Sachverhalt:
A.
A.a. Am 6. September 2012 reichte A._ (Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) bei der Schlichtungsbehörde Bern-Mittelland ein Schlichtungsgesuch betreffend Mieterstreckung ein. Mit Eingabe vom 5. November 2012 beantragte die Beschwerdeführerin für das hängige Schlichtungsverfahren sowie ein allfälliges erstinstanzliches Entscheidverfahren betreffend Mieterstreckung die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung von Fürsprecher Mark Schibler als amtlicher Rechtsbeistand.
A.b. Nach erfolgloser Schlichtungsverhandlung und Erteilung der Klagebewilligung an die Beschwerdeführerin, teilte diese der Schlichtungsbehörde mit Schreiben vom 21. Dezember 2012 mit, dass sich die Parteien zwischenzeitlich aussergerichtlich geeinigt hätten und sie in eine neue Wohnung ziehen werde.
Damit war das Erstreckungsverfahren in der Hauptsache erledigt. Mit Entscheid vom 2. April 2013 wies die Schlichtungsbehörde Bern-Mittelland das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab.
B.
B.a. Gegen diesen Entscheid erhob die Beschwerdeführerin am 12. April 2013 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern. Sie beantragte, der Entscheid der Schlichtungsbehörde Bern-Mittelland vom 2. April 2013 sei aufzuheben und es sei ihr für das Schlichtungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen unter Beiordnung von Fürsprecher Mark Schibler als amtlicher Rechtsbeistand. So sei ihr auch für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Die Gegenpartei im Hauptverfahren verzichtete auf einen eigenen Antrag und stellte die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege in das Ermessen des Obergerichts des Kantons Bern.
B.b. Mit Entscheid vom 18. Juni 2013 hiess das Obergericht des Kantons Bern die Beschwerde gut und hob den Entscheid der Schlichtungsbehörde Bern-Mittelland vom 2. April 2013 auf. Der Beschwerdeführerin wurde sowohl für das Schlichtungsverfahren vor der Schlichtungsbehörde Bern-Mittelland als auch für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Fürsprecher Mark Schibler als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigeordnet. Für das Beschwerdeverfahren und das oberinstanzliche Gesuchsverfahren wurde die amtliche Entschädigung von Fürsprecher Mark Schibler, als amtlicher Rechtsbeistand der Beschwerdeführerin, wie folgt bestimmt (Ziffer 6) :
"amtliche Entschädigung 7.5 Stunden à CHF 200.00 CHF 1'500.00
Auslagen MWST-pflichtig CHF 8.60
Mehrwertsteuer 8.0 % auf CHF 1'508.60 CHF 120.70
Auslagen ohne MWST CHF
Total, vom Kanton Bern auszurichten CHF 1'629.30
volles Honorar CHF 1'725.00
Auslagen MWST-pflichtig CHF 8.60
Mehrwertsteuer 8.0 % auf CHF 1'733.60 CHF 138.70
Auslagen ohne MWST CHF 0.00
Total CHF 1'872.30
nachforderbarer Betrag CHF 243.00
Die Beschwerdeführerin hat dem Kanton Bern die ausgerichtete Entschädigung zurückzuzahlen sowie Fürsprecher Mark Schibler die Differenz zwischen der amtlichen Entschädigung und dem vollen Honorar zu erstatten, sobald sie dazu in der Lage ist (<ref-law>)."
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, Ziffer 6 des Entscheides vom 18. Juni 2013 des Obergerichts des Kantons Bern sei aufzuheben und der Beschwerdeführerin sei für das Verfahren vor der Vorinstanz die volle Parteientschädigung gemäss eingereichter Honorarnote zu Lasten des Kantons Bern auszurichten. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor der Vorinstanz sei als gegenstandslos zu erklären. Eventuell sei Ziffer 6 des angefochtenen Entscheides aufzuheben und der Beschwerdeführerin sei für das vorinstanzliche Verfahren die volle Parteientschädigung gemäss eingereichter Honorarnote zu Lasten der Gegenpartei auszurichten. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor der Vorinstanz sei als gegenstandslos zu erklären. Zudem sei ihr auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Die Beschwerdeführerin hat unaufgefordert eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 331 mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) über die Festsetzung der Entschädigung des amtlichen Rechtsbeistandes für das vorinstanzliche Beschwerde- und Gesuchsverfahren. Dabei handelt es sich - entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin - nicht um einen Zwischenentscheid, sondern um einen verfahrensabschliessenden Endentscheid (<ref-law>), da das mietrechtliche Verfahren in der Hauptsache bereits im Verfahren vor der Schlichtungsbehörde wegen Gegenstandslosigkeit abgeschrieben wurde.
1.2. Gegen einen solchen Entscheid ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (vgl. Urteil 4D_102/2011 vom 12. März 2012 E. 1 mit Hinweis), wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Der Streitwert bestimmt sich bei einem Endentscheid nach den Begehren, die vor der Vorinstanz strittig geblieben sind (<ref-law>; <ref-ruling>). Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war nach dem Gesagten nicht mehr die Erstreckung des Mietverhältnisses, sondern einzig der die unentgeltliche Rechtspflege ablehnende Entscheid der Schlichtungsbehörde wegen Aussichtslosigkeit, womit der in <ref-law> geforderte Mindeststreitwert offensichtlich nicht erreicht ist.
1.3. Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nicht, ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Dieser Begriff ist restriktiv auszulegen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 495). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 1.2 S. 117). Die Voraussetzung von <ref-law> ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 236; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Die Frage muss von allgemeiner Tragweite sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 269). Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich, wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4).
Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, hat die Beschwerdeführerin in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (<ref-ruling> E. 2.2.2.1 S. 442).
1.3.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei bisher höchstrichterlich noch nicht entschieden worden, ob die ZPO (in einem Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege) eine Grundlage für die Auferlegung der (vollen) Parteikosten an den Kanton biete. Die Klärung dieser Rechtsfrage sei von grundsätzlicher Bedeutung, da es nicht sein könne, dass eine Partei trotz vollständigem Obsiegen zur Tragung der Parteikosten verurteilt und lediglich im Rahmen des reduzierten Tarifs für die unentgeltliche Prozessführung entschädigt werde. Es sei sehr wahrscheinlich, dass es in Zukunft noch viele gleich gelagerte Fälle geben werde.
1.3.2. Das Bundesgericht hat sich bereits in unterschiedlichen Konstellationen mit der Frage befasst, ob ein Kanton zur Tragung der Prozesskosten verurteilt werden kann: So hat es in <ref-ruling> - allerdings ohne weitere Begründung - entschieden, dass die Gerichts- und Parteikosten eines kantonalen Verfahrens, die von keiner Partei veranlasst wurden, gestützt auf <ref-law> ("Verteilung nach Ermessen") dem Kanton auferlegt werden können (<ref-ruling> E. 7 S. 483; kritisch: MICHEL HEINZMANN/CORINNE COPT, Le tribunal en tant que partie succombante, in: BR 2014 S. 143). Verschiedentlich hat das Bundesgericht auch bei Verfahrensmängeln, namentlich bei einer Rechtsverweigerung bzw. bei der Gutheissung einer Rechtsverzögerungsbeschwerde (<ref-law>), den Kanton zur Zahlung einer Parteientschädigung verpflichtet (<ref-ruling> E. 3.3 S. 475; Urteil 5A_378/2013 vom 23. Oktober 2013 E. 1.3 und E. 2.2 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 5A_278/2013 vom 5. Juli 2013 E. 4.2).
Vorliegend wird dem Kanton jedoch weder ein Verfahrensfehler vorgeworfen, noch handelt es sich um eine Kostenauflage nach Billigkeit. Vielmehr ist zu entscheiden, ob ein Kanton in einem Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zufolge Unterliegens gestützt auf die Zivilprozessordnung zur Tragung der Parteikosten verurteilt werden kann, und falls dies zu bejahen ist, in welcher Höhe. Diese Frage wurde vom Bundesgericht noch nicht entschieden; auch nicht in <ref-ruling>. Dieser Entscheid, in dem es um die Parteientschädigung an den unentgeltlichen Rechtsvertreter in einem Verfahren betreffend fürsorgerischer Unterbringung ging, war auf der Grundlage kantonalen Rechts zu beurteilen. Denn <ref-law> verweist für die nicht durch das ZGB geregelten Verfahrensfragen auf das kantonale Recht; die Bestimmungen der Zivilprozessordnung sind danach nur anwendbar, soweit das kantonale Recht nichts anderes bestimmt (Urteil 5A_327/2013 vom 17. Juli 2013 E. 3.1). Das massgebliche kantonale Recht (Art. 70 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Bern über den Kindes- und Erwachsenenschutz vom 1. Februar 2012 [BSG 213.316]) bestimmte in diesem Fall, die Kostenregelung richte sich nach den Bestimmungen des Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (<ref-ruling> E. 2.3 S. 169 f.).
1.4. Bei der aufgeworfenen Frage handelt es sich somit um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, deren Entscheidung für die Praxis mit Blick auf eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts wegleitend sein kann. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist daher unter Vorbehalt zulässiger (<ref-law>) und hinreichend begründeter Rügen (Art. 42 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) einzutreten. Damit fällt die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ausser Betracht (<ref-law>).
2.
Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz die Beschwerde der Beschwerdeführerin gutgeheissen und den Entscheid der Schlichtungsbehörde vom 2. April 2013 aufgehoben. Der Beschwerdeführerin wurde sowohl für das Schlichtungsverfahren wie für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und Fürsprecher Mark Schibler als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigeordnet. Die Vorinstanz hielt fest, praxisgemäss würden die Parteikosten des oberinstanzlichen Verfahrens bei Beschwerden gegen ablehnende Entscheide betreffend die unentgeltliche Rechtspflege im Hauptverfahren liquidiert. Dies sei jedoch vorliegend nicht möglich, weil das Hauptverfahren bereits vor dem Entscheid der Schlichtungsbehörde betreffend unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos geworden sei. Ausnahmsweise seien daher die Parteikosten für das Beschwerdeverfahren oberinstanzlich zu liquidieren. Da die Gegenpartei im Hauptverfahren nicht förmliche Partei im Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sei, könnten ihr hierfür keine Parteikosten auferlegt werden. Für die Auferlegung der Parteikosten an den Kanton Bern biete die ZPO keine Grundlage. Folglich entschied die Vorinstanz, Fürsprecher Mark Schibler sei gemäss der auch für das Beschwerdeverfahren bewilligten unentgeltlichen Rechtspflege und gemäss der kantonalen Ausfallhaftung nach <ref-law> angemessen zu entschädigen. Dabei legte die Vorinstanz die Entschädigung gemäss dem reduzierten Tarif für die unentgeltliche Rechtsverbeiständung fest und verpflichtete die Beschwerdeführerin, dem Kanton Bern die ausgerichtete Entschädigung zurückzuzahlen sowie Fürsprecher Mark Schibler die Differenz zwischen der amtlichen Entschädigung und dem vollen Honorar zu erstatten, sobald sie dazu in der Lage sei (<ref-law>).
2.1. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen geltend, dieser Entscheid verletze in stossender Weise den Gerechtigkeitsgedanken; es könne nicht sein, dass obwohl die Schlichtungsbehörde falsch entschieden habe, die Erhebung einer Beschwerde an die Vorinstanz demnach nötig gewesen sei, sie letztlich zur Tragung ihrer Parteikosten verurteilt werde. Prozesskosten seien gemäss <ref-law> der unterliegenden Partei aufzuerlegen. Partei sei, wer rechtsfähig sei oder von Bundesrechts wegen als Partei auftreten könne (<ref-law>). Unterliegende Partei im vorinstanzliche Verfahren sei somit die Schlichtungsbehörde; zumindest sei diese " wieeine Partei zu behandeln". Denn im Bewilligungsverfahren seien sich Schlichtungsbehörde und Beschwerdeführerin gegenüber gestanden. Es handle sich somit um eine Streitigkeit zwischen Schlichtungsbehörde und Beschwerdeführerin, in der die Schlichtungsbehörde im Rechtsmittelverfahren unterlegen sei. Diese Situation sei im Straf- und Verwaltungsverfahren alltäglich und dort werde der Staat (als unterliegende Partei) regelmässig zur Kostentragung verpflichtet. Konkrete Gründe, weshalb dies im Zivilverfahren anders sein sollte, seien keine ersichtlich. Auch im BGG werde die Vorinstanz nirgends als Partei bezeichnet; das Bundesgericht habe aber trotzdem in einem Beschwerdeverfahren gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch ein kantonales Obergericht dem Kanton eine Parteientschädigung gestützt auf <ref-law> auferlegt (Urteil 5A_649/2011 vom 3. Februar 2012 E. 6). Sollte der Parteibegriff in der ZPO aber derart eng ausgelegt werden, dass - im Gegensatz zum BGG, Straf- und Verwaltungsverfahren - das Gemeinwesen weder Partei noch wie eine Partei behandelt werden könne, wären die Parteikosten der Gegenpartei (in der Hauptsache) oder dem Kanton aus Billigkeitsgründen gemäss <ref-law> aufzuerlegen.
2.2. Dem hält die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung entgegen, die ZPO selber halte für das Beschwerdeverfahren ausdrücklich fest, dass dem erstinstanzlichen Gericht keine Parteistellung zukomme: Während nach <ref-law> die "Gegenpartei" eine Beschwerdeantwort einreichen könne, ersuche die Rechtsmittelinstanz nach <ref-law> die "Vorinstanz" um eine Stellungnahme. Die Vorinstanz werde also nicht Gegenpartei, sondern bleibe Vorinstanz. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung zu Verfahren der freiwilligen Gerichtsbarkeit (Urteil 5P.212/2005 vom 22. August 2005 E. 2.2) setze das Unterliegerprinzip (<ref-law>) begriffsnotwendig ein Zweiparteienverfahren voraus und sei die Behörde, die um Rechtsschutz angegangen werde, nicht Partei sondern urteilende Instanz. Der durch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege verursachte anwaltliche Aufwand sei vom Entschädigungsanspruch des unentgeltlichen Rechtsbeistands umfasst. Die Liquidation der Prozesskosten in Fällen der unentgeltlichen Rechtspflege sei abschliessend in <ref-law> geregelt, wobei daraus keine Grundlage ersichtlich sei, um der erstinstanzlich urteilenden Instanz im Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung aufzuerlegen. Die Analogie zum bundesgerichtlichen Verfahren überzeuge nicht. Zwar möge zutreffen, dass die kantonale Vorinstanz im bundesgerichtlichen Verfahren als Beschwerdegegner behandelt werde. Würde jedoch auch die Erstinstanz im Beschwerdeverfahren nach ZPO als Beschwerdegegnerin behandelt und entsprechend das auf das Zweiparteienverfahren zugeschnittene Unterliegerprinzip gemäss <ref-law> angewendet, hätte dies zur Folge, dass bei Obsiegen der Erstinstanz dieser eine Parteientschädigung zuzusprechen wäre und wäre dieser - angesichts des dadurch bestehenden Kostenrisikos - zu empfehlen, sich anwaltlich vertreten zu lassen. Dieses auf streitige Zweiparteienverfahren zugeschnittene Ergebnis könne vom Gesetzgeber indessen nicht gewollt sein; es würde aber eintreten, denn auf Stufe ZPO bestehe keine Norm wie <ref-law>, wonach dem Gemeinwesen in seinem amtlichen Wirkungskreis keine Parteientschädigung zugesprochen werden kann.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid zutreffend festgehalten, dass die formelle Gegenpartei des Hauptverfahrens bzw. die Vermieterin nicht als unterliegende Partei im Sinne von <ref-law> qualifiziert werden kann, da sie mit Bezug auf die Sach- und Rechtsfrage der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht materiell am Verfahren beteiligt war und auch keine eigenen Anträge gestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 342 f.).
Zu prüfen ist daher, ob die (vollen) Parteikosten der Beschwerdeführerin für das Beschwerdeverfahren dem Kanton Bern auferlegt werden können.
3.2. Dabei bringt die Beschwerdeführerin zu Recht vor, dass kein Verfahrensfehler vorliegt, der eine Entschädigungspflicht des Kantons gestützt auf <ref-law> (Verursachung unnötiger Kosten) auslösen könnte. So liegt auch kein Anwendungsfall von <ref-law> vor, denn diese Bestimmung findet Anwendung bei einer Streitigkeit zwischen den beiden Parteien des Zivilprozesses und nicht, wenn sich das Rechtsmittel gegen den Kanton selber richtet (Urteil 5A_378/2013 vom 23. Oktober 2013 E. 1.3). Zu prüfen bleibt somit, ob der Kanton gestützt auf <ref-law> zur Ausrichtung einer Parteientschädigung verpflichtet werden kann.
4.
Ausgangspunkt jeder Auslegung bildet der Wortlaut der Bestimmung. Ist der Text nicht klar und sind verschiedene Interpretationen möglich, so muss nach seiner wahren Tragweite gesucht werden unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente, namentlich des Zwecks, des Sinnes und der dem Text zu Grunde liegenden Wertungen. Wichtig ist ebenfalls der Sinn, der einer Norm im Kontext zukommt. Vom klaren, das heisst eindeutigen und unmissverständlichen Wortlaut, darf nur ausnahmsweise abgewichen werden, wenn triftige Gründe dafür vorliegen, dass der Wortlaut nicht den wahren Sinn der Bestimmung wiedergibt. Solche Gründe können sich aus der Entstehungsgeschichte der Bestimmung, aus ihrem Grund und Zweck oder aus dem Zusammenhang mit andern Vorschriften ergeben (<ref-ruling>0 E. 6.4 S. 472).
4.1. Entgegen der Vorinstanz lässt sich einzig aufgrund des Wortlauts, namentlich des Begriffs "Partei" in <ref-law> eine Anwendung dieser Bestimmung auf die Erstinstanz nicht ausschliessen:
4.1.1. Das Bundesgericht erwog in <ref-ruling> E. 3.3 für den Fall der Kostenauferlegung bei Rechtsverzögerung, in einem Zivilprozess - sei es in erster Instanz oder in der Rechtsmittelinstanz - könne der Kanton normalerweise nicht als unterliegende "Partei" im Sinne von <ref-law> betrachtet werden, denn der Kanton sei nicht Partei nach <ref-law>. Andererseits sei die in <ref-law> geregelte Rechtsverzögerungsbeschwerde, auch wenn diese Bestimmung unter dem Randtitel "Anfechtungsobjekt" stehe, gegen den Kanton als Gegenpartei gerichtet. Daher könne der Kanton trotzdem als unterliegende "Partei" im Sinn von <ref-law> verstanden werden. Das Gericht hat daher dem Begriff (unterliegende) "Partei" eine weite, über die <ref-law> hinausgehende Bedeutung zugemessen, weil die Zivilprozessordnung selber in einer anderen Bestimmung (<ref-law>) der Behörde Parteistellung zuerkennt.
4.1.2. Daraus folgt, dass entgegen der Vorinstanz jedenfalls aus den Formulierungen in <ref-law> ("Gegenpartei") bzw. <ref-law> ("Vorinstanz") nichts Entscheidendes abgeleitet werden kann. Das Verfahren um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ist ein solches zwischen der Gesuchstellerin und dem Staat (<ref-ruling> E. 4.2 S. 343.; vgl. auch Urteil 5A_381/2013 vom 19. August 2013 E. 3.2). Im erstinstanzlichen Bewilligungsverfahren handelt es sich - wie die Vorinstanz zu Recht ausführt - um ein Einparteiverfahren, bei dem Partei ist, wessen Sache behandelt wird. Ob das Verfahren deswegen der sog. freiwilligen Gerichtsbarkeit zuzuordnen ist (so ALFRED BÜHLER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 6 zu <ref-law>), kann offenbleiben. Dies ändert sich jedoch, wie das Bundesgericht gerade im Hinblick auf Fälle der freiwilligen Gerichtsbarkeit entschieden hat, wenn gegen den erstinstanzlichen Entscheid Beschwerde erhoben wird. Dann liegt ein Zweiparteienverfahren vor (Urteile 5A_815/2009 vom 31. März 2010 E. 3.1 und 5P.212/2005 vom 22. August 2005 E. 2.2). Die Erstinstanz kann daher wie in den Fällen der Rechtsverzögerungsbeschwerde als Gegenpartei verstanden werden.
4.2. Aus den Materialien ergeben sich keine eindeutigen Aufschlüsse. <ref-law>, der das Rechtsmittel gegen einen die unentgeltliche Rechtspflege ablehnenden Entscheid der ersten Instanz regelt, war gleichermassen schon in Art. 110 des Vorentwurfs der Expertenkommission (Rekurs statt Beschwerde) und Art. 119 des Entwurfs des Bundesrats enthalten. In der Botschaft äusserte sich der Bundesrat namentlich zur Höhe der Entschädigung für den unentgeltlichen Rechtsbeistand, weil diesbezüglich der Vorentwurf (Art. 107 Abs. 3 VE-ZPO) eine Entschädigung zum vollen Tarif vorgesehen hatte. Dies sei in der Vernehmlassung jedoch stark kritisiert und entsprechend fallen gelassen worden (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7304). In der vorberatenden Kommission des Ständerats wurde einzig festgehalten, der Entwurf des Bundesrates kodifiziere etabliertes Recht, das durch die Rechtsprechung des Bundesgerichts präzisiert worden sei, insbesondere auch, was die Höhe der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands betreffe. Daher sei auch die Entschädigung zum vollen Tarif gestrichen worden, denn sie hätte zu erheblichen Mehrbelastungen für die Kantone geführt. Aus der Diskussion der vorberatenden Kommission des Nationalrates ergeben sich keine weiteren Anhaltspunkte. So gab es auch in den parlamentarischen Beratungen keine diesbezüglichen Wortmeldungen (AB 2007 S 513; AB 2008 N 944).
4.3. Ob <ref-law> vorliegend anwendbar und insbesondere, ob gestützt darauf eine volle Entschädigung geschuldet ist, hängt vielmehr von der Rechtsnatur des Verfahrens der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. deren Regelung in der ZPO ab. Diesbezüglich gehen Beschwerdeführerin und Vorinstanz von einem grundsätzlich unterschiedlichen Verständnis aus. Die Vorinstanz ist der Auffassung, die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege umfasse nicht nur den Aufwand für die Zivilrechtsstreitigkeit, sondern auch den Aufwand für die Erlangung der unentgeltlichen Rechtspflege, mithin bei einem notwendigen Beschwerdeverfahren auch den Aufwand für dieses Beschwerdeverfahren. Entsprechend sei für alle diese Bemühungen der reduzierte Tarif anwendbar. Für die Beschwerdeführerin dagegen handelt es sich um einen Fall des Obsiegens, der wie jeder andere eine ungekürzte Entschädigung bewirkt und ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren selber gegenstandslos werden lässt.
4.3.1. Das Bundesgericht hielt in seiner Rechtsprechung zu früheren kantonalen Zivilprozessgesetzen fest, eine kantonale Praxis, nach welcher der Aufwand für die Erlangung der unentgeltlichen Rechtspflege - auch jener für ein allfälliges Beschwerdeverfahren - im Rahmen des Hauptprozesses entschädigt werde, verstosse nicht gegen <ref-law>. Einem allfälligen für die Erlangung der Bewilligung notwendigen, ungewöhnlich hohen Aufwand könne bei der Festsetzung der Entschädigung für das Hauptverfahren Rechnung getragen werden (Urteile 5A_710/2008 vom 12. Januar 2009 E. 3.3.3 und 4P.183/2000 vom 24. Oktober 2000 E. 4c). Soweit sich die Lehre überhaupt dazu äussert, wird die Auffassung vertreten, diese Praxis, die ausser bei ungewöhnlich hohem Aufwand zu keiner Entschädigung für den Aufwand im Zusammenhang mit dem Bewilligungsverfahren führt, sei unter der ZPO nicht mehr zulässig. Gleichzeitig wird aber ohne weiteres davon ausgegangen, dass der Entschädigungsanspruch des unentgeltlichen Rechtsbeistands auch den im Rechtsmittelverfahren geleisteten anwaltlichen Aufwand umfasst, wenn die unentgeltliche Rechtspflege erst von der Beschwerdeinstanz gewährt wird ( ALFRED BÜHLER, a.a.O., N. 27 f. zu <ref-law>). Die Auffassung der Vorinstanz entspricht somit dieser Lehrmeinung.
4.3.2. Es scheint unbestritten, dass der öffentlich-rechtliche Entschädigungsanspruch aus der bewilligten unentgeltlichen Rechtspflege auch den anwaltlichen Aufwand für das Gesuch umfasst (Alfred Bühler, a.a.O., N. 151 zu <ref-law>; Lukas Huber, in: Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO), Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2011 N. 28 zu <ref-law>).
In <ref-ruling>0 hat das Bundesgericht im Hinblick auf die Kostenlosigkeit des Verfahrens um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege indessen zwischen dem erstinstanzlichen Gesuchsverfahren und dem Beschwerdeverfahren unterschieden. Dies wurde in der Lehre zum Teil kritisiert mit dem Hinweis, das Beschwerdeverfahren sei ebenfalls "ein Verfahren um die unentgeltliche Rechtspflege" (Alfred Bü hler, a.a.O., N. 50a zu Art. 119 und N. 27 zu <ref-law>; vgl. auch Frank Emmel, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO), Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 19 zu <ref-law>). Es besteht aber kein Anlass, auf diese Rechtsprechung zurückzukommen. Dann jedoch ist es folgerichtig, auch hinsichtlich der Parteientschädigung zwischen dem Gesuchsverfahren und dem Beschwerdeverfahren zu unterscheiden und diese nicht wie die Vorinstanz als Einheit aufzufassen. Demzufolge ist die Beschwerdeführerin im Fall des Obsiegens so zu behandeln wie in jedem andern Fall des Obsiegens, das heisst, es ist ihr eine normale Parteientschädigung gemäss <ref-law> zuzusprechen. Damit wird die um die unentgeltliche Rechtspflege beschwerdeführende Partei so gestellt, als wäre ihr diese von Anfang an bewilligt worden. Somit ist das volle Anwaltshonorar geschuldet.
4.4. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich entnehmen, dass Fürsprecher Mark Schibler für das Beschwerdeverfahren sowie das oberinstanzliche Gesuchsverfahren ein Honorar von insgesamt Fr. 1'872.30 (Honorar Fr. 1'725.--, Auslagen Fr. 8.60, MWST Fr. 138.70) geltend gemacht hat. Dabei hielt die Vorinstanz fest, das Honorar von Fr. 1'725.-- entspreche einem Zeitaufwand von 7,5 Stunden à Fr. 230.--. Dieser Aufwand erscheine zwar hoch, jedoch angesichts der Komplexität des oberinstanzlichen Verfahrens und der von Fürsprecher Mark Schibler getroffenen Abklärungen angemessen. Diese Ausführungen werden im bundesgerichtlichen Verfahren nicht beanstandet. Unter diesen Umständen ist das Bundesgericht in der Lage, dem reformatorischen Antrag der Beschwerdeführerin auf Ausrichtung der vollen Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren zu entsprechen.
5.
Die Beschwerde ist somit gutzuheissen und der angefochtene Entscheid in Ziffer 6 des Dispositivs aufzuheben. Bei diesem Verfahrensausgang ist von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (<ref-law>). Hingegen hat der Kanton Bern die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen. Bei dieser Kosten- und Entschädigungsregelung wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 18. Juni 2013 wird teilweise aufgehoben und Ziffer 6 des Dispositivs wie folgt neu gefasst:
"Der Kanton Bern hat der Beschwerdeführerin für das Beschwerdeverfahren und das oberinstanzliche Gesuchsverfahren eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 1'872.30 (volles Honorar Fr. 1'725.--, Auslagen Fr. 8.60, MWST Fr. 138.70) zu bezahlen."
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Bern wird verpflichtet, die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze