Erwägungen:
1. X._ (geb. 1971) stammt aus dem Kosovo. Das Amt für Migration des Kantons Luzern weigerte sich am 7. März 2012, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Am 21. November 2012 ersuchte X._ das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern darum, das bei ihm hängige Beschwerdeverfahren zu sistieren, was dieses am 22. November 2012 ablehnte. X._ gelangte hiergegen erfolglos an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Er beantragt vor Bundesgericht, dessen Urteil vom 16. Januar 2013 aufzuheben und das Beschwerdeverfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern "einstweilen bis und mit 31. Mai 2013 zu sistieren".
2. 2.1 Abgesehen von den in <ref-law> geregelten Sonderfällen (Entscheide über die Zuständigkeit bzw. über Ausstandsbegehren) und dem hier ebenfalls ausser Betracht stehenden Fall von <ref-law> (Möglichkeit der sofortigen Herbeiführung eines Endentscheids), ist sowohl die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (hierzu <ref-law>) gegen Zwischenentscheide nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>). Der Begriff des nicht wieder gutzumachenden Nachteils entspricht demjenigen, der Art. 87 Abs. 2 OG zugrunde lag, sodass zu seiner Auslegung die Rechtsprechung zu jener Bestimmung heranzuziehen ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 632 mit Hinweis). Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> muss nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung rechtlicher Natur sein, was voraussetzt, dass er durch einen späteren günstigen Entscheid nicht oder nicht mehr vollständig behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 36; <ref-ruling> E. 2.1 S. 190, 426 E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3.1, je mit Hinweisen). Rein tatsächliche Nachteile, etwa die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens, genügen demgegenüber nicht (BGE <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 36; <ref-ruling> E. 2.2, je mit Hinweisen). Bei Sistierungsentscheiden kann ein rechtlicher Nachteil in der Verletzung des Beschleunigungsgebots liegen (<ref-ruling> E. 2).
2.2 Dies ist hier nicht der Fall: Der Beschwerdeführer will, dass sein ausländerrechtliches Verfahren sistiert wird, um seine finanzielle Situation bereinigen und dies hernach im Bewilligungsverfahren noch vorbringen zu können. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Verweigerung der Sistierung, die im Interesse aller möglichst schnell zu einem definitiven Sachentscheid über die Bewilligungssituation führt, für den Beschwerdeführer einen rechtlich relevanten, nicht wieder gutzumachenden Nachteil nach sich ziehen könnte. Während des Beschwerdeverfahrens gegen den Bewilligungsentscheid darf sich die betroffene ausländische Person regelmässig im Land aufhalten (vgl. <ref-law> [SR 142.201]); es ist somit nicht nachvollziehbar, warum der Beschwerdeführer seine finanzielle Situation nicht auch ohne Sistierung sanieren könnte. Zwar mag das Fehlen einer gültigen Aufenthaltsbewilligung die Beschaffung von Krediten erschweren, doch ist dies eine rein tatsächliche Folge der Nichtverlängerung seines Anwesenheitsrechts; hieran ändert eine Sistierung des Beschwerdeverfahrens in rechtlicher Hinsicht nichts. Soweit der Beschwerdeführer einwendet, dass er vor Verwaltungsgericht gestützt auf das kantonale Recht keine echte Noven mehr vorbringen könne, was einen rechtlichen Nachteil bilde, übersieht er die Tragweite von <ref-law>: Danach ist die kantonale gerichtliche Vorinstanz des Bundesgerichts oder eine vorgängige zuständige andere richterliche Behörde gehalten, den Sachverhalt frei zu prüfen und das massgebende Recht von Amtes wegen anzuwenden; diese Regelung geht dem vom Beschwerdeführer angerufenen § 154 Abs. 2 des luzernischen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 vor (so das Urteil 2C_690/2010 vom 25. Januar 2011 E. 2), soweit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben ist, was der Beschwerdeführer gestützt auf Art. 50 AuG in seinem Fall behauptet. Soweit er geltend macht, es bestehe ein verfassungsmässiges Recht auf Sistierung (S. 7), ist nicht ersichtlich, woraus ein solches abgeleitet werden könnte.
3. 3.1 Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Das kann durch den Präsidenten als Einzelrichter im Verfahren nach <ref-law> geschehen. Mit dem entsprechenden Prozessentscheid werden sämtliche weiteren Anträge (insbesondere das Gesuch um aufschiebende Wirkung) gegenstandslos.
3.2 Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Verfahrenskosten zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar