Sachverhalt:
B._ hat in einer Streitigkeit um Leistungen der Invalidenversicherung beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Beschwerde gegen eine Verfügung der IV-Stelle Bern vom 16. Oktober 2013 und ein Gesuch um Revision zweier am 22. November 2011 und 13. Januar 2013 ergangenen Entscheide des Verwaltungsgerichts eingereicht. In diesem Verfahren ergingen drei prozessleitende Verfügungen, am 27. November 2013 durch Verwaltungsrichter X._ und am 9. sowie 20. Dezember 2013 durch Verwaltungsrichter Y._.
B._ lässt gegen diese Verfügungen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen. Sie macht hiebei auch Rechtsverweigerung durch die Vorinstanz geltend. Zudem beantragt sie, das Bundesgericht habe ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren sowie eine mündliche und öffentliche Verhandlung durchzuführen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.
Mit Verfügung vom 14. Februar 2014 weist das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab und verlangt von B._ einen Gerichtskostenvorschuss von Fr. 1'000.-.
Mit mehreren Eingaben lässt B._ nochmals Stellung nehmen. Beantragt wird hiebei auch, die bundesgerichtliche Verfügung vom 14. Februar 2014 sei wegen Befangenheit des daran beteiligten Gerichtsschreibers Z._ aufzuheben.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 Ingress S. 133 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 6 S. 320 mit Hinweis).
2.
Für eine öffentliche, mündliche Parteiverhandlung (Art. 57 in Verbindung mit <ref-law>) besteht keine Veranlassung. Dem Verfahrensantrag ist daher nicht zu entsprechen.
3.
Der Antrag, die bundesgerichtliche Verfügung vom 14. Februar 2014 sei aufzuheben, ist als Wiedererwägungsgesuch zu behandeln. Zur Begründung führt die Beschwerdeführerin an, der an der Verfügung beteiligte Gerichtsschreiber Z._ sei als befangen zu betrachten und habe in den Ausstand zu treten. Indessen vermögen weder die früheren und aktuellen Tätigkeiten von Familienangehörigen noch die Funktion als Beirat einer Vereinigung zur Unterstützung von Personen, welche an einer bestimmten Krankheit leiden, auch nur ansatzweise den Anschein der Befangenheit von Gerichtsschreiber Z._ zu erwecken. Der weiter geltend gemachte Umstand, dass ein Service-Club, dem ein Bundesrichter angehört, diese Vereinigung finanziell unterstütze, lässt ebenfalls keine entsprechenden Folgerungen zu. Gleiches gilt, soweit die Beschwerdeführerin auf einen von der Vorinstanz in einem anderen Verfahren erhobenen Kostenvorschuss und auf den Verzicht auf diesbezügliche Beweismassnahmen verweist. Auf eine Befangenheit von Gerichtsschreiber Z._ lässt sodann auch die Höhe des in der Verfügung vom 14. Februar 2014 verlangten Kostenvorschusses nicht schliessen. Der verlangte Betrag lässt sich namentlich damit erklären, dass sich die Beschwerde gegen gleich drei vorinstanzliche Entscheidungen richtet. Es wurde davon abgesehen, hiefür drei verschiedene Dossiers anzulegen, was gesamthaft zu höheren Kosten - und entsprechenden Vorschüssen - geführt hätte. Der Vorhalt der Befangenheit ist nach dem Gesagten unbegründet und vermag die Verfügung vom 14. Februar 2014 nicht in Frage zu stellen.
4.
Die Rechtsverweigerungsbeschwerde wird damit begründet, die Vorinstanz habe das für das kantonale Verfahren gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bislang nicht behandelt.
Die Rüge ist schon mit Blick auf die vorinstanzliche Verfügung vom 20. Dezember 2013 nicht stichhaltig. Darin wurde darauf hingewiesen, dass vor der Klärung der Vorfragen, konkret des Ablehnungsgesuchs gegen Verwaltungsrichter X._ als Instruktionsrichter, das Verfahren in der Hauptsache bis auf unaufschiebbare vorsorgliche Massnahmen nicht fortgesetzt werden könne. Diese Umschreibung des Verfahrensgangs beschlägt auch die Entscheidfindung betreffend unentgeltliche Rechtspflege, ist richtig und stellt keine Rechtsverweigerung dar. Die Beschwerde ist daher diesbezüglich abzuweisen.
5.
Bei den drei angefochtenen Verfügungen der Vorinstanz handelt es sich um selbstständig eröffnete Zwischenentscheide. Deren Anfechtbarkeit beurteilt sich nach Art. 92 f. BGG. Ein Zwischenentscheid über die Zuständigkeit oder über Ausstandsbegehren im Sinne von <ref-law> liegt nicht vor. Namentlich hat die Vorinstanz über das gegen Verwaltungsrichter X._ gestellte Ausstandsbegehren noch nicht entschieden. Damit erübrigen sich Weiterungen zur Begründetheit dieses Begehrens und zu den entsprechenden Ausführungen der Beschwerdeführerin. Zu prüfen bleibt die Anfechtbarkeit unter dem Gesichtswinkel des <ref-law>. Danach ist die Beschwerde gegen andere selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide nur zulässig, wenn diese einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
Letzteres steht nicht zur Diskussion. Die Beschwerdeführerin beruft sich vielmehr darauf, durch die vorinstanzlichen Verfügungen einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu erleiden.
5.1. Die drei vorinstanzlichen Verfügungen beinhalten u.a. die Bestätigung des Erhalts von Eingaben, den vorläufigen Verzicht auf die Erhebung eines Gerichtskostenvorschusses, die Einholung von Vernehmlassungen, die Bekanntgabe, dass Verwaltungsrichter Y._ als Instruktionsrichter im Ausstandsverfahren gegen Verwaltungsrichter X._ amte, die bereits erwähnte Mitteilung, wonach das Verfahren in der Hauptsache vor der Klärung der Vorfragen nicht fortgesetzt werden könne, und den Hinweis, dass ein allfälliges Ausstandsbegehren gegen Verwaltungsrichter Y._ beim Verwaltungsgericht einzureichen wäre. Es wird von der Beschwerdeführerin nicht stichhaltig begründet und ist auch schlechterdings nicht nachvollziehbar, inwiefern sich daraus ein nicht wieder gutzumachender Nachteil ergeben könnte.
5.2. Sodann wurde in der verwaltungsgerichtlichen Verfügung vom 27. November 2013 das mit der vorinstanzlichen Beschwerde gestellte Gesuch um Wiederherstellung der - in der Verwaltungsverfügung vom 16. Oktober 2013 entzogenen - aufschiebenden Wirkung des Rechtsmittels abgewiesen und in der Verfügung vom 20. Dezember 2013 wurde erkannt, es seien keine vorsorglichen Massnahmen angezeigt.
Die vorinstanzliche Beschwerde richtet sich gegen die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 16. Oktober 2013. Mit dieser hat die Verwaltung in einem Rentenrevisionsverfahren die an die Beschwerdeführerin ausgerichtete Invalidenrente wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht vorläufig eingestellt. Die vorübergehende Einstellung einer Rente hat in der Regel und jedenfalls auch hier keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge. Das gilt auch für den vorinstanzlichen Entscheid, die aufschiebende Wirkung der gegen diese Renteneinstellung gerichteten Beschwerde nicht wiederherzustellen. Sodann stellt ein Revisionsgesuch, wie es die Beschwerdeführerin gegen zwei Entscheide der Vorinstanz eingereicht hat, kein der aufschiebenden Wirkung zugängliches Rechtsmittel dar. Unter dem Gesichtswinkel der Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ist somit nicht auf die Beschwerde einzutreten.
Gleiches gilt unter dem Gesichtswinkel vorsorglicher Massnahmen. In der Verfügung vom 20. Dezember 2013 wurde erkannt, da keine Gründe ersichtlich seien, welche die Anordnung vorsorglicher Massnahmen nahe legten, sei auf solche zu verzichten. Dies wurde mit dem bereits erwähnten Hinweis verbunden, dass das Verfahren in der Hauptsache - mit Ausnahme unaufschiebbarer vorsorglicher Massnahme - bis zur Klärung hinsichtlich des Ablehnungsgesuchs gegen Verwaltungsrichter X._ nicht fortgesetzt werden könne. Es wird von der Beschwerdeführerin nicht nachvollziehbar dargelegt und ist nicht ersichtlich, welche vorsorglichen Massnahmen hier zulässig und geboten gewesen wären und inwiefern der Verzicht darauf einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken soll.
5.3. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde gegen die vorinstanzlichen Verfügungen nicht einzutreten, da diese keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können. Das gilt unabhängig davon, wer die Verfügungen erlassen hat. Damit erübrigen sich Weiterungen zu den geltend gemachten Vorhaltungen gegenüber Verwaltungsrichter Y._. Der Beschwerdeführerin bleibt es, wie in der vorinstanzlichen Verfügung vom 20. Dezember 2013 dargelegt, unbenommen, beim kantonalen Gericht ein Ablehnungsbegehren einzureichen.
6.
Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Wiedererwägungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. April 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz