Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn vom 30. Januar 2012 wurde der Beschwerdeführer wegen Fälschung von Ausweisen, rechtswidriger Einreise und rechtswidrigen Aufenthalts in der Schweiz zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 90 Tagen verurteilt.
Nachdem der Beschwerdeführer am 17. Juli 2014 verhaftet worden war, ordnete der Straf- und Massnahmenvollzug am 18. Juli 2014 den Vollzug der Freiheitsstrafe an. Gestützt auf einen ärztlichen Bericht vom 22. Juli 2014 bewilligte das Amt am 23. Juli 2014 einen Unterbruch des Vollzugs für unbestimmte Dauer.
Auf Ersuchen des Amts für Justizvollzug teilte der Arzt am 6. Mai 2015 mit, die Behandlung sei mittlerweile abgeschlossen und der Beschwerdeführer geheilt. Darauf wurde dieser mit Strafantrittsbefehl vom 12. Mai 2015 zum Vollzug der Freiheitsstrafe auf den 15. Juni 2015 aufgeboten.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer beim Departement des Innern des Kantons Solothurn Beschwerde und beantragte sinngemäss die Umwandlung der Freiheitsstrafe in gemeinnützige Arbeit oder in eine Geldstrafe. Gleichzeitig ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Departement wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege am 10. Juni 2015 wegen Aussichtslosigkeit ab und setzte dem Beschwerdeführer eine Frist an zur Bezahlung eines Kostenvorschusses.
Am 26. Juni 2015 wandte sich der Beschwerdeführer an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und beantragte sinngemäss die Umwandlung der Freiheitsstrafe in gemeinnützige Arbeit und das Absehen von einem Kostenvorschuss. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 27. Juli 2015 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, das Urteil vom 27. Juli 2015 sei aufzuheben.
2.
Wie die Vorinstanz zu Recht feststellt, war Gegenstand des im kantonalen Verfahren angefochtenen Zwischenentscheids einzig die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege und der Kostenvorschuss (Urteil S. 4 E. 1.2). Folglich kann sich auch das Bundesgericht nur mit diesen Punkten befassen. Zur unentgeltlichen Rechtspflege äussert sich der Beschwerdeführer jedoch nicht, weshalb seine Eingabe den Anforderungen von <ref-law> nicht genügt, wonach darin dargelegt werden muss, aus welchem Grund der angefochtene Entscheid - im vorliegenden Fall also die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege - gegen das Recht verstossen soll. Im Übrigen ergibt sich auch materiell aus der Beschwerde nicht, weshalb die Annahme der kantonalen Behörden, der Antrag des Beschwerdeführers auf Umwandlung der Sanktion erscheine aufgrund einer summarischen Prüfung als aussichtslos, verfehlt sein sollte (vgl. Beschwerde Ziff. V). Auf die Beschwerde ist mangels einer tauglichen Begründung im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Den bescheidenen finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers (angefochtenes Urteil S. 4 E. 3) ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn