Erwägungen:
1.
1.1. A._ wurde nach zwei gescheiterten Prüfungen von weiteren Prüfungen an der Rechtswissenschaftlichen Fakultät der Universität Zürich ausgeschlossen. Da er dort bereits ein Gastsemester besucht hatte, ersuchte er in der Folge um eine Reimmatrikulation an der Universität St. Gallen.
1.2. Mit Verfügung vom 12. Januar 2012 teilte ihm der Studiensekretär der Universität St. Gallen mit, er erfülle die Voraussetzungen zur Reimmatrikulation nicht und habe die Möglichkeit, sich ab dem 1. Februar 2012 für das Herbstsemester 2012 im ordentlichen Zulassungsverfahren zu bewerben. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Rekurskommission der Universität St. Gallen vom 12. März/11. Oktober 2012; Rekursentscheid des Universitätsrats vom 13./14. Juni 2013; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 21. Oktober 2014).
1.3. Vor Bundesgericht beantragt A._ im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 21. Oktober 2014 sei aufzuheben und er sei via Reimmatrikulation (evtl. Erstanmeldung) zum nächstmöglichen Semester zuzulassen. Die Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist dagegen nicht durchgeführt worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften nebst den Begehren deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (<ref-law>) verletzt. Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht, kann bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden; entsprechende Rügen müssen spezifisch geltend gemacht und begründet werden (<ref-law>; zur Art der zulässigen Rügen und zur Begründungspflicht s. <ref-ruling> E. 4.3. S. 521 f.; 134 I 349 E. 3 S. 351 f., 153 E. 4.2.2 S. 158).
Sollen die Sachverhaltsfeststellung und die Beweiswürdigung der Vorinstanz bestritten werden, muss ebenfalls in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise aufgezeigt werden, dass diese offensichtlich falsch, d.h. willkürlich seien (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>; s. <ref-ruling> E. 2.4 und 2.5 S. 313 f.; <ref-ruling> E. 1.5 und 1.6 S. 129 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.2. Vorliegend ist im Wesentlichen streitig, ob die Vorinstanz zurecht das Fehlen der Voraussetzungen für eine Reimmatrikulation bzw. für die Wiederherstellung der verpassten Frist zur Online-Anmeldung verneint habe. Der Beschwerdeführer müsste somit - sowohl im Rahmen einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als auch im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde - in der vorgeschriebenen Form aufzeigen (<ref-law>), dass das massgebliche kantonale Recht willkürlich oder in anderer Weise verfassungswidrig angewendet worden sei, was er aber nicht tut.
Soweit der Beschwerdeführer für die Begründung auf Eingaben im kantonalen Verfahren verweist, ist darauf ebenfalls nicht einzutreten, weil die Begründung in der Beschwerde selber enthalten sein muss (<ref-ruling> E. 2.8.1 S. 54; <ref-ruling> E. 1.3 S. 306; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
2.3. Die Erwägungen des Verwaltungsgerichts beruhen gleichzeitig auf Sachverhaltsfeststellungen, deren qualifizierte Unrichtigkeit im Sinne von Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law> der Beschwerdeführer nicht in einer den erwähnten strengen Begründungsanforderungen genügenden Weise aufzeigt.
Der im angefochtenen Urteil festgestellte Sachverhalt ist damit für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>), und kann insbesondere auch nicht durch die Einreichung weiterer Beweise ergänzt werden, soweit solche überhaupt nach <ref-law> zulässig wären (s. <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
3.
Die eingereichte Beschwerde entbehrt damit offensichtlich einer hinreichenden Begründung (<ref-law>), sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art.66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Dezember 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Savoldelli