Fatti:
A. L'8 maggio 2004 B._ inseriva la propria carta bancaria, digitando il relativo codice e l'ammontare richiesto, in uno sportello automatico esterno della UBS di Peseux con l'intenzione di prelevare la somma di fr. 1'000.--. Dato che l'apparecchio le era sembrato difettoso essa abbandonava rapidamente la zona del bancomat, dopo avere ripreso la propria carta ma senza ritirare denaro. La scena veniva osservata da A._, il quale stava attendendo il suo turno per prelevare a sua volta denaro dallo stesso apparecchio. Nel frattempo il bancomat aveva erogato a carico del conto di B._ la somma di EUR 1'000.-- in banconote da cinquanta (verosimilmente per un errore di manipolazione della stessa cliente) e A._, che si era avvicinato per il suo turno, se ne appropriava versando poi la somma in questione sul suo conto bancario, mediante separate operazioni del 9 e del 10 maggio 2004. La cliente si accorgeva dell'irregolarità soltanto il 5 giugno 2004 dopo avere ricevuto l'estratto conto della banca e avere preso contatto con un responsabile della stessa.
B. Il 22 febbraio 2005 il Tribunal de police du district de Boudry dichiarava A._ autore colpevole di furto e lo condannava alla pena di 60 giorni di detenzione sospesi per un periodo di prova di due anni. Tale sentenza veniva confermata dalla Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, la quale in data 17 agosto 2005 respingeva il ricorso interposto dal condannato contro il giudizio di primo grado.
C. A._ impugna mediante ricorso al Tribunale federale la sentenza dell'ultima istanza cantonale domandandone sostanzialmente l'annullamento. Postula altresì di essere posto a beneficio dell'assistenza giudiziaria.
D. La Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal ed il Ministère public du canton de Neuchâtel rinunciano a formulare osservazioni in merito al ricorso, di cui l'accusatore pubblico domanda comunque la reiezione.

Diritto:
1. 1.1 In base all'art. 37 cpv. 3 della legge federale sull'organizzazione giudiziaria (OG), la sentenza è redatta in una lingua ufficiale, di regola in quella della decisione impugnata. Nel caso concreto vi è tuttavia motivo per scostarsi eccezionalmente da questa regola tenuto conto del fatto che il ricorrente, il quale non è patrocinato, ha redatto il suo ricorso in italiano e comprende manifestamente meglio questa lingua rispetto al francese.
1.2 Lo scritto dell'insorgente contiene in maniera indifferenziata e a tratti difficilmente comprensibile sia censure di diritto federale che critiche riguardanti la procedura cantonale e l'accertamento dei fatti. Egli non allega tuttavia nessuna censura di rango costituzionale (v. art. 90 cpv. 1 OG), per cui non si giustifica l'apertura di un incarto separato di diritto pubblico ma esclusivamente di uno per cassazione.
1.3 In base all'art. 272 cpv. 1 della legge federale sulla procedura penale (PP) il ricorso per cassazione deve essere depositato presso il Tribunale federale entro 30 giorni dalla notifica del testo integrale della decisione, per cui lo scritto inviato il 10 novembre 2005 a supplemento del ricorso non può venire preso in considerazione perché tardivo.
1.4 Il ricorso per cassazione può essere fondato unicamente sulla violazione del diritto federale (art. 269 cpv. 1 PP). Nella limitata misura in cui viene contestata l'applicazione dell'<ref-law> (furto) il gravame risulta ammissibile.
2. 2.1 Chiunque, per procacciare a sé o ad altri un indebito profitto, sottrae al fine di appropriarsene una cosa mobile altrui, è punito con la reclusione sino a cinque anni o con la detenzione (<ref-law>). La fattispecie del furto si differenzia da quella di base dell'appropriazione semplice (<ref-law>) soltanto per quanto concerne le modalità di appropriazione della cosa. Perché ci sia furto occorre che il reo abbia sottratto ad altri la cosa: in questo senso egli deve avere leso il possesso altrui e costituito un nuovo possesso sulla cosa (<ref-ruling> consid. 1 c/aa). La nozione di possesso ai sensi di questa disposizione va distinta dall'omonimo termine del diritto civile (<ref-law>; v. già DTF 71 IV 87 consid. 3). In ambito penale la giurisprudenza definisce il possesso (Gewahrsam, possession) come potere fattuale sulla cosa secondo le regole della vita sociale. Esso presuppone l'effettiva disponibilità della cosa unitamente alla volontà di possederla (<ref-ruling> consid. 2a pag. 11 e rinvii).
2.2 Nel caso concreto la cliente della banca aveva intenzione di prelevare fr. 1'000.-- presso uno sportello automatico. Convinta che l'apparecchio fosse difettoso, essa non ha tuttavia portato a termine l'operazione e si è subito allontanata, non immaginando che l'apparecchio avrebbe invece erogato le banconote in valuta europea di cui il ricorrente si è poi appropriato. Si è accorta dell'errore soltanto molto tempo dopo. Al momento in cui il ricorrente si è appropriato delle banconote essa non era dunque in grado di esercitare secondo le regole della vita sociale un potere di fatto su di esse né tanto meno poteva esistere una volontà in tal senso da parte sua, visto che era completamente all'oscuro di quanto in realtà è accaduto e soprattutto non sapeva nemmeno dell'esistenza delle banconote erogate a carico del suo conto.
Contrariamente a quanto considerato dall'autorità cantonale, la fattispecie non è assimilabile a quella affrontata in DTF 71 IV 183, dato che in quel caso il danneggiato, che aveva dimenticato l'orologio su di un tavolo della cabina fumatori di un battello, sapeva dove esso si trovava ed è in seguito tornato a cercarlo nel punto esatto dove lo aveva lasciato. L'orologio non era dunque uscito dalla sua sfera di possesso (analogo discorso per il portamonete dimenticato nella cabina telefonica, di cui in <ref-ruling>), mentre le banconote qui in narrativa non sono state dimenticate nell'apparecchio, atteso che ciò presupporrebbe che l'avente diritto sapesse della loro esistenza (sul concetto di cosa dimenticata v. Marcel Alexander Niggli/Christof Riedo, Commentario basilese, n. 32 ad <ref-law>).
Il caso va per altro distinto anche da quello del pacchetto postale depositato sulle scale di un immobile, con precisa indicazione del destinatario, affrontato dal Tribunale federale nella sentenza 6S.583/2000 del 19 gennaio 2001, visto che non appena un invio viene depositato nella cassetta postale oppure in prossimità della porta di casa è socialmente riconosciuto come esso entri sia soggettivamente che oggettivamente nella sfera di possesso del destinatario, il quale, pur non sapendo nel dettaglio quando e cosa riceverà per posta, ha l'effettiva disponibilità di ciò che entra in tale area unitamente alla volontà di esercitarne il controllo (v. consid. 3b della citata sentenza, nonché Günter Stratenwerth/Guido Jenny, Schweizerisches Strafrecht. Besonderer Teil I: Straftaten gegen Individualinteressen, 6a ed., Berna 2003, § 13 n. 79). Nel caso concreto, invece, la cliente della banca non sapeva che il bancomat avrebbe erogato le banconote in questione, né tanto meno disponeva di effettivo potere su di esse, visto che aveva immediatamente abbandonato la zona dell'apparecchio, per altro situato in un'area liberamente aperta al pubblico su cui di persona non esercitava controllo di sorta. Ammettere in un caso del genere esistenza di possesso in capo alla cliente, anche in termini normativo-sociali e non meramente fattuali, è escluso. Di conseguenza, nei confronti della cliente della banca, non vi è stata sottrazione della cosa ai sensi dell'<ref-law>.
2.3 Resta da chiarire se il ricorrente non abbia eventualmente violato il possesso di altri soggetti, segnatamente della banca, quale proprietaria dell'apparecchio bancomat da cui sono fuoriuscite le banconote. questo proposito il Tribunale federale ha tuttavia già avuto occasione di rilevare come, nel caso di distributori automatici, non appena la merce è stata meccanicamente espulsa dall'apparecchio, essa cessi di trovarsi in possesso del titolare del distributore (<ref-ruling> consid. 1b; <ref-ruling> consid. 3b pag. 198). Nel caso di un bancomat valgono gli stessi principi, a condizione che l'apparecchio sia stato utilizzato conformemente alle clausole contrattuali, visto che è proprio dal rispetto di tali clausole che dipende l'accordo della banca a cedere il proprio possesso sulle banconote (v. <ref-ruling> consid. 2b). In concreto la cliente della banca ha correttamente inserito la sua carta e immesso il codice PIN, per cui l'apparecchio è stato utilizzato conformemente alle condizioni contrattuali (v. in part. le cifre 2 e 3 delle Disposizioni speciali per l'uso della carta cliente UBS con codice PIN). La banca ha così cessato di esercitare il proprio possesso sulle banconote in questione non appena esse sono state erogate dall'apparecchio, per cui al momento in cui il ricorrente se ne è appropriato la banca non vantava più né soggettivamente né oggettivamente possesso su di esse. Anche nei confronti della banca non vi è stata dunque sottrazione, per cui la fattispecie dell'<ref-law> non è applicabile nemmeno sotto quest'ultimo profilo.
2.4 Considerando perfezionato il reato di furto l'autorità cantonale ha pertanto violato il diritto federale.
3. 3.1 Da quanto sopra discende che, nella misura della sua ammissibilità, il ricorso va accolto e la causa va rinviata all'autorità cantonale per un nuovo giudizio in cui essa dovrà in particolare esaminare se sono comunque date, sia dal profilo procedurale che sostanziale, le condizioni per applicare la fattispecie dell'appropriazione semplice (<ref-law>).
3.2 Non si prelevano spese (art. 278 cpv. 1 e 2 PP). Al ricorrente, che non è patrocinato e non allega alcuna pretesa in ambito di eventuali costi sostenuti per il suo ricorso, non si assegnano indennità per ripetibili (art. 278 cpv. 3 PP). La domanda di assistenza giudiziaria diviene priva di oggetto.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto, la decisione impugnata è annullata e la causa viene rinviata all'autorità cantonale per nuovo giudizio.
2. Non si prelevano spese e non si assegnano indennità per ripetibili.
3. La domanda di assistenza giudiziaria è priva di oggetto.
4. Comunicazione al ricorrente, al Ministère public e alla Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, nonché, per conoscenza, alla parte civile.