Faits:
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A. Depuis décembre 2002, Hélène Châtelain, Présidente du Tribunal des mineurs du canton de Vaud, est chargée d'une enquête pénale ouverte contre A._, enfant mineure née en 1989, prévenue d'avoir participé à diverses infractions contre le patrimoine et consommé des stupéfiants. La Présidente a ordonné le placement de la prévenue en observation à l'établissement de la Clairière, dans le canton de Genève, dès le 13 mars 2003.
Selon le rapport établi à l'issue de la période d'observation, daté du 22 mai 2003, un retour dans le milieu familial n'était pas souhaitable. On préconisait, dans l'immédiat, un placement à la ferme équestre des Bruyères à Frontenaud, en France (Saône-et-Loire), solution que la prévenue disait accepter après avoir pu visiter les lieux. Pour la suite, on recherchait un foyer et une école afin que la prévenue pût reprendre sa scolarité dès la rentrée de l'automne 2003. Trois autres projets de placement, proposés par les parents, étaient écartés.
La prévenue a en fait séjourné à la ferme des Bruyères dès le 16 mai 2003. Le 19 suivant, déjà renseignée sur les résultats de l'observation, la Présidente a ordonné le placement correspondant pour une durée indéterminée, sous le régime de la garde provisionnelle prévue par l'art. 32 al. 1 de la loi vaudoise du 26 novembre 1973 sur la juridiction pénale des mineurs. La prévenue et son père B._ ont recouru contre cette mesure, pour critiquer surtout le choix du lieu de placement. La Chambre supérieure du Tribunal des mineurs les a déboutés par arrêt du 18 juin 2003. Le 6 octobre 2003, la Cour de cassation pénale du Tribunal fédéral a déclaré irrecevables un pourvoi en nullité et un recours de droit public dirigés contre ce dernier prononcé (arrêts 6S.304/2003 et 6P.121/2003).
Depuis le 23 juin 2003, la prévenue est en fuite et son lieu de séjour actuel est inconnu des autorités judiciaires.
Depuis le 23 juin 2003, la prévenue est en fuite et son lieu de séjour actuel est inconnu des autorités judiciaires.
B. Divers incidents sont survenus au cours des placements à la Clairière et à la ferme des Bruyères. B._ a adressé à la Présidente de très nombreuses lettres pour s'en plaindre et protester contre le régime du placement à la Clairière, qu'il jugeait trop sévère et inadapté aux besoins de sa fille, puis pour critiquer le placement à la ferme des Bruyères et, en général, les démarches accomplies par l'autorité. Selon une déclaration de la prévenue recueillie le 9 avril 2003, son père l'a emmenée durant plusieurs jours en France dans le but de la soustraire aux recherches de la police, pendant une période où elle s'était échappée de la Clairière en abusant d'un congé. Selon d'autres informations reçues par la Présidente et consignées au procès-verbal des opérations et décisions (23 juin, 2 et 21 juillet 2003), B._ est impliqué dans la fuite actuelle de la prévenue et sait où elle se trouve.
B. Divers incidents sont survenus au cours des placements à la Clairière et à la ferme des Bruyères. B._ a adressé à la Présidente de très nombreuses lettres pour s'en plaindre et protester contre le régime du placement à la Clairière, qu'il jugeait trop sévère et inadapté aux besoins de sa fille, puis pour critiquer le placement à la ferme des Bruyères et, en général, les démarches accomplies par l'autorité. Selon une déclaration de la prévenue recueillie le 9 avril 2003, son père l'a emmenée durant plusieurs jours en France dans le but de la soustraire aux recherches de la police, pendant une période où elle s'était échappée de la Clairière en abusant d'un congé. Selon d'autres informations reçues par la Présidente et consignées au procès-verbal des opérations et décisions (23 juin, 2 et 21 juillet 2003), B._ est impliqué dans la fuite actuelle de la prévenue et sait où elle se trouve.
C. Par lettre du 14 août 2003, B._ a demandé la récusation de la Présidente Hélène Châtelain au motif que les mesures prises par elle étaient, à son avis, illégales et gravement inadéquates, de sorte qu'elle se révélait suspecte de partialité. B._ se référait notamment à la garantie d'un juge indépendant et impartial conférée par l'art. 30 al. 1 Cst. Le Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal vaudois a rejeté cette requête par arrêt du 9 septembre 2003. L'arrêt indique, sans plus de détails, que le requérant ne faisait valoir aucun des motifs de récusation concrets prévus par l'art. 29 al. 2 CPP vaud. (parenté, intérêt à la cause, etc.), que les reproches élevés contre la Présidente du Tribunal des mineurs n'étaient "nullement fondés" et que l'examen du dossier ne révélait aucun indice de partialité.
C. Par lettre du 14 août 2003, B._ a demandé la récusation de la Présidente Hélène Châtelain au motif que les mesures prises par elle étaient, à son avis, illégales et gravement inadéquates, de sorte qu'elle se révélait suspecte de partialité. B._ se référait notamment à la garantie d'un juge indépendant et impartial conférée par l'art. 30 al. 1 Cst. Le Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal vaudois a rejeté cette requête par arrêt du 9 septembre 2003. L'arrêt indique, sans plus de détails, que le requérant ne faisait valoir aucun des motifs de récusation concrets prévus par l'art. 29 al. 2 CPP vaud. (parenté, intérêt à la cause, etc.), que les reproches élevés contre la Présidente du Tribunal des mineurs n'étaient "nullement fondés" et que l'examen du dossier ne révélait aucun indice de partialité.
D. Agissant au nom de sa fille par la voie du recours de droit public, B._ requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 9 septembre 2003. Invoquant le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., il se plaint d'une motivation prétendument insuffisante de ce prononcé. Par ailleurs, il persiste à soupçonner la Présidente Hélène Châtelain de partialité et à la tenir pour récusable selon l'art. 30 al. 1 Cst.
Invités à répondre, le Tribunal d'accusation et le magistrat intimé ont renoncé à déposer des observations.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Dans le procès pénal, même s'il est mineur ou interdit, le prévenu capable de discernement a la capacité d'user lui-même des voies de recours à disposition, sans avoir besoin du consentement de son représentant légal (<ref-ruling> consid. 2 et 3; voir aussi <ref-ruling> consid. 1a). Toutefois, sa capacité n'exclut pas le pouvoir du représentant légal d'exercer lui aussi les recours ouverts au prévenu, même contre la volonté de ce dernier (ATF 75 IV 142). Le lésé capable de discernement et son représentant légal jouissent d'ailleurs aussi, chacun, d'un droit indépendant de déposer une plainte pénale (<ref-ruling> consid. 5b). Il n'est donc pas nécessaire de rechercher si A._ peut être considérée comme capable de discernement, ni, dans l'affirmative, si elle consent aux démarches que son père accomplit en son nom pour obtenir la récusation litigieuse. Il n'est pas non plus nécessaire de rechercher si B._ pourrait aussi agir en son propre nom (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 112).
1. Dans le procès pénal, même s'il est mineur ou interdit, le prévenu capable de discernement a la capacité d'user lui-même des voies de recours à disposition, sans avoir besoin du consentement de son représentant légal (<ref-ruling> consid. 2 et 3; voir aussi <ref-ruling> consid. 1a). Toutefois, sa capacité n'exclut pas le pouvoir du représentant légal d'exercer lui aussi les recours ouverts au prévenu, même contre la volonté de ce dernier (ATF 75 IV 142). Le lésé capable de discernement et son représentant légal jouissent d'ailleurs aussi, chacun, d'un droit indépendant de déposer une plainte pénale (<ref-ruling> consid. 5b). Il n'est donc pas nécessaire de rechercher si A._ peut être considérée comme capable de discernement, ni, dans l'affirmative, si elle consent aux démarches que son père accomplit en son nom pour obtenir la récusation litigieuse. Il n'est pas non plus nécessaire de rechercher si B._ pourrait aussi agir en son propre nom (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 112).
2. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. confère à toute personne le droit d'exiger, en principe, qu'un jugement ou une décision défavorable à sa cause soit motivé. Cette garantie tend à donner à la personne touchée les moyens d'apprécier la portée du prononcé et de le contester efficacement, s'il y a lieu, devant une instance supérieure. Elle tend aussi à éviter que l'autorité ne se laisse guider par des considérations subjectives ou dépourvues de pertinence; elle contribue, par là, à prévenir une décision arbitraire. L'objet et la précision des indications à fournir dépendent de la nature de l'affaire et des circonstances particulières du cas; néanmoins, en règle générale, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée, sans qu'elle soit tenue de répondre à tous les arguments présentés (<ref-ruling> consid. 2b p. 109; voir aussi <ref-ruling> consid. 2b p. 102, 125 II 369 consid. 2c p. 372, 124 II 146 consid. 2a p. 149).
2. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. confère à toute personne le droit d'exiger, en principe, qu'un jugement ou une décision défavorable à sa cause soit motivé. Cette garantie tend à donner à la personne touchée les moyens d'apprécier la portée du prononcé et de le contester efficacement, s'il y a lieu, devant une instance supérieure. Elle tend aussi à éviter que l'autorité ne se laisse guider par des considérations subjectives ou dépourvues de pertinence; elle contribue, par là, à prévenir une décision arbitraire. L'objet et la précision des indications à fournir dépendent de la nature de l'affaire et des circonstances particulières du cas; néanmoins, en règle générale, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée, sans qu'elle soit tenue de répondre à tous les arguments présentés (<ref-ruling> consid. 2b p. 109; voir aussi <ref-ruling> consid. 2b p. 102, 125 II 369 consid. 2c p. 372, 124 II 146 consid. 2a p. 149).
3. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par l'art. 6 par. 1 CEDH, à l'instar de la protection conférée par l'art. 30 al. 1 Cst., permet au plaideur de s'opposer à une application arbitraire des règles cantonales sur l'organisation et la composition des tribunaux, qui comprennent les prescriptions relatives à la récusation des juges. Elle permet aussi, indépendamment du droit cantonal, d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité; elle tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du juge est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 2; voir aussi <ref-ruling> consid. 3 p. 73, 125 I 119 consid. 3a p. 122, 124 I 255 consid. 4a p. 261).
En particulier, même lorsqu'elles sont établies, des erreurs de procédure ou d'appréciation commises par un juge ne suffisent pas à fonder objectivement un soupçon de partialité; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, qui doivent être considérés comme des violations graves des devoirs du magistrat, peuvent avoir cette conséquence. Les erreurs éventuellement commises doivent être constatées et redressées dans le cadre des procédures de recours prévues par la loi; il n'appartient pas au juge de la récusation d'examiner la conduite du procès à la façon d'un organe de surveillance (<ref-ruling> consid. 3a p. 138; <ref-ruling> consid. 3b/bb p. 158).
En particulier, même lorsqu'elles sont établies, des erreurs de procédure ou d'appréciation commises par un juge ne suffisent pas à fonder objectivement un soupçon de partialité; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, qui doivent être considérés comme des violations graves des devoirs du magistrat, peuvent avoir cette conséquence. Les erreurs éventuellement commises doivent être constatées et redressées dans le cadre des procédures de recours prévues par la loi; il n'appartient pas au juge de la récusation d'examiner la conduite du procès à la façon d'un organe de surveillance (<ref-ruling> consid. 3a p. 138; <ref-ruling> consid. 3b/bb p. 158).
4. Le Tribunal d'accusation ne s'est prononcé sur les motifs de la demande de récusation qu'au regard du droit cantonal, sans prendre position sur l'incidence des règles de rang supérieur. Or, l'art. 29 CPP vaud. n'accorde pas une protection équivalant à celle garantie par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH. En particulier, ces dernières dispositions, à la différence de la première, permettent d'exiger la récusation d'un juge en cas d'erreurs lourdes ou répétées dans la conduite du procès ou dans les mesures prises pour la durée de celui-ci.
Selon l'argumentation présentée à l'appui de la demande de récusation, la Présidente du Tribunal des mineurs avait commis de graves erreurs dans les mesures prises à l'égard de la prévenue, puis persisté en dépit des événements qui survenaient à la Clairière d'abord, à la ferme des Bruyères ensuite, et des interventions répétées des parents, alors que tout cela aurait dû alerter le magistrat responsable et le déterminer à prendre des mesures appropriées à la situation. Les reproches ainsi élevés reposaient sur des faits précisément allégués et, dans une large mesure, aisément vérifiables d'après le dossier. Néanmoins, l'arrêt attaqué ne contient aucune allusion à ces reproches, de sorte que le Tribunal d'accusation semble avoir fait abstraction de la protection spécifique garantie par le droit constitutionnel. On ne parvient en tout cas pas à reconnaître pourquoi le Tribunal d'accusation tient les erreurs dénoncées pour non avenues ou, le cas échéant, insuffisamment graves pour justifier la suspicion de partialité. Au regard de cette situation, la recourante est fondée à se plaindre d'une motivation déficiente de ce prononcé. Celui-ci doit donc être annulé pour violation de l'art. 29 al. 2 Cst.
Selon l'argumentation présentée à l'appui de la demande de récusation, la Présidente du Tribunal des mineurs avait commis de graves erreurs dans les mesures prises à l'égard de la prévenue, puis persisté en dépit des événements qui survenaient à la Clairière d'abord, à la ferme des Bruyères ensuite, et des interventions répétées des parents, alors que tout cela aurait dû alerter le magistrat responsable et le déterminer à prendre des mesures appropriées à la situation. Les reproches ainsi élevés reposaient sur des faits précisément allégués et, dans une large mesure, aisément vérifiables d'après le dossier. Néanmoins, l'arrêt attaqué ne contient aucune allusion à ces reproches, de sorte que le Tribunal d'accusation semble avoir fait abstraction de la protection spécifique garantie par le droit constitutionnel. On ne parvient en tout cas pas à reconnaître pourquoi le Tribunal d'accusation tient les erreurs dénoncées pour non avenues ou, le cas échéant, insuffisamment graves pour justifier la suspicion de partialité. Au regard de cette situation, la recourante est fondée à se plaindre d'une motivation déficiente de ce prononcé. Celui-ci doit donc être annulé pour violation de l'art. 29 al. 2 Cst.
5. Le recours de droit public a été introduit par un représentant légal de la recourante, qui exerce la profession d'avocat mais n'est pas impliqué en qualité de mandataire rétribué par son client. Pour statuer sur les conclusions de la recourante tendant à l'allocation de dépens, il convient d'appliquer par analogie les règles concernant l'avocat qui a agi en son propre nom, sans se faire représenter par un confrère, et a obtenu gain de cause.
En pareil cas, selon la jurisprudence relative à l'art. 159 al. 1 et 2 OJ, les dépens sont alloués notamment s'il s'agissait d'une affaire complexe avec une valeur litigieuse élevée, ayant exigé de l'avocat un travail important, excédant les efforts que chacun doit normalement et raisonnablement consacrer à la gestion de ses affaires personnelles (<ref-ruling> consid. 5b p. 519). Les dépens peuvent toutefois aussi être alloués lorsque d'autres circonstances particulières le justifient, selon l'art. 2 al. 2 du tarif (RS 173.119.1). En l'occurrence, la nature de l'affaire justifie l'allocation de dépens alors même qu'il n'y a pas de valeur litigieuse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
2. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
2. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
3. Le canton de Vaud versera à la recourante une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens.
3. Le canton de Vaud versera à la recourante une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie au représentant de la recourante, à la Présidente du Tribunal des mineurs Hélène Châtelain et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 15 janvier 2004
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: