Erwägungen:
1. Der 1975 geborene serbische Staatsangehörige X._ heiratete am 12. April 2007 in seinem Heimatland eine in der Schweiz niederlassungsberechtigte Landsfrau. Am 2. Juli 2007 reiste er in die Schweiz ein, wo ihm gestützt auf die geschlossene Ehe eine Aufenthaltsbewilligung erteilt und letztmals bis zum 2. Juli 2010 verlängert wurde. Am 16. Dezember 2009 wurde eine gemeinsame Tochter geboren, welche in die Niederlassungsbewilligung der Mutter einbezogen wurde. Mit Entscheid vom 16. November 2010 hob der Präsident des Amtsgerichts Sursee den gemeinsamen Haushalt der Eheleute rückwirkend per 24. März 2010 auf und unterstellte die Tochter der Obhut der Ehefrau. Dem Kindsvater wurde ein Besuchsrecht im Umfang von vier Stunden pro Wochenende (bis zum 31. Dezember 2011) resp. von zwei Tagen samt Übernachtung jedes zweite Wochenende (seit dem 1. Januar 2012) eingeräumt. Am 14. Dezember 2010 verfügte das Amt für Migration des Kantons Luzern die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ und wies ihn aus der Schweiz weg. Die hiergegen ergriffenen kantonalen Rechtsmittel wurden vom Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (Entscheid vom 14. September 2011) sowie vom Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (Urteil vom 1. März 2012) abgewiesen.
2. Die von X._ am 10. April 2012 beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich mit Blick auf die bundesgerichtliche Praxis, welche im angefochtenen Entscheid zutreffend wiedergegeben wurde, als offensichtlich unbegründet und kann deshalb ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
2.1 Der Beschwerdeführer begründet den von ihm behaupteten Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ausschliesslich mit der Beziehung zu seiner Tochter und er beruft sich in diesem Zusammenhang einerseits auf den von Art. 8 EMRK und <ref-law> gewährleisteten Schutz des Familienlebens und andererseits auf wichtige persönliche Gründe i.S. von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG.
2.2 Wie die Vorinstanz indessen zutreffend ausführte und wie an sich auch der Beschwerdeführer richtig erkannte, ist für die Ausübung eines Besuchsrechts nicht ohne Weiteres erforderlich, dass der ausländische Elternteil dauerhaft im selben Land wie das Kind lebt und dort über ein Anwesenheitsrecht verfügt; die ausnahmsweise Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an einen nicht sorgeberechtigten Ausländer setzt vielmehr voraus, dass sowohl in wirtschaftlicher als auch in affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht mehr aufrechterhalten werden könnte und das bisherige Verhalten des Betroffenen in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat.
2.3 Der Beschwerdeführer erachtet das ihm eingeräumte Besuchsrecht in Anbetracht des Alters der Tochter als überaus grosszügig und schliesst deshalb auf das Bestehen einer besonders engen affektiven Beziehung. Dieser Auffassung kann nur teilweise gefolgt werden. Es trifft zwar zu, dass der Beschwerdeführer angesichts des jungen Alters seiner Tochter über ein ausgedehntes Besuchsrecht verfügt, was für das Vorliegen einer vertrauensvollen Vater-Kind-Beziehung spricht. Allerdings hat der Beschwerdeführer mit seiner Tochter nur während sehr kurzer Zeit in einer Familiengemeinschaft gelebt; rund drei Monate nach ihrer Geburt wurde der gemeinsame Haushalt der Eltern aufgelöst. Aus diesem Grund ist die Tochter durch eine Ausreisepflicht des Vaters von vornherein nicht im gleichen Masse betroffen, wie wenn sie mit ihm zusammen längere Zeit in der gleichen Familie gelebt und er an ihrem täglichen Leben teilgehabt hätte (vgl. das bundesgerichtliche Urteil 2A.240/2006 vom 20. Juli 2006 E. 3.4).
Gemäss den Feststellungen des Verwaltungsgerichts funktionierte die Ausübung des Besuchsrecht zudem auch nicht immer reibungslos, was schliesslich dazu führte, dass der Beschwerdeführer bei der zuständigen Vormundschaftsbehörde um Errichtung einer Beistandschaft für seine Tochter ersuchte. Der Beschwerdeführer bestreitet denn auch nicht, dass der persönliche Verkehr zwischen ihm und seiner Tochter nicht immer regelmässig ausgeübt werden konnte, wobei er die Verantwortung hierfür alleine beim Verhalten der Kindsmutter sieht und zudem geltend macht, die Situation habe sich mittlerweile verbessert. Selbst wenn diese Einwände zutreffen sollten, vermöchte dies aus den nachstehenden Gründen an der Gesamtbeurteilung nichts Wesentliches zu ändern.
2.4 Wie die Vorinstanz weiter festgestellt hat, ist es hinsichtlich der Erfüllung der Unterhaltspflichten des Beschwerdeführers gegenüber seiner Tochter zu Unregelmässigkeiten gekommen. So sind Zahlungen teilweise ausgeblieben und es musste nach erfolgloser Mahnung sogar die Betreibung für die ausstehenden Beträge der Monate September bis November 2010 (jeweils Fr. 650.--) sowie Juni und Juli 2011 (jeweils Fr. 800.--) eingeleitet werden. Wenn der Beschwerdeführer diesbezüglich einwendet, seine Gattin habe ihm anfangs keine Bankverbindung angegeben, so überzeugt dies ebenso wenig wie seine Rechtfertigung, er habe die geschuldeten Beiträge zeitweise auf ein von ihm eröffnetes Konto einbezahlt, weil seine Ehefrau ihm keine Auskünfte und Informationen bezüglich der gemeinsamen Tochter habe geben wollen und sie überdies die Ausübung des Besuchsrechts grundlos vereitelt habe. Selbst wenn der Beschwerdeführer seinen Verpflichtungen offenbar in der Zwischenzeit nachkommt und die Ausstände gemäss eigenen Angaben beglichen hat, kann bei dieser Sachlage jedenfalls in wirtschaftlicher Hinsicht nicht von einer besonders engen Beziehung zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Tochter gesprochen werden. Keine massgebliche Bedeutung kommt in diesem Zusammenhang schliesslich dem Umstand zu, dass der Beschwerdeführer für seine Tochter ein zusätzliches Geschenksparkonto (Saldo rund Fr. 1'500.--) eingerichtet hat.
2.5 Unter dem Aspekt des schützenswerten Familienlebens ist schliesslich zu beachten, dass der Beschwerdeführer aus Serbien stammt. Auch von dort aus ist es für ihn möglich, die Beziehung zu seiner Tochter aufrecht zu erhalten und zu entwickeln. Serbien ist verkehrsmässig gut an die Schweiz angebunden, sodass der Beschwerdeführer seine Tochter auch weiterhin - wenn auch weniger häufig - wird sehen können. Angesichts dessen und der übrigen Kontaktmöglichkeiten stellt die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung keine übermässige und als solche unzulässige Einschränkung des Familienlebens dar.
2.6 Aus den genannten Gründen steht fest, dass die Voraussetzungen für eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers nicht erfüllt sind. Auf sein bisheriges Verhalten in der Schweiz kommt es mithin nicht mehr an.
3. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens folgend, hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler