Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 25. Juni 2009 sprach das Obergericht des Kantons Zürich X._ zweitinstanzlich der mehrfachen versuchten schweren Körperverletzung schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren und sechs Monaten sowie insbesondere zur Bezahlung von Genugtuungen von Fr. 3'000.-- respektive von Fr. 4'000.-- an die beiden Geschädigten.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 25. Juni 2009 sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der mehrfachen schweren Körperverletzung freizusprechen. Eventualiter sei er wegen mehrfacher einfacher Körperverletzung zu verurteilen. Subeventualiter sei er mit einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren zu bestrafen. Des Weiteren seien die Genugtuungsansprüche der Geschädigten entsprechend zu reduzieren. Ferner ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz geht von folgendem Sachverhalt aus (angefochtenes Urteil S. 4):
1.1 Am 4. Mai 2008 kam es in und vor einem Nachtclub in Rümlang zwischen dem Beschwerdeführer und A._ sowie weiteren Personen zu einer Auseinandersetzung. Dabei stach der Beschwerdeführer mit einem Taschenmesser, dessen Klingenlänge 5,4 Zentimeter betrug, A._ in den rechten Unterbauch und fügte diesem hierdurch eine rund 4,5 bis 5 Zentimeter tiefe Verletzung oberhalb der Leistengegend zu.
1.2 Rund 40 Minuten später kam es vor einem Nachtclub in Zürich zu einer weiteren Auseinandersetzung, an welcher unter anderem der Beschwerdeführer und B._ beteiligt waren. Anlässlich dieses Streits stach der Beschwerdeführer mit dem gleichen Messer wie zuvor in Rümlang B._ in den Rumpf (seitlich über der zehnten Rippe), wodurch dieser eine rund 2 bis 2,2 Zentimeter tiefe Stichverletzung erlitt.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer lastet der Vorinstanz eine willkürliche Würdigung der Aussagen der einvernommenen Personen an. Im Ergebnis verletze das angefochtene Urteil den aus der Unschuldsvermutung abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro reo" (Beschwerde S. 10 - 27, insb. S. 10 - 15).
2.2 <ref-law> gewährleistet den Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür behandelt zu werden. Auf dem Gebiet der Beweiswürdigung ist die Kognition des Bundesgerichts auf Willkür beschränkt. Willkür in der Beweiswürdigung liegt vor, wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen (<ref-ruling> E. 5.4). Dass das angefochtene Urteil mit der Darstellung des Beschwerdeführers nicht übereinstimmt oder eine andere Lösung oder Würdigung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, genügt praxisgemäss für die Begründung von Willkür nicht (127 I 54 E. 2b).
Gemäss der in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Maxime "in dubio pro reo" ist bis zum gesetzlichen Nachweis der Schuld zu vermuten, dass die einer strafbaren Handlung angeklagte Person unschuldig ist (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). Als Beweiswürdigungsregel besagt die Maxime, dass sich das Strafgericht nicht von der Existenz eines für die beschuldigte Person ungünstigen Sachverhalts überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel bestehen, dass sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Inwiefern dieser Grundsatz verletzt sein soll, prüft das Bundesgericht nur unter dem Gesichtspunkt der Willkür, das heisst, es greift nur ein, wenn das Sachgericht die beschuldigte Person verurteilte, obgleich bei objektiver Würdigung des Beweisergebnisses offensichtlich erhebliche bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an deren Schuld fortbestehen (BGE <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2; Urteil des Bundesgerichts 6B_923/2008 vom 2. Februar 2009 E. 2).
Wird eine willkürliche Beweiswürdigung gerügt, reicht es nicht aus, wenn der Beschwerdeführer zum Beweisergebnis frei plädiert und darlegt, wie seiner Auffassung nach die vorhandenen Beweise richtigerweise zu würdigen gewesen wären, wie er dies in einem appellatorischen Verfahren mit freier Rechts- und Tatsachenüberprüfung tun könnte. Er muss gemäss ständiger Rechtsprechung vielmehr aufzeigen, inwiefern die angefochtene Beweiswürdigung die Verfassung dadurch verletzen sollte, dass sie im Ergebnis offensichtlich unhaltbar wäre (vgl. <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3c).
2.3 Was der Beschwerdeführer gegen die Beweiswürdigung der Vorinstanz vorbringt, ist nicht geeignet, Willkür respektive eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" darzutun. Mit seinen Ausführungen stellt er der vorinstanzlichen Begründung, welche sich sehr eingehend mit den Aussagen sämtlicher einvernommenen Personen auseinandersetzt (angefochtenes Urteil S. 11 - 25 und S. 25 - 42), über weite Strecken einzig seine eigene Sicht der Dinge gegenüber, indem er darlegt, wie die Aussagen seiner Meinung nach richtigerweise zu würdigen gewesen wären. Dass bzw. inwiefern die Beweiswürdigung der Vorinstanz geradezu willkürlich wäre, vermag er hierdurch jedoch nicht aufzuzeigen.
Dass die Vorinstanz dabei, wie der Beschwerdeführer behauptet, allenfalls fälschlicherweise davon ausgegangen ist, A._ habe sich nach dem Vorfall nicht mehr gross wegbewegt (angefochtenes Urteil S. 23), macht die Beweiswürdigung als solche nicht willkürlich. Entscheidend ist vielmehr, dass die Vorinstanz, ohne in Willkür zu verfallen, gestützt auf die Aussagen des Geschädigten (angefochtenes Urteil S. 13 f.) und des an der Auseinandersetzung beteiligten Bekannten des Beschwerdeführers, C._ (angefochtenes Urteil S. 14 - 16), folgern konnte, der Beschwerdeführer sei vom Geschädigten nicht vorab angegriffen respektive nicht unmittelbar mit einem Angriff bedroht worden (vgl. angefochtenes Urteil S. 24 f.). Gleiches gilt insoweit für den zweiten Vorfall (vgl. angefochtenes Urteil S. 42).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe im Rahmen ihrer Ausführungen zum Tatbestand der schweren Körperverletzung zu Unrecht auf ein vorsätzliches Handeln geschlossen. Die Art und Weise seiner Tatausführung spreche gegen eine erhebliche Verletzungsabsicht, habe er doch in beiden Fällen nur ein einziges Mal mit einer kurzen Klinge und ohne Wucht zugestochen. Bezeichnend sei, dass die beiden Geschädigten denn auch anfangs ihre Verletzung gar nicht bemerkt hätten. Angelastet werden könne ihm lediglich der Vorsatz hinsichtlich einer einfachen Körperverletzung, wobei er insoweit in gerechtfertigter Notwehr gehandelt habe (Beschwerde S. 16 - 27).
3.2 Die Vorinstanz führt aus, es gehöre zum Allgemeinwissen, dass ein Messerstich im Bereich der Leistengegend äusserst gefährlich sei. Der Beschwerdeführer habe denn auch eingestanden, um die möglichen Folgen seines Verhaltens gewusst zu haben (angefochtenes Urteil S. 47 f.). Er habe im Rahmen eines dynamischen Ablaufs und damit unkontrolliert zugestochen. Aufgrund der Art und Weise der Tatbegehung seien die Wahrscheinlichkeit lebensgefährlicher Verletzungen in beiden Fällen derart gross und die Pflichtverletzungen des Beschwerdeführers derart eklatant, dass dessen Verhaltensweise nicht anders interpretiert werden könne, als dass er lebensgefährliche Verletzungen der Opfer in Kauf genommen habe (angefochtenes Urteil S. 53 f.).
3.3 Nach <ref-law> wird unter anderem mit Freiheitsstrafe bis zu zehn Jahren oder Geldstrafe nicht unter 180 Tagessätzen bestraft, wer vorsätzlich einen Menschen lebensgefährlich verletzt.
Vorsätzlich begeht ein Verbrechen oder Vergehen, wer die Tat mit Wissen und Willen ausführt (<ref-law>). Vorsätzlich handelt bereits, wer die Verwirklichung der Tat für möglich hält und in Kauf nimmt (<ref-law>).
Nach ständiger Rechtsprechung ist Eventualvorsatz gegeben, wenn der Täter den Eintritt des Erfolgs beziehungsweise die Tatbestandsverwirklichung für möglich hält, aber dennoch handelt, weil er den Erfolg für den Fall seines Eintritts in Kauf nimmt, sich mit ihm abfindet, mag er ihm auch unerwünscht sein. Für den Nachweis des Vorsatzes kann sich das Gericht - soweit der Täter nicht geständig ist - regelmässig nur auf äusserlich feststellbare Indizien und auf Erfahrungsregeln stützen, die ihm Rückschlüsse von den äusseren Umständen auf die innere Einstellung des Täters erlauben. Zu den äusseren Umständen, aus denen der Schluss gezogen werden kann, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen, zählt namentlich die Grösse des dem Täter bekannten Risikos der Tatbestandsverwirklichung und die Schwere der Sorgfaltspflichtverletzung. Je grösser dieses Risiko ist und je schwerer die Sorgfaltspflichtverletzung wiegt, desto eher darf gefolgert werden, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen (<ref-ruling> E. 3.2.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 8.2).
Was der Täter wusste, wollte und in Kauf nahm, betrifft sog. innere Tatsachen, ist damit Tatfrage und wird vom Bundesgericht nur auf Willkür überprüft. Rechtsfrage ist hingegen, ob im Lichte der festgestellten Tatsachen der Schluss auf Eventualvorsatz begründet ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 8.5).
3.4 Der Schluss der Vorinstanz auf ein eventualvorsätzliches Handeln des Beschwerdeführers verletzt kein Bundesrecht.
Die Sorgfaltspflichtverletzung des Beschwerdeführers wiegt schwer, und bei einem Messerstich in den Lendenbereich ist das Risiko der Tatbestandsverwirklichung, d.h. einer lebensgefährlichen Verletzung des Opfers, auch beim Einsatz einer eher kurzen Messerklinge als hoch einzustufen, zumal der Beschwerdeführer vorliegend unkontrolliert zugestochen hat. Die Vorinstanz hebt in diesem Zusammenhang unter Bezugnahme auf die rechtsmedizinischen Ergebnisse hervor, dass sich in beiden Fällen anatomische Strukturen, deren Verletzung lebensgefährlich hätte sein können, in einem Abstand von rund zwei bis drei Zentimeter zum Stichkanal befunden hätten (angefochtenes Urteil S. 43 f.). Bei beiden Stichen ist es damit letztlich einzig glücklicher Fügung zu verdanken, dass durch die eindringende Messerklinge keine lebensgefährlichen Verletzungen der rechten äusseren Beckenarterie und der inneren rechten Bauchwandarterie bei A._ respektive der zehnten Zwischenrippenarterie, des Bauchfells oder der Milz bei B._ bewirkt worden sind (vgl. angefochtenes Urteil S. 44 f.).
An der rechtlichen Bewertung ändert nichts, dass der Beschwerdeführer den Messerstich nicht gezielt ausgeführt hat, läge doch andernfalls nicht bloss eventualvorsätzliches, sondern direktvorsätzliches Handeln vor. Ebenso wenig führt der Umstand, dass der Beschwerdeführer in beiden Fällen "nur" ein Mal zugestochen hat, zu einer Verneinung des Eventualvorsatzes (vgl. hierzu auch Urteil 6B_239/2009 vom 13. Juli 2009 E. 1 und 2.4).
Die Vorinstanz folgert zusammenfassend insbesondere angesichts der hohen und dem Beschwerdeführer bekannten Gefahr der Tatbestandsverwirklichung zutreffend, dass sich diesem die Möglichkeit, dass er mit seinem Zustechen den beiden Opfern lebensbedrohliche Verletzungen hätte zufügen können, als so wahrscheinlich aufdrängen musste, dass er mit seinem Handeln diese Folgen in Kauf genommen hat.
3.5 Gestützt auf den willkürfrei erstellten Sachverhalt konnte die Vorinstanz des Weiteren ohne Verletzung von Bundesrecht schliessen, es habe in beiden Fällen keine Notwehrlage bestanden, da der Beschwerdeführer nicht angegriffen und auch nicht unmittelbar mit einem Angriff bedroht worden sei (vgl. insbesondere angefochtenes Urteil S. 22 - 25 und S. 38 - 42 sowie E. 2.3 hiervor). Ebenso konnte sie das Vorbringen des Beschwerdeführers, er sei jedenfalls einem Sachverhaltsirrtum unterlegen und habe daher in Putativnotwehr gehandelt (Beschwerde S. 21 - 27), ausgehend von den tatsächlichen Feststellungen als blosse Schutzbehauptung qualifizieren, so dass sich für die Vorinstanz insoweit nähere Ausführungen erübrigten.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Strafzumessung. Er bringt vor, unter Würdigung der konkreten Tatumstände, angesichts der Tatsachen, dass es sich um zwei Versuche handle und bei den Opfern nur geringe Verletzungen bewirkt worden seien, und unter Berücksichtigung seiner Vorstrafenlosigkeit sowie seiner guten Prognose erscheine eine (teilbedingt ausgesprochene) Freiheitsstrafe von zwei Jahren angemessen (Beschwerde S. 27 - 30).
4.2 Die Vorinstanz hält fest, die Tatschwere sei objektiv und subjektiv erheblich. Der Beschwerdeführer habe aus nichtigem Anlass attackiert und ohne jeden auch nur ansatzweise nachvollziehbaren Grund gehandelt. Sein Verhalten sei als sinnlos, hinterhältig, rücksichtslos und verwerflich zu taxieren und zeuge von einer nicht zu unterschätzenden kriminellen Energie und Gewaltbereitschaft, welche sich vor allem auch darin manifestiere, dass er nur rund 40 Minuten nach der ersten Tat erneut auf die gleiche Art und Weise zugestochen habe (angefochtenes Urteil S. 61 und S. 63). Ausgehend von den Tatkomponenten sei eine Freiheitsstrafe von rund sieben Jahren sachgerecht. Der vollendete Versuch könne nicht zu einer substanziellen Strafreduktion führen, da es einzig vom Beschwerdeführer nicht beeinflussbaren glücklichen Zufällen zu verdanken sei, dass der Erfolg nicht eingetreten sei. Der Versuch sei im Ergebnis im Umfang von rund sechs Monaten strafreduzierend zu veranschlagen (angefochtenes Urteil S. 64). Strafmindernd zu berücksichtigen seien die Vorstrafenlosigkeit und das Nachtatverhalten des Beschwerdeführers. Insgesamt erscheine eine Freiheitsstrafe von fünf Jahren und sechs Monaten dem Verschulden und den persönlichen Verhältnissen des Beschwerdeführers angemessen (angefochtenes Urteil S. 64 - 68).
4.3 Nach <ref-law> misst das Gericht die Strafe nach dem Verschulden des Täters zu. Es berücksichtigt das Vorleben, die persönlichen Verhältnisse sowie die Wirkung der Strafe auf das Leben der schuldigen Person. Die Bewertung des Verschuldens wird in Abs. 2 dahingehend präzisiert, dass dieses nach der Schwere der Verletzung oder Gefährdung des betroffenen Rechtsguts, nach der Verwerflichkeit des Handelns, den Beweggründen und Zielen des Täters sowie danach bestimmt wird, wie weit der Täter nach den inneren und äusseren Umständen in der Lage war, die Gefährdung oder Verletzung zu vermeiden. Es liegt im Ermessen des Sachgerichts, in welchem Umfang es die verschiedenen Strafzumessungsfaktoren berücksichtigt. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde in Strafsachen hin nur in die Strafzumessung ein, wenn die Vorinstanz den gesetzlichen Strafrahmen über- oder unterschreitet, wenn sie von rechtlich nicht massgebenden Kriterien ausgeht oder wenn sie wesentliche Gesichtspunkte ausser Acht lässt bzw. falsch gewichtet (<ref-ruling> E. 2.1; vgl. zum bisherigen Recht <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4a).
4.4 Die Vorinstanz berücksichtigt in ihren Urteilserwägungen sämtliche relevanten rechtlichen und tatsächlichen Gesichtspunkte und trägt dem Umstand, dass der Erfolg nicht eingetreten ist, hinreichend Rechnung. Auch im Ergebnis bewegt sich die ausgefällte Strafe von fünf Jahren und sechs Monaten innerhalb des dem Sachgericht bei der Strafzumessung zukommenden Ermessensspielraums.
5. Damit erübrigt sich ein Eingehen auf den für den Fall eines Freispruchs vom Vorwurf der versuchten schweren Körperverletzung gestellten Antrag des Beschwerdeführers auf Herabsetzung der Genugtuungsbeträge.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Da das Rechtsmittel von vornherein aussichtslos war, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law>).
Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr ist seinen finanziellen Verhältnissen Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Stohner