Erwägungen:
1. X._ verlangte mit am 30. November 2007 ergänzter Eingabe vom 8. Oktober 2007 von der Eidgenossenschaft Schadenersatz und Genugtuung. Die Forderung stand im Zusammenhang mit ihrer vom 1. Juli 2000 bis 31. März 2001 dauernden Anstellung bei der Direktion für Entwicklung und Zusammenarbeit und stützte sich auf behauptetes rechtswidriges, persönlichkeitsverletzendes Verhalten von Vorgesetzten während und nach ihrer Anstellung. Nach einem ersten für sie negativen Entscheid des Eidgenössischen Finanzdepartements vom 29. Mai 2008 reichte X._ am 3. August 2008 ein neues Schadenersatz- bzw. Genugtuungsbegehren ein, welches vom Eidgenössischen Finanzdepartement am 19. Dezember 2008 wiederum abgewiesen wurde, soweit darauf einzutreten war. Das Bundesverwaltungsgericht wies am 16. Dezember 2009 eine diesbezügliche Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Mit Urteil 2C_38/ 2010 vom 6. Mai 2010 wies das Bundesgericht die von X._ gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ab, soweit darauf einzutreten war.
Mit Eingabe vom 21. Juni 2010 beantragte X._ dem Bundesgericht die Revision seines Urteils vom 6. Mai 2010; zugleich verlangte sie den Ausstand der Bundesrichter Zünd, Karlen und Donzallaz sowie des Gerichtsschreibers Küng. Nachdem sie zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.-- aufgefordert worden war, beantragte die Gesuchstellerin am 6. Juli 2010 die unentgeltliche Rechtspflege. Am 11. Juli 2010 bestätigte sie Festhalten am Ausstandsbegehren zumindest gegen Bundesrichter Zünd und Gerichtsschreiber Küng. Im Zusammenhang mit dem vorliegenden Verfahren ist weitere Korrespondenz zu verzeichnen, die teilweise durch die Adjunktin des Generalsekretärs beantwortet worden ist.
2. 2.1 Da keiner der von der Gesuchstellerin im Zusammenhang mit dem Ausstandsbegehren erwähnten Gerichtspersonen am vorliegenden Urteil mitwirkt, erübrigt sich die Behandlung des Begehrens; das Ausstandsgesuch ist gegenstandslos.
2.2 Gemäss <ref-law> erwachsen Entscheide des Bundesgerichts am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft. Das Bundesgericht kann darauf nicht zurückkommen, es sei denn, es werde einer der vom Gesetz abschliessend aufgezählten Revisionsgründe geltend gemacht und dargetan. Gemäss <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts unter anderem verlangt werden, wenn: die Vorschriften über den Ausstand verletzt worden sind (lit. a), einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (lit. c) oder das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (lit. d).
Die Gesuchstellerin macht geltend, das Bundesgericht habe ihre im Staatshaftungsverfahren gestellten Rechtsbegehren unvollständig bzw. manipuliert wiedergegeben. Bereits im Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht hatte sie behauptet, das Finanzdepartement habe ihre Vorbringen nicht berücksichtigt, soweit sie das Verhalten ihrer ehemaligen Arbeitgeberin im Zeitraum nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses bemängelt habe. Das Bundesverwaltungsgericht befasste sich in E. 4 seines Urteils vom 16. Dezember 2009 mit diesem Vorwurf, nahm die diesbezüglichen Vorbringen der Gesuchstellerin zur Kenntnis und legte dar, warum es auf die entsprechenden angeblich haftungsbegründenden Umstände im Wesentlichen namentlich prozessual bedingt nicht einzugehen habe. Auch in ihrer Beschwerde ans Bundesgericht machte die Gesuchstellerin dennoch geltend, ihre Rechtsbegehren seien durch das Bundesverwaltungsgericht nicht richtig wiedergegeben worden. In E. 2 seines Urteils vom 6. Mai 2010 ging das Bundesgericht auf diese Rüge ein und verwarf sie unter Hinweis insbesondere auf E. 4 des vorinstanzlichen Urteils. Damit steht fest, dass sämtliche je von der Gesuchstellerin gestellten Schadenersatz- und Genugtuungsbegehren insbesondere auch vom Bundesgericht vollumfänglich zur Kenntnis genommen worden sind. Dass sie im Sachverhaltsteil seines Urteils vom 6. Mai 2010 nicht in vollem Umfang wiedergegeben worden sind, ändert daran nichts und ist unerheblich. Es sind mithin weder einzelne Anträge unbeurteilt geblieben noch hat das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt (Art. 121 lit. c und d BGG). Erst recht fehlt es an einer vorsätzlichen Nichtberücksichtigung von Vorbringen der Gesuchstellerin bzw. an einer "manipulierten" Wiedergabe von Rechtsbegehren und damit an einer voreingenommenen Haltung, die die betroffenen Gerichtspersonen im ersten Verfahren (etwa im Sinne von <ref-law>) zum Ausstand verpflichtet hätte (Revisionsgrund im Sinne von Art. 121 lit. d in Verbindung mit <ref-law>). Ein Revisionsgrund liegt offensichtlich nicht vor.
Soweit auf das Revisionsgesuch überhaupt eingetreten werden kann, ist es offensichtlich unbegründet und ohne Anordnung eines Schriftenwechsels (vgl. <ref-law>) abzuweisen.
2.3 Da sich das Revisionsgesuch als aussichtslos erweist, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen. Entsprechend sind die Gerichtskosten (<ref-law>) der Gesuchstellerin als unterliegender Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Ausstandsgesuch ist gegenstandslos.
2. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
5. Dieses Urteil wird der Gesuchstellerin, dem Eidgenössischen Finanzdepartement und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller