Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. A.a Mit Urteilen des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen vom 19. November 2004, des Bundesgerichts vom 11. August 2005, des Obergerichts des Kantons Bern vom 10. Oktober 2005 und des Bundesgerichts vom 14. Februar 2006 wurden Y._ (Beschwerdeführer) und X._ (Beschwerdeführerin) solidarisch zu Parteientschädigungen zu Gunsten von Z._ von insgesamt Fr. 48'218.65 verurteilt.
A.b Z._ leitete gegen die Beschwerdeführer zwei separate Betreibungen ein. In der den Beschwerdeführer betreffenden Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes Bern-Mittelland wurde der Gläubigerin definitive Rechtsöffnung gewährt. Beide Beschwerdeführer hatten den erstinstanzlichen, allein den Beschwerdeführer betreffenden Entscheid beim Appellationshof und dessen Entscheid beim Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten. Das Verfahren ist durch Urteil des Bundesgerichts vom 3. September 2007 abgeschlossen worden (5A_194/2007).
A.c Gegen den entsprechenden Zahlungsbefehl in der die Beschwerdeführerin betreffenden Betreibung Nr. yyyy des Betreibungsamtes Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, erhob diese Rechtsvorschlag. Am 13. Juli 2006 ersuchte Z._ (Gläubigerin und Beschwerdegegnerin) den Präsidenten des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen um definitive Rechtsöffnung in der genannten Betreibung. Mit Verfügung vom 8. August 2006 setzte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen der Beschwerdeführerin Frist bis zum 23. August 2006 zur Stellungnahme zum Rechtsöffnungsgesuch. Noch vor dem Entscheid in der Rechtsöffnungssache (Verfahren Z 06 4031) rügte der Beschwerdeführer Fehler der Verfügung des Gerichtspräsidenten vom 8. August 2006 und beantragte dessen Ausstand sowie jenen der Gerichtsschreiberinnen. Der Appellationshof des Obergerichts des Kantons Bern wies das Ausstandsgesuch mit Entscheid vom 27. Oktober 2006 ab, soweit er darauf eintrat (APH 06 448). Am 16. November 2006 erstreckte der Gerichtspräsident 4 der Beschwerdeführerin die Frist zur Vernehmlassung letztmals um 14 Tage, welcher Fristansetzung sie keine Folge leistete. Am 11. Dezember 2006 stellte der Beschwerdeführer diverse Verfahrensanträge und verwies auf die angeblich nicht korrekt in Gang gesetzte Vernehmlassungsfrist. Mit Verfügung vom 5. Januar 2007 räumte der Gerichtspräsident der Beschwerdeführerin die Möglichkeit ein, zu den von der Gegenseite nachgereichten Dokumenten Stellung zu nehmen. Am 22. Januar 2007 ersuchte der Beschwerdeführer um Erstreckung dieser Frist. Diese Eingabe wurde wegen fehlender Befugnis zur Prozessvertretung aus den Akten gewiesen. Mit Entscheid vom 31. Januar 2007 erteilte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen der Beschwerdegegnerin definitive Rechtsöffnung für den vorgenannten Betrag nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2006.
A.c Gegen den entsprechenden Zahlungsbefehl in der die Beschwerdeführerin betreffenden Betreibung Nr. yyyy des Betreibungsamtes Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, erhob diese Rechtsvorschlag. Am 13. Juli 2006 ersuchte Z._ (Gläubigerin und Beschwerdegegnerin) den Präsidenten des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen um definitive Rechtsöffnung in der genannten Betreibung. Mit Verfügung vom 8. August 2006 setzte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen der Beschwerdeführerin Frist bis zum 23. August 2006 zur Stellungnahme zum Rechtsöffnungsgesuch. Noch vor dem Entscheid in der Rechtsöffnungssache (Verfahren Z 06 4031) rügte der Beschwerdeführer Fehler der Verfügung des Gerichtspräsidenten vom 8. August 2006 und beantragte dessen Ausstand sowie jenen der Gerichtsschreiberinnen. Der Appellationshof des Obergerichts des Kantons Bern wies das Ausstandsgesuch mit Entscheid vom 27. Oktober 2006 ab, soweit er darauf eintrat (APH 06 448). Am 16. November 2006 erstreckte der Gerichtspräsident 4 der Beschwerdeführerin die Frist zur Vernehmlassung letztmals um 14 Tage, welcher Fristansetzung sie keine Folge leistete. Am 11. Dezember 2006 stellte der Beschwerdeführer diverse Verfahrensanträge und verwies auf die angeblich nicht korrekt in Gang gesetzte Vernehmlassungsfrist. Mit Verfügung vom 5. Januar 2007 räumte der Gerichtspräsident der Beschwerdeführerin die Möglichkeit ein, zu den von der Gegenseite nachgereichten Dokumenten Stellung zu nehmen. Am 22. Januar 2007 ersuchte der Beschwerdeführer um Erstreckung dieser Frist. Diese Eingabe wurde wegen fehlender Befugnis zur Prozessvertretung aus den Akten gewiesen. Mit Entscheid vom 31. Januar 2007 erteilte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen der Beschwerdegegnerin definitive Rechtsöffnung für den vorgenannten Betrag nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2006.
B. B.a Gegen den erstinstanzlichen Entscheid appellierten die Beschwerdeführer am 26. Februar 2007 mit den Begehren, den angefochtenen Entscheid aufzuheben, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, eventuell das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen (APH 07 107).
B.b In diesem Verfahren ersuchten die Beschwerdeführer am 8. März 2007 um Ablehnung verschiedener Oberrichterinnen und Oberrichter der II. Zivilabteilung des Appellationshofs sowie verschiedener Kammerschreiberinnen und Kammerschreiber (OG 07 58). Das Obergericht des Kantons Bern trat am 14. Juni 2007 auf das Ablehnungsgesuch nicht ein. Auf die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde in Zivilsachen trat die I. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts mit Urteil vom 26. September 2007 nicht ein (4A_311/2007).
B.c Noch bevor das vorgenannte Urteil des Bundesgerichts ergangen war, erteilte der Appellationshof der Beschwerdegegnerin mit Entscheid vom 10. Juli 2007 (APH 07 107) in der erwähnten Betreibung definitive Rechtsöffnung für den in Betreibung gesetzten Betrag nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2006.
B.c Noch bevor das vorgenannte Urteil des Bundesgerichts ergangen war, erteilte der Appellationshof der Beschwerdegegnerin mit Entscheid vom 10. Juli 2007 (APH 07 107) in der erwähnten Betreibung definitive Rechtsöffnung für den in Betreibung gesetzten Betrag nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2006.
C. Die Beschwerdeführer gelangen mit Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, den Entscheid des Appellationshofs vom 10. Juli 2007 (APH 07 107) aufzuheben. Ferner ersuchen sie um aufschiebende Wirkung. In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden.
C. Die Beschwerdeführer gelangen mit Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, den Entscheid des Appellationshofs vom 10. Juli 2007 (APH 07 107) aufzuheben. Ferner ersuchen sie um aufschiebende Wirkung. In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden.
D. Mit Verfügung vom 25. Oktober 2007 trat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung des Beschwerdeführers nicht ein; demgegenüber entsprach er dem Gesuch der Beschwerdeführerin. Das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, wurde angewiesen, einem allfälligen Verwertungsbegehren der Gläubigerin in der Betreibung Nr. yyyy bis auf weiteres keine Folge zu geben.
D. Mit Verfügung vom 25. Oktober 2007 trat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung des Beschwerdeführers nicht ein; demgegenüber entsprach er dem Gesuch der Beschwerdeführerin. Das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, wurde angewiesen, einem allfälligen Verwertungsbegehren der Gläubigerin in der Betreibung Nr. yyyy bis auf weiteres keine Folge zu geben.
E. Die Beschwerdeführer haben am 22. November 2007 um Stellungnahme zur Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin zu den Begehren um aufschiebende Wirkung ersucht. Diese Vernehmlassung ist ihnen am 6. Dezember 2007 zur Kenntnisnahme zugestellt worden. Mit Eingabe vom 7. Dezember 2007 verlangten die Beschwerdeführer die Ansetzung einer Frist zur Stellungnahme zur Vernehmlassung.

Erwägungen:
Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen letztinstanzlichen (<ref-law>) kantonalen Entscheid, der das Rechtsöffnungsverfahren abschliesst, mithin um einen Endentscheid im Sinn von <ref-law>. Gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen auch Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, also auch der angefochtene Rechtsöffnungsentscheid. Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) ist vorliegend gegeben, womit dem Eintreten auf die Beschwerde grundsätzlich nichts entgegensteht.
1.2 Beim angefochtenen Rechtsöffnungsentscheid handelt es sich nicht um eine vorsorgliche Massnahme im Sinn von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.5). Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann somit eine Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht überprüft die behauptete Verletzung dieses Rechts mit freier Kognition, währenddem es seinem Beschwerdeentscheid den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde zu legen hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn die für den Verfahrensausgang entscheidenden Feststellungen offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>) sind (<ref-ruling> E. 1.2.2) oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann.
1.3 Die Beschwerde nach <ref-law> hat nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>). Das bedeutet, dass in der Beschwerdeschrift entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen des Art. 55 Abs. 1 lit. c OG (Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, 4.1.2.4, BBl. 2001, S. 4294) auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, inwiefern der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt. Die Gesetzesartikel brauchen allerdings nicht ausdrücklich genannt zu werden, falls aus den Vorbringen hervorgeht, gegen welche Regeln des Bundesrechts die Vorinstanz verstossen haben soll (<ref-ruling> E. 3 S. 749).
Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255). In der Beschwerde in Zivilsachen dürfen überdies keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (<ref-law>). Wird ein Novum vorgetragen, ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die erwähnte Voraussetzung erfüllt ist (<ref-ruling> E. 3).
1.4 Die Beschwerde vermag insgesamt den aufgezeigten Anforderungen über weite Strecken nicht zu genügen, zumal sie sich grösstenteils nicht mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt. Insoweit ist von vornherein auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.5 Die Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin zu den Gesuchen um aufschiebende Wirkung ist den Beschwerdeführern ohne Fristansetzung zur Kenntnisnahme zugestellt worden. Mit ihrer Eingabe vom 7. Dezember 2007 ersuchen sie um Ansetzung einer Frist zur Stellungnahme. Dieses Gesuch wird angesichts des Entscheides in der Sache gegenstandslos.
1.5 Die Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin zu den Gesuchen um aufschiebende Wirkung ist den Beschwerdeführern ohne Fristansetzung zur Kenntnisnahme zugestellt worden. Mit ihrer Eingabe vom 7. Dezember 2007 ersuchen sie um Ansetzung einer Frist zur Stellungnahme. Dieses Gesuch wird angesichts des Entscheides in der Sache gegenstandslos.
2. Wie sich anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides ergibt, trat der Appellationshof auf die vom Beschwerdeführer gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid eingereichte Appellation nicht ein mit der Begründung, ihm komme in diesem Verfahren keine Parteistellung zu. Der Beschwerdeführer hat zwar den obergerichtlichen Entscheid ebenfalls angefochten; er setzt sich jedoch in der Beschwerde nicht den aufgezeigten Begründungsanforderungen entsprechend (E. 1.3 hiervor) mit der Argumentation des Obergerichts auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern das Obergericht durch die Verweigerung der Parteistellung Bundesrecht verletzt hat. Auf die Eingabe des Beschwerdeführers ist somit nicht einzutreten.
2. Wie sich anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides ergibt, trat der Appellationshof auf die vom Beschwerdeführer gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid eingereichte Appellation nicht ein mit der Begründung, ihm komme in diesem Verfahren keine Parteistellung zu. Der Beschwerdeführer hat zwar den obergerichtlichen Entscheid ebenfalls angefochten; er setzt sich jedoch in der Beschwerde nicht den aufgezeigten Begründungsanforderungen entsprechend (E. 1.3 hiervor) mit der Argumentation des Obergerichts auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern das Obergericht durch die Verweigerung der Parteistellung Bundesrecht verletzt hat. Auf die Eingabe des Beschwerdeführers ist somit nicht einzutreten.
3. Die Beschwerdeführerin erachtet den angefochtenen Entscheid des Appellationshofs als nichtig. Zur Begründung macht sie geltend, sie habe den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid zusammen mit dem Beschwerdeführer angefochten. Im angefochtenen Entscheid des Appellationshofs werde indes der Beschwerdeführer nicht erwähnt, womit der angefochtene Entscheid unvollständig und damit nichtig sei.
Die Beschwerdeführerin versucht - wenn auch erfolglos - darzulegen, dass das Appellationsverfahren APH 07 107 die Beschwerdeführer betrifft. Diesem Verfahren liegt indes die Betreibung Nr. yyyy des Betreibungsamtes Bern-Mittelland zu Grunde, die ausschliesslich die Beschwerdeführerin betrifft. Somit war einzig die Beschwerdeführerin Partei im Betreibungsverfahren und auch im strittigen Appellationsverfahren, was der Appellationshof der Beschwerdeführerin denn auch ausdrücklich erklärt hat (Entscheid S. 2, E. 6). Die Vorbringen der Beschwerdeführerin sind nicht geeignet, die Nichtigkeit des angefochtenen Entscheides darzutun.
Die Beschwerdeführerin versucht - wenn auch erfolglos - darzulegen, dass das Appellationsverfahren APH 07 107 die Beschwerdeführer betrifft. Diesem Verfahren liegt indes die Betreibung Nr. yyyy des Betreibungsamtes Bern-Mittelland zu Grunde, die ausschliesslich die Beschwerdeführerin betrifft. Somit war einzig die Beschwerdeführerin Partei im Betreibungsverfahren und auch im strittigen Appellationsverfahren, was der Appellationshof der Beschwerdeführerin denn auch ausdrücklich erklärt hat (Entscheid S. 2, E. 6). Die Vorbringen der Beschwerdeführerin sind nicht geeignet, die Nichtigkeit des angefochtenen Entscheides darzutun.
Die Beschwerdeführerin versucht - wenn auch erfolglos - darzulegen, dass das Appellationsverfahren APH 07 107 die Beschwerdeführer betrifft. Diesem Verfahren liegt indes die Betreibung Nr. yyyy des Betreibungsamtes Bern-Mittelland zu Grunde, die ausschliesslich die Beschwerdeführerin betrifft. Somit war einzig die Beschwerdeführerin Partei im Betreibungsverfahren und auch im strittigen Appellationsverfahren, was der Appellationshof der Beschwerdeführerin denn auch ausdrücklich erklärt hat (Entscheid S. 2, E. 6). Die Vorbringen der Beschwerdeführerin sind nicht geeignet, die Nichtigkeit des angefochtenen Entscheides darzutun.
4.1 4.1.1 Die Beschwerdeführerin rügt in ihrer Eingabe die Ausstandspflicht des erstinstanzlichen Rechtsöffnungsrichters als verletzt, was ihrer Ansicht nach die Nichtigkeit seines Entscheides zur Folge hat. In der Verletzung der Ausstandspflicht liege auch eine Rechtsverweigerung.
Mit dem Ausstand im Zusammenhang mit dem erstinstanzlichen Rechtsöffnungsverfahren befasste sich der Appellationshof in seinem Entscheid vom 27. Oktober 2006 (APH 06 448). Dieser das Ablehnungsgesuch abweisende Entscheid wurde beim Bundesgericht mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten, die abgewiesen wurde, soweit darauf einzutreten war (1P.831/2006). Soweit sich die Beschwerde zur Ausstandspflicht des erstinstanzlichen Richters äussert, ist darauf nicht einzutreten. Das gilt auch für die mit der behaupteten Verletzung der Ausstandspflicht begründete formelle Rechtsverweigerung und die Verletzung des rechtlichen Gehörs.
4.1.2 Mit Bezug auf die den erstinstanzlichen Richter betreffende Ausstandsfrage hat der Appellationshof im angefochtenen Entscheid bemerkt, der Vorwurf der Beschwerdeführerin, der Gerichtspräsident habe trotz Vorliegens bestimmter Ausstandsgründe entschieden, treffe nicht zu. Der Appellationshof habe das Ablehnungsgesuch mit Entscheid vom 27. Oktober 2006 abgewiesen, womit der Gerichtspräsident 4 im streitigen Rechtsöffnungsverfahren habe weiter tätig sein dürfen. Selbst wenn dem Gerichtspräsidenten Verfahrensfehler vorzuwerfen wären, vermöchten diese keine Befangenheit zu begründen. Allfällige Verstösse gegen das materielle Recht und die Verfahrensordnung oder die Beweiswürdigung seien grundsätzlich nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit objektiv als gerechtfertigt erscheinen zu lassen. Vielmehr seien solche Mängel mit einem Rechtsmittel zu rügen. Die Beschwerdeführerin setzt sich nicht substanziiert mit dieser Erwägung des angefochtenen Entscheides auseinander. Soweit die Beschwerde überhaupt Ausführungen dazu enthält, ist darauf nicht einzutreten.
4.2 Die Beschwerdeführerin hat den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid beim Obergericht des Kantons Bern angefochten (APH 07 107) und in diesem Verfahren am 8. März 2006 um den Ausstand verschiedener Oberrichterinnen und Oberrichter der II. Zivilabteilung des Appellationshofs und von bestimmten Kammerschreiberinnen und Kammerschreibern ersucht. Das Obergericht trat auf die Ausstandsbegehren mit Entscheid vom 14. Juni 2007 nicht ein (OG 07 58). Diesen Entscheid zog die Beschwerdeführerin mit Beschwerde in Zivilsachen vom 23. August 2007 an das Bundesgericht weiter. Noch bevor das bundesgerichtliche Urteil vorlag, entschied der Appellationshof am 10. Juli 2007 über die Appellation gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, der Appellationshof habe nicht über die Appellation gegen den Rechtsöffnungsentscheid entscheiden dürfen, solange das Urteil des Bundesgerichts in der Beschwerde gegen den Entscheid des Obergerichts vom 14. Juni 2007 über das Ausstandsbegehren nicht vorgelegen habe. Sie wirft dem Appellationshof in diesem Zusammenhang Rechtsverweigerung vor und erachtet den gegen die Ausstandspflichten verstossenden Entscheid des Appellationshofs als nichtig. Bezüglich des obergerichtlichen Verfahrens wirft die dem Obergericht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Es kann diesbezüglich auf das die Beschwerdeführerin betreffende Urteil 1P.839/2006 vom 15. März 2007 verwiesen werden, wo das Bundesgericht unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 3c S. 323 zur Frage Stellung genommen hat, unter welchen Umständen ein Richter, der trotz pendenter Ablehnung entscheidet, eine Rechtsverweigerung begeht. Danach begeht eine richterliche Behörde formelle Rechtsverweigerung, wenn sie entscheidet, obwohl ihre rechtmässige Zusammensetzung und Unvoreingenommenheit vor Bundesgericht streitig und der entsprechenden Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt worden ist (E. 3.1.1). Im vorliegenden Fall war die Beschwerde in Zivilsachen, als der Appellationshof sich mit der Appellation gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid befasste (Entscheid vom 10. Juli 2007), noch gar nicht erhoben worden (Datum der Einreichung der Beschwerde in Zivilsachen: 23. August 2007), obwohl der Beschwerdeführerin der Entscheid des Obergerichts vom 14. Juni 2007 bereits am 22. Juni 2007 zugegangen war. Überdies hat die Beschwerde in Zivilsachen in der Regel keine aufschiebende Wirkung (<ref-law>). Als die aufschiebende Wirkung am 30. August 2007 superprovisorisch erteilt wurde, war der Entscheid des Obergerichts längst ergangen. Demzufolge ist im Lichte der zitierten Rechtsprechung nicht zu sehen, inwiefern der Appellationshof mit seinem Vorgehen Bundesrecht bzw. Völkerrecht verletzt haben soll. Schliesslich gilt es darauf hinzuweisen, dass das Bundesgericht auf die gegen den Entscheid des Obergerichts über den Ausstand vom 14. Juni 2007 erhobene Beschwerde mit Urteil vom 26. September 2007 nicht eingetreten ist (4A_311/2007). Der angefochtene Entscheid verstösst damit im Ergebnis weder gegen das Rechtsverweigerungsverbot noch gegen die Grundsätze des fairen Verfahrens; ebensowenig erweist er sich nichtig. Ferner führt die Beschwerdeführerin auch nicht substanziiert aus, inwiefern der Appellationshof das rechtliche Gehör verletzt haben soll. Die Beschwerdeführerin legt schliesslich auch nicht substanziiert dar, inwiefern der Appellationshof mit dem Entscheid in der Sache nach dem Vorliegen des Entscheides über das Ausstandsbegehren kantonales Recht willkürlich angewendet hat.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Es kann diesbezüglich auf das die Beschwerdeführerin betreffende Urteil 1P.839/2006 vom 15. März 2007 verwiesen werden, wo das Bundesgericht unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 3c S. 323 zur Frage Stellung genommen hat, unter welchen Umständen ein Richter, der trotz pendenter Ablehnung entscheidet, eine Rechtsverweigerung begeht. Danach begeht eine richterliche Behörde formelle Rechtsverweigerung, wenn sie entscheidet, obwohl ihre rechtmässige Zusammensetzung und Unvoreingenommenheit vor Bundesgericht streitig und der entsprechenden Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt worden ist (E. 3.1.1). Im vorliegenden Fall war die Beschwerde in Zivilsachen, als der Appellationshof sich mit der Appellation gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid befasste (Entscheid vom 10. Juli 2007), noch gar nicht erhoben worden (Datum der Einreichung der Beschwerde in Zivilsachen: 23. August 2007), obwohl der Beschwerdeführerin der Entscheid des Obergerichts vom 14. Juni 2007 bereits am 22. Juni 2007 zugegangen war. Überdies hat die Beschwerde in Zivilsachen in der Regel keine aufschiebende Wirkung (<ref-law>). Als die aufschiebende Wirkung am 30. August 2007 superprovisorisch erteilt wurde, war der Entscheid des Obergerichts längst ergangen. Demzufolge ist im Lichte der zitierten Rechtsprechung nicht zu sehen, inwiefern der Appellationshof mit seinem Vorgehen Bundesrecht bzw. Völkerrecht verletzt haben soll. Schliesslich gilt es darauf hinzuweisen, dass das Bundesgericht auf die gegen den Entscheid des Obergerichts über den Ausstand vom 14. Juni 2007 erhobene Beschwerde mit Urteil vom 26. September 2007 nicht eingetreten ist (4A_311/2007). Der angefochtene Entscheid verstösst damit im Ergebnis weder gegen das Rechtsverweigerungsverbot noch gegen die Grundsätze des fairen Verfahrens; ebensowenig erweist er sich nichtig. Ferner führt die Beschwerdeführerin auch nicht substanziiert aus, inwiefern der Appellationshof das rechtliche Gehör verletzt haben soll. Die Beschwerdeführerin legt schliesslich auch nicht substanziiert dar, inwiefern der Appellationshof mit dem Entscheid in der Sache nach dem Vorliegen des Entscheides über das Ausstandsbegehren kantonales Recht willkürlich angewendet hat.
5. 5.1 Die Einladung der Beschwerdeführerin, innert Frist zum Rechtsöffnungsgesuch Stellung zu nehmen, trug einen Faksimilestempel der Unterschrift des Gerichtspräsidenten 4. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin führt dies zur Nichtigkeit des Rechtsöffnungsentscheides, weil keine einwandfreie Vernehmlassung im Sinn von <ref-law> stattgefunden habe.
Dazu erwog der Appellationshof, er habe sich bereits im Verfahren APH 06 454 mit diesem Vorbringen auseinandergesetzt, weshalb auf die entsprechenden Ziffern II 5 und 6 des betreffenden Entscheides verwiesen werden könne. Dort hat der Appellationshof dafürgehalten, gemäss <ref-law>/BE müsse jede Vorladung die Unterschrift der Behörde enthalten, von der sie ausgeht, während für andere prozessleitende Verfügungen keine Formvorschriften bestünden. Die nicht eigenhändige Unterzeichnung der Einladung zur Stellungnahme bedeute daher keine Rechtsverletzung. In ihren weitschweifigen Erörterungen geht die Beschwerdeführerin auf die Begründung des Appellationshofes nicht ein und legt insbesondere nicht substanziiert dar, inwiefern der Appellationshof bei der Auslegung des kantonalen Prozessrechts in Willkür verfallen sein soll. Darauf ist nicht einzutreten.
5.2 Die Beschwerdeführerin rügt im Weiteren, die strittige Verfügung vom 8. August 2006 sei nur mit eingeschriebener Post statt mit Gerichtsurkunde zugestellt worden. Dabei handle es sich um einen krassen Verfahrensfehler, weshalb die Verfügung keine Wirkungen entfalten könne.
Dazu erörterte der Appellationshof, prozessleitende Verfügungen könnten im Summarverfahren auch durch eingeschriebene Sendung verschickt werden, weshalb keine Verfahrensverletzung ersichtlich sei. Was dazu von der Beschwerdeführerin vorgebracht wird, ist nicht ansatzweise geeignet, Willkür bzw. eine Verfassungs- oder EMRK-Verletzung darzutun, schreibt sie doch selber, Ladungen könnten im summarischen Verfahren mit eingeschriebener Sendung verschickt werden. Darauf ist nicht einzutreten.
5.3 Die Beschwerdeführerin macht ferner geltend, die Vernehmlassungsfrist sei willkürlich kurz festgesetzt worden.
Der Appellationshof führt dazu aus, die Beschwerdeführerin sei mit Verfügung vom 8. August 2006 gesetzeskonform zur Vernehmlassung aufgefordert worden. Die darin gesetzte Frist (bis zum 23. August 2006) sei im Nachgang zum Ablehnungsverfahren nochmals verlängert worden.
Die Beschwerdeführerin setzt sich in ihrer weitschweifigen Eingabe nicht rechtsgenüglich mit der obergerichtlichen Erwägung auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern kantonales Recht willkürlich angewendet bzw. die Verfassung oder die EMRK verletzt worden ist. Darauf ist nicht einzutreten.
Die Beschwerdeführerin setzt sich in ihrer weitschweifigen Eingabe nicht rechtsgenüglich mit der obergerichtlichen Erwägung auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern kantonales Recht willkürlich angewendet bzw. die Verfassung oder die EMRK verletzt worden ist. Darauf ist nicht einzutreten.
6. Die Beschwerdeführerin hat im Rahmen des Rechtsöffnungsverfahrens die Einrede der Verrechnung erhoben. Der Appellationshof bemerkte dazu, die Beschwerdegegnerin habe im Rechtsöffnungsverfahren gerichtliche Urteile ins Recht gelegt und verlange für die darin zugesprochenen Parteientschädigungen die definitive Rechtsöffnung. Zwar sei die Verrechnung als Tilgung im Sinn von <ref-law> zulässig. Doch müsse der Beweis der Tilgung durch Verrechnung durch eine Urkunde erbracht werden, die zumindest zur provisorischen Rechtsöffnung berechtige, womit für die Gegenforderung eine Schuldanerkennung vorliegen müsse. Ein solches Dokument liege nicht in den Akten, weshalb sich die Einrede der Tilgung als unbehelflich erweise.
In ihrer Beschwerde gegen den Entscheid des Appellationshofs macht die Beschwerdeführerin geltend, entgegen der Auffassung des Appellationshofs genüge der einfache Urkundenbeweis, welchen die Beschwerdeführer am 26. Februar 2007 erbracht hätten. Der Appellationshof habe sich nicht damit auseinandergesetzt und damit den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör verletzt.
Soweit die Rüge überhaupt den Begründungsanforderungen genügt, erweist sie sich als unbegründet. Die Auffassung des Appellationshofes entspricht der bundesgerichtlichen Praxis (<ref-ruling> E. 4 S. 100) und wird überdies auch von der neueren Lehre vertreten (Staehelin, Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, SchKG I, 1998, N. 10 zu <ref-law>, mit weiteren Hinweisen). Angesichts der klaren Rechtslage erübrigten sich weitere Ausführungen seitens des Appellationshofes. Dieser stellt überdies fest, dass die Beschwerdeführerin keine solchen Urkunden beigebracht habe. Die Beschwerdeführerin legt in der Beschwerde nicht substanziiert dar, inwiefern ihre angeblich am 26. Februar 2007 ins Recht gelegten Urkunden den Anforderungen genügten. Damit ist weder eine Verletzung von <ref-law> noch eine Verletzung des rechtlichen Gehörs noch der Verfahrensrechte der EMRK ersichtlich.
Soweit die Rüge überhaupt den Begründungsanforderungen genügt, erweist sie sich als unbegründet. Die Auffassung des Appellationshofes entspricht der bundesgerichtlichen Praxis (<ref-ruling> E. 4 S. 100) und wird überdies auch von der neueren Lehre vertreten (Staehelin, Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, SchKG I, 1998, N. 10 zu <ref-law>, mit weiteren Hinweisen). Angesichts der klaren Rechtslage erübrigten sich weitere Ausführungen seitens des Appellationshofes. Dieser stellt überdies fest, dass die Beschwerdeführerin keine solchen Urkunden beigebracht habe. Die Beschwerdeführerin legt in der Beschwerde nicht substanziiert dar, inwiefern ihre angeblich am 26. Februar 2007 ins Recht gelegten Urkunden den Anforderungen genügten. Damit ist weder eine Verletzung von <ref-law> noch eine Verletzung des rechtlichen Gehörs noch der Verfahrensrechte der EMRK ersichtlich.
7. Die Beschwerdeführerin beruft sich sodann auf die Nichtigkeit des Rechtsöffnungstitels vom 19. November 2004. Beanstandet wird eine regelwidrige Vorladung im Verfahren Z 03 3813, welches mit Entscheid des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen vom 19. November 2004 erledigt wurde, der einen der Rechtsöffnungstitel bildet.
Die Beschwerdeführerin hat die betreffende Rechtsmittelfrist nicht eingehalten, weshalb das Obergericht auf die Appellation nicht eingetreten ist (Urteil vom 20. April 2005; ebenfalls ein Rechtsöffnungstitel); das Bundesgericht hat eine gegen diesen Entscheid gerichtete staatsrechtliche Beschwerde abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist (Urteil vom 11. August 2005; ebenfalls ein Rechtsöffnungstitel). Indem die Beschwerdeführerin Nichtigkeit des erstinstanzlichen Entscheides geltend macht, überspielt sie, dass sie die Möglichkeit verpasst hat, die von ihr beanstandeten Mängel auf dem Rechtsmittelweg zu rügen; sie versucht nunmehr, dies im Rechtsöffnungsverfahren nachzuholen, was grundsätzlich unzulässig ist, es sei denn, ein Urteil sei mit einem Nichtigkeitsgrund behaftet. Das ist bei Zivilurteilen jedoch äusserst selten der Fall, so etwa bei sachlicher Unzuständigkeit, wenn eine Partei nicht angehört wurde (Staehelin, Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, SchKG I, N. 14 zu <ref-law>) oder wenn ein Urteil ergangen ist, ohne dass der im Urteilskanton wohnhafte Beklagte vom Prozess Kenntnis erhielt und an diesem teilnehmen konnte (<ref-ruling>). Was die Beschwerdeführerin am erstinstanzlichen Verfahren bemängelt, ist damit in keiner Weise vergleichbar. Von Nichtigkeit kann nicht die Rede sein.
Die Beschwerdeführerin hat die betreffende Rechtsmittelfrist nicht eingehalten, weshalb das Obergericht auf die Appellation nicht eingetreten ist (Urteil vom 20. April 2005; ebenfalls ein Rechtsöffnungstitel); das Bundesgericht hat eine gegen diesen Entscheid gerichtete staatsrechtliche Beschwerde abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist (Urteil vom 11. August 2005; ebenfalls ein Rechtsöffnungstitel). Indem die Beschwerdeführerin Nichtigkeit des erstinstanzlichen Entscheides geltend macht, überspielt sie, dass sie die Möglichkeit verpasst hat, die von ihr beanstandeten Mängel auf dem Rechtsmittelweg zu rügen; sie versucht nunmehr, dies im Rechtsöffnungsverfahren nachzuholen, was grundsätzlich unzulässig ist, es sei denn, ein Urteil sei mit einem Nichtigkeitsgrund behaftet. Das ist bei Zivilurteilen jedoch äusserst selten der Fall, so etwa bei sachlicher Unzuständigkeit, wenn eine Partei nicht angehört wurde (Staehelin, Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, SchKG I, N. 14 zu <ref-law>) oder wenn ein Urteil ergangen ist, ohne dass der im Urteilskanton wohnhafte Beklagte vom Prozess Kenntnis erhielt und an diesem teilnehmen konnte (<ref-ruling>). Was die Beschwerdeführerin am erstinstanzlichen Verfahren bemängelt, ist damit in keiner Weise vergleichbar. Von Nichtigkeit kann nicht die Rede sein.
8. Soweit die Beschwerdeführerin auf die fehlende Vollstreckbarkeit hinweist, ist auf ihre Äusserungen nicht einzutreten. Sie befasst sich darin mit dem angefochtenen Entscheid nur am Rande und ohne diesen in einer den Begründungsanforderungen genügenden Weise zu kritisieren, dafür aber umso mehr mit bundesgerichtlichen Urteilen, die hier nicht zur Diskussion stehen.
8. Soweit die Beschwerdeführerin auf die fehlende Vollstreckbarkeit hinweist, ist auf ihre Äusserungen nicht einzutreten. Sie befasst sich darin mit dem angefochtenen Entscheid nur am Rande und ohne diesen in einer den Begründungsanforderungen genügenden Weise zu kritisieren, dafür aber umso mehr mit bundesgerichtlichen Urteilen, die hier nicht zur Diskussion stehen.
9. Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich ihr Recht auf eine wirksame Beschwerde als verletzt betrachtet, ist sie darauf hinzuweisen, dass sie sowohl den erstinstanzlichen Entscheid als auch denjenigen des Appellationshofs in der Sache sowie den obergerichtlichen Entscheid über den Ausstand hat anfechten können. Ihre Vorbringen wurden gehört, soweit sie formell genügend begründet waren. Inwiefern eine Verletzung von Art. 13 EMRK (Recht auf wirksame Beschwerde) vorliegen soll, ist nicht ersichtlich.
9. Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich ihr Recht auf eine wirksame Beschwerde als verletzt betrachtet, ist sie darauf hinzuweisen, dass sie sowohl den erstinstanzlichen Entscheid als auch denjenigen des Appellationshofs in der Sache sowie den obergerichtlichen Entscheid über den Ausstand hat anfechten können. Ihre Vorbringen wurden gehört, soweit sie formell genügend begründet waren. Inwiefern eine Verletzung von Art. 13 EMRK (Recht auf wirksame Beschwerde) vorliegen soll, ist nicht ersichtlich.
10. Zusammenfassend gilt es festzuhalten, dass keine Verletzung von Bundesrecht ersichtlich ist. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
10.1 Die Beschwerdeführer haben die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftbarkeit zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Insbesondere rechtfertigt es sich nicht, aufgrund der teilweise erfolglosen Stellungnahme der Beschwerdegegnerin (vgl. E. 10.2) eine andere Kostenverlegung vorzunehmen.
10.2 Die Beschwerdegegnerin hat sich zu den Gesuchen um aufschiebende Wirkung vernehmen lassen und ist mit ihrem Nichteintretensantrag mit Bezug auf das Gesuch des Beschwerdeführers, nicht jedoch mit dem Abweisungsantrag mit Bezug auf das Gesuch der Beschwerdeführerin durchgedrungen. Demnach ist die Beschwerdegegnerin vom Beschwerdeführer für ihre erfolgreiche Stellungnahme zu seinem Gesuch zu entschädigen. In der Sache selbst ist keine Vernehmlassung eingeholt worden und somit auch keine Entschädigung geschuldet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für die Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für die Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Dezember 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden