Sachverhalt:
A.
Der am 11. Juni 1962 geborene A._ war beim Bundesamt B._ angestellt und bei der Pensionskasse des Bundes PUBLICA (nachfolgend: Publica) für die berufliche Vorsorge versichert, als er sich im November 2000 bei einer Auffahrkollision eine Distorsion der Halswirbelsäule zuzog. Nachdem er seine leitende Funktion aufgegeben hatte und in eine tiefere Lohnklasse eingestuft worden war, wurden sein Beschäftigungsgrad und Lohn auf den 1. Mai 2008 auf 50 % reduziert.
Im November 2005 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 12. März 2009 ermittelte die IV-Stelle Bern einen Invaliditätsgrad von 20 % und verneinte folglich den Anspruch auf eine Invalidenrente (im Ergebnis bestätigt durch Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 9. Februar 2010). Hingegen sprach ihm die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) mit Verfügung vom 30. November 2009 eine Invalidenrente ab 1. Dezember 2009 bei einer Erwerbsunfähigkeit von 55 % zu.
Das Bundesamt B._ weigerte sich, als Arbeitgeber einen Anspruch des A._ auf eine Berufsinvalidenrente bei der Publica anzumelden.
B.
Am 5. November 2012 liess A._ Klage gegen die Publica erheben mit dem Antrag, es sei ihm rückwirkend ab dem 1. Mai 2008, eventuell ab dem 1. Juli 2012, eine Berufsinvalidenrente im Umfang einer Berufsinvalidität von 50 % auszurichten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die Klage mit Entscheid vom 31. Januar 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 31. Januar 2014 sei ihm rückwirkend ab dem 1. Mai 2008, eventuell ab dem 1. Juli 2012, (unter dem Vorbehalt einer Überentschädigung) eine Berufsinvalidenrente im Umfang einer Berufsinvalidität von 52,45 % auszurichten.
Die Publica und das Bundesamt B._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Eidgenössische Finanzdepartement und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Insofern als das Rechtsbegehren über jenes des vorinstanzlichen Verfahrens hinausgeht, weil neu von einer "Berufsinvalidität von 52,45 %" auszugehen sein soll, ist es unzulässig (vgl. <ref-law>).
2.
2.1.
2.1.1. Anspruch auf eine Invalidenrente haben Personen, die im Sinne der eidgenössischen Invalidenversicherung (IV) rentenberechtigt sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, bei der Pensionskasse des Bundes versichert waren (Art. 5 Abs. 3 des bis 30. Juni 2008 geltenden Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Pensionskasse des Bundes [PKB-Gesetz; AS 2001 707]). Sofern der Arbeitgeber die volle Finanzierung übernimmt, können in besonderen Fällen auch Invalidenrenten ausgerichtet werden, wenn gemäss medizinischer Untersuchung lediglich eine Berufsinvalidität vorliegt. Der Bundesrat regelt die Einzelheiten (Art. 5 Abs. 4 PKB-Gesetz).
2.1.2. Berufsinvalidität liegt vor, wenn eine versicherte Person aus gesundheitlichen Gründen für ihre bisherige oder für eine andere ihr zumutbare Beschäftigung nicht mehr tauglich ist (Art. 48 Abs. 2 der ebenfalls bis 30. Juni 2008 geltenden Verordnung vom 25. April 2001 über die Versicherung im Kernplan der Pensionskasse des Bundes [PKBV 1; AS 2001 2327]). Eine teilweise Berufsinvalidität liegt vor, wenn die versicherte Person aus gesundheitlichen Gründen in ihrer bisherigen oder in einer anderen Beschäftigung ihren Beschäftigungsgrad reduzieren muss oder wenn die versicherte Person aus gesundheitlichen Gründen ihre bisherige Leistung nicht mehr erbringen kann und ihr deswegen der Lohn herabgesetzt wird (Art. 48 Abs. 3 PKBV 1).
Stellt der ärztliche Dienst (AeD; Art. 1 PKBV 1) eine Berufsinvalidität fest, erhalten versicherte Personen, die das 50. Altersjahr zurückgelegt und die keinen Anspruch auf eine Rente der IV oder nur Anspruch auf eine Teilrente der IV haben, eine Berufsinvalidenrente von PUBLICA. In besonderen Fällen kann PUBLICA auf Antrag des Arbeitgebers auch jüngeren versicherten Personen Leistungen zusprechen. Beim Arbeitgeber nach Artikel 3 Buchstabe a des PKB-Gesetzes ist dafür das Einverständnis des Eidgenössischen Finanzdepartementes notwendig (Art. 48 Abs. 4 PKBV 1).
2.2.
2.2.1. Diese Bestimmungen wurden auf den 1. Juli 2008 durch die folgenden ersetzt: Invalidenleistungen werden ausgerichtet, wenn die versicherte Person nach Artikel 23 BVG anspruchsberechtigt wird und die Lohnzahlungen des Arbeitgebers durch Beendigung des Anstellungsverhältnisses beziehungsweise die sie ersetzenden Versicherungsleistungen aufhören. Sofern der Arbeitgeber die volle Finanzierung übernimmt, richtet PUBLICA Invalidenrenten aus, wenn gemäss medizinischer Untersuchung lediglich eine Berufsinvalidität vorliegt und die Wiedereingliederung erfolglos bleibt (Art. 32j Abs. 2 des Bundespersonalgesetzes vom 24. März 2000 [BPG; SR 172.220.1] in der bis 30. Juni 2013 geltenden Fassung).
2.2.2. Angestellte haben Anspruch auf eine Berufsinvalidenleistung, wenn (a) sie das 50. Altersjahr vollendet haben, (b) der ärztliche Dienst auf Antrag der zuständigen Stelle nach Artikel 2 feststellt, dass sie aus gesundheitlichen Gründen nicht oder nur noch teilweise fähig sind, ihre bisherige oder eine andere zumutbare Beschäftigung auszuüben, (c) ein rechtskräftiger Entscheid der zuständigen IV-Stelle vorliegt, wonach kein Anspruch oder nur ein Teilanspruch auf eine Rente besteht und (d) Eingliederungsmassnahmen nach Artikel 11a ohne ihr Verschulden erfolglos geblieben sind. (Art. 88e Abs. 1 der Bundespersonalverordnung vom 3. Juli 2001 [BPV; SR 172.220.111.3] in der bis 30. Juni 2013 geltenden Fassung). Die Einzelheiten des Anspruchs auf die Berufsinvalidenleistung sowie deren Art und Höhe werden im Vorsorgereglement für die Angestellten und die Rentenbeziehenden des Vorsorgewerks Bund vom 15. Juni 2007 (VRAB; SR 172.220.141.1) geregelt (Art. 88e Abs. 2 BPV).
Danach haben versicherte Personen bei Berufsinvalidität Anspruch auf Berufsinvalidenleistung, wenn (a) sie das 50. Altersjahr vollendet haben, (b) ein rechtskräftiger Entscheid der IV vorliegt, wonach kein Anspruch oder nur ein Teilanspruch auf eine Rente besteht und (c) Eingliederungsmassnahmen ohne ihr Verschulden erfolglos geblieben sind (<ref-law>). Eine vollständige Berufsinvalidität liegt vor, wenn eine versicherte Person aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr fähig ist, ihre bisherige oder eine andere zumutbare Beschäftigung auszuüben und gemäss Entscheid der IV kein Anspruch auf eine Rente besteht (<ref-law>). Eine teilweise Berufsinvalidität liegt vor, wenn eine versicherte Person aus gesundheitlichen Gründen (a) nicht mehr fähig ist, ihre bisherige oder eine andere zumutbare Beschäftigung auszuüben und gemäss Entscheid der IV ein Teilrentenanspruch besteht oder (b) nur noch teilweise fähig ist, ihre bisherige oder eine andere zumutbare Beschäftigung auszuüben und gemäss Entscheid der IV entweder kein Anspruch oder nur ein den Berufsinvaliditätsgrad nach Artikel 63 Absatz 6 nicht übersteigender Teilrentenanspruch besteht (<ref-law>). Das Vorliegen einer Berufsinvalidität wird auf Antrag des Arbeitgebers durch den MedicalService festgestellt (<ref-law>). Der MedicalService äussert sich über den Zeitpunkt des Eintritts der vollständigen oder teilweisen Berufsinvalidität. Sein Entscheid ist massgebend für die Festsetzung des Beginns des Anspruchs auf Leistungen infolge Berufsinvalidität (<ref-law>).
3.
Die Vorinstanz hat erwogen, aus dem Bericht des MedicalService (früher AeD) vom 23. Juni 2010 ergebe sich eine dauerhafte und zur Berufsinvalidität verdichtete gesundheitliche Einschränkung mit Bezug auf die angestammte Tätigkeit spätestens seit 1. Mai 2008. Der Anspruch sei an den damals geltenden Rechtssätzen zu messen. Zu diesem Zeitpunkt habe der Versicherte das 50. Altersjahr noch nicht vollendet. Zudem liege auch kein "besonderer Fall" vor, der ausnahmsweise bereits vor Vollendung des 50. Altersjahres Anspruch auf eine Berufsinvalidenrente vermittle. Sodann hat das kantonale Gericht auch das nachträgliche Erreichen der Altersgrenze nicht für anspruchsbegründend gehalten. Demzufolge hat es die Klage abgewiesen.
4.
4.1. Es ist unbestritten, dass der Versicherte am 1. Mai 2008, d.h. beim Eintritt der Berufsinvalidität, knapp 46 Jahre alt war. Daher ist zunächst zu prüfen, ob ein "besonderer Fall" im Sinne von Art. 48 Abs. 4 Satz 2 PKBV 1 vorliegt (zum intertemporalrechtlichen Grundsatz betreffend die anwendbaren Normen vgl. <ref-ruling> E. 6.3.1 S. 44; <ref-ruling> E. 1.2 S. 4; <ref-ruling> E. 4b S. 136 mit Hinweisen).
4.2. Dazu hat die Vorinstanz im Wesentlichen ausgeführt, die Berufsinvalidität sei eine allgemeine Anspruchsvoraussetzung, sie allein konstituiere noch keinen besonderen Fall. Dem Kriterium des Monopolberufes werde - ab der Altersgrenze von 50 Jahren - durch den Schutz vor den Folgen einer Berufsinvalidität Rechnung getragen, daraus lasse sich ebenfalls kein besonderer Fall begründen. Ebenso bilde ein fehlender Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung eine allgemeine Tatbestandsvoraussetzung von Art. 48 Abs. 4 PKBV 1. Die unterschiedlichen Invaliditätsbemessungen der Unfall- und der Invalidenversicherung seien in der fehlenden gegenseitigen Bindung begründet, die ein autonomes Befinden über die jeweiligen Ansprüche erlaube. Ein besonderer Fall ergebe sich daraus ebenso wenig wie aus den finanziellen Verhältnissen: Das aktuelle Einkommen, zusammengesetzt aus (reduziertem) Gehalt und einer Rente der Unfallversicherung liege mit Fr. 127'180.- im Jahr 2011 immerhin über dem Höchstbetrag des versicherten Verdienstes gemäss <ref-law> (SR 832.202). Schliesslich ergebe sich für alle Betroffenen gleichermassen ein für die Angehörigen nicht abgedecktes Todesfallrisiko im Umfang der nunmehr fehlenden BVG-Risikoabdeckung.
4.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Bund schütze seine Angestellten generell ab dem 50. Lebensjahr vor den Folgen einer Berufsinvalidität, Mitarbeiter in Monopolberufen stellten aber einen besonderen Fall dar: Sie seien spezifisch für den Staatsdienst ausgebildet und darum in der Privatwirtschaft kaum vermittelbar, weshalb sie bereits früher Anspruch auf eine Berufsinvalidenrente hätten; dies sei bei ihm der Fall. Zudem bringt er erstmals im letztinstanzlichen Verfahren vor, er könne und dürfe neben seiner gegenwärtigen Tätigkeit bei der Schweizerischen Eidgenossenschaft nicht erwerbstätig sein. Selbst wenn die neue Behauptung zulässig wäre (vgl. <ref-law>) und zuträfe, zielt die Argumentation des Beschwerdeführers ins Leere: Es ist nicht ersichtlich und wurde weder in der Klage vom 5. November 2012 noch sonstwo dargelegt, dass er lediglich darum keine Beschäftigung in der Privatwirtschaft annahm resp. annimmt, weil ihm dies untersagt sein soll oder weil er bislang einen Monopolberuf ausübte; im Gegenteil legt er dar, dass die gegenwärtige Arbeitsleistung dem gesundheitlich Möglichen entspreche. Unter dem Aspekt "Monopolberuf" kann der konkrete Fall somit nicht als besonders betrachtet werden.
Was die verschlechterte Vorsorgesituation für die Angehörigen anbelangt, so hat das kantonale Gericht zutreffend dargelegt, dass dies den Versicherten ebenso wie alle anderen (noch nicht 50-jährigen) Berufsinvaliden trifft. Anders gesagt hätte die vom Beschwerdeführer geforderte Berücksichtigung der Vorsorgesituation zur Folge, dass die in Art. 48 Abs. 4 Satz 1 PKBV 1 festgehaltene Altersgrenze von 50 Jahren ihres Sinnes entleert würde.
4.4. Andere Gründe für die Annahme eines besonderen Falles sind nicht ersichtlich und werden auch nicht vorgebracht. Im Übrigen ist ein solcher nicht leichthin anzunehmen, entspricht es doch der klaren Rechtslage (E. 2), dass der Rentenanspruch in erster Linie in Anlehnung an die Invalidenversicherung zu beurteilen ist, dass nur im Ausnahmefall, d.h. bei über 50-jährigen Versicherten (vgl. E. 4.3), eine weitergehende Leistung in Form einer Berufsinvalidenrente in Betracht fällt, und dass lediglich in speziellen Einzelfällen - im Sinne eines noch enger gefassten Ausnahmefalls - auch jüngere Versicherte in den Genuss einer Berufsinvalidenrente kommen sollen. Nach dem Gesagten kann der Beschwerdeführer aus Art. 48 Abs. 4 Satz 2 PKBV 1 keinen Anspruch auf eine Berufsinvalidenrente ableiten.
5.
5.1. Sodann ist der Beschwerdeführer der Auffassung, dass er mit Vollendung seines 50. Altersjahres am 11. Juni 2012 die Anspruchsvoraussetzungen von Art. 32j BPG in Verbindung mit Art. 88e BPV und <ref-law> (vgl. E. 2.2) erfüllt und spätestens ab diesem Zeitpunkt eine Berufsinvalidenrente auszurichten sei.
5.2. Die Vorinstanz hat erwogen, der Versicherungsfall "Berufsinvalidität" sei spätestens am 1. Mai 2008 eingetreten. Bei späterer Bejahung eines Anspruchs würde rückwirkend vom Alterserfordernis abgesehen. Aus Art. 88e BPV - soweit diese Bestimmung überhaupt anwendbar sei - gehe indessen hervor, dass die in dessen Abs. 1 lit. a-d genannten Kriterien gleichzeitig erfüllt sein müssten, ansonsten eine andere Formulierung gewählt worden wäre.
5.3.
5.3.1. Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der Ratio legis (<ref-ruling> E. 2.4 S. 698; <ref-ruling> E. 3.2 S. 251; <ref-ruling> E. 4.4.3.2 S. 371; <ref-ruling> E. 5.2 S. 311).
5.3.2. Die Frage, ob eine zeitlich gestaffelte Erfüllung der Tatbestandsvoraussetzungen zulässig resp. ob die nachträgliche Vollendung des 50. Altersjahres anspruchsbegründend ist, lässt sich allein aus dem Wortlaut von Art. 88e Abs. 1 BPV und <ref-law> (E. 2.2.2) nicht klar beantworten. Immerhin spricht die Formulierung von <ref-law> eher für die vorinstanzliche Auffassung: Der Anspruch entsteht bei Berufsinvalidität ( en cas d'invalidité professionelle; in caso di invalidità), wenn die versicherte Person das 50. Altersjahr vollendet hat.
Der Vorinstanz ist beizupflichten, dass in concreto spätestens am 1. Mai 2008 der Versicherungsfall eintrat (vgl. HAVE 2004 S. 47, B 25/03 E. 3.1 und 3.3; vgl. auch <ref-law>). In der Botschaft vom 23. September 2005 über die Pensionskasse des Bundes (PUBLICA-Gesetz und Änderung des PKB-Gesetzes; BBl 2005 5829) wird in der Erläuterung zu Art. 32j Abs. 2 BPG ausgeführt, die Leistungspflicht von Publica entstehe erst, wenn nach Feststellung des ärztlichen Dienstes eine medizinisch begründete Berufsinvalidität vorliege (BBl 2005 5901). Auch damit wird klar Bezug genommen zum Zeitpunkt des Eintritts der Berufsinvalidität. Er hängt von objektiven Kriterien ab und kann auch rückwirkend festgestellt werden. Anders als der Beschwerdeführer vorbringt, ist somit nicht der Zeitpunkt der ärztlichen Einschätzung, der durchaus auch von Zufälligkeiten bestimmt sein kann, ausschlaggebend. Das ergibt sich ebenfalls aus <ref-law>, welche Bestimmung für den Anspruchsbeginn auf den Eintritt der Berufsinvalidität verweist.
Zur Altersgrenze von 50 Jahren lässt sich weder der Botschaft vom 23. September 2005 über die Pensionskasse des Bundes noch jener vom 1. März 1999 zum Bundesgesetz über die Pensionskasse des Bundes (BBl 1999 5223) etwas Explizites entnehmen. Sinn und Zweck dieser Limite ist es indessen, nicht alle Versicherten, sondern nur die über 50-jährigen vor Berufsinvalidität zu schützen (vgl. E. 4.4). Wäre auch das nachträgliche Erreichen der Altersgrenze anspruchsbegründend, kämen grundsätzlich alle Berufsinvaliden zu gegebener Zeit in den Genuss einer Rente, und es würde lediglich die Bezugsdauer verkürzt. Das entspricht nicht der Ratio legis und stünde zudem im Widerspruch zur Regelung des Anspruchsbeginns gemäss <ref-law>.
5.4. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie für den Anspruch auf eine Berufsinvalidenrente vorausgesetzt hat, dass das 50. Altersjahr bereits bei Eintritt der Berufsinvalidität hätte vollendet sein müssen. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt unbegründet.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesamt B._, dem Eidgenössischen Finanzdepartement, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juli 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann