Sachverhalt:
A. Der 1973 geborene H._ war ab Juli 2000 als Maschinenoperator in der Firma A._ AG angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 24. Februar 2004 erlitt er als Lenker eines Honda Civic CRX, in welchem u.a. seine hochschwangere Frau mitfuhr, innerorts einen Verkehrsunfall. Er war in diesem Zeitpunkt bereits aufgrund einer Somatisierungsstörung zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Beim Unfall geriet ein von links kommender Seat Leon, welcher auf schneebedeckter abfallender Fahrbahn ins Rutschen gekommen war, auf die Fahrbahn, welche der Honda befuhr. Die rechte vordere Ecke des Seat stiess gegen die linke vordere Ecke des Honda. Der Seat wurde durch die Kollision abgedreht und schlug mit der rechten Seite gegen die linke Seite des Honda. Dieser prallte anschliessend mit der rechten Frontecke ins Heck eines am rechten Fahrbahnrand abgestellten Lieferwagens. H._ war vom 24. bis 28. Februar 2004 im Spital B._ hospitalisiert, wo eine Commotio cerebri und eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert wurden (Austrittsbericht vom 26. Februar 2004). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie dem Versicherten mit Verfügung vom 25. Juli 2006, die Leistungen würden auf den 1. August 2006 eingestellt. Sie verneinte überdies einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 24. Februar 2004 und den noch bestehenden Beschwerden. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest (Entscheid vom 7. Februar 2007).
B. Beschwerdeweise stellte H._ verschiedene Anträge auf Durchführung von Beweis- und Therapiemassnahmen, auf Zusprechung von Heilbehandlung und Taggeld sowie eventualiter auf Zusprechung der gesetzlichen Leistungen (gemeint ist wohl eine Invalidenrente) nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von mindestens 50 % und einer Integritätsentschädigung nebst Verzugszins. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau gewährte die unentgeltliche Rechtspflege, führte eine öffentliche Verhandlung durch und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 5. November 2008 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt H._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides beantragen und im Wesentlichen seine vorinstanzlichen Rechtsbegehren erneuern. Zudem wird die Durchführung eines "upright mri" und eines "3-D CT" verlangt und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig ist, ob der Versicherte aus dem Unfall vom 24. Februar 2004 über den 31. Juli 2006 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die für einen Leistungsanspruch erforderlichen kausalen Zusammenhänge mit den sich jeweils stellenden Beweisfragen.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (sog. Schleudertrauma-Praxis; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen). Die Kriterien nach der mit <ref-ruling> begründeten Schleudertrauma-Praxis wurden mit <ref-ruling> teilweise modifiziert. Demgegenüber blieben die Kriterien nach der Psycho-Praxis (<ref-ruling>) unverändert (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 116 und E. 10.3 S. 130).
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, die ab 1. August 2006 noch bestandenen Beschwerden liessen sich nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge erklären. Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung der medizinischen Akten, insbesondere auch der mittels bildgebenden Methoden (Röntgen; MRI; CT) durchgeführten Untersuchungen an HWS und Kopf. Auch eine unfallbedingte Verschlimmerung der vorbestandenen degenerativen Veränderungen an der HWS ergibt sich aus den Ergebnissen dieser diagnostischen Abklärungen nicht (vgl. hiezu SVR 2008 UV Nr. 36 S. 137 E. 2.2 [8C_637/2007]).
3.2 Was der Versicherte vorbringt, führt zu keiner anderen Betrachtungsweise.
Geltend gemacht wird erneut, es sei "das diagnostische Verfahren nach Nikolai Bogduk im Sinne von multisegmentalen komparativen Blockaden der Facettengelenke bzw. der Medialäste der Rami dorsales" durchzuführen. Zudem sei eine zweite CT-Untersuchung des Schädels vorzunehmen. Dass sich dadurch verlässliche Anhaltspunkte für eine unfallbedingte organische Schädigung gewinnen liessen, ist indessen unwahrscheinlich.
Der Beschwerdeführer beantragt sodann, es seien noch Untersuchungen mittels eines sogenannten "upright mri" an der HWS und mittels eines "3D CT" am Kopf durchzuführen. Diese erst letztinstanzlich gestellten Beweisanträge stellen indessen unzulässige Noven dar und sind somit nicht zuzulassen (vgl. BGE 8C_934/2008 vom 17. März 2009). Abgesehen davon scheint es sich bei den besagten Massnahmen um neue apparative Untersuchungsmethoden zu handeln. Bei diesen müsste zuerst feststehen, ob sie überhaupt wissenschaftlich anerkannt sind und verlässliche Erkenntnisse für die Beurteilung der Unfallkausalität zu erbringen vermöchten, welche sich aus den durchgeführten Abklärungen mittels Röntgen sowie konventionellem MRI und CT nicht ergeben (vgl. <ref-ruling>).
Unzulässige Noven stellen auch die nachträglich mit den Unterlagen betreffend unentgeltliche Rechtspflege aufgelegten medizinischen Akten dar.
Im Übrigen beschränkt sich die Beschwerde auf eine Wiederholung der bereits vorinstanzlich vorgebrachten Argumente. Darauf ist - unter Hinweis auf die vorinstanzlichen Erwägungen - nicht weiter einzugehen.
4. Liegt keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor, schliesst das zwar die natürliche Unfallkausalität der bestehenden Beschwerden nicht aus. Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat kann der adäquate Kausalzusammenhang aber nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 2 hievor). Ergibt sich hiebei, dass es an der Adäquanz fehlt, erübrigen sich auch weitere Abklärungen zur natürlichen Kausalität (vgl. SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c [U 183/93]; Urteil 8C_42/2007 vom 14. April 2008 E. 2 mit Hinweisen).
Unfallversicherer und Vorinstanz haben die Adäquanz geprüft und verneint.
4.1 Der Beschwerdeführer wendet zunächst ein, es sei zu früh die Adäquanz geprüft und gestützt darauf der Fall abgeschlossen worden. Hiefür hätte das Ende des normalen, unfallbedingten Heilungsprozesses abgewartet werden müssen.
4.1.1 Das Bundesgericht hat sich in <ref-ruling> mit der Frage des Zeitpunktes des Fallabschlusses und des in diesem Zusammenhang verschiedentlich erhobenen Einwandes der verfrühten Adäquanzprüfung auseinandergesetzt. Es hat gestützt auf <ref-law> und die dazu ergangene Rechtsprechung erwogen, dass der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung von Heilbehandlung und Taggeld sowie Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) abgeschlossen sind (<ref-ruling> E. 4.1 S. 112 mit Hinweisen). Ob eine namhafte Besserung noch möglich ist, bestimmt sich insbesondere nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit diese unfallbedingt beeinträchtigt ist. Dabei verdeutlicht die Verwendung des Begriffes "namhaft" durch den Gesetzgeber, dass die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss. Unbedeutende Verbesserungen genügen ebensowenig (besagter BGE E. 4.3 S. 115) wie die blosse Möglichkeit einer Besserung (Urteil U 244/04 vom 20. Mai 2005, in RKUV 2005 Nr. U 557 S. 388 nicht veröffentlichte E. 2 mit Hinweisen).
4.1.2 Eingliederungsmassnahmen der IV stehen im vorliegenden Fall nicht zur Diskussion. Was die Frage einer zu erwartenden Besserung betrifft, verweist der Beschwerdeführer wie schon vorinstanzlich auf den Bericht des Dr. med. M._ vom 4. Mai 2005. Darin wird indessen nur von einer möglichen Besserung durch die vorgeschlagenen Therapien gesprochen. Das genügt nach dem Gesagten nicht. Es bestehen auch sonst keine Anhaltspunkte dafür, dass von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung eine namhafte Besserung des unfallbedingt beeinträchtigten Gesundheitszustandes zu erwarten gewesen wäre. Der Unfallversicherer hat den Fall daher zu Recht abgeschlossen und mit Blick auf weitere Leistungen die Adäquanzfrage geprüft.
4.2 Umstritten ist im Weiteren, wie die Adäquanz zu beurteilen ist. Das kantonale Gericht hat die Psycho-Praxis angewendet. Demgegenüber vertritt der Beschwerdeführer die Auffassung, es sei nach der Schleudertrauma-Praxis vorzugehen.
Welche dieser Auffassungen zutrifft, muss dann nicht abschliessend beurteilt werden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang auch nach der Schleudertrauma-Praxis, die in der Regel (vgl. aus jüngster Zeit Urteil 8C_30/2009 vom 13. Mai 2009 E. 5 Ingress mit Hinweis) und jedenfalls hier für die versicherte Person günstiger ist als die Psycho-Praxis, zu verneinen ist. Diesfalls erübrigt sich von vornherein auch das unter Hinweis auf <ref-ruling> beantragte polydisziplinäre Gutachten. Denn diese Beweismassnahme würde der Beantwortung der Frage dienen, ob die Schleudertrauma-Praxis zur Anwendung gelangt oder nicht (vgl. <ref-ruling> E. 9 S. 121 ff.; Urteil 8C_1013/2008 vom 9. April 2009 E. 4.2).
4.2.1 Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (<ref-ruling> E. 6 S. 138 ff.; <ref-ruling> E. 10.1 S. 126; E. 2 hievor). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.2 und 5.3.1 [U 2, 3 und 4/07]; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat auf einen mittelschweren Unfall an der Grenze zu den leichten Unfällen geschlossen. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, von welcher Unfallschwere seiner Auffassung nach auszugehen wäre. Er beschränkt sich darauf, die Sachverhaltsermittlungen als ungenügend zu qualifizieren. Selbst wenn indessen die von ihm geltend gemachten Abklärungen getroffen worden wären, hätte dies jedenfalls nicht zur Folge, dass auf einen Grenzfall zu den schweren Unfällen oder gar auf einen schweren Unfall zu schliessen wäre. Das gilt auch unter Berücksichtigung der erfolgten Mehrfachkollision.
Dies hat zur Folge, dass in die Adäquanzbeurteilung weitere Kriterien einzubeziehen sind und von diesen entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein müssten, damit der adäquate Kausalzusammenhang bejaht werden könnte. Das gilt für die Psycho- wie für die Schleudertrauma-Praxis, wobei die Kriterien sich teilweise unterscheiden (<ref-ruling> E. 6c S. 140 f.; <ref-ruling> E. 10 S. 126 ff.).
4.2.2 Das kantonale Gericht hat die Kriterien nach <ref-ruling> geprüft und durchwegs verneint. Die Prüfung nach Kriterien nach der Schleudertrauma-Praxis (<ref-ruling> E. 10.3 S. 130) ergibt Folgendes:
Ohne weiteres zu verneinen - und auch nicht geltend gemacht - sind die Kriterien der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen, der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, sowie des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen.
Nach Lage der Akten beschränkte sich die nach dem Unfall durchgeführte ärztliche Behandlung auf einige Tage Aufenthalt in der erstbehandelnden Klinik, einen dreiwöchigen Erholungsaufenthalt im Kurhaus B._, eine gut zweiwöchige stationäre Rehabilitation in der Rehaklinik C._ und zeitweilige ambulante Therapien. Daneben fanden verschiedene medizinische Abklärungen statt. Eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung ist damit nicht gegeben. Praxisgemäss werden an dieses Kriterium deutlich höhere Anforderungen gestellt (vgl. etwa SVR 2009 UV Nr. 22 S. 80 E. 5.4 [8C_209/2008]; Urteil 8C_144/2008 vom 8. August 2008 E. 7.3).
Das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen ist ebenfalls nicht gegeben. Namentlich wird weder geltend gemacht noch ergeben sich Hinweise darauf, dass der Versicherte ernsthaft Arbeitsbemühungen gezeigt hat (vgl. <ref-ruling> E. 10.2.7 S. 129 f.).
Damit der adäquate Kausalzusammenhang bejaht werden könnte, müsste von den verbleibenden zwei Kriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; erhebliche Beschwerden) mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Das ist nicht der Fall. Damit kann offen bleiben, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form erfüllt wären.
4.2.3 Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht zu Recht einen rechtserheblichen Zusammenhang zwischen dem Unfall vom 24. Februar 2004 und den über den 31. Juli 2006 hinaus bestandenen Beschwerden und damit die Leistungspflicht der SUVA verneint. An diesem Ergebnis vermögen sämtliche weiteren Vorbringen in der Beschwerde, soweit es sich nicht ohnehin um Wiederholungen der bereits im angefochtenen Entscheid überzeugend entkräfteten Argumente handelt, nichts zu ändern. Das gilt auch für die beantragten Beweismassnahmen, lassen doch diese keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten.
5. Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist. Bei der Festsetzung der Entschädigung an den unentgeltlichen Rechtsbeistand ist überdies zu berücksichtigen, dass die letztinstanzliche Beschwerde in weiten Teilen wörtlich der vorinstanzlichen Beschwerde und der Einsprache entspricht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Rémy Wyssmann, Oensingen, wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1500.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Juni 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz