A.- Dame S._, ressortissante yougoslave née en 1969, et S._, citoyen suisse né en 1964, se sont mariés le 21 septembre 1990 à X._; ils ont eu une fille, A._, née le 19 juillet 1991.
B.- Par jugement du 2 novembre 2000, le Tribunal civil du district de Delémont a notamment prononcé le divorce des époux S._, attribué au père l'autorité parentale sur l'enfant A._, fixé un droit de visite usuel en faveur de la mère, institué une curatelle éducative, renoncé à condamner la défenderesse au paiement d'une contribution à l'entretien de sa fille et constaté que le régime matrimonial était liquidé par les parts et reprises effectuées.
C.- Statuant par arrêt du 17 mai 2001 sur appel de la défenderesse, la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura a confirmé en tous points le jugement de première instance.
D.- Contre cet arrêt, la défenderesse exerce en parallèle un recours de droit public et un recours en réforme au Tribunal fédéral. Le premier a été déclaré irrecevable par arrêt rendu ce jour par la Cour de céans. Par le second, la défenderesse conclut, avec suite des frais et dépens des instances cantonales et fédérale, à la réforme de l'arrêt attaqué dans le sens suivant: attribution à la défenderesse de l'autorité parentale sur l'enfant A._; condamnation du demandeur à verser une contribution mensuelle indexable de 800 fr. pour l'entretien de sa fille et de 500 fr. pour l'entretien de la défenderesse; condamnation du demandeur à payer à la défenderesse un montant de 80'000 fr. au titre de la liquidation du régime matrimonial, à lui restituer tous ses effets personnels et à lui verser une indemnité fondée sur l'<ref-law> du montant que justice dira. Postérieurement au dépôt du recours, la recourante a en outre sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Il n'a pas été demandé de réponse au recours.

Considérant en droit :
1.- Le recours est recevable du chef de l'art. 44 OJ, en tant qu'il porte sur l'attribution de l'autorité parentale sur l'enfant A._, ainsi que, par attraction, sur la contribution à l'entretien de celle-ci (Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. II, 1990, n. 1.4 ad art. 44 OJ). En ce qui concerne la contribution réclamée par la recourante pour son propre entretien et ses autres conclusions pécuniaires, le recours est également recevable dès lors que la valeur litigieuse de 8'000 fr. exigée par l'art. 46 OJ est manifestement atteinte en l'espèce. Enfin, déposé en temps utile contre une décision finale rendue en dernière instance par le tribunal suprême du canton du Jura, le recours est recevable sous l'angle des art. 54 al. 1 et 48 al. 1 OJ.
2.- Saisi d'un recours en réforme, le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement sur la base des faits contenus dans la décision attaquée, à moins que des dispositions fédérales en matière de preuve n'aient été violées, qu'il y ait lieu à rectification de constatations reposant sur une inadvertance manifeste (art. 63 al. 2 OJ) ou qu'il faille compléter les constatations de l'autorité cantonale parce que celle-ci n'a pas tenu compte de faits pertinents et régulièrement allégués (art. 64 OJ; <ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 5c/aa). Dans la mesure où un recourant présente un état de fait qui s'écarte de celui contenu dans l'arrêt attaqué sans se prévaloir avec précision de l'une des exceptions qui viennent d'être rappelées, il n'est pas possible d'en tenir compte (<ref-ruling> consid. 2c). Au surplus, il ne peut être présenté dans un recours en réforme de griefs contre les constatations de fait, ni de faits ou de moyens de preuve nouveaux (art. 55 al. 1 let. c OJ), de sorte que l'appréciation des preuves à laquelle s'est livrée l'autorité cantonale ne peut être remise en cause en instance de réforme (<ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 3a).
3.- a) En ce qui concerne l'attribution de l'autorité parentale sur l'enfant A._, les juges cantonaux ont retenu en fait que celle-ci était très intégrée à X._, où elle avait ses racines et où entretenait des relations perçues comme sécurisantes avec sa proche parenté, notamment sa grand-mère qui aidait son père dans les tâches ménagères.
De l'avis des médecins pédopsychiatres qui avaient procédé à une expertise concernant la capacité éducative des deux parents, la mère paraissait fragile tant sur le plan physique que psychique; selon ces experts, il ne paraissait pas indiqué de changer le système mis en vigueur et il se justifiait de confirmer l'attribution de l'autorité parentale au père, en envisageant la nomination d'un curateur qui favoriserait les changements et aides nécessaires pour l'évolution de l'enfant. Cet avis était partagé par le curateur de l'enfant, selon qui cette dernière voulait rester avec son père et sa grand-mère à X._, son lieu de vie. Sur le vu de ces circonstances, les juges cantonaux ont estimé qu'un changement du lieu de vie de l'enfant et une prise en charge par la mère, qui poserait de délicats problèmes eu égard à la situation et à la santé précaire de cette dernière, serait préjudiciable à l'enfant, pour qui la stabilité du milieu social et familial actuel était déterminante et commandait le maintien du statu quo (arrêt attaqué, consid. 2 p. 4/5).
b) Pour ce qui est de la contribution d'entretien réclamée par la défenderesse, la cour cantonale a constaté en fait que les parties percevaient chacun une rente AI de 1'330 fr. et une rente complémentaire de 824 fr. pour l'enfant A._, le demandeur réalisant en sus, mais de manière irrégulière, des gains accessoires en effectuant de petits travaux pour un montant avoisinant 6'000 fr. par an. Elle a considéré que dès lors que le demandeur réalisait des gains correspondant au minimum vital ou le dépassant de peu, il ne pouvait être exigé de lui qu'il verse une contribution à l'entretien de son ex-épouse sur la base de l'<ref-law> (arrêt attaqué, consid. 4 p. 5/6).
c) S'agissant du montant de 80'000 fr. réclamé par la défenderesse au titre de la liquidation du régime matrimonial, les juges cantonaux ont retenu en fait qu'au moment de la litispendance, le demandeur disposait d'un capital de 68'014 fr. représentant le solde de l'indemnité en capital de 1'036'427 fr. versée en 1981 par la Zurich Assurances pour couvrir une perte de gain future - capital qui correspondait alors à une rente annuelle de 44'291 fr. - ainsi que de la maison familiale franche de dettes, dont la valeur vénale avait été fixée par expertise à 300'000 fr. Dès lors que la valeur capitalisée de la rente qui eût appartenu au demandeur à la dissolution du régime matrimonial - valeur qui devait être comptée dans les biens propres du demandeur en application de l'<ref-law> - était nettement supérieure au solde des biens restant au demandeur à la litispendance (368'000 fr.), l'autorité cantonale a considéré que la défenderesse ne pouvait déduire aucun droit du capital restant à son époux sur les sommes versées par la Zurich Assurances (arrêt attaqué, consid. 5 p. 6/7).
4.- a) La défenderesse se plaint d'abord d'une violation de l'<ref-law>. Elle expose que les juges cantonaux n'ont pas entendu l'enfant, qui aurait notamment pu exprimer ses désirs. Il n'y aurait aucune preuve qu'elle ne puisse pas s'occuper convenablement de sa fille, et l'attribution de l'autorité parentale au père, qui est sous tutelle, et de plus avec une curatelle éducative, ne constituerait pas la bonne solution dans l'intérêt de l'enfant. La défenderesse sollicite en outre l'audition de l'enfant par le Tribunal fédéral, ainsi qu'une contribution d'entretien d'au moins 800 fr. par mois pour sa fille.
L'arrêt cantonal, guidé par la recherche du bien de l'enfant, tient compte de toutes les circonstances importantes pour le bien de l'enfant, telles qu'elles ont été dégagées par la jurisprudence dans des cas analogues. La critique de la défenderesse se résume en fin de compte à la seule affirmation qu'il n'existe aucun motif de lui retirer l'autorité parentale sur sa fille, ce qui ne saurait évidemment suffire à démontrer le caractère erroné du choix opéré et motivé par les juges cantonaux. Au surplus, l'<ref-law>, qui prescrit au juge de prendre en considération autant que possible l'avis de l'enfant, ne lui impose pas de procéder lui-même à l'audition de l'enfant (cf. <ref-law>), dont l'avis peut également lui être connu à travers un rapport du service de protection de la jeunesse ou de l'autorité tutélaire (Wirz, in Schwenzer (éd.), Praxiskommentar Scheidungs-recht, 2000, n. 10 ad <ref-law>) ou par le curateur de l'enfant (cf. <ref-law>; Sutter/Freiburghaus, Kommentar zum neuen Scheidungsrecht, 1999, n. 18 ad <ref-law>). Or en l'espèce, l'autorité cantonale connaissait l'avis de l'enfant à travers son curateur et disposait par ailleurs de l'expertise de médecins pédopsychiatres sur la capacité éducative des deux parents, si bien que l'on ne saurait considérer qu'elle a abusé de sa liberté d'appréciation en jugeant qu'il ne lui était pas nécessaire d'entendre personnellement l'enfant, alors âgée de neuf ans seulement (cf. <ref-law>).
b) La défenderesse reproche en outre aux juges cantonaux d'avoir violé l'<ref-law>. Elle expose que la situation économique du demandeur, qui outre une rente AI perçoit également des gains accessoires et dispose d'une certaine fortune (maison et solde de l'indemnité en capital versée en 1981), est nettement meilleure que la sienne; selon la défenderesse, cette circonstance devrait être clarifiée. En outre, l'autorité cantonale n'a effectué aucun calcul relatif au minimum vital des parties pour affirmer que le demandeur réalisait des gains correspondant au minimum vital ou le dépassant de peu.
Par cette critique, qui tient plutôt de l'affirmation, la défenderesse n'indique nullement en quoi consisterait au juste la prétendue violation de l'<ref-law>, de sorte que l'on ne peut y voir la motivation minimale requise par l'art. 55 al. 1 let. c, 2e phrase, OJ. De toute manière, les juges cantonaux ont récapitulé les revenus du mari et précisé que ceux-ci couvraient tout juste son minimum vital ou ne le dépassaient que de peu; cette constatation, à laquelle l'autorité cantonale a pu procéder sans arbitraire (cf. l'arrêt rendu ce jour sur le recours de droit public connexe, consid. 3b), lie le Tribunal fédéral en instance de réforme (cf. consid. 2 supra).
c) La défenderesse fait enfin grief à l'autorité cantonale d'avoir estimé la valeur de la maison à 300'000 fr., alors que cette maison avait été acquise pour 428'000 fr., et elle conteste le calcul de la capitalisation de la rente, dont elle affirme que la valeur au début de la procédure de divorce était de 80'686 fr. et non de 44'291 fr.
Dirigés contre des constatations de fait contenues dans l'arrêt attaqué, ces griefs - au demeurant déjà soulevés de manière identique dans le recours de droit public (cf.
l'arrêt rendu ce jour sur ce recours connexe, consid. 3a) - sont irrecevables (cf. consid. 2 supra).
4.- Il résulte de ce qui précède que le recours ne peut qu'être rejeté dans la faible mesure où il est recevable, ce qui entraîne la confirmation de l'arrêt attaqué. La requête d'assistance judiciaire fondée sur l'art. 152 OJ doit également être rejetée; le recours apparaissait en effet d'emblée voué à l'échec au sens de cette disposition, dès lors qu'il doit être rejeté, en tant qu'il se révèle recevable, dans le cadre de la procédure simplifiée de l'art. 36a OJ (cf. Poudret/Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. V, Berne 1992, n. 5 ad art. 152 OJ). La recourante, qui succombe, supportera ainsi les frais judiciaires, conformément à l'art. 156 al. 1 OJ. Il n'y a en revanche pas lieu d'allouer de dépens (cf. art. 159 al. 1 OJ) dès lors que l'intimé n'a pas été invité à procéder et n'a en conséquence pas assumé de frais en relation avec la procédure devant le Tribunal fédéral (Poudret/Sandoz-Monod, op. cit. , n. 2 ad art. 159 OJ).

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral,
vu l'art. 36a OJ:
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable et confirme l'arrêt attaqué.
2. Rejette la demande d'assistance judiciaire de la recourante.
3. Met un émolument judiciaire de 1'000 fr. à la charge de la recourante.
4. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura.
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Lausanne, le 20 août 2001 ABR/frs
Au nom de la IIe Cour civile
du TRIBUNAL FÉDÉRAL SUISSE :
Le Président,
Le Greffier,