Sachverhalt:
A.
S._ (Arbeitnehmer, Kläger, Beschwerdeführer) war seit 2002 als Taxichauffeur bei der X._ AG (Arbeitgeberin, Beklagte, Beschwerdegegnerin) tätig. Mit Schreiben vom 23. August 2010 kündigte die Arbeitgeberin dem Arbeitnehmer das Arbeitsverhältnis unter Einhaltung der gesetzlichen Kündigungsfrist von zwei Monaten auf den 31. Oktober 2010. Im Kündigungsschreiben wurde zur Begründung der Kündigung auf ein Schreiben vom 19. September 2008 verwiesen, in welchem der Arbeitnehmer im Zusammenhang mit einer Transportverweigerung verwarnt wurde, sowie auf verschiedene Meldungen seitens der Disposition, wonach der Arbeitnehmer immer wieder einzelne Fahraufträge verweigert habe. Mit Schreiben vom 27. Oktober 2010 erhob der Arbeitnehmer Einsprache gegen die Kündigung.
B.
Mit Eingabe vom 1. September 2011 erhob der Arbeitnehmer beim Regionalgericht Bern-Mittelland Klage gegen die Arbeitgeberin, mit dem im Laufe des Verfahrens abgeänderten Begehren, es sei festzustellen, dass die am 23. August 2010 ausgesprochene Kündigung missbräuchlich sei und die Arbeitgeberin sei zu verpflichten, ihm eine Entschädigung infolge missbräuchlicher Kündigung in der Höhe von Fr. 29'999.-- zu bezahlen. Mit Entscheid vom 27. April 2012 trat das Regionalgericht Bern-Mittelland auf das Feststellungsbegehren nicht ein und wies die Klage soweit weitergehend ab.
Gegen diesen Entscheid erhob der Kläger Berufung an das Obergericht des Kantons Bern. Dieses wies die Berufung mit Entscheid vom 28. Februar 2013 ab und bestätigte den Entscheid des Regionalgerichts Bern-Mittelland vom 27. April 2012.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm einen Betrag von Fr. 29'999.-- zu bezahlen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und zur Zeugeneinvernahme und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beklage beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 417 mit Hinweisen).
Der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 28. Februar 2013 ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Der für die Beschwerde in Zivilsachen in arbeitsrechtlichen Fällen erforderliche Streitwert nach Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG ist gegeben. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG) - auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Nachdem das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 4. Dezember 2006 entschied, dass Art. 17b ArG betreffend Lohn- und Zeitzuschlag auch auf angestellte Taxifahrer anwendbar sei, gelangte der Beschwerdeführer zusammen mit anderen Chauffeuren im Dezember 2007 an die Beschwerdegegnerin und verlangte die Einführung der Nachtarbeitszeitgutschrift im Betrieb für alle Nachtarbeitenden. Diese wurde per 1. April 2008 eingeführt, allerdings blieb die rückwirkende Einführung für die Vorjahre strittig. Es kam zu einem gerichtlichen Verfahren vor dem Arbeitsgericht in Bern (4. Mai 2010 und 13. September 2010) und vor dem Regionalgericht Bern-Mittelland (14. Januar 2011 sowie 25. August 2011), welches für alle Chauffeure und den Beschwerdeführer mit einem Vergleich abgeschlossen wurde.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die von der Beschwerdegegnerin am 23. August 2010 ausgesprochene Kündigung sei im Zusammenhang mit seiner Rolle als führende Kraft im laufenden Verfahren betreffend die rückwirkende Einführung von Nachtarbeitszeitgutschriften erfolgt, weshalb diese missbräuchlich sei. Eine missbräuchliche Kündigung wurde jedoch von beiden Vorinstanzen verneint.
3.
3.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG), andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 143; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
3.2. In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5 S. 401).
3.3. Diese Grundsätze verkennt der Beschwerdeführer. Seine Ausführungen erschöpfen sich weitgehend in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid. Er setzt sich zu grossen Teilen nicht oder nicht hinreichend mit dem angefochtenen Entscheid auseinander, sondern begnügt sich damit, im Wesentlichen das Gleiche, wie er bereits in den kantonalen Verfahren vorgebracht hat, erneut vorzubringen. So weicht er auch in beliebigem Ausmass von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne rechtsgenügliche Sachverhaltsrügen zu erheben.
Insbesondere legt der Beschwerdeführer seiner Beschwerdebegründung zugrunde, es sei von der Vorinstanz festgestellt worden, dass ihm, im Zusammenhang mit der Einführung der Nachtarbeitszeitgutschrift, eine "wichtige" bzw. "prominente Rolle" zugekommen sei. Dabei verkennt er jedoch, dass die Vorinstanz lediglich festgestellt hat, dass es zutreffen möge, dass ihm im Hintergrund, somit nicht direkt gegenüber der Beschwerdegegnerin eine wichtige Rolle zugekommen sei. Weitergehende Feststellungen zu seiner Rolle in diesem Zusammenhang wurden von der Vorinstanz jedoch nicht getroffen. Soweit sich der Beschwerdeführer für die Begründung seiner Rügen auf seine eigene Darstellung des Sachverhalts beruft, ist er nicht zu hören. Es ist einzig auf den durch die Vorinstanz festgestellten Sachverhalt abzustellen.
3.4. So verkennt der Beschwerdeführer auch, dass hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten eine qualifizierte Rügepflicht gilt. Er macht geltend, die Vorinstanz habe sein rechtliches Gehör verletzt (Art. 29 Abs. 2 BV), da sie die von ihm beantragten Zeugen nicht einvernommen habe. Die vier genannten Zeugen hätten Wesentliches zur Frage beitragen können, welchen Wissensstand die Beschwerdegegnerin von der Rolle des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit dem Nachtarbeitszeitgutschriften-Streit gehabt habe.
Das Gericht kann ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs Beweisanträge ablehnen, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener antizipierter Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f.; je mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin nicht gewusst habe, welche Rolle dem Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Einführung der Nachtarbeitszeitgutschrift zugekommen sei. Zwischen der Beschwerdegegnerin und dem Beschwerdeführer bzw. den betroffenen Chauffeuren, sei es seit dem 1. April 2008 - seit der Einführung der Nachtarbeitszeitgutschrift - zu keiner erneuten Besprechung gekommen. Die Kontakte bezüglich der rückwirkenden Einführung der Gutschrift seien nur noch über die jeweils mandatierten Rechtsanwälte und das zuständige Gericht gelaufen. Der Beschwerdeführer habe selber angegeben, dass er sein Engagement betreffend die Nachtarbeitszeitgutschriften in seiner Freizeit wahrgenommen habe, weshalb es für die Beschwerdegegnerin nicht ersichtlich gewesen sei, dass er im Hintergrund massgeblich beteiligt gewesen sei. Da die Beschwerdegegnerin keine Kenntnis von seiner Rolle gehabt habe, würde sich die Einvernahme von weiteren Zeugen zum Nachweis der führenden Rolle des Beschwerdeführers erübrigen.
Der Beschwerdeführer zeigt keineswegs auf, inwiefern die vorweggenommene Beweiswürdigung der Vorinstanz willkürlich gewesen wäre. Er legt weder dar, inwiefern eine Zeugeneinvernahme hinsichtlich der Kenntnis der Beschwerdegegnerin bezüglich seiner Rolle im Nachtarbeitszeitgutschriften-Streit geboten gewesen wäre noch was die Zeugen zu seiner Rolle hätten aussagen können und inwiefern dies für den Ausgang des Verfahrens relevant gewesen wäre. Im Übrigen missachtet der Beschwerdeführer, dass einer der genannten Zeugen, R._, entgegen seinen Ausführungen im erstinstanzlichen Verfahren als Zeuge einvernommen wurde. Eine Gehörsverletzung ist nicht dargetan.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung bzw. eine fehlerhafte Auslegung von Art. 336 Abs. 2 lit. a OR. Dabei macht er geltend, die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass die bloss faktische Ausübung einer gewerkschaftlichen Tätigkeit vom Schutzbereich von Art. 336 Abs. 2 lit. a OR nicht erfasst sei: Sämtliche gewerkschaftliche Tätigkeiten, somit auch faktische, seien vom Anwendungsbereich dieser Norm erfasst. Eine solche habe der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit den Nachtarbeitszeitgutschriften wahrgenommen, weshalb die Kündigung missbräuchlich sei.
4.1.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, der Beschwerdeführer habe zwar nach eigenen Angaben im Mai 2008 die Gewerkschaft Y._ angefragt, als die Interessengemeinschaft Nachtarbeitszeitgutschriften, bestehend aus dem Beschwerdeführer und drei weiteren Delegierten der Chauffeure und die Geschäftsleitung der Beschwerdegegnerin in den Gesprächen um die rückwirkende Einführung der Nachtarbeitszeitgutschrift nicht mehr weitergekommen seien. Der Beschwerdeführer habe aber nie geltend gemacht, dass er selbst für die Gewerkschaft Y._ tätig geworden sei. So sei denn die Gewerkschaft gegenüber der Beschwerdegegnerin auch nie in Erscheinung getreten.
Eine bloss faktische Ausübung einer gewerkschaftlichen Tätigkeit sei vom Schutzbereich von Art. 336 Abs. 2 lit. a OR nicht erfasst; selbst wenn der Beschwerdeführer betreffend die Durchsetzung von rückwirkenden Nachtarbeitszeitgutschriften von der Gewerkschaft Y._ im Hintergrund unterstützt worden wäre, habe dies in jedem Fall nicht das Motiv der Kündigung darstellen können, da die Beschwerdegegnerin keine Kenntnis davon hatte.
4.1.2. Eine Verletzung von Art. 336 OR ist nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer führt in seiner Beschwerdebegründung keineswegs aus, worin sich eine solche faktische gewerkschaftliche Tätigkeit ergeben hätte. Eine solche wurde von der Vorinstanz auch nicht festgestellt. Er verkennt überdies, dass eine Kündigung bei gewerkschaftlicher Tätigkeit nicht per se missbräuchlich ist, sondern nur, wenn diese das Kündigungsmotiv war.
Das Motiv einer Kündigung ist Tatfrage, das Bundesgericht ist an die Feststellungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 2a S. 88 mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat verbindlich festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin von der Rolle des Beschwerdeführers, im Zusammenhang mit der rückwirkenden Einführung der Nachtarbeitszeitgutschriften, keine Kenntnis hatte. Demnach konnte auch eine faktische gewerkschaftliche Tätigkeit nicht das Motiv einer Kündigung sein. Die Rüge ist unbegründet.
4.2. Weiter rügt der Beschwerdeführer, die Kündigung sei missbräuchlich, da die Beschwerdegegnerin ihre Fürsorgepflichten verletzt habe. Dabei bringt der Beschwerdeführer unter Hinweis auf <ref-ruling> bzw. auf die Kommentierung dieses Entscheides durch Thomas Koller (in: ZBJV 144/2008 S. 342 ff.) vor, die Beschwerdegegnerin habe die Kündigung ausgesprochen, ohne den Beschwerdeführer vorher anzuhören und ohne einen Versuch zu unternehmen, die Situation im Betrieb zu entspannen. Es bestehe gestützt auf diese Rechtsprechung bzw. die Kommentierung des Entscheides ein Anspruch darauf, dass eine Kündigung vorgängig angekündigt und der Arbeitnehmer dazu angehört werde. Darin sei eine Verletzung von Art. 328 OR zu erblicken.
4.2.1. Die Vorinstanz hat erwogen, dass keine Pflicht seitens des Arbeitgebers bestehe, die Arbeitnehmer vor deren Entlassung anzuhören. Dem Beschwerdeführer seien mehrere Pflichtverletzungen vorgeworfen worden, welche zur Kündigung geführt haben. Des weiteren sei er vor der Kündigung mehrfach verwarnt worden, weshalb nicht gesagt werden könne, dass die Kündigung ohne jegliches Vorgespräch erfolgt sei. Wenn eine Kündigung wegen der Verletzung arbeitsvertraglicher Pflichten erfolge, könne der Arbeitgeberin keine Verletzung der Fürsorgepflicht vorgeworfen werden. Ohnehin sei der zu beurteilende Fall mit dem vom Beschwerdeführer zitierten <ref-ruling> nicht vergleichbar, weshalb er daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten könne.
4.2.2. Für die Rechtmässigkeit einer Kündigung bedarf es grundsätzlich keiner besonderen Gründe, da das schweizerische Arbeitsrecht vom Prinzip der Kündigungsfreiheit ausgeht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 116 mit Hinweisen). Missbräuchlich ist eine Kündigung nur, wenn sie aus bestimmten unzulässigen Gründen ausgesprochen wird, welche in Art. 336 OR umschrieben werden, wobei diese Aufzählung nicht abschliessend ist. Grundsätzlich knüpft der sachliche Kündigungsschutz am Motiv der Kündigung an. Die Missbräuchlichkeit kann sich aber auch aus der Art und Weise ergeben, wie die kündigende Partei ihr Recht ausübt. Auch wenn eine Partei die Kündigung rechtmässig erklärt, muss sie das Gebot schonender Rechtsausübung beachten. Sie darf insbesondere kein falsches und verdecktes Spiel treiben, das Treu und Glauben krass widerspricht (<ref-ruling> E. 4.2 S. 538 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 73; <ref-ruling> E. 4b/cc S. 166 f.).
4.2.3. Wie die Vorinstanz zu Recht festgehalten hat, ist der zu beurteilende Fall nicht mit demjenigen in <ref-ruling> vergleichbar; das Bundesgericht erwog im erwähnten Entscheid, dass gegenüber einem Arbeitnehmer, der sein gesamtes Arbeitsleben im Wesentlichen klaglos für eine einzige Arbeitgeberin tätig gewesen sei, eine erhöhte Fürsorgepflicht gelte. Dazu gehöre die Sorge dafür, einem wenige Monate vor der ordentlichen Pensionierung stehenden Arbeitnehmer zu ermöglichen, seine Arbeitstätigkeit ohne finanzielle Einbussen zu beenden, sofern nicht gewichtige Gründe nach einer anderen Beendigung des Arbeitsverhältnisses rufen würden (<ref-ruling> E. 5.3 S. 121).
Der Beschwerdeführer war - anders als im zitierten <ref-ruling> - nicht sein ganzes Arbeitsleben für die Beschwerdegegnerin tätig, noch stand er mit seinen 53 Jahren im Zeitpunkt der Kündigung wenige Monate vor seiner Pensionierung, weshalb nicht von einer erhöhten Fürsorgepflicht der Beschwerdegegnerin auszugehen ist. Der Beschwerdeführer bringt denn auch nicht vor, dass und inwiefern eine solche bestanden hätte. Der Beschwerdeführer wurde unbestrittenermassen vor seiner Kündigung mehrmals durch die Beschwerdegegnerin verwarnt, dies etwa für den Vorfall an Silvester 2009 und wegen des falschen Ausfüllens der Kontrollkarten. Die Beschwerdegegnerin hat dem Beschwerdeführer damit klar zu erkennen gegeben, dass er seine arbeitsvertraglichen Pflichten verletzt hat. Diese Pflichtverletzungen durch den Beschwerdeführer haben denn auch zur Kündigung geführt.
Demnach kann dem Beschwerdeführer nicht gefolgt werden, wenn er vorbringt, die Beschwerdegegnerin habe nichts unternommen, um die Situation zu entspannen. Die Kündigung ist nicht aus Gründen erfolgt, die sich aus der Person des Beschwerdeführers ergeben. Auch geht es nicht um einen Streit des Beschwerdeführers mit seinen Kollegen oder mit der Beschwerdegegnerin. Vielmehr hat der Beschwerdeführer diverse arbeitsvertragliche Pflichten verletzt. Unter diesen Umständen kann der Beschwerdegegnerin nicht vorgeworfen werden, geeignete Vorkehren zur Entspannung des Arbeitsklimas unterlassen zu haben. Die Vorinstanz hat eine missbräuchliche Kündigung zu Recht verneint.
4.3. Schliesslich bringt der Beschwerdeführer vor, "das Nachschieben von Kündigungsgründen in dieser Art und Weise und in diesem Ausmass" sei nicht zulässig. Die Beschwerdegegnerin habe "klammheimlich" während acht Monaten Gründe für eine Kündigung "gesammelt", um später gestützt auf diese angeblichen vorhandenen "Vorfälle"eine Kündigung auszusprechen. Es könne nicht sein, dass der Arbeitgeber nach erfolgter Kündigung dem Gericht diese "Vorfälle präsentiere", ohne dass sich der Arbeitnehmer jemals während laufendem Arbeitsverhältnis dazu habe äussern können.
4.3.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin im Rahmen des Gerichtsverfahrens weitere Gründe - neben denen im Kündigungsschreiben genannten - vorgebracht habe, die zur Kündigung geführt haben. Darunter das Fehlverhalten des Beschwerdeführers an Silvester 2009 und die zweimalige Verwarnung wegen falschen Ausfüllens der Kontrollkarten.
Obwohl der Beschwerdeführer einige ihm gegenüber erhobene Vorwürfe bestritten habe, habe er dennoch einige anerkannt. Insgesamt sei der Beschwerdegegnerin damit der Beweis gelungen, dass das Motiv für die Kündigung in den anerkannten Pflichtverletzungen durch den Beschwerdeführer lagen; weiterer Beweismassnahmen zur Abklärung der einzelnen Vorfälle bedürfe es unter diesen Umständen nicht.
4.3.2. Die Rüge des Beschwerdeführers ist unbegründet. Das Nachschieben von Kündigungsgründen ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zulässig (<ref-ruling> E. 4a S. 314; <ref-ruling> E. 3c S. 29 f.), solange es sich um Ereignisse handelt, welche sich vor dem Aussprechen der Kündigung gehandelt haben (vgl. Urteil 4A_559/2012 vom 18. März 2013 E. 5.1.2). Der Beschwerdeführer bringt nicht vor, dass es sich bei den "nachgeschobenen Kündigungsgründen" um Vorfälle handeln würde, die sich nach der Kündigung zugetragen haben. Ohnehin hat die Vorinstanz nicht festgestellt, um was für Vorfälle es sich dabei genau handelt und ob sich diese so ereignet haben, wie von der Beschwerdegegnerin dargestellt. Denn ausschlaggebend ist, dass das Motiv der Kündigung in den (zumindest teilweise) anerkannten Pflichtverletzungen durch den Beschwerdeführer lag.
4.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Kündigung der Beschwerdegegnerin nicht aus missbräuchlichen Gründen erfolgte, weshalb dem Beschwerdeführer kein Entschädigungsanspruch zusteht.
5.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juni 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze