Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil vom 25. Mai 2010 des Obergerichts des Kantons Aargau, das eine Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Abweisung seines Gesuchs um Erteilung der Rechtsöffnung für Fr. 5'069.50 (nebst Zins) gegenüber der Beschwerdegegnerin (geschiedene Ehefrau) abgewiesen hat,

in Erwägung,
dass gegen das in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangene Urteil des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Urteil vom 25. Mai 2010 erwog, wegen des Novenverbots könnten die vom Beschwerdeführer erst im obergerichtlichen Verfahren vorgebrachten bzw. eingereichten Tatsachenbehauptungen und Urkunden zum Vornherein nicht berücksichtigt werden, sodann stütze der Beschwerdeführer seine Rechtsöffnungsforderung auf sog. Mehrverdienstklauseln in einer gerichtlich genehmigten Ehescheidungskonvention und in einem Abänderungsurteil, indessen habe der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz lediglich eine nicht unterzeichnete Scheidungsvereinbarung vorgelegt und den Beizug des Scheidungsurteils beantragt, daraus ergebe sich keine definitive Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zur Bezahlung eines ziffernmässig bestimmten Betrags an den Beschwerdeführer, sondern bloss eine bedingte Verpflichtung im Falle eines bestimmten Mehrverdienstes der Beschwerdegegnerin, den Eintritt dieser Bedingung habe der Beschwerdeführer nicht mit Urkunden bewiesen, ausserdem seien sich die Parteien über die Bedeutung des Abänderungsurteils für die Mehrverdienstklausel uneinig, mangels eines Rechtsöffnungstitels habe der erstinstanzliche Richter das Rechtsöffnungsbegehren zu Recht abgewiesen, dem Sach- und nicht dem Rechtsöffnungsrichter obliege es, zwischen den Parteien Klarheit zu schaffen,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht keine verfassungsmässigen Rechte anruft,
dass er sich auch nicht in nachvollziehbarer Weise mit den entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen auseinandersetzt,
dass es insbesondere nicht genügt, den Sachverhalt aus eigener Sicht schildern,
dass der Beschwerdeführer erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert anhand der obergerichtlichen Erwägungen aufzeigt, inwiefern das angefochtene Urteil vom 25. Mai 2010 verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann