Sachverhalt:
A. Die 1950 geborene V._ war ab Herbst 1970 bis Ende Mai 2006 als Therapiegehilfin im Universitätsspital X._ tätig. Sie leidet seit ungefähr 2002 an Schmerzen im Bereich der rechten Körperhälfte, vor allem der rechten Schulter, des rechten Arms und der rechten Hand unter anderem aufgrund des Folgezustandes eines Schultergürtelkompressions-Syndroms (Thoracic Outlet-Syndrom), welches im Dezember 2004 operativ angegangen wurde; im April 2002 hatte eine beidseitige Karpaltunnelsyndrom-Operation stattgefunden. Am 9. Dezember 2004 meldete sich V._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Basel-Landschaft klärte den Sachverhalt in erwerblicher und medizinischer Hinsicht ab, indem sie insbesondere ein rheumatologisches Gutachten des Dr. J._ vom 9. März 2006 und eine psychiatrische Expertise des Dr. S._ vom 20. August 2006 einholte. Ersterer diagnostizierte unter anderem ein weichteilrheumatisches Schmerzsyndrom der oberen rechten Extremität und bescheinigte der Versicherten vollständige Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit; Dr. S._ hielt fest, aus Sicht seines Fachs lasse sich keine Diagnose mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit stellen. Die Verwaltung sprach V._ nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens unter Anerkennung eines Invaliditätsgrades von 44 Prozent eine Viertelsrente mit Wirkung ab Februar 2005 zu (Verfügung vom 16. März 2007).
B. Das Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 15. Februar 2008).
C. V._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, nach Aufhebung von strittiger Verfügung und angefochtenem Entscheid, mit Wirkung ab Februar 2005 eine ganze Invalidenrente auszurichten. Eventuell sei die Sache zur Einholung eines medizinischen Gutachtens an die Verwaltung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht V._ um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung).

Erwägungen:
1. 1.1 Strittig und aufgrund der Parteivorbringen zu prüfen ist, ob der Entscheid der Vorinstanz, es bestehe Anspruch auf eine Viertelsrente, auf vollständigen und beweistauglichen Grundlagen beruht.
1.2 Das kantonale Gericht hat die zur Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
1.3 Der Beurteilung von Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) liegt der Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesen kann das Bundesgericht von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>; ohne Beschwerden gemäss <ref-law> und <ref-law>). Zu den Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gehört auch die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (Urteil 9C_40/2007 vom 31. Juli 2007 E. 1; Ulrich Meyer, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, Rz. 25, 36 und 59 zu Art. 105; Seiler/von Werdt/Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, Rz. 24 zu Art. 97) und die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (Meyer, a.a.O., Rz. 60 zu Art. 105; Urteil 8C_364/2007 vom 19. November 2007 E. 3.3).
2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Gutachten des Dr. J._ vom 9. März 2006 werde den beweisrechtlichen Vorgaben, wie sie sich aus der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 352) ergeben, nicht gerecht; es sei weder schlüssig noch in sich widerspruchsfrei. Sie beanstandet somit letztlich die Bundesrechtskonformität der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>; vgl. oben E. 1.3).
2.1 Namentlich sei nicht nachvollziehbar, wie der rheumatologische Sachverständige angesichts der von ihm selber attestierten Beeinträchtigungen - auch nach erfolgter operativer Behandlung eines Karpaltunnelsyndroms anhaltende Beschwerden im rechten Handgelenk einerseits, eingeschränkte Einsetzbarkeit der rechten oberen Extremität (kein repetitives Stossen, Ziehen oder Heben von Lasten über fünf Kilogramm, vereinzelt bis zehn Kilogramm; kein andauerndes Arbeiten über Schulterhöhe mit dem rechten Arm) anderseits - zur Auffassung gelange, es könne ihr eine leichte Sortier- oder Montagetätigkeit im Vollpensum zugemutet werden; diese bedeute schliesslich erfahrungsgemäss vorwiegend manuelle Arbeit.
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin schliessen die gutachtlich festgelegten Rahmenbedingungen für zumutbare Arbeiten nicht jedwelche manuelle Tätigkeit aus; massgebend ist vielmehr, dass die vom diagnostizierten Leiden betroffenen Körperteile geschont werden. Eine leichte Sortier- oder Montagetätigkeit im Vollpensum führt nicht zu einer übermässigen Belastung der rechten oberen Extremität (Schulter, Arm, Hand).
2.2 Des Weiteren nimmt die Versicherte den beweisrechtlichen Standpunkt ein, das rheumatologische Gutachten sei nicht schlüssig, weil nicht ersichtlich sei, worin der Unterschied zwischen der (nicht mehr als zumutbar geltenden) angestammten Tätigkeit im Spital und den als Verweisungstätigkeiten angeführten leichten Sortier- und Montagearbeiten liegen solle. In der Tat scheinen die im Arbeitszeugnis des Universitätsspital X._ vom 31. Mai 2006 aufgezählten Verrichtungen (unter anderem Bewirtschaftung von Vorräten und Patientenakten, Materialbestellung, Botengänge, Reinigung und Pflege von medizinischen Apparaten und ähnlichem, Aufräumen, Bibliotheksarbeiten, Nähen und Bügeln) an sich mit dem gutachtlich umschriebenen Anforderungsprofil (vgl. oben E. 2.1) vereinbar zu sein. Die unterschiedliche Einschätzung der Zumutbarkeit von angestammter Tätigkeit und - beispielgebend - erwähnten leidensangepassten Arbeiten wäre aber selbst dann gerechtfertigt, wenn man die von der Beschwerdeführerin postulierte Gleichsetzung der Tätigkeiten unter dem Gesichtspunkt der Vereinbarkeit mit dem Gesundheitsschaden annehmen wollte: Aus der Begründung des Sachverständigen geht nämlich hervor, dass er davon ausging, die frühere Arbeit im Spital entspreche "grobmanueller Tätigkeit", welche die aus medizinischer Sicht gesetzten Belastungslimiten überschreite (S. 17). Mit Blick auf die Verwertbarkeit des Gutachtens zum Zwecke der Invaliditätsbemessung ist unerheblich, ob es sich dabei allenfalls um eine irrtümliche Annahme handelte. Aus beweisrechtlicher Sicht besteht demnach kein Grund, die Schlussfolgerung zu beanstanden, (jedenfalls) Sortier- und Montagetätigkeiten seien weiterhin zumutbar.
2.3 Beschwerdeweise beanstandet wird ferner die gutachtliche Unterscheidung der Diagnosen in solche mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit und in solche ohne entsprechende Auswirkungen. Danach falle lediglich das "weichteilrheumatische Schmerzsyndrom der oberen Extremität rechts mit Tendenz zur Fibromyalgie mit/bei Status nach Operation eines Thoracic outlet-Syndroms rechts (...)" in die erstere Kategorie, nicht aber ein chronisches Zervikalsyndrom bei degenerativen Veränderungen der Halswirbelsäule, eine Fingerpolyarthrose sowie der Status nach einer im April 2002 beidseits vorgenommenen operativen Behandlung eines Karpaltunnelsyndroms. Die gutachtliche Beurteilung sei nicht nachvollziehbar, zumal eine nähere Begründung, weshalb die letzteren Diagnosen keinen Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit zeitigten, fehle.
Dem ist entgegenzuhalten, dass sich im rheumatologischen Gutachten durchaus einschlägige Ausführungen finden: So weist der Sachverständige auf den zwei Jahre zuvor aktenkundig gewordenen krankheitsanamnestischen Umstand hin, dass die Arthrosen im Handbereich erst bei repetitiver, schwerer manueller Tätigkeit zum Tragen kämen (S. 14). Mit Blick auf die weichteilrheumatische Überlagerung der Beschwerden (dazu sogleich E. 2.4) wiederum spiele die zervikale Einschränkung heute "eigentlich" keine wesentliche Rolle; auch liege keine radikuläre Reizsymptomatik mehr vor (S. 16). Im Übrigen tragen die gutachtlich formulierten Anforderungen an eine geeignete Arbeit ohne Weiteres auch denjenigen Gesundheitsbeeinträchtigungen Rechnung, die nach Einschätzung des Sachverständigen keinen selbständigen Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit ausüben. Zudem hat die IV-Stelle die Kumulation verschiedenartiger Einschränkungen offenkundig berücksichtigt, indem sie bei der Bemessung des Invalideneinkommens den höchstmöglichen Abzug vom Tabellenlohn von 25 Prozent (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481; <ref-ruling>) vornahm.
2.4 Schliesslich wird in der Beschwerde vorgebracht, die Vorinstanz habe explizit abweichende medizinische Einschätzungen (Berichte des Internisten Dr. G._ vom 15. November 2006 und der Frau Dr. R._, Klinik Y._, vom 11. April 2007 [mit neurologischer Beurteilung durch Dr. F._ vom 30. März 2007]), die im Wesentlichen von einer höchstens bei 50 Prozent liegenden Arbeitsfähigkeit ausgehen, nicht gegen die gutachtlichen Ergebnisse abgewogen.
Auch diesbezüglich liegt keine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes oder des Gebotes einer freien Beweiswürdigung (<ref-law>) vor. Der Beschwerdeführerin ist zwar zuzugeben, dass Berichte behandelnder Ärzte - ihrer Funktion entsprechend - für gewöhnlich keine ausführliche Stellungnahme zu versicherungsmedizinischen Gutachten enthalten; insoweit verfängt die vorinstanzliche Begründung ihrer beweisrechtlichen Nachrangigkeit nicht. Indessen besteht zwischen ärztlichem Behandlungs- und Begutachtungsauftrag ein massgebender Unterschied (so Urteil 9C_24/2008 vom 27. Mai 2008 E. 2.3.2 mit Hinweisen), weshalb Rügen des Inhalts, die Angaben zur Zumutbarkeit im Administrativgutachten vermöchten vor den Beurteilungen der behandelnden Ärzte nicht zu bestehen, selten stichhaltig sind; vorbehalten bleiben allerdings Fälle, in denen sich eine abweichende Beurteilung aufdrängt, weil die behandelnden Ärzte wichtige - und nicht rein subjektiver ärztlicher Interpretation entspringende - Aspekte benennen, die im Rahmen der Begutachtung unerkannt oder ungewürdigt geblieben sind (SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43 E. 2.2.1 mit Hinweisen, I 514/06). So verhält es sich hier aber nicht. Vielmehr ist anzunehmen, dass die Diskrepanz zwischen der versicherungsmedizinischen Beurteilung des rheumatologischen Gutachters und den im therapeutischen Kontext erfolgten Einschätzungen mit der im psychiatrischen Gutachten des Dr. S._ vom 20. August 2006 ausgewiesenen anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (respektive einer an anderer Stelle diagnostizierten Fibromyalgie) - und allenfalls weitergehend auch mit sog. invaliditätsfremden (sozialen) Faktoren (vgl. SVR 2007 IV Nr. 33 S. 117 E. 5.3 [I 738/05]; Urteil I 704/03 vom 28. Dezember 2004 E. 4.1) - zu erklären ist. Das kantonale Gericht hält diesbezüglich zutreffend fest, die Kriterien, nach welchen einer solchen Störung ausnahmsweise invalidisierende Wirkung zuzuerkennen sei, könnten hier klarerweise nicht als erfüllt gelten, denn es seien weder eine erhebliche Komorbidität psychischer Natur noch andere qualifizierende Faktoren auszumachen (E. 7.3.2 des vorinstanzlichen Entscheids; vgl. <ref-ruling> und 130 V 352; zur analogen Anwendung dieser Rechtsprechung auf Fälle von Fibromyalgie: <ref-ruling>).
3. 3.1 Insgesamt hat das kantonale Gericht zutreffend begründet, weshalb es das rheumatologische Gutachten des Dr. J._ vom 9. März 2006 als massgebliche Entscheidgrundlage eingestuft und die dort festgelegte Leistungsfähigkeit als den rechtlichen Anforderungen genügend betrachtet hat. Die auf diesem Gutachten basierende vorinstanzliche Schlussfolgerung, die Beschwerdeführerin sei in leidensangepasster Tätigkeit vollständig arbeitsfähig, ist nicht offensichtlich unrichtig (vgl. oben E. 1.3).
3.2 Ist das bundesrechtskonforme Zustandekommen der umstrittenen Tatsachenfeststellung nicht in Zweifel zu ziehen (vgl. Urteil 8C_364/2007 vom 19. November 2007 E. 3.2), hat das kantonale Gericht zu Recht, insbesondere ohne das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin zu verletzen, in antizipierter Beweiswürdigung von weiterer Beweiserhebung abgesehen (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 94; <ref-ruling> E. 1d S. 162).
3.3 Dass die Bemessung des Invaliditätsgrades anderweitig nicht korrekt sein sollte, wird nicht geltend gemacht; entsprechende Anhaltspunkte ergeben sich auch nicht aus den Akten. Es besteht somit kein Anlass für eine Weiterung des Prüfungsprogramms (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 53).
4. Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; <ref-law>) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege indes auf die Gerichtskasse genommen.
3. Rechtsanwalt Dr. Matthias Schnyder wird für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- entschädigt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. März 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub