Sachverhalt:
A. X._ wird vorgeworfen, am 4. Juli 2008 den Polizeibeamten A._ ans Bein gespuckt und diesem im Beisein von Schaulustigen und B._ gesagt zu haben: "Härr A._ sie sind en absolute Nazi! Genau glich schlimm!" An jenem Tag hatte eine Gruppe mit dem Namen "Brot und Äktschn" in das leerstehende Hardturmstadion einzudringen versucht, um dort eine Gegenveranstaltung zur damals in der Schweiz und Österreich stattfindenden Fussballeuropameisterschaft 2008 durchzuführen. Es kam zu einem Polizeieinsatz, den X._, der laut eigenen Angaben zufällig vor Ort war, als Pressefotograf dokumentierte. A._, der als Polizist im Einsatz war, fühlte sich durch X._ bei der Erfüllung seines Auftrages behindert und wollte ihn deshalb festnehmen. X._ setzte sich jedoch zur Wehr und wurde in der Folge durch die Beamten zu Boden geführt und arretiert. Danach, auf dem Boden sitzend und die Hände mit Handschellen auf dem Rücken gefesselt, soll X._ die fraglichen Handlungen und Äusserungen getan haben.
B. Das Bezirksgericht Zürich, Einzelrichterin in Strafsachen, sprach X._ mit Entscheid vom 10. Juli 2009 der üblen Nachrede sowie der Beschimpfung schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 21 Tagessätzen zu CHF 30.00. Auf Berufung von X._ bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, am 13. April 2010 die erstinstanzlichen Schuldsprüche und verurteilte X._ zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 10 Tagessätzen zu CHF 30.00.
C. X._ reichte am 24. August 2010 Beschwerde in Strafsachen ein mit den Anträgen, das Berufungsurteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Strafkammer, sei aufzuheben. Er sei von Schuld und Strafe freizusprechen, oder die Angelegenheit sei im Sinne der Erwägungen zur Neuentscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>), eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs im Rahmen des Beweisverfahrens (<ref-law>) sowie die Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) vor.
1.2 Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>, vgl. auch <ref-law>). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 39).
<ref-law> gewährleistet den Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür behandelt zu werden. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis verfassungswidrig ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 5.4 S. 148; je mit Hinweisen).
1.3 Der Grundsatz des rechtlichen Gehörs als persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die grundsätzliche Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Dabei muss sich der Richter nicht mit allen tatsächlichen Behauptungen und rechtlichen Einwänden auseinandersetzen. Er kann sich vielmehr auf die für seinen Entscheid erheblichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen).
Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> umfasst unter anderem das Recht des Betroffenen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 272 mit Hinweisen). Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgt, dass der Richter rechtzeitig und formrichtig angebotene erhebliche Beweismittel abzunehmen hat (<ref-ruling> E. 2 S. 242 mit Hinweisen). Das Gericht kann auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen darf, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen).
1.4 Als Beweiswürdigungsregel besagt der in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK verankerte Grundsatz "in dubio pro reo", dass sich der Strafrichter nicht von der Existenz eines für den Beschuldigten ungünstigen Sachverhalts überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel bestehen, ob sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Bloss abstrakte und theoretische Zweifel sind hingegen nicht massgebend, weil solche immer möglich sind und absolute Gewissheit nicht verlangt werden kann. Inwiefern dieser Grundsatz verletzt ist, prüft das Bundesgericht unter dem Gesichtspunkt der Willkür (<ref-ruling> E. 2a S. 41 mit Hinweisen).
2. 2.1 Die Vorinstanz sieht als rechtsgenüglich bewiesen an, dass der Beschwerdeführer dem Beschwerdegegner für Dritte hörbar gesagt hat: "Härr A._ sie sind en absolute Nazi! Genau glich schlimm!" (nachstehend: Verbalattacke). Zudem erachtet sie als erwiesen, dass der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner angespuckt hat (nachfolgend: Spuckattacke; angefochtener Entscheid, S. 8 f. bzw. 11).
2.2 Die Vorinstanz beurteilt diese beiden Vorfälle und benennt vorgängig sämtliche Beweismittel des Beschwerdegegners und des Beschwerdeführers (angefochtener Entscheid, S. 6 f.). Dabei hält sie einleitend fest, dass nicht von einer von Berufs wegen erhöhten Glaubwürdigkeit der Zeugen ausgegangen werden dürfe, obwohl die als Zeugen angerufenen Polizisten wie auch der Beschwerdeführer und der Zeuge C._ als Journalisten geschult seien, Wahrnehmungen zu machen und diese später wiederzugeben. Aufgrund der vorliegenden Konstellation sei gar von einer gewissen Voreingenommenheit der drei Polizisten gegenüber dem Beschwerdeführer auszugehen (angefochtener Entscheid, S. 7).
2.3 Bezüglich der Verbalattacke hält die Vorinstanz fest, dass die Schilderung des Zeugen B._ im Kerngehalt fast völlig mit den Aussagen des Beschwerdegegners übereinstimme. Zudem habe der Zeuge D._ mitbekommen, dass das Thema des Wortwechsels zwischen den Kontrahenten der Faschismus gewesen sei. Demgegenüber erscheine es weniger überzeugend, dass der Beschwerdeführer während der Verhaftung, als er sich gemäss zahlreichen Aussagen echauffierte und keinen kühlen Kopf bewahrte, lediglich auf der Sachebene - wie von der Verteidigung geschildert - einen Vergleich mit den Zuständen in einer Diktatur hergestellt haben soll (angefochtener Entscheid, S. 8 f.).
Betreffend die Spuckattacke lagen der Vorinstanz - neben der Anklage - nur die Aussagen der Zeugen B._ und E._ vor, wobei nur der Zeuge B._ direkt das Spucken beobachtet haben will, während der Zeuge E._ dies lediglich als Gesprächsthema wahrgenommen hat. Weil der Zeuge E._ kein Streifenkollege des Beschwerdegegners, nicht an der Verhaftung des Beschwerdeführers beteiligt gewesen und bei ihm zudem kein Motiv für eine Falschaussage ersichtlich sei, stellt die Vorinstanz insbesondere und primär auf die Aussage des Zeugen E._ ab (angefochtener Entscheid, S. 9 ff.).
3. Die beiden Argumentationen der Vorinstanz sind in sich geschlossen, differenziert und nachvollziehbar. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, den angefochtenen Entscheid als verfassungswidrig erscheinen zu lassen.
3.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe die von ihm eingereichten Fotografien des Polizeieinsatzes als Beweismittel nicht abgenommen (Beschwerdeschrift, S. 4). Sie habe zwar den fristgerechten Eingang dieser Beweismittel vermerkt, doch habe sie sich in ihrem Entscheid nicht damit auseinandergesetzt (Beschwerdeschrift, S. 5 f.). Diese ins Recht gelegten Fotografien würden jedoch beweisen, dass weder ein massiver Angriff von Aktivisten stattgefunden hätte, noch dass jene Flaschen gegen die Polizisten geworfen hätten. Dies widerlege die Aussagen des Beschwerdegegners und des einzigen Belastungszeugen B._ und untergrabe somit deren Glaubwürdigkeit und Glaubhaftigkeit in vorliegender Sache.
Aus diesem Grund liege bezüglich der Verbalattacke eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, weil diese Fotografien als rechtserhebliche, rechtzeitig und formgerecht angebotenen Beweismittel nicht berücksichtigt worden seien. Ebenso ergäben sich damit eine willkürliche Beweiswürdigung sowie eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" (Beschwerdeschrift, S. 6).
3.2 Die vom Beschwerdeführer angerufenen Fotografien werden im angefochtenen Entscheid nur in den prozessualen, nicht aber in den materiellen Erwägungen behandelt. Abgesehen davon, dass die vorgelegten Aufnahmen keiner genau bestimmten Phase der fraglichen Vorkommnisse zugeordnet werden können, wären diese kaum geeignet darzutun, dass keine Wurfgegenstände gegen die Polizeibeamten eingesetzt worden wären. Ihr Beweiswert ist damit gering, und es lassen sich demnach auch keine Erkenntnisse auf die Glaubwürdigkeitsbeurteilung der Polizeibeamten übertragen.
Die Vorinstanz durfte demzufolge ohne Willkür annehmen, ihre Überzeugung werde durch diesen weiteren Beweismitteleinbezug nicht geändert. Dass sich die Vorinstanz nicht mit dem Inhalt der eingereichten Fotografien auseinandersetzt, verletzt somit das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers nicht.
Die Vorinstanz nimmt die Beweiswürdigung zudem nicht willkürlich vor. Sie stützt sich bundesrechtskonform auf die erheblichen Beweismittel und Indizien und begründet ihren Entscheid eingehend. Das angefochtene Urteil ist weder offensichtlich unhaltbar, noch steht es in klarem Widerspruch zur tatsächlichen Situation. Weder Begründung noch Ergebnis sind verfassungswidrig.
Die Vorinstanz verletzt schliesslich in ihrem Entscheid auch den Grundsatz "in dubio pro reo" nicht. Erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel am zugrunde gelegten Ablauf des Sachverhalts liegen nicht vor. Solche drängen sich im vorliegenden Fall keine auf. Die vorinstanzlichen Erwägungen kommen zu einem klaren Schluss, nachdem auch die allenfalls den Beschwerdeführer entlastenden Elemente miteinbezogen worden sind.
Zusammenfassend ist bezüglich der Verbalattacke weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern der Entscheid der Vorinstanz verfassungswidrig sein soll.
3.3 Der Beschwerdeführer rügt weiter eine willkürliche Beweiswürdigung hinsichtlich der Spuckattacke sowie die Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo". Die Vorinstanz hätte diesbezüglich nicht einzig auf die Aussagen des Beschwerdegegners und des Zeugen E._ abstellen dürfen. Nicht einmal der Zeuge B._ könne die diesbezügliche Aussage des Beschwerdegegners bestätigen (Beschwerdeschrift, S. 7).
3.4 Vorab ist darauf hinzuweisen, dass die Vorinstanz in diesem Zusammenhang ausdrücklich auch auf die den Beschwerdeführer belastende Aussage B._ hinweist (angefochtener Entscheid, S. 9, Ziff. 9) und deren Verwertbarkeit und Beweiskraft nicht ausdrücklich ausschliesst. Anschliessend würdigt sie die Aussage E._ eingehend und überzeugend (angefochtener Entscheid, S. 10 f.) und kommt gestützt auf diese im Gesamtkontext zum angefochtenen Beweisergebnis. Wie diese Würdigung in klarem Widerspruch zur tatsächlichen Situation stehen soll, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht weiter ausgeführt.
Ebenso wird im Rahmen der vorliegend vorzunehmenden Willkürprüfung kein Verstoss gegen den Grundsatz "in dubio pro reo" sichtbar. Dass einseitig nur belastende Beweise berücksichtigt worden wären, trifft nicht zu.
Damit erweist sich die Beschwerde auch in diesem Punkt als unbegründet.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihm im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Januar 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Faga