Sachverhalt:
A. An der Bürgerversammlung der politischen Gemeinde Oberriet vom 27. März 2009 lehnte die Bürgerschaft entgegen dem Antrag ihres Einbürgerungsrates das Einbürgerungsgesuch von X._ ab. Die von diesem eingereichte Abstimmungsbeschwerde wies das Departement des Innern des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 11. Dezember 2009 ab.
Gegen diesen Entscheid erhob X._ mit Eingabe seines Rechtsvertreters vom 28. Dezember 2009 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Zugleich beantragte er die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung und reichte mit Beschwerdeergänzung vom 22. Januar 2010 das entsprechende Gesuchsformular ein.
Mit Verfügung vom 25. Januar 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung ab und setzte X._ Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.--.
B. Mit Verfassungsbeschwerde vom 15. Februar 2010 beantragt X._, die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. Januar 2010 sei aufzuheben, und es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. In seiner Stellungnahme zur Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts hält X._ an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> ist gemäss <ref-law> gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ausgeschlossen. Eine andere ordentliche Beschwerde fällt nicht in Betracht. Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> im Grundsatz gegeben. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts kann mit keinem kantonalen Rechtsmittel angefochten werden und ist daher kantonal letztinstanzlich (<ref-law>).
1.2 Anfechtungsobjekt ist die Verfügung des Verwaltungsgerichts, mit welcher der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung verweigert worden ist. Hierbei handelt es sich um einen selbstständig eröffneten, kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid, welcher einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (<ref-ruling> E. 4; Urteil 2C_143/2008 vom 10. März 2008 E. 2). Der Zwischenentscheid kann mit Verfassungsbeschwerde angefochten werden, soweit dieses Rechtsmittel, wie vorliegend der Fall, auch gegen den Endentscheid erhoben werden kann (vgl. <ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, er sei behindert und verfüge weder über Einkommen noch Vermögen. Für sämtliche Auslagen komme seine Mutter auf. Er habe deshalb auf dem im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Gesuchsformular wahrheitsgemäss weder Einkünfte noch Auslagen aufgeführt. Seine Mittellosigkeit sei aktenkundig und in den verschiedenen, bis ins Jahr 2002 zurückgehenden Einbürgerungsverfahren nie angezweifelt worden, weshalb er davon habe ausgehen können, dass das Gesuch bewilligt werde. Die Vorinstanz habe ihm mithin die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu Unrecht verweigert. Jedenfalls aber hätte die Vorinstanz ihn vor ihrem abweisenden Entscheid nach Treu und Glauben zur Ergänzung des Gesuchs auffordern müssen. Ihr Vorgehen verletze den Grundsatz der Verfahrensfairness, sei überspitzt formalistisch und führe zu einer haltlosen Situation.
2.2 Die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdeführer habe auf dem eingereichten Gesuchsformular lediglich vermerkt, er habe kein Einkommen (behindert). Allein mit dem Hinweis auf seine Behinderung vermöge er aber eine Bedürftigkeit nicht glaubhaft darzutun. Vielmehr hätte er zumindest anführen müssen, wie er seinen Lebensunterhalt bestreite, denn es obliege nicht dem urteilenden Gericht, in den Akten nach Gründen zu forschen, die allenfalls eine Bedürftigkeit des Gesuchstellers glaubhaft erscheinen liessen.
2.3 Der Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon garantiert <ref-law> einen Mindestanspruch der bedürftigen Partei auf unentgeltliche Rechtspflege. Als bedürftig gilt eine Person, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, derer sie zur Deckung des notwendigen Lebensunterhalts für sich und ihre Familie bedarf. Dieser Anspruch umfasst einerseits die Befreiung von den Verfahrenskosten und andererseits - soweit notwendig - das Recht auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Das Bundesgericht prüft frei, ob die direkt aus <ref-law> hergeleiteten Ansprüche verletzt sind, während es die Anwendung des kantonalen Gesetzesrechts unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots prüft (<ref-ruling> E. 2c).
Grundsätzlich obliegt es dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen. Dabei dürfen umso höhere Anforderungen an eine umfassende und klare Darstellung der finanziellen Situation gestellt werden, je komplexer die finanziellen Verhältnisse sind. Aus den eingereichten Belegen hat der aktuelle Grundbedarf des Gesuchstellers hervorzugehen. Die Belege haben zudem über die finanziellen Verpflichtungen sowie über die Einkommens- und Vermögensverhältnisse Aufschluss zu geben. Wenn der Gesuchsteller seinen Obliegenheiten nicht nachkommt, ist das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (<ref-ruling> E. 4a). Erfüllt er seine Obliegenheiten, ohne dass es ihm in der ersten Eingabe gelingt, seine Bedürftigkeit zur Zufriedenheit des Gerichts nachzuweisen, so hat dieses ihn zur Klärung aufzufordern (Urteil des Bundesgerichts 2P.195/2000 vom 9. April 2001 E. 4c/bb; siehe auch Urteil des Bundesgerichts 2C_758/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 2.2.2).
Grundsätzlich obliegt es dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen. Dabei dürfen umso höhere Anforderungen an eine umfassende und klare Darstellung der finanziellen Situation gestellt werden, je komplexer die finanziellen Verhältnisse sind. Aus den eingereichten Belegen hat der aktuelle Grundbedarf des Gesuchstellers hervorzugehen. Die Belege haben zudem über die finanziellen Verpflichtungen sowie über die Einkommens- und Vermögensverhältnisse Aufschluss zu geben. Wenn der Gesuchsteller seinen Obliegenheiten nicht nachkommt, ist das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (<ref-ruling> E. 4a). Erfüllt er seine Obliegenheiten, ohne dass es ihm in der ersten Eingabe gelingt, seine Bedürftigkeit zur Zufriedenheit des Gerichts nachzuweisen, so hat dieses ihn zur Klärung aufzufordern (Urteil des Bundesgerichts 2P.195/2000 vom 9. April 2001 E. 4c/bb; siehe auch Urteil des Bundesgerichts 2C_758/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 2.2.2).
2.4 2.4.1 Der Beschwerdeführer erachtet die Minimalgarantie von <ref-law> als verletzt. Eine willkürliche Anwendung kantonalen Gesetzesrechts (vgl. Art. 99 VRP/SG i.V.m. Art. 281 Abs. 2 lit. a ZPG/SG) rügt er nicht. Es ist deshalb nicht zu prüfen, ob und inwieweit die kantonale Regelung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege verfassungskonform gehandhabt worden ist.
2.4.2 Die Vorinstanz folgert, wie dargelegt, der Beschwerdeführer habe seine Bedürftigkeit nicht glaubhaft gemacht. Diese Auffassung geht fehl.
Es ist aktenkundig, dass der Beschwerdeführer bei einer Behandlung im Säuglingsalter eine Nervenverletzung an der Wirbelsäule erlitt. Seine körperliche Motorik ist seither geschädigt, und er ist auf einen Rollstuhl angewiesen. Von April 1994 bis November 1998 war er halbtags in einer Behindertenwerkstatt beschäftigt; seither geht er keiner Erwerbstätigkeit mehr nach (Entscheid des Departement des Innern des Kantons St. Gallen vom 11. Dezember 2009 S. 2).
Wie sich aus den Angaben des Beschwerdeführers auf dem Gesuchsformular weiter ergibt, wohnt er zusammen mit seiner Mutter Y._ und vier weiteren Familienangehörigen in der gleichen Wohnung. Seine Mutter, vertreten durch den nämlichen Rechtsanwalt, hat ebenfalls ein Einbürgerungsgesuch gestellt, welches gleichzeitig behandelt worden ist (Verfügung des Präsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. Januar 2010). In diesem parallel geführten, konnexen Verfahren hat der Rechtsvertreter eine Bestätigung der Sozialen Dienste der Gemeinde Oberriet vom 8. Januar 2010 betreffend offener Sozialhilfeleistungen eingereicht. Hieraus geht hervor, dass die Familie des Beschwerdeführers stets als Einheit unterstützt worden ist und insgesamt Fr. 11'399.81 an Sozialhilfe ausgerichtet erhalten hat. Die offenen Sozialhilfeleistungen gegenüber der Gemeinde Oberriet belaufen sich auf Fr. 11'303.26. Die Sozialen Dienste halten im erwähnten Schreiben ausdrücklich fest, dass aufgrund der finanziellen Situation der Familie des Beschwerdeführers eine Rückerstattungsforderung derzeit nicht geprüft werde. Des Weiteren hat der Rechtsvertreter im Verfahren in Sachen Y._ eine Verfügung der Sozialversicherungsanstalt St. Gallen vom 28. Dezember 2009 ins Recht gelegt, wonach die der Mutter des Beschwerdeführers zustehende ordentliche monatliche Ergänzungsleistung auf Fr. 842.-- festgesetzt wird.
Der Vorinstanz war somit bekannt, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner Behinderung keiner Erwerbstätigkeit nachgeht und daher kein Einkommen erzielt. Überdies hatte die Vorinstanz Kenntnis davon, dass die Familie des Beschwerdeführers von der Sozialhilfe unterstützt worden ist und offene Sozialhilfeleistungen von aktuell Fr. 11'303.26 bestehen, deren Rückforderung von der Gemeinde zurzeit nicht geprüft wird.
Bei dieser Sachlage bestehen ernsthafte Anhaltspunkte für die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers. Es ist ohne Weiteres nachvollziehbar, dass dieser, wie von ihm vorgebracht, mangels erzielter Einkünfte davon ausgegangen ist, seine Prozessarmut werde keine besonderen Fragen aufwerfen, zumal seine Bedürftigkeit in den bis ins Jahr 2002 zurückreichenden Einbürgerungsverfahren nie in Frage gestellt worden ist und seine finanziellen Verhältnisse einfach gelagert sind. Dementsprechend wäre die Vorinstanz vorliegend vor Abweisung des Gesuchs jedenfalls gehalten gewesen, dem Beschwerdeführer die Möglichkeit zu geben, sein als unvollständig bzw. mangelhaft eingestuftes Gesuch zu ergänzen und zusätzliche Erklärungen und Belege - wie insbesondere die letzten Steuerveranlagungen bzw. -rechnungen - einzureichen.
2.4.3 Das Gesuch trotz Kenntnis der gesamten Umstände - ohne Rückfrage - wegen nicht glaubhaft gemachter Bedürftigkeit abzuweisen, verstösst gegen <ref-law>. Denn diese Bestimmung wird nicht nur verletzt, wenn die unentgeltliche Rechtspflege zu Unrecht verweigert wird, sondern bereits, wenn an die Geltendmachung des Anspruchs ungebührlich hohe Anforderungen gestellt werden und keine Gelegenheit zur Nachbesserung des Gesuchs eingeräumt wird (vgl. zum Ganzen Urteil des Bundesgerichts 2P.195/2000 vom 9. April 2001 E. 4c; vgl. auch <ref-ruling> E. 4c).
3. Die Vorinstanz hat somit die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers vorschnell verneint und hierdurch <ref-law> verletzt. Die Verfassungsbeschwerde ist gutzuheissen. Der angefochtene Zwischenentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. Januar 2010 ist aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung im Sinne der vorstehenden Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton St. Gallen hat dem Anwalt des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. Januar 2010 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton St. Gallen hat dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Fredy Fässler, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner