Faits:
Faits:
A. B._, né en 1956, a travaillé en qualité de ferblantier-couvreur et de chauffeur poids lourds. Le 18 octobre 1999, il a effectué un faux mouvement qui a entraîné un blocage de la colonne lombaire et des douleurs irradiant dans la jambe droite. L'assuré a été licencié pour la fin de l'année 1999 et n'a plus repris d'activité lucrative. Il s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 20 octobre 2000.
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a requis un examen pluridisciplinaire de l'assuré auprès du Service médical régional AI (SMR Léman). Dans un rapport du 22 avril 2002, les docteurs F._, G._ et A._ ont attesté un trouble somatoforme douloureux persistant, un trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen avec syndrome somatique, une personnalité émotionnellement labile, type impulsif, avec des traits paranoïaques, ainsi que des troubles statiques rachidiens et modérément dégénératifs. Selon ces trois médecins, la capacité de travail du patient s'élève à 50 %, aussi bien dans l'activité habituelle que dans une activité adaptée. Le 7 mai 2002, le docteur F._ a précisé que l'atteinte à la santé psychique, plus particulièrement le trouble de la personnalité dans le cadre d'un trouble psychique récurrent, réduit de 50 % la capacité de travail de l'assuré en toute activité.
Dans un projet d'acceptation de rente du 3 juin 2002, l'office AI a fait savoir à B._ qu'il envisageait de lui allouer une rente d'invalidité à partir du 1er octobre 2000, fondée sur un taux d'invalidité de 50 %. Le 5 août 2002, les docteurs V._ et P._, médecins à la Fondation X._ ont adressé à l'office AI un rapport dont il ressort que l'assuré souffre d'un trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère sans symptôme psychotique à caractère mélancoliforme, d'un trouble somatoforme douloureux persistant, ainsi que d'une personnalité émotionnellement labile, de type impulsif, avec des traits paranoïaques. A leur avis, l'incapacité de travail du patient est totale en raison de ses affections psychiques et des mesures d'ordre professionnel ne sont pas indiquées.
Le 23 octobre 2002, le docteur F._ a demandé à son confrère P._ de préciser divers points d'ordre médical, notamment le moment de l'aggravation du trouble dépressif. Les médecins de la Fondation X._ ont répondu au SMR Léman que l'état de santé de l'assuré était stationnaire depuis 1999, tout en s'étonnant de ses conclusions concernant la capacité de travail.
Entre-temps, par décision du 28 octobre 2002, l'office AI a mis l'assuré au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1er octobre 2000, sur la base d'un degré d'invalidité de 50 %.
Dans le cadre d'une procédure de révision de cette prestation, la doctoresse A._ a admis que l'état de santé de l'assuré s'était péjoré et que sa capacité de travail était désormais nulle depuis le 22 novembre 2002 (cf. communication interne du 16 janvier 2003). L'office AI a dès lors porté le taux d'invalidité à 100 % et a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er février 2003, par décision du 17 février 2003. Celle-ci a été frappée d'opposition.
Dans le cadre d'une procédure de révision de cette prestation, la doctoresse A._ a admis que l'état de santé de l'assuré s'était péjoré et que sa capacité de travail était désormais nulle depuis le 22 novembre 2002 (cf. communication interne du 16 janvier 2003). L'office AI a dès lors porté le taux d'invalidité à 100 % et a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er février 2003, par décision du 17 février 2003. Celle-ci a été frappée d'opposition.
B. B._ a déféré la décision du 28 octobre 2002 au Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant principalement au versement d'une rente entière d'invalidité, subsidiairement à la prise en charge de mesures d'ordre professionnel.
Par jugement du 20 janvier 2004, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision litigieuse en ce sens que l'assuré s'est vu allouer une rente entière d'invalidité à compter du 1er octobre 2000.
Par jugement du 20 janvier 2004, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision litigieuse en ce sens que l'assuré s'est vu allouer une rente entière d'invalidité à compter du 1er octobre 2000.
C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 28 octobre 2002.
L'intimé conclut au rejet du recours avec suite de dépens. Il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige découle de la décision administrative du 28 octobre 2002. Il porte sur le degré d'invalidité de l'intimé à partir du 1er octobre 2000.
1. Le litige découle de la décision administrative du 28 octobre 2002. Il porte sur le degré d'invalidité de l'intimé à partir du 1er octobre 2000.
2. Pour pouvoir calculer le degré d'invalidité, l'administration (ou le juge, s'il y a eu un recours) a besoin de documents que le médecin, éventuellement aussi d'autres spécialistes, doivent lui fournir. La tâche du médecin consiste à porter un jugement sur l'état de santé et à indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est incapable de travailler. En outre, les données médicales constituent un élément utile pour déterminer quels travaux on peut encore, raisonnablement, exiger de l'assuré (<ref-ruling> consid. 4, 115 V 134 consid. 2, 114 V 314 consid. 3c, 105 V 158 consid. 1).
Lorsque des spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (<ref-ruling> consid. 3b/aa et les références).
Lorsque des spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (<ref-ruling> consid. 3b/aa et les références).
3. L'incidence des affections somatiques de l'intimé sur sa capacité de travail n'est ni contestée ni sujette à discussion. On peut sur ce point se référer au consid. 7 du jugement entrepris.
3. L'incidence des affections somatiques de l'intimé sur sa capacité de travail n'est ni contestée ni sujette à discussion. On peut sur ce point se référer au consid. 7 du jugement entrepris.
4. Après avoir constaté que les médecins de la Fondation X._ ont posé, pour l'essentiel, le même diagnostic psychiatrique que leurs confrères du SMR Léman et que leurs divergences de vues résident dans l'importance du trouble dépressif, l'étendue de l'incapacité de travail occasionnée par cette affection psychique ainsi que le moment à partir duquel ce trouble présente un caractère entièrement invalidant, les premiers juges se sont écartés de l'appréciation des médecins du SMR Léman. Ils ont donné la préférence à l'avis des médecins de la Fondation X._ qui estimaient que l'intimé présentait une incapacité totale de travail en octobre 1999 déjà et que son état de santé était demeuré stable depuis ce moment-là.
Pour justifier son point de vue, la juridiction cantonale de recours a constaté, à l'examen des rapports psychiatriques versés au dossier, qu'il n'y avait pas eu de réelle aggravation de l'état de santé en novembre 2002, mis à part des sentiments de tension interne, et que l'essentiel du status existait en octobre 1999 déjà. Par ailleurs, les premiers juges ont douté du bien-fondé de l'appréciation de la capacité de travail de la doctoresse A._, considérant que la psychiatre du SMR Léman n'avait pas tenu compte, pour des raisons non médicales, de l'idéation suicidaire de l'intimé; de surcroît, son avis leur a paru brièvement motivé, peu documenté, et ne se fondait que sur un seul entretien avec le patient. A l'inverse, le Tribunal des assurances a jugé que les rapports des médecins de la Fondation X._ étaient solidement étayés, qu'ils se fondaient sur une analyse approfondie du cas, au terme de nombreux entretiens avec l'assuré qu'ils connaissaient du reste de longue date.
Pour justifier son point de vue, la juridiction cantonale de recours a constaté, à l'examen des rapports psychiatriques versés au dossier, qu'il n'y avait pas eu de réelle aggravation de l'état de santé en novembre 2002, mis à part des sentiments de tension interne, et que l'essentiel du status existait en octobre 1999 déjà. Par ailleurs, les premiers juges ont douté du bien-fondé de l'appréciation de la capacité de travail de la doctoresse A._, considérant que la psychiatre du SMR Léman n'avait pas tenu compte, pour des raisons non médicales, de l'idéation suicidaire de l'intimé; de surcroît, son avis leur a paru brièvement motivé, peu documenté, et ne se fondait que sur un seul entretien avec le patient. A l'inverse, le Tribunal des assurances a jugé que les rapports des médecins de la Fondation X._ étaient solidement étayés, qu'ils se fondaient sur une analyse approfondie du cas, au terme de nombreux entretiens avec l'assuré qu'ils connaissaient du reste de longue date.
5. Compte tenu des contradictions qui ressortent du dossier médical, on ne saurait confirmer en l'état le résultat auquel les premiers juges sont parvenus. En effet, l'intimé n'a bénéficié d'un suivi psychiatrique régulier qu'à partir du 10 décembre 2001, en l'occurrence auprès de la Fondation X._ (cf. rapport des docteurs V._ et P._, du 5 août 2002), si bien que la reconnaissance d'une incapacité totale de travail pour les deux années précédentes peut susciter certains doutes. Ceux-ci sont renforcés par le fait que la doctoresse L._, généraliste et médecin traitant, qui avait attesté la présence d'un état anxio-dépressif réactionnel en octobre 1999, avait précisé que cette affection psychique n'avait aucune répercussion sur la capacité de travail de l'intimé (cf. rapport du 31 mai 2001).
Comme on l'a vu, les avis médicaux dont l'administration disposait au moment où elle a rendu sa décision litigieuse, le 28 octobre 2002, étaient contradictoires sur plusieurs points essentiels, singulièrement la gravité de l'état dépressif, les conséquences de cette affection sur la capacité de travail de l'intimé et le moment à partir duquel ce trouble a présenté un caractère entièrement invalidant. Contrairement aux médecins du SMR Léman qui ont interpellé leurs confrères de la Fondation X._ (cf. lettre du 23 octobre 2002), l'office AI en charge de l'instruction de la cause n'a pas cherché à faire toute la lumière sur ces divergences de vues, mais il a préféré statuer en l'état sans établir les faits pertinents. Ce faisant, l'administration ne connaissait pas l'étendue réelle de la capacité de travail de l'intimé, de même qu'elle ignorait si les affections psychiques en cause pouvaient le cas échéant constituer une comorbidité psychiatrique grave au trouble somatoforme douloureux de l'intimé, susceptible de le rendre invalidant aux conditions posées par la jurisprudence (cf. <ref-ruling>).
En pareilles circonstances, les premiers juges auraient dû renvoyer la cause à l'office AI afin qu'il reprenne l'instruction de la demande de prestations, en prenant un nouvel avis psychiatrique. Le jugement attaqué doit dès lors être réformé en ce sens.
En pareilles circonstances, les premiers juges auraient dû renvoyer la cause à l'office AI afin qu'il reprenne l'instruction de la demande de prestations, en prenant un nouvel avis psychiatrique. Le jugement attaqué doit dès lors être réformé en ce sens.
6. Les conditions de l'assistance judiciaire gratuite sont réunies. L'intimé est cependant rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal, s'il devient ultérieurement en mesure de le faire (art. 152 al. 3 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le dispositif (ch. I et II) du jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 20 janvier 2004 est réformé comme suit : « Le recours est admis en ce sens que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 28 octobre 2002 est annulée, la cause étant renvoyée audit office pour instruction complémentaire et nouvelle décision ».
1. Le recours est admis en ce sens que le dispositif (ch. I et II) du jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 20 janvier 2004 est réformé comme suit : « Le recours est admis en ce sens que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 28 octobre 2002 est annulée, la cause étant renvoyée audit office pour instruction complémentaire et nouvelle décision ».
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. L'assistance judiciaire est accordée à l'intimé. Les honoraires de Me Wettstein Martin sont fixés à 1'500 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) et seront supportés par la caisse du tribunal.
3. L'assistance judiciaire est accordée à l'intimé. Les honoraires de Me Wettstein Martin sont fixés à 1'500 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) et seront supportés par la caisse du tribunal.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 octobre 2005
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IVe Chambre: Le Greffier: