Sachverhalt:
A.
Z._ war seit den 1970er-Jahren als sogenannter "Konzessionär" im Auftragsverhältnis für die Bank X._ (Beschwerdeführerin) tätig. Er betrieb einen gemäss der Vorinstanz "zunächst wohl florierenden" Immobilienhandel und war unter anderem an verschiedenen Konsortien im Unter- und Oberwallis beteiligt. Im Laufe der 1980er-Jahre erhöhten sich seine Kreditbedürfnisse, und es stellten sich in der Folge Liquiditätsprobleme ein. Die Restrukturierung der Konten bei der Bank X._ im Jahr 1989 brachte keine Besserung. Im Juni 1990 wurden die finanziellen Schwierigkeiten von Z._ akut.
Y._ (Beschwerdegegner) kaufte mit Verträgen vom 7. Dezember 1990 und 7. Mai 1991 von Z._ je einen hälftigen Miteigentumsanteil an den Liegenschaften "A._" in B._ und "C._" in D._. Gemäss dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 ging von dem für den Anteil an der Parzelle "A._" vereinbarten Kaufpreis in der Höhe von Fr. 370'000.-- ein Betrag von Fr. 11'000.-- an den Vermittler S._ von der T._ AG. Fr. 359'000.-- wurden "gemäss separater Vereinbarung unter den Parteien" verrechnet. Für den Anteil an der Parzelle "C._" wurde laut dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991 als Kaufpreis eine Schuld in der Höhe von Fr. 456'988.-- (vom Käufer) übernommen, und Fr. 250'000.-- waren 30 Tage nach Eintragung im Grundbuch zahlbar. Y._ wurde in der Folge das (Mit-) Eigentum an den Grundstücken übertragen.
Am 1. Mai 1991 trat Z._ der Bank X._ sämtliche Kaufpreisforderungen aus künftigen Immobilien- und Mobilienverkäufen ("Intégralité des prix de vente futurs à encaisser dans le cadre de toutes transactions mobilières ou immobilières") ab. Sodann erklärte er am 11. Juli 1991 schriftlich, der Bank X._ einzeln bezeichnete Forderungen zu zedieren, darunter die folgende: "Y._ - F._ Fr. 360'000.--". Die Abtretungserklärung vom 11. Juli 1991 trägt überdies die handschriftliche Anmerkung "Y._ -> acte du 7/12/90".
B.
Am 20. November 2008 klagte die Bank X._ vor dem Bezirksgericht Brig gegen Y._ und verlangte von diesem, ihr den Restkaufpreis aus dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 in der Höhe von Fr. 359'000.-- sowie den Betrag von Fr. 250'000.-- aus dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991, jeweils zuzüglich Zins, zu bezahlen. Das Bezirksgericht wies die Klage mit Urteil vom 15. Dezember 2011 ab.
Dagegen erhob die Bank X._ Berufung an das Kantonsgericht des Kantons Wallis mit den folgenden Rechtsbegehren:
"1. Das Urteil des Bezirksgerichtes Brig vom 15./22. Dezember 2011 wird aufgehoben.
2.1 Primärbegehren:
Es wird festgestellt, dass Herr Y._ der Bank X._ den Restkaufpreis aus dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 in der Höhe von Fr. 359'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 29. Oktober 1991 schuldet.
Es wird festgestellt, dass Herr Y._ der Bank X._ den Restkaufpreis aus dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991 von Fr. 250'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 27. Juni 1991 schuldet.
2.2 Sekundärbegehren:
Das Urteil des Bezirksgerichts Brig wird zur Neubeurteilung des Sachverhaltes und zur Neuausfällung eines Urteils im Sinne der Erwägungen der Berufungsinstanz zurückgewiesen.
[...]"
Am 6. Juni 2013 trat das Kantonsgericht auf die Berufung nicht ein mit der Begründung, sie enthalte kein zulässiges Rechtsbegehren.
C.
Die Beschwerdeführerin verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 6. Juni 2013 sei aufzuheben, und die Sache sei im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner habe ihr (der Beschwerdeführerin) den Restkaufpreis aus dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 in der Höhe von Fr. 359'000.-- und denjenigen aus dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991 in der Höhe von Fr. 250'000.--, jeweils zuzüglich Zins, zu bezahlen.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Vorinstanz hat auf Gegenbemerkungen zur Beschwerde verzichtet und verweist auf das angefochtene Urteil, unter Beifügung einer kurzen Bemerkung des Präsidenten der I. zivilrechtlichen Abteilung des Kantonsgerichts.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Sodann übersteigt der Streitwert die Grenze nach <ref-law>. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Erwägung 2) - grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 3 und 7.1, 462 E. 2.4).
2.3. Die Beschwerdeführerin verkennt die genannten Grundsätze, wenn sie in verschiedenen Punkten von den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz abweicht, ohne diese substanziiert als offensichtlich unrichtig respektive auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhend zu beanstanden. Es ist daher durchwegs vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat.
Sodann enthält die Beschwerde namentlich insofern keine hinreichend begründeten Rügen, als die Beschwerdeführerin darin unter der Überschrift "Willkürverbot, Treu und Glauben" ohne jeglichen Bezug zum vorliegend angefochtenen Urteil und ohne nachvollziehbare Begründung pauschal unterstellt, den beteiligten Gerichtspersonen habe es beim Entscheid an der gebotenen Unabhängigkeit und Sachlichkeit gefehlt. Soweit die Beschwerdeführerin ihren "Verdacht" auf die unbelegte Behauptung stützt, der präsidierende Kantonsrichter habe es als persönliche Verletzung empfunden, dass das Bundesgericht ein in "identischen Parteikonstellationen" von ihm gefälltes früheres Urteil aufgehoben habe und dass gegen ihn in der Folge ein Ablehnungsbegehren gestellt worden sei, was er "auch so zu verstehen gegeben" habe, sc heitert die Rüge überdies ohnehin an ihrer nicht rechtzeitigen Erhebung: Sollte die Beschwerdeführerin aufgrund von Aussagen der beteiligten Gerichtspersonen ernsthafte Zweifel an deren Unvoreingenommenheit gehabt haben, hätte sie gegen diese unverzüglich ein Ausstandsbegehren stellen müssen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 4; <ref-ruling> E. 3.4 mit weiteren Hinweisen), und es wäre ihr unbenommen gewesen, einen ablehnenden Entscheid gegebenenfalls beim Bundesgericht anzufechten (vgl. Art. 92 Abs. 1 und 2 BGG).
3.
3.1. Die Vorinstanz prüfte die Zulässigkeit der von der Beschwerdeführerin bei ihr erhobenen Berufung zu Recht in Anwendung der Bestimmungen der Schweizerischen Zivilprozessordnung (vgl. <ref-law>). Sie erwog, die Beschwerdeführerin unterbreite im Berufungsverfahren ein Feststellungsbegehren, nachdem sie im erstinstanzlichen Verfahren noch auf Leistung geklagt habe. Das "klar und unmissverständlich formuliert[e] 'Primärbegehren'" der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin könne auch nicht als Leistungsbegehren entgegengenommen werden. Da die Beschwerdeführerin kein schutzwürdiges Interesse an der Feststellungsklage nachzuweisen vermöge, sei auf das Begehren nicht einzutreten. Sodann erweise sich auch das "Sekundärbegehren" auf Rückweisung an die Erstinstanz als nicht zulässig, weil die vorliegende Sache spruchreif sei und daher nach <ref-law> von der Rechtsmittelinstanz entschieden werden könne. Damit sei auf die Berufung nicht einzutreten, unabhängig von der Frage, ob der Wechsel von einem Leistungs- zu einem Feststellungsbegehren überdies eine unzulässige Klageänderung oder bloss eine Klagebeschränkung darstelle.
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt, der Nichteintretensentscheid verletze <ref-law> und verstosse überdies gegen das Verbot des überspitzten Formalismus nach <ref-law>. Zudem beruhe die Ansicht der Vorinstanz, es liege ein Feststellungsbegehren vor, auf einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung.
3.2.1. Gemäss <ref-law> ist die Berufung bei der Rechtsmittelinstanz innert 30 Tagen seit Zustellung des begründeten Entscheides beziehungsweise seit der nachträglichen Zustellung der Entscheidbegründung schriftlich und begründet einzureichen. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts hat die Berufungseingabe auch die Rechtsbegehren zu enthalten. Aus der Rechtsmittelschrift muss hervorgehen, dass und weshalb der Rechtsuchende einen Entscheid anficht und inwieweit dieser geändert oder aufgehoben werden soll (<ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 248). Mit Blick auf die reformatorische Natur der Berufung (<ref-law>) hat der Berufungskläger grundsätzlich einen Antrag in der Sache zu stellen. Sein Rechtsbegehren muss so bestimmt sein, dass es im Falle der Gutheissung der Klage unverändert zum Urteil erhoben werden kann. Namentlich sind die auf eine Geldzahlung gerichteten Berufungsanträge zu beziffern (<ref-ruling> E. 4.3 und 6.1 mit Hinweisen; Urteil 4D_8/2013 vom 8. April 2013 E. 2.2).
Die Anwendung prozessualer Formstrenge findet ihre Grenze im Verbot des überspitzten Formalismus, einer besonderer Erscheinungsweise der Rechtsverweigerung (<ref-law>). Dieses Verbot ist verletzt, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, und ferner, wenn eine Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (<ref-ruling> E. 2.1 mit weiteren Hinweisen). Daraus folgt, dass auf eine Berufung mit formell mangelhaften Rechtsbegehren ausnahmsweise einzutreten ist, wenn sich aus der Begründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ergibt, was der Berufungskläger in der Sache verlangt oder - im Falle zu beziffernder Rechtsbegehren - welcher Geldbetrag zuzusprechen ist. Rechtsbegehren sind im Lichte der Begründung auszulegen (<ref-ruling> E. 6.2 mit Hinweisen; Urteil 5A_380/2012 vom 27. August 2012 E. 3.2.3).
3.2.2. Mit der Leistungsklage verlangt die klagende Partei die Verurteilung der beklagten Partei zu einem bestimmten Tun, Unterlassen oder Dulden (<ref-law>), mit der Feststellungsklage die gerichtliche Feststellung, dass ein Recht oder Rechtsverhältnis besteht oder nicht besteht (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist die Feststellungsklage nur zulässig, wenn die klagende Partei an der sofortigen Feststellung ein erhebliches schutzwürdiges Interesse hat. Das Interesse braucht nicht rechtlicher, sondern kann auch bloss tatsächlicher Natur sein. Die Voraussetzung ist namentlich gegeben, wenn die Rechtsbeziehungen der Parteien ungewiss sind und die Ungewissheit durch die richterliche Feststellung behoben werden kann. Dabei genügt nicht jede Ungewissheit; erforderlich ist vielmehr, dass ihre Fortdauer dem Kläger nicht mehr zugemutet werden darf, weil sie ihn in seiner Bewegungsfreiheit behindert (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 7b S. 429; <ref-ruling> E. 3a S. 22). Ein Feststellungsinteresse fehlt in der Regel, wenn eine Leistungsklage zur Verfügung steht, mit der ein vollstreckbares Urteil erwirkt werden kann (<ref-ruling> E. 2.2 S. 380; <ref-ruling> E. 1a S. 52; vgl. auch Urteil 4A_589/2011 vom 5. April 2012 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.2.3. Die Vorinstanz befand alleine gestützt auf den Wortlaut des von der Beschwerdeführerin gestellten "Primärbegehrens" ("Es wird festgestellt, dass Herr Y._ der Bank X._ [...] schuldet.") und ohne weitere Begründung, in der Berufung werde (in materieller Hinsicht) eine unzulässige Feststellung verlangt, wogegen ein zulässiges Leistungsbegehren fehle. Dabei sah sie bewusst davon ab, das Rechtsbegehren nach Treu und Glauben im Kontext des angefochtenen Entscheids und unter Berücksichtigung der Berufungsbegründung auszulegen und zu ermitteln, was die Beschwerdeführerin mit dem Rechtsmittel in der Sache wirklich anstrebte. Eine entsprechende Auslegung des Rechtsbegehrens wäre entgegen der Vorinstanz jedoch keineswegs zu weit gegangen, sondern hätte sich sogar geradezu zwingend aufgedrängt, nachdem die Beschwerdeführerin im erstinstanzlichen Verfahren noch ausdrücklich die Leistung verlangt hatte ("Herr Y._ bezahlt der Bank X._ [...]") und nicht erkennbar ist, aus welchem Grund sie im Berufungsverfahren etwas anderes hätte erreichen wollen (vgl. auch <ref-law>). Daraus hätte sich unter den vorliegenden Umständen ergeben, dass es der Beschwerdeführerin in der Berufung weiterhin darum ging, eine Verurteilung des Beschwerdegegners zur Zahlung zu bewirken, mithin einen Vollstreckungstitel zu erlangen, wie sie es denn im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht auch wieder ausdrücklich beantragt.
Die Vorinstanz bringt keinen Grund vor, der bei der gegebenen Sachlage einer entsprechenden Auslegung entgegenstehen würde und die Rechtsfolge des Nichteintretens auf die Berufung erforderlich erscheinen liesse. Indem sie auf ein (unzulässiges) Feststellungsbegehren schloss, übersah sie insbesondere, dass jedes Leistungsurteil naturgemäss auf der Feststellung beruht, wonach der Beklagte dem obsiegenden Kläger die verlangte Leistung schuldet und insofern eine fällige Leistungspflicht besteht. Diesem Zusammenhang entspricht es, dass ein Rechtsbegehren, das auf die dahingehende Feststellung abzielt und sich darin erschöpft, mangels entgegenstehender Umstände in der Regel als Leistungsbegehren verstanden werden kann und muss (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 154 mit weiteren Nachweisen). Richtigerweise wäre folglich das vorliegende - auf Feststellung einer fälligen und bezifferten Schuld lautende - Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin ohne weiteres als (zulässiges) Leistungsbegehren entgegenzunehmen gewesen.
3.3. Die Vorinstanz ist durch die Annahme, die Beschwerdeführerin verlange im Berufungsverfahren eine unzulässige Feststellung und die Berufung könne deshalb nicht in der Sache beurteilt werden, in überspitzten Formalismus verfallen. Die Rüge der Beschwerdeführerin erweist sich als begründet.
4.
4.1. Die Vorinstanz liess es indessen nicht beim Nichteintretensentscheid bewenden, sondern prüfte in einer eingehenden Eventualerwägung sodann die Begründetheit der Berufung, die sie ebenfalls verneinte.
Sie hielt fest, es sei einerseits umstritten, ob die durch die Kaufverträge begründeten Forderungen von Z._ durch Verrechnung untergegangen seien, wie der Beschwerdegegner geltend mache und das Bezirksgericht anerkannt habe. Andererseits berufe sich der Beschwerdegegner auf die Verjährung der Forderungen.
Hinsichtlich der Frage der Verrechnung stellte die Vorinstanz im Wesentlichen auf eine Vereinbarung ab, die von Z._ bereits am 23. November 1990 unterzeichnet worden sei und den folgenden Wortlaut trage:
"Der Unterzeichnete, Herr Z._, G._, wird an Herrn Y._, F._, seine Miteigentumsanteile der Liegenschaften C._ in D._ und der Liegenschaft A._ in B._ verkaufen. Hiermit bestätigt Herr Z._, dass er einverstanden ist, dass allfällige Kaufpreisrestanzen zu seinen Gunsten mit den diversen Forderungen von Herrn Y._ (Honorare, PM, Verkauf) in vollem Umfang verrechnet werden."
Dass der Beschwerdegegner Kaufpreisforderungen mit (eigenen) Forderungen gegen Z._ habe verrechnen wollen - so die Vorinstanz weiter - sei insofern nachvollziehbar, als er an mehreren Baukonsortien mit diesem beteiligt gewesen sei. Z._ habe dies mit der Verrechnungsvereinbarung vom 23. November 1990 ausdrücklich akzeptiert. Die Beschwerdeführerin (als Zessionarin) müsse sich die entsprechende Verrechnungsvereinbarung entgegen halten lassen.
Sodann befand die Vorinstanz, im Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 werde unter Verweis auf die Vereinbarung vom 23. November 1990 die Verrechnung erklärt. Die entsprechende Forderung sei somit durch Verrechnung getilgt worden. Demgegenüber sei die Forderung aus dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991, mit Bezug auf welche die Verrechnung nicht erklärt worden sei, verjährt.
4.2.
4.2.1. Hinsichtlich der Forderung aus dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 macht die Beschwerdeführerin geltend, das Kantonsgericht habe unbesehen der von ihr im kantonalen Verfahren vorgebrachten Zweifel einfach angenommen, die vom Beschwerdegegner bloss in Kopie eingereichte Vereinbarung vom 23. November 1990 sei echt. Das Kantonsgericht habe <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> verletzt, indem es ihr (der Beschwerdeführerin) den Beweis dafür auferlegt habe, dass die Urkunde nicht echt sei, zumal das Kantonsgericht selber Z._ kriminelle Machenschaften anlaste.
4.2.2. Die Rüge der Verletzung von <ref-law> verfängt nicht: Die Vorinstanz befand zwar in der Tat, die Beschwerdeführerin vermöge den "Gegenbeweis" betreffend Echtheit der Verrechnungsvereinbarung "nicht zu erbringen". Die Beschwerdeführerin missdeutet diese Erwägung indessen, wenn sie meint, damit habe die Vorinstanz ihr die Beweislast für die fehlende Echtheit der Urkunde auferlegt, d.h. die Beweislast umgekehrt. Gemäss der bundesgerichtlichen Praxis ergibt sich aus <ref-law> das Recht zum Gegenbeweis, das heisst der Anspruch des Gegners der beweisbelasteten Partei, zum Beweis von Umständen zugelassen zu werden, die beim Gericht Zweifel an der Richtigkeit der Gegenstand des Hauptbeweises bildenden Sachbehauptungen wachhalten und den Hauptbeweis dadurch vereiteln sollen. Für das Gelingen des Gegenbeweises ist mithin bloss erforderlich, dass der Hauptbeweis erschüttert wird, nicht aber auch, dass das Gericht von der Schlüssigkeit der Gegendarstellung überzeugt wird. Das Recht auf Gegenbeweis ist dann verletzt, wenn das kantonale Sachgericht den Hauptbeweis als erschüttert betrachtet, aber dennoch auf die Sachdarstellung der beweisbelasteten Partei abstellt mit der Begründung, die Gegendarstellung sei ihrerseits unbewiesen geblieben. Ob die vom Gegenbeweis erfassten Tatsachen geeignet sind, den Hauptbeweis zu erschüttern, ist demgegenüber eine Frage der Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 4b S. 397; <ref-ruling>).
Gemäss diesen Grundsätzen ist es unter dem Blickwinkel von <ref-law> nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz hinsichtlich der behaupteten Vereinbarung vom 23. November 1990 schliesslich auf die eingereichte Urkunde abstellte, nachdem sie zuvor auf die von der Beschwerdeführerin gegen deren Echtheit vorgebrachten Einwände eingegangen war und diese in nachvollziehbarer Weise entkräftet hatte: Sie erwog namentlich, im Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 werde ausdrücklich auf eine separate Vereinbarung verwiesen. Weiter bemerkte sie, die Beschwerdeführerin habe es unterlassen, die graphologische Begutachtung der Kopie der Vereinbarung zu beantragen. Demnach beurteilte sie den Hauptbeweis aufgrund der von der Beschwerdeführerin geäusserten Zweifel gerade nicht als erschüttert. Wenn sie unter diesen Umständen auf die Echtheit der Vereinbarung vom 23. November 1990 schloss, verletzt dies <ref-law> nicht.
4.2.3. Sodann vermag die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang auch nicht die Verletzung anderer beweisrechtlicher Vorschriften, namentlich des von ihr angerufenen <ref-law>, aufzuzeigen. Die Vorinstanz legte ihrer Überprüfung des erstinstanzlichen Entscheids richtigerweise (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; Urteile 5A_330/2013 vom 24. September 2013 E. 2.2; 4A_187/2013 vom 10. September 2013 E. 2.1) die beweisrechtlichen Bestimmungen des im erstinstanzlichen Verfahren gemäss <ref-law> noch massgeblichen kantonalen Prozessrechts zu Grunde. Dass sie bei deren Anwendung in Willkür verfallen wäre, wird in der Beschwerde nicht geltend gemacht. Ebenso wenig gelingt es der Beschwerdeführerin, die Beweiswürdigung als willkürlich auszuweisen, indem sie einzelne vorinstanzlich nicht festgestellte Umstände ins Feld führt, die aus ihrer Sicht gegen die Echtheit der Urkunde sprechen (vgl. Erwägung 2.2). Entgegen der Beschwerdeführerin stand schliesslich von vornherein nicht die Echtheit der Urkunde zur Diskussion, wenn die Vorinstanz in tatsächlicher Hinsicht festhielt, es könne ausgeschlossen werden, dass Z._ ein Schriftstück unterschrieben hätte, ohne dessen Inhalt zu verstehen bzw. zu kennen, und weiter, es sei "klarerweise nicht bewiesen", dass ein Willensmangel vorgelegen habe.
4.2.4. Somit bleibt es bei der vorinstanzlichen Würdigung, wonach Z._ und der Beschwerdegegner übereingekommen sind, die Forderung aus dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 "in vollem Umfang" durch Verrechnung zu tilgen. Folgerichtig prüfte die Vorinstanz - wie bereits die Erstinstanz - nicht im Einzelnen, ob der Kaufpreisforderung von Fr. 359'000.-- des Verkäufers Z._ konkret Verrechnungsforderungen des Beschwerdegegners in entsprechender Höhe gegenüber standen: Aufgrund der weitgehend dispositiven Natur der Normen des Verrechnungsrechts stand es den Vertragsparteien frei, abweichende Abreden, so namentlich betreffend die Gegenseitigkeit der Forderungen, zu treffen (vgl. <ref-ruling> E. 6b). Dies haben sie hinsichtlich des Kaufvertrages vom 7. Dezember 1990 denn auch getan. Soweit die Kritik der Beschwerdeführerin demgegenüber davon ausgeht, dass es am Beschwerdegegner gelegen hätte, den Bestand eigener Verrechnungsforderungen gegenüber Z._ persönlich nachzuweisen, entbehrt sie der Grundlage.
Das gilt namentlich für die Rüge, die Vorinstanz sei nicht auf die rechtliche Argumentation der Beschwerdeführerin eingegangen, wonach die Leistungen des Beschwerdegegners - wenn sie überhaupt erbracht worden sein sollten - Bestandteil seiner Konsortialpflicht gewesen wären und nicht "mit Forderungen eines Mitkonsortanten" hätten verrechnet werden können. Angesichts der Verrechnungsvereinbarung bestand für die Vorinstanz kein Anlass, sich näher mit der Rechtsnatur der Konsortien und den Rechtsbeziehungen zwischen den Mitgliedern auseinanderzusetzen.
Als unberechtigt erweist sich sodann die Kritik der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe die Beweislastregel von <ref-law> verletzt, indem sie die Beteiligung des Beschwerdegegners an Baukonsortien mit Z._ unbesehen der fehlenden Beweise einfach angenommen habe. Denn die Vorinstanz würdigte in diesem Zusammenhang ausdrücklich "die Schreiben der Bank H._ und die Zeugenaussagen (P._, Q._, R._) ", gestützt auf die sie in diesem Punkt zu einem positiven Beweisergebnis gelangte. Entgegen der Beschwerdeführerin handelte es sich somit hierbei nicht um eine unbewiesene Annahme, sondern um Beweiswürdigung, und die Frage der Beweislastverteilung ist insofern gegenstandslos (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.4; <ref-ruling> E. 5.4 S. 602).
4.2.5. Der Schluss der Vorinstanz, die Forderung aus dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 sei durch Verrechnung getilgt worden, erweist sich als nicht bundesrechtswidrig.
4.3. Die Forderung aus dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991 beurteilte die Vorinstanz demgegenüber als verjährt. Sie setzte sich in diesem Zusammenhang namentlich mit dem Argument der Beschwerdeführerin auseinander, der Beschwerdegegner habe auf die Verjährungseinrede verzichtet. Sie erwog, die Beschwerdeführerin habe nicht zu beweisen vermocht, dass die vorgelegte Verzichtserklärung vom 16. März 2001 echt sei, nachdem das eingeholte Gutachten Anhaltspunkte für eine Fälschung festgestellt habe. Die Beschwerdeführerin habe im erstinstanzlichen Verfahren zwar geltend gemacht, der Beschwerdegegner habe bereits am 22. Februar 2001 eine (weitere) Verzichtserklärung unterschrieben. Die dahingehende Tatsachenbehauptung sei jedoch nicht in der Klage oder der Replik, sondern erst in der Schlussdenkschrift vom 30. November 2011 und somit gemäss den Regeln des kantonalen Zivilprozessrechts verspätet erfolgt, weshalb die Beschwerdeführerin daraus nichts zu ihren Gunsten ableiten könne.
Die Beschwerdeführerin beanstandet dies vor dem Bundesgericht mit dem Hinweis, der Beschwerdegegner habe die Echtheit der Urkunde vom 22. Februar 2001 gar nicht bestritten. Die Kritik stösst ins Leere: Es ist nicht ersichtlich, welche kantonalrechtliche Verfahrensbestimmung die Beschwerdeführerin als in diesem Punkt beweisbelastete Person davon entbunden hätte, die Tatsache eines (weiteren) Verjährungseinredeverzichts rechtzeitig zu behaupten; auch aus dem von der Beschwerdeführerin angerufenen - im vorliegenden Verfahren ohnehin nicht anwendbaren (vgl. Erwägung 4.2.3) - <ref-law> ergäbe sich entgegen der Beschwerdeführerin nichts derartiges. Nachdem der Beschwerdegegner im erstinstanzlichen Verfahren die Verjährungseinrede erhoben und spätestens, als er die Echtheit der Verzichtserklärung vom 16. März 2001 bestritten hatte, bestand für die Beschwerdeführerin Anlass, sämtliche Argumente gegen die Verjährungseinrede zu präsentieren und namentlich eine allfällige weitere (noch nicht behauptete) Erklärung der Gegenpartei, mit der diese auf die Verjährungseinrede verzichtet haben soll, als Tatsachenbehauptung in den Prozess einzubringen. Wenn die Vorinstanz schloss, die Beschwerdeführerin habe mit dieser Behauptung nicht zuwarten dürfen, bis das Gutachten vom 23. Dezember 2009 und das Ergänzungsgutachten vom 21. Juli 2010 Anzeichen für eine Fälschung festgestellt hätten, hat sie jedenfalls nicht gegen Bundesrecht verstossen. Insbesondere stellt eine solche Anwendung der Eventualmaxime keinen überspitzten Formalismus dar. Soweit die Beschwerdeführerin ihren Standpunkt schliesslich auf ihre unbelegte Behauptung stützt, dem Bezirks- und dem Kantonsgericht sei die Existenz dieser vom Beschwerdegegner anerkannten und bestätigten Erklärung aus den Akten bekannt gewesen, kann sie ohnehin nicht gehört werden (vgl. Erwägung 2.2 und 2.3).
Auch mit Bezug auf die Forderung aus dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991 gelingt es der Beschwerdeführerin demnach nicht, den angefochtenen Entscheid als bundesrechtswidrig auszuweisen.
4.4. Die Eventualbegründung der Vorinstanz, wonach die Berufung der Beschwerdeführerin abzuweisen gewesen wäre, ist somit von Bundesrechts wegen nicht zu beanstanden.
5.
Nach dem Gesagten hätte das Kantonsgericht auf die Berufung eintreten, diese aber aus den in der Eventualbegründung angeführten Erwägungen als unbegründet abweisen müssen. Die Beschwerdeführerin stellt indessen keinen dahingehenden reformatorischen (Eventual-) Antrag, und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sie einen praktischen Nutzen daraus ziehen könnte, wenn das angefochtene Berufungsurteil des Kantonsgerichts in diesem Sinne abgeändert würde, zumal es für sie im Ergebnis bei der erstinstanzlichen Klageabweisung bliebe.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, I. zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz