Erwägungen:
1. X._ (geb. 1981) stammt nach eigenen Angaben aus Kamerun. Sie reiste im Januar 2007 illegal in die Schweiz ein. Am 18. Juni 2008 wies das Amt für öffentliche Sicherheit des Kantons Solothurn sie weg und ordnete die Ausschaffungshaft an. Am 13. August 2008 nahm es X._ in Durchsetzungshaft, deren Verlängerung das Haftgericht des Kantons Solothurn am 12. September 2008 bis zum 14. November 2008 genehmigte. X._ ist am 16. September 2008 mit dem sinngemässen Antrag an das Haftgericht gelangt, sie sei aus der Festhaltung zu entlassen. Ihre Eingabe wurde am 18. September 2008 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weitergeleitet.
2. 2.1 Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden; es erübrigt sich deshalb, zu prüfen, ob sie den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügt:
2.2 Die Beschwerdeführerin ist rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden, hat das Land indessen nicht verlassen und weigert sich nach wie vor, in ihre Heimat zurückzukehren. Die kamerunische Vertretung ist nach einer Intervention ihrerseits nicht bereit, ein Ersatzreisepapier für sie auszustellen; sie wird dies nur tun, wenn die Beschwerdeführerin freiwillig nach Yaoundé zurückreist. Da ihre Wegweisung ohne eine Verhaltensänderung deshalb nicht zwangsweise vollzogen werden kann und kein milderes Mittel ersichtlich ist, das sie veranlassen könnte, ihrer Ausreisepflicht nachzukommen, durfte ihre Durchsetzungshaft um zwei Monate verlängert werden (Art. 78 Abs. 2 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> ff.; zur Publikation bestimmtes Urteil 2C_253/2008 vom 7. Juli 2008, E. 2). Die Beschwerdeführerin hat es jederzeit in der Hand, ihre Festhaltung zu beenden, indem sie sich bereit erklärt, bei der Abklärung ihrer Identität und der Beschaffung von Reisepapieren mitzuwirken bzw. freiwillig in ihre Heimat zurückzugehen.
2.3 Was die Beschwerdeführerin einwendet, lässt die Haftverlängerung weder unverhältnismässig noch anderweitig bundesrechtswidrig erscheinen. Zwar will sie sich hier verehelichen, doch sind die entsprechenden Bemühungen nicht hinreichend konkretisiert. Sie verfügt über keine in der Schweiz gültigen Papiere; Abklärungen zu ihrer Identität sind bei der schweizerischen Botschaft eingeleitet worden, können indessen noch Monate dauern. Im Übrigen erscheint die Ernsthaftigkeit ihres Ehewillens fraglich: So sah sie ursprünglich zwei verschiedene mögliche Gatten vor; an der Haftverhandlung vom 14. August 2008 erklärte sie, nicht nach Kamerun zurückkehren zu wollen, da ihr "Mann" dort grausam zu ihr sei, mit dem sie offenbar noch verheiratet ist; ihre Kinder seien derzeit bei ihrer Mutter. Unter diesen Umständen kann nicht gesagt werden, dass eine Heirat unmittelbar bevorstünde. Die Beschwerdeführerin und die kamerunische Botschaft verkennen, dass die Beschwerdeführerin in der Schweiz über kein Anwesenheitsrecht verfügt und den Ausgang eines allfälligen ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahrens - so oder anders - im Ausland abzuwarten hat (vgl. Art. 17 Abs. 1 AuG [analog]). Die Bewilligungsfrage bildet als solche im Übrigen auch nicht Gegenstand der Haftprüfung (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). Für alles Weitere kann auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (<ref-law>).
3. Aufgrund der besonderen Umstände sind keine Kosten zu erheben (vgl. <ref-law>). Das Amt für öffentliche Sicherheit des Kantons Solothurn wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil der Beschwerdeführerin korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar