Faits:
A. Par décision du 14 novembre 2011, la Juge suppléante IV du district de Sion a prononcé la faillite de X._ Sàrl à la requête de Y._ Sàrl.
B. Par jugement du 16 décembre 2011, le Juge de l'autorité de recours en matière de faillite du Tribunal cantonal valaisan a rejeté le recours interjeté par X._ Sàrl et prononcé la faillite de cette dernière avec effet ce même 16 décembre 2011 à 14 heures. Il a considéré que, si X._ Sàrl avait établi par titre que le montant de la poursuite n° xxx, l'opposant à Y._ Sàrl avait été payé en capital, intérêts et frais, la seconde condition cumulative prévue à l'<ref-law> pour permettre l'annulation du jugement de faillite n'était pas remplie, à savoir que la faillie n'avait pas rendu vraisemblable sa solvabilité.
C. Contre cet arrêt cantonal, X._ Sàrl interjette, le 3 février 2012, un recours en matière civile au Tribunal fédéral, assorti d'une demande d'effet suspensif. Invoquant la violation de l'<ref-law>, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué, donc implicitement au rejet de la réquisition de faillite déposée par Y._ Sàrl.
Aucune observation sur le fond n'a été requise.
D. L'effet suspensif a été attribué au recours par ordonnance présidentielle du 12 mars 2012, en ce sens qu'aucun acte d'exécution de la décision attaquée ne devait être entrepris, les éventuelles mesures conservatoires prises en vertu des art. 162 ss, 170, 174 al. 3 et 221 ss LP demeurant toutefois en vigueur.

Considérant en droit:
1. Interjeté dans le délai légal (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2) qui confirme, en dernière instance cantonale et sur recours (<ref-law>), l'ouverture de la faillite de la recourante (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable, indépendamment de la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. d LTF); la faillie, qui a succombé devant la juridiction précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>).
2. 2.1 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral, lequel comprend les droits constitutionnels (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1, 462 consid. 2.3). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 2.2). Il ne connaît toutefois de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant ("principe d'allégation"; <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
2.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); le recourant ne peut critiquer les constatations de fait que si celles-ci ont été établies d'une manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui entend se plaindre d'un établissement manifestement inexact - c'est-à-dire arbitraire (art. 9 Cst.; <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 1.5) - des faits doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné, étant rappelé que l'appréciation des preuves n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2 et les références). Les critiques appellatoires sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2).
Par ailleurs, contrairement à ce que prévoit l'<ref-law> pour la procédure de recours cantonale, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
3. Aux termes de l'<ref-law>, l'autorité de recours peut annuler le jugement de faillite lorsque le débiteur rend vraisemblable sa solvabilité et qu'il établit par titre que l'une des conditions suivantes a été remplie: la dette, intérêts et frais compris, a été payée (ch. 1), la totalité du montant à rembourser a été déposée auprès de l'autorité de recours à l'intention du créancier (ch. 2) ou le créancier a retiré sa réquisition de faillite (ch. 3).
3.1 Un fait est rendu vraisemblable si le juge, en se basant sur des éléments objectifs, a l'impression que le fait invoqué s'est produit, sans pour autant devoir exclure la possibilité qu'il ait pu se dérouler autrement (<ref-ruling> consid. 3.1 et les références). Pour l'annulation du prononcé de faillite, cela signifie que la solvabilité du débiteur doit être plus probable que son insolvabilité. Dans ce domaine, il ne faut pas poser d'exigences trop sévères, en particulier lorsque la viabilité de l'entreprise endettée ne saurait être déniée d'emblée. Il incombe au débiteur d'offrir les moyens de preuve propres à rendre vraisemblable sa solvabilité, c'est-à-dire qu'il dispose de liquidités suffisantes pour acquitter ses dettes exigibles (arrêt 5A_328/2011 du 11 août 2011 consid. 2 et les références, publié in SJ 2012 I p. 25; Message du Conseil fédéral, du 8 mai 1991, concernant la révision de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, FF 1991 III p. 130 s.). En principe, s'avère insolvable le débiteur qui, par exemple, laisse des comminations de faillite s'accumuler, fait systématiquement opposition et ne paie pas même des montants peu élevés. De simples difficultés passagères de paiements ne font en revanche pas apparaître insolvable le débiteur, à moins qu'il n'y ait aucun indice important permettant d'admettre une amélioration de sa situation financière et qu'il semble manquer de liquidités pour une période indéterminée. L'appréciation de la solvabilité repose sur une impression générale fondée sur les habitudes de paiement du failli (arrêts 5A_328/2011 du 11 août 2011 consid. 2, publié in SJ 2012 I p. 25; 5A_642/2010 du 7 décembre 2010 consid. 2.4; 5A_350/2007 du 19 septembre 2007 consid. 4.3). Pour rendre vraisemblable qu'il est solvable, le débiteur doit notamment établir qu'aucune requête de faillite dans une poursuite ordinaire ou dans une poursuite pour effets de change n'est pendante contre lui et qu'aucune poursuite exécutoire n'est en cours (arrêts 5A_640/2011 du 4 janvier 2012 consid. 3.1; 5A_529/2008 du 25 septembre 2008 consid. 3.1; 5P.456/2005 du 17 février 2006 consid. 5.1; 5P.80/2005 du 15 avril 2005 consid. 3.2).
3.2 La question de savoir si l'autorité est partie d'une juste conception du degré de la preuve exigé par le droit fédéral, soit en l'occurrence la simple vraisemblance, relève du droit. En revanche, celle de savoir si le débiteur a, ou non, rendu vraisemblable sa solvabilité, soit si le degré de preuve exigé par le droit fédéral est atteint dans le cas particulier, relève du fait (<ref-ruling> consid. 5; en matière de prononcé de faillite, cf. 5A_328/201 du 11 août 2011 consid. 3.3; 5A_642/2010 du 7 décembre 2010 consid. 4.4). Le recourant qui entend attaquer la décision cantonale sur ce dernier point doit ainsi présenter une motivation sur la base de l'art. 9 Cst., répondant aux exigences du principe d'allégation (cf. supra consid. 2.2).
4. Pour admettre que la recourante n'avait pas rendu vraisemblable sa solvabilité, l'autorité cantonale s'est tout d'abord appuyée sur l'extrait du registre des poursuites du 29 novembre 2011, dont il ressortait que l'intéressée faisait l'objet de 29 poursuites (non comprise la poursuite n° xxx), pour un montant en capital de plus de 4'500'000 fr. Elle a retenu que six avaient été payées, que deux étaient apparemment périmées et que, par décision du 8 mars 2010, la mainlevée de l'une d'elles avait été refusée. En revanche, trois faisaient l'objet d'actions en libération de dette; la procédure de deux d'entre elles, l'opposant à la société Z._ SA et portant sur les montants de 3'903'526 fr. et 63'470 fr. 65, avaient été suspendues pour une durée de quatre mois dès le 10 novembre 2011; une autre encore portant sur une dette de 120'675 fr. 40, fondée sur un jugement du 15 novembre 2010, faisait l'objet d'une séance de mainlevée agendée au 12 décembre 2011; la mainlevée définitive de l'opposition formée au commandement de payer d'une autre poursuite, portant sur un montant de 14'853 fr., avait été prononcée par décision du 26 septembre 2011; une des poursuites, portant sur un montant de 14'484 fr. 20, se trouvait au stade de la commination de faillite tandis qu'une autre, portant sur un montant de 5'590 fr., faisait l'objet d'une réquisition de faillite, dont la procédure avait été suspendue jusqu'à droit connu sur le sort du recours dont elle était saisie. Ensuite, l'autorité cantonale a retenu que la recourante semblait faire systématiquement opposition même à des poursuites dont l'objet était une somme peu importante (173 fr; 234 fr. 20; 251 fr. 95; 258 fr. 20; 261 fr. 90) et/ou paraissaient au moins incontestables dans leur principe (cotisations d'assurances sociales; impôts), ce qui était révélateur d'un manque de liquidités dépassant la simple gêne passagère. Enfin, l'autorité cantonale a retenu que, pour l'exercice 2011, la recourante n'avait déposé que des comptes provisoires, en précisant que les postes figurant sous la rubrique "créances en dommages et intérêts" à l'actif du bilan paraissaient, en l'état, pour le moins incertains au vu des réserves constituées.
5. La recourante s'en prend uniquement à l'appréciation de sa solvabilité par l'autorité cantonale. Toutefois, présentant une critique appellatoire ou qui se fonde sur des faits ne ressortant pas de l'arrêt attaqué (cession et abattement de créance de la part du Z._; possibilités de négociation de la créance cédée; mise à disposition à brève échéance de divers montants représentants le solde dû sur des ventes immobilières; avances de frais dans diverses procédures acquittées entièrement par elle-même; cf. supra consid. 2.2), elle n'établit pas que l'autorité cantonale a versé dans l'arbitraire en retenant qu'elle n'avait pas rendu vraisemblable sa solvabilité. Plus particulièrement, se contentant de reprendre mot pour mot les arguments contenus dans son mémoire de recours cantonal, sans faire référence à la moindre offre de preuve qui figurerait au dossier (cf. mémoire de recours du 25 novembre 2011, n° 2.5 et 2.6), elle affirme que la société Z._ SA, sa principale créancière (3'966'996 fr. selon les constatations de l'arrêt cantonal), est en passe de céder sa créance avec un abattement de plus d'un million de francs, ce qui, selon elle "laisse sous-entendre une reconnaissance de responsabilité implicite de cette banque dans la survenance de [ses] difficultés"; elle ajoute qu'elle pourra négocier le règlement de cette créance avec le cessionnaire. Or, par ces affirmations qui reposent sur de simples suppositions, la recourante ne s'en prend pas à la constatation de fait de l'arrêt attaqué, selon laquelle les postes "créances en dommages et intérêts" à l'actif du bilan des comptes provisoires paraissent incertains au vu des réserves constituées; a fortiori, elle n'en démontre pas le caractère arbitraire. Au surplus, alors qu'il ne ressort pas du dossier que la recourante aurait introduit une action en annulation de la poursuite au sens de l'<ref-law> et obtenu, dans ce cadre, la suspension de la poursuite, celle-ci ne conteste pas que, sur les poursuites en cours, une en est au stade de la commination de faillite, une autre à celui de la réquisition de faillite, et une autre encore à celui du prononcé de la mainlevée définitive; elle ne conteste pas non plus faire opposition même à des poursuites portant sur des dettes peu élevées, ce qui, selon la jurisprudence rappelée ci-dessus (consid. 3.1), permet d'exclure la vraisemblance de sa solvabilité. Ces éléments sont, à eux seuls, suffisants pour entraîner le rejet du recours, sans qu'il y ait lieu d'examiner les autres arguments de la recourante; au demeurant, ceux-ci reposent, eux aussi, pour l'essentiel, sur des faits ne ressortant pas de l'arrêt attaqué, sans que la recourante prétende les avoir allégués et offert de les prouver, d'une part, et qu'ils auraient été ignorés à tort par l'autorité cantonale, d'autre part.
Pour autant que recevable, le grief de la violation de l'<ref-law> est donc mal fondé.
6. En conséquence, le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, aux frais de son auteur (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Préposé au registre du commerce de Sion, au Service juridique du registre foncier, à l'Office des faillites du district de Sion et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Autorité de recours en matière de faillite.
Lausanne, le 20 avril 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Achtari