Erwägungen:
1.
Die Helvetia Nostra und verschiedene Private erhoben gegen fünf von der X._ AG am 13. Juli 2012 eingereichte Baugesuche Einsprache. Die Gemeinde Vaz/Obervaz bewilligte die Bauvorhaben am 6. Dezember 2012 unter Bedingungen und Auflagen. Gleichzeitig wies sie die Einsprachen ab, soweit sie nicht hinfällig geworden waren bzw. soweit sie darauf eintrat. Die Verfahrenskosten von insgesamt Fr. 3'780.-- auferlegte sie zur Hälfte der Bauherrschaft und im Übrigen zu gleichen Teilen den weiteren Einsprechern.
Hiergegen wandte sich die Helvetia Nostra mit einer Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dieses trat mit Urteil vom 22. Januar 2013 auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte die auf Fr. 1'052.-- bestimmten Gerichtskosten der Beschwerdeführerin (Verwaltungsgerichtsverfahren R 13 21). Gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil gelangte die Helvetia Nostra mit Beschwerde vom 25. Februar 2013 ans Bundesgericht.
Gemäss Schreiben vom 12. Juli 2013 hat die Bauherrschaft bzw. Beschwerdegegnerin ihre Baugesuche zurückgezogen.
2.
2.1. Durch den Rückzug des Baugesuchs ist die vorliegende Beschwerde gegenstandslos geworden. Sie ist daher als erledigt abzuschreiben (<ref-law>), wobei mit summarischer Begründung über die Prozesskosten zu entscheiden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Die Beschwerdegegnerin führt in ihrem Schreiben vom 12. Juli 2013 aus, die Kosten des Baubewilligungs- und Einspracheverfahrens zu übernehmen. Anderseits hält sie dafür, dass den Einsprechern unter den gegebenen Umständen kein Anspruch auf eine Parteientschädigung zustehe.
Mit Eingabe vom 16. August 2013 lässt die Beschwerdegegnerin sodann durch ihren Rechtsbeistand unter Hinweis auf die am 13. August 2013 ergangene Abschreibungsverfügung des Präsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden darauf hinweisen, dass nach dem genannten Baugesuchsrückzug auch das konnexe verwaltungsgerichtliche Beschwerdeverfahren R 13 72 (i.S. Einsprecher Y._ gegen sie, die X._ AG) gegenstandslos geworden sei, wobei auch der Kosten- und Entschädigungspunkt des betreffenden Verfahrens geregelt worden sei. Mit Blick darauf wird die von der Bauherrschaft bereits mit Schreiben vom 12. Juli 2013 bekundete Bereitschaft bestätigt, die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu übernehmen, wobei der Beschwerdeführerin bei den gegebenen Verhältnissen keine - oder höchstens eine symbolische - Entschädigung zustehe.
2.2. Die Verfahrenskosten werden derjenigen Partei auferlegt, die sie verursacht hat (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Demgemäss rechtfertigt es sich, der Beschwerdegegnerin die Kosten der durch den Baugesuchsrückzug gegenstandslos gewordenen Rechtsmittelverfahren aufzuerlegen. Aufgrund des Rückzugs des Baugesuchs in einem frühen Stadium des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die diesbezüglichen Kosten auf eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- festzusetzen (<ref-law> analog).
Mit Blick auf das soeben Gesagte, den Baugesuchsrückzug und das Verursacherprinzip, steht der Beschwerdegegnerin, auch wenn anwaltlich vertreten, keine Parteientschädigung zu.
Die Beschwerdeführerin ihrerseits ist nicht anwaltlich vertreten und hat daher praxisgemäss ebenfalls keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.
Ebenso steht der in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätigen Gemeinde keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; s. dazu <ref-ruling>).
3. Wie ausgeführt, ist das vorliegende Verfahren mit dem Baugesuchs-rückzug gegenstandslos geworden.
Durch die am 22. Mai 2013 ergangenen Urteile des Bundesgerichts betreffend Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und unmittelbare Anwendbarkeit der Art. 75b und 197 Ziff. 9 BV (Verfahren 1C_614/2012, 1C_646/2012 und 1C_649+650/2012; s. Webseite www.bger.ch / "Rechtsprechung (gratis) " / "Weitere Urteile ab 2000", mit Eingabe der entsprechenden Verfahrensnummer ins Suchfeld) ist die Basis des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 22. Januar 2013 und des ursprünglichen kommunalen Entscheids vom 6. Dezember 2012 massgebend verändert worden, was selbstredend Auswirkungen auf deren Kostenregelungen zur Folge hat.
Hinsichtlich des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens (R 13 21) ist es angezeigt, dass das Bundesgericht die diesbezügliche Kostenregelung wie schon in früheren Fällen sogleich selber neu trifft. Nachdem die Beschwerdegegnerin ihre Baugesuche zurückgezogen hat, rechtfertigt es sich, ihr die verwaltungsgerichtlichen Kosten, gemäss Urteil vom 22. Januar 2013 ausmachend Fr. 1'052.--, aus denselben Gründen wie die bundesgerichtlichen Kosten aufzuerlegen (die von der Beschwerdegegnerin mit Eingabe vom 16. August 2013 zu den Akten gegebene verwaltungsgerichtliche Abschreibungsverfügung betrifft, wie ausgeführt, nicht das hier massgebende Verfahren R 13 21, sondern das verwaltungsgerichtliche Konnexverfahren R 13 72). Sodann steht der Beschwerdeführerin auch für das kantonale Verfahren keine Parteientschädigung zu, da sie auch damals nicht anwaltlich vertreten war.
Auf welche Weise die Gemeinde Vaz/Obervaz den nunmehrigen Abschluss des kommunalen Baubewilligungs- und Einspracheverfahrens im Kostenpunkt gemäss ihren Verfahrenstarifen zu regeln haben wird, lässt sich hier nicht abschätzen. Die Sache geht daher insoweit zurück an die Gemeinde.

Demnach wird erkannt:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_226/2013 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
Es wird festgestellt, dass der am 6. Dezember 2012 ergangene kommunale Baubewilligungs- und Einspracheentscheid und das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 22. Januar 2013 gegenstandslos geworden sind. Die Sache geht zurück an die Gemeinde Vaz/Obervaz zur Prüfung der Kostenfrage hinsichtlich des nunmehrigen Abschlusses des kommunalen Verfahrens.
2.
Der Beschwerdegegnerin X._ AG werden die auf Fr. 1'052.-- festgesetzten verwaltungsgerichtlichen Kosten und die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 300.-- auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Vaz/Obervaz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp