Sachverhalt:
A. Die kantonale Beamtenversicherungskasse (BVK) plant oder ist im Begriff, ein im Eigentum des Kantons Zürich stehendes Gebäude zu vergrössern. X._ (Beschwerdeführer) ist Eigentümer eines benachbarten Grundstücks und sieht sich durch das Bauvorhaben der BVK in seinen Rechten aus einer Dienstbarkeit verletzt. Er reichte deshalb am 21. September 2011 beim Bezirksgericht Zürich eine Klage gegen den Kanton Zürich ein. Gleichzeitig verlangte er, das Bezirksgericht Zürich und alle Zürcher Bezirksgerichte hätten in den Ausstand zu treten. Er begründete sein Begehren mit dem Anschein der Befangenheit, der dadurch erweckt werde, dass alle Mitglieder der Gerichte bei der BVK und damit seiner Prozessgegnerin versichert seien, die sich in einer finanziell prekären Situation befinde. Das Bezirksgericht Zürich wies das Ablehnungsbegehren ab (Beschluss vom 17. Oktober 2011). Der Beschwerdeführer legte dagegen eine Beschwerde ein, erneuerte seine Begehren gegenüber den kantonalen Bezirksgerichten und verlangte vorweg, auch das Obergericht und sämtliche oberen Gerichte des Kantons Zürich hätten aus dem gleichen Grund in den Ausstand zu treten. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde ab (Urteil vom 3. Januar 2012).
B. Mit Eingabe vom 2. Februar 2012 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, sämtliche Mitglieder des Obergerichts und sämtliche Mitglieder der Bezirksgerichte des Kantons Zürich hätten in den Ausstand zu treten und seine Zivilklage vom 21. September 2011 sei einem erstinstanzlichen Gericht ausserhalb des Kantons Zürich zuzuweisen. Er ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren. Die kantonalen Gerichte haben auf eine Vernehmlassung zum Gesuch verzichtet. Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt (Verfügung vom 14. Februar 2012). Es sind die Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil ist in einer Streitigkeit um eine Dienstbarkeit und damit in einer Zivilsache (<ref-law>) ergangen, deren Streitwert gemäss den Feststellungen des Obergerichts den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- überschreitet (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1c/cc S. 492). Es ist kantonal letztinstanzlich, was den Ausstand aller an den Bezirksgerichten tätigen Gerichtspersonen angeht, und unterliegt der Beschwerde auch mit Bezug auf den Ausstand der Mitglieder der oberen kantonalen Gerichte (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 und E. 2.2 S. 426). Es lautet entgegen den Begehren des Beschwerdeführers (<ref-law>) und muss als Zwischenentscheid über den Ausstand sofort angefochten werden (<ref-law>). Auf die - im Weiteren fristgerecht erhobene (<ref-law>) - Beschwerde kann eingetreten werden.
2. Eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law> und <ref-law>) erblickt der Beschwerdeführer darin, dass das Obergericht auf seine Beweisofferte Nr. 6 und die Beweisofferte Nr. II im bezirksgerichtlichen Verfahren nicht eingegangen sei (S. 14 Rz. 44 und 45 der Beschwerdeschrift).
2.1 Der vom Beschwerdeführer als verletzt gerügte Anspruch auf rechtliches Gehör findet seine Grundlage in <ref-law>, wonach die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör haben (Abs. 1) und insbesondere die Akten einsehen und Kopien anfertigen lassen können, soweit keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen (Abs. 2). Mit <ref-law> wird der in <ref-law> als verfassungsrechtliche Minimalgarantie verankerte Anspruch auf rechtliches Gehör für den Anwendungsbereich der ZPO auf Gesetzesstufe geregelt. Die vom Bundesgericht zu <ref-law> entwickelte Praxis ist auch für die Auslegung von <ref-law> zu berücksichtigen (vgl. Urteil 5A_31/2012 vom 5. März 2012 E. 4.3, mit Hinweis insbesondere auf die Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO) vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7221 S. 7274 Ziff. 5.3.1 zu Art. 51 E-ZPO).
2.2 Zur Begründung seines Ausstandsbegehrens vor Bezirksgericht hat der Beschwerdeführer geltend gemacht, es sei gerichtsnotorisch, dass die BVK in finanziellen Schwierigkeiten stecke und der Deckungsgrad noch knapp über 80 % liege. Für den Bestreitungsfall hat der Beschwerdeführer mehrere Beweismittel angeboten ("BO II"). Da das Bezirksgericht die Abweisung des Ausstandsbegehrens mit den absolut marginalen Folgen des Prozesses für die einzelnen Versicherten begründet hatte, hat der Beschwerdeführer vor Obergericht die Einholung von Gerichtsgutachten zu den Fragen beantragt, wie hoch der mögliche Schaden bei Umprojektierung unter Rücksichtnahme auf die bestehende Dienstbarkeit sei und wie sich dieser Schaden auf die Zwangssanierung der BVK auswirke ("BO 6").
2.3 Das Obergericht ist davon ausgegangen, dass sich die BVK in einer finanziell ausgesprochen schlechten Lage befinde (E. 3.4 S. 7) und dass es auf die genaue Höhe des Schadens nicht ankomme und bereits ein geringfügiger Betrag eine gewisse Besorgnis der fehlenden Entscheid-Offenheit als verständlich erscheinen lassen könnte (E. 3.4 S. 9 des angefochtenen Urteils). Insoweit ist das Obergericht dem Beschwerdeführer gefolgt. Dass es auf dessen Beweisofferten nicht eingegangen ist, kann die angerufene Prüfungs- und Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör deshalb nicht verletzen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 3.6.5 S. 520 und 670 E. 3.3.1 S. 677).
3. Dass das Obergericht sein Ausstandsbegehren abgewiesen hat, rügt der Beschwerdeführer als Verletzung von <ref-law>, von <ref-law> und von Art. 6 EMRK (S. 13 ff. Rz. 43-47). Er begründet sein Ausstandsbegehren damit, dass das gesamte kantonale Gerichtspersonal bei der BVK als seiner Prozessgegnerin versichert sei und in Anbetracht der schlechten finanziellen Lage der BVK den Rechtsstreit nicht mehr unbefangen beurteilen könne (S. 6 ff. der Beschwerdeschrift).
3.1 Gemäss <ref-law> tritt eine Gerichtsperson in den Ausstand, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse hat (lit. a) oder wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder ihrer Vertretung, befangen sein könnte (lit. f). Die Vorschrift über "Ausstandsgründe" (Marginalie) konkretisiert den verfassungsmässigen Anspruch auf ein unparteiisches Gericht (<ref-law>). Die zu dieser Bestimmung ergangene Rechtsprechung hat deshalb weiterhin Geltung (vgl. Urteil 4A_286/2011 vom 30. August 2011 E. 3.1, mit Hinweis auf die Botschaft, a.a.O., S. 7272 Ziff. 5.2.3 zu Art. 45 E-ZPO).
3.2 In Auslegung von <ref-law> ist fallbezogen Folgendes zu beachten:
3.2.1 Die Vorschrift gewährleistet den Anspruch der Parteien im Zivilprozess darauf, dass ihre Sache von einer unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Gerichtsperson ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Sie soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Voreingenommenheit und Befangenheit werden angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit der Gerichtsperson zu erwecken. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Dabei genügt der Anschein der Befangenheit. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass die Gerichtsperson tatsächlich befangen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; <ref-ruling> E. 5.2 S. 452).
3.2.2 Keine Gerichtsperson kann losgelöst von der sozialen Wirklichkeit urteilen und keine Gerichtsperson wird jemals restlos frei von Einflüssen sein, wie den gesellschaftlichen Sitten, Gewohnheiten, Werturteilen, der öffentlichen Meinung oder bestimmten politischen Ereignissen u.Ä. (vgl. <ref-ruling> E. 6a S. 162 f.). Nicht jede denkbare Mitbetroffenheit einer Gerichtsperson kann dazu führen, dass sie als befangen und voreingenommen und damit ausstandspflichtig gelten muss. Ein gewisses indirektes oder abstraktes persönliches Interesse der mitwirkenden Gerichtsperson am Ausgang des Verfahrens ist in Fällen hinzunehmen, die eine Vielzahl von Personen in gleicher Weise betreffen, wie z.B. die Beurteilung einer Verkehrsregelung auf Strassen, die auch die Gerichtsperson gelegentlich mitbenützt. In diesen und vergleichbaren Fällen kann und muss von einer Gerichtsperson erwartet werden, dass sie von der eigenen persönlichen Lage abstrahiert und objektiv urteilt, und nur bei Vorliegen einer qualifizierten Betroffenheit durch einen Entscheid darf angenommen werden, dass ein persönliches Interesse der Gerichtsperson gegeben ist, das sie als befangen erscheinen lässt und ihre Mitwirkung bei der Entscheidfindung ausschliessen muss (z.B. in einer Steuerangelegenheit: <ref-ruling> E. 4.3 S. 390; vgl. MERKLI/AESCHLIMANN/HERZOG, Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, 1997, N. 10 zu Art. 9 VRPG; REGINA KIENER, Richterliche Unabhängigkeit, 2001, S. 92 ff. und S. 96; vgl. zum wörtlich gleichlautenden <ref-law>: Urteil 4A_162/2010 vom 22. Juni 2010 E. 2.2, mit Hinweis insbesondere auf FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 14, und ISABELLE HÄNER, in: Basler Kommentar, 2008, N. 8, je zu <ref-law>).
3.2.3 Der Ausstand muss die Ausnahme bleiben und darf nicht leichtfertig bejaht werden, bestünde doch andernfalls die Gefahr, dass die regelhafte Zuständigkeitsordnung für die Gerichte und damit der Anspruch auf Beurteilung durch die ordentlichen, durch Rechtssatz bestimmten Gerichte ausgehöhlt werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 6a S. 163; <ref-ruling> E. 3b S. 477). Auch müssen die Anforderungen an den Ausstand aller Mitglieder eines Gerichts oder aller Gerichtspersonen eines ganzen Kantons strenger sein als an den Ausstand einer einzelnen Gerichtsperson (vgl. <ref-ruling> E. 6b S. 164).
3.3 In tatsächlicher Hinsicht steht fest, dass die BVK die Alters- und Risikoleistungen für das Staatspersonal erbringt, d.h. für über 76'000 Versicherte bei einem Vorsorgekapital von rund 21 Milliarden Franken (Stand: 2010), dass auch sämtliche Gerichtspersonen des Kantons bei der BVK und damit bei der Prozessgegnerin des Beschwerdeführers versichert sind und dass die BVK sich in finanziellen Schwierigkeiten befindet. Der Ausgang des Zivilprozesses, der die BVK unter Umständen an der Verwirklichung ihres Bauvorhabens ganz oder teilweise hindert und damit allenfalls ihre Geschäftstätigkeit beeinträchtigt, kann eine Gerichtsperson somit in ihren eigenen Interessen treffen. Mehr als eine indirekte oder mittelbare Betroffenheit liegt indessen nicht vor. Der Entscheid über die Begehren des Beschwerdeführers gegen die BVK begründet für sich allein keinen Anschein der Befangenheit, selbst wenn der Entscheid dereinst zugunsten oder zulasten der mitwirkenden Gerichtspersonen als Versicherte wirken könnte. Tatsachen aber, die ein erhebliches persönliches Interesse und eine insoweit qualifizierte Betroffenheit einer Gerichtsperson begründen, hat der Beschwerdeführer nicht glaubhaft gemacht (vgl. <ref-law>; vgl. AUBRY GIRARDIN, a.a.O., N. 15 zu <ref-law>).
3.4 Seine gegenteilige Ansicht begründet der Beschwerdeführer zur Hauptsache mit dem Entscheid des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) im Fall "Pescador Valero".
3.4.1 Es ist in der Rechtsprechung anerkannt, dass der Anschein einer Befangenheit bei beruflichen und finanziellen Verbindungen zu einer Partei gegeben sein kann (vgl. JENS MEYER-LADEWIG, EMRK. Europäische Menschenrechtskonvention, Handkommentar, 3. Aufl. 2011, N. 85 zu Art. 6 EMRK). Im Urteil i.S. Pescador Valero gegen Spanien vom 17. Juni 2003 (Recueil CourEDH 2003-VII S. 103 ff.) wurde eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK bejaht, weil ein Richter des Berufungsgerichts als ausserordentlicher Professor für die im Zivilprozess beklagte Universität entgeltlich tätig war (vgl. FROWEIN/PEUKERT, Europäische Menschenrechtskonvention. EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 233 zu Art. 6 EMRK).
3.4.2 Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers kann dem Urteil i.S. Pescador Valero nicht entnommen werden, dass das Ausmass der wirtschaftlichen Beziehung für den Anschein der Befangenheit keine Rolle spiele, heisst es doch in Ziff. 27 wörtlich: "Par ailleurs, au titre de son enseignement, il [le magistrat] percevait de l'université des émoluments périodiques qui ne sauraient être qualifiés de négligeables" (Recueil CourEDH 2003-VII S. 113). Im Urteil i.S. Steck-Risch u.a. gegen Liechtenstein vom 19. Mai 2005 (Nr. 63151/00) hat der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) dann auch festgehalten, dass die blosse Anwaltsgemeinschaft zwischen einem nebenamtlichen Richter der oberen Instanz und einem nebenamtlichen Richter der unteren Instanz keinen Anschein der Befangenheit wegen beruflichen oder finanziellen Verbindungen begründe, weil der Richter hier im Gegensatz zum Fall "Pescador Valero" kein Entgelt von einer Prozesspartei bezahlt erhalten hat (Urteil i.S. Steck-Risch, Ziff. 46).
3.4.3 Aus dem Urteil i.S. Pescador Valero kann der Beschwerdeführer für den hier zu beurteilenden Fall nichts ableiten. Solange die kantonalen Gerichtspersonen im Amt sind und in seinem Zivilprozess mitwirken, erhalten sie von der BVK keine Zahlungen, sondern erwerben lediglich eine Anwartschaft auf Leistungen im Versicherungsfall, deren künftige Höhe zudem schwer abschätzbar ist, hängt sie doch vom behördlich festgesetzten und wiederholt geänderten Mindestzinssatz für Altersguthaben der beruflichen Vorsorge (von 1.5 % ab 1. Januar 2012; vgl. Art. 12 der Verordnung über die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge, BVV 2, SR 831.441.1) und vom dereinst geltenden und ebenfalls Änderungen unterworfenen Mindestumwandlungssatz (heute 6.8 %; vgl. Art. 14 Abs. 2 des Bundesgesetzes über die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge, BVG, SR 831.40) ab. Die mitwirkenden Gerichtspersonen erhalten somit während ihrer Amtstätigkeit keine direkten Zahlungen einer Prozesspartei und ihre künftigen Ansprüche sind der Höhe nach ungewiss, so dass ein Anschein der Befangenheit wegen finanziellen Verbindungen auch unter dem Blickwinkel von Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht ersichtlich ist.
3.5 Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit der Ausstand damit begründet wird, dass sämtliche Gerichtspersonen des Kantons bei der BVK und damit bei der Prozessgegnerin des Beschwerdeführers versichert sind und dass die BVK sich in einer finanziell ausgesprochen schwierigen Lage befindet.
4. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, dass das Obergericht befangen sei, werde durch die Vorentscheide bestätigt. Verfahrensfehler erblickt der Beschwerdeführer darin, dass das Obergericht keine Vernehmlassungen eingeholt habe oder festhalte, die Untersuchungsmaxime gelte nicht, und den Anschein der Befangenheit wecke auch der teilweise eigenartige und befremdliche Tenor des angefochtenen Urteils (S. 10 ff. Rz. 34-42 der Beschwerdeschrift). Ob die Beanstandungen berechtigt sind, kann dahingestellt bleiben. Verfahrensfehler der behaupteten Art rechtfertigen die Gutheissung von Ausstandsbegehren grundsätzlich nicht. Es handelt sich dabei auch nicht um besonders krasse Fehler oder wiederholte Irrtümer, die eine schwere Verletzung der Pflichten einer Gerichtsperson darstellen (vgl. <ref-ruling> E. 3e S. 124; EGLI/KURZ, La garantie du juge indépendant et impartial dans la jurisprudence récente, Recueil de jurisprudence neuchâteloise, RJN 1990, S. 9 ff., S. 23 f. Ziff. 3 mit Hinweisen).
5. Insgesamt muss die Beschwerde abgewiesen werden. Der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig (<ref-law>), hingegen nicht entschädigungspflichtig (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Zürich, dem Kanton Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: von Roten