Auftrag; Sorgfaltspflichtverletzung; Schadenersatz, hat sich ergeben:
A.- Im April 1991 gründete A._ (Kläger) zusammen mit weiteren Personen die X._ mit Sitz in Z._.
Er gehörte in der Folge deren Verwaltungsrat an. Am 30. April 1992 wurde über die X._ der Konkurs eröffnet.
Hierauf beauftragte der Kläger Rechtsanwalt B._ (Beklagter) mit der Wahrung seiner Interessen im Konkursverfahren der X._. Der Beklagte vertrat gleichzeitig die Interessen von C._, Witwe des am 17. Dezember 1991 verstorbenen Mitgründers der X._ D._, sowie von E._, welcher ebenfalls Verwaltungsrat der X._ war.
Der Kläger gab im Konkurs der X._ eine Forderung von Fr. 6'920.-- ein, welche von der Konkursverwaltung jedoch abgewiesen wurde. Die Firma Y._ meldete eine Forderung aus Auto-Leasingvertrag an. Diese Forderung wurde vom Konkursamt teilweise, nämlich im Betrag von Fr. 30'162.--, in der 5. Klasse zugelassen. Nachdem die Mehrheit der Konkursgläubiger auf die Geltendmachung von Verantwortlichkeitsansprüchen gegen den Verwaltungsrat der X._ verzichtet hatte, trat das Konkursamt diese Ansprüche gestützt auf Art. 260 SchKG für Fr. 15'000.-- an die Y._ AG ab. Anfangs 1994 machte die Y._ AG gegen den Kläger gerichtlich eine Forderung von Fr. 264'345. 35 geltend, welcher Betrag den gesamten von der Konkursmasse der X._ abgetretenen Verantwortlichkeitsansprüchen entsprach. Am 7. März 1994 verpflichtete sich der Kläger vergleichsweise zur Zahlung von Fr. 65'000.-- an die Y._ AG.
Im vorliegenden Verfahren wirft der Kläger dem Beklagten vor, es sei ihm aufgrund vertragswidriger Führung des Anwaltsmandates durch den Beklagten ein Schaden im Umfang der an die Y._ AG bezahlten Vergleichssumme entstanden.
B.- Am 29. Oktober 1997 belangte der Kläger den Beklagten beim Bezirksgericht Zürich auf Zahlung von Fr. 65'000.-- nebst Zins. Das Bezirksgericht und das hierauf mit der Sache befasste Obergericht des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) wiesen die Klage mit Urteilen vom 28. September 1998 bzw.
22. Mai 2000 ab. Eine gegen das obergerichtliche Urteil gerichtete kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 23. November 2000 ab, soweit darauf eingetreten werden konnte.
C.- Der Kläger führt gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) vom 22. Mai 2000 eidgenössische Berufung. Darin beantragt er dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Klage sei gutzuheissen. Der Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung und Bestätigung des angefochtenen Urteils.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-a) Die Vorinstanz erwog, sämtliche dem Beklagten vom Kläger vorgeworfenen Sorgfaltspflichtverletzungen liefen auf den Vorwurf hinaus, jener habe es unterlassen, gegen die Zulassung der Forderung der Y._ AG im Konkurs der X._ vorzugehen. Der Kläger ficht diese Erwägung unter Hinweis auf seine kantonale Berufungsschrift als aktenwidrig an und bringt vor, er habe neben dem Vorwurf der unterlassenen Kollokationsklage auch geltend gemacht, der Beklagte habe die Informationspflicht sowie die Treuepflicht verletzt.
b) Eine Aktenwidrigkeit im Sinne eines offensichtlichen Versehens gemäss Art. 63 Abs. 2 OG liegt nur vor, wenn die Vorinstanz eine bestimmte Aktenstelle übersehen oder unrichtig, d.h. nicht in ihrer wahren Gestalt, insbesondere nicht mit ihrem wirklichen Wortlaut wahrgenommen hat (<ref-ruling> E. 2b S. 162; <ref-ruling> E. 3b S. 74 mit Hinweis).
Erforderlich ist, dass ein Aktenstück unberücksichtigt geblieben ist, dessen Nichtberücksichtigung die Feststellung als blanken Irrtum ausweist.
c) Aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich, dass das Obergericht die behauptete Verletzung der Informations- und der Treuepflicht durch den Beklagten berücksichtigt hat.
Auf Seite 20 der vorinstanzlichen Erwägungen wird darauf ausdrücklich hingewiesen und im Ergebnis festgestellt, den diesbezüglichen Vorbringen des Klägers komme neben der behaupteten sorgfaltswidrigen Unterlassung der Kollokationsklage gegen die Y._ AG keine selbständige Bedeutung zu, weil es sich bei der Informationspflichtverletzung und dem Interessenkonflikt nur um die einzelnen Gründe handle, aus denen der Beklagte die Kollokationsklage unterlassen haben soll. Unter diesen Umständen ist die Annahme eines offensichtlichen Versehens ausgeschlossen. Ob die Vorinstanz die prozessrechtlichen Erklärungen des Klägers zutreffend ausgelegt hat, ist im Übrigen eine Frage des kantonalen Rechts, dessen Verletzung nicht mit der Berufung gerügt werden kann (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG; <ref-ruling> E. 3a S. 201 mit Hinweis).
2.- a) Nach herrschender Auffassung untersteht das Rechtsverhältnis zwischen Rechtsanwalt und Klient jedenfalls insoweit dem Auftragsrecht, als es die Interessenwahrung des Klienten zum Gegenstand hat (statt vieler Schlüchter, Haftung aus anwaltlicher Tätigkeit unter Einbezug praktischer Fragen der Haftpflichtversicherung, AJP 1997 S. 1359; Fellmann, Berner Kommentar, N. 144 zu Art. 394 OR mit Hinweisen).
Ein Schadenersatzanspruch des Klienten gegen den Anwalt wegen schlechter Mandatsführung setzt zunächst einen Schaden, eine Sorgfaltswidrigkeit sowie eine natürliche Kausalität zwischen diesen beiden Elementen voraus. Diesbezüglich trägt entsprechend der allgemeinen Regel von Art. 8 ZGB und entgegen der Auffassung, welche der Kläger zu vertreten scheint, der Mandant die Beweislast (Fellmann, Die Haftung des Anwaltes, in: Fellmann/Huguenin Jacobs/Poledna/Schwarz [Hrsg. ], Schweizerisches Anwaltsrecht, S. 187 mit weiteren Hinweisen). Zur Bejahung einer Haftung muss der Schaden in rechtlicher Hinsicht zudem als adäquat kausale Folge der Sorgfaltsverletzung erscheinen und der Exkulpationsbeweis des Anwaltes scheitern (Art. 97 Abs. 1 OR). Steht - wie im vorliegenden Verfahren behauptet - ein Schaden aufgrund einer sorgfaltswidrig unterlassenen gerichtlichen Geltendmachung von Ansprüchen und damit ein hypothetischer Kausalverlauf in Frage, ist der Kausalzusammenhang zwischen Sorgfaltspflichtverletzung und Schaden dann zu bejahen, wenn die unterlassene Rechtsvorkehr mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zum Erfolg geführt hätte (<ref-ruling> E. 3d S. 165 mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 2; Kull, Die zivilrechtliche Haftung des Anwalts gegenüber dem Mandanten, der Gegenpartei und Dritten, Zürich 2000, S. 116).
b) Die Vorinstanz unterstellte ihrem Urteil den Schaden in der Höhe der vom Kläger vergleichsweise an die Y._ AG geleisteten Zahlung von Fr. 65'000.-- sowie das dem Beklagten vorgeworfene sorgfaltswidrige Verhalten - Unterlassen der Kollokationsklage gegen die Y._ AG - als gegeben.
In Bezug auf den Kausalzusammenhang ging das Obergericht davon aus, der Kläger habe zunächst nachzuweisen, dass eine Anfechtung der Abweisung seiner eigenen im Konkurs der X._ eingegebenen Forderung gemäss Art. 250 Abs. 1 SchKG erfolgreich gewesen wäre, da dies Voraussetzung der Legitimation zur Kollokationsklage gegen die Y._ AG gemäss Art. 250 Abs. 2 SchKG gewesen wäre. Die vorinstanzlichen Erwägungen hinsichtlich der prozessualen Legitimation zur Kollokationsklage stehen dabei im Einklang mit der herrschenden Auffassung und sind entgegen den klägerischen Vorbringen bundesrechtlich nicht zu beanstanden (vgl. Jaeger/Walder/Kull/Kottmann, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 4. Aufl. , N. 2 zu Art. 250 SchKG; Hierholzer, Kommentar zum SchKG, N. 23 zu Art. 250 SchKG; sinngemäss auch Amonn/Gasser, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts,
6. Aufl. , S. 373 Rz. 52).
Wäre der Kläger zur Kollokationsklage gemäss Art. 250 Abs. 2 SchKG gegen die Y._ AG überhaupt legitimiert gewesen, hätte er gemäss dem angefochtenen Urteil im Weiteren beweisen müssen, dass auch die Klage gegen die Y._ AG erfolgreich gewesen wäre. Nur unter dieser Voraussetzung wäre die Gläubigerstellung der Y._ AG im Konkurs der X._ entfallen, womit auch eine Abtretung gemäss Art. 260 SchKG und damit ein Vorgehen der Y._ AG gegen den Kläger unmöglich geworden wäre.
Die Vorinstanz hielt sodann fest, der Kläger habe diesen erforderlichen Kausalzusammenhang nicht substanziiert behauptet.
c) Der Kläger wendet sich in der Berufung gegen die Erwägungen der Vorinstanz zum Kausalzusammenhang. Abgesehen davon, dass er von einer unzutreffenden Beweislastverteilung ausgeht (dazu oben E. 2a), liegt seinen Ausführungen die Annahme zugrunde, die Vorinstanz habe den Kausalzusammenhang als unbewiesen oder als nicht gegeben erachtet. Beides trifft indessen nicht zu. Vielmehr hielt die Vorinstanz fest, dass die für die Annahme eines Kausalzusammenhanges zwischen Sorgfaltspflichtverletzung und Schaden notwendigen Behauptungen im kantonalen Verfahren nicht aufgestellt worden seien. Der Kläger bestreitet zwar in pauschaler Weise die Richtigkeit der vorinstanzlichen Argumentation und verweist auf seine Ausführungen in der Berufungsreplik. Ob dies den Anforderungen an eine Versehensrüge genügt, ist zumindest fraglich, kann jedoch offen bleiben, da sich der vom Kläger zitierten Aktenstelle ohnehin keine Ausführungen zum Kausalzusammenhang entnehmen lassen. Da der Kläger gegen die vorinstanzliche Feststellung, er habe im kantonalen Verfahren den Kausalzusammenhang nicht behauptet, somit keine begründeten Rügen vorbringt, ist das Bundesgericht im Berufungsverfahren daran gebunden (Art. 63 Abs. 2 OG), zumal ausgeschlossen ist, die unterlassenen Behauptungen im Berufungsverfahren nachzuholen (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG).
d) Nach dem Gesagten hat das Bundesgericht davon auszugehen, dass der Kläger einen Kausalzusammenhang zwischen Vertragsverletzung und Schaden im kantonalen Verfahren nicht prozesskonform behauptet hat. Mangels entsprechender Behauptungen war somit auch kein Beweisverfahren durchzuführen.
Damit erweist sich auch die Rüge der Verletzung des aus Art. 8 ZGB fliessenden Rechts auf Beweis als unbegründet.
3.-Wurde der Kausalzusammenhang zwischen Vertragsverletzung und Schaden nicht prozesskonform behauptet, fehlt von vornherein ein zur Bejahung einer Haftung des Beklagten notwendiges Tatbestandselement. Die Klage ist daher abzuweisen, womit sich erübrigt, auf die weiteren Vorbringen des Klägers einzugehen. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Kläger kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) vom 22. Mai 2000 bestätigt.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'500.-- wird dem Kläger auferlegt.
3.- Der Kläger hat den Beklagten für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 8. März 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: