Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft des Fürstentums Liechtenstein führte gegen X._ ein Strafverfahren wegen Betrugs. Aufgrund eines Antrages der Staatsanwaltschaft vom 30. November 2009 ersuchte die Regierung des Fürstentums Liechtenstein das Bundesamt für Justiz am 2. Dezember 2009 um Übernahme der Strafverfolgung durch die schweizerischen Strafverfolgungsbehörden. Das Bundesamt für Justiz übermittelte das Begehren am 4. Dezember 2009 der Staatsanwaltschaft des Kantons Aargau.
Der Untersuchungsbeamte des Bezirksamts Brugg überwies die Akten am 24. Dezember 2009 der Kantonspolizei zur Durchführung des Ermittlungsverfahrens. Nach diversen Verfahrensschritten stellte die Staatsanwaltschaft dem Bezirksamt Brugg am 20. Januar 2010 den Antrag, es seien die Akten zu eröffnen und ein Schlussbericht zu verfassen.
Im Anschluss an eine Eingabe von X._ vom 7. Januar 2011 beantragte die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach der kantonalen Staatsanwaltschaft gleichentags die Übernahme des Verfahrens. Am 3. Februar 2011 verfügte die Oberstaatsanwaltschaft, dass die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach berechtigt und verpflichtet ist, das Strafverfahren weiterzuführen.
B. Am 11. Februar 2011 stellte die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach X._ eine Anklageerhebung in Aussicht; gegenüber der Staatsanwaltschaft Vaduz nannte sie gleichentags eine Anklageerhebung im Sommer 2011. Von Seiten des angeblich Geschädigten gingen bei der Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach mehrere Eingaben ein. Am 14. Juni 2011 ersuchte X._ um Einstellung des Strafverfahrens, eventualiter um Erstvorladung zur Erstbefragung. Schliesslich reichte X._ am 26. Januar 2012 beim Obergericht des Kantons Aargau eine Beschwerde wegen Rechtsverzögerung und Rechtsverweigerung ein.
Mit Entscheid vom 23. Februar 2012 wies das Obergericht, Beschwerdekammer in Strafsachen, die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war. Es führte aus, dass in Anbetracht von Umfang und Komplexität des Verfahrens sowie der vorgenommenen Verfahrenshandlungen keine Rechtsverzögerung oder Rechtsverweigerung vorliege.
C. Gegen diesen Entscheid des Obergerichts hat X._ mit Eingaben, die mit 21. März 2012, 4. April 2012 und 6. April 2012 datiert sind, beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen erhoben. Er beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils, eventualiter die Anweisung an die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach, das Verfahren einzustellen. Er rügt zur Hauptsache eine Rechtsverweigerung. Er macht geltend, die Behörden würden Untersuchungshandlungen nicht vornehmen und durch verzögerte Untersuchungstätigkeit eine Rechtsverzögerug begehen.
Die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist im Rahmen eines Strafverfahrens ergangen. Er kann daher mit Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> angefochten werden. Der Beschwerdeführer ist zur Anfechtung legitimiert (<ref-law>) und hat die Beschwerde in Anbetracht der Gerichtsferien (<ref-law>) rechtzeitig erhoben. Neben der Rüge der Rechtsverzögerung und Rechtsverweigerung macht der Beschwerdeführer auch eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts geltend. Es kann offen bleiben, ob diese Rüge selbstständiger Natur ist; ihre Behebung ist für den Ausgang des Verfahrens nicht entscheidend (<ref-law>).
2. Zur Garantie eines gerechten Verfahrens nach <ref-law> gehören der ausdrückliche Anspruch auf Beurteilung innert angemessener Frist und das Verbot der Rechtsverzögerung. Entsprechende Garantien ergeben sich aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Sie gelten in allgemeiner Weise für sämtliche Sachbereiche und alle Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsbehörden. Überdies konkretisiert <ref-law> das Beschleunigungsgebot für den Bereich des Strafrechts. Danach nehmen die Strafbehörden die Strafverfahren unverzüglich an die Hand und bringen sie ohne unbegründete Verzögerung zum Abschluss. Diese Grundsätze kommen sowohl auf die Behörden der Strafverfolgung (Art. 12 und Art. 15 ff. StPO) wie auf die mit Strafsachen befassten Gerichte (Art. 13 und Art. 18 ff. StPO) zur Anwendung.
Die Angemessenheit der Dauer des Verfahrens bestimmt sich nicht absolut und ihre Beurteilung entzieht sich starren Regeln. Sie ist im Einzelfall unter Berücksichtigung der gesamten Umstände zu beurteilen und in ihrer Gesamtheit zu würdigen. Dabei sind insbesondere die Art des Verfahrens und die konkreten Umstände einer Angelegenheit wie Umfang, Komplexität und Bedeutung des Verfahrens, das Verhalten der betroffenen Privaten und der Behörden, die Bedeutung für die Betroffenen sowie die für die Sache spezifischen Entscheidungsabläufe zu berücksichtigen. Die Behörden haben die bei ihnen hängigen Verfahren ohne unnötige Verzögerungen zum Abschluss zu bringen. Die Garantie von <ref-law> ist verletzt, wenn eine Sache über Gebühr verschleppt wird und die Gesamtheit des Verfahrens nicht mehr angemessen ist (<ref-ruling> E. 4.4 S. 277; <ref-ruling> E. 5 S. 331; <ref-ruling> E. 2c S. 141; je mit Hinweisen). In Bezug auf Strafverfahren im Besondern gilt es namentlich zu verhindern, dass die angeschuldigte Person unnötig lange Zeit über die gegen sie erhobenen Vorwürfe im Ungewissen belassen und den Belastungen des Strafverfahrens ausgesetzt sind (BGE <ref-ruling> E. 2a S. 140).
3. Im vorliegenden Fall zeigt sich der nachfolgende Verfahrensablauf: Nach der Übernahme der Strafsache durch die aargauischen Strafverfolgungsbehörden im Dezember 2009 sind vorerst die üblichen Verfahrensvorkehren vorgenommen worden. In der Folge ist zwar ein Gesuch um Akteneinsicht behandelt worden, ohne dass das Verfahren bis im Januar 2011 wesentlich vorangetrieben worden wäre. Daraufhin ist zwischen der Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach und der kantonalen Staatsanwaltschaft um die Zuständigkeit gestritten worden, bis die Oberstaatsanwaltschaft am 3. Februar 2011 die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach zur Fortführung des Verfahrens verpflichtete. Diese hat dem Beschwerdeführer eine Anklageerhebung in Aussicht gestellt; gegenüber den liechtensteinischen Behörden hat sie dafür als mögliches Datum den Sommer 2011 genannt. Trotz Erkundigungen nach dem Verfahrensstand durch den angeblich Geschädigten und trotz des Begehrens des Beschwerdeführers um Verfahrenseinstellung bzw. um Vorladung für eine Erstbefragung ist ab dem Sommer 2011 nichts Wesentliches mehr vorgekehrt worden, was das Verfahren tatsächlich vorangebracht hätte. Am 26. Januar 2012 hat der Beschwerdeführer beim Obergericht schliesslich seine Rechtsverzögerungs- und Rechtsverweigerungsbeschwerde eingereicht. Dieser Verfahrensablauf zeigt allgemein, dass das Verfahren nicht zügig vorangetrieben worden ist.
Im angefochtenen Entscheid weist das Obergericht auf die Komplexität des Verfahrens hin. Dies erstaunt in Anbetracht des Umstandes, dass die kantonale Staatsanwaltschaft gegenüber der Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach dargelegt hatte, es fehle am Erfordernis der Komplexität, weshalb eine Übernahme des Verfahrens durch die kantonale Staatsanwaltschaft nicht in Betracht falle. Dieser Einschätzung hat die Oberstaatsanwaltschaft in ihrem Entscheid zugestimmt. Darüber hinaus fällt auf, dass seit der Übernahme der Strafsache mehrmals davon die Rede ist, das Verfahren und die Ermittlungen seien im Wesentlichen abgeschlossen und es bedürfe keiner weitern Untersuchungen. Damit stimmt überein, dass die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach im Februar 2011 eine Anklageerhebung auf einen baldigen Zeitpunkt bzw. auf den Sommer 2011 in Aussicht gestellt hat. Vor diesem Hintergrund zeigt sich, dass das Verfahren sehr schleppend geführt worden ist.
Die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach hat mehrfach zum Ausdruck gebracht, dass ihr die erforderlichen Mittel für den baldigen Abschluss des Verfahrens fehlten. Das Obergericht hat sich im angefochtenen Entscheid zu dieser Frage nicht ausgesprochen. Gemäss ständiger Rechtsprechung vermögen chronische Überlastung und strukturelle Mängel nicht vor dem Vorwurf der Rechtsverzögerung und -verweigerung zu bewahren (BGE <ref-ruling> E. 5.2 S. 332; <ref-ruling> E. 3c S. 165).
Aus der Sicht des Beschwerdeführers darf berücksichtigt werden, dass er mit mehreren Eingaben und schliesslich mit seiner Beschwerde ans Obergericht das Verfahren zu beschleunigen versuchte. Das Verfahren vor den aargauischen Behörden war zum Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids mehr als zwei Jahre hängig. Auch ohne nähere Abklärungen darf mit in die Beurteilung einbezogen werden, dass schon die liechtensteinischen Strafverfolgungsbehörden gegen den Beschwerdeführer über längere Zeit ein Verfahren geführt hatten.
In Anbetracht der gesamten Umstände (schleppende Verfahrensführung ohne wesentliche Verfahrensschritte, mangelnde Komplexität, Verfahrensdauer) ergibt sich, dass die aargauischen Behörden das vorliegende Verfahren in Verletzung von <ref-law> und <ref-law> verzögerten. Die Beschwerde erweist sich daher als begründet.
4. Die Beschwerde ist daher gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, und der angefochtene Entscheid des Obergerichts aufzuheben. Dieses wird in der Sache neu zu entscheiden und mit allfälligen Anweisungen für die beförderliche Durchführung und den unverzüglichen Abschluss des (erstinstanzlichen) Verfahrens zu sorgen haben. Ebenso hat es den Kostenpunkt des angefochtenen Entscheids neu zu beurteilen. Die darüber hinausgehende, vom Beschwerdeführer geforderte inhaltliche Anweisung an die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach, das Verfahren einzustellen, ist im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zulässig.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, vom 23. Februar 2012 aufgehoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juni 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Steinmann