Sachverhalt:
A. Die 1963 geborene B._ war seit 1. Januar 2001 als Pflegeassistentin mit einem Beschäftigungsgrad von 40% beim Spital X._ tätig und dadurch bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 14. Juni 2004 erlitt sie einen Unfall, bei welchem ein Kleinlaster auf den von ihr gelenkten, stehenden PW auffuhr. Der gleichentags konsultierte Hausarzt Dr. med. Z._ diagnostizierte ein Akzelerationstrauma der HWS und bescheinigte vollständige Arbeitsunfähigkeit bis auf weiteres. Die Zürich richtete Taggelder aus und gewährte Heilbehandlung. Am 2. Juli 2004 nahm B._ ihre Arbeit wieder auf. Nachdem Dr. med. Z._ der Zürich am 18. März 2005 angezeigt hatte, dass die Versicherte praktisch beschwerdefrei sei, wurde der Fall abgeschlossen.
Am 15. Oktober 2007 meldete der Arbeitgeber einen Rückfall, nachdem B._ ihre Arbeit am 30. August 2007 wieder eingestellt hatte. Anlässlich der bereits vorher durch den Hausarzt veranlassten neurochirurgischen Abklärung hatte PD Dr. med. H._ im Bericht vom 21. August 2007 eine anhaltende radikuläre Reiz- und sensible Ausfallsymptomatik C6 links bei links paramedianer bis lateraler Diskushernie C5/6 und Status nach HWS Akzelerationstrauma vom 14. Juni 2004 diagnostiziert. Die Zürich verfügte am 13. November 2007, dass sie für die aktuellen Behandlungen nicht mehr leistungspflichtig sei und für die ab 31. August 2007 bestehende Arbeitsunfähigkeit keine Taggelder ausrichte. Zur Begründung führte sie im Wesentlichen aus, die heutigen Befunde, insbesondere auch die Diskushernie C5/6, könnten nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf das Unfallereignis vom 14. Juni 2004 zurückgeführt werden. An ihrem Standpunkt hielt die Zürich mit Einspracheentscheid vom 7. August 2008 fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 18. Dezember 2009 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ beantragen, ihr seien unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids die ihr gesetzlich zustehenden UV-Leistungen zuzusprechen, eventualiter sei die Angelegenheit zu ergänzenden medizinischen Abklärungen an die Zürich zurückzuweisen.
Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Unfall vom 14. Juni 2004, namentlich auf Taggeldzahlungen für die ab 31. August 2007 bestehende Arbeitsunfähigkeit sowie auf Gewährung von Heilbehandlung ab Mitte 2007. Dabei ist umstritten, ob die mit der Rückfallmeldung vom 15. Oktober 2007 geltend gemachten Beschwerden in einem rechtserheblichen Zusammenhang mit dem Unfallereignis stehen.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im Einspracheentscheid und im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt worden. Das betrifft namentlich den für einen Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen sowie bei Rückfällen und Spätfolgen im Besonderen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2c S. 296 f.) und die sich jeweils stellenden Beweisfragen. Richtig wiedergegeben ist auch die Rechtsprechung bezüglich Verursachung von Diskushernien durch einen Unfall (vgl. Urteil 8C_614/2007 vom 10. Juli 2008 E. 4.1; siehe auch SVR 2008 UV Nr. 36 S. 137 [8C_637/2007], je mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Die Zürich und die Vorinstanz haben das Vorliegen eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen den im Oktober 2007 als Rückfall gemeldeten Beschwerden und dem Unfallereignis vom 14. Juni 2004 verneint. Zur Begründung wurde im Wesentlichen ausgeführt, die rückfallmässig geltend gemachten Beschwerden in Form einer Cervikobrachialgie und Einsteifung der Halswirbelsäule seien gemäss Bericht des PD Dr. med. H._ vom 21. August 2007 vollumfänglich durch die erhobene Diskushernie C5/6 erklärbar und die Diskushernie wiederum sei nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf das Unfallereignis zurückzuführen.
3.2 Die vorinstanzliche Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Auseinandersetzung mit der medizinischen Aktenlage und einer überzeugend begründeten rechtlichen Würdigung. Was die Versicherte vorträgt, führt zu keinem andern Ergebnis. Namentlich verkennt sie, dass der Unfallversicherer bei der Leistungspflicht gemäss <ref-law> für Rückfälle und Spätfolgen nicht auf der Anerkennung des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhanges beim Grundfall und bei früheren Rückfällen behaftet werden kann, weil die unfallkausalen Faktoren durch Zeitablauf wegfallen können. Es obliegt - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin - vielmehr dem Leistungsansprecher, das Vorliegen eines natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhanges zwischen dem als Rückfall oder Spätfolge geltend gemachten Beschwerdebild und dem Unfall nachzuweisen. Nur wenn die Unfallkausalität mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt ist, entsteht eine erneute Leistungspflicht des Unfallversicherers. Dabei sind an den Wahrscheinlichkeitsbeweis umso strengere Anforderungen zu stellen, je grösser der zeitliche Abstand zwischen dem Unfall und dem Auftreten der gesundheitlichen Beeinträchtigung ist (SVR 2005 MV Nr. 1 S. 1, M 1/02 E. 1.2; RKUV 1997 Nr. U 275 S. 188, U 93/96 E. 1c am Ende; Urteil 8C_237/2009 vom 3. Juni 2009 E. 3.3).
3.3 Vorliegend wurde in einem MRI der HWS vom 25. Juli 2007 eine Diskushernie C5/6 bildgebend festgestellt, welche gemäss Bericht des PD Dr. med. H._ vom 21. August 2007 die rückfallmässig geltend gemachten Beschwerden vollumfänglich erkläre. Damit ist jedoch - wie das kantonale Gericht zutreffend darlegt - ein objektivierbarer Nachweis im Sinne der Rechtsprechung, dass es sich dabei um eine Folge des Unfalles oder eine durch den Unfall verursachte Verschlimmerung handeln würde, nicht gegeben und kann auch mittels weiterer Abklärungen mangels Dokumentierung des Vorzustandes der HWS nicht erbracht werden. Bezüglich Unfallkausalität erwähnte lediglich Dr. med. R._, im Rheumatologischen Konsilium vom 10. Dezember 2008, in Anbetracht des doch schweren Unfalls sei es durchaus denkbar, dass ein Anulusriss im Rahmen des Unfalls aufgetreten sei und sich möglicherweise die Diskushernie zeitlich verzögert vollständig ausgebildet habe. Dies kann jedoch mit der Vorinstanz und Beschwerdegegnerin - namentlich auch in Anbetracht der in E.2 hievor zitierten Rechtsprechung bezüglich Verursachung von Diskushernien durch Unfall - nicht als genügender Kausalitätsnachweis betrachtet werden, zumal Dr. R._ zu Unrecht von einem schweren Unfall ausgegangen und sein Verdacht von keinem andern Arzt bestätigt worden war. Auf die beschwerdeführerische Kritik an den medizinischen Abklärungen ist nicht weiter einzugehen und die letztinstanzlich neu eingereichten Urkunden vermöchten - soweit überhaupt die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt wären - nichts Entscheidrelevantes zu belegen.
4. Das kantonale Gericht hat sodann ergänzend dargelegt, dass auch die Prüfung der Adäquanzfrage - ausgehend von einem mittelschweren Unfall an der Grenze zu den leichten Unfällen oder höchstens von einem mittelschweren Unfall im engeren Sinn - negativ ausfiele. Den diesbezüglichen Erwägungen kann vollumfänglich beigepflichtet werden.
4.1 Mit dem kantonalen Gericht ist davon auszugehen, dass keine organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen vorliegen. Die 2007 bildgebend nachgewiesene Diskushernie ist - wie oben dargelegt - in Anbetracht der Unfallschwere rechtsprechungsgemäss nicht als unfallverursacht zu betrachten. Anlässlich der Erstkonsultation am 14. Juni 2004 klagte die Versicherte sodann über Kopf- und Nackenschmerzen und verneinte das Vorliegen von Schwindel, an welchem sie bereits vor dem Unfall gelitten hatte, von Übelkeit, Erbrechen und andern Symptomen. Das für ein Schleudertrauma typische Beschwerdebild mit einer Häufung von Beschwerden wie diffuse Kopfschmerzen, Schwindel, Konzentrations- und Gedächtnisstörungen, Übelkeit, rasche Ermüdbarkeit, Visusstörungen, Reizbarkeit, Affektlabilität, Depression, Wesensveränderung usw. (<ref-ruling> E. 6.2.1 S. 116) lag somit im Anschluss an das Unfallereignis nicht vor. Trotzdem wurde die Diagnose eines Akzelerationstrauma der HWS nie in Frage gestellt. Dass die Vorinstanz die Adäquanzprüfung nach der Schleudertraumapraxis gemäss <ref-ruling> vorgenommen hat, ist nicht zu beanstanden, zumal das Vorliegen eines adäquaten Kausalzusammenhangs auch in Anwendung dieser Praxis zu verneinen ist.
4.2 Das kantonale Gericht ist zu Recht von einem mittelschweren Unfall an der Grenze zu den leichten oder höchstens im mittleren Bereich ausgegangen. Dass ein Unfall im Grenzbereich zu den schweren Fällen vorliege, macht auch die Versicherte nicht geltend. Der adäquate Kausalzusammenhang ist bei einem Unfall im eigentlichen mittleren Bereich zu bejahen, wenn eines von den zur Beurteilung beizuziehenden Kriterien in besonders ausgeprägter Weise oder drei dieser Kriterien erfüllt wären (in Plädoyer 2/2010 S. 53 zusammengefasstes Urteil 8C_897/2009 vom 29. Januar 2010 [E. 4.5 mit Hinweisen]; <ref-ruling> E. 10 S. 126 ff.).
Die Vorinstanz ist zum Schluss gekommen, es seien höchstens und jedenfalls nicht in ausgeprägter Weise die Kriterien der erheblichen Beschwerden und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen erfüllt. Nach Auffassung der Versicherten sind fast alle Kriterien erfüllt.
4.2.1 Zu Recht nicht geltend gemacht wird das Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
4.2.2 Bezüglich Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls ist zu beachten, dass jedem mindestens mittelschweren Unfallereignis eine gewisse Eindrücklichkeit eigen ist, welche somit noch nicht für eine Bejahung des Kriteriums ausreichen kann (vgl. Urteil 8C_1020/2008 vom 8. April 2009 E. 5.2). Vorliegend handelt es sich um einen einfachen, von einem Kleinlaster auf einen stehenden Personenwagen verursachten Auffahrunfall, der sich innerorts zugetragen hat und bei dem nur geringer Personen- und Sachschaden entstanden ist. Eine besondere Dramatik der Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls ist nicht ersichtlich.
4.2.3 Das Kriterium der Schwere und besonderen Art der erlittenen Verletzungen liegt nicht vor. Es bedürfte hiefür einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können (<ref-ruling> E. 10.2.2 S. 127 f.). Daran fehlt es hier. Was die Versicherte vorträgt, rechtfertigt kein anderes Ergebnis. Namentlich fehlen, auch in den Berichten des behandelnden Arztes, Anhaltspunkte für eine beim Unfall eingenommene besondere Körperhaltung. Weitere Abklärungen hiezu lassen keinen verlässlichen neuen Aufschluss erwarten. Schliesslich liegt auch keine erhebliche Vorschädigung im Bereich der HWS vor (vgl. zum Erfordernis der Erheblichkeit einer Vorschädigung: SVR 2007 UV Nr. 1 S. 1 E. 3.3.2 [U 39/04]; Urteil 8C_724/2008 vom 18. Dezember 2008 E. 4.2.2), sondern wurde erst im Jahr 2007 eine Diskushernie bildgebend festgestellt.
4.2.4 Die Heilbehandlung bestand in erster Linie in Physiotherapie und Medikation. Eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung ist damit nicht gegeben. Praxisgemäss werden an dieses Kriterium deutlich höhere Anforderungen gestellt (vgl. etwa SVR 2009 UV Nr. 22 S. 80 E. 5.4 [8C_209/2008]; Urteil 8C_30/2009 vom 13. Mai 2009 E. 5.2.3).
4.2.5 Ohne weiteres zu verneinen ist auch das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen. Weder ist in den Akten ein Anhaltspunkt dafür ersichtlich noch vermag die geltend gemachte Operationsindikation die Bejahung des Kriteriums zu rechtfertigen.
4.2.6 Selbst für den Fall, dass die Kriterien der erheblichen Beschwerden und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (zur Begrifflichkeit: <ref-ruling> E. 10.2.4 S. 128 und E. 10.2.7 S. 129 f. mit Hinweisen) als erfüllt zu betrachten wären, reichte dies zur Adäquanzbejahung praxisgemäss nicht aus, da - wie das kantonale Gericht darlegt - jedenfalls keines in besonders ausgeprägter Weise und sicher nicht drei der Kriterien gegeben wären.
4.3 Zusammenfassend hat das kantonale Gericht zu Recht einen rechtserheblichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis vom 14. Juni 2004 und den im Oktober 2007 rückfallmässig geltend gemachten Beschwerden und damit die Leistungspflicht der Zürich verneint.
5. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (<ref-law>)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. September 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch