Erwägungen:
1.
1.1. Der Veterinärdienst des Amts für Landwirtschaft und Natur des Kantons Bern führte am 25. September 2014 eine Kontrolle der Katzenhaltung von A._ durch und nahm rund 40 Tiere zu weiteren Abklärungen mit. Am 3. Oktober 2014 beschlagnahmte der Dienst die Katzen vorsorglich und brachte sie in einem Heim unter; gleichzeitig verbot er A._ mit Ausnahme der 5 bis 6 bei ihm verbliebenen Katzen weiter solche zu halten.
1.2. In der Folge kam es zu Zwischenverfahren bezüglich der entzogenen aufschiebenden Wirkung der provisorischen Massnahmen und einer Überschneidung der Rechtsmittelverfahren bezüglich der definitiven Anordnungen: Am 3. November 2014 ordnete das Landwirtschaftsamt des Kantons Bern die definitive Beschlagnahmung der Katzen und deren Freigabe zur Neuplatzierung an und verfügte gegen A._ ein unbefristetes Katzenhalteverbot. Die Volkswirtschaftsdirektion stellte am 25. November 2014 die aufschiebende Wirkung hinsichtlich der Freigabe zur Neuplatzierung der Katzen wieder her, darüber hinaus wies es die verfahrensrechtlichen Anträge von A._ ab, was das Verwaltungsgericht des Kantons Bern am 20. Januar 2015 bestätigte.
1.3. Die gegen den entsprechenden Zwischenentscheid gerichtete Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten blieb ohne Erfolg: Das Bundesgericht wies am 24. März 2015 die Eingabe von A._ ab, soweit es darauf eintrat. Es ging davon aus, dass die kantonalen Behörden die verschiedenen Interessen (öffentliches Interesse am Tierschutz, privates Interesse des Beschwerdeführers an der Katzenhaltung bzw. an der Fortsetzung seines Projekts "Die Kunst des Katzenflüsterns") vertretbar gegeneinander abgewogen hätten und die Einwände von A._, soweit sie in seiner weitschweifigen Eingabe überhaupt sachbezogen erhoben würden, nicht geeignet erschienen, den Zwischenentscheid unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten (Willkür, Eigentumsfreiheit usw.) infrage zu stellen (Urteil 2C_92/2015).
1.4. Am 30. April 2015 hielt das Verwaltungsgericht des Kantons Bern fest, dass der Veterinärdienst des Kantons Bern die am 3. Oktober 2014 verfügte vorläufige Beschlagnahmung der 40 Katzen am 3. November 2014 durch eine definitive sowie ein Katzenhalteverbot ersetzt habe, weshalb die Volkswirtschaftsdirektion das Beschwerdeverfahren betreffend die vorsorgliche Beschlagnahmung als gegenstandslos habe abschreiben dürfen. Hiergegen ist A._ am 26. Mai 2015 an das Bundesgericht gelangt mit dem Antrag, das entsprechende Urteil aufzuheben; das Verfahren müsse weitergeführt werden (Verfahren 2C_465/2015). Er werde widerrechtlich in seiner Persönlichkeit verletzt; er arbeite berufsweise mit Katzen, weshalb sein Interesse an der Beurteilung der Beschlagnahmung fortbestehe. Die Widerrechtlichkeit des Vorgehens des Veterinäramts sei unbeurteilt geblieben. Da der Rechtsstreit zwischen den Behörden und ihm nicht beendet sei, habe das Verfahren nicht als gegenstandslos erklärt werden dürfen; zudem seien noch die von ihm hängig gemachten Strafanträge zu behandeln. Er habe Anspruch auf eine wirksame Beschwerde.
1.5. Mit Entscheid vom 6. März 2015 hat die Volkswirtschaftsdirektion des Kantons Bern die Beschwerde von A._ vom 11. November 2014 abgewiesen, soweit es darauf eintrat. Sie gab die im Tierheim verbliebenen Katzen zur Neuplatzierung frei und entzog ihrem Entscheid die aufschiebende Wirkung. Hiergegen gelangte A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, welches es am 22. Mai 2015 ablehnte, die aufschiebende Beschwerde wieder herzustellen; gleichzeitig wies es das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen mutmasslicher Aussichtslosigkeit ab und forderte A._ auf, bis zum 15. Juni 2015 entweder die Beschwerde zurückzuziehen oder einen Kostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu leisten. A._ beantragt vor Bundesgericht, den entsprechenden Entscheid aufzuheben und ihm das Armenrecht zu bewilligen (Verfahren 2C_507/2015) : Der Sachverhalt sei ungenügend abgeklärt und seinen Interessen nicht hinreichend Rechnung getragen worden. Für die sich noch im Heim befindlichen Katzen bestehe keine Gefahr. Seine berufsmässige Beschäftigung werde durch den Entscheid der Volkswirtschaftsdirektion in der Wahl seines Arbeitsplatzes beeinträchtigt; zudem verletze er das Übermassverbot. Schliesslich seien die Kontrollen widerrechtlich durchgeführt worden (Hausfriedensbruch usw.).
2.
2.1. Den beiden Verfahren liegt derselbe Lebenssachverhalt (Beschlagnahme und Neuplatzierung von Katzen bzw. Halteverbot von solchen) zwischen den gleichen Verfahrensbeteiligten zugrunde. Es rechtfertigt sich, sie zusammenzulegen und in einem gemeinsamen Urteil zu erledigen. Dabei ist nur auf den jeweiligen Verfahrensgegenstand einzugehen, obwohl der Beschwerdeführer unstrukturierte Ausführungen in verschiedensten (anderen) Richtungen erhebt. Im Verfahren 2C_465/2015 geht es nur darum, ob die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht darauf schliessen durfte, dass die definitive Anordnung vom 3. November 2014 das hängige (Beschwerde-) Verfahren um die vorsorglichen Massnahmen vom 3. Oktober 2014 als gegenstandslos hat dahinfallen lassen. Das Verfahren 2C_507/2015 betrifft ausschliesslich die Weigerung des Verwaltungsgerichts, die aufschiebende Wirkung gegen den Sachentscheid der Volkswirtschaftsdirektion vom 6. März 2015 wieder herzustellen bzw. die Frage, ob dem Beschwerdeführer in verfassungswidriger Weise die unentgeltliche Rechtspflege für das weitere Verfahren verweigert worden ist (vgl. hierzu Art. 93 Abs. 1 lit. a [Zwischenentscheid mit nicht wieder gutzumachendem Nachteil] i.V.m. <ref-law> [Beschränkte Beschwerdegründe bei vorsorglichen Massnahmen]. Auf sämtliche Einwände und Kritiken des Beschwerdeführers, die diesen Rahmen sprengen und nicht mit dem jeweiligen Verfahrensgegenstand zusammenhängen (Strafverfahren, Schadenersatz, Meinungsäusserungsfreiheit, "nulla poena sine lege" usw.), ist im Folgenden nicht einzugehen.
2.2. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), und kann diesen - soweit entscheidrelevant - bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (<ref-law>). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft - mit anderen Worten willkürlich - bzw. anderweitig verfassungswidrig erscheint (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3).
2.3. Der Beschwerdeführer beschränkt sich weitgehend darauf, die bereits vor dem Verwaltungsgericht erhobenen, von diesem jedoch verworfenen Einwände zu wiederholen und zu behaupten, die Vorinstanz habe die Ausführungen zu seiner Situation nicht genügend zur Kenntnis genommen bzw. willkürlich gewürdigt. Mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid zu seinen dort vorgebrachten Argumenten setzt er sich kaum weiterführend und hinreichend verfassungsbezogen auseinander. Er stellt sachverhaltsmässig und hinsichtlich der Beweiswürdigung lediglich (erneut) seine Sicht der Dinge derjenigen der Vorinstanz gegenüber, ohne darzulegen, inwiefern deren Schlussfolgerungen als offensichtlich unhaltbar zu gelten hätten.
2.4. Im Verfahren vor Bundesgericht genügt es nicht, sachverhalts- bzw. beweismässig einfach eine abweichende Auffassung zu wiederholen und zu behaupten, die beanstandete Würdigung sei willkürlich; es muss vielmehr verfassungsbezogen im Einzelnen dargelegt werden, weshalb die vorinstanzliche Beurteilung als offensichtlich unhaltbar zu gelten hat, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht bzw. einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder dem Gerechtigkeitsgedanken in stossender Weise zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen). Dies tut der Beschwerdeführer nicht; seine Einwände sind praktisch ausschliesslich appellatorischer Natur. Der rechtlichen Beurteilung ist im Folgenden deshalb die vorinstanzliche Beweiswürdigung und Sachverhaltsfeststellung zugrunde zulegen.
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht hat die Auffassung der kantonalen Vorinstanzen geschützt, dass die am 3. Oktober 2014 verfügte vorläufige Beschlagnahmung der rund 40 Katzen am 3. November 2014 durch eine definitive und ein damit verbundenes Halteverbot abgelöst worden sei, weshalb die Volkswirtschaftsdirektion das Beschwerdeverfahren bezüglich der vorsorglichen Beschlagnahme habe - vorbehältlich der Kosten - als gegenstandslos abschreiben dürfen. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was geeignet wäre, diese Auffassung infrage zu stellen: Der Rechtsmittelweg blieb ihm erhalten, konnte er doch sämtliche sachbezogenen Einwände in der Folge im Verfahren gegen den Sachentscheid vorbringen und insbesondere rügen, dass seine Art der Katzenhaltung - wovon er ausgeht - korrekt gewesen sei und die Beschlagnahmung, ob vorläufig oder definitiv, zu Unrecht erfolgt sei.
3.2. Entgegen seiner Auffassung kann die Gegenstandslosigkeit eines strittigen Verwaltungsverfahrens nicht nur daher rühren, dass sich die Beteiligten einigen oder die eine Partei die Position der anderen anerkennt und deshalb vom weiteren Verfahren Abstand nimmt; eine Gegenstandslosigkeit ist auch gegeben, wenn eine neue definitive Massnahme an die Stelle der bisherigen provisorischen tritt, womit die Betroffenen ihr schutzwürdiges Interesse an ihrer richterlichen Prüfung verlieren, da sich dieses nunmehr auf die neue (nicht nur vorübergehende) Anordnung bezieht, soweit und weil sich diese mit jener deckt.
3.3.
3.3.1. Hinsichtlich der Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung gibt der angefochtene Entscheid vom 22. Mai 2015 die entsprechenden Grundsätze zutreffend wieder (vgl. dort E. 2). Es geht dabei nicht darum, bereits die Streitsache definitiv zu beurteilen und das Resultat des Verfahrens vorwegzunehmen. Der Entscheid über die aufschiebende Wirkung beruht auf einer einzelfallbezogenen Interessenabwägung ohne weitere Beweiserhebungen unter Berücksichtigung der Aktenlage. Es genügt für einen negativen Entscheid, dass eine Gefährdung des öffentlichen Interesses aufgrund einer summarischen Prüfung als wahrscheinlich oder doch überwiegend möglich erscheint, auch wenn das Sachverfahren in der Folge allenfalls zu einem abweichenden Resultat führen sollte; zu berücksichtigen sind die jeweiligen Folgen für die beteiligten Parteien bei Gewährung oder Verweigerung des prozeduralen Schutzes (Wichtigkeit der privaten bzw. öffentlichen Interessen, Möglichkeit der Rückgängigmachung des Nachteils usw.).
3.3.2. Auch diesbezüglich bringt der Beschwerdeführer nichts vor, was den angefochtenen Zwischenentscheid willkürlich erscheinen liesse. Die Vorinstanz hat sich auf verschiedene Berichte gestützt, welche insgesamt (und sich wechselseitig bestätigend) auf relativ schwerwiegende Betreuungsprobleme hinweisen: sehr starker Ammoniakgeruch, welcher ein Atmen kaum ermöglichte, wobei die Räumlichkeiten zudem sehr stark durch Katzenkot und Katzenurin verunreinigt waren; mehrere Katzen, die nicht sozialisiert waren und nicht ohne spezielle Zwangsmassnahmen angefasst werden konnten, abgemagerte "Kätzinnen", welche zum Teil wild und nicht untersuchbar gewesen seien. Das Bundesgericht schützte seinerseits auf ähnlicher Basis bereits den Entscheid der kantonalen Behörden, im Rahmen der vorsorglichen Massnahmen die aufschiebende Wirkung zu verweigern. Wenn die kantonalen Behörden aus (überwiegenden) Gründen des Tierschutzes und wegen des Umstands, dass wiederholte Änderungen des Aufenthalts- und Sozialisierungskreises für die Tiere belastend seien und nunmehr möglichst rasch bei neuen Besitzerinnen oder Besitzern Stabilität geschaffen werden müsse, ist dies nicht offensichtlich unhaltbar und verfassungswidrig. Zwar will der Beschwerdeführer die Katzen für sein Gesundheitsprojekt "Die Kunst des Katzenflüsterns" gebrauchen, doch ist nicht nachvollziehbar, inwiefern hierfür 40 Katzen erforderlich wären und warum er dann, dem derzeitigen Stand der Kenntnisse entsprechend, diese vernachlässigt und unter ungeeigneten Bedingungen gehalten hat. Der Beschwerdeführer ist pensioniert; zwar kann die Haltung von Tieren in den Anwendungsbereich der persönlichen Freiheit fallen, doch schliesst diese verhältnismässige Massnahmen zu deren Schutz bei Anzeichen von Misshandlungen in Anwendung des Tierschutzgesetzes vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455) nicht aus.
3.4. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hat das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen, da aufgrund einer summarischen Prüfung der Akten die Verlustgefahr im Beschwerdeverfahren die Gewinnaussichten überwögen, sodass eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügte, bei vernünftiger Überlegung von einem Prozess absähe (vgl. <ref-ruling> E. 2.2). Der Beschwerdeführer beruft sich in diesem Zusammenhang auf <ref-law>; er vermag indessen nicht darzutun, inwiefern die entsprechende Einschätzung der Gewinn- bzw. Verlustchancen aufgrund des der-zeitigen Aktenstandes vorliegend als unhaltbar bezeichnet werden könnte. Soweit er Akteneinsicht nehmen will, ist ihm dies von allen beteiligten Behörden zugestanden und ihm zudem angeboten worden, allenfalls noch dartun zu können, welche Akten nach seiner Ansicht (noch) fehlten, weshalb auch diesbezüglich nicht ersichtlich ist, worin die Verletzung von Bundes (verfassungs) recht liegen könnte.
4.
4.1. Die Beschwerden sind nach Vereinigung der Verfahren abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird. Dies kann ohne Weiterungen in Anwendung von <ref-law> geschehen. Da die Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses während des bundesgerichtlichen Verfahrens abgelaufen ist, wird die Vorinstanz eingeladen, diese neu anzusetzen (Fristwiederherstellung), sodass der Beschwerdeführer die Gelegenheit hat, den Kostenvorschuss allenfalls noch zu leisten und damit zu einem kantonal letztinstanzlichen Endentscheid in der Sache zu kommen, sollte er auf einem solchen bestehen.
4.2. Dem Ausgang der Verfahren entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen, da seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit nicht entsprochen werden kann (Art. 64 und Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_465/2015 und 2C_507/2015 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, und dem Eidgenössischen Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. September 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar