Sachverhalt:
A.
Die Klinik S._ AG betreibt eine Fachklinik für klinische Psychotherapie und Psychiatrie. Sie stellte am 23. September 2010 ein Baugesuch für den Neubau eines Klinikgebäudes mit Schwimmbadanlage sowie den Umbau eines bestehenden Klinikgebäudes auf der in einer Wohnzone gelegenen Parzelle Nr. 768 in Aadorf. Am 24. Juni 2011 bewilligte die Politische Gemeinde Aadorf das Bauvorhaben mit diversen Auflagen. Gleichzeitig wies sie eine Einsprache ab, welche von der als Verein organisierten IG X._ erhoben worden war. Einen von der IG X._ gegen die Baubewilligung erhobenen Rekurs wies das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau am 20. Dezember 2011 ab.
B.
Gegen den Entscheid des Departements für Bau und Umwelt erhob die IG X._ Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Das Verwaltungsgericht hiess die Beschwerde am 29. August 2012 im Sinne der Erwägungen teilweise gut und hob die Entscheide der Politischen Gemeinde Aadorf vom 24. Juni 2011 sowie des Departements für Bau und Umwelt vom 20. Dezember 2011 teilweise auf. Es wies die Sache an die Politische Gemeinde Aadorf zurück, damit diese über eine von der Klinik S._ AG noch einzureichende Projektänderung befinde. Das Verwaltungsgericht entschied, das geplante Schwimmbecken habe einen grösseren Grenzabstand einzuhalten, entlang der westlichen Grenze des Baugrundstücks sei zumindest im Bereich des Schwimmbeckens ein geeigneter Lärm- sowie Sichtschutz vorzusehen und es sei ein weiterer Parkplatz auf dem Baugrundstück selbst einzuplanen. Im Übrigen wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde der IG X._ ab.
C.
Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts hat die IG X._ am 11. Oktober 2012 Beschwerde ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, soweit ihre Beschwerde nicht gutgeheissen worden sei. Die Entscheide der Politischen Gemeinde Aadorf vom 24. Juni 2011 sowie des Departements für Bau und Umwelt vom 20. Dezember 2011 seien vollumfänglich aufzuheben und die Baubewilligung für den Neu- und Umbau des Klinikgebäudes sowie der Schwimmbadanlage sei zu verweigern. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben, soweit ihr für die Verfahren vor dem Departement für Bau und Umwelt sowie der Vorinstanz Kosten und Parteientschädigungen auferlegt worden seien. Die Vorinstanz beantragt unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Das Departement für Bau und Umwelt hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin und die Politische Gemeinde Aadorf beantragen die Abweisung der Beschwerde. Im weiteren Schriftenwechsel halten die Beschwerdeführerin sowie die Beschwerdegegnerin an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a sowie Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeführerin ist als Verein konstituiert. Mitglieder des Vereins können gemäss den Statuten volljährige natürliche sowie juristische Personen werden, die in Aadorf im Gebiet U._ (begrenzt durch ...strasse, ...strasse, ...strasse und ...strasse) wohnen oder dort Grundeigentum besitzen. Die Statuten sehen die Wahrung der mit der Beschwerde verfolgten Interessen der Vereinsmitglieder vor. Es ist davon auszugehen, dass aufgrund der räumlichen Nähe ihrer Liegenschaften zur Klinik oder des mit dem Umbau sowie dem Betrieb der Klinik verbundenen Verkehrs im Quartier die Mehrheit oder zumindest eine grosse Anzahl der Mitglieder der Beschwerdeführerin durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Damit ist die Beschwerdeführerin, die am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, nach <ref-law> zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt.
2.
2.1. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz die Angelegenheit nicht abschliessend beurteilt, sondern die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Politische Gemeinde Aadorf zurückgewiesen. Bevor ein im Sinne des vorinstanzlichen Entscheids überarbeitetes Bauprojekt ausgeführt werden darf, wird es von der Politische Gemeinde Aadorf noch einmal zu genehmigen sein, wobei ihr ein gewisser Entscheidungsspielraum belassen wird. Ein derartiger Rückweisungsentscheid stellt keinen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar, sondern einen Zwischenentscheid (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 127).
2.2. Zwischenentscheide sind - von den hier nicht gegebenen Ausnahmen gemäss <ref-law> abgesehen - beim Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> anfechtbar, d.h. wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Der Beschwerdeführer muss - sofern das nicht offensichtlich ist - darlegen, weshalb ein Zwischenentscheid gemäss <ref-law> anfechtbar sein soll (<ref-ruling> E. 1.2 S. 47 mit Hinweisen). Die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> sollen das Bundesgericht entlasten. Dieses soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen. Können allfällige Nachteile in verhältnismässiger Weise auch noch mit einer bundesgerichtlichen Beurteilung nach Ausfällung des Endentscheids behoben werden, so tritt das Bundesgericht auf gegen Vor- und Zwischenentscheide gerichtete Beschwerden nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 34 f.).
2.3. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid in Anwendung von <ref-law> zulässig, wenn er einen Nachteil bewirken könnte, der auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheid (sei es im kantonalen Verfahren, sei es in einem anschliessenden Verfahren vor Bundesgericht) nicht mehr behoben werden könnte. Die blosse Verzögerung oder Verteuerung des Verfahrens genügt generell nicht, um einen sofortigen Entscheid des Bundesgerichts zu erwirken (<ref-ruling> E. 1.3.4). Insbesondere bewirkt die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu neuer Entscheidung in der Regel keinen im Sinne von <ref-law> nicht wieder gutzumachenden Nachteil (<ref-ruling> E. 5.2.1 f., 645 E. 2.1).
Sofern die Politische Gemeinde Aadorf das gemäss den vorinstanzlichen Vorgaben angepasste Bauvorhaben bewilligt, steht der Beschwerdeführerin die Möglichkeit offen, die Baubewilligung erneut anzufechten. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass die Vorinstanz im angefochtenen Zwischenentscheid gewisse Einwände der Beschwerdeführerin als unbegründet bezeichnet hat. Gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid steht der Beschwerdeführerin die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen. Soweit der vorliegend angefochtene Zwischenentscheid vom 29. August 2012 dannzumal noch aktuell sein wird und sich auf den Endentscheid auswirkt, kann er zusammen mit dem Endentscheid beim Bundesgericht angefochten werden (vgl. <ref-law>). Dies gilt auch für die Kosten und Entschädigungen, welche der Beschwerdeführerin von der Vorinstanz für das Rekursverfahren vor dem Departement sowie das Beschwerdeverfahren vor der Vorinstanz auferlegt worden sind. Inwiefern unter diesen Umständen der vorliegend angefochtene Zwischenentscheid einen Nachteil für die Beschwerdeführerin bewirken sollte, der durch einen für sie günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte, ist weder dargetan noch ersichtlich. Dies zumal mit dem Bauvorhaben nicht begonnen werden kann, bevor die Projektänderung bewilligt worden ist (vgl. E. 6 des angefochtenen Entscheids), und die blosse Verzögerung oder Verteuerung des Verfahrens keinen solchen Nachteil bewirkt.
2.4. Zu prüfen bleibt, ob auf die Beschwerde nach <ref-law> eingetreten werden kann. Die Gutheissung der Beschwerde könnte zum Bauabschlag und damit zu einem sofortigen Endentscheid führen. Kumulativ erforderlich ist jedoch, dass damit ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. Dass dies vorliegend der Fall wäre, ist nicht offensichtlich und die Beschwerdeführerin äussert sich dazu nicht. Nicht ersichtlich ist insbesondere, inwiefern die von der Vorinstanz verlangten Projektänderungen ein weitläufiges Beweisverfahren nach sich ziehen sollten.
3.
Nach dem Ausgeführten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (vgl. <ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
4.
Die von der Beschwerdeführerin erhobene Rüge, das umstrittene Bauvorhaben verursache übermässige Lärmimmissionen und widerspreche den umweltrechtlichen Immissionsvorschriften, namentlich der Lärmschutzverordnung, ist bei diesem Verfahrensausgang nicht zu beurteilen. Dennoch rechtfertigen sich im Hinblick auf die weitere Behandlung der Angelegenheit und eine eventuelle spätere Beurteilung dieses Einwands die folgenden Bemerkungen.
Es ist anzunehmen, dass mit dem Betrieb der Klinik nach der Realisierung des umstrittenen Bauvorhabens Sekundärlärm verbunden ist, der von den Patienten, Besuchern, Mitarbeitern und Zulieferern der Klinik ausgeht und der Klinik als ortsfeste Anlage zuzurechnen ist. Dazu gehört nicht nur der Lärm, der im Zusammenhang mit der Benutzung der Schwimmbadanlage entsteht, sondern namentlich auch zusätzlicher Verkehrslärm im Quartier. Die Politische Gemeinde Aadorf, das Departement für Bau und Umwelt sowie die Vorinstanz haben sich in der Baubewilligung bzw. in den Rechtsmittelentscheiden nicht dazu geäussert, ob sie die Klinik in lärmschutzrechtlicher Hinsicht als alt- oder neurechtliche Anlage beurteilen. Die einschlägigen Erwägungen scheinen darauf zu basieren, dass der Klinikbetrieb als altrechtliche, vor dem Inkrafttreten des USG (SR 814.01) am 1. Januar 1985 bewilligte Anlage betrachtet wurde. Aufgrund der Akten kann indessen nicht ausgeschlossen werden, dass es sich um eine neurechtliche Anlage im Sinne von <ref-law> sowie Art. 7 Abs. 1 der Lärmschutz-Verordnung (LSV; SR 814.41) handelt (vgl. Vernehmlassung des Bundesamts für Umwelt vom 22. März 2013), da vor dem Stichtag (1. Januar 1985) offenbar nur ein Ärztehaus mit Praxis bestand. Diesfalls müssten die der Klinik nach dem Neu- und Umbau zuzurechnenden Lärmimmissionen nicht nur der Vorsorge genügen, sondern grundsätzlich auch die Planungswerte einhalten (vgl. Art. 8 Abs. 4 i.V.m. <ref-law>). Soweit es um Lärm geht, für den in der LSV keine Belastungsgrenzwerte verankert sind, müsste eine Einzelfallbeurteilung aufzeigen, dass ein Immissionsniveau nicht erreicht wird, bei welchem mehr als nur geringfügige Störungen auftreten (vgl. <ref-law> i.V.m. Art. 15 sowie Art. 23 USG; <ref-ruling> E. 4d/bb S. 334 f.).
Wie es sich damit verhält, braucht wie ausgeführt hier nicht weiter abgeklärt zu werden. Es könnte einer beförderlichen und rationellen Behandlung der Angelegenheit jedoch dienen, die Rückweisung an die Gemeinde zum Anlass zu nehmen, um zugleich die lärmschutzrechtliche Beurteilung zu überprüfen und gegebenenfalls zu ergänzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Aadorf, dem Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, dem Bundesamt für Raumentwicklung und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle