Erwägungen:
1. X._ stellte am 13. Dezember 2007 bei der Luzerner Polizei Strafklage gegen den Orthopäden Dr. med. Y._ wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses. Weiter erhob er Anzeige wegen falschen ärztlichen Zeugnisses; insoweit konstituierte er sich nicht als Privatkläger. X._ warf dem Angeschuldigten zusammenfassend vor, einen ärztlichen Bericht - ohne vom Berufsgeheimnis entbunden worden zu sein - an die SUVA weitergeleitet zu haben. Der Amtsstatthalter von Luzern führte in der Folge gegen den Angeschuldigten eine Strafuntersuchung wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses und wegen falscher ärztlicher Zeugnisse. Mit Entscheid vom 5. Mai 2010, der von der Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern am 18. Mai 2010 visiert wurde, stellte der Amtsstatthalter von Luzern die Untersuchung gegen den Angeschuldigten ein und trat auf die Zivilforderung des Strafklägers nicht ein. Dagegen reichte X._ bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern Rekurs ein. Diese beantragte der Kriminal- und Anklagekommission des Obergerichts des Kantons Luzern die Abweisung des Rekurses, soweit darauf einzutreten sei. Mit Entscheid vom 25. Oktober 2010 wies die Kriminal- und Anklagekommission den Rekurs ab, soweit sie darauf eintrat. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, auf den Rekurs betreffend die Einstellung der Untersuchung wegen eines falschen ärztlichen Zeugnisses sei nicht einzutreten, weil sich der Rekurrent insoweit ausdrücklich nicht als Privatkläger konstituiert habe. Hinsichtlich der Verletzung des Berufsgeheimnisses sei der Strafantrag verspätet eingereicht worden, weshalb insoweit der Rekurs gegen die Verfahrenseinstellung abzuweisen sei. Im Weiteren machte die Kriminal- und Anklagekammer Ausführungen zum verfassungsrechtlichen Anspruch auf Akteneinsicht und legte dar, weshalb keine Aktenzustellung ins Ausland erfolgen könne.
2. X._ führt mit Eingabe vom 3. Januar 2011 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid der Kriminal- und Anklagekommission des Obergerichts des Kantons Luzern. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 315; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen der Kriminal- und Anklagekommission, die zur Abweisung seines Rekurses führten, nicht rechtsgenüglich auseinander und vermag nicht darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid verfassungsmässige Rechte oder sonst wie Recht im Sinne von <ref-law> verletzen sollte. Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Entscheids darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4. Da die Beschwerde nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos ist, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Amtsstatthalteramt Luzern sowie der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Luzern, Kriminal- und Anklagekommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Januar 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Pfäffli