Sachverhalt:
A.
Die am 24. Juni 1998 geborene A._ wurde von ihrer Mutter am 25. Oktober 2001 bei der Invalidenversicherung (IV) zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle des Kantons Aargau (nachfolgend: IV-Stelle) holte einen Arztbericht für Kinder/Jugendliche der Dr. med. B._, Fachärztin für Kinder- und Jugendmedizin FMH, vom 22. November 2001 ein und unterbreitete den Fall dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD; Stellungnahme der Dr. med. C._, Fachärztin für Allgemeine Innere Medizin FMH, vom 5. Dezember 2001). Alsdann gewährte die IV-Stelle medizinische Massnahmen für den Zeitraum von 2. Juni 2001 bis 30. Juni 2018 für die Behandlung des Geburtsgebrechens Ziff. 404 GgV-Anhang (Mitteilung vom 24. Dezember 2001), in der Folge zudem heilpädagogische Abklärung, Sonderschulmassnahmen, Psychomotorik-Therapie und Psychotherapie.
Am 20. September 2012 ersuchte A._ um Übernahme einer stationären Behandlung in der Kinderstation D._, woraufhin die IV-Stelle Rücksprache mit dem RAD nahm (Stellungnahme des Dr. med. E._, Facharzt für Kinder- und Jugendpsychiatrie und -psychotherapie FMH, vom 18. Oktober 2012). Nach durchgeführten Vorbescheidverfahren verneinte sie den Anspruch auf eine stationäre Massnahme (Verfügung vom 4. Januar 2013) und hob die Zusprache der medizinischen Massnahmen für die Behandlung des Geburtsgebrechens Ziff. 404 GgV-Anhang (gemäss Mitteilung vom 24. Dezember 2001) mit Wirkung per 31. Januar 2013 auf, weil diese fehlerhaft und medizinisch nicht begründet gewesen sei (Verfügung vom 7. Januar 2013).
B.
In Gutheissung der von A._ gegen die beiden Verfügungen erhobenen Beschwerde hob das Versicherungsgerichts des Kantons Aargau mit Entscheid vom 10. September 2013 die Verfügungen vom 4. und 7. Januar 2013 auf und verpflichtete die IV-Stelle, die medizinischen Massnahmen zur Behandlung des Geburtsgebrechens Ziff. 404 GgV-Anhang weiterhin zu übernehmen.
C.
Die IV-Stelle erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien die Verfügungen der IV-Stelle vom 4. und 7. Januar 2013 zu bestätigen. Eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärungen an die Beschwerdeführerin zurückzuweisen. Ferner sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Während das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf Gutheissung der Beschwerde schliesst, trägt die Beschwerdegegnerin auf Abweisung der Beschwerde an.
D.
Mit Verfügung vom 20. März 2014 hat die Instruktionsrichterin der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
2.
Strittig ist der Anspruch auf medizinische Massnahmen für die Behandlung des Geburtsgebrechens Ziff. 404 GgV-Anhang (ADS bzw. ADHS; vormals "psychoorganisches Syndrom" [POS]) und insbesondere die wiedererwägungsweise Aufhebung der Leistungszusprache vom 24. Dezember 2001.
Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen zum Anspruch von Personen vor vollendetem 20. Altersjahr auf medizinische Massnahmen bei Geburtsgebrechen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und zum Begriff des Geburtsgebrechens im Allgemeinen (<ref-law> in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 GgV) zutreffend dargelegt. Richtig wiedergegeben hat es sodann Ziff. 404 GgV-Anhang und die Voraussetzungen für die Anerkennung dieses Geburtsgebrechens. Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass die IV-Stelle nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> auf formell rechtskräftige Verfügungen (bzw. auf formlose Verfügungen; <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 112) zurückkommen kann, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Das Erfordernis der zweifellosen Unrichtigkeit ist in der Regel erfüllt, wenn eine Leistungszusprechung aufgrund falsch oder unzutreffend verstandener Rechtsregeln erfolgt ist oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden. Anders verhält es sich, wenn der Wiedererwägungsgrund im Bereich materieller Anspruchsvoraussetzungen liegt, deren Beurteilung notwendigerweise Ermessenszüge aufweist. Erscheint die Beurteilung einzelner Schritte bei der Feststellung solcher Anspruchsvoraussetzungen (Invaliditätsbemessung, Arbeitsunfähigkeitsschätzung, Beweiswürdigung, Zumutbarkeitsfragen) vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage, wie sie sich im Zeitpunkt der rechtskräftigen Leistungszusprechung darbot, als vertretbar, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus. Zweifellos ist die Unrichtigkeit, wenn kein vernünftiger Zweifel daran möglich ist, dass die Verfügung unrichtig war. Es ist nur ein einziger Schluss - derjenige auf die Unrichtigkeit der Verfügung - denkbar (<ref-ruling> E. 3.3 S. 328; Urteil 9C_125/2013 vom 12. Februar 2014 E. 4.1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2013 IV Nr. 10 S. 39).
3.
Die Vorinstanz erwog, die Diagnose ADHS (Aufmerksamkeits-Defizit-[Hyperaktivitäts-]Störung) bzw. POS sei erstmals im fachärztlichen Bericht der Dr. med. B._ vom 22. November 2001, welcher nachvollziehbar und schlüssig erscheine, und damit rechtzeitig vor dem 9. Altersjahr gestellt worden. Ebenfalls vor dem 9. Altersjahr sei die Behandlung des Geburtsgebrechens aufgenommen worden. Des Weiteren seien die in Ziff. 404 GgV-Anhang aufgezählten Symptome kumulativ ausgewiesen. Neben dem ADHS seien zwar auch Verhaltens- bzw. Bindungsstörungen diagnostiziert worden. Gestützt auf die fachärztlichen Beurteilungen stehe indes fest, dass das ADHS im Vordergrund stehe und Hauptursache der Beschwerden sei. Folglich bestehe (weiterhin) Anspruch auf medizinische Massnahmen.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Bundesrechtsverletzung dergestalt, als die Vorinstanz die Voraussetzungen der Wiedererwägung implizit verneint habe. Sie ist der Auffassung, die auf dem Bericht der behandelnden Kinderärztin Dr. med. B._ basierende Leistungszusprache sei zweifellos unrichtig.
4.2. Dr. med. B._ stellte am 22. November 2001 - mithin vor Vollendung des 9. Lebensjahrs (Ziff. 404.2 des vom BSV herausgegebenen Kreisschreibens über die medizinischen Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung [nachfolgend: Kreisschreiben]; in der damals massgebenden, ab 1. November 2000 gültig gewesen Fassung) - die Diagnose frühkindliches psychoorganisches Syndrom mit deutlich verminderter visuo-räumlicher Wahrnehmung und visuomotorischer Koordination, taktilkinästhetischer Wahrnehmungsstörung, normaler Intelligenz sowie Aufmerksamkeits- und Konzentrationsstörung und gab an, es liege das Geburtsgebrechen Ziff. 404 vor. Die Fachärztin stützte sich dabei auf die Anamnese, die angegebenen Beschwerden, die erhobenen Befunde sowie spezialärztliche Untersuchungen (Tests aus dem Snijders-Oomen non-verbalen Intelligenztest [SON-R]; entwicklungsneurologische Abklärung durch Dr. med. F._). Ferner nahm sie im Beiblatt zum Arztbericht zu sämtlichen für das Geburtsgebrechen vorausgesetzten Störungen (des Verhaltens, des Antriebes, des Erfassens, der Konzentrationsfähigkeit und der Merkfähigkeit; Ziff. 404.5 des Kreisschreibens) Stellung und begründete, weshalb sie diese als ausgewiesen erachtete. Die Vorinstanz stufte diesen Bericht als nachvollziehbar und schlüssig ein und verneinte damit (implizit) eine zweifellose Unrichtigkeit. Dagegen verweist die Beschwerdeführerin auf den medizinischen Leitfaden zum Geburtsgebrechen Ziff. 404 GgV-Anhang (Anhang 7 des Kreisschreibens, gültig ab 1. März 2012; nachfolgend: Leitfaden) und macht geltend, Dr. med. B._ habe die Anerkennungskriterien aufgrund des Alters der damals 36 Monate alten Beschwerdegegnerin gar nicht belegen können bzw. hätte diese nicht als gegeben erachten dürfen, da entsprechende neuropsychologische Untersuchungen (noch) nicht möglich gewesen seien. Daraus ergebe sich die zweifellose Unrichtigkeit des Berichts. Dieser Einwand dringt nicht durch. Wie die Beschwerdeführerin einräumt, war der Inhalt des Leitfadens in der seinerzeitigen Fassung des Kreisschreibens noch nicht enthalten. Von Bedeutung ist insbesondere, dass hinsichtlich der Störungen des Erfassens und der Merkfähigkeit noch keine testpsychologische Abklärung mit standardisierten Untersuchungsverfahren (Ziff. 2.1.3 und 2.1.5 des Leitfadens) vorausgesetzt wurde. Weil die Frage nach der zweifellosen Unrichtigkeit unter Berücksichtigung der damals bestandenen Rechtspraxis zu beantworten ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 149; vgl. auch E. 2 hievor), welche sich u.a. aus dem Kreisschreiben ergibt, ist der Umstand, dass Dr. med. B._ die Störungen des Erfassens und der Merkfähigkeit nicht mittels den im (erst ab 1. März 2012 gültigen) Leitfaden geforderten Untersuchungen abgeklärt hat, unbeachtlich. Soweit die Beschwerdeführerin einwendet, es habe bereits damals dem "allgemeingültigen Wissen der mit der Diagnosestellung befassten Fachärzte" entsprochen, dass die Anerkennungskriterien für dieses Geburtsgebrechen in diesem Alter nicht bejaht werden könnten, so bringt sie für diese Behauptung keine Belege vor; solche sind auch (anderweitig) nicht ersichtlich. Gegenteils erhellt aus dem IV-Rundschreiben Nr. 298 vom 14. April 2011, dass die Anerkennungskriterien unterschiedlich gehandhabt bzw. interpretiert wurden sowie der Informationsstand der praktizierenden Ärzte und Kliniken uneinheitlich war. Diese Uneinheitlichkeit sollte mit dem neu geschaffenen Leitfaden behoben werden (vgl. Deckblatt sowie Ergänzungen/Supplement des Rundschreibens). Folglich verbietet sich entgegen der Beschwerdeführerin der Schluss, der Bericht der Dr. med. B._ vom 22. November 2001 sei zweifellos unrichtig bzw. nicht vertretbar. Gleiches gilt auch was die Beweiswürdigung der RAD-Ärztin Dr. med. C._ betrifft, welche gestützt auf den Bericht der Dr. med. B._ die Voraussetzungen für das Geburtsgebrechen Ziff. 404 ohne Weiteres als erfüllt erachtete.
Zusammenfassend ist die auf dem Bericht der Dr. med. B._ und der Stellungnahme der Dr. med. C._ basierende formlose Leistungszusprache vom 24. Dezember 2001 nicht zweifellos unrichtig, weshalb für eine wiedererwägungsweise Aufhebung keine Handhabe besteht. Im Ergebnis zu Recht hat das kantonale Gericht die Verfügung vom 7. Januar 2013 aufgehoben und festgestellt, es bestehe weiterhin Anspruch auf medizinische Massnahmen zur Behandlung des Geburtsgebrechen Ziff. 404 GgV-Anhang.
4.3. Sind die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung der formlosen Verfügung vom 24. Dezember 2001 nach dem Gesagten nicht gegeben, hat die Vorinstanz auch die Verfügung vom 4. Januar 2013 (Verneinung des Anspruchs auf medizinische Massnahmen in Form eines stationären Aufenthalts) zu Recht aufgehoben, zumal diese einzig mit dem Fehlen eines Geburtsgebrechens begründet wurde.
5.
Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Verfahrenskosten (<ref-law>). Sie hat der Beschwerdegegnerin überdies eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juni 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Furrer