Erwägungen:
1.
X._ bemüht sich darum, im Kanton Aargau zur Anwaltsprüfung zugelassen zu werden. Am 27. Januar 2009 ersuchte er, ihm einen Teil seiner im Kanton Bern absolvierten Praktika (1989/90) anzurechnen, was die Anwaltskommission am 14. Mai 2009 ablehnte. Mit Schreiben vom 26. Juni 2012 erneuerte X._ sein Ersuchen, ihm die "gesamten" "immensen (...) praktischen" Tätigkeiten als Praktikum im Sinne der Zulassungsvoraussetzungen zur Anwaltsprüfung anzuerkennen. Am 28. November 2012 wies die Anwaltskommission das gegen sie gerichtete Ausstandsbegehren ab, weigerte sich, ihren Entscheid vom 14. Mai 2009 in Wiedererwägung zu ziehen, und auferlegte X._ die Verfahrenskosten. Hiergegen gelangte dieser an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, welches im Rahmen eines Zwischenentscheids am 7. Mai 2013 sein Ausstandsgesuch gegen gewisse Richter und sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abwies. X._ beantragt mit Eingabe vom 1. Juli 2013 vor Bundesgericht, den Ausstand gewisser seiner Mitglieder, die Wiederherstellung der Beschwerdefrist gegen den angefochtenen Entscheid und in der Sache selber die Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau. Seiner Eingabe sei aufschiebende Wirkung beizulegen. Mit Schreiben vom 9. Juli 2013 hat er diesen verfahrensrechtlichen Antrag wiederholt.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer verlangt den Ausstand gewisser Mitglieder des Bundesgerichts. Er begründet sein Begehren - soweit es überhaupt am vorliegenden Urteil mitwirkende Mitglieder der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung betreffen könnte - nur pauschal (Personen aus den Kantonen Aargau und Freiburg [Wohnort oder Heimatberechtigung]; Mitglieder einer bestimmten politischen Partei usw.); sein Antrag ist damit nicht hinreichend begründet. Er legt nicht dar, dass und inwiefern gegen bestimmte Mitglieder oder Mitarbeiter der Abteilung der konkret und objektiv begründete Verdacht einer Befangenheit bestehen könnte (vgl. <ref-law>). Ein Ausstandsbegehren ist praxisgemäss im Übrigen unzulässig, wenn es allein mit der Tatsache begründet wird, dass die Gerichtsmitglieder und der Gerichtsschreiber in anderen Verfahren bereits einmal zuungunsten des Gesuchstellers entschieden haben (vgl. <ref-ruling> E. 3.7.1 S. 120 mit Hinweisen). Da sich das Ausstandsbegehren als unzulässig erweist, worüber in Anwesenheit der allenfalls betroffenen Gerichtsmitglieder befunden werden kann (vgl. die zu den gleichlautenden Bestimmungen des OG ergangenen <ref-ruling> ff. und 105 Ib 301 f. E. 1b und c; zum BGG siehe sodann statt vieler das Urteil 9C_17/2013 vom 11. Januar 2013), ist darauf nicht einzutreten.
2.2. Gemäss <ref-law> wird eine versäumte Frist wiederhergestellt, wenn der Gesuchsteller nachweist, dass er oder sein Vertreter durch ein unverschuldetes Hindernis davon abgehalten worden ist, innerhalb der Frist zu handeln, er binnen 30 Tagen die Wiederherstellung verlangt und gleichzeitig die versäumte Rechtshandlung nachholt. Ein unverschuldetes Hindernis liegt vor, wenn der Partei (und gegebenenfalls ihrem Vertreter) am Verpassen der Frist kein Vorwurf gemacht werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2a; Urteil 8F_3/2011 vom 28. Juli 2011). Der Beschwerdeführer räumt ein, dass er die Beschwerdefrist verpasst hat. Er macht geltend, gesundheitlich angeschlagen und im Haushalt überlastet gewesen zu sein. Hierin kann indessen kein unverschuldetes Hindernis erblickt werden: Aus den eingereichten Unterlagen geht nur hervor, dass er am 26. März 2013 notfallmässig wegen "Herzinsuffizienzzeichen" behandelt worden ist; inwiefern ihm dies verunmöglicht hätte, gegen den Zwischenentscheid vom 7. Mai 2013 rechtzeitig an das Bundesgericht zu gelangen oder jemanden damit zu beauftragen, ist nicht ersichtlich. Organisationsprobleme im Haushalt bzw. Überlastung durch zahlreiche Rechtsmittelverfahren rechtfertigen keine Ausnahme von der Einhaltung der jeweiligen Beschwerdefristen.
3.
3.1. Da die vorliegende Eingabe verspätet erfolgt ist, ohne dass ein Fristwiederherstellungsgrund bestünde, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Mit diesem Prozessentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
3.2. Die vorliegende Eingabe hätte zum Vornherein als aussichtslos zu gelten gehabt, weshalb einem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht hätte entsprochen werden können (vgl. <ref-law>). Es rechtfertigt sich indessen, ausnahmsweise dennoch von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Fristwiederherstellung wird abgewiesen.
3.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
4.
Es werden keine Kosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar