Sachverhalt:
A.
Die 1963 geborene Z._ bezog gestützt auf die Verfügungen der IV-Stelle Bern vom 24. November 1999 vom 1. Oktober bis 30. November 1997 eine Viertelsrente, vom 1. bis 31. Dezember 1997 eine halbe Rente und ab 1. Januar 1998 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (jeweils nebst Kinderrenten). Im Rahmen eines Revisionsverfahrens machte die Versicherte geltend, ihr Gesundheitszustand habe sich verschlechtert und sie sei in verschiedenen Lebensverrichtungen auf Dritthilfe sowie auf Pflege angewiesen. Die IV-Stelle holte nebst weiteren Abklärungen ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ vom 5. August 2008 ein und nahm eine Haushaltsabklärung vor (Abklärungsbericht vom 30. Januar 2009). Am 3. April 2009 verfügte sie, es bestehe kein Anspruch auf Hilflosenentschädigung. Aufgrund von Hinweisen auf einen allfälligen ungerechtfertigten Leistungsbezug sah sich die Verwaltung sodann veranlasst, die Versicherte im Rahmen einer Beweissicherung vor Ort an mehreren Tagen im Zeitraum von Juli bis November 2010 sowie erneut vom 11. bis 15. Juli 2011 überwachen zu lassen. Darüber wurde ihr am 25. November 2010 und 25. Juli 2011 Bericht erstattet. Zudem führte der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) eine psychiatrische sowie eine orthopädische Untersuchung durch und gab mehrere Stellungnahmen ab. Am 13. Dezember 2011 verfügte die IV-Stelle zunächst die sofortige Sistierung der Rente, was mit Beschwerdeentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 26. April 2012 bestätigt wurde. Am 13. Januar 2012 reichte die Verwaltung gegen Z._ Strafanzeige wegen ungerechtfertigten Leistungsbezugs ein. Mit Verfügung vom 25. Juli 2012 hob sie sodann die Invalidenrente rückwirkend per 1. Mai 2008 revisionsweise auf. Mit Verfügung vom 15. August 2012 verpflichtete sie die Versicherte überdies, in der Zeit vom 1. Mai 2008 bis 31. Dezember 2011 bezogene Rentenleistungen zurückzuerstatten.
B.
Die von Z._ gegen die Verfügungen vom 25. Juli und 15. August 2012 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 21. November 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt Z._ beantragen, die Verfügungen vom 25. Juli und 15. August 2012 sowie der vorinstanzliche Entscheid seien aufzuheben und die IV-Stelle sei zu verpflichten, die ganze Invalidenrente rückwirkend seit der Sistierung weiterhin auszurichten; eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung und neuen Verfügung über den Rentenanspruch ab der Sistierung an die Verwaltung zurückzuweisen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde hinsichtlich der Rückerstattung die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 18. Februar 2014 hat das Bundesgericht der Beschwerde im Rückerstattungspunkt die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die zuletzt ausgerichtete ganze Invalidenrente zu Recht per 1. Mai 2008 aufgehoben wurde und ob die seither bezogenen Rentenleistungen zurückzuerstatten sind.
Die Rechtsgrundlagen hiefür sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen Invalidität und Erwerbsunfähigkeit, zum für einen Rentenanspruch mindestens erforderlichen Invaliditätsgrad von 40 %, zur revisionsweisen Erhöhung, Herabsetzung oder Aufhebung einer Rente infolge erheblicher Änderung des Invaliditätsgrades, zur zeitlichen Wirksamkeit einer solchen Revision, zur Rückerstattung unrechtmässig bezogener Leistungen und zu den zu beachtenden Beweisregeln.
2.1. Gemäss dem vorinstanzlichen Entscheid beurteilt sich die Frage, ob eine revisionsbegründende Änderung des Invaliditätsgrades eingetreten ist, durch Vergleich der Verhältnisse im Zeitpunkt der rentenzusprechenden Verfügungen vom 24. November 1999 einerseits und im Zeitpunkt der Revisionsverfügung vom 25. Juli 2012 anderseits. Das kantonale Gericht hat sodann erkannt, die am 24. November 1999 verfügte Rentenzusprechung habe sich in medizinischer Hinsicht namentlich auf das psychiatrische Gutachten des Dr. med. H._ vom 12. Juli 1999 gestützt. Darin sei aufgrund eines Schmerzbildes sowie einer hirnorganischen Schädigung im Sinne eines psychoorganischen Syndroms eine volle Arbeitsunfähigkeit für eine ausserhäusliche Erwerbstätigkeit und eine Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit als Hausfrau bestätigt worden. Insoweit ist die vorinstanzliche Beurteilung nicht umstritten und gibt keinen Anlass zu Bemerkungen.
2.2. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, seit der Rentenzusprechung sei eine wesentliche gesundheitliche Besserung eingetreten und die Versicherte sei nunmehr in einer angepassten Tätigkeit, einschliesslich der angestammten Tätigkeit, zu 100 % arbeitsfähig. Es stellt dabei namentlich auf das Gutachten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ vom 5. August 2008, welches durch die weiteren Abklärungen bestätigt werde, ab. In dieser Expertise werden als Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit ein HWS-Syndrom (ohne radikuläre oder medulläre Ausfallsymptome bei Status nach mehreren HWS-Distorsionstraumata) sowie ein LWS-Syndrom (ohne radikuläre Ausfälle) und als Diagnosen ohne Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit eine Schmerzverarbeitungsstörung und ein erhöhter HbA1c-Wert genannt. Nach Einschätzung der medizinischen Experten besteht keine Arbeitsfähigkeit für körperlich schwer belastende Tätigkeiten. Hingegen werden körperlich leichte bis mittelschwere, angepasste Arbeiten, einschliesslich der angestammten Tätigkeiten, im Rahmen einer vollen Arbeits- und Leistungsfähigkeit für zumutbar erachtet.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, dem Gutachten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ vom 5. August 2008 komme keine Beweiskraft zu. Indem die Vorinstanz trotzdem auf die Expertise abgestellt habe, habe sie eine willkürliche Beweiswürdigung vorgenommen und den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt.
2.2.1. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen, welche das Bundesgericht nur im Rahmen von <ref-law> überprüfen kann (vgl. E. 1 hievor). Die konkrete Beweiswürdigung ist ebenfalls Tatfrage. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> Rechtsfrage, die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht frei überprüfen kann (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.; SVR 2014 IV Nr. 1 S. 1, 9C_228/2013 E. 1.2; 2012 IV Nr. 48 S. 174, 8C_888/2011 E. 2.2).
2.2.2. Das kantonale Gericht hat im Rahmen einer einlässlichen Beweiswürdigung dargelegt, weshalb es die Expertise des medizinischen Abklärungsinstituts X._ für beweiswertig erachtet. Diese Beweiswürdigung ist weder offensichtlich unrichtig noch in anderer Weise rechtswidrig. Was die Versicherte einwendet, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise.
Vorgebracht wird, das Gutachten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ sei unvollständig, da die medizinischen Experten keine bildgebenden Untersuchungen und keine orthopädische Teilbegutachtung vorgenommen hätten. Diesen Einwand hat das kantonale Gericht mit überzeugender Begründung verworfen. Es hat dabei namentlich auch den orthopädischen Untersuchungsbericht des RAD-Arztes Dr. med. P._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie FMH, vom 17. November 2011 in nicht zu beanstandender Weise berücksichtigt. Die Berichte der Frau Dr. med. W._, Neurologie FMH, vom 21. Januar 2009 und des Prof. Dr. med. E._, Leiter Wirbelsäulenchirurgie, Orthopädie Y._, vom 17. Juni 2011, welche die Versicherte hiezu anruft, rechtfertigen keine andere Betrachtungsweise. Gemäss diesen Berichten wurden lediglich bescheidene Befunde objektiviert, welche die geklagten Beschwerden nicht zu erklären vermögen. Prof. Dr. med. E._ konnte sich hiebei auch auf ein am 17. Juni 2011 durchgeführtes MRI von HWS und LWS stützen. Zu erwähnen bleibt der von der Versicherten im kantonalen Verfahren aufgelegte Bericht des Dr. med. A._, Zentrum für Wirbelsäulenchirurgie, vom 14. April 2013. Danach konnten mittels MRI vom 4. April 2013 lediglich bescheidene Befunde an der LWS erhoben werden. Die Feststellungen der Gutachter des medizinischen Abklärungsinstituts X._ werden, wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, überdies durch die Ergebnisse der Observation sowie durch die weiteren Untersuchungsberichte resp. Stellungnahmen des RAD bestätigt. Das anlässlich der Überwachung gezeigte Verhalten der Versicherten (u.a. im Strassenverkehr und namentlich auch im Zusammenhang mit dem eigenen Restaurant) steht denn auch in einem klaren Widerspruch zu der geltend gemachten Beeinträchtigung. Soweit die Beschwerdeführerin die Rechtmässigkeit der Observation in Frage stellt, kann ihr nicht gefolgt werden. Namentlich bestanden aufgrund der eingegangenen Hinweise, des Gutachtens des medizinischen Abklärungsinstituts X._ vom 5. August 2008 und des Abklärungsberichts Haushalt vom 30. Juni 2009 genügend Anhaltspunkte, welche diese Beweismassnahme als objektiv geboten erscheinen liessen. Das kantonale Gericht hat dies richtig dargelegt. Dass die Observation in zwei Etappen erfolgte, lässt die vorinstanzliche Beurteilung ebenfalls nicht als rechtswidrig erscheinen. Auch die Art und Weise, wie das kantonale Gericht die RAD-Berichte berücksichtigt hat, ist entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung rechtmässig.
Geltend gemacht wird weiter, das Gutachten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ vom 5. August 2008 enthalte Widersprüche. Das kantonale Gericht hat sich mit diesem Einwand auseinandergesetzt und ihn für unbegründet erachtet. Die von der Versicherten vorgenommene Interpretation einzelner Aussagen im Gutachten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ lässt diese Beurteilung nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen.
Ein weiteres Vorbringen geht dahin, die Folgerungen der Experten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ seien insofern nicht nachvollziehbar, als bei gleich gebliebenen oder zumindest ähnlichen Diagnosen entgegen der früheren ärztlichen Einschätzung auf eine volle Arbeitsfähigkeit geschlossen werde. Der Einwand ist ebenfalls unbegründet. Soweit überhaupt vergleichbare Diagnosen vorliegen - was aufgrund der Akten zumindest fraglich erscheint -, ist es jedenfalls zu einer deutlichen Besserung von Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit gekommen. Das ergibt sich aus dem Gutachten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ und den weiteren Abklärungsergebnissen.
2.3. Das kantonale Gericht ist zutreffend davon ausgegangen, dass damit eine wesentliche Änderung des Invaliditätsgrades vorliegt, welcher die revisionsweise Aufhebung der Rente rechtfertigt. Es hat sodann geprüft, ob die Verwaltung zu Recht die Rente rückwirkend auf den 1. Mai 2008 aufgehoben und die seither bezogenen Leistungen zurückgefordert hat.
Die Vorinstanz hat hiezu erkannt, aufgrund der Ergebnisse der Überwachung sowie der erwähnten medizinischen Abklärungen und der in diesem Zeitraum wiederholt erfolgten Meldungen eines verschlechterten Gesundheitszustandes, welche sich als falsch erwiesen hätten, sei erstellt, dass die gesundheitlichen Einschränkungen (bereits früher) nicht der Realität entsprochen hätten resp. von der Versicherten vorgetäuscht worden seien. Die Beschwerdeführerin habe dadurch unrechtmässig Versicherungsleistungen erwirkt. Rückwirkend erstmals nachgewiesen seien die fehlenden Einschränkungen für den Zeitpunkt der Begutachtung des medizinischen Abklärungsinstituts X._ im Mai (und Juli) 2008. Die Rente sei daher zu Recht per 1. Mai 2008 aufgehoben worden. Die seither bezogenen Leistungen seien zurückzuerstatten, da sie aufgrund der Meldepflichtverletzung der Versicherten zu Unrecht bezogen worden seien. Die Rückforderung könne unter den gegebenen Umständen auch nicht als verwirkt betrachtet werden.
Diese Beurteilung beruht auf einer in allen Teilen zutreffenden Würdigung der Sach- und Rechtslage (vgl. namentlich <ref-law>; <ref-law>). Was die Versicherte vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Die Einwände, das Gutachten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ sowie die Observationsergebnisse seien nicht beweiswertig und es liege keine Verbesserung von Gesundheitszustand sowie Arbeitsfähigkeit vor, wurden bereits vorstehend entkräftet. Dass die Verwaltung nach der Begutachtung des medizinischen Abklärungsinstituts X._ weitere Beweismassnahmen vorgenommen hat, ist unter den gegebenen Umständen, insbesondere im Hinblick auf eine weitere Bestätigung der gutachterlichen Feststellungen, nachvollziehbar und lässt die vorinstanzliche Beurteilung nicht als rechtswidrig erscheinen. Einen anderen Schluss lassen auch die von der Versicherten angerufenen medizinischen Akten nicht zu. Die Beschwerde ist somit auch in diesem Punkt unbegründet, was zu ihrer Abweisung führt.
3.
Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der AHV-Ausgleichskasse IMOREK und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. März 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz