Sachverhalt:
A. X._ war bis zum 31. Januar 2009 als Betriebsleiter Logistik bei der Schweizerischen Post im Briefzentrum A._ angestellt. Infolge Neukonzeption der Briefzentren kam es zu personellen Umstrukturierungen, von denen auch X._ betroffen war. Um die Folge dieser Umstrukturierungen sozialverträglich zu gestalten, einigten sich die betroffenen Gewerkschaften mit der Post auf die Erstellung eines Sozialplans. In diesem sind unter anderem auch Entschädigungen für die Mitarbeitenden vorgesehen. Die Parteien haben am 14. Oktober 2008 bzw. 4. November 2008 eine Vereinbarung betreffend die Auflösung des Arbeitsverhältnisses im Rahmen des Sozialplans unterzeichnet. Unbestrittenermassen hat die Post X._ unter dem Titel Abgangsentschädigung einen Betrag von Fr. 19'754.-- überwiesen. Dieser forderte von der Post indes eine restanzliche Abgangsentschädigung von Fr. 2'572.-- sowie eine Durchhalteprämie von Fr. 15'947.--. In der Folge hat X._ den Betrag von Fr. 18'519.-- in Betreibung gesetzt.
Mit Entscheid vom 3. August 2009 erteilte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen X._ für den Betrag von Fr. 2'571.95 die provisorische Rechtsöffnung und wies das Gesuch soweit weitergehend ab.
B. X._ appellierte gegen dieses Urteil und beantragte, es sei ihm für den betriebenen Betrag die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Der Appellationshof des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, sprach ihm die Beschwerdelegitimation im Umfang der erstinstanzlich erteilten Rechtsöffnung ab, nahm den Antrag als Gesuch um provisorische Rechtsöffnung für einen Betrag von Fr. 15'946.95 entgegen (E. I/2), und wies dieses kostenfällig ab (Entscheid vom 23. September 2009).
C. Mit Eingabe vom 19. Oktober 2009 gelangte X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht mit der Anfrage, ob ihm für ein beabsichtigtes Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt werden könne. Diese Anfrage wurde als Verfassungsbeschwerde entgegengenommen (Mitteilungen vom 21. und 22. Oktober 2009). Am 23. Oktober 2009 reichte der Beschwerdeführer ein weiteres Schriftstück ein und beantragte nunmehr ausdrücklich, in der Betreibung ... sei ihm für den Betrag von Fr. 15'947.-- Rechtsöffnung zu erteilen, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Zudem ersuchte er erneut um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Letzteres wurde unter Hinweis auf die ungenügende Begründung seines Gesuches verweigert (Verfügung vom 29. Oktober 2009), worauf der Beschwerdeführer den geforderten Kostenvorschuss leistete.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Rechtsöffnungsentscheid, d.h. ein Endentscheid in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, sodass dieser grundsätzlich der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 75 Abs. 1, Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 2 S. 143).
Nach der Rechtsprechung gilt der vorliegende Streit, obwohl die dem Rechtsöffnungsgesuch zugrunde liegende Forderung aus einem Arbeitsverhältnis abgeleitet wird, nicht als arbeitsrechtlich im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 472 f.), sodass die Streitwertgrenze Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Wird diese - wie hier - nicht erreicht, ist die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>), was der Beschwerdeführer nicht behauptet. Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben.
1.2 Der Appellationshof hat in seiner Rechtsmittelbelehrung die Beschwerde in Zivilsachen als zulässiges Rechtsmittel angegeben. Zwar dürfen den Parteien aus einer unrichtigen Rechtsmittelbelehrung keine Nachteile erwachsen (<ref-law>). Indes kann die Vorinstanz in einem solchen Fall kein vom Gesetzgeber nicht vorgesehenes Rechtsmittel schaffen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 473).
1.3 Unter den gegebenen Umständen ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegenzunehmen, soweit und sofern die formellen Anforderungen an diese erfüllt sind.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Es gilt das Rügeprinzip (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Das Bundesgericht prüft daher nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Willkür in der Rechtsanwendung liegt dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133).
2. Umstritten ist, ob die von den Parteien am 14. Oktober 2008 bzw. 4. November 2008 unterzeichnete Vereinbarung betreffend die Auflösung des Arbeitsverhältnisses im Rahmen des Sozialplans als Rechtsöffnungstitel für die vom Beschwerdeführer geforderte Durchhalteprämie dienlich ist.
Der Appellationshof hat das Vorliegen eines Rechtsöffnungstitels zusammengefasst mit der Begründung verneint, die handschriftlichen Ergänzungen seien erst nach der Unterzeichnung der in Maschinenschrift abgefassten Vereinbarung vom Beschwerdeführer angebracht und der Beschwerdegegnerin zusammen mit einem Zwischenblatt ergänzt am 30. Dezember 2008 zugesandt worden, was diese umgehend bestritten habe. Im Übrigen könne aus dem maschinengeschriebenen Text keine Schuldanerkennung in Bezug auf eine Durchhalteprämie abgeleitet werden.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer beanstandet vorab die tatsächliche Feststellung, wonach er die Vereinbarung erst nach der Unterzeichnung der Originalversion mit handschriftlichen Anmerkungen ergänzt habe. Vielmehr habe er diese in Absprache mit der Beschwerdegegnerin bereits am 4. November 2008 handschriftlich präzisiert.
3.2 Vor dem Appellationshof hat der Beschwerdeführer wiederholt ausgeführt, seine handschriftlichen Ergänzungen seien nichts anderes als Präzisierungen dessen, was sich ohnehin aus dem maschinengeschriebenen Vertragstext ergebe. Sodann vertrat er vor der Vorinstanz und vertritt auch gegenüber dem Bundesgericht, er habe den maschinengeschriebenen Text nie als Vertrag akzeptiert, sondern nur in seiner ergänzten Version.
Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht behauptet, er habe die Ergänzungen in Absprache mit der Beschwerdegegnerin vorgenommen, ist dies ein neues tatsächliches Vorbringen und daher unzulässig (<ref-law>). Da er seinen eigenen Ausführungen zufolge die maschinengeschriebene Version der Vereinbarung gar nie unterzeichnet hat, sondern erst nach Vornahme seiner Ergänzungen, müsste eigentlich geschlossen werden, dass überhaupt nie übereinstimmende Willenserklärungen bestanden haben und damit auf der Basis des maschinengeschriebenen Textes kein Vertrag zwischen den Parteien zustandegekommen ist. Folglich hätte auch für die restanzliche Abgangsentschädigung keine Rechtsöffnung erteilt werden dürfen. Dies bildet indes nicht Prozessgegenstand, sodass nicht darauf zurück zu kommen ist. In tatsächlicher Hinsicht steht damit für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>) fest, dass die Beschwerdegegnerin die fragliche Vereinbarung ohne handschriftliche Änderungen unterzeichnet und Letzteren zu keinem Zeitpunkt zugestimmt hat.
4. Sodann bezeichnet der Beschwerdeführer die Subsumtion, wonach die Durchhalteprämie nicht Vertragsgegenstand geworden sei und die Vereinbarung diesbezüglich nicht als Rechtsöffnungstitel gelten könne, als offensichtlich unrichtig und rügt damit - zumindest sinngemäss - die willkürliche Anwendung von Art. 80 bzw. 82 SchKG.
4.1 Beruht die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Urteil, kann der Gläubiger beim Richter definitive Rechtsöffnung verlangen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer legt kein (vollstreckbares) Urteil vor, sodass die definitive Rechtsöffnung von vornherein ausser Betracht fällt.
4.2 Beruht die Forderung demgegenüber auf einer durch Unterschrift bekräftigten Schuldanerkennung, kann der Gläubiger die provisorische Rechtsöffnung verlangen (<ref-law>). Das bedeutet für den vorliegenden Sachzusammenhang, dass der Beschwerdeführer ein mit der Unterschrift der Beschwerdegegnerin versehenes Dokument vorlegen müsste, aus welchem ohne jeden Zweifel hervorgeht, dass sich diese verpflichten wollte, jenem die geforderte Durchhalteprämie zu bezahlen. Als Grundlage für die Beurteilung dient der maschinengeschriebene Text ohne Ergänzungen, denn nur diesen hat die Beschwerdegegnerin anerkannt. Dass die ergänzte Version der Vereinbarung nicht von deren Willen abgedeckt ist, wurde bereits in E. 3.3 dargelegt. Das Wort "Durchhalteprämie" kommt - im Gegensatz zu "Abgangsentschädigung" im Rubrum und in Ziffer 2 - im maschinengeschriebenen Text des Dokuments nicht vor. Wie der Appellationshof zutreffend festhält, genügt der allgemein gehaltene Hinweis auf den Sozialplan nicht, um daraus eine Anerkennung abzuleiten, eine Durchhalteprämie im Sinne von Ziffer 5.4.8.1 des Sozialplanes schuldig zu sein. Folglich sind auch die Voraussetzungen für eine provisorische Rechtsöffnung nicht gegeben. Das Urteil erweist sich somit nicht als willkürlich.
4.3 Dieses Ergebnis besagt, dass der Beschwerdeführer seinen (behaupteten) Anspruch auf Auszahlung einer Durchhalteprämie nicht auf dem für ihn günstigeren und schnelleren Betreibungsweg durchsetzen kann. Es bleibt ihm überlassen, diesen im ordentlichen Verfahren vor einem zuständigen Zivilgericht mit all den damit zusammenhängenden Risiken geltend zu machen.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Damit wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett