Sachverhalt:
A.
A._ (Mutter) und B._ (Vater) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern des 2003 geborenen Kindes C._. Der Vater hat das Kind anerkannt. Mit Unterhaltsvertrag vom 9. März 2004/10. November 2004 verpflichtete er sich, der Mutter zuhanden des Kindes einen monatlichen indexierten Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'000.-- zu bezahlen sowie zusätzlich für die Hälfte der Kinderbetreuungskosten aufzukommen. Am 29. November 2004 genehmigte die Vormundschaftsbehörde der Stadt Zürich diesen Vertrag. Die Eltern lebten ab Juni 2000 bis Februar 2012 zusammen. Ab Januar 2012 wurden die Unterhaltsbeiträge bevorschusst.
B.
B.a. Die Mutter betrieb den Vater im März 2012 für ausstehende Unterhaltsbeiträge und den Anteil an den Betreuungskosten (Fr. 63'286.--; Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 4; Zahlungsbefehl vom 28. März 2012).
B.b. Mit der im Januar 2013 beim Bezirksgericht Winterthur rechtshängig gemachten Klage forderte die Mutter vom Vater die Bezahlung der gemäss Unterhaltsvertrag ab Geburt des Kindes bzw. Dezember 2003 bis Ende 2011 (d.h. bis zum Einsetzen der Alimentenbevorschussung) geschuldeten monatlichen Barunterhaltsbeiträge von Fr. 2'000.-- , zuzüglich Teuerungszuschlag (Fr. 198'948.--), weiter die Hälfte der ab Januar 2004 bis September 2012 angefallenen Kosten für ein Kindermädchen (Fr. 210'556.--) sowie die Hälfte der Kosten für die "Schule D._" (Fr. 45'550.--), die das Kind ab Juli 2009 regelmässig bis Dezember 2012 besucht hat. An das Gesamttotal dieser Forderung (Fr. 455'054.--) rechnete die Mutter erfolgte Zahlungen des Vaters von Fr. 182'900.-- sowie Fr. 70'700.-- Direktzahlungen an die Kindermädchen an. So ergab sich der vor erster Instanz eingeforderte Betrag von Fr. 201'454.-- (der in Betreibung gesetzte Betrag von Fr. 63'286.-- plus Fr. 138'168.--). Ferner stellte sie das Begehren, den in der obgenannten Betreibung erhobenen Rechtsvorschlag im Umfang von Fr. 63'286.-- zuzüglich Zins seit 29. März 2012 sowie die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 218.-- zu beseitigen. Mit Urteil vom 15. Oktober 2014 verpflichtete das Bezirksgericht Winterthur den Vater in teilweiser Gutheissung der Klage, der Mutter Fr. 96'809.-- nebst Zins zu 5% seit dem 29. März 2012 auf Fr. 90'865.-- zu bezahlen und ihr die Zahlungsbefehlskosten von Fr. 218.-- zu ersetzen. Im Mehrbetrag wurde die Klage abgewiesen. Im Weiteren wurde der Rechtsvorschlag des Vaters in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 4 (Zahlungsbefehl vom 28. März 2012) im Umfang von Fr. 63'286.-- nebst Zins zu 5% seit dem 29. März 2012 aufgehoben.
B.c. Mit Urteil vom 31. März 2015 verpflichtete das Obergericht des Kantons Zürich den Vater in teilweiser Gutheissung der Berufung, der Mutter Fr. 24'147.70 nebst Zins zu 5% seit dem 16. Januar 2013 zu bezahlen und wies die Klage im Übrigen ab. Der zugesprochene Betrag bezieht sich auf die Periode nach der Trennung der Parteien. Für die Zeit des Zusammenlebens sprach das Obergericht der Mutter nichts zu.
C.
Die Mutter (Beschwerdeführerin) hat gegen das obergerichtliche Urteil am 4. Mai 2015 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, das angefochtene Urteil sei hinsichtlich der Abweisung der Klage (Forderung bis und mit Januar 2012) aufzuheben und der Vater (Beschwerdegegner) zu verpflichten, ihr zusätzlich zu der vom Obergericht festgelegten Verpflichtung Fr. 126'093.85 (Fr. 150'241.55 ./. Fr. 24'147.70) zuzüglich 5% Zins seit dem 16. Januar 2013 und die Zahlungsbefehlskosten von Fr. 218.-- zu bezahlen. Der Rechtsvorschlag des Beschwerdegegners in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 4 (Zahlungsbefehl vom 28. März 2012) sei im Umfang von Fr. 63'286.-- nebst Zins seit dem 16. Januar 2013 aufzuheben. Eventuell sei die Sache betreffend die eingeklagte Forderung für die Zeit bis und mit Januar 2012 zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG) betreffend Kindesunterhalt. Streitigkeiten über Kinderunterhaltsbeiträge sind vermögensrechtlicher Natur (<ref-ruling> Nr. 90 Urteil 5A_1017/2014 vom 12. Mai 2015 E. 1.2), wobei der Streitwert (<ref-law>) den Betrag von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) übersteigt. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
Die kantonalen Instanzen haben geprüft, ob der zwischen den Parteien abgeschlossene Unterhaltsvertrag auf die Periode des Zusammenlebens der Parteien anwendbar ist, und haben dies bejaht. Diese Frage ist in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht mehr thematisiert. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
3.
Strittig ist vorliegend die Erfüllung der vertraglich geschuldeten Unterhaltsleistung des Beschwerdegegners während des Konkubinates der Parteien, d.h für die Zeit ab der Geburt des Kindes (November 2003) bis Ende 2011. Ab Januar 2012 wurden die Unterhaltsbeiträge bevorschusst. Nach den Feststellungen des Obergerichts hat der Beschwerdegegner in dieser Zeit Barzahlungen gemäss Unterhaltsvertrag von gesamthaft Fr. 213'990.-- sowie einen gewissen Betreuungsanteil (Fr. 4'200.-- Wohnunterhalt und Fr. 70'700.-- direkte Zahlungen an die Kindermädchen), mithin Fr. 288'890.-- erbracht. Das Obergericht hält dafür, damit habe er rund 78% seiner nominellen Unterhaltsverpflichtung aus dem Unterhaltsvertrag von Fr. 370'843.-- (Fr. 197'000.-- Barunterhalt, Fr. 208'643 Betreuungsunterhalt, abzüglich Fr. 34'800.-- im Barunterhalt bereits inbegriffener Betreuungskosten) erfüllt. Zwar seien dabei die Teuerungszuschläge auf dem Barunterhalt gemäss Unterhaltsvertrag von zuletzt Fr. 90.-- pro Monat nicht mit einbezogen worden; der Beschwerdegegner habe jedoch mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit weitere Naturalleistungen für das Kind erbracht, sodass sich diese beiden Faktoren gegenseitig kompensierten. Die Beschwerdeführerin habe die nicht vollständige Erfüllung der vertraglichen Pflicht während rund acht Jahren nicht beanstandet und vom Beschwerdegegner nie eine Mehrleistung verlangt bzw. nie auf einer hundertprozentigen Erfüllung des Unterhaltsvertrages bestanden. Damit habe sie zum Ausdruck gebracht, dass sie mit der gelebten Aufteilung der Unterhaltslasten (teilweise Barzahlungen, teilweise Naturalunterhalt) einverstanden gewesen sei. Erst mit der Trennung im Februar 2012 sei die gelebte Art der Unterhaltsaufteilung entfallen und habe die Zukunft aufgrund der Unterhaltsvertrages geregelt werden müssen. Für eine nachträgliche, rückwirkende Einforderung der Unterhaltsbeiträge ab der Geburt des Kindes für die Zeit des Konkubinats bestehe keine Rechtfertigung. Eine solche, den jahrelang gelebten Verhältnissen zuwiderlaufende Forderung sei vielmehr rechtsmissbräuchlich und verdiene keinen Rechtsschutz. Die Klage sei daher abzuweisen, soweit die Beschwerdegegnerin Leistungen ab der Geburt des Kindes bis Januar 2012 verlange.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, bei der Ermittlung des rechtlich erheblichen Sachverhalts in verschiedener Hinsicht Bundesrecht einschliesslich der Verfassung verletzt zu haben. Konkret macht sie geltend, der Beschwerdegegner habe im gesamten Verlauf des Verfahrens nie behauptet, dass sie ihn während der Dauer des Konkubinates nie zur Bezahlung der ausstehenden Beiträge gemäss Unterhaltsvertrag angehalten habe bzw. dass sie auf den fehlenden Betrag verzichtet oder durch anderweitige Abgeltung akzeptiert hätte. Es sei auch nicht zutreffend, dass sie während des Konkubinats die ausstehenden Unterhaltsbeiträge nie beim Beschwerdegegner beanstandet und gemahnt habe. Die Parteien hätten seit der Geburt der Tochter C._ im Jahr 2003 immer wieder heftige Diskussionen miteinander darüber geführt, weil der Beschwerdegegner seiner Unterhaltspflicht aus dem Unterhaltsvertrag nicht nachgekommen sei. Gemäss <ref-law> sei es die Sache der Parteien, dem Richter darzulegen, was sich zugetragen habe (Behauptungslast) und dafür Beweise abzunehmen (Beweislast). Der Richter dürfe sich für sein Urteil nur auf die von den Parteien substanziiert behaupteten und bewiesenen Tatsachen stützen. Der Beschwerdegegner habe nie behauptet, die Beschwerdeführerin habe seine Ausstände nie beanstandet und ihn nicht zur Zahlung gemäss Unterhaltsvertrag angehalten. Indem die Vorinstanz eine Sachverhaltsannahme treffe, welche in den Akten keine Stütze finde und vom Beschwerdegegner nicht behauptet worden sei, verletze sie nicht nur die Verhandlungsmaxime, sondern auch das Willkürverbot gemäss <ref-law> und die Beweislastregel nach <ref-law>. Gemäss <ref-law> wäre es die prozessuale Pflicht des Beschwerdegegners gewesen, das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen. Mithin hätte er, selbst wenn er substanziiert behauptet hätte, dass die Beschwerdeführerin ihn während des Konkubinats nie zur Zahlung aufgefordert habe, diese Behauptung auch beweisen müssen. Das sei nicht erfolgt. Der Beschwerdegegner habe sich im gesamten Verfahren nie auf Rechtsmissbrauch berufen und dementsprechend auch nie irgendwelche tatsächlichen Umstände bzw. Verhaltensweisen der Beschwerdeführerin behauptet, welche auf rechtsmissbräuchliches Handeln ihrerseits hätten schliessen lassen können. Es würden vom Beschwerdegegner keine Umstände genannt, geschweige denn bewiesen, wonach die gerichtliche Geltendmachung der vertraglich vereinbarten und ausstehenden Unterhaltsbeiträge durch die Beschwerdeführerin im Widerspruch zu ihrem früheren Verhalten gestanden hätte, wodurch berechtigte Erwartungen des Beschwerdegegners enttäuscht worden wären. Wolle die Vorinstanz ihren Entscheid auf einen nicht aktenkundigen, nicht behaupteten Sachverhalt stützen, so habe sie dies den Parteien vorgängig mitzuteilen, damit sie sich hierzu vernehmen lassen, Behauptungen aufstellen und Beweismittel nennen könnten. Dies habe die Vorinstanz unterlassen und damit auch <ref-law> verletzt.
4.2. Für Kinderbelange in familienrechtlichen Angelegenheiten schreibt <ref-law> dem Gericht vor, den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen (Abs. 1) und ohne Bindung an die Parteianträge zu entscheiden (Abs. 3). Die gesetzlich verankerte Untersuchungsmaxime verpflichtet den Richter, die für den Entscheid massgebenden Tatsachen zu berücksichtigen, um im Sinne des Kindeswohls zu entscheiden; dabei ist es indes in erster Linie Sache der Parteien, die massgebenden Tatsachen vorzutragen und die Beweismittel zu nennen (Mitwirkungspflicht). Das Gericht ist weder an die von den Parteien geltend gemachten Sachverhalt, noch an unbestrittene Tatsachen noch an die von den Parteien eingereichten Beweismittel gebunden (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 413 mit Hinweisen).
4.3. Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin ist vorliegend durch die tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid nicht erstellt, dass die ungenügende Erfüllung des Unterhaltsvertrages durch den Beschwerdegegner ständiges Thema unter den beiden Parteien war bzw. dass zwischen den Parteien ein Streit wegen ungenügender Leistungen des Beschwerdegegners bestand. Das Obergericht ist vielmehr aufgrund der konkreten in E. 3 aufgeführten tatsächlichen Umstände zum Schluss gelangt, die Beschwerdeführerin habe während des achtjährigen Zusammenlebens gegenüber dem Beschwerdegegner nicht auf einer vollständigen Erfüllung des Unterhaltsvertrages bestanden und habe damit klar zum Ausdruck gebracht, dass sie mit der Erfüllung teils durch Barzahlungen teils durch Naturalunterhalt einverstanden gewesen sei. Ist das Obergericht aber aufgrund der gegebenen Sachlage zu einem Beweisergebnis gelangt, liegt freie Beweiswürdigung vor, die bundesrechtlich nicht geregelt ist, auch nicht durch <ref-law>; die Beschwerdeführerin legt nicht substanziiert dar, den obergerichtlichen Feststellungen widersprechende Tatsachenbehauptungen im kantonalen Verfahren vorgetragen und entsprechende Beweise offeriert zu haben. Sie begnügt sich vielmehr damit, Gegenteiliges zu behaupten, womit sie indes weder die Feststellungen des Obergerichts bzw. dessen Beweiswürdigung rechtsgenügend als willkürlich hinstellt, noch diese Tatsachenfeststellungen sonstwie als bundesrechtswidrig beanstandet (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Mit dem vorliegenden Beweisergebnis wurde die Frage der Beweislastverteilung gegenstandslos (<ref-ruling> E. 6.1 mit Hinweisen). Im Lichte des Ergebnisses war das Obergericht trotz der Untersuchungsmaxime nicht gehalten, weitere Beweise abzunehmen (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 476; <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735 mit Hinweisen). Der Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) bzw. der Verletzung von <ref-law> bzw. der Verletzung von <ref-law> geht damit ins Lehre.
5.
Aufgrund der konkret festgestellten tatsächlichen Umstände konnte das Obergericht davon ausgehen, die Beschwerdeführerin habe auf weitere Unterhaltsleistungen des Beschwerdegegners für die Zeit des Zusammenlebens verzichtet. Die Abweisung der Klage im strittigen Punkt erfolgte daher zu Recht. Damit kann offen bleiben, ob eine Nachforderung gegen das Rechtsmissbrauchsverbot verstösst. Dementsprechend ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Sie hat jedoch die Gegenpartei für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu entschädigen, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden