Sachverhalt:
A.
Der 1963 geborene A._ ist Staatsangehöriger von Italien und dort wohnhaft. Er war im Jahr 2006 als Alphirt bei einer Gemeinde im Kanton B._ tätig und dadurch bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 30. Juni 2006 verunfallte er bei der Arbeit. Eine Kuh trat gegen seine rechte Schulter, worauf er auf den Rücken fiel (Unfallmeldung vom 14. September/22. November 2006). Am 18. November 2008 erfolgte eine Operation an der rechten Schulter. Die AXA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit rechtskräftiger Verfügung vom 19. Januar 2011 schloss sie den Fall ab, wobei sie dem Versicherten für die verbleibenden Unfallfolgen eine ab 1. Juni 2009 laufende Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 64 % und eine Integritätsentschädigung für eine Integritätseinbusse von 17.5 % zusprach.
Im April 2010 hatte sich A._ auch bei der Schweizerischen Invalidenversicherung (nachfolgend: IV) zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle für Versicherte im Ausland (nachfolgend: IV-Stelle) holte ein interdisziplinäres medizinisches MEDAS-Gutachten vom 5. Juli 2011 (mit Ergänzung vom 12. Januar 2012) ein und verneinte mit Verfügung vom 30. Mai 2012 einen Rentenanspruch. Nachdem die AXA hievon Kenntnis erhalten hatte, zog sie mit Verfügung vom 1. November 2012 ihre Verfügung vom 19. Januar 2011 in Wiedererwägung und stellte die seit 1. Juni 2009 ausgerichtete Invalidenrente der obligatorischen Unfallversicherung (nachfolgend: UV) per 31. Dezember 2012 ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. April 2013 fest.
B.
A._ führte gegen den Einspracheentscheid der AXA Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dieses gewährte ihm die unentgeltliche Verbeiständung. Es hiess die Beschwerde teilweise gut und hob den Einspracheentscheid insoweit auf, als es die AXA verpflichtete, ab 1. Januar 2013 eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 10 % auszurichten (Entscheid vom 30. April 2013).
A._ erhob auch gegen die Verfügung der IV-Stelle vom 30. Mai 2012 Beschwerde. Mit Entscheid vom 20. Mai 2014 wies das Bundesverwaltungsgericht diese ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts vom 30. April 2013 sei festzustellen, dass die AXA die per 1. Januar 2013 eingestellte Invalidenrente weiterhin zu bezahlen habe; eventuell sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache im Sinne der Erwägungen an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die AXA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit heutigem Datum beurteilt das Bundesgericht auch die von A._ gegen den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 20. April 2014 erhobene Beschwerde betreffend IV-Rente (Dossier-Nr. 8C_493/2014).

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Die AXA hat die einer Erwerbsunfähigkeit von 64 % entsprechende Invalidenrente, welche sie gestützt auf ihre rechtskräftige Verfügung vom 19. Januar 2011 seit 1. Juni 2009 für die verbleibenden Folgen des Unfalls von 2006 aus der obligatorischen Unfallversicherung ausrichtet, unter dem Titel der Wiedererwägung (<ref-law>) per 31. Dezember 2012 eingestellt. Das kantonale Gericht hat die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung bejaht. Es hat sodann erkannt, selbst wenn kein Wiedererwägungsgrund vorläge, wäre die Rente revisionsweise im Sinne von <ref-law> herabzusetzen resp. aufzuheben. Eine rechtskonforme Invaliditätsbemessung ergebe, dass ab 1. Januar 2013 noch ein Rentenanspruch gemäss einer Erwerbsunfähigkeit von 10 % bestehe.
Nach Auffassung des Versicherten sind weder die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung noch für eine Rentenrevision erfüllt.
3.
Gemäss <ref-law> kann der Versicherungsträger auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist.
3.1. Das kantonale Gericht hat erwogen, die AXA habe in der rentenzusprechenden Verfügung vom 19. Januar 2011 auf eine nicht rechtskonform ermittelte Restarbeitsfähigkeit abgestellt. Sie habe diese Verfügung daher zu Recht in Wiedererwägung gezogen. Die Berichtigung sei auch von erheblicher Bedeutung, womit die Voraussetzungen gemäss <ref-law> erfüllt seien.
Der Versicherte verneint einen Wiedererwägungsgrund. Zudem habe die Rentenzusprechung auf einem umfassenden Vergleich beruht, was eine Wiedererwägung ebenfalls ausschliesse.
3.2. Das Erfordernis der zweifellosen Unrichtigkeit ist in der Regel erfüllt, wenn eine Leistungszusprechung aufgrund falsch oder unzutreffend verstandener Rechtsregeln erfolgt ist oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden. Anders verhält es sich, wenn der Wiedererwägungsgrund im Bereich materieller Anspruchsvoraussetzungen liegt, deren Beurteilung notwendigerweise Ermessenszüge aufweist. Erscheint die Beurteilung einzelner Schritte bei der Feststellung solcher Anspruchsvoraussetzungen (Invaliditätsbemessung, Arbeitsunfähigkeitsschätzung, Beweiswürdigung, Zumutbarkeitsfragen) vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage, wie sie sich im Zeitpunkt der rechtskräftigen Leistungszusprechung darbot, als vertretbar, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus. Zweifellos ist die Unrichtigkeit, wenn kein vernünftiger Zweifel daran möglich ist, dass die Verfügung unrichtig war. Es ist nur ein einziger Schluss - derjenige auf die Unrichtigkeit der Verfügung - denkbar (SVR 2014 IV Nr. 10 S. 39, 9C_125/2013 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; SVR 2014 IV Nr. 20 S. 72, 9C_460/2013 E. 2; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 79). Um wiedererwägungsweise auf eine verfügte Leistung zurückkommen zu können, genügt es aber nicht, wenn ein einzelnes Anspruchselement rechtswidrig festgelegt wurde. Vielmehr hat sich die Leistungszusprache auch im Ergebnis als offensichtlich unrichtig zu erweisen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 79 f.). Eine Wiedererwägung einer prozentgenauen Invalidenrente bedingt sodann, dass die Differenz des Invaliditätsgrades zu der als zweifellos unrichtig erkannten Verfügung mindestens 5 Prozentpunkte beträgt (<ref-ruling> E. 4.4 S. 88; 77 E. 3.1 S. 80).
3.2.1. Die Vorinstanz hat, in Bestätigung des Einspracheentscheids vom 10. April 2013, erwogen, der Unfallversicherer habe bei der rentenzusprechenden Verfügung vom 19. Januar 2011 in medizinischer Hinsicht auf den Bericht des Dr. med. C._ vom 27. September 2009 abgestellt. Dieser Bericht enthalte Diskrepanzen und mangelhafte, weil nicht ausreichend umfassende Ausführungen zur Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit. Das hätte weitere Abklärungen bedingt. Das alleinige Abstellen auf die nicht schlüssige ärztliche Beurteilung des Dr. med. C._ sei nicht rechtskonform. Das bestätige auch Dr. med. D._ als beratender Arzt der Beschwerdegegnerin in seiner Beurteilung vom 28. September 2012. Die AXA sei daher zu Recht davon ausgegangen, in der Rentenverfügung vom 19. Januar 2011 sei der Untersuchungsgrundsatz verletzt und von einem falschen resp. ungenügend abgeklärten Sachverhalt ausgegangen worden. Da die ursprüngliche Beurteilung somit unrichtig gewesen sei, sei nicht zu beanstanden, dass der Unfallversicherer die Verfügung vom 19. Januar 2011 in Wiedererwägung gezogen habe. Eine korrekte Invaliditätsbemessung, bei welcher in medizinischer Hinsicht auf das MEDAS-Gutachten vom 5. Juli 2011 (mit Ergänzung vom 12. Januar 2012) abgestellt werden könne, ergebe eine Erwerbsunfähigkeit von 10 %.
3.2.2. Beim besagten Bericht vom 27. September 2009 handelt es sich um ein medizinisches Gutachten, welches der Orthopäde Dr. med. C._ - nebst weiteren Berichten - als beratender Arzt der AXA in deren Auftrag erstellt hat. Die Expertise äussert sich in Beantwortung der von der AXA gestellten Fragen auch zur noch gegebenen Arbeitsfähigkeit in den angestammten und in leidensangepassten Tätigkeiten. Zwar wären diesbezüglich noch einlässlichere Ausführungen des Gutachters vorstellbar. Die Angaben des Dr. med. C._ sind aber hinreichend ausführlich, widerspruchsfrei und nachvollziehbar, dass ihre Verwendung für die Invaliditätsbemessung vertretbar ist und keine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes vorliegt. Daran vermag nichts zu ändern, dass spätere, nach rechtskräftiger Rentenzusprechung abgegebene ärztliche Beurteilungen die Arbeitsfähigkeit retrospektiv allenfalls anders einschätzen. Somit liegt entgegen dem Einsprache- und dem vorinstanzlichen Entscheid kein Wiedererwägungsgrund vor.
3.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, das wiedererwägungsweise Zurückkommen auf die Verfügung vom 19. Januar 2011 sei auch deshalb nicht zulässig, weil diese auf einem zwischen ihm und dem Unfallversicherer geschlossenen Vergleich beruht habe. Dieser Vergleich habe auch den Rentenanspruch umfasst.
In der Verfügung vom 19. Januar 2011 wird auf eine vergleichsweise Einigung verwiesen. Es müsste näher betrachtet werden, was der Vergleich alles umfasste und ob gegebenenfalls, im Sinne der Rechtsprechung hiezu (<ref-ruling>; <ref-ruling>), eine Wiedererwägung bezüglich Rente zulässig wäre. Davon kann indessen abgesehen werden, da die Wiedererwägung der Rentenverfügung vom 19. Januar 2011 schon im Lichte der vorstehenden Erwägungen ausser Betracht fällt.
4.
Zu prüfen bleibt, ob die Rente mittels Revision nach <ref-law> herabzusetzen ist. Die Vorinstanz hat das mit der Begründung bejaht, die Arbeitsfähigkeit habe sich verbessert. Der Versicherte macht geltend, es liege lediglich eine andere Beurteilung der Arbeitsfähigkeit vor, was keinen Revisionsgrund darstelle.
4.1. Gemäss <ref-law> wird die Invalidenrente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben, wenn sich der Invaliditätsgrad einer Rentenbezügerin oder eines Rentenbezügers erheblich ändert. Anlass zu einer solchen Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen. Zeitlicher Ausgangspunkt für die Beurteilung einer anspruchserheblichen Änderung des Invaliditätsgrades ist die letzte rechtskräftige Verfügung, welche auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs beruht (<ref-ruling> E. 3 S. 132 f.). Die Invalidenrente ist insbesondere bei einer wesentlichen Änderung des Gesundheitszustandes oder der erwerblichen Auswirkungen des an sich gleich gebliebenen Gesundheitszustandes revidierbar (SVR 2011 IV Nr. 81 S. 245, 9C_223/2011 E. 3.1). Dazu gehört auch die Verbesserung der Arbeitsfähigkeit aufgrund einer Angewöhnung oder Anpassung an die Behinderung (SVR 2014 IV Nr. 37 S. 130, 8C_7/2014 E. 4.2.1).
4.2. Im MEDAS-Gutachten vom 5. Juli 2011 gelangten die medizinischen Experten zum Schluss, eine körperlich belastende Tätigkeit wie die eines Alphirten, eines Arbeiters in einem Marmorwerk oder eines Schreiner sei aufgrund der eingeschränkten Beweglichkeit, der Schmerzen und der eingeschränkten Kraft in rechter Schulter, rechtem Arm und rechter Hand nicht mehr zumutbar. In einer angepassten Tätigkeit hingegen bestehe keine medizinisch begründbare Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Die begutachtenden Fachärzte hielten sodann fest, bezüglich der Verwendbarkeit des rechten Armes habe sich gegenüber der Beurteilung des Dr. med. C._ im März 2009 eine Verbesserung ergeben. Der Arm könne heute entsprechend dem dargelegten Zumutbarkeitsprofil eingesetzt werden.
Das kantonale Gericht hat in einlässlicher und sorgfältiger Würdigung der medizinischen Akten überzeugend dargelegt, weshalb es die Expertise und die ergänzende Stellungnahme der MEDAS-Fachärzte für beweiswertig beurteilt, sich durch andere Arztberichte, soweit davon abweichend, zu keiner anderen Betrachtungsweise veranlasst sieht und in antizipierter Beweiswürdigung weitere Abklärungen für nicht notwendig erachtet. Der Versicherte bringt nichts vor, was diese Beurteilung als bundesrechtswidrig erscheinen liesse.
4.3. Aus den Ausführungen der MEDAS-Experten ergibt sich entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht nur eine abweichende Beurteilung der Arbeitsfähigkeit bei gleich gebliebenem Gesundheitszustand. Vielmehr bestätigen die Gutachter ausdrücklich eine zwischenzeitlich eingetretene Verbesserung bezüglich der Verwendbarkeit des rechten Armes. Damit liegt ein Grund vor, um die seit 2009 laufende Invalidenrente revisionsweise zu überprüfen. In diese Prüfung sind sämtliche Anspruchselemente der Invalidenrente einbeziehen.
4.4. Das kantonale Gericht hat, ausgehend vom dargelegten Zumutbarkeitsprofil einen Einkommensvergleich für das Jahr 2012 vorgenommen. Es hat die beiden Vergleichseinkommen mit und ohne gesundheitsbedingte Beeinträchtigung (Valideneinkommen und Invalideneinkommen) mangels verlässlicher konkreter Zahlen gestützt auf Tabellenlöhne gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) bestimmt. Das ergab ein Valideneinkommen von Fr. 62'270.- und, unter Berücksichtigung eines leidensbedingten Abzuges von 10 %, ein Invalideneinkommen von Fr. 56'043.-, entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 10 %. Die Vorinstanz hat erkannt, demnach sei die seit 2009 laufende Invalidenrente auf den 1. Januar 2013 entsprechend herabzusetzen.
4.4.1. Der Versicherte wendet ein, auf dem schweizerischen Arbeitsmarkt und erst recht auf dem konkreten italienischen Arbeitsmarkt, von welchem hier auszugehen sei, gebe es keine seiner Behinderung angepassten Verweisungstätigkeiten.
Die Vorinstanz hat unter Hinweis auf die massgebliche Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 5.2.3.2 S. 28 mit Hinweisen; vgl. insbesondere auch <ref-ruling>) erkannt, dass der ausländische Wohnsitz zu keinem anderen Ergebnis führt. Sodann ist ohne Weiteres davon auszugehen, dass der massgebliche ausgeglichene Arbeitsmarkt Stellen bereithält, welche der Beschwerdeführer trotz Behinderung ausüben kann. Immerhin sind leidensangepasste Tätigkeiten vollzeitlich zumutbar. Es wird nichts vorgebracht, was dies in Frage stellen könnte.
4.4.2. Geltend gemacht wird weiter, es hätte ein leidensbedingter Abzug gewährt werden müssen. Das ist indessen erfolgt (vgl. E. 4.4 Ingress hievor). Die Höhe des vorgenommenen Abzugs ist im Rahmen der auf Überschreitung, Missbrauch und Unterschreitung des vorinstanzlichen Ermessens beschränkten Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 3.3 in fine S. 399) nicht zu beanstanden. Was der Versicherte vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise.
4.4.3. Die übrigen Faktoren der Invaliditätsbemessung werden nicht beanstandet und geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Die Rente wurde demnach zu Recht revisionsweise herabgesetzt. Die Beschwerde ist abzuweisen.
5.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Herr Prof. Dr. Hardy Landolt wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. November 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz