Sachverhalt:
A. X._ war seit dem 1. März 1992 als Direktor der Rheinschifffahrtsdirektion für das Wirtschafts- und Sozialdepartement des Kantons Basel-Stadt tätig. Zugleich war er Delegierter des Verwaltungsrates der Basler Personenschifffahrtsgesellschaft (BPG). Mit Beschluss vom 17. Dezember 1996 nahm der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt zur Kenntnis, dass der Direktor der Rheinschifffahrtsdirektion die Gesamtunternehmung der Basler Personenschifffahrt operativ leitet, und stellte fest, dass die Regelung betreffend Nebeneinkünfte gemäss kantonalem Lohngesetz auf die Einnahmen aus der Tätigkeit des Direktors der Rheinschifffahrtsdirektion bei der Personenschifffahrtsgesellschaft nicht anwendbar sei.
Mit einem "offenen Brief" vom 25. Juni 2003 erhob ein Basler Anwalt mit Wohnsitz in Andorra Vorwürfe gegen X._, unter anderem wurde der Verdacht auf Betrug in Millionenhöhe geäussert, es wurde X._ eine eigennützige Geschäftsführung sowie Amtsmissbrauch unterstellt. Überdies wurde seine Ehefrau angegriffen, die als stellvertretende Direktorin der BPG sowie als Inhaberin einer Firma tätig war, welche die Website der Rheinschifffahrtsdirektion entworfen und betreut hatte. Der "offene Brief" wurde an die Grossräte und Regierungsräte des Kantons Basel-Stadt sowie an die Presse versandt. In der Folge erschienen zu diesem Thema zahlreiche Medienmitteilungen.
Nach von X._ angeregten Gesprächen über eine mögliche Auflösung des Arbeitsverhältnisses in gegenseitigem Einvernehmen teilte der Regierungsrat mit Schreiben vom 23. Juni 2004 mit, er sehe keinen Grund zu einer derartigen Massnahme und gehe davon aus, dass X._ sowohl seine bisherige Funktion als auch die zukünftige Aufgabe als Direktor der fusionierten Rheinhäfen wahrnehmen werde. X._ bestätigte am 27. Juli 2004, an der Weiterführung des Arbeitsverhältnisses interessiert zu sein.
Wenige Tage später erschienen in der Basler Zeitung erneut Berichte über die Rheinschifffahrtsdirektion und die BPG. In der Folge wurde X._ ab dem 9. August 2004 krankgeschrieben und konnte seine Arbeit aus gesundheitlichen Gründen nicht wieder aufnehmen.
Mit Regierungsratsbeschluss vom 9. August 2005 wurde der Antrag des Wirtschafts- und Sozialdepartements zur Auflösung des Arbeitsverhältnisses mit X._ per 30. November 2005 genehmigt und der Departementsvorsteher zur Ausfertigung der Kündigung ermächtigt. Mit Verfügung vom 10. August 2005 kündigte dieser das Arbeitsverhältnis wegen überjähriger Arbeitsverhinderung infolge Krankheit gemäss kantonalem Personalgesetz.
B. Mit Entscheid vom 30. Juni 2006 hiess die Personalrekurskommission des Kantons Basel-Stadt den Rekurs von X._ gut und ordnete an, der Regierungsrat habe ihm eine Entschädigung von Fr. 137'769.75 zu bezahlen. Zur Begründung wurde ausgeführt, der Kanton Basel-Stadt trage zwar kein Verschulden an der Krankheit von X._, weshalb die Kündigung wegen krankheitsbedingter Arbeitsverhinderung grundsätzlich rechtmässig sei. Hingegen sei die Kündigung missbräuchlich, weil das Departement noch im August 2004 die Weiterführung des Arbeitsverhältnisses mit X._ beabsichtigt habe.
Mit Urteil vom 13. Juni 2007 hiess der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht den Rekurs des Regierungsrates des Kantons Basel-Stadt gut, hob den Entscheid der Personalrekurskommission auf und bestätigte die Kündigungsverfügung vom 10. August 2005. Nach Ansicht des Gerichts ist die Kündigung nicht missbräuchlich, weil sie auf geänderten Umständen beruhe.
C. X._ führt mit Eingabe vom 16. November 2007 Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt Aufhebung des angefochtenen Urteils und Zusprechung einer Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung von Fr. 137'769.75.
Das Wirtschafts- und Sozialdepartement und das Appellationsgericht beantragen Beschwerdeabweisung. Der Beschwerdeführer hat sich dazu mit Replik vom 14. Mai 2008 geäussert.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil betrifft eine vermögensrechtliche Sache (Art. 83 lit. g Bundesgerichtsgesetz, BGG, SR 173.110), welche sich gemäss den Anträgen auf einen Streitwert von über Fr. 15'000.-- beläuft (<ref-law>). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> ist grundsätzlich zulässig. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2. Gegenstand des Verfahrens ist die Auflösung des Arbeitsverhältnisses zwischen dem Kanton Basel-Stadt und dem Beschwerdeführer als Direktor der Rheinschifffahrtsdirektion. Auf Vorbringen in der Beschwerde, die über diesen Verfahrensgegenstand hinausgehen, ist nicht einzutreten. Dies betrifft namentlich die bereits früher aufgegebene Funktion des Beschwerdeführers als Verwaltungsratsdelegierter der BPG.
3. 3.1 Der angefochtene Entscheid erging in Anwendung kantonalen Rechts. Das Bundesgericht prüft dies grundsätzlich nur im Hinblick auf die Verletzung von Verfassungsrecht (<ref-law>) und nur insoweit, als entsprechende Rügen vorgebracht und begründet werden (<ref-law>).
3.2 Nach <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Nach der Rechtsprechung gilt für die Rüge des unrichtig festgestellten Sachverhalts eine qualifizierte Begründungspflicht, die mit jener gemäss <ref-law> vergleichbar ist. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift darzulegen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von <ref-law>, die dem Richter geradezu in die Augen springen (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
3.3 Der Beschwerdeführer rügt eine mehrfache Verletzung des Willkürverbots. Gemäss <ref-law> hat jede Person Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür behandelt zu werden. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 5.1 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f., je mit Hinweisen).
4. 4.1 Der Beschwerdeführer erachtet die Feststellung als willkürlich, wonach der Arbeitgeber (Kanton Basel-Stadt) die Krankheit des Beschwerdeführers nicht kausal verursacht habe. Das Appellationsgericht verkenne, dass die Krankheit des Beschwerdeführers durch mangelnde Unterstützung des Arbeitgebers verursacht worden sei. Der Beschwerdeführer beruft sich unter anderem auf Darlegungen seines Arztes. Es sei willkürlich, dass das Appellationsgericht auf unterschiedliche Krankheitstermine abstelle, zum einen werde der 1. Juli 2003 genannt, zum anderen die Arbeitsunfähigkeit ab 9. August 2004.
4.2 Das Wirtschafts- und Sozialdepartement verweist in der Vernehmlassung auf den Bericht an den Regierungsrat vom 3. Juli 2003, mit dem der Departementsvorsteher auf den "offenen Brief" vom 25. Juni 2003 reagierte, indem er einen Beitrag an die Kosten eines Rechtsanwalts des Beschwerdeführers (sog. Rechtshilfe) und den Versand eines Schreibens an die Mitglieder des Grossen Rates beantragte. Die Gesamtregierung habe jedoch weitere Abklärungen treffen wollen. Am 29. August 2003 sei eine Administrativuntersuchung eingeleitet worden und der entsprechende Bericht habe im Oktober 2003 vorgelegen. Für den Sommer 2003 sei dem Departement kein Arztzeugnis betreffend eingeschränkte Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers eingereicht worden. Die Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers sei am 9. August 2004 eingetreten und stehe in einem engen Zusammenhang mit der damals - ohne irgendein Zutun des Departements - neu belebten Debatte der sog. "Hafenaffäre". Der Beschwerdeführer habe dem damit ausgelösten öffentlichen Druck nicht mehr standhalten können. Die Arztzeugnisse erlaubten keine Rückschlüsse, wonach die Krankheit durch den Arbeitgeber verursacht worden sei.
4.3 Nach Ansicht des Appellationsgerichts steht die gesundheitliche Belastung des Beschwerdeführers im Sommer 2003 im Zusammenhang mit dem "offenen Brief" vom 25. Juni 2003. Daran habe der Arbeitgeber keine Schuld getragen. Es sei grundsätzlich nicht zu beanstanden, wenn der Arbeitgeber die Situation genau abklären liess, bevor er sich dazu äussern wollte. Dies gelte in besonderem Masse für den geäusserten Verdacht auf Betrug in Millionenhöhe, welcher lediglich durch eingehende Untersuchungen habe ausgeräumt werden können. Der Regierungsrat sei gleich wie der Beschwerdeführer im Rampenlicht gestanden und habe daher die Fakten sorgfältig prüfen müssen. Auch wenn der Regierungsrat gewisse Punkte sofort hätte richtigstellen sollen (bezahltes Doppelmandat des Beschwerdeführers, Rolle seiner Ehefrau), habe dieses Verhalten die Erkrankung des Beschwerdeführers nicht verursacht. Der Beschwerdeführer habe noch am 27. Juli 2004 durch seinen Rechtsvertreter mitgeteilt, er wolle das Arbeitsverhältnis als Direktor der Rheinschifffahrtsdirektion weiterführen. Er verhalte sich widersprüchlich, wenn er im Nachhinein auf frühere Vorfälle zurückkomme. Die im August 2004 eingetretene Arbeitsunfähigkeit sei auf das Wiederaufflammen der öffentlichen Debatte zurückzuführen.
5. 5.1 Aus den Akten ergibt sich, dass der Beschwerdeführer seinen Arzt bereits im Sommer 2003 konsultierte. Gemäss dem Arztzeugnis vom 8. Dezember 2003 soll der Beschwerdeführer seit dem Sommer 2003 einer "massiv überhöhten beruflichen Belastungssituation" ausgesetzt gewesen sein. Der Beschwerdeführer hat aber offenbar weitergearbeitet. Die Arbeitsunfähigkeit trat rund ein Jahr später, am 9. August 2004 ein; sie ist in den Akten mit dem Arztzeugnis vom 12. August 2004 belegt. Daraus erklären sich die verschiedenen Datumsangaben im angefochtenen Urteil. Die Behauptung des Beschwerdeführers, sein Arzt habe später gegenüber der IV-Stelle mit Bericht vom 29. April 2005 ausgeführt, er sei mangels Unterstützung seitens des Arbeitgebers im Frühjahr 2004 in eine Phase starker (im Bericht näher beschriebener) Störungen geraten, entspricht ebenfalls den Akten. In diesem Bericht heisst es jedoch auch, der Beschwerdeführer sei seit bald zwei Jahren Opfer einer schweren Verleumdungs- bzw. Rufmordkampagne.
5.2 Bei dieser Sachlage erweist sich die Deutung beider kantonaler Instanzen, die Krankheit des Beschwerdeführers sei primär auf die öffentliche Kritik zurückzuführen, für die der Kanton Basel-Stadt als Arbeitgeber nicht verantwortlich sei, als vertretbar. Der Beschwerdeführer wurde im Herbst 2004, rund ein Jahr nach der ersten Welle der Kritik, krankgeschrieben. Die Fürsorgepflicht des öffentlichen Arbeitgebers darf durchaus dahin verstanden werden, dass dieser in bestimmten Fällen handeln muss und nicht untätig bleiben darf. Ob und wann eine Reaktion des Arbeitgebers angezeigt ist, hängt jedoch stark von der Würdigung der konkreten Lage ab. Im Rahmen der Willkürprüfung greift das Bundesgericht nur dann ein, wenn sich das Verhalten des Arbeitgebers als schlechthin unhaltbar erweist. Aus den Darlegungen in der Beschwerde ergibt sich, dass die Kritik in mehreren Wellen verlief und dass die Finanzkommission des Kantonsparlaments im Sommer 2003 in einem anderen Zusammenhang den Auftrag erteilte, die Rheinschifffahrtsdirektion und die BPG zu überprüfen. Nachdem ein weiterer Akteur mit Schreiben vom 22. August 2003 öffentliche Kritik geäussert hatte, ordnete der Arbeitgeber am 29. August 2003 eine Administrativuntersuchung an. Der Beschwerdeführer arbeitete danach rund elf Monate weiter. Sein Standpunkt, wonach der Arbeitgeber früher hätte eingreifen sollen, da ihn die Kritik bereits seit Sommer 2003 belastet habe, ist zwar verständlich. Die in der Beschwerde angeführten Ereignisse im Sommer 2003 widerlegen die Ansicht jedoch nicht, wonach der Arbeitgeber zunächst sorgfältige Abklärungen habe durchführen müssen. Es ist nicht offensichtlich unhaltbar, wenn die kantonalen Instanzen schliessen, die berufliche Belastungssituation des Beschwerdeführers im Sommer 2003 und seine Arbeitsunfähigkeit ab August 2004 seien primär auf die öffentliche Kritik zurückzuführen, für die der Arbeitgeber nicht verantwortlich sei. Die Willkürrüge ist demnach unbegründet.
6. 6.1 Der Beschwerdeführer rügt eine weitere Verletzung des Willkürverbots, indem das Appellationsgericht den Grundsatz der schonenden Rechtsausübung verkannt habe. Die Kündigung des Arbeitsverhältnisses sei missbräuchlich, weil das Departement den Beschwerdeführer zunächst habe weiterbeschäftigen wollen (Schreiben vom 9. August 2004), später aber nicht mehr mit seiner Rückkehr gerechnet (Schreiben vom 15. Oktober 2004), ihm die Neubesetzung seiner Stelle mitgeteilt und die Rückgabe der Schlüssel verlangt (Schreiben vom 9. Dezember 2004) und schliesslich die Kündigung in Aussicht gestellt habe, die bisher lediglich aufgrund der fortdauernden Krankheit ausgeblieben sei (Schreiben vom 22. Februar 2005). Der Departementsvorsteher habe mit seinem Verhalten dazu beigetragen, dass der Beschwerdeführer sich nicht erholt habe und weiterhin krank geblieben sei. Die Mitteilung der Neubesetzung der Stelle und die Aufforderung zur Rückgabe der Schlüssel sowie zum Rücktritt aus allen weiteren Ämtern sei unnötig verletzend gewesen. Zudem habe die Anstellungsbehörde es unterlassen, dem Beschwerdeführer eine valable Stelle als Alternative oder eine andere Form der Zusammenarbeit auf Mandatsbasis anzubieten oder eine angemessene Trennungsvereinbarung einzugehen.
6.2 Gemäss Vernehmlassung des Wirtschafts- und Sozialdepartements soll der Beschwerdeführer der Beurteilung des Vertrauensarztes vom 13. Oktober 2004 nie widersprochen haben, wonach sowohl aus ärztlicher Sicht als auch nach Ansicht des Beschwerdeführers nicht mit dessen Rückkehr an den Arbeitsplatz zu rechnen sei. Nachdem für beide Parteien eine Rückkehr des Beschwerdeführers ausgeschlossen gewesen sei, habe die Kaderstelle rasch neu besetzt werden müssen, insbesondere wegen der Zusammenlegung der Rheinhäfen der Kantone Basel-Stadt und Basel-Landschaft. Das Departement habe dem Beschwerdeführer im November 2004 im Sinne eines Schlussstrichs ein Vergleichsangebot unterbreitet, das dieser jedoch abgelehnt habe. Im Hinblick auf die berufliche Neuorientierung habe der Beschwerdeführer den Kontakt zum Departement zu keinem Zeitpunkt gesucht. Der Arbeitgeber habe den Beschwerdeführer im Vorfeld der Kündigung stets über bevorstehende Änderungen orientiert. Obwohl das Vertrauensverhältnis gelitten habe und dafür der Beschwerdeführer verantwortlich sei, beruhe die Kündigung ausschliesslich auf der überjährigen krankheitsbedingten Abwesenheit.
6.3 Für das vorliegende Arbeitsverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und dem Kanton Basel-Stadt ist das kantonale Personalgesetz vom 17. November 1999 (PG/BS) anwendbar. Gemäss § 30 Abs. 2 lit. a PG/BS kann die Anstellungsbehörde nach Ablauf der Probezeit das Arbeitsverhältnis kündigen (ordentliche Kündigung), wenn die Mitarbeiterin oder der Mitarbeiter ganz oder teilweise an der Aufgabenerfüllung verhindert ist. Im Falle der Arbeitsverhinderung wegen Krankheit oder Unfall gilt gemäss § 37 PG/BS eine Sperrfrist von 365 Tagen.
6.4 Nach Auffassung der Personalrekurskommission ist die Kündigung missbräuchlich, weil der Sinneswandel des Departementsvorstehers nicht nachvollziehbar sei. Dieser habe die Weiterführung des Arbeitsverhältnisses zunächst mit Befriedigung zur Kenntnis genommen (Schreiben vom 9. August 2004), später jedoch die Kündigung des Arbeitsverhältnisses in Aussicht gestellt (Schreiben vom 22. Februar 2005). Die Kündigung des Arbeitsverhältnisses infolge Verhinderung durch Krankheit habe dazu gedient, einem zuvor geschätzten und in der Folge nicht mehr erwünschten Mitarbeiter zu kündigen, ohne dass der entsprechende Kündigungsgrund vorgelegen habe.
6.5 Nach abweichender Auffassung des Appellationsgerichts ist der Gang der Ereignisse nach dem Zeitpunkt zu beachten, in dem das Departement eine weitere Zusammenarbeit positiv beurteilte. Nachdem der Beschwerdeführer arbeitsunfähig geworden sei, hätten sich mehrere Dinge ereignet, die zu einer fortschleichenden Verschlechterung des Klimas beigetragen hätten. Spätestens seit dem Bericht des Vertrauensarztes vom 13. Oktober 2004 habe der Regierungsrat nicht mehr mit der Mitwirkung des Beschwerdeführers bei der Zusammenlegung der Rheinhäfen rechnen können. Für diese dringliche Aufgabe habe der Regierungsrat rasch einen Nachfolger finden müssen. Angesichts der Stellung und des besonderen Aufgabengebiets des Beschwerdeführers sei es kaum möglich gewesen, ihm eine andere, vergleichbare und damit zumutbare Arbeit im Staatsdienst anzubieten. Daher sei die Kündigung nicht missbräuchlich.
7. 7.1 Das Arbeitsverhältnis des Beschwerdeführers als Direktor der Rheinschifffahrtsdirektion wurde gemäss Kündigungsverfügung vom 10. August 2005 aufgelöst, weil mit einer Rückkehr des Beschwerdeführers infolge dauernder Arbeitsunfähigkeit nicht zu rechnen war. Das kantonale Recht sieht eine Arbeitsverhinderung infolge Krankheit als Kündigungsgrund vor. Die Sperrfrist von 365 Tagen wurde eingehalten. Das Arbeitsverhältnis wurde per 30. November 2005 aufgelöst. Seit Eintritt der Arbeitsunfähigkeit dauerte die Anstellung des Beschwerdeführers während rund 15 1⁄2 Monaten fort.
7.2 Die Ansicht des Appellationsgerichts, diese Kündigung sei nicht missbräuchlich, ist aufgrund der Aktenlage haltbar. Nachdem der Beschwerdeführer im Sommer 2004 beabsichtigte, das Arbeitsverhältnis mit einer Trennungsvereinbarung (d.h. in gegenseitigem Einvernehmen mit dem Kanton) zu beenden, dies jedoch scheiterte, hat er auf eine einseitige Kündigung verzichtet und dem Regierungsrat mitteilen lassen, er werde sein Arbeitsverhältnis weiterführen und die Arbeiten zur Zusammenlegung der Rheinhäfen engagiert vorantreiben (Schreiben vom 27. Juli 2004). Die erwähnte Bereitschaft des Departements, das Arbeitsverhältnis fortzuführen, ist in diesem Zusammenhang zu sehen. Mit Schreiben vom 9. August 2004 führte der Departementsvorsteher aus, er nehme mit Befriedigung davon Kenntnis, dass der Beschwerdeführer weiterhin als Direktor der Rheinschifffahrtsdirektion wirken und die Arbeiten im Hinblick auf die Fusion der Rheinhäfen engagiert vorantreiben wolle. Indessen wurde der Beschwerdeführer rückwirkend per 9. August 2004 krankgeschrieben (Arztzeugnis vom 12. August 2004). Die Untersuchung des Vertrauensarztes des Kantons Basel-Stadt (Schreiben vom 13. Oktober 2004) hat ergeben, dass die Vorgänge rund um den Arbeitsplatz des Beschwerdeführers in den letzten ein bis zwei Jahren zu einer schweren Kränkung und Verzweiflung mit psychosomatischen Folgen geführt haben, dass der Beschwerdeführer im Berichtszeitpunkt aus gesundheitlichen Gründen generell nicht arbeitsfähig war, dass er nach einigen Wochen bis Monaten wieder eine allgemeine Arbeitsfähigkeit erreichen könne, aber eine Rückkehr an den bisherigen Arbeitsplatz sicher nicht mehr möglich sei. Es ist haltbar, wenn das Appellationsgericht darin den Grund für den Sinneswandel des Departementsvorstehers sieht. Ein Vergleich mit der früheren Erklärung des Beschwerdeführers (Schreiben vom 27. Juli 2004) zeigt, dass damals noch mit der Möglichkeit gerechnet werden konnte, dass er seine Führungsfunktion wieder aufnimmt. Diese Aussicht ist jedoch mit Eintritt der Arbeitsunfähigkeit am 9. August 2004 und dem Arztbericht vom 13. Oktober 2004 weggefallen. Die Kündigung vom 10. August 2005 erfolgte später und beruht demnach auf veränderten Verhältnissen.
7.3 Auch die übrigen Einwände lassen den angefochtenen Entscheid nicht willkürlich erscheinen. Stand nämlich fest, dass der Beschwerdeführer auf seine Direktorenstelle nicht zurückkehrt, ist es nachvollziehbar, dass diese Führungsfunktion so rasch als möglich neu besetzt werden musste. Dies reicht als Erklärung aus, weshalb das Departement dem Beschwerdeführer bei laufender Sperrfrist, also vor Kündigung des Arbeitsvertrags, die Neubesetzung der Stelle mitteilte und ihn aufforderte, die Schlüssel zurückzugeben. Was die Pflicht zur Weiterbeschäftigung des kantonalen Staatspersonals betrifft, so ist es primär Sache des Kantons, deren Tragweite zu bestimmen. Die Erklärung des Appellationsgerichts, das Angebot einer anderen, vergleichbaren Arbeit sei kaum möglich gewesen, weil die Stellung und Aufgaben des Beschwerdeführers zu speziell seien und er auf unbestimmte Zeit krankgeschrieben sei, reicht als sachlicher Grund für einen Verzicht auf Weiterbeschäftigung aus. Der angefochtene Entscheid, mit dem die Kündigung infolge überjähriger Arbeitsunfähigkeit bestätigt wurde, ist nach dem Gesagten verfassungsrechtlich haltbar, und die Willkürrüge ist unbegründet.
8. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu bezahlen (<ref-law>). Die Kostengrenze von <ref-law> ist bei einem Streitwert von über Fr. 30'000.-- nicht anwendbar. Es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Wirtschafts- und Sozialdepartement des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Thönen