Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1950 geborene M._ meldete sich im Oktober 2004 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Mit Verfügung vom 16. Januar 2006 verneinte die Verwaltung den Anspruch auf eine Invalidenrente, was sie mit Einspracheentscheid vom 21. April 2006 bestätigte.
A. Die 1950 geborene M._ meldete sich im Oktober 2004 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Mit Verfügung vom 16. Januar 2006 verneinte die Verwaltung den Anspruch auf eine Invalidenrente, was sie mit Einspracheentscheid vom 21. April 2006 bestätigte.
B. Die Beschwerde der M._ hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 12. April 2007 teilweise gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 21. April 2006 auf und wies die Streitsache zur Durchführung ergänzender medizinischer Abklärungen sowie anschliessender neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück.
B. Die Beschwerde der M._ hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 12. April 2007 teilweise gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 21. April 2006 auf und wies die Streitsache zur Durchführung ergänzender medizinischer Abklärungen sowie anschliessender neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück.
C. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des Entscheids vom 12. April 2007.
M._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (zur Publikation in der Amtlichen Sammlung vorgesehenes Urteil 9C_15/2007 vom 25. Juli 2007 E. 4.2). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1. 1.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (zur Publikation in der Amtlichen Sammlung vorgesehenes Urteil 9C_15/2007 vom 25. Juli 2007 E. 4.2). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1.2 1.2.1 Ein im Sinne von <ref-law> nicht wieder gutzumachender Nachteil ist rechtlicher Natur und auch mit einem für die Beschwerde führende Partei günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar (Urteile 4A_85/2007 vom 11. Juni 2007 E. 3.1 und 4A_92/2007 vom 8. Juni 2007 E. 2). Die Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zu weiterer oder ergänzender Abklärung und neuer Entscheidung stellt lediglich insoweit einen solchen Nachteil dar, als die Verwaltung durch materielle Vorgaben wesentlich in ihrem Beurteilungsspielraum eingeschränkt wird und davon in der Folge nicht mehr abgewichen werden kann (zur Publikation in der Amtlichen Sammlung vorgesehenes Urteil 9C_15/2007 vom 25. Juli 2007 E. 5.2). Dies trifft u.a. zu, wenn das kantonale Gericht abweichend von der IV-Stelle eine andere Invaliditätsbemessungsmethode für anwendbar erklärt (vgl. zur Publikation in der Amtlichen Sammlung vorgesehenes Urteil I 126/07 vom 6. August 2007 E. 1.2; Urteil 9C_301/2007 vom 28. September 2007 E. 2.1). So verhält es sich vorliegend. Die am Recht stehende IV-Stelle bemass die Invalidität nach der gemischten Methode (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2a-c S. 148 ff. sowie <ref-ruling> und SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151 [I 156/04]). Dabei ging sie davon aus, die Versicherte würde ohne gesundheitliche Beeinträchtigung im Umfang von 6 % eines Normalarbeitspensums einem Erwerb nachgehen und daneben im Aufgabenbereich Haushalt tätig sein. Demgegenüber wäre nach Auffassung des kantonalen Gerichts die Beschwerdegegnerin im Gesundheitsfall voll erwerbstätig. Der Invaliditätsgrad sei daher durch Einkommensvergleich zu ermitteln (vgl. dazu <ref-law> und <ref-ruling> E. 1 S. 30).
1.2.2 Hingegen stellt die Verpflichtung der IV-Stelle zur Vornahme weiterer oder ergänzender Abklärungen und neuer Entscheidung durch das kantonale Gericht keinen im Sinne von <ref-law> nicht wieder gutzumachenden Nachteil dar. Dies gilt, selbst wenn die vorinstanzliche Feststellung, der rechtserhebliche Sachverhalt sei ungenügend abgeklärt, offensichtlich unrichtig wäre oder auf einer qualifiziert unrichtigen oder sogar willkürlichen Beweiswürdigung beruhte. Auch eine solche Rechtsverletzung (Art. 95 lit. a und Art. 97 Abs. 1 BGG; vgl. zum Umfang der Abklärungsbefugnis der Versicherungsträger resp. zu den Schranken der Mitwirkungspflicht der Versicherten Urteil U 571/06 vom 29. Mai 2007) vermag dem Nachteil an sich unnötiger Abklärungen nicht rechtlichen Charakter zu geben. Nur so lässt sich der Zweck der Ausnahmeregelung des <ref-law> erreichen, dass das Bundesgericht sich nur ein Mal mit derselben Streitsache befassen soll (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 407, 122 I 39 E. 1a/aa S. 41; Urteil 9C_301/2007 vom 28. September 2007 E. 2.2).
1.2.3 Die Beschwerde ist somit zulässig und darauf einzutreten, da auch die übrigen formellen Gültigkeitserfordernisse gegeben sind, soweit die IV-Stelle sich gegen die verbindliche Vorgabe im angefochtenen Rückweisungsentscheid der Bemessung der Invalidität nach der Einkommensvergleichsmethode wehrt. Dagegen ist die Beschwerde nach <ref-law> unzulässig, soweit gerügt wird, die Rückweisung der Streitsache zu ergänzender medizinischer Abklärung sei unnötig, die Akten seien spruchreif.
1.3 Die alternative Zulässigkeitsvoraussetzung von <ref-law> ist nicht gegeben. Es fehlt schon am Erfordernis der sofortigen Herbeiführung eines Endentscheides. Dies gälte entgegen der Auffassung der IV-Stelle, selbst wenn die Prüfung der Frage, in welchem zeitlichen Umfang die Beschwerdegegnerin ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre, zu ihren Gunsten ausfiele: Die Verwaltung ermittelte unter der Annahme einer ausserhäuslichen Tätigkeit von 6 % einen Invaliditätsgrad von 11 % (0,06 x 0 % + 0,94 x 12 %; zum Runden <ref-ruling>). Bei im Übrigen unveränderten Bemessungsfaktoren, insbesondere einer Einschränkung im Haushalt von 12 %, resultierte selbst bei vollständiger Arbeitsunfähigkeit im erwerblichen Bereich und damit einer erwerbsbezogenen Invalidität von 100 % kein rentenbegründender Gesamtinvaliditätsgrad von mindestens 40 % (<ref-law>). Die von der Vorinstanz angeordneten ergänzenden medizinischen Abklärungen wären somit überflüssig, wie die IV-Stelle insoweit richtig argumentiert. Ein Endentscheid im Sinne der Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Bestätigung des Einspracheentscheids könnte indessen gleichwohl nicht herbeigeführt werden. Vorab hat das kantonale Gericht offen gelassen, ob die Haushaltabklärung sachgerecht durchgeführt wurde, und die 12 % Einschränkung im Aufgabenbereich nicht überprüft. Sodann können die vorzunehmenden medizinischen Abklärungen zur Arbeitsfähigkeit, insbesondere Art und Ausmass der gesundheitlich bedingten Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen auch für die grundsätzlich durch Betätigungsvergleich zu ermittelnde Behinderung im Haushalt von Bedeutung sein (Urteil I 373/06 vom 28. Februar 2007 E. 4.3.2 mit Hinweis).
1.3 Die alternative Zulässigkeitsvoraussetzung von <ref-law> ist nicht gegeben. Es fehlt schon am Erfordernis der sofortigen Herbeiführung eines Endentscheides. Dies gälte entgegen der Auffassung der IV-Stelle, selbst wenn die Prüfung der Frage, in welchem zeitlichen Umfang die Beschwerdegegnerin ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre, zu ihren Gunsten ausfiele: Die Verwaltung ermittelte unter der Annahme einer ausserhäuslichen Tätigkeit von 6 % einen Invaliditätsgrad von 11 % (0,06 x 0 % + 0,94 x 12 %; zum Runden <ref-ruling>). Bei im Übrigen unveränderten Bemessungsfaktoren, insbesondere einer Einschränkung im Haushalt von 12 %, resultierte selbst bei vollständiger Arbeitsunfähigkeit im erwerblichen Bereich und damit einer erwerbsbezogenen Invalidität von 100 % kein rentenbegründender Gesamtinvaliditätsgrad von mindestens 40 % (<ref-law>). Die von der Vorinstanz angeordneten ergänzenden medizinischen Abklärungen wären somit überflüssig, wie die IV-Stelle insoweit richtig argumentiert. Ein Endentscheid im Sinne der Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Bestätigung des Einspracheentscheids könnte indessen gleichwohl nicht herbeigeführt werden. Vorab hat das kantonale Gericht offen gelassen, ob die Haushaltabklärung sachgerecht durchgeführt wurde, und die 12 % Einschränkung im Aufgabenbereich nicht überprüft. Sodann können die vorzunehmenden medizinischen Abklärungen zur Arbeitsfähigkeit, insbesondere Art und Ausmass der gesundheitlich bedingten Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen auch für die grundsätzlich durch Betätigungsvergleich zu ermittelnde Behinderung im Haushalt von Bedeutung sein (Urteil I 373/06 vom 28. Februar 2007 E. 4.3.2 mit Hinweis).
2. 2.1 Ob eine versicherte Person bei im Übrigen unveränderten Umständen ohne gesundheitliche Beeinträchtigung einem Erwerb nachginge und welche Tätigkeit(en) in welchem zeitlichen Umfang sie ausübte, beurteilt sich nach den persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnissen ebenso wie allfälligen Erziehungs- und Betreuungsaufgaben gegenüber Kindern. Ebenfalls zu berücksichtigen sind das Alter, die beruflichen Fähigkeiten, die Ausbildung sowie die persönlichen Neigungen und Begabungen (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 150 und SVR 2005 IV Nr. 21 S. 83 E. 4.2 [I 249/04]). Entscheidend für den invalidenversicherungsrechtlichen Status als Voll-, Teil- oder Nichterwerbstätige mit oder ohne einem Aufgabenbereich nach <ref-law> und damit für die anzuwendende Invaliditätsbemessungsmethode (Art. 28 Abs. 2 bis 2ter IVG sowie Art. 27 und 27bis IVV) ist somit nicht, welches Ausmass der Erwerbstätigkeit der versicherten Person im Gesundheitsfall zugemutet werden könnte, sondern welches erwerbliche Pensum sie tatsächlich leistete (zur Publikation in der Amtlichen Sammlung vorgesehenes Urteil I 126/07 vom 6. August 2007 E. 3.3 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil I 374/06 vom 19. Dezember 2006 E. 3.2.2; ferner <ref-ruling> E. 5c/bb S. 157).
2.2 In welchem zeitlichen Umfang eine versicherte Person ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre, ist eine Tatfrage, soweit es um die Würdigung konkreter Umstände und nicht ausschliesslich um die Anwendung allgemeiner Lebenserfahrungssätze geht. Diesbezügliche Feststellungen des kantonalen Gerichts sind somit für das Bundesgericht verbindlich, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 9C_301/2007 vom 28. September 2007 E. 3.1 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
2.3 Das kantonale Gericht hat festgestellt, die realen Gegebenheiten (keine Betreuungspflichten gegenüber Kindern, zumutbare vermehrte Mithilfe des Ehemannes im Haushalt, eng gewordene finanzielle Verhältnisse als Folge der Erhöhung des Invaliditätsgrades des Ehegatten bei gleichzeitigem Verlust seines bisherigen Nebenverdienstes, notwendige Einkommenssteigerung wegen der Renovationsbedürftigkeit des Wohnhauses) sprächen überwiegend wahrscheinlich für Vollerwerbstätigkeit im Gesundheitsfall. Die Angaben der Versicherten gegenüber der Abklärungsperson Haushalt gäben zu keiner anderen Betrachtungsweise Anlass. Auch im Sinne der eigenen ständigen Praxis, wonach eine Invaliditätsbemessung anhand der behinderungsbedingten Einschränkung im Haushalt nur zulässig sei, wenn und soweit der betreffenden Person die Ausübung einer Erwerbstätigkeit nicht zumutbar sei, wäre es der Versicherten aufgrund der persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Umstände zumutbar, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. In dieser Situation bestehe auch nach dem klaren Wortlaut und nach dem Sinn und Zweck des <ref-law> keine Veranlassung, die Versicherte nicht als Vollerwerbstätige zu qualifizieren und die Invalidität nach der Methode des Einkommensvergleichs zu bemessen.
2.3.1 Die Praxis des kantonalen Gerichts, wonach eine Invaliditätsbemessung anhand der behinderungsbedingten Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt (<ref-law>) nur zulässig ist, wenn und soweit der betreffenden Person die Ausübung einer Erwerbstätigkeit nicht zumutbar ist, widerspricht der unlängst im Urteil I 126/07 vom 6. August 2007 bestätigten ständigen Rechtsprechung des Bundesgerichts (E. 2.1), wie die IV-Stelle zu Recht sinngemäss vorbringt. Die sich darauf stützende Feststellung der Vorinstanz, es wäre der Versicherten aufgrund der persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Umstände zumutbar, einer (vollen) Erwerbstätigkeit nachzugehen, beruht somit auf einer Rechtsverletzung und ist daher für das Bundesgericht nicht verbindlich (Art. 95 lit. a und Art. 97 Abs. 1 BGG; Urteil I 126/07 vom 6. August 2007 E. 3.2 und 3.4).
2.3.2
2.3.3 Es steht fest und ist unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin erst seit 2001 und lediglich in bescheidenem Umfang (ca. 2 bis 2 1⁄2 Stunden die Woche) als Reinigungshilfe erwerbstätig gewesen war. Bis dahin war sie neben der Besorgung des Haushalts keinem Erwerb nachgegangen, dies obschon ihre beiden Kinder bereits 1993 und 1995 volljährig geworden waren. Es kommt dazu, dass ihr Ehemann seit 1. Oktober 1997 aus gesundheitlichen Gründen lediglich teilzeitlich (20-25 Stunden in der Woche) arbeitete. Das ermöglichte eine vermehrte zumutbare Mithilfe im Haushalt und erhöhte gleichzeitig ihre zeitliche Disponibilität für eine ausserhäusliche Tätigkeit. Diese Umstände sprechen gegen eine Vollerwerbstätigkeit im Gesundheitsfall. Anderseits steht aufgrund der Akten fest, dass der Ehemann der Beschwerdegegnerin seit 1. Oktober 1995 eine halbe Invalidenrente samt einer Zusatzrente für seine Ehefrau bezog. Bis Ende Januar 1997 arbeitete er im angestammten Betrieb ganztags bei 50%iger Leistung weiter. Am 1. Oktober 1997 trat er eine neue Stelle in einer Verpackungsfirma an. Das Arbeitspensum betrug 20-25 Stunden in der Woche. 2001 bis 2003 erzielte er einen Verdienst von durchschnittlich rund Fr. 34'000.-. Infolge Erhöhung des Invaliditätsgrades (von 50 % auf 79 %) wurde die halbe Rente zum 1. Januar 2005 auf eine ganze Rente heraufgesetzt und die Zusatzrente für die Ehefrau entsprechend nach oben angepasst. Mit Teilzeit-Arbeitsvertrag vom 22. März 2005 wurde das Arbeitspensum neu auf durchschnittlich 30-35 Stunden im Monat festgelegt. Dies ergibt bei einem Stundenlohn brutto von Fr. 26.10 einen Jahresverdienst von rund Fr. 10'180.-. Ob sich die finanzielle Situation auf Anfang Januar 2005 wesentlich verschlechtert hatte, wie die Vorinstanz angenommen hat, kann aufgrund der Akten nicht gesagt werden. Dem geringeren Verdienst standen höhere Rentenleistungen der Invalidenversicherung gegenüber. Dazu kamen vermutlich auch (höhere) Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge. Es kommt dazu, dass trotz der angeblichen Verschlechterung der finanziellen Lage die Beschwerdegegnerin sich offenbar nicht, zumindest nicht ernsthaft um eine Stelle im Rahmen der vom Hausarzt attestierten Arbeitsfähigkeit von 50 % bemüht hatte. Dies spricht namentlich in Anbetracht der erwähnten zeitlichen Disponibilität (keine Betreuungspflichten, Mithilfe des Ehemannes im Haushalt) für eine ausserhäusliche Tätigkeit gegen eine Vollerwerbstätigkeit im Gesundheitsfall, wie die IV-Stelle zu Recht geltend macht. Dasselbe gilt in Bezug auf die erstmals in der Einsprache behauptete, aber nicht weiter belegte anstehende grössere Renovation des Einfamilienhauses.
2.3.4 Nach dem Gesagten ist die Frage, in welchem zeitlichen Umfang die Beschwerdegegnerin ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre, offen. Weder ein erwerbliches Pensum von 100 % (Vorinstanz) noch lediglich von 6 % (IV-Stelle) ist mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt. Die zuverlässige Beurteilung der Statusfrage erfordert im Sinne der Ausführungen in E. 2.3.2 weitere Abklärungen zur finanziellen Lage seit 2005 sowie zur Hausrenovation.
2.3.4 Nach dem Gesagten ist die Frage, in welchem zeitlichen Umfang die Beschwerdegegnerin ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre, offen. Weder ein erwerbliches Pensum von 100 % (Vorinstanz) noch lediglich von 6 % (IV-Stelle) ist mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt. Die zuverlässige Beurteilung der Statusfrage erfordert im Sinne der Ausführungen in E. 2.3.2 weitere Abklärungen zur finanziellen Lage seit 2005 sowie zur Hausrenovation.
3. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>). Die IV-Stelle hat der Beschwerdegegnerin, soweit sie obsiegt hat, eine u.a. nach dem anwaltlichen Vertretungsaufwand bemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).
Dem Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege kann mangels Bedürftigkeit nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Die Berechnung des prozessualen Notbedarfs ergibt einen Überschuss von monatlich Fr. 685.-. Unter diesen Umständen ist es der Versicherten möglich und zumutbar, die Kosten der Rechtsvertretung innert nützlicher Frist allenfalls ratenweise zu tilgen (vgl. Urteil C 62/00 vom 25. September 2000 E. 3b mit Hinweis) umso mehr, als die Parteientschädigung für das kantonale Verfahren zu belassen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 12. April 2007 mit Ausnahme von Dispositiv-Ziffer 3 (Parteientschädigung) aufgehoben, soweit er feststellt, die Invalidität sei nach der Methode des Einkommensvergleichs zu bemessen.
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 12. April 2007 mit Ausnahme von Dispositiv-Ziffer 3 (Parteientschädigung) aufgehoben, soweit er feststellt, die Invalidität sei nach der Methode des Einkommensvergleichs zu bemessen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden je zur Hälfte der IV-Stelle des Kantons St. Gallen und der Beschwerdegegnerin auferlegt; der IV-Stelle wird vom geleisteten Kostenvorschuss von Fr. 500.- der Betrag von Fr. 250.- zurückerstattet.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden je zur Hälfte der IV-Stelle des Kantons St. Gallen und der Beschwerdegegnerin auferlegt; der IV-Stelle wird vom geleisteten Kostenvorschuss von Fr. 500.- der Betrag von Fr. 250.- zurückerstattet.
3. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung (einschliesslich Mehrwertsteuer) von Fr. 600.- zu bezahlen.
3. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung (einschliesslich Mehrwertsteuer) von Fr. 600.- zu bezahlen.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, der Ostschweizerische AHV-Ausgleichskasse für Handel und Industrie, St. Gallen, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 25. Oktober 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler