Faits:
A.
A.a. P._ a travaillé en qualité d'informaticien. En mars 2005, il a été victime d'un accident de moto ayant entraîné des fractures multiples du pied gauche, compliquées d'une algoneurodystrophie du pied et du genou gauches. Pour des raisons économiques, il a perdu son emploi, qui a pris fin le 30 septembre 2006. L'Office AI pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: OAIE) lui a octroyé une rente entière d'invalidité du 1 er mars au 30 novembre 2006 (décision du 27 février 2008).
A.b. Le 19 avril 2007, P._ a été victime d'un nouvel accident de moto ayant entraîné des fractures multiples au niveau lombaire, sacré et du membre inférieur gauche et une incapacité de travail de 100 %, traumatisme compliqué d'une algoneurodystrophie du membre inférieur gauche.
Le 17 mars 2010, P._ a présenté une (nouvelle) demande de prestations de l'assurance-invalidité, parvenue à l'OAIE le 11 août 2010 avec un rapport médical détaillé du docteur M._ du 30 juillet 2010 (formule E213). Dans un questionnaire du 2 février 2011, il a indiqué qu'il était suivi par les docteurs A._ et S._. L'OAIE est entré en possession d'un compte rendu d'hospitalisation du docteur C._ du 22 mai 2007, ainsi que de documents relatifs aux différents examens radiologiques de contrôle. Dans un rapport final du 19 mai 2011, la doctoresse R._ (spécialiste FMH en médecine générale et médecin du SMR X._) a estimé qu'une année après le traumatisme du 19 avril 2007, l'opération et les complications, il n'y avait pas d'empêchement à exercer l'activité habituelle d'informaticien -essentiellement assise et légère -et que la capacité de travail était entière depuis le 7 juillet 2008 dans cette activité.
Dans un préavis du 26 juillet 2011, l'OAIE a informé P._ que depuis le 7 juillet 2008 l'exercice d'une activité lucrative adaptée à son état de santé était de nouveau exigible, ce qui lui permettait de réaliser plus de 60 % du gain qui pourrait être obtenu sans atteinte à la santé, et qu'en ce qui concerne la période du 1 er avril au 31 octobre 2008 le droit à une rente entière d'invalidité n'avait pas pu prendre naissance attendu que l'assuré n'avait fait valoir son droit aux prestations qu'à la date du 17 mars 2010. P._ a fait part à l'OAIE de ses observations, en produisant des documents des docteurs S._ et O._, tous deux neurochirurgiens. Dans un avis du 10 novembre 2011, la doctoresse R._ a estimé, au vu des documents médicaux à disposition, qu'on pouvait retenir une courte incapacité de travail en relation avec l'ablation du matériel d'ostéosynthèse rachidienne pratiquée en juin 2011 et les suites post-opératoires, mais que les nouveaux éléments fournis ne modifiaient pas son appréciation du 19 mai 2011. Par décision du 6 janvier 2012, l'OAIE, tout en s'exprimant sur les observations de l'assuré, a nié tout droit de P._ à une rente d'invalidité pour les motifs exposés dans son préavis.
B.
P._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif fédéral, en concluant, sous suite de dépens, à son annulation. Il invitait cette juridiction à dire et prononcer qu'il avait droit à une rente entière d'invalidité, à tout le moins dès le 1 er septembre 2010, et à renvoyer la cause à l'OAIE pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Produisant deux rapports du docteur A._ (rhumatologue) des 14 septembre 2010 et 22 septembre 2009, il demandait à titre subsidiaire que soit ordonnée une expertise médicale pluridisciplinaire. Il a produit ultérieurement un compte rendu d'une scintigraphie osseuse du 13 mars 2012 concluant à l'absence de renforcement significatif en regard de l'articulation L5-S1 proprement dite.
De son côté, l'OAIE, qui concluait dans sa réponse au rejet du recours, s'est référé à un avis de son service médical des 6 et 18 septembre 2012, où les docteurs B._ (spécialiste FMH en médecine physique et réadaptation) et R._ ont estimé que la mise en oeuvre d'une expertise n'était pas nécessaire, étant donné que les problèmes médicaux étaient bien investigués et décrits dans le dossier médical à disposition. Dans ses observations du 10 décembre 2012, P._, invoquant le principe d'équité, a demandé que l'expertise sollicitée soit attribuée à un expert indépendant et neutre. Il a produit plusieurs documents, dont des certificats du docteur A._ du 3 décembre 2012 et de la doctoresse U._ du 6 décembre 2012. L'OAIE a produit un avis de la doctoresse R._ du 24 janvier 2013 et la prise de position des docteurs B._ et D._ (spécialiste FMH en médecine interne) du 25 février 2013, ainsi qu'un avis de la doctoresse R._ du 5 mars 2013, dans lesquels ces médecins ont considéré qu'il n'y avait pas lieu de s'écarter de l'appréciation médicale antérieure.
Par arrêt du 23 août 2013, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours.
C.
P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à son annulation, la cause étant renvoyée au Tribunal administratif fédéral, voire à l'autorité de première instance, pour complément d'instruction par voie d'expertise et nouvelle décision. A titre subsidiaire, il invite le Tribunal fédéral à dire et prononcer qu'il a droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er septembre 2010.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire insoutenable, voire arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 314; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La partie recourante qui invoque l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit présenter une motivation qui répond aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62).
1.2. Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 s.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62).
1.3. Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 s. s'appliquent pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application du droit par cette dernière (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité précédente sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité - dans la mesure où elle dépend d'une évaluation de la personne concrète, de son état de santé et de ses capacités fonctionnelles - relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398).
2.
Sur le plan formel, le recourant soulève le grief de violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Sous cet angle, il fait valoir que l'autorité de recours de première instance n'a pas vérifié si les avis du SMR remplissaient les critères jurisprudentiels permettant de reconnaître à un rapport médical pleine valeur probante et a omis de se prononcer sur les griefs pertinents qu'il a régulièrement articulés, singulièrement n'a pas pris en considération certains allégués et arguments importants pour la décision à rendre. La violation du droit d'être entendu (sur cette notion en corrélation avec l'administration des preuves, cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 370 et les références) dans le sens invoqué par le recourant est une question qui n'a pas de portée propre par rapport au grief tiré d'une appréciation arbitraire des preuves. Il s'agit là d'un grief qu'il convient d'examiner avec le fond du litige.
3.
Le litige a trait au droit du recourant à une rente d'invalidité et porte sur l'atteinte à la santé qu'il présente, singulièrement sur le point de savoir si l'incidence de l'état de santé de l'assuré sur sa capacité de travail a subi un changement important et si le taux d'invalidité fondant le droit à la prestation a subi une modification notable.
3.1. L'administration étant entrée en matière sur la nouvelle demande du 17 mars 2010, elle devait examiner l'affaire au fond et par conséquent procéder de la même manière qu'en cas de révision au sens de l'art. 17 LPGA (cf. <ref-ruling>). Le point de savoir si un changement important des circonstances s'est produit doit ainsi être tranché en comparant les faits tels qu'ils se présentaient lors de la suppression du droit à une rente d'invalidité à partir du 1 er décembre 2006 et les circonstances régnant à l'époque de la décision administrative litigieuse du 6 janvier 2012 (<ref-ruling> consid. 5 p. 110 s.).
3.2. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales relatives aux notions d'incapacité de gain (art. 7 al. 1 et 2 LPGA depuis le 1 er janvier 2008) et d'invalidité (art. 4 al. 1 LAI et art. 8 al. 1 LPGA). On peut ainsi y renvoyer, de même qu'en ce qui concerne les règles et principes jurisprudentiels sur la valeur probante d'un rapport médical (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352).
3.3. Même en tenant compte de la jurisprudence récente de la Cour européenne des droits de l'homme sur le principe de l'égalité des armes, tiré du droit à un procès équitable garanti par l'art. 6 § 1 CEDH, il n'existe pas, dans la procédure d'octroi ou de refus de prestations d'assurances sociales, de droit formel à une expertise menée par un médecin externe à l'assurance (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 468). Il convient toutefois d'ordonner une telle expertise si des doutes, même faibles, subsistent quant à la fiabilité et à la pertinence des constatations médicales effectuées par le service médical interne de l'assurance (<ref-ruling> consid. 4.6 p. 471).
4.
Les premiers juges ont retenu que selon l'avis concordant de tous les médecins qui s'étaient exprimés dans cette affaire, les fractures subies lors des deux accidents de moto de 2005 et 2007 étaient consolidées et l'état de santé stabilisé. Ils ont exposé que le recourant souffrait toutefois encore des séquelles des blessures subies au membre inférieur gauche et au dos et présentait des limitations fonctionnelles (pas de marche prolongée, pas de déplacement sur sol irrégulier ou en pente, pas de travail en hauteur ou sur une échelle, pas de position accroupie, alternance entre les positions assise et debout). Ils ont constaté, en accord avec les médecins du SMR qui s'étaient prononcés de manière détaillée, que les limitations fonctionnelles et leur répercussion sur la capacité de travail étaient clairement définies, à savoir que les atteintes à la santé n'auraient pas empêché le recourant de reprendre à partir de juillet 2008 l'exercice de son activité habituelle d'informaticien en principe adaptée aux limitations fonctionnelles mentionnées ci-dessus.
5.
Le recourant fait valoir que l'autorité de recours de première instance a statué en se fondant exclusivement sur les avis des médecins du SMR, sans avoir examiné les éléments médicaux figurant au dossier et en omettant de se prononcer sur les griefs pertinents qu'il avait régulièrement articulés. Il allègue que le refus par les premiers juges d'ordonner une expertise médicale est entaché d'arbitraire tant dans sa motivation que dans son résultat, singulièrement reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir méconnu les doutes relatifs à la fiabilité et à la pertinence des constatations et conclusions du service médical interne de l'OAIE et de s'être ainsi mué en expert afin de combler, de manière arbitraire, les lacunes des avis médicaux et autres rapports de l'intimé.
6.
Il n'est pas démontré par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF que les premiers juges, en retenant que les fractures subies en 2005 et 2007 étaient consolidées et l'état de santé stabilisé, ont établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit.
6.1. Le recourant affirme que toutes les fractures subies lors de l'accident du 19 avril 2007 ne sont pas consolidées et que son état de santé ne s'est pas stabilisé "en tant que le propre des affections dégénératives est qu'elles signifient par essence une dégradation de l'état de santé dans le temps", affirmation qui n'est pas prouvée ni rendue vraisemblable. Du dossier, il ressort que le docteur S._ parle dans un rapport du 11 janvier 2011 de la consolidation de la fracture de L1 et le docteur O._ indique dans un rapport du 19 janvier 2011 que l'imagerie de contrôle a mis en évidence une consolidation acquise de la vertèbre avec une bonne stabilité vertébrale.
6.2. Sous cet angle, l'autorité de recours de première instance pouvait, sans arbitraire, accorder valeur probante au rapport final de la doctoresse R._ du 19 mai 2011. Bien que ce rapport ne constitue pas un examen médical sur la personne de l'assuré (au sens de l'art. 49 al. 2 RAI) ni une expertise au sens de l'art. 44 LPGA et ne doive pas remplir les mêmes exigences au niveau de son contenu qu'une expertise médicale, il s'agit là d'un rapport de synthèse du service médical de l'OAIE, auquel on ne saurait dénier toute valeur probante dès lors qu'il contient des informations utiles à la prise de décision pour l'administration ou les tribunaux, sous forme d'un résumé de la situation médicale et d'une appréciation de celle-ci (arrêt 9C_440/2011 du 12 mars 2012, consid. 2.2.2). Dans le cas particulier, même si le recourant affirme à propos du rapport final mentionné ci-dessus que les diagnostics posés sont incomplets et ne prennent pas en compte l'ensemble des troubles dont il est atteint, ce qui n'est au demeurant pas démontré, il ne subsiste pas de doute, même faible, quant à la fiabilité et à la pertinence du résumé de la situation médicale et de l'appréciation de celle-ci par la doctoresse R._ dans le rapport final du 19 mai 2011 (supra, consid. 3.3).
6.3. Le jugement entrepris retient que selon les avis médicaux du SMR X._ des 6 et 18 septembre 2012, les documents médicaux produits au cours de la procédure n'apportent aucun élément nouveau et le résultat de la scintigraphie du 13 mars 2012 reste dans les limites de la norme. Ceci n'est pas discuté par le recourant, qui affirme que ces avis ont été établis suivant le même mode que celui utilisé dans le rapport final du 19 mai 2011, mais n'explique pas en quoi les faits ci-dessus ont été constatés par les premiers juges de façon manifestement inexacte au sens de l'art. 97 al. 1 LTF (supra, consid. 1.1). L'autorité de recours de première instance a considéré, sans qu'on puisse lui reprocher une appréciation arbitraire des preuves, qu'une expertise pluridisciplinaire n'apporterait aucun élément susceptible de modifier l'appréciation de l'état de santé du recourant et n'était donc pas nécessaire. Une telle manière de procéder ne viole pas le droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst. (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 236; <ref-ruling> consid. 4b p. 94; <ref-ruling> consid. 1d p. 162). Le recours est mal fondé de ce chef.
7.
Les arguments du recourant (supra, consid. 5) ne sont pas propres à remettre en cause le résultat de l'appréciation anticipée des preuves à laquelle ont procédé les premiers juges en ce qui concerne la capacité de travail et de gain de l'assuré, singulièrement les limitations fonctionnelles qu'il présente.
7.1. Ainsi que cela est exposé dans le jugement entrepris, les médecins du SMR ont constaté dans le rapport final du 19 mai 2011 qu'il n'y avait pas d'empêchement de la part du recourant à exercer l'activité habituelle d'informaticien - essentiellement assise et légère - et que la capacité de travail était entière depuis le 7 juillet 2008 dans cette activité, ce qu'ils ont confirmé dans leur avis des 6 et 18 septembre 2012 en constatant que les limitations fonctionnelles et leur répercussion sur la capacité de travail pouvaient être définies clairement, sur le vu du dossier médical où les problèmes médicaux étaient bien investigués et décrits. Même si dans leurs prises de position les médecins du SMR n'ont pas décrit dans le détail les limitations fonctionnelles (par rapport à l'accident du 19 avril 2007), cela ne permet pas de considérer que les limitations fonctionnelles retenues par l'autorité de recours de première instance ont été établies de façon manifestement inexacte ou en violation du droit.
7.2. Il ne subsiste pas de doute, même faible, quant à la fiabilité et à la pertinence des constatations mentionnées ci-dessus des médecins du SMR. Du consid. 8.3 du jugement entrepris, il ressort que le service médical de l'OAIE a tenu compte de l'avis du docteur A._ dans son certificat du 3 décembre 2012 attestant que l'ensemble des séquelles était incompatible avec un poste de travail classique, ainsi que de l'opinion de la doctoresse U._ dans son certificat du 6 décembre 2012 selon laquelle le patient ne pouvait manifestement pas retrouver un emploi à temps plein, le séjour de préorientation du 9 janvier au 30 mars 2012 - où l'horaire de stage avait été allégé compte tenu d'une asthénie importante - lui ayant permis de constater les importantes limitations physiques et les douleurs séquellaires que celui-ci présentait. Ainsi, dans leur prise de position du 25 février 2013, les docteurs B._ et D._ ont indiqué qu'il n'y avait pas de motif médical objectif qui puisse être considéré comme étant à l'origine d'une asthénie justifiant une diminution durable d'un horaire à plein temps et que la doctoresse U._ ne décrivait pas les séquelles objectives ni les conséquences fonctionnelles de celles-ci. De plus, les médecins du SMR ont noté qu'il existait des postes de travail "standard" dans des sociétés informatiques sans déplacements hors de l'entreprise et que le poste de travail pouvait être adapté pour permettre l'alternance des positions assise et debout par un plan de travail dont la hauteur pouvait être modifiée.
Les certificats mentionnés ci-dessus du docteur A._ du 3 décembre 2012 et de la doctoresse U._ du 6 décembre 2012, au demeurant fort brefs, ne remplissent pas les critères jurisprudentiels qui permettent de reconnaître à un rapport médical pleine valeur probante (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352). Ils ne sauraient mettre en doute l'appréciation des médecins du SMR de la capacité de travail exigible du recourant dans une activité assise et légère comme celle d'informaticien d'entreprise. Les premiers juges pouvaient, sans qu'on puisse leur reprocher une appréciation arbitraire des preuves, considérer qu'une expertise pluridisciplinaire n'apporterait aucun élément susceptible de modifier l'appréciation de l'invalidité et n'était donc pas nécessaire. Une telle manière de procéder ne viole pas le droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst. (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 236; <ref-ruling> consid. 4b p. 94; <ref-ruling> consid. 1d p. 162).
Sur le vu de ce qui précède, les déclarations du recourant (supra, consid. 5) ne permettent pas de considérer que l'autorité de recours de première instance, en constatant avec les médecins du SMR que les limitations fonctionnelles et leur répercussion sur la capacité de travail du recourant étaient clairement définies, à savoir que les atteintes à la santé n'auraient pas empêché l'assuré de reprendre à partir de juillet 2008 l'exercice de son activité habituelle d'informaticien en principe adaptée aux limitations fonctionnelles qu'il présente, a établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le recours est mal fondé.
8.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci est accordée au recourant, son attention étant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée au recourant et M e Sylvie Mathys lui est désignée comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Une indemnité supportée provisoirement par la caisse du Tribunal de 2'800 fr. est allouée à M e Sylvie Mathys à titre d'honoraires.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Wagner