Sachverhalt:
A. Der 1947 geborene M._ war Geschäftsführer bei der Firma I._ AG und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 1. April 2006 war er in einen Autounfall verwickelt. Danach litt er an gesundheitlichen Beschwerden. Die SUVA kam für die Heilbehandlung und das Taggeld auf. Mit Verfügung vom 30. Mai 2008 stellte sie die Versicherungsleistungen per 15. Juni 2008 ein. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 9. November 2009 ab.
B. In Gutheissung der hiegegen eingereichten Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die SUVA zurück, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägung 8c, neu verfüge (Entscheid vom 25. Oktober 2010).
C. Mit Beschwerde beantragt die SUVA die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
Der Versicherte schliesst auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des vorinstanzlich Angeordneten dient, um einen selbstständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f. SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131 E. 1.1 [9C_684/2007]). Im Umstand, dass dieser Entscheid mit der Bejahung der adäquaten Kausalität zwischen dem Unfall des Versicherten vom 1. April 2006 und den am 15. Juni 2008 geklagten psychischen Beschwerden materiell verbindliche Feststellungen enthält, welche die SUVA bei Vorliegen der übrigen Erfordernisse verpflichten, Leistungen zuzusprechen, und der darauf beruhende Endentscheid praktisch nicht angefochten und das Ergebnis nicht mehr korrigiert werden könnte, ist ein offenkundiger, nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne des <ref-law> zu erblicken. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.; nicht publ. E. 1.2.1 des Urteils <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 40 S. 137 [8C_531/2008], nicht publ. E. 1.2.1 des Urteils <ref-ruling>, aber in: SVR 2008 UV Nr. 31 S. 115 [8C_682/2007]; Urteil 8C_622/2010 vom 3. Dezember 2010 E. 1.1 f.).
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft jedoch grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die Rechtsmängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die SUVA aufgrund des Unfalls des Beschwerdegegners vom 1. April 2006 nach dem 15. Juni 2008 weiterhin leistungspflichtig ist.
Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f.) sowie die erforderliche Adäquanz des Kausalzusammenhangs bei psychischen Unfallfolgen (<ref-ruling>) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling>; SVR 2010 UV Nr. 17 S. 63 E. 4 [8C_239/2008]). Der Versicherte reicht neu einen Bericht des Neurologen Dr. med. S._ vom 24. Januar 2011 ein, macht aber keine nach <ref-law> relevanten Gründe (hierzu vgl. nicht publ. E. 2.3 des Urteils <ref-ruling>, in SVR 2009 BVG Nr. 30 S. 109 [9C_920/2008]) geltend, weshalb dieser unbeachtlich ist.
4.2 Soweit die SUVA und der Versicherte die im Verwaltungsverfahren bzw. im vorinstanzlichen Verfahren gemachten Eingaben zum integrierenden Bestandteil ihrer letztinstanzlichen Rechtsschriften erklären, ist dies unzulässig (<ref-ruling>; SVR 2010 UV Nr. 9 S. 35 E. 6 [8C_286/2009]).
5. 5.1 Die Vorinstanz hat für den Zeitpunkt des Fallabschlusses durch die SUVA am 15. Juni 2008 keine organisch objektiv - d.h. apparativ/ bildgebend - ausgewiesenen Unfallfolgen festgestellt, bei denen sich die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität decken würde (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 112; SVR 2009 UV Nr. 30 S. 105 E. 2.1 [8C_413/2008]). Dies ist aufgrund der Akten nicht zu beanstanden.
5.2 Gestützt auf den Bericht des Neurologen Dr. med. S._ vom 18. Januar 2007 macht der Versicherte geltend, der Halte- und Bewegungstremor an seiner rechten Hand sei ein objektivierbares Beschwerdesymptom. Dem ist entgegenzuhalten, dass Dr. med. S._ in diesem Bericht ausführte, es lasse sich nicht entscheiden, ob dieses ca. sechs Monate nach dem Unfall vom 1. April 2006 aufgetretene Leiden unfallbedingt sei. Der Handtremor rechts kann somit nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (vgl. <ref-ruling> E. 9.5 S. 125) als Unfallfolge qualifiziert werden; hievon abgesehen stellte Dr. med. S._ diesbezüglich keine organisch objektiv ausgewiesenen Schädigungen fest.
5.3 Die Wirbelsäule des Versicherten wurde mehrfach apparativ/bildgebend abgeklärt, ohne dass unfallbedingte Schädigungen festgestellt wurden. Gegenteiliges macht er nicht substanziiert geltend.
5.4 Soweit sich der Versicherte auf ein bestehendes Horner-Syndrom mit Verdacht auf Bulbuskontusion beruft, als dessen Ursache eine leichte Hirnstammkontusion in Frage käme, räumt er selber ein, dass Letztere kernspintomografisch nicht habe dargestellt werden können. Er beruft sich weiter auf den Bericht des Prof. F._, Hôpital X._/FR, vom 10. September 2008 und macht geltend, dieser käme zum Schluss, dass durchaus posttraumatische Läsionen am Gehirn fest- und auch bildgebend darstellbar seien, womit seine Konzentrationsstörungen und Wesensveränderungen erklärt werden könnten. Dem kann nicht gefolgt werden. Vielmehr hat Frau Dr. med. H._, Fachärztin für Neurologie FMH und Psychiatrie, Leiterin Versicherungsmedizinisches Kompetenzzentrum, SUVA Versicherungsmedizin, die den Versicherten am 20. Februar 2008 auch selber untersucht hatte, im Bericht vom 19. Oktober 2009 aufgrund der in den Akten befindlichen Dokumente über die bildgebenden/apparativen Abklärungen des Kopfes einlässlich und überzeugend dargelegt, dass entgegen der Auffassung des Prof. F._ nicht von einer überwiegend wahrscheinlich unfallbedingten, objektiv nachweisbaren Hirnschädigung ausgegangen werden kann; in diesem Rahmen holte sie eine Stellungnahme des Prof. V._, Institutsdirektor, Institut für Neuroradiologie, Spital Y._, vom 24. Juli 2009 ein, der - unter Mitberücksichtigung des Berichts des Prof. F._ - Hinweise für eine traumatisch induzierte Läsion des Gehirns ebenfalls verneinte.
6. Unbestritten ist, dass - bei Fehlen organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolge (E. 5) - die Prüfung der adäquaten Unfallkausalität des Gesundheitsschadens des Versicherten nach der Praxis für psychische Unfallfolgen (<ref-ruling>) zu erfolgen hat. Die Vorinstanz qualifizierte den Unfall vom 1. April 2006 als mittelschwer im Grenzbereich zu den schweren Ereignissen. Sie bejahte die adäquate Unfallkausalität des Gesundheitsschadens, da die drei Adäquanzkriterien der besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls, der körperlichen Dauerschmerzen und des schwierigen Heilungsverlaufs, wenn auch nicht besonders ausgeprägt oder auffallend, vorlägen. Die SUVA habe demnach mit einem psychiatrischen Gutachten zu klären, ob die psychisch bedingte 100%ige Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit des Versicherten natürlich unfallkausal sei.
Die SUVA wendet ein, es handle sich um einen mittelschweren Unfall im mittleren Bereich. Keines der Adäquanzkriterien sei erfüllt.
7. 7.1 Zu prüfen ist als Erstes die Schwere des Unfalls vom 1. April 2006. Dieser lief laut dem Polizeirapport vom 25. April 2006 wie folgt ab: A._ fuhr ausserorts mit einer angeblichen Geschwindigkeit von 70 km/h. In einer langgezogenen Rechtskurve verlor er die Kontrolle über sein Fahrzeug. Dieses brach nach links auf die Gegenfahrbahn aus und kollidierte frontal/seitlich versetzt mit dem mit einer Geschwindigkeit von ca. 70-75 km/h korrekt entgegenkommenden Auto des Beschwerdegegners. Durch den Aufprall wurde das Auto des Letzteren von der Fahrbahn abgetrieben, überfuhr den Strassenrand, hob ab und kam 25 m weiter auf einem bereits am Boden liegenden Telefonstrommast zum Stillstand. Das unfallverursachende Auto wurde nach der Kollision wieder auf seine ursprüngliche Fahrbahn abgelenkt, schleuderte weiter und kam nach ca. 28 m zum Stillstand, nachdem es noch den rechten erhöhten Strassenrand touchiert hatte. Der Beschwerdegegner, der allein unterwegs war, konnte selber aus seinem Auto aussteigen. Auch A._ und seine drei Mitfahrer befreiten sich selbst aus ihrem Auto.
7.2 Die Unfallschwere ist objektiv aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufs mit den sich dabei entwickelnden Kräften zu beurteilen. Nicht relevant sind die Kriterien, die bei der Prüfung der Adäquanz bei mittelschweren Unfällen Beachtung finden (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.3.1 [U 2/07]).
Als mittelschwer, aber nicht im Grenzbereich zu den schweren liegend, wurden etwa Unfälle qualifiziert, bei welchen das Fahrzeug ins Schleudern geriet, von der Strasse abkam, sich über eine Grasböschung seitlich überschlug und auf dem Dach zum Stillstand kam (Urteil U 68/91 vom 10. November 1992 Sachverhalt und E. 2a), bei einem Überholmanöver mit ca. 100 km/h abrupt abgebremst wurde, dabei ins Schleudern geriet, gegen einen Strassenwall prallte, sich überschlug und auf der Fahrerseite zu liegen kam (Urteil 8C_169/2007 vom 5. Februar 2008 E. 4.2), einen Lastwagen beim Überholen touchierte und sich überschlug (Urteil 8C_743/2007 vom 14. Januar 2008 Sachverhalt und E. 3), von der Strasse abkam und sich überschlug (Urteil U 213/06 vom 29. Oktober 2007 Sachverhalt und E. 7.2), auf der Autobahn in einer Kurve ins Schleudern geriet, sich überschlug und auf dem Dach liegend zum Stillstand kam (Urteil U 258/06 vom 15. März 2007 Sachverhalt und E. 5.2) oder sich bei einer Geschwindigkeit von ca. 90 km/h auf einer Autobahn über eine Mittelleitplanke hinweg überschlug - wobei die versicherte Person hinausgeschleudert wurde - und mit Totalschaden auf der Gegenfahrbahn auf dem Dach zu liegen kam (Urteil U 492/06 vom 16. Mai 2007 E. 4.2; vgl. auch Urteil 8C_915/2008 vom 11. September 2009 E. 5.1). Auch beim Fahrer eines Personenwagens, der mit einer Fahrgeschwindigkeit von 110 km/h die Kontrolle über das Fahrzeug verloren hatte, auf den Fahrstreifen für den Gegenverkehr, dann auf das linksseitige Strassenbankett und schliesslich in den Strassengraben abgekommen war, wobei er sich mehrere Male überschlagen hatte, wurde ein im engeren Sinne mittelschwerer Unfall angenommen (Urteil 8C_595/2009 vom 17. November 2009 E. 7.2), wie auch bei einer Frontalkollision zweier Personenwagen, wobei die Geschwindigkeit des unfallverursachenden Personenwagens 30 bis 40 km/h betrug und diejenige des beteiligten Fahrzeugs auf etwa 70 bis 80 km/h geschätzt wurde (Urteil 8C_80/2009 vom 5. Juni 2009 E. 6.1), und bei der Kollision eines Personenwagens bei einer Fahrgeschwindigkeit von ca. 80 km/h mit einem Drahtgitterzaun abseits der Strasse, mit seitlichem Überschlag und Stillstand auf dem Dach liegend im angrenzenden Wiesland (Urteil 8C_609/2007 vom 22. August 2008 Sachverhalt und E. 4.1), oder bei einem Fahrzeug, das mit einer Geschwindigkeit von ca. 90 km/h frontal in einen stehenden Personenwagen prallte (Urteil 8C_786/2009 vom 4. Januar 2010 E. 4.6.2), auf der Autobahn mit ca. 130 km/h wegen des Platzens eines Reifens ins Schleudern geriet, sich um die eigene Achse drehte, wobei es einen Schutzzaun durchbrach und anschliessend nach der Überquerung mehrerer Wassergräben auf einem Acker neben der Fahrbahn zum Stehen kam (Urteil 8C_9/2010 vom 11. Juni 2010 E. 3.5 f.) sowie bei einer Frontalkollision, bei der das unfallverursachende Fahrzeug ungebremst mit etwa 100 km/h in ein mit ca. 80 km/h fahrendes, noch ein Abbrems- und Ausweichmanöver einleitendes Auto stiess (Urteil 8C_1021/2009 vom 3. November 2010 E. 8.3 und Sachverhalt; vgl. Urteil 8C_617/2010 vom 15. Februar 2011 E. 3.2.2).
Als mittelschwer im Grenzbereich zu den schweren Unfällen wurden beispielsweise folgende Ereignisse qualifiziert: Kollision eines Lastwagens mit einem Personenwagen auf der Autobahn, worauf dieser zuerst mit der rechten, anschliessend mit der linken Tunnelwand kollidierte und die Windschutzscheibe durch heftigen Kopfanprall barst (Urteil 8C_257/2008 vom 4. September 2008 E. 3.3.3). Der Unfall, bei dem der Versicherte mit einem Personenwagen auf der Überholspur der Autobahn fuhr und bei einer Geschwindigkeit von etwa 130 km/h plötzlich ins Schleudern geriet, die Normalspur und den Pannenstreifen überquerte und mit der Böschung kollidierte, wobei sich das Fahrzeug überschlug. Der Personenwagen wurde auf die Überholspur zurückgeschleudert und kam auf den Rädern stehend zum Stillstand. Beim Überschlagen wurde der Beifahrer aus dem Dachfenster auf die Böschung geschleudert. Der Versicherte konnte das Fahrzeug nicht mehr eigenständig verlassen (Urteil 8C_799/2008 vom 11. Februar 2009 E. 3.2.2; vgl. Urteil 8C_617/2010 E. 3.2.2).
7.3 Die Beurteilung der Unfallschwere ist eine Rechtsfrage (SVR 2009 UV Nr. 18 S. 69 E. 5.2 [8C_744/2007]), die das Bundesgericht frei prüft (E. 2 hievor). Nicht stichhaltig ist mithin der Einwand des Versicherten, die vorinstanzliche Unfallqualifikation könne höchstens dann korrigiert werden, wenn sie geradezu willkürlich wäre, was die SUVA nicht geltend mache.
Im Lichte der dargelegten Praxis ist der Unfall des Beschwerdegegners vom 1. April 2006 noch als mittelschwer im mittleren Bereich zu qualifizieren, zumal im Urteil 8C_1021/2009 eine Frontalkollision mit wesentlich höherer Geschwindigkeit des unfallverursachenden Fahrzeugs und auch - vor dem eingeleiteten Abbremsmanöver - etwas höherer Geschwindigkeit des anderen Autos gleich eingestuft wurde (vgl. E. 7.2 hievor). Keinen anderen Schluss rechtfertigen die aus den Polizeifotos ersichtlichen unveränderten Endsituationen und Schäden der beiden Unfallfahrzeuge. Sie wurden zwar im seitlichen Frontbereich relativ stark beschädigt und erlitten einen sogenannten Totalschaden, die Personenkabinen und das Heck blieben aber weitgehend unversehrt. Aus dem Umstand, dass sein Fahrzeug nach der Kollision beim Überfahren des Strassenrands abhob und nach 25 m auf einem am Boden liegenden Telefonstrommast zum Stillstand kam, kann der Beschwerdegegner nichts anderes ableiten. Gleiches gilt hinsichtlich der von der Vorinstanz angeführten folgenden Urteile: <ref-ruling> betraf einen Fall, in dem sich das mit ca. 95 km/h auf der Autobahn fahrende Auto nach einen Reifenplatzer auf das Dach überschlug (nicht publ. E. 3.3.2); gemäss Urteil 8C_385/2010 vom 19. August 2010 E. 5.1 prallte das Auto der versicherten Person auf der Autobahn bei einer Geschwindigkeit von ca. 120 km/h auf ein stillstehendes Fahrzeug, wobei dieses nach rechts abgedreht und in die Böschung gestossen wurde, wo es auf die linke Seite umgekippt zum Stillstand kam (Sachverhalt und E. 5.1). In casu kippten die beiden Unfallautos weder um noch überschlugen sie sich; hievon abgesehen wurden auch Unfälle mit solchen Folgen als im engeren Sinn mittelschwer eingestuft (vgl. E. 7.2 hievor).
Demnach kann die Adäquanz hier nur bejaht werden, wenn drei der sieben Adäquanzkriterien erfüllt sind oder eines besonders ausgeprägt vorliegt (SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100 E. 4.5 [8C_897/2009]).
8. 8.1 Ob besonders dramatische Begleitumstände oder eine besondere Eindrücklichkeit des Unfalls vorliegen, beurteilt sich objektiv und nicht aufgrund des subjektiven Empfindens bzw. Angstgefühls der versicherten Person (RKUV 1999 Nr. U 335 S. 207 E. 3b/cc). Jedem mindestens mittelschweren Unfall ist eine gewisse Eindrücklichkeit eigen, die somit noch nicht für eine Bejahung des Kriteriums ausreichen kann. Die erlittene Verletzung und der nachfolgende Heilungsprozess sind nicht relevant (Urteile 8C_277/2010 vom 24. September 2010 E. 9 und 8C_9/2010 E. 3.7.1). Das Bundesgericht bejahte dieses Kriterium etwa bei einer Massenkarambolage auf einer Autobahn (Urteil 8C_623/2007 vom 22. August 2008 E. 8.1; vgl. auch Urteil 8C_633/2007 vom 7. Mai 2008 E. 6.3), bei einem Zusammenprall zwischen einem Sattelschlepper und einem Personenwagen, wobei der Fahrer des Sattelschleppers die Kollision zunächst nicht bemerkte und den Personenwagen der versicherten Person noch auf einer längeren Distanz vor sich herschob, und die Insassen des Personenwagens verzweifelt versuchten, den Unfallverursacher auf sich aufmerksam zu machen (Urteil 8C_508/2008 vom 22. Oktober 2008 E. 5.3), bei einem in der 29. Woche schwangeren Unfallopfer (Urteil 8C_590/2008 vom 3. Dezember 2008 E. 5.3), bei einem Skifahrer, der kopfüber mit einem Baum kollidierte (Urteil 8C_42/2009 vom 1. Oktober 2009 E. 5.3) sowie bei den Unfällen gemäss den Urteilen U 492/06 E. 4.3.1, 8C_799/2008 E. 3.2.2 f. und 8C_257/2008 E. 3.3.2 f. (siehe E. 7.2 hievor; vgl. auch Urteil 8C_9/2010 E. 3.7.1).
8.2 Eine gewisse Eindrücklichkeit des Unfalls vom 1. April 2006 lässt sich nicht in Abrede stellen. Eine mit den erwähnten Beispielen vergleichbare Eindrücklichkeit liegt jedoch nicht vor und es kann auch nicht von dramatischen Begleitumständen des unmittelbaren Unfallgeschehens gesprochen werden. Der Umstand, dass der Beschwerdegegner die Kollision kommen sah und nicht ausweichen konnte, genügt nicht (Urteile 8C_239/2007 vom 7. August 2008 E. 6.4.1 und U 558/06 vom 21. Dezember 2007 E. 4.2.1). Zudem konnten er sowie der Unfallverursacher und seine Mitfahrer die Autos aus eigener Kraft verlassen (vgl. Urteil 8C_963/2009 vom 11. März 2010 E. 5.1). Insgesamt ist das Kriterium vorliegend entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht erfüllt.
9. 9.1 Die medizinisch relevanten Adäquanzkriterien sind im Rahmen von <ref-ruling> einzig unter Berücksichtigung der unfallbedingten physischen Komponenten des Gesundheitsschadens zu prüfen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 116, 115 V 133 E. 6c/aa S. 140; Urteile 8C_1040/2008 vom 8. Mai 2009 E. 6.1 und 8C_359/2008 vom 18. Dezember 2008 E. 6.4). Strittig und zu prüfen sind die vier Kriterien der körperlichen Dauerschmerzen, des schwierigen Heilungsverlaufs, der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, sowie des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit. Die Vorinstanz bejahte einzig die beiden Ersteren.
9.2 Zu prüfen ist, ob bis zum Fallabschluss körperliche Dauerschmerzen im Sinne von über den gesamten Zeitraum andauernden Beschwerden vorlagen (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 241 E. 5.2.6 [U 380/04]; Urteil 8C_855/2009 vom 21. April 2010 E. 8.3.2). Die Vorinstanz erwog, im gesamten Verlauf hätten unfallbedingte Kopf- und Nackenschmerzen sowie unfallbedingt verstärkte Lenden- und Kopfschmerzen persistiert, weshalb das Kriterium erfüllt sei, wenn auch nicht besonders ausgeprägt. Der Versicherte beruft sich diesbezüglich letztinstanzlich auf Wirbelsäulenbeschwerden mit verstärkten Rückenschmerzen, Kopf- und Nackenschmerzen sowie den Tremor an der rechten Hand.
Der Tremor an der rechten Hand ist nicht zu berücksichtigen, da er nicht überwiegend wahrscheinlich unfallbedingt ist (E. 5.2 hievor).
Im Spital Z._, wo der Versicherte unmittelbar nach dem Unfall ambulant behandelt wurde, wurden eine Kontusion des Daumens rechts sowie Kopfschmerzen hochparietal und Schmerzen an der Lendenwirbelsäule (LSW) beschrieben. Dr. med. K._ führte im Bericht vom 3. April 2006 aus, der Versicherte leide gemäss seinen Angaben an leichten Kopf- und Nackenschmerzen; zudem hätten sich die vorbestehenden Lenden- und Kreuzschmerzen verstärkt. Gemäss dem Bericht der Rehaklinik Q._ vom 3. August 2006 klagte der Versicherte über tägliche Kopfschmerzen beidseits, die vor allem beim Autofahren bei einer Richtungsänderung verstärkt aufträten. Zudem habe er ein komisches Gefühl im Bereich des linken Auges bei kopflastiger Arbeit. Der Unfall habe vorbestehende Rückenschmerzen im Bereich des unteren Rückens verstärkt; diese träten im LWS-Bereich beidseits auf und strahlten teilweise kranial bis zwischen die Schulterblätter aus. Dr. med. S._ legte im Bericht vom 18. Januar 2007 dar, nach wie vor leide der Versicherte an täglich auftretenden Kopfschmerzen im ganzen Schädel. Das Spital Y._, Neurologische Klinik, gab im Bericht vom 3. August 2007 an, gemäss Angaben des Versicherten habe er seit dem Unfall Kopfschmerzen. Das Kopfweh sei wechselnden Charakters (hämmernd, drückend); es könne mehrere Stunden andauern, trete zu keiner bestimmten Zeit auf, sei lage- und bewegungsunabhängig; bessern lasse es sich durch eine Aspirin Brausetablette. Gegenüber Frau Dr. med. H._ führte der Versicherte am 20. Februar 2008 aus, Kopfweh habe er alle Tage, am Morgen in der Stirne, am Abend im Hinterkopf und Nacken; es gebe keinen Tag ohne Kopfschmerzen, wenn, dann wenige. Er beschäftige sich z.B. mit Gartenarbeiten; diese machten ihm Kopfweh. Er habe noch andere Liegenschaften, um die er sich kümmere. Der Schlaf sei in der Regel gut, er schlafe in der Regel acht Stunden; Schlafmittel nehme er keine. Gemäss dem Bericht der Rehaklinik Q._ vom 8. Juni 2009 klage der Versicherte über persistierende chronische Kopfschmerzen mit Zunahme durch körperliche und psychische Belastungen. Die lumbalen Beschwerden seien im Vergleich zur stationären Rehabilitation im Juni/Juli 2006 regredient gewesen. Er habe keine relevanten chronischen Schlafstörungen. Er fahre nicht mehr gern Auto. Er habe sich immer weiter zurückgezogen und suche Erholung und Entspannung in der Natur.
In diesem Lichte - unter Ausschluss der hier nicht zu berücksichtigenden erheblichen psychogenen Beeinträchtigungen (vgl. auch E. 9.5 hienach) und der LWS-Beschwerden, soweit letztere vorbestehend waren - ist das Kriterium der körperlichen Dauerschmerzen jedenfalls nicht besonders ausgeprägt erfüllt, was denn auch unbestritten ist.
9.3 Aus der blossen Dauer der ärztlichen Behandlung und der geklagten Beschwerden kann nicht schon auf einen schwierigen Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen geschlossen werden. Es bedarf hierzu besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81 E. 8.5 [U 479/05]). Auch die Einnahme vieler Medikamente und die Durchführung verschiedener Therapien genügen nicht zur Bejahung dieses Kriteriums. Gleiches gilt für den Umstand, dass trotz regelmässiger Therapien weder eine Beschwerdefreiheit noch eine vollständige Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit erreicht werden konnte (SVR 2009 UV Nr. 13 S. 52 E. 7.6 [8C_590/2007]; Urteile 8C_9/2010 vom 11. Juni 2010 E. 3.7.4 und 8C_855/2009 E. 8.3.3.). Die Vorinstanz bejahte das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs mit Hinweis auf das im Bericht der Rehaklinik Q._ vom 3. August 2006 in Erwägung gezogene Schlafapnoesyndrom; zudem bestehe gemäss dem Bericht der Frau Dr. med. H._ vom 5. Dezember 2008 ein ausgeprägtes dementielles Syndrom, dessen Ätiologie bisher noch nicht habe geklärt werden können.
Dem ist entgegenzuhalten, dass Frau Dr. med. H._ im Bericht vom 19. Oktober 2009 einlässlich und überzeugend darlegte, es sei sehr unwahrscheinlich, dass das dementielle Beschwerdebild eine traumatische Verursachung habe. Es sind keine Gründe ersichtlich, von dieser Einschätzung abzuweichen (vgl. auch E. 5.4 hievor). Dieses Leiden ist hier somit nicht zu berücksichtigen. Das Schlafapnoesyndrom des Versicherten bestand schon vor dem Unfall vom 1. April 2006 und wurde mit CPAP-Beatmung (continuous positive airway pressure) behandelt; aus den Akten geht nicht hervor, dass es unfallbedingt verschlimmert wurde; jedenfalls traten diesbezüglich keine erheblichen Probleme auf (vgl. auch E. 9.2 hievor).
Entgegen der Auffassung der Vorinstanz sind insgesamt keine besonderen Gründe ersichtlich, die zur Bejahung eines schwierigen Heilungsverlaufs führen könnten. Gegenteiliges bringt der Versicherte nicht substanziiert vor.
9.4 Nicht gefolgt werden kann aufgrund der Akten dem pauschalen, nicht näher begründeten Vorbringen des Beschwerdegegners, das Kriterium der Fehlbehandlung sei erfüllt.
9.5 Das Kriterium des Grades und der Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit bezieht sich nicht allein auf das Leistungsvermögen im angestammten Beruf (RKUV 2001 Nr. U 442 S. 544 [U 56/00]; Urteil 8C_855/2009 E. 8.3.4). Die Vorinstanz ging gestützt auf den Bericht des Psychiaters Dr. med. R._ vom 9. Dezember 2006 und weitere nachfolgende Arztberichte von einer psychisch bedingten 100%igen Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit des Versicherten bis zum Fallabschluss am 15. Juni 2008 aus. Der Beschwerdegegner macht vernehmlassungsweise geltend, bei ihm bestehe auch eine organisch bedingte, auf den Unfall vom 1. April 2006 zurückzuführende Arbeitsunfähigkeit, weshalb - entgegen der Auffassung der SUVA - keine Rede davon sein könne, das Kriterium des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit entfalle von vornherein. Es ist fraglich, ob überhaupt von 100%iger Arbeitsunfähigkeit auszugehen ist, nachdem er am 20. Februar 2008 angegeben hatte, er habe noch andere Liegenschaften, um die er sich kümmere (E. 9.2 hievor). Dies kann aber offenbleiben. Denn er legt nicht substanziiert dar und es ist auch nicht aus den Akten ersichtlich, dass neben dem von der Vorinstanz angenommenen erheblichen psychischen Leiden eine unfallbedingte somatische Arbeitsunfähigkeit in einem Ausmass vorlag, welches die Bejahung des Kriteriums rechtfertigen würde.
9.6 Nach dem Gesagten sind die Kriterien für die Annahme eines adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 1. April 2006 und der psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit bei Fallabschluss nicht hinreichend erfüllt. Somit können Abklärungen zur natürlichen Unfallkausalität des psychischen Leidens unterbleiben (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c), weshalb der kantonale Entscheid aufzuheben ist.
10. Der unterliegende Beschwerdegegner trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 25. Oktober 2010 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. März 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar