Sachverhalt:
A.
Der Stadtrat Luzern erteilte X._ am 31. August 2011 die Bewilligung zum Umbau und zur Erweiterung des ihm gehörenden am Rand der Altstadt gelegenen Trutzhauses. Y._ focht als Eigentümer einer benachbarten Parzelle diese Baubewilligung beim Kantonsgericht Luzern an. Dieses hiess seine Beschwerde am 4. Juli 2012 nach Durchführung eines Augenscheins gut und hob die Baubewilligung vom 31. August 2011 auf.
B.
X._ beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und die Baubewilligung vom 31. August 2011 zu bestätigen. Eventuell sei die Beschwerde zur Neubeurteilung an die Vorinstanz oder allenfalls an den Stadtrat Luzern zurückzuweisen.
Y._ und das Kantonsgericht stellen Antrag auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer und der Beschwerdegegner haben sich in weiteren Eingaben geäussert und dabei an ihren Anträgen festgehalten.

Erwägungen:
1.
Streitgegenstand bildet die Bewilligungsfähigkeit des Projekts, mit dem der Beschwerdeführer das ihm gehörende Trutzhaus in der Luzerner Altstadt umbauen und erweitern will. An erster Stelle sind der Hintergrund dieses Projekts und sein Inhalt kurz darzustellen.
Das Trutzhaus liegt an der Mariahilfgasse im Gebiet der Musegghalde. Diese befindet sich am Rand der Altstadt zwischen dem früheren inneren und äusseren Befestigungsring. Die Musegghalde war ursprünglich Gartenland und wurde ab der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts sukzessive mit repräsentativen Gebäuden überbaut. Das Gebiet ist zusammen mit der übrigen Altstadt Luzerns im Inventar der schützenswerten Ortsbilder der Schweiz (ISOS) verzeichnet. Hingegen figuriert das Trutzhaus selber nicht als schützenswertes Einzelobjekt im ISOS.
Die Baugeschichte des Trutzhauses umfasst mehrere Phasen. 1764 wurde auf der Bauparzelle ein zum Cysathaus gehörendes Gärtnerhaus erstellt. An dessen Ostseite erfolgte 1825/26 der Anbau des heutigen Trutzhauses. 1932 wurde das ehemalige Gärtnerhaus fast vollständig abgebrochen und durch einen Neubau ersetzt. Auch der Hauptbau erfuhr 1932 wesentliche Änderungen. Die Rückseite des Gebäudes bietet seither ein uneinheitliches und unruhiges Bild. Das städtische Inventar stuft einzig die Ostfassade gegen die Mariahilfgasse, die Volumetrie und den Keller als schutzwürdig ein. Das Trutzhaus beansprucht nur den östlichen Teil der Parzelle des Beschwerdeführers, im westlichen Teil befindet sich ein grosser terrassierter Garten mit alten Bäumen, der zurzeit allerdings verwildert ist.
Der Beschwerdeführer hat das Trutzhaus im Jahr 2009 erworben und beabsichtigt mit dem umstrittenen Bauprojekt, die Liegenschaft zu sanieren, um sie nachher selber zu bewohnen. Geplant sind ein Abbruch des westlichen Gebäudeteils des Trutzhauses und dessen Ersatz durch einen Neubau, der weiter nach Westen reicht. Vorgesehen sind zugleich wesentliche Veränderungen der Dachgestaltung und der inneren Struktur des Gebäudes. Schliesslich soll der unbebaute westliche Grundstücksteil zu einem Barockgarten umgestaltet werden.
2.
Die Vorinstanz hat die Bewilligungsfähigkeit des Bauprojekts des Beschwerdeführers anhand der massgeblichen Vorschriften des kantonalen Planungs- und Baugesetzes vom 7. März 1989 (PBG; SRL 735) und des kommunalen Zonenplans sowie des dazugehörigen Bau- und Zonenreglements vom 5. Mai 1994 (BZR) beurteilt. Sie hat bei ihrem Entscheid ausserdem die vom Grossen Stadtrat Luzern verabschiedeten, aber noch nicht in Kraft getretenen Vorschriften des neuen Bau- und Zonenreglements (nBZR) sowie den dazugehörigen Zonenplan und den Teilzonenplan 1 (Altstadt/Bramberg/Wey) berücksichtigt. Aufgrund ihrer Prüfung gelangt die Vorinstanz zum Schluss, dass das Bauprojekt in zwei Punkten nicht bewilligungsfähig sei. Einerseits erfülle der vorgesehene neue Dachaufbau auf der Nordseite die Anforderungen gemäss Art. 21 Abs. 9 BZR bzw. Art. 16 Abs. 7 nBZR und § 140 Abs. 1 PBG nicht. Anderseits sei der projektierte westliche Anbau mit Art. 21 Abs. 4 BZR bzw. Art. 16 Abs. 3 nBZR nicht vereinbar. Die Erteilung einer Ausnahmebewilligung komme dafür weder gemäss Art. 20 Abs. 8 BZR bzw. Art. 15 Abs. 5 nBZR noch nach § 31 Abs. 5 PBG in der Fassung vom 7. März 1989 (aPBG) in Betracht.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, bei der Beurteilung des geplanten neuen Dachaufbaus den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt zu haben. Die vorinstanzliche Beurteilung des westlichen Anbaus kritisiert der Beschwerdeführer unter mehreren Gesichtspunkten. So sei die Auslegung von Art. 21 Abs. 4 sowie von Art. 20 Abs. 8 BZR willkürlich. Ausserdem liege die Verweigerung des westlichen Anbaus weder im öffentlichen Interesse noch sei er verhältnismässig, da er auf ein faktisches Bauverbot hinauslaufe. Der angefochtene Entscheid verletze aus diesem Grund auch die Eigentumsgarantie (<ref-law>) und die Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>).
3.
Neben der erwähnten materiellen Kritik erhebt der Beschwerdeführer auch mehrere verfahrensrechtliche Rügen, die vorweg zu behandeln sind.
Der Vorwurf, die Vorinstanz habe ihren Entscheid bezüglich des Vorliegens einer Ausnahmesituation ungenügend begründet und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt, ist nicht berechtigt. Es geht aus dem angefochtenen Urteil kIar hervor, warum die Vorinstanz in diesem Punkt der Auffassung des Stadtrats Luzern nicht folgt, und der Beschwerdeführer war ohne Weiteres in der Lage, den Entscheid in diesem Punkt in sachgerechter Weise anzufechten.
Auch der Einwand, die Vorinstanz hätte gemäss der von ihr vertretenen Auslegung von Art. 21 Abs. 3 BZR eine Stellungnahme der kantonalen Denkmalpflege einholen müssen, überzeugt nicht. Zunächst widerspricht sich der Beschwerdeführer selber, da er in erster Linie geltend macht, Art. 21 Abs. 3 BZR schreibe gerade keine solche Stellungnahme vor. Aber auch unabhängig davon ist eine Verletzung von Verfahrensrechten des Beschwerdeführers nicht zu erkennen. Die Vorinstanz hat auf die Einholung einer Stellungnahme der kantonalen Denkmalpflege verzichtet, weil sie davon ausgegangen ist, dass aufgrund der engen Zusammenarbeit mit den städtischen Behörden deren Auffassung in den städtischen Bewilligungsentscheid eingeflossen ist, sie dem Bauprojekt also zugestimmt habe und die nachträgliche Einholung einer Stellungnahme keine neuen Erkenntnisse erwarten lasse. Die Behauptung des Beschwerdeführers, bei diesem Vorgehen sei nicht klar, warum die Denkmalpflege das Bauvorhaben befürworte, trifft nicht zu. Die Vorinstanz durfte angesichts des engen Zusammenwirkens davon ausgehen, dass diese Gründe in ausreichender Klarheit aus dem städtischen Baubewilligungsentscheid hervorgehen.
Schliesslich erscheint die Kritik an der Mitberücksichtigung der - weitgehend übereinstimmenden - Vorschriften des neuen Bau- und Zonenreglements schwer verständlich. Der Beschwerdeführer beruft sich in seiner Eingabe vom 31. Januar 2013 selber auf die erwähnten neuen Bestimmungen. Jedenfalls vermag er nicht aufzuzeigen, inwiefern die Mitberücksichtigung der neuen Vorschriften auf einer willkürlichen Anwendung kantonalen Rechts beruhen sollte oder verfassungsmässige Rechte verletzen könnte.
Alle erhobenen formellen Rügen erweisen sich demnach als unbegründet. Nachstehend ist zunächst die Bewilligungsfähigkeit der neuen Dachaufbaute auf der Nordseite (E. 4 und 5) und anschliessend jene des westlichen Erweiterungsbaus (E. 6-10) zu prüfen.
4.
Das Bauprojekt sieht vor, auf der Nordseite des Trutzhauses die bestehenden Dachgauben abzubrechen und westlich davon eine neue Dachaufbaute zu erstellen. Die Vorinstanz hat erkannt, dass die bisherigen Dachgauben nicht schutzwürdig sind und deshalb abgebrochen werden dürfen. Das ist unbestritten. Dagegen ist streitig, ob sich die vorgesehene neue Dachaufbaute genügend in die bestehende Dachlandschaft eingliedere.
Die Zulässigkeit von Dachaufbauten beurteilt sich in der hier massgeblichen Ortsbildschutzzone A nach Art. 21 Abs. 9 BZR bzw. dem -soweit hier interessierend - gleichlautenden Art. 16 Abs. 7 nBZR. Danach müssen Dachaufbauten hinsichtlich Grösse und Gestaltung in einem angemessenen Verhältnis zum Dachkörper stehen. Massgebend ist zudem § 140 Abs. 1 PBG, wonach Bauten und Anlagen in die bauliche und landschaftliche Umgebung einzugliedern und sie zu untersagen sind, wenn sie durch ihre Grösse, Proportion, Gestaltung, Bauart, Dachform oder Farbe das Orts- und Landschaftsbild beeinträchtigen.
Die geplante neue Dachaufbaute ist nach den unbestrittenen FeststeIIungen der Vorinstanz und den Plänen, auf die sie sich bezieht, mit einem schwach rückwärts geneigten Flachdach versehen. Sie verfügt als einzige Fensteröffnung über ein Oberlicht. Sie weist eine Breite von 5,1 Metern auf. Die Höhe beträgt auf der Westseite 2,6 Meter und sinkt dann auf 2,2 Meter auf der Ostseite. Die eigentümliche Form der Aufbaute erklärt sich aus ihrer Funktion als Treppenhaus und Lichtschacht. Form, Volumen und Art des neuen Dachkörpers unterscheiden sich stark von den bisher bestehenden Dachgauben.
Die Vorinstanz stellte aufgrund des von ihr durchgeführten Augenscheins fest, dass die Dachbauten in der Nachbarschaft des Baugrundstücks, die ebenfalls in der Ortsbildschutzzone A liegen, moderate und den Ausmassen der jeweiligen Dächer angepasste Volumen aufwiesen. Ausserdem seien sie allesamt in traditionellen Formen gehalten. Fensterlose - oder wie im Bauprojekt - nur mit Oberlichtern versehene Gauben kämen nicht vor. Gestützt auf diese Feststellungen gelangte die Vorinstanz zum Schluss, dass die vom Beschwerdeführer projektierte Dachaufbaute aufgrund ihrer Form und ihres Volumens in der umliegenden Dachlandschaft einen Fremdkörper darstelle und demnach dem Eingliederungsgebot gemäss § 140 Abs. 1 PBG widerspreche. Zudem stehe ihre Grösse und Form nicht in einem angemessenen Verhältnis zur Dachfläche, wie dies Art. 21 Abs. 9 BZR verlange.
5.
Der Beschwerdeführer wendet sich allein gegen die erwähnten tatsächlichen Feststellungen, welche die Vorinstanz getroffen hat. Er reicht als Beweismittel neue Fotos ein, welche seine Kritik belegen sollen. Diese Noven sind zulässig, da erst der angefochtene Entscheid zu ihrer Einreichung Anlass gegeben hat (<ref-law>). Abgesehen davon handelt es sich um Aufnahmen, die im Internet allgemein zugänglich sind.
Bereits aus den am Augenschein erstellten Fotos geht hervor, dass die Dachlandschaft in der Umgebung des Bauvorhabens ziemlich uneinheitlich ist und insbesondere auch grössere Dachgauben und solche mit Flachdächern vorkommen (vgl. insbes. Foto Nr. 22 der beim Augenschein erstellten Fotodokumentation). Die vorinstanzliche Feststellung, die Dachaufbauten seien durchwegs moderat und in traditionellen Formen gehalten, erscheint deshalb nicht haltbar. Der Beschwerdeführer weist überdies darauf hin, dass das südliche Nachbarhaus an der Mariahilfgasse 3 und das Hotel Q._ Dachaufbauten aufwiesen, die im Verhältnis zur Dachfläche überdimensioniert seien. Die vorinstanzliche Feststellung, die Aufbauten in der Umgebung wiesen in den Ausmassen den jeweiligen Dächern angepasste Volumen auf, erscheint deshalb ebenfalls offensichtlich unzutreffend. Mit Grund streicht der Beschwerdeführer zudem hervor, dass die geplante Dachgaube sogar weniger hoch ist als die bisher bestehende. Hingegen bestreitet auch der Beschwerdeführer nicht, dass die Form und das Aussehen des vorgesehenen fensterlosen Aufbaus ungewöhnlich sind und sich in der Nachbarschaft keine vergleichbaren Baukörper finden.
Selbst wenn lediglich auf den zuletzt genannten Umstand abgestellt wird, erscheint es vertretbar, nur die geplante Dachaufbaute die von § 140 Abs. 1 PBG verlangte Eingliederung zu verneinen. Zudem ist zu beachten, dass Art. 21 Abs. 9 BZR für Dachbauten hinsichtlich Grösse und Gestaltung ein angemessenes Verhältnis zum Dachkörper unabhängig davon verlangt, ob in der Nachbarschaft Objekte existieren, die dieser Anforderung nicht entsprechen. Die Vorinstanz konnte deshalb ohne Willkür zum Schluss gelangen, dass der geplante Dachaufbau diesem Erfordernis nicht entspricht.
Trotz einzelner offensichtlich unzutreffender Sachverhaltsfeststellungen beruht der kantonale Entscheid in diesem Punkt somit auf einer vertretbaren Auslegung und Anwendung der massgebenden kantonalen und kommunalen Normen, die mit dem verfassungsrechtlichen Willkürverbot (<ref-law>) vereinbar sind. Der Beschwerdeführer macht allerdings zu Recht geltend, dass aus diesem Grund nicht dem gesamten Bauprojekt die Bewilligungsfähigkeit abgesprochen werden kann, da sich dieser Mangel beheben lässt. Die Vorinstanz weist im Übrigen zu Recht darauf hin, dass auch die Farbe und das verwendete Material einen wesentlichen Einfluss auf das Aussehen der Dachaufbaute und ihre Eingliederung haben, diese Punkte aber noch zu regeln sind.
6.
Der zweite umstrittene Teil des Bauprojekts betrifft die Erweiterung des Anbaus im rückwärtigen westlichen Bereich gegen den Garten hin. Das neue Gebäude soll auf allen Geschossen um mehrere Meter bis auf die Fassadenflucht des benachbarten Hauses im Süden bzw. bis an die Grenze der Ortsbildschutzzone A verlängert werden. Dabei sollen die verschiedenen 1932 erstellten Bauteile entfernt und insgesamt eine einheitlichere Gestaltung erreicht werden. Zugleich ist vorgesehen, den in westlicher Richtung anschliessenden - in der Ortsbildschutzzone C bzw. neu B gelegenen - Garten zu erhalten und neu zu gestalten.
Der geplante Erweiterungsbau kommt ganz in die Ortsbildschutzzone A zu liegen. Demnach sind die für diese Zone massgebenden Vorschriften anwendbar. Er widerspricht nach Auffassung der kantonalen Instanzen Art. 21 Abs. 4 BZR bzw. Art. 16 Abs. 3 nBZR. Danach dürfen bestehende Fluchten auf der Strassenseite, aber auch bei rückwärtigen Fassaden und Hofräumen nicht überschritten werden. Der vorgesehene Anbau hält diese Vorschrift nicht ein, da er nach Westen hin verlängert wird und damit die bisherige Flucht überschreitet. Der Stadtrat Luzern erteilte für diese Überschreitung eine Ausnahmebewilligung nach Art. 20 Abs. 8 BZR bzw. Art. 15 Abs. 5 nBZR. Die Vorinstanz hat demgegenüber die Gewährung einer Ausnahme als unzulässig erklärt.
Der Beschwerdeführer kritisiert zunächst die Anwendung von Art. 21 Abs. 4 BZR auf die fragliche, nicht schützenswerte Fassade als willkürlich. Ebenso rügt er die Verweigerung einer Ausnahmebewilligung durch die Vorinstanz als willkürlich sowie zudem als unverhältnismässigen Eingriff in die Eigentumsgarantie und Wirtschaftsfreiheit.
7.
In der Ortsbildschutzzone A sind die historische Bausubstanz und ihre Strukturen grundsätzlich zu erhalten (Art. 21 Abs. 1 BZR bzw. Art. 16 Abs. 1 nBZR). Änderungen an der Bausubstanz dürfen aber vorgenommen werden, soweit sie für die historische Struktur des Quartiers oder des Gebäudes nicht von Bedeutung sind (Art. 21 Abs. 6 BZR bzw. Art. 16 Abs. 5 nBZR), und der Stadtrat kann sogar die Entfernung störender Bauteile verlangen, wenn diese Teile vom Umbau oder von der Restaurierung betroffen werden (Art. 20 Abs. 3 BZR bzw. Art. 15 Abs. 4 nBZR). Der Beschwerdeführer macht zu Recht geltend, dass Art. 21 Abs. 4 BZR bzw. Art. 16 Abs. 3 nBZR in diesem systematischen Zusammenhang zu interpretieren ist.
Da die Ortsbildschutzzone A der Erhaltung der Bausubstanz dient, liegt es nahe, die beiden zuletzt genannten Normen auf sämtliche Fluchten anzuwenden und nicht nur auf die schützenswerten, wie dies der Beschwerdeführer geltend macht. Auch nach dem Wortlaut werden alle Fluchten erfasst. Wohl ist das Interesse an der Bewahrung der bestehenden Fluchten bei schützenswerten Fassaden besonders gross, wie dies der Beschwerdeführer hervorhebt. Doch bezweckt die Ortsbildschutzzone zusätzlich auch die Erhaltung der bestehenden baulichen Strukturen. Ebenso wenig zwingt die Vorschrift, dass der Stadtrat in gewissen Fällen eine Entfernung störender Bauteile verfügen kann, zu einer anderen Auslegung. Denn es kann auch in solchen Fällen ein Ersatzbau wieder auf den bisherigen Fluchten erstellt werden. Die Auslegung von Art. 21 Abs. 4 BZR bzw. Art. 16 Abs. 3 nBZR schränkt die baulichen Möglichkeiten wohl sehr stark ein. Doch kann übermässigen Eingriffen durch Gewährung von Ausnahmen Rechnung getragen werden (vgl. E. 8-10). Unter diesen Umständen erweist sich die Auslegung der genannten Normen durch die kantonalen Instanzen jedenfalls nicht als willkürlich.
Der geplante Erweiterungsbau ist demnach nur zulässig, wenn dafür eine Ausnahmebewilligung erteilt werden kann.
8.
Als Grundlage für eine Ausnahmebewilligung für den westlichen Erweiterungsbau kommt einerseits Art. 21 Abs. 4 BZR in Verbindung mit § 31 Abs. 5 aPBG und anderseits Art. 20 Abs. 8 BZR bzw. Art. 15 Abs. 5 nBZR in Betracht. Die Vorinstanz erklärt, dass eine Überschreitung der Baubegrenzungslinie gemäss Art. 21 Abs. 4 BZR um mehrere Meter nicht mehr als geringfügig gelten könne und daher eine Ausnahmebewilligung gestützt auf § 31 Abs. 5 aPBG nicht möglich sei. Der Beschwerdeführer stellt diese Beurteilung nicht in Frage, so dass darauf nicht weiter einzugehen ist. Nach Auffassung der Vorinstanz kann die nachgesuchte Erweiterung jedoch auch nach der allgemeinen Ausnahmebestimmung von Art. 20 Abs. 8 BZR bzw. Art. 15 Abs. 5 nBZR nicht bewilligt werden, was der Beschwerdeführer wie bereits erwähnt als willkürlichen und unverhältnismässigen Eingriff in die Eigentumsgarantie und Wirtschaftsfreiheit rügt.
Nach Art. 20 Abs. 8 BZR kann der Stadtrat Ausnahmen von den Schutzvorschriften gestatten, sofern besondere Verhältnisse dies rechtfertigen und die Ausnahme dem Sinn und Zweck der Schutzzonen nicht widerspricht. Art. 15 Abs. 5 nBZR lasst Abweichungen von den Schutzvorschriften zu, sofern ein qualitätsvolles Bauprojekt vorliegt und die Abweichung dem Sinn und Zweck der Schutzanliegen nicht widerspricht. Es handelt sich bei diesen Normen um kommunale Ausnahmeregelungen, die gegenüber der allgemeinen kantonalen Bestimmung über die Ausnahmen grundsätzlich den Vorrang haben (§ 37 Abs. 3 PBG; MISCHA BERNER, Luzerner Planungs- und Baurecht, 2012, N. 1158). Da die erwähnten Normen indessen weitgehend übereinstimmen, zieht die Vorinstanz zur Auslegung auch ihre eigene Praxis zu § 37 PBG und die in Lehre und Rechtsprechung allgemein anerkannten Grundsätze heran.
Die Ausnahmebewilligung dient dazu, im Einzelfall Härten und vom Gesetzgeber offensichtlich nicht gewollte Wirkungen zu vermeiden. Sie darf jedoch nicht dazu eingesetzt werden, um generelle Gründe zu berücksichtigen, die sich praktisch immer anführen lassen und im Ergebnis auf eine Änderung des Gesetzes hinauslaufen (BGE 117 la 141 E. 4 S. 146; <ref-ruling> E. 6d S. 134). Die Ausnahmebewilligung dient somit der Verfeinerung der schematischen Norm im besonders gelagerten Einzelfall. Sie soll es ermöglichen, jene Regelung zu treffen, die der Gesetzgeber in Kenntnis der Verhältnisse vernünftigerweise getroffen hätte ( ALDO ZAUGG/PETER LUDWIG, Baugesetz des Kantons Bern vom 9. Juni 1985, Kommentar, Band 1, 4. Aufl. 2013, Vorbemerkungen zu den Art. 26-31, N. 2). Nach feststehender Rechtsprechung erlauben persönliche oder finanzielle Gründe wie der individuelle Raumbedarf oder der Wunsch nach einer möglichst gewinnbringenden Nutzung des Grundstücks in der Regel die Erteilung einer Ausnahmebewilligung nicht. Eine solche setzt vielmehr objektive Besonderheiten voraus, wie sie sich etwa aus der Lage und Form der Parzelle, der Beschaffenheit des Baugrunds, dem Zweck des Bauvorhabens, technischen oder planerischen Besonderheiten ergeben (BGE 107 la 214 E. 5 S. 216; ZAUGG/LUDWIG, a.a.O., Art. 26-27, N. 5).
9.
Nach den verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen überschreitet der geplante Erweiterungsbau die Baubegrenzungslinie gemäss Art. 21 Abs. 4 BZR um etwas mehr als 5 Meter. Das ist bei einer gesamthaften Gebäudelänge von etwas mehr als 20 Metern nicht unbeträchtlich. Weiter steht fest, dass das Bauprojekt zu einer einheitlicheren Erscheinungsweise und städtebaulichen Körnung beiträgt, da es die bestehenden unruhig wirkenden Anbauten beseitigt und die neue westliche Fassade auf die gleiche Höhe wie jene des südlichen Nachbarhauses legt. Die Vorinstanz spricht denn auch gleich wie der Stadtrat Luzern von einem qualitätsvollen Bauprojekt.
Die kommunale Baubewilligungsbehörde hat weiter berücksichtigt, dass das Baugrundstück in zwei verschiedenen Ortsbildschutzzonen - A und C nach der bisherigen BZR bzw. A und B nach der nBZR - liege. Bereits daraus ergebe sich eine Sondersituation, welche eine Ausnahmebewilligung rechtfertige. Im Bereich der Ortsbildschutzzone C bzw. B könne der Beschwerdeführer ein frei stehendes Wohnhaus erstellen und seinen Raumbedarf dort anstatt durch den geplanten Erweiterungsbau decken. Eine solche Lösung sei jedoch städtebaulich weniger gut, weil dadurch einerseits eine uneinheitliche städtebauliche Körnung resuItiere und anderseits der wertvolle Gartenbereich stark beeinträchtigt würde. Mit der Erteilung einer Ausnahmebewilligung könne in beiden Punkten eine bessere Lösung erzielt werden.
Die Vorinstanz verneint demgegenüber einen Ausnahmegrund. Sie erklärt, das Zusammentreffen von zwei unterschiedlichen Ortsbildschutzzonen begründe keine besonderen Verhältnisse, die eine Ausnahmebewilligung rechtfertigen könnten. Es sei möglich, eine Beruhigung der Westfassade auch ohne Ausnahmebewilligung unter Beibehaltung der bisherigen Fassadenflucht zu erreichen.
10.
Der Vorinstanz ist darin zuzustimmen, dass die Zuweisung einer Bauparzelle zu zwei unterschiedlichen Zonen für sich allein keinen Grund für eine Ausnahmebewilligung darstellt. Der Stadtrat Luzern hat allerdings - trotz seiner unzutreffenden Ausdrucksweise - die besonderen Verhältnisse nicht aus diesem Umstand allein hergeleitet. Wie aus seinen Erwägungen hervorgeht, waren vielmehr ästhetische und städtebauliche Gründe ausschlaggebend. Solche können indessen einen Grund für eine Ausnahmebewilligung bilden, wenn ohne sie eine befriedigende Gestaltung nicht zu erreichen ist ( ZAUGG/LUDWIG, a.a.O., Art. 26-27, N. 5).
Bei der Beurteilung der städtebaulichen Situation erklärt die Vorinstanz, die wünschbare Beruhigung der westlichen Fassade lasse sich auch innerhalb der bisherigen Fassadenfluchten und damit ohne Ausnahmebewilligung realisieren. Das trifft zwar zu, übergeht indessen, dass damit die Erhaltung des Gartenbereichs nicht gesichert erschiene, weil der Beschwerdeführer seine räumlichen Bedürfnisse bei Wegfall des westlichen Anbaus dort befriedigen könnte. Im Gartenbereich sind Neubauten grundsätzlich zulässig (Art. 23 Abs. 3 BZR bzw. Art. 17 Abs. 3 nBZR). Der Beschwerdeführer hat eine solche Überbauung in Erwägung gezogen und dieses Vorhaben den städtischen Behörden unterbreitet. Letztere gehen davon aus, dass es möglich wäre, im Gartenbereich ein frei stehendes Wohnhaus zu erstellen. Die Erteilung der Ausnahmebewilligung dient somit neben der Beruhigung des westlichen Gebäudeteils vor allem der Freihaltung des Gartenbereichs. Das bewilligte Bauprojekt sieht dessen Freihaltung und Umgestaltung vor.
Unter den gegebenen Umständen ist es sachlich nicht vertretbar und damit willkürlich, dem Stadtrat vorzuwerfen, er habe eine Ausnahmesituation zu Unrecht bejaht. Dieser erteilte die Ausnahmebewilligung, um dem Sinn und Zweck der geltenden Schutzzonenregelung möglichst gut zu entsprechen. So soll damit gerade eine optimale Eingliederung der zusätzlichen Bausubstanz in die bestehende städtebauliche Körnung und zugleich die Freihaltung des Gartenbereichs erreicht werden. Auch in der bisherigen Gerichtspraxis ist anerkannt worden, dass für eine Mehrlänge einer Baute eine Ausnahmebewilligung erteilt werden kann, um mit Rücksicht auf umliegende denkmalgeschützte Gebäude entstehende Mindernutzungen zu kompensieren ( ZAUGG/LUDWIG, a.a.O., Art. 26-27, N. 5).
Selbst wenn berücksichtigt wird, dass ein Neubau im bisherigen Gartenbereich unter Umständen auf erhebliche Schwierigkeiten stossen könnte, lässt sich eine Ausnahmesituation nicht verneinen. Denn der Beschwerdeführer weist zu Recht darauf hin, dass sein 912 m2 umfassendes Grundstück auf einer deutlich kleineren Fläche überbaut ist als die umliegenden Parzellen. Ihm jegliche zusätzliche bauliche Nutzung seines Grundstücks zu untersagen, liefe auf eine unverhältnismässige Beschränkung seines Eigentums hinaus. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, bezwecken die Ortsbildschutzzonen, schützenswerte städtische Elemente und Ensembles in ihrem äusseren Erscheinungsbild zu erhalten. Mit dem Bauprojekt wird dieses Ziel vollumfänglich erreicht. Jedenfalls ist kein hinreichendes öffentliches Interesse erkennbar, das einen Verzicht auf den projektierten westlichen Erweiterungsbau rechtfertigen könnte. Auch sind namhafte Beeinträchtigungen der Nachbarn nicht ersichtlich und im bisherigen Verfahren auch nicht behauptet worden.
Die vorinstanzliche Verweigerung der Ausnahmebewilligung verletzt aus diesen Gründen die Eigentumsgarantie (<ref-law>) und das Willkürverbot (<ref-law>).
11.
Gesamthaft ergibt sich, dass der westliche Erweiterungsbau bewilligungsfähig ist, hingegen nicht die vorgesehene Dachaufbaute. Überdies sind alle erhobenen formellen Rügen des Beschwerdeführers unbegründet.
Die Beschwerde ist demnach teilweise gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben, soweit er die Bewilligungsfähigkeit des westlichen Erweiterungsbaus verneint. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen. Da eine Baubewilligung nur für das ganze Projekt erteilt werden kann, bleibt der Beschluss der Stadt Luzern vom 31. August 2011 (StB 776) aufgehoben. Die kantonalen Instanzen sind jedoch bei der Beurteilung eines neuen Projekts an die bundesgerichtlichen Erwägungen gebunden.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>). Der nicht anwaltschaftlich vertretene Beschwerdegegner hat praxisgemäss für das bundesgerichtliche Verfahren keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung. Demgegenüber hat der anwaltschaftlich vertretene Beschwerdeführer Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (<ref-law>). Zur Neuverlegung der vorinstanzlichen Kosten und Entschädigungen wird die Sache an das Kantonsgericht Luzern zurückgewiesen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 4. Juli 2012 aufgehoben, soweit er die Bewilligungsfähigkeit des westlichen Erweiterungsbaus verneint.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuregelung der vorinstanzlichen Kosten und Entschädigungen an das Kantonsgericht Luzern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat Luzern sowie dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Dezember 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner