Faits:
A. G._, née en 1986, de nationalité portugaise, est atteinte d'une encéphalopathie sévère avec microcéphalie et d'infirmité motrice cérébrale. Accompagnée de sa mère, elle est arrivée en Suisse le 23 juillet 1994, où son père résidait sans interruption depuis le 17 mars 1991.
Le 11 mai 2004, G._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Requérant l'octroi de moyens auxiliaires, elle sollicitait la prise en charge d'une cigogne, d'un lit électrique et d'une coque de positionnement. Les médecins ont retenu qu'elle était totalement grabataire.
Par décision du 21 août 2007, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a rejeté la demande de prise en charge d'un fauteuil roulant et d'une coque de positionnement. Par une autre décision rendue le même jour, il a rejeté la demande de prise en charge d'une cigogne.
B. G._ a formé recours contre ces deux décisions devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui: la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal), en concluant, sous suite de frais et dépens, à la réforme de celles-ci en ce sens qu'il était dit qu'elle avait droit à la prise en charge d'un fauteuil roulant, d'une coque de positionnement et d'une cigogne.
Sur requête de la juridiction cantonale, les parents de G._ ont produit un document du 22 février 2008 attestant que M._, mère de l'enfant, exerçait une activité lucrative au service de la commune de E._.
Par jugement du 11 avril 2008, la juridiction de première instance a rejeté le recours.
C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à la réforme de celui-ci et des décisions administratives du 21 août 2007 en ce sens qu'il est dit qu'elle remplit les conditions générales mises à l'octroi des prestations sollicitées, la cause étant renvoyée à l'office AI pour qu'il examine les conditions particulières mises à l'octroi des moyens auxiliaires requis. Elle requiert l'assistance judiciaire gratuite.
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Est litigieux le droit de la recourante aux prestations quant à son principe. Le litige porte ainsi sur une pure question de droit.
2. Il est constant que la recourante, de nationalité portugaise, ne remplit pas les conditions de résidence fixées par les art. 6 al. 2 et 9 al. 3 LAI aux ressortissants étrangers pour l'ouverture du droit à des mesures de réadaptation. Selon ces dispositions, les ressortissants étrangers âgés de moins de 20 ans et qui ont leur domicile ou résidence habituelle en Suisse ont droit aux mesures de réadaptation - dont font partie les moyens auxiliaires (art. 8 al. 3 let. d LAI) -, notamment, s'ils sont nés invalides en Suisse ou, lors de la survenance de l'invalidité, résident en Suisse sans interruption depuis une année au moins ou depuis leur naissance (art. 9 al. 3 let. b première phrase LAI; sur la notion de survenance de l'invalidité pour les moyens auxiliaires, voir <ref-ruling> consid. 2b p. 63, 105 V 58 consid. 2a p. 60; arrêt I 403/96 du 3 décembre 1997, in SVR 1998 IV n° 9 consid. 2a/aa p. 36; arrêt I 228/91 du 4 mars 1992, in RCC 1992 consid. 2 p. 384). Ainsi, la recourante, née au Portugal, où son invalidité est survenue dès son plus jeune âge, ne saurait prétendre l'octroi de moyens auxiliaires en application du seul droit interne.
3. L'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (Accord sur la libre circulation des personnes, ALCP; RS 0.142.112.681) est entré en vigueur le 1er juin 2002. En vertu de son art. 20, sauf disposition contraire découlant de l'annexe II, l'ALCP suspend les accords de sécurité sociale bilatéraux entre la Suisse et les Etats membres de la Communauté européenne dès son entrée en vigueur, dans la mesure où la même matière est régie par l'ALCP (sur la portée de la suspension, voir <ref-ruling>). Dès lors, la Convention (bilatérale) de sécurité sociale du 11 septembre 1975 entre la Suisse et le Portugal (modifiée par l'Avenant du 11 mai 1994), mentionnée par la juridiction cantonale, n'est applicable en l'espèce que si l'ALCP ne l'est pas (<ref-ruling> consid. 4 p. 242).
3.1 Selon l'art. 1er al. 1 de l'annexe II "Coordination des systèmes de sécurité sociale" à l'ALCP, fondée sur l'art. 8 de l'accord et faisant partie intégrante de celui-ci (art. 15 de l'accord) en relation avec la section A de cette annexe, les parties contractantes appliquent entre elles en particulier le règlement (CEE) n° 1408/71 du Conseil du 14 juin 1971 relatif à l'application des régimes de sécurité sociale aux travailleurs salariés, aux travailleurs non salariés et aux membres de leur famille qui se déplacent à l'intérieur de la Communauté, ainsi que le règlement (CEE) n° 574/72 du Conseil du 21 mars 1972 fixant les modalités d'application des régimes de sécurité sociale aux travailleurs salariés, aux travailleurs non salariés et aux membres de leur famille qui se déplacent à l'intérieur de la Communauté, ou des règles équivalentes.
3.2 Les premiers juges ont retenu que la recourante n'avait jamais travaillé, ni en Suisse, ni dans un autre Etat membre à l'ALCP, qu'elle était âgée de plus de 18 ans au moment des décisions du 21 août 2007 de refus de prise en charge des moyens auxiliaires requis et qu'elle ne poursuivait pas d'études ou d'apprentissage, de sorte que le règlement n° 1408/71 ne lui était pas applicable.
3.3 Il y a lieu d'examiner si la recourante tombe sous le champ d'application matériel du règlement n° 1408/71, lequel est déterminé à l'art. 4 dudit règlement.
Une prestation peut être considérée comme une prestation de sécurité sociale au sens de cette disposition dans la mesure où elle est octroyée, en dehors de toute appréciation individuelle et discrétionnaire des besoins personnels, au bénéficiaire sur la base d'une situation légalement définie et où elle se rapporte à l'un des risques expressément énumérés à l'art. 4 par. 1 du règlement n° 1408/71 (arrêt de la CJCE du 5 mars 1998, Molenaar, C-160/96, Rec. p. I-843, point 20). Savoir si une prestation tombe dans le champ d'application de l'art. 4 par. 1 du règlement n° 1408/71 ne dépend pas de la qualification qui est donnée par le droit interne mais se détermine sur la base des dispositions communautaires qui définissent les éléments constitutifs desdites prestations (arrêt de la CJCE du 10 janvier 1980, Jordens-Vorsters, 69/79, Rec. p. 75, points 6 ss; <ref-ruling> consid. 5.1.1 p. 190).
La notion de «prestations de maladie» de l'art. 4 par. 1 let. a du règlement n° 1408/71 englobe les moyens auxiliaires destinés à la réadaptation des invalides (<ref-ruling> consid. 3.2.3 p. 49; Bettina Kahil-Wolff, Le droit social de l'Union européenne, in: Sécurité sociale: aspects de droit national, international et européen, Bettina Kahil-Wolff/Pierre-Yves Greber, 2006, ch. 722 p. 328 et les références sous note n° 591). Ainsi, les prestations en cause constituent-elles des prestations de sécurité sociale entrant dans le champ d'application matériel du règlement n° 1408/71.
3.4 En ce qui concerne le champ d'application personnel du règlement n° 1408/71, la section A de l'annexe II à l'ALCP relative à la coordination des systèmes de sécurité sociale prévoit sous ch. 1 let. d qu'aux fins du présent accord, le règlement n° 1408/71 est adapté en ce sens que l'annexe I, section II du règlement est complétée par le texte suivant en ce qui concerne la Suisse: "Pour déterminer le droit aux prestations en nature en application du titre III, chap. I, du règlement, le terme «membre de la famille» désigne le conjoint ainsi que les enfants de moins de 18 ans révolus et ceux de moins de 25 ans révolus qui fréquentent une école ou poursuivent des études ou un apprentissage".
C'est à la lumière du droit suisse, que laissent subsister les règles de coordination des systèmes de sécurité sociale, qu'il y a lieu d'examiner si la recourante doit être considérée comme un enfant de moins de 18 ans révolus.
Au regard de l'art. 10 LAI, pour fonder une obligation de l'assurance-invalidité de fournir des prestations pour un moyen auxiliaire, il suffit que la demande soit déposée jusqu'à la fin du mois dans lequel l'âge donnant droit à la perception d'une rente de vieillesse est atteint (<ref-ruling>). Cette jurisprudence, rendue sous le régime de l'ancien art. 10 al. 1 LAI dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 1996, s'applique également sous l'empire de la nouvelle version de l'art. 10 al. 1 LAI en vigueur dès le 1er janvier 1997 [10e révision de l'AVS] (arrêt I 217/00 du 24 mai 2000, in SVR 2000 IV n° 29 p. 85), teneur qui n'a pas été modifiée par la LPGA entrée en vigueur le 1er janvier 2003 ni par la novelle du 21 mars 2003 (4e révision AI) en vigueur depuis le 1er janvier 2004 (la nouvelle teneur de l'art. 10 LAI selon la novelle du 6 octobre 2006 [5e révision AI], en vigueur depuis le 1er janvier 2008, n'entre pas ici en considération). C'est donc le moment de la demande qui est déterminant.
Il y a lieu de transposer au cas d'espèce la jurisprudence mentionnée ci-dessus de l'art. 10 al. 1 LAI et de considérer que la demande de remise de moyens auxiliaires du 11 mai 2004 a été présentée en temps utile. Au moment du dépôt de la demande, la recourante, née le 3 octobre 1986, était âgée de moins de 18 ans révolus. Ainsi a-t-elle la qualité de membre de la famille au sens de l'annexe I, section II du règlement n° 1408/71 en ce qui concerne la Suisse, de sorte qu'elle entre dans le champ d'application personnel du règlement de coordination en ce qui concerne les prestations litigieuses.
Peut dès lors demeurer indécis le point de savoir si la recourante a également la qualité de membre de la famille au sens des art. 1 let. f point ii et 2 par. 1 du règlement n° 1408/71 (à ce propos, cf. <ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 245 s.).
4. Peut également demeurer ouverte la question de savoir si la prise en charge des moyens auxiliaires pourrait être accordée en application de l'art. 9 al. 2 de l'Annexe I à l'ALCP relatif aux avantages sociaux (sur cette notion, voir par exemple l'arrêt de la CJCE du 27 novembre 1997, Meints, C-57/96, Rec. 1997, I-6689, point 39; sur la casuistique, cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 291 et 133 V 367 consid. 8.2 p. 373 s.).
5. Les moyens auxiliaires destinés à la réadaptation des invalides font partie des prestations en nature au sens du titre III, chap. 1 du règlement n° 1408/71 (<ref-ruling> consid. 3.2.3 p. 49; voir, pour la qualification des prestations en nature en droit suisse, l'art. 14 LPGA).
Les prestations en cause sont des prestations en nature de grande importance au sens de l'art. 24 du règlement n° 1408/71. Ainsi, la décision n° 115 de la Commission administrative des Communautés européennes pour la sécurité sociale des travailleurs migrants, du 15 décembre 1982, concernant l'octroi des prothèses, du grand appareillage et d'autres prestations en nature de grande importance qui sont visés à l'article 24 par. 2 du règlement (CEE) n° 1408/71, mentionne les appareils d'orthopédie ou appareils-tuteurs (ch. 1 let. a), ainsi que les fauteuils roulants et autres moyens mécaniques permettant de se déplacer (ch. 1 let. g).
Il convient donc de reconnaître le droit de la recourante aux prestations quant à son principe et de renvoyer la cause à l'administration pour qu'elle statue à nouveau sur les mesures prétendues et qu'elle vérifie si toutes les conditions - non examinées ici - donnant droit à ces mesures sont réalisées.
6. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimé, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). La recourante, qui obtient gain de cause, a droit à une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Sa requête d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.
Il y a lieu d'inviter l'autorité de l'instance inférieure à statuer sur les dépens de cette instance (art. 61 let. g LPGA).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 11 avril 2008 et les décisions de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 21 août 2007 sont annulés.
2. La cause est renvoyée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud pour nouvelles décisions au sens des motifs.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4. L'intimé versera à la recourante la somme de 2'500 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la dernière instance.
5. La cause est renvoyée à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 avril 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner