Haftung des Motorfahrzeughalters, hat sich ergeben:
A.- Die damals neunzehnjährige A._ (Klägerin) erlitt als Motorradfahrerin am 3. Juni 1990 einen schweren Verkehrsunfall. Ein bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (Beklagte) versicherter Automobilist missachtete ihr Vortrittsrecht, worauf es zu einem heftigen Zusammenstoss kam. Die Klägerin war bis zum 21. Dezember 1990 im Universitätsspital Zürich hospitalisiert. Die Diagnose lautete auf Schädel-Hirn-Trauma mit Subduralhämatom rechts parietal und Kontusionsherden, Pyramidenlängsfraktur links und Kallottenfraktur. Vom 21. Dezember 1990 bis zum 11. Juli 1991 wurde die Klägerin im Kantonsspital Zug behandelt und anschliessend bis zum 6. November 1991 und erneut vom 6. Januar bis zum 15. April 1992 in der Rehabilitationsklink Valens. Seit dem 16. April 1992 wohnt die Klägerin bei ihrer Mutter, die sie pflegt und betreut.
B.- Am 4. Oktober 1995 belangte die Klägerin die Beklagte vor dem Handelsgericht des Kantons Zürich. Die bereinigten Rechtsbegehren lauten wie folgt:
"1. Es sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin
folgende Beträge zu bezahlen:
a.Für den vorübergehenden Haushaltsführungsschaden
bis zum Urteilsdatum Fr. 209'217.--, zuzüglich
Zins zu 5% p.a. seit 15. August 1997.
b. Für den Haushaltsführungsinvaliditätsschaden
Fr. 793'829.-- nebst Zins zu 5% p.a. seit dem
Urteilsdatum.
c. Für den vorübergehenden Pflegeschaden bis zum
Urteilsdatum Fr. 596'064. 55 nebst Zins zu 5%
p.a. seit dem 15. August 1997.
d. Eine Pflegeschadenrente von Fr. 8'538.-- monatlich,
zahlbar ab Urteilsdatum vorschüssig auf
den 1. eines Monats bis zum Lebensende der Klägerin.
Die Pflegeschadenrente basiert auf dem Totalnominallohnindex
1993 des Bundesamtes für Statistik,
Indexstand im Urteilsjahr (2001?). Sie ist
jährlich auf den 1. Juli eines jeden Jahres,
erstmals auf den 1. Juli 2003 dem Indexstand des
Vorjahres proportional anzupassen und auf ganze
Franken aufzurunden.
2. Es sei davon Vormerk zu nehmen, dass die Beklagte
daran Fr. 216'796. 90 aner[. .]kannt hat.
3. Es sei Vormerk zu nehmen, dass es sich um eine
Teilklage handelt.. "
Am 12. Juni 2001 fällte das Handelsgericht folgendes Urteil:
"1. a) Die Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin
Fr. 699'677.-- nebst 5% Zins
- auf Fr. 527'687.-- seit dem 6. September 1997
sowie
- auf Fr. 171'990.-- seit dem 12. Juni 2001 zu
bezahlen.
b) Die Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin für
den Monat Juni 2001 eine Pflege- und Betreuungsschadensrente
von Fr. 3'087.-- zu bezahlen.
Die Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin ab dem
1. Juli 2001 bis 31. August 2017 jeweils eine
monatliche Pflege- und Betreuungsschadensrente von
Fr. 5'145.--, zahlbar monatlich im voraus jeweils
auf den Ersten jeden Monats, zu bezahlen.
Die Rente basiert auf dem Totalnominallohnindex
1993 des Bundesamtes für Statistik für das Jahr
2001. Die erste Anpassung hat am 1. Juli 2003 zu
erfolgen. Die Rente wird alsdann auf den 1. Juli
jeden Jahres dem Stand des Vorjahres angepasst.
Die Anpassung erfolgt gemäss folgender Formel:
neuer Index x ursprüngliche Rente
neue Rente = --------------------------------- alter Index
c) Die Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin ab
dem 1. September 2017 bis an ihr Lebensende jeweils
eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadensrente
von Fr. 5'928.--, zahlbar monatlich im voraus
jeweils auf den Ersten jeden Monats, zu bezahlen.
Die Rente wird nach dem Totalnominallohnindex des
Bundesamtes für Statistik auf den 1. Juli jeden
Jahres dem Stand des Vorjahres angepasst. Die erste
Anpassung der Rente von Fr. 5'928.-- hat am 1. Juli
2018 zu erfolgen.
Die Anpassung erfolgt gemäss folgender Formel:
neuer Index x ursprüngliche Rente
neue Rente = --------------------------------- alter Index
Im Übrigen wird die Klage abgewiesen.. "
C.- Gegen das Urteil des Handelsgerichts vom 12. Juni 2001 führen beide Parteien Berufung beim Bundesgericht. Die Klägerin stellt folgende Anträge:
"1.Es sei in Aufhebung des Urteils vom 12. Juni 2001
die Beklagte und Appellatin zu verpflichten, der
Klägerin und Appellantin zu bezahlen:
a. einen Betrag von Fr. 854'397.-- nebst Zins zu 5%
p.a.
- auf Fr. 527'687.-- seit dem 6. September 1997
- auf Fr. 326'710.-- seit dem 12. Juni 2001
b. für den Monat Juni 2001 eine Pflege- und
Betreuungsschadenrente von Fr. 3'388. 60,
c. ab dem 1. Juli 2001 bis an ihr Lebensende jeweils
eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadenrente
von Fr. 5'648.--, zahlbar monatlich
im voraus jeweils auf den 1. jeden Monats.
Die Rente basiert auf dem Totalnominallohnindex
1993 des Bundesamtes für Statistik für das Jahr
2001; die erste Anpassung hat am 1. Juli 2003 zu
erfolgen. Die Rente wird alsdann auf den 1. Juli
jeden Jahres dem Stand des Vorjahres angepasst.
Die Anpassung erfolgt gemäss folgender Formel:
neue Rente = neuer Index x ursprünglicher Index
alter Index
d. Eventuell sei die Beklagte zu verpflichten, der
Klägerin vom 1. Juli 2001 bis zum 31. August
2017 eine Rente von Fr. 5'684.-- und ab dem
1. September 2017 bis an ihr Lebensende eine
Pflege- und Betreuungsschadenrente von
Fr. 6'928.--, zahlbar monatlich im voraus jeweils
auf den 1. des Monats zu bezahlen.
Die Rente wird nach dem Totalnominallohnindex
des Bundesamtes für Statistik auf den 1. Juli
jeden Jahres dem Stand des Vorjahres angepasst.
Die erste Anpassung der Rente ab 1. September
2017 von Fr. 6'928.-- hat am 1. Juli 2018 zu
erfolgen.
Die Anpassung erfolgt gemäss folgender Formel:
neue Rente = neuer Index x ursprüngliche Rente"
alter Index
Die Berufungsanträge der Beklagten lauten wie folgt:
"Es sei das Urteil des Handelsgerichts Zürich vom 12. Juni 2001 aufzuheben und
1.a) Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin
CHF 407'705.-- nebst Zins zu 5%
- auf CHF 304'621.-- seit 6. September 1997
sowie
- auf CHF 103'084.-- seit dem 12. Juni 2001
zu bezahlen.
b) Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin
für den Monat Juni 2001 eine Pflege- und Betreuungsschadenrente
von CHF 2'474.-- zu bezahlen.
Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin
ab dem 1. Juli 2001 bis 31. August 2017 jeweils
eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadenrente
von CHF 3'710.--, zahlbar monatlich im
Voraus auf den Ersten jeden Monats, zu bezahlen.
Die Rente sei gemäss den Bestimmungen des/der
UVG/UVV sowie der jeweils gültigen bundesrätlichen
Verordnung über die Teuerungszulagen an
Renten der obligatorischen Unfallversicherung
auf Beginn eines Kalenderjahres der Teuerung anzupassen,
erstmals per 1. September 2003, nach
der Formel
neue Rente = neuer Index x ursprüngliche Rente
alter Index
c) Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin
ab dem 1. September 2017 bis an ihr Lebensende
jeweils eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadenrente
von CHF 5'928.--, zahlbar monatlich
im Voraus jeweils auf den Ersten eines Monats,
zu bezahlen.
Die Rente sei gemäss den Bestimmungen des/der
UVG/UVV sowie der jeweils gültigen bundesrätlichen
Verordnung über die Teuerungszulagen an
Rentner der obligatorischen Unfallversicherung
auf Beginn eines Kalenderjahres der Teuerung anzupassen,
erstmals per 1. September 2019
neue Rente = neuer Index x ursprüngliche Rente"
alter Index
In ihrer Berufungsantwort schliesst die Klägerin auf kostenfällige Abweisung der Berufung. Die Beklagte beantragt, es sei auf die Berufung der Klägerin nicht einzutreten.
Sie stellt zudem folgende Eventualanträge:
"Die Berufung der Klägerin sei vollumfänglich abzuwei- sen und in Gutheissung der Berufung der Beklagten vom 28. August 2001 sei das Urteil des Handelsgerichts
Zürich vom 12. Juni 2001 aufzuheben und es sei
a) Die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin CHF
345'017.-- nebst Zins zu 5%
- auf CHF 241'933.-- seit 6. September 1997
sowie
- auf CHF 103'084.-- seit dem 12. Juni 2001
zu bezahlen.
b) Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin
für den Monat Juni 2001 eine Pflege- und Betreuungsschadenrente
von CHF 1'731.-- zu bezahlen.
Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin
ab dem 1. Juli 2001 bis 31. August 2017 jeweils
eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadenrente
von CHF 2'885.-- zahlbar monatlich im
Voraus auf den Ersten jeden Monats, zu bezahlen.
Die Rente sei gemäss den Bestimmungen des/der
UVG/UVV sowie der jeweils gültigen bundesrätlichen
Verordnung über die Teuerungszulagen an
Renten der obligatorischen Unfallversicherung
auf Beginn eines Kalenderjahres der Teuerung anz[u]passen,
erstmals per 1. September 2003, nach
der Formel I
neue Rente = neuer Index x ursprüngliche Rente
alter Index
c) Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin
ab dem 1. September 2017 bis an ihr Lebensende
jeweils eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadenrente
von CHF 5'928.--, zahlbar monatlich
im Voraus jeweils auf den Ersten eines Monats,
zu bezahlen.
Die Rente sei gemäss den Bestimmungen des/der
UVG/UVV sowie der jeweils gültigen bundesrätlichen
Verordnung über die Teuerungszulagen an
Renten der obligatorischen Unfallversicherung
auf Beginn eines Kalenderjahres der Teuerung anzupassen,
erstmals per 1. September 2019
neue Rente = neuer Index x ursprüngliche Rente"
alter Index
Als weiteres Eventualbegehren erneuert die Beklagte ihre vor Bundesgericht gestellten Berufungsanträge.
D.- Die Beklagte hat das Urteil des Handelsgerichts auch mit Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich angefochten. Da sich das kantonale Rechtsmittel einzig gegen die Kosten- und Entschädigungsfolgen richtet, wird die Berufung vorgängig behandelt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die Beklagte stellt in der Berufungsantwort einen Eventualantrag, der über ihr eigenes Berufungsbegehren hinausreicht.
Insoweit erhebt sie Anschlussberufung. Dazu ist aber nur jene Partei berechtigt, die sich dem von der Gegenpartei angefochtenen Urteil grundsätzlich zu unterziehen bereit ist. Es würde auf eine unzulässige Erstreckung der Berufungsfrist hinauslaufen, wollte man der Partei, die selbst Berufung eingelegt hat, gestatten, ihre Begehren mit einer zusätzlichen Anschlussberufung zu erweitern (Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, N.
2.2.1 zu Art. 59 und 61 OG, S. 476). Auf das Rechtsbegehren in der Berufungsantwort der Beklagten, mit dem sie beantragt, es sei der Klägerin insgesamt weniger zuzusprechen als dem Rechtsbegehren in ihrer Berufung entspricht, ist daher nicht einzutreten. Von einem nach Ablauf der Berufungsfrist korrigierbaren Versehen kann entgegen der Auffassung der Beklagten nicht gesprochen werden, zumal sich an der angeführten Stelle der Berufungsschrift kein klar bezifferter Antrag findet.
2.- Unter den Parteien ist unumstritten, dass die Beklagte der Klägerin für den Unfall vom 3. Juni 1990 voll haftet (Art. 58 Abs. 1, Art. 61 Abs. 1 und Art. 65 SVG) und dass die Klägerin seit dem Unfall voraussichtlich bis an ihr Lebensende stetiger Betreuung und Pflege bedarf. Streitig ist jedoch die Schadensberechnung. Die Klägerin hat von der Beklagten Ersatz für vergangene und zukünftige Pflege- und Betreuungskosten sowie für vergangenen und zukünftigen Haushaltschaden gefordert. Die Vorinstanz legte der Berechnung des Pflegeschadens die Betreuungssituation der Klägerin zugrunde.
Sie unterschied zwischen den von der Mutter erbrachten Pflegeleistungen und den Kosten, welche der zu deren Entlastung beigezogene Familienbetreuungs-Hausservice bis zum Urteilstag verursachte und in Zukunft verursachen wird.
Die Vorinstanz gab mit Rücksicht auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 6c) dem Begehren der Klägerin statt und sprach ihr für den zukünftigen Pflege- und Betreuungsschaden eine Rente zu, welche sie an den Totalnominallohnindex des Bundesamtes für Statistik band. Beide Parteien kritisieren die entsprechenden Berechnungen der Vorinstanz in verschiedenen Punkten als bundesrechtswidrig.
I. Berufung der Klägerin
3.- Die Berufung der Klägerin richtet sich zunächst gegen die Anrechnung der Hilflosenentschädigung der Invalidenversicherung von Fr. 503.-- monatlich an die Pflege- und Betreuungsrente.
Die Klägerin macht geltend, ab Urteilsdatum werde ihr keine Hilflosenentschädigung der Invalidenversicherung aufgrund des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung vom 19. Juni 1959 (IVG; SR 831. 20) mehr ausgerichtet, denn ihr Rechtsanspruch darauf erlösche mit der Zusprechung einer Rente der obligatorischen Unfallversicherung.
Die Vorinstanz habe das Verhalten der Beklagten, die gleichzeitig Unfallversicherer sei, dahin interpretiert, dass sie keine Hilflosenentschädigung nach dem Bundesgesetz über die Unfallversicherung vom 20. März 1981 (UVG; SR 832. 20) schulde, die an den Haftpflichtanspruch anzurechnen wäre. Demgegenüber hält die Klägerin dafür, die Beklagte hätte längst eine UVG-Hilflosenentschädigung ausrichten müssen, weshalb die Anrechnung der Leistung der Invalidenversicherung mangels zeitlicher Kongruenz gegen Art. 48ter des Bundesgesetzes über die Alters- und Hinterlassenenversicherung vom 20. Dezember 1946 (AHVG; SR 831. 10) verstosse.
Ob der Klägerin eine Hilflosenentschädigung nach <ref-law> oder nach <ref-law> zusteht, ist nicht im Verfahren des ordentlichen Zivilprozesses zu entscheiden. Die Klägerin bringt nicht vor, dass sie im dafür vorgesehenen Verfahren einen entsprechenden Entscheid erwirkt und der Vorinstanz vorgelegt hätte. Wenn die Vorinstanz bei der Ermittlung des Pflege- und Betreuungsschadens die von der Klägerin bezogene Hilflosenentschädigung zur Vermeidung einer Überentschädigung in Rechnung stellte, verletzte sie daher kein Bundesrecht. Zu Recht behauptet die Klägerin nicht, dass ihr eine UVG-Hilflosenentschädigung kumulativ zu ihrem haftpflichtrechtlichen Ersatzanspruch für Pflege- und Betreuungskosten zustünde, gelten doch für den Anspruch nach <ref-law> und nach <ref-law> dieselben Bedingungen (Urteil des Versicherungsgerichts vom 19. August 1991, U 19/91, CNA, 1991 5 9) und tritt der Unfallversicherer im Zeitpunkt des Ereignisses bis auf die Höhe der gesetzlichen Leistungen in die Ansprüche des Versicherten ein (<ref-law>). Zufolge dieser umfassenden Subrogation der Sozialversicherung verliert der Geschädigte unmittelbar im Zeitpunkt des Schadenereignisses die an den Unfallversicherer übergegangenen Ansprüche (Kocher, Zum Wesen der Koordination in der schweizerischen Sozialversicherung, Recht 1994, S. 85 ff., S. 96).
Der Geschädigte hat deshalb nach herrschender Auffassung nicht die Wahl, ob er den Schädiger oder die Sozialversicherung belangen will; der Anspruch auf Sozialversicherungsleistungen ist vielmehr grundsätzlich unverzichtbar. Die Subrogation könnte - wenn überhaupt - einzig dadurch ausgeschaltet werden, dass alle Beteiligten, d.h. der Geschädigte, der Haftpflichtige und die Sozialversicherung ihr Einverständnis geben (Art. 65 der Verordnung über die Unfallversicherung vom 20. Dezember 1982 [UVV]; SR 832. 202; 4C.59/1994 vom 13. Dezember 1994, abgedruckt in Pra, 1995 Nr. 172 S. 548 ff., E. 8 mit Hinweisen). Die Klägerin wäre daher durch die von der Vorinstanz getroffene Regelung nur beschwert, wenn in Zukunft die IVG-Hilflosenentschädigung durch eine Entschädigung nach UVG abgelöst würde, und diese weniger betragen sollte als die ihr angerechneten Fr. 503.-- pro Monat. Eine entsprechende Behauptung bringt die Klägerin indessen nicht vor. In Höhe der UVG-Hilflosenentschädigung aber ist die Klägerin zufolge der Subrogation des Versicherers nicht anspruchsberechtigt (Rumo-Jungo, Haftpflicht und Sozialversicherung, Rz. 1114). Ihre Berufung erweist sich insoweit als unbegründet. Im Übrigen hat die Klägerin bereits vor dem Handelsgericht anerkannt, dass die Hilflosenentschädigungen der IV an den bis zum Urteilstag erbrachten Pflege- und Betreuungsaufwand anzurechnen sind.
4.- a) Im kantonalen Verfahren liess die Klägerin vortragen, ihre Mutter könne die Pflege noch etwa 20 bis 30 Jahre übernehmen. Hernach müsse eine andere Lösung gefunden werden. Beispielsweise könnte ihre Schwester diese Aufgabe erfüllen; weniger ideal, aber vielleicht die einzige Möglichkeit, wäre die Verbringung in ein Pflegeheim.
Aufgrund dieser Vorbringen ging das Handelsgericht davon aus, dass die im August 1947 geborene Mutter die Betreuung bis zu ihrem 70. Altersjahr, d.h. bis August 2017, fortführen werde. Es vermochte dagegen keine Anhaltspunkte dafür auszumachen, dass sich anschliessend die Schwester der Klägerin dieser Aufgabe widmen werde. Das Handelsgericht nahm daher als wahrscheinlich an, dass die Klägerin auf den
1. September 2017 zur weiteren Betreuung in ein geeignetes Heim eintreten werde.
b) Die Klägerin wirft der Vorinstanz als Verletzung von Bundesrecht vor, nicht geprüft zu haben, ob sie nach dannzumal 26 Jahren Hauspflege überhaupt gewillt sei, in ein Heim überzutreten, und ob ihr das Verlassen der familiären Kleingemeinschaft in eine stark reglementierte Grossgemeinschaft zumutbar sei.
c) Die Rüge ist mutwillig. Indem die anwaltlich vertretene Klägerin im kantonalen Verfahren die Heimeinweisung als einzige realistische Möglichkeit für den Zeitpunkt ins Auge fasste, in dem ihre Mutter nicht mehr als Pflegerin zur Verfügung stehen würde, stimmte sie dieser Form der zukünftigen Betreuung sinngemäss zu. Für weitere Abklärungen durch die Vorinstanz bestand kein Anlass. Wenn die Klägerin mit der Berufung ihren implizit geäusserten Willen in Zweifel zieht, verhält sie sich widersprüchlich. Ihr Hinweis auf die Erwägung der Vorinstanz, wonach sie selbst darüber zu entscheiden habe, wo und in welcher Form sie Pflege und Betreuung beanspruchen wolle, hilft ihr unter diesen Umständen nicht weiter.
5.- a) Die Vorinstanz nahm an, dass ein Heim, in welchem die Klägerin nach dem 31. August 2017 Aufnahme fände, auch die gesamte Hausarbeit für die Klägerin übernehmen werde, so dass von dann an kein zusätzlicher unfallbedingter Ausfall der Fähigkeit der Klägerin zur Hausarbeit zu ersetzen sei.
b) Die Klägerin beanstandet, dass die Vorinstanz nicht den Haushaltführungsschaden bis zum Ende der Aktivität berechnet und davon die tatsächlich vom Heim erbrachten Haushaltleistungen abgezogen hat. Überdies decke der zugesprochene Betrag für die Pflege im Heim die Kosten für Wohnen, Essen und die Erbringung der übrigen Haushaltleistungen nicht; vielmehr würden diese aus dem weit höheren Pflegebeitrag des Bundesamtes für Sozialversicherung bezahlt.
c) Inwiefern die Berechnungsweise der Vorinstanz gegen Bundesrecht verstossen soll, zeigt die Klägerin jedoch nicht auf und ist auch nicht ersichtlich. Die von der Klägerin vorgeschlagene Methode erscheint schon im Hinblick darauf, dass sie für den Haushaltschaden ein Kapital, für den Pflege- und Betreuungsschaden eine Rente wünscht, kaum geeignet.
Auch auf die Rüge der Klägerin, die Vorinstanz habe übersehen, dass ein Sozialversicherungsbeitrag teilweise die effektiven Heimkosten decke, ist nicht näher einzugehen, bringt sie doch damit nicht vor, dass ihr ein ungedeckter Haushaltschaden verbleibt. Auf die in diesem Zusammenhang beantragten Sachverhaltsrügen gemäss Art. 63 Abs. 2 und Art. 64 OG ist daher nicht einzutreten.
II. Berufung der Beklagten
6.- a) Die Beklagte lässt in ihrer Berufung die von der Vorinstanz für den Familienbetreuungs-Hausservice angefallenen Kosten von Fr. 62'635. 80 bis zum Urteilstag sowie von monatlich Fr. 736.-- bis zur vermuteten Heimeinweisung per
1. September 2017 gelten, ebenso die ab diesem Datum anfallenden Heimkosten von Fr. 5'928.-- pro Monat. Hingegen ist sie der Ansicht, die Vorinstanz habe den Pflege-, Betreuungs- und Haushaltschaden nach unzutreffenden Kriterien berechnet und dadurch Art. 41, 42 Abs. 2 und 46 OR verletzt.
Die Beklagte rügt, dass die Vorinstanz als Pflege- und Betreuungsschaden der Klägerin den vollen Lohn einer hiefür angestellten Person einsetzte, obwohl die Mutter der Klägerin die betreffenden Leistungen unentgeltlich erbringe und der Klägerin nach der Differenztheorie kein Schaden entstehe.
Da die Beklagte aber einräumt, dass als stossend empfunden wird, wenn durch die unentgeltiche Tätigkeit Angehöriger der haftpflichtige Dritte entlastet wird, befürwortet sie einen pauschalen Abzug von 30% in der Meinung, damit den berechtigten Interessen aller Beteiligten Rechnung zu tragen.
Ein solcher Abzug entspreche der in Deutschland vorherrschenden Praxis, wo er den Ausgleich dafür schaffen soll, dass auf unentgeltlicher Hilfestellung von Angehörigen keine Steuern und Sozialversicherungsabgaben anfallen.
b) aa) <ref-law> gewährt der verletzten Person Anspruch auf die Kosten, die sie aufwenden muss, um die Folgen der Körperverletzung zu beheben oder wenigstens einzuschränken.
Darunter fallen die Kosten dauernder Betreuung und Pflege (Oftinger/Stark, Schweizerisches Haftpflichtrecht, Erster Band: Allgemeiner Teil, 5. Aufl. , Zürich 1995, § 6 Rz. 110). Auch die Pflege zu Hause geht, soweit sie unfallbedingt ist, zu Lasten des Haftpflichtigen. Wird sie von Familienangehörigen besorgt, muss sie gleichwohl entschädigt werden (Brehm, Berner Kommentar, 2. Auflage 1998, N. 14 und 23 zu <ref-law>; Rey, Ausservertragliches Haftpflichtrecht,
2. Auflage, Zürich 1998, Rz. 229).
Unter dem Gesichtspunkt der Vorteilsausgleichung sollen sich derartige freiwillige Leistungen gemäss einhelliger Lehrmeinung nicht zu Gunsten des Schädigers auswirken, wenn der Leistende nicht diesen, sondern den Geschädigten begünstigen will (Oftinger/Stark, a.a.O., § 6 Rz. 75 ff.; Rey, a.a.O., Rz. 215; Deutsch, Allgemeines Haftungsrecht,
2. Auflage, 1996, Rz. 847; Rixecker, in: Geigel, Der Haftpflichtprozess,
23. Auflage, München 2001, S. 251, Rz. 34).
Damit stimmt die Rechtsprechung des Bundesgerichts überein.
So wurde in <ref-ruling> E. III/3 S. 266 eine Berufung abgewiesen, die sich gegen die Zusprechung einer Entschädigung von Fr. 420.-- für die durch die Mutter der Geschädigten während 42 Tagen geleistete Heimpflege richtete. In diesem Entscheid wird festgehalten, dass die Leistung dazu bestimmt gewesen sei, der Geschädigten und nicht dem Haftpflichtigen zugute zu kommen; die zu Hause gebotene Pflege sei unerlässlich gewesen und habe ein Element des vom Haftpflichtigen zu ersetzenden Schadens gebildet. Bereits in BGE 33 II 599 verpflichtete das Bundesgericht den Haftpflichtigen zum Ersatz der zufolge der Pflege erlittenen Verdiensteinbusse der Mutter des Geschädigten, die betragsmässig etwa den Kosten einer angestellten Pflegekraft entsprach.
Gibt ein Familienangehöriger seine Erwerbstätigkeit auf, um die geschädigte Person zu pflegen, entspricht der zu ersetzende Schaden in der Regel dem entgangenen Erwerbseinkommen.
Übersteigt der Verdienstausfall jedoch wesentlich die Kosten der Betreuung durch eine Drittperson, kann der Geschädigte nach den Grundsätzen der Schadenminderungspflicht nur diese tieferen Kosten als Schaden geltend machen (Oftinger/Stark, a.a.O., § 6 Rz. 110, Fn. 149; Alfred Keller, Haftpflicht im Privatrecht, Bd. II, 2. Aufl. , Bern 1998, S. 56). Der notwendige Pflegeaufwand ist als Schaden der verletzten Person selbst im Sinne eines damnum emergens anzusehen (Geisseler, Der Schaden und seine Berechnung, in:
Koller (Hrsg.), Haftpflicht- und Versicherungstagung 1999, S. 123). Die Ersatzpflicht für derartigen unter normativen Gesichtspunkten bestimmten Betreuungsschaden wird in der neueren Lehre nicht in Frage gestellt. Zur Berechnung wird vorgeschlagen, die zum Hausfrauenschaden entwickelten Grundsätze analog heranzuziehen. Danach ist zuerst der erforderliche Stundenaufwand für die Pflege und alsdann der ortsübliche Lohn einer Pflegekraft zu ermitteln. Massgebend ist der Bruttolohn zuzüglich Arbeitgeberbeiträge an die Sozialversicherung (Schaetzle, in: Münch/Geiser (Hrsg.), Schaden - Haftung - Versicherung, Rz. 9.65; Geisseler, a.a.O., S. 122).
bb) Nach dem Gesagten besteht der Pflegeschaden in den Kosten für fremde Hilfe, welche sich die verletzte Person zu beschaffen hat. Die Kosten sind vom Haftpflichtigen grundsätzlich auch dann zu ersetzen, wenn die notwendige Betreuung auf familiärer oder freundschaftlicher Basis unentgeltlich erfolgt. Eine Entlastung des Schädigers im Umfang unentgeltlicher Hilfeleistung zu Gunsten des Geschädigten käme allenfalls in Frage, wenn und soweit den Geschädigten eine entsprechende Rechtspflicht zur Schadensminderung träfe.
Davon kann indessen vorliegend nicht die Rede sein.
cc) Da der eigene Schaden des Geschädigten abzugelten ist, welchem dieser Pflegemodus im Vergleich zu bezahlter Pflege keine Steuererleichterung bietet, fällt entgegen der Auffassung der Beklagten ein Abzug wegen eingesparter Steuern ausser Betracht. Beiläufig sei erwähnt, dass auch in Deutschland nur jene Steuerersparnisse der Vorteilsausgleichung unterliegen, die nach dem Zweck der steuerlichen Regelung nicht dem Geschädigten verbleiben sollen (vgl.
Rixecker, a.a.O., Rz. 35 f. mit Hinweisen). Soll die geldwerte Pflegeleistung nach dem Willen des Erbringers der geschädigten Person zu Gute kommen, verbietet sich zudem auch ein Abzug für eingesparte Sozialversicherungsabgaben. Die geschädigte Person muss hinsichtlich der Pflegekosten so gestellt werden, dass sie frei wählen kann, wie sie die notwendige Pflege organisieren will. In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass die Rente grundsätzlich nicht revidierbar ist, wie in der Lehre hervorgehoben wird (Ileri, Schadenersatz in Rentenform, in: Verein Haftung und Versicherung (Hrsg.), Personen-Schaden-Forum 2002, S. 46; Karlen, Entschädigung in Rentenform, ibid. , S. 50). Die Notwendigkeit, von der konkreten, auf einer Liberalität beruhenden Pflegesituation im Urteilszeitpunkt zu abstrahieren, lässt sich anhand des vorliegenden Falles veranschaulichen: Betreuung und Pflege sollen durch den vom Schädiger geschuldeten Ersatz über mehr als ein Jahrzehnt sichergestellt werden. Niemand kann voraussehen, ob die Absicht der Pflegenden, die unentgeltliche Betreuungsarbeit die nächsten 15 Jahre fortzusetzen, tatsächlich Bestand haben wird und auch umgesetzt werden kann. Die freiwillige Leistung würde zu einer Pflicht verkommen, hätten die Angehörigen nicht die Gewissheit, dass sie in einer veränderten Lebenssituation auf ihren Entschluss, sich der Pflege zu widmen, zurückkommen und einen bezahlten Ersatz einstellen können.
dd) Die hier befürwortete Schadensberechnung nach den Kosten, welche die Pflege bei marktgerechter Entlöhnung verursachen würde, trägt auch den Interessen des Haftpflichtigen Rechnung, indem sich ein Absehen von der konkreten Betreuungssituation auch zu seinen Gunsten auswirken kann.
Denn richtet sich der Umfang der Ersatzpflicht gewissermassen am "Marktwert" der Pflege aus, kann der Schädiger nicht verpflichtet werden, einen die so ermittelten Pflegekosten übersteigenden Verdienstausfall abzugelten, den ein Angehöriger wegen der Betreuung der geschädigten Person auf sich nimmt. Honsell, der davor warnt, die konkrete Vermögensverminderung beim Haushaltschaden ausser Acht zu lassen, befasst sich nicht mit der hier aktuellen Frage, wie freiwillige Leistungen Dritter zur Schadensdeckung bei der Schadensberechung zu berücksichtigen sind (Schweizerisches Haftpflichtrecht,
3. Aufl. , Zürich 2000, § 8 Rz. 79). Der betreffende Hinweis der Beklagten stösst deshalb ins Leere.
Nicht weiter hilft schliesslich die Berufung des Beklagten auf ein Urteil des Bundesgerichts vom 23. Juni 1999 (4C. 412/1998; auszugsweise abgedruckt in Pra 88/1999, Nr. 171, S. 890 ff.). Dort ging es nicht darum, über eine Rechtsfrage zu entscheiden, sondern das Bundesgericht war vielmehr an die vom kantonalen Gericht nach <ref-law> vorgenommene Schätzung des Werts der Betreuungsleistung gebunden (E. 3 am Ende, S. 894).
c) Die Berechnung des Pflege- und Betreuungsschadens durch die Vorinstanz hält daher in allen Teilen vor Bundesrecht stand, namentlich auch mit Bezug auf die von der Beklagten beanstandete Berücksichtigung von Sozialabgaben (Brutto-brutto-Prinzip), von Ferien und eines dreizehnten Monatslohns, zumal die Beklagte zu Recht nicht einwendet, die Klägerin hätte die entsprechenden Kosten bei entgeltlicher Anstellung einer Pflegeperson nicht aufzubringen.
Schliesslich ist festzuhalten, dass die Vorinstanz nach deren für das Bundesgericht verbindlichen Feststellung den Stundenlohn aufgrund eines geschätzten Monats- und nicht eines Jahreseinkommens einer entsprechenden Hilfskraft ermittelt hat. Die gegenteilige Behauptung der Beklagten ist nicht zu hören.
7.- a) Die Vorinstanz legte der Kapitalisierung des bisherigen und künftigen, bis Ende August 2017 angenommenen Haushaltschadens einen Stundenansatz von Fr. 27.-- und eine Jahresarbeitszeit von 52 Wochen zu Grunde. Sie trug dabei den Lohnnebenkosten und der Reallohnentwicklung Rechnung.
Die Beklagte hält für bundesrechtswidrig, dass die Vorinstanz Sozialversicherungsbeiträge, eine Reallohnentwicklung und eine fiktive Jahresarbeitszeit von 52 Wochen berücksichtigt hat.
b) Der Schaden aus eingeschränkter oder entfallener Arbeitsfähigkeit zur Führung des Haushalts wird nach der Rechtsprechung nicht bloss ersetzt, wenn konkret Kosten für Haushalthilfen erwachsen, die wegen des Ausfalls der Haushalt führenden Person beigezogen werden; auszugleichen ist vielmehr der wirtschaftliche Wertverlust, der durch die Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit im Haushalt entstanden ist, und zwar unabhängig davon, ob dieser Wertverlust zur Anstellung einer Ersatzkraft, zu vermehrtem Aufwand der Teilinvaliden, zu zusätzlicher Beanspruchung der Angehörigen oder zur Hinnahme von Qualitätsverlusten führt. Der "normativ", gleichsam von Gesetzes wegen ohne Nachweis der daraus konkret entstandenen Vermögenseinbusse zu ersetzende Schaden ist am Aufwand zu messen, den eine entgeltlich eingesetzte Ersatzkraft verursachen würde (<ref-ruling> E. 4b mit Hinweisen).
Demgemäss ist wiederum vom Grundsatz auszugehen, dass die Klägerin, die zur Erledigung der Hausarbeit vollständig auf fremde Hilfe angewiesen ist, durch den Schadenersatz in die Lage versetzt werden soll, eine Ersatzkraft anzustellen, ohne dass sie sich die Liberalität ihrer Mutter als Vorteil anrechnen lassen müsste (vgl. E. 6 hievor). So werden ihr, sollte ihre Mutter einmal zur Haushaltführung nicht zur Verfügung stehen, sowohl Kosten für Ferien der zur Hausbesorgung angestellten Person wie auch für die Ersatzbeschaffung während deren Ferienabwesenheit entstehen. Somit kann mit Bezug auf Sozialversicherungsbeiträge und Ferien auf das bereits Gesagte verwiesen werden. Entgegen der Behauptung der Beklagten ist zudem keineswegs notorisch, dass die für Hausarbeit bezahlten Löhne keine Reallohnsteigerung erfahren. Angesichts des veränderten Rollenverständnisses der Frauen in der Schweiz, die sich vermehrt einer Berufstätigkeit ausserhalb des Hauses zuwenden, wird sich der Bedarf an bezahlter Haushalthilfe in den nächsten Jahren eher erhöhen, was nach dem Gesetz von Angebot und Nachfrage zu einer Reallohnsteigerung führen dürfte. Wenn die Vorinstanz bei der Kapitalisierung von einem gegenüber dem für 1997 statistisch ermittelten leicht erhöhten Stundenlohn ausging, traf sie mit Bezug auf die künftige Lohnentwicklung in den nächsten 17 Jahren jedenfalls keine aus bundesrechtlicher Sicht zu kritisierende Annahme, zumal nach der auch nach Ansicht der Beklagten massgeblichen Schweizerischen Arbeitskräfteerhebung des Bundesamtes für Statistik (SAKE) im Jahr 2000 der Stundenlohn für die Tätigkeit in privaten Haushalten nach T2.6.2 (nach Geschlecht und Altersklassen) im Median bereits Fr. 26.80 erreichte.
8.- Schliesslich beantragt die Beklagte, die Anpassung der Pflege- und Betreuungsschadenrente habe nicht nach dem Nominallohnindex, sondern nach dem Landesindex der Konsumentenpreise zu erfolgen entsprechend den Bestimmungen des UVG/UVV sowie der jeweils gültigen bundesrätlichen Verordnung über die Teuerungszulagen an Rentner der obligatorischen Unfallversicherung. Sie legt dabei dar, welche Vorteile eine solche Indexierung für die Haftpflichtversicherer hat. Sie lässt indessen ausser Acht, dass es bei der Pflege- und Betreuungsrente darum geht, sicherzustellen, dass sich die geschädigte Person auch in Zukunft eine ganz bestimmte, gegen Lohnzahlung erhältliche Arbeitsleistung, auf die sie wegen ihrer Schädigung angewiesen ist, zu beschaffen in der Lage ist. Demgegenüber dient eine UVG-Rente dem Zweck, den allgemeinen Unterhalt abzusichern. Schon daraus erhellt, dass es wenig Sinn macht, eine Rente, die spezifische, dem Geschädigten regelmässig anfallende Lohnkosten ersetzen soll, an einen allgemeinen Kostenindex zu binden, wenn ein spezieller Lohnindex zur Verfügung steht. Dass dies schlecht praktikabel sein soll, wie die Beklagte vorbringt (ebenso Karlen, a.a.O., S. 49), ist umso weniger nachvollziehbar, als die entsprechenden Daten ebenso wie jene über den Hausarbeitslohn, welche die Beklagte als Berechnungsbasis nicht ablehnt, vom Bundesamt für Statistik erhoben werden und allgemein zugänglich sind. Die Bindung des Pflegeschadens an den Nominallohnindex, wie sie in der Lehre gefordert wird (Geisseler, a.a.O., S. 130 mit Hinweisen; Ileri, Schadenersatz in Rentenform, HAVE 1/2002, S. 47; Pribnow/Widmer/Sousa-Poza/Geiser, Die Bestimmung des Haushaltsschadens auf der Basis der SAKE, HAVE 1/2002, S. 36), erfüllt zudem das Erfordernis möglichst konkreter Schadensermittlung und kann sich durchaus auch zu Gunsten des Schädigers auswirken; dann nämlich, wenn die allgemeine Lohnsteigerung nicht mit der Preissteigerung Schritt hält. Aus diesem Blickwinkel erheischt die Solvenzerhaltung der Versicherer, auf die sich die Beklagte für ihren Standpunkt beruft, nicht unbedingt eine Anpassung der Rente nach dem Konsumentenpreisindex.
Ohne Einverständis des Geschädigten kommt ein Solvenzschutz des Schädigers analog jenem der nach UVG haftenden Versicherungsträger (vgl. Karlen, a.a.O., S. 49) mangels gesetzlicher Grundlage nicht in Frage, denn die geschädigte Person soll mit einer indexierten Rente den Ausfall so ersetzt erhalten, wie sie ihn erleidet, und so lange, wie er dauert.
Das Rückstellungsproblem zu lösen obliegt den Haftpflichtigen bzw. deren Versicherern, denen man die Tragung der Unwägbarkeiten der wirtschaftlichen Entwicklung eher zumuten darf als den Geschädigten (<ref-ruling> E. 6c).
9.- Aus diesen Gründen sind die Berufungen beider Parteien abzuweisen und das angefochtene Urteil ist zu bestätigen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend ist die Gerichtsgebühr zu 2/5 der Klägerin und zu 3/5 der Beklagten aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 3 OG). Die Beklagte hat der Klägerin eine entsprechend reduzierte Parteientschädigung zu zahlen (Art. 159 Abs. 3 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.-Die Berufungen werden abgewiesen und das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 12. Juni 2001 wird bestätigt.
2.-Die Gerichtsgebühr von Fr. 15'000.-- wird zu 2/5 der Klägerin und zu 3/5 der Beklagten auferlegt.
3.-Die Beklagte hat die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.-Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht sowie dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 26. März 2002
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: