Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 15. Juli 2010 ist das Bundesgericht auf eine von X._ und Y._ gegen ein am 2. Juni 2010 ergangenes Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht eingetreten (Verfahren 1C_340/2010).
Mit Revisionsgesuch vom 8. September 2010 beantragen X._ und Y._, das Urteil sei aufzuheben.
2. Die Aufhebung oder Abänderung eines wie hier in Rechtskraft erwachsenen Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes gemäss <ref-law> möglich.
Die Gesuchsteller berufen sich ganz allgemein auf die Revisionsgründe von Art. 121 lit. a, c und d BGG. Sie beschränken sich indes darauf, weiterhin Kritik an den kantonalen Verfahrensabläufen und nebstdem Kritik an der dem angefochtenen bundesgerichtlichen Nichteintretensentscheid zugrunde liegenden rechtlichen Würdigung zu üben, indem sie ihre anderslautende Sicht der Dinge vortragen. Dabei unterlassen sie es, im Einzelnen darzulegen, inwiefern welcher der gesetzlichen Revisionsgründe erfüllt sein soll. Kritik der genannten Art ist jedoch im Revisionsverfahren nicht zu hören.
Auf das Revisionsgesuch ist daher ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) nicht einzutreten.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten den Gesuchstellern unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Gesuchstellern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Muri bei Bern, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp