Sachverhalt:
A. Die Strassenkorporation Kapf Oberegg wurde am 22. Juni 1964 unter dem damaligen Namen "Flurgenossenschaft Kapf" gestützt auf das Gesetz des Kantons Appenzell I.Rh. vom 29. April 1962 über die Flurgenossenschaften (GS 913.000; im Folgenden: aFlG) gegründet. Die Genehmigung durch die Standeskommission des Kantons Appenzell I.Rh. erging am 26. Juli 1965. Laut Art. 2 der Gründungsstatuten bezweckt die Flurgenossenschaft die Erstellung und den Unterhalt einer Güterstrasse gemäss dem von den zuständigen Behörden genehmigten generellen Wegnetz Hof-Kapf. Im Jahr 1967 wurde die Strasse Hof-Kapf von der Strassenkorporation Kapf Oberegg erstellt.
Mit Schreiben vom 9. Mai 2008 stellte die Strassenkorporation Kapf Oberegg bei der Standeskommission des Kantons Appenzell I.Rh. das Begehren, es sei festzustellen, dass der Wendeplatz, welcher auf der X._ gehörenden Parzelle Nr. 1439 liege, Bestandteil der dem öffentlichen Verkehr gewidmeten Kapfstrasse sei. Die Standeskommission leitete das Gesuch gestützt auf Art. 43 Abs. 1 des revidierten Gesetzes des Kantons Appenzell I.Rh. vom 29. April 2007 über die Flurgenossenschaften (GS 913.000; im Folgenden: FlG) zuständigkeitshalber an den Bezirksrat Oberegg weiter. Mit Entscheid vom 24. November 2009 beschloss der Bezirksrat Oberegg, dass der fragliche Wendeplatz zur Flurstrasse gehöre und die Fläche damit territorialer Bestandteil der Flurgenossenschaft Kapf bilde, für Wendemanöver frei zu halten sei und während den in der benachbarten Kapelle zelebrierten Gottesdiensten den Gottesdienstbesuchern als Parkgelegenheit offen stehe.
Gegen diesen Entscheid erhob X._ Rekurs. Mit Entscheid vom 8. Juni 2010 wies die Standeskommission das Rechtsmittel ab. Die in der Folge von X._ eingelegte Verwaltungsgerichtsbeschwerde wurde vom Kantonsgericht Appenzell I.Rh. mit Urteil vom 1. Februar 2011 ebenfalls abgewiesen.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 7. April 2011 beantragt X._ in erster Linie, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben und das Feststellungsbegehren sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Das Kantonsgericht schliesst in seiner Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde. Die Standeskommission beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Bezirksrat Oberegg hat sich nicht vernehmen lassen. In seiner Stellungnahme dazu hält der Beschwerdeführer im Wesentlichen an seinen Anträgen und Rechtsauffassungen fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer selbst äussert Zweifel am zu beschreitenden Rechtsweg. Das Bundesgericht prüft diese Frage von Amtes wegen (<ref-law>). Bei der Strassenkorporation Kapf Oberegg handelt es sich um eine Flurgenossenschaft im Sinne von Art. 1 FlG und <ref-law>. Bodenverbesserungen im Sinne von <ref-law> und der auf diese Bestimmung gestützten kantonalen Gesetzgebung sind öffentlich-rechtlicher Natur (Urteil 1P.152/2002 vom 4. Juli 2002 E. 3.3, in: ZBl 104/2003 S. 437; <ref-ruling> E. 4b S. 29 mit Hinweisen). Geht es wie vorliegend um die Frage, inwiefern ein bestimmtes Grundstück vom Meliorationszweck erfasst wird, ist deshalb der Verwaltungsweg und nicht der Zivilweg zu beschreiten (Urteil 1P.152/2002 vom 4. Juli 2002 E. 3.4, in: ZBl 104/2003 S. 437; vgl. dagegen 5A_375/2010 vom 25. November 2010 E. 1.2, wonach dann eine Zivilsache vorliegt, wenn das Verfahren auf die endgültige, dauernde Regelung eines zivilrechtlichen Verhältnisses - bspw. einer Grenzstreitigkeit - abzielt). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> erweist sich somit als das zutreffende Rechtsmittel.
Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, welcher das Verfahren abschliesst (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, ist als Eigentümer der Parzelle, auf welcher der umstrittene Wende- bzw. Vorplatz liegt, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2 Der rechtserhebliche Sachverhalt geht aus den Akten hinreichend hervor. Auf die Durchführung eines Augenscheins kann daher verzichtet werden.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer kritisiert, die Gerichtsschreiberin des Kantonsgerichts habe mit dem Sachverständigen A._ Kontakt aufgenommen und davon eine Aktennotiz erstellt, ohne die Parteien darüber zu informieren. Darin liege eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>).
Die Vorinstanz hielt in ihrer Vernehmlassung zuhanden des Bundesgerichts fest, die Auskunft von A._ gegenüber der Gerichtsschreiberin habe keine entscheidrelevanten Erkenntnisse gebracht, weshalb die Aktennotiz den Parteien auch nicht zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt worden sei. Entsprechend habe die Notiz auch keinen Niederschlag in der Urteilsbegründung gefunden.
2.2 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung folgt aus dem Anspruch auf ein faires Verfahren und dem rechtlichen Gehör das Recht der Parteien, Einsicht in die Akten eines hängigen Verfahrens zu nehmen und sich dazu zu äussern (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Das Akteneinsichtsrecht bezieht sich grundsätzlich auf sämtliche verfahrensbezogenen Akten; ausgenommen sind praxisgemäss rein interne Akten, die ausschliesslich für die interne Meinungsbildung bestimmt sind und denen kein Beweischarakter zukommt (<ref-ruling> E. 4a S. 474 f. mit Hinweisen). Nicht erforderlich ist, dass die Akten den Entscheid in der Sache tatsächlich beeinflussen können. Die Einsicht in die Akten, die für ein bestimmtes Verfahren erstellt oder beigezogen wurden, kann demnach nicht mit der Begründung verweigert werden, die betreffenden Dokumente seien für den Verfahrensausgang belanglos; vielmehr muss es dem Betroffenen selber überlassen sein, die Relevanz der Akten zu beurteilen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 389). Damit die Beteiligten die Möglichkeit haben, ein Akteneinsichtsgesuch zu stellen, müssen sie über den Beizug neuer entscheidwesentlicher Akten informiert werden. Dies gilt jedenfalls für Akten, welche sie nicht kennen und auch nicht kennen können (<ref-ruling> E. 6.2 S. 391 mit Hinweisen; zum Ganzen: Urteil 1C_88/2011 vom 15. Juni 2011 E. 3.4 mit Hinweisen).
2.3 Der fraglichen Aktennotiz der Gerichtsschreiberin vom 19. Januar 2011 über die telefonische Auskunft von A._ ist unter anderem Folgendes zu entnehmen: "Er machte mich darauf aufmerksam, dass gemäss Handriss Mutations-Nr. 631 der Platz beim Weiher als Einheit mit der Strasse aufgenommen worden sei - im Gegensatz zum Platz vis-à-vis Gasthaus. Bis in die 80er-Jahre seien Plätze von Strassen, sofern sie gleichzeitig befestigt worden sind, nicht getrennt aufgeführt worden - im GIS sei dies heute jedoch zwingend, weshalb auch heute die Abtrennung Platz Strasse ersichtlich sei. Der Platz vis-à-vis Restaurant sei erstmals im November 1968 als befestigt im Plan aufgenommen worden (rot 'Pl.')."
Vorliegend diente die Aktennotiz der Gerichtsschreiberin nicht ausschliesslich der internen Meinungsbildung des Gerichts, sondern sie hielt eine Tatsache fest, nämlich die Auskunft von A._ über die Interpretation des Handrisses Mutations-Nr. 631 vom 14. Mai 1975, auf welchen sich das Kantonsgericht denn auch abstützte (vgl. E. 3.3 hiernach). Der Aktennotiz kommt damit Beweischarakter zu, weshalb sie den Parteien zur Wahrung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör hätte zugestellt werden müssen. Indem das Kantonsgericht dies unterliess, verletzte es <ref-law>. Die Rüge des Beschwerdeführers ist somit begründet.
3. 3.1 In materieller Hinsicht ist strittig, ob der Wendeplatz auf Parzelle Nr. 1439 vom Meliorationszweck der Strassenkorporation Kapf Oberegg erfasst wird und damit gemäss <ref-law> und dem kantonalen Gesetz über die Flurgenossenschaften einer öffentlich-rechtlichen Eigentumsbeschränkung unterliegt. Der Meliorationszweck wird in Art. 2 der Statuten vom 22. Juni 1964 der damals "Flurgenossenschaft Kapf" genannten Strassenkorporation wie folgt definiert: "Zweck dieser Flurgenossenschaft ist die Erstellung und der Unterhalt von einer Güterstrasse, gemäss dem von den zuständigen Behörden genehmigten generellen Wegnetz Hof-Kapf". Aus den Akten und dem angefochtenen Entscheid geht hervor, dass der fragliche Wendeplatz früher auf Parzelle Nr. 634 lag, von welcher im Jahr 1975 die Parzellen Nr. 1438, 1439 und 1440 abparzelliert wurden. Heute liegt der Platz zur Hauptsache auf Parzelle Nr. 1439 und zu einem kleinen Teil auf Parzelle Nr. 1440.
Das Kantonsgericht hielt fest, dass aus den Statuten nicht hervorgehe, ob der umstrittene Vorplatz Teil der Güterstrasse bilde. Auch der Genehmigungsbeschluss der Standeskommission vom 26. Juli 1965 enthalte keine dienlichen Aussagen. Hinzu komme, dass auch keine Pläne des behördlich genehmigten generellen Wegnetzes Hof-Kapf im Sinne von Art. 2 der Statuten vorlägen. Der Bauabrechnung vom 23. April 1968 könne ebenfalls kein Hinweis auf einen damals errichteten Vorplatz entnommen werden. Indessen seien andere bei den Akten liegende Indizien hinreichend, um den Beweis für die öffentlich-rechtliche Eigentumsbeschränkung zu erbringen.
3.2 Hinsichtlich der strittigen Frage, ob die behauptete öffentlich-rechtliche Eigentumsbeschränkung besteht oder nicht, ist zwischen der Beweislast und dem Beweismass zu unterscheiden.
Die Beweislast trägt nach der im öffentlichen Recht analog anwendbaren Bestimmung von <ref-law> derjenige, der aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte (zur Publikation bestimmtes Urteil 2C_783/2010 vom 11. März 2011 E. 3.5.2; Urteil H 228/06 vom 16. August 2007 E. 3.3; <ref-ruling> E. 3 S. 67; <ref-ruling> E. 2 S. 58; je mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall bedeutet dies, dass vom Nichtbestehen der öffentlich-rechtlichen Eigentumsbeschränkung auszugehen wäre, sollten die ihr zugrunde liegenden Tatsachen unbewiesen bleiben.
In Bezug auf das Beweismass ist die Vorinstanz mangels abweichender Regelung richtigerweise davon ausgegangen, der Beweis gelte als erbracht, wenn der Richter nach objektiven Gesichtspunkten von der Verwirklichung einer Tatsache überzeugt sei. Dieses Beweismass geht über jenes der überwiegenden Wahrscheinlichkeit hinaus (Urteil 9C_348/2009 vom 27. Oktober 2009 E. 2.3.2, in: SVR 2010 EL Nr. 2 S. 4; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 242 f.; je mit Hinweisen; RENÉ RHINOW/HEINRICH KOLLER/CHRISTINA KISS/DANIELA THURNHERR/DENISE BRÜHL-MOSER, Öffentliches Prozessrecht, 2. Aufl. 2010, Rz. 999; PATRICK L. KRAUSKOPF/KATRIN EMMENEGGER, in: VwVG, 2009, N. 213 ff. zu <ref-law>).
Dass die Vorinstanz die Beweislast falsch zugeteilt habe oder von einem unzutreffenden Beweismass ausgegangen sei, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Er rügt jedoch das Ergebnis ihrer Beweiswürdigung als willkürlich (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9 mit Hinweisen; Urteil 9C_348/2009 vom 27. Oktober 2009 E. 2.4, in: SVR 2010 EL Nr. 2 S. 4).
3.3 Da sich offenbar keine Projektpläne mehr finden liessen (vgl. dazu Art. 14 Abs. 1 FlG), stützte die Vorinstanz ihren Entscheid im Wesentlichen auf die bei den Akten liegenden Handrisse des Grundbuchamts Oberegg. Sie führte aus, der Handriss vom November 1968 gebe die Situation nach Errichtung der Kapf-Strasse wieder. Der ausgemarkte Platz gegenüber dem Restaurant "Eintracht" sei darauf schwarz eingezeichnet; er habe also bereits bestanden. Die rot gestrichelte Linie zeige auf, dass die bestehende Strasse zur Strasse Hof-Kapf verbreitert worden sei. Gleichzeitig sei der Platz auf der Parzelle Nr. 634 mit einer rot gestrichelten Linie markiert worden, was bedeute, dass dieser sich kulturmässig von der restlichen Parzelle abgrenze. Der Platz sei von der Strasse aber nicht mit einer gestrichelten Linie abgetrennt worden, dies im Unterschied zum Platz gegenüber dem Restaurant "Eintracht". Am 14. Mai 1975 sei in einem weiteren Handriss die Grenzbereinigung zwischen den Parzellen Nr. 632, 634 und 636 dargestellt worden. Die darauf erkennbare schwarz gestrichelte Linienführung der Strasse würde wohl den (nach Angaben des Beschwerdeführers gleichzeitig mit Erstellung der Strasse geteerten) Platz gegenüber dem Restaurant "Eintracht" von der Strasse abtrennen, hingegen den umstrittenen Wendeplatz in die Strasse integrieren.
Dass der strittige Platz Bestandteil der Strasse Hof-Kapf bilde, werde schliesslich auch durch das vom Beschwerdeführer eingereichte Foto untermauert. Darauf sei ersichtlich, dass die Teilfläche des strittigen Platzes, welche auf der Parzelle Nr. 1440 liege, bei der Überbauung dieser Parzelle nicht in die Umgebungsgestaltung miteinbezogen, sondern als geteerte Fläche belassen worden sei.
Dass der strittige Platz Bestandteil der Strasse Hof-Kapf bilde, werde schliesslich auch durch das vom Beschwerdeführer eingereichte Foto untermauert. Darauf sei ersichtlich, dass die Teilfläche des strittigen Platzes, welche auf der Parzelle Nr. 1440 liege, bei der Überbauung dieser Parzelle nicht in die Umgebungsgestaltung miteinbezogen, sondern als geteerte Fläche belassen worden sei.
3.4 3.4.1 Der Beschwerdeführer macht in erster Linie geltend, die Handrisse stünden in keinem Zusammenhang zur behaupteten öffentlich-rechtlichen Eigentumsbeschränkung. Die Tatsache, dass eine Bodenfläche zu einem bestimmten Zeitpunkt befestigt wurde, sage nichts darüber aus, ob die Fläche mit einem Recht oder einer Pflicht belegt sei.
Die Argumentation des Beschwerdeführers steht in Einklang mit der in den Akten befindlichen Auskunft des Geomatikingenieurs B._ (Aktennotiz vom 17. Dezember 2010). Danach handelt es sich bei Handrissen um Messangaben aufgrund von vorgenommenen Feldaufnahmen. Handrisse würden die tatsächliche Situation vor Ort wiedergeben. Änderungen seien jeweils rot auf dem bestehenden Grundbuchplan eingezeichnet, wobei Kulturgrenzen (z.B. die Abgrenzung zwischen Strasse und Wiese) gestrichelt aufgeführt seien. Die Vorinstanz, welche die Auskunft eingeholt hatte und ihren Entscheid darauf abstützte, wirft dem Beschwerdeführer vor, er verkenne, dass die Abgrenzung zwischen Strasse und Wiese nur als Beispiel einer mit gestrichelter Linie gekennzeichneten Kulturgrenze beschrieben werde. Selber übersieht sie indessen in viel grundsätzlicherer Weise, dass einem Plan, dessen Zweck im Kenntlichmachen von tatsächlichen Unterschieden in der Nutzung ("Kulturgrenzen") liegt, kaum zuverlässige Hinweise in Bezug auf öffentlich-rechtliche Eigentumsbeschränkungen entnommen werden können.
Die Beschwerdegegnerin, welche als entscheidend ansieht, dass 1967 Strasse und Wendeplatz in einem Zug erstellt und geteert wurden, hält im Übrigen die Bedeutung der Handrisse ebenfalls für äusserst gering. In ihrer Beschwerdeantwort vom 26. Mai 2011 führt sie dazu aus: "Dass der Parkplatz vis-à-vis der 'Eintracht' auf der anderen Strassenseite mit gestrichelter Linie von der Strasse abgetrennt ist, könnte bedeuten, dass die Strasse damals beispielsweise geteert, der Parkplatz vis-à-vis des Restaurants aber bloss bekiest war. Das könnte eine Erklärung dafür sein, dass beim strittigen Wendeplatz die gestrichelte Linie deshalb fehlt, weil die Strasse und der Wendeplatz damals die gleiche, nämlich geteerte Oberfläche aufwiesen. Die unterschiedliche Handhabung ... könnte aber auch auf eine Unsorgfalt des Geometers zurückzuführen sein."
3.4.2 Weiter erscheint der Hinweis der Vorinstanz nicht überzeugend, wonach jener Teil des Vorplatzes, welcher auf Parzelle Nr. 1440 liegt, bei der Überbauung dieser Parzelle nicht in die Umgebungsgestaltung miteinbezogen worden sei. Dazu hält der Beschwerdeführer fest, dass der Eigentümer jener Parzelle seinen Teil des Platzes als Abstellfläche verwenden könne. Es erscheine nicht als sinnvoll, eine mit Kosten verbundene Änderung vorzunehmen, solange er diese Nutzung fortführen wolle. Tatsächlich gibt es durchaus verschiedene Gründe, einen geteerten Platz zu belassen, wie er ist. In diesem Verhalten ein Indiz für eine aus öffentlich-rechtlicher Eigentumsbeschränkung fliessende Pflicht zu sehen, scheint deshalb nicht richtig.
3.4.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Behauptung der Beschwerdegegnerin, sie habe den Vorplatz zusammen mit der Strasse erstellt und auch die Kosten getragen, wobei ihr im Gegenzug ein Wenderecht unbefristet zugesichert worden sei, treffe nicht zu. Der unter anderem die damalige Parzelle Nr. 634 betreffende Tauschvertrag zwischen C._ und D._ vom 10. Oktober 1967 belege das Gegenteil. In Ziff. 5 dieses Tauschvertrags heisse es: "... die Kosten für die Auskofferung und Teerung der beiden Plätze bei der 'Eintracht' gehen zulasten von C._".
Die Vorinstanz erwog, ob damit die auf dem Handriss vom November 1968 bezeichneten zwei Plätze (mit "Pl." bzw. "Platz" bezeichnet) gemeint seien, bleibe unklar. Es könnte auch der Platz vis-à-vis des Restaurants "Eintracht" (mit "Pl." bezeichnet) und der Platz direkt vor dem Restaurant gemeint sein. Zudem wäre durchaus nachvollziehbar gewesen, wenn der damalige Eigentümer die Kosten getragen hätte, sei er doch im Gegensatz zu den übrigen Mitgliedern der Strassenkorporation hauptsächlicher Profiteur des Vorplatzes gewesen, denn er habe diesen seinen Gästen als Parkplatz zur Verfügung stellen können.
Der Beschwerdeführer weist diesbezüglich zu Recht darauf hin, dass gemäss dem Handriss vom November 1968, auf welchen die Vorinstanz im Übrigen vorbehaltlos abstellte, nur zwei Plätze auf dem Grundstück Nr. 634 befestigt waren, nämlich der Platz vis-à-vis des Restaurants und der strittige Vorplatz. Weiter macht der Beschwerdeführer zu Recht geltend, die Behauptung, der damalige Grundstückeigentümer sei der hauptsächliche Profiteur des Vorplatzes gewesen, stehe im Widerspruch zu Erwägung 5b des angefochtenen Entscheids. Dort spricht die Vorinstanz von einer offenbar lediglich "geduldeten" Parkiermöglichkeit des damaligen Grundstückeigentümers.
3.4.4 Die Vorinstanz ging schliesslich auf einen im Jahr 1975 zulasten von Grundstück Nr. 1439 und zugunsten von Grundstück Nr. 634 abgeschlossenen Dienstbarkeitsvertrag über ein Parkplatz-Mitbenützungsrecht ein. Der Beschwerdeführer hatte diesbezüglich geltend gemacht, dass die Beschwerdegegnerin gegen dieses im Grundbuch eingetragene Recht nie opponiert habe. Die Vorinstanz führte diesbezüglich aus, mit einer derartigen Dienstbarkeit könne sich der bisherige Eigentümer eine ihm bisher zustehende Nutzungsmöglichkeit sichern. Die Dienstbarkeit habe folglich den Zweck erreichen sollen, dass der Eigentümer des Restaurants "Eintracht" durch den Verkauf des abparzellierten Grundstücks Nr. 1439 die bis anhin von der Beschwerdegegnerin offenbar geduldete Parkiermöglichkeit nicht verlor.
Die Argumentation der Vorinstanz vermag nicht zu überzeugen. Es ist widersprüchlich, wenn sie zuerst (richtigerweise) feststellt, mit einer Dienstbarkeit werde ein Recht eingeräumt, dann aber konkret von einer bloss geduldeten Parkiermöglichkeit, mithin von einem faktischen Dulden auf Zusehen hin, ausgeht. Es ist zu vermuten, dass die Vertragsparteien annahmen, der Vorplatz sei nicht mit einer öffentlich-rechtlichen Eigentumsbeschränkung belastet, zumal die Dienstbarkeit offensichtlich nicht mit den Statuten der Flurgenossenschaft Kapf vom 22. Juni 1964 zu vereinbaren gewesen wäre. Die Statuten sahen nämlich in Art. 6 ein grundsätzlich unbedingtes Fahrrecht aller Mitglieder der Flurgenossenschaft vor und in Art. 7 die Pflicht, die Strasse stets offen und frei zu halten und sie nie mit irgendwelchen Gegenständen zu belegen.
3.5 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Handrisse des Grundbuchamts Oberegg wegen ihrer Zweckbestimmung kaum geeignet sind, den Beweis für die vorliegend behauptete öffentlich-rechtliche Eigentumsbeschränkung zu erbringen. Aus dem blossen Umstand, dass der betreffende Vorplatz und die Güterstrasse gleichzeitig errichtet wurden, oder daraus, dass der Vorplatz bei der Überbauung von Parzelle Nr. 1440 in seinem bisherigen Zustand belassen wurde, kann ebenfalls nicht auf eine derartige Eigentumsbeschränkung geschlossen werden. Zudem liegen nach dem Gesagten auch Indizien vor, welche in die entgegengesetzte Richtung weisen, nämlich die Regelung der Kostentragung betreffend Auskofferung und Teerung im Tauschvertrag vom 10. Oktober 1967 und der Dienstbarkeitsvertrag über ein Parkplatz-Mitbenützungsrecht. Vor diesem Hintergrund kann nicht als bewiesen gelten, dass der Vorplatz von Parzelle Nr. 1439 zur Güterstrasse der Strassenkorporation Kapf Oberegg gehört. Die Beweiswürdigung der Vorinstanz, die zum gegenteiligen Schluss gelangt, erscheint als unhaltbar (<ref-law>). Die Folgen dieser Beweislosigkeit hat nicht der Beschwerdeführer, sondern die Beschwerdegegnerin zu tragen. Der angefochtene Entscheid, welcher das Feststellungsbegehren der Beschwerdegegnerin geschützt hat, ist deshalb antragsgemäss aufzuheben. Inwiefern allenfalls auch die weiteren, vom Beschwerdeführer ins Feld geführten Argumente gegen die Beweiswürdigung der Vorinstanz sprechen, kann offen gelassen werden.
4. Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Eine Beurteilung der weiteren in der Beschwerdeschrift vorgetragenen Rügen erübrigt sich. Es obliegt dem Kantonsgericht, die Kosten- und Entschädigungsfolgen für das vorangegangene Verfahren neu zu regeln, weshalb die Angelegenheit diesbezüglich an die Vorinstanz zurückzuweisen ist (<ref-law>).
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat dem obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil vom 1. Februar 2011 des Kantonsgerichts Appenzell I.Rh. wird aufgehoben.
Die Angelegenheit wird zur neuen Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksrat Oberegg, der Standeskommission des Kantons Appenzell Innerrhoden und dem Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden, Abteilung Verwaltungsgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. August 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold