Sachverhalt:
Mit Urteil I 59/02 vom 13. März 2003 hiess das Eidgenössische Versicherungsgericht die Verwaltungsgerichtsbeschwerde der M._ gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 6. Dezember 2001 betreffend berufliche Eingliederungsmassnahmen in dem Sinne teilweise gut, dass es die Streitsache an die Verwaltung zurückwies, damit diese nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen über den Anspruch auf Arbeitsvermittlung (Art. 18 Abs. 1 Satz 1 IVG in der bis Ende 2003 gültig gewesenen Fassung) neu befinde; hinsichtlich des umstrittenen Anspruchs auf Umschulung wies das Gericht dagegen die Beschwerde mangels eines leistungsspezifischen Invaliditätsgrades von mindestens 20 % ab.
Mit Eingabe vom 15. Januar 2008 lässt M._ beantragen, das Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 13. März 2003 sei revisionsweise insoweit aufzuheben, als darin der Anspruch auf Umschulung verneint werde, und in Bejahung des Anspruchs auf berufliche Eingliederungsmassnahmen, insbesondere Umschulung, sei die IV-Stelle Bern zu verpflichten, die entsprechenden gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Des Weitern wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht.
Die IV-Stelle beantragt Nichteintreten auf das Revisionsgesuch. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Gesuchstellerin ruft den Revisionsgrund gemäss Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG an (zur Anwendbarkeit des BGG siehe in <ref-ruling> nicht publizierte E. 1 des Urteils 6F_1/2007 vom 9. Mai 2007). Revisionsgesuche gestützt auf Art. 123 BGG sind innert 90 Tagen nach Entdeckung des Revisionsgrundes, frühestens jedoch nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des Entscheids (Art. 124 Abs. 1 lit. d BGG), sowie unter Wahrung der Formerfordernisse gemäss Art. 42 BGG einzureichen. Die Eingabe der Gesuchstellerin vom 15. Januar 2008 erfüllt diese Prozessvoraussetzungen, sodass darauf einzutreten ist.
2. Gemäss Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind. Gemäss Urteil 4F_3/2007 vom 27. Juni 2007 behält die zum analogen Art. 137 lit. b OG (aufgehoben per Ende 2006) ergangene Rechtsprechung unter der Herrschaft des BGG weiterhin ihre Gültigkeit. Danach sind "neue" Tatsachen solche, die sich bis zum Zeitpunkt, da im Hauptverfahren noch tatsächliche Vorbringen prozessual zulässig waren, verwirklicht haben, jedoch dem Revisionsgesuchsteller trotz hinreichender Sorgfalt nicht bekannt waren. Die neuen Tatsachen müssen ferner erheblich sein, d.h. sie müssen geeignet sein, die tatbeständliche Grundlage des angefochtenen Urteils zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung zu einer andern Entscheidung zu führen. Neue Beweismittel haben entweder dem Beweis der die Revision begründenden neuen erheblichen Tatsachen oder dem Beweis von Tatsachen zu dienen, die zwar im früheren Verfahren bekannt gewesen, aber zum Nachteil des Gesuchstellers unbewiesen geblieben sind. Erheblich ist ein Beweismittel, wenn anzunehmen ist, es hätte zu einem anderen Urteil geführt, falls das Gericht im Hauptverfahren davon Kenntnis gehabt hätte. Ausschlaggebend ist, dass das Beweismittel nicht bloss der Sachverhaltswürdigung, sondern der Sachverhaltsermittlung dient (<ref-ruling> E. 2 S. 141, 291 E. 2a S. 293, 108 V 170 E. 1 S. 171; vgl. auch <ref-ruling> S. 205; s. auch E. 4.1 des zur Publikation in der Amtlichen Sammlung bestimmten Urteils 4A_42/2008 vom 14. März 2008).
3. 3.1 Die Gesuchstellerin erblickt den geltend gemachten Revisionsgrund gemäss Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG im Umstand, dass die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) sie mit Verfügung vom 17. Oktober 2007 "rückwirkend auf den 30. November 2000 als nicht geeignet für alle Labortätigkeiten mit Exposition zu Essigsäure und anderen atemwegsreizenden Stoffen" erklärt hat (sog. Nichteignungsverfügung gestützt auf Art. 78 der Verordnung über die Verhütung von Unfällen und Berufskrankheiten vom 19. Dezember 1983 [VUV; SR 832.30]). Hätte die entsprechende SUVA-Verfügung, deren Ausbleiben bis Oktober 2007 nicht die Versicherte zu verantworten habe, dem Eidgenössischen Versicherungsgericht bereits im Hauptverfahren I 59/02 vorgelegen, wäre dieses zu einer andern Beurteilung - zu einer Bejahung statt Verneinung - des umstrittenen Anspruchs auf Umschulung gelangt. Dementsprechend sei das Urteil I 59/02 vom 13. März 2003 revisionsweise aufzuheben und in der Sache neu zu entscheiden (Art. 128 Abs. 1 BGG).
3.2 Im Urteil I 59/02 hat das Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007: Bundesgericht) einen Anspruch auf Umschulung mit der Begründung verneint, gestützt auf die verfügbaren medizinischen Unterlagen (Berichte des Dr. med. W._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin, vom 1. und 8. Mai 2001, des SUVA-Arztes Dr. med. C._ vom 7. Mai 2001 und des Dr. med. A._, Psychiatrische Dienste, vom 21. März 2001) sei die Versicherte trotz ihres ausgewiesenen anstrengungsindizierten Asthmaleidens und der diagnostizierten Rhinokonjuktivitis erstelltermassen in der Lage, ihre angestammte Tätigkeit als medizinische Laborantin bei schonendem Arbeitseinsatz - insbesondere mit Schutzvorkehren zur Vermeidung oder bestmöglichen Eindämmung asthmatischer Beschwerden und Exposition mit Essigsäure - weiterhin auszuüben und ihre Berufskenntnisse ohne Erwerbseinbusse zu verwerten. Ihre am 1. Dezember 2000 angetretene, beschwerdegerechte Stelle im angestammten Berufsfeld (Kundensupport für Laborgeräte) habe sie nach Lage der Akten nicht aus gesundheitlichen Gründen aufgegeben. Vor diesem Hintergrund sowie gestützt auf die Aussagen in den Berichten des Dr. med. W._ vom 1. Mai 2001 und der SUVA vom 7. Mai 2001 sei davon auszugehen, dass im Berufsfeld der Versicherten grundsätzlich Arbeitsplätze angeboten würden, bei denen - entsprechend der ärztlichen Empfehlung - asthmaauslösende Einflüsse und Exposition mit reizenden oder allergischen Substanzen (einschliesslich Essigsäure) vermieden werden können.
3.3 Die von der Gesuchstellerin ins Recht gelegte Nichteignungsverfügung vom 17. Oktober 2007 bestätigt einzig die im Urteil I 59/02 vom 13. März 2003 aufgrund der damaligen Arztberichte bereits bekannt gewesene und vom Gericht ausdrücklich gewürdigte Tatsache, dass die Versicherte nicht geeignet ist für Labortätigkeiten "mit Exposition zu Essigsäure und anderen atemwegsreizenden Stoffen". Weder stellt die SUVA-Verfügung neu eine Nichteignung für sämtliche medizinischen Labortätigkeiten und damit (rückwirkend ab November 2000) eine prinzipielle Berufsunfähigkeit der Versicherten fest, noch ergibt sich daraus Neues hinsichtlich der tatsächlichen Verfügbarkeit leidensangepasster Arbeitsplätze. Die in der Nichteignungsverfügung vom 17. Oktober 2007 festgestellte Tatsache bzw. das neue Beweismittel ist daher nicht geeignet, die tatbeständliche Grundlage des angefochtenen Urteils entscheidwesentlich zu verändern und das Gericht zu einem andern Urteil zu führen. Es fehlt dem Aktenstück mithin an der Erheblichkeit im Sinne von Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG (vgl. E. 2 hievor), weshalb dem Revisionsgesuch kein Erfolg beschieden ist.
4. Der kostenpflichtigen Gesuchstellerin (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) wird antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege gewährt, zumal die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, das Revisionsgesuch nicht als von vornherein aussichtslos gelten kann und die Verbeiständung notwendig war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. Der Gesuchstellerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Gesuchstellerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Fürsprecherin Katerina Baumann, Bern, wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. April 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
i.V. Lustenberger Amstutz