Sachverhalt:
A.
Im oberen Gental in der Einwohnergemeinde Innertkirchen besteht seit 1973 das kantonale Naturschutzgebiet "Engstlensee-Jungibäche-Achtelsass" (Schutzbeschluss vom 26. September 1973 und ergänzender Schutzbeschluss vom 31. März 1987). 2007 legte das Naturschutzinspektorat (heute: Abteilung Naturförderung) des Amts für Landwirtschaft und Natur des Kantons Bern einen Plan mit zugehörigen Schutzvorschriften für eine Neufassung des Schutzbeschlusses öffentlich auf. Dagegen wurden mehrere Einsprachen erhoben.
Parallel dazu beschloss die Gemeinde Innertkirchen am 22. November 2007 den Teilzonenplan "Engstlenalp". Sie bezweckte damit, die touristische Nutzung der Engstlenalp im Sommer und im Winter zu regeln. Auch gegen den Teilzonenplan wurden mehrere Einsprachen erhoben. Kantonal letztinstanzlich stellte das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 7. April 2011 eine Verletzung des Koordinationsgebots fest. Es befand, dass zunächst die Änderungen des Naturschutzgebiets "Engstlensee-Jungibäche-Achtelsass" rechtskräftig beurteilt werden müssen. Gestützt darauf werde dann die Genehmigungsbehörde über die Nutzungsplanung zu entscheiden haben.
In der Folge passte die Abteilung Naturförderung den Plan und die Schutzvorschriften für das Naturschutzgebiet in verschiedenen Punkten an und veranlasste eine zweite öffentliche Auflage vom 23. März bis zum 23. April 2012, zeitgleich mit dem ebenfalls überarbeiteten Teilzonenplan "Engstlenalp".
Gegen die Revision des Naturschutzgebiets erhoben unter anderem A.A._ und B.A._, die das Hotel Engstlenalp betreiben, und Pro Natura - Schweizerischer Bund für Naturschutz (Pro Natura) Einsprache. Mit Schutzbeschluss vom 3. Dezember 2012 wies die Volkswirtschaftsdirektion des Kantons Bern die Einsprachen ab, soweit sie nicht gegenstandslos geworden waren, und revidierte die früheren Schutzbeschlüsse von 1973 und 1987 zum Naturschutzgebiet "Engstlensee-Jungibäche-Achtelsass".
Die von A.A._ und B.A._ und Pro Natura gegen den Schutzbeschluss vom 3. Dezember 2012 erhobenen Beschwerden wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 16. Dezember 2013 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 31. Januar 2014 beantragt Pro Natura, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanzen zurückzuweisen (Verfahren 1C_56/ 2014).
Mit vom 3. Februar 2014 datierender Beschwerde beantragen auch A.A._ und B.A._ die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils und die Rückweisung der Sache zur Beweisergänzung und zum neuen Entscheid (Verfahren 1C_58/2014).
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der beiden Beschwerden. Die Volkswirtschaftsdirektion hat auf eine Stellungnahme verzichtet, während sich die Gemeinde Innertkirchen nicht hat vernehmen lassen. A.A._ und B.A._ schliessen sich den Ausführungen in der Beschwerde von Pro Natura an; Letztere hat sich umgekehrt zur Beschwerde von A.A._ und B.A._ nicht geäussert. Das ebenfalls zur Vernehmlassung eingeladene Bundesamt für Umwelt (BAFU) legt im Rahmen seiner Zuständigkeit dar, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei nicht zu beanstanden. Pro Natura (Beschwerdeführerin 1) sowie A.A._ und B.A._ (Beschwerdeführer 2) halten in ihrer Stellungnahme dazu an ihren Rechtsauffassungen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Die vorliegenden Beschwerden richten sich gegen dasselbe Urteil und hängen inhaltlich eng zusammen. Die Verfahren 1C_56/2014 und 1C_58/2014 sind deshalb zu vereinigen.
1.2. Das angefochtene Urteil bestätigt einen kantonalen Schutzbeschluss, der einen Plan und die dazugehörigen Vorschriften umfasst. Es handelt sich dabei um einen Nutzungsplan im Sinne von Art. 14 Abs. 1 RPG (SR 700), mit dem eine die Grundnutzung überlagernde Schutzzone gemäss Art. 17 RPG erlassen wird (vgl. Urteil 1C_484/2012 vom 27. Mai 2013 E. 4.1, in: URP 2013 S. 726). Dagegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a BGG).
1.3. Pro Natura gehört zu den gesamtschweizerisch tätigen Organisationen, die nach Art. 12 des Bundesgesetzes vom 1. Juli 1966 über den Natur- und Heimatschutz (NHG; SR 451) zur Erhebung von Beschwerden ans Bundesgericht berechtigt sind (Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG; vgl. Anhang der Verordnung vom 27. Juni 1990 über die Bezeichnung der im Bereich des Umweltschutzes sowie des Natur- und Heimatschutzes beschwerdeberechtigten Organisationen [VBO; SR 814.076]). Sie macht mit ihrer Beschwerde geltend, der Schutzbeschluss missachte bundesrechtliche Vorschriften zum Schutz von Wildtieren, was insbesondere das Ergebnis einer unzureichenden Koordination mit dem Planerlassverfahren für den Teilzonenplan "Engstlenalp" sei. Der Schutz der Tierwelt und die Erhaltung genügend grosser Lebensräume gehören zu den Bundesaufgaben (Art. 78 Abs. 4 BV und Art. 18 ff. NHG). Die Beschwerdeführerin 1 ist deshalb nach dem Bundesgesetz über den Natur- und Heimatschutz zur Beschwerde befugt (vgl. Art. 2 und 3 i.V.m. Art. 12 Abs. 1 lit. b NHG; Urteil 1A.4/1996 vom 18. Dezember 1996 E. 2a mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.4. Die Beschwerdeführer 2 sind als Eigentümer des Hotels Engstlenalp, das neben dem Naturschutzgebiet liegt, ebenfalls zur Beschwerde befugt (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.5. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerden ist im Grundsatz einzutreten.
2.
2.1. Gemäss Art. 18 Abs. 1 NHG ist dem Aussterben einheimischer Tier- und Pflanzenarten durch die Erhaltung genügend grosser Lebensräume (Biotope) und andere geeignete Massnahmen entgegenzuwirken. Für den Schutz und Unterhalt der Biotope von regionaler und lokaler Bedeutung sorgen nach Art. 18b Abs. 1 NHG die Kantone. Bei der Umsetzung dieses bundesrechtlichen Auftrags steht den Kantonen ein erheblicher Ermessensspielraum zu, insbesondere wenn es um die Beurteilung der lokalen Verhältnisse geht (<ref-ruling> E. 3a S. 388; Urteil 1A.40/1998 vom 21. Januar 1999 E. 2a, in: URP 1999 S. 251; je mit Hinweisen).
2.2. Das Naturschutzgebiet "Engstlensee-Jungibäche-Achtelsass" ist ein schutzwürdiges Gebiet von regionaler Bedeutung im Sinne von Art. 18b Abs. 1 NHG. Seine Schutzziele bestehen darin, die reichhaltige Flora und Fauna auf den Alpweiden und am Engstlensee zu sichern, die Arvenbestände zu erhalten, die wertvollen Lebensräume für Tiere und Pflanzen sowie die Wintereinstandsgebiete für Wildtiere zu sichern, die Wildtiere vor Störungen zu schützen und den Engstlensee und seine Umgebung ungeschmälert zu erhalten. Im Schutzgebiet sind grundsätzlich sämtliche Veränderungen, Vorkehrungen und Störungen untersagt, die den Schutzzielen zuwiderlaufen. Dazu gehört unter anderem das Begehen der im Schutzplan bezeichneten Wildruhegebiete vom 15. November bis zum 31. Juli, ausser auf bestehenden Strassen und Wegen. In begründeten Fällen können Ausnahmen von den Schutzbestimmungen bewilligt werden. Der Schutzbeschluss listet zudem Nutzungen auf, die keiner Ausnahmebewilligung bedürfen. Darunter fällt das Präparieren eines maximal 1.5 m breiten Winterwanderwegs als Verbindung zwischen der Engstlenalp und der Sesselbahntalstation im frei begehbaren Bereich (d.h. im Mindestabstand von 150 m zum Wildruhegebiet am Südufer) und einer Schneerampe als Zugang innerhalb des im Teilzonenplan bezeichneten Uferabschnitts.
3.
3.1. Die Beschwerdeführer weisen darauf hin, dass die günstigen Bedingungen für die Natur und insbesondere die Wildtiere im Bereich der Engstlenalp zunehmend von raumplanerischen Massnahmen bedroht seien, namentlich vom Teilzonenplan "Engstlenalp" und von der Revision des Naturschutzgebiets "Engstlensee-Jungibäche-Achtelsass". Das Präparieren des vorgesehenen Winterwanderwegs sei mit Lärmimmissionen verbunden. Auch geringfügige Einwirkungen müssten indessen unterbunden werden, sofern sie unnötig seien und Schutzgebiete beträfen. Der Winterwanderweg entspreche zudem keinem Bedürfnis. Die künftige Zahl der Wanderer werde weitgehend davon abhängen, ob die projektbezogene Bauzone sowie die Erschliessung der Engstlenalp durch einen Raupenkleinbus genehmigt werden könnten. Zunächst sei deshalb über den Teilzonenplan zu entscheiden. Durch sein Vorgehen habe das Verwaltungsgericht die Koordinationspflicht verletzt.
3.2. Der Koordinationsgrundsatz (Art. 25a RPG) verlangt, dass die für die Errichtung einer Baute erforderlichen Verfügungen materiell und soweit möglich formell koordiniert ergehen (Abs. 1-3). Entsprechendes gilt für Nutzungsplanverfahren (Abs. 4).
Im bereits erwähnten Urteil vom 7. April 2011 stellte das Verwaltungsgericht eine Verletzung des Koordinationsgrundsatzes fest, weil das Amt für Gemeinden und Raumordnung des Kantons Bern das Verfahren der Genehmigung des Teilzonenplans "Engstlenalp" hinsichtlich der planerischen Festlegungen entlang des Engstlensees bis zum rechtskräftigen Beschluss über die Änderung des Naturschutzgebiets sistiert und die Genehmigung nur für den übrigen Bereich erteilt hatte. Es hielt fest, die entlang des Engstlensees geplanten Festlegungen müssten in die umfassende raumplanungsrechtliche Interessenabwägung einbezogen werden. Der Teilzonenplan müsse deshalb insgesamt überprüft werden. Dies habe zu geschehen, sobald rechtskräftig über die Revision des Naturschutzgebiets entschieden worden sei (Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 7. April 2011 E. 5, in: Bernische Verwaltungsrechtsprechung [BVR] S. 420 ff.).
Dass zunächst über die Revision des Naturschutzgebiets entschieden wird und erst danach über den Teilzonenplan, ist unter Koordinationsgesichtspunkten nicht zu beanstanden. Für die Rechtmässigkeit des Schutzbeschlusses ist nicht massgebend, dass die Zahl der Wanderer von der Erschliessung der Engstlenalp abhängen wird, wie die Beschwerdeführer geltend machen. Auch sonst ist nicht ersichtlich, weshalb zunächst die Rechtskraft des Teilzonenplans abzuwarten wäre, bevor über das Naturschutzgebiet entschieden werden könnte. Widersprüchliche Entscheide drohen auch deshalb nicht, da im Schutzbeschluss nicht positiv eine Wegfestlegung erfolgt, sondern nur bestimmt wird, inwiefern das Begehen und das Präparieren eines Winterwanderwegs mit den Schutzzielen vereinbar ist. Dabei ist keine raumplanerische Interessenabwägung notwendig, bei der auch die Erschliessungssituation im Gental berücksichtigt werden muss (vgl. Urteil 1C_361/2008 vom 27. April 2009 E. 3.2 mit Hinweis, in: URP 2009 S. 877). Die Rüge der Verletzung von Art. 25a RPG ist unbegründet.
3.3. Die Beschwerdeführer legen zudem nicht konkret dar, inwiefern das geplante Vorhaben im Widerspruch zu den Schutzzielen des Naturschutzgebiets stehen und der Kanton Bern damit seinem Schutzauftrag gemäss Art. 18b Abs. 1 NHG nicht nachgekommen sein soll. Insbesondere geht aus ihrer Argumentation nicht hervor, weshalb das Schutzgebiet durch das Begehen des Sees auf einem präparierten Winterwanderweg anders bzw. stärker als ohne einen solchen Weg betroffen sein soll. Nach Auffassung des BAFU gibt es keine Anhaltspunkte, die Vereinbarkeit des Schutzbeschlusses mit dem Bundesrecht in Frage zu stellen. Es geht zusammen mit dem Verwaltungsgericht vielmehr davon aus, dass dem Winterwanderweg für den Wildtierschutz eher eine positive Wirkung zukommt, da er die Besucher lenkt und damit das Einhalten des Minimalabstands zu den Wildruhegebieten "Hienerstock" und "Arvenegg" fördert. Die Entgegnungen der Beschwerdeführer, wonach es auf der Engstlenalp "Wanderer im eigentlichen Sinne" gar nicht gebe und andere Besucher auf einen präparierten Weg nicht angewiesen seien, geben keinen Anlass, an diesen Einschätzungen zu zweifeln (Art. 97 Abs. 1 BGG). Ebenso wenig als willkürlich erscheint die Feststellung des Verwaltungsgerichts, das Präparieren des Wegs könne aufgrund seiner geringen Breite mit immissionsarmen Geräten erfolgen und erreiche nicht ein mit den Schutzzielen unvereinbares Mass, zumal der Weg nicht durch das Wildruhegebiet verlaufe, sondern einen Minimalabstand dazu einhalten müsse. Eine Verletzung von Bundesrecht ist in diesem Zusammenhang vor dem Hintergrund der Vorbringen der Beschwerdeführer (Art. 42 Abs. 2 BGG) nicht festzustellen.
4.
4.1. Die Beschwerdeführer 2 rügen als Verletzung von Art. 8 NHG und (sinngemäss) von Art. 29 Abs. 2 BV, dass das Verwaltungsgericht weder ein Gutachten der Eidgenössischen Natur- und Heimatschutzkommission (ENHK) noch ein solches zur Lawinensituation eingeholt hat.
4.2. Zum verlangten Gutachten der ENHK hat das Verwaltungsgericht festgehalten, die Voraussetzungen einer obligatorischen Begutachtung nach Art. 7 Abs. 2 NHG seien nicht erfüllt. Weiter hat es dargelegt, weshalb auch kein wichtiger Fall im Sinne von Art. 8 NHG vorliegt, der erfordert hätte, die Sache der ENHK zuzuleiten, damit diese entscheidet, ob sie eine Begutachtung vornehmen will (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.3 S. 222 f. mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer 2 gehen auf diese Ausführungen nur insoweit ein, als sie geltend machen, die in den Ausnahmebestimmungen des Schutzbeschlusses erwähnte Schneerampe stelle eine bauliche Massnahme dar, weshalb die Begutachtung durch die ENHK unabdingbar sei. Dass im Falle einer baulichen Massnahme die Sache automatisch der ENHK zu unterbreiten wäre, trifft jedoch nicht zu (vgl. zum Kriterium des "wichtigen Falls" Urteil 1C_371/2012 vom 30. Mai 2013 E. 5 mit Hinweisen, in: URP 2013 S. 721). Die Kritik erweist sich damit als unbegründet, soweit sie überhaupt hinreichend substanziiert wurde (Art. 42 Abs. 2 BGG).
Zum Lawinengutachten machen die Beschwerdeführer 2 geltend, der Volkswirtschaftsdirektion fehle die notwendige Ortskenntnis und die Lawinensituation müsse auch ausserhalb des Schutzgebiets beachtet werden. Weshalb die Lawinensituation ausserhalb des Schutzgebiets und damit ein entsprechendes Gutachten entscheidrelevant ist, legen sie jedoch nicht dar. Darauf ist nicht einzutreten (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
5.
Die Beschwerden sind aus den genannten Gründen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 12f NHG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1C_56/2014 und 1C_58/2014 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von insgesamt Fr. 4'000.-- werden zur Hälfte der Beschwerdeführerin 1 und zur Hälfte den Beschwerdeführern 2 auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Einwohnergemeinde Innertkirchen, der Volkswirtschaftsdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold