Faits :
A.
A.a. Selon demande du 23 octobre 2006, B._ (demanderesse) a ouvert action en paiement devant le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois contre A._ (défendeur), alors assisté de l'avocat genevois C._.
Une audience de jugement a été appointée au 1er juillet 2010, selon avis notifié aux parties le 25 mars 2010. Le défendeur ne s'y est pas présenté, ni son conseil, de sorte que la demanderesse a requis le jugement par défaut.
Par jugement du 7 juillet 2010 rendu par défaut, le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a admis la demande et dit que le défendeur était débiteur de la demanderesse de la somme de 540'334 fr.40 en capital, l'opposition de celui-ci à un commandement de payer étant définitivement levée à concurrence de 100'000 fr. plus intérêts et frais. Le jugement par défaut a été notifié aux parties sous forme de dispositif le 8 juillet 2010; il est devenu définitif et exécutoire le 30 août 2010, faute de recours, de demande de motivation ou de requête de relief.
Le 27 octobre 2010, le défendeur s'est vu notifier un commandement de payer la somme totale de 540'435 fr.; le titre de la créance se référait au jugement du 7 juillet 2010.
Le 8 novembre 2010, le défendeur, représenté par l'avocat vaudois D._, a déposé devant le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois une requête de relief du jugement par défaut et versé la somme destinée à payer les dépens frustraires. Il a fait valoir qu'il n'avait eu connaissance ni de la tenue de l'audience du 1er juillet 2010 ni du jugement par défaut du 7 juillet 2010. Le 11 novembre 2010, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a adressé la requête de relief à la demanderesse en se référant à l'art. 311 de l'ancien code de procédure civile vaudois (CPC/VD). Le 6 décembre 2010, ce magistrat a cité les parties à comparaître à l'audience du 7 mars 2011 pour la reprise de cause.
De son côté, la demanderesse a présenté, le 16 décembre 2010, une requête de réforme afin d'obtenir la restitution du délai de dix jours, ancré à l'<ref-law>/VD, pour contester le droit au relief.
Par jugement incident du 10 août 2011, le Président du Tribunal d'arrondissement a rejeté d'office la requête de relief et constaté que la requête de réforme n'avait plus d'objet.
Statuant dans un arrêt du 10 novembre 2011 sur l'appel formé par le défendeur contre ledit jugement incident, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a admis l'appel, annulé le jugement et renvoyé la cause au Président du Tribunal d'arrondissement pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il a été retenu que le considérant 3a de cet arrêt précisait que la cause serait retournée au premier juge " pour qu'il admette la requête de réforme du 16 décembre 2010 de B._ (et) statue sur l'étendue de la réforme ... ... ".
Il résulte de l'arrêt 4A_29/2012 du 27 mars 2012 que la Présidente de la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral, faisant application de la procédure simplifiée de l'<ref-law>, n'est pas entrée en matière sur le recours en matière civile interjeté le 9 janvier 2012 par le défendeur, désormais représenté par l'avocat vaudois Laurent Maire.
A.b. Le Président du Tribunal d'arrondissement a rendu un nouveau jugement incident le 13 novembre 2012; il a autorisé la demanderesse à se réformer à la veille du jour où la requête de relief déposée par le défendeur lui a été notifiée, soit à la date du 12 novembre 2010, et lui a imparti un délai de 10 jours dès notification du jugement pour se déterminer sur la demande de relief.
Dans une lettre du 22 novembre 2012 adressée au Président du Tribunal d'arrondissement, la demanderesse a contesté le droit au relief du défendeur en application de l'<ref-law>/VD.
Saisie d'un recours formé par le défendeur contre le jugement du 13 novembre 2012, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois l'a déclaré irrecevable par arrêt du 11 décembre 2012, le recourant n'ayant pas établi être menacé d'un préjudice difficilement réparable au sens de l'art. 319 let. b ch. 2 du Code de procédure civile suisse (CPC).
Par arrêt 4A_99/2013 du 17 juin 2013, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours en matière civile formé par le défendeur contre l'arrêt du 11 décembre 2012, au motif que ce dernier n'avait pas prouvé être menacé d'un préjudice irréparable aux termes de l'<ref-law>.
Par jugement incident du 4 février 2014, le Président du Tribunal d'arrondissement a admis la requête incidente présentée par la demanderesse le 22 novembre 2012 et rejeté la demande de relief déposée le 8 novembre 2010 par le défendeur.
B.
Le défendeur a appelé du jugement incident du 4 février 2014, concluant à ce que la requête incidente de la demanderesse du 22 novembre 2012 soit déclarée irrecevable et à ce que la demande de relief du défendeur déposée le 8 novembre 2010 soit admise.
Par arrêt du 12 mai 2014, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a rejeté l'appel et confirmé le jugement incident du 4 février 2014.
C.
Le défendeur exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal précité. Il conclut à ce que l'arrêt attaqué soit réformé en ce sens que la requête incidente présentée par la demanderesse le 22 novembre 2012 soit déclarée irrecevable et que la demande de relief qu'il a déposée soit admise, une audience de reprise de cause devant être appointée dans les meilleurs délais par le premier juge.
L'intimée propose le rejet du recours.
A teneur de l'ordonnance présidentielle du 27 août 2014, l'effet suspensif requis par le recourant a été accordé à son recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. Il convient liminairement d'examiner si l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) contre laquelle le recours en matière civile est recevable sans restriction, ou une décision incidente ne portant ni sur la compétence ni sur une demande de récusation (<ref-law>) qui ne peut être attaquée devant le Tribunal fédéral qu'aux conditions restrictives de l'<ref-law>.
Le recourant est d'avis que l'arrêt critiqué doit être considéré comme une décision finale. A juste titre.
Le 7 juillet 2010, statuant par défaut du défendeur et recourant, le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a entièrement admis l'action en paiement de la demanderesse et intimée. Le dispositif de ce jugement a été notifié aux parties le 8 juillet 2010. Ce jugement est devenu définitif et exécutoire le 30 août 2010, car le défaillant n'a déposé aucun recours à son encontre ni formé de demande de relief dans les vingt jours dès la notification du dispositif (cf. art. 309 al. 1 et 2 CPC/VD, l'alinéa 2 renvoyant à l'art. 117a de loi vaudoise d'organisation judiciaire du 12 décembre 1979 (OJV/VD), disposition abrogée qui était en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010 selon la loi du 16 décembre 2009 modifiant l'OJV/VD, RSV 173.01).
Le 8 novembre 2010, le recourant a néanmoins requis le relief de ce jugement devant le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois. L'intimée, qui a reçu notification de cette requête le 11 novembre 2010, ne s'est pas opposée au relief dans le délai de 10 jours de l'<ref-law>/VD. Le 16 décembre 2010, cette dernière a déposé une requête de réforme afin d'obtenir restitution du délai de l'<ref-law>/VD. Le Président du Tribunal d'arrondissement, après diverses péripéties procédurales, a autorisé l'intimée à se réformer à la veille du jour où la requête de relief déposée par sa partie adverse lui a été notifiée. Les recours formés par le recourant contre cette décision devant le Tribunal cantonal vaudois, puis le Tribunal fédéral, ont été tous deux déclarés irrecevables. En temps utile, l'intimée a contesté le droit au relief du recourant. Par jugement incident du 4 février 2014, le Président du Tribunal d'arrondissement a déclaré admissible l'opposition au relief de l'intimée et rejeté la requête de relief du recourant déposée le 8 novembre 2010. L'arrêt cantonal attaqué, statuant sur l'appel du recourant, a confirmé le jugement du 4 février 2014.
Il résulte de ces faits de procédure que l'arrêt déféré a mis un terme à la procédure de relief que le recourant a intentée le 8 novembre 2010 contre le jugement au fond rendu le 7 juillet 2010 à la suite de son défaut à l'audience de jugement du 1er juillet 2010. Le rejet de la requête de relief entraîne la confirmation de la validité dudit jugement par défaut, qui a statué matériellement sur les prétentions de l'intimée.
Or, selon la jurisprudence, la décision qui clôt l'affaire pour un motif déduit de la procédure doit être qualifiée de décision finale (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 568; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 86; sur la définition de la décision finale: <ref-ruling> consid. 2.1 p. 602).
Par conséquent, l'arrêt attaqué est un jugement final au sens de l'<ref-law>.
1.2. Interjeté pour le reste par la partie défenderesse qui a entièrement succombé dans ses conclusions tendant à l'admission de sa demande de relief et à l'annulation du jugement par défaut rendu le 7 juillet 2010, si bien qu'elle a qualité pour recourir (<ref-law>), dirigé contre un arrêt rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse dépasse le seuil de 30'000 fr. de l'<ref-law>, le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 336) et apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours et ne traite donc pas celles qui ne sont plus discutées par les parties (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 584). Le Tribunal fédéral n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
1.3. Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (<ref-law>). La juridiction fédérale peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62), ou établies en violation du droit comme l'entend l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante n'est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières que si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Il lui incombe alors d'indiquer de façon précise en quoi les constatations critiquées sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, à défaut de quoi le grief est irrecevable (<ref-ruling> ibidem).
2.
Le code de procédure civile suisse (CPC) est entré en vigueur le 1er janvier 2011 alors que la cause au fond était pendante devant le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois. Par l'effet des art. 404 al. 1 et 405 al. 1 CPC, la procédure de première instance est demeurée soumise au droit cantonal antérieur, soit au CPC/VD.
3.
Le recourant fait grief à l'autorité cantonale d'avoir appliqué arbitrairement le droit cantonal de procédure régissant l'instance ouverte devant le Tribunal d'arrondissement.
Le recours en matière civile au Tribunal fédéral ne peut pas être interjeté pour violation du droit cantonal en tant que tel, mais il est possible de faire valoir qu'une mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2.3). Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits constitutionnels que si un tel moyen est invoqué et motivé par le recourant conformément au principe d'allégation (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 7.1, 638 consid. 2).
Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'intervient pour cause d'arbitraire que si la décision attaquée est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51, 305 consid. 4.4 p. 319; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 22).
3.1.
3.1.1. Pour le recourant, la cour cantonale a procédé à une interprétation arbitraire de l'art. 311 al. 2 et 3 CPC/VD. Il prétend que l'intimée n'a pas respecté le délai légal de 10 jours pour contester la requête de relief du 8 novembre 2010. A l'en croire, l'absence de contestation du relief dans le délai de l'<ref-law>/VD a eu pour conséquence que sa requête de relief a annulé de plein droit et de manière automatique le jugement par défaut du 7 juillet 2010 et que les plaideurs auraient dû être replacés à la veille de l'audience par défaut. Certes, la requête de relief a été formée dans un délai plus long que celui prévu à l'<ref-law>/VD; mais peu importerait puisque le Président du Tribunal d'arrondissement ne l'a pas rejetée d'office en application de l'<ref-law>/VD. Dans ce cas de figure, aucune décision judiciaire ne serait nécessaire pour parvenir à l'annulation du jugement par défaut, si l'opposition au relief est tardive. La procédure de relief serait réputée n'avoir jamais existé, étant donné que les parties auraient fait " un saut dans le passé ". De toute manière, la requête déposée par l'intimée le 16 décembre 2010 ne constituerait pas une contestation au relief, puisque celle-ci y a pris des conclusions en réforme.
3.1.2. L'autorité cantonale a retenu que la requête de relief a été déposée trois mois après la notification du jugement par défaut, soit tardivement même en tenant compte des féries. En cas de contestation du droit au relief, c'est le jugement incident accordant le relief qui annule le jugement par défaut et replace les parties dans la situation où elles se trouvaient avant l'audience de jugement. Or, in casu, le jugement rendu après contestation du droit au relief a rejeté la requête du défendeur, de sorte qu'il ne peut avoir eu pour conséquence de mettre à néant le jugement par défaut. Le jugement incident qui a admis la requête de réforme de la demanderesse a replacé les plaideurs à la veille du jour de la notification de la requête de relief, ce qui a impliqué la caducité des actes postérieurs, comme la citation des parties en reprise de cause, datée du 6 décembre 2010.
3.1.3. Il ressort de l'art. 309 al. 1 et 2 CPC/VD, combiné avec l'ancien art. 117a OJV/VD en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010, qu'en matière civile la requête de relief peut être demandée par la partie défaillante dans les vingt jours dès la notification d'office du dispositif du jugement par défaut ( JEAN-FRANÇOIS POUDRET ET AL., Procédure civile vaudoise, 3e éd. 2002, n° 1 in fine ad <ref-law>/VD, p. 476).
D'après l'<ref-law>/VD, lorsque la requête de relief est manifestement irrégulière, le juge peut la rejeter sans entendre les parties. D'après la doctrine, cette disposition vise en particulier les cas de demandes tardives ( POUDRET ET AL., op. cit., note sans chiffre ad <ref-law>/VD).
Dans les autres cas (soit si la requête de relief n'est pas manifestement irrégulière), le juge notifie la requête à la partie adverse et assigne les parties à la reprise de cause (<ref-law>/VD). La partie qui conteste le droit au relief soulève l'incident dans un délai de dix jours dès la notification de la demande de relief (<ref-law>/VD), La demande de relief ou, en cas de contestation, le jugement accordant le relief annule le jugement par défaut et replace les parties dans la situation où elles se trouvaient avant l'audience.
Dans le cas présent, le jugement par défaut rendu le 7 juillet 2010, condamnant le recourant à payer à l'intimée la somme de 540'334 fr. 40 en capital, a été notifié aux parties sous forme de dispositif le 8 juillet 2010. En prenant en compte les féries du 15 juillet au 15 août inclusivement de l'<ref-law>/VD, il est patent que la requête de relief déposée le 8 novembre 2010 par le conseil d'alors du recourant était tardive, dès l'instant où elle a été formée plus de vingt jours après la communication du dispositif dudit jugement par défaut. Ce point est d'ailleurs expressément admis par le recourant (cf. ch. 31 du recours en matière civile).
Confronté à une demande de relief irrégulière en raison de sa tardiveté, le Président du Tribunal d'arrondissement aurait dû faire application de l'<ref-law>/VD et la rejeter sans entendre les parties. Ce magistrat a pourtant choisi de la notifier à l'intimée le 11 novembre 2010 en faisant référence à l'<ref-law>/VD.
L'intimée avait alors dix jours pour contester le droit au relief du recourant. Elle a toutefois laissé ce délai s'écouler sans s'opposer au relief.
Se fondant sur cette circonstance, le recourant cite POUDRET ET AL. (op. cit., n° 2 ad <ref-law>/VD), qui ont écrit, en mentionnant un précédent publié au JdT 1947 III 69, que faute d'opposition de l'adverse partie du défaillant, la demande de relief annule de plein droit le jugement par défaut, indépendamment de toute décision du juge.
En pure perte. En effet, on cherche vainement en quoi il est arbitraire de considérer qu'une demande de relief déposée tardivement ne peut pas mettre à néant un jugement par défaut, même s'il n'y a pas eu opposition au relief. Une requête irrégulière, qui devait être rejetée d'office, ne saurait déployer d'effet juridique du simple fait que le magistrat instructeur a transgressé la norme permettant le rejet d'office. Les auteurs auxquels le recourant se rapporte n'ont nullement envisagé une pareille hypothèse. Du reste, le recourant ne le soutient même pas.
Subséquemment, l'intimée, par le jugement incident du 13 novembre 2012, a été autorisée à se réformer à la veille du jour où la requête de relief lui a été notifiée, un nouveau délai de dix jours lui étant fixé pour se déterminer sur la requête de relief du recourant. L'intimée a respecté ce délai en contestant, par lettre du 22 novembre 2012, le droit au relief du recourant. Puis, par le jugement incident du 4 février 2014, le Président du Tribunal d'arrondissement a statué sur l'opposition au relief en rejetant la requête de relief.
Il n'apparaît ainsi aucunement que l'arrêt attaqué, qui a confirmé le jugement incident du 4 février 2014, ait consacré une application insoutenable de l'<ref-law>/VD.
Le moyen doit être rejeté.
3.2.
3.2.1. Invoquant l'arbitraire, le recourant s'en prend au jugement incident du 13 novembre 2012 qui a admis la requête de réforme déposée le 16 décembre 2010 par l'intimée. Il affirme, d'une part, que la requête incidente de réforme serait intervenue tardivement selon l'<ref-law>/VD, soit après la clôture de l'audience de jugement. Il allègue, d'autre part, que l'institution de la réforme est exclue pour obtenir la restitution des délais fixés par la loi, à l'instar de celui instauré par l'<ref-law>/VD. La réforme ne concernerait que les délais judiciaires. La référence opérée par la cour cantonale à la jurisprudence reproduite au JdT 2007 III 127 serait sans pertinence.
3.2.2. La cour cantonale, dans une première motivation, a retenu que la Cour d'appel civile, dans son jugement incident du 10 novembre 2011, a donné l'instruction claire d'admettre la requête de réforme de l'intimée. Il est de jurisprudence (arrêt 4A_646/2011 du 26 février 2013 consid. 3.2, non publié in <ref-ruling>, mais in Pra 2013 n° 107 p. 828) que l'autorité d'appel est liée par les considérants de sa propre décision antérieure, y compris par les instructions données à l'autorité de première instance, et son examen ne peut désormais plus porter que sur les points nouvellement tranchés par cette autorité-ci. La Cour d'appel en a inféré qu'elle était liée par les considérants de sa propre décision antérieure, soit celle du 10 novembre 2011.
Dans une seconde motivation, la cour cantonale a admis que l'<ref-law>/VD ne faisait aucune distinction entre les délais légaux et judiciaires; si l'<ref-law>/CD réservait l'<ref-law>/VD (norme qui a trait à la restitution d'un délai judiciaire), c'est parce qu'une restitution d'un délai judiciaire peut intervenir sans motif, soit sans intérêt réel, moyennant l'accord de la partie adverse, ce qui réduit le champ d'application de la réforme; et la Cour d'appel de se référer à POUDRET ET AL., op. cit., n° 1 ad <ref-law>/VD.
3.2.3. Le recourant a vainement tenté de contester le jugement incident du 13 novembre 2012 autorisant l'intimée à se réformer, d'abord devant le Tribunal cantonal, puis devant le Tribunal fédéral, juridiction qui a déclaré irrecevable son recours en matière civile (cause 4A_99/2013 du 17 juin 2013) au motif que l'arrêt attaqué, qui avait déclaré irrecevable son recours cantonal, était une décision incidente et que le recourant n'était pas menacé d'un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>.
L'arrêt présentement attaqué est, ainsi qu'on l'a vu, une décision finale. Le recourant est donc recevable à attaquer, en vertu de l'<ref-law>, la décision incidente qui a admis la requête de réforme de l'intimée, dès l'instant où il est incontestable que cette décision influe sur le contenu de la décision finale.
3.2.4. Le recourant ne se conforme pas à l'exigence de recevabilité posée par la jurisprudence, qui l'oblige à attaquer chacune des deux motivations alternatives (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 735; <ref-ruling> consid. 6.3 p. 120 s.). Il ne formule aucune critique à l'encontre de la première motivation de l'autorité cantonale sus-indiquée. A ce propos, il déclare au demeurant admettre que l'autorité cantonale est bien liée par les considérants de son arrêt du 10 novembre 2011, se bornant à exposer que les recours au Tribunal fédéral sont régis par la LTF, et non par les règles du CPC, ce qui n'a rien à voir avec la problématique évoquée par la cour cantonale dans sa première motivation.
A cela s'ajoute que le recourant ne s'en prend pas non plus à la seconde motivation de la Cour d'appel, du moment qu'il ne discute pas le raisonnement des magistrats vaudois reposant sur l'interprétation textuelle de l'<ref-law>/VD et un avis de doctrine.
Le moyen est irrecevable.
4.
En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, paiera les frais judiciaires et versera à sa partie adverse une indemnité à titre de dépens (art. 66 al. 1, 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 26 janvier 2015
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Ramelet