Sachverhalt:
A. A.a Der 1974 geborene J._ meldete sich im September 2006 bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Leistungsbezug an. Diese sprach ihm mit Verfügung vom 19. November 2008 eine vom 1. August bis 30. November 2006 befristete ganze Invalidenrente zu. Die gegen die Befristung gerichtete Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 26. Februar 2009 in dem Sinne gut, dass es die Verfügung vom 19. November 2008 aufhob und die Sache an die Verwaltung zurückwies, damit diese weitere medizinische Abklärungen vornehme und hernach über den Rentenanspruch neu verfüge.
A.b Am 3. Juni 2009 teilte die IV-Stelle dem Versicherten mit, die medizinische Begutachtung werde durch die Abklärungsstelle MEDAS Swiss Medical Assessm. and Businessasscent. SM AB AG durchgeführt. Mit Schreiben vom 12. Juni 2009 antwortete der Versicherte, die Abklärung sei stationär in einer Rehabilitations- bzw. Rheumaklinik unter Beizug eines Fachpsychiaters durchzuführen. Mit als "Zwischenverfügung" bezeichnetem und mit einer Rechtsmittelbelehrung versehenem Entscheid vom 30. Juni 2009 hielt die IV-Stelle an der Begutachtung fest, da keine substantiierten gesetzlichen Ausstands- oder Ablehnungsgründe gegen die begutachtende Person geltend gemacht würden.
B. Auf die von J._ hiegegen erhobene Beschwerde trat das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 23. Februar 2010 nicht ein.
C. Mit Beschwerde lässt J._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei festzustellen, dass die von der IV-Stelle des Kantons Zürich beauftragte Gutachterstelle befangen sei, und es sei die Verwaltung anzuweisen, den medizinischen Sachverhalt durch fachlich ausgewiesene, unabhängige medizinische Gutachter abklären zu lassen und anschliessend neu über den Rentenanspruch zu entscheiden; eventualiter sei die Vorinstanz zu verpflichten, auf die Beschwerde vom 20. August 2009 einzutreten und ein Sachurteil zu fällen.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist vorab zulässig gegen Endentscheide, welche das Verfahren abschliessen (Art. 90 BGG), und gegen Teilentscheide im Sinne von Art. 91 BGG. Zwischenentscheide sind - abgesehen von den Entscheiden über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren (vgl. Art. 92 BGG) - nur dann (ausnahmsweise) selbständig anfechtbar, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können, oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer hat aufzuzeigen, dass die Voraussetzungen des Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, soweit diese nicht ohne Weiteres auf der Hand liegen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 292; <ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.4.2 S. 632 f.; <ref-ruling> E. 1.2 in fine S. 429).
1.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, das kantonale Gericht sei in Verletzung seiner Rechtsschutzinteressen auf die Beschwerde nicht eingetreten, mit welcher er die Gründe der finanziellen Abhängigkeit der beauftragten Gutachterstelle und der fehlenden Qualitätskontrolle und Transparenz bezüglich der fachlichen Kompetenz der Gutachter gerügt habe. Soweit er damit das Vorliegen einer Streitigkeit nach Art. 92 BGG zu begründen versucht, vermag er nicht durchzudringen. Massgebend sind in diesem Zusammenhang nicht die vor Bundesgericht gestellten Anträge, sondern ob dessen Vorinstanz ein Ausstandsgesuch zu beurteilen hatte (Urteil 2C_507/2008 vom 14. Juli 2008 E. 2.2). Dies ist nicht der Fall. Entgegen den beschwerdeführerischen Vorbringen wurde weder im Schreiben an die IV-Stelle vom 12. Juni 2009 noch vor Vorinstanz ein Ausstand wegen finanzieller Abhängigkeit der Gutachter von der beauftragten Abklärungsstelle geltend gemacht. Vielmehr stand im kantonalen Verfahren bloss die fachliche Qualifikation für die Beurteilung der gesundheitlichen Beeinträchtigungen des Versicherten in Frage.
1.3 Grundsätzlich schliessen Nichteintretensentscheide das Verfahren ab und werden deshalb als Endentscheid qualifiziert. Betrifft die Beschwerde jedoch eine Zwischenverfügung, beendet der Nichteintretensentscheid lediglich den Streit um die Zwischenverfügung und nicht das Hauptverfahren; ein solcher Entscheid ist daher - wie Rechtsmittelentscheide über Zwischenverfügungen im Allgemeinen - seinerseits ein Zwischenentscheid. Denn damit wird nicht über ein Rechtsverhältnis endgültig entschieden, sondern nur über einen Schritt auf dem Weg zum Endentscheid (<ref-ruling> E. 4.1.3 S. 481; Urteile 8C_699/2009 vom 22. April 2010 E. 1.2 und 9C_740/2008 vom 30. Oktober 2008 E. 1). Mit dem Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. Februar 2010 wurde das Verfahren vor der IV-Stelle desselben Kantons um Zusprechung oder Verweigerung von Leistungen der Invalidenversicherung nicht abgeschlossen; der vorinstanzliche Entscheid ist mithin als Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG zu qualifizieren.
1.4 Zu prüfen ist somit, ob eine der Tatbestandsalternativen des Art. 93 Abs. 1 lit. a oder b BGG erfüllt ist. Dass diejenige der lit. b gegeben wäre, legt der Beschwerdeführer nicht dar und springt auch nicht ins Auge. Eine Gutheissung der Beschwerde würde nicht zu einem Endentscheid in der Sache und somit über den Rentenanspruch des Versicherten führen, zumal es vorerst bloss um die Bestimmung der medizinischen Gutachter geht (vgl. Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
1.4.1 Nach der Rechtsprechung kommt der Anordnung einer Begutachtung durch den Sozialversicherer kein Verfügungscharakter zu. Einwendungen gegen Sachverständige sind nur dann in Form einer selbständig anfechtbaren Zwischenverfügung zu behandeln, wenn gesetzliche Ausstandsgründe geltend gemacht werden, während Rügen, welche über die gesetzlichen Ausstandsgründe hinausgehen, im Rahmen der Beweiswürdigung Rechnung zu tragen ist. In der Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können Zwischenverfügungen über Einwände, welche Fragen der Beweiswürdigung betreffen und daher beim Endentscheid in der Sache noch berücksichtigt werden können. Dazu gehören namentlich die Fragen, aus welcher medizinischen Fachrichtung ein Gutachten einzuholen ist, ob ein behandelnder Arzt als Gutachter eingesetzt werden kann, ob die vorgesehene Gutachtensperson die notwendigen Fachkenntnisse besitzt oder ob der Sachverhalt bereits hinreichend abgeklärt ist (<ref-ruling> E. 5 ff. S. 100 ff.; Urteil 8C_699/2009 vom 22. April 2010 E. 3.2).
1.4.2 Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz rügte der Beschwerdeführer zur Hauptsache, bei der Gutachterstelle handle es sich um eine fachlich ungenügend qualifizierte Stelle, da sie seine Fragen zur Qualifikation der Fachärzte und zur Qualitätskontrolle nicht beantwortet habe. Weitere Einwände würden sich gegen die Art und Weise der Begutachtung richten, weshalb sie - wie die fachliche Qualifikation - mit dem Entscheid in der Sache im Rahmen der Beweiswürdigung zu behandeln seien. In der Beschwerde wird nicht dargetan, inwiefern diese Argumentation Bundesrecht verletzt, insbesondere auf einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung oder unhaltbaren Beweiswürdigung beruht (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG). Hinzu kommt, dass sich die Beschwerde in Antrag und Begründung vorab gegen die beauftragte Gutachterstelle (und die Verwaltung) und nicht gegen die betroffenen Ärzte richtet. Grundsätzlich können jedoch nur die für eine Behörde tätigen Personen, nicht aber die Behörde als solche befangen sein (Urteile 9C_500/2009 vom 24. Juni 2009 E. 2, I 874/06 vom 8. August 2007 E. 4.1 mit Hinweis).
1.5 Der Beschwerdeführer erblickt im eingeschlagenen Verfahrensweg eine Rechtsverzögerung und verlangt daher einen Entscheid des Bundesgerichts über die gegenüber den beauftragten medizinischen Gutachtern und der Gutachterstelle erhobenen Einwände. Seine Rüge zielt damit nicht in erster Linie darauf, die Vorinstanz habe nicht bzw. nicht fristgerecht gehandelt, sondern sie habe mit dem Verweis seiner Vorbringen in die Beweiswürdigung im Hauptverfahren eine unnötige Massnahme getroffen. Damit vermag der Beschwerdeführer nach dem in Erwägung 1.4.1 hievor Gesagten nicht durchzudringen. Im Übrigen bringt er zu Recht nicht vor, die Gutachteranordnung stelle eine unnötige Beweismassnahme dar, nachdem das Sozialversicherungsgericht im Entscheid vom 26. Februar 2009 seinem Eventualantrag auf Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zwecks Anordnung einer medizinischen Begutachtung entsprochen hat.
1.6 Durch die Anordnung der IV-Stelle vom 30. Juni 2009 ist dem Beschwerdeführer kein nicht wieder gutzumachender Nachteil erwachsen, weshalb auf die Beschwerde gegen den Zwischenentscheid des kantonalen Gerichts nicht einzutreten ist. Da gegen den letztinstanzlichen kantonalen Entscheid über den Leistungsanspruch gegenüber der IV-Stelle die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht offen stehen wird und gemäss Art. 93 Abs. 3 BGG dannzumal auch zuvor gefällte Zwischenentscheide mitangefochten werden können, wird der Beschwerdeführer sämtliche Rügen gegen den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts vom 23. Februar 2010 erneut vorbringen können.
2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Juni 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer