Faits:
A.
X._, psychiatre au bénéfice d'une autorisation d'exercer la médecine, exploite dans le canton de Genève une clinique spécialisée en conseils médicaux diagnostiques et thérapeutiques, ainsi qu'en expertises et conseils médicaux légaux et économiques. A ce titre, il est régulièrement amené à établir des expertises à la demande des tribunaux et des assureurs.
A la suite de la publication d'un article de presse consacré au docteur X._, la Commission de surveillance des professions de la santé du canton de Genève (ci-après: la Commission de surveillance) a enregistré trois plaintes à l'encontre de ce praticien, déposées respectivement les 25 mai, 10 juin et 17 juillet 2005. Les plaignants avaient été examinés à la demande de leur assureur perte de gain par le docteur X._, entre l'automne 2003 et le printemps 2005; en bref, ils reprochaient à l'expert d'avoir fondé ses conclusions sur des rapports bâclés, imprécis, truffés d'inexactitudes et de contradictions, et contenant au surplus des propos désobligeants voire blessants à leur égard.
Par décision du 4 décembre 2008, basée sur un préavis de la Commission de surveillance du 13 novembre 2008, le Département de l'économie et de la santé du canton de Genève (ci-après: le Département cantonal) a prononcé un avertissement à l'encontre du docteur X._, aux motifs qu'il avait manqué de soin et de rigueur dans l'établissement de ses expertises, qu'il avait utilisé des termes inutilement blessants à l'égard des personnes examinées, et qu'il ne leur avait pas expliqué avec la clarté requise son rôle d'expert.
B.
Le docteur X._ a recouru contre la décision précitée du 4 décembre 2008, en concluant à son annulation.
Par arrêt du 13 octobre 2009, le Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours. Il a transmis son prononcé aux parties, à la Commission de surveillance, ainsi que, " pour information, au Tribunal cantonal des assurances sociales (du canton de Genève; ci-après: le Tribunal des assurances)."
C.
Le docteur X._ forme un recours en matière de droit public contre l'arrêt précité du Tribunal administratif. Il invoque la violation de son droit d'être entendu, de sa liberté économique et du droit à la protection de sa sphère privée. Il se plaint également d'arbitraire dans l'application de certaines normes de procédure cantonale. A titre de mesures provisionnelles, il demande à la Cour de céans de faire interdiction au Tribunal des assurances d'utiliser, communiquer ou copier, de quelque manière que ce soit, l'arrêt attaqué. Sur le fond, il prend, sous suite de frais et dépens, les conclusions suivantes:
Principalement - Admettre le présent recours interjeté par le docteur X._; - Annuler l'arrêt du Tribunal administratif en tant qu'il est communiqué au Tribunal des assurances; Cela fait - Annuler la communication de l'arrêt du Tribunal administratif au Tribunal des assurances; - Ordonner au Tribunal des assurances de restituer l'arrêt original et toute copie du Tribunal administratif du 13 octobre 2009 qui lui a été communiqué; - Faire interdiction au Tribunal des assurances d'utiliser, communiquer ou copier l'arrêt du Tribunal administratif du 13 octobre 2009; Subsidiairement - Annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 13 octobre 2009; - Renvoyer la cause au Tribunal administratif pour nouvelle décision.
Invités à se déterminer sur la requête de mesures provisionnelles contenues dans le recours, le Tribunal administratif et le Département cantonal déclarent s'en remettre à justice sur ce point. Rappelant qu'elle s'est limitée à établir un préavis, la Commission de surveillance renvoie à la décision du Département cantonal qui, selon elle, fait seule l'objet du présent recours; à cet égard, elle relève que le Tribunal des assurances n'a pas la qualité de partie intimée à la procédure.
Par ordonnance du 2 décembre 2009, le Tribunal fédéral a admis la requête de mesures provisionnelles à titre superprovisoire.

Considérant en droit:
1.
1.1. En procédure juridictionnelle administrative, ne peuvent être examinés et jugés, en principe, que les rapports juridiques à propos desquels l'autorité administrative compétente s'est prononcée préalablement, d'une manière qui la lie sous la forme d'une décision. Dans cette mesure, la décision détermine l'objet de la contestation qui peut être déféré en justice par la voie d'un recours (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 426; <ref-ruling> consid. 1a p. 414 et les arrêts cités).
L'objet du litige dans la procédure administrative subséquente est le rapport juridique qui - dans le cadre de l'objet de la contestation déterminé par la décision - constitue, d'après les conclusions du recours, l'objet de la décision effectivement attaqué. L'objet de la contestation et l'objet du litige sont donc identiques lorsque la décision administrative est attaquée dans son ensemble. En revanche, les rapports juridiques non litigieux sont certes compris dans l'objet de la contestation, mais non pas dans l'objet du litige (ATF <ref-ruling> consid. 1b et 2 p. 414 ss). En procédure fédérale, les questions qui ne sont plus litigieuses d'après les conclusions du recours ne sont pas examinées (cf. art. 107 al. 1 LTF; arrêts 1B_293/2009, du 7 janvier 2010, consid. 2.3 et 2C_319/2009, du 26 janvier 2010, consid. 2.2).
1.2. En vertu de sa conclusion principale, le recourant s'en prend à l'arrêt attaqué uniquement dans la mesure où son dispositif prévoit la communication du prononcé, pour information, au Tribunal des assurances. La conclusion subsidiaire du recourant pourrait certes laisser croire que l'intéressé requiert l'annulation de la décision entreprise dans son entier. Les conclusions du recours doivent toutefois s'interpréter à la lumière de ses motifs et de son argumentation (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 414; <ref-ruling>/176; <ref-ruling>).
Le recourant se plaint tout d'abord d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), au motif qu'il n'a pas été averti du fait que l'arrêt attaqué serait communiqué pour information au Tribunal des assurances. Par ailleurs, il fait valoir que cette communication est de nature à sérieusement compromettre son avenir économique protégé par l'art. 27 Cst., car elle risque d'amener le Tribunal des assurances à ne plus lui confier des mandats d'expertise au vu de la sanction prononcée contre lui. Il soutient également que la transmission de l'arrêt est une mesure dépourvue de fondement légal qui porte une atteinte grave à sa réputation prétendument garantie par le droit à la protection de sa sphère privée (art. 13 al. 1 Cst. et 8 § 1 CEDH). Enfin, il se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application du droit cantonal sous deux aspects: premièrement, la transmission de l'arrêt au Tribunal des assurances constituerait une aggravation de la sanction prononcée contre lui, au mépris de l'art. 69 al. 1 de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (E 5 10; ci-après citée: LPA/GE), qui interdirait la reformatio in pejus en prévoyant que la juridiction administrative est liée par les conclusions des parties; secondement, cette transmission violerait de manière grossière l'art. 46 al. 5 LPA en lien avec l'art. 111 de la loi genevoise (aujourd'hui abrogée, mais applicable au moment déterminant) du 11 mai 2001 sur l'exercice des professions de la santé, les établissements médicaux et diverses entreprises du domaine médical (ci-après citée: LPS/GE), car la communication d'un arrêt à des tiers dans un but d'information ne serait possible, en vertu des dispositions précitées, qu'en cas de radiation temporaire ou définitive d'un professionnel de la santé ou de fermeture temporaire ou définitive d'un établissement ou d'une entreprise actif dans le domaine de la santé.
Au terme de son argumentation, les critiques du recourant portent donc uniquement sur la transmission de l'arrêt attaqué au Tribunal des assurances. Du reste, l'intéressé précise expressément, à titre liminaire, qu'il ne remet pas en cause la sanction disciplinaire prise à son encontre, même s'il la juge infondée (cf. recours, p. 4 ad partie fait). Dans ces conditions, l'objet du litige soumis à la Cour de céans porte sans ambiguïté possible sur la seule question relative à la communication de l'arrêt attaqué au Tribunal des assurances.
2.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours déposés devant lui (<ref-ruling> consid. 1 p. 24, 30 consid. 1 p. 31, 94 consid. 1 p. 96 et les arrêts cités).
2.1. Comme telle, la question litigieuse en instance fédérale n'est pas comprise dans l'objet de la contestation - au sens étroit, tel que défini supra consid. 1.1 - porté devant le Tribunal administratif. Il s'agit en effet d'un point accessoire de l'arrêt attaqué, en ce sens qu'il découle et dépend entièrement de celui-ci, à l'instar des frais et des dépens fixés par le tribunal (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 160 et les références citées). En vertu du principe de l'unité de la procédure, la saisine du Tribunal fédéral sur un tel point (accessoire) n'entre en ligne de compte que si le recourant dispose de la qualité pour former un recours sur la question (principale) qui formait l'objet de la contestation en instance cantonale (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 143 s.; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 647 et les références citées).
En l'espèce, la sanction administrative prise à l'encontre du docteur X._ sous la forme d'un avertissement constitue sans conteste une décision rendue dans une cause de droit public au sens de l'art. 82 let. a LTF, et ne relève d'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF. Par ailleurs, l'arrêt attaqué émane d'une autorité cantonale de dernière instance au sens de l'art. 86 al. 1 let. d LTF. Enfin, comme destinataire de l'avertissement, le médecin mis en cause a manifestement la qualité pour recourir contre cette sanction au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Autrement dit, le principe de l'unité de la procédure ne fait pas obstacle à la saisine du Tribunal fédéral, nonobstant le caractère accessoire du point litigieux par rapport aux questions tranchées dans l'arrêt attaqué. Il reste que, pour pouvoir faire l'objet d'un recours en matière de droit public au sens des art. 82 ss LTF, la question soumise au Tribunal fédéral doit elle-même matériellement revêtir, en vertu de l'art. 82 let. a LTF, la qualité d'une décision.
2.2. La notion de décision au sens de l'art. 82 let. a LTF est autonome. Pour la définir, on peut se référer à l'art. 5 PA pour les décisions fondées sur le droit fédéral et, pour les décisions fondées sur le droit cantonal, à la jurisprudence du Tribunal fédéral rendue en lien avec le recours de droit public anciennement prévu par la loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 (OJ; RO 3 521) (cf. Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4000, p. 4117). Dans cette acception, la notion de décision vise, d'une manière générale, toute mesure que prend une autorité, dans un cas individuel et concret, en vue de produire un certain effet juridique (créer, modifier ou supprimer un droit ou une obligation/rejeter ou déclarer irrecevable une demande tendant à l'une de ces fins; décisions formatrices) ou de constater l'existence ou l'inexistence d'un droit ou d'une obligation ( décisions constatatoires) (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 331; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 391; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2a p. 174 s.). En résumé, sont donc, en principe, des décisions au sens de l'art. 82 let. a LTF, les actes de l'autorité qui règlent de manière unilatérale et contraignante un rapport juridique dans un cas particulier (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 32; arrêt 9C_766/2008, du 15 juillet 2009, consid. 4.1 et les références citées).
En l'espèce, le Tribunal administratif a communiqué son prononcé au Tribunal des assurances " pour information ", en relevant, dans ses considérants, que cette juridiction " connaît des litiges connexes, fondés sur le droit des assurances sociales ". Cela étant, la communication litigieuse n'a aucune incidence sur la situation juridique concrète du recourant: contrairement à une décision de renvoi (par exemple pour complément d'instruction ou nouvelle décision), elle ne s'accompagne en effet d'aucune injonction, ni même d'aucune prescription ou recommandation d'aucune sorte à l'intention du Tribunal des assurances, mais vise seulement à porter à la connaissance de cette autorité la sanction administrative prononcée contre le docteur X._. Elle n'emporte donc aucun effet formateur de droit ou d'obligation à l'égard du recourant, ni aucun effet constatatoire par rapport à l'existence ou l'inexistence d'un tel droit ou d'une telle obligation. Il s'ensuit que la mesure incriminée n'a pas la qualité d'une décision attaquable au sens de l'art. 82 let. a LTF, comme le Tribunal fédéral et (anciennement) le Tribunal fédéral des assurances ont déjà eu l'occasion d'en juger à propos de l'ancienne loi d'organisation judiciaire dans des contextes différents (cf. ATF <ref-ruling> consid. 2a p. 174 s.; <ref-ruling> consid. 2 p. 97 s.; arrêts du Tribunal fédéral des assurances I /74 97, du 5 juin 1997, consid. 3 et P 51/89, du 2 mai 1990, consid. 2c).
2.3. Mutatis mutandis, le recours n'est pas non plus recevable comme recours constitutionnel subsidiaire au sens des art. 113 ss LTF, cette voie de droit supposant également l'existence d'une décision au sens étroit telle que définie ci-avant (cf. art. 113 LTF).
2.4. Tout au plus peut-on se demander si la mesure litigieuse ne pourrait pas s'apparenter à un acte matériel pouvant, à certaines conditions, faire l'objet d'un contrôle judiciaire en cas d'atteinte grave à un droit fondamental en vertu des art. 35 al. 2 Cst. ou 13 CEDH (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 56 ss; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 377 ss; <ref-ruling> consid. 4.5 p. 173 ss). Dans une telle hypothèse, il appartient toutefois au recourant de provoquer et d'obtenir une décision cantonale formelle susceptible de recours, aux conditions et dans les limites fixées par la jurisprudence précitée et conformément au droit cantonal applicable (cf., pour la procédure fédérale, l'art. 25a PA), par exemple en exigeant du Tribunal administratif qu'il constate l'illicéité de son acte et le révoque ou en élimine les conséquences d'une autre manière, voire en exigeant du Tribunal des assurances qu'il restitue l'arrêt litigieux ou qu'il s'abstienne de toute autre manière d'en faire un usage de nature à porter atteinte aux droits de l'intéressé. En l'état, le Tribunal fédéral ne peut pas entrer en matière sur les griefs invoqués, faute de décision attaquable sur ceux-ci et d'épuisement des instances cantonales (cf. art. 86 al. 1 let. d LTF et 113 LTF). De plus, comme le relève à juste raison la Commission de surveillance, le Tribunal des assurances n'a pas la qualité de partie à la présente procédure, n'ayant pas pris part à la procédure cantonale; le recourant ne saurait donc prendre, comme il le fait, des conclusions condamnatoires contre cette autorité judiciaire (cf. art. 99 al. 2 LTF).
2.5. Il suit de ce qui précède que le recours est irrecevable.
3.
Avec cette décision, la requête de mesures provisionnelles, admise à titre superprovisoire par ordonnance du 2 décembre 2009, devient sans objet.
Succombant, le recourant est condamné aux frais de justice (art. 65 al. 1 et 5 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Département de l'économie et de la santé, à la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et au Tribunal administratif du canton de Genève, ainsi que, pour information, au Tribunal cantonal des assurances sociales de ce canton.
Lausanne, le 21 avril 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Addy