Sachverhalt:
A. X._, geb. 1932, gewährte Y._ am 19. Juli 1999 ein Darlehen von Fr. 700'000.-- durch Übernahme einer Schuld, die er gegenüber der Bank Z._ hatte. Die Verzinsung der Schuld sollte zu den selben Bedingungen erfolgen, wie sie im Verhältnis zur Bank bestanden. Effektiv wurden die Zinsen nicht bezahlt, sondern zum Kapital geschlagen.
X._ gab in den Steuerperioden 2001, 2002 und 2003 jeweils das um die laufenden Zinsen erhöhte Darlehen als Vermögen an. Sie unterliess es aber, die Zinsen zugleich als Einkommen zu deklarieren. Diese Veranlagungen blieben unangefochten und erwuchsen in Rechtskraft.
B. Im Rahmen des Veranlagungsverfahrens 2004 stellte das Steueramt A._ fest, dass X._ für das genannte Darlehen keinen Zinsertrag deklariert hatte. Deshalb eröffnete die Steuerverwaltung des Kantons Luzern, Abteilung Nachsteuern und Strafsteuern, gegen X._ ein Nach- und Strafsteuerverfahren, orientierte sie über das Untersuchungsergebnis und gab ihr die Möglichkeit, die Nachsteuern auf den nicht deklarierten Zinsen (Fr. 30'625.-- pro 2001, Fr. 28'000.-- pro 2002 und Fr. 24'062.-- pro 2003) unterschriftlich anzuerkennen. X._ lehnte die Zustimmungserklärung ab. Darauf sprach die Steuerverwaltung X._ mit zwei separaten Verfügungen vom 4. Dezember 2006 bei den Staats- und Gemeindesteuern sowie der direkten Bundessteuer der eventualvorsätzlich begangenen vollendeten Steuerhinterziehung für die Steuerjahre 2001, 2002 und 2003 schuldig. Für die nicht deklarierten Einkünfte wurden ihr Nachsteuern (inkl. Verzugszinsen) im Betrag von Fr. 17'270.30 (Staats- und Gemeindesteuern) bzw. Fr. 7'229.70 (direkte Bundessteuer) auferlegt. Auf die Erhebung einer Busse wurde aufgrund der besonderen Umstände verzichtet. Gegen diese Verfügungen erhobene Einsprachen wurden mit Entscheiden vom 10. Januar 2007 abgewiesen. Beschwerden an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wurden mit Urteil vom 3. September 2007 ebenfalls abgewiesen.
C. X._ hat am 9. Oktober 2007 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 3. September 2007 aufzuheben; von der Erhebung einer Nachsteuer sei abzusehen.
D. Die Steuerverwaltung und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie die Eidgenössische Steuerverwaltung (Hauptabteilung Direkte Bundessteuer, Verrechnungssteuer, Stempelabgaben) schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
I. Eintreten, Kognition
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss Art. 82 ff. des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG, SR 173.110) in Verbindung mit Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG, SR 642.11) sowie Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG, SR 642.14), beide in der Fassung gemäss Anhang Nr. 57 bzw. 58 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht (VGG, SR 173.32), zulässig. Die Beschwerdeführerin ist gestützt auf <ref-law> zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten (Art. 100 und Art. 42 BGG).
1.2 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz können nur berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
II. Direkte Bundessteuer
2. Ergibt sich aufgrund von Tatsachen oder Beweismitteln, die der Steuerbehörde nicht bekannt waren, dass eine Veranlagung zu Unrecht unterblieben oder eine rechtskräftige Veranlagung unvollständig ist, oder ist eine unterbliebene oder unvollständige Veranlagung auf ein Verbrechen oder ein Vergehen gegen die Steuerbehörde zurückzuführen, so wird die nicht erhobene Steuer samt Zins als Nachsteuer eingefordert (<ref-law>). Ein Verschulden des Steuerpflichtigen ist nicht erforderlich, vielmehr kommt es auf die Würdigung der jeweiligen Pflichten des Steuerpflichtigen und der Steuerbehörde bei der Veranlagung an.
Nach Artikel 123 Absatz 1 DBG stellen die Veranlagungsbehörden zusammen mit dem Steuerpflichtigen die für eine vollständige und richtige Besteuerung massgebenden tatsächlichen und rechtlichen Verhältnisse fest. Behörden und Steuerpflichtiger arbeiten grundsätzlich gemeinsam auf eine richtige und vollständige Veranlagung hin. Der Steuerpflichtige muss alles tun, um eine vollständige und richtige Veranlagung zu ermöglichen (<ref-law>). Insbesondere muss er das Formular für die Steuererklärung wahrheitsgemäss und vollständig ausfüllen (<ref-law>); dazu hat er bestimmte Beilagen einzureichen, und er trägt die Verantwortung für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Steuererklärung. Ist er sich über die steuerrechtliche Bedeutung einer Tatsache im Unklaren, darf er diese nicht einfach verschweigen, sondern hat er auf die Unsicherheit hinzuweisen. Jedenfalls muss er die Tatsache als solche vollständig und zutreffend darlegen.
Demgegenüber prüft die Veranlagungsbehörde die Steuererklärung und nimmt die erforderlichen Untersuchungen vor (<ref-law>). Die Steuerbehörde darf sich jedoch grundsätzlich darauf verlassen, dass die Steuererklärung richtig und vollständig ist. Sie ist nicht verpflichtet, ohne besonderen Anlass Quervergleiche mit Akten anderer Steuerpflichtiger vorzunehmen oder im Steuerdossier nach ergänzenden Unterlagen zu suchen. Die Steuerbehörde darf freilich auch nicht unbesehen in der Art auf die Steuererklärung abstellen, wie wenn es sich um eine Selbstveranlagung handeln würde. Sie muss insbesondere berücksichtigen, dass in den Steuererklärungsformularen nicht nur Tatsachen einzutragen sind, sondern sich dabei auch eigentliche Rechtsfragen stellen. Eine Pflicht zu ergänzender Untersuchung besteht für die Steuerbehörden aber nur dann, wenn die Steuererklärung Fehler enthält, die klar ersichtlich bzw. offensichtlich sind. Bloss erkennbare Mängel genügen nicht, um davon auszugehen, bestimmte Tatsachen oder Beweismittel seien den Behörden schon zur Zeit der Veranlagung bekannt gewesen bzw. es müsse diesen ein entsprechendes Wissen angerechnet werden (vgl. zum Ganzen u.a. StR 61/2006 E. 2, ASA 73 482 E. 3.3).
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin hat in ihren Steuererklärungen 2001, 2002 und 2003 das hier interessierende Darlehensguthaben jeweils im Wertschriftenverzeichnis deklariert und den im laufenden Jahr fällig gewordenen Zins zum Kapital geschlagen. Auf diese Weise betrug das "Darlehen Y._" Ende 2001 Fr. 769'403.--, Ende 2002 Fr. 797'403.-- und Ende 2003 Fr. 821'465.--. Die Kolonnen "Bruttoertrag" der drei Steuerjahre enthielten durchwegs keinen Eintrag.
Diese Angaben im Wertschriftenverzeichnis waren offensichtlich fehlerhaft. Ein Zins kann nicht zum Kapital geschlagen werden, ohne dass er vorher einkommenssteuerrechtlich erfasst wurde (vgl. Ernst Känzig, Wehrsteuer [Direkte Bundessteuer], 2. Aufl. I. Teil, Basel 1982, N 104 zu Art. 21 Abs. 1 lit. c BdBst; Louis Bochud, Darlehen an Aktionäre aus wirtschaftlicher, zivil- und steuerrechtlicher Sicht, Diss. BE 1991, S. 318 f.).
Angesichts der in die Augen springenden Falschdeklaration seitens der über siebzigjährigen Beschwerdeführerin hätte die Steuerbehörde bei gehöriger Sorgfalt schon im ordentlichen Veranlagungsverfahren einschreiten und die nicht deklarierten Zinserträge aufrechnen müssen. Darlehen werden in der Regel nicht zinsfrei gewährt, und die Erhöhung um nicht nachvollziehbare Beträge von Jahr zu Jahr hätte die Steuerbehörde zu Rückfragen veranlassen müssen. Damit wäre der wahre Sachverhalt ohne weiteres erhellt worden, wie es ja schliesslich bezüglich des Steuerjahres 2004 geschehen ist. Sah die Steuerverwaltung im Veranlagungsverfahren pflichtwidrig von der erforderlichen Berichtigung ab, so kann sie diese mangels "neuer Tatsachen" nicht im Nachsteuerverfahren nachholen (vgl. StE 2007 B 97.41 Nr. 19 E. 3.2, siehe auch Hugo Casanova, Die Nachsteuer, ASA 68 S. 5). Die Voraussetzungen für die Erhebung von Nachsteuern 2001, 2002 und 2003 gemäss <ref-law> sind hier somit nicht erfüllt.
III. Kantons- und Gemeindesteuern
4. Die Bestimmungen über die Nachsteuer im Steuerharmonisierungsgesetz (Art. 53 StHG) und im kantonalen Steuerrecht (§ 174 Abs. 1 des Steuergesetzes des Kantons Luzern vom 22. November 1999) stimmen mit der Regelung im Recht der direkten Bundessteuer überein. Für die Kantons- und Gemeindesteuern rechtfertigt sich die Erhebung von Nachsteuern ebenfalls nicht.
IV. Kosten und Entschädigung
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gutzuheissen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Kanton Luzern, der Vermögensinteressen wahrnimmt, die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht zu tragen (Art. 65 f. BGG). Die Beschwerdeführerin ist nicht anwaltlich vertreten und hat somit keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>). Über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens wird die Vorinstanz neu zu befinden haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen und das angefochtene Urteil aufgehoben.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'500.-- wird dem Kanton Luzern auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2007
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Matter