Sachverhalt:
A. Der 1966 geborene X._, der sich vom 1. bis zum 5. März 2008 freiwillig zur stationären Behandlung in der Klinik K._ aufgehalten hatte, wurde durch Dr. med. Y._ am 6. März 2008 im Sinne eines fürsorgerischen Freiheitsentzugs in die genannte Klinik eingewiesen. Mit einem beim Obergericht des Kantons Bern (kantonale Rekurskommission für fürsorgerische Freiheitsentziehungen) am 13. März 2008 eingegangenen Schreiben vom 11. März 2008 erhob X._ Rekurs. Am 19. März 2008 beauftragte er den Verein Psychex mit seiner Vertretung, worauf dieser noch mit Eingabe vom gleichen Tag die sofortige Entlassung und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mit der Ernennung von Fürsprecher Beat Zürcher als unentgeltlichen Rechtsbeistand verlangte. Mit Eingabe vom 25. März 2008 erneuerte X._ das Armenrechtsgesuch. In der am 26. März 2008 vor Obergericht durchgeführten Verhandlung wurde der persönlich anwesende X._ durch den von Fürsprecher Beat Zürcher bevollmächtigten P._, vertreten.
B. Das Obergericht wies den Rekurs mit Urteil vom 26. März 2008 ab (Dispositiv-Ziffer 1). Gleichzeitig stellte es fest, dass die gesetzliche 6-Wochen-Frist am 16. April 2008 ablaufe (Dispositiv-Ziffer 2), und wies es auch das Armenrechtsgesuch ab (Dispositiv-Ziffer 3). Kosten erhob es keine (Dispositiv-Ziffer 4).
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. April 2008 verlangt X._, es seien Dispositiv-Ziffer 1 und Dispositiv-Ziffer 2 (gemeint wohl Ziffer 3) aufzuheben, die ärztliche Leitung der Klinik K._ anzuweisen, ihn unverzüglich zu entlassen, und die Sache zur Ernennung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes und zur Festsetzung einer entsprechenden Entschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Zur Begründung in der Sache macht der Beschwerdeführer geltend, seine Zurückbehaltung in der Klinik stelle einen unverhältnismässigen Eingriff in seine persönliche Freiheit dar.
Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Als Entscheid auf dem Gebiet der fürsorgerischen Freiheitsentziehung unterliegt das angefochtene Urteil der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Mit dieser kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Unter dieses fallen auch verfassungsmässige Rechte des Bundes (<ref-ruling> E. 3.1 S. 447; <ref-ruling> E. 1 S. 203). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 6 S. 397).
2. Der Beschwerdeführer weist selbst darauf hin, dass die ärztlich angeordnete fürsorgerische Freiheitsentziehung längstens bis zum 16. April 2008 dauern werde (vgl. auch Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Urteils). Mit Recht macht er geltend, dass er auch dann im Sinne von <ref-law> ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung bzw. Abänderung des angefochtenen Entscheids hätte, wenn er in der Zwischenzeit tatsächlich schon entlassen worden sein sollte: Einerseits ficht er die Verweigerung des Armenrechts an und geht es ihm somit darum, seinen Rechtsvertreter im kantonalen Verfahren nicht selbst entschädigen zu müssen. In Anbetracht der schon zahlreichen Hospitalisationen des Beschwerdeführers (vgl. unten E. 4) ist es andererseits durchaus möglich, dass sich die aufgeworfenen Fragen in ähnlicher Weise wieder einmal stellen könnten.
3. Eine mündige oder entmündigte Person darf wegen Geisteskrankheit, Geistesschwäche, Trunksucht, anderen Suchterkrankungen oder schwerer Verwahrlosung in einer geeigneten Anstalt untergebracht oder zurückbehalten werden, wenn ihr die nötige persönliche Fürsorge nicht anders erwiesen werden kann (<ref-law>). Die Zurückbehaltung in einer Anstalt ist nur unter den in <ref-law> angeführten Voraussetzungen zulässig (vgl. Botschaft des Bundesrats über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Fürsorgerische Freiheitsentziehung] und den Rückzug des Vorbehaltes zu Artikel 5 der Konvention zum Schutze der Menschenrechte und Grundfreiheiten, BBl. 1977 III S. 27). Wie bei der Einweisung in eine Anstalt (vgl. Bernhard Schnyder, Die fürsorgerische Freiheitsentziehung, in: Zeitschrift für öffentliche Fürsorge, 1979, S. 119) ist auch bei der Zurückbehaltung der betroffenen Person als der anderen Form des Freiheitsentzugs (BBl. 1977 III S. 27) das Prinzip der Verhältnismässigkeit zu wahren; vorausgesetzt ist mit anderen Worten, dass die betroffene Person infolge der im Gesetz umschriebenen Schwächezustände persönlicher Fürsorge bedarf und diese ihr nur in einer Anstalt geboten werden kann (dazu <ref-ruling> E. 5 S. 217 f.). In Betracht zu ziehen ist auch die Belastung, die die Person für ihre Umgebung bedeutet (<ref-law>). Nach der ausdrücklichen Vorschrift von <ref-law> muss die von der fürsorgerischen Freiheitsentziehung betroffene Person entlassen werden, sobald ihr Zustand es erlaubt.
4. Nach den Feststellungen des Obergerichts geht die in Frage stehende Hospitalisation auf eine Intervention des Hausarztes, Dr. med. Y._, zurück. Dieser sei von der Hauswartin in die Wohnung des Beschwerdeführers gerufen worden; ein Wohnungsnachbar sei durch die lauten zusammenhangslosen Selbstgespräche beunruhigt worden; Dr. Y._ habe den Beschwerdeführer, mit geschlossenen Augen und wippenden Beinbewegungen, auf dem Bett liegend vorgefunden; die Einzimmerwohnung sei mit Zigaretten- und Cannabisrauch eingenebelt gewesen; der Beschwerdeführer sei dann aufgestanden und im Zimmer hin- und hermarschiert und habe dabei Selbstgespräche geführt und ständig Phantasiewörter repetiert; Sätze habe er nicht formulieren können; auf die Ankündigung, er müsse aufgrund fürsorgerischer Freiheitsentziehung in die Klinik zurück, habe er anstandslos seine Sachen gepackt.
Die Vorinstanz weist des Weiteren darauf hin, dass Dr. Y._ gemäss seinem Bericht vom 6. März 2008 der Auffassung sei, beim Beschwerdeführer liege eine Selbstgefährdung sozialer Art vor, indem dieser die Wohnungskündigung riskiere; zudem störe und verängstige er die Wohnungsnachbarn; das Szenario sei bei psychotischen Schüben seit Jahren dasselbe; Versuche, die Situation durch ein ambulantes Setting in den Griff zu kriegen, seien bisher stets gescheitert; der letzte derartige Versuch habe vom 26. Februar bis zum 1. März 2008 - mit täglichen Hausbesuchen - stattgefunden.
Dem ebenfalls vom 6. März 2008 datierten Aufnahmebericht der Klinik K._ entnimmt die Vorinstanz, der Beschwerdeführer leide an einer paranoiden Schizophrenie und es sei Cannabisabusus festgestellt worden; es handle sich um die dreizehnte Hospitalisation; beim Eintrittsgespräch habe der Beschwerdeführer angegeben, seit seinem Austritt am 5. März 2008 die Zyprexa-Medikation eingenommen, jedoch auch wieder Cannabis konsumiert zu haben; er konsumiere täglich grosse Mengen Cannabis, verneine aber, Alkohol zu sich zu nehmen; in der Aufnahmesituation sei er nicht alkoholisiert gewesen; der Beschwerdeführer lebe alleine und gebe an, kein soziales Netz zu haben und kaum Kontakte zu seinen Eltern zu pflegen; eine Partnerschaft bestehe nicht. In der ärztlichen Stellungnahme der gleichen Stelle vom 14. März 2008 werde alsdann festgehalten, der Beschwerdeführer sei bei der letzten Hospitalisation entgegen dem Rat der Klinik bei nur leichter Stabilisierung seines Zustands (am 5. März 2008) wieder ausgetreten; er sei nun deutlich unruhiger als beim letzten stationären Aufenthalt; trotz der relativ hohen Dosierung von Zyprexa wirke er formal denkgestört; es bestünden Hinweise auf akustische Halluzinationen; der Beschwerdeführer gebe unklare, ausweichende Antworten; am 13. März 2008 sei er verbal bedrohlich geworden, als ihm der Versuch einer medikamentösen Umstellung auf Leponex vorgeschlagen worden sei; es werde die Fortsetzung des Klinikaufenthalts bis zu sechs Wochen empfohlen; neben der medikamentösen Einstellung sei eine ambulante Vernetzung zu organisieren, was beim Beschwerdeführer, der in der akuten Phase keine Einsicht zeige, ambulant nicht möglich sei.
Schliesslich hält das Obergericht fest, dass der Beschwerdeführer anlässlich der Rekursverhandlung vom 26. März 2008 erklärt habe, er kenne seine Diagnose teilweise und sehe ein, dass es ihm phasenweise nicht so gut gehe; anfänglich habe er sich freiwillig in der Klinik aufgehalten, nun sei er aber der Meinung, dass er ambulant behandelt werden sollte; er müsse immer Medikamente nehmen, die er schlecht vertrage; das Zyprexa habe zuwenig gewirkt; auf das neu verordnete Leponex spreche er gut an, und er sei bereit, es weiter einzunehmen; gegen den erhöhten Blutdruck nehme er Belozoc; ausserhalb der Klinik sei er tagsüber relativ gut beschäftigt, zeitweise gehe er zu seinem Grossvater, dem er seit dem Tod der Grossmutter, die er früher ebenfalls gepflegt habe, im Haushalt helfe; diese Hilfe nehme mindestens zwei Tage in der Woche in Anspruch; sein Cannabiskonsum sei unterschiedlich, aber unabhängig von seinem Gesundheitszustand; seit 2003 gehe es ihm gesundheitlich relativ gut.
5. 5.1 Das Obergericht hält dafür, der Beschwerdeführer sei aufgrund des erneut aufgetretenen psychotischen Schubs am 6. März 2008 zu Recht ärztlich in die Klinik eingewiesen worden. Anlässlich der Rekursverhandlung habe es sich selbst ein Bild über den Zustand des Beschwerdeführers machen können: Er sei während der Verhandlung zwar bei klarem Bewusstsein gewesen und habe die Fragen adäquat beantworten können; auch sei er in der Lage gewesen, seinen Antrag auf Entlassung selbständig und stringent zu begründen; insgesamt habe er allerdings einen energielosen, stummen und verlangsamten Eindruck gemacht; seine Antworten habe er nur sehr leise vorgetragen. Sodann ist die Vorinstanz der Ansicht, es sei keine Fremdgefährdung gegeben und es bestehe auch kein wesentlicher Druck auf die Umwelt. Der gegenwärtige Zustand des an einer paranoiden Schizophrenie leidenden Beschwerdeführers sei jedoch noch sehr unstabil; die Umstellung und Einstellung des Beschwerdeführers auf das Medikament Leponex, die gerade erst begonnen habe, sei nicht einfach und es brauche noch Zeit, bis eine optimale Einnahmebereitschaft (Compliance) erreicht sei. Bei einer optimalen Einstellung auf das erwähnte Medikament würde der Beschwerdeführer dann auch nicht mehr so gedämpft auftreten wie an der Rekursverhandlung. Es bestehe ferner eine Gefährdung des sozialen Umfelds des Beschwerdeführers, riskiere dieser doch die Kündigung seiner Wohnung. Ausserdem müsse das bestehende wertvolle Beziehungsnetz (Dr. med. Y._, allenfalls auch Dr. med. Z._, Psychiater) besser organisiert und auch erweitert werden. Aufgrund der von ihr angeführten Umstände hält die Vorinstanz abschliessend dafür, die zur Zeit erforderliche Fürsorge könne dem Beschwerdeführer nur im geschützten Rahmen der Klinik geboten werden und die Voraussetzungen für dessen Zurückbehaltung seien daher nach wie vor erfüllt.
5.2 Aus diesen Erwägungen geht hervor, dass das Obergericht die Rechtfertigung einer Aufrechterhaltung des fürsorgerischen Freiheitsentzugs hauptsächlich darin erblickt, die Einnahme des (neu) verordneten Medikaments (Leponex) zu gewährleisten. Insbesondere hält die Vorinstanz ausdrücklich fest, dass keine Fremdgefährdung vorliege und für die Umwelt des Beschwerdeführers keine wesentliche Belastung bestehe. Ebenso wenig ist von einer drohenden schweren Verwahrlosung des Beschwerdeführers etwa wegen mangelnder Fähigkeit, sich zu ernähren und zu pflegen, die Rede. Mit Recht bemerkt der Beschwerdeführer, dass in der (ohnehin abstrakten) Gefahr, die Wohnung zu verlieren, keine einschlägige Selbstgefährdung zu erblicken sei. Seine Erklärung, er sei bereit, Leponex weiter einzunehmen, zieht das Obergericht nicht in Zweifel. Es legt auch sonst nicht dar, weshalb eine Einstellung des seit kurzem verschriebenen Medikaments nicht auf dem Wege einer ambulanten Betreuung soll gewährleistet werden können.
5.3 Ist aufgrund der von der Vorinstanz festgehaltenen tatsächlichen Gegebenheiten nicht konkret zu befürchten, dass der Beschwerdeführer bei einer Entlassung aus der Klinik sich selbst oder andere gefährden oder für seine Umgebung eine unzumutbare Belastung darstellen würde, erscheint seine Zurückbehaltung in der Tat als unverhältnismässig. In diesem Punkt ist die Beschwerde daher gutzuheissen: Die Dispositiv-Ziffern 1 und 2 des angefochtenen Urteils sind aufzuheben.
6. 6.1 Das Obergericht hat gestützt auf Art. 22 des bernischen Gesetzes über die fürsorgerische Freiheitsentziehung und andere Massnahmen der persönlichen Fürsorge (FFEG) von der Erhebung von Verfahrenskosten abgesehen. Soweit der Beschwerdeführer die Ernennung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes verlangt hatte, hat es sein Armenrechtsgesuch abgewiesen. Zur Begründung führt es aus, der Beschwerdeführer habe seinen Antrag auf Entlassung aus der Klinik anlässlich der Rekursverhandlung selbständig und stringent zu begründen vermocht; seine Argumentationsfähigkeit sei in keiner Weise eingeschränkt gewesen, so dass die Beiordnung eines amtlichen Anwalts nicht als notwendig erscheine.
6.2 Inwiefern das angefochtene Urteil in diesem Punkt Bundesrecht bzw. Bundesverfassungsrecht verletzen soll, legt der Beschwerdeführer nicht dar (vgl. oben E. 1; Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>). Er begnügt sich damit, den Ausführungen der Vorinstanz seine eigene Sicht der Dinge entgegenzuhalten. Sein Vorbringen, er sei am 17. März 2008 "5-Punkte-fixiert" und mit hochpotenten Psychopharmaka (Haldol) zwangsbehandelt worden, findet in den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz übrigens keine Stütze. Abgesehen davon, ist damit nichts ausgesagt über die Verfassung des Beschwerdeführers anlässlich der Rekursverhandlung. Soweit die Verweigerung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes angefochten wird, ist auf die Beschwerde nach dem Gesagten nicht einzutreten.
7. Zusammengefasst ergibt sich, dass die Beschwerde, soweit auf sie einzutreten ist, gutzuheissen ist. Auch wenn der Beschwerdeführer nicht vollumfänglich obsiegt, ist in Anbetracht seiner wirtschaftlichen Verhältnisse von einer Auflage von Prozesskosten abzusehen (<ref-law>). Solche sind auch dem Kanton Bern nicht aufzuerlegen (<ref-law>). Hingegen ist dieser zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine (reduzierte) Parteientschädigung zu zahlen (<ref-law>). Da der Beschwerdeführer diese ohne Zweifel ausbezahlt erhalten wird, ist sein Armenrechtsgesuch auch aus dieser Sicht gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und die Dispositiv-Ziffern 1 und 2 des Urteils des Obergerichts des Kantons Bern (kantonale Rekurskommission für fürsorgerische Freiheitsentziehungen) vom 26. März 2008 werden aufgehoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Bern wird verpflichtet, den Beschwerdeführer für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Bern (kantonale Rekurskommission für fürsorgerische Freiheitsentziehungen) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. April 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel