Sachverhalt:
A. Mit Gesuch vom 16. Juni 2009 beantragte die Sunrise Communications AG, vertreten durch die Alcatel-Lucent Schweiz AG sowie die Swisscom (Schweiz) AG, den Bau einer neuen Mobilfunkanlage auf Grundstück Nr. 95, GB Adligenswil, Obermattweid. Gemäss dem Standortdatenblatt vom 3. September 2009 umfasst die Anlage sechs GSM/UMTS-fähige, kreuzpolarisierte Antennen mit einer äquivalent abgestrahlten Leistung von 900 bis 1'500 Watt (900 MHz) und 1'700 bzw. 2'400 Watt (2'100 MHz), insgesamt 9'700 Watt, sowie eine Richtfunkantenne. Das Bauvorhaben lag vom 22. Juli bis 10. August 2009 öffentlich auf und wurde zusätzlich allen Einsprachberechtigten innerhalb des Einspracheperimeters schriftlich eröffnet. Nach Eingang zahlreicher Einsprachen reichte die Alcatel-Lucent Schweiz AG auf Aufforderung des Gemeinderats Adligenswil hin am 19. Januar 2010 eine revidierte Standortbegründung ein.
Die kantonale Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation (rawi) erteilte am 8. Februar 2010 eine Ausnahmebewilligung nach Art. 24 RPG für die Erstellung einer Mobilfunkanlage ausserhalb der Bauzone. Daraufhin erteilte der Gemeinderat Adligenswil am 19. August 2010 die Baubewilligung unter Auflagen und Bedingungen. Die Einsprachen wies er ab, soweit er darauf eintrat.
B. Gegen diesen Entscheid gelangten zahlreiche Personen gemeinsam ans Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, dies mit dem Hauptantrag, die Baubewilligung für die Antennenanlage sei zu verweigern.
Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 13. Juli 2011 ab.
C. In ihrer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. September 2011 beantragen A._ und die 21 Mitbeteiligten die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 13. Juli 2011. Gleichzeitig ersuchen sie um Aufhebung der kommunalen Baubewilligung wie auch der kantonalen Ausnahmebewilligung der Dienststelle rawi. Eventualiter sei die Sache im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich stellen die Beschwerdeführer Antrag auf Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
Die Sunrise Communications AG als private Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, desgleichen die Dienststelle rawi. Auch der Gemeinderat Adligenswil und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragen je, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Aus Sicht des Bundesamts für Raumentwicklung (ARE) wirft die Beschwerde keine grundsätzlichen planerischen oder planungsrechtlichen Fragen auf. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) gelangt in seiner Stellungnahme zum Schluss, die bundesrechtlichen Vorschriften über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung seien korrekt angewandt worden.
In einer weiteren Stellungnahme vom 1. März 2012 halten die Beschwerdeführer sinngemäss an ihren Anträgen und deren Begründung fest.
D. Mit Verfügung vom 19. Oktober 2011 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über die Baubewilligung für eine Mobilfunkanlage ausserhalb der Bauzone, welcher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (Art. 82 ff. BGG). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen, ist auf die Beschwerde - unter Vorbehalt rechtsgenüglicher Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - grundsätzlich einzutreten.
1.2 Nicht einzutreten ist auf das Begehren, auch die kommunalen und kantonalen Bewilligungen aufzuheben: Als Folge des im Beschwerdeverfahren geltenden Devolutiveffekts hat das Urteil des Verwaltungsgerichts diese Entscheide ersetzt. Sie gelten inhaltlich als mit angefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
2. Die Beschwerdeführer rügen zunächst eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Sie monieren insbesondere, dass zunächst die Vollmacht des zweiten Grundeigentümers gefehlt habe und dass sie nicht zur Standortbegründung der Beschwerdegegnerin vom 19. Januar 2010 ("2. Fassung") hätten Stellung nehmen können. Dabei wiederholen die Beschwerdeführer über weite Teile ihre vor dem Verwaltungsgericht geltend gemachten Rügen und gestehen der Vorinstanz zu, in sachlicher Hinsicht richtig geurteilt zu haben. Indessen zähle die Prüfung der formellen Anforderungen des Baugesuchs zu den Hauptaufgaben einer Baubewilligungsbehörde. Die fehlende Unterschrift des einen Grundeigentümers sei ein wesentlicher Verfahrensmangel, der sich nach Auffassung der Beschwerdeführer bei der Kostenbeteiligung und Entschädigungspflicht der Gemeinde massgeblich hätte auswirken müssen. Auch hinsichtlich der Einsicht in die zweite Standortbegründung sei die rechtliche Einschätzung durch das Verwaltungsgericht falsch und die kantonale Prüfung ungenügend. Das Verwaltungsgericht hätte der von ihnen beantragten unabhängigen Beurteilung durch einen Sachverständigen stattgeben müssen.
2.1 Das Verwaltungsgericht hat sich mit diesen Vorwürfen eingehend auseinandergesetzt. Unbestritten ist, dass ein Baugesuch gemäss § 188 Abs. 2 des Planungs- und Baugesetzes vom 7. März 1989 (PBG/LU; SRL 735) von der Bauherrschaft und den Grundeigentümern unterzeichnet sein muss. Desgleichen besteht Einigkeit darüber, dass das Baugesuch jeweils nur von einem Mitglied der Erbengemeinschaft, in deren Eigentum das Baugrundstück steht, unterschrieben war. Entsprechend hat denn das Verwaltungsgericht auch einen Verfahrensmangel bejaht. Indes lag im Zeitpunkt des Beschwerdeentscheids eine rechtsgültige Vollmacht des zweiten Mitglieds der Erbengemeinschaft 29. Oktober 2010 vor (act. 5 der Gemeinde). Darin ermächtigt X._ Z._, das Baugesuch für eine Mobilfunkanlage an der Obmattweid zu unterzeichnen und sämtliche damit in Zusammenhang stehenden Handlungen zu vollziehen. Das Verwaltungsgericht schloss darum - mit Blick auf Art. 38 Abs. 1 OR - auf eine Heilung des Mangels. Im Übrigen sei die Nachreichung einer Vollmacht nichts Ungewöhnliches. Die Vorinstanz hat der Unterlassung der Gemeinde aber Rechnung getragen und die amtlichen Verfahrenskosten von Fr. 7'500.-- auf Fr. 6'000.-- reduziert. Der Mangel war nicht derart schwerwiegend, dass sich gemäss § 199 Abs. 3 des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 (VRG/LU; SRL 40) eine Kostenauferlegung zu Lasten der Gemeinde aufgedrängt hätte. Das Vorgehen des Verwaltungsgerichts ist in keiner Weise zu beanstanden, zumal weder ersichtlich noch rechtsgenüglich dargetan ist, inwiefern die Beschwerdeführer durch die nachgereichte Vollmacht einen Rechtsnachteil erlitten hätten. Es kann auf die zutreffende Erwägung 3 des angefochtenen Urteils verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
2.1 Das Verwaltungsgericht hat sich mit diesen Vorwürfen eingehend auseinandergesetzt. Unbestritten ist, dass ein Baugesuch gemäss § 188 Abs. 2 des Planungs- und Baugesetzes vom 7. März 1989 (PBG/LU; SRL 735) von der Bauherrschaft und den Grundeigentümern unterzeichnet sein muss. Desgleichen besteht Einigkeit darüber, dass das Baugesuch jeweils nur von einem Mitglied der Erbengemeinschaft, in deren Eigentum das Baugrundstück steht, unterschrieben war. Entsprechend hat denn das Verwaltungsgericht auch einen Verfahrensmangel bejaht. Indes lag im Zeitpunkt des Beschwerdeentscheids eine rechtsgültige Vollmacht des zweiten Mitglieds der Erbengemeinschaft 29. Oktober 2010 vor (act. 5 der Gemeinde). Darin ermächtigt X._ Z._, das Baugesuch für eine Mobilfunkanlage an der Obmattweid zu unterzeichnen und sämtliche damit in Zusammenhang stehenden Handlungen zu vollziehen. Das Verwaltungsgericht schloss darum - mit Blick auf Art. 38 Abs. 1 OR - auf eine Heilung des Mangels. Im Übrigen sei die Nachreichung einer Vollmacht nichts Ungewöhnliches. Die Vorinstanz hat der Unterlassung der Gemeinde aber Rechnung getragen und die amtlichen Verfahrenskosten von Fr. 7'500.-- auf Fr. 6'000.-- reduziert. Der Mangel war nicht derart schwerwiegend, dass sich gemäss § 199 Abs. 3 des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 (VRG/LU; SRL 40) eine Kostenauferlegung zu Lasten der Gemeinde aufgedrängt hätte. Das Vorgehen des Verwaltungsgerichts ist in keiner Weise zu beanstanden, zumal weder ersichtlich noch rechtsgenüglich dargetan ist, inwiefern die Beschwerdeführer durch die nachgereichte Vollmacht einen Rechtsnachteil erlitten hätten. Es kann auf die zutreffende Erwägung 3 des angefochtenen Urteils verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
2.2 2.2.1 Hinsichtlich der Standortbegründung durch die Bauherrschaft hat das Verwaltungsgericht zunächst aufgezeigt, dass sich in den Akten tatsächlich drei Fassungen der Standortbegründung finden. Die erste datiert vom 1. Juli 2009 und ist diejenige, welche öffentlich aufgelegt worden war (act. 17 der Gemeinde). Eine weitere in den Unterlagen der Dienststelle rawi (act. 5 der rawi) trägt das Datum vom 23. September 2009, unterscheidet sich aber - wie das Verwaltungsgericht richtig festgestellt hat - mit Ausnahme des Datums und der fehlenden Unterschrift nicht vom Auflageexemplar. Eine dritte Standortbegründung schliesslich, datierend vom 19. Januar 2010, ist in Klammern mit "2. Fassung" bezeichnet und lag den Entscheiden der Gemeinde und der Dienststelle rawi zugrunde. Sie wurde in den angefochtenen Bewilligungen als verbindlich erklärt, obwohl sie nicht öffentlich aufgelegt worden war. Zu Recht hat das Verwaltungsgericht das rechtliche Gehör der Beschwerdeführer deswegen als verletzt erachtet. Gleiches gelte für das Standortdatenblatt vom 3. September 2009, war doch die öffentliche Auflage zwischen dem 22. Juli und dem 10. August 2009 erfolgt.
2.2.2 Indessen befand das Verwaltungsgericht die Gehörsverletzung als nicht gravierend. Die öffentlich aufgelegte Standortbegründung vom 1. Juli 2009 unterscheide sich nicht wesentlich von der Version mit Datum 19. Januar 2010. Bei letzterer sei lediglich Ziff. 9 eingefügt worden, in welcher die Bauherrin auf Aufforderung der Gemeinde hin zur neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung betreffend Standorte ausserhalb der Bauzone Bezug nehme. Weitere wesentliche Unterschiede seien nicht auszumachen. Die grafischen Darstellungen zur Abdeckungssituation in der Gemeinde seien bereits in der ersten Fassung enthalten. Die Ergänzungen in der überarbeiteten Version seien nicht derart umfassend, dass der angefochtene Entscheid schon deswegen aufgehoben werden müsste. Nach zutreffender Meinung des Verwaltungsgerichts wäre es den Beschwerdeführern möglich gewesen, zumindest zu der aufgelegten Standortbegründung Einwände vorzubringen oder Alternativstandorte vorzuschlagen. Dies haben sie nicht getan. Denselben Schluss zieht das Verwaltungsgericht in Bezug auf das Standortdatenblatt. Auch wenn eine andere Version aufgelegt worden sei, sei der Unterschied marginal. Er liege lediglich darin, dass im Standortdatenblatt vom 3. September 2009 zusätzlich der Tierstall als Ort mit empfindlicher Nutzung (OMEN) aufgeführt werde. Aufgrund der entsprechenden Vorbringen in der Beschwerde, der Replik und den weiteren Eingaben sei offensichtlich, dass die Beschwerdeführer trotz der Gehörsverletzung in der Lage gewesen seien, die Entscheide der Vorinstanzen sachgerecht anzufechten. Hinzu komme, dass das Verwaltungsgericht über eine umfassende Kognition verfüge und demzufolge eine vollumfängliche Überprüfung der angefochtenen Entscheide im Rechtsmittelverfahren gewährleistet sei. Damit könnten die beiden nicht gravierenden Gehörsverletzungen als geheilt betrachtet werden, auch wenn dies zwangsläufig zum Verlust einer Instanz führe.
2.3 Nach der Rechtsprechung kann eine - nicht besonders schwerwiegende - Verletzung des rechtlichen Gehörs ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn die Betroffenen die Möglichkeit erhalten, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, welche die von der Gehörsverletzung betroffenen Aspekte mit derselben Kognition überprüfen kann wie die Vorinstanz, auch wenn dies zwangsläufig zum Verlust einer Instanz führt. Nachträgliche Korrekturen von Standortdatenblättern wurden ausnahmsweise - sofern es sich um Änderungen von untergeordneter Bedeutung handelt und alle Beteiligten dazu Stellung nehmen konnten - sogar noch im Verfahren vor Bundesgericht zugelassen (Urteil 1C_478/2008 vom 28. August 2009 [publ. in: URP 2009 S. 910] E. 3.2 mit Hinweis auf <ref-ruling>). Ausnahmsweise kann auch bei einer schwerwiegenden Verletzung des rechtlichen Gehörs von einer Rückweisung abgesehen werden, wenn dies zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem Interesse der betroffenen Parteien an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.2 S. 204 f. mit Hinweis; Urteil 1C_58/2010 vom 22. Dezember 2010 E. 2.1.3 [nicht publ. Erwägung von <ref-ruling>]).
2.4 Das Vorgehen des Verwaltungsgerichts ist mit Blick auf die zitierte Rechtsprechung verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden. Die Vergleiche zwischen den einzelnen Dokumenten hat das Verwaltungsgericht richtig gezogen, die Unterschiede sind marginal und verunmöglichten es den Beschwerdeführern nicht, ihre Rechte vollumfänglich wahrzunehmen. In der Standortbegründung vom 19. Januar 2010 finden sich zusätzlich in Ziff. 9 allgemeine Zitate aus der jüngsten bundesgerichtlichen Rechtsprechung, ohne dass diese zu weiteren Konsequenzen bei der Standortwahl geführt hätten. Verändert wurde im Übrigen die Nummerierung, was auf den ersten Blick den Eindruck erwecken mag, es würden neue Erkenntnisse dargestellt. Dem ist nicht so.
Auch der neue OMEN 01b "Tierstall" im überarbeiteten Standortdatenblatt vom 3. September 2009 macht eine neue Durchführung der Verfahren nicht notwendig, zumal dem Verwaltungsgericht eine freie Überprüfungsbefugnis zukam. Die Sendeleistung sowie der Radius des Anlage- und Einspracheperimeters blieben unverändert. Auf die Gesamtbeurteilung der strittigen Anlage hatte diese Änderung keinen Einfluss.
2.5 Zusammenfassend hält die Beurteilung der (geheilten) Gehörsverletzungen durch die Vorinstanz vor der Verfassung stand.
2.6 Im Übrigen ist nicht ersichtlich, weshalb ein zusätzliches Gutachten hätte eingeholt werden sollen. Die kantonalen Fachstellen haben das Baugesuch unter Berücksichtigung der einschlägigen Gesetzesvorgaben geprüft, wie nun auch die Beurteilung durch das BAFU belegt. Das Verwaltungsgericht war nicht gehalten, eine Drittmeinung einzuholen, bestanden doch keinerlei Anhaltspunkte für ein falsches Vorgehen der kantonalen Behörden. Da es sich um eine technische Frage handelt und diese durch die Fachbehörden nachgeprüft wurde, war die Vorinstanz nicht veranlasst, von deren Auffassung abzuweichen. Der Hinweis auf die zulässige antizipierte Beweiswürdigung ist nicht zu beanstanden.
3. Weiter beanstanden die Beschwerdeführer die Standortwahl. Diese beruhe ausschliesslich auf wirtschaftlichen Gründen, weil die Beschwerdegegnerin auf diese Weise zwei unterschiedlich gelagerte Gemeindegebiete abdecken könne. Es fehle in jeder Hinsicht an einer Ausnahmesituation.
3.1 Antennen für den Mobilfunk können nach der Rechtsprechung ausnahmsweise auf einen Standort ausserhalb der Bauzonen angewiesen sein, wenn eine Deckungs- oder Kapazitätslücke aus funktechnischen Gründen mit einem oder mehreren Standorten innerhalb der Bauzonen nicht in genügender Weise beseitigt werden kann bzw. es bei einem Standort innerhalb der Bauzonen zu einer nicht vertretbaren Störung der in anderen Funkzellen des Netzes verwendeten Frequenzen kommen würde. Nicht ausreichend sind dagegen wirtschaftliche Vorteile des gewählten Standorts (z.B. geringere Landerwerbskosten; voraussichtlich geringere Zahl von Einsprachen) oder zivilrechtliche Gründe für die Standortwahl, wie z.B. die Weigerung von Eigentümern, einer Mobilfunkantenne auf ihren Grundstücken innerhalb der Bauzonen zuzustimmen (Urteile 1A.186/2002 vom 23. Mai 2003 E. 3.1, in: ZBl 105/2004 S. 103; RDAF 2005 I S. 591; 1A.120/2006 vom 12. Februar 2007 E. 3.1, in: URP 2007 S. 827; RDAF 2008 I S. 564). In zwei weiteren Entscheiden hat das Bundesgericht diese Rechtsprechung präzisiert für Mobilfunkanlagen, die auf bestehende Bauten und Anlagen, wie namentlich Hochspannungs- und Antennenmasten, montiert werden. Hier kann die Standortgebundenheit auch dann bejaht werden, wenn diese zwar nicht aus funktechnischen Gründen unentbehrlich, sich aber im Rahmen einer konkreten Interessenabwägung als wesentlich geeigneter erweisen als mögliche Standorte innerhalb der Bauzone. Voraussetzung ist, dass die Mobilfunkanlage ausserhalb der Bauzonen keine erhebliche Zweckentfremdung von Nichtbauzonenland bewirkt und nicht störend in Erscheinung tritt. Dies ist grundsätzlich nur an Örtlichkeiten möglich, an denen sich bereits zonenkonforme oder zonenwidrige Bauten und Anlagen befinden (<ref-ruling> E. 4.3.3 S. 326 f., 409 E. 4.2 S. 417 f.; vgl. auch Urteile 1C_345/2008 vom 29. Januar 2009 E. 2.3 und 1C_14/2008 vom 25. Februar 2009 E. 4.2).
Andererseits darf die Standortgebundenheit nicht einfach unter Hinweis auf die bestehende bauliche Nutzung eines Standorts bejaht werden. Vielmehr ist zu prüfen, ob sich dieser als klarerweise besser geeignet erweist als mögliche Standorte innerhalb der Bauzonen (Urteile 1C_478/2009 vom 28. August 2009 E. 4.5 und 1C_345/2008 vom 29. Januar 2009 E. 2.5).
Andererseits darf die Standortgebundenheit nicht einfach unter Hinweis auf die bestehende bauliche Nutzung eines Standorts bejaht werden. Vielmehr ist zu prüfen, ob sich dieser als klarerweise besser geeignet erweist als mögliche Standorte innerhalb der Bauzonen (Urteile 1C_478/2009 vom 28. August 2009 E. 4.5 und 1C_345/2008 vom 29. Januar 2009 E. 2.5).
3.2 3.2.1 Vorliegend wurde ein Platz unter einem bestehenden Scheunendach gewählt. Damit kann vorab festgestellt werden, dass die Antenne nicht störend in Erscheinung treten wird. Sodann hat die Beschwerdegegnerin ihre Standortwahl detailliert und umfassend begründet, dies wie gesehen bereits in ihrer ersten Eingabe vom 1. Juli 2009. Zur Ausgangslage macht sie geltend, dass ihre Funkversorgung im Dorfzentrum Adligenswil und auf den beiden Verkehrsachsen Richtung Stuben und Würzenbach ungenügend sei. Mittels grafischer Darstellung wird in der Folge aufgezeigt, welche Abdeckung an den verschiedenen Standorten erreicht werden kann. Daraus wird deutlich, dass die Versorgungsqualität am geplanten Standort auf der Scheune Obermattweid offensichtlich am besten gewährleistet ist. Ein Standort innerhalb der Bauzone bringe aufgrund des steilen und tiefer gelegenen Terrains keine ausreichende Netzqualität. Das Zielgebiet (Dorfzentrum und zwei Verkehrsachsen) könne nur mit einem höher gelegenen Standort erreicht werden. Die Errichtung eines Masts von mindestens 35 m Höhe innerhalb der bestehenden Wohnsiedlung würde nach Auffassung der Beschwerdegegnerin eine bautechnisch grosse Herausforderung darstellen, wobei die Erhaltung des Orts- bzw. Landschaftsbilds gestört würde. Mit einer Masthöhe von nur 15 m innerhalb der Wohnzone könne keine qualitativ hochstehende und ausreichende Netzabdeckung erreicht werden. Dagegen würden die Antennen beim geplanten Standort in die bestehende Scheune integriert, und ein zusätzlicher Mast auf dem Scheunendach erübrige sich.
3.2.2 Die Beschwerdegegnerin hat überdies Standorte anderer Anbieter in Betracht gezogen und führt dazu aus, der Standort LU_8056 von Orange am Obgardirain 1 in Adligenswil, ca. 700 m von der Scheune entfernt, genüge nicht, um beide Verkehrsachsen in Richtung Stuben und Würzenbach ausreichend abzudecken.
Ca. 1'500 m von der Scheune Obermattweid entfernt liege der Swisscom Standort an der Ebikonerstrasse in Adligenswil. Dieser bringe aufgrund der topografischen Gegebenheiten und der örtlichen Lage keine hinreichende Qualität für die Abdeckung der Verkehrsachse Würzenbach.
Beide Aussagen werden grafisch belegt und bestätigen die Argumentation der Beschwerdegegnerin.
3.2.3 Auch zum Alternativstandort auf dem bestehenden Gittermast Mülegg äussert sich die Beschwerdegegnerin ausführlich und überzeugend. Von dort aus werde nur im südlichen Gebiet von Adligenswil Gämgi, Buggenacher und auf der Verkehrsachse Richtung Würzenbach eine genügende Abdeckung erreicht. Demzufolge müsse für das Gebiet Richtung Stuben und die dazugehörige Verkehrsachse trotz diesem Gittermasten Mülegg ein zusätzlicher Standort im zentralen Gebiet von Adligenswil erstellt werden, um den Kunden ein optimales Netz zu gewährleisten. Weiter sei für die Realisierung des Standorts Mülegg für die Mobilfunktechnik ein Container nötig, um die mögliche Koordination mit anderen Anbietern zu ermöglichen. Für diesen Container müssten 20 m2 Wald gerodet werden. Ob das Forstamt die entsprechende Bewilligung erteilen würde, sei fraglich. Bei einer ersten Prüfung sei überdies festgestellt worden, dass die Maststatik für die von der Beschwerdegegnerin benötigten Sende- und Richtfunkantennen nicht ausreiche. Die zu erwartende Auslenkung (bspw. bei Windlast) würde mit dem bestehenden Gittermast den sicheren Betrieb gemäss den Toleranzvorschriften der Beschwerdegegnerin nicht einhalten. Damit diese Sicherheitsrichtlinien eingehalten werden könnten, müsste der bestehende Gittermast durch einen Stahlmast von mindestens 40 m Höhe ersetzt werden, um auch eine mögliche Koordination mit anderen Mobilfunkanbietern zu gewährleisten.
3.3 Diese Darlegungen zeigen, dass nicht nur wirtschaftliche Beweggründe ausschlaggebend waren für die Standortwahl. Einerseits weist die Beschwerdegegnerin nachvollziehbar nach, dass die Scheune Obermattweid funktechnisch ideal gelegen ist, weil mit ihr eine optimale Abdeckung des Zielgebiets erreicht werden kann, dies im Sinne der Mobilfunkkonzession. Beim Verzicht auf diesen Standort wären zwei Antennenstandorte notwendig, um den gleichen Effekt zu erzielen. Das Verwaltungsgericht sieht zu Recht einen weiteren Nutzen im geplanten Standort, weil die Mobilfunkanlage dort von zwei Anbietern genutzt werden könne, was bei einem Standort innerhalb der Bauzone wegen etwaiger Überschreitung der Immissions- und Anlagegrenzwerte eher schwierig sei. Andererseits ist massgeblich, dass bei der Scheune Obermattweid kein freistehender Mast in die Landwirtschaftszone gestellt wird, sondern eine Integrierung an die bestehende bauliche Struktur möglich ist. Aus raumplanungsrechtlicher Sicht ist die Standortwahl und deren Begründung mit Blick auf die zitierte Rechtsprechung nicht zu beanstanden. Sämtliche diesbezüglichen Rügen der Beschwerdeführer sind abzuweisen.
3.3 Diese Darlegungen zeigen, dass nicht nur wirtschaftliche Beweggründe ausschlaggebend waren für die Standortwahl. Einerseits weist die Beschwerdegegnerin nachvollziehbar nach, dass die Scheune Obermattweid funktechnisch ideal gelegen ist, weil mit ihr eine optimale Abdeckung des Zielgebiets erreicht werden kann, dies im Sinne der Mobilfunkkonzession. Beim Verzicht auf diesen Standort wären zwei Antennenstandorte notwendig, um den gleichen Effekt zu erzielen. Das Verwaltungsgericht sieht zu Recht einen weiteren Nutzen im geplanten Standort, weil die Mobilfunkanlage dort von zwei Anbietern genutzt werden könne, was bei einem Standort innerhalb der Bauzone wegen etwaiger Überschreitung der Immissions- und Anlagegrenzwerte eher schwierig sei. Andererseits ist massgeblich, dass bei der Scheune Obermattweid kein freistehender Mast in die Landwirtschaftszone gestellt wird, sondern eine Integrierung an die bestehende bauliche Struktur möglich ist. Aus raumplanungsrechtlicher Sicht ist die Standortwahl und deren Begründung mit Blick auf die zitierte Rechtsprechung nicht zu beanstanden. Sämtliche diesbezüglichen Rügen der Beschwerdeführer sind abzuweisen.
3.4 3.4.1 Wenn die Beschwerdeführer den kantonalen Instanzen in diesem Zusammenhang vorwerfen, in Bezug auf den Standort Mülegg den Sachverhalt offensichtlich unzureichend abgeklärt zu haben, dringen sie mit ihrer Rüge nicht durch. Sie machen geltend, das Verwaltungsgericht habe § 146 VRG/LU (bzw. § 153 VRG/LU) verletzt, wonach die tatsächlichen und rechtlichen Verhältnisse im Zeitpunkt des Entscheids massgebend sind, soweit sich aus der Natur der Streitsache nichts anderes ergibt. Die Beschwerdeführer bringen vor Bundesgericht erstmals vor, seit dem 11. Oktober 2010 liege eine detaillierte Begründung des Standorts Unter-Mülegg der Luzerner Polizei für das Sicherheitsfunknetz Polycom, Teilnetz Luzern, vor. Der Standort sei im Rahmen der Evaluation als optimal beurteilt worden. Geplant sei der Neubau einer Technikkabine und eines Masts für den Betrieb des Polizeifunks. Die Antenne des Typs CAX+ solle in einer Höhe von 33 m angebracht werden. Das Baugesuch sei am 1. Juli 2011 beim Gemeinderat eingereicht worden, das vorinstanzliche Urteil am 13. Juli 2011 ergangen. Da die Vorabklärungen der kantonalen Dienststellen rawi und uwe (Umwelt und Energie) sicher vor Oktober 2010 getroffen worden seien, hätten diese und der Gemeinderat die Beschwerdeführer und die anlageverantwortliche Betreiberin über die Abklärungen zum Standort Mülegg informieren müssen. In dieser Unterlassung sehen die Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs.
3.4.2 Dem ist entgegenzuhalten, dass das Verwaltungsgericht nicht verpflichtet war, von Amtes wegen rund zwei Wochen vor Urteilsfällung nochmals bei sämtlichen Ämtern und der Gemeinde nachzufragen, ob noch andere Bewilligungsverfahren hängig sind. Dies würde den Rahmen der Offizialmaxime sprengen (§ 139 VRG/LU). Wussten die Beschwerdeführer bereits damals von dem zweiten hängigen Baugesuch, hätte es ihnen aufgrund ihrer Mitwirkungspflicht oblegen, dies der Vorinstanz mitzuteilen. Aber selbst wenn sie selber keine Kenntnis davon hatten, liegt darin keine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Das Vorhaben der Polizei verfolgt andere Zwecke. Nachdem bereits gezeigt wurde, dass die Beschwerdegegnerin am Standort Mülegg keine ausreichende Abdeckung erreicht, bestand keine Koordinationspflicht zwischen den beiden unterschiedlichen Bauvorhaben. Den involvierten Behörden ist weder in verfassungs- noch in bundesrechtlicher Hinsicht ein Vorwurf zu machen.
4. Die Beschwerdeführer rügen des Weitern eine Verletzung der Verordnung über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung vom 23. Dezember 1999 (NISV; SR 814.710). Sie machen insbesondere geltend, beim Ökonomiegebäude handle es sich um einen OMEN, nicht um einen Ort für kurzfristigen Aufenthalt, wie dies im Standortdatenblatt fälschlicherweise vermerkt werde. Nach ihren Berechnungen betragen die Strahlungswerte im Gebäudeinnern zwischen 7.00 V/m und 26.00 V/m.
4.1 Im Sinne der vorsorglichen Emissionsbegrenzung (Art. 11 USG) bestimmt Art. 4 Abs. 1 NISV, dass Anlagen, welche nichtionisierende Strahlung emittieren, so erstellt und betrieben werden, dass sie die in Anhang 1 NISV festgelegten vorsorglichen Emissionsbegrenzungen einhalten. Für Sendeanlagen für Mobilfunk und drahtlose Teilnehmeranschlüsse finden sich diese Begrenzungen in Anhang 1 Ziff. 6 NISV. Neue und alte Anlagen müssen im massgebenden Betriebszustand an Orten mit empfindlicher Nutzung (OMEN) den aufgrund ihrer Sendefrequenzen massgebenden Anlagegrenzwert (AGW) von Anhang 1 Ziff. 64 NISV einhalten (Anhang 1 Ziff. 65 i.V.m. Anhang 1 Ziff. 64 NISV). Laut der Definition von Art. 3 Abs. 3 lit. a NISV gelten als Orte mit empfindlicher Nutzung u.a. Räume in Gebäuden, in denen sich Personen regelmässig während längerer Zeit aufhalten. Zu den OMEN gehören demnach auch ständige Arbeitsplätze. Klärung zur gesetzlichen Umschreibung bietet die Vollzugshilfe zur NISV für Mobilfunk- und WLL-Basisstationen des BAFU (Bern 2002). Das BAFU zieht die Parallele zur Definition des Staatssekretariats für Wirtschaft, SECO, wonach es sich dabei um Arbeitsbereiche handelt, die während mehr als 2 1/2 Arbeitstagen pro Woche durch eine arbeitstätige Person oder mehrere arbeitstätige Personen nacheinander besetzt sind (Vollzugshilfe Mobilfunkstationen, a.a.O., S. 15). Gleichzeitig wird in der Vollzugshilfe S. 15 f. auch erwähnt, dass Tierställe in der Regel nicht als OMEN gelten, allerdings unter dem Vorbehalt, dass dort keine ständigen Arbeitsplätze vorhanden sind.
4.2 Das BAFU hat das Standortdatenblatt im bundesgerichtlichen Verfahren geprüft und es als plausibel beurteilt. Die Nutzung der Scheune sei durch die Dienststelle uwe anlässlich eines Augenscheins geklärt worden. Demnach sei nur der Stall, nicht jedoch das obere Geschoss als OMEN zu betrachten. Für das BAFU gibt es keinen Anhaltspunkt, diese Einschätzung in Frage zu stellen. Der Stall bzw. das Erdgeschoss des Ökonomiegebäudes sei gemäss unbestritten gebliebener Angabe der Dienststelle rawi durch eine durchgehende Eisenbetondecke abgeschirmt. Aufgrund dieses Sachverhalts erachtet das BAFU die Angaben im Standortdatenblatt für den Tierstall als OMEN als korrekt, da sie auf einer Berechnung der elektrischen Feldstärke unter Berücksichtigung einer Gebäudedämpfung von 15 dB basierten und die Einhaltung des AGW von 5 V/m dokumentierten. Zusammenfassend gelangt das BAFU zum Schluss, die bundesrechtlichen Vorschriften über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung seien korrekt angewandt worden.
4.3 Für das Bundesgericht besteht kein Anlass, von dieser Einschätzung der eidgenössischen Fachbehörde abzuweichen, zumal die Beschwerdeführer nichts vorbringen, was eine Bundesrechtswidrigkeit belegen würde. Ebenso wenig war das Verwaltungsgericht zu weiteren Erhebungen verpflichtet, handelt es sich doch wie gesehen um technische Fragen, zu deren Beantwortung die entsprechenden Dienststellen berufen sind (E. 2.6 hiervor). Eine Gehörsverletzung hat die Vorinstanz in diesem Zusammenhang zu Recht verneint: Die Dienststelle uwe hat offensichtlich im Rahmen ihrer Beurteilung eine informelle Begehung vor Ort durchgeführt, zu welcher sie die Verfahrensbeteiligten nicht eingeladen hat. Dazu war sie nicht verpflichtet. Der Anspruch auf Teilnahme am Augenschein besteht dann, wenn die Entscheidinstanz einen solchen durchführt, nicht aber dann, wenn er von einer Fachinstanz, welche im Rahmen des Entscheidverfahrens eine Beurteilung abzugeben hat, durchgeführt wird (Urteile des Bundesgerichts 1P.666/2001 vom 11. Januar 2002, E. 2.5.7; 1A.264/1995 vom 24. September 1996, E. 8c/aa, publ. in: URP 1996 S. 815; 1A.74/1992 vom 7. März 1994, E. 2b). Soweit die Ergebnisse dieser Begehung von entscheidrelevanter Bedeutung waren, sind sie in die erteilte Bewilligung eingeflossen. Dagegen konnten die Beschwerdeführer den Rechtsmittelweg ergreifen, was sie denn auch getan haben (in diesem Sinne Urteil 1P.666/2001 vom 11. Januar 2002, E. 2.5.7). Selbst wenn die Beschwerdeführer bereits im vorinstanzlichen Verfahren bestritten hatten, dass die Betondecke durchgehend sei, basiert diese Behauptung auf vagen Vermutungen. Sie machen geltend, es stehe nicht fest, ob es massgebliche Öffnungen gebe, wodurch ein anderer Dämpfungsfaktor anzunehmen sei. Diese - im Übrigen unbestätigten - Zweifel genügen nicht, um eine offensichtlich falsche Sachverhaltsfeststellung zu begründen.
5. Insgesamt vermögen die Rügen der Beschwerdeführer keine Verfassungs- oder Bundesrechtswidrigkeit des angefochtenen Entscheids darzutun. Weder wurde der Sachverhalt offensichtlich falsch erhoben, noch liegt eine Gehörsverletzung vor. Die einschlägigen Bestimmungen des Raumplanungsrechts und der Umweltschutzgesetzgebung wurden beachtet.
6. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend haben die Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Zudem haben sie die private Beschwerdegegnerin angemessen für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit insgesamt Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Adligenswil, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement, Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation (rawi) sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, dem Bundesamt für Raumentwicklung und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. April 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Scherrer Reber