Sachverhalt:
A.
Die Y._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) reichte am 16. Dezember 2011 bei der Schlichtungsbehörde des Bezirks Maloja ein Schlichtungsgesuch betreffend Forderung gegen X._ (Beklagter, Beschwerdeführer) ein. Das Rechtsbegehren lautete auf Verurteilung des Beklagten zu einer Zahlung von Fr. 1'325'000.-- zuzüglich Zins.
Die Schlichtungsbehörde lud die Parteien für den 20. April 2012 persönlich zur Vermittlungsverhandlung vor. Am 19. April 2012 gab sie - entgegen dem Antrag des Beklagten - dem schriftlichen Gesuch der Klägerin um Dispens von der Teilnahme ihrer zeichnungsberechtigten Verwaltungsratsmitglieder an der Verhandlung statt.
An der Schlichtungsverhandlung vom 20. April 2012 nahmen seitens der Klägerin L._ als Mitarbeiter und Handlungsbevollmächtigter und Rechtsanwalt M._ als Rechtsvertreter teil. Der Beklagte erschien seinerseits persönlich, unter anderem in Begleitung seines Rechtsvertreters. Die Parteien konnten sich nicht einigen, und der Klägerin wurde mit Mitteilung vom 27. April 2012 die Klagebewilligung erteilt.
B.
Am 30. August 2012 erhob die Klägerin beim Bezirksgericht Maloja Klage mit dem bereits im Schlichtungsgesuch gestellten Rechtsbegehren. Der Beklagte stellte den Hauptantrag, es sei auf die Klage nicht einzutreten, sowie die Verfahrensanträge, ihm sei die Frist zur Einreichung einer Klageantwort abzunehmen und es sei das Verfahren auf die Frage des Eintretens (und der eventualiter verlangten Sistierung) zu beschränken. Das Bezirksgericht teilte den Parteien daraufhin mit, dass die vom Beklagten bemängelte ordnungsgemässe Schlichtung eine Prozessvoraussetzung und als solche vom Gericht zu prüfen sei.
Am 11. März 2013 fällte das Bezirksgericht den folgenden Zwischenentscheid:
"1. Die Einrede der mangelhaften Vermittlung wird abgewiesen und auf die Klage wird eingetreten.
[...]"
Die vom Beklagten dagegen erhobene Berufung wies das Kantonsgericht von Graubünden mit Urteil vom 14. Juni 2013 ab.
C.
Der Beklagte beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben, und es sei auf die Klage vom 30. August 2012 nicht einzutreten.
Die Klägerin begehrt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Vorinstanz beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei, unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil.
Der Beschwerdeführer reichte eine Replik ein, worauf die Beschwerdegegnerin auf Gegenbemerkungen verzichtete.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
Mit dem Zwischenentscheid vom 11. März 2013 wies das Bezirksgericht die Einrede der mangelhaften Vermittlung ab und trat auf die Klage ein. Beim angefochtenen Urteil des Kantonsgerichts vom 14. Juni 2013, das diesen Entscheid bestätigt, handelt es sich der Sache nach um einen selbständig eröffneten Vor- und Zwischenentscheid, der die funktionelle Zuständigkeit des angerufenen Gerichts betrifft und somit nach <ref-law> mit Beschwerde beim Bundesgericht angefochten werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 1.3; Urteil 4A_28/2013 vom 3. Juni 2013 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf die Ausführungen der Parteien zur Anfechtbarkeit des Entscheids nach <ref-law> braucht nicht eingegangen zu werden.
In der Hauptsache geht es um eine zivilrechtliche Angelegenheit mit einem Streitwert von über 30'000 Franken (Fr. 1'325'000.--), weshalb die Beschwerde in Zivilsachen gegeben ist (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt der Anforderungen an die Beschwerdebegründung (vgl. nachfolgende Erwägung 2) - grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Entsprechende Rügen sind überdies nur zulässig, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 3 und 7.1, 462 E. 2.4). Soweit sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3).
Da die Parteien keine substanziierten Sachverhaltsrügen im eben beschriebenen Sinn erheben, ist durchwegs vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat. Die Parteien können nicht gehört werden, soweit sie dem Bundesgericht in ihren Rechtsschriften eigene Sachverhaltsdarstellungen unterbreiten und diese ihren Rechtserörterungen zugrunde legen.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer moniert, das Schlichtungsverfahren sei nicht korrekt durchgeführt worden, da die Beschwerdegegnerin als Klägerin an der Schlichtungsverhandlung vom 20. April 2012 nicht durch ein Organ im Sinne von <ref-law> vertreten gewesen und somit ihrer Pflicht zum persönlichen Erscheinen nach <ref-law> nicht nachgekommen sei. Er ist der Auffassung, angesichts dieses Mangels dürfe auf die Klage nicht eingetreten werden. Der angefochtene Entscheid verstosse deshalb gegen Bundesrecht.
3.2. Das Gericht tritt auf eine Klage oder auf ein Gesuch ein, sofern die Prozessvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>). Das Vorliegen der gültigen Klagebewilligung der Schlichtungsbehörde nach <ref-law> ist, wo dem Prozess überhaupt ein Schlichtungsversuch vorauszugehen hat, eine Prozessvoraussetzung, die das Gericht von Amtes wegen zu prüfen hat (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Während die Klagebewilligung selber - abgesehen vom Spruch über die Kosten (vgl. Urteil 4D_68/2013 vom 12. November 2013 E. 3) - keinen anfechtbaren Entscheid darstellt (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen), kann der Beklagte ihre Gültigkeit im erstinstanzlichen Klageverfahren bestreiten. Das Gericht hat dann im Rahmen der Klärung der Prozessvoraussetzungen zu prüfen, ob der (vom Beklagten) geltend gemachte Mangel des Schlichtungsverfahrens die Ungültigkeit der Klagebewilligung bewirkt. Neben dem Fall der offensichtlichen Unzuständigkeit der Schlichtungsbehörde (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2) wäre dies nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts etwa dann denkbar, wenn wegen der Mitwirkung einer befangenen Schlichterin die Möglichkeit einer Einigung der Parteien illusorisch war und das Schlichtungsverfahren dadurch seines Zweckes beraubt wurde (Urteil 4A_131/2013 vom 3. September 2013 E. 2.2.2.1).
4.
4.1. Dem Entscheidverfahren geht - abgesehen von bestimmten, hier nicht einschlägigen, Ausnahmefällen (vgl. Art. 198 f. ZPO) - ein Schlichtungsversuch vor einer Schlichtungsbehörde voraus (<ref-law>). Die Schlichtungsbehörde versucht in formloser Verhandlung, die Parteien zu versöhnen. Dient es der Beilegung des Streites, so können in einen Vergleich auch ausserhalb des Verfahrens liegende Streitfragen zwischen den Parteien einbezogen werden (<ref-law>).
Die Parteien müssen persönlich zur Schlichtungsverhandlung erscheinen (<ref-law>). Sie können sich von einer Rechtsbeiständin, einem Rechtsbeistand oder einer Vertrauensperson begleiten lassen (<ref-law>). Nicht persönlich erscheinen muss und sich vertreten lassen darf, wer sich auf einen gesetzlich vorgesehenen Dispensationsgrund berufen kann, so namentlich, wer ausserkantonalen oder ausländischen Wohnsitz hat oder wegen Krankheit, Alter oder anderen wichtigen Gründen verhindert ist (Art. 204 Abs. 3 lit. a und b ZPO). Die Gegenpartei ist über die Vertretung vorgängig zu orientieren (<ref-law>).
4.2. Die Vorinstanz stützte ihre Meinung, die Klägerin sei an der Schlichtungsverhandlung rechtsgenüglich erschienen respektive vertreten gewesen und es liege daher eine gültige Klagebewilligung vor, wie bereits das Bezirksgericht auf eine kantonale Rechtsprechung. Gemäss dieser kann sich eine juristische Person im Schlichtungsverfahren nicht nur durch ihre "statutarischen oder faktischen Organe" vertreten lassen, sondern "auch durch einen Rechtsanwalt, der bevollmächtigt ist, für die Gesellschaft verbindliche Erklärungen im Zusammenhang mit dem anhängig gemachten Verfahren abzugeben" (siehe Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden ZK1 12 68 vom 17. Januar 2013 E. 3a).
Der Beschwerdeführer hält die entsprechende Rechtsauffassung für bundesrechtswidrig.
4.3. Dass die Pflicht zum persönlichen Erscheinen nach <ref-law> auch für juristische Personen gilt, wird dem Grundsatz nach weder von der Vorinstanz noch von der Beschwerdegegnerin in Abrede gestellt, wenn auch Erstere annimmt, der Gesetzgeber habe in diesem Zusammenhang "in erster Linie an die natürlichen Personen gedacht". Auch die Kommentatoren gehen soweit ersichtlich einhellig von der Anwendbarkeit der Bestimmung auf sämtliche Parteien aus (siehe Alvarez/Peter, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 2 zu <ref-law>; Bohnet, in: Bohnet und andere [Hrsg.], Code de procédure civile commenté, 2011, N. 3 zu <ref-law>; Egli, in: Brunner und andere [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung, 2011, N. 5-7 zu <ref-law>; Gloor/Umbricht, in: Oberhammer und andere [Hrsg.], Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl. 2013, N. 3 zu <ref-law>; Hofmann/Lüscher, Le Code de procédure civile, 2009, S. 129; Infanger, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 2 zu <ref-law>; Schmid, Praktische Fragen zum Schlichtungsverfahren, ZZZ 2011/2012 S. 186; Staehelin und andere, Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2013, S. 366 Rz. 19; Trezzini, in: Cocchi und andere [Hrsg.], Commentario al Codice di diritto processuale civile svizzero, 2011, S. 929 Fn. 2569; Wyss, in: Baker & McKenzie [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, N. 2 zu <ref-law>).
Diese Auffassung ist denn auch zutreffend: Gegen ein abweichendes Verständnis von <ref-law> spricht bereits, dass sich die Bestimmung nach ihrem Wortlaut - wie übrigens auch <ref-law> mit Bezug auf das Gerichtsverfahren - generell an die "Parteien" richtet und nicht nach deren Natur oder Rechtsform differenziert, während das Gesetz an anderer Stelle durchaus zwischen natürlichen und juristischen Personen unterscheidet (vgl. <ref-law>). Demgegenüber erwähnt <ref-law> zwar bloss den ausserkantonalen oder ausländischen "Wohnsitz" als Dispensationsgrund, und lit. b nennt mit Krankheit und Alter ausdrücklich zwei wichtige Gründe, die auf juristische Personen als solche sinnvollerweise keine Anwendung finden können (vgl. Erwägung 4.1). Daraus kann aber nicht geschlossen werden, die Pflicht zum persönlichen Erscheinen gelte generell nur für natürliche Personen, zumal <ref-law> wiederum eine besondere Regelung (für im vereinfachten Verfahren zu beurteilende Streitigkeiten) vorsieht, auf die sich "Arbeitgeber", "Versicherer" und "Vermieter" berufen können und die somit jedenfalls auch auf juristische Personen zugeschnitten ist.
Für eine Anwendbarkeit der Vorschrift auf juristische Personen spricht sodann ihr Sinn und Zweck: Hintergrund der gesetzlichen Regelung war die Überlegung, dass eine Schlichtungsverhandlung meist dann am aussichtsreichsten ist, wenn die Parteien persönlich erscheinen, da nur so "eine wirkliche Aussprache" stattfinden kann. Auch wenn sich die Parteien begleiten lassen dürfen, sollen sie sich gemäss der Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung an der Verhandlung doch primär "selber äussern". Die Verhandlung ist überdies nicht öffentlich (<ref-law>), und die gemachten Aussagen dürfen weder protokolliert noch später im Entscheidverfahren verwendet werden (<ref-law>), denn die Parteien sollen sich frei unterhalten können (vgl. Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7331 f. zu Art. 199-204; siehe auch Urteil 4C_1/2013 vom 25. Juni 2013 E. 4.3). Durch die bereits im kantonalen Verfahrensrecht bekannte Pflicht zum persönlichen Erscheinen soll mithin ein persönliches Gespräch zwischen den Parteien vor der allfälligen Klageeinreichung ermöglicht werden (vgl. Bericht zum Vorentwurf der Expertenkommission, Juni 2003, S. 98 zu Art. 198). <ref-law> zielt in diesem Sinne - wie das Schlichtungsverfahren überhaupt - darauf ab, diejenigen Personen zu einer Aussprache zusammenzubringen, die sich miteinander im Streit befinden und die über den Streitgegenstand auch selber verfügen können. Weshalb diese ratio legis bloss bei natürlichen Personen das persönliche Erscheinen gebieten, bei juristischen Personen generell die Vertretung durch eine Drittperson gestatten soll, ist nicht erkennbar. Vielmehr muss, damit die Schlichtung ihren Zweck erfüllen kann, von einer juristischen Person als Partei verlangt werden, dass sie an der Schlichtungsverhandlung durch ein Organ oder zumindest durch eine mit einer (kaufmännischen) Handlungsvollmacht ausgestattete und zur Prozessführung befugte Person, die überdies mit dem Streitgegenstand vertraut ist, erscheint.
Damit fällt aber die von der Vorinstanz generell zugelassene Vertretung der juristischen Person durch einen Rechtsanwalt als Form des persönlichen Erscheinens ausser Betracht (in diesem Sinne ausdrücklich Infanger, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>). Eine derartige Vertretung ist nur unter den Voraussetzungen von Art. 204 Abs. 3 lit. a und b ZPO erlaubt, wo gerade eine Ausnahme von der Pflicht zum persönlichen Erscheinen besteht.
4.4. Somit ist nachfolgend zu prüfen, ob die Beschwerdegegnerin als Klägerin ihrer eben dargestellten Pflicht zum persönlichen Erscheinen im Sinne von <ref-law> nachgekommen ist, wenn an der Schlichtungsverhandlung vom 20. April 2012 L._ als Mitarbeiter und Handlungsbevollmächtigter in Begleitung von Rechtsanwalt M._ als Rechtsvertreter für sie erschien.
Die Vorinstanz erwog, die bei den Akten befindliche, vom 19. April 2012 datierte Spezialvollmacht von L._ sei lediglich von der Verwaltungsrätin der Klägerin, N._, unterzeichnet gewesen, die selber nur über eine Kollektivunterschrift zu zweien verfüge. Indessen habe der seinerseits gültig bevollmächtigte (an der Schlichtungsverhandlung aber nicht anwesende) Rechtsvertreter der Klägerin, Rechtsanwalt Bernhard Lötscher, die von L._ vorgenommenen Vertretungshandlungen in der Berufungsantwort nachträglich genehmigt, womit L._ als Handlungsbevollmächtigter an der Schlichtungsverhandlung rechtsgültig für die Klägerin "anwesend" gewesen sei. Sodann erwog die Vorinstanz, Rechtsanwalt Lötscher habe auch die Vertretungshandlungen des ohne Vollmacht erschienenen Rechtsanwalts M._ nachträglich genehmigt. Sie kam mit anderen Worten zum Schluss, die Klägerin sei ihrer Pflicht zum persönlichen Erscheinen nach <ref-law> durch die Anwesenheit von L._ und Rechtsanwalt M._ nachgekommen, obschon deren Vertretungshandlungen mangels gültiger vorgängiger Bevollmächtigung der nachträglichen Genehmigung durch die Geschäftsherrin bedurften.
Die Auffassung der Vorinstanz ist mit <ref-law> nicht zu vereinbaren. Diese Bestimmung verlangt jedenfalls, dass die für eine juristische Person als Partei an der Schlichtungsverhandlung anwesende Vertreterin vorbehaltlos und gültig handeln kann. So muss sie insbesondere zum Vergleichsabschluss ermächtigt sein (siehe Alvarez/Peter, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>; Egli, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>; Gloor/Umbricht, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>; Infanger, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>; Schmid, a.a.O., S. 186; Staehelin und andere, a.a.O., S. 366 Rz. 19; Wyss, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>; vgl. in diesem Sinne auch die in <ref-law> zugelassene Delegation). Das war vorliegend nicht der Fall: L._ vermochte sich an der Schlichtungsverhandlung weder einzeln noch (kollektiv) zusammen mit Rechtsanwalt M._ als zeichnungsberechtigt auszuweisen, und eine entsprechende Vertretungsmacht ergibt sich auch nicht aus dem Handelsregister. Wenn die Beschwerdegegnerin in der Beschwerdeantwort behauptet, ihre Verwaltungsräte hätten L._ - den sie als ihren Geschäftsführer bezeichnet - vor der Schlichtungsverhandlung ausdrücklich zur Prozessführung bevollmächtigt, ergänzt sie in unzulässiger Weise den Sachverhalt, womit sie nicht gehört werden kann (vgl. Erwägung 2.2).
Die Anwesenheit eines vollmachtlosen Vertreters an der Schlichtungsverhandlung vermag entgegen der Vorinstanz den Anforderungen von <ref-law> von vornherein nicht zu genügen, da ansonsten der Zweck der Schlichtungsverhandlung vereitelt würde, eine persönliche und vorbehaltlose Aussprache unter den Parteien zu ermöglichen (vgl. Erwägung 4.3). Ob Rechtsanwalt Lötscher seinerseits überhaupt rechtsgenügend bevollmächtigt war, die Vertretung der Klägerin durch L._ und Rechtsanwalt M._ nachträglich zu genehmigen (vgl. <ref-law>), ist somit für den vorliegenden Fall nicht von Bedeutung. Die vom Beschwerdeführer in diesem Punkt erhobene Sachverhaltsrüge erweist sich als nicht entscheiderheblich (vgl. Erwägung 2.2).
5.
Mangels persönlichen Erscheinens der Klägerin an der Schlichtungsverhandlung vom 20. April 2012 hätte, da aus den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kein Ausnahmetatbestand nach <ref-law> ersichtlich ist und eine insofern unvollständige Sachverhaltsfeststellung jedenfalls nicht rechtsgenüglich geltend gemacht wird (vgl. Erwägung 2.2), keine Klagebewilligung ausgestellt werden dürfen (vgl. <ref-law>). Die dennoch erteilte Klagebewilligung vom 27. April 2012 erweist sich als ungültig, und es fehlte im Verfahren vor dem Bezirksgericht somit an einer Prozessvoraussetzung (vgl. Erwägung 3.2). Das Bezirksgericht hätte, nachdem der Beschwerdeführer als Beklagter im Schlichtungsverfahren ausdrücklich auf der persönlichen Teilnahme der Organe der Klägerin bestanden und sich anschliessend im Gerichtsverfahren auf die ungültige Klagebewilligung berufen hatte, auf die Klage vom 30. August 2012 nicht eintreten dürfen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3). Indem es die Einrede des Beklagten abwies und auf die Klage eintrat, verletzte es Bundesrecht. Die Rüge des Beschwerdeführers ist begründet.
6.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, und das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts ist aufzuheben. Auf die Klage der Beschwerdegegnerin ist nicht einzutreten. Ferner ist die Sache zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Kantonsgericht zurückzuweisen (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, und das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden, II. Zivilkammer, vom 14. Juni 2013 wird aufgehoben.
2.
Auf die Klage der Y._ AG wird nicht eingetreten.
3.
Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Kantonsgericht von Graubünden, II. Zivilkammer, zurückgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
5.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz