Erwägungen:
1. X._ (geb. 1974) stammt aus Georgien. Er durchlief in der Schweiz - teilweise unter der nach eigenen Angaben falschen Identität A._ - erfolglos zwei Asylverfahren. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 27. Oktober 2008 in Ausschaffungshaft, welche der Haftrichter 1 am Haftgericht III Bern-Mittelland am 31. Oktober 2008 prüfte und bis zum 26. Januar 2009 bestätigte. X._ ist hiergegen am 21. November 2008 mit dem Antrag an das Bundesgericht gelangt, ihm zu helfen.
2. Auf die Eingabe ist mangels rechtsgenügender Begründung nicht einzutreten: Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Motivation zu enthalten; dabei muss in gedrängter Form dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid auseinandersetzt (<ref-ruling> E. 2.1). Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht. Die Ausführungen des Beschwerdeführers erschöpfen sich in der Erklärung, in Georgien verfolgt zu werden und nicht bereit zu sein, dorthin zurückzukehren. Der Beschwerdeführer legt auch nicht ansatzweise dar, inwiefern der angefochtene Festhaltungsentscheid Bundes(verfassungs)recht verletzen könnte.
2.1 In der Sache selber wäre seine Eingabe unbegründet: Das Bundesamt für Flüchtlinge bzw. für Migration ist am 20. April 2004 sowie am 13. Oktober 2008 auf seine Asylgesuche nicht eintgetreten und hat ihn jeweils angehalten, das Land umgehend zu verlassen. Beide Entscheide sind unangefochten in Rechtskraft erwachsen. Der Beschwerdeführer ist hier straffällig geworden, hat sein zweites Asylgesuch unter einer falschen Identität gestellt und erklärt nach wie vor, nicht bereit zu sein, in seine Heimat zurückzukehren. Gestützt auf dieses Verhalten kann nicht davon ausgegangen werden, dass er sich ohne Festhaltung den Behörden für den Vollzug seiner Ausschaffung freiwillig zur Verfügung halten wird (vgl. Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f. mit Hinweisen). Die Asyl- und Bewilligungsfrage bildet - was der Beschwerdeführer verkennt - nicht (mehr) Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens; hierüber ist bereits definitiv entschieden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220). Der Beschwerdeführer kann seine Haft verkürzen, indem er mit den Behörden kooperiert; sollte er Reisepapiere vorlegen, könnten die schweizerischen Behörden prüfen, ob ein legaler Wegweisungsvollzug in einen Drittstaat möglich ist (Art. 69 Abs. 2 AuG); andernfalls ist nur sein Heimatstaat verpflichtet, ihn zurückzunehmen (<ref-ruling> E. 4.2.2).
3. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 1, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar