Sachverhalt:
A.
C._, geboren 1972, ist türkische Staatsangehörige, wohnt seit 1990 in der Schweiz und ist Mutter von zwei Kindern (geboren 1992 und 1998). Seit 24. September 1999 lebte sie mit ihren Kindern gerichtlich getrennt von ihrem ersten Ehegatten (Kindsvater). Von Dezember 1995 bis Januar 1998 arbeitete sie mit einem Vollpensum in der Rüstküche des Personalrestaurants X._. Wegen einer seit 1997 eingetretenen "depressiven Entwicklung mit nicht epileptischen Anfällen (Synkopen bei psychosozialer Belastung) " meldete sich C._ am 10. Dezember 1999 bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Rentenbezug an. Mit Verfügung vom 16. Januar 2002 sprach ihr die IV-Stelle rückwirkend ab 1. September 1999 bei einem Invaliditätsgrad von 100% eine ganze Invalidenrente nebst Kinderrenten zu.
A.a. Nach mehrfacher erfolgloser Abmahnung der Mitwirkungspflicht hinsichtlich der Abklärung einer offenbar zwischenzeitlich vorübergehend aufgenommenen Erwerbstätigkeit verfügte die IV-Stelle am 21. September 2007 die sofortige Einstellung der Rentenzahlungen wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht. Hiegegen liess die Versicherte innert Beschwerdefrist bei der IV-Stelle Einwände erheben. Mit Verfügung vom 15. Januar 2008 bestätigte die IV-Stelle der Versicherten die ununterbrochen fortgesetzte Weiterausrichtung der ganzen Invalidenrente ab 1. Oktober 2007. Zudem kündigte die IV-Stelle gemäss Verfügung vom 18. Januar 2008 an, aufgrund einer zwischenzeitlich eingetretenen wesentlichen Verbesserung des Gesundheitszustandes mit Wirkung ab 1. März 2008 nur noch eine halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50% auszurichten. Auf Beschwerde hin hob der Präsident des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt die angefochtene Verfügung vom 18. Januar 2008 in einzelrichterlicher Kompetenz auf (Entscheid vom 8. Mai 2008).
A.b. Nach weiteren Abklärungen - insbesondere gestützt auf das psychiatrisch-neurologische Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle Y._ vom 3. August 2009, wonach die Versicherte seit Oktober 2008 sowohl in der angestammten wie auch in einer angepassten, körperlich leichten bis maximal mittelschweren Verweisungstätigkeit ohne Selbst- und Fremdgefährdung durch Maschinen oder Absturzgefahr zu 75% arbeitsfähig sei - hob die IV-Stelle die bis dahin ausgerichtete ganze Invalidenrente rückwirkend per 1. August 2009 bei einem neu ermittelten Invaliditätsgrad von 28% auf und verneinte mangels Bedürftigkeit einen Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung (Verfügung vom 19. Januar 2012).
B.
Dagegen beantragte C._ beschwerdeweise die Aufhebung der Verfügung der IV-Stelle vom 19. Januar 2012 und die fortgesetzte Ausrichtung einer ganzen Invalidenrente. Zudem sei festzustellen, dass die Versicherte der IV-Stelle keine Rückzahlung schuldet. Letztere sei zur Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Vorbescheidverfahren zu verpflichten. Zudem sei der Versicherten für das kantonale Gerichtsverfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Demgegenüber beantragte die IV-Stelle mit Vernehmlassung vom 4. April 2012, die Beschwerde der Versicherten sei teilweise gutzuheissen, auf eine Rückforderung sei mangels Meldepflichtverletzung zu verzichten und die Einstellung der Rentenleistungen habe anschliessend an die am 19. Januar 2012 verfügte Rentenaufhebung erst per 29. Februar 2012 zu erfolgen.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 27. August 2012 teilweise gut, sprach der Versicherten mit Wirkung ab 1. Februar 2012 eine Viertelsrente zu und stellte fest, dass die Beschwerdeführerin bis Ende Januar 2012 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente habe. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der angefochtene kantonale Gerichtsentscheid sei teilweise aufzuheben, soweit der Versicherten damit ab Februar 2012 eine Viertelsrente zugesprochen worden sei, und es sei festzustellen, dass ab diesem Zeitpunkt kein Rentenanspruch mehr bestehe. Zudem ersucht die IV-Stelle darum, es sei ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Während C._ - ohne sich zum Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung zu äussern - auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 24. April 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4338). Wie die Sachverhaltsfeststellung ist auch die vorinstanzliche Ermessensbetätigung im Verfahren vor Bundesgericht nur beschränkt überprüfbar. Eine Angemessenheitskontrolle (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 81 zu Art. 132 lit. a OG [in der bis 30. Juni 2006 gültig gewesenen Fassung]) ist dem Gericht verwehrt; es hat nur zu prüfen, ob die Vorinstanz ihr Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt, mithin überschritten, unterschritten oder missbraucht hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 399; Urteil 8C_606/2010 vom 20. August 2010 E. 1).
2.
Gemäss vorinstanzlicher, für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlicher Sachverhaltsfeststellung hat sich der Gesundheitszustand der Versicherten nach Massgabe des voll beweiskräftigen Gutachtens der Medizinischen Abklärungsstelle Y._ seit der ursprünglichen Rentenzusprache in anspruchsrelevanter Weise deutlich verbessert. Rezidivierende psychogene Krampfanfälle fänden nur noch alle ein bis zwei Monate statt, eine Depression könne nach einer Beruhigung der sozialen Umstände nicht mehr diagnostiziert werden, es sei eher nur noch von einer grundlegenden Bedrücktheit im Sinne einer Dysthymie auszugehen. Aufgrund des Anfallrisikos und der Sturzgefahr seien Arbeiten an gefährlichen Maschinen und auch das Führen eines Motorfahrzeuges jedoch absolut auszuschliessen. In einer leidensangepassten Tätigkeit (vgl. auch Sachverhalt lit. A.b) sei die Beschwerdegegnerin zu 75% arbeitsfähig. Insoweit wird der angefochtene Entscheid von der Beschwerde führenden IV-Stelle nicht beanstandet.
3.
Strittig ist das Einkommen, das die Versicherte 2009 trotz der ihr verbleibenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen zumutbarerweise hätte verdienen können (Invalideneinkommen). Dabei ist einzig zu prüfen, ob das kantonale Gericht bei Ermittlung des Invalideneinkommens anhand der Durchschnittslöhne gemäss Tabelle TA1 (monatlicher Bruttolohn [Zentralwert] nach Wirtschaftsabteilungen, Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes und Geschlecht - Privater Sektor) der vom Bundesamt für Statistik (BFS) alle zwei Jahre erstellten Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) durch Erhöhung des leidensbedingten Abzugs (<ref-ruling>) von 10% auf 25% Bundesrecht verletzt hat. Während bei dem von der IV-Stelle anerkannten Leidensabzug von 10% ein klar rentenausschliessender Invaliditätsgrad von 28% resultierte, führt der vom kantonalen Gericht auf den Maximalwert von 25% erhöhte Abzug zu einem Invaliditätsgrad von 40,4%, welcher der Versicherten einen Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung vermitteln würde. Unbestritten ist demgegenüber, dass die Beschwerdegegnerin ohne Gesundheitsschaden 2009 als Vollerwerbstätige einen Jahreslohn von Fr. 49'507.- (Valideneinkommen) verdient hätte.
3.1. Wird das Invalideneinkommen - wie hier - auf der Grundlage der LSE ermittelt, ist der entsprechende Ausgangswert allenfalls zu kürzen. Ohne für jedes zur Anwendung gelangende Merkmal separat quantifizierte Abzüge vorzunehmen, ist der Einfluss aller Merkmale auf das Invalideneinkommen (leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad) unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen. Der Abzug darf 25% nicht übersteigen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 327 f.; Urteile 8C_546/2011 vom 14. November 2011 E. 4.1 und 8C_831/2010 vom 31. März 2011 E. 8.1).
3.2. Die Frage, ob eine Herabsetzung des statistischen Lohnes wegen besonderer Umstände (aufgrund der Behinderung der versicherten Person oder aus anderen Gründen) angezeigt ist, ist eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage. Demgegenüber ist die Frage nach der Höhe des (im konkreten Fall grundsätzlich angezeigten) Leidensabzuges eine typische Ermessensfrage, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur mehr dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung vorliegt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 72). Ermessensmissbrauch ist gegeben, wenn die Behörde zwar im Rahmen des ihr eingeräumten Ermessens bleibt, sich aber von unsachlichen, dem Zweck der massgebenden Vorschriften fremden Erwägungen leiten lässt oder allgemeine Rechtsprinzipien, wie das Verbot von Willkür und von rechtsungleicher Behandlung, das Gebot von Treu und Glauben sowie den Grundsatz der Verhältnismässigkeit verletzt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 73).
3.3. Die Beschwerdeführerin hat mit Verfügung vom 19. Januar 2012 aufgrund der leidensbedingten Einschränkungen (vgl. E. 2 hievor) einen Abzug von 10% berücksichtigt und verneint, dass weitere einkommensbeeinflussende Merkmale im Rahmen einer gesamthaften Schätzung (vgl. E. 3.1 hievor) einen behinderungsbedingten Abzug von mehr als 10% sachlich zu rechtfertigen vermögen. Demgegenüber hält die Vorinstanz den von der IV-Stelle gewährten leidensbedingten Abzug von 10% für zu gering mit der Begründung, die Beschwerdegegnerin sei aufgrund ihrer wiederkehrenden Ohnmachtsanfälle auf ein erhebliches Entgegenkommen eines Arbeitgebers angewiesen. Die vom Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) vermittelte vorübergehende Beschäftigung in der Küche eines Restaurants habe vom Betriebsleiter nach Kenntnisnahme des Sturzrisikos angesichts der im Betrieb vorhandenen Treppen aus Sicherheitsgründen abgebrochen werden müssen. Aufgrund dieser leidensbedingten Einschränkungen sei die Versicherte auf dem Arbeitsmarkt gegenüber gesunden Arbeitnehmerinnen erheblich benachteiligt [...], was sich lohnsenkend auswirke. Diesem Umstand sei mit einem Maximalabzug von 25% Rechnung zu tragen.
3.3.1. Das kantonale Sozialversicherungsgericht darf sein Ermessen nicht ohne triftigen Grund an die Stelle desjenigen der Verwaltung setzen, sondern muss sich auf Gegebenheiten abstützen können, welche seine abweichende Ermessensausübung als naheliegender erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 6 i.f. mit Hinweis). Ist die Angemessenheitsprüfung der Verwaltungsverfügung durch das kantonale Sozialversicherungsgericht bundesrechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 5.2 S. 74), hat es von Bundesrechts wegen bei der Prüfung der administrativen Ermessensbetätigung die verschiedenen, den Vollzugsorganen der Invalidenversicherung im Rahmen der Bestimmung des Umfanges des Tabellenlohnabzuges offenstehenden Lösungen in Betracht zu ziehen und zu beurteilen, ob ein höherer oder tieferer Abzug aus stichhaltigen Gründen angemessener erscheint, ohne jedoch sein eigenes Ermessen an die Stelle desjenigen der Verwaltung zu setzen (<ref-ruling> E. 5.2 i.f. S. 74 f.).
3.3.2. Dem angefochtenen Entscheid ist keine nachvollziehbar differenzierende Begründung dafür zu entnehmen, weshalb die IV-Stelle dem Einfluss aller Merkmale auf das Invalideneinkommen unter Würdigung der konkreten Umstände im Einzelfall nicht nach pflichtgemässem Ermessen (<ref-ruling> E. 5b/bb i.f. mit Hinweisen) Rechnung getragen habe. Es fehlt somit auch an dem von der Rechtsprechung geforderten triftigen Grund (vgl. soeben E. 3.3.1) für eine von der IV-Stelle abweichende Ermessensbetätigung. Ob das kantonale Gericht dadurch - insbesondere auch mit Blick auf die erhebliche Abweichung der Abzugsbemessung - nicht in bundesrechtswidriger Weise sein eigenes Ermessen an die Stelle desjenigen der Verwaltung gesetzt hat, kann unter Verweis auf die nachfolgenden Ausführungen offenbleiben.
3.3.3. Die Beschwerdeführerin rügt, das kantonale Gericht habe Bundesrecht verletzt, indem es - ungeachtet der bundesgerichtlichen Rechtsprechung - einen Umstand als lohnmindernden Einflussfaktor berücksichtigt habe (frei überprüfbare Rechtsfrage im Sinne von E. 3.2 hievor), welcher im Rahmen der Tabellenlohnabzugspraxis von <ref-ruling> unter den hier gegebenen Bedingungen keinen zusätzlichen Abzug von plus 15% über die von der IV-Stelle bereits berücksichtigen 10% hinaus zu begründen vermöge. Zu Recht verweist die Beschwerdeführerin auf das von der Vorinstanz als voll beweiskräftig qualifizierte Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle Y._, wonach die Fachärzte aus psychiatrisch-neurologischer Sicht von einer quantitativen Minderung der Leistungsfähigkeit um etwa einen Viertel und von einer qualitativen Einschränkung der zumutbaren Arbeiten aufgrund von Sturzgefahr ohne weitere Minderung der zeitlichen Komponente ausgingen. Die Sturzgefahr berücksichtigten die Gutachter demzufolge - wie von der IV-Stelle dargelegt - schon durch Reduktion der Arbeitsfähigkeit um 25%. Zusätzlich gewährte die Beschwerdeführerin einen Tabellenlohnabzug von 10% für diese leidensbedingten Einschränkungen der Versicherten.
3.3.4. Angesichts dieser Ausgangslage vermag ein Angewiesensein auf das Entgegenkommen eines verständnisvollen Arbeitgebers - abweichend von der Auffassung des kantonalen Gerichts - praxisgemäss keinen zusätzlichen Tabellenlohnabzug (vgl. Urteile 8C_176/2012 vom 3. September 2012 E. 8 und 9C_362/2008 vom 14. November 2008 E. 3.2.4) von weiteren 15% zu begründen, zumal die leidensbedingte Beeinträchtigung durch die latente Sturzgefahr gemäss Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle Y._ nicht nur im Rahmen der psychiatrisch-neurologisch begründeten Einschränkung der Leistungsfähigkeit von 25%, sondern zusätzlich von der IV-Stelle auch noch durch Berücksichtigung eines leidensbedingten Tabellenlohnabzuges von weiteren 10% veranschlagt wurde. Soweit das kantonale Gericht für die Angewiesenheit auf ein erhebliches Entgegenkommen des Arbeitgebers einen weiteren Tabellenlohnabzug von 15% in Betracht zog, hat es demnach Bundesrecht verletzt.
3.4. Ist nach dem Gesagten aus den von der Vorinstanz angeführten Gründen kein zusätzlicher Tabellenlohnabzug von weiteren 15% gerechtfertigt, bleibt es bei dem von der Beschwerdeführerin berücksichtigten Abzug von 10% und somit bei dem von ihr - im Übrigen unbestritten zutreffend - ermittelten Invaliditätsgrad von 28%.
3.5. Der angefochtene Entscheid ist folglich antragsgemäss teilweise aufzuheben, soweit damit ab Februar 2012 eine Viertelsrente zugesprochen wurde.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten grundsätzlich der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 27. August 2012 wird aufgehoben, soweit damit der Beschwerdegegnerin ab Februar 2012 eine Viertelsrente zugesprochen wurde.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Nicolai Fullin wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2000.- ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. August 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Hochuli