Sachverhalt:
A.
Das Kantonsgericht St. Gallen verurteilte X._ zweitinstanzlich wegen mehrfacher Drohung, Hausfriedensbruchs, mehrfacher Beschimpfung und Tätlichkeiten zu einer Freiheitsstrafe von neun Monaten, unter Anrechnung der Untersuchungs- und Sicherheitshaft von 338 Tagen, einer Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 30.-- sowie einer Busse von Fr. 200.--. Es schob den Vollzug der Freiheitsstrafe zugunsten einer stationären Massnahme im Sinne von <ref-law> auf.
B.
X._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, das angefochtene Urteil sei teilweise aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese sei anzuweisen, ein den gesetzlichen Anforderungen genügendes Gutachten einzuholen und - auf dessen Grundlage - das Strafmass neu festzusetzen bzw. über eine allfällige Massnahme neu zu entscheiden.
C.
Das Kantonsgericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen verzichten auf eine Vernehmlassung.
D.
Das Bundesgericht hat das Urteil öffentlich beraten (<ref-law>).

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz verletze Bundesrecht, indem sie den Begriff "sachverständige Begutachtung" gemäss Art. 20 und 56 Abs. 3 StGB sowie <ref-law> so auslege, dass auch Psychologinnen und Psychologen als Sachverständige gelten würden. Weil er nicht durch eine sachverständige Person begutachtet wurde, sei nicht geklärt, inwiefern seine Schuldfähigkeit vermindert war. Auch sei die Anordnung der stationären Massnahme bundesrechtswidrig. Indem die Vorinstanz den Beweisantrag auf Begutachtung durch eine qualifizierte sachverständige Person ablehne, verletze sie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>).
1.2. Die Vorinstanz erwägt, die Kantone seien befugt, Anforderungen an Sachverständige bzw. gerichtliche Gutachter festzulegen. Im Kanton St. Gallen bestünden keine entsprechenden Regelungen. Die Erstellung von forensischen Gutachten sei von Gesetzes wegen nicht Psychiatern vorbehalten. Entscheidend sei, dass die begutachtende Person über die notwendige fachliche Qualifikation verfüge. Dies sei vorliegend der Fall. Die Gutachterin sei fachlich qualifiziert, selbstständig ein Gutachten zu erstellen, das sich zu der Persönlichkeit, der Diagnosestellung, der Schuldfähigkeit, der Rückfallgefahr und der Massnahmenindikation äussert (Urteil S. 15 f.).
1.3. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen handelt es sich bei der Gutachterin um eine forensisch-psychologische Sachverständige mit Zulassung und praktischen Erfahrungen als klinische Psychologin und Psychotherapeutin (Urteil S. 16). Gemäss der von der Gutachterin im kantonalen Verfahren eingereichten Stellungnahme verfügt sie über eine klinisch-psychologische und rechtspsychologische Grundausbildung sowie die Weiterbildungstitel "Fachpsychologin für Psychotherapie FSP" und "Fachpsychologin für Rechtspsychologie FSP". Zudem hat sie im Bereich der klinischen Psychologie promoviert (kantonale Akten, act. G15).
2.
2.1. Grundsätzlich sind die Kantone im Rahmen des Bundesrechts befugt, Anforderungen an die fachliche Qualifikation der Gutachter festzulegen (Art. 47 Abs. 2, Art. 122 Abs. 2 und Art. 123 Abs. 2 BV). Diese Zuständigkeit ist eingeschränkt, soweit eine entgegenstehende abschliessende bundesrechtliche Regelung besteht oder soweit die kantonale Regelung gegen Sinn und Geist des Bundesrechts verstösst oder dessen Zweck beeinträchtigt oder vereitelt (Urteil 2C_121/2011 vom 9. August 2011 E. 4.4.3). Im Kanton St. Gallen sind die Anforderungen an die fachliche Qualifikation der Gutachter nicht geregelt. Es ist zu prüfen, ob das Bundesrecht (vorliegend Art. 20 und 56 Abs. 3 StGB sowie <ref-law>) (Mindest-) Anforderungen an eine sachverständige Person festlegt. Konkret stellt sich die Frage, ob das Bundesrecht ärztliche Gutachter vorschreibt oder ob auch nichtärztliche Psychologen (mit Weiterbildungstiteln) zugelassen werden.
2.2. Nach <ref-law> wird die sachverständige Begutachtung durch einen Sachverständigen ("une expertise", "una perizia") angeordnet, wenn ernsthafter Anlass besteht, an der Schuldfähigkeit des Täters zu zweifeln. <ref-law> bestimmt, dass das Gericht sich beim Entscheid über die Anordnung einer Massnahme nach den Artikeln 59-61, 63 und 64 (StGB) sowie bei der Änderung der Sanktion nach Artikel 65 (StGB) auf eine sachverständige Begutachtung ("une expertise", "una perizia") stützt. <ref-law> sieht vor, dass Staatsanwaltschaft und Gericht eine oder mehrere sachverständige Personen ("un ou plusieurs experts", "uno o più periti") beiziehen, wenn sie nicht über die besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten verfügen, die zur Feststellung oder Beurteilung eines Sachverhalts erforderlich sind. Die sachverständige Person muss auf dem betreffenden Fachgebiet die erforderlichen besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten besitzen (<ref-law>). Art. 182 f. StPO enthalten allgemeine Bestimmungen zu Gutachten und der sachverständigen Person. Sie gelten nicht nur für Gutachten nach Art. 20 und 56 Abs. 3 StGB. Diese Bestimmungen gehen als lex specialis vor, weshalb im Folgenden nur noch darauf einzugehen ist.
Dem Wortlaut von Art. 20 und 56 Abs. 3 StGB lässt sich nicht entnehmen, ob es sich um ärztliche Gutachter handeln muss oder ob auch Psychologen als Gutachter zugelassen sind.
2.3. Die Botschaft vom 21. September 1998 zur Änderung des Schweizerischen Strafgesetzbuches (Allgemeine Bestimmungen, Einführung und Anwendung des Gesetzes) und des Militärstrafgesetzes sowie zu einem Bundesgesetz über das Jugendstrafrecht führt zu Art. 18 des Entwurfs (entspricht <ref-law>) aus, das Gutachten sei in aller Regel von einem Psychiater zu erstellen (BBl 1999 2007 Ziff. 212.43). Auch in der parlamentarischen Beratung wurde davon ausgegangen, dass es sich beim Sachverständigen um einen Psychiater handelt (vgl. Votum Kommissionssprecher Ständerat Merz, AB 1999 S 1112). Zu Art. 57 Abs. 1 des Entwurfs (entspricht <ref-law>) erklärt die Botschaft, dass die Person des Gutachters bewusst nicht auf Psychiater eingeschränkt wurde. Relevant sei, dass der Sachverständige zu den aufgeworfenen Problemen kompetent Stellung nehmen könne. Angesichts der hohen Anforderungen an ein Gutachten werde dieses in der Regel von einem Psychiater erstellt werden müssen (BBl 1999 2072 Ziff. 213.412). In der parlamentarischen Beratung verwies der Kommissionssprecher bezüglich der "sachverständigen Begutachtung" auf seine Ausführungen zu Art. 18 des Entwurfs (AB 1999 S 1120). Im Nationalrat wurden die beiden Bestimmungen diskussionslos angenommen (AB 2001 N 543 f., 565).
Insgesamt ist den Materialien nicht abschliessend zu entnehmen, ob Gutachten im Sinne von Art. 20 und 56 Abs. 3 StGB zwingend von Fachärzten für Psychiatrie und Psychotherapie zu erstellen sind. Insbesondere die Äusserungen in den parlamentarischen Beratungen tendieren dazu, nur Psychiater als Gutachter zuzulassen. Dem steht die Aussage in der Botschaft vom 21. September 1998 entgegen, wonach die Person des Gutachters bewusst nicht auf Psychiater eingeschränkt wurde (BBl 1999 2072 Ziff. 213.412).
2.4. Sinn und Zweck der gesetzlichen Bestimmungen bestehen darin, dass gerichtliche Entscheide gestützt auf eine sachgerechte Begutachtung ergehen (vgl. BBl 1999 2072 Ziff. 213.412). Dem würde nicht entsprochen, wenn Personen als Gutachter zugelassen würden, welche die Forderungen an die Sachkunde nicht erfüllen.
2.4.1. Gutachten behandeln Probleme von grosser Tragweite, weshalb hohe Anforderungen an die Qualifikation von sachverständigen Personen zu stellen sind (Marianne Heer, in: Basler Kommentar, Strafrecht I, 3. Aufl. 2013, N. 57 zu <ref-law>). Die Aufgabe eines Gutachters ist es, eine aktuelle klinische Diagnose zu erstellen und zu begründen. Dabei ist auf ein internationales Klassifikationssystem (ICD [internationale statistische Klassifikation der Krankheiten und verwandter Gesundheitsprobleme; von der Weltgesundheitsorganisation herausgegeben und weltweit anerkannt] oder DSM [diagnostisches und statistisches Handbuch psychischer Störungen; Klassifikationssystem der Amerikanischen Psychiatrischen Vereinigung]) abzustellen (vgl. Horber/Kiesewetter/Urbaniok, Leitfaden zur Gutachtenerstellung der Fachkommission für psychiatrische Begutachtung Zürich, 2006, S. 6 f.; ausführlich: Boetticher/Nedopil/Bosinski/Sass, Mindestanforderungen für Schuldfähigkeitsgutachten, in: Neue Zeitschrift für Strafrecht, NStZ, 25. Jahrgang 2005, S. 57-62). Im Hinblick auf die Frage der Schuldfähigkeit ist die rückgeschlossene Diagnose für den Tatzeitpunkt unter Bezugnahme auf die psychiatrischen Klassifikationssysteme zu begründen. Es ist zu prüfen, ob die Störung auf die psychosoziale Kompetenz und das rechtsrelevante Handlungsvermögen im Tatzeitpunkt eine Wirkung zeitigte. Zu beurteilen ist, wie sich die Störung von erheblicher Schwere auf die Einsichts- und Steuerungsfähigkeit auswirkte (zum Ganzen: Nedopil/Dittmann/Kiesewetter, Qualitätsanforderungen an psychiatrische Gutachten, in: ZStrR 123/2005 S. 130 ff.; Horber/Kiesewetter/Urbaniok, a.a.O., S. 7 f.).
2.4.2. Der Gutachter hat in der Folge die Legalprognose zu bestimmen (vgl. Horber/Kiesewetter/Urbaniok, a.a.O., S. 8; ausführlich: Boetticher/Kröber/Müller-Isberner/Böhm/Müller-Metz/Wolf, in: Neue Zeitschrift für Strafrecht, NStZ, 26. Jahrgang 2006, S. 537-544). Sie ist nicht lediglich eine psychiatrische Angelegenheit. Vielmehr handelt es sich um ein rechtliches, soziales, gesetzliches, medizinisches und psychologisches Thema. Psychiatrische Kriminalprognosen erfordern einerseits solide psychiatrische Kenntnisse und Erfahrungen. Andererseits müssen sachverständige Personen über eingehendes kriminologisches Wissen verfügen und auf dem neusten Stand der Ergebnisse der aktuellen Prognoseforschung sein. Entsprechend besteht das Bedürfnis nach einer interdisziplinären Beurteilung der relevanten Fragen (Marianne Heer, a.a.O., N. 55 zu <ref-law> S. 1208 mit Hinweisen).
2.4.3. Bezüglich der Diagnosestellung ist der Fachliteratur zu entnehmen, dass bei Verdacht einer endogenen (von unbekannter Ursache) oder exogenen (körperlich begründeten) Psychose die Fachkompetenz des psychiatrischen Sachverständigen unzweifelhaft ist. Für alle übrigen Störungen und Erkrankungen, insbesondere für die Persönlichkeitsstörungen, intellektuellen Defizite (...), psychoorganischen Syndrome, affektiven Bewusstseins- und Wahrnehmungseinengungen usw., ist sowohl der klinisch-forensische Psychologe als auch der Psychiater sachkompetent (Tondorf/Tondorf, Psychologische und psychiatrische Sachverständige im Strafverfahren, 3. Aufl., Heidelberg 2011, S. 185 N. 228 mit Hinweisen; zu den exogenen und endogenen Psychosen: Schreiber/Rosenau, Rechtliche Grundlagen der psychiatrischen Begutachtung, in: Venzlaff/Foerster [Hrsg.], Psychiatrische Begutachtung, 5. Aufl., München 2009, S. 88). Hat eine krankhafte seelische Störung eine körperliche Ursache, ist für die Beurteilung dieser Zustände ein medizinischer Sachverständiger beizuziehen. Für die nichtärztlichen Sachverständigen bleiben die nicht krankhaften Bewusstseinsstörungen, die im Wesentlichen als hochgradig affektive Erregung zu definieren sind, und die sogenannte schwere andere seelische Abartigkeit, mit der Persönlichkeitsstörungen, Neurosen oder sexuelle Deviationen erfasst werden sollen (Wilfried Rasch, Die Auswahl des richtigen Psycho-Sachverständigen im Strafverfahren, in: Neue Zeitschrift für Strafrecht, NStZ, 12. Jahrgang 1992, S. 258 f.).
2.4.4. Obwohl nichtärztliche Sachverständige nicht krankhafte Störungen diagnostizieren können, ist für die Gutachtenerstellung eine medizinische Ausbildung der sachverständigen Person vorauszusetzen. Nur diese gewährleistet, dass eine körperliche oder organische Ursache einer allfälligen psychischen Störung oder Krankheit festgestellt oder ausgeschlossen werden kann. Im Gegensatz zum nichtärztlichen Psychologen verfügt ein Facharzt für Psychiatrie und Psychologie über ein Medizinstudium sowie eine Ausbildung zum Facharzt. Auch die in der Regel erforderliche körperliche Untersuchung des Exploranden kann nur von einem Arzt vorgenommen werden (vgl. Marianne Heer, a.a.O., N. 61c zu <ref-law>; siehe auch Maier/Möller, Das gerichtspsychiatrische Gutachten gemäss <ref-law>, 1999, S. 141 ff. und 189 ff.).
2.5. Das Bundesgericht hat sich bisher nicht dazu geäussert, ob auch ein Psychologe eine "sachverständige Person" im Sinne von Art. 20 und 56 Abs. 3 StGB ist. Ein älterer Entscheid aus dem Jahr 1958 deutet darauf hin, dass ein Gutachten zur Schuldfähigkeit von einem Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie zu erstellen ist ("fachärztliches Gutachten", "psychiatrische Begutachtung"; <ref-ruling>). In <ref-ruling> führte das Bundesgericht zum alten Recht aus, das entscheidende Abgrenzungskriterium zwischen einer Massnahme nach aArt. 43 StGB und den Strafen bildet der "Geisteszustand des Täters", also eine ärztlich-psychiatrische Indikation. Das Gesetz verpflichtet den Richter, seinen Entscheid über Verwahrungs-, Behandlungs- und Pflegebedürftigkeit aufgrund von Gutachten über den körperlichen und geistigen Zustand des Täters zu treffen. Damit verweist es für die psychischen Störungen und deren Behandlung ausdrücklich auf die lex artis der ärztlichen Wissenschaften (E. 3d S. 158). In einem neueren, unpublizierten Urteil hielt das Bundesgericht fest, dass ein Gutachten aufgrund der hohen Anforderungen, die es erfüllen muss, in aller Regel von einem Psychiater zu erstellen ist (Urteil 6B_752/2011 vom 18. April 2012 E. 4; offengelassen wurde diese Frage im Urteil 6B_438/2011 vom 18. Oktober 2011 E. 2.4.3). Ferner entschied es, dass die Verordnung des Kantons Zürich vom 1./8. September 2010 über psychiatrische und psychologische Gutachten in Straf- und Zivilverfahren (PPGV; LS 321.4), wonach nur Fachärzte für Psychiatrie und Psychotherapie, nicht aber nichtärztliche (psychologische) Psychotherapeuten für die Erstellung von Gutachten zur Beurteilung komplexer Problemstellungen oder Risiken eingetragen werden (§ 12 Abs. 1 i.V.m. § 10 Abs. 2 lit. a PPGV), den Bestimmungen des Strafgesetzbuchs nicht widerspricht. Die PPGV verletzt auch das Rechtsgleichheitsgebot nicht, da die Differenzierung zwischen psychiatrischen Fachärzten und nichtärztlichen Psychotherapeuten im Hinblick auf die Erstellung der streitigen Gutachten sachlich begründet erscheint (vgl. Urteil 2C_121/2011 vom 9. August 2011 E. 4.4 f.).
2.6. Die strafrechtliche Literatur spricht sich dafür aus, dass Gefährlichkeitsgutachten bzw. Gutachten nach Art. 20 und 56 Abs. 3 StGB in aller Regel von einem Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie zu erstellen sind (Trechsel/Jean-Richard, in: Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 4 zu <ref-law>; Trechsel/Pauen Borer, in: Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 11 zu <ref-law>; Stratenwerth/Wohlers, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Handkommentar, 3. Aufl. 2013, N. 1 zu <ref-law>; Roth/Thalmann, in: Commentaire romand, Code pénal I, 2009, N. 40 zu <ref-law>; Andreas Donatsch, in: Andreas Donatsch [Hrsg.], StGB-Kommentar, 19. Aufl. 2013, N. 6 zu <ref-law>; Markus Hug, in: Andreas Donatsch [Hrsg.], StGB-Kommentar, 19. Aufl. 2013, N. 14 zu <ref-law>; Felix Bommer, in: Basler Kommentar, Strafrecht I, 3. Aufl. 2013, N. 27 zu <ref-law>; Ursula Frauenfelder, Die ambulante Behandlung geistig Abnormer und Süchtiger als strafrechtliche Massnahme nach Art. 43 und 44 StGB, Diss. Zürich 1978, S. 59; Miriam Forni, Strafverfahren und Psychiatrie: Berührungspunkte und Reibungsflächen, in: ZStrR 122/2004 S. 212 f., 216 f.; a.M.: Frischknecht/Schneider/Schmalbach, Welcher Psy-Experte darf's denn sein?, in: Jusletter vom 21. Mai 2012). Günter Stratenwerth schränkt die Regel hinsichtlich <ref-law> dahingehend ein, dass Gutachter im Allgemeinen nur ein psychiatrischer Facharzt sein kann, soweit die stationäre Behandlung von psychischen Störungen in Frage steht (Günter Stratenwerth, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil II: Strafen und Massnahmen, 2. Aufl. 2006, § 9 N. 28; so auch Stratenwerth/Wohlers, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>; ebenfalls differenzierend bezüglich Gutachten nach <ref-law>: Bernhard Sträuli, in: Commentaire romand, Code pénal I, 2009, N. 27 zu <ref-law>). Marianne Heer setzt sich ausführlich mit dem Thema auseinander und weist darauf hin, dass eine interdisziplinäre Beurteilung vorzunehmen ist (Marianne Heer, a.a.O., N. 55 ff. zu <ref-law> mit Hinweisen; siehe auch Maier/Möller, a.a.O., S. 41 ff.).
2.7. Sowohl die Gesetzesmaterialien als auch die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung und die Lehrmeinungen tendieren dazu, dass eine "sachverständige Person" im Sinne von Art. 20 und 56 Abs. 3 StGB in aller Regel ein Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie sein muss. Es sind keine Gründe ersichtlich, weshalb von dieser Auffassung abgewichen werden sollte. Hierfür sprechen auch Sinn und Zweck der Bestimmungen, da der Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie kompetent ist, allfällige körperliche oder organische Ursachen zu diagnostizieren oder auszuschliessen. Während die Aus- und Weiterbildung der Psychiater einen gewissen Qualitätsstandard gewährleistet, müsste bei nichtärztlichen Sachverständigen stets überprüft werden, ob sie im konkreten Fall die Anforderungen an die Sachkunde erfüllen. Angesichts der erheblichen praktischen Bedeutung der Gutachten im Sinne von Art. 20 und 56 Abs. 3 StGB ist an der bisherigen Praxis festzuhalten und als sachverständige Person in aller Regel nur ein Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie zuzulassen. Ausnahmen sind schwer vorstellbar. Sie müssen mit der fachlichen Ausgangslage gerechtfertigt werden und lassen sich nicht mit der Person des Sachverständigen begründen. Angesichts der interdisziplinären Fragestellung ist es jedoch zulässig und erstrebenswert, dass psychiatrische Gutachter einzelne Fragen einem Psychologen (oder Psychotherapeuten) stellen oder diesen mit (testpsychologischen) Untersuchungen beauftragen (siehe dazu MAIER/MÖLLER, a.a.O., S. 148 ff.). Dabei bleibt jedoch stets der Psychiater für die Gutachtenserstattung verantwortlich.
2.8. Über die formellen Anforderungen (z.B. forensische Weiterbildung) an einen Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie ist vorliegend nicht zu befinden. Das Bundesgericht hat einzig zu prüfen, ob das Bundesrecht einen ärztlichen Sachverständigen vorschreibt, was der Fall ist. Das kantonale Recht kann weitergehende Bestimmungen vorsehen (E. 2.1; wie dies beispielsweise in den Kantonen Zürich und Waadt der Fall ist).
2.9. Vorliegend war ein Standardfall zu beurteilen. Das Gutachten hatte sich zur Persönlichkeit des Beschwerdeführers, der Diagnosestellung, der Einsichts- und Steuerungsfähigkeit, der Rückfallgefahr sowie der Massnahmenindikation zu äussern und hätte von einem psychiatrischen Facharzt erstellt werden müssen. Indem die Vorinstanz den Antrag des Beschwerdeführers auf Einholung eines Gutachtens einer sachverständigen Person ablehnte, verletzte sie sowohl Art. 20 und 56 Abs. 3 StGB als auch sein rechtliches Gehör.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton St. Gallen hat den Beschwerdeführer angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen, Strafkammer, vom 13. Februar 2013 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton St. Gallen hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Februar 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Andres