Sachverhalt:
A. Mit Verfügung des (damaligen) Untersuchungsrichteramts des Kantons Zug vom 14. Januar 2002 in drei gegen X._ geführten Strafuntersuchungen wurde dieser gegen Hinterlegung einer Sicherheitsleistung von Fr. 600'000.-- aus der am 8. Oktober 2001 angeordneten Untersuchungshaft entlassen. Die Sicherheitsleistung wurde durch Überweisung von Fr. 300'000.-- auf das Konto der Gerichtskasse Zug und mittels Übergabe von zwei Schuldbriefen über Fr. 200'000.-- bzw. Fr. 100'000.--, lastend auf den Grundstücken von X._ und dessen Ehefrau A._ in Feldmeilen, ans Untersuchungsrichteramt erbracht.
Mit Urteil vom 23. März 2010 wurde X._ vom Strafgericht des Kantons Zug erstinstanzlich vom Vorwurf der qualifizierten Geldwäscherei (Art. 305bis Ziff. 2 lit. b und c StGB) freigesprochen. Hingegen wurde er des gewerbsmässigen Betrugs (<ref-law>) schuldig befunden und zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren und sechs Monaten als Zusatzstrafe zu den Urteilen des Obergerichts des Kantons Zug vom 18. Dezember 2007 und vom 16. Dezember 2008 verurteilt, unter Anrechnung der Untersuchungshaft von 53 Tagen. Zudem wurde gestützt auf <ref-law> auf eine Ersatzforderung des Staats gegen X._ in der Höhe von Fr. 500'000.-- erkannt. Von den Verfahrenskosten von insgesamt Fr. 55'558.95 wurden Fr. 54'302.20 X._ auferlegt. Das auf X._ lautende gesperrte Depot bei der Bank Credit Suisse (Nr. 0865-672976-05-1) wurde freigegeben.
Gegen dieses Urteil erhob X._ am 26. April 2010 Berufung ans Obergericht des Kantons Zug und beantragte seinen Freispruch, eventuell die Reduktion der Zusatzstrafe auf 15 Monate, den Verzicht auf eine Ersatzforderung, das Nichteintreten auf die Zivilansprüche, eventuell deren Abweisung oder Verweisung auf den Zivilrechtsweg, und die Rückerstattung der Sicherheitsleistung. Am 11. Mai 2010 erklärte die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug Anschlussberufung. X._ befindet sich seit dem erstinstanzlichen Urteil im Strafvollzug.
B. Mit Eingabe vom 31. März 2011 ans Obergericht beantragte A._ die Freigabe der am 14. Januar 2002 hinterlegten Sicherheitsleistung im Betrag von Fr. 600'000.--.
Mit Verfügung vom 19. April 2011 trat der vorsitzende Oberrichter auf das Gesuch von A._ betreffend Freigabe der Sicherheitsleistung mangels Legitimation der Gesuchsstellerin nicht ein.
C. Mit Eingabe vom 31. Mai 2011 führt A._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit den Anträgen, den Nichteintretensentscheid des Vorsitzenden des Obergerichts vom 19. April 2011 aufzuheben und in Gutheissung des gestellten Gesuchs die hinterlegte Sicherheitsleistung von Fr. 600'000.-- (zuzüglich angemessener Verzinsung) an sie herauszugeben. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren beantragte A._ die Sistierung des Verfahrens bis zum Entscheid des mit Beschwerde vom 26. Mai 2011 angerufenen Obergerichts.
Mit Verfügung vom 23. Juni 2011 sistierte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung antragsgemäss das bundesgerichtliche Verfahren. Mit Präsidialverfügung vom 22. Juli 2011 trat das Obergericht auf die Beschwerde von A._ vom 26. Mai 2011 nicht ein. Am 7. Oktober 2011 verfügte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung, dass das bundesgerichtliche Verfahren wieder aufgenommen und weiter instruiert werde.
Das Obergericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. X._ reicht eine Stellungnahme ein, worin er erklärt, er unterstütze das Ersuchen seiner Ehefrau A._. Die Staatsanwaltschaft hat keine Vernehmlassung eingereicht. Die Eingabe des Obergerichts wurde der Beschwerdeführerin zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1. 1.1 Im angefochtenen Entscheid wird unter Berufung auf <ref-law> bisheriges Recht als anwendbar erachtet. Die Vorinstanz hat ausgeführt, gemäss § 2 der Strafprozessordnung für den Kanton Zug vom 3. Oktober 1940 (aStPO/ZG) liege die Zuständigkeit für die Beurteilung des Begehrens um Freigabe der Sicherheitsleistung beim Vorsitzenden des Obergerichts.
Ist ein Entscheid vor Inkrafttreten der StPO am 1. Januar 2011 gefällt worden, werden die Rechtsmittel dagegen nach bisherigem Recht, von den bisher zuständigen Behörden, beurteilt (<ref-law>). Das Urteil des Strafgerichts erging am 23. März 2010, weshalb das diesbezügliche Berufungsverfahren dem bisherigen Recht untersteht.
Zu beurteilen ist vorliegend jedoch, wie die Beschwerdeführerin zutreffend vorbringt, ein vom Berufungsverfahren losgelöstes, selbstständiges Gesuch einer (angeblichen) Drittbetroffenen um Freigabe der geleisteten Kaution. Dieses Gesuch wurde am 31. März 2011 eingereicht.
Die Übergangsbestimmungen der StPO basieren auf dem Grundsatz, die bisherigen Verfahrensordnungen von Bund und Kantonen möglichst rasch durch die StPO zu ersetzen (Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1350 f. Ziff. 2.12.2.1). <ref-law> legt fest, dass Verfahren, die bei Inkrafttreten der Schweizerischen Strafprozessordnung hängig sind, nach neuem Recht fortgeführt werden, es sei denn, die nachfolgenden Bestimmungen sähen etwas anderes vor. Abweichende Bestimmungen enthalten insbesondere die Art. 450 und <ref-law>. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung fallen Gesuche um Anordnung von bzw. Entlassung aus der Sicherheitshaft nicht unter die Ausnahme gemäss <ref-law>, sondern sind entsprechend dem Grundsatz von <ref-law> ab dem 1. Januar 2011 nach der StPO zu entscheiden (vgl. Urteil 1B_99/2011 vom 28. März 2011 E. 1.2; siehe ferner Urteil 1B_381/2011 vom 5. August 2011 E. 2.1). Nicht anders verhält es sich hier. Zur Beurteilung des nach dem 1. Januar 2011 eingereichten Gesuchs der Beschwerdeführerin ist die StPO einschlägig.
Gemäss <ref-law> entscheidet über die Freigabe der Sicherheitsleistung die Behörde, bei der die Sache hängig ist oder zuletzt hängig war. Im Stadium des Berufungsverfahrens ist dies das Berufungsgericht bzw. dessen Verfahrensleitung. Mithin hat sich der Vorsitzende des Obergerichts - wenn auch auf einer anderen rechtlichen Grundlage - im Ergebnis zu Recht als zuständig erachtet.
1.2 Zu prüfen ist, ob ein anfechtbarer letztinstanzlicher Entscheid im Sinne von <ref-law> vorliegt. Nach dieser Bestimmung setzen die Kantone als letzte kantonale Instanzen obere Gerichte ein (Satz 1). Diese entscheiden als Rechtsmittelinstanzen (Satz 2). Ausgenommen sind die Fälle, in denen nach der StPO ein Zwangsmassnahmengericht oder ein anderes Gericht als einzige kantonale Instanz entscheidet (Satz 3).
Gegen den Nichteintretensentscheid des Vorsitzenden des Obergerichts steht nach der StPO kein Rechtsmittel offen. Es besteht hier im Sinne von <ref-law> eine zulässige Ausnahme von den Sachurteilsvoraussetzungen gemäss Art. 80 Abs. 2 Sätze 1 und 2 BGG. Die Beschwerde ans Bundesgericht ist zulässig.
1.3 Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Sie ist durch den Nichteintretensentscheid vom 19. April 2011 des vorsitzenden Oberrichters berührt und hat ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids; mithin ist sie zur Beschwerdeführung legitimiert (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilserfordernisse von <ref-law> erfüllt sind (insbesondere die Voraussetzungen des nicht wieder gutzumachenden Nachteils gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; vgl. Urteil 1B_331/2011 vom 18. Oktober 2011 E. 1.1), ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Umstritten ist, ob die Vorinstanz auf das Gesuch der Beschwerdeführerin zu Recht nicht eingetreten ist. Das hängt davon ab, ob die Beschwerdeführerin oder ihr beschuldigter Ehemann X._ die Kaution geleistet hat. Ist die Beschwerdeführerin Kautionsstellerin, kommt ihr ein Rückerstattungsanspruch zu, was bedeuten würde, dass die Vorinstanz die Verfahrenslegitimation der Beschwerdeführerin zu Unrecht verneint hätte. Gilt dagegen ihr Ehemann als Kautionssteller, ist die Vorinstanz zu Recht nicht auf das Gesuch der Beschwerdeführerin eingetreten.
2.2 Die Vorinstanz hat erwogen, die Sicherheiten seien nicht von der Beschwerdeführerin, sondern von ihrem Ehemann X._ geleistet worden. Die Beschwerdeführerin habe ihrem Mann bloss intern ein Darlehen zur Leistung der Sicherheit gewährt. Allein weil sie Eigentümerin der Liegenschaft sei, könne nicht gefolgert werden, sie sei hinsichtlich der darauf lastenden Schuldbriefe Kautionsstellerin, zumal X._ nie dergleichen geltend gemacht habe. Zur Rückforderung der Sicherheiten berechtigt sei damit einzig X._. Im Übrigen könnte - so hat die Vorinstanz weiter ausgeführt - dem Gesuch aber ohnehin nicht stattgegeben werden, weil die Kaution auch den Strafantritt sichern solle. Dass sich der Beschuldigte im offenen Strafvollzug befinde, ändere daran nichts; eine Rückerstattung der Kaution vor dem Antritt einer allfälligen Strafe sei ausgeschlossen.
2.3 Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung, welche dazu geführt habe, dass die Vorinstanz ihr die Verfahrenslegitimation zu Unrecht abgesprochen habe. Am 3. Februar 2002 habe sie von einem auf sie lautenden Konto bei der Bank Credit Suisse Fr. 300'000.-- auf das Konto des damaligen Rechtsvertreters ihres beschuldigten Ehemanns X._ überwiesen. Sie sei Inhaberin und wirtschaftlich Berechtigte des Kontos bei der Bank Credit Suisse gewesen. Ihr Ehemann habe einzig eine beschränkte Vermögensverwaltungsvollmacht gehabt und sei nicht berechtigt gewesen, über das Konto zu verfügen. Der Rechtsvertreter habe die Fr. 300'000.-- alsdann an die Gerichtskasse weitergeleitet. Bezüglich des Schuldbriefs über Fr. 200'000.-- sei sie alleinige Schuldnerin, hinsichtlich des Schuldbriefs über Fr. 100'000.-- sei sie Miteigentümerin zur Hälfte und Solidarschuldnerin. Sie sei folglich als Kautionsstellerin zu qualifizieren.
Aus <ref-law> ergebe sich "e contrario", dass eine von einer Drittperson geleistete Kaution nicht mit staatlichen Gegenforderungen verrechnet werden könne. Die von ihr erbrachte Sicherheitsleistung von insgesamt Fr. 600'000.-- sei ihr deshalb zuzüglich einer angemessenen Verzinsung herauszugeben. Unabhängig davon, von wem die Sicherheitsleistung erbracht worden sei, sei diese gestützt auf <ref-law> aber auch deshalb freizugeben, weil der Haftgrund der Fluchtgefahr weggefallen sei, befinde sich doch der Beschuldigte seit dem Urteil der ersten Instanz vom 23. März 2010 im Strafvollzug.
2.4 Gemäss dem im Zeitpunkt der Haftentlassung des Beschwerdeführers am 14. Januar 2002 massgebenden kantonalen Strafprozessrecht konnte anstelle der Untersuchungshaft als Ersatzmassnahme insbesondere eine Sicherheitsleistung angeordnet werden, welche sich nach der Schwere der dem Beschuldigten vorgeworfenen Tat und seinen persönlichen Verhältnissen bemass (vgl. § 18quater Abs. 1 Ziff. 1 und Abs. 2 aStPO/ZG). Die Leistung der Kaution durch Dritte war nicht explizit geregelt, aber auch nicht ausgeschlossen.
Die Berücksichtigung der persönlichen Verhältnisse bedeutet, dass einer beschuldigten Person, die über keine finanziellen Mittel verfügt, keine Sicherheitsleistung auferlegt werden kann. Leistet diesfalls ein Dritter die Sicherheit, sind dessen persönlichen Verhältnisse zur beschuldigten Person zu würdigen und ist die Sicherheitsleistung so hoch anzusetzen, dass sich die beschuldigte Person lieber dem Strafverfahren stellt, als dem Kautionssteller den Verlust der Kaution beizufügen. Je enger die Beziehung der beschuldigten Person zum Kautionssteller ist, desto eher ist anzunehmen, dass sie diesem den Verlust der Kaution nicht zumuten will (vgl. Matthias Härri, Basler Kommentar StPO, 2011, Art. 238 N. 12).
2.5 Mit Verfügung des (damaligen) Untersuchungsrichteramts vom 14. Januar 2002 wurde X._ gegen Hinterlegung einer Sicherheitsleistung aus der Untersuchungshaft entlassen. Zur vermögensrechtlichen Situation erwog der zuständige Untersuchungsrichter insbesondere, dass X._ und seine Ehefrau (die Beschwerdeführerin) über ein Vermögen von Fr. 1 Mio. verfügten (vgl. Verfügung vom 14. Januar 2002 E. 5; Gerichtsdossier 1 Ordner 1 1/39/1), wobei zwischen X._ und der Beschwerdeführerin seit dem 15. März 1989 Gütertrennung besteht (Gerichtsdossier 1 Ordner 1 1/39/2).
Aus den von der Beschwerdeführerin ihrem an die Vorinstanz gerichteten Gesuch vom 31. März 2011 um Freigabe der Sicherheitsleistung beigelegten Unterlagen ergibt sich, dass die geforderten Sicherheiten von ihr und nicht von ihrem Ehemann geleistet wurden: In einer undatierten Aktennotiz des Untersuchungsrichteramts wurde festgehalten, zwischen dem Untersuchungsrichteramt und dem damaligen Rechtsvertreter von X._ sei im Hinblick auf dessen Haftentlassung vereinbart worden, dass Fr. 300'000.-- auf das Konto der Gerichtskasse überwiesen würden, wobei mindestens ein Zahlungsauftrag ab dem Konto des Verteidigers vorliegen müsse (Gerichtsdossier 1 Ordner 1 1/39/6). In der Aktennotiz wurde zwar nicht festgestellt, von wem diese Mittel stammten, doch geht aus einer Bestätigung der Bank Credit Suisse hervor, dass am 3. Februar 2002 ein Betrag von Fr. 300'000.-- vom Konto der Beschwerdeführerin auf das Konto des Rechtsvertreters ihres Ehemanns überwiesen wurde (Gerichtsdossier 1 Ordner 1 1/39/5). Am 11. Januar 2002 wurde alsdann die Zahlung über Fr. 300'000.-- zu Gunsten der Gerichtskasse in Auftrag gegeben (Gerichtsdossier 1 Ordner 1 1/39/7). Ferner war gemäss erwähnter Aktennotiz des Untersuchungsrichteramts vereinbart worden, dass vor der Haftentlassung von X._ zwei auf dem Stockwerkeigentum bzw. auf Miteigentumsanteilen der Beschwerdeführerin lastende Schuldbriefe von Fr. 200'000.-- bzw. 100'000.-- dem Untersuchungsrichteramt auszuhändigen seien. Die beiden Schuldbriefe wurden am 14. Januar 2002 dem Untersuchungsrichteramt übergeben (vgl. Gerichtsdossier 1 Ordner 1 1/39/3 und 1/39/6).
Diese Tatsachen waren der Vorinstanz somit bekannt, d.h. für sie war ersichtlich, dass die Kaution von der Beschwerdeführerin geleistet wurde. Die gegenteilige Feststellung in der angefochtenen Verfügung, der Beschuldigte sei als Kautionssteller anzusehen, ist unhaltbar.
3. Zusammenfassend ist damit festzuhalten, dass die Sicherheiten von der Beschwerdeführerin geleistet wurden. Als Kautionsstellerin ist sie zur Stellung des Freigabegesuchs legitimiert. Die Vorinstanz ist folglich zu Unrecht nicht auf ihr Gesuch eingetreten.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, die angefochtene Verfügung des Vorsitzenden des Obergerichts vom 19. April 2011 aufzuheben und die Sache zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei einem angefochtenen Nichteintretensentscheid besteht für einen reformatorischen Entscheid des Bundesgerichts kein Raum.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zug hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Verfügung des Vorsitzenden des Obergerichts des Kantons Zug vom 19. April 2011 wird aufgehoben und die Sache zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Zug hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zug, Strafrechtliche Abteilung, sowie dem weiteren Beteiligten X._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner