Sachverhalt:
A.
Am xx.xx.2012 kam A._, Sohn von X._, auf die Welt. Für ihn errichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt Zürich am 4. Dezember 2012 eine Beistandschaft. Sie ernannte B._ zur Beiständin und erteilte ihr den Auftrag, das Kind bei der Wahrnehmung seiner Interessen gegenüber dem Vater zu vertreten und nötigenfalls die Klage auf Feststellung der Vaterschaft und auf Unterhaltszahlungen einzuleiten.
B.
X._ focht den Entscheid der Vormundschaftsbehörde erfolglos beim Bezirksrat Zürich (Urteil vom 6. Juni 2013) und beim Obergericht des Kantons Zürich (Urteil vom 5. August 2013) an.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. September 2013 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, das Urteil der II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich aufzuheben und auf die Anordnung einer Beistandschaft für A._ zu verzichten.
Mit Verfügung vom 21. Oktober 2013 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung dem Gesuch entsprochen, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Im Übrigen hat das Bundesgericht die vorinstanzlichen Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen letztinstanzlichen Endentscheid über die Anordnung einer Beistandschaft (Art. 75 und 90 BGG) und damit um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (<ref-law>). Der Streit ist nicht vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_357/2011 vom 7. Oktober 2011 E. 2). Die Beschwerde ist rechtzeitig eingereicht worden (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Auch wenn es nicht um ihre eigene Verbeiständung, sondern jene ihres Sohns geht, ist die Beschwerdeführerin durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat sie ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist damit grundsätzlich einzutreten.
2.
Soweit die Beschwerdeführerin eine Verletzung der Verfassung rügt, muss diese Rüge in der Beschwerdeschrift präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids ist klar und detailliert darzulegen, inwiefern die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots - einschliesslich der Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) - geltend gemacht, muss im Einzelnen aufgezeigt werden, in welcher Hinsicht der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin sieht in der Bestellung eines Beistands eine unverhältnismässige weil untaugliche Massnahme. Zum einen sei es so, dass sie den Vater nicht kenne und nicht bereit sei, über ihr Intimleben Auskunft zu geben. Zum andern sei sie wirtschaftlich in der Lage, ohne die Unterstützung des biologischen Vaters für ihr Kind zu sorgen. Zudem erhalte sie von ihrem Partner monatliche Zahlungen in nicht unbeachtlicher Höhe. Von diesem Partner läge schliesslich auch eine testamentarische Verfügung zu Gunsten von A._ vor.
3.2.
3.2.1. Nach <ref-law> wird dem Kind ein Beistand ernannt, der für die Feststellung des Kindesverhältnisses zum Vater zu sorgen und die Mutter in der nach den Umständen gebotenen Weise zu beraten und zu betreuen hat, sobald eine unverheiratete Frau während der Schwangerschaft die Kindesschutzbehörde darum ersucht oder diese von der Niederkunft Kenntnis erhält.
Das Gesetz sieht keine Ausnahmen vor. Deshalb ist dem betroffenen Kind auch dann ein Beistand zur Feststellung der Vaterschaft zu bestellen, wenn die Mutter in guten wirtschaftlichen Verhältnissen lebt und daher selbst in der Lage ist, für das Kind zu sorgen. Das aussereheliche Kind hat Anspruch auf Feststellung des Kindesverhältnisses zum Vater, und auch der Vater hat ein schutzwürdiges Interesse, von der Existenz seines Kindes zu erfahren. Eine Vaterschaftsklage ist daher ungeachtet von allfälligen Kindesinteressen zu erheben (<ref-ruling> E. 2c S. 4 f.; CYRIL HEGNAUER, Zur Errichtung und Aufhebung der Beistandschaft für das ausserhalb der Ehe geborene Kind [<ref-law>], in: ZVW 1982, S. 46). Erst Recht kommt es nicht darauf an, wie sich die Mutter zur Feststellung der Vaterschaft stellt. Die Gefährdung des Kindeswohls liegt in der Optik des Gesetzgebers bereits in der Tatsache der ausserehelichen Geburt begründet (<ref-ruling> E. 2a S. 5). Entsprechend spielt es auch keine Rolle, ob die eingesetzte Beiständin überhaupt eine Chance hat, den Vater ausfindig zu machen, wenn die Beschwerdeführerin nicht kooperiert. Die Verhältnismässigkeit der Massnahme erlangt nach der Vorgabe des Gesetzes erst Bedeutung, wenn binnen zwei Jahren seit der Geburt keine Vaterschaftsklage erhoben werden kann. In diesem Fall hat die Kindesschutzbehörde nach <ref-law> auf Antrag des Beistands darüber zu befinden, ob die Beistandschaft aufzuheben ist oder andere Kindesschutzmassnahmen anzuordnen sind (vgl. Hegnauer, a.a.O., S. 50 f.).
3.2.2. Nichts anderes gilt, wenn die Mutter behauptet, nicht zu wissen, wer der Vater des Kindes ist. Es liegt nicht an der Kindesschutzbehörde, schon bei Errichtung der Beistandschaft nach <ref-law> darüber zu befinden, wie es sich damit verhält. Vielmehr ist es gerade die Aufgabe der eingesetzten Beiständin, sich ein Bild darüber zu machen, aus welchem Grund die Mutter keine Angaben zum Vater macht und welche Chancen bestehen, den Vater zu finden. Damit erweist sich auch die Rüge der Beschwerdeführerin als gegenstandslos, wonach die Vorinstanz ihr zu Unrecht unterstelle, den Namen des Vaters nicht bekannt geben zu wollen, während sie immer betont habe, selbst nicht zu wissen, wer der Vater sei.
4.
Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, sie habe "bezüglich der Nennung von intimen Details" einen aus <ref-law> (Recht auf persönliche Freiheit) und <ref-law> (Schutz der Privatsphäre) ableitbaren Anspruch, "diese für sich zu behalten, sofern aus diesen nichts über die mögliche Vaterschaft hergeleitet werden kann". Wie es sich mit diesem Anspruch im Einzelnen verhält, kann offenbleiben. Die Beschwerdeführerin behauptet nämlich nicht einmal, dass sie im Verfahren der Verbeiständung ihres Sohnes konkret dazu aufgefordert worden wäre, solche Einzelheiten bekannt zu geben. Inwiefern bereits die Bestellung eines Beistands für ihren Sohn einen unrechtmässigen Eingriff darstellt, tut die Beschwerdeführerin nicht dar. Mithin mangelt es schon an einer rechtsgenüglichen Rüge (E. 2).
5.
Steht fest, dass dem Kind gestützt auf <ref-law> zu Recht eine Beiständin bestellt worden ist, kann offen bleiben, ob die vormalige Vormundschaftsbehörde die Beiständin auch beauftragen durfte, die Unterhaltsfragen zu klären (<ref-law>). Ein Antrag, das Mandat der Beiständin auf die Feststellung der Vaterschaft zu beschränken, liegt nicht vor und ist daher auch nicht zu prüfen (<ref-law>). Als gegenstandslos erweist sich damit auch der Hinweis der Beschwerdeführerin auf <ref-ruling>. Im Fall, der diesem Urteil zugrunde lag, stand das Kindesverhältnis fest. Zu beurteilen war einzig noch die Frage, welche Voraussetzungen ein Unterhaltsvertrag erfüllen musste, damit von der Bestellung eines Beistands abgesehen werden durfte (<ref-law>). Der Vollständigkeit halber sei schliesslich darauf hingewiesen, dass die von der Beschwerdeführerin ins Recht gelegte "Testamentarische Verfügung C._" vom 26. August 2013 datiert und daher vom Bundesgericht nicht berücksichtigt werden kann (<ref-law>). Dieses legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
6.
Aufgrund des Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Die Beschwerdeführerin trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB der Stadt Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn