Sachverhalt:
A.
Am 23. November 2010 eröffnete der Konkursrichter am Bezirksgericht Zürich, B._, über X._ den Konkurs. Auf einen von X._ dagegen erhobenen Rekurs trat das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 14. März 2011 nicht ein; es eröffnete den Konkurs neu mit Wirkung ab Beschlussdatum. Das Konkursverfahren wird vom Konkursamt Hottingen-Zürich, vertreten durch die Mobile Equipe des Notariatsinspektorats des Kantons Zürich geführt. Sachbearbeiterin ist E._ (heute: C._).
Mit Urteil vom 2. April 2012 hiess B._ als Einzelrichter am Bezirksgericht Zürich eine Kollokationsklage der F._ Stiftung gegen die Konkursmasse von X._ im Umfang von Fr. 1'994'722.20 gut und wies das Konkursamt an, die Forderung in der 3. Klasse zu kollozieren.
Mit Eingabe vom 29. Oktober 2012 reichte Y._, die Ehefrau von X._, bei der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich eine Strafanzeige ein, welche sich "hauptsächlich" gegen B._ und "die Konkursverwaltung Hottingen" richtete. In der Folge reichte auch X._ bei der Staatsanwaltschaft ein Schreiben ein, um die Umstände aus seiner eigenen Sicht zu schildern.
Nach dem Beizug verschiedener Akten leitete die Staatsanwaltschaft die Angelegenheit an das Obergericht des Kantons Zürich weiter, damit dieses über Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen die angezeigten Beamten entscheide. Sie beantragte, die Ermächtigung zu verweigern. Bei den angezeigten Beamten handelt es sich neben B._ und C._ um A._, Notar im Notariat Hottingen-Zürich, D._, ehemalige Konkurssekretärin der Mobilen Equipe des Notariatsinspektorats des Kantons Zürich, unbekannte Funktionäre des Notariats, Grundbuch- und Konkursamts Hottingen-Zürich sowie der Mobilen Equipe des Notariatsinspektorats des Kantons Zürich.
Im Verlauf des Verfahrens vor dem Obergericht reichte Y._ ein vom 12. August 2013 datiertes Schreiben ein, worin sie erklärte, eine Strafanzeige gegen Bundesrichter I._ "bekannt zu machen".
Mit Beschluss vom 12. November 2013 verweigerte das Obergericht die Ermächtigung zur Strafverfolgung. Auf die als Strafanzeige bezeichnete Erklärung von Y._ trat es nicht ein.
B.
Mit Schreiben vom 16. Dezember 2013 ans Bundesgericht beantragen X._ und Y._, die Ermächtigung zur Strafverfolgung sei zu erteilen.
Die Staatsanwaltschaft, die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Die weiteren Verfahrensbeteiligten haben sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführer reichten in der Folge ein weiteres Schreiben ein und stellten ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführer bezeichnen ihre Beschwerde nicht. Die Ermächtigung zur Strafverfolgung gemäss <ref-law> stellt eine Prozessvoraussetzung für das Strafverfahren dar, wird jedoch in einem davon getrennten Verwaltungsverfahren erteilt. Das zutreffende Rechtsmittel ist deshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272 mit Hinweisen).
1.2. Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, der das Verfahren abschliesst (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Eine Ausnahme von der Zulässigkeit der Beschwerde nach <ref-law> besteht nicht. Lit. e dieser Bestimmung, wonach Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal von der Beschwerdemöglichkeit ausgenommen sind, ist nur auf die obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden anwendbar, denn nur bei diesen dürfen politische Gesichtspunkte in den Entscheid einfliessen (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f. mit Hinweis).
1.3.
1.3.1. Zur Beschwerde ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Das schutzwürdige Interesse kann rechtlicher oder tatsächlicher Natur sein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 290). Es ist Sache der Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern die Legitimationsvoraussetzungen erfüllt sind, soweit dies nicht ohne Weiteres ersichtlich ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 121 mit Hinweis).
1.3.2. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, weshalb sie davon ausgeht, zur Beschwerde legitimiert zu sein. Es ist jedoch nicht ersichtlich, inwiefern sie von den behaupteten Straftatbeständen potenziell direkt betroffen sein soll (vgl. Urteil 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.6 mit Hinweisen). Auf ihre Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten.
1.3.3. Auch beim Beschwerdeführer ist die Legitimation nicht für alle behaupteten Straftaten offensichtlich. So wird in der Beschwerdeschrift gegenüber A._ der Vorwurf der Falschbeurkundung erhoben. Zur Begründung wird angeführt, er habe an einer Verwaltungsratssitzung der G._ AG fälschlicherweise die Anwesenheit einer Verwaltungsrätin bestätigt, die abwesend gewesen sei, und zudem die Wohnsitzvorschriften bezüglich der Verwaltungsräte missachtet. Weiter wird die Konkursverwalterin C._ beschuldigt, das Vermögen des Gemeinwesens geschädigt und zu Unrecht angegeben zu haben, es bestünden keine weiteren Kollokationsklagen. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern er von diesen Straftaten potenziell direkt betroffen sein soll. Dasselbe trifft auf die Ausführungen zu angeblichen Straftaten zu, welche die Konkursverwalterin im Konkursverfahren über die H._ AG begangen haben soll (namentlich die Bekanntgabe vertraulicher Informationen an Dritte). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, welchen Zusammenhang diese Delikte mit seiner eigenen Person haben. Darauf ist nicht einzutreten.
1.4.
1.4.1. Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt.
1.4.2. Das Obergericht legte dar, weshalb es auf die "Strafanzeige" gegen Bundesrichter I._ nicht eingetreten ist. Es sei zum einen nicht zuständig, zum andern könnten die pauschalen Schuldzuweisungen ohne Hinweis auf einen spezifischen Sachverhalt gar nicht als Strafanzeige im Rechtssinne qualifiziert werden. In der Beschwerdeschrift ans Bundesgericht werden zwar die Vorwürfe gegenüber Bundesrichter I._ konkretisiert, es geht daraus jedoch nicht hervor, inwiefern das Obergericht in diesem Punkt Bundesrecht verletzt hat. Darauf ist nicht einzutreten.
1.4.3. Nicht hinreichend begründet ist zudem das Vorbringen, Richter B._ habe seine Meldepflicht verletzt und dem Sachwalter Dr. J._ unter anderem im Sinne von <ref-law> Vorteile verschafft. Aus der Beschwerdeschrift geht nicht hervor, worauf sich der Beschwerdeführer genau bezieht und inwiefern die Vorinstanz in diesem Punkt Bundesrecht verletzt haben soll.
1.5. Unter dem Vorbehalt der hinreichenden Begründung ist im Übrigen auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Die Ermächtigung zur Strafverfolgung darf zwar nicht aus Gründen der Opportunität verweigert werden. Immerhin müssen jedoch genügende Hinweise für eine strafbare Handlung vorliegen (Urteil 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 3.1 mit Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, Richter B._ habe über ihn den Konkurs nach <ref-law> eröffnet, obwohl ihm sein Aufenthaltsort bekannt gewesen sei. Das Obergericht legte dazu dar, dass sich für diese Behauptung in den Akten keine Anhaltspunkte finden liessen. Ein hinreichender Anfangsverdacht auf Amtsmissbrauch liege deshalb nicht vor. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, er habe sich in Zürich abgemeldet und seinen Heimatschein ausgehändigt erhalten. Zudem habe er in Kreuzlingen eine Liegenschaft verkaufen wollen, was Richter B._ gewusst habe.
Weder aus diesen Umständen noch den weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers - soweit sie verständlich sind - geht hervor, dass Richter B._ im Zeitpunkt der Konkurseröffnung seinen Aufenthalt gekannt hätte. Die Rüge ist somit unbegründet, soweit die Kritik überhaupt verständlich vorgebracht wurde und damit als hinreichend substanziiert bezeichnet werden kann.
2.3. Der Beschwerdeführer wirft Richter B._ vor, seine Ehre verletzt zu haben, indem er ihn der Veruntreuung und des Entzugs von Pfandsachen und Retentionsgegenständen (<ref-law>) beschuldigte. Dazu hätte es eines rechtskräftigen Urteils bedurft.
Aus dem angefochtenen Entscheid geht hervor, dass Richter B._ in einem Kollokationsprozess feststellte, der Beschwerdeführer habe den Tatbestand von <ref-law> erfüllt und damit widerrechtlich im Sinne von <ref-law> gehandelt. Daraus schloss er auf die Begründetheit der Kollokationsklage. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers liegt im blossen Umstand, dass ein Zivilrichter in diesem Sinne vorfrageweise über das Vorliegen eines Straftatbestands befindet, noch keine Ehrverletzung. Es trifft auch nicht zu, dass es dafür zunächst eines rechtskräftigen Strafurteils bedürfte. Die Rüge ist unbegründet.
3.
Insgesamt ergibt sich, dass auf die Beschwerde von Y._ nicht einzutreten ist, während die Beschwerde von X._ abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Beschwerdeführer stellen ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Gemäss <ref-law> befreit das Bundesgericht eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Wie sich aus den vorangehenden Erwägungen ergibt, ist vorliegend die Beschwerde offensichtlich unbegründet bzw. ist auf sie schon gar nicht einzutreten. Infolge Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels entfällt deshalb der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Die Beschwerdeführer tragen somit die Gerichtskosten (<ref-law>). Sie haben zudem keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde von Y._ wird nicht eingetreten. Die Beschwerde von X._ wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I, der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold