Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen das Urteil vom 13. Dezember 2012 des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt, das ein Verfahren (betreffend Immissionen nach <ref-law>) mit Bezug auf die Beschwerdegegner als zufolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben und (u.a.) dem Beschwerdeführer (im Umfang von 9/10) die erst- sowie (vollumfänglich) die zweitinstanzlichen ordentlichen Kosten und ausserdem die ausserordentlichen Kosten beider kantonaler Instanzen auferlegt hat,
in das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege,

in Erwägung,
dass das Appellationsgericht erwog, nachdem u.a. der Beschwerdeführer (zusammen mit F._ Kläger im kantonalen Prozess) das Stockwerkeigentum verkauft habe, fehle es an einem schutzwürdigen Interesse am eingeleiteten Verfahren, dieses sei daher wegen des nachträglich dahingefallenen Rechtsschutzinteresses als gegenstandslos abzuschreiben, im Gegensatz zum Entscheid der ersten Instanz, welche übermässige Immissionen bejaht habe, seien diese bei einer summarischen Prüfung des für den Kostenentscheid massgebenden mutmasslichen Prozessausgangs zu verneinen, die von den Beschwerdegegnern (Beklagte) gegen den erstinstanzlichen Entscheid erhobene Appellation hätte daher bei urteilsmässiger Erledigung des Falles gutgeheissen werden müssen, damit werde der Beschwerdeführer (zusammen mit der weiteren Klägerin) unter solidarischer Haftbarkeit kosten- und entschädigungspflichtig,
dass die Beschwerde nach <ref-law>, die sich nur gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide richten kann (<ref-law>), zum Vornherein unzulässig ist, soweit der Beschwerdeführer auch den erstinstanzlichen Entscheid anficht,
dass sodann die Beschwerde nach <ref-law> nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (<ref-law>), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.),
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die entscheidenden Erwägungen des Appellationsgerichts eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen aufzeigt, inwiefern das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 13. Dezember 2012 rechts- oder verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich unzulässige bzw. keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht einzutreten ist,
dass dem Beschwerdeführer in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und der Abteilungspräsident zuständig ist,

erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Füllemann