Faits:
A. A.a C._ est né à Genève en 2001, d'une relation hors mariage entre B._, ressortissante philippine, et A._, de nationalités libanaise et, désormais, suisse. Le père a reconnu l'enfant le 28 mars 2002.
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Les relations entre les parents se sont rapidement détériorées, en particulier quant à l'exercice du droit de visite du père. Une convention alimentaire en faveur de l'enfant a été signée par les parties le 26 juin 2002. Par ordonnance du 21 août 2002, le Tribunal tutélaire du canton de Genève a instauré une curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles entre le père et l'enfant.
La mère, qui se trouvait à Genève dans une situation précaire, sur le plan administratif en particulier, a fait l'objet d'une mesure de renvoi prise le 21 juin 2002 par l'Office cantonal de la population. Elle est rentrée aux Philippines avec l'enfant en septembre 2002.
Par décision du 19 juin 2003, le Tribunal tutélaire a écarté la demande formulée par le père tendant à obtenir la garde de son fils, demande fondée sur une attestation de la mère en ce sens du 22 mars 2003.
A.b Depuis le 15 octobre 2004, l'enfant, au bénéfice d'un permis de séjour, vit en Suisse avec son père qui est allé le chercher aux Philippines avec le consentement de la mère, laquelle soutient toutefois que l'intéressé devait lui ramener son fils en mars 2005.
Le père s'est rendu aux Philippines avec l'enfant le 9 août 2006. Dans un document signé le 2 août 2006, la mère avait préalablement affirmé lui avoir transféré la garde de son fils en raison de sa situation financière meilleure que la sienne, ajoutant qu'elle donnait d'ores et déjà son accord au retour de l'enfant en Suisse après sa visite.
L'enfant vit depuis lors toujours avec son père, l'épouse de ce dernier et leur enfant, à Genève, ville dans laquelle il est scolarisé; il entretient cependant des contacts téléphoniques avec sa mère.
Le Service social international (ci-après: SSI) aux Philippines a établi plusieurs rapports concernant la situation de la famille de la mère dans ce pays. Dans le dernier, daté du 1er août 2006, le SSI a mentionné que celle-ci regrettait d'avoir autorisé le père à emmener son fils avec lui et qu'elle souhaitait le récupérer. En conclusion, il a recommandé de confier la garde de l'enfant à la mère.
Le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) à Genève a également établi un rapport en date du 6 juillet 2006. Il en ressort que le père s'occupe bien de l'enfant, dont la scolarité se déroule normalement. Selon ce service, il n'était pas possible de préaviser sur l'attribution de l'enfant à l'un ou l'autre de ses parents.
A.c Par requête du 27 octobre 2006, adressée à l'Autorité de surveillance des tutelles du canton de Genève, le père a demandé le retrait, à son profit, de l'autorité parentale sur l'enfant détenue par la mère. Le représentant du SSI à Genève, entendu à cette occasion, a déclaré, après avoir pris connaissance du rapport du SPMi, qu'il avait informé la mère que la situation de l'enfant auprès de son père était bonne et qu'un retour aux Philippines ne serait pas dans son intérêt. Des solutions étaient donc à l'examen pour permettre un rapprochement géographique de la mère et de l'enfant.
Par décision du 23 avril 2007, l'Autorité de surveillance a rejeté la requête. Elle a considéré, en substance, qu'il n'existait pas de motifs justifiant qu'une telle mesure soit prononcée à l'encontre de la mère; s'agissant des attestations relatives au transfert de la garde de l'enfant émanant de celle-ci, l'autorité cantonale a retenu que, sans entrer en discussion sur le fait de savoir si ces attestations avaient été ou non signées sous la contrainte - comme l'intéressée le prétendait - il fallait en tout état relever que de tels documents n'équivalaient ni à une renonciation à l'autorité parentale, ni à un transfert définitif de la garde, la mère affirmant avoir voulu remettre l'enfant à son père pour une période limitée, voire uniquement pour des vacances. Cette décision n'a pas fait l'objet d'un recours et est donc entrée en force.
B. B.a Le 16 novembre 2007, la mère a saisi le Tribunal tutélaire d'une requête urgente en placement de l'enfant. Elle a en outre demandé des conseils pour organiser le retour de celui-ci aux Philippines.
Par ordonnance du 7 décembre 2007, le Tribunal tutélaire, considérant que la mère, titulaire de l'autorité parentale et de la garde de l'enfant, se trouvait empêchée d'agir, faute d'autorisation de venir à Genève, pour préparer et organiser le retour de son fils aux Philippines, a désigné une curatrice à ces fins, en application de l'<ref-law>.
Tant la mère que le père ont appelé de cette décision, la première le 18 décembre 2007 et le second le 21 décembre 2007.
Statuant le 6 février 2008 sur les deux recours, l'Autorité de surveillance a confirmé l'ordonnance du 7 décembre 2007. Elle a en outre fait interdiction au père de déplacer l'enfant hors de Suisse, l'enjoignant de déposer sans délai les papiers d'identité de son fils en mains du Tribunal tutélaire. L'autorité cantonale a déclaré sa décision exécutoire nonobstant recours et prononcé qu'elle serait notifiée aux parties sous la menace - en cas d'inexécution - de la peine d'amende prévue par l'<ref-law>. Toutes autres conclusions ont été rejetées.
B.b Parallèlement, le père a demandé au Tribunal tutélaire, le 21 décembre 2007, d'ouvrir une nouvelle instruction en vue de lui attribuer le droit de garde sur l'enfant, au motif qu'il l'exerçait en fait depuis octobre 2004.
Par lettre du 7 février 2008, le Tribunal tutélaire a invité le père a déposer sans délai tous les papiers d'identité de l'enfant auprès de lui, conformément au dispositif de la décision de l'Autorité de surveillance du 6 février 2008. Il a par ailleurs refusé d'entrer en matière sur la demande d'instruction formulée par l'intéressé "en vue d'un réexamen de la situation de l'enfant et de l'attribution de la garde au père".
Statuant le 2 avril 2008, l'Autorité de surveillance a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours déposé par le père contre ce courrier.
C. A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision du 6 février 2008, relative à la nomination d'une curatrice, ainsi qu'un recours en matière civile assorti d'un recours constitutionnel subsidiaire contre celle du 2 avril 2008, confirmant le refus d'entrer en matière sur une attribution du droit de garde au père.
Dans son premier mémoire, concernant la décision du 6 février 2008 (5A_140/2008), il conclut à l'annulation de l'acte attaqué et au renvoi de la cause à l'Autorité de surveillance pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Dans le second, visant la décision du 2 avril 2008 (5A_263/2008), il sollicite de même l'annulation de l'acte attaqué et demande le renvoi du dossier au Tribunal tutélaire, subsidiairement, à l'Autorité de surveillance, pour qu'il soit statué sur la requête en transfert du droit de garde déposée le 21 décembre 2007.
L'intimée propose le rejet des recours.
Les parties sollicitent l'octroi de l'assistance judiciaire dans les deux procédures.
D. Par ordonnance du 20 mars 2008, le président de la cour de céans a attribué l'effet suspensif au recours en ce qui concerne la désignation d'une curatrice pour préparer et organiser le retour de l'enfant, et a rejeté la demande pour le surplus (5A_140/2008).

Considérant en droit:
1. Les recours sont dirigés contre des décisions cantonales qui opposent les mêmes parties, concernent un complexe de faits identiques et comportent des liens étroits. Dès lors, il se justifie de les joindre et de statuer à leur sujet par un seul arrêt (<ref-law>, applicable par analogie vu le renvoi de l'<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 p. 60/61; <ref-ruling> consid. 1 p. 194; <ref-ruling> consid. 1 p. 394; <ref-ruling> consid. 1 p. 271 s.).
2. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 117; <ref-ruling> consid. 2 p. 465, 629 consid. 2 p. 630 et les arrêts cités).
2.1 Interjetés dans le délai légal (<ref-law>) par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente (<ref-law>) et dirigés contre des décisions finales (<ref-law>) rendues par la dernière instance cantonale en matière de mesures tutélaires dans le canton de Genève (art. 35 de la loi sur l'organisation judiciaire [LOJ/GE; RSG E 2 05], <ref-law>), dans des affaires non pécuniaires de droit public connexes au droit civil (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 et 7 LTF), les recours en matière civile sont en principe recevables. Partant, le recours constitutionnel subsidiaire ne l'est pas (<ref-law>).
2.2 Bien que le père ne soit pas titulaire des droits parentaux sur l'enfant, il a qualité pour recourir, en qualité de tiers intéressé (<ref-law>), contre une décision de l'autorité de surveillance selon l'<ref-law>, cette prérogative n'étant pas réservée à celui qui jouit "d'un droit légal sur l'enfant [i.e. autorité parentale ou droit de garde]", mais appartenant, d'une façon générale, à quiconque invoque les intérêts de la personne à protéger ou se plaint d'une violation de ses propres droits ou intérêts (<ref-ruling> consid. 2a p. 3; arrêt 5C.51/2005 du 23 avril 2008, consid. 2.1). Or tel est le cas ici. En tant qu'elle fixe à la curatrice la mission de préparer et d'organiser le retour de l'enfant aux Philippines, la décision du 6 février 2008 a pour conséquence un changement de lieu de résidence de celui-ci et une modification des relations personnelles avec son père. Sous cet angle, elle concerne aussi bien les intérêts de l'enfant que ceux du père, qui sont directement affectés par la mesure ordonnée. Il en va de même de la décision du 2 avril 2008, en tant qu'elle confirme le refus du Tribunal tutélaire d'entrer en matière sur le transfert du droit de garde au père. Le recourant est ainsi recevable à agir pour lui-même comme pour l'enfant.
2.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire selon l'art. 9 Cst. (Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 p. 4135 ch. 4.1.4.2; <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252, 384 consid. 4.2.2 p. 391), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui entend s'écarter des constatations de l'autorité cantonale doit exposer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une des exceptions prévues par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui figurant dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254/255; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 466/467; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 152). Les faits nouveaux et les preuves nouvelles sont prohibés à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). En l'espèce, les faits retenus par les décisions attaquées ne donnent pas lieu à contestation.
2.4 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties. Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 152). Il ne connaît de la violation des droits fondamentaux ou du droit cantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), les exigences de motivation correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254; <ref-ruling> consid. 6 p. 397).
2.5 Compte tenu de la nationalité étrangère de la mère et de l'enfant, le conflit présente un élément d'extranéité. En vertu de l'art. 1er de la Convention de la Haye, du 5 octobre 1961, concernant la compétence des autorités et la loi applicable en matière de protection des mineurs (RS 0.211.231.01; ci-après: la Convention), réservée à l'<ref-law>, les autorités, tant judiciaires qu'administratives, de l'État de la résidence habituelle d'un mineur sont en principe compétentes pour prendre des mesures - prévues par leur loi interne (art. 2 de la Convention) - tendant à la protection de sa personne ou de ses biens. La Suisse, qui n'a pas fait usage de la réserve de l'art. 13 al. 3 de la Convention, accepte son application à tous les mineurs qui ont leur résidence habituelle dans un des États contractants (Bucher/Bonomi, Droit international privé, 2ème éd., n. 774-775 p. 212). L'institution d'une mesure fondée sur l'<ref-law> constitue une mesure de protection de l'enfant au sens de ce traité (Siehr, Zürcher Kommentar zum IPRG, 2ème éd. 2004, n. 26 let. c ad <ref-law>). Il en va de même de la question du transfert du droit de garde selon l'<ref-law> (Siehr, op. cit., n. 26 let. e ad <ref-law>).
La notion de résidence habituelle d'un mineur, au sens de la Convention, est axée sur une situation de fait et implique la présence physique dans un lieu donné; la résidence habituelle d'un enfant se détermine ainsi d'après le centre effectif de sa propre vie (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 292; Siehr, op. cit., n. 18 ad <ref-law>). Or, il résulte de l'arrêt entrepris que le lieu de vie effectif du mineur se situe, depuis le mois d'octobre 2004, dans le canton de Genève, où il réside avec son père, l'épouse de celui-ci et leur enfant commun et où il poursuit sa scolarité. Il y a donc lieu de considérer qu'il s'y est créé son lieu de résidence habituelle, nonobstant le fait que l'intimée détient les droits parentaux sur lui. Partant, les autorités suisses sont compétentes pour prendre les mesures de protection de l'enfant prévues par le droit suisse.
3. En ce qui concerne la décision de l'Autorité de surveillance du 2 avril 2008 (5A_263/2008), rejetant, dans la mesure de sa recevabilité, le recours dirigé contre le courrier du Tribunal tutélaire du 7 février 2008, le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir confirmé le refus de cette juridiction d'ouvrir une nouvelle instruction visant à lui transférer le droit de garde sur l'enfant. Il se plaint sur ce point de déni de justice formel (art. 29 al. 1 et 2 Cst., art. 6 § 1 CEDH) et matériel (art. 9 Cst.), de violation du principe de la maxime d'office et inquisitoire, applicable en matière de protection de l'enfant, ainsi que de violation des art. 3 § 1, 9 § 2 et 12 CDE. Selon lui, la déchéance de l'autorité parentale étant une mesure plus incisive que le retrait du droit de garde, les juges cantonaux ne pouvaient considérer que la question du transfert de celui-ci avait déjà été tranchée dans la décision de l'Autorité de surveillance du 23 avril 2007, qui ne concernait que l'autorité parentale, d'autant plus que ces deux mesures, distinctes, ne relèvent pas de la même juridiction.
3.1 L'<ref-law> prévoit que lorsqu'elle ne peut éviter autrement que le développement de l'enfant ne soit compromis, l'autorité tutélaire retire l'enfant aux père et mère ou aux tiers chez qui il se trouve et le place de façon appropriée. La première condition d'une telle mesure est l'existence d'une menace, d'un danger pour le développement de l'enfant. En outre, le danger doit être tel qu'il soit impossible de le prévenir par les mesures moins énergiques prévues aux art. 307 et 308 CC; sa cause doit résider dans le fait que le développement corporel, intellectuel ou moral de l'enfant n'est pas assez protégé ou encouragé dans le milieu de ses père et mère ou dans le milieu où ceux-ci l'ont placé (Hegnauer/Meier, Droit suisse de la filiation, 4ème éd., 1998, n. 27.36; Stettler, Droit suisse de la filiation, Traité de droit privé suisse, vol. III/II/1, 1987, p. 554; cf. Häfeli, Die Aufhebung der elterlichen Obhut nach Art. 310 ZGB, in RDT 2001 p. 111 ss). Comme toute mesure de protection de l'enfant, le retrait du droit de garde - qui est une composante de l'autorité parentale (<ref-ruling> consid. 4a p. 9/10 et les références citées) - est aussi régi par les principes de subsidiarité, complémentarité et proportionnalité (Hegnauer/Meier, op. cit., n. 27.10 ss p. 185 s.). Dès lors qu'il s'agit d'une mesure servant à protéger l'enfant, il est sans pertinence que les parents n'aient pas commis de faute; parmi tous les autres facteurs pertinents, le souhait de l'enfant doit être pris en considération (arrêt 5C.117/2002 du 1er juillet 2002, consid. 3, in FamPra.ch 2002 p. 854).
Dans le canton de Genève, l'autorité compétente pour prononcer le retrait du droit de garde est le Tribunal tutélaire (art. 2 al. 1 de la loi d'application du code civil et du code des obligations [LaCC/GE; RSG E 1 0 5]).
Le retrait de l'autorité parentale, prévu à l'<ref-law>, équivaut à la perte d'un droit élémentaire de la personnalité. Il n'est admissible que si d'autres mesures protectrices pour prévenir le danger que court l'enfant - à savoir, notamment, le retrait du droit de garde selon l'<ref-law> - sont d'emblée insuffisantes. Lorsque les parents n'arrivent pas à remplir leurs devoirs découlant des art. 301 à 306 CC, il suffit de leur retirer la garde de l'enfant; pour la déchéance de l'autorité parentale, il faut en revanche un motif supplémentaire, tel qu'une maladie psychique, une infirmité, une faiblesse intellectuelle ou l'incapacité de participer à l'éducation donnée à l'enfant par des tiers en raison d'absence sans possibilité de contacts réguliers (Breitschmid, Basler Kommentar, 3ème éd., n. 7 ad art. 311/312 CC).
Le retrait de l'autorité parentale ressortit, dans le canton de Genève, à l'Autorité de surveillance des tutelles, qui est une chambre de la Cour de justice (art. 5 al. 1 LaCC/GE, art. 35 LOJ/GE).
Les mesures de protection de l'enfant (<ref-law>) peuvent être modifiées en tout temps en cas de changement des circonstances (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4d p. 386).
3.2 En l'espèce, le Tribunal tutélaire a écarté, par décision du 19 juin 2003, une première demande du père tendant à obtenir la garde de son fils, déposée alors que celui-ci résidait aux Philippines avec sa mère depuis septembre 2002. Se prévalant d'un changement de circonstances, le père a une nouvelle fois requis cette autorité, le 21 décembre 2007, de lui attribuer le droit de garde sur son fils après avoir réexaminé sa situation, arguant que l'enfant, au bénéfice d'un permis de séjour, vivait avec lui à Genève depuis le 15 octobre 2004.
Dans sa décision du 7 février 2008, ledit tribunal a refusé d'entrer en matière sur ce point. Le 2 avril 2008, le recours déposé par le père a été rejeté, en tant qu'il était recevable, par l'Autorité de surveillance. Elle a considéré que, même si le courrier du tribunal de première instance devait être considéré comme une décision susceptible d'appel, en tant qu'il comportait un refus d'ouvrir une instruction, cette décision était parfaitement justifiée et devait être confirmée: le dossier comportait une instruction complète ainsi qu'un rapport d'évaluation du SPMi et rien ne justifiait, en l'absence d'éléments nouveaux pertinents, qu'il en soit requis un autre.
3.3 En tant que l'Autorité de surveillance considère que la lettre du Tribunal tutélaire du 7 février 2008 n'est pas une décision, elle aurait dû admettre le recours du père pour déni de justice formel, puisqu'ayant déposé une requête en transfert du droit de garde, il avait droit à ce qu'il soit statué sur celle-ci.
Au demeurant, par le retrait du droit de garde, le détenteur de l'autorité parentale ne perd que la compétence de déterminer le lieu de résidence et le mode de prise en charge de l'enfant (<ref-ruling> consid. 4a p. 9 s. et les références citées). La déchéance de l'autorité parentale présente un caractère plus radical. Comme il a été exposé plus haut, lorsque les parents n'arrivent pas à remplir leurs devoirs découlant des art. 301 à 306 CC, il suffit de leur retirer la garde sur l'enfant; le critère essentiel qui doit guider les autorités est la protection du développement de l'enfant, tant sur le plan physique qu'intellectuel et moral (sur ce point, voir aussi: Breitschmid, op. cit., n. 3 ss ad <ref-law>). Pour le retrait de l'autorité parentale, il faut un motif supplémentaire, le principe de proportionnalité prévu à l'<ref-law> empêchant que cette mesure protectrice puisse être motivée par des éléments qui ne justifieraient qu'un retrait du droit de garde selon l'<ref-law>. Or, ni l'instruction effectuée, ni les décisions rendues dans le cadre de la procédure en retrait de l'autorité parentale n'ont porté sur le simple transfert du droit de garde au père. Celui-ci a du reste invoqué un changement de circonstances, soit la résidence de son fils à Genève depuis l'automne 2004, qui ne pouvait être considéré d'emblée comme étant sans pertinence. Il convient en outre de relever que, si dans son rapport du 1er août 2006, le SSI aux Philippines a recommandé que la garde soit confiée à la mère, le représentant de ce service à Genève a déclaré, après avoir pris connaissance du rapport du SPMi du 6 juillet 2006, qu'un retour dans ce pays n'était pas dans l'intérêt de l'enfant. Enfin, celui-ci n'a jamais été entendu à ce sujet, notamment par le SPMi et le SSI.
Dans ces conditions, l'Autorité de surveillance ne pouvait considérer que la question du transfert du droit de garde avait déjà été tranchée dans la procédure en retrait de l'autorité parentale, et qu'en formulant une telle demande auprès du Tribunal tutélaire, le père avait en réalité tenté d'obtenir la modification de la décision rendue sur appel par l'Autorité de surveillance le 23 avril 2007. Le droit d'être entendu de l'intéressé apparaît donc violé dans la mesure où l'autorité cantonale a fait abstraction des mesures probatoires sollicitées, à savoir notamment l'audition de témoins, ce moyen de preuve pouvant être pertinent concernant la question du transfert du droit de garde quand bien même il ne l'aurait pas été s'agissant du retrait de l'autorité parentale.
Le prononcé du 2 avril 2008 doit par conséquent être annulé dans la mesure où il confirme le refus du Tribunal tutélaire d'instruire et de juger la demande du père, tendant à ce que le droit de garde sur l'enfant lui soit attribué, et la cause est renvoyée à l'autorité de première instance pour qu'elle entre en matière à ce sujet (<ref-law>), étant précisé que l'enfant devra être entendu dans cette procédure (cf. arrêt précité 5C.117/2002 du 1er juillet 2002, consid. 3, in FamPra.ch 2002 p. 854).
4. Le recourant critique la décision de l'Autorité de surveillance du 6 février 2008 (5A_140/2008), en tant qu'elle confirme l'institution d'une curatelle de représentation pour préparer et organiser le retour de son fils aux Philippines.
4.1 Dès lors que l'ordonnance du Tribunal tutélaire du 7 décembre 2007 nomme une curatrice pour représenter "la mère du mineur", on peut se demander si les autorités genevoises étaient compétentes pour prononcer une telle mesure. Certes, en vertu de l'<ref-law>, la Convention s'applique par analogie aux personnes majeures - sans égard à leur nationalité et indépendamment du fait que leur pays d'origine soit ou non un État contractant (<ref-ruling> consid. 4 p. 180 et les références); encore faut-il qu'elles aient leur résidence habituelle (art. 1 de la Convention) ou, du moins, se trouvent en Suisse et que l'intervention des autorités de ce pays soit justifiée par un cas d'urgence (art. 9 de la Convention), hypothèses qui ne sont pas réalisées ici. Il convient toutefois de relever qu'en cas d'empêchement du représentant légal, le curateur ne devient pas le représentant de celui-ci, mais de la personne légalement représentée; en d'autres termes, l'autorité compétente substitue au représentant légal empêché d'agir le représentant extraordinaire qu'est le curateur, qui agit dès lors à la place du représentant légal (Helene Pfander, Die Beistandschaft nach Art. 392 und 393 ZGB, thèse Berne 1932, p. 31; à propos de l'<ref-law>: <ref-ruling> consid. 1 p. 368/369 et les auteurs cités; arrêt 5C.21 et 5C.64/1999 du 29 avril 1999, consid. 1c). Nonobstant les termes utilisés par le Tribunal tutélaire, le dispositif de son ordonnance du 7 décembre 2007 doit être compris en ce sens.
4.2 En l'occurrence, il n'apparaît pas que la mère dispose d'un titre juridique en exécution duquel elle pourrait exiger le retour de l'enfant et son transfert aux Philippines. Or, à défaut d'un tel titre, la mesure de curatelle litigieuse, qui prévoit d'organiser le voyage de retour de l'enfant, ne lui est d'aucune aide. Dans sa décision du 7 décembre 2007, le Tribunal tutélaire est certes parti de l'idée que la mère possède aussi bien l'autorité parentale que le droit de garde sur son fils, de sorte qu'elle a nommé une curatrice pour préparer et organiser le retour de celui-ci; il en va de même de l'Autorité de surveillance. Or, même si formellement, la mère détient l'autorité parentale et la garde, l'enfant se trouve en Suisse avec son père depuis 2004, de sorte qu'en présence d'un conflit entre les parents et de requête en transfert de la garde, il y a lieu de statuer d'abord sur celui-ci. Par ailleurs, il n'existe pas de décision judiciaire ordonnant au père de restituer l'enfant. Faute de titre juridique dont l'exécution permettrait d'exiger que celui-ci soit reconduit aux Philippines, la nomination d'une curatrice aux fins de préparer et d'organiser le retour de l'enfant est par conséquent prématurée. Pour que son fils soit ramené aux Philippines, au besoin par la contrainte, la mère doit au préalable obtenir une décision formelle par la voie d'une action en reddition de l'enfant, décision sur laquelle elle pourra fonder sa qualité de détentrice de l'autorité parentale et du droit de garde.
Bien que le recourant ne le formule pas expressément, son chef de conclusions en annulation de l'acte attaqué peut être compris en ce sens qu'il demande la suppression de la mesure de curatelle (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 414/415; <ref-ruling>/176; <ref-ruling>/373; <ref-ruling> consid. 12 p. 181). Au demeurant, s'agissant du sort des enfants, la maxime d'office est applicable (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 412; <ref-ruling> consid. 1c p. 231/232 et les références). Il y a donc lieu d'annuler la décision de l'Autorité de surveillance en tant qu'elle confirme celle du Tribunal tutélaire du 7 décembre 2007, ordonnant une curatelle en application de l'<ref-law> aux fins de préparer et d'organiser le retour de l'enfant aux Philippines.
En conclusion, les recours doivent être admis, les décisions attaquées annulées et la cause 5A_263/2008 renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants. Par conséquent, les frais judiciaires doivent être supportés par l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 OJ). Celle-ci versera en outre des dépens au recourant (art. 68 al. 1 OJ). Ses conclusions n'étaient toutefois pas d'emblée vouées à l'échec; dès lors, compte tenu de la situation financière des parties, et du fait qu'il est patent que le recourant ne pourra recouvrer les dépens qui lui sont dus - en raison de l'impécuniosité de l'intimée et du domicile de celle-ci aux Philippines - il convient de leur accorder à toutes deux l'assistance judiciaire (art. 64 OJ).

Le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 5A_140/2008 et 5A_263/2008 sont jointes.
2. Le recours contre la décision de l'Autorité de surveillance des tutelles du canton de Genève du 6 février 2008 est admis et l'acte attaqué est annulé (5A_140/2008).
3. Le recours contre la décision de l'Autorité de surveillance des tutelles du canton de Genève du 2 avril 2008 est admis, l'acte attaqué est annulé en tant qu'il confirme le refus du Tribunal tutélaire d'ouvrir une instruction en vue du retrait du droit de garde à la mère et de son attribution au père et la cause est renvoyée à l'autorité de première instance pour qu'elle statue sur la requête présentée en ce sens par le recourant (5A_263/2008).
4. Les requêtes d'assistance judiciaire sont admises, Me David Metzger et Me Françoise Arbex étant désignés, dans les deux causes, comme avocats d'office respectivement pour le recourant et l'intimée.
5. Les frais des deux procédures fédérales, arrêtés à 3'000 fr. au total, sont mis à la charge de l'intimée, mais ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
6. La Caisse du Tribunal fédéral versera à Me David Metzger et à Me Françoise Arbex une indemnité de 3'000 fr. chacun à titre d'honoraires d'avocat d'office dans les deux affaires.
7. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Autorité de surveillance des tutelles et au Tribunal tutélaire du canton de Genève.
Lausanne, le 9 juillet 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot