Sachverhalt:
A.
Der 1962 geborene S._ musste seinen Beruf als Autolackierer wegen einer Lösungsmittelallergie aufgeben. Mit der Unterstützung der Invalidenversicherung liess er sich zum Steinbildhauer umschulen (Lehrabschluss im Jahr 1987). In der Folge war er als selbstständigerwerbender Steinbildhauer tätig. Am 18. Februar und 8. Oktober 1998 zog er sich bei Motorfahrzeug-Auffahrunfällen jeweils eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) zu. Die IV-Stelle Luzern sprach ihm mit Verfügung vom 25. Juni 2004 rückwirkend ab 1. Oktober 1999 eine halbe Rente, gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 50 %, und ab 1. Januar 2002 eine unbefristete ganze Rente, basierend auf einem Invaliditätsgrad von 75 %, zu. Im Rahmen einer Revision von Amtes wegen bestätigte sie den Anspruch auf eine ganze Rente (Mitteilung vom 26. Oktober 2007). Im Oktober 2010 leitete sie ein weiteres Revisionsverfahren ein. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob sie die bisherige Rente unter Hinweis auf lit. a Abs. 1 der am 1. Januar 2012 in Kraft getretenen Schlussbestimmungen der Änderung des IVG vom 18. März 2011 (6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket [AS 2011 5659; BBl 2011 2723 und 2010 1817]; nachfolgend: SchlB IVG) mit Verfügung vom 16. Mai 2012 per Ende Juni 2012 auf.
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (seit 1. Juni 2013: Kantonsgericht Luzern) wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 31. Mai 2013).
C.
S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei ihm weiterhin eine Rente, basierend auf einem 75%igen Invaliditätsgrad, auszurichten.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde an das Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (Art. 95 lit. a BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz die Aufhebung der ganzen Invalidenrente per Ende Juni 2012 zu Recht bestätigt hat.
2.1. Die Beschwerdegegnerin stützt ihre Renteneinstellung einzig auf lit. a Abs. 1 SchlB IVG, gültig seit 1. Januar 2012, ab. Danach werden Renten, die bei pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage (nachfolgend: unklare Beschwerden) gesprochen wurden, innerhalb von drei Jahren nach Inkrafttreten dieser Änderung überprüft. Sind die Voraussetzungen nach Art. 7 ATSG nicht erfüllt, so wird die Rente herabgesetzt oder aufgehoben, auch wenn die Voraussetzungen von Art. 17 Abs. 1 ATSG nicht erfüllt sind. Abs. 4 der Bestimmung präzisiert, dass Abs. 1 keine Anwendung findet auf Personen, die im Zeitpunkt des Inkrafttretens der Änderung das 55. Altersjahr zurückgelegt haben oder im Zeitpunkt, in dem die Überprüfung eingeleitet wird, seit mehr als 15 Jahren eine Rente der Invalidenversicherung beziehen.
2.2.
2.2.1. Die ursprüngliche Rentenzusprache erfolgte namentlich gestützt auf den Austrittsbericht der Klinik X._ vom 23. Dezember 1999, in welchem myofasziale zervikale Beschwerden im Bereich der ganzen HWS und im Schultergürtelbereich mit leichtgradiger Einschränkung der HWS-Beweglichkeit, phasenweise starken fronto-temporalen Kopfschmerzen, Schwindelsensationen, Lärm- und Lichtüberempfindlichkeit sowie Konzentrationsstörungen, ohne Anhaltspunkte für eine neurologische Ausfallsymptomatik bei Zustand nach zweimaligem HWS-Distorsionstrauma am 18. Februar und 8. Oktober 1998 diagnostiziert wurden, das Gutachten der Klinik Y._ für Epilepsie und Neurorehabilitation vom 26. Februar 2003, das von zwei HWS-Distorsionen mit mittelschweren bis schweren Beeinträchtigungen des Gedächtnisses und der exekutiven Funktionen sowie inzwischen chronifizierter längerer depressiver Reaktion ausging, und das ergänzende Schreiben der Klinik Y._ vom 8. Juli 2003, wonach ein typisches Beschwerdebild nach HWS-Distorsionstrauma vorliege.
2.2.2. Solche unfalladäquate HWS-Verletzungen ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle gehören rechtsprechungsgemäss - wie auch Fibromyalgien, dissoziative Sensibilitäts- und Empfindungsstörungen, Chronic Fatigue Syndrome (CFS; chronisches Müdigkeitssyndrom), Neurasthenie, dissoziative Bewegungsstörungen, nichtorganische Hypersomnie und leichte Persönlichkeitsveränderung bei chronischem Schmerzsyndrom (siehe dazu im Detail: <ref-ruling> E. 4.2 S. 68 mit Hinweisen; Urteile [des Bundesgerichts] 8C_167/2012 vom 15. Juni 2012 E. 6 und 9C_776/2010 vom 20. Dezember 2011 E. 2.2 in fine, in: SVR 2012 IV Nr. 32 S. 127; ferner Rz. 1002 des Kreisschreibens des BSV über die Schlussbestimmungen der Änderung vom 18. März 2011 des IVG, gültig ab 1. März 2013 [KSSB]) - zu den hiervor in Erwägung 2.1 genannten unklaren Beschwerden. Mit der Vorinstanz ist daher davon auszugehen, dass die Voraussetzungen für eine Rentenüberprüfung nach Massgabe der SchlB IVG grundsätzlich gegeben sind.
3.
Damit ist jedoch die Frage nach der Rechtmässigkeit der Rentenaufhebung im konkreten Fall noch nicht beantwortet.
3.1. Das kantonale Gericht geht davon aus, dass nach wie vor eine Diagnose im Sinne der SchlB IVG, nämlich - gemäss Austrittsbericht der Klinik Q._ vom 11. April 2012 zur Hospitalisation vom 26. März bis 5. April 2012 - eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung bestehe. Diese sei im Sinne von Art. 7 Abs. 2 ATSG überwindbar. Die Rentenaufhebung erweise sich unter diesen Umständen als rechtens.
3.2. Der Versicherte bringt hiergegen im Wesentlichen vor, dass objektivierbare somatische und psychische Beschwerden vorhanden seien, weshalb die Anwendung der Schlussbestimmungen nicht in Frage komme. Selbst wenn es sich um einen Fall der SchlB IVG handeln würde - was bestritten sei -, müsste von einer Unüberwindbarkeit der Beschwerden ausgegangen werden. Die Invalidenversicherung habe den aktuellen Gesundheitszustand weder gutachterlich noch durch den Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) abklären lassen. Ohne eine entsprechende Prüfung könne jedoch nicht festgestellt werden, welche konkreten Diagnosen vorhanden seien und ob diese unter die SchlB IVG fielen. Mit der unzulässigen Anwendung der SchlB IVG habe das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt. Indem es bei der Beurteilung der somatischen Beschwerden auf eine veraltete Aktenbeurteilung der RAD-Ärztin Dr. med. K._, FMH Arbeitsmedizin und Psychosomatik, vom 8. März 2011 abgestellt und die psychischen Beschwerden unter Vernachlässigung des ausführlichen Berichts der behandelnden Dr. med. B._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, FMH Alterspsychiatrie und -psychotherapie, vom 24. August 2012 beurteilt habe, habe es eine offensichtlich unrichtige, willkürliche Sachverhaltsfeststellung vorgenommen. Gemäss dem KSSB - insbesondere dessen Rz. 1001, wonach vor dem Aufhebungsentscheid der Gesundheitszustand und die daraus resultierende Erwerbsfähigkeit zu prüfen sei - seien weder der Gesetzgeber noch das BSV der Ansicht gewesen, dass die Invalidenversicherung Renten ohne entsprechende Abklärungen aufheben könne. Der Gesundheitszustand einer versicherten Person könne sich nach der Rentenzusprechung somatisch und psychisch verschlechtern. Vor einer Rentenaufhebung müsse der aktuelle Gesundheitszustand deshalb mittels eines Gutachtens oder einer persönlichen RAD-Untersuchung erhoben werden. Die Verwaltung könne dies nicht beurteilen. Konkret seien in somatischer Hinsicht Wirbelsäulenbeschwerden dokumentiert und psychiatrischerseits sei gemäss Bericht der Frau Dr. med. B._ vom 24. August 2012 von einer Dysthymia und einer schweren chronischen depressiven Störung auszugehen. Die "Förster-Kriterien" seien "im erheblichen Masse gegeben", womit die Vermutung der Überwindbarkeit widerlegt sei.
3.3. Die IV-Stelle verweist letztinstanzlich auf die Erwägungen des angefochtenen Gerichtsentscheids.
4.
4.1. Damit eine Rente nach Massgabe der SchlB IVG aufgehoben oder herabgesetzt werden kann, bedarf es zwar keiner erheblichen Veränderung des Gesundheitszustandes im Sinne von Art. 17 ATSG. Indessen ist die Revision an drei Voraussetzungen geknüpft (vgl. Urteil [des Bundesgerichts] 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 E. 10.1, zur Publikation vorgesehen) :
4.1.1. Die Rentenzusprache erfolgte ausschliesslich aufgrund der Diagnose eines pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildes ohne nachweisbare organische Grundlage. Nur unter dieser Bedingung kann die Überprüfung der Rente nach den SchlB IVG eingeleitet werden.
4.1.2. Weiter ist erforderlich, dass auch im Revisionszeitpunkt ausschliesslich ein unklares Beschwerdebild vorliegt. Zu klären ist daher ferner, ob sich der Gesundheitszustand seit der Rentenzusprache allenfalls verschlechtert hat und ob neben den nicht objektivierbaren Störungen anhand klinischer psychiatrischer Untersuchungen nunmehr nicht klar eine Diagnose gestellt werden kann.
4.1.3. Schliesslich ist zu prüfen, ob die "Foerster-Kriterien" als erfüllt zu betrachten sind und eine Validitätseinbusse auf diese Weise - trotz des hinsichtlich der invalidisierenden Folgen nicht objektivierbaren Beschwerdebildes - nachweisbar ist.
4.2. Da es sich bei den erwähnten Punkten, von deren Beantwortung der Bestand laufender Renten abhängt, in erster Linie um solche medizinischer Art handelt, sind an die entsprechenden Abklärungen besonders hohe Anforderungen zu stellen. Namentlich muss verlangt werden, dass die Untersuchungen im Zeitpunkt der Revision aktuell sind und sich mit der massgeblichen Fragestellung auseinandersetzen. Soweit die versicherte Person sich - auch mit Bezug auf die Chancen, welche die Wiedereingliederungsmassnahmen bieten - der Beurteilung durch die Verwaltung und deren Regionalen Ärztlichen Dienst nicht anschliessen kann, dürfte sich in der Regel eine neue, polydisziplinäre Begutachtung als unumgänglich erweisen (Urteil [des Bundesgerichts] 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 E. 10.2, zur Publikation vorgesehen).
4.3.
4.3.1. In casu lag der ursprünglichen Rentenzusprechung zwar die Diagnose eines pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildes ohne nachweisbare organische Grundlage zugrunde, weshalb die Voraussetzungen für eine Rentenüberprüfung nach Massgabe der SchlB IVG grundsätzlich erfüllt sind (vgl. E. 2.2 hievor). Zu Recht weist der Beschwerdeführer allerdings darauf hin, dass einer fachgerechten, aktuellen und umfassenden Abklärung im vorliegend zu beurteilenden Kontext eine besondere Bedeutung zukommt (Urteil [des Bundesgerichts] 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 E. 9.4, zur Publikation vorgesehen). Es ist ihm beizupflichten, dass sich Verwaltung und Vorinstanz bei der Beurteilung der Revisionsvoraussetzungen nach den SchlB IVG weder auf aktuelle noch auf umfassende medizinische Angaben stützen konnten. Die rentenaufhebende Verfügung basierte lediglich auf dem Protokolleintrag der Frau Dr. med. K._ vom 8. März 2011. Darin wird - unter Bezugnahme auf die Stellungnahmen des Hausarztes Dr. med. U._, Arzt für allgemeine Medizin FMH, vom 16. November 2010 und des Zentrums für Schmerzmedizin Z._ vom 12. August 2008, 16. Mai sowie 18. November 2010 und 13. September 2011 - ohne nachvollziehbare Begründung angegeben, bei seit Jahren geringen objektivierbaren medizinischen Befunden sei eine Veränderung des Gesundheitszustandes aus medizinischer Sicht nicht feststellbar. Frau Dr. med. B._ stellt im Privatgutachten vom 24. August 2012 eine Dysthymia, eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig schwere Episode ohne psychotische Symptome, eine Anpassungsstörung und eine chronische somatoforme Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren fest, ohne sich zu den diagnostischen Überschneidungen und Unvereinbarkeiten zu äussern. Auch sie geht zumindest insoweit von einer unveränderten Situation aus, als sie - allein aus psychiatrischer Sicht - durchgehend seit 1998 eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Zweifel an dieser Einschätzung der erst seit 21. Mai 2012 behandelnden Psychiaterin ergeben sich bereits wegen der Unvollständigkeit der medizinischen Unterlagen, welche ihr bei der Beurteilung zur Verfügung standen. Deshalb waren ihr gar keine zuverlässigen Angaben zur Entwicklung des Gesundheitszustandes seit der Rentenzusprache, namentlich zur Frage, ob sich der Gesundheitszustand seither verschlechtert hat bzw. ob nach wie vor unklare Beschwerden vorliegen, welche von ihr nunmehr diagnostisch anders eingeordnet werden, oder ob sich zwischenzeitlich in der Tat ein objektivierbares Störungsbild mit invalidisierenden Folgen herausgebildet hat, möglich. Auch der Austrittsbericht der Klinik Q._ vom 11. April 2012, worin von einer Anpassungsstörung mit kurzer depressiver Reaktion und akuter Suizidalität sowie von einer chronischen Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren ausgegangen wird, und die Protokolleinträge der RAD-Ärzte Dr. med. A._, Facharzt Innere Medizin FMH, vom 18. September 2012 und med. pract. M._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 21. September 2012 vermögen die Lücke in der Sachverhaltsabklärung nicht zu füllen. Diese medizinischen Berichte geben weder einzeln noch in ihrer Gesamtheit über den Gesundheitszustand im Zeitpunkt der rentenaufhebenden Verfügung umfassend Auskunft und sie sind überdies nicht mit dem Fokus auf die Fragestellung, welche die 6. IV-Revision mit sich bringt, veranlasst worden. Es mangelt ihnen daher auch aus diesem Grunde an Beweiskraft und es kann darauf nicht abgestellt werden.
4.3.2. Demnach ist die Sache an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen, damit sie die massgeblichen medizinischen Abklärungen - unter den vorliegenden Umständen drängt sich eine polydisziplinäre Begutachtung auf - nachholt.
5.
Die Rückweisung der Angelegenheit an den Versicherungsträger oder an das vorinstanzliche Gericht zu erneuter Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; Urteil [des Bundesgerichts] 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1). Demgemäss sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin zu überbinden. Ferner hat sie dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 31. Mai 2013 und die Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 16. Mai 2012 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die IV-Stelle Luzern zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Luzern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, der Ausgleichskasse Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Januar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz