Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1966 geborene N._ arbeitete seit 1. Januar 1986 als Buchhalterin bei der Firma X._ und war bei der Elvia Versicherungen (heute: Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft, nachfolgend Allianz) unfallversichert. Am 19. April 2001 sass sie auf dem Rücksitz des vom Ehemann gelenkten Personenwagens, als ein anderes Fahrzeug auf das Heck ihres Wagens auffuhr. Am 21. April 2001 suchte die Versicherte Dr. med. E._, Allgemeinmedizin, auf, der eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte. Als Befund erhob er eine Myogelose (Verhärtung) des linken Muskulus trapezius mit DD der Dornfortsätze C6 und 8 sowie der Querfortsätze C2 bis 3 links; es bestehe praktisch volle Beweglichkeit. Eine Fraktur liege nicht vor. Neurologisch sei der Befund unauffällig. Er verordnete einen Stützkragen und Analgetika. Arbeitsunfähigkeit bestand nicht (Bericht vom 16. Juli 2001). Der Unfallversicherer erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung). Seit 21. Mai 2001 war die Versicherte bei Frau Dr. med. F._, Allg. Medizin FMH, in Behandlung, die Mobilisation, Analgetika und Physiotherapie verordnete. Am 17. März 2003 diagnostizierte sie Cephalea und cervikale Verspannungen bei Status nach HWS-Distorsion. Es werde immer wieder Physiotherapie durchgeführt, auf welche die Versicherte gut anspreche. Die Allianz holte einen Bericht des Dr. med. G._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 3. September 2003 ein. Mit Verfügung vom 28. Oktober 2003 stellte sie die Leistungen per 3. September 2003 ein, da ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den heutigen Beschwerden (zwei- bis dreimal wöchentlich Auftreten von Kopfschmerzen und Verspannung der Nackenmuskulatur) nicht überwiegend wahrscheinlich sei. Einspracheweise verlangten die Versicherte und die Sanitas Krankenversicherung die weitere Übernahme der Versicherungsleistungen, insbesondere der Behandlungskosten, durch die Allianz. Diese wies die Einsprachen mit Entscheid vom 30. August 2004 ab, da der status quo sine bzw. quo ante spätestens drei Monate nach dem Unfall erreicht gewesen sei. Seither bestehe keine natürliche Kausalität zwischen dem Unfall und den geklagten Beschwerden. Auch der adäquate Kausalzusammenhang sei zu verneinen.
A. Die 1966 geborene N._ arbeitete seit 1. Januar 1986 als Buchhalterin bei der Firma X._ und war bei der Elvia Versicherungen (heute: Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft, nachfolgend Allianz) unfallversichert. Am 19. April 2001 sass sie auf dem Rücksitz des vom Ehemann gelenkten Personenwagens, als ein anderes Fahrzeug auf das Heck ihres Wagens auffuhr. Am 21. April 2001 suchte die Versicherte Dr. med. E._, Allgemeinmedizin, auf, der eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte. Als Befund erhob er eine Myogelose (Verhärtung) des linken Muskulus trapezius mit DD der Dornfortsätze C6 und 8 sowie der Querfortsätze C2 bis 3 links; es bestehe praktisch volle Beweglichkeit. Eine Fraktur liege nicht vor. Neurologisch sei der Befund unauffällig. Er verordnete einen Stützkragen und Analgetika. Arbeitsunfähigkeit bestand nicht (Bericht vom 16. Juli 2001). Der Unfallversicherer erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung). Seit 21. Mai 2001 war die Versicherte bei Frau Dr. med. F._, Allg. Medizin FMH, in Behandlung, die Mobilisation, Analgetika und Physiotherapie verordnete. Am 17. März 2003 diagnostizierte sie Cephalea und cervikale Verspannungen bei Status nach HWS-Distorsion. Es werde immer wieder Physiotherapie durchgeführt, auf welche die Versicherte gut anspreche. Die Allianz holte einen Bericht des Dr. med. G._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 3. September 2003 ein. Mit Verfügung vom 28. Oktober 2003 stellte sie die Leistungen per 3. September 2003 ein, da ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den heutigen Beschwerden (zwei- bis dreimal wöchentlich Auftreten von Kopfschmerzen und Verspannung der Nackenmuskulatur) nicht überwiegend wahrscheinlich sei. Einspracheweise verlangten die Versicherte und die Sanitas Krankenversicherung die weitere Übernahme der Versicherungsleistungen, insbesondere der Behandlungskosten, durch die Allianz. Diese wies die Einsprachen mit Entscheid vom 30. August 2004 ab, da der status quo sine bzw. quo ante spätestens drei Monate nach dem Unfall erreicht gewesen sei. Seither bestehe keine natürliche Kausalität zwischen dem Unfall und den geklagten Beschwerden. Auch der adäquate Kausalzusammenhang sei zu verneinen.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Allianz zurückwies, damit diese, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägung 3, neu verfüge (Entscheid vom 11. August 2005).
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Allianz zurückwies, damit diese, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägung 3, neu verfüge (Entscheid vom 11. August 2005).
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Allianz die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Im kantonalen Entscheid werden die nach der Rechtsprechung für den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (<ref-law>) geltenden Voraussetzungen des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (<ref-ruling> Erw. 3.1 und 3.2), insbesondere bei Schleudertraumen oder äquivalenten Verletzungen der HWS (<ref-ruling> ff.; RKUV 2000 Nr. U 395 S. 317 Erw. 3 [Urteil Z. vom 2. Juni 2000, U 160/98]; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67), zutreffend dargelegt. Gleiches gilt zum Dahinfallen der kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens (RKUV 2000 Nr. U 363 S. 46 Erw. 2, 1994 Nr. U 206 S. 328 Erw. 3b; Urteil S. vom 7. Juni 2006 Erw. 2.2, U 414/05) und zu dem im Sozialversicherungsrecht geltenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> Erw. 2.1 mit Hinweisen). Richtig wiedergegeben hat die Vorinstanz auch die Bestimmung und die Grundsätze über die Leistungspflicht für Schädigungen der versicherten Person im Rahmen der Heilbehandlung (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>; <ref-ruling> f. Erw. 3b). Darauf wird verwiesen.
1.2 Zu ergänzen ist, dass sich durch das In-Kraft-Treten des ATSG am 1. Januar 2003 am unfallversicherungsrechtlichen Begriff des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhanges sowie dessen Bedeutung als Voraussetzung für die Leistungspflicht der obligatorischen Unfallversicherung nichts geändert hat (Urteil K. vom 23. Dezember 2005 Erw. 1.2, U 289/04, mit Hinweisen). Keine materiellrechtliche Änderung beinhaltet auch der redaktionell neu gefasste Unfallbegriff des <ref-law> (RKUV 2004 Nr. U 530 S. 576 [Urteil F. vom 5. Juli 2004, U 123/04]).
Im Rahmen der Prüfung der Adäquanz kommt den in Betracht fallenden Leistungsarten (Heilbehandlung, Taggeld, Invalidenrente, Integritätsentschädigung) keine Massgeblichkeit zu (<ref-ruling> f. Erw. 5d; Urteil S. vom 7. Juni 2006 Erw. 2.2, U 414/05).
Hinsichtlich des Beweiswerts eines Arztberichts ist entscheidend, ob er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet und nachvollziehbar sind. Ausschlaggebend für den Beweiswert ist grundsätzlich somit weder die Herkunft eines Beweismittels noch die Bezeichnung der eingereichten oder in Auftrag gegebenen Stellungnahme als Bericht oder Gutachten (<ref-ruling> Erw. 3a, RKUV 2003 Nr. U 487 S. 345 f. Erw. 5.1 [Urteil B. vom 5. Juni 2003, U 38/01], je mit Hinweisen).
1.3 Sinn und Zweck von <ref-law> sowie <ref-law> sind die Tragung des Risikos durch den Unfallversicherer für die von ihm übernommenen medizinischen Massnahmen (Art. 10 Abs. 1 und Art. 48 UVG); damit wird das Korrelat der Behandlungspflicht und der Weisungsgebundenheit des Versicherten hergestellt. Die Haftung erstreckt sich auf Gesundheitsschädigungen, die auf Behandlungsmassnahmen im Anschluss an einen Unfall zurückzuführen sind. Es muss weder ein Behandlungsfehler vorliegen noch der Unfallbegriff erfüllt noch ein Kunstfehler oder auch nur objektiv eine Verletzung der ärztlichen Sorgfaltspflicht gegeben sein (<ref-ruling> Erw. 3b). Damit ist die medizinische Komplikation im Sinne einer mittelbaren Unfallfolge mitversichert, und zwar selbst im Falle seltenster, schwerwiegendster Komplikationen (<ref-ruling> Erw. 3a mit Hinweis). Der Versicherer leistet denn auch nicht Schadenersatz im Sinne des Haftpflichtrechts, sondern er erbringt Versicherungsleistungen nach UVG. Angesichts dieser gesetzlichen Konzeption hat der Unfallversicherer nur für Schädigungen aufzukommen, die in einem natürlichen und adäquat kausalen Zusammenhang mit den durch den versicherten Unfall erfolgten Heilbehandlungen und medizinischen Abklärungsuntersuchungen stehen (<ref-ruling> unten Erw. 2b/bb zu <ref-law>). Nicht unter den Anwendungsbereich der beiden Bestimmungen fallen hingegen ärztliche Handlungen oder Unterlassungen im Zusammenhang mit Krankheiten, die ausserhalb der Heilbehandlung im Sinne von <ref-law> liegen. So haftet der Unfallversicherer nicht gestützt auf diese beiden Bestimmungen für die Folgen einer vom versicherten Unfall völlig unabhängigen Gesundheitsschädigung, auch wenn diese Folgen (z.B. Herzinfarkt) bei rechtzeitiger Diagnosestellung durch den vom Versicherer eingesetzten untersuchenden Arzt vermieden worden wären (<ref-ruling> f. Erw. 1c mit weiteren Hinweisen).
1.3 Sinn und Zweck von <ref-law> sowie <ref-law> sind die Tragung des Risikos durch den Unfallversicherer für die von ihm übernommenen medizinischen Massnahmen (Art. 10 Abs. 1 und Art. 48 UVG); damit wird das Korrelat der Behandlungspflicht und der Weisungsgebundenheit des Versicherten hergestellt. Die Haftung erstreckt sich auf Gesundheitsschädigungen, die auf Behandlungsmassnahmen im Anschluss an einen Unfall zurückzuführen sind. Es muss weder ein Behandlungsfehler vorliegen noch der Unfallbegriff erfüllt noch ein Kunstfehler oder auch nur objektiv eine Verletzung der ärztlichen Sorgfaltspflicht gegeben sein (<ref-ruling> Erw. 3b). Damit ist die medizinische Komplikation im Sinne einer mittelbaren Unfallfolge mitversichert, und zwar selbst im Falle seltenster, schwerwiegendster Komplikationen (<ref-ruling> Erw. 3a mit Hinweis). Der Versicherer leistet denn auch nicht Schadenersatz im Sinne des Haftpflichtrechts, sondern er erbringt Versicherungsleistungen nach UVG. Angesichts dieser gesetzlichen Konzeption hat der Unfallversicherer nur für Schädigungen aufzukommen, die in einem natürlichen und adäquat kausalen Zusammenhang mit den durch den versicherten Unfall erfolgten Heilbehandlungen und medizinischen Abklärungsuntersuchungen stehen (<ref-ruling> unten Erw. 2b/bb zu <ref-law>). Nicht unter den Anwendungsbereich der beiden Bestimmungen fallen hingegen ärztliche Handlungen oder Unterlassungen im Zusammenhang mit Krankheiten, die ausserhalb der Heilbehandlung im Sinne von <ref-law> liegen. So haftet der Unfallversicherer nicht gestützt auf diese beiden Bestimmungen für die Folgen einer vom versicherten Unfall völlig unabhängigen Gesundheitsschädigung, auch wenn diese Folgen (z.B. Herzinfarkt) bei rechtzeitiger Diagnosestellung durch den vom Versicherer eingesetzten untersuchenden Arzt vermieden worden wären (<ref-ruling> f. Erw. 1c mit weiteren Hinweisen).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin über den 3. September 2003 hinaus Anspruch auf Leistungen zu Lasten der Unfallversicherung hat.
2.1 Die Allianz stellte die Leistungen gestützt auf den Bericht des Dr. med. G._ vom 3. September 2003 ein. Dieser diagnostizierte rezidivierende Verspannungen nuchal linksbetont mit konsekutiver Schmerzauslösung im Kopf und der linken Schulter sowie einen Status nach Beschleunigungsereignis der HWS vom 19. April 2001. Die Versicherte gebe an, zwei- bis dreimal wöchentlich an Kopfschmerzen zu leiden, die sie jeweils mit Schmerzmedikamenten bekämpfe. Vor dem Unfall habe sie nie Kopfschmerzen gehabt. Sie würden dadurch ausgelöst, dass es zunächst zu Verspannungen in der Nackenmuskulatur (links betont) und dann zu Ausstrahlungen in den Kopf komme. Gleichzeitig würden die Nackenschmerzen auch in die linke Schulter ausstrahlen. Das Schmerzbild werde als "nicht immer gleich" beschrieben und als "Verkrampfung der Muskulatur" empfunden. Die subjektiven Beschwerden könnten in dem Sinne objektiviert werden, als dass effektiv druckdolente und bewegungsabhängige schmerzhafte paravertebrale Hartspannareale festgestellt würden. Zur Zeit finde keine geführte Therapie statt. Es sei mit der muskulären Dysbalance zu erklären, dass die Versicherte immer noch repetitive Verkrampfungen der paravertebralen Muskulatur erlebe. Nachweisliche unfallkausale und messbare Folgen seien sicher nicht mehr vorhanden, da die allfällig verletzten schmerzinnervierten Weichteile innerhalb von sechs bis acht Wochen (plus/minus vier Wochen) ausgeheilt seien. Wegen der initial gemäss gängiger Lehrmeinung veralteten und daher (bei neueren wissenschaftlichen Erkenntnissen) falschen Behandlung mit weichem Halskragen über eine übermässig lange Zeitdauer und der erst verspätet eingesetzten Physiotherapie (die dann aber eigentlich zu konzentriert "nur" auf die schmerzhafte HWS eingewirkt habe), sei sicher eine Schmerzverlängerung eingetreten. Es sei so gekommen, wie es habe kommen müssen: die Versicherte sei nicht beschwerdefrei geworden und die Schmerzen hätten unvermindert stark persistiert. Daneben sei klar, dass Nackenverspannungen und konsekutive Kopfschmerzen auch bei gesunden Menschen aufträten, insbesondere wenn bei konzentrierten Arbeiten (z.B. am PC) eine ungünstige oder starre Haltung eingenommen werde. Gleichzeitig seien bis dato gemäss Angaben der Versicherten weder Rückendisziplin noch -hygiene instruiert und auch das Heimprogramm sei nur knapp bis ungenügend ausgebaut worden. Unfallfremde Faktoren lägen nicht vor. Ohne Präjudiz und im Sinne der Anerkennung, dass bis heute keine unfallkausale Arbeitsunfähigkeit eingetreten sei, empfehle er, der Versicherten eine Serie Physiotherapie à 9 Sitzungen zu gewähren, um die notwendige und vorerwähnte Rückenhygiene und -Disziplin zu erlernen. Weiterführende Behandlungen seien aber unfallkausal nicht mehr notwendig oder sinnvoll.
2.2 Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, es sei nicht rechtsgenüglich abgeklärt, ob der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 19. April 2001 und den weiterhin geklagten Beschwerden dahingefallen ist. Gleiches gelte hinsichtlich der Frage, ob eine Leistungspflicht gestützt auf <ref-law> (Schädigung im Rahmen der Heilbehandlung) bestehe. Während Frau Dr. med. F._ die Unfallkausalität für wahrscheinlich halte, werde sie von Dr. med. G._ bloss als möglich erachtet. Diesbezüglich bestünden mithin widersprechende Einschätzungen. Gemäss Dr. med. G._ seien die repetitiven Verkrampfungen der paravertebralen Muskulatur mit der muskulären Dysbalance zu erklären. Somit stehe fest, dass nach wie vor ein organisches Substrat für die Nackenschmerzen einschliesslich Ausstrahlungen in den Kopf nachweisbar sei. Die Nackenbeschwerden seien primär aus rheumatologisch-orthopädischer Sicht auf ihre Unfallkausalität nochmals zu begutachten. Die Kopfschmerzen seien ergänzend einer neurologischen Begutachtung zuzuführen; sie seien in den Akten nirgends näher beschrieben oder klassifiziert worden, was nachzuholen sei, auch wenn sich - möglicherweise mangels neurologischer Untersuchungen - eine sonstige neurologische Symptomatisch den Akten nicht entnehmen lasse. Denn die Ursachen der Kopfschmerzen einschliesslich die Frage des Dahinfallen einer allfälligen Unfallkausalität müssten im Hinblick auf die erforderliche vollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts auch aus neurologischer Sicht abgeklärt und beurteilt werden, zumal die Versicherte vor dem Unfall nie im jetzigen Ausmass Kopfschmerzen gehabt habe. Da für eine psychische Problematik keine Anhaltspunkte bestünden, könne eine entsprechende Begutachtung unterbleiben. Einer eingehenden Abklärung bedürfe auch die Frage, ob eine weitergehende Leistungspflicht wegen einer Schädigung im Rahmen der Heilbehandlung bestehe. Weil die initial unbestrittenen Unfallfolgen hinsichtlich Art, Schweregrad und Dauer noch nicht abschliessend feststünden, erweise es sich zur Zeit als unmöglich, die Frage der adäquaten Kausalität zu beantworten.
2.2 Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, es sei nicht rechtsgenüglich abgeklärt, ob der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 19. April 2001 und den weiterhin geklagten Beschwerden dahingefallen ist. Gleiches gelte hinsichtlich der Frage, ob eine Leistungspflicht gestützt auf <ref-law> (Schädigung im Rahmen der Heilbehandlung) bestehe. Während Frau Dr. med. F._ die Unfallkausalität für wahrscheinlich halte, werde sie von Dr. med. G._ bloss als möglich erachtet. Diesbezüglich bestünden mithin widersprechende Einschätzungen. Gemäss Dr. med. G._ seien die repetitiven Verkrampfungen der paravertebralen Muskulatur mit der muskulären Dysbalance zu erklären. Somit stehe fest, dass nach wie vor ein organisches Substrat für die Nackenschmerzen einschliesslich Ausstrahlungen in den Kopf nachweisbar sei. Die Nackenbeschwerden seien primär aus rheumatologisch-orthopädischer Sicht auf ihre Unfallkausalität nochmals zu begutachten. Die Kopfschmerzen seien ergänzend einer neurologischen Begutachtung zuzuführen; sie seien in den Akten nirgends näher beschrieben oder klassifiziert worden, was nachzuholen sei, auch wenn sich - möglicherweise mangels neurologischer Untersuchungen - eine sonstige neurologische Symptomatisch den Akten nicht entnehmen lasse. Denn die Ursachen der Kopfschmerzen einschliesslich die Frage des Dahinfallen einer allfälligen Unfallkausalität müssten im Hinblick auf die erforderliche vollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts auch aus neurologischer Sicht abgeklärt und beurteilt werden, zumal die Versicherte vor dem Unfall nie im jetzigen Ausmass Kopfschmerzen gehabt habe. Da für eine psychische Problematik keine Anhaltspunkte bestünden, könne eine entsprechende Begutachtung unterbleiben. Einer eingehenden Abklärung bedürfe auch die Frage, ob eine weitergehende Leistungspflicht wegen einer Schädigung im Rahmen der Heilbehandlung bestehe. Weil die initial unbestrittenen Unfallfolgen hinsichtlich Art, Schweregrad und Dauer noch nicht abschliessend feststünden, erweise es sich zur Zeit als unmöglich, die Frage der adäquaten Kausalität zu beantworten.
3. Vorliegend stellt sich zum einen die Frage, ob zwischen dem Unfall vom 19. April 2001 und den anhaltenden Beschwerden eine natürliche und adäquate Kausalität besteht und ob die Allianz in diesem Rahmen leistungspflichtig ist (<ref-law>). Zum anderen ist zu prüfen, ob eine Leistungspflicht besteht wegen einer Schädigung, die in einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang mit der durch den versicherten Unfall erfolgten Heilbehandlung steht (<ref-law>).
3.1 Auf Grund der medizinischen Akten hat die Versicherte beim Unfall unbestritten eine HWS-Distorsion erlitten. Innerhalb der von der Rechtsprechung anerkannten Latenzen trat das für diese Verletzung typische Beschwerdebild mit einer Häufung von Beschwerden auf (Kopf-, Nacken- und Schulterschmerzen, Schwindel, Benommenheit, Schlafstörung, Depression; Berichte der Dres. med. E._ vom 16. Juli 2001, F._ vom 18. Juli 2001 und 17. März 2003 sowie G._ vom 3. September 2003; <ref-ruling> Erw. 4b; RKUV 2000 Nr. U 359 S. 29; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 Erw. 2; Urteil W. vom 1. März 2006 Erw. 6.1, U 153/05).
3.1 Auf Grund der medizinischen Akten hat die Versicherte beim Unfall unbestritten eine HWS-Distorsion erlitten. Innerhalb der von der Rechtsprechung anerkannten Latenzen trat das für diese Verletzung typische Beschwerdebild mit einer Häufung von Beschwerden auf (Kopf-, Nacken- und Schulterschmerzen, Schwindel, Benommenheit, Schlafstörung, Depression; Berichte der Dres. med. E._ vom 16. Juli 2001, F._ vom 18. Juli 2001 und 17. März 2003 sowie G._ vom 3. September 2003; <ref-ruling> Erw. 4b; RKUV 2000 Nr. U 359 S. 29; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 Erw. 2; Urteil W. vom 1. März 2006 Erw. 6.1, U 153/05).
3.2 3.2.1 Die Allgemeinmedizinerin Frau Dr. med. F._ führte im Bericht vom 17. März 2003 aus, die Kopfschmerzen könnten nicht objektiviert werden; vorhanden seien Muskelverspannungen im Cervikalbereich. Cervikale Verspannungen und Kopfschmerzen könnten in jedem Alter und bei allen Menschen auch ohne Unfall auftreten. Wie weit die Versicherte beruflich oder familiär unter Stress stehe, sei ihr nicht bekannt; die Versicherte verneine eine grosse Belastung. Sie habe die Versicherte vor dem Unfall nicht gesehen und wisse somit nicht, ob früher nie Kopfschmerzen aufgetreten seien. Der Zusammenhang mit dem Unfall sei nicht beweisbar, aber wahrscheinlich.
Der Orthopäde Dr. med. G._ legte im Bericht vom 3. September 2003 ausdrücklich dar, unfallfremde Faktoren lägen bei der Versicherten nicht vor. Eine Aggravation verneinte er (Erw. 2.1 hievor).
Die anhaltenden Nacken-, Schulter- und Kopfschmerzen werden mithin weder von Frau Dr. med. F._ noch von Dr. med. G._ einer gesundheitlichen Beeinträchtigung ausserhalb der erlittenen HWS-Distorsion zugeordnet. Weiter ist zu beachten, dass in den medizinischen Unterlagen keine Anhaltspunkte für eine psychische Überlagerung der Beschwerden zu finden sind.
Diese Aktenlage spricht für das Weiterbestehen des natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und den Beschwerden (vgl. auch Urteil P. vom 1. Februar 2006 Erw. 2.6, U 352/05), zumal es genügt, dass der Unfall lediglich eine Teilursache der gesundheitlichen Störung bildet (<ref-ruling> Erw. 1, 117 V 360 Erw. 4b; Urteil E. vom 10. Mai 2006 Erw. 5.2.2, U 40/04).
3.2.2 Im Weiteren vertrat Dr. med. G._ am 3. September 2003 die Auffassung, die unkorrekte Behandlung mit weichem Kragen während mehr als zwei Monaten (gemäss der Beschwerdeführerin war es nur ein Monat) und das anfängliche Fehlen einer Physiotherapie hätten überwiegend wahrscheinlich zu einer Persistenz der Beschwerden geführt.
Gemäss den Empfehlungen einer Schweizerischen Arbeitsgruppe zum diagnostischen und therapeutischen Vorgehen in der Akutphase nach kraniozervikalem Beschleunigungstrauma ist die routinemässige Abgabe von weichen Stoffkragen nicht von Nutzen (vgl. Schweizerisches Medizin-Forum, Nr. 47, 20. November 2002, S. 1124). Diese Frage ist indessen in medizinischen Fachkreisen umstritten (vgl. auch Urteil P vom 31. Mai 2005 Erw. 3.3.5, U 329/03, mit Hinweis). Ob ein ärztliches Fehlverhalten vorliegt, ist im Rahmen von <ref-law> nicht relevant (Erw. 1.3 hievor), spielt aber bei der Adäquanzprüfung eine Rolle (<ref-ruling> Erw. 6a).
3.3 Am Vorgehen des Dr. med. G._ ist als Erstes zu kritisieren, dass er keine aktuelle bildgebende Untersuchung im HWS-Bereich veranlasst, sondern lediglich auf den vier Tage nach dem Unfall erstellten radiologischen Befund vom 24. April 2001 (schönes Alignement; keine ossäre Läsion und keine Degeneration) abgestellt hat (vgl. auch Urteil V. vom 2. Juni 2004 Erw. 4, I 442/03). Damit werden aber allfällige organisch nachweisbare Schädigungen auf Grund des mindestens einmonatigen Tragens des Halskragens und der initial unterlassenen Physiotherapie nicht erfasst. Weiter ist mit der Vorinstanz zu bemängeln, dass die Beschwerdeführerin die andauernde Schmerzproblematik weder durch einen Neurologen noch einen Rheumatologen untersuchen liess (vgl. auch Schweizerisches Medizin-Forum, Nr. 47, 23. November 2005, S. 1184 St. C.2.).
Gestützt auf die bisherigen Abklärungen ist mithin zum einen nicht rechtsgenüglich erstellt, ob die von Dr. med. G._ beanstandete Verordnung des Halskragens und die anfänglich fehlende Physiotherapie eine Verlängerung oder gar Chronifizierung der Beschwerden bewirkt haben.
Nicht schlüssig nachvollziehbar ist im Weiteren auch die Angabe des Dr. med. G._, die allfällig verletzten schmerzinnervierten Weichteile seien innerhalb von sechs bis acht Wochen (plus/minus vier Wochen) ausgeheilt. Falls er dies als allgemeine Erfahrungstatsache im Rahmen eines HWS-Distorsionstraumas betrachtet, ist dem entgegenzuhalten, dass bei dieser Verletzung auch ohne nachweisbare pathologische Befunde noch Jahre nach dem Unfall funktionelle Ausfälle verschiedenster Art auftreten können (<ref-ruling> Erw. 5d/aa; erwähntes Urteil U 40/04 Erw. 5.2.2).
3.4 Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz zu Recht erkannt, dass der medizinische Sachverhalt nicht hinreichend abgeklärt ist und keine rechtsgenüglichen Unterlagen bestehen, die der Beschwerdeführerin erlauben würden, die natürliche Kausalität zwischen dem Unfall vom 19. April 2001 und den über den 3. September 2003 hinaus anhaltenden Beschwerden zu verneinen. Weiter steht nicht fest, ob von einer Schädigung im Rahmen der Heilbehandlung und einer Fehlbehandlung auszugehen und ob diese bejahendenfalls für die anhaltenden Beschwerden natürlich kausal verantwortlich sind.
Ob die Leiden adäquat kausale Unfallfolgen (nach den Kriterien von <ref-ruling> ff. Erw. 6) und/oder Folgen einer Schädigung im Rahmen der Behandlung (gemäss der allgemeinen Adäquanzformel nach <ref-ruling> Erw. 3.2) sind, ist - falls der natürliche Kausalzusammenhang auf Grund der ergänzenden medizinischen Abklärungen zu bejahen ist - erst nach Abschluss des allenfalls unfallbedingt noch erforderlichen, normalen Heilungsprozesses zu prüfen (in HAVE 2004 S. 119 zusammengefasstes Urteil K. vom 11. Februar 2004, U 246/03; vgl. auch erwähntes Urteil U 153/05 Erw. 6.4).
Falls sich die Beschwerden einer organisch fassbaren gesundheitlichen Beeinträchtigung zuordnen lassen, würden sich der natürliche und der adäquate Kausalzusammenhang rechtsprechungsgemäss weitgehend decken (<ref-ruling> Erw. 5b/bb mit Hinweisen; erwähntes Urteil U 352/05 Erw. 2.6). Diesbezüglich ist entgegen der Vorinstanz ergänzend anzufügen, dass die Verhärtungen und Verspannungen der Muskulatur sowie die Verkrampfungen der paravertebralen Muskulatur auf Grund muskulärer Dysbalance für sich allein nicht als organisches Substrat der Beschwerden qualifiziert werden können (vgl. auch Urteil M. vom 8. Juni 2006 Erw. 4.2, U 147/05).
Bei Bejahung der natürlichen und adäquaten Kausalität wird zu prüfen sein, ob über die von Dr. med. G._ empfohlenen neun Physiotherapiesitzungen hinaus Anspruch auf Heilbehandlung besteht.
3.5 Die vom kantonalen Gericht angeordneten zusätzlichen Untersuchungen sind daher sachgerecht und notwendig. Erforderlich ist eine sämtliche Aspekte des Falles umfassende polydisziplinäre medizinische Begutachtung. Die Einwendungen der Beschwerdeführerin vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern.
3.5 Die vom kantonalen Gericht angeordneten zusätzlichen Untersuchungen sind daher sachgerecht und notwendig. Erforderlich ist eine sämtliche Aspekte des Falles umfassende polydisziplinäre medizinische Begutachtung. Die Einwendungen der Beschwerdeführerin vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern.
4. Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 OG). Der obsiegenden Versicherten steht zu Lasten der Allianz eine Parteientschädigung zu (Art. 135 in Verbindung mit Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 21. August 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: