Sachverhalt:
A.
Mit Einspracheentscheid vom 10. August 2011 sprach die Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, J._ monatliche Leistungen von Fr. 2'437.- (1. Oktober bis 31. Dezember 2010), Fr. 3'337.- (1. Januar bis 30. April 2011) und Fr. 3'363.- (ab 1. Mai 2011) zu. Die Berechnung für seine Ehefrau S._ hatte keinen Anspruch ergeben. Mit Verfügung vom 5. September 2011 setzte sie den Anspruchsbeginn auf 1. Juni 2010 fest. Sodann bestätigte die Durchführungsstelle mit Einspracheentscheid vom 17. Oktober 2011 die Vergütung von Krankheitskosten von J._ für 2011 in der Höhe von Fr. 1'000.- sowie die Nichtanerkennung der Krankheits- und Zahnbehandlung von S._ 2010 und 2011 gemäss Verfügung vom 27. September 2011. Gegen beide Entscheide reichten J._ und S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde ein (Prozess-Nr. ZL. 2011/00064 und ZL.2011/00086). Am 28. Oktober 2011 nahm die Durchführungsstelle eine Neuberechnung vor, indem sie bei den Einnahmen rückwirkend eine österreichische Rente (ab 1. Februar 2011) sowie die Hilflosenentschädigung der AHV für Hilflosigkeit schweren Grades (ab 1. Mai 2011) berücksichtigte, und erliess zwei entsprechende Verfügungen.
Am xxx verstarb J._.
Mit Einspracheentscheid vom 20. Januar 2012 vergütete die Durchführungsstelle unter dem Titel Krankheits- und Behinderungskosten Fr. 1'368.- für die Miete eines Rollators und Rollstuhls von J._ sel., wobei die Auszahlung direkt an das Alters-/Pflegezentrum als Leistungserbringer erfolgen sollte. Auch dagegen liess S._ Beschwerde erheben (Prozess-Nr. ZL.2012/00015).
B.
Das kantonale Sozialversicherungsgericht holte die Vernehmlassungen der Durchführungsstelle ein. Es vereinigte die Verfahren betreffend die Zusatzleistungen (unter der Prozess-Nr. ZL.2011/00064). Nach Kenntnis von der Ausschlagung der Erbschaft durch alle gesetzlichen Erben trennte es davon das Verfahren betreffend die Ansprüche von J._ sel. ab (Prozess-Nr. ZL.2012/00035; Verfügung vom 4. Mai 2012). Mit Eingabe vom 1. Oktober 2012 teilte S._ mit, sie habe sich diesen Anspruch nach Einstellung der konkursamtlichen Liquidation des Nachlasses gemäss <ref-law> abtreten lassen.
Mit zwei separaten, aber (im Dispositiv) identischen Entscheiden vom 2. April 2013 (Verfahren ZL.2011/00064 und ZL.2012/00035) änderte das kantonale Sozialversicherungsgericht den Einspracheentscheid vom 10. August 2011 sowie die in Vollzug dieses Einspracheentscheids ergangenen Verfügungen im Sinne der Erwägungen dahingehend ab, dass J._ sel. ab 1. Juni 2010 Anspruch auf Ergänzungsleistungen in der Höhe von 2'726.- monatlich hat. Betreffend den Anspruch vom 1. Januar bis 31. Dezember 2011 hob es den Einspracheentscheid vom 10. August 2011 sowie die in Vollzug dieses Einspracheentscheids ergangenen Verfügungen auf und wies die Sache an die Durchführungsstelle zurück, damit diese im Sinne der Erwägungen den Anspruch neu festsetze (Dispositiv-Ziffer 1). Im übrigen Umfang wies es die Beschwerden ab (Dispositiv-Ziffer 2). Eine Prozessentschädigung sprach es nicht zu (Dispositiv-Ziffer 4). Ebenfalls mit Entscheid vom 2. April 2013 (Verfahren ZL.2012/00015) änderte es den Einspracheentscheid vom 20. Januar 2013 dahingehend ab, dass der Betrag von Fr. 1'368.- an den Nachlass des verstorbenen J._ sel., vertreten durch seine Ehefrau, auszuzahlen ist.
C.
S._ hat gegen alle drei Entscheide vom 2. April 2013 eine gleich lautende Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht mit den Rechtsbegehren:
1. Ziffer 1 des Urteils ZL.2011/00064 vom 2. April 2013 ist abzuändern und die Sache ist an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen, damit diese im Sinne der Begehren und der Erwägungen der Vorinstanz, soweit diese den Begehren nicht widersprechen, über den Anspruch auf Ergänzungsleistungen der AHV und kantonale Beihilfen (...) für den Zeitraum 1. Juni 2010 bis 30. November 2011 verfüge und die Krankheits- und Behinderungskosten gemäss den Begehren vergüte. Eventualiter ist die Sache an die Beschwerdegegnerin zu ergänzenden Abklärungen des Sachverhalts und zur erneuten Verfügung zurückzuweisen.
2. Ziffer 4 des Urteils ZL.2011/00064 vom 2. April 2013 ist abzuändern und der Beschwerdeführerin ist eine Parteientschädigung von 7'980 Franken für das vorinstanzliche Verfahrens zuzusprechen (= 4'890 + 2'160 + 930 Franken).
3. Der Beschwerdeführerin ist für das dem Urteil ZL.2011/00064 vorangegangene Einspracheverfahren betreffend den Einspracheentscheid vom 10. August 2011 eine Parteientschädigung von 12'000 Franken zuzüglich 79 Franken Barauslagen für Aktenkopien bei der Akteneinsicht zuzusprechen.
4. Der Beschwerdeführerin ist für das dem Urteil ZL.2011/00064 vorangegangene Einspracheverfahren betreffend den Einspracheentscheid vom 17. Oktober 2011 eine Parteientschädigung von 600 Franken zuzusprechen.
5. Ziffer 1 des Urteils ZL.2012/00035 vom 2. April 2013 ist abzuändern und die Sache ist an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen, damit diese im Sinne der Begehren und der Erwägungen der Vorinstanz, soweit diese den Begehren nicht widersprechen, zu Gunsten der Beschwerdeführerin über den Anspruch auf Ergänzungsleistungen der AHV und kantonale Beihilfen von J._ sel. für den Zeitraum 1. Juni 2010 bis 30. November 2011 verfüge und die Krankheits- und Behinderungskosten gemäss den Begehren vergüte. Eventualiter ist die Sache an die Beschwerdegegnerin zur ergänzenden Abklärung des Sachverhalts und zur erneuten Verfügung zurückzuweisen.
6. Ziffer 4 des Urteils ZL.2012/00035 vom 2. April 2013 ist abzuändern und es ist darauf hinzuweisen, dass die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren bereits in der Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren ZL.2011/00064 enthalten ist.
7. Ziffer 1 des Urteils ZL.2012/00015 vom 2. April 2013 ist abzuändern und es ist darauf hinzuweisen, dass die Kosten für die Miete eines Rollstuhls und eines Rollators im Rahmen von Ziffer 1 des Urteils ZL.2012/ 00035 vom 2. April 2013 (...) als Teil der anerkannten Ausgaben für die Tagestaxe des Pflegeheims für den Zeitraum 1. Juni 2010 bis 30. November 2011 bei der Berechnung der jährlichen Ergänzungsleistungen der AHV bzw. der kantonalen Beihilfe von J._ sel. zu berücksichtigen sind.
8. Ziff. 3 des Urteils ZL.2012/00015 vom 2. April 2013 ist abzuändern und der Beschwerdeführerin ist eine Parteientschädigung von 840 Franken für das vorinstanzliche Verfahren zuzusprechen.
9. Der Beschwerdeführerin ist für das dem Urteil ZL.2012/00015 vorangegangene Einspracheverfahren betreffend den Einspracheentscheid vom 20. Januar 2012 eine Parteientschädigung von 300 Franken zuzusprechen.
10. Der Beschwerdeführerin ist für das Verfahren vor Bundesgericht eine Parteientschädigung von 8'400 Franken (28 Stunden à 300 Franken) zuzusprechen.
11. Darüber hinaus ist der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne einer Befreiung von den Verfahrenskosten zu gewähren. Eventualiter ist auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten.
Das kantonale Sozialversicherungsgericht und die Gemeinde X._ verzichten auf eine Vernehmlassung.
In einer weiteren Eingabe vom 27. September 2013 hat S._ sprachliche Flüchtigkeitsfehler in der Beschwerde erläutert, um Missverständnisse auszuschliessen.

Erwägungen:
1.
Die Verfahren 9C_396/2013 (vorinstanzliche Prozess-Nr. ZL.2011/ 00064), 9C_397/2013 (vorinstanzliche Prozess-Nr. ZL.2012/00015) und 9C_398/2013 (vorinstanzliche Prozess-Nr. ZL.2012/00035) sind zu vereinigen und einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
2.
Auf Ergänzungen der Beschwerdeschrift kann nur eingetreten werden, wenn sie innert der Beschwerdefrist erfolgen, was auf die Eingabe vom 27. September 2013 nicht zutrifft.
3.
Die angefochtenen Entscheide in den Verfahren 9C_396/2013 und 9C_398/2013 sind insoweit - materiell - Endentscheide im Sinne von <ref-law>, als darin die Sache an die Beschwerdegegnerin zurückgewiesen wird, damit diese gestützt auf die Berechnungen der Vorinstanz und zusätzlich unter Einbezug bestimmter nach Erlass des Einspracheentscheids vom 10. August 2011 bekannt gewordener Tatsachen (Bezug einer österreichischen Rente ab 1. Februar 2011 und von Hilflosenentschädigung der AHV ab 1. Mai 2011) über den EL-Anspruch des verstorbenen Ehegatten der Beschwerdeführerin vom 1. Januar bis 31. Dezember 2011 neu verfüge (vgl. Urteil 9C_305/2012 vom 6. August 2012 E. 1).
4.
Die Beschwerdegegnerin setzte lite pendente mit zwei Verfügungen vom 28. Oktober 2011 den EL-Anspruch des verstorbenen Ehegatten der Beschwerdeführerin ab 1. Februar 2011 neu fest, indem sie bei den Einnahmen die österreichische Rente (ab 1. Februar 2011) sowie die Hilflosenentschädigung der AHV (ab 1. Mai 2011) berücksichtigte. Da beide Verfügungen nach der Vernehmlassung der Durchführungsstelle zur Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 10. August 2011 ergingen und den hier streitigen Zeitraum betreffen, sind sie nichtig (<ref-law>; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts P 66/01 vom 17. Januar 2003 E. 3.1 und 3.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 2b/bb S. 232 f. und Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 653/03 vom 20. April 2004 E. 1).
Im Übrigen ist das Bundesgericht nicht verpflichtet, selber in der Sache zu entscheiden (<ref-law>).
5.
5.1. Die Vorinstanz hat entsprechend der Regel nach Art. 23 Abs. 1 ELV für die Berechnung des Anspruchs für die Zeit vom 1. Juni bis 31. Dezember 2010 das am 1. Januar 2010 vorhandene Vermögen als massgebend erachtet. Zur Begründung hat sie angeführt, mit der Anmeldung zum Leistungsbezug am 20. Oktober 2010 seien zwar verschiedene Bankbelege eingereicht worden, jedoch sei kein Hinweis auf eine Vermögensverschlechterung erfolgt, weshalb keine Glaubhaftmachung einer solchen während der Bezugsperiode bejaht und somit nicht gestützt Art. 23 Abs. 4 ELV auf das Vermögen im Zeitpunkt des Anspruchsbeginns am 1. Juni 2010 abgestellt werden könne. Ebenfalls sei nicht zu beanstanden, dass die Durchführungsstelle den erstmals mit der Einsprache vom 30. Mai 2011 geltend gemachten geänderten Zinsertrag auf dem Anlagesparkonto bei der Bank Y._ erst ab diesem Monat berücksichtigt habe.
5.2.
5.2.1. Um glaubhaft zu machen, dass das Vermögen bei Anspruchsbeginn wesentlich tiefer war als am 1. Januar des Bezugsjahres, was zu einem geringeren Vermögensverzehr und damit zu weniger anrechenbaren Einnahmen führte, genügt in der Regel nicht, Bankbelege für das laufende Jahr oder Belastungsanzeigen vom Sparkonto einzureichen, was die Beschwerdeführerin unbestritten getan hat. Der Grund dafür liegt darin, dass damit ein allfälliger Geldfluss zwischen verschiedenen Konten, namentlich bei verschiedenen Anlageformen, nicht ohne weiteres überblickt werden kann. So musste vorliegend nicht bereits daraus, dass der Saldo des Anlagesparkontos Ende 2009 Fr. 130'447.- und am 1. Juni 2010 Fr. 112'000.- betrug, von einer insgesamt, sich wesentlich auswirkenden Vermögensabnahme ausgegangen werden. Sodann war zwar aus der mit der Anmeldung vom 26. Oktober 2010 eingereichten Steuerklärung 2009 ersichtlich, dass die "Wertschrift Festgeld" am 18. März 2009 "getilgt (saldiert) " worden war, wie die Beschwerdeführerin vorbringt. Dieses Geld konnte indessen jederzeit anderweitig angelegt werden. Dass darauf verzichtet wurde, ergab sich indessen erst aus der im März 2011 eingereichten Steuererklärung 2010, welche im Übrigen den Stand des Vermögens am 31. Dezember 2010 wiedergibt, wohingegen hier der 1. Juni 2010 interessiert. Die Berechnung des Vermögens in diesem Zeitpunkt in der Beschwerde schliesslich zeigt keine derart klare Verhältnisse, welche die vorinstanzliche Verneinung einer mit der Anmeldung glaubhaft gemachten wesentlichen Abnahme im Zeitraum vom 1. Januar bis 31. Mai 2010 als bundesrechtswidrig erscheinen lassen könnten.
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin war die Beschwerdegegnerin nicht verpflichtet gewesen, sie "vorgängig über eine derartige Möglichkeit und Rechtsansicht [Glaubhaftmachung einer Vermögensverschlechterung während der Bezugsperiode] aufzuklären". <ref-law> über die Beratungspflicht, worauf sie sich in diesem Zusammenhang beruft, kommt nicht zur Anwendung, solange der Versicherungsträger bei einem durchschnittlichen Mass an Aufmerksamkeit nicht erkennen kann, dass die Situation einer versicherten Person den Leistungsanspruch zu gefährden vermag (<ref-ruling>). Ein solcher Sachverhalt liegt hier nicht vor. Dass im Anmeldeformular nach Kontoauszügen für das letzte Jahr und "per 31.12." gefragt wurde, hat übrigens zum Zweck, sicher zu gehen, dass nicht kurzfristig (vor der Anmeldung) Vermögen beiseite geschafft wird.
5.2.2. Im Weitern betrug der Saldo auf dem Anlagesparkonto am 1. Januar 2010 Fr. 130'447.-. Der Zinsertrag auf diesem Konto für 2010 belief sich auf Fr. 617.-. Gemäss der Steuererklärung 2010 wies das Anlagesparkonto per 31. Dezember 2010 lediglich noch einen Saldo von Fr. 401.-, was einen Zinsertrag praktisch ausschloss, wie die Beschwerdeführerin vorbringt. Entgegen ihrer Auffassung verletzt es indessen kein Bundesrecht, dass die Beschwerdegegnerin erst ab 1. Mai 2011 den tieferen Saldo von Fr. 401.- berücksichtigte. Daran ändert nichts, dass die Steuererklärung 2010 am 30. März 2011, somit vor Erlass der Verfügung am 19. April 2011 eingereicht worden war. Es ist nicht Sache der Durchführungsstelle, allgemein jede Position darauf zu überprüfen, ob der Ertrag des Vorjahres auch im laufenden Jahr erwirtschaftet werden kann. Damit würde die Mitwirkungspflicht der Versicherten vollständig ausgeblendet, zumal eine Überprüfung der wirtschaftlichen Verhältnisse der Bezüger grundsätzlich nur periodisch, mindestens alle vier Jahre erfolgt (vgl. Art. 30 ELV).
6.
Die Vorinstanz hat die Ende 2010 bestandenen Schulden beim Pflegeheim in der Höhe von Fr. 18'416.25 bei der Berechnung des Vermögens nach Art. 11 Abs. 1 lit. c ELG ausser Acht gelassen. Zur Begründung hat sie ausgeführt, die Heimkosten seien bei den anerkannten Ausgaben des verstorbenen Ehemannes und nicht bei der Vermögensberechnung zu berücksichtigen. Die Beschwerdeführerin rügt dies als bundesrechtswidrig. Nach der Rechtsprechung (u.a. Urteil 8C_140/2008 vom 25. Februar 2009 E. 7.3 betreffend Steuerschulden) seien einwandfrei belegte Schulden vom Vermögen abzuziehen.
6.1. Zur Bestreitung des Lebensunterhalts dienen das Vermögen und die jährliche Ergänzungsleistung. Diese entspricht dem Betrag, um den die anerkannten Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen (Art. 9 Abs. 1 ELG). Das bedeutet, dass Lebenshaltungskosten, soweit sie anerkannte Ausgaben im Sinne von Art. 10 ELG darstellen, von der Ergänzungsleistung als gedeckt gelten, d.h. damit zu bezahlen sind, was eine Berücksichtigung von diesbezüglichen am Ende des Kalenderjahres bestehenden Schulden in Form eines Abzugs vom Vermögen zur Berechnung des Vermögensverzehrs nach Art. 11 Abs. 1 lit. c ELG ausschliesst.
6.2. Zu den anerkannten Ausgaben zählen bei in Heimen oder in Spitälern lebenden Personen u.a. die Tagestaxe, wobei die Kantone die zu berücksichtigenden Aufenthaltskosten begrenzen können (Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG, in der bis 31. Dezember 2010 geltenden Fassung) sowie ein vom Kanton zu bestimmender Betrag für persönliche Auslagen. Beim verstorbenen Ehegatten der Beschwerdeführerin wurden für 2010 Heimkosten von Fr. 279.- im Tag sowie persönliche Ausgaben von monatlich Fr. 400.- berücksichtigt. Lediglich über die anerkannten Ausgaben hinausgehende Kosten sind bei der Berechnung des Vermögens in Abzug zu bringen. Dies erfordert, dass eine gegenüber dem Heim bestehende Schuld zu substanziieren ist. Diesbezüglich bringt die Beschwerdeführerin lediglich vor, die am 1. Januar 2011 gegenüber dem Pflegeheim bestandene Schuld von Fr. 18'416.25 betreffe die bereits erfolgte Erbringung von Leistungen für November und Dezember 2010. Dass in diesem Betrag auch nicht anerkannte Ausgaben enthalten sind, macht sie nicht geltend (<ref-law>). Die vorinstanzlichen Erwägungen sind in diesem Punkt nicht zu beanstanden.
7.
Die Vorinstanz hat ein Verzichtsvermögen nach Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG von Fr. 397'324.- angerechnet, entsprechend der Summe von Fr. 212'324.- (Fr. 624'000.- [Verkehrswert des Reihenhauses in B._] - Fr. 121'676.- [Kapitalwert der Nutzniessung] - Fr. 290'000.- [Hypothekarschuld) und Fr. 185'000.- (Wert der verschenkten Liegenschaft in Graubünden). Die Beschwerdeführerin bestreitet den Verkehrswert des Reihenhauses in B._, Gemeinde X._ (E. 7.1), sowie den Kapitalwert der Nutzniessung (E. 7.2).
7.1.
7.1.1. Bei der entgeltlichen oder unentgeltlichen Entäusserung eines Grundstückes ist der Verkehrswert für die Prüfung, ob ein Vermögensverzicht im Sinne von Artikel 11 Absatz 1 Buchstabe g ELG vorliegt, massgebend (Art. 17 Abs. 5 Satz 1 ELV). Die Anwendbarkeit dieser Bestimmung auf die Abtretung der Wohnliegenschaft in B._ an die Tochter der Beschwerdeführerin gegen Übernahme der Grundpfandschuld und Einräumung eines lebenslangen Nutzniessungsrechts (Handänderung vom yyy 2010) ist unbestritten. Nach der Rechtsprechung ist unter dem Verkehrswert einer Liegenschaft der Verkaufswert zu verstehen, den sie im normalen Geschäftsverkehr besitzt (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts P 49/05 vom 9. Juni 2006 E. 2.1 mit Hinweisen). Die Beschwerdegegnerin ermittelte den Verkehrswert der Liegenschaft (Fr. 624'000.-) aus der Summe von Gebäudeversicherungswert (Fr. 459'000.-) und geschätztem Bodenpreis (Fr. 165'000.- [165 m2 x Fr. 1'000.-/m2]). Die Beschwerdeführerin und ihr verstorbener Ehemann beantragten der Vorinstanz, es sei auf den vom Steueramt geschätzten Verkehrswert von Fr. 406'000.- (Fr. 325'890.- [Zeitbauwert Gebäude] + Fr. 80'850.- [165 m2 x Fr. 490.-/m2; Landwert]) abzustellen, was diese jedoch ablehnte. Zur Begründung führte sie aus, es erscheine als stossend, bei einer Vermögensentäusserung darauf zu verzichten, den Wert der Übertragung zu nennen, gegenüber der Ergänzungsleistungsbehörde auf einen möglichst geringen Wert der Liegenschaft zu beharren. In dieser Situation dürften an deren Abklärungsbemühungen keine hohen Anforderungen gestellt werden, zumal es der Beschwerdeführerin frei gestanden habe, ihrerseits eine Schätzung der Liegenschaft vornehmen zu lassen. Darüber hinaus sei nicht anzunehmen, dass ein Reiheneinfamilienhaus in der steuer- und verkehrsgünstigen Gemeinde B._ (recte: X._) lediglich einen Verkehrswert von Fr. 406'000.- aufweise und zu diesem Preis zum Verkauf ausgeschrieben würde. Es sei deshalb auf die Berechnung der Beschwerdegegnerin abzustellen und von einem Verkehrswert von Fr. 624'000.- auszugehen, was die Beschwerdeführerin als willkürlich rügt.
7.1.2. Die Beschwerdegegnerin ermittelte den Verkehrswert der Wohnliegenschaft in der Gemeinde X._ aus der Summe von Neubauwert und Marktwert des Bodens, welche Schätzmethode nicht unter den von der Rechtsprechung anerkannten figuriert. Die Addition des Zeitwerts der auf dem Grundstück liegenden Gebäude und des Marktwerts des Bodens stellt demgegenüber eine geschützte Vermögensermittlung dar (vgl. Carigiet/Koch, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, 2. Aufl. 2009, S. 171 f. mit Hinweis auf AHI 1998 S. 274 f.). Es sind keine besonderen Umstände ersichtlich, das vor 30 Jahren erstellte Reiheneinfamilienhauses zum Neuwert anzurechnen, ohne die Altersentwertung zu berücksichtigen.
Der von der Beschwerdegegnerin angenommene Quadratmeterpreis von Fr. 1'000.- beruht wohl u.a. auf einer mündlichen Auskunft der Bausekretärin der Gemeinde. Dieser kommt jedoch nicht ausschlaggebende Beweisfunktion zu. Vielmehr zeigt schon die Statistik für Wohnlandpreise des statistischen Amtes des Kantons Zürich, dass der Quadratmeterpreis im Jahr 2009 effektiv im Durchschnitt Fr. 1'000.- betrug. Die steuerliche Einschätzung (Fr. 490.-/m2) vermag zu keinem anderen Ergebnis zu führen, da sie auf einer abstrakten Einteilung (Ziff. 10-13 der Weisung des Regierungsrates an die Steuerbehörden über die Bewertung von Liegenschaften und die Festsetzung der Eigenmietwerte ab Steuerperiode 2009) beruht.
7.1.3. Für die Bestimmung des Verzichtsvermögens ist somit von einem Verkehrswert der Wohnliegenschaft in B._ von Fr. 490'890.- (Fr. 325'890.- [Zeitbauwert Reiheneinfamilienhaus] + Fr. 165'000.- [165 m2 x Fr. 1'000.-/m2; geschätzter Bodenpreis) auszugehen.
7.2. Der Kapitalwert der Nutzniessung berechnet sich nach der Formel ' (jährlicher Mietwert - [Hypothekarzinsen + Gebäudeunterhaltskosten]) x Kapitalisierungsfaktor'. Die einzelnen Berechnungsfaktoren sind masslich unbestritten. Werden sie ungerundet in die Formel eingesetzt, ergibt sich ein Kapitalwert der Nutzniessung von Fr. 121'639.- (Fr. 14'200.-/0.7 - Fr. 13'570.-) x Fr. 1000.-/Fr. 55.21).
7.3. Die Vorinstanz hat für die Berechnung des anrechenbaren (hypothetischen) Ertrags aus dem Verzichtsvermögen für 2010 und 2011 einen Zinssatz von 0.8 % angewendet. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin ist von einem Zinssatz von 0.6 % für 2010 und 0.4 % für 2011 auszugehen. Gemäss Rz. 3482.10 der Wegleitung über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV (WEL, gültig ab 1. April 2011, Stand 1. Januar 2013) ist für die Berechnung des Ertrags aus dem Verzichtsvermögen für die Bezugsperioden vom 1. Juni bis 31. Dezember 2010 und vom 1. bis 31. Dezember 2011 ein Zinssatz von 0.8 % bzw. 0.7 % massgebend. Diese Diskrepanz wird ebenfalls (korrigierend) zu berücksichtigen sein.
8.
Die Vorinstanz hat eine Anrechnung des Freibetrages von 300'000 Franken (Art. 11 Abs. 1bis lit. a ELG) verneint, weil die im Reihenhaus in B._ wohnhafte Beschwerdeführerin bei Abtretung der Liegenschaft an die Tochter gegen Übernahme der Grundpfandschuld und Einräumung eines lebenslangen Nutzniessungsrechts (Handänderung vom 5. März 2010) auf das Eigentum verzichtet habe. In der Beschwerde wird diese Betrachtungsweise als bundesrechtswidrig gerügt, weil sie gegen den Normzweck, wie er sich aus der Entstehungsgeschichte ergebe, und das Rechtsgleichheitsgebot (<ref-law>) verstosse.
Der Gesetzeswortlaut spricht zwar "nur" davon, dass das Ehepaar eine Liegenschaft besitzt ("possède un immeuble", "possiede un immobile" in der französischen und italienischen Textfassung), was auch bei der dinglichen Nutzniessung zutrifft. Aus den Materialien ergibt sich indessen hinreichend klar, dass lediglich die Eigentümer der selbstbewohnten Liegenschaft privilegiert werden sollten (vgl. Botschaft vom 20. November 1996 über die 3. Revision des Bundesgesetzes über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV [3. EL-Revision], BBl 1997 I S. 1207 f. sowie AB 2006 S 650 ff., 2007 N 115 und 2008 S 767 f.). Weder der Normzweck noch das Rechtsgleichheitsgebot streiten für die Anwendung von Art. 11 Abs. 1bis lit. a ELG bei Nutzniessung jedenfalls in Konstellationen wie der vorliegenden. Im Gegenteil liefe die Berücksichtigung eines Freibetrages - mangels eines anrechenbaren unbeweglichen Vermögens (Art. 11 Abs. 1 lit. c ELG) - im Ergebnis auf eine Verminderung des Verzichtsvermögens (Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG) hinaus. Für eine solche bevorzugte Behandlung von bestimmten Tatbeständen eines Vermögensverzichts bietet das Gesetz keine Stütze.
9.
Die Vorinstanz hat für 2010 eine Heimtaxe von Fr. 101'835.- ([Fr. 120.- + Fr. 77.- + Fr. 82.-] x 365) und für 2011 von Fr. 76'855.- ([Fr. 120.- + Fr. 65.- + Fr. 21.60] x 31 x 12) als Ausgabe anerkannt. Die Beschwerdeführerin rügt, für 2010 seien zu Unrecht die vom Heim verrechnete Miete für den Rollstuhl und den Rollator von Fr. 1.85 und Fr. 1.- im Tag nicht berücksichtigt worden. Sodann sei die Heimtaxe für 2011 auf der Grundlage von 372 (31 x 12) Tagen anstatt 365 Tagen berechnet worden.
9.1. Die Beschwerdegegnerin vergütete einmalig Mietkosten für einen Rollstuhl und einen Rollator von insgesamt Fr. 1'368.- unter dem Titel Krankheits- und Behinderungskosten, wobei sie die Auszahlung dieses Betrages direkt an das Heim anordnete (vgl. Art. 14 Abs. 1 lit. f und Abs. 7 ELG; Einspracheentscheid vom 20. Januar 2012). Die Beschwerdeführerin machte vor Vorinstanz geltend, nach den einschlägigen bundes- und kantonalrechtlichen Bestimmungen stellten die Mietkosten für den Rollstuhl und den Rollator keine Krankheits- und Behinderungskosten für Hilfsmittel im Sinne von Art. 14 Abs. 1 lit. f ELG dar; als regelmässig anfallende Kosten könnten sie nur über die jährliche Ergänzungsleistung als Zuschlag zu den Heimtaxen als anerkannte Ausgabe berücksichtigt werden, wobei die Vergütung direkt an den Nachlass der Verstorbenen auszubezahlen sei. Die Vorinstanz änderte den angefochtenen Einspracheentscheid vom 20. Januar 2012 insofern ab, als die Fr. 1'368.- an den Nachlass des verstorbenen Ehegatten der Beschwerdeführerin auszuzahlen war. Dabei hat es sein Bewenden. Dass die " indirekte" Vergütung über die Ausgabenseite vorteilhafter ist, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend.
9.2. Offensichtlich unrichtig und von Amtes wegen zu berichtigen (<ref-law>) ist sodann die vorinstanzliche Sachverhaltsannahme, dass für 2011 die Heimtaxe auf der Grundlage von 372 (31 x 12) Tagen anstatt 365 Tagen berechnet wurde.
10.
Zusammenfassend ist die vorinstanzliche Berechnung des EL-Anspruchs in verschiedenen Punkten zu korrigieren. Es betrifft dies den Verkehrswert und den Kapitalwert der Nutzniessung der in B._ gelegenen Wohnliegenschaft (E. 7.1.3 und E. 7.2), den Zinssatz zur Ermittlung des Ertrags des Verzichtsvermögens für 2011 (E. 7.3) sowie die Heimtaxe für 2011 (E. 9.2). Unter den gegebenen Umständen erscheint es angezeigt, die Sache an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen, damit sie - unter Einbezug der nach Erlass des Einspracheentscheids vom 10. August 20111 bekannt gewordenen Tatsachen (vgl. E. 4) - den EL-Anspruch des verstorbenen Ehegatten der Beschwerdeführerin für die Zeit vom 1. Juni 2010 bis 30. November 2011 neu berechne und weiter prüfe, ob auch die Beschwerdeführerin im fraglichen Zeitraum einen Anspruch auf Ergänzungsleistungen hat oder allenfalls auf Vergütung von Krankheits- und Behinderungskosten (Zahnarztkosten, Selbstbehalte; Art. 3 Abs. 1 lit. b ELG und Art. 14 ELG, insbesondere Abs. 6; vgl. Sachverhalt A).
11.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und die Pflicht zur Begründung ihres Entscheids (<ref-law>) verletzt, indem sie nicht Stellung genommen habe zur Frage der Rückerstattung der Kosten der Kopien im Rahmen der Akteneinsichtnahme vom 22. August 2011. Wie sie indessen selber ausführt, erhob sie die Rüge der Erstattung der Kosten erst in der nach Ablauf der Anfechtungsfrist (<ref-law>) eingereichten Beschwerdeergänzung. Es verletzt daher kein Bundesrecht, dass die Vorinstanz die Frage nicht beurteilt und entschieden hat.
12.
Die Vorinstanz hat den Anspruch auf eine Parteientschädigung für das Einspracheverfahren und für das vorinstanzliche Verfahren verneint, was als bundesrechtswidrig gerügt wird. Das kantonale Sozialversicherungsgericht hat erwogen, der Beschwerdeführerin und ihrem verstorbenen Ehegatten sei keine unentgeltliche Vertretung in der Person einer patentierten Rechtsvertretung bestellt worden. Weiter sei davon auszugehen, dass die Vertretung kostenlos erfolgt sei, da keine Rechnungen oder Belege über Zahlungen an den Vertreter eingereicht worden seien. Zudem sei nicht anzunehmen, dass die Beschwerde Führenden dem nichtanwaltlichen Vertreter ein Honorar von Fr. 300.- in der Stunde und Bemühungen von insgesamt über 70 Stunden entschädigt hätten. Ebenso sei für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren von Kostenlosigkeit der Vertretung auszugehen und somit auch insoweit keine Parteientschädigung zuzusprechen.
12.1. Nach <ref-law> werden in der Regel für das Einspracheverfahren keine Parteientschädigungen ausgerichtet. Nach der Rechtsprechung haben der Einsprecher oder die Einsprecherin, die im Falle des Unterliegens die unentgeltliche Verbeiständung nach <ref-law> beanspruchen könnten, bei Obsiegen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-ruling>). Als unentgeltlicher Rechtsbeistand im Sinne dieser Bestimmung sind nur patentierte Anwältinnen und Anwälte zugelassen, welche - soweit sie nicht bei einer anerkannten gemeinnützigen Organisation angestellt sind - sinngemäss die persönlichen Voraussetzungen für einen Registereintrag im Sinne von Art. 8 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (BGFA) erfüllen (<ref-ruling>), was vorliegend unstreitig nicht zutrifft. Für die Änderung dieser Rechtsprechung besteht keine Veranlassung. Ob der Wortlaut von <ref-law> die Zusprechung einer Parteientschädigung auch bei Vorliegen besonderer Umstände, etwa besonderer Aufwendungen oder besonderer Schwierigkeiten zulässt, wie Ueli Kieser (ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 28 zu <ref-law>) annimmt und wie dies in <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 573 offen gelassen wurde, braucht nicht beantwortet zu werden. Wenn hier auch eine gewisse Komplexität gegeben ist, bewegt sich der Streitumfang nicht ausserhalb des Rahmens, das bei der gegebenen Sachverhaltskonstellation (insbesondere vermögensrechtliche Verhältnisse bei Anspruchsbeginn und Vermögensverzicht, wovon die [grundsätzlich] Übernahme weiterer [Krankheits-]Kosten abhängt) üblich ist, zumal sie in rechtlicher Hinsicht nicht als speziell schwierig bezeichnet werden kann. Unnötige Ausbreitungen in den Rechtsschriften bleiben unberücksichtigt. Damit verbleibt kein Raum für eine Ausnahme von <ref-law>. Nichts anderes ergibt sich in Bezug auf das vorinstanzliche Verfahren (vgl. Urteil 9C_943/2012 vom 28. März 2013 mit Hinweisen).
12.2. Was die vorinstanzliche Annahme der Kostenlosigkeit der Vertretung betrifft, so lässt sich allein aus dem Umstand, dass es sich bei die diesem um den Lebenspartner der Tochter der Beschwerdeführerin handelt, ein solcher Schluss nicht ziehen. Auch die Tatsache, dass - bevor überhaupt ein definitiver Anspruch auf eine Parteientschädigung feststeht - (noch) keine Rechnung gestellt wurde, macht ein kostenloses Mandat nicht als überwiegend wahrscheinlich. Die gegenteilige Feststellung der Vorinstanz erweist sich diesbezüglich als unhaltbar.
13.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Parteien grundsätzlich nach Massgabe ihres Unterliegens kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat keine Gerichtskosten zu tragen, da ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entsprochen werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist. Die Beschwerdegegnerin hat der Beschwerdeführerin für die Vertretung eine reduzierte Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>; Art. 9 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht, welche Bestimmung eine Kann-Vorschrift ist und "nur" in sinngemässer Anwendung des Reglements erfolgt; Urteil 8C_168/2008 vom 11. August 2008 E. 8 mit Hinweis auf nicht publ. E. 7 des Urteils <ref-ruling>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 9C_396/2013, 9C_397/2013 und 9C_398/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden im Verfahren 9C_396/2013 und 9C_398/2013 werden teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 2. April 2013 sowie die Einspracheentscheide vom 10. August und 17. Oktober 2011 im Sinne der Erwägungen aufgehoben. Die Sache wird an die Beschwerdegegnerin zurückgewiesen, damit sie nach Massgabe von E. 10 neu verfüge. Im Übrigen werden die Beschwerden abgewiesen.
3.
Die Beschwerde im Verfahren 9C_397/2013 wird abgewiesen.
4.
Von den Gerichtskosten von Fr. 1'500.- werden der Beschwerdegegnerin Fr. 1'000.- und der Beschwerdeführerin Fr. 500.- auferlegt, welcher Betrag einstweilen auf die Gerichtskasse genommen wird.
5.
Die Beschwerdegegnerin hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 800.- zu bezahlen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Oktober 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Fessler