A.- Die 1960 geborene Psychologin M._ arbeitete als Heilpädagogin für die Heilpädagogische Früherziehung im Kanton Thurgau und war damit bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend "Zürich") obligatorisch gegen Unfälle versichert. Am 9. August 1995 erhielt sie während der Ferien im Rahmen eines Segelkurses auf dem Comersee einen Schlag des Segelbaumes an den Kopf. Dabei zog sie sich eine Kopfplatzwunde zu und erlitt einen Schock. Zudem klagte sie über Sehstörungen, Schwindel sowie Kopf-, Kiefer- und Ohrenschmerzen. Noch am selben Abend wurde die Platzwunde im Spital in X._ (Italien) versorgt. Am 17. August 1995 nahm die Versicherte ihre Arbeit wieder auf, doch es traten nach einer halben Stunde Sehstörungen, Konzentrationsschwierigkeiten, Kreislaufprobleme und Schmerzen auf. Sie begab sich gleichentags zu ihrem Hausarzt Dr. med. C._, Arzt für Innere Medizin, der eine commotio cerebri (Bericht vom 17. August 1995) und in der Folge eine Schädelprellung mit Verdacht auf commotio labyrinthie sowie ein leichtes Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte (Berichte vom 12. September 1995 sowie 13. Oktober 1995). Dr. med. H._, Facharzt für Neurologie und Psychiatrie, der die Versicherte am 21. August 1995 untersucht hatte, diagnostizierte eine Schädelprellung mit vor allem commotio labyrinthie sowie eine leichte HWS-Distorsion (Berichte vom 27. August 1995 und 23. Oktober 1995). Am 7. November 1995 konstatierte Dr. med. C._ ein anhaltendes Cervikalsyndrom sowie nach ein- bis zweistündiger Belastung Auftreten von Kopf- und Nackenschmerzen, Konzentrationsschwäche, Schwindel und vegetativen Symptomen. Die "Zürich" erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Zur Abklärung der medizinischen Verhältnisse zog sie einen Bericht des Dr. med. B._, Orthopäde, (vom 7. Februar 1996), ein Gutachten der Dr. med. F._, Neurologie FMH, (vom 26. Mai 1996), Berichte der Klinik Y._ (vom 19. Juni und 15. Juli 1996), des Dr. med. M._, Spezialarzt für Neurologie FMH, (vom 24. Juni 1996, 13. September 1996 und 23. Oktober 1996), der Klinik Z._ (vom 24. Januar 1997 und 4. Juli 1997), des Dr. med. R._, Neurologie FMH, (vom 6. Juni 1997), sowie Gutachten der Klinik I._ (vom 22./23. Oktober 1997) und der Klinik B._ (vom 9. Februar 1999) bei. Gestützt auf diese Unterlagen stellte die "Zürich" die Leistungen mit Verfügung vom 26. Juli 1999 per 1. April 1999 ein, da die zum Beschwerdebild eines HWS-Schleudertraumas gehörenden Beeinträchtigungen im Vergleich zur psychischen Problematik in den Hintergrund träten und zwischen der Letzteren sowie dem Unfall die Adäquanz des Kausalzusammenhangs zu verneinen sei. Die gegen diese Verfügung erhobene Einsprache wies die "Zürich" mit Entscheid vom 25. August 2000 ab.
B.- Dagegen liess die Versicherte Beschwerde einreichen und eine Bestätigung der Segellehrerin Christina Stein vom 3. Oktober 2000 sowie ein Gutachten des dipl. Ing. Peter, Sachverständiger des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamtes des Kantons St. Gallen, vom 28. November 2000, auflegen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies die Beschwerde mit Entscheid vom 28. März 2001 ab.
C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt die Versicherte beantragen, es sei die grundsätzliche und umfassende Leistungspflicht (Heilbehandlung, Taggelder, Rente sowie Integritätsentschädigung) der Beschwerdegegnerin festzustellen; die Sache sei zur Festlegung der Leistungsansprüche oder zur Beweisergänzung an die Beschwerdegegnerin bzw. die Vorinstanz zurückzuweisen; die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, die Kosten des Gutachtens von dipl. Ing. Peter zu vergüten. Gleichzeitig lässt sie eine Bestätigung der Kursteilnehmerin A._ (vom 29. Mai 2001), ein Gutachten des Prof. Dr. med. S._, Facharzt FMH für Rechtsmedizin, Chefarzt des Instituts für Rechtsmedizin des Spitals S._ (vom 28. Mai 2001), ein Schreiben des Psychiaters Dr. med. K._, Klinik B._ (vom 28. Mai 2001), und ein Schreiben des Neurologen Dr. med. Z._, Klinik B._ (vom 12. Juni 2001), einreichen.
Die Vorinstanz und die "Zürich" schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Providentia, die als Mitbeteiligte zur Vernehmlassung aufgefordert wurde, verzichtet ebenfalls auf eine solche, da sie als Lebensversicherung am Verfahren nicht mitbeteiligt sei.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Das kantonale Gericht hat die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; <ref-ruling> Erw. 1, 117 V 360 Erw. 4a), zur vorausgesetzten Adäquanz des Kausalzusammenhangs im Allgemeinen (nicht veröffentlichte Erw. 5a von <ref-ruling>; <ref-ruling> Erw. 5a mit Hinweisen), bei psychischen Unfallfolgen (<ref-ruling> Erw. 5b/bb, 123 V 99 Erw. 2a, 115 V 133 ff.) sowie Folgen eines Unfalls mit Schädel-Hirntrauma oder Schleudertrauma der HWS ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle im Besonderen (<ref-ruling> Erw. 5b/bb, 117 V 359 ff.) zutreffend dargelegt. Sodann hat das kantonale Gericht zu Recht festgestellt, dass die Beurteilung der Adäquanz in Fällen, in welchen unmittelbar nach dem Unfall die zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas der HWS gehörenden Beschwerden zwar teilweise gegeben sind, im Vergleich zur ausgeprägten psychischen Problematik aber ganz in den Hintergrund treten, nach den für psychische Fehlentwicklungen nach einem Unfall entwickelten Kriterien vorzunehmen ist (RKUV 1995 Nr. U 221 S. 112, 116 und 117; <ref-ruling> Erw. 5b/bb, 123 V 99 Erw. 2a). Darauf kann verwiesen werden.
Zu ergänzen ist, dass die Versicherungsleistungen, soweit das Gesetz nichts anderes bestimmt, bei Berufsunfällen, Nichtberufsunfällen und Berufskrankheiten gewährt werden (<ref-law>).
Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichts ist entscheidend, ob er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet und nachvollziehbar sind (<ref-ruling> Erw. 3a; RKUV 2000 Nr. KV 124 S. 214).
2.- Nach den ärztlichen Feststellungen hat die Beschwerdeführerin beim Unfall vom 9. August 1995 ein HWS-Schleudertrauma und ein Schädel-Hirntrauma erlitten (Berichte des Dr. med. C._ vom 13. Oktober 1995, des Dr. med. H._ vom 23. Oktober 1995 sowie der Klinik Z._ vom 24. Januar 1997; Gutachten der Klinik I._ vom 23. Oktober 1997 und der Klinik B._ vom 9. Februar 1999; Neurologisches Konsilium der Klinik B._ vom 15. Mai 1998). Gemäss dem Gutachten des Prof. S._ vom 28. Mai 2001 hat die Beschwerdeführerin mit überwiegender Wahrscheinlichkeit sogar auch einen inkompletten Schädelbruch erlitten.
3.- Die "Zürich" hat im Einspracheentscheid ausgeführt, die eindeutige Dominanz einer ausgeprägten psychischen Problematik im Sinne von <ref-ruling> könne nicht ohne weitere Abklärung mit überwiegender Wahrscheinlichkeit angenommen werden. Sie hat daher die Adäquanzkriterien so beurteilt, wie sie gemäss der Schleudertrauma-Rechtsprechung für die Bejahung der Adäquanz erfüllt sein müssen. Sie hat diese Kriterien als nicht erfüllt angesehen.
4.- a) Die Vorinstanz dagegen hat gestützt auf <ref-ruling> ff. die Beurteilung der Adäquanz unter dem Gesichtspunkt einer psychischen Fehlentwicklung vorgenommen, da gemäss allen medizinischen Berichten eine "Verarbeitungsstörung" unzweifelhaft im Vordergrund stehe. Sie hat nach dieser Rechtsprechung unter Annahme eines Unfalls mittlerer Schwere im Grenzbereich zu den leichten die Adäquanzkriterien ebenfalls als nicht erfüllt angesehen.
b) Dieser Beurteilung der Vorinstanz kann nicht gefolgt werden. "Ganz in den Hintergrund" treten die zum Beschwerdebild eines Schleudertraumas der HWS und eines Schädelhirntraumas gehörenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen vorliegend nicht. Die Vorinstanz verkennt den Kern dieser Rechtsprechung. Es kommt zwar in den medizinischen Berichten durchaus zum Ausdruck, dass das Fortbestehen der Beschwerden der Versicherten zum Teil in ihrer Persönlichkeit begründet ist. So wurde im Gutachten der Klinik B._ vom 9. Februar 1999 ausgeführt, die von myofascialen Befunden an der HWS stammenden Kopfschmerzen machten nur den kleineren Teil der insgesamt vorhandenen Kopfschmerzproblematik aus. Die ausgeprägte Spannungskopfschmerzkomponente, die bei psycho-physischer Belastung exazerbiere und mit vegetativen und kognitiven Störungen einhergehe, sei auf die (nicht unfallbedingte) psychische Verarbeitungsstörung bezüglich Schmerzen und Gefühl der Überforderung zurückzuführen. Diese Verarbeitungsstörung sei der wesentliche, nicht unfallbedingte Faktor, der das Beschwerdebild aufrecht erhalte. Die nicht unfallbedingten, leistungsorientierten, narzisstischen Persönlichkeitszüge der Versicherten entwickelten ungünstige Unfall- und Schmerzbewältigungsstrategien und seien dazu geeignet, den Rehabilitationsverlauf zu verzögern und die Anpassung an die Beschwerden zu erschweren. Dr. med. K._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, Klinik B._, legte im Psychosomatischen Konsilium vom 19. August 1998 dar, dass keine gröbere Psychopathologie bzw. keine sog. depressive Episode oder "major depression" vorliege. Es seien zwar testpsychologisch depressive Elemente eruiert worden, der minimale Schweregrad für ein eigentliches psychiatrisches Depressionskonzept werde aber in keiner Weise erreicht. Die Versicherte habe jedoch zweifellos Persönlichkeitszüge, die eine Ursache für ihre Art der Krankheitsbewältigung seien; der Schweregrad für eine Persönlichkeitsstörung werde indessen nicht erreicht.
Im Schreiben an den Vertreter der Beschwerdeführerin vom 28. Mai 2001 präzisierte Dr. K._, er sei im Teilgutachten vom 19. August 1998 aufgrund der psychiatrischen Befundlage nicht von einem primär psychischen Beschwerdebild ausgegangen. Das bedeute, dass das Beschwerdebild nicht klar von einer psychischen Störung dominiert werde. Gewisse psychische Auffälligkeiten in der Art der Bewältigungsmuster und der Emotionalität bildeten wahrscheinlich lediglich einen Teilfaktor. Auch dieser psychische Teilfaktor, der sich aus problematischen Bewältigungsmustern und einer auffälligen emotionalen Reaktion zusammensetze, stehe in direktem und indirektem Zusammenhang mit dem Unfall, teils im Sinne eines psychosomatischen Zusammenhangs. Mit anderen Worten wäre dieser psychische Teilfaktor heute in Art und Intensität der Ausprägung ohne Einwirkung des Unfalls nicht denkbar. Aufgrund dieser Ausführungen des Dr. med. K._ wird die Auffassung der Vorinstanz, dass die "Verarbeitungsstörung" unzweifelhaft im Vordergrund stehe, in Frage gestellt.
Aber selbst wenn die Beschwerdeführerin eine Persönlichkeitsstruktur mit Neigung zu einer Verarbeitungsstörung aufweist, sind ihre psychischen Beeinträchtigungen nicht als im Vordergrund stehend zu qualifizieren. Vielmehr stellt sich die Frage, ob die Beschwerdeführerin noch in der weiten Bandbreite der Versicherten liegt, bei denen die einen ein Unfallereignis seelisch besser verkraften als andere, wobei die Letzteren des Versicherungsschutzes ebenfalls teilhaftig seien sollen. Denn im Rahmen der erwähnten weiten Bandbreite bilden auch solche Versicherte Bezugspersonen für die Adäquanzbeurteilung, welche im Hinblick auf die erlebnismässige Verarbeitung eines Unfalls zu einer Gruppe mit erhöhtem Risiko gehören, weil sie aus unfallversicherungsmässiger Sicht auf einen Unfall nicht optimal reagieren (<ref-ruling> Erw. 5b mit Hinweis; RKUV 1998 Nr. U 297 S. 245). Die Beschwerdeführerin leidet in erster Linie an Kopfschmerzen, Ohrenschmerzen, vegetativen Beschwerden, Schwindel, Sehstörungen, Beschwerden der HWS, Konzentrationsstörungen und rascher Ermüdbarkeit. Diese Leiden werden von den Ärzten nicht in Abrede gestellt und die natürliche Kausalität zum Unfall ist zumindest als Teilursache unbestritten. Im Gutachten der Klinik B._ vom 9. Februar 1999 wird diesbezüglich dargelegt, dass das Unfallereignis für die Kopf- und Nackenschmerzen und damit indirekt für den Schwindel und die subjektiv empfundenen kognitiven Störungen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit eine Teilursache darstelle. Wenn diese zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas der HWS und eines Schädel-Hirntraumas gehörenden Beeinträchtigungen bei einer seelisch robusten Persönlichkeit abgenommen hätten oder sogar verschwunden wären, bedeutet dies nicht, dass sie bei der Versicherten, die sie weniger zu verkraften weiss, zu psychischen Beschwerden "mutiert" haben. Abgesehen davon, dass bei Vorliegen eines Unfalles mit Schleudertrauma der HWS und Schädel-Hirntrauma sowie des entsprechenden bunten Beschwerdebildes, was - wie dargelegt - unbestritten und ärztlich ausgewiesen ist, nicht zwischen physischen und/oder psychischen Beschwerden zu unterscheiden ist. Der adäquate Kausalzusammenhang ist deshalb nach Massgabe von <ref-ruling> ff. zu beurteilen.
5.- Mit der Vorinstanz ist von einem mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten auszugehen. Damit die Adäquanz des Kausalzusammenhangs bejaht werden kann, muss somit ein einzelnes der in die Beurteilung einzubeziehenden Kriterien (<ref-ruling> Erw. 6a) in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein oder die zu berücksichtigenden Kriterien müssen in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (<ref-ruling> Erw. 6b).
Aufgrund der medizinischen Akten sind die Kriterien der Schwere und der besonderen Art der erlittenen Verletzungen (Schleudertrauma der HWS, Schädel-Hirntrauma und inkompletter Schädelbruch), der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung sowie der Dauerbeschwerden ohne weiteres erfüllt. Bezüglich der Arbeitsunfähigkeit ergibt sich Folgendes: Nach dem Unfall war die Versicherte zunächst 100 % arbeitsunfähig und dann ab Januar 1997 in ihrem angestammten Beruf als Heilpädagogin lediglich 15 % arbeitsfähig (Gutachten der Klinik I._ vom 23. Oktober 1997). Gemäss dem Gutachten der Klinik B._ vom 9. Februar 1999 besteht unter Einbezug sämtlicher Beschwerden (ohne Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten) im angestammten Beruf nur noch eine 25%ige und in der Tätigkeit als Einzeltherapeutin eine 40%ige Arbeitsfähigkeit. Damit ist auch das Kriterium des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit erfüllt. Unter diesen Umständen ist die Adäquanz des Kausalzusammenhangs zu bejahen. Die Sache ist daher an die "Zürich" zur Bemessung des Invaliditätsgrades und zur Festsetzung der Leistungen zurückzuweisen.
6.- a) Die Beschwerdeführerin beantragt schliesslich, es seien ihr die Kosten des eingeholten Privatgutachtens des dipl. Ing. Peter vom 28. November 2000 zuzusprechen.
b) Gutachterkosten sind zu entschädigen, soweit diese als notwendig zu gelten haben (Art. 159 Abs. 2 OG; <ref-ruling>; RKUV 2000 Nr. U 362 S. 44 Erw. 3b in fine).
Das von der Beschwerdeführerin veranlasste Privatgutachten war zur Klärung des rechtserheblichen Sachverhaltes bzw. zur Beurteilung des Falles nicht erforderlich. Die entsprechenden Kosten gehen daher nicht zu Lasten der Beschwerdegegnerin.
7.- Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Dem Prozessausgang entsprechend steht der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu (Art. 159 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 135 OG). Deren blosses Unterliegen bezüglich der Frage der Entschädigung der Gutachterkosten rechtfertigt keine Kürzung der Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. In teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde
werden der Entscheid des Verwaltungsgerichts
des Kantons Thurgau vom 28. März 2001 sowie der Einspracheentscheid
vom 25. August 2001 aufgehoben, und
es wird die Sache an die "Zürich" VersicherungsGesellschaft
zur Festsetzung der Leistungen zurückgewiesen.
Im Übrigen wird die Verwaltungsgerichtsbeschwerde
abgewiesen.
II. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Die "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft hat der Beschwerdeführerin
für das Verfahren vor dem Eidgenössischen
Versicherungsgericht eine Parteientschädigung
von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu
bezahlen.
IV. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wird über
eine Parteientschädigung für das kantonale Verfahren
entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses
zu befinden haben.
V. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht
des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für
Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 22. Oktober 2001
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Vorsitzende der III. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: