(Unterhalt eines Mündigen), hat sich ergeben:
A.- A._ (geb. 1. September 1978) erhob im Jahre 1999 gegen B._ Klage auf Unterhaltsleistungen gestützt auf <ref-law> mit dem Begehren, sein Vater sei ab
1. August 1999 bis zum Abschluss seiner Berufsausbildung zu monatlichen Unterhaltsbeiträgen von Fr. 650.-- zuzüglich Ausbildungszulagen zu verpflichten. Mit Entscheid vom 14. Oktober 1999 hiess das Bezirksgericht St. Gallen die Klage im Wesentlichen gut und verpflichtete B._, für seinen Sohn ab 1. August 1999 bis zum Lehrabschluss einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 570.-- zuzüglich Ausbildungszulagen zu bezahlen. Auf Berufung von B._ hin wies das Kantonsgericht St. Gallen (II. Zivilkammer) die Klage mit Entscheid vom 19. September 2000 ab.
B.- Mit Eingabe vom 10. November 2000 führt A._ staatsrechtliche Beschwerde und beantragt dem Bundesgericht, der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 19. September 2000 sei aufzuheben. Im Weiteren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung der beauftragten Rechtsanwältin.
B._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht St. Gallen lässt sich zum Vorwurf der Verweigerung des rechtlichen Gehörs vernehmen, ohne Antrag zu stellen.
In der gleichen Sache gelangt A._ auch mit Berufung an das Bundesgericht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Wird in der gleichen Zivilsache sowohl Berufung als auch staatsrechtliche Beschwerde erhoben, so ist in der Regel zuerst über die staatsrechtliche Beschwerde zu befinden, und der Entscheid über die Berufung ist auszusetzen (Art. 57 Abs. 5 OG). Im vorliegenden Fall besteht kein Grund, anders zu verfahren.
2.- Das Kantonsgericht ist im Wesentlichen gestützt auf die Vormundschaftsakten zum Schluss gekommen, dass der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf Mündigenunterhalt gemäss <ref-law> habe, weil er bei mehr Fleiss die Ausbildung bereits im August 2000 ordentlich hätte abschliessen können; mit seinem Verhalten habe er die Beziehung zu seinem Vater absichtlich zerstört und den Unterhaltsanspruch verwirkt.
Weitere Unterhaltsleistungen seien dem Beschwerdegegner auch aufgrund seiner wirtschaftlichen Umstände nicht zumutbar.
3.- a) Der Beschwerdeführer rügt vorab in formeller Hinsicht, das Kantonsgericht habe sein Recht auf Akteneinsicht und vorgängige Stellungnahme verletzt, weil es vormundschaftliche Akten beigezogen habe, aus denen sich seine schulische Entwicklung und die persönliche Beziehung der Parteien ergibt, ohne dass er die Möglichkeit gehabt habe, Einsicht in diese entscheidrelevanten Dokumente nehmen zu können. Das Kantonsgericht habe somit gegen seinen Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> verstossen und die entsprechende kantonale Verfahrensgarantie gemäss <ref-law>/SG willkürlich (<ref-law>) angewendet. In seiner Vernehmlassung erklärt das Kantonsgericht, beide Parteien hätten den Beizug der vormundschaftlichen Akten verlangt. Es habe den Parteien mitgeteilt, dass die Vormundschaftsakten beigezogen würden; keine der Parteien habe Akteneinsicht verlangt.
Da das Gericht die Parteien im Allgemeinen nicht einzuladen brauche, die Akten einzusehen, sondern Sache der Parteien sei, das entsprechende Begehren zu stellen, erscheine - unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 2 S. 170 - der nachträgliche Vorwurf einer Verletzung von <ref-law> unbegründet.
b) Das Recht auf Akteneinsicht als Teil des Anspruchs auf rechtliches Gehör wird in erster Linie durch die kantonalen Verfahrensvorschriften umschrieben; erst wo sich dieser Rechtsschutz als ungenügend erweist, greifen die unmittelbar aus <ref-law> (Art. 4 aBV) folgenden bundesrechtlichen Minimalgarantien Platz. Zunächst ist demnach zu prüfen, ob das Kantonsgericht gegen <ref-law>/SG verstossen hat. Das Bundesgericht prüft dabei die Anwendung und Auslegung des kantonalen Rechts unter dem beschränkten Gesichtswinkel der Willkür (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 98).
c) Gemäss <ref-law>/SG (in der Fassung des II.
Nachtragsgesetzes vom 1. April 1999) führt das Kantonsgericht eine Verhandlung durch, wenn ihm dies zweckmässig oder zur Wahrung der Parteirechte geboten erscheint (Abs. 1); findet keine Verhandlung statt, führt der Präsident einen zweiten Schriftenwechsel durch, wenn zum Beweisergebnis Stellung zu nehmen ist (Abs. 3 lit. b). Das Kantonsgericht hat den Parteien am 7. August 2000 mitgeteilt, dass die vormundschaftlichen Akten beigezogen würden. Gleichentags holte es die Akten beim Vormundschaftsamt ein und in der Folge wurde der Entscheid gefällt, dem die beigezogenen Akten zugrunde gelegt wurden. Das Kantonsgericht hat dem Beschwerdeführer keine Kenntnis gegeben, als die übrigen Verfahrensakten mit den neuen und entscheiderheblichen Vormundschaftsakten ergänzt wurden. Dem Beschwerdeführer ist - trotz entsprechender Beweisanträge - indessen nicht zuzumuten, sich nach dem Stand des Dossiers und dem Ende der Beweisabnahme zu erkundigen. Er durfte sich gestützt auf <ref-law>/SG vielmehr auf eine entsprechende Mitteilung des Gerichts verlassen und brauchte - anders als im Fall der in <ref-ruling> E. 2 S. 170 zu beurteilenden Bestimmung - nicht von sich aus tätig zu werden, um seinen Anspruch auf eine Stellungnahme zum Beweisergebnis zu wahren. Wenn das Kantonsgericht seinen Entscheid gefällt hat, ohne dem Beschwerdeführer zumindest mitgeteilt zu haben, dass die neuen und entscheiderheblichen Beweismittel tatsächlich aufliegen, hat es <ref-law>/SG daher willkürlich angewendet (<ref-ruling> E. 5b S. 134, m.H.). Unter diesen Umständen erübrigt sich die Prüfung, ob die Minimalgarantie gemäss <ref-law> verletzt wurde.
d) Somit ergibt sich, dass die staatsrechtliche Beschwerde begründet und der angefochtene Entscheid - in Anbetracht der formellen Natur des Gehörsanspruchs (<ref-ruling> E. 3 S. 118) - aufzuheben ist. Über die Rügen, das Kantonsgericht habe Beweise willkürlich gewürdigt (<ref-law>) und das Rechtsgleichheitsgebot (<ref-law>) verletzt, bedarf es daher keiner Entscheidung.
4.- Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdegegner kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1, Art. 159 Abs. 2 OG). Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers, es sei ihm die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren, hinsichtlich der Gerichtskosten gegenstandslos. Sein Antrag auf Bestellung seiner Anwältin zum unentgeltlichen Rechtsbeistand wird mit seinen prekären Verhältnissen begründet und belegt. Im Sinne von Art. 152 Abs. 2 OG ist seinem Begehren für den Fall der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung zu entsprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, und der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen (II. Zivilkammer) vom 19. September 2000 wird aufgehoben.
2.- Soweit das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege nicht gegenstandslos geworden ist, wird es gutgeheissen, und es wird ihm Rechtsanwältin Hannelore Fuchs, St. Gallen, als Rechtsbeistand beigegeben.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdegegner auferlegt.
4.- Der Beschwerdegegner wird verpflichtet, den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen. Im Falle der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung wird Rechtsanwältin Hannelore Fuchs, St. Gallen, aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen (II. Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 2. Februar 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: