Faits:
A.
S._ a travaillé au service de la société X._ SA du 1er octobre 2004 au 28 février 2007, date de son licenciement. Durant la période du 27 février 2006 au 1er août 2007, date à laquelle elle a retrouvé une capacité de travail de 50 %, elle a été en incapacité totale de travailler et a bénéficié d'indemnités journalières couvrant la perte de gain en cas de maladie du 2 mars 2006 au 26 février 2008.
Inscrite depuis le 20 juillet 2007 en tant que demandeuse d'emploi, l'assurée a bénéficié d'indemnités de l'assurance-chômage durant un délai-cadre d'indemnisation s'étendant du 1er août 2007 au 31 juillet 2009 pour un taux d'activité de 50 % et un gain assuré de 3'398 fr. Le 5 août 2009, elle a déposé une nouvelle demande d'indemnités de chômage et un second délai-cadre lui a été ouvert du 3 août 2009 au 2 août 2011. Dans ses demandes d'indemnité de chômage, elle a indiqué avoir déposé une demande de rente de l'assurance-invalidité.
Par décision du 16 octobre 2009, adressée en copie à la Caisse cantonale vaudoise de chômage le 20 octobre 2009, l'Office de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a octroyé rétroactivement à S._ une rente entière d'invalidité du 1er février au 30 octobre 2007 puis, dès le 1er novembre suivant, une demi-rente fondée sur un taux d'invalidité de 57,80 %.
Interpellée par la Caisse de compensation AVS Exfour, la caisse de chômage avait indiqué, le 1er septembre 2009, qu'elle ne requérait pas la compensation de ses prestations avec le paiement rétroactif de la rente de l'assurance-invalidité.
A la suite d'un contrôle effectué par le Secrétariat d'Etat à l'économie (Seco) le 6 octobre 2010 et portant sur la période du mois de février 2008 au mois de juin 2010, la caisse de chômage a rendu une décision le 29 novembre 2010, par laquelle elle a réclamé à l'assurée la restitution d'un montant de 7'465 fr. 15 versé à tort. En outre, elle a indiqué que dans l'éventualité où des prestations d'assurance-chômage seraient encore dues après l'entrée en force de la décision, le montant à restituer serait compensé avec lesdites prestations.
Bien que la décision ne fût pas encore entrée en force, la caisse de chômage a compensé sa créance en restitution des prestations avec les indemnités de chômage encore dues à l'assurée.
Celle-ci a formé opposition à cette décision, au motif que la demande en restitution était prescrite et qu'au demeurant, le nouveau calcul de la caisse de chômage constituait une reconsidération dont les conditions n'étaient pas réunies. Subsidiairement, elle demandait la remise de son obligation de restituer en invoquant sa bonne foi et sa situation financière précaire.
Par décision du 7 juin 2011, la caisse de chômage a rejeté l'opposition dont elle était saisie.
B.
Par jugement du 20 septembre 2012, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a admis le recours formé par l'assurée. Elle a annulé la décision sur opposition attaquée et condamné la caisse de chômage à payer à l'assurée un montant de 7'604 fr. 90, compensé à tort.
C.
Le Seco forme un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à son annulation, subsidiairement à ce que la caisse de chômage ne soit pas tenue de rembourser la somme compensée, le tout sous suite de frais et dépens. Préalablement, il a demandé l'effet suspensif au recours.
L'assurée conclut au rejet du recours, ainsi que de la requête d'effet suspensif, le tout sous suite de frais et dépens.
La caisse de chômage se réfère aux conclusions du recours, tandis que la juridiction cantonale a renoncé à se déterminer.
D.
Par ordonnance du 19 mars 2013, le Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1.
D'après l'<ref-law>, ont notamment qualité pour interjeter un recours de droit public au Tribunal fédéral la Chancellerie fédérale, les départements fédéraux ou, pour autant que le droit fédéral le prévoie, les unités qui leur sont subordonnées, si l'acte attaqué est susceptible de violer la législation fédérale dans leur domaine d'attribution. En l'occurrence, le Seco peut se prévaloir de la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral contre les jugements rendus par les tribunaux cantonaux des assurances, que lui confère l'<ref-law> dans le domaine de l'assurance-chômage.
Par ailleurs, le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Le litige porte sur le point de savoir si la caisse de chômage était fondée à compenser sa créance en restitution de prestations allouées avec des indemnités de chômage encore dues à l'assurée. Pour trancher ce point, il convient d'abord d'examiner si la caisse était en droit, par sa décision sur opposition du 7 juin 2011, de réclamer la restitution du montant de 7'465 fr. 15, singulièrement si elle a respecté le délai de péremption prévu à l'art. 25 al. 2, première phrase, LPGA en liaison avec l'<ref-law>.
2.2. Le droit de demander la restitution s'éteint un an après le moment où l'institution d'assurance a eu connaissance du fait, mais au plus tard cinq ans après le versement de la prestation (art. 25 al. 2, première phrase, LPGA). Il s'agit de délais (relatif et absolu) de péremption, qui doivent être examinés d'office (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 582; <ref-ruling> consid. 3a p. 433).
Selon la jurisprudence, le délai de péremption relatif d'une année commence à courir dès le moment où l'administration aurait dû connaître les faits fondant l'obligation de restituer, en faisant preuve de l'attention que l'on pouvait raisonnablement exiger d'elle (<ref-ruling> consid. 5a p. 274 s.). L'administration doit disposer de tous les éléments qui sont décisifs dans le cas concret et dont la connaissance fonde - quant à son principe et à son étendue - la créance en restitution à l'encontre de la personne tenue à restitution (<ref-ruling> consid. 3 p. 17). Si l'administration dispose d'indices laissant supposer l'existence d'une créance en restitution, mais que les éléments disponibles ne suffisent pas encore à en établir le bien-fondé, elle doit procéder, dans un délai raisonnable, aux investigations nécessaires. A défaut, le début du délai de péremption doit être fixé au moment où elle aurait été en mesure de rendre une décision de restitution si elle avait fait preuve de l'attention que l'on pouvait raisonnablement exiger d'elle. Dans tous les cas, le délai de péremption commence à courir immédiatement s'il s'avère que les prestations en question étaient clairement indues (arrêts 9C_632/2012 du 10 janvier 2013 consid. 4.2; K 70/06 du 30 juillet 2007 consid. 5.1 et les références, in SVR 2008 KV n° 4 p. 11).
Cependant, lorsque la restitution est imputable à une faute de l'administration, on ne saurait considérer comme point de départ du délai d'une année le moment où l'erreur a été commise par l'administration, mais le moment auquel celle-ci aurait dû, dans un deuxième temps (par exemple à l'occasion d'un contrôle) se rendre compte de son erreur en faisant preuve de l'attention requise. En effet, si l'on plaçait le moment de la connaissance du dommage à la date du versement indu, cela rendrait souvent illusoire la possibilité pour l'administration de réclamer le remboursement de prestations allouées à tort en cas de faute de sa part (<ref-ruling> consid. 1 p. 382 s.; arrêt 8C_719/2008 du 1 er avril 2009 consid. 4.1).
3.
3.1. La juridiction cantonale a considéré que le délai de péremption d'une année pour réclamer la restitution des prestations avait commencé à courir le 20 octobre 2009, date à laquelle la caisse de chômage avait reçu copie de la décision d'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité du 16 octobre précédent. Aussi, a-t-elle retenu que le droit de la caisse de réclamer la restitution était périmé lorsqu'elle a rendu sa décision le 29 novembre 2010. Après avoir rappelé la jurisprudence selon laquelle il existe, pour l'assurance-chômage, une obligation d'avancer des prestations au chômeur handicapé qui n'est pas manifestement inapte au placement et qui s'est annoncé à l'assurance-invalidité, les premiers juges ont relevé que les prestations d'assurance-chômage versées à ce titre jusqu'à la décision de l'autre assureur concerné ne constitue pas un versement indu. Cependant, étant donné qu'en l'occurrence la caisse de chômage disposait, à réception de la décision de l'assurance-invalidité, de tous les éléments décisifs pour fonder sa créance, la juridiction précédente est d'avis que le versement n'est pas indu en raison d'une faute de l'administration, comme une erreur de calcul, mais bien parce qu'après coup, l'office AI a alloué rétroactivement des prestations pour la même période. Aussi, l'administration ne peut-elle invoquer une erreur de sa part pour retenir que le délai de péremption d'une année n'a commencé à courir qu'à partir du 6 octobre 2010, date du contrôle effectué par le Seco.
De son côté, le Seco fait valoir que ce délai a commencé à courir seulement à partir de la communication à la caisse de chômage de son rapport de contrôle. Il soutient que le fait ayant donné lieu à la demande de restitution n'est pas l'allocation d'une rente d'invalidité à titre rétroactif, mais que le caractère indu découle d'autres éléments ressortant de son rapport de contrôle du 6 octobre 2010, à savoir: la reconnaissance d'un taux d'invalidité de 57,80 % qui impliquait la réduction du gain assuré de 7,80 % jusqu'à la fin du premier délai-cadre d'indemnisation, le 31 juillet 2009; la prise en compte du gain intermédiaire pour tout le mois de mars 2009, quand bien même l'assurée n'avait pas droit à l'indemnité de chômage durant la première moitié de ce mois en raison de l'épuisement de ses indemnités d'assurance-maladie perte de gain; le calcul erroné du gain assuré (fondé sur le gain intermédiaire réalisé au cours du délai-cadre précédent, ainsi que sur les indemnités compensatoires allouées) lors de l'ouverture du second délai-cadre, le 3 août 2009. Cela étant, en ce qui concerne la période du mois de mars 2008 au mois de juillet 2009, le recourant est d'avis que la restitution est liée à la révision du gain assuré découlant du taux d'invalidité et non de la rente, de sorte que ce n'est qu'au moment où elle a pris connaissance du rapport de contrôle du Seco que la caisse de chômage s'est rendu compte de son erreur. En ce qui concerne le calcul du gain assuré pour la période du mois d'août 2009 au mois de juin 2010, l'erreur provient du fait que, d'une part, la caisse n'a pas écarté les mois où le revenu était moins favorable à l'assurée et que, d'autre part, le calcul de l'indemnité ne tenait pas compte des corrections du gain assuré du délai-cadre précédent. Aussi, cette erreur n'est-elle apparue qu'au moment du contrôle du Seco.
L'intimée, quant à elle, reprend l'argumentation de la juridiction précédente et fait valoir qu'en l'espèce, le versement des indemnités de chômage n'est pas indu en raison d'une faute de l'administration, comme une erreur de calcul, mais parce qu'après coup, la décision d'un autre assureur social, à savoir l'assurance-invalidité, a impliqué rétroactivement l'octroi de prestations pour la même période. Elle infère de cela que le délai de péremption d'une année a commencé à courir dès la communication de la décision de l'office AI à la caisse de chômage, de sorte que le droit de celle-ci de réclamer la restitution - et d'exercer la compensation avec des prestations dues - est périmé.
3.2. L'<ref-law> dispose que le handicapé physique ou mental est réputé apte à être placé lorsque, compte tenu de son infirmité et dans l'hypothèse d'une situation équilibrée sur le marché de l'emploi, un travail convenable pourrait lui être procuré sur ce marché; le Conseil fédéral règle la coordination avec l'assurance-invalidité. Selon l'art. 15 al. 3, première phrase, OACI, lorsque, dans l'hypothèse d'une situation équilibrée sur le marché du travail, un handicapé n'est pas manifestement inapte au placement et qu'il s'est annoncé à l'assurance-invalidité ou à une autre assurance selon l'al. 2 de cette disposition réglementaire, il est réputé apte au placement jusqu'à la décision de l'autre assurance. La présomption légale instituée par cette réglementation entraîne, pour l'assurance-chômage, une obligation d'avancer les prestations à l'assuré, cela par rapport aux autres assurances sociales. Il s'agit d'un cas de prise en charge provisoire (ou préalable) des prestations. Quand l'assuré au chômage s'annonce à l'assurance-invalidité, cette prise en charge provisoire vise à éviter qu'il se trouve privé de prestations d'assurance pendant la période de carence d'une année selon l'<ref-law> et plus généralement pendant le temps nécessaire à l'assurance-invalidité pour statuer sur la demande dont elle est saisie (<ref-ruling> consid. 2a p. 486 et les références; arrêt C 23/05 du 21 décembre 2005 consid. 2.1).
Lorsque, par la suite, l'autre assureur social requis octroie des prestations, la correction intervient selon les <ref-law> (compensation) et 95 al. 1bis LACI (restitution des prestations). Ainsi, l'assuré qui reçoit des indemnités de chômage pour une certaine période et qui, ultérieurement, est mis au bénéfice d'une rente de l'assurance-invalidité pour la même période est tenu de restituer les indemnités perçues; lorsque l'assuré, malgré le versement d'une rente, disposait d'une capacité résiduelle de gain susceptible d'être mise à profit, le montant soumis à restitution est proportionnel au degré de l'incapacité de gain (<ref-ruling> consid. 2b p. 486; DTA 1998 n° 15 p. 82 consid. 5, 1988 n° 5 p. 38 consid. 4c et d).
La restitution s'opère, en tout ou partie, par compensation avec des arriérés de rentes de l'assurance-invalidité. A cet égard, l'<ref-law> dispose que les prestations dues en vertu de la LACI peuvent être compensées notamment par des rentes dues au titre de l'assurance-invalidité. Si une caisse a annoncé la compensation à une autre assurance sociale, cette dernière ne peut plus se libérer en versant la prestation à l'assuré; cette règle vaut également dans le cas inverse (<ref-law>).
3.3. Dans le cas particulier, l'office AI a communiqué à l'assurée, au début du mois de juin 2009, un projet de règlement du cas par lequel il l'informait de son intention de lui allouer, dès le 1er novembre 2007, une demi-rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 57,80 %. La Caisse de compensation AVS Exfour a notifié à la caisse de chômage et à l'assureur-maladie collectif en cas de perte de salaire le questionnaire intitulé "Compensation avec des paiements rétroactifs de l'AVS/AI". À réception de ce questionnaire, le 1er septembre 2009, la caisse de chômage a informé la caisse de compensation qu'elle n'avait pas de compensation à faire valoir. De son côté, l'assureur-maladie collectif en cas de perte de salaire a requis la compensation de ses prestations. Cela démontre qu'un assureur pouvait - et partant, devait - connaître les faits fondant l'obligation de restituer. Il ressort pourtant des pièces versées au dossier qu'au moment où elle a signifié sa renonciation, la caisse de chômage ne connaissait pas encore le taux d'invalidité retenu par l'office AI ni, par conséquent, sa prétention en restitution. Il était, certes, imprudent de sa part de renoncer d'emblée à la compensation mais, à ce moment-là, elle n'avait pas toutes les données nécessaires pour faire valoir cette prétention, de sorte que le délai de péremption d'une année n'a pas commencé à courir dès ce moment-là. Ce n'est qu'au moment où, par décision du 16 octobre 2009, l'office AI a alloué une demi-rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 57,80 % et communiqué une copie de sa décision à la caisse de chômage que celle-ci a eu en mains les éléments indispensables pour connaître ce taux d'invalidité. Dès cet instant, elle aurait été en mesure de connaître les faits ouvrant droit à sa prétention en restitution si elle avait fait preuve de l'attention que l'on pouvait raisonnablement exiger d'elle. Aussi, conformément à la jurisprudence exposée au deuxième paragraphe du consid. 2.2 ci-dessus, ce droit était-il périmé le 29 novembre 2010. Dans le cas particulier, la caisse de chômage n'a pas alloué une prestation d'assurance d'emblée indue mais celle-ci ne l'est devenue que plus tard, au moment de l'octroi à titre rétroactif de la demi-rente d'invalidité fondée sur un taux de 57,80 %. C'est pourquoi le cas d'espèce n'est pas comparable aux éventualités visées au troisième paragraphe du consid. 2.2 ci-dessus.
3.4.
Comme on l'a vu (consid. 3.1), le Seco distingue trois motifs de restitution. En ce qui concerne la reconnaissance d'un taux d'invalidité de 57,80 % impliquant la réduction du gain assuré de 7,80 % jusqu'à la fin du premier délai-cadre d'indemnisation, la prétention en restitution n'a pas été invoquée dans le délai d'une année et apparaît ainsi périmée. Quant aux deux autres motifs invoqués par le recourant, il s'agit d'erreurs dans le calcul de l'indemnité de chômage pour lesquelles le délai de péremption n'a commencé à courir qu'au moment de la communication du rapport de révision du Seco, conformément à la jurisprudence exposée au troisième paragraphe du consid. 2.2 ci-dessus, de sorte que la créance en restitution y relative a été invoquée en temps utile.
Vu ce qui précède, la prétention en restitution reposant sur la reconnaissance d'un taux d'invalidité de 57,80 % impliquant la réduction du gain assuré de 7,80 % jusqu'à la fin du premier délai-cadre d'indemnisation apparaît périmée et le recours se révèle ainsi partiellement bien fondé. Il incombera à la caisse de chômage, à laquelle la cause doit être renvoyée, de calculer le montant des prestations devant être restituées au titre des erreurs dans le calcul de l'indemnité de chômage relevées dans le rapport de révision du Seco du 6 octobre 2010.
4.
Étant donné l'issue du litige, les frais de justice seront répartis entre les parties (<ref-law>). En outre, le recourant, qui n'obtient que partiellement gain de cause, versera des dépens réduits à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF). En revanche, il ne saurait prétendre des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis en ce sens que le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 20 septembre 2012 et la décision sur opposition de la Caisse cantonale vaudoise de chômage du 7 juin 2011 sont annulés. La cause est renvoyée à ladite caisse pour nouvelle décision au sens des motifs. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 300 fr. à la charge du recourant et pour 200 fr. à la charge de l'intimée.
3.
Le recourant versera à l'intimée la somme de 1'500 fr. à titre de dépens réduits pour l'instance fédérale.
4.
Le Tribunal cantonal vaudois statuera à nouveau sur les dépens de la procédure cantonale au regard de l'issue du procès de dernière instance.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Caisse cantonale vaudoise de chômage et à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lucerne, le 18 novembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
Le Greffier: Beauverd