Sachverhalt:
A. A.a X._ war Ende der achtziger und zu Beginn der neunziger Jahre Beirat der inzwischen verstorbenen A._. Y._ ist ihr Sohn.
A.b Am 23. Oktober 2008 fasste die Commissione tutoria regionale 11, sede di B._ (Vormundschaftsbehörde), Beschluss betreffend die "Tassazione note di onorario per mercede e rimborso spese dell'ex-assistente legale avv. X._". Die vorliegend einzig interessierende Dispositivziffer 1 lautet wie folgt:
"L'istanza è parzialmente accolta.
Di conseguenza, sono tassati ed approvati nella seguente misura mercede e spese relative all'attività di assistente legale dell'avv. X._ per il periodo dal 1.1.1991, importo dal quale andranno dedotti gli eventuali acconti già incassati.
Mercede 1.1.1991 - 31.12.1991 fr. 120'000.--
Mercede 1.1.1992 - 04.06.1992 (5 mesi) fr. 50'000.--
Rimborso spese 1.1.1991 - 04.06.1992 fr. 20'772.--
Totale fr. 190'772.--"
Für die Zeit nach dem 4. Juni 1992 wurden weder Entschädigung noch Spesen anerkannt (Dispositivziffer 2).
A.c Die dagegen von X._ und Y._ erhobenen Rekurse wies die Autorità di vigilanza sulle tutele (Aufsichtsbehörde) am 27. Februar 2009 ab. Dieser Entscheid ist rechtskräftig.
B. B.a Mit Zahlungsbefehl des Betreibungsamtes Kreis C._ (Betreibungs-Nr. xxxx) vom 1. Februar 2010 wurde Y._ von X._ aufgefordert, Forderungen von insgesamt Fr. 360'537.10 (Fr. 190'772.-- + Fr. 167'147.65 [aufgelaufene Zinsen bis 28. Januar 2010] + Fr. 1'948.40 [Spesen] + Fr. 669.05 [aufgelaufene Zinsen bis 28. Januar 2010]) zuzüglich Zins von 5 % seit dem 28. Januar 2010 auf den Teilbeträgen von Fr. 190'772.-- und Fr. 1'948.40 zu begleichen. Als Forderungsurkunde wurde der Entscheid der Aufsichtsbehörde vom 27. Februar 2009 angegeben. Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag.
B.b Am 26. April 2010 ersuchte X._ beim Bezirksgerichtspräsidenten Prättigau/Davos um definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 360'537.10 zuzüglich 5 % Zins seit 29. Januar 2010 sowie für Betreibungs- und Rechtsöffnungskosten zuzüglich 5 % Zins. Der Bezirksgerichtspräsident wies das Gesuch am 9. Juni 2010 ab.
B.c Dagegen erhob X._ Beschwerde an das Kantonsgericht von Graubünden. Er beantragte definitive Rechtsöffnung für die Beträge von Fr. 190'772.-- (zuzüglich 5 % Zins seit 28. Januar 2010), Fr. 167'147.65, Fr. 1'948.40 (zuzüglich 5 % Zins seit 28. Januar 2010) und Fr. 669.05. Eventualiter ersuchte er um definitive Rechtsöffnung für Fr. 190'772.-- zuzüglich 5 % Zins seit 22. Juli 1992 und Betreibungskosten und subeventualiter um Zurückweisung an die Vorinstanz zur Entscheidung über die übrigen Einreden und Einwendungen des Schuldners. Das Kantonsgericht wies die Beschwerde am 5. November 2010 ab, soweit es darauf eintrat.
C. Gegen dieses Urteil hat X._ (Beschwerdeführer) am 9. Dezember 2010 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Zudem sei ihm für die Beträge von Fr. 190'772.-- (zuzüglich 5 % Zins seit 28. Januar 2010), Fr. 167'147.65, Fr. 1'948.40 (zuzüglich 5 % Zins seit 28. Januar 2010) und Fr. 669.05 definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Eventualiter sei für den Betrag von Fr. 190'772.-- zuzüglich 5 % Zins seit 22. Juli 1992 und Betreibungskosten definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Subeventualiter sei die Sache an das Kantons- oder Bezirksgericht zur Gutheissung zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist binnen Frist (<ref-law>) ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG) in einer Schuldbetreibungssache (<ref-law>). Der erforderliche Streitwert ist bei weitem überschritten (<ref-law>).
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Dabei bedeutet "offensichtlich unrichtig" willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis).
Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Ansonsten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird (<ref-law>). Eine Verfassungsrüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; je mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots - einschliesslich der Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) - geltend gemacht, muss im Einzelnen aufgezeigt werden, in welcher Hinsicht der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2 S. 591 f.).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat befunden, der Entscheid der Vormundschaftsbehörde vom 23. Oktober 2008, auf welchen sich der Beschwerdeführer stütze, stelle keinen tauglichen Titel für eine definitive Rechtsöffnung dar. Zunächst könne Rechtsöffnung nur für Leistungs-, nicht aber Feststellungsurteile erteilt werden. Der Entscheid der Vormundschaftsbehörde enthalte keine Verurteilung zur Zahlung eines bestimmten Geldbetrages und sei demnach kein Leistungsurteil. Es werde bloss festgestellt, dass dem Beschwerdeführer für seine Tätigkeit Lohn und Auslagen im Umfang von Fr. 190'772.-- zustünden. Im Dispositiv seien Bestand und Umfang bereits geleisteter Akontozahlungen offen gelassen worden, was darauf schliessen lasse, dass bewusst ein Feststellungsentscheid gefällt worden sei, denn eine (allenfalls) früher getilgte Forderung könne und dürfe nicht Gegenstand eines Leistungsentscheides bilden, der zur definitiven Rechtsöffnung berechtige. Mit anderen Worten müsse ein Leistungsurteil klar und vorbehaltslos die Leistungspflicht zum Entscheidzeitpunkt festhalten. Die Vorinstanz hat des Weiteren ausgeführt, der Vorbehalt der allfällig bereits erbrachten Akontozahlungen bewirke, dass keine klare Zahlungsverpflichtung in der Höhe von Fr. 190'772.-- bestehe. Der allenfalls geschuldete Betrag ergebe sich weder aus dem Dispositiv noch der Begründung des Entscheides vom 23. Oktober 2008. Vielmehr seien der Vormundschaftsbehörde und der Aufsichtsbehörde die genaue Bestimmung der Schuld unmöglich gewesen und Letztere habe hiefür an den Zivilrichter verwiesen. Der Vorbehalt von allfälligen Akontozahlungen verweise auch nicht stillschweigend auf andere Dokumente wie etwa Kontoauszüge. So sei zwar eine Akontozahlung vom 4. Oktober 1990 über Fr. 120'000.-- aktenkundig, doch sei ihre periodenmässige Zuordnung unklar. Da gar kein definitiver Rechtsöffnungstitel vorliege, sei auch der vom Beschwerdeführer angerufene <ref-law> betreffend die vom Betriebenen zu beweisende Tilgung nicht einschlägig. Die Vorinstanz hat in der Folge offen gelassen, ob die Rechtsnachfolge des Beschwerdegegners hinreichend nachgewiesen und die Betreibungsforderung allenfalls verjährt sei und ob der Beschwerdeführer Verzugszinsen fordern könne.
2.2 Der Beschwerdeführer hält daran fest, dass der Entscheid der Vormundschaftsbehörde einen definitiven Rechtsöffnungstitel darstelle. Durch den gegenteiligen Entscheid sieht er insbesondere <ref-law>, <ref-law> und <ref-law> verletzt. Gemäss <ref-law> habe der Beirat Anspruch auf Festlegung seiner Entschädigung. Mehr könne die Vormundschaftsbehörde nicht tun, denn die Verpflichtung eines Bevormundeten zu einer Zahlung sei im Urteil nicht möglich, da der Bevormundete nicht handlungsfähig sei. Es könne nicht sein, dass der Vormund bzw. Beirat nach Festlegung der Entschädigung jedes Mal die Gerichte anrufen müsse, um einen definitiven Rechtsöffnungstitel zu erhalten. Der im Urteil erwähnte Vorbehalt, dass erbrachte Akontozahlungen abgezogen werden dürften, stelle eine Selbstverständlichkeit dar. Durch ihn werde bloss ausgedrückt, dass die Vormundschaftsbehörde nicht zu überprüfen habe, ob Akontozahlungen geleistet wurden. Vielmehr habe der Rechtsöffnungsrichter zu überprüfen, ob Tilgung gemäss <ref-law> vorliege. Der Beschwerdegegner habe aber nie durch Urkunden bewiesen, dass die Schuld getilgt worden sei. Gegenteils habe der Beschwerdeführer nachgewiesen, dass keine Zahlungen erfolgt seien; der Vorbehalt allfälliger Akontozahlungen dürfte sich auf die Zeit nach dem 4. Juni 1992 beziehen. Schliesslich beziehe sich die Zahlung von Fr. 120'000.-- vom 4. Oktober 1990 eindeutig auf die Periode vor dem 31. Dezember 1990. Die Rechtsnachfolge des Beschwerdegegners sei nachgewiesen und die Forderung nicht verjährt.
2.3 Beruht die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Urteil, so kann der Gläubiger definitive Rechtsöffnung verlangen (<ref-law>). Diese kann nur erteilt werden, wenn das Urteil den Schuldner zur definitiven Zahlung einer bestimmten Geldleistung verpflichtet. Die zu bezahlende Summe muss im Urteil beziffert werden oder muss sich zumindest in Verbindung mit der Begründung oder aus dem Verweis auf andere Dokumente klar ergeben. Das Rechtsöffnungsgericht hat zu prüfen, ob sich die in Betreibung gesetzte Forderung aus dem vorgelegten gerichtlichen Urteil ergibt. Dabei hat es weder über den materiellen Bestand der Forderung zu befinden, noch sich mit der materiellen Richtigkeit des Urteils zu befassen. Ist dieses unklar oder unvollständig, bleibt es Aufgabe des Sachgerichts, Klarheit zu schaffen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 318 f. mit Hinweisen).
Tilgung vor dem Erlass des Urteils darf im Rechtsöffnungsverfahren nicht berücksichtigt werden, weil der Rechtsöffnungsrichter sonst den Rechtsöffnungstitel und die darin aufgeführte Zahlungsverpflichtung materiell überprüfen müsste. Angeblich vor Erlass des Urteils erfolgte Tilgungen hat der Sachrichter zu berücksichtigen. Eine getilgte Forderung darf nicht zu einem Leistungsurteil führen, das zur definitiven Rechtsöffnung berechtigt, denn der Schuldner könnte im Rechtsöffnungsverfahren die Einrede der Tilgung gemäss <ref-law> nicht erheben. Nach dem klaren Wortlaut und Wortsinn von <ref-law> kann Tilgung im Rechtsöffnungsverfahren nur eingewendet werden, wenn diese nach Erlass des Urteils erfolgt ist (<ref-ruling> E. 2.5 S. 319 mit Hinweisen).
2.4 Das vorinstanzliche Urteil steht im Einklang mit der soeben zitierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, vermag nicht zu tragen, soweit er sich überhaupt in rechtsgenüglicher Weise mit den Erwägungen des angefochtenen Urteils auseinandersetzt.
Seine Ansicht, wonach gegen Bevormundete keine Leistungsurteile ergehen können und die Vormundschaftsbehörde deshalb nur Feststellungsurteile fällen könne, geht schon deshalb an der Sache vorbei, weil A._ zum Zeitpunkt des Erlasses des als Rechtsöffnungstitel vorgelegten Urteils gar nicht mehr lebte. Welche Ansprüche ein Beirat allenfalls aus <ref-law> ableiten kann, mag offenbleiben. Zur Beurteilung steht einzig die Frage, ob das vorgelegte Urteil als Rechtsöffnungstitel taugt, und nicht, ob es <ref-law> entspricht bzw. ob ein Beirat daraus das Recht auf einen als definitiven Rechtsöffnungstitel tauglichen Entscheid der Vormundschaftsbehörde ableiten kann. Zur Behebung allfälliger Mängel hätte der Beschwerdeführer den Entscheid der Aufsichtsbehörde weiterziehen müssen. Im Übrigen setzt sich der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Abgrenzung von Leistungs- und Feststellungsurteilen nicht mit der vorinstanzlichen Erwägung auseinander, dass die Vormundschaftsbehörde aufgrund des - sogleich zu erörternden - Vorbehalts von Akontozahlungen ein Feststellungsurteil gefällt haben dürfte. Die vom Beschwerdeführer diskutierte Parteikonstellation war für die Abgrenzung nicht massgeblich.
Die Dispositivziffer 1 des Entscheids der Vormundschaftsbehörde vom 23. Oktober 2008 enthält einen Vorbehalt zugunsten allfälliger, bereits geleisteter Akontozahlungen, d.h. zugunsten allfälliger (Teil-)Tilgungen des festgelegten Honorars aus der Zeit vor Erlass des Urteils. Daher kann dem als Rechtsöffnungstitel vorgelegten Entscheid nicht entnommen werden, wie hoch der allenfalls noch bestehende Anspruch des Beschwerdeführers ist. <ref-law> bzw. die darin geregelte Beweislast hinsichtlich nachträglicher Tilgungen ist folglich entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht berührt. Damit die Norm anwendbar wäre, müsste - wie die Vorinstanz richtig ausgeführt hat - ein Entscheid vorliegen, der als Titel zur definitiven Rechtsöffnung taugt. Indem der Beschwerdeführer offenbar auch vor Erlass des als Rechtsöffnungstitel vorgelegten Urteils erfolgte Tilgungen im Rahmen von <ref-law> berücksichtigt wissen will, geht er über die vorinstanzlichen, auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung abgestützten Erwägungen hinweg. Mit der Bedeutung des Tilgungszeitpunkts für die Anwendbarkeit von <ref-law> setzt er sich nicht auseinander.
Soweit sich der Beschwerdeführer zu den erfolgten Zahlungen äussert, greift er die Beweiswürdigung an. Diese wird durch den angerufenen <ref-law> nicht geregelt (<ref-ruling> E. 4.3 S. 226). Dass die Vorinstanz bei der Würdigung in Willkür (<ref-law>) verfallen sei, wird weder behauptet noch begründet. Appellatorisch ist insbesondere die Behauptung des Beschwerdeführers, den Nachweis erbracht zu haben, dass keine Zahlungen erfolgt seien. Auch die Ausführungen zur zeitlichen Zuordnung der Zahlung vom 4. Oktober 1990 in der Höhe von Fr. 120'000.-- genügen den Begründungsanforderungen an eine Willkürrüge nicht.
Liegt mithin kein Titel vor, auf welchen eine definitive Rechtsöffnung gestützt werden könnte, so können mit der Vorinstanz die weiteren Fragen betreffend Rechtsnachfolge, Verjährung und Verzugszinsen offen bleiben. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 7'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Graubünden, Schuldbetreibungs- und Konkurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg