Sachverhalt:
A.
Am 12. Februar 2013 verlangte die Y._ AG in der Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, die Eröffnung des Konkurses über X._, Inhaber der Einzelunternehmung A._, in B._, für ausstehende Krankenkassenprämien (KVG) von Fr. 453.-- plus Zinsen, Bearbeitungsgebühren und Betreibungskosten. Zu der vom Regionalgericht Bern-Mitteland auf den 13. März 2013 anberaumten Sitzung war niemand erschienen. Der Gerichtspräsident sprach gleichentags den Konkurs aus. Die Kosten von Fr. 400.-- auferlegte er X._. Der verbleibende Gerichtskostenvorschuss der Gesuchstellerin von Fr. 2'500.-- überwies er dem zuständigen Konkursamt.
B.
X._ gelangte gegen das Konkurserkenntnis an das Obergericht des Kantons Bern und beantragte, auf die Durchführung des Konkurses zu verzichten. Er reichte eine Reihe von Unterlagen ein und ersuchte um eine Nachfrist mit Nennung des fehlenden Betrages, falls die Überweisung von Fr. 2'500.-- an das Obergericht zur Deckung von Schuld und Gerichtskosten nicht reichen sollte.
C.
Die Beschwerde wurde am 30. April 2013 abgewiesen und der Konkurs gleichentags eröffnet. Die erstinstanzliche Kostenregelung wurde bestätigt. Die Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens in der Höhe von Fr. 750.-- wurden X._ auflegt. Der von ihm hinterlegte Betrag von Fr. 2'500.-- wurde an das zuständige Konkursamt überwiesen.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 31. Mai 2013 beantragt X._ dem Bundesgericht, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben. Auf die Durchführung des Konkurses sei zu verzichten und es sei ihm eine kurze Nachfrist zur Tilgung der noch offenen Schuld anzusetzen.
Mit Verfügung des präsidierenden Mitgliedes vom 20. Juni 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen gewährt.
In der Sache sind keine Antworten eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen ein letztinstanzlich ergangenes Konkurserkenntnis ist die Beschwerde in Zivilsachen ohne Bindung an einen Streitwert gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. d und Art. 75 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 689).
1.2. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbständigen Begründungen, so hat sich der Beschwerdeführer sich mit jeder einzelnen auseinanderzusetzen, andernfalls auf die Beschwerde nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 6 S. 120 f.). Mit der Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Zulässig ist einzig die Rüge, dass eine Tatsachenfeststellung auf einer Rechtsverletzung beruht oder eine Tatsache offensichtlich unrichtig festgestellt worden sei (<ref-law>). Zudem kann das Bundesgericht die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>). Echte Sachverhaltsnoven, d.h. solche Tatsachen, die sich erst nach der Ausfällung des angefochtenen Entscheides verwirklicht haben, sind unzulässig (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344). Demgegenüber können im kantonalen Beschwerdeverfahren gestützt auf <ref-law> neue Tatsachen vorgebracht werden, wenn diese vor dem erstinstanzlichen Konkurserkenntnis eingetreten sind. Diese Ausnahme geht dem allgemeinen Novenverbot im Beschwerdeverfahren vor (<ref-law>; Urteil 5A_230/2011 vom 12. Mai 2011 E. 3.2.1).
2.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde geben die Voraussetzungen, unter denen eine Konkurseröffnung aufgehoben werden kann.
2.1. Die Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) kann die Konkursöffnung aufheben, wenn der Schuldner seine Zahlungsfähigkeit glaubhaft macht und durch Urkunden beweist, dass inzwischen die Schuld, einschliesslich der Zinsen und Kosten im Sinne von <ref-law> getilgt ist (vgl. GIROUD, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 21 zu Art. 174). Dazu gehören auch die durch die Beurteilung des Konkursbegehrens anfallenden Gerichtskosten (vgl. <ref-law>; alt <ref-law>) sowie eine allfällige Parteientschädigung in diesem Verfahren (<ref-ruling> E. 2.3 S. 691 f.).
2.2. Die Vorinstanz stellte fest, dass der bei ihr hinterlegte Betrag von Fr. 2'500.-- nicht genüge, die Schuld samt Zinsen und Kosten zu decken. Zum Forderungsbetrag von Fr. 453.--, dem Verzugszins bis zum Konkurserkenntnis von Fr. 19.65, der Bearbeitungsgebühr von Fr. 100.-- und den bisherigen Betreibungskosten von Fr. 121.-- kämen noch die erstinstanzlichen Gerichtskosten von Fr. 400.-- und der an das Konkursamt überwiesene Vorschuss des Gesuchstellers von Fr. 2'500.-- hinzu, mithin total Fr. 3'593.65. Es sei nicht ihre Sache, dem Beschwerdeführer eine Nachfrist zur Überweisung des Differenzbetrages anzusetzen. Zudem erfolge der Rückzug des Konkursbegehrens seitens der Gesuchstellerin nicht vorbehaltlos. Der Beschwerdeführer äussere sich schliesslich nicht zu seiner Zahlungsfähigkeit und reiche insbesondere keine Unterlagen über seine geschäftliche Tätigkeit ein. Auch lasse er sich weder zu den eingeholten Betreibungsregisterauszügen noch zu den offenen Forderungen vernehmen.
2.3. Die Berechnung der im Hinblick auf eine Abweisung des Konkursbegehrens zu tilgenden Schuld samt Zinsen und Kosten ist im vorliegenden Fall nicht zu überprüfen. Der Beschwerdeführer stellt weder einzelne Positionen noch den Gesamtbetrag in Frage. Stattdessen stellt er sich auf den Standpunkt, dass die Vorinstanz ihm eine Nachfrist zur Überweisung des Differenzbetrages hätte ansetzen müssen. Das Obergericht wies dieses Ansinnen ab, da der Beschwerdeführer sich selber innert der Beschwerdefrist über die Höhe des Ausstandes hätte erkundigen müssen. Zudem sei die Beschwerde aus anderen Gründen abzuweisen.
2.4. Weshalb die Vorinstanz ihm eine Nachfrist hätte ansetzen müssen, begründet der Beschwerdeführer mit keinem Wort. Insbesondere geht er auf die Begründung des angefochtenen Entscheides in diesem Punkt nicht ein. Zur Frage, ob die Gesuchstellerin wirksam auf die Durchführung des Konkurses verzichtet habe, nimmt der Beschwerdeführer ebenfalls nicht Stellung. Insoweit kommt er seiner Begründungspflicht nicht nach (E. 1.2).
2.5. Der Beschwerdeführer schildert stattdessen dem Bundesgericht seine aktuelle wirtschaftliche Lage. Er habe sämtliche Schulden inzwischen getilgt, was er mit den eingereichten Unterlagen belegen könne. Damit habe er als zahlungsfähig zu gelten. Insoweit erweise sich der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt als unzutreffend. Dem Beschwerdeführer kann nicht gefolgt werden, wenn er gestützt auf <ref-law> neue Beweise einreichen will. Bei den entsprechenden Belegen handelt es sich insgesamt um echte Noven, welche vom Bundesgericht nicht berücksichtigt werden können (E. 1.3). Die Zahlungsfähigkeit des Beschwerdeführers wird ausschliesslich gestützt auf diese Belege begründet. Damit kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden, den Sachverhalt unrichtig festgestellt zu haben.
2.6. Es obliegt dem Beschwerdeführer aufgrund der ihm nun zur Verfügung stehenden Unterlagen allenfalls die Möglichkeit eines Konkurswiderrufs zu prüfen (<ref-law>; vgl. BRUNNER/BOLLER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 3 ff. zu Art. 195).
3.
Nach dem Dargelegten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 1. Zivilkammer, sowie dem Handels-registeramt des Kantons Bern, dem Grundbuchamt Oberland, dem Grundbuchamt Bern-Mittelland, dem Konkursamt Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, und dem Konkursamt Oberland, Dienststelle Oberland, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante