Sachverhalt:
A. Der türkische Staatsangehörige X._, geboren 1964, reiste 1982 in die Schweiz ein, wo er erfolglos um Asyl ersuchte. Im Jahr 1988 heiratete er eine niedergelassene Landsfrau, mit welcher ihn eine gemeinsame Tochter (geb. 1982) verband. In der Folge wurde ihm im Rahmen des Familiennachzugs die Aufenthaltsbewilligung erteilt. Im Dezember 1991 kam sodann ein Sohn zur Welt. Anfang der 90er Jahre machten sich bei X._ erste psychische Probleme bemerkbar, welche sich in der Folge zu einer wahnhaften Störung akzentuierten und sich in einem bedrohlichen und aggressiven Verhalten gegenüber Drittpersonen manifestierten. Nach verschiedenen anderen Vorfällen ging X._ im Juli 2006 mit einer Axt auf offener Strasse auf einen ihm unbekannten Mann los und verletzte ihn und seine Ehefrau erheblich, wobei nur ein Eingreifen von Passanten Schlimmeres verhindern konnte. Mit Strafurteil vom 28. Oktober 2008 sprach ihn das Strafgericht Basel-Landschaft mangels Schuldfähigkeit von den Vorwürfen der mehrfachen versuchten Tötung, der mehrfachen einfachen Körperverletzung, der Drohung sowie der mehrfachen Widerhandlung gegen das Waffengesetz frei, unter gleichzeitiger Einweisung zur stationären Behandlung in eine geschlossene Einrichtung (geeignete psychiatrische Einrichtung oder Massnahmevollzug).
Am 19. November 2009 verfügte das Amt für Migration des Kantons Basel-Landschaft die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ und ordnete dessen Ausreise bei der (bedingten) Entlassung aus dem strafrechtlichen Massnahmen- oder Strafvollzug an. Eine hiegegen beim Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft eingereichte Beschwerde blieb erfolglos (Beschluss vom 29. Juni 2010).
B. Dagegen erhob X._ beim Kantonsgericht Basel-Landschaft Beschwerde, mit welcher er um Aufhebung des regierungsrätlichen Beschwerdeentscheids sowie der erstinstanzlichen Verfügung ersuchte und eventualiter beantragte, ihm die Aufenthaltsbewilligung aufgrund Vorliegens eines persönlichen Härtefalles zu erteilen bzw. die Vorinstanzen anzuweisen, dem Bundesamt für Migration einen entsprechenden Antrag zu unterbreiten. Im Weiteren ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor Kantonsgericht.
C. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 17. September 2010 wies die zuständige Präsidentin des Kantonsgerichts das Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab mit der Begründung, eine summarische Prüfung lasse den Schluss zu, dass die Beschwerde keine ernsthaften Erfolgsaussichten besitze, weswegen das Gesuch wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen sei.
Mit Beschluss vom 17. November 2010 wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, die von X._ gegen die erwähnte Verfügung eingereichte Einsprache ab.
D. Mit Eingabe vom 24. Januar 2011 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, den Beschluss des Kantonsgerichts vom 17. November 2010 aufzuheben und dieses anzuweisen, dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Kantonsgericht die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu bewilligen; eventualiter sei die Sache an das Kantonsgericht zurückzuweisen, um neu über das Gesuch zu entscheiden. Im weiteren wird auch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht.
Das Kantonsgericht Basel-Landschaft gibt Verzicht auf Vernehmlassung bekannt. Das Amt für Migration Basel-Landschaft schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
E. Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 23. Februar 2011 wurde der Beschwerde in Bezug auf die Pflicht zur Leistung eines Kostenvorschusses im vorinstanzlichen Verfahren antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid über die Erteilung bzw. Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung im Beschwerdeverfahren vor Verwaltungsgericht. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ist in solchen prozessualen Fragen nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens nur dann zulässig, wenn dieses Rechtsmittel auch in der Sache selber offen steht (Urteile 2C_230/2009 vom 2. Juli 2009 E. 1.2 und 2D_1/2007 vom 2. April 2007 E. 2.2). Materiellrechtlicher Streitgegenstand im kantonalen Verfahren bildet die Nichtverlängerung einer fremdenpolizeilichen Aufenthaltsbewilligung. Entscheidend für die Zulässigkeit dieses Rechtsmittels ist damit, ob nach Bundes- oder Völkerrecht ein Rechtsanspruch auf Erteilung bzw. Verlängerung der anbegehrten Bewilligung besteht (<ref-law>).
Nach den Feststellungen im Beschwerdeentscheid des Regierungsrates wurde den Ehegatten mit Gerichtsurteil vom 12. Februar 2004 das Getrenntleben bewilligt und die eheliche Haushaltsgemeinschaft ist seither aufgelöst. Auch waren die beiden Kinder im Entscheidzeitpunkt bereits volljährig und ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis des älteren Kindes, welches schwer behindert ist, zum Beschwerdeführer ist nicht dargetan. Entsprechend fehlt es grundsätzlich sowohl in Bezug auf die Ehefrau als auch die Kinder an gelebten familiären Beziehungen, welche im Schutzbereich des Rechts auf Achtung des Familienlebens stünden. Allerdings lässt der Regierungsrat angesichts des Umstandes, dass die Ehefrau den Beschwerdeführer regelmässig im Massnahmevollzug besuche, offen, ob die Ehe tatsächlich definitiv gescheitert ist und sich aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK nicht gleichwohl ein Anwesenheitsanspruch ergeben könnte. Die Frage kann letztlich auch im vorliegenden Zusammenhang offenbleiben, da, sollte es an einem das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten öffnenden Rechtsanspruch fehlen, die vorliegende Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegen genommen werden könnte (vgl. Urteil 2D_1/2007 vom 2. April 2007 E. 2.2).
1.2 Bei einem selbständig eröffneten Entscheid, mit welchem ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen wird, handelt es sich um einen Zwischenentscheid. Dieser kann - jedenfalls soweit (wie vorliegend) die Anhandnahme des Rechtsmittels von der Bezahlung eines Kostenvorschusses durch die gesuchstellende Partei abhängig gemacht wird - einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken und damit gemäss <ref-law> (gegebenenfalls in Verbindung mit <ref-law>) angefochten werden (Urteile 2C_230/2009 vom 2. Juli 2009 E. 1.3 und 2D_1/2007 vom 2. April 2007 E. 3, je mit weiteren Hinweisen).
1.3 Die Beschwerde erweist sich damit als zulässig.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>. Nach dieser Bestimmung hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht als aussichtslos erscheint; soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Neben dieser Garantie hat das im selbigen Zusammenhang mitangerufene Willkürverbot (<ref-law>) und die von ihrem materiellen Gehalt her nicht darüber hinausgehende Bestimmung von § 22 des Gesetzes des Kantons Basel-Landschaft vom 16. Dezember 1993 über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung (VPO; SGS 271) keine selbständige Bedeutung.
2.2 Der angefochtene Einspracheentscheid schützt die Verfügung der zuständigen Präsidentin des Verwaltungsgerichts, welche der Beschwerde keine ernsthafte Erfolgsaussichten beschied, womit ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren verneint wurde.
2.3 Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Wie es sich damit verhält, prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht mit freier Kognition. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f. mit Hinweisen).
Daran anschliessend ist auch die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren, wenn Interessen der gesuchstellenden Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen, weil ihnen der Gesuchsteller auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 182 mit Hinweisen).
2.4 Nach dem Strafurteil vom 28. Oktober 2008 ist erstellt, dass der Beschwerdeführer die ihm vorgeworfenen Straftaten tatsächlich begangen hat, die betreffenden Straftatbestände in objektiver wie auch in subjektiver Hinsicht erfüllt waren. Er musste einzig deswegen freigesprochen werden, weil er aufgrund einer andauernden paranoid-psychotischen Störung als schuldunfähig anzusehen war. Das Gericht begründete dabei die angeordnete stationäre Behandlung in einer geschlossenen Einrichtung insbesondere mit der grossen Gefahr, welche vom Beschwerdeführer fortwährend für Dritte ausgeht. Damit kann der Widerrufsgrund von Art. 62 lit. c AuG (erheblicher oder wiederholter Verstoss gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung), welcher ein in strafrechtlicher Hinsicht vorwerfbares Verhalten gerade nicht voraussetzt, ohne weiteres bejaht werden. Auch kann angesichts der Schwere der vom Beschwerdeführer begangenen Übergriffe, welche sich gegen unbeteiligte Personen richteten und diese - allein schon durch den Einsatz einer Axt, welche er auch bei anderen Gelegenheiten mit sich zu führen pflegte - schwerwiegend an Leib und Leben gefährdeten, aufgrund der von ihm ausgehenden Gefahr für hochwertige Rechtsgüter von einem gewichtigen öffentlichen Interesse an seiner Entfernung und Fernhaltung aus der Schweiz ausgegangen werden. Weiter ist nicht zu übersehen, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner Krankheit, welche von Gutachtern als anhaltende und lang dauernde psychische Störung von erheblicher Schwere beschrieben wird, trotz bereits vorgängiger psychiatrischer, teils stationärer Behandlungen (z.T. auch fürsorgerische Freiheitsentzüge) nicht in einer Weise stabilisiert oder geheilt werden konnte, dass von ihm keine Gefahr mehr für die öffentliche Ordnung ausging, wie die übrigen ihm angelasteten Verfehlungen, welche nur teilweise zur Anklage gebracht wurden, zeigten (u.a. Randalieren und Drohen mit Axt und Soft-Gun-Pistole im Büro des Ombudsmannes des Kantons Basel-Landschaft, Bedrohung einer Psychiaterin mit dem Tod, Drohungen gegenüber seinem Halbbruder und seiner Ehefrau). Andererseits ist nicht zu verkennen, dass der Beschwerdeführer bereits seit annähernd 30 Jahren in der Schweiz lebt, wo sich auch seine stark behinderte Tochter und sein Sohn aufhalten. Während seiner Therapie soll der Beschwerdeführer nunmehr wieder Kontakt mit seiner Frau und seinem Sohn haben. Trotz langem Aufenthalt wird er indessen nicht als sonderlich gut integriert bezeichnet. Unter den gegebenen Umständen ist in Bezug auf die materielle Behandlung des Falles davon auszugehen, dass die vom Beschwerdeführer ausgehende, von ihm selber aufgrund seiner psychischen Erkrankung nur bedingt beeinflussbare Gefahr für die Allgemeinheit angesichts bzw. in Verbindung mit dem bisher Vorgefallenen (unkontrollierte Ausübung von massiver Gewalt gegen beliebige, unbeteiligte Dritte) im Rahmen der Interessenabwägung ganz entscheidende Bedeutung beigemessen werden dürfte, welche durch seine privaten Interessen sowie allfällige Interessen seiner Angehörigen im Verhältnis dazu schwerlich aufzuwiegen sind. Da gemäss dem Entscheid des Regierungsrates eine hinreichende medizinische Versorgung im Heimatland des Beschwerdeführers gewährleistet ist, erscheint auch die Bewilligungserteilung aufgrund eines persönlichen Härtefalles wenig wahrscheinlich, zumal einer solchen die gleichen Gründe der öffentlichen Sicherheit und Ordnung entgegenzuhalten wären.
2.5 Insgesamt erscheinen damit die Gewinnaussichten im vorliegenden Verfahren doch beträchtlich geringer als die Verlustgefahren. Damit hält der angefochtene Entscheid vor <ref-law> stand. Die Beschwerde ist infolgedessen abzuweisen.
3. Der Beschwerdeführer hat für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Aufgrund der dargestellten, schon im angefochtenen Urteil zutreffend wiedergegebenen Sach- und Rechtslage besass das vorliegende Rechtsmittel keine ernsthaften Erfolgsaussichten; das Gesuch ist demzufolge abzuweisen (<ref-law>). Damit würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Angesichts seiner finanziellen Verhältnisse erscheint es jedoch gerechtfertigt, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz und <ref-law>). Auf die Zusprechung einer Parteientschädigung besteht kein Anspruch (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben und keine Entschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration Basel-Landschaft, dem Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Moser