Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. X._ wird vorgeworfen, er habe seinen Sohn an einem Mittwoch und am Sonntag, den 9. April 2006, geschlagen. Einer der Schläge habe ein schmerzhaftes, vier bis fünf Zentimeter durchmessendes, geschwollenes Hämatom an der Schläfe verursacht. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte X._ im Appellationsverfahren mit Urteil vom 12. November 2008 wegen einfacher Körperverletzung und mehrfacher Tätlichkeiten zu einer Geldstrafe von 14 Tagessätzen zu Fr. 70.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren, sowie zu einer Busse von Fr. 100.-- bzw. einem Tag Ersatzfreiheitsstrafe.
X._ wendet sich mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht und beantragt sinngemäss einen Freispruch.
2. In einer Beschwerde in Strafsachen ist in gedrängter Form zu begründen, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid schweizerisches Recht im Sinne von <ref-law> verletzt (<ref-law>). Auch die Verletzung von Grundrechten wie zum Beispiel des Verbotes der willkürlichen Behandlung im Sinne von <ref-law> muss in der Beschwerde ausdrücklich vorgebracht und begründet werden (<ref-law>).
Diesen Voraussetzungen genügt die Beschwerde zur Hauptsache nicht, da sie sich auf unzulässige appellatorische Kritik beschränkt. So macht der Beschwerdeführer zum Beispiel geltend, er habe keine Gelegenheit gehabt, seine Akten "komplett einzusehen" (Beschwerde S. 1). Dies wiederspricht den Feststellungen der Vorinstanz, wonach er die nicht sehr umfangreichen Akten vollumfänglich zur Kenntnis nehmen konnte (vgl. angefochtenen Entscheid S. 3 E. 2.1). Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, inwieweit die Vorinstanz mit ihrer Feststellung in Willkür verfallen sein könnte. Im Übrigen hat der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz nicht mehr um Akteneinsicht nachgesucht (a.a.O.) An welcher Stelle er demgegenüber im Appellationsverfahren beantragt haben soll, es seien ihm Fotokopien der Fotos auszuhändigen, sagt er nicht. Auf derartige Vorbringen, die den Begründungsanforderungen nicht genügen, ist nicht einzutreten.
Bezeichnend ist auch sein Vorbringen, er habe eine Belastungszeugin, auf die sich "alle Behörden" gestützt hätten, nicht befragen können (Beschwerde S. 2). Die Vorinstanz hat ausdrücklich festgestellt, auf die Aussagen dieser Zeugin könne nicht abgestellt werden (angefochtener Entscheid S. 5). Das Vorbringen des Beschwerdeführers ist somit gegenstandslos.
Auch in Bezug auf das zur Verurteilung wegen einfacher Körperverletzung führende Hämatom kann von Willkür keine Rede sein. Die Vorinstanz ging in diesem Zusammenhang davon aus, der Beschwerdeführer habe selber ausgesagt, er habe seinen Sohn sehr kräftig ins Gesicht geschlagen (angefochtener Entscheid S. 8 E. 3.4). Mit der Angabe, es sei "nicht sicher", dass das Hämatom von ihm stamme (Beschwerde S. 3), lässt sich der Vorinstanz keine Willkür vorwerfen, Es war offensichtlich vertretbar, dass sie gestützt auf die eigenen Aussagen des Beschwerdeführers annahm, das Hämatom sei durch einen der heftigen Schläge des Beschwerdeführers entstanden. In diesem Punkt ist die Beschwerde abzuweisen.
Wenn man vom Sachverhalt ausgeht, den die Vorinstanz festgestellt hat, ist der angefochtene Schuldspruch nicht zu beanstanden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 9 E. 4.1 und 4.2).
In rechtlicher Hinsicht verweist der Beschwerdeführer denn auch nur auf das "Züchtigungsrecht der Eltern" (Beschwerde S. 3/4). Dazu führt die Vorinstanz indessen zu Recht aus, Schläge gegenüber Kindern, welche derart heftig seien, dass sie Spuren hinterliessen, seien nicht mehr von einem allfälligen Züchtigungsrecht erfasst und überschritten das allgemein übliche und gesellschaftlich geduldete Mass (angefochtener Entscheid S. 9/10 E. 4.3). Daran ändert nichts, dass es im vorliegenden Fall um eine Drogenangelegenheit gegangen sein soll.
Schliesslich ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer auf Strafanzeigen verweist, die er selber eingereicht hat (Beschwerde S. 4). Damit kann sich das Bundesgericht im vorliegenden Fall, in dem es nur um die Verurteilung des Beschwerdeführers geht, nicht befassen. Dasselbe gilt für die Vorwürfe, die er gegen Spanien erhebt (a.a.O).
Innert Frist hat der Beschwerdeführer eine Beschwerdeergänzung nachgereicht (act. 7). Diese enthält indessen nichts, was am Ausgang der Sache etwas zu ändern vermöchte.
3. Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn