Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 1996) will seinen Vater A.A._ auf Unterhalt belangen. Im Hinblick darauf ersuchte er am 10. November 2014 das Regionalgericht Oberland (Kanton Bern) darum, den Vater zur Zahlung eines angemessenen Prozesskostenvorschusses zu verurteilen. Im Sinne eines Eventualbegehrens stellte B.A._ den Antrag, ihm für das Verfahren vor der Schlichtungsbehörde Berner Oberland das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
A.b. Mit Entscheid vom 4. März 2015 hiess das Regionalgericht Oberland das Gesuch um Leistung eines Prozesskostenvorschusses gut. Es verpflichtete A.A._, seinem Sohn bis am 31. März 2015 einen Parteikostenvorschuss von Fr. 5'100.-- zu leisten. Über das eventualiter gestellte Armenrechtsgesuch befand das Gericht nicht. Die Gerichtskosten für das Prozesskostenvorschussgesuch, bestimmt auf Fr. 250.--, wurden A.A._ auferlegt. Die Parteikosten schlug das Regionalgericht zur Hauptsache, das Gesuch von A.A._ um unentgeltliche Rechtspflege wies es ab, ohne dafür Kosten zu erheben.
B.
Erfolglos focht A.A._ diesen Entscheid beim Obergericht des Kantons Bern an. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 28. Mai 2015 ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil. Neu wurde A.A._ zur Leistung des Parteikostenvorschusses eine Frist bis zum 19. Juni 2015 gesetzt (Ziff. 1). Das Gesuch von A.A._ um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren wies das Obergericht ab, ohne dafür Verfahrenskosten zu erheben (Ziff. 2). Es auferlegte A.A._ die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 600.-- (Ziff. 3) und verurteilte ihn, B.A._ für das oberinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'200.-- zu bezahlen (Ziff. 4).
C.
C.a. A.A._ (Beschwerdeführer) wendet sich mit Eingabe vom 1. Juli 2015 an das Bundesgericht. Er verlangt, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung "an die kantonalen Instanzen zurückzuweisen". Zudem verlangt der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege.
C.b. Auf Antrag des Beschwerdeführers erteilte das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde mit Verfügung vom 14. Juli 2015 die aufschiebende Wirkung. B.A._ (Beschwerdegegner) hatte in seiner Stellungnahme vom 10. Juli 2015 die Abweisung des Antrags verlangt und gleichentags um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine bei ihm eingereichte Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 475).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Der Sache nach betrifft der Streit um den Prozesskostenvorschuss die Leistung von Unterhalt an das volljährige Kind (<ref-law>), also eine Zivilsache im Sinne von <ref-law>. Die besagte elterliche Unterhaltspflicht umfasst grundsätzlich auch die Prozesskosten (<ref-ruling> E. 3d-f S. 206 ff.). Nach Massgabe von <ref-law> kann der Richter für die Dauer des Prozesses vorsorgliche Massnahmen treffen. Zu diesen Massnahmen zählt auch die - hier umstrittene - Anordnung an den beklagten Elternteil, dem volljährigen Kind im Hinblick auf dessen Unterhaltsklage einen Prozesskostenvorschuss zu leisten (Urteil 5P.184/2005 E. 1.3 mit Hinweisen). Dabei handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid (<ref-law>). Denn wer schliesslich für die Prozesskosten aufzukommen hat, wird endgültig erst im Unterhaltsstreit entschieden werden. Insofern unterscheidet sich die hier zu beurteilende Streitsache von Eheschutzentscheiden und vorsorglichen Massnahmen im Scheidungsverfahren, die das Bundesgericht als Endentscheide (<ref-law>) qualifiziert (<ref-ruling> E. 4. S. 395 f.). Auf einen solchen Massnahme- oder Eheschutzentscheid kann im Scheidungsprozess nicht mehr zurückgekommen werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 431 f.; speziell zur sog. provisio ad litem eines Ehegatten zu Gunsten des andern: Urteil 5D_30/2013 vom 15. April 2013 E. 1). Hingegen kann im vorliegenden Fall über die Prozesskosten immer auch noch im (Hauptsache-) Endentscheid betreffend den Volljährigenunterhalt entschieden werden.
2.
2.1. Gegen Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG). Der drohende nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG muss rechtlicher Natur sein. Das setzt voraus, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 6 S. 192; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung obliegt es dem Beschwerdeführer darzutun, dass eine dieser beiden Voraussetzungen erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 1.2 in fine S. 429), es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 633).
2.2. Der Beschwerdeführer behauptet an keiner Stelle in seiner Beschwerde, der vorinstanzliche Entscheid könne einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken oder die Gutheissung seiner Beschwerde würde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen. Tut der Beschwerdeführer aber überhaupt nicht dar, warum ein selbständig anfechtbarer Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vorliegt, übersieht er mithin diese Eintretensfrage schlechthin, so kann das Bundesgericht von vornherein nicht auf die Beschwerde eintreten (Urteil 5A_620/2011 vom 16. November 2011 E. 3.2 mit Hinweisen). Damit kann offen bleiben, ob die Vorinstanz dem Beschwerdeführer zu Recht vorwirft, seine Bedürftigkeit nicht bzw. verspätet geltend gemacht zu haben.
3.
Die Vorinstanz verweigert dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren. Sie begründet dies mit einem Hinweis auf den von ihr gefällten Beschwerdeentscheid im Streit um den Prozesskostenvorschuss. Der Beschwerdeführer sieht darin eine Verletzung der Begründungspflicht, "indem sie [gemeint: die Vorinstanz] aus der Abweisung der Beschwerde auf deren angebliche Aussichtslosigkeit schloss". Auch auf diesen Vorwurf ist nicht einzutreten. Im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege folgt der Rechtsweg vor Bundesgericht jenem der Hauptsache (Urteil 5A_58/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 1). Mündet der Prozess, für den um das Armenrecht gestritten wird, in einen Zwischenentscheid, und tritt das Bundesgericht auf die dagegen erhobene Beschwerde nicht ein (E. 2), so muss diese Nichteintretensfolge auch gelten, soweit mit derselben Beschwerde die Verweigerung des Armenrechts für das vorinstanzliche Rechtsmittelverfahren beanstandet wird. Dass der Anspruch auf rechtliches Gehör formeller Natur und daher vorweg zu prüfen ist, ändert daran nichts (vgl. Urteil 5A_187/2014 vom 9. Mai 2014 E. 4).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er schuldet dem Beschwerdegegner aber keine Entschädigung: Der Beschwerdegegner wurde nur zur Frage der aufschiebenden Wirkung zur Vernehmlassung eingeladen und unterlag in diesem Punkt (s. Sachverhalt Bst. D). Die Gesuche beider Parteien um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung können gutgeheissen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Angesichts der finanziellen Situation des Beschwerdeführers ist die Rechtsanwältin des Beschwerdegegners direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Der Beschwerdeführer hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>). Weil der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt wurde, ist schliesslich die Frist zur Leistung des Parteikostenvorschusses neu anzusetzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner bis am 30. November 2015 einen Parteikostenvorschuss von Fr. 5'100.-- zu leisten.
3.
3.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Gregor Marcolli als Rechtsbeistand beigegeben.
3.2. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdegegner Rechtsanwältin Michaela C. Hamberger als Rechtsbeiständin beigegeben.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, vorerst aber auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Rechtsanwalt Gregor Marcolli wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
6.
Rechtsanwältin Michaela C. Hamberger wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 500.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn