Sachverhalt:
A. A.a X._ ist Beklagte in einem Anfechtungsprozess gemäss <ref-law>. Die Klage betrifft mehrere Liegenschaften, die X._ von ihrem Lebenspartner am 2. Februar 2007 vertraglich zu Alleineigentum übertragen erhielt. Klägerin ist die geschiedene Ehefrau des Lebenspartners von X._. Auf Gesuch der Klägerin, dem sich X._ nicht widersetzt hatte, wurde auf gewissen Liegenschaften eine Verfügungsbeschränkung im Grundbuch vorgemerkt. Am 4. Dezember 2007 forderte der zuständige Gerichtspräsident beide Parteien auf, innert angesetzter Frist einen Gerichtskostenvorschuss von je Fr. 11'000.-- zu bezahlen (Verfahren Z._).
Der Gerichtspräsident wies das daraufhin von X._ gestellte erste Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab mit der Begründung, die Bedürftigkeit sei in Anbetracht der Einkommensverhältnisse zu verneinen (Entscheid vom 8. Februar 2008). Das von X._ angerufene Obergericht des Kantons Bern prüfte deren Vermögensverhältnisse und erkannte, dass sie mit der Liegenschaft A._strasse xx in B._ über ein Nettovermögen von Fr. 100'000.-- verfüge. Da X._ diese nicht selber bewohne und die Liegenschaft keiner Verfügungsbeschränkung unterliege, könne sie verkauft werden; die Bedürftigkeit sei zu verneinen. Das Obergericht räumte X._ eine Frist von sechs Monaten zum Verkauf der Liegenschaft ein; es hiess deshalb den Rekurs teilweise gut und erteilte ihr für das Verfahren Z._ die unentgeltliche Prozessführung, beschränkt auf die Anwaltskosten für die Zeit bis 15. September 2008 sowie unter Beiordnung ihres heutigen Rechtsvertreters als amtlichen Anwalt; soweit weitergehend wies es den Rekurs ab (Entscheid vom 13. März 2008). In der Folge hiess das Bundesgericht die von X._ deponierte Beschwerde ebenfalls teilweise gut. Es hielt fest, in tatsächlicher Hinsicht sei davon auszugehen, dass die Liegenschaft A._strasse xx in B._ einen Verkehrswert von rund Fr. 1 Mio. habe und eine Veräusserung derselben mit einem Gewinn von rund Fr. 100'000.-- tatsächlich möglich und rechtlich zumutbar sei (E. 3.4). Um ihr den Verkauf der Liegenschaft zu ermöglichen, nahm das Bundesgericht in Ergänzung des obergerichtlichen Dispositivs X._ die Frist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses ab und befreite sie für die Dauer von sechs Monaten nach Ausfällung des bundesgerichtlichen Urteils von der Vorschusspflicht (Urteil 5A_294/2008 vom 18. August 2008).
A.b X._ stellte am 14. Januar 2009 ein zweites Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dieses wurde sowohl vom erstinstanzlichen Richter wie auch vom Appellationshof des Kantons Bern abgewiesen (Entscheide vom 14. Oktober 2009 bzw. 30. November 2009).
A.c Am 18. Dezember 2009 stellte X._ im gleichen Verfahren ein drittes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Der Gerichtspräsident C._ des Gerichtskreises Y._ wies dieses am 26. Februar 2010 kostenfällig ab, ebenso wie der von der Gesuchstellerin angerufene Appellationshof des Kantons Bern (Entscheid vom 29. April 2010).
B. Mit "Bundesgerichtsbeschwerde gem. <ref-law>" vom 4. Juni 2010 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht und beantragt, in Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids sei ihr für die Durchführung des Anfechtungsprozesses das Recht zur unentgeltlichen Prozessführung zu erteilen, unter Beiordnung ihres Anwaltes; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht.
Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem die unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin verweigert wurde. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Dort geht es um einen Anfechtungsprozess gemäss <ref-law> mit einem Streitwert von mehr als Fr. 30'000.--, so dass die Beschwerde gemäss <ref-law> zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 236).
2. 2.1 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege ergibt sich als Minimalgarantie direkt aus <ref-law>, soweit das kantonale Recht keine weitergehenden Ansprüche gewährt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 2). Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, das kantonale Recht räume ihr weitergehende Ansprüche ein, als die in der Bundesverfassung verankerte Minimalgarantie, so dass der streitige Anspruch gestützt auf die bundesgerichtliche Praxis zu <ref-law> zu prüfen ist.
2.2 Das Bundesgericht prüft die Rüge der Verletzung von direkt aus <ref-law> (bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK) hergeleiteten Rechtspflegeansprüchen mit freier Kognition; soweit es um tatsächliche Feststellungen der kantonalen Instanz geht, ist seine Prüfungsbefugnis auf Willkür beschränkt (<ref-ruling> E. 2.3 S. 14 mit Hinweis).
2.3 Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene Rügen, die soweit möglich zu belegen sind, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.4 Die Bundesverfassung schreibt den Kantonen nicht vor, in welchem Verfahren die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege zu prüfen sind. Namentlich verlangt <ref-law> nicht, dass nach Abweisung eines ersten Gesuches gleichsam voraussetzungslos ein neues Gesuch gestellt werden kann (Urteil 4P.170/1996 vom 16. Oktober 1996 E. 2.a). Aus verfassungsrechtlicher Sicht genügt es, wenn die betroffene Partei im Rahmen des gleichen Zivilprozesses einmal die Gelegenheit erhält, die unentgeltliche Rechtspflege zu erlangen. Würde es den Parteien ermöglicht, jederzeit und voraussetzungslos die umfassende Wiedererwägung von abweisenden Entscheiden über ein Armenrechtsgesuch zu veranlassen, wäre der Prozessverschleppung Tür und Tor geöffnet (a.a.O.). Ein neuerliches Gesuch auf der Basis desselben Sachverhalts hat deshalb den Charakter eines Wiedererwägungsgesuches, auf dessen Beurteilung von Verfassungs wegen kein Anspruch besteht (Hans Ulrich Walder-Richli/Béatrice Grob-Andermacher, Zivilprozessrecht, 5. Aufl., Zürich 2009, § 26 N 140). Anders stellt sich die Situation nur dar, wenn sich die Verhältnisse seit dem Entscheid über das erste Gesuch geändert haben (Urteil 4P.170/1996 vom 16. Oktober 1996 E. 2.a). Die Zulässigkeit eines neuen Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege auf der Basis geänderter Verhältnisse ergibt sich aus dem Umstand, dass der Entscheid über die Gewährung bzw. Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege ein prozessleitender Entscheid ist, der nur formell, jedoch nicht materiell rechtskräftig wird (Urteil I 302/96 vom 23. Dezember 1997 E. 7b, publ. in SVR 1998 IV Nr. 13 S. 47; s. auch HANS ULRICH WALDER-RICHLI/BÉATRICE GROB-ANDERMACHER, a.a.O.).
3. 3.1 Der Appellationshof erwog zunächst, bezüglich des Wertes der Liegenschaft habe sich seit dem ersten und zweiten Verfahren nichts geändert. Unter Hinweis auf das Urteil 5A_294/2008 vom 18. August 2008 sei deshalb weiterhin davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin die Liegenschaft an der A._strasse xx in B._ mit einem Verkaufserlös von rund Fr. 100'000.-- verkaufen könne. Im Zusammenhang mit der Zumutbarkeit der Veräusserung führte der Appellationshof aus, das erstmals im Rekursschreiben vorgebrachte Argument, wonach die fragliche Liegenschaft als Altersvorsorge diene, könne nicht gehört werden. Im Übrigen habe sich auch diesbezüglich nichts geändert, weshalb es bei der bereits vom Bundesgericht festgestellten Zumutbarkeit der Veräusserung bleibe.
3.2 Die Beschwerdeführerin bezeichnet diese Argumentation als willkürlich. Zudem gehe die Vorinstanz von einem Sachverhalt aus, der nicht der Wahrheit entspreche. Weitergehend setzt sie sich mit den Erwägungen des Appellationshofes nicht auseinander. Namentlich behauptet die Beschwerdeführerin nicht, dass sie gegenüber den Vorinstanzen rechtsgenüglich dargelegt und begründet habe, ihre Schlussfolgerungen seien auf zwischenzeitlich veränderte Verhältnisse zurückzuführen; vielmehr begnügt sie sich mit einer Darstellung des Sachverhaltes aus ihrer eigenen Sicht. Damit ist dem Einwand, der Appellationshof habe auf der Basis eines willkürlich festgestellten Sachverhalts entschieden, die Grundlage entzogen. Auf die Sachverhaltsrüge kann nicht eingetreten werden.
Ebenso wenig setzt sich die Beschwerdeführerin mit dem Argument des Appellationshofes auseinander, wonach ihr Einwand betreffend der Altersvorsorge, weil erstmals im Rechtsmittelverfahren vorgetragen, nicht gehört werden könne. Auf die diesbezügliche Rüge kann nicht eingetreten werden. Ganz abgesehen davon ist der Einwand nicht zielführend, weil bei der Prüfung der zivilprozessualen Bedürftigkeit höchstens unpfändbare, formell der Altersvorsorge gewidmete Vermögenswerte vom anrechenbaren Vermögen ausgeklammert werden können (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 289 ff.). Dass es sich bei der fraglichen Liegenschaft um einen solchen Vermögenswert handelt, behauptet die Beschwerdeführerin nicht.
4. Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Die Beschwerdeführerin unterliegt und wird kostenpflichtig (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, hatte die Beschwerde von Anfang an keine Aussicht auf Erfolg, weshalb es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mangelt (<ref-law>); das entsprechende Gesuch ist abzuweisen. Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher V. Monn