Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft von Turin führt ein strafrechtliches Untersuchungsverfahren gegen unbekannte Täterschaft wegen mehrfacher fahrlässiger Tötung. Dabei geht es um italienische Staatsangehörige, die bei der X._ AG mit Sitz in Y._ gearbeitet haben und in Italien an einem durch Asbest verursachten Tumor ("Mesotheliom") gestorben sind.
Am 26. November 2001 ersuchte die Staatsanwaltschaft von Turin die Schweiz um die Übermittlung von Unterlagen, die von der X._ AG und der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) herauszugeben seien.
Das Bundesamt für Justiz leitete das Rechtshilfeersuchen am 8. Januar 2002 an das Verhöramt des Kantons Glarus weiter und bezeichnete den Kanton Glarus als Leitkanton.
Die Glarner Behörden bewilligten in der Folge die Herausgabe von bei der X._ AG und der SUVA erhobenen Unterlagen an die ersuchende Behörde.
Die von der X._ AG dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Bundesgericht am 22. August 2003 ab, soweit es darauf eintrat (1A.9/2003).
B. Mit Nachtragsersuchen vom 9. August 2004 verlangte die Staatsanwaltschaft von Turin die Herausgabe weiterer Unterlagen der SUVA.
Am 31. Dezember 2004 trat das Verhöramt des Kantons Glarus auf das Nachtragsersuchen ein.
Mit Schreiben vom 4. November 2005 gab die SUVA die vom Verhöramt verlangten Unterlagen heraus, soweit sie vorhanden waren. Dabei handelt es sich um solche, welche die Werke der X._ AG in Y._ und Z._ betreffen; im weiteren um Daten zu Personen, die bei der X._ AG gearbeitet haben und danach insbesondere an einem Mesotheliom erkrankt sind.
In der Folge schied das Verhöramt verschiedene Dokumente aus dem Dossier zum Werk Y._, die keinen Bezug zur Asbestproblematik hatten, aus.
Mit Schlussverfügung vom 3. Januar 2006 entsprach das Verhöramt dem Nachtragsersuchen vom 9. August 2004 und ordnete die Herausgabe der bei der SUVA erhobenen Unterlagen mit Ausnahme der ausgeschiedenen Dokumente an die ersuchende Behörde an.
Auf die dagegen von der X._ AG erhobene Beschwerde trat der Präsident des Kantonsgerichts Glarus am 27. Juni 2006 mangels Beschwerdelegitimation nicht ein. Die Beschwerde der SUVA wies er ab.
C. Die X._ AG führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Hauptantrag, den Entscheid des Kantonsgerichtspräsidenten aufzuheben und die Sache zur materiellen Beurteilung an diesen zurückzuweisen, sowie weiteren Anträgen.
D. Der Kantonsgerichtspräsident und das Verhöramt haben auf Gegenbemerkungen verzichtet.
Das Bundesamt für Justiz hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin rügt, indem die Vorinstanz auf ihre Beschwerde nicht eingetreten sei, habe diese Bundesrecht verletzt.
Nach der Rechtsprechung ist zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde befugt, wer der kantonalen Instanz vorwirft, sie sei zu Unrecht auf eine bei ihr erhobene Beschwerde nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 1, mit Hinweisen; Robert Zimmermann, La Coopération judiciaire internationale en matière pénale, 2. Aufl., Bern 2004, S. 351 N. 308). Die Rüge ist demnach zulässig.
1.2 Gemäss Art. 80h lit. b des Bundesgesetzes vom 20. März 1981 über internationale Rechtshilfe in Strafsachen (IRSG; SR 351.1) ist zur Beschwerde berechtigt, wer persönlich und direkt von einer Rechtshilfemassnahme betroffen ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat.
Nach der Rechtsprechung liegt ein schutzwürdiges Interesse nicht schon dann vor, wenn jemand irgendeine Beziehung zum Streitobjekt zu haben behauptet. Vielmehr muss eine vom einschlägigen Bundesrecht erfasste spezifische Beziehungsnähe gegeben sein. Erforderlich ist eine unmittelbare Betroffenheit; eine bloss mittelbare genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.3 S. 217; <ref-ruling> E. 2a S. 156, mit Hinweisen). Die Rechtsprechung erkennt die Beschwerdebefugnis demjenigen zu, der sich persönlich einer Beschlagnahme unterziehen muss (<ref-ruling> E. 1.1 S. 164; <ref-ruling> E. 1d/aa S. 164, mit Hinweisen). Nicht zur Beschwerde befugt ist demgegenüber der Verfasser von Schriftstücken, die im Besitze eines Dritten beschlagnahmt werden (<ref-ruling> E. 1.1 S. 164; <ref-ruling> E. 1d S. 164 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 109 ff.). Die Beschwerdeberechtigung fehlt demjenigen, der sich gegen die Übermittlung von Unterlagen wehrt, die ihn zwar betreffen, deren Inhaber aber ein anderer ist. Werden Dokumente bei einem Dritten erhoben, ist nur dieser zur Beschwerde befugt, sofern er ein persönliches und direktes Interesse geltend machen kann (Zimmermann, a.a.O., S. 356 N. 310).
Die aufgrund des Nachtragsersuchens herauszugebenden Unterlagen befanden sich allesamt im Besitz der SUVA und wurden folglich bei ihr erhoben, nicht bei der Beschwerdeführerin. Diese ist daher - wie die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid (S. 4 f. E. II/2) und das Bundesamt in der Vernehmlassung zutreffend darlegen - durch die Herausgabe an die ersuchende Behörde nicht unmittelbar betroffen. Unmittelbar betroffen ist als Inhaberin der Unterlagen die SUVA, auf deren Beschwerde die Vorinstanz eingetreten ist und deren Beschwerdebefugnis das Bundesgericht auch im konnexen Urteil vom heutigen Tag (1A.155/2006 E. 1.2) bejaht hat. Die herauszugebenden Unterlagen betreffen zwar die Beschwerdeführerin. Dies begründet nach dem Gesagten jedoch nur eine mittelbare Betroffenheit.
Bereits im Urteil vom 22. August 2003 hat das Bundesgericht die Beschwerdeberechtigung der Beschwerdeführerin verneint, soweit sie sich gegen die Herausgabe von Unterlagen wehrte, die bei der SUVA erhoben worden waren (E. 1.2). Darauf zurückzukommen besteht kein Anlass.
1.3 Die Vorinstanz hat danach kein Bundesrecht verletzt, wenn sie auf die Beschwerde der Beschwerdeführerin nicht eingetreten ist.
Da der Beschwerdeführerin die Beschwerdelegitimation fehlt, ist auf ihre umfangreichen Ausführungen zur Sache nicht einzutreten.
2. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Kosten (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Verhöramt und dem Kantonsgerichtspräsidenten des Kantons Glarus sowie dem Bundesamt für Justiz, Abteilung internationale Rechtshilfe, Sektion Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: