Sachverhalt:
A. Der 1964 geborene B._ war als Hilfsmetzger bei der Metzgerei X._ AG in R._ tätig und in dieser Eigenschaft bei den Metzger-Versicherungen (heute: Branchen Versicherung) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 25. März 2002 zog er sich bei der Arbeit eine Stichverletzung am rechten Unterarm zu, welche am Spital Y._ in T._ ambulant versorgt wurde. Dr. med. S._, Facharzt für Neurologie, stellte am 19. August 2002 die Diagnose einer Läsion des Ramus superficialis Nervi radialis und zudem den Verdacht auf eine sekundäre Tendomyose wegen einer Schon-/Fehlhaltung mit einer bereits fortgeschrittenen Chronifizierung. In der Folge entwickelte sich ein CRPS (Complex Regional Pain Syndrome) Typ II. Der Versicherte absolvierte verschiedene stationäre Aufenthalte in der Rehaklinik Z._ und in der Klinik für plastische Chirurgie, Wiederherstellungschirurgie und Handchirurgie am Kantonsspital C._. Es konnte dabei keine Besserung des Gesundheitszustandes erreicht werde. Dieser verschlimmerte sich vielmehr. Schliesslich liess die Unfallversicherung B._ am Medizinischen Zentrum A._ (MZA) polydisziplinär begutachten. Diese stellten in ihrer Expertise vom 31. Januar 2005 die Diagnosen eines CRPS Typ II des rechten Armes mit/bei einem Status nach Stichverletzung des rechten Vorderarmes mit Läsion des Ramus superficialis nervi radialis sowie einer sekundären Schmerzausdehnung auf die gesamte rechte Körperhälfte mit vegetativer Begleitsymptomatik im Sinne einer Somatisierungsstörung (ICD-10: F45.0). Aus rheumatologischer und psychiatrischer Sicht wurde eine volle Arbeitsunfähigkeit attestiert. Die Persönlichkeit des Versicherten mit seinem maladaptiven Überzeugungs- und Bewältigungsmuster habe zur Krankheitsfixierung mit Tendenz zur hypochondrischen Verarbeitung im Sinne einer Somatisierungsstörung geführt. Im November 2005 weilte B._ noch einmal zur Standortbestimmung mit einer Zumutbarkeitsbeurteilung in der Rehaklinik Z._. Die Ärzte erachteten ihn für eine einarmig (links) auszuführende Tätigkeit als ganztags arbeitsfähig. Die Unfallversicherung ermittelte einen Invaliditätsgrad von 30 % und sprach ihm mit Wirkung ab 1. Februar 2006 eine entsprechende Rente sowie eine Integritätsentschädigung von 25 % zu (Verfügung vom 6. April 2006). Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Entscheid vom 30. Juni 2006).
B. Die von B._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aarau in dem Sinne teilweise gut, als es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen der somatischen Unfallfolgen und zur anschliessenden Neuverfügung an die Unfallversicherung zurückwies. Im Weiteren wurde festgehalten, dass zwischen den psychischen Unfallfolgen und dem versicherten Ereignis kein adäquater Kausalzusammenhang bestehe (Entscheid vom 16. Mai 2007).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ den Antrag stellen, der kantonale Entscheid sei insoweit aufzuheben, als der adäquate Kausalzusammenhang der psychischen Beschwerden verneint werde.
Die Branchen Versicherung (vormals Metzger-Versicherungen) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. 2.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich um einen Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
2. 2.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich um einen Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
2.2 2.2.1 Ein im Sinne von <ref-law> nicht wieder gutzumachend Nachteil ist gegeben, wenn er auch mit einem für die Beschwerde führende Partei günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich behoben werden kann (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483). Die Rückweisung der Sache an die Unfallversicherung zu weiterer oder ergänzender Abklärung und neuer Entscheidung stellt lediglich insoweit einen solchen Nachteil für die Verwaltung dar, als diese durch materielle Vorgaben wesentlich in ihrem Beurteilungsspielraum eingeschränkt wird und davon in der Folge nicht mehr abgewichen werden kann. Die Verpflichtung der Unfallversicherung zur Vornahme weiterer oder ergänzender Abklärungen und zu neuer Entscheidung durch das kantonale Gericht stellt keinen im Sinne von <ref-law> nicht wieder gutzumachenden Nachteil dar. Dies gilt, selbst wenn die vorinstanzliche Feststellung, der rechtserhebliche Sachverhalt sei ungenügend abgeklärt, offensichtlich unrichtig wäre oder auf einer qualifiziert unrichtigen oder sogar willkürlichen Beweiswürdigung beruhte (Urteile 9C_613/2007 vom 23. Oktober 2007, 9C_301/2007 vom 28. September 2007).
2.2.2 Auch in Bezug auf den Eintretensgrund von <ref-law> ist selbstständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme, die restriktiv zu handhaben ist. Dies umso mehr, als die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn sie einen Zwischenentscheid nicht selbst anfechten, können sie ihn doch mit dem Endentscheid anfechten, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nach freiem Ermessen, ob die Voraussetzung von <ref-law>, dass bei einer Gutheissung der Beschwerde ein bedeutender Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart werden kann, erfüllt ist (<ref-ruling> E. 3.2 S. 292; Urteil 9C_446/2007 vom 5. Dezember 2007, 8C_224/2007 vom 23. Oktober 2007, 1C_136/2007 vom 24. September 2007). Wie das Bundesgericht schon wiederholt entschieden hat, ist auf Beschwerden gegen vorinstanzliche Rückweisungsentscheide, mit denen einzig eine ergänzende Sachverhaltsabklärung angeordnet wird, auch unter dem Blickwinkel von <ref-law> in der Regel nicht einzutreten (Urteile 9C_446/2007 vom 5. Dezember 2007, 9C_234/2007 vom 3. Oktober 2007 und 9C_276/2007 vom 25. Juni 2007).
3. Vorliegend hat der Beschwerdeführer nicht dargetan, inwiefern ihm durch den Rückweisungsentscheid des kantonalen Gerichts ein nichtwiedergutzumachender Nachteil droht, oder ein bedeutender Aufwand an Zeit und Kosten erspart werden könnte. Entsprechende Argumente sind denn auch nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer wendet sich in der Beschwerde nicht gegen die Rückweisung zu weiteren Abklärungen, sondern lediglich gegen die im angefochtenen Entscheid getroffene Feststellung, seine psychischen Beschwerden würden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem versicherten Unfall stehen. Diese bindet zwar bei einer eventuellen erneuten Anfechtung der nach der Sachverhaltsabklärung zu erlassenden Leistungsverfügung die Unfallversicherung und das kantonale Gericht selbst (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 484), nicht aber das Bundesgericht, an welches ein Endentscheid vom Versicherten immer weitergezogen werden kann (<ref-law>). Das Bundesgericht könnte somit grundsätzlich später die nach Auffassung des Beschwerdeführers unzutreffende vorinstanzliche Rechtsanwendung korrigieren. Damit besteht für ihn kein nichtwiedergutzumachender Nachteil.
Da die Unfallversicherung die Kosten für die Begutachtung zu tragen haben wird, ist auch lit. b von <ref-law> - unbesehen von der Höhe dieser Kosten - jedenfalls für den Beschwerdeführer nicht erfüllt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juli 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung i.V. Flückiger