Sachverhalt:
A. A.a Der 1966 geborene D._ war als Bauarbeiter in der Bauunternehmung A._ beschäftigt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 14. Juli 1998 rutschte er beim Zuspitzen von Pfählen mit der Fräse aus. Er zog sich Verletzungen an Daumen und Zeigefinger der rechten Hand zu (drittgradig offene Endglieddefektfraktur des rechten Daumens, zweitgradig offene Defektfraktur des Processus unguicularis am rechten Zeigefinger), welche gleichentags im Spital W._ operativ behandelt wurden. In der Folge entwickelte sich ein Complex Regional Pain Syndrome (CRPS). Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 10. Februar 2000 und Einspracheentscheid vom 28. Juli 2000 sprach sie dem Versicherten für die verbleibenden körperlichen Folgen des Unfalls mit Wirkung ab 1. März 2000 eine Invalidenrente aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit von 20 % zu. Einen Leistungsanspruch aufgrund psychischer Unfallfolgen verneinte der Versicherer. Das wurde letztinstanzlich mit Urteil U 194/03 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (seit 1. Januar 2007: I. und II. sozialrechtliche Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts) vom 14. Juni 2004 bestätigt.
A.b Am 5. Juli 2004 stellte D._ ein Gesuch um revisionsweise Erhöhung der Invalidenrente. Er begründete dies mit einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes. Die SUVA holte ein handchirurgisches Gutachten der Klinik und Poliklinik für Handchirurgie und Chirurgie der peripheren Nerven, Spital X._, vom 8. Dezember 2006 ein. Mit Verfügung vom 13. August 2007 lehnte sie die beantragte Rentenerhöhung ab, da eine gesundheitliche Verschlechterung, für welche sie einzustehen habe, nicht nachgewiesen sei. Der Versicherte erhob hiegegen Einsprache. Sodann sahen sich die Gutachter des Spitals X._ aufgrund der Verfügung der SUVA veranlasst, am 10. Oktober 2007 nochmals Stellung zu nehmen. Mit Einspracheentscheid vom 3. Januar 2008 hielt die SUVA an der Verfügung vom 13. August 2007 fest.
B. D._ reichte Beschwerde ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern führte einen zweifachen Schriftenwechsel durch, in welchem die SUVA zwei ärztliche Beurteilungen ihres Versicherungsmediziners Dr. med. E._, Facharzt FMH für Chirurgie, vom 17. März und 17. Juni 2008 auflegte. Mit Entscheid vom 29. April 2009 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, die Versicherungsleistungen angemessen zu erhöhen.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit und die Vorinstanz verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Das Bundesgericht kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die seit 1. März 2000 ausgerichtete Invalidenrente revisionsweise zu erhöhen ist. Die Rechtsgrundlagen hiefür sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das gilt namentlich auch für die Grundsätze über die für einen Leistungsanspruch erforderlichen kausalen Zusammenhänge und über die Rentenrevision mit den zu beachtenden beweisrechtlichen Regeln.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers unter anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen). Gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> wird die Invalidenrente bei einer erheblichen Änderung des Invaliditätsgrades von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben. Anlass zu einer solchen Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 3 S. 132 mit Hinweisen). Zu vergleichen ist dabei der Sachverhalt im Zeitpunkt, in welchem die Rente rechtskräftig gewährt bzw. materiell bestätigt worden ist, mit dem Sachverhalt im Zeitpunkt der Neubeurteilung (<ref-ruling> E. 3.5.2 S. 351; vgl. auch <ref-ruling> E. 3 S. 132 f. mit Hinweis).
Im vorliegenden Fall ist somit der Sachverhalt im Zeitpunkt des rentenzusprechenden Einspracheentscheides vom 28. Juli 2000 mit demjenigen im Zeitpunkt des die revisionsweise Rentenerhöhung verneinenden Einspracheentscheides vom 3. Januar 2008 zu vergleichen. Dabei steht als revisionsbegründende Änderung eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes zur Diskussion.
3. Gemäss dem insoweit unbestrittenen vorinstanzlichen Entscheid lag der Rentenzusprechung die Annahme einer vollen Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit zugrunde, was nach Durchführung des Einkommensvergleichs einen Invaliditätsgrad von 20 % ergab. Dabei wurde in somato-medizinischer Hinsicht von folgenden Diagnosen ausgegangen: CRPS Typ I (Algodystrophie) Stadium II des rechten Daumens mit massiver Allodynie auf Berührung, Druck und Kälte am Endglied palmar, weniger ausgeprägt auch weiter proximal bis zum Thenar, extremer Dyshidrosis ("kaltes" Schwitzen), Dauerschmerzen verstärkt bei Bewegungen, elektrisierenden Schmerzen bis zum Endglied bei Druck auf den Thenar, mässiger Bewegungseinschränkung im Carpometacarpalgelenk und MP-Gelenk, praktisch aufgehobener (aktiver) Beweglichkeit im IP-Gelenk, funktionellem Ausschluss des Daumens, ohne trophische und funktionelle Störungen der Langfinger, bei Weichteildefekt am Daumenendglied palmar-radial mit Defekt des Nagels. In psychischer Hinsicht wurde auf eine posttraumatische Belastungsstörung mit zusätzlicher Symptomausweitung geschlossen. Diese Beurteilung des Gesundheitszustandes durch das kantonale Gericht beruhte auf den im Austrittsbericht der Klinik Y._ vom 22. November 1999 gestellten Diagnosen. Die Bestimmung von Restarbeitsfähigkeit und - rentenbestimmendem - Invaliditätsgrad erfolgte ausschliesslich aufgrund der somatischen Leiden, welche als natürlich und adäquat unfallkausal beurteilt wurden. Die psychische Problematik wurde, mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs zum Unfall vom 14. Juli 1998, nicht berücksichtigt.
4. Aus der Zeit seit der Rentenzusprechung stammen namentlich verschiedene Stellungnahmen des Prof. Dr. med. S._, FMH Physikalische Medizin und Rehabilitation, das handchirurgische Gutachten des Spitals X._ vom 8. Dezember 2006 (mit Ergänzung vom 10. Oktober 2007) sowie die ärztlichen Beurteilungen des Dr. med. E._ vom 17. März und 17. Juni 2008 von der Abteilung Versicherungsmedizin SUVA.
Das kantonale Gericht ist in Würdigung dieser medizinischen Akten zum Ergebnis gelangt, im massgeblichen Zeitraum sei in somatischer Hinsicht keine wesentliche Verschlechterung des Gesundheitszustandes eingetreten, welche eine revisionsweise Erhöhung der Rente rechtfertigen würde.
4.1 Der vorinstanzlichen Beurteilung ist ohne Weiteres beizupflichten, soweit in den medizinischen Berichten, insbesondere im Gutachten des Spitals X._ vom 8. Dezember 2006, ein Colon irritabile, eine Prostatitis und eine Lumbago diagnostiziert werden. Es ist nicht wahrscheinlich, dass diese Leiden auf den in einer Handverletzung beruhenden Unfall zurückzuführen sind. Der Versicherte argumentiert denn auch nicht mit den genannten Leiden, sondern macht eine Verschlimmerung der Beschwerden an der Hand bis zur Schulter geltend.
4.2 Diesbezüglich hat die Vorinstanz erwogen, soweit Prof. Dr. med. S._ und die Gutachter des Spitals X._ gestützt auf die neu erhobenen Befunde an den Langfingern ein CRPS I der rechten Hand diagnostiziert hätten, was gegenüber der ursprünglichen Diagnose eines CRPS I des rechten Daumens vordergründig einer somatischen Verschlechterung entsprechen könnte, sei ihnen im Sinne der Ausführungen des Dr. med. E._ nicht zu folgen. Insbesondere sei zu bemängeln, dass sowohl Prof. Dr. med. S._ als auch die Experten des Spitals X._ weder die Ätiologie der neu erhobenen Befunde an den Langfingern (fleckig-livide Marmorierung, diffuse Schwellung, vermehrte Schweiss-Sezernierung und Temperaturverminderung) diskutiert noch allfällige Differenzialdiagnosen in Betracht gezogen hätten. Beispielsweise hätten sich die genannten Ärzte nicht mit der Möglichkeit einer willentlichen Strangulation/Stauung auseinandergesetzt, die bei einem deutlich ödematös geschwollenen Handbereich mindestens erwähnt werden sollte. Dass ein funktioneller Ausschluss des rechten Armes zu schwerwiegenden trophischen Störungen führen könne, sei ebenfalls nicht diskutiert worden. Aus diesen Gründen sei die nicht weiter begründete Ausdehnung des CRPS I vom Daumen auf die Hand nicht überwiegend wahrscheinlich.
Im angefochtenen Entscheid wird weiter ausgeführt, gestützt auf die ärztlichen Beurteilungen des Dr. med. E._ seien das Schulter-Arm-Syndrom und die neu erhobenen Befunde an der rechten Hand nicht als somatische Unfallfolgen, sondern als psychisch bedingt zu betrachten. Im Urteil U 194/03 vom 14. Juni 2004 sei entschieden worden, dass es in Bezug auf psychisch bedingte Beschwerden am adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 14. Juli 1998 fehle. Daran sei festzuhalten, zumal nach dem Gesagten keine erhebliche Veränderung der somatischen Unfallfolgen vorliege und sich daher erübrige, die Frage nach einem ausnahmsweisen nachträglichen Abgehen von der seinerzeitigen Adäquanzbeurteilung zu prüfen.
Nach der in der Beschwerde vertretenen Auffassung ist aufgrund der medizinischen Akten eine somatische Verschlechterung zumindest bezüglich des CRPS, wenn nicht auch hinsichtlich der Symptomatik bis zum Schultergürtel ausgewiesen oder jedenfalls mittels ergänzender medizinischer Abklärung nachweisbar. Daher habe auch eine Neubeurteilung der Adäquanz unter Berücksichtigung des weiteren Verlaufs ab dem rentenzusprechenden Einspracheentscheid vom 28. Juli 2000 zu erfolgen.
4.3 Die Aussagen des Prof. Dr. med. S._ und der Gutachter des Spitals X._ werfen in der Tat Fragen auf, soweit eine Ausweitung von Beschwerden bis zur Schulter postuliert wird. Insbesondere wird nicht nachvollziehbar begründet, dass es sich dabei um eine organisch erklärbare Unfallfolge handeln soll. Es besteht auch eine begriffliche Diskrepanz, indem im Gutachten des Spitals X._ vom 8. Dezember 2006 von einer Symptomausweitung bis zum Schultergürtel gesprochen wird, was eher eine nicht organische Ursache nahelegen würde, während Prof. Dr. med. S._ im Bericht vom 7. November 2002 ausführt, es sei für die Ausdehnung der Symptomologie in Arm und Schulter eben nicht eine Symptomausweitung als Beschreibung eines psychischen Phänomens verantwortlich zu machen. Zu erwähnen ist im Weiteren, dass gemäss der ärztlichen Beurteilung des Dr. med. E._ vom 17. März 2008 die gemessenen Umfänge an Ober- und Unterarm gegen eine relevante muskuläre Schonung sprechen. Dies würde eher darauf hindeuten, dass entgegen der Auffassung des Prof. Dr. med. S._ und der Gutachter des Spitals X._ beide Arme gebrauchsfähig sind. Angesichts solcher Ungereimtheiten ist nicht zu beanstanden, wenn das kantonale Gericht die Äusserungen des Prof. Dr. med. S._ und der Experten des Spitals X._ nicht als verlässliche Grundlage betrachtet hat, um mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) auf eine Verschlimmerung des unfallbedingten Gesundheitsschadens schliessen zu können.
Entgegen dem angefochtenen Entscheid gestattet die widersprüchliche medizinische Aktenlage aber auch nicht, eine solche Verschlimmerung mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit (und Erwerbsfähigkeit) zu verneinen. Das alleinige Abstellen auf Dr. med. E._ überzeugt mit Blick auf die anderslautenden Aussagen des Prof. Dr. med. S._ und der Gutachter des Spitals X._ nicht, zumal der SUVA-Arzt ausschliesslich gestützt auf die Akten Stellung genommen hat. Zwar kann, wie das kantonale Gericht erkannt hat, auch ein Aktengutachten resp. eine aktengestützte ärztliche Beurteilung verlässliche Anhaltspunkte bieten. Im vorliegenden Fall lassen aber die Aussagen des Dr. med. E._ ihrerseits zu viele Fragen offen und genügen nicht, um entgegen den Aussagen des Prof. Dr. med. S._ und der begutachtenden Fachärzte des Spitals X._ eine somatische Verschlimmerung auszuschliessen. Das gilt erst recht, wenn berücksichtigt wird, dass in einer kreisärztlichen Stellungnahme vom 16. April 2007, allerdings ohne weitere Begründung, davon ausgegangen wurde, das Schulter-Arm-Syndrom sei Unfallfolge. Bei derart divergierenden ärztlichen Aussagen, welche weder die eine noch die andere der konträren Auffassungen zuverlässig zu stützen vermögen, drängt sich eine ergänzende medizinische Abklärung geradezu auf. Dass bei der vorinstanzlichen Beurteilung ein Arzt als Fachrichter mitgewirkt hat, ändert hieran nichts. Aufgrund der Umstände bietet sich an, eine Oberexpertise bei Fachärzten resp. einer Begutachtungsstelle einzuholen, welche sich bislang mit der Sache nicht befasst haben. Die Sache wird dafür und zum neuen Entscheid an das kantonale Gericht zurückgewiesen. Bei diesem Ergebnis kann offenbleiben, ob das kantonale Gericht beim Abstellen auf Fachwissen des Fachrichters den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt hat, wie dieser geltend macht.
5. Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu weiterer Abklärung und neuem Entscheid (mit noch offenem Ausgang) gilt praxisgemäss für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch einer Parteientschädigung als Obsiegen der Beschwerde führenden Partei im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG. Das gilt unabhängig davon, ob die Rückweisung überhaupt beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 235 mit Hinweisen; Urteile 8C_561/2009 vom 17. September 2009 E. 6, 8C_346/2009 vom 3. Juli 2009 E. 6 und 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1 mit weiterem Hinweis). Somit hat die SUVA die Gerichtskosten zu tragen und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 29. April 2009 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. November 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz