Sachverhalt:
A. Der 1961 geborene Z._ meldete sich am 22. Juni 2006 unter Hinweis auf Rückenbeschwerden nach einem Autounfall vom 24. Juni 2005 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Schwyz holte Angaben der Arbeitgeberin Q._ AG vom 29. August 2006 sowie einen Bericht des Dr. med. W._, Physikalische Medizin, Rehabilitation, Rheumatologie, vom 11. September 2006 ein. Zudem zog sie die Akten des Unfallversicherers und des Krankenversicherers bei. Diese enthalten insbesondere Stellungnahmen des Dr. med. W._ vom 23. Juni und 6. Oktober 2006, einen Austrittsbericht der Rehaklinik X._ vom 22. September 2006 (mit Bericht über das Evaluationsprogramm vom 20. September 2006 und psychosomatischem Konsilium vom 4. September 2006), ein Schreiben der Klinik Y._, Wirbelsäulenzentrum, vom 15. November 2006 sowie eine Beurteilung des Dr. med. B._, Innere Medizin FMH, Beratender Arzt des Krankenversicherers, vom 8. Januar 2007. Anschliessend stellte die Verwaltung dem Versicherten mit Vorbescheid vom 29. März 2007 die Verneinung eines Rentenanspruchs in Aussicht. Nachdem Einwände erhoben worden waren, holte die IV-Stelle einen Bericht des Zentrums A._, Institut für Anästhesiologie, vom 28. Juni 2007 sowie eine Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 11. Januar 2008 ein. Daraufhin lehnte sie es mit Verfügung vom 18. Januar 2008 ab, dem Versicherten eine Rente auszurichten.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz ab (Entscheid vom 25. Juni 2008). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens wurden ein Bericht des Dr. med. I._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 17. Februar 2008 und eine Stellungnahme des RAD vom 8. April 2007 eingereicht.
C. Z._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm eine Rente zuzusprechen; die Sache sei zurückzuweisen zur Ergänzung der medizinischen Aktenlage und Neubeurteilung.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
1.2 Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Dagegen beschlägt die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln eine Rechtsfrage (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil 8C_74/2008 vom 22. August 2008, E. 2.3).
1.3 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff der Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), die Voraussetzungen und den Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung; vgl. jetzt <ref-law>) und die Bemessung des Invaliditätsgrades nach der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zur Aufgabe des Arztes oder der Ärztin im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 4 S. 261 mit Hinweisen) sowie zum Beweiswert und zur Würdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3 S. 352 ff.).
2. Streitig und zu prüfen ist der Rentenanspruch. Unter den Parteien besteht insbesondere Uneinigkeit über die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers.
2.1 Die Vorinstanz gelangte zum Ergebnis, der Beschwerdeführer sei in einer leichten bis mittelschweren Tätigkeit, ohne Arbeiten über Brusthöhe und ohne länger dauernd vorgeneigte Tätigkeiten, zu 100 % arbeitsfähig. Diese Feststellung ist nach dem Gesagten (E. 1.2 hiervor) verbindlich, soweit sie nicht als offensichtlich unrichtig bezeichnet werden muss oder in Verletzung bundesrechtlicher Regeln getroffen wurde. Das kantonale Gericht stützt sich in somatischer Hinsicht insbesondere auf den Bericht der Rehaklinik X._ über das Evaluationsprogramm vom 20. September 2006. Was den psychiatrischen Aspekt betrifft, stellt die Vorinstanz auf das psychosomatische Konsilium vom 4. September 2006 ab, welches ebenfalls während des Aufenthalts in der Rehaklinik X._ erstellt wurde.
2.2 Der Beschwerdeführer lässt im Wesentlichen einwenden, die Beurteilung des somatischen Aspektes werde durch den Bericht der Klinik Y._ vom 15. November 2006 in Frage gestellt. Die dortigen Ärzte hätten eine Weiterführung der Therapie und gegebenenfalls eine erneute interdisziplinäre Abklärung zum Ausschluss der Aggravation befürwortet. Offensichtlich zweifelten sie an der entsprechenden Beurteilung der Rehaklinik X._. In psychiatrischer Hinsicht widerspreche der Bericht des Dr. med. I._ vom 17. Februar 2008 der Einschätzung im psychosomatischen Konsilium der Rehaklinik X._.
2.3 Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, lassen sich die Ergebnisse des Evaluationsprogramms in der Rehaklinik X._ mit den übrigen medizinischen Unterlagen zum Gesundheitszustand aus somatischer Sicht vereinbaren. In Bezug auf den psychiatrischen Aspekt weichen die im Bericht des Dr. med. I._ vom 17. Februar 2008 genannten Befunde nicht wesentlich von denjenigen gemäss dem psychosomatischen Konsilium vom 4. September 2006 ab. Wenn das kantonale Gericht zum Ergebnis gelangt ist, die Stellungnahme von Dr. med. I._ sei nicht geeignet, die Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit aus psychiatrischer Sicht durch die Ärzte der Rehaklinik X._ in Frage zu stellen, lässt sich diese Beurteilung nicht als offensichtlich unrichtig bezeichnen. Ebenso war es - auch mit Blick auf den Untersuchungsgrundsatz - zulässig, in antizipierter Beweiswürdigung von weiteren Abklärungen abzusehen. Dr. med. I._ nimmt lediglich eine unterschiedliche Einschätzung grundsätzlich vergleichbarer Befunde vor und benennt keine konkreten Umstände, welche im Rahmen des psychosomatischen Konsiliums in der Rehaklinik X._ unberücksichtigt geblieben wären (vgl. SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43 E. 2.2.1, I 514/06). Die Voraussetzungen, unter welchen das Bundesgericht von den vorinstanzlichen Feststellungen zur Arbeitsfähigkeit abweichen kann (E. 1.1 und 1.2 hiervor), sind damit nicht erfüllt.
3. Auf der Basis des erwähnten Zumutbarkeitsprofils hat das kantonale Gericht einen Einkommensvergleich vorgenommen, welcher zu Recht unbeanstandet geblieben ist und dessen Ergebnis zur Verneinung eines Rentenanspruchs führt.
4. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet. Sie wird im Verfahren nach <ref-law> erledigt.
5. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Oktober 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger