Einstellung des Strafverfahrens, hat sich ergeben:
A.- Der Untersuchungsrichter für Wirtschaftsdelikte des Kantons Solothurn eröffnete am 13. August 1998 auf eine Strafanzeige der X._ Bank hin, wonach A._ bei einer Zeugeneinvernahme wissentlich gelogen habe, ein Ermittlungsverfahren gegen diesen wegen falschen Zeugnisses im Sinne von <ref-law>.
Am 2. Dezember 1999 stellte der Untersuchungsrichter das Ermittlungsverfahren ein mit der Begründung, es bestehe kein hinreichender Tatverdacht.
Auf Beschwerde der X._ Bank hin hob die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn diesen Entscheid mit Urteil vom 17. Mai 2000 auf. Sie kam zum Schluss, die umstrittene Zeugenaussage sei "nicht ganz offensichtlich richtig", weshalb der Untersuchungsrichter das Verfahren nicht wegen fehlendem Tatverdacht hätte einstellen dürfen. Auf den über die Aufhebung des angefochtenen Entscheides hinausgehenden Antrag, einen anderen Untersuchungsrichter mit der Fortsetzung des Verfahrens zu betrauen, trat die Anklagekammer mangels Zuständigkeit nicht ein.
B.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 16. Juni 2000 wegen Verletzung von <ref-law> beantragt A._:
"1. Es sei der vorliegenden staatsrechtlichen Beschwerde
aufschiebende Wirkung zu erteilen.
2. In Gutheissung der staatsrechtlichen Beschwerde
sei das Urteil der Anklagekammer des Obergerichtes
des Kantons Solothurn vom 17. Mai 2000 aufzuheben,
und es sei die Sache zu neuer Entscheidung
in neuer Besetzung zurückzuweisen.
3. Es seien die Akten von den Justizbehörden des
Kantons Solothurn beizuziehen.
4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten
der Beschwerdegegnerinnen. "
C.- Mit Verfügung vom 27. Juli 2000 erkannte der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu.
D.- Die X._ Bank beantragt in ihrer Vernehmlassung, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Die Anklagekammer des Obergerichts beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Untersuchungsrichter verzichtet auf Stellungnahme.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Der angefochtene Entscheid schliesst das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab, sondern lässt im Gegenteil dessen Fortführung zu; es handelt sich daher um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 87 OG. Der Beschwerdeführer macht einzig geltend, die am Entscheid beteiligten Richter seien befangen gewesen und hätten daher in den Ausstand treten müssen. Zu dieser Rüge ist er nach Art. 88 OG befugt. Nach Art. 87 Abs. 1 OG in der seit dem
1. März 2000 in Kraft stehenden Fassung durfte und musste er sie bereits gegen den Zwischenentscheid erheben. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt, sodass auf die Beschwerde, unter dem Vorbehalt gehörig begründeter Rügen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 1c; <ref-ruling> E. 1c), einzutreten ist.
2.- a) Die Anklagekammer machte ihr Urteil vom 17. Mai 2000 in anonymisierter Form zusammen mit einer Pressemitteilung am 18. Mai 2000 der Öffentlichkeit über das Internet zugänglich. Der Beschwerdeführer macht geltend, dieses Vorgehen erwecke den Anschein, die Richter der Anklagekammer seien bei der Urteilsfällung tags zuvor befangen gewesen.
Dies, weil die Anklagekammer gar keinen Anlass gehabt habe, eine Pressemitteilung zu veröffentlichen, und er darin zudem in unzulässiger Weise vorverurteilt werde.
b) Nach der materiell unverändert von Art. 58 aBV in 30 Abs. 1 BV überführten, ebenfalls in Art. 6 Ziff. 1 EMRK enthaltenen Garantie des verfassungsmässigen Richters hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Liegen bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vor, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, so ist die Garantie verletzt (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 2b). Verfahrens- oder andere Rechtsfehler, die einem Gericht unterlaufen, können nach der Rechtsprechung den Anschein der Befangenheit allerdings nur begründen, wenn sie wiederholt begangen wurden oder so schwer wiegen, dass sie Amtspflichtverletzungen darstellen (<ref-ruling> E. 5; 135 E. 3a).
c) Wird mit einer staatsrechtlichen Beschwerde eine Verletzung des Anspruchs auf den verfassungs- und konventionsmässigen Richter geltend gemacht, so überprüft das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür. Mit freier Kognition prüft es dagegen, ob die als vertretbar erkannte Auslegung des kantonalen Prozessrechts mit den Garantien von 30 Abs. 1 BV (Art. 58 Abs. 1 aBV) und Art. 6 Ziff. 1 EMRK vereinbar ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2b).
3.- a) Der Beschwerdeführer bestreitet das Recht der Anklagekammer, die Öffentlichkeit über den Stand des gegen ihn laufenden Strafverfahrens zu informieren. Dazu habe gar kein Anlass bestanden. In der Praxis habe sich die Übung herausgebildet, die Öffentlichkeit über schwere Verbrechen zu orientieren. Gegenstand des ihn betreffenden Ermittlungsverfahrens sei keineswegs ein "schweres Verbrechen"; aus diesem Grund hätte sie die Öffentlichkeit nicht orientieren dürfen, zumal diese zuvor vom hängigen Verfahren nichts gewusst habe. Schon der Umstand, dass die Anklagekammer die Medien ohne Anlass über das Verfahren informiert habe, erwecke daher den Anschein der Befangenheit der beteiligten Richter.
b) Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, die Anklagekammer habe mit der Bekanntgabe der umstrittenen Pressemitteilung kantonales Verfahrensrecht verletzt. Er unterlässt vielmehr jede Auseinandersetzung mit den einschlägigen Richtlinien des Obergerichts über die Information der Öffentlichkeit und der Medien vom 8. Dezember 1998 (Richtlinien), welche ausdrücklich vorsehen, dass die solothurnischen Gerichte "die Öffentlichkeit über ihre Rechtsprechung, soweit ein öffentliches Interesse besteht und keine schutzwürdigen Interessen Beteiligter entgegenstehen" (Art. 5), informieren und dass diese Information u.a. durch Medienmitteilungen erfolgen kann (Art. 8).
c) Es steht ausser Frage, dass die Öffentlichkeit ein legitimes Interesse daran hat, über die gerichtliche Aufarbeitung der zum Debakel gewordenen Übernahme der Bank in Kriegstetten durch die Solothurner Kantonalbank, welche die Steuerzahler des Kantons Solothurn nach den Angaben des Beschwerdeführers mehrere hundert Millionen Franken gekostet hat, informiert zu werden. Es steht daher im Einklang mit den Richtlinien und ist auch verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, dass die Anklagekammer in einer Medienmitteilung über ihre Entscheide informierte. Da sie die Öffentlichkeit über die Einstellung der Strafverfahren gegen die Verantwortlichen der Bankorgane ins Bild setzte, drängte sich auf, auch über das Verfahren gegen den Beschwerdeführer zu informieren, da sonst der falsche Eindruck erweckt worden wäre, die gerichtliche Aufarbeitung des Banken-Debakels sei in strafrechtlicher Hinsicht endgültig abgeschlossen. Den schutzwürdigen Interessen des Beschwerdeführers hat sie durch die Anonymisierung seines Namens Rechnung getragen.
d) Der Beschwerdeführer rügt die Veröffentlichung der Pressemitteilung im Internet als "ungewöhnlich" und "aggressiv", legt aber nicht in einer den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügenden Weise dar, inwiefern eine rasche Orientierung der Öffentlichkeit und die Ausschöpfung moderner Kommunikationsmittel verfassungsrechtlich bedenklich sein könnten. Das ist auch nicht ersichtlich.
Auf die Rüge ist insoweit nicht einzutreten.
4.- Den Inhalt der Pressemitteilung hält der Beschwerdeführer in verschiedener Hinsicht für tendenziös.
a) So stösst er sich am seiner Auffassung nach reisserischen Titel "Neue Dimension im Kantonalbank-Verfahren".
Die Feststellung im Urteil vom 17. Mai 2000, seine Zeugenaussage sei "nicht ganz offensichtlich richtig", könne nicht als "neue Dimension" bezeichnet werden.
Die umstrittene Medienmitteilung betrifft indessen neben dem Verfahren gegen den Beschwerdeführer auch die vom Obergericht geschützte Einstellung des Strafverfahrens gegen verschiedene Beteiligte "betreffend Übernahme der Bank in Kriegstetten durch die Solothurner Kantonalbank". Die Einstellung dieses Verfahrens bei gleichzeitiger Fortführung des Verfahrens gegen den Beschwerdeführer schafft eine neue Lage. Es ist vertretbar, diese im naturgemäss plakativen Titel einer Pressemitteilung als "neue Dimension im Kantonalbank-Verfahren" zu bezeichnen. Es lässt sich jedenfalls nicht sagen, dass der Titel irreführend oder verletzend wäre.
b) Die Einleitung beanstandet der Beschwerdeführer, weil darin stehe, die Beschwerde der X._ Bank sei gutgeheissen worden. Dass die Anklagekammer auf einen wesentlichen Teil der Beschwerde nicht eingetreten sei, werde verschwiegen.
In der Einleitung wird indessen neben der Nennung der Gutheissung der Beschwerde festgehalten, dass noch offen sei, ob für die Strafuntersuchung ein neuer Untersuchungsrichter eingesetzt werden müsse. Damit wird der Entscheid im Ergebnis korrekt wiedergegeben. Es ist unter diesen Umständen nicht zu beanstanden, wenn im ersten Satz der Einleitung, welche bloss einen Überblick über die Rechtslage bzw. den Inhalt der Medienmitteilung verschaffen kann und soll, nur von der Gutheissung der Beschwerde die Rede ist, zumal der Punkt betreffend die Einsetzung eines neuen Untersuchungsrichters, auf den nicht eingetreten wurde, im Text der Medienmitteilung (S. 2 oben) nochmals eingehend erläutert wird.
c) Die Pressemitteilung lässt gemäss dem Beschwerdeführer die Zurückhaltung des vorwiegend negativ formulierten Urteils vermissen. So werde etwa die Urteilspassage, wonach die Strafbarkeit des Beschwerdeführers nicht mit einer die Verfahrenseinstellung rechtfertigenden Sicherheit ausgeschlossen werden könne, in der Medienmitteilung mit den Worten wiedergegeben, es sei naheliegend, dass der Beschuldigte als Zeuge tatsächlich wissentlich die Unwahrheit gesagt haben könnte.
Es mag zwar zutreffen, dass die Pressemitteilung durch die vermehrte Verwendung der leichter verständlichen Alltagssprache anstelle von juristisch-technischen Begriffen etwas weniger präzise und zurückhaltend formuliert ist als das Urteil. Auch die vom Beschwerdeführer angeführte Textstelle lässt indessen ausdrücklich offen, ob der Beschwerdeführer effektiv falsches Zeugnis abgelegt hat oder nicht.
Von einer Vorverurteilung kann nicht die Rede sein.
d) Verzerrt ist die Medienmitteilung nach der Auffassung des Beschwerdeführers auch deshalb, weil zuvorderst über das vergleichsweise unbedeutende Ermittlungsverfahren gegen ihn berichtet werde und erst anschliessend über das für den Kanton Solothurn sehr wichtige Strafverfahren gegen die Organe der Bank in Kriegstetten und der Solothurner Kantonalbank.
Obschon dieses Strafverfahren gegen viele Angeschuldigte von viel grösserer Bedeutung sei, nehme die Berichterstattung der Anklagekammer darüber gleichviel Raum ein wie über das nebensächliche Ermittlungsverfahren gegen ihn. Das erwecke beim unbefangenen Leser den Eindruck, nicht die Organe der Bank in Kriegstetten und der Solothurner Kantonalbank seien für das Banken-Debakel verantwortlich, sondern der Beschwerdeführer als lügnerischer Bösewicht; darin liege nach der Medienmitteilung die "neue Dimension im Kantonalbank-Verfahren".
Welches der beiden Strafverfahren, auf die die Pressemitteilung Bezug nimmt, "wichtiger" ist, ist weitgehend eine Ermessensfrage. Sie kann in diesem Zusammenhang offen bleiben. Selbst wenn nämlich die Anklagekammer der Berichterstattung über das Verfahren gegen den Beschwerdeführer vergleichsweise zuviel Raum eingeräumt oder sie zu prominent plaziert haben sollte, so könnte darin von vorneherein kein grober, einer Amtspflichtverletzung gleichkommender Verfahrensfehler liegen, wie er allein einen Befangenheitsgrund darstellen könnte.
e) Zusammenfassend ist somit festzuhalten, dass die Anklagekammer befugt war, die Öffentlichkeit über das Verfahren gegen den Beschwerdeführer zu informieren und dass die von ihr abgegebene Pressemitteilung den Beschwerdeführer nicht vorverurteilte. Diese stellt keinen einer Amtspflichtverletzung gleichkommenden schweren Verfahrensfehler dar, wie er allein den Vorwurf der Befangenheit begründen könnte.
Die Rüge ist unbegründet.
f) Nicht geprüft zu werden braucht unter diesen Umständen, ob der Beschwerdeführer in den Medien vorverurteilt wurde. Die Anklagekammer gab in der umstrittenen Medienmitteilung dazu keinen Anlass und dementsprechend könnte sie dafür nicht verantwortlich gemacht werden.
Im Übrigen hat auch die Presse in den vom Beschwerdeführer ins Recht gelegten, gestützt auf die Pressemitteilung der Anklagekammer verfassten Artikeln keine Vorverurteilungen des Beschwerdeführers vorgenommen, selbst wenn die Titel, isoliert betrachtet, zum Teil tatsächlich reisserisch und missverständlich sein mögen. So wird in der SDA-Meldung vom 18. Mai 2000 im Textteil erläutert, dass es sich beim Titel "Revisor hat wissentlich gelogen" um eine Parteibehauptung der X._ Bank handelt. Das Gleiche gilt für den von ihm zitierten Artikel der "Neuen Mittelland Zeitung", bei dem aus dem Text hervorgeht, dass sich der Zwischentitel "Wissentlich gelogen" auf den Vorwurf der X._ Bank bezieht und es sich dabei nicht um eine gerichtliche Feststellung der Anklagekammer handelt.
5.- Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG).
Ausserdem hat er der Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien sowie dem Untersuchungsrichteramt und dem Obergericht, Anklagekammer, des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 12. September 2000
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: