Sachverhalt:
A. Gemäss § 17 Abs. 1 der zürcherischen Verordnung über die nichtärztlichen Psychotherapeutinnen und Psychotherapeuten vom 1. Dezember 2004 (im Folgenden: PsyV/ZH) darf eine gemäss § 22a des kantonalen Gesetzes vom 4. November 1962 über das Gesundheitswesen (Gesundheitsgesetz, im Folgenden: GesG/ZH) zur Ausbildung von Psychotherapeuten berechtigte Fachperson (entsprechend spezialisierte Ärzte sowie Psychotherapeuten mit qualifizierter Ausbildung) mit Bewilligung der Gesundheitsdirektion unselbständige Psychotherapeuten anstellen, sofern diese über die in § 17 Abs. 2 PsyV/ZH umschriebene minimale Ausbildung verfügen. Insgesamt dürfen gemäss § 17 Abs. 3 PsyV/ZH höchstens sechs unselbständig tätige Psychotherapeuten angestellt werden, wovon höchstens drei die Voraussetzungen für die Zulassung zur selbständigen Berufsausübung erfüllen dürfen.
B. Am 21. Dezember 2005 erteilte die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich X._, med. pract., die Bewilligung zur Beschäftigung von acht Personen, welche allesamt im Besitz einer Zulassung zur selbständigen Berufsausübung der nichtärztlichen Psychotherapie sind. Die Bewilligung war jedoch befristet bis Ende Mai 2008. Durch Verfügung der Gesundheitsdirektion vom 15. Januar 2007 wurde X._ verpflichtet, die Zahl der bei ihm angestellten Psychotherapeuten per 1. Juni 2008 auf sechs, derjenigen mit Berufsausübungsbewilligung auf drei zu reduzieren.
C. Mit Entscheid vom 4. Oktober 2007 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Kammer, eine dagegen eingereichte Beschwerde teilweise gut, indem es X._ lediglich dazu verpflichtete, die Beschäftigung der unselbständig tätigen Psychotherapeuten insgesamt auf sechs Personen zu reduzieren. Auf die weitere Auflage, wonach nur drei der sechs angestellten Psychotherapeuten die Voraussetzungen für die Zulassung zur selbständigen Berufsausübung erfüllen dürften, verzichtete das Gericht unter Hinweis auf ein zwischenzeitlich ergangenes Urteil des Bundesgerichts (2P.59/2007 vom 12. Juni 2007), worin die betreffende Regelung des Verordnungsgebers als unverhältnismässiger Eingriff in die Wirtschaftsfreiheit erkannt worden war.
D. Mit Eingabe vom 6. Dezember 2007 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 4. Oktober 2007 sowie die Verfügung der kantonalen Gesundheitsdirektion vom 15. Januar 2007 aufzuheben. In der Sache wird darum ersucht, "auf Stellenprozente und nicht auf eine Pro-Kopf-Beschränkung abzustellen" und dem Beschwerdeführer "insbesondere eine Bewilligung zur zeitlich nicht legitimierten [recte: limitierten] Beschäftigung von Psychotherapeutinnen und Psychotherapeuten mit insgesamt 600-Stellenprozenten zu erteilen".
Das Verwaltungsgericht und die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid über eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts, welche unter keinen der in <ref-law> genannten Ausschlussgründe fällt, weshalb das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist.
1.2 Der Beschwerdeführer, welcher am vorinstanzlichen Verfahren als Partei teilgenommen hat, ist als Arbeitgeber durch die ergangene Anordnung in seiner Wirtschaftsfreiheit betroffen und gemäss <ref-law> zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert.
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Hingegen gilt der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. <ref-law>). Im Anwendungsbereich von <ref-law> ist die Praxis zum Rügeprinzip gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) weiterzuführen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer erblickt in der ihm auferlegten Verpflichtung, die Beschäftigung der unselbständig tätigen Psychotherapeuten insgesamt auf sechs Personen zu reduzieren, eine Verletzung der Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>). Zunächst bedürfe eine derartige Beschränkung einer Grundlage in einem formellen Gesetz, an welcher es hier fehle. Sodann bestehe kein genügendes öffentliches Interesse an einer Pro-Kopf-Beschränkung. Die Wirtschaftsfreiheit (organisatorische Freiheit des beschäftigenden Arztes) sowie das Diskriminierungsverbot (Benachteiligung von Teilzeitbeschäftigten) ständen jedenfalls einer Begrenzung entgegen, welche nicht nach Stellenprozenten (d.h. vorliegend 600 Stellenprozente statt sechs Personen) erfolge. Im Übrigen sei die Massnahme auch unverhältnismässig, könne doch die Aufsicht des Arztes über die angestellten Psychotherapeuten in gleicher Weise über sechs Personen mit einem 100%-Pensum oder acht Personen mit einem 75 %-Pensum wahrgenommen werden; das zu überwachende Arbeitsvolumen verändere sich dadurch nicht.
2.2 Die dem Beschwerdeführer gemachte Auflage, wonach er, um das gesetzliche Gebot der persönlichen Berufsausübung noch zu erfüllen (§ 10 Abs. 1 GesG/ZH), maximal sechs unter seiner Aufsicht unselbständige Psychotherapeuten beschäftigen darf (§ 17 Abs. 3 PsyV/ZH), unabhängig vom Pensum des einzelnen Angestellten, stellt keinen schweren Eingriff in die Wirtschaftsfreiheit dar. Die gesetzliche Grundlage im kantonalen Recht ist daher nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür zu prüfen.
Die streitige Auslegung durch das Verwaltungsgericht, wonach sich die in § 17 Abs. 3 PsyV/ZH festgelegte Höchstzahl der Angestellten nicht auf entsprechende Stellenprozente, sondern auf die Zahl der (ganz- oder teilzeitlich) beschäftigten Personen beziehe, lässt sich mit dem Wortlaut dieser Bestimmung ohne weiteres vereinbaren. Von einer willkürlichen Auslegung dieser Verordnungsvorschrift kann nicht gesprochen werden. Ebensowenig lässt sich einwenden, die Vorschrift entbehre der erforderlichen höherstufigen Grundlage. Wie das Bundesgericht bereits im Urteil 2P.59/2007 vom 12. Juni 2007, E. 4, festgehalten hat, muss eine zur Beschäftigung unselbständig erwerbstätiger Psychotherapeuten berechtigte Fachperson in der Lage sein, die ihr obliegende Aufsicht über die unter ihrer Kontrolle arbeitenden Personen auszuüben, was eine Beschränkung der Zahl dieser Angestellten durch den Verordnungsgeber zu rechtfertigen vermag, auch wenn dies auf Stufe des formellen Gesetzes nicht ausdrücklich vorgesehen ist. Dem Umstand, dass - wie der Beschwerdeführer vorbringt - auch andere Lösungen denkbar sind und andere Kantone auf eine entsprechende zahlenmässige Begrenzung verzichten, kommt keine entscheidende Bedeutung zu. Dem kantonalen Verordnungsgeber steht in diesem Zusammenhang ein Gestaltungsspielraum zu, der nur überschritten ist, wenn unnötige oder übertriebene Erfordernisse aufgestellt werden (vgl. zur analogen Situation in Bezug auf die fachlichen Voraussetzungen für die Bewilligung der selbständigen nichtärztlichen psychotherapeutischen Berufstätigkeit: <ref-ruling> E. 2c S. 97 mit Hinweisen). Von einer derart unüblichen Regelung, welche eine Normierung in einem formellen Gesetz als unabdingbar erscheinen liesse (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 122 mit Hinweisen), kann im vorliegenden Zusammenhang nicht gesprochen werden.
2.3 Das öffentliche Interesse an einer Beschränkung der Zahl der angestellten unselbständigen Psychotherapeuten steht ausser Frage. Die Limitierung dient dem berechtigten gesundheitspolizeilichen Anliegen, eine wirksame Aufsicht durch den verantwortlichen Inhaber der Arztpraxis sicherzustellen (vgl. zit. Urteil 2P.59/2007, E. 5.1).
2.4 Zu prüfen bleibt, ob die Beschränkung auf die festgelegte absolute Kopfzahl verhältnismässig ist oder ob die vom Beschwerdeführer postulierte Handhabung der Limite als Maximum von Stellenprozenten, welche eine Aufteilung auf Teilzeitpensen für mehr als sechs Personen erlauben würde, den angestrebten Zweck ebenfalls zu erreichen vermöchte.
Das Verwaltungsgericht stellte zunächst fest, dass die Limitierung auf sechs angestellte Psychotherapeuten als Massnahme zur Sicherung der erforderlichen Aufsicht durch den Inhaber der Praxis, dessen persönlicher Berufsausübung diese Tätigkeiten zuzurechnen seien, bereits eine grosszügige Regelung darstelle. Eine Aufteilung der Maximalzahl von sechs Angestellten auf entsprechende Teilpensen lehnte es ab, unter anderem unter Hinweis auf die Feststellung im erwähnten Urteil des Bundesgerichts 2P.59/2007 vom 12. Juni 2007 (E. 4), wonach diese Begrenzung nach Wortlaut und Sinn der Bestimmung sich auf die Zahl der (ganz- oder teilzeitlich) angestellten Personen beziehe.
Dass diese Auslegung von § 17 Abs. 3 PsyV/ZH vertretbar ist und der streitige Eingriff in die Wirtschaftsfreiheit des Beschwerdeführers damit auf einer ausreichenden gesetzlichen Grundlage beruht, wurde bereits dargelegt. Die daraus resultierende Einschränkung der Organisationsfreiheit des Beschwerdeführers lässt sich aber auch inhaltlich nicht beanstanden. Wie die Vorinstanz und die Gesundheitsdirektion zutreffend ausführen, erscheint bereits die Zulassung der Beschäftigung von bis zu sechs unselbständig tätigen Psychotherapeuten als grosszügige Schranke zur Gewährleistung der erforderlichen Aufsicht durch den Bewilligungsinhaber. Eine Beschränkung der Anstellung von unselbständig tätigen Psychotherapeuten nach blosser Massgabe eines entsprechenden Maximums von Stellenprozenten, was die gleichzeitige Tätigkeit einer grösseren Anzahl von teilzeitlich beschäftigten Angestellten erlauben würde, wäre, wie die Gesundheitsdirektion in ihrer Vernehmlassung mit Grund anführt, schwer praktikabel, da die Tätigkeit der einzelnen Psychotherapeuten - weit mehr als jene von angestellten Ärzten, wo das zürcherische Recht u.a. auch eine (deutlich restriktivere) Begrenzung nach Massgabe von Stellenprozenten vorsieht (vgl. § 10 der Ärzteverordnung vom 6. Mai 1998) - vom jeweiligen aktuellen Bedarf der Patienten abhängt und insoweit nicht nach Stellenprozenten planbar ist. Zudem ist eine wirksame Kontrolle nur möglich, wenn die Zahl der zu überwachenden Personen begrenzt bleibt. Die Handhabung der in der Verordnung festgelegten Limite als absolute Kopfzahl verstösst daher nicht gegen das Gebot der Verhältnismässigkeit. Aus der angerufenen Regelung im TARMED lässt sich nichts Gegenteiliges ableiten.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet abzuweisen.
Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Auf die Zusprechung einer Parteientschädigung besteht kein Anspruch (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. März 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Moser