Faits:
A. A.a B.X._, né en 1947, et A.X._, né en 1952, tous deux agriculteurs et viticulteurs à ..., sont les fils de X._, qui était propriétaire d'un important domaine agricole constitué de plusieurs parcelles situées notamment à ... et à ....
En 1983, X._ a donné à chacun de ses deux fils, en copropriété pour une demie, plusieurs parcelles sises sur les territoires desdites communes. Deux d'entre elles - les nos 1 et 2 de la commune de ... - ont une surface, respectivement, de 3'580 m2 et de 39'320 m2. Il n'est pas établi qu'à la suite de cette donation, les frères A.X._ et B.X._ se seraient comportés plus comme des promoteurs immobiliers qu'en qualité de paysans vivant de la culture de leur domaine.
Le 23 mars 1989, B.X._ et A.X._ ont constitué une cédule hypothécaire au porteur, grevant en premier rang la parcelle n° 1, pour un montant de 2'000'000 fr. dont ils sont solidairement débiteurs (n° zzz).
A.b Depuis 1977 au moins, B.X._ et A.X._ ont été en relations d'affaires avec la Banque Z._ (ci-après: la Banque).
Au début des années 1990, A.X._, qui désirait développer un projet agricole et immobilier au Portugal, et B.X._, qui entendait se lancer dans un projet immobilier en Espagne, se sont adressés à la Banque en vue d'obtenir un crédit destiné à financer leurs projets. Ils ne l'ont toutefois pas sollicitée pour leur donner des conseils au sujet de ceux-ci et ne l'ont jamais associée aux discussions et tractations y relatives.
A l'époque, la fortune et le revenu annuel imposables des prénommés étaient, respectivement, de 401'000 fr. et de 106'400 fr. pour A.X._, de 331'000 fr. et de 101'400 fr. pour B.X._.
Le 31 mai 1990, la Banque a octroyé à chacun des deux frères A.X._ et B.X._ un crédit en compte courant de 6'000'000 fr., sans amortissement, avec intérêts à 8,5% l'an et commission trimestrielle de 0,25% sur le solde débiteur le plus élevé. A titre de garantie, chaque emprunteur a cédé en propriété à la Banque une cédule hypothécaire au porteur de 6'000'000 fr. en premier rang grevant sa quote-part d'une demie de la parcelle n° 2 (cédule n° xxx pour B.X._ et cédule n° yyy pour A.X._), les deux cédules ayant été constituées le 9 février 1990.
Le 26 juillet 1990, la Banque a augmenté la ligne de crédit consentie aux frères A.X._ et B.X._ de 6'000'000 fr. à 7'500'000 fr. La moitié de cette somme faisait l'objet d'une avance à terme fixe, la limite du crédit en compte courant étant ramenée à 3'750'000 fr., sans amortissement, avec intérêts échelonnés de 8,5 à 9% et commission trimestrielle de 0,25% sur le solde débiteur le plus élevé. Afin de garantir cette augmentation de crédit, les deux emprunteurs ont cédé en propriété à la Banque la cédule hypothécaire au porteur de 2'000'000 fr. qu'ils avaient constituée sur la parcelle n° 1.
A.c A.X._ a développé des activités agricoles au Portugal entre 1991 et 1994. Par lettre du 14 mai 1992, il a indiqué à la Banque que les montants empruntés avaient servi "au montage complet d'un projet de haute qualité au Portugal comprenant appartements, hôtels, tennis, piscines et golf". Cependant, alléguant que la mise en oeuvre de ce projet avait pris du retard pour des raisons d'ordre administratif,
il sollicitait une rallonge de crédits en précisant que l'affaire devrait vraisemblablement se conclure dans le courant de l'hiver prochain et qu'il avait donné oralement la priorité d'achat à l'un des grands groupes internationaux de vacances.
Prenant acte de ces explications, la Banque a fixé à A.X._ un délai au 15 août 1992 pour régulariser la situation et lui verser la somme de 160'562 fr. correspondant au dépassement de la limite de son compte courant. Elle l'a relancé, par courriers des 27 octobre et 20 novembre 1992, pour des dépassements de 95'854 fr. et de 96'104 fr.
Le 9 octobre 1992, la Banque a écrit à chacun des deux frères A.X._ et B.X._ pour les informer qu'elle consentait à renouveler jusqu'au 26 février 1993 l'avance à terme fixe de 3'750'000 fr., au taux de 8,7/8% l'an, échue le 26 août 1992. A la date du 16 février 1993, cette avance présentait un solde débiteur de 3'916'406 fr. 25 pour l'un et l'autre emprunteur. Par courrier du 2 juin 1993, la Banque a accepté d'en prolonger une dernière fois l'échéance jusqu'au 26 octobre 1993, au taux de 6,5% l'an, pour autant que les intérêts échus, totalisant 886'849 fr. 50, fussent intégralement payés avant le 30 juin de la même année.
Le 29 octobre 1993, A.X._ a déposé plainte pénale, à Genève, contre l'administrateur de la société qui lui avait vendu les terrains destinés à la mise en oeuvre du projet immobilier au Portugal et contre un promoteur actif en Algarve. La plainte a été classée par le Procureur général, le 27 janvier 1994, et son auteur a recouru en vain contre l'ordonnance de classement.
A.d Par courriers séparés, de même contenu, envoyés le 10 décembre 1993 aux frères A.X._ et B.X._, la Banque a dénoncé au remboursement les crédits qu'elle leur avait alloués, soit un total de 8'135'862 fr. 20 - 4'219'456 fr., valeur au 30 septembre 1993, au titre du compte courant et 3'916'406 fr. 25, valeur au 26 février 1993, au titre de l'avance à terme fixe - pour A.X._ et un total de 8'110'950 fr. 25 - 4'194'544 fr., valeur au 30 septembre 1993, au titre du compte courant et 3'916'406 fr. 25, valeur au 26 février 1993, au titre de l'avance à terme fixe - pour B.X._.
Il n'est pas établi que les débiteurs aient procédé à des versements en faveur de la Banque de 1993 à 1999.
Le 8 mars 1994, des commandements de payer portant sur les sommes précitées et les intérêts y afférents ont été notifiés à A.X._ (n° ...) et à B.X._ (n° ...) dans le cadre de poursuites en réalisation des gages immobiliers initiées par la Banque.
A fin juin 1995, le conseil des frères A.X._ et B.X._ a soumis, sans succès, à la Banque une série de propositions en vue de trouver une solution amiable.
Le 21 mai 1996, la Banque a fait notifier de nouveaux commandements de payer, en rapport avec les susdites sommes, à A.X._ (n° ...) et à B.X._ (n° ...). Un commandement de payer identique a été notifié à chacun des deux frères en sa qualité de tiers propriétaire de l'immeuble.
A.e Le 19 décembre 1996, les débiteurs se sont vu notifier chacun un commandement de payer pour un montant de 2'000'000 fr., avec intérêts à 10% l'an dès le 23 mars 1993, dans les poursuites en réalisation du gage immobilier nos ... (B.X._) et ... (A.X._) au titre du capital de la cédule hypothécaire n° zzz.
En date du 6 février 1997, l'Office des poursuites de ... a notifié un commandement de payer, pour un montant de 6'000'000 fr., avec intérêts à 10% dès le 9 février 1992, à B.X._, dans la poursuite en réalisation de gage immobilier n° ..., au titre du capital de la cédule hypothécaire n° xxx, et à A.X._, dans la poursuite en réalisation de gage immobilier n° ..., au titre du capital de la cédule hypothécaire n° yyy. Un commandement de payer identique a été notifié à chacun des deux frères en sa qualité de tiers propriétaire de l'immeuble.
Le 14 décembre 1998, la Banque a requis la vente des immeubles grevés par les cédules hypothécaires nos zzz, xxx et yyy.
Cependant, par lettre du 7 mars 2000, elle a indiqué aux frères A.X._ et B.X._ qu'elle serait disposée à maintenir une position d'attente à leur égard, pendant une durée déterminée, aux conditions admises par les parties, dont un versement mensuel de 3'000 fr. à effectuer par chacun des deux débiteurs.
Entre le mois d'avril 2000 et le mois de juillet 2002, A.X._ et B.X._ se sont acquittés, respectivement, d'un total de 102'648 fr. 45 et de 106'523 fr. 10 de ce chef. Leur endettement total s'élève à 12'621'527 fr. pour le premier et à 12'469'694 fr. 35 pour le second.
Le 12 septembre 2003, de nouveaux commandements de payer ont été notifiés à A.X._ (n°s ... et ...) et à B.X._ (n°s ... et ...) en rapport avec les cédules hypothécaires nos yyy, xxx et zzz précitées.
Les poursuivis ont fait opposition totale à tous les commandements de payer susmentionnés.
Par prononcés consécutifs à une audience du 8 janvier 2004, la Présidente du Tribunal d'arrondissement compétent, statuant par défaut, a levé provisoirement ces oppositions.
A.f B.X._ et A.X._ ont soulevé l'exception de prescription et invoqué la compensation.
B. Par demande du 29 janvier 2004 adressée à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud, A.X._ et B.X._ ont ouvert action en libération de dette contre la Banque afin de faire constater qu'ils ne sont pas débiteurs de celle-ci des montants, en capital et intérêts, formant l'objet des poursuites n°s ..., ..., ... et .... Les demandeurs ont pris des conclusions additionnelles tendant à voir la Banque condamnée à payer 3'671'527 fr. à A.X._ et 3'519'694 fr. 35 à B.X._, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2002, à titre de réparation du préjudice qu'elle leur avait causé par l'octroi de crédits de manière totalement inconsidérée et par son refus de négocier pendant cinq ans.
Dans sa réponse du 23 juin 2004, la défenderesse a conclu au rejet de l'action en libération de dette et des conclusions additionnelles prises par les demandeurs. Reconventionnellement, elle a réclamé le paiement, par ceux-ci, des soldes des comptes courants et des avances à terme fixe, soit 8'705'120 fr. 75, plus intérêts à 9,1/4% l'an dès le 1er juillet 2002, et 3'916'406 fr. 25, plus intérêts à 8,7/8% l'an dès le 27 février 1993, s'agissant de A.X._, et 8'553'288 fr. 10, avec intérêts à 9,1/4% l'an dès le 1er juillet 2002, ainsi que 3'916'406 fr. 25 plus intérêts à 8,7/8% l'an dès le 27 février 1993, s'agissant de B.X._.
Statuant le 13 juillet 2010, la Cour civile a rendu un jugement dans le dispositif duquel elle a admis partiellement l'action en libération de dette formée par les demandeurs (I), dit que A.X._ doit payer à la Banque, d'une part, 4'219'456 fr., avec intérêts à 8,5% dès le 30 septembre 1993, sous déduction de dix-huit versements de 3'000 fr., de quatre versements de 6'000 fr. et d'un versement de 5'125 fr. 35, valeur à la date de leur paiement (II), et, d'autre part, 3'916'406 fr. 25, avec intérêts à 8 7/8% dès le 27 février 1993 (III). Elle a reconnu B.X._ débiteur de la Banque, d'une part, de 4'194'544 fr., avec intérêts à 8,5% l'an dès le 30 septembre 1993, sous déduction de vingt-neuf versements de 3'000 fr. et d'un versement de 19'523 fr. 10, valeur à la date de leur paiement (IV), et, d'autre part, de 3'916'406 fr. 25, avec intérêts à 8 7/8% dès le 27 février 1993 (V). Elle a levé définitivement les oppositions formées par les demandeurs aux commandements de payer relatifs à la poursuite n° ... de l'Office des poursuites et faillites de ... à concurrence de 6'000'000 fr., avec intérêts dès le 4 septembre 2000 à 8 7/8% sur la somme de 3'916'406 fr. 25 et à 8,5% sur le solde (VI), levé définitivement les oppositions formées par les demandeurs aux commandements de payer relatifs à la poursuite n° ... dudit Office à concurrence de 6'000'000 fr. avec intérêts dès le 4 septembre 2000 à 8 7/8% sur la somme de 3'916'406 fr. 25 et à 8,5% sur le solde (VII), levé définitivement l'opposition formée par B.X._ au commandement de payer n° ... du même Office à concurrence de 2'000'000 fr., avec intérêts à 8,5% dès le 4 septembre 2000 (VIII), levé définitivement l'opposition formée par A.X._ au commandement de payer n° ... de l'Office en question à concurrence de 2'000'000 fr. avec intérêts à 8,5% dès le 4 septembre 2000 (IX), réglé le sort des frais de justice (X) et des dépens (XI) et rejeté toutes autres ou plus amples conclusions (XII).
En droit, les premiers juges ont considéré que les demandeurs devaient payer à la défenderesse les soldes des avances à terme fixe et des comptes courants à la date de résiliation de ces prêts, sous déduction des versements effectués par eux d'avril 2000 à juillet 2002. En ce qui concerne le taux de l'intérêt moratoire dû sur ces sommes, ils ont retenu, pour les comptes courants, celui prévu par les lettres d'octroi de crédit du 31 mai 1990 et, pour les avances à terme fixe, celui prévu par les lettres du 9 octobre 1992 contresignées par les demandeurs, cet intérêt courant dès la date fixée dans les résiliations des prêts. Ils ont admis que les créances litigieuses n'étaient pas prescrites. Les premiers juges ont considéré, par ailleurs, que la Banque n'avait pas violé ses obligations contractuelles.
C. C.a Le 14 septembre 2010, les demandeurs (ci-après: les recourants) ont interjeté séparément un recours en matière civile au Tribunal fédéral. A titre principal, chacun d'eux conclut à l'admission de son action en libération de dette et à la constatation qu'il ne doit plus rien à la défenderesse (ci-après: l'intimée), les oppositions aux commandements de payer nos ..., ... et ... devant être définitivement maintenues. Subsidiairement, l'un et l'autre recourant conclut à ce qu'il soit reconnu débiteur de l'intimée de 4'194'544 fr., sans intérêts, sous déduction des montants déjà versés, et de 3'916'406 fr. 25, également sans intérêts. Plus subsidiairement enfin, chaque recourant reconnaît devoir à l'intimée ces deux sommes, sous imputation des montants déjà payés, mais avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2002 pour la première et à compter du 27 février 1993 (A.X._), resp. du 11 décembre 2003 (B.X._), pour la seconde. B.X._ demande en outre, relativement à ses conclusions subsidiaires, que ses oppositions aux commandements de payer précités soient maintenues pour les montants dépassant ceux qui seront alloués à la créancière.
C.b Parallèlement à leurs recours en matière civile, A.X._ et B.X._ ont recouru sur le plan cantonal contre le jugement de la Cour civile. De ce fait, la procédure de recours fédérale a été suspendue à l'égard des deux recourants jusqu'à droit connu sur les recours cantonaux par ordonnances présidentielles du 22 septembre 2010.
Par arrêt du 25 novembre 2010 notifié le 23 mars 2011 aux parties, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois a rejeté les deux recours et maintenu le jugement attaqué.
C.c Le 9 mai 2011, A.X._ a déposé un recours en matière civile complémentaire dans lequel il a confirmé ses précédentes conclusions.
Les demandes d'effet suspensif présentées par les deux recourants ont été rejetées par ordonnances présidentielles du 15 juin 2011.
Dans ses réponses du 20 juin 2011, l'intimée propose le rejet des deux recours. La Cour civile s'en remet à justice quant au sort de ceux-ci.

Considérant en droit:
1. Les recours soumis à l'examen du Tribunal fédéral visent tous deux le même arrêt cantonal. Ils ont trait à la même affaire et soulèvent des questions juridiques qui leur sont communes, en partie du moins. Dans ces conditions, l'économie de la procédure justifie que les causes 4A_513/2010 et 4A_515/2010 soient jointes pour être traitées dans un seul et même arrêt.
2. 2.1 Interjetés par les demandeurs à l'action en libération de dette, qui ont qualité pour le faire puisqu'ils n'ont obtenu que partiellement gain de cause devant l'autorité précédente (<ref-law>), et dirigés contre une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil prescrit (<ref-law>), les deux recours en matière civile soumis à l'examen du Tribunal fédéral, qui ont été déposés dans la forme prévue par la loi (<ref-law>), sont recevables sous ces différents angles.
2.2 Le recours contre une décision doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les 30 jours qui suivent la notification de l'expédition complète (<ref-law>). Cependant, si, comme c'est le cas dans la présente espèce, la décision d'un tribunal cantonal supérieur peut être déférée à une autorité judiciaire cantonale pour une partie seulement des griefs visés aux art. 95 à 98 LTF, le délai de recours commence à courir à compter de la notification de la décision de cette autorité (<ref-law>). En vertu de cette dernière disposition, les recourants étaient en droit d'attaquer, dans les 30 jours dès la notification de l'arrêt de la Chambre des recours, aussi bien ledit arrêt que le jugement rendu antérieurement par la Cour civile. Seul A.X._ a fait usage, partiellement du reste, d'une telle faculté en déposant, en temps utile (<ref-law> en liaison avec les art. 45 al. 1 et 46 al. 1 let. a LTF), un mémoire de recours complémentaire visant uniquement le jugement rendu par la Cour civile. Quant au recours en matière civile principal dirigé contre ledit jugement et au recours en matière civile interjeté par B.X._ contre cette décision, ils avaient été déposés avant droit connu sur l'arrêt de la Chambre des recours. Prématurés, ces deux recours n'en étaient pas moins recevables, à l'instar du recours complémentaire formé subséquemment par A.X._ (cf. arrêt 4A_31/2009 du 30 novembre 2009 consid. 2 et l'arrêt cité). Il y a lieu, partant, d'entrer en matière.
2.3 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 674; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). Compte tenu de l'exigence de motivation figurant à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400 s.).
2.4 Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>); en règle générale, les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont irrecevables (<ref-law>). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (<ref-law>). La partie recourante est autorisée à attaquer les constatations de fait ainsi viciées si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
Force est toutefois de souligner, à cet égard, que, dans la mesure où ils entendraient reprocher à la Cour civile d'avoir établi les faits de manière arbitraire dans son jugement du 13 juillet 2010, les recourants n'y seraient plus recevables à ce stade de la procédure, faute d'avoir soumis les griefs correspondants à l'examen de la Chambre des recours ou, s'ils l'ont fait, faute d'avoir attaqué l'arrêt de cette autorité rejetant les griefs en question (cf. arrêt 4A_17/2009 du 14 avril 2009 consid. 1.2).
3. Devant la Cour civile, les demandeurs à l'action en libération de dette avaient aussi pris des conclusions additionnelles afin que l'intimée fût condamnée à payer 3'671'527 fr. à l'un et 3'519'694 fr. 35 à l'autre (cf. let. B. ci-dessus). Ils ont été déboutés de leurs conclusions sur ce point et ne remettent pas en cause le rejet de celles-ci. Dès lors, quel que soit le résultat de l'examen de leurs griefs, les recourants ne sauraient se voir allouer une quelconque somme, ne pouvant prétendre au mieux qu'à l'admission totale de leurs conclusions libératoires.
La même remarque peut être faite en ce qui concerne la part, non admise dans le jugement déféré, des prétentions élevées par l'intimée à l'encontre des deux recourants. Faute d'un recours de l'intimée, celle-ci ne pourra obtenir davantage, devant la Cour de céans, que ce qu'elle s'est vu reconnaître par l'autorité précédente.
Cela étant, il y a lieu de passer à l'examen des moyens soulevés par les recourants à l'encontre du jugement attaqué. Dans un premier temps, l'analyse portera sur ceux qui se rapportent aux créances de l'intimée, en capital et intérêts (I). Une fois fixée la dette de chaque recourant envers la créancière, il conviendra de rechercher si le débiteur peut se soustraire à son paiement en la compensant avec sa propre créance du chef de la prétendue violation, par l'intimée, de ses obligations contractuelles à son égard (II). Dans la mesure où la plupart des griefs articulés dans l'un et l'autre recours se recoupent, il n'est pas nécessaire d'envisager séparément la situation de chaque recourant. Il suffira de traiter de manière distincte, le cas échéant, le ou les arguments qui ne seraient avancés que par un seul des deux recourants.
I.
I.
4. 4.1 Dans un moyen qui leur est commun, les deux recourants reprochent à la Cour civile de ne point s'être avisée du fait que les prétentions élevées à leur encontre par l'intimée, dans ses conclusions reconventionnelles du 23 juin 1994 (cf. let. B., 2e §, ci-dessus), étaient prescrites en tant qu'elles dépassaient les montants de 6'000'000 fr. et de 2'000'000 fr., avec intérêts à 10% l'an dès le 4 septembre 2000, afférents aux poursuites en réalisation des cédules hypothécaires introduites par la créancière.
Le moyen tombe à faux. Comme le souligne avec raison l'intimée, il ne s'agit pas de déterminer, à ce stade de la procédure, si une partie des prétentions formulées par elle dans l'instance cantonale était prescrite ou non, mais de vérifier que celles qui ont été admises par les premiers juges ne le fussent point. Or, relativement aux seuls montants mis à la charge des recourants, les explications fournies par la cour cantonale au considérant IX de son jugement (p. 54 à 56) n'apparaissent en rien contraires au droit fédéral. La prescription a couru dès le 10 décembre 1993, suite à la dénonciation avec effet immédiat des crédits en compte courant et des avances à terme fixe (<ref-law>). Les parties s'accordent pour dire que son délai était de dix ans, en vertu de l'<ref-law>. Conformément à l'<ref-law>, la prescription a été interrompue une première fois, le 8 mars 1994, par la notification à chacun des deux débiteurs d'un commandement de payer portant sur un capital et des intérêts identiques à ceux qui figurent sous chiffres II à V du dispositif du jugement attaqué, une seconde fois, le 21 mai 1996, par un nouveau commandement de payer de même contenu, une troisième fois enfin, le 23 juin 2004, par le dépôt de la demande reconventionnelle tendant au paiement des soldes des comptes courants et des avances à terme fixe. Elle a repris son cours à compter de chaque acte de poursuite (<ref-law>), puis, durant l'instance, à compter de chaque acte judiciaire des parties et de chaque ordonnance ou décision du juge (<ref-law>), de sorte que le délai de dix ans ne s'est jamais écoulé complètement.
Au demeurant, il faut admettre, avec l'intimée, en tout cas pour ce qui concerne les crédits en compte courant octroyés aux recourants, que ces derniers ont eux-mêmes interrompu la prescription des créances y relatives en effectuant des versements mensuels, d'avril 2000 à juillet 2002, pour payer une partie des intérêts dus ou commencer à rembourser ces crédits (<ref-law>).
4.2 Dans ce contexte, A.X._ fait encore valoir, à titre subsidiaire, que, si le commandement de payer qui lui a été notifié le 8 mars 1994 portait sur la somme de 4'219'456 fr., celui qui lui a été notifié le 21 mai 1996 ne portait plus que sur la somme de 4'194'544 fr. Dès lors, selon lui, la prescription serait acquise pour la créance dépassant ce dernier montant, étant donné qu'il s'est écoulé plus de dix ans entre l'envoi du premier commandement de payer et le dépôt de la réponse contenant les conclusions reconventionnelles de l'intimée.
Le grief considéré ne peut pas être admis. D'abord, s'il est vrai que, dans sa narration des circonstances pertinentes, la Cour civile constate que le commandement de payer notifié le 21 mai 1996 à A.X._ portait, notamment, sur la somme de 4'194'544 fr. (jugement, p. 23, 2e §), il est non moins vrai que, dans la partie juridique de sa décision, elle retient, en se référant au commandement de payer du 8 mars 1994 portant sur la somme de 4'219'456 fr. et à celui notifié le même jour à B.X._, que, "[l]e 21 mai 1996, de nouvelles poursuites ont été introduites à l'encontre des demandeurs pour les mêmes sommes" (jugement, p. 55/56; termes mis en évidence par la Cour de céans), ajoutant que les montants formant l'objet des poursuites "correspondent aux créances causales en faveur de la défenderesse, telles qu'établies ci-dessus" (jugement, p. 56, consid. IX, dernier §). Autrement dit, la Cour civile a fondé sa décision sur le fait que la seconde poursuite portait, elle aussi, sur la somme de 4'219'456 fr., à l'instar de la première. Comme A.X._ ne critique pas la constatation sur laquelle les juges cantonaux se sont fondés, le Tribunal fédéral doit s'y tenir (<ref-law>), sans chercher à déterminer laquelle des deux constatations inconciliables correspond à la réalité. L'argumentation développée par le recourant s'en trouve réduite à néant.
Quoi qu'il en soit, la situation de cette partie ne serait pas meilleure s'il fallait rectifier d'office la constatation décisive des premiers juges, en application de l'<ref-law>, et retenir que la seconde poursuite portait sur la somme de 4'194'544 fr. Il faut, en effet, garder à l'esprit que la créance dont il est ici question est celle qui résultait de la dénonciation du crédit en compte courant alloué à A.X._. Or, comme on l'a vu, la prescription de cette créance a été interrompue à tout le moins dès le mois d'avril 2000 du fait des versements opérés par le débiteur (cf. consid. 4.1, dernier §, ci-dessus). Le délai de prescription décennal ne s'est donc jamais entièrement écoulé entre l'envoi du commandement de payer du 8 mars 1994 et le premier acte interruptif émanant du débiteur.
Il s'ensuit que la créance de 4'219'456 fr., admise par la Cour civile, n'était pas prescrite.
4.3 De son côté, B.X._ rappelle que le commandement de payer interruptif de prescription qui lui a été notifié le 12 septembre 2003 portait sur un montant de 6'000'000 fr. avec intérêts à 10% dès le 4 septembre 2000. Or, poursuit-il, dans ses conclusions reconventionnelles, l'intimée lui a réclamé la somme de 8'553'288 fr. 10 avec intérêts à 9,1/4% l'an dès le 1er juillet 2002. Et d'en déduire qu'en vertu du principe ne eat iudex ultra petita partium, dans l'hypothèse la plus favorable à l'intimée, le montant de 6'000'000 fr. ne pouvait être assorti d'un intérêt pour la période antérieure au 1er juillet 2002. Aussi, la Cour civile aurait-elle retenu à tort, sous chiffre IV du dispositif de son jugement, relativement au montant de 4'194'544 fr., "que l'intérêt est dû antérieurement au 1er juillet 2002".
A dire vrai, le sens de ce grief n'est pas perceptible, non plus que la relation entre la critique qu'y formule le recourant et le problème de la prescription. Le chef du dispositif du jugement déféré, auquel le recourant se réfère, indique, en effet, que la somme de 4'194'544 fr., à payer par B.X._, portera intérêts à 8,5% l'an "dès le 30 septembre 1993". Il s'agit très précisément de la date qui a été apposée en regard de ladite somme dans les commandements de payer notifiés les 8 mars 2004 et 21 mai 2006 au prénommé, lesquels ont interrompu la prescription de cette créance et des intérêts y afférents. De surcroît, les versements effectués par le recourant sur son compte courant débiteur d'avril 2000 à juillet 2002 ont interrompu à nouveau le cours de la prescription; celle-ci n'est donc jamais intervenue, quoi qu'en dise le recourant.
Quant au principe ne eat iudex ultra petita partium, il fait l'objet d'un moyen spécifique et plus général soulevé par les deux recourants. Dès lors, il peut être renvoyé ici aux considérations qui seront émises lors du traitement de ce moyen (cf. consid. 5.2 ci-après).
5. Les recourants soulèvent, par ailleurs, la question de l'intérêt moratoire alloué à l'intimée. Ils contestent, à cet égard, tant le taux que la date de départ de cet intérêt, tels qu'ils ont été retenus par la Cour civile. Il y a lieu d'examiner successivement ces deux points.
5.1 S'agissant du taux de l'intérêt moratoire, les recourants, se fondant sur l'arrêt rendu le 9 septembre 2004 dans la cause 4C.131/2004 et publié partiellement aux <ref-ruling>, soutiennent que la cour cantonale aurait dû appliquer le taux légal de 5% l'an, faute d'un accord des parties quant au taux applicable après la dénonciation des crédits ou pour maintenir ultérieurement les taux d'intérêt stipulés dans les contrats résiliés.
Aux termes de l'art. 104 al. 1 et 2 CO, le débiteur qui est en demeure pour le paiement d'une somme d'argent doit l'intérêt moratoire à 5% l'an, même si un taux inférieur avait été fixé pour l'intérêt conventionnel (al. 1). Si le contrat stipule, directement ou sous la forme d'une provision de banque périodique, un intérêt supérieur à 5%, cet intérêt plus élevé peut également être exigé du débiteur en demeure (al. 2). Le texte du deuxième alinéa de la disposition citée est clair et ne souffre aucune interprétation qui s'en écarterait: si la dette portait déjà intérêt avant la demeure à un taux supérieur au taux légal, c'est ce taux conventionnel qui s'applique à titre de taux de l'intérêt moratoire (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 319 confirmé par l'arrêt 4A_204/2009 du 10 septembre 2009 consid. 2; cf., parmi d'autres: WOLFGANG WIEGANG, Commentaire bâlois, Obligationenrecht I, 4e éd. 2007, n° 7 ad <ref-law>; GAUCH/SCHLUEP/SCHMID/EMMENEGGER, Schweizerisches Obligationenrecht, Allg. Teil, vol. II, 9e éd 2008, n° 2690; LUC THÉVENOZ, Commentaire romand, Code des obligations I, 2003, n° 14 ad <ref-law>; STÉPHANE SPAHR, L'intérêt moratoire, conséquence de la demeure, in RVJ 1990 p. 351 ss, 366). Le débiteur ne doit, en effet, pas pouvoir profiter de conditions plus favorables que celles qu'il a acceptées en concluant le contrat, du seul fait qu'il est en demeure (jugement du Tribunal cantonal valaisan du 7 septembre 1995, in RVJ 1996 p. 286 ss, 290). L'arrêt fédéral invoqué par les recourants traite essentiellement de l'interdiction de l'anatocisme en liaison avec la résiliation d'un contrat de compte courant, problème qui n'est pas d'actualité en l'espèce dès lors que les premiers juges n'ont pas procédé à une composition de l'intérêt moratoire (sur cette figure juridique, cf. THÉVENOZ, op. cit., n° 6 ad <ref-law>). Vrai est-il, toutefois, que, dans un passage non publié de ce précédent, il a été jugé qu'il convenait d'appliquer le taux légal de 5%, étant donné qu'aucune disposition des conditions générales et spéciales de la banque "ne précis[ait] le taux d'intérêt valable après la résiliation du contrat" (arrêt 4C.131/2004, précité, consid. 4; préposition mise en évidence par la Cour de céans). Dans la mesure où elle paraît avoir voulu exclure, ce faisant, la possibilité d'appliquer au débiteur en demeure le taux fixé pour l'intérêt conventionnel, la Ire Cour civile s'est écartée de l'opinion qu'elle avait émise dans un arrêt rendu quelques mois auparavant (<ref-ruling>, précité), qui a été confirmé par la suite (arrêt 4A_204/2009, susmentionné), et a exprimé un avis qui n'est pas compatible avec le texte même de l'<ref-law>, comme l'ont souligné les commentateurs de l'arrêt en question (DANIEL SCHWANDER, in Pra 2005 n° 64 p. 497; CORINNE ZELLWEGER-GUTKNECHT, in Aktuelle Rechtsprobleme des Finanz- und Börsenplatzes Schweiz, 12/2004, p. 203). Aussi les recourants ne sauraient-ils s'appuyer sur ce précédent pour réclamer l'application du taux légal de 5%.
Dès lors, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en portant en compte, au titre de l'intérêt moratoire, les taux arrêtés d'un commun accord par l'intimée et chacun des recourants pour la rémunération des différents crédits que la première avait octroyés aux seconds.
5.2 Invoquant le principe ne eat iudex ultra petita partium, les recourants font grief à la Cour civile d'avoir retenu la date du 30 septembre 1993 comme dies a quo pour le cours de l'intérêt moratoire sur les créances afférentes aux comptes courants, alors que, dans les conclusions reconventionnelles déposées avec sa réponse du 23 juin 2004, l'intimée n'avait réclamé l'intérêt moratoire qu'à partir du 1er juillet 2002.
Le principe ne eat iudex ultra petita partium est énoncé à l'art. 58 al. 1 du Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272), entré en vigueur le 1er janvier 2011. Il fait donc actuellement partie du droit fédéral. Cependant, le 13 juillet 2010, lorsque le jugement attaqué a été prononcé, ce principe relevait du droit cantonal (<ref-ruling> consid. 1 p. 360; arrêt 4P.285/2005 du 27 mars 2006 consid. 5.2.1.1). Par conséquent, les recourants ne pouvaient pas faire de sa violation un grief autonome, puisque, sauf dans les hypothèses visées par les let. c et d de l'<ref-law>, la violation du droit cantonal ne constitue pas un motif de recours au sens de cette disposition. Ils n'auraient pu s'en plaindre, au titre de la violation du droit fédéral (<ref-law>), qu'en soulevant le moyen pris de l'application arbitraire (art. 9 Cst.) de la disposition du droit de procédure civile vaudois énonçant ce principe. Or, ils ne l'ont pas fait. Comme le Tribunal fédéral ne peut pas examiner d'office la violation de droits fondamentaux (<ref-law>), le grief considéré se révèle irrecevable.
Au demeurant, il appert de l'arrêt de la Chambre des recours du 25 novembre 2010 que A.X._ avait fait valoir, devant cette autorité, le moyen fondé sur la violation de l'art. 3 du Code de procédure civile vaudois, qui énonçait le susdit principe, moyen qui avait été jugé recevable, mais infondé (p.26/27 consid. 3). D'où il suit que le grief tiré de la violation du même principe, que B.X._ soumet au Tribunal fédéral sans l'avoir apparemment formulé dans son recours cantonal, est irrecevable à un autre titre aussi, à savoir pour défaut d'épuisement des instances cantonales (<ref-law>). La même remarque vaut d'ailleurs pour A.X._, lequel attaque, sur ce point, non pas l'arrêt de la Chambre des recours qui a écarté le grief correspondant, mais le jugement de la Cour civile qui n'émane pas de la dernière instance cantonale à cet égard, étant précisé que le recours complémentaire déposé par l'intéressé ne vise, lui aussi, que le jugement de première instance.
Serait-elle recevable, la critique formulée par les recourants ne pourrait, de toute façon, qu'être rejetée. En effet, comme l'intimée le démontre dans sa réponse par des calculs que les recourants n'ont pas cherché à réfuter dans une réplique, et comme les juges de la Chambre des recours l'ont constaté, le total des intérêts portés en compte par la Cour civile est inférieur aux intérêts dont l'intimée a réclamé le paiement en procédure.
5.3 En ce qui concerne l'avance à terme fixe, B.X._ fait encore valoir que la Cour civile n'aurait pas dû faire courir l'intérêt moratoire sur les 3'916'406 fr. 25 alloués à l'intimée de ce chef dès le 27 février 1993, mais, "en application des principes qui précèdent", à compter du 11 décembre 1993, soit un jour après la dénonciation du prêt.
Tel qu'il est présenté, le grief n'est pas recevable, faute d'une motivation suffisante, outre les raisons déjà invoquées. On peine, d'ailleurs, à discerner le rapport entre ce grief et le principe ne eat iudex ultra petita partium, d'autant que l'intimée a réclamé, pour cette créance, un intérêt moratoire à partir du 27 février 1993 (conclusion IV de la réponse du 23 juin 2004). Pour le reste, force est de constater que la Cour civile a fourni, quant au choix de cette date, une explication spécifique que le recourant laisse intacte (jugement, p. 54 let. c, 2e §).
6. 6.1 En vertu de l'<ref-law>, le propriétaire de l'immeuble grevé du gage, qui n'est pas lui-même débiteur de la cédule hypothécaire, est soumis aux règles applicables en matière d'hypothèques. L'une de ces règles - l'<ref-law> - prévoit que, lorsque le propriétaire n'est pas personnellement tenu, la dénonciation du remboursement par le créancier ne lui est opposable que si elle a lieu tant à son égard qu'à l'égard du débiteur.
Appliquant ces dispositions à la présente espèce, la Cour civile constate, tout d'abord, que les cédules hypothécaires nos xxx et yyy ont été dénoncées à leurs débiteurs respectifs, B.X._ et A.X._, par courriers du 23 avril 1996. Elle souligne ensuite qu'aucune de ces deux cédules n'a été dénoncée au tiers propriétaire, à savoir le frère du débiteur inscrit sur la cédule. Toutefois, ajoute-t-elle, chacun des recourants s'est vu notifier par l'intimée, le 6 février 1997, en sa qualité de tiers propriétaire, un commandement de payer relatif à la cédule souscrite par son frère (poursuites nos ... et ...). A son avis, une telle notification correspondait à une dénonciation au sens de l'<ref-law>, en tant qu'elle manifestait, de manière clairement reconnaissable, la volonté de la créancière d'exiger le paiement de la cédule. Sans doute, concède la cour cantonale, la dénonciation n'était-elle pas immédiatement opposable au tiers propriétaire, car elle devait être faite moyennant un préavis de six mois, conformément à la teneur des deux cédules; cependant, elle l'est devenue six mois plus tard, soit bien avant la notification, le 12 septembre 2003, à chacun des demandeurs, des commandements de payer nos ... et ..., concernant les mêmes cédules, pour lesquels la Cour civile a prononcé la mainlevée définitive des oppositions faites par les recourants (ch. VI et VII du dispositif du jugement attaqué).
6.2 Seul l'un des recourants, en l'occurrence A.X._, s'en prend à cette motivation. Selon lui, un commandement de payer ne saurait correspondre à une dénonciation au sens de l'<ref-law>, car il n'en remplit pas les conditions de validité, s'agissant d'un acte de poursuite qui ne fait pas ressortir la volonté du créancier de résilier le contrat. Le recourant relève, en outre, que les commandements de payer sont postérieurs de quelque dix mois aux lettres de dénonciations que l'intimée a adressées aux débiteurs des cédules. Dès lors, selon ce recourant, la mainlevée définitive ne pouvait pas être prononcée dans le cadre des deux poursuites susmentionnées, faute pour la créancière d'avoir respecté le principe de la double dénonciation.
6.3 La dénonciation de la dette doit également être adressée au tiers propriétaire de l'immeuble afin qu'il puisse au besoin prévenir la réalisation forcée en éteignant la dette (cf. <ref-law>; PAUL-HENRI STEINAUER, Les droits réels, tome III, 3e éd. 2003, n° 2815c; BERNHARD TRAUFFER, in Commentaire bâlois, Zivilgesetzbuch II, 3e éd. 2007, n° 1 ad <ref-law>). L'<ref-law>, qui établit ce principe, et l'<ref-law>, qui règle la dénonciation de la cédule hypothécaire, ne prévoient aucune forme particulière pour une telle démarche. Quant au contenu de la dénonciation, il est nécessaire, mais suffisant, que celle-ci fasse ressortir clairement l'intention du créancier de réclamer le remboursement de la dette cédulaire. Du reste, comme la doctrine le souligne à juste titre, "la dénonciation du remboursement", stricto sensu, n'est pas concevable dans le cas du tiers propriétaire, celui-ci n'étant pas le débiteur de la créance incorporée dans la cédule hypothécaire ou garantie par une hypothèque, de sorte qu'il suffit que le créancier porte à sa connaissance la dénonciation faite au débiteur (HANS LEEMANN, Commentaire bernois, 1925, n° 3 ad <ref-law>; TRAUFFER, op. cit., n° 2 ad <ref-law>).
En l'espèce, à réception du commandement de payer du 6 février 1997, qui lui était adressé personnellement en qualité de "tiers propriétaire de l'immeuble" et qui faisait référence expresse à la lettre de dénonciation du 23 avril 1996, chacun des recourants ne pouvait plus ignorer que son frère était recherché par l'intimée pour le montant indiqué dans le commandement de payer et au titre de la cédule hypothécaire mentionnée dans cet acte. Il pouvait d'autant moins ignorer la chose, abstraction faite des liens de parenté l'unissant au débiteur, qu'il avait reçu, à la même date, un courrier de dénonciation similaire touchant sa propre dette à l'égard du même établissement bancaire. Aussi la Cour civile n'a-t-elle pas violé l'<ref-law> en assimilant ledit commandement de payer à une dénonciation adressée au tiers propriétaire. Elle ne l'a pas davantage méconnu en retenant que la poursuite, pour laquelle elle a levé définitivement les oppositions formées par le débiteur et le propriétaire du gage, portait sur une dette exigible ratione temporis. Pour le surplus, le fait pour A.X._ de plaider son ignorance quant aux véritables intentions de l'intimée n'apparaît guère compatible avec les règles de la bonne foi dans les circonstances particulières qui caractérisent la présente affaire.
II.
II.
7. Les créances de l'intimée à l'égard des recourants ayant ainsi été établies correctement par la Cour civile, il reste à examiner si les débiteurs étaient en droit de leur opposer en compensation leurs propres créances du chef de la responsabilité de la banque en tant que dispensatrice de crédits. On commencera par rappeler les principes juridiques régissant ce type de responsabilité bancaire avant de les appliquer aux circonstances du cas concret à la lumière des arguments présentés de part et d'autre.
7.1 La jurisprudence s'est interrogée sur les devoirs spécifiques d'information et de conseil des banques dans le cadre de pourparlers contractuels (cf. arrêt 4C.108/2002 du 23 juillet 2002 consid. 2b, traduit in Pra 2003 no 51 p. 244; arrêt 4C.410/1997 du 23 juin 1998 consid. 3, publié in Pra 1998 no 155 p. 827 et traduit in SJ 1999 I 205; voir aussi: <ref-ruling> consid. 3a p. 162; <ref-ruling> consid. 5a). Il en ressort que la banque, pas plus que n'importe quel autre partenaire en négociation, n'est tenue de libérer le client potentiel du risque lié à sa décision dans la phase préalable au contrat; la règle de base, également à ce stade, est celle de la responsabilité personnelle. Hormis son intérêt propre de couverture, qui ne concerne pas cette problématique, la banque n'est en règle générale pas tenue de faire des investigations sur le besoin de crédit du client, sur ses intentions quant à l'utilisation des fonds ou sur la justification matérielle et l'opportunité de sa demande; le banquier n'est pas le tuteur de son client (arrêt 4C.108/2002, précité, ibid.). A titre exceptionnel toutefois, la banque est tenue à un devoir de loyauté l'obligeant à informer le client de manière étendue. Un devoir précontractuel de mise en garde incombe notamment à la banque lorsqu'elle peut prévoir un danger non reconnaissable pour le client et menaçant un placement ou en cas de conflit d'intérêts; par exemple, la banque ne doit pas encourager les crédits à une entreprise en danger dans le but de favoriser le remboursement de ses propres créances incertaines. Si le client réclame un crédit qui n'est pas lié à une affaire à connotation bancaire, la banque n'a pas de devoir général de conseil, sous réserve des affaires conclues avec la banque, à son instigation ou par son intermédiaire. Un devoir de mise en garde n'existe que dans des conditions très spécifiques, notamment en cas de connaissances particulières de la banque quant au risque spécial lié au financement d'un projet (arrêt 4C.82/2005 du 4 août 2005 consid. 6.2).
7.2 Appliquant ces principes aux faits retenus par elle, la Cour civile a émis les considérations résumées ci-après.
S'agissant des gages immobiliers fournis par les recourants en garantie des crédits alloués, il résulte de l'expertise judiciaire, qu'entre 1989 et 1990, le prix pratiqué pour des terrains constructibles comparables était de 550 fr. le m2. Certes, l'intimée a tenu compte de l'évolution probable de la valeur des immeubles. Elle n'a toutefois pas procédé, ce faisant, à une évaluation audacieuse puisque les objets de comparaison étaient vendus à un prix similaire. Aussi est-ce à tort que les recourants lui font grief de s'être satisfaite d'une garantie immobilière insuffisante tout en spéculant sur une augmentation hypothétique de la valeur de cette garantie.
Chaque recourant disposait à l'époque d'un revenu annuel d'un peu plus de 100'000 fr., alors que les intérêts, au taux de 8,5%, sur le crédit de 6'000'000 fr. qui lui avait été alloué représentaient un montant supérieur à 500'000 fr. par an. En dépit de cette disproportion évidente entre la charge d'intérêts et le revenu des emprunteurs, l'intimée ne saurait se voir reprocher d'avoir accordé des crédits avec légèreté. En effet, les projets des recourants n'avaient aucun lien avec le domaine bancaire, de sorte que la Banque ne disposait d'aucune connaissance particulière propre à justifier une mise en garde. Les recourants ne lui avaient d'ailleurs pas donné de détails quant à leurs projets lors de l'octroi des crédits; elle n'était donc pas tenue de vérifier la faisabilité des projets financés avec son concours ni d'instruire les emprunteurs des risques liés aux promotions immobilières réalisées à l'étranger, ne devant considérer, à ce stade, que son propre risque. Au demeurant, admettre la position des recourants impliquerait qu'une personne sans activité lucrative, mais détenant une fortune immobilière importante, ne pourrait pas se voir octroyer un crédit en vue de lancer un projet du fait que la banque risquerait, sinon, d'être actionnée ultérieurement pour ne s'être pas assurée que l'emprunteur était en mesure de payer les intérêts avec ses revenus usuels. Cela reviendrait à étendre par trop la notion de responsabilité de la banque dispensatrice de crédits.
Les recourants soutiennent également à tort que l'intimée aurait dû examiner les projets qu'ils entendaient réaliser à l'étranger et les dissuader de s'y engager. D'abord, ils ne l'avaient pas consultée à ce sujet. Ensuite, la Banque ne disposait d'aucune connaissance particulière lui permettant de détecter un danger relatif à un projet immobilier mis en oeuvre à l'étranger. Enfin, les recourants eux-mêmes étaient assistés de professionnels (architecte, courtiers, etc.), tant en Suisse qu'à l'étranger.
D'où il suit que l'intimée n'assumait aucune obligation particulière d'information envers les recourants et qu'elle n'a ainsi pas violé ses devoirs en leur octroyant les crédits litigieux.
7.3 A l'encontre de cette argumentation, les recourants font valoir des moyens qui se recoupent et qui peuvent, dès lors, faire l'objet d'un seul et même examen.
7.3.1 En premier lieu, les recourants reprochent à l'intimée de ne pas avoir fait montre de ce qu'ils appellent une "curiosité active" et de s'être totalement désintéressée de l'arrière-plan économique des demandes de crédit déposées par eux. A les en croire, la Banque aurait violé son devoir de diligence à leur égard en ne prenant pas le moindre renseignement sur l'affectation des fonds empruntés et en ne s'interrogeant pas sur la viabilité de leurs projets immobiliers.
Le reproche ainsi formulé prend appui sur l'opinion du professeur FRANÇOIS CHAUDET (L'obligation de diligence du banquier en droit privé, in RDS 113/1994, vol. II, p. 1 ss, spéc. p. 60 ss, nos 117 ss), lequel pose en la matière des exigences qui vont au-delà de celles fixées par la jurisprudence fédérale susmentionnée (cf. LUC THÉVENOZ, La responsabilité fondée sur la confiance dans les services bancaires et financiers, in La responsabilité fondée sur la confiance - Vertrauenshaftung, Publications du Centre d'études juridiques européennes, Genève 2001, p. 37 ss, 40 in limine), rendue en connaissance de cette opinion, jurisprudence dont les recourants ne sollicitent pas un réexamen. Ce reproche n'est pas fondé.
En l'occurrence, les crédits demandés par les recourants n'étaient pas liés à des affaires à connotation bancaire, dans le sens restrictif que la jurisprudence donne à cette expression (cf. arrêt 4C.410/1997, précité, consid. 3c, dernier §, qui cite l'exemple des placements en valeurs mobilières), mais à des promotions immobilières qui devaient être réalisées à l'étranger (Portugal et Espagne), dans les secteurs agricoles et touristiques notamment. Dans son recours complémentaire, A.X._ objecte que l'immobilier est l'un des domaines clés de l'activité d'une banque, tout particulièrement lorsqu'il s'agit d'une caisse d'épargne et de crédit. Toutefois, de ce que l'octroi de prêts hypothécaires caractérise ce type d'établissements, il ne s'ensuit pas pour autant qu'une telle activité puisse être rangée dans la catégorie des affaires à connotation bancaire strico sensu. Dès lors, l'intimée n'était pas fondamentalement tenue de vérifier d'office la possibilité pour les recourants de réaliser - d'un point de vue juridique ou économique - les projets envisagés, ni d'instruire les preneurs de crédit des risques liés au financement d'affaires de ce genre. Les premiers juges constatent, au demeurant, que les recourants, d'ailleurs assistés de professionnels (architecte, courtiers, etc.), n'avaient pas sollicité les conseils de l'intimée et ne lui avaient pas donné de détails au sujet de leurs projets lors de l'octroi des crédits, pas plus qu'ils ne l'avaient associée aux discussions et tractations y relatives. Ayant ainsi tenu consciemment la Banque à l'écart des projets pour le financement desquels ils requéraient son concours, les recourants ne sauraient venir lui imputer à faute, a posteriori, de ne pas les avoir dissuadés de s'y lancer. A.X._ en est du reste conscient, qui explique, dans son recours complémentaire, que "ce n'est pas tant le projet envisagé" par lui que la disproportion entre ses revenus et la charge d'intérêts grevant son budget qui aurait dû conduire la Banque à intervenir et à refuser, au besoin, de lui allouer le crédit litigieux.
7.3.2
7.3.2.1 En second lieu, les recourants font grief à l'intimée de leur avoir prêté d'importantes sommes d'argent sans tenir compte de leur solvabilité personnelle. Ils soulignent, à ce propos, que le paiement des intérêts de la dette constituait une charge équivalant à cinq ou six fois le montant de leurs revenus annuels imposables. Selon eux, la Banque ne pouvait raisonnablement croire que deux agriculteurs, certes prospères, mais aux revenus limités, seraient en mesure de supporter le poids financier d'un crédit de 7'500'000 fr. et des intérêts y afférents; elle pouvait d'autant moins le faire qu'ils entretenaient des relations d'affaires depuis 1977, de sorte qu'elle connaissait parfaitement leur capacité financière respective. Aussi aurait-elle dû s'abstenir d'octroyer des crédits d'une telle ampleur à des néophytes en matière de promotion immobilière. Et les recourants de se demander si le but poursuivi par l'intimée n'était pas tout simplement de mettre la main sur des immeubles susceptibles de connaître à terme une importante plus-value. Quoi qu'il en soit, pour eux, la Banque, en leur octroyant de manière inconsidérée des crédits totalement disproportionnés par rapport à leurs capacités financières, a violé le principe de la confiance et méconnu son devoir de sauvegarder loyalement les intérêts de ses clients.
7.3.2.2 En mettant l'accent sur l'octroi même, par la Banque, des crédits qu'elle leur a alloués, les recourants sortent du cadre juridique tracé par la jurisprudence précitée (cf. consid. 7.1). Selon cette jurisprudence, ce n'est pas cet acte-là qui est susceptible d'engager la responsabilité de la banque dispensatrice de crédits, mais la violation d'un éventuel devoir précontractuel d'information et de mise en garde de l'emprunteur.
Considérée sous cet angle, la présente affaire apparaît pour le moins singulière. En effet, il devrait être évident pour toute personne raisonnable que le paiement d'intérêts annuels représentant cinq ou six fois le montant du revenu annuel imposable du preneur de crédit est chose impossible. C'est dire qu'une personne sensée n'a pas besoin d'une information spécifique pour s'en aviser. Aussi une mise en garde spécifique des recourants par l'intimée, quant aux risques que leur ferait courir la lourde charge annuelle d'intérêts qu'engendrerait l'allocation des crédits sollicités, n'eût fait qu'enfoncer une porte ouverte. Par conséquent, il paraît exclu d'imputer à faute à l'intimée l'absence d'une information et d'une mise en garde superflues.
Vrai est-il que l'on peut alors se demander ce qui a poussé les recourants à solliciter l'octroi de crédits dont ils ne seraient normalement pas en mesure d'assumer seuls la charge. On en est réduit aux conjectures sur ce point: il est possible que les recourants aient compté sur une aide externe (investisseurs suisses ou étrangers) pour assumer une partie de la charge d'intérêts liée au financement des projets qu'ils entendaient mettre sur pied au Portugal et en Espagne; peut-être envisageaient-ils de vendre leurs projets sur plans à relativement brève échéance à des acquéreurs intéressés, tel "l'un des grands groupes internationaux de vacances" dont il est question dans la lettre adressée le 14 janvier 1992 par A.X._ à l'intimée.
Quoi qu'il en soit, il faut admettre, dans les circonstances du cas concret, que la Banque n'avait aucun devoir spécifique d'information à l'égard des emprunteurs quant au risque lié à l'ampleur des crédits litigieux. Par conséquent, les recourants adoptent une attitude peu compatible avec les règles de la bonne foi en venant lui reprocher après coup de ne pas les avoir mis en garde au sujet d'un risque qui sautait aux yeux.
Quoi qu'il en soit, il faut admettre, dans les circonstances du cas concret, que la Banque n'avait aucun devoir spécifique d'information à l'égard des emprunteurs quant au risque lié à l'ampleur des crédits litigieux. Par conséquent, les recourants adoptent une attitude peu compatible avec les règles de la bonne foi en venant lui reprocher après coup de ne pas les avoir mis en garde au sujet d'un risque qui sautait aux yeux.
7.4 Au demeurant, s'il fallait entrer dans les vues des recourants et imputer à l'intimée une violation de son devoir d'information ou de toute autre obligation précontractuelle, la créance compensatoire invoquée par les premiers ne devrait pas nécessairement être reconnue pour autant.
7.4.1 La responsabilité contractuelle ou précontractuelle suppose, outre une faute de la partie recherchée, que le lésé ait subi un dommage en relation de causalité adéquate avec la violation du contrat (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 381). Celui qui élève une prétention de ce chef doit apporter la preuve du dommage qu'il a subi (<ref-ruling> consid. 2b et les références).
La notion juridique du dommage est commune aux responsabilités contractuelle et délictuelle (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4a p. 291): consistant dans la diminution involontaire de la fortune nette, le dommage correspond à la différence entre le montant actuel du patrimoine du lésé et le montant que ce même patrimoine aurait si l'événement dommageable - ou la violation du contrat - ne s'était pas produit. Il peut survenir sous la forme d'une diminution de l'actif, d'une augmentation du passif, d'une non-augmentation de l'actif ou d'une non-diminution du passif (<ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 471; <ref-ruling> consid. 4 p. 366; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 323/324).
S'agissant plus particulièrement de la violation d'un devoir déterminé, tel le devoir d'information, le dommage équivaut à la différence entre l'état actuel du patrimoine et son état (hypothétique) tel qu'il serait si le devoir avait été observé. En d'autres termes, le dommage se calcule par référence à l'intérêt à l'exécution du devoir (GILLES PETITPIERRE, Enfoncer une porte ouverte? in La responsabilité fondée sur la confiance - Vertrauenshaftung, Publications du Centre d'études juridiques européennes, Genève 2001, p. 183 ss, nos 4 et 16).
7.4.2 En l'espèce, à suivre leur argumentation, les recourants, dûment informés par l'intimée des risques liés à l'octroi des crédits qu'ils sollicitaient, auraient renoncé à emprunter l'argent qui leur a été avancé et, partant, à réaliser les projets que cet argent devait servir à financer. Ils n'auraient donc pas eu à rembourser les crédits qui leur ont été alloués ni les intérêts y afférents et n'auraient pas dû payer les honoraires des mandataires qu'ils ont dû mettre en oeuvre avant l'introduction de la demande afin de sauvegarder leurs droits.
Toutefois, ces arguments n'épuisent pas le sujet. Comme on vient de le rappeler, en effet, le dommage équivaut à la différence entre l'état actuel du patrimoine et son état (hypothétique) tel qu'il serait si le devoir d'information avait été observé. Or, les arguments en question ne concernent que ce terme-ci du second membre de cette équation, à savoir la dette, en capital et intérêts, de chacun des recourants envers l'intimée du fait de l'octroi des crédits litigieux, dette qui n'existerait pas à ce défaut. Ils ne sont d'aucune utilité, en revanche, pour en fixer l'autre terme, c'est-à-dire pour déterminer l'état actuel du patrimoine de chaque recourant. A cet égard, il ne faut pas perdre de vue que l'argent emprunté a servi à l'acquisition de terrains à l'étranger et à la réalisation de projets immobiliers censés générer des profits. A supposer que ces projets aient été couronnés de succès et aient permis aux recourants d'encaisser suffisamment d'argent pour pouvoir rembourser leurs dettes en capital, intérêts et frais à l'égard de l'intimée et payer les honoraires de leurs mandataires, après s'être acquittés des frais occasionnés par la réalisation de leurs projets, ni l'un ni l'autre n'aurait subi de dommage, au sens donné à cette notion par la jurisprudence fédérale. Or, la Cour civile constate que "ni l'étendue du projet du demandeur B.X._, ni le résultat final - l'issue favorable ou défavorable - des projets de chacun des demandeurs n'ont été allégués ni par conséquent établis" (jugement attaqué, consid. X.dc), p. 61; adjectif mis en évidence par la Cour de céans). Dès lors, comme le souligne avec raison l'intimée, les premiers juges n'excluent pas que les projets réalisés aient été rentables. Partant, il n'est pas avéré que chaque recourant ait subi, in fine, une diminution involontaire de sa fortune nette.
La preuve du dommage allégué n'a ainsi pas été établie à satisfaction de droit. Les recourants, qui en avaient la charge, doivent en supporter les conséquences, en ce sens que l'existence de la créance qu'ils opposent en compensation à celle de l'intimée tendant au remboursement des crédits alloués n'est pas prouvée. Il est, par ailleurs, exclu de renvoyer la cause à la Cour civile afin qu'elle éclaircisse ce point, faute pour les recourants d'avoir formulé les allégations nécessaires à cet effet.
8. Au terme de cet examen, il y a donc lieu de rejeter les deux recours. En conséquence, chacun des recourants supportera les frais et dépens afférents à la cause qui le concerne (<ref-law>, art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 4A_513/2010 et 4A_515/2010 sont jointes.
2. Les recours sont rejetés.
3. Les frais judiciaires sont mis à la charge des recourants, à raison de 30'000 fr. pour chacun d'eux.
4. Chaque recourant versera à l'intimée une indemnité de 35'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 30 août 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo