hat sich ergeben:
A.-
Der Schweizerische Verband für künstliche Besamung
(SVKB; im Folgenden: der Verband) erhielt am 18. Juni 1996
vom Bundesamt für Landwirtschaft gestützt auf die Art. 17
ff. der Verordnung vom 29. August 1958 über die Rindvieh-
und Kleinviehzucht (Tierzuchtverordnung, TZV; SR 916.310,
AS 1995 2033) eine bis zum 30. September 2006 und in der
ganzen Schweiz gültige Bewilligung für die Gewinnung, Aufbe-
reitung, Lagerung und den Vertrieb von Samen von Stieren und
Ebern. Diese Verordnung wurde ersetzt durch die Verordnung
vom 28. Januar 1998 über Rindvieh- und Kleinviehzucht
(AS 1998 691). Entsprechend wurde die Bewilligung vom
16. Juni 1996 mit Verfügung vom 17. März 1998 angepasst. Die
Bewilligung für Organisationen für die künstliche Besamung
(so genannte "KB-Organisationen") wird in Art. 32 ff. der
Verordnung geregelt; diese ist mittlerweilen ersetzt worden
durch die Verordnung über die Tierzucht vom 7. Dezember 1998
(SR 916.310); dort ist die "Bewilligungspflicht für KB-Orga-
nisationen" in den Art. 15 ff. geregelt. Die künstliche Be-
samung unter Einschluss der betreffenden Bewilligungspflicht
hingegen wird in Art. 50 und speziell in Art. 51 ff. der
Tierseuchenverordnung vom 27. Juni 1995 (TSV; SR 916.401)
geordnet.
B.-
Im Jahre 1997 beabsichtigte der Verband, neben der
herkömmlichen Vornahme der Besamung von Nutztieren durch die
Besamungstechniker eine neue Dienstleistung anzubieten. In
seiner Ankündigung vom Juni 1997 hiess es unter anderem:
"Als Tierbesitzer sind Sie trotz bestem Betriebsma-
nagement regelmässig damit konfrontiert, dass ein-
zelne Tiere eine schwache oder undeutliche Brunst
zeigen. Der Entschluss für die Durchführung einer
Besamung ist oftmals nur sehr schwer zu treffen.
Mit einem Voruntersuch des Tieres können Ihnen un-
sere Besamer dazu eine wertvolle Hilfestellung an-
bieten.
Der Voruntersuch umfasst die äussere Beurteilung
des Tieres, sowie eine umfassende Untersuchung der
Geschlechtsorgane. Je nach Bedarf kann der Vorun-
tersuch mit dem Milchprogestorontest 'Hormonost'
ergänzt werden. Dank dem Voruntersuch ist es mög-
lich, Besamungen mit geringen Erfolgsaussichten
nicht durchzuführen und damit Kosten zu sparen.
Trächtige und nicht brünstige Tiere werden erkannt
und von der Besamung ausgeschlossen. Bei Störungen
am Geschlechtsapparat des Tieres wird der Beizug
des Bestandestierarztes empfohlen."
Das Veterinäramt des Kantons Thurgau (im Folgenden:
Veterinäramt) erhielt Kenntnis von diesem Vorhaben und rea-
gierte darauf mit zwei Briefen, in welchen es den Standpunkt
vertrat, die angebotenen Handlungen seien tierärztliche
Verrichtungen und daher den Tierärzten vorbehalten; den Be-
samungstechnikern seien solche Handlungen verboten. Es er-
suchte daher den Verband, den geplanten Testmarkt sofort zu
annullieren. Mit Schreiben vom 26. Juni 1997 teilte der Ver-
band dem Veterinäramt mit, die Durchführung des Testmarktes
werde nicht verschoben.
C.-
Am 1. Juli 1997 erliess das Veterinäramt einen so
genannten "tierseuchenpolizeilichen Entscheid" in Form einer
Verfügung mit dem folgenden Wortlaut:
"1. Der vom Schweizerischen Verband für künstliche
Besamung (SVKB) angebotene Voruntersuch sowie
die angebotene Überprüfung der Besamungstaug-
lichkeit inklusive die umfassende Untersuchung
der Geschlechtsorgane und das Diagnostizieren
geschlechtskranker Tiere sind Tätigkeiten, die
Tierärzten mit tierärztlicher Berufsausübungsbe-
willigung vorbehalten sind.
2. Die Bewilligung der Besamungstechniker umfasst
die vom SVKB im Rahmen des "Testmarktes" neu an-
gebotenen Leistungen nicht.
3. Die im Kanton Thurgau tätigen Besamungstechniker
werden angewiesen, die von ihren Bewilligungen
nicht umfassten Tätigkeiten zu unterlassen. An-
dernfalls muss mit einem Entzug der Bewilligung
gerechnet werden.
4. Der SVKB wird angewiesen, den Testmarkt zu an-
nullieren und insbesondere darauf zu verzichten,
die Besamungstechniker zu Tätigkeiten aufzufor-
dern, welche gegen ihre Bewilligungen und gegen
die Tierschutz- und Gesundheitsgesetzgebung ver-
stossen.
5. Der SVKB wird angewiesen, die von ihm über den
Testmarkt orientierten Landwirte, Besamungstech-
niker und Tierärzte in geeigneter Form über die
Annullierung des Testmarktes zu informieren.
6. Einem allfälligen Rekurs wird die aufschiebende
Wirkung entzogen."
Gegen diese Verfügung rekurrierte der Verband am
22. Juli 1997 beim Departement für Inneres und Volkswirt-
schaft des Kantons Thurgau (im Folgenden: Departement).
Nachdem dieses das Begehren um Wiederherstellung der auf-
schiebenden Wirkung am 1. September 1997 abgewiesen hatte,
beendete der Verband den Testmarkt im Kanton Thurgau; mit
Schreiben vom 24. September 1997 orientierte er die Tierärz-
te des Kantons Thurgau sowie die Besamungstechniker im Test-
gebiet darüber. Mit Schreiben vom 29. September 1997 stellte
der Kantonstierarzt den im Kanton Thurgau tätigen SVKB-Besa-
mungstechnikern sowie den freien Besamungstechnikern neue,
ab sofort gültige Besamungsbewilligungen zu, welche die ur-
sprünglichen ersetzten.
Am 18. März 1998 wies das Departement den Rekurs
ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsge-
richt des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 2. September
1998 ab.
D.-
Dagegen hat der Verband am 27. November 1998 beim
Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben. Er be-
antragt, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben
und festzustellen, dass die von ihm angebotene Überprüfung
der Besamungstauglichkeit keine den Tierärzten vorbehaltene
Tätigkeit darstelle.
Das Departement für Inneres und Volkswirtschaft und
das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Eidge-
nössische Volkswirtschaftsdepartement schliessen auf Abwei-
sung der Beschwerde.
E.-
Mit Verfügung vom 17. März 1999 hat der Präsident
der II. öffentlichrechtlichen Abteilung das Gesuch des Ver-
bands um Vereinigung des vorliegenden Verfahrens mit dem den
Kanton Zürich betreffenden Verfahren (2A.74/1999) abgewie-
sen; ebenfalls abgewiesen hat er das Gesuch um Sistierung
des Verfahrens.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-
a) Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der bei
ihm eingereichten Beschwerden von Amtes wegen und mit freier
Kognition (<ref-ruling> E. 1a S. 501, mit Hinweisen).
b) Das Bundesgericht beurteilt letztinstanzlich
Verwaltungsgerichtsbeschwerden gegen Verfügungen, die sich
auf öffentliches Recht des Bundes stützen oder stützen soll-
ten (Art. 97 OG in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling>
E. 1b S. 277). Im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwer-
de sind auch auf unselbständiges kantonales Ausführungsrecht
zum Bundesrecht gestützte Anordnungen zu überprüfen sowie
auf übrigem kantonalem Recht beruhende Anordnungen, die ei-
nen hinreichend engen Sachzusammenhang mit der im Rahmen der
Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu beurteilenden Frage des
Bundesverwaltungsrechts aufweisen. Soweit dagegen dem ange-
fochtenen Entscheid selbständiges kantonales Recht ohne den
genannten Sachzusammenhang zum Bundesrecht zugrunde liegt,
steht ausschliesslich die staatsrechtliche Beschwerde zur
Verfügung (<ref-ruling> E. 1b S. 277, mit Hinweis).
c) Gemäss Art. 51 Abs. 1 lit. a und c in Verbindung
mit Art. 6 lit. b der Tierseuchenverordnung vom 27. Juni
1995 (TSV; SR 916.401) regelt das Bundesamt für Veterinär-
wesen die Ausbildung der Besamungstechniker und stellt den
Fähigkeitsausweis aus. Aufgrund dieses Fähigkeitsausweises
erteilt der Kanton die Bewilligung zum Besamen an die Besa-
mungstechniker (Art. 51 Abs. 2 lit. a TSV). Der Kantonstier-
arzt überwacht die künstliche Besamung in seuchenpolizeili-
cher Hinsicht (Art. 301 Abs. 1 lit. e TSV).
Gemäss Art. 2 Abs. 3 des Tierschutzgesetzes vom
9. März 1978 (TSchG; SR 455) darf niemand ungerechtfertigt
einem Tier Schmerzen, Leiden oder Schäden zufügen oder es in
Angst versetzen.
Das Recht des Kantons Thurgau enthält keine Bestim-
mungen, die sich ausdrücklich auf die Tätigkeit des Besa-
mungstechnikers beziehen. Hingegen statuiert § 1 Ziff. 1 der
Verordnung des Regierungsrates vom 16. Juni 1987 über Berufe
des Gesundheitswesens (GGV) eine Bewilligungspflicht für die
Berufsausübung, wenn es um das Vorbeugen und Behandeln von
Gesundheitsstörungen an Mensch und Tier geht.
Im vorliegenden Fall geht es darum, ob die unabhän-
gig von einer Besamung vorgenommene "Voruntersuchung", na-
mentlich die "umfassende Untersuchung der Geschlechtsorgane"
zwecks Überprüfung der Besamungstauglichkeit, nach Massgabe
der kantonalrechtlichen gesetzlichen Regelung bewilligungs-
pflichtig ist. Damit stützt sich der angefochtene Entscheid,
der feststellt, dass die neu angebotenen Dienstleistungen
von der Bewilligung zum Besamen nicht erfasst werden, auf
selbständiges kantonales Recht, womit die vorliegend einge-
reichte Verwaltungsgerichtsbeschwerde als staatsrechtliche
Beschwerde entgegenzunehmen ist.
2.-
a) Der Verband hat den Testmarkt annulliert, die
Tierärzte des Kantons Thurgau und die Besamungstechniker im
Testgebiet darüber informiert sowie sichergestellt, dass
auch die betroffenen Landwirte darüber orientiert werden.
Damit sind die Ziff. 4 und 5 der Verfügung des Veterinäram-
tes vom 1. Juli 1997 schon vor dem Entscheid des Departe-
ments gegenstandslos geworden. Sie - bzw. ihre Bestätigung
durch die kantonalen Rechtsmittelinstanzen - können daher
nicht mehr Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sein.
b) aa) Ziff. 3 der dem Verfahren zugrunde liegenden
Verfügung vom 1. Juli 1997 richtet sich nicht an den Ver-
band, sondern an die Besamungstechniker. An der Anfechtung
dieser Ziffer besteht jedoch kein aktuelles und praktisches
Interesse, da sie keine selbständige Bedeutung hat: nachdem
das Veterinäramt in Ziff. 1 und 2 der Verfügung bestimmte
Tätigkeiten als den Tierärzten vorbehalten und als von der
Bewilligungspflicht der Besamungstechniker nicht umfasst
festgestellt hat, versteht es sich von selbst, dass diese
Tätigkeiten von den Besamungstechnikern zu unterlassen sind.
Soweit mit der staatsrechtlichen Beschwerde auch Ziff. 3 an-
gefochten wird, ist daher darauf nicht einzutreten.
bb) Ziff. 1 und 2 der Verfügung vom 1. Juli 1997
sind Feststellungsverfügungen, welche im Resultat festlegen,
dass bestimmte Tätigkeiten den Besamungstechnikern nicht er-
laubt sind. Hier fragt sich, ob der Verband, als "Anbieter"
der entsprechenden Leistungen, überhaupt zur Erhebung der
Beschwerde in eigenem Namen legitimiert ist. Da diese beiden
Feststellungsverfügungen die Tätigkeit der Besamungstechni-
ker anvisieren, fragt sich zudem, ob der Verband legitimiert
ist, im Namen der Besamungstechniker staatsrechtliche Be-
schwerde zu erheben. Diese Fragen können jedoch offen blei-
ben, da die Beschwerde ohnehin abzuweisen ist.
c) Gemäss Ziff. 2 der Verfügung des Veterinäramtes
"umfasst die Bewilligung der Besamungstechniker die vom SVKB
im Rahmen des 'Testmarktes' neu angebotenen Leistungen
nicht".
Die zum Zeitpunkt dieser Verfügung - die dem vor-
liegenden Verfahren zugrunde liegt - geltende Bewilligung
bzw. der hier interessierende Teil ist im Rekursentscheid
des Departements vom 18. März 1998 wiedergegeben:
"Es ist ihm [sc. dem Besamungstechniker] untersagt,
ausser der Besamungstätigkeit irgendwelche tier-
ärztlichen Verrichtungen wie Untersuchungen und Be-
handlungen von Tieren auszuüben oder Medikamente
abzugeben.
Diese Bewilligung kann widerrufen werden, wenn sich
der Bewilligungsinhaber Verstösse gegen tierseu-
chenpolizeiliche Vorschriften zu Schulden kommen
lässt, die auferlegten Bedingungen nicht einhält
oder den Beruf nicht mehr ausübt."
Schon am 29. September 1997 - und damit vor dem er-
wähnten Rekursentscheid - hatte jedoch das Veterinäramt
neue, gemäss Schreiben vom selben Tag "sofort gültige" Be-
willigungen für die Besamungstechniker herausgegeben. Damit
ist aber das aktuelle und praktische Interesse des Beschwer-
deführers an der Prüfung der Vereinbarkeit der von ihm neu
angebotenen Dienstleistungen mit der alten Bewilligung erlo-
schen; soweit Ziff. 2 der Verfügung des Departements bzw.
deren Bestätigung durch die kantonalen Instanzen betreffend,
ist daher auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht einzu-
treten.
3.-
a) Nach ständiger Rechtsprechung ist die staats-
rechtliche Beschwerde grundsätzlich rein kassatorischer Na-
tur; davon werden jedoch Ausnahmen gemacht, wenn die blosse
Aufhebung des angefochtenen Entscheids nicht geeignet ist,
die verfassungsmässige Lage wieder herzustellen (BGE 123 I
87 E. 5 S. 96, mit Hinweis). Ob sich hier eine solche Aus-
nahme rechtfertigt und somit auf die Begehren des Beschwer-
deführers - soweit mehr verlangt wird als die Aufhebung des
angefochtenen Entscheids - einzutreten ist, kann offen blei-
ben, da die Beschwerde ohnehin abzuweisen ist.
b) Die staatsrechtliche Beschwerde muss die wesent-
lichen Tatsachen und eine kurzgefasste Darlegung darüber
enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche
Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid ver-
letzt worden sind (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Das Bundesge-
richt untersucht nicht von Amtes wegen, ob ein kantonaler
Hoheitsakt verfassungswidrig ist, sondern prüft nur rechts-
genügend vorgebrachte und, soweit möglich, belegte Rügen
(<ref-ruling> E. 2 S. 3/4; <ref-ruling> E. 1d S. 201). Der Be-
schwerdeführer hat sich mit der Begründung im angefochtenen
Entscheid im Einzelnen auseinander zu setzen und zu erklä-
ren, welches geschriebene oder ungeschriebene verfassungs-
mässige Individualrecht verletzt worden sein soll. Auf bloss
allgemein gehaltene, appellatorische Kritik tritt das Bun-
desgericht nicht ein (<ref-ruling> E. b). Wird eine Ver-
letzung des Willkürverbots geltend gemacht, kann der Be-
schwerdeführer sich nicht damit begnügen, den angefochtenen
Entscheid einfach als falsch oder willkürlich zu bezeichnen
und ihm seine Sicht der Dinge gegenüberzustellen; er hat
vielmehr anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen
darzulegen, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten
und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 4b
S. 11/12).
4.-
Unter dem Schutz des - hier noch anwendbaren -
Art. 31 aBV steht jede gewerbsmässig ausgeübte, privatwirt-
schaftliche Tätigkeit, die der Erzielung eines Gewinnes oder
eines Erwerbseinkommens dient. Art. 31 aBV behält jedoch in
Abs. 2 kantonale Bestimmungen über die Ausübung von Handel
und Gewerben vor. Solche Einschränkungen können dem Schutz
der öffentlichen Ordnung, der Gesundheit, Sittlichkeit und
Sicherheit oder von Treu und Glauben im Geschäftsverkehr
dienen. Unzulässig sind wirtschaftspolitische oder standes-
politische Massnahmen, die den freien Wettbewerb behindern,
um gewisse Gewerbezweige oder Bewirtschaftungsformen zu si-
chern oder zu begünstigen. Beschränkungen der Handels- und
Gewerbefreiheit bedürfen sodann einer gesetzlichen Grund-
lage, müssen durch ein überwiegendes öffentliches Interesse
gerechtfertigt sein und den Grundsatz der Verhältnismässig-
keit sowie der Rechtsgleichheit wahren (<ref-ruling> E. 3a,
mit Hinweisen).
Die vom Beschwerdeführer neu angebotene Dienstleis-
tung stellt - nicht anders als die Besamungstätigkeit auch -
eine private, auf Erwerb gerichtete und damit unter den
Schutz der Handels- und Gewerbefreiheit fallende Tätigkeit
dar; die - letztinstanzlich vom Verwaltungsgericht bestä-
tigte - Verfügung des Veterinäramtes, wonach bestimmte vom
Beschwerdeführer angebotene Tätigkeiten den Tierärzten vor-
behalten sind, greift in die Handels- und Gewerbefreiheit
ein.
5.-
a) Der Beschwerdeführer bringt vor, das Verwal-
tungsgericht sei seiner Ansicht, wonach § 1 Ziff. 1 GGV
keine genügende gesetzliche Grundlage für die Handels- und
Gewerbefreiheit des Verbands darstelle, gefolgt.
Das Verwaltungsgericht hat festgehalten, dass dem
Beschwerdeführer insoweit zuzustimmen sei, als diese Norm
keinen Vorrang der Ärzte gegenüber den anderen Berufen des
Gesundheitswesens statuiere; sie unterstelle lediglich ver-
schiedene Tätigkeiten einer Bewilligung für die Berufsaus-
übung. Dass das Verwaltungsgericht aufgrund dieser Überle-
gung effektiv zum Schluss gekommen ist, § 1 Ziff. 1 GGV
stelle keine genügende gesetzliche Grundlage für einen Ein-
griff in die Handels- und Gewerbefreiheit dar, geht aus der
Formulierung des angefochtenen Entscheids hingegen nicht
hervor; immerhin hält das Verwaltungsgericht am Schluss sei-
ner Urteilsbegründung zusammenfassend fest, dass die vom
Verband angebotene "umfassende Untersuchung der Geschlechts-
organe" sowie die "frühere Erkennung geschlechtskranker Tie-
re" ohne weiteres unter § 1 GGV subsumiert werden könnten.
Damit hat es die Annahme, die streitige Verfügung lasse sich
(auch) auf diese Bestimmung stützen, jedenfalls nicht aus-
drücklich verworfen.
Zwar geht das Verwaltungsgericht in der Folge davon
aus, dass <ref-law>, wonach niemand ungerechtfer-
tigt einem Tier Schmerzen, Leiden oder Schäden zufügen oder
es in Angst versetzen darf, als gesetzliche Grundlage für
einen Eingriff in die Handels- und Gewerbefreiheit genügt.
Wie es sich damit verhält, kann jedoch dahingestellt blei-
ben, falls sich ergibt, dass jedenfalls § 1 Ziff. 1 GGV eine
genügende gesetzliche Grundlage für den besagten Grund-
rechtseingriff bildet.
b) Grundsätzlich beschränkt sich die Kognition des
Bundesgerichts hinsichtlich der Auslegung und Anwendung kan-
tonalen Gesetzes- und Verordnungsrechts auf eine Willkürprü-
fung (<ref-ruling> E. 2b S. 261; <ref-ruling> E. 2a S. 177,
mit Hinweisen). Ein schwerer Eingriff in die Handels- und
Gewerbefreiheit, der eine Prüfung mit freier Kognition er-
lauben würde, liegt entgegen der Auffassung des Beschwerde-
führers nicht vor: Mit dem vorliegenden Eingriff wird den
Besamungstechnikern ihre ursprüngliche Berufsausübung in
keiner Weise verunmöglicht; es wird ihnen einzig verboten,
bestimmte, darüber hinausgehende Tätigkeiten auszuführen.
c) § 1 Ziff. 1 GGV unterstellt das Vorbeugen und
Behandeln von Gesundheitsstörungen an Mensch und Tier für
die Berufsausübung einer Bewilligungspflicht.
Gemäss Ziff. 1 der Verfügung des Veterinäramtes vom
1. Juli 1997 sind der vom Verband angebotene Voruntersuch
sowie die angebotene Überprüfung der Besamungstauglichkeit
inklusive die umfassende Untersuchung der Geschlechtsorgane
und das Diagnostizieren geschlechtskranker Tiere Tätigkei-
ten, die Tierärzten mit tierärztlicher Berufsausübungsbewil-
ligung vorbehalten sind.
Bevor geprüft werden kann, ob Ziff. 1 der Verfügung
des Veterinäramtes bzw. deren Bestätigung durch die kantona-
len Rechtsmittelinstanzen ohne Willkür unter § 1 Ziff. 1 GGV
subsumiert werden kann, ist zu klären, welche Handlungen
durch diese Feststellungsverfügung überhaupt als den Tier-
ärzten vorbehalten bezeichnet werden. Zu diesem Punkt hat
sich das Verwaltungsgericht auf den Entscheid des Departe-
mentes gestützt. Dieses ist zum Schluss gekommen, dass das
Veterinäramt die mit der neuen Dienstleistung einzuführenden
Tätigkeiten nur insoweit beanstandet, als diese umfassende
Untersuchungen der Geschlechtsorgane und damit insbesondere
auch die rektale Ovarienkontrolle sowie Untersuchungen auf
Trächtigkeit bei anderen als zur Besamung angemeldeten Tie-
ren betreffen.
Diese Tätigkeiten haben klarerweise diagnostischen
Charakter; deren Subsumtion unter den Begriff "Vorbeugen und
Behandeln von Gesundheitsstörungen" ist, wenn auch nicht
ganz unproblematisch, so doch zumindest nicht willkürlich:
Eine seriöse Diagnose ist die Voraussetzung für die
zielgerichtete Behandlung einer Gesundheitsstörung; es wäre
nicht sinnvoll, einerseits nur gerade das Vorbeugen und Be-
handeln im engeren Sinne ausschliesslich ausgebildeten Fach-
leuten zu erlauben, hingegen Untersuchungen, die zu einer
Diagnose führen können, davon auszunehmen. Es kann daher
ohne Willkür davon ausgegangen werden, dass die von Ziff. 1
der Verfügung des Veterinäramtes betroffenen Tätigkeiten von
§ 1 Ziff. 1 GGV miterfasst werden.
6.-
Ob das willkürfrei ausgelegte kantonale Recht mit
dem angerufenen Grundrecht vereinbar ist, prüft das Bundes-
gericht frei (<ref-ruling> E. 4a S. 32, mit Hinweis).
a) Das öffentliche Interesse an der Beschränkung
der beruflichen Tätigkeit des Besamungstechnikers ergibt
sich einerseits aus tierseuchenpolizeilichen Überlegungen
(vgl. Art. 69 aBV bzw. Art. 118 der neuen Bundesverfassung,
BV) und anderseits aus Gründen des Tierschutzes (vgl.
Art. 25bis aBV bzw. <ref-law>), insbesondere aber aus
Art. 2 Abs. 3 des eidgenössischen Tierschutzgesetzes, wonach
niemand ungerechtfertigt einem Tier Schmerzen, Leiden oder
Schäden zufügen oder es in Angst versetzen darf.
In diesem Sinn verlangt das öffentliche Interesse,
dass die heikleren Manipulationen, welche die Tiere im oben
beschriebenen Sinn gefährden können, möglichst den dafür
ausgebildeten Tierärzten vorbehalten bleiben.
b) Die Massnahme, die betreffenden Tätigkeiten den
Tierärzten vorzubehalten, ist zur Wahrung dieses öffentli-
chen Interesses zweifellos geeignet. Sie ist aber auch er-
forderlich: Entgegen der Argumentation des Beschwerdeführers
genügt eine Verpflichtung des Besamungstechnikers, nach der
"umfassenden Untersuchung der Geschlechtsorgane" einen Tier-
arzt beizuziehen, wenn der Verdacht besteht, dass der Zu-
stand des Tieres tierärztliche Abklärung und Behandlung
erfordert, gerade nicht: Entgeht dem Besamungstechniker etwa
eine ernsthafte, möglicherweise übertragbare Krankheit, so
kann sich der Tierhalter aufgrund dieser Untersuchung in ei-
ner falschen Sicherheit wiegen. Der damit verbundenen Gefahr
kann nicht anders als damit begegnet werden, dass den Besa-
mungstechnikern die umfassende Untersuchung der Geschlechts-
organe nicht erlaubt wird. Dass insbesondere die rektale
Ovarienkontrolle den Tierärzten vorbehalten werden muss, ist
erforderlich namentlich wegen der im Departementsentscheid -
auf den sich das Verwaltungsgericht stützt - beschriebenen
Gefahr, dass bei einem brünstigen Tier ein im Begriffe der
Ovulation stehender randständiger Follikel am Ovar platzen
könnte.
Dass der Kanton Graubünden anscheinend eine von
derjenigen des Kantons Thurgau abweichende gesetzliche Re-
gelung kennt, ändert an dieser Beurteilung nichts. Die Si-
cherheit von Mensch und Tier geht zudem dem Interesse des
Beschwerdeführers am Anbieten einer zusätzlichen Dienstleis-
tung und damit einer neuen Einkommensquelle eindeutig vor.
Damit ist der Eingriff in die Handels- und Gewerbe-
freiheit verhältnismässig; es ist entgegen der Auffassung
des Beschwerdeführers auch nicht ersichtlich, inwieweit der
angefochtene Entscheid an einem inneren Widerspruch leiden
sollte.
7.-
Der Beschwerdeführer rügt, ihm sei das rechtliche
Gehör verweigert worden, da sich das Verwaltungsgericht über
weite Strecken damit begnügt habe, auf die Vorbringen der
zweiten kantonalen Instanz abzustellen, ohne sich eingehen-
der mit seiner Darstellung und den eingereichten Beweismit-
teln auseinander zu setzen; aufgrund der inneren Widersprü-
che des Entscheides sei es für ihn letztlich nicht ersicht-
lich, von welchen Überlegungen sich die Behörde habe leiten
lassen. Damit spricht der Beschwerdeführer die - einen Teil-
gehalt des rechtlichen Gehörs bildende - Begründungspflicht
gehalt des rechtlichen Gehörs bildende - Begründungspflicht
an.
Die aus Art. 4 aBV abgeleitete Begründungspflicht
bedeutet nicht, dass sich die entscheidende Behörde mit al-
len Vorbringen der Parteien eingehend auseinander setzen
muss. Die Begründung kann sich auf die wesentlichen Ge-
sichtspunkte beschränken; sie muss so abgefasst sein, dass
der Betroffene sich über die Tragweite eines Entscheides
Rechenschaft ablegen und diesen gegebenenfalls sachgerecht
anfechten kann (<ref-ruling> E. 2a S. 149, mit Hinweis).
Es ist grundsätzlich auch zulässig, in einem Urteil auf Be-
gründungen in vorangegangenen Urteilen zu verweisen (BGE 123
I 31 E. 2c S. 34, mit Hinweisen).
Dem Beschwerdeführer ist insoweit beizupflichten,
dass die Begründung des angefochtenen Entscheides zumindest
insoweit mangelhaft ist, als aus ihr nicht mit aller Klar-
heit hervorgeht, auf welche gesetzliche (n) Grundlage (n) sich
der Grundrechtseingriff stützen soll. Da das Verwaltungsge-
richt jedoch § 1 Ziff. 1 GGV als gesetzliche Grundlage zu-
mindest angetönt hat, ist es der Begründungspflicht gerade
noch nachgekommen.
8.-
Die nach dem Gesagten unbegründete Beschwerde ist
abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die
Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind dem unter-
liegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 in
Verbindung mit Art. 153 und Art. 153a OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.-
Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird als staats-
rechtliche Beschwerde entgegengenommen.
2.-
Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen,
soweit darauf einzutreten ist.
3.-
Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird dem
Beschwerdeführer auferlegt.
4.-
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem
Veterinäramt, dem Departement für Inneres und Volkswirt-
schaft und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie
dem Eidgenössischen Volkswirtschaftsdepartement schriftlich
mitgeteilt.
_
Lausanne, 22. März 2000
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: