Sachverhalt:
A. A.a Mit Verfügung des Einzelrichters im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Bülach vom 16. Mai 2007 wurde A._, B._, C._, D._ und E._ (im Folgenden: Beschwerdegegner) in der gegen X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes S._ für Fr. 10'611.25 nebst Zinsen und Kosten definitive Rechtsöffnung erteilt. Gleichzeitig wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Vertretung abgewiesen
A.b Die Beschwerdegegner stützten ihr Rechtsöffnungsbegehren auf das erstinstanzliche Urteil des Bezirksgerichts Surselva vom 1. März 2005, womit der Beschwerdeführer zu einer Prozessentschädigung von Fr. 8'031.50 an die Beschwerdegegner verpflichtet wurde, sowie auf das zweitinstanzliche Urteil des Kantonsgerichts Graubünden vom 5. September 2005, womit der Beschwerdeführer zu einer Prozessentschädigung von Fr. 2'579.75 an die Beschwerdegegner verurteilt wurde. Die Berufung, welche der Beschwerdeführer gegen das Urteil des Kantonsgerichts betreffend die Ungültigkeit eines Testaments beim Bundesgericht eingereicht hatte, wurde mit Urteil vom 26. September 2006 abgewiesen, soweit darauf einzutreten war (5C.95/2006).
A.c Die vom Beschwerdeführer beim Obergericht des Kantons Zürich gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhobene Nichtigkeitsbeschwerde hatte keinen Erfolg. Mit Beschluss vom 14. August 2007 wurde das Rechtsmittel abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Ferner wurde das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen.
B. Mit Eingabe vom 3. Oktober 2007 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Er beantragt im Wesentlichen, der obergerichtliche Beschluss sei aufzuheben, da die Betreibung der Beschwerdegegner nichtig im Sinne von <ref-law> sei. Sodann stellt er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Das Begehren um aufschiebende Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 22. Oktober 2007 abgewiesen.
In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid ist nach dem 1. Januar 2007 ergangen, so dass das Bundesgesetz über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG, SR 173.110) anwendbar ist (<ref-law>).
1.2 Gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen auch Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Beim vorliegenden Entscheid über die definitive Rechtsöffnung handelt es sich um einen solchen Entscheid.
1.3 In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (<ref-law>). Gemäss dem angefochtenen Urteil beträgt der Streitwert Fr.10'611.25 (E. 7h S. 7), was vom Beschwerdeführer nicht bestritten wird. Entgegen seiner Meinung ist der Ausnahmegrund nach <ref-law> nicht gegeben, denn das Obergericht hat nicht als Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen entschieden, sondern als Kassationsinstanz nach <ref-law>/ZH (Beschluss, E. 6 S. 4/5). Die Eingabe des Beschwerdeführers kann somit nur als Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> entgegengenommen werden.
1.3 In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (<ref-law>). Gemäss dem angefochtenen Urteil beträgt der Streitwert Fr.10'611.25 (E. 7h S. 7), was vom Beschwerdeführer nicht bestritten wird. Entgegen seiner Meinung ist der Ausnahmegrund nach <ref-law> nicht gegeben, denn das Obergericht hat nicht als Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen entschieden, sondern als Kassationsinstanz nach <ref-law>/ZH (Beschluss, E. 6 S. 4/5). Die Eingabe des Beschwerdeführers kann somit nur als Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> entgegengenommen werden.
1.4 1.4.1 Gemäss <ref-law> kann mit der Verfassungsbeschwerde die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden. Nach Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law> kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat. Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich (<ref-law>), offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398, mit Hinweisen).
1.4.2 Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f. mit Hinweisen).
2.1 Dem Beschwerdeführer wurde nach Erhalt seiner Eingabe mitgeteilt, dass über sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege später entschieden werde. Inwiefern dadurch Art. 13 EMRK verletzt worden sein soll, wird nicht hinreichend dargelegt (Art. 117 i.V.m. <ref-law>), weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
2.1 Dem Beschwerdeführer wurde nach Erhalt seiner Eingabe mitgeteilt, dass über sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege später entschieden werde. Inwiefern dadurch Art. 13 EMRK verletzt worden sein soll, wird nicht hinreichend dargelegt (Art. 117 i.V.m. <ref-law>), weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
2.2 2.2.1 Abzuweisen ist der Antrag auf eine öffentliche und mündliche Parteiverhandlung nach Art. 57 - 59 BGG, denn der Abteilungspräsident oder die Abteilungspräsidentin kann eine mündliche Parteiverhandlung anordnen (<ref-law>), und bei Einstimmigkeit der Richter - wie vorliegend - wird auf dem Weg der Aktenzirkulation entschieden (<ref-law>).
2.2.2 Es trifft zu, dass vor Obergericht keine öffentliche Verhandlung stattgefunden hat. Die Vorinstanz hat dazu bemerkt (E. 5 S. 4), eine öffentliche Verhandlung habe bereits vor Bezirksgericht stattgefunden, und vor Kassationsinstanz sei deshalb eine weitere öffentliche Verhandlung nicht notwendig gewesen (Mark E. Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention [EMRK], 2. A., N. 445). Dagegen bringt der Beschwerdeführer in der Hauptsache bloss vor, es habe keine den zivilprozessrechtlichen Bestimmungen entsprechende Verhandlung im Sinne des Gesetzes, der BV und des Völkerrechts stattgefunden. Dazu ist zunächst festzuhalten, dass im vorliegenden Verfahren keine zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen im Sinne von Art. 6 EMRK zur Beurteilung stehen, sondern deren Vollstreckung, so dass diese Bestimmung nicht anwendbar ist. Im Übrigen ist auf diese bloss appellatorische Kritik nicht einzutreten (dazu: <ref-ruling> E. 6 S. 397).
2.2.3 Weiter hat das Obergericht in diesem Zusammenhang erwogen (E. 7f S. 7), der Anspruch auf öffentliche Urteilsverkündung erfordere nicht, dass der Entscheid in einer öffentlichen Verhandlung verlesen werde. Gemäss der bundesgerichtlichen Praxis und der Strassburger Rechtsprechung genüge es, wenn er öffentlich zugänglich gemacht werde, z.B. durch Hinterlegung bei der Gerichtskanzlei oder wenn sich Interessierte Kopien ausstellen lassen könnten. In der Beschwerdeschrift wird dazu unter anderem lediglich vorgetragen, eine kontradiktorische mündliche und öffentliche Verhandlung habe nicht stattgefunden und Aussenstehende könnten nicht zu einem erschwinglichen Preis Fotokopien erstellen; und diese Verfahrensmängel seien vom Obergericht nicht geheilt worden. Auf diese appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid ist nicht einzutreten (dazu: <ref-ruling> E. 6 S. 397; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.).
2.2.4 Ferner hat die Vorinstanz ausgeführt, daraus, dass der Vertreter der Beschwerdegegner an der Rechtsöffnungsverhandlung nicht teilgenommen habe, könne nicht abgeleitet werden, dass keine öffentliche Verhandlung stattgefunden habe (E. 7e S. 6). Dagegen wird nur vorgetragen, gerügt worden sei nicht, dass keine öffentliche Verhandlung stattgefunden habe, sondern dass der Anspruch auf eine kontradiktorische mündliche und öffentliche Verhandlung im erstinstanzlichen Verfahren verletzt worden sei. Auch dieses Vorbringen kann mangels hinreichender Begründung nicht gehört werden (E. 2.2.2 hiervor).
3.1 3.1.1 Sodann rügt der Beschwerdeführer, er habe in der Nichtigkeitsbeschwerde vom 12. Juli 2007 beantragt, es sei ihm vor dem Entscheid das Recht auf Einsicht in die von der Vorinstanz edierten Akten zu gewähren. Ohne dass er Einsicht in die Akten habe nehmen können, sei der obergerichtliche Beschluss vom 14. August 2007 ergangen. Auf sein Schreiben vom 26. August 2007 habe das Obergericht ihm mitgeteilt, dass das Bezirksgericht Bülach aufgefordert worden sei, die Akten noch nicht an die Beschwerdegegner zurückzusenden, damit er sie dort einsehen könne. Bei der Prüfung der Akten habe er festgestellt, dass die vom Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirksgerichts Bülach in dessen Verfügung als act. 2 bezeichnete Vollmacht "in einer rechtsgenügenden Form gar nicht existiert".
3.1.2 Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung folgt aus Inhalt und Funktion des Akteneinsichtsrechts als Teil des Anspruchs auf rechtliches Gehör, dass grundsätzlich sämtliche beweiserheblichen Akten den Beteiligten gezeigt werden müssen, sofern in dem sie betreffenden Verfahren darauf abgestellt wird (vgl. <ref-ruling> E. 2e S. 302; <ref-ruling> E. 4.1 88). Der Einzelrichter hat erwogen (E. 2.3), der Beschwerdeführer mache geltend, die gegen ihn eröffnete Betreibung sei nichtig, da der Rechtsvertreter der Beschwerdegegner die Betreibung gegen ihn ohne deren Vollmacht eingereicht habe. Dieser Einwand des Beschwerdeführers gehe fehl, denn aus den Akten gehe eindeutig hervor, dass der Rechtsvertreter der Beschwerdegegner über eine allgemein gehaltene Vollmacht zur gerichtlichen und aussergerichtlichen Vertretung in Sachen "Erbschaft T._" verfüge. Da das Aktenstück, für welches der Beschwerdeführer beim Obergericht das Begehren um Einsicht gestellt hatte, keinen Beweischarakter hat, wurde mit der ihm erst nachträglich ermöglichten Überprüfung der Vollmacht das rechtliche Gehör nicht verletzt.
3.2 Das Obergericht hat dazu im Weitern ausgeführt (S. 5 E. 7a), der Beschwerdeführer habe keinen Nichtigkeitsgrund nachgewiesen. Das Betreibungsamt sei nicht verpflichtet, sich über die Vollmacht des Gläubiger-Vertreters zu vergewissern. Sei er der Auffassung gewesen, Rechtsanwalt Cahenzli habe das Betreibungsbegehren ohne Vollmacht gestellt, hätte der Beschwerdeführer nach Empfang des Zahlungsbefehls eine betreibungsrechtliche Beschwerde erheben müssen. Ein "Nachschieben von Vollmachten" wäre dann übrigens zulässig gewesen (vgl. dazu Sabine Kofmel Ehrenzeller, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Hrsg. Staehelin/ Bauer/Staehelin, SchKG I, Basel 1998, N. 23 zu Art. 67).
-:-
Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, die Ansicht der Vorinstanz sei unhaltbar. Kläger im Rechtsöffnungsverfahren könne nur sein, wer als Gläubiger eine Betreibung einleite. Es liege ein Nichtigkeitsgrund im Sinne von <ref-law> vor, welcher von Amtes wegen zu beachten sei. Die Vorbringen sind unbegründet, und es kann offen gelassen werden, ob sie den Begründungsanforderungen überhaupt genügen (E. 1.4.2 hiervor). Gemäss <ref-ruling> ist (sogar) das Betreibungsbegehren eines vollmachtlosen Stellvertreters gültig, wenn es im Beschwerdeverfahren durch den Vertretenen genehmigt wird. Vorliegend ist der Rechtsvertreter der Beschwerdegegner zur Wahrung von deren Interessen in der erbrechtlichen Auseinandersetzung bevollmächtigt worden, und dazu gehört auch die Eintreibung der von den Gerichten den Beschwerdegegnern zugesprochenen Parteientschädigungen. Lag somit kein Nichtigkeitsgrund vor, hätte der Beschwerdeführer die Rüge nach Erhalt des Zahlungsbefehls im Beschwerdeverfahren nach <ref-law> erheben müssen, was im jetzigen Verfahrensstadium nicht mehr nachgeholt werden kann. Auf den verspätet vorgebrachten Einwand ist somit nicht einzutreten.
4. 4.1 Als Nächstes rügt der Beschwerdeführer, das Obergericht habe <ref-law> missachtet, denn die Forderung der Beschwerdegegner sei nicht fällig.
4.1.1 Im angefochtenen Beschluss wird dazu erwogen (E. 7b), mit Urteil des Bezirksgerichts Surselva vom 1. März 2005 sei die vom Beschwerdeführer gegen die Beschwerdegegner erhobene Testamentsungültigkeitsklage abgewiesen worden. Das Kantonsgericht von Graubünden und das Bundesgericht hätten am 5. September 2005 bzw. 26. September 2006 die vom Beschwerdeführer erhobenen Berufungen abgewiesen. Bei der in Betreibung gesetzten Forderung handle es sich um die Prozessentschädigungen, die den Beschwerdegegnern im erst- und zweitinstanzlichen Verfahren zugesprochen worden seien. Dass die 6-monatige Frist gemäss Art. 26 (recte: 35) EMRK bei Einleitung der Betreibung anscheinend noch nicht abgelaufen gewesen sei, habe nichts daran geändert, dass die Forderung damals schon fällig gewesen sei, da die Beschwerde an den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte kein Rechtsmittel mit Suspensiveffekt sei. Auch habe der blosse Umstand, dass der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde vom 6. Mai 2007 um Anordnung von vorläufigen Massnahmen im Sinne von Art. 39 Abs. 1 der Verfahrensordnung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte ersucht habe, nicht dazu geführt, dass die Vollstreckbarkeit gehemmt worden sei.
4.1.2 Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Erwägungen nicht auseinander, sondern trägt vor, es sei fraglich, ob das Urteil des Bundesgerichts 5C.95/2006 ein Urteil im Sinne des SchKG sei, denn es sei kein kontradiktorisches Verfahren durchgeführt worden. Mit diesen und den weiteren Argumenten kann nicht dargetan, dass die Vollstreckung der Forderung - insbesondere durch Gewährung der aufschiebenden Wirkung - suspendiert worden ist. Darauf ist nicht einzutreten.
4.2 Zur Verrechnungseinrede hat die Vorinstanz bemerkt, der Beschwerdeführer weise mit dem vorgelegten Inventar keine fällige Gegenforderung von Fr. 31'550.-- nach (E. 7c). Der Einzelrichter habe daher seine Einrede zu Recht verworfen (E. 2.5).
Der Beschwerdeführer setzt sich auch damit nicht auseinander und legt nicht dar, inwiefern diese tatsächliche Feststellung gestützt auf das von ihm vorgelegte Beweismittel vor <ref-law> nicht Stand halten soll (E. 1.4.1 hiervor). Mit seinen Berechnungen zu den Ansprüchen der beiden Erbenstämme auf die Barschaft kann Willkür nicht dargetan werden. Im Übrigen räumt der Beschwerdeführer selbst ein, dass diese Zahlen noch "ungeprüft" seien und die Erbteilung noch nicht abgeschlossen sei, womit kein "völlig eindeutiger Urkundenbeweis" im Sinne von <ref-law> erbracht werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 100). Der Verrechnungseinrede wurde somit zu Recht nicht stattgegeben.
5. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law>, weil das Obergericht ihm die unentgeltliche Rechtspflege verweigert habe.
5.1 Im angefochtenen Beschluss wird dazu - zusammengefasst - ausgeführt, inwiefern sich rechtlich komplexe Fragen gestellt hätten, welche ein juristischer Laie ohne anwaltliche Vertretung und auf sich allein gestellt nicht habe bewältigen können, sei nicht ersichtlich. Unter diesen Umständen könne aber nicht gesagt werden, dass im Sinne von <ref-law>/ZH zur gehörigen Führung des Prozesses die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters erforderlich gewesen wäre. Weder Art. 6 Abs. 1 EMRK, der u.a. das Recht auf den Zugang zu einem Gericht garantiere, wozu auch das Armenrecht gehöre, noch Art. 14 Ziff. 1 IPBPR gewährten dem Beschwerdeführer einen selbständigen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, der weiter gehe als derjenige von <ref-law> bzw. <ref-law>/ZH (E. 7d).
Die Vorinstanz hat dazu ferner bemerkt, der Einzelrichter habe den Prozessstandpunkt des Beschwerdeführers zu Recht als aussichtslos bezeichnet. Die Frage, ob dieser mittellos sei, habe daher nicht näher geprüft werden müssen (E. 7g).
5.2 Der Beschwerdeführer stellt dem entgegen, gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung liege keine Aussichtslosigkeit vor. Er beruft sich dabei namentlich auf die Frage der Nichtigkeit gemäss <ref-law>. Wie der E. 3.2 hiervor entnommen werden kann, hat das Obergericht klarerweise kein Bundesrecht verletzt, indem es das Vorliegen eines nichtigen Zahlungsbefehls verneint hat. Auch die übrigen Vorwürfe des Beschwerdeführers an die Vorinstanz haben sich als unbegründet erwiesen, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden konnte. Daraus folgt, dass die Prozessbegehren des Beschwerdeführers vom Obergericht als aussichtslos angesehen werden konnten, weil die Gewinnaussichten beträchtlich geringer waren als die Verlustgefahren und daher kaum als ernsthaft bezeichnet werden konnten (dazu: <ref-ruling> E. 2.3.1). Eine Missachtung von <ref-law> liegt demnach nicht vor.
6. 6.1 Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>); seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden, da die Beschwerde von vornherein keine Aussicht auf Erfolg haben konnte (<ref-law>).
6.2 Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegner, die sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu äussern hatten und dem antragsgemäss entsprochen wurde, angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 700.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett