Sachverhalt:
A.
Der türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1958) reiste Ende Mai 1987 erstmals in die Schweiz ein und durchlief erfolglos ein Asylverfahren. Am 4. September 1989 heiratete er eine Schweizer Bürgerin, verzichtete auf die Ausübung des Beschwerderechts im soeben genannten Asylverfahren und erhielt im Dezember 1989 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. Am 7. März 1991 wurde ein gemeinsamer Sohn geboren, der - nach der Scheidung - am 3. Mai 1994 unter die elterliche Obhut der Mutter gestellt wurde. A._ reiste in der Folge nach Brasilien aus und heiratete dort am 10. November 1994 eine brasilianische Staatsangehörige, mit welcher er eine Tochter hat (geb. 1995). Auch diese Ehe wurde geschieden (2001).
B.
Am 16. Januar 1997 hatte A._ ein Asylgesuch in Deutschland gestellt, nachdem er zuvor in den Niederlanden gelebt hatte. Im Mai 1997 lehnten die deutschen Behörden das Asylgesuch ab und ordneten 1998 den Wegweisungsvollzug in die Niederlande an. Nachdem das dort gestellte Asylgesuch letztinstanzlich abgewiesen worden war, gelangte A._ am 16. Mai 1999 erneut in die Schweiz und stellte hier sein zweites Asylgesuch. Dieses wies das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (BFF, heute Bundesamt für Migration [BFM]) am 11. April 2002 ab und ordnete die Wegweisung an. Mit Urteil vom 23. März 2005 hiess die damalige Rechtsmittelinstanz des BFF im Asylwesen (die Schweizerische Asylrekurskommission [ARK]) eine hiegegen erhobene Beschwerde, soweit die Wegweisung betreffend, gut, wies sie aber im Asylpunkt rechtskräftig ab und verneinte die Flüchtlingseigenschaft von A._. Hinsichtlich des Wegweisungsvollzuges wurde die Beschwerde als gegenstandslos abgeschrieben. Die ARK erwog, A._ sei Vater eines minderjährigen Sohnes mit Schweizer Bürgerrecht, weshalb ein Aufenthaltsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK nicht grundsätzlich verneint werden könne. Ob ein solcher Anspruch bestehe, sei im ausländerrechtlichen Verfahren zu prüfen.
C.
Wenige Wochen vorher, am 17. Februar 2005, hatte A._ bei den zuständigen solothurnischen Migrationsbehörden ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung eingereicht.
Mit Eingabe vom 21. September 2009 unterbreiteten die kantonalen Migrationsbehörden dem Bundesamt für Migration einen Antrag zur Zustimmung zur Erteilung einer humanitären Aufenthaltsbewilligung aufgrund eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls im Sinne von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG. In diesem Verfahren liess A._ im Wesentlichen geltend machen, wegen der langen Abwesenheit sei seine Desintegration in der Tükei weit fortgeschritten. Er verfüge dort über kein Beziehungsnetz mehr. Hinzu komme seine schwere psychische Erkrankung, welche eine lebenslängliche Behandlung notwendig mache. Ausserdem stehe er weiterhin in engem Kontakt zu seinem Sohn, welche Beziehung für beide von erheblicher Bedeutung sei.
D.
Mit Verfügung vom 3. Februar 2010 verweigerte das Bundesamt für Migration die Zustimmung zur Erteilung der Aufenthaltsbewilligung und wies A._ aus der Schweiz weg. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 18. Dezember 2013 ab, soweit es darauf eintrat. Das begründete Urteil versandte es am 17. Januar 2014.
E.
Mit Eingabe vom 19. Februar 2014 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und das Bundesamt für Migration anzuweisen, der Erteilung der Aufenthaltsbewilligung zuzustimmen. Eventuell sei er - der Beschwerdeführer - vorläufig aufzunehmen, subeventuell die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz, eventualiter an das Bundesamt für Migration zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die kantonalen Akten sind eingeholt worden. Das Bundesamt für Migration beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>).
1.2. Der Beschwerdeführer ist seit 1994 von seiner schweizerischen Ehefrau geschieden und hat deshalb heute keinen landesrechtlichen gesetzlichen Anspruch mehr auf ein Anwesenheitsrecht in der Schweiz; er macht auch keinen solchen geltend. Er beruft sich jedoch in vertretbarer Weise auf einen Anspruch nach Art. 8 EMRK (Schutz des Familienlebens, Schutz des Privatlebens), so dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit sie die vorläufige Aufnahme verlangt oder sich gegen die Wegweisung richtet. Diesbezüglich ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ausgeschlossen (Art. 83 lit. c Ziff. 3 und 4 BGG).
1.3. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zugrunde (<ref-law>). Mit einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können diese nur dann gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sind (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Zudem ist vom Beschwerdeführer aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung oder der Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356.)
2.
2.1. Nach der Rechtsprechung schützt Art. 8 EMRK im Zusammenhang mit der Bewilligung des Aufenthalts in erster Linie die Kernfamilie, d.h. die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Kindern (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146; <ref-ruling> E. 2 S. 14; <ref-ruling> E. 1d/aa S. 65). In den Schutzbereich von Art. 8 EMRK fallen auch nicht rechtlich begründete familiäre Verhältnisse, sofern eine genügend nahe, echte und tatsächlich gelebte Beziehung besteht; entscheidend ist die Qualität des Familienlebens und nicht dessen rechtliche (oder biologische) Begründung (<ref-ruling> E. 3.1 S. 148; vgl. auch Urteile des EGMR Khan gegen Vereinigtes Königreich vom 12. Januar 2010 [47486/06] § 34 f. mit Hinweisen; Ahrens gegen Deutschland vom 22. März 2012 [45071/09] § 58 ff.; Kautzor gegen Deutschland vom 22. März 2012 [23338/09] § 61 ff.). Die Beziehungen zwischen erwachsenen Kindern und ihren Eltern geniessen nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts (<ref-ruling> E. 3.4.2 S. 159; <ref-ruling> E. 1e S. 261 f.; Urteile 2C_546/2013 vom 5. Dezember 2013 E. 4.1; 2C_508/2009 vom 20. Mai 2010 E. 2.2) und des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte (EGMR) nicht den Schutz von Art. 8 EMRK, sofern nicht ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis besteht, welches über die normalen affektiven Bindungen hinausgeht (Urteil des EGMR Emonet gegen Schweiz vom 13. Dezember 2007 [Nr. 39051/03] § 35).
2.2. Vorliegend hat das Bundesverwaltungsgericht festgestellt, zwischen dem Beschwerdeführer und seinem hier - mit gefestigtem Anwesenheitsrecht (Schweizer Bürger) - lebenden volljährigen Sohn bestehe kein besonderes Abhängigkeitsverhältnis, zumal der Vater in einem Schreiben vom 27. März 2012 selber angegeben habe, er pflege in der Schweiz keine familiären Beziehungen mehr. Diese Sachverhaltsfeststellung ist für das Bundesgericht verbindlich, zumal der Beschwerdeführer nicht dartut, dass und inwiefern sie offensichtlich unrichtig sein soll (vorne E. 1.3); sie wird jedenfalls nicht allein dadurch willkürlich, dass der Beschwerdeführer dieses Schreiben rund zwei Wochen nach einem zehntägigen stationären Spitalaufenthalt wegen akuter psychotischer Dekompensation verfasst hat. Sodann macht der Beschwerdeführer auch in seiner Eingabe an das Bundesgericht bloss das Bestehen einer persönlichen Beziehung zu seinem Sohn geltend, wenn auch eine solche "von ausserordentlicher Wichtigkeit" (S. 6). Ein Abhängigkeitsverhältnis zu Personen ausserhalb der Kernfamilie mit gefestigtem Aufenthalt in der Schweiz ist damit aber nicht ersichtlich und ein Anspruch des Beschwerdeführers aus dem Recht auf Familienleben im Sinne der Rechtsprechung nicht gegeben. Der in der Eingabe an das Bundesgericht angerufene "Art. 8" aus der Beschwerdeschrift an die Vorinstanz ändert daran nichts, wird doch auch dort keine solche Abhängigkeit zwischen Vater und Sohn geltend gemacht.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer behauptet sodann einen Rechtsanspruch gestützt auf sein Privatleben (Art. 8 EMRK). Nach der Rechtsprechung des EGMR bilden die sozialen Bindungen zwischen dem Einwanderer und der Gemeinschaft, in der dieser sein Leben und seinen Platz gefunden hat, Teil des Begriffs "Privatleben" im Sinne von Art. 8 EMRK (Urteil des EGMR Vasquez gegen Schweiz vom 26. November 2013 [Nr. 1785/08] § 37), insbesondere bei jungen Erwachsenen, die im Aufnahmestaat aufgewachsen sind (vgl. Urteil 2C_1229/2013 vom 14. Oktober 2014, E. 2.2 mit Hinweisen). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung bedarf es für einen entsprechenden Anspruch auf Achtung des Privatlebens besonders intensiver, über eine normale Integration hinausgehender Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. vertiefter sozialer Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich in der Schweiz. In der Regel genügen hierfür eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration für sich nicht (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2c S. 384 ff.).
Der Beschwerdeführer ist erst im Alter von 29 Jahren zum ersten Mal in die Schweiz eingereist, wo er ein Asylgesuch stellte (1987, vorne lit. A.). Zwischen 1994 und 1999 lebte er zudem mehrere Jahre - zum Teil ebenfalls als Asylbewerber - im Ausland, bevor er sich hier wieder um ein Aufenthaltsrecht bemühte. Seine insgesamt eher lange Anwesenheitsdauer im Land ist zu einem grossen Teil auf die damit verbundenen Verfahrensdauern zurückzuführen, welchen nicht dasselbe Gewicht beizumessen ist wie regulären, bewilligten Aufenthalten (Urteil des EGMR Palanci gegen Schweiz vom 25. März 2014 [Nr. 2607/08] § 59). Jedenfalls kann sich der Beschwerdeführer nicht auf besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. auf vertiefte soziale Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich berufen; er macht darüber hinaus im Übrigen auch gar keine solchen geltend.
4.
Damit ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Auf die geltend gemachten Vollzugshindernisse gegen den Wegweisungsvollzug ist in diesem Rahmen nicht weiter einzugehen (vorne E. 1.2).
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 65/66 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann nicht entsprochen werden, da die gestellten Rechtsbegehren von vornherein aussichtslos waren (<ref-law>). Seiner finanziellen Lage wird bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Dezember 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein