Sachverhalt:
A.
A._ (10. Mai 1968; Staatsangehöriger der Demokratischen Republik Kongo) reiste 1996 und 1998 illegal in die Schweiz ein und stellte jeweils ein Asylgesuch. Das erste wurde abgewiesen; auf das zweite trat das damalige Bundesamt für Flüchtlinge nicht ein. Vor Ablauf der Ausreisefrist heiratete A._ eine Schweizer Bürgerin (16. April 1999), weshalb er in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Die Ehe wurde 2007 geschieden.
B.
Am 20. April 2012 lehnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau (Migrationsamt) die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab; die kantonalen Rechtsmittel und auch die Beschwerde vor Bundesgericht (Verfahren 2C_613/2013) dagegen waren alle erfolglos. Am 27. Februar 2014 setzte das Migrationsamt A._ eine Ausreisefrist bis 31. März 2014; diese liess er ungenutzt verstreichen. In der Folge verfügte das Migrationsamt eine Ausschaffungshaft von drei Monaten ab 24. April 2014, 16.00 Uhr, was das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 28. April 2014 bestätigte.
Am 23. Mai 2014 trat das Bundesamt für Migration (BFM) auf ein Gesuch von A._ um vorläufige Aufnahme und um Aussetzung des Vollzugs der Wegweisung nicht ein. Da eine (zwangsweise) Zuführung von kongolesischen Staatsangehörigen bei der Botschaft in Bern damals und zur Zeit nicht möglich war bzw. ist und A._ bei der Organisation eines Termins bei der Botschaft zwecks Beschaffung notwendiger Papiere sich nicht kooperativ zeigte, verfügte das Migrationsamt am 14. Juli 2014 zunächst eine Durchsetzungshaft von vorläufig einem Monat ab 14. Juli 2014, 17.01 Uhr, danach am 4. August 2014 eine Verlängerung um weitere zwei Monate ab 12. August, 17.01 Uhr, was das Verwaltungsgericht am 16. Juli bzw. 6. August 2014 bestätigte.
Am 1. September 2014 stellte A._ beim BFM ein Asylgesuch. In der Folge (12. September 2014) wies dieses gestützt auf <ref-law> (SR 142.31) das Migrationsamt an, den Vollzug der Wegweisung, insbesondere die Beschaffung der Reisepapiere, zu unterlassen.
Am 18. September 2014 beantragte A._ beim Verwaltungsgericht Haftentlassung, da aufgrund der Weisung des BFM vom 12. September 2014 der Vollzug nicht mehr möglich sei. Das Haftentlassungsgesuch wies das Verwaltungsgericht am 26. September 2014 ab.
C.
Vor Bundesgericht beantragt A._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlicher Angelegenheit, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 26. September 2014 aufzuheben und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter stellt er mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde dieselben Anträge.
D.
Das Migrationsamt verzichtet auf eine Stellungnahme und beantragt Abweisung der Beschwerde; das Verwaltungsgericht beantragt vernehmlassungsweise Abweisung der Beschwerde. Das BFM hat eine Stellungnahme eingereicht. Der Beschwerdeführer hat sich nochmals geäussert.
E.
Mit Verfügung vom 7. Oktober 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen letztinstanzliche kantonale richterliche Entscheide betreffend die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c e contrario und <ref-law>). Dementsprechend ist auf die nebenbei erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (Art. 113 2. Halbsatz BGG). Der Beschwerdeführer ist gestützt auf <ref-law> zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert; auf das frist- (<ref-law>) und formgerecht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) eingereichte Rechtsmittel ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung schweizerischen Rechts gerügt werden (<ref-law>). Bei der Prüfung angeblich verletzten Bundes- und Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG) verfügt das Bundesgericht über volle Kognition und wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht zudem nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 8 S. 156). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 3.8 S. 144). Das Bundesgericht ist weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 2 S. 89 unten; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
2.
2.1. Hat eine Person ihre Pflicht zur Ausreise aus der Schweiz innerhalb der ihr angesetzten Frist nicht erfüllt und kann die rechtskräftige Weg- oder Ausweisung auf Grund ihres persönlichen Verhaltens nicht vollzogen werden, so kann sie, um der Ausreisepflicht Nachachtung zu verschaffen, in Haft genommen werden, sofern die Anordnung der Ausschaffungshaft nicht zulässig ist und eine andere mildere Massnahme nicht zum Ziel führt (Art. 78 Abs. 1 AuG).
Zweck der Durchsetzungshaft ist es, die ausreisepflichtige Person in jenen Fällen zu einer Verhaltensänderung zu bewegen, in denen nach Ablauf der Ausreisefrist der Vollzug der rechtskräftig gegen sie angeordneten Weg- oder Ausweisung - trotz entsprechender behördlicher Bemühungen - ohne ihre Kooperation nicht (mehr) möglich erscheint. Der damit verbundene Freiheitsentzug stützt sich auf Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK (Haft zur Sicherung eines schwebenden Ausweisungsverfahrens) und dient in diesem Rahmen der Erzwingung einer durch das Gesetz vorgeschriebenen Verpflichtung (Art. 5 Ziff. 1 lit. b EMRK). Die Durchsetzungshaft bildet das letzte Mittel, wenn und soweit keine andere Massnahme (mehr) zum Ziel führt, den illegal anwesenden Ausländer auch gegen seinen Willen in seine Heimat verbringen zu können. Sie darf - zusammen mit der bereits verbüssten Ausschaffungs- bzw. Vorbereitungshaft - maximal 18 Monate dauern (Art. 78 Abs. 2 i.V.m. Art. 79 AuG), muss aber in jedem Fall verhältnismässig sein. Innerhalb dieser Höchstdauer ist jeweils aufgrund der Umstände im Einzelfall zu prüfen, ob die ausländerrechtliche Festhaltung insgesamt (noch) geeignet bzw. erforderlich erscheint und nicht gegen das Übermassverbot verstösst (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 107; <ref-ruling> E. 2 S. 204 ff.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 96 ff.; Urteil 2C_1089/2012 vom 22. November 2012 E. 2.2 m.w.H.).
2.2. Nach Art. 78 Abs. 6 AuG wird die Haft beendet, wenn eine selbständige und pflichtgemässe Ausreise nicht möglich ist, obwohl die betroffene Person den behördlich vorgegebenen Mitwirkungspflichten nachgekommen ist (lit. a), oder die Schweiz weisungsgemäss verlassen (lit. b), die Ausschaffungshaft angeordnet (lit. c) oder einem Haftentlassungsgesuch entsprochen wird (lit. d).
Der Beschwerdeführer hat ein Haftentlassungsgesuch eingereicht. Für die Vorbereitungs- und die Ausschaffungshaft sieht Art. 80 Abs. 5 AuG vor, dass Gesuche um Haftentlassungen unter Beachtung bestimmter Fristen eingereicht werden können. Haftanordnung und Haftprüfung für die Durchsetzungshaft wird nicht in Art. 80, sondern in Art. 78 AuG geregelt. Dieser Artikel nennt die Modalitäten von Haftentlassungsgesuchen nicht, geht aber davon aus, dass solche Gesuche zulässig sind, denn nach Art. 78 Abs. 6 AuG wird die Haft beendet, wenn einem Haftentlassungsgesuch entsprochen wird. Haftentlassungsgesuche bei Durchsetzungshaft sind insofern nicht fristgebunden. Diese sich aus dem Wortlaut ergebende Auslegung macht auch teleologisch Sinn: Da mit der positiven Änderung des persönlichen Verhaltens der Zweck der Durchsetzungshaft erfüllt wird, muss im Falle der Untätigkeit der Administrativbehörde sich eine betroffene Person an den Richter wenden können (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 5 f.; Zünd, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli, Migrationsrecht, 3. Aufl. 2012, Art. 80 N 8 i.f.; grundlegend Andreas Zünd, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht: Verfahrensfragen und Rechtsschutz, AJP 1995, S. 854 ff., 863 f.; siehe auch Thomas Hugi Yar, § 10 Zwangsmassnahmen, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser, Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, S. 519 Spalte "Durchsetzungshaft").
2.3.
2.3.1. Das richterliche Prüfprogramm bei einem Entlassungsgesuch ist mit jenem bei der Haftanordnung bzw. -verlängerung identisch ( HUGI YAR, a.a.O., Rz. 10.33). Insofern ist zu prüfen, ob die Voraussetzungen der Durchsetzungshaft weiterhin gegeben sind.
2.3.2. Mit der Durchsetzungshaft soll nach Art. 78 Abs. 1 AuG "der Ausreisepflicht Nachachtung [...] verschaff[t werden]". Der Beschwerdeführer hat ein Asylgesuch gestellt; damit entfällt nach <ref-law> die Verpflichtung zur Ausreise; der Ausländer ist berechtigt, bis zum Abschluss des Verfahrens in der Schweiz zu verbleiben. Damit aber kann und darf der Zweck der Durchsetzungshaft, bei der Ausreise mitzuwirken, nicht mehr zwangsweise verfolgt werden. Das ergibt sich auch aus der Anordnung, welche das Bundesamt an die Adresse des kantonalen Migrationsamtes gerichtet hat. Wohl ist der Beschwerdeführer auch nach Stellung des Asylgesuchs nicht verpflichtet, in der Schweiz zu bleiben, sondern es ist ihm unbenommen, freiwillig auszureisen. Dass er diese Möglichkeit hat, ändert aber - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - nichts daran, dass es nicht zulässig ist, Zwangsmittel einzusetzen, um ihn zur Zusammenarbeit mit einem potentiellen Verfolgerstaat und gestützt darauf zur Ausreise zu bewegen.
2.3.3. Art. 75 Abs. 1 lit. f AuG sieht vor, dass wer sich rechtswidrig in der Schweiz aufhält, ein Asylgesuch einreicht und damit offensichtlich bezweckt, den drohenden Vollzug der Wegweisung zu vermeiden, in Vorbereitungshaft genommen werden kann. Es wäre deshalb insoweit naheliegend, anstelle der Durchsetzungshaft die Vorbereitungshaft anzuordnen, soweit deren Voraussetzungen erfüllt sind. Nun hat allerdings das Bundesgericht bei der Ausschaffungshaft deren Fortsetzung für einen Ausländer, der sich darin befindet und ein Asylgesuch stellt, für zulässig erachtet, wenn mit dem Abschluss des Asylverfahrens und dem Vollzug der Wegweisung alsbald gerechnet werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 380; Urteile 2C_403/2008 vom 29. Mai 2008 E. 2; 2C_270/2008 vom 11. April 2008 E. 2.2; 2C_204/2008 vom 10. März 2008 E. 2.2). Es fragt sich, ob sich diese Rechtsprechung auch auf die Durchsetzungshaft übertragen lässt.
2.3.4. Dies ist nicht möglich. Die Ausschaffungshaft ist zulässig, wenn ein erstinstanzlicher Wegweisungsentscheid ergangen ist; dieser muss weder in Rechtskraft erwachsen noch vollstreckbar sein. Es genügt, dass mit der Haft der Vollzug sichergestellt werden kann, sobald die Wegweisung in Rechtskraft erwachsen wird. Stellt der in Haft befindliche Ausländer ein Asylgesuch, so hindert dies den Vollzug der Wegweisung bis zum Abschluss dieses Verfahrens, lässt aber nicht notwendig die Haftvoraussetzungen der Ausschaffungshaft dahinfallen. Bei der Durchsetzungshaft verhält es sich - wie dargelegt - anders: Stellt der Ausländer während der Durchsetzungshaft ein Asylgesuch, fällt der Haftzweck der Durchsetzungshaft, die zudem nur angeordnet werden kann, wenn eine rechtskräftige und vollstreckbare Wegweisungsentscheidung vorliegt und der Ausländer die Möglichkeit gehabt hat, selbständig auszureisen, gestützt auf den Umstand, dass während des Asylverfahrens eine Kontaktnahme mit dem potentiellen Verfolgerstaat grundsätzlich nicht mehr verlangt werden kann (Art. 42 und 97 AsylG), dahin.
2.3.5. Die Aufrechterhaltung der Durchsetzungshaft ist demnach nicht mehr zulässig. Dies ergibt sich im Übrigen auch daraus, dass die Vorinstanz nicht damit rechnet, dass das Asylgesuch alsbald behandelt sein wird, geht sie doch von einigen wenigen, höchstens ungefähr acht Monaten aus, welche das Asylverfahren beanspruchen wird (angef. Entscheid E. 2.2.3). Zu prüfen jedoch ist, ob - wie das Migrationsamt an der Haftrichterverhandlung eventualiter beantragt hat - die Haftvoraussetzungen der Vorbereitungshaft gegeben sind. Es rechtfertigt sich nicht, dass das Bundesgericht darüber selber entscheidet. Vielmehr ist die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese hat dabei die Frist von 96 Stunden (Art. 80 Abs. 2 AuG) und die weiteren Verfahrensanforderungen, insbesondere die mündliche Verhandlung, wo der Beschwerdeführer auch seine in der Beschwerde und in seiner späteren Eingabe vorgebrachten Argumente einbringen kann, zu beachten. Die Frist beginnt mit Zustellung des bundesgerichtlichen Entscheids bei der Vorinstanz.
3.
Dementsprechend ist die Beschwerde im Sinne der Erwägungen gutzuheissen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Prüfung der Voraussetzungen der Vorbereitungshaft an dieses zurückzuweisen. Gerichtskosten sind nicht zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Da in öffentlichen Sachen kein Anwaltszwang besteht (<ref-law> e contrario), wird der Kanton Thurgau teilweise entschädigungspflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen gutgeheissen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 26. September 2014 aufgehoben und die Sache zur Prüfung der Voraussetzungen der Vorbereitungshaft an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. November 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Errass