Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführer) arbeitete seit dem 1. Dezember 2000 bei der X._ AG (Beschwerdegegnerin). Mit Schreiben vom 27. Februar 2006 löste die Beschwerdegegnerin das Arbeitsverhältnis per 30. April 2006 auf. Wegen unbestritten verspäteter Zustellung verlängerte sich die Kündigungsfrist bis 31. Mai 2006.
B. Mit Eingabe vom 3. November 2006 beantragte der Beschwerdeführer dem Arbeitsgericht Rorschach, die Beschwerdegegnerin sei wegen rechtsmissbräuchlicher Kündigung zur Zahlung von Fr. 30'000.-- zuzüglich Zins zu verpflichten. Mit Entscheid vom 29. Mai 2007 wies das Arbeitsgericht Rorschach die Klage ab.
Gegen diesen Entscheid erhob der Beschwerdeführer mit Fax vom 17. August 2007 und mit postalisch zugestellter Eingabe (Postaufgabe in Feldkirch/A am 20. August 2007) beim Kantonsgericht St. Gallen Berufung. Mit Entscheid vom 3. Januar 2008 trat das Kantonsgericht St. Gallen auf die Berufung nicht ein, weil diese verspätet erhoben worden sei.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen - eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde - beantragt der Beschwerdeführer im Wesentlichen, die Beschwerdegegnerin sei zur Zahlung von Fr. 30'000.-- zuzüglich Zins zu verurteilen; eventuell sei der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 3. Januar 2008 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Gleichzeitig stellt der Beschwerdeführer das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Weiter beantragt er, dass der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen sei.
D. Auf die Einholung einer Vernehmlassung wurde verzichtet, weil sich die Beschwerde ohne Weiteres als aussichtslos erweist.

Erwägungen:
1. Das Kantonsgericht erwog im angefochtenen Entscheid, dass auf die Berufung nicht einzutreten sei, weil das Rechtsmittel verspätet erhoben worden sei. Der Entscheid des Arbeitsgerichtes Rorschach sei mit eingeschriebener Post am 19. Juli 2007 versandt und dem Beschwerdeführer am 20. Juli 2007 zugestellt worden. Die Rechtsmittelfrist habe demnach am 21. Juli 2007 zu laufen begonnen und am Montag, 20. August 2007 geendet, da der letzte Tag der Frist auf einen Sonntag gefallen sei. Der Beschwerdeführer habe die Berufungsschrift am 17. August 2007, um 12.56 Uhr vorab per Fax an das Kantonsgericht gesandt. Am Montag, 20. August 2007, habe er die Berufungsschrift in Feldkirch/A der österreichischen Post übergeben. Diese postalisch verschickte Eingabe sei von der Auslandsortierung der schweizerischen Post am 22. August 2007 erfasst worden. Unter diesen Umständen könne nicht als bewiesen gelten, dass die postalisch am 20. August 2007 von Feldkirch/A aus versandte Eingabe die schweizerische Post innert der Rechtsmittelfrist, das heisst noch am gleichen Tag bis 24:00 Uhr erreicht habe. Der Beschwerdeführer habe selbst ausgeführt, er habe die Sendung vor 19:00 Uhr in Feldkirch/A aufgegeben, so dass bei gewöhnlichem Lauf der Dinge eine weit überwiegende Wahrscheinlichkeit dafür bestehe, dass die Eingabe frühestens am nächsten Tag, das heisst am 21. August 2007 die schweizerische Post erreicht habe. Anders sei kaum erklärbar, dass der Brief erst am 22. August 2007 in der Auslandsortierung in Zürich registriert worden sei. Der Beschwerdeführer scheitere daher am Nachweis der Rechtzeitigkeit der postalischen Eingabe. Da die Berufungsschrift die schweizerische Post nicht innert Frist erreicht habe und die Frist mittels Eingabe per Fax von Vornherein nicht eingehalten werden könne, sei auf die Berufung nicht einzutreten.
1.1 In einer Eventualbegründung führte das Kantonsgericht aus, dass die Berufung ohnehin abzuweisen wäre, weil die beanstandete Kündigung nicht als rechtsmissbräuchlich qualifiziert werden könne. Im Übrigen scheitere die Entschädigungsforderung auch daran, dass der Beschwerdeführer gegen die Kündigung nicht rechtzeitig Einsprache erhoben habe.
2. 2.1 Im Zusammenhang mit der Frage der Rechtzeitigkeit der Berufung bestreitet der Beschwerdeführer nicht, dass die Rechtsmittelfrist für die Berufung im kantonalen Verfahren am Montag, 20. August 2007, endete. Ebenfalls unbestritten ist, dass die Sendung am 20. August 2007 in Feldkirch/A der österreichischen Post übergeben wurde und frühestens am folgenden Tag die schweizerische Post erreichte. Da die Frist nur eingehalten ist, wenn die Eingabe bis 24.00 Uhr des letzten Tages dem Gericht oder der schweizerischen Post (Art. 84 GerG/SG [sGS 941.1]) bzw. einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung (<ref-law>) übergeben wird, ist die Auffassung des Kantonsgerichts grundsätzlich nicht zu beanstanden, dass das Rechtsmittel verspätet eingereicht worden sei.
2.2 Der Beschwerdeführer macht jedoch geltend, dass diese Regelung ein gravierendes administratives Hindernis für einen "EWR-Rechtsanwalt" darstelle und gegen das Freizügigkeitsabkommen verstosse (FAZ, Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit [SR 0.142.112.681]). Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden. Das FZA betrifft unter anderem den Zugang zum Anwaltsberuf für Anwälte aus den Vertragsstaaten. In diesem Zusammenhang wird im Anwaltsgesetz (BGFA, Bundesgesetz über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte [SR 935.61]) der Zugang für Anwälte aus den EU- und EFTA-Ländern zur Anwaltstätigkeit in der Schweiz geregelt (<ref-law> betreffend befristete Erbringung von Dienstleistungen von Anwälten aus den Vertragsstaaten; <ref-law> betreffend ständige Ausübung des Anwaltsberufs durch Anwälte aus den Vertragsstaaten in der Schweiz). Das FZA und die damit zusammenhängenden Bestimmungen des Anwaltsgesetzes regeln ausschliesslich die Zulassung zum Anwaltsberuf in der Schweiz. Die zugelassenen Anwälte unterstehen bei der Erbringung ihrer Dienstleistungen grundsätzlich den gleichen Regeln wie Schweizer Anwälte. Dies gilt sowohl für die befristete Erbringung von Dienstleistungen als auch für die ständige Ausübung des Anwaltsberufs in der Schweiz. Im vorliegenden Fall ist daher davon auszugehen, dass der in Feldkirch/A praktizierende Rechtsvertreter des Beschwerdeführers gestützt auf das FZA und das Anwaltsgesetz unter den dort normierten Voraussetzungen Anspruch auf Zulassung zur befristeten Erbringung von Dienstleistungen in der Schweiz hat. Dabei untersteht er jedoch gleich wie Schweizer Anwälte den hierorts geltenden Regeln. Für die hier interessierende Frage, unter welchen Bedingungen eine Rechtsmittelfrist gewahrt ist, enthält das FZA keine Vorschriften und ist daher ohne Bedeutung. Allein entscheidend ist die in der Schweiz bzw. dem Kanton St. Gallen geltende Regelung, wonach die Eingabe am letzten Tag der Frist bis 24.00 Uhr dem Gericht oder der schweizerischen Post (Art. 84 GerG/SG) bzw. einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung (<ref-law>) übergeben sein muss. Die Darstellung des Beschwerdeführers, dass in Österreich angeblich Rechtsmittel fristwahrend bei allen Postämtern der Welt aufgegeben werden können, ist irrelevant. Da aus dem vom Beschwerdeführer angerufenen FZA für die Frage der Fristwahrung nichts abgeleitet werden kann, erweist sich die Beschwerde ohne Weiteres als unbegründet.
2.3 Offensichtlich unbegründet ist auch die Auffassung des Beschwerdeführers, dass die der Berufungsschrift vorangegangene Faxeingabe vom 17. August 2007 die Rechtsmittelfrist wahre. Auch diesbezüglich gilt, dass ein gestützt auf das FZA und das Anwaltsgesetz zugelassener Anwalt bei der Erbringung seiner Dienstleistungen in der Schweiz dem in der Schweiz geltenden Recht untersteht. Soweit sich der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang auf die Rechtsprechung in anderen Staaten - Österreich und Liechtenstein - beruft, geht seine Argumentation an der Sache vorbei. Mit den Erwägungen des Kantonsgerichtes, die sich auf die Rechtslage in der Schweiz und im Kanton St. Gallen beziehen, setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander.
2.4 Aus diesen Gründen erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Nachdem die Hauptbegründung des Kantonsgerichts, dass die Berufung verspätet erhoben worden sei, nicht zu beanstanden ist, erübrigt es sich, auf die Eventualbegründung einzugehen.
3. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die reduzierten Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Da keine Vernehmlassung eingeholt wurde, entfällt eine Entschädigungspflicht.
4. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen. Da dem Beschwerdeführer von Vornherein hätte bekannt sein müssen, dass das FZA nur die Zulassung eines Anwalts zur Erbringung einer Dienstleistung zum Gegenstand hat, ist der Hinweis auf das FZA im Zusammenhang mit der Frage der Fristwahrung verfehlt. Die Beschwerde erweist sich daher als aussichtslos, was zur Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege führt (<ref-law>).
5. Mit dem heutigen Urteil wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. April 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Corboz Mazan