Sachverhalt:
A. Die Behörden der Türkei ersuchten die Schweiz um die Auslieferung des türkischen Staatsangehörigen X._ zur Verfolgung einer Tötung und eines Tötungsversuchs.
Am 24. September 2010 bewilligte das Bundesamt für Justiz (im Folgenden: Bundesamt) die Auslieferung.
Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht (II. Beschwerdekammer) am 22. Dezember 2010 im Wesentlichen ab. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wies es ebenfalls ab (Dispositiv Ziff. 5). Es verpflichtete das Bundesamt, X._ im Umfang seines teilweisen Obsiegens für das Verfahren vor dem Bundesstrafgericht mit Fr. 200.-- inkl. Mehrwertsteuer zu entschädigen (Dispositiv Ziff. 6). Es auferlegte X._ eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- (Dispositiv Ziff. 7). Das Bundesstrafgericht begründete die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung damit, die Beschwerde sei zwar nicht aussichtslos gewesen, X._ habe seine Bedürftigkeit jedoch nicht hinreichend dargetan (S. 11 f. E. 12).
B. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die Dispositiv-Ziffern 5 und 7 des bundesstrafgerichtlichen Entscheids seien aufzuheben; dem Beschwerdeführer sei für das bundesstrafgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen; die Sache sei zur Festlegung des amtlichen Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren an das Bundesstrafgericht zurückzuweisen; eventualiter sei die Sache im Sinne der Erwägungen zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C. Das Bundesstrafgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Das Bundesamt bemerkt, da sich die Beschwerde ausschliesslich gegen die Ziffern 5 und 7 des bundesstrafgerichtlichen Entscheids richte, sei fraglich, ob darauf überhaupt einzutreten sei. Bei dieser Sachlage verzichte es auf eine materielle Stellungnahme.
X._ hat auf Bemerkungen dazu verzichtet.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn er eine Auslieferung, eine Beschlagnahme, eine Herausgabe von Gegenständen oder Vermögenswerten oder eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
Die Zulässigkeit der Beschwerde ist demnach gemäss <ref-law> an zwei Voraussetzungen gebunden. Der angefochtene Entscheid muss (1) eines der darin abschliessend aufgezählten Sachgebiete betreffen und es muss sich (2) um einen besonders bedeutenden Fall handeln (<ref-ruling> E. 1.2 S. 217).
Im vorliegenden Fall kommt nur das Sachgebiet der Auslieferung in Betracht. Die Auslieferung ist hier jedoch nicht mehr streitig. Es geht lediglich noch um die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege vor Vorinstanz und damit - wie der Beschwerdeführer (Beschwerde S. 2 Ziff. I/1) ausdrücklich anerkennt - um kein Sachgebiet nach <ref-law> mehr (Urteile 1C_353/2009 vom 20. September 2009 E. 2; 1C_344/2009 vom 8. September 2009 E. 3 f.). Die Beschwerde ist schon deshalb unzulässig.
Im Übrigen hätte auch kein besonders bedeutender Fall angenommen werden können. Die Vorinstanz ist vom bundesrechtlich zutreffenden Begriff der unentgeltlichen Rechtspflege ausgegangen. Wenn sie in Würdigung der konkreten Umstände angenommen hat, der Beschwerdeführer habe seine Bedürftigkeit nicht hinreichend dargetan, geht es um eine Wertung im Einzelfall, der keine aussergewöhnliche Tragweite zugemessen werden kann.
2. Auf die Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden.
Da sie aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> nicht bewilligt werden. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Justiz und dem Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Februar 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Härri