Beratervertrag; Honorar, hat sich ergeben:
A.- A._ (Kläger) schloss mit der X._ AG (Beklagte) am 30. Juni 1996 einen Beratervertrag, gültig ab
1. Juli 1996. Seine Aufgabe bestand darin, die Beklagte in Kommunikationsangelegenheiten zu beraten und namentlich die Marke X._ aufzubauen. Zwei weitere Beraterverträge schloss er am 30. Juni 1996 und am 1. Juli 1996 mit den Firmen Y._ AG und Z._ AG. Zwischen den Prozessparteien wurde folgende Honorarregelung getroffen:
"Der Aufwand für die zu erbringenden Leistungen
wird nach Manntagen berechnet und beträgt mindestens
2,5 Manntage im Monat. Darüber hinaus erbrachte
Leistungen erfolgen nach jeweiliger Absprache
mit X._ AG und werden bis spätestens 6
Wochen nach dem jeweiligen Monatsende durch
A._ gesondert in Rechnung gestellt.
Die Leistungen werden zum Tagessatz von 1000 CH-Fr.
zuzüglich der in der Schweiz gültigen gesetzlichen
Mehrwertsteuer vergütet. Damit ergibt sich ein Mindestbetrag
von 2.500 CH-Fr plus Mehrwertsteuer pro
Monat, zahlbar zum jeweiligen Monatsende.. "
Der Kläger nahm seine Beratertätigkeit am 1. Juli 1996 auf. Er stellte der Beklagten in der Folge für seine Tätigkeit monatlich jeweils Fr. 2'662. 50 (Honorar zuzüglich Mehrwertsteuer von Fr. 162. 50) in Rechnung. Diese Beträge wurden regelmässig ohne Beanstandungen bezahlt, obwohl der Kläger teilweise weniger als 2,5 Manntage pro Monat für die Beklagte tätig war. Der Kläger stellte allerdings für die Monate, in denen seine Leistung über das vertraglich vorgesehene Minimum hinausging, auch keine Zusatzrechnungen. Im Jahre 1998 kam es bei der Bezahlung der in Rechnung gestellten Beträgen zu Verzögerungen. Die Rechnungen für die Monate Juni, August, September und Oktober 1998 blieben unbezahlt.
Der Kläger mahnte die Beklagte verschiedentlich und forderte die Bezahlung der insgesamt Fr. 10'650.--. In der Folge bezahlte die Beklagte das Honorar für den Monat Juni 1998. Mit Schreiben vom 27. November 1998 kündigte sie den Beratervertrag per Ende Dezember 1998. Die Rechnungen für die Monate November und Dezember 1998 blieben ebenfalls unbezahlt. Insgesamt beglich die Beklagte somit die Honorarforderungen für 5 Monate nicht.
B.- Mit Klage vom 15. Januar 1999 beim Richteramt Solothurn-Lebern verlangte der Kläger die Bezahlung der Entschädigung für die Monate August bis Dezember 1998 von total Fr. 13'312. 50 nebst Zins. Das angerufene Gericht hiess die Klage mit Urteil vom 28. Oktober 1999 gut. Das Obergericht des Kantons Solothurn bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 4. Dezember 2000/5. Januar 2001.
C.- Gegen das obergerichtliche Urteil führt die Beklagte sowohl Berufung als auch staatsrechtliche Beschwerde. Mit Urteil heutigen Datums hat das Bundesgericht die staatsrechtliche Beschwerde abgewiesen. Mit der Berufung verlangt die Beklagte die Aufhebung des angefochtenen Urteils, die Abweisung der Klage und die Aufhebung der Beseitigung des Rechtsvorschlags in der Betreibung Nr. 21739 über Fr. 7'987. 50 nebst Zins. Eventualiter beantragt die Beklagte die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung.
Der Kläger beantragt die Abweisung der Berufung, verzichtet jedoch aus Kostengründen auf die Einreichung einer Berufungsantwort. Das Obergericht des Kantons Solothurn verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Die Vorinstanz hat erwogen, es sei zur Ermittlung des Vertragsinhaltes in erster Linie auf den tatsächlichen Willen der Parteien abzustellen und sowohl der Vertragstext wie auch die Aussagen der Parteien über die Handhabung des Vertrages liessen auf die Vereinbarung einer Pauschalabrede schliessen. Nach dem Beweisergebnis sei die Entschädigungsvereinbarung auch als Pauschalabrede verstanden worden, da die Entschädigung für die vom Kläger im Auftragsverhältnis erbrachten Dienste ohne Rücksicht auf den Umfang der tatsächlich geleisteten Arbeit, selbst ohne Nachweis derselben, regelmässig ausbezahlt worden sei. Obwohl sich der Aufwand des Klägers im Schnitt auf monatlich 2,5 Tage erstreckt habe, sei er auch in den Monaten mit geringerem Pensum mit dem Mindestansatz von Fr. 2'500.-- entschädigt worden und habe im umgekehrten Fall keine Zusatzrechnungen gestellt.
b) Die Beklagte rügt, die Vorinstanz habe <ref-law> verletzt, indem sie dem Kläger entgegen der von den Parteien getroffenen Vereinbarung und entgegen deren Handhabung durch die Parteien immer dieselbe Pauschalentschädigung zugesprochen habe. Leistung und Gegenleistung müssten beim entgeltlichen Auftrag als gegenseitiges Rechtsgeschäft gleichwertig sein.
c) aa) Das Bundesgericht hat seiner Entscheidung im Berufungsverfahren die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz als wahr und vollständig zugrunde zu legen, es sei denn, diese beruhten auf einem offensichtlichen Versehen, seien unter Verletzung bundesrechtlicher Beweisvorschriften zustandegekommen oder bedürften der Ergänzung, weil das Sachgericht in fehlerhafter Rechtsanwendung einen gesetzlichen Tatbestand nicht oder nicht hinreichend klärte, obgleich ihm die entscheidwesentlichen Behauptungen und Beweisanerbieten dazu prozesskonform unterbreitet worden waren (Art. 63 und 64 OG; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2a). Eine blosse Kritik an der Beweiswürdigung des Sachrichters ist, soweit nicht Vorschriften des Bundesrechts in Frage stehen, von der Berufung ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 6a; <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2b).
bb) Die Beklagte rügt im Wesentlichen die falsche Ermittlung des Vertragsinhaltes. Auf diese Rüge kann nicht eingetreten werden. Die Vorinstanz hat den gemäss <ref-law> primär massgebenden subjektiven Parteiwillen festgestellt.
An diese Feststellung ist das Bundesgericht im vorliegenden Verfahren gebunden (<ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 1).
Steht der subjektive Wille der Parteien fest, gelangt die objektivierte Auslegung nach dem Vertrauensprinzip (die als Rechtsfrage im Berufungsverfahren überprüft werden kann) nicht zur Anwendung.
cc) Wie bereits erwähnt ist das Bundesgericht im Berufungsverfahren abgesehen von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen an die im angefochtenen Urteil festgestellten Tatsachen gebunden (Art. 63 Abs. 2 OG). Die Beklagte ist daher mit ihren Ausführungen, die im Gegensatz zu den Feststellungen der Vorinstanz stehen, nicht zu hören. Dies gilt insbesondere für die Vorbringen, die Parteivereinbarung über eine monatliche Mindestentschädigung sehe keine Pauschalabrede vor und der Kläger habe jeden Monat im erwarteten Umfang Arbeit leisten müssen. Auf diese Rüge ist nicht einzutreten.
Das gilt auch für die Rüge, das Äquivalenzverhältnis sei gestört, da sie ausser Acht lässt, dass der Kläger nach den Feststellungen der Vorinstanz "im Schnitt" das erwartete Arbeitspensum erreicht hat und der Beklagten im Übrigen jederzeit die Möglichkeit der kurzfristigen Vertragskündigung offen gestanden hat.
Ebenfalls um eine im Berufungsverfahren nicht zu überprüfende Tatfrage handelt es sich beim Verhalten der Parteien nach Vertragsschluss (<ref-ruling> E. 6). Dieses lässt nämlich auf den wirklichen Willen der Parteien schliessen.
2.- Die Beklagte macht im Weiteren eine Verletzung von <ref-law> geltend. <ref-law> regelt zunächst die Verteilung der Beweislast. Durch die Rechtsprechung hat diese Bestimmung darüber hinaus die Bedeutung einer allgemeinen bundesrechtlichen Beweisvorschrift erhalten. Das Bundesgericht leitet aus <ref-law> als Korrelat zur Beweislast insbesondere das Recht der beweisbelasteten Partei ab, zum ihr obliegenden Beweis zugelassen zu werden, soweit entsprechende Anträge im kantonalen Verfahren form- und fristgerecht gestellt worden sind. Zu beachten ist aber, dass dieser bundesrechtliche Beweisführungsanspruch nur für rechtserhebliche Tatsachen besteht und die vorweggenommene Beweiswürdigung nicht ausschliesst (<ref-ruling> E. 3c; <ref-ruling> E. 4b). Die Schlüsse, die das kantonale Gericht in tatsächlicher Hinsicht aus den Beweisen und konkreten Umständen zieht, sind im Berufungsverfahren nicht überprüfbar (<ref-ruling> E. 3c). Die Vorinstanz hat einen übereinstimmenden subjektiven Parteiwillen positiv festgestellt. Deshalb ist die Frage der Beweislastverteilung gegenstandslos und auch der aus <ref-law> fliessende Beweisführungsanspruch kann grundsätzlich nicht verletzt sein (Münch, in: Geiser/Münch, Prozessieren vor Bundesgericht, 2. Aufl. 1998, Rz. 4.61/2).
Die vorgebrachte Rüge geht fehl.
3.- Auf die Berufung ist nicht einzutreten. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die Beklagte die Gerichtsgebühr zu bezahlen. Da der Kläger auf die Beteiligung am Verfahren verzichtete und ihm daher keine zusätzlichen Kosten erwachsen sind, hat er keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Auf die Berufung wird nicht eingetreten.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beklagten auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn (Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 1. Juni 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: