Sachverhalt:
A.
Der 1963 geborene A._ arbeitete seit 8. Mai 2006 als Gipser bei der Firma B._ GmbH. Am 27. Mai 2008 erlitt er als Beifahrer einen Autounfall. Am 18. Dezember 2008 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Leistungsbezug an. Diese zog die SUVA-Akten, diverse erwerbliche Unterlagen und ärztliche Berichte sowie ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. C._ vom 21. März 2010 bei. Mit Vorbescheid vom 3. Juni 2010 stellte die IV-Stelle dem Versicherten die Abweisung des Rentenbegehrens in Aussicht. Auf seine Einwände hin holte sie ein Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 27. Juni 2011 ein, wozu der Psychiater Dr. med. D._, Regionaler Ärztlicher Dienst der IV-Stelle, am 16. November 2011 Stellung nahm. Am 28. November 2011 beantwortete der rheumatologische MEDAS-Teilgutachter Dr. med. E._ eine Rückfrage der IV-Stelle. Am 29. Februar 2012 gab Dr. med. D._ eine erneute Stellungnahme ab. Mit Verfügung vom 12. Juli 2012 verneinte die IV-Stelle den Rentenanspruch des Versicherten.
B.
In teilweiser Gutheissung der hiegegen geführten Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Verfügung auf und stellte fest, der Versicherte habe ab 1. Juni 2011 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 24. März 2014).
C.
Mit Beschwerde beantragt die IV-Stelle, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die Verfügung vom 12. Juli 2012 zu bestätigen und festzustellen, dass kein Rentenanspruch bestehe.
Der Versicherte verlangt Nichteintreten auf die Beschwerde, eventuell deren Abweisung; er fordert die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Helvetia Schweizerische Lebensversicherungsgesellschaft AG und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Gründe für ein Nichteintreten auf die Beschwerde sind - entgegen dem pauschalen Vorbringen des Versicherten - nicht ersichtlich (<ref-ruling> E. 1 Ingress).
2.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund dieser Berichte gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Sachverhaltsfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]; zur Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen bei somatoformen Schmerzstörungen oder vergleichbaren syndromalen Zuständen im Besonderen vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 66).
3.
Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), die Invalidität im Allgemeinen (<ref-law>; <ref-law>) und bei psychischen Gesundheitsschäden im Besonderen (<ref-ruling> E. 1.2. S. 50, 130 V 352 E. 2.1.1 S. 353; siehe auch <ref-ruling>), die Invaliditätsbemessung nach dem Einkommensvergleich (<ref-law>), den Rentenanspruch (<ref-law>) und den Beweiswert von Arztberichten (E. 1 hievor; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232, 125 V 351 E. 3a S. 352) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. Im interdisziplinären (internistischen, neurologischen, rheumatologischen und psychiatrischen) MEDAS-Gutachten vom 27. Juni 2011 wurden folgende Diagnosen mit wesentlicher Einschränkung der zumutbaren Arbeitsfähigkeit gestellt: Generalisierte Angststörung (ICD-10 F41.1) mit chronischer Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10 F45.41), polytopen Schmerzen ohne objektivierbares somatisches Korrelat, klarer Verdeutlichungstendenz; zervikospondylogenes Schmerzsyndrom rechts bei mittelschwer ausgeprägter Osteochondrose C5/6, Periarthopathia humeroscapularis dextra. Für die angestammte Tätigkeit als Hilfsgipser werde die Arbeitsfähigkeit aktuell auf 30 % der Norm geschätzt, wobei hauptsächlich die psychiatrischen Befunde limitierend seien. Für körperlich leichte und mittelschwere Verweisungstätigkeiten ohne Heben von mehr als 25 kg, ohne Arbeiten mit prolongierter reklinierter Kopfhaltung, ohne solche auf unsicheren Standflächen respektive mit Absturzgefahr betrage die momentane Arbeitsfähigkeit ebenso 30 % der Norm, wiederum begrenzt durch die psychiatrischen, viel weniger durch rheumatologische und neurologische Begebenheiten. Im Ergänzungsbericht vom 28. November 2011 gab der rheumatologische MEDAS-Teilgutachter Dr. med. E._ an, der Beginn der 100%igen Arbeitsfähigkeit in leidensangepasster Tätigkeit sei auf den 12. Januar 2009 festzulegen.
4.2. Die Vorinstanz hat in Würdigung der medizinischen Aktenlage mit einlässlicher Begründung - auf die verwiesen wird - erwogen, gestützt auf das MEDAS-Gutachten vom 27. Juni 2011 und den rheumatologischen MEDAS-Ergänzungsbericht vom 28. November 2011 sei dem Versicherten somatischerseits eine Verweisungstätigkeit ab Anfang 2009 vollzeitlich zumutbar. Aus psychischer Sicht sei er entsprechend dem zu Handen der MEDAS erstellten Teilgutachten des Psychiaters pract. med. F._ vom 8. März 2011 (recte 13. Mai 2011) ab dem Zeitpunkt der psychiatrischen Untersuchung vom 8. März 2011 in jeder Tätigkeit zu 70 % arbeitsunfähig.
5.
Streitig und zu prüfen ist einzig die psychische Problematik.
5.1. Die IV-Stelle macht im Wesentlichen geltend, die Vorinstanz habe es unterlassen, das zu Handen der MEDAS erstellte Teilgutachten des Psychiaters pract. med. F._ vom 13. Mai 2011 aus rechtlicher Sicht unabhängig dessen medizinischer Einschätzung zu würdigen und ihre Schlussfolgerungen nachvollziehbar zu begründen. Entgegen der Vorinstanz sei die psychische Komorbidität zu verneinen; die übrigen sog. "Foerster-Kriterien" (vgl. E. 5.2.1 hienach) seien ebenfalls nicht erfüllt. Damit sei versicherungsrechtlich trotz anderslautender gutachterlicher Einschätzung der Arbeitsfähigkeit von einer in psychischer Hinsicht uneingeschränkten Arbeitsfähigkeit des Versicherten auszugehen, weshalb er keinen Rentenanspruch habe.
5.2.
5.2.1. Dem ist entgegenzuhalten, dass der psychiatrische Gutachter pract. med. F._ die 70%ige Arbeitsunfähigkeit des Versicherten in erster Linie auf die diagnostizierte generalisierte Angststörung (ICD-10 F41.1) zurückführte, die er als mittel bis stark einstufte. Dieses Störungsbild kann auf Grund klinischer psychiatrischer Untersuchungen klar diagnostiziert werden und ist damit überprüf- bzw. objektivierbar. Es gehört nicht zu den pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage, bei denen nach den sog. "Foerster-Kriterien" zu prüfen ist, ob deren willentliche Überwindbarkeit ausnahmsweise zu verneinen ist (<ref-ruling> E. 7.1.4 S. 562 und E. 9.1.1 S. 565; Rz. 1003 des BSV-Kreisschreibens über die Schlussbestimmungen der Änderung vom 18. März 2011 des IVG, gültig ab 1. April 2014 [KSSB]; vgl. auch Urteile 8C_39/2013 vom 30. Dezember 2013 E. 3.3 und 8C_753/2013 vom 13. Dezember 2013 E. 5.2.4). Das Gutachten des pract. med. F._ vom 13. Mai 2011 erfüllt die Anforderungen an eine medizinische Beurteilungsgrundlage; seine Ausführungen sind nachvollziehbar. Demnach ist seine Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit des Versicherten nicht anzuzweifeln (<ref-ruling> E. 9.1.2 S. 565 f.).
5.2.2. Hievon abgesehen hat pract. med. F._ aufgezeigt, dass auch die Foerster-Kriterien insgesamt erfüllt sind. Die Vorinstanz hat dem beigepflichtet (vgl. nicht publ. E. 4.2.2 des Urteils <ref-ruling>, in SVR 2012 IV Nr. 56 S. 200 [9C_302/2012]). Dies ist nicht zu beanstanden, zumal die als mittel bis stark eingestufte generalisierte Angststörung eine hinreichend erhebliche Komorbidität zur ebenfalls diagnostizierten chronischen Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10 F45.41) bildet.
5.2.3. Von einer vorinstanzlichen Verletzung der Begründungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237) kann nicht gesprochen werden.
6.
Gegen den vorinstanzlichen Einkommensvergleich, der ab 1. Juni 2011 den Anspruch auf eine ganze Invalidenrente ergab, bringt die IV-Stelle keine Einwände vor, womit es sein Bewenden hat.
7.
Die unterliegende IV-Stelle trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG). Das Gesuch des Versicherten um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Rechtsvertreterin des Beschwerdegegners für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Helvetia Schweizerische Lebensversicherungsgesellschaft AG, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. September 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar