Sachverhalt:
A.
A.a. Der serbische Staatsangehörige X._ (geb. 1974) leidet seit seiner Geburt an einer Makrocephalie und einem Hydrocephalus internus (Wasserkopf). Er reiste 1991 im Rahmen des Familiennachzuges in die Schweiz ein, wohnte hier bei seinen Eltern und erhielt eine Niederlassungsbewilligung. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau sprach ihm ab März 1995 eine Hilflosenentschädigung mittleren Grades und ab Januar 1996 eine ausserordentliche Invalidenrente zu.
A.b. X._ heiratete am 19. August 1999 die serbische Staatsangehörige A._ (geb. 1972) und lebte mit ihr und dem gemeinsamen Sohn B._ (geb. 27. November 1999) bei seinen Eltern. Ab November 2000 weilte die Ehefrau für rund zweieinhalb Monate in der Psychiatrischen Klinik, lebte danach getrennt vom Ehemann und kehrte im April 2001 nach Serbien zurück, nachdem ihre Aufenthaltsbewilligung nicht verlängert worden war. Die Ehe wurde im Frühling 2003 in Serbien geschieden.
A.c. Am 25. Mai 2005 heirateten X._ und A._ erneut in Serbien und am 7. August 2005 kam dort die gemeinsame Tochter C._ zur Welt. Am 3. September 2006 folgten X._ sein Sohn B._ sowie am 30. April 2007 sein Vater nach Serbien.
A.d. In der Folge stellte die IV-Stelle die Hilflosenentschädigung per 31. Oktober 2008 und die Invalidenrente per 31. Januar 2009 wegen fehlenden Lebensmittelpunktes in der Schweiz ein. Bemühungen bei der IV-Stelle um einen weiteren Leistungsbezug schlugen fehl. Ab Frühling 2008 lebte X._ wieder bei seiner Mutter in L._, wo er seit Oktober 2009 von der Sozialhilfe unterstützt wird. Die Vormundschaftsbehörde L._ verbeiständete X._ am 27. September 2011 auf eigenes Begehren hin.
B.
Im September 2011 stellte X._ für die Ehefrau und seine beiden Kinder ein Familiennachzugsgesuch, das in der Folge sistiert wurde. Nach der Gewährung des rechtlichen Gehörs stellte das Migrationsamt des Kantons Thurgau am 22. Mai 2012 fest, die Niederlassungsbewilligung von X._ sei zufolge Auslandaufenthalts von mehr als sechs Monaten erloschen. Das Migrationsamt stellte weiter fest, es lägen keine wichtigen persönlichen Gründe vor, die dazu führen müssten, seinen Aufenthalt neu zu regeln und verweigerte daher X._ den weiteren Aufenthalt im Kanton Thurgau und wies diesen aus der Schweiz weg. Gleichzeitig setzte es ihm eine Frist zum Verlassen der Schweiz.
Die dagegen erhobenen Rechtsmittel wiesen das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau mit Rekursentscheid vom 28. August 2012 bzw. das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Urteil vom 27. Februar 2013 ab.
C.
Mit Eingabe vom 15. April 2013 erhebt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, es sei das angefochtene Urteil aufzuheben und festzustellen, dass seine Niederlassungsbewilligung nicht erloschen bzw. ihm zu belassen sei. Eventualiter sei dem Beschwerdeführer eine Aufenthaltsbewilligung (Härtefallbewilligung) zu erteilen. Subeventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Weisung, den aktuellen Gesundheitszustand des Beschwerdeführers durch ein medizinisches und psychiatrisches Gutachten abklären zu lassen. Schliesslich beantragt er die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung.
Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Kultur und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 24. Juli 2013 hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest.
D.
Mit Verfügung vom 23. April 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Gegen Entscheide über den Widerruf oder die Feststellung des Erlöschens einer Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerde jedoch zulässig, weil grundsätzlich ein Anspruch auf das Fortbestehen dieser Bewilligung gegeben ist (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4). Auf die Beschwerde ist demnach grundsätzlich einzutreten (vgl. jedoch E. 1.5 hiernach).
1.2. Da das kantonale Migrationsamt die Überprüfung des Erlöschens der Niederlassungsbewilligung erst im Jahr 2011, also nach dem Inkrafttreten des AuG (SR 142.20), eingeleitet und dem Beschwerdeführer das rechtliche Gehör am 2. März 2012 gewährt hat, ist die Beschwerde nach neuem Recht zu beurteilen (Urteil 2C_478/2010 vom 17. November 2010 E.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 2C_471/2012 vom 18. Januar 2013 E. 1.2). Im Übrigen würde auch die Anwendung des alten Rechts (ANAG) im vorliegenden Fall zu keinem anderen materiellen Ergebnis führen (vgl. E. 2.1 hiernach).
1.3. Das Bundesgericht ist an die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gebunden, soweit sie sich nicht als offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich erweisen oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Zudem ist vom Beschwerdeführer aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
1.4. Die Beschwerdeschrift hat gemäss <ref-law> die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insoweit, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.5. Nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde insoweit, als der Beschwerdeführer die Erteilung einer Härtefallbewilligung beantragt, da auf eine solche unbestrittenermassen kein Rechtsanspruch besteht. Auf die Frage, ob auf die Eingabe diesbezüglich als subsidiäre Verfassungsbeschwerde einzutreten ist, soll - falls überhaupt noch nötig - erst nach Behandlung der Frage des Erlöschens der Niederlassungsbewilligung eingegangen werden (vgl. E. 3 hiernach).
2.
2.1. Gemäss Art. 61 Abs. 2 AuG erlischt die Niederlassungsbewilligung unter anderem dann, wenn sich der Ausländer, ohne sich abzumelden, während sechs Monaten tatsächlich im Ausland aufhält. Auf vor Ablauf dieser Frist gestelltes Gesuch hin kann die Niederlassungsbewilligung jedoch während vier Jahren aufrechterhalten werden (vgl. Art. 79 Abs. 2 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit, VZAE; SR 142.201).
Art. 61 Abs. 2 AuG entspricht in Bezug auf die Niederlassungsbewilligung dem früheren Art. 9 Abs. 3 lit. c ANAG, weshalb die dazu ergangene Rechtsprechung massgebend bleibt (vgl. Urteil 2C_853/2010 vom 22. März 2011 E. 5.1). Danach erlischt die Niederlassungsbewilligung, wenn sich ein Ausländer während sechs aufeinanderfolgenden Monaten ununterbrochen im Ausland aufhält, wobei es weder auf die Motive der Landesabwesenheit noch auf die Absichten des Betroffenen ankommt (<ref-ruling> E. 2c und d S. 372 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 2 f.; vgl. auch Urteile 2C_831/2010 vom 27. Mai 2011 E. 5.1 und 2C_43/2011 vom 4. Februar 2011 E. 2). Die sechsmonatige Frist wird zudem durch vorübergehende Besuchs-, Tourismus- oder Geschäftsaufenthalte in der Schweiz nicht unterbrochen (<ref-law>). Somit erlischt die Niederlassungsbewilligung wegen Aufenthaltsunterbruchs auch dann, wenn die ausländische Person während eines grösseren Zeitraums landesabwesend ist, jeweils vor Ablauf von sechs Monaten für beschränkte Zeit in die Schweiz zurückkehrt, dies aber bloss zu Besuchszwecken tut. Bei solchen Verhältnissen werden daher nicht etwa die (verschiedenen) Ausreisezeitpunkte, sondern vielmehr die Frage nach dem Lebensmittelpunkt zum ausschlaggebenden Kriterium (Urteil 2C_471/2012 vom 18. Januar 2013 E. 4.1 mit Hinweisen).
2.2. Zu beurteilen ist hier zunächst die Frage, ob die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers durch seine Auslandaufenthalte in Serbien im Sinne von Art. 61 Abs. 2 AuG erloschen ist, wie dies die Vorinstanz angenommen hat. Dabei ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer kein Gesuch um Verlängerung der sechsmonatigen Frist im Sinne von <ref-law> gestellt hat.
2.2.1. Die Vorinstanz hat in tatsächlicher Hinsicht festgestellt, dass folgende Auslandabwesenheiten vorliegen: 1. Januar bis 17. April 2005, 5. Mai bis 30. Juli 2005, 27. August bis 16. Oktober 2005, 22. Oktober bis 11. Dezember 2005, 1. Januar bis 11. April 2006, 1. September bis 5. November 2006, 11. November 2006 bis 21. Januar 2007, 31. März 2007 bis 3. Juni 2007, 16. Juni bis 12. August 2007, 20. August 2007 bis 21. Oktober 2007 und 26. Oktober 2007 bis 27. Januar 2008 (vgl. angefochtener Entscheid E. 3). Diese Angaben werden vom Beschwerdeführer als zutreffend bezeichnet (vgl. Beschwerdeschrift S. 9).
2.2.2. Damit steht zwar fest, dass sich der Beschwerdeführer in der fraglichen Zeit nie länger als sechs Monate ununterbrochen in Serbien aufgehalten hat. Andererseits ist der Vorinstanz zuzustimmen, wenn sie ausführt, dass der Beschwerdeführer in den Jahren 2005 bis 2007 mehrheitlich in Serbien gelebt hat. Bezogen auf die fast zehnmonatige Periode zwischen dem 31. März 2007 und dem 21. Januar 2008 hat der Beschwerdeführer lediglich drei Kurzbesuche von insgesamt ca. vier Wochen in der Schweiz vorzuweisen; diese Kurzbesuche vermögen aber praxisgemäss die sechsmonatige Frist nicht zu unterbrechen. Über die gesamte dreijährige Periode von 2005 bis 2007 betrachtet, hat sich der Beschwerdeführer offensichtlich nicht mehrheitlich, d.h. innerhalb eines Jahres mindestens sechs Monate, in der Schweiz aufgehalten, weshalb hier die widerlegbare Vermutung besteht, dass der Lebensmittelpunkt des Beschwerdeführers in der Schweiz aufgegeben worden ist (vgl. Silvia Hunziker, in: Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG], 2010, Art. 61 N. 21).
2.2.3. Die Vorinstanz hat sodann aufgrund diverser Indizien zu Recht angenommen, dass der Beschwerdeführer seinen Lebensmittelpunkt seit Anfang Januar 2005 nach Serbien verlegt hat: So hat er dort im Mai 2005 seine im Jahr 2003 von ihm geschiedene Ehefrau wieder geheiratet und ist seine Tochter am 7. August 2005 zur Welt gekommen. Zudem sind ihm am 3. September 2006 sein Sohn und am 30. April 2007 sein Vater nach Serbien nachgefolgt. Seine Ehefrau, seine beiden Kinder und sein Vater wohnen denn auch noch heute in Serbien. Unter diesem Umständen kann dem Beschwerdeführer nicht gefolgt werden, wenn er ausführt, angesichts seines seit dem 17. Altersjahr andauernden Aufenthalts in der Schweiz und seines Gesundheitszustandes habe er seinen Lebensmittelpunkt in der Schweiz beibehalten.
Der Beschwerdeführer scheint zudem zu verkennen, dass er sämtliche Änderungen betreffend seinen Wohnsitz den zuständigen Behörden hätte melden müssen (Art. 12 Abs. 2 und Art. 15 AuG); ihm oblag gemäss Art. 90 AuG im Verfahren vor den Vorinstanzen eine Mitwirkungspflicht (Urteil 2C_471/2012 vom 18. Januar 2013 E. 4.2.1).
2.2.4. Dem Erlöschen der Niederlassungsbewilligung steht schliesslich die Rückkehr des Beschwerdeführers in die Schweiz nicht entgegen. Allein der Umstand, dass sich der Beschwerdeführer ab Frühling 2008 wieder bei seiner Mutter in der Schweiz aufgehalten hat, lässt eine vor dieser Rückkehr erloschene Bewilligung nicht wieder automatisch aufleben (Urteil 2C_609/2011 vom 3. April 2012 E. 3.8). Schliesslich wird - mangels eines entsprechenden Anspruchs - auch nicht beantragt, dem Beschwerdeführer sei eine neue (ordentliche) Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung zu erteilen.
2.2.5. Die Annahme der Vorinstanz, der Beschwerdeführer sei in der Zeitspanne von Anfang 2005 bis Anfang 2008 nur vorübergehend und zu Besuchszwecken in die Schweiz zurückgekehrt bzw. habe seinen Lebensmittelpunkt ins Ausland verlegt, kann somit nicht als einseitig oder gar willkürlich gelten. Das Bundesgericht ist demnach an die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz gebunden (vgl. E. 1.3 hiervor). Auch die Beweise wurden auf korrekte Weise gewürdigt, sodass insgesamt von einer mehrjährigen Landesabwesenheit unter Verlagerung des Lebensmittelpunkts ins Ausland auszugehen ist. Die Vorinstanz hat zu Recht angenommen, die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers sei infolge längeren Auslandaufenthalts erloschen (Art. 61 Abs. 2 AuG i.V.m. <ref-law>).
2.3. Soweit der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit dem Erlöschen der Niederlassungsbewilligung eine Verletzung von <ref-law> (Verhältnismässigkeitsprinzip), <ref-law> (Diskriminierungsverbot) und Art. 8 EMRK (Schutz des Privat- und Familienlebens) geltend macht, kann - sofern die Anforderungen an die Begründungspflicht (vgl. E. 1.4 hiervor) überhaupt erfüllt sind - im Wesentlichen auf die zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden.
In seiner Rechtsprechung hat das Bundesgericht das Diskriminierungsverbot gemäss <ref-law> in seiner direkten und indirekten Form umschrieben und die Diskriminierung als qualifizierte Ungleichbehandlung von Personen in vergleichbaren Situationen bezeichnet (<ref-ruling> E. 4.1 S. 312). Wie die Vorinstanz zu Recht ausgeführt hat, ist die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers hier aber nicht aufgrund seiner Krankheit bzw. Behinderung erloschen, sondern aufgrund seiner Landesabwesenheiten und der Verlagerung seines Lebensmittelpunktes (vgl. angefochtener Entscheid E. 5). Ebenso wenig zu überzeugen vermag das Vorbringen, der Beschwerdeführer sei sich mangels Zurechnungsfähigkeit über die Konsequenzen der Auslandaufenthalte nicht im Klaren gewesen; die seit 2011 bestehende Beistandschaft hatte keinen Einfluss auf die Handlungsfähigkeit des Beschwerdeführers und dessen Handeln weist durchaus eine gewisse Planmässigkeit auf (vgl. angefochtener Entscheid E. 4). Die Vorinstanz hat sodann verbindlich festgestellt, dass sich der Beschwerdeführer noch im Sommer 2009 auf seine Autonomie und Selbständigkeit berufen und seine Familie sogar eine Beistandschaft abgelehnt hatte. Gemäss Dr. med. Q._ sei er seit Jahren in seiner Urteilsfähigkeit intermittierend reduziert. Daraus folgt entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers nicht, dass er im massgeblichen Zeitraum andauernd urteilsunfähig gewesen wäre.
Sind die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt, erlischt die Niederlassungsbewilligung von Amtes wegen (Art. 61 AuG; Urteil 2C_831/2010 vom 27. Mai 2011 E. 5.4). Ein Ermessensspielraum, innerhalb dessen eine Verhältnismässigkeitsprüfung vorzunehmen wäre (Art. 96 Abs. 1 AuG), besteht nicht. Eine solche wäre erforderlich bei der Beurteilung eines Gesuchs gemäss Art. 61 Abs. 2 Satz 2 AuG (Urteil 2C_461/2012 vom 7. November 2012 E. 2.4), doch liegt ein solches nicht vor.
Schliesslich ist auch der Schluss der Vorinstanz, es liege kein Verstoss gegen Art. 8 EMRK vor, nicht zu beanstanden: Die Ehefrau, die beiden Kinder sowie der Vater des Beschwerdeführers leben in Serbien. Nur die Mutter und zwei Schwestern leben in der Schweiz. Unter diesen Umständen hat die Vorinstanz zu Recht gefolgert, eine Rückkehr des Beschwerdeführers in seine Heimat sei zumutbar (vgl. angefochtener Entscheid E. 6.2). Nicht überzeugend sind die Ausführungen des Beschwerdeführers, er sei für seine Lebensführung auf die Unterstützung und Pflege durch seine Mutter und seine Schwestern angewiesen, konnte er doch freiwillig auch ohne diese die Jahre 2005 bis 2007 mehrheitlich in Serbien verbringen; in seiner Heimat lebt sodann seine Familie, insbesondere seine Ehefrau, die ihn ebenfalls unterstützen und pflegen kann.
2.4. Unter den gegebenen Umständen besteht damit auch kein Grund, dem Subeventualantrag um Rückweisung bzw. Abklärung des Gesundheitszustandes des Beschwerdeführers mittels Gutachten stattzugeben.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer erhebt sodann subsidiäre Verfassungsbeschwerde und macht geltend, die Vorinstanz habe im Rahmen der Prüfung der Erteilung einer Härtefallbewilligung im Sinne von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG durch die Weigerung, die beantragten medizinischen Abklärungen einzuleiten bzw. das Verfahren zu sistieren, den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt. Wäre der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers wie beantragt beurteilt worden, hätte die Erteilung einer Härtefallbewilligung durch die Vorinstanz resultiert.
3.2. Bei Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG geht es um eine Ermessensbewilligung, welche vom Kanton im Rahmen von Art. 96 AuG erteilt werden kann. Nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 (fehlender Rechtsanspruch) und <ref-law> (Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen) ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in diesem Zusammenhang ausgeschlossen, weshalb das Bundesgericht die Anwendung von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG nur im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) und der dort zulässigen Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>) prüfen kann (vgl. auch E. 1.5 hiervor). Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist der Beschwerdeführer berechtigt vorzubringen, ihm zustehende Verfahrensgarantien, namentlich der Anspruch auf rechtliches Gehör, seien verletzt worden. Nicht geltend gemacht werden können hingegen Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen, wie die Behauptung, die Begründung sei unvollständig oder zu wenig differenziert bzw. die Vorinstanz habe sich nicht oder in willkürlicher Weise mit den Argumenten der Partei auseinandergesetzt und Beweisanträge in offensichtlich unhaltbarer antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt (sog. "Star-Praxis"; vgl. 137 II 305 E. 2 S. 308 mit Hinweisen).
Die Vorbringen des Beschwerdeführers beziehen sich durchwegs auf die Überprüfung des negativen materiellen Entscheids, indem sinngemäss gerügt wird, der rechtserhebliche Sachverhalt hätte umfassender abgeklärt werden müssen; das Vorbringen erweist sich auch mit Blick auf die gerügte antizipierte Beweiswürdigung durch die Vorinstanz als unzulässig. Zudem hat die Vorinstanz erwogen, dass auch die vom Beschwerdeführer geltend gemachten gesundheitlichen Gründe vorliegend eine Härtefallbewilligung nicht rechtfertigen, so dass der Gesundheitszustand nicht rechtserheblich ist. Auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde kann demnach nicht eingetreten werden (vgl. Urteile 2C_900/2012 vom 25. Januar 2013 E. 4.3; 2C_3/2012 vom 15. August 2012 E. 6.3).
4.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit unbegründet und abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde kann nicht eingetreten werden.
Da sich die Beschwerde nicht als aussichtslos erweist und der Beschwerdeführer bedürftig ist, kann die beantragte unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.1. Es werden keine Kosten erhoben.
3.2. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwältin Barbara Wyler als Rechtsbeiständin beigegeben. Dieser wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt, dem Departement für Justiz und Sicherheit und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger