Erwägungen:
1. Im Rahmen einer beim Bezirksgericht Y._ gegen A._ angehobenen Klage wegen Persönlichkeitsverletzung ersuchte der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Beschluss vom 23. April 2007 wies das Bezirksgericht das Gesuch wegen Aussichtslosigkeit der Klage ab und setzte dem Beschwerdeführer Frist zur Leistung einer Prozesskaution. Das Obergericht des Kantons Zürich wies den vom Beschwerdeführer gegen den erstinstanzlichen Beschluss erhobenen Rekurs mit Beschluss vom 3. März 2008 ab, bestätigte den bezirksgerichtlichen Beschluss und setzte dem Beschwerdeführer unter Verweis auf die Säumnisandrohungen im bezirksgerichtlichen Beschluss eine neue Frist zur Leistung der Prozesskaution. Ferner wies das Obergericht das für das Rekursverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab.
Mit Beschluss vom 6. Juli 2009 hiess das Kassationsgericht des Kantons Zürich die vom Beschwerdeführer gegen den obergerichtlichen Beschluss erhobene Nichtigkeitsbeschwerde gut, hob den angefochtenen Beschluss des Obergerichts vom 3. März 2008 auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurück. Die Kosten des Kassationsverfahrens wurden auf die Staatskasse genommen und der Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Kassationsverfahren wurde als gegenstandslos abgeschrieben. Das Kassationsgericht sprach dem Beschwerdeführer für das Kassationsverfahren weder eine Prozess- noch eine Umtriebsentschädigung zu.
Der Beschwerdeführer hat gegen den Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 6. Juli 2009 mit Eingabe vom 21. September 2009 ausdrücklich "subsidiäre Verfassungsbeschwerde" erhoben. Er verlangt im Wesentlichen die Aufhebung des kassationsgerichtlichen Beschlusses und die Feststellung verschiedener Verletzungen der EMRK. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und um Bestellung eines amtlichen Anwalts sowie um Durchführung einer mündlichen Verhandlung. Ferner sei ihm in Anwendung von <ref-law> die Rechtsmittelfrist zur Ergänzung der Beschwerde wiederherzustellen und ihm die Ergänzung der Beschwerde zu bewilligen.
2. Der angefochtene Beschluss ist dem Beschwerdeführer seinen eigenen Angaben zufolge am 20. August 2009 zugestellt worden. Die Beschwerdefrist ist damit infolge des Wochenendes vom 19./20. September 2009 am Montag 21. September 2009 abgelaufen (<ref-law>). Die Eingabe des Beschwerdeführers wurde am letzten Tag der Frist der Post übergeben und ist damit rechtzeitig erfolgt.
3. Der Beschwerdeführer ersucht dennoch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist und begründet dieses Begehren mit dem am 16. Juni 2009 erlittenen Unfall; er macht geltend, er sei am 5. September 2009 aus der Rehabilitationsklinik B._ entlassen worden und sei wegen erheblicher Entzugserscheinungen (nach einer Methadonbehandlung) und anderen körperlichen Gebrechen nach wie vor rekonvaleszent und auch infolge seiner psychischen Verfassung immer noch als prozessunfähig anzusehen. Der Beschwerdeführer legt indes kein aktuelles ärztliches Zeugnis vor, welches seine Urteilsunfähigkeit zum Zeitpunkt des Ablaufs der Beschwerdefrist belegen würde. Zudem hat der Beschwerdeführer denn auch fristgerecht gegen den Beschluss des Kassationsgerichts Verfassungsbeschwerde erhoben und dabei einen sehr umfangreichen Schriftsatz verfasst. Unter diesen Umständen besteht kein Anlass, die Beschwerdefrist wiederherzustellen bzw. eine neue Frist zu setzen. Damit ist auch das weitere Gesuch des Beschwerdeführers um Ergänzung der Beschwerde abzuweisen.
4. Im vorliegenden Fall kann offenbleiben, ob gegen den kassationsgerichtlichen Beschluss tatsächlich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegeben ist oder ob die Eingabe nicht vielmehr als Beschwerde in Zivilsachen entgegengenommen werden müsste. Wie nachfolgend aufgezeigt wird, erweist sich die Beschwerde ohnehin als unzulässig.
5. 5.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher (<ref-law>) Entscheid betreffend die unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren über Persönlichkeitsschutz sowie für das Rekursverfahren vor Obergericht. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinn von <ref-law> i.V.m. <ref-law>. Gegen selbstständige Zwischenentscheide im Sinn der vorgenannten Bestimmung ist die Verfassungsbeschwerde zulässig, wenn sie einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken können. Der Nachteil gemäss <ref-law> ist ein rechtlicher im Sinn von Art. 87 OG (<ref-ruling> E. 3.1 S. 87).
Im vorliegenden Fall hat das Kassationsgericht in der Sache nicht selber entschieden, sondern hat den Fall zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen. Nach der Rechtsprechung erwächst dem Betroffenen aus dem Rückweisungsentscheid in der Regel kein rechtlicher Nachteil, sofern der Vorinstanz aufgrund des Rückweisungsentscheides Entscheidfreiheit bleibt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 317; Urteile 5P.519/2006 vom 13. Februar 2007 E. 4; 5P.322/2004 vom 6. April 2005 E. 1.2 und 5P.77/2005 vom 23. März 2005 E. 1.1). Im vorliegenden Fall ist die Frage betreffend die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowohl für das erstinstanzliche Verfahren betreffend Persönlichkeitsschutz als auch für das Rekursverfahren vor Obergericht nach der erfolgten Rückweisung der Sache an das Obergericht offen. Aufgrund des Beschlusses des Kassationsgerichts hat das Obergericht über diese Punkte neu zu entscheiden, welchen Entscheid der Beschwerdeführer gegebenenfalls neu anfechten kann. Damit verfügt er, was die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege anbelangt, über kein rechtlich geschütztes Interesse an der Anfechtung des kassationsgerichtlichen Beschlusses.
5.2 Ein rechtlich geschütztes Interesse besteht für den Beschwerdeführer aber insofern, als ihm für das Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde keine Prozess- und Umtriebsentschädigung zugesprochen worden ist (Ziff. 4 des Dispositivs). Mit Bezug auf diesen Punkt legt der Beschwerdeführer indes nicht den Begründungsanforderungen entsprechend dar, inwiefern mit der Verweigerung einer Umtriebs- und Prozessentschädigung das massgebende kantonale Recht willkürlich angewendet worden sein soll (<ref-law> i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399). Darauf ist nicht einzutreten.
6. Auf die Beschwerde ist schliesslich nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer ohne konkreten Bezug zum kassationsgerichtlichen Beschluss eine Reihe von EMRK-Bestimmungen als verletzt rügt (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Im Übrigen sind die Rügen betreffend Verletzung der EMRK nicht den Anforderungen entsprechend begründet (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
7. Nach dem Gesagten ist die Verfassungsbeschwerde offensichtlich unzulässig. Darauf ist daher im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. lit. a und b BGG ohne öffentliche Verhandlung durch die Präsidentin der Abteilung nicht einzutreten.
8. Nach dem Gesagten war der Verfassungsbeschwerde von Anfang an kein Erfolg beschieden. Hat sie sich als von Anfang an aussichtslos erwiesen, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1. Die Gesuche um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist, um Ergänzung der Beschwerde und um Durchführung einer mündlichen Verhandlung werden abgewiesen.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Oktober 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden