Sachverhalt:
A. A.a Mit Verfügung des Landesgerichts Amsterdam vom 2. August 2000 wurde die Ehe von X._ und Y._ geschieden. Beide sind Staatsangehörige der Niederlande. Das Sorgerecht für den gemeinsamen Sohn Z._ wurde den Parteien gemeinsam belassen. Mit Verfügung des Gerichtshofs Amsterdam vom 6. April 2006 wurde X._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) die Erlaubnis erteilt, zusammen mit Z._ in die Schweiz umzuziehen. Am 16. April 2006 zog die Beschwerdeführerin mit Z._ in die Schweiz.
A.b Die Beschwerdeführerin leitete mit Eingabe vom 23. Oktober 2006 beim Bezirksgericht Zürich eine "Unterhaltsklage Abänderung/ Ergänzung Scheidungsurteil" ein, mit der sie verlangte, die elterliche Sorge für Z._ sei ihr allein zuzuteilen und Y._ (nachfolgend: Beschwerdegegner) sei zu verpflichten, dem Sohn Unterhaltsbeiträge zu bezahlen. Mit Urteil vom 27. Juli 2007 entschied die Einzelrichterin der 2. Abteilung des Bezirksgerichts Zürich, dass - in Abänderung des Entscheids des Landsgerichts Amsterdam vom 2. August 2000, unter Einschluss der Umgangsregelung vom 25. März 2000 sowie des Entscheids des Gerichtshofes Amsterdam vom 6. April 2006 - für das Kind Z._ neu die alleinige elterliche Sorge bei der Beschwerdeführerin liege, dem Beschwerdegegner ein Besuchsrecht in den Ferien zustehe und dieser rückwirkend ab 1. Mai 2007 monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 565.-- an Z._ zu bezahlen habe.
B. B.a Der Beschwerdegegner reichte am 13. August 2007 gegen das bezirksgerichtliche Urteil beim Obergericht des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) Berufung ein. Mit Urteil vom 14. Mai 2008 wies das Obergericht die Klage ab.
B.b Dagegen erhob die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 18. Juli 2008 (recte: 18. Juni 2008 gemäss Posteingangsstempel) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen ein. Sie beantragt:
"1. Es sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2. Eventualiter sei das angefochtene Urteil wie folgt zu ändern:
a) Die elterliche Sorge über den Sohn Z._ sei der Beschwerdeführerin zuzuteilen.
b) Der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, der Beschwerdeführerin Fr. 565.-- zu bezahlen als Kostenanteil für den Unterhalt und die Erziehung des Sohnes.
c) Die Unterhaltsbeiträge seien gerichtsüblich zu indexieren.
d) Der Beschwerdegegner sei zu berechtigen, den Sohn Z._ pro Kalenderjahr während den Schulferien für die Dauer von insgesamt 7 Wochen auf eigene Kosten zu sich oder mit sich zu Besuch zu nehmen, davon 1 Woche über Weihnachten oder Neujahr und 2 Wochen in den Sommerschulferien.
3. Es sei der Beschwerdeführerin auch für das Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ihr die unterzeichnende Rechtsanwältin als unentgeltliche Rechtsbeiständin beizustellen."
B.c Da die Beschwerdeführerin gegen das Urteil des Obergerichts auch Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich erhoben hatte, wurde das Verfahren mit Verfügung des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung vom 25. Juni 2008 bis zum Entscheid des Kassationsgerichts des Kantons Zürich sistiert.
C. Mit Zirkulationsbeschluss vom 23. Dezember 2008 trat das Kassationsgericht auf die Nichtigkeitsbeschwerde nicht ein, unter anderem weil Rügen vorgebracht wurden, welche das Bundesgericht frei überprüfen kann oder solche, die nicht hinreichend begründet wurden.
Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit der ihm unterbreiteten Beschwerden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1, 235 E. 1, 379 E. 1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4 S. 748).
1.1 Angefochten ist ein Entscheid, mit welchem die Übertragung der ungeteilten elterlichen Sorge sowie die Neufestsetzung von Unterstützungsbeiträgen verweigert worden sind. Wie schon unter der Herrschaft des Bundesrechtspflegegesetzes gelten derartige Verfahren als nicht vermögensrechtliche Streitigkeiten (Urteile 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007; 5D_41/2007 vom 27. November 2007), weshalb die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig eines Streitwertes zulässig ist (Art. 72 Abs. 1 und 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen und des Bundesverwaltungsgerichts. Letztinstanzlichkeit gemäss <ref-law> bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug für die Rügen, die dem Bundesgericht vorgetragen werden, ausgeschöpft sein muss (<ref-ruling> E. 1.3 S. 527).
Nach <ref-law>/ZH kann gegen Vor-, Teil-, und Endentscheide sowie gegen Rekursentscheide und Rückweisungen im Berufungsverfahren Nichtigkeitsbeschwerde erhoben werden, wenn geltend gemacht wird, der angefochtene Entscheid beruhe zum Nachteil des Nichtigkeitsklägers auf einer Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes (Ziff. 1), auf einer aktenwidrigen oder willkürlichen tatsächlichen Annahme (Ziff. 2) oder auf einer Verletzung klaren materiellen Rechts (Ziff. 3). Ausgeschlossen ist die Nichtigkeitsbeschwerde, wenn das Bundesgericht einen Mangel frei überprüfen kann (<ref-law>/ ZH; Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. Zürich 2000, N. 6 zu <ref-law> [<ref-ruling> E. 3.2]).
Mit Bezug auf die Kritik an der Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung ist das obergerichtliche Urteil von vornherein nicht letztinstanzlich, weil mit Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich geltend gemacht werden kann, der Entscheid beruhe auf einer aktenwidrigen oder willkürlichen tatsächlichen Annahme (<ref-law>/ZH). Dies deckt sich mit der vor Bundesgericht zulässigen Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>), geht es doch hierbei um willkürliche Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Insoweit ist der kantonale Instanzenzug nicht ausgeschöpft worden mit der Folge, dass auf die entsprechenden, über die ganze Beschwerde verteilten Sachverhalts- und Beweiswürdigungsrügen nicht eingetreten werden kann.
1.3 Auf die im Übrigen rechtzeitig erhobene Beschwerde kann nach dem Gesagten nur insoweit eingetreten werden, als die Beschwerdeführerin die Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>) - ungeachtet der Tatsache, ob sie dieses als nicht, nicht richtig oder gar willkürlich angewandt - rügt.
1.4 Die Beschwerdeführerin hat dem Bundesgericht neue Dokumente vorgelegt. Echte tatsächliche Noven, das heisst solche Tatsachen, die erst nach dem Ergehen des angefochtenen Entscheids aufgetreten sind, werden vom Bundesgericht in keinem Fall berücksichtigt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344).
Tatsachen und Beweismittel, welche bereits anlässlich des vorinstanzlichen Entscheids Bestand hatten und nicht vorgebracht wurden, dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 3 S. 395). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die erwähnte Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Beweismitteln erfüllt sein soll. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern erst der angefochtene Entscheid Anlass zur Nachreichung von Dokumenten gegeben habe. Die neu ins Recht gelegten Schriftstücke sind daher unbeachtlich.
2. Die Beschwerdeführerin rügt als Erstes, die Vorinstanz habe Art. 134 Abs. 1 und 4 sowie <ref-law> verletzt, indem sie ihr zu Unrecht das alleinige Sorgerecht über ihren Sohn verweigert habe.
2.1 Vor Obergericht war nicht bestritten, dass die schweizerischen Gerichte für die Klage zuständig sind. Desgleichen steht fest, dass für die Frage der Regelung der Elternrechte und der Unterhaltsbeiträge Schweizer Recht zur Anwendung gelangt.
2.2 Gemäss <ref-law> gilt in sämtlichen Kinderbelangen die Untersuchungsmaxime. Nötigenfalls zieht das Gericht Sachverständige bei (<ref-law>). Die Parteien sind von ihrer Mitwirkungspflicht bei der Sachverhaltsabklärung nicht entbunden, und es bleibt in erster Linie ihre Sache, die rechtserheblichen Tatsachen und Beweismittel zu benennen (<ref-ruling> E.3.2.1 S. 413 f.).
2.2 Gemäss <ref-law> gilt in sämtlichen Kinderbelangen die Untersuchungsmaxime. Nötigenfalls zieht das Gericht Sachverständige bei (<ref-law>). Die Parteien sind von ihrer Mitwirkungspflicht bei der Sachverhaltsabklärung nicht entbunden, und es bleibt in erster Linie ihre Sache, die rechtserheblichen Tatsachen und Beweismittel zu benennen (<ref-ruling> E.3.2.1 S. 413 f.).
2.3 2.3.1 Das Obergericht des Kantons Zürich führt - zusammengefasst - aus, dem Entscheid des Einzelrichters des erstinstanzlichen Gerichts in Amsterdam vom 20. Juli 2005 sei zu entnehmen, dass das Gesuch der Beschwerdeführerin um Zuteilung des alleinigen Sorgerechts abgewiesen worden sei, da das Gericht die Situation für das Kind in der Schweiz sinngemäss als zu wenig gesichert erachtet habe. Damit sei der Beschwerdeführerin auch der Umzug in die Schweiz mit dem Kind faktisch verunmöglicht worden. Im Berufungsverfahren habe sie daher offenbar nur noch die Erlaubnis verlangt, mit dem Sohn in die Schweiz umziehen zu dürfen. Gemäss Entscheid vom 6. April 2006 des Obergerichts Amsterdam sei diesem Gesuch entsprochen worden. Bei geänderten Verhältnissen könne jedoch heute noch über die Zuweisung der elterlichen Sorge entschieden werden, da dies im Urteil des Obergerichts Amsterdam nicht Prozessthema gewesen sei.
Die Vorinstanz fährt fort, die Beschwerdeführerin habe in Holland praktisch seit der Scheidung der Parteien im Jahre 2000 den Sohn, abgesehen von den Besuchs- und Betreuungszeiten des Beschwerdegegners allein betreut und sei auch für dessen Unterhalt allein aufgekommen. Sie könne keine Umstände anführen, welche seit ihrem Umzug wegen des gemeinsamen Sorgerechts zu Unzukömmlichkeiten geführt hätten. Sie seien bis anhin immer in der Lage gewesen, mitei-nander zu kommunizieren und insbesondere die Ferienzeiten, welche Z._ beim Beschwerdegegner verbringen sollte, abzusprechen, einschliesslich der Übernahme der Reisekosten. Die Beschwerdeführerin könne kein einziges Beispiel dafür anführen, in welcher Hinsicht sich die Parteien bei konkret stellenden Problemen nicht hätten aussprechen und eine gemeinsame Lösung erarbeiten können. Schon bei Klageeinleitung habe sie als Abänderungsgrund lediglich die durch den Umzug grössere räumliche Distanz angeführt, welche es nicht zulasse, dass sie mit dem Beschwerdegegner auf angemessene Weise die fortwährend notwendigen Entscheidungen des täglichen Lebens betreffend den Sohn bespreche. Andere Gründe habe sie schon damals nicht vorbringen können. Es sei evident, dass die Beschwerdeführerin die Abänderung vor allem auch mit ihren eigenen Interessen begründe. Sie habe ausgeführt, dass die Parteien immer schlecht kooperiert hätten und es sich auch heute noch so verhalte. Sie habe es jedoch unterlassen, substantiiert darzulegen, inwiefern das Kindeswohl unter der angeblich mangelnden Kooperation gelitten habe. Es fehle die Erwähnung konkreter Vorfälle, welche sich zum Nachteil des Kindes hätten auswirken können. Gemäss dem Urteil des Bundesgerichts vom 12. November 2002 (5P. 212/2002) lägen vor allem stabile Lebensverhältnisse im Interesse des Kindes, weshalb nicht jede Veränderung genüge. Entsprechend stelle auch nicht jede Uneinigkeit der Eltern im Bezug auf Kinderbelange eine wesentliche Veränderung der Verhältnisse dar. Die gemeinsame elterliche Sorge könne nicht einfach gekündigt werden. Allein die räumliche Distanz könne aber nicht als ein Abänderungsgrund qualifiziert werden, wenn sich im Übrigen die Verhältnisse in keiner Weise geändert hätten. Wenn die räumliche Distanz allein eine derartige Rolle spielen würde, könnten Eltern, die - auch im selben Land - in grösster Distanz voneinander lebten, nie ein gemeinsames Sorgerecht innehaben. Angesichts der heute bestehenden elektronischen Kommunikationsmittel sollte sich immer ein Verständigungsweg finden lassen. Es bestehe daher kein Grund, um die nach holländischem Recht angeordnete gemeinsame elterliche Sorge abzuändern.
2.3.2 Die Beschwerdeführerin bringt dagegen vor, die Vorinstanz sei verpflichtet gewesen, sie, beziehungsweise den Sohn nach Beispielen zu befragen, wie sich die räumliche Distanz und die mangelhafte Kooperationsbereitschaft zwischen den Parteien ausgewirkt hätten. Indem das Obergericht in Verletzung von Bundesrecht es unterlassen habe, jene Abklärungen zu treffen - selbst ohne entsprechenden Parteiantrag -, die nötig und geeignet seien, den massgeblichen Sachverhalt zu erstellen, sei nur schon die Beurteilung, ob ein Veränderungsgrund vorliege, verunmöglicht worden.
Vorab ist zu erwähnen, dass der Vorwurf der Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes nicht zutrifft, denn der Richter ist nicht verpflichtet, weitere Nachforschungen anzustellen, wenn er sich bereits auf Grund der erbrachten Beweise ein Bild hat machen können (Peter Breitschmid, Basler Kommentar, ZGB I, 3 Aufl. 2006, N.1 zu <ref-law>, S. 912 mit Hinweis auf das Urteil des Bundesgerichts vom 23. Mai 2005 [5C.22/2005], E. 2.2, publ. in FamPra.ch 2005, S. 950). Im Übrigen ist nicht einzusehen, was der Sohn Entscheidendes betreffend die Auswirkungen der räumlichen Distanz auf das Sorgerecht hätte aussagen können. Mit Bezug auf die behaupteten Verständigungsschwierigkeiten der Parteien ist anzuführen, dass das Obergericht für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat, die Beschwerdeführerin sei mit Bezug auf ihre Rüge, das Kindeswohl habe unter der angeblich mangelnden Kooperation gelitten, ihrer Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen (E. 2.3.1 hiervor).
2.3.3 Sodann macht die Beschwerdeführerin geltend, das Obergericht habe Bundesrecht verletzt, weil es von einer abgeurteilten Sache ausgegangen sei und keine wesentliche Änderung seit dem "negativen niederländischen Urteil" anerkannt habe. Die Lehre sei sich einig, dass die Gerichte keine hohen Anforderungen an die Veränderung der Verhältnisse stellen dürfen, wenn die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge für das Wohl des Kindes erforderlich sei (Annatina Wirz, in: FamKommentar Scheidung, Hrsg. Ingeborg Schwenzer, N.11 ff. S.356 ff.).
Richtig ist, dass das Obergericht mit Bezug auf das Begehren der Beschwerdeführerin um Zuweisung des alleinigen Sorgerechts von einer abgeurteilten Sache ausgegangen ist, aber, weil geänderte Verhältnisse vorlägen, dennoch über diesen Antrag entschieden hat. Der Einwand ist somit ohne Belang. Die Vorinstanz hat ihr Augenmerk vorwiegend auf das Kindeswohl ausgerichtet und dabei zu Recht angemerkt, dass dieses durch eine mangelnde Kooperation der Eltern unabhängig davon, ob eine gemeinsame oder eine alleinige elterliche Sorge bestehe, in Mitleidenschaft gezogen werden könne. Eine Gefährdung des Kindeswohls wurde verneint (E. 2.3.1 hiervor). Dass das Obergericht eine Intervention nicht schon allein aufgrund der Stellung eines Abänderungsbegehrens als notwendig erachtet hat, ist somit nicht zu beanstanden.
2.3.4 Ferner trägt die Beschwerdeführerin vor, die mangelnde Kooperation zwischen den Parteien würde das Wohl des Sohnes beeinträchtigen. Die Konflikte hätten zu Konzentrationsschwierigkeiten bei Z._ geführt. In willkürlicher Weise habe die Vorinstanz diese Tatsachen verharmlost, indem sie ausgeführt habe, die Parteien hätten sich am Ende einigen können. Es sei offensichtlich, dass die Beschwerdeführerin nicht in der Nähe des Beschwerdegegners sein wolle. Im Weiteren würde der Vater in den Ferien mit seinem Sohn exzessiv Computerspiele betreiben, und überdies habe sie die Tragweite des niederländischen Urteils nicht verstanden, da sie diese Sprache nicht beherrscht und lediglich zwecks ihres Studiums in Holland geweilt habe.
Alle diese tatsächlichen Vorbringen können nicht gehört werden, da das Bundesgericht an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden ist und auch Willkürrügen - im vorliegenden Fall - unzulässig sind (E. 1.3 hiervor).
2.4 Nach dem Ausgeführten hat das Obergericht somit kein Bundesrecht verletzt, indem es die gemeinsame Sorge nicht aufgehoben hat.
3. Die Beschwerdeführerin rügt ferner mit Bezug auf das dem Beschwerdegegner gewährte Besuchsrecht eine Verletzung von <ref-law>.
3.1 Die Vorinstanz führt diesbezüglich aus, das Obergericht in Amsterdam habe in seinem Entscheid vom 6. April 2006 den Umfang des Besuchsrechts gemäss dem von der Beschwerdeführerin selbst eingereichten Vorschlag festgelegt, wonach sich Z._ während der Schulferien insgesamt für ca. 75 Tage pro Jahr beim Beschwerdegegner aufhalten könne. Da von der Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge auszugehen sei und sich keine wesentlichen Änderungen ergeben hätten, bestehe kein Anlass, von dieser Entscheidung abzuweichen. Diesbezüglich sei von einer abgeurteilten Sache auszugehen.
3.2 Die Beschwerdeführerin wendet dagegen ein, sie habe lediglich für die Jahre 2005 und 2006 Vorschläge gemacht und eingereicht. Sie beruft sich auch hier auf die (behauptete) mangelnde und von der Vorinstanz marginalisierte Kooperation zwischen den Parteien. Sie habe im kantonalen Verfahren klar gemacht, dass es wesentliche Änderungen betreffend die Besuchstage gebe. So habe Z._ in der Schweiz einen anderen Schulalltag und andere Ferienaktivitäten und könne dementsprechend nicht die gesamten Schulferien beim Vater verbringen. Während der Sommerferien besuche Z._ seine Verwandten in Bulgarien und zudem müssten die schulischen wie die Freizeitaktivitäten berücksichtigt werden. Es liege eine dauerhafte wesentliche Änderung im Sinne von <ref-law> vor. Betrachte man die Änderung als unwesentlich und belasse man die Zuteilung der Besuchstage unklar, würden die Parteien noch mehr streiten und es entstünden noch mehr Pattsituationen.
Auch diese Vorbringen können nicht entgegengenommen werden, denn das Bundesgericht ist an die tatsächliche Feststellung im angefochtenen Entscheid gebunden, wonach die Beschwerdeführerin dem Beschwerdegegner ein Besuchsrecht von 75 Tagen während der Schulferien zugestanden hat. Um diese Tatsachenfeststellung umzustossen, hätte die Beschwerdeführerin beim Kassationsgericht geltend machen und dartun müssen, dass der Entscheid des Obergerichts willkürlich sei, sie - angesichts veränderter Verhältnisse - auf diesem Zugeständnis zu behaften (E. 1.3 hiervor). Der Hinweis auf das Urteil (des Bundesgerichts) 5C.170/2001 vom 31. August 2001 E. 2 ändert daran nichts.
4. 4.1 Bezüglich der Unterhaltsregelung hat das Obergericht festgehalten, dass die Parteien seinerzeit eine zum Bestandteil des Scheidungsurteil erklärte "Umgangsregelung" getroffen hätten, welche sich unter anderem darüber ausgesprochen habe, dass jeder Elternteil während der ihm zugewiesenen Obhutsperioden die Verantwortung für die Versorgung und die Betreuung für den Sohn Z._ zu übernehmen und damit entsprechend für seinen Unterhalt zu sorgen habe. Dieses Vorgehen habe dem niederländischen Scheidungs(verfahrens-)recht entsprochen (vgl. Bergmann /Ferid, Internationales Ehe- und Kindschaftsrecht, Abschnitt Niederlande, S. 45/46 mit entsprechenden Hinweisen auf die Bestimmungen im Burgerlijk Wetboek [BW]). Das Obergericht in Amsterdam, welches in Abweichung vom Entscheid des erstinstanzlichen Einzelrichters der Beschwerdeführerin die Übersiedlung in die Schweiz gestattet gehabt habe, habe in den Erwägungen festgehalten, die Beschwerdeführerin habe ausreichend begründet, dass ihre Chancen, für ihren Lebensunterhalt und denjenigen ihres Sohnes Z._ in der Schweiz, wo sie schon eine Teilzeitarbeit gefunden und gute Aussichten auf mehr Arbeit habe, besser seien als in den Niederlanden, wobei sie dazu noch mit der Unterstützung ihrer Familie rechnen könne. Ihre Mutter leiste Sicherheit für sie und Z._. Unter Hinweis auf diese Erwägungen habe das Obergericht die - wie erwähnt - Bestandteil des Scheidungsurteils bildende Umgansregelung einzig hinsichtlich der Betreuungsperioden für Z._ abgeändert und festgehalten, dass die Parteien die damit anfallenden Reisekosten zu teilen hätten, habe im Übrigen aber von einer Änderung der Versorgungsregelung abgesehen. Die Beschwerdeführerin habe denn auch im holländischen Abänderungsverfahren weder vor erster noch vor zweiter Instanz eine Änderung des in der Umgangsregelung enthaltenen Versorgungsmodus beantragt noch sonstwann. Damit liege auch hier abgeurteilte Sache vor, und weitere Erwägungen erübrigten sich.
4.2 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 145 und <ref-law>. Begründet werden die Bundesrechtverletzungen insbesondere mit folgenden Argumenten: es sei aktenkundig, dass die finanziellen Kräfte der Beschwerdeführerin mehr als knapp seien; ihr Notbedarf sei nachweislich nicht gedeckt, denn der Nettolohn betrage gegenwärtig Fr. 2'900.--, und ab August 2008 sei wegen einer Weiterbildung nur noch von einem Nettolohn von etwa Fr. 1'830.-- auszugehen. Indem die Vorinstanz die Klage abgewiesen habe mit der Begründung, es liege eine abgeurteilte Sache vor, habe sie die Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law> verletzt. Es sei aktenkundig, dass ihr durch den Umzug in die Schweiz eine - infolge höherer Lebenshaltungskosten - beachtliche finanzielle Mehrbelastung entstanden sei. Da sie in der Schweiz nicht das verdiene, was sie erwartet habe, liege eine neue wesentliche, dauerhafte und veränderte Situation im Sinne von <ref-law> vor. Mit diesen und den weiteren Vorbringen widersetzt sich die Beschwerdeführerin dem für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalt (E. 1.3 hiervor), wonach sie für ihren Lebensunterhalt und denjenigen ihres Sohnes aufkommen könne. Auch darauf kann nicht eingetreten werden.
5. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin hat ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt, welches jedoch nicht bewilligt werden kann, da die Beschwerde von vornherein keine Aussicht auf Erfolg haben konnte. Die Beschwerdeführerin wird damit kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da er nicht zur Vernehmlassung aufgefordert worden ist (vgl. <ref-law>).

Das Bundesgericht erkennt:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett