Faits:
A. A._, de nationalité suisse, est né en décembre 1987 en Italie. Par décision du 27 juin 2003, l'Office AI pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: OAIE) a admis qu'il avait droit à une contribution aux soins spéciaux pour mineur impotent pendant la période du 1er février 2001 au 31 décembre 2004. Par lettre du 27 août 2003, il a informé A._ que cette prestation ne lui serait pas octroyée, attendu que l'Italie versait déjà une prestation visant le même but.
Dans une demande de prestations de l'assurance-invalidité datée du 29 novembre 2007, parvenue à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: OAI) le 7 décembre 2007, A._ a requis l'octroi d'une rente. Il indiquait que la famille de A._ habitait alors en Italie, mais qu'en mars 2008, date de la prochaine retraite du père de A._, elle viendrait s'installer en Suisse de manière définitive. Dans un préavis du 31 janvier 2008, l'OAIE, auquel le dossier a été transmis, a nié le droit de A._ à une rente ordinaire, au motif que lors de la survenance de son invalidité le 1er janvier 2006, les conditions d'assurance n'étaient pas réalisées. Il relevait que l'octroi d'une rente extraordinaire ou d'une allocation pour impotent ne pouvait être envisagé, étant donné que A._ était domicilié à l'étranger. Par décision du 25 février 2008 adressée à la mère de A._, laquelle avait élu domicile en Suisse depuis le 19 février 2008, l'OAIE a rejeté pour ces motifs la demande de rente.
Le 1er mai 2008, A._ est arrivé en Suisse, où il a élu domicile auprès de ses parents. Le 9 mai 2008, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant l'octroi d'une rente, et une demande d'allocation pour impotent de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 21 août 2008, le docteur D._, chef de clinique X._, a posé le diagnostic d'autisme infantile (84.0) et de retard mental sévère (F72). Dans un préavis du 5 février 2009, l'OAI a informé les parents de A._ que leur fils avait droit à une allocation pour une impotence de degré moyen. Par décision du 19 mars 2009, il a alloué à A._ une allocation pour impotent à partir du 1er mai 2008.
Dans un préavis de refus de rente du 6 février 2009, l'OAI a admis que A._ était invalide à 100 % depuis le 1er janvier 2006, mais nié qu'il ait droit à une rente ordinaire ou à une rente extraordinaire d'invalidité, les conditions d'assurance n'étant pas remplies. Lors d'une audition du 3 mars 2009, les parents de A._ ont fait part à l'OAI de leurs observations, en relevant qu'ils avaient été mal informés, qu'il était clair que s'ils avaient eu connaissance du fait que leur fils devait être en Suisse au plus tard courant janvier 2008 pour pouvoir bénéficier d'une rente d'invalidité, ils auraient fait le nécessaire, et qu'ils auraient effectivement pu venir en Suisse avant mai 2008 (depuis mars 2006). Par décision du 11 décembre 2009, l'OAI, rejetant les griefs des parents de A._ pour les raisons exposées par l'OFAS dans une prise de position du 5 octobre 2009, a nié le droit de A._ aussi bien à une rente ordinaire, au motif que lors de la survenance de son invalidité le 1er janvier 2006, les conditions d'assurance n'étaient pas réalisées, qu'à une rente extraordinaire, au motif qu'il ne présentait pas le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge.
B. Par arrêt du 20 mai 2010, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) a admis le recours formé par A._ contre la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 11 décembre 2009 et annulé celle-ci (ch. 2 du dispositif), mis A._ au bénéfice d'une rente extraordinaire dès le 1er janvier 2008 à charge de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ch. 3 du dispositif), renvoyé le dossier à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève pour calcul des prestations dues, puis nouvelle décision (ch. 4 du dispositif), et l'a condamné à verser à A._ une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens (ch. 5 du dispositif) et mis à sa charge un émolument de 500 fr. (ch. 6 du dispositif).
C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation. Sa requête d'effet suspensif a été admise par ordonnance du 27 septembre 2010.
A._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. Il sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite. Dans un préavis du 22 septembre 2010, l'OFAS, qui produit sa prise de position du 5 octobre 2009, propose l'admission du recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 Bien que le ch. 4 du dispositif du jugement entrepris renvoie le dossier à l'intimé, il ne s'agit pas d'une décision incidente au sens de l'<ref-law> car la juridiction cantonale a statué définitivement sur le droit de A._ à une rente extraordinaire, le renvoi de la cause ne visant que le calcul des prestations dues à compter du 1er janvier 2008. Le recours est dès lors recevable puisqu'il est dirigé contre un jugement final (cf. <ref-law>; arrêts 9C_960/2009 du 24 février 2010 consid. 1.1 et 9C_684/2007 du 27 septembre 2007 consid. 1.1 [in SVR 2008 IV n° 39 p. 131]).
1.2 Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law> et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (<ref-law>) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
2. Le droit à une rente extraordinaire d'invalidité est réservé, aux termes de l'art. 42 al. 1 première phrase LAVS, auquel renvoie l'<ref-law>, aux ressortissants suisses qui ont leur domicile et leur résidence habituelle (<ref-law>) en Suisse s'ils ont le même nombre d'années d'assurance que les personnes de leur classe d'âge, mais n'ont pas droit à une rente ordinaire parce qu'ils n'ont pas été soumis à l'obligation de verser des cotisations pendant une année entière au moins. Ont par ailleurs également droit à une rente extraordinaire, selon l'<ref-law>, les invalides étrangers et apatrides qui remplissaient comme enfants les conditions fixées à l'<ref-law>.
L'<ref-law>, en liaison avec l'<ref-law>, exige que les personnes concernées aient "le même nombre d'années d'assurance que les personnes de leur classe d'âge". Cette exigence ne vise pas toutes les années d'assurance dès la naissance, mais seulement celles pour lesquelles la loi prévoit une obligation générale de cotiser, telles qu'elles sont en principe déterminantes pour le calcul d'une rente ordinaire. Il s'agit donc des années d'assurance accomplies dès le 1er janvier qui suit la date où la personne a eu 20 ans révolus (cf. <ref-law> en corrélation avec l'<ref-law> ainsi que <ref-law> en corrélation avec les art. 29 al. 2, 29bis et 29ter LAVS; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 393 s.).
3. La juridiction cantonale, relevant que l'intimé n'était pas affilié à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité dès le 1er janvier suivant la date où il avait eu 20 ans révolus, a retenu qu'il y était affilié depuis la constitution de son domicile en Suisse, le 1er mai 2008, soit dès l'âge de 20 ans et quatre mois. Ainsi, l'intimé ne comptait pas le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge, puisqu'en étant affilié à l'AVS/AI depuis le 1er mai 2008, il avait été soumis moins de onze mois à l'assurance en 2008, de sorte qu'il n'était pas possible de lui porter en compte une année entière de cotisations. Dès lors, faute pour l'intimé de compter le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge, il ne ressortissait pas au cercle des bénéficiaires du droit à une rente extraordinaire de l'assurance-invalidité. Cela n'est pas remis en cause devant la Cour de céans.
En tant que Suisse, l'intimé peut percevoir des prestations complémentaires pour son invalidité, puisqu'il a son domicile en Suisse depuis le 1er mai 2008 (art. 4 al. 1 let. c, resp. d LPC).
4. L'autorité précédente a admis que l'intimé devait être mis au bénéfice d'une rente extraordinaire d'invalidité dès le 1er janvier 2008, comme s'il avait établi son domicile en Suisse au plus tard le 31 janvier 2008, au motif que le recourant avait violé son devoir de conseils et que l'intimé avait droit à la protection de sa bonne foi, dont les conditions étaient réalisées. Cela est contesté devant la Cour de céans.
4.1 Comme l'expose correctement le jugement entrepris - auquel on peut renvoyer en ce qui concerne la teneur de l'<ref-law>, ainsi que la différence entre l'information générale (al. 1) et l'information touchant le cas particulier (al. 2) -, le devoir de conseils de l'assureur social au sens de l'<ref-law> comprend l'obligation de rendre la personne intéressée attentive au fait que son comportement pourrait mettre en péril la réalisation de l'une des conditions du droit aux prestations (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 480). Il s'étend non seulement aux circonstances de fait déterminantes, mais également aux circonstances de nature juridique (arrêt K 7/06 du 12 janvier 2007 consid. 3.3, in SVR 2007 KV n° 14 p. 53 et la référence). Son contenu dépend entièrement de la situation concrète dans laquelle se trouve l'assuré, telle qu'elle est reconnaissable pour l'administration (ULRICH MEYER, Grundlagen, Begriff und Grenzen der Beratungspflicht der Sozialversicherungsträger nach Art. 27 Abs. 2 ATSG, in Sozialversicherungsrechtstagung 2006, n° 35, p. 27). Aucun devoir de renseignement ou de conseil au sens de l'<ref-law> n'incombe à l'institution d'assurance tant qu'elle ne peut pas, en prêtant l'attention usuelle, reconnaître que la personne assurée se trouve dans une situation dans laquelle elle risque de perdre son droit aux prestations (<ref-ruling> consid. 7.2 p. 254 s.).
4.2 La juridiction cantonale a admis, au vu des renseignements contenus dans la demande de rente datée du 29 novembre 2007 et sachant que l'intimé avait prévu de transférer son domicile en Suisse en mars 2008, qu'il était tout à fait possible à l'administration, en prêtant l'attention usuelle, de reconnaître à la lecture de ce document, lequel mentionnait la date de naissance de l'enfant et son séjour hors de Suisse jusqu'à fin février 2008, que l'intimé se trouvait dans la situation où il perdrait son droit à une rente extraordinaire s'il transférait son domicile en Suisse après le 31 janvier 2008. Retenant que les circonstances concrètes du cas particulier commandaient une information de la part de l'organe de l'assurance-invalidité, dès lors que l'intimé avait clairement manifesté son intention de venir s'établir en Suisse, elle a considéré que le recourant avait violé son devoir de conseils.
4.3 Le recourant fait valoir que le lien créé lors du dépôt d'une demande oblige certes l'office AI à examiner les conditions du droit aux prestations. Toutefois, en l'absence de toute prestation déjà versée ou de droit déjà accordé, ce lien ne constituait pas une relation si étroite et particulière que l'intimé aurait été en droit de s'attendre, déjà dans le mois suivant le dépôt de la demande, à ce que l'office AI l'avise de manière anticipée des conséquences auxquelles son comportement futur, tel que communiqué à l'administration, pourrait aboutir.
4.4 Sur le vu de la demande de rente datée du 29 novembre 2007, il y a lieu de retenir que l'assurance-invalidité était avertie qu'en mars 2008, date de la prochaine retraite du père de l'intimé, la famille de A._ viendrait s'installer en Suisse de manière définitive. Telle que reconnaissable pour l'administration, la situation concrète dans laquelle se trouvait l'intimé se caractérisait par le fait qu'il continuait d'être domicilié en Italie jusqu'au mois de mars 2008, où il résidait et fréquentait l'institut spécialisé Y._ (cf. ch. 6.4.1 de la formule de demande). Au regard de cette situation, on ne saurait déduire de l'<ref-law> - ni de l'art. 9 Cst. sur lequel se fonde le jugement entrepris en ce qui concerne le droit à la protection de la bonne foi - une obligation pour l'assurance-invalidité, avant de statuer sur le droit à la rente, de donner à l'intimé l'occasion de modifier sa situation afin que le droit à une rente extraordinaire d'invalidité soit ouvert (<ref-ruling> consid. 7.3 p. 256; arrêt 8C_455/2008 du 24 octobre 2008, consid. 3.2; arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] C 9/05 du 21 décembre 2005, consid. 5.2). En effet, le jugement entrepris revient à exiger de l'assurance-invalidité qu'à réception de la demande de prestations tendant à l'octroi d'une rente, elle anticipe spontanément les conséquences du domicile de l'assuré au moment de la demande et dans le futur sur le droit à une rente extraordinaire et en avertisse l'assuré sans délai, ce qui ne découle pas du devoir de renseignement et de conseils prévu à l'<ref-law>, ainsi que le relève avec raison l'OFAS dans son préavis. Il apparaît que le jugement entrepris n'est dès lors pas conforme au droit fédéral (supra, consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 7.3 déjà cité p. 256). Le recours est bien fondé.
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimé, qui succombe (<ref-law>). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>). Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci est accordée à l'intimé, son attention étant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, du 20 mai 2010, est annulé.
2. L'assistance judiciaire est accordée à l'intimé.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé. Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Les honoraires de Me David Metzger sont fixés à 1'800 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée). Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
5. La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 7 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner