Fatti:
A.
A.a. A._, classe 1963, da ultima attiva a tempo parziale quale venditrice-fiorista, mediante decisione del 28 aprile 2010 dell'Ufficio AI del Cantone Ticino (di seguito: UAI) è stata posta al beneficio di una mezza rendita d'invalidità dal 1° marzo 2008 (il pagamento è stato limitato a un anno prima della presentazione della domanda di rendita).
A.b. In sede di revisione d'ufficio, con decisione del 27 novembre 2012, l'UAI ha confermato il diritto alla mezza rendita d'invalidità. Adito su ricorso dell'interessata, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha stralciato la causa dai ruoli per intervenuta transazione nota alle parti e consistente nell'annullamento della decisione del 27 novembre 2012 e rinvio degli atti all'UAI per procedere a un complemento d'istruttoria dal punto di vista medico, segnatamente una rivalutazione peritale psichiatrica. L'UAI ha quindi esperito il complemento richiesto presso il Servizio Accertamento Medico (di seguito: SAM) di Bellinzona - che aveva già esaminato l'interessata in occasione della domanda di rendita che era sfociata nel riconoscimento della mezza rendita d'invalidità, v. perizia pluridisciplinare del 28 ottobre 2009 - e ha versato agli atti una nuova perizia pluridisciplinare datata 13 giugno 2013. Sulla base di questa perizia l'UAI ha confermato il diritto alla mezza rendita d'invalidità con decisione del 16 settembre 2013.
B.
Su ricorso dell'interessata, con giudizio del 20 ottobre 2014, il Tribunale cantonale lo ha accolto, riconoscendole il diritto a una rendita intera d'invalidità a partire dal 1° giugno 2012.
C.
Il 13 novembre 2014 l'UAI ha inoltrato un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, cui chiede in via principale, di annullare il giudizio impugnato e di confermare la sua decisione del 16 settembre 2013. In via subordinata, il ricorrente chiede di annullare il giudizio cantonale e di rinviare gli atti al Tribunale cantonale affinché disponga una nuova perizia giudiziaria psichiatrica.
Nell'ambito delle osservazioni dell'opponente sulla richiesta di effetto sopsensivo domandato dal ricorrente, essa ha sollecitato l'ammissione al gratuito patrocinio in sede federale, considerata la sua precaria situazione economica.

Diritto:
1.
1.1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (<ref-law>; cfr. tuttavia l'eccezione del cpv. 2), non essendo vincolato né dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità precedente. Per contro, in linea di principio, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti eseguito dall'autorità inferiore (<ref-law>) e vi si può scostare solo se è stato svolto in modo manifestamente inesatto (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 18, rispettivamente 137 I 58 consid. 4.1.2 pag. 62 seg.), o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>), e a condizione che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
1.2. Per giurisprudenza invalsa, l'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura preferibile a quella contestata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (<ref-ruling> consid. 3.2.5 pag. 339; <ref-ruling> consid. 2.4 pag. 5, 132 III 209 consid. 2.1 pag. 211 con rinvii). L'accertamento dei fatti non è dunque manifestamente inesatto se suscita dei dubbi, ma solo se la sua erroneità è di chiara evidenza (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 44). Incorre in un accertamento manifestamente inesatto dei fatti il giudice che misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, che omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, o che dalle prove assunte trae conclusioni insostenibili (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 9).
2.
Avuto riguardo alle censure sollevate, l'oggetto del contendere verte unicamente sul diritto dell'assicurata a una rendita intera d'invalidità dopo il 1° giugno 2012 dovuto a un presunto aggravamento del suo stato di salute in sostituzione della mezza rendita già percepita.
3.
3.1. Il giudizio impugnato espone correttamente le norme e la prassi in materia, rammentando in particolare i presupposti e gli effetti della revisione di una rendita in seguito a una modifica del diritto (<ref-law>; art. 88ae 88bis OAI; <ref-ruling> consid. 3.5 pag. 349 con riferimenti; sui termini temporali di confronto v. pure <ref-ruling>). A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione.
3.2. Per giurisprudenza consolidata, gli accertamenti dell'autorità giudiziaria di ricorso in merito al danno alla salute, alla capacità lavorativa dell'assicurato e all'esigibilità di un'attività professionale - nella misura in cui quest'ultimo giudizio non si fonda sull'esperienza generale della vita - riguardano questioni di fatto che possono essere riesaminate da questa Corte solo in maniera molto limitata (v. consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 3.2 pag. 398). In una procedura di revisione rappresenta ugualmente una questione di fatto il tema di sapere se (e quando) lo stato di salute e la (in) capacità lavorativa si siano modificati in maniera determinante in un dato periodo (cfr., fra le tante, sentenza 9C_804/2013 del 27 gennaio 2014 consid. 2.2 con riferimenti).
4.
4.1. Con il giudizio impugnato, il Tribunale cantonale ha ritenuto che lo stato di salute dell'assicurata era peggiorato dal punto di vista psichiatrico rispetto alla data del 28 aprile 2010 quando le era stato riconosciuto il diritto a una mezza rendita d'invalidità. I giudici cantonali hanno invece escluso un aggravamento delle patologie neurologiche e reumatologiche che non sono litigiose e non saranno quindi più discusse nella presente sentenza. È vero che i medici del SAM hanno ritenuto l'interessata ancora abile al lavoro nella misura del 50% in qualsiasi attività come già costatato nel 2009 e hanno pertanto escluso una modifica del suo grado d'invalidità. Nella sostanza, l'interessata al momento della nuova perizia del SAM del 13 giugno 2013, come in occasione della precedente del 28 ottobre 2009, continua ad essere affetta da un punto di vista psichiatrico da una sindrome depressiva ricorrente, episodio attuale di grado medio (ICD-10 F 33.1), sindrome somatoforme da dolore persistente (ICD-10 F 45.4), disturbo della personalità misto (ICD-10 F 61.0), ansioso, istrionico, emotivamente instabile. Tuttavia, dopo avere interpellato lo psichiatra curante, dott. B._, e sottoposto la sua valutazione all'esame del dott. C._, specialista FMH in psichiatria e psicoterapia presso il SAM, i giudici cantonali hanno ritenuto che lo stato di salute dell'interessata non le consentiva più l'esercizio di un'attività lucrativa. Questo aggravamento poteva essere fatto risalire al mese di febbraio 2012 quando l'interessata aveva soggiornato in clinica per curare i suoi disturbi psichiatrici, da cui deriva il diritto a una rendita d'invalidità dal 1° giugno 2012 (data per la quale la revisione d'ufficio era stata prevista).
4.2. Nella sua memoria ricorsuale l'UAI fa valere in primo luogo che il Tribunale cantonale si è discostato a torto dalla valutazione dei medici del SAM preferendo, arbitrariamente, quella del medico curante. Secondo l'UAI, la valutazione del dott. B._ è insostenibile se raffrontata a quella dei medici del SAM. Oltretutto, il mandato conferito a un medico curante non può essere equiparato a quello di un perito, poiché il primo è chiamato a curare il paziente e non a emettere un parere neutro come lo dovrebbe fare un perito. In secondo luogo, l'UAI contesta la data di peggioramento ritenuta dal Tribunale cantonale, affermando che i medici della clinica presso la quale ha soggiornato i mesi di febbraio e marzo 2012 l'assicurata non si sono pronunciati in merito alla sua incapacità lavorativa. In via subordinata, l'insorgente chiede che venga disposta una perizia giudiziaria psichiatrica facendo valere che se il Tribunale cantonale aveva dei dubbi sulla valutazione del dott. C._, ripresa dal SAM, avrebbe dovuto ordinare una nuova perizia e non fondarsi esclusivamente sul parere del medico curante.
5.
5.1. L'assicurata, in seguito alla perizia psichiatrica redatta il 17 maggio 2013 dal dott. C._, specialista in psichiatria presso il SAM, che ha ammesso un'incapacità lavorativa del 40% per ogni attività, ha prodotto un certificato datato 13 settembre 2013 del suo medico curante, dott. B._, specialista FMH in psichiatria e psicoterapia, che la ritiene totalmente incapace al lavoro. Agli atti figurano due altri certificati del dott. B._ del 10 agosto 2012 e 25 gennaio 2013 che ritengono l'assicurata incapace al lavoro rispettivamente all'80% e al 100%. Visto il nuovo certificato del 13 settembre 2013, il Tribunale cantonale si è rivolto al dott. C._, che il 15 ottobre 2013 ha confermato la sua valutazione. Il dott. B._ è stato ancora reinterpellato sul parere del dott. C._ e si è pronunciato con un nuovo rapporto del 9 dicembre 2013. Questo scritto è stato sottoposto al dott. D._, del servizio medico dell'UAI, che ha proposto il 13 dicembre 2013 di confermare la valutazione del SAM. Il dott. B._ e il dott. C._, su richiesta del Tribunale cantonale, hanno ancora avuto modo di prendere posizione in materia (v. rapporti del 28 agosto e 17 settembre 2014). In sostanza, per la stessa diagnosi come formulata nella perizia pluridisciplinare del SAM, i pareri dei medici divergono sulla valutazione dell'incapacità di lavoro. I giudici cantonali hanno quindi discusso questa divergenza e optato per la valutazione del dott. B._ che ha attestato - anche alla luce di un trattamento medico regolare (contrariamente al dott. C._ che ha incontrato la paziente solo in due occasioni in occasione delle due perizie pluridisciplinari del 2009 e del 2013) - in modo credibile l'esistenza di un'incapacità totale di lavoro per l'assicurata.
5.2. Orbene, la conclusione del Tribunale cantonale non lede alcuna norma di diritto federale né risulta da un accertamento manifestamente errato o incompleto dei fatti o da un apprezzamento arbitrario delle prove (cfr. consid. 3.2). Le censure ricorsuali si esauriscono perlopiù in una - tenuto conto del potere di esame limitato di cui dispone il Tribunale federale - inammissibile critica appellatoria dell'accertamento compiuto dal giudice di prime cure. L'UAI nella sua memoria ricorsuale si limita a citare ampi estratti dei rapporti del dott. C._ senza però spiegare per quali motivi la valutazione del Tribunale cantonale sarebbe manifestamente inesatta nel preferire quella del dott. B._.
L'Ufficio ricorrente sottolinea come una perizia effettuata su mandato dell'amministrazione sia di regola da preferire a quella del medico curante. È vero che, secondo l'esperienza comune, il medico curante tende generalmente, in caso di dubbio, a pronunciarsi in favore del proprio paziente in ragione del rapporto di fiducia che lo unisce a quest'ultimo (cfr. <ref-ruling> consid. 3b/cc pag. 353). Tuttavia, come indicato dal Tribunale cantonale, questa circostanza non è di per sé sufficiente per privare un referto di parte di qualsiasi carattere probatorio. Infatti, per valutare un rapporto medico, è determinante che i punti litigiosi importanti siano stati oggetto di uno studio approfondito, che il rapporto si fondi su esami completi, che consideri parimenti le censure espresse, che sia stato approntato in piena conoscenza dell'incarto (anamnesi), che la descrizione del contesto medico sia chiara e che le conclusioni del perito siano ben motivate. Determinante quindi per stabilire se un rapporto medico ha valore di prova non è né l'origine del mezzo di prova, né la denominazione, ad esempio, quale perizia o rapporto (<ref-ruling> consid. 3a pag. 352; <ref-ruling> consid. 1c pag. 160). Ora, le argomentazioni sviluppate dall'UAI, di carattere generale sulla presunta superiorità di una perizia amministrativa su una perizia di parte, non sono atte a rendere arbitrario l'apprezzamento del Tribunale cantonale in merito al grado di capacità lavorativa residua dell'assicurata in attività confacenti allo stato di salute. Lo stesso si può dire per l'insorgenza dell'aggravamento dello stato di salute dell'interessata che, a mente dei giudici cantonali, può essere fatta risalire al ricovero dal 21 febbraio all'8 marzo 2012 presso la clinica E._ per i noti problemi psichiatrici. L'UAI critica la valutazione del Tribunale cantonale per il motivo che questo rapporto non si pronuncia sull'incapacità di lavoro dell'interessata. Questa censura è infondata in quanto si tratta di un rapporto riassuntivo redatto a fine soggiorno che non aveva per compito di esaminare la capacità lavorativa residua dell'interessata.
Alla luce di quanto precede, si poteva pertanto - senza arbitrio e senza violare il diritto di essere sentito dell'assicurato - prescindere dal disporre ulteriori accertamenti e in particolare rinunciare a una perizia medico-giudiziaria come richiesto dall'UAI in via subordinata (v. anche <ref-ruling>).
5.3. Viste le patologie di cui è affetta l'assicurata, si pone il problema di sapere se la nuova giurisprudenza del Tribunale federale, emanata il 3 giugno 2015 e pubblicata in <ref-ruling>, in merito alla valutazione delle affezioni psicosomatiche, possa influire sull'esito della presente procedura. Questo può essere escluso nella fattispecie in quanto l'ufficio ricorrente non fa valere in alcun modo che il giudizio cantonale non abbia applicato a torto la vecchia giurisprudenza in merito ai disturbi somatoformi. In queste circostanze, visto il principio di allegazione e motivazione (<ref-law>), non è neppure giustificato esaminare il caso alla luce dei criteri elaborati dalla nuova giurisprudenza (sentenze 9C_843/2014 del 4 settembre 2015 consid. 6 e 9C_345/2015 del 18 novembre 2015 consid. 5.2 in fine).
6.
In esito alla suesposte considerazioni il ricorso deve essere respinto.
7.
Le spese giudiziarie, che seguono la soccombenza, devono essere poste a carico del ricorrente (<ref-law>). L'opponente ha diritto a un'indennità per le spese ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 800.- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Il ricorrente verserà alla patrocinatrice dell'opponente la somma di fr. 500.- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
4.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.