Fähigkeitszeugnis für den Rechtsanwaltsberuf, hat sich ergeben:
A.-Wer die zürcherische Rechtsanwaltsprüfung bestanden hat, erhält vom Obergericht das Fähigkeitszeugnis, welches zur berufsmässigen Vertretung und Verbeiständung von Parteien in Zivil- und Strafprozessen vor den zürcherischen Gerichten sowie vor Untersuchungs- und Anklagebehörden und deren Oberinstanzen berechtigt (vgl. § 1 und § 2 des zürcherischen Gesetzes vom 3. Juli 1938 über den Rechtsanwaltsberuf [Anwaltsgesetz]). Die Modalitäten der Rechtsanwaltsprüfung sind in der Verordnung vom 26. Juni 1974 über die Fähigkeitsprüfung für den Rechtsanwaltsberuf (Anwaltsprüfungsverordnung) geregelt. Danach besteht die Prüfung aus einem schriftlichen und einem mündlichen Teil (§ 11). Die Zulassung zur mündlichen Prüfung (§ 15) setzt eine genügende schriftliche Prüfung - zu der ein Bewerber höchstens drei Mal antreten kann (§ 14) - voraus. Fällt die mündliche Prüfung ungenügend aus, so bestimmt die Prüfungskommission auf Grund des Gesamtergebnisses der schriftlichen und mündlichen Prüfung, ob die mündliche im ganzen Umfange oder in einzelnen Fächern zu wiederholen sei. Wird Teilwiederholung angeordnet, so sind die Leistungen des Bewerbers in den einzelnen Fächern zu bewerten, und es sind die Qualifikationen (sehr gut, gut, genügend oder ungenügend) zu protokollieren (§ 17 Abs. 1). Die Wiederholung findet in der Regel frühestens drei und höchstens neun Monate nach der ersten Prüfung statt. Fällt das Gesamtergebnis unter Mitberücksichtigung der früher bestandenen Teilprüfungen wiederum ungenügend aus, so weist die Prüfungskommission den Bewerber ab (§ 17 Abs. 2). Abgewiesene Bewerber können sich frühestens zwei Jahre nach der letzten Teilprüfung zu einer neuen Prüfung anmelden. Sie haben die ganze Prüfung zu bestehen (§ 18).
B.- X._, lic. iur., geboren 1970, bestand die schriftliche Anwaltsprüfung im dritten Versuch. Am 7. Juli 2000 teilte ihm die Anwaltsprüfungskommission mit, er habe nunmehr "die ganze mündliche Prüfung zu absolvieren", für welche er sich innert einer Frist von sechs Monaten anmelden könne.
Am 3. März 2001 legte X._ die mündliche Prüfung ab. Gleichentags erliess die Prüfungskommission den folgenden Beschluss:
"1.Die mündliche Prüfung wird dem Kandidaten mit
Ausnahme der Fächer StVR, StGB und StPO abgenommen;
in den genannten Fächern hat er die
Prüfung zu wiederholen (mündlich eröffnet).
2. Der Kandidat kann sich frühestens nach vier
Monaten und muss sich spätestens innert sieben
Monaten (...) einer Teilwiederholung der mündlichen
Prüfung unterziehen.
3. Schriftliche Mitteilung an den Kandidaten durch
besondere Zuschrift. Die Leistungen des Kandidaten
in den abgenommenen Fächern werden als genügend bewertet.. "
Am 3. Juli 2001 legte X._ die mündliche Wiederholungsprüfung ab. Gleichentags beschloss die Anwaltsprüfungskommission, dem Bewerber X._ werde das Fähigkeitszeugnis für den Rechtsanwaltsberuf nicht erteilt, weil er "weder die erste mündliche Prüfung vom 3. März 2001 noch die zweite mündliche Prüfung vom 3. Juli 2001 bestanden" habe.
C.- Mit Schreiben vom 9. August 2001 ersuchte X._ die Anwaltsprüfungskommission, ihm sämtliche ihn betreffenden, an den mündlichen Anwaltsprüfungen vom 3. März und 3. Juli 2001 erstellten "Protokolle und Prüfungsfragebögen" herauszugeben bzw. darin Einsicht zu gewähren. Auf dieses Begehren erhielt er am 16. August 2001 vom Präsidenten der Anwaltsprüfungskommission folgende Antwort:
"Ihre Prüfungsakten stehen Ihnen nach wie vor nach
Voranmeldung bei Frau Buchegger offen. Allerdings
muss ich Ihnen einmal mehr klarstellen, dass die
Handnotizender Examinatoren interne Papiere sind,
die sich nichtin den Akten befinden. Gleiches gilt
für die - von Ihnen so bezeichneten - 'Prüfungsfragebögen'.
(...)."
D.- Mit Eingabe vom 3. September 2001 führt X._ staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Er rügt die Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör und weiterer Verfahrensgarantien (<ref-law>) sowie die Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots (<ref-law>) und des Willkürverbots (<ref-law>). Sodann macht er geltend, die Prüfungsexperten seien befangen gewesen. X._ stellt die Anträge, den Entscheid vom 16. August 2001 aufzuheben und die Anwaltsprüfungskommission zu verpflichten, ihm die "- anlässlich der mündlichen Anwaltsprüfungen vom 3. März 2001 und 3. Juli 2001 erstellten - Protokolle und Prüfungsfragebögen herauszugeben" bzw. "diesbezüglich geeignet Einsicht zu gewähren". Ferner sei der Entscheid vom 3. März 2001 betreffend die Prüfungswiederholung im Fach Staats- und Verwaltungsrecht aufzuheben, ebenso der Beschluss vom 3. Juli 2001 betreffend die Nichterteilung des Fähigkeitsausweises für den Rechtsanwaltsberuf. Sodann verlangt X._, es sei ihm das Rechtsanwaltspatent zu erteilen; eventuell sei die mündliche Prüfung mit unabhängigen Experten teilweise zu wiederholen. Schliesslich ersucht er um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Mit verspätet eingereichter Vernehmlassung vom 31. Oktober 2001 beantragt das Obergericht des Kantons Zürich (Anwaltsprüfungskommission) die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Am 15. November 2001 verfügte der Instruktionsrichter, die Eingabe der Anwaltsprüfungskommission vom 31. Oktober 2001 werde als Amtsbericht entgegengenommen.
X._ machte von der Gelegenheit, hierzu Stellung zu nehmen, Gebrauch; mit Eingabe vom 4. Januar 2002 hielt er an seinen Anträgen fest.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Beim angefochtenen Beschluss der Anwaltsprüfungskommission vom 3. Juli 2001, der dem Beschwerdeführer die Erteilung des Fähigkeitszeugnisses für den Rechtsanwaltsberuf verweigert, handelt es sich - da der Kanton Zürich gegen solche Entscheide kein Rechtsmittel vorsieht - um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (vgl. § 17 der Anwaltsprüfungsverordnung in Verbindung mit § 43 lit. f des Gesetzes vom 24. Mai 1959 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen [VRG]), gegen den, da kein anderes eidgenössisches Rechtsmittel zur Verfügung steht, die staatsrechtliche Beschwerde zulässig ist (Art. 84 Abs. 2, Art. 86 Abs. 1 und Art. 87 OG). Der Beschwerdeführer ist hierzu legitimiert (Art. 88 OG). Soweit er beanstandet, dass ihm nach Bekanntgabe des negativen Prüfungsergebnisses die Akteneinsicht in die Protokolle über die mündlichen Prüfungen verweigert worden sei, richtet sich die staatsrechtliche Beschwerde aber nicht gegen den erwähnten Beschluss, sondern gegen den Bescheid des Präsidenten der Anwaltsprüfungskommission vom 16. August 2001, dessen Aufhebung ebenfalls ausdrücklich beantragt wird. Wieweit dieser letztere Entscheid allenfalls mit einem kantonalen Rechtsmittel anfechtbar wäre, kann dahingestellt bleiben, da die Beschwerde mit Bezug auf die Frage der Akteneinsicht ohnehin nicht durchzudringen vermöchte (vgl. E. 3). Mit Blick auf den Verfahrensausgang offen bleiben kann, wie sich zeigen wird, ebenfalls die Frage, ob gemäss Art. 87 Abs. 3 OG auch noch der frühere Entscheid der Anwaltsprüfungskommission vom 3. März 2001, wonach die Prüfung in einzelnen Fächern zu wiederholen war, mitangefochten werden kann (wie dies der Beschwerdeführer tut).
b) Die staatsrechtliche Beschwerde hat in der Regel rein kassatorische Funktion, kann also im Fall ihrer Gutheissung nur zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides führen. Soweit mehr verlangt wird, ist auf die vorliegende Beschwerde nicht einzutreten. Dies gilt aber nicht für den Antrag, es sei dem Beschwerdeführer das Rechtsanwaltspatent zu erteilen: Bei Beschwerden, die sich gegen die Verweigerung einer Polizeierlaubnis richten, kann das Bundesgericht die kantonale Behörde anweisen, die zu Unrecht verweigerte Bewilligung zu erteilen (<ref-ruling> E. 2c S. 137 f.; <ref-ruling> E. 1b S. 212, mit Hinweisen).
c) Die staatsrechtliche Beschwerde muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Das Bundesgericht untersucht nicht von Amtes wegen, ob ein kantonaler Hoheitsakt verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 201, mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend gemacht, genügt es nicht, wenn der Beschwerdeführer bloss den angefochtenen Entscheid kritisiert, wie er dies in einem appellatorischen Verfahren tun könnte, bei dem die Rechtsmittelinstanz die Rechtsanwendung frei überprüfen kann. Er muss deutlich dartun, welche Vorschriften oder allgemein anerkannten Rechtsgrundsätze die kantonalen Behörden in einer gegen <ref-law> verstossenden Weise verletzt haben sollen (<ref-ruling> E. 4b S. 12, mit Hinweis). Die vorliegende Beschwerdeschrift genügt diesen Anforderungen nicht in allen Teilen (vgl. E. 4).
2.- Hat das Bundesgericht auf staatsrechtliche Beschwerde hin die Bewertung von Examensleistungen zu beurteilen, so prüft es die Handhabung der einschlägigen kantonalen Verfahrensvorschriften - auf entsprechende, ordnungsgemäss begründete Rügen hin (vgl. E. 1c) - nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür. In erster Linie prüft es, ob das gesetzlich vorgeschriebene Verfahren unter Beachtung der verfassungsrechtlichen Minimalgarantien durchgeführt worden ist (unveröffentlichte Urteile vom 1. Dezember 1999 i.S. T., E. 2, sowie vom 3. März 1998 i.S. S., E. 2, und vom 27. März 1997 i.S. M., E. 2), und es auferlegt sich auch bei der materiellen Beurteilung eine besondere Zurückhaltung, indem es erst einschreitet, wenn sich die Behörde von sachfremden oder sonstwie ganz offensichtlich unhaltbaren Erwägungen hat leiten lassen, so dass ihr Entscheid unter rechtsstaatlichen Gesichtspunkten als nicht mehr vertretbar und damit als willkürlich erscheint (<ref-ruling> E. 4b S. 230; <ref-ruling> E. 4c S. 495; <ref-ruling> E. 3c S. 4).
3.- a) Der Beschwerdeführer erhebt zunächst verschiedene formelle Rügen. So beanstandet er, dass die über die mündlichen Prüfungen erstellten Notizen der Prüfungsexperten nicht zu den Akten genommen bzw. nicht der Akteneinsicht unterworfen wurden. Weiter sei er an der mündlichen Prüfung vom 3. Juli 2001 im Fach Staats- und Verwaltungsrecht nur gerade zehn Minuten geprüft worden, obwohl Richtzeiten bestünden ("konkret 30 Minuten für zwei Kandidaten"), auf deren Einhaltung der Kandidat einen Anspruch habe. Und schliesslich seien die Experten, unter denen "sehr wohl ein Abhängigkeitsverhältnis" bestehe, ihm gegenüber nicht unvoreingenommen gewesen, weil er die schriftliche Prüfung erst im dritten Versuch und nur mit dem Prädikat "genügend" bestanden habe.
b) Eine Protokollierungspflicht für die mündlichen Anwaltsprüfungen ist im kantonalzürcherischen Recht unbestrittenermassen nicht vorgesehen. Das Bundesgericht hat sich bereits in seinem Urteil vom 16. Dezember 1988 i.S. B.
(ZBl 90/1989 S. 312 ff.) mit dem System der Zürcher Anwaltsprüfungen befasst und die Notwendigkeit einer förmlichen Protokollierung verneint. Es kann sich einzig fragen, ob eine solche heute unmittelbar aus den angerufenen Verfassungsgarantien (<ref-law>) ableitbar ist. Dies ist zu verneinen: Die mündliche Anwaltsprüfung verläuft im Kanton Zürich in der Weise, dass fünf Examinatoren (vgl. § 2 der Anwaltsprüfungsverordnung) bzw. deren vier (wobei bei Stimmengleichheit das für den Kandidaten günstigere Resultat zählt, vgl. Plenarbeschluss der Anwaltsprüfungskommission vom 29. Januar 1993) weniger das reine Wissen prüfen als vielmehr praxisbezogen in einem Prüfungsgespräch mit dem Kandidaten Lösungen zu juristischen Problemen zu erarbeiten suchen (vgl. erwähntes Urteil, E. 4b). Unter diesen Umständen muss es - als rechtsstaatliche Minimalanforderung - genügen, dass das Ergebnis der mündlichen Prüfung mit Noten bzw. Prädikaten (sehr gut, gut, genügend, ungenügend) bewertet wird und dass neben dem Examinator noch weitere anwesende Experten über die Bewertung mitentscheiden, was eine Objektivierung derselben ermöglicht. Soweit die einzelnen Experten für sich selber freiwillig gewisse Aufzeichnungen erstellen, haben diese nicht die Funktion eines Protokolls und dürfen zulässigerweise als verwaltungsinterne, nicht dem Akteneinsichtsrecht unterliegende Notizen eingestuft werden (vgl. hierzu statt vieler Kölz/Bosshart/Röhl, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2. Auflage, § 8 Rz. 67). Dass über die schriftlichen Prüfungen Unterlagen bestehen, die aufbewahrt werden und eingesehen werden können, bedeutet nicht, dass eine entsprechende Aktenführungs- oder Protokollierungspflicht auch für die mündlichen Prüfungen bestehen muss. Die entsprechende Rüge ist unbegründet.
Das Gesagte schliesst nicht aus, dass sich die mitwirkenden Experten auf Beschwerde bzw. - im Kanton Zürich - auf ein Wiedererwägungsgesuch oder Revisionsbegehren hin nachträglich zu den Umständen der mündlichen Prüfung oder zur Prüfungsleistung schriftlich äussern und solche Stellungnahmen als Beweismittel angerufen oder verwendet werden können (unveröffentlichtes Urteil vom 22. Mai 2000 i.S. B., E. 2c).
c) Was der Beschwerdeführer hinsichtlich der angeblich zu kurzen Prüfungsdauer und hinsichtlich der behaupteten fehlenden Unabhängigkeit der Examinatoren vorbringt, vermag die Verfassungsmässigkeit des beanstandeten Prüfungsverfahrens ebenfalls nicht in Frage zu stellen. Ein Anspruch, im einzelnen Fach vom Experten minutengenau nach den von der Anwaltsprüfungskommission angegebenen Richtzeiten geprüft zu werden, besteht nicht, zumal allfällige Zeitüber- oder -unterschreitungen vom Verlauf des gesamten Prüfungsgesprächs abhängen. Ebenso wenig liegen Ausstands- bzw. Ablehnungsgründe allein deshalb vor, weil das Ergebnis der schriftlichen Prüfung(en) den Examinatoren am Tag der mündlichen Prüfungen bekannt ist. Die Rüge schliesslich, unter den vom Obergericht gewählten Mitgliedern der Anwaltsprüfungskommission bestünden Abhängigkeitsverhältnisse, ist nicht belegt (vgl. E. 1c) und erscheint haltlos.
4.-Inwiefern die Beurteilung der mündlichen Prüfungsleistungen durch die Examinatoren vorliegend sachfremd oder unhaltbar sein soll, ist nicht ersichtlich. Die Ausführungen im Amtsbericht der Anwaltsprüfungskommission lassen darauf schliessen, dass die Prüfungsleistungen des Beschwerdeführers korrekt oder jedenfalls in vertretbarer Weise bewertet wurden. Was der Beschwerdeführer diesbezüglich vorbringt, ist appellatorische Kritik, die nicht geeignet ist, den Vorwurf der Willkür zu begründen (dies betrifft insbesondere auch den Einwand, die Beratung der Ergebnisse vom 3. Juli 2001 sei offenbar von einem einzigen Experten, Rechtsanwalt Dr. A._, dominiert worden; vgl. hierzu die Ausführungen im Amtsbericht, S. 13/14). Dasselbe gilt für die Behauptung des Beschwerdeführers, das unterschiedliche Prüfungsresultat des anderen, zusammen mit ihm geprüften Kandidaten sei für ihn nicht nachvollziehbar. Mangels hinreichender konkreter Anhaltspunkte für eine verfassungswidrige Ungleichbehandlung ist auch dem gestellten Antrag auf Beizug und Einsicht in die Prüfungsakten dieses anderen Kandidaten nicht zu entsprechen (<ref-ruling> E. 2 S. 227 ff.).
5.- Nach dem Gesagten ist die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer hat um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Er verfügt offensichtlich nicht über die Mittel, um seine Interessen in einem Prozess zu wahren, ohne auf den für ihn erforderlichen Notbedarf greifen zu müssen (<ref-ruling> E. 3a S. 12). Er ist damit im Sinne von Art. 152 OG bedürftig. Zudem war die Beschwerde insgesamt gesehen nicht zum Vornherein aussichtslos (Art. 152 Abs. 1 OG). Dem Gesuch ist somit zu entsprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.- Es werden keine Kosten erhoben.
4.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich (Anwaltsprüfungskommission) schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 7. Februar 2002
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: