Sachverhalt:
A.
B._ (Beschwerdegegnerin) war Beirätin von C._. Am 2. September 1998 stellte sie A._ (Beschwerdeführer) "als Beirätin von Frau C._ " eine Anwaltsvollmacht aus betreffend allfälliges deliktisches Handeln im Zusammenhang mit der Ersteigerung des Grundstücks Grundbuch Nr. xxx, welches im Miteigentum von C._ stand.
Am 14. September 1998 reichte A._ "namens und auftrags von B._ als Beirätin von Frau C._ " Strafanzeige ein.
Am 6. August 2000 verstarb C._. Eingesetzte Erben waren B._, ihr Ehemann und ihre Kinder. Das Erbe wurde schliesslich nicht angenommen und die ausgeschlagene Verlassenschaft konkursamtlich liquidiert bzw. das Konkursverfahren wurde mangels Aktiven wieder eingestellt.
Am 1. Juni 2010 stellte A._ B._ Rechnung für seine Bemühungen im Zusammenhang mit dem Strafverfahren, das mit der erwähnten Strafanzeige eingeleitet worden war.
B.
B.a. Nachdem B._ in den gegen sie angehobenen Betreibungen Rechtsvorschlag erhoben hatte, gelangte A._ am 1. Juni 2012 mit einem Schlichtungsgesuch an das Richteramt Solothurn-Lebern und reichte dort am 3. Dezember 2012 Klage ein. Er verlangte, B._ sei zu verurteilen, ihm einen Betrag von Fr. 2'808.35 nebst Zins zu 5 % seit 2. Juni 2010 zu bezahlen.
Die Beklagte bestritt ihre Passivlegitimation und schloss auf Abweisung der Klage, eventualiter sei sie zur Bezahlung von Fr. 355.00 nebst Zins zu 5 % seit 2. Juni 2010 zu verpflichten.
Mit Urteil vom 19. Juni 2013 verurteilte das Richteramt die Beklagte zur Zahlung eines Betrages von Fr. 420.70 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 2. Juni 2010 an den Kläger, im Übrigen wies es die Klage ab.
Das Richteramt führte aus, dass es sich bei der von der Beklagten ausgeübten Beiratschaft um eine kombinierte nach Art. 395 Absätze 1 und 2 aZGB gehandelt habe, welche die Wirkungen der Mitwirkungs- und der Verwaltungsbeiratschaft vereinige. Damit handle der Beirat bezüglich der Vermögensverwaltung als ausschliesslicher gesetzlicher Vertreter, benötige aber für die Prozessführung gemäss Art. 421 Ziff. 8 aZGB die Zustimmung der Vormundschaftsbehörde. Entgegen der Auffassung des Klägers habe die Beklagte indessen mit der Unterzeichnung der Anwaltsvollmacht nicht in eigenem Namen gehandelt. Mit der Formulierung " als Beirätin von Frau C._" habe die Beklagte klar zum Ausdruck gebracht, dass sie die Anwaltsvollmacht nicht für sich selbst unterschrieben habe und sich somit auch nicht selber verpflichten wollte. Dies sei auch aus dem Schreiben der Beklagten vom 29. November 1999 ersichtlich, in welchem sie das Sozialamt gebeten habe, die Rechnungen des Klägers für Frau C._ zu bezahlen. Die Beklagte habe also im Auftrag von Frau C._ gehandelt. Einzig in Bezug auf ein anderes Mandat sei die Beklagte selbst Auftraggeberin gewesen. Daraus stehe dem Kläger eine Forderung von Fr. 420.70 zu.
B.b. Mit Urteil vom 27. November 2013 wies das Obergericht des Kantons Solothurn die von A._ gegen den erstinstanzlichen Entscheid erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Das Obergericht bestätigte die Erwägungen der ersten Instanz. Diese sei zu Recht davon ausgegangen, dass die Beklagte nicht in eigenem Namen für sich, sondern für die Verbeiratete gehandelt habe. Hätte sie sich selbst verpflichten wollen, wäre der Hinweis auf die Beiratschaft für C._ nicht nötig gewesen. Diesem Hinweis einen anderen Sinn beizumessen, sei abwegig. Dies gelte auch für die Behauptung des Klägers, mit dieser Angabe habe das Motiv für die Strafanzeige angegeben werden sollen. Der Sinn und Zweck einer solchen Angabe auf der Anwaltsvollmacht sei weder ersichtlich noch dargelegt. Schliesslich gehe es im vorliegenden Prozess nicht darum, ob ein Anwaltsmandat zwischen dem Kläger und der verbeirateten C._ entstanden sei oder nicht. Selbst wenn zwischen der Verbeirateten und dem Kläger - mit oder ohne Zustimmungserklärung der Vormundschaftsbehörde - kein gültiger Auftrag zustande gekommen wäre, würde dies nach Auffassung der Vorinstanz noch lange nicht bedeuten, dass zwischen dem Kläger und der Beklagten ein Auftragsverhältnis begründet worden wäre.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen sowie subsidiärer Verfassungsbeschwerde stellt A._ dem Bundesgericht folgende Anträge:
1.1. Die Beschwerde in Zivilsachen und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde seien gutzuheissen und das Urteil der Zivilkammer des Obergerichts vom 27. November 2013 sei aufzuheben;
1.2. Die Beschwerdegegnerin sei zu verurteilen, dem Beschwerdeführer Fr. 2'808.35 nebst Zins zu 5 % seit dem 2. Juni 2010 zu bezahlen;
1.3. Der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. yyy des Betreibungsamtes Region Solothurn sei aufzuheben;
1.4. Die Kosten des Schlichtungsverfahrens seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen; diese sei zudem zu verurteilen, dem Beschwerdeführer für das Schlichtungsverfahren eine angemessene Entschädigung auf richterliche Bestimmung hin zu bezahlen,
Eventualiter: In Gutheissung der Beschwerde in Zivilsachen und der subsidiären Verfassungsbeschwerde sei das Urteil der Zivilkammer des Obergerichts vom 27. November 2013 aufzuheben und die Sache sei zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
- ..]"
Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. Die Vorinstanz beantragt Abweisung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1).
1.1. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten, wie hier eine vorliegt, ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz beträgt der Streitwert vorliegend weniger als Fr. 30'000.--. Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nicht, ist sie dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>).
1.2. Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> ist sehr restriktiv auszulegen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 582; <ref-ruling> E. 1.2 S. 399; <ref-ruling> E. 1.1). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 1.2 S. 496, je mit Hinweisen). Die Voraussetzung von <ref-law> ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 185, 209 E. 1.2 S. 210; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4, 397 E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.4 S. 649 f.). Es ist erforderlich, dass die Frage von allgemeiner Tragweite ist (<ref-ruling> E. 4 S. 343; <ref-ruling> E. 1.2). Eine vom Bundesgericht bereits entschiedene Rechtsfrage kann von grundsätzlicher Bedeutung sein, wenn sich die erneute Überprüfung aufdrängt. Dies kann zutreffen, wenn die Rechtsprechung nicht einheitlich oder in der massgebenden Lehre auf erhebliche Kritik gestossen ist (<ref-ruling> E. 4 S. 343; <ref-ruling> E. 1.3).
Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig und nicht darauf einzutreten ist (<ref-ruling> E. 4 S. 342; <ref-ruling> E. 2.2.2.1, 645 E. 2.4).
1.3. Nach Auffassung des Beschwerdeführers stellt sich im vorliegenden Beschwerdeverfahren die Frage, ob es sich bei der Einreichung einer Strafanzeige um ein zustimmungsbedürftiges Geschäft im Sinne von Art. 421 Ziff. 8 aZGB bzw. nun von <ref-law> handelt. Gemäss dem Beschwerdeführer handle es sich bei dieser vom Bundesgericht noch nie entschiedenen Frage um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, an deren Klärung auch im Interesse der Rechtssicherheit ein allgemeines Interesse bestehe.
1.4. Die Argumentation des Beschwerdeführers verfängt nicht. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, spielt die Frage nach der Zustimmungsbedürftigkeit der Einreichung einer Strafanzeige vorliegend keine Rolle. Denn selbst wenn zwischen dem Beschwerdeführer und der verbeirateten C._ mangels Zustimmung durch die Vormundschaftsbehörde kein Auftragsverhältnis zustande gekommen sein sollte, bedeutet dies nicht, dass ein solches stattdessen mit der Beschwerdegegnerin als Beirätin entstanden wäre. Vorliegend geht es aber einzig darum, ob die Beschwerdegegnerin (nicht C._) gegenüber dem Beschwerdeführer eine Schuldnerstellung eingenommen hat. Die Frage der Zustimmungsbedürftigkeit i.S. von Art. 421 Ziff. 8 aZGB bzw. nunmehr <ref-law> ist diesbezüglich ohne Belang. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> stellt sich mithin nicht.
1.5. Der Beschwerdeführer hält auch dafür, die Frage sei von grundsätzlicher Bedeutung, welche Anträge zu den Kosten des Schlichtungsverfahrens im Hauptprozess noch gestellt werden können. Er zeigt jedoch nicht ansatzweise auf, inwiefern diesbezüglich ein allgemeines und dringendes Interesse nach Klärung bestehen soll. Er legt namentlich auch nicht dar, dass die Frage in der Literatur kontrovers diskutiert, geschweige denn in der Praxis Probleme bereiten würde. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> stellt sich mithin auch diesbezüglich nicht.
2.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist nicht einzutreten, womit sich die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde grundsätzlich als zulässig erweist (<ref-law>). Zu prüfen ist allerdings, ob diese den gesetzlichen Anforderungen entsprechend begründet wurde.
2.1. Einziger Beschwerdegrund bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde ist die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur, wenn diese Rüge gemäss den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> ausdrücklich vorgebracht und klar und detailliert begründet wird (<ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 143; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). In einer Verfassungsbeschwerde muss rechtsgenügend dargelegt werden, welche verfassungsmässigen Rechte durch das kantonale Gericht inwiefern verletzt worden sind, und solche Rügen sind unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert zu begründen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 2 S. 591 f.).
Wird Willkür geltend gemacht, ist zu beachten, dass Willkür nicht schon dann vorliegt, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2, 467 E. 3.1). Inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar sein soll, muss der Beschwerdeführer im Einzelnen aufzeigen; er darf sich nicht damit begnügen, diesen pauschal als willkürlich zu bezeichnen (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5 S. 5).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>). Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich, sein soll (BGE <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398, 585 E. 4.1 S. 588 f.).
2.3. Diese Grundsätze verkennt der Beschwerdeführer, soweit er auf den Seiten 3 - 6 seiner Beschwerdeschrift eine offensichtlich unrichtige bzw. unvollständige Sachverhaltsfeststellung rügt, begnügt er sich doch damit, eine eigene Version des Sachverhalts vorzutragen, ohne in einer den Begründungsanforderungen genügenden Weise darzutun, inwiefern die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen geradezu verfassungswidrig sein sollen. Darauf ist nicht einzutreten.
2.4. Materiell unbegründet ist die Beschwerde sodann, soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law>, <ref-law> und <ref-law> geltend macht, indem die Vorinstanz sich angeblich nicht mit seinen Ausführungen betreffend die "Notwendigkeit der Zustimmung der Vormundschaftsbehörde sowie über die rechtlichen Folgen der fehlenden Mitwirkung der verbeirateten Frau C._" auseinandergesetzt habe. Der Vorwurf trifft nicht zu, hat die Vorinstanz doch in E. 2.2 ausgeführt, dass es vorliegend einzig darum geht, ob zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin selbst ein Vertrag zustande gekommen ist; diesbezüglich ist die Frage nach der Zustimmungsbedürftigkeit i.S. von Art. 421 Ziff. 8 aZGB bzw. nun von <ref-law> irrelevant.
2.5. Soweit sich der Beschwerdeführer gegen den Entscheid betreffend die Kosten des Schlichtungsverfahrens richtet, begnügt er sich damit, der Vorinstanz eine Verletzung von <ref-law> vorzuwerfen und dies gleichzeitig auch noch als Verstoss gegen <ref-law>, <ref-law> und <ref-law> zu qualifizieren. Aus einer blossen Verletzung einfachen Bundesrechts kann jedoch noch nicht auf eine Verfassungsverletzung geschlossen werden. Die Beschwerde genügt diesbezüglich den Begründungsanforderungen gemäss Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> nicht.
3.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist nicht einzutreten und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni