Erwägungen:
1.
A._ erhob mit Schreiben vom 24. Oktober 2014 und 2. Dezember 2014 Strafanzeige gegen die beim Sozialdepartement der Stadt Zürich tätige B._. In der Folge erteilte die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 7. April 2015 der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung nicht. Auf eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten trat das Bundesgericht mit Urteil vom 22. Mai 2015 nicht ein (Verfahren 1C_269/2015).
2.
Am 24. März 2015 erhob A._ erneut Strafanzeige gegen B._. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl überwies mit Verfügung vom 26. März 2015 die Akten an das Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Ermächtigung. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 26. Mai 2015 der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass A._ das Ermächtigungsverfahren schon mehrfach erläutert worden sei. Einmal mehr erweise sich die Strafanzeige als haltlos und erwecke den Anschein des Rechtsmissbrauchs.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 27. Juni 2015 (Postaufgabe 3. Juli 2015) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. Mai 2015. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Eine Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung beim Bundesgericht einzureichen (<ref-law>). Als gesetzliche Frist ist die Beschwerdefrist nicht erstreckbar (<ref-law>). Dem Gesuch um Gewährung einer Nachfrist zur Einreichung einer verbesserten Beschwerdeschrift kann demnach nicht entsprochen werden.
5.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer legt in seiner weitschweifigen Eingabe nicht dar, inwiefern die III. Strafkammer seine Strafanzeige vom 24. März 2015 in rechts- oder verfassungswidriger Weise gewürdigt haben sollte, als sie zum Schluss kam, dass sich die Strafanzeige einmal mehr als haltlos erweise. Mit der Darstellung der eigenen Sicht der Dinge vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, dass die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- oder verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
6.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. amtliche Verbeiständung ist abzuweisen, da sich die Beschwerde als offensichtlich aussichtslos erweist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage ist indessen zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli