Erwägungen:
1. X._ reichte am 21. November 2011 eine Strafklage gegen A._ ein wegen falscher Anschuldigung gemäss <ref-law> und Falschaussage gemäss Art. 306 bzw. 307 StGB. Am 8. Februar 2012 verfügte die Staatsanwaltschaft Abteilung 1 Luzern die Einstellung der Strafuntersuchung. Gegen die Einstellungsverfügung erhob X._ Beschwerde, welche das Obergericht des Kantons Luzern mit Beschluss vom 19. Juni 2012 abwies, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte das Obergericht zusammenfassend aus, dass sich die Angeschuldigte zu keiner Zeit wegen falscher Zeugenaussage strafbar machen konnte, da sie als Auskunftsperson bzw. Opfer befragt worden sei. Hinsichtlich der behaupteten falschen Anschuldigung vermöge der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, dass die Beschuldigte ihre Strafanzeige wider besseres Wissen eingereicht habe. Ausserdem sei bei gewissen Äusserungen der Angeschuldigten nicht ersichtlich, inwiefern diese eine falsche Anschuldigung zum Nachteil des Beschwerdeführers darstellen sollten.
2. X._ führt mit Eingaben vom 18. Juli 2012 und 9. Oktober 2012 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Luzern vom 19. Juni 2012. Das Bundesgericht verzichtete auf die Einholung von Vernehmlassungen, liess sich jedoch die kantonalen Akten zustellen.
3. Eine Beschwerde ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen (<ref-law>). Auf die am 9. Oktober 2012 eingereichte Beschwerdeergänzung ist somit wegen offensichtlichen Ablaufs der Beschwerdefrist nicht weiter einzugehen.
4. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer legt mit seiner hauptsächlich appellatorischen Kritik nicht dar, inwiefern die dem Beschluss zugrunde liegende Erwägung bzw. der Beschluss selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. in diesem Zusammenhang <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen) nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
5. Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Luzern, Abteilung 1, sowie der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Oktober 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli