Art. 4 aBV (Heimtaxen), hat sich ergeben:
A.- M._, geboren 1910, ist seit dem 15. September 1994 im städtischen Altersheim X._ wohnhaft. Hiefür wurden ihr nebst dem die Grundleistungen enthaltenden, nach den jeweiligen Steuerfaktoren festgelegten Pensionspreis zeitweise für vermehrte Betreuungs- und Pflegeleistungen weitere Kosten in Form von Zuschlägen in Rechnung gestellt (vgl. auch die Pensionsverträge vom 8. September 1994 bzw. vom 13. Februar 1996, die Beschlüsse des Stadtrates Zürich vom 13. Juli 1994 [Nr. 1778], 6. November 1996 [Nr. 2124] und 4. Juni 1997 [Nr. 1028] betreffend die Pensionspreis- und Pflegetarifanpassung sowie das Merkblatt für besondere Zuschläge und Rückvergütungen zum Pensionspreis). Ab Februar 1996 leistete M._ nur noch monatliche Teilzahlungen, so dass per Ende Mai 1997 Fr. 14'571. 30 zugunsten der Stadt Zürich offen waren. Für diesen Betrag zuzüglich Zinsen wurde am 26. Juni 1997 die Betreibung eingeleitet.
B.- Am 17. Dezember 1997 bestätigte der Stadtrat von Zürich die Verfügung des Vorstehers des Gesundheits- und Umweltdepartements vom 21. Oktober 1997, mit welcher M._ zur Bezahlung ausstehender Pensions- sowie Betreuungs- und Pflegekosten nebst Zinsen von insgesamt Fr. 14'899. 10 zuzüglich Zins zu 5 % ab 25. Juni 1997 verpflichtet worden war; gleichzeitig wurde der Rechtsvorschlag in der laufenden Betreibung aufgehoben. Auf Rekurs hin und nach Berücksichtigung der nachträglich geleisteten Pensionskosten von Fr. 7'596. -- verpflichtete der Bezirksrat Zürich M._, die noch ausstehenden Betreuungs- und Pflegekostenzuschläge von Fr. 6'975. 30 zuzüglich Zins von 5 % ab 8. Juli 1997, aufgelaufene Zinsen von Fr. 327. 80 sowie Verfahrenskosten von Fr. 270. -- und Fr. 190. -- zu bezahlen, und hob den Rechtsvorschlag im Umfang von Fr. 7'763. 10 auf. Die Einzelrichterin des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich schützte diesen Entscheid am 23. November 1998.
C.- Hiergegen hat M._ am 21. Januar 1999 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde eingereicht mit den Anträgen, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen.
Der Stadtrat von Zürich beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Bezirksrat Zürich liess sich nicht vernehmen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
D.- Der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung wies am 4. März 1999 das Gesuch von M._ um aufschiebende Wirkung der Beschwerde ab.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der staatsrechtlichen Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 411, mit Hinweisen).
a) Gegenstand des angefochtenen Entscheides bilden vorab die der Beschwerdeführerin aufgrund ihres Aufenthalts im städtischen Altersheim X._ in Anwendung der stadträtlichen Beschlüsse vom 13. Juli 1994 (Nr. 1778), vom 6. November 1996 (Nr. 2124) bzw. vom 4. Juni 1997 (Nr. 1028) sowie des Merkblatts betreffend Betreuungs- und Pflegekostenzuschläge in Rechnung gestellten Zusatzpflegekosten von insgesamt Fr. 6'975. 30 zuzüglich Zinsen. Diese Rechtsgrundlage galt im Übrigen, entgegen den (sinngemässen) Vorbringen der Beschwerdeführerin, auch für die vorliegend nicht mehr streitigen ordentlichen Pensionskosten. Verfahrensgegenstand bildet folglich eine im öffentlichen kantonalen sowie kommunalen Recht gründende Forderung, so dass der von der Beschwerdeführerin angeführte, im Pensionsvertrag vom 8. September 1994 bzw. vom 13. Februar 1996 enthaltene (subsidiäre) Verweis auf das Zivilrecht hier nicht zum Tragen kommt. Zivilrechtliche Bundesrechtsmittel sind demnach nicht gegeben (vgl. insbesondere Art. 68 OG; <ref-ruling> E. 1a S. 46). Offen steht vorliegend allein die staatsrechtliche Beschwerde (vgl. Art. 84 Abs. 2 OG).
b) Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen, rein kassatorischer Natur. Soweit die Beschwerdeführerin mehr verlangt als die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, insbesondere die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, ist demnach nicht darauf einzutreten (vgl. auch <ref-ruling> E. 1b S. 107, mit Hinweisen). Nicht anhandzunehmen ist die Beschwerde auch hinsichtlich der (sinngemäss) geltend gemachten, unmittelbaren Verletzung bundesgesetzlicher Normen (vgl. Art. 84 Abs. 1 OG).
c) Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss die Beschwerdeschrift die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene, und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1c S. 76; <ref-ruling> E. 2a S. 3). Wirft der Beschwerdeführer der kantonalen Behörde vor, sie habe das kantonale Recht willkürlich angewandt, hat er die entsprechenden Rechtsnormen zu bezeichnen und anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem und offensichtlichem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Auf bloss appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. b; <ref-ruling> E. 2a S. 3 f.).
Diesen strengen Begründungsanforderungen genügt die vorliegende Eingabe nur knapp: Wohl nennt die Beschwerdeführerin mit den zu den Altersheimtarifen ergangenen Beschlüssen des Stadtrates von Zürich sowie dem hierzu herausgegebenen Merkblatt die in erster Linie massgebliche Rechtsgrundlage zur Festsetzung der Altersheimpensionskosten sowie der Betreuungs- und Pflegezuschläge. Sie setzt sich in der Folge aber nur am Rande mit dieser (kommunalen) Regelung auseinander, namentlich werden die Kriterien der vom Heimverband Schweiz entwickelten Pflegeerfassungssysteme (BAK-System [Bewohner-Arbeit-Kosten] bzw. BESA-System [BewohnerInnen- Einstufungs- und Abrechnungssystem]) als Grundlage der Zuschlagsbemessung kaum verdeutlicht. Entsprechend ist denn auch lediglich ansatzweise ersichtlich, inwiefern die Einstufung eines Teils der von der Beschwerdeführerin bezogenen Leistungen als so genannte Zusatzbetreuung in Verletzung des Willkürverbotes nach sachfremden, unhaltbaren Kriterien vorgenommen worden sein soll.
2.- Die Beschwerdeführerin rügt im Wesentlichen, es verstosse gegen das Willkürverbot (Art. 4 aBV), dass ihr nebst durch den ordentlichen Pensionskostenpreis abgedeckten Grundleistungen zuschlagsweise zusätzliche Betreuungs- und Pflegeleistungen in Rechnung gestellt oder gar doppelt verrechnet worden seien. Als Zusatzleistung könne nämlich nur die über die normalen Grundleistungen hinaus erbrachte Betreuung und Pflege anfallen, wobei ein entsprechender Bedarf mittels des Pflegeerfassungssystems BAK bzw. BESA zu ermitteln und ärztlich zu verordnen wäre. Ein solcher erhöhter Pflegebedarf habe bei ihr entgegen den Feststellungen des Pflegepersonals des Altersheims nicht bestanden. Anerkanntermassen seien ihr denn auch Leistungen aus der Grundversorgung als Zusatzleistungen angerechnet worden. Verletzt sei aber auch der Grundsatz der Rechtsgleichheit (Art. 4 aBV), zumal das fragliche Altersheim, anders als andere städtische Einrichtungen, seinen Bewohnern nicht vollumfänglich das selbständige Erledigen alltäglicher Verrichtungen ermögliche.
3.- a) Nach kantonal-zürcherischer Regelung ordnen die Gemeinden ihre Angelegenheiten im Rahmen des übergeordneten Rechts selbständig (§ 14 des Gesetzes vom 26. Juni 1926 über das Gemeindewesen [Gemeindegesetz; GG]). Dies gilt auch hinsichtlich der Festsetzung der Anschluss- und Benützungsgebühren für die gemeindeeigenen Dienstleistungsbetriebe (vgl. § 63 Abs. 1 GG in Verbindung mit § 9 der Verordnung vom 8. Dezember 1966 über die Gebühren der Gemeindebehörden). Nutzniesser besonderer (Dienst)Leistungen haben demnach in der Regel die zumutbaren Kosten zu tragen, wobei insbesondere auf die sozialen und wirtschaftlichen Verhältnisse Rücksicht zu nehmen ist (§ 139 GG in Verbindung mit § 8 des Gesetzes vom 2. September 1979 über den Finanzhaushalt des Kantons [Finanzhaushaltgesetz; FHG]).
b) Der Stadtrat von Zürich regelt die Festsetzung der Benützungsgebühren hinsichtlich der gemeindeeigenen Altersheime in Form von Stadtratsbeschlüssen, welche unter anderem durch so genannte Merkblätter ausgeführt werden. In der vorliegend massgeblichen Periode wurden den Benützern dieser Einrichtungen die erbrachte Grundversorgung sowie allfällige Betreuungs- und Pflegezusatzleistungen in Anwendung der Beschlüsse des Stadtrates von Zürich vom 13. Juli 1994 (Nr. 1778), vom 6. November 1996 (Nr. 2124) und vom 4. Juni 1997 (Nr. 1028) sowie des Merkblattes für besondere Zuschläge und Rückvergütungen zum Pensionspreis belastet. Dies entsprechend den ausdrücklichen Verweisen im jeweils für Altersheime des Sozialamtes verwendeten Standard- Pensionsvertrag des Amtes für Altersheime (vgl. die Rubriken Pensionspreisfestlegung, Zuschläge und Sonderregelungen). Der Pensionspreis, welcher gemäss dem Standardvertrag die volle Verpflegung (drei Hauptmahlzeiten), Unterkunft (inkl. Strom, Warmwasser und Heizung), periodische Zimmerreinigung nach Plan, Benützung der allgemeinen Duschen und Bäder, üblicher Bett- und Leibwäscheservice sowie leichte Voll- und einfache Diabetes-Kost nach Arztzeugnis umfasst, bewegte sich dabei ausgehend von den Steuerfaktoren bei Einzelpersonen zwischen monatlich Fr. 2'400. -- und Fr. 4'200. -- bzw. ab 1. Januar 1997 pro Tag zwischen Fr. 81.-- und Fr. 141. --. Die Zuschläge für eine darüber hinausgehende Versorgung, wie etwa Zimmerservice, vermehrte Betreuungs- und Pflegeleistungen, Sanitätsmaterial, Medikamente, vermehrter Wäschebedarf, besondere Verrichtungen sowie aufwendigere Diäten gemäss Arztzeugnis (vgl. Standardvertrag), wurden abgestuft nach gruppenweise qualifiziertem Aufwand mittels einer Pauschale berechnet (Gruppe 1: Fr. 400. --; Gruppe 2: Fr. 800. --; Gruppe 3: Fr. 1'600. --). Die Einteilung in die Pflegestufengruppen nach Hilfeleistungen leichten bis schweren Grades erfolgte dabei in Anwendung der vom Heimverband Schweiz (HVS) entwickelten und von der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich anerkannten Einstufungsmodelle BAK (Bewohner - Arbeit - Kosten; bis Ende Juni 1997) bzw. BESA (BewohnerInnen- Einstufungs- und Abrechnungssystem; ab 1. Juli 1997). Beide Systeme basieren nach den Feststellungen des Bezirksrates Zürich auf detaillierten, von ausgebildetem Pflegepersonal regelmässig vorgenommenen Erhebungen des Gesundheitszustandes und der psychisch-sozialen sowie der funktional bedingten Bedürfnisse der Pensionäre. Während beim BAK-System die ersten vier Punkte bereits im Pensionspreis inbegriffene Leistungen im Bereich Ernährung und Verpflegung umfassten, weshalb erst ab einer Punktezahl von sieben ein Zuschlag erhoben wurde, konnte diese Überschneidung mit dem neuen, ausschliesslich Zusatzleistungen erfassenden System BESA eliminiert werden (vgl. obgenanntes Merkblatt; vgl. auch die Vernehmlassung des Stadtrates von Zürich vom 26. Mai 1999).
4.- a) Fest steht, dass der Beschwerdeführerin ab Januar 1996 bis Ende 1997 nebst dem ordentlichen Pensionspreis zusätzlich Zuschläge für vermehrte Betreuung und Pflege belastet wurden. Die Beschwerdeführerin ist indessen nach wie vor der Meinung, dass dies unhaltbar sei, da ein solch erhöhter Pflegebedarf zu keinem Zeitpunkt bestanden habe; ohnehin seien in den vorliegenden Aufwandbeurteilungen Leistungen, welche jedenfalls zur Grundversorgung gehörten, mitberücksichtigt worden.
b) Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken krass zuwiderläuft. Dabei genügt nicht, dass sich nur die Begründung des angefochtenen Entscheides als unhaltbar erweist; die Aufhebung eines Entscheids wegen Willkür rechtfertigt sich vielmehr erst dann, wenn er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 4a S. 5).
c) aa) Die Beschwerdeführerin musste infolge einer Beckenringfraktur in der Zeit vom 18. Dezember 1995 bis 16. Januar 1996 im Spital Y._ hospitalisiert werden, wobei sie bei ihrem Eintritt als "müde und etwas verwahrlost" sowie bei ihrem Austritt bzw. der Rückverlegung ins Altersheim X._ als "mit einem Böckli selbständig mobil" eingestuft wurde (vgl. den Austrittsbericht des Spitals Pflegi vom 22. Januar 1996). Erfahrungsgemäss ist damit die Beweglichkeit sowie die Selbständigkeit der Betroffenen jeweils nur in sehr eingeschränktem Masse wiederhergestellt und muss mittels Therapie über das Gehen mit Stöcken bis hin zur völligen Genesung erst erarbeitet werden. Wenn die Einzelrichterin des Verwaltungsgerichts unter diesen Umständen sowie gestützt auf die vom zuständigen Pflegepersonal in regelmässigen Abständen nach dem BAK- bzw. nach BESA-System vorgenommenen Beurteilungen für die massgebliche Periode einen erhöhten, sich nach und nach reduzierenden Pflegebedarf der Beschwerdeführerin als erstellt erachtete und davon ausging, dass diese auch tatsächlich entsprechend betreut worden war, ist nicht einzusehen, inwiefern dies unhaltbar sein soll. Umso mehr, als die Pflegeaufwandbeurteilungen im Wesentlichen auch durch die beiden "Ärztlichen Verordnungen für Krankenpflege" vom 21. Mai 1996 des behandelnden Arztes bestätigt werden. Dafür, dass diese Verordnungen diesbezüglich nicht wahrheitsgemäss ausgestellt worden sein sollen, mithin allenfalls ein strafrechtlich relevantes Verhalten des Arztes vorliegt, gibt es, entgegen den pauschalen Unterstellungen der Beschwerdeführerin, keine Hinweise. Von einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung durch die Einzelrichterin des Verwaltungsgerichts kann folglich nicht die Rede sein (vgl. auch Walter Kälin, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Auflage, Bern 1994, S. 77 f.). Im Übrigen bildet die allfällige Überwälzungsmöglichkeit der Zusatzpflegekosten auf den Krankenversicherer nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
bb) Bei der Ermittlung des zusätzlich zu verrechnenden vermehrten Betreuungs- und Pflegeaufwandes bezog das bis Ende Juni 1997 angewendete BAK-System, anders als das neue, verbesserte Pflegeerfassungssystem BESA, auch zur Grundbetreuung gehörende Pflegeleistungen in die Beurteilung mit ein, trug dem jedoch zur Vermeidung einer doppelten Inrechnungstellung erbrachter Betreuungsleistungen durch einen Abzug von sechs Punkten Rechnung. Dass hier auch eine andere
Art der Zusatzpflegeerfassung denkbar gewesen wäre, zeigt schon, dass ab Juli 1997 ein neues Aufwandermittlungssystem eingeführt wurde. Daraus lässt sich indessen nicht ableiten, dass die Bedarfsgruppeneinteilung der Beschwerdeführerin unter dem alten Beurteilungssystem nach sachfremden Kriterien vorgenommen worden wäre. Vielmehr anerkennt die Beschwerdeführerin selber, dass mit dem nach dem BAK-Modus zugestandenen Punkteabzug auch in ihrem Fall gewisse, an sich separat kostenpflichtige Zusatzleistungen gerade nicht in Rechnung gestellt worden sind. Es ist daher verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, wenn mit dem angefochtenen Entscheid an den der Beschwerdeführerin im Einzelnen gestützt auf die massgeblichen Altersheimtarife belasteten Zuschlägen für die in Anspruch genommenen vermehrten Betreuungs- und Pflegeleistungen festgehalten wird. Unbehelflich ist die Beschwerde aber auch, soweit in Bezug auf diese Forderung, welche, wie oben dargelegt, im öffentlichen kantonalen sowie kommunalen Recht gründet (vgl. E. 3a und b), "eine willkürliche Nichtanwendung von Bundesprivatrecht" gerügt wird.
d) Die Beschwerdeführerin vermag aber auch insoweit mit ihrer Beschwerde nicht durchzudringen, als sie auf die in andern Altersheimen der Stadt Zürich angeblich besser ausgebaute Infrastruktur, insbesondere das Bestehen von Kochnischen in den Räumlichkeiten der Bewohner, verweist und rügt, die unterschiedslose Anwendung des auf dem BAK-Pflegeerfassungssystem beruhenden Altersheimtarifs auf alle Bewohner städtischer Altersheime ungeachtet des jeweiligen Standards verletzte den Grundsatz der Rechtsgleichheit (Art. 4 aBV). Den Mahlzeitenservice habe sie nur mangels einer Kochgelegenheit beansprucht, weshalb ihr letztlich in diesem Punkt bedarfsunabhängig BAK-Punkte angerechnet worden seien. Nach Angaben des Stadtrates von Zürich bestanden in der Zeit, in der allfällige, über die Grundversorgung hinausgehende Betreuungs- und Pflegeleistungen noch mit dem BAK- System erfasst wurden, in sämtlichen der fraglichen Altersheime Etagenteeküchen, welche theoretisch auch der Essenszubereitung offen gestanden hätten. Von einer rechtsungleichen Behandlung der Bewohner der unterschiedlichen städtischen Altersheime infolge der auf einem Einheitstarif basierenden Grund- bzw. Zusatzkostenberechnung kann daher gerade unter diesem Aspekt nicht die Rede sein. Dies gilt im Übrigen auch mit Blick auf die allerdings erst ab Juli 1997 und damit bereits nach Einführung des BESA-Pflegeerfassungssystems mit dem Kleinaltersheim Hardau bestehende Möglichkeit des Wohnens in so genannten Etagen-Wohngemeinschaften, zumal dem dadurch gebotenen, erhöhten Altersheimstandard durch ein besonderes Tarifsystem Rechnung getragen wird (vgl. Vernehmlassung des Stadtrates von Zürich vom 26. Mai 1999).
5.- Das Vorgehen der kantonalen Behörden ist demnach verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, weshalb sich die staatsrechtliche Beschwerde als unbegründet erweist und abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind der Beschwerdeführerin die bundesgerichtlichen Kosten aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 153 und Art. 153a OG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500. -- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem
Stadtrat von Zürich, dem Bezirksrat Zürich sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 26. Juli 2000
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: