Sachverhalt:
A. A.a Y._ (im Folgenden: Beschwerdegegnerin) verlangte am 4. September 2006 in der gegen X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) eingeleiteten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes A._ beim Richteramt B._ die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für Fr. 297'921.90 nebst Zins. Mit Urteil vom 19. Dezember 2006 schützte der Gerichtspräsident das Rechtsöffnungsgesuch im beantragten Umfang.
A.b Am 23. Februar 2007 hiess das Obergericht des Kantons Solothurn den vom Beschwerdeführer dagegen eingereichten Rekurs insofern gut, als dem Beschwerdeführer Gelegenheit zu geben sei, sich in einer Duplik zur Replik zu äussern. Nachdem dem Beschwerdeführer das rechtliche Gehör gewährt worden war, erteilte der Gerichtspräsident mit Urteil vom 4. September 2007 erneut die definitive Rechtsöffnung im anbegehrten Umfang.
A.c Der vom Beschwerdeführer dagegen beim Obergericht erhobene Rekurs hatte keinen Erfolg. Das Rechtsmittel wurde am 6. Februar 2008 abgewiesen.
B. Mit Eingabe vom 7. März 2008 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Er beantragt, das angefochtene Urteil und der Rechtsöffnungsentscheid vom 4. September 2007 seien vollumfänglich aufzuheben.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen auch Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Beim vorliegenden Entscheid über die definitive Rechtsöffnung handelt es sich um einen solchen Entscheid.
1.2 Der für vermögensrechtliche Angelegenheiten vorausgesetzte Streitwert von mindestens 30'000 Franken wird bei weitem überschritten (<ref-law>), so dass auf die Beschwerde in Zivilsachen, mit welcher ein Endentscheid nach <ref-law> angefochten wird, grundsätzlich einzutreten ist.
1.3 Mit der Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht (<ref-law>) wie auch im Rahmen von <ref-law> von ausländischem Recht gerügt werden, es sei denn, beim angefochtenen Entscheid handle es sich um eine vorsorgliche Massnahme, wogegen nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte zulässig ist (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung ist der Entscheid über die definitive oder provisorische Rechtsöffnung keine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law>. Damit sind die Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht prüft frei, ob die behaupteten Rechtsverletzungen gegeben sind. Demgegenüber kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5). Soweit die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte erhoben wird, ist diese entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen des Art. 90 Abs. 1 lit. b OG (<ref-law>) zu begründen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2).
2. Der Beschwerdeführer rügt in verschiedener Hinsicht eine Verletzung des Lugano-Übereinkommens betreffend die Anerkennung des Säumnisurteils durch die kantonalen Richter.
2.1 Vom Anwendungsbereich des Übereinkommens sind nach der Aufzählung in <ref-law> (SR 0.275.11) insbesondere die Ansprüche aus dem Personen-, Familien- und Erbrecht ausgenommen. Dies ist darauf zurückzuführen, dass in den betreffenden Gebieten unter den Staaten Westeuropas immer noch ein unüberbrückbarer Gegensatz zwischen Heimat- und Wohnsitzprinzip besteht (Botschaft zum Lugano-Übereinkommen, BBl 1990 II 284; Volken, Der sachliche Anwendungsbereich, in: Das Lugano-Übereinkommen von 1988, Studientagung zum internationalen Recht, Freiburg 1991, S. 65; derselbe, Entstehungsgeschichte und Regelungsbereich, in: Das Lugano-Übereinkommen, St. Gallen 1990, S. 48 f.). Zum Familienrecht gehören nicht nur die Scheidungsklage als Statusprozess und die güterrechtliche Auseinandersetzung, sondern auch alle Kinderbelange und die Wirkungen der Ehe einschliesslich der Regelung des Getrenntlebens sowie Auseinandersetzungen um Wohnung und Hausrat (Schlosser, EU-Zivilprozessrecht, 2. Aufl., München 2003, N. 15 und 16 zu Art. 1 EuGVO; Czernich/Tiefenthaler, Die Übereinkommen von Lugano und Brüssel, Wien 1997, N. 10 zu Art. 1 EuGVÜ und LugÜ; Geimer, Anerkennung und Vollstreckbarerklärung von ex parte-Unterhaltsentscheidungen aus EuGVÜ-Vertragsstaaten, in: IPRax 1992, S. 6). Einzig auf Unterhaltsklagen findet das Lugano-Übereinkommen im Bereich des Familienrechts Anwendung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4b S. 172 f.; Hausheer/Reusser/Geiser, Berner Kommentar, N. 41b vor <ref-law>). Hat der eine Ehegatte an den anderen eine Geldleistung zu erbringen, muss deshalb ihr Zweck ermittelt werden; ist die Leistung dazu bestimmt, den Unterhalt des anderen Ehegatten zu sichern, richtet sich die Vollstreckung im internationalen Verhältnis nach dem Lugano-Übereinkommen, während das nationale IPRG zum Tragen kommt, wenn sie die Aufteilung der Güter zwischen den Ehegatten betrifft (Jan Kropholler, Europäisches Zivilprozessrecht, 8. Aufl., Frankfurt am Main 2005, N. 24 ff. zu Art. 1 EuGVO und LugÜ).
Im vorliegenden Fall sollen die Ansprüche aus dem Urteil des Tribunal de Grande Instance in Draguignan vom 15. Mai 2001 vollstreckt werden. In diesem Urteil werden Unterhaltszahlungen im Rahmen eines Scheidungsverfahrens bestimmt. Bei dieser Sachlage können die nach LugÜ möglichen Einwendungen gegen die Vollstreckung vorgebracht werden.
Im vorliegenden Fall sollen die Ansprüche aus dem Urteil des Tribunal de Grande Instance in Draguignan vom 15. Mai 2001 vollstreckt werden. In diesem Urteil werden Unterhaltszahlungen im Rahmen eines Scheidungsverfahrens bestimmt. Bei dieser Sachlage können die nach LugÜ möglichen Einwendungen gegen die Vollstreckung vorgebracht werden.
2.2 2.2.1 Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, er sei zur Verhandlung vom 15. Mai 2001, welche in das Urteil vom gleichen Tag mündete, nicht gehörig vorgeladen worden bzw. es fehle der Nachweis, dass ihm das das Verfahren einleitende Schriftstück ordnungsgemäss zugestellt worden sei (Art. 27 Ziff. 3 bzw. <ref-law>).
Gemäss <ref-law> hat die Partei, welche die Anerkennung einer Entscheidung geltend macht oder die Zwangsvollstreckung betreiben will, bei einer im Versäumnisverfahren ergangenen Entscheidung die Urschrift oder eine beglaubigte Abschrift der Urkunde vorzulegen, aus der sich ergibt, dass das den Rechtsstreit einleitende Schriftstück der säumigen Partei zugestellt worden ist. Tatsächlich fehlt eine entsprechende Verfügung mit Empfangsbestätigung. Es ist deshalb zu prüfen, ob nicht ein Ausnahmefall im Sinne von <ref-law> vorliegt. Danach kann sich das Gericht (des Vollstreckungsstaates) namentlich mit gleichwertigen Urkunden begnügen, wenn die in <ref-law> angeführten Urkunden nicht vorgelegt werden. Es kann aber auch von der Vorlage der Urkunden befreien, wenn es eine weitere Klärung nicht für erforderlich hält (Art. 48 Abs. 1 letzter Satz LugÜ). Als zulässig angesehen werden daher etwa auch der Zeugenbeweis oder die Amtsauskunft (Bischof, Die Zustellung im internationalen Rechtsverkehr in Zivil- und Handelssachen, Diss. Zürich 1997, S. 473). Die Bestimmung bezweckt, einen übertriebenen Formalismus auszuschliessen (Jan Kropholler, a.a.O. N. 2 zu <ref-law> bzw. 55 EuGvo, S. 500).
2.2.2 Im Urteil vom 15. Mai 2001 des Tribunal de Grande Instance de Draguignan wird auf die Festsetzung des Verhandlungstermins in der Verfügung vom 2. April 2001 verwiesen und festgestellt, dass der Ehemann nicht erschienen ist (S. 1). Sodann wird festgehalten (S. 2), dass man sich (vor der Befragung der Ehefrau) versichert habe, dass der Ehemann mit Verfügung vom 7. Mai 2001 regulär vorgeladen worden sei. Im Weiteren wurde im Rahmen eines Strafverfahrens vor der Cour d'appel d'Aix en Provence Tribunal de Grande Instance de Draguignan ein Beweisverfahren unter anderem zur Frage durchgeführt, ob sich der Beschwerdeführer zur Zeit der Zustellung der Vorladung in seinem Haus in Südfrankreich befand. Es wurde im Strafurteil vom 24. Februar 2006 unter anderem ausgeführt, die Gerichtsweibel hätten bestätigt, dass der Beschwerdeführer das fragliche Haus in Südfrankreich bewohnte. Die Parteien hätten sich daher darauf geeinigt, dass das Scheidungsverfahren in Frankreich durchgeführt werde. Die Haushälterin des Beschwerdeführers habe im Einzelnen "les manoeuvres" des Beschwerdeführers umschrieben, um Zustellungen von Urkunden zu vermeiden. Das Verhalten des Beschwerdeführers sei rechtsmissbräuchlich und treuwidrig. Es sei erwiesen, dass er sich im Zeitpunkt der ordnungsgemässen Zustellung der fraglichen Vorladung in seinem Haus befand.
Bei dieser Sachlage hat das Obergericht <ref-law> nicht verletzt, wenn es gestützt auf das Urteil vom 15. Mai 2001 und auf das vom Beschwerdeführer eingeleitete Strafverfahren, welches in das Urteil vom 24. Februar 2006 mündete, zum Schluss gelangte, der Beschwerdeführer sei gehörig vorgeladen worden.
2.3 Ferner rügt der Beschwerdeführer, falls die Zustellung als erfolgt erachtet werde, sei die Frist zwischen Vorladung und Verhandlung derart kurz gewesen, dass er sich nicht habe angemessen verteidigen können. Diese Rüge hat der Beschwerdeführer im Rekurs vom 11. September 2007 an das Obergericht nicht erhoben, so dass darauf nicht eingetreten werden kann. Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Da in der Beschwerde nicht dargetan wird, inwiefern die Voraussetzung für dieses neue Vorbringen erfüllt sein soll, kann der Einwand nicht gehört werden (dazu: <ref-ruling> E. 3 S. 395). Im Übrigen beurteilt sich die notwendige Frist nach den konkreten Umständen des Einzelfalls. Der Beschwerdeführer hätte darlegen müssen, dass und inwiefern ihm konkret nicht hinreichend Zeit blieb, seine Verteidigung vorzubereiten. Dazu führt er jedoch nichts aus.
2.4 Im Weiteren behauptet der Beschwerdeführer, der Entscheid vom 15. Mai 2001 sei ihm nicht ordnungsgemäss zugestellt worden.
Das Vorbringen ist haltlos. Das von der Beschwerdegegnerin eingereichte Urteil vom 15. Mai 2001 enthält eine Vollstreckbarkeitsbescheinigung, die vom Gerichtsschreiber unterzeichnet ist und festhält, dass das Urteil ordnungsgemäss zugestellt worden ist. Zudem hat der Beschwerdeführer diesen Entscheid - verspätet zwar - angefochten (vgl. Urteil Cour d'Appel d'Aix en Provence vom 8. Januar 2004, womit auf das Rechtsmittel nicht eingetreten wurde). Dies zeigt aber, dass er ihm zugestellt worden ist. Wäre die Zustellung schuldlos verspätet erfolgt, wäre ihm die Rechtsmittelfrist wiederhergestellt worden.
2.5 Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer in E. 4 (S. 5) auseinandergesetzt, dass auch Entscheidungen des einstweiligen oder vorläufigen Rechtsschutzes nach <ref-law> solche im Sinne des Übereinkommens seien, obwohl es sich nicht um Endentscheide handle (Gerhard Walter, Internationales Zivilprozessrecht der Schweiz, 4. Aufl., Bern 2007, S. 429). Eine einstweilige Unterhaltsordnung, wie sie im Urteil vom 15. Mai 2001 festgelegt werde, falle eindeutig in den Anwendungsbereich des LugÜ und werde damit in der Schweiz anerkannt und unter den gegebenen Voraussetzungen auch vollstreckt.
Mit dem blossen Hinweis, gemäss <ref-law> seien Eheschutzmassnahmen nicht vollstreckbar, kann die vorinstanzliche Erwägung nicht in Frage gestellt werden. Nicht einschlägig ist auch die Bemerkung, die Beschwerdegegnerin habe den Nachweis nicht erbracht, dass sie die Scheidungsklage innerhalb von sechs Monaten eingereicht habe, wie dies im Massnahmeentscheid verlangt worden sei. Hat die Beschwerdegegnerin nach dem Gesagten dem Rechtsöffnungsrichter einen Entscheid vorgelegt, der die für seine Beweiskraft erforderlichen Voraussetzungen nach Art. 46 und 47 LugÜ erfüllt, sind damit die Voraussetzungen für die Vollstreckbarerklärung gegeben. Denn die Beweislast für alle Tatsachen, die der Anerkennung entgegenstehen, trägt - mit Ausnahme der gemäss <ref-law> vom Antragsteller beizubringenden Nachweise - diejenige Partei, welche die Anerkennung bestreitet (Jan Kropholler, a.a.O., vor Art. 33 EuGVO bzw. <ref-law>, N. 7, S. 397). Die Tatsachenbehauptung, die Scheidungsklage sei von der Beschwerdegegnerin nicht fristgerecht eingereicht worden, hätte demnach der Beschwerdeführer beweisen müssen.
3. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da sie nicht zur Vernehmlassung aufgefordert wurde und ihr somit kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett