Sachverhalt:
A. A.a A._ (Beschwerdeführerin) erlitt Ende Oktober 1998 einen Verkehrsunfall. Am 6. September 2004 reichte sie beim Handelsgericht des Kantons Zürich gegen die X._ Versicherungs-Gesellschaft (Beschwerdegegnerin), bei welcher der Unfallverursacher obligatorisch haftpflichtversichert war, Klage ein. Sie beantragte, die Beschwerdegegnerin zur Bezahlung eines Betrages nach richterlichem Ermessen zu verpflichten. In der Folge bezifferte sie ihre Schadenersatz- und Genugtuungsforderung auf insgesamt Fr. 5'113'524.10. Unter dem Titel Schadenersatz im Gesamtbetrag von Fr. 4'895'564.10 (Fr. 5'113'524.10 abzüglich die um die Integritätsentschädigung von Fr. 32'040.-- zu reduzierende Genugtuung von Fr. 250'000.--) verlangte sie im Einzelnen Ersatz für medizinische Behandlungskosten, für Transport-, Reisekosten und Ähnliches, für vor- und ausserprozessuale Anwaltskosten, für den Haushaltsschaden und den Erwerbsschaden.
Mit Beschluss und Teilurteil vom 18. Juni 2007 schrieb das Handelsgericht das Verfahren im Betrag von Fr. 12'200.95 nebst Zins als durch Rückzug der Klage erledigt ab (Beschluss) und wies die Klage auf Bezahlung von Schadenersatz ab (Teilurteil).
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich. Dieses hob mit Zirkulationsbeschluss vom 5. August 2008 in Gutheissung der Nichtigkeitsbeschwerde das Teilurteil des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen zur Neubeurteilung an das Handelsgericht zurück (Dispositivziffer 2).
A.b Mit selbem Zirkulationsbeschluss vom 5. August 2008 wies das Kassationsgericht die in der gleichen Eingabe erhobene Nichtigkeitsbeschwerde gegen den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 4. Juli 2007 (betreffend die Ablehnung von Richtern) ab, soweit es darauf eintrat (Dispositivziffer 1). Der Beschluss der Verwaltungskommission vom 4. Juli 2007 bildet Gegenstand des separaten Beschwerdeverfahrens 4A_418/2008.
B. Zusammen mit der Verunfallten klagten auch ihr Ehemann, B._, und ihre beiden Kinder, C._ und D._, auf Bezahlung einer Genugtuung von Fr. 80'000.-- für den Ehemann und je Fr. 40'000.-- für die beiden Kinder. Mit Teilurteil vom 9. März 2007 wies das Handelsgericht deren Klagen ab. Auf eine dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht am 13. August 2007 nicht ein (Verfahren 4A_112/2007).
Im vorliegenden Verfahren, in dem es einzig um die Schadenersatzansprüche der Beschwerdeführerin geht, sind ihr Ehemann und die beiden Kinder nicht Partei und folglich nicht im Rubrum zu erwähnen.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, es sei in Gutheissung der Beschwerde und in Aufhebung des Beschlusses und des Teilurteils des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 sowie des Zirkulationsbeschlusses des Handelsgerichts (recte Kassationsgerichts) vom 5. August 2008 die Sache an das Handelsgericht zurückzuweisen, damit dieses auch bezüglich der vor- und ausserprozessualen Anwaltskosten sowie des Haushaltsschadens Beweis abnehme und über die Schadenersatzforderungen der Beschwerdeführerin entscheide.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, in Bestätigung des Teilurteils des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 die Beschwerde abzuweisen. Das Handelsgericht und das Kassationsgericht verzichteten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 117, 379 E. 1 S. 381, 520 E. 1).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin ficht zusammen mit dem Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 5. August 2008 auch den Beschluss und das Teilurteil des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 an. Dies ist grundsätzlich zulässig (<ref-ruling> E. 1.1) und rechtzeitig erfolgt (<ref-law>).
2.2 Indessen wurde das Teilurteil des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 vom Kassationsgericht in Gutheissung der Nichtigkeitsbeschwerde der Beschwerdeführerin aufgehoben. Es entfällt damit als Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin trifft es nicht zu, dass das Teilurteil des Handelsgerichts immer noch bezüglich der Erwägungen zu den medizinischen Behandlungskosten, den vor- und ausserprozessualen Anwaltskosten und des Haushaltsschadens besteht. Das Teilurteil des Handelsgerichts wurde vom Kassationsgericht als Ganzes aufgehoben, und das Handelsgericht muss in einem neuen Entscheid über die Sache befinden. Dass es dabei unter Umständen seine früheren Erwägungen zu den vor- und ausserprozessualen Anwaltskosten sowie zum Haushaltsschaden wieder aufnehmen kann, weil das Kassationsgericht den dagegen erhobenen Einwendungen der Beschwerdeführerin nicht gefolgt ist, ändert nichts daran, dass das hier angefochtene Teilurteil des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 aufgehoben wurde und damit nicht Anfechtungsobjekt der erhobenen Beschwerde bilden kann. Soweit sich die Beschwerdeführerin gegen das Teilurteil des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 richtet, fehlt es somit am Anfechtungsobjekt und mithin an einer Sachurteilsvoraussetzung, weshalb auf die Beschwerde insofern nicht eingetreten werden kann.
2.3 Die Beschwerdeführerin beantragt auch die Aufhebung des Beschlusses des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007, mit dem das Handelsgericht das Verfahren im Betrag von Fr. 12'200.95 nebst Zins als durch Rückzug der Klage erledigt abgeschrieben hat. Diesen Beschluss hat das Kassationsgericht nicht aufgehoben, zumal dagegen offenbar auch gar keine Einwendungen erhoben worden waren. Der Beschluss hat demnach Bestand und kommt als Anfechtungsobjekt in Betracht. Die Beschwerdeführerin begründet jedoch mit keinem Wort, weshalb sie auch die Aufhebung des Beschlusses des Handelsgerichts begehrt und inwiefern sie an dessen Anfechtung überhaupt ein Rechtsschutzinteresse hat. Auf die Beschwerde kann insoweit bereits mangels Begründung nicht eingetreten werden (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
3. Die Beschwerde richtet sich sodann gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 5. August 2008. Darin hat das Kassationsgericht in Gutheissung der Nichtigkeitsbeschwerde der Beschwerdeführerin das Teilurteil des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 aufgehoben und die Sache im Sinne der Erwägungen zur Neubeurteilung an das Handelsgericht zurückgewiesen (Dispositivziffer 2).
3.1 Inwiefern die Beschwerdeführerin durch diesen Entscheid beschwert sein soll, ist nicht dargetan, drang sie doch mit ihrem im kantonalen Nichtigkeitsbeschwerdeverfahren gestellten Antrag auf Aufhebung des Urteils des Handelsgerichts durch, auch wenn das Kassationsgericht in der Begründung nicht all ihren Rügen gefolgt ist. Das erforderliche rechtlich geschützte Interesse (<ref-law>) ist daher zu verneinen, da nur gegen das Entscheiddispositiv und nicht gegen die Begründung Beschwerde geführt werden kann.
3.2 Ohnehin ist der angefochtene Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 5. August 2008, mit dem die Sache im Sinne der Erwägungen zur Neubeurteilung an das Handelsgericht zurückgewiesen wurde, ein Zwischenentscheid, gegen den nur Beschwerde geführt werden kann, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Es obliegt dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich in die Augen springt (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.4.2).
3.2.1 Die Voraussetzung von <ref-law> ist vorliegend offensichtlich nicht gegeben und wird von der Beschwerdeführerin auch nicht angerufen.
3.2.2 Hingegen macht sie geltend, ein nicht wieder gutzumachender Nachteil bestehe darin, dass wegen der "Nichtgutheissung" der Sub-stantiierungsrügen zum Haushaltsschaden und zu den ausserprozessualen Kosten das Teilurteil des Handelsgerichts insoweit in Rechtskraft erwachsen würde, ohne dass die Beschwerdeführerin ihre Rügen der Verletzung von Bundesrecht gegen das Teilurteil bezüglich der angeblich ungenügenden Substantiierung vorbringen könne. Es sei unzumutbar, das neue Urteil des Handelsgerichts abzuwarten.
Dem kann nicht gefolgt werden. Das Teilurteil des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 ist als Ganzes aufgehoben worden und keiner Teilrechtskraft zugänglich. Allerdings könnte das Handelsgericht bei seinem neuen Entscheid bezüglich des Haushaltsschadens und der ausserprozessualen Kosten mangels diesbezüglicher verbindlicher Erwägungen des Kassationsgerichts wieder gleich entscheiden. Gegen den neuen Entscheid des Handelsgerichts steht der Beschwerdeführerin gegebenenfalls die Beschwerde in Zivilsachen offen, mit der sie ihre Rügen der Verletzung von Bundesrecht vortragen kann. Dass bis dahin eine gewisse Zeit verstreicht, bedeutet keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>, genügt doch als solcher Nachteil die blosse Verlängerung des Verfahrens nicht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2).
3.3 Auf die Beschwerde gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 5. August 2008 (Dispositivziffer 2) kann daher nicht eingetreten werden.
Der Vollständigkeit halber ist klarzustellen, dass sich die vorstehenden Erwägungen auf die Dispositivziffer 2 des Zirkulationsbeschlusses des Kassationsgerichts vom 5. August 2008 beziehen (betreffend das Teilurteil des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007). Die Beschwerdeführerin verlangt mit der vorliegenden Beschwerde in ihrem Rechtsbegehren zwar die Aufhebung des Zirkulationsbeschlusses schlechthin, begründet ihre Beschwerde aber nur hinsichtlich der Dispositivziffer 2. Soweit ihr Rechtsbegehren auch die Aufhebung von Dispositivziffer 1 des Zirkulationsbeschlusses des Kassationsgerichts vom 5. August 2008 (betreffend den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts vom 4. Juli 2007) erfassen sollte, kann darauf mangels Begründung nicht eingetreten werden (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
4. Auf die Beschwerde kann aus diesen Gründen insgesamt nicht eingetreten werden. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 7'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 17'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Handelsgericht des Kantons Zürich und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Klett Sommer