Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führte zwei Verfahren gegen einen Regierungsrat wegen Betrugs zu Lasten des Kantons. Mit zwei Verfügungen vom 21. April 2015 stellte sie die Verfahren ein.
Dagegen wandte sich der Beschwerdeführer "als Bürger und Einwohner des Kantons Basel-Stadt" mit Beschwerde an das Appellationsgericht. Dieses trat am 20. Juli 2015 auf das Rechtsmittel mit der Begründung nicht ein, der Beschwerdeführer sei durch die Einstellungen in seinen privaten Interessen nicht betroffen.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Strafuntersuchung wieder aufzunehmen.
2.
Der Beschwerdeführer anerkennt, an der Sache kein persönliches Interesse zu haben. Er macht jedoch auch vor Bundesgericht geltend, als Bürger und Einwohner des Kantons Basel-Stadt sei er zur Beschwerde gegen die Einstellungsbeschlüsse legitimiert, zumal 552 Personen sich dahin geäussert hätten, dass sie die Einstellung gegenüber dem Regierungsrat nicht richtig finden (Beschwerde S. 2). Aus diesen Vorbringen, welche der klaren gesetzlichen Regelung der StPO widersprechen, folgt nicht, dass der Beschwerdeführer zum Beschwerdeverfahren vor Appellationsgericht legitimiert wäre. Es genügt, in Anwendung von <ref-law> auf die in allen Teilen zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz zu verweisen (vgl. Entscheid S. 3/4 E. 1.3-1.6). Diesen muss nichts beigefügt werden.
Nachdem der Beschwerdeführer zur Teilnahme im kantonalen Verfahren nicht berechtigt war, sind seine übrigen Vorbringen vor Bundesgericht von vornherein nicht zu hören.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> als offensichtlich unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Umstand, dass die Beschwerde angeblich im "öffentlichen Interesse" lag (Beschwerde S. 2), stellt entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers keinen Grund für das Absehen von einer Kostenauflage dar.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn