Sachverhalt:
A.
Gegen A._ läuft die Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Sihltal. Als Grund der Forderung hat B._, vertreten durch C._, ausstehende Unterhaltszahlungen angegeben. Am 6. März 2015 wurde der Zahlungsbefehl im Wohnheim D._ an der E._strasse yyy in U._ Frau F._ von der Heimleitung ausgehändigt. Frau F._ legte den Zahlungsbefehl in das hausinterne Postfach von A._. Dort entnahm der Betriebene die Urkunde am 13. März 2015.
B.
Mit Eingabe vom 22. März 2015 erhob A._ Rechtsvorschlag. Am 26. März 2015 (Postaufgabe am 30. März 2015) reichte er beim Betreibungsinspektorat des Kantons Zürich eine "Beschwerde betreffend Zustellung von Zahlungsbefehlen und Fristwiederherstellungsgesuch" ein. Der Schriftsatz wurde an das Bezirksgericht Horgen als untere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs weitergeleitet. Am 10. April 2015 sandte A._ dort eine Ergänzung ein. In der Folge stellte das Bezirksgericht fest, dass die zehntägige Rechtsvorschlagsfrist am 16. März 2015 abgelaufen und der am 22. März 2015 erhobene Rechtsvorschlag verspätet war. Es wies das Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlages sowie dasjenige um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und auferlegte dem Beschwerdeführer die auf Fr. 100.-- bestimmten Gerichtskosten (Urteil vom 23. April 2015).
C.
A._ gelangte an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs. Er berief sich auf seinen Gehörsanspruch und beharrte darauf, dass das Gericht seine Eingabe vom 10. April 2015 (s. Bst. B) beachte und prüfe bzw. seinen Entscheid transparent und nachvollziehbar begründe; zu diesem Zweck sei die Sache an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Gegebenenfalls sollte das Obergericht gestützt auf die Eingabe vom 10. April 2015 selbst entscheiden und die Rechtsvorschlagsfrist wiederherstellen. In prozessualer Hinsicht stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen Oberrichterin Annegret Katzenstein. Es wurde mit separatem Beschluss vom 19. Juni 2015 abgewiesen. Ausserdem ersuchte er für das kantonale Beschwerdeverfahren um das Armenrecht. Das Obergericht trat auf die Beschwerde nicht ein und schrieb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab (Beschluss vom 23. Juli 2015).
D.
Mit Beschwerde vom 11. August 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Verfahren "zur Korrektur" und zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen (Ziffer 1). Dieses solle die Stellen der Eingabe vom 10. April 2015, die angeblich bereits in der Eingabe vom 26./30. März 2015 enthalten sein sollen, "genau" bezeichnen (Ziffer 2). Selbiges verlangt der Beschwerdeführer im Sinne eines Eventualbegehrens vom Bundesgericht selbst, verbunden mit einer Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid an das Bezirksgericht Horgen. Subeventualiter stellt er das Begehren, die Rechtsvorschlagsfrist wiederherzustellen. Auch für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Prozessführung.
Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen. Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet.

Erwägungen:
1.
Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden über Beschwerden gegen Verfügungen von Vollstreckungsorganen gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 Bst. a BGG i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 und 90 BGG). Sie ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze zulässig (Art. 74 Abs. 2 Bst. c BGG). Als Betriebener ist der Beschwerdeführer zur Anfechtung des Entscheides, mit dem die kantonale Aufsichtsbehörde auf seine Beschwerde nicht eingetreten ist, legitimiert (<ref-law>). Die Rechtsmittelfrist (Art. 100 Abs. 2 Bst. a BGG) ist gewahrt, die Beschwerde in Zivilsachen also grundsätzlich gegeben. Unzulässig ist aber das Begehren, mit dem der Beschwerdeführer vom Bundesgericht in einem reformatorischen Sinne verlangt, die Rechtsvorschlagsfrist wiederherzustellen. Nachdem das Obergericht auf das kantonale Rechtsmittel gar nicht eingetreten ist, kann sich auch der Streit vor dem Bundesgericht nur um die Eintretensfrage im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren drehen.
2.
Anlass zur Beschwerde gibt die Handhabung der Eingabe des Beschwerdeführers vom 10. April 2015 im bezirksgerichtlichen Verfahren (vgl. Sachverhalt Bst. B). Der Beschwerdeführer hält daran fest, dass diese Eingabe nicht gebührend berücksichtigt worden sei. Zu Unrecht verneine das Obergericht eine Gehörsverletzung; der angefochtene Beschluss beruhe auf "falschen Informationen". Falsch sei namentlich die Behauptung, dass alles, was er in der Eingabe vom 10. April 2015 vorbringe, bereits in der Eingabe vom 26. März 2015 enthalten sei. Auch die Beurteilung, wonach das Bezirksgericht inhaltlich in der gebührenden Kürze auf die Argumente eingegangen sei, treffe nicht zu, was die Eingabe vom 10. April 2015 angehe. Ohne inhaltliche Prüfung habe das Bezirksgericht gar nicht beurteilen können, ob die besagte Eingabe etwas entscheidrelevantes Neues enthalte. Schliesslich bestreitet der Beschwerdeführer, in seiner Eingabe vom 10. April 2015 ausführlich dargelegt zu haben, weshalb er mit dem Urteil des Zivilgerichts Basel, mit dem er zur Zahlung von Unterhaltsleistungen verpflichtet worden war, nicht einverstanden ist. Die entsprechende Behauptung des Obergerichts stimme "hinten und vorne" nicht.
3.
Was der Beschwerdeführer in der Eingabe vom 10. April 2015 vorgetragen hat, inwiefern sich seine dortigen Vorbringen mit denjenigen in seinen früheren Eingaben decken und in welcher Hinsicht das Bezirksgericht auf die Vorbringen in der Eingabe vom 10. April 2015 eingegangen ist: Das alles sind Fragen der Feststellung des - mit Blick auf die Rechtsfrage der Gehörsverletzung - erheblichen (Prozess-) Sachverhalts (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.; Urteil 4A_247/2013 vom 14. Oktober 2013 E. 1.1). Diesbezüglich ist das Bundesgericht an die vorinstanzlichen Feststellungen gebunden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer kann nur einwenden, die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen, insbesondere auf der Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Überdies ist darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Die Beschwerde an das Bundesgericht genügt diesen Anforderungen nicht.
4.
Dem angefochtenen Beschluss zufolge bringt der Beschwerdeführer in der Eingabe vom 10. April 2015 "im Kern" vor, dass das spezielle persönliche Verhältnis zwischen ihm und der Gläubigervertreterin sowie die Vorgeschichte, die zur Regelung der Unterhaltspflicht durch das Zivilgericht Basel-Stadt im Entscheid vom 13. Dezember 2012 geführt habe, ihn an der Erhebung des Rechtsvorschlages gehindert hätten. Weiter äussere sich der Beschwerdeführer in der besagten Eingabe dahin gehend, dass es verantwortungslos gewesen wäre, ohne saubere Analyse der Gefahren, die bestehen oder bestehen könnten, reflexartig Rechtsvorschlag zu erheben und damit eventuell sogar Personenschäden heraufzubeschwören. Aus diesen Feststellungen über den Inhalt der Eingabe vom 10. April 2015 zieht das Obergericht den Schluss, dass der Beschwerdeführer alles, was er in dieser Eingabe vorbringt, bereits in der Eingabe vom 26./30 März 2015 vorgebracht habe. Dies sei auch dem Bezirksgericht nicht entgangen, so die weitere Erkenntnis des Obergerichts. Denn das Bezirksgericht habe dargelegt, dass der Beschwerdeführer keine Veranlassung hatte, zunächst die Begründetheit der in Betreibung gesetzten Forderungen abzuklären, bevor er Rechtsvorschlag erhob. Ebenso habe das Bezirksgericht begründet, weshalb es den Antrag, die Wohnadresse des Beschwerdeführers nicht bekanntzugeben, nicht behandelte. Daraus folgert das Obergericht, dass das Bezirksgericht den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör nicht verletzt habe.
5.
Dass das Obergericht den Inhalt der Eingabe vom 10. April 2015 mit den zitierten Sätzen (E. 4) im beschriebenen Sinne (E. 3) offensichtlich unrichtig festgestellt hätte, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Ebenso wenig zeigt er auf, dass dieser Inhalt wesentlich von dem abweicht, was er dem Bezirksgericht seiner Eingabe vom 26./30. März 2015 vortrug, und dass sich das Obergericht darüber hinweggesetzt hätte. Damit ist dem Vorwurf, das Obergericht setze sich mit dem Inhalt der Eingabe vom 10. April 2015 nicht auseinander und erkenne darin im Vergleich zu derjenigen vom 26./30. März 2015 nichts Neues bzw. Entscheidrelevantes, der Boden entzogen. Im Übrigen lässt sich dem angefochtenen Beschluss sehr wohl entnehmen, weshalb die Eingabe vom 10. April 2015 in den Augen des Obergerichts nichts Ausschlaggebendes enthielt: Das Obergericht stellt fest, dass der Beschwerdeführer auch in dieser Eingabe keine Erklärung dafür liefere, weshalb er bis zum Ablauf der Frist nicht Rechtsvorschlag erheben konnte und dazu erst wenige Tage nach Fristablauf in der Lage war. Diese Erkenntnis stellt der Beschwerdeführer nicht in Abrede.
6.
Auch gegen die vorinstanzliche Feststellung, wonach sich schon das Bezirksgericht mit der fraglichen Eingabe befasst habe, kommt der Beschwerdeführer nicht auf. Seine wenig kohärenten Ausführungen laufen auf die Gegenbehauptung hinaus, dass sich das Bezirksgericht nur mit der Eingabe vom 26./30. März 2015 befasse. Dem stehen die zitierten obergerichtlichen Feststellungen entgegen, aus denen hervorgeht, worin der Inhalt der Eingabe vom 10. April 2015 besteht und wie das Bezirksgericht auf die dortigen Vorbringen Bezug nimmt (E. 4). Inwiefern das Bezirksgericht den "Kern" der Eingabe vom 10. April 2015 geradezu verkannt hätte und das Obergericht diesbezüglich einem offensichtlichen Irrtum erlegen wäre, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Ob die Vorbringen des Beschwerdeführers in der streitigen Eingabe eine Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist rechtfertigen, ist nicht eine Frage des (formellen) Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), sondern eine solche der Begründetheit des Wiederherstellungsgesuchs. Wie das Obergericht zutreffend festhält, muss eine Behörde - unter dem Blickwinkel des rechtlichen Gehörs - nicht alle Parteistandpunkte im Detail behandeln, noch braucht sie jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich zu widerlegen. Um dem Anspruch des Rechtsunterworfenen auf rechtliches Gehör Genüge zu tun, reicht es aus, wenn sie eine Erklärung für das Ergebnis ihres Entscheides liefert, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Partei berührt (vgl. Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). An der Sache vorbei geht deshalb auch der weitere Einwand des Beschwerdeführers, die Frage der Bekanntgabe der Wohnadresse weise überhaupt keinen Bezug zur Begründung des Antrags auf Wiederherstellung der Frist auf.
7.
Soweit der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Beurteilung seiner Gehörsrüge in Frage stellt, ist seine Beschwerde an das Bundesgericht nach dem Gesagten unbegründet. Bezüglich der ursprünglichen Hauptsache, das heisst der Frage nach der Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist, verweist das Obergericht auf die Ausführungen des Bezirksgerichts. Dieses sei davon ausgegangen, dass der Zahlungsbefehl am 6. März 2015 gültig zugestellt worden sei, der Beschwerdeführer davon am 13. März 2015 Kenntnis erhalten habe und in der Lage gewesen wäre, noch vor der am 16. März 2015 ablaufenden Frist Rechtsvorschlag zu erheben. Daraus habe das Bezirksgericht gefolgert, dass die Voraussetzungen für die Wiederherstellung der Frist nicht gegeben gewesen seien. Das Bezirksgericht habe auch begründet, weshalb es das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abwies. Das Obergericht stellt fest, dass sich der Beschwerdeführer mit alledem "nicht ansatzweise" auseinandersetzt. Auf die kantonale Beschwerde sei deshalb nicht einzutreten. An diesem Ergebnis vermag die Beschwerde an das Bundesgericht nichts zu ändern. Zwar bestreitet der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Erwägung, wonach er das Zwangsvollstreckungsverfahren mit der Erhebung des Rechtsvorschlages wohl nur hätte verzögern, aber nicht hätte verhindern können. Diese Einschätzung ist, wie auch das Obergericht betont, für die Frage der Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist aber gar nicht relevant. Im Übrigen schweigt sich der Beschwerdeführer darüber aus, weshalb es sich nicht mit dem Bundesrecht verträgt, wenn das Obergericht im Streit um die Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist und um die Gewährung des Armenrechts für das bezirksgerichtliche Verfahren auf seine Beschwerde nicht eintritt. Seine Ausführungen konzentrieren sich auf den Streit um die angebliche Verletzung seines rechtlichen Gehörs (s. E. 2-6). Mangels hinreichender Begründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) muss es deshalb dabei bleiben, dass auf die kantonale Beschwerde vom 12. Mai 2015 nicht einzutreten ist.
8.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Betreibungsamt Sihltal ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos gelten. Damit fehlt es an einer gesetzlichen Voraussetzung für die Gewährung des Armenrechts (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Sihltal und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn