Faits:
A. A.a Y._ SA (Y._ ou la défenderesse), dont le siège est à Genève dans les locaux de la société V._ SA, est une filiale du groupe W.Y._, sis en Floride (Etats-Unis d'Amérique); elle a pour but d'offrir, principalement en Europe, des services en matière d'administration, de comptabilité, de contrôle et de gestion financière aux sociétés et clients du groupe.
Par contrat de travail écrit du 24 mai 2005, dont la passation avait été précédée de négociations ayant duré plusieurs mois, Y._ a engagé X._ (le demandeur), ressortissant américain né en 1931 et domicilié dans l'Etat de Virginie, en qualité de « senior advisor » au plus tard dès le 1er novembre 2005, cela pour une durée d'une année. Ce contrat, rédigé par A._, directeur de W.Y._, sous forme de lettre à contresigner pour accord, ne contenait aucune description des tâches confiées au travailleur. Il a toutefois été retenu, sur la base des déclarations de X._ en instance cantonale non contredites par Y._, que le premier devait mettre à disposition de la seconde sa large expérience passée et son réseau de relations dans le domaine de l'éducation, de la culture et des organisations non gouvernementales à but idéal (ONG) pour présenter les services offerts par Y._ à des clients potentiels. Le salaire annuel de X._ se montait à 150'000 EUR; s'y ajoutait une allocation de 100'000 fr. pour les dépenses liées à la vie courante, payable à raison de 25'000 fr. au début du contrat, puis par des versements mensuels de 6'250 fr. pendant 12 mois.
La convention en cause renfermait encore une réglementation dite « intérimaire » pour la période précédant son entrée en vigueur, soit celle courant du 24 mai au 1er novembre 2005 au plus tard. Il était ainsi stipulé que X._ devait travailler pour Y._ moyennant un salaire journalier de 750 US$.
Si l'exécution du contrat nécessitait une « relocalisation à Genève » du travailleur au plus tard le 1er novembre 2005, celle-ci n'était pas requise avant ce terme.
Il résulte de la demande d'autorisation de travail pour ressortissant hors UE/AELE, acceptée par l'autorité compétente, que X._ était engagé à compter du 1er novembre 2005 pour un salaire annuel brut de 330'000 fr.
A.b X._ n'est arrivé à Genève qu'à la mi-novembre 2005. Dans un courriel adressé à une de ses relations le 29 décembre 2005, il a indiqué avoir passé beaucoup de temps à s'installer et ajouté que le « vrai travail » allait pouvoir commencer en janvier 2006.
A.c Le 8 décembre 2005, A._ a adressé un courrier électronique à X._ en lui reprochant de ne s'être toujours pas installé à Genève et de n'avoir pas travaillé pour Y._, se contentant de régler des affaires personnelles et d'encaisser la rémunération convenue. A._ proposait à X._ de repousser au 1er février 2006 l'entrée en vigueur du contrat conclu le 24 mai 2005 pour lui permettre de s'installer correctement, non sans rappeler au travailleur que la convention en question ne prévoyait aucune mise à disposition d'un bureau ou de personnel administratif.
X._ a répondu le 9 décembre 2005 à ce courriel qu'il s'était rendu à une conférence de la fondation R._ à Londres les 2, 3 et 4 décembre 2005 pour y développer des relations et présenter Y._. Il a demandé à A._ de le laisser travailler et de le juger selon les termes de son contrat, à savoir les résultats obtenus au printemps-été 2006.
Selon la liste des participants à la conférence susmentionnée, X._ y a pris part sous divers titres, mais non comme « senior advisor » de Y._.
Par un nouveau courrier électronique du 22 décembre 2005, Y._ a fait savoir à X._ qu'elle restait depuis octobre 2005 dans l'attente de ses coordonnées téléphoniques pour lui remettre des cartes de visite à son nom. Le même jour, le travailleur a informé A._ qu'il avait enfin trouvé un appartement à Genève.
Par courrier du 2 janvier 2006 adressé à A._, X._ a déclaré « vouloir calmer les choses » en proposant de suspendre le versement de sa rémunération en décembre 2005 et janvier 2006.
Le 25 janvier 2006, X._ a précisé à Y._ ne pas avoir travaillé entre le 1er novembre et le 10 décembre 2005, hormis l'accomplissement de deux voyages d'affaires en Suisse, qualifiés de « très prometteurs », et la préparation de déplacements, prévus en février et mars 2006, à destination de l'Allemagne et du Royaume-Uni. Il a ajouté qu'il avait entrepris des démarches pour trouver un bureau dans les locaux de l'Université de Genève. Ces démarches semblent être restées infructueuses puisqu'en février 2006, X._ devait se rendre dans un établissement public pour disposer d'un accès internet.
Le 26 février 2006, X._ a fait part à A._, par courriel, de la planification de ses projets pour les mois à venir.
Au moyen d'un courrier électronique du 14 mars 2006, X._ a protesté auprès de V._ SA, société qui s'occupe de la comptabilité de Y._, contre le report par celle-ci au 1er janvier 2006 du début des relations de travail, affirmant n'avoir pas donné son aval à une telle modification contractuelle. Il a déclaré avoir travaillé pour Y._ en novembre et décembre 2005 et avoir été rémunéré à ce titre par l'employeur.
Le 3 avril 2006, X._ s'est derechef plaint auprès de A._, par courriel, de ce que Y._ avait décidé unilatéralement de repousser le commencement de leurs rapports contractuels au 1er janvier 2006. Dans ce courriel, il a proposé « de ne pas considérer la période du 12 décembre 2005 au 12 janvier 2006 », laps de temps pendant lequel il a assuré avoir travaillé dur pour Y._, certes depuis Washington faute d'avoir disposé alors à Genève d'un espace pour exécuter ses tâches; il a averti A._ que si Y._ désirait le « virer », elle devrait lui payer les sommes qui lui sont dues en vertu du contrat de travail du 24 mai 2005, dès l'instant où il n'avait pas violé ses obligations contractuelles.
Y._ a répondu à ce courrier électronique par pli du 7 avril 2006. Cette société y a exposé liminairement que le maintien des relations contractuelles avec X._ n'avait désormais plus de sens. Comme ce dernier ne s'était pas installé à Genève au 1er novembre 2005, elle aurait eu la possibilité de mettre à ce moment un terme au contrat de travail, mais avait cependant décidé d'être accommodante. Y._ a fait grief au travailleur de n'avoir disposé d'un numéro de téléphone qu'en février 2006. En outre, a-t-elle poursuivi, si X._ avait suggéré de renoncer à sa rémunération pendant deux mois par courrier du 2 janvier 2006, c'est bien parce qu'il admettait ne pas avoir rempli ses devoirs contractuels. Dans ce contexte, Y._ a invité X._ à présenter lui-même sa démission immédiate s'il voulait éviter un licenciement et lui a remis, en annexe à son courrier, un projet de lettre de démission par lequel X._ reconnaissait notamment ne plus avoir aucune prétention à faire valoir contre son employeur et s'engageait à ne pas intenter d'action en justice en relation avec les rapports de travail.
X._ n'ayant pas répondu à cette lettre, A._, par courriel du 13 avril 2006, a confirmé les termes du pli du 7 avril précédent et a à nouveau enjoint le travailleur de démissionner, à défaut de quoi Y._ procéderait à son licenciement.
Le 30 avril 2006, sous la plume de A._, Y._ a informé par courriel X._ qu'elle résiliait avec effet immédiat le contrat conclu le 24 mai 2005, au motif qu'il n'avait pas démissionné comme on le lui avait demandé le 7 avril 2006.
X._ a contesté, par lettre du 13 juin 2006, l'existence d'un juste motif autorisant un congé sans délai. Le même jour, A._ a adressé à X._ un projet de convention en vue de régler la poursuite des relations contractuelles avec Y._ sous une autre forme, le travailleur devenant un consultant pour ladite société, payé dorénavant à la commission. X._ n'a pas accepté cette proposition.
B. B.a Par demande du 8 décembre 2006, X._ a ouvert action contre Y._ devant le Tribunal des prud'hommes de Genève. Il a réclamé à la défenderesse les montants suivants:
- 100'000 EUR à titre de salaires pour les mois de mars à octobre 2006 avec intérêts à 5% l'an dès le premier jour du mois suivant leur échéance;
- 68'750 fr. à titre de participation aux frais et dépenses pour les mois de décembre 2005 à octobre 2006, plus intérêts à 5% l'an dès le premier jour du mois suivant leur échéance;
- 6'250 EUR au titre d'indemnités pour vacances non prises en nature, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er novembre 2006;
- 75'000 EUR et 50'000 fr. à titre d'indemnités pour congé immédiat injustifié, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er mai 2006;
- 20'000 fr. en réparation du tort moral éprouvé.
La défenderesse a conclu à sa libération.
Le Tribunal des prud'hommes a entendu trois témoins, soit B._, biochimiste qui connaît le demandeur depuis 1998, le directeur de W.Y._ A._ et D._, administrateur de V._ SA. Convoqué en tant que témoin par le demandeur, C._, qui travaillait anciennement à la banque M._ de Zurich, n'a pas comparu, expliquant qu'il vivait désormais à Dubaï; le prénommé a toutefois déposé une déclaration écrite.
B.b Par jugement du 21 septembre 2007, le Tribunal des prud'hommes a condamné la défenderesse à verser au demandeur les sommes nette de 68'750 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 15 mai 2006 et brute de 100'000 EUR plus intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2006 correspondant à ce qu'il aurait perçu si le contrat de travail avait pris fin de façon ordinaire, ainsi que les montants nets de 18'750 fr. et 37'500 EUR avec intérêts à 5% l'an dès le 1er mai 2006 à titre d'indemnités pour licenciement immédiat injustifié, la partie qui en a la charge étant invitée à opérer les déductions sociales usuelles.
Les premiers juges ont retenu qu'aucun motif ne permettait à la défenderesse de résilier avec effet immédiat le contrat de travail du 24 mai 2005 et qu'il ressortait au contraire des faits établis que le demandeur avait été licencié parce qu'il avait refusé la modification de son contrat. Le travailleur avait donc droit aux salaires qu'il aurait perçus si le contrat avait duré jusqu'à son terme, plus une indemnité pour congé abrupt injustifié équivalant à trois mois de la rémunération mensuelle convenue.
B.c Saisie d'un appel de la défenderesse, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève, par arrêt du 28 octobre 2008, a annulé le jugement précité et, statuant à nouveau, débouté le demandeur de toutes ses conclusions.
La cour cantonale a considéré en substance que le demandeur n'avait jamais fourni la moindre prestation concrète prévue par le contrat de travail du 24 mai 2005 et qu'au début de son activité il ne disposait à Genève ni d'un logement ni d'aucun moyen de communication de sorte qu'il fallait lui reprocher une carence totale d'organisation doublée d'un défaut d'une infrastructure de base pour mener à bien les tâches qui lui avaient été confiées. La Cour d'appel en a déduit que la défenderesse était fondée à congédier sans délai le demandeur.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Il conclut principalement à ce que la défenderesse soit déclarée sa débitrice des montants qui suivent:
- 68'750 fr. nets avec intérêts à 5% l'an dès le 15 mai 2006 à titre d'indemnité de logement pour les mois de décembre 2005 à octobre 2006;
- 100'000 EUR bruts avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2006 à titre de salaires pour les mois de mars à octobre 2006;
- 18'750 fr. nets et 37'500 EUR nets, plus intérêts à 5% l'an dès le 1er mai 2006, au titre d'indemnités pour licenciement injustifié selon l'art. 337c al. 3 CO.
Subsidiairement, le recourant requiert le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision et/ou instruction complémentaire dans le sens des considérants.
L'intimée propose le rejet du recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie demanderesse qui a entièrement succombé dans ses conclusions condamnatoires et qui a ainsi la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire de droit du travail dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. de l'art. 74 al. 1 let. a LTF, le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. En vertu de l'exception ancrée à l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante. Pour le reste, il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision déférée; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.1 et l'arrêt cité). Toutefois, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.1).
1.2 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.3) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Il appartient au recourant de soulever expressément un grief à ce propos et de présenter une démonstration précise et circonstanciée (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 2.2; 133 II 545 consid. 2.2).
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 La présente cause revêt un aspect international du fait que le demandeur est domicilié aux Etats-Unis d'Amérique. Il sied donc de contrôler d'office la question du droit applicable au litige, en fonction de la loi du for, singulièrement de la LDIP (RS 291; <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2 Il n'est pas contesté que les plaideurs ont conclu un contrat de travail. Si comme en l'espèce les parties ne sont pas convenues du droit applicable (cf. art. 116 et 121 al. 3 LDIP), le contrat de travail est régi par le droit de l'Etat dans lequel le travailleur accomplit habituellement son travail (art. 121 al. 1 LDIP).
Dans la présente cause, si l'exécution du contrat nécessitait la présence du demandeur à Genève, il n'est pas évident qu'il devait accomplir son travail dans cette cité. De fait, la cour cantonale a fait état, à la page 13 in medio de l'arrêt critiqué, d'une allégation de la défenderesse selon laquelle le recourant était censé voyager et non pas demeurer à Genève pour y travailler.
A teneur de l'art. 121 al. 2 in principio LDIP, si le travailleur accomplit habituellement son travail dans plusieurs Etats, le contrat de travail est régi par le droit de l'Etat de l'établissement de l'employeur. La société intimée ayant son siège dans le canton de Genève, elle y a son établissement (art. 21 al. 3 LDIP). C'est donc assurément le droit suisse qui gouverne les relations juridiques nouées par les parties.
3. Le recourant soutient que l'appréciation des preuves opérée par l'autorité cantonale et l'établissement des faits qui en est résulté dans l'arrêt critiqué sont entachés d'arbitraire. Le demandeur affirme qu'il était insoutenable de retenir qu'il n'a pas fourni la moindre prestation concrète pendant les cinq premiers mois du rapport de travail qui le liait à la défenderesse. Il prétend ainsi que, de manière indéfendable, la Cour d'appel n'a accordé aucun poids au voyage qu'il a effectué à Zurich en novembre 2005, lequel lui a permis de rencontrer tour à tour B._ et C._, ainsi qu'à sa participation à une conférence à Londres en décembre 2005. De même, cette autorité aurait occulté l'activité, établie par pièces, qu'il a déployée lors d'un déplacement professionnel aux Etats-Unis effectué en janvier 2006 et celle qu'il a consacrée en vue d'un voyage prévu en Allemagne.
3.1 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire, au sens de l'art. 9 Cst., lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et reconnu, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que dans la mesure où celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain. Il n'y a pas arbitraire du fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou serait même préférable (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2.1).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsqu'elle tire des conclusions insoutenables à partir des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsqu'elle tire des conclusions insoutenables à partir des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
3.2 3.2.1 A propos de la rencontre avec le biochimiste B._ survenue en novembre 2005 dans un hôtel de Zurich, la cour cantonale a retenu qu'elle était restée sans effet, car le prénommé n'avait pas parlé de l'intimée à ses clients, dont aucun n'avait du reste rencontré plus tard le recourant. Quant à l'entretien avec C._ obtenu le même mois, il n'entrait pas dans l'activité du demandeur.
Pour le recourant, ces constatations sont arbitraires à considérer la déposition de B._ et le courriel qu'il a envoyé le 25 janvier 2006 à A._. En ce qui concerne la déposition de C._, elle aurait dû être écartée, car il s'agissait d'un témoignage écrit prohibé en droit cantonal genevois.
3.2.2 Dans un courriel du 25 janvier 2006 destiné à A._, le demandeur a expliqué que s'il avait été peu productif entre le 1er novembre et le 10 décembre 2005, il avait tout de même effectué pendant cette période deux voyages d'affaires prometteurs en Suisse lui ayant permis de rencontrer B._ et C._.
Entendu le 8 mai 2007 par le Tribunal des prud'hommes, B._ a exposé avoir été contacté, en raison de sa notoriété dans le monde universitaire, par le recourant dont il avait fait la connaissance alors que le témoin était membre de la direction de l'EPFZ. Ce dernier a rencontré le demandeur une première fois en novembre 2005, où ils ont discuté plusieurs heures de personnalités connues de B._, spécialement en Suisse, en Allemagne et en Autriche, auxquelles le demandeur devait parler de Y._. Le demandeur est venu à cet entretien avec « toute la documentation » et la conversation n'a eu pour objet que Y._. Si le témoin n'a pas contacté immédiatement des clients, c'est parce qu'il lui fallait comprendre l'important dossier qui lui avait été remis. Le témoin a ajouté qu'il connaissait beaucoup d'institutions qui auraient été intéressées à utiliser les services de l'intimée. Louant le professionnalisme du recourant et sa parfaite connaissance de l'Europe, B._ a assuré qu'il aurait collaboré avec lui sur le projet Y._ si le demandeur n'avait pas été licencié en avril 2006.
3.2.3 Il résulte de la déclaration du témoin précité qu'en novembre 2005 le recourant a eu un entretien de plusieurs heures avec une personne renommée dans le milieu universitaire ayant occupé de hautes fonctions à l'EPFZ et possédant ainsi un important carnet d'adresses. Informé par le demandeur du projet Y._ au moyen de la remise de nombreux documents, B._ a certifié que des institutions qu'il connaissait pouvaient avoir de l'intérêt à traiter avec la défenderesse et que, pour sa part, il n'aurait pas hésité à collaborer avec le demandeur si celui-ci avait continué à travailler pour l'intimée.
Il n'est pas possible de tirer de ces éléments que l'entrevue avec B._ allait permettre à la défenderesse d'obtenir de nouveaux clients. Le prénommé, tout en disant tout le bien qu'il pense du demandeur, n'a fait part que de simples conjectures à ce propos; il a d'ailleurs révélé n'avoir pris langue avec aucune de ses relations après la rencontre avec le demandeur pour présenter les services qu'était susceptible d'offrir la défenderesse. Il n'était ainsi pas arbitraire de nier que cet entretien constituât une prestation utile du travailleur.
En ce qui concerne C._, le demandeur a admis que le précité lui avait remis une liste d'institutions et de personnes pouvant être intéressées à recourir aux prestations de l'intimée. On cherche alors vainement en quoi il était insoutenable de déclarer non décisive une déclaration, qui montre que le recourant, pour dénicher de nouveaux clients en faveur de son employeur, cherchait à bénéficier du réseau de relations d'un tiers, et non à utiliser son propre carnet d'adresses comme il s'était engagé à le faire.
En ce qui concerne C._, le demandeur a admis que le précité lui avait remis une liste d'institutions et de personnes pouvant être intéressées à recourir aux prestations de l'intimée. On cherche alors vainement en quoi il était insoutenable de déclarer non décisive une déclaration, qui montre que le recourant, pour dénicher de nouveaux clients en faveur de son employeur, cherchait à bénéficier du réseau de relations d'un tiers, et non à utiliser son propre carnet d'adresses comme il s'était engagé à le faire.
3.3 3.3.1 S'agissant de la participation du recourant à une conférence à Londres les 2, 3 et 4 décembre 2005, l'autorité cantonale a retenu que ce dernier n'avait présenté aucun document montrant qu'il aurait tenté de mettre un des participants en relation avec l'intimée, étant précisé qu'il n'avait même pas fait accompagner son nom dans la liste des participants de sa fonction de « senior advisor » auprès de Y._.
Le recourant soutient que ces constatations sont insoutenables au regard du courriel qu'il a adressé à A._ le 9 décembre 2005.
3.3.2 Il ressort de ce courriel du demandeur, envoyé à son supérieur quelques jours après la fin de la conférence de la fondation R._ organisée à Londres dans les premiers jours de décembre 2005, qu'il y a rencontré, à l'occasion de conversations tenues au cours de dîners de gala, diverses personnes apparemment actives dans des organisations à but non lucratif.
Ce message électronique ne relate que les propres affirmations du demandeur. Il ne décrit de toute façon pas quelles démarches précises le recourant aurait entreprises pour qu'un au moins des participants à ces agapes entre en relation avec l'intimée pour obtenir ses services. Le fait que le recourant n'a pas fait figurer sa qualité de « senior advisor » de l'intimée sur la liste des participants à ladite conférence ne démontre en tout cas pas une grande volonté d'y faire connaître la société qui l'employait.
Dans ce contexte, il n'était pas indéfendable de refuser de voir en la présence du demandeur à cette conférence une activité pouvant être utile à la défenderesse.
Dans ce contexte, il n'était pas indéfendable de refuser de voir en la présence du demandeur à cette conférence une activité pouvant être utile à la défenderesse.
3.4 3.4.1 Le recourant affirme que l'autorité cantonale a fait abstraction, de façon arbitraire, du travail qu'il a accompli aux Etats-Unis pour la défenderesse en janvier 2006. Et de se référer aux pièces 9, 10 et 24 de l'intimée et à la pièce 10 de son propre chargé.
3.4.2 Dans sa réponse d'appel du 14 décembre 2007, le demandeur a allégué s'être rendu à Indianapolis, précisément à l'Indiana University Foundation, du 12 au 14 janvier 2006 pour y rencontrer le président du comité financier de la fondation, lequel a par la suite invité A._ à venir sur place lui présenter un concept de gestion le 1er mai 2006.
Par courriel du 25 janvier 2006 envoyé à A._, le demandeur, qui avait annoncé ce déplacement à l'employeur le 9 décembre 2005, a mentionné qu'il avait été reçu par la fondation précitée comme un spécialiste distingué du monde de l'éducation et de la culture, de sorte que la conclusion d'un contrat avec cette institution paraissait possible dans les prochains mois.
Il résulte d'un e-mail qu'un membre de la fondation de l'Université d'Indiana a transmis le 19 janvier 2006 aux autres membres de la fondation que la réunion avec le recourant a été fructueuse et utile au point qu'elle a contribué à la mise en place d'un ordre du jour pour de futures activités destinées à appuyer le but de la fondation.
Dans un courriel du 13 avril 2006 envoyé au demandeur, A._ a confirmé participer à la rencontre prévue à l'Université d'Indiana, avant de se raviser au vu de la dégradation du climat entre parties.
3.4.3 Le recourant n'a pas démontré, en s'appuyant sur ces éléments de preuve, dans quelle mesure ce déplacement auprès d'une université américaine avait été profitable pour le développement des affaires de l'employeur. Il ne fait à nouveau mention que de perspectives, du reste abstraites et indéterminées dans le temps, d'obtenir de nouveaux clients pour la défenderesse.
Dans la mesure où le moyen est suffisamment motivé (art. 106 al. 2 LTF), il sied d'admettre que la cour cantonale n'a pas fait montre d'arbitraire en passant sous silence ledit voyage aux Etats-Unis.
Dans la mesure où le moyen est suffisamment motivé (art. 106 al. 2 LTF), il sied d'admettre que la cour cantonale n'a pas fait montre d'arbitraire en passant sous silence ledit voyage aux Etats-Unis.
3.5 3.5.1 Le recourant soutient que la Cour d'appel a complètement occulté le travail accompli pour prospecter de la clientèle en Allemagne, qui devait culminer par un déplacement dans ce pays durant les mois de février et mars 2006. Il se rapporte à la pièce 16 de l'intimée.
3.5.2 Par courriel du 26 février 2006, le demandeur a fait savoir à son supérieur A._ qu'en mars il allait se concentrer sur l'Allemagne, qu'il avait déjà obtenu des lettres d'introduction auprès de l'éditeur d'un grand quotidien allemand, d'un économiste en chef d'une grande banque dudit pays, d'un récent ambassadeur de l'Allemagne aux Etats-Unis et de dirigeants du groupe BMW. Il révélait aussi dans ce message qu'il allait rendre visite à deux des plus importantes fondations allemandes, soit les fondations Volkswagen et Bosch, dont il connaissait les directeurs.
L'autorité cantonale a fait une très brève allusion, en passant, à ce courriel. On ne saurait le lui reprocher, dès lors qu'il s'agissait d'un document du demandeur, qui ne reflétait que sa vision des choses et son espoir d'amener à l'employeur des clients importants. Comme aucune autre pièce ou témoignage n'est venu confirmer ces dires, il n'était pas déraisonnable de refuser de voir dans cette pièce la preuve que des prestations utiles avaient été accomplies par le travailleur pour la défenderesse.
3.6 Il suit de là que l'autorité cantonale n'est pas tombée dans l'arbitraire en retenant en fait que le recourant n'avait pas fourni la moindre prestation de travail concrète pour l'intimée avant d'être licencié abruptement.
4. Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 337 CO. Il fait valoir que la cour cantonale n'a pas respecté les conditions strictes posées par la jurisprudence pour procéder à un licenciement immédiat. A l'en croire, il n'a jamais reçu un avertissement formel lui signifiant qu'il serait congédié avec effet immédiat s'il ne se conformait pas à ses obligations contractuelles. Il allègue encore que la défenderesse a résilié le contrat de travail le 30 avril 2006 alors qu'elle s'était plainte depuis des mois des prestations qu'il effectuait pour son compte; il en déduit que le licenciement en question était tardif.
4.1 Il est constant que les parties se sont liées par un contrat de travail et que celui-ci était conclu pour une durée déterminée, dont l'échéance était fixée au 31 octobre 2006. Le contrat n'était donc pas susceptible d'une résiliation ordinaire avec observation d'un délai de congé, selon l'art. 335 al. 1 CO, mais une résiliation immédiate pour de justes motifs, selon l'art. 337 CO, pouvait entraîner son expiration avant la date convenue (ULLIN STREIFF/ADRIAN VON KAENEL, Leitfaden zum Arbeitsvertragsrecht, 6e éd., 2006, ch. 4 ad art. 337 CO).
Selon l'art. 337 al. 1 1ère phrase CO, l'employeur et le travailleur peuvent résilier immédiatement le contrat de travail en tout temps pour de justes motifs. Doivent notamment être considérées comme tels toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail (cf. art. 337 al. 2 CO).
Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués à l'appui d'un renvoi immédiat doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave du travailleur justifie son licenciement immédiat; si le manquement est moins grave, il ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 31, 213 consid. 3.1 p. 221; <ref-ruling> consid. 2.1). Par manquement du travailleur, on entend la violation d'une obligation imposée par le contrat, mais d'autres faits peuvent aussi justifier une résiliation immédiate (cf. ATF <ref-ruling> consid. 2.2).
Savoir s'il y a gravité suffisante dans un cas donné est une question d'appréciation (<ref-ruling> consid. 1c). Le juge apprécie ainsi librement s'il existe de justes motifs (art. 337 al. 3 in initio CO). Il applique les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC). A cet effet, il prendra en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position et les responsabilités du travailleur, le type et la durée des rapports contractuels, ainsi que la nature et l'importance des manquements (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 32; <ref-ruling> consid. 4a p. 354. Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou, à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 32, 213 consid. 3.1 p. 220; <ref-ruling> consid. 2 p. 382).
4.2 En l'occurrence, il a été retenu, sans que l'arbitraire soit démontré (cf. consid. 3 ci-dessus), que le demandeur, engagé comme « senior advisor », n'a accompli aucune prestation concrète pour la défenderesse tout au long des six mois pendant lesquels il a été lié à cette dernière par un contrat de travail. Pourtant, dès le 8 décembre 2005, l'intimée lui faisait grief de n'avoir pas encore commencé à travailler pour elle, à telle enseigne qu'elle lui proposait de repousser d'un commun accord l'entrée en vigueur du contrat au 1er février 2006. Le demandeur n'a pas accepté cette offre, mais ne s'est pas mis pour autant au travail. Or l'obligation d'accomplir le travail donné par l'employeur est une obligation fondamentale qui incombe au travailleur (cf. art. 319 al. 1 CO). En ne faisant rien d'utile pour la défenderesse de début novembre 2005 à fin avril 2006, cela alors que sa rémunération annuelle brute dépassait 300'000 fr., le recourant a commis un manquement si grave à son contrat qu'il constituait un juste motif de congé ne nécessitant pas d'avertissement préalable.
Il ressort d'ailleurs d'une jurisprudence déjà ancienne que si le travailleur ne satisfait durablement pas aux exigences minimales que l'employeur est en droit d'attendre de tout collaborateur pour un poste du même genre, son incapacité professionnelle est un motif de renvoi abrupt (<ref-ruling> consid. 2a p. 145/146). Ce précédent est pertinent dans le cas présent.
En admettant que le congé sans délai était justifié parce que le demandeur n'avait pas fourni à l'employeur la moindre prestation concrète de travail, la Cour d'appel a correctement appliqué l'art. 337 CO. Ce résultat dispense le Tribunal fédéral de contrôler si les deux autres reproches adressés au demandeur par la Cour d'appel (non-installation à Genève à la date convenue, impossibilité d'être atteint par téléphone pendant trois mois) représentaient d'autres justes motifs de licenciement abrupt.
4.3 Il reste uniquement à examiner si la défenderesse a tardé à donner le congé immédiat au travailleur pour le motif retenu ou si elle lui a laissé entendre qu'elle y avait renoncé, ainsi que ce dernier le soutient.
4.3.1 Le Tribunal fédéral admet que la partie qui résilie un contrat de travail en invoquant un juste motif ne dispose que d'un court délai de réflexion dès la connaissance des faits pour signifier la rupture immédiate des relations. Un délai de réflexion généralement de deux à trois jours est présumé approprié; un délai supplémentaire n'est accordé à celui qui entend résilier le contrat que si l'on se trouve en présence d'événements particuliers qui exigent dans le cas concret l'admission d'une exception à la règle (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 34 et les arrêts cités). S'il tarde à réagir, l'employeur est présumé renoncer au licenciement immédiat (RÉMY WYLER, Droit du travail, 2e éd., Berne 2008, p. 502 s.).
4.3.2 La présente espèce est tout à fait particulière en ce sens que ce n'est pas un acte isolé de gravité absolue, et encore moins la réitération d'actes de gravité relative qui ont été considérés propres à justifier le congé abrupt. Il s'agit au contraire de la constante violation par le recourant de son obligation de travailler pour la défenderesse.
Dans un tel cas de figure, il convient de raisonner en s'inspirant des récents développements de la jurisprudence pénale en relation avec le point de départ du délai de prescription des délits continus.
Une infraction est dite continue lorsque les actes créant la situation illégale forment une unité avec ceux qui la perpétuent, ou avec l'omission de la faire cesser, pour autant que le comportement visant au maintien de l'état de fait délictueux soit expressément ou implicitement contenu dans les éléments constitutifs du délit. En d'autres termes, le délit continu se caractérise par le fait que la situation illicite créée par un état de fait ou un comportement contraire au droit se poursuit. Il est réalisé sitôt accompli le premier acte délictueux, mais n'est achevé qu'avec la fin ou la suppression de l'état contraire au droit (cf. <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 3.1.2.2). Le délai de prescription ne commence alors à courir que du jour où les agissements coupables ont cessé (ATF <ref-ruling> consid. 3.1.2.3).
En l'occurrence, il a été retenu que le recourant a sans discontinuer enfreint son obligation d'exécuter les services que l'employeur attendait de lui. Le demandeur ayant violé en permanence le contrat de travail, il faut considérer, par analogie avec la conception du droit pénal exposée supra, que le délai de péremption du droit d'invoquer ce juste motif de congé n'avait pas commencé à courir avant la rupture du lien contractuel, laquelle a été signifiée avec effet immédiat le 30 avril 2006.
Il suit de là que l'intimée n'était pas forclose lorsqu'elle a invoqué la transgression pérenne de l'obligation de travailler en cours de contrat, à savoir dans ses courriels des 7 et 13 avril 2006, violation qui l'a conduite à mettre sans délai un terme au contrat le 30 avril 2006.
Enfin, le recourant ne peut rien tirer du fait que l'intimée lui a soumis un nouveau projet de convention le 13 juin 2006, soit six semaines après la fin du contrat de travail conclu le 24 mai 2005. Ce projet avait trait à la passation d'un contrat avec une rétribution sous forme de commissions. Il apparaît clairement que l'intimée voulait désormais lier le versement d'une rémunération à l'exécution par le demandeur de ses obligations. C'est donc sur une base complètement différente que la défenderesse entendait poursuivre des relations contractuelles avec le demandeur. Ce faisant, l'intimée n'a pas donné à penser qu'elle avait renoncé au congé abrupt et voulait maintenir entre parties des relations de travail.
5. En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Comme la valeur litigieuse, calculée selon les prétentions à l'ouverture de l'action (<ref-ruling> consid. 5b p. 41), dépasse le seuil de 30'000 fr., le montant de l'émolument judiciaire est fixé selon le tarif ordinaire (art. 65 al. 3 let. b LTF) et non réduit (art. 65 al. 4 let. c LTF). Compte tenu de l'issue du litige, les frais et dépens sont mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 7'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 12 mars 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet