Sachverhalt:
A.
Die kosovarische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1959) war seit 1980 mit dem serbischen Staatsangehörigen B.A._ (geb. 1958) verheiratet. Aus der Ehe gingen vier Kinder hervor (geb. 1981, 1982, 1985 und 1989). 1995 erfolgte die Scheidung.
Noch im gleichen Jahr heiratete B.A._ die in der Schweiz niedergelassene Landsfrau B._ (geb. 1965) und reiste 1996 in die Schweiz ein, worauf er die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erhielt. Die Ehe wurde am 13. November 2001 geschieden. Das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: Migrationsamt) erteilte B.A._ am 18. Oktober 2002 die Niederlassungsbewilligung.
A.A._ war 1999 in die Schweiz eingereist und hatte (gemeinsam mit ihren Kindern) erfolglos um Asyl ersucht. Am 14. Januar 2002 verheiratete sie sich erneut mit B.A._, reiste Ende 2003 mit den beiden jüngeren Kindern (damals 18 und 14 Jahre alt) in die Schweiz ein und erhielt die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann.
Zwischen Dezember 2006 und Mai 2009 mussten A.A._ und ihr Ehemann mit insgesamt Fr. 93'770.45 durch die Sozialhilfe unterstützt werden. Weil der Sozialhilfebezug andauerte, verwarnte das Migrationsamt A.A._ am 15. Juni 2009 förmlich und stellte ihr schwerer wiegende ausländerrechtliche Massnahmen in Aussicht, falls sie weiterhin auf Sozialhilfe angewiesen sein oder ihr Verhalten zu anderen Klagen Anlass geben sollte.
B.
Nachdem sich der Gesamtbetrag der bezogenen Sozialhilfegelder bis zum 4. Oktober 2012 auf Fr. 193'482.25 erhöht hatte, wies das Migrationsamt das Gesuch von A.A._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 5. Oktober 2012 ab und wies sie aus der Schweiz weg. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (nachfolgend: Sicherheitsdirektion) am 29. August 2013 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (nachfolgend: Verwaltungsgericht) bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 1. November 2013.
C.
A.A._ erhebt am 9. Dezember 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihr die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen (recte: verlängern); eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Mit Eingabe vom 31. Januar 2014 reicht A.A._ eine ergänzende Beschwerdebegründung und verschiedene Unterlagen ein.
Das Verwaltungsgericht und die Sicherheitsdirektion verzichten auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Migrationsamt hat sich nicht vernehmen lassen. A.A._ hält mit Replik vom 1. April 2014 an ihren Anträgen fest.
Mit Präsidialverfügung vom 9. Januar 2014 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Der verfahrensabschliessende Entscheid des Verwaltungsgerichts als letzter kantonaler Gerichtsinstanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts unterliegt grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a BGG, Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG, Art. 90 BGG). Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Ausländische Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Ein bundesrechtlicher Anspruch ist somit gegeben. Aufgrund der tatsächlich gelebten Ehe mit einem in der Schweiz niedergelassenen Mann kann sich die Beschwerdeführerin zudem auf das Recht auf Achtung des Familienlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK berufen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285). Ob der Anspruch zu bejahen ist, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179). Die Beschwerde ist zulässig.
1.2. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Das angefochtene Urteil wurde der Beschwerdeführerin am 7. November 2013 zugestellt. Die Beschwerdefrist von 30 Tagen (vgl. Art. 100 Abs. 1 BGG) hat somit am 8. November 2013 zu laufen begonnen und - unter Berücksichtigung der Wochenendregel nach Art. 45 Abs. 1 BGG - am 9. Dezember 2013 geendet. Die Eingabe vom 31. Januar 2014 ist damit verspätet, wie die Beschwerdeführerin selbst einräumt. Im Verfahren vor dem Bundesgericht ist es der beschwerdeführenden Partei verwehrt, nach Ablauf der Beschwerdefrist Anträge und Rügen vorzutragen, die sie bereits in der Beschwerde hätte erheben können (<ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47). Die mit Eingabe vom 31. Januar 2014 eingereichten Unterlagen müssen daher unbeachtet bleiben, ohne dass zu prüfen wäre, ob es sich dabei allenfalls um zulässige Noven im Sinn von Art. 99 Abs. 1 BGG handelt.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG); es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
4.
4.1. Die Aufenthaltsbewilligung war der Beschwerdeführerin gestützt auf Art. 43 Abs. 1 AuG erteilt und mehrmals verlängert worden. Gemäss Art. 62 lit. e AuG kann die zuständige Behörde die Bewilligung widerrufen bzw. eine Verlängerung verweigern, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist. Bei diesem Widerrufsgrund geht es in erster Linie darum, eine weitergehende (künftige) Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Ob dies der Fall sein wird, ist allerdings kaum je mit Sicherheit feststellbar. Es ist daher auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung der betroffenen Person und ihrer Familie abzustellen (<ref-ruling> E. 3.9 S. 361 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 8). Für die Bejahung des Widerrufsgrunds nach Art. 62 lit. e AuG ist eine konkrete Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit erforderlich und es kann dafür nicht auf Hypothesen und pauschalierte Gründe abgestellt werden (Urteile 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.3; 2C_358/2011 vom 28. November 2011 E. 3.3; 2C_685/2010 vom 30. Mai 2011 E. 2.3.2). Ein Widerruf soll in Betracht kommen, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt sorgen wird (Urteil 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1). Im Unterschied zum Fall des Widerrufs einer Niederlassungsbewilligung gestützt auf Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG setzt Art. 62 lit. e AuG nicht voraus, dass die Sozialhilfeabhängigkeit "dauerhaft und in erheblichem Mass" vorliegt (Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.2).
4.2. Liegt ein Widerrufsgrund vor, ist zu prüfen, ob die Massnahme verhältnismässig ist (vgl. Art. 96 Abs. 1 AuG). Dabei sind im Rahmen von Art. 62 lit. e AuG vor allem das Verschulden an der Situation und die bisherige Verweildauer im Land zu berücksichtigen (Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.2). Bei Personen, die sich - wie die Beschwerdeführerin - auf das Recht auf Privat- und Familienleben nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK berufen können (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 mit Hinweisen), ergibt sich die Notwendigkeit einer Interessenabwägung auch aus Art. 8 Ziff. 2 EMRK. Danach ist der Eingriff in das geschützte Recht statthaft, soweit er gesetzlich vorgesehen ist und eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft u.a. für das wirtschaftliche Wohl des Landes notwendig ist.
5.
Die Vorinstanz hat die Sozialhilfeabhängigkeit und damit den Widerrufsgrund nach Art. 62 lit. e AuG zu Recht bejaht:
5.1. Die Beschwerdeführerin und ihr Mann hatten seit Dezember 2006 fortgesetzt durch die Sozialhilfe unterstützt werden müssen. Eine kurzzeitige Loslösung war nur gelungen, weil der Ehemann während eines Jahres an einem Arbeitsintegrationsprogramm teilgenommen und in der Folge Anspruch auf Leistungen der Arbeitslosenkasse gehabt hatte. Der Unterstützungsbeitrag belief sich per 18. Juni 2013 auf insgesamt Fr. 217'288.55.
Die Rüge der Beschwerdeführerin, sie habe letztmals im August 2012 Sozialhilfe bezogen, trifft nicht zu. Denn im vorliegenden Kontext ist ein Ehepaar als wirtschaftliche Einheit zu betrachten. Dies zeigt sich darin, dass die Unterstützungsbeiträge für das Ehepaar gemeinsam berechnet und ausgerichtet werden. Umgekehrt schlägt das Erwerbsverhalten der Ehegatten auf den jeweils anderen Partner durch: Sind sie als Paar unterstützungsbedürftig, gelten beide Partner als sozialhilfeabhängig, weil sie einander finanziellen Beistand schulden.
Der Ehemann war im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils wiederum in einem vom Sozialamt finanzierten Beschäftigungsprogramm tätig, dessen Kosten in die Berechnung der Sozialhilfegelder einflossen. Die Beschwerdeführerin war nach wie vor in einem geringen Pensum arbeitstätig und erzielte einen Nettolohn von monatlich zwischen Fr. 600.-- und Fr. 800.--. Die Vorinstanz hat zutreffend festgehalten, dass weder der Ehemann der Beschwerdeführerin noch sie selbst finanziell auf eigenen Füssen zu stehen vermochten und trotz der Verwarnung im Jahr 2009 nur geringe Einkommen erzielten.
5.2. Der Einwand der Beschwerdeführerin, sie habe aufgrund ihres Alters keine Stelle finden können, ist nicht zu hören. Denn bei der Ankunft in der Schweiz war die Beschwerdeführerin 44 Jahre alt, was auf dem hier relevanten Arbeitsmarkt kein Hindernis darstellt. Wenn die Beschwerdeführerin nun im Alter von 54 Jahren Mühe hat, im Arbeitsmarkt Fuss zu fassen, so liegt dies hauptsächlich daran, dass sie sich in den ersten Jahren ihrer Anwesenheit beruflich nicht integriert hat. Erschwerend kommt hinzu, dass sie nur über mangelhafte Deutschkenntnisse verfügt.
5.3. Die Rüge der Beschwerdeführerin, das Bundesgericht erachte im Zusammenhang mit dem nachehelichen Unterhalt eine Wiederaufnahme der Erwerbstätigkeit der Ehefrau nach Eintritt des 45. Altersjahrs als unzumutbar, geht fehl. Wer auf die Unterstützung der öffentlichen Hand angewiesen ist, muss ihm Rahmen der Schadenminderungspflicht - soweit als möglich - zur Limitierung der öffentlichen Ausgaben beitragen. Die finanziellen Folgen einer geschiedenen Ehe, in der die Partner einvernehmlich eine bestimmte Aufgabenteilung vereinbart haben, sind mit der vorliegenden Konstellation nicht vergleichbar, weil es dort um einen gerechten Ausgleich zwischen den Ehegatten geht (vgl. auch Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.4). Der Beschwerdeführerin wäre eine Erwerbstätigkeit aber ohnehin von Beginn ihres Aufenthalts an zumutbar gewesen, war doch das jüngste Kind damals bereits 14 Jahre alt.
5.4. Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie habe nun eine Arbeitsstelle in Aussicht, die ihr ein höheres Einkommen garantieren würde. Sie belegt dies jedoch nicht und auch im angefochtenen Urteil ist davon nicht die Rede, ohne dass dies seitens der Beschwerdeführerin beanstandet wird. Es ist deshalb davon auszugehen, dass sich eine Arbeitsmöglichkeit - sofern sie sich überhaupt konkretisiert hat - erst nach Erlass des angefochtenen Urteils ergeben hat und das Vorbringen ein echtes (unzulässiges) Novum darstellt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344; <ref-ruling> E. 2 S. 497).
5.5. Auch die freiwilligen Beiträge der Kinder können nicht darüber hinwegtäuschen, dass das Sozialhilferisiko nach wie vor besteht: Die Vorinstanz geht ohne Willkür davon aus, dass weder die Tochter noch der Sohn in derart guten wirtschaftlichen Verhältnissen leben, dass ihnen eine Unterstützung der Eltern auch dann noch möglich wäre, wenn sie eigene familiäre (finanzielle) Verpflichtungen zu übernehmen hätten. Die Unterstützung durch die Kinder erfolgt bloss auf Zusehen hin und vermag die Sozialhilfeabhängigkeit der Beschwerdeführerin nicht nachhaltig zu vermeiden.
6.
Die Vorinstanz hat sodann die Verhältnismässigkeit der Massnahme zu Recht bejaht.
6.1. Die Beschwerdeführerin ist im Alter von 44 Jahren in die Schweiz gekommen und lebte im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils seit zehn Jahren hier. Trotz dieser relativ langen Aufenthaltsdauer verfügt sie nur über sehr geringe Deutschkenntnisse. Erst im Jahr 2012 absolvierte sie - auf Druck der Sozialhilfebehörde - einen Deutschkurs. Ihre soziale Integration muss daher als mangelhaft bezeichnet werden.
6.2. Die Beschwerdeführerin hat die Sozialhilfeabhängigkeit im Wesentlichen selbst verschuldet, indem sie keine nennenswerten Anstrengungen unternahm, diesen Zustand zu beenden. Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, gab es weder familiäre, gesundheitliche noch sonstige Gründe, welche die Beschwerdeführerin an der Aufnahme einer (weitgehend) vollzeitlichen Erwerbstätigkeit gehindert hätten.
6.3. Auch in zeitlicher Hinsicht ist die Massnahme verhältnismässig: Die Verwarnung erfolgte nach zweieinhalb Jahren Sozialhilfebezugs (von Dezember 2006 bis Mai 2009) am 15. Juni 2009. Darauf verlängerte das Migrationsamt die Aufenthaltsbewilligung noch zwei Mal, bevor sie der Beschwerdeführerin am 24. Februar 2012 mitteilte, sie beabsichtige das Verlängerungsgesuch abzuweisen. Die Beschwerdeführerin hatte somit genügend Zeit, ihre finanzielle Lage zu überdenken und zu verbessern.
6.4. Der Beschwerdeführerin ist eine Rückkehr in den Kosovo, wo sie 44 Jahre lang gelebt hat, ohne Einschränkung zumutbar. Davon, dass sie bei einer Rückkehr nicht mehr das Heimatland vorfinden werde, welches sie "einst" gekannt und verlassen habe, und dass sie sich dort als "Fremde" nur schlecht zurechtfinden würde, kann keine Rede sein. Dies umso weniger, als sich die Beschwerdeführerin in der Schweiz kaum integriert hat.
6.5. Auch dem Ehemann der Beschwerdeführerin wäre eine Rückkehr in den Kosovo oder nach Serbien wohl zumutbar, wie die Vorinstanz zu Recht ausführt. Anzufügen bleibt, dass die Ehebeziehung auch über die Distanz geführt werden kann. Die Erwägung der Vorinstanz, der Ehemann habe ebenfalls einen Widerrufsgrund gesetzt, ist hingegen nicht zulässig, weil diese Frage bisher nicht entschieden wurde. Im (hier massgeblichen) Zeitpunkt des angefochtenen Urteils stand es dem Ehemann der Beschwerdeführerin frei, ihr in die gemeinsame Heimat zu folgen oder in der Schweiz zu bleiben.
7.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet, weshalb sie im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abzuweisen ist.
Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner