Sachverhalt:
A. S._, geboren 1954, arbeitet seit April 1984 als Sachbearbeiter für die Firma X._ AG. Im August 2008 wurde bei ihm ein Lungentumor diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % attestiert. Am 22. September 2008 wurde er operiert; an den Spitalaufenthalt anschliessend weilte er bis zum 18. Oktober 2008 in einer stationären pulmonalen Rehabilitation.
Nachdem S._ am 5. Januar 2009 seine Arbeit zu 50 % wiederaufgenommen hatte, meldete er sich am 30. Januar 2009 zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Mit Vorbescheid vom 13. Januar 2010 teilte ihm die IV-Stelle Basel-Stadt mit, bei einem Invaliditätsgrad von 50 % werde ab August 2009 eine halbe und bei einem solchen von 30 % ab 1. März 2010 keine Rente mehr ausgerichtet. Sie stützte sich dabei auf medizinische Abklärungen bei behandelnden Ärzten (Thoraxchirurgie Universitätsspital Y._, Klinik A._ sowie Dres. med. T._, Facharzt Innere Medizin FMH, und N._, Fachärztin Innere Medizin FMH, Psychosoziale und Psychosomatische Medizin) sowie auf das von ihr in Auftrag gegebene Gutachten des Zentrums B._ vom 24. Dezember 2009. Mit Verfügung vom 22. April 2010 sprach sie S._ für die Zeit von August 2009 bis Februar 2010 eine befristete halbe Rente zu.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 21. September 2010 gut. Es verpflichtete die IV-Stelle, S._ ab März 2010 weiter eine halbe Rente auszurichten.
C. Die IV-Stelle Basel-Stadt führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt Aufhebung des angefochtenen Entscheides und Bestätigung der Verfügung vom 22. April 2010.
S._ beantragt Nichteintreten, eventualiter Abweisung der Beschwerde. Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
1.2 Die Ergebnisse der Beweiswürdigung im Allgemeinen und insbesondere die auf der Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten beruhenden gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitsschaden und zur (Rest-)Arbeitsfähigkeit sind tatsächlicher Natur (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398 f.; vgl. Entscheid I 9/07 vom 9. Februar 2007 E. 4) und somit einer bundesgerichtlichen Korrektur nur nach Massgabe des <ref-law> zugänglich. Zu den in dieser Bestimmung erwähnten, frei zu prüfenden Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gehören u.a. die Missachtung der bundesrechtlichen Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (vgl. Urteil I 853/06 vom 3. Oktober 2007 E. 4.1 am Anfang; zu den einzelnen Beweisanforderungen: <ref-ruling> E. 3 S. 352 ff., 122 V 157 E. 1c S. 160 ff., je mit Hinweisen), des Untersuchungsgrundsatzes, der Pflicht zu inhaltsbezogener, umfassender, sorgfältiger und objektiver Beweiswürdigung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 400) sowie der Regeln über die antizipierte Beweiswürdigung (dazu im Einzelnen: Urteil 9C_833/2007 vom 4. Juli 2008 E. 2.2; Urteil I 362/99 vom 8. Februar 2000 E. 4, mit Hinweisen, in: SVR 2001 IV Nr. 10 S. 28).
2. Streitig ist der Rentenanspruch ab März 2010. Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen und die Rechtsprechung zur Invalidität erwerbstätiger Versicherter (<ref-law>), zum Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law>), zur Bemessung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), zur revisionsweisen Anpassung der Invalidenrente nach <ref-law>, zur Aufgabe von Ärztinnen und Ärzten bei der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 4 S. 261) sowie zum Beweiswert medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3a-c S. 352 ff.) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Es ist unumstritten, dass aus somatischer Sicht bei leichten bis mittelschweren Tätigkeiten die Arbeitsfähigkeit nicht eingeschränkt ist (vgl. Teilgutachten Dr. med. K._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin speziell Lungenkrankheiten, vom 28. November 2009).
4. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die psychisch bedingten Beschwerden hätten sich erheblich zurückgebildet, weshalb ab März 2010 kein Rentenanspruch mehr bestehe.
4.1 Der Gutachter des Zentrums B._ Dr. med. F._ hat am 7. Dezember 2009 eine rezidivierende depressive Störung, aktuell remittiert (ICD-10 F33.4) sowie eine Somatisierungsneigung (ICD-10 F45.0) diagnostiziert und zur Arbeitsfähigkeit festgehalten, es bestehe noch eine gewisse Restsymptomatik; der Explorand sei schneller erschöpfbar und benötige längere Erholungsphasen. Es könne dadurch noch eine 30-prozentige Einschränkung der Arbeitsfähigkeit in der bisherigen und jeder anderen Tätigkeit begründet werden. Die Einschränkung der Arbeitsfähigkeit bestehe sicher seit Mitte 2009, wobei eine 50-prozentige Einschränkung damals noch zu rechtfertigen gewesen sei. Nach dem bisherigen Verlauf könne von einer Besserung in Zukunft ausgegangen werden.
4.2 Die behandelnde Ärztin Dr. med. N._ hat danach mit Schreiben vom 1. Februar und 18. Mai 2010 festgehalten, nach ihrer Beurteilung der körperlichen und seelischen Verfassung des Patienten sei dieser höchstens zu 50 % arbeitsfähig. Der Ausgleich durch nachmittägliche naturnahe Spaziergänge mit dem Hund ermögliche, dass der Versicherte überhaupt soviel zu leisten vermöge. Müsste er auch nachmittags arbeiten, würde die Regeneration wegfallen.
4.3 Die Vorinstanz erachtete die Ausführungen der Dr. med. N._ als schlüssiger als diejenigen des Dr. med. F._. Namentlich erschien ihr das Argument des Gutachters, der Versicherte sollte mehr arbeiten können, da er auch in der Lage sei, sich am Nachmittag verschiedentlich zu betätigen und zu aktivieren, nicht stichhaltig. Dieser habe gegenüber dem Experten angegeben, er gehe am Nachmittag spazieren, da er sich gerne in der Natur aufhalte. Er versuche, sich körperlich etwas zu aktivieren. Vielleicht habe er am Nachmittag irgendwelche Termine oder Therapien auf dem Laufband oder Körpertraining. Diesen Ausführungen könne nicht entnommen werden, dass der Beschwerdegegner am Nachmittag ein dichtgedrängtes, strapaziöses Freizeitprogramm absolviere. Der Einwand der Ärztin, die naturnahen Spaziergänge dienten gerade dazu, dass Kraft getankt werde, um die 50-prozentige Tätigkeit überhaupt bewältigen zu können, sei vor diesem Hintergrund ohne Weiteres nachvollziehbar. Unter Berücksichtigung dieser und weiterer Umstände erschien der Vorinstanz die von Dr. med. F._ geltend gemachte Verbesserung des Gesundheitszustandes nicht plausibel.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin rügt, die von der Vorinstanz als schlüssiger in ihren Ausführungen als der Administrativexperte eingestufte Dr. med. N._ sei nicht Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie und besitze erst seit 2009 einen Fähigkeitsausweis Psychosomatik und Psychosoziale Medizin. Der Gutachter Dr. med. F._ sei als Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie und aufgrund seiner langjährigen Erfahrung als Gutachter besser in der Lage, zum psychischen Zustand des Beschwerdegegners Stellung zu nehmen. Seine Beurteilung sei nicht zu beanstanden und konkrete Indizien gegen deren Zuverlässigkeit lägen nicht vor. Insbesondere würden die weitgehend unbeeinträchtigte Alltagsbewältigung und das funktionierende Sozialverhalten für eine massgebliche Verbesserung des psychischen Gesundheitszustandes sprechen. Die Vorinstanz habe den massgeblichen Sachverhalt unter Missachtung des Grundsatzes der freien Beweiswürdigung und der daraus fliessenden Pflicht zu umfassender, sorgfältiger, objektiver und inhaltlicher Beweiswürdigung festgestellt.
5.2 Der Beschwerdegegner hält dagegen, die Vorinstanz habe alle relevanten medizinischen Berichte gewürdigt und nachvollziehbar dargelegt, wie sie zu ihrem Entscheid gelangt sei, dass das Gutachten des Dr. med. F._ weniger schlüssig sei. Eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhaltes liege ebenso wenig vor wie ein Rechtsfehler.
5.3 Dass das kantonale Gericht im Rahmen freier Beweiswürdigung (<ref-law>; vorne E. 1.2) den Angaben der Frau Dr. med. N._ (über die gebotene Schonung) den Vorzug gegeben hat vor der Auffassung des medizinischen Administrativgutachters ist beweisrechtlich nicht grundsätzlich unzulässig. Dem wirklichen tatsächlichen Gehalt der Streitigkeit nach fragt sich einzig, ob die Vorinstanz dadurch Bundesrecht verletzt hat, dass sie in der Auffassung der behandelnden Ärztin einen objektiven sachlichen Grund gesehen hat, um von der Schätzung der Arbeitsunfähigkeit des Administrativexperten abzuweichen. Die aus dieser Prüfung hervorgehende Festlegung der Arbeitsunfähigkeit durch die Vorinstanz als Entscheidung über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398 f.) mag diskutabel sein, ist aber nicht offensichtlich unrichtig, geschweige denn unhaltbar oder willkürlich.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1400.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Februar 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz