Sachverhalt:
A. Z._ war Mieterin einer Viereinhalbzimmer-Wohnung an der B._-Strasse in Luzern. Sie lebte darin mit ihrem Sohn X._. Z._ verstarb am 21. April 2009. X._ schlug die Erbschaft aus.
Nachdem alle nächsten gesetzlichen Erben die Erbschaft ausgeschlagen hatten, teilte das Teilungsamt der Stadt Luzern dies dem Amtsgerichtspräsidenten III des Amtsgerichts Luzern-Stadt gestützt auf <ref-law> mit. Am 13. Juni 2009 liess der Amtsgerichtspräsident im Kantonsblatt eine Aufforderung zur Kostensicherung publizieren. Darin forderte er die Gläubiger auf, bis am 22. Juni 2009 einen Kostenvorschuss für das summarische Konkursverfahren zu leisten, da in der ausgeschlagenen Erbschaft von Z._ nicht genügend Aktiven zur Deckung der Liquidationskosten vorhanden seien. Die Verfügung war mit der Ankündigung verbunden, dass ansonsten die konkursamtliche Liquidation nicht angeordnet würde. Da kein Gläubiger den Kostenvorschuss fristgerecht leistete, ordnete der Amtsgerichtspräsident mit Entscheid vom 26. Juni 2009 die konkursamtliche Liquidation nicht an. Dieser Entscheid blieb unangefochten.
X._ verblieb in der Folge in der Wohnung an der B._-Strasse. Am 17. Juli 2009 verlangte der Vermieter seine Ausweisung. Das Amtsgericht Luzern-Stadt hiess die Klage am 10. Dezember 2009 gut.
Am 23. Dezember 2009 verlangte X._ vom Konkursamt Luzern-Stadt, das Mietverhältnis an der Wohnung gestützt auf <ref-law> auf ihn zu übertragen. Mit Verfügung vom 8. Januar 2010 trat das Konkursamt auf dieses Begehren nicht ein.
Sowohl im Ausweisungsverfahren wie auch hinsichtlich des abschlägigen Bescheids des Konkursamts ergriff X._ die kantonalen Rechtsmittel und hernach Beschwerden an das Bundesgericht, ohne damit durchzudringen (Urteil 5A_760/2010 vom 21. März 2011 betreffend Übertragung des Mietverhältnisses; Urteil 4A_99/2010 vom 4. April 2011 betreffend Ausweisung).
B. Am 31. März 2011 stellte X._ beim Bezirksgericht Luzern den Antrag, über die ausgeschlagene Erbschaft seiner Mutter die konkursamtliche Liquidation anzuordnen. Zugleich ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Mit Verfügung vom 26. April 2011 forderte der Präsident der 3. Abteilung des Bezirksgerichts Luzern X._ auf, für die konkursamtliche Liquidation der Erbschaft bis 6. Mai 2011 einen Kostenvorschuss von Fr. 3'500.-- zu leisten. Am 8. Mai 2011 teilte X._ mit, er könne den Kostenvorschuss nicht bezahlen und ersuchte um Verzicht auf dessen Einforderung. Am 9. Mai 2011 setzte der Abteilungspräsident eine Nachfrist bis 20. Mai 2011 zur Bezahlung des Vorschusses. Zugleich drohte er an, auf das Gesuch um konkursamtliche Nachlassliquidation nicht einzutreten, wenn der Vorschuss nicht fristgerecht bezahlt werde.
C. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 19. Mai 2011 Beschwerde. Er beantragte, die angefochtene Verfügung aufzuheben und das Bezirksgericht anzuweisen, über die fragliche Erbschaft die konkursamtliche Liquidation ohne Kostenvorschuss anzuordnen. Zudem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren. Mit Entscheid vom 6. Oktober 2011 wies das Obergericht des Kantons Luzern die Beschwerde ab. Hingegen gewährte es X._ die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren.
D. Am 5. Dezember 2011 hat X._ (Beschwerdeführer) gegen diesen Entscheid Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der Verfügung des Bezirksgerichtspräsidiums vom 9. Mai 2011. Das Bezirksgerichtspräsidium sei anzuweisen, über die ausgeschlagene Erbschaft von Z._ die konkursamtliche Liquidation anzuordnen. Schliesslich ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Bezirksgericht und das Obergericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei.

Erwägungen:
1. Das binnen Frist (<ref-law>) angefochtene obergerichtliche Urteil betrifft eine Konkurssache (<ref-law>) und stammt von einer letzten kantonalen Instanz, die auf Rechtsmittel hin geurteilt hat (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer zugleich die Aufhebung der Verfügung des Bezirksgerichts vom 9. Mai 2011 verlangt, kann darauf mangels Letztinstanzlichkeit nicht eingetreten werden. Das obergerichtliche Urteil betrifft eine Verfügung des Konkursrichters, mit der ein Kostenvorschuss festgesetzt wurde unter Androhung, auf das Gesuch des Beschwerdeführers nicht einzutreten. Es handelt sich somit um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 403). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Wie in der Hauptsache ist folglich auch die vorliegende Beschwerde gegen einen Entscheid des Konkursrichters nicht streitwertabhängig (<ref-law>).
Soweit es dem Beschwerdeführer darum geht, sich die Position als Mieter im Wohnungsmietvertrag seiner verstorbenen Mutter zuweisen zu lassen, erscheint sein Rechtsschutzinteresse (<ref-law>) fraglich. Nach der Feststellung des Obergerichts ist dieses Mietverhältnis faktisch aufgelöst und die Wohnung weitervermietet. Dies wird vom Beschwerdeführer zwar bestritten, doch legt er nicht rechtsgenüglich dar, inwieweit diese Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen soll (<ref-law>; zu den Begründungsanforderungen <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Es ist deshalb ungewiss, ob er sein Ziel selbst bei einer Gutheissung der vorliegenden Beschwerde überhaupt erreichen könnte. Dies kann jedoch offenbleiben, da es dem Beschwerdeführer auch um die Übernahme des Mobiliars seiner Mutter geht, welches nach den Ausführungen in der Beschwerde vom Sozialamt eingelagert worden sein soll.
2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die konkursamtliche Liquidation einer Erbschaft (<ref-law>) und der von der Anordnung der Liquidation abhängige Anspruch der Erben auf Abtretung der zum Nachlass gehörenden Aktiven (<ref-law>) dürfe nicht von der Leistung eines Kostenvorschusses abhängig gemacht werden.
3. 3.1 <ref-law> sieht vor, dass das Konkursgericht gegenüber einer ausgeschlagenen oder überschuldeten Erbschaft die konkursamtliche Liquidation anordnet (vgl. auch Art. 573 und 597 ZGB). Gemäss <ref-law> kann - neben der zuständigen Behörde - auch ein Gläubiger oder ein Erbe die konkursamtliche Liquidation verlangen. Die Konkurseröffnung gemäss Art. 193 erfolgt ohne vorgängige Betreibung. Für diese Art der Konkurseröffnung (Art. 190-193 SchKG) enthält <ref-law> allgemeine Verfahrensregeln.
Gemäss <ref-law> sind die Art. 169, 170 und 173a-176 SchKG auf die ohne vorgängige Betreibung erfolgten Konkurseröffnungen anwendbar. Gemäss <ref-law> haftet derjenige, der das Konkursbegehren stellt, für die Kosten, die bis und mit der Einstellung des Konkurses mangels Aktiven (<ref-law>) oder bis zum Schuldenruf (<ref-law>) entstehen. Gemäss Abs. 2 dieser Norm kann das Gericht vom Gläubiger einen entsprechenden Kostenvorschuss verlangen.
3.2 Diese Verweisung von <ref-law> auf <ref-law> ist klar (so im Zusammenhang mit <ref-law> bereits <ref-ruling> E. 2c S. 30). Die Vorinstanz hat überzeugend dargelegt, dass der Gesetzgeber es ausdrücklich normiert hätte, wenn <ref-law> mit der entsprechenden Kostenvorschusspflicht bei der Konkurseröffnung nach <ref-law> nicht hätte gelten sollen, denn im Falle von <ref-law> (Konkurseröffnung über Kapitalgesellschaften und Genossenschaften gemäss den Bestimmungen des OR) hat er genau dies getan (<ref-law>). Auch die bundesrätliche Botschaft zu <ref-law> hält fest, dass der Antragsteller (Gläubiger oder Erbe) die Kosten vorschiessen muss (Botschaft vom 8. Mai 1991 über die Änderung des Bundesgesetzes über Schuldbetreibung und Konkurs [SchKG], BBl 1991 III 119 Ziff. 205.33). Dies entspricht ausserdem der herrschenden Lehre (AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Aufl. 2008, § 38 Rz. 42; PIERRE-ROBERT GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, 2001, N. 34 zu <ref-law>; KARRER/VOGT/LEU, in: Basler Kommentar, 4. Aufl. 2011, N. 6 zu <ref-law>; JOLANTA KREN KOSTKIEWICZ, Schuldbetreibungs- und Konkursrecht, 2012, Rz. 1125; a.A. SANDRA LAYDU MOLINARI, La poursuite pour les dettes successorales, S. 60 Fn. 67). In <ref-ruling> E. 3a S. 287 hat das Bundesgericht im Rahmen einer Kostenliquidation nach Einstellung des Konkursverfahrens mangels Aktiven festgehalten, dass den Erben die Kosten des Konkursverfahrens auferlegt werden können, wenn sie selber nach Massgabe von <ref-law> die konkursamtliche Liquidation verlangt haben. Auch daraus ist abzuleiten, dass das Gericht gestützt auf <ref-law> einen Vorschuss von den gesuchstellenden Erben verlangen kann. Nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist hingegen, wie es sich mit der Kostenvorschusspflicht verhält, wenn gar kein Antragsteller vorhanden ist, sondern die zuständige Behörde gemäss <ref-law> das Konkursgericht benachrichtigt hat.
Verlangt das Konkursgericht gestützt auf <ref-law> einen Kostenvorschuss und wird dieser nicht fristgerecht geleistet, so darf der Konkurs nicht eröffnet werden (<ref-ruling> E. 2b S. 30 mit Hinweisen). Dies gilt auch für die Konkurseröffnung über eine ausgeschlagene oder überschuldete Erbschaft. Insbesondere kann - wie bereits die Vorinstanz festgehalten hat - aus dem Wortlaut von <ref-law> nicht abgeleitet werden, dass das Gericht den Konkurs in jedem Fall eröffnen müsste. Dadurch würde die Kostenvorschusspflicht zu einer reinen Ordnungsvorschrift herabgestuft, deren Nichterfüllung ohne Folgen bliebe.
3.3 Der Beschwerdeführer beruft sich des Weiteren auf <ref-law>. Diese Norm regelt die Behandlung der ausgeschlagenen Erbschaft, falls die konkursamtliche Liquidation mangels Aktiven eingestellt wird. Abs. 1 sieht vor, dass die Erben diesfalls die Abtretung der zum Nachlass gehörenden Aktiven an die Erbengemeinschaft oder einzelne Erben verlangen können, wenn sie sich bereit erklären, die persönliche Schuldpflicht für Pfandforderungen und die nicht gedeckten Liquidationskosten zu übernehmen. Der Beschwerdeführer leitet aus der Existenz dieser Norm ab, dass jede Erbschaft, die zu wenig Aktiven für die Durchführung des Konkurses aufweist, in diese Liquidationsphase überführt werden muss und dies nicht durch die Erhebung eines Kostenvorschusses zur Eröffnung des Konkurses vereitelt werden darf.
Vorliegend ist absehbar, dass die Erbschaft nicht genügend Aktiven auch nur für die Durchführung des summarischen Konkursverfahrens aufweist und der Konkurs demgemäss mangels Aktiven wieder eingestellt werden müsste (<ref-law>). Ansinnen des Beschwerdeführers ist denn auch nach seinem eigenen Bekunden, nach Einstellung des Konkurses gestützt auf <ref-law> doch noch zu den Aktiven des Nachlasses seiner verstorbenen Mutter zu gelangen, obschon er die Erbschaft ausgeschlagen hat. Aus <ref-law> kann der Beschwerdeführer jedoch nichts zu seinen Gunsten ableiten. <ref-law> regelt (unter anderem) das Schicksal der Aktiven einer Erbschaft, wenn das Konkursverfahren mangels Aktiven eingestellt wird. Die Einstellung des Konkurses setzt jedoch seine vorgängige Eröffnung voraus. Daraus, dass der Gesetzgeber das Vorgehen nach der Einstellung des Konkurses geregelt hat, sind jedoch keine Rückschlüsse auf die Eröffnung des Konkurses möglich. Insbesondere ist der Schluss unzulässig, dass es Ziel des Gesetzgebers gewesen wäre, jede ausgeschlagene Erbschaft, die zu wenig Aktiven für die Durchführung des Konkursverfahrens aufweist, in die Liquidation gemäss <ref-law> zu überführen bzw. alle Hindernisse, die bereits der Eröffnung eines Konkursverfahrens im Wege stehen können, aus dem Weg zu räumen. Dies hat er - wie bereits gesagt (oben E. 3.2) - insbesondere bei der Kostenvorschusspflicht zur Eröffnung des Konkurses nicht gemacht.
Der Beschwerdeführer scheint im Übrigen zu übersehen, dass <ref-law> selbst dann keinen unbedingten Anspruch der Erben enthält, die Aktiven der Erbschaft ausgehändigt zu erhalten, wenn der Konkurs mangels Aktiven eingestellt worden ist. Die Abtretung steht nämlich insbesondere unter der Voraussetzung, dass sich die Erben bereit erklären, die nicht gedeckten Liquidationskosten zu übernehmen.
Kann der Beschwerdeführer aus <ref-law> nichts zu seinen Gunsten ableiten, braucht nicht untersucht zu werden, ob die Objekte, an denen der Beschwerdeführer Interesse hat (Position als Mieter im Wohnungsmietvertrag seiner verstorbenen Mutter sowie Mobiliar), überhaupt Aktiven im Sinne von <ref-law> sind (vgl. zu Gegenständen ohne Verkehrswert DOMINIK GASSER, Die Liquidation nach Artikel 230a SchKG, in: Schuldbetreibung und Konkurs im Wandel, Festschrift 75 Jahre Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz, 2000, S. 55). Über das Schicksal der Erbschaft, sofern der Konkurs tatsächlich nicht eröffnet werden sollte, ist an dieser Stelle ebenfalls nicht zu befinden. Der Beschwerdeführer macht zwar geltend, dass bei Nichteröffnung des Konkurses ungewiss wäre, was mit der Erbschaft geschieht. Allerdings hat er sich durch die Ausschlagung an ihr desinteressiert gezeigt, so dass ihr weiteres Schicksal ihn grundsätzlich nicht zu kümmern braucht.
3.4 Schliesslich beruft sich der Beschwerdeführer auf den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Ihm stehe dieser Anspruch ebenso zu wie einem Schuldner, der die Konkurseröffnung selber beantragt, indem er sich für zahlungsunfähig erklärt (<ref-law>). Die Vorinstanz hat dazu - wie bereits das Bezirksgericht - ausgeführt, dass die unentgeltliche Rechtspflege nur für das konkursrichterliche, nicht aber das konkursamtliche Verfahren gewährt werden könne.
Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (<ref-law>). Die Einschränkung, dass das Begehren nicht aussichtslos sein darf, gilt auch bei der Insolvenzerklärung gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 3c S. 32; <ref-ruling> E. 2 und 3 S. 114 ff.; <ref-ruling> E. 5 und 6 S. 616 ff.), auf deren Analogie sich der Beschwerdeführer beruft. Nur wenn die allgemeinen Voraussetzungen unentgeltlicher Rechtspflege erfüllt sind, wird der sich für zahlungsunfähig erklärende Schuldner von der Vorschusspflicht gemäss <ref-law> befreit (<ref-ruling> E. 3c S. 32). Als aussichtslos erscheint eine Insolvenzerklärung, falls das Konkursverfahren mangels Aktiven gemäss <ref-law> sogleich wieder eingestellt werden muss (BGE <ref-ruling> E. 3b S. 116 ff.; <ref-ruling> E. 6.1 S. 616 ff.). Dem vermögenslosen Schuldner fehlt diesfalls das schutzwürdige Interesse an der Konkurseröffnung. Sein Interesse liegt einzig in der Durchführung des Konkursverfahrens, die zur Ausstellung von Verlustscheinen und zum Genuss der Einrede mangelnden neuen Vermögens gemäss <ref-law> führt. Da der Konkurs jedoch sogleich wieder eingestellt werden müsste, kann dieses Verfahrensziel nicht erreicht werden (BGE <ref-ruling> E. 3b/bb S. 117; <ref-ruling> E. 6.1.2 S. 619).
Auf die vorliegende Situation übertragen, bedeuten diese Überlegungen Folgendes: Wie bereits festgestellt, müsste der Konkurs über die Erbschaft von Z._ mangels Aktiven sogleich wieder eingestellt werden. Im Unterschied zur soeben geschilderten Lage des insolventen Schuldners zielt der Beschwerdeführer allerdings nicht auf die (unmögliche) Durchführung des Konkursverfahrens ab, sondern auf dessen Einstellung, da ihm erst dies ermöglicht, wieder an die im Nachlass seiner Mutter befindlichen Aktiven zu gelangen. Dieses faktische Interesse des Beschwerdeführers ist zwar nicht zu verkennen, doch ist es nicht schutzwürdig im Hinblick auf die Eröffnung des Konkurses. Zweck der Eröffnung des Erbschaftskonkurses ist nicht dessen sogleich wieder anzuordnende Einstellung und die nachfolgende Liquidation gemäss <ref-law> bzw. die Abtretung der Aktiven an die Erben. Vielmehr zielt die Konkurseröffnung auf eine Durchführung des Konkursverfahrens unter gleichmässiger Befriedigung der Gläubiger ab. Der Beschwerdeführer zielt mit seinem Begehren um konkursamtliche Liquidation somit letztlich auf prozessfremde Zwecke (BGE <ref-ruling> E. 3b/aa S. 117). Abgesehen von der fehlenden Schutzwürdigkeit, ist nicht einmal sicher, dass er sein Ziel erreichen könnte, ist doch die Abtretung der Aktiven an die Bedingung geknüpft, dass der Erbe die nicht gedeckten Liquidationskosten übernimmt (vgl. oben E. 3.3).
3.5 Der angefochtene Entscheid erweist sich demnach als bundesrechtskonform. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Gesagten von vornherein aussichtslos war (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg