Besuchsrechtsregelung, hat sich ergeben:
A.- A._ und B._ sind die unverheirateten Eltern des am 3. Juli 1994 geborenen Kindes C._. Am 23. April 1996 vereinbarten die Parteien vor der Vormundschaftsbehörde Z._ schriftlich ein Besuchsrecht für den Vater von einem Tag und einer Nacht pro Woche und ein zweiwöchiges Ferienbesuchsrecht während der Sommerferien.
Am 2. Juli 1997 unterzeichneten sie (beide mit Wohnsitz in Z._) zuhanden des Familiengerichts in Paris einen weiteren Vertrag, wonach die elterliche Gewalt über das Kind von beiden Elternteilen ausgeübt werde und die Betreuung des Kindes zur Hälfte je einem Elternteil zustehe. Dieser Vertrag wurde vom Gericht in Paris am 8. Dezember 1997 zwar genehmigt, dessen Vollstreckbarkeit von der Einzelrichterin im summarischen Verfahren des Bezirks Z._ am 25. August 1998 aber abgelehnt. Im Februar/März 1998 kam es zwischen den Parteien zu schweren Differenzen, nachdem A._ den gemeinsamen Sohn während sechs Wochen nach Frankreich mitgenommen und dort vor Gericht den Antrag auf Festlegung des Wohnsitzes des Kindes beim Vater gestellt hatte. Nach der Rückkehr des Sohnes war B._ nur noch zur Gewährung eines beaufsichtigten Besuchsrechts einmal pro Monat bereit. Später wurde das Besuchsrecht auf ein Wochenende pro Monat ausgedehnt.
In seinem Bericht vom 13. April 1999 kam der spätere Beistand von C._ zum Schluss, es bestehe kein Grund mehr, C._s Kontakte zum Vater nicht auf zweimal monatlich auszuweiten. C._ habe zu beiden Eltern eine gute Beziehung, befinde sich aber wegen der erheblichen Spannungen zwischen diesen in einem Loyalitätskonflikt. Am 21. März 2000 wurde C._ selbst durch eine Psychologin befragt. Sie führte aus, dass C._ mit der bestehenden Besuchsregelung überwiegend zufrieden sei und bestätigte im Übrigen, dass sich das Kind in einem Loyalitätskonflikt zu seinen Eltern befinde und deswegen hohem Druck ausgesetzt sei. Am 29. Juni 1999 errichtete die Vormundschaftsbehörde Z._ für das Kind C._ eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB und erteilte dem Beistand unter anderem den Auftrag, in Zusammenarbeit mit den Eltern eine Besuchs- und Ferienregelung auszuarbeiten. Dieser konnte die Parteien aber nicht zu einer gemeinsamen Besprechung überreden, so dass er selbständig einen Antrag formulierte.
B.- Am 1. September 2000 räumte die Vormundschaftsbehörde Z._ A._ an zwei Wochenenden pro Monat ein Besuchsrecht sowie ein dreiwöchiges Ferienbesuchsrecht ein.
Eine besondere Regelung wurde für Ostern, Pfingsten und Weihnachten vorgesehen. Gegen diesen Beschluss führte B._ Beschwerde beim Bezirksrat Z._, mit den Anträgen, das Besuchsrecht auf jedes dritte Wochenende, eventuell auf ein Wochenende pro Monat zu beschränken. Das Ferienbesuchsrecht sei auf zwei einzelne Wochen zu reduzieren. Der Bezirksrat wies die Beschwerde am 20. Dezember 2000 ab. Gegen diesen Entscheid führte B._ Rekurs beim Obergericht des Kantons Zürich und erneuerte ihre Begehren. Das Obergericht hiess den Rekurs teilweise gut und fasste in der Sache folgenden Beschluss:
"1. A._ wird das Recht eingeräumt, seinen Sohn
C._ alle drei Wochen von Freitagabend, 17.30
Uhr bis Sonntagabend, 17.30 Uhr, mit sich oder zu
sich auf Besuch zu nehmen.
2. A._ wird das Recht eingeräumt, seinen Sohn
jährlich während zwei einzelnen Wochen oder zwei
zusammenhängenden Wochen mit sich oder zu sich in
die Ferien zu nehmen.
3. A._ wird das Recht eingeräumt, seinen Sohn
alternierend in den Jahren mit gerader Jahreszahl
von Karfreitag bis Ostersonntag und vom 23. bis
24. Dezember, sowie in den Jahren mit ungerader Jahreszahl von Pfingstsamstag bis Pfingstmontag und vom 25. bis 26. Dezember mit sich oder zu sich auf Besuch
zu nehmen.. "
C.-Mit Eingabe vom 28. Juni 2001 hat A._ Berufung eingereicht, im Wesentlichen mit den Anträgen, es sei ihm jeweils am ersten und dritten Wochenende jeden Monats ein Besuchsrecht einzuräumen und es sei ihm nach Eintritt seines Sohnes in die Schulpflicht während drei einzelnen Wochen oder drei zusammenhängenden Wochen ein Ferienbesuchsrecht zu gewähren.
Vom Obergericht des Kantons Zürich hat er vorsorgliche Massnahmen verlangt, welche dieses am 2. Juli 2001 erlassen hat, und vom Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege sowie einen unentgeltlichen Rechtsvertreter begehrt. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Die Gegenpartei beantragt in ihrer Berufungsantwort Abweisung der Berufung, soweit darauf eingetreten werden könne.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-Gegen die kantonal letztinstanzlichen (Art. 48 Abs. 1 OG) Anordnungen des Obergerichts über den persönlichen Verkehr zwischen den Eltern und ihren Kindern kann gemäss Art. 44 lit. d OG wegen Verletzung von Bundesrecht (Art. 43 OG) Berufung eingelegt werden. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Berufung ist einzutreten.
2.-Der Berufungskläger führt aus, die angemessene Regelung, welche die Vormundschaftsbehörde Z._ getroffen habe und welche vom Bezirksrat Z._ bestätigt worden sei, habe das Obergericht in Verletzung bundesrechtlicher Vorschriften eingeschränkt. Die Argumentation des Obergerichts, es bestünden erhebliche Spannungen zwischen den Parteien, welche eine Beschränkung des Besuchsrechts im Sinne von Art. 274 ZGB rechtfertigten, dringe nicht durch. Ebenso wenig vermöge der Hinweis, das Kind müsse sich in die von der Berufungsbeklagten neu gegründete Familie integrieren können, eine Beschränkung des Besuchsrechts zu rechtfertigen.
Schliesslich sei auch die Begründung, die vom Obergericht getroffene Lösung gehe immer noch weiter, als was sonst im Kanton Zürich gemeinhin als gerichtsüblich angesehen werde, nicht überzeugend.
a) Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das unmündige Kind haben gemäss Art. 273 Abs. 1 ZGB Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3 S. 450 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 232; <ref-ruling> E. 3 S. 204; <ref-ruling> E. 3 S. 407). Dabei haben Vater und Mutter alles zu unterlassen, was das Verhältnis des Kindes zum anderen Elternteil beeinträchtigt oder die Aufgabe der erziehenden Person erschwert (Art. 274 Abs. 1 ZGB). Die Vorstellung darüber, was in durchschnittlichen Verhältnissen als angemessenes Besuchsrecht zu gelten habe, gehen in der Lehre und der Praxis auseinander, wobei auch regionale Unterschiede festzustellen sind: Während das Besuchsrecht in der Westschweiz üblicherweise jedes zweite Wochenende mit einer Übernachtung, die Hälfte der Schulferien und alternierend die Doppelfeiertage umfasst, wird in der Deutschschweiz - im Streitfall - das Besuchsrecht üblicherweise für Kinder im Vorschulalter auf ein bis zwei Halbtage monatlich, für Schulkinder auf ein Wochenende mit einer Übernachtung und zwei bis drei Wochen Ferien jährlich festgesetzt (Hegnauer, Berner Kommentar, 1997, N. 100 zu Art. 273 ZGB, S. 105/106; Schwenzer, Basler Kommentar, ZGB I, N. 14 zu Art. 273 ZGB, S. 1422). Dabei ist eine Tendenz zur Ausdehnung des Besuchsrechts feststellbar. Auch wenn solchen Übungen bei der Bemessung des Besuchsrechtes eine gewisse Bedeutung zukommt, kann im Einzelfall nicht allein darauf abgestellt werden (<ref-ruling> E. 3a S. 451). Das Recht auf angemessenen persönlichen Verkehr steht Eltern und Kindern um ihrer Persönlichkeit willen zu (BBl 1974 II 52; BGE <ref-ruling> E. 3 S. 204). In erster Linie dient das Besuchsrecht indessen dem Interesse des Kindes. Bei dessen Festsetzung geht es nicht darum, einen gerechten Interessenausgleich zwischen den Eltern zu finden, sondern den elterlichen Kontakt mit dem Kind in dessen Interesse zu regeln (<ref-ruling> E. 3a S. 406 f. mit Hinweisen). Als oberste Richtschnur für die Ausgestaltung des Besuchsrechts gilt somit immer das Kindeswohl, das anhand der Umstände des konkreten Einzelfalles zu beurteilen ist; allfällige Interessen der Eltern haben zurückzustehen (<ref-ruling> E. 4a S. 298; <ref-ruling> E. 3b S. 451).
b) Wo das Gesetz verlangt, dass das Gericht eine angemessene Lösung treffe, verweist es auf das richterliche Ermessen (zum Besuchsrecht: BGE <ref-ruling> E. 4a S. 235; statt vieler: Theo Mayer-Maly, Basler Kommentar, N. 2 zu Art. 4 ZGB). In diesem Fall hat der Richter seine Entscheidung nach Recht und Billigkeit zu treffen (Art. 4 ZGB). Eine solche Billigkeitsentscheidung verlangt, dass alle wesentlichen Besonderheiten des konkreten Falles beachtet werden. Das Bundesgericht überprüft die Ausübung richterlichen Ermessens durch die letzte kantonale Instanz mit Zurückhaltung; es schreitet nur dann ein, wenn grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung entwickelten Grundsätzen abgegangen wird, wenn Tatsachen berücksichtigt werden, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn umgekehrt Umstände ausser Betracht geblieben sind, die zwingend hätten beachtet werden müssen (<ref-ruling> E. 4a S. 227/228; <ref-ruling> E. 6a S. 149 mit Hinweisen).
Allerdings ist die sonst Entscheidungen nach Art. 4 ZGB innewohnende Tendenz zur Generalisierung und zur Regelbildung bei der Ordnung des persönlichen Verkehrs vor allem wegen der Situationsabhängigkeit und der damit verbundenen Individualisierung wenig ausgeprägt. Ein weiterer Grund für die noch wenig homogene Rechtsprechung ist u.a. das bescheidene rechtstatsächliche Wissen über das Verhältnis zwischen Regelung und Praxis des persönlichen Verkehrs. Für das ganze Land und über längere Zeit anerkannte Regeln sind daher nur in groben Umrissen zu erkennen (Hegnauer, a.a.O., N. 62 zu Art. 273 ZGB, S. 99).
c) So wichtig es für den Aufbau einer tragfähigen Kind-Elternbeziehung auch ist, dass Besuche regelmässig und vor allem berechenbar erfolgen, so wenig kann das Kriterium einfach lauten: Je häufiger Besuche stattfinden, desto eher wird das Kindeswohl gewahrt. Für das Wohl des Kindes kann es nicht entscheidend sein, von welchem "gerichtsüblichen Besuchskonzept" ausgegangen wird. Ausschlaggebend ist in erster Linie, ob es den Eltern gelingt, ihre eigenen Konflikte von den Kindern fernzuhalten. Erkennt der Richter, dass dies den Eltern keine Schwierigkeiten bereitet, kann er das Besuchsrecht grosszügiger bemessen (Verena Bräm, Das Besuchsrecht geschiedener Eltern, AJP 7/1994, S. 901; vgl. auch Gugliel-moli/Mauri/Trezzini, Das Besuchsrecht und Kinderzuteilung in der Scheidung, AJP 8/1999, S. 54). Es kann deshalb nicht gesagt werden, die westschweizerische Lösung sei a priori die einzige richtige, weil die Besuchskadenz grösser ist. Das Bundesgericht hat - wie erwähnt - in <ref-ruling> E. 3b S. 451 die regionalen/kantonalen Übungen relativiert. Die Sache wurde an das Kantonsgericht zurückgewiesen, weil dieses, ohne auf den konkreten Fall einzugehen, einfach mit der kantonalen Praxis argumentiert hatte und keine Hinweise dafür ersichtlich waren, dass sich ein ausgedehntes Besuchsrecht negativ auf die Entwicklung des Kindes auswirken würde. Bei einem - wie vorliegend - strittigen Besuchsrecht ist zwischen den Belastungen, die dieses mit sich bringt, und den Vorteilen für das Kind abzuwägen. Die Belastungen entstehen für die Kinder durch individuelles Fehlverhalten eines oder beider Eltern, meist aber viel deutlicher durch das Spannungsfeld, das die Eltern gemeinsam erzeugen (Wilhelm Felder et al., Kinder und ihre Familien in schwierigen psychosozialen Verhältnissen, in: Die Rechte des Kindes/Das UNO-Übereinkommen und seine Auswirkungen auf die Schweiz [Hrsg. R. Gerber Jenni/C. Hausamann], Basel 2001, S. 210).
Es kann nicht gesagt werden, das Obergericht habe die dargelegten Grundsätze bei der Besuchs- oder der Ferienregelung verletzt. Es hat den Wunsch des Kindes beachtet und das gute Verhältnis des Vaters zum Kind gewürdigt, und es durfte die Spannungen zwischen den Parteien und den daraus entstehenden Loyalitätskonflikt berücksichtigen. Es durfte dabei auch hervorheben, dass der Berufungskläger mit seinem vor einigen Jahren begangenen schweren Vertrauensbruch zu den Spannungen beigetragen hat. Auch die unterschiedliche Bewertung der Krankheitssymptome von C._ haben zu Differenzen zwischen den Eltern geführt, wie das Obergericht mit Recht gewürdigt hat. Dabei stehen für die Beurteilung der Angemessenheit der Besuchs- und Ferienregelung nicht die Ursachen für die Spannungen zwischen den Eltern im Vordergrund, sondern die durch die Aussagen von Fachleuten erhärtete und vom Obergericht festgestellte Tatsache, dass das Kind in einem belastenden Loyalitätskonflikt lebt, der es überfordert.
Es erscheint daher als sachgerecht, das Besuchs- und Ferienrecht so zu ordnen, dass als Bezugsperson eindeutig die Inhaberin der elterlichen Sorge bestimmt wird. Die Vorinstanz durfte dabei den Umstand berücksichtigen, dass sich das Kind in der neuen Familie der Mutter muss integrieren können. Zu kurze Abstände zwischen den Wochenendbesuchen könnten denn auch die Entwicklung eines Familiengefühls erschweren und damit die Integration gefährden. Die kantonalen Richter haben erwogen, dass die Lösung dem Wunsch des Kindes entspreche, welches alle drei Wochen ein Wochenende und jährlich eine Woche Ferien beim Vater verbringen möchte, wobei das Gericht das Ferienbesuchsrecht auf zwei Wochen erhöht hat. Auch wenn der Wunsch des heute siebenjährigen Kindes nicht Richtschnur sein kann, durfte er nebst anderen Kriterien sicher mit berücksichtigt werden. Angesichts der zwischen den Eltern bestehenden Spannungen kann der Auffassung des Obergerichts gefolgt werden, dass eine etwas zurückhaltende Besuchskadenz verbunden aber mit einem etwas ausgedehnteren Besuchsrecht - zwei Übernachtungen - dieser Situation eher gerecht wird. Das Obergericht ist zusammenfassend von den in Lehre und Rechtsprechung entwickelten Grundsätzen überhaupt nicht abgewichen, noch hat es Tatsachen berücksichtigt, die keine Rolle hätten spielen dürfen, noch umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen, die zwingend hätten beachtet werden müssen.
Der angefochtene Entscheid ist nicht nur vertretbar, sondern stellt einen angemessenen und ausgewogenen Beitrag zur Konfliktlösung dar. Die Berufung ist abzuweisen.
3.- Der Berufungskläger ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Diese wird einer bedürftigen Person gewährt, deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Art. 152 Abs. 1 OG). Zudem kann ihr nötigenfalls ein Rechtsanwalt beigegeben werden (Art. 152 Abs. 2 OG). Wenn die Partei später dazu imstande ist, so hat sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten (Art. 152 Abs. 3 OG). Die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege sind vorliegend erfüllt. Der Berufungskläger hat seine Bedürftigkeit im Berufungsverfahren nachgewiesen. Es kann auch nicht gesagt werden, seine Rechtsbegehren seien aussichtslos gewesen, zumal die beiden ersten Instanzen in seinem Sinn entschieden haben. Schliesslich trifft zu, dass der Berufungskläger auf die Unterstützung durch einen Anwalt angewiesen war. Es sind daher zwar Verfahrenskosten zu erheben, diese sind indessen zunächst auf die Gerichtskasse zu nehmen. Zudem ist dem Anwalt des Berufungsklägers aus der Gerichtskasse eine Parteientschädigung auszurichten.
Sodann ist der Berufungskläger zu verpflichten, dem Anwalt der Berufungsbeklagten, welche kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt hat, eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen, und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 30. Mai 2001 wird bestätigt.
2.-Das Gesuch des Berufungsklägers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird gutgeheissen. Es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren in der Person von Rechtsanwalt Patrick Zanolla ein amtlicher Vertreter beigegeben.
3.-Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Berufungskläger auferlegt, einstweilen aber auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.-Der Berufungskläger hat die Berufungsbeklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.- Rechtsanwalt Patrick Zanolla wird aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
6.-Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 15. November 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung des
SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: