Sachverhalt:
A.
A.a. Der am 15. Mai 1946 geborene D._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Am 3. Dezember 2010 ging sein Antrag auf Rückvergütung der AHV-Beiträge bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) ein. Diese wies ihn mit Schreiben vom 22. Februar 2011 auf die Möglichkeit hin, dass in Zukunft ein neues Sozialversicherungsabkommen zwischen Kosovo und der Schweiz geschlossen werden könnte; in diesem Fall hätte er Anspruch auf eine prognostische Altersrente von Fr. 494.-, wenn er die Rückvergütung nicht verlange, weshalb man ihm Gelegenheit gebe, seinen diesbezüglichen Antrag zurückzuziehen. Daraufhin bestätigte er am 9. März 2011, dass er am Antrag auf Rückvergütung festhalte. Am 22. März 2011 verfügte die SAK die Rückvergütung von Fr. 33'851.05, dieser Betrag wurde mit Valuta 11. April 2011 dem Konto von D._ gutgeschrieben.
A.b. Mit vom 15. November 2011 datiertem Schreiben (Eingang bei der SAK: 28. Juli 2011) beantragte D._ die Rückabwicklung der Rückvergütung sowie die Auszahlung einer Altersrente. Zudem erhob er am 5. Dezember 2011 Einsprache gegen die Verfügung vom 22. März 2011. Am 22. Februar 2012 wurde D._ von der SAK aufgefordert, den Betrag von Fr. 33'851.05 vollumfänglich zurückzuerstatten. Nachdem dieser der SAK mit vom 5. Dezember 2011 datiertem Schreiben (Eingang bei der SAK: 28. März 2012) mitgeteilt hatte, dass er die gesamte Summe bereits verbraucht hätte und deshalb nicht zurückerstatten könne, aber sinngemäss einen höheren Betrag forderte, bestätigte die SAK mit Einspracheentscheid vom 17. Juli 2012 ihre Verfügung vom 22. März 2011 mit dem darin festgesetzten Rückvergütungsbetrag von Fr. 33'851.05. Die dagegen erhobene Beschwerde beurteilte das Bundesverwaltungsgericht im Entscheid vom 22. Oktober 2012 dahingehend, dass die Verfügung vom 22. März 2011 in Rechtskraft erwachsen und die SAK deshalb zu Unrecht auf die (verspäteten) Einsprachen vom 15. November und 5. Dezember 2011 eingetreten sei. Deshalb sei der angefochtene Einspracheentscheid vom 17. Juli 2012 insoweit in teilweiser Gutheissung der Beschwerde aufzuheben, als mit ihm die Einsprache abgewiesen worden sei. Da in den Eingaben vom 15. November und 5. Dezember 2011 jedoch auch die Ausrichtung einer Altersrente beantragt worden und im angefochtenen Einspracheentscheid dieser Antrag abgewiesen worden sei, sei dieser insoweit als Verfügung und nicht als Einspracheentscheid zu qualifizieren, weshalb die Beschwerde, soweit sie sich gegen die Abweisung des Rentenanspruchs richte, eine Einsprache darstelle und nicht darauf einzutreten, sondern zur Beurteilung zuständigkeitshalber an die SAK zu überweisen sei.
A.c. In Nachachtung dieses Entscheides des Bundesverwaltungsgerichts erliess die SAK den Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2012 und wies damit einen Altersrentenanspruch von D._ ab, da das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde.
B.
Das Bundesverwaltungsgericht hiess die dagegen eingereichte Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid der SAK vom 5. Dezember 2012 auf und sprach D._ ab 1. Juni 2011 eine ordentliche Altersrente von monatlich Fr. 570.- zu (Entscheid vom 10. April 2013).
C.
Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 10. April 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2012 zu bestätigen.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) stellt Antrag auf Gutheissung der Beschwerde. D._ und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist - wozu auch Unvollständigkeit gehört (Urteil 9C_395/2009 vom 16. März 2010 E. 2.4) - oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Gemäss <ref-law> in der bis Ende 2011 gültigen Fassung haben Schweizer Bürger, Ausländer und Staatenlose Anspruch auf Alters- und Hinterlassenenrenten (Abs. 1). Ausländer sowie ihre Hinterlassenen ohne Schweizer Bürgerrecht sind nur rentenberechtigt, solange sie ihren Wohnsitz und gewöhnlichen Aufenthalt (<ref-law>) in der Schweiz haben. Dieses Erfordernis ist von jeder Person, für die eine Rente ausgerichtet wird, einzeln zu erfüllen. Vorbehalten bleiben die besonderen bundesrechtlichen Vorschriften über die Rechtsstellung der Flüchtlinge und der Staatenlosen sowie abweichende zwischenstaatliche Vereinbarungen, insbesondere mit Staaten, deren Gesetzgebung den Schweizer Bürgern und ihren Hinterlassenen Vorteile bietet, die denjenigen dieses Gesetzes ungefähr gleichwertig sind (Abs. 2). Den Ausländern, die ihren Wohnsitz im Ausland haben und mit deren Heimatstaat keine zwischenstaatliche Vereinbarung besteht, sowie ihren Hinterlassenen können die gemäss den Artikeln 5, 6, 8, 10 oder 13 bezahlten Beiträge rückvergütet werden. Der Bundesrat regelt die Einzelheiten, insbesondere das Ausmass der Rückvergütung (Abs. 3).
Bei Personen, die mehrere sich ablösende Staatsangehörigkeiten besessen haben, ist für die Rentenberechtigung die Staatsangehörigkeit während des Rentenbezugs massgebend. Diese Regelung ist in Art. 18 Abs. 2 bis AHVG eingefügt worden, der am 1. Januar 2012 in Kraft getreten ist (AS 2011 4745).
3.
Wie das Bundesgericht in <ref-ruling> entschieden hat, ist das Abkommen vom 8. Juni 1962 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der ehemaligen (Sozialistischen) Föderativen Volksrepublik Jugoslawien über Sozialversicherung (nachfolgend: Sozialversicherungsabkommen; SR 0.831.109.818.1) ab 1. April 2010 nicht weiter auf kosovarische Staatsangehörige anzuwenden. Dem Urteil lag der Fall eines 1977 geborenen kosovarischen Staatsangehörigen mit Wohnsitz in Kosovo zu Grunde, dessen Gesuch auf Rückvergütung der AHV-Beiträge das Bundesverwaltungsgericht unter Hinweis auf die Weiteranwendung des Sozialversicherungsabkommens abgewiesen hatte.
Die bundesgerichtliche Rechtsprechung lässt sich ohne weiteres auf den hier zu beurteilenden Fall übertragen:
3.1. Der Beschwerdegegner hat in seinem Antrag auf Rückvergütung von AHV-Beiträgen angegeben, er sei kosovarischer Staatsangehöriger. Die Frage nach einer Doppelbürgerschaft hat er explizit verneint; dies auch bezüglich seiner Ehefrau. Seine kosovarische Staatsangehörigkeit geht zudem aus der Bestätigung der Staatsbürgerschaft der Republik Kosovo vom 5. November 2010 sowie aus der am gleichen Datum ausgestellten Geburtsurkunde hervor. Eine Doppelbürgerschaft macht der Beschwerdegegner nicht geltend. Abgesehen davon hat das Bundesgericht einen Automatismus oder den Grundsatz, dass Personen aus dem Kosovo neben der Staatsangehörigkeit des Kosovos auch die serbische Staatsangehörigkeit besitzen, wie es im Entscheid C-4828/2010 des Bundesverwaltungsgerichts vom 7. März 2011 vertreten wird, verworfen (<ref-ruling> E. 12.2 S. 285).
3.2. Was die zeitliche Geltung des Sozialversicherungsabkommens im Verhältnis zu Kosovo bis zum 31. März 2010 betrifft, so hielt das BSV in seinen Mitteilungen an die AHV-Ausgleichskassen und EL-Durchführungsstellen Nr. 265 vom 28. Januar 2010 fest, dass es auf bestehenden AHV-Leistungen einen Besitzstand gebe, während für die Zusprache von neuen AHV-Leistungen die Rechtsgrundlagen wie für Angehörige von Staaten, mit welchen die Schweiz kein Sozialversicherungsabkommen hat, gelten würden. Massgebend für die Zusprache einer Altersrente sei dabei der Eintritt des Versicherungsfalles, also das Erreichen des Rentenalters (Geburtstag). Das Bundesgericht hat diese Handhabung, die mit dem auf den 1. Januar 2012 eingeführten Art. 18 Abs. 2 bis AHVG (vgl. E. 3) eine definitive Klärung erfahren hat, mit Urteil 9C_53/2013 vom 6. August 2013 E. 3.3 bestätigt.

Der Beschwerdegegner erreichte am 15. Mai 2011 das ordentliche Rentenalter von 65 Jahren (<ref-law>), mithin in einem Zeitpunkt, in welchem das fragliche Sozialversicherungsabkommen im Verhältnis zu Kosovo nicht mehr anwendbar war. Demnach verfügt er über keinen Anspruch auf eine Altersrente, und zwar unabhängig davon, dass er den bereits ausbezahlten Rückforderungsbetrag nicht zurückerstattet hat.
4.
Bei dieser Sach- und Rechtslage erweist sich die Beschwerde der SAK als begründet. Entsprechend gehen die Gerichtskosten zu Lasten des Beschwerdegegners (<ref-law>).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 10. April 2013 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Ausgleichskasse vom 5. Dezember 2012 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. September 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Helfenstein