Art. 26 und 29 BV (Bau- und Planungsrecht), hat sich ergeben:
A.- A._ ist Eigentümer der mit einem Mehrfamilienhaus überbauten Parzelle Luzern Gbbl. Nr. 1.... An diesem hatte er in den 90er Jahren unter Überschreitung der erteilten Bewilligung verschiedene Umbauten vorgenommen, die teilweise auch im nachträglichen Baubewilligungsverfahren nicht genehmigt werden konnten; die in diesem Zusammenhang von den kantonalen Behörden angeordnete Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands focht A._ erfolglos bis vor Bundesgericht an. Seine diesbezügliche staatsrechtliche Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil vom 18. Oktober 1999 ab, soweit es darauf eintrat.
B.- Am 31. Dezember 1998 ersuchte A._ für seine Liegenschaft unter dem Titel "Planänderung" um Bewilligung eines Aufbaus mit Satteldach. Dieses Gesuch wies der Stadtrat von Luzern am 11. August 1999 ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 9. März 2000 ebenfalls ab. Das Verwaltungsgericht stellte zunächst fest, das Mehrfamilienhaus des Beschwerdeführers sei im heutigen Zeitpunkt baupolizeiwidrig, da es die zulässige Geschosszahl und die Überbauungsziffer überschreite. Deshalb sei das Baugesuch unter dem Gesichtspunkt der Besitzstandsgarantie zu prüfen. Derartige Bauten dürften gemäss § 179 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes (PBG) nur dann erweitert werden, wenn diesem Vorhaben keine wesentlichen öffentlichen und privaten Interessen entgegenstünden. Da aber der geplante Erweiterungsbau die Rechtswidrigkeit verstärken würde, könne die nachgesuchte Bewilligung nicht erteilt werden. Den Antrag A._s auf Durchführung eines Augenscheins wies das Verwaltungsgericht ab, da sich der massgebliche Sachverhalt den Akten entnehmen lasse.
C.- Gegen diesen Entscheid führt A._ am 17. April 2000 staatsrechtliche Beschwerde und beantragt die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils. Er macht einen Verstoss gegen § 53 des Luzerner Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRG) sowie seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) geltend. Sodann rügt er einen Verstoss gegen die Eigentumsgarantie sowie die Verletzung des materiellen Baurechts.
D.- Mit Verfügung vom 26. Mai 2000 hiess der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch A._s um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung seiner Beschwerde gut.
E.- Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und die Mitglieder der Erbengemeinschaft B._ beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Wohlfahrtsstiftung der Gebrüder G._ AG und die Eheleute H._ beantragen deren Abweisung; I._ stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Der Stadtrat von Luzern hat sich nicht vernehmen lassen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob und gegebenenfalls in welchem Umfang auf eine staatsrechtliche Beschwerde eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 1a; <ref-ruling> E. 1a).
b) Die vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen und die diesbezüglichen Begründungen ergeben sich - entgegen der Auffassung eines Teils der Beschwerdegegner - mit einer den Anforderungen von Art. 90 OG genügenden Klarheit aus der Rechtsmitteleingabe. Auf die form- und fristgerecht eingereichte staatsrechtliche Beschwerde kann somit eingetreten werden.
2.- Der Beschwerdeführer wirft dem Verwaltungsgericht zunächst vor, durch den Verzicht auf den beantragten Augenschein den in § 53 VRG festgehaltenen Grundsatz der Sachverhaltsabklärung von Amtes wegen verletzt und demzufolge verkannt zu haben, dass den Einsprechern die Verfahrenslegitimation gefehlt habe und seinem Bauvorhaben weder private noch öffentliche Interessen entgegenstünden. In diesem Vorgehen liege ausserdem eine Verletzung seines verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV).
a) Die Pflicht der Behörden zur Prüfung aller erheblichen Vorbringen der Parteien und zur Abnahme der tauglichen Beweismittel stellt einen Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör dar und wird in erster Linie durch das kantonale Verfahrensrecht umschrieben. Grundsätzlich prüft das Bundesgericht die Anwendung der kantonalen Rechtssätze auf staatsrechtliche Beschwerde hin lediglich unter dem Gesichtspunkt der Willkür. Unabhängig davon greifen die unmittelbar aus Art. 29 Abs. 2 BV folgenden bundesrechtlichen Verfahrensregeln zur Sicherung des Gehörsanspruchs Platz. Ob der direkt aus Art. 29 Abs. 2 BV fliessende Anspruch der Parteien auf Abnahme tauglicher Beweismittel verletzt ist, prüft das Bundesgericht als Verfassungsfrage mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 3 S. 158).
b) Die massgeblichen kantonalrechtlichen Bestimmungen über die Ermittlung des Sachverhalts finden sich in den §§ 53 ff. VRG. Demnach stellt die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen fest (§ 53 VRG) und verwendet dabei in erster Linie die in diesem Gesetz vorgesehenen Beweismittel (§ 54 VRG), zu denen die Durchführung von Augenscheinen gehört (§ 100 ff. VRG). Eine Pflicht der Behörde, auf Antrag einer Partei in jedem Fall einen Augenschein durchzuführen, ergibt sich indes weder aus den erwähnten Bestimmungen noch aus der bundesrechtlichen Mindestgarantie von Art. 29 Abs. 2 BV. Vielmehr ist der Richter befugt, einen Beweisantrag abzulehnen, wenn er in willkürfreier Würdigung der bereits erhobenen Beweise zur Überzeugung gelangt, der rechtlich erhebliche Sachverhalt sei genügend abgeklärt und die weitere Beweisführung werde seine Überzeugung nicht mehr ändern (vgl. <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1d; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 505). Insbesondere ist es einer urteilenden Behörde nicht verwehrt, auf einen Augenschein zu verzichten, wenn aufgrund der gesamten Umstände feststeht, dass dieser am Ergebnis nichts zu ändern vermöchte (<ref-ruling> E. 2b).
c) Das Verwaltungsgericht hat die Durchführung des beantragten Augenscheins mit der Begründung abgelehnt, der entscheidwesentliche Sachverhalt sei in den Akten hinreichend erstellt und es bedürfe keiner weiterer Abklärungen.
Soweit der Beschwerdeführer diese Feststellung bestreitet, indem er vorbringt, der Augenschein hätte die fehlende Streitnähe der Einsprecher und demzufolge deren fehlende Legitimation aufgezeigt, vermag er mit diesem Einwand schon deshalb nicht durchzudringen, weil das Verwaltungsgericht ungeachtet der Legitimation der Einsprecher aufgrund des negativen Bauentscheids des Luzerner Stadtrats und der Beschwerde A._s ohnehin mit der Sache befasst war.
Im Übrigen waren die meisten der im vorliegenden Verfahren als Einsprecher Mitwirkenden bereits im vorangegangenen, ebenfalls bis vor Bundesgericht führenden Rechtsstreit, der dieselbe Liegenschaft betraf, als Parteien beteiligt. Dem Situationsplan, der den Akten beiliegt, lässt sich denn auch entnehmen, dass es sich bei den Einsprechern um Eigentümer angrenzender Liegenschaften handelt, die grundsätzlich zur Einsprache befugt sind (vgl. § 193 PBG). Gründe, weshalb dies im vorliegenden Fall nicht zutreffen sollte, nennt der Beschwerdeführer nicht. Insofern kann dem Verwaltungsgericht jedenfalls nicht vorgeworfen werden, bei seiner antizipierten Beweiswürdigung in Willkür verfallen zu sein.
Weiter wäre nach Auffassung des Beschwerdeführers ein Augenschein geboten gewesen, weil dabei hätte festgestellt werden können, dass sein Bauvorhaben weder private noch öffentliche Interessen beeinträchtige. Da der Beschwerdeführer - wie in der nachstehenden E. 3 aufzuzeigen ist - mit diesem Einwand aus Gründen, an denen ein Augenschein offensichtlich nichts geändert hätte, ebenfalls nicht durchdringt, steht fest, dass die vom Verwaltungsgericht vorgenommene antizipierte Beweiswürdigung nicht als willkürlich bezeichnet werden kann. Durch den Verzicht auf einen Augenschein hat es demzufolge weder kantonales Verfahrensrecht noch den verfassungsmässigen Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt.
3.- Der Beschwerdeführer ist ausserdem der Auffassung, bei richtiger Anwendung von § 179 PBG hätte ihm der geplante Erweiterungsbau bewilligt werden müssen. Aufgrund einer Rechtsänderung, die nach der Fertigstellung seines Mehrfamilienhauses erfolgt sei, könnte dieses zwar heute nicht mehr so gebaut werden. Er habe aber aufgrund der zitierten Gesetzesbestimmung Anspruch auf eine angemessene Erweiterung, da weder öffentliche noch private Interessen dagegen sprechen würden. Angesichts dieser Umstände verstosse die Nichterteilung der beantragten Baubewilligung gegen die in Art. 26 Abs. 1 BV verankerte Eigentumsgarantie.
a) Die Verweigerung der nachgesuchten Bauerlaubnis stellt eine Eigentumsbeschränkung dar, die nur zulässig ist, wenn sie auf einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage beruht, im öffentlichen Interesse liegt und verhältnismässig ist. Bei Anrufung der Eigentumsgarantie prüft das Bundesgericht Auslegung und Anwendung kantonalen Gesetzesrechts grundsätzlich nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür; eine freie Prüfung nimmt es nur bei schweren Eingriffen vor. Ein solcher liegt in der Regel vor, wenn Grundeigentum zwangsweise entzogen wird, oder wenn durch Verbote und Gebote der bisherige oder künftig mögliche bestimmungsgemässe Gebrauch des Grundstücks verunmöglicht oder stark erschwert wird (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 3b/bb, je mit Hinweisen).
Diese Voraussetzungen liegen im hier zu beurteilenden Fall nicht vor, kann doch der Beschwerdeführer seine Liegenschaft weiterhin wie bisher nutzen. Der hier zu beurteilende Bauabschlag stellt daher keinen schweren Eingriff in die Eigentumsrechte des Beschwerdeführers dar, weshalb im Folgenden nur unter dem Blickwinkel der Willkür zu prüfen ist, ob sich der angefochtene Entscheid auf die angeführte Norm abstützen lässt. Aus diesem Grund führt der Vorwurf der Verletzung der Eigentumsgarantie zu keinem weitergehenden Rechtsschutz als die - ebenfalls erhobene - Rüge der willkürlichen Anwendung von § 179 PBG. Beide Einwände können deshalb im Folgenden zusammen geprüft werden.
b) Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Eigentumsgarantie (Art. 22ter aBV) und zum Rückwirkungsverbot (Art. 4 aBV) ist die sofortige Anwendung neuer Eigentumsbeschränkungen auf bestehende, nach altem Recht rechtmässig erstellte Bauten grundsätzlich unzulässig (sog. Besitzstandsgarantie).
Sofern dies kein gewichtiges öffentliches Interesse verbietet, sind zumindest die bisherige Nutzung und der normale Unterhalt weiterhin zu erlauben.
Die Kantone sind befugt, den Besitzstand darüber hinaus in einer weitergehenden Weise zu garantieren. So können sie - unter dem Vorbehalt überwiegender raumplanerischer Interessen - auch die Erneuerung, Umnutzung, Erweiterung oder gar den vollständigen Wiederaufbau einer alten Baute gestatten (<ref-ruling> E. 2a).
Von dieser Möglichkeit hat der Kanton Luzern durch den Erlass von § 179 PBG Gebrauch gemacht. Diese Bestimmung lautet wie folgt:
"Die innerhalb der Bauzonen bestehenden Bauten und
Anlagen, die den baupolizeilichen Bestimmungen
widersprechen, dürfen erhalten und zeitgemäss erneuert
werden. Neubauähnliche Umbauten und Erweiterungen
können ausnahmsweise gestattet werden,
wenn keine wesentlichen öffentlichen und privaten
Interessen entgegenstehen.. "
c) Zwischen den Verfahrensbeteiligten ist unbestritten, dass es sich beim interessierenden Vorhaben um eine Erweiterung der vorbestehenden Liegenschaft handelt.
Streitig ist dagegen, ob der geplanten Erweiterung wesentliche öffentliche oder private Interessen entgegenstehen.
Das Verwaltungsgericht hat mit einlässlicher und sachlicher Begründung dargelegt, dass die bestehende Baute baupolizeiwidrig ist, indem sie insbesondere dreigeschossig erstellt worden ist, obwohl lediglich zwei Geschosse zugelassen sind.
Es ist offensichtlich, dass der geplante Satteldachaufbau die Rechtswidrigkeit in einem Bereich verstärkt - nämlich in der Gebäudehöhe -, wo die Baute bereits in rechtswidriger Weise in Erscheinung tritt. Die Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts, wonach öffentliche Interessen einer Erweiterung stets dann entgegenstehen, wenn die Rechtswidrigkeit in einem Bereich verstärkt wird, wo sie bereits bisher rechtswidrig war, kann nicht als willkürlich bezeichnet werden.
Es ist deshalb nicht unhaltbar, Dachaufbauten auf einem zu hohen Gebäude zu verweigern (vgl. z.B. BVR 1983 S. 184 E. 4c). Der Beschwerdeführer vertritt in diesem Zusammenhang die Meinung, jede Erweiterung bewirke eine gewisse Verschärfung der Baurechtswidrigkeit. Diese Auffassung überzeugt indessen nicht, ist doch ohne weiteres etwa eine rückwärtige flächenmässige Erweiterung eines Gebäudes vorstellbar, das zu nahe an der vorderen Nachbargrenze steht.
Ebenso kann der Anbau einer Veranda an ein zu hohes Gebäude zulässig sein (vgl. die Beispiele zur analogen Bestimmung von Art. 3 des bernischen Baugesetzes bei Aldo Zaugg, Kommentar zum Baugesetz des Kantons Bern vom 9. Juni 1985,
2. Aufl. , Bern 1995, N. 3 zu Art. 3). Andere Einwände, weshalb das Verwaltungsgericht § 179 PBG willkürlich angewandt habe, nennt der Beschwerdeführer nicht. Soweit er behauptet, das Verwaltungsgericht setze sich durch die Verweigerung der nachgesuchten Baubewilligung in Widerspruch zu seiner eigenen Praxis, belegt der Beschwerdeführer diesen Vorwurf nicht weiter, weshalb nicht näher darauf einzugehen ist.
Die Rüge der willkürlichen Anwendung von § 179 PBG bzw.
der Verletzung der Eigentumsgarantie trifft daher nicht zu. Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
4.- Bei diesem Prozessausgang hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG). Die privaten Beschwerdegegner haben Anspruch auf Ersatz ihrer Parteikosten (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Der Beschwerdeführer hat den privaten Beschwerdegegnern die Parteikosten, bestimmt auf je Fr. 1'500.-- (insgesamt Fr. 4'500.--), zu ersetzen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat Luzern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 10. August 2000
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: