Sachverhalt:
A. X._ wurde 1970 geboren und stammt ursprünglich aus Nigeria. Er reiste am 1. März 1996 in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Nach der Eheschliessung mit einer im Jahre 1961 geborenen Schweizer Bürgerin am 20. Mai 1997 erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung und zog das Asylgesuch am 22. Mai 1997 zurück.
Gestützt auf seine Ehe stellte X._ am 9. Januar 2001 ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im anschliessenden Verfahren unterzeichneten sowohl er als auch seine Ehefrau am 3. Juni 2002 die Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und dass weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Gleichzeitig nahmen sie unterschriftlich zur Kenntnis, dass eine erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantrage oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr bestehe. Ebenfalls bestätigten sie ihre Kenntnisnahme davon, dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne. Am 12. Juni 2002 wurde X._ gestützt auf Art. 27 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz [BüG], SR 141.0) erleichtert eingebürgert. Mit dem Schweizer Bürgerrecht erwarb er auch das Bürgerrecht des Kantons Basel-Stadt und dasjenige der Gemeinde Basel.
Im Mai 2003 trennten sich die Ehegatten und die Ehe wurde im gegenseitigen Einvernehmen am 25. Juli 2003 rechtskräftig geschieden. Am 18. Februar 2004 heiratete X._ eine Nigerianerin, mit der er ein gemeinsames Kind hat, das am 28. Januar 2003 geboren wurde. Am 14. Juli 2004 stellte er ein Familiennachzugsgesuch für seine nigerianische Ehefrau und den gemeinsamen Sohn.
B. Diese Umstände veranlassten das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (heute Bundesamt für Migration [BFM]), am 13. August 2004 gegen X._ ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung zu eröffnen. In diesem Verfahren konnte er mehrmals schriftlich Stellung nehmen. Nachdem das Zivilstandsamt des Kantons Basel-Stadt am 11. April 2007 die Zustimmung gemäss <ref-law> erteilt hatte, erklärte das Bundesamt die Einbürgerung von X._ mit Verfügung vom 10. Mai 2007 für nichtig.
C. In der Folge erhob X._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht und verlangte die Aufhebung der Verfügung des Bundesamts vom 10. Mai 2007. Mit Urteil vom 8. September 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab. Es erwog, X._ habe am 3. Juni 2002 bei der Unterzeichnung der Erklärung, wonach seine Ehe stabil und intakt sei, bewusst unzutreffende Angaben gemacht und somit die erleichterte Einbürgerung im Sinne von <ref-law> erschlichen.
D. Mit Eingabe vom 29. Oktober 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>). Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. September 2008. Eventuell sei die Sache zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der aufschiebenden Wirkung sowie um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Er rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt infolge willkürlicher Beweiswürdigung offensichtlich unrichtig festgestellt (<ref-law>).
E. Mit Präsidialverfügung vom 17. November 2008 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
F. Das Bundesamt beantragt in seiner Vernehmlassung Abweisung der Beschwerde, ohne dass es sich inhaltlich nochmals zur Angelegenheit äussert. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil ist ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren über eine Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss <ref-law> erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen beanstandet und eine mangelhafte Sachverhaltsfeststellung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist, kann er indessen nur geltend machen, die Feststellungen seien offensichtlich unrichtig oder beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Die erleichterte Einbürgerung setzt gemäss <ref-law> u.a. voraus, dass der Gesuchsteller seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit einem Schweizer Bürger bzw. einer Schweizer Bürgerin lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 171 f.). Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin oder eines Schweizer Bürgers die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (<ref-ruling> E. 2 S. 484).
Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der zuständigen Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt daher nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115).
In verfahrensrechtlicher Hinsicht richtet sich die erleichterte Einbürgerung nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021). Danach gilt der Untersuchungsgrundsatz, wonach die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen hat (<ref-law>). Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (<ref-ruling> E. 3.2 S. 486).
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehrung der Beweislast. Der Betroffene muss nicht den Beweis des Gegenteils erbringen. Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung. Dem Gesagten zufolge liegt die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinn von <ref-law> im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr besteht, bei der Verwaltung. Es genügt deshalb, dass der Betroffene einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit dem Schweizer Ehepartner in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und dass er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder der Betroffene kann darlegen, aus welchem Grund er die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als er die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (vgl. zur Publikation bestimmtes Urteil des Bundesgerichts 1C_190/2008 vom 29. Januar 2009 E. 3).
2.2 Die Vorinstanz führt aus, der Beschwerdeführer habe bereits während des Einbürgerungsverfahrens in Nigeria eine aussereheliche Beziehung mit einer Nigerianerin unterhalten. Er habe mit ihr anlässlich eines seiner häufigen Aufenthalte in Afrika im April/Mai 2002 und somit noch vor der erleichterten Einbürgerung ein Kind gezeugt, das 28. Januar 2003 geboren wurde. Nur sieben Monate nach der erleichterten Einbürgerung des Beschwerdeführers sei seine Ehe derart zerrüttet gewesen, dass die Ehefrau eine Scheidungskonvention ausarbeiten liess (Januar/Februar 2003). Vier Monate später sei die Trennung der Ehegatten gefolgt (Mai 2003) und weitere zwei Monate später die rechtskräftige Scheidung (Juli 2003). Am 28. Februar 2004 - nur sieben Monate nach der Scheidung - habe der Beschwerdeführer die Mutter seines Sohne geheiratet und danach am 14. Juli 2004 ein Familiennachzugsgesuch für Frau und Kind gestellt. Aufgrund dieser Umstände sei zu schliessen, dass beim Beschwerdeführer bereits vor der Erklärung betreffend die eheliche Gemeinschaft und der erleichterten Einbürgerung der Wille zu einer zukunftsgerichteten ehelichen Gemeinschaft mit seiner Ehefrau nicht mehr vorhanden gewesen sei. Die Stabilität seiner Ehe sei somit schon damals erheblich erschüttert gewesen und dies habe nach der erfolgten Einbürgerung am 12. Juni 2002 zur Trennung und späteren Scheidung geführt. Da der Beschwerdeführer die Beziehung mit der Nigerianerin weder den Einbürgerungsbehörden noch seiner Schweizer Ehefrau offenlegte, sei davon auszugehen, dass er sich sehr wohl bewusst war, dass diese Beziehung in der Schweiz nicht toleriert würde. Indem er am 3. Juni 2002 die Erklärung unterzeichnete, wonach seine eheliche Gemeinschaft stabil und intakt sei, habe er demnach bewusst unzutreffende Angaben gemacht und die erleichterte Einbürgerung somit im Sinne von <ref-law> erschlichen.
2.2 Die Vorinstanz führt aus, der Beschwerdeführer habe bereits während des Einbürgerungsverfahrens in Nigeria eine aussereheliche Beziehung mit einer Nigerianerin unterhalten. Er habe mit ihr anlässlich eines seiner häufigen Aufenthalte in Afrika im April/Mai 2002 und somit noch vor der erleichterten Einbürgerung ein Kind gezeugt, das 28. Januar 2003 geboren wurde. Nur sieben Monate nach der erleichterten Einbürgerung des Beschwerdeführers sei seine Ehe derart zerrüttet gewesen, dass die Ehefrau eine Scheidungskonvention ausarbeiten liess (Januar/Februar 2003). Vier Monate später sei die Trennung der Ehegatten gefolgt (Mai 2003) und weitere zwei Monate später die rechtskräftige Scheidung (Juli 2003). Am 28. Februar 2004 - nur sieben Monate nach der Scheidung - habe der Beschwerdeführer die Mutter seines Sohne geheiratet und danach am 14. Juli 2004 ein Familiennachzugsgesuch für Frau und Kind gestellt. Aufgrund dieser Umstände sei zu schliessen, dass beim Beschwerdeführer bereits vor der Erklärung betreffend die eheliche Gemeinschaft und der erleichterten Einbürgerung der Wille zu einer zukunftsgerichteten ehelichen Gemeinschaft mit seiner Ehefrau nicht mehr vorhanden gewesen sei. Die Stabilität seiner Ehe sei somit schon damals erheblich erschüttert gewesen und dies habe nach der erfolgten Einbürgerung am 12. Juni 2002 zur Trennung und späteren Scheidung geführt. Da der Beschwerdeführer die Beziehung mit der Nigerianerin weder den Einbürgerungsbehörden noch seiner Schweizer Ehefrau offenlegte, sei davon auszugehen, dass er sich sehr wohl bewusst war, dass diese Beziehung in der Schweiz nicht toleriert würde. Indem er am 3. Juni 2002 die Erklärung unterzeichnete, wonach seine eheliche Gemeinschaft stabil und intakt sei, habe er demnach bewusst unzutreffende Angaben gemacht und die erleichterte Einbürgerung somit im Sinne von <ref-law> erschlichen.
2.3 2.3.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, seine damalige Ehefrau habe anlässlich einer Befragung durch die kantonalen Bürgerrechtsdienste Basel-Stadt bestätigt, dass ihre eigene Schwangerschaft im Herbst 2002 und die folgende Abtreibung den eigentlichen Wendepunkt in ihrer ehelichen Beziehung zum Beschwerdeführer dargestellt habe. Auch sei die Trennung und Scheidung für die Ehefrau äussert schmerzhaft gewesen. Es sei somit klar erstellt, dass sich die Ehesituation aus Sicht der Ehefrau erst einige Monate nach der Abgabe der schriftlichen Erklärung im Juni 2002 verschlechtert habe.
Die Vorinstanz stellt nicht in Frage, dass die Ehe in der Wahrnehmung der Ehefrau erst mit der Abtreibung im Herbst 2002 zerbrochen sei. Sie hält jedoch entgegen, es sei ebenso entscheidend, ob auch auf Seiten des anderen Ehepartners ein auf die Zukunft gerichteter Ehewille gegeben sei. Dies ist im Hinblick auf die Rechtsprechung, wonach im Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt sein muss, nicht zu beanstanden. Es ist daher nicht offensichtlich unrichtig, wenn die Vorinstanz die Aussage der Ehefrau, die Abtreibung im Herbst 2002 habe den eigentlichen Wendepunkt in der Ehe mit dem Beschwerdeführer dargestellt, nicht als hinreichenden Beleg dafür wertet, dass im Juni 2002 noch eine stabile Ehegemeinschaft bestanden habe.
2.3.2 Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, im Juni 2002 sei ihm noch nicht bekannt gewesen, dass die Mutter seines Sohnes schwanger war. Damals sei ihm lediglich bekannt gewesen, dass er mit ihr anlässlich seines Nigeria-Aufenthaltes im Frühjahr 2002 Geschlechtsverkehr hatte. Alleine aufgrund dieses einmaligen ausserehelichen sexuellen Kontaktes den Schluss zu ziehen, für den Beschwerdeführer sei im Juni 2002 seine damalige Ehe nicht mehr stabil gewesen, sei unzulässig. Es müsse als notorisch bezeichnet werden, dass in vielen Ehen vergleichbare Szenarien einträten und die Ehen dennoch stabil blieben. Auch für den Beschwerdeführer sei der einmalige aussereheliche sexuelle Kontakt im Ausland zu keinem Zeitpunkt ein Grund gewesen, an der Stabilität seiner Ehe zu zweifeln. Eine Krise habe sich wie bereits erwähnt erst ergeben, als im Herbst 2002 auch seine damalige Ehefrau schwanger wurde.
Die Vorinstanz hält demgegenüber fest, das Handeln des Beschwerdeführers im April/Mai 2002 sei nur nachvollziehbar, wenn davon ausgegangen werde, seine Ehe habe damals aus seiner Sicht nur noch formell bestanden. Der Beschwerdeführer habe sich bewusst sein müssen, dass er die aussereheliche Beziehung in seinem Herkunftsland Nigeria einging, einem Land, dessen Gesellschaft feste moralische Normen kenne und Verstösse dagegen streng ahnde. Er habe sich daher auch bewusst sein müssen, dass er gegenüber der Nigerianerin grosse Verpflichtungen einging, die, wie sich später zeigte, von den beiden beteiligten Familien auch eingefordert worden seien.
Die Ausführungen des Beschwerdeführers zur angeblichen Gerichtsnotorietät des Umstandes, dass Ehen trotz einmaliger ausserehelicher sexueller Kontakte stabil bleiben könnten, sind pauschal gehalten. Sie gehen nicht näher auf die von der Vorinstanz aufgezeigte Ausgangslage in Nigeria ein und vermögen daher die entsprechenden Erwägungen nicht zu entkräften. Überdies bringt der Beschwerdeführer keine überzeugenden Gründe vor, weshalb er sich nicht der Verpflichtungen bewusst gewesen sein sollte, die er einging, als er in Nigeria mit einer Nigerianerin Geschlechtsverkehr hatte. Er vermag somit auch nicht die Annahme der Vorinstanz zu entkräften, aufgrund des Handelns des Beschwerdeführers im April/Mai 2002 sei davon auszugehen, dass er seine Ehe schon damals als nur noch formell bestehend betrachtete.
2.3.3 Ferner bringt der Beschwerdeführer vor, indem er seine Schweizer Ehefrau zur Abtreibung gedrängt habe, habe er klar zum Ausdruck gebracht, dass er sich zum damaligen Zeitpunkt nicht in der Lage gesehen habe, neben seinem Lebensunterhalt und demjenigen seiner Ehefrau auch denjenigen eines Kindes zu finanzieren. Des Weitern führt er aus, er habe auch seine jetzige Ehefrau zur Abtreibung gedrängt, als er von der Zeugung eines gemeinsamen Kindes erfahren habe. Er habe sie schliesslich allein wegen seines Verantwortungsbewusstseins dem Kind gegenüber geheiratet. Der Beschwerdeführer zeigt weder hinreichend deutlich auf, welche Schlussfolgerungen der Vorinstanz er mit diesen Ausführungen entkräften will, noch inwiefern dies für den Ausgang des vorliegenden Verfahrens entscheidend wäre (<ref-law>). Auf seine zuletzt erwähnten Vorbringen ist daher nicht weiter einzugehen.
2.4 Dem Beschwerdeführer gelingt es somit nicht, die von der Vorinstanz beurteilten Indizien und die daraus abgeleitete Schlussfolgerung zu entkräften, bei ihm habe schon im April/Mai 2002 kein auf die Zukunft gerichteter Ehewille mehr bestanden. Dazu müsste er insbesondere Gründe aufzeigen können, welche es als nachvollziehbar erscheinen liessen, weshalb eine im Juni 2002 angeblich noch bestehende tatsächliche, ungetrennte eheliche Gemeinschaft innerhalb weniger Monate dergestalt in die Brüche gehen konnte, dass es zur Scheidung kam. Vorliegend muss daher aufgrund der spätestens seit April/Mai 2002 bestehenden ausserehelichen Beziehung des Beschwerdeführers zu einer Nigerianerin, die am 28. Januar 2003 einen gemeinsamen Sohn geboren hat, geschlossen werden, dass seine Ehe bereits im Frühjahr 2002 und somit vor der erleichterten Einbürgerung nicht mehr stabil und intakt war. Demnach ist auch davon auszugehen, dass nicht erst die eine Ehekrise auslösende Abtreibung im Herbst 2002 das Ereignis darstellte, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft führte. Es bleibt somit die Vermutung bestehen, dass die Scheidung den Endpunkt einer längeren (Entfremdungs-)Entwicklung zwischen den beiden Ehegatten bedeutete, die im massgebenden Zeitpunkt nicht nur bereits im Gange, sondern schon weit fortgeschritten gewesen sein musste. Demzufolge ist auch davon auszugehen, dass der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft namentlich im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung (3. Juni 2002) nicht mehr intakt war, weshalb auf eine Erschleichung der Einbürgerung im Sinne von <ref-law> zu schliessen ist. Der angefochtene Entscheid erweist sich somit als bundesrechtskonform.
3. Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer hat ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. Dieses ist jedoch abzuweisen, da die Beschwerde aussichtslos ist (<ref-law>).
Dem Ausgang des vorliegenden Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration sowie dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kappeler