Erwägungen:
1. X._ ist Privatstrafkläger gegen Y._ wegen angeblicher Ehrverletzung. Am 8. Oktober 2007 verfügte der Vorsitzende des Obergerichts des Kantons Schaffhausen die schriftliche Durchführung des vom Privatstrafkläger angestrengten Berufungsverfahrens. Dabei gab er X._ Gelegenheit, seine Berufungsbegründung bis am 8. November 2007 zu ergänzen. Sodann forderte er ihn auf, bis zum selben Tag einen Kostenvorschuss von Fr. 700.-- zu leisten.
Mit Eingabe vom 6. November 2007 erklärte X._, er bestehe auf der Durchführung einer Verhandlung. Zudem stellte er das Gesuch, es sei ihm die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren.
Mit Verfügung vom 8. Februar 2008 wies der Präsident des Obergerichts das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab.
Mit Eingabe vom 29. Februar 2008 erhob X._ Einsprache und erneuerte sein Gesuch.
Mit Beschluss vom 18. Juli 2008 wies das Obergericht die Einsprache gegen die Anordnung des schriftlichen Berufungsverfahrens und gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung ab. Sodann forderte es den Privatstrafkläger bzw. Appellanten auf, bis spätestens am 31. Dezember 2008 einen Kostenvorschuss von Fr. 700.-- zu leisten. Dabei wies es darauf hin, dass im Falle der nicht rechtzeitigen Bezahlung des Vorschusses auf das Rechtsmittel nicht eingetreten würde.
Mit Eingabe vom 27. August 2008 führt X._ der Sache nach Beschwerde in Strafsachen (<ref-law>). Er beantragt, der Beschluss vom 18. Juli 2008 sei aufzuheben; es sei ihm im kantonalen Verfahren wie auch vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Vernehmlassungen einzuholen.
2. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offenstehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch <ref-ruling> insb. E. 1.4 S. 254). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer beanstandet den angefochtenen Beschluss vom 18. Juli 2008 auf ganz allgemeine Weise. Dabei legt er nicht im Einzelnen dar, inwiefern die ihm zugrunde liegenden Erwägungen bzw. der Beschluss im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollen. Mangels einer hinreichenden Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
Verhält es sich so, braucht nicht weiter erörtert zu werden, ob auch die weiteren Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind.
3. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich, für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten zu erheben, womit das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos wird.

Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp