Sachverhalt:
A. S._, geboren 1949 und wohnhaft im Kanton St. Gallen, ist bei der KPT/CPT Krankenkasse (nachfolgend: KPT) gesetzlich für Krankenpflege versichert. Der behandelnde Arzt Dr. med. H._, Facharzt FMH für Allgemeine Medizin mit Fähigkeitsausweis für psychosomatische und psychosoziale Medizin APPM, wies ihn mit Zeugnis vom 21. Dezember 2005 mit einem spätesten Eintrittstermin am 9. Januar 2006 in die im Kanton Appenzell Ausserrhoden gelegene Fachklinik für kardiale und psychosomatische Rehabilitation X._ ein. Nach dessen Angaben litt er an einer mittelschweren depressiven Episode bei grosser psychosozialer Belastung und Gefahr psychischer Dekompensation bei einer klassischen Burnout-Situation. Mit Schreiben vom 5. Januar 2006 lehnte die KPT das von der Klinik am 4. Januar 2006 gestellte Gesuch um Kostengutsprache für einen vierwöchigen Rehabilitationsaufenthalt ab 9. Januar 2006 im Wesentlichen mit der Begründung ab, bei S._ liege keine akute Rehabilitationsbedürftigkeit vor und das ambulante Behandlungspotenzial sei nicht ausreichend ausgeschöpft worden. Am 9. Januar 2006 hielt die Kasse nach Rücksprache mit ihrem Vertrauensarzt Dr. med. B._, Facharzt FMH für Innere Medizin, an der Ablehnung der Kostenübernahme fest. S._ trat am 12. Januar 2006 dennoch zur stationären Rehabilitationsbehandlung in die Klinik ein, wo er sich bis am 28. Januar 2006 aufhielt. Mit Verfügung vom 21. Februar 2006 und Einspracheentscheid vom 23. Mai 2006 stellte die KPT fest, dass die Voraussetzungen für die Erteilung einer Kostengutsprache für einen stationären Rehabilitationsaufenthalt nicht erfüllt gewesen seien, und entschied, die entsprechenden "Hotelleriekosten" könnten aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung nicht zurückerstattet werden. Hingegen erklärte sie sich bereit, die Kosten einer ambulanten Behandlung zu übernehmen.
B. S._ erhob Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und beantragte, die KPT sei zu verpflichten, die Kosten "für den stationären und ambulanten Klinikaufenthalt" ab dem 12. Januar 2006 vollumfänglich zu übernehmen. Das kantonale Gericht hiess die Beschwerde gut und hob den Einspracheentscheid vom 23. Mai 2006 auf; es verpflichtete die KPT, für den stationären Aufenthalt in der Klinik X._ vom 12. bis 28. Januar 2006 die gesetzlichen Leistungen zu erbringen (Entscheid vom 15. März 2007).
C. Die KPT führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides.
S._ beantragt Abweisung der Beschwerde. Vorinstanz und Bundesamt für Gesundheit verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Übernahme der Kosten des stationären Aufenthaltes in der Klinik X._ vom 12. bis 28. Januar 2006. Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen betreffend den Umfang der Leistungen in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung im Grundsatz (Art. 24 in Verbindung mit Art. 32-34 KVG) und insbesondere bei ärztlich durchgeführten oder angeordneten Massnahmen der medizinischen Rehabilitation (<ref-law>) und bei stationärem Spitalaufenthalt (<ref-law>) sowie die Rechtsprechung zu den Voraussetzungen der Leistungspflicht für die stationäre Durchführung von Massnahmen der medizinischen Rehabilitation zutreffend wiedergegeben (<ref-ruling> E. 2c und d S. 326, 120 V 200 E. 6a S. 206; RKUV 1994 S. 180 und 187).
3. Wie in <ref-ruling> E. 2c - in Abgrenzung zu den nicht kassenpflichtigen Erholungskuren - ausgeführt, wird der Begriff der medizinischen Rehabilitation im Sinne von <ref-law> im Gesetz nicht näher umschrieben. Nach Gebhard Eugster (Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Bd. Soziale Sicherheit, 2. Aufl., Rz. 403 ff. S. 530) besteht das besondere Merkmal der medizinischen Rehabilitation darin, dass die Behandlung der Krankheit an sich abgeschlossen ist und Therapieformen zur Nachbehandlung von Krankheiten zur Anwendung gelangen. Die medizinische Rehabilitation schliesst an die eigentliche Krankheitsbehandlung an und bezweckt, die durch die Krankheit oder die Behandlung selbst bewirkte Beeinträchtigung der körperlichen oder geistigen Leistungsfähigkeit mit Hilfe medizinischer Massnahmen ganz oder teilweise zu beheben, oder sie dient insbesondere bei Chronischkranken der Erhaltung und allenfalls Verbesserung des verbliebenen Funktionsvermögens. Sie kann ambulant, teilstationär, in einer Kuranstalt, in einem Pflegeheim oder in einer spezialisierten Rehabilitationsklinik erfolgen, wobei im letzteren Fall eine Spitalbedürftigkeit vorausgesetzt ist, welche nach der notwendigen Behandlungsintensität, dem Behinderungsgrad, der Pflegebedürftigkeit und der Schwere des Hauptleidens oder zusätzlich komplizierender Krankheiten zu beurteilen ist. Als wirtschaftlich gilt mit Bezug auf den Durchführungsort grundsätzlich die jeweils kostengünstigere Alternative (Eugster, a.a.O., Rz. 405 S. 531).
4. Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich festgestellt, dass die Klinik X._ kein Akutspital ist und beim Beschwerdeführer kein Notfall gegeben war, dass psychosomatische Symptome bzw. ein psychophysischer Erschöpfungszustand vorlagen, wobei für die Burnout-Situation kein familiärer, sondern ein beruflicher Hintergrund bestand, dass weder vom behandelnden Arzt noch von den Ärzten der Klinik X._ eingehend dargelegt worden ist, warum das ambulante Behandlungspotenzial als ausgeschöpft zu betrachten war. Daraus ist nach dem eben Dargelegten (E. 3) zu folgern, dass kein Anspruch auf krankenversicherungsrechtliche Vergütung der stationären medizinischen Rehabilitation bestand.
5. Das kantonale Gericht begründet seinen entgegengesetzten Entscheid im Wesentlichen damit, der Vertrauensarzt habe die Notwendigkeit einer Akuthospitalisation im Schreiben vom 18. Mai 2006 nicht grundsätzlich in Frage gestellt. Diese Aussage ist insofern aktenwidrig, als Dr. med. B._ im Hinblick auf den zu treffenden Einspracheentscheid gegenüber der Beschwerdeführerin erklärt hat, bei einer vom behandelnden Arzt angegebenen schweren depressiven Episode sei von einem psychiatrischen und nicht von einem psychosomatischen Leiden auszugehen und eine Akuthospitalisation zweckmässig und notwendig; offenbar sei aber beim Versicherten die Indikation dazu nicht gegeben gewesen, wenn man an der "Option X._" festgehalten habe. Man könne daraus schliessen, dass es sich nicht um ein schweres Krankheitsbild handle und die Begleitumstände (psychosoziale Belastung am Arbeitsplatz) von überwiegender Bedeutung waren. Diese Indikation erfordere in erster Linie eine Entfernung vom Arbeitsplatz, wie sie von Seiten der Versicherung empfohlen und mit einer Kostengutsprache für einen Erholungsaufenthalt gutgeheissen worden sei. Eine stationäre Unterbringung sei nicht gerechtfertigt, hingegen die Kostenübernahme aller Behandlungen während dieser Zeit.
Der Vertrauensarzt stellte damit, entgegen der Interpretation der Vorinstanz, die Notwendigkeit einer Akuthospitalisation grundsätzlich in Frage und ging gerade davon aus, dass hier keine solche notwendig sei. Auch trifft es entgegen der Darstellung der Vorinstanz nicht zu, dass die Schlussfolgerung des Vertrauensarztes, wonach es sich nicht um ein schweres Krankheitsbild handle, nicht begründet war. Denn dieser hat klar dargelegt, dass eine Einweisung in ein psychiatrisches Akutspital hätte erfolgen müssen, wenn es sich um ein schweres Krankheitsbild gehandelt hätte, und die Klinik X._ dies eben gerade nicht ist. Der Streit dreht sich denn auch nicht um die Kosten für eine Akutbehandlung, sondern um diejenigen einer stationären Rehabilitation. Der Umstand, dass der behandelnde Arzt nicht in ein Akutspital, sondern in eine Rehabilitationsklinik einwies, belegt, dass keine Akutspitalbedürftigkeit gegeben war. Die Tatsache, dass gemäss Zeugnis der Ärzte der Klinik X._ vom 12. Januar 2006 beim Beschwerdeführer rehabilitative Massnahmen dringend indiziert waren, bezeugt zwar die Notwendigkeit solcher Massnahmen, ist aber kein Beleg dafür, dass diese Massnahmen nur stationär erfolgen konnten.
6. Nach dem Gesagten hat die Beschwerdeführerin die Kostengutsprache für den stationären Aufenthalt zu Recht mit der Begründung verweigert, es liege keine akute Rehabilitationsbedürftigkeit vor und das ambulante Behandlungspotenzial sei nicht ausreichend ausgeschöpft worden; sie durfte fordern, dass vor einer Rehabilitation eine Krankheitsbehandlung vorliegen muss, und dass nachgewiesen ist, dass eine ambulante Rehabilitation nicht ausreicht. Dass sie die Kosten der ambulanten rehabilitativen Massnahmen übernommen hat, ist nicht bestritten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 15. März 2007 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 11. Januar 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz