Sachverhalt:
A. X._ stammt aus der Türkei. Am 14. Juli 1982 heiratete er eine Schweizer Bürgerin. Mit ihr hat er eine am 10. März 1981 geborene Tochter. Seine Einbürgerungsgesuche aus den Jahren 1992, 1995 und 1997 wurden abgewiesen. Am 30. November 2001 ersuchte er erneut um erleichterte Einbürgerung.
Die Ehegatten unterzeichneten am 2. September 2003 eine Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammen leben und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestehen. Sie nahmen zur Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich ist, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr besteht.
X._ wurde am 16. Oktober 2003 erleichtert eingebürgert und erwarb das Schweizer Bürgerrecht.
B. Während der Ehe mit der Schweizer Bürgerin zeugte er mit einer türkischen Staatsangehörigen drei Töchter (geb. 1996, 1998 und 2004). Im Jahr 2008 leiteten die Ehegatten das Scheidungsverfahren ein. Am 1. Juni 2009 heiratete X._ in der Türkei die Mutter seiner drei ausserehelichen Töchter.
C. Das Bundesamt für Migration teilte X._ am 23. Mai 2008 mit, es erwäge die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung.
Mit Verfügung vom 15. Oktober 2008 erklärte es die erleichterte Einbürgerung für nichtig.
Gegen die Verfügung des Bundesamtes führte X._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht, welches diese mit Urteil vom 11. Mai 2010 abwies.
D. X._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts und der Verfügung des Bundesamtes. Von der Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung sei abzusehen und der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt beantragt unter Verzicht auf eine Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde.
E. Mit Verfügung vom 6. Juli 2010 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 82 lit. a BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Das angefochtene Urteil der Vorinstanz betrifft die Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung gestützt auf das Bundesgesetz vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (BüG; SR 141.0). Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss Art. 83 lit. b BGG erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung einer Einbürgerung (Urteil 1C_578/2008 vom 11. November 2009 E. 1.1). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist deshalb gegeben.
1.2 Vorinstanz ist das Bundesverwaltungsgericht. Gegen dessen Urteil ist die Beschwerde zulässig (Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG).
Auf den Antrag auf Aufhebung der Verfügung des Bundesamtes ist nicht einzutreten, da dessen Verfügung durch das Urteil der Vorinstanz ersetzt worden ist (Devolutiveffekt) und als inhaltlich mitangefochten gilt (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
1.3 Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.4 Das angefochtene Urteil schliesst das Verfahren ab. Es handelt sich um einen Endentscheid, gegen welchen die Beschwerde gemäss Art. 90 BGG zulässig ist. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2. Soweit der Beschwerdeführer die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts rügt, genügen seine Ausführungen den Anforderungen an die Begründungspflicht nicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Auf seine Beschwerde ist insofern nicht einzutreten.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Ehegatten seien nie persönlich, sondern nur schriftlich zur Sache befragt worden.
3.2 Das Verfahren betreffend Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung richtet sich grundsätzlich nach dem Bundesgesetz vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021; Art. 51 Abs. 1 BüG; vgl. für das Bundesverwaltungsgericht Art. 37 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht [VGG; SR 173.32]). Gemäss Art. 12 VwVG stellt die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen fest (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 115). Sie bedient sich dabei nötigenfalls Auskünften der Parteien und von Drittpersonen (Art. 12 lit. b und lit. c VwVG). Art. 19 VwVG verweist für das Beweisverfahren mittels abschliessender Aufzählung auf Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 4. Dezember 1947 über den Bundeszivilprozess (BZP; SR 273), welche ergänzend und sinngemäss anwendbar sind. Nicht anwendbar sind die Bestimmungen über das Parteiverhör nach Art. 62 ff. BZP (<ref-ruling> E. 2.3 und E. 2.4 S. 475 f.). Gemäss Art. 14 Abs. 1 VwVG ist die Einvernahme von Zeugen nur anzuordnen, wenn sich der Sachverhalt nicht auf andere Weise hinreichend abklären lässt. Sie ist im Verwaltungsverfahren ein subsidiäres Beweismittel (<ref-ruling> E. 2.3.4 S. 169).
Bezüglich der Würdigung der erhobenen Beweise gilt der Grundsatz der freien Beweiswürdigung (Art. 19 VwVG in Verbindung mit Art. 40 BZP). Kommt die Verwaltung oder das Gericht bei pflichtgemässer Beweiswürdigung der schriftlichen Auskünfte zur Überzeugung, der Sachverhalt sei genügend geklärt, kann auf eine mündliche Einvernahme verzichtet werden (antizipierte Beweiswürdigung; vgl. Urteil 1C_254/2008 vom 15. September 2008 E. 4.1 und E. 4.2).
3.3 Das Bundesamt informierte den Beschwerdeführer über die Eröffnung des Verfahrens, forderte ihn zur Stellungnahme auf und unterbreitete ihm einen Fragenkatalog. Der Beschwerdeführer äusserte sich schriftlich. Die frühere Ehefrau des Beschwerdeführers beantwortete zwei Fragenkataloge schriftlich. Der Beschwerdeführer verzichtete auf Bemerkungen dazu.
Die Vorinstanz hat die schriftlichen Auskünfte der früheren Ehefrau gewürdigt. Diese spreche sich zwar zugunsten des Beschwerdeführers aus. Es sei aber davon auszugehen, dass in der ursprünglich intakten Ehe der Ehewille dahingefallen sei, zwischen den Ehegatten jedoch Einvernehmen darüber bestanden habe, die Ehe weiterzuführen, um dem Beschwerdeführer die Möglichkeit der erleichterten Einbürgerung nicht zu nehmen. Die schriftlichen Aussagen der früheren Ehefrau bestärkten den Eindruck, dass sie sich mit der Situation abgefunden habe und die Ehe im Laufe der Zeit zu einer einvernehmlichen Zweckbeziehung geworden sei (angefochtenes Urteil E. 8.4).
Bei dieser Sachlage ist nicht ersichtlich, inwiefern die persönliche Befragung der Ehegatten zu neuen sachdienlichen Feststellungen führen soll. Dazu äussert sich der Beschwerdeführer nicht. Das Vorgehen der Vorinstanzen verletzt demnach kein Bundesrecht. Die Beschwerde ist insofern abzuweisen.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei 26 Jahre mit der Schweizer Bürgerin verheiratet gewesen. Art. 27 BüG setze für die Einbürgerung aber nur eine dreijährige Ehe voraus, weshalb das angefochtene Urteil unverhältnismässig sei. Die eheliche Beziehung sei nicht in ihrer Gesamtheit gewürdigt worden. Eheliche Untreue alleine genüge nicht, um die erleichterte Einbürgerung nichtig zu erklären. Das schweizerische Eherecht habe sich vom Verschuldensprinzip gelöst. Der von der Vorinstanz angeführte Art. 159 Abs. 3 ZGB betreffe die materielle, nicht aber die moralische Unterstützung oder die Treue. Er habe mit der Schweizer Bürgerin eine funktionierende Ehe gelebt und sie sowie das gemeinsame Kind finanziell unterstützt. Die Vorinstanz begründe das Urteil einzig mit der Geburt der dritten ausserehelichen Tochter und der ausserehelichen Beziehung. Es sei nicht gesichert, ob der aussereheliche Geschlechtsverkehr erst nach der Unterzeichnung der Erklärung erfolgt sei. Er habe die Behörde nicht über den ausserehelichen Geschlechtsverkehr informieren müssen. Von der Schwangerschaft habe er keine Kenntnis gehabt. Die dritte aussereheliche Tochter sei erst nach der erleichterten Einbürgerung zur Welt gekommen. Obschon die Einbürgerungsbehörde von zwei ausserehelichen Kindern Kenntnis gehabt habe, sei die erleichterte Einbürgerung bewilligt worden. Die Nichtigerklärung sei eine einschneidende Massnahme, die auf Verfehlungen des Ausländers beruhen müsse. Der Beschwerdeführer habe sich aber ausnahmslos korrekt verhalten.
4.2 Nach Art. 27 Abs. 1 BüG kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einem Schweizer Bürger ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er: a) insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat; b) seit einem Jahr hier wohnt und c) seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit dem Schweizer Bürger lebt. Die Rechtsprechung verlangt das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft, wobei der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt sein muss. Sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids muss eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet (<ref-ruling> E. 2 S. 165 mit Hinweis).
Nach Art. 41 Abs. 1 BüG und Art. 14 Abs. 1 der Organisationsverordnung vom 17. November 1999 für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (SR 172.213.1) kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Nach der Rechtsprechung muss die Einbürgerung mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden sein. Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass die betroffene Person bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, diese über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 2 S. 165 mit Hinweis).
In verfahrensrechtlicher Hinsicht hat die Behörde von Amtes wegen zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde (Art. 12 VwVG). Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden. Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehr der Beweislast (<ref-ruling> E. 3 S. 166; <ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Es genügt, wenn die betroffene Person den Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerungen erbringen kann. Dabei kann sie einen oder mehrere Gründe angeben, die es plausibel erscheinen lassen, dass sie im Zeitpunkt ihrer Erklärung mit dem Schweizer Ehepartner in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder die betroffene Person kann darlegen, aus welchem Grund sie die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als sie die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (<ref-ruling> E. 3 S. 166 mit Hinweisen).
In verfahrensrechtlicher Hinsicht hat die Behörde von Amtes wegen zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde (Art. 12 VwVG). Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden. Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehr der Beweislast (<ref-ruling> E. 3 S. 166; <ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Es genügt, wenn die betroffene Person den Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerungen erbringen kann. Dabei kann sie einen oder mehrere Gründe angeben, die es plausibel erscheinen lassen, dass sie im Zeitpunkt ihrer Erklärung mit dem Schweizer Ehepartner in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder die betroffene Person kann darlegen, aus welchem Grund sie die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als sie die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (<ref-ruling> E. 3 S. 166 mit Hinweisen).
4.3 4.3.1 Die Tochter des Beschwerdeführers und seiner 19 1⁄2 Jahre älteren schweizerischen Ehefrau kam im März 1981 zur Welt. Nachdem diese bis im November 1981 mit einem Schweizer verheiratet war, heiratete sie den Beschwerdeführer im Juli 1982. Ein erstes Einbürgerungsgesuch des Beschwerdeführers wurde 1992 abgewiesen. Im Jahr 1994 begann er in seinem Herkunftsland (Türkei) ein Verhältnis mit einer 14 Jahre jüngeren türkischen Staatsangehörigen. 1996 wurde sein zweites Einbürgerungsgesuch abgewiesen, weil er vorgehabt habe, nach der Einbürgerung definitiv in sein Herkunftsland zurückzukehren. Seine Ehefrau und das gemeinsame Kind wären in der Schweiz geblieben. Im gleichen Jahr (1996) entsprang dem Verhältnis mit der türkischen Staatsangehörigen die erste aussereheliche Tochter. Ein 1997 gestelltes Einbürgerungsgesuch blieb erfolglos. Mit der türkischen Staatsangehörigen zeugte der Beschwerdeführer in der Folge zwei weitere aussereheliche Töchter (geb. 1998 und 2004). Im Jahr 2001 ersuchte er um erleichterte Einbürgerung. Die Ehegatten gaben gegenüber den Einbürgerungsbehörden im September 2003 die Erklärung zum Zustand der Ehe ab. Da die letzte der drei ausserehelichen Töchter im Mai 2004 zur Welt kam, wurde sie kurz nach dieser Erklärung gezeugt. Über das Verhältnis des Beschwerdeführers zur türkischen Staatsangehörigen war seine schweizerische Ehefrau seit 1994 informiert. Von den ausserehelichen Töchtern erfuhr sie jeweils kurz nach deren Geburt. Sie hat wegen der gemeinsamen Tochter nicht darauf reagiert. Die drei ausserehelichen Töchter wohnten zusammen mit ihrer Mutter bei den Eltern des Beschwerdeführers in der Türkei, welchen er dafür Geld gab. Der Beschwerdeführer besuchte die ausserehelichen Kinder regelmässig ("z.B. jedes Quartal"), allerdings nie in Begleitung seiner schweizerischen Ehefrau. Im Jahr 2008 leiteten die Ehegatten das Scheidungsverfahren ein. Der Beschwerdeführer heiratete am 1. Juni 2009 in der Türkei die Mutter seiner drei ausserehelichen Töchter.
4.3.2 Aufgrund dieser Umstände ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer ein Doppelleben führte. Den Ehegatten ist es nicht verwehrt, ihre Ehe in jeglicher Hinsicht offen zu gestalten. Die erleichterte Einbürgerung setzt indessen nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe voraus, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (<ref-ruling> E. 2 S. 165). Das Zeugen von drei ausserehelichen Kindern mit derselben Frau, mit welcher der Beschwerdeführer während seiner Ehe über Jahre hinweg eine aussereheliche Beziehung pflegte, spricht gegen einen intakten Willen zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft mit der schweizerischen Ehefrau. Der Beschwerdeführer hat sich in seinem Herkunftsland eine Zweitfamilie aufgebaut, indem er nicht nur die ausserehelichen Kinder, sondern auch deren Mutter bei seinen Eltern unterbrachte und sie finanziell unterstützte. Zusammen mit dem Aussageverhalten der früheren Ehefrau und dem grossen Altersunterschied zwischen ihr und dem Beschwerdeführer ergibt sich, wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, die tatsächliche Vermutung, dass der Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft im Zeitpunkt der Einbürgerung nicht mehr intakt war. Dass die Einbürgerungsbehörde im Zeitpunkt der Einbürgerung von zwei ausserehelichen Kindern Kenntnis hatte, ändert daran nichts. Es ist zulässig von später bekannt werdenden Umständen auf die Qualität der früheren ehelichen Gemeinschaft zu schliessen. Unter diesem Gesichtswinkel können auch Umstände, die im Zusammenhang mit der Einbürgerung geprüft worden sind, in neuem Licht erscheinen. Insoweit darf aufgrund von bekannten Tatsachen als Vermutungsbasis auf unbekannte Tatsachen als Vermutungsfolge geschlossen werden. Ein solcher Schluss kann umgestossen werden, wenn plausible Gründe für die frühere Stabilität angegeben oder ausserordentliche, zum raschen Zerfall der Ehe führende Ereignisse genannt werden können. Dem Beschwerdeführer gelingt dies nicht.
Zwar war der Beschwerdeführer während 26 Jahren mit der Schweizer Bürgerin verheiratet, doch sagt dies nichts über die Qualität der Ehe im Zeitpunkt der Einbürgerung aus. Die Vorinstanz verletzt kein Bundesrecht, wenn sie aufgrund der gegebenen Umstände davon ausgeht, dass der Ehewille in der ursprünglich intakten Ehe dahingefallen ist.
Das Bundesamt hatte im Zeitpunkt der Einbürgerung keine Kenntnis von der ausserehelichen Beziehung des Beschwerdeführers. Es ist unbehelflich, wenn der Beschwerdeführer vorbringt, er habe im Zeitpunkt der Einbürgerung von der Schwangerschaft keine Kenntnis gehabt und die dritte aussereheliche Tochter sei erst nach der Einbürgerung zur Welt gekommen. Massgebend ist nicht, dass er während des Einbürgerungsverfahrens ein aussereheliches Kind zeugte, sondern dass er in seinem Herkunftsland eine Zweitbeziehung führte. Unbehelflich ist auch der Einwand, der Beschwerdeführer habe sich ausnahmslos korrekt verhalten. Die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung setzt kein strafrechtliches, sondern ein unlauteres und täuschendes Verhalten voraus (<ref-ruling> E. 2 S. 165). Der Beschwerdeführer hätte die Einbürgerungsbehörde über seine aussereheliche Beziehung informieren müssen. Dass diese Tatsache erheblich war, musste ihm spätestens nach seinem zweiten erfolglosen Einbürgerungsgesuch bewusst sein. Indem er die Einbürgerungsbehörde nicht informierte, hat er die erleichterte Einbürgerung erschlichen.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, er lebe seit 31 Jahren in der Schweiz. Ihm habe auch die ordentliche Einbürgerung offen gestanden. Im Ergebnis werde er schlechter gestellt als ein Ausländer, der das Bürgerrecht auf dem ordentlichen Weg erlange.
5.2 Die Möglichkeit einer ordentlichen Einbürgerung nach Art. 12 ff. BüG steht der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung nicht entgegen. Die ordentliche und die erleichterte Einbürgerung unterscheiden sich nicht nur in den inhaltlichen Voraussetzungen, sondern auch hinsichtlich der Zuständigkeit und des Verfahrens. Die Eigenheiten der ordentlichen Einbürgerung sind zu beachten und dürfen im Verfahren der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung nicht umgangen werden (Urteil 1C_340/2008 vom 18. November 2008 E. 4). Die Voraussetzungen der ordentlichen Einbürgerung können deshalb im vorliegenden Verfahren nicht geprüft werden. Die Beschwerde ist insofern abzuweisen.
6. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. August 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Christen