Sachverhalt:
A.
Das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt (Besetzung: Matthias Stein-Wigger als Präsident und Tamara Blatter als a.o. Gerichtsschreiberin) erteilte mit Entscheid vom 23. November 2012 der A._ GmbH gegenüber der X._ AG definitive Rechtsöffnung für die Beträge von Fr. 8'074.80 nebst Zinsen und Fr. 930.80 sowie Betreibungskosten von Fr. 73.-- (Verfahren V.2012.682 des Zivilgerichts). Der begründete Entscheid wurde der X._ AG am 5. Juni 2013 zugestellt.
In derselben Besetzung erteilte das Zivilgericht mit Entscheid vom 4. Dezember 2012 auch B._ gegenüber der X._ AG definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 2'552.05 nebst Zinsen und zuzüglich Betreibungskosten von Fr. 78.-- (Verfahren V.2012.715 des Zivilgerichts). Der begründete Entscheid wurde der X._ AG ebenfalls am 5. Juni 2013 zugestellt.
B.
Die X._ AG wandte sich am 10. Juni 2013 (so die Eigendatierung der Eingabe; Postaufgabe gemäss Eingangsstempel des Zivilgerichts 18. Juni 2013; Datum der angeblichen Übergabe der Eingabe an das Schweizer Generalkonsulat in Frankfurt am Main unbekannt) an das Zivilgericht und verlangte im Verfahren V.2012.682 die Aufhebung des Entscheids vom 23. November 2012 und den Ausstand von Präsident Stein-Wigger und von Gerichtsschreiberin Blatter.
Im Verfahren V.2012.715 verlangte die X._ AG mit gleichzeitiger, separater Eingabe Entsprechendes.
Das Zivilgericht überwies beide Eingaben an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Das Appellationsgericht eröffnete daraufhin zwei Verfahren (BEZ.2013.41 i.S. A._ GmbH gegen X._ AG und BEZ.2013.42 i.S. B._ gegen X._ AG) und erliess am 28. Juni 2013 zwei Verfügungen, in denen es die Überweisung feststellte, die Eingaben als Beschwerden entgegennahm und je einen Kostenvorschuss einverlangte.
C.
Mit separaten Eingaben, je vom 9. Juli 2013 (Übergabe an das Schweizer Generalkonsulat in Frankfurt am Main), hat die X._ AG (Beschwerdeführerin) zwei Beschwerden in Zivilsachen eingereicht, die sich gegen die erwähnten Verfügungen des Appellationsgerichts vom 28. Juni 2013 in den Verfahren BEZ.2013.41 (5A_544/2013) und BEZ.2013.42 (5A_545/2013) richten. Sie verlangt die Aufhebung der beiden Verfügungen und die Rückweisung der beiden Verfahren an das Zivilgericht zur Behandlung ihrer Eingaben vom 10. Juni 2013.
Mit Präsidialverfügungen vom 26. August 2013 ist den beiden Beschwerden von Amtes wegen aufschiebende Wirkung zuerkannt worden (<ref-law>), nachdem das Appellationsgericht dagegen nicht opponiert hatte.
Das Zivilgericht hat sich in der Sache zu den beiden Beschwerden nicht geäussert, das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerden, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
In den beiden Verfahren 5A_544/2013 und 5A_545/2013 hat die Beschwerdeführerin zwei praktisch identische Beschwerden zur Klärung derselben Rechtsfrage erhoben, nämlich ob das Appellations- oder das Zivilgericht die Ausstandsgesuche vom 10. Juni 2013 behandeln muss, die beide nach Erlass des jeweiligen Sachurteils eingereicht worden sind. Die Gesuche betreffen ausserdem dieselben Gerichtspersonen. Es rechtfertigt sich demnach, die beiden Beschwerdeverfahren zu vereinigen (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273] e contrario).
2.
Die angefochtenen Verfügungen des Appellationsgerichts sind selbständig eröffnete Zwischenentscheide über die Zuständigkeit (<ref-law>). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). In der Hauptsache geht es um eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur, wobei der massgebliche Streitwert in keinem der beiden Verfahren erreicht ist (<ref-law>). Da die aufgeworfene Rechtsfrage in der Lehre allerdings umstritten und vom Bundesgericht bisher nicht geklärt wurde, rechtfertigt sich die Annahme einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 184 f. mit Hinweisen), worauf sich die Beschwerdeführerin denn auch beruft. Das Appellationsgericht als obere und letzte kantonale Gerichtsinstanz hat die Eingaben der Beschwerdeführerin als Rechtsmittelschriften qualifiziert und die beiden umstrittenen Verfügungen insoweit in einem Rechtsmittelverfahren erlassen (<ref-law>; BGE 137III 424 E. 2.2 S. 426 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.1 S. 42). Die Beschwerden sind rechtzeitig erfolgt (<ref-law>).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, mit ihren Eingaben vom 10. Juni 2013 an das Zivilgericht habe sie die Aufhebung der zivilgerichtlichen Entscheide vom 23. November bzw. 4. Dezember 2012 gemäss <ref-law> verlangt. Diese Spezialbestimmung schliesse die Anfechtung des Entscheides mit einem Rechtsmittel im eigentlichen Sinne aus. Zuständig zur Behandlung eines solchen Antrags sei das Zivilgericht.
Die Beschwerdeführerin bringt ausserdem vor, das Zivil- und das Appellationsgericht hätten ihr rechtliches Gehör verletzt. Die beiden Gerichte hätten sie weder vor der Überweisung noch vor den Verfügungen vom 28. Juni 2013 zur beabsichtigten Umqualifizierung ihrer Eingaben zu Beschwerden angehört und die beiden Gerichte hätten schliesslich auch die in den Eingaben enthaltenen Sistierungsgesuche übergangen.
3.2. Was zunächst die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs betrifft (<ref-law>, <ref-law>), so ist darauf nicht einzutreten, soweit sie sich gegen das Verhalten des Zivilgerichts richtet (<ref-law>). Nicht ersichtlich ist des Weiteren, weshalb das Appellationsgericht die Beschwerdeführerin hinsichtlich der Qualifikation ihrer Eingaben vom 10. Juni 2013 nochmals hätte anhören müssen. Angesichts der gesetzlichen Ausgangslage (<ref-law>; vgl. sogleich E. 3.4) musste die Beschwerdeführerin bereits bei Einreichung ihrer Eingaben damit rechnen, dass zu diesem Zeitpunkt ein gewöhnliches Ausstands- bzw. Wiederholungsgesuch nicht mehr zulässig sein könnte, so dass sie sich von Anfang an zu den verschiedenen in Frage kommenden alternativen Qualifikationen ihrer Eingaben hätte äussern können. Was schliesslich die Sistierungsgesuche betrifft, so enthalten die angefochtenen Verfügungen des Appellationsgerichts noch gar keine Äusserung dazu.
3.3. Mit den Eingaben vom 10. Juni 2013 verlangt die Beschwerdeführerin zweierlei, nämlich einerseits den Ausstand der am zivilgerichtlichen Urteil mitwirkenden Personen (vgl. <ref-law>) und andererseits die Aufhebung der Urteile, an denen diese Personen mitgewirkt haben (vgl. <ref-law>). Sie hat die beiden Eingaben vom 10. Juni 2013 dem Zivilgericht unbestrittenermassen erst eingereicht, nachdem sie die (begründeten) Urteile in der Sache erhalten hatte. Sie behauptet denn auch, erst durch die begründete Fassung von der Mitwirkung der beiden abgelehnten Gerichtspersonen erfahren zu haben.
3.4. Gemäss <ref-law> gelten die Bestimmungen über die Revision, wenn der Ausstandsgrund erst nach Abschluss des Verfahrens entdeckt wird.
Wie das Bundesgericht kürzlich festgehalten hat, folgt diese Regelung dem Grundgedanken, dass ein Gericht die Gerichtsbarkeit hinsichtlich eines bestimmten Falles verliert, sobald es in diesem Fall sein Urteil gefällt hat (lata sententia iudex desinit esse iudex). Dies gilt insbesondere auch für nach dem Urteil erhobene Ausstandsbegehren (<ref-ruling> E. 2 S. 121 f. mit Hinweisen). Insoweit hat das Zivilgericht vorliegend die Ablehnungs- und Wiederholungsbegehren zu Recht nicht mehr als Eingaben entgegengenommen, die in den Verfahren auf definitive Rechtsöffnung behandelt werden könnten. Es bleibt zu prüfen, ob das Appellationsgericht die Eingaben zu Recht als Rechtsmittel (Beschwerde gemäss <ref-law>) entgegengenommen hat oder ob das Zivilgericht die Eingaben als Revisionsbegehren (<ref-law>) hätte behandeln müssen.
Im soeben zitierten Urteil hatte das Bundesgericht einen ähnlich gelagerten Fall zu beurteilen: Der Beschwerdeführer jenes Verfahrens hatte den Ausstandsgrund hinsichtlich eines am zweitinstanzlichen Urteil mitwirkenden Richters erst nach Mitteilung des zweitinstanzlichen kantonalen Entscheids entdeckt. Das Bundesgericht hat entschieden, dass das obere kantonale Gericht die Behandlung des bei ihm eingereichten Ausstandsbegehrens zu Recht abgelehnt hat und dieses Begehren dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen vorgelegt werden kann, ohne dass zunächst auf kantonaler Ebene ein Revisionsgesuch gestellt werden muss (<ref-ruling> E. 2 und 3.1.1 S. 121 ff.; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4 S. 704).
Diese Lösung lässt sich aus den nachfolgenden Gründen auf den vorliegenden Fall übertragen. Zwar verweist <ref-law> seinem Wortlaute nach auf die Revision und zudem sind die im Summarverfahren ergangenen Rechtsöffnungsentscheide mit der Eröffnung rechtskräftig geworden (<ref-law>; Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7378 Ziff. 5.23.2 zu Art. 323 des Entwurfs [fortan: Botschaft]), so dass insoweit eine Voraussetzung der Revision (rechtskräftige Entscheide als Anfechtungsobjekt; Art. 328 Abs. 1 Ingress) erfüllt wäre. Allerdings knüpft <ref-law> von seinem Wortlaut her nicht an die Rechtskraft an, sondern an den Abschluss des Verfahrens (clôture de la procédure, chiusura del procedimento). Insoweit eröffnet sich Interpretationsspielraum, was unter Verfahrensabschluss verstanden werden soll und ab welchem Zeitpunkt die Revision ergriffen werden muss, um den angeblichen Mangel geltend zu machen. Mit dem Wortlaut von <ref-law> ist jedenfalls vereinbar, die Partei zunächst auf die Beschwerde zu verweisen, solange deren Frist noch nicht abgelaufen ist (zur Kritik am Wortlaut von <ref-law> vgl. DENIS TAPPY, in: CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, N. 15 zu <ref-law>).
Die Anknüpfung an den Verfahrensabschluss fand sich bereits in Art. 49 Abs. 3 des Entwurfs zur ZPO (E-ZPO), wobei die bundesrätliche Botschaft in diesem Zusammenhang davon auszugehen scheint, dass damit die Rechtskraft gemeint sei. Allerdings wird diese Gleichsetzung nicht näher begründet (Botschaft, a.a.O., 7273 Ziff. 5.2.3 zu Art. 49 E-ZPO) und die Botschaft äussert sich auch nicht zum Fall, dass der Ausstandsgrund noch während einer laufenden Rechtsmittelfrist (Berufung oder Beschwerde) entdeckt wird. Insbesondere geht die Botschaft in diesem Zusammenhang auch nicht auf den Zeitpunkt der Rechtskraft des mangelhaften Urteils bzw. auf die Rechtsnatur der verschiedenen Rechtsmittel ein. Vereinzelte Kritik am Vorentwurf, der in Art. 45 Abs. 3 bereits dieselbe Lösung enthielt, führte in der Botschaft ebenfalls nicht zu einer Klarstellung (vgl. Zusammenstellung der Vernehmlassungen, 2004, S. 169 ff.). Aus den Materialien kann damit für das Verhältnis von Beschwerde und Revision im Rahmen von <ref-law> nichts Entscheidendes abgeleitet werden.
In der Lehre ist umstritten, ob im Rahmen von <ref-law> die Revision oder die Beschwerde den Vorzug verdient (für die Beschwerde: MARK LIVSCHITZ, in: Stämpflis Handkommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], 2010, N. 6 zu <ref-law>; TAPPY, a.a.O., 2011, N. 16 zu <ref-law>; für den Vorrang des "Rechtsmittels": STEPHAN WULLSCHLEGER, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2. Aufl. 2013, N. 10 zu <ref-law>; DAVID RÜETSCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 8 zu <ref-law>; für die Revision: MARC WEBER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 7 zu Art. 51).
Vom System des Gesetzes her gesehen ist die Revision gegenüber den Rechtsmitteln der Berufung und der Beschwerde grundsätzlich subsidiär ( MARTIN H. STERCHI, in: Berner Kommentar, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>). Kann demnach Beschwerde erhoben werden, verdient diese gegenüber der Revision grundsätzlich den Vorrang. Umstritten ist allerdings, welche Bedeutung dem Novenausschluss im Beschwerdeverfahren (<ref-law>) für die Wahl des Rechtsmittels zukommt (vgl. zum Ganzen STERCHI, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>; PHILIPPE SCHWEIZER, in: CPC, a.a.O., N. 11 und 15 zu <ref-law>; NICOLAS HERZOG, in: Basler Kommentar, a.a.O., N. 20 ff. zu <ref-law>; DEMIAN STAUBER, in: ZPO-Rechtsmittel, Berufung und Beschwerde, Kommentar zu den Art. 308-327a ZPO, 2013, N. 5 f. zu <ref-law>). Wie es sich damit allgemein verhält, braucht vorliegend nicht geklärt zu werden, denn der von der Beschwerdeführerin mit ihren Eingaben vom 10. Juni 2013 geltend gemachte Mangel kann jedenfalls mit Beschwerde vorgetragen werden. Noven müssen nämlich in der Beschwerde zumindest soweit vorgebracht werden können, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (so die Formulierung in <ref-law>; in diesem Sinne ISAAK MEIER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2010, S. 492; STAUBER, a.a.O., N. 12 zu <ref-law>; ähnlich STERCHI, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>). Sonst würden die möglichen Beschwerdegründe bzw. ihre Unterlegung durch Tatsachenbehauptungen vor der kantonalen Beschwerdeinstanz stärker eingeschränkt als es hernach vor Bundesgericht - bei der Anfechtung des zweitinstanzlichen Urteils - der Fall ist. Eine solche systematische Inkongruenz kann nicht im Sinne der ZPO sein (vgl. auch <ref-law>). Eine angeblich erst mit der Eröffnung des angefochtenen Entscheides zur Kenntnis genommene Unregelmässigkeit bei der Zusammensetzung des entscheidenden Gerichts kann dem Bundesgericht unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> vorgelegt werden (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweisen), so dass Entsprechendes auch für die Beschwerde im kantonalen Verfahren gelten muss. Die Vorinstanz hat deshalb die beiden Eingaben vom 10. Juni 2013 zu Recht als Beschwerden gemäss <ref-law> qualifiziert.
3.5. Die Beschwerden in Zivilsachen sind folglich abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
4.
Bei diesem Ausgang der Verfahren wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_544/2013 und 5A_545/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 2'000.-- (je Fr. 1'000.-- pro Verfahren) werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der A._ GmbH, B._ und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg