Erwägungen:
1.
1.1. Mit Strafbefehl vom 29. Juni 2015 sprach die Staatsanwaltschaft March A._ schuldig der Drohung im Sinne von Art. 180 Abs. 1 StGB, der Beschimpfung im Sinne von Art. 177 Abs. 1 StGB und der Tätlichkeiten im Sinne von Art. 126 Abs. 1 StGB. Es wurde ihm deswegen eine bedingte Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu Fr. 30.-- und eine Busse von Fr. 900.-- auferlegt (bei schuldhaftem Nichtbezahlen der Busse eine Ersatzfreiheitsstrafe von 14 Tagen), als Zusatzstrafe zu dem am 24. September 2012 ergangenen Strafbefehl der Staatsanwaltschaft March vom 24. September 2012. Gleichzeitig hatte der Verurteilte die auf Fr. 935.-- festgesetzten Verfahrenskosten zu tragen.
Hiergegen erhob A._ Einsprache, wobei er unter Berufung auf Art. 56 StPO den Ausstand verschiedener Justizpersonen verlangte (Kantonsgericht, Staatsanwaltschaft). Die Staatsanwaltschaft überwies das Ausstandsgesuch am 9. Juli 2015 zuständigkeitshalber ans Kantonsgericht Schwyz zur weiteren Behandlung.
Mit Beschluss vom 27. August 2015 hat das Kantonsgericht das Gesuch abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist.
Die von A._ gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde ans Bundesgericht bildet Gegenstand des Verfahrens 1B_345/2015.
1.2. Im Rahmen der gegen ihn geführten Strafuntersuchung war A._ am 25. April 2015 mit einer als Einsprache und Beschwerde betitelten Eingabe an die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz gelangt.
Am 19. Juni 2015 wurde dem Beschwerdeführer seitens des Kantonsgerichts unter Androhung des Nichteintretens im Säumnisfalle eine Nachfrist bis zum 6. Juli 2015 gesetzt, um seine Eingabe zu verbessern, da aus ihr nicht klar hervorging, gegen welche Prozesshandlungen bzw. Verfügungen sie sich allenfalls richtete.
Bis zum 6. Juli liess der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht keine verbesserte Eingabe zukommen. Einzig richtete er eine auf den 6. Juli 2015 datierte Eingabe an die Oberstaatsanwaltschaft, doch übergab er diese Eingabe der Post erst am 13. Juli 2015 und damit verspätet. Entsprechend ist der Präsident des Kantonsgerichts Schwyz mit Verfügung vom 26. August 2015 androhungsgemäss auf die Beschwerde vom 25. April 2015 nicht eingetreten. Gleichzeitig hat er eine Kopie der Eingabe vom 6. Juli 2015 zur näheren Prüfung eines allfälligen Revisionsgesuchs zuständigkeitshalber an die Berufungsinstanz weitergeleitet.
2.
Mit Eingabe vom 25. September (Postaufgabe: 26. September) 2015 führt A._ gegen die Verfügung vom 26. August 2015 Beschwerde ans Bundesgericht mit dem sinngemässen Hauptbegehren, die Verfügung sei aufzuheben; dabei wirft er dem Kantonsgerichtspräsidenten u.a. Befangenheit vor.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer übt ganz pauschal Kritik an der angefochtenen Verfügung sowie am Kantonsgerichtspräsidenten und darüber hinaus an verschiedenen Justizbehörden des Kantons Schwyz. Dabei legt er nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern durch den fraglichen Nichteintretensentscheid Recht Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt worden sein soll. Ebenso wenig ist das den Kantonsgerichtspräsidenten betreffende, ganz allgemein gehaltene Ausstandsbegehren im Lichte der genannten Bestimmungen hinreichend substantiiert.
Demgemäss ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. Beiordnung eines Rechtsbeistandes nicht zu entsprechen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden ( Art. 66 Abs. 1 BGG ).

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. amtlichen Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft March, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz und dem Kantonsgericht Schwyz, Kantonsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp