitsgelegenheiten keine übermässigen Anforderungen zu stellen sind (vgl. E. 2 hievor), ist das unsubstantiierte Vorbringen des Beschwerdeführers nicht geeignet darzutun, inwiefern die vorinstanzlich festgestellten Einsatzmöglichkeiten auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nicht nachgefragt werden und ihm eine erwerbliche Verwertung der restlichen Arbeitsfähigkeit nicht zumutbar wäre.
5.
Zusammenfassend vermag der Beschwerdeführer mit den vorgebrachten Einwänden, soweit sie überhaupt hinreichend begründet sind, nicht aufzuzeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Bundesrecht verstossen soll.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Oktober 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer