Faits:
A. P._, né en 1951, marié, est entré au service de l'établissement X._ en 1975. Il travaille depuis 1978 en qualité de transporteur dans le département de logistique, où il est chargé du transport interne des spécialités. R._, née en 1987, a travaillé comme apprentie gestionnaire en intendance à l'établissement X._. Son contrat a débuté le 1er septembre 2005 et a pris fin au 31 août 2009. De septembre 2005 à février 2009, elle a loué une chambre près de l'établissement.
Le 22 janvier 2009, R._ a informé la direction de l'établissement que P._ lui avait fait subir des relations sexuelles sous la contrainte. Une procédure pénale a été ouverte contre P._ pour viols, contraintes sexuelles, menaces, voies de fait commises à réitérées reprises, éventuellement abus de la détresse.
Le 22 janvier 2009 également, l'établissement X._ a ouvert à l'encontre de P._ une procédure administrative. Il a ordonné sa suspension d'activité, sans suspension de traitement. L'intéressé a été entendu les 23 janvier et 12 février 2009. Il a réfuté les accusations portées contre lui. Il a admis avoir entretenu des relations intimes avec R._ entre septembre 2006 et décembre 2007, à raison de deux à trois fois par semaine, à différentes heures de la journée, en règle générale dans la chambre que l'établissement mettait à la disposition de l'apprentie, une fois dans un local technique de l'établissement, le soir après le travail, ainsi qu'une fois tôt le matin à son domicile à G._. La plupart du temps, les relations avaient lieu durant les pauses de midi. Les amants se contactaient au moyen du téléphone portable ou du «bip» de service. L'employé a d'autre part précisé avoir appris, vers le mois de septembre 2007, que R._ avait été violée durant son adolescence et qu'elle prenait des médicaments.
Le 27 mars 2009, l'établissement X._ a prononcé le renvoi pour justes motifs de P._ avec effet au 31 mars 2009 et moyennant une indemnité correspondant à deux mois de salaire. Saisi d'un recours de P._, le Conseil d'Etat du canton de Fribourg l'a rejeté par décision du 3 novembre 2009. Il s'est fondé sur les éléments contenus dans le dossier administratif. Il a retenu que si l'établissement de relations intimes entre deux adultes relevait de la sphère privée, il convenait de tenir compte, en l'espèce, de la grande différence d'âge entre les deux partenaires, du fait que les relations (rencontres, appels, relations sexuelles) avaient eu lieu dans l'enceinte de l'établissement et, en partie tout au moins, durant les heures de travail. Le fait que R._ avait déposé une plainte pénale nuisait au bon fonctionnement et à l'image de l'établissement en raison de la tournure conflictuelle qu'avait pris la liaison, accentuée par la menace de R._ d'en révéler l'existence à l'épouse de P._, qui était également employée à l'établissement X._. La plainte pénale avait en outre donné une certaine publicité au sein du service et même à l'extérieur de l'établissement. Celui-ci, toujours selon le Conseil d'Etat, ne pouvait tolérer que son image soit «salie» auprès du public. Il ne pouvait pas davantage tolérer que la bonne marche du service fût atteinte et perturbée. En définitive, la nature des faits, leur durée et leur impact justifiaient le renvoi du responsable de ces faits, malgré la durée des rapports de service.
B. P._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal cantonal du canton de Fribourg en concluant à sa réintégration auprès de l'établissement X._, dans sa fonction antérieure ou dans un emploi équivalent au sein d'un autre département ou d'un autre site de l'établissement. Subsidiairement, il a conclu au versement par l'établissement X._ d'une indemnité équivalant à une année de traitement. Le Conseil d'Etat a conclu au rejet du recours.
Le 17 mars 2010, P._ a produit une lettre du 3 mars 2010 par laquelle le Ministère public informait la juge d'instruction chargée du dossier pénal qu'il n'entendait pas soutenir l'accusation contre P._, les nombreuses incohérences du témoignage de R._ ne permettant pas de retenir que les relations sexuelles entretenues par les parties aient été imposées par la contrainte ou par l'abus de l'état de la plaignante.
Le 13 juillet 2010, la juge d'instruction a clôturé par un non-lieu la procédure pénale ouverte à l'encontre de P._, considérant que les déclarations de R._ étaient dépourvues de crédibilité et que les charges à l'encontre du prévenu étaient en conséquence inexistantes. Par une ordonnance pénale du même jour, la juge d'instruction a reconnu R._ coupable de calomnie et de dénonciation calomnieuse. Elle l'a condamnée à une peine pécuniaire de 90 jours-amende avec sursis pendant deux ans. Les deux ordonnances ont été communiquées au tribunal cantonal.
Par ailleurs, à la demande du juge délégué, l'établissement X._ a communiqué au tribunal les cartes de timbrage de P._ et de R._ couvrant la période d'octobre 2006 à décembre 2007. Le juge a en même temps invité l'établissement à répondre à diverses questions. l'établissement a communiqué les pièces requises et a répondu aux questions posées par écriture du 12 août 2010.
Statuant le 14 septembre 2010, la Ie Cour administrative du tribunal cantonal a admis le recours. Elle a annulé la décision attaquée et renvoyé la cause à l'autorité d'engagement pour décision conformément à l'art. 41 de la loi sur le personnel de l'Etat.
C. Le Conseil d'Etat forme un recours en matière de droit public dans lequel il conclut principalement à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la confirmation des décisions de renvoi rendues par l'établissement X._ et le Conseil d'Etat. Subsidiairement, il demande que l'indemnité à verser à P._ tienne compte «des infractions aux devoirs de service commises par celui-ci». P._ conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet, le tout sous suite de frais et dépens.
D. Par ordonnance du 21 décembre 2010, le juge instructeur a attribué l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit:
1. La décision attaquée a été rendue en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation porte principalement sur la réintégration de l'intimé, il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
2. Le canton a qualité pour recourir. En effet, la jurisprudence concernant la recevabilité du recours en matière de droit public (<ref-law>, notamment 89 LTF) retient que la collectivité publique, en tant qu'employeur, n'agit certes pas au même titre qu'un particulier dans une contestation découlant de rapports de travail régis par le droit public, mais qu'elle a néanmoins un intérêt spécifique digne de protection à l'annulation ou à la modification d'une décision d'un tribunal favorable à son agent; la collectivité publique se trouve dans une situation juridique analogue à celle d'un employeur privé parce que les prestations qu'elle conteste devoir fournir pourraient être dues par tout employeur dans une situation comparable (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 206).
3. Pour le surplus, le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable, contrairement à l'opinion de l'intimé qui conclut à tort à l' «irrecevabilité des motifs du recours».
4. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313; <ref-ruling> consid 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées; à défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y sont pas contenus (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 187; <ref-ruling> consid. 1.4 et 6.2 p. 287 s.). Elle ne peut d'ailleurs demander une rectification de l'état de fait que si celle-ci est de nature à influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
5. Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir établi les faits de façon inexacte ou incomplète à différents égards.
5. Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir établi les faits de façon inexacte ou incomplète à différents égards.
5.1 Il fait tout d'abord valoir que le tribunal cantonal rapporte à tort que l'intimé a fait l'objet d'une procédure pénale pour harcèlement sexuel, alors que la procédure engagée contre lui a été ouverte pour viols, contraintes sexuelles, menaces, voies de fait commises à réitérées reprises, éventuellement abus de détresse.
S'il est exact que le jugement cantonal indique dans l'état de fait que l'intimé a fait l'objet d'une plainte pour harcèlement sexuel, le tribunal n'a fait sur ce point que reprendre l'état de fait présenté dans les décisions successives de l'établissement X._ et du Conseil d'Etat. Il n'a pas méconnu ni sous-estimé les charges qui pesaient alors sur l'intimé. Il n'y a donc pas de constatation inexacte des faits.
S'il est exact que le jugement cantonal indique dans l'état de fait que l'intimé a fait l'objet d'une plainte pour harcèlement sexuel, le tribunal n'a fait sur ce point que reprendre l'état de fait présenté dans les décisions successives de l'établissement X._ et du Conseil d'Etat. Il n'a pas méconnu ni sous-estimé les charges qui pesaient alors sur l'intimé. Il n'y a donc pas de constatation inexacte des faits.
5.2 5.2.1 Le recourant reproche par ailleurs au tribunal cantonal d'avoir totalement ignoré que quatre femmes, dont trois sont actuellement employées de l'établissement X._, se seraient plaintes de harcèlement sexuel devant la juge d'instruction. Selon le recourant, le tribunal aurait dû, en vertu de la maxime inquisitoire, constater d'office ces faits. Les témoignages en question eussent en effet donné un éclairage supplémentaire sur la personnalité de l'intéressé, dont ils souligneraient le caractère particulièrement indigne.
5.2.2 Il est exact que certains témoignages relatés dans l'ordonnance de non-lieu du 13 juillet 2010 décrivent l'intimé comme un personnage «assez collant» ou «mielleux», qui cherchait volontiers à entrer en contact physique avec les femmes et qui aurait même eu certains gestes désobligeants. On ne peut cependant pas dire que ces faits - qui ne sont d'ailleurs pas précisément situés dans le temps - ont été ignorés par le tribunal cantonal. Celui-ci a limité son examen aux griefs invoqués par l'employeur à l'appui de sa décision de licenciement. Le recourant ne démontre pas en quoi les premiers juges auraient violé le droit matériel en faisant abstraction de faits que l'employeur ne connaissait pas au moment de la décision de licenciement. Il ne prétend pas davantage que ces faits auraient conduit l'employeur, s'il les avait connus, à résilier avec effet immédiat les rapports de travail. Le grief soulevé ici est dès lors infondé.
5.3 5.3.1 Le recourant reproche au tribunal cantonal de n'avoir pas remarqué, par une simple étude comparative des horaires respectifs de P._ et de R._, qu'il existait des indices plus que suffisants pour emporter la conviction de l'employeur que des abus relatifs au temps de travail étaient fréquemment commis par l'intimé dans le cadre de sa relation avec l'apprentie.
5.3.2 En réponse à la demande du juge délégué, l'établissement X._ lui a transmis les cartes de timbrage mensuelles de P._ et de R._ pour la période d'octobre 2006 à décembre 2007. Dans son écriture du 12 août 2010, il a précisé que P._ avait toujours le même horaire et qu'il prenait sa pause-repas toujours à la même heure. De son côté, a indiqué l'établissement, R._ avait des horaires très variables. En tant qu'apprentie gestionnaire en intendance, elle était appelée à travailler en cuisine, au service de nettoyage ou encore à la buanderie et chaque service avait ses propres horaires. Elle ne pouvait guère s'absenter en dehors de sa pause de midi sans que son absence ne fût remarquée. Il était tout à fait vraisemblable que l'intimé ait eu des rapports intimes avec sa partenaire durant son temps de travail.
5.3.3 A ce propos, les premiers juges ont procédé à une analyse des déclarations respectives de l'intimé et de R._, faites au cours de la procédure pénale notamment. Ils ont admis que, même si un doute pouvait subsister, il n'existait en tout cas pas d'indices suffisants en faveur de l'existence d'un abus de la part de l'intimé relativement à son temps de travail. L'intimé était d'ailleurs décrit comme un employé consciencieux et n'avait fait l'objet d'aucune plainte dans les livraisons qu'il devait effectuer. Ces constatations échappent au grief d'arbitraire. On ne saurait donc retenir comme établie la version présentée par le recourant selon laquelle l'employé aurait commis à cet égard des abus, que ce soit en relation avec la liaison qu'il entretenait ou de manière plus générale, comme l'affirme pour la première fois devant le Tribunal fédéral le recourant. Celui-ci tente de démontrer le contraire par des faits qui pour l'essentiel n'ont pas été allégués devant l'autorité précédente et qui, par conséquent, sont irrecevables (<ref-law>).
5.3.3 A ce propos, les premiers juges ont procédé à une analyse des déclarations respectives de l'intimé et de R._, faites au cours de la procédure pénale notamment. Ils ont admis que, même si un doute pouvait subsister, il n'existait en tout cas pas d'indices suffisants en faveur de l'existence d'un abus de la part de l'intimé relativement à son temps de travail. L'intimé était d'ailleurs décrit comme un employé consciencieux et n'avait fait l'objet d'aucune plainte dans les livraisons qu'il devait effectuer. Ces constatations échappent au grief d'arbitraire. On ne saurait donc retenir comme établie la version présentée par le recourant selon laquelle l'employé aurait commis à cet égard des abus, que ce soit en relation avec la liaison qu'il entretenait ou de manière plus générale, comme l'affirme pour la première fois devant le Tribunal fédéral le recourant. Celui-ci tente de démontrer le contraire par des faits qui pour l'essentiel n'ont pas été allégués devant l'autorité précédente et qui, par conséquent, sont irrecevables (<ref-law>).
5.4 Le recourant fait encore grief aux premiers juges d'avoir retenu à tort que R._ exerçait toujours une activité au sein de l'établissement X._, d'avoir souligné que les évaluations de l'intimé avaient toujours été bonnes, quand bien même ce dernier avait admis avoir un tempérament colérique, de n'avoir pas mis en évidence le fait que l'épouse de l'intimé travaillait aussi à l'établissement X._, d'avoir omis de constater que la condamnation pour dénonciation calomnieuse a fait l'objet d'un recours de l'intéressée. La motivation du grief est ici clairement insuffisante, le recourant ne tentant pas d'établir ni même n'alléguant que la correction de ces éventuelles constatations inexactes ou incomplètes auraient permis d'aboutir à un résultat différent (cf. supra consid. 4).
5.4 Le recourant fait encore grief aux premiers juges d'avoir retenu à tort que R._ exerçait toujours une activité au sein de l'établissement X._, d'avoir souligné que les évaluations de l'intimé avaient toujours été bonnes, quand bien même ce dernier avait admis avoir un tempérament colérique, de n'avoir pas mis en évidence le fait que l'épouse de l'intimé travaillait aussi à l'établissement X._, d'avoir omis de constater que la condamnation pour dénonciation calomnieuse a fait l'objet d'un recours de l'intéressée. La motivation du grief est ici clairement insuffisante, le recourant ne tentant pas d'établir ni même n'alléguant que la correction de ces éventuelles constatations inexactes ou incomplètes auraient permis d'aboutir à un résultat différent (cf. supra consid. 4).
5.5 Pour le reste, contrairement à ce que semble croire le recourant, l'autorité précédente n'était pas tenue de reprendre et d'apprécier tous les faits contenus dans les procès-verbaux des auditions de l'intimé par l'établissement X._ ou dans l'ordonnance de non-lieu du 13 juillet 2010. Les premiers juges ont retenu l'essentiel des faits déterminants pour le litige. Partant, c'est à la lumière des faits figurant dans l'arrêt attaqué qu'il convient d'examiner si le droit a été violé. On note par ailleurs qu'au chapitre de la constatation inexacte ou incomplète des faits, le recourant soulève en réalité des griefs qui relèvent de l'appréciation des preuves (voir infra consid. 9).
6. Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal ou communal ne constitue pas un motif de recours. L'application de ce droit peut toutefois être contestée sous l'angle de sa conformité au droit constitutionnel, notamment à l'art. 9 Cst., qui consacre l'interdiction de l'arbitraire. Appelé à revoir l'application faite d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables; encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 4; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 133; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 260), ce qu'il revient à la partie recourante de démontrer conformément aux exigences de motivation déduites de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 400).
7.1 Sous le titre «Renvoi pour de justes motifs», l'art. 44 de la loi sur le personnel de l'Etat du 17 octobre 2001 (LPers; RS/FR 122.70.1) prévoit ceci:
1En cas de manquements graves ou répétés aux devoirs de service, ou pour d'autres circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de l'autorité d'engagement le maintien des rapports de service, l'autorité d'engagement peut décider du renvoi pour de justes motifs du collaborateur ou de la collaboratrice.
2La décision de renvoi a un effet immédiat.
2La décision de renvoi a un effet immédiat.
7.2 La résiliation immédiate pour justes motifs est une mesure exceptionnelle. Conformément aux principes dégagés par la jurisprudence du droit privé (mais qui peuvent être appliqués par analogie au droit de la fonction publique; arrêts 8C_170/2009 du 25 août 2009 consid. 4.2.2 et 1C_142/2007 du 13 septembre 2007 consid. 6.4), elle doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués à l'appui d'un renvoi immédiat doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave du travailleur justifie le licenciement immédiat; si le manquement est moins grave, il ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 31; 213 consid. 3.1 p. 220; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 382). Par manquement du travailleur, on entend en règle ordinaire la violation d'une obligation découlant du contrat de travail (<ref-ruling> consid. 4a p. 354 et les arrêts cités), mais d'autres incidents peuvent aussi justifier une résiliation immédiate lorsque ceux-ci rendent peu envisageable le maintien de la relation de service (ATF <ref-ruling> consid. 2.2 p. 382; arrêt 1C_142/2007, précité, consid. 6.4; sur l'ensemble de la question, voir également Harry Nötzli, Die Beendigung von Arbeitsverhältnissen im Bundespersonalrecht, Berne 2005, p. 151 ss no 242 ss; Tercier/Favre/Eigenmann, Les contrats spéciaux, 2009, p. 559 ss no 3748 ss; Marie-Noëlle Venturi-Zen-Ruffinen, La résiliation pour justes motifs des contrats de durée, 2007, p. 198 ss no 526 ss).
8. En l'espèce, les premiers juges ont considéré que l'on ne pouvait reprocher à l'intimé d'avoir entretenu une liaison avec une partenaire majeure et consentante. En effet, l'existence de relations intimes entre agents de la fonction publique relève de la sphère privée, sauf si elle entrave la bonne marche du service, notamment si la liaison dégénère ou menace de dégénérer en scandale au point de porter atteinte à la réputation de l'établissement. Tel n'était pas le cas en l'espèce. Quand au risque théorique que pouvait représenter la coexistence dans un même service de deux ex-amants, il ne justifiait pas un licenciement préventif: au besoin, l'employeur disposait d'autres moyens pour ramener le calme. En définitive, la liaison entre l'intimé et l'apprentie ne représentait aucune particularité propre à menacer le fonctionnement de l'établissement et ne constituait pas une atteinte telle à la morale ordinaire que le scandale allait nécessairement rejaillir sur la fonction publique.
Par ailleurs, toujours selon la juridiction cantonale, même si l'on pouvait avoir des soupçons à cet égard, on ne pouvait pas tenir pour établi que les partenaires aient entretenu des relations intimes pendant le temps de travail de l'intimé. On ne pouvait pas non plus retenir à la charge de ce dernier que les relations sexuelles ont été entretenues dans la chambre que louait R._. Bien que celle-ci se trouvât dans l'enceinte de l'établissement X._, l'apprentie était libre, en l'absence d'un règlement de maison contraire, de recevoir dans sa chambre qui elle voulait. S'il est vrai, d'autre part, que les faits incriminés ont eu lieu à une reprise au moins (plusieurs fois selon les allégations de R._) dans un local technique de l'établissement, il n'en restait pas moins que les partenaires n'avaient pas été surpris. Cette circonstance ne justifiait donc pas une réaction a posteriori de l'employeur. Celui-ci devait garder mesure et respecter le principe de proportionnalité.
Les premiers juges ont aussi tenu compte du fait que l'intimé avait à son actif plus de trois décennies de bons et loyaux services. Ils ont conclu qu'au-delà de la dénonciation pénale calomnieuse de l'apprentie, la relation intime clandestine n'avait pas eu de conséquences sur le service et n'avait pas été de nature à créer un scandale. L'utilisation abusive des locaux de service à l'une ou l'autre occasion (venue à la connaissance de l'employeur après coup) et les doutes qui subsistaient sur le point de savoir si les rencontres avaient toujours eu lieu hors du temps de travail ne justifiaient pas un licenciement immédiat d'un collaborateur après autant d'années de service. D'autres mesures, moins incisives, auraient permis à l'employeur de marquer clairement sa désapprobation et, au besoin, de rappeler le collaborateur à ses devoirs.
9.1 Sur la base des faits ainsi retenus, cette conclusion ne procède pas d'une application arbitraire de la réglementation précitée en matière de renvoi immédiat ni n'aboutit à un résultat insoutenable.
9.1.1 Comme le fait observer la juridiction cantonale, une liaison extraconjugale dans un contexte professionnel n'est pas en soi un motif de licenciement immédiat, dans la mesure tout au moins où les relations de travail ne sont pas perturbées (cf. ATF <ref-ruling> consid. 3.1 p. 383). Elles le seraient, par exemple, dans le cas d'une liaison tapageuse ou conflictuelle qui serait propre à créer des tensions au travail. Une liaison au travail peut induire un mélange entre la vie personnelle et professionnelle qui peut s'avérer difficilement gérable, spécialement dans des activités qui exigent une coopération avec d'autres personnes. En l'espèce, rien de tel n'est reproché à l'intimé, la liaison ayant d'ailleurs pris fin avant qu'elle ne soit portée à la connaissance de l'employeur et des autres collaborateurs. Au demeurant, n'importe quelle perturbation dans l'entreprise ne suffit pas à justifier le licenciement immédiat d'un travailleur en raison de tensions de ce type. L'employeur ne peut adopter cette solution extrême qu'en présence d'une perturbation grave, éventuellement après avoir introduit sans succès les mesures que l'on pouvait raisonnablement attendre de lui, telles que des modifications de son organisation (cf. arrêt 4C.431/2005 du 31 janvier 2006 consid. 3).
9.1.2 Les circonstances particulières invoquées par le recourant ne suffisent pas pour justifier un licenciement immédiat. En ce qui concerne la différence d'âge, il s'agit d'un facteur purement subjectif qui relève de choix personnels dans lesquels l'Etat-employeur ne saurait guère s'immiscer. Quant au fait que la jeune femme avait à l'époque un statut d'apprentie, il n'apparaît pas décisif, à tout le moins dans la mesure où elle ne se trouvait pas dans un rapport de formation avec l'intimé. Enfin, on ne peut pas déduire du fait que la jeune femme consommait des médicaments et qu'elle avait été dans le passé victime d'un viol que son partenaire exerçait sur elle une pression psychologique. D'ailleurs, selon les constatations du jugement attaqué, ces faits n'ont été révélés à l'intimé qu'au mois de septembre 2007, soit bien après que la liaison a été nouée.
9.1.3 Le recourant a insisté et insiste sur la préservation de l'image de l'établissement, tant à l'intérieur de celui-ci que vis-à-vis de l'extérieur. On relèvera toutefois à ce propos que l'ensemble des personnes de l'établissement et le public en général n'étaient pas censés connaître l'existence de la liaison, qui, du reste, ne présentait aucun intérêt pour le public. Si elle a pu recevoir une certaine publicité, c'est en raison de la dénonciation - injustifiée si l'on se réfère aux ordonnance pénales - de l'apprentie à l'encontre de l'intimé. Celui-ci n'en est pas responsable.
9.1.3 Le recourant a insisté et insiste sur la préservation de l'image de l'établissement, tant à l'intérieur de celui-ci que vis-à-vis de l'extérieur. On relèvera toutefois à ce propos que l'ensemble des personnes de l'établissement et le public en général n'étaient pas censés connaître l'existence de la liaison, qui, du reste, ne présentait aucun intérêt pour le public. Si elle a pu recevoir une certaine publicité, c'est en raison de la dénonciation - injustifiée si l'on se réfère aux ordonnance pénales - de l'apprentie à l'encontre de l'intimé. Celui-ci n'en est pas responsable.
9.2 9.2.1 Le recourant se plaint d'une violation arbitraire de l'art. 56 al. 3 LPers, selon lequel le collaborateur ou la collaboratrice, par son comportement, doit se montrer digne de la confiance et de la considération que sa fonction, en tant qu'agent ou agente des services publics, lui confère. Selon le recourant, l'ensemble des circonstances dans lesquelles s'est déroulée la relation entre l'intimé et la jeune femme dénotait une violation flagrante du devoir de dignité qui incombe au personnel de l'Etat selon cette disposition. Le recourant invoque également l'art. 4 LPers qui définit le but de la politique du personnel en se fondant sur un certain nombre de principes, notamment le respect de l'intégrité du collaborateur ou de la collaboratrice et son épanouissement professionnel. Le recourant soutient que, dans cette perspective, l'employeur est également en droit d'exiger de ses propres collaborateurs qu'ils aient entre eux le même respect de cette intégrité et ne portent pas préjudice à l'épanouissement professionnel de l'autre. Or, l'intimé aurait manqué à cette obligation, dans une mesure bien plus importante que R._, compte tenu de son âge, de son expérience de la vie et de son statut d'agent du service public depuis de nombreuses années.
9.2.2 On ne peut cependant pas déduire de ces dispositions à caractère général une règle précise qui interdirait à un collaborateur d'entretenir une liaison au travail, dont on ne saurait en l'espèce affirmer, en dépit des particularités relevées par le recourant, qu'elle représentait une violation des principes susmentionnés ou une atteinte à la morale incompatible avec le devoir de dignité auquel la loi soumet les agents publics. Certes, comme représentants de l'Etat à l'égard des citoyens, les agents de la fonction publique sont tenus par un devoir de dignité, pouvant affecter même leur vie privée. Ce devoir ne saurait toutefois dépasser ce qui est requis pour la correcte exécution de leurs tâches et dépend de la position occupée et de la nature des fonctions (PIERRE MOOR, Droit administratif, Berne 1992, vol. III, n. 5.3.3.2 p. 231). En l'espèce, on ne voit pas qu'il y ait eu de relation qualifiée entre le comportement reproché et la fonction, au demeurant tout à fait subalterne, occupée par l'intimé.
10.
10.1 Le recourant reproche au tribunal cantonal de n'avoir pas tenu compte des règles spécifiques de la LPers concernant la résiliation des rapports de service. Il relève à cet égard que, contrairement aux règles du Code des obligations, la résiliation ordinaire des rapports de service (art. 37 à 40 LPers) n'est possible qu'au terme d'un processus qui dure au minimum sept à huit mois et passe obligatoirement par l'envoi d'un avertissement préalable. Par conséquent, lorsque de justes motifs de renvoi sont objectivement réunis, et qu'il y aurait un doute sur le maintien ou non des rapports de service, l'autorité saisie devrait, selon le recourant, privilégier le renvoi immédiat plutôt que le simple avertissement, qui implique le maintien probablement durable des rapports de service.
10.2 Le recourant émet ici des considérations d'ordre général qui ne sont pas aptes à démontrer une application arbitraire par l'autorité précédente de la législation cantonale. Le droit de la fonction publique n'est pas régi par les mêmes règles que le droit privé. Il se caractérise en général par le fait qu'il accorde aux fonctionnaires une protection accrue - voulue par le législateur - contre le licenciement. Que les conditions d'une résiliation ordinaire obéissent en droit public à des règles qui impliquent une certaine longueur de procédure ne justifie pas de les contourner par une application extensive de la réglementation relative au renvoi immédiat pour justes motifs, dont les conditions sont clairement fixées à l'art. 44 LPers.
11. L'art. 41 LPers règle les conséquences d'un licenciement injustifié. Lorsque les motifs de licenciement se révèlent injustifiés, le collaborateur ou la collaboratrice est maintenu(e) dans sa fonction. Toutefois, s'il y a eu cessation de fait des rapports de service et qu'une réintégration du collaborateur ou de la collaboratrice n'est plus possible, celui-ci ou celle-ci a droit à une indemnité dont le montant maximal est égal à une année de traitement. L'art. 45 al. 4 LPers, qui se rapporte au renvoi immédiat pour justes motifs, prévoit que les conséquences d'un renvoi injustifié sont réglées conformément à l'art. 41 précité. Sur la base de cette réglementation, les premiers juges ont renvoyé l'affaire à l'autorité d'engagement pour qu'elle ordonne soit la réintégration de son agent, soit son indemnisation, conformément à l'art. 41 LPers. Elle a cependant relevé que, compte tenu de la gravité des conséquences d'un licenciement intervenant à l'âge de 59 ans et du rang subalterne qu'occupait l'intimé, des exigences élevées devraient être posées pour la démonstration d'une éventuelle impossibilité de le réintégrer sur un autre site.
A ce stade, il est prématuré de se prononcer sur l'une ou l'autre des éventualités envisagées à l'art. 41 LPers. La question devra préalablement être tranchée par l'autorité de nomination. Le fait que les premiers juges, dans leurs considérants, ont mentionné qu'une réintégration apparaissait mieux appropriée ne justifie pas que le Tribunal fédéral se saisisse maintenant de la question. Au reste, le dispositif du jugement attaqué ne renvoie pas à ses motifs. Il n'est dès lors pas contraignant pour l'autorité de nomination (cf. arrêt 9C_703/2009 du 30 octobre 2009 consid. 2.2).
12. De ce qui précède, il résulte que le recours est mal fondé. Succombant, le recourant supportera les frais de justice (<ref-law>). Il versera en outre une indemnité de dépens à l'intimé, qui obtient gain de cause (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimé une indemnité de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ie Cour administrative.
Lucerne, le 17 février 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd