Sachverhalt:
A. Am 24. November 2006 reichte die Y._ AG beim Bezirksgericht Zürich eine Forderungsklage gegen X._ (Beschwerdeführerin) ein. Diese stellte in der Folge ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes. Mit Verfügung vom 5. September 2008 wies der Einzelrichter das Gesuch mangels nachgewiesener Bedürftigkeit ab.
B. Gegen diese Verfügung erhob die Beschwerdeführerin Nichtigkeitsbeschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich und stellte gleichzeitig ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Vertretung für das Kassationsverfahren. Mit Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 9. März 2009 hiess das Obergericht die Nichtigkeitsbeschwerde gut und wies die Sache zur Fortsetzung des Verfahrens und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück (Dispositiv-Ziff. 1). Die gestellten Gesuche um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Vertretung schrieb es als gegenstandslos geworden ab (Dispositiv-Ziff. 3). Die Kosten für das Kassationsverfahren wurden auf die Gerichtskasse genommen (Dispositiv-Ziff. 4). Prozessentschädigungen wurden keine zugesprochen (Dispositiv-Ziff. 5).
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 16. April 2009 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, Dispositiv-Ziff. 3 des angefochtenen Beschlusses sei aufzuheben, soweit sie sich auf die Frage der unentgeltlichen Prozessvertretung beziehe, und ihr sei für das obergerichtliche Kassationsverfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Ferner sei ihr auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen.
Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem der unentgeltliche Rechtsbeistand verweigert wurde. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann, und folglich nach <ref-law> selbständig mit Beschwerde beim Bundesgericht anfechtbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.).
Im Hauptverfahren handelt es sich vorliegend um eine vermögensrechtliche Angelegenheit mit einem Streitwert von weniger als 30'000 Franken. Gegen den Endentscheid ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich nicht zulässig (<ref-law>) und kommt deshalb auch gegen den Zwischenentscheid über die unentgeltliche Rechtspflege nur in Betracht, wenn geltend gemacht wird, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>). Inwiefern dies hier der Fall sein sollte, tut die Beschwerdeführerin nicht dar (<ref-law>). Damit ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (<ref-law>). Unter Vorbehalt rechtsgenüglicher Begründung (Art. 42 und Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) ist darauf einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz sei mit der Abschreibung ihres Gesuchs um unentgeltlichen Beistand in Willkür verfallen (<ref-law>) und habe zudem gegen die Garantien auf gerechte Behandlung, auf rechtliches Gehör und auf das Armenrecht einschliesslich rechtlichen Beistands gemäss <ref-law> verstossen. Der Beschluss der Vorinstanz sei deshalb in diesem Punkt aufzuheben und ihr sei für das obergerichtliche Kassationsverfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen.
2.1 Eine Gehörsverletzung im Sinne einer formellen Rechtsverweigerung liegt nach der Praxis des Bundesgerichts vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber entscheiden müsste (<ref-ruling> E. 2.3 S. 232). Aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs leitet das Bundesgericht in ständiger Rechtsprechung zudem die Pflicht der Behörden ab, ihre Verfügungen und Entscheide zu begründen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 277; <ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2b S. 102).
2.2 Die Vorinstanz hat die Kosten für das Kassationsverfahren auf die Gerichtskasse genommen, der Beschwerdeführerin aber trotz Obsiegens keine Parteientschädigung zugesprochen. Dennoch hat sie nicht nur das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung, sondern auch dasjenige um unentgeltliche Verbeiständung ohne jegliche Begründung als gegenstandslos geworden abgeschrieben. Damit hat sie Art. 29 Abs. 1 und 2 BV verletzt.
Da sich die Vorinstanz nicht über das Vorliegen der Bedürftigkeit ausgesprochen hat und der angefochtene Entscheid diesbezüglich keine Sachverhaltsfeststellungen enthält, kann das Bundesgericht nicht reformatorisch entscheiden. Der angefochtene Beschluss ist daher insofern aufzuheben, als das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Verbeiständung als gegenstandslos geworden abgeschrieben wurde, und diesbezüglich zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Zürich hat die durch einen Rechtsanwalt vertretene Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>). Dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden. Die gesetzlichen Voraussetzungen dazu sind erfüllt (<ref-law>). Allerdings ist es angesichts des Obsiegens der Beschwerdeführerin nur insoweit nicht gegenstandslos geworden, als ihrem Rechtsvertreter im Fall der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar bezahlt werden müsste (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 325 ff.).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Rechtsanwalt Hans Werner Meier, Zürich, als amtlicher Vertreter bestellt.
2. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und Dispositiv-Ziff. 3 des Beschlusses des Obergerichts des Kantons Zürich vom 9. März 2009 insoweit aufgehoben, als das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Verbeiständung als gegenstandslos geworden abgeschrieben wird. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen. Im Fall der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung wird Rechtsanwalt Hans Werner Meier, Zürich, als amtlichem Vertreter der Beschwerdeführerin aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 1'000.-- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Hurni