Sachverhalt:
A.
Am 8. Juni 2012 erstattete Rechtsanwalt A._ Strafanzeige gegen B._ wegen Verleumdung und übler Nachrede.
Mit Eingabe vom 27. April 2014 stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen den die Strafuntersuchung führenden Staatsanwalt Bruno Meier, wegen Befangenheit.
Mit Beschluss vom 29. Juli 2014 wies das Obergericht des Kantons Zürich das Ausstandsgesuch ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 10. September 2014 beantragt A._ in der Hauptsache die Aufhebung des Beschlusses des Obergerichts vom 29. Juli 2014 und die Gutheissung seines Ausstandsgesuchs.
Staatsanwalt Bruno Meier, und das Obergericht haben auf Stellungnahmen zur Beschwerde verzichtet.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Obergericht hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
Der Beschwerdeführer ist als Privatkläger zur Erhebung einer Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Der Beschwerdeführer macht keine Ausführungen zu diesem Punkt, weshalb die Beschwerde insoweit den Begründungsanforderungen (<ref-law>) nicht genügt. Auf die Beschwerde ist indes dennoch einzutreten, da der Beschwerdeführer, selbst wenn er in der Sache nicht legitimiert wäre, jedenfalls die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen kann, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Der Beschwerdeführer ist daher zur Rüge berechtigt, Ausstandsregeln seien verletzt worden (Urteil 1B_139/2014 vom 1. Juli 2014 E. 1.3). Nicht eingetreten werden kann hingegen auf die vom Beschwerdeführer gestellten Feststellungsbegehren, da es ihm insoweit an einem besonderen Feststellungsinteresse fehlt.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat erwogen, die im Rahmen des Ausstandsgesuchs vorgebrachten Rügen betreffend angeblich verweigerter Akteneinsicht seien verspätet, weshalb auf die Beschwerde insoweit nicht eingetreten werden könne. Selbst wenn die Vorbringen aber beachtlich wären, wäre das Gesuch unbegründet. Dass der zuständige Staatsanwalt im Dezember 2013 nach der Weigerung des Beschwerdeführers, die ihm zugestellten Akten zurückzusenden, die Akten durch die Polizei habe abholen lassen, stelle keinen Ausstandsgrund dar. Des Weiteren sei dem Beschwerdeführer die Eingabe der Beschuldigten vom 18. März 2013, auf welche er in der Beschwerde Bezug nehme, bei der Einvernahme vom 10. Februar 2014 vorgehalten worden. Im Übrigen sei zu beachten, dass die Akteneinsicht im Vorverfahren eingeschränkt werden könne (Art. 101 und Art. 108 StPO). Dass diese Voraussetzungen nicht erfüllt gewesen seien, mache der Beschwerdeführer nicht glaubhaft. Jedenfalls aber habe sich der Staatsanwalt in diesem Zusammenhang keine derart schweren Verfahrensverletzungen zu Schulden kommen lassen, dass sein Ausstand gerechtfertigt wäre. Ferner wäre es dem Beschwerdeführer offen gestanden, Beschwerde wegen Verweigerung der Akteneinsicht zu erheben.
Die Vorinstanz hat weiter ausgeführt, soweit der Beschwerdeführer geltend mache, der zuständige Staatsanwalt habe die Beschuldigte und ihren Rechtsvertreter anlässlich der Einvernahme vom 27. Februar 2014 bevorzugt behandelt, sei nicht ersichtlich, inwiefern dies der Fall gewesen sein sollte. Dass der Staatsanwalt der Beschuldigten die Möglichkeit gegeben habe, ihre Eingabe vom 18. März 2013 zu erläutern und sich zu verteidigen, sei nicht zu beanstanden. Im Übrigen hätte der Beschwerdeführer Ergänzungsfragen stellen können.
2.2.
2.2.1. Ausstandsgesuche müssen ohne Verzug eingereicht werden (<ref-law>). Wer einen Ablehnungsgrund nicht unverzüglich nach dessen Kenntnisnahme geltend macht, verwirkt den Anspruch auf seine spätere Anrufung (<ref-ruling> E. 2.2 S. 3 f.). Unverzüglich bedeutet nach der Rechtsprechung ein Geltendmachen des Anspruchs binnen maximal sechs bis sieben Tagen; ein zwei- bis dreiwöchiges Zuwarten ist bereits unzulässig (Urteil 1B_60/2014 vom 1. Mai 2014 E. 2.2 mit Hinweisen). Im zu beurteilenden Fall kann indes offenbleiben, ob der Beschwerdeführer das Ausstandsbegehren rechtzeitig erhoben hat, da sich die Beschwerde ohnehin als unbegründet erweist.
2.2.2. Strafverfolgungsorgane können grundsätzlich abgelehnt werden, wenn Umstände (etwa strafprozessual unzulässige vorverurteilende Äusserungen) vorliegen, welche nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken. In der Regel vermögen allgemeine Verfahrensmassnahmen, seien sie richtig oder falsch, als solche keine Voreingenommenheit der verfügenden Justizperson zu begründen. Soweit konkrete Verfahrensfehler eines Staatsanwalts beanstandet werden, so sind diese bei der Beurteilung nach <ref-law> nur wesentlich, wenn sie besonders krass sind oder ungewöhnlich häufig auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen. Andernfalls begründen sie keinen hinreichenden Anschein der Befangenheit. Insoweit sind die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Untersuchungsmassnahmen auszuschöpfen (Urteil des Bundesgerichts 1B_537/2012 vom 28. September 2012 E. 3.4.1 mit weiteren Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Entscheid eingehend mit den Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt. Ihre Ausführungen überzeugen. Der Beschwerdeführer bringt in seiner Beschwerde an das Bundesgericht nichts vor, was diese Einschätzung in Frage stellen würde.
Eine Verletzung des Akteneinsichtsrechts des Beschwerdeführers ist nicht zu erkennen. Namentlich wies der zuständige Staatsanwalt den Beschwerdeführer in seinem Schreiben vom 11. März 2014 ausdrücklich darauf hin, dass er auf Voranmeldung die vollständigen Originalakten jederzeit auf der Amtsstelle einsehen könne. Nicht ersichtlich und vom Beschwerdeführer auch nicht substanziiert dargelegt ist weiter, dass der Staatsanwalt die Beschuldigte in irgendeiner Weise privilegiert hätte.
Selbst wenn aber der zuständige Staatsanwalt einzelne Verfahrensverletzungen begangen haben sollte, so sind diese jedenfalls nicht derart gravierend, dass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkämen und den Anschein der Befangenheit begründen könnten. Dies gilt insbesondere auch bezüglich der vom Beschwerdeführer behaupteten Verletzung des Beschleunigungsgebots. Somit stellt sich die Frage, ob die Strafuntersuchung einem anderen Staatsanwalt übertragen werden soll, nicht. Allfällige Versäumnisse im Rahmen der Untersuchung sind nicht mit einem Ausstandsbegehren, sondern im Rechtsmittelverfahren gegen kritisierte Entscheide der Strafverfolgungsbehörden vorzutragen (vgl. Urteil 1B_537/2012 vom 28. September 2012 E. 3.4.2).
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Den in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegenden Behörden steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner