Sachverhalt:
A. Die 1966 geborene S._, Mutter eines 2005 geborenen Sohnes, meldete sich im Oktober 2006 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 2. Februar 2009 sprach ihr die IV-Stelle Basel-Stadt eine ganze Invalidenrente vom 1. März 2007 bis 31. August 2008 und eine halbe Invalidenrente ab 1. September 2008 bei einem Invaliditätsgrad von 55 % zu. Im März 2010 leitete die Verwaltung von Amtes wegen ein Revisionsverfahren ein, wobei sie neu einen Invaliditätsgrad von 34 % ermittelte. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob sie die Rente mit Verfügung vom 23. März 2012 auf das Ende des der Zustellung folgenden Monats auf.
B. Mit Entscheid vom 28. November 2012 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die dagegen erhobene Beschwerde (teilweise) gut, hob die Verfügung vom 23. März 2012 auf und sprach der Versicherten ab 1. Mai 2012 eine Viertelsrente zu.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 28. November 2012 sei aufzuheben und die Verfügung vom 23. März 2012 zu bestätigen. Zudem ersucht sie darum, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und unentgeltliche Rechtspflege beantragen. Das kantonale Gericht verlangt ebenfalls die Abweisung, das Bundeamt für Sozialversicherungen hingegen die Gutheissung des Rechtsmittels.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat die Verfügung vom 2. Februar 2009 in Bezug auf die Statusfrage für zweifellos unrichtig gehalten und somit deren wiedererwägungsweise Aufhebung durch die IV-Stelle (vgl. <ref-law>) implizite bestätigt. Unter Verweis auf den Abklärungsbericht Haushalt vom 2. März 2011 hat sie die Versicherte als ohne gesundheitliche Beeinträchtigung zu 80 % erwerbstätig klassifiziert und die Invalidität nach der gemischten Methode (<ref-law>) bemessen.
Für den Erwerbsbereich hat das kantonale Gericht gestützt auf das Gutachten des Dr. med. F._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 29. August 2011 festgestellt, es sei weiterhin von einer 50 prozentigen Restarbeitsfähigkeit der Versicherten in angepassten Tätigkeiten auszugehen. Das Valideneinkommen hat es, ausgehend vom zuletzt tatsächlich erzielten Verdienst, auf Fr. 41'964.- festgesetzt. Für das Invalideneinkommen hat es den Tabellenlohn der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung des Bundesamtes für Statistik (LSE) herangezogen (Tabelle TA 1, Total Frauen, Anforderungsniveau 4) und nach Berücksichtigung der betriebsüblichen Wochenarbeitszeit sowie der gesundheitlichen Einschränkung eine Parallelisierung um 6,23 % (<ref-ruling> E. 5.1 S. 300 f. und E. 6.1.3 S. 304) vorgenommen. Vom resultierenden Betrag von Fr. 24'722.79 hat es 10 % abgezogen (<ref-ruling> E. 5 S. 78 ff.) mit der Begründung, die Versicherte sei wegen ihrer Depression auf einen verständnisvollen Arbeitgeber angewiesen; zudem habe die IV-Stelle anlässlich der Rentenzusprechung im Februar 2009 ebenfalls einen leidensbedingten Abzug von 10 % gewährt. Somit hat das kantonale Gericht das Invalideneinkommen auf Fr. 22'250.50 festgesetzt, woraus sich ein - gewichteter - Invaliditätsgrad von (gerundet) 38 % ergibt.
Was den Haushaltsbereich anbelangt, so lässt sich dem Abklärungsbericht Haushalt vom 2. März 2011 eine Einschränkung von 23 % entnehmen. Die Vorinstanz hat zwar festgestellt, dass Dr. med. F._ und der Facharzt des Regionalen Ärztlichen Dienstes aus rein psychiatrischer Sicht eine Einschränkung in dieser Höhe nicht nachvollziehen konnten. Sie hat indessen trotzdem auf den Abklärungsbericht Haushalt abgestellt mit dem Hinweis, dass bei Verwertung der attestierten Restarbeitsfähigkeit eine volle Leistungsfähigkeit im Haushalt nicht wahrscheinlich sei. Nach entsprechender Gewichtung beträgt der Invaliditätsgrad im Haushalt 4,6 %. Bei einem resultierenden Gesamtinvaliditätsgrad von (gerundet) 43 % hat die Vorinstanz einen Anspruch auf eine Viertelsrente (<ref-law>) bejaht.
2.2 Die IV-Stelle hält bei der Festsetzung des Invalideneinkommens einen Abzug vom Tabellenlohn für unzulässig. Zudem ist sie der Auffassung, für die Beeinträchtigung im Haushalt sei nicht der Abklärungsbericht, sondern die fachärztliche Einschätzung ausschlaggebend.
3. 3.1 Wird das Invalideneinkommen auf der Grundlage von statistischen Durchschnittswerten ermittelt, ist der entsprechende Ausgangswert (Tabellenlohn) um maximal 25 % zu kürzen, wenn persönliche und berufliche Merkmale wie Art und Ausmass der Behinderung, Lebensalter, Dienstjahre, Nationalität resp. Aufenthaltskategorie oder Beschäftigungsgrad Auswirkungen auf die Lohnhöhe haben und die versicherte Person deswegen die verbliebene Arbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten kann (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301; <ref-ruling> E. 5b/aa-cc S. 80).
Die Frage, ob ein Abzug vorzunehmen sei, ist eine vom Bundesgericht frei zu prüfende Rechtsfrage (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 72).
Die Frage, ob ein Abzug vorzunehmen sei, ist eine vom Bundesgericht frei zu prüfende Rechtsfrage (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 72).
3.2 3.2.1 Nach einer Einkommensparallelisierung fällt in der Regel lediglich ein behinderungsbedingter Abzug in Betracht, da dieselben invaliditätsfremden Faktoren nicht nochmals im Leidensabzug berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 5.3 S. 302). Die Rechtsprechung gewährt insbesondere dann einen Abzug auf dem Invalideneinkommen, wenn eine versicherte Person selbst im Rahmen körperlich leichter Hilfsarbeitertätigkeit in ihrer Leistungsfähigkeit eingeschränkt ist (<ref-ruling> E. 5a/bb S. 78). Sind hingegen leichte bis mittelschwere Arbeiten zumutbar, ist allein deswegen auch bei eingeschränkter Leistungsfähigkeit noch kein Abzug gerechtfertigt, weil der Tabellenlohn im Anforderungsniveau 4 bereits eine Vielzahl von leichten und mittelschweren Tätigkeiten umfasst (Urteile 9C_187/2011 vom 30. Mai 2011 E. 4.2.1; 9C_72/2009 vom 30. März 2009 E. 3.4). Eine psychisch bedingt verstärkte Rücksichtnahme seitens Vorgesetzter und Arbeitskollegen ist bisher von der Gerichtspraxis nicht als eigenständiger abzugsfähiger Umstand anerkannt worden (SVR 2010 IV Nr. 28 S. 87, 9C_708/2009 E. 2.3.2; Urteil 8C_712/2012 vom 30. November 2012 E. 4.2.1).
3.2.2 Dem der Verfügung vom 2. Februar 2009 zugrunde liegenden tridisziplinären Gutachten des Universitätsspitals X._ vom 24. Juni 2008 lässt sich entnehmen, dass der Versicherten unter rheumatologischen und neurologischen Aspekten, wie auch in gesamtmedizinischer Betrachtung, leichte und mittelschwere, wechselbelastende Tätigkeiten ohne längeres Arbeiten über Kopf zu 50 % zumutbar waren. Daran hat sich gemäss verbindlicher (E. 1) vorinstanzlicher Feststellung (E. 2.1) bis zum Erlass der Verfügung vom 23. März 2012 nichts Wesentliches verändert. Inwiefern die Beschwerdeführerin über die attestierte Arbeitsunfähigkeit hinaus in der Ausübung einer leidensadaptierten Tätigkeit eingeschränkt sein soll, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht dargelegt. In Bezug auf das Verständnis eines allfälligen Arbeitgebers sind keine Gründe für eine Änderung der Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3 S. 8; <ref-ruling> E. 3 S. 82; <ref-ruling> E. 3.3 S. 76) auszumachen in dem Sinn, dass eine psychiatrische Diagnose regelmässig eine Lohnminderung begründen würde. Ein leidensbedingter Abzug ist daher grundsätzlich nicht angezeigt.
3.3 Der Umstand, dass die IV-Stelle in der Verfügung vom 2. Februar 2009 einen Abzug von 10 % berücksichtigte, rechtfertigt nicht, hier gleich vorzugehen. Einerseits wurde die genannte Verfügung wegen zweifelloser Unrichtigkeit wiedererwägungsweise aufgehoben (E. 2.1), was die Beschwerdegegnerin nicht beanstandet hat und mit Blick auf <ref-law> als bundesrechtskonform erscheint. Anderseits ist nicht nachvollziehbar und legt die Versicherte auch nicht dar (vgl. <ref-law>), weshalb es im konkreten Fall gegen das Gebot von Treu und Glauben resp. den Vertrauensgrundsatz (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6.1 S. 636, E. 6.1; <ref-ruling> E. 5 S. 480 f.) verstossen oder sonstwie willkürlich sein soll (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen), wenn die Verwaltung ein bestimmtes Element der Invaliditätsbemessung für die Zukunft nicht mehr unrichtig handhaben will. Schliesslich ist mit Bezug auf die von der Beschwerdegegnerin ebenfalls angerufene Rechtsgleichheit (<ref-law>) eine einheitliche Anwendung der in der Rechtsprechung entwickelten Regeln (E. 3.2.1) geradezu geboten.
3.4 Bei diesem Ergebnis kann offenbleiben, ob die Vorinstanz die Invalidität im Haushalt zutreffend ermittelt hat: Wird dem Valideneinkommen von Fr. 41'964.- ein Invalideneinkommen von Fr. 24'722.79 gegenübergestellt (E. 2.1), beträgt der mit 80 % gewichtete Invaliditätsgrad im Erwerbsbereich 32,87 %. Bei unveränderter Berücksichtigung der Einschränkung im Haushalt von 4,6 % resultiert gesamthaft ein Invaliditätsgrad von höchstens 37 % (gerundet), was den Anspruch auf eine Invalidenrente ausschliesst (<ref-law>). Die Beschwerde ist begründet.
4. Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 28. November 2012 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle Basel-Stadt vom 23. März 2012 bestätigt.
2. Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Dr. Michael Kull wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'000.- ausgerichtet.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Mai 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann