Sachverhalt:
A.
W._, geboren 1960, war seit 22. April 1996 bei der Firma X._ als Contract Managerin angestellt. Am 21. Mai 1997 verletzte sie sich bei einem Autounfall am Kehlkopf sowie an der linken Schulter und erlitt eine Kontusion der Halswirbelsäule. Die La Suisse, Unfall-Versicherungs-Gesellschaft, Lausanne, erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Am 13. Dezember 2001 meldete sich W._ unter Hinweis auf den Unfall vom 21. Mai 1997 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Schwyz führte erwerbliche und medizinische Abklärungen durch, zog die Akten der Unfallversicherung bei und sprach W._ mit Verfügung vom 24. Februar 2004 ab 1. Dezember 2000 eine halbe und ab 1. Juni 2002 eine ganze Rente zu. Diesen Anspruch bestätigte die IV-Stelle revisionsweise in den Jahren 2004, 2008 und 2011.
Nachdem am 1. Januar 2012 die IV-Revision 6a in Kraft getreten war, veranlasste die IV-Stelle gestützt auf eine Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD; Dr. med. G._, Allgemeinmedizin FMH, vom 13. Februar 2012) eine Begutachtung beim Institut Y._; Expertise vom 18. Juli 2012). Nach erneuter Stellungnahme des Dr. med. G._ vom 10. August 2012 führte die IV-Stelle mit W._ am 8. November 2012 ein Abklärungsgepräch und verfügte am 22. Januar 2013, entsprechend dem am 27. November 2012 erlassenen Vorbescheid, die Einstellung der Rente.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde der W._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 16. Mai 2013 teilweise gut und änderte die Verfügung vom 22. Januar 2012 dahingehend ab, dass W._ ab 1. April 2013 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente (bei einem IV-Grad von 54 %) habe. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der angefochtene Entscheid sei, in Bestätigung der Verfügung vom 22. Januar 2013, aufzuheben, soweit W._ ab 1. April 2013 weiterhin eine halbe Rente zugesprochen werde. In verfahrensrechtlicher Hinsicht sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
W._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde und in prozessualer Hinsicht auf Nichtgewährung der aufschiebenden Wirkung. IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 13. August 2013 hat die Instruktionsrichterin der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist auf Grund der Vorbringen in der Beschwerde an das Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>).
2.
2.1. Gemäss lit. a Abs. 1 SchlB IVG, gültig seit 1. Januar 2012, werden Renten, die bei pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage gesprochen wurden, innerhalb von drei Jahren nach Inkrafttreten dieser Änderung überprüft. Sind die Voraussetzungen nach <ref-law> nicht erfüllt, so wird die Rente herabgesetzt oder aufgehoben, auch wenn die Voraussetzungen von <ref-law> nicht erfüllt sind. Abs. 4 der Bestimmung präzisiert, dass Abs. 1 keine Anwendung findet auf Personen, die im Zeitpunkt des Inkrafttretens der Änderung das 55. Altersjahr zurückgelegt haben oder im Zeitpunkt, in dem die Überprüfung eingeleitet wird, seit mehr als 15 Jahren eine Rente der Invalidenversicherung beziehen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 444 f.).
2.2. Kognitionsrechtlich (vgl. E. 1 hievor) zählt zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 66 mit Hinweis). Die Beantwortung dieser Rechtsfrage obliegt nicht den Ärztinnen und Ärzten, sondern den rechtsanwendenden Behörden. Es können sich daher Konstellationen ergeben, bei welchen von der im medizinischen Gutachten festgestellten Arbeitsunfähigkeit abzuweichen ist, ohne dass dieses seinen Beweiswert verlöre (Urteil 8C_337/2012 vom 5. April 2012 E. 2.1 mit Hinweis u.a. auf <ref-ruling> E. 3 S. 356).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, die Beurteilung der Gutachter des Instituts Y._, welche aufgrund eines chronischen zervikocephalen Schmerzsyndroms (ICD-10 M54) mit möglichem residuellem radikulärem sensiblem Ausfallsyndrom C7 ohne Anhalt für eine radikuläre Reiz- oder motorische Ausfallsymptomatik C7 beidseits und pseudoradikulärer Schmerzausstrahlung in beide Schultern und Oberarme sowie eines unsystematischen bewegungsinduzierten Dreh- und Schwankschwindels (ICD-10 R42), aktuell ohne Hinweis auf eine zentrale oder peripher vestibuläre Schwindelgenese, eine Arbeitsfähigkeit von 80 % attestierten, genüge in allen Teilen den bundesrechtlichen Anforderungen. Insbesondere im neurologischen Teilgutachten werde die Einschränkung der Arbeitsfähigkeit ausführlich begründet, während aus rheumatologischer und internistischer Sicht keine objektivierbaren Befunde hätten erhoben werden können, eine erhebliche psychische Komorbidität fehle und die aus psychosomatischer Sicht empfohlenen Massnahmen auf noch nicht voll ausgeschöpfte Behandlungsmöglichkeiten schliessen liessen. Ein vollständiger sozialer Rückzug sei mit Blick auf die Mitwirkung im lokalen "Club A._" nicht ausgewiesen. Grundsätzlich wäre mit Blick auf den nicht mehr erheblich erhöhten Muskeltonus im Bereich des Schultergürtels auch eine gesundheitliche Veränderung eingetreten, die allenfalls eine Rentenrevision nach <ref-law> erlauben würde.
Entgegen der Ansicht der IV-Stelle könne auf einen Einkommensvergleich nicht verzichtet werden. Dabei sei zu beachten, dass eine Person, die vor Eintritt des Gesundheitsschadens eine berufliche Tätigkeit in einem höheren Anforderungsniveau verrichtet habe, nach jahrelanger Abstinenz vom Arbeitsmarkt nicht gleichermassen ein rentenausschliessendes Einkommen erzielen könne wie jemand, der im gesunden Zustand im Anforderungsniveau 4 tätig gewesen sei. Es sei auch mit Blick auf die weiterhin eingeschränkte Arbeitsfähigkeit nicht überwiegend wahrscheinlich, dass die Versicherte wiederum eine vergleichbare Anstellung finden könnte wie vor dem Unfall. Gestützt auf den Tabellenlohn im Anforderungsniveau 3 und unter Gewährung eines leidensbedingten Abzuges von (maximal) 10 % ergebe der Einkommensvergleich einen Invaliditätsgrad von gerundet 54 % und damit Anspruch auf eine halbe Rente.
3.2. Das Beschwerde führende Bundesamt hält fest, in der Expertise des Instituts Y._ vom 18. Juli 2012 würde als Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit lediglich ein pathogenetisch-ätiologisch unklares syndromales Beschwerdebild ohne organisch nachweisbare Grundlage ausgewiesen, welches mangels relevanter Komorbidität und bei nicht erfüllten "Förster-Kriterien" entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen die Arbeitsfähigkeit der Beschwerdegegnerin nicht auf 80 % einzuschränken vermöge. Das Bundesamt rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht auf die (Arbeitsunfähigkeits-) Beurteilung der Experten des Instituts Y._ abgestellt. Sie hätte vielmehr eine Invalidität verneinen und die rentenaufhebende Verfügung vom 22. Januar 2013 bestätigen müssen. Jedenfalls sei beim Invalideneinkommen nicht auf das Anforderungsniveau 3 abzustellen, sondern auf das Anforderungsniveau 1 und 2, zumal sich die fehlende Weiterbildung zwar in einer Anfangsphase lohnsenkend auswirken könnte, aber einer entsprechenden Tätigkeit in der Versicherungsbranche nicht entgegen stehe. Der langen Arbeitskarenz sei mit Wiedereingliederungsmassnahmen zu begegnen, nicht mit einem tieferen Anforderungsniveau. Die fehlenden Dienstjahre würden jedenfalls keinen höheren Abzug vom Tabellenlohn als 10 % rechtfertigen, weshalb ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad resultierte.
3.3. Die Beschwerdegegnerin stellt sich auf den Standpunkt, die Beschwerdeführerin bringe nicht vor, die vorinstanzliche Beweiswürdigung sei willkürlich und stelle der Einschätzung des kantonalen Gerichts lediglich ihre eigene Auffassung gegenüber. Damit sei eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weder behauptet noch belegt. Gleiches gelte für die Feststellung, sie werde sich mit Tätigkeiten im Anforderungsniveau 3 begnügen müssen. Auch diesbezüglich könne der Beschwerde nicht entnommen werden, worin die offensichtliche Unrichtigkeit liegen solle.
4.
4.1. Das kantonale Gericht ging (hauptsächlich) von einem unklaren syndromalen Beschwerdebild aus. Fehlt bei einem solchen, wie hier, eine relevante psychische Komorbidität, ist das im Vordergrund stehende Kriterium, welches den Schluss auf fehlende Überwindbarkeit einer Schmerzstörung oder eines vergleichbaren Leidenszustandes gestatten könnte, nicht erfüllt. Die zusätzlichen Kriterien müssen demnach besonders ausgeprägt gegeben sein, damit dennoch von einer ausnahmsweisen Unüberwindbarkeit eines solchen Leidens ausgegangen werden kann (z.B. Urteil 9C_234/2013 vom 14. Oktober 2013 E. 5. 2 mit Hinweis).
4.2. Gemäss den verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen fällt - nebst der Schwindelsymptomatik, welche eine Tätigkeit mit potentieller Selbst- oder Fremdgefährdung (d.h. Arbeiten in der Höhe, auf Leitern oder Gerüsten) ausschliesst - einzig der neurologische Befund (zephale Schmerzkomponente des zervikocephalen Schmerzsyndroms mit intermittierend auftretender migräniformer Komponente im Rahmen von Schmerzspitzen) ins Gewicht. Selbst wenn die zephalen Schmerzen einen mehrjährigen stationären oder sogar progredienten Verlauf genommen hätten, könnte dieses Kriterium nicht als derart intensiv erfüllt und ausgeprägt gelten, dass es die Vermutung der Überwindbarkeit des Schmerzsyndroms umzustossen vermöchte. Dies gilt umso mehr, als die begutachtenden Neurologinnen zum einen die Kopfschmerzen "bei eindeutig führender zervikaler Schmerzproblematik" im Rahmen des zervikocephalen Schmerzsyndroms interpretierten und daher jedenfalls nicht ohne weiteres klar ist, ob diese überhaupt als chronische körperliche Begleiterkrankung einzuordnen wären (vgl. Urteile 9C_936/2011 vom 21. März 2012 E. 4.2.2.1 und 9C_709/2009 vom 14. Dezember 2009 E. 4.1). Zum anderen beruht die entsprechende Diagnose massgeblich auf den subjektiven Schilderungen der Versicherten, auf welche nicht ohne weiteres abgestellt werden kann (z.B. zur Publikation vorgesehenes Urteil 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 E. 5.9). In Würdigung aller Umstände waren die erforderlichen Kriterien im massgeblichen Zeitpunkt des Verfügungserlasses somit nicht in genügender Weise erfüllt, um eine ausnahmsweise invalidisierende Wirkung des Schmerzsyndroms anzunehmen. Soweit das kantonale Gericht eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 20 % bejahte, setzte es die Voraussetzungen nicht korrekt um, unter denen ein Abweichen vom Grundsatz der Überwindbarkeit einer Schmerzstörung oder eines vergleichbaren Leidens gerechtfertigt ist. Dass im unbestrittenermassen sorgfältig und nachvollziehbar abgefassten Gutachten des Instituts Y._ eine um 20 % eingeschränkte Arbeitsfähigkeit attestiert wird, ändert nichts. Der Entscheid, ob ein bestimmter Gesundheitszustand eine Invalidität bewirkt, obliegt allein den rechtsanwendenden Behörden (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 355). Entgegen den Vorbringen der Beschwerdegegnerin handelt es sich bei der Frage, ob ein Kriterium genügend erfüllt ist, um die ausnahmsweise invalidisierende Wirkung eines Schmerzsyndroms zu bejahen, um eine letztinstanzlich frei überprüfbare Rechtsfrage (E. 2.2 hievor).
5.
5.1. Als Invalideneinkommen gilt das Erwerbseinkommen, das eine behinderte Person nach Durchführung allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage noch erzielen könnte (vgl. Rz 3043 des Kreisschreibens über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung [KSIH], gültig ab 1. Januar 2012). Die Wahl der massgeblichen Stufe (Anforderungsniveau 1/2, 3, 4) bei dem auf den LSE-Tabellen beruhenden statistischen Lohnvergleich ist als Rechtsfrage frei überprüfbar (z.B. Urteil 9C_762/2011 vom 7. Dezember 2011 E. 4.3 mit Hinweis).
5.2. Das kantonale Gericht begründete das Abstellen auf das Anforderungsniveau 3 (nebst der Teilarbeitsfähigkeit) mit der über zehnjährigen Abstinenz der Versicherten vom Berufsleben und der vor mehr als 15 Jahren absolvierten letzten Weiterbildung, welche Faktoren bei qualifizierten Tätigkeiten stärker ins Gewicht fielen als bei weniger anspruchsvollen Arbeiten. Definitionsgemäss setzt die Festsetzung des Invalideneinkommens die vorgängige Durchführung allfälliger Eingliederungsmassnahmen zur Wiederherstellung der Erwerbsfähigkeit voraus (vorangehende E. 5.1). Für Personen, welche bisher aufgrund eines unklaren Beschwerdebildes (E. 2.1 hievor) eine Rente bezogen, sieht der Gesetzgeber in den lit. a Abs. 2 und 3 SchlB IVG zudem spezielle Integrationsmassnahmen vor, welche die Versicherten unbesehen des Anforderungsniveaus der vormalig ausgeübten Tätigkeit befähigen sollen, ihr Leben durch Einsatz ihrer Erwerbsfähigkeit und damit ohne Rente zu bestreiten. Weshalb der langjährige Arbeitsunterbruch auch mit Blick auf die Ausbildung (Fachhochschulabschluss) und reiche Berufserfahrung der Versicherten in qualifizierten Positionen sowie in Anbetracht der vollen Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit (E. 4.2 hievor) selbst nach Durchführung zumutbarer (Wieder-) Eingliederungsmassnahmen eine über den vorinstanzlich gewährten Abzug vom Tabellenlohn hinausgehende (dauerhafte) Minderung des Invalideneinkommens rechtfertigen soll, wird im angefochtenen Entscheid nicht schlüssig begründet.
5.3. Ob für Personen, die vor Eintritt des Gesundheitsschadens (höchst) anspruchsvolle Tätigkeiten ausgeübt haben, unter Umständen eine differenzierte Betrachtungsweise Platz zu greifen hat, braucht hier nicht weiter geklärt zu werden. Die uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit der Beschwerdegegnerin (auch) in der angestammten Versicherungsbranche würde selbst bei einem im Anforderungsniveau 3 erzielbaren Lohn nicht zu einem rentenbegründenden Invaliditätsgrad führen. Aus der Gegenüberstellung eines (nicht bestrittenen) Valideneinkommens von Fr. 101'634.- (bezogen auf das Jahr 2010) und eines Invalideneinkommens von Fr. 62'048.35 (Schweizerische Lohnstrukturerhebung [LSE] 2010 Tabelle T1 S. 24, Sektor 3 Dienstleistungen, Anforderungsniveau 3, Frauen [Fr. 5'511.-], angepasst an die betriebsübliche Wochenarbeitszeit von 41,7 Stunden [Die Volkswirtschaft, 2010 Heft 7/8, S. 90]) sowie unter Gewährung eines 10 %igen leidensbedingten Abzuges, resultiert ein Invaliditätsgrad von 38,94 %. Zu Recht hatte die IV-Stelle in ihrer Verfügung vom 22. Januar 2013 darauf hingewiesen, dass die Versicherte nach Massgabe von lit. a Abs. 2 SchlB IVG Anspruch auf Wiedereingliederungsmassnahmen und während dieser Zeit im Rahmen von lit. a Abs. 3 SchlB auch auf Weiterausrichtung der Rente hat.
6.
Die Beschwerde ist begründet. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 16. Mai 2013 wird aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, der IV-Stelle Schwyz und der Vorsorgestiftung VSI, Zürich, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Januar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Bollinger Hammerle