Sachverhalt:
A.
Die 1962 geborene B._ war mit einem Pensum von 65 % als Sozialpädagogin an der Schule Z._ tätig, als sie am 7. Juni 2002 als Fahrradfahrerin von einem Auto angefahren wurde und stürzte. Sie bezog für die Folgen des Unfallereignisses bis 31. Juli 2006 Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (UV). Ein zusätzlicher Leistungsanspruch aus der UV wurde mit rechtskräftigem Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. Januar 2013 verneint.
Im November 2003 hatte sich B._ auch bei der Invalidenversicherung (IV) zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zog nebst weiteren Abklärungen die Akten des Unfallversicherers, worunter das - auch Zusatzfragen der IV-Stelle beantwortende - Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle X._ vom 24. Dezember 2010 bei. Mit Verfügung vom 12. Juli 2012 verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente der IV mit der Begründung, der Invaliditätsgrad betrage lediglich 20 %.
B.
B._ erhob gegen die Verfügung vom 12. Juli 2012 Beschwerde auf Zusprechung einer ganzen Invalidenrente. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gewährte ihr die unentgeltliche Rechtspflege und führte am 12. Juni 2013 eine Verhandlung im Sinne einer mündlichen Anhörung der Versicherten durch. Am gleichen Tag hiess es die Beschwerde in dem Sinne gut, dass es die Verfügung vom 12. Juli 2012 aufhob, B._ bei einem Invaliditätsgrad von 56 % eine halbe Rente zusprach und die Sache zur Festlegung des Rentenbeginns sowie zur Rentenberechnung und zur anschliessenden neuen Verfügung an die Verwaltung zurückwies.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, es sei der kantonale Entscheid vom 12. Juni 2013 aufzuheben und die Verwaltungsverfügung vom 12. Juli 2012 zu bestätigen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
B._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
Das Bundesgericht hat das Protokoll der Anhörung vom 12. Juni 2012 beigezogen.

Erwägungen:
1.
Beim vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>, gegen welchen die Beschwerde nur zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführt und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Erstere Voraussetzung ist hier erfüllt, da das kantonale Gericht einen Rentenanspruch bejaht hat und die Rückweisung letztlich nurmehr der Umsetzung dient. Weil die Verwaltung damit gezwungen wäre, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen, hat der vorinstanzliche Entscheid für sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.). Die übrigen Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde sind ebenfalls erfüllt.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.
Die Bestimmungen und Grundsätze zum nach dem Grad der Invalidität abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente mit dem Erfordernis einer Mindestinvalidität von 40 %, zur Bestimmung des Invaliditätsgrades mittels Einkommensvergleich, zum Beginn des Rentenanspruchs sowie zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte und Gutachten sind in der Verwaltungsverfügung vom 12. Juli 2012 und im vorinstanzlichen Entscheid zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. Die IV-Stelle ist in der Verfügung vom 12. Juli 2012 und dem diesem zugrunde liegenden Berechnungsblatt vom 5. Juni 2012 zum Ergebnis gelangt, nach Ablauf der gesetzlichen Wartefrist habe keine relevante Arbeitsunfähigkeit mehr vorgelegen. Vom 7. Mai 2004 bis 31. Juli 2006 sei die Arbeitsunfähigkeit in der angestammten Tätigkeit nur leicht eingeschränkt gewesen. Gemäss einem weiteren Gutachten (gemeint ist die Expertise der medizinischen Abklärungsstelle X._ vom 24. Dezember 2010) sei die Versicherte in der angestammten Tätigkeit in reiner Verwaltungstätigkeit zu 80 % arbeitsfähig. Das Einkommen ohne Behinderung (Valideneinkommen) als voll erwerbstätige Sozialpädagogin betrage im Jahr 2011 Fr. 86'631.-. Das trotz Behinderung zumutbarerweise erzielbare Einkommen (Invalideneinkommen) sei für das Jahr 2011 bei einer Restarbeitsfähigkeit von 80 % in der angestammten Tätigkeit auf Fr. 69'305.- festzusetzen. Der Einkommensvergleich ergebe eine Erwerbseinbusse von Fr. 17'326.-, entsprechend einem nicht rentenbegründenden Invaliditätsgrad von 20 %.
4.2. Das kantonale Gericht hat im Wesentlichen erwogen, Hinweise für eine strukturelle neurologische Schädigung fehlten. Sodann sei der von der Versicherten postulierten Neurasthenie nach der analog anwendbaren Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen eine invalidisierende Wirkung abzusprechen. Die Gutachter der medizinischen Abklärungsstelle X._ seien aber zum Schluss gekommen, aus neuropsychologischer Sicht sei die Arbeitsfähigkeit im angestammten Beruf als Sozialpädagogin nicht gegeben resp. sei von einer entsprechenden Tätigkeit bei authentischen leichten bis mittelgradigen kognitiven Einbussen abzuraten. Die medizinischen Experten erachteten eine einfachere Verweistätigkeit, wie beispielsweise die Arbeit als Sozialpädagogin im Verwaltungsbereich, im Beschäftigungsumfang von 80 %, vorzugsweise verteilt auf fünf Tage ohne leistungsmässige Einschränkungen, für zumutbar. Die IV-Stelle habe gestützt auf diese Einschätzung einen Einkommensvergleich vorgenommen. Das Valideneinkommen habe sie auf der angestammten Tätigkeit als Sozialpädagogin bemessen. Als Invalideneinkommen habe sie ein um 20 % reduziertes Einkommen in einer 80 %-Tätigkeit als Sozialpädagogin im Verwaltungsbereich angenommen. Dies habe die IV-Stelle getan, obschon sie zuvor zum Schluss gelangt sei, die Versicherte könne in einer Verwaltungstätigkeit (Sozialpädagogin) keinen branchenüblichen Lohn erzielen. Die Frage, inwiefern die 20 %ige medizinisch begründete Einschränkung des Leistungsvermögens eine (rentenbegründende) Invalidität zu begründen vermöge, sei daher mit dem von der Verwaltung vorgenommenen Einkommensvergleich nicht zuverlässig beantwortet. Aufgrund der in jeder Hinsicht glaubwürdigen und überzeugenden Darlegungen der Versicherten zu ihrer verbleibenden Arbeitsfähigkeit anlässlich der Anhörung vom 12. Juni 2013 habe sich eindrücklich ergeben, dass sie für eine verwaltungsmässig orientierte Arbeit als Sozialpädagogin, sofern eine solche Tätigkeit auf dem Arbeitsmarkt überhaupt zur Verfügung stehe, ungeeignet wäre. Aufgrund der medizinischen Situation sei eine leichte Hilfstätigkeit mit einem Pensum von 80 % zumutbar. Dies legten auch die Ausführungen der Versicherten zu ihren tatsächlichen Verhältnissen nahe, habe sie doch bei der Anhörung angegeben, nebst der - finanziell bisher wenig ergiebigen - künstlerischen Tätigkeit an vier Tagen in der Woche jeweils vier Stunden einer leichten Hilfsarbeit nachzugehen. Ausgehend von den in Tabelle TA1 der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) 2008 ausgewiesenen Tabellenlöhnen von Frauen für Arbeiten auf dem niedrigsten Anforderungsniveau 4 sei das Invalideneinkommen unter Berücksichtigung der wochenüblichen Arbeitszeit, der statistischen Lohnentwicklung, des 80 %igen Restleistungsvermögens und eines leidensbedingten Abzuges, welcher aufgrund der konkreten Umstände und der an der Anhörung vom 12. Juni 2013 augenfällig zu Tage getretenen Verlangsamung im gesamten Gehabe auf 10 % anzusetzen sei, ergebe sich ein Invalideneinkommen von Fr. 38'539.-. Aus der Gegenüberstellung mit dem Valideneinkommen von Fr. 86'631.- resultiere ein Invaliditätsgrad von 56 % und damit ein Anspruch auf eine halbe Invalidenrente.
4.3. Die IV-Stelle argumentiert wie bereits in ihrer vorinstanzlichen Beschwerdeantwort, bei der Versicherten liege rechtlich gesehen gar kein invalidisierendes Leiden vor. Die Arbeitsfähigkeit sei nicht eingeschränkt. Es bestehe kein Anspruch auf IV-Leistungen und die Verfügung vom 12. Juli 2012 sei somit im Ergebnis richtig. Die Verwaltung führt dazu weiter aus, aus rein somatischer Sicht lasse sich keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit begründen. Der unter Berufung auf von der Beschwerdegegnerin subjektiv empfundene, objektiv nicht begründbare Schmerzen postulierte vermehrte Pausenbedarf könne ebenso wenig die niedrigeren Anforderungen einer Verweistätigkeit an die kognitiven Fähigkeiten - trotz Fehlen jeglicher klinischer Befunde seitens der Neurologie - beachtlich sein. Die Vorinstanz habe sich hiezu nicht geäussert und damit keine für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen getroffen. Sie habe Bundesrecht verletzt, indem sie übersehen habe, dass mangels relevanter organischer Befunde in somatischer Hinsicht durch die auf Schmerzen beruhenden Diagnose keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit in einer Verweistätigkeit dargetan sei. Aus rechtlicher Sicht liege ein pathogenetisch-ätiologisch unklares syndromales Leiden vor. Das kantonale Gericht habe zu Recht dargelegt, dass die Kriterien, nach welchen ein solches Leiden als invalidisierend zu betrachten sei, nicht erfüllt seien. Indem es dennoch eine Leistungsminderung von 20 % bejaht habe, habe es den rechtserheblichen Sachverhalt unvollständig erhoben resp. qualifiziert unrichtig gewürdigt und damit die Rechtsfrage nach dem Vorliegen einer invalidisierenden Gesundheitsschädigung unzutreffend beantwortet. Auszugehen sei vielmehr von einer vollen Arbeitsfähigkeit. Der dies nicht berücksichtigende Einkommensvergleich der Vorinstanz verletze Bundesrecht. Ein Rentenanspruch sei mangels eines relevanten Gesundheitsschadens zu verneinen.
4.3.1. Die Einwände sind berechtigt. Aus dem Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle X._ vom 24. Dezember 2010 ergibt sich, dass die medizinischen Experten die geklagten Beschwerden organisch nicht erklären können. Das gilt auch bezüglich kognitiver Defizite. Soweit solche angenommen werden, beruht dies auf Vermutungen und dem Einbezug von Möglichkeiten, welche sich auf offensichtlich nicht weiter verifizierbare Angaben der Beschwerdegegnerin stützen. Die Aussagen im Gutachten zeigen dies deutlich. Soweit die Vorinstanz solche Defizite mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit bejaht hat, liess sie sich denn auch augenscheinlich vom an der mündlichen Anhörung gewonnenen Eindruck leiten. Eine verlässliche medizinische Grundlage für die Annahme solcher Beschwerden fehlt jedoch. Sie lässt sich auch den übrigen Akten nicht entnehmen. Weitere Abklärungen lassen keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss hiezu erwarten. Daher postuliert die IV-Stelle zu Recht, die Frage nach der Invalidität sei in Bezug auf die gesamte geklagte Symptomatik nach der Rechtsprechung zu den pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage (nachfolgend: unklare Beschwerden; vgl. <ref-ruling> und seitherige Entscheide; sodann: zur Publikation vorgesehenes Urteil 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 E. 2 ff.) zu beurteilen.
4.3.2. Nach dieser Rechtsprechung sind unklare Beschwerden nur im Ausnahmefall als mit einer zumutbarer Willensanstrengung nicht überwindbar, und damit als invalidisierend, zu betrachten. Ob ein solcher Ausnahmefall vorliegt, entscheidet sich im Einzelfall anhand verschiedener Kriterien. Im Vordergrund steht die Feststellung einer psychischen Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer. Massgebend sein können auch weitere Faktoren, so: chronische körperliche Begleiterkrankungen; ein mehrjähriger, chronifizierter Krankheitsverlauf mit unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne länger dauernde Rückbildung; ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens; ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr beeinflussbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn; "Flucht in die Krankheit"); das Scheitern einer konsequent durchgeführten ambulanten oder stationären Behandlung (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) trotz kooperativer Haltung der versicherten Person (<ref-ruling>; <ref-ruling>; erwähntes Urteil 8C_972/2012 E. 9.1).
4.3.3. Die Vorinstanz hat im Hinblick auf die von der Versicherten geltend gemachten Neurasthenie die Invaliditätsfrage nach der dargelegten Rechtsprechung geprüft. Sie ist mit überzeugender Begründung zum Ergebnis gelangt, dass die massgeblichen Kriterien nicht erfüllt sind und mithin kein invalidisierendes Leiden vorliegt. Die entsprechenden Erwägungen lassen sich ohne Weiteres auf die Gesamtheit der geklagten unklaren Beschwerden übertragen. Es liegt mithin kein invalidisierendes Leiden vor.
4.3.4. Was die Beschwerdegegnerin vorträgt, rechtfertigt kein anderes Ergebnis. Die medizinischen Akten, einschliesslich des Gutachtens der medizinischen Abklärungsstelle X._, bieten genügend verlässlichen Aufschluss über die sich in medizinischer Hinsicht stellenden Fragen. Von weiteren Abklärungen ist kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zu erwarten. Die Anwendbarkeit der Rechtsprechung zu den unklaren Beschwerden ist gegeben. Daran vermögen die Hinweise auf erfolglose Eingliederungsbemühungen und die dazu ergangenen Aussagen eines Psychiaters nichts zu ändern. Die demnach relevanten Kriterien sind jedenfalls nicht in hinreichender Weise erfüllt, um die geklagten Beschwerden als mit zumutbarer Willensanstrengung unüberwindbar zu betrachten.
4.4. Sind die geklagten Beschwerden nach dem Gesagten nicht als invalidisierend zu betrachten, ist der Vornahme eines Einkommensvergleichs und der darauf gestützten Bejahung eines Rentenanspruchs durch das kantonale Gericht die Grundlage entzogen. Der vorinstanzliche Entscheid ist aufzuheben.
5.
Mit dem vorliegenden Urteil ist das Gesuch betreffend aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
6.
Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdegegnerin auferlegt (<ref-law>). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 12. Juni 2013 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 12. Juli 2012 bestätigt.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdegegnerin Rechtsanwalt Dr. Roland Pedergnana als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Dr. Roland Pedergnana wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz