Sachverhalt:
A.
X._ trat vor Bezirksgericht Horgen in einem Erbteilungsverfahren (Verfahren CP070001-F), an dem seine Ehefrau A._ als Partei beteiligt ist, als deren Vertreter auf. Mit Beschluss des Bezirksgerichts Horgen vom 1. Oktober 2013 wurde er von der Teilnahme an allen weiteren Verhandlungen im besagten Prozess ausgeschlossen.
B.
Gegen diesen Beschluss beschwerte sich X._ beim Obergericht des Kantons Zürich. Die angerufene Instanz qualifizierte dessen Eingabe infolge Verwendung diverser Formulierungen als ungebührlich; sie setzte X._ mit Verfügung vom 13. November 2013 in Anwendung von Art. 132 Abs. 1 und 2 ZPO eine Nachfrist zur Verbesserung und wies ihn darauf hin, im Säumnisfall gelte die Beschwerde als nicht erfolgt. X._ reichte fristgerecht eine zweite Version seiner Beschwerde ein, die jedoch nach Ansicht des Obergerichts erneut einen ungebührlichen Inhalt aufwies. Mit Urteil vom 28. November 2013 schrieb es deshalb, wie angedroht, das Beschwerdeverfahren RB130051-O/U ab und auferlegte X._ die Kosten des zweitinstanzlichen Verfahrens von Fr. 300.--.
C.
X._ hat am 17. Januar 2014 beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Er beantragt die Urteile des Obergerichts vom 28. November 2013 in den Verfahren RB130052-O/U und RB130051-O/U aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Ferner sei der "Beschwerdeführerin" eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. In seiner Eingabe vom 17. Februar 2014 präzisierte er seine Beschwerde dahingehend, dass er persönlich in eigenem Namen Beschwerde führe.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer ist darauf zu behaften, dass er persönlich in seinem eigenen Namen Beschwerde (5A_42/2014) führt. Diese richtet sich gegen die Urteile des Obergerichts vom 28. November 2013 in den Verfahren RB130052-O/U und RB130051-O/U. Das Verfahren betreffend den Entscheid RB130052-O/U ist mit Verfügung des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 28. März 2014 infolge Rückzugs der Beschwerde abgeschrieben worden (5A_41/2014). Gegenstand des vorliegenden Verfahrens 5A_42/2014 ist somit einzig das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich mit der Geschäftsnummer RB130051-O/U. Soweit der Beschwerdeführer in seiner Eingabe auf das Urteil RB130052-O/U eingeht, ist auf die Beschwerde von vornherein nicht einzutreten.
1.2. Angefochten ist ein Urteil, mit dem das Obergericht die Beschwerde gegen den Beschluss der ersten Instanz, den Beschwerdeführer als Vertreter seiner Ehefrau vom Erbteilungsprozess auszuschliessen, abgeschrieben hat. Im Streit über die Erbteilung handelt es sich dabei um einen Zwischenentscheid, der für den Beschwerdeführer einen nicht wiedergutzumachenden rechtlichen Nachteil bewirken kann, da er zu den Kosten des Beschwerdeverfahrens verurteilt worden ist (<ref-law>; vgl. Urteil 5P.410/2005 vom 6. April 2006 E. 1). In der Sache geht es um eine Zivilsache im Sinn von <ref-law> vermögensrechtlicher Natur, deren Streitwert den Betrag von Fr. 30'000.-- zweifelsohne übersteigt (<ref-law>). Ist die Beschwerde in der Hauptsache gegeben, ist sie es auch gegen den angefochtenen Zwischenentscheid (<ref-ruling> E. 2.2. S. 647 f.).
2.
2.1. Das Obergericht hat erwogen, die erste Beschwerdeeingabe des Beschwerdeführers habe Ausdrücke wie: "der faule und ignorante Gerichtspräsident", "betrügerische Erbschleicherin" "ihres kriminellen Winkeladvokaten" enthalten und sei daher dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 13. November 2013 als ungebührlich zurückgesandt worden. In Anwendung von Art. 132 Abs. 1 und 2 ZPO sei ihm eine Nachfrist zur Verbesserung gesetzt worden mit dem Hinweis, im Säumnisfall gelte die Beschwerde als nicht erfolgt. Die fristgerecht eingereichte zweite Eingabe des Beschwerdeführers sei ebenfalls als ungebührlich zu betrachten, zumal darin immer noch zu lesen sei: "[..] die offensichtliche Überforderung des Horgener Gerichtspräsidenten, welcher ganz offenkundig weder willens noch fähig ist, auch einfache Rechtslagen richtig zu erfassen und danach zu handeln. Ihm fehlt es an der geistigen Leistungsfähigkeit sowie an der nötigen Leistungsbereitschaft [..]", "GP [N.] und seine Crew haben sich [..] als trölerische Prozessignoranten erwiesen" sowie "dass Rechtsanwalt [C.], [..] ein "Schwein" ist, ist allenfalls ungebührlich und sollte den Tierschutz auf den Plan rufen, [..]". Der Text der nachgereichten zweiten Beschwerdeschrift erweise sich als weitgehend identisch mit dem beanstandeten Ersten. Der Beschwerdeführer habe sich im Wesentlichen darauf beschränkt, einen Teil der ungebührlichen Ausführungen (deren er sich damit offensichtlich bewusst sei) zynisch ins überzeichnete Gegenteil zu drehen. So sei in der zweiten Eingabe z.B. aus "der faule und ignorante Gerichtspräsident" "der emsige und kluge Gerichtspräsident" geworden.
2.2. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, die vom Obergericht aufgeführten Ausdrücke wie "trölerische Prozessignoranten" sowie den gegenüber einem am Prozess beteiligten Anwalt geäusserten Ausdruck "Schwein" verwendet zu haben. Zudem bestätigt er, dass er gewisse ungebührliche Ausdrücke wie "der faule und ignorante Gerichtspräsident" durch den überzeichneten Ausdruck "der emsige und kluge Gerichtspräsident" ersetzt hat. Im Weiteren macht er geltend, in der strittigen Rechtsschrift sei nicht mehr von "wohlbegründeter Kritik an der Faulheit und Ignoranz der Juristen", sondern von "unbegründeter Kritik an der Kompetenz der Juristen" die Rede. Statt der Redewendung "als Anlügeberater überführten Winkeladvokaten" werde in der zweiten Rechtsschrift die Wendung "eines Instruktionsirrtums verdächtiger honoriger Advokat" aufgeführt. Die benutzten Ausdrücke seien im Lichte der Meinungsäusserungsfreiheit keineswegs als ungebührlich zu bezeichnen.
2.3. Nach <ref-law> sind Mängel wie fehlende Unterschrift und fehlende Vollmacht innert einer gerichtlichen Nachfrist zu verbessern. Andernfalls gilt die Eingabe als nicht erfolgt. Gleiches gilt für unleserliche, ungebührliche, unverständliche oder weitschweifige Eingaben (Abs. 2). Eine Rechtsschrift ist dann ungebührlich, wenn sie den durch die guten Sitten gebotenen prozessualen Anstand vermissen lässt und gewählter Ton und Ausdrucksweise sich auch durch das Recht auf selbst harte Kritik an Behörden nicht mehr rechtfertigen lassen (vgl. LAURENT MERZ, Basler Kommentar BGG, 2. Aufl. 2011, N. 102 zu <ref-law>, S. 506 f.).
2.4. Die erste der genannten Rechtsschriften hat sich angesichts der darin verwendeten Ausdrücke als offensichtlich ungebührlich erwiesen. Aber auch im zweiten Schriftsatz hat der Beschwerdeführer trotz der Verfügung vom 13. November 2013 und des darin enthaltenen Hinweises, dass eine ungebührliche Rechtsschrift als nicht erfolgt gelte, es sich nicht nehmen lassen, erneut Gerichtsbehörden und Verfahrensbeteiligten mit verachtenden und entwürdigenden Ausdrücken zu begegnen. Insbesondere wurden ein beteiligter Anwalt als "Schwein" und der Richter und seine Crew als Ignoranten dargestellt. Zum andern wurden ursprünglich klar ungebührliche Ausdrücke wie "der faule und ignorante Gerichtspräsident" ironisch ins überzeichnete Gegenteil verdreht. Insgesamt lässt es auch die zweite Fassung der Beschwerde am gebührenden Anstand gegenüber Gerichtsbehörden und Prozessbeteiligten missen. Ihr rüder und den Verhältnissen nicht angepasster Ton lässt sich auch nicht mit dem Hinweis auf die Meinungsäusserungsfreiheit des Beschwerdeführers rechtfertigen. Angesichts der in der praktisch identischen zweiten Beschwerdeschrift enthaltenen ungebührlichen Ausdrücke sowie der zynischen Überzeichnung und Verdrehung von Formulierungen in ihr Gegenteil durfte die Vorinstanz ohne Weiteres davon ausgehen, auch diese Schrift weise einen ungebührlichen Inhalt auf. Die Abschreibung des Beschwerdeverfahrens sowie die Auferlegung der Verfahrenskosten verletzen damit kein Bundesrecht.
3.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Frage der Parteientschädigung stellt sich nicht, zumal keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden