Sachverhalt:
A. Am 25. März 2007 verstarb B. X._ an seinem letztem Wohnsitz in C._. Er hinterliess als gesetzliche Erben seine Nachkommen A. X._, D. X._ und E. Y.-X._. D. X._ ersuchte das Bezirksgericht Andelfingen am 10. Mai 2007 um die Ausstellung von zehn Erbscheinen und fügte die erforderlichen Angaben zur Person des Erblassers und der gesetzlichen Erben bei. Daraufhin holte der Einzelrichter beim zuständigen Zivilstandsamt die Familienscheine des Erblassers sowie der gesetzlichen Erben ein. Seine Nachfrage beim Steueramt Andelfingen ergab in Bezug auf B. X._ für das Jahr 2005 die definitive Einschätzung des Einkommens auf Fr. 42'2000.-- und des Vermögens auf Fr. 828'000.-- und für das Jahr 2006 die provisorische Einschätzung des Einkommens auf Fr. 39'700.-- und des Vermögens auf Fr. 839'000.--. Mit Erbschein vom 28. Juni 2007 stellte der Einzelrichter fest, dass bisher keine Verfügung von Todes wegen zur amtlichen Eröffnung eingereicht und keine Ausschlagung der Erbschaft eingegangen sei, womit die Nachkommen von B. X._ gemäss den Auszügen aus dem Zivilstandsregister als die einzigen gesetzlichen Erben gelten. Die Kosten für die Erbscheine wurden auf insgesamt Fr. 1'047.-- festgelegt, bestehend aus einer Gerichtsgebühr von Fr. 643.--, einer Schreibgebühr von Fr. 189.-- und Auslagen von Fr. 215. --.
B. A. X._ gelangte gegen die Festsetzung der Gebühr für die Erbscheine mit einer als "Rekurs/Einsprache" bezeichneten Eingabe an das Obergericht des Kantons Zürich, welches diese als Kostenbeschwerde entgegennahm und mit Beschluss der Verwaltungskommission vom 15. Oktober 2007 abwies.
C. A. X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) ist gegen den obergerichtlichen Beschluss mit "Beschwerde wegen Verletzung von verfassungsmässigen Rechten bzw. Verletzung grundlegender rechtsstaatlicher Prinzipien" vom 9. November 2007 an das Bundesgericht gelangt. Er verlangt, der Kanton Zürich sei zu verpflichten, das Ausstellen von Erbscheinen der Exekutive zu übertragen. Übergangsrechtlich habe das Bundesgericht für den Kanton Zürich eine einheitliche Gebührenordnung für Erbscheine zu erlassen, welche dem tatsächlichen Aufwand Rechnung trage. Das Bezirksgericht Andelfingen schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die vom Bezirksgericht für die Ausstellung von zehn Erbscheinen erhobene Gebühr. Dabei handelt es sich um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (<ref-law>). Er beschlägt zudem eine vermögensrechtliche Angelegenheit, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen nur gegeben ist, soweit der Streitwert von Fr. 30'000.-- erreicht wird (<ref-law>). Dies ist offensichtlich nicht der Fall. Da der Beschwerdeführer nicht geltend macht, dass sich vorliegend eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist die Beschwerde in Zivilsachen auch aus dieser Sicht nicht zulässig (<ref-law>; zur Publikation bestimmtes Urteil 4A_47/2008 vom 29. April 2008, E. 1.3). Damit ist die Eingabe des Beschwerdeführers gegen den letztinstanzlich ergangenen Beschluss als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegen zu nehmen und zu beurteilen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>/ZH; <ref-law>).
1.2 Mit der hier zulässigen subsidiären Verfassungsbeschwerde können dem Bundesgericht lediglich die in <ref-law> genannten Beschwerdegründe vorgebracht werden. Da ihm als Rechtsmittelinstanz keine Aufsichtsfunktionen über die Vorinstanzen und keine gesetzgeberischen Kompetenzen zukommen, kann es ihnen, abgesehen von Fällen der Rechtsverzögerung, auch keine Anweisungen erteilen oder gar eine für sie verbindliche Gebührenverordnung erlassen. Soweit der Beschwerdeführer entsprechende Anordnungen an den Kanton Zürich verlangt und das Bundesgericht um eine Übergangsregelung ersucht, erweisen sich seine Begehren als unzulässig. Die gegen den obergerichtlichen Beschluss vom 15. Oktober 2007 gerichtete Beschwerde enthält keinen konkreten Antrag zur Sache (<ref-law>). Indes ergibt sich aus den Vorbringen des Beschwerdeführers, dass er die Höhe der für die Ausstellung der Erbscheine erhobenen Gebühr anficht.
2. Die Ausstellung eines Erbscheines stellt einen Akt der freiwilligen Gerichtsbarkeit dar (<ref-ruling> E. 1). Das kantonale Recht legt fest, welche Behörde hierfür zuständig ist. Es kann damit eine richterliche oder eine administrative Instanz betrauen (Martin Karrer, Basler Kommentar, ZGB II, 3. Aufl. 2007, N. 31 <ref-law> in Verbindung mit Art. 551-559 ZGB Vorbemerkungen N. 6). Im Kanton Zürich ist dies der Einzelrichter im summarischen Verfahren (<ref-law>/ZH). Der Beschwerdeführer beruft sich hiergegen auf das Prinzip der Gewaltenteilung, welches erfordere, dass der Erbschein von der Exekutive ausgestellt werde. Er macht indes keine Verletzung von kantonalem oder eidgenössischem Verfassungsrecht geltend, sondern begnügt sich mit der allgemeinen Anrufung des genannten Prinzips. Sein Hinweis auf die anderslautende Regelung in andern Kantonen ist in diesem Zusammenhang ohnehin unbehelflich. Mit diesen Vorbringen genügt er den Anforderungen an die rechtsgenügliche Begründung einer Beschwerde nicht (<ref-law>), womit offen bleiben kann, inwieweit sich ein Einzelner überhaupt auf das Prinzip der Gewaltenteilung berufen kann.
3. Nach ständiger Rechtsprechung darf eine Gebühr nicht in einem offensichtlichen Missverhältnis zum objektiven Wert der staatlichen Leistung stehen und muss sich in vernünftigen Grenzen halten. Der Wert der Leistung bemisst sich nach dem wirtschaftlichen Nutzen für den Pflichtigen oder nach dem Kostenaufwand der konkreten Inanspruchnahme im Verhältnis zum gesamten Aufwand des betreffenden Verwaltungszweigs. Es ist nicht erforderlich, dass die Gebühr in jedem Fall genau dem Verwaltungsaufwand entspricht, sie soll sich jedoch nach sachlich vertretbaren Kriterien bemessen und keine Unterscheidungen treffen, für die keine vernünftigen Gründe ersichtlich sind. Dabei darf innerhalb eines gewissen Rahmens auch der wirtschaftlichen Situation des Pflichtigen und dessen Interesse am abzugeltenden Akt Rechnung getragen werden. Dem Gemeinwesen ist es nicht verwehrt, mit den Gebühren für bedeutende Geschäfte den Ausfall in weniger aufwendigen Fällen auszugleichen (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen).
3.1 Nach Ansicht der Vorinstanz bewegt sich der angefochtene Kostenspruch im Rahmen der gebührenrechtlichen Grundsätze. Insbesondere sei die Berücksichtigung des Nachlasswertes gerechtfertigt, da der Erbschein als Legitimation gegenüber Amtsstellen und Vertragspartnern des Erblassers diene. Zudem hafte der Kanton für eine unrichtige Erbbescheinigung zufolge fehlerhafter oder unvollständiger Erbenermittlung. Wie bei der Tätigkeit der Notariate dürfe auch hier auf den Wert des zu beurkundenden Rechts abgestellt werden.
3.2 Demgegenüber will der Beschwerdeführer die Gebühr für die Ausstellung der Erbscheine im ganzen Kanton gleichmässig und aufgrund des tatsächlichen Aufwandes für die Verrichtung festgesetzt haben. Anlass zu seiner Kritik gibt das Total der Gebührenrechnung von Fr. 1'047.--, ohne dass er zu den einzelnen Positionen Stellung nimmt. Seinen allgemein gehaltenen Ausführungen fehlt zudem jede Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Beschluss und den massgeblichen gebührenrechtlichen Grundsätzen. Insbesondere nimmt er nicht Stellung zur Frage, inwieweit die wirtschaftliche Situation des Pflichtigen und sein Interesse an einer staatlichen Verrichtung bei der Bemessung einer Gebühr berücksichtigt werden darf. Mangels rechtsgenüglicher Begründung ist daher auf die Kritik am angefochtenen Beschluss nicht einzutreten (<ref-law>). Damit kann vorliegend nicht geprüft werden, ob die vom Beschwerdeführer kritisierte Berücksichtigung des Nachlasses im Einzelfall verhältnismässig ist und ob es sachgerecht ist, bereits bei der Erhebung einer Gebühr auf die allfällige Staatshaftung abzustellen.
4. Nach dem Gesagten ist der Beschwerde insgesamt kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett