Sachverhalt:
A. Mit Verfügungen vom 22. und 24. Juni 2009 ordnete das Untersuchungsrichteramt des Kantons Thurgau gegenüber den Banken UBS AG und Wegelin & Co. die Sperrung der Konten von X._ an. Ein Gesuch um Aufhebung der Kontosperren wies das Untersuchungsrichteramt mit Verfügung vom 30. Juni 2009 ab. Eine hiergegen gerichtete Beschwerde wurde von der Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 14. August 2009 ebenfalls abgewiesen. X._ gelangte in der Folge mit Beschwerde an die Anklagekammer des Kantons Thurgau. Mit Entscheid vom 27. Oktober 2009 wies die Anklagekammer das Rechtsmittel ab.
Auf Beschwerde von X._ hin hob das Bundesgericht den Entscheid der Anklagekammer wegen Verletzung der Begründungspflicht auf und wies die Angelegenheit zur neuen Beurteilung zurück (Urteil 1B_359/2009 vom 2. März 2010). Am 1. Juni 2010 fällte die Anklagekammer einen neuen Entscheid. Wiederum wies sie die Beschwerde von X._ ab.
B. Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 7. Juli 2010 beantragt X._ im Wesentlichen, der Beschwerdeentscheid vom 1. Juni 2010 sowie die Sperre ihrer Konten bei der UBS AG und bei Wegelin & Co. seien aufzuheben.
Das Kantonale Untersuchungsrichteramt schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft und die Anklagekammer beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. In ihrer Stellungnahme dazu hielt die Beschwerdeführerin im Wesentlichen an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest. Die Anklagekammer liess sich daraufhin erneut vernehmen, während das Kantonale Untersuchungsrichteramt auf eine weitere Stellungnahme ausdrücklich verzichtete. Die Staatsanwaltschaft reichte keine zweite Vernehmlassung ein.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht beurteilt Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen (<ref-law>). Mit dem vorliegend angefochtenen Entscheid wird die Anordnung einer Beschlagnahme (Kontensperre) in einem laufenden Strafverfahren aufrechterhalten. Es handelt sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über eine Zwangsmassnahme, die einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 131; Urteil 1B_359/2009 vom 2. März 2010 E. 1.1; je mit Hinweisen). Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
Die Beschlagnahme zur Sicherung einer allfälligen Einziehung ist eine vorsorgliche Massnahme (<ref-ruling> E. 1c S. 102; Urteil 1B_359/2009 vom 2. März 2010 E. 1.2). Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin rügt, der angefochtene Entscheid stütze sich auf zwei Dokumente, in welche sie nicht vorgängig habe Einsicht nehmen können. Es handle sich dabei um einen Auszug aus einem Finanzermittlungsbericht und um eine Abtretungserklärung. Die bei der Übermittlung per Fax generierte Kopfzeile zeige, dass diese Aktenstücke der Vorinstanz vom Kantonalen Untersuchungsrichteramt am 31. Mai 2010, also einen Tag vor Urteilsfällung, übermittelt worden seien. Dadurch sei einerseits das rechtliche Gehör (<ref-law>) verletzt worden, aber auch ihr Anspruch auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht (<ref-law>). Es liege keine Aktennotiz dazu vor, wie und weshalb die beiden Dokumente eingefordert worden seien. Die Vorinstanz habe sich durch den informellen Kontakt zum Werkzeug des Kantonalen Untersuchungsrichteramts und der Staatsanwaltschaft gemacht.
Vorliegend ist zunächst die Rüge der Verletzung von <ref-law>, dann jene der Verletzung von <ref-law> zu prüfen.
2.2 Die Vorinstanz hält in ihrer Vernehmlassung vom 28. Juli 2010 zuhanden des Bundesgerichts fest, die Abtretungserklärungen vom 5. Oktober 2001 und vom 14. Oktober 2002 seien bereits Gegenstand des Beschwerdeentscheids der Staatsanwaltschaft vom 14. August 2009 gewesen. Der Beschwerdeführerin, welche die beiden Erklärungen ja auch selbst unterschrieben habe, sei deshalb bekannt gewesen, dass diese für die Beurteilung des Tatverdachts wesentlich sein würden.
2.3 Das rechtliche Gehör gemäss <ref-law> dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen. Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht somit alle Befugnisse, der eine Partei bedarf, um in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 293 mit Hinweisen).
Das Akteneinsichtsrecht ist nach dem Gesagten Ausfluss des rechtlichen Gehörs. Es bezieht sich auf sämtliche verfahrensbezogenen Akten, die geeignet sind, Grundlage des Entscheids zu bilden. Die Akteneinsicht ist auch zu gewähren, wenn dadurch der Entscheid in der Sache nicht beeinflusst werden kann. Die Einsicht in die Akten, die für ein bestimmtes Verfahren erstellt oder beigezogen wurden, kann demnach nicht mit der Begründung verweigert werden, die betreffenden Dokumente seien für den Verfahrensausgang belanglos. Es muss dem Betroffenen selber überlassen sein, die Relevanz der Akten zu beurteilen. Um Akteneinsicht zu erhalten, haben die Rechtsuchenden grundsätzlich ein Gesuch einzureichen. Dies bedingt, dass sie über den Beizug neuer verfahrensbezogener Akten, welche sie nicht kennen und auch nicht kennen können, informiert werden (<ref-ruling> E. 3.2 und 6.2 S. 389 ff. mit Hinweisen).
2.4 Zur Begründung des dringenden Tatverdachts auf Geldwäscherei zitiert die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid aus einer Anklageschrift vom 28. September 2006 der Staatsanwaltschaft Mannheim, welche ihrerseits auf einen zusammenfassenden Finanzermittlungsbericht verweist. Gemäss der Beschwerdeschrift handelt es sich dabei um jenen Bericht, welcher am 31. Mai 2010 auszugsweise von der Vorinstanz den Verfahrensakten beigefügt wurde. Die Vorinstanz selbst stellt dies nicht in Abrede. Sie äussert sich stattdessen in ihrer Vernehmlassung lediglich zu der von der Beschwerdeführerin ebenfalls genannten Abtretungserklärung. Wie es sich damit verhält, kann vorliegend jedoch offen bleiben. Indem die Vorinstanz mit dem Finanzermittlungsbericht ein Aktenstück beigezogen hat, dass geeignet war, Grundlage ihres Entscheids zu bilden, ohne der Beschwerdeführerin Gelegenheit zu geben, es einzusehen und sich dazu zu äussern, hat sie den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
2.5 Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, denen in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite zukommt, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei. Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Letzteres betrifft vor allem Konstellationen einer Vorbefassung des Richters. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 210 mit Hinweisen).
2.6 Der Umstand allein, dass die Vorinstanz der Beschwerdeführerin das rechtliche Gehör nicht gewährt und über den Beizug der beiden Aktenstücke keine Aktennotiz angelegt hat, ist objektiv betrachtet nicht geeignet, Misstrauen in ihre Unvoreingenommenheit zu begründen. Die Rüge der Verletzung von <ref-law> ist unbegründet.
3. Nach dem Gesagten ergibt sich, dass die Beschwerde teilweise gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben ist. Die Angelegenheit wird zur neuen Beurteilung unter Gewährung des rechtlichen Gehörs an die Vorinstanz zurückgewiesen. Soweit die Beschwerdeführerin darüber hinaus die Aufhebung der Kontensperre verlangt, ist die Beschwerde abzuweisen.
Diesem Ausgang entsprechend sind im bundesgerichtlichen Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Thurgau hat der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin eine dem Aufwand entsprechende Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der angefochtene Entscheid aufgehoben. Die Angelegenheit wird zur neuen Beurteilung an die Anklagekammer des Kantons Thurgau zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Thurgau hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin sowie dem Kantonalen Untersuchungsrichteramt, der Staatsanwaltschaft und der Anklagekammer des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold