Sachverhalt:
A.
V._ war von Dezember 1999 bis Anfang Februar 2005 bei der P._ AG angestellt und bei der Personalvorsorgestiftung der P._ AG (nachfolgend: Vorsorgeeinrichtung P._) berufsvorsorgeversichert. In der Zeit danach wechselte sie verschiedentlich den Arbeitgeber und bezog auch Arbeitslosenentschädigung. Vom 10. Dezember 2007 bis 30. Juni 2008 war sie beim Departement X._ Basel-Stadt tätig und bei der Pensionskasse Basel-Stadt berufsvorsorgeversichert.
Am 26. Mai 2008 meldete sich V._ bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle Basel-Stadt (kurz: IV-Stelle) sprach ihr mit Verfügung vom 23. Dezember 2010 ab 1. Mai 2007 eine halbe und ab 1. Mai 2009 eine ganze Rente zu. In der Folge lehnten sowohl die Vorsorgeeinrichtung P._ als auch die Pensionskasse Basel-Stadt eine Leistungspflicht ab. Erstere stellte sich auf den Standpunkt, dass die massgebliche Arbeitsunfähigkeit zu einem Zeitpunkt eingetreten sei, in dem V._ nicht mehr bei ihr versichert gewesen sei. Letztere vertrat die Meinung, dass die (Teil-) Arbeitsunfähigkeit bereits vor Eintritt in ihre Kasse bestanden habe.
B.
Am 11. Oktober 2011 reichte V._ Klage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt gegen die Pensionskasse Basel-Stadt ein und beantragte, diese sei im Sinne einer Vorleistung zu verpflichten, ihr nach Gesetz bzw. Reglement für die Zeit vom 1. Mai 2007 bis 30. April 2009 eine halbe Invalidenrente und ab 1. Mai 2009 bis auf weiteres eine ganze Invalidenrente, je nebst 5 % Zins, auszurichten (Rechtsbegehren Ziff. 1 und 2). Ferner sei die Pensionskasse Basel-Stadt zu verpflichten, die zur Berechnung der Vorleistungspflicht gemäss Rechtsbegehren Ziff. 1 und 2 notwendigen Unterlagen bzw. die konkrete betragsmässige Berechnung der Vorleistungspflicht gemäss Rechtsbegehren Ziff. 1 und 2 einzureichen; nötigenfalls sei ihr anschliessend Gelegenheit zu geben, die Rechtsbegehren Ziff. 1 und 2 zu beziffern (Rechtsbegehren Ziff. 3). Die Pensionskasse Basel-Stadt stellte in der Klageantwort Antrag auf Abweisung der Klage.
Mit "Teilurteil" vom 7. März 2012 verpflichtete das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Pensionskasse Basel-Stadt, V._ ab 1. Mai 2007 eine halbe und ab 1. Mai 2009 eine ganze Invalidenrente gemäss gesetzlichem Obligatorium als Vorleistung zu entrichten.
C.
Dagegen erhob die Pensionskasse Basel-Stadt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragte, der Entscheid vom 7. März 2012 sei aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückzuweisen.
V._ und das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt schlossen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtete auf eine Stellungnahme.
D. Mit Verfügung vom 12. Juni 2012 wurde angeordnet, dass bis zum Entscheid über das Gesuch um aufschiebende Wirkung alle Vollziehungsvorkehrungen zu unterbleiben haben.
D. Mit Verfügung vom 12. Juni 2012 wurde angeordnet, dass bis zum Entscheid über das Gesuch um aufschiebende Wirkung alle Vollziehungsvorkehrungen zu unterbleiben haben.
E. Am 5. November 2012 (Posteingang) gelangte die Pensionskasse Basel-Stadt mit einer weiteren Eingabe an das Bundesgericht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 127; <ref-ruling> E. 1 S. 96; 8C_417/2011 vom 3. September 2012 E. 1.1).
2.
Anfechtbar beim Bundesgericht sind Endentscheide, die das Verfahren ganz (<ref-law>) oder in Bezug auf unabhängig voneinander zu beurteilende Begehren oder auf einen Teil der Streitgenossen abschliessen (Teilendentscheid; <ref-law>). Selbstständig eröffnete Vor- oder Zwischenentscheide können demgegenüber nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG angefochten werden (<ref-ruling> E. 1.1 S. 133).
2.1. Befindet sich der Versicherte beim Entstehen des Leistungsanspruchs nicht in der leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung, so ist jene Vorsorgeeinrichtung vorleistungspflichtig, der er zuletzt angehört hat. Steht die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung fest, so kann die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung auf diese Rückgriff nehmen (Art. 26 Abs. 4 BVG).
2.2. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist der Entscheid über die Vorleistungspflicht einer Vorsorgeeinrichtung im vorgenannten Sinne ein Endentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1.3 S. 135). Diesem Urteil lag indessen, wie aus seinem Sachverhalt und insbesondere auch aus der im Internet publizierten ungekürzten Fassung erhellt (Urteil 9C_848/2009 vom 6. Januar 2010), eine klar bezifferte Klageforderung zu Grunde. Entsprechend lautete auch das Dispositiv des zu überprüfenden Entscheids auf eine klar bezifferte Vorleistungspflicht. Mit anderen Worten hatte in <ref-ruling> das kantonale Gericht sowohl in grundsätzlicher als auch masslicher Hinsicht über die Vorleistungspflicht befunden, während es sich hier allein um einen Entscheid in grundsätzlicher Hinsicht handelt. Die betragsmässige Festsetzung der Vorleistungspflicht harrt der Erledigung, was die Vorinstanz mit der Bezeichnung "Teilurteil" unmissverständlich zum Ausdruck gebracht hat. Im Übrigen scheint das kantonale Gericht das gestaffelte Vorgehen den Parteien mit Verfügung vom 9. Januar 2012 angezeigt zu haben. Die Zweiteilung erfolgte, wie das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt in seiner Vernehmlassung ausführte, aus prozessökonomischen Gründen, weil die Klärung der Leistungshöhe mit einem nicht unerheblichen Aufwand verbunden sei, der hinfällig würde, falls die grundsätzliche Vorleistungspflicht der Beklagten nicht gegeben sei. Bei dieser Sachlage stellt der angefochtene Entscheid - anders als in <ref-ruling> - keinen Endentscheid dar. Vielmehr fragt es sich, ob er als Teilendentscheid oder aber als Vor- oder Zwischenentscheid zu qualifizieren ist.
2.3. Vor- und Zwischenentscheide sind Entscheide, die das Verfahren nicht abschliessen (<ref-law> e contrario), sondern bloss eine formell- oder materiellrechtliche Frage im Hinblick auf die Verfahrenserledigung regeln, mithin einen Schritt auf dem Weg zum Endentscheid darstellen. Für die verfahrensrechtliche Qualifizierung eines angefochtenen Erkenntnisses unter dem Gesichtspunkt der <ref-law> ist nicht dessen formelle Bezeichnung entscheidend, sondern sein materieller Inhalt. Zwischenverfügungen sind akzessorisch zu einem Hauptverfahren; sie können nur vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer desselben Bestand haben bzw. unter der Bedingung, dass ein solches eingeleitet wird. Sie fallen mit dem Entscheid in der Hauptsache dahin. Eine Anordnung, die der (wenn auch befristeten, vorläufigen oder vorübergehenden) Regelung eines Rechtsverhältnisses dient, aber nicht im Hinblick auf ein Hauptverfahren, sondern in einem selbstständigen Verfahren ergeht oder ergehen kann, ist demgegenüber ein Endentscheid. Auch für die Abgrenzung zwischen Teil- und Zwischenentscheid ist massgebend, ob der Entscheid ein Begehren behandelt, das unabhängig von anderen beurteilt werden kann (<ref-law>), d.h. ebenfalls Gegenstand eines selbstständigen Verfahrens hätte bilden können und selbstständig der materiellen Rechtskraft zugänglich ist (<ref-ruling> E. 1.1.2 S. 134 f. mit verschiedenen Hinweisen).
2.4. Die Rechtsbegehren Ziff. 1 und 2 in der Klage vor Vorinstanz sind Leistungsbegehren. Es geht um den gesetzesgemässen Vollzug der Berufsvorsorgeversicherung, indem der Anspruch auf eine Invalidenrente gegenüber der vorleistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung durchgesetzt werden soll. Mit der blossen Feststellung des Bestandes oder Nichtbestandes eines (berufsvorsorgerechtlichen) Rechtsverhältnisses haben sie nichts zu tun.
Die mangelnde Bezifferung des Leistungsbegehrens schadet angesichts des in Art. 73 Abs. 2 BVG enthaltenen Grundsatzes der Einfachheit des Verfahrens nicht. Das kantonale Gericht ist verpflichtet, den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen und die betragsmässige Höhe der Vorleistungspflicht zu ermitteln (SVR 2009 BVG Nr. 15 S. 52, B 120/06 E. 3). Das Rechtsbegehren Ziff. 3 geht nicht darüber hinaus. Vor allem ist darin keine (zivilprozessrechtliche) Stufenklage zu erblicken. Eine solche gelangt zur Anwendung, wenn die Bezifferbarkeit einer Forderung von der vorgängigen Auskunftserteilung durch die beklagte Partei abhängt und die Klägerin einen materiellrechtlichen Anspruch auf Erteilung dieser Auskunft hat ( DANIEL FÜLLEMANN, in: Zürcher Kommentar zur schweizerischen Zivilprozessordnung, 2011, N. 4 zu <ref-law>; vgl. auch PASCAL LEUMANN LIEBSTER, Die Stufenklage im schweizerischen Zivilprozessrecht, 2005, S. 116 ff.). Vielmehr ist das Rechtsbegehren Ziff. 3, wie die Klagebegründung verdeutlicht, lediglich als prozessuale Informationsbeschaffung im Rahmen der Sachverhaltsermittlung zu verstehen.
2.5. Nach dem Gesagten handelt es sich bei den Rechtsbegehren Ziff. 1 und 2 einerseits sowie beim Rechtsbegehren Ziff. 3 anderseits nicht um mehrere Rechtsbegehren im Sinne einer objektiven Klagenhäufung ( LEUMANN LIEBSTER, a.a.O., S. 95). Im Gegenteil stehen verschiedene materiellrechtliche Teilfragen eines (einzigen) Rechtsbegehrens zur Diskussion (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 217). Die Vollstreckung ist erst möglich, wenn sowohl im Grundsatz als auch betragsmässig entschieden wurde (SVR 2009 BVG Nr. 15 S. 52, B 120/06 E. 3.3; vgl. auch DOMENICO ACOCELLA, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 2. A., 2010, N. 8 zu <ref-law>). Der vorinstanzliche Entscheid bildet daher keinen beschwerdefähigen Teilendentscheid gemäss <ref-law>, sondern einen Zwischenentscheid auf dem Weg zum Endentscheid (vgl. E. 2.3; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1.3 S. 481).
3.
Nach <ref-law> ist gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide die Beschwerde zulässig, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
3.1. Massgebend für das Vorliegen eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils ist, ob der Nachteil auch mit einem günstigen Entscheid in Zukunft nicht behoben werden kann (SVR 2012 IV Nr. 23 S. 97, 9C_329/2011 E. 3.2 in initio).
Die Beschwerdeführerin hält einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil für gegeben, da ihr Regressrechte zuständen und beim Regress wiederum Verjährungsaspekte beachtet werden müssten, damit die Leistungspflicht nicht irreversibel eine definitive werde und an ihr hängen bleibe. Ausserdem könnten sie irreversible Zinsnachteile treffen. Dabei handelt es sich um pauschale Vorbringen, die nicht näher substanziiert sind. Vor allem erläutert die Beschwerdeführerin nicht, inwieweit die Verjährungsfrage und die Zinsproblematik aktuell einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bergen. Die Anfechtbarkeit gestützt auf <ref-law> ist aber auch aus folgendem Grund zu verneinen: Die Verjährung einer Forderung kann nicht zu laufen beginnen, bevor die Forderung überhaupt entstanden ist. Die Rückgriffsforderung entsteht erst mit der Leistung an die Gläubigerin, nicht schon mit der Belangung durch diese (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 12 f.; <ref-ruling> E. 6c S. 266). In concreto hat die Beschwerdeführerin noch keine (Vor-) Leistungen erbracht und das vorinstanzliche "Teilurteil" ist nicht vollstreckbar (vgl. E. 2.5).
3.2. Insoweit die Beschwerdeführerin meint, mit einem sofortigen, gutheissenden Entscheid könnte sie kostenintensive Aufwendungen, wie die Kontaktaufnahme und Verhandlungen mit möglichen regresspflichtigen Kassen, einsparen, lässt sie ausser Acht, dass die direkte Anfechtung eines Zwischenentscheids aus prozessökonomischen Gründen (Ersparnis eines weitläufigen Beweisverfahrens; vgl. E. 3 Ingress) und nicht aus finanziellen Interessen einer Partei angezeigt sein muss. Überdies schliesst die Vorleistungspflicht nicht aus, selber endgültig leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung zu sein, diesfalls von vornherein kein Raum für einen Regress verbleibt (vgl. E. 2.1). Zwar spricht die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung davon, dass es zur Klärung der Leistungshöhe eines nicht unerheblichen Aufwandes bedürfe, welcher wegfallen würde, wenn die Zuständigkeit der Beschwerdeführerin nicht gegeben wäre (vgl. E. 2.2). Eine konkrete Darlegung fehlt jedoch. Ebenso wenig liegt auf der Hand, dass die offene Tatfrage nach der Leistungshöhe selber umfangreiche beweisrechtliche Probleme aufwirft, zumal die Vorsorgeeinrichtungen einer Aufbewahrungspflicht von Vorsorgeunterlagen unterstehen (Art. 41 Abs. 8 BVG i.V.m. Art. 27i und Art. 27j BVV 2). Stellen sich im Zusammenhang mit der Festsetzung der Leistungshöhe weitere Rechtsfragen - zum Beispiel diejenige nach dem Berechnungszeitpunkt (im Zeitpunkt des Austritts der versicherten Person aus der letzten Vorsorgeeinrichtung oder im Zeitpunkt der Entstehung des Leistungsanspruchs) - so liegen diese Konstellationen ausserhalb von <ref-law>.
3.3. Zusammengefasst sind die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> nicht erfüllt. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung ist unter diesen Umständen gegenstandslos.
4.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Sie hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen, Aufsicht Berufliche Vorsorge, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Dezember 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Nussbaumer