Sachverhalt:
A. 1989 wurde in Bad Zurzach eine Umfahrung zur Entlastung des Ortskerns eröffnet. Die Strasse führt durch einen 1,3 Kilometer langen Tunnel. Über dem Tunnel wurde beim Bau der Umfahrung ein Anten-nenmast für eine Notfunkantenne erstellt.
Am 8. Dezember 1998 bewilligte der Gemeinderat Bad Zurzach der Swisscom (Schweiz) AG, auf dem Antennenmast eine GSM-Station (Global System for Mobile Communications; Mobilfunksystem der zweiten Generation) zu betreiben. Diese wurde am 9. März 1999 in Betrieb genommen.
B. Die Swisscom (Schweiz) AG plant, die bestehende Mobilfunkanlage auf dem freistehenden Antennenmast durch UMTS-Sender (Universal Mobile Telecommunications System; Mobilfunksystem der dritten Generation) zu ersetzen. Das Projekt umfasst die Installation von insgesamt sechs GSM/UMTS-Sendern.
Vom 16. Juni bis zum 7. Juli 2008 legte der Gemeinderat Bad Zurzach das von der Swisscom (Schweiz) AG eingereichte Baugesuch öffent-lich auf. Dagegen erhob X._ Einsprache. Mit Beschluss vom 17. November 2008 erteilte der Gemeinderat Bad Zurzach der Baugesuchstellerin die Baubewilligung für die UMTS-Anlage unter Auflagen und Bedingungen und wies die Einsprache von X._ ab.
Mit Beschwerde vom 11. Dezember 2008 focht X._ den Beschluss beim Regierungsrat des Kantons Aargau an und beantragte die Verweigerung der Baubewilligung. Zugleich stellte er den Verfahrensantrag, der Regierungsrat habe sich als Eigentümer des vom Bauvorhaben betroffenen Grundstücks für befangen zu erklären und die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zur Beurteilung zu überweisen.
Mit Beschluss vom 25. Februar 2009 verzichtete der Regierungsrat antragsgemäss auf seine Entscheidkompetenz und überwies die Beschwerde zur Erledigung ans Verwaltungsgericht. Dieses erklärte sich für zuständig und wies die (Sprung-)Beschwerde mit Urteil vom 26. März 2010 ab.
C. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht und beantragt sinngemäss, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, und die Angelegenheit sei zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Swisscom (Schweiz) AG an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D. Die Swisscom (Schweiz) AG beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Verwaltungsgericht stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Den gleichen Antrag stellt der Gemeinderat Bad Zurzach. Das Bundesamt für Umwelt und das Bundesamt für Raumentwicklung verzichten auf eine Stellungnahme. Der Beschwerdeführer hält an seinen Anträgen fest.
Mit Präsidialverfügung vom 8. Juni 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über eine Mobilfunkantennenanlage, welcher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (Art. 82 ff. BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 411). Der Beschwerdeführer ist Eigentümer einer unmittelbar an das Baugrundstück grenzenden und sich damit innerhalb des Einspracheradius (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 169 ff.) befindlichen Parzelle. Er ist als Adressat des angefochtenen Entscheids vom umstrittenen Vorhaben besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des Entscheids der Vorinstanz (Art. 89 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.3 S. 252 f.). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Der Standort der bestehenden GSM-Anlage bzw. der geplanten UMTS-Station befindet sich in der Grünzone "Schloss" (vgl. Bauzonenplan der Gemeinde Bad Zurzach vom 19. August 2008). Nach § 5 der Bau- und Nutzungsordnung der Gemeinde Bad Zurzach vom 26. September 1989 respektive 21. November 1997 (BNO/Bad Zurzach) sind Grünzonen Teil der Bauzone, wobei in der Grünzone Bauten grundsätzlich eine Ausnahme darstellen sollen. So legt § 23 BNO/Bad Zurzach fest:
1 Die Grünzone dient der Freihaltung der Umgebung von Schutzobjekten, als Erholungsgebiet und als Parkanlage.
2 Spazierwege, Erholungsanlagen (Gartenbänke usw.) sowie Kleinbauten, die zur Pflege der Grünzone notwendig sind, sind zugelassen. Es gelten zusätzlich folgende detaillierte Regelungen:
(...)
"Schloss": Mit einem Gestaltungsplan können Bauten, die mit dem Schlossbetrieb oder einem Casino in Zusammenhang stehen, zugelassen werden. Diese Bauten können unterirdisch oder eingeschossig oberirdisch, sofern für den Museumsbetrieb zwingend notwendig auch mehrgeschossig (Vertikalschliessung des Schlosses, ausserhalb des Gebäudes), realisiert werden. Im Gestaltungsplan werden Lage und Ausmasse detailliert aufgeführt. (...).
Die Erteilung einer Baubewilligung in der Grünzone "Schloss" ist folglich nur in beschränktem Umfang möglich. Bei einer Mobilfunkanlage handelt es sich nicht um eine nach § 23 BNO/Bad Zurzach ausdrücklich zulässige Anlage. Ebenso wenig steht eine Mobilfunkanlage in Zusammenhang mit dem Schlossbetrieb oder einem (bislang gar nicht existierenden) Casino. Das Bauvorhaben erweist sich somit in Übereinstimmung mit den Ausführungen der Vorinstanz als nicht zonenkonform.
2.2 Nach Art. 23 RPG (SR 700) darf das kantonale Recht für Bauten innerhalb des Baugebiets Ausnahmen von den Zonenvorschriften vorsehen. Solche Ausnahmen müssen sich auf eine klare gesetzliche Grundlage im kantonalen Recht stützen (Alexander Ruch, Kommentar RPG, 2010, Art. 23 N. 4), wobei den Kantonen bei der konkreten Ausgestaltung der Ausnahmebewilligungen ein weiter Spielraum zukommt (Rudolf Muggli, Kommentar RPG, 2010, Vorbemerkungen zu Art. 24-24d und 37a N. 14).
Das aargauische Recht regelt die Ausnahmen von Zonenvorschriften in § 67 f. des Gesetzes vom 19. Januar 1993 über Raumentwicklung und Bauwesen (Baugesetz, BauG/AG; SAR 713.100). § 67 Abs. 1 BauG/AG bestimmt:
Der Gemeinderat kann bei der Bewilligung von Bauten, unter billiger Abwägung der beteiligten privaten Interessen, Ausnahmen von kommunalen Nutzungsplänen und -vorschriften gestatten, wenn
a) es mit dem öffentlichen Wohl sowie mit dem Sinn und Zweck der Rechtssätze vereinbar ist und
b) ausserordentliche Verhältnisse vorliegen oder die Anwendung der Pläne und Vorschriften zu hart wäre.
Die Vorinstanz erwägt, die Erteilung einer Ausnahmebewilligung sei grundsätzlich mit dem Sinn und Zweck der Grünzone nicht vereinbar, weshalb § 67 Abs. 1 lit. a BauG/AG keine Anwendung finde. Ob ausserordentliche Verhältnisse - namentlich aufgrund des bereits vorbestehenden Antennenmasts mit GSM-Anlage - vorlägen oder ein Härtefall gegeben sei, sodass gestützt auf § 67 Abs. 1 lit. b BauG/AG eine Ausnahmebewilligung erteilt werden könnte, könne demgegenüber offen gelassen werden, da sich die Beschwerdegegnerin für das strittige Bauvorhaben mit Erfolg auf die Besitzstandsgarantie gemäss § 68 BauG/AG berufen könne.
2.3 § 68 BauG/AG mit der Marginalie "Kantonale Besitzstandsgarantie" bestimmt:
Rechtmässig erstellte Bauten und Anlagen, die den geltenden Plänen oder Vorschriften widersprechen, dürfen
a) unterhalten und zeitgemäss erneuert werden. Die Nutzungsordnung kann für bestimmte Schutzzonen die zeitgemässe Erneuerung einschränken oder verbieten;
b) angemessen erweitert, umgebaut oder in ihrem Zweck geändert werden, wenn dadurch ihre Rechtswidrigkeit nicht wesentlich verstärkt wird un d keine besonderen Nutzungsvorschriften entgegenstehen; (...).
Die Vorinstanz führt aus, als formell rechtmässig gelte eine Baute, wenn dafür eine Baubewilligungspflicht bestehe oder bestanden habe und eine rechtskräftige und weder nichtige noch widerrufene Baubewilligung vorliege, gleichgültig, ob diese dem materiellen Recht je entsprochen habe oder nicht. Der Gemeinderat Bad Zurzach habe am 8. Dezember 1998 im vereinfachten Verfahren gemäss § 61 BauG/AG der Beschwerdegegnerin eine Ausnahmebewilligung für die GSM-Anlage erteilt. Ob dem Gemeinderat ein Verfahrensfehler unterlaufen respektive ob das vereinfachte Verfahren überhaupt zulässig gewesen sei, könne offen bleiben, da der Beschwerdeführer innert der Verwirkungsfrist von drei Monaten kein Wiederaufnahmebegehren gestellt habe. Im Ergebnis sei die bestehende GSM-Anlage damit aufgrund der am 8. Dezember 1998 erteilten Baubewilligung formell rechtmässig.
Die Vorinstanz erwägt weiter, mit der Umgestaltung der GSM-Anlage zu einer UMTS-Station werde die Anlage zeitgemäss erneuert bzw. angemessen erweitert. Auch werde mit dem Projekt die Rechtswidrigkeit nicht wesentlich verstärkt, da die neuen Antennen in ihrer Dimension den zu ersetzenden Antennen entsprächen und die neue Anlage trotz einer deutlichen Leistungssteigerung die Grenzwerte der Verordnung vom 23. Dezember 1999 über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung (NISV; SR 814.710) einhalte.
Zusammenfassend schliesst die Vorinstanz, die Beschwerdegegnerin könne für das strittige Bauvorhaben die Besitzstandsgarantie nach § 68 BauG/AG in Anspruch nehmen.
2.4 Der Beschwerdeführer rügt, die bestehende GSM-Anlage sei weder formell noch materiell rechtmässig erstellt worden. Die Baubewilligung vom 8. Dezember 1998 könne ihm nicht entgegengehalten werden, da er weder von der Bewilligung noch von der tatsächlichen Nutzung gewusst habe. Er habe unmissverständlich und sofort nach Kenntnis von der Anlage gegenüber der zuständigen Behörde zum Ausdruck gebracht, dass er mit einer Mobilfunkstation am strittigen Standort nicht einverstanden sei. Es könne nicht gefordert werden, dass er ein formelles Begehren um Wiederaufnahme des Baubewilligungsverfahrens von 1998 stelle. Die Opposition mittels Einsprache gegen das neue Projekt müsse genügen. Gestützt auf diese Einsprache hätte die Vorinstanz die Rechtmässigkeit der Baubewilligung vom 8. Dezember 1998 als Vorfrage überprüfen müssen. Selbst wenn aber ein getrenntes Wiederaufnahmeverfahren verlangt werde, so sei es jedenfalls überspitzt formalistisch und verletze damit Art. 29 Abs. 1 BV, seine Einsprache nicht als Wiederaufnahmegesuch entgegenzunehmen. Folge man der Auffassung der Vorinstanz, würde die zum Zeitpunkt seiner Einsprache vom 7. Juli 2008 noch unrechtmässige Baubewilligung vom 8. Dezember 1998 im Laufe des vorliegenden Bewilligungsverfahrens nachträglich rechtmässig. Dies könne nicht sein. Im Übrigen verstosse die Vorinstanz mit ihrem Vorgehen auch gegen den Grundsatz von Treu und Glauben.
Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, wenn die bestehenden GSM-Antennen durch eine um das 45-fache leistungsstärkere UMTS-Anlage ersetzt werden solle, weil die bestehende Anlage den heutigen technischen Anforderungen nicht mehr entspreche, so handle es sich qualitativ um einen Neubau. Sinn und Zweck der aus der Eigentumsgarantie gemäss Art. 26 BV abgeleiteten Besitzstandsgarantie sei na-mentlich der Investitionsschutz. Da die Beschwerdegegnerin für die neue Anlage nicht auf die früheren Investitionen zurückgreifen könne, verliere sie auch keine getätigte Investition. Die Vorinstanz überdehne zu seinem Nachteil den Inhalt der Eigentumsgarantie. Ein Komplettersatz einer Mobilfunkstation, wie er von der Beschwerdegegnerin angestrebt werde, könne nicht als "zeitgemässe Erneuerung" oder "angemessene Erweiterung" im Sinne von § 68 BauG/AG qualifiziert werden. Indem die Vorinstanz diese Bestimmung trotzdem als einschlägig erachte, wende sie das kantonale Recht willkürlich an und verstosse gegen Art. 9 BV. Die Besitzstandsgarantie verschaffe mithin nicht das Recht, einen Neubau zu erstellen und auf unbestimmte Zeit am strittigen Ort eine Mobilfunkanlage betreiben zu können.
2.5 Die Frage der formellen Rechtmässigkeit der Baubewilligung vom 8. Dezember 1998 respektive die damit verbundene Frage, ob der Beschwerdeführer ein formelles Begehren um Wiederaufnahme des damaligen Bewilligungsverfahrens hätte stellen müssen, können offen gelassen werden, wenn sich die Beschwerdegegnerin für das strittige Bauvorhaben ohnehin nicht auf die Besitzstandsgarantie berufen kann, weil die Erweiterung der GSM-Station zu einer UMTS-Anlage weder als "zeitgemässe Erneuerung" im Sinne von § 68 lit. a BauG/AG noch als "angemessene Erweiterung" gemäss § 68 lit. b BauG/AG eingestuft werden kann. Diese Prüfung ist nachfolgend vorzunehmen.
2.6 Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> betreffend die geplante Erweiterung einer Mobilfunkanlage ausserhalb der Bauzone entschieden, der Ersatz einer GSM-Station durch eine UMTS-Anlage könne nicht als massvolle Erweiterung im Sinne von Art. 24c Abs. 2 RPG qualifiziert werden. Nach dieser Bestimmung können bestehende zonenwidrige Bauten ausserhalb der Bauzone mit Bewilligung der zuständigen Behörde erneuert, teilweise geändert, massvoll erweitert oder wiederaufgebaut werden, sofern sie rechtmässig erstellt oder geändert worden sind. Das Bundesgericht hielt fest, die Erweiterung zu einer UMTS-Station sei mit einer weitgehenden Erneuerung der technischen (elektronischen) Ausrüstung verbunden und bedeute eine derart wesentliche Änderung, dass die projektierte Mobilfunkanlage einer neuen Bewilligung bedürfe (<ref-ruling> E. 3 S. 416). Die Rechtskraft einer früheren Bewilligung erfasse nur die bewilligte Anlage. Bei einer wesentlichen Änderung der bewilligten Anlage sei die Standortgebundenheit der gesamten Anlage erneut zu überprüfen (<ref-ruling> E. 4 S. 417).
2.7 Die Ausführungen des Bundesgerichts im Entscheid 133 II 409 beziehen sich auf eine bestehende zonenwidrige Mobilfunkanlage ausserhalb der Bauzone und lassen sich daher nicht unbesehen auf Mobilfunkanlagen innerhalb der Bauzone übertragen.
Allerdings weisen der zu beurteilende und der dem Entscheid 133 II 409 zugrunde liegende Sachverhalt Parallelen auf. So steht vorliegend ebenfalls eine Erweiterung einer bestehenden zonenwidrigen GSM-Anlage zu einer UMTS-Station zur Diskussion, sind doch gemäss § 23 BNO/Bad Zurzach Bauten in der Grünzone grundsätzlich unzulässig. Zudem weisen die Bestimmungen von § 68 BauG/AG und Art. 24c RPG inhaltliche Gemeinsamkeiten auf. Während in § 68 BauG/AG von "zeitgemäss erneuert" bzw. "angemessen erweitert" gesprochen wird, werden in Art. 24c RPG die Begriffe "erneuert" bzw. "massvoll erweitert" verwendet.
Mit dem geplanten Umbau der GSM-Anlage zu einer UMTS-Station würden die bestehenden Antennen durch neue ersetzt. Ein solcher Komplettersatz verbunden mit einer massiven Leistungssteigerung kommt einer derart wesentlichen Änderung gleich, dass nicht mehr von einer zeitgemässen Erneuerung bzw. angemessenen Erweiterung gesprochen werden kann. Vielmehr liegt eine Neuanlage vor, welche nach den für diese geltenden Bewilligungsvorschriften zu beurteilen ist. Die Sichtweise der Vorinstanz führt zu einer unzulässigen Überdehnung der kantonalen Besitzstandsgarantie. Indem die Vorinstanz die geplante UMTS-Station als zeitgemässe Erneuerung respektive angemessene Erweiterung der bestehenden GSM-Anlage bewertet und den Sachverhalt unter § 68 BauG/AG subsumiert, wendet sie diese Bestimmung willkürlich an, was zur Gutheissung der Beschwerde führt. Damit erübrigt sich ein Eingehen auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers.
2.8 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass der geplante Ersatz der GSM-Anlage durch eine UMTS-Station nicht gestützt auf die kantonale Besitzstandsgarantie gemäss § 68 BauG/AG bewilligt werden kann.
In Betracht kommt einzig eine Ausnahmebewilligung nach § 67 Abs. 1 lit. b BauG/AG. Während der Beschwerdeführer die Voraussetzungen als nicht erfüllt erachtet, ist die Beschwerdegegnerin der gegenteiligen Auffassung. Die Vorinstanz hat die Frage, ob ausserordentliche Verhältnisse oder ein Härtefall im Sinne dieser Bestimmung vorliegen, ausdrücklich offen gelassen. Es ist nicht die Aufgabe des Bundesgerichts diese Frage als erste Instanz zu entscheiden, zumal der Vorinstanz bei der Auslegung und Anwendung der kantonalen Ausnahmebestimmung ein Ermessensspielraum zukommt und die Parteien ansonsten einer Instanz verlustig gingen.
Soweit der Beschwerdeführer in seiner abschliessenden Stellungnahme vom 12. November 2010 vorbringt, es sei ausgeschlossen, den Fall zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, da sich diese in ihrer Eingabe vom 23. Juni 2010 "in unzulässiger Weise zur Frage der früheren Kenntnisnahme" geäussert habe, ist seine Argumentation nicht stichhaltig. Die Ausführungen der Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung, wonach es wenig glaubhaft erscheine, dass der Beschwerdeführer während zehn Jahren keine Kenntnis von der bestehenden Mobilfunkanlage erhalten habe, sind für die Beurteilung der Frage, ob eine Ausnahmebewilligung erteilt werden kann, von vorneherein nicht massgebend, weshalb einer Rückweisung nichts im Wege steht.
3. Die Beschwerde ist daher gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur weiteren Behandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG).
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese hat dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 26. März 2010 aufgehoben. Die Angelegenheit wird zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Bad Zurzach, dem Departement Bau, Verkehr und Umwelt und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, sowie dem Bundesamt für Umwelt und dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner