Faits:
A. K._, née en 1964, de nationalité turque, est atteinte d'une infirmité congénitale à la suite d'une lésion cérébrale subie à la naissance. Elle séjourne en Suisse depuis le 9 décembre 1983, au bénéfice d'un permis B (séjour temporaire pour raison de santé). Ses parents, domiciliés en Turquie, l'y ont envoyée dans le but de la placer en institution en raison de cet état de santé. K._ réside ainsi à M._ à l'Institut B._ depuis le 12 décembre 1983. Elle retourne en Turquie seulement pour y passer des vacances dans sa famille. Le 8 avril 1997, la Justice de paix du cercle de L._ a prononcé son interdiction et lui a désigné un tuteur.
Le 27 novembre 2000, K._ a présenté une demande tendant à l'octroi d'une rente et d'une allocation pour impotent de l'assurance-invalidité. Par décision du 18 juillet 2001, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a rejeté la demande, motif pris que l'intéressée n'était pas domiciliée en Suisse, partant n'était pas assurée à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité.
B. Par jugement du 3 février 2003, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé par l'intéressée contre cette décision, au double motif que la condition d'assurance n'était pas réalisée et que la requérante n'était pas domiciliée en Suisse.
C. Agissant par l'intermédiaire de son tuteur dûment autorisé, K._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement. Sollicitant l'assistance judiciaire, elle conclut, sous suite de dépens, à l'annulation du jugement cantonal et de la décision de l'office AI, ainsi qu'à l'octroi d'une rente extraordinaire d'invalidité et d'une allocation pour impotent.
L'office AI conclut implicitement au rejet du recours, alors que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-invalidité. Cependant, le cas d'espèce reste régi par les dispositions de la LAI en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (<ref-ruling> consid. 1). En outre, le Tribunal fédéral des assurances apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (<ref-ruling> consid. 1b).
Pour les mêmes motifs, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852) ne sont pas non plus applicables.
2. 2.1 Selon l'<ref-law> en liaison avec l'<ref-law>, dans sa teneur en vigueur à la date déterminante, les ressortissants suisses qui ont leur domicile et leur résidence habituelle en Suisse ont droit à une rente extraordinaire s'ils ont le même nombre d'années d'assurance que les personnes de leur classe d'âge, mais ne peuvent pas prétendre à une rente ordinaire parce qu'ils n'ont pas été soumis à l'obligation de verser des cotisations pendant une année entière au moins.
Aux termes de l'art. 11 de la Convention de sécurité sociale entre la Suisse et la République de Turquie du 1er mai 1969, les ressortissants turcs ont droit aux rentes extraordinaires de l'assurance-invalidité, vieillesse et survivants suisse aux mêmes conditions que les ressortissants suisses, aussi longtemps qu'ils conservent leur domicile en Suisse et si, immédiatement avant la date à partir de laquelle ils demandent la rente, ils ont résidé en Suisse de manière ininterrompue pendant dix années au moins lorsqu'il s'agit d'une rente de vieillesse et pendant cinq années au moins lorsqu'il s'agit d'une rente de survivants, d'une rente d'invalidité ou d'une rente de vieillesse venant se substituer à ces deux prestations.
2.2 Les assurés qui ont leur domicile et leur résidence habituelle en Suisse et qui sont impotents ont droit à une allocation pour impotent pour autant qu'ils n'aient pas droit à une allocation pour impotent en vertu de la loi fédérale sur l'assurance-accidents ou la loi fédérale du 19 juin 1992 sur l'assurance militaire (<ref-law>).
3. Le litige porte d'abord sur le point de savoir si la recourante satisfait à la condition du domicile.
3.1 Selon l'<ref-law> en liaison avec l'<ref-law>, dans leur version en vigueur jusqu'au 31 décembre 1996, les ressortissants suisses avaient droit, à certaines conditions, à une rente extraordinaire, pour autant qu'ils fussent domiciliés en Suisse. La même exigence était valable pour les assurés invalides désirant bénéficier d'une allocation pour impotent (<ref-law>, dans sa teneur applicable jusqu'au 31 décembre 1996).
3.2 Dans l'arrêt <ref-ruling>, le Tribunal fédéral des assurances a jugé qu'une personne avait son domicile en Suisse au sens des <ref-law> en liaison avec l'<ref-law>, et 42 al. 1 LAI, si elle avait effectivement en Suisse le centre de ses intérêts; tel étant le cas lorsque les aspects suisses prédominaient, c'est-à-dire lorsque, du point de vue des assurances sociales, le centre de tous ses intérêts se trouvait en Suisse (<ref-ruling> consid. 3b). Ces exigences n'étaient pas réalisées lorsque les parents domiciliés durablement et sans interruption à l'étranger avaient choisi la Suisse comme lieu de séjour de l'intéressé uniquement à cause de l'invalidité de celui-ci (<ref-ruling> s. consid. 3c).
Au considérant 2a non publié de l'arrêt <ref-ruling>, le Tribunal fédéral des assurances a précisé que selon la jurisprudence constante, le domicile en Suisse au sens de l'<ref-law> supposait non seulement le domicile selon les règles du droit civil, mais également la résidence effective en Suisse. Le Tribunal n'a toutefois pas pris position de manière définitive au sujet de cette dernière notion. Au considérant 4 du même arrêt, il a considéré qu'en plus du domicile civil, la résidence effective en Suisse et la volonté de conserver cette résidence étaient déterminantes. En outre, le centre de tous les intérêts devait demeurer en Suisse (<ref-ruling> consid. 4a). Dans un obiter dictum au sujet de l'<ref-law>, le Tribunal s'est référé à cette jurisprudence dans l'arrêt <ref-ruling> qui concernait l'assurance-chômage.
L'exigence, en plus du domicile civil, de la résidence effective en Suisse a été rappelée à diverses reprises par le Tribunal fédéral des assurances (<ref-ruling> consid. 1b; arrêt non publié B. du 26 février 1999, I 110/98).
3.3 Les <ref-law> et 42 al. 1 LAI ont été modifiés dans le cadre de la 10ème révision de l'AVS, en ce sens qu'ils posent explicitement l'exigence, entres autres conditions, du domicile et de la résidence habituelle en Suisse. Les rentes extraordinaires soumises aux limites de revenu ayant été remplacées par des prestations complémentaires, l'<ref-law> règle désormais uniquement le droit à la rente extraordinaire sans limites de revenu (Message du Conseil fédéral concernant la 10ème révision de l'assurance-vieillesse et survivants du 5 mars 1990 [FF 1990 II 99]).
La référence au domicile et à la résidence habituelle, figurant aux <ref-law> et 42 al. 1 LAI, est l'expression de la nouvelle conception du domicile dans la LAVS et la LAI, selon l'<ref-law>, en vigueur du 1er janvier 1997 au 31 décembre 2002. La référence à cette double condition permet dans le même temps de réglementer dans la loi la pratique suivie en matière de prestations non exportables (FF 1990 II 88).
La référence au domicile et à la résidence habituelle en Suisse a également été introduite à l'<ref-law> (dans sa teneur en vigueur depuis le 1er janvier 1998) remplaçant la référence au seul domicile en Suisse. Le Tribunal fédéral des assurances a considéré que cette nouvelle formulation avait simplement pour but d'adapter le texte légal à la jurisprudence qui exigeait déjà non seulement le domicile au sens du droit civil mais également l'accomplissement des critères correspondant à la définition de la résidence habituelle (arrêt T. du 26 juillet 2001, P 23/00).
4. 4.1 Le domicile au sens du code civil est déterminant pour le droit à la rente extraordinaire et le droit à l'allocation pour impotent (<ref-law> et 81 LAI, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002).
Le domicile de toute personne est au lieu où elle réside avec l'intention de s'y établir (<ref-law>). C'est le domicile volontaire, librement choisi par la personne indépendante (Daniel Staehelin, Basler Kommentar zum Schweizerischen Privatrecht, ZGB I, n. 2 ad <ref-law>; Deschenaux/Steinauer, Personnes physiques et tutelle, 4ème éd., Berne 2001, p. 112 s.).
Sous la note marginale « domicile légal », l'<ref-law> dispose que le domicile des personnes sous tutelle est au siège de l'autorité tutélaire. On parle à cet égard de « domicile légal dérivé » car ce domicile est défini par rapport à celui d'autres personnes (Eugen Bucher, Berner Kommentar zum schweizerischen Privatrecht, n. 1 ad <ref-law>; Deschenaux/Steinauer, op. cit., p. 118).
Enfin, aux termes de l'<ref-law>, le séjour dans une localité en vue d'y fréquenter les écoles, ou le fait d'être placé dans un établissement d'éducation, un hospice, un hôpital, une maison de détention, ne constituent pas le domicile.
4.2 L'intention de se constituer un domicile volontaire suppose que l'intéressé soit capable de discernement au sens de l'<ref-law>. Cette exigence ne doit toutefois pas être appréciée de manière trop sévère (<ref-ruling> consid. 2c; Eugen Bucher, op. cit., n. 24 ad art. 17/18 CC, n. 28 ad <ref-law>; Daniel Staehelin, op. cit., n. 9 ad <ref-law>).
En revanche, l'intention de s'établir n'exige pas que l'intéressé ait l'exercice des droits civils. En principe, une personne sous tutelle peut donc, avec l'autorisation de son représentant légal, se constituer un domicile volontaire au sens de l'<ref-law>. La portée de ce principe est toutefois restreinte en pratique : dans la mesure où le domicile des personnes sous tutelle est au siège de l'autorité tutélaire (<ref-law>), ce n'est que dans l'éventualité où il s'établit ailleurs qu'au siège de l'autorité tutélaire que l'intéressé peut se constituer un domicile volontaire (Eugen Bucher, op. cit., n. 25 ad art. 17/18 CC, n. 108 ad <ref-law>; Andreas Bucher, Der abhängige Wohnsitz nicht selbständiger Personen [Art. 25 ZGB], Revue du droit de tutelle 1977 p. 56). C'est pourquoi, tant qu'elle demeure au lieu du domicile dérivé ou dans les environs (soit dans un lieu ressortissant à la compétence territoriale de l'autorité tutélaire), la personne sous tutelle ne se constitue pas un domicile volontaire au sens de l'<ref-law>.
Quant au séjour dans un établissement au sens de l'<ref-law>, il ne constitue pas un domicile. Certes, cette disposition ne contient qu'une présomption qui peut être renversée lorsqu'une personne entre de son plein gré dans un établissement afin d'y faire le centre de son existence (<ref-ruling> consid. 2b; RCC 1984 p. 563 consid. 2a; Eugen Bucher, op. cit., n. 3 ad <ref-law>; Daniel Staehelin, op. cit., n. 7 ad <ref-law> et n. 6 ad <ref-law>; Deschenaux/Steinauer, op. cit., p. 116). Dans ce cas, le séjour dans l'établissement ne sert pas un but spécifique (éducation, soins, traitement ou exécution d'une peine) et la constitution d'un domicile volontaire peut être admise. La personne placée dans un établissement en vue d'y bénéficier de soins et mise ensuite sous tutelle ne peut toutefois se créer un domicile volontaire tant qu'elle demeure au lieu du domicile dérivé ou dans un lieu ressortissant à la compétence territoriale de l'autorité tutélaire.
5. 5.1 Lorsqu'une disposition en matière d'assurances sociales renvoie à une notion de droit civil, celle-ci devient partie intégrante du droit des assurances sociales (Maurer, Schweizerisches Sozialversicherungsrecht, vol. I p. 234). Le cas échéant, une telle notion peut cependant avoir un sens différent du droit civil (Franz Heidelberger, Die Stellung des Unmündigen im Zivilrecht und Sozialversicherungsrecht- Probleme der Koordination, thèse Berne, 1990, p. 72). C'est pourquoi il appartient à l'administration et, en cas de recours, au juge d'interpréter la notion de droit civil reprise dans le droit des assurances sociales. Ce faisant, ils doivent se fonder sur la portée et le but de la norme contenant un renvoi à la notion de droit civil, afin de trancher le point de savoir si la notion reprise a la même signification ou non qu'en droit civil (Eugen Bucher, op. cit., n. 21 ad Vorbemerkungen vor Art. 22-26 ZGB, n. 4 et 44 ad <ref-law>; Daniel Staehelin, op. cit., n. 3 ad <ref-law>; Maurer, op. cit., note de bas de page 519 p. 235).
5.2 Selon la jurisprudence constante rendue par le Tribunal fédéral des assurances avant l'entrée en vigueur des dispositions modifiées par la 10ème révision de l'AVS, l'expression « domicilié en Suisse » au sens des <ref-law>, 39 al. 1 et 42 al. 1 LAI impliquait que l'assuré ait eu dans ce pays non seulement son domicile d'après les critères du droit civil mais aussi sa résidence effective, avec la volonté de la conserver et de maintenir le centre de toutes ses relations en Suisse (<ref-ruling> consid. 4, 105 V 168 consid. 3b; ATFA 1966 p. 23, et les références). Comme l'exigence relative à la « résidence effective » a été codifiée sous les termes de « résidence habituelle » par la 10ème révision (cf. ch. 3.2 et 3.3), on doit considérer que la notion de domicile au sens de l'<ref-law>, en relation avec les <ref-law>, 39 al. 1 et 42 al. 1 LAI, correspond à la notion de domicile au sens strict (« domicile d'après les critères du droit civil ») définie par la jurisprudence relative à l'ancien droit. Or, dans un arrêt <ref-ruling>, le Tribunal fédéral des assurances a jugé qu'en ce qui concerne le droit à la rente extraordinaire (<ref-law>), la notion de domicile (au sens strict) est celle des art. 23 et suivants CC, ce qui renvoie non seulement au domicile volontaire mais également au domicile dérivé (in casu : le domicile dérivé de la femme mariée, selon l'ancien <ref-law>). Il a considéré qu'il n'y avait pas de motif particulier propre au droit des assurances sociales de s'écarter de la notion spécifique du domicile au sens des <ref-law> en ce qui concerne le droit à la rente extraordinaire (<ref-ruling> consid. 3a, et 9 consid. 3b in fine et 4).
Quant au droit à l'allocation pour impotent selon l'<ref-law>, le Tribunal a jugé qu'il fallait s'en tenir à la même notion de domicile qu'en matière de rente extraordinaire (arrêts non publiés D. L. du 22 août 1991, I 294/90, et W. du 1er décembre 1987, I 288/87).
6.1 L'<ref-law> a été modifié avec effet au 1er janvier 2001 par le ch. 1 de l'annexe à la modification de la LAVS du 23 juin 2000 (RO 2000 2682) en ce sens que la clause d'assurance a été supprimée. Selon l'art. 6 al. 1 aLAI, en effet, une personne ne pouvait prétendre des prestations de l'assurance-invalidité que si elle était assurée lors de la survenance de l'invalidité.
La suppression de la clause d'assurance n'a toutefois pas entraîné de changement important dans le système de l'assurance-invalidité. En effet, en ce qui concerne les ressortissants suisses, la portée de la clause d'assurance avait déjà été fortement réduite avec la 10ème révision de l'AVS, puisque les intéressés assurés dans un Etat ayant conclu une convention de sécurité sociale avec la Suisse étaient désormais assimilés aux ressortissants de cet Etat quant à la réalisation de la clause d'assurance. Cette clause n'était donc opposable qu'aux ressortissants suisses qui étaient assurés dans un Etat avec lequel la Suisse n'avait pas conclu de convention de sécurité sociale. Aussi fallait-il supprimer la clause d'assurance pour ceux d'entre eux qui avaient payé des cotisations en Suisse auparavant. Par ailleurs, cette suppression n'ouvrait pas de droits supplémentaires en faveur des ressortissants de pays non contractants en raison de l'interdiction d'exportation des rentes, ni en faveur d'un ressortissant d'un Etat avec lequel la Suisse avait conclu une convention dite de type A, devenu invalide après être rentré dans son pays d'origine. Quant aux ressortissants des Etats avec lesquels la Suisse avait conclu une convention dite de type B, ils pouvaient désormais, grâce à la suppression de la clause d'assurance, prétendre une rente de l'assurance-invalidité suisse même s'ils vivaient dans un Etat tiers lors de la survenance de l'invalidité (Message du Conseil Fédéral concernant une modification de la loi fédérale sur l'assurance-vieillesse et survivants [révision de l'assurance facultative] du 28 avril 1999, FF 1999 4617 s.; cf. Alessandra Prinz, Suppression de la clause d'assurance pour les rentes ordinaires de l'AI : conséquences dans le domaine des conventions internationales, in : Sécurité sociale (CHSS) 2001 p. 42 s.).
6.2 Cela étant, il n'était pas dans l'intention du législateur, par la suppression de la clause d'assurance, d'étendre à d'autres personnes le cercle des bénéficiaires de prestations de l'assurance-invalidité. En particulier, il n'apparaît pas que les conditions d'octroi de la rente extraordinaire d'invalidité et de l'allocation pour impotents dussent être ainsi modifiées.
Aussi, dans la mesure où le maintien des principes jurisprudentiels exposés au consid. 5.2 pourrait aboutir à un tel résultat, il y a lieu d'adapter cette jurisprudence à la situation juridique nouvelle découlant de la suppression de la clause d'assurance. Certes, la condition relative au même nombre d'années d'assurance que les personnes de la classe d'âge des intéressés (<ref-law>) permet d'éviter, dans bien des cas, que l'octroi d'une rente extraordinaire soit détournée de son but. Une telle restriction n'existe toutefois pas en ce qui concerne l'allocation pour impotent. Aussi, étant donné la portée et le but de l'<ref-law> en liaison avec les <ref-law>, 42 al. 1 LAVS et 42 al. 1 LAI, faut-il considérer que la notion de « domicile au sens du code civil » est celle du domicile de l'<ref-law>, soit celle du domicile volontaire, à l'exclusion du domicile dérivé des personnes sous tutelle selon l'<ref-law>.
7. En l'espèce, la recourante séjourne en Suisse depuis le 9 décembre 1983, date à laquelle ses parents l'ont placée en institution en raison de son état de santé. Du moment que l'intéressée n'est pas entrée de son plein gré dans l'établissement, la présomption que le séjour ne constitue pas un domicile (<ref-law>) ne peut être renversée (cf. 4.2). C'est seulement depuis la mise sous tutelle de la recourante en 1997 que l'on peut admettre l'existence d'un domicile en Suisse, sous la forme d'un domicile dérivé, au siège de l'autorité tutélaire (<ref-law>). Dans la mesure où, par ailleurs, l'intéressée n'a pas quitté depuis lors le lieu du domicile dérivé, la constitution d'un domicile volontaire au sens de l'<ref-law> doit être niée.
Faute de s'être constitué un domicile volontaire en Suisse, la recourante ne saurait prétendre une rente extraordinaire d'invalidité ni une allocation pour impotent, et il n'est pas nécessaire d'examiner si les autres conditions d'octroi de ces prestations sont réalisées. Au demeurant, l'intéressée n'ayant pas été domiciliée en Suisse avant 1997, elle ne peut se prévaloir du même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge (cf. <ref-law>), de sorte qu'elle n'a pas droit à une rente extraordinaire également pour ce motif.
Cela étant, le jugement attaqué n'est pas critiquable dans son résultat et le recours se révèle mal fondé.
8. La recourante est assistée d'un avocat. Or, selon la jurisprudence, l'avocat désigné comme curateur ou tuteur qui mène avec succès le procès de son pupille peut prétendre des dépens s'il obtient gain de cause (<ref-ruling> consid. 4). Pour autant que les conditions légales en soient réunies, la partie représentée peut également prétendre à l'assistance judiciaire de l'Etat.
Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite sont en principe remplies si les conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec, si le requérant est dans le besoin et si l'assistance d'un avocat est nécessaire ou du moins indiquée (art. 152 OJ; <ref-ruling> consid. 4a, 372 consid. 5b et les références).
En l'espèce, bien que la recourante n'obtienne pas gain de cause, son recours qui nécessitait l'aide d'un avocat n'apparaissait pas de prime abord voué à l'échec. Vu ses moyens économiques limités, l'assistance judiciaire lui est octroyée pour l'instance fédérale. L'attention de la recourante est cependant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal, si elle devient ultérieurement en mesure de la faire (art. 152 al. 3 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires (y compris la taxe à la valeur ajoutée) de Me Duc sont fixés à 2'500 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du Tribunal.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 juin 2004
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la Ire Chambre: p. le Greffier: