Faits:
A. Le 22 février 2008, X._ a déposé une plainte pénale contre Z._ et Y._ pour escroquerie, faux dans les titres et faux rapport en justice.
Dans sa plainte, elle exposait que Z._ aurait déposé un rapport d'expertise mensonger dans le cadre de la procédure en réclamation pécuniaire qu'elle avait engagée contre B._, propriétaire du manège dans lequel son cheval miniature Léo était accidentellement décédé. Elle fondait ses accusations, d'une part, sur le lien de parenté qui unissait Y._, avocat de la partie adverse, à l'expert et, d'autre part, sur des contradictions qui auraient existé entre le rapport d'expertise et les cours donnés par l'expert dans le cadre du diplôme de gardiennage et d'élevage de chevaux.
B. Par ordonnance du 3 octobre 2008, le Juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne a refusé de suivre à cette plainte.
C. Par arrêt du 26 novembre 2008, notifié aux parties le 3 février 2009, le Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours formé par X._ et confirmé l'ordonnance de refus de suivre.
D. Contre ce dernier arrêt, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause aux autorités cantonales pour instruction complémentaire.
Le Tribunal d'accusation, le Ministère public et l'intimé ont conclu au rejet du recours. La recourante a répliqué.

Considérant en droit:
1. 1.1 La décision attaquée, qui est finale (<ref-law>), a été rendue en matière pénale (<ref-law>), par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>). Elle peut donc faire l'objet d'un recours en matière pénale (<ref-law>).
1.2 L'<ref-law> confère la qualité pour former un recours en matière pénale à quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente, ou a été privé de la possibilité de le faire, et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée. La lettre b de cette disposition dresse une liste, non exhaustive, des personnes auxquelles cette qualité est expressément reconnue.
Selon la jurisprudence, le simple lésé, qui ne se plaint pas d'une infraction qui l'a directement atteint dans son intégrité corporelle, ou sa santé physique ou psychique et qui ne revêt en conséquence pas la qualité de victime au sens de l'art. 1 de la loi fédérale sur l'aide aux victimes d'infractions, n'a qu'une qualité très restreinte en matière pénale. Il ne peut pas remettre en cause, même de façon indirecte, la décision sur le fond, par exemple contester l'application de la loi matérielle ou se plaindre d'arbitraire dans l'appréciation des preuves. En effet, l'action pénale, à savoir le droit de poursuivre et de punir les infractions, appartient exclusivement à l'Etat. Elle ne profite qu'indirectement au simple lésé, qui n'a en principe qu'un intérêt de fait à sa mise en oeuvre. Celui-ci ne peut se plaindre que de la violation de ses droits procéduraux qui lui sont reconnus par le droit cantonal ou qui découlent directement du droit constitutionnel, lorsque cette violation équivaut à un déni de justice formel. Ce sera par exemple le cas du lésé qui fait valoir qu'il n'a pas été entendu ou qui s'est vu refuser la qualité de partie à la procédure (<ref-ruling> consid. 2 p. 229 ss).
En l'espèce, la recourante, qui dénonce des infractions contre l'administration de la justice et contre le patrimoine, n'est pas une victime LAVI, mais une simple lésée. Ainsi, dans la mesure où elle s'en prend à l'établissement des faits et à l'appréciation des preuves, elle remet en cause la décision sur le fond, de sorte que ses griefs sont irrecevables. Il en va de même lorsqu'elle soutient que la cour cantonale a appliqué de manière arbitraire l'<ref-law>/VD (jonction et disjonction de causes) et 254 CPP/VD (enquête instruite en la forme sommaire), puisque ces dispositions n'accordent pas de droits procéduraux aux parties. En revanche, son grief est recevable lorsqu'elle dénonce la violation du droit d'être entendu et reproche à la cour cantonale de ne pas lui avoir donné la possibilité de se prononcer sur le mémoire de l'intimé.
2. Se fondant sur l'art. 29 al. 2 Cst., la recourante fait grief à la cour cantonale de ne pas lui avoir donné connaissance de la réponse de l'intimé à son recours et de l'avoir ainsi privée de son droit de répliquer. A son avis, cette réponse aurait eu une influence décisive sur la décision attaquée, la cour cantonale s'étant fondée sur les arguments de l'intimé pour écarter son recours.
Compris comme l'un des aspects de la notion générale de procès équitable au sens de l'art. 29 al. 1 Cst., le droit d'être entendu garantit notamment le droit pour une partie à un procès de prendre connaissance de toute argumentation soumise au tribunal et de se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement susceptible d'influer sur le jugement à rendre. Il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Ce droit à la réplique vaut pour toutes les procédures judiciaires (<ref-ruling> consid. 2.1). L'autorité peut se limiter dans un premier temps à communiquer la prise de position à titre d'information, sans avis formel de la possibilité de répliquer. La partie est ainsi mise en situation de faire ou non usage de cette possibilité. Mais il lui incombe alors soit de le faire sans retard soit de demander un délai à cette fin. Si elle s'en abstient, elle est censée y avoir renoncé (<ref-ruling> consid. 4.8).
Dans le cas particulier, la cour cantonale n'a effectivement pas transmis une copie du mémoire de l'intimé à la recourante. Toutefois, il ressort du dossier cantonal que le conseil de l'intimé en a adressé directement un tirage au conseil de la recourante le 20 novembre 2008. Informée du dépôt de ce mémoire, la recourante avait la possibilité de se déterminer spontanément dans un délai raisonnable, ce qu'elle n'a pas fait jusqu'à la notification de l'arrêt entrepris le 3 février 2009. Au vu du temps écoulé (plus de deux mois), elle n'est ainsi pas fondée à se prévaloir d'une violation du droit d'être entendu qu'elle a tacitement renoncé à exercer. Le grief soulevé doit donc être rejeté.
3. Dans un deuxième moyen, la recourante soutient que l'intimé ne revêtait pas la qualité de partie et que la cour cantonale aurait donc dû écarter son mémoire. De la sorte, elle se plaint de droits qui auraient été indûment accordés à la partie adverse, et non d'un droit procédural qui lui est propre. Or, l'intérêt à recourir est toujours personnel, et le recourant ne peut se plaindre de la manière dont un tiers a été traité (<ref-ruling> consid. 1 p. 193). Le grief soulevé est donc déjà pour cette raison irrecevable. En outre, la recourante se borne à affirmer que l'intimé ne revêt pas la qualité de partie, sans présenter aucune motivation (cf. art. 42 al. al. 2 et 106 al. 2 LTF). Les quelques précisions qu'elle apporte dans sa réplique sont sans pertinence, car il n'est pas possible, sous réserve des exceptions prévues à l'<ref-law>, de compléter sa motivation après l'échéance du délai de recours (arrêt 2C_49/2007 du 9 mars 2007, in StR 62/2007 p. 368, consid. 2.1). Le grief est donc également irrecevable faute de motivation suffisante.
4. La recourante se plaint également du fait que le juge d'instruction ne lui a pas transmis la plainte de l'intimé avant de rendre son ordonnance de refus de suivre, alors qu'il s'en serait largement inspiré.
Selon la jurisprudence, pour autant qu'elle ne soit pas d'une gravité particulière, une violation du droit d'être entendu en instance inférieure est réparée lorsque l'intéressé a eu la faculté de se faire entendre en instance supérieure par une autorité disposant d'un plein pouvoir d'examen en fait et en droit (<ref-ruling> consid. 7.3 p. 562; <ref-ruling> consid. 3d/aa p. 437/438; <ref-ruling> consid. 2b p. 131/132 et les arrêts cités).
La question de savoir si le juge avait véritablement l'obligation de lui transmettre la plainte de l'intimé à son encontre avant de rendre son ordonnance peut rester ouverte. En effet, la recourante qui a consulté le dossier le 8 octobre 2008 avait connaissance de cette plainte et de son contenu au moment où elle a déposé son recours auprès du Tribunal d'accusation. Dans ces conditions, on peut admettre que le vice éventuel de procédure, qui n'est pas d'une gravité particulière, a été réparé en procédure devant le tribunal cantonal dès lors que cette juridiction examine librement les questions de fait et de droit (<ref-law>/VD) Le grief tiré de la violation du droit d'être entendu doit donc être rejeté.
5. Enfin, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir accordé plus de crédit aux déclarations de l'intimé qu'aux siennes et d'avoir ainsi violé le principe d'égalité de traitement.
De la sorte, elle s'en prend à nouveau au fond de la cause, ce qu'elle n'est pas habilitée à faire (cf. consid. 1). Son grief est donc irrecevable.
6. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>) et versera une indemnité à l'intimé à titre de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais de justice, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 1500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 29 septembre 2009
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Favre Kistler Vianin