Faits:
A. C._ et D._ sont propriétaires de la parcelle n° 7342 du registre foncier de la commune de Neuchâtel. Ce bien-fonds, sis en zone à bâtir, supporte une maison d'habitation construite dans les années 1950. Le 20 décembre 2004, C._ et D._ ont déposé une demande de permis de construire pour la transformation et la surélévation de cet immeuble. Selon le règlement d'aménagement communal du 2 février 1998, la parcelle n° 7342 est classée dans la zone d'habitation ONC (ordre non contigu) 0.8, qui impose un indice d'utilisation minimum de 0.5 (art. 85 du règlement). La surélévation projetée permettant d'atteindre un indice d'utilisation de 0.33 seulement, les prénommés ont sollicité une dérogation au sens de l'art. 40 al. 1 de la loi cantonale sur les constructions (LConstr.; RS/NE 720.0).
A._ et B._, propriétaires de la parcelle voisine n° 7341, ont formé opposition contre ce projet. Ils relevaient en substance que l'indice d'utilisation minimum n'était pas respecté et ils se prévalaient d'une servitude inscrite au registre foncier. Ils invoquaient également une atteinte à leur vue et une perte d'intimité en raison de nouvelles fenêtres donnant sur leur terrasse. Par décision du 3 novembre 2005, le Département de la gestion du territoire du canton de Neuchâtel (ci-après: le département) a levé l'opposition des époux A._ et B._ et a accordé la dérogation demandée. Il a notamment considéré que, s'agissant d'une transformation qui n'est pas d'une importance telle qu'elle doive être assimilée à une construction nouvelle, il serait disproportionné d'exiger le respect de l'indice d'utilisation minimum. De plus, une telle exigence aurait pour effet d'empêcher toute densification au-dessous du minimum prescrit. Quant à la question du respect de la servitude, elle relevait de la compétence du juge civil.
B. A._ et B._ ont recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, qui a rejeté le recours par arrêt du 9 août 2007. En substance, le Tribunal a considéré que les conditions d'une dérogation au sens de l'art. 40 al. 1 LConstr. étaient réunies, que le projet ne portait pas atteinte à l'intimité des époux A._ et B._ et que la question du respect de la servitude relevait en l'espèce de la compétence du juge civil.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Ils se plaignent d'une application arbitraire de l'art. 40 al. 1 LConstr. ainsi que d'une constatation arbitraire des faits (art. 9 Cst.) et ils demandent le respect de la servitude. Ils sollicitent en outre une inspection des lieux. La commune de Neuchâtel, C._ et D._ ont renoncé à formuler des observations. Le Tribunal administratif se réfère aux considérants de son arrêt et conclut au rejet du recours. Le département cantonal de la gestion du territoire s'est déterminé; il conclut également au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 210; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 142; <ref-ruling> consid. 1 p. 317 et les arrêts cités).
2. Dirigé contre une décision rendue dans le domaine du droit public des constructions, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110). Aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée.
3. Selon l'art. 90 LTF, le recours devant le Tribunal fédéral est ouvert contre les décisions finales, c'est-à-dire contre les décisions qui mettent fin à la procédure. En l'occurrence, la décision litigieuse - confirmée par l'arrêt attaqué - est la décision du 3 novembre 2005 par laquelle le département a levé l'opposition des recourants et accordé la dérogation demandée. Or, aux termes de l'art. 40 al. 2 LConstr., les dérogations sont accordées par le Conseil communal, après l'approbation du département. C'est également le Conseil communal qui est compétent pour délivrer le permis de construire (art. 29 LConstr.), raison pour laquelle le département a pris soin de préciser que sa décision ne constituait pas à elle seule une autorisation de construire. Il s'ensuit que la décision litigieuse ne met pas un terme à la procédure et qu'elle revêt un caractère incident (cf. arrêts non publiés 1P.652/1997 du 8 décembre 1997 consid. 2d; 1A.114/1996 du 18 décembre 1996 consid. 1c).
3.1 Conformément à l'art. 93 al. 1 LTF, le recours n'est ouvert contre une décision incidente que si celle-ci peut causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Cette dernière condition n'entre pas en considération en l'espèce, de sorte qu'il convient uniquement d'examiner si la décision litigieuse est susceptible de causer un préjudice irréparable aux recourants.
3.2 L'art. 93 al. 1 let. a LTF reprend la règle de l'art. 87 al. 2 OJ, qui était applicable en matière de recours de droit public (Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4131). Selon la jurisprudence relative à l'art. 87 al. 2 OJ, un préjudice irréparable s'entendait exclusivement d'un dommage juridique qui ne pouvait pas être réparé ultérieurement, notamment par le jugement final (<ref-ruling> consid. 1 p. 59; <ref-ruling> consid. 1 p. 371; <ref-ruling> consid. 1 p. 398; <ref-ruling> consid. 1c p. 446 et les références). En revanche, pour attaquer une décision incidente par la voie du recours de droit administratif, il n'était pas nécessaire que ce dommage soit de nature juridique (art. 45 aPA en relation avec les art. 97 OJ et 5 PA; cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 1c p. 100 et les références); il ne suffisait cependant pas que le recourant veuille seulement éviter la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci (ATF <ref-ruling> consid. 1c p. 100; <ref-ruling> consid. 1c p. 347 s.).
Dans des arrêts rendus en matière civile et en matière pénale, le Tribunal fédéral a considéré que le préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF devait être de nature juridique, comme sous l'empire de l'art. 87 al. 2 OJ (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 632; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 291; <ref-ruling> consid. 2.1 et les références). Cela étant, certains auteurs soutiennent qu'un préjudice de fait serait suffisant en matière administrative (voir notamment en ce sens: Felix Uhlmann in Basler Kommentar - Bundesgerichtsgesetz, Bâle 2008, n. 4 ad art. 93 al. 1 LTF; Heinz Aemisegger, Der Beschwerdegang in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, in Bernhard Ehrenzeller/Rainer J. Schweizer (éd.), Die Reorganisation der Bundesrechtspflege - Neuerungen und Auswirkungen in der Praxis, St-Gall 2006, p. 126; cf. 133 V 477 consid. 5.2 p. 483). Il n'y a toutefois pas lieu d'examiner ces questions plus avant, dans la mesure où, dans le cas d'espèce, les recourants ne subissent même pas un préjudice de fait au sens de la jurisprudence relative à l'ancien recours de droit administratif.
3.3 En effet, comme relevé ci-dessus, c'est le Conseil communal qui est compétent pour délivrer le permis de construire (art. 29 LConstr.). Cette autorité statuera sur tous les aspects du projet et ne se limitera pas à la question de la dérogation litigieuse; elle reste en outre libre de refuser le permis pour d'autres motifs. Quoi qu'il en soit, la construction du projet contesté ne pourra pas débuter avant la délivrance du permis de construire, de sorte que les recourants ne subissent en l'état aucun préjudice du fait de la décision litigieuse. Il n'y a donc pas lieu d'entrer en matière à ce stade de la procédure d'autorisation de construire. Une telle solution satisfait au principe de l'économie de la procédure, qui veut que le Tribunal fédéral statue en un seul arrêt sur l'ensemble du litige qui lui est soumis. En l'occurrence, il apparaît à première vue que les recourants pourront le cas échéant contester le permis de construire auprès du Conseil d'Etat, puis devant le Tribunal administratif (art. 52 LConstr.) et s'ils devaient poursuivre leurs démarches jusque devant le Tribunal fédéral, ils auront la faculté d'attaquer l'arrêt du 9 août 2007 confirmant la dérogation simultanément avec la décision finale de dernière instance cantonale concernant les autres aspects de l'autorisation de construire (art. 93 al. 3 LTF).
4. Il s'ensuit que le recours doit être déclaré irrecevable. Les recourants, qui succombent, doivent supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'accorder des dépens aux intimés, qui ne se sont pas déterminés (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge des recourants.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la commune de Neuchâtel ainsi qu'au Département de la gestion du territoire et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 14 février 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener