Sachverhalt:
A. Die Bank A._ gewährte der B._ AG einen Kredit von Fr. 600'000.--, den C._ als Drittpfandgeber sicherstellte. In einer Vereinbarung vom 16. Januar 1998 verpflichteten sich D._ mit Wohnsitz in der Schweiz und E._ mit Wohnsitz in Deutschland je einzeln, C._ als Bürgen solidarisch bis zu einem Höchstbetrag von Fr. 660'000.-- zu haften, für den Fall, dass seine Pfänder vom Schweizerischen Bankverein verwertet werden sollten. Diese Vereinbarung wurde von U._ als Urkundsperson öffentlich beurkundet und von D._ für sich und als Vertreter von E._ unterzeichnet. Dieser hatte D._ per Fax eine vom 16. Januar 1998 datierte Spezialvollmacht betreffend die Gewährung eines Darlehens von Fr. 600'000.-- durch C._ an die B._ AG, sowie an D._ und E._ als Solidarschuldner und die Verbürgung dieses Darlehens durch den Vollmachtgeber erteilt.
In der Folge wurden die von C._ hinterlegten Pfänder von der Kredit gewährenden Bank für die Rückzahlung des Kredites verwertet. Hierauf verlangte C._ gestützt auf den Bürgschaftsvertrag vom 16. Januar 1998 sowohl von D._ als auch von E._ die Zahlung der Bürgschaft und leitete am 5. Juli 1999 gegen beide eine Betreibung ein. Mit Verfügung vom 27. Oktober 1999 verweigerte die Rechtsöffnungsrichterin beim Kantonsgerichtspräsidium Zug gegenüber E._ die Rechtsöffnung mit der Begründung, die von ihm per Fax erteilte Vollmacht zum Abschluss eines Bürgschaftsvertrages sei formungültig, was auch zur Ungültigkeit seiner Bürgschaftsverpflichtung führe. Diese Verfügung wurde von der Justizkommission des Obergerichtes des Kantons Zug am 11. August 2000 bestätigt. Demgegenüber wurde C._ in der Betreibung gegen D._ die Rechtsöffnung über Fr. 609'000.-- erteilt. Eine von diesem dagegen gerichtete Aberkennungsklage wurde rechtskräftig abgewiesen.
B. Am 23. Januar 2004 klagte D._ beim Kantonsgericht Zug gegen U._ auf Zahlung von Fr. 304'500.-- zuzüglich Rechtsverfolgungskosten von insgesamt Fr. 140'528.70 nebst Zins. Zur Begründung seiner Forderung führte der Kläger an, der Beklagte habe es als Urkundsperson zu verantworten, dass die Bürgschaftsverpflichtung von E._ ungültig sei. Demgemäss habe der Beklagte dem Kläger den Schaden zu ersetzen, welcher ihm entstanden sei, weil er von E._ die Hälfte des als Solidarbürgen geschuldeten Betrages von Fr. 609'000.-- nicht zurückfordern könne. Zur Abwehr seiner eigenen Zahlungsverpflichtung habe der Kläger zudem erhebliche Rechtsverfolgungskosten gehabt, die ihm vom Beklagten ebenfalls zu ersetzen seien.
Mit Urteil vom 25. November 2004 verpflichtete das Kantonsgericht des Kantons Zug den Beklagten, dem Kläger Fr. 304'500.-- nebst Zins zu 5% seit dem 6. Juli 1999 zu bezahlen. Im Mehrbetrag wies es die Klage ab, da es hinsichtlich der eingeklagten Rechtsverfolgungskosten einen adäquaten Kausalzusammenhang als nicht gegeben erachtete. Eine gegen dieses Urteil erhobene Berufung des Beklagten wurde vom Obergericht des Kantons Zug am 16. Mai 2006 abgewiesen.
C. Mit eidgenössischer Berufung verlangt der Beklagte, das Urteil des Obergerichts vom 16. Mai 2006 sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Klägerin beantragt Abweisung der Berufung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das Obergericht führte zusammengefasst aus, nach § 11 Abs. 2 des Zuger Gesetzes über die öffentliche Beurkundung und Beglaubigung in Zivilsachen hafteten die zur öffentlichen Beurkundung ermächtigten Rechtsanwälte für ihre Beurkundungstätigkeit gemäss den Bestimmungen des schweizerischen Obligationenrechts. Die Haftung richte sich nach den Regeln von Art. 41 ff. OR. Eine Haftung trete demnach ein, wenn die Urkundsperson widerrechtlich und schuldhaft gehandelt habe, ein Schaden eingetreten und der Kausalzusammenhang zwischen Schaden und widerrechtlicher Handlung feststehe. Alsdann kam das Obergericht zum Ergebnis, das in Frage stehende Sicherungsverprechen des Klägers und Wolfgang Stacks sei als eine Rückbürgschaft im Sinne von Art. 498 Abs. 2 OR zu qualifizieren. Die Bürgschaftserklärung natürlicher Personen bedürfe gemäss Art. 493 Abs. 2 OR zu ihrer Gültigkeit der öffentlichen Beurkundung. Der gleichen Form wie die Bürgschaft bedürfe nach Art. 493 Abs. 6 OR auch die Erteilung einer besonderen Vollmacht zur Eingehung einer Bürgschaft. Diese Vorschriften würden auch für Rückbürgschaften gelten. Der Beklagte habe diese Schutzvorschriften schuldhaft verletzt, indem er sich bezüglich der Vertretung von E._ mit der per Fax übermittelten Vollmacht begnügt habe, was zur Nichtigkeit seiner Solidaritätsbürgschaftserklärung geführt habe. Der Beklagte hafte daher für den dem Kläger daraus erwachsenen Schaden. Der Schaden im Rechtssinne entspreche der Differenz zwischen dem gegenwärtigen Stand des Vermögens und dem Stand, den das Vermögen ohne das schädigende Ereignis hätte. Wenn der Beklagte mangels einer Zahlung des Klägers den Bestand einer Regressforderung und damit eines Schadens bestreite, übersehe er, dass auf Grund seines Fehlers kein Solidarbürgschaftsverhältnis vorliege. Hätte ein solches bestanden, hätte der Kläger die Hälfte des Betrages von Fr. 609'000.--, den er aufgrund eines rechtskräftigen Urteils an C._ zu bezahlen verpflichtet sei, von E._ zurückfordern können. Indem ihm dies wegen des fehlerhaften Verhaltens des Beklagten verwehrt sei, sei dem Kläger ein Schaden im Umfange von Fr. 304'500.-- entstanden. Seine Aktiven seien in dieser Höhe vermindert, weil er diese Summe von E._ nicht verlangen könne. Dass dieser seiner Ersatzpflicht nicht gewachsen wäre, werde vom Beklagten nicht behauptet.
1.2 Der Beklagte macht in seiner Berufung dem Sinne nach geltend, entgegen der Annahme des Obergerichts sei die Verpflichtung von E._ nicht als ungültige Bürgschaft bzw. Rückbürgschaft, sondern als eine gültige reine Garantie zu qualifizieren, weshalb dem Beklagten kein widerrechtliches und schuldhaftes Verhalten vorgeworfen werden könne. Selbst wenn mit dem Obergericht von einer ungültigen Solidarbürgschaft ausgegangen würde, sei ein Schaden im jetzigen Zeitpunkt noch nicht eingetreten. Der solidarische Mitbürge habe den Nachweis der Bezahlung als Voraussetzung für den Rückgriff zu erbringen. Da der Kläger keine Zahlung geleistet habe, sei ihm keine Rückgriffsforderung entgangen. Regress heisse, das dem Gläubiger bezahlte bei den Mitverpflichteten anteilig zurückzuholen. Demgegenüber wolle der Kläger einen Betrag für sich erhältlich machen, ohne selber eine Leistung erbracht zu haben. Überspitzt formuliert fordere er die anteilige Rückzahlung von Unbezahltem. Würde gemäss der Annahme des Obergerichts bereits vor der Zahlung des Klägers an C._ ein Schaden angenommen, sei nicht sichergestellt, dass die Zahlung des Beklagten an den Kläger letztlich C._ zugute komme. Der Kläger könnte über die Summe frei verfügen. Würde C._ seine Konkursandrohung wahr machen oder ein anderer Gläubiger den Konkurs über den Kläger herbeiführen, so würde die Forderung in die Masse fallen, womit das Geld für die Gesamtheit der Gläubiger verfügbar würde. C._ könnte diesfalls den Beklagten gestützt auf die formungültigen Verpflichtung von E._ auf Schadenersatz im ungedeckten Betrag von bis zu Fr. 609'000.-- nebst Zins einklagen. Dies hätte zur Folge, dass der Beklagte Fr. 304'500.-- an den Kläger und den gesamten ungedeckten Betrag an C._ zu bezahlen hätte, was die Gefahr der Mehrfachbezahlung begründe. Es sei kein Grund ersichtlich, den Beklagten einer solchen Gefahr auszusetzen, bzw. dem Kläger einen Anspruch vor seiner Zahlung an den Begünstigten an die Hand zu geben.
1.3 Eine Schadenersatzpflicht setzt voraus, dass alle Haftungsvoraussetzungen gegeben sind, wozu namentlich der Nachweis eines Schadens gehört (<ref-ruling> E. 3.3. S. 383). Die Bestimmung des Schadens ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung grundsätzlich eine vom kantonalen Richter abschliessend zu beurteilende Tatfrage. Rechtsfrage und vom Bundesgericht im Berufungsverfahren zu prüfen ist jedoch, ob die kantonalen Gerichte den Rechtsbegriff des Schadens verkannt oder die Rechtsgrundsätze der Schadensberechnung verletzt haben (<ref-ruling> E. 6.2 S. 576 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 222 f.). Der Schaden entspricht der ungewollten Verminderung des Reinvermögens. Er kann in einer Vermehrung der Passiven, einer Verminderung der Aktiven oder in entgangenem Gewinn bestehen und entspricht der Differenz zwischen dem gegenwärtigen Vermögensstand und dem Stand, den das Vermögen ohne das schädigende Ereignis hätte. Der entgangene Gewinn entspricht der Differenz zwischen den Einkünften, die nach dem schädigenden Ereignis tatsächlich erzielt worden sind und denjenigen, die ohne dieses Ereignis zugeflossen wären (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 323 f.; <ref-ruling> E. 4 S. 366 mit Hinweisen). Ersatz für entgangenen Gewinn ist nur soweit geschuldet, wie dieser üblich war oder sonst wie sicher in Aussicht stand (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 384 mit Hinweisen). Entsprechend kann gesagt werden, der Schaden belaufe sich auf die gegenwärtige oder mit hinreichender Sicherheit voraussehbare künftige Vermögensdifferenz. Eine bloss eventuelle oder mögliche Differenz, deren Entstehung von unsicheren Bedingungen abhängt, kann erst geltend gemacht werden, wenn diese Bedingungen eingetreten sind (Deschenaux/Tercier, La responsabilité civile, 2. Aufl., S. 50 Rz. 39; Franz Werro, La responsabilité civile, S. 35 Rz. 128).
1.4 Der Kläger macht als Schaden eine ihm auf Grund des Verschuldens des Beklagten entgangene Regressforderung aus Bürgschaftsrecht geltend. Nach Art. 507 Abs. 1 OR gehen auf den Bürgen in demselben Masse, als er den Gläubiger befriedigt hat, dessen Rechte über. Diese Subrogation und damit die Entstehung der Regressforderung gegenüber dem Mitbürgen setzt jedoch voraus, dass der Bürge seiner Zahlungspflicht gegenüber dem Bürgschaftsgläubiger tatsächlich nachgekommen ist (Pestalozzi, Basler Kommentar, 3. Aufl., N. 5 zu Art. 507 OR; Theo Guhl/Anton K. Schnyder, Das Schweizerische Obligationenrecht, 9. Aufl., S. 638 f. Rz. 60). Die Entstehung der Regressforderung ist damit - unabhängig vom Verhalten des Beklagten - durch die Zahlung des Klägers bedingt. Diese Bedingung ist im vorliegenden Fall nicht eingetreten, da der Kläger als Bürge bzw. Rückbürge gegenüber C._ keine Zahlung geleistet hat. Ob oder inwieweit der Kläger künftig eine entsprechende Zahlung leisten wird, steht nicht fest. Demnach hat das Obergericht verkannt, dass das Entstehen einer Regressforderung des Klägers von einer unsicheren künftigen Bedingung abhängt und er daher den Verlust dieser Forderung vor dem Eintritt der Bedingung bzw. der Erbringung der Zahlung an C._ nicht als sicheren Schaden geltend machen konnte. Daher fehlt die Voraussetzung des Schadensnachweises, weshalb die Klage bereits aus diesem Grund abzuweisen ist. Damit kann offen bleiben, ob dem Beklagten bezüglich der Einhaltung der Formvorschriften ein widerrechtliches Verhalten vorgeworfen werden kann.
2. Nach dem Gesagten ist die Berufung gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Klage abzuweisen. Im Übrigen ist das Verfahren zur Regelung der Entschädigungsfolgen im kantonalen Verfahren an das Obergericht des Kantons Zug zurückzuweisen (Art. 157 und 159 Abs. 6 OG). Gemäss dem Ausgang des Verfahrens wird der Kläger für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Berufung wird gutgeheissen, das Urteil des Obergericht des Kantons Zug vom 16. Mai 2006 aufgehoben und die Klage abgewiesen.
2. Das Verfahren wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 6'500.-- wird dem Kläger auferlegt.
4. Der Kläger hat den Beklagten für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, Zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2006
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: