Sachverhalt:
A. Der 1958 geborene I._ war seit 1985 bei der P._ AG, angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 25. Mai 1987 stürzte der Versicherte (er trug damals noch den Namen J._) mit dem Mofa und schlug mit dem Kopf im Bereich der Stirn auf dem Boden auf. Er war bis 27. Mai 1987 im Spital X._ hospitalisiert und nahm die Arbeit am 1. Juni 1987 wieder auf. Die Behandlung wurde am 11. Juni 1987 abgeschlossen.
Am 26. Juli 1994 fuhr der Versicherte mit einem Stapler gegen ein Hindernis. Er wurde nach vorne geschleudert und verletzte sich am Steuerradknopf. Laut Unfallschein (mit Eintragungen von Dr. med. H._) wurde die ärztliche Behandlung am 9. August 1994 abgeschlossen und die Arbeit am Folgetag wieder zu 100% aufgenommen. Spätere Berichte gehen von einer Sternumkontusion aus.
Im weiteren Verlauf des Arbeitsverhältnisses erfolgten zwei Bagatellunfall-Meldungen betreffend einen Vorfall vom 26. Dezember 1998 (Prellung der linken Hüfte, welche von einer Papierrolle getroffen wurde) und einen solchen vom 3. Juni 2003 (Tritt auf einen Nagel mit Verletzung des Mittelfusses).
Am 22. Juli 2003 wurde I._ von einem Hebeisen an der Brust getroffen. Dabei zog er sich eine Thorax-Prellung zu. Die SUVA holte verschiedene Arztberichte ein und liess den Versicherten am 26. April 2004 durch den Kreisarzt Dr. med. B._ untersuchen. Nach Einsicht in die Röntgenbilder nahm der Kreisarzt am 5. Mai 2004 ergänzend Stellung. Anschliessend hielt die SUVA mit Verfügung vom 7. Mai 2004 fest, dem Versicherten sei ab 10. Mai 2004 auf Grund der reinen Unfallfolgen wieder eine volle Arbeitsfähigkeit zumutbar. Die Taggeldleistungen würden deshalb ab diesem Tag eingestellt. Der Versicherte wandte sich daraufhin schriftlich an Dr. med. B._, welcher ihm am 1. Juli 2004 antwortete.
Am 25. September 2004 fiel der Versicherte von einem Stuhl und prallte mit dem Hinterkopf gegen die Wand. Ab 7. November 2004 setzte er wegen Kopfschmerzen die Arbeit aus. Die SUVA zog einen Bericht des Dr. med. Y._, Neurologie FMH, vom 15. Dezember 2004 und das Arztzeugnis UVG von Dr. med. Z._, Allgemeine Medizin FMH, vom 10. Januar 2005 bei. Zudem liess sie am 7. Januar 2005 erneut eine kreisärztliche Untersuchung durch Dr. med. A._ vornehmen. Anschliessend hielt die Anstalt - nach Einholung eines Berichts der Klinik C._, Institut für medizinische Radiologie und Nuklearmedizin, vom 25. Januar 2005 - mit Verfügung vom 11. Februar 2005 fest, der Versicherte gelte ab 10. Januar 2005 auf Grund der reinen Unfallfolgen als voll arbeitsfähig. Dieser Standpunkt wurde mit Einspracheentscheid vom 25. Mai 2005 bestätigt. Zur Begründung führte die SUVA aus, die fortbestehenden Beschwerden stünden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab, wobei es den natürlichen Kausalzusammenhang verneinte (Entscheid vom 8. Januar 2007). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte der Versicherte insbesondere ein der IV-Stelle Luzern erstattetes Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle Zentralschweiz (MEDAS) vom 20. Oktober 2005, ein Protokoll der IV-Stelle vom 24. November 2005 sowie Berichte der Rheumatologin Dr. med. W._, vom 11. Juli 2006 und des Neurologen Dr. med. Q._, vom 8. September 2006 einreichen lassen.
C. I._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die SUVA sei zu verpflichten, ihm "weiterhin die gesetzlichen Leistungen aus den versicherten Unfallereignissen zu entrichten, insbesondere aus den Unfallereignissen 1987 und 2004." Insbesondere habe ihm die Beschwerdegegnerin ab 10. Januar 2005 bis auf weiteres Taggelder bei einer vollen Arbeitsunfähigkeit zu entrichten, für Heil- und Pflegekosten aufzukommen und die Rentenfrage und den Anspruch auf Integritätsentschädigung zu prüfen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat - teilweise unter Verweis auf den Einspracheentscheid vom 25. Mai 2005 - die Bestimmungen und Grundsätze über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (<ref-law>) vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 1 S. 337 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 181, 402 E. 4.3.1 S. 406, 118 V 286 E. 1b S. 289, je mit Hinweisen) sowie den Anspruch auf Heilbehandlung (<ref-law>), auf Taggeld (<ref-law>), auf eine Invalidenrente (<ref-law>) und auf eine Integritätsentschädigung (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig ist auch, dass die Beweislast beim Unfallversicherer liegt, wenn dieser geltend macht, bestimmte Symptome oder Beschwerden, deren Unfallkausalität zunächst anerkannt worden war, stünden ab einem bestimmten Zeitpunkt nicht mehr in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 E. 3b, U 180/93; vgl. auch RKUV 2000 Nr. U 363 S. 45, U 355/98).
2. Streitig und zu prüfen ist der Kausalzusammenhang zwischen den versicherten Unfallereignissen und den über den 9. Januar 2005 hinaus fortbestehenden Beschwerden.
3. 3.1 Das kantonale Gericht gelangte gestützt auf das MEDAS-Gutachten vom 20. Oktober 2005 zum Ergebnis, der Beschwerdeführer leide abgesehen von den glaubhaften Kopfschmerzen an keinen wesentlichen organischen oder psychischen Defiziten, welche die Arbeitsfähigkeit bleibend signifikant einschränken würden. Unter diesen Umständen sei keine Leistungspflicht der SUVA für die neben den Kopfschmerzen geltend gemachten weiteren somatischen Beschwerden im Thorax- und Hüftbereich auszumachen. Die Kopfschmerzen stünden in keinem Zusammenhang mit dem Unfallereignis vom 25. Mai 1987. Gemäss dem MEDAS-Gutachten sei auch der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis vom 24. September 2004 und den fortbestehenden Kopfschmerzen nur möglich. Dies genüge für die Begründung eines Leistungsanspruchs nicht. Der Einwand des Beschwerdeführers, die Kopfschmerzen seien zumindest teilursächlich als posttraumatisch qualifiziert worden und Teilkausalität reiche aus, um die Haftung des UVG-Versicherers zu begründen, gehe insofern fehl, als auch eine Teilkausalität mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sein müsse. Im MEDAS-Gutachten vom 20. Oktober 2005 werde als Diagnose mit wesentlicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit chronische Kopfschmerzen bitemporal, DD postkommotionell, Spannungskopfschmerzen genannt. Als Differenzialdiagnosen (Abkürzung DD) bezeichne man Erkrankungen mit ähnlicher bzw. nahezu identischer Symptomatik, die vom Arzt neben der eigentlichen Verdachtsdiagnose ebenfalls als mögliche Ursachen in Betracht gezogen werden müssten. Somit seien die chronischen Kopfschmerzen auch nach Ansicht der MEDAS-Ärzte nur möglicherweise auf die bei den Unfällen erlittene commotio cerebri zurückzuführen. Die SUVA habe nur zu beweisen, dass unfallbedingte Ursachen eines Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren hätten (RKUV 1994 S. 329 E. 3b mit Hinweisen). Gemäss den genannten Umständen sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen den Unfällen und den ab 10. Januar 2005 fortbestehenden Kopfschmerzen nicht mehr gegeben sei. An der Schlüssigkeit des MEDAS-Gutachtens vermöchten auch die während des Beschwerdeverfahrens eingereichten Berichte von Dr. med. W._ vom 11. Juli 2006 und Dr. med. Q._ vom 8. September 2006 nichts zu ändern.
3.2 Der Beschwerdeführer stimmt der Vorinstanz darin zu, dass auf das MEDAS-Gutachten vom 20. Oktober 2005 abgestellt werden könne. Der daraus respektive aus dem Teilgutachten der Neurologin Dr. med. E._ gezogene Schluss, der natürliche Kausalzusammenhang der Kopfschmerzen mit den Unfallereignissen sei nur noch möglicherweise gegeben, sei jedoch nicht zulässig. Vielmehr ergebe sich aus den erwähnten medizinischen Stellungnahmen, dass zumindest eine Teilkausalität bestehe. Wenn allenfalls andere Faktoren die Kopfschmerzen ebenfalls unterstützten, tue dies der festgestellten Teilkausalität nicht Abbruch. Selbst wenn aufgrund des Ausmasses der Kopfschmerzen eine psychogene Komponente eine Rolle gespielt haben sollte, ändere dies an der Unfallkausalität der somatisch bedingten Kopfschmerzen nichts. Dasselbe gelte für die vorinstanzliche Deutung der Differenzialdiagnose "DD postcommotionell". Hinzu komme, dass die Beurteilung der MEDAS-Neurologin durch die Feststellungen von Dr. med. Y._ gestützt werde. Das Unfallereignis von 1987 sei insofern relevant, als sich der "auf den gleichen Körperteil zielende" Unfall vom September 2004 zufolge der latenten Vorschädigung erschwerend ausgewirkt habe.
4. 4.1 Das kantonale Gericht stützte sich für die Beurteilung des natürlichen Kausalzusammenhangs zu Recht auf das MEDAS-Gutachten vom 20. Oktober 2005. Dieses nennt als (einzige) Diagnose mit wesentlicher Einschränkung der zumutbaren Arbeitsfähigkeit "chronische Kopfschmerzen bitemporal, DD postkommotionell, Spannungskopfschmerzen." Gemäss dem dieser Aussage zugrunde liegenden neurologischen Teilgutachten von Dr. med. E._ bestehen einerseits Kopfschmerzen bitemporal, die sich erstmals nach dem Arbeitsunfall mit Kontusion der linken Schläfe 1989 manifestierten. Nach einer Kopfkontusion okzipital im September 2004 bei Sturz rückwärts bestünden zusätzliche Kopfschmerzen im Schläfenbereich rechts. Die Kopfschmerzintensität werde sehr stark angegeben mit häufigen Exazerbationen bis ins Unerträgliche und damit verbunden auch ungerichtetem Schwindel sowie Übelkeit. Neurologisch-klinisch hätten sich keine Hinweise auf eine strukturelle cerebrale Läsion ergeben; gemäss den Unterlagen sei ein MRI des Kopfes vom 25. Januar 2005 ebenfalls unauffällig ausgefallen. Die Kopfschmerzen könnten zum Teil posttraumatisch bedingt bzw. ausgelöst sein. Letztendlich könne aber nicht differenziert werden, inwieweit andere Komponenten, z.B. Spannungskopfschmerzen, eine Rolle spielten. Das Ausmass der Kopfschmerzen werde als sehr hoch angegeben, sodass auch eine psychogene Komponente eine Rolle spielen könnte.
4.2 Gemäss den vorstehend wiedergegebenen Aussagen von Dr. med. E._ lässt sich der natürliche Kausalzusammenhang zwischen den fortbestehenden Kopfschmerzen und den Unfallereignissen nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachweisen. Ebenso wenig kann jedoch davon gesprochen werden, es sei mit dem erforderlichen Beweisgrad erstellt, dass die verbliebenen Symptome ausschliesslich auf unfallfremde Faktoren zurückgehen. Vielmehr erklärt die Gutachterin, eine Differenzierung sei unmöglich. Damit liegt bezüglich der (natürlichen) Unfallkausalität Beweislosigkeit vor. Mit Blick auf die dargelegten Grundsätze zur Beweislast (E. 1 hiervor am Ende) ist unter diesen Umständen von einer weiterhin gegebenen natürlichen (Teil-)Kausalität auszugehen.
5. Zu prüfen bleibt die Adäquanz des Kausalzusammenhangs.
5.1 Die vom Beschwerdeführer angegebenen Symptome lassen sich nicht auf eine mit bildgebenden Verfahren oder anderweitig nachweisbare organische Ursache zurückführen; entsprechende Untersuchungen blieben ohne Ergebnis. Die Adäquanzbeurteilung hat daher nach Massgabe der Regeln zu erfolgen, welche die Rechtsprechung für organisch nicht (hinreichend) nachweisbare Unfallfolgeschäden entwickelt hat. In diesem Rahmen ist grundsätzlich danach zu differenzieren, ob die versicherte Person beim Unfall ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule, eine diesem äquivalente Verletzung (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2, U 183/93) oder ein Schädel-Hirntrauma erlitten hat - in diesen Fällen richtet sich die Adäquanzprüfung grundsätzlich nach der mit <ref-ruling> respektive 369 begründeten Praxis - oder ob dies nicht zutrifft, was zur Anwendung der Praxis nach <ref-ruling> führt (zum Ganzen <ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen). Vorliegend kommt die Annahme eines Schädel-Hirntraumas prinzipiell in Frage (Dr. med. Y._ spricht in seinem Bericht vom 15. Dezember 2004 von einem "SHT 1. Grades"), wobei allerdings als fraglich erscheint, ob das frühzeitige Auftreten spezifischer Beschwerden (dazu RKUV 2000 Nr. U 359 S. 29 E. 5e, U 264/97) hinreichend erstellt ist. Diese Frage kann aber letztlich unbeantwortet bleiben, da die Adäquanz, wie sich aus dem Folgenden ergibt, auch in Anwendung der Methode gemäss <ref-ruling> zu verneinen ist.
5.2 Über den Hergang des Unfalls vom 25. September 2004 ist den Akten zu entnehmen, dass der Versicherte am Arbeitsplatz (Nachtschicht) auf einem Stuhl mit vier Rollen sass und diesen verstellen wollte, worauf der Stuhl nach hinten kippte und der Versicherte mit dem Kopf gegen die Wand schlug. Im Rahmen der für die Belange der Adäquanzbeurteilung vorzunehmenden Einteilung (<ref-ruling> E. 4b S. 383) ist dieses Ereignis den mittelschweren Unfällen im Grenzbereich zu den leichten zuzuordnen. Die Adäquanz ist somit zu bejahen, wenn die zu berücksichtigenden Kriterien in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4b S. 383 f.).
5.2.1 Der geschilderte Vorfall ereignete sich weder unter besonders dramatischen Begleitumständen noch weist er eine besondere Eindrücklichkeit auf.
5.2.2 Auch ausgehend von der Annahme, der Versicherte habe ein Schädel-Hirntrauma erlitten, welches die Anwendung der Praxis nach <ref-ruling> nach sich zieht, ist das Kriterium der besonderen Art oder Schwere der erlittenen Verletzungen nicht erfüllt. Insbesondere ist keine Vorschädigung der HWS durch die früheren Unfälle erstellt, welche im Sinne des in der Beschwerde angeführten Urteils U 39/04 vom 26. April 2006, E. 3.3.2 und 3.4.2 (SVR 2007 UV Nr. 1) die Bejahung dieses Merkmals zu rechtfertigen vermöchte.
5.2.3 Eine ärztliche Behandlung von ungewöhnlich langer Dauer liegt ebenso wenig vor wie eine ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hätte.
5.2.4 Das Kriterium der Dauerbeschwerden ist erfüllt, wenn die Beschwerden regelmässig wiederkehren, auch wenn sie nicht ununterbrochen vorhanden sind (vgl. Urteile U 357/01 vom 8. April 2002, E. 3c/dd und U 396/99 vom 30. April 2001, E. 3b). Es ist hinlänglich dokumentiert, dass der Beschwerdeführer seit dem Unfall an Kopfschmerzen leidet. Das Kriterium ist daher - wenn auch nicht in besonders ausgeprägter Form - als erfüllt zu betrachten.
5.2.5 Ein schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen können nach der neueren Rechtsprechung nicht bereits aus dem Fortbestehen bestimmter Symptome abgeleitet werden, sondern setzen voraus, dass besondere Gründe gegeben sind (SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81 ff. E. 8.5, U 479/05). Derartige Umstände sind hier nicht ersichtlich, weshalb das Kriterium verneint werden muss.
5.2.6 Gemäss dem beweiskräftigen MEDAS-Gutachten vom 20. Oktober 2005 ist dem Beschwerdeführer jegliche Tätigkeit ohne Nachtschicht und ohne Lärmexposition zu 90% zumutbar. Damit liegt mit Blick auf die von der Gerichtspraxis entwickelten Massstäbe (vgl. RKUV 2001 Nr. U 442 S. 544 f., U 56/00) keine nach Grad und Dauer erhebliche Arbeitsunfähigkeit vor.
5.2.7 Zusammenfassend hat eines der relevanten Kriterien als erfüllt zu gelten, und dies nicht in einer Ausprägung, welche für sich allein die Adäquanz zu begründen vermöchte. Dementsprechend ist der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den über den 9. Januar 2005 hinaus fortbestehenden Kopfschmerzen und dem Unfallereignis vom 25. September 2004 zu verneinen. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger