Erwägungen:
1. X._ erstattete am 15. Juli 2007 Strafanzeige und Strafantrag gegen Y._ wegen Drohung und konstituierte sich gleichzeitig als Privatkläger. Gestützt darauf eröffnete der Untersuchungsrichter des Untersuchungsrichteramtes II Emmental-Oberaargau am 13. November 2007 die Strafverfolgung gegen Y._, worauf das Verfahren an das Einzelgericht des Gerichtskreises IV Aarwangen-Wangen überwiesen wurde.
Am 21. August 2007 erstattete Y._ seinerseits Anzeige gegen X._ wegen falscher Anschuldigung und konstituierte sich ebenfalls als Privatkläger. Gestützt darauf eröffnete der Untersuchungsrichter 2 des Untersuchungsrichteramtes II Emmental-Oberaargau am 3. September 2007 die Strafverfolgung gegen X._, worauf das Verfahren mit Zustimmung der Staatsanwaltschaft II Emmental-Oberaargau vom 21. November 2007 an das Einzelgericht des Gerichtskreises IV Aarwangen-Wangen überwiesen wurde.
Am 11. März 2008 lud der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises IV Aarwangen-Wangen beide Parteien auf den 5. Mai 2008 zur ersten Einvernahme vor.
2. Am 13. April 2008 stellte X._ ein Ablehnungsbegehren gegen den Gerichtspräsidenten 1 des Gerichtskreises IV Aarwangen-Wangen. In der Folge setzte der Gerichtspräsident 1 mit Verfügung vom 23. April 2008 den Gerichtstermin vom 5. Mai 2008 ab. Die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern trat mit Beschluss vom 28. Mai 2008 auf das Ablehnungsgesuch nicht ein. Sie führte zusammenfassend aus, dass das Ablehnungsgesuch verspätet und rechtsmissbräulich sei. In einer Eventualbegründung führte sie zudem aus, dass das Ablehnungsgesuch im Falle einer materiellen Beurteilung hätte abgewiesen werden müssen. Es lägen keine objektiven Anhaltspunkte vor, welche Misstrauen in die Unvoreingenommenheit des Gerichtspräsidenten begründen vermöchten.
3. X._ führt mit Eingabe vom 22. Juni 2008 Beschwerde in Strafsachen (<ref-law>) gegen den Beschluss der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Hat der angefochtene Entscheid neben einer Hauptbegründung auch eine Eventualbegründung, muss sich der Beschwerdeführer mit beiden Begründungen auseinandersetzen.
Der Beschwerdeführer macht einzig Ausführungen zur verspäteten Erhebung seines Ablehnungsbegehrens. Zur materiellen Eventualbegründung der Anklagekammer äussert er sich jedoch nicht und vermag folglich nicht darzulegen, inwiefern diese verfassungswidrig sein soll. Eine solche Begründung genügt nach dem Gesagten den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht. Mangels einer genügenden Begründung ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
5. Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gerichtspräsidenten 1 des Gerichtskreises IV Aarwangen-Wangen und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli