Sachverhalt:
A.
Am Strafgericht Basel-Stadt ist gegen X._ (Jahrgang 1951), der sich unter anderem aufgrund von Sexualdelikten gegen Kinder seit November 1993 ununterbrochen im geschlossenen Vollzug befindet, ein Verfahren betreffend Verlängerung einer stationären Massnahme gemäss <ref-law> hängig. Die bewilligte Massnahme dauerte bis zum 7. Januar 2014. Die Hauptverhandlung wurde am 29. Oktober 2013 ausgesetzt, um X._ zu begutachten. Nach Erstattung der Expertise am 3. März 2014 wurden die Parteien auf den 1. Juli 2014 zur Hauptverhandlung vorgeladen.
Das Zwangsmassnahmengericht ordnete am 23. Dezember 2013 Sicherheitshaft für die vorläufige Dauer von zwölf Wochen an. Ein Haftentlassungsgesuch vom 13. Januar 2014 wurde vom Zwangsmassnahmengericht am 17. Januar 2014 abgewiesen. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 6. Februar 2014 ab. Der Entscheid wurde am 27. März 2014 vom Bundesgericht bestätigt (Urteil 6B_202/2014).
Das Zwangsmassnahmengericht verlängerte am 26. März 2014 die Sicherheitshaft für die vorläufige Dauer von 20 Wochen bis zum 13. August 2014. Die Beschwerde von X._ wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 22. April 2014 ab.
B.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt im Wesentlichen, der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt sei aufzuheben. Er sei umgehend aus der Sicherheitshaft zu entlassen, eventualiter unter Anordnung von Ersatzmassnahmen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, es fehle an einer gesetzlichen Grundlage für die Sicherheitshaft. Er befinde sich seit mehreren Monaten in Haft, ohne dass ein Hafttitel vorliege (Beschwerde S. 6 ff.).
1.2. Über die Verlängerung der stationären Massnahme gemäss <ref-law> befindet das Gericht in einem selbstständigen nachträglichen Entscheid im Sinne von <ref-law>. Nachdem die bewilligte Massnahmedauer endete, stützt sich der hier streitige Freiheitsentzug auf strafprozessuale Sicherheitshaft im Sinne von Art. 229 ff. in Verbindung mit <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 178 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer verweist auf den Entscheid des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte in Sachen Borer gegen Schweizerische Eidgenossenschaft vom 10. Juni 2010 (Urteil des EGMR Nr. 22493/06). Das Bundesgericht hat in einem kürzlich ergangenen Urteil festgehalten, dass der angerufene Entscheid des Europäischen Gerichtshofs sich nicht auf die damals noch nicht in Kraft stehende Schweizerische Strafprozessordnung, sondern auf die frühere Strafprozessordnung des Kantons Basel-Stadt bezieht und damit nicht einschlägig ist. Darauf kann verwiesen werden (Urteil 1B_6/2012 vom 27. Januar 2012 E. 2.5).
2.
Nach <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat.
2.1. Der Beschwerdeführer wurde (nach mehreren Verurteilungen in den 70er- und 80er-Jahren teilweise wegen sexueller Handlungen mit Kindern) am 28. Januar 1987 vom Strafgericht Basel-Stadt wegen wiederholter und fortgesetzter qualifizierter Notzucht, Notzucht, wiederholter und fortgesetzter Nötigung zu einer unzüchtigen Handlung, wiederholten Raubes, einfacher qualifizierter Körperverletzung, fortgesetzter Drohung sowie wiederholter und fortgesetzter versuchter und vollendeter Nötigung zu acht Jahren Zuchthaus verurteilt. Anstelle des Vollzuges wurde die Verwahrung angeordnet. Nach seiner bedingten Entlassung im Jahre 1991 wurde der Beschwerdeführer während der Probezeit rückfällig und am 21. November 1995 vom Kantonsgericht St. Gallen wegen sexueller Handlung mit einem Kind zu zwei Jahren Gefängnis verurteilt. Anstelle des Vollzuges wurde wiederum die Verwahrung angeordnet. Aufgrund dieser rechtskräftigen Verurteilungen entfällt die Prüfung des dringenden Tatverdachts (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 337).
2.2.
2.2.1. Der Beschwerdeführer bestreitet die Wiederholungsgefahr im Sinne von <ref-law>. Er bringt vor, seine Gefährlichkeit habe nicht einzig gestützt auf das Gutachten von Dr. med. A._ beurteilt werden können. Aus diesem Grund habe er verschiedene Verfahrensanträge gestellt (Beizug der Vollzugsakten und der medizinischen Akten des Inselspitals Bern sowie eines schriftlichen Berichts des behandelnden Arztes am selben Spital), welchen die Vorinstanz in Verletzung seines rechtlichen Gehörs nicht nachgekommen sei. Dr. med. A._ habe seit seiner Assistenzzeit keinerlei Erfahrung in somatischer Medizin gesammelt. Dessen Gutachten sei für sich allein genommen nicht schlüssig. Die von der Vorinstanz berücksichtigten Berichte seien veraltet, weil darin die Gefährlichkeit aufgrund eines noch wesentlich besseren Gesundheitszustands bejaht worden sei. Heute sei seine Gesundheit schwer angeschlagen. Er sei ein Pflegefall, weshalb eine rechtlich relevante Gefährdung im Sinne einer Wiederholungsgefahr ausgeschlossen werden könne (Beschwerde S. 9 ff.).
2.2.2. <ref-law> bezweckt die Verhütung von Delikten. Die Haft ist überwiegend präventiv. Das Interesse an der Verhütung weiterer schwerwiegender Delikte kann mithin einen Freiheitsentzug wegen Wiederholungsgefahr rechtfertigen. Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK anerkennt ausdrücklich die Notwendigkeit, Beschuldigte an der Begehung strafbarer Handlungen zu hindern, als Haftgrund (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85 mit Hinweis). <ref-law> ist entgegen dem deutsch- und italienischsprachigen Gesetzeswortlaut dahin auszulegen, dass Verbrechen oder schwere Vergehen drohen müssen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85 f. mit Hinweis). Die Begehung der in <ref-law> genannten Delikte muss ernsthaft zu befürchten sein. Erforderlich ist eine sehr ungünstige Rückfallprognose (<ref-ruling> E. 3.2 S. 86 mit Hinweis). Der Haftgrund der Wiederholungsgefahr ist restriktiv zu handhaben (<ref-ruling> E. 2.3 S. 73 mit Hinweisen).
2.2.3. Die Konkordatliche Fachkommission zur Beurteilung der Gemeingefährlichkeit von Straftätern (KoFako) hat den Beschwerdeführer am 19. November 2012 als gemeingefährlich beurteilt. Nach ihrer Einschätzung sei nur eine geringe Besserung der deliktfördernden psychiatrischen Symptomatik erkennbar. Das Krankheitsbild des Beschwerdeführers sei generell nur schwer behandelbar. Einzig eine allfällige Verschlechterung des Gesundheitszustands würde mittelfristig zu einer Reduktion des Rückfallrisikos führen. Trotz seiner somatischen Erkrankung sei der Beschwerdeführer noch immer in der Lage, Straftaten beispielsweise gegenüber Kindern zu begehen. Diesbezüglich bestehe ein fortdauerndes hohes Risiko (act. 9/1).
Die Sachverständigen, die den Beschwerdeführer forensisch-psychiatrisch begutachtet haben, sind in ihrer Expertise vom 19. August 2013 der Auffassung, es bestehe (insbesondere bei Alkoholkonsum) ein Risiko sexueller Übergriffe auf Kinder. Dieses sei durch das Alter und die somatische Erkrankung verändert (act. 9/2).
Das forensische Gutachten vom 3. März 2014 schätzt das Rückfallrisiko in Bezug auf einschlägige Straftaten als erhöht. Der Beschwerdeführer, der aus der Strafanstalt Thorberg verlegt werden wolle, zeige eine Tendenz zur Übertreibung von Beschwerden. Ein wissenschaftlich begründetes Instrumentarium, welches einen Rückschluss von einer körperlichen Erkrankung auf das Rückfallrisiko für Sexual- und Gewalt straftaten zulasse, sei dem Gutachter nicht bekannt. Jedoch seien sexuelle Übergriffe zum Nachteil von Kindern nicht an einen bestimmten Grad physischer Leistungsfähigkeit des Täters gebunden. Zudem könne die aktuelle Beeinträchtigung der körperlichen Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers vermindert werden. Das Gutachten verfasste Dr. med. A._, leitender Arzt Forensik der Psychiatrie Baselland (act. 9/3).
Würdigt man diese Einschätzungen gesamthaft, ist die Wiederholungsgefahr im Sinne von <ref-law> zu bejahen.
Der Beschwerdeführer beanstandet mehrfach das von Dr. med. A._ verfasste Gutachten. Seine Kritik fusst im Wesentlichen auf der Argumentation, sein Gesundheitszustand habe sich wesentlich verschlechtert und sei sehr komplex, was Dr. med. A._ im Rahmen der Legalprognose nicht zu beurteilen in der Lage gewesen sei. Dem Beschwerdeführer kann nicht gefolgt werden. Die Würdigung des kritisierten Gutachtens ist nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz in erster Linie Aufgabe des Sachgerichts, dessen Entscheid im Haftprüfungsverfahren nicht vorzugreifen ist (vgl. Urteil 1B_423/2011 vom 14. September 2011 E. 5.2). Stellt die Vorinstanz auf die gutachterlichen Schlussfolgerungen ab, ist dies zumindest im Rahmen des Haftprüfungsverfahrens nicht zu beanstanden. Die Ausführungen des Beschwerdeführers vermögen die gutachterliche Einschätzung nicht zu erschüttern. Sie gehen teilweise nicht über eine blosse appellatorische Kritik hinaus. Dies trifft etwa auf die Beanstandung zu, der Gutachter habe ihn (im Gegensatz zum behandelnden Arzt im Inselspital Bern) lediglich zweimal während einer beschränkten Zeit gesehen. Insbesondere aber vermag der Beschwerdeführer, indem er wiederholt seine angeschlagene Gesundheit unterstreicht, keine Zweifel an der Einschätzung von Dr. med. A._ zu wecken. Gleiches gilt für den ins Recht gelegten Austrittsbericht des Inselspitals Bern vom 8. Mai 2014, weshalb mit Blick auf <ref-law> offenbleiben kann, ob er als echtes Novum beachtlich ist. Dr. med. A._ hielt im März 2014 (zu einem Zeitpunkt also, als der Beschwerdeführer aufgrund eines Sturzes in der Anstaltsdusche bereits seit rund einem Monat wieder auf der Bewachungsstation des Inselspitals Bern hospitalisiert war) ausdrücklich fest, trotz Erkrankung sei beim Beschwerdeführer die physische Möglichkeit von Sexualdelikten grundsätzlich weiterhin gegeben. Sexualdelikte seien weder an bestimmte Körperfunktionen wie eine erhaltene Erektionsfähigkeit noch an einen bestimmten Grad physischer Leistungsfähigkeit gebunden. Es sei von einem erhöhten Risiko auszugehen, dass es erneut zu Taten nach Art und Umfang wie bisher komme.
Der Gutachter hat unter anderem nach Rücksprachen mit den Ärzten der Bewachungsstation im Inselspital Bern den vorgebrachten Gesundheitszustand durchaus thematisiert. Er kommt zu einer klaren Einschätzung. Die Vorinstanz durfte sich willkürfrei diesen Schlussfolgerungen anschliessen und vom beantragten Aktenbeizug (Vollzugsakten und medizinische Akten des Inselspitals Bern) absehen. Ebenso durfte sie darauf verzichten, einen schriftlichen Bericht des behandelnden Arztes am Inselspital Bern einzuholen. Inwiefern dessen telefonischen Auskünfte (vgl. Beschwerde S. 17 f.) überhaupt die Frage nach der Legalprognose tangieren sollten, ist nicht erkennbar. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, für ein entsprechendes Beweisverfahren sei ausreichend Zeit vorhanden gewesen, kann ihm nicht gefolgt werden. Das Beschleunigungsgebot in Haftsachen lässt keinen Raum für ausgedehnte Beweismassnahmen. Das Zwangsmassnahmengericht hat weder ein eigentliches Beweisverfahren durchzuführen noch dem erkennenden Strafgericht vorzugreifen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 126 f. mit Hinweisen; vgl. <ref-law>). Die Rügen der Gehörsverletzung (Beschwerde S. 10 und 30) sind unbegründet, soweit sie überhaupt den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügen (vgl. zum Recht des Betroffenen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden, sowie zur antizipierten Beweiswürdigung <ref-ruling> E. 3.2 S. 270; <ref-ruling> E. 3.2 S. 272, 229 E. 5.3 S. 236 f.; je mit Hinweisen). Für einen Aktenbeizug durch das Schweizerische Bundesgericht besteht ebenso wenig Veranlassung.
Bejaht die Vorinstanz konkrete Anhaltspunkte für die Befürchtung, der Beschwerdeführer werde nach einer Haftentlassung erneut in schwerwiegender Weise einschlägig delinquieren, ist dies verfassungs- und konventionsrechtlich nicht zu beanstanden.
2.3. Die Vorinstanz erwägt, Vortaten und Wiederholungsgefahr stünden im Zusammenhang mit einer psychischen Störung, weshalb eine hinreichende Wahrscheinlichkeit für eine Verlängerung der stationären Massnahme gegeben sei. Diese Einschätzung in Bezug auf das Hauptverfahren genügt entgegen der Beschwerde (S. 5 und 20) den Begründungsanforderungen. Sie ist, ohne dem Sachurteil vorzugreifen, nicht zu beanstanden. Dr. med. A._ hält dazu fest, die Erwartungen bezüglich weiterer Therapiefortschritte seien in Anbetracht des höheren Lebensalters und der fraglichen Motivation zu einer deliktsorientierten Therapie eher gering. Gleichwohl erscheine eine therapeutische Begleitung des Beschwerdeführers unverändert hilfreich und notwendig (Gutachten S. 54). Die Sicherheitshaft erweist sich deshalb als gerechtfertigt. Ob die Voraussetzungen für eine Verlängerung der Massnahme erfüllt sind, wird im Verfahren betreffend Verlängerung der stationären Massnahme abschliessend zu beurteilen sein.
2.4. Nach <ref-law> ordnet das zuständige Gericht an Stelle der Untersuchungs- oder der Sicherheitshaft eine oder mehrere mildere Massnahmen an, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen. Mit dieser Bestimmung wird der Grundsatz der Verhältnismässigkeit konkretisiert (<ref-ruling> E. 2.1.2 S. 22).
Die Ansicht der Vorinstanz, mit blossen Ersatzmassnahmen im Sinne von <ref-law> lasse sich der Wiederholungsgefahr im jetzigen Verfahrensstadium nicht ausreichend begegnen, ist verfassungskonform (Entscheid S. 5 f.). Der Beschwerdeführer vermag dieser Einschätzung nichts Wesentliches entgegenzuhalten, und seine Rüge der Gehörsverletzung (Beschwerde S. 26) ist unbegründet. Der vorinstanzliche Entscheid ist rechtsgenügend begründet (vgl. <ref-law>; vgl. zum in <ref-law> gewährleisteten Anspruch auf rechtliches Gehör <ref-ruling> E. 5.1 S. 237 mit Hinweisen). Als mögliche Ersatzmassnahme zählt der Beschwerdeführer unter anderem den Aufenthalt auf freiem Fuss in einem Altersheim, eine "neu eröffnete Spezialabteilung in Affoltern a. Albis ZH", ein nicht näher bezeichnetes "Sondersetting" oder Auflagen betreffend Aufenthalt respektive ärztliche Behandlung auf. Wie das Bundesgericht bereits vor rund drei Monaten festgehalten hat, stellen solche Auflagen keine realistischen Alternativen dar (Urteil 6B_202/2014 vom 27. März 2014 E. 3). Insbesondere kann von einem korrekten Benehmen des Beschwerdeführers während seines Aufenthalts im Inselspital Bern nicht auf sein Verhalten im Falle einer Haftentlassung geschlossen werden. Auf den bundesgerichtlichen Entscheid ist nicht zurückzukommen.
2.5. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, ist der Grundsatz der Verhältnismässigkeit gewahrt. Mit Blick auf die hohe Rückfallgefahr bezüglich schwerer Straftaten und die Wahrscheinlichkeit der Verlängerung einer stationären Massnahme erweist sich die Dauer der Sicherheitshaft, welche in erster Linie dem Zweck einer zusätzlichen Begutachtung des Beschwerdeführers diente, von aktuell rund sechs Monaten nicht als unverhältnismässig.
2.6. Der Beschwerdeführer verlangt die Einweisung in eine Einrichtung, "welche die notwendige Pflege und Betreuung [...] gewährleisten kann". Er hält fest, es gehe (was die Vorinstanz verkenne) nicht um Haftbedingungen (Beschwerde S. 26). Gleichzeitig hebt er wiederholt hervor, seine Verlegung vom Inselspital Bern in die Strafanstalt Thorberg sei ohne Prüfung der gesundheitlichen Situation erfolgt. In der Strafanstalt Thorberg könne die notwendige Pflege und Betreuung nicht gewährleistet werden (vgl. etwa Beschwerde S. 4, 15 und 27 f.). Diese Ausführungen sind widersprüchlich. Soweit der Beschwerdeführer implizit die aktuellen Haftbedingungen kritisieren sollte, dringt er nicht durch. Beanstandungen der Haftbedingungen können im Haftprüfungsverfahren nur insofern berücksichtigt werden, als sie die Weiterführung der Haft als unzulässig erscheinen lassen (Urteil 1B_240/2010 vom 13. August 2010 E. 5.2). Dies ist hier nicht der Fall.
2.7. Der Beschwerdeführer sieht das (in <ref-law>, <ref-law>, Art. 5 Ziff. 4 EMRK, Art. 6 Ziff. 1 EMRK, Art. 14 Ziff. 3 lit. c UNO-Pakt II und <ref-law> verankerte) Beschleunigungsgebot verletzt. Er verweist dazu insbesondere auf den "sachlich unhaltbaren Antrag der Vollzugsbehörde vom 28. Mai 2013" und die "fragwürdige Terminierung der Hauptverhandlung". Der Sachverständige sei zudem nicht in der Lage gewesen, das Gutachten bis Ende Januar 2014 zu erstatten (Beschwerde S. 28 f.).
Die Rüge ist unbegründet. Bei der fünfmonatigen Dauer zwischen Eingang des Antrags betreffend Verlängerung der Massnahme (Ende Mai 2013) und Hauptverhandlung (Ende Oktober 2013) sowie der erneuten Festsetzung der Hauptverhandlung rund vier Monate nach Erstattung des Gutachtens handelt es sich nicht um einen übermässig ausgedehnten Zeitraum im Sinne einer eigentlichen Verfahrensverschleppung. In Bezug auf die erstgenannte Zeitspanne bleibt zudem von Bedeutung, dass die bewilligte Massnahmedauer erst am 7. Januar 2014 endete. Auch ist die Dauer von 3 1/2 Monaten für die Erstellung des psychiatrischen Gutachtens von rund 50 Seiten nicht übersetzt. Unerheblich in diesem Zusammenhang ist schliesslich die Dauer der beantragten Verlängerung der stationären Massnahme. Insgesamt sind keine schwerwiegenden Verletzungen des Beschleunigungsgebots erkennbar, die allein geeignet wären, die Rechtmässigkeit der Sicherheitshaft in Frage zu stellen und damit hier geprüft werden müssten (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 96 mit Hinweisen). Die Rüge des verletzten Beschleunigungsgebots ist unbegründet (vgl. <ref-ruling> E. 8 S. 170; <ref-ruling> E. 3.1 S. 273; je mit Hinweisen).
2.8. Unter dem Titel Kosten- und Entschädigungsfolgen für das erstinstanzliche kantonale Verfahren rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die erste Instanz. Zum einen seien entscheidrelevante Akten nicht beigezogen worden, zum andern seien die erstinstanzlichen Erwägungen zu knapp ausgefallen (Beschwerde S. 30). Die Rüge ist in Bezug auf den unterlassenen Aktenbeizug unbegründet (E. 2.2.3 hievor). Soweit der Beschwerdeführer im Übrigen auf seine Ausführungen im kantonalen Verfahren verweist, ist er damit nicht zu hören. Die Begründung der Beschwerde muss in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein, und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 2.8.1 S. 54; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.; je mit Hinweisen). Entsprechendes gilt betreffend die Rüge des Rechtsmissbrauchs, welche nach dem Dafürhalten des Beschwerdeführers in die vorinstanzlichen Entscheide hätte Eingang finden müssen (Beschwerde S. 30 f.).
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law> e contrario). Seinen angespannten finanziellen Verhältnissen ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Faga