Sachverhalt:
A.
Der Arzt Dr. Y._ verweigerte am 26. Mai 2012 die medizinische Untersuchung von X._, weil er an diesem Tag in einer anderen Gemeinde Notfalldienst leistete. Er verwies ihn an den für ihn zuständigen Notfallarzt. In der Folge gelangte X._ mit Schreiben vom 30. Mai 2012 an das Departement Finanzen und Gesundheit des Kantons Glarus und stellte verschieden Begehren im Zusammenhang mit diesem Vorkommnis. Er erhob den Antrag, es sei festzustellen, dass Dr. Y._ gegen seine Berufspflichten verstossen habe und dieser sei anzuweisen, ihm künftig Notfalldienst zu gewähren. Eventuell seien die übrigen Ärztinnen und Ärzte des Kantons, allenfalls auch das Kantonsspital zu verpflichten, ihn im Notfall zu behandeln. Schliesslich beantragte X._, Dr. Y._ sei eine Busse aufzuerlegen. Am 6. August 2012 wies das Departement die Eingabe ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Glarus am 18. Dezember 2012 ab; er interpretierte die Eingabe vom 30. Mai 2012 teils als Aufsichtsanzeige, teils als Gesuch um Erlass einer Verfügung und befand, X._ habe kein Recht, behördlich feststellen zu lassen, in welcher Weise ein Arzt seine Berufspflichten erfülle, und im Aufsichtsverfahren komme ihm keine Parteistellung zu. Mit Urteil vom 24. April 2013 wies das Verwaltungsgericht eine Beschwerde von X._ gegen den regierungsrätlichen Entscheid ebenfalls ab. Es begründete dies damit, dem Entscheid des Departements Finanzen und Gesundheit komme kein Verfügungscharakter zu, weshalb dagegen kein Rechtsmittel gegeben sei. Im Aufsichtsverfahren komme dem Anzeiger sodann keine Parteistellung zu.
C.
X._ (Beschwerdeführer) führt mit Eingabe vom 14. Mai 2013 gegen dieses Urteil beim Bundesgericht "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheit und Rechtsverweigerungsbeschwerde". Er stellt die Anträge, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Glarus aufzuheben und die Sache zur materiellen Behandlung an dieses zurückzuweisen (Ziff. 1), zudem sei festzustellen, dass Dr. Y._ am 26. Mai 2012 gegen seine Berufspflichten gemäss Art. 34 Abs. 1 Gesundheitsgesetz des Kantons Glarus verstossen und dem Beschwerdeführer den Notfalldienst verweigert habe (Ziff. 2), schliesslich sei das Departement anzuhalten, dafür zu sorgen, dass Dr. Y._ in Zukunft den Notfalldienst wieder verfassungs- bzw. gesetzeskonform leiste (Ziff. 3).
Der Beschwerdeführer wirft dem Verwaltungsgericht (Vorinstanz) eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, Willkür, Ermessensunter- und -überschreitung, überspitzten Formalismus, einen Verstoss gegen Treu und Glauben sowie weiterer Bestimmungen der BV und der EMRK vor.
Es wurden weder ein Schriftenwechsel noch Instruktionsmassnahmen angeordnet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts, der nicht unter den Ausnahmekatalog von <ref-law> fällt, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (<ref-law>). Das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus ist zudem eine letzte kantonale Instanz im Sinne von Art. 86 Abs. 1 Bst. d BGG, dessen Urteil nicht beim Bundesverwaltungsgericht angefochten werden kann (vgl. Urteil 2C_698/2011 vom 5. Oktober 2012 E. 1.3.1, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.; Urteil 2C_740/2009 vom 4. Juli 2011 E. 1.1 et 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.).
1.2. Der Beschwerdeführer ist durch den vorinstanzlichen Entscheid besonders berührt (<ref-law>) und damit zur Anfechtung beim Bundesgericht befugt. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist vorbehältlich der nachstehenden Ausführungen einzutreten:
Angefochten ist ein Nichteintretensentscheid. Diesfalls kann mittels Beschwerde bloss erreicht werden, dass dieser aufgehoben und die Vorinstanz angewiesen wird, die Streitsache materiell zu beurteilen. Damit ist der Antrag 1 des Beschwerdeführers zulässig. Auf die Anträge 2 und 3, welche auf die Feststellung des Verstosses gegen Berufspflichten durch Dr. Y._ bzw. die Gewährleistung von verfassungs- und gesetzeskonformem Notfalldienst durch diesen Arzt abzielen, kann nicht eingetreten werden. Antrag 4 schliesslich betrifft die Kostenverlegung vor dem Bundesgericht, worüber in jedem Fall und von Amtes wegen zu befinden ist.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Der vorinstanzliche Entscheid stützt sich auf kantonales Prozessrecht. Als Beschwerdegrund kommt im Wesentlichen die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten der Bundesverfassung in Frage (<ref-law>). Die richtige Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund und es kann nur überprüft werden, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung auf andere Weise gegen übergeordnetes Recht verstösst (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60 f.; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.).
2.2. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. <ref-law>). Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262; <ref-ruling> E. 2.1 S. 120; je mit Hinweisen; Urteil 8C_65/2012 vom 21. August 2012 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.).
2.3. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz - eher beiläufig - vor, eine Ermessensüberschreitung oder aber (andernorts in der Rechtsschrift) eine Ermessensunterschreitung begangen zu haben. Ungeachtet des Zusammenhangs, in welchem er diese Rüge geltend macht, ist darauf nicht einzutreten, da Ermessensfehler bei der Anwendung kantonalen Rechts einfache Rechtsfehler darstellen; sie betreffen keine verfassungsmässigen Rechte und unterliegen der bundesgerichtlichen Überprüfung nicht (Art. 95 lit. a und b BGG e contrario; <ref-law>).
2.4. Im Wesentlichen konzentriert sich die Beschwerde auf den vielfach wiederholten Vorwurf, die Vorinstanz habe die Bestimmungen des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 4. Mai 1986 (VRG/GL) in willkürlicher Weise angewandt, indem sie auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers mangels Legitimation nicht eingetreten sei. Durch diesen Forumsverschluss erachtet der Beschwerdeführer aber auch die Bestimmungen von <ref-law> sowie <ref-law> als missachtet und sieht darin Willkür, Rechtsverweigerung und überspitzten Formalismus. All diesen Rügen kommt insofern keine selbstständige Bedeutung zu, als sie sich alle auf dieselbe Rechtshandlung beziehen und der Beschwerdeführer keine eigenständigen, über das Verbot der willkürlichen Anwendung kantonalen Verfahrensrechts hinausgehenden Aspekte dieser Verfassungsgarantien aufzeigt.
2.5. Nichts anderes gilt für die in der Rechtsschrift mehrfach erhobene Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Er begründet diesen Vorwurf zum einen damit, die Vorinstanz habe "keine Kenntnis vom Einwand des Beschwerdeführers" genommen, ein Feststellungsentscheid erfordere kein schutzwürdiges Interesse seitens der gesuchstellenden Partei; zum andern macht er geltend, die Vorinstanz habe ihren gegenteiligen Standpunkt nicht begründet. Diese Kritik läuft im Ergebnis ebenfalls auf den Vorwurf der inhaltlichen Unrichtigkeit des vorinstanzlichen Rechtsstandpunkts hinaus. Wollte der Beschwerdeführer darüber hinaus eine Verletzung der behördlichen Begründungspflicht (<ref-law>) geltend machen wollen, wäre dieser Vorwurf jedenfalls unbegründet, denn das Verwaltungsgericht hat sich sehr wohl materiell mit der Frage des erforderlichen schutzwürdigen Interesses auseinandergesetzt (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 2.4 S. 85; <ref-ruling> E. 2.2 in fine S. 121 f. mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Vorinstanz ist auf die bei ihr anhängig gemachte Beschwerde nicht eingetreten, weil sie sich für deren Behandlung als nicht zuständig erachtete. Sie verstand die Eingabe des Beschwerdeführers vom 30. Mai 2012 an das Departement Finanzen und Gesundheit als Aufsichtsanzeige; werde eine solche abschlägig beantwortet, stehe dem Anzeiger bloss eine Aufsichtsanzeige an die obere Instanz zur Verfügung, aber kein Rechtsmittel. Der Anzeiger habe Anspruch auf eine Stellungnahme, sofern die Anzeige nicht haltlos oder mutwillig sei, doch komme ihm im Aufsichtsverfahren keine Parteistellung zu; der Beschwerdeführer könne daher namentlich die Nichteinleitung eines Disziplinarverfahrens nicht anfechten. Die Voraussetzungen für einen Feststellungsentscheid nach Art. 73 VRG/GL seien ebenfalls nicht gegeben, weil der Beschwerdeführer kein schutzwürdiges Interesse daran habe, die behaupteten Verstösse von Dr. Y._ gegen seine Berufspflichten disziplinarisch ahnden zu lassen. Es liege auch keine Rechtsstreitigkeit nach <ref-law> vor, die dem Beschwerdeführer allenfalls Anspruch auf Erlass einer Verfügung verschaffen könnte (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 4.5 S. 175 f.; Urteile 2C_423/2012 vom 9. Dezember 2012 E. 3.5; 2C_272/2012 vom 9. Juli 2012 E. 4.3).
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe seine Eingabe vom 30. Mai 2012 an das Departement Finanzen und Gesundheit ausdrücklich auch als Verwaltungsbeschwerde bezeichnet. Er habe denn auch keinen Bewilligungsentzug zu erwirken ersucht, sondern bloss "eine Ahndung von Verstössen gegen die öffentlich-rechtlichen Berufspflichten eines Arztes mit den Mitteln, die das Gesundheitsgesetz Glarus ... eröffnet". Entgegen der Auffassung der Vorinstanz erfordere eine Feststellungsverfügung nach Art. 73 Abs. 1 VRG/GL kein schutzwürdiges Interesse. Selbst wenn das Departement seine Eingabe bloss aufsichtsrechtlich hätte behandeln wollen, wäre dessen Entscheid gemäss Art. 3 VRG/GL wiederum anfechtbar. Sodann vertritt der Beschwerdeführer die Auffassung, es wäre ein Gebot von Treu und Glauben gewesen, seine Aufsichtsbegehren einerseits und seine Feststellungs- und Unterlassungsbegehren andererseits zu trennen. Stattdessen konstruiere die Vorinstanz ein fiktives Rechtsbegehren. Schliesslich macht der Beschwerdeführer unter Berufung auf <ref-law> geltend, es bestehe Anspruch auf Erlass einer Feststellungsverfügung, wenn der Staat mittels Realakt in individuelle Rechte und Pflichten eingreife.
3.3. Im Folgenden ist somit zu prüfen, ob die Vorinstanz das Willkürverbot verletzt hat, indem sie die Eingabe des Beschwerdeführers vom 30. Mai 2010 an das Departement für Finanzen und Gesundheit als blosse Aufsichtsanzeige interpretiert und das Vorliegen eines Gesuchs um Erlass einer Verfügung im Sinne von Art. 3 Abs. 1 VRG/GL - das heisst einer Entscheidung einer Behörde im Einzelfall, die sich auf öffentliches Recht stützt und mit der Anordnungen betreffend Rechte und Pflichten getroffen werden - verneint hat.
3.3.1. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
3.3.2. In seiner - sehr kurz gehaltenen -, als "Aufsichtsbeschwerde (84 VRPG GL) /Verwaltungsbeschwerde Verstoss gegen die Berufspflichten" bezeichneten Eingabe vom 30. Mai 2012 an das Departement für Finanzen und Gesundheit hat der Beschwerdeführer zunächst beantragt, es sei festzustellen, dass Dr. Y._ gegen seine Berufspflichten verstossen habe, die sich aus dem kantonalen Gesundheitsgesetz ergeben würden. Sodann hat er das Departement ersucht, dafür zu sorgen, dass der Notfalldienst für ihn künftig sichergestellt sei. Ausserdem hat er die Bestrafung von Dr. Y._ gestützt auf Art. 61 des Gesetz über das Gesundheitswesen vom 6. Mai 2007 (GG/GL) gefordert und Massnahmen beantragt, damit er und ihm nahestehende Personen "nicht mit dem Entzug der Handlungsfähigkeit bedroht würden". Bei den vom Beschwerdeführer beantragten Vorkehren handelt es sich somit - trotz der im Titel der Eingabe enthaltenen Bezeichnung "Verwaltungsbeschwerde" - um typisch aufsichtsrechtliche Forderungen, die nicht auf die Begründung eines Rechtsverhältnisses mit dem Beschwerdeführer abzielen. Aus diesem Grunde kann es schon allein gestützt auf die klare Stossrichtung der Rechtsbegehren nicht als willkürlich bezeichnet werden, wenn die Vorinstanz das Schreiben des Beschwerdeführers vom 30. Mai 2012 als blosse Aufsichtsanzeige aufgefasst hat.
3.3.3. Zum selben Ergebnis führt die Begründung der Eingabe des Beschwerdeführers an das Departement: Er schildert darin zunächst die Umstände und die Vorgeschichte der verweigerten ärztlichen Behandlung und sieht darin einen Verstoss gegen das Gesundheitsrecht. Sodann äussert er die Vermutung, Dr. Y._ habe ihn gerade deshalb nicht behandelt, weil dieser um seine Bauchschmerzen gewusst habe; "die Folgen", so der Beschwerdeführer, "ergeben sich aus Art. 61 lit. b. GG/GL", welche Bestimmung die Sanktionierung von Verstössen gegen das GG/GL regelt. Auch die Begründung des Schreibens lässt somit auf einen aufsichtsrechtlichen Charakter schliessen. Daran ändert auch dessen letzter Abschnitt nichts, wo der Beschwerdeführer ausführt, er sei mehrfach von Ärzten angefeindet worden, weil er Rechtsstreitigkeiten führe und darum bittet, dafür zu sorgen, dass <ref-law> erhalten bleibe und seine Handlungsfähigkeit nicht mittels Amtsmissbräuchen von Ärzten angetastet werde, die damit ihre rechtlichen Verfehlungen vertuschen und das Erheben von Verantwortlichkeitsansprüchen verhindern wollten. Es erscheint nicht als willkürlich, aus diesen Ausführungen den Schluss zu ziehen, der Beschwerdeführer habe nicht eine Verfügung im Sinne von Art. 3 VRG/GL herbeiführen wollen, in der sich das Departement über ihn betreffende Rechte oder Pflichten geäussert hätte; denn es ist nicht ersichtlich, worauf diese abgezielt hätte.
Man kann sich schliesslich noch fragen, ob der Beschwerdeführer womöglich eine Feststellungsverfügung angestrebt hat, wonach ihm eine Notfallbehandlung zu Unrecht verweigert worden sei. Allerdings ist das Feststellungsverfahren nach der allgemeinen, in Lehre und Rechtsprechung vertretenen Auffassung, im Verhältnis zu einem Gestaltungs- oder Leistungsbegehren subsidiär und folglich nur zulässig, wenn Letztere ausgeschlossen sind (Urteil 2C_25/2011 vom 3. Juli 2012 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 6.5 S. 218 ff.; Urteil 1C_179/2008 vom 30. September 2009 E. 1, in: <ref-ruling> ff.; Urteil 2C_803/2008 vom 21. Juli 2009 E.4.2.2 mit zahlreichen Hinweisen). Da eine solche Konstellation vom Beschwerdeführer nicht einmal behauptet wurde, erscheint es jedenfalls nicht als willkürlich, wenn die Vorinstanz sein Schreiben an das Departement nicht im Sinne eines Gesuchs um Erlass einer Feststellungsverfügung verstanden hat.
3.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz die Eingabe des Beschwerdeführers vom 30. Mai 2012 an das Departement für Finanzen und Gesundheit als blosse Aufsichtsanzeige interpretieren durfte, weshalb es nicht willkürlich war, das Vorliegen eines tauglichen Anfechtungsobjekts zu verneinen. Damit steht auch fest, dass der vorinstanzliche Forumsverschluss keine Rechtsverweigerung darstellt.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens folgend, hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. September 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni