Faits:
A. A.a Oldriska (appelée aussi Olda) Kokoschka, née le 3 février 1915 à Prague, de nationalité britannique, veuve du peintre Oskar Kokoschka (décédé le 22 février 1980), est décédée le 22 juin 2004 à Montreux, son dernier domicile ayant été Villeneuve.
Le 1er février 1988, Oldriska Kokoschka avait constitué la Fondation à la mémoire d'Oskar Kokoschka (ci-après: la Fondation), dont le but est notamment l'entretien et la conservation de l'oeuvre de celui-ci. Elle en était alors la présidente, Peter Alther en étant le vice-président et Rudolf G. Probst l'un des membres du conseil de fondation. Ce dernier est actuellement secrétaire et membre du conseil de fondation, avec signature collective à deux.
Oldriska Kokoschka avait pris diverses dispositions de dernière volonté entre vifs et pour cause de mort. En particulier, par courrier du 12 janvier 1994, elle avait ordonné à la Banque Pictet & Cie de partager, à sa mort, ses avoirs déposés auprès d'elle entre trois bénéficiaires (cousins tchèques), à raison de 10% chacun, et la Fondation, à raison de 70%.
Par testament du 1er mars 1995 (dont seule une copie a été retrouvée), elle avait institué héritier Roman Kokoschka, neveu de son défunt mari, et fait divers legs.
Enfin, par testament du 30 novembre 1998 et codicille du 1er mars 2000, elle avait révoqué ses dispositions pour cause de mort antérieures, institué héritière la Fondation et prévu différents legs, attribuant notamment à Roman Kokoschka, dans un premier temps, la moitié de son compte dépôt auprès de l'UBS, puis une somme limitée à un million de schillings autrichiens; elle avait désigné Peter Alther en qualité d'exécuteur testamentaire et, en cas d'empêchement, Rudolf G. Probst.
Peter Alther ayant renoncé au mandat d'exécuteur testamentaire en raison de son âge, Rudolf G. Probst a accepté cette mission et, le 14 juillet 2004, la Justice de paix des districts d'Aigle et du Pays-d'Enhaut (ci-après: la Justice de paix) lui a délivré une attestation d'exécuteur testamentaire. Rudolf G. Probst a établi un état de la fortune d'Oldriska Kokoschka au jour de son décès. Un inventaire du mobilier et des objets d'art appartenant à la succession a également été dressé par un commissaire-priseur, le 30 août 2004. Un inventaire détaillé des meubles, bibelots, bijoux et objets d'art a été établi par un second commissaire-priseur, en vue d'une vente aux enchères publiques au profit de la Fondation. Le 28 mars 2005, Rudolf G. Probst a ordonné à la Banque Pictet & Cie de transférer à la Fondation toutes les valeurs déposées auprès d'elle.
A.b Par décision du 31 mars 2005, en raison du conflit d'intérêts résultant du fait que Rudolf G. Probst était à la fois exécuteur testamentaire et membre de la Fondation, le Juge de paix a suspendu le mandat d'exécuteur testamentaire de celui-ci et ordonné l'administration d'office de la succession, en application de l'art. 556 al. 3 CC, jusqu'à droit connu sur le litige opposant les trois bénéficiaires des dispositions prises par la défunte le 12 janvier 1994 - qui contestaient le testament du 30 novembre 1998 - à la Fondation. Le Juge de paix a par ailleurs ordonné la transmission du dossier à la Justice de paix aux fins de nommer l'administrateur d'office.
En raison des recours déposés (séparément) contre cette décision par Rudolf G. Probst et la Fondation auprès de la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud, le dossier n'a toutefois pas été transmis à la Justice de paix, compétente pour désigner l'administrateur d'office. Par ailleurs, l'attestation d'exécuteur testamentaire, délivrée le 14 juillet 2004, n'a pas été révoquée et l'exécuteur testamentaire a continué à liquider la succession, bien que par décision du 2 mai 2005, le Président de la Chambre des recours eût refusé d'accorder l'effet suspensif au recours.
Le 29 septembre 2005, la Fondation, représentée par Rudolf G. Probst, a passé une transaction avec les trois bénéficiaires de la lettre du 12 janvier 1994, par laquelle elle acceptait d'exécuter les donations; la part de chacun s'élevait à 337'000 fr., sous déduction de l'impôt successoral vaudois.
Roman Kokoschka est aussi intervenu dans la procédure devant la Chambre des recours. Le 30 novembre 2005, Rudolf G. Probst lui a versé l'équivalent en euros d'un million de shillings autrichiens, en raison du legs prévu dans le codicille du 1er mars 2000.
Comme la décision du Juge de paix du 31 mars 2005 ne devait produire effet que jusqu'à droit connu sur le litige avec les trois bénéficiaires susmentionnés et qu'une transaction avait été passée entre la Fondation et ceux-ci, le Président de la Chambre des recours a invité le Juge de paix à reconsidérer sa décision.
Le Juge de paix a, par décision du 23 janvier 2006, maintenu l'administration d'office de la succession et transmis le dossier à la Justice de paix pour la nomination de l'administrateur, puisque Roman Kokoschka contestait désormais la qualité d'héritière de la Fondation. Le Juge de paix a estimé que les conflits d'intérêts concernant Rudolf G. Probst étaient toujours d'actualité.
Par décision de procédure du 23 mars 2006, la Chambre des recours a notamment joint les recours de Rudolf G. Probst contre les décisions du Juge de paix des 31 mars 2005 et 23 janvier 2006. Constatant que ces deux décisions avaient le même objet, elle a estimé que la seconde remplaçait la première.
Par arrêt du 1er septembre 2006, la Chambre des recours a admis le recours et annulé la décision du 23 janvier 2006.
Le 19 février 2007, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevables tant le recours en réforme (5C.251/2006) que le recours de droit public (5P.352/2006) déposés parallèlement par Roman Kokoschka contre cet arrêt.
B. Par requêtes des 23 février, 27 mars, 24 avril, 11 mai et 11 juin 2007, Roman Kokoschka a conclu à ce que le Juge de paix du district d'Aigle ordonne l'administration d'office de la succession de la défunte.
Par décision du 28 août 2007, notifiée le 26 septembre 2007, le Juge de paix a rejeté ces requêtes.
Le 8 octobre 2007, Roman Kokoschka a recouru à la Chambre des recours contre cette décision, concluant à sa réforme en ce sens que l'administration officielle de la succession de la défunte est instaurée. Il a en outre sollicité que le Kunsthaus de Zurich soit nommé comme administrateur des oeuvres d'art et le cabinet Withers, comme administrateur des droits des héritiers. Le recourant a par ailleurs requis des mesures préprovisionnelles, qui ont été rejetées par le Président de la Chambre des recours le 29 mai 2008, et des mesures provisionnelles, pour lesquelles une audience a été fixée au 18 août 2008.
Par arrêt du 24 juin 2008, la Chambre des recours a rejeté le recours, confirmé la décision du Juge de paix et déclaré la requête de mesures provisionnelles sans objet. Cette autorité a considéré, en substance, qu'il ne se justifiait pas d'ordonner une administration d'office selon l'art. 556 al. 3 CC dès lors que le partage des biens successoraux avait déjà été effectué.
C. Roman Kokoschka exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 24 juin 2008. Il conclut à sa réforme en ce sens que l'administration officielle de la succession est instaurée. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause au Juge de paix pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
La Fondation propose l'irrecevabilité du recours, subsidiairement son rejet. Rudolf G. Probst conclut au rejet des conclusions prises par le recourant.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D. Par ordonnance du 5 août 2008, le président de la cour de céans a rejeté la requête d'effet suspensif présentée par le recourant.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme prévue par la loi (art. 42 LTF), contre une décision rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par l'autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). Interjeté en outre par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée, dans la mesure où elle prétend être héritière unique, à l'exclusion de l'intimée (art. 76 al. 1 LTF), le recours est recevable au regard de ces dispositions.
Il n'est pas nécessaire d'examiner si le caractère gracieux de la procédure close par la décision entreprise (cf. <ref-ruling> et les arrêts cités) a pour effet de soustraire le recours en matière civile à l'exigence d'une valeur litigieuse minimale. En effet, le seuil de 30'000 fr. fixé à l'art. 74 al. 1 let. b LTF est de toute façon atteint en l'espèce.
1.2 Le prononcé ordonnant ou refusant d'ordonner l'administration d'office d'une succession, en application de l'art. 556 al. 3 CC - cas d'administration d'office de l'art. 554 al. 1 ch. 4 CC (PAUL-HENRI STEINAUER, Le droit des successions, Berne 2006, n. 875; KARRER, Commentaire bâlois, n. 28 ad art. 556 CC) - constitue une décision de mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF qui, contrairement à ce que prétend le recourant, ne peut être attaquée que pour violation des droits constitutionnels.
Le Tribunal fédéral ne sanctionne la violation des droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF); les exigences de motivation de l'acte de recours correspondent à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254). L'acte de recours doit ainsi, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 88). Le justiciable qui se plaint d'arbitraire ne peut, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité supérieure jouit d'une libre cognition; il ne saurait, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais il doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 400); les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2 p. 591 et la jurisprudence citée).
1.3 Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 LTF; <ref-ruling> consid. 3 p. 395).
En tant que le recourant allègue des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris, sans se prévaloir valablement de l'une des exceptions susmentionnées, son recours est irrecevable. Ainsi, sous chiffre II de son mémoire, le recourant relate, sur plus de sept pages, ce qu'il désigne comme étant les faits de la cause en litige. Il en donne sa propre version, en les exposant de manière appellatoire, avec référence aux pièces du dossier cantonal, sans se limiter aux seules constatations figurant dans la décision attaquée. Conformément aux dispositions et principes susmentionnés, il sera, dès lors, fait abstraction de l'état de fait présenté par le recourant, dans la mesure où il s'écarte de celui retenu par la Chambre des recours.
Sont également irrecevables, faute de motivation suffisante, les critiques formulées sous le titre «Etablissement inexact des faits». Le recourant se borne en effet à apporter des corrections ou des précisions aux constatations de l'autorité cantonale, sans démontrer en quoi ces modifications seraient pertinentes pour l'issue de la cause, et de formuler des critiques de nature purement appellatoire, qui ne peuvent être prises en considération (cf. supra, consid. 1.2). On ne voit pas non plus en quoi les art. 29 al. 2 Cst. et 6 § 1 CEDH auraient été enfreints, la prétendue violation de ces dispositions n'étant du reste aucunement motivée.
1.4 Les courriers des 31 octobre, 4 novembre et 10 novembre 2008, que le recourant a déposés devant la cour de céans, n'ont pas été requis.
2. L'art. 554 al. 1 CC indique les circonstances dans lesquelles le juge ordonne l'administration d'office d'une succession: en cas d'absence prolongée d'un héritier (ch. 1), lorsqu'on ne sait pas au juste qui est héritier ou qu'on ignore même si le défunt a laissé un héritier (ch. 2) et lorsque tous les héritiers ne sont pas connus (ch. 3). En outre, le chiffre 4 de cet alinéa renvoie de manière générale «aux autres cas prévus par la loi ». Ces cas sont uniquement ceux qu'énumère le droit civil fédéral. Parmi eux, on trouve le cas indiqué à l'art. 556 al. 3 CC, qui accorde au juge la faculté, après la remise du testament, soit d'envoyer les héritiers légaux en possession provisoire des biens, soit d'ordonner l'administration d'office de la succession (PIOTET, Droit successoral, Traité de droit privé suisse, IV, p. 631; TUOR/PICENONI, Commentaire bernois, n. 10 ad art. 554 p. 560). A défaut d'héritiers légaux à qui la gestion des biens puisse être confiée, ou lorsque la gestion par les héritiers présente un risque particulier, l'autorité ordonnera donc l'administration d'office (STEINAUER, op. cit., n. 888; KARRER, op. cit., n. 28 ad art. 556 CC).
L'administration d'office de la succession constitue une des mesures de sûreté que le juge ordonne pour assurer la dévolution de l'hérédité (art. 551 al. 1 et 2 CC). Autrement dit, l'administration d'office est une mesure conservatoire et elle doit être prononcée lorsque la gestion provisoire par l'exécuteur testamentaire présente des risques, en particulier pour la délivrance des biens aux héritiers institués.
3. 3.1 La Chambre des recours a considéré que le recourant n'avançait aucun élément nouveau déterminant pour la question de l'administration d'office de la succession. Elle a relevé que, dans son arrêt du 1er septembre 2006, elle avait considéré qu'une administration d'office de la succession était inopportune et disproportionnée, dès lors que l'exécuteur testamentaire était seul responsable du sort du patrimoine successoral et que la liquidation de la succession par ledit exécuteur testamentaire touchait à sa fin. Par ailleurs, il ressortait de la décision attaquée, rendue par le Juge de paix le 28 août 2007, que les opérations de dévolution de la succession étaient à ce jour terminées; l'exécuteur testamentaire avait du reste confirmé que la succession avait déjà été transmise aux héritiers et que le partage avait donc été effectué.
Selon l'autorité cantonale, le transfert des biens successoraux étant déjà intervenu, on ne voyait pas quel intérêt pourrait encore présenter l'instauration d'une administration d'office. La mission essentielle de l'administrateur était en effet de conserver la substance de la succession dans l'intérêt de tous les successeurs et des créanciers; sa gestion était purement conservatoire, et il ne devait pas procéder à la liquidation de la succession, ni même préparer celle-ci. Compte tenu des opérations effectuées par l'exécuteur testamentaire, un administrateur d'office ne pourrait tout simplement plus remplir sa mission. Par conséquent, une administration d'office n'avait à ce stade plus de sens et ne pouvait ainsi être ordonnée.
3.2 Le recourant ne conteste pas valablement cette motivation. Il se borne à soutenir, sans rien démontrer, que le motif selon lequel les biens de la succession auraient déjà été distribués est sans pertinence pour refuser d'instaurer une administration d'office. En affirmant que, dans ce cas, la nomination d'un administrateur d'office est, au contraire, d'autant plus nécessaire, voire urgente, afin que celui-ci puisse inventorier les biens de la succession, se les faire remettre et les sauvegarder pour l'ayant droit, il oppose sa propre opinion à celle de la Chambre des recours, sans étayer son argumentation. La seule référence de doctrine qu'il cite à cet égard ne lui est d'aucun secours (FRANK EMMEL, in Praxiskommentar Erbrecht, hrsg. von Abt/Weibel, n. 23 ad art. 554 CC), dès lors que le passage auquel il se réfère ne fait qu'indiquer les tâches de l'administrateur d'office.
Dans ces conditions, le recourant n'établit pas que l'autorité cantonale aurait appliqué le droit fédéral de manière insoutenable sur ce point. Il prétend donc en vain qu'une administration d'office s'imposerait tant en application des art. 556 al. 3 (en relation avec l'art. 554 al. 1 ch. 4 CC), 554 al. 1 ch. 2, 554 al. 1 ch. 3 et 598 al. 2 CC: étant donné que la Chambre des recours pouvait, sans arbitraire, considérer qu'en raison du partage de la succession, la nomination d'un administrateur d'office était sans pertinence, une telle mesure ne saurait être ordonnée en application de l'une ou l'autre de ces dispositions.
Pour le surplus, l'argumentation du recourant n'est pas déterminante, dans la mesure où elle se rapporte à la procédure au fond qu'il a intentée devant la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud, concernant l'annulation des dispositions testamentaires de 1998 (action en nullité, art. 519 ss CC) et sa prétendue qualité d'héritier légal (action en pétition d'hérédité, art. 598 ss CC).
Il n'y a par conséquent pas lieu d'entrer en matière sur les allégations du recourant relatives aux compétences requises des administrateurs d'office - dont l'intimé ne pourrait, selon lui, faire partie - et à la nomination urgente, par la cour de céans, de deux administrateurs désignés par lui, ces considérations étant en l'occurrence irrelevantes.
Quant aux critiques selon lesquelles le recourant aurait été discriminé par la Chambre des recours, qui aurait en substance violé ses droits procéduraux, elles ne sont pas motivées conformément aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254).
4. Le recourant s'en prend aussi au montant des frais et dépens de la procédure cantonale, qui seraient selon lui arbitrairement (art. 9 Cst.) élevés et, s'agissant des émoluments de justice, inéquitables (art. 6 § 1 CEDH) ainsi que dépourvus «de fondement légal» (en réalité: insuffisamment motivés).
4.1 La jurisprudence reconnaît à l'autorité cantonale de recours un large pouvoir d'appréciation dans la fixation et la répartition des frais et dépens de la procédure cantonale (<ref-ruling> consid. 4a p. 49). Le Tribunal fédéral n'intervient que si l'autorité a interprété ou appliqué de manière arbitraire le droit cantonal concerné ou si elle a abusé de son pouvoir d'appréciation, étant précisé qu'en présence d'un tarif ou d'une règle légale fixant des minima et maxima, le juge ne doit motiver sa décision que s'il sort de ces limites ou si des éléments extraordinaires sont invoqués par la partie (<ref-ruling> consid. 2a).
4.2 En l'occurrence, l'autorité cantonale s'est fondée sur l'art. 236 al. 3 du Tarif des frais judiciaires en matière civile (TFJC/VD; RSV 270.11.5) pour arrêter à 7'000 fr. les frais de deuxième instance cantonale mis à la charge du recourant. Selon cette disposition, lorsque l'opération autorisée ou empêchée par la décision attaquée a une valeur économique importante, l'émolument peut être porté à 20'000 fr. au maximum, étant précisé que l'art. 236 al. 1 TFJC/VD prévoit que pour un arrêt sur un recours non contentieux ou sur un appel, l'émolument est fixé entre 100 et 2'400 fr. La Chambre des recours a par ailleurs fixé à 3'000 fr. chacun le montant des dépens de deuxième instance dus aux intimés.
4.3 En ce qui concerne les frais judiciaires, le recourant se plaint d'une application insoutenable et inéquitable des art. 6, 8 et 236 TFJC/VD. Il expose, en résumé, que le travail effectif de la Chambre des recours ne justifie pas le montant de 7'000 fr. Quant à la question des dépens, fixés à 3'000 fr. pour chaque intimé, il reproche à l'autorité cantonale une application arbitraire de l'art. 2 du Tarif des honoraires d'avocat dus à titre de dépens (TAv/VD; RSV 177.11.3), au motif que les mémoires des intimés, qui comportent dix-huit, respectivement treize pages, ne démontrent pas une étude approfondie de ses arguments. Ce faisant, il se contente de faire valoir son opinion, sans établir que l'autorité cantonale aurait fait preuve d'arbitraire ou abusé de son pouvoir d'appréciation dans l'application du droit cantonal. On ne voit pas non plus en quoi l'art. 6 § 1 CEDH aurait été violé. Enfin, vu la jurisprudence citée plus haut, on ne saurait reprocher à la Chambre des recours un défaut de motivation sur ce point. Autant qu'il est recevable, le grief apparaît ainsi mal fondé.
5. En conclusion, le recours se révèle mal fondé et ne peut qu'être rejeté, dans la faible mesure de sa recevabilité. Vu cette issue - prévisible - de la procédure, la requête d'assistance judiciaire du recourant ne saurait être agréée (art. 64 al. 1 LTF). Celui-ci supportera dès lors les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera en outre des dépens aux intimés (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le recourant versera aux intimés la somme de 2'000 fr. chacun à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 4 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot