Faits :
A.
A.a. A._, ressortissant ivoirien né en 1989 et père d'un enfant, né en 2003, vivant avec sa mère en Côte d'Ivoire, est arrivé en Suisse le 1er octobre 2007 pour y déposer une demande d'asile, que l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral), devenu le Secrétariat d'Etat aux migrations le 1er janvier 2015, a rejetée par décision du 6 novembre 2007, assortie du renvoi. A._ n'a pas quitté la Suisse et a fait l'objet de plusieurs condamnations pénales, notamment pour séjour illégal.
A.b. Le 8 février 2010, A._ a requis une autorisation de séjour fondée sur la présence en Suisse de son fils B._, né en 2009 d'une relation avec la ressortissante suisse C._. Celle-ci s'est vue retirer l'autorité parentale sur son fils, dorénavant placé sous tutelle, dans la perspective d'une adoption par des tiers. B._ a été subséquemment placé dans une famille d'accueil. Dans le cadre d'une action en constatation de paternité interjetée par la tutrice de B._, A._ a, le 27 septembre 2010, reconnu en être le père et passé une convention d'entretien par laquelle il s'engageait à pourvoir à l'entretien de son fils dès que sa propre situation financière le lui permettrait. Le 17 octobre 2011, l'autorité tutélaire de la Ville de Berne a accordé à A._ un droit de visite hebdomadaire sur son fils B._, les mardis de 14h à 17h; les visites ont été ultérieurement étendues aux jeudis de 11h à 18h; dans une lettre du 11 février 2013, la tutrice de B._ a confirmé que A._ exerçait un droit de visite sur son fils.
B.
B.a. Le 17 mars 2010, l'Office de la population et des migrations du canton de Berne (ci-après: l'Office cantonal) a rejeté la demande d'autorisation de séjour de A._. Saisie d'un recours contre la décision du 17 mars 2010, la Direction de la police et des affaires militaires du canton de Berne (ci-après: la Direction cantonale) l'a confirmée le 3 mai 2011. Par jugement du 17 novembre 2011, le Tribunal administratif du canton de Berne (ci-après: le Tribunal cantonal) a annulé le recours déposé par A._ contre la décision du 3 mai 2011, estimant que l'intérêt privé de l'enfant B._ à pouvoir bénéficier du soutien de son père en Suisse justifiait l'octroi d'une autorisation de séjour à l'intéressé.
B.b. Ensuite du jugement du 17 novembre 2011, les autorités cantonales ont transmis le dossier de A._ pour approbation à l'Office fédéral, conformément à la procédure prévue par la loi fédérale sur l'asile. Dans les observations qu'il a adressées à cette autorité, l'intéressé a notamment relevé qu'il vivait en concubinage avec la ressortissante dominicaine D._, titulaire d'une autorisation de séjour, et avec laquelle il avait une fille, E._ née en 2010, qu'il avait reconnue. Par décision du 12 juillet 2012, l'Office fédéral a refusé son approbation à l'octroi d'une autorisation à A._.
B.c. Le 16 mai 2013, le Ministère public du canton de Berne a condamné A._ pour vol et conduite inconvenante à une amende de 300 fr.
B.d. A._ a recouru contre la décision de l'Office fédéral du 12 juillet 2012 auprès du Tribunal administratif fédéral, qui a rejeté le recours par arrêt du 21 mars 2014.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 21 mars 2014, A._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de cet arrêt et au renvoi de la cause à l'Office fédéral pour qu'il approuve l'octroi d'une autorisation de séjour en sa faveur. L'assistance judiciaire totale est aussi requise.
L'Office fédéral propose le rejet du recours. Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer. Par lettre du 23 juin 2014, le recourant a remis au Tribunal fédéral un courrier du Service de la population de la Ville de Bienne du 2 juin 2014 acceptant de prolonger l'autorisation de séjour de la compagne du recourant et de ses enfants pour permettre à cette première de rechercher un emploi.
Par ordonnance présidentielle du 16 mai 2014, l'effet suspensif a été accordé au recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. En vertu de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (RS 173.110), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions dans le domaine du droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Il est également irrecevable contre les décisions en matière d'asile qui ont été rendues par le Tribunal administratif fédéral, sauf celles qui concernent des personnes visées par une demande d'extradition déposée par l'Etat dont ces personnes cherchent à se protéger (art. 83 let. d ch. 1 LTF).
En tant que le recourant se fonde sur l'<ref-law> (RS 142.31), qui autorise un canton ("peut"; cf. arrêts 2C_459/2011 du 26 avril 2012 consid. 1.1, non publié in <ref-ruling>; 2D_113/2008 du 19 décembre 2008 consid. 2) à octroyer une autorisation de séjour, à certaines conditions (en particulier en raison d'un "cas de rigueur grave") et sous réserve de l'approbation de l'Office fédéral, à tout requérant d'asile qui lui a été attribué conformément à la LAsi, son recours doit être déclaré irrecevable. En effet, le recours vise une décision du Tribunal administratif fédéral rendue en matière d'asile qui ne soulève pas simultanément une question d'extradition (cf. FLORENCE AUBRY GIRARDIN, ad <ref-law>, in Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n. 69 p. 910 s.). En outre, l'arrêt attaqué n'émanant pas d'une autorité judiciaire cantonale, le recours constitutionnel subsidiaire est d'emblée exclu sur ce point (cf. <ref-law>).
Le recours en matière de droit public est en revanche ouvert en tant que A._ entend déduire un droit à demeurer en Suisse des liens qu'il entretient avec sonenfant B._, de nationalité suisse, qui est né d'une précédente relation et a été reconnu par le recourant. Se prévalant de l'art. 8 par. 1 CEDH, le recourant est en effet susceptible d'avoir un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour par regroupement familial inversé (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319). Or, un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, suffit au stade de la recevabilité pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179; arrêt 2C_1224/2013 du 12 décembre 2014 consid. 1.1). Au regard de l'<ref-law>, l'existence potentielle d'un droit ("à moins qu'il n'y ait droit") permet en outre de faire exception au principe de l'exclusivité de la procédure d'asile, en vertu duquel les personnes ayant déposé une demande d'asile ne peuvent plus entamer de procédure visant à l'octroi d'une autorisation de séjour relevant du droit des étrangers, le but poursuivi étant de séparer clairement les deux procédures en vue d'accélérer le traitement des demandes d'asile (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 203; arrêt 2C_349/2011 du 23 novembre 2011 consid. 1.1, non publié in <ref-ruling>).
1.2. Il convient en outre de relever que l'on se trouve dans une situation où l'approbation de l'Office fédéral (à présent le Secrétariat d'Etat aux migrations) à la décision émanant des autorités judiciaires cantonales est expressément prévue dans une loi formelle, en l'occurrence l'<ref-law>.
1.3. Pour le surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). Il a été formé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. a et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). Il est donc recevable dans la mesure spécifiée ci-avant.
1.4. Le recourant ne conclut formellement qu'à l'annulation de l'arrêt querellé et au renvoi de la cause à l'Office fédéral pour qu'il approuve l'octroi d'une autorisation de séjour en sa faveur. Cette formulation ne tient qu'imparfaitement compte de la nature réformatoire du recours en matière de droit public. Cela étant, l'on comprend que le présent recours tend globalement à l'octroi d'une autorisation de séjour par les autorités compétentes, de sorte que ce vice ne fait pas obstacle à sa recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 414; arrêts 5A_218/2014 du 25 juin 2014 consid. 1.2; 2D_45/2011 du 12 décembre 2011 consid. 1.5).
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF; arrêt 2C_14/2014 du 27 août 2014 consid. 2.1, non publié in <ref-ruling>), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine les droits fondamentaux que si le grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 314).
2.2. L'examen du Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 51; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal de céans (<ref-law>). Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; arrêt 2C_97/2014 du 13 décembre 2014 consid. 2.2, non publié).
2.3. Quand bien même il admet l'état de fait retenu par les précédents juges, le recourant présente et complète, en particulier sous le titre "en fait" de son mémoire, sa propre version des événements. Dans la partie "en droit", le recourant formule en outre des conjectures quant à l'étendue qu'aurait eue son droit de visite sur l'enfant s'il avait, notamment, pu le reconnaître plus tôt et si son statut au regard du droit des étrangers n'avait pas été précaire. Or, dans la mesure où la version des faits du recourant s'écarte des faits constatés dans l'arrêt attaqué sans qu'il soit indiqué en quoi ceux-ci seraient manifestement inexacts ou arbitraires, elle n'est pas admissible. Quant au courrier et son annexe que le recourant a adressés au Tribunal fédéral le 2 juin 2014, il s'agit de pièces nouvelles en principe irrecevables; au demeurant, on ne verrait pas en quoi elles seraient propres à modifier l'issue du présent litige (consid. 4 infra).
3.
Le présent litige porte sur le point de savoir si le Tribunal administratif fédéral a, à juste titre, conclu que le recourant, nonobstant les relations qu'il a déclaré entretenir avec son fils B._, sa compagne D._ et leur fille commune E._, ne pouvait pas tirer un droit à l'octroi d'une autorisation de séjour de la protection de la vie familiale consacrée aux art. 8 par. 1 CEDH et 13 Cst.
4.
Le recourant invoque une violation de l'art. 8 CEDH. Il estime, en substance, que c'est à tort que les précédents juges ont considéré que la relation existant entre lui et sa compagne D._, sa fille E._ et son fils B._ n'était pas protégée par cette disposition, respectivement qu'elle n'était pas suffisamment intense pour lui conférer un droit à une autorisation de séjour en Suisse.
4.1. Un étranger peut, selon les circonstances, se prévaloir du droit au respect de sa vie privée et familiale garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH (ainsi que par l'art. 13 al. 1 Cst.) pour s'opposer à l'éventuelle séparation de sa famille et obtenir une autorisation de séjour. Les relations familiales protégées par l'art. 8 par. 1 CEDH sont avant tout les rapports entre époux ainsi qu'entre parents et enfants mineurs vivant ensemble (<ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 146). Les fiancés ou les concubins ne sont en principe pas habilités à invoquer cette disposition, à moins que le couple n'entretienne depuis longtemps des relations étroites et effectives et qu'il n'existe des indices concrets d'un mariage sérieusement voulu et imminent (cf. arrêts 2C_220/2014 du 4 juillet 2014 consid. 3.1; 2C_792/2012 du 6 juin 2013 consid. 4; 2C_1035/2012 du 21 décembre 2012 consid. 5.1). Les signes indicateurs d'une relation étroite et effective sont en particulier le fait d'habiter sous le même toit, la dépendance financière, des liens familiaux particulièrement proches, des contacts réguliers (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 148; arrêt 2C_110/2014 du 10 juillet 2014 consid. 7).
Il est en outre nécessaire que l'étranger entretienne cette relation particulière avec une personne de sa famille ayant un droit de présence assuré en Suisse (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 287; <ref-ruling> consid. 5.3.1 p. 211). Ce critère requiert qu'il existe au moins un droit certain à une autorisation de séjour. Ceci est en particulier le cas lorsque la personne résidant en Suisse dispose de la nationalité suisse, d'une autorisation d'établissement ou d'une autorisation de séjour découlant elle-même d'un droit stable; en revanche, une simple autorisation de séjour, qui revêt un caractère révocable, ne suffit en général pas pour fonder un droit de présence assuré en Suisse (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 285 s.; <ref-ruling> consid. 2a p. 339 s.; arrêt de la Cour EDH Gül c. Suisse, du 19 février 1996, req. 23218/94, Rec. 1996-I, par. 41: "droit de résidence permanent").
4.2. Le parent qui n'a pas l'autorité parentale ni la garde de l'enfant ne peut d'emblée entretenir une relation familiale avec celui-ci que de manière limitée, en exerçant le droit de visite dont il bénéficie. Or, il n'est en principe pas nécessaire que, dans l'optique de pouvoir exercer son droit de visite, le parent étranger soit habilité à résider durablement dans le même pays que son enfant. Sous l'angle du droit à une vie familiale, il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours de courte durée, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 249 s.). Le droit de visite d'un parent sur son enfant ne doit en effet pas nécessairement s'exercer à un rythme bimensuel et peut également être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents. Selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, un droit plus étendu ne peut le cas échéant exister qu'en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique, lorsque cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, et que l'étranger a fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 147; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319; arrêt 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 3.3.1). Dans l'hypothèse où l'étranger, en raison d'une communauté conjugale avec un ressortissant suisse ou une personne disposant d'une autorisation d'établissement, détient déjà une autorisation de séjour pour la Suisse, l'exigence du lien affectif particulièrement fort doit être considérée comme remplie lorsque les contacts personnels sont exercés dans le cadre d'un droit de visite usuel selon les standards d'aujourd'hui; une telle solution prend également en compte l'art. 9 par. 3 CDE (RS 0.107) que mentionne le recourant. Il incombe aux autorités compétentes de vérifier que le droit de visite soit effectivement exercé (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 148; <ref-ruling> consid. 2.4 et 2.5 p. 320 ss; arrêt 2C_318/2013 consid. 3.3.2 s.).
4.3. S'agissant des rapports que le recourant entretient avec son amie et leur fille commune, née en 2010, il ressort de l'arrêt attaqué que tant D._ que E._ possèdent la nationalité dominicaine et disposent en Suisse uniquement d'une autorisation de séjour. Au moment de rendre l'arrêt querellé, le Tribunal administratif fédéral a relevé que leurs autorisations de séjour étaient échues le 12 avril 2013 et que leur renouvellement était encore à l'examen auprès des autorités cantonales, en considération notamment de la dette d'assistance de près de 500'000 fr. que D._ avait accumulée durant son séjour en Suisse.
Compte tenu des informations qui précèdent, les précédents juges ont à juste titre conclu que le recourant n'était pas fondé à se prévaloir de l'art. 8 CEDH au regard des relations entretenues avec les prénommées, dès lors que celles-ci ne disposent pas d'un droit stable à demeurer en Suisse (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 354).
En tant que cet élément puisse être pris en compte par le Tribunal fédéral (consid. 2.3 supra), le courrier du 2 juin 2014 faisant état de la prolongation en faveur des compagne et fille du recourant de leur permis de séjour pour une année supplémentaire - soit jusqu'au 12 avril 2015 - n'y change rien, car la teneur de cette lettre confirme au contraire le caractère précaire de leur titre de séjour en Suisse.
4.4. S'agissant des liens entre le recourant et son fils B._, né en 2009, il ressort des constatations du Tribunal administratif fédéral que l'enfant possède la nationalité suisse et qu'il a été placé en 2010, à la demande de sa mère biologique, dans une famille d'accueil en vue de son adoption. Il n'a pas été reconnu spontanément par son père, mais seulement à la suite d'une action en constatation de paternité diligentée par sa tutrice, à l'occasion de laquelle A._ s'était engagé à pourvoir à l'entretien de son fils dès que sa situation financière le lui permettrait, amélioration qui ne semble pas encore être survenue en l'état. Ne possédant ni l'autorité parentale ni le droit de garde sur l'enfant, le recourant a, dans un premier temps, ensuite de la décision de l'autorité tutélaire de Bienne du 17 octobre 2011, exercé un droit de visite limité (les lundis de 14h à 17h) sur son fils; ce droit a été ultérieurement étendu aux jeudis de 11h à 18h. L'effectivité de ces visites a été confirmée par la tutrice de B._ dans un courrier du 11 février 2013, dans lequel elle a par ailleurs précisé que l'enfant éprouvait de la peine à se détacher de sa famille d'accueil et que l'on pourrait s'attendre du recourant qu'il accompagne le processus éducatif de son fils de façon plus dynamique, notamment en prenant des initiatives.
Il résulte de ces éléments que l'enfant suisse du recourant, avec lequel celui-ci entretient des liens effectifs, dispose d'un droit de séjour durable en Suisse, de sorte que cette relation père-enfant entre dans le champ de protection de l'art. 8 par. 1 CEDH. En revanche, le recourant, dont la requête d'asile a été rejetée en 2007 et qui s'est depuis obstiné à refuser de quitter le pays au mépris des injonctions faites par les autorités, ne disposait pas, au sens de la jurisprudence, d'une autorisation de séjour préalablement à la présente procédure; il ne lui est de la sorte pas possible de revendiquer l'application des critères jurisprudentiels plus favorables, selon lesquels l'existence d'un lien affectif particulièrement fort doit être admis lorsque les contacts personnels sont exercés dans le cadre d'un droit de visite usuel (cf. consid. 4.2 supra), mais doit établir des relations personnelles d'une intensité particulière. Or, s'il est vrai que le droit de visite du recourant a été graduellement étendu à deux jours hebdomadaires, il n'en reste pas moins limité à quelques heures au cours de ces journées et ne saurait en tout état être assimilé à un droit de visite extraordinaire, ni même à un droit de visite usuel, lequel porte en principe sur un week-end sur deux, du vendredi soir au dimanche soir, et la moitié des vacances scolaires (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 322; arrêt 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 3.4.1). S'ajoute à cela que si les remises de l'enfant à son père "se passent généralement bien", il a été reproché au recourant de manquer d'initiative par rapport au processus éducatif de son fils (courrier de la tutrice du 11 février 2013), si bien que ses liens avec l'enfant ne semblent pas atteindre une intensité qualitativement élevée.
Dans ces conditions, le recourant ne peut être considéré comme entretenant un lien affectif particulièrement fort avec son fils, qui lui permettrait, en vertu de l'art. 8 par. 1 CEDH, de prétendre à la délivrance d'une autorisation de séjour. A l'aune de ce qui précède, il n'est pas nécessaire d'examiner si, au surplus, le Tribunal administratif fédéral a procédé à une appréciation conforme au droit des critères additionnels du lien économique (qui fait a priori défaut, aucune pension d'entretien n'étant versée; toutefois, le recourant dit être dans l'incapacité objective de s'y conformer en raison de son statut précaire en Suisse), de l'éloignement géographique et du comportement irréprochable de l'intéressé (celui-ci avait notamment fait l'objet de condamnations pénales non seulement en lien avec son séjour illégal en Suisse, comme le prétend le recourant, mais également pour vol et conduite inconvenante).
4.5. Au demeurant, le recourant ne fait pas valoir qu'un retour dans son pays d'origine serait gravement compromis. La seule circonstance que, comme il l'affirme, la situation politique et économique en Côte d'Ivoire serait difficile, du fait qu'il ne dispose d'aucune formation professionnelle et que uniquement des tantes éloignées y résideraient (le recourant semble à ce titre omettre de mentionner son fils resté auprès de sa mère en Côte d'Ivoire), ne suffit assurément pas (cf., mutatis mutandis, arrêts 2C_500/2014 du 18 juillet 2014 consid. 7.1; 2C_1188/2012 du 17 avril 2013 consid. 4.1).
4.6. Au vu de ce qui précède, le recours ne peut donc qu'être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
5.
Le recourant a sollicité sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. Sa cause paraissant dépourvue de chances de succès dès le dépôt du recours (cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 2), la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 et 2 LTF). Les frais seront mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 65 al. 2 et 3 et <ref-law>). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, ainsi que, pour information, au Service des Migrations, Office de la population et des migrations du canton de Berne.
Lausanne, le 13 février 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
Le Greffier : Chatton