Faits:
A. Le 4 juillet 2006, la doctoresse J._, spécialiste en médecine générale, a prescrit à N._, atteinte d'insuffisance veineuse des deux membres inférieurs et de lombalgie récidivante, un traitement de relaxant musculaire et six séances de physiothérapie par drainage lymphatique. Les séances de physiothérapie par drainage lymphatique ont eu lieu du 6 au 25 juillet 2006, pour lesquelles L._, physiothérapeute, a établi le 26 juillet 2006 une facture d'un montant de 427 fr. 60 ([6 x 77 points] + 24 points [1ère séance] x 0.88 fr. [valeur du point]) qui se fondait sur la position 7312 (77 points) du tarif des physiothérapeutes relative au forfait par séance pour drainage lymphatique manuel.
A la suite des renseignements complémentaires fournis par L._ le 15 septembre 2006 et la doctoresse J._ le 2 octobre 2006, Mutuel Assurances, à laquelle est affiliée N._, a avisé L._ dans un décompte de prestations du 23 octobre 2006 que le diagnostic ne justifiait pas une prise en charge de la position 7312 et qu'elle avait "rectifié la somme facturée et payé la position simple: 7301" du tarif des physiothérapeutes, en indiquant qu'elle effectuerait un versement sur son compte bancaire de la somme de 274 fr. 55 (253 fr. 45 [montant arrondi, 6 x 48 points x 0.88 fr. = 253 fr. 44] + 21 fr. 10 [24 points x 0.88 fr.]).
L._ a adressé une demande à la Commission paritaire Association Suisse de Physiothérapie - santésuisse. Dans un avis du 3 juin 2008, la doctoresse J._ a indiqué que la patiente était atteinte d'oedème lymphatique multifactoriel. Par lettre du 12 novembre 2008, la Commission paritaire a informé L._ qu'elle n'était pas parvenue à trouver une proposition de conciliation commune.
B. Le 11 décembre 2008, X._ Sàrl, dont L._ est l'associé et gérant, a saisi le Tribunal arbitral du canton du Valais, en demandant, sous suite de frais et dépens, que soit ordonné un examen médical afin de déterminer si l'oedème lymphatique tombait sous le coup de la position 7312 du tarif des physiothérapeutes et, dans l'affirmative, que Mutuel Assurances soit condamnée à lui rembourser les prestations de la facture du 26 juillet 2006 selon cette position du tarif.
Dans un mémoire du 20 janvier 2009, Mutuel Assurances a conclu au rejet de la demande. Le 17 février 2009, X._ Sàrl, produisant copie d'une attestation de la doctoresse J._ du 9 février 2009, a pris acte de la réponse de Mutuel Assurances. Le 6 mars 2009, Mutuel Assurances a déposé ses observations, en relevant que c'était à bon droit qu'elle avait remboursé le traitement selon la position 7301 du tarif des physiothérapeutes. Le 9 mars 2009, X._ Sàrl a déposé ses observations.
Par jugement du 23 août 2010, le Tribunal cantonal arbitral a admis partiellement la demande de X._ Sàrl en ce sens que les prestations litigieuses devaient être refacturées à Mutuel Assurances sur la base de la position 7301 du tarif des physiothérapeutes, la valeur du point étant de 0.88 fr. (ch. 1 du dispositif), dit que les 1'000 fr. de frais de justice seraient perçus sur l'avance de même montant de X._ Sàrl à qui Mutuel Assurances verserait 800 fr. (ch. 2 du dispositif) et que Mutuel Assurances verserait 800 fr. de dépens à X._ Sàrl qui lui paierait 60 fr. d'indemnité de parties (ch. 3 du dispositif).
C. Mutuel Assurances interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens que la demande de X._ Sàrl est rejetée, les frais de justice et les dépens étant à la charge de X._ Sàrl qui succombe et paiera à Mutuel Assurances une indemnité de partie de 300 fr.
Le 16 novembre 2010, X._ Sàrl a déposé sa réponse au recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le recours interjeté céans est formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>) - incluant les droits fondamentaux - et est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), sans qu'une des exceptions prévues à l'<ref-law> soit réalisée. La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte. Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (arrêt 9C_62/2009 du 27 avril 2010, consid. 1.2 non publié aux <ref-ruling>).
2. 2.1 Quoi qu'en dise l'intimée, le mémoire de recours de Mutuel Assurances comporte la signature de C._ et R._, tous deux membres de son Service juridique, et satisfait aux exigences de l'art. 42 al. 1 et 5 LTF.
2.2 La recourante a un intérêt digne de protection à la modification du dispositif du jugement entrepris (art. 89 al. 1 let. c LTF). L'intérêt invoqué par elle à la réforme du dispositif se trouve, avec l'objet de la contestation, dans un rapport étroit, spécial et digne d'être pris en considération, le point de savoir si la demande de X._ Sàrl aurait dû être rejetée par le Tribunal cantonal arbitral au lieu d'être admise partiellement ayant une incidence sur la répartition des frais de justice et des dépens (y compris l'indemnité de partie) à laquelle il a procédé (<ref-ruling> consid. 1 p. 469 s.; voir aussi <ref-ruling> consid. 3 p. 202/203).
2.3 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement en cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire insoutenable, voire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références).
3. Le Tribunal cantonal arbitral, relevant que la doctoresse J._ n'avait nulle part mentionné une quelconque complexité du traitement ou son insertion dans un complexe thérapeutique global, a nié que les conditions d'application de la position 7312 du tarif des physiothérapeutes soient remplies. Relevant que la position 7301 du tarif des physiothérapeutes était seule applicable en l'espèce, il a constaté que Mutuel Assurances tablait sur la position 7320 du tarif des physiothérapeutes qui donne 10 points de forfait par séance pour électrothérapie et thermothérapie, ce qui l'a amené à admettre partiellement la demande de X._ Sàrl en ce sens que Mutuel Assurances devait prendre en charge les prestations de la facture du 26 juillet 2006 sur la base de la position 7301 du tarif des physiothérapeutes.
3.1 La recourante reproche au Tribunal cantonal arbitral d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves, en interprétant de manière erronée le décompte de prestations du 23 octobre 2006.
3.2 Du jugement entrepris, il ressort que le Tribunal cantonal arbitral a constaté que le 23 octobre 2006, Mutuel Assurances avait avisé L._ que, compte tenu de l'opinion du médecin-conseil, "sa facture du 26 juillet 2006 allait être réglée sur la base de la position 7320 (10 points) et non de la position 7312 (77 points)".
Toutefois, ces constatations que le Tribunal cantonal arbitral a tirées du décompte de prestations de Mutuel Assurances du 23 octobre 2006 sont insoutenables (supra, consid. 2.3). De ce décompte, il résulte que la recourante a avisé L._ que le diagnostic ne justifiait pas une prise en charge de la position 7312 et qu'elle avait "rectifié la somme facturée et payé la position simple: 7301" du tarif des physiothérapeutes, en indiquant qu'elle effectuerait un versement sur son compte bancaire de la somme de 274 fr. 55 (253 fr. 45 [montant arrondi, 6 x 48 points x 0.88 fr. = 253 fr. 44] + 21 fr. 10 [24 points x 0.88 fr.]).
Mutuel Assurances, en concluant dans sa réponse du 20 janvier 2009 au rejet de la demande de X._ Sàrl, ne tablait pas sur la position 7320 du tarif des physiothérapeutes. A partir du moment où le décompte de prestations du 23 octobre 2006 décrit ci-dessus avait rectifié la somme de 427 fr. 60 facturée par L._ le 26 juillet 2006, en indiquant que le montant de 274 fr. 55 calculé sur la base de la position 7301 (48 points) du tarif des physiothérapeutes serait payé par Mutuel Assurances, montant qu'elle a versé entre-temps à L._, le Tribunal cantonal arbitral, relevant que la position 7301 du tarif des physiothérapeutes était seule applicable en l'espèce, aurait dû rejeter purement et simplement la demande de X._ Sàrl. Il convient dès lors de modifier dans ce sens le ch. 1 du dispositif du jugement entrepris.
3.3 L'issue du litige devant le Tribunal cantonal arbitral s'en trouvant modifiée, il y a lieu d'annuler les ch. 2 et 3 du dispositif du jugement entrepris, qui mettent à la charge de Mutuel Assurances 800 fr. de frais de justice et la condamnent à verser à X._ Sàrl 800 fr. de dépens et condamnent X._ Sàrl à verser à Mutuel Assurances le 20 % d'une indemnité de partie, soit 60 fr. au lieu de la pleine indemnité de 300 fr.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimée, qui succombe (<ref-law>). La recourante, bien qu'obtenant gain de cause, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 7 p. 169 s.).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le ch. 1 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal arbitral du canton du Valais, du 23 août 2010, est modifié en ce sens que la demande de X._ Sàrl est rejetée. Les ch. 2 et 3 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal arbitral du canton du Valais du 23 août 2010 sont annulés.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4. Les frais de justice de 1'000 fr., perçus par le Tribunal cantonal arbitral du canton du Valais sur l'avance de même montant versée par X._ Sàrl, sont mis à la charge de X._ Sàrl, qui paiera à Mutuel Assurances une indemnité de partie de 300 fr.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal arbitral du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 15 juillet 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner