Rechtsverweigerung, hat sich ergeben:
A.- Die Bezirksanwaltschaft I für den Kanton Zürich, vertreten durch Bezirksanwältin A._, führt gegen Y._ und gegen dessen Vater, Rechtsanwalt X._, ein Strafverfahren wegen Verdachts des Betruges und der Widerhandlung gegen das Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer. Mit Eingabe vom 31. August 1999 liess Y._ durch seinen Anwalt beantragen, die gegen ihn hängige Strafuntersuchung sei zu sistieren, bis in dem gegen seinen Vater laufenden Strafverfahren rechtskräftig über die Frage der Befangenheit von Bezirksanwältin A._ entschieden sei. Ausserdem verlangte er Einsicht in verschiedene Akten bzw. die Zustellung derselben an seinen Anwalt. Am 6. September 1999 lehnte die Bezirksanwaltschaft das Gesuch um Sistierung des Strafverfahrens ab, da kein Grund bestehe, die Untersuchungen gegen Martin und X._ nicht im gleichen Zeitpunkt abzuschliessen.
Gegen den Entscheid der Bezirksanwaltschaft rekurrierte Y._, wiederum vertreten durch seinen Anwalt, an die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich. Er beanstandete die Ablehnung des Sistierungsbegehrens und beklagte sich auch darüber, dass die Bezirksanwaltschaft die in der Eingabe vom 31. August 1999 verlangten Akten seinem Anwalt noch nicht zugestellt habe.
Die Staatsanwaltschaft wies mit Entscheid vom 4. November 1999 den Rekurs und die Beschwerde ab und auferlegte die Kosten von Fr. 578. -- dem Rekurrenten.
B.- Y._ reichte am 6. Dezember 1999 gegen diesen Entscheid eine von ihm selbst verfasste staatsrechtliche Beschwerde ein. Er beantragt, der Rekursentscheid der Staatsanwaltschaft sei aufzuheben. Zudem stellte er das Gesuch, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
C.- Die Staatsanwaltschaft beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Bezirksanwaltschaft stellt das Begehren, die Beschwerde sei abzuweisen.
D.- Mit Präsidialverfügung vom 12. Januar 2000 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob es auf die bei ihm eingereichte staatsrechtliche Beschwerde eintreten kann (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
2.- Seit 1. Januar 2000 ist nicht mehr die alte Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft vom 29. Mai 1874 (aBV), sondern die neue Bundesverfassung vom 18. April 1999 (BV) in Kraft (AS 1999 2555).
3.- Der hier in Frage stehende Rekursentscheid der Zürcher Staatsanwaltschaft ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid (§ 409 der Strafprozessordnung des Kantons Zürich). Er schliesst aber das gegen den Beschwerdeführer laufende Strafverfahren nicht ab und stellt daher keinen End-, sondern einen Zwischenentscheid dar. Die Staatsanwaltschaft wies mit diesem Entscheid den Rekurs ab, den der Beschwerdeführer gegen die Ablehnung des Sistierungsbegehrens und gegen die Nichtzustellung der Akten durch die Bezirksanwaltschaft erhoben hatte, und auferlegte ihm die Verfahrenskosten von Fr. 578. --. In der staatsrechtlichen Beschwerde wird vorgebracht, der angefochtene Entscheid verletze die Art. 4 aBV, 31 aBV, 58 aBV und 60 aBV sowie die Art. 6 und 13 EMRK.
a) Art. 87 OG, der sich auf Beschwerden wegen Verletzung von Art. 4 aBV bezieht, wurde mit Bundesgesetz vom 8. Oktober 1999 über prozessuale Anpassungen an die neue Bundesverfassung geändert. Dieses Gesetz ist noch nicht in Kraft getreten (BBl 1999 8680 ff.). Bis zum Inkrafttreten des neuen Art. 87 OG ist die Zulässigkeit einer staatsrechtlichen Beschwerde, welche gestützt auf Art. 4 aBV eingereicht wurde, aufgrund des alten Art. 87 OG zu beurteilen.
b) Nach dieser Vorschrift ist die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 4 aBV gegen letztinstanzliche Zwischenentscheide nur zulässig, wenn sie für den Betroffenen einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge haben. Diese beschränkte Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden gilt nicht für Beschwerden, mit denen neben der Rüge der Verletzung des Art. 4 aBV weitere Rügen erhoben werden, sofern diese selbständige Bedeutung haben und nicht offensichtlich unzulässig oder unbegründet sind (<ref-ruling> E. 1a, 120 E. 2b, je mit Hinweisen).
aa) Der Beschwerdeführer beklagt sich über eine Verletzung der Art. 58 aBV und 6 Ziff. 1 EMRK, mit der Begründung, die Staatsanwaltschaft habe den Rekurs gegen den Entscheid von Bezirksanwältin A._ nicht unvoreingenommen beurteilen können, weil sie "gegenüber einer ihr eigenen Staatsanwältin opportunistisch eingestellt" sei. Die Rüge ist offensichtlich unbegründet, da aus dem Umstand, dass Bezirksanwältin A._ vom Regierungsrat des Kantons Zürich als ordentliche Staatsanwältin mit Amtsantritt am 1. März 2000 gewählt worden ist, nicht gefolgert werden kann, die Staatsanwaltschaft sei deswegen beim Entscheid über den Rekurs gegen eine Verfügung dieser Bezirksanwältin befangen gewesen.
bb) Im Weiteren macht der Beschwerdeführer geltend, die Bezirksanwältin habe durch die Weigerung, die vollständigen Akten seinem im Kanton St. Gallen ansässigen Anwalt zuzustellen, dessen Anspruch auf gleiche Behandlung wie die Kantonsbürger (Art. 60 aBV) sowie dessen Recht auf Berufsausübung (Art. 31 aBV) verletzt. Der Beschwerdeführer, welcher die von ihm selbst verfasste staatsrechtliche Beschwerde ausschliesslich in seinem eigenen Namen eingereicht hat, ist nicht legitimiert, eine Verletzung von Rechten seines Anwaltes zu rügen. Abgesehen davon, sind diese Rügen auch deswegen offensichtlich unzulässig, weil sie im Rekursverfahren vor der Staatsanwaltschaft nicht vorgebracht wurden, und daher insoweit der kantonale Instanzenzug nicht erschöpft worden ist (Art. 86 Abs. 1 OG).
Auch die Vorwürfe, die Bezirksanwältin habe durch die Verweigerung der Akteneinsicht die Garantien von Art. 6 EMRK (Anspruch auf ein faires Verfahren und auf Waffengleichheit) verletzt, und sie habe das Strafverfahren in einer gegen Art. 6 EMRK verstossenden Weise verzögert, wurden im kantonalen Rekursverfahren nicht vorgebracht und sind deshalb im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren unzulässig. Im Übrigen kommt diesen Rügen neben der Berufung auf die aus Art. 4 aBV folgenden Verfahrensgarantien keine selbständige Bedeutung zu.
cc) In Bezug auf den Kostenentscheid beklagt sich der Beschwerdeführer über eine Verletzung des Art. 4 aBV (willkürliche Anwendung von Bestimmungen des kantonalen Rechts) sowie der Art. 6 und 13 EMRK. Die Rüge, es liege ein Verstoss gegen die EMRK vor, ist offensichtlich unbegründet, denn die Staatsanwaltschaft hat dadurch, dass sie dem Beschwerdeführer die Kosten des Rekursverfahrens auferlegte und keine Entschädigung zusprach, weder den Grundsatz des fairen Verfahrens nach Art. 6 EMRK noch das Recht auf Erhebung einer wirksamen Beschwerde bei einer nationalen Instanz gemäss Art. 13 EMRK verletzt.
c) Es ergibt sich somit, dass die Rügen, welche der Beschwerdeführer neben dem Vorwurf der Verletzung von Art. 4 aBV erhebt, entweder keine selbständige Bedeutung haben oder offensichtlich unzulässig oder unbegründet sind. Die Anfechtung des vorliegenden Zwischenentscheids ist daher nur zulässig, wenn er für den Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge hat.
aa) Was den Sachentscheid angeht, so ist bereits in der Präsidialverfügung vom 12. Januar 2000 betreffend die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung ausgeführt worden, dass weder die Ablehnung des Sistierungsbegehrens noch die Verweigerung der Akteneinsicht für den Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge hat. Es ist hier auf die entsprechenden Erwägungen in der genannten Verfügung zu verweisen.
bb) Gegen die in einem Zwischenentscheid getroffene Kostenregelung kann der Betroffene auch dann im Anschluss an den kantonalen Endentscheid staatsrechtliche Beschwerde führen, wenn ihm die Legitimation zur Anfechtung des Endentscheids in der Sache selbst fehlt (<ref-ruling> E. 1b). Der Beschwerdeführer könnte demzufolge gegen die hier in Frage stehende Kostenauflage selbst im Anschluss an einen für ihn günstig lautenden Endentscheid eine staatsrechtliche Beschwerde erheben, die sich ausschliesslich gegen die im Zwischenentscheid vom 4. November 1999 getroffene Kostenregelung zu richten hätte. Auch in diesem Punkt fehlt es somit an einem irreparablen Nachteil.
Nach dem Gesagten kann auf die vorliegende Beschwerde nicht eingetreten werden.
4.- Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG), und er hat keinen Anspruch auf eine Entschädigung (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000. -- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bezirksanwaltschaft I für den Kanton Zürich, Büro 10, und der Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 24. Februar 2000
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: