Faits:
A. P._ a requis des prestations de l'assurance-chômage. Un délai-cadre d'indemnisation a été ouvert en sa faveur pour la période du 1er novembre 2006 au 31 octobre 2008.
L'assuré a été convoqué par l'Office régional de placement de Genève (ORP) à un entretien de conseil le 16 août 2007 à 15 heures 30.
Par décision du 23 août 2007, l'ORP a suspendu le droit de P._ à l'indemnité de chômage pour une durée de cinq jours, motif pris qu'il ne s'était pas présenté à l'entretien du 16 août 2007 sans excuse valable.
P._ s'est opposé à cette décision en faisant valoir qu'il s'était présenté avec quelques minutes de retard. La réceptionniste, A._, l'avait accueilli et avait tenté, sans succès, de joindre le conseiller de l'assuré, J._.
Le 14 septembre 2007, le conseiller en personnel a décrit la pratique de l'administration en matière d'arrivée tardive à un entretien de conseil. En substance, lorsqu'un assuré se présente avec moins de 15 minutes de retard, l'Accueil du bâtiment enregistre l'arrivée dans le système informatique et dirige l'assuré vers les étages. Lorsque 15 minutes sont dépassées, la réception peut contacter le conseiller qui peut ou non accueillir l'assuré selon ses disponibilités. Si l'assuré arrive avec plus de 20 minutes de retard, il est réputé absent et le conseiller en personnel vaque à ses occupations, ce qui peut impliquer un déplacement hors de son bureau. La décision de sanction mentionne une absence à l'entretien, sans indication de l'origine du manquement (arrivée trop tardive pour être suivie d'effets ou absence effective). Par ailleurs, J._ a confirmé qu'il ne s'était pas déplacé pour accueillir l'assuré au cours des 20 minutes suivant l'heure du rendez-vous (soit de 15 h 30 à 15 h 50).
Par décision du 11 décembre 2007, l'OCE a rejeté l'opposition de l'assuré, au motif qu'au regard de la pratique de l'administration, l'assuré avait dû arriver avec plus de 20 minutes de retard. Par ailleurs, l'OCE a précisé que l'assuré avait précédemment manqué un entretien de conseil le 27 juillet 2007, en raison d'un oubli, sans avoir fait l'objet d'une sanction.
B. P._ a déféré la décision sur opposition de l'OCE au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève.
Statuant le 5 mai 2008, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. Par acte du 17 juin 2008, P._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal du 5 mai 2008, dont il demande l'annulation en concluant implicitement à la levée de la sanction. Par ailleurs, il requiert le versement de dommages et intérêts de 50'000 fr. pour « tort moral et faute grave ». En outre, il a déposé deux écritures complémentaires les 25 juillet 2008 et 16 septembre 2008, avec annexes. Dans l'intervalle, soit le 12 août 2008, P._ a soumis une requête en remboursement des frais de justice qu'il a avancés.
L'OCE et le Secrétariat d'Etat à l'économie ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2. Déposées après l'échéance du délai de recours (<ref-law>) et sans qu'un deuxième échange d'écritures n'ait été ordonné, les lettres du recourant des 25 juillet 2008 et 16 septembre 2008 ainsi que leurs annexes ne peuvent d'emblée être prises en considération (art. 42 al. 2 et 3 LTF).
3. Le litige porte sur la point de savoir si l'OCE était fondé, par sa décision sur opposition du 11 décembre 2007, à suspendre le droit du recourant à l'indemnité de chômage pour une durée de cinq jours, motif pris qu'il ne s'était pas présenté à l'heure fixée à l'entretien de conseil du 16 août 2007. La conclusion tendant au versement de dommages et intérêts de 50'000 fr. et qui sort manifestement de l'objet du litige est irrecevable.
4. 4.1 La juridiction cantonale a retenu que le recourant s'était bien présenté à l'ORP le 16 août 2007, mais en retard, comme il l'avait lui même admis. Prenant acte du fait qu'en cas d'arrivée tardive de plus de 15 minutes, le conseiller en personnel n'est plus tenu de recevoir l'assuré, elle a constaté, au degré de vraisemblance prépondérante, qu'une telle situation avait dû se produire en l'occurrence. La réceptionniste, présente ce jour-là selon les dires du recourant, avait en effet tenté en vain de joindre le conseiller en personnel. Considérant que le retard de l'assuré dépassait 15 minutes, la juridiction cantonale en a déduit que l'office intimé avait, à juste titre, assimilé cette circonstance à une absence à l'entretien de conseil du 16 août 2007.
4.2 Comme en procédure cantonale, le recourant soutient que dans la mesure où il connaissait le nom de la réceptionniste présente le 16 août 2007 entre 15 h 30 et 16 heures, il était évident qu'il se trouvait à l'ORP ce jour là. Or, selon lui, la loi sanctionne l'absence mais non l'arrivée tardive. Il fait dès lors valoir que la procédure en matière d'arrivée tardive instituée par l'administration viole les articles 17 al. 3 let. b et 30 al. 1 let. e LACI.
4.2 Comme en procédure cantonale, le recourant soutient que dans la mesure où il connaissait le nom de la réceptionniste présente le 16 août 2007 entre 15 h 30 et 16 heures, il était évident qu'il se trouvait à l'ORP ce jour là. Or, selon lui, la loi sanctionne l'absence mais non l'arrivée tardive. Il fait dès lors valoir que la procédure en matière d'arrivée tardive instituée par l'administration viole les articles 17 al. 3 let. b et 30 al. 1 let. e LACI.
4.3 4.3.1 Les moyens du recourant ne sont pas fondés. Tout d'abord, personne ne conteste que l'intéressé s'est rendu à l'ORP le 16 août 2007, dans l'après-midi. De plus, ainsi que l'admet le recourant, il était en retard au rendez-vous en question. A cet égard, les premiers juges ont constaté que le retard de l'assuré dépassait 15 minutes et que la réceptionniste n'a plus pu atteindre le conseiller en personnel de l'assuré.
Sur la base de ces constatations, qui lient le Tribunal fédéral, il y a lieu d'admettre que le comportement de l'assuré était de nature à faire échouer l'entretien de conseil du 16 août 2007. Par ailleurs, contrairement à ce que soutient le recourant, la loi, plus précisément l'art. 30 al. 1 let. d LACI en liaison avec l'<ref-law> sanctionne le fait que l'entretien de conseil n'a pas pu se dérouler dans des conditions normales, soit à la date (et à l'heure) fixée(s) par l'office compétent (cf. <ref-law>).
Quant à l'art. 30 al. 1 let. e LACI, invoqué par le recourant, il prévoit que le droit de l'assuré à l'indemnité est suspendu lorsqu'il a donné des indications fausses ou incomplètes ou a enfreint, de quelque autre manière, l'obligation de fournir des renseignements spontanément ou sur demande et d'aviser. Cette disposition n'est pas pertinente en l'espèce, dès lors qu'il n'est pas reproché au recourant d'avoir violé son devoir de renseigner les autorités administratives.
4.3.2 On ajoutera que la situation du recourant n'est pas comparable à celle de l'assuré qui a fait l'objet de l'arrêt C 123/04 du 18 juillet 2005 (DTA 2005 p. 273). Dans cet arrêt, le Tribunal fédéral des assurances a considéré que l'assuré qui a oublié de se rendre à un entretien de conseil et qui s'en excuse spontanément ne peut pas être suspendu dans l'exercice de son droit à l'indemnité si l'on peut admettre, par ailleurs, sur le vu des circonstances, qu'il prend ses obligations de chômeur très au sérieux. Tel est le cas, notamment, s'il a rempli de façon irréprochable ses obligations à l'égard de l'assurance-chômage durant les douze mois précédant cet oubli. Un éventuel manquement antérieur ne doit plus être pris en considération.
Le fait - mentionné dans la décision sur opposition et non contesté par le recourant - que celui-ci ne s'est pas présenté à un entretien de conseil fixé au 27 juillet 2007 en raison d'un oubli (sans être sanctionné) tend à démontrer que l'assuré ne remplit pas de manière irréprochable ses obligations à l'égard de l'assurance-chômage. Une suspension du droit à l'indemnité était donc justifiée.
4.4 En ce qui concerne la durée de la suspension, retenant une faute légère, l'administration a fixé la durée de la suspension à cinq jours. Cette appréciation ne prête pas le flanc à la critique.
Il s'ensuit que le recours se révèle mal fondé.
5. La procédure est onéreuse (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, doit en supporter les frais (<ref-law>). Il a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires, plus précisément au remboursement des frais judiciaires de 500 fr. qu'il a avancés. Dans la mesure où son recours apparaissait d'emblée voué à l'échec, Il y a lieu de rejeter cette demande.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Dans la mesure où il est recevable, le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 5 janvier 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung Berset