Sachverhalt:
A.
A._ ist Eigentümer der zur Landwirtschaftszone gehörenden Grundstücke Nrn. 2704-2716 in Oberwil (Grundbuch Horw), wo er eine Biogärtnerei betreibt und in einem Einfamilienhaus auf dem Grundstück Nr. 2706 lebt. Er beabsichtigt, im bestehenden Ökonomiegebäude auf dem Grundstück Nr. 2710 eine Wohnung für einen Angestellten seines Betriebs einzubauen. Gegen das Baugesuch wurden Einsprachen erhoben. Der Gemeinderat Horw beantragte in der Folge bei der Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation (rawi) des Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartements des Kantons Luzern, das Gesuch sei abzulehnen. Mit Entscheid vom 7. März 2013 hiess die Dienststelle rawi die Einsprachen gut und verweigerte die Baubewilligung. Zur Begründung führte sie aus, dass das Wohnbauvorhaben nicht betriebsnotwendig sei und zudem auch keine raumplanungsrechtliche Ausnahmebewilligung in Betracht falle.
Eine dagegen von A._ erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 19. September 2013 ab.
B.
Mit undatierter Eingabe erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht, der Gemeinderat Horw, die Dienststelle rawi und das Bundesamt für Raumentwicklung beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme dazu an seiner Auffassung fest.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid über eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Der Beschwerdeführer ist als Baugesuchsteller zur Beschwerdeführung legitimiert (<ref-law>). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss eine Verletzung von Art. 16a RPG (SR 700) und <ref-law> (SR 700.1). Der geplante Bau sei in der Landwirtschaftszone zonenkonform. Er baue insbesondere 160 verschiedene Sorten Schnittblumen an, wobei die Bioproduktion besonders anspruchsvoll sei. Der Betrieb müsse deshalb von Februar bis November sieben Tage in der Woche betreut werden, dies oft sogar nachts, wenn Witterungs- oder andere Probleme dies erforderten. Das Bundesgericht habe 1999 in einem ihn betreffenden Urteil entschieden, dass die ständige Präsenz des Betriebsleiters notwendig sei. Seither sei der Betrieb von 3 auf 11 Hektaren gewachsen. Er selbst könne die Aufgabe nicht mehr allein wahrnehmen. Es brauche einen Mitarbeiter, der ständig vor Ort sei. Anstelle dessen könnte er zwar zwei Personen, die nicht auf dem Betrieb wohnten, einstellen, doch sei dies wirtschaftlich nicht tragbar. Würde der Betrieb zwischen Februar und November allein gelassen, so bestehe das Risiko des Verlusts von Schnittblumen wegen Krähenfrass, Rehen, Witterungseinflüssen etc. Das Bundesgericht habe im erwähnten Urteil festgehalten, dass nicht alle erforderlichen Überwachungsmassnahmen im Voraus getroffen und mit funktechnischen Vorkehrungen aus der Distanz bewältigt werden könnten.
2.2. Das Kantonsgericht geht im angefochtenen Entscheid davon aus, dass der Gärtnereibetrieb 1,024 Standardarbeitskräfte (SAK) erfordert. Auf dem Grundstück Nr. 2706 sei dem Beschwerdeführer bereits ein Einfamilienhaus als zonenkonformer Wohnraum bewilligt worden. Daraus folge aber nicht, dass nun auch eine zweite Wohneinheit zonenkonform sei. Der Betrieb liege nur ca. 2.5 km vom Dorfzentrum von Horw entfernt. Er sei mit dem Auto in ca. fünf und mit öffentlichen Verkehrsmitteln in ca. zehn Minuten erreichbar. Es gebe keine Arbeiten, welche die Anwesenheit eines zusätzlichen Mitarbeiters rund um die Uhr erforderten. Daran ändere auch der Hinweis des Beschwerdeführers auf einen möglichst optimalen Schutz der Pflanzen vor Witterungseinflüssen wie Hagel und Frost nichts, denn Vorbereitungen im Hinblick auf derartige Vorfälle seien aufgrund von Wetterprognosen in der Regel bereits tagsüber zu treffen. Für den Fall, dass Hagel und Frost den Betrieb nachts völlig unvorbereitet treffen sollten, wären der Betriebsleiter sowie ein weiterer Mitarbeiter wohl ohnehin auf die Hilfe Dritter angewiesen. Im Übrigen könnten heute nahezu sämtliche Überwachungsaufgaben mit funktechnischen Hilfsmitteln aus der Distanz und damit insbesondere von der Bauzone aus bewältigt werden. Es könne deshalb nicht gesagt werden, die Überwachung des Betriebs rund um die Uhr erfordere weiteren Wohnraum in der Landwirtschaftszone.
2.3. In der Landwirtschaftszone sind nach Art. 16a RPG Bauten und Anlagen zonenkonform, die zur landwirtschaftlichen Bewirtschaftung oder für den produzierenden Gartenbau nötig sind. In Bezug auf Wohnbauten wird Art. 16a RPG in <ref-law> konkretisiert. Bauten für den Wohnbedarf sind danach zonenkonform, wenn sie für den Betrieb des entsprechenden landwirtschaftlichen Gewerbes unentbehrlich sind. Das setzt nach der Rechtsprechung voraus, dass aus betrieblichen Gründen die ständige Anwesenheit der bewirtschaftenden Personen erforderlich und die nächste Wohnzone weit entfernt und schwer erreichbar ist (<ref-ruling> E. 2b S. 177 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 310 f.; Urteil 1C_67/2007 vom 20. September 2007 E. 3.1; je mit Hinweisen). Wohnraum ausserhalb der Bauzone ist nur zulässig, wenn die Bewirtschaftung aus objektiven Gründen nicht von der Bauzone aus möglich ist. Ob dies zu bejahen ist, hängt insbesondere von Art und Umfang der betriebsnotwendigen Überwachungsaufgaben, von der Distanz zur nächsten Wohnzone sowie von der Frage ab, ob das Gewerbe hauptberuflich ausgeübt wird. Ist die Betriebsführung auch von einer Wohnzone aus möglich oder verlangen die betrieblichen Verhältnisse keine dauernde Anwesenheit, fehlt es am erforderlichen sachlichen Bezug des Bauvorhabens zur landwirtschaftlichen Produktion (Urteil 1C_408/2012 vom 19. August 2013 E. 6.3 mit Hinweisen).
In jedem einzelnen Fall ist nach objektiven Kriterien aufgrund einer gesamthaften, mehr an qualitativen denn an quantitativen Faktoren anknüpfenden Betrachtungsweise zu beurteilen, ob eine betriebliche Notwendigkeit besteht, ausserhalb der Bauzonen Wohnsitz zu nehmen, und damit das Wohnen in der Landwirtschaftszone im Sinne von Art. 16a RPG als zonenkonform bezeichnet werden kann. Auf subjektive Vorstellungen und Wünsche des Einzelnen kann es ebenso wenig ankommen wie auf die persönliche Zweckmässigkeit und Bequemlichkeit (<ref-ruling> E. 3a S. 69, 307 E. 3b S. 311; Urteil 1C_408/2012 vom 19. August 2013 E. 6.3; je mit Hinweisen).
2.4. Im Urteil 1A.200/1998 vom 14. Januar 1999 E. 5 hat das Bundesgericht festgehalten, dass der Betrieb des Beschwerdeführers aufgrund des vielfältigen Angebots und der Produktionsart eine ständige Anwesenheit des Betriebsleiters erfordert. Daraus folgt indessen nicht, dass wegen des seitherigen Betriebswachstums automatisch auch die ständige Anwesenheit eines Angestellten unentbehrlich wäre. Die Vorinstanz hat in dieser Hinsicht zwischen den regelmässigen, vorhersehbaren Aufgaben und solchen unterschieden, welche unvorhersehbar das spontane Eingreifen erfordern. Zu Recht hat sie dabei das Hauptaugenmerk nicht einfach auf den zeitlichen Gesamtarbeitsaufwand gelegt (welcher approximativ in der nicht umstrittenen Grösse von ca. 1 SAK zum Ausdruck kommt), sondern auf das Erfordernis der ständigen Anwesenheit auf dem Betrieb. Was der Beschwerdeführer in dieser Hinsicht vorbringt, ist nicht geeignet, die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen als offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG) und die Rechtsanwendung als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Es ist nicht zu beanstanden, wenn das Kantonsgericht davon ausgeht, dass für verschiedene Ereignisse Vorsorge getroffen werden kann (bspw. Hege gegen Rehfrass, Wettervorhersagen zur Vorbereitung auf Unwetter) und dass viele Überwachungsmassnahmen mit funktechnischen Vorkehrungen aus der Distanz bewältigt werden könnten. Letzteres ist seit 1999 aufgrund des technischen Fortschritts einfacher und günstiger geworden. Für jene Zeiten, in welchen der Beschwerdeführer sich ausnahmsweise nicht um den Betrieb kümmern kann, erscheinen Ersatzlösungen insbesondere aufgrund der Lage des Betriebs in der Nähe der Bauzone und des Dorfzentrums möglich. Hinzu kommt, dass nicht ersichtlich ist, inwiefern sich die Art der Überwachungsaufgaben seit 1999 wesentlich geändert haben sollte. Der Beschwerdeführer, der sich in erster Linie eine Arbeitsreduktion wünscht, scheint zudem nicht in Betracht zu ziehen, dass er für eine zusätzliche Entlastung im Betrieb auch tagsüber, zu den regelmässigen Arbeitszeiten sorgen kann. Soweit es allerdings um die hier massgeblichen Überwachungsmassnahmen ausserhalb dieser Zeiten geht, ist nicht willkürlich anzunehmen, dass die Anwesenheit des Beschwerdeführers ausreicht.
Vor diesem Hintergrund hat das Kantonsgericht Art. 16a RPG und <ref-law> nicht verletzt, wenn es den Bau einer Wohnung für einen Angestellten des Beschwerdeführers als nicht zonenkonform ansah.
3.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement, Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation (rawi), dem Gemeinderat Horw, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold