Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene T._ war vom 1. Mai bis 31. August 2000 in einem Pensum von 50 % und ab 1. September 2000 bis 31. Mai 2001 zu 40 % als Krankenpflegerin tätig; dabei war sie bei der Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge (nachfolgend: Sammelstiftung) versichert. Im Oktober 2000 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug (Umschulung) an. Mit Verfügung vom 25. Juni 2001 verneinte die IV-Stelle Basel-Landschaft einen Anspruch auf Leistungen (bei einem nach der gemischten Methode ermittelten Invaliditätsgrad von 12 %), was die Kantonale Rekurskommission für die Ausgleichskassen und die IV-Stellen (nachfolgend: Rekurskommission) mit Entscheid vom 18. Januar 2002 bestätigte. Nach Neuanmeldung der Versicherten im Juli 2002 sprach ihr die IV-Stelle mit Verfügung vom 19. März 2004 eine ganze Invalidenrente ab September 2002 zu. Die Sammelstiftung verneinte ihre Leistungspflicht mit der Begründung, die zur Invalidität führende Arbeitsunfähigkeit sei nicht während ihrer zeitlichen Zuständigkeit eingetreten.
B. Mit Entscheid vom 21. Dezember 2009 verpflichtete das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt die Sammelstiftung in Gutheissung der von T._ erhobenen Klage, ihr eine ganze Invalidenrente der obligatorischen beruflichen Vorsorge ab 1. Juni 2003 sowie eine überobligatorische Rente nach den reglementarischen Bestimmungen auszurichten.
C. Die Sammelstiftung lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, der Entscheid vom 21. Dezember 2009 sei aufzuheben.
T._ und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Im angefochtenen Entscheid ist die "Sammelstiftung der Basler Lebens-Versicherungs-Gesellschaft" als Beklagte aufgeführt. Dabei handelt es sich offensichtlich um ein redaktionelles Versehen, welches ohne Weiteres berichtigt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 61 ff.; Urteil 9C_178/2008 vom 15. Juli 2008 E. 1 mit weiteren Hinweisen).
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
3. Streitig und zu prüfen ist die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin in Bezug auf den Zeitpunkt, zu welchem die zu einer Invalidität führende Arbeitsunfähigkeit eingetreten ist. Während die Vorinstanz von einer Einschränkung ab Herbst 2000 ausgeht, hält die Sammelstiftung - gestützt auf die Verfügung der IV-Stelle vom 19. März 2004 - den 14. September 2001 für massgebend.
4.1 4.1.1 Anspruch auf Invalidenleistungen haben gemäss Art. 23 BVG (in der bis Ende Dezember 2004 gültig gewesenen und hier anwendbaren Fassung) Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 50 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren. Nach Art. 23 BVG massgebend ist einzig der Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit, unabhängig davon, in welchem Zeitpunkt und in welchem Masse daraus ein Anspruch auf Invalidenleistungen entsteht. Die Versicherteneigenschaft muss nur bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit gegeben sein, dagegen nicht notwendigerweise auch im Zeitpunkt des Eintritts oder der Verschlimmerung der Invalidität. Diese wörtliche Auslegung steht in Einklang mit Sinn und Zweck der Bestimmung, nämlich denjenigen Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmern Versicherungsschutz angedeihen zu lassen, welche nach einer längeren Krankheit aus dem Arbeitsverhältnis ausscheiden und erst später invalid werden. Für eine einmal aus - während der Versicherungsdauer aufgetretene - Arbeitsunfähigkeit geschuldete Invalidenleistung bleibt die Vorsorgeeinrichtung somit leistungspflichtig, selbst wenn sich nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses der Invaliditätsgrad ändert. Entsprechend bildet denn auch der Wegfall der Versicherteneigenschaft keinen Erlöschungsgrund (Art. 26 Abs. 3 BVG e contrario; <ref-ruling> E. 1a S. 263 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 45).
4.1.2 Die Arbeitsunfähigkeit - im Sinne einer Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23 mit Hinweisen; SZS 2003 S. 521, B 49/00 E. 3) - ist relevant, wenn sie mindestens 20 % beträgt und sich auf das Arbeitsverhältnis sinnfällig auswirkt oder ausgewirkt hat (Urteile 9C_18/2009 vom 7. April 2009 E. 3.2.1; 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2). Die Leistungspflicht einer Vorsorgeeinrichtung für eine erst nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses eingetretene oder verschlimmerte Invalidität setzt voraus, dass zwischen relevanter Arbeitsunfähigkeit und nachfolgender Invalidität ein enger sachlicher und zeitlicher Zusammenhang besteht. Der sachliche Zusammenhang ist zu bejahen, wenn der der Invalidität zu Grunde liegende Gesundheitsschaden im Wesentlichen derselbe ist, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat (<ref-ruling> E. 1c S. 264 f.; <ref-ruling> E. 2c/aa und bb S. 117 f. mit Hinweisen). Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig wurde (<ref-ruling> E. 1c S. 265 mit Hinweisen).
4.1.3 Rechtsprechungsgemäss sind die Vorsorgeeinrichtungen im Bereich der gesetzlichen Mindestvorsorge (Art. 6 BVG) an die Feststellungen der IV-Organe, insbesondere auch hinsichtlich des Eintritts der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit (Eröffnung der Wartezeit; <ref-law> [in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung] in Verbindung mit Art. 26 Abs. 1 BVG), gebunden, sofern sie vom gleichen Invaliditätsbegriff wie die Invalidenversicherung ausgehen, in das entsprechende Verfahren einbezogen wurden und soweit die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheint (<ref-ruling> E. 3.1 S. 273 f.; <ref-ruling> E. 1 in fine und 2a S. 311, je mit Hinweisen).
5.1 5.1.1 Die Vorinstanz hat - kognitionsrechtlich - nicht offensichtlich unrichtig und daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 2) festgestellt, die IV-Stelle habe sich für die Beurteilung des Rentenanspruchs im Wesentlichen auf die Berichte der Klinik X._ für Psychiatrie und Psychotherapie sowie des behandelnden Psychiaters Dr. med. E._ gestützt, aus welchen die Diagnosen einer rezidivierenden depressiven Störung (ICD-10: F33.2) sowie einer akzentuierten Persönlichkeit mit histrionischen und abhängigen Zügen (ICD-10: F48.9) hervorgehen. Weil sich dieses Krankheitsbild schleichend entwickle, ist sie der Auffassung, die Beurteilung der IV-Stelle zum Beginn der Arbeitsunfähigkeit, welche in der Verfügung vom 19. März 2004 auf den 14. September 2001 festgesetzt wurde, sei nicht massgebend.
5.1.2 Das Bundesgericht prüft die Rechtsfrage frei, ob die Vorinstanz die Verbindlichkeit des IV-Entscheids gestützt auf die Aktenlage im Zeitpunkt des Verfügungserlasses (BGE <ref-ruling> E. 2a S. 311) zu Recht verneint hat (vgl. Urteile 9C_1027/2008 vom 10. August 2009 E. 4.3.1; 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007, E. 4.1.1).
5.1.3 Es trifft zu, dass der Eintritt einer relevanten Arbeitsunfähigkeit, resp. der Beginn des Wartejahres (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung) Auswirkungen auf den - von der Versicherten nicht angefochtenen - Beginn des Rentenanspruchs hat. Die Arbeitsfähigkeit im für die Leistungspflicht der Sammelstiftung massgeblichen Zeitraum bildete indessen bereits Gegenstand der Verfügung vom 25. Juni 2001 resp. des Entscheids der Rekurskommission vom 18. Januar 2002. Darin wurde ein Gesundheitsschaden mit daraus resultierender Einschränkung der Arbeitsfähigkeit unterstellt, ist ein solcher doch unabdingbare Voraussetzung (vgl. Art. 8 Abs. 1 in Verbindung mit 7 ATSG) für die mit Blick auf einen Leistungsanspruch vorgenommene Ermittlung bzw. Überprüfung des Invaliditätsgrades. Daher ist für die Frage nach dem Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit grundsätzlich auf den Entscheid vom 18. Januar 2002 abzustellen, weshalb die Vorinstanz die Verbindlichkeit der in der Verfügung vom 19. März 2004 getroffenen Feststellung im Ergebnis zu Recht verneint hat.
5.1.4 Die Rekurskommission verwies im Entscheid vom 18. Januar 2002 zum Gesundheitszustand und den Einschränkungen der Versicherten auf die Beschwerdeantwort der IV-Stelle vom 12. September 2001, ohne Feststellungen zum Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit zu treffen. Solche fehlen indessen auch in der genannten Rechtsschrift und in der Verfügung vom 25. Juni 2001. Eine diesbezügliche Bindung (E. 4.1.3) fällt daher ausser Betracht.
5.1.4 Die Rekurskommission verwies im Entscheid vom 18. Januar 2002 zum Gesundheitszustand und den Einschränkungen der Versicherten auf die Beschwerdeantwort der IV-Stelle vom 12. September 2001, ohne Feststellungen zum Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit zu treffen. Solche fehlen indessen auch in der genannten Rechtsschrift und in der Verfügung vom 25. Juni 2001. Eine diesbezügliche Bindung (E. 4.1.3) fällt daher ausser Betracht.
5.2 5.2.1 Die Vorinstanz hat festgestellt, die psychiatrische Krankheit sowie die daraus folgende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit hätten sich im Herbst 2000 manifestiert, und den Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit auf diesen Zeitpunkt festgesetzt.
5.2.2 Eine offensichtliche Unrichtigkeit dieser Feststellungen (vgl. Urteil 9C_297/2010 vom 23. September 2010 E. 2.3) ist nicht ersichtlich (E. 2). Daran ändert nichts, dass in psychischer Hinsicht eine fachärztliche Behandlung nicht vor August 2001 aufgenommen wurde und dass die Ärzte der psychiatrischen Klinik X._ (Berichte vom 12. November 2001, 2. Oktober 2002 und 14. Januar 2003) und der die Beschwerdegegnerin seit November 2001 behandelnde Psychiater Dr. med. E._ (Berichte vom 6. August 2002 und 23. April 2003) eine Arbeitsunfähigkeit erst ab Beginn der stationären Behandlung am 14. September 2001 attestierten. Frau Dr. med B._, Fachärztin für allgemeine und Arbeitsmedizin, von welcher sich die Versicherte wegen ihrer psychischen Probleme ab 18. September 2000 behandeln liess, diagnostizierte "Erschöpfungsdepression mit Motivationsverlust, innerer Leere, Schlafstörung, psychisch instabil, Somatisierung" sowie "Arthrose Rücken/Knie" und attestierte diesbezüglich eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % (Berichte vom 9. November 2000 und 19. April 2001). Die damalige Arbeitgeberin bestätigte, dass die Versicherte wegen "Überbelastung/Überforderung" ab 1. September 2000 ihr bisheriges Arbeitspensum von 50 % auf 40 % reduzierte und dass sie - nach krankheitsbedingten Absenzen vom 21. bis 27. August 2000 sowie vom 23. September bis 6. Oktober 2000 - laut ärztlichem Zeugnis ab 6. Oktober 2000 nur Dienste ab zehn Uhr antreten konnte; sie löste das Arbeitsverhältnis schliesslich "aufgrund fehlender Belastbarkeit" auf (Berichte vom 15. November 2000 und 15. August 2002). Diesbezüglich hat die Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig festgestellt, eine "Überlastung/ Überforderung" entspreche gerade den Symptomen des Krankheitsbildes. Die IV-Stelle schloss in der Verfügung vom 25. Juni 2001 eine Anerkennung der Pensenreduktion - welche bezogen auf den bisherigen Umfang 20 % beträgt - als invaliditätsbedingt nicht aus. Auch wenn die Einschränkung der Arbeitsfähigkeit, weil sie nicht grösser war als der Umfang der Tätigkeit im Aufgabenbereich, im (reduzierten) Arbeitsverhältnis keine Absenzen bewirkte, scheint es überwiegend wahrscheinlich (E. 2), dass die Reduktion des Arbeitspensums, die Einschränkung auf Dienstantritt nach zehn Uhr und schliesslich die Auflösung des Arbeitsverhältnisses aus gesundheitlichen Gründen erfolgten, weshalb insoweit eine sinnfällige Auswirkung auf das Arbeitsverhältnis zu bejahen ist.
5.3 Dass Frau Dr. med. B._ bei der Einschätzung der Arbeitsfähigkeit körperliche Beeinträchtigungen mitberücksichtigte, vermag den sachlichen Zusammenhang zwischen der Arbeitsunfähigkeit und der nachfolgend eingetretenen Invalidität nicht zu unterbrechen: Sie schloss insbesondere Arbeiten mit besonderem Zeitdruck, Wechsel- oder Nachtschicht, psychischem Stress und interpersonellen Differenzen aus, weshalb anzunehmen ist, dass das Krankheitsgeschehen durch das psychische Leiden zumindest in wesentlichem Ausmass mitgeprägt war (Urteil 9C_297/2010 vom 23. September 2010 E. 5.2). Das kantonale Gericht hat daher den sachlichen Zusammenhang im Ergebnis zu Recht bejaht.
5.4 Schliesslich ist dem kantonalen Gericht auch bezüglich des zeitlichen Zusammenhanges keine Verletzung von Bundesrecht vorzuwerfen: Hinweise, dass sich der (psychische) Gesundheitszustand oder die Arbeitsfähigkeit der Versicherten seit Herbst 2000 verbessert hätten, fehlen. Soweit die Sammelstiftung vorbringt, die Versicherte habe Arbeitslosenentschädigung bezogen und das Arbeitspensum von 40 % absolviert, ohne dass - abgesehen von den im Zusammenhang mit einem Carpaltunnelsyndrom stehenden und hier nicht massgeblichen - namhafte Absenzen zu verzeichnen gewesen wären, kann sie nichts für sich ableiten. Diese Tatsachen erklären sich durch die bis zum Eintritt der vollständigen Arbeitsunfähigkeit verbliebene Leistungsfähigkeit, was nichts an der teilweisen Arbeitsunfähigkeit ändert.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. November 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Dormann