Sachverhalt:
A. Die am 18. Juli 2001 geborene A._ ist die Tochter von X._ (geb. 1963) und B._ (geb. 1946). In der am 14. August 2006 erfolgten Scheidung wurde die elterliche Sorge der Mutter zugeteilt. Danach wohnte A._ bei ihrer Mutter und deren vormaligen Ehegatten C._. Im Herbst 2007 ging X._ eine Beziehung mit dem aus Libyen stammenden D._ ein. In der Folge wandte sie sich vertieft dem muslimischen Glauben zu. Sie entschied sich u.a. zum Tragen der Burka und hielt ihre Tochter an, in der Primarschule eine Kopfbedeckung (Hijab) zu tragen. Im Mai 2009 zog X._ zusammen mit ihrer Tochter zu D._ nach Y._.
B. Ab Januar 2010 kam es zu wiederholten Meldungen des Vaters an die Vormundschaftsbehörde Y._. Der Vater brachte seine Sorge um das Wohlergehen seiner Tochter zum Ausdruck. Er warf der Mutter vor, ihre Tochter ungenügend zu betreuen. Wiederholt sei die Mutter ins Ausland verreist und niemand habe gewusst, wo sie sich aufhalte und wann sie zurückkehre. Auch C._ meldete sich bei der Vormundschaftsbehörde. Er berichtete von den wirtschaftlichen Schwierigkeiten von X._ und davon, dass ihre Beziehung zu D._ von häuslichen Gewaltszenen geprägt sei und zu einer starken religiösen islamischen Ausrichtung geführt habe. A._ leide stark darunter. An Weihnachten 2009 sei die Mutter nach E._ gereist, ohne dass die Betreuung von A._ gesichert gewesen sei. Ende Mai 2011 wurde schliesslich die Lehrerin von A._ bei der Vormundschaftsbehörde vorstellig. Sie teilte dieser mit, A._ habe ihr gegenüber erklärt, dass sie es bei ihrer Mutter nicht mehr aushalte.
C. Im Zuge der von der Vormundschaftsbehörde veranlassten Abklärungen durch das Jugendsekretariat fand am 17. Juni 2011 ein Gespräch mit A._ statt. Dabei wiederholte sie, dass sie Angst habe, äusserte Suizidgedanken und weigerte sich strikt, zur Mutter zurückzukehren. In einem Zwischenbericht hielt das Jugendsekretariat fest, dass die Aussagen des Kindes auf eine Gefährdung des Kindeswohls hindeuteten, was seine psychosoziale Entwicklung und physische Unversehrtheit betreffe. Die Tiefe des Konflikts zwischen den Eltern, der Umgang mit der fundamental gelebten Religion der Mutter und das Auseinanderdriften der Lebenswelten der Eltern scheine das Kind in traumatisierendem Masse zu überfordern. In Absprache mit der Vormundschaftsbehörde wurde A._ daher am 17. Juni 2011 notfallmässig in einer SOS-Pflegefamilie untergebracht.
D. D.a Mit Beschluss vom 24. Juni 2011 hob die Vormundschaftsbehörde Y._ im Rahmen superprovisorischer Massnahmen die mütterliche Obhut über A._ auf und errichtete eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB. Nach Anhörung beider Elternteile und einem Gespräch mit A._ bestätigte die Behörde diese Massnahmen. Der entsprechende Beschluss vom 7. Juli 2011 blieb unangefochten.
D.b Ende Oktober 2011 gingen bei der Vormundschaftsbehörde der Abklärungsbericht des Jugendsekretariates Y._ sowie eine diesen ergänzende kinderpsychologische Abklärung ein. Beide Berichte stellen im Ergebnis eine belastete und das Kind belastende Beziehung zu den Eltern fest, weil die Trennung der Eltern unverarbeitet sei und A._ die Mutter für die damit verbundenen Wechsel des Umfelds verantwortlich zu machen scheine. Vordergründig klar werde vom Kind eine eindeutige räumliche Distanzierung von der Mutter gewünscht. Gleichzeitig zeige sich auf emotionaler Ebene aber das Bedürfnis nach Unternehmungen mit der Mutter. Das Jugendsekretariat anerkannte zwar grundsätzlich die Fähigkeit der Mutter zur Pflege der Tochter, hielt allerdings fest, die Mutter sei den Erziehungsfragen und kommenden Themen unter anderem aufgrund der Widerstände der Tochter nicht gewachsen. Daraus würden gegenseitige Verletzungen resultieren. In der Folge wurde die therapeutische Begleitung von A._ an die Kinder- und Jugendpsychiaterin Dr. med. F._ delegiert. Ferner wurde A._ über die Beiständin bei der Sozialpädagogischen Lebensgemeinschaft (Frau G._) in H._ umplatziert.
D.c Mit Beschluss vom 14. Februar 2012 nahm die Vormundschaftsbehörde Y._ formell Kenntnis von A._s Umplatzierung und traf die folgende auszugsweise wiedergegebene Regelung der Besuchs- bzw. Kontaktrechte:
"[...]
2. Die Mutter, X._, geb 1963, von I._, wird vorläufig berechtigt erklärt,
a) A._ alle drei Wochen für zwei Stunden, nach Organisation und Festlegung der Besuchsmodalitäten durch die Beiständin, begleitet zu sehen;
b) A._ wöchentlich, Mittwoch abends, in der Sozialpädagogischen Lebensgemeinschaft H._ anzurufen.
[...]
6. Die Beiständin nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB erhält im Rahmen der besonderen Befugnisse die zusätzlichen Aufträge,
a) den Besuchskontakt von A._ zur Mutter gemäss Dispositiv Ziffer 2 sowie in Berücksichtigung der Erwägungen der Vormundschaftsbehörde zu organisieren, sowie nach Rücksprache mit der Therapeutin und den weiteren involvierten Fachpersonen die Kontaktzeit sowie -häufigkeit, nach Massgabe vom Wohl von A._, auszudehnen;
[...]
c) den durch die Therapeutin von A._, Dr. med. F._, Y._, erstellten Bericht zur Entwicklungsabklärung von A._ an die Vormundschaftsbehörde weiterzuleiten sowie eine schriftliche Einschätzung der Therapeutin zur weiteren Besuchskontaktsituation sowie betreffend den allfälligen weiteren therapeutischen Bedarf von A._ sowie ihren Eltern, einzuholen;
d) zuhanden der Vormundschaftsbehörde bis spätestens 30. April 2012 Bericht zur Situation von A._ zu erstatten und gleichzeitig Antrag für die weitere Ausgestaltung des Besuchs- und Ferienrechts von A._ zu ihren Eltern zu stellen.
e) der ordentliche Berichtstermin - 30. Juni 2013 - bleibt unverändert.
[...]"
E. X._ beschwerte sich am 27. Februar 2012 beim Bezirksrat Y._ gegen Dispositiv-Ziffer 2/a des Beschlusses vom 14. Februar 2012. Sie beantragte, ihre Tochter jedes zweite Wochenende unbegleitet zu sich auf Besuch nehmen zu können. Eventuell sei sie für berechtigt zu erklären, A._ jede zweite Woche für drei Stunden unbegleitet zu sich auf Besuch zu nehmen. Der Bezirksrat wies die Beschwerde am 29. Juni 2012 ab. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Berufung ab und bestätigte den Beschluss des Bezirksrats (Urteil vom 8. November 2012).
F. Gegen dieses Urteil reichte X._ (im Folgenden: Beschwerdeführerin) am 14. Dezember 2012 Beschwerde in Zivilsachen und eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde ein. Sie beantragt, das Urteil vom 8. November 2012 des Obergerichts des Kantons Zürich vollumfänglich aufzuheben und sie in Abänderung von Ziffer 2/a des Beschlusses der Vormundschaftsbehörde der Stadt Y._ vom 14. Februar 2012 für berechtigt zu erklären, ihre Tochter jedes zweite Wochenende unbegleitet zu sich auf Besuch zu nehmen. Eventualiter sei sie in Abänderung von Ziffer 2/a des erwähnten Beschlusses für berechtigt zu erklären, ihre Tochter jede zweite Woche für drei Stunden unbegleitet zu sich auf Besuch zu nehmen. Subeventualiter verlangt die Beschwerdeführerin, das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zur Begründung ihrer Anträge legt die Beschwerdeführerin zusätzliche Schreiben von Bekannten und Zeichnungen ihrer Tochter vor. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin ausserdem um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt, wohl aber die Akten der Vorinstanz beigezogen worden.

Erwägungen:
1. Angefochten ist binnen Frist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid im Bereich des Kindesschutzes (Art. 75 Abs. 1, 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 7 und 100 BGG in der bis zum 31. Dezember 2012 gültigen Fassung). Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit gegeben. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) ist nicht einzutreten.
2. Der Rechtsmittelbelehrung des Obergerichts zufolge soll der angefochtene Entscheid ein Entscheid über vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> sein. Das würde bedeuten, dass die Beschwerdeführerin nur die Verletzung verfassungsmässiger Recht rügen kann. Die vorinstanzliche Beurteilung der Rechtslage ist nicht richtig.
2.1 Wohl kann <ref-law> auch Massnahmen erfassen, die losgelöst von einem Hauptverfahren angeordnet wurden. Voraussetzung ist aber, dass die Massnahme in zeitlicher Hinsicht einen bloss vorübergehenden Charakter aufweist, das in Frage stehende Rechtsverhältnis also lediglich vorläufig regelt (Urteil 4A_640/2009 vom 2. März 2010 E. 3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Diese Voraussetzung ist etwa dann erfüllt, wenn die zuständige Behörde den persönlichen Verkehr zwischen Mutter und Kind für eine genau bestimmte Höchstdauer sistiert und ausdrücklich anordnet, dass die Situation nach Ablauf der Frist neu zu beurteilen sei (Urteil 5A_523/2012 vom 12. Oktober 2012 E. 1.3). Anders verhält es sich im vorliegenden Fall. Zwar verpflichtet die Vormundschaftsbehörde in ihrem Beschluss vom 14. Februar 2012 die eingesetzte Beiständin, der Vormundschaftsbehörde "bis spätestens 30. April 2012 Bericht zur Situation von A._ zu erstatten und gleichzeitig Antrag für die weitere Ausgestaltung des Besuchs- und Ferienrechts ... zu stellen" (s. Sachverhalt Bst. D.c). Zumindest implizite behält sich die Vormundschaftsbehörde damit vor, die getroffene Regelung später je nach Entwicklung der Situation abzuändern. Allein damit geht die zitierte Anordnung aber nicht über das hinaus, was schon von Gesetzes wegen gilt, nämlich dass die Kindesschutzmassnahmen der neuen Lage anzupassen sind, wenn sich die Verhältnisse verändern (<ref-law> ). Insbesondere lässt sich die streitige Anordnung nicht dahin gehend verstehen, dass die Begleitung als besondere Modalität des Besuchsrechts nach Eingang des Berichts ohne Weiteres dahinfiele. Mithin ist angesichts der getroffenen Anordnungen letztlich nicht absehbar, wie lange das "vorläufig" angeordnete begleitete Besuchsrecht konkret gelten soll. Ebenso wenig ist ersichtlich, dass der angefochtene Entscheid nur eine von mehreren im Verfahren aufgeworfenen Fragen regeln würde, ein Entscheid über andere Begehren noch ausstünde und die streitige Anordnung aus diesem Grund lediglich vorsorglicher Natur wäre.
2.2 Nach dem Gesagten betrifft der angefochtene Entscheid keine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law>. Das bedeutet, dass in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig sind. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Demgegenüber legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin kann die Feststellung des Sachverhalts nur rügen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Will die Beschwerdeführerin die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten, so muss sie darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden. Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (s. <ref-ruling> E. 2.4 S. 466 f.). Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, dass das vorinstanzliche Urteil willkürlich sei oder ihre verfassungsmässigen Rechte verletze, gilt ausserdem das Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.1 S. 246; <ref-ruling> E. 4.1 S. 588 f.).
3. Gegenstand des vorinstanzlichen Urteils ist einzig der Beschluss des Bezirksrats Y._ vom 29. Juni 2012, nicht hingegen die späteren Probleme bei der Ausübung des Besuchsrechts, die u.a. darin mündeten, dass der Beschwerdeführerin ein Hausverbot auferlegt wurde und weitere Besuche unterblieben. Sie sind Gegenstand eines neuen Verfahrens, das auf eine Anpassung bzw. Abänderung des Beschlusses der Vormundschaftsbehörde vom 14. Februar 2012 zielt.
Neu unterbreitet die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht sodann verschiedene Zeichnungen und Schriftstücke. Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Zumindest das Schreiben von C._ vom 19. November 2012 ist erst nach dem angefochtenen Entscheid des Obergerichts entstanden. Als echtes Novum ist das Schreiben unbeachtlich (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Was die anderen, nicht datierten Beweisstücke angeht, macht die Beschwerdeführerin geltend, die Voraussetzung gemäss <ref-law> sei erfüllt, weil sie, der Vater und das Kind vor dem Obergericht erneut angehört worden seien. Inwiefern die neuen Dokumente mit diesen Anhörungen in einem Zusammenhang stünden, zeigt die Beschwerdeführerin indessen nicht auf und ist auch nicht ersichtlich. Auch diese Urkunden kann das Bundesgericht daher nicht berücksichtigen.
4. Die Beschwerdeführerin beruft sich eingangs ihrer materiellen Beurteilung auf eine ganze Reihe verfassungsmässiger Rechte: auf <ref-law> (Diskriminierungsverbot), <ref-law> (Schutz vor Willkür und Wahrung von Treu und Glauben), <ref-law> (Recht auf Leben und auf persönliche Freiheit), <ref-law> (Recht auf Ehe und Familie) sowie <ref-law> (Glaubens- und Gewissensfreiheit). Sie unterlässt es aber, im Einzelnen aufzuzeigen, weshalb die Vorinstanz diese Bestimmungen missachtet haben soll. Damit genügt sie den Begründungsanforderungen nicht (E. 2.2) Auf die entsprechenden Vorwürfe ist deshalb nicht einzutreten. Dies gilt auch für die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Verstösse gegen Art. 8, 9 und 14 EMRK sowie Art. 9 Abs. 3 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (SR 107). Die erwähnten Bestimmungen bleiben immerhin insoweit beachtlich, als das ZGB verfassungs- und völkerrechtskonform auszulegen ist (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 72 f. und <ref-ruling> E. 2b/bb S. 449).
5. In der Sache wehrt sich die Beschwerdeführerin gegen die Dauer und die Modalitäten ihres Besuchsrechts. Dabei stützt sie sich auf <ref-law>, wonach auch Eltern ohne Obhut gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr mit ihrem Kind haben. Ihr Hauptantrag und ihr Eventualantrag zielen auf eine Ausweitung des Besuchsrechts in zeitlicher Hinsicht. Beiden gemeinsam ist die Forderung, das Besuchsrecht ohne Begleitung ausüben zu können. Im Folgenden wird in einem ersten Schritt geprüft, ob die Anordnung eines begleiteten Besuchsrechts rechtens ist. In einem zweiten Schritt wird der zeitliche Umfang des Besuchsrechts überprüft (unten E. 6).
5.1 Wird das Wohl des Kindes durch den persönlichen Verkehr gefährdet, üben die Eltern ihn pflichtwidrig aus, haben sie sich nicht ernsthaft um das Kind gekümmert oder liegen andere wichtige Gründe vor, so kann ihnen das Recht auf persönlichen Verkehr verweigert oder entzogen werden (<ref-law>). Das Wohl des Kindes ist gefährdet, wenn seine ungestörte körperliche, seelische oder sittliche Entfaltung durch ein auch nur begrenztes Zusammensein mit dem nicht obhutsberechtigten Elternteil bedroht ist. Als wichtige Gründe fallen beispielsweise Vernachlässigung, physische Misshandlungen und übermässige psychische Belastungen des Kindes in Betracht (5P.9/2005 vom 22. Februar 2005 E. 6.1). Anderseits ist zu berücksichtigen, dass das Besuchsrecht dem nicht obhutsberechtigten Elternteil um seiner Persönlichkeit willen zusteht und ihm daher nicht ohne wichtige Gründe ganz abgesprochen werden darf. Eine Gefährdung des Kindeswohls ist daher unter diesem Gesichtspunkt nicht leichthin anzunehmen. Sie kann nicht schon deswegen bejaht werden, weil beim betroffenen Kind eine Abwehrhaltung gegen den nicht obhutsberechtigten Elternteil festzustellen ist. Gewiss sind im Rahmen des Eltern-Kindverhältnisses die Einstellung und die Persönlichkeit des Kindes zu respektieren. Grundsätzlich untersteht das Kind aber der Autorität der Eltern; es schuldet ihnen Achtung und Gehorsam (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 407 f.).
Aus dem Gesagten folgt, dass Kindesschutzmassnahmen zur Erreichung ihres Ziels erforderlich sein müssen (Subsidiarität) und immer nur die mildeste Erfolg versprechende Massnahme anzuordnen ist (Proportionalität); diese soll die elterlichen Bemühungen nicht ersetzen, sondern ergänzen (Komplementarität; Urteil 5A_701/2011 vom 12. März 2012 E. 4.2.1 mit Hinweisen). Entsprechend darf die Vormundschaftsbehörde (seit dem 1. Januar 2013: Kindesschutzbehörde) gestützt auf <ref-law> ein begleitetes Besuchsrecht anordnen, dies aber nur dann, wenn ein unbegleitetes Besuchsrecht aller Voraussicht nach nicht zum Ziel führt. Welche Ordnung des persönlichen Verkehrs unter Berücksichtigung dieser Massstäbe angemessen ist, lässt sich nicht objektiv und abstrakt umschreiben, sondern entscheidet sich im konkreten Einzelfall nach richterlichem Ermessen (Urteil 5A_432/2011 vom 20. September 2011 E. 2.5; CYRIL Hegnauer, in: Berner Kommentar, 1997, N 61 zu <ref-law>). Es ist in erster Linie Aufgabe des kantonalen Sachgerichts, diese Interessenabwägung vorzunehmen. Bei deren Überprüfung auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung (Urteil 5A_701/2011 vom 12. März 2012 E. 4.2.1).
5.2 Die Vorinstanz hält die Beziehung zwischen der Beschwerdeführerin und ihrer Tochter aus verschiedenen Gründen für belastet. Diese Belastung resultiere nicht allein aus dem religiösen Wandel der Beschwerdeführerin. Eine wesentliche Rolle spiele ihre dominante Persönlichkeit. Die Beschwerdeführerin befasse sich höchst ungern, wenn überhaupt, mit einer anderen als der eigenen Sicht. Das vorhandene Mass an Egozentrik erschwere den Kontakt mit der Beschwerdeführerin und störe massiv die Beziehung zu ihrer Tochter. Hinzu komme die emotionale und zuweilen impulsive Art der Beschwerdeführerin, die sich in einem kaum zu stoppenden Redefluss äussere. Im Verhältnis zu ihrer Tochter beschreibt die Vorinstanz die Beschwerdeführerin als vereinnahmend. Daraus folgert die Vorinstanz mit dem Bezirksrat, dass nur ein begleitetes Besuchsrecht in Frage komme.
5.3 Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz in tatsächlicher Hinsicht vor, dass der geschilderte Sachverhalt auf einer "zurecht gerückten und kreierten Kindeswohlgefährdung" beruhe. In dieser allgemeinen Form genügt der Vorwurf den Begründungsanforderungen (E. 2.2) nicht. Mit dem blossen Aneinanderreihen von Superlativen ist weder Willkür noch sonst wie eine Bundesrechtswidrigkeit dargetan. Darauf kann nicht eingetreten werden. Ins Leere geht auch der Vorwurf, die Vorinstanz sei mit Blick auf einen anderslautenden Bericht von Frau G._ vom 5. Mai 2012 willkürlich zur Auffassung gelangt, dass das Kind selbst keinen unbegleiteten Kontakt zu seiner Mutter wünsche. Fakt ist, dass die Vertreterin des Kindes der Vorinstanz in dessen Namen beantragte, den Beschluss des Bezirksrats und damit das begleitete Besuchsrecht zu bestätigen. Vor diesem Hintergrund kann man es nicht als willkürlich bezeichnen, wenn die Vorinstanz zur Auffassung gelangte, dass die Tochter mit dem begleiteten Besuchsrecht einverstanden sei. Im Übrigen hat die Vorinstanz die ambivalente Haltung des Kindes ihrer Mutter gegenüber nicht verschwiegen. Schliesslich gilt es zu betonen, dass das mittlerweile zwölfjährige Kind zwar anzuhören und seine Meinung zu berücksichtigen ist. Die Verantwortung für den Entscheid, ob das Besuchsrecht mit oder ohne Begleitung ausgeübt wird, liegt aber bei der Vormundschaftsbehörde. Sie hätte daher das Recht und die Pflicht, auch gegen den Willen des Kindes auf einem begleiteten Besuchsrecht zu beharren, falls sie dies zum Wohl des Kindes für nötig erachtet. Dies gilt umso mehr, als Frau Dr. med. F._ in ihrem Bericht vom 16. Mai 2012 betonte, dass man den diesbezüglichen Entscheid nicht dem Kind überlassen dürfe.
5.4 Ohne Belang ist auch der Vorwurf der Beschwerdeführerin, dass die Behörden sie in die Enge getrieben bzw. in einer Art und Weise auf das Kind eingewirkt hätten, die dem Kindswohl nicht entspreche. Für die Anordnung von Kindesschutzmassnahmen ist unerheblich, auf welche Ursachen die Gefährdung zurückzuführen ist: Sie können in den Anlagen oder in einem Fehlverhalten des Kindes, der Eltern oder der weiteren Umgebung liegen. Desgleichen spielt keine Rolle, ob die Eltern ein Verschulden an der Gefährdung trifft (Urteil 5C.258/2006 vom 22. Dezember 2006 E. 2.1). Auch mit dem Argument, dass sie gegenüber dem Kind nie gewalttätig geworden sei, vermag die Beschwerdeführerin nichts auszurichten. Einschränkungen des persönlichen Verkehrs können ihren Grund erklärtermassen auch in einer psychischen Belastung für das Kind haben (E. 5.1).
5.5 Schliesslich beruft sich die Beschwerdeführerin auf die Glaubens- und Gewissensfreiheit (<ref-law> und Art. 9 EMRK) und erinnert an <ref-law>, wonach die Eltern über die religiöse Erziehung ihres Kindes verfügen, bevor dieses sein 16. Altersjahr zurückgelegt hat. Wohl steht dieses Recht auch jenen Eltern zu, denen - wie im Fall der Beschwerdeführerin - die Obhut, nicht aber die elterliche Sorge über ihr Kind entzogen wurde (<ref-ruling>, E. 1.2 S. 691 f.). Daher kann der blosse Umstand, dass der sorgeberechtigte Elternteil gegenüber seinem Kind religiöse Regeln durchsetzt, für sich allein genommen das Kindeswohl grundsätzlich nicht gefährden. Ob diese Maxime ohne Einschränkung auch dann gelten muss, wenn der betreffende Elternteil - wie hier - vom angestammten religiösen oder kulturellen Milieu der Familie Abstand nimmt bzw. sich mehr oder weniger unversehens einer anderen, aus der Sicht des Kindes fremden Glaubensgemeinschaft zuwendet, kann an dieser Stelle offenbleiben. Dass das Obergericht der Beschwerdeführerin ihre "ausgeprägte Zuneigung zu ihrer Religion" und die "Weitergabe ihrer muslimischen Werte an ihre Tochter" vorwirft, lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen. Soweit die Beschwerdeführerin das Gegenteil behauptet, genügt ihre Beschwerde den Anforderungen an eine rechtsgenügliche Rüge nicht (E. 2.2).
5.6 Nach dem Gesagten erweisen sich die Einwände, mit denen die Beschwerdeführerin die Rechtsmässigkeit der Überwachung des Besuchsrechts zu erschüttern versucht, als unbegründet. Die angeordnete Kindesschutzmassnahme hält vor Bundesrecht stand.
6. Bleibt es beim begleiteten Besuchsrecht, stellt sich schliesslich die Frage nach dem zeitlichen Umfang. Die Beschwerdeführerin möchte ihre Tochter jedes zweite Wochenende zu sich auf Besuch nehmen oder zumindest alle vierzehn Tage während dreier Stunden.
Auch bei der Festlegung von Besuchsdauer, -intervallen und -ort handelt es sich um typische Ermessensfragen (E. 5.2). Deren Beantwortung ist letztinstanzlicher Korrektur nur dort zugänglich, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung vorliegt (Urteil 8C_7/2012 vom 4. April 2012 E. 4.1 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin äussert sich lediglich zur Frage der angeordneten Überwachung des persönlichen Verkehrs. Hinsichtlich der zeitlichen und örtlichen Modalitäten des Besuchsrechts zeigt sie nicht im Einzelnen auf, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegen soll. Ob ihr Schriftsatz den Begründungsanforderungen von <ref-law> überhaupt genügt (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1), kann indes offenbleiben. Denn von einem Ermessensfehler kann schon deshalb keine Rede sein, weil der Beschluss der Vormundschaftsbehörde vom 14. Februar 2012 nur den minimalen Anspruch auf persönlichen Verkehr umschreibt und die Beiständin verpflichtet wird, sich für eine Ausdehnung der Besuchszeiten einzusetzen.
7. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bezirke Y._ und Z._ hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>). Wie den vorstehenden Ausführungen entnommen werden kann, konnte der Beschwerde von Beginn weg kein Erfolg beschieden sein, weshalb es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (<ref-law>) und das Gesuch entsprechend abzuweisen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bezirke Y._ und Z._, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und A._, vertreten durch Rechtsanwältin Annegret Lautenbach-Koch, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn