Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. S._, geboren 1945, war seit 1982 als Organistin bei der reformierten Kirchgemeinde D._ und als Musikschullehrerin bei der Musikschule D._ angestellt und über diese Arbeitgeber bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur oder Beschwerdeführerin) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 24. Oktober 2001 erlitt sie als Lenkerin ihres Personenwagens in D._ beim Rechtsabbiegen einen Auffahrunfall. Ein nachfolgender Personenwagen konnte nicht rechtzeitig abbremsen bzw. ausweichen und stiess in die hintere linke Ecke des Fahrzeugs der Versicherten. Eine halbe Stunde nach dem Unfall verspürte sie plötzlich starke, über beide Schultern ausstrahlende Schmerzen sowie leichte Übelkeit ohne Erbrechen. Gleichentags liess sie sich im Spital T._ behandeln, wo eine sehr starke Bewegungseinschränkung von Kopf, Rücken und Armen sowie eine leichte Sensibilitätsminderung am rechten Arm festgestellt und ein Schleudertrauma bzw. eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert wurde. Die bildgebenden Abklärungen ergaben keine ligamentären Läsionen und keine Fraktur, hingegen vorbestehende schwere degenerative Veränderungen der gesamten HWS. Die Ärzte des Spitals T._ attestierten der Versicherten eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bis auf Weiteres und veranlassten eine stationäre Therapie im Zentrum M._ vom 3. November bis 8. Dezember 2001. Dort wurden die progredienten, bis gegen die mittleren Oberarme und gegen die Brustwirbelsäule (BWS) ausstrahlenden Beschwerden im Bereich der HWS mit physikalischen Therapien angegangen. Im Zeitpunkt der Entlassung war die Versicherte beschwerdearm bei weiterhin nicht stabiler Situation und verminderter Belastungstoleranz. Es wurde ambulante physikalische Therapie aktiv und passiv verordnet und eine Arbeitsunfähigkeit bis 31. Januar 2002 attestiert (Bericht des Zentrums M._ vom 18. Dezember 2001). Während des stationären Aufenthalts im Zentrum M._ wurde zudem eine psychotherapeutische Behandlung durch lic. phil. K._, Psychologin, aufgenommen, die eine posttraumatische Belastungsstörung und eine Schmerzstörung in Verbindung mit einem medizinischen Krankheitsfaktor diagnostizierte (Bericht vom 28. Januar 2002). Wegen persistierenden Beschwerden (Nackenschmerzen, Müdigkeit, Schwindel, Schweissausbrüche sowie Schmerzen in beiden Kiefergelenken) erfolgte am 2. April 2002 eine neurologische Abklärung durch Dr. med. C._, Spezialarzt für Neurologie. Er veranlasste eine weitere MRI-Untersuchung, welche am 24. April 2002 degenerative Veränderungen der HWS im Sinne einer Chondrose in den Segmenten C4/C5, C5/C6 und C6/C7 zeigte. Dr. med. C._ stellte im Bericht vom 30. Mai 2002 die Diagnose eines Distorsionstraumas der HWS mit ausgeprägtem Zervikalsyndrom (massive Dysfunktion der HWS vor allem für die Kopfrotation nach beiden Seiten) mit einer posttraumatischen Belastungsstörung und einer ausgeprägten vegetativen Symptomatik (Hyperhydrose) und nahm an, die Dysfunktion der HWS für die Rotation sei mit grösster Wahrscheinlichkeit traumatischer Genese. Bezüglich der Beschwerden in den Kiefergelenken empfahl er ein kieferorthopädisches Konsilium. Der beratende Zahnarzt der Winterthur, Dr. med. dent. A._, erachtete in der Folge den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Kiefergelenksbeschwerden höchstens als möglich (Besprechungsnotiz vom 1. Oktober 2002). Im Weiteren holte die Winterthur ein unfallanalytisches Gutachten vom 4. März 2002 und eine biomechanische Beurteilung vom 15. Juli 2002 ein. Die Versicherte war für die Tätigkeiten als Organistin und Musikschullehrerin bis 14. Mai 2002 zu 100 % und anschliessend bis 17. Juli 2002 zu 70 % arbeitsunfähig. Ab 18. Juli 2002 war sie als Musikschullehrerin wieder voll arbeitsfähig, während sie als Organistin weiterhin zu 40 % arbeitsunfähig blieb. Dr. med. N._ rechnete gemäss Bericht vom 19. November 2002 angesichts der erzielten Fortschritte mit einer weiteren Besserung. Mit Verfügung vom 20. Februar 2003 stellte die Winterthur die Versicherungsleistungen auf 31. Dezember 2002 ein, weil der adäquate Kausalzusammenhang nicht mehr gegeben sei. Dagegen erhoben die Versicherte und die Helsana Versicherungen AG als zuständiger Krankenversicherer Einsprache. Nach Einholung von Stellungnahmen des beratenden Arztes Dr. med. H._ vom 30. September 2003 und des beratenden Psychiaters Dr. med. R._ vom 1. Oktober 2003 hielt die Winterthur am Fallabschluss per 31. Dezember 2002 fest (Einspracheentscheid vom 10. Oktober 2003).
A. S._, geboren 1945, war seit 1982 als Organistin bei der reformierten Kirchgemeinde D._ und als Musikschullehrerin bei der Musikschule D._ angestellt und über diese Arbeitgeber bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur oder Beschwerdeführerin) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 24. Oktober 2001 erlitt sie als Lenkerin ihres Personenwagens in D._ beim Rechtsabbiegen einen Auffahrunfall. Ein nachfolgender Personenwagen konnte nicht rechtzeitig abbremsen bzw. ausweichen und stiess in die hintere linke Ecke des Fahrzeugs der Versicherten. Eine halbe Stunde nach dem Unfall verspürte sie plötzlich starke, über beide Schultern ausstrahlende Schmerzen sowie leichte Übelkeit ohne Erbrechen. Gleichentags liess sie sich im Spital T._ behandeln, wo eine sehr starke Bewegungseinschränkung von Kopf, Rücken und Armen sowie eine leichte Sensibilitätsminderung am rechten Arm festgestellt und ein Schleudertrauma bzw. eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert wurde. Die bildgebenden Abklärungen ergaben keine ligamentären Läsionen und keine Fraktur, hingegen vorbestehende schwere degenerative Veränderungen der gesamten HWS. Die Ärzte des Spitals T._ attestierten der Versicherten eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bis auf Weiteres und veranlassten eine stationäre Therapie im Zentrum M._ vom 3. November bis 8. Dezember 2001. Dort wurden die progredienten, bis gegen die mittleren Oberarme und gegen die Brustwirbelsäule (BWS) ausstrahlenden Beschwerden im Bereich der HWS mit physikalischen Therapien angegangen. Im Zeitpunkt der Entlassung war die Versicherte beschwerdearm bei weiterhin nicht stabiler Situation und verminderter Belastungstoleranz. Es wurde ambulante physikalische Therapie aktiv und passiv verordnet und eine Arbeitsunfähigkeit bis 31. Januar 2002 attestiert (Bericht des Zentrums M._ vom 18. Dezember 2001). Während des stationären Aufenthalts im Zentrum M._ wurde zudem eine psychotherapeutische Behandlung durch lic. phil. K._, Psychologin, aufgenommen, die eine posttraumatische Belastungsstörung und eine Schmerzstörung in Verbindung mit einem medizinischen Krankheitsfaktor diagnostizierte (Bericht vom 28. Januar 2002). Wegen persistierenden Beschwerden (Nackenschmerzen, Müdigkeit, Schwindel, Schweissausbrüche sowie Schmerzen in beiden Kiefergelenken) erfolgte am 2. April 2002 eine neurologische Abklärung durch Dr. med. C._, Spezialarzt für Neurologie. Er veranlasste eine weitere MRI-Untersuchung, welche am 24. April 2002 degenerative Veränderungen der HWS im Sinne einer Chondrose in den Segmenten C4/C5, C5/C6 und C6/C7 zeigte. Dr. med. C._ stellte im Bericht vom 30. Mai 2002 die Diagnose eines Distorsionstraumas der HWS mit ausgeprägtem Zervikalsyndrom (massive Dysfunktion der HWS vor allem für die Kopfrotation nach beiden Seiten) mit einer posttraumatischen Belastungsstörung und einer ausgeprägten vegetativen Symptomatik (Hyperhydrose) und nahm an, die Dysfunktion der HWS für die Rotation sei mit grösster Wahrscheinlichkeit traumatischer Genese. Bezüglich der Beschwerden in den Kiefergelenken empfahl er ein kieferorthopädisches Konsilium. Der beratende Zahnarzt der Winterthur, Dr. med. dent. A._, erachtete in der Folge den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Kiefergelenksbeschwerden höchstens als möglich (Besprechungsnotiz vom 1. Oktober 2002). Im Weiteren holte die Winterthur ein unfallanalytisches Gutachten vom 4. März 2002 und eine biomechanische Beurteilung vom 15. Juli 2002 ein. Die Versicherte war für die Tätigkeiten als Organistin und Musikschullehrerin bis 14. Mai 2002 zu 100 % und anschliessend bis 17. Juli 2002 zu 70 % arbeitsunfähig. Ab 18. Juli 2002 war sie als Musikschullehrerin wieder voll arbeitsfähig, während sie als Organistin weiterhin zu 40 % arbeitsunfähig blieb. Dr. med. N._ rechnete gemäss Bericht vom 19. November 2002 angesichts der erzielten Fortschritte mit einer weiteren Besserung. Mit Verfügung vom 20. Februar 2003 stellte die Winterthur die Versicherungsleistungen auf 31. Dezember 2002 ein, weil der adäquate Kausalzusammenhang nicht mehr gegeben sei. Dagegen erhoben die Versicherte und die Helsana Versicherungen AG als zuständiger Krankenversicherer Einsprache. Nach Einholung von Stellungnahmen des beratenden Arztes Dr. med. H._ vom 30. September 2003 und des beratenden Psychiaters Dr. med. R._ vom 1. Oktober 2003 hielt die Winterthur am Fallabschluss per 31. Dezember 2002 fest (Einspracheentscheid vom 10. Oktober 2003).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der S._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 14. September 2004 gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Winterthur zurück, damit sie über die gesetzlichen Ansprüche verfüge. Das kantonale Gericht vertrat die Auffassung, der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den über den 31. Dezember 2002 hinaus anhaltend geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 24. Oktober 2001 sei - ausser in Bezug auf die Kieferbeschwerden - zu bejahen.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der S._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 14. September 2004 gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Winterthur zurück, damit sie über die gesetzlichen Ansprüche verfüge. Das kantonale Gericht vertrat die Auffassung, der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den über den 31. Dezember 2002 hinaus anhaltend geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 24. Oktober 2001 sei - ausser in Bezug auf die Kieferbeschwerden - zu bejahen.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Winterthur die Aufhebung des kantonalen Entscheids.
Während S._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Im Beschwerdeverfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ist die Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht auf die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens beschränkt, sondern sie erstreckt sich auch auf die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung (Art. 132 lit. a OG); das Gericht ist dabei nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 132 lit. b OG) und kann zu Gunsten oder zu Ungunsten der Parteien über deren Begehren hinausgehen (Art. 132 lit. c OG).
1. Im Beschwerdeverfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ist die Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht auf die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens beschränkt, sondern sie erstreckt sich auch auf die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung (Art. 132 lit. a OG); das Gericht ist dabei nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 132 lit. b OG) und kann zu Gunsten oder zu Ungunsten der Parteien über deren Begehren hinausgehen (Art. 132 lit. c OG).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat die Bestimmung über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (<ref-law>) sowie die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen (<ref-ruling> Erw. 3.1, 406 Erw. 4.3.1, 119 V 337 Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen) und adäquaten Kausalzusammenhang (<ref-ruling> Erw. 3.2, 405 Erw. 2.2, 125 V 461 Erw. 5a mit Hinweisen) zutreffend wiedergegeben. Darauf wird verwiesen.
2.2 Zu ergänzen ist Folgendes: Ist die Unfallkausalität einmal mit der erforderlichen Wahrscheinlichkeit nachgewiesen, entfällt die deswegen anerkannte Leistungspflicht des Unfallversicherers erst, wenn der Unfall nicht mehr die natürliche und adäquate Ursache des Gesundheitsschadens darstellt, wenn also Letzteres nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Dies trifft dann zu, wenn entweder der (krankhafte) Gesundheitszustand, wie er unmittelbar vor dem Unfall bestanden hat (Status quo ante), oder aber derjenige Zustand, wie er sich nach dem schicksalsmässigen Verlauf eines krankhaften Vorzustandes auch ohne Unfall früher oder später eingestellt hätte (Status quo sine), erreicht ist (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 Erw. 3b mit Hinweis). Ebenso wie der leistungsbegründende natürliche Kausalzusammenhang (<ref-ruling> Erw. 4a, 376 Erw. 3a, je mit Hinweisen) muss das Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens mit dem im Sozialversicherungsrecht allgemein üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sein. Die blosse Möglichkeit nunmehr gänzlich fehlender ursächlicher Auswirkungen des Unfalles genügt nicht. Da es sich hierbei um eine anspruchsaufhebende Tatfrage handelt, liegt die entsprechende Beweislast - anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist - nicht beim Versicherten, sondern beim Unfallversicherer (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 327 f. Erw. 3b, 1992 Nr. U 142 S. 76 Erw. 4b). Diese Beweislastregel greift allerdings erst Platz, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die überwiegende Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (<ref-ruling> Erw. 3b mit Hinweisen). Sodann muss der Beweis des Wegfalls des natürlichen Kausalzusammenhanges nicht durch den Nachweis unfallfremder Ursachen erbracht werden. Ebenso wenig geht es darum, vom Unfallversicherer den negativen Beweis zu verlangen, dass kein Gesundheitsschaden mehr vorliegt oder dass die versicherte Person nun bei voller Gesundheit ist. Entscheidend ist allein, ob unfallbedingte Ursachen eines Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben, also dahingefallen sind, oder nicht (Urteile I. vom 7. Juli 2004 [U 15/04] Erw. 2.2 und O. vom 31. August 2001 [U 285/00] Erw. 5a).
2.2 Zu ergänzen ist Folgendes: Ist die Unfallkausalität einmal mit der erforderlichen Wahrscheinlichkeit nachgewiesen, entfällt die deswegen anerkannte Leistungspflicht des Unfallversicherers erst, wenn der Unfall nicht mehr die natürliche und adäquate Ursache des Gesundheitsschadens darstellt, wenn also Letzteres nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Dies trifft dann zu, wenn entweder der (krankhafte) Gesundheitszustand, wie er unmittelbar vor dem Unfall bestanden hat (Status quo ante), oder aber derjenige Zustand, wie er sich nach dem schicksalsmässigen Verlauf eines krankhaften Vorzustandes auch ohne Unfall früher oder später eingestellt hätte (Status quo sine), erreicht ist (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 Erw. 3b mit Hinweis). Ebenso wie der leistungsbegründende natürliche Kausalzusammenhang (<ref-ruling> Erw. 4a, 376 Erw. 3a, je mit Hinweisen) muss das Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens mit dem im Sozialversicherungsrecht allgemein üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sein. Die blosse Möglichkeit nunmehr gänzlich fehlender ursächlicher Auswirkungen des Unfalles genügt nicht. Da es sich hierbei um eine anspruchsaufhebende Tatfrage handelt, liegt die entsprechende Beweislast - anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist - nicht beim Versicherten, sondern beim Unfallversicherer (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 327 f. Erw. 3b, 1992 Nr. U 142 S. 76 Erw. 4b). Diese Beweislastregel greift allerdings erst Platz, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die überwiegende Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (<ref-ruling> Erw. 3b mit Hinweisen). Sodann muss der Beweis des Wegfalls des natürlichen Kausalzusammenhanges nicht durch den Nachweis unfallfremder Ursachen erbracht werden. Ebenso wenig geht es darum, vom Unfallversicherer den negativen Beweis zu verlangen, dass kein Gesundheitsschaden mehr vorliegt oder dass die versicherte Person nun bei voller Gesundheit ist. Entscheidend ist allein, ob unfallbedingte Ursachen eines Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben, also dahingefallen sind, oder nicht (Urteile I. vom 7. Juli 2004 [U 15/04] Erw. 2.2 und O. vom 31. August 2001 [U 285/00] Erw. 5a).
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 24. Oktober 20001 und den von der Versicherten beklagten Beschwerden - ausgenommen die Kieferbeschwerden - bejaht, weil das für eine HWS-Distorsion typische Beschwerdebild gegeben sei, wozu auch die bald nach dem Unfall aufgetretene psychische Gesundheitsstörung gehöre, welche die anderen Beschwerden nicht in den Hintergrund zu drängen vermöge. Der Wegfall des natürlichen Kausalzusammenhangs auf Ende 2002 sei auf Grund der medizinischen Aktenlage nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen. Danach prüfte und bejahte die Vorinstanz den adäquaten Kausalzusammenhang nach den Kriterien gemäss <ref-ruling> Erw. 6.
Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber geltend, im Zeitpunkt der Leistungseinstellung seien der natürliche und der adäquate Kausalzusammenhang nicht mehr gegeben gewesen.
3.2 Eine Leistungspflicht des Unfallversicherers kann bei einem Schleudertrauma der HWS oder einer äquivalenten Verletzung unter Umständen auch ohne organisch nachweisbare Schädigung gegeben sein. Nach den Ergebnissen der medizinischen Forschung können bei solchen Verletzungen auch ohne klar ausgewiesene pathologische Befunde noch Jahre nach dem Unfall funktionelle Ausfälle verschiedenster Art auftreten (<ref-ruling> Erw. 5d/aa mit Hinweisen). Der Umstand, dass die nach einem Schleudertraum häufig beobachteten und deshalb von der Rechtsprechung als typisch bezeichneten Beschwerden wie diffuse Kopfschmerzen, Schwindel, Konzentrations- und Gedächtnisstörungen, Übelkeit, rasche Ermüdbarkeit, Visusstörungen, Reizbarkeit, Affektlabilität, Depression, Wesensveränderung usw. (<ref-ruling> Erw. 4b) in manchen Fällen mit den heute verwendeten bildgebenden Untersuchungsmethoden nicht objektivierbar sind, darf nicht dazu verleiten, sie als rein "subjektive" Beschwerden zu qualifizieren und damit deren Relevanz für die Unfallversicherung in Abrede zu stellen. Ob in solchen Fällen ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, ist eine Tatfrage, über welche die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der Beweiswürdigung nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu befinden haben. Auch in diesem Bereich ist aber für die Leistungspflicht des Unfallversicherers unerlässlich, dass die geklagten Beschwerden medizinisch einer fassbaren gesundheitlichen Beeinträchtigung zugeschrieben werden können und diese Gesundheitsschädigung mit überwiegender Wahrscheinlichkeit in einem ursächlichen Zusammenhang mit dem versicherten Unfallereignis steht (<ref-ruling> Erw. 2b/bb). Es genügt deshalb nicht, das Vorliegen eines Schleudertraumas der HWS nachzuweisen, um dann eine Reihe von Beschwerden, auch wenn sie zum typischen Beschwerdebild einer solchen Verletzung gehören, dem Schleudertrauma zuzuschreiben, ohne dass untersucht werden dürfte, ob die einzelnen Beschwerden wirklich Folge des Schleudertraumas sind. Zwar können Beschwerden, die zum typischen Bild gehören, dem Schleudertrauma zugeordnet werden, wenn sie erst nachher aufgetreten sind und andere Ursachen nicht geltend gemacht werden oder sich nicht aufdrängen. Dem Versicherer muss es aber vorbehalten bleiben nachzuweisen, dass einzelne Beschwerden nicht auf das Schleudertrauma zurückzuführen sind (Urteil S. vom 8. Juli 2002 [U 139/00] Erw. 3). Insbesondere bei psychischen Beeinträchtigungen ist erforderlichenfalls vorgängig der Adäquanzbeurteilung zu prüfen, ob es sich um blosse Symptome des erlittenen Traumas oder aber um eine selbstständige (sekundäre) Gesundheitsschädigung handelt, wobei für die Abgrenzung insbesondere Art und Pathogenese der Störung, das Vorliegen konkreter unfallfremder Faktoren und der Zeitablauf von Bedeutung sind (RKUV 2001 Nr. U 412 S. 80).
3.3 Die Winterthur bestreitet nicht, dass die Beschwerdegegnerin am 24. Oktober 2001 ein HWS-Distorsionstrauma erlitt und danach unfallkausale Beschwerden im Bereich der HWS vorlagen. Sie hat denn auch bis Ende Dezember 2002 Versicherungsleistungen erbracht. Da sie geltend macht, es liege kein Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Gesundheitsschaden mehr vor, trägt sie in dieser Hinsicht die objektive Beweislast (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 f. Erw. 3b).
3.4 Die Vorinstanz bejaht das über den 31. Dezember 2002 hinaus anhaltende Fortbestehen der natürlichen Unfallkausalität des beschwerdegegnerischen Gesundheitsschadens im Wesentlichen gestützt auf den medizinischen Aktenstand per 30. Mai 2002. Aus diesen Akten ergibt sich, dass sich die Versicherte am Unfalltag weniger als zwei Stunden nach dem Ereignis ins Spital T._ begab, wo sie durch Dr. med. B._ untersucht und ambulant behandelt wurde. Diese Ärztin diagnostizierte eine HWS-Distorsion, verordnete Dafalgan und attestierte eine volle Arbeitsunfähigkeit vom 24. bis 26. Oktober 2001. Dr. med. B._ hielt im Bericht vom 24. Oktober 2001 fest, dass die Beschwerdegegnerin "bei der Einlieferung einen steifen Halskragen getragen" habe. Weiter bestätigte die erstbehandelnde Ärztin entgegen anderslautenden späteren Behauptungen der Versicherten, dass es anlässlich des Unfalles weder zu einer Bewusstseinsstörung noch zu Erinnerungslücken, Schwindel, Benommenheit oder Erbrechen gekommen ist. Auf diese "Aussagen der ersten Stunde" ist abzustellen (<ref-ruling> Erw. 2a mit Hinweisen; vgl. auch Urteile P. vom 29. August 2003 [I 90/03] Erw. 4 und G. vom 19. August 2002 [I 160/02] Erw. 2.3). Dr. med. B._ erhob als Beschwerden starke Schmerzen über beide Schultern ausstrahlend, leichte Übelkeit und eine sehr starke Bewegungseinschränkung; dies bei stark degenerierter Wirbelsäule und ohne Läsionen oder Frakturen. Im Austrittsbericht des Zentrums M._ vom 18. Dezember 2001, wo sich die Versicherte vom 3. November bis 8. Dezember 2001 zur stationären Rehabilitation aufhielt, erwähnte der Rheumatologe Dr. med. W._ anamnestisch progrediente Beschwerden im Bereich der HWS bis gegen die mittleren Oberarme und gegen die BWS ausstrahlend und hielt für den Austrittszeitpunkt noch bestehende Bewegungseinschränkungen der HWS, LWS und BWS fest. Er führte keine weiteren gesundheitlichen Einschränkungen auf und nahm zur Kausalität nicht Stellung. Seine Diagnose eines Zerviko-vertebralen Syndroms mit multiplen Tendomyosen im Nackengürtelbereich bei Status nach indirektem HWS-Distorsionstrauma erfolgte unter Hinweis auf degenerative HWS-Veränderungen und eine Fehlform mit Flachrücken. Im Rahmen der während des Rehabilitationsaufenthaltes aufgenommenen psychotherapeutischen Behandlung berichtete die Psychologin K._ über Schmerzen im Bereich des Nackens bis in den Hinterkopf, den oberen Rückenbereich, beide Schultern und Arme (linksbetont) ausstrahlend. Weiter klage die Beschwerdegegnerin über Kieferschmerzen, eine erhöhte Lärmempfindlichkeit und eine schmerzbedingte Beeinträchtigung des Schlafes sowie über eine eingeschränkte Beweglichkeit des Kopfes. Diesbezüglich stellte die behandelnde Psychologin die Diagnose einer "Schmerzstörung in Verbindung mit einem medizinischen Krankheitsfaktor (HWS-Distorsionstrauma)". Die Versicherte berichte, dass die Konfrontation mit bezüglich der Unfallsituation ähnlichen Stimuli intensive Angstgefühle auslöse. Weiter zeige sich bei ihr eine allgemeine Überängstlichkeit, eine stark erhöhte Anspannung im Alltag sowie eine Stimmungslabilität und Stressintoleranz. In diesem Zusammenhang diagnostizierte die Psychologin eine posttraumatische Belastungsstörung. Ihrem Bericht vom 28. Januar 2002 sind im Übrigen keine näheren Angaben über Beginn und Intensität der Behandlung zu entnehmen. Dr. med. N._, der die Versicherte ab dem 17. Dezember 2001 behandelte, berichtete am 20. Februar 2002 über einen gescheiterten Arbeitsversuch, der zu einer Schmerzzunahme geführt habe. Zur Unfallkausalität der Beschwerden nahm er nicht Stellung, erwähnte jedoch degenerative HWS-Veränderungen, welche als unfallfremde Faktoren im Heilungsverlauf mitspielen. Anlässlich der Befragung vom 11. März 2003 durch die Winterthur nannte die Beschwerdegegnerin folgende Beschwerden: belastungsabhängige Verspannungen sowie Schmerzen der Nacken- und Schultermuskulatur, Kieferschmerzen, Schweissausbrüche, Schwindel und Schlafstörungen. Am 2. April 2002 untersuchte der Neurologe Dr. med. C._ die Versicherte, die über persistierende Nackenschmerzen, ausgeprägte Müdigkeit, Schwindel, ausgeprägte Schweissausbrüche und Kiefergelenksschmerzen klagte. Dr. med. C._ erhob bei der klinischen Untersuchung eine deutlich eingeschränkte Kopfbeweglichkeit, Druckdolenzen vor allem im Bereich der Schultergürtelmuskulatur sowie über den Dornfortsätzen C4, C5 und C6 sowie einen erhöhten Hartspann der Schultergürtelmuskulatur und eine Verhärtung (Myogelose) am rechten Trapeziusoberrand. Die Beschwerdegegnerin habe im Rahmen der Heckauffahrkollision ein Distorsionstrauma der HWS erlitten. Fünf Monate nach dem Unfall liege ein ausgeprägtes Zervikalsyndrom vor. Dies werde durch die funktionelle Untersuchung der HWS mittels Kernspintomographie untermauert, die eine massive Motilitätsstörung der Kopfrotation nach beiden Seiten sowie leichte degenerative Veränderungen der HWS im Sinne einer Chondrose in den Segmenten C4/C5, C5/C6 und C6/C7 zeige. Bei diesem Befund müsse man annehmen, dass die Dysfunktion der HWS für die Rotation mit grösster Wahrscheinlichkeit traumatischer Genese sei. Darüber hinaus leide die Versicherte an einer erhöhten Müdigkeit, welche als posttraumatische Belastungsstörung zu deuten sei und häufig bei Patienten nach erlittenen Distorsionstraumata der HWS beobachtet werde. Zur Kausalität der von der Beschwerdegegnerin geklagten ausgeprägten vegetativen Symptomatik äusserte sich der Neurologe im Bericht vom 30. Mai 2002 nicht.
3.5 Gestützt auf diese Akten kann die Frage, ob es sich bei den am 31. Dezember 2002 und seither bestehenden Gesundheitsstörungen der Beschwerdegegnerin zumindest teilweise um natürlich kausale Folgen des versicherten Unfalls handelt, nicht mit dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit beantwortet werden. Es steht zwar fest, dass die Versicherte beim Unfall vom 24. Oktober 2001 ein Schleudertrauma erlitt und zumindest im Zeitpunkt der Untersuchung durch Dr. med. C._ (2. April 2002) noch an kausalen Unfallfolgen litt. Denn dieser Facharzt für Neurologie bejahte mit überwiegender Wahrscheinlichkeit die traumatische Genese des Zervikalsyndroms. Insofern ist erstellt, dass im Zeitpunkt der Beurteilung durch Dr. med. C._ somatisch bedingte Beschwerden vorlagen. Dies wird von der Beschwerdeführerin auch nicht bestritten. Soweit sie einen krankhaften, degenerativen Vorzustand geltend macht, ist gemäss den medizinischen Akten davon auszugehen, dass die Versicherte diesbezüglich bis zum Unfall vom 24. Oktober 2001 bei voller Arbeitsfähigkeit beschwerdefrei war. Der Unfall stellt somit zumindest eine Teilursache der im Zeitpunkt der Abklärung durch Dr. med. C._ bestehenden Beschwerden dar, was für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs praxisgemäss genügt (<ref-ruling> Erw. 2a). Hingegen lässt sich weder aus dem Bericht des Neurologen vom 30. Mai 2002 noch aus den anderen medizinischen Akten die Situation im Zeitpunkt der Leistungseinstellung (31. Dezember 2002) zuverlässig beurteilen. Für die Zeit nach der neurologischen Beurteilung vom 30. Mai 2002 finden sich in den Akten lediglich noch ein Kurzbericht der Psychologin K._ vom 23. September 2002, welche über eine Besserung der psychischen Symptomatik berichtete, und ein Arztzeugnis des Dr. med. N._ vom 19. November 2002, wonach unter den Therapien eine erfreuliche Besserung eingetreten sei und die Arbeitsfähigkeit schrittweise habe gesteigert werden können, wobei mit einer weiteren Besserung gerechnet werden dürfe. Für den Zeitpunkt der Leistungseinstellung enthalten die medizinischen Akten somit keine zuverlässigen Angaben über den Gesundheitszustand, allfällige Beschwerden und die Arbeitsfähigkeit der Versicherten. Vielmehr belegen die Berichte der Psychologin K._ vom 23. September 2002 und des Dr. med. N._ vom 19. November 2002 eine seit der neurologischen Beurteilung vom 30. Mai 2002 eingetretene Besserung und eine nicht abgeschlossene Entwicklung. Soweit das kantonale Gericht eine fortbestehende natürliche Unfallkausalität im Zeitpunkt der Leistungseinstellung bejahte, kann ihm deshalb nicht gefolgt werden.
3.6 Anderseits belegen diese medizinischen Akten auch nicht den Wegfall der Kausalität im Zeitpunkt der Leistungseinstellung. Dies lässt sich entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin auch nicht mit den von ihr im Einspracheverfahren eingeholten Berichten des beratenden Arztes Dr. med. H._ vom 30. September 2003 und des beratenden Psychiaters Dr. med. R._ vom 1. Oktober 2003 nachweisen. Diese Ärzte haben die Beschwerdegegnerin nicht untersucht und können keine zuverlässige Angaben zu Gesundheitszustand und Beschwerdebild im Zeitpunkt der Leistungseinstellung machen. Soweit sich diese Ärzte - wie auch die Beschwerdeführerin - für die Verneinung der Unfallkausalität auf das unfallanalytische Gutachten vom 4. März 2002 und die biomechanische Beurteilung vom 15. Juli 2002 stützten, hat die Vorinstanz zu Recht darauf hingewiesen, dass solche Gutachten nicht geeignet sind, die Unfallkausalität der nach einem Schleudertrauma anhaltenden gesundheitlichen Beschwerden zuverlässig zu bestimmen (vgl. Urteile M. vom 8. November 2004 [U 314/03] Erw. 2.2, M. vom 26. März 2003 [U 125/01] Erw. 3.1 und Z. vom 18. März 2003 [U 205/02] Erw. 2.1). Die Beurteilung des Dr. med. H._, der auf Grund des degenerativen Vorzustandes und des Unfallhergangs auf eine lediglich temporäre Zustandsverschlimmerung schliesst, welche mit Sicherheit Ende 2002 nicht mehr bestanden habe, überzeugt deshalb nicht. Es liegt hier kein Fall einer Diskushernie bei vorbestehenden degenerativen Veränderungen vor, welche ausnahmsweise die Annahme einer höchstens vorübergehenden Zustandsverschlechterung rechtfertigen würde (vgl. RKUV 2000 Nr. U 379 S. 193). Da Dr. med. H._ auf die Problematik eines Schleudertraumas und das damit verbundene Beschwerdebild nicht näher einging, ist seine Beurteilung auch nicht umfassend. Der beratende Psychiater Dr. med. R._ stellte zwar die Diagnosen der Psychologin K._ und des Dr. med. C._ begründet in Frage, doch enthielt er sich - wegen der fehlenden persönlichen Untersuchung zu Recht - einer abschliessenden Beurteilung. Immerhin wäre nach seiner Auffassung angesichts der wenig geklärten Anamnese eine psychiatrische Begutachtung in Erwägung zu ziehen gewesen. Die Beschwerdeführerin vermag mit den Aktenbeurteilungen ihrer beratenden Ärzte den ihr obliegenden Beweis des nicht mehr gegebenen Kausalzusammenhangs zwischen Unfall und Gesundheitsschaden im Zeitpunkt der Leistungseinstellung jedenfalls nicht zu erbringen.
3.7 Nach dem Gesagten steht fest, dass sich gestützt auf die vorhandenen medizinischen Akten weder die Frage nach dem Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung des Unfalles für die über den 31. Dezember 2002 hinaus anhaltend geklagten Beschwerden noch die Frage, ob von einer Fortsetzung der Heilbehandlung über den Zeitpunkt der Leistungseinstellung hinaus noch eine namhafte Besserung zu erwarten war, mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit beantworten lässt. Damit erweist sich der Sachverhalt als ungenügend abgeklärt, weshalb der kantonale Entscheid und der Einspracheentscheid aufzuheben sind und die Sache an die Winterthur zurückzuweisen ist, damit sie unter Wahrung der Parteirechte polydisziplinär gutachterlich abkläre, an welchen Beschwerden die Versicherte im massgeblichen Zeitpunkt litt, ob - und allenfalls in welchem Ausmass - diese Leiden Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit besassen, ob die über den 31. Dezember 2002 hinaus geltend gemachten gesundheitlichen Beeinträchtigungen in natürlicher Kausalität zum Unfall vom 24. Oktober 2001 standen und ob von einer Fortsetzung der Heilbehandlung ab 1. Januar 2003 noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes zu erwarten gewesen war.
3.7 Nach dem Gesagten steht fest, dass sich gestützt auf die vorhandenen medizinischen Akten weder die Frage nach dem Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung des Unfalles für die über den 31. Dezember 2002 hinaus anhaltend geklagten Beschwerden noch die Frage, ob von einer Fortsetzung der Heilbehandlung über den Zeitpunkt der Leistungseinstellung hinaus noch eine namhafte Besserung zu erwarten war, mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit beantworten lässt. Damit erweist sich der Sachverhalt als ungenügend abgeklärt, weshalb der kantonale Entscheid und der Einspracheentscheid aufzuheben sind und die Sache an die Winterthur zurückzuweisen ist, damit sie unter Wahrung der Parteirechte polydisziplinär gutachterlich abkläre, an welchen Beschwerden die Versicherte im massgeblichen Zeitpunkt litt, ob - und allenfalls in welchem Ausmass - diese Leiden Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit besassen, ob die über den 31. Dezember 2002 hinaus geltend gemachten gesundheitlichen Beeinträchtigungen in natürlicher Kausalität zum Unfall vom 24. Oktober 2001 standen und ob von einer Fortsetzung der Heilbehandlung ab 1. Januar 2003 noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes zu erwarten gewesen war.
4. Ob die geklagten Beschwerden adäquat kausale Unfallfolgen sind, ist - falls der natürliche Kausalzusammenhang auf Grund der ergänzenden medizinischen Abklärungen (vgl. Erw. 3.7 hievor) zu bejahen ist - erst nach Abschluss des normalen, unfallbedingt erforderlichen Heilungsprozesses zu prüfen (in HAVE 2004 S. 119 zusammengefasstes Urteil K. vom 11. Februar 2004 [U 246/03]; Urteile H. vom 10. Januar 2005 [U 269/04], K. vom 6. Mai 2003 [U 6/03], R. vom 9. September 2002 [U 412/01], A. vom 6. November 2001 [U 8/00], D. vom 16. März 2000 [U 127/99] und H. vom 29. März 2001 [U 114/00]).
Entgegen der Vorinstanz ist bei einer allfälligen Adäquanzbeurteilung auf Grund des polizeilichen Unfallberichts nicht von einem mittelschweren Unfall im mittleren Bereich, sondern von einem mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen auszugehen. Bei beiden Fahrzeugen wurden leichte Schäden festgestellt; beim Personenwagen der Versicherten war lediglich die hintere Stossstange eingedrückt, was zu Reparaturkosten von Fr. 1'866.80 führte. Für eine geringe Wucht des Aufpralls spricht auch das unfallanalytische Gutachten, worin die kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung (Delta-v) mit maximal 5,2 bis 10,4 km/h angegeben wird. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat vergleichbare Auffahrkollisionen in der Regel denn auch als mittelschwere Unfälle im Grenzbereich zu den leichten Unfällen qualifiziert (vgl. die in SZS 2001 S. 431 ff. zitierte Rechtsprechung; ferner die Urteile F. vom 10. September 2003 [U 343/02], T. vom 6. Februar 2002 [U 61/00] und D. vom 16. August 2001 [U 21/01]). Die Adäquanzkriterien der besonderen Art der Verletzung, der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung, der Dauerbeschwerden sowie von Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit können erst nach Klärung des Sachverhaltes abschliessend beurteilt werden. Diesbezüglich erweist sich die vorinstanzliche Adäquanzbeurteilung als verfrüht. Ebenso lässt sich die Frage, ob die zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas gehörenden Verletzungen zwar teilweise vorliegen, im Vergleich zur psychischen Problematik aber ganz in den Hintergrund treten, und demgemäss die Adäquanzbeurteilung nach den in <ref-ruling> Erw. 6c/aa aufgestellten Grundsätzen für Unfälle mit psychischen Folgeschäden vorzunehmen wäre, erst nach erfolgter medizinischer Abklärung beurteilen.
Entgegen der Vorinstanz ist bei einer allfälligen Adäquanzbeurteilung auf Grund des polizeilichen Unfallberichts nicht von einem mittelschweren Unfall im mittleren Bereich, sondern von einem mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen auszugehen. Bei beiden Fahrzeugen wurden leichte Schäden festgestellt; beim Personenwagen der Versicherten war lediglich die hintere Stossstange eingedrückt, was zu Reparaturkosten von Fr. 1'866.80 führte. Für eine geringe Wucht des Aufpralls spricht auch das unfallanalytische Gutachten, worin die kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung (Delta-v) mit maximal 5,2 bis 10,4 km/h angegeben wird. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat vergleichbare Auffahrkollisionen in der Regel denn auch als mittelschwere Unfälle im Grenzbereich zu den leichten Unfällen qualifiziert (vgl. die in SZS 2001 S. 431 ff. zitierte Rechtsprechung; ferner die Urteile F. vom 10. September 2003 [U 343/02], T. vom 6. Februar 2002 [U 61/00] und D. vom 16. August 2001 [U 21/01]). Die Adäquanzkriterien der besonderen Art der Verletzung, der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung, der Dauerbeschwerden sowie von Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit können erst nach Klärung des Sachverhaltes abschliessend beurteilt werden. Diesbezüglich erweist sich die vorinstanzliche Adäquanzbeurteilung als verfrüht. Ebenso lässt sich die Frage, ob die zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas gehörenden Verletzungen zwar teilweise vorliegen, im Vergleich zur psychischen Problematik aber ganz in den Hintergrund treten, und demgemäss die Adäquanzbeurteilung nach den in <ref-ruling> Erw. 6c/aa aufgestellten Grundsätzen für Unfälle mit psychischen Folgeschäden vorzunehmen wäre, erst nach erfolgter medizinischer Abklärung beurteilen.
5. Da Versicherungsleistungen streitig waren, ist das Verfahren kostenlos (Umkehrschluss aus Art. 134 OG). Der obsiegenden Beschwerdeführerin wird keine Parteientschädigung zugesprochen, da sie als Unfallversicherer eine öffentlich-rechtliche Aufgabe im Sinne von Art. 159 Abs. 2 OG wahrnimmt und die Voraussetzungen für eine ausnahmsweise Zusprechung einer Entschädigung nicht gegeben sind (<ref-ruling> Erw. 5b, 123 V 309 Erw. 10, je mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 14. September 2004 sowie der Einspracheentscheid der Winterthur vom 10. Oktober 2003 aufgehoben werden und die Sache an die Winterthur zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch ab 1. Januar 2003 neu verfüge.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 14. September 2004 sowie der Einspracheentscheid der Winterthur vom 10. Oktober 2003 aufgehoben werden und die Sache an die Winterthur zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch ab 1. Januar 2003 neu verfüge.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 4. Mai 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber:
i.V.