Faits:
A. Par jugement du 7 juin 2006, le Tribunal de police de l'arrondissement de la Côte a condamné par défaut X._, pour abus de confiance, à trois mois d'emprisonnement ferme et donné acte à Y._ SA de ses réserves civiles contre le condamné.
X._ a formé une première demande de relief. L'avant-veille de l'audience de reprise de cause, fixée au 19 janvier 2007, il a envoyé par télécopie une lettre et un certificat médical au président du tribunal pour lui demander un report. Le président lui a répondu immédiatement par télécopie et par courrier prioritaire qu'il maintenait l'audience. Par jugement du 19 janvier 2007, constatant que X._ n'avait pas comparu à l'audience de reprise de cause, le tribunal de police a, en application de l'art. 408 du code de procédure pénale du canton de Vaud (RS/VD 312.01; ci-après: CPP/VD), confirmé son jugement du 7 juin 2006. X._ n'est pas allé retirer, à l'agence postale de sa résidence secondaire française, le pli recommandé sous lequel le greffe du tribunal de l'arrondissement de La Côte lui avait envoyé un exemplaire de ce jugement pour notification.
B. Le 13 septembre 2008, X._ a été arrêté et placé en détention afin de purger la peine de trois mois d'emprisonnement prononcée contre lui. Le jour même de son arrestation, il a présenté une seconde demande de relief. Statuant sur celle-ci le 15 septembre 2008, le Président du Tribunal de police de l'arrondissement de la Côte l'a déclarée irrecevable, faute pour le requérant de justifier d'un cas de force majeure l'ayant empêché de comparaître à l'audience de reprise de cause du 19 janvier 2007.
Le recourant n'a constitué un défenseur qu'à réception de ce prononcé (cf. dossier cantonal, pièce 28 p. 6), lors même qu'en l'inculpant, le juge d'instruction l'avait informé de son droit d'être assisté d'un défenseur, conformément aux art. 104 ss CPP/VD (cf., dossier cantonal, PV d'audition 2).
C. Par arrêt du 30 septembre 2008, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, saisie d'un recours en réforme séparé (art. 420 let. d CPP/VD), a confirmé l'irrecevabilité de la seconde demande de relief.
D. X._ recourt au Tribunal fédéral contre cet arrêt, en concluant à son annulation et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision.
Il joint des pièces nouvelles à son mémoire.
Le Tribunal fédéral n'a pas ordonné d'échange d'écritures sur le fond.
E. Par ordonnance de mesures provisionnelles du 30 octobre 2008, considérant que la condamnation prononcée le 7 juin 2006 n'était pas exécutoire (<ref-law>) et constatant que l'intéressé ne faisait pas l'objet d'une décision de mise en détention préventive ou d'arrestation immédiate, le président de la cour de céans a admis une requête de remise en liberté présentée par le recourant.

Considérant en droit:
1. La cour cantonale a considéré que la seconde demande de relief du recourant était irrecevable parce que, n'indiquant pas pour quelle raison celui-ci avait fait défaut à l'audience de reprise de cause, elle ne satisfaisait pas aux exigences de motivation qui découlent de l'art. 405 al. 2 CPP/VD. D'après la cour cantonale, ce n'était pas faire preuve de formalisme excessif que d'exiger du recourant qu'il expliquât dans sa demande les raisons de son second défaut, puisqu'il ne pouvait ignorer de bonne foi que l'audience de reprise de cause avait été tenue et qu'il devait justifier son absence, s'il voulait obtenir un second relief. Par surabondance, la cour cantonale a relevé que le certificat médical produit l'avant-veille de l'audience de reprise de cause, à l'appui de la demande de report, ne prouvait pas que le recourant se trouvait dans l'impossibilité de comparaître.
2. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir omis de sanctionner l'irrégularité de son assignation à l'audience de reprise de cause. D'après lui, le président du tribunal de police avait commis l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., en le citant à cette audience de la manière prévue à l'art. 48 CPP/VD, alors qu'il était domicilié en Suisse et que cette disposition est exclusivement applicable aux parties domiciliées à l'étranger qui n'ont pas élu de domicile dans le canton de Vaud. Ce vice entraînerait de plein droit la nullité du jugement confirmatif de sa condamnation par défaut, du 19 janvier 2007. La cour cantonale aurait dû relever cette nullité d'office et, partant, admettre le recours, annuler le prononcé du 15 septembre 2008 et renvoyer la cause au président afin qu'il appointe une audience comme si la première demande de relief était toujours pendante.
2.1 Il est admis qu'un jugement rendu par un organe étatique muni de pouvoirs juridictionnels peut exceptionnellement être déclaré nul ou inefficace, pour vice grave et manifeste, s'il apparaît, d'une part, que la simple annulabilité n'offrirait pas une protection suffisante à la partie ou au tiers lésé et, d'autre part, que la nullité absolue, qui peut être constatée d'office, en tout temps et par toute autorité, ne compromettrait pas la sécurité du droit (<ref-ruling> consid. 3a p. 99). En procédure civile, la doctrine considère que ces dernières conditions sont remplies lorsque le jugement a été rendu à l'endroit d'une partie inexistante (HOHL, Procédure civile, t. II, 2002, n° 1881 ss, p. 88 s; HABSCHEID, Schweizerisches Zivilprozess- und Gerichtsorganisationsrecht, 2e éd. 1990, n° 459 p. 259) ou au bénéfice d'une immunité de juridiction (WALDER, Zur Bedeutung des Begriffes absolut nichtiger Urteile im Lichte der schweizerischen Gesetzgebung und Rechtslehre, in Mélanges Habscheid, Bielefeld 1989, p. 335 ss, spéc. p. 339; contra: HABSCHEID, op. cit., n° 459 p. 259). Un recours en annulation ne permettrait pas de réparer de tels vices sans réitérer l'irrégularité, puisqu'il supposerait qu'une partie inexistante agisse en justice ou qu'une personne jouissant d'une immunité soit contrainte de le faire. Les auteurs précités mentionnent encore comme nuls ou inefficaces le jugement rendu sans qu'aucune demande n'ait été formée, celui qui statue dans une cause complètement étrangère aux attributions du juge (par exemple un divorce prud'homal), celui qui est impossible à exécuter ou qui crée une situation inconnue du droit, ainsi que celui qui condamne à une prestation illicite ou contraire aux moeurs (HOHL, op. cit., t. II, 2002, n° 1881 ss p. 88 s; HABSCHEID, op. cit. n° 459 p. 259), tous jugements dont l'exécution troublerait gravement l'ordre juridique. Mais, en dehors de ces cas exceptionnels, conformément au principe "voies de nullité n'ont lieu contre les jugements" (sur ce principe: SCHUPBACH, Le recours en cassation, thèse Neuchâtel 1961, p. 35; CALAME, Appel et cassation, thèse Neuchâtel 1993, p. 38), un acte juridictionnel affecté d'un vice de procédure ou de fond est seulement annulable sur recours (HOHL, op. cit. n° 1880 p. 88; HABSCHEID, op. cit., n° 455 p. 257).
2.2 Ce principe s'applique également en procédure pénale (cf. HAUSER/SCHWERI/HARTMANN, Schweizerisches Prozessrecht, 6e éd. 2005, § 84 n° 2 p. 421). En particulier, un jugement pénal ne saurait être tenu pour absolument nul ou inefficace du seul fait que l'accusé a été cité à comparaître de manière irrégulière. D'une part, le préjudice éventuellement causé par cette informalité peut être réparé entièrement par l'annulation du jugement. D'autre part, au contraire de la partie inexistante, qui ne peut pas recourir valablement, et de la partie bénéficiant d'une immunité de juridiction, que l'on ne saurait contraindre à procéder, on peut exiger de l'accusé cité irrégulièrement qu'il recoure dans un certain délai pour obtenir, s'il y a lieu, l'annulation du jugement. En l'espèce, il appartenait donc au recourant, s'il voulait se prévaloir de l'irrégularité supposée de sa citation à comparaître, d'attaquer en temps utile le jugement du 19 janvier 2007, soit par un recours en nullité au Tribunal cantonal pour assignation irrégulière (art. 411 let. c CPP/ VD) si, comme le soutiennent les commentateurs, cette voie est ouverte contre les jugements rendus en application de l'art. 408 CPP/VD (cf. BOVAY/DUPUIS/MONNIER/MOREILLON/PIGUET, Procédure pénale vaudoise, 3e éd. 2008, n° 5 ad art. 408 CPP/VD, p. 448), soit, à défaut de voie cantonale, par un recours en matière pénale au Tribunal fédéral. Il pouvait encore interjeter l'un ou l'autre de ces deux recours lorsqu'il a constitué son défenseur, le 18 septembre 2008, puisque le jugement du 19 janvier 2007 ne comportait que l'indication du relief, à l'exclusion de toute autre voie, de sorte que sa notification fictive n'avait pas fait partir les délais du recours en nullité ou du recours en matière pénale (cf. <ref-law>). Comme il s'est ensuite abstenu de recourir alors qu'il était assisté d'un avocat, le recourant a, en tout état de cause, couvert le vice dont était prétendument affectée son assignation.
Au demeurant, le recourant a eu connaissance de la date de l'audience, puisqu'il en a demandé le report. L'irrégularité supposée de sa citation à comparaître ne l'empêchait donc en rien de se présenter à l'audience du tribunal de police.
3. Le recourant soutient ensuite que la cour cantonale a fait preuve de formalisme excessif et commis un déni de justice formel, prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst., en déclarant irrecevable sa seconde demande de relief au motif qu'il n'avait pas indiqué dans cet acte ce qui l'avait empêché de comparaître à l'audience de reprise de cause, alors que la demande de report et le certificat médical qu'il avait envoyés au président l'avant-veille de l'audience, toutes pièces versées au dossier, exposaient en détail les raisons de santé pour lesquelles il lui avait été impossible de quitter sa résidence secondaire de la Côte d'Azur pour se présenter à l'audience du tribunal de police du 19 janvier 2007.
L'excès de formalisme peut résider soit dans une règle de comportement imposée au plaideur par le droit de procédure applicable, soit dans la sanction attachée au non respect d'une telle règle. Dans le premier cas, il y a formalisme excessif si la règle n'est justifiée par aucun intérêt digne de protection, si elle fait de la procédure une fin en soi, compliquant de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entravant de manière inadmissible l'accès aux tribunaux (<ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 183/184 et les arrêts cités). Dans le second cas, il y a excès de formalisme si la violation d'une règle de procédure en soi admissible entraîne, pour son auteur, une sanction disproportionnée (<ref-ruling> consid. 1 p. 227). Si un juge refuse d'entrer en matière sur une demande ou sur un recours par suite d'un excès de formalisme de l'une ou l'autre de ces deux sortes, il commet un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 183/184 et les arrêts cités).
Selon l'art. 407 CPP/VD, le relief d'un jugement par défaut ne peut être accordé qu'une fois, à moins que le condamné n'établisse qu'il a été empêché par force majeure de se présenter à l'audience de reprise de cause. Selon les art. 405 et 406 CPP/VD, la demande de relief doit être adressée par écrit au président du tribunal qui a rendu le jugement par défaut; elle doit être motivée et accompagnée, le cas échéant, des pièces à l'appui. Il appartient au président de déclarer la demande irrecevable ou de la rejeter si elle paraît de prime abord irrégulière ou mal fondée ou, dans le cas contraire, de réappointer une audience. Ainsi, dans le cas d'une seconde demande de relief, le président n'est en mesure de déterminer s'il y a lieu de citer le requérant à une nouvelle audience que si celui-ci indique les circonstances qui l'ont prétendument empêché de se présenter à l'audience de reprise de cause. L'exigence de motivation d'une seconde demande de relief ne procède dès lors pas, en principe, d'un excès de formalisme (<ref-ruling> consid. 1a p. 227/228).
Il en va toutefois différemment lorsque, comme en l'espèce, le requérant avait sollicité sans succès le report de l'audience de reprise de cause par une demande motivée et accompagnée de pièces justificatives. Dans ce cas, le président dispose déjà d'explications sur les motifs du second défaut. Exiger du requérant qu'il les répète dans sa nouvelle demande de relief, destinée à la même autorité, n'a aucune utilité. Certes, si l'on admet qu'une seconde demande de relief non motivée est en pareille situation recevable, le président qui en est saisi doit alors se prononcer sur la base des mêmes éléments que dans la décision par laquelle il avait maintenu l'audience. Mais, même si son sort est dès lors prévisible, une telle demande n'est pas pour autant sans intérêt, puisque la décision qu'elle provoquera, au contraire de celle qui refusait de reporter l'audience, pourra faire l'objet d'un recours en réforme au Tribunal cantonal (cf. art. 420 let. d CPP/VD). Rien ne justifie par conséquent de la déclarer irrecevable pour la seule raison qu'elle n'est pas motivée.
Aussi, dans la mesure où ils sont dirigés contre le motif principal de l'arrêt attaqué, les griefs du recourant sont-ils bien fondés. Cependant, ils ne suffisent pas à entraîner l'admission du recours, puisqu'après avoir confirmé que la demande de relief était irrecevable, la cour cantonale l'a, par surabondance, déclarée mal fondée, au motif que les explications fournies par le recourant dans sa demande de report de l'audience de reprise de cause n'établissaient de toute façon pas qu'il lui était impossible de comparaître.
4. Enfin, le recourant soutient que l'arrêt attaqué viole l'art. 6 CEDH en ce qu'il le prive de la possibilité d'être jugé en contradictoire, alors qu'il ne serait pas établi qu'il a voulu se soustraire à la justice.
4.1 Selon la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme, l'art. 6 CEDH garantit à l'accusé le droit d'être jugé en sa présence. Il s'ensuit qu'une procédure par défaut n'est compatible avec cette disposition que si le condamné a la possibilité de demander qu'une juridiction statue à nouveau, après l'avoir entendu, sur le bien-fondé de l'accusation, en fait comme en droit (arrêt de la Cour européenne des droits de l'homme Sejdovic contre Italie du 1er mars 2006, § 81 s. et les arrêts cités).
Ce principe supporte cependant quelques atténuations. D'abord, la cour européenne reconnaît que, devant les juridictions supérieures, la comparution de l'accusé ne revêt pas nécessairement la même importance qu'en première instance (cf. arrêt Kamasinski c. Autriche du 19 décembre 1989, série A n° 168, § 106 ss). Ensuite, elle admet que la CEDH n'empêche pas une personne de renoncer de son plein gré aux garanties d'un procès équitable de manière expresse ou tacite, en particulier à son droit d'être jugé en contradictoire. Elle exige seulement que la renonciation au droit de participer à l'audience se trouve établie de manière non équivoque et qu'elle ait été entourée du minimum de garanties correspondant à sa gravité (arrêt Sejdovic précité, § 86 et les arrêts cités). Enfin, sous réserve que les sanctions procédurales prévues ne soient pas disproportionnées et que l'accusé ne soit pas privé du droit d'être représenté par un avocat, la cour européenne admet que le législateur national doit pouvoir décourager les absences injustifiées aux audiences (arrêt Sejdovic précité, § 92 et les arrêts cités, en particulier arrêt Poitrimol contre France du 23 novembre 1993, série A n° 277-A, § 35). Dès lors, la Cour européenne des droits de l'homme admet qu'une personne condamnée par défaut se voie refuser la possibilité d'être jugée en contradictoire si les trois conditions cumulatives suivantes sont remplies: premièrement, il est établi que cette personne avait reçu sa citation à comparaître; deuxièmement, elle n'a pas été privée de son droit à l'assistance d'un avocat dans la procédure par défaut; et, troisièmement, il est démontré qu'elle avait renoncé de manière non équivoque à comparaître ou qu'elle avait cherché à se soustraire à la justice (cf. arrêts Medenica contre Suisse du 14 juin 2001, Recueil CourEDH 2001-VI, § 59, et Sejdovic précité, § 105 s., a contrario). À propos de cette dernière condition, la cour européenne a précisé qu'il ne devait pas incomber à l'accusé de prouver qu'il n'entendait pas se dérober à la justice ou que son absence s'expliquait par un cas de force majeure, mais qu'il était loisible aux autorités nationales d'évaluer si les excuses fournies par l'accusé pour justifier son absence étaient valables ou si les éléments versés au dossier permettaient de conclure que l'absence de l'accusé aux débats était indépendante de sa volonté (arrêt Sejdovic précité, § 88 et les arrêts cités).
4.2 Dans le cas présent, il est établi que le recourant avait été informé des poursuites exercées contre lui et qu'il a reçu sa convocation à l'audience de reprise de cause, puisqu'il a demandé le report de celle-ci. En outre, comme il n'a pas constitué d'avocat avant le 18 septembre 2008, lors même que le juge d'instruction l'avait informé de son droit de le faire, il avait renoncé, manifestement et sans équivoque, à être défendu en son absence par un avocat, tant aux débats du 7 juin 2006 qu'à l'audience de reprise de cause du 19 janvier 2007. Il ne saurait donc se plaindre d'avoir été privé de la possibilité d'être représenté par un défenseur dans la procédure par défaut. Il reste donc à apprécier si l'excuse qu'il a fournie pour justifier son défaut à l'audience de reprise de cause est valable et, dans la négative, à vérifier si d'autres éléments permettaient de conclure que son absence était indépendante de sa volonté.
4.2.1 Le certificat médical produit à l'appui de la demande, qui tendait au report de l'audience de reprise de cause (dossier cantonal, pièce 24 p. 2), atteste exclusivement une impossibilité de prendre l'avion pendant trois semaines. Il précise bien que l'état de santé bucco-dentaire du recourant nécessitait des interventions fréquentes, mais il n'indique aucunement qu'il aurait été exagérément risqué pour sa santé que le recourant quitte deux ou trois jours sa résidence française, pour venir à Nyon en train ou en voiture puis, éventuellement, retourner dans les Alpes Maritimes par le même moyen après l'audience. Il s'ensuit que la cour cantonale n'a pas commis l'arbitraire en considérant par surabondance que l'excuse invoquée par le recourant à l'appui de sa demande de report d'audience et, partant, de sa seconde demande de relief, ne justifiait pas son défaut à l'audience de reprise de cause.
4.2.2 Le recours en réforme prévu par les art. 415 ss CPP/VD, en particulier le recours en réforme séparé de l'art. 420 let. d CPP/VD, n'est pas un appel. Il a été aménagé dans le seul but de permettre au Tribunal cantonal de vérifier que les premiers juges ont correctement appliqué le droit de fond aux faits qu'ils ont constatés. L'interdiction de produire des pièces nouvelles à l'appui d'un tel recours et l'irrecevabilité des pièces produites en méconnaissance de cette interdiction ne procèdent dès lors pas d'un excès de formalisme.
La cour cantonale a dès lors refusé à bon droit de tenir compte du certificat médical du 20 septembre 2008, que le recourant a produit pour la première fois devant elle. Par conséquent, le Tribunal fédéral ne peut pas davantage prendre cette pièce en considération (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 343; 6B_672/2007 du 15 avril 2008 consid. 2). Ainsi, en l'absence d'éléments permettant, au moment où le président a rendu le prononcé d'irrecevabilité du 15 septembre 2008, de penser que l'absence du recourant était indépendante de sa volonté, la cour cantonale ne pouvait que rejeter le recours en réforme dont elle était saisie. Il en résulte que, dans la mesure où il est recevable, le recours doit être rejeté.
4.2.3 Cependant, il apparaît que, le 18 septembre 2008, soit avant l'échéance du délai de (second) relief qui avait commencé à courir le 13 septembre 2008, le défenseur constitué par le recourant a écrit au président pour renouveler la demande de relief, en annonçant qu'il venait de demander un certificat médical complémentaire (cf. dossier cantonal, pièce 28, pp. 2 et 5). Il a produit ce certificat médical le 24 septembre 2008 (cf. dossier cantonal, pièce 31/2).
Le président n'a pris aucune décision sur cette nouvelle demande de relief, présentée et accompagnée d'une nouvelle pièce justificative dans le délai de l'art. 404 al. 3 CPP/VD. Il convient donc de lui renvoyer le dossier pour qu'il statue sur cette demande.
5. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de justice (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr. sont mis à la charge du recourant.
3. Le dossier est transmis au Président du Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte pour décision sur la demande de relief du 18 septembre 2008.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de cassation pénale.
Lausanne, le 10 juillet 2009
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Favre Oulevey