Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wurde mit Verfügung des Amtes für Justizvollzug des Kantons Zürich vom 10. März 2008, Vollzugszentrum Urdorf, zum Vollzug einer in 7 Tage Ersatzfreiheitsstrafe umgewandelten Busse vorgeladen. Die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich trat auf einen dagegen gerichteten Rekurs mit Verfügung vom 24. April 2008 unter Verweis auf § 22 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes (VRG/ZH) infolge Verspätung nicht ein. Soweit sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde auf den Standpunkt stellt, den fraglichen Rekurs zufolge Anwendbarkeit von <ref-law> rechtzeitig eingereicht zu haben, geht seine Argumentation an der Sache vorbei, regelt das BGG doch einzig die Verfahren vor Bundesgericht, nicht aber diejenigen vor kantonalen Behörden. Dass die Direktion der Justiz und des Innern das hier anwendbare kantonale Verwaltungsrechtspflegegesetz, insbesondere aber § 22 VRG/ZH, willkürlich angewendet haben sollte, legt der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde indes nicht einmal ansatzweise dar. Mangels hinreichender Begründung (<ref-law>) ist darauf deshalb im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist durch eine herabgesetzte Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Schneider Arquint Hill