Sachverhalt:
A.
A.a. Am 4. Mai 2004 schloss die Bank B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) mit der C._ AG mit Sitz in Glarus (vormals St. Gallen) einen Kreditvertrag ab. Demnach gewährte die Bank der Kreditnehmerin einen Rahmenkredit über Fr. 2.4 Mio.; der Betrag wurde der C._ AG in der Folge ausbezahlt. Am 21. Dezember 2005 schlossen die Parteien zudem einen Rahmenkreditvertrag über Fr. 20 Mio. ab.
Mit Schreiben vom 9. Januar 2009 kündigte die Bank B._ den Rahmenkreditvertrag und verlangte unter anderem die sofortige Rückzahlung der Kapitalschuld von Fr. 2.4 Mio. nebst Zins.
A.b. Mit Urteil vom 9. November 2010 (Verfahren 5A_372/2010) hob das Bundesgericht einen Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 12. April 2010 auf, mit dem der Bank B._ für den Betrag von Fr. 2.4 Mio. die provisorische Rechtsöffnung erteilt worden war, und wies das Rechtsöffnungsbegehren ab. Die Gerichtskosten für das Beschwerdeverfahren auferlegte das Bundesgericht der Bank B._, die überdies verpflichtet wurde, die C._ AG mit Fr. 20'000.-- zu entschädigen. Die Verlegung der kantonalen Verfahrenskosten übertrug das Bundesgericht dem Kantonsgericht St. Gallen, das in der Folge die Bank B._ verpflichtete, der C._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 11'297.55 zu bezahlen.
A.c. Am 23. Dezember 2010 trat die C._ AG die Parteientschädigungen des kantonalen Rechtsöffnungsverfahrens von Fr. 11'297.55 und des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens von Fr. 20'000.-- ihrem Rechtsvertreter A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) ab.
A.d. Rechtsanwalt A._ betrieb die Bank B._ daraufhin mit Zahlungsbefehlen vom 11. Januar 2011 für Fr. 20'000.-- und Fr. 11'297.55 nebst Zins; diese erhob Rechtsvorschlag und berief sich im nachfolgenden Rechtsöffnungsverfahren erfolglos auf die Verrechnungseinrede. Das Kantonsgericht Glarus erteilte A._ am 4. Mai 2011 in beiden Verfahren die Rechtsöffnung.
Die Bank B._ überwies in der Folge den gesamten Betrag (inkl. Fr. 517.-- Zins), nachdem sie allerdings mit Schreiben vom 17. Mai 2011 mitgeteilt hatte, dass sie den geltend gemachten Forderungen nach wie vor die Verrechnungseinrede entgegenhalte.
Am 23. Januar 2013 wurde über die C._ AG der Konkurs eröffnet.
B.
B.a. Nachdem die Bank B._ ihrerseits A._ über den Betrag von Fr. 31'814.55 nebst Zins und Kosten des Zahlungsbefehls betrieben und dieser Rechtsvorschlag erhoben hatte, klagte sie am 26. September 2012 beim Kantonsgericht Glarus auf Rückforderung der bezahlten Parteientschädigungen nach <ref-law> sowie auf Beseitigung des Rechtsvorschlags.
Mit Urteil vom 26. Juni 2013 verpflichtete das Kantonsgericht Glarus den Beklagten zur Zahlung von Fr. 31'814.55 nebst Zins zu 5 % seit 16. Mai 2012. Zudem beseitigte es den Rechtsvorschlag in der eingeleiteten Betreibung.
B.b. Eine vom Beklagten gegen den kantonsgerichtlichen Entscheid vom 26. Juni 2013 erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Glarus mit Urteil vom 24. Januar 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beklagte dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Glarus vom 24. Januar 2014 aufzuheben und es sei die Klage abzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - auf die Beschwerde in Zivilsachen einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht des Beschwerdeführers (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.1).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine Verletzung von <ref-law> und <ref-law> vor.
2.1. Die Vorinstanz, die im Übrigen auf die Begründung der Erstinstanz verwies, ging davon aus, dass die Beschwerdegegnerin verrechenbare Forderungen im Sinne von <ref-law> von mehr als Fr. 2 Mio. gegenüber der C._ AG hatte. Sie erachtete die Argumentation des Beschwerdeführers für unbehelflich, die Abtretung dürfe keine Besserstellung des Schuldners bewirken, die er darin erblickte, dass die Beschwerdegegnerin ihren Rückforderungsanspruch nach <ref-law> gegen einen solventen Beklagten geltend machen könne, während sie ohne Abtretung höchstens eine Konkursdividende erhalten hätte. Die Vorinstanz erwog, <ref-law> diene entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht dem Schutz des solventen Zessionars zulasten des Schuldners; die Bestimmung schliesse die Möglichkeit einer Besserstellung des Schuldners, wie sie konkret geltend gemacht werde, notwendigerweise mit ein.
Der Beschwerdegegnerin sei schon vor der fraglichen Abtretung der Parteientschädigungen die Verrechnungsbefugnis zugestanden; der Beschwerdeführer habe daher einredebelastete Forderungen abgetreten erhalten, gegenüber denen die Beschwerdegegnerin nach <ref-law> die Verrechnungseinrede habe erheben können. Diese habe daher unter dem Zwang des Vollstreckungsverfahrens eine Nichtschuld bezahlt, für die der betreibende Beschwerdeführer nach <ref-law> rückzahlungspflichtig sei.
2.2. Im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ist nicht mehr strittig, dass der Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der Abtretung der Parteientschädigungen eine verrechenbare Gegenforderung gegenüber der C._ AG zustand, die den Gesamtbetrag der gerichtlich zugesprochenen Parteientschädigungen überstieg. Ebenso wenig ist die Höhe des eingeklagten Betrags umstritten. Der Beschwerdeführer beruft sich vor Bundesgericht vielmehr einzig darauf, die Beschwerdegegnerin könne eine Rückforderungsklage nicht gegenüber ihm als Zessionar geltend machen, sondern hätte sich für die Rückforderung an die Zedentin C._ AG halten müssen.
2.3. Der Beschwerdeführer beruft sich zunächst vergeblich auf <ref-law>, aus dem folge, dass die Rechtsstellung des Schuldners durch die Abtretung nicht verschlechtert, aber auch nicht verbessert werden dürfe. Zwar trifft zu, dass der Schuldner insofern nicht von der Abtretung soll profitieren können, als ihm Verteidigungsmittel verwehrt sein sollen, die ihm auch dann nicht (gegen den Zedenten) zur Verfügung stehen würden, wenn die Zession nicht stattgefunden hätte ( DANIEL GIRSBERGER, in: Basler Kommentar, 5. Aufl. 2011, N. 1 zu <ref-law>). Der Umstand, dass der Zessionar gegebenenfalls eine höhere Bonität aufweist als der Zedent, bedeutet jedoch keine Verbesserung der Rechtsstellung des Schuldners, sondern stellt gegebenenfalls - im Hinblick auf einen möglichen Rückforderungsanspruch - eine tatsächliche Besserstellung dar, die nach der Zweckbestimmung von <ref-law> nicht verhindert werden soll.
Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht lässt sich daher aus <ref-law> nichts zu seinen Gunsten ableiten. Der Vorinstanz ist keine Verletzung dieser Bestimmung vorzuwerfen, wenn sie davon ausging, der Beschwerdeführer habe als Zessionar einredebelastete Forderungen erhalten und sie die Verrechnungseinrede der Beschwerdegegnerin gegenüber den Abtretungsforderungen als wirksam erachtete.
Hielt die Beschwerdegegnerin den vom Beschwerdeführer erworbenen Forderungen auf Zahlung einer Parteientschädigung wirksam die Verrechnungseinredeentgegen, schuldete sie ihm nichts bzw. nichts mehr.
2.4.
2.4.1. Wurde der Rechtsvorschlag unterlassen oder durch Rechtsöffnung beseitigt, so kann derjenige, welcher infolgedessen eine Nichtschuld bezahlt hat, den bezahlten Betrag nach <ref-law> zurückfordern. In Abweichung von <ref-law> ist dieses Rückforderungsrecht von keiner anderen Voraussetzung als dem Nachweis der Nichtschuld abhängig (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Dieser Rechtsbehelf ist in der Eigenart des schweizerischen Systems der Schuldbetreibung begründet; er wird jenem Betriebenen als letztes Mittel zur Verfügung gestellt, der unter dem Zwang des Betreibungsverfahrens den Betreibenden befriedigt hat, obwohl die in Betreibung gesetzte Forderung der materiellrechtlichen Grundlage entbehrt. Der Zweck von <ref-law> besteht darin, dem Schuldner in einem solchen Fall im Sinne einer restitutio in integrum die Rückforderung zu ermöglichen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 589 mit Hinweisen).
Passivlegitimiert ist der Betreibende oder seine Rechtsnachfolger (Bernhard Bodmer/Jan Bangert, in: Basler Kommentar, 2. Aufl. 2010, N. 22 zu <ref-law> mit Hinweis auf BGE 60 III 124 S. 127 f. bezüglich der Ausnahme der Zahlung an den betreibenden Inkassomandatar nach <ref-law>, der nicht eine eigene, sondern eine fremde Forderung geltend macht [Urteil 4A_215/2009 vom 6. August 2009 E. 3.2]; François Bohnet, Actions civiles, 2014, § 120 Rz. 12; Dominik Vock/Danièle Müller, SchKG-Klagen nach der Schweizerischen ZPO, 2012, Rz. 163; Jolanta Kren Kostkiewicz/Hans Ulrich Walder, Kommentar SchKG, 18. Aufl. 2012, N. 8 zu <ref-law>; Pierre-Robert Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, 1999, N. 15, 18, 49, 63 und 73 zu <ref-law>).
2.4.2. Der Beschwerdeführer verkennt diese Eigenheiten der Rückforderungsklage nach <ref-law>, wenn er zur Begründung seiner Beschwerdeeingabe auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zur bereicherungsrechtlichen Rückabwicklung in Anweisungsfällen (<ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>) bzw. die deutsche Literatur und Rechtsprechung (etwa BGHZ 105, 365) zur bereicherungsrechtlichen Behandlung von weiteren Dreieckskonstellationen ohne betreibungsrechtlichen Bezug verweist, die er für wirtschaftlich vergleichbar hält.
Nach den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) hat der Beschwerdeführer die Beschwerdegegnerin im Umfang der abgetretenen Forderungen betrieben; dabei hat er als Zessionar und damit neuer Gläubiger eigene Rechte geltend gemacht. Nachdem jeweils Rechtsvorschlag erhoben und dem Beschwerdeführer Rechtsöffnung erteilt worden war, zahlte ihm die Beschwerdegegnerin die geforderten Beträge, obwohl sie ihm aufgrund der erklärten Verrechnung nichts schuldete. Damit sind die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt und die Vorinstanz hat die Rückforderungsklage gegenüber dem Beschwerdeführer zutreffend gutgeheissen.
Eine Verletzung von <ref-law> liegt nicht vor.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Glarus schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Leemann