Faits:
A.
A.a. F._, née en 1966, a travaillé du 1 er mars 1993 au 30 novembre 2005 comme employée de production pour le compte de l'entreprise X._.
En incapacité de travail depuis le mois de janvier 2005 en raison d'un trouble dépressif et de lombosciatalgies, elle a dé posé le 21 novembre 2005 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a, entre autres mesures, confié la réalisation d'une expertise psychiatrique à la doctoresse L._. Dans son rapport du 1 er novembre 2006, ce médecin a retenu le diagnostic d'épisode dépressif léger sans syndrome somatique, sévère à mi-2005, léger depuis environ août 2006, et fixé à 80 % la capacité résiduelle de travail de l'assurée à compter du mois d'août 2006.
Par décision du 8 janvier 2008, l'office AI a accordé à l'assurée une rente entière d'invalidité pour la période courant du 1 er février au 31 juillet 2006. Saisie d'un recours contre cette décision, la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel l'a admis et a renvoyé l'affaire à l'office AI pour complément d'instruction sur le plan somatique (jugement du 29 mai 2008).
Pour faire suite à ce jugement, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise rhumatologique au docteur A._. Dans son rapport du 16 février 2009, ce médecin a retenu les diagnostics de lombosciatalgies à prédominance droite sur troubles dégénératifs discaux L3 à L5 et facettaires L4-L5 à prédominance droite et de troubles somatoformes douloureux chroniques; les troubles étaient incompatibles avec l'activité habituelle de l'assurée, mais n'excluaient pas une capacité de travail de 80 % dans un emploi adapté aux limitations fonctionnelles.
Par décision du 3 mars 2010, l'office AI a accordé à l'assurée une rente entière d'invalidité pour la période courant du 1 er février au 31 juillet 2006.
A.b. Le 6 avril 2011, F._ a déposé une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'office AI a recueilli des renseignements médicaux auprès des doctoresses R._ (certificat du 8 juin 2011; rapports des 19 octobre 2011 et 24 février 2012) et E._ (certificat du 17 juin 2011; rapport du 12 octobre 2011), versé au dossier les rapports établis par le Centre Y._ à la suite des séjours que l'assurée a effectués du 2 au 18 juin 2010 et du 15 septembre au 14 octobre 2011 (rapports des 18 novembre 2010 et 1 er novembre 2011) et confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur V._. Dans son rapport du 26 novembre 2012, ce médecin a retenu les diagnostics - sans répercussion sur la capacité de travail - de syndrome douloureux somatoforme persistant et d'autre trouble spécifique de la personnalité (personnalité fruste); les symptômes dépressifs qui accompagnent naturellement l'évolution d'un trouble somatoforme n'étaient pas handicapants et, compte tenu de sa personnalité fruste, l'assurée était capable d'exercer des activités simples requérant peu d'efforts intellectuels.
Se fondant sur les conclusions de cette expertise, l'office AI a, par décision du 6 mai 2013, rejeté la demande de prestations de l'assurée.
B.
Par jugement du 29 octobre 2013, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé par l'assurée contre cette décision.
C.
F._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut au renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Elle assortit son recours d'une requête d'assistance judiciaire.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2.
Quand l'administration entre en matière sur une nouvelle demande (cf. art. 87 al. 3 RAI), elle doit procéder de la même manière qu'en cas de révision au sens de l'art. 17 LPGA et comparer les circonstances existant au moment de la nouvelle décision avec celles prévalant lors de la dernière décision entrée en force reposant sur un examen matériel du droit à la rente (cf. <ref-ruling>) pour déterminer si une modification notable du taux d'invalidité justifiant la révision du droit en question est intervenue.
3.
3.1. Se fondant sur les conclusions de l'expertise réalisée par le docteur V._, la juridiction cantonale a considéré que l'état de santé de la recourante sur les plans somatique et psychiatrique ne s'était pas aggravé depuis la décision du 3 mars 2010, la capacité résiduelle de travail et le degré d'invalidité (32 %) étant demeurés inchangés.
3.2. La recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits pertinents consécutive à une mauvaise appréciation des preuves. En substance, elle lui fait grief de s'être fondée sur l'expertise réalisée par le docteur V._, expertise qui comportait plusieurs imprécisions et appréciait mal la gravité des symptômes dépressifs. Compte tenu des constatations médicales rapportées par ses médecins traitants, il existait des doutes suffisants quant à la fiabilité de l'avis du docteur V._ pour justifier, à tout le moins, un renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle mette en oeuvre une nouvelle expertise psychiatrique. Au surplus, les critères jurisprudentiels mis à la reconnaissance du caractère invalidant d'un trouble somatoforme douloureux étaient remplis, si bien que celui-ci avait une répercussion sur la capacité de gain.
4.
4.1. S'il n'est pas contesté que la situation sur le plan somatique n'a pas évolué depuis la décision du 3 mars 2010, les avis divergent en revanche quant à l'influence actuelle des symptomatologies douloureuse et dépressive sur la capacité de travail de la recourante.
4.2. Compte tenu de son pouvoir d'examen restreint, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées, mais à la partie recourante d'établir en quoi celle opérée par l'autorité cantonale serait manifestement inexacte ou incomplète, ou en quoi les faits constatés auraient été établis au mépris de règles essentielles de procédure. En se contentant de renvoyer aux rapports de ses médecins traitants faisant état d'une péjoration de son état de santé et aux deux hospitalisations dont elle a fait l'objet, le recourante n'établit nullement, au moyen d'une argumentation précise et étayée, le caractère insoutenable du raisonnement développé par les premiers juges. Lorsqu'une appréciation repose sur une évaluation médicale complète, telle que l'expertise réalisée par le docteur V._, elle ne saurait être remise en cause au seul motif qu'un ou plusieurs médecins ont une opinion divergente. Il ne suffit pas d'affirmer que l'intensité de la symptomatologie dépressive décrite par l'expert ne coïncide pas avec celle décrite par ses médecins traitants, car il n'appartient pas au juge de se livrer à des conjectures qui relèvent strictement de la science médicale (voir arrêt 9C_573/2009 du 16 décembre 2009 consid. 2.3). Il faut bien plutôt faire état d'éléments objectivement vérifiables qui auraient été ignorés dans le cadre de l'expertise et suffisamment pertinents pour en remettre en cause les conclusions. Or la recourante ne fait pas mention de tels éléments. En particulier, elle n'explique pas en quoi le point de vue de ses médecins traitants, les doctoresses R._ et E._, serait mieux fondé objectivement que celui de l'expert-psychiatre ou justifierait, à tout le moins, la mise en oeuvre d'une mesure d'instruction complémentaire. Les reproches formels adressés à l'expertise (imprécisions; durée de l'entretien clinique) ne suffisent pas non plus à justifier un complément d'instruction, la recourante n'exposant pas en quoi l'éventuelle correction des vices allégués serait susceptible d'influer sur le résultat de l'expertise.
4.3. Pour le reste, il n'y a pas lieu de s'arrêter sur l'analyse faite par la recourante des critères jurisprudentiels mis à la reconnaissance du caractère invalidant du trouble somatoforme douloureux, dès lors qu'elle tente simplement de substituer sa propre appréciation de la situation à celle des premiers juges sans dire en quoi cette dernière serait manifestement insoutenable.
5.
5.1. Mal fondé, le recours doit être rejeté et le jugement entrepris confirmé.
5.2. Les frais afférents à la présente procédure seront supportés par la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires et à la désignation d'un avocat d'office. Les conditions d'octroi étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci lui est accordée. Elle est toutefois rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal, si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Me Freddy Rumo est désigné comme avocat d'office de la recourante et une indemnité de 2'800 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, supportée par la caisse du Tribunal.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Piguet