Sachverhalt:
A.
Der 1958 geborene, zuletzt als Stanzereimitarbeiter tätig gewesene H._ meldete sich im April 2009 unter Hinweis auf eine krankheitsbedingte Beeinträchtigung bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau holte, nebst weiteren Abklärungen, beim Institut X._ eine polydisziplinäre medizinische Expertise vom 8. Februar 2010 und ein Verlaufsgutachten vom 7. Februar 2012 ein. Mit Verfügung vom 13. April 2012 verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente. Das Erfordernis einer durchschnittlich mindestens 40%igen Arbeitsunfähigkeit während eines Jahres sei nicht erfüllt.
B.
H._ erhob hiegegen Beschwerde. Er legte u.a. das von ihm eingeholte Gutachten des Dr. med. G._, Arzt für Neurologie und Psychiatrie, vom 11. Juli 2012 (mit Ergänzung vom 4. September 2012) auf. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies die Beschwerde mit Entscheid vom 12. Dezember 2012 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt H._ beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und eine ganze Rente zuzusprechen; eventuell sei das kantonale Gericht, subeventuell die Verwaltung anzuweisen, weitere medizinische Abklärungen zur Arbeitsfähigkeit zu treffen, einen rechtskonformen Einkommensvergleich vorzunehmen und erneut über den Leistungsanspruch zu befinden.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
Am 13. Mai 2013 lässt H._ einen Klinikbericht vom 7. Mai 2013 einreichen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2.
Der nachträglich eingereichte Klinikbericht vom 7. Mai 2013 stellt, wie der Beschwerdeführer auch selber anerkennt, ein unzulässiges neues Beweismittel dar (<ref-law>) und ist daher bei der vorliegenden Beurteilung nicht zu beachten.
3.
Im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, sind die Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen Invalidität und Erwerbsunfähigkeit, zum nach dem Grad der Invalidität abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente, zur Aufgabe von Arzt und Ärztin bei der Invaliditätsbemessung, sowie zur Beweiswürdigung, insbesondere im Hinblick auf ärztliche Berichte und Gutachten, zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die gesetzliche Regelung, wonach ein Rentenanspruch unter anderem voraussetzt, dass die versicherte Person während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens 40 % arbeitsunfähig gewesen ist (<ref-law>).
4.
Das kantonale Gericht hat festgestellt, der Versicherte sei gesundheitsbedingt seit September 2008 in der angestammten Tätigkeit zu 20 % eingeschränkt. Es stützt sich hiebei auf das Gutachten vom 8. Februar 2010 und das Verlaufsgutachten vom 7. Februar 2012 des Instituts X._. Darin sind die medizinischen Experten zum Ergebnis gelangt, der Versicherte leide an einer leichten depressiven Episode mit Symptomen einer posttraumatischen Belastungsstörung, einem chronischen zervikospondylogenen Schmerzsyndrom und einem chronischen lumbospondylogenen Schmerzsyndrom. Deswegen könnten körperlich schwere Tätigkeiten bleibend nicht mehr zugemutet werden. Für körperlich leichte bis gelegentlich mittelschwere adaptierte Tätigkeiten und somit auch für die angestammte Tätigkeit bestehe hingegen eine Arbeits- und Leistungsfähigkeit von 80 %, ganztags umsetzbar mit erhöhtem Pausenbedarf. Diese Einschätzung der Arbeitsfähigkeit gelte seit September 2008.
Die Vorinstanz hat erkannt, damit sei das Erfordernis der überjährigen Arbeitsunfähigkeit von mindestens 40 % im Sinne von <ref-law> nicht erfüllt.
5.
Umstritten ist die Frage der psychisch bedingten Beeinträchtigung. Der Beschwerdeführer macht geltend, der vorinstanzliche Entscheid sei diesbezüglich offensichtlich unrichtig resp. rechtswidrig. Er beruft sich dabei namentlich auf den Privatexperten Dr. med. G._ und auf Berichte über erfolgte Hospitalisationen.
5.1. Zu erwähnen sind zunächst die Austrittsberichte der Klinik A._ vom 29. Januar 2009 und der Klinik S._, vom 12. August 2009. Darin wurde dem Versicherten für die Zeit vom 27. November bis 31. Dezember 2008 resp. vom 28. Mai bis 3. Juli 2009 eine volle Arbeitsunfähigkeit aus psychischen Gründen attestiert. Eine hinreichende Arbeitsunfähigkeit im Sinne von <ref-law> wäre damit noch nicht gegeben.
5.2. Vom 24. April bis 21. Juni 2010 (mithin rund 2 Monate) und vom 21. Oktober 2010 bis 15. März 2011 (rund 5 Monate) befand sich der Versicherte erneut in stationärer psychiatrischer/psychologischer Behandlung, nunmehr in der Klinik C._. Deren Ärzte diagnostizierten in den Austrittsberichten vom 21. Juni 2010 und 15. März 2011 eine rezidivierende depressive Episode, gegenwärtig schwer- bis mittelgradig, bei bekannter posttraumatischer Belastungsstörung, resp. eine länger bestehende posttraumatische Belastungsstörung und ein mittel- bis schwergradiges depressives Syndrom. Sie bestätigten gestützt auf diese Diagnosen eine volle Arbeitsunfähigkeit während der jeweiligen Hospitalisation und darüber hinaus bis zur nächsten ambulanten Kontrolle.
Damit wäre, nur schon unter Berücksichtigung der Atteste für die eigentlichen Hospitalisierungsphasen, in der Zeit zwischen 24. April 2010 und 15. März 2011 das Erfordernis einer durchschnittlich mindestens 40%igen Arbeitsunfähigkeit während eines Jahre erfüllt. Sodann wäre, schon unter Berücksichtigung der vom Institut X._ bestätigten, seit September 2008 durchgehend 20%igen Arbeitsunfähigkeit der Ausschlussgrund des wesentlichen Unterbruchs gemäss <ref-law> zu verneinen.
Die Bestätigung einer vollen Arbeitsunfähigkeit durch die Klinik C._ widerspricht indessen der Einschätzung gemäss Institut X._, wonach ab September 2008 die Arbeitsfähigkeit durchgehend zu nicht mehr als 20 % eingeschränkt gewesen sei. Dieser Widerspruch findet weder in den Gutachten des Instituts X._, noch in den übrigen medizinischen Akten, einschliesslich der Expertise des Dr. med. G._ vom 11. Juli 2012 (mit Ergänzung vom 4. September 2012), oder in den vorinstanzlichen Erwägungen eine überzeugende Auflösung. Es kann den echtzeitlich über mehrere Monate gewonnenen Erkenntnissen der Ärzte der Klinik C._ auch nicht ohne Weiteres weniger Gewicht zukommen als den vergleichweise punktuellen Einschätzungen gemäss den Gutachten des Instituts X._. Demnach hat das kantonale Gericht hinsichtlich dieses Gesichtspunktes die rechtserheblichen Tatsachen unvollständig festgestellt. Das gilt als Rechtsverletzung nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 2 S. 25 mit Hinweisen; Urteil 8C_966/2012 vom 16. April 2013 E. 1) und führt zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
Das Bundesgericht kann nicht selber in der Sache entscheiden, da die vorhandenen medizinischen Akten hiefür nicht genügen. Die Angelegenheit wird daher zur Einholung eines psychiatrischen Gerichtsgutachtens an die Vorinstanz zurückgewiesen (<ref-law>). Dieses wird, da mit dem ungelösten Widerspruch auch die Verlässlichkeit der psychiatrischen Expertenaussagen des Instituts X._ überhaupt in Frage gestellt ist, als Entscheidsgrundlage nicht nur für die Frage der genügenden Arbeitsunfähigkeit nach <ref-law>, sondern auch für die Frage, welche Arbeitsunfähigkeit einer Prüfung des Rentenanspruchs zugrunde zu legen ist, zu dienen haben. In diesem Sinne ist die Beschwerde gutzuheissen.
6.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG; Urteil 8C_727/2011 vom 1. März 2012 E. 5, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2012 UV Nr. 20 S. 73).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 12. Dezember 2012 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Juni 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz