Aufenthaltsbewilligung, hat sich ergeben:
A.- Der aus dem ehemaligen Jugoslawien (Kosovo) stammende S._ gelangte erstmals 1985 in die Schweiz. 1990 wurde ihm in Umwandlung der Saisonbewilligung eine Jahresaufenthaltsbewilligung erteilt.
Mit Verfügung des Bezirksamtes Weinfelden vom 28. März 1994 wurde S._ wegen missbräuchlicher Verwendung eines Ausweises und wiederholten Führens eines Motofahrzeuges ohne Ausweis zu drei Tagen Gefängnis bedingt und zu einer Busse von Fr. 200.-- verurteilt. Wegen Fälschung von Ausweisen verurteilte ihn das Bezirksgericht Baden mit Urteil vom 26. Oktober 1994 zu zwei Monaten Gefängnis bedingt und zu einer Busse von Fr. 1'000.--.
Auf Grund dieser Verurteilungen verwarnte die Fremdenpolizei des Kantons Thurgau S._ am 6. Januar 1995 und hielt fest, es werde von ihm in Zukunft ein in jeder Hinsicht klagloses Verhalten erwartet.
Mit Verfügung vom 19. September 1995 bestrafte das Bezirksamt Bischofszell S._ mit einer Busse von Fr. 600.-- wegen Entwendung eines Motorfahrzeuges zum Gebrauch, mehrfacher Vornahme einer Lernfahrt ohne die erforderliche Begleitperson, Verletzungen von Verkehrsregeln, begangen durch Nichtbeherrschen des Fahrzeuges, sowie pflichtwidrigen Verhaltens nach Unfall. Zudem wurde die Probezeit von drei Jahren für die vom Bezirksgericht Baden am 26. Oktober 1994 ausgefällte Gefängnisstrafe um ein weiteres Jahr verlängert. Wegen Nichtabgabe entzogener Kontrollschilder, begangen am 27. April 1997, wurde S._ mit Verfügung des Bezirksamtes Weinfelden vom 6. Juli 1997 mit einer Busse von Fr. 400.-- bestraft. Mit Urteil der Bezirksgerichtskommission Bischofszell vom 22. Januar 1999 wurde er wegen Widerhandlung gegen die Verordnung des Bundesrates über den Erwerb und das Tragen von Schusswaffen durch jugoslawische Staatsangehörige sowie des mehrfachen Führens eines Motorfahrzeuges zu 25 Tagen Gefängnis unbedingt sowie einer Busse von Fr. 1'000.-- verurteilt.
B.- Mit Verfügung vom 23. Juni 1999 lehnte es die Fremdenpolizei ab, die am 30. November 1998 abgelaufene Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und wies S._ aus dem Kanton Thurgau weg.
Am 2. Juli 1999 verurteilte die Bezirksgerichtskommission Bischofszell S._ wegen Veruntreuung zu einer Gefängnisstrafe von sechs Monaten, bedingt erlassen auf eine Probezeit von vier Jahren. Zudem wurde der bedingte Strafvollzug für die vom Bezirksgericht Baden verhängte Strafe widerrufen.
Gegen die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung beschwerte sich S._ erfolglos beim Departement für Justiz und Sicherheit und darauf beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau.
C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 4. Mai 2000 beantragt S._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 22. März 2000 aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Zudem stellt er das Begehren, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen, und ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung.
Das Bundesgericht hat darauf verzichtet, Vernehmlassungen einzuholen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Nach Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde auf dem Gebiete der Fremdenpolizei unzulässig gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die das Bundesrecht keinen Anspruch einräumt.
Gemäss Art. 4 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142. 20) entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt oder Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Anspruch auf Erteilung bzw. Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags berufen (<ref-ruling> E. 2a S. 291; <ref-ruling> E. 1b S. 147, mit Hinweisen).
b) Der Beschwerdeführer macht zu Recht nicht geltend, ein solcher Anspruch ergebe sich im vorliegenden Fall aus dem innerstaatlichen Recht. Er beruft sich indessen auf Art. 8 EMRK, der den Schutz des Familienlebens garantiert.
Aus dieser Bestimmung kann der Ausländer, der einen nahen Angehörigen in der Schweiz hat, unter gewissen Umständen einen Anspruch auf Erteilung einer Anwesenheitsbewilligung ableiten (<ref-ruling> E. 1d S. 3, 16 E. 3a S. 21 und 257 E. 1c S. 259 f., mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat als familiäre Beziehung, welche gestützt auf Art. 8 EMRK einen solchen Anspruch verschaffen könnte, vor allem die Beziehung zwischen Ehegatten sowie zwischen Eltern und minderjährigen Kindern anerkannt, die im gemeinsamen Haushalt leben. Geht es um Personen, die nicht der eigentlichen Kernfamilie zuzurechnen sind, gelten besondere Anforderungen.
Eine schützenswerte familiäre Beziehung setzt diesfalls voraus, dass der um die fremdenpolizeiliche Bewilligung ersuchende Ausländer in einer so engen Beziehung zu den hier Anwesenheitsberechtigten steht, dass von einem eigentlichen Abhängigkeitsverhältnis, wie es sich aus besonderen Betreuungs- und Pflegebedürfnissen bei körperlichen oder geistigen Behinderungen und schwerwiegenden Krankheiten ergeben kann, gesprochen werden muss (vgl. BGE 120 257 E. 1d S. 260 ff.).
Liegt dagegen kein derartiges Verhältnis vor, ist Art. 8 EMRK durch die Verweigerung einer Aufenthaltsbewilligung von vornherein nicht betroffen.
Dass zwischen dem Beschwerdeführer und seinen in der Schweiz wohnhaften Verwandten ein derartiges Abhängigkeitsverhältnis besteht, ist weder dargetan noch ersichtlich.
Bei der Beziehung zu seiner Lebensgefährtin in der Schweiz und deren Tochter handelt es sich nicht um eine familiäre Beziehung, welche dem Beschwerdeführer gestützt auf Art. 8 EMRK einen Anspruch auf Erteilung einer Anwesenheitsbewilligung verschaffen könnte. Der Beschwerdeführer ist immer noch mit der Mutter seiner Kinder verheiratet und es kann nicht gesagt werden, die Eheschliessung mit seiner Lebensgefährtin stehe kurz bevor. Im Übrigen leben die Ehegattin des Beschwerdeführers sowie die gemeinsamen Kinder im ehemaligen Jugoslawien. Der Beschwerdeführer kann sich somit nicht auf Art. 8 EMRK berufen. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann daher mangels eines Anspruchs auf die Bewilligung nicht eingetreten werden.
c) Selbst wenn auf die Beschwerde eingetreten werden könnte, wäre sie abzuweisen. Der Beschwerdeführer ist mehrfach straffällig geworden und hat damit klarerweise gegen die öffentliche Ordnung verstossen. Ins Gewicht fällt namentlich, dass weder die Verurteilungen noch die fremdenpolizeiliche Verwarnung den Beschwerdeführer zu beeindrucken vermochten. Vielmehr setzte er sein deliktisches Verhalten fort. Die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung würde unter diesen Umständen auch vor Art. 8 EMRK standhalten.
Danach kann der Anspruch auf Achtung des Familienlebens (Ziff. 1) zur Verteidigung der öffentlichen Ruhe und Ordnung und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen eingeschränkt werden (Ziff. 2; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 6). Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, erweist sich als offensichtlich unbegründet.
2.- a) Hat der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, verfügt er insoweit nicht über ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 88 OG. Ein solches ergibt sich gemäss konstanter Rechtsprechung auch nicht aus dem in Art. 4 aBV enthaltenen allgemeinen Willkürverbot (<ref-ruling> E. 3c/aa S. 280; <ref-ruling> E. 1b S. 369; <ref-ruling> E. 1a S. 111, je mit Hinweisen).
An dieser Rechtsprechung ist, wie das Bundesgericht entschieden hat (zur Publikation bestimmtes Urteil i.S. P.
vom 3. April 2000, E. 2-6), auch unter der Herrschaft der neuen Bundesverfassung vom 18. April 1999 (in Kraft seit
1. Januar 2000), die das bisher aus Art. 4 aBV abgeleitete Willkürverbot nunmehr ausdrücklich statuiert (<ref-law>), festzuhalten. Für das Gebiet der Fremdenpolizei bedeutet dies, dass gegen die Verweigerung einer Aufenthaltsbewilligung, auf die nach dem einschlägigen Bundes- und Staatsvertragsrecht kein Anspruch besteht, mangels Legitimation nicht wegen Verletzung des Willkürverbotes staatsrechtliche Beschwerde geführt werden kann (<ref-ruling> E. 1a S. 270; <ref-ruling> E. 2 S. 192; <ref-ruling> E. 2 S. 269; <ref-ruling> E. 6 S. 153, je mit Hinweisen).
b) Eine Verletzung von Verfahrensgarantien, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt und die unabhängig von der fehlenden Legitimation in der Sache selbst mit staatsrechtlicher Beschwerde gerügt werden kann (<ref-ruling> E. 1b S. 270; <ref-ruling> E. 3c S. 428, mit Hinweisen), wird nicht geltend gemacht.
c) Die Eingabe kann folglich auch nicht als staatsrechtliche Beschwerde entgegengenommen werden.
3.- a) Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 36a OG nicht einzutreten.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
b) Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG).
Er hat allerdings ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung gestellt (Art. 152 OG). Fehlt es nach Bundes- und Staatsvertragsrecht an einem Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung musste das im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren gestellte Begehren zum Vornherein als aussichtslos erscheinen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist deshalb abzuweisen.
Bei der Bemessung der Gerichtsgebühr ist indessen der finanziellen Situation des Beschwerdeführers Rechnung zu tragen (Art. 153a Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1.- Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.- Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement für Justiz und Sicherheit und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Ausländerfragen schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 23. Mai 2000
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: