Sachverhalt:
A. Der 1967 geborene D._, der sich am 13. Februar 2006 ein Quetschtrauma der rechten Hand mit offenen Frakturen und Rissquetschwunde über dem Handrücken zugezogen hatte, meldete sich am 8. Mai 2007 zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle Luzern zog u.a. die Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) bei, tätigte weitere medizinische und berufliche Abklärungen (u.a. bei der Beruflichen Abklärungsstellte BEFAS, [Bericht vom 21. August 2008]), gewährte berufliche Massnahmen und sprach dem Versicherten nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren mit Verfügung vom 19. Januar 2011 ab 1. Februar 2007 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung (nebst zwei Kinderrenten) zu.
B. Hiegegen liess D._ Beschwerde erheben und im Hauptpunkt beantragen, die Sache sei zu weiteren Abklärungen der Arbeits- und Leistungsfähigkeit in einer zumutbaren und existierenden leidensangepassten Tätigkeit an die Verwaltung zurückzuweisen. Die IV-Stelle beantragte vernehmlassungsweise, dem Versicherten sei keine Rente zuzusprechen. Mit Entscheid vom 30. Mai 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern das eingelegte Rechtsmittel ab.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde und beantragt sinngemäss, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei festzustellen, dass kein Rentenanspruch bestehe; ferner ersucht sie, dem eingelegten Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
D._ lässt die Rechtsbegehren stellen, in Gutheissung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung sei die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 96).
1.2 Die Beschwerde führende IV-Stelle beantragt, es sei festzustellen, dass kein Rentenanspruch bestehe. Im selben Sinne hatte sie sich schon in der vorinstanzlichen Vernehmlassung geäussert, nachdem sie mit der angefochtenen Verfügung vom 19. Januar 2011 den Anspruch auf eine Viertelsrente ab 1. Februar 2007 bejaht hatte.
1.2 Die Beschwerde führende IV-Stelle beantragt, es sei festzustellen, dass kein Rentenanspruch bestehe. Im selben Sinne hatte sie sich schon in der vorinstanzlichen Vernehmlassung geäussert, nachdem sie mit der angefochtenen Verfügung vom 19. Januar 2011 den Anspruch auf eine Viertelsrente ab 1. Februar 2007 bejaht hatte.
1.3 1.3.1 Nach <ref-law> kann gegen Entscheide der kantonalen Versicherungsgerichte nach Massgabe des Bundesgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005 beim Bundesgericht Beschwerde geführt werden (Abs. 1). Der Bundesrat regelt das Beschwerderecht der Durchführungsorgane der einzelnen Sozialversicherungen vor dem Bundesgericht (Abs. 1bis). Gemäss <ref-law> gehört zu den Aufgaben der IV-Stellen u.a. der Erlass der Verfügungen über die Leistungen der Invalidenversicherung (Abs. 1 lit. g). Der Bundesrat kann ihnen weitere Aufgaben zuweisen (Abs. 2). Der gestützt auf diese Delegationsnorm erlassene <ref-law> nennt namentlich die Stellungnahme in Beschwerdefällen und die Erhebung von Beschwerden beim Bundesgericht (Abs. 1 lit. i). Diese Regelung stellt eine hinreichende gesetzliche Grundlage im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 2.2 S. 56 f.). Danach kommt derjenigen IV-Stelle, welche die Verfügung erlassen und am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, Rechtsmittelbefugnis zu. Die Beschwerde führende IV-Stelle ist somit grundsätzlich berechtigt, den vorinstanzlichen Entscheid anzufechten.
1.3.2 Mit BGE 9C_302/2012 vom 13. August 2012 E. 2.3.2.2 erster Absatz mit Hinweisen hat sich das Bundesgericht in einem vergleichbaren Fall mit der Frage befasst, wie der Umstand zu werten sei, dass die dortige IV-Stelle mit der vorinstanzlich angefochtenen Verfügung einen Rentenanspruch nicht verneint, sondern eine Viertelsrente zugesprochen hatte. Es gelangte zum Ergebnis, mit der in Satz 1 von <ref-law> statuierten fehlenden Bindung an die Parteibegehren werde die Verwirklichung des objektiven Rechts über das subjektive Rechtsschutzinteresse gestellt (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 319 mit Hinweisen). Diese Entscheidung des Bundesgesetzgebers für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht muss im Prozess vor Bundesgericht berücksichtigt werden. Ein bereits erstinstanzlich gestelltes Begehren der IV-Stelle, selbst wenn es eine Verschlechterung gegenüber dem Verfügten bedeutet, ist daher auch letztinstanzlich zulässig.
1.3.3 Auf die Beschwerde der IV-Stelle Luzern ist daher einzutreten.
1.4 Soweit der Beschwerdegegner beantragt, es sei ihm eine ganze Rente auszurichten, kann darauf nicht eingetreten werden, da das BGG keine Anschlussbeschwerde kennt.
2. Streitig und zu prüfen sind die der Bestimmung des Invaliditätsgrades zugrunde zu legenden Vergleichseinkommen (<ref-law>, <ref-law>).
3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
4. 4.1 Die Vorinstanz hat das Einkommen, das der Versicherte erzielen könnte, wenn er nicht invalid geworden wäre (vgl. <ref-law>), zutreffend anhand des vor dem Unfall vom 13. Februar 2006 im Jahre 2005 erzielten Lohnes bei der K._ AG festgelegt. Sie hat dabei einen Betrag von Fr. 81'952.75 ermittelt, den sie an die Nominallohnentwicklung bis zum Jahr 2007 (Rentenbeginn) angepasst hat. Die IV-Stelle macht zu Recht geltend, dass dieser Annahme eine offensichtlich unrichtige Tatsachenfeststellung zugrunde liegt. Gemäss Lohnausweis für die Steuererklärung vom 16. Januar 2006 waren im Bruttolohn von Fr. 81'953.- Kinder- und Ausbildungszulagen in Höhe von Fr. 6970.- enthalten (vgl auch. Fragebogen für den Arbeitgeber vom 18. Mai 2007), die bei der Bemessung des Valideneinkommens ausser Acht zu lassen sind (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; Urteil I 944/05 vom 30. Januar 2007 E. 4.3 in fine). Auszugehen ist daher von Fr. 74'983.-, was mit den im angefochtenen Entscheid angegebenen Nominallohnindizes (2005: 114.0 Punkte; 2007: 116.8 Punkte) Fr. 76'824.70 ergibt.
4. 4.1 Die Vorinstanz hat das Einkommen, das der Versicherte erzielen könnte, wenn er nicht invalid geworden wäre (vgl. <ref-law>), zutreffend anhand des vor dem Unfall vom 13. Februar 2006 im Jahre 2005 erzielten Lohnes bei der K._ AG festgelegt. Sie hat dabei einen Betrag von Fr. 81'952.75 ermittelt, den sie an die Nominallohnentwicklung bis zum Jahr 2007 (Rentenbeginn) angepasst hat. Die IV-Stelle macht zu Recht geltend, dass dieser Annahme eine offensichtlich unrichtige Tatsachenfeststellung zugrunde liegt. Gemäss Lohnausweis für die Steuererklärung vom 16. Januar 2006 waren im Bruttolohn von Fr. 81'953.- Kinder- und Ausbildungszulagen in Höhe von Fr. 6970.- enthalten (vgl auch. Fragebogen für den Arbeitgeber vom 18. Mai 2007), die bei der Bemessung des Valideneinkommens ausser Acht zu lassen sind (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; Urteil I 944/05 vom 30. Januar 2007 E. 4.3 in fine). Auszugehen ist daher von Fr. 74'983.-, was mit den im angefochtenen Entscheid angegebenen Nominallohnindizes (2005: 114.0 Punkte; 2007: 116.8 Punkte) Fr. 76'824.70 ergibt.
4.2 4.2.1 Die Vorinstanz hat weiter das Erwerbseinkommen, das der Versicherte durch eine ihm zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte (vgl. <ref-law>), bezogen auf das Jahr 2007 anhand der Tabellenwerte der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) 2006 des Bundesamtes für Statistik (BfS) auf Fr. 60'171.10 bestimmt. Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdegegners ist das Abstellen auf den durchschnittlichen standardisierten Bruttolohn in allen Wirtschaftszweigen des privaten Sektors ("Total"), statt beschränkt auf denjenigen im Sektor Dienstleistungen, der deutlich darunter läge, nicht bundesrechtswidrig (vgl. dazu Urteil 8C_1050/2009 vom 28. April 2010 E. 3.5). Zudem ist die gestützt auf die einlässlich gewürdigten medizinischen Unterlagen sowie den Bericht der BEFAS vom 21. August 2008 getroffene Feststellung des kantonalen Gerichts, der Beschwerdegegner vermöchte in einer den gesundheitlichen Einschränkungen angepassten Erwerbstätigkeit ein Vollzeitpensum auszuüben, nicht offensichtlich unrichtig.
4.2.2
4.2.2.1 Die IV-Stelle bringt vor, sie habe den Abzug gemäss <ref-ruling> in ihrer Verfügung vom 19. Januar 2011 unbesehen von der SUVA übernommen, die diesen auf 25 % festgelegt habe. Sie habe in den kantonalen Vernehmlassungen geltend gemacht, eine Kürzung des Invalideneinkommens sei nicht gerechtfertigt. Die dem Versicherten offenstehenden Arbeitsgelegenheiten seien zwar eingeschränkt, weil Schläge auf und Hämmern, Werfen und Zerren mit der rechten Hand nicht mehr möglich seien. Indessen vermöge er die rechte dominante Hand für angepasste Tätigkeiten gut einzusetzen. In der von der BEFAS festgelegten Gesamtleistung seien die ergonomischen Vorgaben vollumfänglich berücksichtigt worden. Die Vorinstanz habe das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt, indem sie lediglich gestützt auf das Kriterium der leidensbedingten Einschränkung eine Reduktion von 20 % vorgenommen habe.
4.2.2.2 Ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Abzug vom Tabellenlohn vorzunehmen ist, stellt eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar (<ref-ruling> E. 5.1 S. 72; in <ref-ruling> nicht publizierte E. 4 des Urteils 8C_652/2008 vom 8. Mai 2009). Die Frage nach der Höhe des (im konkreten Fall grundsätzlich angezeigten) Abzuges vom Tabellenlohn dagegen ist eine Ermessensfrage. Deren Beantwortung ist letztinstanzlicher Korrektur nur zugänglich, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also bei Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung (vgl. zu diesen Rechtsbegriffen <ref-ruling> E. 5.1 S 73 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
4.2.2.3 Die IV-Stelle übersieht, dass nicht nur die faktische Einhändigkeit sondern auch - wie vorliegend - die Beschränkung der dominanten Hand als Zudienhand nach der Rechtsprechung Tatbestände einer erheblich erschwerten Verwertbarkeit der Arbeitsfähigkeit auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt darstellen. Wohl bestehen genügend realistische Betätigungsmöglichkeiten für derartig beeinträchtigte Personen, dennoch ist anzunehmen, dass sie gegenüber gesunden Mitbewerbern lohnmässig deutlich benachteiligt werden können. Daher hat das Bundesgericht verschiedentlich, worauf die Vorinstanz zutreffend hinwies, bei Versicherten, die ihre dominante Hand gesundheitlich bedingt nur sehr eingeschränkt, beispielsweise nur mehr als Zudienhand, einsetzen können, einen gesamthaften Abzug von 20 oder gar 25 % als angemessen bezeichnet (Urteil 8C_1050/2009 vom 28. April 2008 E. 3.4 und 4.2, je mit Hinweisen; zuletzt Urteil 8C_819/2010 vom 7. April 2011 E. 6.4 f.). Angesichts dieser Praxis ist nicht ersichtlich, inwiefern das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt haben soll. Sein Ergebnis, es sei von einem Invalideneinkommen von Fr. 48'136.90 (Fr. 60'171.10 x 0.8) auszugehen, ist daher nicht zu beanstanden.
4.3 Die Gegenüberstellung der Vergleichseinkommen gemäss <ref-law> ergibt einen Invaliditätsgrad von 37 % ([76'824.70 - 48'136.90] : 76'824.70 x 100), aufgrund dessen kein Anspruch auf Invalidenrente besteht.
5. Damit wird der Beschwerdegegner schlechter gestellt, als er es aufgrund der Verfügung vom 19. Januar 2011 (Anspruch auf eine Viertelsrente) gewesen war. Das Bundesgericht hat mit dem in E. 1.3.2 hievor zitierten BGE 9C_302/2012 vom 13. August 2012 E. 2.3.2.2 zweiter Absatz festgehalten, dass im Falle, in dem es abweichend vom kantonalen Versicherungsgericht eine rentenzusprechende Verfügung der IV-Stelle als gesetzwidrig erachtet, der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen ist, damit es der versicherten Person Gelegenheit zum Rückzug der Beschwerde gibt. Unter diesen Umständen ist auch im vorliegenden Fall die Sache zur Durchführung des Verfahrens nach <ref-law> an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
7. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 30. Mai 2012 wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der E. 5 verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. November 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Grunder