Sachverhalt:
A.
A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) bewohnt seit dem 1. Januar 1995 eine 1,5-Zimmerwohnung an der Strasse U._ in Zürich, die sie von B._ (Vermieter, Beschwerdegegner) mietet. Seit April 2012 beläuft sich der monatliche Mietzins auf Fr. 838.-- brutto, nachdem er ursprünglich Fr. 816.-- betragen hatte. Der Mietvertrag sieht eine dreimonatige Kündigungsfrist auf jeweils Ende März und Ende September vor.
Am 9. September 2009 konnte ein zwischen der Mieterin und dem Vermieter während längerer Zeit bestehender Streit wegen Mietzinserhöhungen und Mängelansprüchen durch einen vor dem Mietgericht Zürich abgeschlossenen Vergleich beigelegt werden.
Mit Schreiben vom 9. Februar 2012 mahnte der Vermieter die Mieterin für offene Mietzinsforderungen in der Höhe von Fr. 1'971.75 und setzte ihr eine dreissigtägige Frist an, um die Ausstände zu begleichen, mit der Androhung, dass bei unbenütztem Ablauf der Frist das Mietverhältnis ausserordentlich gekündigt werde. Am 4. März 2012 wandte sich die Mieterin in einem als "Verrechnungseinsprache" bezeichneten Schreiben an den Vermieter. Mit amtlichem Formular vom 21. März 2012 kündigte der Vermieter den Mietvertrag auf den 30. April 2012.
B.
Nach erfolglos durchlaufenem Schlichtungsverfahren vor der Schlichtungsbehörde Zürich reichte die Mieterin am 10. Juni 2012 beim Mietgericht Zürich Klage betreffend "Kündigung + Nichtvollzug Mängelbehebung" gegen den Vermieter ein. Am 1. November 2012 wies das Mietgericht das in der Klage gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und setzte der Mieterin Frist zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses an, worauf das Obergericht des Kantons Zürich der Mieterin auf deren kantonale Beschwerde hin mit Urteil vom 21. Dezember 2012 für das erstinstanzliche Verfahren sowohl die unentgeltliche Prozessführung als auch die unentgeltliche Rechtsverbeiständung gewährte.
Am 25. Februar 2014 erklärte das Mietgericht in Abweisung der Klage "die Kündigung vom 21. März 2012 auf den 30. April 2012 für wirksam und gültig". Dieses Urteil focht die Mieterin mit Berufung beim Obergericht an. Letzteres entschied mittels Beschluss und Urteil vom 23. Mai 2014 über die Anträge der Mieterin. Dabei bewilligte es der Mieterin für das Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege (Beschluss Dispositiv-Ziffer 1). Auf das Gesuch der Mieterin um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes trat es nicht ein (Beschluss Dispositiv-Ziffer 2). Die Berufung selber wies das Obergericht in Bestätigung des angefochtenen Urteils ab, soweit es darauf eintrat (Urteil Dispositiv-Ziffer 1).
C.
Die Mieterin begehrt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Beschluss des Obergerichts, Dispositiv-Ziffer 2, sei aufzuheben. Das Obergericht sei anzuweisen, ihr für das Berufungsverfahren einen Rechtsbeistand zu bestellen.
Weiter beantragt die Mieterin, "[d]as Urteil sei aufzuheben". Es sei festzustellen, dass ihr "die Vorinstanz" das rechtliche Gehör verweigert habe; die Sache sei zur Beurteilung "an die Vorinstanz" zurückzuweisen (Antrag Ziffer 2a). "Das angefochtene Urteil sei insoweit aufzuheben, als auf die Berufung nicht eingetreten wurde. Die Sache sei zur Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen" (Antrag Ziffer 2b).
Ausserdem ersucht die Mieterin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 18. August 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG. Sodann übersteigt der Streitwert die nach <ref-law> in mietrechtlichen Fällen geltende Grenze (vgl. <ref-ruling> E. 1.1). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (siehe Erwägung 2) - auf die Beschwerde insofern einzutreten, als sie gegen das Urteil des Obergerichts gerichtet ist.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls darauf nicht eingetreten werden kann. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Entsprechende Rügen sind überdies bloss zulässig, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Soweit sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90; Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18; <ref-ruling> E. 1.4.3).
Diese Grundsätze verkennt die Beschwerdeführerin, wenn sie in ihrer Beschwerdeschrift zunächst den Sachverhalt aus eigener Sicht rekapituliert und sodann zur Begründung der einzelnen Rügen den tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid widerspricht oder diese erweitert. Darauf kann nicht abgestellt werden, zumal die Beschwerdeführerin keine substanziierten Sachverhaltsrügen im soeben beschriebenen Sinn erhebt. Es ist durchwegs vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat, und die Beschwerdeführerin kann nicht gehört werden, soweit sie ihre Argumentation auf einen Sachverhalt stützt, der von den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht.
Aus dem gleichen Grund ist nicht auf die der Beschwerde angefügten handschriftlichen "Handnotizen" respektive "Beifügungsnotizen" einzugehen, in denen die Beschwerdeführerin verschiedene Vorkommnisse schildert, die im angefochtenen Entscheid keine Erwähnung finden. Ohnehin ist kaum erkennbar, inwiefern diese Ausführungen einen entscheiderheblichen Bezug zur vorliegenden Streitsache haben sollen.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> und <ref-law> im Verfahren vor dem Mietgericht.
3.1. Die entsprechende Rüge hatte sie bereits dem Obergericht vorgetragen. Dieses setzte sich mit den Argumenten der Beschwerdeführerin im Einzelnen auseinander, konnte aber keine Gehörsverletzung erkennen. Es erwog, gemäss dem Protokoll des Mietgerichts hätten die Parteien ausreichend Gelegenheit gehabt, sich an der Hauptverhandlung zu äussern. So seien sowohl die Klagebegründung und die Klageantwort als auch die Replik und die Duplik erstattet worden. Jede Partei habe also Gelegenheit gehabt, sich zweimal zu äussern bzw. zu den Ausführungen der Gegenseite Stellung zu nehmen. Nebst den beiden Parteivorträgen ihres Rechtsvertreters habe die Beschwerdeführerin auch selbst Gelegenheit erhalten, sich zu äussern. Hinzu komme, dass der Vorsitzende immer wieder seine gerichtliche Fragepflicht im Sinne von <ref-law> ausgeübt habe, um sich Klarheit über den Sachverhalt zu verschaffen. Zu diesem Zweck habe er sowohl die Rechtsvertreter als auch die Parteien selbst bzw. die Liegenschaftenbewirtschafterin des Beschwerdegegners befragt. Aus dem Protokoll gehe zwar hervor, dass die Beschwerdeführerin noch weitere eigene Ausführungen hätte machen wollen und es offenbar schwierig gewesen sei, sie hievon abzuhalten. Dem Gericht stehe es aber zu, die Redezeit der Parteien zu limitieren oder auf bestimmte Themen zu beschränken, und die Beschwerdeführerin sei anwaltlich vertreten gewesen, womit ihr Rechtsanwalt "für das Vortragen ihrer Anliegen primär zuständig" gewesen sei. Seine Handlungen und Entscheide habe sich die Beschwerdeführerin vollumfänglich anrechnen zu lassen.
3.2. In ihrer Beschwerde an das Bundesgericht erneuert die Beschwerdeführerin den Vorwurf, sie habe sich vor dem Mietgericht persönlich nicht hinreichend äussern dürfen.
Die Rüge verfängt nicht: Der Anspruch auf rechtliches Gehör verleiht dem Einzelnen insbesondere das Recht, sich vor der zuständigen Behörde in ausreichender Weise äussern und seinen Standpunkt wirksam ins Verfahren einbringen zu können (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2b). Die Behörde hat die rechtserheblichen Vorbringen der Parteien tatsächlich zu hören und zu prüfen (<ref-ruling> E. 2b). Entgegen der in der Beschwerde zum Ausdruck gebrachten Auffassung schreibt der Gehörsanspruch indessen nicht vor, dass es einer Partei im Verfahren vor Zivilgericht möglich sein muss, jederzeit beliebig umfangreiche Ausführungen zur Sache zu machen. Der Gehörsanspruch garantiert mit anderen Worten nicht die von der Beschwerdeführerin geforderte unbeschränkte Äusserungsmöglichkeit im Zivilverfahren.
Um mit ihrer Gehörsrüge vor Bundesgericht Erfolg zu haben, müsste die Beschwerdeführerin vielmehr - selbst als nicht anwaltlich vertretene Partei - angeben, welche konkreten, entscheiderheblichen Sachverhaltsbehauptungen und rechtlichen Argumente sie in welchem Stadium des kantonalen Verfahrens nicht vorbringen konnte, und begründen, weshalb sie zu den entsprechenden Äusserungen ansonsten - über das ganze Verfahren gesehen - keine Gelegenheit hatte (vgl. Erwägung 2). Die pauschale Behauptung der Beschwerdeführerin, sie sei anlässlich der Hauptverhandlung vor dem Mietgericht mehrmals an der Wortergreifung gehindert respektive unterbrochen worden, als sie "relevante Umstände zum bestrittenen Zahlungsausstand, zu den eine Mietzinsreduktion gestattenden Mängeln, zur Verrechnung, zu den behaupteten Angeboten der Mängelbehebung etc." habe "machen" wollen, genügt demnach nicht, um eine Gehörsverletzung zu belegen.
Entsprechendes gilt ferner für den unter dem gleichen Rechtstitel erhobenen Vorwurf der Beschwerdeführerin, wonach ihre Eingabe vom 23. April 2014 (recte: 2013) und ihre Einlegerakten keinen Eingang in den Prozessstoff gefunden hätten. Auch insofern unterlässt es die Beschwerdeführerin bereits, substanziiert darzutun, welche in besagter Eingabe enthaltenen konkreten, entscheiderheblichen Tatsachen das Mietgericht unberücksichtigt gelassen haben soll. Der Gehörsanspruch bedeutet überdies nicht, dass sich das Gericht ausdrücklich mit jedem Argument der Parteien auseinandersetzen muss (<ref-ruling> E. 5.2).
Die Gehörsrüge erweist sich somit als unbegründet, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
4.
Die Beschwerdeführerin beanstandet weiter, die Vorinstanzen hätten zur Frage, ob per Februar 2012 ein Mietzinsausstand vorgelegen habe, "im Rahmen einer unzulässigen antizipierten Beweiswürdigung" willkürliche Sachverhaltsfeststellungen getroffen, einen Teil der Beweisofferten "zu Unrecht nicht abgenommen" und damit ausserdem "ihr rechtliches Gehör (Anspruch auf Beweisabnahme) " verletzt.
Das Obergericht stellte zunächst fest, dass die Berufungsschrift keine Berufungsbegründung im Sinne des Gesetzes enthalte. Da kein Fall von <ref-law> vorliege, sei darauf - abgesehen von der Gehörsrüge - nicht einzutreten. Im Rahmen einer Eventualbegründung bestätigte das Obergericht aber immerhin die materielle erstinstanzliche Beurteilung hinsichtlich der Frage der Gültigkeit der Kündigung wegen Zahlungsrückstands der Mieterin. Gemäss dem Mietgericht war die vom Beschwerdegegner angeführte Mietzinsforderung im Teilbetrag von Fr. 873.75 ausgewiesen und weder durch rechtzeitige Bezahlung noch durch Verrechnung seitens der Beschwerdeführerin getilgt worden. Das Obergericht erwog dazu, die angeführten Herabsetzungsansprüche seien vom Mietgericht "zutreffend als untauglich qualifiziert" worden.
Mit der ausführlichen Begründung des Mietgerichts setzt sich die Beschwerdeführerin mit keinem Wort auseinander. Namentlich führt sie nicht aus, in welchem Punkt die Sachverhaltsfeststellung genau willkürlich sein soll und zu welcher konkreten streitigen Tatsachenbehauptung die Vorinstanzen die angebotenen Beweismittel (gemäss der Beschwerdeführerin unter anderem die Zeugenaussage ihrer vormaligen Rechtsvertreterin) nicht abgenommen haben soll. Die Rüge erschöpft sich vielmehr letztlich in der pauschalen Behauptung, der Entscheid sei im Ergebnis falsch. Darauf kann nicht eingetreten werden.
5.
Von vornherein nicht zulässig ist die Beschwerde schliesslich, soweit sie sich gegen den Beschluss des Obergerichts richtet, konkret dessen Dispositiv-Ziffer 2, mit der auf den Antrag der Beschwerdeführerin um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das Berufungsverfahren nicht eingetreten wird.
5.1. Die Vorinstanz begründete diesen Entscheid damit, die Beschwerdeführerin habe in der Berufungsschrift zwar den Antrag gestellt, es sei ihr für das Berufungsverfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben, während der laufenden Rechtsmittelfrist allerdings keinen Rechtsvertreter bezeichnet. Sie sei offenbar davon ausgegangen, die Kammer würde ihr einen Rechtsbeistand bestellen. Gemäss konstanter Praxis sei es aber im Berufungsverfahren an den Parteien, selbst einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bezeichnen bzw. zur Begründung der Berufung innert gesetzlicher Frist einen solchen beizuziehen, während das Gericht lediglich im Anwendungsbereich von <ref-law> den Beistand von sich aus bestelle. Überdies sei die gesetzliche Rechtsmittelfrist, um die Berufungsschrift zu präzisieren bzw. zu ergänzen, am Tag der Einreichung der Berufungsschrift abgelaufen. An dieser "Sachlage" - so die Vorinstanz - hätte ein Rechtsvertreter nichts mehr zu ändern vermocht, zumal gesetzliche Fristen im Gegensatz zu gerichtlichen Fristen nicht erstreckbar seien. Da auch keine Berufungsantwort einzuholen gewesen sei, womit sich eine allfällige freiwillige Stellungnahme der Beschwerdeführerin erübrigt habe, sei auf deren Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands nicht einzutreten.
5.2. Unter den gegebenen Umständen hat die Beschwerdeführerin kein schutzwürdiges Interesse im Sinne von <ref-law> an der Aufhebung respektive Änderung von Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Beschlusses. Selbst wenn das Bundesgericht entgegen der Ansicht des Obergerichts zum Schluss gelangen sollte, dass sich eine Partei im Rechtsmittelverfahren auf das blosse Begehren um unentgeltliche Rechtsverbeiständung beschränken darf, ohne dass sie selber einen Vertreter zu bezeichnen oder beizuziehen hätte, könnte die Beschwerdeführerin daraus im vorliegenden Fall nichts zu ihren Gunsten ableiten: Das Obergericht verzichtete in Anwendung von <ref-law> auf die Einholung einer Berufungsantwort, was die Beschwerdeführerin nicht beanstandet. Damit erwies sich die Berufungssache als spruchreif, ohne dass der Beschwerdeführerin noch eine weitere Gelegenheit zur Stellungnahme oder einer sonstigen Eingabe einzuräumen war. Nachdem die - im erstinstanzlichen Verfahren noch unentgeltlich verbeiständete - Beschwerdeführerin am letzten Tag der Berufungsfrist in eigenem Namen, d.h. ohne Beizug eines berufsmässigen Vertreters, Berufung erhoben hatte, entstand ihr in dieser Konstellation kein Nachteil daraus, dass das Obergericht auf ihren Antrag um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes nicht eintrat, und es ist nicht erkennbar, welchen konkreten Nutzen sie daraus ziehen würde, wenn das Bundesgericht heute wie beantragt die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das Verfahren vor dem Obergericht anordnen würde, nachdem dieses - bundesrechtskonform (vgl. Erwägungen 3 und 4) - beendet ist.
Soweit die Beschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts gerichtet ist, kann demnach nicht auf sie eingetreten werden.
5.3. Sie ist ausserdem unbegründet, wenn sie in diesem Punkt zusätzlich damit begründet wird, die Vorinstanz habe in Verletzung von <ref-law> "nicht einmal in Betracht gezogen", "die Frist wiederherzustellen und der Vertretung eine neue Frist anzusetzen", obschon die Beschwerdeführerin offensichtlich überfordert gewesen sei. Denn es ist nicht dargetan, dass die Beschwerdeführerin offenkundig ausser Stand gewesen wäre, den Prozess selbst zu führen. Im Übrigen liess es die Vorinstanz entgegen der Beschwerdeführerin in der Hauptsache nicht bei einem Nichteintretensentscheid mangels hinreichender Begründung bewenden, sondern sie prüfte zunächst ausführlich die in der Berufung erhobene Gehörsrüge und führte weiter aus, dass der Berufung auch dann kein Erfolg beschieden wäre, wenn die Berufungsschrift eine rechtsgenügende Begründung enthalten hätte. Sie beurteilte die Berufung mit anderen Worten in der Sache und kam zum Schluss, dass auch eine korrekte Berufungsbegründung durch einen rechtskundigen Vertreter nichts am Unterliegen der Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren geändert hätte. Nachdem diese Beurteilung in der Sache auch der bundesgerichtlichen Überprüfung standhält (Erwägungen 3 und 4), geht die Berufung auf <ref-law> fehl.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Sie war von vornherein aussichtslos, weshalb die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu gewähren ist (vgl. <ref-law>).
Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist durch das bundesgerichtliche Verfahren kein Aufwand entstanden, weshalb ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. September 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz