Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger und Beschwerdeführer) wohnt in U._ (USA). Zwischen ihm und der B._ AG (Beklagte und Beschwerdegegnerin) mit Sitz in Zürich entzündete sich im Jahr 2004 ein Streit über den geschuldeten Umfang einer Versicherungsleistung.
B.
B.a. Mit Klage vom 30. April 2007 beantragte A._ dem Bezirksgericht Zürich, die B._ AG sei zu verurteilen, dem Kläger einen Betrag von Fr. 5'729.25 nebst Zins sowie Weisungskosten von Fr. 295.-- zu bezahlen.
Mit Urteil vom 13. September 2013 wies das Bezirksgericht die Klage vollumfänglich ab.
B.b. Dagegen legten Rechtsanwältin lic. iur. C._ und Rechtsanwalt Dr. D._ namens des Klägers mit Eingabe vom 24. Oktober 2013 eine Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Die der Beschwerdeschrift beigelegte Vollmacht der klägerischen Rechtsvertreter war indessen nicht mehr aktuell, da nur bis zum 11. November 2011 befristet.
Mit Verfügung vom 10. Januar 2014 setzte das Obergericht dem Kläger eine Frist von 20 Tagen an, um eine aktuelle Vollmacht einzureichen. Das Obergericht forderte den Kläger namentlich auf, innert einer Frist von 20 Tagen ab Zustellung der Verfügung mitzuteilen, ob er die bisherigen Handlungen seiner behaupteten Vertretung genehmige. Im Säumnisfall würden die bisherigen Handlungen der Rechtsvertreter als nicht erfolgt gelten.
Die Verfügung wurde am 13. Januar 2014 den Rechtsvertretern des Klägers zugestellt.
Noch vor Fristablauf am 3. Februar 2014 teilten die Rechtsvertreter des Klägers dem Obergericht mit, die amerikanische Rechtsvertretung der Beklagten habe ihnen "[...] massive Drohungen für den Fall einer Fortführung des Mandats zukommen lassen [...]." Sie legten daher ihr Mandat nieder.
Gleichentags setzte das Obergericht dem Kläger mit Verfügung vom 3. Februar 2014 eine erneute Frist von 20 Tagen an, um mitzuteilen, ob er die bisherigen Handlungen der Rechtsvertretung genehmige. Der Kläger habe gegebenenfalls eine Vollmacht einzureichen. Das Obergericht drohte ihm dabei an, dass im Säumnisfall die Handlungen der angeblichen Vertreter - insbesondere die Erhebung der Beschwerde vom 24. Oktober 2013 - als nicht erfolgt gelten würden.
Das Obergericht stellte diese Verfügung den bisherigen Rechtsvertretern des Klägers zu, wo diese am 4. Februar 2014 einging. Das Obergericht ging davon aus, dass die bisherigen Vertreter des Klägers ihr Mandat im Sinne von Art. 405 Abs. 2 OR soweit zur Wahrung der klägerischen Interessen nötig fortführen würden, da eine Niederlegung kurz vor Ablauf einer wichtigen Frist wohl unzeitig wäre.
Mit Beschluss vom 4. März 2014 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein. Es kam dabei zum Schluss, dass innert Frist, d.h. bis am 24. Februar 2014 keine Eingabe des Klägers erfolgt sei. Da dieser keine Vollmacht eingereicht und auch die bereits erfolgten Handlungen der bisherigen Rechtsvertreter nicht genehmigt habe, gelte die Beschwerde als nicht erfolgt, weshalb darauf nicht einzutreten sei.
Dieser Beschluss wurde den Parteien schriftlich mitgeteilt, zusätzlich an den Kläger durch Publikation vom 14. März 2014 im Amtsblatt des Kantons Zürich und an die bisherigen Rechtsvertreter je gegen Empfangsschein.
C.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt der Kläger dem Bundesgericht, es sei der Beschluss des Obergerichts vom 4. März 2014 aufzuheben und auf die Beschwerde vom 24. Oktober 2013 einzutreten.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Verfassungsbeschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen verfahrensabschliessenden Entscheid (Art. 117 i.V.m. Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 114 i.V.m. Art. 75 Abs. 1 BGG). Der Streitwert erreicht die erforderliche Streitwertgrenze von Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben ist. Die erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich demnach als das zulässige Rechtsmittel (Art. 113 BGG).
2.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz sinngemäss eine offensichtlich unrichtige bzw. unvollständige Sachverhaltsfeststellung vor. Entgegen den Feststellungen im angefochtenen Entscheid habe der Beschwerdeführer der Vorinstanz fristgerecht eine neue Vollmacht nachgereicht und die Handlungen der bisherigen Rechtsvertreter genehmigt. Die entsprechende Eingabe sei zwar erst am 28. März 2014 bei der Vorinstanz eingegangen, doch sei die Eingabe dennoch fristgerecht erfolgt, da die Eingabe bereits am 21. Februar 2014 im schweizerischen Konsulat in New York von der Konsularmitarbeiterin Frau E._ entgegen genommen worden sei. Dies ergebe sich aus dem Dokument des privaten Zustelldienstes "Fedex " (Beilage 2 der Beschwerde).
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG); dazu gehören nicht nur die vorinstanzlichen Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, sondern auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 117 i.V.m. Art. 99 Abs. 1 BGG). Dies ist in der Beschwerde näher darzulegen (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 395).
2.2. Der Beschwerdeführer legt mit seiner Beschwerde ein Dokument vor, aus dem sich ergibt, dass der private Zustelldienst "Fedex" am 21. Februar 2014 ein 0.23 kg schweres Dokument aus U._ einer Person mit Namen "E._" in New York übergeben hat. Aus den kantonalen Akten geht hervor, dass dieses Dokument am 21. Februar 2014 dem Schweizer Konsulat in New York übergeben worden ist und es sich dabei um ein vom 20. Februar 2014 datiertes und eigenhändig unterschriebenes Schreiben des Beschwerdeführers handelt. Unter dem Titel "Declaration and Application" bestätigt der Beschwerdeführer darin, dass die Vollmacht seines Rechtsvertreters Dr. D._ zeitlich unbeschränkt gelte und dies immer seiner Absicht entsprochen habe.
2.3. Der Beschwerdeführer hat erst mit Kenntnisnahme des angefochtenen Entscheides erfahren, dass seine beim schweizerischen Konsulat in New York aufgegebene Eingabe der Vorinstanz nicht innert Frist vorlag. Damit gab erst der angefochtene Entscheid Anlass zur Nachreichung des Dokuments des privaten Zustelldienstes "Fedex", weshalb dieses als zulässiges Novum i.S. von Art. 117 i.V.m. Art. 99 Abs. 1 BGG zu berücksichtigen ist. In Verbindung mit den kantonalen Akten ergibt sich daraus, dass das vom 20. Februar 2014 datierte Schreiben des Beschwerdeführers mit dem Titel "Declaration and Application" am 21. Februar 2014 beim Schweizer Konsulat in New York eingegangen ist. Der im angefochtenen Entscheid festgestellte Prozesssachverhalt erweist sich insoweit als unrichtig bzw. unvollständig und ist zu ergänzen.
3.
Gestützt auf den korrigierten Prozesssachverhalt macht der Beschwerdeführer schliesslich geltend, dass das Nichteintreten auf die Beschwerde "klar dem Gesetz " widerspreche, da er der Vorinstanz fristgerecht eine neue Vollmacht nachgereicht habe.
3.1. Gemäss Art. 68 Abs. 3 ZPO haben sich Rechtsvertreter mit einer Vollmacht auszuweisen. Mängel wie fehlende Unterschrift und fehlende Vollmacht sind innert einer gerichtlichen Nachfrist zu verbessern. Andernfalls gilt die Eingabe als nicht erfolgt (Art. 132 Abs. 1 ZPO). Eingaben müssen spätestens am letzten Tag der Frist beim Gericht eingereicht oder zu dessen Handen der schweizerischen Post oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung übergeben werden (Art. 143 Abs. 1 ZPO).
3.2. Die von der Vorinstanz angesetzte Frist zur Nachreichung einer Vollmacht endete am 24. Februar 2014. Die Eingabe des Beschwerdeführers traf am 21. Februar 2014 bei der schweizerischen konsularischen Vertretung in New York ein. Damit hat der Beschwerdeführer fristgerecht eine zeitlich unbeschränkte Vollmacht für Rechtsanwalt Dr. D._ eingereicht. Soweit die Vorinstanz auf die Beschwerde mit der Begründung nicht eintrat, es liege keine gültige Vollmacht des Rechtsvertreters vor, erfolgte der angefochtene Nichteintretensbeschluss offensichtlich zu Unrecht.
4.
Damit erweist sich die Beschwerde als begründet. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache ist an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurückzuweisen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da der Beschwerdeführer im letztinstanzlichen Verfahren selbst auftritt, ist indessen keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-ruling> E. 4 S. 136 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der angefochtene Entscheid wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni