Faits:
A. A.a Représentée par son tuteur, Pietro Rigamonti, G._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 26 février 2009. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: office AI) a recueilli divers avis médicaux, sur la base desquels le docteur H._, médecin auprès du Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR), a fait état de troubles psychiques (trouble anxiodépressif, troubles cognitifs, de la mémoire et de l'attention, troubles mentaux et du comportement liés à l'utilisation d'alcool) et de troubles somatiques (cirrhose hépatique alcoolique, anémie ferriprive et incontinence urinaire; rapport du 18 juin 2010). A la demande de l'office AI, C._, psychologue, a examiné l'assurée. Se référant à l'avis du docteur A._, spécialiste FMH en neurologie, (du 6 octobre 2010), qui avait diagnostiqué une encéphalopathie hépatique modérée ou toxique, le psychologue a indiqué que l'intéressée souffrait de troubles cognitifs modérés à sévères, touchant l'ensemble des fonctions cognitives et correspondant à une probable démence, qui étaient très certainement la conséquence de l'alcoolisme. La capacité de travail était nulle dans toute activité, alors que selon les questionnaires sur les actes de vie quotidienne remis par l'assurée, elle conservait son autonomie pour les actes de base, mais était assistée pour son ménage et la cuisine par une aide (rapport du 19 octobre 2010).
A l'issue de l'instruction, l'office AI a, par décision du 24 juin 2011, alloué à l'assurée une rente entière d'invalidité, fondée sur un taux d'invalidité de 80 %, à partir du 1er août 2009. En bref, il a considéré que l'incapacité totale de travail dans toute activité était survenue au mois de février 2008, de sorte que le délai de carence était arrivé à échéance en février 2009; compte tenu de la date du dépôt de la demande de rente, le droit à cette prestation ne pouvait naître que six mois plus tard, soit le 1er août 2009.
A.b Entre-temps, le 23 février 2011, G._ a, par l'intermédiaire de son tuteur, requis une allocation pour impotent de l'assurance-invalidité, et précisé les actes pour l'accomplissement desquels elle avait besoin d'aide.
Le 22 février 2011, l'office AI a mis en oeuvre une enquête économique sur le ménage. Selon la note de travail établie par l'enquêtrice B._ (du 28 février 2011), il lui avait été difficile de procéder à une véritable enquête ménagère, au vu de la gravité de l'état de santé de l'assurée. Elle a indiqué qu'après le décès de la mère de l'assurée, en 2006, qui s'était beaucoup investie dans la prise en charge des deux enfants mineurs de sa fille, la situation s'était détériorée. Actuellement, l'assurée n'était absolument plus capable de tenir un ménage, ni de préparer un repas pour ses enfants ou de se prendre en charge; depuis novembre 2010, une gouvernante avait été engagée pour s'occuper de l'intendance et de l'ensemble des tâches ménagères. Dans un rapport du 1er mars 2011, B._ a conclu à la nécessité d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie en tout cas depuis le mois d'avril 2008, l'état de santé nécessitant également des soins permanents, et suggéré la reconnaissance d'une impotence de degré léger dès le mois d'avril 2009 (fin du délai de carence).
Après un échange de correspondances, au cours duquel l'assurée a produit des avis de son médecin traitant, le docteur N._, spécialiste FMH en médecine interne, l'office AI a mis G._ au bénéfice d'une allocation pour impotent de degré faible à domicile, dès le 1er avril 2009 (décision du 17 mai 2011).
B. Saisis de deux recours de l'assurée contre les décisions des 17 mai et 24 juin 2011, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a joint les causes. Statuant le 23 avril 2012, elle a rejeté le recours formé contre la décision du 24 juin 2011 (ch. 5 du dispositif) et admis partiellement celui contre la décision du 17 mai 2011 (ch. 2); annulant partiellement celle-ci (ch. 3), elle a reconnu le droit de G._ à une allocation pour impotent de degré moyen à domicile dès le 1er avril 2009 (ch. 4). Elle a par ailleurs mis un émolument de 500 fr. à la charge de chacune des parties (ch. 6 et 7) et condamné l'office AI à verser à G._ la somme de 1'500 fr. à titre de dépens (ch. 8).
C. G._ et l'office AI ont interjeté recours en matière de droit public contre ce jugement.
Sous suite de frais et dépens, G._ en demande l'annulation et conclut, principalement, à ce que lui soient accordées une rente entière d'invalidité dès le 1er avril 2007 ainsi qu'une allocation pour impotent de degré moyen à domicile dès le 1er avril 2007. Elle demande à titre subsidiaire le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants, respectivement, à titre plus subsidiaire, qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants "après avoir ordonné une expertise judiciaire permettant de déterminer si Madame G._ présentait une invalidité, entière ou partielle, dès le 1er avril 2006".
De son côté, l'office AI conclut à l'annulation du jugement cantonal. Il requiert aussi que l'effet suspensif soit octroyé à son recours.
Les parties se sont déterminées sur leur recours respectif, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) a renoncé à prendre position sur ceux-ci.
D. Par ordonnance du 24 juillet 2012, le Tribunal fédéral a joint les deux causes et admis la requête d'octroi de l'effet suspensif de l'office AI en ce qui concerne l'octroi d'une allocation pour impotent supérieure à l'allocation pour impotent de faible degré à domicile.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2. 2.1 Au regard des conclusions de l'assurée qui requiert notamment le versement de la rente entière d'invalidité à partir du 1er avril 2007, le litige porte tout d'abord sur le point de savoir si cette prestation doit lui être allouée déjà dès cette date (cf. art. 107 al. 1 LTF).
2.2 Constatant que la demande tendant à l'octroi d'une rente avait été déposée le 26 février 2009, la juridiction cantonale a retenu que le début du droit à la rente devait être déterminé en vertu des dispositions de la LAI en vigueur à partir du 1er janvier 2008 (5ème révision de la LAI), même si le cas d'assurance était survenu avant cette date. En application de l'art. 29 al. 1 LAI, elle a fixé au 1er août 2009 le début du droit à la rente de la recourante.
2.3 Faisant valoir une violation de l'art. 48 al. 2 aLAI, la recourante soutient que cette disposition s'applique à son cas dès lors que l'incapacité de travail qui a donné lieu à son invalidité a débuté avant le 1er janvier 2008 comme l'attesteraient plusieurs rapports médicaux au dossier et qu'elle avait été incapable de discernement en raison de maladie mentale en ce qui concerne les conditions du droit à des prestations de l'assurance-invalidité. Elle pourrait donc prétendre celles-ci pour une période rétroagissant jusqu'à cinq ans précédant le dépôt de sa demande, soit en tout cas dès le 1er avril 2007. A cet égard, elle reproche également aux premiers juges de n'avoir pas examiné à partir de quelle date elle avait présenté une incapacité de travail, singulièrement une inaptitude à accomplir les travaux ménagers, en violation de l'art. 6 par. 1 CEDH, alors que ce moment aurait dû être fixé à tout le moins au mois d'avril 2006 (date du diagnostic de cirrhose hépatique posé par le docteur N._). Son droit à une rente entière d'invalidité devrait dès lors rétroagir au 1er avril 2007.
3. 3.1 Sous le titre marginal "Paiement de prestations arriérées", l'art. 48 al. 2 aLAI (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007) prévoit que si l'assuré présente sa demande plus de douze mois après la naissance du droit, les prestations, en dérogation à l'art. 24 al. 1 LPGA, ne sont allouées que pour les douze mois précédant le dépôt de la demande. Elles sont allouées pour une période antérieure si l'assuré ne pouvait pas connaître les faits donnant droit à prestation et qu'il présente sa demande dans les douze mois dès le moment où il en a eu connaissance.
Selon la jurisprudence relative au droit à une allocation pour impotent (arrêt 8C_233/2010 du 7 janvier 2011 consid. 4.2.2, résumé in RSAS 2011 p. 298), même si on peut penser au vu du terme "prestations arriérées" de l'art. 48 aLAI qu'il s'agit d'une prétention autonome, cette disposition ne règle cependant que le point de savoir pendant combien de temps après la naissance du droit aux prestations, celles-ci peuvent encore être exigées, soit la question de la péremption du droit. En vertu de l'art. 48 al. 2, première phrase, aLAI, une prétention que l'assuré n'a pas fait valoir s'éteint douze mois après sa naissance. Le délai de douze mois commence à courir au moment où le droit à chaque prestation particulière de l'assurance-invalidité prend naissance et l'assuré est en mesure de connaître les faits pertinents pour fonder son droit (André Holzer, Verjährung und Verwirkung der Leistungsansprüche im Sozialversicherungsrecht, thèse 2005, p. 91). Aux conditions de l'art. 48 al. 2, deuxième phrase, aLAI cette période de douze mois peut être étendue.
L'art. 48 aLAI a été abrogé au 31 décembre 2007 avec l'entrée en vigueur, au 1er janvier 2008, de la modification de la LAI du 6 octobre 2005 (5ème révision AI); la teneur de la disposition en vigueur depuis le 1er janvier 2012 (6ème révision AI, premier volet) ne s'applique pas en l'espèce (cf. <ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 220). En conséquence de cette abrogation, le délai de péremption prévu par son al. 2 ne vaut plus à partir de cette date. Dès lors, lorsque l'assuré fait valoir des prétentions postérieurement au 31 décembre 2007 (soit à une date où l'art. 48 aLAI ne s'applique plus), les droits qui ont pris naissance antérieurement jusqu'au 1er janvier 2007 se sont éteints au 31 décembre 2007 (date de l'entrée en vigueur du nouveau droit sous déduction de douze mois). En revanche, les prétentions nées postérieurement au 1er janvier 2007 ne sont pas déjà périmées au 1er janvier 2008. Avec l'abrogation de l'art. 48 al. 2 aLAI, c'est l'art. 24 al. 1 LPGA qui s'applique dès le 1er janvier 2008. Selon cette disposition, le droit à des prestations s'éteint cinq ans après la fin du mois pour lequel la prestation était due. En d'autres termes, les prétentions qui ne sont pas encore périmées au 1er janvier 2008 en vertu de l'ancien droit sont soumises à un délai de péremption de cinq ans à partir de cette date (arrêts 8C_233/2010 cité consid. 4.2.3 et 9C_42/2011 du 27 avril 2011 consid. 4.2; cf. aussi l'arrêt 8C_262/2010 du 12 janvier 2011 consid. 3.3 résumé in RSAS 2011 p. 297).
3.2 La recourante invoque son droit à une rente entière d'invalidité à partir du 1er avril 2007. Selon les principes exposés ci-avant, dans l'hypothèse où cette prétention aurait effectivement pris naissance à cette date comme elle le prétend, en raison de l'échéance du délai d'attente d'une année durant laquelle l'assurée aurait présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne ("Anspruchs-entstehung"; art. 28 al. 1 let. b et c LAI; jusqu'au 31 décembre 2007, art. 29 al. 1 let. b aLAI), son droit n'aurait pas été frappé de péremption à l'entrée en vigueur des modifications de la LAI au 1er janvier 2008.
3.3 Ce nonobstant, la recourante ne peut pas prétendre un droit à une rente d'invalidité avant le 1er août 2009, parce que le début du droit ("Anspruchsbeginn") doit être fixé à cette date conformément à l'art. 29 al. 1 LAI. Selon cette disposition, portant spécifiquement sur les prestations de rente, le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'art. 29 al. 1 LPGA, mais pas avant le mois qui suit le 18ème anniversaire de l'assuré. En d'autres termes, la personne assuré n'a droit à l'intégralité des prestations que si elle a présenté sa demande dans le délai de six mois à partir de la survenance de l'incapacité de gain. Si elle le fait plus tard, elle perd son droit pour chaque mois de retard (Michel Valterio, Droit de l'assurance-vieillesse et survivants [AVS] et de l'assurance-invalidité [AI], 2011, n° 2187 ss p. 591).
Depuis l'entrée en vigueur de l'art. 29 al. 1 LAI au 1er janvier 2008, un assuré qui présente sa demande de rente postérieurement à cette date ne peut donc pas réclamer une rente d'invalidité pour la période de douze mois précédant le dépôt de sa demande (voire pour une période antérieure, en vertu de l'art. 48 al. 2 aLAI). Il ne peut plus en effet se fonder sur l'art. 48 aLAI pour sauvegarder ses droits au sens de cette disposition, puisque celle-ci n'est plus applicable au moment du dépôt de sa demande (dans ce sens, Meyer, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 2ème éd., 2010, ad art. 29 LAI p. 361).
Tout au plus, peut-on se demander si la solution adoptée par la pratique administrative, selon laquelle l'art. 29 al. 1 LAI ne s'applique pas dans les cas où le délai d'attente d'une année (cf. art. 28 al. 1 let. b LAI; jusqu'au 31 décembre 2007, art. 29 al. 1 let. b aLAI) a commencé à courir avant le 1er janvier 2008, lorsque la demande de prestations a été déposée le 31 décembre 2008 au plus tard (cf. Lettre-circulaire n° 253 de l'OFAS du 12 décembre 2007), est admissible. Cette règle spéciale, qui tient en quelque sorte compte de la possibilité prévue à l'art. 48 al. 2 aLAI de sauvegarder ses droits par le dépôt d'une demande de prestations dans les douze mois après la naissance du droit à la rente pour une période d'une année après l'abrogation de cette disposition, n'a pas à s'appliquer lorsque la demande de prestations a été présentée postérieurement au 31 décembre 2008, sous peine d'ôter tout effet à l'art. 29 al. 1 LAI (voir aussi, la Lettre-circulaire n° 300 de l'OFAS du 15 juillet 2011).
Dans la mesure où la recourante invoque l'arrêt 9C_583/2010 du 22 septembre 2011, selon lequel l'art. 29 al. 1 LAI n'est pas applicable dans les cas où le délai d'attente a commencé à courir avant le 1er janvier 2008 (consid. 4.1), il convient de préciser que ces considérations ne sont valables que pour autant que la demande de rente ait été déposée jusqu'au 31 décembre 2008, mais non pour les situations où, comme en l'espèce, ladite demande a été présentée postérieurement à cette date (soit une fois écoulés les douze mois prévus par l'art. 48 al. 2, première phrase, aLAI).
3.4 En conséquence de ce qui précède, la juridiction cantonale n'a pas méconnu le droit en fixant au 1er août 2009 le début du droit à la rente entière d'invalidité de l'assurée, en application de l'art. 29 al. 1 LAI. Au regard de cette disposition, qui a pour effet que l'assureur social n'a pas à examiner le droit à la rente pour la période antérieure au dépôt de la demande de prestations, ni pour les premiers six mois qui suivent, les premiers juges ont à juste titre renoncé à vérifier dans ce contexte si l'incapacité déterminante d'effectuer les travaux ménagers remontait à une période antérieure au 1er août 2009, sans qu'il en résulte une violation de l'art. 6 par. 1 CEDH.
4. Compte tenu ensuite des conclusions et motifs de chacun des recours, le litige porte d'une part sur le point de savoir si l'assurée a droit à une allocation pour impotent supérieure à l'allocation pour impotent de faible degré à domicile, telle qu'accordée par l'office AI, celui-ci contestant le degré moyen retenu par la juridiction cantonale. Il a également pour objet la date à partir de laquelle la recourante peut prétendre l'allocation pour impotent, dont elle réclame l'octroi à partir du 1er avril 2007 au lieu du 1er avril 2009. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et les principes jurisprudentiels sur les degrés d'impotence, les conditions d'octroi de l'allocation pour impotent, le début du droit à cette prestation et le principe de la libre appréciation des preuves. Il suffit donc d'y renvoyer.
5. 5.1 En ce qui concerne tout d'abord l'évaluation du degré d'impotence, la juridiction cantonale a constaté, en s'écartant en partie des observations de l'enquêtrice, que l'assurée, qui souffrait de troubles cognitifs modérés à sévères (de type démence), d'une dépendance à l'alcool et d'une double incontinence, avait besoin d'une aide régulière et importante pour accomplir deux actes ordinaires de la vie, à savoir "aller aux toilettes" et "faire sa toilette" (soins du corps). Même si elle était fonctionnellement en mesure d'accomplir elle-même ces actes, la recourante ne le faisait pas ou seulement de manière imparfaite ou inappropriée si elle était livrée à elle-même, de sorte que le besoin d'aide (indirecte) était avéré. Le fait que l'intéressée avait indiqué au psychologue C._ qu'elle conservait son autonomie pour les activités de base n'était pas pertinent vu les troubles cognitifs modérés à sévères mis en évidence par celui-ci, dans son rapport du 19 octobre 2010. Aussi, compte tenu du besoin d'aide pour deux actes ordinaires de la vie, ainsi que de la nécessité d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie (admise par l'administration), les premiers juges ont-ils reconnu le droit de l'assurée à une allocation pour impotent de degré moyen.
5.2 Invoquant une appréciation arbitraire des preuves, l'office recourant reproche à l'autorité cantonale de recours d'avoir retenu - en plus du besoin d'accompagnement durable qu'il ne conteste pas - que l'assurée avait besoin d'une aide importante et régulière pour les deux actes ordinaires de la vie en cause. Il fait valoir que l'assurée a besoin d'aide pour lui rappeler d'accomplir l'ensemble des actes ordinaires de la vie concernés ("se vêtir/se dévêtir", "manger", "soins du corps", "aller aux toilettes", "se déplacer"), pour vérifier qu'elle y a procédé, ou pour faire preuve d'une vigilance particulière en raison du risque de chute. L'intéressée n'aurait en revanche pas besoin d'une aide indépendante du besoin d'accompagnement durable au sens de l'art. 38 al. 1 let. a RAI: elle doit être incitée par un tiers pour aller aux toilettes, alors qu'elle possède les facultés physiques pour accomplir elle-même cet acte, de même qu'elle est en mesure de faire elle-même sa toilette lorsque la consommation d'alcool ne l'en empêche pas en fonction de la quantité ingérée. La condition du caractère important et régulier de l'aide nécessitée pour accomplir les deux actes ordinaires mentionnés ne serait donc pas réalisée.
5.2 Invoquant une appréciation arbitraire des preuves, l'office recourant reproche à l'autorité cantonale de recours d'avoir retenu - en plus du besoin d'accompagnement durable qu'il ne conteste pas - que l'assurée avait besoin d'une aide importante et régulière pour les deux actes ordinaires de la vie en cause. Il fait valoir que l'assurée a besoin d'aide pour lui rappeler d'accomplir l'ensemble des actes ordinaires de la vie concernés ("se vêtir/se dévêtir", "manger", "soins du corps", "aller aux toilettes", "se déplacer"), pour vérifier qu'elle y a procédé, ou pour faire preuve d'une vigilance particulière en raison du risque de chute. L'intéressée n'aurait en revanche pas besoin d'une aide indépendante du besoin d'accompagnement durable au sens de l'art. 38 al. 1 let. a RAI: elle doit être incitée par un tiers pour aller aux toilettes, alors qu'elle possède les facultés physiques pour accomplir elle-même cet acte, de même qu'elle est en mesure de faire elle-même sa toilette lorsque la consommation d'alcool ne l'en empêche pas en fonction de la quantité ingérée. La condition du caractère important et régulier de l'aide nécessitée pour accomplir les deux actes ordinaires mentionnés ne serait donc pas réalisée.
5.3 5.3.1 L'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie au sens de l'art. 38 RAI ne comprend ni l'aide de tiers pour les six actes ordinaires de la vie, ni les soins ou la surveillance personnelle. Il représente bien plutôt une aide complémentaire et autonome, pouvant être fournie sous forme d'une aide directe ou indirecte à des personnes atteintes dans leur santé physique, psychique ou mentale (<ref-ruling>). Cette aide intervient lorsque l'assuré ne peut pas en raison d'une atteinte à la santé vivre de manière indépendante sans l'accompagnement d'une tierce personne (art. 38 al. 1 let. a RAI), faire face aux nécessités de la vie et établir des contacts sociaux sans l'accompagnement d'une tierce personne (let. b), ou éviter un risque important de s'isoler durablement du monde extérieur (let. c). Dans la première éventualité, l'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie doit permettre à la personne concernée de gérer elle-même sa vie quotidienne. Il intervient lorsque la personne nécessite de l'aide pour au moins l'une des activités suivantes: structurer la journée, faire face aux situations qui se présentent tous les jours (p. ex. problèmes de voisinage, questions de santé, d'alimentation et d'hygiène, activités administratives simples), tenir son ménage (instructions et surveillance/contrôle), conformément au ch. 8050 de la Circulaire concernant l'invalidité et l'impotence de l'assurance-invalidité ([CIIAI]; dans sa teneur en vigueur dès le 1er janvier 2009 [inchangée dans la version en vigueur dès le 1er janvier 2011], dont la conformité à la loi et à la Cst. a été admise [<ref-ruling>]). Dans la seconde éventualité (accompagnement pour les activités hors du domicile), l'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie doit permettre à la personne assurée de quitter son domicile pour certaines activités ou rendez-vous nécessaires, tels les achats, les loisirs ou les contacts avec les services officiels, le personnel médical ou le coiffeur (arrêt 9C_28/2008 cité consid. 3).
5.3.2 En ce qui concerne les deux actes ordinaires de la vie (sur les six actes visés par l'art. 37 RAI) en cause, il y a impotence en relation avec l'acte "faire sa toilette" (<ref-ruling> consid. 2c p. 91) lorsque l'assuré ne peut effectuer lui-même un acte ordinaire de la vie quotidiennement nécessaire du domaine de l'hygiène corporelle (se laver, se coiffer, se raser, prendre un bain ou se doucher); pour l'acte "aller aux toilettes" (<ref-ruling> consid. 6 p. 93), il y a impotence lorsque l'assuré a besoin de l'aide d'un tiers pour vérifier son hygiène, se rhabiller ou l'aider pour s'asseoir ou se relever, ou encore lorsqu'il faut procéder à une manière inhabituelle d'aller aux toilettes (p. ex. apporter le vase de nuit et le vider, apporter un urinal, l'ajuster pour l'assuré, apporter une aide régulière pour uriner).
5.3.3 Comme le fait valoir à juste titre l'office recourant, dans les situations où l'assuré nécessite non seulement une aide pour accomplir les actes ordinaires de la vie, mais aussi un accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie, les éléments de fait qui conduisent à admettre le besoin d'une assistance pour effectuer certains actes ordinaires de la vie ne peuvent pas être retenus en même temps pour justifier le besoin d'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie au sens de l'art. 38 RAI. Comme l'a précisé la jurisprudence exposée ci-avant (consid. 5.3.1 supra), il n'est pas admissible de prendre certaines aides en considération à double titre, puisque l'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie constitue une aide complémentaire et autonome par rapport à l'aide pour accomplir les six actes ordinaires de la vie.
En l'espèce, la juridiction cantonale a admis la nécessité d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie, sans toutefois motiver son point de vue ou l'étayer par des constatations de fait y relatives. A défaut de telles constatations, on ignore sur quels éléments de fait elle s'est fondée pour reconnaître que l'assurée a besoin d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie. Il n'est donc pas possible d'examiner si les problèmes d'hygiène rencontrés par l'assurée - reconnus par les premiers juges comme empêchements d'accomplir d'une manière conforme aux moeurs l'acte "aller aux toilettes" et "faire sa toilette" - ont, ou n'ont pas, été pris en considération une nouvelle fois au titre de l'aide nécessitée par l'intéressée pour faire face aux questions d'hygiène se posant quotidiennement, comme le prétend l'office AI. Dans la mesure où l'autorité cantonale de recours aurait admis la nécessité de l'accompagnement au sens de l'art. 38 RAI en raison du besoin de rappeler à l'assurée qu'elle doit se laver ou aller aux toilettes, sans prendre en compte d'autres éléments justifiant l'impossibilité pour celle-ci de gérer seule sa vie quotidienne, son raisonnement serait contraire au droit.
En l'absence de constatations de fait suffisantes dans le jugement entrepris (consid. 1 supra), le Tribunal fédéral n'est pas en mesure d'examiner la conformité au droit des considérations de la juridiction cantonale sur le droit de la recourante à une allocation pour impotent de degré moyen. Il convient dès lors de lui renvoyer la cause pour qu'elle statue à nouveau sur ce point, après avoir établi les faits y relatifs. Compte tenu du renvoi à l'instance inférieure, qui implique une annulation (partielle) de son jugement, il n'y a pas lieu de se prononcer, pour le surplus, sur l'argumentation des parties quant au début du droit à l'allocation pour impotent, celui-ci devant être déterminé à nouveau par la juridiction cantonale dans le prononcé à venir sur ladite prestation.
6. Il résulte de ce qui précède que le recours de l'office AI est partiellement bien fondé, en tant qu'il vise à l'annulation du jugement entrepris. Les conclusions de l'assurée tendant à la reconnaissance de son droit à une rente entière d'invalidité à partir du 1er avril 2007 sont mal fondées, alors que celles, subsidiaires, portant sur l'annulation du jugement entrepris et le renvoi de la cause à l'autorité précédente, doivent partiellement être admises.
7. Vu l'issue de la procédure, il se justifie de mettre les frais y afférents pour un cinquième à la charge de l'office AI et pour quatre cinquièmes à la charge de l'assurée. La recourante, représentée par un avocat, qui lui a été désigné comme tuteur, a droit de la part de l'office AI à une indemnité de dépens réduite au regard de ses conclusions (art. 68 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 4 p. 345).
Compte tenu, par ailleurs, de l'annulation (partielle) du jugement entrepris et du renvoi de la cause à la juridiction cantonale, celle-ci devra se prononcer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale. Le Tribunal fédéral n'a donc pas à statuer sur le grief invoqué à titre subsidiaire par l'office recourant portant sur sa condamnation à verser à la recourante une indemnité de dépens de 1'500 fr.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les recours sont partiellement admis. Le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 23 avril 2012 est annulé en tant qu'il porte sur l'octroi d'une allocation pour impotent supérieure à l'allocation pour impotent de faible degré à domicile dès le 1er avril 2009 et sur les frais et dépens pour la procédure cantonale (ch. 3, 4 et 6 à 8 du dispositif). La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Les recours sont rejetés pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 400 fr. à la charge de la recourante et pour 100 fr. à la charge de l'office recourant.
3. L'office AI versera à la recourante la somme de 1'000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 31 août 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
La Greffière: Moser-Szeless