Faits:
A. Par arrêt du 23 octobre 2007, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal neuchâtelois (ci-après la Cour de cassation pénale), composée des juges Jacques-André Guy, Alain Ribaux et Claude Bourquin, a, sur rapport du juriste-rédacteur Christian Hänni, rejeté le pourvoi en cassation formé par X._ contre un jugement du Tribunal de police du district du Val-de-Ruz du 3 avril 2007, qui condamnait l'intéressé pour violation grave des règles de la circulation (<ref-law>) à dix jours-amende de 450 fr. chacun, avec sursis pendant trois ans, et à 1'100 fr. d'amende.
B. Invoquant les art. 6 par. 1 CEDH, 30 al. 1 1ère phrase Cst., 29 Cst./NE et 1 de la loi d'organisation judiciaire neuchâteloise (ci-après: OJN; RS/NE 161.1), X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, pour composition irrégulière de la Cour de cassation pénale.
À titre préalable, il requiert que l'effet suspensif soit attribué à son recours.
Au bénéfice des renseignements donnés dans sa réponse, la Cour de cassation pénale propose le rejet du recours.
Le Ministère public neuchâtelois s'en remet à l'appréciation du Tribunal fédéral.
Le recourant a eu l'occasion de présenter ses observations sur les réponses du Ministère public et de la Cour de cassation pénale.

Considérant en droit:
1. Interjeté dans le délai prévu par la loi (art. 45 al. 1 et 100 al. 1 LTF) par un accusé qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>) et dirigé contre un jugement final (<ref-law>) rendu en matière pénale (<ref-law>) par une autorité de dernière instance cantonale (<ref-law>), le recours, dûment motivé (art. 42 et 106 al. 2 LTF), est recevable.
2. Le recours n'est ouvert au Tribunal fédéral que pour les violations du droit prévues aux art. 95 et 96 LTF.
2.1 Conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le mémoire de recours doit, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit, au sens des art. 95 et 96 LTF. Aussi le Tribunal fédéral n'examine-t-il en règle générale que les griefs soulevés par le recourant; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, si celles-ci ne sont plus discutées devant lui.
En l'espèce, le recourant ne critique que la composition de la Cour de cassation pénale. Le Tribunal fédéral limitera donc son examen à cette seule question.
2.2 Dans le cadre du litige ainsi défini et sous réserve de la violation des droits constitutionnels et des questions relevant du droit cantonal ou intercantonal, qu'il ne peut examiner que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>), le Tribunal fédéral examine d'office l'application du droit (<ref-law>). Il n'est limité ni par les arguments soulevés dans le mémoire de recours ni par le raisonnement de l'autorité précédente; il peut admettre le recours pour d'autres motifs que ceux avancés par le recourant ou, au contraire, le rejeter par substitution de motifs (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140).
3. Aux termes de l'art. 30 al. 1 1ère phrase Cst., toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire a droit à ce que sa cause soit portée devant un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial. Il en résulte, notamment, un droit constitutionnel de tout justiciable à la composition régulière du tribunal qui statue dans sa cause (<ref-ruling> consid. 2.1.2.1 p. 34 et les arrêts cités). Ce droit découle aussi de l'art. 6 par. 1 CEDH (cf. arrêt de la Cour européenne des Droits de l'Homme du 4 mars 2003 dans la cause Posokhov contre Russie, Recueil CourEDH 2003-IV, par. 39), qui a, sur ce point précis, la même portée que le droit constitutionnel fédéral (<ref-ruling> consid. 2.1.2.1 p. 34; <ref-ruling> consid. 2b p. 198). En procédure neuchâteloise, le droit à une composition régulière du tribunal dérive également des art. 29 Cst./NE et 1 OJN, mais le recourant n'allègue pas que ces dispositions cantonales lui accorderaient une protection plus étendue que les art. 30 al. 1 1ère phrase Cst. et 6 par. 1 CEDH.
3.1 Pour déterminer si l'autorité précédente a statué dans une composition régulière, c'est-à-dire dans la composition prévue par la loi, le Tribunal fédéral doit se référer aux règles applicables d'organisation judiciaire et de procédure (<ref-ruling> consid. 2.1.2.1 p. 34 et les arrêts cités). S'il s'agit de règles de droit cantonal, il ne peut revoir leur application que sous l'angle restreint de l'arbitraire (sur cette notion: <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9), dans le cadre d'un moyen pris de la violation du droit constitutionnel ou conventionnel à un tribunal établi par la loi (cf. art. 95 et 96 LTF, a contrario), soulevé expressément et développé conformément aux exigences accrues de motivation de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287). Cette limitation du pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est compatible avec l'art. 13 combiné avec l'art. 6 par. 1 CEDH, puisque seules tombent sous le coup de ce dernier texte les violations "flagrantes" des règles nationales applicables à la désignation des magistrats (cf. arrêt de la CourEDH dans la cause Posokhov contre Russie, précité, par. 39). Dès lors, dans les affaires jugées par une autorité cantonale, le grief de violation du droit constitutionnel ou conventionnel à la composition régulière du tribunal se confond avec celui tiré de l'arbitraire dans l'interprétation ou l'application des règles cantonales d'organisation judiciaire et de procédure déterminant la composition du tribunal (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 338), c'est-à-dire les personnes qui sont habilitées à prendre part à la formation de la volonté interne de l'organe juridictionnel concerné.
3.2 Le recourant voit une première violation de son droit à la composition régulière du tribunal dans le fait que la Cour de cassation pénale a statué sur le vu d'un rapport établi par le "juriste-rédacteur" Christian Hänni, alors que la législation neuchâteloise en vigueur au moment de l'arrêt attaqué ne connaissait pas la fonction de juriste-rédacteur.
Il est vrai que, dans leur teneur au jour de l'arrêt attaqué, ni l'OJN ni le règlement du Tribunal cantonal neuchâtelois (ci-après: RTC; RS/NE 162.102) n'autorisaient expressément le juge instructeur à charger un tiers d'élaborer le rapport. En effet, avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, d'une loi modifiant l'OJN, la fonction de "juriste-rédacteur" ne trouvait son fondement dans aucune disposition légale ou réglementaire (cf. arrêt 4A_29/2007 du 30 mai 2007, consid. 2.2.2, publié in RSPC 2007 p. 344). Cependant, on ne saurait en conclure qu'au regard des règles d'organisation judiciaire neuchâteloises en vigueur au moment de l'arrêt attaqué, le recours aux services d'un "juriste-rapporteur" avait en toutes circonstances pour résultat l'intrusion d'un tiers non qualifié dans la délibération et, partant, une irrégularité dans la composition de la section du Tribunal cantonal qui statuait. Certes, l'art. 30 RTC avait la teneur suivante: "Dès que le juge désigné a rédigé [souligné par le Tribunal fédéral] son rapport, il le met en circulation, avec le dossier, auprès des autres juges". Mais, de sa note marginale ("circulation des dossiers"), on peut déduire que cette disposition avait pour objet, non de prescrire au juge désigné de rédiger son rapport en personne, mais de l'obliger à mettre le dossier en circulation sans retard, aussitôt le rapport terminé. Du moins, il n'est pas arbitraire d'interpréter cette disposition en ce sens. S'agissant du rapport, la seule chose qu'exigeaient assurément les règles pertinentes d'organisation judiciaire neuchâteloises, notamment les art. 29 ss RTC, c'est qu'il énonçât la position du juge-rapporteur, seuls les juges étant habilités à prendre part à la délibération ou à s'exprimer par voie de circulation. Or, cette exigence était satisfaite aussi bien si le juge-rapporteur rédigeait son rapport en personne que s'il demandait à un collaborateur de préparer un projet de rapport, qu'il faisait ensuite, après étude personnelle du dossier, soit entièrement sien, soit modifier dans le sens correspondant à son avis, avant de le transmettre à ses collègues. Dès lors, contrairement à ce que soutient le recourant, il ne ressort pas sans conteste des dispositions légales et réglementaires applicables à sa cause que la préparation du rapport devait être le fait du juge. La préparation du rapport pouvait être déléguée à un "juriste-rapporteur", sans que la composition de la cour s'en trouve viciée, si le rôle de ce "juriste-rédacteur" se limitait à rédiger un rapport que le juge-rapporteur faisait ensuite, le cas échéant après modification, entièrement sien.
Dans le cas présent, l'arrêt attaqué a été adopté par voie de circulation, ce qui signifie que chacun des trois juges qui se sont prononcés, notamment le juge-rapporteur, était d'accord avec le rapport mis en circulation. Dès lors, le fait que ce document a été rédigé par le "juriste-rédacteur" Christian Hänni ne constitue pas une violation flagrante ou manifeste des règles d'organisation judiciaire neuchâteloises déterminant la composition de la Cour de cassation pénale. Aussi le premier moyen du recourant est-il mal fondé.
3.3 En second lieu, le recourant soutient que son droit à la composition régulière du tribunal a été violé parce que, pour statuer sur son pourvoi, l'un des trois membres de la Cour de cassation pénale, le juge cantonal François Delachaux, a été remplacé par le juge cantonal Claude Bourquin. Il fait valoir que cette substitution serait dépourvue de base légale.
Dans sa réponse, la Cour de cassation pénale explique que le juge cantonal François Delachaux s'est récusé d'office, au motif qu'il se trouvait dans l'un des cas visés à l'art. 35 al. 1 ch. 3 du code de procédure pénale neuchâtelois (ci-après: CPP/NE; RS/NE 322.0). Le président de la Cour de cassation pénale a alors, en application des dispositions légales et réglementaires sur la récusation et sur les suppléances au sein du Tribunal cantonal, fait appel au juge cantonal Claude Bourquin pour remplacer François Delachaux.
3.3.1 Le recourant ne conteste pas, dans les observations qu'il a déposées sur la réponse de la Cour de cassation pénale, que le juge cantonal François Delachaux se trouvait dans un cas de récusation prévu à l'art. 35 CPP/NE. Il est dès lors acquis que ce magistrat était, en vertu de l'art. 35 CPP/NE, empêché d'exercer ses fonctions dans la présente cause (cf. supra, consid. 2.1).
3.3.2 Dans sa teneur au moment où l'arrêt attaqué a été rendu, l'art. 18 al. 1 1ère phrase OJN disposait que les sections du Tribunal cantonal avaient pour suppléants les membres des autres sections ainsi que les présidents des tribunaux de district. Par ailleurs, l'art. 24 RTC précisait que les juges attribués aux diverses sections se suppléaient les uns les autres (al. 1er) et qu'en cas de besoin, le président de section faisait appel à eux ou, à défaut, aux autres suppléants prévus par la loi (al. 2).
En l'espèce, le juge cantonal François Delachaux ne pouvait exercer ses fonctions dans la cause du recourant. Aussi le président de la Cour de cassation pénale devait-il pourvoir à son remplacement, en faisant appel, conformément aux dispositions précitées, soit à un membre d'une autre section du Tribunal cantonal, soit à un président de tribunal de district. En substituant le juge cantonal Claude Bourquin, contre lequel le recourant ne prétend pas avoir de motif de récusation, au juge cantonal François Delachaux, le président de la Cour de cassation pénale n'a dès lors pas agi sans base légale, ni constitué irrégulièrement la cour qui a statué sur le pourvoi du recourant.
Le recours, mal fondé, doit dès lors être rejeté.
4. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de justice (art. 65 et 66 al. 1 LTF), arrêtés à 2'000 francs.
5. La cause étant ainsi jugée, il n'y a plus lieu de statuer sur la requête d'effet suspensif, qui n'a plus d'objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 23 mai 2008
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Schneider Oulevey