Erwägungen:
1. X._ reichte für das Steuerjahr 2008 keine Steuererklärung ein, weshalb er am 21. September 2009 mit einer Ordnungsbusse von Fr. 400.-- bestraft wurde. Am 28. September 2009 wurde er für die Staats- und Bundessteuern 2008 nach Ermessen veranlagt. Auf die dagegen erhobene Einsprache trat die Veranlagungsbehörde am 20. November 2009 nicht ein, weil es an einer Einsprachebegründung fehlte und eine solche auch nach Belehrung innert Nachfrist nicht nachgereicht worden war. Mit Urteil vom 26. April 2010 wies das Kantonale Steuergericht Solothurn Rekurs und Beschwerde gegen den Einspracheentscheid ab; auf das Erlassgesuch betreffend Ordnungsbusse trat es nicht ein; die Verfahrenskosten von Fr. 100.-- auferlegte es X._.
Am 24. Juni 2010 wandte sich X._ unter Bezugnahme auf das Urteil des Verwaltungsgerichts mit als Rekurs bzw. Einsprache bezeichneter, als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmender Eingabe ans Bundesgericht. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Es muss sich dabei um schwei-zerisches Recht handeln (Art. 95 BGG). Soweit der angefochtene Entscheid wie vorliegend (auch) auf kantonalem (Verfahrens)Recht beruht, fällt praktisch nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte in Betracht (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382 f.), welche spezifischer Geltendmachung und Begründung bedarf (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Begründung hat sachbezogen zu sein; erforderlich ist eine zumindest rudimentäre Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis ihres Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz.
Das Steuergericht hat erläutert, dass die Voraussetzungen für eine Ermessensveranlagung erfüllt waren, in welcher Form dagegen Einsprache zu erheben war und warum die vom Beschwerdeführer verfasste Einsprache einer tauglichen Begründung entbehrte (E. 2 und 3 des angefochtenen Urteils). Alsdann hat es sich mit der Frage der Wiederherstellung der verpassten Einsprachefrist befasst und ist, namentlich nach einer Interpretation des vom Beschwerdeführer eingereichten Arztzeugnisses, zum Schluss gekommen, dass die versäumte Frist zur Einreichung einer formgültigen Einsprache nicht wiederhergestellt werden musste (E. 4). Weiter hat es erklärt, warum auf die rechtskräftigen Veranlagungen 2006 und 2007 nicht zurückzukommen war (E. 5) und erklärt, was der Beschwerdeführer vorzukehren habe, um zu einem Entscheid über einen möglichen Erlass der Ordnungsbusse von Fr. 400.-- zu kommen (E. 6).
Mit seinen allgemein gehaltenen Ausführungen in der Rechtsschrift vom 24. Juni 2010 geht der Beschwerdeführer auf die vorstehend wiedergegebenen Erwägungen des Steuergerichts nicht gezielt ein; jedenfalls sind sie in keiner Weise geeignet aufzuzeigen, inwiefern diese Erwägungen bzw. das Urteil des Steuergerichts im Ergebnis schweizerisches Recht verletzten; dasselbe gilt in Bezug auf den Kostenspruch der Vorinstanz, den der Beschwerdeführer aufgehoben haben möchte. Die Beschwerde entbehrt offensichtlich einer hinreichenden Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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