Sachverhalt:
A. Die 1971 geborene Z._, Mutter von drei Kindern (geboren 1990, 1992 und 2000), arbeitete zuletzt teilzeitlich als Küchenhilfe. Seit der Kündigung der Stelle durch die Arbeitgeberin auf Ende November 2002 geht sie keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Im Dezember 2002 meldete sie sich unter Hinweis auf den bei einem Treppensturz im März 2000 erlittenen Bänderriss am linken Fuss und in der Folge aufgetretene Rückenbeschwerden, ein Schmerzsyndrom sowie eine sehr schwere Depression bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Bern traf medizinische und erwerbliche Abklärungen und holte dabei unter anderem den Bericht der Hausärztin Dr. med. M._ vom 26. Mai 2003 ein, veranlasste spezialärztliche Abklärungen durch Dr. med. B._, Leitender Arzt des Zentrums für Psychiatrie und Psychotherapie des Spitals R._ (vgl. Bericht vom 13. Juli 2004) und durch Dr. med. H._, Spezialarzt für orthopädische Chirurgie (vgl. Bericht vom 27. Juli 2004), zog die Berichte des Neurologen Dr. med. O._ vom 28. September 2004 und der Klinik N._ vom 3. Mai 2004 bei, gab das Gutachten der Medizinischen Abklärungsstation am Spital X._ (MEDAS) in Auftrag, welches unter Mitwirkung von Fachärzten der Psychiatrie, Inneren Medizin und Neurologie am 21. Juli 2006 erstattet wurde und ersuchte den Psychiater des Regionalen Ärztlichen Dienstes um eine Stellungnahme. Mit Vorbescheid vom 18. September 2006 eröffnete sie Z._ die Abweisung des Leistungsbegehrens. Daran hielt sie mit Verfügung vom 20. November 2006 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 25. Juli 2007 ab.
C. Z._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde erheben mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die IV-Stelle zu verpflichten, ihr bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine Rente zuzusprechen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem lässt sie um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid betrifft Leistungen der Invalidenversicherung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Da sie zulässig ist (<ref-law>), kommt der gleichzeitig in der selben Rechtsschrift eingereichten (subsidiären) Verfassungsbeschwerde keine selbständige Bedeutung zu. Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte und von Völkerrecht kann auch mit der ordentlichen Beschwerde gerügt werden (Art. 113, 116 und 117 BGG in Verbindung mit <ref-law>). Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist daher nicht einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin erhebt verschiedene formelle Rügen und stützt sich dabei auf Art. 43, Art. 44 und Art. 61 ATSG, <ref-law>, Art. 6 EMRK und Art. 14 UNO-Pakt II.
2.1 Zunächst beanstandet sie, die Vorinstanz habe die Hausärztin Dr. med. M._ nicht zum Gesundheitszustand befragt, obwohl im vorinstanzlichen Verfahren ein Antrag auf Zeugenbefragung rechtzeitig gestellt worden sei. Damit sei ihr die Mitwirkung am Beweisergebnis ohne hinreichende Begründung verwehrt worden. Mit Verfügung vom 9. Mai 2007 hat das kantonale Gericht die Durchführung einer Instruktionsverhandlung unter Einvernahme von Frau Dr. med. M._ abgelehnt. Im Rahmen der materiellen Beurteilung hat es in antizipierter Beweiswürdigung, unter Mitberücksichtigung der Stellungnahmen von Frau Dr. med. M._, geschlossen, der medizinische Sachverhalt sei mit dem Gutachten der MEDAS umfassend abgeklärt worden und lasse sich zuverlässig beurteilen, weshalb keine weiteren medizinischen Abklärungen zu treffen seien. In einem solchen Vorgehen liegt kein Verstoss gegen das rechtliche Gehör gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 4b S. 94; <ref-ruling> E. 1d S. 162). Denn auf die Abnahme weiterer Beweise ist zu verzichten, wenn die von Amtes wegen vorzunehmenden Abklärungen die Verwaltung oder das Gericht bei pflichtgemässer Würdigung zur Überzeugung führen, ein bestimmter Sachverhalt sei als überwiegend wahrscheinlich zu betrachten und weitere Beweismassnahmen könnten an diesem feststehenden Ergebnis nichts mehr ändern. Ist der rechtserhebliche Sachverhalt auf Grund der verfügbaren Angaben und Einschätzungen mit dem massgebenden Beweisgrad nachgewiesen, sind die Zusammenhänge nicht noch in einer Zeugeneinvernahme zu klären.
2.2 Soweit die Versicherte mit ihrem Antrag auf Parteiaussage sinngemäss um Durchführung einer öffentlichen Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK ersucht, kann ihr nicht entsprochen werden. Der Grundsatz der Öffentlichkeit der Gerichtsverhandlung, wie er in Art. 6 Ziff. 1 EMRK statuiert ist, bedeutet eine Absage an jede Form geheimer Kabinettsjustiz. Durch die Anwesenheit der Öffentlichkeit an der Gerichtsverhandlung soll den am Prozess Beteiligten eine korrekte und gesetzmässige Behandlung gewährleistet werden. Darüber hinaus soll der allgemeinen Öffentlichkeit ermöglicht werden, Kenntnis davon zu erhalten, wie das Recht verwaltet und die Rechtspflege ausgeführt wird. Sie soll die Prozesse unmittelbar verfolgen und dadurch eine Kontrollfunktion wahrnehmen können. Demgemäss bezieht sich der Öffentlichkeitsgrundsatz sowohl auf die Parteiöffentlichkeit als auch auf die Publikums- und Presseöffentlichkeit (<ref-ruling> E. 3b S. 7, 119 V 375 E. 4b/bb S. 380, 119 Ia 99 E. 4a S. 104 mit Hinweisen). Hingegen beinhaltet der Öffentlichkeitsgrundsatz keinen Anspruch darauf, dass bestimmte Beweismittel öffentlich und in Anwesenheit der Parteien abgenommen werden (<ref-ruling> E. 7a S. 331). Die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung setzt daher im Sozialversicherungsprozess einen - im erstinstanzlichen Verfahren zu stellenden - Parteiantrag voraus, aus dem klar und unmissverständlich hervorgeht, dass eine konventionskonforme Verhandlung mit Publikum und Presseanwesenheit durchgeführt werden soll. Wird lediglich eine persönliche Anhörung oder Befragung, ein Parteiverhör, eine Zeugeneinvernahme oder die Durchführung eines Augenscheins verlangt, darf das Gericht daraus schliessen, dass es dem Antragsteller um die Abnahme bestimmter Beweismittel und nicht um die Durchführung einer Verhandlung mit Publikums- und Presseanwesenheit geht (<ref-ruling> E. 3a S. 55; Urteil 9C_559/2007 vom 17. Dezember 2007). Der Rechtsvertreter der Versicherten hat im vorinstanzlichen Verfahren um Durchführung einer öffentlichen Verhandlung ersucht. Der Instruktionsrichter teilte ihm mit unangefochten gebliebener Verfügung vom 9. Mai 2007 mit, dass der Antrag als Beweisantrag zu verstehen sei und es nicht notwendig erscheine, eine Instruktionsverhandlung unter Einvernahme von Frau Dr. med. M._ und der Beschwerdeführerin durchzuführen. In der Beschwerde an das Bundesgericht wird zum Ausdruck gebracht, dass eine bestimmte Beweisabnahme und nicht die Justizkontrolle anvisiert wird. Jedenfalls wird kein Rechtsbegehren gestellt, welches die von Art. 6 Ziff. 1 EMRK geschützte Kontrolle und Transparenz der Rechtsfindung durch Anwesenheit von Publikum und Presse an einer Gerichtsverhandlung bezweckte. Von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung kann daher abgesehen werden.
2.3 Mit Bezug auf das Gutachten der MEDAS vom 21. Juli 2006 macht die Beschwerdeführerin geltend, es seien ihr in Verletzung von <ref-law> und des Grundsatzes des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) nicht sämtliche daran beteiligten Fachärzte vorgängig bekannt gegeben worden. Der Mangel sei im vorinstanzlichen Verfahren nicht geheilt worden, da ihr im Rahmen des Instruktionsverfahrens keine Möglichkeit eingeräumt worden sei, sich nachträglich zu den Gutachtern zu äussern.
Muss der Versicherungsträger zur Abklärung des Sachverhalts ein Gutachten einer oder eines unabhängigen Sachverständigen einholen, so gibt er der Partei deren oder dessen Namen bekannt. Diese kann den Gutachter aus triftigen Gründen ablehnen und kann Gegenvorschläge machen (<ref-law>). Der Versicherten und ihrem Rechtsvertreter wurden die Namen von zwei mit ihr befassten Gutachter nicht rechtzeitig im Sinne dieser Bestimmung und der dazu ergangenen Rechtsprechung (vgl. <ref-ruling>) mitgeteilt. Eine mangelhafte Orientierung führt indessen nicht ohne weiteres zur Unverwertbarkeit der entsprechenden Abklärungsergebnisse. Der betroffenen Partei darf aus einer mangelhaften Eröffnung nur (aber immerhin) kein Nachteil erwachsen (Urteil U 145/06 vom 31. August 2007). Die Bekanntgabe der Namen dient dem Zweck, das Abklärungsverfahren der Sozialversicherer derart zu vereinheitlichen, dass dieses nicht im Nachhinein wegen formeller Mängel in Zweifel gezogen und das Gutachten nachträglich wegen gesetzlicher Ausstands- und Ablehnungsgründe in der Person des Gutachters als beweisuntauglich erklärt werden muss. Die Nichtbeachtung der Ausstandspflicht stellt in der Regel eine schwerwiegende Verletzung der Verfahrensvorschriften dar und hat deshalb ungeachtet der materiellen Interessenlage die Aufhebung des unter Mitwirkung einer ausstandspflichtigen Person gefassten Entscheids zur Folge (<ref-ruling> E. 7.3 S. 383; vgl. auch <ref-ruling>). Die Beschwerdeführerin hat zu keinem Zeitpunkt gesetzliche Ausstandsgründe genannt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6.5 S. 108), weshalb es sich als bundesrechtskonform erweist, dass die Vorinstanz das MEDAS-Gutachten nicht aus formellen Gründen aus dem Recht gewiesen hat. Inwiefern diesbezüglich eine Verletzung von Art. 6 EMRK und Art. 14 des UNO-Paktes II vorliegen soll, wird mit Blick auf die Rügepflicht nicht substanziiert dargelegt, sodass darauf nicht näher einzugehen ist.
3. Streitig ist der Gesundheitsschaden und das Ausmass der dadurch verursachten Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdeführerin. In diesem Zusammenhang rügt die Versicherte eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes mit der Begründung, die Beurteilung stütze sich einzig auf das widersprüchliche und unvollständige Gutachten der MEDAS.
3.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. zur auch unter der Herrschaft des BGG gültigen Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Bereich der Invalidenversicherung [<ref-law>] für die Ermittlung des Invaliditätsgrades nach <ref-law> <ref-ruling>). Zu den Rechtsverletzungen gemäss <ref-law> gehören namentlich die unvollständige (gerichtliche) Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen und die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (vgl. Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG). Der Untersuchungsgrundsatz weist enge Bezüge zum - auf Verwaltungs- und Gerichtsstufe geltenden - Grundsatz der freien Beweiswürdigung (Art. 61 lit. c in fine ATSG) auf. Die Beweiswürdigung betrifft eine Tatfrage, die das Bundesgericht lediglich auf offensichtliche Unrichtigkeit und Rechtsfehlerhaftigkeit hin zu überprüfen befugt ist. Ein Verzicht der Vorinstanz auf weitere Beweisvorkehren aufgrund antizipierter Beweiswürdigung hält dann nicht stand, wenn die Sachverhaltsfeststellung unauflösbare Widersprüche enthält oder wenn eine entscheidwesentliche Tatsache auf unvollständiger Beweisgrundlage - beispielsweise ohne Beizug des notwendigen Fachwissens unabhängiger Experten/Expertinnen, obwohl im Einzelfall unabdingbar - beantwortet wird. Demgegenüber ändern blosse Zweifel an der Richtigkeit der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung an deren Verbindlichkeitswirkung gemäss <ref-law> nichts (Urteil 9C_539/2007 vom 31. Januar 2008).
3.2 Das kantonale Gericht hat die für die Beurteilung der Streitsache massgebenden materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen, einschliesslich die Rechtsprechung zur nur ausnahmsweise invalidisierenden Wirkung von somatoformen Schmerzstörungen und Fibromyalgien (<ref-ruling> E. 4 S. 70 ff., 131 V 49 E. 1.2 S. 50 f., 130 V 352 ff. und 396 ff.) sowie zur Bedeutung ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 4 S. 261, <ref-ruling> E. 1 S. 158 f., je mit Hinweisen) und zu deren Beweiswert (<ref-ruling> E. 3 S. 352 ff., <ref-ruling> E. 1c S. 160 ff., je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1 S. 400) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Die Vorinstanz hat die Befunde und Diagnosen, wie sie in den von der IV-Stelle eingeholten Arztberichten und Gutachten enthalten sind, sowie die ärztlichen Einschätzungen der für die Beschwerdeführerin zumutbaren Arbeitsfähigkeit umfassend dargelegt. Dabei hat sie in Würdigung der gesamten Aktenlage - insbesondere gestützt auf das Gutachten der MEDAS vom 21. Juli 2006, worin mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit keine Diagnosen gestellt und ohne Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit chronische Nackenschmerzen mit Ausstrahlung in den Kopf bei degenerativen Veränderungen der HWS und im MRI gesicherter Diskushernie C 5/6 links mit eventuell zeitweiliger Irritation der Wurzel C 6 links, Treppensturz im März 2000 mit multiplen Prellungen sowie fibularer Bandruptur links ohne verbleibende Unfallfolgen und eine Somatisierungsstörung (ICD-10 F 45.0) und leichte depressive Episode (ICD-10 F 32.0) angeführt wurden - erkannt, dass die Versicherte in einer angepassten Tätigkeit (beispielsweise als Arbeiterin und Reinigungskraft) bei einer 10%igen Leistungseinschränkung (aus somatischer Sicht keine Tätigkeiten mit besonderer statischer Beanspruchung der HWS und Heben von Gewichten von mehr als 10 kg) voll arbeitsfähig ist. Sie hat auch im Einzelnen erörtert, welche Differenzen zwischen diesem Gutachten und den weiteren aktenkundigen medizinischen Unterlagen bezüglich Diagnose und Einschätzung der Arbeitsfähigkeit bestehen, dass und weshalb dem MEDAS-Gutachten, einschliesslich der psychiatrischen, neurologischen und internistischen Teilgutachten, welches sich mit den abweichenden Stellungnahmen der vorbeurteilenden Mediziner auseinandersetzte, volle Beweiskraft zukomme (<ref-ruling> E. 3 S. 352) und die davon abweichenden medizinischen Beurteilungen dessen nachvollziehbar begründete Schlussfolgerung nicht in Frage zu stellen vermöchten, wonach die psychischen Grundfunktionen nicht derart beeinträchtigt seien, dass die Versicherte unfähig wäre, Willenskräfte aufzubringen, um Hemmungen gegenüber einer Arbeitsleistung zu überwinden. Der von einer 100%igen Arbeitsunfähigkeit ausgehende Dr. med. B._ lege im Bericht vom 13. Juli 2004 nicht mit nachvollziehbarer Begründung dar, weshalb die psychischen Ressourcen es der Versicherten nicht erlauben würden, in vollem Umfang einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Die von der Hausärztin im Kurzbericht vom 26. Mai 2003 diagnostizierte schwere Depression finde in den fachmedizinischen Unterlagen keine Stütze. Von weiteren medizinischen Abklärungen, namentlich der beantragten neuropsychologischen Untersuchung, seien keine neuen Erkenntnisse zu erwarten.
4.2 Die vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen zum Gesundheitszustand und einer damit vereinbaren vollen Arbeitsfähigkeit bei einer Leistungseinbusse von 10 % aus körperlich-somatischen Gründen sind im Lichte der Akten und der Parteivorbringen weder offensichtlich unrichtig noch rechtsfehlerhaft. Da sich im Rahmen der freien, pflichtgemässen Würdigung der Beweise durch die Vorinstanz ein stimmiges und vollständiges Bild des Gesundheitszustandes ergab, welches nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit hinreichende Klarheit über den rechtserheblichen Sachverhalt vermittelt, verletzt der Verzicht auf Beweisweiterungen kein Bundesrecht. Dies gilt namentlich mit Bezug auf die anbegehrte neuropsychologische Abklärung, zumal sich in den medizinischen Unterlagen keine begründeten Anhaltspunkte für eine neuropsychologische Beeinträchtigung ergeben, was denn auch von der Beschwerdeführerin nicht behauptet wird. Laut psychiatrischem Zusatzgutachten der MEDAS vom 27. Juni 2006 konnte Dr. med. I._ keine Hinweise für Störungen höherer kognitiver Leistungen finden und auch Aufmerksamkeit, Konzentration und Gedächtnis bewegten sich im Normbereich, ebenso wie Denken, Sprache und Wahrnehmung. Das Gutachten der MEDAS beruht nicht nur auf den Vorakten, sondern auch auf eigener persönlicher Befragung und klinischen Untersuchungen. Es ist daher nicht ersichtlich und wird auch nicht substanziiert dargetan, welche neuen entscheidrelevanten Erkenntnisse eine Befragung der Hausärztin zur Krankengeschichte und zum persönlichen Eindruck bringen würden. Mit Blick auf die schlüssigen Darlegungen der Gutachter der MEDAS ist sodann nicht zu erkennen, inwiefern der Umstand, dass das kantonale Gericht diesem grössere Beweiskraft beigemessen hat als den davon abweichenden diagnostischen Angaben und Arbeitsfähigkeitseinschätzungen, einer offensichtlich unrichtigen Beweiswürdigung gleichkommen sollte.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 5b S. 372 mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Philip Stolkin, Freiburg, wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. März 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer