Erwägungen:
1. Die 1977 geborene serbische Staatsangehörige X._ reiste anfangs 1999, als über 21-Jährige, in die Schweiz ein. Zuvor war 1995 ein Gesuch ihres Vaters um Nachzug abgelehnt worden (dazu Urteil des Bundesgerichts 2A.248/1996 vom 14. November 1996). Sowohl ihr Gesuch um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung als auch ein solches um vorläufige Aufnahme blieben erfolglos, und sie wurde aufgefordert, die Schweiz per 7. August 2001 zu verlassen. Sie blieb schliesslich bis zum 19. Februar 2005, Datum ihrer Ausreise, in der Schweiz. Am 10. März 2006 heiratete sie einen deutschen Staatsangehörigen, und sie erhielt eine bis 9. März 2011 befristete Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA zwecks Verbleib bei ihrem Ehemann. Dieser meldete sich auf den 27. August 2007 nach Deutschland ab. Die Ehe wurde am 26. April 2012 geschieden.
Am 30. Mai 2011 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab; zugleich verfügte es die Wegweisung. Eine Beschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern blieb erfolglos. Mit Urteil vom 10. September 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die gegen den Beschwerdeentscheid des Departements erhobene Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 19. Oktober 2012 beantragt X._ dem Bundesgericht hauptsächlich, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es sei ihr die B-Bewilligung zu erteilen; eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz bzw. an das Justiz- und Sicherheitsdepartement zwecks Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts und zwecks Fällung eines neuen Entscheides in Wahrnehmung des pflichtgemässen Ermessens zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Dass ein Rechtsanspruch auf Bewilligung besteht, muss mit der Beschwerde in vertretbarer Weise geltend gemacht bzw. substantiiert werden (Urteil 2C_821/2011 vom 22. Juni 2012 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 2C_459/2011 vom 26. April 2012 E. 1.1, Urteil zur Publikation vorgesehen; Urteil 2C_940/2012 vom 1. Oktober 2012 E. 2; generell zur Geltendmachung von sich aus der EMRK ergebenden Ansprüchen s. <ref-ruling> E. 2.5 S. 215 f.).
2.2 Die Beschwerdeführerin, die heute - zugestandenerweise - weder aus dem Freizügigkeitsabkommen noch aus dem AuG einen Bewilligungsanspruch ableiten kann, äussert sich unter dem Titel "Formelles" in keiner Weise zur Frage der Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten; insbesondere befasst sie sich nicht mit dem Ausschlussgrund von <ref-law>. Sie beruft sich - im materiellen Teil der Rechtsschrift und ohne wenigstens in diesem Zusammenhang auf die Eintretensproblematik einzugehen - auf Art. 8 EMRK. Mit ihren diesbezüglichen Ausführungen, so den Hinweisen auf ihren Bekanntenkreis in der Schweiz, macht sie nicht in vertretbarer Weise einen sich aus dieser Konventionsnorm ergebenden Bewilligungsanspruch geltend. Die dazu erforderliche besondere Intensität ihrer Beziehung zur Schweiz (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 286 ff.) wird nicht aufgezeigt; namentlich kann ihre (gemäss Sachverhaltsdarstellung im angefochtenen Urteil) mindestens zwischen August 2001 und Februar 2005 auf bloss prekärer Grundlage beruhende Landesanwesenheit, wozu sich ihrer Rechtsschrift nichts Konkretes entnehmen lässt, entgegen ihrer Auffassung nicht vollwertig als integrationsbildend berücksichtigt werden; warum die in <ref-ruling> E. 4.3 und 4.4 S. 12 ff. dazu aufgestellten Grundsätze vorliegend nicht massgeblich sein sollten, bleibt unerfindlich. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist mangels (in vertretbarer Weise geltend gemachten) Bewilligungsanspruchs offensichtlich unzulässig.
2.3 Auf die Beschwerde könnte auch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) nicht eingetreten werden. Mit der Verfassungsbeschwerde kann - nur - die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>), wobei solche Rügen spezifischer Geltendmachung und Begründung bedürfen (<ref-law>). Sodann ist zur Verfassungsbeschwerde nur legitimiert, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin Art. 8 EMRK anruft, ergibt sich aus der vorstehenden E. 2, dass sie aus dieser Konventionsnorm im Hinblick auf ihren ausländerrechtlichen Status keine Rechte ableiten kann. Weitere selbstständig anrufbare verfassungsmässige Rechte (verwiesen sei auch auf <ref-ruling> betreffend die weitgehend fehlende Beschwerdelegitimation bei Fehlen eines Rechtsanspruchs auf Bewilligung) nennt die Beschwerdeführerin nicht.
2.4 Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.5 Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil gegenstandslos.
2.6 Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller