Fatti:
A.
A._ e B._, clienti della C._ SA, effettuarono diversi investimenti nella D._ Ltd., società con sede nelle Isole Vergini Britanniche gestita dalla banca. I rapporti contrattuali tra clienti e banca furono piuttosto complessi. La fattispecie che interessa la causa portata davanti al Tribunale federale è tuttavia ben circoscritta. A._ e D._, che avevano acquisito il diritto di permutare azioni della D._ Ltd. con azioni della società cilena E._ SA, rimproverano alla C._ SA di non avere permesso loro di esercitare tale opzione, di averli discriminati rispetto ad altri azionisti e di avere causato loro un pregiudizio ingente.
B.
Il 18 maggio 2009 A._ e D._ hanno avviato una procedura arbitrale contro C._ SA davanti alla Camera di commercio, dell'industria, dell'artigianato e dei servizi del Canton Ticino, la quale ha designato quale arbitro unico F._, avvocata a X._. In breve, per quanto interessi il litigio davanti al Tribunale federale, gli attori hanno chiesto all'arbitro di dichiarare che la convenuta aveva violato i suoi obblighi contrattuali dando l'opzione di convertire delle azioni della società D._ Ltd. in azioni E._ SA a un altro azionista ma non a loro; di accertare che tale comportamento aveva causato danni di USD 1'679'495.-- a A._ e USD 644'717.-- a D._; di condannare la convenuta a pagare USD 1'216'540.-- a A._ e USD 471'990.-- a D._. La convenuta ha chiesto di respingere tali domande.
L'arbitro unico si è pronunciato con lodo del 23 settembre 2013, respingendo le predette domande ai dispositivi n.1/4.2 e 2 e ponendo gli oneri processuali a carico degli attori al dispositivo n. 3.
C.
A._ e D._ insorgono davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 23 ottobre 2013. Chiedono l'annullamento dei dispositivi n. 1/4.2, 2 e 3 del lodo e il rinvio della causa all'arbitro affinché decida di nuovo, accolga in sostanza le domande presentate nell'ambito della procedura arbitrale e riveda il giudizio su spese e ripetibili. L'opponente ha chiesto di respingere il ricorso con risposta del 20 gennaio 2014. Le rispettive posizioni sono state confermate con replica del 6 febbraio 2014 e duplica del 31 marzo 2014.
L'arbitro ha rinunciato a presentare osservazioni.
D.
Il 4 novembre 2013 i ricorrenti hanno chiesto che al ricorso fosse attribuito l'effetto sospensivo; la domanda è stata respinta con decreto presidenziale del 10 dicembre 2013. I ricorrenti hanno presentato una nuova istanza di richiesta dell'effetto sospensivo il 14 dicembre 2013.
Il 20 novembre 2013 l'opponente ha chiesto di astringere il ricorrente A._ a depositare una garanzia per le spese ripetibili, domanda che è stata respinta con decreto presidenziale 10 gennaio 2014.

Diritto:
1.
Giusta l'<ref-law> il procedimento innanzi al Tribunale federale si svolge in una delle lingue ufficiali, di regola quella della decisione impugnata. Nella fattispecie in esame il lodo arbitrale impugnato è stato redatto in italiano. Ne consegue che, sebbene l'atto di ricorso sia stato redatto in tedesco e la procedura federale si sia svolta per buona parte in tedesco, non vi è motivo di scostarsi dalla prassi summenzionata; ne viene che il Tribunale federale redigerà la sua decisione in lingua italiana.
2.
In materia di arbitrato internazionale il ricorso in materia civile è proponibile alle condizioni degli art. 190 a 192 LDIP (<ref-law>).
La sede del Tribunale arbitrale è stata fissata a Lugano e una delle parti, nella fattispecie uno dei ricorrenti, non era, al momento della stipulazione del patto di arbitrato, domiciliato in Svizzera. Le disposizioni del capitolo 12 della LDIP sono pertanto applicabili (<ref-law>).
I ricorrenti sono particolarmente toccati dalla decisione arbitrale impugnata, poiché quest'ultima respinge le pretese da loro formulate. I ricorrenti hanno pertanto un interesse degno di protezione all'annullamento o alla modifica della decisione del giudice arbitro, il che conferisce loro la qualità per ricorrere (<ref-law>).
Il ricorso è tempestivo (<ref-law>) ed è stato depositato nella forma prevista dalla legge (<ref-law>).
In considerazione dell'ammontare della pretesa posta in causa, non è necessario esaminare in questa sede la questione ancora irrisolta in merito alla necessità, nelle cause di arbitrato internazionale, di avere un valore litigioso minimo.
Sotto questo profilo il ricorso è pertanto ammissibile.
3.
I motivi di ricorso in materia di arbitrato internazionale sono enumerati esaustivamente all'<ref-law>. Il Tribunale federale esamina solo le censure che il ricorrente propone e motiva (<ref-law>). La motivazione sottostà alle esigenze dell'<ref-law> che sono analoghe a quelle che vigevano per il ricorso di diritto pubblico; ciò significa che il ricorrente deve indicare chiaramente le norme di diritto che ritiene violate e precisare in cosa consista la violazione (<ref-ruling> consid. 5).
Sui fatti il Tribunale è vincolato agli accertamenti del lodo impugnato (<ref-law>), che non possono essere rettificati nemmeno se fossero manifestamente inesatti (<ref-law> che esclude l'applicazione dell'<ref-law>; sentenza 4A_146/2012 del 10 gennaio 2013, consid. 2.6). Ne viene anche l'improponibilità di documenti nuovi davanti al Tribunale federale.
Il ricorso in materia di giurisdizione arbitrale ha natura cassatoria (art. 77 cpv. 2 con rif. a <ref-law>), per cui la domanda di rinvio degli atti all'arbitro per nuovo giudizio è inammissibile.
4.
I ricorrenti si prevalgono in primo luogo del motivo di ricorso dell'art. 190 cpv. 2 lett. e LDIP. Con l'adozione di questa norma il legislatore ha limitato di proposito i motivi di ricorso, per aumentare la celerità e l'efficacia della giurisdizione arbitrale (<ref-ruling> consid. 2.b; <ref-ruling> consid. 3.c). La riserva di ordine pubblico, dal profilo materiale, non permette di sottoporre al Tribunale federale il riesame dei fatti e dell'apprezzamento delle prove, nemmeno sotto l'angolo all'arbitrio. Essa è più restrittiva della nozione di arbitrio; interviene soltanto quando il lodo arbitrale urta in maniera scioccante i principi fondamentali dell'ordinamento giuridico così come è concepito in Svizzera (sentenza 4A_93/2013 del 29 ottobre 2013, consid. 4.2 e rif.).
Analogamente l'ordine pubblico procedurale esige il rispetto delle regole fondamentali dedotte dagli art. 29 e 30 Cost. e 6 CEDU, in particolare il diritto a un processo equo e di essere sentiti. Esso è violato quando questi principi generali e riconosciuti sono lesi in modo inconciliabile con il sentimento di giustizia e con i valori di uno stato di diritto (sentenza 4A_145/2010 del 5 ottobre 2010, consid. 5.2 e rif.).
5.
A mente dei ricorrenti il lodo impugnato viola l'ordine pubblico per diversi motivi. Le loro critiche (che sono esposte con una sistematica piuttosto complessa) ruotano tutte attorno agli accertamenti dell'arbitro concernenti il mancato esercizio dell'opzione di permuta delle azioni D._ Ltd. I ricorrenti sostengono in primo luogo che tali accertamenti sono fondati sul documento A-AH, che non è assolutamente idoneo a provare i fatti e che è stato menzionato per errore; circostanza, quest'ultima, ammessa dall'arbitro in un messaggio di posta elettronica inviato al loro patrocinatore il 16 ottobre 2013, del quale producono la trascrizione. A loro parere, così facendo l'arbitro ha deciso un punto controverso determinante sulla base di un "Phantom-Beweismittel"e ha perciò violato l'ordine pubblico svizzero.
I ricorrenti, che enunciano di per sé correttamente la portata della riserva di ordine pubblico materiale e procedurale, non specificano quale delle due componenti sarebbe stata lesa. Poco importa, perché il documento A-AH (a prescindere dal suo contenuto) non è affatto stato posto dall'arbitro a fondamento di accertamenti sfavorevoli ai ricorrenti, ciò che esclude d'entrata un'incompatibilità con l'ordine pubblico. Questo documento è menzionato alla nota 170 in calce al considerando n. 134.6.ii del lodo. Il passaggio al quale la nota si riferisce è inserito nel capitolo IV intitolato " I FATTI - CRONOLOGIA", che è introdotto da questo avvertimento: " La descrizione che segue è basata esclusivamente sui documenti contemporanei ai fatti di causa allo scopo di facilitare una comprensione immediata dei fatti di causa senza dunque addentrarsi nella discussione degli specifici punti controversi, i quali saranno poi successivamente riaffrontati nei contesti più indicati". In altre parole, l'esposto di questo capitolo è un riassunto cronologico e acritico della vicenda, ricostruita sulla base dei documenti agli atti, con il quale l'arbitro, per sua dichiarazione espressa, non ha inteso decidere i fatti controversi.
La prima censura del ricorso è perciò manifestamente infondata.
6.
Le considerazioni di merito seguono al capitolo V del lodo, intitolato appunto "IL MERITO", in particolare alla sezione V.2 "Sulle singole domande". Gli accertamenti in discussione sono esaminati ai n. da 188 a 194 del lodo.
Basandosi sulle allegazioni delle parti e sui documenti agli atti, tra i quali non menziona il documento A-AH (ciò che annotano anche i ricorrenti), l'arbitro ha in sostanza accertato che i ricorrenti hanno ammesso di avere ricevuto l'opzione di conversione delle azioni D._ Ltd. e che in effetti l'opponente aveva offerto agli investitori la facoltà di permutare le azioni. Egli ha in seguito constatato che al rimprovero dei ricorrenti di essere stati trattati in modo discriminatorio, l'opponente aveva obiettato di avere offerto l'opzione a tutti gli investitori, diversi dei quali l'avevano esercitata, mentre i ricorrenti avevano deciso di non farlo. Infine, posti questi fatti, l'arbitro ha concluso che "gli Attori, avendo riconosciuto di avere ricevuto l'opzione, avrebbero d ovuto dimostrare che avrebbero esercitato l'opzione e che la Convenuta si fosse opposta a tale conversione. Tale prova non è stata apportata in questa sede".
6.1. I ricorrenti riassumono questa motivazione (in modo non del tutto fedele), la commentano e la contestano a più riprese, giungendo d'un canto a ritenere errato l'accertamento secondo cui essi non avrebbero esercitato o avrebbero rinunciato a esercitare l'opzione (che definiscono "absurd"); dall'altro a sostenere che toccava semmai all'opponente fornire la controprova positiva di tali fatti, per cui l'arbitro avrebbe violato il principio "negativa non sunt probanda", che a loro avviso appartiene all'ordine pubblico.
Quest'argomentazione è volta contro l'apprezzamento delle prove. I ricorrenti dimenticano che il Tribunale federale è vincolato agli accertamenti di fatto del lodo, che non possono essere rettificati nemmeno se fossero manifestamente inesatti (cfr. consid. 3), e che la riserva di ordine pubblico non permette di sopperire a tale limitazione (cfr. consid. 4). Quanto alla prova dei fatti negativi, basti ricordare che la giurisprudenza non conosce un principio assoluto come quello invocato dai ricorrenti; pone semmai un obbligo di collaborazione a carico della parte in grado di fornire la prova positiva del fatto contrario. Non è necessario approfondire la questione, che attiene in ogni caso alla sfera dell'apprezzamento delle prove e che non può quindi essere di giovamento ai ricorrenti in questa procedura (cfr. sentenza 4A_474/2013 del 10 marzo 2014, consid. 5.1, oppure 4A_256/2013 del 17 ottobre 2013, consid. 2.2).
Ne viene l'inammissibilità delle suddette censure.
6.2. L'arbitro ha inoltre stabilito, in via subordinata, che l'affermazione dei ricorrenti di non avere potuto esercitare l'opzione di permuta delle azioni D._ Ltd., oltre a non esser stata provata, "è chiaramente incompatibile con il ruolo e le dichiarazioni del loro rappresentante Sig. G._". Anche a questo accertamento i ricorrenti, sebbene menzionino a più riprese l'ordine pubblico, contrappongono in modo appellatorio e inammissibile le proprie valutazioni concernenti il ruolo del Sig. G._ e la portata di un memorandum of understanding da lui firmato.
6.3. Nella replica i ricorrenti sostengono che il lodo impugnato contrasta con la riserva di ordine pubblico anche per difetto di motivazione. La censura è inammissibile, perché andava proposta con l'atto di ricorso (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.3.4, pag. 47).
7.
Il secondo motivo di ricorso del quale si prevalgono i ricorrenti è la violazione del principio della parità di trattamento e il diniego di giustizia (art. 190 cpv. 2 lett. d LDIP). Le censure hanno ancora per oggetto l'accertamento concernente l'esercizio dell'opzione di permuta delle azioni. La lesione del principio della parità di trattamento consisterebbe nell'avere l'arbitro posto a fondamento del proprio giudizio un'allegazione dell'opponente senza esigerne la prova. Inoltre, siccome determinati documenti di causa proverebbero, contrariamente a quanto stabilito dall'arbitro, che i ricorrenti avevano predisposto e chiesto la permuta delle azioni D._ Ltd. e che fu l'opponente a rifiutare la collaborazione necessaria per concludere l'operazione, pretendere da loro la prova del fatto negativo di non avere rinunciato all'esercizio dell'opzione costituirebbe diniego di giustizia.
7.1. È palese che anche queste argomentazioni riguardano esclusivamente l'accertamento dei fatti: esse non toccano l'aspetto formale del diritto della prova ma attengono all'apprezzamento delle prove, in particolare al valore, non condiviso dai ricorrenti, che l'arbitro ha attribuito agli elementi a sua disposizione per accertare i fatti determinanti.
Per quanto attiene alla questione della prova del fatto negativo, basti rinviare al considerando 6.1.
7.2. A giustificazione di queste censure i ricorrenti richiamano la <ref-ruling>. Non v'è però nessuna analogia con la fattispecie di quel giudizio. Il Tribunale federale aveva anzitutto ribadito la regola fondamentale per la quale un accertamento manifestamente errato o contrario agli atti non porta di principio all'annullamento della sentenza arbitrale, essendo l'esame materiale limitato al rispetto dell'ordine pubblico (consid. 3.a). Fanno eccezione i casi nei quali l'accertamento viziato procede da un diniego di giustizia formale, ciò che si verifica, tra l'altro, qualora l'arbitro per svista ignori o fraintenda le allegazioni delle parti. In quella causa l'arbitro - che nelle osservazioni al ricorso aveva ammesso la svista - aveva effettivamente accertato un fatto decisivo (una data) in contrasto con le allegazioni concordi di entrambe le parti (consid. 3.b).
Nel caso qui in esame i ricorrenti non rimproverano all'arbitro di avere frainteso o ignorato delle allegazioni. Affermano invece, come detto, ch'egli avrebbe posto a fondamento del proprio giudizio un'allegazione dell'opponente senza pretenderne la prova. La critica rientra di nuovo nell'ambito dell'apprezzamento delle prove. Non è del resto vero che il lodo sia motivato così (cfr. il riassunto delle motivazioni arbitrali sopra, al consid. 6).
7.3. Ne viene che anche le censure fondate sul motivo di ricorso dell'art. 190 cpv. 2 lett. d LDIP, nella misura limitata in cui sono ammissibili, sono infondate.
8.
La soccombenza piena dei ricorrenti rende priva d'oggetto la loro domanda di riforma del giudizio dell'arbitro concernente spese e ripetibili, domanda per altro inammissibile per la natura c assatoria del ricorso (cfr. consid. 3) e impone di caricare loro gli oneri della procedura federale (art. 66 cpv. 1 e 5 e art. 68 cpv. 1 e 4 LTF).
La soccombenza dei ricorrenti rende altresì caduca l'istanza per attribuire al ricorso l'effetto sospensivo da loro riproposta il 14 dicembre 2013.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso, nella misura in cui è ammissibile, è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 12'000.-- sono poste solidalmente a carico dei ricorrenti, i quali rifonderanno all'opponente fr. 14'000.-- di ripetibili della sede federale, pure con responsabilità solidale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e al Tribunale arbitrale con sede in Lugano.