Sachverhalt:
Die IV-Stelle des Kantons Aargau stellte fest, der 1949 geborene, bis zu einem Unfall im Dezember 2004 als Fassadenisoleur und nebenberuflich als Hauswart erwerbstätige V._ sei in der Zeit vom 9. Dezember 2005 (Ablauf der Wartefrist) bis 8. Juni 2010 zu 30 Prozent invalide gewesen; für die Folgezeit ermittelte sie einen Invaliditätsgrad von 38 Prozent. Demgemäss verneinte die Verwaltung den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 11. November 2010).
Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 17. August 2011).
V._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei ihm, unter Aufhebung von vorinstanzlichem Entscheid und strittiger Verfügung, mit Wirkung ab Dezember 2005 eine Viertelsrente auszurichten. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Strittig ist, ob die Vorinstanzen im Rahmen des Einkommensvergleichs zur Invaliditätsbemessung (<ref-law>) das Valideneinkommen (hypothetisches Gehalt ohne Gesundheitsschaden) richtig eingeschätzt haben.
2.1 Für die Bemessung des Valideneinkommens ist entscheidend, was die versicherte Person im massgebenden Zeitpunkt des Rentenbeginns (vgl. <ref-ruling>) nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdienen würde und nicht, was sie bestenfalls verdienen könnte. Die Ermittlung des Valideneinkommens muss so konkret wie möglich erfolgen. Da die bisherige Tätigkeit ohne Gesundheitsschaden erfahrungsgemäss fortgesetzt wird, ist in der Regel vom letzten Lohn auszugehen, der vor Eintritt der Gesundheitsschädigung erzielt wurde. Dieses Gehalt ist wenn nötig der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung anzupassen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 59).
2.1 Für die Bemessung des Valideneinkommens ist entscheidend, was die versicherte Person im massgebenden Zeitpunkt des Rentenbeginns (vgl. <ref-ruling>) nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdienen würde und nicht, was sie bestenfalls verdienen könnte. Die Ermittlung des Valideneinkommens muss so konkret wie möglich erfolgen. Da die bisherige Tätigkeit ohne Gesundheitsschaden erfahrungsgemäss fortgesetzt wird, ist in der Regel vom letzten Lohn auszugehen, der vor Eintritt der Gesundheitsschädigung erzielt wurde. Dieses Gehalt ist wenn nötig der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung anzupassen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 59).
2.2 2.2.1 Die Vorinstanz stellte fest, die Parteien seien sich darin einig, dass der Beschwerdeführer seine angestammte Tätigkeit eines Fassadenisoleurs bei der Firma R._ GmbH seit einem im Dezember 2004 erlittenen Unfall aus medizinischen Gründen nicht mehr ausüben kann. Hinsichtlich des Valideneinkommens führte das kantonale Gericht aus, aus wirtschaftlichen Gründen sei ungewiss, ob der zuletzt in einem (bis zum 31. Dezember 2004) befristeten Arbeitsverhältnis stehende Beschwerdeführer vom bisherigen Arbeitgeber weiterhin beschäftigt worden wäre; daher habe die IV-Stelle zu Recht auf ein statistisches Einkommen (Bundesamt für Statistik, Schweizerische Lohnstrukturerhebung [LSE] 2004, Baugewerbe) abgestellt. Dabei folgte das Gericht der Verwaltung auch darin, den Tabellenlohn anhand des Anforderungsniveaus 4 ("Einfache und repetitive Tätigkeiten") zu beziffern.
2.2.2 Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, das Valideneinkommen müsse anhand der Lohndaten der R._ GmbH festgelegt werden. Die Verwaltung sei in einem ersten - vor näheren medizinischen Abklärungen erfolgten - Vorbescheid vom 10. Juli 2007 denn auch so verfahren, dies im Gegensatz zur Verfügung vom 11. November 2010. In diesem Verwaltungsakt sei davon die Rede, es könne nicht auf den Lohn im Zeitpunkt des Unfalls bei der R._ GmbH abgestellt werden, weil der Beschwerdeführer nur noch in einem befristeten Arbeitsverhältnis gestanden sei und er sich gemäss einer Aussage gegenüber der SUVA ohne Unfallfolgen als Fassadenbauer voraussichtlich hätte selbständig machen wollen. Im Zeitpunkt des Unfalls sei er seit acht Jahren beim gleichen Arbeitgeber tätig gewesen. Dieser habe wegen der schlechten Auftragslage auf Ende 2003 sämtlichen Mitarbeitern gekündigt, um sie fortan in befristeten Arbeitsverhältnissen zu beschäftigen. Er habe indessen damit rechnen dürfen, im Jahr 2005 weiterbeschäftigt zu werden, zumal, wie sich aus den Akten der SUVA ergebe, der Betrieb ihn als guten Mitarbeiter eingeschätzt habe. Hinzu komme, dass die Verwaltung nach dem ersten Vorbescheid, in welchem sie vom aktuellen Einkommen bei der R._ GmbH ausgegangen sei, keine weiteren erwerbsbezogenen Abklärungen getätigt habe, welche den Wechsel in der Berechnungsweise rechtfertigen könnten.
2.2.2 Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, das Valideneinkommen müsse anhand der Lohndaten der R._ GmbH festgelegt werden. Die Verwaltung sei in einem ersten - vor näheren medizinischen Abklärungen erfolgten - Vorbescheid vom 10. Juli 2007 denn auch so verfahren, dies im Gegensatz zur Verfügung vom 11. November 2010. In diesem Verwaltungsakt sei davon die Rede, es könne nicht auf den Lohn im Zeitpunkt des Unfalls bei der R._ GmbH abgestellt werden, weil der Beschwerdeführer nur noch in einem befristeten Arbeitsverhältnis gestanden sei und er sich gemäss einer Aussage gegenüber der SUVA ohne Unfallfolgen als Fassadenbauer voraussichtlich hätte selbständig machen wollen. Im Zeitpunkt des Unfalls sei er seit acht Jahren beim gleichen Arbeitgeber tätig gewesen. Dieser habe wegen der schlechten Auftragslage auf Ende 2003 sämtlichen Mitarbeitern gekündigt, um sie fortan in befristeten Arbeitsverhältnissen zu beschäftigen. Er habe indessen damit rechnen dürfen, im Jahr 2005 weiterbeschäftigt zu werden, zumal, wie sich aus den Akten der SUVA ergebe, der Betrieb ihn als guten Mitarbeiter eingeschätzt habe. Hinzu komme, dass die Verwaltung nach dem ersten Vorbescheid, in welchem sie vom aktuellen Einkommen bei der R._ GmbH ausgegangen sei, keine weiteren erwerbsbezogenen Abklärungen getätigt habe, welche den Wechsel in der Berechnungsweise rechtfertigen könnten.
2.3 2.3.1 Soweit es bei der Invaliditätsbemessung um die Frage geht, welche Löhne an einer bestimmten Stelle bezahlt werden oder erreicht werden können, handelt es sich um Feststellungen tatsächlicher Natur, die letztinstanzlicher Korrektur nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> zugänglich sind. Vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage ist hingegen, welche hypothetischen Erwerbseinkommen im Rahmen des Einkommensvergleichs nach <ref-law> miteinander in Beziehung zu setzen sind, ob Tabellenlöhne anwendbar sind und (gegebenenfalls) welche die massgebende Tabelle ist (oben E. 1; <ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
2.3.2 Eine Situierung des im Jahr 2005 ohne Gesundheitsschaden erzielbaren Einkommens fällt nicht leicht. Allein schon deswegen ist es nicht bundesrechtswidrig, wenn die Beschwerdegegnerin im Nachgang zum Vorbescheid vom 10. Juli 2007 die Frage der Einschätzung des Valideneinkommens noch einmal neu prüfte. Der Versicherte erwarb vor seinem Unfall im Dezember 2004 - zuletzt seit Herbst 1997 als Fassadenisoleur beim gleichen Arbeitgeber - gute berufliche Kenntnisse. Fraglich ist, ob die vorinstanzliche Bemessung des Valideneinkommens aufgrund von Anforderungsniveau 4 der LSE ("Einfache und repetitive Tätigkeiten") damit vereinbart werden kann (vgl. E. 6.2 des angefochtenen Entscheids). Das Bundesgericht hat in einem ähnlichen Fall angenommen, dass auch ein Versicherter ohne qualifizierte Berufsausbildung, aber mit in langjähriger praktischer Tätigkeit erworbenem handwerklichem Geschick, auf Anforderungsniveau 3 ("Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt") einzustufen ist (Urteil 8C_439/2010 vom 13. Dezember 2010 E. 3.3.3). Anderseits hat es festgehalten, dass eine mehrjährige Berufserfahrung praxisgemäss zwar nicht ausser Acht zu lassen ist, heutzutage indessen in den meisten Berufssparten ein Abschluss oder zumindest (formalisierte) Aus- und Weiterbildungen verlangt werden, was hier dafür spricht, auf Anforderungsniveau 4 zurückzugreifen (Urteile 9C_837/2009 vom 23. Juni 2010 E. 3.4 und I 734/06 vom 8. Oktober 2007 E. 5.2).
Die SUVA hat für ihren Rentenentscheid auf konkrete Lohnprognosen des letzten Arbeitgebers abgestellt (vgl. den internen Bericht vom 9. Juni 2006 und die Zusammenfassung der Entscheidungsgrundlagen für die Rentenfestsetzung vom 24. Oktober 2006). Wie die Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig festgestellt hat, ist aufgrund der wirtschaftlichen Lage des Arbeitgebers fraglich, ob der (gesunde) Beschwerdeführer 2005 durch den angestammten Betrieb weiterbeschäftigt worden wäre. Somit entfallen jene konkreten Lohnangaben als Anknüpfungsgrösse für die Bezeichnung des Valideneinkommens (vgl. oben E. 2.1). Unter diesen Umständen ist es nicht bundesrechtswidrig, wenn die Vorinstanz zur Festlegung des Valideneinkommens - vom ersten Vorbescheid vom 10. Juli 2007 abweichend - auf den Zentralwert aller im Baugewerbe erzielten Löhne zurückgegriffen hat (LSE 2004, Tabelle A1). Das Valideneinkommen beträgt demnach, einschliesslich des hälftigen Entgelts für die mit der Ehefrau geteilte Nebenbeschäftigung von Fr. 1'900.-, auf das Jahr 2005 aufindexiert (Indexstände 2004: 1975, 2005: 1992) Fr. 62'977.- (Fr. 4'829.- : 40 x 41,8 [betriebsübliche wöchentliche Arbeitszeit im Bereich Baugewerbe 2005; Die Volkswirtschaft Nr. 11/2011 S. 94 Tab. B9.2] x 12).
Die SUVA hat für ihren Rentenentscheid auf konkrete Lohnprognosen des letzten Arbeitgebers abgestellt (vgl. den internen Bericht vom 9. Juni 2006 und die Zusammenfassung der Entscheidungsgrundlagen für die Rentenfestsetzung vom 24. Oktober 2006). Wie die Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig festgestellt hat, ist aufgrund der wirtschaftlichen Lage des Arbeitgebers fraglich, ob der (gesunde) Beschwerdeführer 2005 durch den angestammten Betrieb weiterbeschäftigt worden wäre. Somit entfallen jene konkreten Lohnangaben als Anknüpfungsgrösse für die Bezeichnung des Valideneinkommens (vgl. oben E. 2.1). Unter diesen Umständen ist es nicht bundesrechtswidrig, wenn die Vorinstanz zur Festlegung des Valideneinkommens - vom ersten Vorbescheid vom 10. Juli 2007 abweichend - auf den Zentralwert aller im Baugewerbe erzielten Löhne zurückgegriffen hat (LSE 2004, Tabelle A1). Das Valideneinkommen beträgt demnach, einschliesslich des hälftigen Entgelts für die mit der Ehefrau geteilte Nebenbeschäftigung von Fr. 1'900.-, auf das Jahr 2005 aufindexiert (Indexstände 2004: 1975, 2005: 1992) Fr. 62'977.- (Fr. 4'829.- : 40 x 41,8 [betriebsübliche wöchentliche Arbeitszeit im Bereich Baugewerbe 2005; Die Volkswirtschaft Nr. 11/2011 S. 94 Tab. B9.2] x 12).
2.4 2.4.1 Hinsichtlich des auf tabellarischer Grundlage zu ermittelnden Invalideneinkommens hat das kantonale Gericht festgestellt, es sei einer administrativgutachtlichen Einschätzung folgend von einer Arbeitsfähigkeit in adaptierter Tätigkeit von 80 Prozent auszugehen, indessen die - gemäss ihrem Vorgehen bei der Invaliditätsbemessung nicht entscheidende - Frage, wie sich dies zu früheren SUVA-kreisärztlichen Stellungnahmen verhalte, nicht abschliessend beantwortet. Nach gutachtlicher Beurteilung sind aus orthopädischer Sicht alle leichten Arbeiten ohne Heben und Tragen von Lasten über fünf Kilogramm und ohne Einsatz der Arme "oberhalb der Horizontalen" zumutbar, wobei ein vermehrter Pausenbedarf die Leistungsfähigkeit um 20 Prozent einschränke (Administrativgutachten des Begutachtungsinstituts X._, vom 10. August 2010, S. 20 und 22). Darauf kann auch für den hier interessierenden Zeitraum ab Dezember 2005 abgestellt werden, zumal der Kreisarzt der SUVA am 22. September 2006 festgehalten hatte, es gälten "Minimalpausen von 10 Min. pro Stunde Arbeit".
2.4.2 Zwischen dem vorinstanzlich angesetzten Invalideneinkommen von Fr. 39'344.- und dem Valideneinkommen in Höhe von Fr. 62'977.- besteht eine Differenz von 38 Prozent. Dieser Invaliditätsgrad ist nicht rentenbegründend (<ref-law>).
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; <ref-law>) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Markus Haas, Luzern, wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Dezember 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub