Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland erhob am 11. November 2013 beim Bezirksgericht Winterthur, Einzelgericht in Strafsachen, Anklage gegen X._ wegen Vergehens gegen das Ausländergesetz (namentlich Art. 115 Abs. 1 lit. b AuG). Der Angeklagte soll sich vorsätzlich trotz rechtskräftig abgewiesenem Asylgesuch und damit einhergehendem Wegweisungsentscheid weiterhin und somit rechtswidrig in der Schweiz aufgehalten haben, im Hinblick auf einen wegen desselben Delikts am 21. Juli 2011 ergangenen Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland nunmehr im Zeitraum vom 22. Juli 2011 bis zum 15. Oktober 2013, als er in Winterthur verhaftet wurde.
Mit Urteil vom 13. Januar 2014 erachtete das Bezirksgericht Winterthur X._ als des eingeklagten Delikts schuldig und auferlegte ihm eine unbedingte Freiheitsstrafe von 150 Tagen. Hiergegen meldete der Verurteilte Berufung an. Mit gleichentags erlassener Verfügung befand das Bezirksgericht Winterthur sodann, dass einer Haftentlassung auf den Zweidrittelstermin in analoger Anwendung von <ref-law> nichts entgegen stehe. Demgemäss verfügte es, dass X._ per 22. Januar 2014 aus der Sicherheitshaft zu entlassen und dem Migrationsamt des Kantons Thurgau (gemäss dessen Rücklieferungsgesuch) zuzuführen sei.
In Bezug auf diese Verfügung erhob X._ Beschwerde ans Obergericht des Kantons Zürich. Dessen amtlicher Verteidiger bestätigte auf Anfrage, dass die betreffende Eingabe als Beschwerde gegen die angeordnete Zuführung ans Migrationsamt zu verstehen sei; denn X._ wolle auf freien Fuss gesetzt werden, da die fragliche Überführung unrechtmässig sei, solange in seinem Straffall kein definitives Urteil vorliege.
Mit Beschluss vom 5. Februar 2014 ist die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich auf die Beschwerde nicht eingetreten, dies im Wesentlichen mit der Begründung, die beanstandete Zuführung sei inzwischen, am 22. Januar 2014, bereits erfolgt; es fehle dem Beschwerdeführer somit an einem aktuellen, rechtlich geschützten Interesse an der Beurteilung der Rechtmässigkeit der schon vollzogenen Anordnung. Ein Fall, in dem ausnahmsweise gemäss konstanter bundesgerichtlicher Rechtsprechung vom Erfordernis des aktuellen Rechtsschutzinteresses abgesehen werden könne (s. etwa <ref-ruling> E. 1.3 S. 45), sei nicht gegeben. - Sodann erwog das Gericht, dass der Beschwerde ohnehin auch im Rahmen einer materiellen Beurteilung kein Erfolg beschieden sein könnte (E. II/2 des angefochtenen Beschlusses) : Die Zuführung einer aus der Haft entlassenen Person ans Migrationsamt diene einzig der (im vorliegenden Fall einer Verurteilung wegen rechtswidrigen Aufenthalts in der Schweiz ohne Weiteres angezeigten) Prüfung fremdenpolizeilicher Massnahmen. Dass solche dann effektiv ausgefällt würden, sei nicht zwingend; und deren Rechtmässigkeit stehe einer selbständigen Überprüfung offen. So scheine der Beschwerdeführer selbst mittlerweile wieder auf freiem Fuss zu sein, wie ein von ihm am 23. Januar 2014 beim Bezirksgericht Winterthur persönlich abgegebenes Schreiben samt Beilagen zuhanden des erstinstanzlichen Sachrichters zeige. Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers sei denn auch nicht entscheidend, ob der angefochtene Schuldspruch wegen rechtswidrigen Aufenthalts in der Schweiz von den Rechtsmittelbehörden bestätigt werde, hänge doch seine (von ihm bestrittene) Pflicht, die Schweiz zu verlassen, von den in seiner Sache bisher ergangenen fremdenpolizeilichen Massnahmen ab, also von der Vollstreckbarkeit der mit Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 5. Februar 2010 bestätigten Wegweisungsverfügung des Bundesamts für Migration vom 31. Oktober 2007. Im Übrigen sei dem Beschwerdeführer im Zusammenhang mit dem von ihm ins Feld geführten Verfahren vor dem EGMR auch bereits zur Kenntnis gebracht worden, dass einer dort anhängig gemachten Individualbeschwerde, bei der es sich um ein ausserordentliches Rechtsmittel handle, keine aufschiebende Wirkung zukomme. Schliesslich sei festzustellen, dass neuerliche fremdenpolizeiliche Massnahmen auch nicht an einen rechtskräftigen Wegweisungsentscheid gebunden wären, genüge doch für die Anordnung von Ausschaffungshaft bereits die Eröffnung eines weg- oder ausweisenden Entscheids vor erster Instanz (s. Art. 76 Abs. 1 Ingress AuG). Und auch einem hängigen Strafverfahren könnten derartige Massnahmen nicht entgegen stehen, zumal gerade das Berufungsverfahren die Anwesenheit der beschuldigten Person nicht zwingend voraussetze (vgl. <ref-law>).
2.
Gegen den Beschluss vom 5. Februar 2014 führt X._ mit Eingabe vom 14. Februar 2014 Beschwerde ans Bundesgericht. Dieses hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Das bundesgerichtliche Verfahren wird in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids geführt (<ref-law>). Vorliegend besteht kein Anlass, von dieser Regel abzuweichen; so hat denn auch der Beschwerdeführer selbst kein dahingehend lautendes Ersuchen gestellt.
4.
Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung - unab-hängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch <ref-law>; zudem <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer beanstandet mit seiner gegen den obergerichtlichen Beschluss gerichteten Beschwerde ganz allgemein das zugrunde liegende Verfahren vor der Staatsanwaltschaft und dem Bezirksgericht Winterthur. Er unterlässt es indes, sich mit den Gründen, welche das Obergericht zum Nichteintreten auf seine dortige Beschwerde bewogen haben, konkret auseinander zu setzen. So legt er nicht im Einzelnen dar, inwiefern durch die dem angefochtenen Beschluss zugrunde liegende Begründung bzw. durch den Beschluss selbst im Ergebnis Recht im Sinne von <ref-law> verletzt worden sein soll.
Auf die Beschwerde ist daher schon aus diesem Grund nicht einzutreten, weshalb es sich erübrigt, auch noch die weiteren Eintretensvoraussetzungen zu erörtern.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die vorliegende Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
5.
Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben.

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, sowie Rechtsanwalt Thomas Brunner, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp