Faits:
A. M._, née en 1964, mariée et mère de deux enfants nés en 1997 et 2004, a travaillé en tant que réceptionniste dans un restaurant (de 2000 à 2001). Souffrant d'asthme bronchique, de fatigue à l'effort et de rhumatisme depuis 2002 environ, elle s'est annoncée à l'assurance-invalidité le 19 avril 2007.
Dans un projet de décision du 16 juillet 2008, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a informé l'assurée qu'il envisageait de lui allouer une rente entière d'invalidité du 1er juillet 2006 au 31 janvier 2008, le droit prenant fin trois mois à partir de la date à laquelle le SMR estimait que la capacité de travail était complète dans toute activité. Le 26 octobre 2009, l'office AI a rendu une décision conforme à son projet.
B. M._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en indiquant notamment que son état de santé ne s'était pas suffisamment amélioré pour lui permettre de reprendre une activité professionnelle, même à temps partiel.
Par jugement du 23 mars 2010, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours, annulé la décision administrative dans la mesure où le droit à la rente était supprimé dès le 1er février 2008, et mis l'assurée au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité depuis cette date-là.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. A titre principal, il conclut à sa réforme en ce sens qu'un quart de rente soit alloué à l'assurée depuis le 1er février 2008; subsidiairement, il conclut à ce que la cause lui soit renvoyée pour instruction complémentaire. Dans son préavis, l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) propose d'admettre le recours.
L'intimée s'en remet à justice.
Par ordonnance du 26 juillet 2010, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif au recours présentée par l'office AI.

Considérant en droit:
1. Le droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité pour la période s'étendant du 1er juillet 2006 au 31 janvier 2008 n'est pas litigieux. Il l'est en revanche à compter du 1er février 2008, le recourant contestant le bien-fondé du calcul de l'invalidité auquel les premiers juges ont procédé.
2. Le tribunal cantonal a fixé la capacité de travail résiduelle de l'intimée à 60 % dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Il a ensuite considéré qu'en raison de la réduction du rendement liée aux nécessités d'alterner les positions, ladite capacité de travail devait finalement être arrêtée à 50 %, donnant ainsi droit à une demi-rente (jugement attaqué, consid. 6 p. 13).
3. L'office recourant, de même que l'OFAS, reprochent au tribunal cantonal d'avoir établi le taux d'invalidité de façon manifestement erronée. A leur avis, les premiers juges, qui n'ont procédé à aucune comparaison de revenus, ont confondu les notions d'incapacité de travail et d'invalidité. Le recourant ajoute que la réduction opérée par le tribunal cantonal (10 %) devrait s'appliquer à un revenu; à supposer qu'il s'agisse d'une diminution supplémentaire de la capacité de travail, celle-ci devrait alors être fixée à 54 % (10 % de 60 %). Il fait observer que le taux d'invalidité serait de 46 % s'il concordait avec celui de l'incapacité de travail; dans ces conditions, l'intimée aurait droit à un quart de rente.
Par ailleurs, lorsqu'il s'agit d'évaluer l'invalidité selon la méthode générale de comparaison des revenus (<ref-law>), le recourant rappelle qu'en l'absence d'un revenu effectivement réalisé, la jurisprudence admet de se référer aux statistiques telles qu'elles ressortent de l'Enquête sur la structure des salaires (ESS).
4. 4.1 En l'espèce, l'étendue de la capacité de travail de l'intimée dans une activité adaptée (art. 6 LGPA), qui relève d'une question de fait (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398) et qui devrait en principe lier le Tribunal fédéral (<ref-law>), est douteuse voire contestée. En effet, on ignore si l'on se trouve par exemple en présence d'une capacité de travail de 60 % induisant une perte de gain de 50 % (dans l'éventualité d'un revenu d'invalide établi selon les statistiques de l'ESS), ou si la réduction opérée par le tribunal cantonal ne porte que sur le taux de la capacité de travail proprement dite.
Par ailleurs, la méthode d'évaluation de l'invalidité (<ref-law>) qui a été retenue par les premiers juges est inconnue, de sorte que le Tribunal fédéral n'est pas en mesure de vérifier si le choix de cette méthode et son application dans le cas d'espèce sont conformes au droit fédéral.
4.2 Dans ces conditions, la cause doit être renvoyée à la juridiction cantonale afin qu'elle fixe la capacité de travail de l'intimée. Cela fait, le tribunal cantonal se prononcera sur la méthode d'évaluation de l'invalidité qu'il entend appliquer et déterminera le taux d'invalidité dans un nouveau jugement.
5. L'intimée, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 23 mars 2010 est annulé, la cause étant renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, afin qu'elle procède conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, ainsi qu'à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud