Faits :
Faits :
A. K._, née en 1941, a travaillé jusqu'au mois de septembre 1998 en qualité d'aide de cuisine dans une clinique, dont elle a été licenciée.
Dans un rapport daté du mois de septembre de l'année suivante, son médecin traitant, le docteur G._, spécialiste en médecine interne, a fait état de diabète sucré de type II, de cirrhose hépatique probablement d'origine éthylique, de spondylarthrose ainsi que d'une dépression, cette dernière affection apparaissant comme la cause essentielle d'une incapacité de travail, estimée à 100 % par ce médecin (rapport du 14 septembre 1999).
Le 25 septembre 1999, l'assurée, se référant à l'avis de son médecin traitant, a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Afin de compléter l'instruction sur le plan médical, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'OAI) a demandé au docteur S._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie de se prononcer sur l'existence d'éventuelles atteintes à la santé psychique de l'assurée et leurs conséquences sur sa capacité de travail. A l'issue de divers examens réalisés au mois de février 2001, ce psychiatre a posé le diagnostic d'épisode dépressif majeur d'intensité moyenne. L'incapacité de travail était totale de 1998 à fin 1999, puis, après une évolution lentement favorable sur le plan thymique depuis l'an 2000, de 50 % au moment de l'expertise, dont le rapport est daté du 25 avril 2001. Ce spécialiste relevait encore que l'intelligence-limite de l'assurée ne l'avait pas empêchée de travailler jusqu'en 1998, mais que ce facteur, allié à son âge et à la persistance d'un état dépressif moyen, augurait d'un mauvais pronostic et représentait un handicap significatif dans le monde du travail, pouvant justifier une diminution supplémentaire de la capacité de travail de l'assurée jusqu'à 70 %.
Par décision du 18 septembre 2001, l'OAI a alloué à K._ une rente d'invalidité entière depuis le mois de septembre 1999, puis une demi-rente dès le 1er février 2000, considérant qu'elle avait recouvré une capacité de travail, respectivement de gain, de 50 % au mois de janvier 2000 déjà.
Par décision du 18 septembre 2001, l'OAI a alloué à K._ une rente d'invalidité entière depuis le mois de septembre 1999, puis une demi-rente dès le 1er février 2000, considérant qu'elle avait recouvré une capacité de travail, respectivement de gain, de 50 % au mois de janvier 2000 déjà.
B. Statuant comme juge unique le 27 juin 2002, le Président du Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé par l'assurée contre cette décision, le considérant comme d'emblée mal fondé.
B. Statuant comme juge unique le 27 juin 2002, le Président du Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé par l'assurée contre cette décision, le considérant comme d'emblée mal fondé.
C. K._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement. Elle conclut à son annulation, principalement au renvoi de la cause au Tribunal des assurances afin qu'il statue dans sa composition habituelle de trois juges et, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause au juge unique afin qu'il complète l'instruction par la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique et rende un nouveau jugement.
L'OAI conclut au rejet du recours. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
Considérant en droit :
1. La recourante reproche tout d'abord au Tribunal des assurances d'avoir statué dans une composition incorrecte soit par son juge unique en lieu et place de trois juges. Ce grief, susceptible d'amener la cour de céans à annuler le jugement cantonal (RDAT 2002 I p. 190; arrêts C. du 3 novembre 1998 [K 163/97] et F. du 6 juillet 1994 [I 56/94]) et à renvoyer la cause à l'autorité cantonale sans examen du litige sur le fond doit être examiné en premier lieu (<ref-ruling> consid. 2, 119 V 210 consid. 2).
1. La recourante reproche tout d'abord au Tribunal des assurances d'avoir statué dans une composition incorrecte soit par son juge unique en lieu et place de trois juges. Ce grief, susceptible d'amener la cour de céans à annuler le jugement cantonal (RDAT 2002 I p. 190; arrêts C. du 3 novembre 1998 [K 163/97] et F. du 6 juillet 1994 [I 56/94]) et à renvoyer la cause à l'autorité cantonale sans examen du litige sur le fond doit être examiné en premier lieu (<ref-ruling> consid. 2, 119 V 210 consid. 2).
2. L'art. 104 let. a OJ dispose que le recours de droit administratif peut être formé pour violation du droit fédéral, notion qui comprend aussi le droit constitutionnel fédéral et les principes généraux du droit tels que les principes d'égalité de traitement et de proportionnalité (<ref-ruling> consid. 3 et les arrêts cités).
Il en résulte que ce recours assume le rôle de recours de droit public à l'égard de violations des droits constitutionnels commises par une autorité cantonale dans les matières soumises au contrôle du Tribunal fédéral des assurances en tant que juge administratif (<ref-ruling> consid. 3 et les références). En raison de la subsidiarité absolue du recours de droit public, le recours de droit administratif remplace donc ce dernier dans sa fonction de protection des droits constitutionnels des citoyens (<ref-ruling> consid.1b, 132 consid. 1a, 112 Ia 358 consid. 4a, 110 Ib 257, 110 V 363 consid. 1c, 108 Ib 73 consid. 1a, 104 Ib 120-121; Auer, La juridiction constitutionnelle en Suisse, p. 122 no 212; Grisel, Traité de droit administratif, tome II, p. 908-909; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2e éd., p. 92 ss et 235).
Il en résulte que ce recours assume le rôle de recours de droit public à l'égard de violations des droits constitutionnels commises par une autorité cantonale dans les matières soumises au contrôle du Tribunal fédéral des assurances en tant que juge administratif (<ref-ruling> consid. 3 et les références). En raison de la subsidiarité absolue du recours de droit public, le recours de droit administratif remplace donc ce dernier dans sa fonction de protection des droits constitutionnels des citoyens (<ref-ruling> consid.1b, 132 consid. 1a, 112 Ia 358 consid. 4a, 110 Ib 257, 110 V 363 consid. 1c, 108 Ib 73 consid. 1a, 104 Ib 120-121; Auer, La juridiction constitutionnelle en Suisse, p. 122 no 212; Grisel, Traité de droit administratif, tome II, p. 908-909; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2e éd., p. 92 ss et 235).
3. 3.1 Conformément à l'art. 30 al. 1 Cst. - qui, de ce point de vue, a la même portée que l'art. 6 § 1 CEDH (<ref-ruling> consid. 2b, 125 V 501 consid. 2b) -, toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire a droit à ce qu'elle soit portée devant un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial. Le droit des parties à une composition régulière du tribunal impose des exigences minimales en procédure cantonale (<ref-ruling> consid. 2a, 123 I 51 consid. 2b). Il interdit les tribunaux d'exception et la mise en oeuvre de juges ad hoc ou ad personam et exige dès lors, en vue d'empêcher toute manipulation et afin de garantir l'indépendance nécessaire, une organisation judiciaire et une procédure déterminées par un texte légal (<ref-ruling> consid. 2b; <ref-ruling> consid. 3b).
3.2 C'est en premier lieu à la lumière des règles cantonales topiques d'organisation et de procédure qu'il convient d'examiner si une autorité judiciaire ou administrative a statué dans une composition conforme à la loi. Sur ce point, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral des assurances est limité à l'arbitraire. (<ref-ruling> consid. 3c, 108 Ia 50 consid. 2 et les réf.). Indépendamment de cela, il examine librement - et sans être lié par les griefs soulevés (consid. 2b non publié de l'<ref-ruling>; SVR 2001 IV 1749) -, si l'interprétation et l'application du droit cantonal, reconnues non arbitraires, sont compatibles avec la garantie d'un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial (<ref-ruling> consid. 3b, 123 I 51 consid. 2b, 112 Ia 292 consid. 2a, <ref-ruling> consid. 2b). En revanche, lorsque cette garantie constitutionnelle est invoquée uniquement pour contester l'interprétation ou l'application de prescriptions cantonales sur l'organisation et la composition des tribunaux, sans que soient invoquées les exigences minimales de procédure instituées par cette disposition, ce grief se confond avec celui déduit de l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. b; SJ 1981 573 consid. 2a).
Ces principes développés en application de l'art. 58a Cst. demeurent valables en application de l'art. 30 Cst. (consid. 1a non publié de l'<ref-ruling>).
Ces principes développés en application de l'art. 58a Cst. demeurent valables en application de l'art. 30 Cst. (consid. 1a non publié de l'<ref-ruling>).
4. 4.1 La procédure applicable devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud est régie, pour l'essentiel, par la Loi vaudoise du 2 décembre 1959 sur le Tribunal des assurances (RSV 2.02 A; ci-après: LTAss), dont les art. 3, 10 et 11 ont la teneur suivante:
Art. 3
Les décisions dans la compétence du juge unique sont prises par le président, par l'un des deux vice-présidents ou par l'un des juges des assurances ou, exceptionnellement, par un assesseur désigné par le président.
Les décisions dans la compétence du tribunal sont prises par une cour composée de trois magistrats.
Art. 10
Si le recours est tardif ou irrecevable à la forme ou s'il apparaît d'emblée comme manifestement mal fondé ou bien fondé, le juge instructeur statue comme juge unique sur le vu du dossier et après avoir provoqué, le cas échéant, des explications complémentaires des parties.
Art. 11
Les procès dont le capital litigieux est inférieur à 8000 francs sont de la compétence du juge instructeur. Si la solution qui doit être donnée au recours pose des questions de principe ou présente des difficultés particulières, le juge instructeur peut soumettre la cause au tribunal.
Le tribunal est compétent si le capital litigieux est de 8000 francs ou plus ou si la valeur litigieuse ne peut être déterminée ou encore si la contestation ne porte pas sur un droit de nature pécuniaire.
4.2 En l'espèce, le litige ayant trait au droit de la recourante à une rente d'invalidité, la valeur litigieuse n'était, en tous les cas, pas inférieure à 8'000 fr. aussi convient-il d'examiner, en premier lieu, si le juge unique a interprété ou appliqué arbitrairement l'art. 10 LTAss sur lequel il a fondé sa compétence. Il s'agit, en particulier - le juge unique ayant rejeté le recours sur le fond - d'examiner s'il pouvait considérer sans tomber dans l'arbitraire, sur la base d'un examen préalable sommaire du dossier de la cause - mais portant néanmoins sur l'ensemble des questions de fait et de droit déterminantes, indépendamment des griefs soulevés et des conclusions prises par les parties (art. 85 al. 2 let. c et d LAVS en corrélation avec l'<ref-law>) - que le recours apparaissait d'emblée manifestement mal fondé.
4.3 Dans son recours cantonal, l'assurée demandait à pouvoir continuer à bénéficier d'une pleine rente d'invalidité au-delà du 31 janvier 2000, contestant de la sorte avoir connu une amélioration de sa capacité de travail, respectivement de gain, de l'ordre de 50 % avant cette date. Or, force est de constater que, en l'état du dossier, aucune pièce médicale ne permet de mettre en évidence une telle amélioration de sa capacité de travail en relation avec son état psychique à ce moment-là. Seul à se prononcer sur ce point, le docteur S._ se borne, en effet, à constater, depuis l'an 2000, mais sans plus de précision, une évolution lentement favorable d'un point de vue thymique, lui permettant de retenir, au moment de l'expertise, soit au mois de février 2001, une capacité de travail de 50 % ou, tout au moins 30 % compte tenu de l'intelligence limite, de l'âge et de la persistance d'un état dépressif moyen (rapport du 25 avril 2001).
Il s'ensuit qu'un examen préalable même sommaire de la cause devait, au prime abord déjà, mener au constat que la décision de l'OAI, sur un point essentiel au moins, ne pouvait être justifiée par la seule pièce topique du dossier. Le juge unique, qui ne pouvait, de la sorte, sans tomber dans l'arbitraire, considérer le recours d'emblée comme manifestement mal fondé, n'était ainsi pas compétent pour connaître du litige, qui devait être tranché par le Tribunal des assurances dans sa composition ordinaire de trois juges (art. 3 al. 2 LTAss). Le droit constitutionnel de la recourante à voir sa cause jugée par un tribunal établi par la loi, compétent indépendant et impartial au sens de l'art. 30 al. 1 Cst. a, dans cette mesure, été violé.
Il s'ensuit qu'un examen préalable même sommaire de la cause devait, au prime abord déjà, mener au constat que la décision de l'OAI, sur un point essentiel au moins, ne pouvait être justifiée par la seule pièce topique du dossier. Le juge unique, qui ne pouvait, de la sorte, sans tomber dans l'arbitraire, considérer le recours d'emblée comme manifestement mal fondé, n'était ainsi pas compétent pour connaître du litige, qui devait être tranché par le Tribunal des assurances dans sa composition ordinaire de trois juges (art. 3 al. 2 LTAss). Le droit constitutionnel de la recourante à voir sa cause jugée par un tribunal établi par la loi, compétent indépendant et impartial au sens de l'art. 30 al. 1 Cst. a, dans cette mesure, été violé.
5. La recourante, qui s'est fait assister d'un représentant de la Fédération suisse pour l'intégration des handicapés obtient gain de cause et peut, en conséquence, prétendre une indemnité de dépens (art. 159 al. 1 en corrélation avec l'art. 135 OJ).
Les motifs du présent arrêt constituent, par ailleurs, des circonstances justifiant que ces dépens soient mis à la charge de l'Etat de Vaud et non de l'office intimé (arrêt non publié F. du 6 juillet 1994 [I 56/94]).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce :
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud, du 27 juin 2002 est annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour qu'elle statue à nouveau en procédant conformément aux considérants.
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud, du 27 juin 2002 est annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour qu'elle statue à nouveau en procédant conformément aux considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. L'Etat de Vaud versera à la recourante la somme de 2'000 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
3. L'Etat de Vaud versera à la recourante la somme de 2'000 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud, à l'Etat de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 février 2003
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
La Présidente de la IVe Chambre: Le Greffier: