Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1953 geborene K._ meldete sich am 9. Januar 2008 bei der IV-Stelle des Kantons Solothurn zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 10. Februar 2009 verneinte diese einen Leistungsanspruch. Auf die dagegen erhobene Beschwerde trat das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 23. März 2009 nicht ein.
A.b. Am 20. Mai 2010 meldete sich der Versicherte bei der IV-Stelle erneut zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 10. März 2011 verneinte sie den Anspruch auf berufliche Eingliederungsmassnahmen und auf eine Invalidenrente. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn in dem Sinne gut, dass es die Verfügung aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und hierauf neu entscheide (Dispositiv-Ziffer 1); es verpflichtete die IV-Stelle, dem Versicherten eine Parteientschädigung von Fr. 2'171.10 (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer; Dispositiv-Ziffer 2) und an die gesamten Verfahrenskosten einen Betrag von Fr. 600.- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3; Entscheid vom 19. März 2012).
B.
In Nachachtung des kantonalen Rückweisungsentscheids vom 19. März 2012 führte die IV-Stelle ergänzende medizinische Abklärungen durch und verneinte mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 17. Januar 2013 den Anspruch des Versicherten auf berufliche Eingliederungsmassnahmen und auf eine Invalidenrente.
C.
Mit Beschwerde vom 21. März 2013 beantragt die IV-Stelle, Dispositiv-Ziffern 2 und 3 des kantonalen Entscheides vom 19. März 2012 seien aufzuheben; sie sei von jeglicher Kostentragungspflicht, insbesondere von der Pflicht zur Bezahlung einer Parteientschädigung sowie von Verfahrenskosten zu befreien; eventuell sei sie zu einer teilweisen Kostenübernahme nach richterlichem Ermessen zu verpflichten; die Kosten für das Verfahren vor dem kantonalen Gericht seien dem Versicherten und/oder seinem Rechtsvertreter zu überbinden.
Der Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde; eventuell sei das amtliche Honorar seines Rechtsvertreters für das Vorverfahren im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege festzusetzen; subeventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur Festlegung des amtlichen Honorars im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege zurückzuweisen; ferner verlangt er die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die auf die unangefochten in Rechtskraft erwachsene Verfügung vom 17. Januar 2013 hin erhobene Beschwerde richtet sich gegen die Kosten- und Entschädigungsfolgen gemäss dem vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid vom 19. März 2012. Eine diesbezügliche direkte Anfechtung innert damaliger Rechtsmittelfrist war der Beschwerdeführerin prozessual verwehrt. Die Anfechtung der Kosten- und Entschädigungsregelung ist grundsätzlich erst mit Beschwerde gegen den Endentscheid möglich. Entscheidet die Instanz, an welche die Sache zurückgewiesen wurde, in der Hauptsache voll zugunsten der Beschwerde führenden Person, so steht dieser innerhalb der Frist gemäss <ref-law> ab Rechtskraft des Endentscheids der direkte Weg ans Bundesgericht offen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 59, 133 V 645 E. 2.1 f. S. 647 f.). Mit Verfügung der IV-Stelle vom 17. Januar 2013 erging der materielle Endentscheid in dieser Sache, wobei der Leistungsanspruch des Versicherten vollumfänglich abgewiesen wurde. Die am 21. März 2013 direkt beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde gegen die Kosten- und Entschädigungsregelung (Dispositiv-Ziffern 2 und 3) im kantonalen Rückweisungsentscheid vom 19. März 2012 erfolgte unbestrittenermassen innert der 30-tägigen Beschwerdefrist (<ref-law>) ab Eintritt der Rechtskraft der Verfügung vom 17. Januar 2013.
2.
Auch der Beschwerdegegner konnte den vorinstanzlichen Entscheid vom 19. März 2012 mangels eines für ihn nicht wieder gutzumachenden Nachteils nicht anfechten. Die Frage der Kosten- und Entschädigungsregelung wird vom Bundesgericht endgültig beurteilt, weshalb dem Beschwerdegegner die Möglichkeit eingeräumt werden muss, hierzu Stellung zu nehmen. Auf seine diesbezüglichen Vorbringen ist daher vollumfänglich einzutreten (vgl. E. 5.2 hienach; <ref-ruling> E. 2 S. 110; Urteil 8C_15/2013 vom 24. Mai 2013 E. 1).
3.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Trotzdem prüft es - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
4.
4.1. Das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht muss einfach, rasch, in der Regel öffentlich und für die Parteien kostenlos sein; einer Partei, die sich mutwillig oder leichtsinnig verhält, können jedoch eine Spruchgebühr und die Verfahrenskosten auferlegt werden (<ref-law>). Abweichend von <ref-law> ist das Beschwerdeverfahren bei Streitigkeiten um die Bewilligung oder die Verweigerung von IV-Leistungen vor dem kantonalen Versicherungsgericht kostenpflichtig. Die Kosten werden nach dem Verfahrensaufwand und unabhängig vom Streitwert im Rahmen von 200-1000 Franken festgelegt (<ref-law>). Bei einer Rückweisung zu ergänzenden Abklärungen, die von Bundesrechts wegen als vollständiges Obsiegen gilt, bleibt auch unter der Geltung von <ref-law> kein Raum für eine kantonale Regelung zur teilweisen Kostenauferlegung an die obsiegende Partei (<ref-ruling>).
Die Begriffe der Mutwilligkeit und des Leichtsinns gehören dem Bundesrecht an. Ihre Tatbestände können als erfüllt betrachtet werden, wenn eine Partei Tatsachen wider besseres Wissen als wahr behauptet oder ihre Stellungnahme auf einen Sachverhalt abstützt, von dem sie bei der ihr zumutbaren Sorgfalt wissen müsste, dass er unrichtig ist. Mutwillig ist ferner das Festhalten an einer offensichtlich gesetzwidrigen Auffassung. Leichtsinnige oder mutwillige Prozessführung liegt aber so lange nicht vor, als es der Partei darum geht, einen bestimmten, nicht als willkürlich erscheinenden Standpunkt durch das Gericht beurteilen zu lassen. Dies gilt auch dann, wenn das Gericht die Partei im Laufe des Verfahrens von der Unrichtigkeit ihres Standpunktes überzeugen und zu einem entsprechenden Verhalten (Beschwerde- oder Klagerückzug) veranlassen will. Die Erhebung einer aussichtslosen Beschwerde darf einer leichtsinnigen oder mutwilligen Beschwerdeführung nicht gleichgesetzt werden. Das Merkmal der Aussichtslosigkeit für sich allein lässt einen Prozess noch nicht als leichtsinnig oder mutwillig erscheinen. Vielmehr bedarf es zusätzlich des subjektiven - tadelnswerten - Elements, dass die Partei die Aussichtslosigkeit bei der ihr zumutbaren vernunftgemässen Überlegung ohne weiteres erkennen konnte, den Prozess aber trotzdem führt. Mutwillige Prozessführung kann ferner darin begründet liegen, dass eine Partei eine ihr in dieser Eigenschaft obliegende Pflicht (Mitwirkungs- oder Unterlassungspflicht) verletzt (<ref-ruling> E. 1b S. 324; Urteil 8C_903/2008 vom 27. März 2009 E. 4.1, zusammengefasst in Anwaltsrevue 6-7/2009 S. 333).
4.2. Nach <ref-law> hat im kantonalen Verfahren die obsiegende Beschwerde führende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten. Diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen (<ref-law>). Unnötige Kosten indessen hat gemäss dem Verursacherprinzip zu bezahlen, wer sie verursacht hat (vgl. auch Art. 66 Abs. 3 und Art. 68 Abs. 4 BGG). Dementsprechend kann keine Parteientschädigung beanspruchen, wer zwar im Prozess obsiegt, sich aber den Vorwurf gefallen lassen muss, er habe es wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht selber zu verantworten, dass ein unnötiger Prozess geführt worden sei (Urteil 9C_148/2011 vom 29. April 2011 E. 2).
5.
5.1.
5.1.1. Im angefochtenen Rückweisungsentscheid vom 19. März 2012 erwog die Vorinstanz, die vom Versicherten bei ihr am 29. Juni 2011 eingereichten Berichte der Dres. med. R._, FMH Radiologie, vom 13. Januar 2011 und M._, Leitender Arzt Orthopädische Klinik, Spital X._, vom 24. Februar 2011 seien, obwohl beide vor Erlass der Verfügung der IV-Stelle vom 10. März 2011 erstellt, nicht in die Entscheidfindung der Letzteren einbezogen worden. Diese neu eingereichten Berichte enthielten gewisse Anhaltspunkte, die auf eine Veränderung des Gesundheitszustandes hinweisen könnten. Es seien daher ergänzende Abklärungen erforderlich.
5.1.2. Die IV-Stelle macht geltend, mit Erlass ihres Vorbescheids vom 10. Januar 2011 habe der Beschwerdeführer um die in Aussicht gestellte Abweisung seines Leistungsbegehrens gewusst und sei deshalb gehalten gewesen, alle seinen Standpunkt belegenden Beweismittel offenzulegen. Es sei nicht nachvollziehbar, dass der bereits damals anwaltlich vertretene Versicherte die Berichte der Dres. med. R._ vom 13. Januar 2011 und M._ vom 24. Februar 2011 nicht im Verwaltungsverfahren, das erst mit Verfügung vom 10. März 2011 abgeschlossen worden sei, eingereicht habe. Damit habe er die Mitwirkungspflicht verletzt und das kantonale Gerichtsverfahren verursacht, weshalb eine mutwillige Prozessführung vorgelegen habe. Somit habe die Vorinstanz Bundesrecht verletzt, wenn sie die IV-Stelle im Rückweisungsentscheid vom 19. März 2012 verpflichtet habe, die Gerichtskosten zu tragen und dem Versicherten eine Parteientschädigung zu bezahlen.
5.2. Der Versicherte bringt vor, weder ihm noch seinem damaligen Anwalt könne der Vorwurf der Verletzung der Mitwirkungspflicht gemacht werden. Denn er habe die Berichte der Dres. med. R._ vom 13. Januar 2011 und M._ vom 24. Februar 2011 erst am 29. Juni 2011 - nach Erhebung der vorinstanzlichen Beschwerde vom 28. März 2011 - eingereicht, weil sie erst am 8. April 2011 vorgelegen hätten. Letzteres wird weder von der IV-Stelle, der die Beschwerdeantwort des Versicherten zur Kenntnis zugestellt wurde (hierzu vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 255, 133 I 98 E. 2.2 S. 99), noch vom BSV in der Vernehmlassung vom 11. Juni 2013 bestritten, weshalb darauf abzustellen ist. Unter diesen Umständen kann dem Versicherten eine Verletzung der Mitwirkungspflicht nicht vorgeworfen werden. Auch anderweitig kann von mutwilliger oder leichtsinniger Prozessführung des Versicherten nicht die Rede sein, wenn die Vorinstanz die Sache in Gutheissung der Beschwerde zu weiteren Abklärungen an die IV-Stelle zurückwies.
6.
Die unterliegende IV-Stelle trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG). Das Gesuch des Versicherten um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Rechtsvertreterin des Beschwerdegegners für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Juli 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar