Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ ist die Mutter von B.A._ (geb. 2001). Zugunsten des Sohnes besteht eine Beistandschaft. Im Sommer 2009 trat B.A._ in das Schulheim C._ in U._ ein. Im Februar 2011 wurde A.A._ die elterliche Obhut entzogen (<ref-law>). Mit Entscheid vom 10. Juli 2013 verfügte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Oberaargau die Umplatzierung von B.A._ in das Zentrum D._. In der Folge übernahm die KESB Region Solothurn die laufenden Kindesschutzmassnahmen und setzte per 1. August 2013 E._ als neuen Mandatsträger ein.
A.b. Mit Gesuch vom 29. Oktober 2013 beantragte die anwaltlich vertretene A.A._ unter anderem, es sei die Rückplatzierung von B.A._ zur Kindsmutter vorzubereiten und hierfür ein Erziehungsfähigkeitsgutachten einzuholen. Für das Verfahren ersuchte sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
B.
B.a. Am 25. Juni 2014 erhob A.A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Rechtsverzögerungsbeschwerde. Sie rügte, dass über das Gesuch vom 29. Oktober 2013 noch nicht entschieden worden sei.
B.b. Am 14. Oktober 2014 reichte die KESB Region Solothurn dem Verwaltungsgericht ihren Entscheid vom 8. Oktober 2014 ein. Die KESB hatte entschieden, den bestehenden Obhutsentzug, die Platzierung im Zentrum D._ und die Beistandschaft durch E._ aufrechtzuerhalten, jedoch das Besuchsrecht der Kindsmutter zu erweitern.
B.c. Bezug nehmend auf diesen Entscheid schrieb das Verwaltungsgericht die Rechtsverzögerungsbeschwerde mit Urteil vom 15. Oktober 2014 ab. Es erhob keine Kosten und wies den Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab.
C.
C.a. Dagegen erhebt A.A._ (Beschwerdeführerin) am 12. November 2014 Beschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts teilweise aufzuheben und ihr für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung nach Aufwand zuzusprechen, eventualiter die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
C.b. Mit Verfügung vom 25. November 2014 hat das Bundesgericht das Verwaltungsgericht zur Vernehmlassung eingeladen. Dieses stellt mit Eingabe vom 1. Dezember 2014 den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und verzichtet mit Verweis auf den angefochtenen Entscheid und die Akten auf eine Vernehmlassung. Überdies setzt es das Bundesgericht davon in Kenntnis, dass die Beschwerdeführerin gegen den Entscheid der KESB vom 8. Oktober 2014, namentlich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege, am 12. November 2014 eine Beschwerde erhoben hat.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Vorinstanz erwog, nachdem die KESB in der Sache eine Entscheidung getroffen habe, sei die Rechtsverzögerungsbeschwerde gegenstandslos geworden. Für das Verfahren vor Verwaltungsgericht seien keine Kosten zu erheben. Den Antrag der Beschwerdeführerin auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung lehnte die Vorinstanz mit der Begründung ab, gemäss § 76 Abs. 1 des Gesetzes über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen vom 15. November 1970 (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRG/SO, BGS 124.11) könne eine Partei die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes nur verlangen, wenn dies zur Wahrung der Rechte notwendig sei. Vorliegend sei dies nicht der Fall.
1.2. Die Beschwerdeführerin rügt, sie habe im Verfahren vor der Vorinstanz unter anderem eine Parteientschädigung beantragt. Darüber habe die Vorinstanz nach Eintritt der Gegenstandslosigkeit des Verfahrens zu Unrecht nicht entschieden. In der Begründung des vorinstanzlichen Entscheids fehle jede Bezugnahme auf diesen Antrag. Auch bei Gegenstandslosigkeit bestehe einen Anspruch auf eine Parteientschädigung, sofern es die Prozessaussichten rechtfertigen. Diese Prüfung respektive Beurteilung der Prozessaussichten habe die Vorinstanz zu Unrecht nicht vorgenommen. Damit habe sie gegen die Begründungspflicht respektive den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK) und das Verbot der Rechtsverweigerung (<ref-law>) verstossen.
2.
2.1. Unterlässt eine Behörde die Prüfung eines Rechtsbegehrens, obwohl sie dazu verpflichtet wäre, begeht sie eine Rechtsverweigerung (<ref-law>; vgl. Urteil 6B_25/2014 vom 29. August 2014 E. 1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Ob eine Rechtsverweigerung vorliegt, prüft das Bundesgericht frei (Urteil 5A_453/2011 vom 9. Dezember 2011 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 5 S. 136; je mit Hinweisen). Die Auslegung und Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts untersucht es hingegen nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 231; <ref-ruling> E. 2 S. 149 f.; <ref-ruling> E. 2.1) und nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. Ob eine Rechtsverweigerung vorliegt, beurteilt sich danach, ob die Vorinstanz zu Unrecht nicht über die Parteientschädigung befunden oder aber diese stillschweigend abgewiesen hat. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts gilt im Grundsatz, dass über die Parteientschädigung entschieden wurde, auch wenn sich das Dispositiv eines Entscheides nicht darüber ausspricht. Von dieser Betrachtungsweise ist nur abzuweichen, wenn mit triftigen Gründen angenommen werden kann, das Gericht habe es tatsächlich unterlassen, über die Parteientschädigung zu entscheiden (<ref-ruling> E. 2 S. 333 f.; zuletzt bestätigt in Urteil 6B_25/2014 vom 29. August 2014 E. 1). Selbst wenn ein Entschädigungsbegehren einer obsiegenden Partei ohne Begründung übergangen wurde, kann nicht ohne weiteres auf eine fälschliche Nichtbeurteilung des Antrags geschlossen werden. Ist die Ablehnung des Entschädigungsbegehrens aufgrund der in derartigen Fällen geltenden gesetzlichen Bestimmungen oder infolge von dem Betroffenen bekannten Umständen ohne weiteres verständlich, so ist zu vermuten, dass das Gericht den Antrag in entsprechendem Sinne beurteilt hat. Lediglich dann, wenn die Ablehnung des Entschädigungsbegehrens aufgrund der einschlägigen Verfahrensvorschriften und der übrigen Umstände nicht oder nicht ohne weiteres verständlich ist, darf aus der fehlenden Begründung des Kostenentscheides gefolgert werden, das Entschädigungsbegehren sei unbeurteilt geblieben (<ref-ruling> E. 2 S. 334).
2.3. Vorliegend hat die Beschwerdeführerin bei der zuständigen gerichtlichen Beschwerdeinstanz in Kindesschutzmassnahmen (Verwaltungsgericht Solothurn) Rechtsverzögerungsbeschwerde erhoben (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und § 130 Abs. 1 des solothurnischen Gesetzes über die Einführung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches vom 4. April 1954, EG ZGB/SO, BGS 211.1 ). Das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht wird nebst den Bestimmungen des Kindes- und Erwachsenenschutzes (<ref-law>) durch diejenigen des VRG/SO und subsidiär sinngemäss durch die Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO) ergänzt (§ 145 Abs. 1 EG ZGB/SO). § 77 VRG/SO verweist für die Verteilung der Prozesskosten ausdrücklich auf die sinngemässe Anwendung der Artikel 106-109 ZPO und konkretisiert einzig, dass den am verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren beteiligten Behörden in der Regel keine Verfahrenskosten auferlegt und keine Parteientschädigungen zugesprochen werden. Soweit ein Kanton im Rahmen des kantonalen Verfahrensrechts auf die sinngemässe Geltung der ZPO verweist, gelten die entsprechenden Regelungen als kantonales Recht - dessen Anwendung das Bundesgericht ausschliesslich auf eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte hin überprüft (vgl. oben E. 2.1 und Urteil 5A_571/2012 vom 19. Oktober 2012 E. 6.2 mit Hinweis).
2.4. Gemäss dieser Verweisung gilt auch für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht Solothurn, dass die Prozesskosten grundsätzlich der unterliegenden Partei auferlegt werden (<ref-law>). Das Gericht kann aber von den Verteilungsgrundsätzen (<ref-law>) abweichen und die Prozesskosten nach Ermessen verteilen, wenn das Verfahren als gegenstandslos abgeschrieben wird und das Gesetz nichts anderes vorsieht (<ref-law>). Dabei ist etwa zu berücksichtigen, welche Partei Anlass zur Klage gegeben hat, welches der mutmassliche Prozessausgang gewesen wäre und bei welcher Partei die Gründe eingetreten sind, die dazu geführt haben, dass das Verfahren gegenstandslos wurde. Hierzu sind die Parteien anzuhören (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7221 ff., 7297). Eine analoge Vorgehensweise bei Gegenstandslosigkeit wurde im Kanton Solothurn bereits unter der Geltung der kantonalen Zivilprozessordnung praktiziert (vgl. dazu Urteil 8C_417/2010 vom 6. September 2010 E. 6.2) und entspricht ferner der bundesgerichtlichen Praxis (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 2a S. 374 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 4a S. 494 f.; Urteil 5A_344/2014 vom 29. Oktober 2014 E. 2.2; 4A_364/2014 vom 18. September 2014 E. 3).
2.5. Dem vorinstanzlichen Entscheid lässt sich nicht entnehmen, ob die Rechtsverzögerungsbeschwerde gerechtfertigt war und mutmasslich hätte gutgeheissen werden können. Die Vorinstanz, welche zur Vernehmlassung eingeladen wurde, hat auch darin nicht dargetan, dass sie den Antrag auf eine Parteientschädigung geprüft und - aus welchen Gründen - sie ihn stillschweigend abgewiesen hätte. Somit ist aufgrund der einschlägigen Verfahrensvorschriften und der übrigen Umstände eine Abweisung des Antrags auf Parteientschädigung nicht ohne weiteres verständlich. Die Vorinstanz durfte daher nicht stillschweigend über diesen Antrag hinweggehen (vgl. in diesem Sinne auch Urteil I 117/00 vom 20. Oktober 2000 E. 3b, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.6. Indem die Vorinstanz den Antrag auf Parteientschädigung nach Eintritt der Gegenstandslosigkeit des Rechtsverzögerungsverfahrens zu Unrecht nicht (E. 2.5) - im Sinne der oben genannten Kriterien (E. 2.4) - beurteilte, hat sie verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführerin, <ref-law>, verletzt. Eine Überprüfung der weiteren angerufenen Normen (<ref-law> respektive Art. 6 Ziff. 1 EMRK) erübrigt sich. Da es sich bei der Beurteilung um einen Ermessensentscheid handelt, in den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreifen würde (Urteil 8C_417/2010 vom 6. September 2010 E. 7.1 mit Hinweis), und keine Prüfung durch die Vorinstanz erfolgte, ist es nicht Sache des Bundesgerichts, sein Ermessen an die Stelle desjenigen der Vorinstanz zu setzen. Die Angelegenheit ist somit zur Prüfung des Antrags auf eine Parteientschädigung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen und die Sache im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückzuweisen. Dem Gemeinwesen sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Der Kanton Solothurn hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren voll zu entschädigen. Bei dieser Kosten- und Entschädigungsfolge wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Sache wird zur Prüfung des Anspruchs auf eine Parteientschädigung im vorangegangenen Verfahren im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. März 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Griessen