Sachverhalt:
A. A.a Die X._ B.V. (Beschwerdeführerin) ist eine Gesellschaft nach niederländischem Recht mit Sitz in Rotterdam. Sie ist eine Tochtergesellschaft der X._ S.A., eines weltweit tätigen Warenprüfungsunternehmens mit Sitz in Paris, und hält ihrerseits die in Venezuela domizilierte lokale X._-Gesellschaft. A._ (Beschwerdegegner) lebt in Caracas (Venezuela) und arbeitet als Berater.
Am 21. April 2000 schloss die Beschwerdeführerin mit dem Beschwerdegegner einen Beratervertrag ab, worin sich dieser verpflichtete, der Beschwerdeführerin ein Übereinkommen mit der venezolanischen Regierung über die staatliche Zulassung der Beschwerdeführerin als Warenprüfungsgesellschaft zu vermitteln. Im Jahr 2003 kam aufgrund der Bemühungen des Beschwerdegegners ein solches Übereinkommen zustande.
A.b In der Folge machte der Beschwerdegegner ausstehende Vermittlungsprovisionen im Betrag von US $ 2'625'569.36 geltend. Gestützt auf die in Art. 16 des Beratervertrags vorgesehene Schiedsklausel klagte er diesen Betrag mit einer Schiedsklage vom 13. Dezember 2005 bei der Internationalen Handelskammer (ICC) gegen die Beschwerdeführerin ein.
Kurz zuvor, am 30. November 2005, erwirkte der Beschwerdegegner beim Zivilgerichtspräsidenten Basel-Stadt einen Arrest auf dem Schweizer Konto der Beschwerdeführerin über den entsprechenden Betrag in Schweizer Währung, nämlich Fr. 3'492'007.25. Die von der Beschwerdeführerin dagegen erhobene Arresteinsprache wurde von der Zivilgerichtspräsidentin Basel-Stadt mit Verfügung vom 30. Januar 2006 abgewiesen, worauf die Beschwerdeführerin am 10. Februar 2006 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Beschwerde einlegte.
Mit Klageantwort vom 14. Februar 2006 erhob die Beschwerdeführerin im gegen sie angestrengten ICC-Schiedsverfahren sodann ihrerseits Widerklage gegen den Beschwerdegegner, mit der sie u.a. Schadenersatz aufgrund der Verletzung der Schieds- sowie der Vertraulichkeitsklausel des Beratervertrags geltend machte.
In Gutheissung der Beschwerde vom 10. Februar 2006 hob das Appellationsgericht Basel-Stadt den vom Beschwerdegegner erwirkten Arrest mit Urteil vom 10. August 2006 auf.
B. B.a Mit Klage vom 24. Oktober 2006 gelangte die Beschwerdeführerin an das Zivilgericht Basel-Stadt mit den Begehren, der Beschwerdegegner sei kostenfällig zu verpflichten, ihr gestützt auf <ref-law> Schadenersatz für ungerechtfertigten Arrest im Umfang der folgenden Beträge zu bezahlen:
a) Fr. 200'376.50 zuzüglich Schadenszins von 5% ab 22. September 2006. Fr. 105'400.52 zuzüglich Schadenszins von 5% ab 22. September 2006 auf den Betrag von Fr. 103'547.55 und abzüglich Fr. 10'000.-- an Parteientschädigung.
b) Euro 68'259.37 zuzüglich Schadenszins von 5% ab 22. September 2006 auf den Betrag von Euro 66'689.48.
c) Euro 36'172.61 zuzüglich Schadenszins von 5% ab 22. September 2006 auf den Betrag von Euro 35'548.70.
Der Beschwerdegegner beantragte in der Klageantwort, es sei mangels Vorliegens einer Vorbedingung der Rechtsgültigkeit des Prozesses im Sinne von § 58 der Zivilprozessordnung des Kantons Basel-Stadt vom 8. Februar 1875 (ZPO/BS; SG 221.100) nicht auf die Klage einzutreten. Am 15. März 2007 verfügte der Instruktionsrichter des Zivilgerichts, dass der Prozess zunächst auf die Eintretensfrage beschränkt werde.
In der Zwischenzeit hatte sich im parallel laufenden ICC-Schiedsverfahren ein Schiedsgericht mit Sitz in Rotterdam konstituiert, welches mit Teilurteil vom 1. Juni 2007 die Widerklage der Beschwerdeführerin abwies.
B.b Mit Urteil vom 15. Mai 2008 trat das Zivilgericht auf die Arrestschadenersatzklage der Beschwerdeführerin nicht ein.
Es kam zum Schluss, dass zur Beurteilung der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Schadenersatzforderung aus ungerechtfertigtem Arrest das in Art. 16 des Beratervertrags vorgesehene Schiedsgericht zuständig sei. Denn die Parteien hätten mit der Schiedsklausel, welche bei Meinungsverschiedenheiten unter den Parteien "concernant l'interprétation ou l'application du présent contrat" die ausschliessliche Zuständigkeit des Schiedsgerichts vorsieht, auch die vorliegende Arrestschadenersatzklage der Schiedsgerichtsbarkeit unterstellt. Zudem habe die Beschwerdeführerin die Schadenersatzforderung aus ungerechtfertigtem Arrest widerklageweise bereits vor dem Schiedsgericht geltend gemacht. Mit Teilurteil vom 1. Juni 2007 habe das Schiedsgericht dieses Begehren abgewiesen. Das Zivilgericht könne daher nicht nur wegen fehlender Zuständigkeit, sondern auch wegen bereits abgeurteilter Sache (res iudicata) auf die Klage nicht eintreten.
B.c Gegen den Nichteintretensentscheid des Zivilgerichts legte die Beschwerdeführerin Appellation beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt ein mit dem Antrag, es sei das erstinstanzliche Urteil aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zum Entscheid in der Hauptsache zurückzuweisen.
Mit Urteil vom 18. Juni 2010 wies das Appellationsgericht die Appellation ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und zu erkennen, dass die Vorbedingungen der Rechtsgültigkeit des Prozesses gemäss <ref-law> des Kantons Basel-Stadt erfüllt sind, namentlich dass das Zivilgericht Basel-Stadt zuständig sei und keine res iudicata vorliege. Die Vorinstanz sei sodann anzuweisen, auf die Appellation vom 29. Juni 2009 einzutreten und die Sache neu zu beurteilen. Weiter wiederholt die Beschwerdeführerin die in erster Instanz gestellten Begehren auf Zahlung von Schadenersatz.
Der Beschwerdegegner und die Vorinstanz schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 1. November 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) in einer Zivilsache (<ref-law>), die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (<ref-law>), der massgebende Streitwert beträgt mehr als Fr. 30'000.-- (Art. 51 i.V.m. <ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 46 Abs. 1 lit. b i.V.m. <ref-law>). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz sei zu Unrecht zum Schluss gelangt, dass ihrer beim Zivilgericht Basel-Stadt eingereichten Arrestschadenersatzklage die Einrede der abgeurteilten Sache (res iudicata) entgegen stehe. Die Vorinstanz habe die bundesrechtlichen Grundsätze der Klage- bzw. Anspruchsidentität verkannt, denn die Arrestschadenersatzklage sei keineswegs identisch mit der Widerklage, welche vom ICC-Schiedsgericht mit Teilurteil vom 1. Juni 2007 abgewiesen wurde. Vielmehr unterscheide sich der beim Schiedsgericht geltend gemachte Schadenersatzanspruch aus Verletzung der Schieds- und Vertraulichkeitsklausel sowohl hinsichtlich des Rechtsgrunds als auch hinsichtlich des Lebenssachverhalts von der in Basel eingeklagten Arrestschadenersatzforderung.
2.1 Eine abgeurteilte Sache liegt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung vor, wenn der streitige Anspruch mit einem schon rechtskräftig beurteilten identisch ist. Dies trifft zu, wenn der Anspruch dem Richter aus demselben Rechtsgrund und gestützt auf den gleichen Sachverhalt erneut zur Beurteilung unterbreitet wird (<ref-ruling> E. 1 S. 242; <ref-ruling> E. 2a S. 18; <ref-ruling> E. 2a S. 90). Der Begriff der Anspruchsidentität ist nicht grammatikalisch, sondern inhaltlich zu verstehen. Er wird durch die mit dem Begehren des abgeschlossenen Verfahrens insgesamt erfassten und beurteilten Rechtsbehauptungen bestimmt. Der neu geltend gemachte Anspruch ist trotz abweichender Umschreibung vom beurteilten nicht verschieden, wenn er in diesem bereits enthalten war, wenn bloss das kontradiktorische Gegenteil zur Beurteilung unterbreitet wird, oder wenn die im ersten Prozess beurteilte Hauptfrage für Vorfragen des zweiten Prozesses von präjudizieller Bedeutung ist. Anderseits sind Rechtsbehauptungen trotz gleichen Wortlauts dann nicht identisch, wenn sie nicht auf dem gleichen Entstehungsgrund, das heisst auf denselben Tatsachen und rechtlichen Umständen beruhen (BGE <ref-ruling> E. 2a S. 19, 121 III 474 E. 4a am Ende). Die Identität der Ansprüche ist ebenfalls zu verneinen, wenn zwar aus dem gleichen Rechtsgrund wie im Vorprozess geklagt wird, aber neue erhebliche Tatsachen geltend gemacht werden, die seitdem eingetreten sind und den Anspruch in der nunmehr eingeklagten Form erst entstehen liessen. Diesfalls stützt sich die neue Klage auf rechtsbegründende oder rechtsverändernde Tatsachen, die im früheren Prozess nicht zu beurteilen waren (<ref-ruling> E. 2 S. 270; 116 II 783 E. 2a; <ref-ruling> E. 2d S. 246).
2.2 Gemäss <ref-law> müssen Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, unter anderem die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art enthalten, insbesondere die Angabe der angewendeten Gesetzesbestimmungen (lit. b). Das Bundesgericht kann nach <ref-law> einen Entscheid, der den Anforderungen von Absatz 1 nicht genügt, an die kantonale Behörde zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben.
Aus <ref-law> folgt, dass Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, klar den massgeblichen Sachverhalt und die rechtlichen Schlüsse, die daraus gezogen werden, angeben müssen. Dies ist von Bedeutung im Hinblick auf die unterschiedliche Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts bei Sachverhalts- und Rechtsfragen (Art. 95 und Art. 97 BGG). Genügt der angefochtene Entscheid diesen Anforderungen nicht und ist deshalb das Bundesgericht nicht in der Lage, über die Sache zu befinden, ist er nach <ref-law> aufzuheben und die Angelegenheit an die kantonale Behörde zurückzuweisen, damit diese einen Entscheid treffe, der <ref-law> entspricht (Urteile des Bundesgerichts 4A_416/2010 vom 9. September 2009 E. 2.1; 1B_61/2008 vom 3. April 2008 E. 2.2 mit Hinweisen).
2.3 Die Begründung im angefochtenen Entscheid genügt den erwähnten Anforderungen nicht:
2.3.1 Bevor die Vorinstanz auf die Einrede der abgeurteilten Sache einging, prüfte sie zunächst, ob die Schadenersatzforderung aus ungerechtfertigtem Arrest überhaupt von der Schiedsklausel gemäss Art. 16 des Beratervertrags erfasst wird. Dabei führte sie aus, dass eine Schiedsklausel, die alle Streitigkeiten aus Vertrag dem Schiedsgericht unterstellt, auch Schadenersatzansprüche wegen Nichterfüllung des Vertrags, nicht aber Ansprüche aus unerlaubter Handlung umfasse. Derartige Ansprüche würden nur dann von der Schiedsklausel erfasst, wenn sich die behauptete unerlaubte Handlung tatbeständlich mit einer Vertragsverletzung decke. Eine Schadenersatzforderung aus ungerechtfertigtem Arrest sei nicht aus Vertrag ableitbar, sondern stelle einen Anspruch aus unerlaubter Handlung dar. Noch präziser sei es, von einer Eingriffshaftung des Gesuchstellers für ungerechtfertigte vorsorgliche Massnahmen zu sprechen.
Im vorliegenden Fall habe sich der Arrest nicht deshalb als unzulässig erwiesen, weil die vom Beschwerdegegner aus dem Beratervertrag geltend gemachte Provisionsforderung nicht bestünde, sondern weil die notwendigen formalen Voraussetzungen für einen Ausländerarrest nicht vorlägen (kein Bezug der geltend gemachten Forderung zur Schweiz und Nichtvorliegen einer Schuldanerkennung i.S. von <ref-law>). Die Frage der Rechtfertigung des Arrestes hänge mithin nicht davon ab, ob die vertragliche Forderung bestehe. Ein Konnex zwischen der Schadenersatzklage aus ungerechtfertigtem Arrest und der (Haupt-)Klage auf Zahlung der Provisionsforderung bestehe damit nicht. Die Arrestnahme sei nicht aus Gründen ungerechtfertigt, die mit dem Vertragsverhältnis der Parteien zu tun hätten. Entgegen der Auffassung der ersten Instanz sei daher "wohl nicht das Schiedsgericht, sondern eher das staatliche Zivilgericht für die Behandlung der Schadenersatzforderung der Klägerin aus ungerechtfertigtem Arrest sachlich zuständig gewesen". Die Frage könne aber offen bleiben, wenn sich erweise, dass dem Eintreten auf die Klage die Einrede der res iudicata entgegenstehe.
2.3.2 In der Folge prüfte die Vorinstanz, ob die Beschwerdeführerin "die vorliegende Schadenersatzklage aus ungerechtfertigtem Arrest im Kleid einer vertraglichen Forderung (Verletzung der Schiedsklausel, unstatthaftes Prozessieren entgegen der Abrede in der Schiedsklausel) widerklageweise bereits beim Schiedsgericht geltend gemacht und das Schiedsgericht diese beurteilt" hat.
Gemäss der Vorinstanz habe die Beschwerdeführerin in ihrer Widerklage vom 14. Februar 2006 ausgeführt, dass die Anrufung der Schweizer Gerichte durch den Beschwerdegegner eine Verletzung der Schiedsklausel darstelle, aus welcher der Beschwerdeführerin ein noch zu beziffernder Schaden entstanden sei. In der "Mémoire n° 1" vom 29. November 2006 habe die Beschwerdeführerin sodann spezifiziert, dass der Beschwerdegegner "une attitude délibérément contentieuse" eingenommen habe, indem dieser ohne vorherige Kontaktaufnahme mit der Beschwerdeführerin direkt "une voie contentieuse" eingeschlagen und das Gericht in Basel mit einem Arrestbegehren angerufen habe. Nachdem diesem stattgegeben worden sei, habe die Beschwerdeführerin den Arrest aufheben lassen können, weil die "behauptete Forderung" ihn nicht gerechtfertigt habe.
Mit diesen Ausführungen schaffe die Beschwerdeführerin selber den Konnex des Arrests zum Schiedsverfahren. Die Beschwerdeführerin wolle belegen, dass der Beschwerdegegner durch "direkte Anrufung des Gerichts" die Schiedsklausel verletzt und dadurch der Beschwerdeführerin grosse Umtriebe verursacht habe, indem diese "a dû mobiliser d'importants moyens matériels et humains (outre les frais de procédure et d'arbitrage) pour faire face à la procédure abusive engagée". Aus diesem Grund würden Euro 200'000.-- verlangt. Die Beschwerdeführerin habe zwar nicht klar ausgeführt, welche "procédure abusive" - jene vor dem Schiedsgericht oder jene vor den Basler Gerichten - gemeint sei. Die Anrufung des Schiedsgerichts sei aber "nach Meinung der Klägerin [Beschwerdeführerin] überhaupt nur deshalb unhaltbar, weil der Beklagte vorweg den Weg des Arrestbegehrens gewählt" habe. Insofern schaffe die Beschwerdeführerin "den engen Zusammenhang zwischen den beiden Vorgehensweisen". Zudem habe der geltend gemachte Schadensposten von Euro 200'000.-- nur im Zusammenhang mit dem Arrestverfahren stehen können.
Zwar habe die Beschwerdeführerin in ihrer "Mémoire n° 1" erwähnt, dass sie vor dem Zivilgericht in Basel eine Klage wegen ungerechtfertigten Arrests eingereicht habe. Dies ist aber nach Auffassung der Vorinstanz als blosser Akt der Vorsicht zu interpretieren, da die Beschwerdeführerin in diesem Zeitpunkt nicht habe wissen können, ob das Schiedsgericht sich zur Beurteilung der widerklageweise geltend gemachten Forderung überhaupt zuständig erachten würde. Schon nur zur Fristwahrung habe daher gleichzeitig auch das Basler Gericht angerufen werden müssen. Aus diesem Umstand ergebe sich aber nicht, dass die Beschwerdeführerin vor dem Schiedsgericht und vor dem Basler Gericht unterschiedliche Forderungen geltend gemacht hätte. Jedenfalls sei ihre Schilderung des Sachverhalts bei ihrer Widerklage derart kursorisch, dass sich daraus nicht ergebe, ob die Klagen nun kumulativ oder alternativ gedacht seien.
Das Schiedsgericht habe seine Zuständigkeit bezüglich der Widerklage wohl nicht zuletzt aufgrund der irreführenden Sachverhaltsdarstellung der Klägerin bejaht und die Forderung abgewiesen. Damit sei res iudicata eingetreten, so dass das Zivilgericht mit dieser Begründung zu Recht nicht auf die Klage eingetreten sei.
2.4 Die Erwägungen der Vorinstanz erscheinen unvollständig und teilweise auch nicht nachvollziehbar. So vermag nicht ohne weiteres einzuleuchten, wie die Vorinstanz im ersten Teil ihrer Begründung jeglichen Zusammenhang zwischen der in Basel eingeklagten Arrestschadenersatzforderung und dem Beratervertrag in Abrede stellen kann, um im zweiten Teil zum Schluss zu gelangen, dass die Arrestschadenersatzklage vollumfänglich in der Widerklage der Beschwerdeführerin wegen Verletzung der Schiedsklausel aufgehe. Weiter lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen, nach welchen rechtlichen Kriterien die Vorinstanz die Identität der Widerklage vor dem Schiedsgericht und der Arrestschadenersatzklage in Basel bejaht hat. Es fehlen Ausführungen zu den Grundsätzen der Klageidentität bzw. der Einrede der abgeurteilten Sache und insbesondere zur Frage, welche Rechtskraftwirkungen ein in Rotterdam ergangener Schiedsspruch entfalten kann, nach welchem Recht sich diese bestimmen und unter welchen Voraussetzungen diese auf die Schweiz zu erstrecken sind. Schliesslich fehlen in tatsächlicher Hinsicht präzise Feststellungen darüber, auf welchem Lebenssachverhalt die beiden angeblich identischen Klagen beruhen. Diese Feststellungen sind notwendig, damit das Bundesgericht die von der Beschwerdeführerin vorgetragenen Rügen, die Vorinstanz habe die bundesrechtlichen Grundsätze zur Klage- bzw. Anspruchsidentität verletzt, überhaupt überprüfen kann. Die Vorinstanz kann es nicht dabei bewenden lassen, lediglich auf die "kursorische Schilderung" des Sachverhalts bei der Widerklage hinzuweisen und dabei im Zweifel davon auszugehen, die Widerklage sei mit der Arrestschadenersatzklage identisch. Um beurteilen zu können, ob eine abgeurteilte Sache vorliegt, müssen vielmehr die Tatsachenfundamente beider Klagen ermittelt und einander gegenübergestellt werden.
Der angefochtene Entscheid verfehlt damit die Anforderungen von <ref-law> (oben E. 2.2) und ist in Anwendung von <ref-law> aufzuheben. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese einen neuen Entscheid treffe, der den Anforderungen von <ref-law> genügt.
3. Dabei wird die Vorinstanz folgende Grundsätze zu beachten haben:
3.1 Entscheide von Schiedsgerichten, die ihren Sitz nicht in der Schweiz haben, sind ausländische Schiedsurteile (GERHARD WALTER, Internationales Zivilprozessrecht der Schweiz, 4. Aufl., 2007, S. 559; BERNARD DUTOIT, Droit international privé suisse, Commentaire de la loi fédérale du 18 décembre 1987, 4. Aufl., 2004, N. 1 zu Art. 194; CHRISTIAN JOSI, Die Anerkennung und Vollstreckung der Schiedssprüche in der Schweiz, Diss. Bern 2005, S. 7). Diese bedürfen ebenso wie ausländische Urteile von staatlichen Gerichten der Anerkennung, um ihre Wirkungen in der Schweiz zu entfalten (JOSI, a.a.O., S. 8). Ein Schweizer Gericht ist an die Rechtskraftwirkung eines ausländischen Schiedsspruches mithin nur gebunden, wenn dieser in der Schweiz anerkannt werden kann (PATOCCHI/JERMINI, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2007, <ref-law> N 32; BERGER/KELLERHALS, Internationale und interne Schiedsgerichtsbarkeit in der Schweiz, 2006, N 1512; KAUFMANN-KOHLER/RIGOZZI, Arbitrage international, 2. Aufl., 2011, N 867; LIATOWITSCH/BERNET, Probleme bei parallelen Verfahren vor staatlichen Gerichten und vor Schiedsgerichten, in: Spühler [Hrsg.], Internationales Zivilprozess- und Verfahrensrecht IV, 2005, S. 147).
Ein selbständiges Anerkennungsverfahren ist dabei nicht erforderlich: Wendet eine Partei in einem Verfahren vor einem staatlichen Schweizer Gericht ein, eine Frage sei durch ein ausländisches Schiedsgericht bereits rechtskräftig entschieden worden, hat das Gericht vielmehr vorfrageweise zu prüfen, ob die Voraussetzungen für die Anerkennung des ausländischen Schiedsspruchs gegeben sind (KAUFMANN-KOHLER/RIGOZZI, a.a.O., N 867; BERGER/KELLERHALS, a.a.O., N 1935; JOSI, a.a.O., S. 189; WALTER, a.a.O., S. 560, 410 f.).
3.2 Die Voraussetzungen, unter denen ein ausländischer Schiedsspruch anerkannt werden kann, richten sich gemäss <ref-law> nach dem New Yorker Übereinkommen vom 10. Juni 1958 über die Anerkennung und Vollstreckung ausländischer Schiedssprüche (SR 0.277.12; NYÜ; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 139). Als formelle Anerkennungsvoraussetzung sieht Art. IV Ziff. 1 NYÜ dabei vor, dass die Partei, welche die Anerkennung nachsucht, dem Gericht zugleich mit ihrem Antrag die beglaubigte (legalisierte) Urschrift des Schiedsspruchs (lit. a) sowie die Urschrift der Schiedsvereinbarung im Sinne von Art. II NYÜ (lit. b) bzw. eine beglaubigte Abschrift dieser Dokumente vorlegt (dazu Urteil 4A_124/2010 vom 4. Oktober 2010 E. 4.2).
Art. V Ziff. 1 NYÜ nennt sodann in einem abschliessenden Katalog die Gründe, nach denen die Anerkennung und Vollstreckung des ausländischen Schiedsspruches versagt werden kann, sofern sie von der Partei, gegen welche der Schiedsspruch geltend gemacht wird, angerufen und nachgewiesen werden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 139; <ref-ruling> E. 2c S. 195; <ref-ruling> E. 3 S. 87 f.; Urteil 4A_233/2010 vom 28. Juli 2010 E. 3.2.1). Gemäss Art. V Ziff. 1 lit. c NYÜ ist dies u.a. der Fall, wenn
"der Schiedsspruch eine Streitigkeit betrifft, die in der Schiedsabrede nicht erwähnt ist oder nicht unter die Bestimmungen der Schiedsklausel fällt, oder (...) Entscheidungen enthält, welche die Grenzen der Schiedsabrede oder der Schiedsklausel überschreiten; kann jedoch der Teil des Schiedsspruches, der sich auf Streitpunkte bezieht, die dem schiedsrichterlichen Verfahren unterworfen waren, getrennt werden, so kann der erstgenannte Teil des Schiedsspruches anerkannt und vollstreckt werden, (...)."
Die erste Alternative von Art. V Abs. 1 lit. c erfasst den Einwand, das Schiedsgericht habe Ansprüche beurteilt, für die es nicht zuständig war (extra potestatem), weil die beurteilte Streitsache nicht zum objektiven oder subjektiven Geltungsbereich der Schiedsvereinbarung gehörte (BERGER/KELLERHALS, a.a.O., N 1898; KAUFMANN-KOHLER/RIGOZZI, a.a.O., N 892; POUDRET/BESSON, Droit comparé de l'arbitrage international, 2002, N 913; GIRSBERGER/VOSER, a.a.O., N 1188).
3.3 Liegen die Voraussetzungen für die Anerkennung eines ausländischen Urteils vor, wird dieses einem inländischen Urteil grundsätzlich gleichgestellt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 673). Daraus folgt einerseits, dass eine im Ausland ergangene Entscheidung in der Schweiz keine weitergehenden Wirkungen entfalten kann als im Urteilsstaat; die Anerkennung kann nur die im Urteilsstaat vorhandenen Wirkungen auf die Schweiz erstrecken, nicht aber neue schaffen (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 635; <ref-ruling> E. 3a/bb S. 84). Andererseits können dem anerkannten Urteil auch im Vergleich zu einem entsprechenden inländischen Urteil keine andersartigen, wesentlich weitergehenden Wirkungen zukommen (<ref-ruling> E. 5.1.2 S. 373; <ref-ruling> E. 2.5 S. 342).
Die Rechtskraft eines ausländischen Schiedsspruchs kann in der Schweiz folglich nur soweit wirken, wie sie das Prozessrecht des Ursprungsstaats vorsieht. Umgekehrt kann sie auch nicht weiter gehen als die Rechtskraft eines gleichlautenden Urteils eines Schiedsgerichts mit Sitz in der Schweiz (PATOCCHI/JERMINI, a.a.O., N 136 zu <ref-law>; JOSI, S. 8).
3.4 Beim Teilurteil vom 1. Juni 2007 des ICC-Schiedsgerichtes mit Sitz in Rotterdam, aus welchem der Beschwerdegegner vorliegend die Einrede der abgeurteilten Sache ableitet, handelt es sich nach dem Gesagten um einen ausländischen Schiedsspruch, welcher der Anerkennung bedarf, um in der Schweiz Rechtskraftwirkungen zu entfalten.
Bei der Beurteilung der Einrede der abgeurteilten Sache wird die Vorinstanz somit vorfrageweise zu überprüfen haben, ob die Voraussetzungen für die Anerkennung des Schiedsurteils gemäss dem NYÜ gegeben sind. Dabei wird namentlich der Anerkennungsversagungsgrund von Art. V Ziff. 1 lit. c NYÜ zu überprüfen sein, den die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren sinngemäss anrief, indem sie geltend machte, dass der eingeklagte Schadenersatzanspruch aus ungerechtfertigtem Arrest keinerlei Konnex zu den vertraglichen Ansprüchen aufweise, welche von der Schiedsabrede erfasst würden. Die Vorinstanz wird die Frage nach dem objektiven Geltungsbereich der Schiedsklausel mithin nicht offen lassen dürfen, da sie nicht nur für die Zuständigkeit des Schiedsgerichts, sondern gemäss Art. V Ziff. 1 lit. c NYÜ auch für die Anerkennung des vom ausländischen Schiedsgericht in der Sache getroffenen Entscheids relevant ist.
Kann das Teilurteil vom 1. Juni 2007 des ICC-Schiedsgerichts nach dem NYÜ anerkannt werden, wird die Vorinstanz sodann zu überprüfen haben, ob dessen Rechtskraftwirkung dem Eintreten auf die von der Beschwerdeführerin in Basel eingereichten Arrestschadenersatzklage entgegen steht. Sie wird mithin zu ermitteln haben, ob die mit der Arrestschadenersatzklage geltend gemachten Ansprüche sowohl nach dem niederländischen Schiedsverfahrensrecht als auch nach Schweizer Recht (dazu oben E. 2.1) rechtskräftig beurteilt worden sind mit der Folge, dass diese nicht erneut zum Gegenstand einer Klage gemacht werden können.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdeführerin dringt mit ihren Begehren somit nur teilweise durch. Da zum jetzigen Zeitpunkt zudem noch ungewiss ist, in welchem Umfang sie in der Sache obsiegen wird, erscheint es gerechtfertigt, die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und die Parteikosten wettzuschlagen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 18. Juni 2010 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Februar 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Hurni