Sachverhalt:
A. X._ reichte der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen am 29. Oktober 2011 eine gegen Dr. med. Y._ gerichtete Strafklage ein wegen "wissentlich falschem Gutachten, Art. 307 StGB, Falschbeurkundung Art. 251 StGB, Versicherungsbetrug Art. 146 StGB (und) Begehen durch Unterlassen Art. 11 StGB i.V.m. schwerer Körperverletzung". Hintergrund der Strafanzeige bildet ein von Dr. Y._ zuhanden der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich, IV-Stelle, verfasstes psychiatrisches Gutachten. Der Strafkläger machte geltend, Dr. Y._ habe in seinem Gutachten den massgeblichen Sachverhalt absichtlich weggelassen.
Das Untersuchungsamt Altstätten trat am 6. Dezember 2011 gestützt auf Art. 310 Abs. 1 lit. a StPO auf die Strafanzeige nicht ein. Auf Beschwerde von X._ hin bestätigte die Anklagekammer des Kantons St. Gallen am 1. Februar 2012 den vorinstanzlichen Nichtanhandnahme-Entscheid. Sie führte zusammenfassend aus, es fehle an konkreten Verdachtsmomenten für ein strafbares Verhalten, welche die Eröffnung einer Strafuntersuchung rechtfertigen könnten.
B. X._ hat beim Bundesgericht am 22. März 2012 Beschwerde erhoben. Diese richtet sich gegen zwei unterschiedliche letztinstanzliche kantonale Verfügungen: Zum einen gegen den genannten Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen; dieser Teil wird nachfolgend behandelt. Zum andern gegen einen Bescheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 16. Februar 2012 betreffend Löschung von Personendaten im Polizei-Informationssystem POLIS; dieser Teil wird im Verfahren 1C_177/2012 behandelt.
Der Beschwerdeführer weist auf die folgenden Umstände hin: Er sieht sich als Opfer eines surrealen und langanhaltenden Staatsterrors. Er erachtet die Diagnose eines Psychologen auf PTBS und eine andauernde Persönlichkeitsveränderung nach Extrembelastung für zutreffend, lehnt umgekehrt die Folgerungen des Gutachtens von Dr. Y._ ab. Er beklagt sich darüber, dass ihm die Ansprüche aus der (UN-)Folterkonvention versagt worden sind. Er anerkennt Dr. Y._ nicht als unabhängigen Experten. Es sei gegen ihn im Kanton Zürich ein fürsorgerischer Freiheitsentzug angeordnet worden. Die Einweisungsverfügung sei ihm erst am dritten Tag nach der Einweisung eröffnet worden. Er erblickt in der Anordnung und dem Vollzug eine unmenschliche und erniedrigende Behandlung. Ferner soll die Einweisung im polizeilichen Informationssystem POLIS vermerkt worden sein. Dieser Eintrag sei entgegen den gesetzlichen Vorschriften nicht (von Amtes wegen) gelöscht worden. Sein Antrag um Untersuchung gemäss der Folterkonvention sei unterschlagen worden. Die Behörden hätten ihm keine Stelle angeben können, die eine derartige Untersuchung durchführen würde. Vor dem Zürcher Sozialversicherungsgericht bestehe wegen dessen Abhängigkeit keine Aussicht auf eine unvoreingenommene Beurteilung. Im Verfahren vor den St. Galler Behörden sei ihm das rechtliche Gehör verletzt worden. Er habe zu den Vorbringen der Zürcher Kantonspolizei nicht Stellung nehmen können. Die Nichtanhandnahmeverfügung sei nicht rechtens, weil sie nicht auf einer eingehenden Abklärung beruhe. Gestützt auf BV und EMRK habe er Anspruch auf eine eingehende Abklärung im Sinne von <ref-ruling>.
Der Beschwerdeführer stellt im vorliegenden Zusammenhang sinngemäss die folgenden Begehren: Aufhebung des Entscheides der Anklagekammer und Rückweisung der Sache an diese; Prüfung der Frage, welche unabhängige Stelle für eine Untersuchung gemäss Folterkonvention zuständig ist; Recht auf Replik im vorliegenden Verfahren; Entschädigung. Schliesslich ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
In einer weitern Eingabe vom 22. April 2012 weist der Beschwerdeführer auf neuere Vorkommnisse hin (Aufforderung zur Abklärung der Fahrtüchtigkeit, u.a. bei Dr. Y._).
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Der Entscheid der Anklagekammer, mit dem die Nichtanhandnahme durch das Untersuchungsamt Altstätten bestätigt worden ist, ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in Strafsachen im Sinne von Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 Abs. 1 BGG und kann grundsätzlich mit Beschwerde in Strafsachen angefochten werden.
2. Zur Beschwerde in Strafsachen ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG legitimiert, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die Privatklägerschaft, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Ziff. 5).
Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern sich der angefochtene Entscheid auf Zivilforderungen auswirken kann. Insoweit genügt die Beschwerdeschrift den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht. Es ist auch nicht ersichtlich, welche Zivilforderungen der Beschwerdeführer gegenüber dem Beschwerdegegner in einem Strafverfahren wegen der angezeigten Straftatbestände geltend machen könnte. Somit fehlt es an der Legitimation gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG.
3. Ungeachtet seiner Legitimation in der Sache selber ist der Beschwerdeführer berechtigt, eine Verletzung seiner Parteirechte zu rügen, die ihm nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können (vgl. <ref-ruling> E. 1.9 S. 40; <ref-ruling> E. 1.4 S. 44, je mit Hinweisen).
3.1 Zur Hauptsache macht der Beschwerdeführer geltend, die Nichtanhandnahme sei mit Art. 3 EMRK und den daraus abgeleiteten verfahrensrechtlichen Ansprüchen nicht vereinbar und stehe im Widerspruch zur bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling>).
Nach Art. 10 Abs. 3 BV ist Folter und jede andere Art grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung verboten. Dieselbe Grundrechtsgarantie ist in Art. 3 EMRK enthalten. Die Rechtsprechung anerkennt gestützt auf Art. 10 Abs. 3 BV, Art. 7 UNO-Pakt II, Art. 3 und 13 EMRK sowie Art. 13 des UN-Übereinkommens gegen Folter und andere grausame, unmenschliche oder erniedrigende Behandlung oder Strafe vom 10. Dezember 1984 (SR 0.105) einen Anspruch des von solcher Behandlung Betroffenen auf wirksamen Rechtsschutz (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.5 S. 462 f.; Urteile des Bundesgerichts 1B_70/2011 vom 11. Mai 2011 E. 2.2.5, in: EuGRZ 2011 619; 1B_10/2012 vom 29. März 2012 E. 1.2.3). In diesem Sinne hat Anspruch auf eine wirksame und vertiefte amtliche Untersuchung, wer in vertretbarer Weise behauptet, von einem Polizeibeamten erniedrigend behandelt worden zu sein. Kann sich der Betroffene auf Art. 3 EMRK berufen, verschafft ihm der prozessuale Teilgehalt dieser Bestimmung ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung eines Entscheids, mit dem die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen einen Polizeibeamten abgelehnt wird, die Untersuchung eingestellt wird oder ein Freispruch ergeht (Urteile 6B_364/2011 vom 24. Oktober 2011; 6B_274/2009 vom 16. Februar 2010). Dem Betroffenen steht somit ein umfassender Rechtsschutz zur Verfügung.
Mit seiner Strafanzeige gegen Dr. med. Y._ wegen eines falschen Gutachtens vermag der Beschwerdeführer nicht in vertretbarer Weise zu behaupten, grausam, erniedrigend oder unmenschlich behandelt worden zu sein. Es ist nicht ersichtlich, wie im Zusammenhang mit der Erstellung eines Gutachtens die entsprechenden Verbote verletzt worden sein sollen. Der Beschwerdeführer kann sich daher nicht auf die prozessualen Teilgehalte der entsprechenden Grundrechtsgarantien berufen. Er übersieht, dass bei dieser Sachlage das von Art. 310 StPO vorgesehene Institut der Nichtanhandnahme mit den angerufenen Grundrechtsgarantien gemäss EMRK vereinbar ist. Das Verfahren steht auch nicht im Widerspruch zur UN-Folterkonvention (vgl. hierzu die Verfahren 1C_69/2012 und 1C_247/2012).
3.2 Soweit der Beschwerdeführer auf ein nicht näher belegtes Verfahren wegen fürsorgerischem Freiheitsentzug Bezug nimmt, ist mangels hinreichender Begründung auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.3 Schliesslich legt der Beschwerdeführer eine angebliche Gehörsverletzung im Verfahren vor dem Untersuchungsamt Altstätten nicht dar, weshalb auch in diesem Punkt auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
4. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Da keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind, erübrigt sich ein Schriftenwechsel von vornherein. Es rechtfertigt sich, auf Kosten zu verzichten, sodass das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Untersuchungsamt Altstätten und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Steinmann