Sachverhalt:
A. G._ war bis 30. November 2008 (für die Risiken Tod und Invalidität bis 31. Dezember 2008) bei der Personalvorsorgestiftung Y._ sowie ab 23. März (frühestens)/1. April 2009 (spätestens) bei der Stiftung X._ berufsvorsorgeversichert. Mit Verfügung vom 5. Oktober 2010 sprach ihr die IV-Stelle Glarus eine halbe Rente der Invalidenversicherung ab 1. Juni 2010 zu. Ihr Gesuch um Ausrichtung von Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge lehnten sowohl die Personalvorsorgestiftung Y._, als auch die Stiftung X._ ab.
B. Am 15. Juni 2011 (Poststempel) reichte G._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Glarus Klage ein mit dem Rechtsbegehren, die Personalvorsorgestiftung Y._ sei zu verpflichten, ihr ab 1. Juni 2010 eine Invalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 50 %, zuzüglich Zins zu 5 % für die jeweiligen Rentenbeträge, je seit deren Fälligkeit, zu bezahlen.
Das kantonale Verwaltungsgericht lud die Stiftung X._ von Amtes wegen ins Verfahren bei. Nach Eingang der Klageantwort und Einsichtnahme in die IV-Akten holte sie beim behandelnden Neurologen (Prof. Dr. med. W._) Beweisauskünfte ein (Bericht vom 23. Januar 2012), wozu die Parteien Stellung nehmen konnten. Mit Entscheid vom 21. März 2012 wies es die Klage ab.
C. G._ hat Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 21. März 2012 sei aufzuheben und festzustellen, dass die Personalvorsorgestiftung Y._, eventualiter die Stiftung X._, zur Gewährung einer Invalidenrente aus BVG bei einem Invaliditätsgrad von 50 % ab dem 1. Juni 2010 verpflichtet ist; subeventuell sei die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen (Verfahren 9C_362/2012).
Ebenfalls hat die Stiftung X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 21. März 2012 sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zwecks rechtsgenüglicher Gewährung des rechtlichen Gehörs, eventualiter zur Durchführung der notwendigen Sachverhaltsabklärungen im Sinne der Begründung zurückzuweisen; subeventualiter sei die Klage gutzuheissen, eventuell abzuweisen und festzustellen, dass bei der Klägerin die massgebliche Arbeitsunfähigkeit vor dem 23. März 2009 eingetreten sei (Verfahren 9C_366/2012).

Erwägungen:
1. Die Beschwerden richten sich gegen denselben letztinstanzlichen kantonalen Entscheid, es liegt ihnen der nämliche Sachverhalt zu Grunde und es stellen sich die gleichen Tat- und Rechtsfragen. Es rechtfertigt sich daher, die Verfahren 9C_362/2012 und 9C_366/2012 zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 126 sowie Urteile 9C_996/2010 vom 5. Mai 2011 E. 1.1 und 2C_171/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 1).
2. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Diese Voraussetzungen sind bei der Beschwerdeführerin 1 (Verfahren 9C_362/2012) und auch bei der Beschwerdeführerin 2 (Verfahren 9C_366/2012) gegeben. Diese hätte als Beigeladene im Falle der Rechtskraft des angefochtenen Entscheids die vorinstanzlich verneinte Leistungspflicht der beklagten Vorsorgeeinrichtung (Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat [Art. 23 lit. a BVG], nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit vor dem 23. März 2009) in einem allenfalls später gegen sie angestrengten Prozess gegen sich gelten zu lassen (<ref-ruling>; <ref-ruling> E. 8b S. 94; vgl. auch Urteil 2C_491/2009 vom 18. Mai 2011 E. 4). Mit der Beiladung wird indessen nicht auch die allfällige Leistungspflicht der Beschwerdeführerin 2 Gegenstand des Verfahrens (<ref-ruling>). Die diesbezüglichen Eventualbegehren in den Beschwerden sind daher unzulässig. Ob die Beschwerdeführerin 1 bereits ab 23. März 2009 Versicherungsschutz bei der Beschwerdeführerin 2 genoss, wie die Vorinstanz festgehalten hat, hat keine weitere rechtliche Bedeutung.
3. Die Beschwerdeführerin 2 rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Die Vorinstanz habe ihr keine Gelegenheit gegeben, zu den neuen Beweismitteln, insbesondere zum Bericht des behandelnden Neurologen Prof. Dr. med. W._ vom 23. Januar 2012 Stellung zu nehmen. Dieses Vorbringen steht im Widerspruch dazu, dass gemäss den vorinstanzlichen Akten das fragliche Dokument den Parteien und auch der Beigeladenen am 30. Januar 2012 eingeschrieben zugestellt und ihnen Gelegenheit gegeben wurde, bis 9. Februar 2012 ihre schriftlichen Anmerkungen einzureichen. Es besteht kein Grund zur Annahme, das Schreiben vom 30. Januar 2012 sei versehentlich nicht an die Beschwerdeführerin 2 versandt worden. Nachdem die Beschwerdeführerin 1 in ihrer Eingabe vom 27. Februar 2012 auf eine Stellungnahme verzichtet und die beklagte Vorsorgeeinrichtung sich nicht hatte vernehmen lassen, bestand für die Vorinstanz keine Veranlassung zu Weiterungen. Abgesehen davon wöge eine allfällige Gehörsverletzung nicht schwer, da die im Zusammenhang damit vorgetragene Rüge, der rechtserhebliche Sachverhalt sei unvollständig abgeklärt, vom Bundesgericht frei geprüft werden kann (vgl. E. 5.2.2 hinten).
4. Die Vorinstanz hat zum berufsvorsorgerechtlich relevanten Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, die zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG), festgestellt, es könne nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit davon ausgegangen werden, dass die Klägerin bereits vor dem 23. März 2009 zu mindestens 20 % arbeitsunfähig gewesen sei. Daran vermöchte eine Expertise nichts zu ändern, weshalb in antizipierter Beweiswürdigung darauf zu verzichten sei. Sie wies daher die Klage ab.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin 1 rügt eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Insbesondere aufgrund des Berichts des behandelnden Neurologen vom 23. Januar 2012 sei davon auszugehen, dass die 20 %ige Arbeitsunfähigkeit überwiegend wahrscheinlich bereits ein Jahr vor dem 23. März 2009 eingetreten sei. Die Beschwerdeführerin 2 wirft der Vorinstanz eine unvollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts bzw. willkürliche Beweiswürdigung vor. Es gebe eine Vielzahl von Hinweisen auf eine bereits vor dem 23. März 2009 vorbestehende Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 %. Es seien daher weitere Beweismassnahmen erforderlich, insbesondere die Einholung einer Expertise über den Krankheitsverlauf.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin 1 rügt eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Insbesondere aufgrund des Berichts des behandelnden Neurologen vom 23. Januar 2012 sei davon auszugehen, dass die 20 %ige Arbeitsunfähigkeit überwiegend wahrscheinlich bereits ein Jahr vor dem 23. März 2009 eingetreten sei. Die Beschwerdeführerin 2 wirft der Vorinstanz eine unvollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts bzw. willkürliche Beweiswürdigung vor. Es gebe eine Vielzahl von Hinweisen auf eine bereits vor dem 23. März 2009 vorbestehende Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 %. Es seien daher weitere Beweismassnahmen erforderlich, insbesondere die Einholung einer Expertise über den Krankheitsverlauf.
5.2 5.2.1 Was die Beschwerdeführerinnen zur Begründung vorbringen, stellt weitgehend unzulässige appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung dar (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; Urteil 9C_294/2012 vom 7. Mai 2012 E. 3.1). Insbesondere bestreiten sie nicht das Fehlen des Nachweises einer bereits vor dem 23. März 2009 bestandenen Arbeitsunfähigkeit von 20 % (SVR 2011 BVG Nr. 14 S. 51, 9C_297/2010 E. 2.1), die arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten war, etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung durch den Arbeitgeber oder durch gehäufte, aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle (Urteil 9C_876/2011 vom 7. Mai 2012 E. 4.2.2). Es wird auch nicht geltend gemacht, die Beschwerdeführerin 1 sei zwischen den beiden Vorsorgeverhältnissen mit den beiden am Recht stehenden Vorsorgeeinrichtungen bei der Arbeitslosenversicherung lediglich für ein Arbeitspensum von höchstens 80 % arbeitslos gemeldet gewesen.
5.2.2 Die Beschwerdeführerin 2 nennt Gründe, die einen Eintritt der rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erst am 23. März 2009 geradezu ausschliessen würden. Damit vermag sie indessen nicht darzutun, inwiefern der Verzicht der Vorinstanz auf die Einholung einer Expertise über den Krankheitsverlauf Bundesrecht, insbesondere den Untersuchungsgrundsatz (Art. 73 Abs. 2 BVG; Urteil 9C_140/2012 vom 12. April 2012 E. 3.2.2.1) verletzt. Vorab ergibt sich nichts aus der Tatsache, dass der behandelnde Arzt von Dezember 2007 bis Dezember 2009 keine Untersuchung mit der Beschwerdeführerin 1 durchgeführt hatte. Gegenteils ist daraus in erster Linie zu folgern, dass eine ärztliche Behandlung nicht nötig war. Im Weitern ist unbestritten, das die Myotone Dystrophie Typ I Curschmann Steinert progredient verläuft. Dass der Krankheitsverlauf aber auch gleichmässig sein muss und mit ihm der Verlauf der Arbeitsfähigkeit, erscheint nicht zwingend. Dr. med. T._, FMH/FAMH Medizinische Genetik, hatte im Schreiben vom 28. Februar 2006 an die Beschwerdeführerin 1 u.a. festgehalten, es sei eher von einem langsamen Verlauf auszugehen; allerdings seien solche prognostischen Aussagen im Einzelfall nicht sehr sicher. Im Arztbericht vom 18. März 2010 sprach er von einer im Verlauf progressiven Krankheit. Schliesslich ist nicht ersichtlich, inwiefern im Rahmen einer Expertise sich eruieren lassen soll, aus welchem Grund sich die Beschwerdeführerin 1 veranlasst sah, das im Zeitpunkt der Operation (Entfernung der epithelialen Speicheldrüsenneoplasie) Ende August 2008 bestandene Arbeitsverhältnis auf Ende November 2008 aufzulösen.
5.3 Die die tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Entscheids betreffenden Rügen sind somit unbegründet, was zur Abweisung der Beschwerde führt.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens haben die unterliegenden Beschwerdeführerinnen die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 9C_362/2012 und 9C_366/2012 werden vereinigt.
2. Die beiden Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- (Verfahren 9C_362/2012) und Fr. 3'000.- (Verfahren 9C_366/2012) werden der jeweiligen Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Stiftung X._, dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Juni 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler