Sachverhalt:
A.
A.a. Die IV-Stelle Bern sprach L._ (geb. 1963) mit Verfügung vom 23. September 1999 eine halbe Invalidenrente mit Wirkung ab 1. Januar 1996 zu. Auf Beschwerde der Versicherten hin hob das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, nach vorgängiger Androhung einer reformatio in peius, die Verfügung auf und verneinte den Anspruch auf eine Invalidenrente (Entscheid vom 9. Januar 2001). Das hierauf angerufene Eidg. Versicherungsgericht hiess die von L._ erhobene Beschwerde insoweit teilweise gut, als es den kantonalen Entscheid und die Verwaltungsverfügung aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit sie die Versicherte begutachten lasse und anschliessend über den Rentenanspruch neu verfüge (Urteil I 116/01 vom 27. November 2001).
A.b. In der Folge holte die IV-Stelle beim Zentrum X._ ein interdisziplinäres Gutachten vom 24. Februar 2004 ein. Gestützt darauf verneinte sie den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 7. April 2004, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 23. Januar 2006). Die von der Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 18. April 2007 gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Akten zum weiteren Vorgehen im Sinne der Erwägungen (d.h. Durchführung weiterer Abklärungen) an die Verwaltung zurück.
A.c. Am 28. Mai 2007 teilte die Verwaltung der Versicherten mit, dass sie beabsichtige, beim Zentrum X._ eine Untersuchung anzuordnen, wogegen die Versicherte opponierte. Eine von der Versicherten am 21. September 2007 erhobene "Rechtsverzögerungsbeschwerde" hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 27. August 2008 insofern teilweise gut, als es die IV-Stelle verpflichtete, über die formellen Einwendungen im Zusammenhang mit der angeordneten Begutachtung im Zentrum X._ eine anfechtbare Zwischenverfügung zu erlassen. Soweit die Rechtsverzögerung betreffend wies es die Beschwerde ab. Gegen diesen Entscheid erhoben sowohl das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) als auch L._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde des BSV nicht ein und wies jene der Versicherten ab (Urteil 9C_825/2008 und 8C_829/2008 vom 6. November 2008).
A.d. Mit Verfügung vom 27. Februar 2009 trat die IV-Stelle auf das Gesuch um Feststellung der Befangenheit und Beauftragung einer anderen Begutachtungsstelle als das Zentrum X._ nicht ein mit der Begründung, die gegen die Gutachter des Zentrums X._ vorgebrachten Einwände seien materieller Natur und könnten erst im Rahmen der Beweiswürdigung vor Gericht berücksichtigt werden. Die hiegegen gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern in dem Sinne ab, als es das Vorliegen formeller Einwendungen gegen die beabsichtigte Begutachtung durch das Zentrum X._ verneinte (Entscheid vom 15. Mai 2009). Dieser Entscheid blieb unangefochten.
A.e. Am 19. Februar 2010 erstattete das Zentrum X._ im Auftrag der IV-Stelle ein interdisziplinäres Gutachten. Mit Vorbescheid vom 4. Mai 2010 stellte die IV-Stelle die Ablehnung des Leistungsbegehrens in Aussicht. Die Versicherte erhob Einwände und lehnte das Zentrum X._ "wegen Befangenheit" ab mit dem Hinweis, den Gutachtern hätten nicht sämtliche Akten vorgelegen. Auf Empfehlung ihres Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) ordnete die IV-Stelle eine weitere Untersuchung durch das Zentrum X._ an und wies die Versicherte, welche das Zentrum X._ erneut wegen Befangenheit ablehnte, auf ihre Mitwirkungspflicht hin. Am 29. März 2012 erstattete das Zentrum X._ das interdisziplinäre Gutachten. Nach erneut durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch (Verfügung vom 25. Juli 2012).
B.
Beschwerdeweise liess L._ das Rechtsbegehren stellen, die Verfügung vom 25. Juli 2012 sei aufzuheben und der Invaliditätsgrad nach Einholung neuer Gutachten zu bestimmen; eventualiter sei ihr bis 31. März 2004 eine ganze und ab 1. April 2004 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Mit Entscheid vom 22. Januar 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde ab.
C.
L._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid und die Verfügung seien aufzuheben. Die Sache sei zwecks Vornahme weiterer medizinischer Abklärungen an die Vorinstanz und eventualiter an die IV-Stelle zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Die Versicherte bringt, wie bereits im kantonalen Verfahren, vor, die Gutachter des Zentrums X._, Dr. med. R._, Facharzt für Allergologie und klinische Immunologie sowie Allgemeine Innere Medizin FMH, sowie Dr. med. V._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, seien befangen. Auch auf das Gutachten des Zentrums X._ vom 29. März 2012 könne nicht abgestellt werden.
2.1. Die Vorinstanz erwog, es könne offen gelassen werden, ob die Befangenheitsrüge verspätet erfolgt sei, weil das Vorliegen von Befangenheitsgründen ohnehin verneint werden müsse. Da sie die IV-Stelle bereits mit Entscheid vom 18. April 2007 angewiesen habe, zur Klärung offener Fragen ein Ergänzungsgutachten zum Gutachten des Zentrums X._vom 24. Februar 2004 einzuholen, sei diese verpflichtet gewesen, die Abklärung wiederum beim Zentrum X._ zu veranlassen, was das Bundesgericht im Übrigen mit Urteil 9C_825/2008 vom 6. November 2008 geschützt habe. Nachdem die Versicherte mit Beschwerde vom 31. März 2009 die Befangenheit sämtlicher Gutachter des Zentrums X._ geltend gemacht hatte, habe das Verwaltungsgericht das Vorliegen von Befangenheitsgründen verneint (Entscheid vom 15. Mai 2009). Im Anschluss daran habe das Zentrum X._ am 19. Februar 2010 ein polydisziplinäres Gutachten erstattet. Nachdem die Versicherte im Vorbescheidverfahren das Fehlen von Akten für den Zeitraum von 1995 bis 2003 geltend gemacht hatte, seien diese Akten beigezogen worden und es sei auf Empfehlung des RAD eine Nachbegutachtung gestützt auf die vollständigen Akten veranlasst worden. Aus dieser Prozessgeschichte könne nicht auf Befangenheit der beiden Gutachter geschlossen werden. Der Auftrag habe nicht darin bestanden, die Schlüssigkeit der Expertise vom 19. Februar 2010 zu überprüfen, sondern gestützt auf die vervollständigten Akten eine nochmalige Begutachtung durchzuführen. Es bestehe kein Anzeichen dafür, dass die Gutachter nicht in der Lage gewesen wären, ihre Beurteilungen entsprechend dem jeweils neusten Aktenstand und im Lichte allfälliger zusätzlicher Fragestellungen neu zu überprüfen und bei Vorliegen neuer Tatsachen und Argumente auch zu revidieren: Alle drei Gutachten seien sachlich und neutral abgefasst. Weder hätten sie durch inadäquates Expertenverhalten den Anschein der Befangenheit erweckt noch könne ein solcher Umstand darin erblickt werden, dass im Gefolge des Gutachtens vom 19. Februar 2010 eine nochmalige Begutachtung habe angeordnet werden müssen. Der Grund habe nicht bei einem Fehlverhalten der begutachtenden Ärzte, sondern bei der Beschwerdegegnerin bestanden, welche unvollständige Akten zur Verfügung gestellt habe. Auch mit Blick auf <ref-ruling> vermöge die Versicherte keine Befangenheit zu begründen: Das Zentrum X._ sei bereits vor diesem am 28. Juni 2011 ergangenen Urteil als Gutachterstelle eingesetzt worden bzw. das Verwaltungsgericht habe bereits 2007 eine ergänzende Begutachtung angeordnet; die Mitwirkungsrechte nach neuer Rechtsprechung hätten deshalb noch nicht zum Tragen kommen können. Wenn mit der Nachbegutachtung wiederum das Zentrum X._ betraut worden sei, sei dies nicht zu beanstanden. Die entsprechenden Rügen seien - soweit nicht ohnehin verspätet - unbegründet.
2.2. Soweit die Versicherte ausführlich darlegt, weshalb die von ihr erhobene Befangenheitsrüge nicht verspätet erfolgt sei, braucht darauf nicht weiter eingegangen zu werden. Denn die Vorinstanz hat die Frage der Rechtzeitigkeit ausdrücklich offen gelassen, weil sie keine Befangenheitsgründe als gegeben betrachtete. Dies ist nicht zu beanstanden:
Die Versicherte stellt sich auf den Standpunkt, Dr. med. R._ und Dr. med. V._ hätten das dritte Gutachten (vom 29. März 2012) erstattet, obwohl sie erkannt hätten, dass die ihnen zur Verfügung stehenden Akten wiederum nicht vollständig gewesen seien; dies stelle eine erhebliche Sorgfaltswidrigkeit dar, was angesichts der gesamten Umstände deren Befangenheit belege. Dieser Betrachtungsweise kann nicht gefolgt werden. Im Rahmen der Nachbegutachtung wurden die Akten komplettiert und es wurden alle verfügbaren medizinischen Dokumente ab 17. Januar 1995 berücksichtigt (während im zweiten Gutachten des Zentrums X._ vom 19. Februar 2010 nur diejenigen ab 4. Juni 2003 vorlagen). Namentlich wurden die in der Mitteilung des RAD vom 4. November 2011 als wichtig bezeichneten Aktenstücke beigezogen: So entsprechen die erwähnten "Arztberichte/Austrittsberichte Hausarzt: Seiten 70-80 und 376-380, 287, 351-354" den im Gutachten als Berichte des Spitals Y._ vom 27. Januar/6. Februar/4. Dezember 1995 und als Berichte des Hausarztes Dr. med. B._ vom 26. Juni 1996/14. November 1998 bezeichneten Unterlagen. Das Aktenstück "Psychiatrisches Gutachten März 97" findet sich im Gutachten des Zentrums X._ unter "03/1997 Psychiatrische Abklärung von Frau Dr. F._, Oberärztin Psychiatrie Spital Y._". Beim "Bericht Spital Z._ aaa - bbb" handelt es sich um denjenigen vom 26. Oktober 1995 und mit "Neurologisches Konsilium G._ aaa - bbb" schliesslich ist der Bericht von Dr. med. G._, Facharzt für Neurologie, vom 17. Januar 1995 gemeint; auch diese beiden Aktenstücke werden im Gutachten des Zentrums X._ wiedergegeben.
Weshalb die IV-Stelle keine (weiteren) psychiatrischen Berichte eingeholt hat, lässt sich zwar nicht nachvollziehen. Doch wiegt diese Unterlassung nicht derart schwer, dass auf Befangenheit der Gutachter zu schliessen wäre. Dies gilt umso mehr, als bei der Beschwerdeführerin eine Verbesserung der psychischen Beschwerden aktenkundig ist und sich die Konsultationen bei Dr. med. N._ nach seinen von Ende 2009 stammenden Angaben auf vier pro Jahr beschränkten. Hinzu kommt, dass im Rahmen der dritten Begutachtung des Zentrums X._ eine eingehende psychiatrische Exploration stattfand.
Was die im Sinne eines Eventualstandpunktes pauschal vorgetragene Behauptung, das Gutachten sei nicht schlüssig, anbelangt, sei darauf verwiesen, dass die Vorinstanz sich eingehend mit den vorgebrachten Einwänden gegen das kritisierte Gutachten befasst und überzeugend dargelegt hat, weshalb ihm Beweiskraft zukommt. Dass das Gutachten des Zentrums X._ nach altem Recht eingeholt wurde, ändert nichts, zumal keine objektiven Kriterien ersichtlich sind, welche jedwelche (relativ geringe [Urteil 9C_148/2012 vom 17. September 2012 E. 1.4] oder - noch viel weniger - erhebliche [Urteil 9C_495/2012 vom 4. Oktober 2012 E. 2.2-2.4, in: Plädoyer 2012/6 S. 67]) Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der gutachterlichen Beurteilungen zu wecken vermöchten (Urteil 9C_351/2013 vom 19. September 2013 E. 3.3).
2.3. Abgesehen von der nach dem Gesagten unberechtigten Kritik am Gutachten des Zentrums X._ vom 29. März 2012 äussert sich die Beschwerdeführerin nicht zur (unter anderem darauf abgestützten) Feststellung der Vorinstanz, wonach kein invalidisierender Gesundheitsschaden vorliege. Die vorinstanzliche Würdigung des medizinischen Dossiers weist keine augenfälligen Mängel auf, welche eine offensichtliche Unrichtigkeit oder eine Unvollständigkeit der diesbezüglichen Feststellungen begründen könnten. Dementsprechend erscheint auch die auf antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 4b S. 94) beruhende Schlussfolgerung des kantonalen Gerichts, weitere medizinische Erhebungen erübrigten sich, nicht bundesrechtswidrig (vgl. <ref-law>).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die IV-Stelle hätte das Verbot der reformatio in peius beachten und ihr, revisionsrechtlichen Grundsätzen folgend, bis 31. März 2004 aus prozessualen Gründen eine halbe Invalidenrente zusprechen müssen.
3.2. Das Bundesgericht ist erst mit Erlass des Urteils 9C_310/2011 vom 18. Juli 2011 (<ref-ruling>) von seiner früheren langjährigen Praxis abgewichen, wonach die blosse Möglichkeit einer Schlechterstellung bei Aufhebung einer rentenzusprechenden Verfügung verbunden mit einer Rückweisung der Sache zur weiteren Abklärung und Neuverfügung keine reformatio in peius im Sinne von <ref-law> darstellt. Erst seit dieser Rechtsprechungsänderung muss der Beschwerde führenden Partei die Gelegenheit zum Beschwerderückzug eingeräumt werden, wenn eine rentenzusprechende Verfügung aufgehoben und die Sache zu weiterer Abklärung und neuer Entscheidung an die IV-Stelle zurückgewiesen werden soll.
3.3. Das Eidg. Versicherungsgericht hat mit Urteil I 116/01 vom 27. November 2001 den kantonalen Entscheid und die Rentenverfügung aufgehoben und die Sache an die IV-Stelle zurückgewiesen, damit sie die Versicherte begutachten lasse und anschliessend über den Rentenanspruch neu verfüge (womit es das Verfahren in den Zustand vor Erlass der Verfügung zurückversetzt hat; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 318). Dass es der Versicherten keine Gelegenheit zum Beschwerderückzug gegeben hatte, entsprach der damaligen Praxis. Aus der im Jahre 2011 eingeleiteten Praxisänderung vermag die Beschwerdeführerin nichts abzuleiten. Der Umstand, dass die letzte, vorinstanzlich angefochtene Verfügung der IV-Stelle erst nach dem in <ref-ruling> publizierten Urteil - am 25. Juli 2012 - erging (worauf die Versicherte hinweist), ist nur insoweit von Belang, als in dem sie betreffenden Beschwerdeverfahren grundsätzlich die Vorgaben gemäss <ref-ruling> zu beachten gewesen wären. Eine Berücksichtigung derselben entfiel indessen, weil es sich um eine rentenablehnende Verfügung handelte, bei welcher naturgemäss kein Anlass für die Androhung einer reformatio in peius besteht.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Oktober 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann