Fatti:
Fatti:
A. Il 24 settembre 1986 lo sceicco A._ si è recato alla sede luganese della banca X._, dove ha incontrato due dirigenti di tale istituto. Fra le persone che lo accompagnavano vi era C._, all'epoca presidente della società bahamense Y._, il quale in tale occasione ha pure funto da interprete.
Il 6 ottobre 1986 lo sceicco ha depositato presso la banca X._ a Lugano US$ 2'500'000.--. Due giorni dopo la somma di US$ 2'000'000.-- è stata girata su di un conto intestato alla società Y._ presso la banca X._ di Nassau, su ordine di C._, con la dicitura "purchase in name of A._, of 200.000 società Y._ shares".
Il 6 ottobre 1986 lo sceicco ha depositato presso la banca X._ a Lugano US$ 2'500'000.--. Due giorni dopo la somma di US$ 2'000'000.-- è stata girata su di un conto intestato alla società Y._ presso la banca X._ di Nassau, su ordine di C._, con la dicitura "purchase in name of A._, of 200.000 società Y._ shares".
B. Asserendo che C._ non disponeva di alcun potere di rappresentanza, il 26 ottobre 1993 A._ ha adito direttamente il Tribunale d'appello del Cantone Ticino chiedendo la condanna della banca X._ al riaccredito dell'importo bonificato, di US$ 2'000'000.--, alla restituzione dei rimanenti US$ 500'000.--, colpiti da un sequestro civile richiesto dalla società Y._, nonché al versamento di US$ 1'000'000.-- a titolo di risarcimento danni per spese legali, deprezzamento del dollaro e perdita d'interessi, per un totale di US$ 3'500'000.--, oltre interessi. banca X._ si è opposta integralmente all'azione.
A._ è deceduto il 10 luglio 2003. La Corte cantonale non ne è stata informata.
Con sentenza del 15 marzo 2004 la II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto la petizione.
Con sentenza del 15 marzo 2004 la II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto la petizione.
C. Contro tale decisione gli eredi di A._ sono insorti dinanzi al Tribunale federale, il 3 maggio 2004, sia con ricorso di diritto pubblico che con ricorso per riforma.
Con il secondo rimedio, fondato perlopiù sulla violazione dell'<ref-law>, essi hanno postulato, in via principale, la modifica della sentenza impugnata nel senso di accogliere le domande presentate con la petizione e di liberare la cauzione processuale di fr. 160'000.-- depositata in sede cantonale; in via subordinata hanno domandato il rinvio della causa all'autorità cantonale per nuovo giudizio.
Nella risposta del 13 ottobre 2004 la banca X._ ha proposto la reiezione del gravame.
Nella risposta del 13 ottobre 2004 la banca X._ ha proposto la reiezione del gravame.
D. In parziale accoglimento dell'istanza presentata dall'opponente il 25 giugno 2004, con decreto del 16 luglio 2004 il Presidente della I Corte civile del Tribunale federale ha imposto ai ricorrenti di fornire una cauzione processuale di fr. 25'000.--, somma che è stata tempestivamente versata.

Diritto:
Diritto:
1. In data odierna il parallelo ricorso di diritto pubblico è stato respinto nella misura in cui era ammissibile, per cui nulla osta all'esame del ricorso per riforma.
1. In data odierna il parallelo ricorso di diritto pubblico è stato respinto nella misura in cui era ammissibile, per cui nulla osta all'esame del ricorso per riforma.
2. I ricorrenti sono i cinquantasette eredi di A._ (due mogli con i rispettivi discendenti, nonché i figli di tre matrimoni precedenti). La loro qualità di eredi è confermata dal certificato ereditario rilasciato dall'Alta Corte di L._. Gli interessi della comunione ereditaria in questa causa sono stati affidati a quattro rappresentanti, i quali hanno a loro volta dato mandato di patrocinio allo studio legale W._. Le attestazioni versate agli atti bastano per riconoscere ai ricorrenti il diritto d'insorgere dinanzi al Tribunale federale quali successori legittimi in causa dell'attore originario. Nessuna delle parti formula invero censure a questo proposito.
2. I ricorrenti sono i cinquantasette eredi di A._ (due mogli con i rispettivi discendenti, nonché i figli di tre matrimoni precedenti). La loro qualità di eredi è confermata dal certificato ereditario rilasciato dall'Alta Corte di L._. Gli interessi della comunione ereditaria in questa causa sono stati affidati a quattro rappresentanti, i quali hanno a loro volta dato mandato di patrocinio allo studio legale W._. Le attestazioni versate agli atti bastano per riconoscere ai ricorrenti il diritto d'insorgere dinanzi al Tribunale federale quali successori legittimi in causa dell'attore originario. Nessuna delle parti formula invero censure a questo proposito.
3. Dato il tenore dell'allegato ricorsuale, prima di entrare nel merito delle tematiche ivi sollevate sono necessarie alcune precisazioni di carattere formale.
3.1 Il ricorso per riforma è ammissibile per violazione del diritto federale (art. 43 cpv. 1 OG); nel quadro di tale rimedio non possono invece essere invocate la violazione di un diritto costituzionale (art. 43 cpv. 1 seconda frase OG) o la violazione del diritto cantonale (cfr. art. 55 cpv. 1 lett. c OG).
3.2 Nella giurisdizione di riforma, il Tribunale federale fonda il suo giudizio sui fatti così come sono stati accertati dall'ultima autorità cantonale, a meno che siano state violate disposizioni federali in materia di prove (quale ad esempio l'<ref-law>), debbano venire rettificati accertamenti di fatto derivanti da una svista manifesta (art. 63 cpv. 2 OG) o si renda necessario un complemento degli stessi a norma dell'art. 64 OG (<ref-ruling> consid. 1.4 pag. 140). Tutte queste critiche e gli atti cui si riferiscono devono essere debitamente specificati (art. 55 cpv. 1 lett. b e d OG).
Fatte salve queste eccezioni, censure contro l'accertamento dei fatti e l'apprezzamento delle prove eseguiti dall'autorità cantonale sono improponibili, così come non si può far riferimento a circostanze non accertate nel giudizio impugnato, trattandosi di fatti nuovi (art. 55 cpv. 1 lett. c OG; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 106 con rinvii).
3.3 Giusta l'art. 55 cpv. 1 lett. c OG, l'allegato ricorsuale deve indicare quali sono le norme violate dalla Corte cantonale e in che misura esse non sono state rispettate.
3.4 Infine, giovi rammentare che, qualora la decisione cantonale contenga due motivazioni indipendenti, il ricorso per riforma può unicamente essere esaminato nel merito se entrambe vengono censurate (<ref-ruling> consid. 2).
3.4 Infine, giovi rammentare che, qualora la decisione cantonale contenga due motivazioni indipendenti, il ricorso per riforma può unicamente essere esaminato nel merito se entrambe vengono censurate (<ref-ruling> consid. 2).
4. In concreto, la Corte cantonale ha esaminato separatamente e ha respinto per motivi diversi le tre pretese distinte fatte valere dall'attore.
4.1 In assenza di censure al riguardo, non è necessario soffermarsi sulle ragioni che hanno portato il Tribunale d'appello a respingere le domande volte alla restituzione della somma sequestrata (US$ 500'000.--) e al risarcimento dei danni (US$ 1'000'000.--). Le ultime pagine dell'allegato ricorsuale sembrano invero contenere una frettolosa e confusa disquisizione sulla quantificazione del danno; si tratta tuttavia di argomenti inammissibili siccome fondati su circostanze prive di riscontro nella pronunzia impugnata (cfr. consid. 3.2).
4.2 La critica ricorsuale verte piuttosto sul giudizio concernente il bonifico di US$ 2'000'000.-- alla società Y._.
Nell'ambito del chiarimento delle circostanze in cui è avvenuto tale versamento, i giudici cantonali hanno preliminarmente rilevato come le testimonianze raccolte si suddividessero in due gruppi diametralmente opposti, l'uno favorevole all'attore e l'altro alla convenuta; ne hanno dedotto che l'uno o l'altro gruppo di persone non ha detto la verità. L'esame concreto degli atti istruttori ha indotto l'autorità ticinese a decidere di prediligere le deposizioni favorevoli alla convenuta - rilasciate da C._ nonché dai dirigenti della stessa, D._ e E._ - e ad ammettere, di conseguenza, che in occasione dell'incontro svoltosi il 24 settembre 1986 l'attore aveva conferito il potere di gestire il proprio conto a C._. Ciò significa ch'egli ha impartito il contestato ordine bancario in veste di rappresentante secondo l'art. 32 segg. CO. Abbondanzialmente, escludendo per ipotesi l'esistenza di una valida procura, la Corte cantonale ha stabilito che l'assenza di autorizzazione sarebbe comunque stata sanata in applicazione dell'<ref-law>, secondo cui l'estensione della facoltà di rappresentanza nei confronti di un terzo è giudicata sulla base della comunicazione a quest'ultimo. In concreto, hanno spiegato i giudici ticinesi, i tre requisiti per l'applicazione della citata norma - agire del rappresentante in nome del mandante, comunicazione della facoltà di rappresentanza e buona fede del terzo - risultano infatti adempiuti. Donde l'esclusione di una violazione contrattuale da parte della banca per aver dato seguito all'ordine di bonifico ricevuto da C._.
Nell'ambito del chiarimento delle circostanze in cui è avvenuto tale versamento, i giudici cantonali hanno preliminarmente rilevato come le testimonianze raccolte si suddividessero in due gruppi diametralmente opposti, l'uno favorevole all'attore e l'altro alla convenuta; ne hanno dedotto che l'uno o l'altro gruppo di persone non ha detto la verità. L'esame concreto degli atti istruttori ha indotto l'autorità ticinese a decidere di prediligere le deposizioni favorevoli alla convenuta - rilasciate da C._ nonché dai dirigenti della stessa, D._ e E._ - e ad ammettere, di conseguenza, che in occasione dell'incontro svoltosi il 24 settembre 1986 l'attore aveva conferito il potere di gestire il proprio conto a C._. Ciò significa ch'egli ha impartito il contestato ordine bancario in veste di rappresentante secondo l'art. 32 segg. CO. Abbondanzialmente, escludendo per ipotesi l'esistenza di una valida procura, la Corte cantonale ha stabilito che l'assenza di autorizzazione sarebbe comunque stata sanata in applicazione dell'<ref-law>, secondo cui l'estensione della facoltà di rappresentanza nei confronti di un terzo è giudicata sulla base della comunicazione a quest'ultimo. In concreto, hanno spiegato i giudici ticinesi, i tre requisiti per l'applicazione della citata norma - agire del rappresentante in nome del mandante, comunicazione della facoltà di rappresentanza e buona fede del terzo - risultano infatti adempiuti. Donde l'esclusione di una violazione contrattuale da parte della banca per aver dato seguito all'ordine di bonifico ricevuto da C._.
5. Nella prima parte del gravame, al capitolo 1, i ricorrenti invocano l'<ref-law>, che l'autorità cantonale avrebbe violato rifiutando la prova su fatti rilevanti. Vengono in particolare censurate due ordinanze sulle prove - la prima del 29 novembre 1996 e la seconda del 14 gennaio 1997 - concernenti le domande rogatoriali da sottoporre a C._ rispettivamente a F._ e G._, nell'ambito delle quali il giudice delegato avrebbe a torto modificato e in parte stralciato i quesiti proposti dalla parte attrice. Sia le contro-domande n. 26 e 27 destinate al teste C._ che le domande n. 24, 26, 27 e 28 da sottoporre ai testi F._ e G._ sono state infatti riformulate, mentre la n. 25 e la n. 29 - sempre per quest'ultimi due testi - sono state stralciate.
5.1 La critica contro le due ordinanze è ricevibile.
Il ricorso volto contro la decisione finale si estende infatti anche a quelle incidentali sulle prove che l'hanno preceduta (art. 48 cpv. 3 OG).
5.2 Come rettamente asserito dai ricorrenti, l'<ref-law> conferisce alla parte cui incombe l'onere della prova il diritto di dimostrare l'esattezza delle proprie allegazioni, a patto che i fatti allegati siano giuridicamente rilevanti e che le prove siano state proposte conformemente alle esigenze procedurali poste dal diritto cantonale, per quanto riguarda forma e contenuto (<ref-ruling> consid. 2.6 pag. 24 seg. con rinvii).
Trattandosi di una questione di diritto federale, la censura è pertanto di per sé ammissibile (art. 43 cpv. 1 OG).
5.3 I ricorrenti rimproverano all'autorità ticinese di aver modificato rispettivamente stralciato le domande e contro-domande suscettibili di provare, d'un canto, che le numerose azioni giudiziali ed arbitrali avviate dalla società Y._ e dai suoi azionisti contro C._ (così come il suo allontanamento dalle funzioni di responsabile del gruppo) andavano ricondotte, fra l'altro, a divergenze sorte tra gli azionisti (in particolare le famiglie F._ e G._) e lo stesso C._ con riferimento all'operazione che aveva coinvolto lo sceicco; la rilevanza di tali procedure sarebbe stata riconosciuta dalla Corte cantonale in un'ordinanza dell'11 agosto 1994. Le menzionate domande e contro-domande avrebbero inoltre permesso di dimostrare che anche altre operazioni effettuate da C._ con l'opponente o con la sua filiale di Nassau avevano suscitato contestazioni, per cui veniva a mancare la buona fede della banca, considerata determinante dai giudici cantonali. Da ultimo, parte attrice intendeva chiarire il contesto nel quale F._ e G._ avevano sottoscritto delle garanzie a favore della banca, in modo da poter valutare se le deposizioni da loro rese ulteriormente fossero attendibili.
5.4 Ora, all'udienza del 24 ottobre 1996, che aveva appunto per oggetto la discussione sull'opposizione presentata dall'opponente alle domande e contro-domande rogatoriali, la parte attrice si era limitata a poche allegazioni: aveva asseverato che le domande no. 24 e 25 per F._ e G._ intendevano chiarire i rapporti tra C._ e la banca, mentre la domanda n. 29 mirava a definire i motivi per i quali i citati testi avevano sottoscritto una garanzia.
Per il resto l'attore aveva dichiarato di mantenere domande e contro-domande senza spiegarne la rilevanza e senza motivare in altro modo la propria posizione. Nella misura in cui vertono su quest'ultimi quesiti le critiche si avverano pertanto d'acchito inammissibili, siccome proposte per la prima volta con il ricorso per riforma: esse si scontrano contro il divieto, sancito dall'art. 55 cpv. 1 lett. c OG, di portare allegazioni nuove davanti al Tribunale federale (<ref-ruling> consid. I/3 in fine).
Può nondimeno essere osservato - abbondanzialmente - che la formulazione abbreviata proposta dal giudice delegato, in sostituzione delle contro-domande n. 26 e 27 per il teste C._ e delle domande n. 24, 26, 27 e 28 per i testi F._ e G._, permetteva di spiegare a sufficienza i rapporti esistenti tra l'allontanamento di C._ dal gruppo società Y._, i fatti all'origine di questa causa e altre eventuali procedure giudiziarie civili o penali sorte tra di loro. Il diritto alla prova non risulta dunque disatteso.
5.5 È possibile che le domande n. 24 e 25 per i testi F._ e G._ potessero chiarire le relazioni d'affari e gli eventuali litigi sorti tra C._ e l'opponente e smentire quindi il rapporto di "completa fiducia" ch'essa sosteneva d'intrattenere. Nella sentenza impugnata la Corte cantonale si è però riferita alla fiducia della quale godeva C._ presso l'opponente - e della buona fede di quest'ultima - soltanto nell'ambito della motivazione sussidiaria, che ipotizzava l'assenza di una procura valida. La qualità di tali rapporti d'affari è invece stata del tutto ininfluente per la motivazione principale, nell'ambito della quale i giudici ticinesi hanno accertato che durante l'incontro del 24 settembre 1986 C._ aveva ricevuto la procura per gestire i conti dello sceicco. Se ne deve concludere che la prova che i ricorrenti affermano essere stata negata non verteva su fatti determinanti ai fini del giudizio.
Infine, quanto allo stralcio della domanda n. 29, anch'essa destinata ai testi F._ e G._, i ricorrenti non prendono posizione sulle ragioni che hanno indotto il giudice ad eliminarla. Essi si limitano a sostenere che l'accertamento del contesto nel quale furono firmate le garanzie avrebbe permesso di valutare l'attendibilità delle "deposizioni rese ulteriormente" dai due testimoni, delle quali però nulla dicono e nulla si sa.
5.6 Da tutto quanto esposto discende che la censura concernente la violazione dell'<ref-law> si rivela infondata in quanto ammissibile.
5.6 Da tutto quanto esposto discende che la censura concernente la violazione dell'<ref-law> si rivela infondata in quanto ammissibile.
6. Nella seconda parte del gravame i ricorrenti si prevalgono della violazione degli art. 3 e 8 CC nonché degli art. 32 segg. e 394 segg. CO. Sostengono che l'autorità cantonale, dopo aver accertato che lo sceicco aveva autorizzato C._ a gestire i propri conti bancari, avrebbe dovuto rendersi conto che si trattava di un vero e proprio mandato di gestione revocabile e che esso sarebbe stato appunto revocato con telex del 6 ottobre 1986, versato agli atti come doc. E.
In realtà, così come formulate, quelle che i ricorrenti ritengono essere censure di diritto - richiamandosi anche alla facoltà del Tribunale federale di apprezzare liberamente il valore giuridico dei fatti secondo l'art. 63 cpv. 3 OG - sono in parte critiche inammissibili rivolte contro l'apprezzamento delle prove, in parte tesi fors'anche di diritto ma fondate su fatti diversi da quelli accertati nella sentenza impugnata. I giudici ticinesi hanno infatti stabilito che l'attore aveva conferito valida procura di gestione di conti a C._, precisando che l'ordine di bonifico bancario che sta all'origine della presente causa non era in contraddizione con il doc. E. Di atti di revoca di tale procura non v'è traccia; la Corte cantonale ha piuttosto accertato che lo sceicco aveva contestato l'operazione del rappresentante solo il 28 ottobre 1986.
In realtà, così come formulate, quelle che i ricorrenti ritengono essere censure di diritto - richiamandosi anche alla facoltà del Tribunale federale di apprezzare liberamente il valore giuridico dei fatti secondo l'art. 63 cpv. 3 OG - sono in parte critiche inammissibili rivolte contro l'apprezzamento delle prove, in parte tesi fors'anche di diritto ma fondate su fatti diversi da quelli accertati nella sentenza impugnata. I giudici ticinesi hanno infatti stabilito che l'attore aveva conferito valida procura di gestione di conti a C._, precisando che l'ordine di bonifico bancario che sta all'origine della presente causa non era in contraddizione con il doc. E. Di atti di revoca di tale procura non v'è traccia; la Corte cantonale ha piuttosto accertato che lo sceicco aveva contestato l'operazione del rappresentante solo il 28 ottobre 1986.
7. In conclusione, il ricorso per riforma dev'essere respinto nella misura in cui è ricevibile.
Gli oneri processuali e le ripetibili seguono la soccombenza, con responsabilità solidale dei cinquantasette ricorrenti (art. 156 cpv. 1 e 7 nonché art. 159 cpv. 1, 2 e 5 OG). L'indennità per ripetibili a favore dell'opponente verrà versata dalla Cassa del Tribunale federale, la quale potrà attingere dalla cauzione processuale versata, sino a concorrenza dell'importo indicato qui di seguito, nel dispositivo. L'eccedenza sarà restituita ai ricorrenti.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso per riforma è respinto.
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso per riforma è respinto.
2. La tassa di giustizia di fr. 20'000.-- è posta a carico degli attori, in solido, i quali rifonderanno alla convenuta, sempre con vincolo di solidarietà, fr. 22'000.-- per ripetibili della sede federale.
2. La tassa di giustizia di fr. 20'000.-- è posta a carico degli attori, in solido, i quali rifonderanno alla convenuta, sempre con vincolo di solidarietà, fr. 22'000.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.