Fatti:
A.
Convenuto in una causa civile, A._ ha contestato la richiesta risarcitoria dell'attore, invocando la compensazione con le spese da lui asseritamente sostenute in esecuzione del mandato, tra cui euro 30'000.-- pagati per attestare l'autenticità di alcuni manoscritti che era stato incaricato di vendere. A comprova del pagamento, egli ha prodotto in causa una ricevuta di pari importo a firma della persona, nel frattempo deceduta, che ha proceduto all'esame dell'autenticità degli scritti. Da una perizia calligrafica ordinata dal giudice civile è risultato che la firma è apocrifa.
B.
Con sentenza del 7 maggio 2013, la Corte delle assise correzionali ha riconosciuto A._ autore colpevole di falsità in documenti e tentata truffa processuale, condannandolo alla pena pecuniaria di 180 aliquote giornaliere di fr. 30.--, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di due anni, nonché alla multa di fr. 300.--.
C.
Adita dal condannato, con sentenza del 16 settembre 2013 la Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino (CARP) ha confermato la condanna per titolo di falsità in documenti, ma prosciolto A._ dall'imputazione di tentata truffa. In applicazione della pena, gli ha inflitto la pena pecuniaria di 90 aliquote giornaliere di fr. 30.--, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di due anni.
D.
Avverso questa sentenza sia il Procuratore pubblico del Cantone Ticino (PP) sia A._ (imputato) insorgono al Tribunale federale con due distinti ricorsi in materia penale. Il primo postula l'annullamento della sentenza della CARP limitatamente al proscioglimento dall'imputazione di tentata truffa processuale e alla pena, nonché principalmente l'integrale conferma di quella di primo grado, mentre il secondo il proscioglimento da ogni accusa. In via subordinata, entrambi chiedono il rinvio della causa alla CARP per nuovo giudizio. L'imputato domanda inoltre di essere posto a beneficio dell'assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio.

Diritto:
1.
1.1. I gravami, concernenti le medesime parti, sono diretti contro un'unica decisione, pronunciata nell'ambito della stessa procedura, e si riferiscono al medesimo complesso di fatti. Per ragioni di economia di procedura, si giustifica pertanto congiungerli ed evaderli con un unico giudizio (v. <ref-law> in relazione con l'<ref-law>; v. anche <ref-ruling> consid. 1).
1.2. Presentate tempestivamente (<ref-law>) contro una decisione finale (<ref-law>) resa in materia penale (<ref-law>) da un'autorità cantonale di ultima istanza che ha giudicato su ricorso (<ref-law>), le impugnative risultano di massima ammissibili. La legittimazione delle parti ricorrenti è data (art. 81 cpv. 1 lett. a e lett. b n. 1 e n. 3 LTF).
2.
In merito all'imputazione di falsità in documenti, sulla base della perizia, la CARP ha accertato che la firma sulla ricevuta non è stata apposta dal suo apparente estensore. Facendo proprie le motivazioni dell'autorità di primo grado in applicazione dell'<ref-law>, essa ha poi valutato tutta una serie di circostanze che conducevano a identificare nell'imputato l'autore della firma falsificata. Dopo aver qualificato la ricevuta in parola quale documento e ricordato che l'indebito profitto di cui all'<ref-law> non dev'essere necessariamente di natura economica, la CARP ha quindi confermato la condanna per falsità in documenti.
3.
L'imputato lamenta arbitrio nell'accertamento dei fatti e nella valutazione delle prove. Innanzi tutto contesta che dalla perizia si possano trarre delle conclusioni certe sulla falsità della firma, limitandosi il perito a formulare un'ipotesi. Essa non potrebbe pertanto essere considerata una prova inequivocabile della falsità, tanto più che il perito non sarebbe stato chiamato a testimoniare per confermare tale ipotesi. Trattasi dunque di semplice supposizione. Per di più, la perizia non sarebbe stata allestita rispettando le formalità dell'<ref-law>. Ordinata nell'ambito della procedura civile, sarebbe stata semplicemente ripresa in quella penale, a seguito della sua produzione nel contesto della denuncia, senza che l'imputato abbia avuto la possibilità di esprimersi in merito, con conseguente violazione del suo diritto di essere sentito. Infine considera arbitrario l'accertamento secondo cui egli stesso avrebbe apposto la firma falsa sulla ricevuta, difettando qualsiasi prova al proposito. La stessa perizia non indicherebbe né quando la ricevuta sarebbe stata firmata né la paternità del suo testo e nemmeno chiarirebbe se lo scritto e la firma siano riconducibili alla medesima persona. Questo accertamento sarebbe inoltre lesivo del principio della presunzione d'innocenza, in quanto i giudici cantonali avrebbero ritenuto che l'imputato non avrebbe fornito alcuna ragionevole spiegazione dell'accaduto. Essi avrebbero adottato la versione a lui più sfavorevole, laddove, sulla base di una valutazione oggettiva delle prove, avrebbero dovuto nutrire insopprimibili dubbi sulla sua colpevolezza.
3.1. Circa l'inclusione nell'incarto penale della perizia ordinata dal giudice civile, l'imputato non pretende trattarsi di un mezzo probatorio vietato, acquisito illegittimamente o in violazione di prescrizioni d'ordine giusta gli art. 140 seg. CPP. Sicché nulla osta alla sua utilizzabilità nel procedimento in esame, rilevato inoltre che, come risulta dal verbale del dibattimento di primo grado, le parti, compreso l'imputato, hanno dato atto che non vi erano prove non assunte regolarmente. Egli neppure sostiene di aver ignorato che la perizia figurasse nell'incarto penale, di aver chiesto di elaborare un'ulteriore perizia nelle modalità previste dal CPP o quantomeno di interrogare il suo autore nell'ambito della procedura penale. In simili circostanze non si scorge in che modo l'invocato diritto di essere sentito sia stato violato.
Quanto alle conclusioni del perito, contrariamente all'opinione dell'imputato, esse non si limitano a formulare una mera congettura. Egli si concentra unicamente sul termine "ipotesi" utilizzato nella perizia, senza tuttavia confrontarsi con il suo contenuto e la metodologia utilizzata, e nemmeno contesta le competenze del suo estensore. Risulta che ai fini della sua elaborazione sono state esaminate 8 firme autentiche, di qualità e quantità sufficiente per una consulenza grafica, cronologicamente posteriori di circa 6 settimane a quella contestata. Dopo aver determinato le costanti e le variazioni dell'aspetto generale, della forma e della struttura dei singoli segni grafici, il perito ha esaminato se la firma contestata s'inseriva nel quadro di quelle comparative, procedendo a un raffronto delle loro caratteristiche generali e strutturali. È stato rilevato in particolare che la firma da verificare mostra manifesti segni di incertezze, titubanze e linee interrotte, rappresentanti indici di artificiosità, e presenta una notevole somiglianza grafica e dimensionale (grandezza di lettere e spaziatura) con una delle firme autografe, la loro sovrapposizione risultando quasi perfetta. La perizia indica inoltre differenze strutturali, che descrive con precisione. Alla luce di questo articolato esame, sul quale il ricorso non si esprime, la frase conclusiva ("i risultati degli esami costituiscono decisivi elementi a supporto dell'ipotesi secondo la quale la presunta firma [...] è apocrifa ed ottenuta tramite il calco di una delle tre firme apposte sul brevetto") non si limita a formulare una semplice ipotesi, come insistentemente preteso nel gravame, bensì evidenzia l'esito del procedimento di verifica di autenticità. Di conseguenza, nel ritenere certo che la firma sulla ricevuta non fosse quella del suo apparente estensore, la CARP non ha commesso alcun arbitrio (sulla nozione di arbitrio v. <ref-ruling> consid. 3.2.5).
3.2. A proposito del contestato accertamento, secondo cui è stato l'imputato ad aver contraffatto la firma in parola, i giudici non si sono fondati sulla perizia, silente in merito, bensì su una serie di indizi a suo carico: lui era in possesso della ricevuta, nonché dei brevetti notarili da cui la firma è stata ricalcata, sempre lui ne ha fatto uso producendola nella causa civile e solo lui aveva un interesse alla sua esistenza. Al riguardo, egli non ha saputo fornire spiegazioni ragionevoli, affermando semplicemente di aver ricevuto detta ricevuta per posta. L'autorità cantonale ha tuttavia rilevato che, secondo le stesse dichiarazioni dell'imputato, egli in precedenza aveva già fatto firmare una ricevuta per l'importo di euro 15'000.-- e ha notato che in tal modo la persona che ha attestato l'autenticità dei manoscritti avrebbe dato quietanza per complessivi euro 45'000.--, mentre ne ha ricevuti solo 30'000.--. Alla luce di queste considerazioni, l'accertamento contestato non appare arbitrario. Se è vero che l'imputato non è stato l'unico ad avere a disposizione gli accennati brevetti con le firme autografe, fatto peraltro nemmeno ritenuto in sede cantonale, e che avrebbe potuto dimostrare la sua pretesa in sede civile senza ricorrere al falso, non risulta, né è preteso nel gravame, che qualcun altro avesse un interesse a disporre di un documento attestante l'avvenuto pagamento della somma di euro 30'000.--. Al proposito giova rammentare che se sui fatti l'autorità cantonale ha maturato la sua convinzione sulla base di un insieme di elementi o d'indizi convergenti, non basta che l'uno o l'altro di questi o addirittura ciascuno di essi, preso isolatamente, risulti insufficiente. La valutazione delle prove dev'essere esaminata nel suo insieme. Non sussiste arbitrio se i fatti accertati possono essere dedotti in modo sostenibile dalla messa in relazione dei diversi elementi o indizi. Analogamente, non vi è arbitrio per il solo fatto che uno o più argomenti rafforzanti appaiano fragili, nella misura in cui la soluzione ritenuta può essere giustificata in modo sostenibile con altri argomenti atti a convincere (sentenza 6B_992/2008 del 5 marzo 2009 consid. 1.2).
L'accertamento criticato neppure viola l'invocata presunzione di innocenza, riferita sia alla ripartizione dell'onere probatorio sia alla valutazione delle prove (v. al riguardo <ref-ruling> consid. 2a). Da un lato i giudici cantonali non hanno imposto all'imputato di provare la sua innocenza, limitandosi a rilevare che i menzionati indizi conducevano verso un'unica direzione, senza che le spiegazioni da lui avanzate riuscissero a deviarla. D'altro, sulla base di una valutazione delle prove priva di arbitrio, non si ravvedono nella fattispecie rilevanti e insopprimibili dubbi sulla sua colpevolezza, tali da dover indurre l'autorità cantonale a proscioglierlo dal reato di falsità in documenti.
Il gravame dell'imputato si rivela pertanto infondato.
4.
Relativamente alla tentata truffa processuale, la CARP ha prosciolto l'imputato dall'accusa, non essendo dato lo scopo dell'indebito profitto richiesto dall'<ref-law>. Ha infatti ritenuto sussistere diversi indizi, in particolare varie testimonianze, corroboranti l'affermazione dell'imputato sull'effettivo pagamento da parte sua di euro 30'000.-- per l'esame e l'attestazione dell'autenticità dei manoscritti. Di conseguenza, quand'anche il giudice civile avesse riconosciuto la relativa pretesa fondandosi sulla contestata ricevuta, il profitto patrimoniale che ne avrebbe tratto l'imputato non potrebbe essere qualificato di indebito.
5.
Il PP lamenta la violazione dell'<ref-law>, segnatamente della nozione di indebito profitto. Ritiene che il vantaggio cercato dall'imputato, versando in causa un documento falso, debba essere considerato indebito. In luogo di assumersi il rischio di non riuscire a dimostrare la sua pretesa con mezzi leciti, avrebbe preferito confezionare una prova documentale dotata di una forza di persuasione maggiore rispetto alle altre prove. Secondo il PP, ottenere dal giudice civile più di quanto le regole di procedura e di diritto materiale permetterebbero a una parte equivarrebbe a un vantaggio illecito e indebito. Negare la truffa nella fattispecie significherebbe avallare un comportamento contrario all'ordine pubblico e alla buona fede processuale.
5.1. Adempie la fattispecie di truffa giusta l'<ref-law> chiunque, per procacciare a sé o ad altri un indebito profitto, inganna con astuzia una persona affermando cose false o dissimulando cose vere, oppure ne conferma subdolamente l'errore inducendola in tal modo ad atti pregiudizievoli al patrimonio proprio o altrui.
La truffa processuale è un caso particolare di truffa giusta l'<ref-law>. Essa consiste nell'ingannare con astuzia il tribunale al fine di determinarlo a rendere una decisione (materialmente sbagliata) pregiudizievole al patrimonio della controparte o di un terzo (<ref-ruling> consid. 2; sentenza 6B_748/2008 del 16 febbraio 2009 consid. 3.7). Anche in questa costellazione l'autore deve agire a scopo di indebito profitto. Il carattere indebito non risulta già solo dalle modalità dell'ottenimento del profitto, ma piuttosto dal fatto che quest'ultimo è contrario all'ordine giuridico. Di conseguenza non è indebito il profitto a cui l'autore ha o crede di avere diritto e non commette dunque una truffa il creditore che ricorre a un inganno astuto al fine di ottenere il pagamento di quanto dovutogli. Nell'ambito della truffa processuale, lo scopo di indebito profitto sussiste qualora l'autore aspiri a ottenere una decisione che non corrisponde alla situazione giuridica materiale (Ursula Cassani, La protection pénale du patrimoine, 1988, pag. 94 seg.; Stratenwerth/Jenny/Bommer, Schweizerisches Strafrecht, Bensonderer Teil, vol. I, 7a ed. 2010, § 15 n. 63; Andreas Donatsch, Strafrecht III, Delikte gegen den Einzelnen, 10a ed. 2013, pag. 103; Bernard Corboz, Les infractions en droit suisse, vol. I, 3a ed. 2010, n. 42 ad <ref-law>; Philippe Graven, Escroquerie (<ref-law>) II, FJS n. 822, stato: 1974, pag. 2; v. pure in materia di appropriazione indebita <ref-ruling> consid. 3a pag. 35; José Hurtado Pozo, Droit pénal, Partie spéciale, 2009, n. 1216; David Rüetschi, Der Prozessbetrug in der Schweiz, in Information & Recht, 2002, pag. 239).
5.2. Il PP non contesta la valutazione delle prove effettuata dalla CARP in merito all'effettivo pagamento da parte dell'imputato dell'importo oggetto della falsa ricevuta e nemmeno sostiene che egli non poteva legittimamente opporlo in compensazione alla pretesa risarcitoria dell'attore. Tenuto conto dell'onere della prova dell'<ref-law>, il PP sottolinea però che una pretesa che non può essere dimostrata, per legge, non crea un diritto. Sicché, l'avvalersi in tribunale di mezzi illeciti (quale un documento falso) rappresenterebbe il tentativo di arrogarsi più diritti di quelli che la legge concede e quindi un profitto indebito.
Sennonché nella fattispecie in realtà sono le modalità utilizzate per ottenere il profitto a essere indebite, ma non il profitto perseguito in quanto tale, ossia la pretesa opposta in compensazione, di cui il PP nemmeno contesta l'esistenza materiale. La CARP non ha pertanto violato l'<ref-law> non riconoscendo a carico dell'imputato di aver agito a scopo di indebito profitto.
Neppure può infine essere seguito il PP laddove sostiene che negare la truffa nella fattispecie equivarrebbe ad avallare un comportamento processuale contrario all'ordine pubblico e alla buona fede processuale, penalmente rilevante. In realtà se la parte, che produce in causa un documento falso al fine di provare una pretesa realmente esistente, non agisce a scopo di indebito profitto ai sensi dell'<ref-law>, tale scopo è invece dato per la fattispecie di falsità in documenti, reato per il quale l'imputato è stato condannato. Secondo la giurisprudenza, infatti, vi è indebito profitto giusta l'<ref-law> qualora l'autore usi il falso documento per provare una pretesa, seppur legittima, atteso che in tal modo punta a beneficiare indebitamente della sua forza probatoria e a migliorare la sua posizione processuale. L'ottimizzazione dei mezzi di prova di cui dispone costituisce un indebito profitto ai sensi dell'<ref-law>, anche se tesa a far riconoscere una pretesa fondata, ma difficile o impossibile da dimostrare (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2.2; v. pure David Rüetschi, op. cit., pag. 239).
Anche l'impugnativa del PP risulta quindi infondata.
6.
Ne segue che i ricorsi devono essere respinti.
La domanda di assistenza giudiziaria dell'imputato non può trovare accoglimento, atteso che il suo gravame appariva d'acchito privo di possibilità di successo (<ref-law>). Le spese giudiziarie relative alla causa 6B_1047/2013 sono pertanto poste a carico del ricorrente soccombente (<ref-law>), pur tenendo conto nella loro determinazione della sua situazione finanziaria (<ref-law>).
Avendo il PP agito nell'esercizio delle sue attribuzioni ufficiali, non si prelevano le spese giudiziarie afferenti la causa 6B_1005/2013 (<ref-law>).
Poiché non è stato ordinato uno scambio di scritti, non sussistono in questa sede spese causate dalla controversia che giustifichino il riconoscimento di un'indennità per ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Le cause 6B_1005/2013 e 6B_1047/2013 sono congiunte.
2.
I ricorsi sono respinti.
3.
La domanda di assistenza giudiziaria di A._ è respinta.
4.
Le spese giudiziarie relative alla causa 6B_1047/2013 di fr. 800.-- sono poste a carico di A._.
5.
Non si prelevano spese giudiziarie nella causa 6B_1005/2013.
6.
Comunicazione alle parti e alla Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino, nonché per conoscenza al patrocinatore della comunione ereditaria fu B._.