Sachverhalt:
A. A.a Die X._ (Beschwerdeführerin) mit Sitz in A._ ist als nationaler Landhockeyverband von B._ Mitglied des Welthockeyverbands Fédération Internationale de Hockey (FIH; Beschwerdegegnerin), einem Verein schweizerischen Rechts mit Sitz in Lausanne.
A.b Vom 12. bis 20. April 2008 wurde in A._ ein Qualifikationsturnier abgehalten, dessen Gewinner sich für die Olympischen Sommerspiele in Peking qualifizieren würde. Als Finalisten dieses Turniers standen sich am 20. April 2008 die spanische Frauennationalmannschaft sowie die Mannschaft der Beschwerdeführerin gegenüber. Die spanische Mannschaft gewann das Finalspiel mit 3 zu 2 Toren.
Während des Turniers waren Dopingtests durchgeführt worden. Am 21. Mai 2008 teilte die Beschwerdegegnerin mit, dass die A-Proben von zwei Spielerinnen der spanischen Mannschaft positiv ausgefallen waren. Am 4. Juni 2008 liess die Beschwerdegegnerin verlauten, dass die B-Proben die A-Proben bestätigten. Gleichzeitig wurde mitgeteilt, dass die betroffenen Spielerinnen eine Anhörung vor der verbandsinternen Judicial Commission der Beschwerdegegnerin verlangt hätten.
Die Anhörung betraf aber nicht nur die beiden Spielerinnen, sondern wirkte sich möglicherweise auf die gesamte spanische Mannschaft aus, da Art. 11.1 der Anti-Doping Policy der Beschwerdegegnerin folgendes vorsieht:
"if more than one team member in a Team Sport is found to have committed an Anti-Doping Rule violation during the Event, the team may be subject to Disqualification or other disciplinary action."
Die Beschwerdegegnerin beantragte der Judicial Commission, es seien die beiden Spielerinnen des Dopingmissbrauchs schuldig zu befinden und das spanische Team als Folge davon zu disqualifizieren.
Die Judicial Commission befand daraufhin, dass eine der spanischen Spielerinnen die Anti-Dopingregeln verletzt habe. Da die Spielerin kein Verschulden traf, wurde jedoch auf eine Sanktion verzichtet. In Bezug auf die zweite Spielerin entschied die Judicial Commission, dass keine Anti-Dopingregeln verletzt wurden.
B. Diesen Entscheid der Judicial Commission focht die Beschwerdeführerin zusammen mit den Spielerinnen ihrer Mannschaft sowie dem Nationalen Olympischen Komitee von B._ am 31. Juli 2008 bei der ad hoc Division des Tribunal Arbitral du Sport (TAS) an, im Wesentlichen mit den Anträgen, der Entscheid der Judicial Commission sei aufzuheben, die beiden spanischen Spielerinnen seien des Dopingmissbrauchs schuldig zu sprechen, die spanische Mannschaft sei zu disqualifizieren, die Mannschaft von B._ sei als Gewinnerin des Turniers zu betrachten, die das spanische Team im Hinblick auf die olympischen Spiele ersetzen soll. Die ad hoc Division des TAS wies die Begehren mit Schiedsspruch vom 2. August 2008 mangels Berechtigung der Beschwerdeführerin sowie der übrigen Parteien zur Anfechtung des Entscheids der Judicial Commission ("want of standing") ab.
Nachdem dieselben Parteien erfolglos ein weiteres Schiedsverfahren angestrengt hatten, gelangten sie zum dritten Mal an die ad hoc Division des TAS, im Wesentlichen mit den im ersten Verfahren bereits gestellten Rechtsbegehren. Mit Entscheid vom 8. August 2008 wies die ad hoc Division des TAS die Schiedsklage wiederum ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, die beiden Schiedssprüche des TAS vom 2. August 2008 sowie vom 8. August 2008 seien aufzuheben.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das TAS hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D. Mit Präsidialverfügung vom 12. November 2008 wurde das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung gutgeheissen und die Beschwerdeführerin aufgefordert, der Bundesgerichtskasse Fr. 7'000.-- zu überweisen.

Erwägungen:
1. Nach <ref-law> ergeht der Entscheid des Bundesgerichts in einer Amtssprache, in der Regel derjenigen des angefochtenen Entscheids. Wurde dieser Entscheid in einer anderen Sprache abgefasst, bedient sich das Bundesgericht der von den Parteien verwendeten Amtssprache.
Der angefochtene Entscheid ist in englischer Sprache abgefasst. Da es sich dabei nicht um eine Amtssprache handelt und sich die Parteien vor Bundesgericht verschiedener Sprachen bedienen, ergeht der Entscheid des Bundesgerichts praxisgemäss in der Sprache der Beschwerde.
2. Im Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit ist die Beschwerde in Zivilsachen unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG zulässig (<ref-law>).
2.1 Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich vorliegend in Lausanne. Wenigstens eine Partei, vorliegend die Beschwerdeführerin, hat ihren Sitz nicht in der Schweiz. Da die Parteien die Bestimmungen des 12. Kapitels des IPRG nicht schriftlich ausgeschlossen haben, gelangen diese zur Anwendung (Art. 176 Abs. 1 und 2 IPRG).
2.2 Zulässig sind allein die Rügen, die in <ref-law> abschliessend aufgezählt sind (<ref-ruling> E. 5; <ref-ruling> E. 1a S. 53; <ref-ruling> E. 1a S. 282). Nach <ref-law> prüft das Bundesgericht nur die Rügen, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind; dies entspricht der in <ref-law> für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5 mit Hinweis). Bei Rügen nach <ref-law> ist die Unvereinbarkeit des angefochtenen Schiedsentscheids mit dem Ordre public im Einzelnen aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 3 S. 606). Appellatorische Kritik ist unzulässig (<ref-ruling> E. 3b S. 382).
2.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (vgl. <ref-law>, der die Anwendbarkeit von Art. 105 Abs. 2 sowie Art. 97 BGG ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von <ref-law> vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 5 S. 141; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 733; je mit Hinweisen). Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, dass entsprechende Sachbehauptungen bereits im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform aufgestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 486; <ref-ruling> E. 1c S. 473; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin stellt ihren rechtlichen Ausführungen eine ausführliche Sachverhaltsdarstellung voran, in der sie den Ablauf der Ereignisse sowie des Verfahrens vor der Vorinstanz aus ihrer Sicht darlegt. Sie weicht darin in zahlreichen Punkten von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne substantiiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung gemäss Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG geltend zu machen. Ihre Vorbringen haben insoweit unbeachtet zu bleiben.
3. Die Beschwerdeführerin macht unter Berufung auf <ref-law> geltend, die Vorinstanz hätte ihre Zuständigkeit ablehnen müssen.
3.1 Die Vorinstanz wies die beiden Schiedsklagen unter Anwendung von Art. 11 und 13.2 der FIH Anti-Doping Policy mit der Begründung ab, die Beschwerdeführerin sei zur Anfechtung des Entscheids des Judicial Committee nicht berechtigt.
3.2 Die Beschwerdeführerin bringt hiergegen vor, es gebe vielfach Situationen, in denen sich die Frage der Gebundenheit an den Hauptvertrag (Sachlegitimation) von derjenigen der Gebundenheit an die Schiedsvereinbarung (Parteifähigkeit) nicht trennen lasse, weshalb in diesen Fällen ein Schiedsgericht im Rahmen der Zuständigkeitsprüfung vorfrageweise und umfassend die Verbindlichkeit bzw. Rechtszuständigkeit der Parteien in Bezug auf den Hauptvertrag (Sachlegitimation) zu prüfen habe. Sei der Zuständigkeitsentscheid negativ, habe das unzuständige Schiedsgericht keine Kompetenz, die Sachlegitimation an Ansprüchen aus dem Hauptvertrag zu beurteilen, sondern fälle ein reines Prozessurteil. Sie macht weiter geltend, es fehle ihr an der subjektiven Schiedsfähigkeit, weshalb die beiden Schiedsgerichte, wenn sie schon die Auslegung der Beschwerdeführerin von Art. 13.2.1 in Verbindung mit Art. 13.2.3 FIH Anti-Doping Policy nicht teilten, ihre Zuständigkeit hätten verneinen müssen und die Klage nicht hätten materiell abweisen dürfen.
3.3 Das Bundesgericht prüft die Zuständigkeitsrüge nach <ref-law> einschliesslich materieller Vorfragen, von deren Beantwortung die Zuständigkeit abhängt, in rechtlicher Hinsicht frei (<ref-ruling> E. 5 S. 141; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 733; <ref-ruling> E. 2a S. 54). Die Beschwerdeführerin verkennt jedoch, dass es sich bei der von ihr kritisierten Frage der Berechtigung zur Anfechtung des Entscheids der Judicial Commission nicht um eine materielle Vorfrage im Hinblick auf die Beurteilung der Zuständigkeit handelt. Ob eine Partei zur Anfechtung des Beschlusses des Vereinsorgans der Beschwerdegegnerin nach den anwendbaren statutarischen und gesetzlichen Bestimmungen legitimiert ist, betrifft nicht die Zuständigkeit des für die Streiterledigung vorgesehenen Schiedsgerichts, sondern die Frage der Aktivlegitimation. Die ad hoc Division des TAS hat diese Frage für die Schiedsklage der Beschwerdeführerin gestützt auf Art. 13.2 FIH Anti-Doping Policy verneint ("no standing to request relief for the merits"), der im Zusammenhang mit internationalen Wettkämpfen ein Anfechtungsrecht der nationalen Verbände nicht vorsieht. Auch unter Berücksichtigung von Art. 11 FIH Anti-Doping Policy hat die Vorinstanz die Aktivlegitimation der Beschwerdeführerin verneint.
Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin kann im zu beurteilenden Fall die Frage der Sachlegitimation von derjenigen der Gebundenheit an die Schiedsvereinbarung klar getrennt werden. Was die Beschwerdeführerin unter dem Deckmantel einer Rüge nach <ref-law> gegen die angefochtenen Entscheide vorbringt, ist richtig besehen appellatorische Kritik an der vom TAS vorgenommenen Auslegung von Art. 11 und 13.2 der FIH Anti-Doping Policy, welche die Voraussetzungen einer Anfechtung von Verbandsentscheiden im Zusammenhang mit Dopingvergehen regeln. Die Vorinstanz hat die Voraussetzungen einer Anfechtung des Entscheids der Judicial Commission geprüft, die Aktivlegitimation der Beschwerdeführerin verneint und ihre Rechtsbegehren daher abgewiesen. Das Bundesgericht überprüft nicht, ob das Schiedsgericht das Recht, auf das es seine Entscheidung stützt, richtig angewendet hat. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin stossen daher ins Leere.
Abgesehen davon hat die Beschwerdeführerin die beiden Schiedsverfahren selber bei der Vorinstanz eingeleitet und ist damit von deren Zuständigkeit ausgegangen. Bereits aus diesem Grund ist sie mit der Unzuständigkeitseinrede vor Bundesgericht nicht zu hören (vgl. <ref-law>).
3.4 Unter diesen Gesichtspunkten sind die angefochtenen Entscheide, mit denen die Vorinstanz die Schiedsklagen der Beschwerdeführerin beurteilt und mangels Aktivlegitimation abgewiesen hat, nicht zu beanstanden. Ins Leere stösst auch der unzutreffende Vorwurf der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe eine Begründetheitsprüfung der geltend gemachten Ansprüche unterlassen und damit den formellen Orde public verletzt. In dem von der Beschwerdeführerin ins Feld geführten Umstand, dass den beiden Schiedssprüchen als Sachurteilen materielle Rechtskraft zukommt, die einer allenfalls vor einem staatlichen Gericht angebrachten Anfechtungsklage im Sinne von <ref-law> gegen den Entscheid der Judicial Commission entgegenstehen würde, ist schliesslich entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin keine Verletzung des Ordre public (<ref-law>) zu sehen, sondern er ergibt sich folgerichtig aus der materiellen Beurteilung und Abweisung ihrer Rechtsbegehren.
4. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen. Diese Entschädigung wird aus der an die Gerichtskasse bezahlten Sicherheitsleistung ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS), ad hoc Division, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann