Faits:
A.
Le 24 janvier 2007, Z._ a signé une procuration avec pouvoir de substitution en faveur notamment de Me Y._, avocat à ... dans le canton du Valais. Le mandataire devait défendre les intérêts de la prénommée dans des procédures civiles matrimoniales et dans un procès pénal. Le contrat a pris fin le 17 mai 2011, avec l'envoi d'un décompte daté du 15 mai 2011. La mandante ne s'est pas acquittée des montants réclamés, soit 22'541 fr. 90 et 2'068 fr. 40.
Une poursuite a été intentée contre la mandante, qui a fait opposition. Une requête de mainlevée a été déposée et rejetée. L'avocat a ensuite cédé sa créance d'honoraires à l'étude où il exerçait, laquelle avait pris la forme d'une société anonyme (X._ SA).
B.
B.a. Le 22 février 2012, l'étude d'avocats a déposé une demande en reconnaissance de dette contre la mandante, devant le Tribunal de .... Elle concluait au paiement de 22'541 fr. 90 et à la mainlevée définitive de l'opposition dans la poursuite en cours. La défenderesse a implicitement conclu au rejet de la demande, en se plaignant de la qualité du travail fourni par l'étude.
Faisant application de la procédure simplifiée (<ref-law>), le Juge de district a tenu une unique audience le 10 mai 2012. A cette occasion, la défenderesse a introduit des allégations et s'est déterminée sur celles de la demanderesse. Cette dernière a introduit un allégué supplémentaire (cf. au surplus infra, consid. 3.3).
Par décision du 22 mai 2012, le Juge de district a rejeté l'action, au motif qu'il n'y avait pas d'allégations sur l'étendue de l'activité exercée par le mandataire (heures consacrées, difficultés particulières, etc.) et qu'il ne pouvait tenir compte d'aucun élément de fait justifiant les honoraires réclamés.
B.b. L'étude d'avocats a fait appel devant le Tribunal cantonal. Par jugement du 22 août 2013, le Juge de la Cour civile I a confirmé la décision et rejeté la demande, avec l'argumentation suivante: la maxime des débats atténuée, qui s'appliquait en l'occurrence (<ref-law>), ne dispensait pas les parties d'alléguer les faits dont elles entendaient déduire des droits. Dès lors qu'elle intentait une action en paiement d'honoraires, la demanderesse devait exposer tous les critères justifiant sa prétention, tels que l'éventuel tarif horaire convenu, le nombre d'heures consacrées aux différents dossiers et les éventuelles difficultés rencontrées dans la gestion de ceux-ci. Même en procédure simplifiée, elle ne pouvait prétendre que les décomptes d'activité produits étaient partie intégrante de la demande et faisaient office d'allégués. La demanderesse était une société anonyme vouée à fournir des prestations juridiques, et dont les organes étaient titulaires du brevet d'avocat; quant à la défenderesse, elle procédait sans l'aide d'un mandataire professionnel. Dans une telle constellation, le premier juge pouvait partir du principe que la demanderesse avait indiqué l'ensemble des faits et moyens de preuve nécessaires pour statuer; il avait d'autant moins de raison d'inviter la demanderesse à compléter ses allégations lors des débats qu'elle avait précisément fait usage de cette faculté en introduisant un allégué supplémentaire.
C.
L'étude d'avocats (ci-après: la recourante) saisit le Tribunal fédéral d'un recours constitutionnel subsidiaire dans lequel elle requiert que la mandante soit condamnée à lui payer les sommes de 22'541 fr. 90, 2'068 fr. 40 et 508 fr. 75. Elle requiert en outre la mainlevée définitive de l'opposition formée dans la poursuite en cours.
Dans ses déterminations, la mandante (ci-après: l'intimée) précise qu'elle refuse de payer les montants requis. L'on peut en inférer qu'elle conclut au rejet du recours. Quant à l'autorité précédente, elle se réfère à son arrêt.

Considérant en droit:
1.
1.1. La recourante conclut au paiement des sommes de 2'068 fr. 40 et 508 fr. 75, en sus des 22'541 fr. 90 réclamés dans sa demande du 22 février 2012. En appel, elle avait déjà augmenté ses conclusions en ce sens. Toutefois, le Tribunal cantonal a jugé qu'il s'agissait de conclusions nouvelles non conformes aux exigences de l'<ref-law> et, partant, irrecevables. La recourante ne critique pas cette partie du jugement, de sorte que les conclusions du présent recours ne sont recevables qu'à concurrence de 22'541 fr. 90.
1.2. L'intimée produit des pièces nouvelles qui sont irrecevables. Au demeurant, les faits qu'elles devraient démontrer ne sont pas pertinents pour l'issue de la cause.
2.
Dans cette affaire pécuniaire, la valeur litigieuse est inférieure à 30'000 fr., d'après les conclusions prises devant l'autorité précédente (<ref-law>). Comme le relève la recourante, l'unique voie de droit est celle du recours constitutionnel subsidiaire, à l'exclusion du recours en matière civile (cf. art. 74 al. 1 let. b et art. 113 LTF).
L'<ref-law> admet comme seul motif de recours la violation des droits constitutionnels. Le grief doit satisfaire à des exigences de motivation strictes (cf. <ref-law> en liaison avec l'<ref-law>) : le justiciable doit faire un exposé succinct des droits ou principes constitutionnels violés et exposer de manière claire et circonstanciée, si possible documentée, en quoi consiste leur violation (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2.2).
3.
3.1. Selon la recourante, le juge cantonal aurait versé dans le formalisme excessif et l'arbitraire en jugeant que ses allégations étaient insuffisantes pour statuer sur sa prétention d'honoraires, respectivement en refusant de se référer aux décomptes détaillant les prestations fournies, sous prétexte que leur contenu n'était pas expressément allégué dans la demande. Le juge avait ces pièces à disposition, ainsi que les dossiers judiciaires auxquels se rapportaient les prestations facturées; il pouvait ainsi vérifier le bien-fondé des allégations contenues dans les décomptes. A tout le moins aurait-il dû interpeller la demanderesse sur le caractère prétendument lacunaire des allégués, ou lui fixer un délai pour rectifier son acte; en s'abstenant de le faire, le juge aurait grossièrement violé les art. 247 al. 1 et 132 al. 1 CPC. Finalement, il aurait tout au plus dû déclarer la demande irrecevable, et non pas la rejeter.
3.2. La procédure simplifiée régit notamment les affaires patrimoniales dont la valeur litigieuse ne dépasse pas 30'000 fr. (<ref-law>). La maxime des débats prévaut en règle générale, sauf dans les hypothèses prévues à l'<ref-law>, qui n'entrent pas en considération in casu. Les parties doivent donc alléguer les faits sur lesquels elles fondent leurs prétentions et produire les preuves qui s'y rapportent (cf. <ref-law>). L'<ref-law> atténue toutefois ce principe en imposant au juge un devoir d'interpellation accru: il doit amener les parties, par des questions appropriées, à compléter les allégations insuffisantes et à désigner les moyens de preuve (cf., entre autres, BERND HAUCK, in SUTTER-SOMM ET ALII éd., Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2 e éd. 2013, n° 2 ad <ref-law>; LAURENT KILLIAS, in Berner Kommentar, 2012, n os 7 et 9 ad <ref-law>).
A teneur de l'<ref-law>, la demande simplifiée doit notamment contenir les conclusions et la description de l'objet du litige (al. 1 let. b et c), mais pas nécessairement une motivation (al. 2). Est visée aussi bien la motivation juridique que factuelle. Le justiciable est donc dispensé de présenter dans la demande simplifiée des allégations de fait assorties d'offres de preuve. La phase des allégations peut se dérouler oralement, c'est-à-dire à l'audience, cas échéant avec l'aide du juge (Message du 28 juin 2006 relatif au code de procédure civile suisse, FF 2006 6955; KILLIAS, op. cit., n° 25 s. ad <ref-law>; DENIS TAPPY, in CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, n os 15 et 18 ad <ref-law>).
Le devoir d'interpellation du juge dépend des circonstances concrètes, notamment de la difficulté de la cause, du niveau de formation des parties et de leur représentation éventuelle par un mandataire professionnel ( STEPHAN MAZAN, in Basler Kommentar, 2 e éd. 2013, n° 16 ss ad <ref-law>). Ce devoir concerne avant tout les personnes non assistées et dépourvues de connaissances juridiques, tandis qu'il a une portée restreinte vis-à-vis des parties représentées par un avocat: dans ce dernier cas, le juge doit faire preuve de retenue (cf. notamment STÉPHANIE WILDHABER BOHNET, Le devoir d'interpellation du tribunal en procédure civile suisse, in Jusletter du 23 septembre 2013, p. 13; HAUCK, op. cit., n os 14 et 17 ad <ref-law>; KILLIAS, op. cit., n os 11 et 17 ad <ref-law>; TAPPY, op. cit., n° 7 ad <ref-law>; Message, FF 2006 6956; cf. arrêt 4A_519/2010 du 11 novembre 2010 consid. 2.2, concernant l'ancien <ref-law>). Selon la jurisprudence, le devoir d'interpellation du juge ne doit pas servir à réparer des négligences procédurales (arrêt 5A_115/2012 du 20 avril 2012, consid. 4.5.2, concernant l'<ref-law>; avant l'entrée en vigueur du CPC: arrêts 4A_169/2011 du 19 juillet 2011 consid. 5.4; 4P.229/1999 du 21 décembre 1999 consid. 1c; cf. <ref-ruling> consid. 2d i.f. ). Ce point de vue est aussi exprimé dans la doctrine (cf. notamment Walter Fellmann, Gerichtliche Fragepflicht nach der Schweizerischen Zivilprozessordnung, in Haftpflichtprozess 2009, p. 89-91; Martin Sarbach, Die richterliche Aufklärungs- und Fragepflicht im schweizerischen Zivilprozessrecht, 2003, p. 132 s.). Les manquements d'une personne qui procède seule peuvent être le fruit de son ignorance juridique, et pas nécessairement de sa négligence. S'agissant d'un avocat, le juge peut présupposer qu'il a les connaissances nécessaires pour conduire le procès et faire des allégations et offres de preuve complètes (<ref-ruling> consid. 3d; arrêt 4C.143/2002 du 31 mars 2003 consid. 3). Le point de vue selon lequel le juge n'a en principe pas à suppléer au défaut de diligence de l'avocat fait l'objet de critiques ou nuances ( HAUCK, op. cit., n° 17 ad <ref-law>); d'aucuns relèvent que la partie "mal" assistée ne doit pas être désavantagée par rapport à celle qui procède seule ( TAPPY, op. cit., n° 27 ad <ref-law>, cité par WILDHABER BOHNET, op. cit., p. 15; cf. les arguments opposés par SARBACH, op. cit., p. 139 s.).
3.3. En l'occurrence, la recourante a allégué les faits suivants dans sa demande simplifiée:
- Z._ a délivré le 24 janvier 2007 une procuration à Me Y._, solidairement avec d'autres avocats;
- le mandat s'est terminé le 17 mai 2011, avec décompte du 15 juin 2011;
- la cliente ne s'est pas acquittée des montants réclamés, soit 22'541 fr. 90 et 2'068 fr. 40, montants qui restent dus à ce jour.
Les autres allégués concernent essentiellement des éléments de procédure.
A l'audience, la recourante a introduit un allégué supplémentaire, selon lequel elle avait adressé régulièrement à sa cliente des situations détaillées et factures précises, qui intégraient les versements encaissés pour le compte de la cliente. Les pièces concernées ont été produites.
Les décomptes invoqués par la recourante comprennent un listing détaillé des opérations accomplies et frais encourus, avec la date, le temps consacré et l'indication d'un tarif horaire de 300 fr. Les prestations recensées consistent en "lettres", "exploits au tribunal", "rédactions de mémoire", "réquisitions de poursuite" ou autres "consultations".
Quand bien même la procédure simplifiée connaît des allègements formels, elle ne dispense pas les parties du devoir d'alléguer les faits, oralement ou par écrit, cas échéant avec l'aide du juge, du moins dans l'hypothèse générale de l'<ref-law>. Même en adoptant une interprétation large, l'on ne saurait trouver dans les allégations de la recourante une référence au contenu des décomptes produits, si ce n'est quant aux montants réclamés. Dès lors, en ne tenant pas compte de faits non allégués découlant de pièces produites, l'autorité cantonale n'a pas fait preuve de formalisme excessif (sur cette notion, cf. par ex. <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5 p. 253). L'on ne se trouve pas dans une situation où le justiciable aurait introduit une allégation topique mais un peu trop générale, que le juge pourrait être amené à faire préciser; l'affaire citée par la recourante, au demeurant fondée sur l'ancien droit cantonal, ne lui est d'aucun secours. Du reste, quand bien même l'on voudrait suivre la recourante et tenir pour allégué le contenu des décomptes produits, il faudrait constater que ceux-ci ne livrent pas les éléments factuels nécessaires pour fixer une rémunération au sens de l'<ref-law> (à ce sujet, cf. <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 4c). En effet, ils ne révèlent pas en quoi consistaient précisément les litiges dans lesquels l'avocat est intervenu et quelles opérations il a dû effectuer - à tout le moins les plus importantes d'entre elles -, respectivement quels degrés de difficulté les affaires revêtaient. La procédure simplifiée n'implique bien évidemment pas que le juge doive se plonger dans les pièces du dossier pour tenter d'y trouver des faits, d'autant moins lorsque la cause ne relève pas de la maxime inquisitoire prévue à l'<ref-law> (cf. arrêt 4A_701/2012 du 19 avril 2013 consid. 1.2.1).
3.4. Il reste à examiner si le juge aurait arbitrairement omis d'offrir à la recourante un délai supplémentaire pour rectifier son acte (<ref-law>), ou de l'interpeller en application de l'<ref-law>.
L'<ref-law> prévoit que le tribunal fixe un délai pour la rectification de vices de forme telle l'absence de signature ou de procuration. Devant l'autorité précédente, la recourante n'avait pas soulevé de grief quant à l'application de cette disposition, se contentant de dénoncer un formalisme excessif. Il n'y a pas à examiner plus avant si elle a respecté l'exigence de l'épuisement des griefs, le moyen devant de toute façon être rejeté. En effet, l'<ref-law> régit le vice de forme affectant un acte de procédure, par quoi il faut entendre une écriture ( Eingabe; cf. <ref-law>). Or, il n'apparaît pas que la demande simplifiée déposée le 22 février 2012 ait été entachée d'un vice au regard de l'<ref-law>; elle n'avait pas à contenir une motivation en fait, et la recourante elle-même ne plaide pas que la description de l'objet du litige était insuffisante. La recourante tente ainsi vainement d'établir un parallèle avec d'autres affaires concernant des vices de forme tels que l'absence de signature. L'on ne discerne aucune trace d'une application arbitraire de l'<ref-law>.
Reste à savoir si le premier juge aurait dû interpeller la demanderesse et l'aviser que ses allégations étaient insuffisantes pour statuer sur sa prétention. L'autorité précédente a répondu à cette question par la négative, en expliquant pour quel motif une violation de ce devoir ne pouvait pas être retenue. La recourante ne discute pas cette argumentation et ne dit pas en quoi elle serait entachée d'arbitraire, ce qui suffit en soi à écarter le grief. Au demeurant, force est de constater que l'autorité précédente n'a pas fait une application insoutenable de l'<ref-law> (cf. supra consid. 3.2), un positionnement par rapport aux avis exprimés par la doctrine étant superflu dans le cadre d'un grief d'arbitraire (sur cette notion, cf. par ex. <ref-ruling> consid. 4.3). L'on se contentera de souligner que la recourante est une étude d'avocats agissant par son organe, lui-même décrit comme un avocat expérimenté (jgt du 22 mai 2012, p. 4 i.f. ). Dans ces circonstances, et dès lors qu'elle concluait sans arbitraire que les allégations étaient insuffisantes pour allouer la prétention demandée, l'autorité précédente n'avait d'autre issue que de rejeter la demande. Contrairement à ce que plaide la recourante, il est patent que le juge n'a pas rejeté l'action en présumant que le mandat avait été mal exécuté.
3.5. En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
4.
La recourante supportera les frais de la présente procédure (<ref-law>). Aucune indemnité n'est due à l'intimée, qui a procédé sans l'aide d'un avocat et ne prétend pas avoir subi des frais particuliers (cf. <ref-law>; art. 133 III 439 consid. 4).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge de la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 2 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti