Sachverhalt:
A.
A.a. Über X._ wurde am 23. Oktober 2013 infolge Insolvenzerklärung der Konkurs eröffnet. Am 8. Januar 2014 teilte das Konkursamt Y._ der Schuldnerin mit, dass die Konkurseröffnung bzw. die Durchführung des Konkurses im summarischen Verfahren und der Schuldenruf im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB), im Amtsblatt des Kantons Zürich und in der Lokalzeitung "A._" publiziert werden.
A.b. Mit Eingabe vom 18. Januar 2014 erhob X._ Beschwerde beim Bezirksgericht Meilen als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde über die Konkursämter. Sie stellte den Antrag, das Konkursamt sei anzuweisen, von der Publikation in der Lokalzeitung "A._" abzusehen. Mit Beschluss vom 14. Mai 2014 wies die untere Aufsichtsbehörde die Beschwerde ab.
B.
Gegen den Entscheid der unteren Aufsichtsbehörde gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, welches die Beschwerde mit Urteil vom 20. Mai 2014 abwies.
C.
Mit Eingabe vom 2. Juni 2014 hat X._ Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht. Die Beschwerdeführerin verlangt, das Urteil der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde vom 20. Mai 2014 sei aufzuheben und das Konkursamt sei anzuweisen, von der Publikation des Schuldenrufes in der Lokalzeitung "A._" abzusehen. Weiter hat sie sinngemäss um aufschiebende Wirkung ersucht.
Mit Präsidialverfügung vom 19. Juni 2014 wurde das Konkursamt angewiesen, den Schuldenruf im "A._" einstweilen zu unterlassen.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde, welcher die Anordnung der Publikation des Schuldenrufes und damit eine Verfügung gemäss <ref-law> zum Gegenstand hat. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Die vorliegende Beschwerde ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin als Schuldnerin ist zur Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich legitimiert (<ref-law>). Die Beschwerde gegen den letztinstanzlichen Entscheid ist fristgemäss erhoben worden (Art. 75 Abs. 1, Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG) und grundsätzlich zulässig.
1.2. Mit vorliegender Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Hingegen ist das Bundesgericht an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Zulässig ist einzig die Rüge, dass eine Tatsachenfeststellung auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhe oder eine Tatsache offensichtlich unrichtig festgestellt worden sei (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398, mit Hinweisen).
2.
Die obere Aufsichtsbehörde hat erwogen, dass nach der Praxis im Kanton Zürich und gemäss kantonaler Konkursverordnung die öffentlichen Bekanntmachungen der Konkursämter nicht nur im SHAB und im Amtsblatt des Kantons, sondern auch in dem am Wohnort verbreiteten lokalen Publikationsorgan veröffentlicht werden. Die von der Beschwerdeführerin angeführten gesundheitlichen und sozialen Gründe würden für eine Ausnahme von der lokalen Publikation nicht ausreichen. Dass ihr der Betreibungsbeamte zugesichert habe, es würde keine lokale Publikation erfolgen, sei eine neue und unzulässige Behauptung; zudem würde sich die Nichtpublikation zulasten der Gläubiger auswirken, was im konkreten Fall nicht angehe. Die lokale Publikation sei rechtskonform.
3.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die öffentliche Bekanntmachung des Konkurses bzw. Schuldenrufes in der lokalen Zeitung. Die obere Aufsichtsbehörde hat die Publikation des Konkurses bzw. Schuldenrufes in der Lokalzeitung "A._" in der Wohngemeinde der Beschwerdeführerin bestätigt. Die Beschwerdeführerin bringt im Wesentlichen vor, die lokale Bekanntmachung des Konkurses bzw. Schuldenrufes verletze ihre Persönlichkeitssphäre, zumal sie gesundheitliche Beschwerden habe und in einer schwierigen Ehescheidung stehe, und führe dazu, dass sie und ihre Kinder sich im Ort, wo sie gut integriert seien, schämen müssten.
3.1. Das Gesetz sieht vor, dass das Konkursamt die Konkurseröffnung öffentlich bekannt macht (<ref-law>) und die öffentliche Bekanntmachung im SHAB und im betreffenden kantonalen Amtsblatt erfolgt (<ref-law>). Wenn die Verhältnisse es erfordern, kann die Bekanntmachung auch durch andere Blätter oder auf dem Wege des öffentlichen Ausrufs geschehen (<ref-law>). Ob eine öffentliche Bekanntmachung ergänzend noch in weiteren Blättern erfolgen soll, ist in das Ermessen des Zwangsvollstreckungsorganes gestellt (<ref-ruling> S. 9). Die obere kantonale Aufsichtsbehörde (<ref-law>) hat die Bestimmung, d.h. Abs. 2 von <ref-law>, in einer Verordnung dahingehend konkretisiert, dass die öffentlichen Bekanntmachungen "in der Regel auch in einem am Wohnsitz oder Sitz des Schuldners verbreiteten lokalen Publikationsorgan zu veröffentlichen sind" (§ 7 der Verordnung des Obergerichts über die Geschäftsführung der Konkursämter vom 9. Dezember 1998; LS 281.2). Zu Recht ist unbestritten, dass das Konkursamt zur öffentlichen Bekanntmachung des Konkurses im SHAB und im Amtsblatt des Kantons verpflichtet ist. Die Lokalzeitung "A._" dient unstrittig als amtliches Publikationsorgan von B._, einer mittelgrossen Gemeinde mit ca. 12'000 Einwohnern. Die Beschwerdeführerin kritisiert die Vorinstanz, weil sie die Ausnahme von der Publikation an ihrem Wohnort verneint habe.
3.2. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> entschieden, dass ein Schuldner die Publikation einer konkursrechtlichen Grundstücksteigerung gemäss <ref-law> "in den beiden auflagestärksten Bündner Zeitungen" hinnehmen müsse, da sie durch die Zwangsvollstreckung bedingt und zur Erreichung möglichst vieler Kaufinteressenten gerechtfertigt sei. Der mit der Publikation einhergehende Nachteil könne nicht mit einem krassen Eingriff in den Notbedarf, welcher den Schuldner in eine unhaltbare Lage versetzen und gegen seine Persönlichkeitsrechte verstossen würde, verglichen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 32). Vorliegend haben sich die kantonalen Instanzen in entsprechender Weise überlegt, inwieweit die Beschwerdeführerin durch die lokale Publikation in ihrer Persönlichkeit beeinträchtigt würde. Bereits die Erstinstanz hat allgemein festgehalten, dass ein Privatkonkurs für einen Schuldner wohl unangenehm, sogar beschämend sein könne. Dass wegen des Privatkonkurses "sämtliche Integrations- und Anfreundungsprozesse" der Beschwerdeführerin rückgängig gemacht würden, sei indessen nicht anzunehmen. Die von der Beschwerdeführerin angeführten gesundheitlichen und sozialen Gründe genügen auch nach Auffassung der Vorinstanz nicht, um die Ausnahme von der lokalen Publikation - zulasten möglicher Gläubiger - zu gewähren. Sie habe zwar vor der Erstinstanz medizinische Gründe genannt und ein Arztzeugnis (von Dr. C._ vom 15. Januar 2014) eingereicht, ohne sich jedoch zu äussern, inwiefern der erstinstanzliche Entscheid falsch sei. Auf diese Erwägung der oberen Aufsichtsbehörde geht die Beschwerdeführerin nicht ein. Sie legt nicht dar, inwiefern die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhe (<ref-law>). Es ist aufgrund des festgestellten Sachverhaltes nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz das ihr gemäss <ref-law> zustehende Ermessen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 324/325) überschritten bzw. missbraucht habe, wenn sie angenommen hat, es liege keine begründete Ausnahme von der Publikation im Lokalblatt vor.
3.3. Weiter hat die obere Aufsichtsbehörde festgehalten, dass die von der Beschwerdeführerin angeführten Gründe gegen die Publikation, nämlich dass ihr der Betreibungsbeamte zugesichert habe, es würde keine lokale Publikation erfolgen, neu und unzulässig seien. Ohnehin biete die unbelegte Behauptung der Beschwerdeführerin betreffend Auskunftserteilung - mit Blick auf die Interessen Dritter bzw. der Gläubiger - keine genügende Grundlage, um sich auf den Vertrauensschutz berufen zu können, zumal die Behauptung, es gebe "nur drei Gläubiger" weder belegt noch hinreichend sei. In der Beschwerdeschrift wird nicht dargelegt, inwiefern die Vorinstanz die Regeln über das Vorbringen neuer Tatsachenbehauptungen im Verfahren vor der oberen Aufsichtsbehörde (Art. 18, Art. 20a SchKG) verletzt habe, wenn sie das Vorbringen als verspätet und unbeachtlich erachtet hat. Ebenso wenig wird auseinandergesetzt, inwiefern die Vorinstanz gegen Treu und Glauben (<ref-law>) verstossen habe, wenn sie die Interessen der allfälligen weiteren (Konkurs-) Gläubiger an der lokalen Publikation berücksichtigt hat. Insoweit genügt die Beschwerdebegründung den Anforderungen nicht.
4.
Der Beschwerde ist insgesamt kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Entschädigungspflicht entfällt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. September 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante