Faits :
A.
A.a. Par décision du 29 juin 2007, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande de prestations de l'assurance-invalidité présentée le 14 mai 2004 par A._. Celle-ci a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui, Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public), qui a annulé la décision administrative et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants (jugement du 24 juillet 2009).
Après avoir complété l'instruction, l'office AI a informé l'assurée, le 2 septembre 2010, qu'il comptait derechef refuser le droit à la rente d'invalidité. Par courrier du 30 septembre 2010, A._ a indiqué à l'administration que son état de santé s'était dégradé au cours des derniers mois et qu'elle avait dû être hospitalisée d'urgence au Centre B._. Elle a par ailleurs contesté le projet de décision du 2 septembre 2010, en reprochant à l'office AI de ne pas avoir tenu compte de ses problèmes d'équilibre et de son état dépressif. Par décision du 11 novembre 2010, l'office AI a nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité. Le recours formé par A._ contre cette décision a été rejeté par le Tribunal administratif neuchâtelois, le 17 novembre 2011.
A.b. Le 30 novembre 2011, A._ a présenté une nouvelle demande de prestations, en y joignant un rapport du Centre B._ (du 9 août 2011) relatif à un séjour hospitalier du 13 décembre 2010 au 24 juin 2011. Entre autres mesures d'instruction, l'office AI a soumis l'assurée à une expertise pluridisciplinaire auprès des médecins de la Clinique C._. Dans leur rapport du 25 juin 2013, ceux-ci ont fait état d'une évolution défavorable de la problématique psychiatrique depuis 2007 qui justifiait une incapacité de travail complète dans toute activité à partir du 30 septembre 2010 jusqu'au 30 juin 2011; à partir du 1 er juillet 2011, on pouvait exiger de l'assurée qu'elle mît à profit une capacité de travail de l'ordre de 50%. Se fondant sur ces conclusions, l'office AI a, par décision du 24 janvier 2014, alloué à A._ un trois quarts de rente d'invalidité dès le 1er mai 2012.
B.
L'assurée a déféré cette décision au Tribunal cantonal neuchâtelois, Cour de droit public, en concluant à l'annulation de la décision administrative et à l'octroi d'un trois quarts de rente à compter du 1er septembre 2011. Elle a été déboutée par jugement du 12 juin 2014.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande en substance au Tribunal fédéral de lui reconnaître le droit à un trois quarts de rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er septembre 2011. À titre subsidiaire, elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle lui octroie un trois quarts de rente dès ladite date.
Le Tribunal fédéral a renoncé à procéder à un échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), n'examine en principe que les griefs invoqués (<ref-law>) et fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>). Il a néanmoins la faculté de rectifier ou de compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes (<ref-law>). Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation des faits que si ceux-ci ont été établis en violation du droit selon l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire aux termes de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 1.1.2 p. 252).
2.
Au regard des conclusions du recours (cf. <ref-law>), le droit de la recourante à un trois quarts de rente à partir du 1er mai 2012 n'est pas contesté. Le litige porte uniquement sur son droit au versement de cette prestation du 1er septembre 2011 au 30 avril 2012. À cet égard, le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales et la jurisprudence sur le début du droit à une rente d'invalidité et sur les modalités de l'exercice du droit aux prestations. Il suffit d'y renvoyer.
3.
La juridiction cantonale a constaté que la prétention de la recourante à un trois quarts de rente avait pris naissance le 1er mai 2012, soit au terme de six mois à compter de la date du dépôt de la nouvelle demande (le 29 [recte 30] novembre 2011). En revanche, le courrier de la recourante du 30 septembre 2010 ne pouvait pas être considéré comme une nouvelle demande de prestations antérieure à celle du 29 novembre 2011. L'assurée l'avait adressé à l'intimé dans le cadre de l'exercice de son droit d'être entendue par rapport au projet de refus de rente du 2 septembre 2010; l'aggravation de l'état de santé qu'elle y faisait valoir visait à retarder le prononcé de la décision administrative, en attendant le résultat d'éventuelles nouvelles investigations médicales; le contenu même du courrier ne permettait pas de déduire une volonté explicite de l'assurée de percevoir de nouvelles prestations à la suite d'une aggravation de son état de santé. La recourante ne pouvait par ailleurs rien déduire en sa faveur de la décision de l'intimé du 11 novembre 2010, dans laquelle celui-ci mentionnait certes une éventuelle nouvelle atteinte, mais sans référence au dépôt d'une nouvelle demande de rente. L'autorité cantonale de recours a également déduit d'une notice du 4 octobre 2010 au dossier de l'intéressée, que le conseil de celle-ci aurait dû se rendre compte, à la lecture de ladite notice, que son courrier du 30 septembre 2010 ne satisfaisait pas aux exigences requises pour présenter une nouvelle demande et que l'envoi d'une formule officielle était nécessaire.
De plus, à défaut de volonté reconnaissable de la recourante de requérir de nouvelles prestations, l'office AI n'avait pas à lui adresser une formule de demande de prestations, ce d'autant moins que l'aggravation de l'état de santé psychique avait été annoncée au cours de la procédure relative à la demande initiale. À l'issue de celle-ci, les juges cantonaux avaient constaté que l'affection psychique dont souffrait l'assurée n'avait pas de caractère invalidant et leurs décisions (des 24 juillet 2009 et 17 novembre 2011) avaient acquis force de chose jugée. Toujours selon l'autorité judiciaire de première instance, même si le courrier du 30 septembre 2010 devait être considéré comme une demande informelle, la demande officielle qui y faisait suite était en tous les cas tardive, parce qu'elle avait été présentée plus d'une année plus tard. En définitive, l'office AI n'avait pas fait preuve de formalisme excessif en retenant le 29 (recte 30) novembre 2011 comme la date du dépôt de la nouvelle demande de prestations d'assurance. Aussi, le début du droit aux trois quarts de rente avait-il été fixé à juste titre au 1er mai 2012, en application de l'<ref-law>.
4.
L'argumentation de la recourante, par laquelle elle fait essentiellement valoir que son courrier du 30 septembre 2010 devait être considéré comme une nouvelle demande de prestations "régularisée" par la demande subséquente du 30 novembre 2011 et sauvegardant le délai prévu par l'<ref-law> dès la première demande du 30 septembre 2010, ne peut pas être suivie. La recourante ne parvient pas à démontrer en quoi les constatations de la juridiction cantonale seraient manifestement inexactes, insoutenables ou autrement contraires au droit. Ses critiques reposent en effet sur sa propre appréciation des pièces au dossier, ce qui ne suffit pas à établir le caractère insoutenable de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale.
4.1. Tout d'abord, la recourante affirme en vain que son courrier du 30 septembre 2010 indiquait clairement que l'aggravation de son état de santé pouvait changer l'analyse faite par l'administration et amener à l'octroi de nouvelles prestations. Une telle "indication claire" ne ressort nullement de la lettre en cause. Par cette correspondance, la recourante a contesté le projet de décision du 2 septembre 2010, par laquelle l'administration l'avait informée de son intention de rejeter sa demande de prestations parce que ses problèmes de santé ne diminuaient pas la capacité de travail. La recourante y a mentionné une aggravation de son état de santé au cours des derniers mois (hospitalisation d'urgence le 29 septembre 2010), en indiquant qu'elle n'allait pas manquer de tenir l'administration au courant du suivi. Elle a ajouté contester le projet de décision, motif pris des problèmes d'équilibre et de l'état dépressif dont elle souffrait (en relation avec l'hospitalisation). Elle a par ailleurs précisé que si l'office AI n'acceptait pas de patienter jusqu'à ce que l'établissement hospitalier établît un rapport circonstancié, il allait de soi qu'elle devait recourir contre toute décision négative qui pouvait être prise à son encontre. Elle soulignait qu'il était peut-être plus judicieux, à ce stade, d'attendre "le dépôt des rapports et les résultats des investigations qui ser[aient] pratiquées par les médecins du Centre B._...".
À la lecture du courrier du 30 septembre 2010, on constate qu'il ne comprend aucun élément dont il y aurait lieu de déduire l'intention ou la volonté de la recourante de faire valoir des - nouvelles - prestations en dehors du cadre de sa demande initiale (du 14 mai 2004). L'aggravation de l'état de santé est mentionnée explicitement en relation avec le caractère opportun - aux yeux de l'assurée - pour l'office AI, d'attendre que le résultat des constatations médicales y relatives puisse être versé au dossier avant qu'il rende sa décision. Il ressort par ailleurs clairement des termes mêmes du courrier que dans l'éventualité où l'administration n'entendait pas attendre le résultat médical, la recourante allait recourir contre toute décision négative (ce qu'elle a du reste fait par la suite). L'aggravation de l'état de santé dont se prévalait la recourante à ce moment-là était dès lors invoquée pour que la procédure administrative fût complétée par un rapport médical sur les raisons de son hospitalisation; il n'était pas question, en revanche, d'autres (et nouvelles) prestations que celles qui faisaient l'objet de la demande initiale.
4.2. Contrairement à ce qu'allègue ensuite la recourante, on ne saurait déduire de la décision du 11 novembre 2010 que "l'intimé a immédiatement compris que l'aggravation de l'état de santé allait entraîner une nouvelle analyse du cas" et qu'il avait perçu sa volonté d'obtenir des prestations en raison de cette aggravation. L'administration a fait référence à l'hospitalisation de la recourante, qualifiée de fait nouveau, afin d'expliquer les raisons pour lesquelles elle n'entendait pas compléter son instruction sur les aspects psychiques ou somatiques de l'état de santé de la recourante. En particulier, comme toute problématique psychique avait été écartée par des expertises antérieures, il s'agissait à son avis d'une nouvelle atteinte dont il y avait lieu, le cas échéant, de tenir compte uniquement si elle entraînait des effets incapacitants pendant plus d'une année sans interruption. On cherche dès lors en vain dans la décision du 11 novembre 2010 des indices d'une prétendue reconnaissance, par l'intimé, de la volonté de la recourante de faire valoir de nouvelles prestations d'assurance.
4.3. Au regard de ce qui précède, l'intimé n'avait pas non plus à transmettre à la recourante une formule de demande de prestations, en l'invitant à la remplir dans un certain délai. Comme le rappelle la recourante, la jurisprudence exige que lorsque l'assuré fait valoir son droit par un acte écrit qui ne répond pas à l'exigence formelle prévue à l'<ref-law> (art. 46 aLAI, abrogé au 1er janvier 2003), l'assureur social envoie une formule adéquate à l'assuré en l'invitant à la remplir dans un délai donné (cf. <ref-ruling>); le principe de la bonne foi veut en effet que l'administration ne reste pas passive devant une demande qui ne satisfait pas aux exigences (arrêt I 81/06 du 8 juin 2006).
Cette règle suppose toutefois que l'assuré exprime, d'une manière ou d'une autre, sa volonté de présenter une (nouvelle) demande de prestations de l'assurance sociale. Or une telle volonté ne pouvait pas être déduite des pièces dont se prévaut la recourante. Le point de savoir si, en sus, celle-ci aurait ou non dû savoir, au regard de la note interne de l'administration du 4 octobre 2010 relative à la nécessité de déposer une nouvelle demande en rapport avec une aggravation de l'état de santé, qu'elle devait présenter une telle demande ne joue pas de rôle. Dès lors que l'assurée n'avait pas manifesté, par sa correspondance du 30 septembre 2010, son intention, voire sa volonté, de faire valoir de nouvelles prestations, autres que celles demandées par la requête initiale du 14 mai 2004, en relation avec l'aggravation de son état de santé, l'office AI n'avait pas à réagir par l'envoi de la formule officielle.
Il s'ensuit, en outre, qu'en l'absence de toute demande - le courrier du 30 septembre 2010 n'en constitue pas une -, la nouvelle demande du 30 novembre 2011 ne pouvait pas "régulariser" ou "réparer" une requête informelle antérieure, comme le soutient à tort la recourante.
4.4. En conséquence de ce qui précède, le recours se révèle en tous points mal fondé.
5.
Vu l'issue de la procédure, la recourante doit prendre en charge les frais judiciaires y afférents et ne peut prétendre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 novembre 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kernen
La Greffière : Moser-Szeless