Sachverhalt:
A.
Am 20. Mai 2014 strahlte die Schweizerische Radio- und Fernsehgesellschaft (SRG) resp. das Schweizer Fernsehen SRF im Konsumentenmagazin "A._" einen Beitrag mit dem Titel "Zahnarztpfusch" aus.
Eingeleitet wurde der Beitrag mit dem Hinweis der Moderatorin, dass sich Zahnarztzentren, in denen mehrere Zahnärzte tätig sind, bei Behandlungsfehlern häufig aus der Verantwortung stehlen könnten, zumal die Haftungsfrage unklar sei. Der anschliessende Filmbericht thematisierte den Fall einer Patientin, welche sich in der Zahnklinik Z._ ein Implantat einsetzen lassen wollte. Die Operation missglückte der behandelnden Zahnärztin jedoch und führte zur Schädigung eines Nervs, was für die Patientin einen andauernden Gefühlsverlust im betroffenen Mund- und Gesichtsbereich zur Folge hatte. Hieran vermochte auch eine nachfolgende Entfernung des Implantats durch den Zahnklinik Z._-Zahnarzt Dr.med.dent. X._, nichts zu ändern. Erwähnt wurde im Bericht sodann, dass Dr.med.dent. X._ der Patientin anbot, die Nachbehandlung nicht zu fakturieren, sofern die Patientin im Gegenzug auf sämtliche Ansprüche verzichte. In Zusammenhang mit der Behandlung der betroffenen Patientin in der Zahnklinik Z._ hob der Kommentator auch hervor, dass sich die Beschwerden gegen die Zahnklinik Z._ bei der Patientenstelle N._/O._ häuften, wozu sich ein Vertreter der Patientenstelle äusserte. In einem dem Filmbericht nachfolgenden Studiogespräch erörterte die Moderatorin schliesslich sowohl den konkreten Fall als auch die allgemeine Haftungsproblematik bei Zahnarztzentren mit einem Patientenanwalt.
Mit Schreiben vom 12. Juni 2014 beanstandete Dr.med.dent. X._ den genannten Beitrag beim Ombudsmann der SRG. Dieser erachtete die Beanstandungen in seinem Schlussbericht vom 30. Juli 2014 jedoch als unberechtigt.
B.
Hierauf beschwerte sich Dr.med.dent. X._ mit Eingabe vom 15. September 2014 bei der Unabhängigen Beschwerdeinstanz für Radio und Fernsehen (UBI). Er beanstandete, der erwähnte Beitrag verletze das Sachgerechtigkeitsgebot, zumal wesentliche Fakten unterschlagen bzw. falsch dargestellt worden seien: (1) Es sei unerwähnt geblieben, dass die betroffene Patientin gegen die behandelnde Zahnärztin eine Zivilklage eingereicht habe; (2) der angebliche Behandlungsfehler sei übertrieben dargestellt worden; (3) die Anzahl der eingegangenen Beschwerden gegen die Zahnklinik Z._ sei nicht ins Verhältnis zur Anzahl Behandlungen gesetzt worden; (4) ein zweites, verbessertes Vergleichsangebot von ihm sei unerwähnt geblieben. Sodann rügte Dr.med.dent. X._, dass (5) der Bericht des Ombudsmannes der SRG keine eigentliche Subsumtion enthalte.
Mit Entscheid vom 30. Januar 2015 hiess die UBI die Beschwerde gut, soweit sie darauf eintrat: Zur Begründung führte sie aus, Verfahrensgegenstand vor der UBI bilde die beanstandete Sendung und nicht der Bericht der Ombudsstelle der SRG, zumal die Ombudsstelle gar keine Entscheidbefugnis habe. Auf die Beschwerde könne deshalb nicht eingetreten werden, soweit damit die angeblich fehlende rechtliche Subsumtion im Schlussbericht des Ombudsmannes gerügt werde. Unbegründet sei die Beschwerde zudem insofern, als weder eine wesentliche Übertreibung des im Raum stehenden Behandlungsfehlers vorliege, noch Belege für ein angebliches verbessertes Vergleichsangebot vorgebracht worden seien. Ebenso sei es nicht erforderlich gewesen, die Anzahl der Reklamationen gegen die Zahnklinik Z._ ins Verhältnis zur Anzahl Behandlungen zu setzen; es gelte jedoch festzuhalten, dass dieser Aspekt in keinem direkten Zusammenhang zur vom Beitrag thematisierten haftungsrechtlichen Problematik gestanden sei, wohl aber das vom Beitrag zuvor gezeichnete negative Bild von der Zahnklinik Z._ verstärkt habe. Als begründet erachtete die UBI die Beschwerde insofern, als im Beitrag keine Erwähnung fand, dass die geschädigte Patientin gegen die behandelnde Zahnärztin, welche nunmehr in der Stadt S._ praktiziert, einen Zivilprozess eingeleitet hat, um ihre Ansprüche aus dem erlittenen Schaden geltend zu machen. Indem die Redaktion den Fokus des Berichts stattdessen einzig auf die Zahnklinik Z._ gerichtet habe, sei der Eindruck vermittelt worden, diese habe für den Schaden aufzukommen.
C.
Mit Eingabe vom 1. Juni 2015 führt die SRG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie stellt den Antrag, den Entscheid der UBI vom 30. Januar 2015 aufzuheben und festzustellen, dass der streitbetroffene Beitrag das Sachgerechtigkeitsgebot nicht verletzt hat.
Die UBI sowie Dr.med.dent. X._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Eingabe vom 22. September 2015 nimmt die SRG zum Vernehmlassungsergebnis Stellung.

Erwägungen:
1.
Entscheide der Unabhängigen Beschwerdeinstanz für Radio und Fernsehen über den Inhalt redaktioneller Sendungen können unmittelbar mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht angefochten werden (Art. 99 des Bundesgesetzes vom 24. März 2006 über Radio und Fernsehen [RTVG; SR 784.40], <ref-law>). Die SRG ist als Veranstalterin des beanstandeten Fernsehbeitrags hierzu legitimiert (<ref-law>; vgl. Urteil 2C_1246/2012 vom 12. April 2013 E. 1.1 m.w.H.). Auf ihre form- und fristgerecht eingereichte Eingabe (Art. 42 und Art. 100 BGG) ist einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt vorab, der Beschwerdegegner sei zur Beschwerdeerhebung bei der UBI überhaupt nicht legitimiert gewesen: Der Beschwerdegegner beanstande im Wesentlichen eine unberechtigte Herabsetzung der Zahnklinik Z._ bzw. die Erweckung eines negativen Eindrucks gegenüber der Zahnklinik Z._. Aus dem Handelsregisterauszug gehe indes hervor, dass der Beschwerdegegner im Zeitpunkt der Sendung überhaupt keine Funktion bei der Zahnklinik Z._ inne gehabt habe. Im Weitern sei zu beachten, dass der Beschwerde bei der UBI nur ein subsidiärer Charakter zukomme, soweit es um Fragen des Persönlichkeitsschutzes ginge; diesbezüglich sei primär der ordentliche zivilprozessuale Weg zu beschreiten, was der Beschwerdegegner und die Zahnklinik Z._ in der Zwischenzeit mit Klage vom 15. April 2015 auch getan hätten. Auch aus diesem Grund - so die Beschwerdeführerin weiter - hätte die UBI auf die bei ihr erhobene Beschwerde nicht eintreten dürfen.
Soweit diese neuen Vorbringen im jetzigen Zeitpunkt überhaupt noch zu hören sind, erweist sich die Rüge als unbegründet: Gemäss <ref-law> kann Beschwerde gegen eine Sendung oder gegen die Verweigerung des Zugangs zu einem Programm führen, wer (lit. a) am Beanstandungsverfahren vor der Ombudsstelle beteiligt war und (lit. b) eine enge Beziehung zum Gegenstand der beanstandeten Sendungen nachweist oder dessen Gesuch um Zugang zum Programm abgewiesen worden ist. Vorliegend war der Beschwerdegegner unbestrittenermassen am Beanstandungsverfahren vor dem Ombudsmann der SRG beteiligt. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, wurde er zudem im beanstandeten Beitrag mehrfach namentlich genannt und als "Zahnklinik Z._-Zahnarzt" bezeichnet, womit er als Ansprechsperson der Zahnklinik dargestellt wurde. Ebenso wurde in diesem Zusammenhang ein Foto von ihm eingeblendet. Damit ist auch die verlangte Nähe zum Gegenstand der Sendung offensichtlich erfüllt. Sodann machte der Beschwerdegegner in seiner Eingabe bei der UBI im Wesentlichen die Verletzung des Sachgerechtigkeitsgebots und nicht persönlichkeitsrechtliche Einwendungen geltend, so dass hier die programmrechtlichen Gesichtspunkte überwiegen, selbst wenn seine Vorbringen zumindest implizit auch Aspekte des Persönlichkeitsschutzes beinhalteten. Bei dieser Sachlage ist es nicht zu beanstanden, dass die UBI auf die bei ihr eingereichte Beschwerde eingetreten ist.
3.
Nachdem die UBI die übrigen Beanstandungen des Beschwerdegegners verworfen hat, verbleibt als einziger Streitgegenstand die Frage, ob der Beitrag durch das Verschweigen der von der geschädigten Patientin eingeleiteten zivilprozessualen Schritte gegen die behandelnde Zahnärztin das Sachgerechtigkeitsgebot verletzt hat.
Die Beschwerdeführerin bestreitet dies: Sie führt im Wesentlichen ins Feld, sowohl aus der Anmoderation wie auch aus dem eigentlichen Filmbericht gehe deutlich hervor, dass die Haftungsfrage in derart gelagerten Fällen umstritten und nicht klar sei, ob die behandelnde Zahnärztin oder aber das Zahnarztzentrum für einen Schaden infolge Fehlbehandlung aufkommen müsse. Dies werde durch das dem Filmbeitrag nachfolgende Studiogespräch noch verdeutlicht: Darin habe der befragte Patientenanwalt nämlich erklärt, er sei nicht in der Lage, zu beurteilen, wer vorliegend für den Schaden hafte. Hieraus gehe zwingend hervor, dass offensichtlich beide Parteien passivlegitimiert seien, ansonsten bestünde überhaupt keine Haftungsproblematik. Aus diesem Grund sei auch nicht ersichtlich, inwiefern die Erwähnung der Zivilklage gegen die behandelnde Ärztin den Beschwerdegegner oder die Zahnklinik Z._ hätte entlasten können: Da die Ärztin der Patientin von der Zahnklinik Z._ zugewiesen wurde, sei letztere die Vertragspartnerin der Patientin, weshalb selbst bei Haftung der Ärztin von einem Solidarschuldverhältnis gemeinsam mit der Zahnklinik Z._ ausgegangen werden müsse. Entscheidend sei aber, dass im Zeitpunkt der Sendung bereits bekannt gewesen sei, dass die behandelnde Ärztin im Rahmen des zivilprozessualen Schlichtungsverfahrens ihre Haftung mit der Begründung verneint habe, sie sei von der Zahnklinik Z._ angestellt gewesen. Im Übrigen gehe offensichtlich auch die Zahnklinik Z._ selbst von ihrer eigenen Passivlegitimation als Vertragspartei aus, zumal sie der Patientin ein Vergleichs- und Nachbesserungsangebot vorgelegt habe. Schliesslich habe auch keine Notwendigkeit dafür bestanden, den jetzigen Aufenthaltsort der behandelnden Zahnärztin offenzulegen. Insgesamt könne keinesfalls von groben Mängeln des Beitrags gesprochen und insbesondere auch nicht von einer Manipulation des Publikums ausgegangen werden. Ebenso wenig liege eine Verletzung der journalistischen Sorgfaltspflicht vor, zumal sowohl der Beschwerdegegner als auch die Zahnklinik Z._ mehrfach (jedoch vergeblich) zur Stellungnahme eingeladen worden seien.
Im Zusammenhang mit diesen Vorbringen rügt die Beschwerdeführerin die unrichtige Feststellung des Sachverhaltes (<ref-law>), eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>), der Meinungs- und Informationsfreiheit (<ref-law>; Art. 10 EMRK), der Medienfreiheit (<ref-law>) sowie eine Falschanwendung der rundfunkrechtlichen Bestimmungen zu den Mindestanforderungen an den Programminhalt (<ref-law>), zur Unabhängigkeit und Autonomie bei der Programmgestaltung (<ref-law>) sowie zum Programmauftrag der SRG (<ref-law>).
4.
Nach <ref-law> ist die Freiheit von Presse, Radio und Fernsehen sowie anderer Formen der öffentlichen fernmeldetechnischen Verbreitung von Darbietungen und Informationen gewährleistet. Ziel der Verfassungsordnung ist ein möglichst offenes und freiheitliches Mediensystem (<ref-ruling> E. 2.1 S. 169; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 303 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 228 ff.). In diesem Rahmen sollen redaktionelle Sendungen mit Informationsgehalt von Radio- und Fernsehveranstaltern Tatsachen und Ereignisse sachgerecht wiedergeben, so dass sich das Publikum eine eigene Meinung bilden kann; zudem haben Ansichten und Kommentare als solche erkennbar zu sein (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 6). Der Umfang der bei der Aufarbeitung des Beitrags erforderlichen Sorgfalt hängt von den Umständen, insbesondere vom Charakter und den Eigenheiten des Sendegefässes sowie dem jeweiligen Vorwissen des Publikums ab (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 6; <ref-ruling> E. 2.1 S. 292 f.). Das Gebot der Sachgerechtigkeit verlangt nicht, dass alle Standpunkte qualitativ und quantitativ genau gleichwertig dargestellt werden; entscheidend erscheint, dass der Zuschauer erkennen kann, dass und inwiefern eine Aussage umstritten ist, und er in seiner Meinungsbildung nicht manipuliert wird. Das Sachgerechtigkeitsgebot ist verletzt, wenn dem Zuschauer durch angeblich objektive, tatsächlich aber unvollständige Fakten die Meinung bzw. Ansicht des Journalisten als (absolute) Wahrheit suggeriert wird. Ein sachgerechtes Bild kann namentlich auch dadurch verunmöglicht sein, dass wesentliche Umstände verschwiegen werden (Urteil 2C_321/2013 vom 11. Oktober 2013 E. 2.2, nicht publ. in <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 344 f.). <ref-law>, welcher die Programmautonomie garantiert, gilt lediglich im Rahmen der allgemeinen Informationsgrundsätze bzw. der Mindestanforderungen an den Programminhalt von <ref-law> bzw. von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.2 in fine S. 257). Die konzessionierten Programme müssen in der Gesamtheit ihrer redaktionellen Sendungen zudem die Vielfalt der Ereignisse und Ansichten angemessen zum Ausdruck bringen (<ref-law>).
5.
5.1. Im vorliegenden Fall war es u.a. das erklärte Anliegen des beanstandeten Beitrags, auf die Schwierigkeiten resp. Unsicherheiten hinzuweisen, welche einem Patienten im Schadensfall entstehen können, wenn er sich von einem Zahnarzt behandeln lässt, welcher seine Tätigkeit innerhalb eines Zahnarztzentrums verrichtet. Namentlich wurde anhand eines konkreten Falles die Unklarheit darüber thematisiert, ob diesfalls der behandelnde Zahnarzt, die Zahnklinik oder beide haften. Der Beschwerdeführerin ist zuzustimmen, dass in der Anmoderation des Beitrags bereits kurz auf diese Unklarheit hingewiesen wurde. Ebenso wurde in der dem Beitrag nachfolgenden Studiodiskussion vom dort befragten Patientenanwalt mehrfach wiederholt, dass es eben unklar sei, ob der behandelnde Zahnarzt oder aber die Klinik für entstandene Schäden einzustehen habe. Insofern blieb die Möglichkeit einer alternativen Anspruchsgegnerin neben der Zahnklinik Z._ nicht unerwähnt.
5.2. Indessen fokussierte sich der Filmbericht fast ausnahmslos auf das Verhalten und das generelle Ansehen der Zahnklinik Z._. Die behandelnde Zahnärztin wurde demgegenüber weder namentlich genannt noch mit Forderungen konfrontiert. Stattdessen beschränkte sich der Filmbericht auf den Hinweis, die behandelnde Zahnärztin habe "von einem Tag auf den andern" nicht mehr in der Zahnklinik Z._ gearbeitet. In der Folge konzentrierte sich der Filmbericht vollumfänglich auf die Nachbehandlung durch Dr.med.dent. X._ und dessen Weigerung, zum vorliegenden Fall Stellung zu nehmen. Über den weiteren Verbleib der behandelnden Zahnärztin schwieg sich der Filmbericht aus. Auf diese Weise musste beim unbefangenen Zuschauer zwangsläufig der Eindruck entstehen, die behandelnde Zahnärztin sei nicht mehr auffindbar, weswegen jedenfalls faktisch lediglich die Zahnklinik Z._ als mögliche Anspruchsgegnerin in Frage komme, diese jedoch versuche, sich - so wörtlich in der Anmoderation - aus der Verantwortung zu stehlen. Dieser Eindruck verstärkt sich während des anschliessenden Studiogesprächs, als die Moderatorin den Patientenanwalt fragt:
"Und jetzt ist es aber vielleicht so: Auf einmal ist dann der Zahnarzt nicht mehr da, so wie im Beitrag auch gesehen. Es kann sein, dass der vielleicht ins Ausland geht... Das muss ich dann einfach hinnehmen, oder wie ist das dann ?"
Die Moderatorin stellte somit eine unmittelbare Verbindung her zwischen dem im Filmbericht gezeigten konkreten Fall und der Nichtauffindbarkeit des behandelnden Zahnarztes resp. zu einem möglichen Absetzen desselben ins Ausland. Dies unterstreicht die Vorstellung des Zuschauers, die behandelnde Zahnärztin könne im aufgezeigten Fall realistischerweise nicht mehr ins Recht gefasst werden, wodurch sich vermeintlich auch die nahezu ausschliessliche Ausrichtung des Beitrags auf die Zahnklinik Zahnklinik Z._ erklärt.
5.3. Das Wissen darum, dass die behandelnde Zahnärztin nunmehr in S._ praktiziert, ihr Aufenthaltsort mithin bekannt ist und rechtliche Schritte gegen sie nicht nur ohne Weiteres möglich wären, sondern im Zeitpunkt der Sendung sogar bereits eingeleitet wurden, kann im vorliegenden Zusammenhang nicht mehr als untergeordneter Nebenpunkt abgetan werden: Diese Umstände lassen ein Vorgehen gegen die behandelnde Zahnärztin als deutlich naheliegender und vor allem praktikabler erscheinen, als dies im Beitrag dargestellt wurde. Dies gilt umso mehr, als die Patientin gegen die Zahnklinik Zahnklinik Z._ - soweit ersichtlich - bis jetzt keine rechtlichen Schritte in die Wege geleitet hat. Dass die behandelnde Zahnärztin in der Schlichtungsverhandlung ihre Passivlegitimation unter Hinweis auf ein von ihr behauptetes Anstellungsverhältnis zur Zahnklinik Z._ bestritten hat, vermag daran nichts Wesentliches zu ändern: So oder anders hat die Patientin durch ihr Verhalten implizit zum Ausdruck gebracht, dass sie ein Vorgehen gegen die behandelnde Zahnärztin als aussichtsreicher und deshalb als vorrangig erachtet. Diese Entscheidung resp. Selbsteinschätzung der Patientin hätten die Zuschauer kennen müssen, um sich in sachgerechter Weise eine eigene Meinung zum präsentierten konkreten Fall und zur aufskizzierten allgemeinen Haftungsproblematik bilden zu können. Indem der Beitrag dem Zuschauer somit wesentliche Fakten vorenthielt, genügte er den Anforderungen des Sachgerechtigkeitsgebotes nicht, weshalb der angefochtene Entscheid der UBI vom 30. Januar 2015 kein Bundesrecht verletzt und auch nicht gegen Art. 16 und 17 BV und Art. 10 EMRK verstösst.
6.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen.
Gemäss <ref-law> sind mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen in der Regel keine Gerichtskosten aufzuerlegen, wenn sie - ohne Vermögensinteressen - in ihrem amtlichen Wirkungskreis handeln. Die SRG erfüllt im redaktionellen Bereich einen gesetzlichen Leistungsauftrag, weshalb sie vorliegend keine Kosten zu tragen hat (Urteil 2C_335/2007 vom 25. Oktober 2007 E. 5 m.w.H.). Indessen hat sie dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung nach Massgabe des Tarifs des Bundesgerichts zu entrichten (<ref-law>; vgl. Art. 6 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die SRG wird verpflichtet, dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 2'500.-- zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie der Unabhängigen Beschwerdeinstanz für Radio und Fernsehen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler