Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt eröffnete 2003 u.a. gegen den seit 1987 in der Schweiz lebenden X._ ein Strafverfahren wegen gewerbsmässigen betrügerischen Missbrauchs einer Datenverarbeitungsanlage und weiterer Delikte. X._ mandatierte am 27. Oktober 2003 Advokat Markus Wick als Rechtsbeistand. Das Strafgericht Basel-Stadt bestellte diesen zum unentgeltlichen Verteidiger, beendete das Mandat jedoch am 8. Juli 2010, da X._ seit seiner Entlassung aus der Untersuchungshaft unbekannten Aufenthalts war. Am 10. Januar 2012 bestellte das Strafgericht Advokat Markus Wick zum notwendigen Verteidiger von X._.
Nach zweimaliger öffentlicher Vorladung verurteilte das Strafgericht X._ am 19. Juni 2012 im Abwesenheitsverfahren wegen gewerbsmässigen betrügerischen Missbrauchs einer Datenverarbeitungsanlage zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 15 Monaten sowie zu Schadenersatzleistungen in Höhe von insgesamt Fr. 89'970.-- zuzüglich Zinsen. In den übrigen Anklagevorwürfen kam es zur Verfahrenseinstellung respektive zu Freisprüchen. Das Strafgericht verfügte die Zustellung mittels öffentlicher Bekanntmachung des Urteilsdispositivs.
B.
Advokat Markus Wick erhob im Namen von X._ Berufung. Staatsanwaltschaft und sämtliche Privatklägerinnen verzichteten auf eine Anschlussberufung und erhoben keine Einwendungen gegen die Berufung. Die Vorladung von X._ zur mündlichen Berufungsverhandlung am 11. Juli 2013 wurde Advokat Markus Wick zugestellt. X._ blieb der Berufungsverhandlung, an der sowohl die Staatsanwaltschaft als auch Advokat Markus Wick plädierten und Anträge stellten, fern. Das Appellationsgericht Basel-Stadt schrieb gleichentags "das Berufungsverfahren zufolge Rückzugs der Berufung als erledigt" ab, auferlegte X._ die Verfahrenskosten von Fr. 700.-- und entschädigte Advokat Markus Wick als amtlichen Verteidiger für das Berufungsverfahren mit Fr. 1'911.60. Diesem stellte es sowohl das Urteilsdispositiv als auch das vollständig begründete Urteil zu.
C.
Advokat Markus Wick führt im Namen von X._ Beschwerde in Strafsachen (irrtümlich als Berufung bezeichnet) mit dem Antrag, das Urteil des Appellationsgerichts sei vollumfänglich aufzuheben, und es sei festzustellen, dass X._ im bundesgerichtlichen Verfahren von ihm nach <ref-law> notwendig verteidigt werde. Eventualiter sei er für das bundesgerichtliche Verfahren als notwendiger Verteidiger zu bestellen.
D.
Das Appellationsgericht verweist in seiner Stellungnahme auf die Begründung des angefochtenen Urteils. Die Staatsanwaltschaft beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, falls der Parteivertreter sich innert anzusetzender Nachfrist nicht durch eine Vollmacht zur Prozessführung legitimiere. Eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1).
1.1. Advokat Markus Wick reichte eine vom Beschwerdeführer unterschriebene Anwaltsvollmacht vom 27. Oktober 2003 ein. Diese ermächtigt ihn, im Namen des Beschwerdeführers vor sämtlichen Gerichten aufzutreten und Prozesse anzuheben. Advokat Markus Wick ist im Anwaltsregister des Kantons Aargau eingetragen und als zugelassener Rechtsanwaltschaft zur Vertretung des Beschwerdeführers vor Bundesgericht legitimiert (<ref-law>).
1.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen und des Bundesstrafgerichts (Abs. 1). Letztinstanzlich im Sinne von <ref-law> ist ein Entscheid, wenn die Rüge, die Inhalt der Beschwerde an das Bundesgericht ist, bei keiner kantonalen Instanz mehr vorgebracht werden kann (Urteil 6B_652/2013 vom 26. November 2013 E. 1.3.1 mit Hinweisen).
Angefochten ist das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt, das in einer Strafsache (<ref-law>) als obere kantonale Instanz letztinstanzlich über das Rechtsmittel der Berufung entschieden hat. Ein (ordentliches) Rechtsmittel gegen Berufungsentscheide sieht die StPO nicht vor. Ob - wie die Vorinstanz ausführt - ein Wiederherstellungsgesuch gegen (eröffnete) verfahrensabschliessende Entscheide möglich ist und wie sich dies allenfalls auf die Legitimation zur Beschwerde in Strafsachen auswirkt, kann vorliegend offenbleiben. <ref-law> regelt abschliessend die Folgen bei Säumnis im Berufungsverfahren und geht <ref-law> als speziellere Norm vor. Es macht keinen Sinn und ist mit dem Grundsatz der Prozessökonomie nicht vereinbar, bei der Vorinstanz ein Wiederherstellungsgesuch zum gleichen Prozessgegenstand zu stellen, den diese bereits mittels Nichteintretensentscheid entschieden hat und damit (implizit) die Voraussetzungen für eine Wiederherstellung im Sinne von <ref-law> verneint (vgl. Urteil 6B_652/2013 vom 26. November 2013 E. 1.3). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>. Er sei zwar zur Berufungsverhandlung nicht persönlich erschienen, habe sich jedoch durch seinen notwendigen Verteidiger vertreten lassen. Mangels einer "Totalversäumnis" gelte seine Berufung nicht als zurückgezogen.
2.2. Die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdeführer sei über seinen Verteidiger ordnungsgemäss vorgeladen worden und der Berufungsverhandlung unentschuldigt ferngeblieben. Zwar habe sein Verteidiger an der Berufungsverhandlung teilgenommen, dies erfülle jedoch nicht den Sachverhalt des "Sich-Vertreten-Lassens" im Sinne von <ref-law>. Der Ausdruck sei nicht rein "passivisch" zu verstehen, sondern erfordere ein gewisses vorgängiges Aktivwerden des Beschwerdeführers. Dieser sei seit längerem unbekannten Aufenthaltes und habe ein ausgesprochenes Desinteresse an dem gegen ihn geführten Strafverfahren gezeigt. Er unterhalte keinen Kontakt mit seinem Verteidiger und habe sich zur Frage, ob gegen das erstinstanzliche Abwesenheitsurteil ein Rechtsmittel ergriffen werden solle, nicht geäussert. Der Verteidiger könne hierüber nicht ohne jegliche Rücksprache mit dem Beschwerdeführer alleine entscheiden, denn bei der Ausfällung einer bedingten Freiheitsstrafe bestünden nachvollziehbare Gründe, das Urteil zu akzeptieren (angefochtenes Urteil E. 2.2).
2.3.
2.3.1. Gemäss <ref-law> gilt die Berufung oder Anschlussberufung als zurückgezogen, wenn die Partei, die sie erklärt hat, der mündlichen Berufungsverhandlung unentschuldigt fernbleibt und sich auch nicht vertreten lässt (sog. "Totalversäumnis"; vgl. <ref-ruling> E. 8.1; Urteil 6B_37/2012 vom 1. November 2012 E. 4). Indes liegt keine unentschuldigte Abwesenheit vor, wenn der Berufungskläger nicht ordnungsgemäss vorgeladen wurde (Urteil 6B_652/2013 vom 26. November 2013 E. 1.4.3 mit Hinweisen).
2.3.2. Hat eine Partei persönlich zu einer Verhandlung zu erscheinen, so wird ihr die Mitteilung direkt zugestellt (<ref-law>). Ist der Aufenthaltsort der Adressatin oder des Adressaten unbekannt und kann trotz zumutbarer Nachforschungen nicht ermittelt werden, erfolgt die Zustellung durch Veröffentlichung in dem durch den Bund oder den Kanton bezeichneten Amtsblatt (<ref-law>). Als zumutbare geeignete Nachforschungen hat die Behörde insbesondere bei der letzten bekannten Adresse, der zuletzt zuständigen Poststelle, bei Einwohnerregistern, Nachbarn oder den nächsten Angehörigen nachzufragen. Gegebenenfalls ist die Polizei mit einem zweiten Zustellversuch zu beauftragen. Der Beweis für die ordnungsgemässe Zustellung bzw. für die notwendigen Anstrengungen, um die Adresse der beschuldigten Person ausfindig zu machen, obliegt den Behörden (Urteil 6B_652/2013 vom 26. November 2013 E. 1.4.3 mit Hinweisen).
2.4.
2.4.1. Die Vorinstanz verletzt Bundesrecht, indem sie einen Rückzug der Berufung im Sinne von <ref-law> bejaht, obwohl Advokat Markus Wick als amtlich bestellter, notwendiger Verteidiger an der Hauptverhandlung teilgenommen hat. Sie verkennt zudem, dass <ref-law> im Falle notwendiger Verteidigung, die bis zum Abschluss des Rechtsmittelverfahrens zu gewähren ist (<ref-ruling> E. 4.3 S. 287), nicht zur Anwendung gelangen kann (Urteil 6B_37/2012 vom 1. November 2012 E. 4 mit Hinweisen). Bleibt die (amtliche) notwendige Verteidigung aus, wird die Verhandlung verschoben (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
Ein Rückzug der Berufung lässt sich auch nicht damit begründen, der Verteidiger sei ohne Instruktion des Beschwerdeführers nicht zur Ergreifung eines Rechtsmittels berechtigt gewesen. Dies hätte allenfalls zu einem Nichteintreten nach <ref-law> führen können. Derartige Gründe haben weder die Vorinstanz noch die Beschwerdegegnerin oder Privatklägerinnen geltend gemacht. Die Vorinstanz hätte dem Verteidiger die Möglichkeit einräumen müssen, sich zur Frage der fehlenden Berufungslegitimation zu äussern. Die Vorinstanz verhält sich widersprüchlich und verstösst gegen den Grundsatz von Treu und Glauben, wenn sie "in Kenntnis des Mangels der fehlenden Instruktion" das Mandat der amtlichen (notwendigen) Verteidigung fortführt und auf die Berufung eintritt, anschliessend jedoch eine wirksame prozessuale Vertretung der beschuldigten Person anlässlich der Berufungsverhandlung verneint. Der Verteidiger durfte davon ausgehen, für den Beschwerdeführer Berufung erheben und ihn an der Verhandlung vertreten zu können, nachdem die Vorinstanz sämtliche Verfahrenshandlungen ihm gegenüber vorgenommen und seine Vertretungslegitimation nie in Frage gestellt hat. Unter diesen Voraussetzungen kann eine hinreichende prozessuale Vertretung des Beschwerdeführers an der Berufungsverhandlung nicht verneint werden.
2.4.2. Zudem ist der Beschwerdeführer mangels ordnungsgemässer Vorladung der Berufungsverhandlung nicht unentschuldigt im Sinne von <ref-law> ferngeblieben. <ref-law>, Art. 6 EMRK und Art. 14 Abs. 3 lit. d UNO-Pakt II (SR 0.103.2) garantieren das Recht der beschuldigten Person, an der gegen sie geführten Hauptverhandlung teilzunehmen (vgl. zum Recht auf Teilnahme an der Hauptverhandlung: <ref-ruling> E. 6.2; Urteil 6B_334/2013 vom 14. November E. 3.2; je mit Hinweisen). Dieses ist nur bei ordnungsgemässer Vorladung gewahrt. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz finden die Vorschriften über die Eröffnung von Entscheiden (<ref-law>) auch im Rechtsmittelverfahren uneingeschränkt Anwendung. Aus <ref-law> lässt sich nichts Gegenteiliges ableiten (vgl. <ref-law>, <ref-law> und <ref-law>). Die mündliche Berufungsverhandlung richtet sich nach den Bestimmungen über die erstinstanzliche Hauptverhandlung (<ref-law>). Die Vorinstanz hätte versuchen müssen, dem Beschwerdeführer die Vorladung persönlich zuzustellen (<ref-law>). Wäre dessen Aufenthaltsort trotz zumutbarer Nachforschungen nicht zu ermitteln gewesen, hätte die Zustellung (ersatzweise) durch Veröffentlichung im kantonalen Amtsblatt erfolgen müssen (<ref-law>). Die Vorladung des Beschwerdeführers nur seinem Verteidiger zuzustellen, verletzt Bundesrecht.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen. Es sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Die Entschädigung ist praxisgemäss seinem Rechtsvertreter zuzusprechen. Damit ist das Gesuch um notwendige Verteidigung nicht weiter zu behandeln. Es ist darauf hinzuweisen, dass das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren keine notwendige Verteidigung vorsieht. Unter Vorbehalt von <ref-law> (Unfähigkeit zur Prozessführung), dessen Voraussetzungen vorliegend nicht erfüllt sind, kommt die Bestellung eines Anwalts nur im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege in Betracht (<ref-law>; Urteil 6B_81/2012 vom 16. Juli 2013 E. 2).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 11. Juni 2013 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Advokat Markus Wick, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt und im Amtsblat veröffentlicht.
Lausanne, 6. März 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Held