Sachverhalt:
A. A.a Am 15. Juni 2009 bewilligte das Bezirksgericht Hinterrhein Z._ für das gegen ihren Mann, Y._, angehobene Scheidungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und bestellte ihr einen amtlichen Rechtsbeistand in der Person von Rechtsanwalt X._. Mit Urteil vom 30. März 2011 schied das Bezirksgericht Hinterrhein die Ehe der Parteien und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Das Gericht überband Y._ drei Viertel der Gerichtskosten von Fr. 16'070.-- und verpflichtete ihn, Z._ mit Fr. 16'619.25 (d.h. 3/4 x 83 Stunden zu Fr. 240.-- zuzüglich 3% Spesen und 8% Mehrwertsteuer) aussergerichtlich zu entschädigen. Es erachtete den vom Anwalt von Z._ mit Kostenliste geltend gemachten Stundenaufwand von rund 133 Stunden als übersetzt und kürzte diesen ungefähr auf das Niveau des Gegenanwaltes, d.h. auf 83 Stunden.
A.b Beide Parteien fochten dieses Urteil mit Berufung bzw. Anschlussberufung beim Kantonsgericht von Graubünden an. In einem Vergleich vom 8. März 2012 einigten sich die Parteien mit Bezug die Verteilung der Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens. Demnach wurden die vorinstanzlichen Kosten (Gerichtskosten) von Fr. 16'070.-- je zur Hälfte Y._ und Z._ auferlegt und die aussergerichtlichen Kosten für das erstinstanzliche Verfahren wettgeschlagen. Mit Bezug auf die verrechneten Stunden des Anwaltes von Z._ änderte sich nichts.
B. Zur Festsetzung der Entschädigung für die amtliche Vertretung im erstinstanzlichen Verfahren reichte Rechtsanwalt X._ beim Bezirksgerichtspräsidium Hinterrhein eine detaillierte Honorarnote über den Betrag von Fr. 32'528.40 ein (über nunmehr sogar 145.25 Stunden; Eingabe vom 10. Februar 2012). Mit Verfügung vom 28. Juni 2012 setzte das Bezirksgerichtspräsidium die Entschädigung gemäss Art. 47 ZPO/GR unter Berücksichtigung eines Aufwandes von 83 Stunden zum Betrag von Fr. 200.-- die Stunde auf Fr. 19'082.40 (inkl. Spesen und Mehrwertsteuer) fest. Mit Urteil vom 13. August 2012 wies das Kantonsgericht von Graubünden die von Rechtsanwalt X._ wegen der Berücksichtigung einer zu geringen Stundenanzahl erhobene Beschwerde ab.
C. X._ hat am 12. September 2012 gegen das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt im Wesentlichen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Entschädigung als unentgeltlicher Rechtsbeistand - wie vor den kantonalen Instanzen verlangt - auf Fr. 32'528.40 festzusetzen. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher (Art. 75 Abs. 1 BGG) Endentscheid (Art. 90 BGG) über die Festsetzung der Entschädigung des amtlichen Rechtsbeistandes in einem Zivilverfahren. Dabei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in engem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG). Strittig ist vorliegend nach Angaben des Beschwerdeführers ein Betrag von Fr. 13'446.--, womit der Streitwert von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) nicht gegeben ist. Der Entscheid kann somit nur mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde angefochten werden (Art. 113 BGG; zum ganzen Urteil 5D_145/2007 vom 5. Februar 2008 E. 1.1). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2 Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 113 i.V.m. Art. 116 BV). Es gilt das sogenannte Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer hat in der Beschwerdeschrift darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3.1).
2. Das Scheidungsverfahren zwischen den Eheleuten ist im Jahr 2009 angehoben worden, weshalb für das erstinstanzliche Verfahren die kantonale Zivilprozessordnung anzuwenden und die umstrittene Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das erstinstanzliche Verfahren nach diesem Recht abzuwickeln war (Art. 47 ZPO/GR; Art. 404 Abs. 1 ZPO). Da die hier angefochtene Verfügung vom 28. Juni 2012 dem Beschwerdeführer nach Inkrafttreten (1. Januar 2011) der schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO) zugestellt worden ist, richtete sich das Rechtsmittel gegen die Festsetzung der Entschädigung nach der ZPO, insbesondere nach Art. 110 ZPO i.V.m. Art. 319 ff. ZPO. Anzufügen bleibt der Vollständigkeit halber, dass sich die Rechtsmittelordnung gegen das erstinstanzliche Scheidungsurteil vom 30. März 2011 auch nach der eidgenössischen Zivilprozessordnung richtete (Art. 405 Abs. 1 ZPO).
2.1 Strittig war im vorliegenden Verfahren einzig, ob bei der Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands ein Aufwand von 83 oder ein solcher im beantragten Umfang (133 bzw. 145.25 Stunden) zu berücksichtigen ist. Das Kantonsgericht hat geprüft, ob die Entschädigung für die Kosten des als unentgeltlicher Rechtsbeistand amtenden Beschwerdeführers gemäss dem in der Sache anwendbaren kantonalen Prozessrecht (ZPO/GR) mit einer Berücksichtigung eines Aufwandes von 83 statt der verlangten 133 bzw. 145.25 Stunden zutreffend festgesetzt worden ist. Dabei hat es im Wesentlichen erwogen, Art. 47 Abs. 4 ZPO/GR sehe ein spezielles Verfahren für die Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters vor, indem diese nicht vom Sachgericht, sondern nach Abschluss des Hauptverfahrens vom Vorsitzenden des Gerichts vorzunehmen sei. Nach Art. 47 Abs. 2 ZPO/GR werde die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes indes nur vom Staat übernommen, soweit der entsprechende anwaltliche Aufwand nicht durch eine von der Gegenpartei auszurichtende Entschädigung gedeckt werde (Grundsatz der Subsidiarität). Die obsiegende Partei, der eine Parteientschädigung zulasten der Gegenpartei zugesprochen werde, sei gehalten, zunächst diese von der Gegenpartei einzufordern. Hinzu erhalte der amtliche Rechtsvertreter der obsiegenden Partei ein eigenes Forderungsrecht gegenüber der Gegenpartei. Aus dem Subsidiaritätsgrundsatz ergebe sich zudem, dass sich die im Genuss der unentgeltlichen Rechtspflege stehende Partei nicht mit einer zu tiefen Entschädigung zulasten der Gegenpartei im Hauptverfahren begnügen dürfe. Der unentgeltliche Rechtsvertreter der obsiegenden Partei habe daher bemüht zu sein, im Haupturteil eine seinem Aufwand angemessene Entschädigung zulasten der Gegenpartei zugesprochen zu erhalten. Der Beschwerdeführer sei somit mit seinem Einwand nicht zu hören, er sei selbst nicht befugt gewesen, im Berufungsverfahren eine höhere Entschädigung durchzusetzen. Im vorliegenden Fall habe die von ihm vertretene Partei keine Berufung im Kostenpunkt eingereicht. Aus dem erstinstanzlichen Scheidungsurteil ergebe sich, dass das Scheidungsgericht nur von einem angemessenen Aufwand von 83 Stunden ausgegangen sei. Dass der Kostenpunkt des erstinstanzlichen Scheidungsurteils schliesslich im Berufungsverfahren mit Bezug auf die Kostenverteilung geändert worden sei, ändere nichts, zumal die Kostenverteilung für das erstinstanzliche Verfahren im Rahmen eines Vergleichs über die Nebenfolgen der Scheidung neu geregelt worden sei und der Vergleich sich nicht zu den bezirksgerichtlichen Überlegungen betreffend die Frage des Aufwandes äussere. Soweit der Beschwerdeführer mit der Honorarnote vom 10. Februar 2012 einen Stundenaufwand von nunmehr 145.25 Stunden geltend mache, sei nicht einzusehen, weshalb sich die bis zur erstinstanzlichen Hauptverhandlung angehäuften Stunden bis zur Einreichung der Honorarnote auf 145.25 Stunden erhöht hätten.
2.2 Der Beschwerdeführer bezeichnet den angefochtenen Entscheid als willkürlich und lässt sich im Wesentlichen dahingehend vernehmen, nach Art. 47 Abs. 4 ZPO/GR sei einzig der Bezirksgerichtspräsident für die "Festlegung" der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes zuständig, wobei das Gesetz entgegen der Auffassung des Kantonsgerichts keine Ausnahmen erwähne. Überdies werde die Entschädigung nach Abschluss des Verfahrens festgelegt. Zum Zeitpunkt des erstinstanzlichen Urteils in der Sache (30. März 2011) sei das Verfahren nicht abgeschlossen gewesen. Sodann sei er (der Beschwerdeführer) nicht dazu verhalten worden, zur Hauptverhandlung in der Sache eine Kostenliste vorzulegen. In Art. 47 Abs. 2 ZPO/GR gehe es ausschliesslich um die Bezahlung einer rechtskräftig festgelegten Prozessentschädigung der Gegenpartei. Die Auffassung des Kantonsgerichts, er hätte als unentgeltlicher Rechtsbeistand die von der Gegenpartei zu entrichtende Entschädigung in eigenem Namen anfechten müssen, belege das Kantonsgericht nur mit Zitatstellen zu Art. 122 ZPO. Im Verfahren nach Art. 47 Abs. 4 ZPO/GR sei diese Rechtsauffassung indes unbeachtlich. Aus dem Umstand, dass seine Mandantin den Kostenspruch des kantonalen Sachurteils nicht angefochten habe, könne nicht hergeleitet werden, damit sei die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands der Partei hinsichtlich des zu berücksichtigenden Aufwandes verbindlich festgelegt worden; denn im Scheidungsverfahren und im Verfahren der Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes stünden sich nicht die gleichen Parteien gegenüber. Willkürlich sei daher die Auffassung des Kantonsgerichts, er (der Beschwerdeführer) wäre im Berufungsverfahren gegen das erstinstanzliche Scheidungsurteil befugt gewesen, eine höhere Entschädigung von der Gegenpartei einzufordern. Er persönlich sei durch den Kostenentscheid des Bezirksgerichts nicht betroffen und daher im Lichte von Art. 48 Abs. 2 ZPO/GR auch nicht zur Berufung legitimiert gewesen. Schliesslich habe das Scheidungsgericht den Kostenspruch ausschliesslich auf Art. 122 ZPO/GR gestützt und nirgends festgelegt, dass der vom Bezirksgericht angenommene Aufwand von 83 Stunden verbindlich und rechtskräftig sei. Was die Erhöhung von 133 auf 145.25 stunden angehe, gehe deren Grund aus den Plädoyernotizen des erstinstanzlichen Scheidungsverfahrens hervor.
3. 3.1 An dieser Stelle sei nochmals daran erinnert, dass es vorliegend ausschliesslich um die Frage geht, ob der Aufwand von 83 Stunden wie er im Urteil des Bezirksgerichts Hinterrhein vom 30. März 2011 für die Festsetzung der Parteientschädigung zugunsten der Mandantin des Beschwerdeführers berücksichtigt worden ist, auch für die Bemessung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsbeistands als verbindlich festgelegt gilt. Soweit das kantonsgerichtliche Urteil in E. 4a (S. 10) Ausführungen zum Verteilschlüssel der Kosten enthält und der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde darauf Bezug nimmt, ist dies für das vorliegende Verfahren nicht von Bedeutung. Darauf ist nicht näher einzugehen. Nicht Thema des vorliegenden Verfahrens ist die Erhöhung auf 145.25 Stunden, zumal der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich erörtert, dass er die Erhöhung in seiner Beschwerde an das Kantonsgericht erklärt und begründet hat.
3.2 Im vorliegenden Fall richtet sich die Bemessung der Entschädigung für den unentgeltlichen Rechtsbeistand - wie bereits dargelegt - nach der Zivilprozessordnung des Kantons Graubünden (E. 2). Damit ist in der Tat der Präsident des Bezirksgerichts für deren Festsetzung zuständig (Art. 47 Abs. 4 ZPO/GR). Diese Feststellung sagt indes nichts darüber aus, ob dieser Magistrat bei der Bemessung an den vom Sachgericht im Rahmen der Festsetzung der Parteientschädigung für das Hauptverfahren als angemessen erachteten Aufwand gebunden ist. Zudem bezieht sich der Abschluss des Verfahrens auf die jeweilige Instanz, sodass der Bezirksgerichtspräsident nach Abschluss des vor dem Bezirksgericht hängigen Scheidungsverfahrens die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes für die erste Instanz festsetzen konnte (vgl. Art. 47 Abs. 4 ZPO/GR). Im Weiteren haben beide Rechtsvertreter im vor dem Bezirksgericht hängigen Hauptverfahren für die Festsetzung der ordentlichen Parteientschädigung eine Kostenliste eingereicht. Ob diese dazu aufgefordert worden sind, ist nicht bekannt und es wird diesbezüglich auch nichts festgestellt. Jedenfalls war der Beschwerdeführer allein aufgrund des Grundsatzes von Treu und Glauben dazu verpflichtet, eine vollständige Kostenliste einzureichen, anhand welcher das Bezirksgericht eine den Umständen angemessene Parteientschädigung zulasten des Ehemannes festsetzen konnte. Der Beschwerdeführer hat in seiner Kostenliste einen Aufwand von 133 Stunden ausgewiesen (E. 3.1 am Ende).
Sodann galten die Grundsätze betreffend Liquidation der Prozesskosten bei gewährter unentgeltlicher Rechtspflege, wie sie nunmehr in Art. 122 ZPO geregelt werden, auch unter der Herrschaft der bündnerischen Zivilprozessordnung (vgl. NORBERT BRUNNER, Die unentgeltliche Rechtspflege nach bündnerischer Zivilprozessordnung - unter Berücksichtigung der neueren Praxis des Kantonsgerichtsausschusses von Graubünden, ZGRG 2003, S. 158/167 ff.). Damit erweist es sich auch nicht als willkürlich, dass das Kantonsgericht auf die Praxis zu Art. 122 ZPO abgestellt hat.
3.3 Soweit das Kantonsgericht die Berücksichtigung von lediglich 83 Stunden durch das Bezirksgericht für die Bemessung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsbeistandes als verbindlich erachtet, weil die Mandantin des Beschwerdeführers die Höhe der ihr zulasten des Ehemannes zugesprochenen Parteientschädigung nicht angefochten hat, erweckt der angefochtene Entscheid Bedenken: Zum einen wurde die Parteientschädigung der amtlich vertretenen Partei persönlich und nicht dem als unentgeltlichen Anwalt tätigen Beschwerdeführer zugesprochen. Zum andern war der Beschwerdeführer nicht Partei des Hauptverfahrens. Ob die Hauptbegründung des Kantonsgerichts gesamthaft betrachtet vor Art. 9 BV standhält, kann hier letztlich offen bleiben, zumal der Entscheid aufgrund der Eventualerwägung nicht willkürlich erscheint.
4. Das Kantonsgericht hat in einer (Eventual) Erwägung geprüft, ob die Festsetzung der Entschädigung des amtlichen Rechtsbeistandes durch den Gerichtspräsidenten den allgemeinen Grundsätzen entspricht. Dabei ist es zum Schluss gekommen, die erste Instanz sei aufgrund der Gegebenheiten des konkreten Falles und im Lichte der Praxis betreffend Bemessung der Entschädigung zu Recht von einer überhöhten Honorarforderung ausgegangen. Im Einzelnen hat es erwogen, gemäss der einschlägigen Praxis sei bei der Beurteilung einer konkreten Honorarfestsetzung auf die Bedeutung und Schwierigkeit der Sache, die damit für den Anwalt verbundene Verantwortung und die von ihm in gebotener Weise aufgewendete Zeit abzustellen. Dem unentgeltlichen Anwalt sei nur der Aufwand zu entschädigen, der mit der eigentlichen Interessenwahrung im Rahmen einer konkreten Streitigkeit zusammenhänge und verhältnismässig sei. Ein dem konkreten Fall nicht angemessener übertriebener Aufwand sei nicht zu berücksichtigen und die Honorarnote entsprechend zu kürzen. Für die rechtlichen Problemstellungen des vorliegenden, nicht allzu komplizierten Falles bestehe eine reichhaltige Praxis, da sich die gleichen Rechtsfragen wie in vergleichbaren Fällen stellten. Zudem habe keine Kinderzuteilung vorgenommen werden müssen. Insgesamt sei daher die Bedeutung und Schwierigkeit der vorliegenden Sache sowie die damit für den Anwalt verbundene Verantwortung nicht allzu hoch einzustufen, woran sich auch die vom Beschwerdeführer gebotenerweise aufgewendete Zeit messen lassen müsse. Bei Durchsicht der Honorarrechnung falle auf, dass seitens des Beschwerdeführers und seiner Klientin ein reger Kontakt gepflegt und entsprechend in Rechnung gestellt worden sei. Die Rechnungspositionen des Beschwerdeführers, welche sich über den Zeitraum von Februar 2009 bis August 2011 erstrecken, wiesen für das erstinstanzliche Verfahren insgesamt 54 an die Klientin gerichtete Briefe, 45 persönliche Telefongespräche, 20 persönliche Besprechungen, 7 Vorsprachen der Klientin und zwei telefonische Mitteilungen aus. Damit habe der Beschwerdeführer während des erstinstanzlichen Verfahrens insgesamt während 668 verrechneten Minuten (ungefähr 11 Stunden) mit seiner Mandantin telefoniert, ihren Fall in mindestens 16 Besprechungen mit ihr persönlich während 1'727 verrechneten Minuten (ungefähr 29 Stunden) besprochen, das Vorgehen bei vier weiteren Gelegenheiten (Anhörungen, Zeugeneinvernahmen, Augenschein) mit der Klientin abgesprochen, in 7 Vorsprachen während mindestens 145 Minuten seine Klientin angehört und mit ihr während 820 verrechneten Minuten (ungefähr 13 Stunden) brieflich korrespondiert. Bei einer solchen Häufung der persönlichen Kontaktnahme in einem nicht sonderlich komplexen Fall sei nicht einzusehen, weshalb die Vorinstanz nicht berechtigt gewesen wäre, eine Kürzung der verrechneten Stundenanzahl auf das Niveau des Gegenanwaltes vorzunehmen. Damit erscheine die Beschwerde auch aus diesem Grund unbegründet.
4.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) und macht zur Begründung geltend, er habe in der Beschwerde durch verschiedene Beispiele belegt, weshalb er mehr Stunden aufgewendet habe als der Gegenanwalt. Das Kantonsgericht habe nicht die vollständige Beschwerdebegründung aufgeführt und sich in den Erwägungen nicht mit seinen Vorbringen auseinandergesetzt.
4.1.1 Das rechtliche Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verlangt, dass das Gericht die Vorbringen der Parteien auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 236; <ref-ruling> E. 3a, 241 E. 2, je mit Hinweisen). Daraus folgt die Verpflichtung, den Entscheid zu begründen. Dabei braucht sich das Gericht nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinanderzusetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich zu widerlegen. Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.1).
4.1.2 Der Beschwerdeführer hat in seiner Beschwerde an das Kantonsgericht beispielhaft verschiedene Tatsachenelemente vorgetragen: Erwähnt werden einmal der grössere Aufwand bei der Abfassung der Rechtsschriften und Stellungnahmen (kant. Akten Beschwerde an das Kantonsgericht S. 6); ferner wird geltend gemacht, dass er seine Mandantin am 15. Dezember 2010 an den Augenschein des Gerichtsexperten in A._ begleitet hat, während die Gegenpartei ohne Anwalt erschienen ist (Beschwerde S. 7). Der Bezirkspräsident habe ihm nur die Auslagen, aber keinen Zeitaufwand vergütet. Sodann habe er den Gerichtstermin vom 11. September 2009 erwähnt; der Gegenanwalt habe inklusive Fahrt Chur-Thusis retour 1 1/2 Stunden verrechnet; was unerklärlich sei, da die Anhörung der Parteien zuerst getrennt und danach gemeinsam vorgenommen sei, zumal der Vorsitzende die noch offenen Punkte der Nebenfolgen angesprochen habe; er (der Beschwerdeführer) habe unter diesem Posten für die Fahrt mit der RhB inklusive Anhörung und Besprechung mit der Klientin in B._ 3 Stunden und 20 Minuten verrechnet. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, er sei von einer Ausnahme abgesehen mit dem öffentlichen Verkehr zu den Verhandlungen gefahren. Der Gerichtspräsident habe den höheren Aufwand für den öffentlichen Verkehr nicht berücksichtigt. Nicht in Betracht gezogen worden sei, dass die Kostenliste Aufwendungen ab dem 12. Februar 2009 aufliste. Der Gegenanwalt habe erst ab dem 5. Mai 2009 Aufwand in seiner Kostenliste vermerkt (Beschwerde S. 8).
4.1.3 Aus dem angefochtenen Entscheid geht hervor, weshalb das Kantonsgericht eine Kürzung des Honorars des Beschwerdeführers auf das Niveau des Gegenanwaltes für angebracht hält. Das Kantonsgericht nimmt Bezug auf die vom Bezirksgericht aufgeführten vom Beschwerdeführer geltend gemachten 133 Stunden und zieht davon insgesamt 53 Stunden ab, insbesondere für angeblich unnötige Telefonate (ungefähr 11 Stunden), Besprechungen (ungefähr 29 Stunden) und unnötige weitere Besprechungen anlässlich von Anhörungen der Parteien, Zeugeneinvernahmen und anlässlich des Augenscheins (ungefähr 13 Stunden). Diese Begründung hält vor Art. 29 Abs. 2 BV stand. Anhand dieser kann mit genügender Deutlichkeit erkannt werden, von welchen Überlegungen sich das Kantonsgericht hat leiten lassen. Dieses war im Lichte von Art. 29 Abs. 2 BV nicht gehalten, auf die bruchstückhaften Erklärungen des Beschwerdeführers einzugehen, zumal auch diese nicht verdeutlichen, weshalb der Beschwerdeführer insgesamt rund 50 Stunden mehr verrechnet hat als der Anwalt der Gegenpartei. Der Beschwerdeführer war denn auch in der Lage, den Entscheid anzufechten. Eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV ist nicht auszumachen.
4.1.3 Aus dem angefochtenen Entscheid geht hervor, weshalb das Kantonsgericht eine Kürzung des Honorars des Beschwerdeführers auf das Niveau des Gegenanwaltes für angebracht hält. Das Kantonsgericht nimmt Bezug auf die vom Bezirksgericht aufgeführten vom Beschwerdeführer geltend gemachten 133 Stunden und zieht davon insgesamt 53 Stunden ab, insbesondere für angeblich unnötige Telefonate (ungefähr 11 Stunden), Besprechungen (ungefähr 29 Stunden) und unnötige weitere Besprechungen anlässlich von Anhörungen der Parteien, Zeugeneinvernahmen und anlässlich des Augenscheins (ungefähr 13 Stunden). Diese Begründung hält vor Art. 29 Abs. 2 BV stand. Anhand dieser kann mit genügender Deutlichkeit erkannt werden, von welchen Überlegungen sich das Kantonsgericht hat leiten lassen. Dieses war im Lichte von Art. 29 Abs. 2 BV nicht gehalten, auf die bruchstückhaften Erklärungen des Beschwerdeführers einzugehen, zumal auch diese nicht verdeutlichen, weshalb der Beschwerdeführer insgesamt rund 50 Stunden mehr verrechnet hat als der Anwalt der Gegenpartei. Der Beschwerdeführer war denn auch in der Lage, den Entscheid anzufechten. Eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV ist nicht auszumachen.
4.2 4.2.1 Der Beschwerdeführer macht unter dem Gesichtswinkel der Willkür im Wesentlichen geltend, das Verfahren habe sich entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht einfach gestaltet. Zum einen habe es fast zwei Jahre gedauert. Zur Beweisführung seien insgesamt zehn Zeugeneinvernahmen in Chur, Thusis Domat/Ems und Landquart notwendig gewesen; ferner habe ein Gutachten zum Wert der Liegenschaft eingeholt werden müssen; in rechtlicher Hinsicht seien Fragen zu beantworten gewesen, die sich nicht in jedem Scheidungsverfahren stellten, z.B. die Zuordnung von Vermögenswerten zum Eigengut oder zur Errungenschaft sowie Ersatzforderungen der Errungenschaft gegen die Eigengüter und umgekehrt. Im Schriftenwechsel habe der Beklagte eine Forderung aus Güterrecht von über Fr. 100'000.-- geltend gemacht. Ferner sei auch der nacheheliche Unterhalt der Ehefrau strittig gewesen. Überdies könne die durch das Kantonsgericht gutgeheissene Kürzung auf 83 Stunden nicht nachvollzogen werden. Insbesondere habe er für die von der Kostenliste mitumfasste Nachbesprechung 1 Stunde und 20 Minuten eingesetzt, während der Gegenanwalt keine Nachbesprechung durchgeführt habe. Im Weiteren verweist der Beschwerdeführer auf die bereits unter E. 4 aufgeführten Beispiele. Sodann habe er sein Mandat am 12. Februar 2009 aufgenommen, während der Gegenanwalt erst ab dem 5. Mai 2009 tätig geworden sei.
4.2.2 Dem Kantonsgericht ist darin beizupflichten, dass es sich vorliegend mit Bezug auf die Schwierigkeit und die Bedeutung des Falles nicht um einen ausserordentlichen Fall handelt. Es haben sich vielmehr Rechtsfragen gestellt, die sich in Scheidungsverfahren stellen, wenn - wie hier - die güterechtliche Auseinandersetzung durchzuführen und der Unterhaltsbeitrag für die Ehefrau festzusetzen ist. Aber auch die aufgezeigten Beispiele des Beschwerdeführers vermögen insgesamt die so bedeutende Differenz zur Kostenliste des Gegenanwaltes nicht zu erklären. Unter diesen Umständen wäre der Beschwerdeführer verpflichtet gewesen, seine Kostenliste bereits vor Bezirksgericht und erst recht vor dem Bezirksgerichtspräsidenten zu erläutern und zu begründen. Insgesamt kann dem Kantonsgericht jedenfalls nicht vorgeworfen werden, es habe die Kostenliste willkürlich gekürzt. In diesem Zusammenhang ist insbesondere die Behauptung des Beschwerdeführers nicht stichhaltig, das Kantonsgericht habe sich mit den Positionen der Kostenliste nicht auseinandergesetzt. Es hat hervorgehoben, dass der Beschwerdeführer während des erstinstanzlichen Verfahrens insgesamt während 668 verrechneten Minuten (ungefähr 11 Stunden) mit seiner Mandantin telefoniert, ihren Fall in mindestens 16 Besprechungen mit ihr persönlich während 1'727 verrechneten Minuten (ungefähr 29 Stunden) besprochen, das Vorgehen bei vier weiteren Gelegenheiten (Anhörungen, Zeugeneinvernahmen, Augenschein) mit der Klientin abgesprochen, in 7 Vorsprachen während mindestens 145 Minuten seine Klientin angehört und mit ihr während 820 verrechneten Minuten (ungefähr 13 Stunden) brieflich korrespondiert hat. Dass das Mandat des Beschwerdeführers am 12. Februar 2009 begonnen hat, während der Gegenanwalt erst ab dem 5. Mai 2009 mandatiert war, vermag die so hohe Differenz nicht zu erklären. Insgesamt erweist sich der angefochtene Entscheid aufgrund seiner Eventualbegründung als nicht willkürlich.
5. Damit ist die Verfassungsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Frage der Entschädigung stellt sich nicht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Hinterrhein, Präsident, und dem Kantonsgericht von Graubünden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden