Erwägungen:
1. Im Rahmen eines bei ihm anhängig gemachten Beschwerdeverfahrens betreffend eine Gebührenverfügung der Z._ AG forderte der Regierungsstatthalter des Verwaltungskreises A._ X._ auf, die Beschwerde in korrigierter Form, ohne Sitte und Anstand verletzende Äusserungen innert 10 Tagen wieder einzureichen, ansonsten sie als zurückgezogen gelte. Dies nahm X._ zum Anlass, um gegen den Regierungsstatthalter ein Ablehnungsbegehren zu stellen. Dieses Gesuch wies die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern am 21. Dezember 2009 ab. Mit Urteil vom 17. Februar 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Direktionsentscheid erhobene Beschwerde ab; zugleich wies es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und auferlegte die Kosten des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens X._. Dieser gelangte am 3. März 2010 (Postaufgabe, Datum der Rechtsschrift 2. März 2010) mit Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts ans Bundesgericht.
2. Gemäss Art. 42 haben die Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (Abs. 2). Die Begründung hat sachbezogen zu sein, d.h. der Beschwerdeführer muss sich zumindest rudimentär mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen. Spezifischer Begründung bedürfen Rügen verfassungsrechtlicher Natur (<ref-law>); im Zusammenhang mit der Anwendung kantonalen Rechts sind weitgehend nur derartige Rügen zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 351 f.). Auf Rechtsmittel, die den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht genügen, tritt das Bundesgericht nicht ein.
Gegenstand des Rechtsstreits bildet allein die Frage der Befangenheit des Regierungsstatthalters, wobei kantonales Recht und unmittelbar <ref-law> massgeblich sind. Das Verwaltungsgericht hat in E. 3 seines Urteils dargelegt, warum die Vorgehensweise des Regierungsstatthalters von vornherein nicht auf eine Befangenheit schliessen lasse. Dazu lässt sich der Beschwerdeschrift nichts Substantielles entnehmen; es fehlt offensichtlich an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (<ref-law>). Beizufügen ist, dass ohnehin nicht ersichtlich ist, inwiefern das angefochtene Urteil Recht verletzt haben könnte. Jeglicher Grundlage entbehrt schliesslich der Antrag, "dass die bisherigen Richter in dieser Angelegenheit zum Ausstand kommen, wegen Befangenheit".
Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien (vgl. <ref-law>). Somit sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Im Verfahren 1C_97/2010 ist zwar ausnahmsweise auf die Erhebung von Kosten verzichtet worden; eine nochmalige Kostenbefreiung fällt angesichts der Art der Prozessführung ausser Betracht.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller