Erwägungen:
1. X._ (geb. 1973) stammt aus Algerien. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren und wurde wiederholt angehalten, das Land zu verlassen. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 10. Juni 2008 in Ausschaffungshaft, welche das Haftgericht III Bern-Mittelland am 12. Juni 2008 prüfte und bis zum 9. September 2008 bestätigte. Am 4. September 2008 genehmigte es eine Haftverlängerung bis zum 8. März 2009. X._ beantragt mit Eingabe vom 18./19. September 2008, diesen Entscheid zu überprüfen und ihn aus der Haft zu entlassen.
2. Seine Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann aufgrund der eingeholten Unterlagen ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden; es erübrigt sich deshalb, zu prüfen, ob die Beschwerde den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügt:
2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden, hat diese indessen nicht verlassen. Er hat sich geweigert, den für ihn und seine Familie am 5. Juni 2008 gebuchten Flug nach Algerien anzutreten. Der Beschwerdeführer liess seine Angehörigen allein in die Heimat zurückkehren und verschwand hier ohne Adressangabe. Aufgrund dieses Verhaltens besteht bei ihm Untertauchensgefahr, da er seinen ausländerrechtlichen Mitwirkungspflichten nicht nachgekommen ist (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer verfügt nach eigenen Angaben in seiner Heimat über einen Reisepass, den er sich ursprünglich beschaffen wollte, was er inzwischen jedoch mit einer fadenscheinigen Begründung ablehnt (Verbot, Passpapiere per Post zu verschicken). Seine Ausschaffung ist absehbar (vgl. Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG), falls er sich die Reisepapiere beschafft. Die Behörden haben sich - gestützt auf seine ursprünglichen Zusagen - bisher hinreichend hierum bemüht (vgl. Art. 76 Abs. 4 AuG); sie werden nun jedoch bei den algerischen Behörden nachfragen müssen, sollte der Beschwerdeführer seine Papiere weiterhin nicht mehr freiwillig beschaffen wollen. Die Haftverlängerung direkt um sechs Monate liegt zwar an der oberen Grenze des Zulässigen (<ref-ruling> ff.), ist im vorliegenden Fall indessen nicht zu beanstanden, da Abklärungen in Algerien erfahrungsgemäss relativ lange dauern. Der angefochtene Entscheid verletzt demnach kein Bundesrecht.
2.2 Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Der Umstand, dass sich der Vollzug der Wegweisung ohne seine Kooperation schwieriger gestaltet, lässt seine Festhaltung nicht bereits als nicht mehr gerechtfertigt erscheinen; gerade wegen solcher Probleme hat der Gesetzgeber die maximale Dauer der Ausschaffungshaft erhöht und die Möglichkeit der Haftverlängerung - bis zu achtzehn Monaten - geschaffen (Art. 76 Abs. 3 AuG; vgl. <ref-ruling> E. 4.2). Der Beschwerdeführer kann seine Festhaltung verkürzen, indem er bei der Papierbeschaffung mithilft. Es ist nicht ersichtlich, wie er die Schweiz ohne gültige Reisepapiere rechtmässig verlassen könnte. Nur falls er sich diese selber beschafft, wird allenfalls - wie von ihm gewünscht - eine Ausschaffung nach Tunesien geprüft werden können (vgl. Art. 69 Abs. 2 AuG); andernfalls ist nur sein Heimatstaat verpflichtet, ihm die Einreise zu ermöglichen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2). Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, in Algerien verfolgt zu werden, verkennt er, dass diese Frage nicht (mehr) Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens bildet (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220); sein Asylgesuch ist durch die zuständigen Behörden rechtskräftig beurteilt worden.
3. Aufgrund der besonderen Umstände (Bedürftigkeit, Wegweisungsvollzug) sind keine Kosten zu erheben. Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 5, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar