Sachverhalt:
A. Das Landgericht Uri sprach X._ am 22. Januar 2008 des mehrfachen Erleichterns des rechtswidrigen Verweilens im Lande gemäss Art. 23 Abs. 1 al. 5 ANAG schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 70.--, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren, und zu einer Busse von Fr. 1000.-- beziehungsweise, bei deren schuldhaften Nichtbezahlung, zu einer Ersatzfreiheitsstrafe von zehn Tagen. Das Landgericht erachtete es als erwiesen, dass X._ im April 2004 drei Ausländerinnen aus Ungarn beziehungsweise aus Tansanien, die sich als Touristinnen in der Schweiz aufhielten, in seinem Gastwirtschaftsbetrieb in Erstfeld, zu welchem die B.-Bar_ gehörte, Zimmer vermietete im Wissen darum, dass die drei Frauen, die nicht über die erforderlichen Bewilligungen verfügten, in seinem Betrieb der Prostitution nachgingen. Das Landgericht stützte seine tatsächlichen Feststellungen unter anderem auf die Aussagen des Polizeibeamten A._, der sich im Auftrag seines Vorgesetzten am 14. April 2004, ab ca. 23.45 Uhr, in der B.-Bar_ aufgehalten hatte, wo ihm von einer der dort anwesenden Frauen die Vornahme von sexuellen Handlungen gegen Zahlung von Geld angeboten worden war, was A._ abgelehnt hatte.
Das Obergericht des Kantons Uri sprach X._ auf dessen Berufung hin am 31. März 2009 frei. Es begründete diesen Freispruch unter anderem damit, dass die durch den Einsatz des Polizeibeamten A._ gewonnenen Erkenntnisse nicht verwertbar seien.
B. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Uri führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben, X._ sei des mehrfachen Erleichterns des rechtswidrigen Verweilens im Lande im Sinne von Art. 23 Abs. 1 al. 5 ANAG schuldig zu sprechen und zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 70.-- sowie zu einer Busse von Fr. 1000.-- zu verurteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht des Kantons Uri hat auf Vernehmlassung verzichtet.
X._ beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Am 14. April 2004, um ca. 23.45 Uhr, betrat der Polizeibeamte A._ im Auftrag seines Vorgesetzten in Zivilkleidung die B.-Bar_ in Erstfeld. Er sollte sich dort als "Kunde" umsehen und "verdeckt" ermitteln, ob darin ausländische Frauen der Prostitution nachgingen. Als der Polizeibeamte den Raum betrat, hielten sich darin gemäss seinen Aussagen ein Mann an der Bar, eine Frau hinter der Bar und zwei Frauen auf einem Sofa auf. Der Polizeibeamte sagte im Weiteren aus, er habe sich an die Bar gesetzt und ein Bier bestellt. Wenige Minuten später habe sich eine der beiden Frauen, die auf dem Sofa gesessen hätten, zu ihm an die Bar gesetzt. Sie habe gefragt, ob er ihr ein "Cüpli" spendiere. Auf seine Frage, wie viel das billigste "Cüpli" koste, habe sie geantwortet, dass der Preis hiefür Fr. 15.-- betrage. Er habe der Frau eine solches Getränk offeriert. In der Folge habe die Frau ihn gefragt, ob er etwas "Spass" mit ihr haben wolle. Auf seine Gegenfrage, was "Spass" bedeute, habe sie geantwortet, "alles, ausser Küssen auf den Mund". Eine halbe Stunde koste Fr. 200.--. Er habe erklärt, dass er nicht interessiert sei. Dies sei ohne weiteres akzeptiert worden, zumal er in Aussicht gestellt habe, wieder zu kommen. Rund 30 Minuten später seien aus dem Hintergrund eine Frau und wenig später ein älterer Mann in die Bar gekommen. Danach sei ein weiterer Mann (der Beschwerdegegner) erschienen, der die Anwesenden gegrüsst und sich nur ca. 5 Minuten im Raum aufgehalten habe.
Nachdem der Polizeibeamte A._ diese Wahrnehmungen und Beobachtungen gemacht hatte, öffnete er die Eingangstür zum Etablissement, worauf mehrere Polizeibeamte, die vor dem Gebäude gewartet hatten, das Lokal betraten und gestützt auf einen Hausdurchsuchungsbefehl der Verhörrichterin I des Kantons Uri vom 8. April 2004 eine Hausdurchsuchung vornahmen, da der Verdacht bestand, dass die Betreiber des Lokals ausländische Frauen, die nicht über die erforderlichen Bewilligungen verfügten, als Prostituierte beschäftigten und beherbergten.
2. 2.1 Die erste Instanz verurteilte in ihrem Entscheid vom 22. Januar 2008 den Beschwerdegegner wegen mehrfachen Erleichterns des rechtswidrigen Verweilens im Lande gemäss dem zur Zeit der inkriminierten Taten geltenden Art. 23 Abs. 1 al. 5 ANAG. Das am 1. Januar 2008 in Kraft getretene neue Ausländergesetz vom 16. Dezember 2005, durch welches das ANAG aufgehoben wurde, ist in Bezug auf die Straftat des Erleichterns des rechtswidrigen Aufenthalts in der Schweiz (Art. 116 Abs. 1 lit. a AuG) nicht milder als das alte Recht und daher - gemäss Art. 126 Abs. 4 AuG, welcher <ref-law> entspricht - nicht anwendbar.
2.2 Die erste Instanz erachtete den sinngemässen Einwand des Beschwerdegegners, dass der Einsatz des Polizeibeamten A._ als illegale verdeckte Ermittlung zu qualifizieren und daher die dadurch gewonnenen Erkenntnisse nicht verwertbar seien, als unbegründet. Nach der Auffassung der ersten Instanz ist die verdeckte Ermittlung im Sinne des Bundesgesetzes über die verdeckte Ermittlung (BVE; SR 312.8) gegenüber anderen polizeilichen Massnahmen wie folgt abzugrenzen: Verdeckter Ermittler sei erstens nur, wer nicht bloss passiv beobachte, sondern vorgebe, in einem bestimmten Milieu aktiv mitzuspielen, sich insbesondere an Straftaten zu beteiligen. Der Zivilbeamte, der in einer unbewilligten Demonstration mit marschiere, sei damit nicht verdeckter Ermittler. Derjenige, der sich allerdings vermumme und einen Baseballschläger mitnehme, müsse als solcher gelten. Verdeckter Ermittler sei zweitens nur, wer aktiv einen falschen Eindruck über seine Identität und Beamteneigenschaft erwecke. Es genüge nicht, dass er es bloss unterlasse, sich als Polizist zu erkennen zu geben.
Bezogen auf den konkreten Fall hielt die erste Instanz fest, der Beschwerdegegner habe A._ gekannt und gewusst, dass dieser beruflich Polizist sei. Der Polizist A._ habe zudem im Lokal keine ermittlungstechnischen Aktivitäten getätigt, mithin nicht aktiv angestiftet. Sein Verhalten könne nicht als verdeckte Ermittlung qualifiziert werden, und seine Feststellungen seien verwertbar.
2.3 Demgegenüber führt die Vorinstanz unter Berufung auf das in der Zwischenzeit ergangene Urteil des Bundesgerichts 6B_777/2007 vom 16. Juni 2008 (<ref-ruling>) aus, dass jedes Anknüpfen von Kontakten mit einer verdächtigen Person zu Ermittlungszwecken durch einen für die betroffene Person nicht als solchen erkennbaren Polizeiangehörigen als verdeckte Ermittlung im Sinne des Bundesgesetzes über die verdeckte Ermittlung zu qualifizieren sei. Indem A._ mit der Frau in Kontakt getreten sei und ein Gespräch geführt habe, um gemäss dem ihm erteilten Auftrag eine strafbare Handlung feststellen und beweisen zu können, und indem er für die verdächtige Frau nicht als Angehöriger der Polizei erkennbar gewesen sei, sei er als verdeckter Ermittler aufgetreten. A._ sei ab der Kontaktaufnahme mit der Frau nicht mehr passiv, mithin nicht mehr blosser Beobachter gewesen. Er habe der Frau ein "Cüpli" offeriert und sie gefragt, was sie unter "Spass Haben" verstehe. Die verdeckte Ermittlung durch den Polizeibeamten hätte gemäss den Bestimmungen der BVE einer richterlichen Genehmigung bedurft. Da diese nicht vorgelegen habe, sei der Einsatz unzulässig gewesen. Deshalb seien die dadurch gewonnenen Erkenntnisse gemäss den einschlägigen Bestimmungen des BVE nicht verwertbar.
Im Weiteren hält die Vorinstanz fest, dass der Umfang und der Inhalt der restlichen, nicht von A._ erhobenen Beweise eher dürftig seien. Die objektive Betrachtung dieser Beweise führe zu schlechthin nicht zu unterdrückenden Zweifeln daran, dass der Beschwerdegegner die Straftat des Erleichterns des rechtswidrigen Verweilens in der Schweiz begangen habe. Von einer ausnahmsweise zulässigen Rückweisung der Akten an die erste Instanz beziehungsweise an die Staatsanwaltschaft oder das Verhörrichteramt sei abzusehen, da eine Vervollständigung der Akten sich nach so vielen Jahren als kaum mehr möglich erweise. Demnach sei der Beschwerdegegner nach dem Grundsatz "in dubio pro reo" von der Anklage der Widerhandlung im Sinne von Art. 23 Abs. 1 al. 5 ANAG freizusprechen.
2.4 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe übersehen, dass der Einsatz des Polizeibeamten A._ und die unmittelbar daran anschliessende Hausdurchsuchung im April 2004 stattgefunden hätten, das BVE aber erst am 1. Januar 2005 in Kraft getreten sei. Indem die Vorinstanz das BVE auf einen Sachverhalt angewendet habe, der sich vor dessen Inkrafttreten ereignet habe, habe sie Bundesrecht verletzt. Vor dem Inkrafttreten des BVE habe keine bundesrechtliche Regelung betreffend die verdeckte Ermittlung bestanden. Der Kanton Uri habe die verdeckte Ermittlung in seinem Prozessrecht nicht geregelt. Der Einsatz des Polizeibeamten in der B.-Bar_ im April 2004 sei jedenfalls nach dem damals geltenden Recht auch ohne ausdrückliche gesetzliche Grundlage zulässig gewesen, wie sich aus <ref-ruling> E. 3a ergebe. Der vorliegende Sachverhalt entspreche weitgehend einem Sachverhalt, welchen das Bundesgericht im Urteil 1P.566/2002 vom 18. April 2003 beurteilt habe, wobei Frauen in einer Bar den nicht als solchen erkennbaren Polizeibeamten sexuelle Handlungen gegen Geldzahlung angeboten hätten. Das Bundesgericht habe im zitierten Entscheid die Behauptung des Beschwerdeführers in jenem Verfahren, die Polizeibeamten hätten die beiden Frauen zu einer Straftat angestiftet und seien somit als "agents provocateurs" zu qualifizieren, als geradezu absurd qualifiziert. Das gleiche gelte im vorliegenden Fall. Der Beschwerdegegner habe durch das Spendieren eines "Cüpli" niemanden zu einer Straftat provoziert (Beschwerde S. 4 f.). Die Beschwerdeführerin macht im Weiteren geltend, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie die restlichen, nicht von A._ erhobenen Beweise pauschal als eher dürftig bezeichnet und ohne nähere Beweiswürdigung erkannt habe, dass diese Beweise nicht den Schluss zuliessen, der Beschwerdegegner habe Ausländerinnen Zimmer vermietet im Wissen darum, dass sie ohne die erforderlichen Bewilligungen der Prostitution nachgingen.
2.5 Der Beschwerdegegner wendet ein, wohl sei die fragliche Aktion im April 2004 durchgeführt worden, das BVE aber erst am 1. Januar 2005 in Kraft getreten. Dennoch sei das BVE nach dem Grundsatz der "lex mitior" als milderes Recht anwendbar. Das Verhalten des Polizeibeamten A._ sei im Lichte von <ref-ruling> als verdeckte Ermittlung im Sinne des BVE zu qualifizieren. Die fragliche Aktion sei mangels der erforderlichen richterlichen Genehmigungen unzulässig gewesen, und die dabei gewonnenen Erkenntnisse seien deshalb nicht verwertbar. Im Übrigen hätte eine verdeckte Ermittlung ohnehin nicht angeordnet werden dürfen, weil sich der Verdacht nicht auf Katalogtaten bezogen habe. Zudem habe sich der Polizeibeamte nicht bloss als verdeckter Ermittler, sondern als "agent provocateur" verhalten. Die fragliche Aktion habe bloss bezweckt, ihm (dem Beschwerdegegner) etwas anzuhängen. Er habe sich entgegen der Auffassung der ersten Instanz keiner Straftat schuldig gemacht.
3. Das Bundesgericht hat sich in <ref-ruling> mit dem Anwendungsbereich des Bundesgesetzes vom 20. Juni 2003 über die verdeckte Ermittlung (BVE; SR 312.8), in Kraft seit 1. Januar 2005, befasst. Es hat sich mit den Kriterien auseinander gesetzt, die in der Lehre vorgeschlagen werden, um die verdeckte Ermittlung im Sinne des BVE von anderen, nicht unter dieses Gesetz fallenden verdeckten Ermittlungstätigkeiten abzugrenzen. Es hat die vorgeschlagenen Kriterien aus diesen und jenen Gründen verworfen (zitiertes Urteil E. 3.5 und E. 3.6) und erkannt, mangels einer klaren, abweichenden Regelung im BVE sei im Zweifelsfall davon auszugehen, dass jedes Anknüpfen von Kontakten mit einer verdächtigen Person zu Ermittlungszwecken durch einen nicht als solchen erkennbaren Polizeiangehörigen eine verdeckte Ermittlung im Sinne des BVE ist und unter den Anwendungsbereich dieses Gesetzes fällt (zitiertes Urteil E. 3.7). Das Kriterium des "Anknüpfens von Kontakten" nimmt Bezug auf die Ausführungen in der bundesrätlichen Botschaft, wonach verdeckte Ermittlung das Anknüpfen von Kontakten zu verdächtigen Personen ist, die darauf abzielen, die Begehung von strafbaren Handlungen festzustellen und zu beweisen (zitiertes Urteil E. 3.1.1, mit Hinweis auf die Botschaft). Das Kriterium des "nicht als solchen erkennbaren Polizeiangehörigen" entspricht der Formulierung in Art. 1 BVE. Diese weite Auslegung des Begriffs der verdeckten Ermittlung im Sinne des BVE ist in der Lehre auf Kritik gestossen (siehe THOMAS HANSJAKOB, Verdeckte Ermittlung - Gesetz und Rechtsprechung, forumpoenale 2008, S. 361 ff.). Sie hat aber auch Zustimmung gefunden (LUZIA VETTERLI, Verdeckte Ermittlung und Grundrechtsschutz, forumpoenale 2008, S. 367 ff.) Das Bundesgericht hat seine Rechtsprechung im Urteil 6B_211/2009 vom 22. Juni 2009 bestätigt.
Aus den Erwägungen in <ref-ruling> lässt sich nicht ableiten, dass jedes kurze Gespräch eines nicht als solchen erkennbaren Polizeiangehörigen mit einem Verdächtigen oder mit einer zum Umfeld des Verdächtigen gehörenden Person zu Ermittlungszwecken eo ipso und ungeachtet der konkreten Umstände als verdeckte Ermittlung im Sinne des BVE zu qualifizieren ist. Das Bundesgericht erachtet - mit der bundesrätlichen Botschaft - das "Anknüpfen von Kontakten" als wesentlich. Dieses Kriterium des "Anknüpfens von Kontakten" enthält das Element eines aktiven, zielgerichteten Verhaltens. Es ist nicht ohne weiteres gegeben, wenn ein nicht als solcher erkennbarer Polizeiangehöriger beispielsweise im Rahmen einer Observation von der Zielperson angesprochen wird, sich auf ein kurzes Gespräch einlässt und dabei zu erkennen gibt, dass er an der gesprächsweise angebotenen Leistung nicht interessiert sei. Der vorliegende Fall weist gewisse Unterschiede zu dem in <ref-ruling> beurteilten Sachverhalt auf, die eine abweichende Beurteilung rechtfertigen könnten. Wie es sich damit im Einzelnen verhält, muss jedoch nicht entschieden werden, da der Einsatz des Polizeibeamten A._ vom April 2004 jedenfalls aus nachstehenden Gründen nicht unter den Anwendungsbereich des BVE fällt.
4. 4.1 Das BVE ist am 1. Januar 2005 in Kraft getreten. Es enthält in Art. 25 einige Übergangsbestimmungen. Die nach bisherigem Recht richterlich genehmigten Zusicherungen von Schutzmassnahmen behalten ihre Gültigkeit (Art. 25 Abs. 1 BVE). Eine richterlich genehmigte verdeckte Ermittlung innerhalb eines Ermittlungsverfahrens, das vor Inkrafttreten des Gesetzes eröffnet wurde, kann nach dem darauf angewendeten Verfahrensrecht abgeschlossen werden (Art. 25 Abs. 2 BVE). Das Gesetz regelt hingegen nicht, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen Beweise, die durch verdeckte Ermittlungstätigkeiten gewonnen wurden, welche vor dem Inkrafttreten des BVE durchgeführt und abgeschlossen wurden und bei Anwendung des BVE als verdeckte Ermittlungen im Sinne dieses Gesetzes zu qualifizieren wären, verwertet werden dürfen, wenn die Urteile, welche die Beweise verwerten, erst nach dem Inkrafttreten des BVE ausgefällt werden. Es stellt sich mithin die Frage, ob in solchen Konstellationen das Recht massgebend ist, das im Zeitpunkt der verdeckten Ermittlungstätigkeit gegolten hat, oder aber das Recht, das zur Zeit der Verwertung der dadurch gewonnenen Beweise gilt. Die Vorinstanz hat sich mit dieser Frage nicht explizit auseinander gesetzt. Sie hat wohl, wie auch die Beschwerdeführerin geltend macht, übersehen, dass der Einsatz des Polizisten A._ im April 2004 und somit vor dem Inkrafttreten des BVE am 1. Januar 2005 erfolgte.
In der beschriebenen Konstellation ist das Recht massgebend, das im Zeitpunkt des Einsatzes galt. War nach jenem Recht der Einsatz zulässig, dann sind die dabei gewonnenen Erkenntnisse verwertbar, auch wenn nach dem im Zeitpunkt der Verwertung geltenden Recht der Einsatz etwa mangels einer nach dem BVE erforderlichen richterlichen Genehmigung unzulässig wäre. Im Strafprozessrecht gebietet das Legalitätsprinzip, die Beweise nach dem jeweils gültigen Recht zu erheben, so dass sie nicht durch eine Gesetzesänderung nachträglich mangelhaft werden können (Urteil 6P.109/2003 vom 16. Januar 2004 E. 6; MARC JEAN-RICHARD-DIT-BRESSEL, Ist ein Millionendiebstahl ein Bagatelldelikt? - Fragen zum BÜPF, ZStrR 119/2001 S. 40 ff., 59 f.; THOMAS HANSJAKOB, Kommentar zum Bundesgesetz und zur Verordnung über die Überwachung des Post- und Fernmeldeverkehrs, 2. Aufl. 2006, N. 5 zu <ref-law>).
Es ist somit entscheidend, ob der Einsatz des Polizeibeamten im April 2004 nach dem damals geltenden Recht zulässig war. Wenn dies der Fall ist, dann sind die dadurch gewonnenen Erkenntnisse verwertbar, auch wenn bei Anwendung des am 1. Januar 2005 in Kraft getretenen BVE der Einsatz des Polizeibeamten vom April 2004 als verdeckte Ermittlung im Sinne des BVE zu qualifizieren wäre und daher die dadurch gewonnenen Erkenntnisse mangels der gemäss dem BVE erforderlichen richterlichen Genehmigung nicht verwertbar wären. Da somit das im Zeitpunkt des Einsatzes im April 2004 geltende Recht massgebend ist, stellt sich im vorliegenden Fall die Frage nicht, ob der Einsatz des Polizeibeamten vom April 2004 bei Anwendung des am 1. Januar 2005 in Kraft getretenen BVE als verdeckte Ermittlung im Sinne dieses Gesetzes zu qualifizieren wäre.
Der Freispruch des Beschwerdegegners kann demnach entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht damit begründet werden, dass der Einsatz des Polizeibeamten vom April 2004 als verdeckte Ermittlung im Sinne des BVE zu qualifizieren und daher die durch den Einsatz gewonnenen Erkenntnisse mangels der gemäss BVE erforderlichen richterlichen Genehmigung nicht verwertbar seien.
4.2 Die Vorinstanz hat sich nicht mit der Frage befasst, ob der Einsatz des Polizeibeamten vom 14. April 2004 nach dem damals geltenden Recht, das massgebend ist, zulässig war. Da somit insoweit kein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid vorliegt, hat sich das Bundesgericht mit dieser Frage im vorliegenden Verfahren nicht auseinander zu setzen, zumal sich ihre Beantwortung auch nach dem damals geltenden kantonalen Prozessrecht bestimmt, dessen Verletzung - wie übrigens auch die Verletzung von Grundrechten - das Bundesgericht nur auf entsprechende begründete Rügen hin prüft (siehe <ref-law>).
Immerhin ist der Vollständigkeit halber darauf hinzuweisen, dass der vorliegende Sachverhalt gemäss einer zutreffenden Bemerkung der Beschwerdeführerin weitgehend dem Fall aus dem Kanton Aargau entspricht, welchen das Bundesgericht im Urteil 1P.566/2002 vom 18. Februar 2003 beurteilt hat. Das Bundesgericht hat im zitierten Entscheid unter anderem erwogen, dass das Verhalten der Polizeibeamten - Offerieren eines Drinks, Einigung über Art und Dauer der sexuellen Dienstleistung und den Preis - offensichtlich nicht als Anstiftung zu einer Straftat beziehungsweise als Tatprovokation qualifiziert werden könne.
5. Sollte die Vorinstanz im neuen Verfahren zur Erkenntnis gelangen, dass der Einsatz des Polizeibeamten vom 14. April 2004 nach dem damals geltenden Recht zulässig war und daher die dadurch gewonnenen Beweise verwertet werden dürfen, wird sie prüfen, welche Schlussfolgerungen aus der Würdigung dieser Beweise sowie der übrigen Beweise zu ziehen sind.
Sollte die Vorinstanz im neuen Verfahren zur Erkenntnis gelangen, dass der Einsatz des Polizeibeamten vom 14. April 2004 nach dem damals geltenden Recht unzulässig war und deshalb die dadurch gewonnenen Beweise nicht verwertet werden dürfen, wird sie prüfen, welche Schlussfolgerungen aus der Würdigung der übrigen, unabhängig vom fraglichen Einsatz des Polizeibeamten gewonnenen Beweise zu ziehen sind. Die Vorinstanz hat sich zwar im angefochtenen Entscheid mit dieser Frage bereits befasst und ausgeführt, dass diese Beweise nach Umfang und Inhalt "eher dürftig" seien und die objektive Betrachtung dieser Beweise zu erheblichen und schlechthin nicht zu unterdrückenden Zweifeln an der Schuld des Angeklagten führe (angefochtenes Urteil S. 12). Die Vorinstanz hat indessen im angefochtenen Entscheid weder dargelegt, worin diese übrigen Beweise bestehen, noch begründet, weshalb sie eher dürftig seien und den Schluss auf eine Straftat des Beschwerdegegners nicht zuliessen. Ob die Vorinstanz die Beweise willkürlich gewürdigt habe, wie die Beschwerdeführerin rügt, kann das Bundesgericht nicht prüfen, da die Vorinstanz ihre Beweiswürdigung im angefochtenen Urteil nicht begründet hat, weshalb ihr Entscheid wegen Verletzung des auch der Beschwerdeführerin als Staatsanwaltschaft zustehenden Anspruchs auf ausreichende Begründung aufzuheben ist.
6. Aus diesen Gründen ist das angefochtene Urteil in Gutheissung der Beschwerde aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird im neuen Verfahren prüfen, ob der Einsatz des Polizeibeamten vom 14. April 2004 nach dem damals geltenden Recht zulässig war und daher die dadurch gewonnenen Beweise verwertbar sind. Sie wird die Beweise erneut würdigen und ihre Beweiswürdigung im neuen Urteil ausreichend begründen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdegegner als unterliegende Partei die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Uri, Strafrechtliche Abteilung, vom 31. März 2009 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Uri, Strafrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Näf