Baubewilligung; Beweiswürdigung, hat sich ergeben:
A.- Die Bausektion der Stadt Zürich erteilte der Y._ AG mit Beschluss vom 23. Mai 1997 (BSB 448/97) die Baubewilligung für die Überbauung "Y._". Mit der Bewilligung wurde die Gesamtzahl der Parkplätze im Planungsperimeter auf 643 (inkl. 45 Taxistandplätze) begrenzt (Dispositiv Ziff. I.D.1 und I.B.1.z.cc).
Der von der Bauherrschaft angerufene Regierungsrat des Kantons Zürich hob mit Beschluss vom 15. April 1998 (RRB 874/98) verschiedene Auflagen der Bausektion auf und erhöhte namentlich die Zahl der bewilligten Parkplätze. Verschiedene Parteien führten gegen den Beschluss des Regierungsrats Beschwerde beim kantonalen Verwaltungsgericht.
Diese Verfahren wurden sistiert mit dem Ziel, eine einvernehmliche Lösung unter den beschwerdeführenden Parteien zu finden.
B.- Gestützt auf ein Wiedererwägungsgesuch der Y._ AG vom 9. Juni 2000 ordnete die Bausektion mit Beschluss vom 26. Juli 2000 (BSB 807/00) mehrere Änderungen ihrer Baubewilligung vom 23. Mai 1997 an. Der Beschluss wurde neben den Verfahrensbeteiligten auch diversen Drittinteressierten, darunter dem Verein X._, zugestellt.
Mit Rekurs vom 30. August 2000 gelangte der Verein X._ an den Regierungsrat des Kantons Zürich. Dieser trat wegen Nichteinhaltung der Rechtsmittelfrist mit Beschluss vom 1. November 2000 (RRB 1689/00) auf den Rekurs nicht ein. Eine hiergegen gerichtete Beschwerde des Vereins X._ vom 7. Dezember 2000 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. Februar 2001 ab. Auch das Verwaltungsgericht ging davon aus, dass der Rekurs gegen den BSB 807/00 nach Ablauf der Rechtsmittelfrist der Post übergeben worden war.
C.- Der Verein X._ reichte gegen das Urteil vom 16. Februar 2001 am 2. April 2001 eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde, evtl. staatsrechtliche Beschwerde ein und beantragte, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Durchführung eines neuen Beweisverfahrens sowie materieller Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer machte eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, eine willkürliche Beweiswürdigung und eine rechtsungleiche Behandlung geltend. Einen Antrag auf Gewährung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde zog er in der Folge zurück.
D.- Während die Bausektion der Stadt Zürich auf eine materielle Stellungnahme verzichtete, beantragten der Regierungsrat des Kantons Zürich und die Y._ AG (vorerst) die Abweisung der Beschwerde.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat in seiner Vernehmlassung vom 30. April 2001 beantragt, die Beschwerde sei infolge Gegenstandslosigkeit abzuschreiben. Zur Begründung verwies es auf seinen Entscheid vom 6. April 2001 (VB. 1998. 00180). In jenem, zuvor längere Zeit sistierten Verfahren habe die Y._ AG ausdrücklich erklärt, soweit die Anzahl Parkplätze betreffend unterziehe sie sich den Anordnungen der Bausektion gemäss BSB 448/97. Die Y._ AG habe rechtsverbindlich auf die Erstellung der vor Verwaltungsgericht streitigen Parkplätze und in diesem Umfang auch auf das Baugesuch verzichtet. Bezüglich der Anzahl Parkplätze sei daher der Streitgegenstand im Verfahren vor Verwaltungsgericht dahingefallen. Damit sei aber auch der Streitgegenstand im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren untergegangen bzw. sei dieses gegenstandslos geworden.
Die Y._ AG hat sich mit Eingabe vom 5. Juni 2001 den Ausführungen des Verwaltungsgerichts angeschlossen und den Zuspruch einer Parteientschädigung von Fr. 6'000.-- beantragt.
Der Verein X._ vertritt in seinem Schreiben vom 15. Juni 2001 ebenfalls die Auffassung, die Beschwerde sei gegenstandslos geworden und deshalb abzuschreiben; er beantragt seinerseits eine angemessene Parteientschädigung sowohl für das bundesgerichtliche wie auch für das vorangegangene kantonale Verfahren.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat in seinem Urteil vom 6. April 2001 Vormerk genommen, dass sich die Beschwerdegegnerin Dispositiv Ziff. I.B.1.z.cc des BSB 448/97 unterzogen hat. Dieses Urteil ist in Rechtskraft erwachsen. Damit steht fest, dass die von der städtischen Bausektion bewilligte und vom Beschwerdeführer seinerzeit akzeptierte Zahl von insgesamt 643 Parkplätzen wiederum Geltung hat. Die Festsetzung der Zahl der für die Überbauung "Y._" zu bewilligenden Parkplätze bildete letztlich auch Anlass für das vorliegende Verfahren (vgl. Beschwerde Ziff. 1.3). Die Beschwerdegegnerin hat ausdrücklich bestätigt, dass sie nach dem rechtskräftigen Entscheid des Verwaltungsgerichts ein neues Baubewilligungsverfahren anstrengen würde und müsste, wenn sie allenfalls doch noch eine höhere Anzahl Parkplätze realisieren möchte. Die Parteien sind sich denn auch einig, dass mit dem Urteil des Verwaltungsgerichts vom 6. April 2001 zugleich die Grundlage des vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahrens dahingefallen ist. Damit ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde als gegenstandslos geworden am Geschäftsverzeichnis abzuschreiben.
2.- a) Wird ein Rechtsstreit gegenstandslos oder fällt er mangels rechtlichen Interesses dahin, entscheidet das Bundesgericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (Art. 40 OG in Verbindung mit Art. 72 BZP). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen. Praxisgemäss geht es dabei nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen. Vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden. Lässt sich der mutmassliche Ausgang eines Verfahrens im konkreten Fall nicht ohne weiteres feststellen, ist auf allgemeine prozessrechtliche Kriterien zurückzugreifen. Danach wird in erster Linie jene Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 494).
b) aa) Streitgegenstand im Verfahren vor Bundesgericht bildet die von Verwaltungsgericht und Regierungsrat verneinte Frage, ob der Beschwerdeführer seinen Rekurs gegen den BSB 807/00 nach Ablauf der dreissigtägigen Rechtsmittelfrist (vgl. § 22 Abs. 1 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes) eingereicht hat. Der Beschluss der Bausektion wurde dem Verein X._ am 31. Juli 2000 zugestellt. Die Rekursschrift datiert vom 30. August 2000, dem letzten Tag der Rechtsmittelfrist. Der Briefumschlag trägt demgegenüber den Poststempel vom 31. August 2000. Der Eingabe war eine Notiz des Rechtsvertreters des Beschwerdeführers beigeheftet, wonach er die Rechtsschrift am 30. August 2000 um 23.45 Uhr in einen Briefkasten der Sihlpost eingeworfen habe. Der Rechtsvertreter reichte zudem eine schriftliche Erklärung einer Anwaltskollegin zu den Akten, worin diese den geschilderten Sachverhalt bestätigte. Dessen ungeachtet stellten die kantonalen Instanzen auf das Datum des Poststempels ab und gelangten so zum Schluss, dass das Rechtsmittel verspätet eingereicht worden sei; die vom Beschwerdeführer offerierte Zeugeneinvernahme der Anwaltskollegin seines Rechtsvertreters führten sie nicht durch. Dieses Vorgehen war nach Auffassung des Beschwerdeführers willkürlich und verletzte seinen Anspruch auf rechtliches Gehör.
bb) Vorliegend spricht einiges dafür, dass die Beschwerde gutzuheissen wäre. Für die Richtigkeit der Vorbringen des Beschwerdeführers sprechen sowohl die bei den Akten liegenden Briefumschläge, die offenbar am 9. November 2000 kurz vor Mitternacht der Post übergeben, aber dennoch mit dem Stempel des Folgetages versehen wurden, als auch die schriftliche Bestätigung einer Anwältin, dass der fragliche Rekurs tatsächlich am 30. August 2000 kurz vor Mitternacht der schweizerischen Post übergeben worden sei. Der Ausgang des Verfahrens lässt sich aufgrund einer summarischen Prüfung aber nicht ohne weiteres feststellen, weshalb die oben dargelegten allgemeinen prozessrechtlichen Kriterien heranzuziehen sind. Es steht fest, dass einerseits Anhaltspunkte für ein Obsiegen des Beschwerdeführers bestehen, anderseits die Beschwerdegegnerin die Gründe gesetzt hat, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben. Unter diesen Umständen ist es gerechtfertigt, von der Auferlegung von Gerichtskosten und dem Zuspruch von Parteientschädigungen abzusehen.
c) Was den Entscheid über die Kosten und Parteientschädigungen im kantonalen Verfahren anbelangt, so könnte das Bundesgericht diesen nur abändern, wenn es auch den Entscheid in der Sache selbst ändern würde (Art. 157 und 159 Abs. 6 OG; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 150). Dies trifft hier nicht zu.

Demnach beschliesst das Bundesgericht:
1.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
2.- Es werden keine Kosten erhoben.
3.- Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.-Dieser Beschluss wird den Parteien, der Bausektion der Stadt Zürich sowie dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 21. August 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: