Faits:
A. A._ travaillait pour la société X._, comme collaborateur au rayon fruits et légumes. Son activité consistait notamment à commander, contrôler et mettre en place la marchandise, ce qui impliquait la manipulation de charges jusqu'à 30 kg. Il était assuré contre les accidents (LAA) par Swica Assurances (ci-après : Swica).
Le 5 août 2003, un ami l'a porté et l'a lâché accidentellement sur le bord d'un bassin de la piscine de Y._. Les radiographies de la colonne vertébrale réalisées le jour même à l'Hôpital de Y._ ont mis en évidence une fracture-tassement du plateau supérieur D9 et D11, sans atteinte neurologique, et une spondylolyse L5/S1. A._ a quitté l'établissement hospitalier le 9 août 2003. Le port d'un corset trois points pendant trois mois, ainsi qu'un traitement antalgique et du repos lui ont été prescrits. Le 17 novembre 2003, en raison de la persistance de douleurs et d'une incapacité de travail totale, le médecin traitant de l'assuré, le docteur S._, a proposé une rééducation stationnaire à la Clinique Z._.
A._ a séjourné dans cette clinique du 5 mai au 3 juin 2004 pour suivre une thérapie physique et fonctionnelle. Les docteurs R._ et D._ y ont posé les diagnostics de rachialgies chroniques, fracture-tassement vertébral de D9 et D11 le 5 août 2003 (absence de séquelle radiologique), spondylolisthésis L5/S1 de stade I, spondylolyse L5 bilatérale et spina bifida occulta S1. Dans le rapport de sortie établi le 9 juillet 2004, ils ont exposé que les rachialgies lombaires actuelles n'étaient pas spécifiques et ne pouvaient être mises en rapport avec les fractures dorsales survenues le 5 août 2003. Quant à la spondylolyse L5 bilatérale et au spondylolisthésis L5/S1, ils étaient de nature maladive et certainement pré-existants au traumatisme. A._ avait subi une physiothérapie intensive, qui avait permis de réaliser des gains en endurance, en force-endurance de la musculature du tronc, en longueur musculaire et en souplesse. Il était prévu de poursuivre la physiothérapie, ambulatoirement, à raison de trois séances par semaine pendant six semaines environ après la sortie de la Clinique Z._. Bien que le poste de travail occupé par l'assuré fût contraignant physiquement, il n'y avait pas de contre-indication à la reprise progressive de l'activité professionnelle. L'assuré avait repris le travail à 50 % le 14 juin 2004 et il était prévu d'augmenter son taux d'activité à 75 % le 12 juillet, puis à 100 % le 2 août 2004.
A._ a effectivement repris le travail à 100 % le 2 août 2004. Le 23 septembre suivant, il s'est toutefois bloqué le dos en rangeant de la marchandise. Le docteur S._ atteste depuis lors une incapacité de travail totale et l'assuré n'a plus repris le travail. X._ a résilié son contrat avec effet dès le 31 mars 2005.
Swica a confié au docteur P._, spécialiste en chirurgie orthopédique, le soin de réaliser une expertise en vue d'établir les atteintes à la santé dont souffrait l'assuré et d'éclaircir la question du rapport de causalité avec l'accident du 5 août 2003. A réception du rapport établi le 6 décembre 2005 par ce médecin, Swica a mis fin aux prestations d'assurance, avec effet dès le 2 août 2004 (décision du 10 janvier 2006). Elle a considéré que l'assuré ne présentait plus, dès cette date, de séquelles de l'accident du 5 août 2003. Elle a maintenu son refus de prester pour la période courant dès le 2 août 2004, par décision sur opposition du 10 juillet 2006.
B. A._ a déféré la cause au Tribunal des assurances du canton de Vaud, qui a rejeté le recours par jugement du 10 mai 2007.
C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut à la constatation de l'obligation de Swica d'allouer des prestations pour la période postérieure au 2 août 2004, subsidiairement au renvoi de la cause à Swica pour instruction complémentaire et nouvelle décision, sous suite de frais et dépens. Il demande par ailleurs l'octroi de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale.
L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à des prestations de Swica pour la période postérieure au 2 août 2004. Bien que le recourant ne le précise pas expressément dans ses conclusions, il ressort de l'ensemble du mémoire de recours, interprété conformément aux règles de la bonne foi (cf. consid. 1 non publié de l'<ref-ruling>; voir également <ref-ruling> consid. 1 p. 127), qu'il entend obtenir la prise en charge du traitement médical après cette date, ainsi que l'allocation d'indemnités journalières en raison d'une incapacité de travail totale depuis le 23 septembre 2004.
2. 2.1 L'<ref-law> prévoit que les prestations de l'assurance-accidents obligatoire sont allouées en cas d'accident professionnel ou non professionnel, ou de maladie professionnelle. Par accident au sens de cette disposition, on entend toute atteinte dommageable, soudaine et involontaire, portée au corps humain par une cause extérieure extraordinaire qui compromet la santé physique, mentale ou psychique, ou qui entraîne la mort (<ref-law>). Le droit aux prestations suppose notamment entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé un lien de causalité naturelle. Cette condition est remplie lorsqu'il a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé : il suffit qu'associé éventuellement à d'autres facteurs, il ait provoqué l'atteinte à la santé, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de cette atteinte. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte en question sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait que l'administration ou, le cas échéant, le juge, examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3 p. 406).
2.2 Si l'on peut admettre qu'un accident n'a fait que déclencher un processus qui serait de toute façon survenu sans cet événement, le lien de causalité naturelle entre les symptômes présentés par l'assuré et l'accident doit être nié lorsque l'état maladif antérieur est revenu au stade où il se trouvait avant l'accident (statu quo ante) ou s'il est parvenu au stade d'évolution qu'il aurait atteint sans l'accident (statu quo sine; RAMA 1992 no U 142 p. 75, consid. 4b; Frésard/Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2ème éd., n. 80 p. 865). Le seul fait que des symptômes douloureux ne se sont manifestés qu'après la survenance d'un accident ne suffit pas à établir un rapport de causalité naturelle avec cet accident (raisonnement «post hoc, ergo propter hoc»; cf. <ref-ruling> consid. 2b/bb p. 341 sv.; RAMA 1999 no U 341 p. 408 sv., consid. 3b). Il convient en principe d'en rechercher l'étiologie et de vérifier, sur cette base, l'existence du rapport de causalité avec l'événement assuré.
3. La juridiction cantonale a considéré que le recourant présentait déjà des atteintes maladives avant l'accident du 5 août 2003, sous la forme d'une spondylolyse L5 bilatérale et d'un spondylolisthésis L5-S1. Les douleurs persistantes dont souffrait l'assuré pendant la période litigieuse pouvaient être mises en rapport avec ces atteintes maladives, mais pas avec les fractures vertébrales en D9 et D11, subies lors de l'accident. Ces dernières étaient désormais consolidées et n'entraînaient plus de symptômes douloureux. Dans ce sens, les premiers juges ont tenu pour établi que l'assuré présentait un statu quo sine dès le 2 août 2004, en se référant sur ce point aux constatations du docteur P._.
Le recourant ne conteste pas que les fractures vertébrales en D9 et D11 subies le 5 août 2003 sont consolidées et ne sont plus à l'origine des douleurs qu'il ressent. Il n'y a pas lieu de revenir sur ce point, qui fait l'objet de constatations concordantes des différents médecins consultés. En revanche, le recourant soutient que la spondylolyse et le spondylolisthésis dont il souffre constituent des fractures, déboîtements d'articulation ou lésions ligamentaires au sens de l'art. 9 al. 2 let. a, b ou g OLAA et sont par conséquent des lésions assimilées à un accident. Il en résulterait, toujours d'après le recourant, que le critère de la causalité ne serait pas déterminant pour l'octroi des prestations d'assurance.
4.1 4.1.1 Aux termes de l'<ref-law>, le Conseil fédéral peut inclure dans l'assurance des lésions corporelles qui sont semblables aux conséquences d'un accident. En vertu de cette délégation de compétence, le Conseil fédéral a édicté l'<ref-law>, qui prévoit notamment que les fractures (let. a), les déboîtements d'articulation (let. b) et les lésions de ligaments (let. g) sont assimilées à un accident, même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire, pour autant qu'elles ne soient pas manifestement imputables à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs.
4.1.2 La notion de lésion assimilée à un accident a pour but d'éviter, au profit de l'assuré, la distinction souvent difficile entre maladie et accident. Aussi les assureurs-accidents LAA doivent-ils assumer un risque qui, en raison de la distinction précitée, devrait en principe être couvert par l'assurance-maladie. Les lésions mentionnées à l'<ref-law> sont assimilées à un accident même si elles ont, pour l'essentiel, une origine vraisemblablement maladive ou dégénérative, pour autant qu'une cause extérieure ait, au moins, déclenché les symptômes dont souffre l'assuré (<ref-ruling>, 123 V 43 consid. 2b p. 44, 116 V 145 consid. 2c p. 147, 114 V 298 consid. 3c p. 301).
Cela ne conduit pas à faire purement et simplement abstraction de la notion de causalité, contrairement à ce que soutient le recourant. D'abord, les symptômes des lésions mentionnées à l'<ref-law> doivent avoir été, au moins, déclenchés par un facteur extérieur; ce ne sera pas le cas en l'absence d'un tel facteur ou si l'assuré avait déjà ressenti les symptômes auparavant. Ensuite, les lésions mentionnées à l'<ref-law> ne sont assimilées à un accident et n'ouvrent droit aux prestations, à ce titre, qu'à la condition de n'être pas manifestement imputables à une maladie ou à une dégénérescence exclusivement. Enfin, si un facteur extérieur n'a fait que déclencher les symptômes d'une lésion assimilée à un accident, le droit aux prestations prend fin lorsque le retour à un statu quo ante ou à un statu quo sine, c'est à dire le caractère désormais exclusivement dégénératif ou maladif de l'atteinte à la santé, est clairement établi; le degré de la vraisemblance prépondérante ne suffit pas, sans quoi l'on se trouverait à nouveau confronté, immédiatement après avoir admis l'existence d'une lésion assimilée à un accident, à la difficulté de distinguer entre l'origine accidentelle et maladive de cette lésion (cf. arrêts 8C_357_2007 du 31 janvier 2008 consid. 2, U 378/06 du 24 septembre 2007 consid. 2.2.2, U 60/03 du 28 juin 2004 consid. 3.3).
4.2 La spondylolyse et le spondylolisthésis dont souffre le recourant ne constituent pas une lésion assimilée à un accident, indépendamment du point de savoir s'ils correspondent à l'une des atteintes mentionnées à l'<ref-law>. En effet, les docteurs R._ et D._ ont exposé que les lésions constatées étaient certainement de nature maladive et qu'elles étaient déjà présentes avant le traumatisme du 5 août 2003. Le docteur P._ a précisé, pour sa part, qu'il était certain que la spondylolyse était présente avant cet événement, la lyse isthmique présentant des caractéristiques de lésions anciennes (sclérose des berges de la lyse). Il a ajouté que le traumatisme du 5 août 2003 avait entraîné une aggravation déterminante d'un spondylolisthésis L5-S1 de degré I-II, en ce sens que cette affection étaient devenue symptomatique; en particulier, les suites au moment du sevrage du corset avaient mis en évidence, au premier plan, des douleurs lombaires vraisemblablement en raison de la fonte musculaire consécutive au port de ce corset. Enfin, le médecin traitant de l'assuré a lui aussi précisé que l'assuré avait fait une chute et s'était fait une fracture de D9 et D11; les différentes investigations menées à la suite de cet événement avaient également mis en évidence une spondylolyse L5 sur S1, dont il était plausible qu'elle se soit décompensée à la suite de l'accident (rapport du 1er juillet 2005). De l'ensemble de ces avis médicaux, il ressort que la spondylolyse et le spondylolisthésis dont souffre le recourant sont clairement des affections d'origine exclusivement maladive et n'ont pas été causés, même partiellement, par le choc subi le 5 août 2003. Le seul fait que les symptômes ont été déclenchés ou aggravés par cet événement, directement ou indirectement, ne suffit pas à assimiler les lésions constatées à un accident au sens de l'<ref-law>. Sur ce point, l'argumentation du recourant est mal fondée.
5. 5.1 Cela étant, il n'est pas contesté que le recourant a subi un accident le 5 août 2003 et que celui-ci a déclenché ou aggravé des symptômes douloureux. La question se pose de savoir si A._ a depuis lors retrouvé un statu quo ante ou un statu quo sine et, si oui, à partir de quelle date. Il convient de trancher cette question en appliquant le critère de la vraisemblance prépondérante, usuel en droit des assurances sociales, en l'absence de lésion assimilée à un accident (cf. consid. 4.1.2 supra).
5.2 Pour fixer au 2 août 2004 la date du retour au statu quo sine, les premiers juges se sont référés, pour l'essentiel, aux constatations du docteur P._, auxquelles ils ont attribué une pleine valeur probante. Le recourant conteste cette valeur probante et soutient que le rapport d'expertise du docteur P._ présente des contradictions. Sur ce point, son argumentation est fondée.
Le docteur P._ expose que «les troubles actuellement constatés sont partiellement dus à l'accidents.» Il précise ensuite que ces troubles ne sont dus à l'accident que de manière possible, avant d'ajouter que l'aggravation de l'état maladif préexistant causée par l'accident n'est pas guérie, le statu quo sine ayant été atteint à la reprise du travail à 100 % le 2 août 2004. La reprise du travail a entraîné une rechute, mais «du fait de la lésion préexistante, du fait de la décompensation consécutive au port du corset, il est fort probable que l'assuré aurait pu décompenser son spondylolisthésis sans l'événement du 5 août 2003. La rééducation a été efficace, jusqu'au moment où l'assuré a travaillé avec le port de charge habituel (palettes...)». Ces explications sont effectivement contradictoires et ne permettent pas de se prononcer en connaissance de cause sur le point de savoir si l'accident subi en août 2003 avait encore, au degré de la vraisemblance prépondérante, une influence sur les douleurs lombaires dont souffrait l'assuré postérieurement au 2 août 2004, ni sur une éventuelle rechute le 23 septembre 2004.
En fait, le docteur P._ semble d'avis que les douleurs dont souffre l'assuré sont dues aux affections maladives qu'il présentait déjà avant l'accident, mais qu'elles sont apparues en raison d'un déconditionnement musculaire dû au port d'un corset lombaire après l'accident du 5 août 2003. Dans cette éventualité, le traitement médical des fractures vertébrales subies lors de cet événement constituerait une cause partielle des douleurs subies par l'assuré, à tout le moins dans un premier temps, ce qui entraînerait la responsabilité de l'intimée au titre de l'<ref-law>. Le rapport établi par le docteur P._ ne permet toutefois pas de déterminer si l'expert considère que la physiothérapie suivie a permis un reconditionnement suffisant pour établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, un retour au statu quo sine le 2 août 2004 ni, le cas échéant, pour exclure en connaissance de cause une rechute, au moins partiellement due à l'accident, lors de l'exacerbation des douleurs qui a conduit à une nouvelle période d'incapacité de travail le 23 septembre 2004. Certes, le rapport de sortie de la Clinique Z._, établi le 9 juillet 2004, semble partir du principe que l'assuré aurait recouvré, grâce à la physiothérapie, une condition physique suffisante pour reprendre le travail à 100 % dès le 2 août 2004. Mais il ne s'agissait que d'un pronostic et les docteurs R._ et D._ admettaient que les aptitudes fonctionnelles pour le port de charge semblaient encore un peu justes. Compte tenu de la date à laquelle il a été établi, ce rapport ne permet en outre pas de se prononcer, en admettant un retour au statu quo sine le 2 août 2004, sur le rapport de causalité entre l'accident et le déconditionnement musculaire qui en a résulté, d'une part, et une éventuelle rechute le 23 septembre 2004, d'autre part.
6. Vu ce qui précède, une instruction complémentaire est nécessaire, sous la forme d'une nouvelle expertise. Il appartiendra à l'intimée d'interroger l'expert sur le point de savoir si les atteintes à la santé présentées par l'assuré sont encore en relation de causalité naturelle, serait-ce partiellement, avec l'accident du 5 août 2003, ou si au contraire l'accident et le déconditionnement physique dû au port d'un corset n'ont plus d'influence sur l'état de santé de l'assuré. Le cas échéant, il appartiendra à l'expert de préciser à partir de quand il considère que l'accident n'a plus eu d'influence sur l'état de santé du recourant, et selon quel degré de probabilité (possible, probable ou certain).
Le recourant obtient gain de cause, de sorte qu'il peut prétendre une indemnité de dépens à la charge de l'intimée (<ref-law>). Cette dernière supportera également les frais de justice (<ref-law>). La demande d'assistance judiciaire présentée par A._ pour l'instance fédérale est donc sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud, du 10 mai 2007, et la décision sur opposition de Swica assurances, du 10 janvier 2006, sont annulés, la cause étant renvoyée à l'intimée pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera au recourant la somme de 2'500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera à nouveau sur les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 8 août 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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