Sachverhalt:
A. Der 1954 geborene M._ war über seine damalige Arbeitgeberin bei der Winterthur-Columna Sammelstiftung BVG Bern (nachfolgend: Winterthur-Columna) berufsvorsorgerechtlich versichert, als er am 24. Juni 2001 bei einen Motorradunfall u.a. eine Thoraxkontusion und Rippenbrüche erlitt. In der Folge blieb er im Umfang von 100 resp. 50 Prozent arbeitsunfähig. Die Arbeitgeberin löste das Arbeitsverhältnis auf den 28. Februar 2002 auf.
Nach erfolgter Anmeldung zum Leistungsbezug und Abklärungen sprach die IV-Stelle des Kantons Solothurn M._ bei einem Invaliditätsgrad von 63 % ab 1. Juni 2002 eine halbe Invalidenrente und ab 1. Januar 2004 eine Dreiviertelsrente zu. Die Winterthur-Columna verneinte mit Schreiben vom 6. September 2006 eine Leistungspflicht mit der Begründung, die Arbeitsfähigkeit aus Sicht der Unfallfolgen sei als 100 % taxiert worden und aus der Rentenverfügung der IV-Stelle sei ersichtlich, dass seit 24. Juni 2002 zudem unfallfremde Leiden vorlägen.
B. Am 6. November 2006 liess M._ beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Klage erheben und beantragen, die Winterthur-Columna sei zur Leistung einer halben Invaliditätsrente ab 24. Juni 2001 und einer Dreiviertelsrente ab 1. Januar 2004 an ihn zu verpflichten, vorbehältlich allfälliger Koordinationsbestimmungen gemäss Gesetz und einschlägigem Reglement. Die Winterthur-Columna beantragte die vollumfängliche Abweisung der Klage. Nach Abklärungen und Durchführung eines zweifachen Schriftenwechsels wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 18. März 2008 die Klage ab.
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der Entscheid vom 18. März 2008 sei aufzuheben und die Winterthur-Columna sei zu verpflichten, ihm eine halbe Invaliditätsrente ab 24. Juni 2001 und eine Dreiviertelsrente ab 1. Januar 2004 zu bezahlen. Ferner lässt er um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen.
Die Winterthur-Columna und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2. Anspruch auf Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge haben Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 50 resp. 40 Prozent invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren (Art. 23 BVG in der bis 31. Dezember 2004 gültig gewesenen resp. Art. 23 lit. a in der ab 1. Januar 2005 gültigen Fassung).
Der Leistungsanspruch gegenüber einer Vorsorgeeinrichtung, der ein Arbeitnehmer beim Eintritt der Arbeitsunfähigkeit angeschlossen war, für das erst nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses eingetretene Invaliditätsrisiko setzt voraus, dass zwischen Arbeitsunfähigkeit (zum Begriff vgl. SZS 2003 S. 521) und Invalidität ein enger sachlicher und zeitlicher Zusammenhang besteht. Die - im hier zu beurteilenden Fall allein strittige - hinreichende sachliche Konnexität ist zu bejahen, wenn der Gesundheitsschaden, wie er der Invalidität zugrunde liegt, im Wesentlichen bereits Ursache der früheren Arbeitsunfähigkeit war (<ref-ruling> E. 1c S. 265, 120 V 112 E. 2c/aa und bb S. 117 f.).
3. Nach Auffassung des kantonalen Gerichts fehlt es am sachlichen Zusammenhang zwischen der ursprünglichen Arbeitsunfähigkeit und der heutigen rentenbegründenden Invalidität. Wohl sei der Versicherte arbeitsunfähig gewesen, als er noch der Winterthur-Columna angehört habe, dies sei jedoch allein auf die Rippenfrakturen zurückzuführen gewesen. Gemäss Gutachten des Spitals Y._ vom 24. Oktober 2002 seien die Frakturen verheilt und hätten keinen Einfluss mehr auf die Arbeitsfähigkeit, ausserdem könnten auch die degenerativen Veränderungen der Wirbelsäule die Beschwerden nicht erklären, weshalb nunmehr vom Vorliegen einer Schmerzfehlverarbeitung auszugehen sei. Gegenwärtig werde der Versicherte einzig dadurch limitiert. Die Schmerzstörung sei erstmals anlässlich der Begutachtung und damit Monate nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses diagnostiziert worden. Sollte die Schmerzstörung schon früher bestanden haben, so habe sie jedenfalls bis Ende März 2002 keine Arbeitsunfähigkeit verursacht. Auch eine massgebliche Bedeutung der Rippenfrakturen für die Genese der Schmerzstörung ändere nichts daran, dass - was ausschlaggebend sei - der (sekundäre) psychische Gesundheitsschaden nicht identisch sei mit dem ursprünglichen organischen Leiden.
4. 4.1 Da die Rentenverfügung der Invalidenversicherung der Vorsorgeeinrichtung nicht eröffnet wurde, stellt sich vorliegend die Frage nach einer allfälligen Bindungswirkung nicht (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 5).
4.2 Nach nicht offensichtlich unrichtiger und unbestrittener Feststellung der Vorinstanz liegt der Invalidität nunmehr ausschliesslich eine Schmerzstörung zugrunde. Diese gesundheitliche Beeinträchtigung ist ein eigenständiges Leiden und klar zu unterscheiden von den insbesondere auf Rippenbrüchen beruhenden somatischen Beschwerden (vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 9/06 vom 21. November 2006 E. 4.2 in fine), welche in den ersten Monaten nach dem Unfall im Vordergrund standen und nach ebenfalls unbestrittener vorinstanzlicher Feststellung (spätestens) seit dem 24. Oktober 2002 keinen Einfluss mehr auf die Arbeitsfähigkeit haben. Zwar mag der Unfall vom 24. Juni 2001 als Auslöser aller gesundheitlicher Probleme des Beschwerdeführers gelten; ausschlaggebend ist jedoch einzig, ob der aktuelle, invalidisierende psychische Gesundheitsschaden auch Ursache einer Arbeitsunfähigkeit während des Vorsorgeverhältnisses war (E. 2). Dieses dauerte - unter Berücksichtigung der Nachdeckungsfrist von Art. 10 Abs. 3 BVG - bis 31. März 2002.
4.3 Weiter ist die vorinstanzliche Feststellung, wonach die Schmerzstörung jedenfalls bis Ende März 2002, sollte sie damals schon bestanden haben, keine Arbeitsunfähigkeit verursacht habe, weder offensichtlich unrichtig, noch beruht sie auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law>. Zwar hat der SUVA-Kreisarzt anlässlich der Untersuchung vom 19. Februar 2002 festgestellt, dass die Rippenbrüche durch Kallus bereits weitgehend konsolidiert seien. Es seien jetzt deutliche Symptomausweitungen mit Schmerzhaftigkeit des ganzen Schultergürtels und Nackens, aber auch Ausstrahlungen gegen die Beine zu beklagen. Das im Rahmen eines stationären Aufenthaltes in der Rehaklinik X._ am 15. März 2002 zwecks Abklärung des Verdachts einer depressiven Entwicklung durchgeführte psychiatrische Konsilium hat jedoch zum Ergebnis geführt, eine psychische Störung liege nach den bisherigen Erkenntnissen nicht vor. Gemäss Austrittsbericht vom 16. Mai 2002 blieben die subjektiven Angaben und objektiven Befunde bis zur Beendigung des Rehabilitationsaufenthalts am 24. April 2002 im Wesentlichen unverändert. Ist aber den ersten Symptomen der späteren Schmerzstörung aufgrund einer fachärztlichen Abklärung (noch) kein Krankheitswert beizumessen, ist eine darauf gründende Arbeitsunfähigkeit zu diesem Zeitpunkt erst recht auszuschliessen. Das kantonale Gericht hat einen sachlichen Zusammenhang zwischen der heutigen rentenbegründenden Invalidität und der während des Vorsorgeverhältnisses bestehenden Arbeitsunfähigkeit zu Recht verneint.
4.4 Dass der Beschwerdeführer aufgrund anderer gesundheitlicher Beeinträchtigungen, insbesondere somatischer Beschwerden infolge der Rippenfrakturen, Anspruch auf Leistungen der Vorsorgeeinrichtung hat, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht. Der angefochtene Entscheid verletzt Bundesrecht nicht.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt G._ wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. September 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Dormann