Sachverhalt:
A.
A.X._ (geb. 1951) und B.X._ (geb. 1950) heirateten am 5. (teils ist die Rede vom 6.) Oktober 1973. Die Parteien haben drei volljährige Kinder.
B.
Ende 2006 zog A.X._ aus dem ehelichen Haus aus. Er sicherte der Ehefrau schriftlich einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'800.-- zu; zudem könne sie das Haus unentgeltlich nutzen.
Mit gerichtlicher Eheschutzvereinbarung vom 8. Oktober 2007 einigten sich die Parteien rückwirkend per 1. Januar 2007 darauf, dass A.X._ seiner Ehefrau einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'900.-- bezahlt. Die eheliche Liegenschaft war in der Zwischenzeit verkauf t worden.
C.
C.a. Am 27. April 2009 leitete A.X._ das Scheidungsverfahren ein; die Scheid ungsklage deponierte er am 4. No vember 2009 beim Bezirksgericht Visp.
Im Laufe dieses Verfahrens beantragte er soweit nachfolgend relevant, der Ehefrau sei bis zum Erreichen ihres AHV-Alters ein monatlicher Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'200.-- zuzusprechen. Die Ehefrau sei zu einer güterrechtlichen Ausgleichszahlung von Fr. 132'255.-- nebst Zins zu 5 % seit Fälligkeit zu verpflichten, wobei er zu berechtigen sei, seine Forderung mit den Unterhaltszahlungen zu verrechnen. Die Gerichts- und Parteikosten habe die Ehefrau zu tragen (vgl. Schlussdenkschrift vom 7. Juli 2011).
C.b. B.X._ verlangte demgegenüber, der Ehemann sei zu verpflichten, ihr bis zum Eintritt ins AHV-Alter einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'900.-- zu bezahlen. Im Rahmen der güterrechtlichen Auseinandersetzung habe ihr der Ehemann eine Ausgleichszahlung von Fr. 24'048.-- zu leisten. Für die Verfahrenskosten habe ebenfalls der Ehemann aufzukommen (vgl. Schlussdenkschrift vom 14. Juli 2011).
C.c. Mit Urteil vom 27. Juli 2011 schied das Bezirksgericht die Ehe der Parteien. Den vom Ehemann geschuldeten monatlichen Unterhaltsbeitrag setzte es auf Fr. 2'650.-- fest (vom 1. Januar 2011 bis zum 30. April 2014). Sodann regelte es die vorliegend nicht umstrittene Teilung der 2. Säule und wies die übrigen Begehren der Parteien ab. Die Verfahrenskosten auferlegte es dem Ehemann zu drei Vierteln, der Ehefrau zu einem Viertel. Es verpflichtete die Parteien zur gegenseitigen Bezahlung von Parteientschädigungen im selben Verhältnis (Fr. 12'000.-- vs Fr. 4'000.--), wobei es dem unentgeltlichen Rechtsanwalt von A.X._ zusätzlich eine staatliche Parteientschädigung von Fr. 5'250.-- zusprach.
D.
D.a. Hiergegen erhob A.X._ mit Eingabe vom 13. September 2011 Berufung an das Kantonsgericht Wallis. Er wiederholte bezüglich nachehelichem Unterhalt, Güterrecht und Kosten seine bereits vor dem Bezirksgericht gestellten Anträge. Die übrigen Punkte erwuchsen in Rechtskraft (namentlich Scheidungspunkt und Teilung der beruflichen Vorsorge). Zusätzlich ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege.
D.b. B.X._ beantragte mit Berufungsantwort vom 6. November 2011 die Abweisung der Berufung unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Auch sie beantragte die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
D.c. Das Kantonsgericht führte am 28. März 2012 eine mündliche Parteieinvernahme durch. Mit zwei separaten Entscheiden vom 30. Oktober 2012 wurde beiden Parteien die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt.
D.d. Mit Urteil vom 31. Juli 2013 wies das Kantonsgericht die Berufung ab und auferlegte A.X._ die Kosten für das Berufungsverfahren sowie eine Parteientschädigung zugunsten der Ehefrau. Seinem unentgeltlichen Rechtsvertreter sprach es eine (einstweilig) vom Staat übernommene Entschädigung von Fr. 4'887.-- zu.
E.
Gegen dieses Urteil gelangt A.X._ (Beschwerdeführer) mit Besch werde in Zivilsachen vom 4. Oktober 2013 an das Bundesgericht. Er verlangt die Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts wie auch der Ziffern 2 bis 6 des Urteils des Bezirksgerichts Visp vom 27. Juli 2011. B.X._ (Beschwerdegegnerin) sei zu verpflichten, ihm eine güterrechtliche Ausgleichszahlung von Fr. 132'255.-- nebst Zins seit Fälligkeit zu leisten. Er bezahle ihr bis zu ihrem Eintritt in das AHV-Alter einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'200.--. Eventualiter zu diesen Hauptbegehren sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sämtliche Verfahrenskosten von der ersten bis zur letzten Instanz seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen und ihm sei für alle drei Instanzen eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. Schliesslich ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
F.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über vermögensrechtliche Nebenfolgen der Ehescheidung entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, 75 Abs. 1 und 90 BGG). Der Streitwert übersteigt Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit gegeben. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde kann grundsätzlich eingetreten werden.
1.2. Anfechtungsobjekt vor Bundesgericht ist einzig der Entscheid des Kantonsgerichts (Art. 75 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten, soweit sie sich gegen den erstinstanzlichen Entscheid richtet.
1.3. Mit der vorliegenden Beschwerde können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Mit Ausnahme der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 BGG). Es ist allerdings nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn der Beschwerdeführer diese nicht mehr thematisiert (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht. Für Verfassungsrügen gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
1.4. An den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt ist das Bundesgericht grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann der Beschwerdeführer einzig vorbringen, sie seien offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG), das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. Ausserdem muss er in der Beschwerde aufzeigen, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Für all diese Elemente gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
1.5. Soweit die Festsetzung von Unterhalt in Frage steht, ist überdies zu beachten, dass der Sachrichter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. 4 ZGB; <ref-ruling> E. 4 S. 580). Das Bundesgericht auferlegt sich bei der Überprüfung vorinstanzlicher Ermessensentscheide Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat. Das ist namentlich der Fall, wenn sie grundlos von in Rechtsprechung und Lehre anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie Umstände nicht in Betracht gezogen hat, die hätten beachtet werden müssen. Das Bundesgericht greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, die sich im Ergebnis als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3a S. 141).
2.
Strittig ist die Höhe des monatlichen Unterhaltsbeitrags, den der Beschwerdeführer an die Beschwerdegegnerin zu leisten hat.
2.1. Die Vorinstanz ist vom nachfolgend dargestellten Sachverhalt ausgegangen. Der Beschwerdeführer sei gelernter Elektromonteur mit einer Weiterbildung im Bereich Bau und Energie. Er habe seit 1976 als Elektriker bei der C._ AG/D._ AG gearbeitet. Im Jahr nach der Trennung (2007) habe er gemäss seiner eigenen Tatsachendarstellung Fr. 80'061.--, das heisst Fr. 6'671.-- pro Monat, verdient. Sodann habe er sich nebenberuflich zum Feng-Shui-Berater ausbilden lassen. Am 31. Januar 2008 habe er die E._ GmbH gegründet, welche "Beratung in den Bereichen Minergiestandard, Heizungssysteme, Solaranlagen und Feng Shui, ganzheitliche Gesundheitsberatung und Heilbehandlung" bezwecke. Ab April 2008 habe er sein Arbeitspensum bei der C._ AG/D._ AG auf eigenen Wunsch stufenweise reduziert und habe seine dortige Anstellung dann auf den 31. Dezember 2008 gekündigt. Seither verdiene er als Angestellter der E._ GmbH brutto Fr. 3'000.-- (netto Fr. 2'375.--) pro Monat. Die Anteile an seiner Firma habe er für Fr. 10'000.-- seiner Lebensgefährtin F._ verkauft.
Die Beschwerdegegnerin verfüge über keine Berufsausbildung und habe sich um die Erziehung und Betreuung der Kinder gekümmert. In den ersten Ehejahren sei sie stundenweise als Raumpflegerin angestellt gewesen, später, höchstens während vier Jahren und bis längstens 2002, einen Tag pro Woche in der Wäscherei eines Altersheims. Es sei unstrittig, dass sie nicht wieder ins Berufsleben eintreten könne.
Unstrittig seien auch der Bedarf des Beschwerdeführers von Fr. 2'247.50 sowie derjenige der Beschwerdegegnerin von Fr. 2'900.--.
2.2. Ausgehend von diesen Tatsachenfeststellungen erwog das Kantonsgericht, entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers sei aus den vorgelegten Beweisen nicht ersichtlich, dass er seine frühere Firma wegen eines schlechten Arbeitsklimas hätte verlassen müssen. Dagegen spreche eine Bestätigung des Arbeitgebers inkl. Kopie eines Mitarbeitergesprächs. Er habe sein Einkommen also freiwillig reduziert, und das, obwohl er um seine Unterhaltspflicht gegenüber der Beschwerdegegnerin (damals von ihm anerkannt: Fr. 2'900.--) gewusst habe. Über Erkrankungen oder andere Einschränkungen der Arbeitsfähigkeit sei nichts bekannt und von ihm nicht geltend gemacht worden. Angesichts seiner Qualifikationen, Fachkompetenz, des Gesundheitszustands, des Alters und der aktuellen Situation auf dem Arbeitsmarkt sei eine vergleichbare Anstellung möglich und zumutbar. Entsprechend sei ihm ein hypothetisches Einkommen in der Höhe seines letzten Lohnes bei der C._ AG/D._ AG anzurechnen. Sodann sei ein Verfahren betreffend den Nachlass des Vaters des Beschwerdeführers hängig, in welchem diesem ein Pflichtteil von mindestens Fr. 465'000.-- zustehe. Der Erbanteil stehe ihm zwar (noch) nicht liquid zur Verfügung, er könne diesen aber verpfänden. Angesichts der Erbschaft in beträchtlicher Höhe wäre es stossend, die Beschwerdegegnerin darben zu lasse n.
2.3. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass ihm ein hypothetisches Einkommen von rund Fr. 6'700.-- angerechnet wurde. Die Vorinstanz habe willkürlich angenommen, dass er in seinem angestammten Beruf als Elektromonteur ein höheres Einkommen erzielen könnte. Er habe seit Jahrzenten nicht mehr auf diesem Beruf gearbeitet. Bei C._ AG/D._ AG habe er in verschiedenen Funktionen gearbeitet, zuletzt als Hauswart. Zudem lägen sowohl die durchschnittlichen Löhne für Elektromonteure als auch Hauswarte viel tiefer als das von der Vorinstanz angenommene hypothetische Einkommen. Er könne auch nicht zu C._ AG/D._ AG zurück und sei 62 Jahre alt. Schliesslich habe er sein Einkommen weder frei- noch böswillig reduziert; er sei davon ausgegangen, dass er in der E._ GmbH mit den Jahren wieder auf sein altes Einkommen kommen würde.
Zu guter Letzt habe die Vorinstanz das Prinzip des Clean Break verletzt. Das Kantonsgericht sei nicht auf sein Vorbringen eingegangen, die Beschwerdegegnerin habe vorab ihre Eigenversorgungskapazität auszuschöpfen und ein Einkommen von mindestens Fr. 500.-- zu erwirtschaften.
2.4.
2.4.1. Grundsätzlich ist vom tatsächlich erzielten Einkommen des Unterhaltspflichtigen auszugehen. Soweit dieses Einkommen allerdings nicht ausreicht, um den ausgewiesenen Bedarf zu decken, kann ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, sofern dieses zu erreichen zumutbar und möglich ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 120 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 5; <ref-ruling> E. 2a S. 139). D abei handelt es sich um zwei Voraussetzungen, die kumulativ erfüllt sein müssen. Damit ein Einkommen überhaupt oder ein höheres Einkommen als das tatsächlich erzielte angerechnet werden kann, genügt es nicht, dass der betroffenen Partei weitere Anstrengungen zugemutet werden können. Vielmehr muss es auch möglich sein, aufgrund dieser Anstrengungen ein höheres Einkommen zu erzielen. Mit Bezug auf das hypothetische Einkommen ist Rechtsfrage, welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint. Tatfrage bildet hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 121; <ref-ruling> E. 4c/bb S. 7; <ref-ruling> E. 2b S. 13). Zur Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts siehe E. 1.3 bis 1.5.
2.4.2. Der Beschwerdeführer ist gelernter Elektriker. Zudem verfügt er, wie aus den Akten hervorgeht, über ein Ergänzungsstudium "Bau & Energie", das er an der Ingenieurschule Wallis (ISW; vgl. Zertifikat vom 19. Dezember 1996) absolvierte, und über eine Weiterbildung als Feng-Shui-Berater. Gemäss Änderungsvertrag der C._ AG/D._ AG vom 25. März 2008 war er dort zuletzt als "Teamleader in der Abteilung G._" angestellt. Heute ist er in der Beratung tätig. Er verfügt somit nicht nur über jahrelange Erfahrung als Elektriker und Hauswart, sondern auch über solche in der Beratung, hat einen höheren Abschluss und kann zudem Führungserfahrung aufweisen. Es ist offensichtlich, dass der Beschwerdeführer in jedem dieser Tätigkeitsfelder mehr als das Doppelte verdienen würde als in seiner jetzigen Tätigkeit. Seinen Ausführungen ist sodann zu entnehmen, dass er heute, entgegen seiner früheren Äusserung, einen Anstieg seines Einkommens in der Firma seiner Lebenspartnerin für ausgeschlossen hält. Entsprechend ist ihm zuzumuten, sich um eine ande re Anstellung zu bemühen.
Soweit der Beschwerdeführer beanstandet, es sei ihm nicht möglich, wieder den früheren Lohn von rund Fr. 6'700.-- zu erzielen, ist darauf hinzuweisen, dass der Beschwerdeführer nicht einmal vorbringt, dies aktuell (vergeblich) versucht zu haben. Er verweist lediglich auf eine einzige erfolglose Bewerbung aus dem Jahre 2007. Ob er genau den Betrag seines früheren Einkommens zu erzielen vermag, kann vorliegend sodann offen gelassen werden. Angesichts seines unbestrittenen Bedarfs von Fr. 2'247.50 würde dem Beschwerdeführer bereits ein Einkommen von Fr. 5'000.-- ausreichen, um neben seinem Bedarf auch die Unterhaltsbeiträge (Fr. 2'650.--) decken zu können.
2.4.3. In Bezug auf die Rüge, die Vorinstanz habe die Eigenversorgungskapazität der Beschwerdegegnerin missachtet, zeigt der Beschwerdeführer sodann nicht auf, inwiefern dies entscheidwesentlich sein sollte. Wäre der Beschwerdegegnerin ein Einkommen von Fr. 500.-- zuzumuten, so würde sie über monatliche Einkünfte von Fr. 3'150.-- verfügen (Fr. 500.-- + Fr. 2'650.--). Der Beschwerdeführer behauptet aber nicht, dass ihr damit mehr zur Verfügung stehen würde, als sie zur Deckung ihres gebührenden Unterhalts gemäss Art. 125 ZGB benötigt, zumal der gebührende Unterhalt regelmässig höher liegt als der blosse Bedarf (der vorliegend auf Fr. 2'900.-- angesetzt wurde; zu den Berechnungsgrundsätzen des nachehelichen Unterhalts im Allgemeinen vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 106 ff. mit Hinweisen).
2.4.4. Nach dem Gesagten hält es vor Bundesrecht stand, wenn die Vorinstanz dem Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen angerechnet und gestützt darauf den erstinstanzlich festgesetzten Unterhaltsbeitrag bestätigt hat. Entsprechend ist die Beschwerde in diesem Punkt abzuweisen. Auf die vorinstanzlichen Erwägungen zum Erbanteil des Beschwerdeführers und auf die hiergegen gerichteten Rügen des Beschwerdeführers braucht nicht eingegangen zu werden.
3.
Der Beschwerdeführer verlangt sodann, ihm sei aus der güterrechtlichen Auseinandersetzung eine Ausgleichszahlung zuzusprechen.
3.1. Streitig ist zunächst, auf welchen Zeitpunkt die Auflösung des Güterstandes (Ausscheidung von Errungenschaft und Eigengut jedes Ehegatten; Art. 204 Abs. 2, Art. 207 Abs. 1 ZGB) zu erfolgen hat.
3.1.1. Das Kantonsgericht stellte fest, die Parteien hätten im Güterstand der Errungenschaftsbeteiligung gelebt. Die Auflösung des Güterstandes habe "per 27. April 2009, Datum der Klageeinreichung, zu erfolgen".
3.1.2. Der Beschwerdeführer hält dem wie bereits vor der Vorinstanz entgegen, gemäss Art. 204 Abs. 2 ZGB sei mit der gerichtlichen Trennungsvereinbarung vom 9. [recte 8.] Oktober 2007 der eheliche Güterstand der Errungenschaftsbeteiligung per 1. Januar 2007 aufgehoben worden; seither bestehe Gütertrennung.
3.1.3. Dem Beschwerdeführer kann nicht beigepflichtet werden. Gemäss Art. 204 ZGB wird der Güterstand mit dem Tod eines Ehegatten oder mit der Vereinbarung eines andern Güterstandes aufgelöst (Abs. 1); bei Scheidung, Trennung, Ungültigerklärung der Ehe oder gerichtlicher Anordnung der Gütertrennung wird die Auflösung des Güterstandes auf den Tag zurückbezogen, an dem das Begehren eingereicht worden ist (Abs. 2). Hinzu kommt die Verschollenerklärung, ansonsten ist die Aufzählung abschliessend (Alexandra Rumo-Jungo, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, Personen- und Familienrecht inkl. Kindes- und Erwachsenensc hutzrecht, 2. Aufl., Zürich 2012, N. 2zu Art. 204 ZGB, Heinz Hausheer/Ruth Reusser/Thomas Geiser, in: Berner Kommentar, Das Güterrecht der Ehegatten, Allgemeine Vorschriften, Der ordentliche Güterstand der Errungenschaftsbeteiligung, Art. 181-220 ZGB, 1992, N. 6 zu Art. 204 ZGB, Daniel Steck, in: FamKOMM Scheidu ng, 2. Aufl., Bern 2011, N. 3 zu Art. 204 ZGB).
Bei der Vereinbarung vom 8. Oktober 2007 (s. Sachverhalt Bst. B) handelte es sich um eine Eheschutzvereinbarung, in der vier Punkte geregelt wurden (Auflösung des gemeinsamen Haushalts per 1. Januar 2007, Unterhaltsbeitrag zugunsten der Ehefrau, Anwalts- und Gerichtskosten, Abschreibung des Eheschutzverfahrens). Die Parteien vereinbarten aber gerade keine Gütertrennung und eine solche wurde, soweit ersichtlich, auch nicht gerichtlich angeordnet. Ebenso wenig tritt aufgrund einer Trennungsvereinbarung im Eheschutzverfahren von Gesetzes wegen die Gütertrennung ein. Der Begriff "Trennung" in Art. 204 Abs. 2 ZGB bezieht sich auf die Ehetrennung nach Art. 117 f. ZGB (Daniel Steck, a.a.O., N. 9 und 11 zu Art. 204 ZGB; Dieter Freiburghaus/Thomas Sutter, in: Kommentar zum neuen Scheidungsrec ht, Zürich 1999, N. 23 f. zu Art. 117 ZGB), was vorliegend ebenfalls nicht gegeben ist.
Die Vorinstanz legte den Zeitpunkt der Auflösung des Güterstandes somit zu Recht auf die Einleitung des Scheidungsverfahrens fest; bis zu diesem Zeitpunkt lebten die Parteien unter dem Güterstand der Errungenschaftsbeteiligung.
3.2. Weiter besteht Uneinigkeit darüber, ob sich die Parteien bereits vor Einleitung der Scheidung (formlos und ausserhalb eines Gerichtsverfahrens) güterrechtlich auseinandergesetzt haben.
3.2.1. Gemäss den Feststellungen des Kantonsgerichts dreht sich die güterrechtliche Streitigkeit um zwei inzwischen veräusserte Liegenschaften der Parteien in H._ resp. I._/Italien. Die Beschwerdegegnerin habe das Baugrundstück in H._ (und rund Fr. 30'000.--) geerbt, auf dem die Ehegatten ihr vormals eheliches Einfamilienhaus errichtet hätten. Sie habe das Haus im Einverständnis mit dem Beschwerdeführer am 5. Oktober 2007 an den Sohn der Parteien, J._, und an dessen Ehegattin verkauft. Der Beschwerdeführer habe unter anderem eine Wohnung in K._ geerbt, welche er 2003 veräussert habe. Im gleichen Jahr hätten die Parteien gemeinsam die Wohnung in I._ gekauft. Am 19. Mai 2007 sei diese Wohnung wieder veräussert worden. Die Erlöse aus dem Verkauf der beiden Liegenschaften hätten sich die Parteien je hälftig geteilt (Verkauf Wohnung I._: Erlös je Fr. 80'000.--; Verkauf Liegenschaft H._: Erlös je Fr. 103'000.--).
Der Beschwerdeführer habe nun vor Kantonsgericht eine Forderung aus Eigengut von Fr. 80'000.-- aus dem Verkauf der Wohnung in I._ sowie eine solche von Fr. 52'255.-- aus dem Verkauf des Hauses in H._ (Forderung von Fr. 155'255.-- abzüglich des bereits erhaltenen Betrags von Fr. 103'000.-- für Investitionen aus Eigengut) geltend gemacht. Die Beschwerdegegnerin vertrete demgegenüber die Ansicht, die Parteien seien in Bezug auf diese beiden Liegenschaften - durch die hälftige Teilung des Erlöses aus deren Verkauf - güterrechtlich auseinandergesetzt. Weiter hält das Kantonsgericht fest, von den genannten Liegenschaften abgesehen seien keine güterrechtlichen Forderungen zwischen den Parteien streitig, obwohl durchaus Weiteres zu teilen gewesen sei, wie Bankkonti, Autos und Möbel; offenbar seien sich die Parteien diesbezüglich einig.
Zu den zwei umstrittenen Liegenschaften erwog das Kantonsgericht, die Einigung auf eine hälftige Teilung des jeweiligen Erlöses sei nach der Trennung und ohne jeglichen Vorbehalt erfolgt und umgesetzt worden; dies kurz vor dem gerichtlichen Vergleich vom 8. Oktober 2007. Sodann habe der Soh n J._ bes tätigt, dass nie etwas anderes als eine hälftige Teilung des Erlöses zur Diskussion gestanden sei. Es sei auch nicht glaubhaft, dass der Beschwerdeführer von einer Anrechnung an den Unterhalt ausgegangen sei. Zusammengefasst hätten sich die Parteien vorbehaltlos auf die hälftige Teilung der Erlöse aus den Verkäufen in I._ und H._ geeinigt, sie hätten dieser Vereinbarung nachgelebt und sie schuldeten sich somit gegenseitig aus Güterrecht nichts mehr. Die einvernehmliche Lösung gehe dem insoweit nicht zwingenden gesetzlichen Güterrecht vor. Dafür spreche bereits die Tatsache, dass die Erlöse aus den beiden Verkäufen bei der Durchführung der güterrechtlichen Auseinandersetzung nicht hälftig zu teilen gewesen wären.
Ergänzend ist aus den Akten ersichtlich, dass sich die Liegenschaft in H._ im Alleineigentum der Beschwerdegegnerin befand (Grundbuchauszug vom 30. Mai 2007); die Wohnung in I._ hingegen im Miteigentum der Parteien ( Kaufvertrag vom 1. August 2003).
3.2.2. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass sich die Parteien betreffend die beiden Liegenschaften bereits güterrechtlich geeinigt hätten. Der Verkauf der beiden Liegenschaften und die Einigung über die Verteilung des Erlöses habe keinerlei Bezug gehabt zur güterrechtlichen Auseinandersetzung. So habe auch die Beschwerdegegnerin kein einziges Dokument vorlegen können, in welchem ihre Behauptung gestützt werde. Weder in der Parteivereinbarung vom 26. Dezember 2006 noch im Eheschutzverfahren noch im Zusammenhang mit den Liegenschaftsverkäufen sei von einer güterrechtlichen Auseinandersetzung die Rede gewesen. Die Mutmassungen der Vorinstanz entbehrten jeglicher Grundlage. Die "Feststellung des Sachverhalts bezüglich der Annahme der erfolgten güterrechtlichen Auseinandersetzung" sei willkürlich. Ausserdem habe die Vorinstanz die Beweislast für das Vorliegen einer güterrechtlichen Auseinandersetzung umgekehrt und damit Art. 8 ZGB verletzt.
3.2.3. Soweit die Sachverhaltsrügen des Beschwerdeführers gegen die vorinstanzliche Annahme einer tatsächlichen Willenseinigung der Parteien (über die güterrechtliche Auseinandersetzung) genügend substanziiert sind, ist ihm teilweise beizupflichten. Wie vorstehend dargelegt (E. 3.1.3), kann die Auflösung des Güterstandes nur in den vom Gesetz abschliessend geregelten Fällen erfolgen. Gleichzeitig behält ein Ehegatte gemäss Art. 168 ZGB die Freiheit, mit dem anderen Ehegatten oder mit Dritten Rechtsgeschäfte abzuschliessen, sofern das Gesetz nichts anderes bestimmt. Die sachen-, obligationen- und gesellschaftsrechtlichen Möglichkeiten bestehen dabei neben dem Güterrecht, dürfen diesem aber nicht widersprechen (wo zum Beispiel für ein Rechtsgeschäft die Form eines Ehevertrags vorgeschrieben ist, darf nicht davon abgewichen werden). Die Ehegatten können die gesetzlichen Bestimmungen des Ehegüterrechts nicht durch obligationenrechtliche Rechtsgeschäfte verdrängen, die sie untereinander abschliessen, es sei denn, das Gesetz sehe dies ausdrücklich vor (vgl. Rudolf Schwager, Möglichkeiten der rechtsgeschäftlichen Gestaltung, in: Heinz Hausheer [ Hrsg. ], Vom alten zum neuen Eherecht, Bern 1986, S. 211; Michel Mooser, in: Commentaire romand, Code civil I, N. 12 zu Art. 182 ZGB; zur Abgrenzung der Gegenstände von obligationenrechtlichen Verträgen gegenüber Eheverträgen siehe weiterführend Rudolf Schwager, a.a.O., S. 211 ff.; Michel Mooser, a.a.O., N. 3 ff. zu Art. 182 ZGB; Heinz Hausheer/Ruth Reusser/Thomas Geiser, a.a.O., N. 7 ff. zu Art. 182 ZGB; Henri Deschenaux/Paul-Henri Steinauer/ Margareta Baddeley, Les effets du mariage, 2. Aufl., Bern 2009, N. 773a ff. zu § 9).
Eine Vereinbarung über die güterrechtliche Auseinandersetzung vor Hängigkeit der Scheidung bedeutet nichts anderes als die Wahl der Gütertrennung und bedarf der Form des Ehevertrags. Ohne diese Fom wäre eine Schenkung möglich, wobei hier ein strikter Beweis einschliesslich des Schenkungswillens verlangt wir d (Urteil 5A_662/2009 vom 21. Dezember 2009 E. 2.3, in: FamPra.ch 2010 424). S odann können die Ehegatten einen Darlehensvertrag abwic keln (<ref-ruling> E. 3.3 S. 256; vgl. auch Henri Deschenaux/Paul-Henri Steinauer/ Margareta Baddeley, a.a.O., N. 773c zu § 9; Rudolf Schwager, a.a.O., S. 212). Schliesslich käme auch eine formlose Vereinbarung über die Tilgung von Forderungen unter den Ehegatten während des Güterstandes und im Zusammenhang mit diesem in F rage ( Heinz Hausheer/ Ruth Reusser/Thomas Geiser, a.a.O., N. 14 zu Art. 182 ZGB), wobeies hierbei weder zu einer eigentlichen güterrechtlichen Auseinandersetzung noch zu einem Wechsel des Güterstandes kommen darf.
Vorliegend fehlen im Urteil des Kantonsgerichts Tatsachenfeststellungen, die einen Rückschluss darauf zulassen würden, ob die Parteien allenfalls eines der vorgenannten Rechtsgeschäfte abgeschlossen haben resp. abschliessen wollten. Vor diesem Hintergrund konnte die Vorinstanz nicht willkürfrei darauf schliessen, es müsse keine güterrechtliche Auseinandersetzung mehr stattfinden.
3.3. Die Vorinstanz hat sodann in einer zweiten Begründungslinie (für den Fall, dass noch eine güterrechtliche Auseinandersetzung vorzunehmen wäre) die güterrechtliche Forderung des Beschwerdeführers abgewiesen, weil dieser bereits mehr erhalten habe, als ihm geschuldet gewesen sei.
3.3.1. Betreffend die Wohnung in I._ führte das Kantonsgericht - ergänzend zum bereits geschilderten Sachverhalt (E. 3.2.1) - aus, die Beschwerdegegnerin habe im Verfahren mehrmals anerkannt, dass diese Wohnung mit Erbschaftsmitteln des Beschwerdeführers bezahlt worden sei. Darauf sei sie zu behaften. Falls angenommen würde, dass sich die Parteien nicht güterrechtlich auf die hälftige Teilung des Erlöses geeinigt hätten, schulde die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer Fr. 80'000.--, also jenen Betrag, den sie aus diesem Liegenschaftsverkauf ausbezahlt erhalten habe.
Betreffend Liegenschaft in H._ ergänzte das Kantonsgericht, die Liegenschaft sei per 1. Juni 2007 auf Fr. 420'000.-- geschätzt worden. Der Bodenanteil betrage Fr. 120'050.-- (1'715 m2 x Fr. 70.--), mithin 28.58 %, gemäss einem Nachtrag zur Schatzung sogar Fr. 154'350.-- (m2 x Fr. 90.--). Wenn die vom Beschwerdeführer behaupteten Investitionen von Fr. 155'255.-- als aus seiner Errungenschaft stammend akzeptiert würden, wäre das ein Anteil von 36.96 %. Das Haus sei dann im Oktober 2007 dem Sohn und dessen Ehefrau zum Preis von Fr. 390'000.-- verkauft worden. Hiervon betrage der Anteil Boden Fr. 111'462.--. Die Errungenschaft des Beschwerdeführers hätte somit eine Ersatzforderung von Fr. 155'255.-- gegenüber dem Eigengut der Beschwerdeführerin, da gemäss Art. 206 ZGB im vorliegend gegebenen Falle eines Minderwerts der ursprüngliche Betrag massgebend sei. Im Gegenzug berücksichtigte die Vorinstanz eine Hypothekerhöhung auf dem Haus von Fr. 55'000.--, die für eine Auszahlung an die Kinder vorgenommen worden sei, der Beschwerdeführer aber aus seinem Eigengut bezahlt haben wolle. Hierfür stehe dem Eigengut der Beschwerdegegnerin eine Ersatzforderung gegenüber dem Eigengut des Beschwerdeführers zu. Die Beschwerdegegnerin hätte dem Beschwerdeführer demnach Fr. 155'255.-- zu bezahlen und dieser der Beschwerdegegnerin Fr. 55'000.-- zuzüglich der Hälfte der Errungenschaft von Fr. 77'627.50, das heisst Fr. 132'627.50. Daraus ergebe sich eine Differenz von Fr. 22'627.50 zugunsten des Beschwerdeführers.
Zusammen mit dem Verkauf aus I._ stünden ihm daher Fr. 102'627.50 zu, erhalten habe er aber schon Fr. 103'000.-- und somit mehr als ihm zugestanden hätte.
Bei dieser Berechnung ging das Kantonsgericht davon aus, dass die Differenz zwischen Schätzungs- und Verkaufswert von Fr. 30'000.-- alleine von der Beschwerdegegnerin getragen werde. Das Gericht zog weiter in Erwägung, bei der Annahme, die Parteien hätten gemeinsam auf die Differenz von Fr. 30'000.-- verzichtet und würden diese gleichmässig tragen, und wenn zudem noch berücksichtigt werde, dass der Ehegatte einen Audi A3 im Wert von Fr. 15'000.--, die Ehegattin aber einen VW für Fr. 6'000.-- übernommen habe, verschiebe sich die Berechnung noch mehr zu Gunsten der Ehegattin.
Den Nachweis, dass die behaupteten Investitionen aus seinem Eigengut erfolgt seien, habe der Beschwerdeführer nicht erbracht. Zwar habe er Investitionsrechnungen hinterlegt, die indes nicht belegten, aus welcher Gütermasse sie bezahlt worden seien; die Bezahlung hätte gemäss Vorinstanz aus dem Eigengut des Beschwerdeführers, dem Eigengut der Ehefrau (auch diese habe Fr. 33'079.70 geerbt) oder sogar aus Errungenschaft erfolgt sein können. Die Beschwerdegegnerin habe zwar bestätigt, dass er einen hohen Betrag aus seiner Erbschaft in das frühere Wohnhaus investiert habe; wieviel habe sie indes nicht sagen können.
3.3.2. Der Betrag von Fr. 80'000.-- bezüglich der Liegenschaft in I._ entspricht dem vom Beschwerdeführer Geforderten.
In Bezug auf die Liegenschaft in H._ rügt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht, die Vorinstanz sei davon ausgegangen, dass die Investitionen aus der Errungenschaft erfolgt seien. Dies sei tatsachenwidrig und willkürlich. Er habe im gesamten Scheidungsverfahren ausgeführt, dass der investierte Betrag aus seinem Eigengut stamme und habe dies mit den Tatsachenbehauptungen in der Scheidungsklage und mit Unterlagen untermauert. Er verweist dabei auf die bei den Vorinstanzen eingereichten Beilagen 8 bis 27, in denen er aufgeführt habe, welche Beträge aus Eigengut er für welche Investitionen in das Wohnhaus in H._ verwendet habe. Dass Investitionen aus Eigengut erfolgt seien, habe die Beschwerdegegnerin "teilweise wenn auch nicht bezüglich der genauen Höhe zugegeben". Aufgrund der willkürlichen Annahme der Vorinstanz (die Investitionen seien aus Errungenschaft erfolgt) sei die Berechnung des Kantonsgerichts völlig irrelevant und verletze Art. 206 und 207 ZGB.
Die weiteren Punkte der vorinstanzlichen Berechnung beanstandet der Beschwerdeführer per se nicht.
3.3.3. Nach der allgemeinen Beweislastregel von Art. 8 ZGB trug der Beschwerdeführer die Beweislast dafür, dass er aus Mitteln seines Eigenguts in die Liegenschaft der Beschwerdegegnerin investiert hat (Art. 200 Abs. 3 ZGB enthält eine Vermutung zugunsten der Errungenschaft, sagt aber nichts zur grundsätzlichen Beweislast für Investitionen; vgl. Urteil 5A_822/2008 vom 2. März 2009 E. 3.2; dies analo g zur Ersatzforderung nach Art. 209 ZGB: <ref-ruling> E. 4.3 S. 565 mit Hinweisen; vgl. auch Regina E. Aebi-Müller/Laura Jetzer, Beweislast und Beweismass im Ehegüterrecht, in: AJP 3/2011 S. 287 ff., S. 289, 291, 301). Es ist der Zahlungsfluss nachzuweisen (Urteil 5A_605/2008 vom 28. Januar 2009 E. 6.5 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>). Vor Bunde sgericht hätte der Beschwerdeführer detailliert aufzeigen müssen, inwiefern die Vorinstanz bezüglich der behaupteten Investitionen den Sachverhalt offensichtlich unrichtig dargestellt habe (E. 1.4). Diesen Rügeanforderungen kommt er nicht nach. Er zeigt beispielsweise nicht in Bezug auf eine einzige Rechnung auf, dass daraus ersichtlich gewesen wäre, dass die Bezahlung einer bestimmten Investition für das Haus in H._ aus seinem Eigengut erfolgt wäre. Damit ist für das Bundesgericht die Feststellung des Kantonsgerichts verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG), dass der Beschwerdeführer Investitionsrechnungen hinterlegt habe, die nicht belegen, aus welcher Gütermasse sie bezahlt wurden. Weiter liegt - zumindest betreffend der behaupteten Höhe der Investitionen - auch keine Anerkennung durch die Beschwerdegegnerin vor. Damit ist keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz dargetan.
Demnach gelingt es dem Beschwerdeführer bezüglich der Investitionen nicht (weder für die behauptete Höhe noch für einen bestimmten tiefer liegenden Betrag), die Herkunft aus Eigengut zu belegen. Damit ist keine Bundesrechtsverletzung ersichtlich, wenn die Vorinstanz von Investitionen aus Errungenschaft ausging.
Nachdem der Beschwerdeführer sich im Übrigen mit der Berechnung der Vorinstanz nicht rechtsgenüglich auseinandersetzt (vgl. vorstehend E. 1.3), ist die Beschwerde bezüglich Güterrecht abzuweisen.
4.
Schliesslich rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV (Beurteilung einer Angelegenheit innert angemessener Frist). Die (zu) lange Dauer des kantonsgerichtlichen Verfahrens habe namentlich seine wirtschaftlichen Probleme verschärft und die Unmittelbarkeit der Parteiaussagen sei gänzlich verloren gegangen.
Der Beschwerdeführer reichte seine Berufung am 13. September 2011 ein. Die Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin erfolgte am 6. November 2011. Am 28. März 2012 wurden die Parteien persönlich angehört. Mit Entscheid vom 30. Oktober 2012 gewährte das Kantonsgericht dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege. Der Entscheid der Vorinstanz erging alsdann am 31. Juli 2013 und wurde den Parteien am 3. September 2013 zugestellt. Inwiefern das Verfahren die finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers verschlimmert haben sollte, ist nicht ersichtlich, zumal ihm das Kantonsgericht die unentgeltliche Rechtspflege gewährt hat. Er zeigt auch nicht konkret auf, wo die Unmittelbarkeit einer Parteiaussage verloren gegangen sein sollte und inwiefern dies auf den Ausgang des Verfahrens einen Einfluss hätte haben können. Vor diesem Hintergrund ist in keiner Phase eine unzulässige Verfahrensverzögerung ersichtlich.
5.
Bei diesem Verfahrensausgang besteht kein Anlass, die vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsregelungen abzuändern. Die entsprechenden Anträge des Beschwerdeführers (s. Sachverhalt Bst. E) sind abzuweisen.
6.
Im bundesgerichtlichen Verfahren wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, da er dieses nicht begründet. Er verweist lediglich auf "die in den Vorakten vorhandenen Belege", was keine Überprüfung seiner finanziellen Verhältnisse zum Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs beim Bundesgericht erlaubt. Der Beschwerdeführer hätte seine Bedürftigkeit (zu diesem Zeitpunkt) darlegen müssen. Zur Mitwirkungspflicht des Gesuchstellers siehe die Urteile 5A_897/2012 vom 13. Februar 2013 E. 4; 2C_793/2012 vom 20. November 2012 E. 4.2 und E. 4.4; 5A_451/2012 vom 27. August 2012 E. 2.1; je mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3a S. 181 f. Der Beschwerdegegnerin sind mangels Einholung einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Auslagen entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, I. zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Mai 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann