Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wendet sich dagegen, dass das Untersuchungsamt St. Gallen auf eine Strafklage wegen falscher Anschuldigung sowie Irreführung der Rechtspflege nicht eingetreten ist und die Anklagekammer des Kantons St. Gallen die dagegen gerichtete Beschwerde abgewiesen hat.
2. Soweit sich die Ausführungen in der Beschwerde gegen die Nichteintretensverfügung des Untersuchungsamtes St. Gallen richten, kann darauf schon deshalb nicht eingetreten werden, weil Anfechtungsobjekt der Entscheid der Anklagekammer ist (<ref-law>).
3. Da der Beschwerdeführer nicht Privatstrafkläger im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG und auch nicht Opfer im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG in Verbindung mit <ref-law> ist, weil er durch die angezeigten Straftaten nicht in seiner körperlichen, psychischen oder sexuellen Integrität unmittelbar beeinträchtigt wurde, ist er als Geschädigter zur vorliegenden Beschwerde grundsätzlich nicht legitimiert (<ref-ruling>; Urteil 6B_540/2009 vom 22. Oktober 2009 E. 1).
Als Geschädigter, der nicht Privatstrafkläger und nicht Opfer ist, kann der Beschwerdeführer aber die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und die von der Prüfung der Sache selber getrennt werden können. Denn auf eine solche Prüfung in der Sache haben nicht Legitimierte keinen Anspruch (<ref-ruling> E. 3 mit Hinweisen; vgl. zum Ganzen 133 I 185 E. 6.2).
4. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Schutzes vor Willkür im Sinne von <ref-law>, des Anspruchs auf eine wirksame Beschwerde im Sinne von Art. 13 EMRK sowie des Rechts auf eine wirksame und vertiefte amtliche Untersuchung im Sinne von Art. 3 EMRK und 10 Abs. 3 BV, wenn jemand in vertretbarer Weise ("de manière défendable") vorbringt, von der Polizei erniedrigend behandelt worden zu sein. Soweit die Rügen keine Verfahrensrechte betreffen (z.B. das Vorbringen, seine Strafanzeige sei mit fadenscheinigen und qualifiziert falschen bzw. willkürlichen Begründungen abgewiesen worden oder soweit er sinngemäss eine falsche Anwendung von § 16 Abs. 2 der StPO/SG geltend macht), ist darauf von vornherein nicht einzutreten. Aber auch auf diejenigen Rügen, die Verfahrensrechte betreffen, kann nicht eingetreten werden. Insoweit obliegt dem Beschwerdeführer eine qualifizierte Pflicht, seine Rügen zu begründen (<ref-law>). Diesen Anforderungen genügt die vorliegende Beschwerde nicht. Der Beschwerdeführer zeigt - soweit seine Kritik nicht ohnehin an der Sache vorbeigeht - nicht im Entferntesten auf, und solches ist auch nicht ersichtlich, dass er im vorliegenden Strafverfahren der Polizeiwillkür oder Misshandlungen ausgesetzt gewesen sein soll bzw. inwiefern der angefochtene Entscheid gegen das Recht auf eine wirksame Beschwerde bzw. auf vertiefte amtliche Untersuchung verstossen könnte.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
5. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Mai 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Arquint Hill