Faits:
A. S._ travaillait en qualité de plaquiste au service de X._, et était à ce titre obligatoirement assuré contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 27 novembre 2009, alors qu'il se trouvait sur son lieu de travail, le prénommé a glissé dans les escaliers, puis chuté. L'employeur a rempli une déclaration de sinistre LAA le 30 novembre 2009 en indiquant que l'intéressé avait subi une luxation au dos (des deux côtés). La CNA a pris le cas en charge.
Le 5 janvier 2010, le docteur B._, spécialiste en radiologie, a pratiqué une échographie des épaules et conclu à une tendinopathie associée à une déchirure partielle et à une délamination horizontale des deux tendons supra-spinatus, plus importantes à gauche (rapport du 6 janvier 2010). Le 21 janvier 2010, le docteur I._, spécialiste en radiologie, a pratiqué une athrographie et une IRM de l'épaule gauche et conclu à une déchirure non transfixiante du versant supérieur de l'insertion de la partie moyenne du tendon sus-épineux sur environ 10 mm de longueur dans le plan sagittal et plus des deux tiers de son épaisseur ainsi qu'à une discrète bursite sous-acromio-deltoïdienne associée (rapport du 22 janvier 2010). Le 24 février 2010, le docteur I._ a procédé aux mêmes examens en ce qui concerne l'épaule droite et conclu à un foyer de désinsertion de la partie antérieure du sus-épineux.
S._ a été examiné par plusieurs autres médecins, dont le docteur R._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapports des 4 et 18 janvier 2010, 10 mars 2010 et 11 juin 2010). A la demande de ce médecin, il a été adressé à l'Hôpital Y._, plus particulièrement aux docteurs C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil moteur, et A._, médecin consultant. Dans leur rapport du 21 mai 2010, ces médecins ont écarté le diagnostic de rupture transfixiante et retenu une tendinopathie du sus-épineux.
L'assuré a séjourné à la Clinique Z._ du 15 septembre au 5 octobre 2010 où il a été examiné par les docteurs E._, spécialiste en médecine physique et réhabilitation, et K._, médecin-assistant (rapport du 2 décembre 2010). Ces médecins ont pour l'essentiel confirmé les diagnostics posés par les spécialistes en radiologie. Par ailleurs, ils ont fait état de limitations fonctionnelles dans le travail au-dessus de l'horizontale de façon prolongée, avec des ports de charges.
Dans un rapport du 23 février 2011, le docteur V._, spécialiste en chirurgie et médecin d'arrondissement de la CNA, a indiqué qu'aucune lésion traumatique imputable à l'accident n'expliquait les limitations fonctionnelles constatées lors du séjour à la Clinique Z._ et que des facteurs extra-médicaux jouaient un rôle prépondérant dans l'évolution défavorable. En outre, la lésion tendineuse très partielle relevée à l'arthro-IRM de l'épaule traduisait une atteinte ancienne, préexistante à l'accident, pouvant difficilement être mise en relation de causalité au degré de la probabilité avec les éléments déclarés. On pouvait raisonnablement affirmer l'absence d'élément objectif somatique pour expliquer les plaintes. Les conséquences délétères du traumatisme initial devaient être considérées comme éteintes.
Par décision du 3 mars 2011, la CNA a mis fin au paiement de l'indemnité journalière au 31 mars 2011.
A la suite de l'opposition de l'assuré, la CNA a requis l'avis du docteur N._, médecin au sein de sa Division de médecine des accidents. Selon les conclusions de ce médecin, la chute du 27 novembre 2009 avec impact allégué direct sur le moignon postérieur de l'épaule gauche, puis de la droite, n'était pas en mesure de générer une lésion du sus-épineux chez l'assuré. Il y avait eu une aggravation passagère au niveau de la coiffe des rotateurs et le statu quo sine avait été atteint très probablement quelques semaines déjà après l'accident du 27 novembre 2009 (rapport du 16 juin 2011).
Par décision sur opposition du 20 juin 2011, la CNA a maintenu sa position.
B. S._ a déféré cette décision à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève. Il concluait à la poursuite du versement des indemnités journalières en raison d'une incapacité de travail totale imputable aux séquelles physiques de l'accident du 27 novembre 2009.
Statuant par jugement du 7 mai 2012, la juridiction cantonale a admis le recours. Elle a annulé les décisions de la CNA des 3 mars et 20 juin 2011 et condamné celle-ci à reprendre le versement de ses prestations à compter du 1er avril 2011.
C. La CNA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut à ce que la cause lui soit renvoyée pour complément d'instruction et nouvelle décision sur le droit de S._ à des prestations d'assurance-accidents au-delà du 31 mars 2011.
S._ conclut au rejet du recours. Quant à l'Office fédéral de la santé publique, il a renoncé à se déterminer.
D. Par ordonnance du 2 juillet 2012, le Tribunal fédéral a donné à la CNA l'occasion de se prononcer sur l'observation du délai de recours.

Considérant en droit:
1. Interpellée par le Tribunal fédéral sur le respect du délai de recours, la CNA a démontré que son écriture avait été déposée à temps (cf. lettre de la Poste du 13 juillet 2012). Le recours est recevable de ce point de vue. Les autres conditions de recevabilité sont également remplies, il y a lieu d'entrer en matière sur le recours.
2. Le litige porte sur le point de savoir si la recourante était fondée, par sa décision sur opposition du 20 juin 2011, à mettre fin à ses prestations d'assurance au 31 mars 2011, singulièrement s'il existe un rapport de causalité naturelle entre les troubles subsistant après cette date et l'accident du 27 novembre 2009.
3. 3.1 La juridiction cantonale a retenu que l'intimé présentait un certain nombre d'atteintes dont devait répondre la CNA, soit une déchirure partielle du sus-épineux à l'épaule gauche, une désinsertion du sus-épineux à l'épaule droite ainsi qu'une entorse du pouce gauche. Elle s'est appuyée surtout sur les rapports des spécialistes en radiologie, les docteurs B._ (6 janvier 2010) et I._ (22 janvier et 24 février 2010), sur les différents avis du docteur R._ ainsi que sur le rapport du 2 décembre 2010 des médecins de la Clinique Z._. Elle a écarté l'avis exprimé par le docteur N._ ainsi que celui des docteurs C._ et A._ de l'Hôpital Y._, au motif que le premier n'avait pas été en mesure de vérifier les diagnostics posés par les radiologues et que les seconds, en contradiction avec ces diagnostics, n'avaient retenu qu'une tendinopathie du sus-épineux associée à une minime bursite. Enfin le constat du docteur V._, selon lequel la lésion tendineuse de l'épaule droite traduirait une atteinte ancienne, préexistante à l'accident, n'était pas convaincant, car pas motivé.
3.2 En l'espèce, on doit constater qu'il existe effectivement des appréciations divergentes sur la nature et l'origine des troubles présentés par l'intimé. Certaines d'entre elles font état d'une déchirure qui serait la conséquence de l'accident du 27 novembre 2009. D'autres nient l'existence d'une rupture tendineuse, cependant que deux médecins rattachés à la CNA sont plutôt de l'avis que les troubles de l'épaule (gauche) procèdent d'un état antérieur qui a été passagèment aggravé par l'accident. Aucune des thèses en présence n'emporte la conviction. Les motifs invoqués par les premiers juges ne suffisent pas pour écarter les avis des docteurs V._ et N._. Si les constatations faites par les spécialistes en radiologie ne paraissent guère contestables, la question de la causalité entre les troubles diagnostiqués et l'accident demeure controversée. En l'absence d'élément convaincant et décisif qui permettrait de donner la préférence à un avis médical plutôt qu'à un autre, il se justifie d'annuler le jugement attaqué ainsi que la décision sur opposition et de renvoyer la cause à la recourante pour qu'elle mette en oeuvre une instruction complémentaire et rende une nouvelle décision.
4. Les frais et dépens sont en principe mis à la charge de la partie qui succombe (<ref-law> et <ref-law>). Toutefois lorsqu'ils sont causés inutilement, ils sont supportés par celui qui les a engendrés (<ref-law> et <ref-law>, par renvoi à l'<ref-law>). En l'espèce, la recourante aurait pu se rendre compte, au stade de la procédure d'opposition déjà, que l'instruction était lacunaire et contradictoire. Elle aurait pu ordonner elle-même l'instruction complémentaire qu'elle demande aujourd'hui et éviter ainsi des frais inutiles. Il apparaît équitable, dans ces conditions, de mettre les frais de justice à sa charge et de la condamner aux dépens de son adverse partie.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. La décision de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 7 mai 2012 et la décision sur opposition de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents du 20 juin 2011 sont annulées. La cause est renvoyée à la CNA pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants.
2. Les frais de justice, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimé la somme de 1'500 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 25 avril 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Ursprung
La Greffière: Berset