Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 6. April 2010 stellte die Öffentliche Arbeitslosenkasse Baselland (nachfolgend: Arbeitslosenkasse) die 1959 geborene M._ für die Dauer von 36 Tagen wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit ab 1. Februar 2010 in der Anspruchsberechtigung zum Bezug von Arbeitslosenentschädigung ein. Eine dagegen erhobene Einsprache sowie ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung lehnte sie ab (Einspracheentscheid vom 5. November 2010).
B. Hiegegen liess M._ Beschwerde führen und u.a. beantragen, auf eine Einstellung in der Anspruchsberechtigung sei zu verzichten; in Abänderung des Einspracheentscheids sei ihr die unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren zu bewilligen. Mit Entscheid vom 27. Juli 2011 wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft die Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde lässt M._ die Rechtsbegehren stellen, der vorinstanzliche Entscheid und der Einspracheentscheid seien aufzuheben; es sei ihr in jedem Fall die unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren zu bewilligen. Ferner ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren.
Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat erwogen, dass laut dem am 22. Oktober 2009 vorbesprochenen und von der Versicherten mitunterzeichneten Schreiben des Geschäftsführers des X._ vom 28. Oktober 2009 das Arbeitsverhältnis neuen Umständen (Wegfall eines Teils des Leistungsvertrages zwischen dem X._ und dem Bund bzw. dem Kanton) angepasst werden musste. Bis spätestens Mitte November sollte das angepasste, ab 1. Februar 2010 geltende Stellenprofil ausgearbeitet sein, wobei dafür ein reduziertes Arbeitspensum von 50 % (anstelle der bisher geltenden 70 %) vorgesehen war. Sollte es bis 20. November 2009 zu keiner Vertragsunterzeichnung kommen, galt das Schreiben vom 28. Oktober 2009 als Kündigung auf den 31. Januar 2010. Die Versicherte nahm das Angebot des X._ weder explizit noch stillschweigend innerhalb dieser Frist an. Vielmehr machte sie ihre Zustimmung von der ausstehenden Entscheidung einer Mitarbeiterin abhängig, deren Arbeitsverhältnis ebenfalls von einer Änderungskündigung betroffen war. Damit stand klar fest, dass die Beschwerdeführerin durch ihr Verhalten das Risiko, arbeitslos zu werden, zumindest in Kauf nahm und damit den Einstellungstatbestand der selbstverschuldeten Arbeitslosigkeit im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> erfüllte.
2.2 Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorinstanz habe ihr zu Unrecht ein eventualvorsätzliches Verhalten zur Last gelegt. Selbst das kantonale Gericht gehe davon aus, dem X._ sei bekannt gewesen, dass sie das Arbeitsverhältnis grundsätzlich zu einem reduzierten Pensum von 50 % fortsetzen wollte. Die zwei neuen Stellenbeschriebe, die ihr erst drei Tage vor dem 20. November 2009 zugestellt worden seien, hätten zu viele Aufgaben enthalten, um sie im Rahmen des vorgeschlagenen hälftigen Pensums bewältigen zu können. Zur Klärung dieses Punktes habe sie den Geschäftsführer am 20. November 2009 aufgesucht und erläutert, dass das Pflichtenheft mit der ebenfalls von einer Änderungskündigung betroffenen, aber krankheitsbedingt abwesenden Mitarbeiterin abgesprochen werden sollte. Der Geschäftsführer des X._ habe dagegen nichts eingewendet und sie habe daher darauf vertraut, dass er mit einer Vertragsunterzeichnung zu einem späteren Zeitpunkt einverstanden gewesen sei. Dafür spreche auch sein Verhalten gegenüber der erwähnten Mitarbeiterin, der er aktenkundig eine Fristerstreckung zur Klärung der offenen Fragen und zur Vertragsunterzeichnung eingeräumt habe. Die vom Geschäftsführer vor dem kantonalen Gericht gemachte Aussage, er habe sie am 20. November 2009 darauf hingewiesen, ihre Situation sei von derjenigen der angesprochenen Mitarbeiterin unabhängig und sie müsse sich unabhängig von deren Entschluss entscheiden, sei daher entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen wenig glaubhaft.
3. 3.1 Der Tatbestand der selbstverschuldeten Arbeitslosigkeit nach <ref-law> erfasst Verhaltensweisen der versicherten Person, die kausal für den Eintritt der ganzen oder teilweisen Arbeitslosigkeit sind und eine Verletzung der Pflicht, Arbeitslosigkeit zu vermeiden, bedeuten. Er kann nur in Zusammenhang mit der Auflösung des früheren Arbeitsverhältnisses, nicht aber durch Nichtantritt einer neuen Stelle verwirklicht werden. <ref-law> zählt in den lit. a-d beispielhaft mehrere Tatbestände auf (THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2. Aufl., Rz. 830 mit Hinweisen).
3.2 Die Beschwerdeführerin beanstandet, wenn auch nicht ausgesprochen, so doch implizit, dass die Vorinstanzen die Sachlage einstellungsrechtlich im Lichte des <ref-law> (wonach die Arbeitslosigkeit selbstverschuldet ist, wenn der Versicherte das Arbeitsverhältnis von sich aus aufgelöst hat, ohne dass ihm eine andere Stelle zugesichert war, es sei denn, dass ihm das Verbleiben an der Arbeitsstelle nicht zumutbar war), statt <ref-law> prüften (wonach die Arbeitslosigkeit dann selbstverschuldet ist, wenn der Versicherte durch sein Verhalten, insbesondere wegen Verletzung arbeitsvertraglicher Pflichten, dem Arbeitgeber Anlass zur Auflösung des Arbeitsverhältnisses gegeben hat). Die Differenzierung danach, wer das Arbeitsverhältnis aufgelöst hat, ist für die Beurteilung des Selbstverschuldens im Sinne von <ref-law>, die Beweislast und die Bemessung der Einstellungsdauer (Art. 45 Abs. 1 und 3 AVIV) von Bedeutung (Urteil C 290/97 vom 5. Februar 1998 E. 7, publ. in: ARV 1999 Nr. 8 S. 30). So wird nach der Konzeption des <ref-law> die Zumutbarkeit des Verbleibens an der Arbeitsstelle vermutet, wogegen das der versicherten Person zur Last gelegte Verhalten nach <ref-law> in beweismässiger Hinsicht klar feststehen muss (vgl. hiezu <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen; Urteil C 285/94 vom 5. März 1996 E. 3b/bb, publ. in: SVR 1996 AlV Nr. 72 S. 219). Im Zusammenhang mit einer Änderungskündigung, mit welcher der Arbeitgeber nicht in erster Linie die Beendigung des Arbeitsverhältnisses, sondern dessen Weiterführung mit veränderten Rechten und Pflichten vorhat (vgl. hiezu <ref-ruling> E. 3 S. 248 mit Hinweisen), ist das Verhalten der versicherten Person im Lichte des Tatbestands von <ref-law> zu würdigen (Urteil C 230/01 vom 13. Februar 2003 E. 2 f., publ. in: ARV 2003 Nr. 26 S. 248; SECO, Kreisschreiben über die Arbeitslosenentschädigung [KS ALE], Ausgabe Januar 2007, Rz. D19; THOMAS NUSSBAUMER, a.a.O., mit weiteren Hinweisen; vgl. auch Urteil C 285/94 vom 5. März 1996 E. 3 [publ. in: SVR AlV Nr. 72 S. 219]). Das frühere Eidgenössische Versicherungsgericht hat auch schon Fälle, welchen ein mit einer Änderungskündigung vergleichbarer Sachverhalt zugrunde lag, einstellungsrechtlich sinngemäss im Lichte von <ref-law> beurteilt, wobei allerdings klar feststand, dass die versicherte Person die diskutierte Vertragsänderung abgelehnt hatte (Urteil C 151/04 vom 30. April 2006 E. 1 und E. 2.1 [publ. in: SZS 2005 S. 212], C 133/03 vom 29. Oktober 2003 Sachverhalt A, E. 2.2 mit Hinweis und E. 3 ab initio, C 202/85 vom 1. April 1986 E. 2 ab initio [publ. in: ARV 1986 Nr. 23 S. 90]).
3.3 Aus dem im Zentrum der vorinstanzlichen Erwägungen stehenden Schreiben des X._ vom 28. Oktober 2009 ergibt sich ohne Weiteres, dass er das Arbeitsverhältnis mit der Beschwerdeführerin fortsetzen wollte. Er sprach die Kündigung auf den 31. Januar 2010 unter der (aufschiebenden) Bedingung aus, dass diese nicht bis am 20. No-vember 2009 den noch auszuhandelnden, neuen Arbeitsvertrag unterzeichnen würde. Die Wirksamkeit der Kündigung hing damit zwar von einer Willenserklärung der Beschwerdeführerin ab. Dies ändert jedoch nichts daran, dass der X._ das alte Arbeitsverhältnis auflösen wollte. Nachdem die Frage, ob aus dem Verhalten der Beschwerdeführerin auf eine Ablehnung der Vertragsänderung zu schliessen ist, den Hauptpunkt der Auseinandersetzung bildet, ist gemäss dem in E. 3.2 hievor Gesagten in erster Linie der Einstellungstatbestand von <ref-law> zu prüfen. Soweit sich der diesbezüglich relevante Sachverhalt nicht aus den vorinstanzlichen Erwägungen erschliessen lässt, ist das Bundesgericht in seinen tatsächlichen Feststellungen nicht daran gebunden (vgl. E. 1 hievor).
4. 4.1 Nach der Rechtsprechung liegt kein Selbstverschulden vor, wenn und soweit der Eintritt oder das Andauern der Arbeitslosigkeit objektiven Faktoren zuzuschreiben ist; vielmehr muss es in einem nach den persönlichen Umständen und Verhältnissen vermeidbaren Verhalten der versicherten Person gründen, für das die Versicherung die Haftung nicht übernimmt (Urteil 8C_958/2008 vom 30. April 2009 E. 2.2 mit Hinweisen, publ. in: ARV 2009 S. 264). Die versicherte Person muss zudem gemäss Art. 20 lit. b des Übereinkommens Nr. 168 der Internationalen Arbeitsorganisation (IAO) über Beschäftigungsschutz und Schutz gegen Arbeitslosigkeit vom 21. Juni 1988 vorsätzlich zu seiner Entlassung beigetragen haben (vgl. <ref-ruling> E. 3a und b S. 236). Diese Bestimmung ist auch im Bereich von <ref-law> anwendbar, wobei eventualvorsätzliches Verhalten genügt (Urteil C 230/01 vom 13. Februar 2003, publ in: ARV 2003 S. 248). Eventualvorsatz ist anzunehmen, wenn die betroffene Person vorhersehen kann oder vorhersehen muss, dass ihr Verhalten zu einer Kündigung durch den Arbeitgeber führt (Urteil C 282/00 vom 11. Januar 2001 E. 2b).
4. 4.1 Nach der Rechtsprechung liegt kein Selbstverschulden vor, wenn und soweit der Eintritt oder das Andauern der Arbeitslosigkeit objektiven Faktoren zuzuschreiben ist; vielmehr muss es in einem nach den persönlichen Umständen und Verhältnissen vermeidbaren Verhalten der versicherten Person gründen, für das die Versicherung die Haftung nicht übernimmt (Urteil 8C_958/2008 vom 30. April 2009 E. 2.2 mit Hinweisen, publ. in: ARV 2009 S. 264). Die versicherte Person muss zudem gemäss Art. 20 lit. b des Übereinkommens Nr. 168 der Internationalen Arbeitsorganisation (IAO) über Beschäftigungsschutz und Schutz gegen Arbeitslosigkeit vom 21. Juni 1988 vorsätzlich zu seiner Entlassung beigetragen haben (vgl. <ref-ruling> E. 3a und b S. 236). Diese Bestimmung ist auch im Bereich von <ref-law> anwendbar, wobei eventualvorsätzliches Verhalten genügt (Urteil C 230/01 vom 13. Februar 2003, publ in: ARV 2003 S. 248). Eventualvorsatz ist anzunehmen, wenn die betroffene Person vorhersehen kann oder vorhersehen muss, dass ihr Verhalten zu einer Kündigung durch den Arbeitgeber führt (Urteil C 282/00 vom 11. Januar 2001 E. 2b).
4.2 4.2.1 Die Beschwerdeführerin beruft sich zur Begründung ihres Einwands, ihr könne allenfalls ein fahrlässiges, nicht jedoch ein eventualvorsätzliches Verhalten zur Last gelegt werden, auf die strafrechtliche Rechtsprechung. Laut GUIDO JENNY, in: Basler Kommentar Strafrecht I, Niggli/Wiprächtiger (Hrsg.), Basel 2007, S. 295 (mit Hinweisen auf Rechtsprechung und Literatur), stimmen Eventualvorsatz und bewusste Fahrlässigkeit auf der Wissensseite überein; beide Male ist dem Täter die Möglichkeit, das Risiko der Tatbestandsverwirklichung bewusst. Die entscheidende Differenz liegt auf der Willensseite. Auch wer jene Möglichkeit erkennt, kann sich, selbst leichtfertig, über sie hinwegsetzen, d.h. darauf vertrauen bzw. mit der Einstellung handeln, dass schon nichts passieren werde, zumal, wenn er den Eintritt des Erfolgs innerlich ablehnte. Das ist der Fall der bewussten Fahrlässigkeit. Demgegenüber erfordert der Eventualvorsatz, dass der Täter sich für die Tatbestandsverwirklichung entscheidet, sie in Kauf nimmt, ernstlich in Rechnung stellt. Weitestgehend ausser Frage stehen dürfte das Willenselement nur, wenn der Täter die Tatbestandsverwirklichung für so naheliegend hält, dass die Bereitschaft, sie als Folge seines Verhaltens hinzunehmen, vernünftigerweise nicht mehr bezweifelt werden kann; oder wenn sie ihm, im eigentlichen Sinn des Wortes, erwünscht oder recht war, wie wohl auch noch im Falle schierer Gleichgültigkeit. Als Faustregel formuliert: dass der Täter die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen hat, liegt grundsätzlich näher, je wahrscheinlicher es ihm erschien, dass sie eintreten könnte, und je weniger er sie innerlich ablehnte, und umgekehrt (vgl. auch Urteil 8C_504/2007 vom 16. Juni 2008 E. 5.4 mit Hinweis).
4.2.2 Zu den Umständen, die allenfalls auf eventualvorsätzliches Verhalten schliessen lassen, gehören die Grösse des dem Täter bekannten Risikos der Tatbestandsverwirklichung, die Schwere der Sorgfaltspflichtverletzung, die Beweggründe des Täters und die Art der Tathandlung. Das Gericht darf vom Wissen des Täters auf dessen Willen schliessen, wenn sich dem Täter der Eintritt des Erfolgs als so wahrscheinlich aufdrängte, dass die Bereitschaft, ihn als Folge hinzunehmen, vernünftigerweise nur als Inkaufnahme des Erfolgs ausgelegt werden kann. Was der Täter wusste, wollte und in Kauf nahm, betrifft innere Tatsachen und ist somit Tatfrage. Rechtsfrage ist hingegen, ob im Lichte der festgestellten Tatsachen der Schluss auf Eventualvorsatz berechtigt erscheint (<ref-ruling> E. 8.4.1 S. 84 mit Hinweisen).
4.2.2 Zu den Umständen, die allenfalls auf eventualvorsätzliches Verhalten schliessen lassen, gehören die Grösse des dem Täter bekannten Risikos der Tatbestandsverwirklichung, die Schwere der Sorgfaltspflichtverletzung, die Beweggründe des Täters und die Art der Tathandlung. Das Gericht darf vom Wissen des Täters auf dessen Willen schliessen, wenn sich dem Täter der Eintritt des Erfolgs als so wahrscheinlich aufdrängte, dass die Bereitschaft, ihn als Folge hinzunehmen, vernünftigerweise nur als Inkaufnahme des Erfolgs ausgelegt werden kann. Was der Täter wusste, wollte und in Kauf nahm, betrifft innere Tatsachen und ist somit Tatfrage. Rechtsfrage ist hingegen, ob im Lichte der festgestellten Tatsachen der Schluss auf Eventualvorsatz berechtigt erscheint (<ref-ruling> E. 8.4.1 S. 84 mit Hinweisen).
4.3 4.3.1 Der X._ unterbreitete mit dem die bedingt aufgeschobene Kündigung enthaltenden Schreiben vom 28. Oktober 2009 noch keine Offerte, sondern machte die Ausgestaltung des neu abzuschliessenden Arbeitsvertrags explizit von weiteren Verhandlungen zu Punkten abhängig, die den Parteien wesentlich erschienen (namentlich zum genauen Pensum und zum Stellenbeschrieb) und die bis Mitte November 2009 bereinigt werden sollten. Mit einem weiteren Schreiben vom 16. November 2009 stellte er der Beschwerdeführerin eine Vertragsofferte zu, in welcher die Funktion (Ressortleiterin Integration), der Vertragsbeginn (1. Februar 2010), das Arbeitspensum (50 %) und der Monatslohn festgehalten wurden. Die zu übernehmenden Pflichten wurden auf zwei separaten, mit "Stellenbeschreibung" betitelten Dokumenten umschrieben. Das eine betraf die schon bisher innegehabte Funktion als Ressortleiterin Integration, welche die Beschwerdeführerin mit einem Pensum von 50 % (statt wie bisher von 70 %) weiterführen sollte. Das andere betraf sowohl sie als auch die erwähnte Mitarbeiterin und bezog sich auf die im Rahmen eines Pensums von 40 % (das als "Bestandteil des generell. Anstellungs-Pensums" bezeichnet wurde) zu erfüllenden Aufgaben im Bereich des "Empfang(s)".
4.3.2 Unter diesen Umständen ist naheliegend, dass sich die Beschwerdeführerin über die künftig zu übernehmenden Aufgaben mehr Klarheit verschaffen wollte. Wohl mag zutreffen, wie die Vorinstanz erwogen hat, dass der Geschäftsführer anlässlich eines Gesprächs am letzten Tag der Frist (20. November 2009) die Beschwerdeführerin informierte, ihre Situation sei nicht vom Entscheid der von der Stellenbeschreibung für den Bereich Empfang mitbetroffenen Mitarbeiterin abhängig. Für die Beurteilung der Frage, ob der Beschwerdeführerin ein eventualvorsätzliches Verhalten zur Last gelegt werden kann, bildet dieser Punkt jedoch nur ein Indiz dafür, dass sie die Arbeitsvertragsofferte noch nicht annehmen, nicht aber dafür, dass sie diese ablehnen wollte. Die Äusserungen der Beschwerdeführerin im Schreiben an den X._ vom 27. November 2009 geben am ehesten Aufschluss über ihren Willen. Sie stehen zum einen in zeitlich unmittelbarer Nähe zum Geschehen, und es ist davon auszugehen, dass sie noch nicht von Überlegungen versicherungsrechtlicher Art beeinflusst waren. Die Beschwerdeführerin legt dar, dass sie ihren Entschluss, einen neuen Arbeitsvertrag abzuschliessen, nicht von der als wünschenswert bezeichneten, weiteren Zusammenarbeit mit der bisherigen Mitarbeiterin abhängig machte. Vielmehr wiederholte sie ihre Bedenken, ob sie die vorgesehenen Aufgaben in einem Pensum von 50 % zu erfüllen in der Lage wäre, und warf die Frage auf, wie es sich verhielte, sollte die Mitarbeiterin das Arbeitsverhältnis nicht weiterführen. Aus diesen Darlegungen ist ohne Weiteres erkennbar, dass die Beschwerdeführerin das Arbeitsverhältnis fortsetzen wollte, wovon auch die Arbeitslosenkasse im Einspracheentscheid vom 5. November 2010 mit Hinweis auf das Schreiben vom 27. November 2009 ausging. Wird sinngemäss der in E. 4.2.1 dargelegte, für den Bereich des Strafrechts geltende Massstab angelegt, kann daher nicht davon gesprochen werden, dass der Beschwerdeführerin das Nichtzustandekommen des neuen Arbeitsvertrages innerlich gleichgültig oder gar erwünscht war. Auch die Bedeutung, die der Geschäftsführer des X._ dem Zeitpunkt (20. November 2009) für die Annahme der Vertragsunterzeichnung beimass, war entgegen der vorinstanzlichen Auffassung nicht derart klar erkennbar, dass allein gestützt darauf auf eventualvorsätzliches Verhalten der Beschwerdeführerin zu schliessen ist. Der X._ liess mit den mit Schreiben vom 16. November 2009 zugestellten Stellenbeschrieben die am 28. Oktober 2009 festgehaltenen, von den Parteien für wesentlich gehaltenen Punkte in Bezug auf das Arbeitspensum und die zu übernehmenden Pflichten nach wie vor zumindest teilweise offen. Die Beschwerdeführerin bringt in diesem Zusammenhang zu Recht vor, dass die Mitarbeiterin am 20. November 2009 die Annahme der unterbreiteten Vertragsofferte ebenfalls unter Hinweis auf die "sehr vielen Unklarheiten" unterliess (E-mail an den X._ vom 25. November 2009). Jedenfalls räumte die Arbeitslosenkasse im vorinstanzlichen Verfahren ein, die Versicherte habe wohl keine "Blanko-Zusage" geben wollen. Wohl hätten die ungeklärten Punkte auch noch nach der vom X._ am 20. November 2009 erwarteten Annahmeerklärung der Vertragsofferte besprochen werden können. Indem die Beschwerdeführerin diese Möglichkeit offenbar nicht in Betracht zog, ist ihr möglicherweise der Vorwurf bewussten grobfahrlässigen Verhaltens zu machen, mit dem von ihr unerwünschten Effekt, dass der X._ die Vertragsofferte zur Weiterführung des Arbeitsverhältnisses nicht aufrecht hielt und die im Schreiben vom 28. Oktober 2009 bedingt aufgeschobene Kündigung auf den 31. Januar 2010 mangels Willenserklärung wirksam wurde. Eine Ablehnung der Vertragsofferte kann darin aber nicht erblickt werden.
4.3.3 Kann der Beschwerdeführerin nach dem Gesagten kein eventualvorsätzliches Verhalten zur Last gelegt werden, ist von einer Einstellung in der Anspruchsberechtigung abzusehen.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin beantragt "in jedem Fall" eine Parteientschädigung für das Einspracheverfahren vor der Arbeitslosenkasse.
5.2 Gemäss <ref-law> werden im Einspracheverfahren in der Regel keine Parteientschädigungen ausgerichtet. Hingegen hat der Einsprecher, der im Falle des Unterliegens die unentgeltliche Verbeiständung beanspruchen könnte, bei Obsiegen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-ruling> E. 2.1 f. S. 571 ff.).
5.3 Die Vorinstanz hat in Bestätigung des Einspracheentscheids den Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren wegen fehlender Erforderlichkeit der anwaltlichen Vertretung abgewiesen. Nach ständiger, bei der Schaffung des <ref-law> (in Kraft seit 1. Januar 2003) übernommenen (vgl. <ref-ruling> E. 4.1, 5.1.1 und E. 5.1.3, je mit Hinweisen) Rechtsprechung ist an die sachliche Gebotenheit der Verbeiständung im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren ein strenger Massstab anzulegen; eine anwaltliche Vertretung drängt sich nur in Fällen auf, in denen schwierige rechtliche oder tatsächliche Fragen dies als notwendig erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 4b S. 35 f., 117 V 408 E. 5a, 114 V 228 E. 5b S. 235).
Das kantonale Gericht hat richtig erwogen, dass die Versicherte angesichts ihrer Ausbildung und sprachlichen Ausdrucksfähigkeit in der Lage war, ihre Interessen, soweit sie den Fall in tatsächlicher Hinsicht betrafen, im Verwaltungsverfahren selber zu wahren. Indessen machte diese im kantonalen Prozess zutreffend geltend, dass die Arbeitslosenkasse in der Verfügung auf ihre Vorbringen nicht eingegangen war. Schon angesichts dieses Umstands und der auch von der Vorinstanz eingeräumten erheblichen Bedeutung der Sache für die Versicherte, kann die Erforderlichkeit nicht ohne Weiteres verneint werden (vgl. Urteil I 415/06 vom 21. Juni 2007 E. 6.2, publ. in: SVR 2009 IV Nr. 3 S. 4). Der von der Versicherten nach Eingabe der Einsprache vom 26. April 2010 mit deren Begründung beauftragte Rechtsanwalt stellte die Frage, ob ein zu sanktionierendes (eventual)vorsätzliches oder bloss fahrlässiges Verhalten vorliege, ins Zentrum seiner Ausführungen. Die Beurteilung dieser Rechtsfrage stellte hohe Anforderungen an den juristischen Sachverstand, welche die anwaltliche Vertretung im Einspracheverfahren ausnahmsweise als sachlich geboten erscheinen liessen. Fest steht, dass die Einsprache nicht als aussichtslos betrachtet werden konnte, wie die Arbeitslosenkasse im Einsprachentscheid vom 5. November 2010 festhielt. Verwaltung und Vorinstanz haben die für die Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung im Einspracheverfahren weiter vorausgesetzte Bedürftigkeit, die gemäss zitiertem <ref-ruling> E. 2.2 S. 573 auch bei Obsiegen des Einsprechers vorliegen muss, nicht geprüft. Die Sache ist daher an die Arbeitslosenkasse zur Prüfung dieser Voraussetzung und gegebenenfalls Zusprechung einer Parteientschädigung an die Arbeitslosenkasse zurückzuweisen.
6. Die unterliegende Arbeitslosenkasse hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 27. Juli 2011 und der Einspracheentscheid der Öffentlichen Arbeitslosenkasse Baselland vom 5. No-vember 2010 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Öffentliche Arbeitslosenkasse Baselland zurückgewiesen, damit sie über den Anspruch auf Parteientschädigung im Einspracheverfahren im Sinne der E. 5.3 neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Basel-Landschaft zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Juni 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Grunder