Sachverhalt:
A.
A.a. X._ wurde von der Versicherung Y._ SA betrieben (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Seeland, Dienststelle Biel [Gruppen-Nr. yyy]). Zwecks Durchführung des Pfändungsvollzugs gelangte das Betreibungsamt Seeland am 24. Mai 2013 an die Bank A._ AG und forderte diese auf, die Saldi aller auf den Namen des Schuldners lautenden Konti per Vollzugsdatum bekannt zu geben. Dagegen setzte sich X._ am 26. Juni 2013 beim Obergericht des Kantons Bern als Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen zur Wehr (Beschwerdeverfahren 13 218). Er machte geltend, das Vorgehen des Betreibungsamtes Seeland sei mit Blick auf den Pfändungsbetrag von bloss Fr. 500.-- irreführend und missbräuchlich.
A.b. Nach Durchführung des Schriftenwechsels wandte sich X._ am 26. August 2013 mit einer weiteren Eingabe an das Obergericht (Beschwerdeverfahren 13 299). Darin beschwerte er sich über die Abweisung seines Gesuchs um Akteneinsicht. Er habe die Dienststelle Biel um Mitteilung ersucht, bei welchen Finanzinstituten im Rahmen der Betreibung Nr. xxx Abklärungen über seine Kontobeziehungen vorgenommen worden seien. Diese Auskunft habe ihm die Dienststelle mit Verfügung vom 15. Juli 2013 unter Hinweis auf den internen Charakter der Liste verweigert.
B.
Per E-Mail vom 29. August 2013 bestätigte die Dienststelle Biel gegenüber der Aufsichtsbehörde, dass die Gläubigerin die Betreibung Nr. xxx gegen X._ am 10. Juli 2013 zurückgezogen habe, da die Forderung in der Zwischenzeit beglichen worden sei.
C.
Das Obergericht des Kantons Bern vereinigte die Beschwerdeverfahren 13 218 und 13 299 und schrieb sie mit Entscheid vom 2. September 2013 als gegenstandslos ab.
D.
X._ (Beschwerdeführer) wendet sich mit Eingabe vom 23. September 2013 an das Bundesgericht. Er beantragt, dass die erwähnten Beschwerdeverfahren nicht als gegenstandslos betrachtet und zur Neubeurteilung an die entsprechende Instanz zurückgewiesen werden. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden über Beschwerden gegen Verfügungen von Vollstreckungsorganen gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Entscheid, die beiden Beschwerdeverfahren 13 218 und 13 299 als gegenstandslos abzuschreiben, ist ein Endentscheid (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_208/2011 vom 24. Juni 2011 E. 1.1), den das Obergericht als letzte kantonale Instanz (<ref-law>) gefällt hat. Als Partei in den beiden Beschwerdeverfahren ist der Beschwerdeführer durch die Abschreibung dieser Verfahren besonders berührt; er hat ein schutzwürdiges Interesse (<ref-law>) daran, dass das Bundesgericht darüber befinde, ob die Abschreibung dieser Beschwerdeverfahren zu Recht erfolgt oder die Sache - entsprechend seinem Rechtsbegehren - zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen sei. Auf die im Übrigen rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Grundsätzlich kann gegen jede Verfügung eines Betreibungs- oder eines Konkursamtes bei der Aufsichtsbehörde wegen Gesetzesverletzung oder Unangemessenheit Beschwerde geführt werden (<ref-law>). Die Beschwerde muss aber einen praktischen Verfahrenszweck verfolgen und eine Korrektur im Sinn eines Zurückkommens auf die angefochtene Handlung muss noch möglich sein. Auf Beschwerden zum blossen Zwecke, die Pflichtwidrigkeit einer Handlung oder Unterlassung eines Vollstreckungsorgans feststellen zu lassen, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2 S. 108 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 104).
2.2. Im vorliegenden Fall ist die in Betreibung gesetzte Forderung beglichen worden. Die Gläubigerin hat anschliessend ihr Betreibungsbegehren zurückgezogen. Damit entfällt im Beschwerdeverfahren 13 218 ein praktisches Interesse an der Prüfung der Frage, ob das Betreibungsamt verhältnismässig gehandelt habe, indem es wegen einer ausstehenden Forderung von Fr. 500.-- bei der Bank A._ AG gestützt auf <ref-law> Auskünfte einholte (s. Sachverhalt Bst. A.a). Denn wie auch immer die Antwort darauf ausfiele, sie vermöchte sich auf die konkrete Betreibung nicht mehr auszuwirken. Auch ein blosses Feststellungsinteresse ist zu verneinen. Zwar ist nicht auszuschliessen, dass der Beschwerdeführer auch in Zukunft von Auskunftsersuchen gemäss <ref-law> betroffen sein wird, die er als unverhältnismässig taxiert. Die Verhältnismässigkeit solch künftiger behördlicher Handlungen lässt sich jedoch nur im konkreten Fall beurteilen. Gegen entsprechende betreibungsamtliche Vorkehren kann sich der Beschwerdeführer wiederum mit einer Beschwerde nach <ref-law> zur Wehr setzen. Im Ergebnis hat die Vorinstanz das Beschwerdeverfahren 13 218 daher zu Recht als gegenstandslos abgeschrieben. Die Beschwerde erweist sich in dieser Hinsicht als unbegründet.
2.3. Das Gesagte gilt sinngemäss, was die Abschreibung des Beschwerdeverfahrens 13 299 angeht. In diesem Verfahren wehrte sich der Beschwerdeführer gegen die Verweigerung der Auskunft darüber, bei welchen Kreditinstituten sich das Betreibungsamt nach seinen Kontobeziehungen erkundigt habe (s. Sachverhalt A.b). Die Gläubigerin hatte die Betreibung Nr. xxx schon am 10. Juli 2013 zurückgezogen. Damit konnte sich die am 15. Juli 2013 verfügte Auskunftsverweigerung von vornherein nicht mehr auf die fragliche Betreibung auswirken, denn mit ihrem Rückzug hatte die Gläubigerin dem Betreibungsverfahren schon am 10. Juli 2013 ein Ende gesetzt. Sollte sich der Beschwerdeführer in Zukunft einer ähnlichen Verweigerung gegenübersehen, ist es ihm unbenommen, im konkreten Fall erneut Beschwerde dagegen zu ergreifen. Was das Beschwerdeverfahren 13 299 angeht, muss es aber bei der vorinstanzlichen Erkenntnis bleiben, dass es vom Obergericht zu Recht als gegenstandslos abgeschrieben wurde. Damit kann offenbleiben, ob die Eingabe des Beschwerdeführers vom 26. August 2013 verspätet war, wie das Obergericht in einer Eventualbegründung ausführt. Immerhin ist daran zu erinnern, dass die zehntägige Frist zur Beschwerde an die Aufsichtsbehörde von Gesetzes wegen läuft (<ref-law>), also von vornherein keine Betreibungshandlung im Sinne von <ref-law> sein kann, und für die Berechnung, die Einhaltung und den Lauf dieser Frist die Bestimmungen der Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 gelten (<ref-law>).
3.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit auf sie eingetreten werden kann. Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde, ist durch das bundesgerichtliche Verfahren kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt Seeland, Dienststelle Biel/Bienne, und dem Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn