Sachverhalt:
A.
A._ ist vor dem Bezirksgericht Appenzell I.Rh. als Baklagter in einen Zivilprozess verwickelt. Der Streit dreht sich um die Erbschaft von C._, verstorben am 7. Juli 2009. Die Klage wurde am 5. Januar 2010 erhoben.
B.
Am 29. Januar 2015 strengte A._ beim Kantonsgericht Appenzell I.Rh. ein Ausstandsbegehren gegen B._ an, den Präsidenten des Bezirksgerichts Appenzell I.Rh. Als Verfahrensantrag stellte er das Begehren, D._, der Präsident des Kantonsgerichts Appenzell I.Rh., habe sich bei der Beurteilung des Ausstandsgesuchs gegen B._ der Mitwirkung zu enthalten. Für dieses Begehren wurde beim Kantonsgericht Appenzell I.Rh. ein weiteres Ausstandsverfahren eröffnet. Mit Entscheid vom 25. Februar 2015 wies der Vizepräsident des Kantonsgerichts das Ausstandsbegehren gegen D._ ab. Zwei Tage später fällte dieser seinen Entscheid im Ausstandsverfahren gegen B._.
C.
A._ hielt an seinem Ausstandsbegehren gegen D._ fest und wandte sich mit Beschwerde vom 9. März 2015 an die Kommission für allgemeine Beschwerden des Kantonsgerichts Appenzell I.Rh. Diese wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 21. April 2015 im Verfahren KBA 2-2015). Am gleichen Tag erging auch der abschlägige Beschwerdeentscheid derselben Kommission im Ausstandsverfahren gegen B._, den Präsidenten des Bezirksgerichts Appenzell I.Rh. (Verfahren KBA 3-2015).
D.
Mit Beschwerde vom 27. Mai 2015 gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid der Kommission für allgemeine Beschwerden des Kantonsgerichts Appenzell I.Rh. im Verfahren KBA 2-2015 aufzuheben und das Ausstandsbegehren gegen D._ (Beschwerdegegner) gutzuheissen. Sämtliche Entscheide des Kantonsgerichts betreffend den Ausstand von B._, an denen der Beschwerdegegner mitgewirkt hat, seien zu wiederholen. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren (<ref-law>). Die Kommission für allgemeine Beschwerden hat als letzte kantonale Rechtsmittelinstanz entschieden (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Wie sich den kantonalen Akten entnehmen lässt, streitet der Beschwerdeführer dort mit einundzwanzig Klägern um seine Einsetzung als Erbe im Nachlass von C._. Dieser Prozess betrifft eine Zivilsache (<ref-law>). Die Angelegenheit ist vermögensrechtlicher Natur. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). In Missachtung der Vorschrift von Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG enthält der angefochtene Entscheid keine Angabe des Streitwerts. Der Beschwerdeführer begnügt sich mit dem Hinweis, "gemäss bisherigen Schätzungen" belaufe sich der Streitwert auf 10-15 Mio. Franken. In einem früheren Verfahren betreffend einen anderen Zwischenentscheid im selben Prozess geht das Bundesgericht ermessensweise davon aus, dass der Streitwert der Hauptsache die gesetzliche Streitwertgrenze überschreitet (Urteil 5A_918/2013 vom 28. Februar 2014 E. 3). In den Akten finden sich keine Anzeichen dafür, dass sich unterdessen daran etwas geändert hätte. Der Beschwerdeführer hat ein im Sinne von Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG aktuelles und praktisches Interesse daran zu erfahren, ob die Vorinstanz das Rechtsmittel gegen den Entscheid über D._s Ausstand zu Recht abgewiesen hat. Auf die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Nach <ref-law> hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Angelegenheit von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei (<ref-ruling> E. 5.2 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1.2.1 S. 34 f.; je mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen). Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 210 mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerdeführer begründet das Ausstandsbegehren mit dem "besonderen Näheverhältnis", das er zwischen dem Beschwerdegegner und dem Bezirksgerichtspräsidenten B._ ausgemacht haben will.
3.1. Die Vorinstanz hält zunächst fest, die Ausstandsgründe würden sich nach <ref-law> richten. Es gelte zu prüfen, ob der Beschwerdegegner in den Ausstand zu treten habe, weil er mit einer Partei - hier mit Bezirksgerichtspräsident B._ im Verfahren betreffend dessen Ausstand - durch ein freundschaftliches Verhältnis im Sinne von Art. 47 Abs. 1 Bst. f ZPO verbunden sei. Gemäss der in <ref-ruling> E. 5.1 S. 125 veröffentlichten Rechtsprechung werde bei einem freundschaftlichem Verhältnis Voreingenommenheit eines Richters nur bei Vorliegen spezieller Umstände und mit Zurückhaltung angenommen. Erforderlich sei, dass die Intensität und die Qualität der beanstandeten Beziehung vom Mass des sozial Üblichen abweicht und bei objektiver Betrachtung geeignet ist, sich auf die Partei selbst und deren Prozess auszuwirken, und derart den Anschein der Befangenheit hervorzurufen vermag. Die Kommission für allgemeine Beschwerden zieht weiter in Erwägung, dass vertraglich begründete Bindungen die richterliche Unabhängigkeit beeinträchtigen können, wenn sie eigentliche Vertretungs- und Abhängigkeitsverhältnisse schaffen und den betroffenen Richter deshalb in ein besonderes Näheverhältnis zu einer Partei rücken, das eine unbefangene Beurteilung gerade in den Augen der Gegenpartei in Frage stellen muss. Damit vertragliche Beziehungen zu Zweifeln an der richterlichen Unabhängigkeit Anlass geben, müssten sie dauerhaft erscheinen oder ein spezifisches Näheverhältnis begründen. Bezüglich eines Auftragsverhältnisses habe das Bundesgericht im Falle eines als Richter amtierenden Anwalts entschieden, dass dieser als befangen erscheine, wenn zu einer Partei ein noch offenes Mandat bestehe oder er für eine Partei in dem Sinne mehrmals anwaltlich tätig geworden sei, dass zwischen ihnen eine Art Dauerbeziehung bestehe. Demgegenüber vermöge ein einzelnes abgeschlossenes Mandat jedenfalls im Normalfall den Anschein der Befangenheit nicht zu begründen.
Bezogen auf den konkreten Fall betont die Vorinstanz, der Beschwerdeführer begründe das freundschaftliche Verhältnis zwischen B._ und dem Beschwerdegegner lediglich mit der Tatsache, dass dieser für jenen zwei Bauaufträge ausgeführt hat. Im Hinblick auf die erwähnte Rechtsprechung stellt sie fest, dass zwischen B._ und dem Beschwerdegegner kein offener Auftrag bestehe. Allein die zwei Bauaufträge könnten keine Dauerbeziehung entstehen lassen, die den Anschein der Befangenheit begründen würde. Auch ein einmaliger ausserkantonaler und geografisch weiter entfernter Auftrag wie die Bauarbeiten im Kanton Tessin schaffe keine eigentlichen Vertretungs- und Abhängigkeitsverhältnisse. Ausser dem langen Anfahrtsweg nach Mergoscia/TI mache der Beschwerdeführer keine weiteren Anhaltspunkte geltend, die auf einen Freundschaftsdienst des Beschwerdegegners schliessen liessen. Zudem sei davon auszugehen, dass ein Richter im Teilamt zwischen seiner amtlichen Funktion und seiner privaten Berufstätigkeit zu unterscheiden wisse.
3.2. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, dass ein erfolgreicher Geschäftsmann wie der Beschwerdegegner keine unrentablen Aufträge annimmt, sondern nur solche, die ihm einen Gewinn einbringen. Diese "Prämisse" werde im Falle des "Anbaus Parkplatz Mergoscia Tessin", den der Beschwerdegegner für B._ ausgeführt habe, jedoch "unterwandert", denn ein solcher "Kleinstauftrag" könne für einen lokalen Bauunternehmer aus Appenzell Innerrhoden kaum rentabel sein, nicht zuletzt angesichts der "enormen Bindung von Ressourcen durch die langen und zeitraubenden Anfahrtswege". Die Annahme dieses Auftrags durch den Beschwerdegegner habe aus wirtschaftlicher Sicht "keinen Sinn" gemacht; dass damit ein ökonomischer Ertrag erzielt worden wäre, scheine "höchst unwahrscheinlich". Dasselbe gelte für B._, denn die Auftragserteilung an den Beschwerdegegner habe ihn "sicherlich wesentlich mehr gekostet" als wenn er einen lokalen Bauunternehmer im Tessin beauftragt hätte. Mithin seien Auftraggeber und Auftragnehmer nur deshalb ins Geschäft gekommen, weil beide persönlich miteinander befreundet sind und den Auftrag mehr als Freundschaftsdienst denn "als ökonomische Angelegenheit" betrachteten. Daraus schliesst der Beschwerdeführer auf ein besonderes Näheverhältnis, aus dem sich der Anschein der Befangenheit des Beschwerdegegners ergebe.
3.3. Schon die Art und Weise, wie der Beschwerdeführer seine Standpunkte formuliert, lässt erkennen, dass sich seine Argumente in blossen Spekulationen und Mutmassungen erschöpfen. Mit der Erwägung, dass ein erfolgreicher Bauunternehmer wie der Beschwerdegegner kaum von der Auftragserteilung einer Privatperson abhängig sei, setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Der vorinstanzlichen Feststellung, dass nicht weiter belegt sei, ob der Anfahrtsweg ein Verlustgeschäft darstellte, hat er nichts als blosse Gegenbehauptungen entgegenzusetzen. Allein damit vermag der Beschwerdeführer gegen den angefochtenen Entscheid nicht aufzukommen. Und selbst wenn sich der Beschwerdeführer vom Bauauftrag, den er für B._ im Kanton Tessin ausgeführt hat, isoliert betrachtet keinen Gewinn sollte versprochen haben können, fallen verschiedene Gründe in Betracht, weshalb er den Auftrag trotzdem zu marktüblichen Konditionen übernehmen konnte. So macht der Beschwerdeführer beispielsweise nicht geltend, dass es dem Beschwerdegegner schlechthin unmöglich wäre, im Kanton Tessin andere grössere Bauarbeiten auszuführen. Entsprechend könnte der Beschwerdegegner im Zusammenhang mit so einem Auftrag auch die Arbeiten für B._ in Mergoscia an die Hand genommen haben. Zu alledem geht die Kommission für allgemeine Beschwerden auch davon aus, dass der Beschwerdegegner als nebenamtlicher Richter seine richterlichen und beruflichen Tätigkeiten voneinander trennen kann. Inwiefern diese tatsächliche Erkenntnis im Sinne von <ref-law> offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Stellt er von mehreren Begründungselementen des angefochtenen Entscheids aber nur einzelne in Frage und lässt er andere unangefochten stehen, so erweist sich der vorinstanzliche Entscheid insgesamt nicht als bundesrechtswidrig (vgl. <ref-ruling> E. 7 S. 228; <ref-ruling> E. 6 S. 328).
4.
Nach dem Gesagten hält es vor Bundesrecht stand, wenn die Vorinstanz zum Schluss kommt, dass allein aus den zwei Bauaufträgen, die der Beschwerdegegner für B._ ausgeführt hat, nicht auf eine Freundschaft geschlossen werden kann, die in ihrer Intensität und Qualität vom Mass des sozial Üblichen abweicht. Die Beschwerde ist also unbegründet. Sie ist abzuweisen. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Appenzell I.Rh., Kommission für allgemeine Beschwerden, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. August 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn