Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene I._ war als Maschinist im Bauunternehmen S._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 8. Februar 2001 erlitt er beim Aussteigen aus einem Bagger ein Distorsionstrauma am rechten Knie. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 28. Juni 2004 sprach sie dem Versicherten für die verbleibenden Folgen des Unfalls vom 8. Februar 2001 eine ab 1. März 2004 laufende Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 24 % sowie eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 7.5 % zu. I._ erhob Einsprache. Zwischenzeitlich hatte er am 25. Mai 2004 einen weiteren Unfall erlitten. Er war beim Ersteigen einer Steintreppe gestolpert und nach vorne auf beide Knie gestürzt. Die SUVA erbrachte erneut die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 13. Dezember 2006 bestätigte sie die für den ersten Unfall mit Wirkung ab 1. März 2004 zugesprochene Invalidenrente, setzte diese mit Wirkung ab 1. Dezember 2006 unter Berücksichtigung beider Unfälle nach Massgabe einer Erwerbsunfähigkeit von nunmehr 31 % fest und sprach I._ für beide Ereignisse eine Integritätsentschädigung entsprechend einem Integritätsschaden von gesamthaft 12.5 % zu. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 15. November 2007).
B. Die von I._ erhobene Beschwerde betreffend den Rentenanspruch ab 1. Dezember 2006 wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft ab. Es verneinte dabei namentlich auch einen Leistungsanspruch aus der Unfallversicherung für die bestehende psychische Problematik mit der Begründung, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zu den beiden Unfällen vom 8. Februar 2001 und 25. Mai 2004 (Entscheid vom 17. September 2008).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt I._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, ab 1. Dezember 2006 eine Invalidenrente nach Massgabe eines vom Bundesgericht festzusetzenden, 31 % übersteigenden Invaliditätsgrades auszurichten; eventuell sei die Sache zum neuen Entscheid an den Unfallversicherer zurückzuweisen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Die Vorinstanz schliesst mit dem gleichen Rechtsbegehren. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Am 25. Februar 2009 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit ab.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig ist, ob der Grad der Erwerbsunfähigkeit für die ab 1. Dezember 2006 auszurichtende Invalidenrente höher als 31 % anzusetzen ist.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid im Wesentlichen zutreffend dargelegt. Das gilt nebst den massgeblichen gesetzlichen Bestimmungen namentlich auch für die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen) sowie bei organisch klar ausgewiesenen Unfallfolgen (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen) und bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling>) mit den sich jeweils stellenden Beweisfragen. Richtigzustellen ist, dass für die Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs nicht bis zum Abschluss des Heilungsprozesses zuzuwarten ist (vgl. <ref-ruling> E. 3 und 4 S. 112 ff.).
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie sich nicht mit dem von ihm eingeholten und im kantonalen Verfahren aufgelegten Gutachten des Prof. Dr. med. M._ vom 18. März 2008 auseinandergesetzt habe. Diese Rüge ist aufgrund ihrer formellen Natur vorab zu prüfen.
Der angefochtene Entscheid äussert sich in der Tat nicht zum Gutachten des Prof. Dr. med. M._. Die darin liegende Verletzung des rechtliches Gehörs ist aber als im vorliegenden Verfahren, in welchem das Bundesgericht den Sachverhalt frei überprüft (E. 1 hievor), geheilt zu betrachten.
4. 4.1 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, organisch ausgewiesen und unstreitig unfallkausal sei eine Schädigung an den beiden Knien. Diese gestatte den Einsatz in der angestammten Tätigkeit eines Baggerführers nicht mehr. Eine dem Knieleiden angepasste Tätigkeit sei aber ganztags zumutbar.
Die vorinstanzliche Beurteilung stützt sich namentlich auf das MEDAS-Gutachten vom 5. Juli 2007. Dieses ist zwar von der Invalidenversicherung eingeholt worden. Es beantwortet aber die sich im vorliegenden Verfahren stellenden somatomedizinischen, insbesondere orthopädischen, Fragen ebenfalls überzeugend und ist mit dem kantonalen Gericht als voll beweiswertig anzuschauen (zu den Anforderungen hiefür: <ref-ruling> E. 3a S. 252 mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die Vorinstanz hat überdies in nicht zu beanstandender Weise dargelegt, weshalb sie sich durch weitere Arztberichte, soweit sich diese abweichend zur Arbeitsfähigkeit äussern, zu keiner anderen Betrachtungsweise veranlasst sieht. Hervorzuheben ist, dass in diesen Arztberichten, auch Faktoren (u.a. lumbale Rückenbeschwerden aus einer Diskushernie, Diabetes) mitberücksichtigt wurden, welche aufgrund der schlüssigen Ausführungen der MEDAS-Experten, aber auch gemäss Bericht vom 15. Januar 2007 des Prof. Dr. med. J._ welcher den Versicherten seit Jahren behandelt und mehrere chirurgische Eingriffe an den Knien vorgenommen hat, als unfallfremd zu betrachten sind.
4.2 Der Versicherte macht eine unfallbedingte volle Arbeitsunfähigkeit infolge somatischer Unfallfolgen geltend. Er beruft sich dabei auf das Gutachten des Prof. Dr. med. M._ vom 18. März 2008. Darin wird zwar eine gänzliche Arbeitsunfähigkeit für sämtliche Berufstätigkeiten bestätigt. Der Privatexperte bezieht in diese Einschätzung aber nebst der Schädigung an den Knien die bestehende psychische Problematik mit ein. Zudem berücksichtigt er die geklagten lumbalen Schmerzen, obwohl auch er diese zumindest teilweise mit unfallfremden Gesichtspunkten begründet. Prof. Dr. med. M._ setzt sich überdies nicht mit dem - ihm offensichtlich nicht bekannten - MEDAS-Gutachten vom 5. Juli 2007 auseinander. Es ist aufgrund seiner Ausführungen namentlich auch nicht nachvollziehbar, ob und weshalb nach seiner Auffassung die Knieproblematik eine höhere Arbeitsunfähigkeit begründen soll, als von den MEDAS-Experten angenommen. Die Aussagen des Privatexperten vermögen daher nicht, die vorinstanzliche Beurteilung in Frage zu stellen.
Gleiches gilt für den - ohnehin erst letztinstanzlich aufgelegten und prozessual unzulässigen (vgl. BGE 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 2 und 3) - Bericht der Frau Dr. med. A._ vom 16. Januar 2009, worin sich keine Aussagen zur Arbeitsfähigkeit finden.
4.3 Ausgehend vom umschriebenen, sich aufgrund der somatischen Unfallfolgen ergebenden Zumutbarkeitsprofil (E. 4.1 hievor) hat das kantonale Gericht gestützt auf <ref-law> eine Invaliditätsbemessung mittels Einkommensvergleich vorgenommen. Dieser hat eine Erwerbsunfähigkeit von 30 % ergeben. Die Vorinstanz sah sich aufgrund dieser nur geringen Differenz zu dem durch die SUVA ermittelten und der Rentenzusprechung zugrunde gelegten Invaliditätsgrad von 31 % nicht veranlasst, vom Einspracheentscheid vom 15. November 2007 abzuweichen. Die entsprechenden Erwägungen im vorinstanzlichen Entscheid sind nicht umstritten und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass.
5. Streitig und zu prüfen bleibt, ob aufgrund der überdies diagnostizierten psychischen Störung unfallbedingt eine höhere Einschränkung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit besteht. Das kantonale Gericht hat dies mit der Begründung verneint, es bestehe zwar ein natürlicher, aber kein adäquater Kausalzusammenhang zwischen dieser Störung und den Unfällen von 2001 und 2004. Die Beschwerdegegnerin sei daher für diese Problematik und die damit gegebenenfalls einhergehende Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit nicht leistungspflichtig.
Der Beschwerdeführer bejaht auch den adäquaten Kausalzusammenhang.
5.1 Die Adäquanz ist nach <ref-ruling> zu prüfen. Dabei ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird. Während der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel bei schweren Unfällen ohne weiteres bejaht und bei leichten Unfällen verneint werden kann, lässt sich die Frage der Adäquanz bei Unfällen aus dem mittleren Bereich nicht aufgrund des Unfallgeschehens allein schlüssig beantworten. Es sind weitere, objektiv fassbare Umstände, welche unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehen oder als direkte bzw. indirekte Folgen davon erscheinen, in eine Gesamtwürdigung einzubeziehen. Je nachdem, wo im mittleren Bereich der Unfall einzuordnen ist und abhängig davon, ob einzelne dieser Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sind, genügt zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs ein Kriterium oder müssen mehrere herangezogen werden (<ref-ruling> E. 6 S. 138 ff.). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.3.1 [U 2, 3 und 4/07]).
Der Versicherte beschrieb den Unfall vom 8. Februar 2001 am 8. März 2001 wie folgt: Er stieg vom Bagger herunter, setzte seinen rechten Fuss auf den Boden, wollte sich nach links umdrehen, glitt dabei mit dem rechten Fuss aus, verlor dadurch das Gleichgewicht und verspürte ein Knacken im Knie. Beim zweiten Unfall vom 25. Mai 2004 handelte es sich um einen stolperbedingten Sturz nach vorne auf die Knie beim Ersteigen einer Steintreppe. Beide Ereignisse sind mit der Vorinstanz als leichte Unfälle einzustufen (vgl. <ref-ruling> E. 6a S. 139; Urteil U 106/04 vom 5. November 2004 E. 4.1 mit Hinweisen).
5.2 Bei leichten Unfällen kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres verneint werden, da solche Ereignisse nicht geeignet erscheinen, zu einer psychischen Fehlentwicklung zu führen (<ref-ruling> E. 6a S. 139; E. 5.1 hievor). Ausnahmsweise ist die Adäquanzfrage aber auch bei leichten Unfällen zu prüfen, wobei die Kriterien, die für Unfälle im mittleren Bereich gelten, heranzuziehen sind (in RKUV 1990 Nr. U 98 S. 195 nicht veröffentlichte E. 8b des Urteils U 39/89 vom 7. Dezember 1989; vgl. auch RKUV 2003 Nr. U 489 S. 357 E. 4.2 [U 193/01] und 1998 Nr. U 297 S. 243 E. 3b mit Hinweisen [U 16/97]).
Die Vorinstanz ist von einem solchen Ausnahmefall ausgegangen und hat entsprechend eine Adäquanzprüfung vorgenommen. Ob dies gerechtfertigt ist, erscheint zwar eher fraglich, muss aber nicht abschliessend beantwortet werden. Denn wie nachstehend gezeigt wird, ist der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den Unfällen von 2001 und 2004 und der psychischen Störung auch nach den bei Unfällen aus dem mittleren Bereich massgeblichen Kriterien zu verneinen.
5.3 Das kantonale Gericht hat sämtliche adäquanzrelevanten Kriterien (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140) verneint. Die Begründung hiefür im angefochtenen Entscheid ist knapp, wird doch im Wesentlichen auf den Einspracheentscheid und die Stellungnahmen der SUVA im vorinstanzlichen Verfahren verwiesen. Es rechtfertigt sich jedenfalls, die Kriterien näher zu betrachten.
Der Versicherte geht davon aus, es seien die Kriterien der körperlichen Dauerschmerzen, des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen, des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit sowie in besonders ausgeprägter Weise das Kriterium der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung erfüllt. Darauf wird nachfolgend eingegangen. Die weiteren Adäquanzkriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen, insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert) werden, nach Lage der Akten zu Recht, nicht geltend gemacht.
5.4 Dass sich der physische und psychische Gesundheitszustand verschlechtert hat und mehrere chirurgische Eingriffe erfolgten, genügt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht, um das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen zu bejahen. Es bedürfte hiefür besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (zuletzt: Urteil 8C_825/2008 vom 9. April 2009 E. 4.8 mit Hinweis). Solche Gründe können in der durchgeführten Heilbehandlung ebenso wenig gesehen werden wie in der Entwicklung des Gesundheitszustandes.
Von den verbleibenden drei Kriterien müsste für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Das trifft nicht zu. Es kann daher offen bleiben, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form bejaht werden könnten. Soweit der Versicherte das Kriterium der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung als besonders ausgeprägt erachtet, kann ihm nicht gefolgt werden. Zwar erstreckte sich die Behandlung über einige Jahre. Auch erfolgten mehrere Eingriffe und stationäre Rehabilitationen. Über weite Strecken beschränkte sich die Behandlung aber im Wesentlichen auf ambulante Physiotherapie und Schmerzmedikation und fanden daneben medizinische Abklärungen und ärztliche Kontrollen statt. In besonders ausgeprägter Weise liegt das Kriterium damit nicht vor, zumal die durchgeführte Behandlung auch unfallfremden Faktoren, wie den festgestellten gutartigen Tumoren an beiden Tibiae und den Beschwerden aus der lumbalen Diskushernie, galt.
5.5 Das kantonale Gericht hat eine in der psychischen Störung begründete Erhöhung der für die Invalidenrente massgeblichen Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit somit zu Recht mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs zu den Unfällen von 2001 und 2004 verneint. Die weiteren Vorbringen des Versicherten führen zu keiner anderen Betrachtungsweise. Das gilt auch, soweit geltend gemacht wird, die Invalidenversicherung habe eine Invalidenrente entsprechend einer vollen Erwerbsunfähigkeit zugesprochen. Denn anders als die Unfallversicherung hatte die Invalidenversicherung auch die nicht unfallkausalen Gesundheitsstörungen - in casu insbesondere die psychische Problematik - in die Rentenprüfung einzubeziehen. Die Beschwerde ist somit auch diesbezüglich unbegründet.
6. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Mai 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz