Faits:
A. Le 22 juillet 2003, le Juge d'instruction des affaires économiques du canton du Valais (ci-après: le juge d'instruction) a ouvert une instruction pénale d'office contre A._, qui était soupçonné d'avoir utilisé à son profit des biens, sommes d'argent et autres valeurs patrimoniales au détriment de la Caisse de retraite et de prévoyance du personnel enseignant du canton du Valais (ci-après: la CRPE), dont il était le président. Le 24 février 2009, le procureur général du canton du Valais l'a renvoyé à jugement devant le Tribunal du IIe arrondissement pour le district de Sion, pour répondre des infractions d'abus de confiance (art. 138 ch. 1 CP), de vol (art. 139 ch. 1 CP), d'escroquerie (art. 146 ch. 1 CP), de gestion déloyale (art. 158 ch. 1 al. 1 et 3 et ch. 2 CP), de faux dans les titres (art. 251 ch. 1 CP), d'instigation à faux dans les titres (art. 24 al. 1 et 251 ch. 1 CP) et de blanchiment d'argent (art. 305bis ch. 1 CP). En substance, il est reproché à A._ d'avoir, en sa qualité de président de la CRPE et de secrétaire général de la Fédération des magistrats, des enseignants et des fonctionnaires de l'Etat du Valais (la FMEF), occasionné à ces deux entités, spécialement la première, un préjudice de plusieurs millions de francs. Le 27 juillet 2009, les parties ont été citées à comparaître au débat final du 19 octobre 2009.
Le 7 août 2009, A._ a soumis une requête d'assistance judiciaire au Président du Tribunal du IIe d'arrondissement pour le district de Sion. Il concluait à sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire partielle limitée à la désignation d'un avocat d'office, en la personne de Me Olivier Couchepin, dès le 1er septembre 2008. Par décision du 8 septembre 2009, le juge précité a rejeté la requête d'assistance judiciaire, au motif que l'intéressé avait échoué à rendre vraisemblable son indigence. Le 16 septembre 2009, il a néanmoins désigné Me Olivier Couchepin en qualité de défenseur d'office au sens de l'art. 49 ch. 3 du Code de procédure pénale valaisan du 22 février 1962 (CPP/VS; RS/VS 312.0), avec effet au jour de sa requête.
B. A._ a contesté la décision du 8 septembre 2009 auprès du Juge de l'autorité de plainte du Tribunal cantonal du canton du Valais. Par décision du 9 octobre 2009, celui-ci a considéré que la plainte devait être déclarée irrecevable faute de motivation suffisante et que, "même recevable sous cet angle, elle devrait être rejetée". Le Juge de l'autorité de plainte a dès lors également abordé le fond, considérant en substance que l'indigence de A._ n'avait pas été démontrée. Selon le dispositif de cette décision, la plainte était rejetée dans la mesure de sa recevabilité.
C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cette décision et de lui octroyer l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale. Il se plaint de formalisme excessif et invoque l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Il requiert en outre l'octroi de l'effet suspensif ainsi que l'assistance judiciaire dans la présente procédure. Le Président du Tribunal du IIe arrondissement pour le district de Sion, le Procureur général et le Juge de l'autorité de plainte du Tribunal cantonal du canton du Valais ont tous renoncé à se déterminer.
D. Par ordonnance du 15 octobre 2009, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif formée par le recourant.

Considérant en droit:
1. Selon l'art. 78 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral connaît des recours contre les décisions rendues en matière pénale. Accusé dans la procédure pénale litigieuse, le recourant a la qualité pour agir au sens de l'art. 81 al. 1 LTF, le refus de lui accorder l'assistance judiciaire étant en outre susceptible de lui causer un dommage irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (<ref-ruling> consid. 4 p. 338). Pour le surplus, interjeté en temps utile contre une décision prise en dernière instance cantonale, le recours est recevable au regard des art. 80 et 100 al. 1 LTF.
2. Le recourant se plaint d'abord de formalisme excessif. Il affirme que la déclaration d'irrecevabilité de sa plainte serait contraire à la maxime d'office qui prévaudrait en matière d'assistance judiciaire selon le droit cantonal. Pour le recourant, il appartenait au juge d'examiner les pièces déposées afin de déterminer sa situation financière, la motivation de son écriture n'ayant "pas besoin d'être développée dans une plus large mesure". Le recourant perd ainsi de vue que ce n'est pas sa requête d'assistance judiciaire qui a été déclarée irrecevable, mais bien sa plainte au Tribunal cantonal. La motivation de celle-ci a en effet été jugée insuffisante. Or, même si l'on devait admettre que les questions d'assistance judiciaire impliquent dans une certaine mesure un examen d'office - ce qui ne dispenserait pas le requérant d'amener les éléments permettant d'établir son indigence - il n'en découle pas pour autant que l'intéressé peut se satisfaire d'une motivation lacunaire devant l'autorité de recours. Au demeurant, le recourant ne démontre pas en quoi le Tribunal cantonal aurait eu tort de considérer que sa plainte n'était pas assez motivée, de sorte que ce premier moyen doit être rejeté.
3. Pour le surplus, le recourant invoque l'arbitraire de la décision attaquée. Il expose en substance qu'il est insoutenable de considérer que son indigence n'a pas été établie.
3.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 265 s.; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2a p. 41). Il appartient au recourant de démontrer l'arbitraire de la décision attaquée, conformément aux exigences de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 265; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les références).
3.2 En l'occurrence, reprenant l'appréciation du président du tribunal d'arrondissement, le juge de l'autorité de plainte a considéré que le recourant pouvait notamment compter sur la fortune de son épouse, en particulier ses avoirs de prévoyance professionnelle - 111'305 fr. dont elle peut obtenir le versement immédiat - et un compte épargne présentant un solde positif de 20'046 fr. au 19 août 2009. Il a estimé que les sommes en question étaient largement suffisantes pour provisionner l'avocat du recourant. Celui-ci allègue qu'il devrait faire face à des honoraires d'avocat d'au moins 71'000 fr. pour la défense légitime de ses intérêts. Il omet toutefois de mentionner que le premier juge avait estimé lesdits honoraires à 20'000 fr., en motivant clairement son appréciation. Ce magistrat avait notamment considéré qu'il ne se justifiait pas d'accorder un effet rétroactif à l'assistance judiciaire en l'espèce et que la situation devait s'apprécier au jour de la requête, soit le 7 août 2009, de sorte que l'activité utile de l'avocat susceptible d'être indemnisée se limitait aux actes postérieurs à cette date. Rien ne justifie de s'écarter de cette appréciation, qui n'apparaît pas d'emblée arbitraire et qui n'est pas valablement contestée.
Le recourant développe par ailleurs ses propres calculs en se fondant sur des faits qui ne ressortent pas de la décision attaquée. Or, le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits, susceptibles d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure, que si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (art. 97 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). Une telle démonstration faisant défaut en l'espèce, il n'y a pas lieu de s'écarter des faits retenus dans la décision attaquée.
Sur cette base, on ne voit pas en quoi le Juge de l'autorité de plainte aurait fait preuve d'arbitraire en constatant, comme le premier juge l'avait déjà fait de façon circonstanciée, que le recourant n'avait pas démontré l'insuffisance de ses moyens financiers pour faire face à ses frais d'avocat postérieurs au 7 août 2009. C'est du reste en vain que le recourant prétend que les frais en question dépassent largement "l'entretien convenable" dû par son épouse, dès lors qu'il part de la prémisse erronée que les honoraires à prendre en compte atteindraient 71'000 francs. Il omet au demeurant de discuter les autres éléments retenus par le premier juge - en particulier les divers comptes bancaires qui n'ont pas été saisis - et il n'établit pas que le calcul arrêtant un solde disponible de 847 fr. par mois est manifestement insoutenable. En définitive, le recourant ne démontre pas en quoi il était arbitraire de constater que l'indigence alléguée n'avait pas été établie et de refuser l'assistance judiciaire pour ce motif.
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant a demandé l'assistance judiciaire dans la présente procédure. Comme on l'a vu, son indigence n'est pas démontrée, ce qui conduit au rejet de la requête. Conformément à l'art. 66 al. 1 LTF, il doit donc supporter les frais de la présente procédure.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Président du Tribunal du IIe arrondissement pour le district de Sion ainsi qu'au Procureur général et au Juge de l'autorité de plainte du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 24 novembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener