Faits:
A.
A._, ressortissante du Kosovo née en septembre 1992, a, avec sa mère et ses frères et soeurs, rejoint son père en Suisse en mars 2005. Alors qu'elle suivait depuis mars 2008 des cours à l'École B._, A._ a été victime d'un accident de la circulation, en tant que passagère d'une voiture, le 13 octobre 2009. Elle a été hospitalisée à l'Hôpital C._, où elle a été soignée notamment pour des fractures du crâne et de l'omoplate droite et a subi une intervention oto-rhino-laryngo-logique consistant en une mastoïdotomie et une tympanoplastie droite.
En avril 2010, A._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en invoquant souffrir d'une perte de mémoire et de concentration, d'une perte auditive droite et d'une atteinte aux nerfs faciaux. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a recueilli divers rapports médicaux, dont celui des médecins de l'Unité de neuroréhabilitation pédiatrique de l'Hôpital D._. Selon leur rapport du 29 avril 2010, la prise en charge à la fois physiothérapeutique, psychothérapeutique et par une médication antidépressive était pleinement indiquée; en cas de pérennisation des difficultés de formation professionnelle au-delà de la prochaine rentrée, un signalement à l'assurance-invalidité en vue d'une réinsertion devait être envisagé. À la demande de l'office AI, E._, psychologue spécialiste en neuropsychologie FSP, a effectué un examen. Elle a indiqué qu'au vu du tableau actuel - dysfonction cognitive sévère avec modification de la personnalité, compatible avec un traumatisme crânio-cérébral sévère avec contusions frontales et temporales -, la capacité de travail était nulle en économie libre et la formation professionnelle initiale compromise. Elle a également préconisé une prise en charge neuropsychologique et ergothérapeutique soutenue de l'assurée (rapport du 26 novembre 2010).
Du 24 janvier au 18 mars 2011, A._ a effectué un séjour en neuroréhabilitation au service de neuropsychologie et de neuroréhabilitation de l'Hôpital D._. Selon les indications données par le docteur F._ (notes d'entretien téléphonique des 4 et 17 mars 2011), l'assurée souhaitait, à l'issue de son hospitalisation, faire un stage dans un EMS en commençant par deux heures par jour. L'office AI a encore requis l'avis du docteur G._, médecin auprès de son Service médical régional (SMR), qui, retenant une incapacité de travail de 100 % dès le 13 octobre 2009, a préconisé qu'un examen neuropsychologique fût requis dans un an, suivi, en fonction de la récupération, de mesures de réadaptation ou d'une formation professionnelle (avis du 11 avril 2011).
Par décision du 16 avril 2012, l'office AI a nié le droit de l'assurée à des mesures professionnelles, motif pris de l'incapacité totale de travail. Il a également refusé le droit à une rente d'invalidité (ordinaire et extraordinaire), faute pour l'assurée de réaliser les "conditions générales d'assurance". Par courrier du même jour, il a indiqué à l'intéressée qu'il allait reprendre l'examen du droit à des mesures professionnelles et demander un rapport au docteur H._, chef de clinique du service de neuropsychologie et de neuroréadaptation de l'Hôpital D._.
B.
Statuant le 2 septembre 2013 sur le recours formé par A._ contre la décision du 16 avril 2012, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a admis. Annulant la décision, il a renvoyé la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. La juridiction cantonale a considéré qu'il incombait à l'office AI de procéder à une nouvelle évaluation afin de déterminer si et dans quelle mesure A._ était susceptible d'être réadaptée, puis, sur la base de ce résultat, d'établir un plan de réadaptation.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut à la confirmation de sa décision du 16 avril 2012 "quant à son résultat".
L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) a présenté ses observations le 27 février 2014, relatives à deux questions qui lui ont été soumises par le Juge instructeur.
En connaissance de cette détermination, A._ conclut au rejet du recours et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit:
1.
En tant que les premiers juges renvoient la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision au sens des considérants (ch. III du dispositif de la décision attaquée), leur jugement doit être qualifié de décision incidente qui ne peut être attaquée qu'aux conditions de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 482). Ces conditions sont en l'espèce réalisées. En considérant que l'invalidité était survenue à la date de l'accident (octobre 2009) et que l'intimée pouvait en conséquence prétendre des mesures de réadaptation d'ordre professionnel et, subsidiairement, une rente extraordinaire d'invalidité au regard des conditions posées par l'<ref-law> (sous réserve des autres conditions d'octroi des différentes mesures et prestations), la juridiction cantonale contraint le recourant à admettre la réalisation de certaines des conditions du droit aux prestations. L'office AI ne dispose donc plus à cet égard de latitude de jugement et est tenu de prendre une décision qui, selon lui, est contraire au droit fédéral. En cela, il subit - comme il le soutient à juste titre - un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière sur son recours (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 483 ss).
2.
Dans sa réponse au recours, l'intimée a fait valoir qu'elle a acquis la nationalité suisse au cours de la procédure fédérale et produit une copie de son passeport suisse établi le 14 janvier 2014. Il s'agit d'un fait postérieur au jugement entrepris, qui ne peut donc pas résulter de celui-ci. Ce fait nouveau est irrecevable en procédure fédérale, conformément à l'<ref-law>, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'en tenir compte pour l'issue du litige. Cela n'empêche cependant pas l'intimée de s'en prévaloir si elle souhaite que l'assurance-invalidité examine son droit aux prestations pour la période courant à partir de l'acquisition de la nationalité suisse (cf. arrêt 9C_446/2013 du 21 mars 2013 consid. 6.2 et les arrêts cités).
3.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), n'examine en principe que les griefs invoqués (<ref-law>) et fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>). Il a néanmoins la faculté de rectifier ou de compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes (<ref-law>). Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation des faits que si ceux-ci ont été établis en violation du droit selon l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
4.
4.1. Le litige porte sur le droit de l'intimée à des mesures de réadaptation d'ordre professionnel, ainsi qu'à une rente extraordinaire d'invalidité, étant précisé qu'elle n'a pas contesté le refus d'une rente ordinaire d'invalidité, que ce soit en instance cantonale ou fédérale. Le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales et la jurisprudence sur les conditions du droit à ces prestations pour les ressortissants étrangers. Il suffit donc d'y renvoyer.
4.2. Pour ce qui est de l'application de la Convention de sécurité sociale conclue le 8 juin 1962 entre la Suisse et l' (ex-) République Populaire Fédérative de Yougoslavie relative aux assurances sociales (RS 0.831.109.818.1) à la contestation, la juridiction cantonale a considéré que même si les dispositions conventionnelles devaient être prises en considération, elles ne permettaient pas à l'intimée de faire valoir des prétentions plus larges que celles résultant de l'application du seul droit suisse. On précisera qu'en tout état de cause, ladite convention, qui n'est plus en vigueur entre la Suisse et le Kosovo depuis le 1 er avril 2010, ne s'applique pas au litige, conformément à la jurisprudence du Tribunal fédéral sur le champ d'application temporel de la convention (cf. <ref-ruling>; <ref-ruling>). Comme il résulte de ce qui suit (consid. 6 et 7 infra ), le moment de la naissance du droit aux prestations litigieuses est postérieur au 31 mars 2010, de sorte que les dispositions conventionnelles ne sont pas applicables.
4.3. On rappellera que selon l'art. 6 al. 2, première phrase, LAI, les étrangers ont droit aux prestations, sous réserve de l'art. 9 al. 3, aussi longtemps qu'ils conservent leur domicile et leur résidence habituelle (<ref-law>) en Suisse, mais seulement s'ils comptent, lors de la survenance de l'invalidité, au moins une année entière de cotisations ou dix ans de résidence ininterrompue en Suisse.
Aux termes de l'<ref-law>, les ressortissants étrangers âgés de moins de 20 ans qui ont leur domicile et leur résidence habituelle (<ref-law>) en Suisse ont droit aux mesures de réadaptation s'ils remplissent eux-mêmes les conditions prévues à l'art. 6, al. 2, ou si:
a. lors de la survenance de l'invalidité, leur père ou mère compte, s'il s'agit d'une personne étrangère, au moins une année entière de cotisations ou dix ans de résidence ininterrompue en Suisse et si
b. eux-mêmes sont nés invalides en Suisse ou, lors de la survenance de l'invalidité, résidaient en Suisse sans interruption depuis une année au moins ou depuis leur naissance. (...)
Conformément à l'<ref-law>, ont aussi droit à une rente extraordinaire les invalides étrangers et apatrides qui remplissaient comme enfants les conditions fixées à l'art. 9 al. 3.
5.
5.1. Considérant que l'intimée ne réalisait pas les conditions d'assurance prévues par l'<ref-law> - elle ne présentait pas une année de cotisations, ni une résidence ininterrompue de dix ans en Suisse au moment de l'accident ou à l'échéance du délai de carence d'une année ("survenance de l'invalidité") -, les premiers juges ont examiné son droit à des mesures de réadaptation au regard des conditions posées par l'<ref-law>. Ils ont retenu que la survenance de l'invalidité pour les mesures de réadaptation correspondait, en application de l'<ref-law>, à la date de l'accident qui avait causé tout de suite l'incapacité de travail de l'assurée. Constatant que lors de l'accident en octobre 2009, l'intimée résidait depuis plus d'une année en Suisse (art. 9 al. 3 let. b première phrase LAI), tandis que son père comptait alors bien plus d'une année de cotisations en Suisse (cf. <ref-law>), ils ont reconnu que l'assurée pouvait en principe prétendre aux mesures de réadaptation d'ordre professionnel, même après avoir atteint l'âge de vingt ans.
En conséquence, toujours selon la juridiction cantonale, l'intimée avait également droit à une rente extraordinaire d'invalidité au sens de l'<ref-law> - sous réserve des autres conditions prévues aux <ref-law> -, puisqu'elle n'avait pas encore dix-huit ans lors de l'événement accidentel, soit au moment où elle pouvait prétendre des mesures de réadaptation. L'octroi de cette rente ne devait toutefois être envisagé que dans la mesure où les mesures de réadaptation se révélaient impossibles et qu'une incapacité de travail d'au moins 40 % persistait. À cet égard, les premiers juges ont constaté que le recourant aurait dû entreprendre des démarches en vue de mesures de réadaptation dès le printemps 2011, le docteur F._ ayant évoqué en mars 2011 la possibilité pour l'assurée d'effectuer un stage dans un EMS. L'office AI aurait dû notamment requérir des renseignements médicaux complémentaires (p. ex. auprès du médecin prénommé ou en mettant en oeuvre un nouvel examen neuropsychologique). Aussi, pour autant que l'office AI n'eût pas encore entrepris de telles démarches, comme il l'avait annoncé dans sa communication du 16 avril 2012 à l'assurée, il devait procéder sans tarder à une nouvelle évaluation dans le but de déterminer si et dans quelle mesure l'assurée était susceptible d'être réadaptée, puis, sur la base de ce résultat, établir un plan de réadaptation. L'autorité cantonale de recours a renvoyé la cause à l'administration à cette fin.
5.2. Le recourant reproche aux premiers juges d'avoir considéré, en violation du droit, que la survenance de l'invalidité pour le droit aux mesures de réadaptation correspondait à la date de l'accident subi par l'intimée, soit le mois d'octobre 2009. Selon lui, la possibilité de mettre en place des mesures de réadaptation n'existait pas avant la fin du séjour hospitalier de l'assurée en neuroréhabilitation, le 18 mars 2011, aucune mesure ne pouvant être mise en place au moment de l'accident (en raison de l'état de santé de l'intéressée). Aussi, le point de savoir si des possibilités de réadaptation existaient postérieurement au printemps 2011 restait encore à examiner par le recourant, sans que l'invalidité déterminante fût survenue jusque-là.
Faisant par ailleurs valoir une violation de l'<ref-law>, le recourant soutient que l'intimée ne satisfaisait pas aux conditions de cette disposition, puisque son état de santé n'avait pas permis la mise en place de mesures de réadaptation avant l'âge de dix-huit ans. Elle n'avait donc pas droit à une rente extraordinaire.
5.3. De son côté, l'intimée conteste qu'aucune mesure de réadaptation ne pût être envisagée avant qu'elle eût atteint dix-huit ans. Elle aurait ainsi dû bénéficier de mesures médicales de réadaptation après sa sortie de l'Hôpital C._, comme l'avait préconisé la psychologue E._, qui avait jugé utile une prise en charge neuropsychologique et ergothérapeutique (rapport du 26 novembre 2010). De même, l'office AI aurait-il dû immédiatement prendre en considération des mesures d'ordre professionnel à la fin de l'hospitalisation. Comme des mesures de réadaptation auraient pu et dû être mises en oeuvre immédiatement après l'accident, soit avant ses dix-huit ans, l'intimée en déduit qu'elle a également droit à une rente extraordinaire d'invalidité. Celle-ci ne devrait cependant être versée qu'à la fin de l'allocation des indemnités journalières octroyée pendant l'exécution des mesures de réadaptation.
5.4. Pour l'OFAS, qui se réfère notamment aux ch. 7102 à 7104 de ses Directives concernant les rentes (DR) de l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité fédérale (dans leur version en vigueur au 1 er janvier 2012), une personne étrangère invalide n'a pas droit à une rente extraordinaire de l'assurance-invalidité lorsque, immédiatement avant l'accomplissement de sa dix-huitième année, elle ne pouvait prétendre des prestations en nature, soit parce qu'elle n'était pas invalide au sens de la LAI, soit parce qu'elle ne remplissait pas les conditions d'assurance. Par conséquent, l'intimée n'a pas droit à une rente extraordinaire parce qu'elle n'aurait jamais pu obtenir des mesures de réadaptation avant ses dix-huit ans, faute d'être invalide.
6.
En ce qui concerne le premier aspect du litige, soit le droit à des mesures de réadaptation d'ordre professionnel, est avant tout contesté le moment de la survenance de l'invalidité au regard de l'<ref-law>. La juridiction cantonale a fixé celui-ci à la date de l'accident du 13 octobre 2009, ce que le recourant conteste en soutenant que la survenance de l'invalidité ne pouvait pas encore être fixée au moment de sa décision du 16 avril 2012.
6.1. Aux termes de l'<ref-law>, l'invalidité est réputée survenue dès qu'elle est, par sa nature et sa gravité, propre à ouvrir droit aux prestations entrant en considération. Le moment de la survenance de l'invalidité doit être déterminé objectivement, d'après l'état de santé; des facteurs externes fortuits n'ont pas d'importance. Il ne dépend en particulier ni de la date à laquelle une demande a été présentée, ni de celle à partir de laquelle une prestation a été requise, et ne coïncide pas non plus nécessairement avec le moment où l'assuré apprend, pour la première fois, que l'atteinte à sa santé peut ouvrir droit à des prestations d'assurance (<ref-ruling> consid. 2b p. 9; <ref-ruling> consid. 3a p. 82 et les références).
La LAI ne repose pas sur une notion uniforme du cas d'assurance. Celui-ci doit être envisagé et déterminé par rapport à chaque prestation entrant concrètement en ligne de compte ("System des leistungsspezifischen Versicherungsfalles") : il convient d'examiner pour chaque prestation pouvant entrer en considération selon les circonstances, au sens de l'<ref-law>, quand l'atteinte à la santé est susceptible, de par sa nature et sa gravité, de fonder le droit à la prestation particulière (<ref-ruling> consid. 4 p. 242; arrêt I 659/06 du 22 février 2007 [SVR 2008 IV n° 14 p. 41]).
6.2. Pour ce qui est de la survenance de l'invalidité pour les mesures de réadaptation d'ordre professionnel, l'<ref-law> (dans sa version en vigueur à partir du 1 er janvier 2012; cf. ancien <ref-law>) prévoit que le droit aux autres mesures de réadaptation et aux mesures de nouvelle réadaptation au sens de l'art. 8a prend naissance dès qu'elles sont indiquées en raison de l'âge et de l'état de santé de l'assuré (pour le droit aux mesures de réinsertion préparant à la réadaptation professionnelle, voir <ref-law>). Selon la jurisprudence, est déterminant le moment à partir duquel l'invalidité, compte tenu de sa nature et de sa gravité, nécessite la mesure de réadaptation et la rend possible. L'événement assuré est réputé survenu lorsque l'atteinte à la santé influe sur la capacité de gain à un degré tel que l'on ne peut plus exiger de l'intéressé qu'il exerce son activité comme il le faisait avant la survenance de l'atteinte, que la mesure de réadaptation envisagée apparaît nécessaire et que les traitements et mesures médicales de réadaptation sont terminés (<ref-ruling> consid. 1b p. 263 et les références; arrêt I 591/03 du 31 août 2004 consid. 4.1).
Par conséquent, même si la nécessité de mesures de réadaptation futures est souvent reconnaissable peu après l'événement à l'origine de l'invalidité, cela ne signifie cependant pas que le cas d'assurance respectivement l'invalidité sont alors survenus pour la mesure d'ordre professionnel en cause. Ce qui est déterminant à cet égard, c'est la date à partir de laquelle l'atteinte à la santé, en fonction de sa nature et de sa gravité actuelles, rend nécessaire la mesure d'ordre professionnel, d'une part, et en permet, d'autre part, la mise en oeuvre. L'invalidité ne survient donc pas déjà lorsqu'il apparaît qu'une mesure d'ordre professionnel sera nécessaire, mais seulement lorsque l'état de santé de l'assuré rend possible une telle mesure (<ref-ruling> consid. 2c p. 278). Aussi longtemps que la mise en oeuvre de la mesure d'ordre professionnel est exclue en raison de l'état de santé de l'assuré, l'invalidité n'est pas (encore) survenue pour la mesure en cause ( SILVIA BUCHER, Eingliederungsrecht der Invalidenversicherung, 2011, nos 111 p. 71 et 586 p. 302).
6.3. La juridiction cantonale a fixé la survenance de l'invalidité pour les mesures de réadaptation d'ordre professionnel à la date de l'accident subi par l'intimée le 13 octobre 2009, soit au moment de la survenance des atteintes à la santé en tant que telles. Ce faisant, elle a méconnu la notion de survenance de l'invalidité découlant de l'<ref-law> et la jurisprudence y relative, puisqu'elle a assimilé la date de la survenance de l'invalidité à celle des atteintes à la santé. Or, au moment de l'accident en octobre 2009, l'état de santé de l'intimée ne permettait pas d'envisager la possibilité de mettre en oeuvre une mesure d'ordre professionnel, puisque l'état de santé et ses conséquences sur les facultés mentales et physiques de l'assurée n'étaient pas encore stabilisés.
Cela étant, il ressort des constatations de la juridiction cantonale, qui lient le Tribunal fédéral (consid. 2 supra ), que l'état de santé de l'intimée ne permettait pas d'envisager une mesure de réadaptation à tout le moins avant le printemps 2011. Si les premiers juges n'ont pas effectué de constatations explicites sur l'évolution de l'état de santé de l'assurée depuis l'accident en octobre 2009, ils ont cependant examiné à partir de quel moment des mesures de réadaptation d'ordre professionnel auraient dû être envisagées. Ils sont arrivés à la conclusion que l'office AI aurait dû "s'engager dès le printemps 2011 dans le sens de l'évaluation, selon l'<ref-law> (...), de mesures de réadaptation". Le recourant ne remet pas en cause la nécessité d'une telle évaluation: il indique expressément dans son écriture de recours que "l'examen de la possibilité de mettre en place des mesures de réadaptation se poursuit". Quant à l'intimée, elle se limite à affirmer que des mesures d'ordre professionnel auraient dû être immédiatement envisagées après l'accident, ce qui ne suffit pas pour remettre en cause les constatations de la juridiction cantonale sur le fait que de telles mesures n'entraient pas en ligne de compte avant le printemps 2011.
6.4. Par conséquent, dès lors que jusqu'au printemps 2011, la nécessité des mesures de réadaptation d'ordre professionnel, mais avant tout la possibilité de leur mise en oeuvre n'étaient pas (encore) établies, le cas d'assurance "invalidité" n'était pas survenu au sens de l'<ref-law>. La juridiction cantonale a cependant renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il examine les possibilités de réadaptation à partir de la date mentionnée, soit également le point de savoir si, entre-temps, l'invalidité au sens défini par la jurisprudence (consid. 6.2 supra) est survenue. À ce moment-là, l'intimée était âgée de moins de vingt ans, de sorte qu'elle se trouvait en deçà de l'âge-limite prévu par l'<ref-law> pour l'ouverture du droit aux mesures de réadaptation des ressortissants étrangers. Par le renvoi ordonné - que le recourant ne conteste pas en tant que tel -, la juridiction cantonale a mis en évidence que le refus des mesures de réadaptation d'ordre professionnel était pour le moins prématuré et, en tout cas à ce stade, contraire au droit. Les premiers juges ont donc annulé à juste titre la décision du 16 avril 2012 sur ce point.
7.
7.1. En ce qui concerne le second aspect du litige, soit le droit à une rente extraordinaire de l'invalidité, il y a lieu de rappeler que cette prétention n'est en principe pas ouverte aux ressortissants étrangers de pays avec lesquels la Suisse n'a pas conclu de convention de sécurité sociale. Selon l'<ref-law> (réservé par l'<ref-law>), en relation avec l'<ref-law>, le droit à une rente extraordinaire de l'assurance-invalidité est réservé aux ressortissants suisses (sous réserve d'une convention de sécurité sociale). Une exception à ce principe est prévue par l'<ref-law>, qui renvoie à l'<ref-law>, lequel prévoit, comme on l'a vu (consid. 4.3 supra) différentes conditions alternatives (pour le droit aux mesures de réadaptation).
Pour le droit à une rente extraordinaire de l'assurance-invalidité, l'invalidité est réputée survenue lorsque l'assuré a présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne durant une année sans interruption notable (<ref-law>). Le droit à la rente ne prend pas naissance avant le mois qui suit le 18 e anniversaire de l'assuré (<ref-law>).
7.2. L'<ref-law> a été introduit lors de la 1 ère révision de la LAI sur proposition de la Commission du Conseil national chargée d'examiner le projet de loi modifiant la loi sur l'assurance-invalidité. La Commission avait reconnu qu'à défaut d'une telle disposition et en raison du principe selon lequel la rente extraordinaire n'était allouée qu'à des Suisses (sous réserve de dispositions conventionnelles), les enfants étrangers ou apatrides souvent atteints d'un grave handicap, qui pouvaient bénéficier de prestations de l'assurance-invalidité pendant leur minorité, n'avaient pas droit, une fois majeurs, à une rente extraordinaire d'invalidité faute d'en réaliser les conditions (procès-verbal de la séance de la Commission du Conseil national chargée d'examiner le projet de loi modifiant la loi sur l'assurance-invalidité du 29 août 1967). Cette lacune avait déjà été mise en évidence par la Commission fédérale d'experts pour la révision de l'assurance-invalidité, qui avait examiné les conséquences de l'octroi d'une rente extraordinaire à des étrangers ou des apatrides devenus invalides pendant leur enfance, une fois la majorité atteinte (rapport du 1 er juillet 1966, p. 27). Avec l'adoption de l'<ref-law> - entré en vigueur le 1er janvier 1968 (RO 1968 29) -, l'Assemblée fédérale entendait accorder aux ressortissants étrangers et aux apatrides une rente extraordinaire à partir de leur dix-huitième année, pour autant qu'ils satisfissent comme enfants aux conditions de l'<ref-law> (BO 1967 CN 440; BO 1967 CE 303).
7.3.
7.3.1. Le renvoi opéré par l'<ref-law> aux conditions de l'<ref-law> a pour but de définir les conditions d'assurance que doivent réaliser les ressortissants étrangers et apatrides invalides pour bénéficier d'une rente extraordinaire d'invalidité. Les termes "remplissaient comme enfants les conditions fixées à l'art. 9, al. 3" visent, d'une part, les exigences relatives à l'année entière de cotisations et aux années de résidence en Suisse du ressortissant étranger, respectivement de son père ou de sa mère (conditions d'assurance). Ils impliquent, d'autre part, que l'intéressé a bénéficié ou aurait pu bénéficier de mesures de réadaptation, soit que le droit à ces mesures lui a été ou aurait pu lui être reconnu, parce qu'il satisfaisait ou aurait pu satisfaire aux conditions matérielles de la prestation de réadaptation visée par l'<ref-law> (cf. arrêt 9C_156/2010 du 20 avril 2011 consid. 4.2.3 [RSAS 2011 p. 513], qui renvoie au chiffre 7104 des DR).
Le point de savoir si les conditions d'assurance étaient réalisées et si la personne concernée a eu droit ou aurait concrètement pu avoir droit à des mesures de réadaptation doit être examiné de manière rétrospective: il faut se demander si "comme enfant", l'intéressé satisfaisait à ces exigences. Selon la jurisprudence, tel n'est pas le cas lorsque pour la période courant avant son dix-huitième anniversaire, l'intéressé ne pouvait prétendre des mesures de réadaptation d'ordre médical ou professionnel, parce qu'il avait bénéficié d'un traitement médical ayant pour objet l'affection en tant que telle (cf. <ref-law> a contrario) et que son état de santé n'aurait pas permis de mettre en oeuvre des mesures de réadaptation professionnelles (arrêt I 230/73 du 17 décembre 1973).
7.3.2. Comme l'a relevé à juste titre la juridiction cantonale, vu la constellation du cas d'espèce, où l'intimée a subi des atteintes à la santé peu de temps avant d'atteindre la majorité, on doit se demander ce que signifient les termes "comme enfants" ("als Kinder", "da bambini"). Il se pose singulièrement la question de savoir si les conditions de l'<ref-law> doivent (ou auraient dû) être réalisées par la personne concernée jusqu'à sa majorité (dix-huit ans) ou jusqu'à ce qu'elle a atteint l'âge de vingt ans (soit la limite d'âge prévue par l'<ref-law>, laquelle correspondait à l'âge de la majorité lors de l'entrée en vigueur de l'<ref-law>).
On peut penser à première vue que par l'expression "comme enfants" de l'<ref-law>, il faut entendre la période allant jusqu'à la majorité, soit, depuis le 1 er janvier 1996 (RO 1995 1126), jusqu'à l'âge de dix-huit ans. Il convient cependant de prendre en considération qu'à l'entrée en vigueur de cette disposition, la majorité s'acquérait à vingt ans, de sorte que le terme "enfants" de l'<ref-law> correspondait à toute personne âgée de moins de vingt ans. Or, au moment de l'abaissement de l'âge de la majorité de vingt à dix-huit ans, l'âge de vingt ans a été introduit à l'<ref-law> en remplacement de la référence à la minorité. Il s'agissait d'éviter des conséquences défavorables pour les jeunes assurés dans les cas où la loi se référait à la majorité civile, le maintien de l'âge de vingt ans se révélant nécessaire comme âge déterminant en droit des assurances sociales (Message du Conseil fédéral, du 17 février 1993, concernant la révision du code civil suisse [abaissement de l'âge de la majorité civile et matrimoniale, obligation d'entretien des père et mère], FF 1993 1093, 1110 ch. 263).
Compte tenu du renvoi que fait l'<ref-law> aux conditions de l'<ref-law> et, partant, aux ressortissants étrangers "âgés de moins de 20 ans", il y a lieu de tenir compte du but de protection voulu par le législateur, ainsi que de son objectif initial en relation avec l'introduction de l'<ref-law>, à savoir la possibilité d'accorder une renteextraordinaire d'invalidité à des ressortissants étrangers devenus invalides bénéficiant de mesures de réadaptation "pendant leur minorité" (consid. 7.2 supra), soit, à cette époque, jusqu'à l'accomplissement de leur vingtième année. Dans la mesure où cette limite d'âge a été expressément maintenue à l'<ref-law>, elle doit être prise en considération pour l'interprétation de l'<ref-law>. A défaut, un ressortissant étranger âgé de dix-huit ans révolus au moment de bénéficier de mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité n'aurait pas droit à une rente extraordinaire d'invalidité et se retrouverait précisément dans la situation lacunaire corrigée par l'introduction de l'<ref-law> (absence de droit à une rente extraordinaire une fois la limite de vingt ans atteinte, alors que l'intéressé avait pu jusque-là bénéficier de prestations de l'assurance-invalidité). En conséquence, il y a lieu d'admettre que les termes "comme enfants" de cette disposition signifient "avant l'âge de vingt ans révolus". L'interprétation différente qui ressort de l'arrêt I 230/73 cité ne peut pas être maintenue, dès lors qu'elle ne repose pas sur un examen approfondi de la disposition en cause. De même, le ch. 7102 DR et l'avis de la doctrine qui s'y réfère, sans autre précision (cf. MICHEL VALTERIO, Droit de l'assurance-vieillesse et survivants [AVS] et de l'assurance-invalidité [AI], 2011, n. 2251 p. 606; voir aussi Edgar Imhof, Ausländer/innen von ausserhalb der EU/EFTA und Sozialversicherungen - ein Überblick, RSAS 2006 p. 442) ne peuvent être suivis.
7.4. En l'espèce, comme on l'a vu (consid. 6.4 supra), l'intimée ne pouvait prétendre des mesures de réadaptation d'ordre professionnel avant le printemps 2011, soit postérieurement à son dix-huitième anniversaire (survenu en septembre 2010); son état de santé ne permettait pas d'en envisager la mise en oeuvre. La situation postérieure à cette date n'est pas suffisamment établie. Faute de pouvoir constater si l'intimée a droit à des mesures de réadaptation, on ne peut donc, à ce stade, en tirer de conséquences quant à la réalisation ou non des conditions de l'art. 39 al. 3 en relation avec l'<ref-law> (voir consid. 7.6 infra).
7.5. Dans sa réponse au recours, l'intimée prétend qu'elle aurait pu bénéficier de mesures médicales de réadaptation avant l'âge de la majorité, en invoquant la prise en charge neuropsychologique et ergothérapeutique qui aurait été indiquée dès la sortie de l'Hôpital C._ en octobre 2009.
7.5.1. À teneur de l'<ref-law>, l'assuré a droit, jusqu'à l'âge de 20 ans, aux mesures médicales qui n'ont pas pour objet le traitement de l'affection comme telle, mais sont directement nécessaires à la réadaptation professionnelle ou à sa réadaptation en vue de l'accomplissement de ses travaux habituels, et sont de nature à améliorer de façon durable et importante sa capacité de gain ou l'accomplissement de ses travaux habituels, ou à les préserver d'une diminution notable. Lorsqu'il s'agit de mineurs, la jurisprudence a précisé que des mesures médicales pouvaient déjà être utiles de manière prédominante à la réadaptation professionnelle et, malgré le caractère encore provisoirement labile de l'affection, pouvaient être prises en charge par l'AI si, sans ces mesures, la guérison serait accompagnée de séquelles ou s'il en résulterait un état défectueux stable d'une autre manière, ce qui nuirait à la formation professionnelle, diminuerait la capacité de gain ou aurait ces deux effets en même temps (p. ex., arrêt 9C_729/2008 du 17 avril 2009 consid. 2.2 et les arrêts cités, in SVR 2009 IV n° 40 p. 116).
L'<ref-law> vise notamment à tracer une limite entre le champ d'application de l'assurance-invalidité et celui de l'assurance-maladie et de l'assurance-accidents. En principe, le traitement des conséquences d'un accident ressortit en premier lieu, sans égard à la durée de l'affection, au domaine de l'assurance-accidents (<ref-law>). Des séquelles (relativement) stabilisées peuvent entraîner des mesures médicales au sens de l'<ref-law>, pour autant qu'il n'existe pas un rapport étroit de connexité matérielle et temporelle avec le traitement des suites de l'accident. Le lien de connexité matériel avec l'accident existe si la mesure médicale et le traitement de l'accident constitue un complexe uniforme. Une mesure médicale dont la nécessité future est reconnue comme probable déjà au moment du traitement de l'accident ne correspond pas à une mesure de réadaptation de l'assurance-invalidité (<ref-ruling> consid. 1a p. 20; arrêt 9C_748/2012 du 12 avril 2013 consid. 2.1 et 2.2).
7.5.2. En l'espèce - et il convient ici de compléter les constatations de fait du jugement entrepris (<ref-law>) -, il ressort du rapport d'examen neuropsychologique du 26 novembre 2010 cité par l'intimée que les mesures envisagées par la psychologue E._ auraient déjà dû être entreprises à la sortie de l'Hôpital C._ (qui a apparemment eu lieu à la fin du mois d'octobre 2009, près de deux semaines après l'accident). La psychologue indiquait qu'une prise en charge neuropsychologique et ergothérapeutique aurait pour but d'améliorer le tableau neuropsychologique et d'apprendre à l'intimée à utiliser des stratégies visant à contourner ses difficultés, alors que le suivi neurologique était également nécessaire pour prendre en charge notamment les vertiges et les maux de tête de manière adéquate.
Au regard de ces conclusions, il apparaît que les mesures médicales préconisées par la psychologue E._ constituaient des démarches thérapeutiques étroitement liées aux suites médicales de l'accident. Elles auraient en effet été nécessaires dès la fin du séjour hospitalier pour traiter les séquelles présentées par l'intimée, notamment sous forme de vertiges et maux de tête. D'un point de vue matériel, elles auraient dès lors fait partie du traitement des suites de l'accident en tant que tel, sans constituer des mesures médicales de réadaptation suffisamment indépendantes du traitement des atteintes provoquées par l'accident. En conséquence, l'intimée n'aurait pas pu bénéficier de la prise en charge de ces mesures par l'assurance-invalidité, en l'absence de rupture du rapport étroit de connexité matérielle et temporelle (dont il suffit de préciser que la jurisprudenceexige que la lésion reste stable sans traitement pendant une longue durée, en règle générale, une année, cf. arrêt 9C_748/2012, cité, consid. 2.3.1 et 4.2; <ref-ruling> consid. 1b p. 20).
7.6. Il résulte de ce qui précède que l'intimée n'aurait pas pu bénéficier de mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité jusqu'à l'accomplissement de son dix-huitième anniversaire. En revanche, le point de savoir si elle aurait pu prétendre à des mesures de réadaptation d'ordre professionnel à partir du printemps 2011 doit faire l'objet d'une instruction complémentaire. De la réponse à cette question dépend alors le droit de l'intimée à une rente extraordinaire au sens de l'<ref-law>: les conditions en seraient réalisées si l'intimée avait pu bénéficier de mesures de réadaptation avant le 5 septembre 2012, date de son vingtième anniversaire.
8.
En conclusion, le renvoi de la cause ordonné par la juridiction cantonale pour l'examen du droit à des mesures de réadaptation d'ordre professionnel pour la période courant à partir du printemps 2011 est conforme au droit. En ce qui concerne la rente extraordinaire d'invalidité, le principe du droit à cette prestation ne peut pas, pour l'heure être confirmé et devra faire l'objet d'un nouvel examen à l'issue de l'instruction, en fonction du résultat de celle-ci.
Dans son résultat, le jugement entrepris qui conduit à un renvoi de la cause au recourant pour instruction complémentaire et nouvelle décision sur le droit à des mesures de réadaptation d'ordre professionnel, ainsi que sur le droit à une rente extraordinaire d'invalidité n'est dès lors pas critiquable. Il convient cependant de tenir compte des précisions du Tribunal fédéral en relation avec l'objet du renvoi et de réformer le jugement entrepris en conséquence.
Les conclusions du recours, visant à l'annulation du jugement entrepris, se révèlent dès lors mal fondées.
9.
Vu l'issue de la procédure, le recourant supportera les frais de justice y afférents (<ref-law>). Il versera également une indemnité de dépens à l'intimée (<ref-law>), ce qui rend sans objet la demande d'assistance judiciaire qu'elle a présentée en instance fédérale.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté. Le chiffre II du dispositif de la décision du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, est réformé en ce sens que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 16 avril 2012 est annulée et la cause lui est renvoyée pour complément d'instruction et nouvelle décision dans le sens du considérant 8 du présent arrêt.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée la somme de 1428 fr., plus la taxe sur la valeur ajoutée, à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 6 juin 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : La Greffière :
Kernen Moser-Szeless