Faits:
A. Une société anonyme fondée le 19 mars 2002, ayant son siège à Genève, a adopté, le 14 avril 2004, la raison sociale « SwissIndependent Trustees SA ». Son but social est d'agir comme fiduciaire « trustee » et, en cette qualité, de détenir, gérer, acquérir, aussi bien en son nom qu'au nom de bénéficiaires de trusts, des actifs tant mobiliers qu'immobiliers non assujettis à la loi fédérale sur l'acquisition d'immeubles par des personnes à l'étranger.
La société Chappaz Trust Company SA, inscrite le 23 mai 2008 avec siège à Genève, a adopté la raison sociale « Swiss Trustees SA » le 18 août 2008. Elle a pour but la gestion de fortune et le placement de capitaux, la fourniture des prestations de services et de conseils s'y rapportant, ainsi que la création et l'administration de trusts et de sociétés.
SwissIndependent Trustees SA et Swiss Trustees SA sont l'une et l'autre actives à Genève. Selon leurs adresses respectives, elles ne sont distantes l'une de l'autre que de quelques dizaines de mètres. Si l'on introduit les mots « Swiss Trustees SA » dans les moteurs de recherche Google ou Telsearch, on obtient en première ligne des renseignements concernant SwissIndependent Trustees SA.
B. Estimant que la raison sociale inscrite en second lieu dans l'ordre chronologique, à savoir Swiss Trustees SA, crée un risque de confusion, SwissIndependent Trustees SA a introduit auprès de la Cour de justice du canton de Genève, par acte déposé le 26 novembre 2008, une action dirigée contre Swiss Trustees SA, tendant principalement à ce qu'il soit ordonné à cette dernière de cesser d'utiliser la raison sociale « Swiss Trustees SA » et de la faire radier du registre du commerce.
La défenderesse s'est opposée à la demande, soutenant qu'il n'y avait pas de risque de confusion en raison des logos utilisés et du mot « Independent » figurant dans la première raison sociale inscrite.
Par arrêt du 15 mai 2009, la cour cantonale, siégeant en instance cantonale unique, a ordonné à Swiss Trustees SA de faire procéder sans délai à la modification ou à la radiation de sa raison sociale, lui faisant interdiction d'utiliser le nom « Swiss Trustees SA » à titre de raison de commerce, réservant l'octroi d'éventuels dommages et intérêts à la partie demanderesse et condamnant la défenderesse aux dépens. La cour cantonale a estimé qu'il y avait risque de confusion et que la défenderesse, en adoptant sa raison sociale, avait violé l'<ref-law>.
C. Swiss Trustees SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 15 mai 2009. Soutenant qu'il n'y avait pas de risque de confusion et qu'il n'y avait en conséquence pas de violation de l'<ref-law> et de l'art. 3 let. d LCD, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au rejet de la demande avec suite de dépens, subsidiairement au renvoi de la cause à la cour cantonale.
L'intimée a conclu au rejet du recours et à la confirmation de la décision attaquée avec suite de dépens.
La requête d'effet suspensif présentée par la recourante a été admise par ordonnance présidentielle du 13 juillet 2009.

Considérant en droit:
1. 1.1 Dans l'arrêt attaqué, la recourante a succombé dans ses conclusions tendant au rejet de la demande et, par voie de conséquence, au maintien de sa raison sociale; elle a donc qualité pour recourir (<ref-law>). Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>). On peut observer ici que l'autorité précédente a statué en instance cantonale unique sur la base d'une disposition cantonale. L'<ref-law> impose en principe aux cantons d'instituer une double instance en matière civile. Cette exigence fédérale n'est cependant actuellement pas en vigueur et ne devrait le devenir qu'avec l'introduction du code de procédure civile suisse (<ref-law>); or, le code de procédure civile suisse exige une instance cantonale unique pour les litiges portant sur l'usage d'une raison de commerce (art. 5 al. 1 let. c) et pour les litiges relevant de la LCD lorsque la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr. (art. 5 al. 1 let. d). On se trouvera donc dans l'hypothèse où une loi fédérale prescrit une instance cantonale unique (<ref-law>), de sorte que la situation n'est pas appelée à changer dans l'avenir.
Bien que la valeur litigieuse soit difficile à évaluer, la cour cantonale a estimé qu'elle était supérieure à 30'000 fr. (arrêt attaqué, p. 9) et il n'y a pas lieu de s'écarter de cette appréciation (<ref-law>). Le recours est donc recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 105). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 8.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 130) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peuvent être présentés, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
2. 2.1 Une société anonyme suisse est formée sous une raison sociale (<ref-law>), laquelle doit figurer dans les statuts (<ref-law>). La société doit être inscrite au registre du commerce (<ref-law>). La raison sociale (appelée aussi raison de commerce) y est également inscrite (<ref-law>).
La société anonyme crée librement sa raison de commerce, mais celle-ci doit désigner la forme juridique de la société (<ref-law>). La raison de commerce peut donc comporter des noms de personnes, des indications sur la nature de l'entreprise ou des mots de fantaisie, pourvu qu'elles soient conformes à la vérité, ne puissent induire en erreur et ne lèsent aucun intérêt public (<ref-law>). Dès que la raison de commerce a été inscrite au registre du commerce et publiée, l'ayant droit en a l'usage exclusif (<ref-law>). S'il subit un préjudice du fait de l'usage indu d'une raison de commerce, il peut demander au juge d'y mettre fin et, s'il y a faute, réclamer des dommages-intérêts (<ref-law>).
Une nouvelle raison de commerce doit se distinguer nettement de toute autre raison d'une société déjà inscrite en Suisse (<ref-law>).
Sur la base de son droit d'exclusivité, le titulaire d'une raison de commerce antérieure peut donc agir contre le titulaire d'une raison postérieure et lui en interdire l'usage s'il existe un risque de confusion entre les deux raisons sociales (<ref-ruling> consid. 3 p. 575; <ref-ruling> consid. 1 p. 370). Cette question relève du juge civil et n'est pas examinée par le préposé au registre du commerce au stade de l'inscription de la seconde raison sociale (<ref-ruling> consid. 4b p. 226). Le titulaire de la première raison sociale inscrite peut aussi agir sur la base de l'art. 3 let. d LCD, qui s'applique cumulativement (<ref-ruling> consid. 5 p. 228).
La notion de risque de confusion est la même dans tout le droit relatif aux signes distinctifs; dire, sur la base des faits constatés, s'il existe un risque de confusion, est une question de droit que le Tribunal fédéral peut donc revoir librement (<ref-ruling> consid. 4 p. 359). Il faut, d'une part, examiner les signes à comparer dans leur ensemble et, d'autre part, se demander ce que le destinataire moyen conserve en mémoire (<ref-ruling> consid. 3 p. 576; <ref-ruling> consid. 5 p. 403 s.). Lorsqu'une raison sociale est composée de termes génériques qui désignent son activité, un élément additionnel de fantaisie, même de faible importance, peut suffire à exclure la confusion (ATF <ref-ruling> consid. 1 p. 371). On se montrera cependant plus strict s'il existe un rapport de concurrence ou des buts statutaires identiques, auquel cas les raisons de commerce doivent se distinguer nettement (<ref-ruling> consid. 1 p. 324). Que des erreurs soient effectivement survenues peut constituer un indice utile pour conclure à l'existence d'un risque de confusion (ATF <ref-ruling> consid. 2c p. 373).
2.2 En l'espèce, les deux raisons sociales à comparer sont constituées exclusivement de termes génériques qui ne font que décrire leur activité, ou en tout cas leur activité principale, en langue anglaise.
La jurisprudence a considéré que de telles raisons de commerce n'étaient pas admissibles (<ref-ruling> consid. 2b p. 226; <ref-ruling> consid. 2b p. 286; <ref-ruling> consid. 5d p. 368). Un projet de modification du code des obligations, invoqué par la recourante, propose de poser clairement la règle inverse. Il n'est pas nécessaire d'approfondir cette question. En effet, on ne se trouve pas au stade de l'inscription d'une raison sociale par le préposé au registre du commerce, mais au stade d'une action entre particuliers devant le juge civil pour risque de confusion; or, dans une telle action, il n'est pas possible de faire valoir que l'une ou l'autre des raisons de commerce n'aurait pas dû être inscrite (<ref-ruling> consid. 2b p. 227). La question est donc sans pertinence.
2.3 La recourante fait valoir que les deux sociétés utilisent des logos complètement différents, ce qui exclurait tout risque de confusion.
Qu'il soit possible d'utiliser à titre complémentaire des logos en vertu de l'<ref-law> - logos qui peuvent d'ailleurs être modifiés à tout moment - atténue seulement la règle selon laquelle la raison sociale, telle qu'elle est inscrite au registre du commerce, doit figurer de manière complète et inchangée dans la correspondance, les bulletins de commande, les factures et les communications de la société (<ref-law>). La possibilité d'utiliser un logo à titre complémentaire n'affecte en rien la règle figurant à l'<ref-law>, selon laquelle une nouvelle raison de commerce doit se distinguer nettement de toute autre raison déjà inscrite.
L'argument soulevé par la recourante est donc sans pertinence.
2.4 La seule question à résoudre est de savoir s'il existe un risque de confusion entre les deux raisons sociales à comparer.
La raison de commerce de la recourante ne comporte que des mots qui se trouvent déjà dans celle de l'intimée. Elle n'a donc pris elle-même aucune mesure, selon l'<ref-law>, pour se distinguer de la raison déjà inscrite. Elle soutient cependant qu'elle n'avait pas à le faire parce que l'intimée, en ajoutant le mot « Independent », avait déjà pris par avance les mesures nécessaires pour que sa raison soit suffisamment originale et se distingue de la raison plus brève de la recourante, qui ne comporte pas ce mot.
Les deux raisons sociales à comparer commencent par le mot « Swiss ». Il s'agit d'un adjectif de langue anglaise qui désigne la Suisse; il est notoire qu'il est largement utilisé, notamment pour le commerce et la finance sur le plan international, et il faut admettre qu'il est bien connu et correctement compris des clients potentiels. L'emploi de cet adjectif est manifestement destiné à bénéficier de l'image favorable dont la gestion de fortunes en Suisse peut jouir, notamment à l'étranger. Il s'agit donc d'un terme qui est significatif pour les clients potentiels; il implique clairement que les fonds seront gérés par des Suisses.
Les deux raisons comportent également le mot « trustees ». Ce terme, de langue anglaise, désigne l'activité consistant à gérer un trust en étant le propriétaire fiduciaire du patrimoine. Ce mot désigne donc l'activité (ou en tout cas l'activité principale) exercée par les deux sociétés. Il est bien connu dans le domaine de la gestion de fortunes et on doit admettre qu'il est compris des clients potentiels selon son sens véritable. Le mot est chargé de signification, puisqu'il fait comprendre, à ceux qui souhaitent constituer un trust, qu'ils peuvent s'adresser à la société ainsi désignée et que les fonds seront en mains de trustees dont on a déjà indiqué, avec l'emploi de l'adjectif « Swiss », qu'ils sont suisses.
Les lettres « SA » se retrouvent dans les deux raisons sociales; il s'agit de la mention obligatoire de la forme juridique, qui est d'emblée dépourvue de tout effet distinctif, puisque les deux sociétés sont l'une et l'autre des sociétés anonymes.
La discussion se concentre donc - tous les autres mots étant identiques - sur la présence, dans la raison sociale de l'intimée, du mot « Independent » que l'on ne trouve pas dans la raison sociale de la recourante. Contrairement à ce qui est soutenu dans le recours, ce mot est très faiblement distinctif. En effet, il est, à la différence des mots « Swiss » et « Trustees », pratiquement dépourvu de sens. Par définition, un trustee suit les instructions résultant du contrat à la base du trust et il n'a pas à recevoir des ordres de tiers. L'indépendance semble donc aller de soi. Il est certes possible que l'intimée ait ainsi voulu souligner qu'elle n'avait pas de lien étroit avec une banque, mais cela n'enlève rien au fait que le mot est peu signifiant pour une société distincte qui exerce une activité de trustee. L'existence de ce mot ne semble pas suffisante pour exclure le risque d'une confusion dans le souvenir des clients potentiels. A titre de comparaison, on peut relever que la jurisprudence a admis l'existence d'un risque de confusion entre les raisons « Archplan Willisau AG » et « Archplan AG » (arrêt 4C.90/1993 du 9 juin 1993 publié in SMI 1994 III p. 279), ainsi qu'entre les raisons « Reis AG Russikon » et « Reiss AG » (arrêt 4C.202/1991 du 1er novembre 1991 publié in SMI 1993 II p. 259).
Même s'il est vrai que les deux raisons utilisent des termes génériques, il faut relever qu'elles s'adressent aux mêmes clients potentiels, qu'elles exercent leur activité dans la même ville et qu'elles ont même des locaux très proches l'une de l'autre. Ces circonstances justifient, selon la jurisprudence déjà citée, d'exiger une distinction nette entre les deux raisons sociales. Si l'on introduit la raison sociale de la recourante (Swiss Trustees SA) sur le site de Telsearch.ch, on obtient exclusivement le numéro de téléphone de l'intimée. Si l'on introduit cette même raison sociale sur le site de Google.ch, on obtient en première ligne des informations sur l'intimée. Que les personnes chargées de classer avec soin les données dans ces deux moteurs de recherche aient fait la confusion constitue un indice corroboratif sérieux que le risque de confusion existe.
En accueillant la demande, la cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral.
2.5 Il résulte des considérants qui précèdent que le recours doit être rejeté.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 8 octobre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Piaget