Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 18. Mai 2006 sprach die IV-Stelle Uri dem 1959 geborenen Z._ rückwirkend ab 1. August 2004 eine halbe und ab 1. April 2005 eine ganze Invalidenrente zu. Nach Verrechnung mit ausstehenden AHV/IV/EO-Beiträgen in der Höhe von Fr. 2'161.40 ermittelte die IV-Stelle eine Rentennachzahlung von Fr. 24'118.60 für die Zeit vom 1. August 2004 bis 30. April 2006. Sie hielt in der Verfügung zudem fest, die Nachzahlung erfolge direkt an den Versicherten, nachdem dieser einer Verrechnung mit Leistungen der Sozialhilfe nicht zugestimmt habe und sich aus dem Sozialhilfegesetz kein ausdrücklicher Rückforderungsanspruch ergebe. Dies bestätigte die IV-Stelle auf Einsprache des Sozialrates Altdorf hin (Entscheid vom 21. August 2006).
B. Die von der Einwohnergemeinde Altdorf hiegegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Uri mit Entscheid vom 26. Oktober 2007 ab.
C. Die Einwohnergemeinde Altdorf lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, und es seien die nachzuzahlenden Rentenbetreffnisse an sie auszurichten. Ferner ersucht sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
Die IV-Stelle lässt sich in zustimmendem Sinne vernehmen, ohne jedoch einen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.
D. Mit Verfügung vom 19. Februar 2008 erteilt der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
E. Z._ erhielt Gelegenheit zur Äusserung, wovon er keinen Gebrauch machte.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Gemeinde ist durch die Verweigerung der von ihr verlangten Drittauszahlung direkt in ihren vermögensrechtlichen Interessen als Sozialhilfebehörde berührt und zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt (<ref-law>; BGE 1C_384/2007 vom 14. Mai 2008, E. 3.3; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 46 f.; <ref-ruling> E. 4.4.1 und E. 5 S. 193 und 195; Urteil 2P.240/1995 vom 22. Januar 1996, E. 1c in: ZBl 98/1997 S. 414); denn sie ist nicht nur mittelbar durch die finanziellen Auswirkungen einer angeblich unrichtigen Rechtsanwendung berührt, was zur Legitimation nicht ausreichen würde (BGE <ref-ruling> E. 4.5 S. 194; <ref-ruling> E. 2.3.3.4 S. 59; Urteil 1A.260/2000 vom 27. Februar 2001, E. 2c in: FamPra.ch 2001 S. 846).
1.2 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
1.3 Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht einzig auf Willkür hin (vgl. <ref-ruling> E. 5c/cc S. 33). Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 153; <ref-ruling> E. 5.1 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f., je mit Hinweisen).
2. Nach <ref-law> ist der Anspruch auf Leistungen weder abtretbar noch verpfändbar. Jede Abtretung oder Verpfändung ist nichtig (Abs. 1); Nachzahlungen von Leistungen des Sozialversicherers können jedoch dem Arbeitgeber oder der öffentlichen oder privaten Fürsorge abgetreten werden, soweit diese Vorschusszahlungen leisten (Abs. 2 lit. a). Gemäss <ref-law> können u.a. öffentliche Fürsorgestellen, welche im Hinblick auf eine Rente der Invalidenversicherung Vorschussleistungen erbracht haben, verlangen, dass die Nachzahlung dieser Rente bis zur Höhe ihrer Vorschussleistung verrechnet und an sie ausbezahlt wird. Als Vorschussleistungen gelten vertraglich oder aufgrund eines Gesetzes erbrachte Leistungen, soweit aus dem Vertrag oder dem Gesetz ein eindeutiges Rückforderungsrecht infolge der Rentennachzahlung abgeleitet werden kann (<ref-law>). Die in diesem Zusammenhang zu beachtende bundesgerichtliche Rechtsprechung hat die Vorinstanz zutreffend angeführt (<ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>). Darauf wird verwiesen.
3. Streitig und zu prüfen ist die Zulässigkeit der Ausrichtung der aufgelaufenen Renten im Betrag von Fr. 24'118.60 an die Beschwerdeführerin durch Verrechnung mit vorschussweise erbrachten und nunmehr zurückzufordernden Sozialhilfeleistungen. Hiebei fragt sich zunächst, ob das Sozialhilfegesetz des Kantons Uri vom 28. September 1997 (Sozialhilfegesetz; SHG) ein eindeutiges Rückforderungsrecht im Sinne von <ref-law> enthält.
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat dies mit der Begründung verneint, Art. 32 SHG bilde für ein gesetzliches Rückforderungsrecht keine ausreichende normative Grundlage und der Anspruch der Sozialhilfebehörde gegenüber der Invalidenversicherung ergebe sich nicht direkt aus dieser Bestimmung. Art. 32 SHG lautet:
Bestehen Ansprüche der hilfesuchenden Person gegenüber Dritten, so kann die Gewährung wirtschaftlicher Hilfe davon abhängig gemacht werden, dass sie im Umfang der Unterstützungsleistungen an die Sozialhilfebehörde abgetreten werden (Abs. 1).
Der Forderungsübergang ist den Dritten mit Hinweis auf diese Bestimmung anzuzeigen (Abs. 2).
4.2 Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat in <ref-ruling> eine mit Art. 32 Abs. 1 SHG weitgehend identische Regelung des zürcherischen Sozialhilfegesetzes daraufhin überprüft, ob damit ein eindeutiges Rückforderungsrecht statuiert werde (E. 5c/aa S. 31 f.). Dies hat das Gericht unter dem Gesichtswinkel der Willkürprüfung verneint (E. 5c/cc S. 33). Es sind keine Gründe ersichtlich, welche hier einen anderen Schluss zuliessen. Die Bestimmung richtet sich gemäss ihrem Wortlaut an den Bezüger von Sozialhilfeleistungen (vgl. Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts I 31/00 vom 5. Oktober 2000, E. 3a/cc, in: AHI 2003 S. 261). Darüber hinaus bestätigt die in Art. 32 Abs. 1 SHG vorgesehene Abtretung das Fehlen eines gesetzlichen Forderungsrechts; denn einer Zession bedarf es regelmässig nur, wenn Letztes nicht besteht. Nachdem die Vorinstanz ein eindeutiges Rückforderungsrecht auf der Basis von Art. 32 Abs. 1 SHG ohne Willkür verneinen konnte, vermag Art. 32 Abs. 2 SHG - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin - daran nichts zu ändern. Diese Bestimmung regelt bloss die Anzeige der gestützt auf Art. 32 Abs. 1 SHG erfolgten Abtretung. Nicht zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Art. 34 Abs. 2 lit. a SHG, wonach die unterstützte Person rechtmässig bezogene wirtschaftliche Hilfe zurückzuerstatten hat, falls sich ihre finanziellen Verhältnisse so gebessert haben, dass ihr die Rückerstattung zugemutet werden kann, willkürlich nicht zur Anwendung gebracht hat; denn in dieser Hinsicht fehlt es an einer begründeten Rüge (<ref-law>).
Damit lässt sich die Verrechnung des Rentennachzahlungsbetrages mit für den gleichen Zeitraum bezogenen Sozialhilfeleistungen nicht auf ein eindeutiges Rückforderungsrecht im Sinne von <ref-law> abstützen, und es bleibt zu prüfen, ob hiefür sonst wie eine rechtliche Grundlage besteht.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin beruft sich auf die vom Rentenbezüger am 31. Oktober 2000 und am 28. Juni 2005 unterzeichneten Abtretungserklärungen. Sie geht von einer rechtsgültig erfolgten Einwilligung zur Drittauszahlung der nachzuentrichtenden Invalidenrenten an die Sozialhilfebehörde aus.
Die in Frage stehende Nachzahlung betrifft Leistungen, die für die Zeit nach Inkrafttreten des am 6. Oktober 2000 erlassenen Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) am 1. Januar 2003 erbracht wurden (Rentenleistungen der Invalidenversicherung mit Rentenbeginn vom 1. August 2004). Die streitige Rechtsfrage (E. 3) beurteilt sich daher nach der Rechtslage seit dem 1. Januar 2003 (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Der Versicherte hatte sowohl vor (31. Oktober 2000) wie auch nach (28. Juni 2005) der Inkraftsetzung des ATSG eine Abtretungserklärung zu Gunsten der Sozialhilfebehörde abgegeben. Die zweite Abtretung fällt unter die Bestimmungen des ATSG, nicht jedoch jene vom 31. Oktober 2000, weshalb diese unberücksichtigt zu bleiben hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 446 f.).
Die in Frage stehende Nachzahlung betrifft Leistungen, die für die Zeit nach Inkrafttreten des am 6. Oktober 2000 erlassenen Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) am 1. Januar 2003 erbracht wurden (Rentenleistungen der Invalidenversicherung mit Rentenbeginn vom 1. August 2004). Die streitige Rechtsfrage (E. 3) beurteilt sich daher nach der Rechtslage seit dem 1. Januar 2003 (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Der Versicherte hatte sowohl vor (31. Oktober 2000) wie auch nach (28. Juni 2005) der Inkraftsetzung des ATSG eine Abtretungserklärung zu Gunsten der Sozialhilfebehörde abgegeben. Die zweite Abtretung fällt unter die Bestimmungen des ATSG, nicht jedoch jene vom 31. Oktober 2000, weshalb diese unberücksichtigt zu bleiben hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 446 f.).
5.2 5.2.1 Gemäss der mit BGE <ref-ruling> eingeleiteten Rechtsprechung waren mangels einer gesetzlichen Bestimmung, welche die Abtretung von Nachzahlungen der Sozialversicherungen erlaubt hätte, an die Einwilligung des Versicherten zur Drittauszahlung, die nach der Praxis nicht contra legem, aber doch praeter legem zulässig war, strenge Anforderungen zu stellen. Sie durfte nur Rechtswirksamkeit entfalten, wenn die Tragweite der Zustimmungserklärung klar ersichtlich war. Der bereits im Zeitpunkt der Anmeldung zum Rentenbezug - in welchem der Anspruch gegenüber der Invalidenversicherung noch gänzlich unbestimmt ist - erfolgten Zustimmung konnte deshalb nicht dieselbe Bedeutung wie einer Erklärung nach Bekanntgabe der konkret zugesprochenen Versicherungsleistung beigemessen werden. Die Zustimmung zur Drittauszahlung konnte daher erst dann rechtsgültig erteilt werden, wenn der entsprechende Beschluss der Invalidenversicherungs-Kommission (heute IV-Stelle) ergangen war. Im Rahmen des daraufhin einsetzenden Vorbescheidverfahrens hatte die Verwaltung bis zum Verfügungserlass Gelegenheit, eine allfällige Einwilligung zur Drittauszahlung einzuholen oder, falls diese vom antragstellenden Dritten beigebracht wurde, deren Eingang abzuwarten (BGE <ref-ruling> E. 2b S. 92 f.).
5.2.2 Als Antwort darauf erliess der Verordnungsgeber <ref-law> mit dem Randtitel "Nachzahlungen an bevorschussende Dritte", welcher am 1. Januar 1994 in Kraft trat. Sodann hat die Verordnungsbestimmung mit der Ergänzung des <ref-law> durch den im Rahmen der 10. AHV-Revision auf 1. Januar 1997 neu hinzugefügten und bis zum 31. Dezember 2002 in Kraft gestandenen Abs. 2 die gesetzliche Grundlage erhalten (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2d S. 110; <ref-ruling> E. 3b S. 29; Antrag Nationalrätin Heberlein, AB 1993 N 294; vgl. Ulrich Meyer-Blaser, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], in: Murer/Stauffer [Hrsg.], Die Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, 1997, S. 289 f.). <ref-law> schuf allerdings kein Abtretungsrecht. Vielmehr liess diese Bestimmung bloss die Ausrichtung von Nachzahlungen an Drittpersonen oder Drittstellen zu, falls sie im Hinblick auf Leistungen der Invalidenversicherung Vorschussleistungen erbracht hatten. Das dabei zu beachtende Verfahren und die Voraussetzungen sind in <ref-law> geregelt. Danach ist die Verrechnung mit vorschussweise ausgerichteter wirtschaftlicher Hilfe u.a. zulässig, wenn aus dem kantonalen Sozialhilfegesetz ein eindeutiges Rückforderungsrecht abgeleitet werden kann (<ref-law>). Mit dem gesetzlichen Rückforderungsrecht wird die soziale Hilfe zur Vorschussleistung und die für eine Verrechnung erforderliche Wechselseitigkeit der zu verrechnenden Forderungen (Nachzahlung der Leistung des Sozialversicherers/ Forderung der Behörde auf Rückerstattung als Vorschuss bezogener Sozialhilfe) wird kraft Gesetz herbeigeführt, weshalb es im Anwendungsbereich der Bestimmung der Abtretung nicht bedarf (<ref-law>; SVR 2007 IV Nr. 14, S. 52 E. 2.3; Wolfgang Peter, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 4. Aufl. 2007, N. 7 zu Art. 120).
5.3 Der am 1. Januar 2003 in Kraft getretene <ref-law> statuiert das bis anhin nur in einzelnen Versicherungszweigen (u.a. <ref-law> [in Verbindung mit <ref-law>]; Art. 12 ELG, je in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung) ausdrücklich verankerte Verbot von Abtretung und Verpfändung (E. 2), lässt aber neu die schon erwähnte Ausnahme zu für Arbeitgeber und die öffentliche oder private Fürsorge, soweit diese Vorschusszahlungen leisten (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 119). Mit <ref-law> besteht nunmehr eine ausdrückliche gesetzliche Grundlage, welche die Abtretung der Nachzahlungen von Leistungen des Sozialversicherers in bestimmten Schranken zulässt. Es stellt sich daher von Amtes wegen (<ref-law>) die Frage, ob die veränderte Rechtslage es erlaubt, eine Zessionserklärung vor dem Beschluss der IV-Stelle rechtsgültig abzugeben.
6. 6.1 Der Begriff der Abtretung, wie er in <ref-law> verwendet wird, stimmt mit demjenigen der Zession nach <ref-law> überein (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 120; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 2003, N. 5 zu Art. 22; Gabriela Riemer-Kafka, Auszahlung von Sozialversicherungsleistungen an bevorschussende Dritte, in: René Schaffhauser/ Franz Schlauri [Hrsg.], Aktuelle Rechtsfragen der Sozialversicherungspraxis, 2001, S. 129, welche Autorin in diesem Zusammenhang von einer Abtretung zahlungshalber ausgeht [<ref-law>]). Gemäss <ref-law> kann der Gläubiger eine ihm zustehende Forderung ohne Einwilligung des Schuldners an einen andern abtreten, soweit nicht Gesetz, Vereinbarung oder Natur des Rechtsverhältnisses entgegenstehen. Unter diesem Aspekt ist die Zession nur zulässig, falls sie den Inhalt nicht verändert oder den Zweck der Forderung nicht vereitelt oder gefährdet (<ref-ruling> E. 3b S. 266) und auch die Rechtsstellung des Schuldners nicht verschlechtert (<ref-ruling> E. 4c S. 149). Namentlich höchstpersönliche Ansprüche sind einer Abtretung nicht zugänglich (<ref-ruling> E. 6b S. 474; Flavio Lardelli, in: Heinrich Honsell [Hrsg.], Kurzkommentar OR, 2008, N. 23 zu Art. 164; Daniel Girsberger, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 4. Aufl. 2007, N. 23 zu Art. 164).
6.1.1 Mit der Zessionsfähigkeit von Nachzahlungen des Sozialversicherers (meistens Taggelder oder Renten) hat der Gesetzgeber verbindlich entschieden, dass deren Natur einer Abtretung nicht entgegensteht. Der zessionsrechtlich interessierende Charakter von Sozialversicherungsleistungen als zweckgebundenem (vgl. <ref-law>) Einkommensersatz ist im Falle der Nachzahlung ohnehin nicht von Bedeutung, können doch rückwirkend erbrachte Renten oder Taggelder diese Funktion im Gegensatz zu laufenden Leistungen nicht erfüllen (Gabriela Riemer-Kafka, a.a.O., S. 127).
6.1.2 Darüber hinaus lassen es zivilrechtliche Rechtsprechung und Doktrin zu, auch künftige Forderungen in den Schranken von <ref-law> und <ref-law> zu zedieren (<ref-ruling> E. 2a S. 165, 112 II 241 E. 2a S. 243, 84 II 355 E. 3 S. 366; Guhl/Koller/Schnyder/ Druey, Das Schweizerische Obligationenrecht, 9. Aufl. 2000, S. 269; Gauch/Schluep/Emmenegger, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, Band II, 9. Aufl. 2008, Rz. 3441 ff.). Sowohl der Inhalt der künftigen Forderung, als auch die Person des Schuldners und der Rechtsgrund der Forderung müssen indes genügend bestimmt oder zumindest bestimmbar sein. Mit Bezug auf die Globalzession muss dieses Erfordernis im Zeitpunkt des Entstehens oder der Geltendmachung der Forderung und nicht schon bei der Abgabe der formgültigen Abtretungserklärung erfüllt sein. Hingegen hat die Abtretungserklärung selbst alle Elemente aufzuweisen, welche die Bestimmung von Inhalt, Schuldner und Rechtsgrund im Zeitpunkt des Entstehens der Forderung erlauben (<ref-ruling> E. 2a, b und c S. 165 ff.). Es besteht kein Grund für eine im Rahmen des <ref-law> prinzipiell abweichende Betrachtungsweise.
6.2 Wie schon <ref-law> bezweckt auch <ref-law> die Leistungskoordination zwischen Sozialhilfe und Invalidenversicherungsleistungen (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 118; SVR 2007 IV Nr. 14, S. 52). Es sollen Doppelzahlungen von Sozialhilfe und Leistungen der Sozialversicherung verhindert werden. Diesem Zweck entsprechend und dem damit einhergehenden gesetzgeberischen Willen, eine Lockerung des Abtretungsverbotes herbeizuführen (Vertiefte Stellungnahme des Bundesrates vom 17. August 1994, BBl 1994 V 938) sowie im Hinblick auf den klaren Wortlaut von <ref-law> sind die zivilrechtlichen Abtretungsregeln (E. 6.1.2) im Geltungsbereich der Bestimmung zur Anwendung zu bringen. Dem mit BGE <ref-ruling> aufgestellten Erfordernis des Erkennens der Tragweite der Abtretungserklärung (vgl. E. 5.2.1 hievor) kann demzufolge keine über die zivilrechtlichen Zessionsregeln hinausgehende Bedeutung zukommen. Immerhin sind im Interesse von Rechtssicherheit und Rechtsklarheit gewisse Anforderungen an die Bestimmbarkeit der zedierten Forderung zu stellen (vgl. E. 6.1.2 hievor; Adrian Staehelin, Zur Abtretung künftiger Forderungen, in: Mélanges Pierre Engel, 1989, S. 383). Verlangt ist somit, dass die schriftliche Abtretungserklärung auf die Invalidenrente Bezug nimmt. Auf deren Zeitpunkt kann es schon deswegen nicht ankommen, weil die Sozialhilfebehörde zur Anmeldung der Unterstützten bei der Invalidenversicherung befugt ist (<ref-law>).
6.3 Für die Gültigkeit der Abtretung ist ferner nicht von Belang, ob seitens der Behörde die Sozialhilfeleistungen in subjektiver Kenntnis eines (bereits eingereichten oder später zu stellenden) Antrages um Zusprechung einer Rente der Invalidenversicherung ausgerichtet worden sind (BGE <ref-ruling> E. 5.2 S. 246 f.). Die für <ref-law> in diesem Sinn ergangene Rechtsprechung ist auch bei der Anwendung von <ref-law> zu beachten, besteht doch kein Anlass, die in den Bestimmungen verwendeten Begriffe der "Vorschussleistung" (<ref-law>) und "Vorschusszahlung" (<ref-law>) sowie deren rechtliche Bedeutung jeweils anders zu verstehen. Ebenfalls keine Rolle spielt, ob der Versicherte bei der Unterzeichnung der Abtretung Kenntnis eines bereits bestehenden (aber erst später verfügten) Nachzahlungsanspruches hatte (BGE <ref-ruling> E. 5.2 S. 246 f.). Da die Verrechnung von Nachzahlungen mit Leistungen der Sozialhilfe gestützt auf <ref-law> zulässig ist, welche vor der Anmeldung bei der Invalidenversicherung ausgerichtet worden sind - die Sozialhilfe als Vorschussleistung im Sinne von <ref-law> demnach noch nicht feststand -, muss ebenso gelten, dass Nachzahlungen abgetreten werden können, um deren Begründetheit der Versicherte bei der Abgabe der Abtretungserklärung noch nicht wusste, sei es, weil die Anmeldung bei der Invalidenversicherung noch nicht erfolgt war, sei es, weil die Abklärungen zur Rentenprüfung noch im Gange waren.
7. 7.1 Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (E. 1.2) hat Z._ in den Jahren 2000 und 2005 Zessionen zu Gunsten des Sozialrates Altdorf unterzeichnet. Diese sind mit Bezug auf künftige Rentenleistungen, Ergänzungsleistungen, Arbeitslosengeld usw., mithin als Abtretungen künftiger Sozialversicherungsleistungen ergangen. Es handelt sich dabei um Globalzessionen, welche dadurch gekennzeichnet sind, dass eine unbestimmte Zahl von (gegenwärtigen oder zukünftigen) Forderungen abgetreten wird (Peter Hänseler, Die Globalzession, Zürich 1991, S. 20 N. 2; Flavio Lardelli, a.a.O., N. 18 zu <ref-law>; Daniel Girsberger, a.a.O., N. 40 zu <ref-law>; Eugen Spirig, in: Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1993, N. 47 ff. zu <ref-law>). Somit richtet sich die Gültigkeit der Abtretung in der hier zu beurteilenden Sache danach, ob die Abtretungserklärung vom 28. Juni 2005 (E. 5.1) alle Elemente enthält, welche die Bestimmung der Nachzahlungsforderung (nach Inhalt, Schuldner und Rechtsgrund) bei deren künftiger Entstehung erlauben (vgl. E. 6.1.2 hievor). Nicht von Bedeutung ist der Zeitpunkt, in welchem der nicht abtretbare Grundanspruch auf die Rente als solche entsteht. Es ist denn auch unter der Geltung von <ref-law> weiterhin zwischen dem nicht zessionsfähigen Rentenanspruch und dem der Abtretung zugänglichen Anspruch auf Nachzahlung zu unterscheiden (Ulrich Meyer-Blaser, a.a.O., S. 283; Flavio Lardelli, a.a.O., N. 12 zu Art. 164).
7.2 Gemäss den Feststellungen im angefochtenen Entscheid hat sich der Versicherte am 16. August 2005 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Eine schriftliche und damit formgültige Abtretungserklärung hatte er bereits am 28. Juni 2005 abgegeben. Ferner sprach ihm die Invalidenversicherung mit Verfügung vom 18. Mai 2006 rückwirkend ab 1. August 2004 eine Invalidenrente zu, wobei sie einen Nachzahlungsbetrag von Fr. 24'118.60 ermittelte. Der abgetretene Nachzahlungsbetrag setzt sich somit aus Rentenleistungen zusammen, die für die Zeit vor und für die Zeit nach der Abtretung vom 28. Juni 2005 geschuldet sind. Insoweit die Forderung - vom Augenblick der Abgabe der Abtretungserklärung aus betrachtet - künftige Rentenbetreffnisse beschlägt, waren der Inhalt, die Schuldnerin und der Rechtsgrund der Nachzahlung bei der Entstehung der Nachzahlungsforderung ohne weiteres bestimmbar. Schuldnerin, Rechtsgrund, Ausmass und Höhe des Leistungsanspruches ergeben sich aus den anwendbaren gesetzlichen Bestimmungen (Art. 28 f., 37 und 48 IVG). Alle diese Elemente waren - auch wenn noch nicht verfügungsweise festgelegt - aufgrund der Zessionserklärung vom 28. Juni 2005 in diesem Zeitpunkt absehbar, bezog sie sich doch ausdrücklich auf künftige Leistungen wie "Renten, Ergänzungsleistungen, Arbeitslosengeld usw.". Damit ist auch der Vorschusscharakter der Sozialhilfeleistungen erstellt (vgl. E. 6.1.2 hievor). Die Rechtsgültigkeit der Abtretung der künftigen Rentenbetreffnisse steht somit fest.
8. Zu prüfen bleibt die Frage der zeitlichen Kongruenz von Sozialhilfe und IV-Nachzahlung. Gemäss der nicht bestrittenen Feststellung der Vorinstanz hat der Versicherte seit November 2000 Gelder der sozialen Hilfe bezogen. In der Tat sind gemäss Klientenkontoauszug der Sozialbehörde bis zum 30. April 2006 Leistungen ausgewiesen. Die Nachzahlung von Rentenleistungen betrifft die Zeit vom 1. August 2004 bis 30. April 2006. Bei der während dieser Periode bezogenen Sozialhilfe handelt es sich folglich um Vorschusszahlungen im Sinne von <ref-law> (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5.2 in fine S. 246 f.). Da der durch die Sozialbehörde gewährte Betrag denjenigen des Nachzahlungsbetreffnisses übersteigt, hat die Beschwerdeführerin Anspruch darauf, dass ihr die gesamten nachzuzahlenden Rentenleistungen in der Höhe von Fr. 24'118.60 ausgerichtet werden.
9. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Der obsiegenden Gemeinde Altdorf steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7 S. 118 f.).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri vom 26. Oktober 2007 und der Einspracheentscheid der IV-Stelle Uri vom 21. August 2006 werden aufgehoben. Die Beschwerdegegnerin hat der Beschwerdeführerin Fr. 24'118.60 zu bezahlen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, der Ausgleichskasse des Kantons Uri und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Oktober 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Ettlin