Sachverhalt:
A.
Die Orange Communications SA (nachfolgend: Orange) plant im Ortsteil Freidorf der Politischen Gemeinde Roggwil, Kanton Thurgau, die Erstellung einer Mobilfunkanlage (UMTS). Der vorgesehene Standort befindet sich östlich einer bestehenden Gewerbebaute auf der Parzelle Gbbl. Nr. 61. Diese Parzelle liegt gemäss Zonenplan der Gemeinde Roggwil in der Gewerbezone. Während der öffentlichen Auflage des Bauvorhabens vom 15. Januar bis 5. Februar 2007 gingen verschiedene Einsprachen - unter anderem eine Kollektiveinsprache mit 377 Unterzeichnenden - ein. Mit Entscheid vom 27. März 2007 hiess der Gemeinderat Roggwil die Einsprachen teilweise gut und verweigerte die Erteilung der Baubewilligung. Einen von Orange erhobenen Rekurs hiess das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau (DBU) mit Entscheid vom 23. Juli 2007 gut und wies die Gemeinde Roggwil an, die Baubewilligung zu erteilen.
Dagegen führten die Gemeinde Roggwil einerseits sowie das Ehepaar A.a._ zusammen mit 34 weiteren Parteien andererseits Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Mit Entscheid vom 23. Januar 2008 wies das Verwaltungsgericht - nach Durchführung zweier Lokalaugenscheine - die Beschwerden ab. Auf eine vom Ehepaar A.a._ sowie 32 weiteren Parteien eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten trat das Bundesgericht mit Urteil 1C_200/2008 vom 28. November 2008 mit der Begründung nicht ein, es liege ein nicht anfechtbarer Zwischenentscheid vor.
Der erneut mit der Sache befasste Gemeinderat Roggwil hiess am 18. März 2009 die Einsprachen wiederum teilweise gut und verweigerte die Erteilung einer Baubewilligung. Am 19. August 2009 hiess das DBU einen von Orange erhobenen Rekurs gut, soweit darauf eingetreten werden konnte. Die Sache wurde mit der Anweisung an den Gemeinderat Roggwil zurückgewiesen, die Baubewilligung zu erteilen. Dagegen reichten die Interessengemeinschaft ohne Mobilfunk in Freidorf (IGOMF) sowie das Ehepaar A.a._ und 31 weitere Parteien Beschwerde beim Verwaltungsgericht ein. Mit Entscheid vom 24. Februar 2010 wies dieses die Beschwerde ab, wobei der IGOMF wegen fehlender eigener Rechtspersönlichkeit die Beschwerdeberechtigung abgesprochen wurde. Diesen Entscheid fochten das Ehepaar A.a._ sowie 51 weitere Personen mit Beschwerde beim Bundesgericht an, welches darauf mit derselben Begründung wie beim Urteil vom 28. November 2008 nicht eintrat (Urteil 1C_230/2010 vom 7. Dezember 2010).
Mit Entscheid vom 12./26. Januar 2011 erteilte die Gemeinde Roggwil unter Auflagen die Baubewilligung für die geplante Mobilfunkantenne und wies die Einsprachen ab. Den dagegen erhoben Rekurs wies das DBU mit Entscheid vom 4. April 2012 ab, wobei es die Legitimation verschiedener Rekurrenten verneinte. Diesen Entscheid zogen das Ehepaar A.a._ sowie 52 weitere Beteiligte, darunter die IGOMF, mit Beschwerde vom 25. April 2012 an das Verwaltungsgericht weiter. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 13. Februar 2013 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts führen die im Rubrum aufgeführten Personen mit Eingabe vom 19. April 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragen in der Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie der Entscheide des DBU und des Gemeinderats Roggwil. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragen sie die Gewährung der aufschiebenden Wirkung, die Beschwerdeergänzung nach Zustellung aller relevanten Akten sowie die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels und eines Augenscheins.
Mit Verfügung des Präsidenten der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 21. Mai 2013 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Die Gemeinde Roggwil verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Das DBU, die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Umwelt BAFU kommt in seiner Vernehmlassung vom 4. Juli 2013 zum Schluss, der angefochtene Entscheid stehe in Einklang mit der Umweltschutzgesetzgebung des Bundes.
Die Beschwerdeführer halten in ihrer Replik vom 10. Januar 2014 an ihrem Standpunkt und an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über eine Baubewilligung für eine Mobilfunksendeanlage, welcher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (<ref-law>). Damit bleibt für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde kein Raum (<ref-law>).
Betreffend die Beschwerdeberechtigung hat die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid erwogen, die Rechtsmittellegitimation stehe mit Ausnahme eines allfälligen Parteiwechsels nur denjenigen Personen zu, die bereits gegen die öffentliche Auflage des Bauprojekts 2007 Einsprache erhoben und sich am ersten Rechtsmittelverfahren (Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 23. Januar 2008) beteiligt hätten. Zudem sei die IGOMF als einfache Gesellschaft mangels eigener Rechtspersönlichkeit nicht zur Beschwerdeführung im eigenen Namen legitimiert.
Diese Ausführungen der Vorinstanz sind zutreffend und werden von den Beschwerdeführern auch nicht bestritten (zur fehlenden Beschwerdeberechtigung einfacher Gesellschaften vgl. Urteil 1B_323/2008 vom 20. Mai 2009 E. 1.3). Auf die Beschwerde der Beschwerdeführer 29 - 53 gemäss Rubrum ist deshalb nicht einzutreten.
1.2. Nicht einzutreten ist sodann auf den Beschwerdeantrag, auch die unterinstanzlichen Entscheide aufzuheben. Diese sind mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht selbstständig anfechtbar. Sie werden mit Blick auf den Devolutiveffekt durch den Entscheid der letzten kantonalen Instanz ersetzt und gelten mit der dagegen gerichteten Beschwerde als mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
1.3. Die Beschwerdeführer beantragen, ihnen sei nach Zustellung sämtlicher Baubewilligungsakten, Gelegenheit zur Beschwerdeergänzung einzuräumen. Sie legen indes nicht dar, weshalb sie diese Akten im kantonalen Verfahren nicht einsehen konnten bzw. weshalb sie auf eine erneute Einsichtnahme angewiesen sind, um ihre Beschwerdeschrift zu vervollständigen. Der Antrag ist abzuweisen.
Die Beschwerdeführer begründen auch ihren Antrag auf Durchführung eines Augenscheins nicht. Der Antrag ist ebenfalls abzuweisen. Die Beschwerdeführer rügen keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung (vgl. nachfolgend E. 1.4.2), sodass bereits aus diesem Grund nicht ersichtlich ist, inwiefern sich bei einem Augenschein entscheidrelevante Erkenntnisse gewinnen liessen.
1.4.
1.4.1. Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das bedingt aber, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt.
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.; je mit Hinweisen).
1.4.2. Die Beschwerdeführer wiederholen über weite Strecken ihren bereits im vorinstanzlichen Verfahren vertretenen Standpunkt, ohne auf die Argumentation der Vorinstanz einzugehen.
Die Vorinstanz hat namentlich erwogen, an den beiden von ihr durchgeführten Augenscheinen habe sich gezeigt, dass die Mobilfunkantenne kaum direkt mit dem (in keinem Bundesinventar aufgeführten) Baudenkmal "Schloss Freidorf" wahrgenommen werde, womit auch keine Beeinträchtigung dieses Schutzobjekts vorliege. Diese wie auch die weiteren Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz werden von den Beschwerdeführern nicht als willkürlich gerügt. Ebenso wenig bringen sie vor, die Vorinstanz habe kantonales Recht (insb. das Planungs- und Baugesetz des Kantons Thurgau [PBG/TG; RB 700]) oder kommunales Recht (insb. das Baureglement der Gemeinde Roggwil) willkürlich angewendet.
Auf die Beschwerde ist mithin einzig insoweit einzutreten, als die Beschwerdeführer die Verletzung von Bundesrecht gemäss <ref-law> geltend machen und diese Vorbringen den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügen.
2.
In verfahrensrechtlicher Hinsicht rügen die Beschwerdeführer eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>, da die Vorinstanz die beiden Augenscheine einzig "aus dem Blickwinkel des Senderstandortes selbst" vorgenommen habe.
Dieses Vorbringen ist nicht stichhaltig. Wie die Vorinstanz unter Hinweis auf die beiden Augenscheinprotokolle vom 31. Oktober und 21. November 2007 dargelegt hat, wurde bei beiden Augenscheinen auch ein Standort oberhalb des Baugrundstücks gewählt. Zudem stellte der Präsident der Vorinstanz anlässlich des ersten Augenscheins ausdrücklich die Frage, ob noch weitere Standorte besichtigt werden sollten, was die anwesenden Personen verneinten. Auch im Übrigen ist weder substanziiert gerügt noch ersichtlich, inwiefern die Teilnahmerechte der Beschwerdeführer im mit Entscheid vom 13. Februar 2013 abgeschlossenen vorinstanzlichen Verfahren verletzt worden sein sollten.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat erwogen, das Baugrundstück liege in der Gewerbezone, und das Projekt sei zonenkonform. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer fehle eine gesetzliche Grundlage, um die Beschwerdegegnerin zur Prüfung von Alternativstandorten zu verpflichten, denn die Gemeinde Roggwil habe auf eine entsprechende Negativ- oder Positivplanung (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 67) im Rahmen der Ortsplanung verzichtet. Die Grenzwerte der Verordnung vom 23. Dezember 1999 über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung (NISV; SR 814.710) seien eingehalten, und die Kritik der Beschwerdeführer am Qualitätssicherungssystem der Netzbetreiber sei entkräftet worden. Da das Bauprojekt den gesetzlichen Vorschriften entspreche, habe die Beschwerdegegnerin einen Rechtsanspruch auf Erteilung der Baubewilligung.
3.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, die Baubewilligungserteilung verstosse gegen Art. 24 RPG.
Die Rüge ist unbegründet. Art. 24 RPG regelt die Erteilung von Ausnahmebewilligungen für Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen und findet deshalb im zu beurteilenden Fall keine Anwendung, da das Baugrundstück in der Bauzone liegt.
3.3. Die Beschwerdeführer äussern Zweifel am Qualitätssicherungssystem der Netzbetreiber und bringen vor, die Grenzwerte der NISV würden Personen mit elektromagnetischer Hypersensibilität nur ungenügend schützen.
3.3.1. Das Bundesgericht erwog im Urteil 1C_118/2010 vom 20. Oktober 2010 (in: URP 2010 S. 871) die Qualitätssicherungssysteme, welche die Mobilfunkbetreiber eingeführt hätten, dienten der Kontrolle, dass die bewilligten Parameter (äquivalente Strahlungsleistung ERP, Senderichtung) der Mobilfunkantennen im Betrieb eingehalten und die NISV-Grenzwerte nicht überschritten würden. Zwar seien die Qualitätssicherungssysteme noch mangelhaft, insgesamt erfüllten sie aber ihre Kontrollfunktion. Die Qualitätssicherungssysteme seien daher aus umweltschutzrechtlicher Sicht nicht zu beanstanden (Urteil 1C_118/2010 vom 20. Oktober 2010 E. 2.2, in: URP 2010 S. 871, mit Verweis auf Urteil 1C_282/2008 vom 7. April 2009 E. 3). Die pauschale Kritik der Beschwerdeführer gibt keinen Anlass, auf diese Rechtsprechung zurückzukommen.
3.3.2. Das Bundesgericht hat die Anlage- und Immissionsgrenzwerte der NISV bisher stets als gesetzes- und verfassungskonform beurteilt. Im bereits erwähnten Urteil 1C_118/2010 vom 20. Oktober 2010 (in: URP 2010 S. 871) hielt das Bundesgericht fest, ein hinreichender Zusammenhang zwischen der Exposition durch Mobilfunkbasisstationen und schädlichen oder lästigen Einwirkungen sei bislang wissenschaftlich nicht belegt. Weder gebe es zurzeit allgemein anerkannte Kriterien für eine objektive Diagnose von Elektrosensibilität noch habe ein kausaler Zusammenhang zwischen elektromagnetischen Feldern und den mit Elektrosensibilität assoziierten Gesundheitsbeschwerden nachgewiesen werden können. Die noch bestehenden Wissenslücken rechtfertigten es nicht, die Grenzwerte der NISV als rechtswidrig zu beurteilen und den weiteren Bau von Mobilfunkantennen zu verbieten (Urteil 1C_118/2010 vom 20. Oktober 2010 E. 4.2.1 und 4.2.4, in: URP 2010 S. 871). In einem neueren Entscheid führte das Bundesgericht ergänzend aus, auch der im Mai 2012 im Auftrag des BAFU vom Schweizerischen Tropen- und Public Health-Institut (Swiss TPH) erstellte Synthesebericht "Elektromagnetische Hypersensibilität" halte zusammenfassend fest, dass es gegenwärtig keinen wissenschaftlichen Beleg dafür gebe, dass Personen, die sich als elektromagnetisch hypersensibel wahrnehmen, empfindlicher auf elektromagnetische Felder reagieren als die restliche Bevölkerung (Urteil 1C_31/2012 vom 6. Juni 2012 E. 4.1). Wie das BAFU in seiner Vernehmlassung vom 4. Juli 2013 unter Verweis auf die "Internationale statistische Klassifikation der Krankheiten und verwandter Gesundheitsprobleme (ICD-10) " dargelegt hat, ist elektromagnetische Hypersensibilität entgegen der Behauptung der Beschwerdeführer (bislang) auch nicht als Krankheit anerkannt.
An der bisherigen Rechtsprechung ist deshalb festzuhalten.
3.4. Weitere Rügen, welche den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügen, erheben die Beschwerdeführer nicht. Es ist indes auch nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzt haben sollte. Vielmehr hat sie ihren Entscheid unter zutreffender Darstellung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung eingehend und überzeugend begründet.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind den unterliegenden Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin unter solidarischer Haftbarkeit zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 BGG). Die kommunalen und kantonalen Behörden haben keinen Anspruch auf eine Entschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit mit insgesamt Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Roggwil, dem Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Umwelt BAFU schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. April 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner