Faits:
A. A.a A._, né en 1954, de nationalité allemande, et dame A._, née en 1965, ressortissante péruvienne, se sont mariés le 17 septembre 1993 à Genève, sans conclure de contrat de mariage. Une fille est issue de cette union, B._, née le 31 décembre 1993 à Genève.
Statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale, d'entente entre les époux, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, par jugement du 12 septembre 2000, autorisé les conjoints à vivre séparés, confié la garde de l'enfant à la mère, sous réserve d'un droit de visite usuel en faveur du père, attribué la jouissance exclusive du domicile conjugal à l'épouse, et donné acte au mari de son engagement de verser la somme de 1'200 fr. par mois à titre de contribution à l'entretien de la famille.
Dans le courant de l'année 2005, l'épouse qui, selon le mari, souffrait de troubles psychiques depuis plusieurs années déjà, a subi une importante crise qui a nécessité une brève hospitalisation psychiatrique. Le mari a demandé au Tribunal tutélaire que la garde de l'enfant par sa mère soit suspendue et lui soit attribuée, le temps que l'intéressée se rétablisse.
Par ordonnance du 15 mars 2006, le Tribunal tutélaire a retiré la garde à la mère, avec l'accord de celle-ci, et a placé l'enfant auprès de son père, précisant que la mère pourrait entretenir des relations personnelles avec sa fille d'entente avec elle et en présence du père ou d'un tiers agréé par les deux parents.
Depuis lors, l'état de l'épouse s'est stabilisé grâce à une médication adéquate et elle voit régulièrement sa fille.
A.b Le 19 juin 2009, le mari a formé une demande unilatérale en divorce. Il a notamment conclu à ce que l'autorité parentale conjointe soit maintenue, à ce que la garde de sa fille lui soit attribuée, sous réserve d'un droit de visite usuel en faveur de la mère, et à ce que celle-ci soit condamnée au paiement d'une contribution d'entretien pour l'enfant.
L'épouse ne s'est opposée ni au principe du divorce, ni aux conclusions prises au sujet de l'enfant.
Par jugement sur mesures provisoires du 16 octobre 2009, le Tribunal de première instance, statuant d'entente entre les parties, a réduit la contribution d'entretien allouée en mesures protectrices de 1'200 fr. à 600 fr. par mois dès le 1er novembre 2009.
B. Par jugement du 21 janvier 2010, le Tribunal de première instance a, entre autres points, prononcé le divorce, laissé aux deux parents l'autorité parentale conjointe sur leur fille, attribué la garde de celle-ci à son père, réservé à la mère un droit de visite à raison d'un week-end sur deux et durant la moitié des vacances scolaires, et condamné l'épouse à verser une contribution de 200 fr. par mois pour l'entretien de l'enfant, aucune pension ne lui étant allouée pour elle-même.
L'épouse a appelé de ce jugement, concluant à ce que le mari soit condamné à lui verser une contribution à son entretien, indexée, d'un montant de 600 fr. par mois, ledit jugement étant confirmé pour le surplus.
Par arrêt du 17 septembre 2010, la Cour de justice du canton de Genève a, notamment, annulé le jugement du 21 janvier 2010 s'agissant de la contribution à l'entretien de l'enfant de 200 fr. par mois supportée par l'épouse et a condamné le mari à verser mensuellement à celle-ci la somme de 600 fr. par mois, indexation en sus, à titre de pension après divorce.
C. Par acte du 1er novembre 2010, le mari exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 17 septembre 2010. Il conclut, principalement, à ce qu'aucune contribution pour l'épouse ne soit mise à sa charge et à ce que celle-ci soit condamnée à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement, allocations familiales en sus, d'un montant de 200 fr. par mois jusqu'à la majorité ou jusqu'à 25 ans en cas d'études sérieuses suivies régulièrement, ladite contribution étant, dans ce cas, versée directement à l'enfant dès sa majorité. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle instruction et nouveau jugement dans le sens des considérants.
L'intimée propose le rejet du recours. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté contre une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par l'autorité de dernière instance cantonale (<ref-law>), dans une cause de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF), le recours est recevable au regard de ces dispositions. Il a par ailleurs été formé en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue par la loi (<ref-law>), par la partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente et qui a par conséquent la qualité pour recourir (<ref-law> dans son ancienne teneur, vu l'<ref-law>). Il y a donc lieu, en principe, d'entrer en matière.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité aux art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 68; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246). Pour le reste, il applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision déférée (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105).
Par ailleurs, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de fait ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 8.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
2. Invoquant l'art. 9 Cst., le recourant se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits sur quatre points, à savoir sur la détermination: de son revenu, de la capacité de gain de l'intimée, du niveau de vie des parties durant la vie commune et de la rente AVS probable de l'intimée.
2.1 L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est insoutenable, se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. En outre, il ne suffit pas que la décision se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 s.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265/266).
De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, vu le large pouvoir qu'il reconnaît dans ce domaine aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 9 p. 399 et les références mentionnées). Il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis sans motifs sérieux de tenir compte d'un moyen de preuve pertinent ou encore s'il a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
2.2 Le recourant reproche d'abord à l'autorité cantonale d'avoir retenu que son revenu se situait entre 8'250 fr. et, au cas où il percevrait un treizième salaire, 8'940 fr. par mois. Il expose avoir indiqué devant le Tribunal de première instance déjà, certificat de salaire pour l'année 2008 à l'appui (pièce n° 6), que son revenu se limitait à 8'250 fr. par mois, versés douze fois l'an.
L'arrêt attaqué retient que, de janvier à août 2008, le revenu moyen du recourant s'est élevé à 8'250 fr. net par mois, sans qu'il soit indiqué s'il bénéficie d'un treizième salaire, de sorte qu'il convient d'admettre que son revenu mensuel est compris entre 8'250 fr. et 8'940 fr. La pièce n° 6 invoquée sur ce point par le recourant, qui ne constitue pas un décompte annuel puisqu'elle ne mentionne que son gain net - variable d'un mois à l'autre - pour les huit premiers mois de 2008 (de janvier à août), n'est pas propre à faire apparaître cette constatation comme arbitraire. De toute manière, les juges précédents s'en sont tenus à un salaire d'«environ 8'000 fr. par mois». La contribution due par le recourant a en outre été calculée en fonction d'un solde disponible de celui-ci «de l'ordre» de 4'000 fr., et non sur la base de chiffres précis. Dans ces conditions, la constatation incriminée ne rend pas insoutenable le résultat auquel est parvenue la Cour de justice.
2.3 Le recourant fait aussi grief à l'autorité cantonale d'avoir retenu que la capacité de gain de l'intimée était limitée à 75% et soutient que celle-ci réaliserait un revenu plus élevé en travaillant dans l'horlogerie plutôt que dans le secteur du ménage.
Selon l'arrêt attaqué, durant les sept ans de vie commune du couple et leur cinq années de séparation, l'épouse s'est consacrée à la tenue du ménage et à l'éducation de l'enfant des parties; elle aurait d'ailleurs vraisemblablement continué cette prise en charge éducative si elle n'avait pas souffert de graves troubles psychiques. Elle travaille désormais dans le secteur du nettoyage pour deux entreprises différentes, à raison de douze heures, respectivement dix heures par semaine; depuis juillet 2009, elle effectue en outre plusieurs heures par dimanche pour une autre société. Elle retire de ces différents emplois, qui correspondent à 128 heures de travail (soit à un taux d'activité de 75%), un revenu mensuel net moyen de 2'605 fr. Compte tenu de ces éléments, auxquels s'ajoutent ses troubles psychiques (qu'elle ne stabilise qu'en suivant un traitement médicamenteux), et dès lors qu'il n'est pas établi qu'un emploi dans l'horlogerie lui procurerait des revenus supérieurs à ceux qu'elle perçoit actuellement, la Cour de justice estime que le montant de 2'605 fr. par mois correspond à sa pleine capacité de gain.
Le recourant ne démontre pas que cette opinion serait arbitraire. En particulier, il n'apparaît pas insoutenable d'admettre que les troubles psychiques présentés par l'intimée, bien que stabilisés par médicaments, restreignent sa capacité de gain, le recourant se contentant de prétendre à cet égard, de manière appellatoire, qu'aucun élément sérieux ne permet de retenir une telle limitation. Selon le recourant - qui se réfère aux salaires minimaux d'embauche négociés dans le cadre de la convention collective de travail entre la Convention patronale de l'industrie horlogère suisse et Unia -, il serait par ailleurs notoire que l'intimée, qui est au bénéfice d'une formation dans l'horlogerie, pourrait obtenir un salaire entre 3'900 fr. et 4'080 fr. par mois en étant employée dans ce secteur. Outre que ces chiffres concernent des travailleurs «qualifiés», épithète dont il n'est pas démontré qu'elle s'appliquerait à l'intimée, le moyen n'apparaît pas décisif. Étant donné l'âge de celle-ci (45 ans), son état de santé, son absence d'expérience professionnelle dans ce domaine et la situation du marché du travail, il n'est de toute manière pas établi qu'il lui serait effectivement possible d'obtenir un tel revenu, d'autant qu'elle a produit la réponse négative d'une grande entreprise horlogère de la place à son offre de service du 24 septembre 2009. Dès lors, la prise en compte d'un revenu hypothétique supérieur à celui qu'elle obtient actuellement ne saurait de toute façon entrer en considération (cf. <ref-ruling> consid. 4c/bb p. 7; arrêt 5A_311/2010 du 3 février 2011, consid. 2.3 destiné à la publication).
2.4 Pour le recourant, serait également arbitraire la constatation de l'autorité cantonale selon laquelle la totalité de son salaire finançait le niveau de vie des parties pendant le mariage, à concurrence d'environ 8'000 fr. par mois, nets d'impôts et de primes d'assurances maladie. Il expose que, pendant les sept années d'union conjugale, il ne travaillait pas encore, comme c'est le cas actuellement, auprès d'une organisation internationale, mais pour un employeur suisse, et que son salaire, qui était en outre soumis à l'impôt, n'était pas de 8'000 fr. mais de 4'000 fr. par mois; à l'appui de ses dires, il invoque une attestation de la caisse de pension dudit employeur suisse produite à l'appui de sa demande en divorce, indiquant qu'il a acquis, du 17 septembre 1993 au 31 décembre 1999, un avoir de prévoyance d'un montant de 52'560 fr. 20. Il affirme en outre qu'entre 1999 et 2001, les parties étaient très endettées, ayant jusqu'à 38'411 fr. d'impayés en août 1999, dont il a pris en charge la totalité.
L'attestation en question mentionne uniquement, en sus des dates de son entrée dans l'institution de prévoyance (27 septembre 1989), de sa sortie de celle-ci (31 décembre 1999) et de son mariage (17 septembre 1993): son avoir LPP à la date du mariage (48'565 fr. 55), sa prestation de sortie au 31 décembre 1999 (101'125 fr. 75) et son avoir acquis du 17 septembre 1993 au 31 décembre 1999 (52'560 fr. 20). A elle seule, cette pièce ne permet pas d'affirmer que le salaire du recourant pendant le mariage n'aurait été que de 4'000 fr. par mois. Faute d'autres éléments mentionnés par le recourant, le moyen apparaît ainsi insuffisamment motivé (<ref-law>).
Quant aux prétendues dettes des époux, le recourant se fonde sur des faits que la décision attaquée ne retient pas, sans soutenir que ceux-ci auraient été omis alors qu'ils étaient établis. Il n'y a dès lors pas lieu d'entrer en matière sur ce point.
2.5 L'autorité cantonale a par ailleurs retenu qu'il était hautement vraisemblable que l'épouse ne bénéficierait que d'une faible rente AVS, vu le statut de fonctionnaire international du mari. Le recourant le conteste, arguant que l'«on peine à comprendre le lien établi par la Cour cantonale entre le statut de fonctionnaire international [...] et la future rente AVS de l'intimée». Ce grief ne satisfait manifestement pas aux conditions de motivation déduites de l'<ref-law>. Au reste, les fonctionnaires internationaux, tout comme leurs conjoints, ne sont en principe pas assurés obligatoirement aux assurances sociales (cf. le site internet du Département fédéral des affaires étrangères [http://www.eda.admin.ch]), de sorte que la constatation incriminée n'apparaît pas insoutenable.
Le recourant critique aussi l'affirmation de la Cour de justice selon laquelle, en plus de la rente substantielle qu'il retirera dès 63 ans du fonds de pension de l'organisation internationale qui l'emploie, il en percevra une autre, également conséquente, de l'AVS, institution à laquelle il a très certainement cotisé avant son mariage, intervenu alors qu'il avait déjà près de 40 ans. Le recourant se borne toutefois à alléguer que l'autorité cantonale est tombée dans l'arbitraire «en tirant des conclusions sur de simples spéculations», et qu'elle pouvait demander des pièces qui auraient démontré que son traitement initial auprès de l'organisation internationale précitée «était de l'ordre de 4'000 fr. avec une conséquence sur son fonds de pension». Purement appellatoires, ces allégations sont par conséquent irrecevables.
Le recourant fait par ailleurs valoir qu'il percevra son fonds de pension à 63 ans et sa rente AVS à 65 ans, de sorte que, pendant deux ans, il ne bénéficiera que du premier pour vivre. Il n'étaye cependant nullement son affirmation, ni n'explique dans quelle mesure ce fait aurait une incidence sur l'issue du litige (<ref-law>).
Pour le surplus, les critiques formulées par le recourant ne concernent pas l'appréciation des preuves et l'établissement des faits, mais l'application du droit fédéral, en particulier de l'<ref-law>. Elles seront par conséquent examinées dans ce contexte.
3. Dans un autre grief, le recourant se plaint de la violation de l'<ref-law>. Il reproche à l'autorité cantonale d'avoir déterminé le montant de la pension due à l'épouse en se fondant sur le niveau de vie des parties durant le mariage, de surcroît sur la base d'un revenu de 8'000 fr. par mois bien supérieur à la réalité. Il soutient qu'il convenait de prendre en considération le standard de vie pendant la séparation, puisque celle-ci a duré dix ans, soit plus longtemps que les sept années de vie commune du couple. En l'occurrence, il aurait été établi par le Tribunal de première instance, statuant sur mesures provisoires, qu'après la séparation, l'épouse a exercé une activité de femme de ménage pour un revenu de 1'300 fr. par mois. Selon le recourant, il convient d'ajouter à ce montant la pension mensuelle de 1'200 fr. par mois versée par lui pour l'entretien de la famille dans le cadre des mesures protectrices de l'union conjugale, soit au total 2'500 fr. par mois, les parties étant toutefois ultérieurement convenues de réduire, en mesures provisoires, le montant de dite pension à 600 fr. par mois. Or, toujours selon le recourant, le Tribunal de première instance a ensuite retenu que l'épouse percevait un revenu mensuel de 2'605 fr. pour une activité à 75%: ce montant étant légèrement supérieur à celui dont elle avait bénéficié jusque-là, elle n'aurait pas droit à une contribution d'entretien, d'autant qu'elle conserve un solde disponible de 145 fr. par mois et est donc économiquement indépendante.
Par ailleurs, la cour cantonale aurait omis de prendre en considération l'indemnité équitable qui sera versée à l'intimée, d'un montant de 52'560 fr. 20, auquel il conviendrait d'ajouter une somme de 26'280 fr. 20, correspondant à la moitié de son avoir LPP, soit un total de 78'840 fr. 20, qu'elle pourra garder pour sa prévoyance.
3.1 Aux termes de l'<ref-law>, si l'on ne peut raisonnablement attendre d'un époux qu'il pourvoie lui-même à son entretien convenable, y compris à la constitution d'une prévoyance vieillesse appropriée, son conjoint lui doit une contribution équitable. Cette disposition concrétise deux principes: d'une part, celui de l'indépendance des époux après le divorce, qui postule que, dans toute la mesure du possible, chaque conjoint doit subvenir désormais à ses propres besoins; d'autre part, celui de la solidarité, qui implique que les époux doivent supporter en commun non seulement les conséquences de la répartition des tâches convenue durant le mariage (<ref-law>), mais également les désavantages qui ont été occasionnés à l'un d'eux par l'union et qui l'empêchent de pourvoir à son entretien convenable. Dans son principe, comme dans son montant et sa durée, l'obligation d'entretien doit être fixée en tenant compte des éléments énumérés de façon non exhaustive à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 9.1 p. 600 et les arrêts cités).
Une contribution est en principe due si le mariage a concrètement influencé la situation financière de l'époux crédirentier («lebensprägend»). Si le mariage a duré au moins dix ans - période à calculer jusqu'à la date de la séparation des parties (<ref-ruling> consid. 9.2 p. 600) -, il a eu, en règle générale, une influence concrète. La jurisprudence retient également que, indépendamment de sa durée, un mariage influence concrètement la situation des époux lorsque ceux-ci ont des enfants communs (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 61) ou encore en cas de déracinement culturel du conjoint (arrêts 5A_743/2010 du 10 février 2011, consid. 4.1.2; 5A_275/2009 du 25 novembre 2009, consid. 2.1 publié in SJ 2010 I 521). Dans de telles hypothèses, le principe est que le standard de vie choisi d'un commun accord doit être maintenu pour les deux parties dans la mesure où leur situation financière le permet (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 594). Il s'agit alors de la limite supérieure de l'entretien convenable auquel l'époux créancier a droit. Lorsqu'il n'est pas possible, en raison de l'augmentation des frais qu'entraîne l'existence de deux ménages distincts, de conserver le niveau de vie antérieur, le créancier d'entretien peut prétendre au même niveau de vie que le débiteur d'entretien (<ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 8). Enfin, quand le divorce est prononcé à l'issue d'une longue séparation, à savoir une dizaine d'années, la situation de l'époux bénéficiaire durant cette période est en principe déterminante (arrêt 5A_478/2010 du 20 décembre 2010, consid. 4 destiné à la publication; <ref-ruling> consid. 9.3 p. 601; <ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 8/9 et les références citées).
3.2 En l'espèce, le mariage a duré moins de dix ans mais les parties ont un enfant commun et l'épouse, au demeurant née au Pérou et de nationalité péruvienne, s'est occupée de ce dernier ainsi que de la tenue du ménage. Ces circonstances suffisent à considérer que le mariage a eu une influence concrète sur sa situation. Le recourant ne le conteste du reste pas. Par ailleurs, il n'a pas établi qu'elle serait en mesure d'augmenter son taux d'activité, ni de réaliser un gain supérieur à celui qu'elle perçoit actuellement (cf. supra, consid. 2.3). Il soutient cependant que la contribution allouée à l'intimée lui procurerait un niveau de vie supérieur à celui auquel elle peut prétendre, vu la longue séparation des conjoints. Ce moyen n'apparaît pas fondé. L'autorité cantonale n'a en effet nullement méconnu que la séparation des parties remontait à près de dix ans. Elle a toutefois considéré qu'une contribution d'entretien de 600 fr. par mois permettrait à l'épouse de maintenir le niveau de vie qui avait été le sien depuis lors. Dans la mesure où le recourant prétend que le salaire de l'épouse après la séparation était de 1'300 fr. par mois, son allégation ne résulte pas des constatations de la Cour de justice (<ref-law>), sans qu'il soit reproché à celle-ci d'avoir établi les faits de façon arbitrairement lacunaire (<ref-law>). De toute manière, la seule comparaison du revenu antérieur de l'épouse, dont le recourant allègue qu'il correspondait à 4 heures de ménage par jour, avec celui qu'elle réussit à obtenir actuellement en cumulant plusieurs emplois, y compris le dimanche, ne permet pas de considérer que l'autorité cantonale aurait, à cet égard, violé le droit fédéral ou abusé de son pouvoir d'appréciation (<ref-law>).
Sans compter que l'épouse, dont les perspectives en matière d'AVS et de prévoyance professionnelle sont faibles, devra se constituer une prévoyance vieillesse appropriée. Le recourant affirme certes qu'il n'a pas été tenu compte d'un montant de 78'840 fr. 20 (52'560 fr. 20 + 26'280 fr. 20) que l'intimée pourrait «garder pour sa LPP». Ce grief n'apparaît guère compréhensible. Il résulte en effet de l'arrêt attaqué que le juge de première instance a alloué à l'épouse une somme de 52'560 fr. 20 à titre d'indemnité équitable au sens de l'<ref-law>. On ne voit dès lors pas comment elle bénéficierait d'un montant supérieur au titre de la prévoyance professionnelle du mari. De toute façon, l'argument n'apparaît pas décisif, les expectatives de l'intimée en matière de prévoyance vieillesse restant peu élevées, que l'on se fonde sur l'un ou l'autre des montants précités.
4. L'autorité cantonale aurait aussi enfreint les art. 133 al. 1 et 285 al. 1 CC, en relation avec l'art. 145 al. 1 aCC.
4.1 Le recourant soutient d'abord qu'en procédure d'appel, l'intimée n'a pas contesté devoir lui verser mensuellement une somme de 200 fr. pour l'entretien de leur fille, se bornant à réclamer une contribution de 600 fr. par mois pour elle-même. Par compensation, elle a ainsi conclu, selon lui, à l'allocation d'un montant de 400 fr. pour son propre entretien. Conséquemment, la Cour de justice aurait statué ultra petita.
4.1.1 La maxime d'office s'applique de manière générale pour toutes les questions relatives aux enfants: le juge fixe la contribution d'entretien due à l'enfant par le parent qui n'en a pas la garde (<ref-law>) sans être lié par les conclusions des parties et même en l'absence de conclusions (<ref-ruling>11 consid. 3.1 p. 412 et les références). La maxime d'office s'applique également sans limitation en instance de recours cantonale. L'interdiction de la reformatio in pejus n'entre pas en considération dans les domaines régis par ce principe (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 420; SUTTER-SOMM, Schweizerisches Zivilprozessrecht, Zurich 2007, n. 975; arrêt 5A_652/2009 du 18 janvier 2010, consid. 3). Par ailleurs, selon l'art. 148 al. 1 aCC, le recours ordinaire de droit cantonal suspend l'entrée en force du jugement attaqué dans la seule mesure des conclusions prises; ledit jugement entre donc partiellement en force de chose jugée, à savoir sur toutes les questions non critiquées par le recours (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 486 s.). Cette règle souffre une exception lorsque le recours porte sur la pension allouée au conjoint: dans ce cas, les contributions d'entretien des enfants peuvent aussi faire l'objet d'un nouveau jugement (art. 148 al. 1 2e phrase aCC).
4.1.2 Il résulte de l'arrêt attaqué que l'épouse, qui a conclu en appel au versement d'une pension mensuelle de 600 fr. en sa faveur, n'a pas critiqué la contribution de 200 fr. par mois mise à sa charge pour l'entretien de l'enfant. Se référant à l'art. 148 al. 1 2e phrase aCC, les juges précédents ont cependant estimé qu'ils pouvaient statuer à nouveau sur cette dernière obligation, quand bien même celle-ci n'était pas contestée. En considérant qu'ils avaient la faculté de revoir d'office la question de la contribution d'entretien en faveur de l'enfant, et ce même si l'appel dont ils étaient saisi ne mettait en cause que celle de la contribution à l'entretien de l'épouse, les juges précédents n'ont pas violé le principe de la maxime d'office et la jurisprudence y relative.
Le recourant ne le prétend du reste pas. Il soutient toutefois que l'autorité cantonale a rendu une décision ultra petita en allouant à l'épouse une contribution d'entretien d'un montant de 600 fr., alors qu'elle demandait 400 fr. «par compensation» puisqu'elle «devait verser 200 fr. pour sa fille» (sans toutefois prendre de conclusions expresses en ce sens, se bornant à demander qu'il soit constaté qu'il ne doit aucune contribution d'entretien à l'intimée). Or, sous réserve d'exceptions prévues par le droit fédéral sans pertinence en l'espèce (J.-F. POUDRET, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. II, n. 2.3 ad art. 63; FRANCK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur Zürcherischen Zivilprozessordnung, 3e éd., § 54 n. 18), en particulier lorsque la maxime d'office est applicable - ce qui n'est pas le cas s'agissant de la contribution du conjoint, qui relève de la maxime de disposition (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 420; <ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 414 et les références) -, il appartient au droit cantonal de procédure, et non au droit fédéral, de dire si et dans quelle mesure le juge est lié par les conclusions des parties ou peut statuer ultra petita (<ref-ruling> consid. 1 p. 360 et les références); il en va de même en ce qui concerne l'interprétation des conclusions prises devant la juridiction cantonale (POUDRET, op. cit., n. 1.3.2.7 ad art. 43 et les auteurs cités). En l'occurrence, le recourant n'indique pas quelles dispositions de la loi de procédure civile genevoise seraient applicables, ni en quoi elles auraient été arbitrairement violées par la Cour de justice. Son grief est par conséquent irrecevable, faute de motivation suffisante (<ref-law>).
4.2 Selon le recourant, la décision de supprimer la pension en faveur de l'enfant des parties ne serait en outre pas conforme à l'intérêt de celui-ci. Il reproche à cet égard aux juges précédents de n'avoir pas éclairci, ni pris en considération d'office les faits pertinents s'agissant des éventuels projets d'études de la jeune fille, de ses frais de formation et de ses dépenses courantes. Il s'en prend par ailleurs à nouveau à la capacité contributive de l'intimée telle qu'arrêtée par l'autorité cantonale.
4.2.1 Selon l'<ref-law>, auquel renvoie l'<ref-law>, la contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère, compte tenu de la fortune et des revenus de l'enfant, de même que de la participation de celui des parents qui n'a pas la garde de l'enfant à la prise en charge de ce dernier. Ces différents critères doivent être pris en considération; ils exercent une influence réciproque les uns sur les autres. Les besoins de l'enfant doivent ainsi être examinés en relation avec les trois autres éléments évoqués et la contribution d'entretien doit toujours être dans un rapport raisonnable avec le niveau de vie et la capacité contributive du débirentier (<ref-ruling> consid. 3a p. 112; arrêt 5A_402/2010 du 10 septembre 2010, consid. 4.2.4). En présence de ressources financières limitées, le minimum vital du débirentier au sens du droit des poursuites doit en principe être garanti (<ref-ruling> consid. 2c p. 70; <ref-ruling> consid. 1a/aa p. 356; <ref-ruling> consid. 3b/bb p. 5 et consid. 5 p. 9; <ref-ruling> consid. 2 p. 370 ss). Ainsi, dans certaines circonstances, il est possible d'exiger du parent gardien qu'il contribue à l'entretien de l'enfant, en sus des soins et de l'éducation, par des prestations en argent (arrêt 5C.277/2001 du 19 décembre 2002, consid. 2.1 in fine; cf. <ref-ruling> consid. 3a/cc p. 289).
En vertu de la maxime inquisitoire applicable à l'entretien des enfants (art. 280 al. 2 et non 145 al. 1 aCC comme l'invoque à tort le recourant, cette dernière disposition concernant le sort des enfants), le juge doit établir d'office les faits pertinents. Cette obligation ne dispense cependant pas les parties de devoir collaborer activement à la procédure ni d'étayer leurs propres thèses (<ref-ruling>11 consid. 3.2 p. 412 ss et les citations).
Le montant de la contribution d'entretien est laissé, pour une part importante, à l'appréciation du juge du fait (art. 4 Cst.). Le Tribunal fédéral fait montre de réserve en cette matière: il n'intervient que si le juge cantonal a pris en considération des éléments qui ne jouent pas de rôle au sens de la loi ou a omis de tenir compte de facteurs essentiels, ou bien encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant arrêté apparaît manifestement inéquitable au regard des circonstances (<ref-ruling> consid. 2f/cc p. 110; <ref-ruling> consid. 2c p. 410).
4.2.2 L'arrêt déféré retient que l'intimée, dont les revenus mensuels s'élèvent à 2'605 fr. pour des charges de 2'460 fr. au total, ne bénéficie que d'un solde disponible de 145 fr. par mois, alors que celui du recourant, après paiement de ses charges incompressibles, est de l'ordre de 5'000 fr. La comparaison des ressources respectives des parties révèle que la situation financière de l'intimée est nettement moins favorable que celle du recourant. Ce dernier prétend certes que l'intimée pourrait travailler à temps plein et gagner ainsi davantage, en quittant en outre le secteur du ménage pour celui de l'horlogerie. Comme il a été exposé ci-dessus, il n'a toutefois pas établi qu'il serait effectivement possible à celle-ci de réaliser un revenu plus élevé que celui qu'elle obtient actuellement, de sorte qu'on ne saurait reprocher à l'autorité cantonale d'avoir violé le droit fédéral en ne lui imputant pas un revenu hypothétique supérieur (cf. supra, consid. 2.3). Il y a dès lors lieu de s'en tenir aux montants constatés dans l'arrêt attaqué.
Dans ces circonstances, il était possible d'exiger du parent gardien qu'il contribue à l'entretien de l'enfant, en sus des soins et de l'éducation, par des prestations en argent (cf. supra, consid. 4.2.1 § 1 in fine), et, partant, de supprimer la contribution mise à la charge de l'intimée, d'autant qu'il résulte de l'arrêt entrepris que le recourant dispose encore, après paiement de ses charges et de celles de sa fille, d'un solde disponible de l'ordre de 4'000 fr. par mois.
En définitive, la cour cantonale est restée dans les limites du pouvoir d'appréciation que lui confère l'<ref-law>, sans qu'il soit besoin d'examiner s'il incombait à cette autorité d'instruire plus avant la question des besoins de l'enfant, dont les charges mensuelles ont, au demeurant, été arrêtées à 730 fr. par mois sans que le recourant ne se plaigne d'arbitraire à ce sujet, ni ne précise quels frais supplémentaires auraient dû être pris en compte.
5. En conclusion, le recours se révèle mal fondé et ne peut qu'être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera par conséquent les frais de la présente procédure (<ref-law>) et versera en outre des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF), dont la requête d'assistance judiciaire devient ainsi sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire de l'intimée est sans objet.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Une indemnité de 2'500 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 30 mai 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot