Sachverhalt:
A. A.X._ und B.X._ sind Miteigentümer des Grundstücks Nr. 2348 (Grundbuchkreis West) in St. Gallen. Das Grundstück hat eine Fläche von rund 90'000 m2 und liegt in der Landwirtschaftszone. Ungefähr in seiner Mitte befindet sich, neben zwei Scheunen und einer Garage, ein Wohnhaus. Das Grundstück wird durch einen Privatweg erschlossen, welcher ungefähr in Ost-West-Richtung verläuft, am Wohnhaus vorbeiführt und den Solitüdenweg mit dem Menzlenwaldweg verbindet. Der Weg ist nach dem Gemeindestrassenplan der Stadt St. Gallen nicht klassiert.
Mit Beschluss vom 27. März 2007 entschied der Stadtrat von St. Gallen, den Weg in den Strassenplan aufzunehmen und als Gemeindeweg 2. Klasse einzuteilen. Nach der Auflage des betreffenden Teilstrassenplans im Amtsblatt des Kantons St. Gallen erhoben A.X._ und B.X._ Einsprache. Mit Beschluss vom 23. Oktober 2007 wies der Stadtrat die Einsprache ab. Darauf erhoben die beiden Miteigentümer Rekurs beim Baudepartement des Kantons St. Gallen. Dieses wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 18. Februar 2009 indessen ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat. Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 3. Dezember 2009 schliesslich gutgeheissen. Das Verwaltungsgericht erwog, die Widmung und Klassierung des Verbindungswegs führe zu einem unverhältnismässigen Eingriff in die Eigentumsgarantie (<ref-law>). Es hob deshalb die Beschlüsse des Stadtrats und den Rekursentscheid des Baudepartements auf.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. Januar 2010 an das Bundesgericht beantragt die politische Gemeinde St. Gallen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 3. Dezember 2009 sei aufzuheben und der Einspracheentscheid des Stadtrats vom 23. Oktober 2007 sowie der Rekursentscheid des Baudepartements vom 18. Februar 2009 seien zu bestätigen. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf ihre Autonomie und macht geltend, das Verwaltungsgericht habe die Tragweite der Eigentumsgarantie missachtet.
Das Verwaltungsgericht beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. A.X._ und B.X._ als Beschwerdegegner schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Baudepartement beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Bestätigung seines eigenen Rekursentscheids. In ihrer Stellungnahme dazu hält die politische Gemeinde St. Gallen an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Das Verwaltungsgericht verneinte das Recht der politischen Gemeinde St. Gallen, einen in Privateigentum stehenden Weg in den Strassenplan aufzunehmen und als Gemeindeweg zu klassieren. Die Gemeinde ist durch diesen Entscheid in ihren hoheitlichen Befugnissen betroffen. Sie ist daher nach <ref-law> legitimiert, mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter Berufung auf Art. 89 KV/SG (SR 131.225) eine Verletzung ihrer Gemeindeautonomie geltend zu machen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 304 mit Hinweisen). Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde kann unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägung eingetreten werden.
1.2 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226 mit Hinweis). Die Beschwerdeführerin reichte im bundesgerichtlichen Verfahren eine Reihe von Luftbildern und Situationsplänen ein um aufzuzeigen, dass im Landwirtschaftsgebiet öffentlich zugängliche Wege seit jeher unmittelbar an landwirtschaftlichen Wohnhäusern vorbeiführten. Damit zeigt sie nicht auf, inwiefern erst der Entscheid der Vorinstanz zu den neuen Beweismitteln Anlass gegeben hat. Die Beweismittel erweisen sich als unzulässig.
2. 2.1 Nach der Rechtsprechung sind Gemeinden in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt. Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine solche nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 241 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 294; je mit Hinweisen).
2.2 Ob eine Strasse als öffentlich bezeichnet und wieweit gegebenenfalls der Gemeingebrauch gehen soll (d.h. welcher der möglichen Strassenkategorien die Gemeindestrasse zuzuteilen ist), beurteilt sich zwar im Rahmen von Art. 1 ff. und Art. 7 ff. des Strassengesetzes des Kantons St. Gallen vom 12. Juni 1988 (sGS 732.1; im Folgenden: StrG) und damit nach kantonalem Recht. Die genannten Vorschriften belassen der Gemeinde jedoch einen grossen Entscheidungsspielraum. Diese ist deshalb in dem hier strittigen Bereich autonom im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Urteil 1P.347/1992 vom 9. Februar 1993 E. 2 mit Hinweisen).
2.3 Eine in ihrer Autonomie betroffene Gemeinde kann sich dagegen zur Wehr setzen, dass eine kantonale Behörde in einem Rechtsmittelverfahren ihre Prüfungsbefugnis überschreitet oder die den betreffenden Sachbereich ordnenden Vorschriften unrichtig auslegt und anwendet. Ferner kann sie geltend machen, die kantonale Behörde habe die Tragweite von verfassungsmässigen Rechten missachtet. Schliesslich kann sie sich auf das Willkürverbot und auf Verfahrensgrundrechte berufen, soweit diese Vorbringen mit der behaupteten Rüge der Autonomieverletzung in engem Zusammenhang stehen. Die Anwendung von eidgenössischem und kantonalem Verfassungsrecht prüft das Bundesgericht mit freier Kognition, die Handhabung von Gesetzes- und Verordnungsrecht unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots. Das Bundesgericht auferlegt sich Zurückhaltung, soweit die Beurteilung der Streitsache von einer Würdigung der örtlichen Verhältnisse abhängt, welche die kantonalen Behörden besser überblicken (<ref-ruling> E. 1.2 S. 305 mit Hinweisen).
3. 3.1 Das Verwaltungsgericht ging zutreffend davon aus, dass die Aufnahme einer Privatstrasse in den Gemeindestrassenplan gemäss Art. 7 ff. StrG eine öffentlich-rechtliche Eigentumsbeschränkung darstellt, die einer gesetzlichen Grundlage bedarf, durch ein öffentliches Interesse gerechtfertigt und verhältnismässig sein muss (Art 26 i.V.m. <ref-law>). Das Gebot der Verhältnismässigkeit verlangt, dass eine behördliche Massnahme für das Erreichen des im öffentlichen oder privaten Interesse liegenden Ziels geeignet und erforderlich ist. Erforderlich ist eine Massnahme dann, wenn das Ziel nicht mit einem weniger schweren Grundrechtseingriff erreicht werden kann. Die Massnahme muss sich zudem für die Betroffenen in Anbetracht der Schwere der Grundrechtseinschränkung als zumutbar erweisen; es muss mit anderen Worten eine vernünftige Zweck-Mittel-Relation vorliegen (<ref-ruling> E. 7.2 S. 62 mit Hinweisen).
Das Verwaltungsgericht erwog, es bestehe zweifellos ein öffentliches Interesse daran, Naherholungsgebiete gut zu erschliessen und ein gut ausgebautes und zweckmässiges Netz an öffentlichen Wegen zu erstellen. Der südlich vom Privatweg verlaufende Solitüdenweg sei bis zum Waldrand hin relativ anspruchsvoll und der Spazierweg Wilenstrasse-Menzlenstrasse-Hochwachtstrasse erschliesse den Menzlenwald von der Ostseite her nicht direkt. Mit dem Einbezug des Privatwegs in das öffentliche Wegnetz würde der Menzlenwald dagegen mit einem bequem zu bewältigenden Weg direkt zugänglich und es entstünde ein eigentlicher Rundweg. Ein öffentliches Interesse an der Widmung könne damit bejaht werden.
Laut dem angefochtenen Entscheid sind dagegen die Voraussetzungen der Erforderlichkeit und der Zumutbarkeit nicht erfüllt. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies und rügt eine fehlerhafte Anwendung von <ref-law> durch das Verwaltungsgericht.
3.2 Zur Erforderlichkeit führte die Vorinstanz aus, es bestünden verschiedene Zugänge zum Menzlenwald: ein längerer, einfach zu begehender und auch für Kinderwagen tauglicher Weg über die Wilenstrasse, und ein kürzerer, an gewissen Stellen naturbelassener Weg. Der Privatweg der Beschwerdegegner könne das bestehende, gut ausgebaute Wegnetz lediglich ergänzen. Von einer eigentlichen Lücke im Wegnetz könne dagegen nicht gesprochen werden. Zudem würde der Privatweg für Menschen mit Gehbehinderungen keinen erleichterten Zugang zum Menzlenwald schaffen, denn bereits das Wegstück zwischen dem Privatweg und dem Siedlungsgebiet sei steil.
Mit dieser Erwägung verkannte die Vorinstanz die Bedeutung des Begriffs der Erforderlichkeit. Dieser setzt nicht voraus, dass eine eigentliche Lücke im Wegnetz besteht bzw. dass der umstrittene Weg das öffentliche Wegnetz stark aufzuwerten vermag. Vielmehr ist ausreichend, dass das öffentliche Interesse nicht mit einer milderen Massnahme erreicht werden kann. Das öffentliche Interesse erblickte die Vorinstanz darin, dass mit dem Einbezug des Privatwegs in das öffentliche Wegnetz der Menzlenwald mit einem bequem zu bewältigenden Weg direkt zugänglich würde und ein eigentlicher Rundweg entstünde. Dass für die Erreichung dieses Ziels auch eine mildere Massnahme genügt hätte, ist nicht ersichtlich und wird im angefochtenen Entscheid auch gar nicht geltend gemacht.
3.3 Die Zumutbarkeit wurde vom Verwaltungsgericht mit der Begründung verneint, das Naherholungsgebiet sei bereits gut erschlossen und die Einschränkung, welche die öffentliche Nutzung des Wegs für die Beschwerdegegner bedeuten würde, sei erheblich. Es führte aus, auf der südlichen Seite des Wohnhauses der Beschwerdegegner befinde sich ein mit Steinen belegter Vorplatz. Auf der nördlichen Fassadenseite führe der Privatweg durch. Selbst wenn sich die Beschwerdegegner hauptsächlich auf dem Vorplatz vor der südlichen, der Sonne zugewandten Hausfassade aufhielten, so sei zu berücksichtigen, dass der Weg unmittelbar an ihrem Haus vorbeiführe und die Nutzung der unmittelbaren Umgebung beeinträchtige. Verständlich sei insbesondere, dass die Beschwerdegegner einen Hund halten wollten. Indessen führe dies erfahrungsgemäss zu Konflikten mit den Wegbenutzern. Zudem sei die Beeinträchtigung der Privatsphäre erheblich.
Die Beschwerdeführerin weist zu Recht darauf hin, dass der Menzlenwald und die Solitüde unmittelbar an Siedlungsgebiete angrenzen und damit eine erhebliche Bedeutung als Naherholungsgebiete besitzen. Sie hebt weiter die positiven Eigenschaften des umstrittenen Wegs hervor, wie sie auch dem angefochtenen Urteil zu entnehmen sind. So ist der Privatweg offenbar einfacher zu begehen als der südlich davon verlaufende Solitüdenweg. Dies kommt auch auf der Landeskarte der Schweiz, Massstab 1:25'000, Blatt 1095 "Gais" zum Ausdruck, wo der Privatweg der fünften Klasse (Velo-, Karr- und Saumweg) zugeteilt ist, während der Solitüdenweg im gleichen Bereich lediglich als Weg der sechsten Klasse (Fussweg) ausgewiesen wird. Der alternative Spazierweg Wilenstrasse-Menzlenstrasse-Hochwachtstrasse erschliesst sodann im Gegensatz zum Privatweg den Menzlenwald von der Ostseite her nicht direkt. Die Beschwerdeführerin macht zudem geltend, dass das Wegstück zwischen dem Privatweg und dem Siedlungsgebiet zwar steil sei, aber doch immerhin asphaltiert und zumindest in West-Ost-Richtung keineswegs beschwerlich für Fussgänger. Insgesamt ist mit der Beschwerdeführerin deshalb davon auszugehen, dass ein erhebliches öffentliches Interesse am Gemeingebrauch des strittigen Wegstücks besteht.
Das entgegenstehende private Interesse der Beschwerdegegnerin vermag dieses öffentliche Interesse nicht aufzuwiegen. Die Nutzung des Wohnhauses und seines Umschwungs wird nicht stärker eingeschränkt, als dies bei den allermeisten Liegenschaften in der Bau- wie auch der Landwirtschaftszone, welche durch öffentliche Wege erschlossen werden, auch der Fall ist. Vorliegend kommt dazu, dass der Weg auf der Nordseite des Hauses vorbeiführt, während sich die Beschwerdeführer laut angefochtenem Entscheid vornehmlich auf dem Vorplatz südlich des Hauses aufhalten. Schliesslich ist davon auszugehen, dass für die Hundehaltung eine praktikable Lösung gefunden werden kann, bei welcher Konflikte mit den Wegnutzern minimiert werden.
4. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz die Klassierung des Verbindungswegs zwischen Solitüdenweg und Menzlenwaldweg als öffentlicher Weg zu Unrecht als eine unverhältnismässige Beschränkung der Eigentumsgarantie qualifiziert. Die Rüge der Verletzung der Gemeindeautonomie erweist sich damit als begründet. Die Beschwerde ist deshalb gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Der Einspracheentscheid vom 23. Oktober 2007 des Stadtrats der Stadt St. Gallen und der Rekursentscheid vom 18. Februar 2009 des Baudepartements des Kantons St. Gallen sind zu bestätigen (<ref-law>). Die Angelegenheit ist zur neuen Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang tragen die Beschwerdegegner die Gerichtskosten (<ref-law>). Weder die Beschwerdegegner noch die politische Gemeinde St. Gallen, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt hat, haben Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten wird, und das Urteil vom 3. Dezember 2009 des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen aufgehoben.
Der Einspracheentscheid vom 23. Oktober 2007 des Stadtrats St. Gallen und der Rekursentscheid vom 18. Februar 2009 des Baudepartements des Kantons St. Gallen werden bestätigt.
Die Angelegenheit wird zur neuen Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Baudepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold