Faits:
A. P._, né en 1955, a subi une fracture-luxation du calcanéum droit ensuite d'un accident de la circulation survenu le 9 décembre 1998.
La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), qui avait pris en charge le cas, a nié le droit de l'intéressé à une rente d'invalidité par décision du 3 février 2005, confirmée sur opposition le 12 juillet 2006. Saisi d'un recours de l'intéressé qui concluait à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 60 %, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 14 janvier 2008. Par arrêt de ce jour, la Ière Cour de droit social du Tribunal fédéral a rejeté le recours formé par l'assuré contre ce jugement (cause 8C_121/2008).
Le 9 juin 2000, P._ a requis l'octroi de mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité sous la forme d'une orientation professionnelle et d'un reclassement dans une nouvelle profession. Par des décisions du 8 août 2003, l'Office cantonal AI de Genève lui a accordé une rente entière du 1er décembre 1999 au 31 août 2000, une demi-rente du 1er septembre 2000 au 31 mars 2002 et une rente entière du 1er avril 2002 au 30 septembre suivant. L'assuré n'a pas fait opposition à ces décisions.
Par décision du 20 mai 2005, confirmée sur opposition le 20 octobre suivant, l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) a rejeté une demande de l'assuré tendant à la reconsidération ou à la révision des décisions du 8 août 2003. Saisi d'un recours, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 27 avril 2006.
P._ ayant présenté une nouvelle demande de rente le 21 novembre 2005, l'office AI a recueilli divers renseignements d'ordre médical et confié une expertise multidisciplinaire aux médecins, de l'Hôpital X._, (rapport du 9 mars 2007). Dans un rapport du 2 avril 2007, l'Hôpital Y._ a indiqué que les troubles ayant une incidence sur la capacité de travail ne s'étaient pas modifiés depuis le 8 août 2003, date de la décision par laquelle la rente d'invalidité avait été supprimée.
Aussi, par décision du 2 août 2007, l'office AI a-t-il rejeté la nouvelle demande de rente.
B. Saisi d'un recours de l'assuré qui concluait à l'octroi d'une rente d'invalidité d'un taux minimum de 50 %, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 19 mai 2008.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité.
L'office intimé conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>) et n'est donc pas limité par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour d'autres motifs que ceux allégués et rejeter un recours en adoptant une autre argumentation que celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 140). Il ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Eu égard à l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, il n'examine que les griefs invoqués, pour autant que les vices ne soient pas évidents. Il n'est pas tenu de traiter toutes les questions juridiques qui se posent, comme le ferait une autorité de première instance, lorsque celles-ci ne sont pas ou plus abordées devant lui.
Le Tribunal fédéral fonde par ailleurs son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'invalidité du recourant s'est modifiée de manière à ouvrir droit à une demi-rente entre le 8 août 2003, date de la décision par laquelle le droit à toute rente a été supprimé à partir du 1er octobre 2002, et le 2 août 2007, date de la décision litigieuse.
3. 3.1 La juridiction cantonale a considéré que l'invalidité de l'assuré ne s'était pas modifiée de manière à ouvrir droit à une rente durant la période déterminante. Elle s'est fondée pour cela sur les conclusions du rapport d'expertise (du 9 mars 2007) établi par les médecins de l'Hôpital X._ Les premiers juges sont d'avis, en effet, que ce rapport d'expertise a pleine valeur probante, du moment qu'il a été établi par trois spécialistes reconnus et qu'il est fondé sur des observations approfondies, ainsi que des investigations complètes dans les domaines de la rhumatologie, de la neurologie et de la psychiatrie. En outre, la juridiction cantonale relève que l'expertise en cause fait la synthèse des renseignements d'ordre médical figurant dans les dossiers de l'assurance-invalidité et de la CNA, et, qu'établie en pleine connaissance de l'anamnèse, elle décrit les plaintes de l'assuré et fait état des constatations objectives des experts après examen clinique de l'intéressé et étude de son dossier radiologique. Par ailleurs, les premiers juges se sont écartés des appréciations des docteurs N._, spécialiste en neurologie (rapport du 21 juin 2006), et V._, spécialiste en médecine interne (rapports des 20 septembre 2005 et 10 juillet 2006) - qui concluent à une incapacité de travail de 50 %, respectivement 100 % dans toute activité -, au motif que ces appréciations reposent essentiellement sur la fatigabilité et les plaintes exprimées par l'assuré, soit des éléments qui ne sont pas déterminants pour évaluer l'invalidité. Dans le domaine de l'assurance-invalidité, il convient, en effet, d'examiner si une incapacité de travail alléguée est justifiée en se fondant sur des constatations médicales objectives. Or, les premiers juges constatent que les experts de l'Hôpital X._ nient une aggravation des séquelles de l'accident depuis 2003 et n'indiquent aucune nouvelle affection ayant une incidence sur la capacité de travail.
De son côté, le recourant soutient que les rapports des docteurs N._ et V._ ont pleine valeur probante et que la juridiction cantonale ne pouvait pas s'en écarter dans la mesure où ils indiquent une incapacité de travail de 50 % au moins dans toute activité. Il fait valoir que les appréciations de ces médecins ne reposent pas seulement sur la fatigabilité et les plaintes exprimées, mais également sur des éléments objectifs comme des discopathies modérées à sévères d'origine dégénérative et arthrosique, ainsi qu'une coxarthrose à gauche.
3.2 Lorsque le pouvoir d'examen est limité, le recourant ne peut critiquer les constatations de faits que si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou encore lorsque le juge a interprété les pièces du dossier de manière insoutenable, a méconnu des preuves pertinentes ou s'est fondé exclusivement sur une partie des moyens de preuve (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62, 120 Ia 31 consid. 4b p. 40, 118 Ia 28 consid. 1b p. 30).
En l'occurrence, les premiers juges ont indiqué les motifs pour lesquels ils ont retenu les conclusions des experts de l'Hôpital X._. Le recourant ne dit pas en quoi ces motifs seraient arbitraires mais se contente d'affirmer que le cas doit être examiné à la lumière des rapports des docteurs N._ et V._ qui ont conclu à une incapacité de travail de 50 % au moins dans toute activité. Ce faisant, il ne fait que substituer sa propre appréciation des preuves à celle de la juridiction cantonale, ce qui est insuffisant pour démontrer que les faits déterminants ont été établis en violation de l'interdiction de l'arbitraire.
Cela étant, on ne saurait reprocher aux premiers juges d'avoir retenu les conclusions des experts de l'Hôpital X._ et d'avoir considéré, sur la base de cette appréciation médicale, que l'invalidité du recourant ne s'est pas modifiée de manière à ouvrir droit à une demi-rente entre le 8 août 2003, date de la décision par laquelle le droit à toute rente a été supprimé à partir du 1er octobre 2002, et le 2 août 2007, date de la décision litigieuse.
Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
4. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 octobre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd