Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer stand unter Beistandschaft gemäss <ref-law> (auf eigenes Begehren). Nachdem er um Aufhebung dieser Massnahme ersucht hatte, genehmigte der Stadtrat A._ Bericht und Rechnung des Beistands gestützt auf <ref-law>, hob die Beistandschaft auf und entliess den Beistand. Der Rat verpflichtete diesen, eine Endabrechnung zu erstatten und allfällige Vermögenswerte an die Behörden abzuliefern. Der Beschwerdeführer gelangte dagegen mit Verwaltungsbeschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern. Er beanstandete damit die Entlassung aus der Beistandschaft sowie den Ablauf bei der Beendigung der Massnahme. Mit Entscheid vom 12. Juli 2012 schrieb das Departement die Verwaltungsbeschwerde als erledigt ab, soweit sie die Aufhebung der Beistandschaft betraf, und wies sie mit Bezug auf den Ablauf der Beendigung der vormundschaftlichen Massnahmen ab, soweit darauf einzutreten war. Der Beschwerdeführer gelangte gegen diesen Entscheid mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Luzern und beantragte sinngemäss die Aufhebung der Beitandschaft; ferner focht er die Genehmigung der Schlussabrechnung und des Schlussberichts sowie die Entlassung des Beistands an. Mit Entscheid vom 20. August 2012 trat das Obergericht auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht ein.
Der Beschwerdeführer hat diesen Entscheid am 3. Oktober 2012 beim Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten. Er beantragt, die Beistandschaft sei für beendet zu erklären, der Beistand sei anzuweisen, die Vermögensverwaltung per Ende Jahr abzuschliessen und dem Beschwerdeführer das Mündelvermögen umgehend herauszugeben. Ferner verlangt er, die Stadt A._ und der Kanton Luzern seien zu verpflichten, ihm eine Genugtuungssumme für die erlittene Beeinträchtigung seiner Persönlichkeit infolge verzögerter Entlassung aus der Beistandschaft zu bezahlen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2. Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht erneut um die Aufhebung der Beistandschaft ersucht, ist darauf von vornherein nicht einzutreten, da diesem Antrag bereits durch die kantonalen Instanzen entsprochen worden ist und der Beschwerdeführer somit über kein schützenswertes Interesse an der Überprüfung des angefochtenen Entscheids verfügt (<ref-law>). Unzulässig sind sodann erstmals vor Bundesgericht erhobene Anträge. Das gilt insbesondere für den Antrag auf Zusprechung einer Genugtuung (<ref-law>). Insoweit ist auf die Beschwerde von vornherein nicht einzutreten.
3. 3.1 Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie vom Obergericht verletzt worden sein sollen. Verfassungsverletzungen werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287; <ref-ruling> E. 3.2. S. 88 mit Hinweisen). Wer eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift darlegen, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.2 Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer habe nicht mehr geltend gemacht, im Verfahren sei ihm nicht vollständig Akteneinsicht gewährt worden. Auf diesen Vorwurf sei daher nicht weiter einzugehen, wobei dem Beschwerdeführer im Verfahren mehrfach Akteneinsicht gewährt worden sei. Der Beschwerdeführer fordere das Obergericht auf, die Stadt A._ und Kantonsbehörden anzuweisen, ihn nicht mehr zu diskriminieren. Das in diesem Zusammenhang Vorgebrachte sei nicht substanziiert. Überdies handle es sich um aufsichtsrechtliche Belange, die in dem dazu vorgesehenen Verfahren vorzubringen seien. Schliesslich seien diese Rügen nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens gewesen. Soweit der Beschwerdeführer die sofortige Entlassung aus der Beistandschaft beantrage, entspreche dieser Antrag sinngemäss dem vorinstanzlichen Entscheid, weshalb darauf nicht einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hätte es in der Hand gehabt, die Entlassung des Beistands durch den Stadtrat zu akzeptieren. Da er aber die Entlassung abgefochten habe, bleibe der Beistand von Gesetzes wegen bis zur Erledigung des Rechtsmittelverfahrens im Amt. Der Beschwerdeführer mache vor Obergericht geltend, der Beistand könne erst entlassen werden, wenn die vom Beschwerdeführer vorgebrachten und noch vorzubringenden Beschwerden gegen die Mandatsführung des Beistands erledigt und die Schlussrechnung und der Schlussbericht genehmigt seien; im Zusammenhang mit der Abwicklung des Verfahrens hätten mehrere Mitglieder der Stadt- und Kantonsbehörden gegen Gesetze und die Verfassung verstossen. Damit aber vermöge der Beschwerdeführer den gesetzlichen Anforderungen an die Begründung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht zu genügen. Der Beschwerdeführer gehe nicht einmal summarisch auf die vorinstanzliche Begründung ein. Insbesondere bringe er nichts gegen die vorinstanzliche Feststellung vor, der Regierungsstatthalter sei für die Behandlung seiner Beschwerde zuständig gewesen, soweit sie sich nicht gegen die Aufhebung der vormundschaftlichen Massnahme richte.
3.3 Der Beschwerdeführer geht in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht den vorgenannten Anforderungen (E. 3.1) entsprechend auf die Erwägungen der Vorinstanz ein und zeigt nicht auf, inwiefern diese Bundesrecht oder die Verfassung verletzt bzw. den Sachverhalt willkürlich oder sonst wie gegen Bundesrecht verstossend festgestellt haben könnte. Er beschwert sich im Wesentlichen gegen eine seiner Ansicht nach selbstherrliche Verfahrensführung durch die kantonalen Behörden, ohne aber auf erkennbare Weise aufzuzeigen, inwiefern das Verfahren gegen Bundesrecht oder die Verfassung verstossen haben soll. Zudem beanstandet er auch vor Bundesgericht eine Diskriminierung durch die kantonalen Behörden, wobei auch hier nicht nachvollzogen werden kann, welche Vorfälle er damit ansprechen will.
4. Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG) durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten.
5. Den konkreten Umständen entsprechend werden keine Kosten erhoben (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Stadtrat A._ und dem Obergericht des Kantons Luzern, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Oktober 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zbinden