Sachverhalt:
A.
Am 6. Juni 2013 nahm die Kantonspolizei Basel-Stadt den serbischen Staatsangehörigen X._ wegen des Verdachts der Vorbereitungshandlungen zu Raub fest.
Mit Verfügung vom 8. Juni 2013 versetzte ihn das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt in Untersuchungshaft.
Dagegen erhob X._ am 12. Juni 2013 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Er beantragte unter anderem die Feststellung, dass die Untersuchungshaft rechtswidrig angeordnet worden sei; es sei ihm eine Entschädigung und Genugtuung zuzusprechen.
Am 17. Juni 2013 entliess die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt X._ aus der Haft.
Gleichentags schrieb die Statthalterin des Appellationsgerichts das Beschwerdeverfahren infolge Wegfalls des Anfechtungsgegenstandes ohne Kosten ab.
Mit Eingabe vom 21. Juni 2013 an das Appellationsgericht beantragte X._ unter anderem, die Verfügung der Statthalterin vom 17. Juni 2013 sei aufzuheben; seine Beschwerde sei zu beurteilen, soweit er darin die Feststellung der Widerrechtlichkeit der Haftanordnung und eine Haftentschädigung verlangt habe.
B.
Am 24. Juni 2013 sprach die Statthalterin dem amtlichen Verteidiger eine Entschädigung für den geltend gemachten Aufwand im Beschwerdeverfahren von 5 Stunden zu, was Fr. 900.-- (inklusive Auslagen) zuzüglich 8 % Mehrwertsteuer von Fr. 72.-- ergab. Sodann verfügte die Statthalterin: "Die restlichen Begehren werden abgewiesen oder es wird nicht auf sie eingetreten".
Die Statthalterin erwog, mit der Haftentlassung von X._ sei dessen aktuelles Rechtsschutzinteresse entfallen. Über eine Entschädigung wäre nur zu entscheiden, wenn die Haft offensichtlich die Europäische Menschenrechtskonvention verletzt hätte. Dies sei nicht der Fall. X._ begründe seinen Anspruch mit Interpretationsüberlegungen zum Tatverdacht. Sollte die Staatsanwaltschaft eine Verfahrenseinstellung beschliessen, hätte sie über eine entsprechende Entschädigung zu befinden. Im Falle einer Anklageerhebung und eines Freispruch wäre dies Sache des erstinstanzlichen Gerichts. Würde die Statthalterin direkt über eine Entschädigung befinden, ginge X._ eine Instanz verloren. Die Zuständigkeit der Statthalterin zum Entscheid über eine Entschädigung sei somit unter keinem Titel gegeben.
C.
Gegen die Verfügung der Statthalterin vom 24. Juni 2013 führt X._ Beschwerde in Strafsachen mit verschiedenen Anträgen.
D.
Die Statthalterin hat Gegenbemerkungen eingereicht mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
Die Staatsanwaltschaft hat sich ebenfalls vernehmen lassen. Sie beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen.
X._ hat dazu Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach <ref-law> zulässig.
1.3. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt.
1.4. Nach der Rechtsprechung muss der Beschwerdeführer - wenn das nicht ohne Weiteres ersichtlich ist - darlegen, inwiefern ein anfechtbarer Entscheid nach <ref-law> gegeben sein soll. Andernfalls genügt er seiner Begründungspflicht gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG nicht und kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 1 S. 121).
Der Beschwerdeführer macht keine Ausführungen zur Anfechtbarkeit des vorinstanzlichen Entscheids. Es erscheint zweifelhaft, ob man annehmen kann, es handle sich dabei offensichtlich um einen negativen Entscheid über die Zuständigkeit und damit einen nach <ref-law> anfechtbaren Endentscheid (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 156; Urteil 9C_1000/2009 vom 6. Januar 2010 E. 1.2). Wie es sich damit verhält, kann dahingestellt bleiben. Wollte man auf die Beschwerde eintreten, wäre sie aus folgenden Erwägungen jedenfalls unbehelflich.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Untersuchungshaft habe offensichtlich Art. 5 EMRK verletzt, da es am dringenden Tatverdacht gefehlt habe. Damit hätte die Vorinstanz nach der Rechtsprechung (<ref-ruling>) über sein Gesuch um Ausrichtung einer Haftentschädigung befinden müssen.
2.2. Die Vorinstanz verneint eine offensichtliche Verletzung der EMRK mit dem Hinweis, der Beschwerdeführer beschränke sich auf "Interpretationsüberlegungen" zum Tatverdacht.
Damit hat sich die Vorinstanz zwar kurz, unter den gegebenen Umständen aber - wenn auch nur knapp - hinreichend zum Vorbringen des Beschwerdeführers geäussert. Da dieses klar unbegründet war (dazu unten E. 2.3), musste sie dazu keine längeren Ausführungen machen. Aus ihren Erwägungen geht hervor, dass sie den Einwand des Beschwerdeführers zurückwies und seine Vorbringen höchstens für geeignet hielt, den dringenden Tatverdacht als diskutabel erscheinen zu lassen. Der Beschwerdeführer war in der Lage, den vorinstanzlichen Entscheid im vorliegenden Punkt sachgerecht anzufechten. Unter diesen Umständen ist eine Verletzung der Begründungspflicht durch die Vorinstanz und damit des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör (<ref-law>, <ref-law>) zu verneinen.
2.3. Nach dem Rapport der Polizei vom 6. Juni 2013 beobachtete diese am 3. und 4. Juni 2013, wie der Beschwerdeführer und sein serbischer Mitbeschuldigter, die sich nach ihren Angaben ferienhalber in der Schweiz aufhielten, in Basel bei verschiedenen Schmuckgeschäften nebst den Auslagen in den Schaufenstern die Sicherungsvorkehren (Alarmanlagen) begutachteten und die Umgebung auskundschafteten. Der Beschwerdeführer und der Mitbeschuldigte fielen dabei an zwei aufeinanderfolgenden Tagen aufgrund ihres verdächtigen Verhaltens verschiedenen Polizisten unabhängig voneinander auf. Anlässlich der Durchsuchung der vom Beschwerdeführer benutzten Wohnung wurde unter anderem ein Elektroschockgerät und ein Uhrenkatalog mit markierten Modellen beschlagnahmt. Die Polizei stellte sodann in einem vom Beschwerdeführer benutzten Fahrzeug einen Stahlstift sicher, der zum Einschlagen von Scheiben bzw. zum Brechen von Sicherheitsglas verwendet werden kann.
Es bestanden damit konkrete Anhaltspunkte für die Annahme eines dringenden Tatverdachts für Vorbereitungshandlungen zu Raub. Angesichts dessen kann nicht gesagt werden, es habe offensichtlich an einem solchen Verdacht gefehlt; dies umso weniger, als nach der Rechtsprechung die Anforderungen an den dringenden Tatverdacht zu Beginn der Strafuntersuchung noch geringer sind (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.3 S. 126 f. mit Hinweis).
Der Argumentation des Beschwerdeführers ist damit die Grundlage entzogen.
3.
In der Beschwerde wird geltend gemacht, die von der Vorinstanz dem amtlichen Verteidiger zugesprochene Entschädigung sei zu tief. Der Beschwerdeführer ist mit Blick auf seine allfällige Rückerstattungspflicht nach <ref-law> an einer möglichst tiefen Entschädigung interessiert. Ob man annehmen kann, dass der Verteidiger im vorliegenden Punkt in eigenem Namen Beschwerde führt, kann dahingestellt bleiben. Auf die Beschwerde kann insoweit schon deshalb nicht eingetreten werden, weil nicht dargelegt wird, inwiefern der vorinstanzliche Entscheid Bundesrecht verletzen soll. Die Beschwerde genügt im vorliegenden Punkt den Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nicht.
4.
Die Beschwerde ist danach abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Da sie aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gemäss <ref-law> nicht bewilligt werden. Der Beschwerdeführer trägt damit die Kosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft, dem Zwangsmassnahmengericht und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Statthalterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri