Faits:
A. Le 16 mai 2012, le Ministère public de l'arrondissement de l'Est vaudois (ci-après: le Ministère public) a ouvert une enquête contre A._ et B._ pour actes préparatoires à assassinat, subsidiairement violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires, d'office et sur plainte de C._ et D._. La plainte de ces derniers fait suite à une lettre anonyme adressée le 14 mai 2012 à la brigade des taxis de la police de la Ville de Lausanne, à l'attention du policier C._. Cette lettre fait état de menaces graves de la part de deux chauffeurs de taxis, identifiés à ce stade comme étant A._ et B._, qui auraient élaboré un plan en vue du meurtre du policier prénommé, de son suppléant D._, ainsi que de leurs familles. A._ et B._ ont été placés en détention provisoire; ils ont été remis en liberté le 7 août 2012.
Le 23 mai 2012, les défenseurs de A._ et B._ ont requis la consultation de l'intégralité du dossier, en particulier de la lettre anonyme susmentionnée. Par décision du 29 mai 2012, le Ministère public a refusé la consultation de cette lettre, en considérant en substance que l'identification de son auteur par les prévenus nuirait à l'enquête et serait potentiellement dangereuse pour l'auteur et ses proches. A._ et B._ ont recouru contre ce refus auprès de la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a partiellement admis leur recours par arrêt du 20 juin 2012 en autorisant leurs défenseurs à consulter la lettre anonyme litigieuse, sans toutefois leur donner le droit d'en faire une photocopie ni de l'emporter à leur étude.
B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que son conseil est autorisé à emporter une copie de la lettre anonyme litigieuse. Il conclut subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision. Il requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer. Le Ministère public central du canton de Vaud - qui a repris l'instruction de la procédure ouverte contre le recourant - a présenté des observations, concluant à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Le recourant a présenté des observations complémentaires, dans le délai prolongé à sa demande au 24 octobre 2012.

Considérant en droit:
1. La contestation portant sur la consultation du dossier en matière pénale, le recours au Tribunal fédéral est régi par les <ref-law>. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et let. b ch. 1 LTF, l'accusé a qualité pour agir.
1.1 La limitation imposée au recourant dans la consultation du dossier de la procédure pénale constitue une décision incidente, qui ne met pas fin à la procédure. Dès lors qu'elle n'entre pas dans le champ d'application de l'<ref-law>, elle ne peut faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral que si elle peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>). Cette dernière hypothèse n'entre pas en considération en l'espèce (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 292). Quant à l'<ref-law>, il suppose, en matière pénale, que la partie recourante soit exposée à un dommage de nature juridique, qui ne puisse pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision qui lui serait favorable (<ref-ruling> consid. 4 p. 95; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 86 s.; <ref-ruling> consid. 4 p. 338, 139 consid. 4 p. 141). Il incombe au recourant de démontrer l'existence d'un tel préjudice lorsque celui-ci n'est pas d'emblée évident (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 429).
1.2 Un préjudice irréparable de nature juridique peut être admis si le recourant est en mesure de se prévaloir d'un droit à consulter le dossier à ce stade de la procédure, en particulier sur la base de l'<ref-law> (arrêt 1B_597/2011 du 7 février 2012 consid. 1.2, publié in SJ 2012 I p. 215; cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 173 ss a contrario). Tel est le cas en l'espèce, la première audition des prévenus ayant déjà eu lieu et les preuves principales ayant été administrées. Pour le surplus, la portée concrète des restrictions imposées n'a pas à être tranchée dans l'examen de la recevabilité, cette question relevant davantage de l'application des art. 102 al. 1 et 108 CPP que de la recevabilité sous l'angle de l'<ref-law>. Il y a donc lieu d'entrer en matière sur le recours.
2. Invoquant une violation de son droit d'être entendu, le recourant se plaint en substance d'une restriction excessive du droit de consulter le dossier.
2.1 Tel qu'il est garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend notamment le droit pour l'intéressé de consulter le dossier (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 272; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 293; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 494 et les arrêts cités). Ce droit découle également des art. 101 al. 1 et 107 al. 1 let. a CPP. Il peut être restreint en application de l'<ref-law>, qui impose à la direction de la procédure de prendre les mesures nécessaires pour protéger les intérêts au maintien du secret. L'<ref-law> permet également de restreindre le droit d'être entendu lorsque cela est nécessaire pour assurer la sécurité de personnes ou pour protéger des intérêts publics ou privés au maintien du secret. Le conseil juridique d'une partie ne peut faire l'objet de restrictions que du fait de son comportement (<ref-law>). Par ailleurs, les restrictions doivent être limitées temporairement ou à des actes de procédure déterminés (<ref-law>). De plus, les autorités ne peuvent fonder leurs décisions sur des pièces auxquelles une partie n'a pas eu accès que si celle-ci a été informée de leur contenu essentiel (<ref-law>).
2.2 En l'occurrence, le Tribunal cantonal a considéré que les conditions de l'<ref-law> étaient réunies. La lettre anonyme litigieuse comportant des éléments précis qui pourraient permettre au recourant et à son co-prévenu d'identifier l'auteur de ce document, il était justifié que ceux-ci n'en prennent pas connaissance. Les conditions de l'<ref-law> n'étant en revanche pas réalisées, le mandataire du recourant pouvait consulter la lettre en question. Il n'était cependant pas autorisé à en faire une photocopie, ni à l'emporter à son étude. Le Ministère public était en outre invité à ordonner à l'avocat de ne pas donner connaissance de ladite lettre à son client.
Le recourant prétend que son mandataire a pu lire "pendant quelques brèves minutes, non pas l'original, ni même une copie de la [lettre litigieuse], mais une retranscription de cette pièce rédigée par le Ministère public". Ces faits nouveaux, postérieurs à l'arrêt attaqué, ne sont pas contredits par le Ministère public. Celui-ci expose en effet avoir assuré la retranscription de la lettre, dont la conformité avec l'original pourra être vérifiée par les instances de jugement ou de recours et que l'avocat du recourant pourra consulter à nouveau si nécessaire. La façon dont s'est déroulée la consultation ne saurait toutefois faire l'objet du présent arrêt, qui se limite à l'examen des modalités imposées par le Tribunal cantonal dans la décision attaquée.
2.3 Le recourant soutient qu'il n'était pas possible pour son avocat de se souvenir de la teneur d'un courrier de "plusieurs dizaines de lignes" afin de s'en servir utilement dans la suite de la procédure. Il serait en outre "improbable" que son avocat ait pu relever tous les éléments importants du courrier en question durant le "bref laps de temps" qu'a duré la consultation de la pièce en question. Selon le recourant, la seule façon d'assurer la défense de ses intérêts serait dès lors de permettre à son avocat de posséder une copie de l'original de la lettre anonyme, le comportement de son conseil ne donnant en outre pas lieu à une application de l'<ref-law>.
Ce dernier point n'est pas contesté, l'arrêt querellé ayant précisément autorisé l'avocat à consulter la lettre litigieuse. Le fait que l'avocat ne puisse pas emporter ce document en son étude ne prête pas non plus le flanc à la critique. L'<ref-law> prévoit en effet que les dossiers sont remis aux conseils juridiques des parties "en règle générale", de sorte que certaines exceptions sont possibles. Il en va notamment ainsi lorsque les conditions des art. 102 al. 1 et 108 al. 1 let. b CPP sont réunies. Or, les motifs invoqués pour restreindre la consultation de la lettre anonyme litigieuse entrent dans le cadre des dispositions précitées, puisqu'il s'agit d'assurer la sécurité de l'auteur de ladite lettre en empêchant son identification par le recourant et son co-prévenu. L'interdiction d'emporter ce courrier et d'en faire une photocopie a précisément pour but d'éviter tout risque de voir ces derniers accéder à des informations permettant une identification. La consultation autorisée permet en outre au recourant d'être informé du contenu essentiel de la pièce, conformément à l'<ref-law>. A cet égard, on peine à discerner ce que la possession d'une copie de l'original de la lettre apporterait de plus à la défense des intérêts du recourant. En effet, si son avocat n'est pas en mesure de mémoriser les éléments essentiels de ce document, rien ne l'empêche de prendre des notes. En définitive, compte tenu du risque encouru par l'auteur de la lettre anonyme, l'interdiction d'emporter l'original de ce document ou d'en faire une photocopie vise un but légitime de protection et ne constitue pas une atteinte disproportionnée au droit de consulter le dossier. La décision attaquée est donc conforme tant aux règles du CPP qu'à l'art. 29 al. 2 Cst.
2.4 Bien que la question de la retranscription du courrier échappe à l'objet du présent litige et qu'elle excède les exigences posées par l'arrêt querellé (cf. supra consid. 2.2), on peut constater sur la base des explications du Ministère public qu'un tel document existe et qu'il vise également à éviter tout risque d'identification de l'auteur de la lettre, en supprimant des indices figurant sur la pièce originale. Par conséquent, si toutes les précautions ont été prises pour que la retranscription empêche une identification, on ne voit pas d'emblée ce qui s'opposerait à la remise d'une copie de cette retranscription à l'avocat du recourant. Cette solution aurait l'avantage de préserver au mieux les droits de la défense, tout en protégeant les intérêts de l'auteur du courrier litigieux. Si le Ministère public entend s'y opposer, il lui appartiendra à tout le moins de motiver sa décision sur ce point.
3. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant demande l'assistance judiciaire, sans toutefois établir son indigence. Une telle démonstration s'imposait d'autant plus en l'espèce que le dossier comporte certains indices de l'existence de ressources financières suffisantes. Il est notamment fait état de diverses sources de revenus pour plus de 4'000 fr., voire d'un revenu net de 6'000 fr., d'une tentative de transférer environ 100'000 fr. vers la Tunisie et d'un compte crédité d'environ 80'000 francs. En définitive, le recourant n'ayant pas démontré qu'il ne disposait pas de ressources suffisantes, la requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, doit dès lors supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public central et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale.
Lausanne, le 8 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Rittener