Art. 8,9 und 29 BV (Zivilprozess), hat sich ergeben:
A.- Die X._ AG kündigte am 6. Juli 1998 das Arbeitsverhältnis mit A._ auf den 31. Oktober 1998.
Der Arbeitnehmer stellte sich in der Folge auf den Standpunkt, dass die vertragliche Kündigungsfrist nicht drei, sondern sechs Monate betrage. Er berief sich auf den Arbeitsvertrag, den er am 9. März 1984 mit der Aktiengesellschaft vorm. Y._ & Cie abgeschlossen hatte. Diese Gesellschaft hatte am 15. Februar 1995 ihren Geschäftsbereich "Mühle" an die damals neu gegründete Z._ AG mit Sitz in Zürich übertragen, für welche A._ seither tätig war. Ab 1. August 1997 arbeitete er für die N._ AG in deren Betrieb in O._. Die N._ AG wurde am 10. Juni 1998 von der X._ AG übernommen.
B.- A._ klagte im November 1998 beim Bezirksgericht Weinfelden gegen die X._ AG auf Zahlung von Fr.
25'837. 50 nebst 5 % Zins seit 15. Dezember 1998. Der Betrag entspricht drei Monatslöhnen und dem anteilsmässigen 13.
Monatslohn.
Das Bezirksgericht wies die Klage mit Urteil vom 9. Oktober 1999 ab. Es kam zum Schluss, dass der ursprüngliche Arbeitsvertrag des Klägers zwar auf die Z._ AG übergegangen sei, dass aber zwischen dieser Gesellschaft und der N._ AG keine rechtlichen Verbindungen bestanden hätten und insbesondere keine Betriebsübernahme im Sinne von <ref-law> erfolgt sei. Zudem sei zwischen den beiden Gesellschaften keine Übernahme des Arbeitsvertrags mit dem Kläger und auch zwischen diesem und der N._ AG keine Fortführung des früheren Arbeitsvertrages oder der Abschluss eines neuen mit identischem Inhalt vereinbart worden.
C.- Das Obergericht des Kantons Thurgau wies mit Urteil vom 16. März 2000 die Berufung des Klägers und dessen Klage ab. Das Obergericht bestätigte die Begründung des Bezirksgerichts und hielt namentlich fest, der Beweis sei nicht erbracht worden, dass das Arbeitsverhältnis mit dem Kläger von der Z._ AG auf die N._ AG übergegangen sei oder dass diese den Kläger zu den gleichen Bedingungen angestellt habe.
D.- A._ hat das Urteil des Obergerichts mit Berufung und staatsrechtlicher Beschwerde angefochten. Mit der vorliegenden Beschwerde beantragt er, dieses Urteil aufzuheben.
Das Obergericht stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde.
Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventualiter sie abzuweisen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Im angefochtenen Urteil wurde die Abnahme der vom Beschwerdeführer beantragten neuen und ergänzenden Beweise - darunter die Befragung des Zeugen B._ - zum Thema der behaupteten Übernahme seines früheren Arbeitsvertrages durch die N._ AG abgelehnt. Der Beschwerdeführer rügt als "Verfahrensfehler", dass das Obergericht angenommen habe, mit der Befragung des Zeugen B._ lasse sich die Vertragsübernahme durch die N._ AG nicht beweisen.
a) Der aus Art. 4 aBV abgeleitete, heute in <ref-law> verankerte Gehörsanspruch gewährleistet unter anderem das Recht der betroffenen Partei, vor der Fällung eines in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheids erhebliche Beweise beizubringen bzw. mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2a/aa S. 16; <ref-ruling> E. 3b S. 375; <ref-ruling> E. 2b S. 137, je mit Hinweisen). Keine Verletzung dieses Rechts liegt indessen vor, falls das kantonale Gericht Beweisanträge nicht berücksichtigt, weil sie eine nicht erhebliche Tatsache betreffen oder offensichtlich untauglich sind, oder wenn es auf Grund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen darf, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 4a S. 211; vgl. auch <ref-ruling> E. 7b S. 430).
b) Das Obergericht hat dem Beweisantrag die Erheblichkeit abgesprochen mit der Begründung, der Beschwerdeführer wolle damit seine Behauptung beweisen, dass B._ ihm einen Arbeitsvertrag mit bestimmtem Inhalt zugesichert habe, was wegen dessen fehlender Einzelzeichnungsbefugnis nicht entscheidend sei. Diese Begründung kann im Beschwerdeverfahren nicht überprüft werden. Die Erheblichkeit einer allfälligen Zusicherung ist ebenso wie die Vertretungsmacht von B._ eine Frage des Bundesrechts, die im Berufungsverfahren aufgeworfen werden muss (Art. 84 Abs. 2 OG).
c) Das Obergericht hat die Zeugenbefragung überdies mit der Begründung abgelehnt, die zu beweisende Behauptung stehe im Widerspruch zum Schreiben der N._ AG vom 9.
April 1997. In diesem mit "Anstellungsvertrag" betitelten und von B._ und C._ unterschriebenen Brief bestätigt die N._ AG dem Beschwerdeführer, dass sie ihn ab
20. Mai 1997 in ihrem Betrieb in O._ anstellen werde.
Sie teilt zudem mit, dass sie ihm den Arbeitsvertrag zustellen werde, sobald alle offenen Fragen bereinigt sein würden.
Die sinngemässe Rüge des Beschwerdeführers, das Obergericht habe den Inhalt dieses Briefes willkürlich gewürdigt, ist unbegründet. Aus dem Schreiben ergibt sich ohne weiteres, dass sich die damaligen Parteien über die Anstellung des Beschwerdeführers grundsätzlich einig waren, in Bezug auf einzelne Bedingungen des Arbeitsvertrages aber noch verhandelten. Wenn das Obergericht schloss, die Verhandlungen über offene Frage stünden im Widerspruch zur Behauptung, dem Beschwerdeführer sei die unveränderte Übernahme des Vertrages mit seiner früheren Arbeitgeberin zugesichert worden, liegt darin keine willkürliche Beweiswürdigung, womit auch die vorweggenommene Würdigung der Zeugenaussage von B._ vor <ref-law> standhält.
2.- Der Beschwerdeführer rügt sodann als Verletzung des rechtlichen Gehörs und Verstoss gegen das Willkürverbot, dass das Obergericht nicht begründe, welche Tatsachen es bei widersprüchlicher und unvollständiger Aktenlage überhaupt für gegeben erachte und warum.
Gemäss Art. 51 Abs. 1 lit. c OG haben die kantonalen Gerichte in berufungsfähigen Streitsachen das Ergebnis der Beweisführung festzustellen und anzugeben, inwieweit die Entscheidung auf der Anwendung eidgenössischer, kantonaler oder ausländischer Gesetzesbestimmungen beruht. Ist der Entscheid insofern mangelhaft, kann die kantonale Instanz zur Verbesserung angehalten werden, oder der Entscheid muss bei nicht verbesserungsfähigen Mängeln von Amtes wegen aufgehoben werden (Art. 52 OG). Diese Regelung schliesst entsprechende Rügen im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde aus (Art. 84 Abs. 2 OG). Unzulässig ist deshalb die Beschwerde, soweit damit gerügt wird, das Obergericht habe für die Anwendung des Obligationenrechts erhebliche Tatsachen nicht eindeutig festgestellt. Unklar ist im Übrigen, ob der Beschwerdeführer auch in diesem Zusammenhang rügen will, das Obergericht habe ihm das rechtliche Gehör durch Nichtabnahme erheblicher Beweise verweigert. Die Rüge würde jedenfalls die Begründungsanforderungen nicht erfüllen, welche nach ständiger Praxis gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG vorgeschrieben sind (dazu <ref-ruling> E. 1b S. 495 mit Hinweisen).
So ist der Beschwerdeschrift nicht zu entnehmen, inwiefern das Obergericht in Willkür verfallen sein soll, wenn es die Befragung der Zeugen D._ und E._ mit der Begründung ablehnte, der Beschwerdeführer habe im kantonalen Verfahren nicht dargetan, was diese Zeugen aussagen sollten. Ebenso fehlt eine hinreichende Begründung für eine allfällige Rüge, das Obergericht sei in Willkür verfallen, indem es der Sachdarstellung des Beschwerdeführers nicht gefolgt sei.
3.- Aus diesen Gründen ist die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend ist die Gerichtsgebühr dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Er hat zudem die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 13. November 2000
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: