Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 2008) ist die Tochter von Z._ und Y._. Dieser anerkannte seine Vaterschaft am 5. Februar 2010. X._ lebt zusammen mit ihrer Mutter und ihren Halbgeschwistern S._ (geb. 1998) und T._ (geb. 2012) in A._. Der Vater lebt in B._ (Deutschland).
B.
Am 3. September 2010 klagte X._, gesetzlich vertreten durch ihre Mutter, gegen Y._ auf Unterhalt. Mit Urteil vom 18. Oktober 2011 verpflichtete das Bezirksgericht Horgen Y._, seiner Tochter rückwirkend ab 10. Juni 2009 und bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung auch über die Mündigkeit hinaus monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
C.
C.a. Dagegen reichten sowohl X._ als auch Y._ Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein. X._ verlangte einen Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 2'550.-- ab 10. Juni 2009 bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung, auch über die Mündigkeit hinaus. Y._ beantragte, die Unterhaltsbeiträge wie folgt festzusetzen: Rückwirkend ab 10. Juni 2009 bis zum 31. Juli 2011 monatlich Fr. 1'300.-- und ab 1. August 2011 bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung, auch über die Mündigkeit hinaus, monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 860.--, zuzüglich der anfallenden hälftigen Kosten für die Betreuung von X._ in einem Kindergarten.
C.b. Mit Urteil vom 11. Januar 2013 verpflichtete das Obergericht des Kantons Zürich Y._ zur Leistung folgender monatlicher Unterhaltsbeiträge: Fr. 1'500.-- ab 10. Juni 2009 bis und mit Januar 2013, Fr. 1'800.-- ab Februar 2013 bis und mit April 2020, Fr. 2'000.-- ab Mai 2020 bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung auch über die Mündigkeit hinaus.
D.
D.a. Mit Beschwerde vom 18. Februar 2013 (Postaufgabe) ans Bundesgericht verlangt X._ (Beschwerdeführerin), Y._ (Beschwerdegegner) zur Leistung der folgenden monatlichen Unterhaltsbeiträge zu verpflichten: Bis und mit 6. Altersjahr Fr. 2'550.--, zuzüglich Kinderzulagen und der Hälfte der anfallenden Fremdbetreuungskosten; ab 7. bis 12. Altersjahr: Fr. 2'418.--, zuzüglich Kinderzulagen und der Hälfte der anfallenden Fremdbetreuungskosten; ab 13. Altersjahr: Fr. 2'337.--, zuzüglich Kinderzulagen, bis zum Abschluss der Erstausbildung auch über die Mündigkeit hinaus. Zudem stellt X._ ein Gesuch um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege.
D.b. Am 19. Februar 2013 teilte das Bundesgericht der Beschwerdeführerin mit, dass sie von der Leistung eines Kostenvorschusses einstweilen dispensiert ist, über das Gesuch um entgeltliche Prozessführung aber erst zu einem späteren Zeitpunkt entschieden wird. Gleichzeitig wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Im Übrigen holte das Bundesgericht die vorinstanzlichen Akten ein. Auf eine Vernehmlassung wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Zivilsache. Das Obergericht beziffert den Streitwert auf Fr. 362'000.--. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist somit einzutreten (Art. 51 Abs. 4, 72 Abs. 1, 74 Abs. 1 lit. b, 75 Abs. 1 und 90 BGG).
1.2. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft gehörig behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) an sich mit freier Kognition. Da sich der vorliegende Rechtsstreit aber allein um die Festsetzung des Unterhalts der Beschwerdeführerin dreht, gilt es zu beachten, dass der Richter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 141; Botschaft, BBl 1996 I S. 115 f.). Das Bundesgericht übt bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung: Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst, wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 1 S. 99).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesbezüglich kann die Beschwerdeführerin nur einwenden, die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen, insbesondere auf der Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Überdies ist darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde darzulegen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 395 mit Hinweis). Echte Noven können nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst sein (vgl. 5A_833/2012 vom 30. Mai 2013 E. 3.2 mit Hinweis). Deshalb ist auf jene Beweismittel nicht einzutreten, die nach dem vorinstanzlichen Urteil erstellt worden sind.
1.4. Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt schliesslich das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft demnach nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
Die Vorinstanz hat der Berechnung des Kindesunterhalts die "Empfehlungen zur Bemessung von Unterhaltsbeiträgen für Kinder" des Amts für Jugend und Berufsberatung des Kantons Zürich (nachfolgend: Zürcher Tabellen; Fassung vom 1. Januar 2012) zu Grunde gelegt. Diese Tabellen legen den Barbedarf eines Kindes grundsätzlich losgelöst vom effektiven Einkommen der Eltern fest. Die verwendeten Tabellenwerte entsprechen aber dem Bedarf eines Kindes einer Familie mit eher bescheidenem Einkommen (s. Urteile 5A_115/2011 vom 11. März 2011 E. 2.1; 5A_288/2009 vom 10. September 2009 E. 4.2; 5C.106/2004 vom 5. Juli 2004 E. 3.2). Dementsprechend kann das Einkommen der Eltern unter qualifizierten Voraussetzungen dazu Anlass geben, den Barbedarf des Kindes nach oben oder nach unten zu korrigieren. Der Beschwerdeführerin gelingt es nicht, in einer dem Rügeprinzip (E. 1.4 ) entsprechenden Art und Weise darzutun, weshalb ihre Kritik an der Feststellung des Sachverhalts den Ausgang des Verfahrens zu beeinflussen vermöchte. Vielmehr verstrickt sie sich in Widersprüche, wenn sie der Vorinstanz zum Beispiel vorwirft, ihrer Mutter zu Unrecht ein Nettoeinkommen von Fr. 4'000.-- statt Fr. 2'200.-- anzurechnen, um gleichzeitig einzuräumen, dass die Vorinstanz diese Einkünfte zu Recht vernachlässigt habe.
Auf die Beschwerde kann auch insofern nicht eingetreten werden, als die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vorwirft, ihrer Mutter zu Unrecht Unterhaltsbeiträge für die ältere Halbschwester angerechnet zu haben. Zur Debatte stehen Unterhaltsbeiträge der Beschwerdeführerin und nicht solche ihrer Mutter und ihrer Halbschwester. Um mit einer Willkürrüge durchzudringen, müsste die Beschwerdeführerin im Detail erläutern, welchen Einfluss auf den Ausgang des Verfahrens es hätte, wenn ihre Mutter für die ältere Halbschwester tatsächlich keinen Unterhalt erhielte. Das Gleiche gilt, soweit die Beschwerdeführerin Kritik daran übt, wie die Vorinstanz das Einkommen und den Bedarf des Beschwerdegegners ermittelt hat. Es genügt nicht, dass die Beschwerdeführerin in appellatorischer Art und Weise das von der Vorinstanz festgestellte Einkommen des Beschwerdegegners von EUR 6'800.-- kritisiert. Vielmehr müsste die Beschwerdeführerin dartun, dass die Anwendung der Zürcher Tabellen angesichts des von ihr behaupteten Einkommens von EUR 7'005.54 bzw. EUR 7'984.-- im Ergebnis zu offensichtlich unhaltbaren Unterhaltsbeiträgen führt. Dies gilt auch für den Pauschalbetrag von EUR 3'000.--, den die Vorinstanz dem Beschwerdegegner anrechnet.
Von einem Versehen bzw. einer verkürzten Wiedergabe des Sachverhalts ist schliesslich auszugehen, wenn die Vorinstanz T._ als den Schenker eines der Mutter der Beschwerdeführerin gehörenden Autos bezeichnet hat. Richtig ist, dass die Mutter der Beschwerdeführerin das Auto selbst gekauft und dafür mutmasslich Mittel eingesetzt hat, die ihr von T._s Vater zur Verfügung gestellt worden sind.
3.
3.1. Der Anspruch auf Kindesunterhalt basiert auf <ref-law>. Für seine Bemessung ist nach <ref-law> den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern Rechnung zu tragen. Ausserdem sind das Vermögen und die Einkünfte des Kindes sowie der Beitrag des nicht obhutsberechtigten Elternteils an der Betreuung des Kindes zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 4 S. 70).
Das Gesetz schreibt keine Bemessungsmethode vor. Sind die finanziellen Verhältnisse gut, sollten der Kindesunterhalt und der Bedarf des Kindes auf Grund der massgeblichen Lebenshaltung des Unterhaltspflichtigen konkret ermittelt werden. Die Berechnung der "tatsächlich gelebten Lebensstellung" (<ref-ruling> E. 3b S. 113) bzw. die konkrete Bedarfsermittlung kommt freilich nicht ohne gewisse Pauschalierungen aus, so dass das Abstellen auf vorgegebene Bedarfszahlen unumgänglich und auch ohne weiteres zulässig ist, soweit die erforderlichen Anpassungen vorgenommen werden. Die Festsetzung des Unterhaltsbeitrags bleibt ein Ermessensentscheid (E. 1.2), bei dem alle bedeutsamen Umstände berücksichtigt werden müssen (Urteil 5A_461/2008 vom 27. November 2008 E. 2.2).
3.2. Die Vorinstanz hat sich an den Zürcher Tabellen orientiert (E. 2). Hauptsächlich in zwei Punkten hat sie Anpassungen vorgenommen. So hat sie zum einen mit Blick auf die guten finanziellen Verhältnisse des Beschwerdegegners den nach den Richtlinien ermittelten Barbedarf der Beschwerdeführerin generell um 20 % erhöht. Zum andern hat sie nicht auf die Zürcher Tabellen, sondern auf die konkreten Ausgaben abgestellt, soweit diese im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils bekannt waren. In der Folge hat die Vorinstanz namentlich darauf verzichtet, den Aufwand für "Pflege und Erziehung" abzugelten, soweit die Beschwerdeführerin in der Vergangenheit von ihrer Mutter persönlich betreut worden ist. Auf dieser Grundlage hat die Vorinstanz der Beschwerdeführerin die im Sachverhalt erwähnten monatlichen Unterhaltsbeiträge (s. Sachverhalt Bst. C.b) zugesprochen.
3.3. Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, die Zürcher Tabellen falsch angewendet zu haben, indem es für ihre verschiedenen Altersabschnitte von der tatsächlichen Anzahl der Kinder im Haushalt ihrer Mutter ausgegangen sei. Der Altersunterschied zur älteren Halbschwester S._ (geb. am xxxx 1998) sei derart gross, dass bis zum vollendeten 6. Altersjahr für sie der Betrag für ein Einzelkind von Fr. 2'040.-- einzusetzen sei, auch wenn im August 2012 ein drittes Kind dazugekommen sei. Dasselbe gelte für die zweite Phase von ihrem 7. bis 12. Altersjahr, denn die Lebenshaltung der drei Kinder sei "völlig verschieden". Der Einwand ist unbegründet. Das Obergericht führt aus, es sei offensichtlich, dass die Kosten für das einzelne Kind sinken, wenn eine Familie mehrere Kinder hat. So seien beispielsweise die Mietkosten sowie die weiteren Nebenkosten auf mehrere Köpfe zu verteilen und die einberechneten Beträge für die Position "Pflege und Erziehung" sänken zwangsläufig, da für das einzelne Kind nicht mehr gleich viel Zeit aufgewendet werden könne. Diese Erwägungen stellt die Beschwerdeführerin nicht in Frage. Mit der Behauptung, die Kinder hätten je einen "vollständig verschiedenen Tagesablauf" und "ganz anderen Lebensrhythmus" vermag sie den vorinstanzlichen Ermessensentscheid ebenso wenig zu erschüttern wie mit dem Einwand, sie könne weder die Kleider der älteren Halbschwester tragen noch deren Spielsachen benutzen.
3.4. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz ferner zumindest implizit vor, den Unterhalt in der Vergangenheit konkret berechnet und in diesem Zusammenhang den Aufwand für "Pflege und Erziehung" nicht abgegolten zu haben, soweit dieser von ihrer Mutter persönlich geleistet worden ist. Abgesehen davon, dass die Beschwerdeführerin den Begründungsanforderungen auch in diesem Fall kaum gerecht wird (E. 3.3), ist das Vorgehen der Vorinstanz nicht zu beanstanden. Dieses steht vielmehr im Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, wonach der Unterhalt soweit möglich konkret zu berechnen und kein Unterhalt für "Pflege und Erziehung" geschuldet ist, wenn keine Kosten für die Fremdbetreuung anfallen, weil der obhutsberechtigte Elternteil selbst für Pflege und Erziehung aufkommt (Urteil 5A_690/2010 vom 21. April 2011 E. 2.3; Urteil 5C.288/2005 vom 15. März 2006, E. 5.2). Die Behauptung der Beschwerdeführerin, dass ihre Mutter deswegen ihre Mutterpflichten nicht erfüllen könne, ist weder belegt noch berechtigt. im Übrigen hat der Gesetzgeber die Frage zu beantworten, ob ein Elternteil dafür zu entschädigen ist, dass er das Kind selbst betreut (Betreuungsunterhalt). Ein entsprechendes Gesetzgebungsprojekt ist am Laufen (s. http://www.bj.admin.ch/content/bj/de/home/themen/gesellschaft/gesetzgebung/unterhalt.html ).
3.5. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz schliesslich vor, den Bedarf nur um 20 % statt um 25 % erhöht zu haben bzw. dies einzig damit zu begründen, dass die Beschwerdeführerin keine konkreten erhöhten Bedarfspositionen behauptet habe.
3.5.1. Die Kritik der Beschwerdeführerin ist auch in diesem Punkt nicht berechtigt. Angesichts der guten wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdegegners erhöhte die Vorinstanz den aufgrund der Zürcher Tabellen ermittelten Bedarf. Dies ist aufgrund der Tatsache, dass den Zürcher Tabellen der Bedarf eines Kindes einer Familie mit eher bescheidenen Einkommen zugrunde liegt (E. 2), richtig. Dass die Vorinstanz den Bedarf dabei nur um 20 % und nicht um 25 % erhöhte, lag in ihrem Ermessen und ist nicht zu beanstanden. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer möglicherweise in der Lage wäre, auch einen höheren Unterhaltsbeitrag auszurichten. Kinderunterhaltsbeiträge sind bei überdurchschnittlich guten wirtschaftlichen Verhältnissen nicht einfach linear nach der finanziellen Leistungskraft des zahlungspflichtigen Elternteils zu bemessen (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 290 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 113).
3.5.2. Ein solcher Anpassungsbedarf nach oben ergibt sich auch nicht daraus, dass die Fremdbetreuungskosten entsprechend der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit auf die Eltern verteilt werden, so dass unter Umständen nur ein Elternteil dafür aufkommen muss (vgl. Urteil 5A_690/2010 vom 21. April 2011 E. 2.4). Dies hat die Vorinstanz nicht übersehen und auch berücksichtigt. So hat sie der Beschwerdeführerin ab Februar 2013 und bis zum 12. Altersjahr den ganzen um 20 % erhöhten Bedarf für "Pflege und Erziehung" nach den Zürcher Tabellen zugestanden. Die Vorinstanz nimmt dabei in Kauf, dass die Beschwerdeführerin für Betreuungsleistungen ihrer Mutter entschädigt wird, worauf sie, wie in E. 3.4 erwähnt, rechtlich keinen Anspruch hat. Gekürzt hat die Vorinstanz den Barbedarf der Beschwerdeführerin (von Fr. 2'244.-- auf Fr. 2'000.--) erst für die Zeit nach Erreichen des 13. Altersjahrs. Dahinter steht die Überlegung, dass die Mutter der Beschwerdeführerin von diesem Zeitpunkt an in der Lage ist, die Kosten für die Fremdbetreuung der Beschwerdeführerin selbst zu tragen. Mit Blick auf das dem Sachrichter zustehende Ermessen ist das Vorgehen der Vorinstanz nicht zu beanstanden.
Auch die Tatsache, dass in Zukunft möglicherweise Fremdbetreuungskosten anfallen, die über dem in den Zürcher Tabellen vorgesehenen Betrag für Pflege und Erziehung liegen, rechtfertigt keinen Zuschlag von 25 %. Es ist der Vorinstanz nicht vorzuwerfen, wenn sie sich auf keine diesbezügliche Diskussion eingelassen hat. Im Wesen von Richtlinien liegt es, dass Kosten pauschaliert werden. Sie decken sich damit nicht in jedem Fall mit dem späteren Bedarf. Der Gesetzgeber hat dieser Tatsache Rechnung getragen, indem das Gericht bei einer erheblichen Veränderung der Verhältnisse den Unterhaltsbeitrag auf Antrag eines Elternteils oder des Kindes neu festsetzen kann (<ref-law>). Im Übrigen würde ein sustanziiert vorgetragener höherer Baraufwand für Pflege und Erziehung bloss diese Position als solche betreffen. Ein Grund, den Barbedarf insgesamt pauschal zu erhöhen, resultiert daraus nicht (vgl. Urteil 5A_690/2010 vom 21. April 2011 E. 2.3 [verpönte pauschale Kürzung wegen tieferer Wohnkosten]).
3.5.3. Fehl geht schliesslich das Argument der Beschwerdeführerin, wonach die über den Zürcher Tabellen liegenden Wohnkosten den höheren Zuschlag von 25 % rechtfertigen. Zurecht weist die Vorinstanz darauf hin, dass nicht der Beschwerdegegner, sondern die Mutter der Beschwerdeführerin die höheren Wohnkosten zu verantworten hat. Selbst wenn man den Beschwerdegegner dafür im Grundsatz einstehen liesse, könnte dem Antrag der Beschwerdeführerin nicht entsprochen werden, da in diesem Fall entsprechend dem in Erwägung 3.5.2 Gesagten einzig die Position für Unterkunft nach oben zu korrigieren wäre.
4.
Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Angesichts der besonderen Umstände wird darauf verzichtet, Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Insofern erweist sich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos. Im Übrigen ist das Gesuch der Beschwerdeführerin abzuweisen. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos gelten, weshalb es auch für das bundesgerichtliche Verfahren an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner sind keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn