Erwägungen:
1.
B.X._ und A.X._ sind Besitzer des am 1. Mai 2005 geborenen Bullterriers "Bully". Am 16. September 2009 erhielten sie die Bewilligung zur Haltung potenziell gefährlicher Hunde (§ 3a und 3b des Thurgauer Gesetzes vom 5. Dezember 1983 über das Halten von Hunden [HundeG] in der Fassung vom 12. September 2007, in Kraft seit dem 1. Januar 2008). Am 22. Oktober 2009 meldete eine Person, die "Bully" während einer Abwesenheit der Eheleute X._ beaufsichtigte, dieser habe ihre Katze mit mehreren Bissen getötet, worauf umgehend die Haltebewilligung widerrufen und zur Überprüfung der Bewilligungsvoraussetzungen ein kompletter Wesenstext angeordnet wurde. Nach Vorliegen des Wesenstest wurde am 26. November 2009 erneut die Bewilligung zum Halten potenziell gefährlicher Hunde erteilt, verbunden mit der Massnahme der Leinenpflicht im öffentlichen Raum.
2010, 2011 und 2013 gingen bei der Politischen Gemeinde Arbon Meldungen ein, "Bully" werde unangeleint ausgeführt; am 7. März 2013 meldete eine Tierärztin der Behörde, dass "Bully" einem fünf Monate alten Hund eine massive Bissverletzung zugefügt habe. Da bereits am 15. April 2010 eine schriftliche Verwarnung ergangen war, verfügte die Politische Gemeinde Arbon am 8. April 2013 zusätzlich zur Leinenpflicht, die Leinenlänge dürfe maximal 1,5 Meter aufweisen; zudem wurden die Halter verpflichtet, dem Hund im öffentlich zugänglichen Raum einen Maulkorb anzulegen. Einen gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 9. August 2013 im Wesentlichen ab; der Rekurs wurde bloss insofern teilweise gutgeheissen, als das Androhen bzw. der Vorbehalt eingreifenderer Massnahmen ausdrücklich in das Dispositiv der angefochtenen Verfügung aufgenommen worden war. Mit Entscheid vom 18. Dezember 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die gegen den Rekursentscheid des Departements erhobene Beschwerde ab. Gleich wie zuvor das Departement lehnte es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und auferlegte die Verfahrenskosten den Eheleuten X._.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Februar (Postaufgabe 12. Februar 2014) fechten A.X._ und B.X._ den Entscheid des Verwaltungsgerichts an. Sie stellen dem Bundesgericht verschiedene (Feststellungs-) Begehren und beantragen unter anderem, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei in der Sache selbst wie auch hinsichtlich der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege aufzuheben.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht verletze. Nicht unmittelbar gerügt werden kann die Verletzung von kantonalen Gesetzen oder Verordnungen (vgl. <ref-law>). Beruht der angefochtene Entscheid wie vorliegend auf kantonalem Recht, kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, im Wesentlichen des Willkürverbots, gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68, je mit Hinweisen). Dasselbe gilt hinsichtlich der Anfechtung der für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law>; dazu <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen). Appellatorische Kritik an der Anwendung kantonalen Rechts und an den Sachverhaltsfeststellungen ist nicht zu hören.
2.2. Das Verwaltungsgericht legt zunächst dar, warum aufgrund der Übergangsbestimmung von § 18 Abs. 2 HundeG die Bestimmungen über das Halten von potenziell gefährlichen Hunden, namentlich über die entsprechende Bewilligungspflicht, auch für vor dem 1. Januar 2008 geborene Hunde gelten (E. 2). Inwiefern diese - naheliegende -Auslegung kantonalen Rechts, namentlich unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten, zu beanstanden wäre, lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen und ist nicht ersichtlich. Das Verwaltungsgericht schildert alsdann die gesetzliche Regelung von bei mangelhafter Tierhaltung vorgesehenen Massnahmen und erwähnt eine früher angeordnete, unangefochten gebliebene Massnahme (E. 3.1 und 3.2). Es schildert die Ergebnisse des Wesenstests (E. 3.3.1), weist auf eine frühere Beurteilung des Verhältnisses zwischen Hund und Halter hin, die Mängel aufzeigte (E. 3.3.2), und befasst sich mit der (Nicht-) Einhaltung gemachter Auflagen (E. 3.3.3). Es kommt zur Erkenntnis, dass die angefochtene Massnahme (Pflicht zum Ausführen mit einer Leine von maximal 1,5 Metern Länge sowie einer Maulkorbpflicht im öffentlichen Raum) angesichts des Wesens des Hundes im Kontext mit den eingeschränkten Tierhaltefähigkeiten der Beschwerdeführer, der verschiedenen Vorfälle, verbunden mit einer gewissen Tendenz zu Uneinsichtigkeit und Verharmlosung bei den Beschwerdeführern, zulässig und verhältnismässig ist (E. 3.3.5 und 3.3.6). In E. 3.4 schliesslich erläutert das Verwaltungsgericht, warum die vom Departement vorgenommene Abänderung des Verfügungsdispositivs der Gemeinde sich bei der Kostenregelung nicht zu Gunsten der Beschwerdeführer auswirken müsse. Zu all diesen Punkten äussern sich die Beschwerdeführer; indessen zeigen sie mit ihrer appellatorischen Kritik nicht auf, inwiefern der massgebliche Sachverhalt willkürlich festgestellt, dessen Wertung unhaltbar und inwiefern die Auslegung bzw. Anwendung des kantonalen Rechts verfassungswidrig wären; unerfindlich bleibt, gegen welche Tierschutznorm des Bundesrechts § 7 Abs. 2 Ziff. 5 HundeG, worauf sich die Leinen- und Maulkorbtragepflicht stützt, verstiesse.
In E. 4.1 begründet das Verwaltungsgericht die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege mit der Aussichtslosigkeit der Beschwerde. Dazu wird in der Beschwerde nichts Substanzielles ausgeführt; der Hinweis auf die Schwierigkeit, ohne Rechtsanwalt prozessieren zu müssen, besagt über die objektiven Erfolgsaussichten eines Rechtsmittels nichts. Nicht nachvollziehbar ist dabei auch, was die Beschwerdeführer mit ihrem Hinweis sagen wollen, die "Partei" entscheide selber über die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands; jedenfalls ist in den meisten Prozessordnungen vorgesehen und unbedenklich, dass die angerufene Rechtsmittelbehörde über die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung befindet.
2.3. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>); es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.4. Die Beschwerdeführer ersuchen auch im bundesgerichtlichen Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Dem Begehren kann schon darum nicht entsprochen werden, weil ihre Beschwerde nach der Aktenlage aussichtslos erschien (<ref-law>).
Damit sind die Gerichtskosten nach Massgabe von Art. 65 und 66 Abs. 1 erster Satz und Abs. 5 BGG den Beschwerdeführern aufzuerlegen.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- wird den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der Politischen Gemeinde Arbon und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller