Faits:
A.
V._, né en 1964, a été engagé comme infirmier au sein de l'Hôpital X._ à partir du 1 er novembre 1986. Il y a successivement exercé des fonctions d'infirmier au service de médecine, aux soins intensifs, au service de médecine et de rhumatologie, puis comme coordinateur pour les soins infirmiers et finalement comme responsable de l'Unité P._.
L'Hôpital Y._, auparavant Etablissement hospitalier Z._ a été créé au 1 er janvier 2006. Il a repris l'ensemble des contrats de travail établis par les différents sites intégrés du canton de Neuchâtel, dont l'Hôpital X._. En 2006, le personnel de l'Hôpital Y._ était soumis à la convention collective de travail Santé21 du secteur de la santé (CCT Santé21), à l'exception de son système de rémunération. Les conditions de transposition des salaires des employés en service au 31 décembre 2006 ont fait l'objet de règles édictées par les organes de la convention et devenues applicables dès le 1 er janvier 2007.
Ayant été informé de sa nouvelle collocation de fonction (classe de fonction 9) et de la projection de sa nouvelle collocation salariale (échelon 24) pour 2007 au sein de l'Hôpital Y._, V._ s'y est opposé. En septembre 2007, la Direction générale de l'Hôpital Y._ a confirmé la classification de l'intéressé. En janvier 2008, ce dernier a demandé à être colloqué en classe 10, ce qui lui fut accordé le 23 juin 2008 avec effet rétroactif au 1 er janvier 2007. La Commission paritaire de la CCT Santé21 a confirmé le 20 mars 2010 puis à nouveau le 12 avril suivant qu'elle avait accepté de colloquer les infirmiers et infirmières de l'Unité P._ en classe 9 et que V._ bénéficiait d'une classification spécifique d'un rang supérieur (classe 10) en tant que responsable de l'unité.
Le 8 juillet 2010, V._ a formellement sollicité de la direction de l'Hôpital Y._ une collocation en classe 12 compte tenu de son activité et de ses responsabilités. Cette requête a été rejetée par cette direction en date du 14 (recte: 13) juillet 2010.
B.
Par acte du 23 juillet 2010, V._ a saisi le Tribunal administratif neuchâtelois (depuis le 1er janvier 2011: Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel) d'un recours contre cette décision, subsidiairement d'une action de droit administratif. Il a demandé à être colloqué en classe 12 avec effet au 1er janvier 2007 et à ce que son salaire soit adapté en conséquence.
L'échange d'écritures a pris fin par le dépôt du mémoire de duplique de l'Hôpital Y._, le 25 août 2010.
Parallèlement à l'action ouverte par V._, cinq autres recours ou actions ont été introduits auprès de la Cour de droit public entre 2008 et 2010suite à l'entrée en vigueur de la grille salariale du personnel de l'Hôpital Y._. Par courrier du 16 février 2011, le président de la Cour de droit public a informé le recourant que cette autorité trancherait un des recours ou actions déposés (cas pilote), puis que l'arrêt rendu serait anonymisé et, dès son entrée en force, communiqué aux autres parties avec fixation d'un délai pour se prononcer quant aux suites sollicitées dans leur propre affaire.
À plusieurs reprises V._ s'est enquis de l'avancement de la procédure ainsi que de celle du cas pilote (courriers des 18 octobre 2011, 5 janvier 2012, 30 janvier 2012 et 14 août 2012).
Le 8 octobre 2012, le juge instructeur a requis de la part de l'Hôpital Y._ les fiches de salaire pour l'année 2005 de tous les collaborateurs travaillant à l'époque en tant qu'infirmiers de l'Unité P._ et des infirmiers-chefs de service. Ces pièces ont été transmises le 18 octobre 2012 tandis que l'intéressé s'est déterminé le 25 octobre 2012.
Par courrier du 22 janvier 2013, V._ s'est à nouveau adressé à la Cour de droit public afin de s'informer de l'avancement de la cause. Le juge instructeur a répondu le 23 janvier 2013 que l'arrêt était en cours de rédaction. Le 19 mars 2013, il a indiqué que celui-ci allait être mis prochainement en circulation.
C.
Le 4 avril 2013, V._ a interjeté un recours en matière de droit public pour déni de justice en concluant principalement à ce qu'il soit ordonné à la Cour de droit public de statuer dans sa cause et à ce qu'un bref délai lui soit imparti à cet effet.
La juridiction cantonale a présenté ses observations sur le recours le 8 mai 2013.
D.
Par arrêt du même jour, la Cour de droit public a rendu son jugement dans la cause qui oppose V._ à l'Hôpital Y._.

Considérant en droit:
1.
Conformément aux art. 94 et 100 al. 7 LTF, le recours au Tribunal fédéral est recevable en tout temps si, sans en avoir le droit, la juridiction saisie s'abstient de rendre une décision sujette à recours ou tarde à le faire. En l'espèce, la cause au fond, qui relève des rapports de travail de droit public et dont la valeur litigieuse est supérieure à 15'000 fr., aurait pu être portée devant le Tribunal fédéral par la voie d'un recours en matière de droit public (art. 83 let. g LTF a contrario et 85 al. 1 let. b LTF; cf. également arrêts 1C_547/2008 du 23 février 2009 consid. 2.1 et 1C_116/2007 du 24 septembre 2007 consid. 2).
2.
Le Tribunal cantonal ayant rendu son arrêt, le recours en matière de droit public déposé pour déni de justice a ainsi perdu son objet. En outre, les conditions auxquelles le Tribunal fédéral entre exceptionnellement en matière sur le fond d'une affaire malgré le défaut d'un intérêt juridique pratique et actuel du recours ne sont pas réunies (<ref-ruling> consid 1.3 p. 276; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 81). Le recourant ne peut donc se prévaloir d'aucun intérêt juridique à faire constater un éventuel retard à statuer. Cet intérêt ayant disparu après le dépôt du recours, ce dernier doit être déclaré sans objet et la cause rayée du rôle (<ref-ruling> consid. 2 p. 500).
3.
Lorsqu'un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (art. 72 PCF applicable par renvoi de l'art. 71 LTF) et de l'issue probable de celui-ci (cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 375).
3.1. En vertu de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Cette disposition consacre le principe de la célérité, ou, en d'autres termes, prohibe le retard injustifié à statuer. Viole la garantie ainsi accordée, l'autorité qui ne rend pas une décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans le délai que la nature de l'affaire et les circonstances font apparaître comme raisonnable. Le caractère raisonnable du délai s'apprécie selon les circonstances particulières de la cause, eu égard en particulier à la complexité de l'affaire, au comportement du requérant et à celui des autorités compétentes, ainsi qu'à l'enjeu du litige pour l'intéressé (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 277; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 331).
3.2. Devant l'autorité cantonale, le litige portait sur le point de savoir si le nouveau système de classification des fonctions et des salaires avait ou non entraîné une inégalité de traitement entre le demandeur (classe de fonction 10) et les infirmiers-chefs de service (classe de fonction 12).
Les premiers juges ont répondu par la négative à cette question, estimant que les différences de situations et de responsabilités étaient évidentes entre le recourant et les autres infirmiers-chefs de service de l'Hôpital Y._ (travail de nuit et de week-end, relation avec les patients, situations d'urgence, tâches de management, d'organisation et de gestion). Par conséquent, ils ont conclu qu'il n'y avait pas lieu de mettre en doute le point de vue de la commission de collocation, de la commission faîtière et de la direction de l'Hôpital Y._, selon lesquels il existait des raisons objectives et fondées de ne pas accorder au recourant une collocation similaire aux infirmiers-chefs de service.
3.3. En l'espèce, l'action de droit administratif a été ouverte devant l'autorité cantonale le 23 juillet 2010. L'échange d'écritures s'est achevé par la transmission du mémoire de duplique de l'Hôpital Y._, le 25 août 2010. Il s'est donc écoulé plus de deux ans et demi entre la fin de l'échange d'écritures et le dépôt du présent recours. Durant cette période, une seule mesure d'instruction a été mise en oeuvre, le 8 octobre 2012, consistant en la réquisition de fiches de salaire auprès de l'Hôpital Y._. Cette instruction s'est terminée le 25 octobre 2012 par la prise de position du recourant. Si la solution du litige nécessitait certes une appréciation approfondie du dossier, elle ne soulevait pas de très grandes difficultés au niveau des faits et du droit. On note par ailleurs que depuis le dépôt du recours par devant les juges cantonaux, le recourant n'est pas resté inactif puisqu'il s'est inquiété à plusieurs reprises de l'avancement de la procédure. Il a saisi le Tribunal fédéral d'un recours pour déni de justice le 4 avril 2013, avant que la juridiction cantonale n'ait rendu son jugement le 8 mai 2013. Dans ces conditions, un délai de plus de 32 mois apparaît excessif au point de constituer une violation du principe de célérité.
3.4. Dans ses déterminations, la Cour de droit public fait valoir que la présente action est l'avant-dernière d'une série de six actions ouvertes devant elle entre 2008 et 2010, suite à l'entrée en vigueur le 1 er janvier 2007 de la nouvelle grille salariale du personnel de l'Hôpital Y._. Quatre de ces actions ont été tranchées les 29 octobre et 4 décembre 2012. Trois arrêts ont fait l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral (cf. causes 8C_969/2012, 8C_1026/2012 et 8C_1028/2012). Le dernier n'a pas été attaqué et est entré en force. La présente cause a quant à elle été dissociée des quatre autres déjà traitées en 2012 dans la mesure où elle présentait des spécificités nouvelles. De ce fait, une instruction complémentaire avait été ouverte en octobre 2012. Cette argumentation ne saurait être décisive si l'on considère qu'il s'agissait d'une mesure d'instruction somme toute assez simple qui, comme telle, n'était pas propre à justifier un allongement important de la procédure.
Quant au fait que les juges cantonaux ont dû réexaminer leur projet de décision dans la présente affaire suite au premier arrêt rendu par le Tribunal fédéral dans les causes Etablissement hospitalier Z._ (arrêt 8C_969/2012 du 2 avril 2013), il ne suffit pas, à lui seul, à expliquer la durée, excessive, de la procédure.
4.
En conclusion, V._ aurait été fondé à se plaindre d'un retard inadmissible à statuer.
Les frais judiciaires ne peuvent être mis à la charge du canton de Neuchâtel (art. 66 al. 4 LTF); en revanche, celui-ci versera des dépens au recourant, dont l'intervention était justifiée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
La cause, devenue sans objet, est rayée du rôle.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
L'État de Neuchâtel versera à V._ la somme de 2'800 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'État de Neuchâtel et à l'Hôpital Y._.
Lucerne, le 30 septembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: Fretz Perrin