Faits:
A. A.a Par contrats du 4 septembre 2000, Banque Y._ (ci-après: la banque) a engagé, à partir du 1er janvier 2001, X._ et A._, qui travaillaient jusqu'alors dans le même établissement bancaire genevois. Le premier était responsable des relationship managers (i.e les gestionnaires), avec titre de directeur adjoint, alors que le second, subordonné directement au prénommé, était gestionnaire, avec titre de vice-directeur. Les deux employés, qui oeuvraient de concert, avaient notamment pour mission d'amener à la banque une nouvelle clientèle private banking. Le salaire annuel brut de A._ était de 180'000 fr., montant auquel s'ajoutait, pendant deux ans, un bonus minimum de 50'000 fr. Selon les contrats, les rapports de travail pouvaient prendre fin au plus tôt le 30 juin 2003, sauf résiliation immédiate pour justes motifs.
Le 11 février 2002, la banque a résilié avec effet immédiat les contrats de travail la liant à X._ et à A._. Elle reprochait aux deux employés d'avoir commis des fautes graves consistant à n'avoir pas éclairci, de façon sérieuse et documentée, les nombreux transferts insolites réalisés de manière parallèle sur les comptes de deux titulaires totalement distincts.
A.b Le 14 mars 2002, A._ a assigné la banque devant la juridiction prud'homale genevoise. Du chef de son licenciement immédiat, qu'il estimait injustifié, le demandeur réclamait le paiement de 262'500 fr. brut, à titre de salaire et d'indemnité de vacances jusqu'à l'expiration de la durée contractuelle des rapports de travail, et de 90'000 fr. net, à titre d'indemnité au sens de l'art. 337c al. 3 CO, le tout avec intérêts à 5% dès le 11 février 2002.
X._ a également ouvert action contre la banque. Bien qu'elles n'aient pas été formellement jointes, les deux procédures ont fait l'objet d'une instruction commune.
Par jugement du 17 décembre 2003, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme brute de 262'500 fr., sous déduction de la somme nette de 54'890 fr.10 à verser à la Caisse cantonale genevoise de chômage, ainsi qu'une indemnité de 30'000 fr. net, les montants alloués au demandeur portant intérêts à 5% dès le 11 février 2002. Par ailleurs, la banque a été condamnée à remettre à A._ un certificat de travail conforme aux exigences de l'art. 330a CO.
Statuant le 1er mars 2004 sur appel de la banque et appel incident de l'employé, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance, en tenant compte du montant actualisé des prétentions récursoires de la caisse de chômage, sauf en ce qui concernait l'indemnité pour licenciement injustifié qu'elle a augmentée à 60'000 fr., soit l'équivalent de quatre mois de salaire. En substance, elle a considéré que le comportement reproché à l'employé ne constituait pas un manquement grave au devoir de diligence, justifiant un licenciement immédiat sans avertissement préalable. Pour arrêter la quotité de l'indemnité au sens de l'art. 337c al. 3 CO, la cour cantonale s'est fondée sur la durée des rapports de travail, le manque de consistance des motifs invoqués à l'appui du licenciement, le grave préjudice porté à la réputation de l'employé et les conséquences économiques subies par ce dernier, qui n'avait alors pas retrouvé un emploi. Enfin, la Cour d'appel ne s'est pas penchée sur la question du certificat de travail, dès lors que l'employé ne contestait pas la décision de première instance sur ce point.
Par arrêt du 24 août 2004 (cause 4C.210/2004), le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours en réforme que la banque avait interjeté contre la décision cantonale. A ce stade de la procédure, le litige ne portait que sur le caractère justifié ou non du licenciement immédiat, la défenderesse ne remettant pas en cause les conséquences pécuniaires de cette mesure si elle devait se révéler injustifiée.
B. Le 3 décembre 2004, A._ a saisi le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève d'une demande qualifiée d'«additionnelle», tendant notamment à la condamnation de la banque à lui verser, à titre de dommages-intérêts, un montant fixé en dernier lieu à 534'768 fr.25, plus intérêts à 5% dès le dépôt de la demande. Le demandeur faisait valoir que la banque avait informé plusieurs tiers des motifs invoqués à l'appui de son licenciement immédiat, qu'elle lui avait imputé un comportement contraire à l'honneur, ce qui avait été porté à la connaissance notamment des signataires du rapport de V._ produit dans le cadre de la procédure précédente et, enfin, qu'elle ne lui avait remis un certificat de travail qu'en octobre 2004, de plus sous une forme inappropriée et inexacte. Ce faisant, la banque aurait porté atteinte à la personnalité de l'employé, en violation de l'art. 328 CO. Cette violation d'une obligation contractuelle aurait empêché le demandeur de retrouver un emploi avant le 1er novembre 2005, de sorte que la banque devait être condamnée à réparer le dommage correspondant au gain manqué par l'employé entre le 30 juin 2003 et le 31 octobre 2005.
X._ a également ouvert action contre la banque. Les deux procédures ont fait l'objet d'une instruction partiellement commune, sans être formellement jointes.
La banque a soulevé l'exception de chose jugée.
Par jugement du 14 mars 2008, le Tribunal des prud'hommes a condamné la banque à payer à A._ 236'036 fr.60 avec intérêts à 5% dès le 3 décembre 2004, montant représentant le manque à gagner subi par le demandeur entre le 1er décembre 2003 et le 31 octobre 2005 en raison d'une atteinte à sa personnalité, imputable à la défenderesse.
Statuant le 10 novembre 2008 sur appel de la banque et appel incident de A._, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes a annulé le jugement entrepris et débouté le demandeur de toutes ses conclusions, dans la limite de leur recevabilité. Selon cet arrêt, il ne résulte du dossier aucune atteinte à la personnalité de l'employé qui justifierait l'allocation d'une indemnité «pour tort moral» excédant le montant alloué sur la base de l'art. 337c CO dans la procédure précédente. En particulier, il n'est pas démontré que la banque a porté les motifs du licenciement immédiat à la connaissance de tiers; l'employeur n'avait pas non plus à faire taire les rumeurs à ce sujet. Au surplus, la cour cantonale a jugé que le dommage invoqué en relation avec un gain manqué n'était pas établi.
C. A._ forme un recours en matière civile. Il demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal, puis, préalablement, d'ordonner la production du rapport établi par V._ et, principalement, de condamner la banque à lui payer 299'165 fr.60 avec intérêts à 5% dès le début de la procédure.
La banque conclut à ce que la conclusion préalable du recourant soit déclarée irrecevable et à ce que le recours soit rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
La cour cantonale n'a pas d'observations à formuler.

Considérant en droit:
1. 1.1 L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF) dans une affaire dont la valeur litigieuse, déterminée par les conclusions encore contestées devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF), atteint le seuil de 15'000 fr. prévu à l'art. 74 al. 1 let. a LTF en matière de droit du travail. Le recours en matière civile a été interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions condamnatoires (art. 76 al. 1 LTF). Par ailleurs, il a été déposé dans le délai (art. 45 al. 1 et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF). Pour le reste, il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision déférée; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.1 et l'arrêt cité). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.1).
1.3 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.3) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. Le recourant commence par affirmer que l'état de fait retenu par la cour cantonale est lacunaire, un certain nombre d'éléments essentiels pour le sort de la cause n'y figurant pas. Ceci posé, il présente la version des faits qu'il juge déterminante. Un tel mode de procéder ne satisfait manifestement pas aux exigences légales en matière de motivation d'un grief d'ordre constitutionnel (art. 106 al. 2 LTF), à savoir en l'espèce l'arbitraire dans l'appréciation des preuves prohibé par l'art. 9 Cst. De même, sous le couvert d'une mauvaise application des art. 4 et 8 CC, le recourant s'en prend à la constatation cantonale selon laquelle l'auteur des rumeurs sur les motifs du licenciement n'est pas connu; en se bornant à prétendre que les rumeurs ne pouvaient provenir que de la banque elle-même, le recourant émet une affirmation, dépourvue de toute démonstration d'arbitraire. En tant qu'il remet en cause l'état de fait à la base de la décision attaquée, le recours est irrecevable.
3. Le recourant reproche à la Cour d'appel d'avoir violé les art. 49, 97 et 328 CO. Pour une raison difficilement explicable, il reprend par la suite le même grief, mais sous l'angle de l'arbitraire. A lire le recours, les juges genevois sont partis faussement de l'idée que seule une indemnité en réparation du tort moral entrait en ligne de compte en cas d'atteinte à la personnalité du travailleur au sens de l'art. 328 CO. Cette erreur les aurait conduits, par un raccourci inadmissible, à exclure toute indemnisation supplémentaire dès lors que l'indemnité perçue par le recourant sur la base de l'art. 337c al. 3 CO prenait déjà en compte le tort moral subi à la suite du licenciement immédiat injustifié. Or, fait observer le recourant, il réclame à présent à son ancien employeur non pas une indemnité pour tort moral, mais des dommages-intérêts fondés sur l'art. 97 CO, correspondant à son gain manqué au-delà du 30 juin 2003. Ce dommage résulterait d'atteintes à la personnalité bien plus graves que le licenciement lui-même. Ainsi, la banque aurait entravé considérablement la réinsertion professionnelle de son ancien employé en refusant délibérément de lui remettre un certificat de travail digne de ce nom. Par ailleurs, elle aurait porté atteinte à l'honneur privé et professionnel du gestionnaire en motivant le licenciement par de prétendus agissements pénalement répréhensibles et en portant ces motifs à la connaissance de tiers, soit des collaborateurs de V._ et de la banque elle-même. Enfin, l'intimée n'a rien fait pour faire taire les rumeurs déshonorantes circulant sur le compte du recourant dans le milieu bancaire genevois.
3.1 En premier lieu, il convient de rappeler quelles sont les conséquences pécuniaires prévues par l'art. 337c CO en cas de résiliation immédiate injustifiée du contrat de travail: le travailleur a droit à des dommages-intérêts, correspondant à ce qu'il aurait gagné si les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance du délai de congé ou à la fin du contrat de durée déterminée (art. 337c al. 1 CO; <ref-ruling> consid. 3b p. 9 et les arrêts cités) ainsi que, sauf cas exceptionnel, à une indemnité représentant au maximum six mois de salaire et fixée en tenant compte de toutes les circonstances (art. 337c al. 3 CO).
Cette indemnité-ci est de même nature et vise les mêmes buts que l'indemnité prévue à l'art. 336a CO en cas de licenciement abusif (<ref-ruling> consid. 2a p. 7). La nature juridique de l'indemnité prescrite à l'art. 336a CO - et, partant, de l'indemnité pour licenciement immédiat injustifié - a fait l'objet d'une analyse approfondie dans l'arrêt publié aux <ref-ruling>. Le Tribunal fédéral a relevé la double finalité - punitive et réparatrice - de l'indemnité. Comme elle est due même si le travailleur ne subit aucun dommage, il ne s'agit pas de dommages-intérêts au sens classique, mais d'une indemnité sui generis, s'apparentant à une peine conventionnelle. Ainsi, parmi les circonstances déterminantes, il faut non seulement ranger la faute de l'employeur, mais également d'autres éléments tels que la durée des rapports de travail, l'âge du lésé, sa situation sociale et les effets économiques du licenciement. Le Tribunal fédéral a aussi précisé qu'en réservant, à l'art. 336a al. 2 in fine CO, les dommages-intérêts que la victime du congé pourrait exiger à un autre titre, le législateur avait simplement laissé ouvert le droit du travailleur de réclamer la réparation du préjudice résultant d'une cause autre que le caractère abusif du congé.
Cette jurisprudence a eu pour conséquence que, contrairement à ce qui avait été jugé précédemment (<ref-ruling> consid. 2b p. 160), le congé abusif ne fonde, en lui-même, aucune prétention supplémentaire à des dommages-intérêts, liés par exemple à une baisse de revenu lors d'une période de chômage subséquente au licenciement; la réserve de l'art. 336a al. 2 2ème phrase CO ne concerne pas les dommages-intérêts dus sur la base d'une autre disposition - singulièrement l'art. 97 CO - mais ceux découlant d'une autre cause, comme par exemple un licenciement assorti de faux renseignements à des tiers (ULLIN STREIFF/ADRIAN VON KAENEL, Arbeitsvertrag, 6e éd. 2006, n° 8 ad art. 336a CO, p. 708; WOLFGANG PORTMANN, Zur Schadenersatzbemessung im Arbeitsvertragsrecht, in Festschrift für Heinz Rey, 2003, p. 491).
Par ailleurs, les indemnités des art. 336a et 337c al. 3 CO couvrent en principe tout le tort moral subi par le travailleur licencié. Le Tribunal fédéral admet toutefois l'application cumulative de l'art. 49 CO dans des situations exceptionnelles, lorsque l'atteinte portée aux droits de la personnalité du travailleur est grave au point qu'une indemnité correspondant à six mois de salaire ne suffit pas à la réparer (consid. 9c non publié de l'<ref-ruling>; arrêt 4C.177/2003 du 21 octobre 2003 consid. 4.1; RÉMY WYLER, Droit du travail, 2e éd. 2008, p. 518).
3.2 Comme il le relève à juste titre, le recourant réclame en l'espèce des dommages-intérêts, plus précisément la réparation du gain manqué qu'il considère avoir subi à la suite du licenciement immédiat injustifié du 11 février 2002. La Cour d'appel s'est dès lors méprise en évoquant une indemnité «pour tort moral» dont l'allocation ne serait pas justifiée en sus de l'indemnité fondée sur l'art. 337c al. 3 CO. Cela étant, il reste à examiner si cette erreur porte à conséquence, autrement dit si le recourant, qui invoque une atteinte à sa personnalité contraire à l'art. 328 CO, peut prétendre en l'occurrence à des dommages-intérêts fondés sur la responsabilité contractuelle de l'employeur (art. 97 CO).
La réglementation sur les conséquences d'une résiliation immédiate injustifiée du contrat de travail ne comporte pas une réserve équivalente à celle de l'art. 336a al. 2 2ème phrase CO. Cependant, telle qu'interprétée dans la jurisprudence (cf. consid. 3.1 supra), cette disposition n'apporte rien de plus que le rappel d'un principe général (BRUNNER/BÜHLER/WAEBER/BRUCHEZ, Commentaire du contrat de travail, 3e éd. 2004, p. 260). L'absence de réserve à l'art. 337c CO n'empêche dès lors pas de tirer un parallèle entre les conséquences pécuniaires d'un licenciement abusif et celles d'un licenciement immédiat injustifié.
A l'instar d'une résiliation abusive, tout congé immédiat qui ne repose pas sur un juste motif comporte une atteinte aux droits de la personnalité du travailleur. Cette atteinte ouvre les droits précisément décrits à l'art. 337c CO, soit des dommages-intérêts (al. 1) et une indemnité sui generis (al. 3) dont il est admis qu'elle peut prendre en compte les effets économiques du licenciement (cf. consid. 3.1 supra). Il faut admettre que ces dispositions règlent exhaustivement, sous l'angle contractuel, les conséquences pécuniaires d'un licenciement immédiat injustifié (MANFRED REHBINDER, Berner Kommentar, 1992, n° 13 ad art. 337c CO). Il s'ensuit que, s'il invoque un dommage supplémentaire tel qu'un gain manqué après l'échéance ordinaire du contrat, le travailleur doit démontrer soit une atteinte aux droits de la personnalité allant au-delà de celle inhérente au caractère injustifié du licenciement, soit la violation, par l'employeur, d'une obligation contractuelle autre que celle découlant de l'art. 328 CO. Ainsi, l'ancien employeur devra verser des dommages-intérêts à son ancien employé s'il a fourni sur ce dernier des renseignements faux et attentatoires à l'honneur et découragé de la sorte un employeur d'engager la personne en question (cf. arrêt 4C.322/1998 du 11 mai 1999; cf. également arrêt 4C.379/2002 du 22 avril 2003). De même, le refus arbitraire de l'ancien employeur de communiquer des références sur un ancien employé à un employeur intéressé constitue une violation de l'obligation contractuelle de diligence susceptible de donner naissance à une prétention en dommages-intérêts (WYLER, op. cit., p. 312/313).
3.3 Il convient d'examiner la présente espèce à la lumière de ces principes.
3.3.1 Le recourant se prévaut tout d'abord du refus de l'intimée de lui fournir un certificat de travail dont le contenu aurait été satisfaisant.
A ce sujet, la cour cantonale a relevé que la délivrance d'un certificat de travail avait fait l'objet de la première procédure opposant les parties. Au cours de ce procès, l'intimée a déposé, le 1er juillet 2002, un projet de certificat mentionnant uniquement la durée des rapports de travail et la nature des fonctions exercées. Dans son jugement du 17 décembre 2003, le Tribunal des prud'hommes a condamné l'intimée à remettre au recourant un certificat de travail conforme aux exigences de l'art. 330a CO, mais sans en préciser la teneur dans le dispositif; dans les considérants, le tribunal a toutefois indiqué que le certificat de travail proposé alors par l'employeur constituait une base suffisante au regard des conclusions du demandeur. En appel, le recourant n'a pas remis en cause, par un grief motivé, la teneur du certificat telle qu'admise par les juges de première instance. Après le prononcé de l'arrêt du Tribunal fédéral du 24 août 2004, l'intimé a sollicité de la part de la banque un certificat de travail détaillé, selon un texte qu'il avait préparé. Les parties n'ont toutefois pas pu se mettre d'accord sur l'appréciation de l'activité accomplie par le recourant au service de la banque. Le 3 mars 2005, l'intimée a fait parvenir à son ancien employé un certificat de travail identique au projet déposé à la procédure le 1er juillet 2002.
Sur le vu des circonstances énumérées ci-dessus, il n'apparaît pas que l'intimée ait violé une obligation contractuelle liée à la délivrance d'un certificat de travail. Dans un premier temps, les parties étaient en procès, notamment sur cette question. Pendant cette période, il n'était pas arbitraire de la part de la banque de refuser de remettre à son ancien employé un certificat comportant une qualification favorable de son travail. Durant la procédure, l'intimée a déposé un certificat limité à la nature et à la durée des rapports de travail, lequel, selon le jugement de première instance, était suffisant au regard des conclusions de la demande. Le recourant n'a pas motivé son appel sur ce point lorsqu'il a recouru contre le jugement de première instance; une fois prononcé l'arrêt du Tribunal fédéral du 24 août 2004, le point du dispositif relatif au certificat de travail est entré en force et il devait être interprété à la lumière des considérants du jugement de première instance. Comme la cour cantonale le fait observer à juste titre, on ne saurait dès lors reprocher à la banque d'avoir, par la suite, remis à son ancien employé un certificat de travail conforme à une décision judiciaire entrée en force.
3.3.2 Le recourant fait valoir également que les motifs invoqués à l'appui du licenciement ont porté une atteinte extrêmement importante à son honneur privé et professionnel, en particulier parce que la banque l'a accusé à tort d'un comportement pénalement répréhensible. De plus, ces motifs ont été portés à la connaissance de tiers et des rumeurs faisant état de fautes graves en rapport avec le blanchiment d'argent ont circulé sur le compte du gestionnaire.
Les raisons invoquées par la banque pour licencier le recourant avec effet immédiat n'étaient pas des justes motifs au sens de l'art. 337 CO. Le caractère injustifié de la résiliation réside précisément dans ces motifs de sorte qu'ils ne sauraient constituer, en eux-mêmes, une atteinte supplémentaire aux droits de la personnalité de l'employé. Dans le cadre de la réparation d'un préjudice autre que le dommage décrit à l'art. 337 c al. 1 CO et que le tort moral couvert par l'indemnité de l'art. 337c al. 3 CO, les motifs à l'origine du licenciement ne peuvent être déterminants que s'ils ont été portés indûment à la connaissance d'autrui par l'employeur. En l'occurrence, il n'est pas établi que la banque ait communiqué à des tiers les raisons l'ayant conduite à se séparer du recourant. Le courriel diffusé par messagerie interne mentionnait la radiation immédiate des pouvoirs du gestionnaire, mais ne faisait état ni de la résiliation immédiate du contrat de travail, ni des motifs de la mesure annoncée. Certes, des rumeurs ont circulé dans le milieu bancaire genevois sur les motifs du licenciement immédiat du recourant, mais il n'est pas démontré que l'intimée en soit l'auteur. Le recourant se plaint en outre de ce que des collaborateurs de V._ aient été informés de son licenciement immédiat et de ses motifs. Selon la cour cantonale, il n'est pas établi que l'identité du recourant ait été révélée ainsi à des tiers, dès lors que le rapport dressé par les experts de la fiduciaire n'a pas été produit dans la seconde procédure judiciaire. Le fait est sans importance. En effet, le recours à un expert privé par une partie à une procédure n'est pas illicite, si bien qu'une éventuelle communication dans ce cadre, portant sur un licenciement déterminé, n'était, en tout état de cause, pas indue.
3.3.3 En conclusion, le recourant ne peut se prévaloir ni d'une atteinte aux droits de la personnalité plus étendue que celle qui a déjà donné lieu à l'octroi de dommages-intérêts et d'une indemnité pour licenciement immédiat injustifié, ni de la violation d'une autre obligation contractuelle de l'employeur. Il ne dispose ainsi d'aucune prétention supplémentaire en dommages-intérêts pour le manque à gagner qu'il considère avoir subi à la suite de son licenciement immédiat injustifié. Dans ces conditions, c'est à bon droit que la Cour d'appel a rejeté la seconde demande en paiement du recourant, même si elle a considéré faussement la prétention exercée comme tendant à la réparation du tort moral.
4. Ce résultat dispense la cour de céans d'examiner les autres griefs soulevés dans le recours, en particulier celui par lequel le recourant conteste n'avoir pas établi son dommage.
5. Vu le sort réservé au recours, les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF); comme la valeur litigieuse dépasse largement 30'000 fr., le montant de l'émolument ne sera pas fixé selon le tarif réduit (cf. art. 65 al. 4 let. c LTF). En outre, le recourant versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 7'500 fr., à payer à titre de dépens à l'intimée, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 22 avril 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Godat Zimmermann