Sachverhalt:
A.
D._, geboren 1957, arbeitete von 1991 bis Ende 2005 als Maschinenführer für die Firma H._ AG, bevor er arbeitsunfähig wurde und diese Arbeitsstelle per Ende September 2006 verlor. Am 19. Januar 2007 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons St. Gallen zum Rentenbezug an. Nach medizinischen Abklärungen und insbesondere gestützt auf das interdisziplinäre Gutachten vom 1. April 2008 des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch bei einem ermittelten Invaliditätsgrad von 37 % (Verfügung vom 1. Dezember 2010).
B.
Dagegen beantragte D._ beschwerdeweise, ihm sei unter Aufhebung der Verfügung der IV-Stelle vom 1. Dezember 2010 nach Durchführung einer neuerlichen Begutachtung bei einem Invaliditätsgrad von über 47 % eine Invalidenrente zuzusprechen. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 31. Januar 2013 gut, hob die Verfügung vom 1. Dezember 2010 auf und sprach dem Versicherten bei einem neu auf 48 % ermittelten Invaliditätsgrad mit Wirkung ab 1. Dezember 2006 eine Viertelsrente zu; zur Festsetzung der Rentenhöhe und Ausrichtung der geschuldeten Leistungen wies es die Sache an die IV-Stelle zurück.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die IV-Stelle beantragen, der angefochtene Gerichtsentscheid sei aufzuheben und die Verfügung vom 1. Dezember 2010 zu bestätigen; zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Ohne Einwände gegen die Erteilung der aufschiebenden Wirkung zu erheben, schloss D._ auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt mit Vernehmlassung vom 5. Juni 2013 Gutheissung der Beschwerde.
D.
Mit Verfügung vom 17. Juni 2013 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> und <ref-law>). Die Beschwerde führende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten oder ergänzen will, muss substanziiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid Festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden. Vorbehalten bleibt die Berichtigung oder Ergänzung des Sachverhalts von Amtes wegen bei offensichtlichen Sachverhaltsmängeln im Sinne von <ref-law>, die dem Richter geradezu in die Augen springen (<ref-ruling> E. 6.2 S. 288 und Urteil 4A_235/2007 vom 1. Oktober 2007 E. 3.2, je mit Hinweisen; vgl. auch SVR 2013 AlV Nr. 4 S. 11, 8C_431/2012 vom 12. Dezember 2012 E. 1.2 mit Hinweisen).
1.3. Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde an das Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Entscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>). Tatsächlicher Natur sind die Feststellungen zur Arbeits (un) fähigkeit, die das Sozialversicherungsgericht gestützt auf medizinische Untersuchungen trifft. Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Der Untersuchungsgrundsatz (Art. 43 Abs. 1 und <ref-law>) zählt zu den in <ref-law> erwähnten bundesrechtlichen Vorschriften. Die unvollständige (gerichtliche) Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (<ref-ruling> E. 2 S. 25 mit Hinweisen; Ulrich Meyer/Johanna Dormann, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 25, 36 und 58-61 zu <ref-law>; Hansjörg Seiler, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 24 zu <ref-law>), die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (statt vieler: Urteil 9C_850/2008 vom 6. Februar 2009 E. 2.2 mit Hinweis; Ulrich Meyer/Johanna Dormann, a.a.O., N. 60 zu <ref-law>; Markus Schott, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 17 ff. zu <ref-law>) sowie die Verletzung der Pflicht zu inhaltsbezogener, umfassender, sorgfältiger und objektiver Beweiswürdigung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 400) stellen eine Rechtsverletzung gemäss <ref-law> dar. Hat das Sozialversicherungsgericht die rechtserheblichen tatsächlichen Feststellungen in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes getroffen, sind sie für das Bundesgericht nicht verbindlich (SVR 2011 IV Nr. 71 S. 213, 9C_994/2010 E. 1 mit Hinweisen).
1.4. Im Rahmen der Invaliditätsbemessung - namentlich bei der Ermittlung von Gesundheitsschaden, Arbeitsfähigkeit und Zumutbarkeitsprofil sowie bei der Festsetzung von Validen- und Invalideneinkommen - sind zwecks Abgrenzung der (für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen) Tatsachenfeststellungen von den (letztinstanzlich frei überprüfbaren) Rechtsanwendungsakten der Vorinstanz weiterhin die kognitionsrechtlichen Grundsätze heranzuziehen, wie sie in <ref-ruling> E. 3 S. 397 ff. für die bis 31. Dezember 2006 gültig gewesene Fassung von Art. 132 des seither aufgehobenen OG entwickelt wurden. Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage; dazu gehören auch Folgerungen, die sich auf medizinische Empirie stützen, zum Beispiel die Vermutung, dass eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung oder ein vergleichbarer ätiologisch unklarer syndromaler Zustand mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar sei (<ref-ruling> mit Hinweisen; SVR 2008 IV Nr. 8 S. 24, I 649/06 E. 3.2 am Ende). Im Übrigen gilt in diesem Zusammenhang Folgendes: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (Urteil 9C_917/2012 vom 14. August 2013 E. 1.2 mit Hinweis auf SVR 2008 IV Nr. 23 S. 72, I 683/06 E. 2.2).
2.
Streitig ist der Anspruch des Versicherten auf eine Rente der Invalidenversicherung. Vorweg zu klären ist, ob bei gegebenem Aktenstand in Bezug auf die grundsätzlich massgebenden tatsächlichen Verhältnisse im Zeitpunkt des Erlasses der Verfügung vom 1. Dezember 2010 (<ref-ruling> E. 2.1 S. 243; <ref-ruling> E. 1b S. 366) die für die Beurteilung des strittigen Anspruchs vorausgesetzten rechtserheblichen Tatsachen mit dem geforderten Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit in bundesrechtskonformer Weise festgestellt wurden.
2.1. Nach dem Untersuchungsgrundsatz (Art. 43 Abs. 1 und <ref-law>) hat die Verwaltung und im Streitfall das Sozialversicherungsgericht den rechtserheblichen Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen. Diese Untersuchungspflicht dauert so lange, bis über die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlichen Tatsachen hinreichende Klarheit besteht (SVR 2010 AlV Nr. 2 S. 3, 8C_269/2009 E. 2.2 mit Hinweisen).
2.2. Verwaltung und Vorinstanz stützten sich in tatsächlicher Hinsicht betreffend Feststellung des Gesundheitsschadens und der Arbeitsfähigkeit übereinstimmend auf ein und dasselbe, angeblich den Anforderungen von <ref-ruling> E. 5.1 genügende interdisziplinäre Gutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums X._, zogen jedoch gegenteilige Schlussfolgerungen daraus. Wie sogleich zu zeigen ist, kann der angefochtene Entscheid angesichts der offensichtlichen Sachverhaltsmängel mit Blick auf die diesem zugrunde liegenden Tatsachenfeststellungen nicht bestätigt werden, sondern ist der Sachverhalt vielmehr von Amtes wegen zu berichtigen (vgl. E. 1.2 i.f. hievor).
2.2.1. Offensichtlich aktenwidrig ist die laut kantonalem Gericht "entscheidende" Feststellung, wonach "die Gutachter die quantitative Einschränkung der für leidensangepasste Tätigkeiten bestehenden Arbeitsunfähigkeit einzig mit dem depressiven Leidensbild begründeten". Der psychiatrische Gutachter Dr. med. K._ listete in seinem Teilgutachten vom 20. Februar 2008 bei den "Diagnosen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit" vielmehr nicht nur eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig leichte bis mittelgradige Episode mit somatischen Symptomen (ICD-10: F33.01, F33.11) und einen Verdacht auf emotional instabile Persönlichkeitsstörung, impulsiver Typus (ICD-10: F60.30), sondern explizit auch eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10: F45.4) auf. Die unmittelbar anschliessende Tatsachenfeststellung der Vorinstanz, wonach der psychiatrische Gutachter ausdrücklich festgehalten habe, "dass die ebenfalls diagnostizierte somatoforme Schmerzstörung keine quantitative Einschränkung [der Arbeitsfähigkeit] begründe", ist in dieser Absolutheit ebenfalls aktenwidrig, ist doch an der zitierten Stelle dem psychiatrischen Teilgutachten klar und deutlich zu entnehmen, dass sich diese Arbeitsfähigkeitsbeurteilung nur auf eine "leichte, den körperlichen Leiden angepasste Tätigkeit" bezieht. Dass nach fachärztlicher Auffassung offensichtlich auch der anhaltenden somatoformen Schmerzstörung eine die Leistungsfähigkeit einschränkende Auswirkung zukommt, belegen weitere Fundstellen auf derselben Seite des psychiatrischen Teilgutachtens, wonach der Versicherte in der angestammten Tätigkeit "wegen der anhaltenden somatoformen Schmerzstörung [...] 0 % arbeitsfähig" ist. Auf die nach Auffassung des kantonalen Gerichts ausschlaggebenden, jedoch aktenwidrigen Tatsachenfeststellungen gemäss angefochtenem Entscheid ist nach dem Gesagten nicht abzustellen.
2.2.2. Soweit die Vorinstanz jedoch das Vorgehen der Beschwerdeführerin als widersprüchlich rügt, ist dem kantonalen Gericht beizupflichten. Nachdem der Regionale Ärztliche Dienst der IV-Stelle (RAD) am 6. November 2007 eine rheumatologisch-psychiatrische Begutachtung des Versicherten empfohlen hatte, qualifizierte dieselbe RAD-Ärztin das Gutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ am 5. Juni 2008 als "umfassend, kohärent, in sich widerspruchsfrei und nachvollziehbar." Dementsprechend ermittelte die Beschwerdeführerin unter Berücksichtigung eines Valideneinkommens von Fr. 78'624.- und einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit hinsichtlich der angestammten, körperlich schweren Tätigkeit sowie einer 30%ige Arbeitsunfähigkeit in einer leidensangepassten mittelschweren Tätigkeit zunächst einen Invaliditätsgrad von (gerundet) 47 %. Sodann nahm die gleiche RAD-Ärztin am 2. Oktober 2008 nochmals zur Arbeitsfähigkeitsbeurteilung gemäss Gutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ Stellung und bestätigte, dass einstweilen von der 30%igen Arbeitsunfähigkeit auszugehen, jedoch bei guter beruflicher Integration und Rückbildung der depressiven Symptome prognostisch mit einer vollen Arbeitsfähigkeit zu rechnen sei. Nach Durchführung eines Assessmentgespräches ermittelte die IV-Stelle nunmehr basierend auf einem neu um mehr als Fr. 12'000.- tiefer festgesetzten Validenlohn von Fr. 66'430.- einen IV-Grad von nur noch (gerundet) 37 %. Dabei berief sich die Beschwerdeführerin weiterhin auf die Beweiskraft des Gutachtens des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ sowie eine massgebende Arbeitsunfähigkeit von 30 % und verneinte angesichts des resultierenden Invaliditätsgrades von 37 % einen Rentenanspruch (Verfügung vom 1. Dezember 2010). Erstmals im kantonalen Beschwerdeverfahren machte die IV-Stelle geltend, auf die 30%ige Arbeitsunfähigkeit könne in Anwendung der Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen nicht abgestellt werden. Basierend auf einem jetzt wieder auf Fr. 78'169.- erhöhten Valideneinkommen plädierte die Beschwerdeführerin nunmehr dafür, aufgrund der uneingeschränkten Leistungsfähigkeit hinsichtlich einer angepassten Tätigkeit sei von einem Invaliditätsgrad von diesmal 25 % auszugehen.
2.2.3. Entgegen des von der Beschwerdeführerin nach Massgabe des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>) selber veranlassten interdisziplinären Gutachtens des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ behauptet die IV-Stelle vor Bundesgericht (wie bereits im kantonalen Verfahren) abweichend von ihrem im Administrativverfahren eingenommenen Standpunkt, der Versicherte leide nicht an einer invalidisierenden Gesundheitsstörung. Statt auf die 30%ige Arbeitsunfähigkeit abzustellen, will sie nunmehr von den Ergebnissen des psychiatrischen Teilgutachtens abweichen, indem sie aus den Feststellungen anlässlich der Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit (EFL) auf eine fehlende Zuverlässigkeit der Leistungsfähigkeitsbeurteilung schliesst. Dass die IV-Stelle im Administrativverfahren die im Zusammenhang mit somatoformen Schmerzstörungen erforderlichen Tatsachenfeststellungen gemäss Erwägung Ziffer 1.4 hievor getroffen hätte, ist nicht ersichtlich. Das Vorgehen der Beschwerdeführerin ist widersprüchlich und verstösst gegen den Vertrauensgrundsatz.
2.3. Da jedoch ebenso wenig auf die massgebenden, dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegenden Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz abzustellen ist (E. 2.2.1 hievor) und auch das Gutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ - wie nachfolgend aufzuzeigen ist - den praxisgemässen Anforderungen nicht genügt, ist die Sache zur weiteren Abklärung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
2.3.1. Entgegen Verwaltung und Vorinstanz ist das Gutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ weder als widerspruchsfrei (vgl. E. 2.2.1 hievor) noch als nachvollziehbar, schlüssig und überzeugend zu qualifizieren. Zunächst ist mit Blick auf das psychiatrische Teilgutachten des Dr. med. K._ festzuhalten, dass dieser zwar drei psychische Störungen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit (E. 2.2.1 hievor) diagnostizierte, jedoch gleichzeitig ausdrücklich darauf hinwies, der Versicherte habe die vom Gutachter angestrebten testpsychologischen Untersuchungen nicht vollständig absolviert und einen nur wenig motivierten Eindruck gemacht, so dass alle drei "Testergebnisse nicht aussagekräftig" seien. Dass der psychiatrische Gutachter dennoch konkrete psychische Störungen zu bezeichnen und diese standardisierten Diagnosen zuzuordnen vermochte, erscheint unter diesen Umständen weder als nachvollziehbar noch als schlüssig. Eine Rücksprache mit dem behandelnden Psychiater Dr. med. C._ erfolgte ausweislich der Akten nicht. Trotz der im Zeitpunkt der Begutachtung fast bereits einjährigen psychiatrischen Behandlungsdauer und der bisher fehlenden Behandlungsergebnisse empfahl Dr. med. K._ eine konsequente Fortsetzung der ambulanten psychiatrischen Behandlung und gleichzeitig eine schnellstmögliche berufliche Eingliederung, hielt aber zugleich fest, der Versicherte "fühle sich nicht in der Lage, irgendwelcher Arbeit nachzugehen", dabei handle es sich jedoch nicht um Aggravation, sondern "um die bekannte negative Selbstwahrnehmungsstörung im Rahmen der Depression". Hier bleibt unklar, ob nun die Depression der beruflichen Eingliederung oder die fehlende berufliche Eingliederung der psychischen Genesung im Wege steht. Die Tests im Rahmen der EFL zeigten sodann klare Anzeichen für eine "deutliche Selbstlimitierung". Die Konsistenz der Tests war schlecht. So gelangten die Fachärzte im Hauptgutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ zur Schlussfolgerung, infolge der gezeigten Symptomausweitung, Selbstlimitierung und Inkonsistenz seien "die Resultate der Belastbarkeitstests für die Beurteilung [der Leistungsfähigkeit] nicht verwertbar." Auf dieser zweifelhaften Grundlage attestierten die Gutachter dem Versicherten dennoch aus rein psychiatrischer Sicht - welche auch der interdisziplinären Einschätzung entsprach - in Bezug auf eine angepasste, ganztags zu verrichtende mittelschwere wechselpositionierte Tätigkeit ein um 30 % eingeschränktes Rendement. Die Aussagekraft des Gutachtens des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ wird zusätzlich dadurch relativiert, dass dem rheumatologischen Gutachter offenbar das gesamte Röntgendossier nicht zur Verfügung stand. Auch wenn dieser angeblich aufgrund der klinischen Untersuchung keine Indikationen für eine Neuerstellung der Bilder erkennen konnte, ist doch im Hinblick auf die erforderliche Neubegutachtung festzuhalten, dass sich der Rheumatologe anlässlich der Begutachtung des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ mit bereits ein Jahr zurückliegenden schriftlichen Röntgenbefunden anderer Ärzte begnügen musste und auch das Gutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ seinerseits im Zeitpunkt des Verfügungserlasses bereits mehr als zweieinhalb Jahre alt war.
2.3.2. Folglich steht fest, dass die Arbeitsfähigkeitsbeurteilung gemäss Gutachten des arbeitsmedizinischen Zentrums X._ auf nicht aussagekräftigen Untersuchungsergebnissen basiert, welche auf abgebrochenen testpsychologischen Abklärungen sowie einem selbstlimitierenden Verhalten anlässlich der EFL beruhen. Nach dem Gesagten ist weder auf die Sachverhaltsfeststellung gemäss angefochtenem Entscheid noch auf diejenige der Beschwerdeführerin abzustellen. Die Sache ist daher zur nicht vorbefassten Neubegutachtung und anschliessenden Neubeurteilung der Beschwerde an die Vorinstanz (<ref-ruling> E. 4.4.1.4 S. 264) zurückzuweisen. Aufgrund der mannigfaltig geklagten gesundheitlichen Beeinträchtigungen, welche auch somatische Leiden wie Rückenschmerzen und Wassereinlagerungen in Händen und Beinen umfassen, ist es geboten, eine polydisziplinäre Expertise durch eine medizinische Abklärungsstelle der Invalidenversicherung (MEDAS) anzuordnen (siehe dazu <ref-ruling>), welche nebst der psychischen Situation auch die somatischen Aspekte des Krankheitsbildes prüft (Urteil 9C_603/2012 vom 18. März 2013 E. 3.2), wobei die IV-Stelle unter den gegebenen Umständen angesichts des ihr zur Last zu legenden widersprüchlichen Verhaltens (E. 2.2.2) die Kosten für diese Neubegutachtung zu tragen haben wird.
3.
Die Rückweisung der Sache an das kantonale Gericht oder an den Versicherungsträger zur erneuten Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt praxisgemäss (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235 mit Hinweisen) für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als volles Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie überhaupt beantragt, oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wird. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens wären die Gerichtskosten daher grundsätzlich dem unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen (Urteil 8C_654/2012 vom 27. März 2012 E. 7 mit Hinweis). Angesichts des zweifelhaften Vorgehens (vgl. E. 2.2.2 hievor) der Beschwerdeführerin sind dieser unter den gegebenen Umständen (vgl. <ref-law>) die Gerichtskosten aufzuerlegen. Trotz Obsiegens steht der IV-Stelle nach Massgabe von <ref-law> keine Parteientschädigung zu.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 31. Januar 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Dezember 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Hochuli