Faits:
A.
G._, née en 1960, est atteinte d'une paraplégie sensitivo-motrice complète depuis mars 1979 et vit dorénavant en fauteuil roulant. Elle réside en Suisse depuis mars 1995. Le 1 er décembre 2011, elle a présenté une demande de prestations pour les personnes impotentes, en répondant à un questionnaire où elle indiquait qu'elle avait besoin d'une aide importante et régulière pour se vêtir/se dévêtir, se lever/s'asseoir/se coucher, se laver et se baigner/se doucher, et se déplacer à l'extérieur.
Dans un rapport du 11 janvier 2012, la doctoresse C._ (spécialiste en médecine physique et réadaptation) a fait état d'une pathologie dégénérescente musculo-tendineuse au niveau de l'épaule gauche, avec rupture du tendon sus-épineux et fissure du sous-épineux, et de l'apparition de troubles sensitifs au niveau du majeur et de l'index de la main droite, très probablement en relation avec un syndrome du canal carpien. Elle considérait que ces diverses pathologies augmentaient la spasticité sous-lésionnelle, rendant plus difficiles la mobilisation et les transferts, et que la patiente avait de plus en plus de difficultés à effectuer les actes de la vie quotidienne (soins personnels et soins du ménage). Le 24 avril 2012, elle a déposé sa réponse aux questions figurant dans une feuille annexe à la demande de prestations pour les personnes impotentes.
Une enquête a été effectuée le 6 juin 2012 à domicile par une infirmière, qui, dans un rapport du 11 juin 2012, a noté que G._ avait perdu son autonomie depuis 2009 en raison d'une perte de force dans les membres supérieurs et a admis qu'elle avait besoin d'une aide régulière et importante d'autrui pour accomplir les trois actes de la vie quotidienne consistant à se vêtir, se lever/se coucher, et se déplacer à l'extérieur. Dans un préavis du 20 juin 2012, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a informé l'intéressée qu'elle présentait une impotence légère, donnant droit à une allocation pour impotent de degré faible. Le 9 juillet 2012, G._ a fait part à l'office AI de ses observations, en affirmant qu'elle avait également besoin d'une aide régulière et importante pour aller aux toilettes et faire sa toilette. Par décision du 5 octobre 2012, l'office AI, rejetant l'argumentation de G._ au motif que l'acte de la vie quotidienne consistant à se baigner/se doucher avait été retenu sous les transferts et ne pouvait donc pas l'être deux fois, a confirmé qu'elle avait droit à une allocation pour impotent de degré faible à domicile à partir du 1 er janvier 2010, soit à l'issue du délai de carence d'une année.
B.
G._ a formé recours contre cette décision devant la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à l'octroi d'une allocation pour impotent de degré moyen à domicile avec effet rétroactif au 1 er janvier 2010, à titre éventuel au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il réexamine son droit à l'allocation pour impotent au sens des considérants.
Par jugement du 20 juin 2013, la juridiction cantonale a admis le recours (ch. 2 du dispositif), annulé la décision du 5 octobre 2012 (ch. 3 du dispositif), dit que G._ avait droit à une allocation pour impotence moyenne à compter du 1 er janvier 2010 (ch. 4 du dispositif) et renvoyé la cause à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève pour calcul des prestations dues (ch. 5 du dispositif).
C.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation et à la confirmation de la décision du 5 octobre 2012.
G._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Bien que le dispositif du jugement entrepris, à son ch. 5, renvoie la cause à l'office AI, il ne s'agit pas d'une décision incidente au sens de l'<ref-law> vu que la juridiction cantonale a statué définitivement sur le droit de l'intimée à une allocation pour impotence moyenne (ch. 4 du dispositif), le renvoi de la cause ne visant que le calcul des prestations dues. Le recours est dès lors recevable puisqu'il est dirigé contre un jugement final (<ref-law>; arrêt 9C_684/2007 du 27 septembre 2007, consid. 1.1 in SVR 2008 IV n° 39 p. 131).
2.
Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire insoutenable, voire arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 314; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
3.
Est litigieuse la question du droit de l'intimée à une allocation pour impotent de degré moyen plutôt que de degré faible.
3.1. Aux termes de l'<ref-law>, l'impotence est moyenne si l'assuré, même avec des moyens auxiliaires, a besoin d'une aide régulière et importante d'autrui pour accomplir la plupart des actes ordinaires de la vie.
Selon la pratique, on est en présence d'une impotence de degré moyen selon la let. a de l'<ref-law> lorsque la personne assurée, même dotée de moyens auxiliaires, requiert l'aide régulière et importante d'autrui pour accomplir au moins quatre actes ordinaires de la vie (ch. 8009 de la Circulaire de l'Office fédéral des assurances sociales sur l'invalidité et l'impotence dans l'assurance-invalidité [CIIAI]).
3.2. Pour qu'il y ait nécessité d'assistance dans l'accomplissement d'un acte ordinaire de la vie comportant plusieurs fonctions partielles, il n'est pas obligatoire que la personne assurée requière l'aide d'autrui pour toutes ou la plupart des fonctions partielles; il suffit bien au contraire qu'elle ne requière l'aide régulière et importante d'autrui que pour une seule de ces fonctions partielles (<ref-ruling> consid. 2 p. 148). Les fonctions partielles d'un acte ordinaire de la vie ne peuvent toutefois être prises en considération qu'une fois en tout lorsque l'assuré a besoin de l'aide d'autrui pour accomplir ces fonctions dans plusieurs actes ordinaires (arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] H 270/80 du 3 novembre 1981, consid. 2b in RCC 1983 p. 73).
4.
Les premiers juges ont admis que l'intimée avait besoin d'une aide régulière et importante d'autrui pour faire sa toilette.
4.1. La juridiction cantonale, se fondant sur le rapport d'enquête du 11 juin 2012, a retenu que l'intimée avait besoin de l'aide de son mari pour entrer dans la baignoire, car elle n'avait plus la force nécessaire pour se hisser sur la planche de bain. Elle a considéré que le fait que l'assurée avait besoin d'aide pour se positionner dans la baignoire apparaissait comme le préalable nécessaire à sa toilette et devait être différencié du besoin d'aide qu'elle pouvait rencontrer par ailleurs pour se déplacer à l'intérieur ou à l'extérieur de son logement. On était ainsi bel et bien en présence de situations différentes qui devaient être évaluées séparément. Quant à l'installation d'une douche à niveau préconisée par la personne chargée de l'enquête à domicile, il s'agissait là non d'un simple moyen auxiliaire mais d'un aménagement requérant des travaux, dont la faisabilité n'avait en outre pas été démontrée. Dans ces conditions, le besoin d'aide de l'intimée pour faire sa toilette devait être admis.
4.2. Ainsi que le relève le recourant, la personne chargée de l'enquête a retenu dans son rapport du 11 juin 2012 que l'intimée avait besoin d'aide pour effectuer les transferts qui n'étaient pas au même niveau, ce dont elle a tenu compte en ce qui concerne l'acte "se lever", où l'intimée nécessitait (depuis 2009) de l'aide pour être transférée sur le canapé du salon. La Cour de céans constate que l'intimée nécessite également de l'aide pour être transférée sur la planche de bain dans la baignoire et que le besoin d'aide pour effectuer les transferts qui ne sont pas au même niveau ne saurait être pris en considération une deuxième fois (supra, consid. 3.2), en l'occurrence dans l'acte "faire sa toilette", ainsi que cela est du reste indiqué dans le rapport mentionné ci-dessus du 11 juin 2012, sous "se baigner/se doucher". En tant qu'il retient une impotence dans l'acte consistant à se laver, le jugement entrepris est dès lors contraire au droit fédéral. Le recours est bien fondé de ce chef.
5.
Reste à examiner la question, laissée indécise par les premiers juges, de savoir si l'intimée a besoin d'une aide régulière et importante d'autrui pour aller aux toilettes.
5.1. Il est établi que l'intimée est dotée d'un stimulateur électrique qui lui permet de contrôler les sorties d'urine et de selles. S'agissant de ces dernières, elle ne peut stimuler les muscles permettant leur évacuation et se voit contrainte de procéder à leur extraction manuelle.
5.2. Dans son rapport du 11 juin 2012, la personne ayant effectué l'enquête à domicile a considéré que lorsque, comme en l'espèce, la personne est autonome pour aller aux toilettes, il n'y a pas lieu de retenir d'impotence sur ce point même si le fait d'extraire manuellement les selles n'est pas une manière habituelle d'aller à selle.
Devant la juridiction cantonale, la contestation portait sur le point de savoir si le fait de devoir procéder à une manière inhabituelle d'aller aux toilettes constitue un critère prédominant pour admettre qu'il y a impotence, qui l'emporte sur l'autonomie de la personne. Les premiers juges ont considéré que le caractère "inhabituel" évoqué devait néanmoins être en relation avec le besoin de l'aide d'autrui. Vu que l'intimée était autonome, ce qu'elle avait d'ailleurs indiqué dans sa demande de prestations, ce besoin n'était donc pas réalisé. Néanmoins, ils ont laissé entendre que l'arrêt <ref-ruling> consid. 2b p. 159 pourrait donner à penser que le critère ne résidait pas dans la seule autonomie de la personne.
5.3. Le Tribunal fédéral des assurances, dans l'arrêt <ref-ruling> consid. 2b p. 159, a considéré que de manière générale, on ne saurait réputer apte à un acte ordinaire de la vie l'assuré qui ne peut l'accomplir que d'une façon non conforme aux moeurs usuelles. Ainsi que cela est exposé dans l'arrêt <ref-ruling> consid. 6c p. 95, cet aspect ne saurait être négligé dans l'acte consistant à aller aux toilettes, qui doit être considéré comme un acte à part entière comprenant plusieurs fonctions partielles. S'agissant de cet acte, il y a impotence lorsque l'assuré a besoin de l'aide d'un tiers pour vérifier son hygiène, se rhabiller ou l'aider pour s'asseoir ou se relever, ou encore lorsqu'il faut procéder à une manière inhabituelle d'aller aux toilettes [par exemple apporter le vase de nuit et le vider, apporter un urinal, l'ajuster pour l'assuré, apporter une aide régulière pour uriner] (arrêt 9C_633/2012 du 8 janvier 2013, consid. 4.2.2 in SVR 2013 IV n° 20 p. 54 s.; cf. ch. 8021 CIIAI).
5.4. Les exemples de situations mentionnés ci-dessus (supra, consid. 5.3) où il y a impotence en ce qui concerne l'acte consistant à aller aux toilettes montrent bien en quoi consiste le besoin de l'aide d'un tiers. Ainsi, on admet qu'il faut procéder à une manière inhabituelle d'aller aux toilettes par exemple si un tiers apporte le vase de nuit et le vide, apporte un urinal, l'ajuste pour l'assuré, ou apporte une aide régulière pour uriner.
Dans le cas d'espèce, l'intimée est autonome. Elle n'a donc pas besoin d'une aide régulière pour uriner ou aller à selle. Même si l'intimée doit procéder à une extraction manuelle des selles, l'acte consistant à aller aux toilettes peut encore, dans son ensemble, être accompli par elle d'une façon qui ne peut être qualifiée de non conforme à la dignité humaine (<ref-ruling> consid. 6c p. 95).
5.5. Sur le vu de ce qui précède, il convient de constater que l'intimée, lors de la décision administrative litigieuse du 5 octobre 2012, avait besoin d'une aide régulière et importante d'autrui pour se vêtir, se lever/se coucher, et se déplacer à l'extérieur, de sorte qu'elle ne peut pas prétendre à une allocation pour impotent de degré moyen selon l'<ref-law> (supra, consid. 3.1). Eu égard aux conclusions prises par l'office recourant en procédure fédérale (<ref-law>), elle ne peut par conséquent prétendre qu'à une allocation pour impotent de degré faible. Le recours est bien fondé.
6.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires doivent être supportés par l'intimée, qui succombe (<ref-law>). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 20 juin 2013, est annulé.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 6 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Wagner