Erwägungen:
1.
Der Regierungsrat des Kantons Zug stellte mit Entscheid vom 10. Mai 1988 das im Jahr 1521 erbaute Haus Unter Altstadt 22 in Zug, das so genannte Schönbrunnerhaus, als schutzwürdiges Baudenkmal von lokaler Bedeutung unter kantonalen Schutz. Am 9. Juni 2010 reichte A._ ein Baugesuch zur Erstellung von seeseitigen Balkonen am Schönbrunnerhaus ein. Der Stadtrat von Zug lehnte das Gesuch mit Entscheid vom 19. Oktober 2010 ab. Die gegen diesen Entscheid erhobene Verwaltungsbeschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Zug mit Beschluss vom 3. Mai 2011 ab.
Am 14. September 2011 ersuchte A._ den Regierungsrat des Kantons Zug, das Schönbrunnerhaus mit Ausnahme der gotischen Ostfassade aus dem kantonalen Denkmalschutz zu entlassen. Die Direktion des Innern des Kantons Zug wies das Gesuch mit Verfügung vom 5. Juni 2013 ab, soweit sie darauf eintrat. Dagegen erhob A._ am 2. Juli 2013 Verwaltungsbeschwerde, welche der Regierungsrat des Kantons Zug mit Entscheid vom 18. März 2014 abwies. Am 22. April 2014 erhob A._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug wies die Beschwerde mit Entscheid vom 27. August 2014 ab.
2.
Mit Eingabe vom 20. Oktober 2014 führt A._ sowohl Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als auch subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 27. August 2014. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Der Beschwerdeführer stellt den Verfahrensantrag, ihm sei eine Nachfrist zur Einreichung eines privaten Rechtsgutachtens bis zum 5. Januar 2015 zu gewähren. Bei der 30-tägigen Beschwerdefrist gemäss <ref-law> handelt es sich um eine gesetzlich bestimmte Frist, die nicht erstreckt werden kann (<ref-law>). Da die am letzten Tag der Beschwerdefrist eingereichte Beschwerde (vgl. nachfolgende Ziffer 4) keine genügende Begründung im Sinne von <ref-law> aufweist, geht es nicht an mittels Gewährung der beantragten Nachfrist eine gesetzwidrige Erstreckung der Beschwerdefrist zu erreichen. Das Gesuch ist somit abzuweisen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der ausführlichen Begründung im angefochtenen Entscheid nicht rechtsgenüglich auseinander. Er verweist vielmehr auf ein später noch einzureichendes Privatgutachten. Aus seiner am letzten Tag der Beschwerdefrist eingereichten Beschwerde ergibt sich jedenfalls nicht, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts, die zur Abweisung der Beschwerde führte, bzw. der Entscheid des Verwaltungsgerichts selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Stadtrat von Zug, dem Regierungsrat des Kantons Zug und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Oktober 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli