Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1985) stammt nach eigenen Angaben aus Albanien. Er hat sich über ein Jahr illegal in der Schweiz aufgehalten. Bei seiner Anhaltung ersuchte er um Asyl, worauf er am 25. April 2014 in Vorbereitungshaft genommen wurde, welche die Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt für sechs Wochen genehmigte.
1.2. Am 23. Mai 2014 wurde A._ asylrechtlich befragt. Am 2. Juni 2014 verlängerte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt die Vorbereitungshaft von A._ um weitere sechs Wochen, was die Zwangsmassnahmenrichterin am 4. Juni 2014 bestätigte.
1.3. A._ beantragt vor Bundesgericht, ihm zu helfen ("Aiuto") und ihm einen Rechtsanwalt beizugeben, damit dieser den Entscheid der Zwangsmassnahmenrichterin prüfe.
2.
2.1. Nach Art. 75 lit. f AuG (SR 142.20) kann die zuständige kantonale Behörde eine ausländische Person, die keine Kurzaufenthalts-, Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung besitzt, zur Sicherung des Wegweisungsverfahrens während des Entscheides über ihre Aufenthaltsberechtigung für höchstens sechs Monate festhalten, wenn sie sich rechtswidrig in der Schweiz aufhält, ein Asylgesuch einreicht und damit offensichtlich bezweckt, den drohenden Vollzug einer Weg- oder Ausweisung zu vermeiden; ein solcher Zweck ist zu vermuten, wenn eine frühere Einreichung des Asylgesuchs möglich und zumutbar war und wenn das Gesuch in einem engen zeitlichen Zusammenhang mit einer Verhaftung, einem Strafverfahren, dem Vollzug einer Strafe oder dem Erlass einer Wegweisungsverfügung ergangen ist. Es besteht in dieser Situation die gesetzliche Vermutung, dass der Betroffene sein Asylgesuch missbräuchlich eingereicht hat, um sich den Behörden und dem Vollzug der Wegweisung zu entziehen und unterzutauchen (vgl. THOMAS HUGI YAR, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax et al. [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, Rz. 10.67 ff.).
2.2. Der Beschwerdeführer hat sein Asylgesuch erst bei seiner Anhaltung nach über einem Jahr eingereicht, als ihm die Wegweisung drohte. Er nennt keinerlei Gründe, warum er nicht früher um Schutz nachgesucht hat bzw. hat nachsuchen können. Er durfte deshalb zur Sicherung der Durchführung des Wegweisungsverfahrens in Vorbereitungshaft genommen werden. Es ist gestützt auf das Verhalten des Beschwerdeführers nicht ersichtlich, welche andere, weniger eingreifende Massnahme, geeignet wäre, sicherzustellen, dass er sich den Behörden zur Verfügung hält und nicht erneut untertaucht und illegal im Land verbleibt. Da der asylrechtliche Entscheid wider Erwarten nicht während der ersten sechs Wochen ergehen konnte, war es zulässig, seine Festhaltung um weitere sechs Wochen zu verlängern.
2.3. Der Beschwerdeführer bringt gegen den Verlängerungsentscheid in der Sache selber nichts vor, sondern ersucht einzig um Beigabe eines Anwalts durch das Bundesgericht. Dies erübrigt sich, da der angefochtene Entscheid offensichtlich kein Bundesrecht verletzt: Dass der Beschwerdeführer bereits im kantonalen Verfahren um Verbeiständung ersucht hätte und ihm diese in unzulässiger Weise verweigert worden wäre, macht er nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.1 mit Hinweisen). Die Vorbereitungshaft kann maximal bis zu sechs Monaten verlängert werden, die vorliegende Verlängerung bleibt deutlich unter diesem Wert. Sollte innerhalb der neuen Frist wiederum kein erstinstanzlicher Entscheid im Asylverfahren ergehen (vgl. <ref-law> [SR 142.31]), wird es an der Zwangsmassnahmenrichterin sein, zu beurteilen, ob eine weitere Verlängerung noch mit dem Beschleunigungsgebot (Art. 75 Abs. 2 AuG) bzw. dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit staatlichen Handels (<ref-law> [SR 101]) vereinbar ist.
3.
Die Eingabe kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt wird eingeladen, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar