Fatti:
A. Mediante decisione del 25 novembre 2009 l'Ufficio dell'assicurazione invalidità del Cantone Ticino ha respinto la domanda di rendita di F._, nato nel 1956, per carenza di invalidità pensionabile.
B. Per pronuncia del 25 maggio 2010 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha respinto il ricorso dell'assicurato. La pronuncia è stata intimata all'allora patrocinatore, Patronato INAS Frontalierato Svizzero, il 31 maggio seguente.
C. Contro il giudizio cantonale F._, ora patrocinato dall'avv. Sybille Plouda Gilardoni, è insorto dinanzi al Tribunale federale con un ricorso datato 30 giugno 2010 e consegnato alla posta tale giorno. Chiede il riconoscimento di almeno una mezza rendita di invalidità. Lamentando una notificazione viziata della pronuncia impugnata, domanda la restituzione per inosservanza del termine di ricorso e l'assegnazione di un congruo termine per motivare in fatto e in diritto il gravame. Infine postula la dispensa dal pagamento delle spese giudi-ziarie nonché il riconoscimento del beneficio del gratuito patrocinio.
Non sono state chieste osservazioni al gravame.

Diritto:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per il resto, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>); può scostarsene solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62).
2. Il ricorrente fa valere in primo luogo una notificazione viziata della pronuncia cantonale.
2.1 Giusta l'<ref-law>, una notificazione viziata, segnatamente l'indicazione inesatta o incompleta dei rimedi giuridici o la mancanza di tale indicazione, qualora sia prescritta, non può causare alcun pregiudizio alle parti.
2.2 Nel caso concreto, la notificazione del giudizio impugnato da parte dell'autorità precedente non presta il fianco a critica alcuna. Il giudizio era munito dell'indicazione dei rimedi di diritto ed è stato regolarmente intimato all'allora patrocinatore del ricorrente il 31 maggio 2010. Il ricorrente sostiene invero di aver ricevuto la pronuncia cantonale dal Patronato INAS solamente il 17 giugno seguente. La circostanza è in questo contesto priva di rilevanza, dovendo, secondo un principio generale, il rappresentato sopportare le conseguenze di eventuali omissioni e negligenze commesse dal suo rappresentante.
3. Il ricorrente chiede in secondo luogo di poter beneficiare della restituzione per inosservanza di termine.
3.1 La restituzione del termine è disciplinata all'<ref-law>. Secondo questa norma se, per un motivo diverso dalla notificazione viziata, una parte o il suo patrocinatore sono stati impediti senza loro colpa di agire nel termine stabilito, quest'ultimo è restituito in quanto, entro 30 giorni dalla cessazione dell'impedimento, la parte ne faccia domanda motivata e compia l'atto omesso (<ref-law>).
3.2 Come si è visto, nel caso specifico la pronuncia cantonale è stata intimata al Patronato INAS il 31 maggio 2010. Il termine di 30 giorni per impugnarla è quindi scaduto, tenuto conto delle disposizioni sul computo dei termini (art. 44 segg. LTF), il 30 giugno 2010. Ne segue che il ricorso, consegnato all'indirizzo del Tribunale federale alla posta lo stesso 30 giugno, è tempestivo e la domanda di restituzione per inosservanza priva di oggetto (cfr. sentenza G.64/1995 del 23 gennaio 1996 consid. 1, non pubblicato in <ref-ruling>). A prescindere da quanto precede, giova per completezza ancora osservare che in ogni modo non sarebbero comunque adempiuti, in concreto, i motivi di una restituzione ai sensi dell'<ref-law> (sul tema cfr. sentenze 9C_541/2009 del 12 maggio 2010 consid. 4, 1C_249/2008 del 9 giugno 2008, pubblicata in RtiD 2009 I pag. 141, consid. 1.2, e 2A.329/1990 del 3 settembre 1991, pubblicata in ASA 60 pag. 630, consid. 2).
4. L'insorgente postula quindi l'assegnazione di un congruo termine per motivare in fatto e in diritto il gravame.
4.1 La LTF prevede, peraltro eccezionalmente, la presentazione di una memoria integrativa solo nel quadro dell'assistenza giudiziaria internazionale o se l'estensione straordinaria o la particolare difficoltà della causa lo richiede (<ref-law>).
4.2 Siffatti motivi non sono adempiuti in concreto.
5. Nel merito, il ricorrente chiede il riconoscimento di almeno una mezza rendita d'invalidità.
5.1 Giusta l'<ref-law> il ricorso deve contenere le conclusioni, i motivi e l'indicazione die mezzi di prova. Nei motivi occorre spiegare in modo conciso perché l'atto impugnato viola il diritto (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.1 pag. 254). Il Tribunale federale esamina in linea di massima solo le censure sollevate, non essendo per contro tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se queste ultime non sono debitamente sollevate in sede federale.
5.2 Nel caso concreto, l'atto di ricorso non adempie manifestamente le esigenze di motivazione. Infatti il ricorrente - limitandosi in sostanza a rinviare ai fatti e alle considerazioni legali così come sono stati esposti dal Patronato INAS in sede di ricorso cantonale, riservandosi di completare sia l'esposizione dei fatti, sia gli arcomenti giuridici una volta che il Tribunale federale si sarebbe pronunciato in merito alla notifica viziata e alla richiesta di restituzione per inosservanza di termine - non si confronta minimamente con i motivi che hanno indotto la Corte cantonale a rendere il giudizio impugnato, né spiega perché e in quale misura l'argomentazione del Tribunale cantonale sarebbe contraria al diritto applicabile.
6. Per quanto precede, il gravame risulta inammissibile e può essere deciso in procedura semplificata (<ref-law>).
7. Il ricorrente ha chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita e del gratuito patrocinio.
7.1 Il Tribunale federale dispensa la parte che dimostra di essere in uno stato di bisogno e (cumulativamente) le cui conclusioni non sembrano prive di probabilità di successo, dal pagare le spese processuali e i disborsi (<ref-law>). Se occorre, il Tribunale federale può fare assistere questa parte da un avvocato i cui onorari sono sopportati dalla cassa del Tribunale medesimo (<ref-law>).
7.2 Visto che il ricorso era sin dall'inizio privo di possibilità di esito favorevole, la domanda di assistenza giudiziaria gratuita e di gratuito patrocinio va respinta, senza che occorra esaminare oltre l'indigenza del ricorrente. Le spese giudiziarie, ridotte, sono poste a carico del ricorrente, soccombente (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. La domanda di restituzione del termine è priva di oggetto.
2. Il ricorso è inammissibile.
3. La domanda di assistenza giudiziaria gratuita e di gratuito patrocinio è respinta.
4. Le spese giudiziarie di fr. 200.- sono poste a carico del ricorrente.
5. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.