Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der ägyptische Staatsangehörige X._, geboren 1961, heiratete am 5. März 1998 in Kairo eine Schweizer Bürgerin und erhielt gestützt auf Art. 7 ANAG im Kanton Basel-Stadt die Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleibs bei der Ehefrau. Mit Urteil vom 15. November 2005 stellte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht fest, dass X._ sich rechtsmissbräuchlich auf Art. 7 ANAG berufe, weil seit langem keine Lebensgemeinschaft mit seiner (mittlerweile von ihm geschiedenen) Ehefrau mehr bestehe, und auch sonst keine Gründe zur Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung vorlägen; es wies daher den von X._ gegen die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung erhobenen Rekurs ab. Das Urteil und die damit verbundene Wegweisung wurden rechtskräftig, nachdem X._ die dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde zurückgezogen hatte (Verfügung 2A.15/2006 vom 31. Januar 2006).
Am 4. April 2006 reichte X._ bei der kantonalen Fremdenpolizeibehörde ein Wiedererwägungsgesuch ein. Diese teilte ihm am 10. April 2006 mit, dass die ihm angesetzte Ausreisefrist bis zum Entscheid über ein von ihm anhängig gemachtes Einbürgerungsgesuch sistiert werde. Nachdem die Sistierung der Ausreisefrist am 5. Mai 2006 aufgehoben worden war, beschwerte sich X._ beim Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt. Dieses lehnte es am 24. Mai 2006 ab, vorsorgliche Massnahmen anzuordnen. Dagegen gelangte X._ mit Rekurs an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, welches ihn zur Bezahlung eines Kostenvorschusses aufforderte. Mit Zwischenverfügung vom 7. August 2006 wies das Appellationsgericht das Begehren von X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Rekurses ab; es setzte ihm eine nachperemptorische Frist zur Leistung des Kostenvorschusses von Fr. 1'200.-- und erstreckte die Frist zur Einreichung einer weiteren Rekursbegründung sowie zur Akteneinsichtnahme auf der Gerichtskanzlei nachperemptorisch bis zum 18. August 2006; zudem stellte es fest, dass damit auch sämtliche Sistierungsanträge abgewiesen seien.
In der Folge (am 10., 11., 21., 22., 30. und 31. August 2006) gelangte X._ mit mehreren Schreiben ans Bundesgericht, womit er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um Anordnung vorsorglicher Massnahmen ersuchte. Mit Schreiben vom 15., 22. und 31. August 2006 wurde er belehrt, dass die Anordnung vorsorglicher Massnahmen vor Eingang einer formgültigen Beschwerde ausser Betracht falle. Am 13. September 2006 hat X._ staatsrechtliche Beschwerde erhoben, womit er hauptsächlich die Aufhebung der Zwischenverfügung des Appellationsgerichts vom 7. August 2006 beantragt.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden. Das Urteil, mit dessen Ausfällung das Gesuch um aufschiebende Wirkung und (superprovisorische) vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos wird, ergeht im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG).
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden. Das Urteil, mit dessen Ausfällung das Gesuch um aufschiebende Wirkung und (superprovisorische) vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos wird, ergeht im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG).
2. 2.1 Zu prüfen ist einzig, ob das Appellationsgericht dem Beschwerdeführer in verfassungswidriger Weise die unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit seines Rekurses verweigerte. Die Aufforderung zur Bezahlung eines Kostenvorschusses ist bloss Folge dieses Entscheids; ebenso erscheint die Ablehnung von Sistierungsanträgen (in Bezug auf den Wegweisungsvollzug) bei Aussichtslosigkeit des Rekurses als naheliegend und zulässig.
2.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Dass sich aus dem kantonalen Recht ein weiter reichender Anspruch ergebe, macht der Beschwerdeführer nicht geltend.
Das Appellationsgericht hat zutreffend festgestellt, dass nach dem erst kürzlich ergangenen rechtskräftigen Urteil betreffend die Verweigerung einer Bewilligung und die Wegweisung ein Wiedererwägungsgesuch nur unter ganz besonderen Voraussetzungen (Revisionsgründe) überhaupt Aussichten auf Erfolg haben könnte. Um den Ausgang des Wiedererwägungsverfahrens in der Schweiz abwarten zu können (im Sinne der Anordnung einer vorsorglichen Massnahme), brauchte es wiederum eine ganz spezifisch geartete Interessenlage, welche die Interessen des Betroffenen als weit gewichtiger erscheinen lassen müssten als das öffentliche Interesse am Vollzug rechtskräftiger Entscheide. Diese allgemeine Umschreibung der Anforderungen an die Gewährung eines vorläufigen Ausreiseaufschubs lässt sich nicht beanstanden. Dasselbe gilt bezüglich der Anwendung dieser Kriterien auf den Fall des Beschwerdeführers. Wie er selber darlegt, ist ihm der Ausreiseaufschub allein im Hinblick auf das Einbürgerungsverfahren gewährt worden. Diesbezüglich ist nach Darstellung des Appellationsgerichts zwischenzeitlich ein Nichteintretensentscheid ergangen. Der Beschwerdeführer behauptet zwar, das Einbürgerungsverfahren sei noch hängig; diese blosse Behauptung genügt aber den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG offensichtlich nicht. Das Vorliegen des (offenbar erstinstanzlichen) Nichteintretensentscheids im Einbürgerungsverfahren darf als genügender Anlass betrachtet werden, dass die Fremdenpolizeibehörde auf den bloss im Sinne eines ausserordentlichen Entgegenkommens gewährten Wegweisungsaufschub zurückkommen konnte. Schliesslich liegt auf der Hand, dass der Beschwerdeführer nach rechtskräftigem Wegweisungsentscheid nicht für sich beanspruchen kann, zwecks Schreibens seiner Dissertation weiterhin für unbestimmte Zeit ununterbrochen in der Schweiz weilen zu dürfen. Dies gilt unabhängig davon, wann er mit der Dissertation begonnen hat. Sollte dies schon länger der Fall sein, handelte es sich um einen bereits am 15. November 2005 bekannten Umstand, der als im damaligen Urteil des Appellationsgerichts berücksichtigt zu gelten hätte. Sollte der Beschwerdeführer seine Dissertation hingegen erst kürzlich in Angriff genommen haben, wogegen spricht, dass er offenbar seit 2000 an der Universität Zürich als Doktorand eingeschrieben ist, hätte er dies im Wissen um die ihm drohende Wegweisung getan. Im Übrigen lässt sich die Auffassung des Appellationsgerichts, dass das Schreiben der fraglichen Dissertation die ununterbrochene Anwesenheit nicht erfordere, nicht beanstanden.
2.3 Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet. Sie ist, soweit darauf eingetreten werden kann, abzuweisen.
2.4 Der Beschwerdeführer ersucht auch für das Verfahren vor Bundesgericht um Kostenerlass. Dem Gesuch ist schon wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht zu entsprechen (Art. 152 OG). Damit sind, dem Verfahrensausgang entsprechend, die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Sicherheitsdepartement und dem Appellationsgericht als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. September 2006
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: