Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 29. Juni 2006 hob die IV-Stelle für Versicherte im Ausland die halbe Invalidenrente, die sie R._ seit 1. August 1996 zahlte, rückwirkend auf den 1. Juli 2000 hin auf, woran sie mit rechtskräftig gewordenem Einspracheentscheid vom 3. September 2007 festhielt. Am 19. November 2007 forderte sie die für die Zeit ab 1. Juli 2000 zu Unrecht ausgerichteten Rentenbetreffnisse im Gesamtbetrag von Fr. 98'336.- verfügungsweise zurück, wobei sie gleichzeitig auf die Möglichkeit eines Erlassgesuchs hinwies. Mit Schreiben vom 9. Dezember 2007, welchem das ausgefüllte und unterzeichnete Formular "Ergänzungsblatt 3" mit dem Titel: "Zur Abklärung, ob dem Gesuch um Erlass der Rückerstattungsforderung stattgegeben werden kann" beilag, wandte sich R._ an die IV-Stelle, welche die Eingabe als Erlassgesuch entgegennahm und das Begehren mangels Gutgläubigkeit beim Leistungsbezug mit Verfügung vom 16. Juni 2008 ablehnte.
B. Das Bundesverwaltungsgericht gelangte auf Beschwerde hin zum Schluss, die IV-Stelle hätte ihm die Eingabe vom 9. Dezember 2007 zur Behandlung als Beschwerde gegen die Rückforderungsverfügung vom 19. November 2007 überweisen müssen. Als beschwerdeweise angefochten betrachtet bezeichnete es die verfügte Rückerstattungsforderung als verwirkt. Es hob deshalb die Rückerstattungsverfügung mit Entscheid vom 26. Mai 2010 auf und erklärte gleichzeitig die einen Erlass ablehnende Verfügung vom 16. Juni 2008 als gegenstandslos geworden.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde mit dem Begehren um Aufhebung des Entscheids des Bundesverwaltungsgerichts.
R._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichten.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft indessen nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2. Laut <ref-law> sind unrechtmässig bezogene Leistungen zurückzuerstatten (Satz 1); wer Leistungen in gutem Glauben empfangen hat, muss sie nicht zurückerstatten, wenn eine grosse Härte vorliegt (Satz 2). Gemäss Abs. 2 derselben Bestimmung erlischt der Rückforderungsanspruch mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber mit dem Ablauf von fünf Jahren nach der Entrichtung der einzelnen Leistung (Satz 1).
3. 3.1 Wie das Bundesverwaltungsgericht richtig erkannte, konnte die Eingabe der heutigen Beschwerdegegnerin vom 9. Dezember 2007 nicht nur als Erlassgesuch, sondern auch als Beschwerde gegen die Rückerstattungsverfügung 19. November 2007 verstanden werden. Sie wäre deshalb von der IV-Stelle an das Bundesverwaltungsgericht zu überweisen gewesen, damit dieses darüber und gegebenenfalls über die Rechtsbeständigkeit der Rückerstattungsforderung befinde. Erst nach Verneinung der Beschwerdecharakters der Eingabe vom 9. Dezember 2007 oder gerichtlicher Bestätigung der verfügten Rückerstattungsforderung hätte die Verwaltung zur Prüfung der Erlassfrage übergehen können (vgl. Urteil P 61/02 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 2. September 2003, E. 2.3 und 5).
3.2 Die Beschwerde führende IV-Stelle ist der Auffassung, die für den Beginn des Fristenlaufs für die in <ref-law> vorgesehene Verwirkung massgebende Kenntnis des Rückforderungstatbestandes setze voraus, dass auch der Rückforderungsbetrag bekannt sei. Dies ist an sich unbestritten und gibt zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Unzutreffend hingegen ist, dass im Zeitpunkt der rückwirkenden Rentenaufhebung mit Verfügung vom 29. Juni 2006 weder der Rückforderungsanspruch als solcher noch der Rückforderungsbetrag in hinreichender Weise feststanden. Dies ist nicht - wie die Beschwerde führende IV-Stelle argumentiert - erst nach Eintritt der Rechtskraft des die Rentenaufhebung bestätigenden Einspracheentscheids vom 3. September 2007 der Fall gewesen. Wird gegen eine Rentenaufhebung Beschwerde erhoben, beginnt die einjährige Frist für die Geltendmachung des daraus resultierenden Rückforderungsanspuchs nicht erst nach rechtskräftigem Abschluss des Rechtsmittelverfahrens zu laufen. Etwas derartiges jedenfalls ergibt sich aus dem Gesetzestext in <ref-law> nicht und wurde auch von der Rechtsprechung nie verlangt. Vielmehr genügt, dass der IV-Stelle, als sie am 29. Juni 2006 die Rentenaufhebung verfügte, der Rückforderungstatbestand hinlänglich bekannt war und sich auch der seit 1. Juli 2000 zu viel ausbezahlte Rentenbetrag ohne grossen Aufwand innert kürzester Zeit hätte ermitteln lassen. Die über ein Jahr später verfügte Rückforderung ist daher eindeutig als verwirkt zu betrachten.
3.3 Damit aber hat die Vorinstanz die Rückforderungsverfügung vom 19. November 2007 mit Recht aufgehoben, womit die Prüfung eines Erlassgesuchs hinfällig wurde.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und 4 lit. a BGG) von der Beschwerde führenden IV-Stelle als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>). Da es bei einer Streitigkeit um eine Rückforderung rechtsprechungsgemäss um Versicherungsleistungen geht, ist deren Höhe nicht nach Massgabe von Art. 65 Abs. 2 und 3 BGG, sondern von <ref-law> zu bestimmen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. November 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl