Faits:
A. Le 5 juin 1990, R._, né en 1962, a été victime d'un accident de la circulation au cours duquel il a subi un poly-traumatisme, notamment de nombreuses fractures, en particulier à la jambe gauche et à la colonne lombaire, ainsi qu'une luxation de la rotule gauche. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a pris en charge le cas.
Par décision du 19 décembre 1995, confirmée sur opposition le 13 mai 1996, la CNA a alloué à l'assuré, depuis le 1er novembre 1995, une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 33,33 % pour les séquelles physiques de l'accident. Saisi d'un recours de l'intéressé qui concluait à l'octroi d'une rente d'un taux plus élevé afin de tenir compte d'une atteinte à sa santé psychique, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 9 décembre 1996.
De son côté, la Caisse cantonale valaisanne de compensation a alloué à l'intéressé, à partir du 1er septembre 1990, une rente entière de l'assurance-invalidité, fondée sur un taux d'invalidité de 80 % (décision du 7 avril 1993).
Le 4 février 2002, l'assuré a annoncé une rechute à la CNA. Il indiquait que les douleurs dans le bas du dos, dont il souffre depuis l'accident, s'étaient aggravées à la suite d'un effort effectué pendant son activité lucrative au mois de décembre 2001. Par décision du 12 avril 2002, confirmée sur opposition le 29 mai suivant, la CNA a nié l'existence d'une rechute, motif pris que les troubles annoncés étaient dus à une discopathie dégénérative sans rapport avec l'accident survenu en 1990.
Le 22 mars 2004, l'intéressé a annoncé une aggravation de son atteinte à la santé. Dans des rapports des 15 décembre 2003 et 14 juin 2004, le docteur L._, spécialiste en médecine physique et rhumatologie, a fait état d'un syndrome lombosciatique aigu qui avait déjà nécessité des soins en 2001 et 2002. La CNA a refusé de prendre en charge le cas, motif pris que le trouble indiqué par le docteur L._ était de même nature que celui qui avait fait l'objet de la décision sur opposition du 29 mai 2002, entrée en force.
A la suite d'une arthroscopie effectuée le 21 décembre 2004, le docteur I._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a diagnostiqué une lésion méniscale au genou gauche et indiqué qu'elle était due à l'accident survenu en 1990 (rapport du 18 mars 2005). De son côté, le docteur L._ a fait état d'une hypotrophie de la musculature de la jambe gauche due à l'événement en cause (rapports des 10 janvier et 4 juillet 2005).
Après avoir requis l'avis du docteur V._, médecin d'arrondissement, la CNA a rendu une décision, le 1er septembre 2005, par laquelle elle a refusé d'allouer ses prestations pour les troubles allégués. Saisie d'une opposition, elle l'a rejetée par décision du 5 janvier 2006, après avoir soumis le cas au docteur P._, spécialiste en chirurgie et médecin d'arrondissement (rapport du 16 décembre 2005).
B. R._ a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais. Postérieurement à la clôture de l'échange d'écritures, il a produit un rapport du professeur G._, médecin-cadre au Centre Hospitalier X._, du 22 mars 2007. Cette pièce a été retournée à l'assuré par la juridiction cantonale le 16 avril 2007.
Celle-ci a rejeté le recours par jugement du 21 juin 2007.
C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à la prise en charge, à titre rétroactif, de tous les frais médicaux et frais de médicaments relatifs à la rechute de l'accident survenu en 1990.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. Le recourant conclut à la prise en charge par l'intimée des frais médicaux et de médicaments pour des troubles qu'il considère comme une rechute ou des séquelles tardives de l'accident du 5 juin 1990, soit la prise en charge de prestations en nature de l'assurance-accidents.
Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
La constatation de l'atteinte à la santé (diagnostic, pronostic, etc.) et l'évaluation de la capacité de travail (résiduelle) sont en principe des questions de fait (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 397). Il en est de même de l'appréciation concrète des preuves. En revanche, l'application du principe inquisitoire et des règles sur l'appréciation des preuves au sens de l'art. 61 let. c LPGA relève du droit (<ref-ruling> consid. 3.2 et 4 p. 397 ss; arrêt 8C_172/2007 du 6 février 2008, consid. 2.3).
2. Le litige porte sur le point de savoir si le recourant a droit à la prise en charge du traitement médical pour des lombalgies, une lésion méniscale au genou gauche et une hypotrophie musculaire de la cuisse et du mollet gauches.
3. 3.1 La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-accidents.
Par sa décision du 12 avril 2002, confirmée sur opposition le 29 mai suivant, la CNA a refusé de prendre en charge le traitement médical pour les lombalgies annoncées le 4 février 2002. La décision sur opposition est entrée en force, de sorte que le trouble en question ne peut éventuellement ouvrir droit à la prise en charge d'un traitement médical que postérieurement au mois de mai 2002. Dès lors, il convient, en vertu des principes généraux en matière de droit intertemporel, d'examiner la cause à la lumière de l'ancien droit en ce qui concerne la période précédant le 1er janvier 2003 et à l'aune de la LPGA et de ses dispositions d'exécution pour la période ultérieure (<ref-ruling>, 445).
Par sa décision du 12 avril 2002, confirmée sur opposition le 29 mai suivant, la CNA a refusé de prendre en charge le traitement médical pour les lombalgies annoncées le 4 février 2002. La décision sur opposition est entrée en force, de sorte que le trouble en question ne peut éventuellement ouvrir droit à la prise en charge d'un traitement médical que postérieurement au mois de mai 2002. Dès lors, il convient, en vertu des principes généraux en matière de droit intertemporel, d'examiner la cause à la lumière de l'ancien droit en ce qui concerne la période précédant le 1er janvier 2003 et à l'aune de la LPGA et de ses dispositions d'exécution pour la période ultérieure (<ref-ruling>, 445).
3.2 3.2.1 Selon l'<ref-law>, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire, en revanche, que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé physique ou psychique de l'assuré, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celle-ci. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte à la santé sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait, que l'administration ou, le cas échéant, le juge examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale. Ainsi, lorsque l'existence d'un rapport de cause à effet entre l'accident et le dommage paraît possible, mais qu'elle ne peut pas être qualifiée de probable dans le cas particulier, le droit à des prestations fondées sur l'accident assuré doit être nié (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406, 119 V 335 consid. 1 p. 337, 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références).
Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 181, 402 consid. 2.2 p. 405, 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
3.2.2 La responsabilité de l'assureur-accidents s'étend, en principe, à toutes les conséquences dommageables qui se trouvent dans un rapport de causalité naturelle et adéquate avec l'événement assuré. Les prestations d'assurance sont donc également allouées en cas de rechutes et de séquelles tardives (<ref-law>). Selon la jurisprudence, les rechutes et les séquelles tardives ont ceci en commun qu'elles sont attribuables à une atteinte à la santé qui, en apparence seulement, mais non dans les faits, était considérée comme guérie. Il y a rechute lorsque c'est la même maladie qui se manifeste à nouveau. On parle de séquelles tardives lorsqu'une atteinte apparemment guérie produit, au cours d'un laps de temps prolongé, des modifications organiques ou psychiques qui conduisent souvent à un état pathologique différent (<ref-ruling> consid. 3a p. 138 et les références). A cet égard, la jurisprudence considère que plus le temps écoulé entre l'accident et la manifestation de l'affection est long, et plus les exigences quant à la preuve, au degré de la vraisemblance prépondérante, du rapport de causalité naturelle doivent être sévères (RAMA 1997 no U 275 p. 191 consid. 1c).
4. 4.1 Le recourant demande que la Cour de céans prenne en considération le rapport du professeur G._ (du 22 mars 2007), produit en première instance postérieurement à la clôture de l'échange d'écritures et écarté d'emblée par la juridiction cantonale. Il fait valoir que cet avis médical constitue un fait récent, en relation avec ses troubles actuels, ainsi qu'un complément utile pour éclaircir les faits de la cause.
Ce rapport médical ne peut toutefois pas être pris en considération par la Cour de céans, dès lors qu'en principe, un moyen de preuve qui n'a pas été examiné dans la procédure devant l'autorité précédente n'est pas admissible dans la procédure devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
4.2 Par ailleurs, si l'on devait interpréter la demande du recourant comme un reproche adressé implicitement à la juridiction cantonale pour avoir écarté d'emblée le rapport médical en question, ce grief ne serait pas admissible.
4.2.1 L'<ref-law>, qui fixe les exigences minimales auxquelles doit satisfaire la procédure devant les tribunaux cantonaux des assurances ne règle pas le point de savoir si et, le cas échéant, jusqu'à quand les parties peuvent produire des pièces nouvelles après l'échéance du délai de recours. Ce point peut toutefois être réglé par le droit cantonal. En l'occurrence, l'art. 48 de la loi cantonale valaisanne sur la procédure et la juridiction administratives du 6 octobre 1976 (LPJA) dispose que le mémoire de recours contient un exposé concis des faits, des motifs accompagnés des moyens de preuve, ainsi que des conclusions (al. 2, 1ère phrase); la décision attaquée et les documents servant de moyens de preuve, en possession du recourant, sont joints au mémoire (al. 3).
4.2.2 Le recourant qui se plaint de la violation de droits fondamentaux ou de dispositions de droit cantonal doit, comme sous l'empire de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, satisfaire au principe d'allégation, soit indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et démontrer par une argumentation précise en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine en effet de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (<ref-law>), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée.
En l'occurrence, le grief - en admettant qu'il ait été soulevé de manière implicite - touchant au refus de la juridiction cantonale de prendre en compte le rapport du professeur G._ concerne le droit cantonal, dont la violation ne peut pas être directement invoquée au regard de la loi fédérale sur le Tribunal fédéral (<ref-law> a contrario). Dès lors, seul le grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) pourrait être examiné. Toutefois, dans la mesure où il n'est pas invoqué ni motivé conformément au principe d'allégation, le grief en question ne serait pas admissible.
5. Faisant siennes les conclusions du docteur P._ (rapport du 16 décembre 2005), la juridiction cantonale a constaté qu'il n'existait pas de lésions radiculaires consécutives à la fracture de L1 provoquée par l'accident et que les investigations mises en oeuvre en 1992 et 1993 n'avaient pas décelé d'instabilité au genou gauche. Ces constatations lient le Tribunal fédéral (cf. consid. 1). Au demeurant, elles ne sont pas contestées par le recourant. Dès lors, il n'y a pas de motif de mettre en cause la conclusion des premiers juges, selon laquelle un lien de causalité naturelle entre la lésion méniscale au genou gauche, apparue quatorze ans après l'accident, et cet événement est seulement possible. Or, cela n'est pas suffisant pour établir l'existence d'un tel lien conformément à la règle du degré de vraisemblance prépondérante appliquée généralement à l'appréciation des preuves en matière d'assurance sociale. En effet, lorsque l'existence d'un rapport de cause à effet entre un accident et un dommage paraît possible, mais qu'elle ne peut pas être qualifiée de probable dans le cas particulier, le droit à des prestations fondées sur l'accident assuré doit être nié (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181, 119 V 335 consid. 1 p. 338, et les références).
Par ailleurs, les premiers juges ont constaté que l'atrophie du membre inférieur gauche n'était pas sensiblement marquée par rapport au membre inférieur droit au cours des trois années qui ont suivi l'accident. De cette constatation de fait - sur laquelle il n'y a pas de motif de revenir - la juridiction cantonale infère qu'une relation de causalité naturelle entre l'hypotrophie musculaire de la cuisse et du mollet gauches et l'accident n'apparaît pas probable. Dès lors, ajoutent les premiers juges, si elles découlent à la fois de troubles d'origine dégénérative et de l'hypotrophie musculaire, les lombalgies n'apparaissent pas non plus en relation de causalité naturelle avec l'accident.
Cet avis n'est pas critiquable et il y a lieu d'admettre, sans qu'il soit nécessaire de trancher la question de la causalité adéquate, que le recourant n'a pas droit à la prise en charge par l'intimée du traitement médical pour ses lombalgies, pour la lésion méniscale au genou gauche, ainsi que pour l'hypotrophie musculaire de la cuisse et du mollet gauches.
Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 28 mars 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd