Sachverhalt:
A. Mit getrennten Verfügungen vom 1. September 2011 auferlegte die Politische Gemeinde Au (im Folgenden: die Gemeinde) X._, Y._ und Z._, welche beim Baudepartement des Kantons St. Gallen tätig sind, Bussen von je Fr. 300.--. Die Gemeinde begründete dies damit, nach einem Bericht in der Zeitung "Der Rheintaler" vom 2. Juli 2011 seien die Gebüssten für die Erstellung der Anlage im Kreisel beim Zollamt in Au mitverantwortlich. Diese Anlage sei ohne Bewilligung der Gemeinde erstellt worden und daher rechtswidrig.
Da die Gebüssten die Bussen nicht bezahlten, erstattete die Gemeinde am 14. September 2011 gegen sie beim Untersuchungsamt Altstätten je Strafanzeige.
Am 15. September 2011 übermittelte das Untersuchungsamt die Strafanzeigen der Anklagekammer des Kantons St. Gallen zur Prüfung der Eröffnung eines Strafverfahrens gegen Beamte.
B. Am 9. November 2011 vereinigte die Anklagekammer die drei Verfahren und lehnte die Eröffnung eines Strafverfahrens ab. Die Entscheidgebühr von Fr. 1'000.-- auferlegte sie der Gemeinde.
C. Die Gemeinde führt "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und in Strafsachen" mit dem Antrag, der Entscheid der Anklagekammer sei aufzuheben, soweit ihr damit Kosten auferlegt worden seien.
D. X._, Y._ und Z._ haben je gleichlautende Vernehmlassungen eingereicht. Sie beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Die Anklagekammer hat ebenfalls Gegenbemerkungen eingereicht mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
Das Untersuchungsamt stellt unter Hinweis auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids denselben Antrag.
Die Gemeinde hat unaufgefordert eine Replik eingereicht mit dem Antrag, diese sei zuzulassen. Sie hält an der Beschwerde fest.

Erwägungen:
1. Die von der Beschwerdeführerin eingereichte Replik ist antragsgemäss zuzulassen (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197; <ref-ruling> E. 4.3 ff. S. 102 ff., 98 E. 2.1 S. 99).
2. 2.1 In der Hauptsache ist gegen den angefochtenen Entscheid gemäss <ref-law> die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272). Damit trifft das auch hier zu, da die Zulässigkeit der Beschwerde im Kostenpunkt jener in der Hauptsache folgt (Urteile 9C_950/2011 vom 9. Mai 2012 E. 5; 2C_60/2011 vom 12. Mai 2011 E. 1).
2. 2.1 In der Hauptsache ist gegen den angefochtenen Entscheid gemäss <ref-law> die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272). Damit trifft das auch hier zu, da die Zulässigkeit der Beschwerde im Kostenpunkt jener in der Hauptsache folgt (Urteile 9C_950/2011 vom 9. Mai 2012 E. 5; 2C_60/2011 vom 12. Mai 2011 E. 1).
2.2 2.2.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie sei gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt.
2.2.2 <ref-law> regelt das allgemeine Beschwerderecht. Danach ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten befugt, wer a) vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, b) durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und c) ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung hat.
<ref-law> ist auf Privatpersonen zugeschnitten. Doch kann sich nach der Rechtsprechung auch das Gemeinwesen darauf stützen, falls es durch den angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie ein Privater betroffen wird. Das Gemeinwesen kann auch in hoheitlichen Interessen derart berührt sein, dass ein schutzwürdiges Interesse im Sinne von <ref-law> anzunehmen ist. Das kann namentlich bei wichtigen vermögensrechtlichen Interessen der Fall sein. Das allgemeine Beschwerderecht setzt eine qualifizierte Betroffenheit des Gemeinwesens voraus. Gemeinwesen dürfen nach <ref-law> nur restriktiv zur Beschwerdeführung zugelassen werden. Jedes beliebige, mit der Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe direkt oder indirekt verbundene finanzielle Interesse des Gemeinwesens genügt für die Annahme des allgemeinen Beschwerderechts nicht (<ref-ruling> E. 2.3 f. S. 385 ff. mit Hinweisen).
Im Urteil 1C_503/2009 vom 14. Januar 2010 ging es um eine Bausache. Die Gemeinde ordnete einen Baustopp an und verfügte die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands. Die von der Eigentümerin hiergegen erhobene Beschwerde hiess das kantonale Verwaltungsgericht gut und auferlegte der Gemeinde die Gerichts- und Parteikosten. Die Gemeinde erhob Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, mit der sie insbesondere die Auferlegung der Gerichts- und Parteikosten anfocht. Das Bundesgericht trat darauf nicht ein. Es erwog, das allgemeine vermögensrechtliche Interesse der Beschwerdeführerin, vor Gerichts- und Parteikosten verschont zu werden, genüge nicht zur Begründung der Beschwerdeberechtigung; ansonsten wäre jede im vorinstanzlichen Verfahren unterliegende Gemeinde, die mit Kosten belastet wurde, zur Beschwerdeführung gemäss <ref-law> berechtigt. Die Gemeinde sei vom Kostenentscheid auch nicht gleich einem Privaten betroffen. Dies gelte selbst dann, wenn das kantonale Recht keine besonderen Kostenbestimmungen für Gemeinwesen kenne. Auch in diesem Fall gehörten die Gerichts- und Parteikosten zu den finanziellen Folgen der Verwaltungstätigkeit der Gemeinde und träfen sie in ihrer Stellung als erstinstanzlich verfügende Behörde (E. 2.3; ebenso BERNHARD WALDMANN, in: Bundesgerichtsgesetz, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2011, N. 42 am Schluss zu <ref-law>).
2.2.3 Das allgemeine Vermögensinteresse der Beschwerdeführerin, die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- nicht bezahlen zu müssen, genügt im Lichte dieser Rechtsprechung - auf die zurückzukommen kein Anlass besteht - für die Annahme der Beschwerdelegitimation nach <ref-law> nicht. Es ist offensichtlich, dass die Beschwerdeführerin - eine Gemeinde mit ca. 7'000 Einwohnern und (gemäss im Internet einsehbarer Rechnung 2011) einem Jahreshaushalt von ca. 35 Mio. Franken - durch die einmalige Auferlegung einer Entscheidgebühr von Fr. 1'000.-- nicht in qualifizierter Weise in schutzwürdigen hoheitlichen Interessen betroffen ist.
Die Beschwerdeführerin ist auch nicht gleich einem Privaten berührt. Gemäss Art. 2 Abs. 1 des Gesetzes vom 6. Juni 1972 des Kantons St. Gallen über die Raumplanung und das öffentliche Baurecht (Baugesetz, BauG/SG; sGS 731.1) ist die örtliche Baupolizei Sache der politischen Gemeinde. Die Beschwerdeführerin wurde als Baupolizeibehörde tätig, nachdem sie von den Bauarbeiten beim Kreisel Kenntnis erlangt hatte, die ihrer Meinung nach einer kommunalen Bewilligung bedurft hätten. Sie verfügte zunächst in Anwendung von Art. 10 lit. b der Strafprozessverordnung vom 23. November 2010 des Kantons St. Gallen (sGS 962.11) i.V.m. deren Anhang Ziff. 17.1 und Art. 132 BauG/SG Bussen wegen Bauens ohne Bewilligung. Nachdem die Beschwerdegegner die Bussen nicht bezahlt hatten, erstattete sie gemäss Art. 49 Abs. 3 des Einführungsgesetzes vom 3. August 2010 zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung (sGS 962.1) Strafanzeige. Die vorinstanzliche Kostenauferlegung stellt demnach die Folge der Verwaltungstätigkeit der Beschwerdeführerin dar. Sie ist nach der dargelegten Rechtsprechung daher nicht gleich einem Privaten betroffen. Dass sie - anders als die Gemeinde im erwähnten Urteil vom 14. Januar 2010 - keinen Verwaltungszwang nach Art. 130 f. BauG/SG angewendet, sondern zunächst in Anwendung von Art. 132 BauG/SG Bussen verfügt und dann Strafanzeigen erstattet hat, kann unter dem Gesichtswinkel der Beschwerdelegitimation nach <ref-law> keinen Unterschied machen. Der Fall läge anders, wenn der Beschwerdeführerin etwa in einem Zivilverfahren, in dem sie sich gegen übermässige Immissionen aus der Nachbarschaft des Gemeindehauses zur Wehr gesetzt hätte, Kosten auferlegt worden wären. In einem derartigen Fall stellte die Kostenauferlegung keine Folge der Verwaltungstätigkeit der Beschwerdeführerin dar.
Wie dargelegt, dürfen Gemeinwesen nur restriktiv zur Beschwerdeführung nach <ref-law> zugelassen werden. Die Voraussetzungen dafür sind hier nicht erfüllt.
2.3 Die Beschwerdeführerin beruft sich auf <ref-law>. Danach sind Gemeinden zur Beschwerde berechtigt, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundsverfassung gewährt.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, der angefochtene Kostenentscheid verletze die Gemeindeautonomie. Insoweit ist sie gemäss <ref-law> ohne Weiteres zur Beschwerde berechtigt. Dafür genügt es, dass sie - was hier der Fall ist - durch den angefochtenen Entscheid in ihrer Stellung als Hoheitsträger berührt ist. Ob ihr die beanspruchte Autonomie tatsächlich zukommt und diese verletzt worden ist, ist eine Frage der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1.3 S. 407 mit Hinweisen).
<ref-law> gewährleistet die Gemeindeautonomie nach Massgabe des kantonalen Rechts. Gemäss Art. 89 Abs. 1 der Verfassung vom 10. Juni 2001 des Kantons St. Gallen (SR 131.225) ist die Gemeinde autonom, soweit das Gesetz ihre Entscheidungsfreiheit nicht einschränkt. Als Baupolizeibehörde kommt der Beschwerdeführerin zwar Autonomie zu (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 472 f.). Diese wird jedoch nicht verletzt, wenn ihr in einem gerichtlichen Verfahren nach den üblichen Regeln die Kosten auferlegt werden. Das Gericht greift damit in keinen von ihm zu achtenden Entscheidungsspielraum der Beschwerdeführerin ein.
Die Beschwerde ist im vorliegenden Punkt daher unbegründet.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführerin ging es darum, die ihr auferlegte Entscheidgebühr nicht bezahlen zu müssen. Sie führte Beschwerde somit in ihrem Vermögensinteresse, weshalb sie gemäss <ref-law> im bundesgerichtlichen Verfahren von den Gerichtskosten nicht befreit ist.
Dem Kanton ist keine Entschädigung zuzusprechen (<ref-law>). Ebenso wenig den Beschwerdegegnern, da sie im bundesgerichtlichen Verfahren nicht anwaltlich vertreten waren (<ref-ruling> E. 4 S. 446 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri