Sachverhalt:
A.
Das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, stellte in der Betreibung Nr. xxxx der Stiftung Auffangeinrichtung BVG gegen die X._ GmbH, mit Sitz in A._, für ausstehende Beiträge in der Höhe von Fr. 2'963.10 (zuzüglich 5% Zins seit 31. März 2011 und Mahn- und Inkassokosten von insgesamt Fr. 150.--) am 11. Juni 2012 den Zahlungsbefehl zu. Die Betreibungsschuldnerin erhob Rechtsvorschlag. Mit Verfügung vom 17. August 2012 verpflichtete die Stiftung Auffangeinrichtung BVG die X._ GmbH zur Zahlung der Beiträge und Kosten und beseitigte den Rechtsvorschlag. Am 18. Oktober 2012 verlangte die Stiftung Auffangeinrichtung BVG unter Beilage der Rechtskraftbescheinigung die Fortsetzung der Betreibung. Am 5. November 2012 stellte das Betreibungsamt der X._ GmbH die Konkursandrohung zu.
B.
Gegen die Konkursandrohung erhob die X._ GmbH betreibungsrechtliche Beschwerde und machte geltend, dass für die betriebene Forderung die Konkursbetreibung ausgeschlossen sei. Mit Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, vom 8. Januar 2013 wurde die Beschwerde abgewiesen.
C.
Mit Eingabe vom 18. Januar 2013 ist die X._ GmbH an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin verlangt die Aufhebung des Entscheides der kantonalen Aufsichtsbehörde vom 8. Januar 2013 und beantragt, die Betreibung (der Stiftung Auffangeinrichtung BVG als Beschwerdegegnerin) sei auf dem Weg der Pfändung fortzusetzen. Weiter ersucht sie am 8. Februar 2013 (sinngemäss) um aufschiebende Wirkung.
Mit instruktionsrichterlicher Anordnung vom 6. März 2013 wurde das Konkursgericht (Regionalgericht Bern-Mittelland, Gerichtspräsident) angewiesen, einstweilen keine Konkursverhandlung anzusetzen.
Die Aufsichtsbehörde hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde, welche die Beurteilung der Konkursandrohung zum Gegenstand hat. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
1.2. Die vorliegende Beschwerde ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin, welche die Vollstreckungsart in Frage stellt, ist zur Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich legitimiert (<ref-law>). Die Beschwerde gegen den letztinstanzlichen Entscheid ist fristgemäss erhoben worden (Art. 75 Abs. 1, Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG) und grundsätzlich zulässig.
1.3. Mit vorliegender Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
2.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Konkursandrohung in der angehobenen Betreibung. Es steht ausser Frage, dass das Begehren zur Fortsetzung der Betreibung fristgemäss ist, sich auf einen rechtskräftigen Zahlungsbefehl stützt und gegen eine im Handelsregister (als GmbH) eingetragene Schuldnerin richtet (vgl. Art. 39 Abs. 1 Ziff. 8, Art. 88 SchKG). Einziger Streitpunkt ist, ob eine Ausnahme von der Konkursbetreibung im Sinne von <ref-law> vorliegt. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin rechtfertigt die privatrechtliche Rechtsform der Beschwerdegegnerin nicht, um für die in Frage stehende Forderung die Ausnahme von der Konkursbetreibung zu verneinen. Zu prüfen ist, auf welchem Weg die Zwangsvollstreckung für Beitragsforderungen der Stiftung Auffangeinrichtung BVG durchzuführen ist.
2.1. Gemäss <ref-law> ist die Konkursbetreibung in jedem Fall ausgeschlossen für (erstens) Steuern, Abgaben, Gebühren, Sporteln, Bussen und andere im öffentlichen Recht begründete Leistungen (zweitens) an öffentliche Kassen oder an Beamte (Ziff. 1). Nach der Rechtsprechung müssen zwei Voraussetzungen kumulativ erfüllt sein, damit sich ein Schuldner auf diese Bestimmung berufen kann: Einerseits muss die Forderung ihren Rechtsgrund im öffentlichen Recht haben, und andererseits muss der Gläubiger eine Anstalt des öffentlichen Rechts, z.B. eine öffentlichrechtliche Körperschaft sein (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 1 S. 251; <ref-ruling> E. 2 S. 14; vgl. bereits BGE 54 III 223 E. 2 S. 224).
2.1.1. Dieser Vorschrift liegt der Gedanke zugrunde, dass ein Schuldner für öffentlichrechtliche Forderungen, die von der öffentlichen Hand betrieben werden, nicht der Generalexekution und damit der allgemeinen Liquidation seines Vermögens unterliegen soll (BGE 77 III 37 S. 39); umgekehrt muss der öffentlichrechtliche Gläubiger dank der Ausnahme nicht mit den privaten Gläubigern konkurrieren (Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I, 1999, N. 27 f. zu <ref-law> mit Hinw.). Mit <ref-law> wird vom ordentlichen Vollstreckungsverfahren abgewichen, weshalb die systemwidrige Bestimmung nach ständiger Rechtsprechung eng ausgelegt wird (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 14; <ref-ruling> E. 3 S. 71/72; GILLIÉRON, a.a.O., N. 10 zu <ref-law> mit Hinw.). Rechtssubjekte des Privatrechts (wie zur Durchführung der obligatorischen Krankenversicherung) fallen nicht unter die Ausnahmebestimmung (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 251).
2.1.2. Nach Auffassung in der Lehre vermag der Anwendungsbereich, insbesondere der Begriff der "öffentlichen Kasse" in der heutigen Zeit, in welcher öffentliche Aufgaben auch von privaten Rechtsträgern ausgeführt werden, kaum (mehr) zu überzeugen. Als problematisch wird weiter erachtet, dass die privaten Rechtsträger oft zusammen mit der Festlegung des geschuldeten Betrages gleichzeitig die Rechtsöffnung verfügen können (hierzu KREN KOSTKIEWICZ/WALDER, Kommentar SchKG, 18. Aufl. 2012, N. 10 zu <ref-law> mit Hinw.). Aus diesen und weiteren Gründen wird die Aufhebung der Bestimmung bzw. eine Reform von <ref-law> vorgeschlagen (vgl. Kritik von ACOCELLA, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 4a a.E. zu <ref-law>; RIGOT, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 16 zu <ref-law>; REISER, Zu den Ausnahmen von der Konkursbetreibung gemäss <ref-law>, in: BlSchK 2005, S. 62, 65; KARLEN, Privilegien des Staates bei der Vollstreckung öffentlichrechtlicher Geldforderungen, in: Festschrift Spühler, 2005, S. 158).
2.2. Der Beschwerdeführer stellt nicht in Frage, dass die Betreibungsforderung (Beiträge des Arbeitgebers für pflichtversicherte Arbeitnehmer gemäss BVG) "gesetzlich vorgeschrieben" ist bzw. ihren Rechtsgrund im öffentlichen Recht hat. Die Aufsichtsbehörde hat verneint, dass die Beschwerdegegnerin - als Auffangeinrichtung gemäss Art. 60 BVG - ein Rechtssubjekt des öffentlichen Rechts sei. Es handelt sich unstrittig um eine privatrechtliche Stiftung im Sinne von <ref-law>. Die Vorinstanz hat (unter Hinw. auf ACOCELLA, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>) geschlossen, dass die Ausnahme gemäss <ref-law> nicht greife, und die Konkursandrohung bestätigt.
2.3. Das Bundesgericht hat bereits in einem Urteil aus dem Jahr 1992 entschieden, dass ein Schuldner, welcher der Konkursbetreibung unterliegt, sich nicht auf <ref-law> berufen kann, wenn er zwecks Ablieferung von Arbeitgeberbeiträgen von der Stiftung Auffangeinrichtung BVG betrieben wird. Ausschlaggebend war die Rechtsnatur der Betreibungsgläubigerin als privatrechtliche Stiftung. Im Übrigen könne die Beschwerdegegnerin einen Rechtsvorschlag, den der Arbeitgeber in einer für die Beiträge eingeleiteten Betreibung erhoben hat, nicht selber beseitigen (BGE <ref-ruling> E. 3 S. 15). In diesem Punkt hat sich die Rechtslage allerdings geändert. Durch die Revision des BVG vom 3. Oktober 2003 (in Kraft seit dem 1. Januar 2005) sind die Verfügungen der Beschwerdegegnerin den vollstreckbaren Urteilen im Sinne von <ref-law> gleichgestellt worden (Art. 60 Abs. 2bis BVG), und sie kann den Rechtsvorschlag mit der Festsetzung des Beitrages im Verwaltungsverfahren selber beseitigen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 120). Es rechtfertigt sich, die für die Beschwerdegegnerin massgebende bisherige Praxis (BGE <ref-ruling>) zu überprüfen.
2.3.1. Mit der parlamentarischen Initiative Baumgartner (98.411) wurde in den eidgenössischen Räten die Frage behandelt, ob sämtliche öffentlichrechtliche Forderungen von der Konkursbetreibung ausgenommen werden sollen, unabhängig davon, ob der Gläubiger eine öffentlich- oder privatrechtliche Person ist. Der entsprechende Vorschlag der Kommissionsminderheit (BBl 2002 7715) wurde jedoch nicht Gesetz. Entscheidend dafür war, dass eine derartige Privilegierung der öffentlichrechtlichen Forderungen zu Lasten der übrigen, insbesondere privatrechtlichen Gläubiger nicht gefördert werden soll (vgl. Bericht der Kommission für Rechtsfragen des Nationalrates vom 27. Mai 2002, BBl 2002 7107, Ziff. 3.1 S. 7112; Stellungnahme des Bundesrates vom 4. September 2002, BBl 2002 7116, Ziff. 2.2 S. 7118; AB 2003 N S. 825 f., Voten Thanei und Cina für die Kommission). Der Katalog der Ausnahmen in <ref-law> wurde durch die Änderung des SchKG vom 3. Oktober 2003 (in Kraft seit 1. Juli 2004) einzig für die Prämien der obligatorischen Unfallversicherung erweitert (Ziff. 1bis).
2.3.2. Die Revision lässt klar erkennen, dass die Beseitigung der Ungleichbehandlung betreffend Betreibungsart auf die obligatorische Unfallversicherung, welche sowohl von der SUVA als "öffentlicher Kasse" als auch von den Privatversicherungen angeboten wird (Art. 58, Art. 60 Abs. 1 UVG), beschränkt wurde. Dass private Träger der obligatorischen Unfallversicherung den Rechtsvorschlag ebenso beseitigen können (<ref-law> i.V.m. <ref-law>; Urteil 8C_809/2011 vom 12. Dezember 2011 E. 2) wie z.B. diejenigen der obligatorischen Krankenversicherung (<ref-ruling> E. 2b S. 331), bildete keinen Grund zur Erfassung anderer Bereiche. Vielmehr wurde im Rahmen der Revision festgehalten, dass die Prämien, welche der Arbeitgeber für die berufliche Vorsorge der gemäss BVG pflichtversicherten Arbeitnehmer zu zahlen hat, "namhafte Beträge" darstellen könnten. Hätten die privaten Vorsorgeeinrichtungen nicht mehr die Möglichkeit, zur Einforderung den Konkurs anzudrohen, so würde deren Position erheblich geschwächt und die Finanzierung der zweiten Säule gefährdet, weshalb sich die Erweiterung nicht aufdränge (Bericht der Kommission, a.a.O.).
2.3.3. Das Begehren des Beschwerdeführers läuft darauf hinaus, auf dem Wege der Rechtsprechung den diskutierten, aber verworfenen parlamentarischen Gesetzesvorschlag einzuführen. Es gibt keinen Grund, über die vom Gesetz geforderten Voraussetzungen hinwegzusehen (vgl. <ref-law>), wenn mit der Revision von 2003 die Vermeidung weitergehender Ungleichbehandlung zwischen (privaten und öffentlichrechtlichen) Forderungen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 23) und die restriktive Auslegung von <ref-law> (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2 S. 252) bestätigt wurde.
2.4. Nach dem Dargelegten ist mit <ref-law> vereinbar, wenn die Aufsichtsbehörde - wie es kantonaler Praxis entspricht (RVJ 2007 S. 206) - die Konkursandrohung des Betreibungsamtes bestätigt hat. Die Beschwerde ist unbegründet.
3.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin als mit öffentlichrechtlichen Aufgaben betraute Organisation wird nach <ref-law> keine Parteientschädigung zugesprochen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, sowie dem Regionalgericht Bern-Mittelland (Zivilabteilung, Gerichtspräsident) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Mai 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante