Faits:
A.
X._ est titulaire, depuis le 11 juillet 2005, du diplôme national de docteur en médecine de l'Université de Sfax (Tunisie). Il a accompli des périodes de formation postgrade en médecine physique et de réadaptation en Tunisie et en France entre 2005 et 2008, ainsi qu'en Suisse, dès octobre 2008.
Le 26 novembre 2009, X._ a déposé auprès de la Commission des titres de la Fédération des médecins suisses [FMH] (ci-après: la Commission des titres) une demande portant sur la structure et la validation de sa formation postgrade, ainsi que sur les éventuels compléments nécessaires en vue d'être en mesure de se présenter à l'examen fédéral de spécialiste en médecine physique et de réadaptation.
Par décision du 13 juillet 2010, la Commission des titres a considéré que la formation postgrade spécifique de l'intéressé pour le titre de spécialiste requis pouvait être reconnue, sous réserve de la signature, par les responsables de l'établissement de formation, des deux certificats attestant une formation en Suisse. En revanche, il manquait à l'intéressé une année de formation postgrade non spécifique, à savoir de médecine interne générale effectuée dans des établissements de formation postgrade reconnus de catégories A et B. La décision attirait en outre l'attention de X._ sur la nécessité d'attester encore, notamment, la réussite de l'examen de spécialiste, en précisant que seuls étaient admis à cet examen les candidats qui possédaient le diplôme fédéral de médecin ou un diplôme étranger de médecin reconnu. Au surplus, il était indiqué à l'intéressé qu'il trouverait des informations concernant l'inscription et l'organisation de l'examen de spécialiste sur le site Internet de la FMH.
Le 12 août 2010, X._ a formé opposition contre cette décision auprès de la Commission d'opposition pour les titres de formation postgraduée de la FMH (ci-après: la Commission d'opposition) en concluant à son annulation et à ce qu'il soit constaté qu'il remplissait l'ensemble des conditions exigées pour se présenter à l'examen de spécialiste en médecine physique et de réadaptation.
Le 20 mai 2011, la Commission d'opposition a rejeté l'opposition formée par X._.
B.
Le 29 août 2011, X._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif fédéral. Il concluait à l'annulation de la décision attaquée et à ce qu'il soit constaté qu'il remplissait l'ensemble des conditions exigées pour se présenter à l'examen de spécialiste en médecine physique et de réadaptation.
Par arrêt du 12 mars 2013, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours de X._. Il a retenu, en substance, que les stages d'internat effectués par l'intéressé entre 2000 et 2002 étaient antérieurs à l'obtention de son diplôme de docteur en médecine, de sorte qu'ils ne pouvaient être validés au titre de la formation postgrade. En ce qui concernait les activités médicales déployées par l'intéressé entre le 1 er juillet 2003 et le 30 juin 2004, il a relevé que les attestations produites n'étaient pas suffisamment précises pour prouver que ces activités étaient équivalentes à une année en médecine interne générale. En lien avec l'exigence d'être titulaire d'un diplôme fédéral de médecin ou d'un diplôme de médecin étranger reconnu pour pouvoir se présenter à l'examen de spécialiste, le Tribunal administratif fédéral a retenu que les griefs du recourant pour s'opposer à l'application des dispositions réglementaires pertinentes devaient être écartés. Il a en particulier relevé qu'on ne pouvait retenir un quelconque manquement dans l'information fournie par les instances de la FMH qui constituerait une violation du principe de la bonne foi. Enfin, il a rejeté le grief d'inégalité de traitement soulevé par le recourant, qui se prévalait de la situation de deux autres médecins tunisiens qui auraient été traités différemment par la Commission des titres.
C.
Par acte du 2 mai 2013, X._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce qu'il soit dit qu'il est en droit de se voir attribuer le diplôme fédéral de médecin et à ce qu'il soit en droit de terminer son cursus et d'obtenir le titre de spécialiste en médecine physique et de réadaptation.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer. La FMH conclut à l'irrecevabilité des conclusions et moyens de preuve nouveaux et au rejet du recours en tant qu'il porte sur la période manquante de formation postgrade non spécifique en médecine interne générale. Elle ajoute que la question de l'admission du recourant à l'examen de spécialiste est devenue sans objet, l'intéressé ayant par erreur été admis à cet examen et l'ayant réussi.
Par courrier du 26 juin 2013, le recourant a fait parvenir au Tribunal fédéral différents documents supplémentaires.

Considérant en droit:
1.
Le présent recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt entrepris, qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, de sorte qu'il faut lui reconnaître la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Il est dirigé contre une décision rendue par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). La présente cause relève par ailleurs du droit public au sens de l'<ref-law> (cf. arrêt 2C_736/2010 du 23 février 2012 consid. 1.1).
Aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'est réalisée. Selon l'art. 83 let. t LTF plus particulièrement, le recours est exclu lorsque le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités sont contestés. En revanche, lorsque, comme en l'espèce, il porte sur la question de la validation des conditions formelles d'admission à un examen ou à la délivrance d'un titre, il ne s'agit pas d'évaluer les aptitudes du recourant (cf. arrêt 2C_622/2012 du 17 juin 2013 consid. 1.1). Dans ces conditions, l'art. 83 let. t LTF n'est pas applicable, de sorte que la voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte.
2.
Devant le Tribunal fédéral, les conclusions nouvelles sont irrecevables (<ref-law>). Accueillir des conclusions nouvelles reviendrait à admettre que le Tribunal fédéral puisse fonctionner à la fois comme première et ultime instance (Bernard Corboz, ad <ref-law>, in Commentaire LTF, n. 29 p. 964). Une conclusion est nouvelle dès lors qu'elle n'a pas été soumise à l'autorité précédente et qu'elle tend à élargir l'objet de la contestation telle que déterminée par la décision attaquée (cf. arrêt 2C_649/2013 du 16 juillet 2013 consid. 4; s'agissant spécifiquement de la juridiction administrative, cf. <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 426).
Il ressort de l'arrêt attaqué que, dans sa demande initiale du 26 novembre 2009 auprès de la Commission des titres de la FMH, le recourant demandait des informations à propos de la structure et de la validation de sa formation postgrade, ainsi que sur les éventuels compléments nécessaires "en vue d'être en mesure de se présenter à l'examen fédéral de spécialiste en médecine physique et de réadaptation". Par la suite, à savoir tant dans son opposition du 12 août 2010 que dans son recours auprès du Tribunal administratif fédéral du 29 août 2011, le recourant, agissant alors par l'entremise d'un avocat, a toujours conclu à ce qu'il soit constaté qu'il "remplit l'ensemble des conditions exigées en vue de se présenter à l'examen de spécialiste en médecine physique et de réadaptation". L'arrêt attaqué envisage du reste ces conclusions. Devant le Tribunal fédéral, le recourant prend toutefois d'autres conclusions et demande à présent qu'il soit constaté qu'il a droit à l'attribution du diplôme fédéral de médecin et le droit de terminer son cursus et d'obtenir le titre de spécialiste en médecine physique et de réadaptation.
De telles conclusions nouvelles ont pour résultat d'élargir l'objet du litige. La procédure n'a jamais porté sur le point de savoir si le recourant pouvait prétendre au diplôme fédéral de médecin. Comme l'a retenu à juste titre le Tribunal administratif fédéral, la Commission d'opposition n'a pas statué sur le point de savoir si le recourant disposait ou non d'un diplôme fédéral de médecin ou d'un diplôme de médecin étranger reconnu, mais a seulement rappelé que le recourant devait respecter cette exigence pour se présenter à l'examen de spécialiste. L'arrêt attaqué ne fait que confirmer cette position. Quant à la conclusion portant sur le droit du recourant à terminer son cursus et à obtenir un titre de spécialiste, elle n'a non plus jamais été envisagée dans la procédure précédente et dépasse donc aussi l'objet du litige.
3.
Au demeurant, même si l'on se montrait peu formaliste, pour tenir compte du fait que le recourant comparaît désormais en personne devant le Tribunal fédéral, et à supposer que l'on admette qu'en définitive, l'intéressé voulait prendre les mêmes conclusions que devant les instances inférieures, la Cour de céans ne pourrait davantage entrer en matière. En effet, selon les informations et documents remis par l'intimée dans sa réponse, qui peuvent être pris en compte dès lors que, pour déterminer la recevabilité du recours, le Tribunal fédéral se base en principe sur la situation de fait et de droit qui existe lorsqu'il rend son arrêt (arrêt 2C_537/2009 du 31 mars 2010 consid. 2.2.1), le recourant a pu se présenter et a du reste réussi l'examen pour l'obtention du titre de médecin spécialiste en médecine physique et de réadaptation le 7 juin 2013. Cet élément, survenu alors que la cause étant pendante devant la Cour de céans, rendrait donc de toute façon le recours, à supposer que l'on admette qu'il visait toujours la possibilité pour le recourant de se présenter à l'examen de spécialiste concerné, sans objet (cf. arrêt 2C_825/2011 du 25 avril 2012 consid. 1.5).
4.
Dans ces conditions, le recours ne peut qu'être déclaré irrecevable.
5.
Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant qui succombe (<ref-law>). La FMH agissant en qualité d'organisation chargée de tâches de droit public dans la présente procédure (cf. arrêt 2C_736/2010 du 23 février 2012 consid. 1.3), elle ne peut prétendre à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Fédération des médecins suisses (FMH), ainsi qu'au Tribunal administratif fédéral, Cour II.
Lausanne, le 30 août 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton