Faits:
A. A._ a conclu un partenariat enregistré avec B._ en mai 2007. Ce dernier est décédé en juin 2007 suivant.
Le 27 août 2007, A._ a déposé une demande de rente de veuf auprès de la Caisse cantonale vaudoise de compensation AVS (ci-après: la CCVD).
Par décision du 3 septembre 2007, la CCVD a rejeté la demande de rente présentée par A._. Ce dernier ayant formé opposition contre cette décision, la CCVD l'a confirmée par une nouvelle décision du 24 septembre 2007. En bref, elle a rappelé que le partenaire enregistré survivant avait les mêmes droits qu'un veuf. Or, le droit à la rente de veuf n'était ouvert qu'à la condition que ce dernier ait des enfants de moins de 18 ans au moment du décès du conjoint. Dans la mesure où A._ n'avait pas d'enfants, il ne pouvait lui être alloué une rente de veuf.
B. A._ a recouru contre cette décision en concluant à l'octroi d'une rente de veuf jusqu'à épuisement de son droit, le tout sous suite de frais et dépens. Par jugement du 9 mai 2008, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement. Il en demande l'annulation et conclut à l'octroi d'une rente de veuf au sens des <ref-law> et 23 et 24 LAVS. A titre subsidiaire, il demande l'annulation du jugement entrepris et le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision. La CCVD a conclu au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments du recourant ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>).
1.2 Quant au recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>), il est irrecevable, car les griefs soulevés par le recourant à titre subsidiaire (l'inégalité de traitement entre hommes et femmes et l'interprétation non conforme à la Constitution des <ref-law> et 23 et 24 LAVS) peuvent être examinés dans le cadre de son recours en matière de droit public (<ref-law>).
2. L'<ref-law> a la teneur suivante:
1 Pendant toute sa durée, le partenariat enregistré est assimilé au mariage dans le droit des assurances sociales.
2 Le partenaire enregistré survivant est assimilé à un veuf.
3 La dissolution judiciaire du partenariat enregistré est assimilée au divorce.
Selon l'<ref-law>:
1 Les veuves et les veufs ont droit à une rente si, au décès de leur conjoint, ils ont un ou plusieurs enfants.
2 Sont assimilés aux enfants de veuves ou de veufs:
a. les enfants du conjoint décédé qui, lors du décès, vivaient en ménage commun avec la veuve ou le veuf et qui sont recueillis par le survivant, au sens de l'art. 25, al. 3;
b. les enfants recueillis au sens de l'art. 25, al. 3, qui, lors du décès, vivaient en ménage commun avec la veuve ou le veuf et qui sont adoptés par le conjoint survivant.
3 Le droit à la rente de veuve ou de veuf prend naissance le premier jour du mois qui suit le décès du conjoint et, lorsqu'un enfant recueilli est adopté conformément à l'al. 2, let. b, le premier jour du mois suivant l'adoption.
4 Le droit s'éteint:
a. par le remariage;
b. par le décès de la veuve ou du veuf.
5 Le droit renaît en cas d'annulation du mariage ou de divorce. Le Conseil fédéral règle les détails.
L'<ref-law> dispose:
1 Les veuves ont droit à une rente si, au décès de leur conjoint, elles n'ont pas d'enfant ou d'enfant recueilli au sens de l'art. 23, mais qu'elles ont atteint 45 ans révolus et ont été mariées pendant cinq ans au moins. Si une veuve a été mariée plusieurs fois, il sera tenu compte, dans le calcul, de la durée totale des différents mariages.
2 Outre les causes d'extinction mentionnées à l'art. 23, al. 4, le droit à la rente de veuf s'éteint lorsque le dernier enfant atteint l'âge de 18 ans.
3. 3.1 Les premiers juges ont considéré qu'il n'y avait pas lieu, en l'espèce, de déroger au sens littéral des <ref-law> et 23 et 24 LAVS, dès lors que celui-ci reflétait la volonté du législateur fédéral. En particulier, l'interprétation de ces dispositions légales dans le sens voulu par le recourant allait au-delà d'une interprétation conforme à la Constitution et aboutissait à un contrôle de constitutionnalité des lois fédérales, lequel était exclu en vertu de l'art. 190 Cst. La juridiction cantonale a ajouté que la différence de traitement entre couples mariés et partenaires enregistrés résultant d'une application littérale des <ref-law> en corrélation avec les art. 23 et 24 LAVS n'avait cependant pas échappé au législateur fédéral.
3.2 Le recourant allègue que l'<ref-law> en corrélation avec les art. 23 et 24 LAVS opère à son égard une discrimination fondée sur le sexe, en violation des art. 14 et 6 § 1 CEDH ainsi que de l'art. 8 Cst. Il conteste l'interprétation littérale faite par la juridiction cantonale de l'<ref-law>. Selon lui, le terme de «veuf» ne devrait pas être interprété «comme portant uniquement sur le veuf masculin» mais devrait englober «les conditions d'obtention applicables tant au veuf masculin qu'au veuf féminin», afin que le partenaire enregistré survivant, qu'il soit un homme ou une femme, puisse se voir appliquer l'ensemble des critères prévus aux art. 23 et 24 LAVS. N'ayant pas d'enfants au moment de son «veuvage», le recourant demande à bénéficier des prestations auxquelles peuvent prétendre les veuves sans enfants en vertu de l'<ref-law>.
4. 4.1 L'art. 14 CEDH énonce: La jouissance des droits et libertés reconnus dans la (...) Convention doit être assurée, sans distinction aucune, fondée notamment sur le sexe (...).
4.2 D'après la jurisprudence constante de la Cour européenne des droits de l'homme, l'article 14 CEDH complète les autres clauses normatives de la Convention et des Protocoles. Il n'a pas d'existence indépendante puisqu'il vaut uniquement pour «la jouissance des droits et libertés» qu'elles garantissent. Certes, il peut entrer en jeu même sans un manquement à leurs exigences et, dans cette mesure, il possède une portée autonome, mais il ne saurait trouver à s'appliquer si les faits du litige ne tombent pas sous l'emprise de l'une au moins desdites clauses (voir arrêt [de la Cour européenne des droits de l'homme] Glor contre Suisse du 30 avril 2009).
4.3 En l'espèce, le grief de violation de l'art. 14 CEDH est soulevé en combinaison avec l'art. 6 § 1 CEDH, lequel a la teneur suivante: Toute personne a droit à ce que sa cause soit entendue équitablement, publiquement et dans un délai raisonnable, par un tribunal indépendant et impartial, établi par la loi, qui décidera, soit des contestations sur ses droits et obligations de caractère civil, soit du bien-fondé de toute accusation en matière pénale dirigée contre elle. Le jugement doit être rendu publiquement, mais l'accès à la salle d'audience peut être interdit à la presse et au public pendant la totalité ou une partie du procès dans l'intérêt de la moralité, de l'ordre public, ou de la sécurité nationale dans une société démocratique, lorsque les intérêts des mineurs ou la protection de la vie privée des parties au procès l'exigent, ou dans la mesure jugée strictement nécessaire par le tribunal, lorsque dans des circonstances spéciales la publicité serait de nature à porter atteinte aux intérêts de la justice.
L'art. 6 § 1 CEDH garantit le droit d'accès à un juge mais ne crée pas un droit, opposable à l'Etat, à des prestations dans le domaine des assurances sociales. Dès lors que le droit à une rente de veuf n'entre pas dans le champ d'application de l'art. 6 § 1 CEDH, l'applicabilité de l'art. 14 CEDH n'est pas donnée en l'espèce. Quoi qu'il en soit, l'interdiction de discrimination consacrée à l'art. 14 CEDH ne va pas au-delà du principe général d'égalité de traitement garanti par l'art. 8 Cst. (<ref-ruling> consid. 5c/bb p. 417 s.), dont le recourant invoque également la violation devant le Tribunal fédéral. On rappellera que le Tribunal fédéral est tenu, selon l'art. 190 Cst., d'appliquer les lois fédérales. Il n'est pas habilité à en contrôler la constitutionnalité. Il peut tout au plus procéder à une interprétation conforme à la Constitution d'une loi fédérale, si les méthodes ordinaires d'interprétation laissent subsister un doute sur son sens (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 263 et les références). L'interprétation conforme à la Constitution trouve toutefois ses limites lorsque le texte et le sens de la disposition légale sont absolument clairs, quand bien même ils seraient contraires à la Constitution (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 716).
4.4 La loi s'interprète pour elle-même, c'est-à-dire selon sa lettre, son esprit et son but, ainsi que selon les valeurs sur lesquelles elle repose, conformément à la méthode téléologique. Le juge s'appuiera sur la ratio legis, qu'il déterminera non pas d'après ses propres conceptions subjectives, mais à la lumière des intentions du législateur. Le but de l'interprétation est de rendre une décision juste d'un point de vue objectif, compte tenu de la structure normative, et d'aboutir à un résultat satisfaisant fondé sur la ratio legis. Ainsi, une norme dont le texte est à première vue clair peut être étendue par analogie à une situation qu'elle ne vise pas ou, au contraire, si sa teneur paraît trop large au regard de sa finalité, elle ne sera pas appliquée à une situation par interprétation téléologique restrictive. Si la prise en compte d'éléments historiques n'est pas déterminante pour l'interprétation, cette dernière doit néanmoins s'appuyer en principe sur la volonté du législateur et sur les jugements de valeur qui la sous-tendent de manière reconnaissable, tant il est vrai que l'interprétation des normes légales selon leur finalité ne peut se justifier par elle-même, mais doit au contraire être déduite des intentions du législateur qu'il s'agit d'établir à l'aide des méthodes d'interprétation habituelles (<ref-ruling> consid. 4.4.1 p. 164 et les références).
5. 5.1 A première vue, le texte de l'<ref-law> est clair et assimile le partenaire enregistré survivant (homme ou femme) à un veuf («Witwer»; «vedovo») et non pas à une veuve. Il y a toutefois lieu d'examiner si cette conclusion correspond à la volonté du législateur.
5.2 Dans son Message du 29 novembre 2002 à l'appui du projet de loi sur le partenariat enregistré entre personnes du même sexe (LPart; RS 211.231), le Conseil fédéral considérait que les partenaires liés par un partenariat enregistré devaient être traités comme des conjoints dans le domaine des assurances sociales et de la prévoyance professionnelle (FF 2003 1221 ch. 1.7.7). D'emblée cependant, il a relevé que l'assimilation des partenaires enregistrés aux conjoints posait certains problèmes pratiques car le droit en vigueur dans le domaine des assurances sociales n'avait pas encore complètement mis les hommes et les femmes sur un pied d'égalité au sein du mariage. En effet, les prestations en faveur des survivants n'étaient pas soumises aux mêmes conditions selon qu'il s'agissait d'une veuve ou d'un veuf. La réglementation relative aux veuves était plus favorable que celle relative au veuf, car les veuves avaient droit à une rente même si, au moment du décès de leur conjoint, elles n'avaient pas d'enfant, mais avaient atteint l'âge de 45 ans révolus et avaient été mariées pendant cinq ans au moins (art. 24 al. 1, première phrase LAVS). Aussi, en assimilant le partenaire enregistré survivant à un veuf, l'<ref-law> évitait de créer de nouvelles inégalités entre les partenaires enregistrés et les époux. Si la réglementation plus favorable relative aux veuves avait été considérée comme déterminante, le partenariat enregistré liant deux femmes aurait été mieux traité que le mariage et que le partenariat liant deux hommes (XAVIER ROSSMANITH, Droit des gays et lesbiennes en Suisse, in: ANDREAS R. ZIEGLER, MARTIN BERTSCHI, ALEXANDRE CURCHOD, NADJA HERZ, MICHEL MONTINI [édit.], 2007, p. 410 n° 56).
5.3 Lors des débats parlementaires concernant l'<ref-law>, le Conseil national a choisi de suivre la proposition du Conseil fédéral et d'assimiler le partenaire enregistré survivant, qu'il soit un homme ou une femme, à un veuf afin de ne pas désavantager les partenaires homosexuels de sexe masculin par rapport à ceux de sexe féminin. Devant le Conseil des Etats, l'<ref-law> n'a pas donné lieu à discussion. Finalement, la proposition du Conseil fédéral est entrée en vigueur sans aucune modification (cf. Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 2009, n° 1 ad art. 13a).
5.4 Il ressort incontestablement de ce qui précède que le législateur a délibérément et expressément assimilé les partenaires enregistrés survivants, hommes et femmes, à des veufs et non à des veuves, et ce, dans le but d'assurer l'égalité entre hommes et femmes ainsi qu'entre mariage et partenariat enregistré. Il n'y a dès lors pas lieu de déroger, par voie d'interprétation, au sens littéral de l'<ref-law>.
6. Il reste à examiner s'il existe des raisons de déroger au texte des art. 23 et 24 LAVS.
6.1 La rente de survivant est une prestation destinée à compenser ou indemniser la perte de soutien que représente le décès d'un conjoint, respectivement d'un parent. Aussi, en présence d'enfants mineurs, la perte de soutien est une présomption irréfragable et constitue le fondement du droit à la rente de survivant (art. 23 al. 1 et 2 let. a et b LAVS). Sous cet angle, l'<ref-law> respecte l'égalité de droit entre hommes et femmes et, d'un point de vue formel, l'égalité entre partenaires enregistrés du même sexe. En revanche, le privilège des veuves n'ayant pas d'enfants à obtenir une rente (si elles ont plus de 45 ans et ont été mariées pendant 5 ans au moins) en vertu de l'art. 24 al. 1, première phrase, LAVS, consacre une distinction de traitement fondée sur le sexe. Le Conseil fédéral en était pleinement conscient et a entrepris un processus d'égalisation du droit à la rente de survivant entre hommes et femmes dans le cadre de la 11è révision de l'AVS. Il a ainsi proposé d'uniformiser le droit à la rente de veuve et de veuf, en limitant son octroi au conjoint ou ex-conjoint survivant ayant encore des enfants mineurs au moment du veuvage. Cette harmonisation pouvait être réalisée moyennant une augmentation des prestations pour les veufs ou une diminution de celles revenant aux veuves. Dans la mesure où la situation financière de l'AVS était trop précaire pour maintenir le niveau actuel de la protection des veuves et, à fortiori, pour aligner les conditions d'accès au droit à la rente des veufs sur celles des veuves, le Conseil fédéral a opté pour une solution intermédiaire, dont les caractéristiques étaient les suivantes: Les veuves et veufs avaient toujours droit à une rente de survivant si, au décès du conjoint, ils avaient des enfants de moins de 18 ans ou s'occupaient d'un enfant handicapé majeur qui donnait droit à des bonifications pour tâches d'assistance. Le droit s'éteignait lorsqu'aucune de ces conditions n'était plus remplie, sauf si la veuve ou le veuf avait alors déjà dépassé 50 ans. Pour assurer la protection des veuves et veufs d'un certain âge, le droit à la rente était également ouvert si, au moment du veuvage, le conjoint survivant n'avait plus d'enfant en dessous de 18 ans ni la charge d'un enfant handicapé, mais avait en revanche rempli l'une ou l'autre de ces conditions au-delà de ses 50 ans. Enfin, un droit à la rente existait aussi lorsque le veuvage intervenait après 65 ans. Il n'était alors pas nécessaire que la veuve ou le veuf ait eu des enfants (Beatrix de Cupis, Les propositions du Conseil fédéral pour la 11e révision de l'AVS in: Assurances sociales en révision, 2002, p. 19 s.).
6.2 Si le projet du Conseil fédéral d'aligner les rentes de veuve sur les rentes de veuf représentait la principale mesure d'économie de la 11e révision de l'AVS, elle en était aussi l'une des plus contestées. Les critiques ont porté tant sur certains aspects de l'aménagement de la nouvelle réglementation que sur le principe même de diminuer la protection des veuves dans l'AVS. Finalement, le Parlement n'a pas suivi la proposition du Conseil fédéral et a prévu un nouveau régime des rentes de survivants qui prévoyait que les veuves avaient droit à une rente d'une durée indéterminée si, au décès de leur conjoint, elles avaient des enfants ou en avaient eu pendant 5 ans au moins avant le décès du conjoint ou si elles avaient en charge une personne donnant droit à des bonifications pour tâches d'assistance ou en avaient eu pendant 5 ans au moins avant le décès du conjoint. Les veuves avaient également droit à une rente illimitée si, au moment du décès de leur mari, elles avaient déjà atteint l'âge de 65 ans. Enfin, la femme qui ne remplissait aucune des conditions donnant droit à une rente au moment du décès de son conjoint mais qui était âgée d'au moins 45 ans et avait été mariée pendant 5 ans au moins, avait droit à une indemnité unique correspondant à une rente annuelle en lieu et place d'une rente de veuve illimitée. Les hommes mariés avaient, quant à eux, uniquement droit à la rente de veuf si, au moment du décès de leur épouse, ils avaient un ou plusieurs enfants mineurs. Pour ces derniers, la 11e révision de l'AVS ne devait apporter aucun changement par rapport au droit actuellement en vigueur (voir Daniela Witschard, Nouveau régime des rentes de survivants, in: Sécurité sociale CHSS 2/2004, p. 84 ss). Cette nouvelle proposition, plus soucieuse du sort des veuves que celle du Conseil fédéral, a finalement été rejetée en votation populaire, le 16 mai 2004. Si l'on peut certes regretter ce résultat sous l'angle du principe de l'égalité de traitement entre hommes et femmes, il paraît difficile de reprocher au législateur d'avoir voulu maintenir, pour un certain temps encore, un privilège visant à l'origine à corriger le désavantage dont souffraient les femmes sur le plan économique. En tout état de cause, au vu du texte clair de la norme et de la volonté univoque du législateur historique, la situation ne peut pas être corrigée par la voie d'une interprétation conforme à l'art. 8 Cst.
7. Dans le cas d'espèce, on précisera que même si le recourant était une femme et que la discrimination dont il se plaint se trouvait donc supprimée, il ne remplirait de toute façon pas les conditions requises pour pouvoir prétendre à une rente de veuve en vertu de l'<ref-law>. En effet, une veuve dans la situation du recourant n'aurait pas droit à une rente en raison du fait qu'elle ne remplirait pas une autre condition légale d'attribution de cette prestation, à savoir le fait d'avoir été mariée pendant cinq ans au moins. Etant donné que le recourant n'a fait l'objet d'aucune différence de traitement juridique par rapport à une femme se trouvant dans une situation analogue, il y a lieu de conclure qu'aucune question de discrimination contraire aux art. 14 CEDH ou 8 Cst. ne se pose quant au droit du recourant à une rente de veuve.
8. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1, première phrase en relation avec l'<ref-law>). Pour ce même motif, il n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est rejeté.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 octobre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Fretz