Faits :
A.
La section "Jura Neuchâtelois" du Touring club suisse (ci-après: le TCS) est une association au sens des art. 60 ss du Code civil suisse (CC; RS 210); elle est à ce titre dotée de la personnalité morale. Selon ses statuts, elle a pour but notamment "de sauvegarder les droits et les intérêts de ses sociétaires dans la circulation routière et de favoriser la réalisation de leurs aspirations en matière de tourisme".
Le 4 novembre 2011, le Conseil communal de La Chaux-de-Fonds a publié dans la Feuille officielle de la République et canton de Neuchâtel un arrêté du 1 er novembre 2011 concernant la circulation routière et prévoyant notamment la mise en place d'horodateurs sur les parkings de la gare du Crêt-du-Locle et de l'aéroport des Eplatures. Le 5 décembre 2011, la section "Jura Neuchâtelois" du TCS a recouru contre cet arrêté auprès du Département de la gestion du territoire (actuellement Département du développement territorial et de l'environnement [ci-après: le DDTE ou le département]).
Le 14 décembre 2012, le conseil communal a publié dans la Feuille officielle un arrêté du 21 novembre 2012 portant entre autres sur la mise en place d'horodateurs sur le parking des Petites-Crosettes. Par acte du 9 janvier 2013, le TCS a également recouru contre cet arrêté.
Par décision du 28 octobre 2013, après avoir joint les causes, le département a nié la qualité pour agir de la section "Jura Neuchâtelois" du TCS, estimant que ses membres n'avaient pas, à titre individuel, la qualité pour recourir. Il a par ailleurs émis des doutes quant à la question de savoir si le domaine du stationnement relevait de ses buts statutaires, qui recouvrent la défense des sociétaires dans la circulation routière et dans le domaine de la mobilité en général. Le DDTE est néanmoins entré en matière sur le fond et a rejeté les recours: il a considéré que le conseil communal avait la compétence de réglementer le parcage et de percevoir une taxe pour l'utilisation de places de stationnement; il a ensuite relevé que les mesures contestées poursuivaient des buts d'intérêt public (notamment la protection de l'environnement et l'utilisation des transports publics), respectaient les principes d'équivalence, de couverture des frais et de proportionnalité; elles ne contrevenaient enfin pas à l'art. 82 al. 3 Cst.
Par arrêt du 20 février 2015, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a réformé d'office la décision du département en déclarant les recours dont celui-ci avait été saisi irrecevables et a rejeté le recours formé devant elle par le TCS. Le Tribunal cantonal a en substance dénié à la section "Jura Neuchâtelois" du TCS sa qualité pour recourir, jugeant peu plausible que la majorité de ses 15'000 membres, ou à tout le moins un grand nombre d'entre eux, occupaient régulièrement les places de stationnement en cause. La cour cantonale a par ailleurs estimé que l'association recourante ne disposait pas d'un intérêt propre digne de protection, les décisions attaquées ne l'atteignant pas plus que la généralité des administrés.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la section "Jura Neuchâtelois" du TCS demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt attaqué pour violation du droit d'être entendu; subsidiairement, elle conclut à ce que sa qualité pour recourir contre les arrêtés du conseil communal des 18 octobre 2011 et 21 novembre 2012 lui soit reconnue et que la cause soit renvoyée à l'instance précédente pour nouvelle décision sur le fond. Le TCS sollicite également l'effet suspensif.
Le Tribunal cantonal se réfère aux motifs de son arrêt et conclut au rejet du recours. Le DDTE n'a pas formulé d'observations.
Par ordonnance du 30 avril 2015, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre un arrêt d'irrecevabilité rendu en dernière instance cantonale dans le cadre d'une contestation portant au fond sur deux arrêtés communaux fondés sur l'art. 3 de la loi fédérale sur la circulation routière du 19 décembre 1958 (LCR; RS 741.01), le recours est recevable comme recours en matière de droit public au sens des <ref-law>.
L'association recourante (ci-après également: la recourante) peut se prévaloir d'un intérêt digne de protection à se voir reconnaître la légitimation active (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 301; <ref-ruling> consid. 1b p. 126). Elle a donc la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Les autres conditions de recevabilité sont au surplus réunies de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière sur la question de sa qualité pour agir devant le département.
2.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, la recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue.
Le droit d'être entendu garantit à toute personne qui est partie à une procédure le droit d'être informée et entendue avant qu'une décision ne soit prise à son détriment. Si cette règle s'applique en principe sans restriction pour les questions de fait, il est admis que, pour ce qui est de la qualification juridique de ceux-ci, elle vaut dans l'hypothèse où une partie change inopinément son point de vue juridique ou lorsque l'autorité a l'intention de s'appuyer sur des arguments juridiques inconnus des parties et dont celles-ci ne pouvaient prévoir l'adoption (<ref-ruling> consid. 2.2 p .504 s.; <ref-ruling> consid. 5b/bb p. 278).
La recourante allègue n'avoir pris connaissance du fait que la qualité pour recourir lui était niée qu'en lisant l'arrêt attaqué. En ne lui donnant pas l'occasion, en cours d'instruction, de prendre position sur cette question et de fournir de nouveaux moyens de preuve, les juges cantonaux auraient violé son droit d'être entendue. Ce faisant, elle perd toutefois de vue qu'en première instance déjà le département a expressément nié sa qualité pour agir, au terme d'une argumentation circonstanciée, avant d'entrer néanmoins en matière sur le fond et de rejeter les recours qui lui étaient soumis. Ce n'est ainsi pas "contre toute attente", de manière imprévisible - comme le prétend l'association recourante -, que le Tribunal cantonal a réformé les décisions du DDTE; il s'en suit que, même si elle n'a pas été interpelée à ce sujet, son droit d'être entendue n'a pas été violé, ce d'autant moins qu'elle s'est exprimée de manière détaillée sur la recevabilité de ses pourvois devant le département.
3.
Sur le fond, l'association recourante estime que la cour cantonale lui aurait à tort dénié la qualité pour recourir; elle prétend qu'une majorité de ses membres, ou à tout le moins un grand nombre d'entre eux, seraient atteints par les arrêtés communaux litigieux. Elle ne soutient en revanche pas être touchée dans ses intérêts propres. Elle n'affirme pas non plus que l'instance précédente aurait violé le droit cantonal de procédure en réformant d'office la décision du DDTE.
3.1. Aux termes de l'<ref-law>, la qualité de partie à la procédure devant toute autorité cantonale précédente doit être reconnue à quiconque a qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral. L'alinéa 3 précise que l'autorité qui précède immédiatement le Tribunal fédéral doit pouvoir examiner au moins les griefs visés aux art. 95 à 98 LTF. Il en résulte que la qualité pour recourir devant les autorités cantonales ne peut pas s'apprécier de manière plus restrictive que la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, les cantons demeurant libres de concevoir cette qualité de manière plus large (cf. <ref-ruling> consid. 5 p. 149 et les références). Il n'est pas établi que tel serait le cas en l'espèce; le Tribunal cantonal a d'ailleurs précisé que, selon la jurisprudence cantonale, la qualité pour recourir au sens de l'art. 32 de la loi sur la procédure et la juridiction administratives du 27 juin 1979 (LPJA; RSN 152.130) devait s'interpréter conformément à la jurisprudence fédérale, ce que la recourante ne conteste au demeurant pas. Il convient partant d'analyser la qualité pour recourir sous l'angle de l'<ref-law>. S'agissant de droit fédéral (<ref-law>), le Tribunal fédéral examine cette question librement.
Une association a qualité pour recourir à titre personnel lorsqu'elle remplit les conditions posées par l'<ref-law>. De même, conformément à la jurisprudence, sans être elle-même touchée par la décision entreprise, une association peut être admise à agir par la voie du recours en matière de droit public - nommé alors recours corporatif ou égoïste - pour autant qu'elle ait pour but statutaire la défense des intérêts de ses membres, que ces intérêts soient communs à la majorité ou au moins à un grand nombre d'entre eux et, enfin, que chacun de ceux-ci ait qualité pour s'en prévaloir à titre individuel. En revanche, elle ne peut prendre fait et cause pour l'un de ses membres ou pour une minorité d'entre eux (<ref-ruling> consid. 2.6.4 p. 46 et les arrêts cités).
3.2. Il n'est en l'espèce pas contesté que l'installation de places payantes et l'introduction d'une taxe de stationnement constituent des limitations fonctionnelles du trafic au sens de l'<ref-law>. Le Tribunal cantonal a jugé qu'il existait dès lors un lien direct et étroit entre le but statutaire de l'association recourante et le domaine dans lequel les décisions litigieuses ont été prises. Il est également constant que la recourante a pour but la défense des intérêts de ses membres. La cour cantonale a en revanche nié que les intérêts d'une majorité de ceux-ci, ou à tout le moins d'un grand nombre d'entre eux, étaient susceptibles d'être atteints par les mesures envisagées.
La recourante affirme, au contraire, que, dès lors que tous ses membres sont domiciliés dans les districts du Locle et de La Chaux-de-Fonds, une partie d'entre eux utiliserait "plus ou moins régulièrement" les parkings en cause, situés de surcroît aux abords de routes principales; cela suffirait - selon elle - à lui reconnaître la qualité pour agir.
A l'appui de son grief, la recourante se réfère principalement aux <ref-ruling> et 136 II 539 ainsi qu'à la décision du Conseil fédéral du 23 mai 2001 (JAAC 65.114 consid. II 5c). Dans ces affaires, la qualité pour recourir de sections locales d'associations d'automobilistes a été reconnue en lien avec la contestation de limitations fonctionnelles du trafic touchant des routes ou autoroutes fréquentées quotidiennement par de nombreux usagers. En cela, ces précédents diffèrent du cas d'espèce: s'il apparaît vraisemblable qu'une restriction du trafic portant sur un axe routier fréquenté est susceptible d'atteindre de nombreux conducteurs faisant partie d'associations locales d'automobilistes (cf. p. ex. arrêt 1C_160/2012 du 10 décembre 2012 consid. 1.2 non publié in <ref-ruling>, où le tronçon de route concerné par une limitation se trouve sur un axe de trafic principal), il ne saurait en aller de même s'agissant d'un nombre limité de places de stationnement. Avec la cour cantonale, il faut à cet égard reconnaître qu'il est peu plausible qu'une majorité des membres de la recourante occupera régulièrement - c'est-à-dire avec une certaine fréquence, à intervalles rapprochés, sur une période relativement longue - ces emplacements, comme l'exige la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 542 s. et l'arrêt cité 1A.73/2004 du 6 juillet 2004 consid. 2.2); l'association recourante est en effet composée de 15'000 membres et les emplacements ne sont qu'au nombre de 160, selon les constatations cantonales auxquelles est lié le Tribunal fédéral (<ref-law>). Partant, et même en admettant une forte occupation quotidienne des trois parkings, seule une petite partie des membres de l'association est susceptible d'être atteinte, un jour ou l'autre, par les mesures envisagées et l'utilisation de ces emplacements par lesdits membres ne pourra de facto être qu'occasionnelle. La recourante ne prétend par ailleurs pas devant le Tribunal fédéral - ni ne l'a soutenu devant les instances précédentes - qu'une part importante de ses sociétaires nécessiterait de pouvoir y stationner régulièrement; en cela également le cas d'espèce doit être distingué des affaires précitées, qui concernaient des axes routiers pouvant, selon toute vraisemblance, constituer des points de passage obligés pour de nombreux automobilistes, pendulaires notamment.
Dans ces circonstances, la cour cantonale pouvait, sans que cela ne soit critiquable, considérer que seul un nombre limité des membres de l'association recourante était potentiellement atteint par les mesures litigieuses.
3.3. La recourante affirme encore que sa qualité pour recourir aurait dû lui être reconnue dès lors que le conseil communal mènerait une politique tendant à ce que des taxes de stationnement soient imposées dans tous les parkings de la ville; la majorité de ses membres serait touchée par les conséquences de cette politique. Selon elle, des arrêtés tels que ceux en cause devraient à l'avenir se succéder pour toucher l'ensemble des emplacements sis sur le territoire communal.
Par cette critique, la recourante remet implicitement en cause l'établissement des faits, sans toutefois démontrer que ceux-ci auraient été établis arbitrairement par l'instance précédente, ce qui lui incombe pourtant de faire par le biais d'une argumentation circonstanciée, sous peine d'irrecevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s.; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322). En tout état, son grief est fondé sur de pures conjectures et les rapports du conseil communal des 14 novembre 2007 et 9 juin 2010, auxquels elle se réfère, ne lui sont dans ce cadre d'aucun secours: la commune y prévoit certes l'introduction d'une taxe pour les nouvelles places créées sur le domaine public, respectivement l'installation de systèmes d'encaissement dans les parkings d'échange, mais ne déclare toutefois pas vouloir en faire nécessairement de même sur l'ensemble de son territoire. On peut quoi qu'il en soit douter de la pertinence de ces allégations, l'objet du litige étant circonscrit aux mesures prévues par les deux arrêtés litigieux pour les parkings en cause, et non à d'hypothétiques restrictions à venir.
3.4. Il découle de ce qui précède que c'est sans violer le droit fédéral que le Tribunal cantonal a déclaré irrecevables les recours interjetés par la recourante devant le DDTE.
4.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité, aux frais de la recourante qui succombe (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Conseil communal de La Chaux-de-Fonds, au Département du développement territorial et de l'environnement de la République et canton de Neuchâtel et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lausanne, le 18 août 2015
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
Le Greffier : Alvarez