Sachverhalt:
A.
Die Y._ AG ist Eigentümerin der ehemaligen Dépendance des Hotels Z._ in Interlaken. Das im Jahr 1901 erstellte Gebäude am Weg A._ Nr. www liegt auf Parzelle Nr. 922 in der Hotelzone HA. Es ist im Inventar der schützenswerten Ortsbilder der Schweiz (ISOS) als Einzelobjekt und als Teil des schützenswerten Gebiets G1 "Weg A._" sowie im Bauinventar der Gemeinde Interlaken als schützenswertes Baudenkmal und Teil der Baugruppe H verzeichnet. Die ehemalige Dépendance steht seit dem Brand des Hotels Z._ im Jahre 1971 leer und ist baufällig. Sie wurde in den 1990er-Jahren zum Abbruch freigegeben, allerdings nur unter der Bedingung, dass der Neubau eines Hotels an gleicher Stelle tatsächlich und rechtlich sichergestellt sei. Damals stand noch die Erhaltung des vorerst geretteten, repräsentativen Saals des abgebrannten Hotels (Weg A._ Nr. vvv) im Vordergrund; dieser wurde nach Pilzbefall im Jahre 2004 abgebrochen. Von den Bewilligungen zum Abbruch der ehemaligen Dépendance (unter Bedingungen) wurde kein Gebrauch gemacht.
Am 10. März 2010 ersuchte die Y._ AG erneut um die Erlaubnis, das Dépendance-Gebäude abzubrechen. Dagegen erhob der Verein X._ Einsprache. Am 16. Juli 2010 erteilte die Einwohnergemeinde (EG) Interlaken die Abbruchbewilligung und wies die Einsprache ab.
B.
Hiergegen erhob die X._ zunächst mit Erfolg Beschwerde bei der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern, welche die Angelegenheit zur weiteren Behandlung an die Gemeinde zurückwies. Am 24. Mai 2011 bewilligte die EG Interlaken den Gebäudeabbruch erneut. Die im Anschluss daran erhobene Beschwerde der X._ wies die kantonale Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion ab, soweit sie darauf eintrat. Daraufhin führte die X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 5. Juli 2013 ebenfalls ab, soweit es darauf eintreten konnte. In seinen Erwägungen hielt das Verwaltungsgericht fest, die ehemalige Dépendance sei zweifelsfrei als schützenswertes Baudenkmal zu qualifizieren. Ein Abbruchverbot stelle jedoch eine Eigentumsbeschränkung dar, die nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> und Art. 28 der Kantonsverfassung zulässig sei. Zwar seien die Voraussetzungen der gesetzlichen Grundlage zum Schutz des Gebäudes und des öffentlichen Interesses daran erfüllt. An der Frage der Verhältnismässigkeit scheitere jedoch eine Erhaltungspflicht. Ein Fachgutachten habe aufgezeigt, dass die wirtschaftlich sinnvolle Hotelnutzung des Gebäudes nicht möglich sei und bei jeder Nutzungsvariante mit beträchtlichen Verlusten gerechnet werden müsste. Angesichts der Umstände könne der Eigentümerin auch nicht vorgeworfen werden, sie habe den gebotenen Unterhalt des Gebäudes vernachlässigt. Ein Abbruchverbot wäre deshalb nicht zumutbar.
C.
Mit Eingabe vom 2. September 2013 führt die X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragt namentlich, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Abbruchbewilligung zu verweigern. Weiter hält sie dafür, es seien weitere Gutachten und Stellungnahmen von eidgenössischen Instanzen einzuholen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung beizulegen und die Beschwerdegegnerin sei zu vorsorglichen Massnahmen zur Erhaltung des Gebäudes zu verpflichten.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Vorinstanz schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Umwelt hat zuständigkeitshalber auf die Bemerkungen des Bundesamts für Kultur verwiesen, welches an die kultur- und architekturhistorische Sonderstellung des Gebäudes erinnert und ausführt, der Bund könnte auf Gesuch hin denkmalpflegerische Massnahmen mit Finanzhilfe unterstützen. Die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die EG Interlaken hat sich nicht vernehmen lassen.
Mit Verfügung vom 11. Oktober 2013 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Begehren um Erlass vorsorglicher Anordnungen hinsichtlich der aufschiebenden Wirkung gutgeheissen und im Übrigen abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Gemäss <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht auch auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu keinen Ausschlussgrund (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 251). Der kantonal letztinstanzliche Endentscheid des Verwaltungsgerichts unterliegt daher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Umstritten ist indessen die Befugnis der Beschwerdeführerin, dieses Rechtsmittel zu ergreifen.
2.
2.1. Organisationen sind zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wenn ihnen ein Bundesgesetz dieses Recht einräumt (<ref-law>). Gemäss Art. 12 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 1. Juli 1966 über den Natur- und Heimatschutz (NHG; SR 451) steht gesamtschweizerisch tätigen Organisationen, die sich seit mindestens zehn Jahren statutarisch festgelegt dem Naturschutz, dem Heimatschutz, der Denkmalpflege oder verwandten Zielen widmen und rein ideelle Zwecke verfolgen, ein solches Beschwerderecht zu (sog. Verbandsbeschwerde). Der Bundesrat bezeichnet die zur Beschwerde legitimierten Organisationen (<ref-law>). Die X._ ist in der bundesrätlichen Verordnung vom 27. Juni 1990 über die Bezeichnung der im Bereich des Umweltschutzes sowie des Natur- und Heimatschutzes beschwerdeberechtigten Organisationen (VBO; SR 814.076) aufgeführt (Nr. 9 des Anhangs zur VBO). Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts steht die Verbandsbeschwerde jedoch nur offen, soweit der angefochtene Entscheid die Erfüllung einer Bundesaufgabe im Sinne von <ref-law> und <ref-law> betrifft (<ref-ruling> E. 3 S. 272 f. mit Hinweisen).
2.2. Gemäss <ref-law> sind für den Natur- und Heimatschutz grundsätzlich die Kantone zuständig; Bundeskompetenzen bestehen im Bereich des Biotop- und Artenschutzes (Abs. 4) und zum Schutz von Mooren und Moorlandschaften von nationaler Bedeutung (Abs. 5). Gemäss <ref-law> nimmt der Bund jedoch bei der Erfüllung seiner Aufgaben Rücksicht auf die Anliegen des Natur- und Heimatschutzes und schont Landschaften, Ortsbilder, geschichtliche Stätten sowie Natur- und Kunstdenkmäler; er erhält sie ungeschmälert, wenn das öffentliche Interesse es gebietet.
Wann die Rücksichtsnahme- und Erhaltungspflicht als Bundesaufgabe zu verstehen ist, führt <ref-law> in nicht abschliessender Weise aus: Dazu gehören insbesondere die Planung, Errichtung und Veränderung von Werken und Anlagen durch den Bund, seine Anstalten und Betriebe, wie Bauten und Anlagen der Bundesverwaltung, Nationalstrassen oder Bauten und Anlagen der Schweizerischen Bundesbahnen (lit. a), die Erteilung von Konzessionen und Bewilligungen, wie zum Bau und Betrieb von Verkehrsanlagen und Transportanstalten, von Werken und Anlagen zur Beförderung von Energie, Flüssigkeiten oder Gasen oder zur Übermittlung von Nachrichten sowie Bewilligungen zur Vornahme von Rodungen (lit. b) sowie die Gewährung von Beiträgen an Planungen, Werke und Anlagen, wie Meliorationen, Sanierungen landwirtschaftlicher Bauten, Gewässerkorrektionen, Anlagen des Gewässerschutzes und Verkehrsanlagen (lit. c). Entscheide kantonaler Behörden über Vorhaben, die voraussichtlich nur mit Beiträgen nach Absatz 1 Buchstabe c verwirklicht werden, sind der Erfüllung von Bundesaufgaben gleichgestellt (<ref-law>).
Nach ständiger Rechtsprechung kann eine Bundesaufgabe auch dann vorliegen, wenn eine kantonale Behörde verfügt hat (vgl. die Aufzählung in <ref-ruling> E. 9.2 S. 273 f.). Voraussetzung ist jedoch, dass die Verfügung eine Rechtsmaterie betrifft, die in den Zuständigkeitsbereich des Bundes fällt, bundesrechtlich geregelt ist und einen Bezug zum Natur-, Landschafts- und Heimatschutz aufweist. Das ist einerseits der Fall, wenn die bundesrechtliche Regelung (zumindest auch) den Schutz von Natur, Landschaft oder Heimat bezweckt; andererseits ist eine Bundesaufgabe zu bejahen, wenn der bundesrechtliche Auftrag die Gefahr der Beeinträchtigung schützenswerter Natur, Orts- und Landschaftsbilder in sich birgt (<ref-ruling> E. 9.3 und 9.4 S. 274 f. mit Hinweisen auf die Lehre und Rechtsprechung).
Im Bereich des Bau- und Raumplanungsrechts sind grundsätzlich die Kantone zuständig (<ref-law>). Eine Bundesaufgabe ist indessen auch in diesem Bereich gegeben, soweit es um Bewilligungen, Teilbewilligungen, Ausnahmen oder entscheidrelevante Gesichtspunkte - auch in Nutzungsplänen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 332 mit Hinweisen) - geht, deren Voraussetzungen das Bundesrecht konkret regelt und die den notwendigen Bezug zum Natur-, Landschafts- und Heimatschutz haben. Dazu gehören zum Beispiel Ausnahmebewilligungen für Bauten ausserhalb des Baugebiets (Art. 24 ff. RPG; <ref-ruling> E. 4b S. 74 ff.) oder die damit im Zusammenhang stehende Festsetzung von Kleinbauzonen (Urteil 1C_153/2007 vom 6. Dezember 2007 E. 1.3 und 3.1 mit Hinweisen), Bewilligungen für Zivilschutzbauten (Urteil 1A.231/1998 vom 12. Juli 1999 E. 1b/bb, in: RDAF 2000 I S. 141 und URP 2000 S. 659) und Mobilfunkantennen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 547 f. mit Hinweisen) sowie Baubewilligungen für Zweitwohnungen in Gemeinden mit einem Zweitwohnungsanteil von mehr als 20 % (<ref-law>; <ref-ruling> E. 11.2 S. 277 f.).
2.3. Nach <ref-law> erstellt der Bund nach Anhörung der Kantone Inventare von Objekten von nationaler Bedeutung. Gestützt auf diese Vorschrift hat der Bundesrat das Bundesinventar der schützenswerten Ortsbilder der Schweiz (ISOS) erlassen und die ehemalige Dépendance darin aufgenommen (vgl. Sachverhalt lit. A hiervor). Die Aufnahme einer Baute in das Bundesinventar gemäss der einschlägigen Verordnung vom 9. September 1981 (VISOS; SR 451.12) bedeutet indessen nicht, dass ihr Schutz oder der Schutz der zugehörigen inventarisierten Baugruppe damit zur Bundesaufgabe wird (<ref-ruling> E. 2.1 S. 212; Urteil 1A.11/2007 / 1P.23/2007 vom 16. Mai 2007 E. 2). Durch die Aufnahme eines Objekts in das Bundesinventar wird zwar dargetan, dass es als Objekt von nationaler Bedeutung in besonderem Masse die ungeschmälerte Erhaltung oder jedenfalls grösstmögliche Schonung verdient (<ref-law>). Die Aufnahme hat auch zur Folge, dass ein Abweichen von der ungeschmälerten Erhaltung bei der Erfüllung einer Bundesaufgabe nur in Erwägung gezogen werden darf, wenn ihr bestimmte gleich- oder höherrangige Interessen von ebenfalls nationaler Bedeutung entgegenstehen (<ref-law>). Das Bundesinventar kommt seiner Natur nach aber einem Sachplan oder Konzept im Sinne von Art. 13 RPG gleich (<ref-ruling> E. 2.1 S. 213; Urteil 1C_470/2009 vom 3. Mai 2010 E. 3.3). Die Kantone sind verpflichtet, das ISOS bei der Erstellung ihrer Richtpläne nach den Art. 6-12 RPG zu berücksichtigen (<ref-law>). Richtpläne haben im Sinne von Planungsgrundlagen jedoch bloss behördenverbindliche Wirkung (Art. 9 Abs. 1 RPG). Die konkrete Umsetzung des ISOS in der Form einer allgemein (und auch für Grundeigentümer) verbindlichen Regelung des Ortsbild- und Denkmalschutzes bleibt damit - wie die Vorinstanz richtig festgehalten und ihrer Beurteilung zugrunde gelegt hat (E. 3.2.1 und 3.2.2 des angefochtenen Urteils) - dem kantonalen Recht überlassen. Sie muss auf dem Weg über die Nutzungsplanung (Art. 14 ff. RPG) erfolgen, insbesondere durch die Ausscheidung von Schutzzonen (Art. 17 Abs. 1 RPG) und die Anordnung von anderen Schutzmassnahmen (Art. 17 Abs. 2 RPG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 212 f. mit Verweisungen).
2.4. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin bedeutet die Aufnahme der ehemaligen Dépendance ins ISOS als Einzelobjekt und als Teil einer Baugruppe somit noch nicht, dass der angefochtene Entscheid in Erfüllung einer Bundesaufgabe erging. Auch wenn die Aufnahme in das ISOS als Grundlage für die Planung und im Rahmen der anzustellenden Interessenabwägung im Einzelfall (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 220; Urteil 1C_470/2009 vom 3. Mai 2010 E. 3.3) mit einzubeziehen war, stützt sich das angefochtene Urteil unmittelbar allein auf kantonales und kommunales Recht. Aus der Verzeichnung im Bundesinventar vermag die Beschwerdeführerin daher die Erfüllung einer Bundesaufgabe und damit verbunden ihre Beschwerdelegitimation nicht abzuleiten (vgl. Urteil 1A.115/2001 / 1P.441/2001 vom 8. Oktober 2001 E. 2c).
2.5. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, es ergebe sich auch aus der schriftlich geäusserten Bereitschaft des Bundesamtes für Kultur, Massnahmen zur Erhaltung der ehemaligen Dépendance mit Finanzhilfen des Bundes gemäss <ref-law> zu unterstützen, dass der Entscheid über die Abbruchbewilligung in Erfüllung einer Bundesaufgabe ergangen sei. Die blosse Möglichkeit zur Beanspruchung von Bundesbeiträgen genügt jedoch nicht, um auf die Erfüllung einer Bundesaufgabe nach Massgabe von <ref-law> schliessen zu können. Dazu ist erforderlich, dass die Inanspruchnahme von Bundesmitteln tatsächlich erfolgt oder zumindest vorgesehen ist. Vorliegend fallen finanzielle Leistungen des Bundes ausser Betracht, weil der Bund nur die Erhaltung, nicht aber den Abbruch des Objekts unterstützen kann. Insoweit unterscheidet sich der vorliegende Fall von der mit Urteil 1C_71/2011 / 1C_73/2011 / 1C_77/2011 vom 12. Juni 2012 entschiedenen, von der Beschwerdeführerin zitierten Angelegenheit (Strassenprojekt Lückenschliessung Zürcher Oberlandautobahn), in der die Finanzierung mit Bundesmitteln zum Voraus geplant war (E. 4.4.1 des erwähnten Urteils, publ. in: <ref-ruling>). Eine Bundesaufgabe kann nicht schon deshalb angenommen werden, weil ein anderes Vorhaben als das zu beurteilende Bundesbeiträge auslösen könnte. Eine derartige Eventualität wäre erst im Rahmen einer Interessenabwägung zu berücksichtigen. Die Beschwerdeführerin kann sich daher auch nicht mit Erfolg auf <ref-law> berufen.
2.6. Nach dem Ausgeführten ist das angefochtene Urteil nicht in Erfüllung einer Bundesaufgabe ergangen, womit der Beschwerdeführerin die Befugnis zur Verbandsbeschwerde fehlt.
3.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, selbst bei Verneinung ihrer Beschwerdelegitimation gemäss <ref-law> i.V.m <ref-law> sei sie befugt, das verwaltungsgerichtliche Urteil nach den allgemeinen Grundsätzen von <ref-law> bzw. wegen Verletzung von Parteirechten, die einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommen, anzufechten. Dass sie oder ihre Mitglieder durch die Abbrucherlaubnis in eigenen Interessen betroffen sind (vgl. <ref-law>), legt die Beschwerdeführerin nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Gewiss wird in Anlehnung an die sog. Star-Praxis zur früheren staatsrechtlichen Beschwerde (<ref-ruling> E. 3c S. 312 f.) aus der Berechtigung, am kantonalen Verfahren als Partei teilzunehmen, die Legitimation abgeleitet, die Verletzung von Parteirechten im vorinstanzlichen Verfahren zu rügen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 253; <ref-ruling> E. 3.3 S. 388 f.). Diese beschränkte Beschwerdeberechtigung schliesst jedoch Rügen aus, die auf eine direkte oder mittelbare inhaltliche Kontrolle des angefochtenen Entscheids hinauslaufen (Urteile 1C_633/2012 vom 26. Juni 2013 E. 2.2; 1C_367/2009 vom 27. Oktober 2009 E. 3). Dazu gehört der Verzicht auf die Abnahme weiterer Beweismittel, wenn die Vorinstanz aufgrund der bereits abgenommenen Beweise ihre Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, das Beweisergebnis werde durch weitere Erhebungen nicht geändert (sog. antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.).
Die Rügen der Beschwerdeführerin zur Verletzung von Parteirechten betreffen die Beweiswürdigung und den Verzicht auf weitere Beweiserhebungen durch die Vorinstanz, beziehen sich auf die materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids und sind deshalb nicht zu hören (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 437; <ref-ruling> E. 3c S. 313). Dies umso weniger, als die antizipierte Beweiswürdigung des Verwaltungsgerichts hinsichtlich der Schutzwürdigkeit der ehemaligen Dépendance und der Gebäudegruppe angesichts des breit abgestützten Beweisergebnisses keineswegs als willkürlich bezeichnet werden kann. Insbesondere ist nicht erkennbar, inwiefern die Beweiswürdigung ohne die - hier ohnehin fakultative (<ref-law> i.V.m. Art. 25 der Verordnung vom 16. Januar 1991 über den Natur- und Heimatschutz [NHV; SR 451.1]) - Begutachtung durch die Eidgenössische Natur- und Heimatschutzkommission und/oder die Eidgenössische Kommission für Denkmalpflege unvollständig sein müsste. Der vorliegende Fall unterscheidet sich insoweit vom Urteil 1C_344/2007 vom 12. März 2010, publ. in: <ref-ruling> (vgl. E. 4.2-4.4 S. 222 f.), das die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang zitiert. Auf die Beschwerde kann daher auch hinsichtlich der Rüge der formellen Rechtsverweigerung nicht eingetreten werden.
4.
Da nach dem Ausgeführten auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann, wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig. Sie hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Interlaken, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, dem Bundesamt für Umwelt und dem Bundesamt für Kultur schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Mattle