Sachverhalt:
A. Die 1949 geborene T._ war bis Ende Juni 2010 als Pflegefachfrau im Zentrum X._ tätig und dadurch bis zum Ablauf der gesetzlichen Nachdeckungsfrist von 30 Tagen bei der ÖKK Kranken- und Unfallversicherungen AG (nachfolgend: ÖKK) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 30. Juli 2010 teilte sie der ÖKK telefonisch mit, sie habe im Juli einen Unfall erlitten, als sie in einem Pflegeheim, in welchem sie sich für ein Vorstellungsgespräch und zum Schnuppern aufgehalten habe, mit einer Bewohnerin spazieren gegangen sei. Am 9. August 2010 reichte T._ der ÖKK eine entsprechende schriftliche Schadenmeldung ein. Sie gab hiebei weiter an, sie sei am 27. Juli 2010 mit einer betagten Frau im Rollstuhl auf der Strasse gegangen und schmerzhaft gestolpert. Dabei habe sie sich einen Meniskusriss am linken Knie zugezogen. Die ÖKK holte Arztberichte ein und traf Abklärungen zum Geschehensablauf. Mit Verfügung vom 27. August 2010 verneinte sie ihre Leistungspflicht mit der Begründung, der erlittene Meniskusriss sei weder mit einem Unfall noch mit einer unfallähnlichen Körperschädigung zu erklären. Die vom Krankenpflegeversicherer der T._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die ÖKK nach ergänzender Abklärung zum Geschehensablauf mit Entscheid vom 23. Dezember 2010 ab.
B. Beschwerdeweise beantragte T._, in Aufhebung der Verfügung vom 27. August 2010 resp. des Einspracheentscheides vom 23. Dezember 2010 seien ihr für das Unfallereignis vom 27. Juli 2010 die Leistungen aus der Unfallversicherung, insbesondere Taggeld und Heilbehandlung, zuzusprechen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 31. Mai 2012 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt T._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids beantragen und ihr vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern; eventuell sei die Sache für weitere Sachverhaltsabklärungen an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Die ÖKK lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist es nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aufgrund des im Juli/August 2010 gemeldeten Meniskusrisses ein Anspruch auf Leistungen der obligatori-schen Unfallversicherung besteht.
Die massgeblichen Bestimmungen sind im angefochtenen Entscheid zutreffend wiedergegeben. Gemäss <ref-law>, soweit hier von Interesse, werden die Versicherungsleistungen, falls das UVG nichts anderes bestimmt, bei Berufsunfällen, Nichtberufsunfällen und Berufskrankheiten gewährt (Abs. 1). Der Bundesrat kann Körperschädigungen, die den Folgen eines Unfalles ähnlich sind, in die Versicherung einbeziehen (Abs. 2). Als Unfall im Sinne von <ref-law> gilt die plötzliche, nicht beabsichtigte schädigende Einwirkung eines ungewöhnlichen äusseren Faktors auf den menschlichen Körper, die eine Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit oder den Tod zur Folge hat (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Gemäss dem gestützt auf <ref-law> ergangenen <ref-law> sind verschiedene, in lit. a-h abschliessend aufgezählten Körperschädigungen auch ohne ungewöhnliche äussere Einwirkung Unfällen gleichgestellt, sofern sie nicht eindeutig auf eine Erkrankung oder eine Degeneration zurückzuführen sind. Zu diesen sog. unfallähnlichen Körperschädigungen gehören die Meniskusrisse (<ref-law>).
Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zum Untersuchungsgrundsatz und zu den zu beachtenden Beweisregeln. Darauf wird verwiesen.
3. Der Unfallversicherer hat einen Leistungsanspruch aus Unfall verneint. Das kantonale Gericht hat das bestätigt. Diese Beurteilung wird von der Versicherten letztinstanzlich nicht in Frage gestellt und gibt keinen Anlass zu Weiterungen.
Streitig und zu prüfen ist, ob aufgrund des Meniskusrisses ein Anspruch aus unfallähnlicher Körperschädigung besteht. Dabei ist unbestritten, dass die Versicherte sich am 27. Juli 2010 für ein Vorstellungsgespräch und zum Schnuppern im Wohn- und Pflegeheim S._ (nachfolgend: Heim S._), aufgehalten hat und es gleichentags zur besagten Schädigung des Meniskus gekommen ist. Unfallversicherer und Vorinstanz haben eine unfallähnliche Körperschädigung aber mit der Begründung verneint, es fehle am hiefür erforderlichen äusseren Faktor.
3.1 Mit Ausnahme der Ungewöhnlichkeit müssen auch bei den unfallähnlichen Körperschädigungen die Tatbestandsmerkmale des Unfallbegriffs erfüllt sein. Besondere Bedeutung kommt hierbei der Voraussetzung eines äusseren Ereignisses zu, d.h. eines ausserhalb des Körpers liegenden, objektiv feststellbaren, sinnfälligen, eben unfallähnlichen Vorfalles. Wo ein solches Ereignis mit Einwirkung auf den Körper nicht stattgefunden hat, und sei es auch nur als Auslöser eines in Art. 9 Abs. 2 lit. a-h UVV aufgezählten Gesundheitsschadens, liegt eine eindeutig krankheits- oder degenerativ bedingte Gesundheitsschädigung vor (<ref-ruling> E. 2.2 S. 467; vgl. auch SVR 2012 UV Nr. 10 S. 34, 8C_118/2011 E. 3 in fine; Urteil 8C_158/2007 vom 13. November 2007 E. 3, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2008 UV Nr. 15 S. 49).
3.2 Die Vorinstanz hat erkannt, ob sich am 27. Juli 2010 tatsächlich ein unfallähnliches, sinnfälliges Ereignis zugetragen habe, sei durch die Akten nicht belegt. Es spreche mindestens so viel dagegen wie dafür. Letztlich könne aber offen bleiben, ob es gemäss herrschender Aktenlage sogar überwiegend wahrscheinlich sei, dass sich am 27. Juli 2010 kein rechtlich relevantes Ereignis zugetragen habe, oder ob beide Möglichkeiten gleich wahrscheinlich seien. Streitent-scheidend sei jedenfalls, dass sich der Sachverhalt nicht weiter erhellen lasse und dass nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sei, dass am 27. Juli 2010 ein unfallähnliches Ereignis passiert sei. Die Folgen dieser Beweislosigkeit wirkten sich zu Lasten der Versicherten aus.
Die Beschwerdeführerin vertritt demgegenüber die Auffassung, ein unfallähnliches Ereignis sei nach Lage der Akten erstellt. Sollte dies dennoch verneint werden, seien jedenfalls ergänzende Abklärungen zum Hergang des Ereignisses zu treffen, bevor eine Leistungspflicht der ÖKK wegen Beweislosigkeit ausgeschlossen werden könne.
Die Beschwerdegegnerin postuliert, es sei dem kantonalen Gericht zu folgen.
3.3 Der Sozialversicherungsprozess ist vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht. Danach hat das Gericht von Amtes wegen für die richtige und vollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes zu sorgen. Der Sozialversicherungsträger als verfügende Instanz und - im Beschwerdefall - das Gericht dürfen eine Tatsache nur dann als bewiesen annehmen, wenn sie von ihrem Bestehen überzeugt sind. Im Sozialversicherungsrecht hat das Gericht seinen Entscheid, sofern das Gesetz nicht etwas Abweichendes vorsieht, nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu fällen. Die blosse Möglichkeit eines bestimmten Sachverhalts genügt den Beweisanforderungen nicht. Der Richter und die Richterin haben vielmehr jener Sachverhaltsdarstellung zu folgen, die sie von allen möglichen Geschehensabläufen als die wahrscheinlichste würdigen (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 221 f. mit Hinweisen).
Der Untersuchungsgrundsatz schliesst die Beweislast im Sinne der Beweisführungslast begriffsnotwendig aus, da es Sache des Sozialversicherungsgerichts (oder des verfügenden Sozialversicherungsträgers) ist, für die Zusammentragung des Beweismaterials besorgt zu sein. Im Sozialversicherungsprozess tragen mithin die Parteien in der Regel eine Beweislast nur insofern, als im Falle der Beweislosigkeit der Entscheid zu Ungunsten jener Partei ausfällt, die aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte. Diese Beweisregel greift allerdings erst Platz, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes aufgrund einer Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 222 mit Hinweisen).
3.4 Das kantonale Gericht stützt seine Beurteilung insbesondere auf den Umstand, dass sich die Versicherte unterschiedlich zum Geschehensablauf geäussert habe, und auf die Aussagen des W._, Leitung/Pflegedienst und Heimleitung Stv. des Heims S._. W._ hatte am 16. November 2010 telefonisch und per e-mail namentlich angegeben, die Versicherte habe im Heim S._ geschnuppert, sei dabei aber zu keinem Zeitpunkt mit einer Bewohnerin spazieren gegangen. Entgegen einer vorübergehenden Darstellung der Versicherten, wonach diese vor dem Wohn- und Pflegeheim in ein Loch getreten sei, habe es dort auch kein Loch.
Gestützt auf die bestehenden Akten lässt sich in der Tat nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf ein unfallähnliches, sinnfälliges Ereignis schliessen. Dafür genügen entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch die Schilderungen der Versicherten nicht. Anderseits sind diese Aussagen aber auch nicht so widersprüchlich, dass die Darstellung der Beschwerdeführerin von vornherein als unglaubwürdig betrachtet werden muss und mit dieser Begründung ein unfallähnliches Ereignis ohne Weiteres auszuschliessen ist.
Es fragt sich, ob im Sinne der Eventualbegründung der Versicherten der Untersuchungsgrundsatz geboten hätte, weitere Abklärungen vorzunehmen.
3.5 Die Beschwerdeführerin beantragt hiezu, es sei ein Bericht des Dr. med. A._ einzuholen resp. dieser als Zeuge einzuvernehmen. Dieser Arzt habe sie am Tag des Ereignisses behandelt. Zudem seien eine Mitarbeiterin des Heims S._ namens H._ als Zeugin zu befragen und Aufzeichnungen des Heims beizuziehen.
3.6 Dr. med. A._ ist der Ehemann der Beschwerdeführerin, weshalb ihm ein gewisses Eigeninteresse an einer Bejahung der Leistungspflicht der ÖKK nicht abgesprochen werden kann. Seine Aussagen wären daher von vornherein nur mit grosser Zurückhaltung zu gewichten, weshalb sowohl von der Einholung eines Berichts als auch von einer Befragung als Zeuge keine entscheidrelevanten neuen Ergebnisse zu erwarten sind.
3.7 Bezüglich der als Zeugin beantragten H._ wird geltend gemacht, diese habe als Mitarbeiterin des Heims S._ die Versicherte unmittelbar nach Eintritt des Gesundheitsschadens betreut und mit Medikamenten versorgt. H._ könne dies und die hiebei gemachten Aussagen der Beschwerdeführerin zum Geschehensablauf bestätigen.
Die Vorinstanz hat lediglich erwogen, die beantragte Zeugin habe von keiner der Prozessparteien eruiert werden können. Aus den Erwägungen im angefochtenen Entscheid wird nicht deutlich, ob sich dies auf die vorgenannte H._ oder aber auf eine andere Zeugin, auf welche sich die Versicherte im kantonalen Verfahren noch zusätzlich berufen hatte, beziehen soll. Hinsichtlich des Zeugenantrages betreffend H._ überzeugt die vorinstanzliche Beurteilung jedenfalls nicht. Die Beschwerdeführerin hat den Namen und den Arbeitsort dieser Person im kantonalen Verfahren angegeben. Es ist nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz oder die ÖKK auf den entsprechenden Beweisantrag hin Abklärungen zur Identität und Erreichbarkeit einer solchen Person getroffen hätten. Der Unfallversicherer beschränkte sich auf die Feststellung, W._ habe am 16. November 2010 angegeben, es seien keine Zeugen für ein solches Ereignis vorhanden. Das genügt nicht, zumal W._ dabei nicht mit dem Namen H._ konfrontiert worden war. Es geht zudem nicht darum, dass die beantragte Zeugin das geltend gemachte Geschehen selber miterlebt haben soll, sondern um die Bestätigung der Aussagen, welche die Versicherte gemäss eigener Darstellung damals gemacht hat. Der Sachverhalt ist daher insofern unvollständig festgestellt worden, zumal nicht von vornherein ausgeschlossen werden kann, dass sich aus einer solchen Zeugenaussage wesentliche Gesichtspunkte zur Beurteilung des streitigen Leistungsanspruchs ergeben. Gleiches gilt hinsichtlich des beantragten Beizugs von Aufzeichnungen des Heims S._. Diese Abklärungen im Sinne der beantragten Zeugenbefragung und Heranziehung von Aufzeichnungen sind nachzuholen. Erst wenn auch diese Abklärungen ergeben, dass nicht verlässlich auf ein sinnfälliges äusseres Ereignis geschlossen werden kann, ist ein solches und damit die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin aus unfallähnlicher Körperschädigung zu verneinen. Die Sache wird für diese Beweisabnahmen und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen. In diesem Sinne ist die Beschwerde gutzuheissen.
4. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG; Urteil 8C_727/2011 vom 1. März 2012 E. 5, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2012 UV Nr. 20 S. 73; Urteil 8C_905/2011 vom 6. Juni 2012 E. 7 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Mai 2012 aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Januar 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz