Sachverhalt:
F._ focht beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich eine Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 23. Dezember 2009 an, mit welcher die Zusprechung einer Invalidenrente abgelehnt worden war. In der Beschwerdeschrift beantragte er unter anderem, die Sache sei zur ergänzenden medizinischen Abklärung an die Verwaltung zurückzuweisen. Nachdem die Vernehmlassung der IV-Stelle (mit dem Antrag auf Abweisung der Beschwerde) eingegangen war, lud der kantonale Instruktionsrichter zur Referentenaudienz und Vergleichsverhandlung am 26. Mai 2010. Bei dieser Gelegenheit erzielten die Parteien eine Einigung. Der Vergleich wurde mit folgendem Wortlaut gerichtlich protokolliert:
"1. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich, IV-Stelle, spricht dem Beschwerdeführer mit Wirkung ab Mai 2008 eine halbe Rente zu.
2. Der Beschwerdeführer verpflichtet sich in Nachachtung seiner Schadenminderungspflicht (vgl. S. 26 f. des Gutachtens der medizinischen Abklärungsstelle X._), sich einer adäquaten gastroenterologischen Therapie (vgl. S. 22 Ziff. 5.3 des Gutachtens der medizinischen Abklärungsstelle X._) zu unterziehen und die psychiatrisch-psychotherapeutische Behandlung fortzusetzen.
3. Im März 2011 findet ein amtliches Revisionsverfahren statt. Falls der Beschwerdeführer seiner Schadenminderungspflicht nicht vollumfänglich nachgekommen ist, wird seine Arbeitsfähigkeit in leidensangepasster Tätigkeit mit 70 % veranschlagt.
4. Die IV-Stelle entschädigt den unentgeltlichen Rechtsvertreter des Beschwerdeführers mit Fr. 2'200.-- und übernimmt die Verfahrenskosten von Fr. 400.--."
Nachdem die Widerrufsfrist verstrichen war, schrieb das kantonale Gericht den Prozess als durch Vergleich erledigt ab (Verfügung vom 14. Juni 2010).
Das Bundesamt für Sozialversicherungen führt hiergegen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben; die Angelegenheit sei an die Vorinstanz zurückzuweisen "zum Erlass eines neuen Beschlusses, welcher den rechtsprechungsgemässen Begründungsanforderungen genügt".

Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist die Rechtmässigkeit des angefochtenen Abschreibungsbeschlusses (Art. 95, 97, 105 und 106 f. BGG).
Das beschwerdeführende Bundesamt rügt eine Verletzung von <ref-law>. Es führt dazu aus, entgegen den Vorgaben der Rechtsprechung (<ref-ruling>) würden die wichtigsten Eckwerte der Invaliditätsbemessung im Abschreibungsbeschluss nicht genannt. Wiedergegeben werde lediglich der Wortlaut des Vergleichs verbunden mit der Feststellung, der Vergleich trage den Interessen der Parteien Rechnung und er stehe im Einklang mit der Sach- und Rechtslage. Unter diesen Umständen entspreche der angefochtene Abschreibungsbeschluss nicht den Anforderungen der Rechtsprechung hinsichtlich der Begründung. Daher sei er aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese einen neuen Beschluss fälle, welcher den Anforderungen genüge.
2. 2.1 Gemäss <ref-law> können Streitigkeiten über sozialversicherungsrechtliche Leistungen durch Vergleich erledigt werden. Der Versicherungsträger hat den Vergleich in Form einer anfechtbaren Verfügung zu eröffnen (Abs. 2). Die Absätze 1 und 2 gelten sinngemäss im Einsprache- und in den Beschwerdeverfahren (Abs. 3). <ref-law> bildet die gesetzliche Grundlage zur Beendigung sozialversicherungsrechtlicher Verfahren durch Vergleich, sei es im Verfügungs-, Einsprache- oder im Verfahren vor dem kantonalen Sozialversicherungsgericht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 420).
2.2 Die Verwaltung, welche an die verfassungsmässigen Grundsätze von Gesetzmässigkeit und Gleichbehandlung gebunden ist, darf keine rechtswidrigen Vergleiche eingehen. Gerichtliche Vergleiche müssen rechtsprechungsgemäss genehmigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 595). Korrelat der gerichtlichen Überprüfungspflicht ist die Begründungspflicht. In <ref-ruling> E. 2 S. 71 hat das Bundesgericht die bisherige Rechtsprechung zum Vergleich in sozialversicherungsrechtlichen Angelegenheiten denn auch dahingehend präzisiert, dass der Beschluss, mit welchem das Gericht ein Verfahren zufolge gerichtlichen Vergleichs abschreibt, eine summarische Begründung enthalten muss, inwiefern der Vergleich mit Sachverhalt und Gesetz übereinstimmt. Zu beachten ist, dass es oftmals unausräumbare Irregularitäten in den Entscheidungsgrundlagen - vor allem nicht oder nur mit unverhältnismässigem Aufwand ausfüllbare Lücken im Sachverhalt (vgl. SVR 2007 AHV Nr. 15 S. 42 E. 4, H 190/05) - sind, die zum Vergleich führen; solche müssen im Abschreibungsbeschluss gegebenenfalls benannt werden.
2.3 Die praktische Bedeutung einer Begründung besteht einmal darin, beschwerdelegitimierten Dritten, die am Vergleich nicht beteiligt waren, so namentlich der Aufsichtsbehörde, eine sachgerechte Anfechtung zu ermöglichen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 72 mit Hinweisen). Zudem können künftige Rentenrevisionen erschwert oder verunmöglicht werden, wenn die für den Vergleich massgebenden Grundlagen nicht ersichtlich sind (Urteil 9C_658/2009 vom 22. Juni 2010 E. 2.5). Weiter muss die Begründung aufzeigen, dass tatsächlich eine Einigung erzielt wurde und dass der (vormalige) Rechtsstreit mit dem Vergleich gänzlich beseitigt werden konnte (vgl. Urteil 9C_905+920/2009 vom 28. Juni 2010 E. 3.2).
3. 3.1 Das Erfordernis, im Rahmen des Abschreibungsbeschlusses summarisch zu begründen, inwiefern die im gerichtlichen Vergleich getroffene Regelung dem rechtserheblichen Sachverhalt und den gesetzlichen Vorgaben entspricht, ist somit nicht Selbstzweck. Fehlt im Abschreibungsbeschluss eine gesonderte Begründung, so ist die Motivationspflicht dennoch gewahrt, sofern ihre Zwecke - Transparenz des Vergleichs im Hinblick auf eine sachgerechte Anfechtung durch Dritte, auf eine allfällige materielle Revision sowie auf die effektive Bereinigung des vormaligen Rechtsstreits - aufgrund der im Vergleichstext enthaltenen sowie der übrigen Angaben im Abschreibungsbeschluss erfüllt sind. Massgebend ist nicht die formale Ausgestaltung des Beschlusses, sondern dessen tatsächlicher Aussagegehalt.
3.2 Eine Verfahrensabschreibung erfolgt bei Gegenstandslosigkeit des Rechtsmittels (vgl. dazu etwa Ulrich Meyer, in: Basler Kommentar zum BGG, 2008, N 21 zu Art. 107; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl. 1998, Rz. 682 ff.). Angesichts dessen enthalten Abschreibungsbeschlüsse üblicherweise keine Ausführungen, welche über die Bezugnahme auf den Grund der Gegenstandslosigkeit hinausgehen. Die Gültigkeit einer allfälligen Beschwerde hiergegen hängt denn auch nicht von einer Auseinandersetzung mit der materiellen Seite des Falles ab, sondern von einer hinreichenden Befassung mit dem Abschreibungsgrund (RKUV 1998 Nr. U 299 S. 337 E. 1b, U 20/97; Jacques Bühler, in: Basler Kommentar zum BGG, 2008, N 77 zu Art. 42). Insofern handelt es sich bei dem in <ref-ruling> E. 2 S. 71 statuierten Begründungserfordernis um eine Ausnahmeerscheinung. Das Bundesgericht hat daher im zitierten Urteil 9C_658/2009 zu erkennen gegeben, dass eine neben die Wiedergabe des Vergleichswortlautes tretende (zusätzliche) Begründung, weshalb die gütliche Einigung mit Sachverhalt und Gesetz übereinstimme, nicht in jedem Fall zwingend erforderlich ist; es hat die Sache auch deswegen an das kantonale Gericht zurückgewiesen, weil die Grundlagen der gütlichen Einigung aus den kantonalen Akten nicht hervorgingen (E. 2.4).
3.3 Der strittige Abschreibungsbeschluss ist in erster Linie danach zu beurteilen, ob die Beschwerdebefugnis der Bundesaufsichtsbehörde tatsächlich ausgeübt werden kann. Im Hinblick auf eine eventuelle Wahrnehmung des Beschwerderechts muss die Behörde, hier das Bundesamt für Sozialversicherungen, aufgrund des ihr zugestellten Abschreibungsbeschlusses (vgl. <ref-law>; Art. 1 lit. c der Verordnung vom 8. November 2006 über die Eröffnung letztinstanzlicher kantonaler Entscheide in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, SR 173.110.47) in einem ersten Schritt abschätzen können, ob eine nähere Prüfung des Dossiers angezeigt ist. Diese Vorgabe ist erfüllt, wenn der Abschreibungsbeschluss für sich allein genommen grob erkennen lässt, auf welchen Überlegungen die vergleichsweise Regelung des Rechtsverhältnisses beruht. Gegebenenfalls entscheidet die Aufsichtsbehörde alsdann nach Konsultation der beigezogenen Verfahrensakten definitiv über die Beschwerdeerhebung. Die Angaben im Abschreibungsbeschluss müssen also zunächst eine provisorische Einschätzung der Bundesrechtskonformität der Verfahrenserledigung ermöglichen. Da ein Rechtsmittel ohne Beizug der Akten ohnehin nicht sachgerecht motiviert werden kann, reicht es sodann aus, wenn die massgebenden Elemente der Rechtsgestaltung erst in Verbindung mit konkreten Aktenstücken vollständig erschlossen werden.
4. 4.1 Das kantonale Gericht gab im Abschreibungsbeschluss den Wortlaut des unter Anleitung des Referenten zustande gekommenen Vergleichs wieder; das Beschlussdispositiv nimmt darauf Bezug (vgl. dazu die in <ref-ruling> nicht veröffentlichte E. 12 des Urteils C 143/06 vom 3. Oktober 2007). Nach Ziff. 1 des Vergleichs wird dem Beschwerdegegner mit Wirkung ab Mai 2008 eine halbe Invalidenrente zugesprochen. Dabei verpflichtete sich der Versicherte in Ziff. 2 der Vereinbarung, "in Nachachtung seiner Schadenminderungspflicht" eine adäquate gastroenterologische Therapie zu beanspruchen und die psychiatrisch-psychotherapeutische Behandlung fortzusetzen. In diesem Zusammenhang wird ausdrücklich auf zwei Stellen eines Gutachtens der medizinischen Abklärungsstelle X._ vom 17. Juni 2009 verwiesen. Ziff. 3 des Vergleichs schliesslich sieht vor, dass im Frühjahr 2011 eine Leistungsrevision stattfinde, welcher der bei richtiger Mitwirkung des Versicherten erreichbare Leistungsfähigkeitsgrad zugrunde gelegt werde. Die Lektüre des Vergleichstextes zeigt, dass die Parteien offensichtlich übereingekommen sind, dass der Bestand des Rentenanspruchs dem gutachtlich prognostizierten Erfolg noch durchzuführender Therapien folgen soll. Diese Angaben ermöglichten es dem Bundesamt, in einem ersten Schritt abzuschätzen, ob eine Beschwerde angebracht sein könnte.
4.2 Aus dem im Abschreibungsbeschluss wiedergegebenen Vergleichstext erschliessen sich der beschwerdebefugten Aufsichtsbehörde sodann die in den Akten verurkundeten Umstände, welche im Hinblick auf den endgültigen Entscheid über die Beschwerdeerhebung und (gegebenenfalls) für die sachgerechte Abfassung einer Beschwerdebegründung bedeutsam sein können: Der Beschwerdegegner war gestützt auf die Berichte der Hausärztin Dr. I._ vom 10. Dezember 2007 und des Psychiaters Dr. A._ vom 12. Juni 2008 von einer 50-prozentigen Arbeitsfähigkeit ausgegangen (vgl. kantonale Beschwerdeschrift vom 1. Februar 2010 und Stellungnahme vom 7. Januar 2008 zum Vorbescheid der IV-Stelle vom 12. November 2007). Nach dem interdisziplinären Gutachten vom 17. Juni 2009 beträgt die Arbeitsfähigkeit unter Berücksichtigung aller Leiden (chronische entzündliche Darmerkrankung, chronisches lumbovertebrales und thorakovertebrales Schmerzsyndrom, mittelgradige depressive Episode ohne somatisches Syndrom) "aus Sicht einer optimal therapierten Kolitis ulcerosa" bei kontrolliertem Krankheitsverlauf 70 Prozent; die verbleibende Einschränkung ergebe sich allein aus den Folgen einer psychischen Traumatisierung. Nach dem Befund des Magen-Darmspezialisten wurde die Colitis bisher nicht zureichend behandelt (Ziff. 5.3 des Gutachtens). Eine näher umschriebene "zumutbare und nach aller Wahrscheinlichkeit und Evidenz auch wirksame Therapie" lasse sich relativ rasch, das heisst innert Monaten umsetzen (Ziff. 7.1). Je nach Erfolg einer zusätzlichen psychiatrischen Behandlung könne die Arbeitsfähigkeit wahrscheinlich auf 80 bis 100 Prozent gesteigert werden (Ziff. 7.2). Retrospektiv bestehe gemäss den Angaben der Hausärztin seit Mai 2007 eine Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent (Ziff. 7.4).
4.3 Aus diesen Elementen wird (nach Beizug der Akten) unzweideutig ersichtlich, weshalb die Vergleichsparteien unter Anleitung des Gerichtsreferenten übereingekommen sind, dass (für die Zeit nach Ablauf des Wartejahres; vgl. <ref-law>) für einen beschränkten Zeitraum eine halbe Invalidenrente zuzusprechen sei: Bei Zugrundelegung einer Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent (nach dem in der Vernehmlassung der IV-Stelle vom 1. April 2010 umschriebenen Muster) ergibt sich ein Invaliditätsgrad von rund 50 Prozent. Nach den klaren gutachtlichen Äusserungen, auf die im Vergleichswortlaut ausdrücklich verwiesen wird, kann die Einschränkung in der Leistungsfähigkeit durch therapeutische Mittel innert absehbarer Frist erheblich reduziert werden. Folgerichtig sieht der Vergleich in Ziff. 3 vor, dass im März 2011 ein amtliches Revisionsverfahren stattfindet. Im Fall, dass der Versicherte bis dahin seiner Schadenminderungspflicht nicht vollumfänglich nachgekommen sein, das heisst nicht die im Gutachten detailliert dargelegten therapeutischen Möglichkeiten in Anspruch genommen haben sollte, würde seine Arbeitsfähigkeit (der gutachtlichen Einschätzung entsprechend) mit 70 Prozent veranschlagt. Nach der Ermittlungsweise der Verwaltung ergäbe sich dann ein nicht rentenbegründender Invaliditätsgrad von rund 30 Prozent (vgl. <ref-law>).
5. Der gerichtliche Vergleich vom 26. Mai 2010 ist - namentlich mit Blick auf die expliziten Verweise zu konkreten Aktenstellen - nachvollziehbar. Im Unterschied hierzu konnte im vorerwähnten Fall 9C_658/2009 weder aus dem (im Protokoll der Referentenaudienz wiedergegebenen) Wortlaut des Vergleichs noch anhand der kantonalen Akten zumindest auf die wichtigsten Parameter der Invaliditätsbemessung geschlossen werden (Urteil vom 22. Juni 2010 E. 2.4). Auch in weiteren Fällen hat das Bundesgericht kantonale Abschreibungsbeschlüsse aufgehoben (Urteile 9C_905+920/2009 vom 28. Juni 2010, 9C_32/2010 vom 28. April 2010 und 9C_542/2009 vom 18. Januar 2010); neben dem Vergleichswortlaut fand sich jeweils bloss die Verfahrensgeschichte sowie (teilweise) die Feststellung, es gebe keinen Grund für eine Nichtgenehmigung der gütlichen Einigung. Der hier angefochtene Abschreibungsbeschluss ist dagegen nicht nur im Hinblick auf die Beschwerdelegitimation Dritter zweckmässig. Auch als Bezugsgrösse für künftige (weitere) Leistungsrevisionen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling>) ist er geeignet; denn Zeitpunkt und Grund einer ersten Revision bilden bereits Gegenstand der Vereinbarung. Da der Rechtsstreit vollständig entfällt (vgl. oben E. 2.3 in fine), wird der angefochtene Beschluss unter allen Gesichtspunkten der Anforderung gemäss <ref-ruling> E. 2 S. 71 gerecht. <ref-law> ist nicht verletzt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und der IV-Stelle des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Oktober 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub